Daniel López García
Universidad de Navojoa
14/11/2013
Síntesis de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales. Separación de variables. Este método consiste en acomodar los términos de la ecuación de tal modo que en cada miembro se encuentren los diferenciales con sus respectivos términos, y después integrar.
( 4+ x )
dy 3 =y dx
Esta es la ecuación diferencial, ahora, necesitamos juntar términos con sus respectivos diferenciales.
( 4+ x ) dy= y 3 dx dy= y3
dx 4+ x
dy dx = 3 y (4+ x) Y una vez teniendo los términos acomodados integramos en ambas partes. Cambio de variable. Este método consiste en Exactas. Una ecuación diferencial de la forma exacta si satisface la ecuación:
M ( X , Y ) dxN ( X , Y ) dy=0 se dice que es
∂ M (X ,Y ) ∂ N (X ,Y ) = ∂Y ∂X
Si la ecuación diferencial satisface esta condición, entonces su solución general está dada por la ecuación: x
f ( X , Y )=∫ M ( X , Y ) dx +G ( Y )=0 Donde
G (Y )
es una función que depende estrictamente de la variable
obtenido por la ecuación:
Y
y es
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M ( X , Y ) dx ∫¿ ¿ ∂¿ dG(Y ) = N ( X , Y ) −¿ dy
Exactas por factor integrante. En algunas ocasiones se encuentra que la ecuación no es exacta, en donde se puede utilizar un factor integrante por el cual se multiplica la ecuación para que sea exacta. El factor integrante se obtiene con la ecuación: e∫
P ( X ) dX
en donde
∫ o e
P=
P ( Y ) dY
M y −N x N
o P=
N x −M y M
Homogéneas. Este método consiste en cambiar el valor de una variable. Ya sea
X =UY
o Y =UX
Lineales. Una ecuación diferencial lineal de primer orden se define por medio de las ecuaciones: dY + P ( X ) Y =Q ( X ) dX
dX + P ( Y ) X =Q (Y ) dY
Dada una ecuación diferencial de esta forma, si ésta se multiplica por un factor integrante de la forma
μ ( X )=e∫
P ( X ) dX
o
μ ( Y )=e∫
P ( Y ) dY
entonces el miembro del lado
izquierdo de la ecuación se transforma siempre en una diferencial exacta y su solución 1 general estará dada por Y = μ( X ) [∫ μ ( X ) Q ( X ) dX ] Bernoulli. La ecuación diferencial de Bernoulli es Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución y1-n = v 1 , que se caracteriza por adoptar la forma:
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donde y son funciones continuas en un intervalo abierto es un número real cualquiera.
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y α
Cambio de variable. Este método consiste en sustituir el término más complejo de la ecuación diferencial y sustituirlo por una variable al azar. Veamos la siguiente ecuación diferencial. ds 1 = dt s+ t+1 En este caso, sustituiremos dp 1 −1= dt p
s+t +1 por una variable al azar, en este caso p.