Matematica by Daniel Nunes

ENADE COMENTADO 2008 Matemรกtica

Chanceler Dom Dadeus Grings Reitor Joaquim Clotet Vice-Reitor Evilázio Teixeira Conselho Editorial Ana Maria Lisboa de Mello Bettina Steren dos Santos Eduardo Campos Pellanda Elaine Turk Faria Érico João Hammes Gilberto Keller de Andrade Helenita Rosa Franco Ir. Armando Bortolini Jane Rita Caetano da Silveira Jorge Luis Nicolas Audy – Presidente Jurandir Malerba Lauro Kopper Filho Luciano Klöckner Marília Costa Morosini Nuncia Maria S. de Constantino Renato Tetelbom Stein Ruth Maria Chittó Gauer EDIPUCRS Jerônimo Carlos Santos Braga – Diretor Jorge Campos da Costa – Editor-Chefe

Augusto Vieira Cardona Cรกrmen Regina Jardim de Azambuja Monica Bertoni dos Santos (Organizadores)

ENADE COMENTADO 2008 Matemรกtica

Porto Alegre 2011

Edição revisada segundo o novo Acordo Ortográfico. Questões retiradas da prova do ENADE 2008 da Matemática.

EDIPUCRS – Editora Universitária da PUCRS Av. Ipiranga, 6681 – Prédio 33 Caixa Postal 1429 – CEP 90619-900 Porto Alegre – RS – Brasil Fone/fax: (51) 3320 3711 e-mail: edipucrs@pucrs.br - www.pucrs.br/edipucrs

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) E56

ENADE comentado 2008 : matemática [recurso eletrônico] / organizadores, Augusto Vieira Cardona, Cármen Regina Jardim de Azambuja, Monica Bertoni dos Santos. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : EDIPUCRS, 2011. 121 p. ISBN 978-85-397-0127-8 Sistema requerido: Adobe Acrobat Reader Modo de Acesso: <http://www.pucrs.br/edipucrs/> 1. Ensino Superior – Brasil – Avaliação. 2. Exame Nacional de Desempenho de Estudantes. 3. Matemática – Ensino Superior. I. Cardona, Augusto Vieira. II. Azambuja, Cármen Regina Jardim de. III. Santos, Monica Bertoni dos. CDD 378.81

Ficha Catalográfica elaborada pelo Setor de Tratamento da Informação da BC-PUCRS.

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SUMÁRIO APRESENTAÇÃO ..................................................................................................... 8 Hélio Radke Bittencourt e Marisa Magnus Smith NOTA DOS ORGANIZADORES .............................................................................. 12 COMPONENTE ESPECÍFICO – NÚCLEO COMUM QUESTÃO 11 ........................................................................................................... 14 Cármen Regina Jardim de Azambuja QUESTÃO 12 ........................................................................................................... 17 Cármen Regina Jardim de Azambuja QUESTÃO 13 ........................................................................................................... 20 João Feliz Duarte de Moraes QUESTÃO 14 ........................................................................................................... 22 Cármen Regina Jardim de Azambuja QUESTÃO 15 ........................................................................................................... 26 Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann QUESTÃO 16 ........................................................................................................... 28 Marilene Jacintho Müller e Vera Lúcia Martins Lupinacci QUESTÃO 17 ........................................................................................................... 30 Vera Lúcia Martins Lupinacci QUESTÃO 18 ........................................................................................................... 33 Neda da Silva Gonçalves, Thaísa Jacintho Müller e Virgínia Maria Rodrigues QUESTÃO 19 ........................................................................................................... 35 Liara Aparecida dos Santos Leal QUESTÃO 20 ........................................................................................................... 37 Liara Aparecida dos Santos Leal QUESTÃO 21 ........................................................................................................... 39 Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues QUESTÃO 22 ........................................................................................................... 40 Vera Lúcia Martins Lupinacci QUESTÃO 23 ........................................................................................................... 43 Francisco Alberto Rheingantz Silveira QUESTÃO 24 ........................................................................................................... 45 Maria Beatriz Menezes Castilhos QUESTÃO 25 ........................................................................................................... 48 Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann QUESTÃO 26 ........................................................................................................... 52 Maria Beatriz Menezes Castilhos

QUESTÃO 27 ........................................................................................................... 55 Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues QUESTÃO 28 – DISCURSIVA ................................................................................. 57 Augusto Vieira Cardona QUESTÃO 29 – DISCURSIVA ................................................................................. 59 Maria Beatriz Menezes Castilhos COMPONENTE ESPECÍFICO – LICENCIATURA QUESTÃO 30 ........................................................................................................... 63 Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues QUESTÃO 31 ........................................................................................................... 65 Marilene Jacintho Müller e Vera Lúcia Martins Lupinacci QUESTÃO 32 ........................................................................................................... 68 Monica Bertoni dos Santos e Mara Lúcia Müller Botin QUESTÃO 33 ........................................................................................................... 71 Monica Bertoni dos Santos e Mara Lúcia Müller Botin QUESTÃO 34 ........................................................................................................... 73 Augusto Vieira Cardona e Monica Bertoni dos Santos QUESTÃO 35 ........................................................................................................... 76 Ruth Portanova, Maria Beatriz Menezes Castilhos e Virgínia Maria Rodrigues QUESTÃO 36 ........................................................................................................... 78 Monica Bertoni dos Santos, Mara Lúcia Müller Botin e Vanessa Martins de Souza QUESTÃO 37 ........................................................................................................... 82 Ruth Portanova e Monica Bertoni dos Santos QUESTÃO 38 ........................................................................................................... 84 Ruth Portanova e Monica Bertoni dos Santos QUESTÃO 39 ........................................................................................................... 86 Marilene Jacintho Müller QUESTÃO 40 – DISCURSIVA ................................................................................. 88 Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann COMPONENTE ESPECÍFICO – BACHARELADO QUESTÃO 41 ........................................................................................................... 93 Augusto Vieira Cardona, Luiz Eduardo Ourique e Ivan Ricardo Tosmann QUESTÃO 42 ........................................................................................................... 96 Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues QUESTÃO 43 ........................................................................................................... 98 Vera Lúcia Martins Lupinacci QUESTÃO 44 ......................................................................................................... 100 Luiz Eduardo Ourique

QUESTÃO 45 ......................................................................................................... 103 Liara Aparecida dos Santos Leal QUESTÃO 46 ......................................................................................................... 106 Maria Beatriz Menezes Castilhos e Augusto Vieira Cardona QUESTÃO 47 ......................................................................................................... 109 Neda da Silva Gonçalves, Thaisa Jacintho Müller e Virgínia Maria Rodrigues QUESTÃO 48 ......................................................................................................... 111 Augusto Vieira Cardona e Maria Beatriz Menezes Castilhos QUESTÃO 49 ......................................................................................................... 114 Luiz Eduardo Ourique QUESTÃO 50 ......................................................................................................... 117 Cláudia Helena Fettermann Batistela e Luiz Carlos Renz QUESTÃO 51 – DISCURSIVA ............................................................................... 119 Maria Beatriz Menezes Castilhos LISTA DE COLABORADORES ............................................................................. 121

APRESENTAÇÃO

Desde 1996, a Educação Superior brasileira tem sido alvo de avaliações de larga escala. O Exame Nacional de Cursos, mais conhecido por Provão, vigorou de 1996 a 2003, consistindo na aplicação de uma prova a todos os estudantes formandos de um grupo de cursos de graduação. Em 2004, o Provão foi substituído pelo Exame Nacional de Desempenho de Estudantes, ou ENADE. A partir desse momento, os cursos passaram a ser avaliados de três em três anos, submetendo-se ao Exame, além de estudantes concluintes, também alunos ingressantes. O desempenho dos alunos ingressantes e concluintes nas provas está diretamente relacionado aos três conceitos derivados do ENADE: o conceito Enade, o Indicador de Diferença de Desempenho (IDD) e o Conceito Preliminar de Curso (CPC). Para um melhor entendimento, vejamos uma breve explicação de cada conceito: Conceito Enade – o conceito Enade de um curso é calculado exclusivamente a partir do desempenho dos alunos concluintes na prova, que é composta de duas partes: uma denominada de Componente Específico (CE) e outra de Formação Geral (FG). As questões referentes ao Componente Específico têm peso de 75% na nota final do curso, enquanto a parte de Formação Geral é responsável pelos outros 25%. Salienta-se que o desempenho médio dos alunos de um curso é sempre comparado ao desempenho do universo de estudantes daquela área que realizou a mesma prova. Portanto, o conceito Enade é relativo ao desempenho do grupo. Cursos com conceito Enade 4 ou 5 são aqueles cujos alunos apresentaram média bastante superior a do total de alunos da área. Indicador de Diferença de Desempenho (IDD) – o IDD é um indicador que procura neutralizar o efeito de diferentes níveis de dificuldade de ingresso sobre o desempenho dos alunos nas provas. No IDD, o desempenho dos alunos concluintes é comparado ao desempenho esperado por meio de um modelo linear que considera as seguintes variáveis: 1) desempenho médio dos alunos ingressantes; 2) proporção de estudantes cujos pais têm nível de escolaridade superior; 3) relação concluintes/ingressantes. Um IDD igual a 3 caracteriza um curso que atingiu o desempenho esperado. Já IDDs 4 ou 5 indicam cursos que superaram o esperado,

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

atingindo nas provas uma média superior ou muito superior ao desempenho estimado pelo modelo. Conceito Preliminar de Curso (CPC) – o CPC procura sintetizar os resultados do Enade, IDD e outros fatores num único conceito. A partir de 2008, o CPC passou a apresentar a seguinte composição: Enade dos ingressantes (15%); Enade dos concluintes (15%); IDD (30%); Instalações e Infraestrutura (5%); Recursos didáticos (5%); Percentual de professores doutores (20%); Percentual de professores com, no mínimo, título de mestre (5%); Percentual de professores em regime de tempo parcial ou integral (5%). O CPC é o principal indicador utilizado pelo Ministério de Educação (MEC) para avaliação de um curso. Cursos avaliados com 1 ou 2 são passíveis de intervenção e deverão ser visitados por uma comissão de avaliadores nomeada pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP). O CPC é divulgado de duas formas – contínuo e conceito – e a tabela utilizada para conversão é a seguinte: Tabela 1: Tabela para conversão do CPC contínuo em conceito. CPC contínuo 0,00 – 0,94 0,95 – 1,94 1,95 – 2,94 2,95 – 3,94 3,95 – 5,00

Conceito CPC 1 2 3 4 5

Os cursos de Matemática foram avaliados no ENADE pela primeira vez em 2005. A última avaliação ocorreu em 2008, contando com 30 questões em seu Componente Específico. A próxima está prevista para 2011. Na edição de 2008, um total de 513 cursos foi avaliado, dos quais 315 receberam conceito CPC. A figura 1 apresenta o histograma com a distribuição do CPC contínuo em âmbito nacional.

ENADE Comentado 2008: Matemática

Número de cursos

0 0,0

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

CPC Contínuo

Figura 1: Histograma dos CPC contínuos em âmbito nacional.

A figura 1 mostra uma concentração de cursos em torno do CPC contínuo 2,0, e um pequeno número de cursos próximo do valor máximo. De um modo geral, os cursos de Matemática não apresentaram bons resultados na avaliação, o que fica evidente na Tabela 2, que mostra 41% dos cursos avaliados com conceitos 1 ou 2, considerados baixos pelo MEC. Apenas 16,2% dos cursos avaliados atingiram conceitos altos (4 ou 5). Em outras palavras, isso significa que, de um universo de 315 cursos avaliados, 129 ficaram abaixo do resultado mínimo esperado pelo INEP. Tabela 2: Distribuição dos conceitos CPC em âmbito nacional no ENADE 2008. CPC 1 2 3 4 5

F 3 126 135 39 12

% 1,0% 40,0% 42,9% 12,4% 3,8%

Total

315

100,0%

Outro fato a destacar é o de que a totalidade dos cursos que obtiveram o conceito máximo são oferecidos em instituições universitárias, e não em faculdades isoladas ou centros universitários. Dentre esses doze, é significativo registrar que onze deles são oferecidos em instituições públicas. A única instituição privada do 10

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

Brasil a atingir o conceito CPC=5 foi a Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUCRS). As razões para desempenhos tão diferenciados e, em muitos casos, desanimadores são muitas e não cabe aqui discuti-las em profundidade. Entretanto, duas evidências parecem emergir desses dados: a maior qualificação das Universidades em relação às instituições de menor porte e que não têm tradição em pós-graduação, pesquisa e extensão, e o diferencial qualitativo que a efetiva seleção de acadêmicos com melhores condições de desempenho ao curso superior – característica das IES federais, pela relação número de candidatos x número de vagas – estabelece em favor do desenvolvimento desses estudantes. Essas questões, entretanto, por mais pertinentes que sejam quando se analisam comparativamente resultados, não apagam o fato de que na base do conceito de cada curso existe uma prova, o ENADE, e que cabe às IES comprometidas não só com o bom desempenho de seus estudantes, mas também com a qualidade dos testes a que eles são submetidos, contribuir com seus saberes para a qualificação desses instrumentos de avaliação. Esta publicação eletrônica, editada pela EDIPUCRS, tem exatamente este objetivo: apresentar, analisar e comentar as 30 questões do Componente Específico do ENADE aplicado aos cursos de Matemática em 2008. Esperamos que estudantes e professores universitários possam apropriar-se deste estudo em seus processos de ensino e de aprendizagem, e também que as bancas responsáveis pela seleção de conteúdos e elaboração das questões possam igualmente beneficiar-se do resultado desse esforço.

Porto Alegre, maio de 2010 Hélio Radke Bittencourt Faculdade de Matemática / Assessoria de Planejamento e Marketing - PUCRS Marisa Magnus Smith Faculdade de Letras / Pró-Reitoria de Graduação - PUCRS

ENADE Comentado 2008: Matemática

NOTA DOS ORGANIZADORES

Para dar subsídios aos alunos que realizarão o ENADE 2011, um grupo de professores, alunos e diplomados da Faculdade de Matemática, deu sua contribuição, comentando as questões específicas e discursivas da edição 2008. Chegou-se ao consenso de que, ao comentar as questões, seriam apresentados alguns conceitos básicos fundamentais para a sua compreensão e indicada bibliografia de apoio ao estudante que quisesse aprofundar seus estudos. Na resolução das questões, em geral, não se optou pela apresentação matematicamente mais elegante, mas pela simplicidade e pelo fácil entendimento por parte de alunos, ingressantes ou concluintes, de Cursos de Licenciatura. O enunciado das questões foi o mais fiel possível ao ENADE 2008, sendo que gráficos e figuras foram fielmente reproduzidos deste documento. Tendo em vista que a prova será realizada por alunos ingressantes e concluintes, fizemos para cada questão uma classificação quanto ao seu grau de dificuldade, considerando tanto a realidade do ensino de Matemática na Educação Básica, constatada nas observações de estágio e nas sondagens aplicadas a alunos de 1º semestre, quanto nos currículos dos Cursos de Licenciatura em Matemática. A resolução das questões desta prova permitiu-nos analisar se os conteúdos abordados no ENADE 2008 eram condizentes com o que se trabalha nessa Instituição, ajudou-nos a avaliar a formação oferecida aos graduados em Matemática e na elaboração do Projeto Pedagógico de nosso Curso. Agradecemos a colaboração de docentes, discentes e diplomados da Faculdade de Matemática da PUCRS na elaboração deste trabalho e ao apoio incondicional da EDIPUCRS e da Pró-Reitoria de Graduação de nossa Universidade. Esperamos que este trabalho ajude o leitor na sua formação matemática e que ele considere a leitura prazerosa e elucidativa.

Porto Alegre, junho de 2011 Augusto Vieira Cardona Cármen Regina Jardim de Azambuja Monica Bertoni dos Santos

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

COMPONENTE ESPECÍFICO NÚCLEO COMUM

QUESTÃO 11 Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. A falta é batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola seja uma parábola, com ponto de máximo em Q, exatamente acima da barreira, a 3 metros do chão, como ilustra a figura abaixo. y Q

gol barreira

parábola

posição da falta

Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?

(A)

3 m 2

(B)

4 m 3

5 m 3

Gabarito: E Autoria: Cármen Regina Jardim de Azambuja Comentário: Diversos fenômenos são descritos por funções polinomiais de 2º grau, como é o caso do problema apresentado. Uma função polinomial de 2º grau, ou função quadrática, com variável independente x tem o modelo: f ( x ) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0

(1)

e sua representação gráfica é uma parábola com eixo de simetria passando pelo seu vértice e paralelo ao eixo das ordenadas y y’ .

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

No ensino médio, sabe-se que, para determinar a abscissa do vértice da parábola pode-se utilizar a fórmula xv =

−b . No ensino superior, usando o conceito 2a

de derivada, sabe-se que a reta tangente à parábola em seu vértice é paralela ao eixo das abscissas e, portanto, tem coeficiente angular nulo. Fazendo f ′( x ) = 0 , isto −b . 2a

é 2ax + b = 0 , chega-se à mesma fórmula xv =

No problema apresentado, se for colocado um sistema de eixos na barreira, tem-se que: a) o vértice da parábola é o ponto (0,3), então xv = 0 e xv =

−b = 0 ⇒ b = 0 . Como 2a

f (0) = c = 3 , substituindo b por zero e c por 3 no modelo de função de segundo grau

visto em (1), tem-se: f ( x ) = ax 2 + 3, a ≠ 0 ;

(2)

b) um dos zeros da função é x = 12 , isto é, f (12) = 0 . Levando este dado em (2), resulta a ⋅ 144 + 3 = 0 ⇒ a =

− 3 −1 . Substituindo o valor de a em (2), a lei da = 144 48

função fica bem determinada, ou seja: f (x) =

−1 2 x +3; 48

(3)

c) como o gol está 8 metros à esquerda da barreira, considera-se x = −8 e a altura que a bola está ao atingir o gol, é dada por f (−8) , então, por (3):

f(-8) =

−1 2 5 ⋅8 + 3 = . 3 48

Como todas as unidades de medida estão em metros, a resposta correta é apresentada no item E,

5 m. 3

Esta questão é de nível de dificuldade médio por ser um problema de aplicação da função quadrática, conteúdo trabalhado tanto em nível de ensino médio, como na Licenciatura de Matemática.

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Referências Bibliográficas: ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v.1. DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2006. FLEMMING, D.; GONÇALVES, M. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

QUESTÃO 12 No plano cartesiano xOy, as equações x2 + y2 + y = 0 e x2 - y - 1 = 0 representam uma circunferência Γ e uma parábola P, respectivamente. Nesse caso, (A)

a reta de equação y = -1 é tangente às curvas Γ e P.

(B)

as curvas Γ e P têm mais de um ponto em comum.

(C) existe uma reta que passa pelo centro de Γ e que não intercepta a parábola P. (D) o raio da circunferência Γ é igual a 1. (E)

a parábola P tem concavidade voltada para baixo.

Gabarito: Alternativa A Autoria: Cármen Regina Jardim de Azambuja Comentário: Esta questão envolve as equações da circunferência e da parábola. A fórmula da distância entre dois pontos é muitas vezes usada para achar a equação de uma curva cuja definição geométrica depende de uma ou mais distâncias.

distância

entre

pontos

(x,y)

(a,b)

dada

por:

d = ( x − a )2 + ( y − b )2 .

A circunferência é o conjunto de todos os pontos do plano que equidistam de um ponto fixo C. O ponto fixo é chamado de centro da circunferência e a distância de qualquer de seus pontos ao centro é o raio dessa circunferência. Se o centro é o ponto (a,b), o raio é o número positivo r e ( x, y ) é um ponto qualquer da circunferência, a definição acima se traduz pela equação

( x − a )2 + ( y − b )2 = r , ou

equivalentemente: ( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 .

(1)

Para colocar a equação dada, x 2 + y 2 + y = 0 , na forma apresentada acima, primeiro, agrupam-se os termos em x e em y , ( x 2 ) + ( y 2 + y ) = 0 e, a seguir, adiciona-se a constante apropriada a cada conjunto de parênteses para completar um quadrado e subtrai-se a mesma constante fora do parêntese para manter a igualdade. A constante apropriada, nesse caso, é

1 , e isto resulta na equação 4

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1 1 x 2 + (y 2 + y + ) − = 0 , 4 4

qual

obtém

1 1 x 2 + (y 2 + y + ) = , 4 4

1 1 1  1  da ( x − 0) + ( y + )2 =   , e, por (1), determina-se o centro C  0, −  e raio 2 2 2  2 2

circunferência, o que elimina a alternativa D. A equação x 2 − y − 1 = 0 pode ser colocada na forma y = x 2 − 1, que define uma função polinomial do segundo grau, cujo gráfico é uma parábola de vértice em (0,−1) e com concavidade voltada para cima, o que elimina a alternativa E.

Para decidir entre as outras três alternativas, qual é a correta, pode-se fazer uma solução algébrica ou geométrica. Algebricamente, determina-se a intersecção das duas curvas, isto é, resolve-se a equação x 2 + y 2 + y = x 2 − y − 1 ou equivalentemente a equação y 2 + 2y + 1 = 0 , cuja solução é y = −1 e, portanto, as curvas possuem um único ponto de intersecção, (0,-1). Como a reta de equação y = −1 é uma reta paralela ao eixo dos x e passa por este ponto, ela tangencia as duas curvas nesse ponto, levando à escolha da alternativa A. Geometricamente, a questão pode ser resolvida com a construção, no mesmo sistema de eixos, dos gráficos da circunferência, da parábola e da reta que representam as equações dadas.

Figura 1: Gráfico das curvas x + y + y = 0, y = -1 e x - y - 1 = 0.

Pela figura 1, observa-se que as curvas são tangentes no ponto (0,-1). A reta de equação y = −1 é paralela ao eixo dos x e passa no ponto de tangência das duas curvas, o que leva à escolha da alternativa A.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

Esta questão é considerada fácil, pois pode ser resolvida tanto graficamente, como algebricamente e utiliza equações da circunferência e da parábola, curvas das mais simples, muito trabalhadas tanto no ensino médio, como na Licenciatura em Matemática. Referências Bibliográficas: ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v.1. DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2006. FLEMMING, D.; GONÇALVES, M. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.

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QUESTÃO 13 Há 10 postos de gasolina em uma cidade. Desses 10, exatamente dois vendem gasolina adulterada. Foram sorteados aleatoriamente dois desses 10 postos para serem fiscalizados. Qual é a probabilidade de que os dois postos infratores sejam sorteados? (A)

1 45

(B)

1 20

(C)

1 10

(D)

1 5

(E)

1 2

Gabarito: Alternativa A Autoria: João Feliz Duarte de Moraes Comentário: Pode-se resolver esta questão de duas formas diferentes: Solução 1: Utilizando a definição de probabilidade de ocorrência de um evento A, tem-se que: P(A) =

n( A ) ; A ⊆ S, n(S )

onde n(A) é o número de elementos do evento A e n(S) representa o número de elementos do espaço amostral S. O espaço amostral, definido como o conjunto dos resultados do experimento aleatório, tem 45 elementos que podem ser obtidos por meio da combinação dos dez postos (n = 10), tomados dois a dois (x = 2), isto é,

10! n! = 45. = x! (n − x )! 2!8!

Sendo o evento A o subconjunto de S formado pelos dois postos infratores, ou seja, n(A) = 1, tem-se, então, que P(A) =

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

1 . Assim, a alternativa correta é A. 45

Solução 2: Supondo que os dois postos foram sorteados sucessivamente e sem

reposição,

pode-se

utilizar

chamado

Teorema

Produto,

P(A ∩ B) = P (A) P(B/A). Sejam A (primeiro sorteado) e B (segundo sorteado) os dois postos que adulteram a gasolina entre os dez da cidade, tem-se, então, que a probabilidade de sortear o posto A é P(A) =

2 , isto é, tem-se duas chances em dez de sortear um 10

posto infrator na primeira tentativa. Sabendo-se que o posto A já foi sorteado, a chance de retirar, na segunda tentativa, o posto B, que também adultera a gasolina, fica P(B/A) =

1 . 9

Então, tem-se P(A ∩ B) = P (A) P(B/A) =

1 2 1 x = , ou seja, a alternativa 10 9 45

correta é A. Esta questão é considerada fácil, pois trata da aplicação direta de conceitos trabalhados no ensino médio. Referências Bibliográficas: JULIANELLI, J. R.; et al. Curso de análise combinatória e probabilidade. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2009. MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.

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QUESTÃO 14 Assinale a opção que contém o sistema de inequações que determina a região triangular PQR desenhada abaixo. y

P O

(A)

y − 2 x < 0  2y − x < 0 y+x >3 

(B)

y − 2 x > 0  2y − x > 0 y+x >3 

(C)

y − 2 x < 0  2y − x < 0 y+x <3 

(D)

y − 2 x > 0  2y − x < 0 y+x >3 

(E)

y − 2 x < 0  2y − x > 0 y+x<3 

Gabarito: Alternativa E Autoria: Cármen Regina Jardim de Azambuja Comentário: Uma inequação linear em x e y determina um subconjunto do plano (região) em que a condição dada é satisfeita somente pelos pontos dessa região e por

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

nenhum outro. Observando a figura dada na questão, vê-se que a região assinalada é a intersecção de três semiplanos determinados por três retas. Considerando a reta que passa por Q e R, de equação y = − x + 3 , a representação gráfica da inequação y + x < 3 é o semiplano assinalado na figura 1.

Figura 1: Representação gráfica da inequação

y + x < 3.

Considerando a reta que passa por P e Q, de equação y = 2 x , a representação gráfica da inequação y − 2 x < 0 é o semiplano assinalado na figura 2.

Figura 2: Representação gráfica da inequação

y − 2x < 0 .

1 x, a 2 representação gráfica da inequação 2y − x > 0 é o semiplano assinalado na figura 3.

Considerando a reta que passa por P e R, de equação y =

Figura 3: Representação gráfica da inequação

2y − x > 0 .

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Assim, fazendo a intersecção destas três regiões, obtém-se a região assinalada no gráfico da figura 4:

Figura 4: Intersecção das três regiões do plano.

y − 2x < 0  que é a representação gráfica da solução do sistema: 2y − x > 0 e, portanto, a y+x<3  alternativa correta é a E. Esta questão pode, também, ser resolvida da seguinte maneira: considerando que um ponto da região assinalada deve satisfazer simultaneamente as três inequações de cada sistema apresentado, tomando-se um ponto pertencente a essa região, por exemplo, o ponto (1,1), e testando-o em cada inequação do sistema, aquele que apresentar todas as desigualdades verdadeiras será a solução da questão. Substituindo (1,1) no sistema apresentado na alternativa A, obtém-se: 1 − 2 < 0 V  2 − 1 < 0 F , o que já elimina esta alternativa. Procedendo de maneira análoga nos outros sistemas, observa-se que, somente no da alternativa E, conforme verificado a seguir:

1 − 2 < 0  2 − 1 > 0 1 + 1 < 3 

V V V,

todas as desigualdades são verdadeiras, sendo, portanto, esta alternativa a correta.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

Esta questão tem grau médio de dificuldade, pois gráficos de desigualdades são pouco explorados no ensino médio e na Licenciatura de Matemática, eles, muitas vezes, são feitos com a utilização de softwares, como apoio à resolução de questões em que o objetivo não é a construção do gráfico, mas o cálculo de áreas, volumes, etc. Referência Bibliográfica: DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2006.

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QUESTÃO 15 Uma professora do ensino fundamental resolveu utilizar, em suas aulas, a construção de um avião de papel para explorar alguns

conceitos

propriedades

geometria

R MS

A P

plana.

B Q

Utilizando uma folha de papel retangular, os estudantes deveriam começar fazendo as dobras na folha ao longo dos

segmentos de reta indicados na figura ao lado. As seguintes condições, segundo instruções da professora, devem ser satisfeitas:    

a reta determinada por M e U é a mediatriz do segmento AB; AC, BD e AB são segmentos congruentes; PT e TQ são segmentos congruentes; PD e BD são segmentos congruentes.

A partir da análise da figura, um estudante afirmou o seguinte: O triângulo PQD é obtusângulo porque o triângulo PQT é equilátero. Com relação ao que foi afirmado pelo estudante, assinale a opção correta. (A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira. (B) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda não é uma justificativa correta da primeira. (C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. (D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. (E)

Ambas as asserções são proposições falsas.

Gabarito: Alternativa C Autoria: Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann Comentário: Para analisar a questão, é necessário o conhecimento de conceitos e propriedades da geometria, tais como: segmentos congruentes, mediatriz de um segmento, retângulo, triângulo obtusângulo e triângulo equilátero. Para melhor entender a resolução desta questão, é importante observar que: (1) Mediatriz de um segmento num plano dado é a reta perpendicular ao segmento, passando pelo seu ponto médio;

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

(2) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o; (3) Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. Logo, por (2), se o ângulo oposto à base mede 90o, tem-se que os ângulos da base medem 45o cada um; (4) Os três ângulos de um triângulo equilátero são congruentes e, portanto, medem 60o cada um. Analisando a figura dada e considerando as instruções da professora, tem-se: (a) O triângulo CAB é isósceles, pois os segmentos AC e AB são congruentes por construção, e o ângulo CAˆ B é reto, porque é um dos ângulos do retângulo, logo, por (3), ACˆ B e ABˆ C medem 45°. De maneira análoga, no triângulo ABD, os ângulos BAˆ D e ADˆ B medem 45º. (b) Considerando o triângulo ATB, sabendo, de (a), que os ângulos ABˆ T e BAˆ T medem 45°, por (2), pode-se afirmar que ATˆB mede 90°. (c) No triângulo PQT, por (b), PTˆQ mede 90º e, portanto, por (4), este triângulo não é equilátero, o que torna falsas as opções A, B e D. Este triângulo é isósceles, pois os segmentos PT e TQ são congruentes por construção, portanto, por raciocínio análogo ao apresentado em (a), os ângulos QPˆ T e PQˆ T medem 45º. Pelo visto em (a), (b) e (c), o triângulo PQD é obtusângulo, pois: QPˆ D mede 45º, QDˆ P é menor do que 45º (pois é menor que BAˆ D ), então PQˆ D é maior do que 90º. Isto mostra que a opção E é falsa e que a opção C é verdadeira. Esta questão é de nível médio de dificuldade, pois, para a sua resolução, é necessário o uso de diferentes conceitos de geometria plana que, muitas vezes, são pouco trabalhados na Educação Básica e vistos pela primeira vez no Curso de Licenciatura em Matemática. Referências Bibliográficas: BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2000, (Coleção do Professor de Matemática). RESENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. Geometria euclidiana plana e construções geométricas. Campinas: UNICAMP, 2000.

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QUESTÃO 16 A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua administração, é dada pela fórmula:

y (t ) =

10t

(t + 1)2

, t ≥ 0.

Em qual intervalo essa função é crescente? (A)

t ≥0

(B)

t > 10

(C)

t >1

(D)

0 ≤ t <1

(E)

1 < t < 10 2

Gabarito: Alternativa D Autoria: Marilene Jacintho Müller e Vera Lúcia Martins Lupinacci Comentário: Para resolver a questão, é necessário o conhecimento do conceito de função crescente, do teorema relativo ao crescimento de uma função e de regras de derivação. Uma função f definida em um intervalo I é crescente em I, quando

f ( x1 ) < f ( x 2 ) para x1 < x 2 , sendo x1 e x 2 pontos desse intervalo I. Para determinar os intervalos onde uma função é crescente ou decrescente, usa-se o seguinte teorema: Seja uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b). (a) Se f ' ( x ) > 0 para todo valor de x em (a, b), então f é crescente em [a,b]. (b) Se f ' ( x ) < 0 para todo valor de x em (a, b), então f é decrescente em [a,b]. Esse teorema é aplicável a qualquer intervalo I no qual f seja contínua e dentro do qual ela seja diferenciável. Para identificar o intervalo onde a função citada na questão é crescente, é necessário obter sua derivada e, para tanto, será usada a regra de derivação de um quociente. Assim,

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

(t + 1) 2 .10 − 20 t .(t + 1) − 10 t + 10 . y (t ) = = (t + 1) 4 (t + 1)3 '

Como a função y(t) está definida para t ≥ 0 , vem que (t + 1)3 > 0 , tem-se que y ' (t ) > 0 , quando − 10t + 10 > 0 , isto é, 0 ≤ t < 1. Então, conclui-se que a alternativa correta é a D, excluindo-se as demais alternativas. Esta questão é de grau médio de dificuldade, por exigir a aplicação da regra de derivação de um quociente e a análise do sinal da função derivada nos valores de t que estão no domínio da função. Referência Bibliográfica: ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v.1

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QUESTÃO 17 No plano complexo, a área do triângulo de vértices 2i, e (A)

iπ

i 3π

1 2

(B)

(C)

2−

(D)

2 2 −2

(E)

1 1  2−  2 2

1 2

Gabarito: Alternativa C Autoria: Vera Lúcia Martins Lupinacci Comentário: Para resolver esta questão, é necessário o conhecimento das diversas formas de apresentar um número complexo, da fórmula para calcular a área de um triângulo e das operações algébricas com números reais. Um número complexo é um número da forma x + yi , com x e y reais e

i = − 1 . Fixado um sistema de coordenadas no plano, este complexo é representado pelo ponto P(x, y), chamado de imagem do complexo z. Como a correspondência entre os números complexos e suas imagens é biunívoca, identificam-se os complexos e suas imagens escrevendo z = ( x, y ) = x + yi . Cada complexo z = x + yi , pode ser representado também pelo vetor OP , sendo O(0,0) e P(x, y). Indicando-se por r = z =

x 2 + y 2 , o comprimento

(módulo) do vetor OP , r ≠ 0 , e por θ o ângulo que o vetor OP forma com o sentido positivo do eixo x.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

z = P(x,y) = x+yi

θ x O Figura 1: Forma polar de um número complexo z.

Usando relações trigonométricas em um triângulo retângulo, obtém-se que cos θ =

y x e senθ = , daí, z = x + yi = r cos θ + (r senθ ) i = r (cos θ + i senθ ) , que é r r

chamada forma trigonométrica do complexo z. Para representar um número complexo na forma exponencial complexa, usase a fórmula de Euler: e iθ = cos θ + i senθ . Pode-se, então, escrever o complexo z = x + yi = r (cos θ + i senθ ) = re iθ . Por último, deve-se lembrar que a área de um triângulo é igual à metade do produto do comprimento de qualquer uma de suas bases pelo comprimento da altura correspondente. Considerando os conceitos apresentados acima, conclui-se que: iπ

i 3π

a) No plano complexo, os vértices 2i, e 4 e e 4 do triângulo identificam-se com os 2 2 2 2 pontos A(0, 2), B( ) e C( ), respectivamente. , , 2 2 2 2 b) Os vértices B e C estão sobre a reta de equação y = medida do lado BC é BC =

2 , paralela ao eixo x. A 2

2  2  = 2. − − 2  2 

2 ) . Portanto, o 2 segmento AD é perpendicular ao lado BC e é a altura do triângulo relativa ao lado 2 BC, medindo 2 − . 2 c) A intersecção do segmento BC com o eixo yy’ é o ponto D(0,

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d) Assim, a área do triângulo de vértices A, B e C será:

BC .AD = 2

2 ) 2 = 2 2 −1 = 2 2 − 1 = 2 − 1. 2 2 2 2 2

2 (2 −

Logo, a alternativa correta é a C. Esta questão é de grau médio de dificuldade, por exigir o conhecimento da fórmula de Euler para números complexos e o domínio das operações com números reais. Referências Bibliográficas: HALLET, D. H.; et al. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1997. v. 2. LIMA, E. L. Áreas e volumes. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1985. LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1998, (Coleção do Professor de Matemática) v.3.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

QUESTÃO 18 No anel dos inteiros módulo 12, R = /12, (A)

não há divisores de zero.

(B)

todo elemento não-nulo é inversível.

há exatamente 4 elementos inversíveis.

Gabarito: Alternativa E Autoria: Neda da Silva Gonçalves, Thaísa Jacintho Müller e Virgínia Maria Rodrigues Comentário: Para resolver esta questão, são necessários os seguintes conceitos: operações em um conjunto e suas propriedades; anéis e subanéis; máximo divisor comum de inteiros, domínios de integridade; o anel dos inteiros módulo n, simbolizado por n ou /n cujos elementos são denotados por 0, 1, 2,...., n − 1. Esses conhecimentos são desenvolvidos com detalhes em Gonçalves (2003), Santos (1998) ou Garcia e Lequain (2002). Ao iniciar o estudo de Estruturas Algébricas, os anéis surgem com naturalidade através dos conjuntos numéricos que são trabalhados desde o ensino fundamental e médio. Um dos primeiros anéis que se apresenta com características “diferentes” daquelas que fazem parte do cotidiano é o dos inteiros módulo n. Tem-se mais de uma maneira de definir esse anel: restos da divisão por um inteiro fixo n, o anel resultante do quociente do anel dos inteiros pelo ideal dos múltiplos de n, o anel quociente dos inteiros por uma relação de equivalência, etc. Conceitos que, apesar de diferentes, levam ao mesmo conjunto. Entre os conhecimentos envolvidos nessa questão, pode-se salientar a propriedade a seguir que é aplicada diretamente na solução: Sejam x e n inteiros onde n ≥ 1. O mdc( x , n) = 1 se e somente se x possui inverso multiplicativo em /n. Como justificativa desta afirmação e usando ideias da bibliografia citada, pode-se observar que: se mdc( x ,n) =1 então, escrevendo-o como combinação

ENADE Comentado 2008: Matemática

linear, existem inteiros r, s tais que x r+n.s = 1. Sabe-se, então, que xr + ns = 1, ou seja, como ns é múltiplo de n, temos xr + 0 = 1 e, portanto, x.r = 1, demonstrando que x é inversível. No entanto, se existe r tal que x.r = 1, tem-se que existe um inteiro k tal que xr = nk + 1, isto é, xr + nq = 1, onde q = -k. Assim, qualquer divisor de x e de n será divisor de 1, o que implica que mdc( x , n) =1. Feitas essas considerações, concluiu-se que a alternativa A é falsa, pois sabe-se que, por exemplo, 2 e 6

são divisores de zero em R. Como existem

inteiros que são divisores de 12, pela propriedade acima, tem-se elementos não inversíveis em R, o que elimina a alternativa B. A alternativa C também não é válida, pois 0 não é inversível e, portanto, não fará parte do conjunto citado, o que significa que este conjunto não é um subanel de R. O anel dos inteiros módulo n é comutativo com unidade, pois suas operações, como são definidas, herdam essas propriedades de , o que torna a alternativa D inválida. No entanto, pela propriedade acima, sabe-se que apenas os inteiros 1, 5, 7 e 11 são inversíveis em R, o que torna correta a alternativa E. A questão pode ser considerada de nível de dificuldade médio, apesar de exigir conhecimento de diversos conceitos, pois os mesmos são amplamente trabalhados nos Cursos de Licenciatura em Matemática. Referências Bibliográficas: GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002. GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2003. SANTOS, J. P. Introdução à teoria dos números. Rio de Janeiro: IMPA, 1998.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

QUESTÃO 19 Considere g:  →  uma função com derivada

dg contínua e f a função definida dt

dg (t ) dt para todo x ∈ . 0 dt Nessas condições, avalie as afirmações que se seguem.

por f ( x ) = ∫

A função f é integrável em todo intervalo [a, b], a, b ∈ , a < b.

A função f é derivável e sua derivada é a função g.

A função diferença f - g é uma função constante.

É correto o que se afirma em (A)

I, apenas.

(B)

II, apenas.

I, II e III.

Gabarito: Alternativa C Autoria: Liara Aparecida dos Santos Leal Comentário: A questão envolve conhecimentos sobre Integral de Riemann e trata, especificamente, de um importante resultado da Matemática: o Teorema Fundamental do

Cálculo

(TFC). A importância deste teorema, provado

independentemente por Newton e Leibniz no século XVII, está na unificação dos dois

conceitos

fundamentais

estudados

Cálculo

Diferencial

Integral,

estabelecendo a relação inversa entre as operações de integração e derivação. O problema inverso da derivação consiste em: Dada uma função f:[a, b] → , procurar uma função F:[a, b] → , que seja derivável em [a, b] e tal que F ′( x ) = f ( x ) , para todo x ∈ [a, b] . Seja f:[a, b] →  uma função integrável. Define-se F:[a, b] →  por: x

F ( x ) = ∫ f (t )dt , para todo x ∈ [a, b] . a

A função F assim definida é sempre contínua no intervalo [a, b], sendo f integrável (limitada), podendo apresentar um número finito de descontinuidades. No entanto, se a função f for contínua, então F será derivável no ponto c ∈ [a, b] e

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F ′(c ) = f (c ) . Neste caso, F é dita uma primitiva de f. O processo de passar de f para

F melhora, ou “amacia” as qualidades da função. Em vista do exposto e após análise das afirmações, tem-se que: Afirmação I: Verdadeira. Justificativa: Sendo a derivada

dg (t ) contínua, por hipótese, ela será limitada no dt

intervalo fechado [0,x], para todo x ∈ [a, b] , pelo Teorema de Weierstrass: Toda função contínua definida em um conjunto compacto (fechado e limitado) é limitada e atinge seus extremos (máximo e mínimo). x

Assim, a função f ( x ) =

∫ dt (t )dt

está bem definida e é sempre continua, em

qualquer intervalo [a,b]. Logo, sendo f contínua, ela é integrável em todo intervalo [a,b]. Afirmação II: Falsa. Justificativa: Embora f seja derivável, pelo TFC tem-se que

df dg (t ) = (t ) e não dt dt

df (t ) = g (t ) , como afirmado. dt Afirmação III: Verdadeira.

Justificativa: Como

dg df dg (t ) . (t ) = (t ) , ambas as funções f e g são primitivas de dt dt dt

Portanto, as funções f e g diferem por uma constante, isto é: df (t ) dg (t ) df (t ) dg (t ) d (f − g )(t ) = ⇒ − =0⇒ = 0 ⇒ f − g = C , com C constante. dt dt dt dt dt

Conclui-se que é correto o que se afirma em I e III, apenas, o que indica que a resposta certa corresponde à alternativa C. O grau de dificuldade da questão é considerado médio, já que envolve conceitos bem conhecidos do Cálculo Diferencial ainda que numa abordagem de Análise Matemática. Referências Bibliográficas: FIGUEIREDO, D. G. Análise I. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada – IMPA; Brasília: Ed. Universidade de Brasília, 1975. LIMA, E. L. Curso de Análise. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada – IMPA, 1987. v.1. SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v.1.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

QUESTÃO 20 Para cada número real x, considere o conjunto Cx formado por todos os números obtidos somando-se a x um número racional, isto é, Cx = {x + r : r ∈ }. Sob essas condições, conclui-se que (A)

o número π pertence ao conjunto C1.

(B)

o conjunto C4 ∩ C5 possui um único elemento.

2 pertence ao conjunto C 3 .

(D) os conjuntos C3 e C1/3 são iguais. (E)

o número zero pertence ao conjunto Cπ ∪ C−π .

Gabarito: Alternativa D Autoria: Liara Aparecida dos Santos Leal Comentário: A compreensão da questão implica no conhecimento da Teoria dos Conjuntos e, principalmente, das propriedades básicas dos números racionais, irracionais e reais. Segundo Ripoll, Ripoll e Silveira (2006), enquanto no Ensino Médio os números naturais, inteiros e racionais são bastante estudados, os irracionais são tratados de forma muito superficial e, muitas vezes, de forma errônea. Na opinião dos autores, “o estudo dos irracionais é essencial e, sob alguns aspectos, até muito mais importante do que o estudo dos racionais” (p. 174). Em breve introdução sobre a Teoria dos Conjuntos, Ávila (2006) apresenta as ideias desenvolvidas por Cantor, por volta de 1872, estabelecendo a superioridade dos números irracionais em relação aos números racionais, pelo menos em termos de “quantidade”. Cantor provou que a infinitude dos números irracionais é muito maior que aquela dos racionais, já que estes admitem uma correspondência biunívoca com os números naturais, enquanto que não é possível definir uma bijeção entre o conjunto dos irracionais e o dos naturais, comprovando que o infinito dos números irracionais é maior do que o dos números racionais. Considerando o conjunto Cx = {x + r : r ∈ }, para cada número real x, pode-se afirmar que:

ENADE Comentado 2008: Matemática

(1) Cx = , para cada número racional x. Com efeito, Cx ⊂ , pois, sendo x racional, os elementos de Cx serão todos racionais, ou seja, (x + r) ∈ , ∀r ∈ ;  ⊂ Cx, pois todo número racional pode ser escrito na forma (x + r), ∀r ∈ . (2) Se x não for racional, os elementos de Cx serão todos irracionais, pois (x + r) ∉ , ∀r ∈ . Em vista disso, pode-se afirmar que: a) a alternativa A é falsa: C1 consiste apenas de elementos racionais, pois C1 é igual a  e π é um número irracional. b) a alternativa B é falsa: o conjunto C4  C5 possui infinitos elementos, pois cada conjunto é igual a . c) a alternativa C é falsa: o número

2 ∉ C 3 , pois

2 ≠ ( 3 + r ) , ∀r ∈ .

d) a alternativa D é verdadeira: os conjuntos C3 e C1/3 são ambos iguais a . e) a alternativa E é falsa: tem-se que 0 = π + ( −π ) e, portanto, o número 0 não pertence a Cπ , nem a C− π . Conclui-se, então, que apenas a alternativa D é verdadeira. Embora o assunto seja objeto de estudo desde o ensino fundamental, considera-se médio o grau de dificuldade desta questão, pois a forma como ela está formulada, a linguagem formal e a compreensão da estrutura dos conjuntos numéricos, exigem um nível de conhecimento mais elaborado. Referências Bibliográficas: ÁVILA, G. S. S. Análise matemática para a licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2006. RIPOLL, J. B.; RIPOLL, C. C.; SILVEIRA, J. F. P. Números racionais, reais e complexos. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 2006.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

QUESTÃO 21 Para que valores de k e m o polinômio P(x) = x3 – 3x2 + kx + m é múltiplo de Q(x) = x2 – 4? (A)

k = -4 e m = 12

(B)

k = -3 e m = -4

k = -2 e m = 2

Gabarito: Alternativa A Autoria: Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues Comentário: Como os polinômios apresentados, P(x) e Q(x), têm coeficientes reais, para resolver esta questão, são necessários os conhecimentos de anel de polinômios sobre um corpo e sistemas lineares. Um trabalho mais aprofundado sobre polinômios pode ser encontrado em Gonçalves (2003) ou Garcia e Lequain (2002). Os sistemas lineares de duas variáveis são trabalhados a partir do Ensino Fundamental. Como P(x) é um polinômio múltiplo de Q(x) = x2 - 4 e Q(x) tem raízes -2 e 2 em , então P(-2) = 0 e P(2) = 0. Assim, ao efetuar a substituição do -2 e do 2 nesse polinômio, chega-se às equações: 2k + m = 4, -2k + m = 20, o que leva, facilmente, ao resultado k = -4 e m = 12. Portanto, a alternativa A é a correta. A questão pode ser considerada fácil, pois envolve um assunto bastante trabalhado desde o ensino fundamental e, também, em diversas disciplinas do curso de Licenciatura em Matemática. Referências Bibliográficas: GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002. GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2003.

ENADE Comentado 2008: Matemática

QUESTÃO 22 Uma transformação linear T: 2 → 2 faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal, conforme mostrado na figura a seguir. y

2 u 2

6 x

T (u ) 2

Essa transformação T (A)

é dada por T(x, y) = (-x, y).

(B)

tem autovetor (0, -1) com autovalor associado igual a 2.

não é inversível.

Gabarito: Alternativa C Autoria: Vera Lúcia Martins Lupinacci Comentário: Para analisar a questão, é necessário o conhecimento dos conceitos de transformação linear, operador linear e suas propriedades, matriz de uma transformação linear e suas propriedades, operador linear inversível e, ainda, autovalores e autovetores de um operador linear. Se T: V → W é uma função de um espaço vetorial V em outro espaço vetorial W, então T é chamada uma transformação linear de V em W se, para quaisquer vetores u e v em V e qualquer escalar c valem: a. T(u + v) = T(u) + T(v), b. T(cv) = cT(v). No caso especial em que V = W, a transformação linear é chamada um operador linear de V. Em particular, considere os operadores lineares no plano

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

2 = {(x, y); x, y ∈ }, ou seja, as transformações lineares T: 2 → 2. Como exemplo, tem-se a reflexão em torno do eixo dos x. Essa transformação linear leva cada ponto (x, y) para a sua imagem (x, -y), simétrica em relação ao eixo dos xx’ e é a transformação linear apresentada nesta questão. A matriz deste operador linear na base canônica é

[T ] = 

1 0 , 0 − 1

pois  x  1 0   x   x  T ( x, y ) = [T ] ⋅   =   ⋅   =   = ( x,− y ) .  y  0 − 1  y  − y  O operador linear T: V → V , que associa a cada v ∈ V um vetor T(v) ∈ V, é dito inversível, se existir outro operador linear S: V→ V , que a cada vetor transformado T(v), associe o vetor de partida v. O operador inverso é indicado por T-1. Um operador linear será inversível, se sua matriz for inversível. Tem-se, também que um vetor não nulo v ∈ V é autovetor do operador linear T: V → V , se existir α ∈  tal que T(v) = α v. O número real α é denominado autovalor de T associado ao autovetor v. Considerando os conceitos apresentados acima e o conhecimento de algumas propriedades que se referem a eles, conclui-se que: a) A alternativa A não é verdadeira. O operador linear T: 2 → 2 apresentado na questão indica que T(4,2) = (4,-2), enquanto que o operador dado na alternativa A, T(x,y) = (-x,y) resultaria em T(4,2) = (-4,2). b) A alternativa E é falsa. A matriz [ T ] é inversível e sua inversa é igual a [ T ], ou seja, o operador linear T é inversível e seu operador inverso é ele mesmo. c) Para identificar dentre as alternativas B, C e D qual é a verdadeira, é necessário obter os autovalores e autovetores de T. De acordo com a definição de autovetor, tem-se: T(x, y) = α(x, y), para (x, y) ≠ (0, 0) , o que implica (x, - y) = (α x, α y). Por comparação, tem-se o sistema x – α x = 0 e -y - α y = 0. Usando a forma matricial para escrever esse sistema, obtém-se 1 − α  0 

0   x  0 . = − 1 − α   y  0

ENADE Comentado 2008: Matemática

Como o sistema é homogêneo, para obter uma solução não nula, é 1 − α necessário que o determinante da matriz dos coeficientes   0

0  seja igual − 1 − α 

a zero, ou seja,

 1 − α det    0

  =0, − 1 − α   0

e, consequentemente, (1 − α )( −1 − α ) = 0 , obtendo-se α = 1 ou α = -1, que são os únicos autovalores de T de multiplicidade 1. Portanto, justifica-se que as alternativas B e D são falsas. d) A alternativa correta é a C, pois o conjunto dos autovetores de T associados ao autovalor 1 é formado pelos vetores que satisfazem a condição (x, -y) = (x, y), ou seja, os vetores da forma (x, 0), para x ≠ 0 . Tem-se que o vetor (2,0) é autovetor associado a autovalor 1. Esta questão pode parecer difícil, por exigir conhecimento de diversos conceitos e propriedades dos operadores lineares, principalmente os conceitos de autovalores e autovetores e resolução de sistemas homogêneos. No entanto, observa-se que, se o candidato souber calcular autovalores e autovetores de um operador linear no plano, imediatamente escolhe a alternativa correta, sem a análise das alternativas A e E, que apresentam outros conceitos referentes às transformações lineares. Além disso, com o entendimento da reflexão de vetores e do conceito de autovalores e autovetores, por eliminação, é possível chegar à alternativa correta. Referências Bibliográficas: ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. WINTERLE, P.; STEINBRUCH, A. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

QUESTÃO 23 Considere o sistema de equações a seguir.

 x + y +z =1  2 x + 2y + 2z = 4 . 3 x + 3 y + 4z = 5  Analise as asserções seguintes relativas à resolução desse sistema de equações lineares.

O sistema não tem solução porque o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero.

A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta. (A)

As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira.

(B)

As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. (D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. (E)

Ambas as asserções são proposições falsas.

Gabarito: Alternativa B Autoria: Francisco Alberto Rheingantz Silveira Comentário: Para analisar a questão, é necessário o conhecimento de matrizes e técnicas para resolver sistemas de equações lineares.

x + y + z = 1  Para resolver o sistema proposto 2 x + 2y + 2z = 4 , usa-se a Regra de Cramer. 3 x + 3 y + 4z = 5  A solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas A X = B, em que A representa a matriz dos coeficientes, B a matriz dos termos independentes e X a matriz das variáveis (incógnitas) é dada pela fórmula

ENADE Comentado 2008: Matemática

xi =

∆X i , sendo ∆ = det(A) (determinante da matriz A) e ∆X i é o determinante da ∆

matriz Xi obtida pela substituição da i-ésima coluna de A pelos valores do vetorcoluna B. Sabe-se que: a. Se ∆ ≠ 0 , o sistema é possível e determinado. b. Se ∆ = 0 e ∆X i = 0 para todo i = 1, ... , n, o sistema é possível e indeterminado. c. Se ∆ = 0 e ∆X i ≠ 0 para algum i, i = 1, ... , n, o sistema é impossível.

Desta forma:

 1 1 1 A matriz A = 2 2 2 tem ∆ = det (A) = 0. 3 3 4  1 1 1 A matriz X 1 = 4 2 2 tem ∆X 1 = −4 ≠ 0 . 5 3 4 De acordo com o item 3, o sistema não tem solução e a resposta correta é a da alternativa B: as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. Esta questão é considerada fácil, pois sua elaboração envolve conceitos trabalhados desde a Educação Básica. Referências Bibliográficas: ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. CARAKUSHANSKY, M. S.; LAPENHA, G. Introdução à álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1976.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

QUESTÃO 24 Considere que Q1 = {r1, r2, r3, ...} seja uma enumeração de todos os números racionais pertencentes ao intervalo [0, 1] e que, para cada número inteiro i ≥ 1, Ii 1 1   denote o intervalo aberto  ri − i + 2 , ri + i + 2  , cujo comprimento é li. Qual é a soma 2 2   ∞

da série

∑l i =1

(A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

(E)

5 4

Gabarito: Alternativa B Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos Comentário: Apesar de, no enunciado inicial da questão, ser sugerido um conhecimento sobre conjuntos enumeráveis e a densidade do conjunto dos racionais em , para resolvê-la, bastam os conceitos relativos a comprimento de um intervalo e a série geométrica. Ao usar-se a linguagem geométrica, um intervalo [a,b] pode ser interpretado como o segmento de reta cujos extremos são os pontos a e b. Portanto, o comprimento do intervalo [a,b] é o comprimento do segmento ab, b – a. Igualmente, o comprimento do intervalo (a, b) é b – a, uma vez que, ao serem retiradas as duas extremidades do intervalo, está-se subtraindo um conjunto de dimensão zero.

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∞

∑ ar

A série geométrica

n −1

= a + ar + ar 2 + . . . é convergente se |r| < 1 e sua

n =1

∞

soma é

∑ ar

n −1

n =1

a . 1− r ∞

É solicitado que se calcule a soma

∑l i =1

(ri −

, sendo li o comprimento do intervalo

1 1 , ri + i + 2 ) . Considerando-se os conceitos apresentados acima, chega-se a i +2 2 2

l i = (ri +

1 1 1 1 1 1 2 1 ) − (ri − i + 2 ) = ri + i + 2 − ri + i + 2 = i + 2 + i + 2 = i + 2 = i +1 i +2 2 2 2 2 2 2 2 2

de forma que: ∞

∞

∑l = ∑ 2 i

i =1

i +1

1 1 1 1 1 1 1 1 + 3 + 4 + ... = 2 + 2 . + 2 . 2 + ... = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1  1 1  1 = 2 + 2 .  + 2 .  + . . . 2 2 2 2 2 1 1 1 e primeiro termo a = 2 = . Como a razão 2 2 4

é uma série geométrica de razão r =

tem módulo menor do que um, sua soma pode ser calculada por: ∞

∞

∑l = ∑ 2 i =1

i =1

i +1

1 4

1−

1 2

1 1 = . 4−2 2

A soma ainda pode ser obtida de forma muito rápida, se, uma vez sabendo-se que a série é convergente, o fator 1/4 for posto em evidência, resultando em: ∞

∞

∑l = ∑ 2 i =1

i =1

i +1

1 1 1 1 1 1 1 1 + 3 + 4 + . . . = (1 + + 2 + . . .) = .2 = , 2 2 2 2 4 4 2 2 2

em que a soma dos infinitos termos de 1 +

1 1 + + . . . é de fácil obtenção, podendo2 22

se, para isso, utilizar uma interpretação geométrica, sendo que cada parcela adicionada é metade do que falta para o total chegar a dois. Considera-se importante, na resolução de problemas, a habilidade de visualizar um caminho mais simples de chegar à solução. Entretanto, a definição do conjunto Q1 como uma enumeração dos racionais do intervalo [0, 1], confunde o resolutor, remetendo-o a assuntos que não serão necessários para a escolha da alternativa correta. 46

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

Assim, conclui-se que a alternativa B está correta e que: a) a alternativa A está errada, mas este valor seria obtido se o valor da razão fosse considerado, indevidamente, igual a 1/4; b) a alternativa C está errada, mas este valor seria obtido se, erroneamente, fossem trocados os valores da razão e do primeiro termo; c) as alternativas D e E estão erradas, mas poderiam ter sido escolhidas, pelo denominador da soma ser 4, que é divisor dos denominadores de todos os termos da série; d) a alternativa B está correta. Entende-se que esta questão é razoavelmente fácil, por exigir, basicamente, o conhecimento de dois conceitos: comprimento de um intervalo e soma da série geométrica. Referências Bibliográficas: LIMA, E. L. Curso de análise. 4.ed. Rio de Janeiro: IMPA,1982. STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.

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QUESTÃO 25 O projeto de construção de uma peça de artesanato foi realizado utilizando-se um software geométrico que permite interceptar um tetraedro regular com planos. A figura a seguir mostra o tetraedro RSTU e três pontos M, N e P do plano α de interseção. R

M U N S

Sabendo que M, N e P são pontos médios de SR, SU e ST, respectivamente, e que o tetraedro RSTU tem volume igual a 1, avalie as seguintes afirmações. I

O volume da pirâmide SMNP é igual 1/2.

A interseção do plano α com o tetraedro é um paralelogramo.

III

As retas que contêm as arestas MP e RU são reversas.

É correto o que se afirma em (A)

I, apenas.

(B)

III, apenas.

I, II e III.

Gabarito: Alternativa B Autores: Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann Comentário: Para analisar esta questão, necessita-se de conceitos básicos de geometria, tais como retas perpendiculares e reversas, triângulo, paralelogramo, pirâmide, tetraedro regular, volume e aresta, bem como as propriedades que os envolvem. Estes conceitos e propriedades são encontrados em livros da Educação Básica ou de Geometria, dentre os quais podem ser citados: Hemmerling (1971), Jurgensen, Donnely e Dolciani (1985) e Moise e Downs Jr. (1966).

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Um polígono é dito regular, se todos os seus lados e todos os seus ângulos são congruentes. Uma pirâmide é um poliedro com uma face, chamada base, que é um polígono e as outras faces são triângulos que se encontram em um ponto comum, chamado vértice da pirâmide. A altura da pirâmide é o comprimento da perpendicular baixada do vértice ao plano que contém a base. Uma pirâmide é dita regular, se tem como base um polígono regular e a altura desde o vértice é perpendicular à base em seu centro. Uma pirâmide cuja base também é um triângulo, como mostra a figura acima, chama-se tetraedro. O volume de uma pirâmide é igual a um terço do produto de sua altura h pela área da base Ab , isto é V=

hAb (1). A altura de um tetraedro regular é igual a 3

do comprimento da aresta a , isto é h = (base do tetraedro) é igual a

6 multiplicada por um terço

6a (2). A área de um triângulo equilátero 3

3 multiplicada por um quarto do quadrado do

comprimento da aresta a , isto é A =

3a 2 (3). Desta forma, sendo a a medida da 4

aresta de um tetraedro regular, por (1), (2) e (3) seu volume será igual a V =

2 3 a . 12

Duas pirâmides regulares são ditas semelhantes, se suas bases são polígonos semelhantes e se suas alturas estão na mesma razão que as arestas correspondentes das bases. Dois polígonos são semelhantes, se seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados correspondentes são proporcionais. Quando duas retas no espaço não estão contidas no mesmo plano (o que necessariamente implica em que elas não têm ponto comum), elas são chamadas de retas reversas. Considerando os conceitos apresentados acima, conclui-se que: a) As pirâmides RSTU e SMNP são semelhantes, pois os triângulos da base, SNP e SUT, são semelhantes (

SN SP 1 = = e NSˆ P = USˆ T ), pelo teorema: SU ST 2

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Seja dada uma correspondência entre dois triângulos. Se dois pares de lados correspondentes são proporcionais e os ângulos compreendidos são congruentes, então estes triângulos são semelhantes. E suas alturas estão na mesma razão do que as arestas das bases

    6a    3 = 1.  a 2   6 2     3 Sendo o volume da pirâmide RSTU igual a 1, e as arestas da pirâmide SMNP medindo a metade das arestas da pirâmide RSTU, então, pelo teorema: Os volumes de duas pirâmides regulares semelhantes estão na mesma razão que os cubos das arestas de suas bases ou de suas alturas, o volume do tetraedro SMNP é 1/8, ou seja, a afirmação I é falsa. Este resultado, também, poderia ser obtido utilizando a fórmula do volume de um tetraedro regular, apresentada acima. Como o volume do tetraedro RSTU é igual a 1, tem-se que: 2 3 a = 1 ⇒ a3 = 6 2 ⇒ a = 2 12

e, como a aresta a1 de SMNP é a metade de a, ou seja, a1 = 3

2 3 2  2 3 3  volume de SMNP será igual a a1 = = 12 12  2 

, tem-se que o

( 2) ( 3) 4

12(2)

1 4x3 = , 12 x 8 8

mostrando, também, que a afirmação I é falsa. b) A intersecção do plano α com o tetraedro RSTU é o triângulo MNP e não um paralelogramo, portanto a afirmação II é falsa. Para demonstrar isto, usa-se o seguinte teorema: Toda seção transversal de uma pirâmide triangular, entre a base e o vértice, é uma região triangular semelhante à base, sendo que uma seção transversal de uma pirâmide é a intersecção desta pirâmide com um plano paralelo ao plano que contém a sua base. Resta mostrar que o plano α é

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paralelo ao plano β, que contém os pontos R, U e T. Para tanto, consideram-se os seguintes teoremas, que garantem o paralelismo destes dois planos: O segmento entre os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem a metade de seu comprimento, resultando que NP e NM são paralelos a UT e UR, respectivamente; Um plano α e uma reta r não contida em α são paralelos se, e somente se, existe uma reta s paralela a r e contida em α, resultando que as retas que contém NP e NM são paralelas ao plano β; Se um plano α é paralelo a duas retas concorrentes contidas em um plano β, então α e β são planos paralelos, resultando que os planos α e β são paralelos. c) Como foi mostrado acima, o plano α é paralelo ao plano β. As retas que contém as arestas MP e RU estão contidas nos planos α e β, respectivamente. Portanto, as retas que contém as arestas MP e RU são reversas, sendo a afirmação III verdadeira. Com base no exposto acima, a alternativa correta é a B, pois, apenas a afirmação III é verdadeira. Esta questão pode ser considerada de nível de dificuldade médio, pois envolve diversos conceitos e teoremas de geometria plana e espacial e, para justificar a veracidade das afirmações, é necessário relacioná-los. Referências Bibliográficas: CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. Rio de Janeiro: Ao livro técnico, 1982. HEMMERLING, E. M. Geometria elemental. Buenos Aires: Ed. Limusa Wiley, 1971. JURGENSEN, R. C.; DONNELY, A. J.; DOLCIANI, M. P. Geometria moderna: estructura y método. México: Publicaciones Cultural, 1985. MOISE, E. E.; DOWNS Jr., F. L. Geometría moderna. Reading: Addison – Wesley, 1966.

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QUESTÃO 26 Analisando a função f(x, y) = x2(x - 1) + y(2x - y), definida no domínio D = {(x, y) ∈ 2; -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1}, um estudante de cálculo diferencial escreveu o seguinte:

A função f tem um ponto de mínimo global em D porque o ponto (0, 0) é um ponto crítico de f.

A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta. (A)

As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.

(B)

As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. (D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. (E)

Ambas as asserções são proposições falsas.

Gabarito: Alternativa B Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos Comentário: A resolução da questão implica no conhecimento de derivadas parciais e sua aplicação na determinação de extremos de uma função. Além disso, é necessário ter noções de topologia e do Teorema de Weierstrass para funções de duas variáveis. Os conceitos de topologia envolvidos na questão incluem as definições de conjunto fechado, aquele que inclui todos os seus pontos de fronteira, e de conjunto limitado, aquele que está contido em algum disco. Um disco de centro em (a,b) e raio r > 0 é o conjunto dos pontos (x,y) de 2, cuja distância até (a,b) é menor do que r. O conjunto D, da questão, é fechado, pois contém sua fronteira, constituída pelos segmentos [x = -1 , -1 < y < 1], [x = 1 , -1 < y < 1], [y = -1 , -1 < x < 1] e [y = 1 , -1 < x < 1]. Também podemos afirmar que D é limitado, pois está contido no disco de centro na origem e raio 2, por exemplo.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

Uma função real f de duas variáveis atinge um mínimo local, em um ponto (a,b) de seu domínio, se f(a,b) < f(x,y) para todo ponto (x,y) do domínio de f que estiver em um disco de centro em (a,b). Por outro lado, se a desigualdade vale para todos os pontos (x,y) do domínio de f, a função atinge o mínimo global (ou absoluto) em (a,b). Um ponto (x0,y0) é um ponto crítico de f se fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0, ou se uma das derivadas parciais não estiver definida em (x0,y0). A função f(x,y) da questão é polinomial, portanto é contínua e tem derivadas parciais contínuas, sendo fx(x,y) = 2x(x – 1) + x2 + 2y = 2x2 – 2x + x2 + 2y = 3x2 – 2x + 2y e fy(x,y) = (2x – y) – y = 2x – 2y. Como fx(0,0) = 0 e fy(0,0) = 0, tem-se que (0,0) é um ponto crítico de f, o que mostra que a segunda asserção é verdadeira. Porém, uma vez que não é válida a recíproca do teorema: Se uma função f tem um máximo ou mínimo local em (a,b) e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesse ponto, então fx(a,b) = 0 e fy(a,b) = 0 essa asserção não justifica a primeira. Por outro lado, um subconjunto K de n (em particular de 2) é compacto, quando

ele

limitado

fechado.

Como

já

foi

constatado

que

D = {(x, y) ∈ 2; -1 < x < 1, -1 < y < 1} é fechado e limitado, então ele é compacto. Juntando-se a isso o fato de f ser contínua, tem-se as hipóteses do teorema de Weierstrass: Toda função real contínua f: K → , definida, num compacto K ⊂ n, atinge seu máximo e seu mínimo em K, isto é, existem pontos x0, x1 ∈ K tais que f(x0) < f(x) < f(x1) para qualquer x ∈ K que garante que f atinge o mínimo (e o máximo) global em D. Isso mostra que a primeira asserção é verdadeira. Considerando os conceitos e resultados apresentados acima, e a afirmação: a função f tem um ponto de mínimo global em D, porque o ponto (0, 0) é um ponto crítico de f, conclui-se que: ENADE Comentado 2008: Matemática

a) a alternativa A está errada, pois, embora sejam verdadeiras as duas asserções, o que justifica a primeira é o teorema de Weierstrass e não a segunda asserção; b) a alternativa C está errada porque a segunda asserção é verdadeira; c) a alternativa D está errada, porque a primeira asserção é verdadeira; d) a alternativa E está errada porque as asserções são ambas verdadeiras; e) a alternativa B está correta. Entende-se que esta questão é de nível de dificuldade médio, pois envolve dois tipos de habilidades, a aplicação de conceitos e a relação entre eles. Além de conhecer as definições de mínimo global e ponto crítico, o resolvente precisa reconhecer propriedades, tanto na função quanto no conjunto apresentados, para, apropriado dos resultados a respeito do assunto, decidir qual deles – neste caso, o teorema de Weierstrass – se aplica à situação apresentada. Porém, o trabalho com otimização é muito enfatizado nas disciplinas de Cálculo, o que torna o aluno familiarizado com o tema. Referências Bibliográficas: LIMA, E. L. Curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, 1981. STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

QUESTÃO 27 Qual é o resto da divisão de 2334 por 23? (A)

(B)

Gabarito: Alternativa D Autoria: Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues Comentário: Para analisar a questão, são necessários os seguintes conceitos: congruência módulo n, anel dos inteiros módulo n e o Pequeno Teorema de Fermat. Considerando as operações em /n, será usada na resolução da questão, a seguinte propriedade: Sejam a e b dois números inteiros tais que a ≡ b (mod n) e k um número natural não nulo. Então ak ≡ bk (mod n). A prova dessa propriedade é feita a seguir, usando indução matemática e também a propriedade: a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n) ⇒ ac ≡ bd (mod n), ∀ a, b, c, d ∈ .

Observa-se que se k = 1 a afirmação é óbvia. Supõe-se, então, que a afirmação seja válida para algum inteiro q ≥ 1, isto é: se a ≡ b (mod n) então aq ≡ bq (mod n). Assim decorrendo, se a ≡ b (mod n), obtémse aq ≡ bq (mod n) e, consequentemente, aqa ≡ bq b (mod n). Portanto, aq+1 ≡ bq+1 (mod n), demonstrando a validade do resultado. Usa-se, também, o Pequeno Teorema de Fermat: Seja p um número primo. Então x p −1 ≡ 1(mod p ), ∀ x ∈  – (p) ou, equivalentemente, x p −1 ≡ 1, ∀ x ∈ p - { 0 }. Pode-se encontrar uma prova detalhada deste teorema em Garcia e Lequain (2002, p. 101 e 134) ou Santos (1998, p. 41). Observe que 334 = 15. 22 + 4.

ENADE Comentado 2008: Matemática

Procura-se o resto da divisão por 23, que é um número primo. Assim, como 2 ≠ 0 em 23, pelo Pequeno Teorema de Fermat, obtém-se que 222 ≡ 1(mod 23).

Aplicando a propriedade acima tem-se (222)15 ≡ 115(mod 23), isto é, 2330 ≡ 1(mod 23). Pode-se, então, concluir que 2330.24 ≡ 1.24(mod 23) e, portanto, 2334 ≡ 16(mod 23). Então, o resto solicitado será 16 e a alternativa correta é a D. Esta questão apresenta um grau de dificuldade médio, já que pode ser resolvida por tentativas uma vez que se pode chegar ao número 22 sem usar o teorema. No entanto, se esse número fosse maior, a solução por tentativa apresentaria uma dificuldade bem maior. Referências Bibliográficas: GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002. SANTOS, J. P. Introdução à teoria dos números. Rio de Janeiro: IMPA, 1998.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

QUESTÃO 28 – DISCURSIVA Os gráficos abaixo mostram informações a respeito da área plantada e da produtividade das lavouras brasileiras de soja com relação às safras de 2000 a 2007.

Com base nessas informações, resolva o que se pede nos itens a seguir e transcreva suas respostas para o Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados. a) Considerando I = área plantada (em milhões de ha), II = produtividade (em kg/ha) e III = produção total de soja (em milhões de toneladas), preencha a tabela abaixo. ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

III

b) Faça o esboço do “gráfico de linhas” que representa a quantidade de quilogramas de soja produzidos no Brasil, em milhões de toneladas, no período de 2000 a 2007. Nomeie as variáveis nos eixos de coordenadas e dê um título adequado para seu gráfico.

Autoria: Augusto Vieira Cardona Comentário: a) Analisando a figura acima, os valores da coluna I e II são retirados, respectivamente, dos gráficos localizados à esquerda e à direita. Os valores da coluna III são obtidos,

ENADE Comentado 2008: Matemática

multiplicando-se os valores das colunas I e II, para cada ano, resultando a produção total de soja (em milhões de kg), e dividindo este resultado por mil. Tabela 1: A área plantada, produtividade e produção total de soja. ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

I 13,6 14 16,4 18,5 21,5 23 22 21

II 2.400 2.700 2.500 2.800 2.300 2.200 2.500 2.800

III 32.640 37.800 41.000 51.800 494.50 50.600 55.000 58.800

b) O gráfico ilustrado na figura 1 apresenta alguns valores da tabela acima, sendo que no eixo das abscissas tem-se os anos, e no eixo das ordenadas são colocados os valores da coluna III para o ano respectivo.

Figura 1: Produção anual de soja no Brasil.

Esta questão é fácil, já que pode ser resolvida a partir da leitura de gráficos e de operações elementares. Referência Bibliográfica: IMENES, L. M.; LELLIS, M. Matemática: 6ª Série. São Paulo: Ed. Scipione, 1997.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

QUESTÃO 29 – DISCURSIVA Considere a seqüência numérica definida por a1 = a

a n +1 = a + a n , para n = 1, 2, 3, ... Usando o princípio de indução finita, mostre que a n < a para todo n ≥ 1 e a ≥ 2. Para isso, resolva o que se pede nos itens a seguir e transcreva suas respostas para o Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados. a) Escreva a hipótese e a tese da propriedade a ser demonstrada. b) Prove que a(a - 1) > 0 para a ≥ 2. c) Mostre que

a < a para todo a ≥ 2.

d) Supondo que a n < a , prove que a n +1 < 2a . e) Mostre que a n +1 < a . f) A partir dos passos anteriores, conclua a prova por indução. Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos Comentário: Os principais conceitos envolvidos na resolução desta questão são relativos à definição de sequências por recorrência, ou sequências recorrentes, e à indução finita. A questão também avalia a habilidade de utilizar corretamente a escrita formal em Matemática, bem como a organização lógica do aluno, ao solicitar que se destaque hipótese, tese e etapas de demonstração da propriedade citada no enunciado. Uma sequência é recorrente, quando seu termo geral é definido por uma função de um ou mais de seus termos precedentes. O princípio da indução finita é um dos axiomas que caracterizam os números naturais, conhecidos como Axiomas de Peano e, segundo ele, se um conjunto de números naturais contém o número 1 e contém também o sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto contém todos os números naturais. O sucessor de um número natural n é o número natural n + 1. O princípio da indução serve de base para um método de demonstração de teoremas sobre números naturais, conhecido

ENADE Comentado 2008: Matemática

como método de indução (ou recorrência), o qual funciona assim: “se uma propriedade P é válida para o número 1 e se, supondo P válida para o número n, daí resultar que P é válida também para seu sucessor s(n), então P é válida para todos os números naturais”. (LIMA, 1993, p.2)

A propriedade a ser demonstrada pode ser expressa como: se a sequência ( a n ) é definida por a1 = a e a n +1 = a + a n , para n = 1, 2, 3, ... e a > 2, então a n < a , para n = 1, 2, 3, ... . Assim, atendendo o item a), identifica-se “a sequência ( a n ) é definida por a1 = a e a n +1 = a + a n , para n = 1, 2, 3, ... e a > 2” como hipótese e “ a n < a , para n = 1, 2, 3, ...” como tese. Para resolver o item b), usa-se a propriedade da “monotonicidade da adição” para a relação de ordem em , somando-se -1 a cada membro em: a ≥ 2 ⇒ a − 1 ≥ 2 − 1 = 1 , concluindo que tanto a quanto a − 1 são positivos. Das

propriedades da multiplicação de números reais que resultam nas “regras de sinais”, obtém-se que a(a − 1) também é positivo, ou seja, a(a − 1) > 0 . O item c) decorre, a partir do resultado anterior, das seguintes implicações: (1)

(2)

(3)

a(a − 1) > 0 ⇒ a 2 − a > 0 ⇒ a 2 > a ⇒ a > a ⇔ a < a ,

que são justificadas: (1) Distributividade da multiplicação em relação à adição nos reais. (2) Monotonicidade da adição para a relação de ordem nos reais (somando-se a a cada membro). (3) A função raiz quadrada é crescente no conjunto dos números reais positivos. Supondo a n < a , de (3) e do item c), resulta

a n < a < a . Então, por (2),

a + a n < a + a = 2a. Daí, a n +1 = a + a n < 2a , o que prova o item d). Para provar o item e), basta observar que, por hipótese, a ≥ 2 , o que implica em a − 2 ≥ 0 . Como a > 0 , temos a(a − 2) ≥ 0 ⇒ a 2 − 2a ≥ 0 ⇒ a 2 ≥ 2a ⇒ 2a ≤ a 2 ⇒ 2a ≤ a .

Assim, a n +1 < 2a ≤ a , pelo item d). Por fim, conclui-se o item f) a partir dos passos da prova por indução:

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

I. A propriedade é válida para o número 1, pelo item c). II. Supondo que a propriedade é válida para um número n, então ela é válida para o número s(n) = n + 1, pelos itens d) e e). Logo, a propriedade vale para n = 1, 2, 3, ... . A questão poderia ser considerada difícil, caso a solução não estivesse fracionada em etapas que conduzem à prova solicitada. Em vista disso, entende-se que o seu grau de dificuldade é médio. Apesar de apresentar uma sequência recorrente no enunciado inicial, os conhecimentos mais enfatizados para obter a solução são relativos a propriedades da relação de ordem e das operações nos números reais. Referências Bibliográficas: ÁVILA, G. S. S. Análise matemática para a licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006. LIMA, E. L. Análise real. 2. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1993.

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COMPONENTE ESPECÍFICO LICENCIATURA

QUESTÃO 30 As potencialidades pedagógicas da história no ensino de Matemática têm sido bastante discutidas. Entre as justificativas para o uso da história no ensino de Matemática, inclui-se o fato de ela suscitar oportunidades para a investigação. Considerando essa justificativa, um professor propôs uma atividade a partir da informação histórica de que o famoso matemático Pierre Fermat [1601-1665], que se interessava por números primos, percebeu algumas relações entre números primos ímpares e quadrados perfeitos. Para que os alunos também descobrissem essa relação, pediu que eles completassem a tabela a seguir, verificando quais números primos ímpares podem ser escritos como soma de dois quadrados perfeitos. Além disso, solicitou que observassem alguma propriedade comum a esses números. 3 não

5 1+4 sim

não

13 4+9 sim

17 1+16 sim

A partir da atividade de investigação proposta pelo professor, analise as afirmações seguintes. I

Todo número primo da forma 4n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos.

Todo número primo da forma 4n + 3 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos.

III

Todo número primo da forma 2n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos.

Está correto o que se afirma em (A)

I, apenas.

(B)

II, apenas.

I, II e III.

Gabarito: Alternativa A Autoria: Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues

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Comentário: Para analisar a questão, é necessário o conceito de número primo. A partir da tabela, pode-se concluir que a alternativa correta é a A, até porque alguns exemplos mostram a falsidade das demais. Entretanto, pode-se questionar a expressão “todo” usada nas afirmações, pois para isso, certamente não basta uma tabela com um número finito de exemplos. Veja Garcia e Lequain (2002, p. 4 e 102). Esta questão é fácil, pois o conceito de número primo é trabalhado desde o ensino fundamental e a tabela dá o encaminhamento para a solução da questão. Referências Bibliográficas: GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002.

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QUESTÃO 31 Na discussão relativa a funções exponenciais, um professor propôs a seguinte questão: Para que valores não-nulos de k e m a função f(x) = mekx é uma função crescente? Como estratégia de trabalho para que os alunos respondam à questão proposta, é adequado e suficiente o professor sugerir que os alunos (A)

considerem m = 1 e k = 1, utilizem uma planilha eletrônica para calcular valores da função f em muitos pontos e comparem os valores obtidos.

(B)

considerem m = 1 e k = 1, m = -1 e k = 1, esbocem os gráficos da função f e, em seguida, comparem esses dois gráficos.

(C) formem pequenos grupos, sendo que cada grupo deve esboçar o gráfico de uma das funções y = mex, para m = 1, 2, 3, 4 ou 5, e comparem, em seguida, os gráficos encontrados. (D) esbocem os gráficos das funções y = ex e y = e-x e analisem o que acontece com esses gráficos quando a variável e a função forem multiplicadas por constantes positivas ou negativas. (E)

construam uma tabela com os valores de f para x número inteiro variando de -5 a 5, fixando m = 1 e k = 1 e, em seguida, comparem os valores encontrados.

Gabarito: Alternativa D Autoria: Marilene Jacintho Müller e Vera Lúcia Martins Lupinacci Comentário: Para analisar a questão, é necessário o conhecimento do conceito de função crescente e de função decrescente, do gráfico das funções f ( x ) = e x e f ( x ) = e − x e ter habilidade na construção de gráficos de outras funções a partir destas. Uma função f definida em um intervalo I é crescente em I, quando

f ( x1 ) < f ( x 2 ) para x 1 < x 2 , sendo x1 e x 2 pontos desse intervalo I e uma função f definida em um intervalo I é decrescente em I, quando f ( x 1 ) > f ( x 2 ) para x 1 < x 2 , sendo x1 e x 2 pontos desse intervalo I. A análise da questão será feita com base nos seguintes gráficos:

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Função exponencial de base e

Função exponencial de base 1/e

Figura 1: Função exponencial.

Considerando os conceitos e os dois gráficos apresentados na figura 1, conclui-se que: a) A alternativa A não é suficiente para analisar todas as funções obtidas pela expressão f ( x ) = me kx , pois apenas indica que a função f ( x ) = e x é crescente (gráfico acima à esquerda) e não faz referência à análise do comportamento das funções geradas com outros valores de m e k, não nulos; b) A alternativa B sugere as possibilidades f ( x ) = e x e f ( x ) = −e x . Como a função f ( x ) = −e x representa uma reflexão do gráfico de f ( x ) = e x (função crescente) em torno do eixo das abscissas, tem-se que f ( x ) = −e x é decrescente. Assim, a alternativa B não é suficiente para responder a questão, pois se restringe apenas às possibilidades apresentadas; c) Na alternativa C, são consideradas algumas possibilidades para m ≥ 1 , com k = 1, o que gera um conjunto de funções do tipo f ( x ) = me x , cujos gráficos são obtidos por meio de um alongamento vertical do gráfico de f ( x ) = e x , por um fator m > 1, o que leva a concluir que as funções do tipo f ( x ) = me x são crescentes. Assim, a alternativa C não é suficiente para responder à questão, pois não são considerados todos os valores possíveis de m e k, não nulos, que formam uma função do tipo f ( x ) = me kx crescente; d) A alternativa E sugere a construção de uma tabela para a função f ( x ) = e x , considerando valores inteiros para a variável x, sem o uso de uma planilha eletrônica, o que inviabiliza a comparação dos valores das imagens. 66

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

Assim, a partir do exposto acima, conclui-se que a alternativa correta é a D. Para justificar essa escolha, consideram-se os seguintes casos: a) Sendo k > 0, temos que f ( x ) = e kx é crescente, porque representa um alongamento horizontal do gráfico da função crescente f ( x ) = e x por um fator 1/k, quando k < 1, e representa uma compressão horizontal do gráfico de f ( x ) = e x por um fator k > 1. b) Para k > 0, se m > 0, temos que f ( x ) = me kx é crescente, porque representa um alongamento vertical do gráfico da função crescente f ( x ) = e kx por um fator m > 1, e representa uma compressão vertical do gráfico de f ( x ) = e x por um fator 1/m, quando m < 1. Se m < 0, então temos uma reflexão do gráfico da função crescente f ( x ) = e kx em torno do eixo das abscissas, obtendo-se uma função decrescente. c) Sendo k > 0, temos que f ( x ) = e − kx é decrescente, porque representa um alongamento horizontal do gráfico da função decrescente f ( x ) = e − x por um fator 1/k, quando k < 1, e representa uma compressão horizontal do gráfico de f ( x ) = e − x por um fator k > 1. d) Para k > 0, se m > 0, temos que f ( x ) = me − kx é decrescente, porque representa um alongamento vertical do gráfico da função decrescente f ( x ) = e − kx por um fator m > 1, e representa uma compressão vertical do gráfico de f ( x ) = e − kx por um fator 1/m, quando m < 1. Se m < 0, então temos uma reflexão do gráfico da função decrescente f ( x ) = e − kx em torno do eixo das abscissas, obtendo-se uma função crescente. Pela análise feita anteriormente, conclui-se que f ( x ) = me kx é crescente, quando k e m são reais positivos ou quando k e m são reais negativos. Entende-se que esta questão é fácil, pois exige o conhecimento do gráfico de funções exponenciais de base a > 1 ou 0 < a < 1 e a habilidade na construção de gráficos de outras funções a partir destas, por meio de alongamentos ou compressões verticais ou horizontais e também reflexões, conceitos trabalhados desde o ensino médio e na Licenciatura de Matemática. Referência Bibliográfica: ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v.1

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QUESTÃO 32 A Matemática no ensino médio tem papel formativo — contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e para a aquisição de atitudes — e caráter instrumental — pode ser aplicada às diversas áreas do conhecimento —, mas deve ser vista também como ciência, com suas características estruturais específicas. OCNEM (com adaptações).

Ao planejar o estudo de funções no ensino médio, o(a) professor(a) deve observar que

(A)

o objetivo do estudo de exponenciais é encontrar os zeros dessas funções.

(B)

as funções logarítmicas podem ser usadas para transformar soma em produto.

(C) as funções trigonométricas devem ser apresentadas após o estudo das funções exponenciais. (D) a função quadrática é exemplo típico de comportamento de fenômenos de crescimento populacional. (E)

o estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades de polinômios e de equações algébricas.

Gabarito: Alternativa E Autoria: Monica Bertoni dos Santos e Mara Lúcia Müller Botin Comentário: Para realizar esta questão, é necessário, inicialmente, compreender o que efetivamente ela solicita: que, além do papel formativo e instrumental, a Matemática seja compreendida como uma ciência com características estruturais específicas e, além disso, conhecer conceitos a respeito de polinômios, equações algébricas e das funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas. Denomina-se função exponencial de base a ( a > 0 e a ≠ 1 ) à função f ( x ) = a x , definida para todo o x real, tal que para a > 0 , a função é crescente e, para 0 < a < 1, ela é decrescente. Observando os gráficos das referidas funções, representados na figura 1, pode-se verificar, ainda, que a função exponencial não tem zeros, o que torna inviável a alternativa A.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

a > 0;

0 < a < 1;

D(f) = ;

Im(f) = +; f é crescente em todo o seu domínio.

Im(f) = +; f é decrescente em todo o seu domínio.

Figura 1: Função exponencial.

Considerando a propriedade dos logarítmos: para a, b e c números reais positivos com b ≠ 1, log b ac = log b a + log b c , observa-se, a partir dela, que um produto é transformado em soma e não uma soma é transformada em produto, conforme diz a alternatica C, o que a torna falsa, não podendo ser observada pelo professor. Por outro lado, entende-se que o estudo das funções trigonométricas não depende do estudo das exponenciais. Assim, não existe uma justificativa, para que o seu estudo seja necessariamente, posterior ao das funções exponenciais, o que torna a alternativa C não verdadeira. Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006), ”Situações reais de crescimento populacional podem bem ilustrar o modelo exponencial” (p.75), o que indica a função exponencial e não a quadrática, como um exemplo típico dos fenômenos de crescimento populacional, o que torna falsa a alternativa D. A alternativa E é a verdadeira, na medida em que é correto afirmar que as propriedades e as operações com polinômios são fundamentais para o estudo das funções polinomiais e das equações algébricas. Segundo Brasil (2006), Casos em que a função polinomial se decompõe em um produto de funções polinomiais de grau 10 merecem ser trabalhados. Esses casos evidenciam a propriedade notável de que, uma vez se tendo identificado que o número c é um dos zeros da função y = P (x ) , esta pode ser expressa como o produto do fator ( x − c ) por outro polinômio de grau menor, por meio da divisão de P por ( x − c ) , (p.74).

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Esta questão é fácil na medida em que conceitos relacionados às referidas funções são trabalhados na Educação Básica e em várias disciplinas dos cursos de Licenciatura em Matemática. Referências Bibliográficas: BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006. v.2. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Livro do Aluno. São Paulo: Ática, 2004. v.1. PAIVA, Manuel Rodrigues. Matemática. São Paulo: Moderna, 1955.

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QUESTÃO 33 A professora Clara propôs a seus alunos que encontrassem a solução da seguinte equação do segundo grau: x2 - 1 = (2x + 3)(x - 1). Pedro e João resolveram o exercício da seguinte maneira. Resolução de Pedro: x2 ! 1 = (2x + 3)(x ! 1) x2 ! 1 = 2x2 + x ! 3 2 ! x = x2 Como 1 é solução dessa equação, então S = {1} Resolução de João: x2 ! 1 = (2x + 3)(x ! 1) (x ! 1)(x + 1) = (2x + 3)(x ! 1) x + 1 = 2x + 3 x = !2 Portanto, S = {!2}

Pedro e João perguntaram à professora por que encontraram soluções diferentes. A professora observou que outros alunos haviam apresentado soluções parecidas com as deles. Entre as estratégias apresentadas nas opções a seguir, escolha a mais adequada a ser adotada por Clara visando à aprendizagem significativa por parte dos alunos. (A)

Indicar individualmente, para cada aluno que apresentou uma resolução incorreta, onde está o erro e como corrigi-lo, a partir da estratégia inicial escolhida pelo aluno.

(B)

Resolver individualmente o exercício para cada aluno, usando a fórmula da resolução da equação do 2.º grau, mostrando que esse é o método que fornece a resposta correta.

(C) Pedir a Pedro e João que apresentem à classe suas soluções para discussão e estimular os alunos a tentarem compreender onde está a falha nas soluções apresentadas e como devem fazer para corrigi-las. (D) Escrever a solução do exercício no quadro, usando a fórmula da resolução da equação do 2.º grau, para que os alunos percebam que esse é o método que fornece a resposta correta. (E)

Pedir que cada um deles comunique à classe como resolveu o exercício e, em seguida, explicar no quadro para a turma onde está a falha na resolução de cada um e como eles devem fazer para corrigi-la.

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Gabarito: Alternativa C Autoria: Monica Bertoni dos Santos e Mara Lúcia Müller Botin Comentário: A alternativa C é a correta, pois, para que a aprendizagem seja significativa, o professor como mediador, deve proporcionar discussões na sala de aula, a fim de que os alunos possam, a partir de seus erros, discutindo entre iguais, encontrar suas hipóteses equivocadas, reformulá-las e chegar à forma correta de resolver as situações problema apresentadas. Segundo Brasil (2006), a aprendizagem de um novo conceito dar-se - ia pela apresentação de uma situação problema ao aluno, ficando a formalização do conceito como última etapa do processo de aprendizagem. Nesse caso, caberia ao aluno a construção do conhecimento matemático que permite resolver o problema, tendo o professor como um mediador e orientador do processo ensino-aprendizagem, responsável pela sistematização do conhecimento (p. 81).

Ao defender suas ideias e seus pontos de vista, os alunos desenvolverão a criatividade, a capacidade de argumentação, o aprender a aprender. Assim, a alternativa A é falsa por indicar individualmente o erro, não possibilitando que o próprio aluno, trocando ideias com seus colegas, verifique suas hipóteses equivocadas, reformulando-as. As alternativas B, D e E são falsas, pois a professora, apresentando a forma correta de resolução, individual ou coletivamente, impede que os alunos, eles mesmos, construam seu conhecimento a partir da discussão de suas hipóteses equivocadas. Esta questão é considerada fácil, na medida em que aprendizagem significativa e erro construtivo, por exemplo, são conceitos trabalhados na licenciatura e abordados nos documentos que regem a Educação Básica. Referências Bibliográficas: BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006. v.2.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

QUESTÃO 34 Observe a seguinte atividade de construções geométricas. • Construir um triângulo ABC qualquer. • Traçar a bissetriz do ângulo BAˆ C e, em seguida, a bissetriz do ângulo ABˆ C . • Marcar o ponto de encontro dessas duas bissetrizes. • Traçar a bissetriz do ângulo ACˆ B . O que você observa? Será que, se você recomeçar a construção a partir de outro triângulo, chegará à mesma observação? O uso de um software de geometria dinâmica na execução dessa atividade e de outras similares (A)

pode mostrar que o estudo das construções com régua e compasso é desnecessário.

(B)

dispensa a demonstração dos resultados encontrados pelos alunos.

(C) prejudica o desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo. (D) dificulta o desenvolvimento do pensamento geométrico. (E)

pode contribuir para a elaboração de conjecturas pelos alunos.

Gabarito: Alternativa D Autores: Augusto Vieira Cardona e Monica Bertoni dos Santos Comentário: Para resolver esta questão, inicialmente, devem-se conhecer conceitos geométricos como ângulo e sua medida, triângulo e a construção da bissetriz de um ângulo de um triângulo dado. Estes conceitos são apresentados em livros do Ensino Básico ou em livros mais avançados como Barbosa (2000) ou Resende e Queiroz (2000). Alguns destes conceitos serão discutidos aqui. Seja o um triângulo formado pelos pontos A, B e C e seja D um ponto da reta que contém B e C. O segmento AD chama-se bissetriz do ângulo Â se a semirreta de origem A, passando por D, dividir o ângulo BÂC em dois ângulos congruentes. Demonstra-se que as três bissetrizes de um triângulo se encontram em um mesmo ponto.

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Figura 1: Bissetriz de um ângulo.

Para obter a bissetriz do ângulo BÂC, com o uso de um compasso, traça-se uma circunferência de centro A e raio arbitrário, suficientemente grande, para determinar os pontos E e F sobre os lados AB e AC, respectivamente. Traçam-se, então, circunferências de centro E e F e raio arbitrário, suficientemente grande, para determinar P, ponto de intersecção destas circunferências. A semirreta de origem A e passando por P será a bissetriz do ângulo BÂC. A atividade propõe que o aluno trace as três bissetrizes de um triângulo qualquer e solicita que ele observe o que acontece. A seguir, desafia-o a pensar se o que aconteceu ao traçar as três bissetrizes neste triângulo aconteceria em outro triângulo qualquer. Certamente, esta atividade poderia ter sido proposta para ser realizada com o uso de um software de geometria dinâmica uma vez que “esta ferramenta permite explorar interativamente os conceitos da geometria clássica através do uso do movimento nas figuras construídas” (BRAVIANO, 2007). No entanto, o uso de softwares de geometria dinâmica ou similares pode ou deve ser proposto, quando o aluno está num estágio em que já tenha tido experiências de geometria intuitiva – experiências que lhe tenham possibilitado desenvolver o pensamento geométrico – pois tais ferramentas permitem “explorar interativamente os conceitos da geometria clássica através do uso do movimento nas figuras construídas” (BRAVIANO, 2007). Castelnuovo (1975, p. 82) argumenta sobre “a necessidade de desenvolver um curso de geometria intuitiva, antes de iniciar um estudo de base hipotéticodedutiva”, dizendo que “o curso de geometria intuitiva tem como finalidade dar à

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

criança as bases sobre as quais construir o curso de geometria racional”. Ainda, segundo a autora, se nos basearmos na hipótese de que o ente geométrico forma-se na mente humana por abstração, a partir de observações de objetos reais e de experiências sobre estes, devemos, fazer preceder ao curso racional um curso de caráter experimental onde os axiomas encontrem raízes naturais (p. 88).

A atividade proposta nesta questão caracteriza-se por uma experiência concreta própria de uma geometria intuitiva. Não está sendo proposto que o aluno elabore definições ou enuncie propriedades, mas que faça construções, explore figuras, faça experimentações e observe regularidades, percebendo diferenças e semelhanças. Neste caso, o uso de um software da geometria dinâmica, em substituição ao uso de instrumentos de desenho que possibilitem a exploração do espaço, é prematuro e pode dificultar o desenvolvimento do pensamento geométrico, o que justifica a escolha da alternativa D como a correta. A questão pode ser considerada de nível de dificuldade médio, pois envolve construções com régua e compasso nem sempre trabalhadas na Educação Básica. Referências Bibliográficas: BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2000. (Coleção do Professor de Matemática) BRAVIANO, G. Aprendizagem da simetria através de uma sequência didática. Curitiba: Graphica, 2007. Disponível em: <http://www.degraf.ufpr.br/artigos_graphica/APRENDIZAGEMDASIMETRIA.pdf>. Acesso em: 07 de dezembro de 2010. CASTELNUOVO, E. Didactica de la matemática moderna. México: Editorial Trillas, 1975. RESENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. Geometria euclidiana plana e construções geométricas. Campinas: UNICAMP, 2000.

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QUESTÃO 35 Algumas civilizações utilizavam diferentes métodos para multiplicar dois números inteiros positivos. Por volta de 1400 a.C., os egípcios utilizavam uma estratégia para multiplicar dois números que consistia em dobrar e somar. Por exemplo, para calcular 47 × 33, o método pode ser descrito do seguinte modo: •

escolha um dos fatores; por exemplo, 47;

•

na 1.ª linha de uma tabela, escreva o número 1 na 1.ª coluna e o fator escolhido, na 2.ª coluna;

•

em cada linha seguinte da tabela, escreva o dobro dos números da linha anterior, até encontrar, na 1.ª coluna, o menor número cujo dobro seja maior ou igual ao outro fator, no caso, 33; 1 2 4 8 16 32

47 94 188 376 752 1.504

• selecione os números da 1.ª coluna cuja soma seja igual a 33, conforme indicado na tabela, ou seja, 1 + 32 = 33; • adicione os números correspondentes da 2.ª coluna, ou seja, 47 + 1.504 = 1.551; • tome como resultado da multiplicação o valor 1.551. Com base nessas informações, analise as asserções a seguir. Utilizando o método egípcio, é possível multiplicar quaisquer dois números inteiros positivos, porque todo número inteiro positivo pode ser escrito como uma soma de potências de 2. A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta. (A)

As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.

(B)

As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. (D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. (E)

Ambas as asserções são proposições falsas.

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

Gabarito: Alternativa A Autoria: Ruth Portanova, Maria Beatriz Menezes Castilhos e Virgínia Maria Rodrigues Comentário: A segunda afirmação: Todo número inteiro positivo pode ser escrito como uma soma de potências de 2 é uma proposição verdadeira, pois é um corolário do teorema: Dados a,b ∈  , com b>1, existem números naturais c0, c1, c2,... ,cn menores

que

univocamente

determinados,

tais

que

a = c0 + c1 b + c2 b2 + ... + cn bn . A primeira afirmação: Utilizando o método egípcio, é possível multiplicar quaisquer dois números inteiros positivos, é uma proposição verdadeira, porque o método utiliza-se da propriedade distributiva da adição em relação à multiplicação, aplicada à decomposição de um dos fatores em uma soma de potências de 2, no caso: 33 x 47 = (20 + 25) x 47 = (1 + 32) x 47 = 1 x 47 + 32 x 47 = 37 + 1504 = 1551, o que é sempre possível, pela segunda afirmação. Desta forma, a resposta correta corresponde à letra A, pois as duas afirmações são verdadeiras e a segunda asserção é uma justificativa correta da primeira. Pode-se considerar a questão de nível de dificuldade médio, pois a noção de distributividade e de potência faz parte do estudo de operações muito trabalhado num curso de Matemática. No entanto, quando o aluno trabalha com operações que não são apresentadas na forma rotineira, nem sempre usa seus conhecimentos para resolver a questão. Referência Bibliográfica: HEFEZ, A. Elementos de aritmética. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2005.

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QUESTÃO 36 A figura abaixo mostra alguns segmentos construídos em um geoplano por um estudante, de acordo com a orientação dada pela professora.

u Acerca do uso do geoplano retangular nessa atividade, assinale a opção incorreta. (A)

O geoplano auxilia na compreensão de que

a + b ≠ a+b.

(B)

O geoplano auxilia na compreensão de que

ab = a b .

(C) O geoplano auxilia na representação geométrica de números irracionais da forma a . (D) O geoplano auxilia na obtenção da relação entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. (E)

O geoplano auxilia na simplificação de expressões com irracionais algébricos, como, por exemplo, 20 + 5 = 3 5 .

Gabarito: Alternativa D Autoria: Monica Bertoni dos Santos, Mara Lúcia Müller Botin e Vanessa Martins de Souza Comentário: A figura que ilustra a questão representa um geoplano retangular. Um geoplano, geralmente, é confeccionado em prancha de madeira de forma retangular com pregos fixados em desenhos de diferentes formatos e, para a construção de diferentes figuras geométricas, são utilizados atilhos de amarrar dinheiro, preferivelmente, de cores diferentes. 78

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

Machado (2004) define o geoplano como um recurso didático-pedagógico dinâmico e manipulativo que propicia ao sujeito construir, movimentar e desfazer figuras. Para ele, O Geoplano é um meio, uma ajuda didática que oferece um apoio à representação mental e uma etapa para o caminho da abstração, proporcionando uma experiência geométrica e algébrica aos estudantes. Contribui para explorar problemas geométricos e algébricos, possibilitando a aferição de conjecturas. (p. 1).

As construções feitas no geoplano podem ser registradas em malhas pontilhadas ou quadriculadas, o que favorece a etapa de generalização de conceitos. Na representação de um geoplano retangular, os pontos que correspondem aos pregos, estão dispostos na intersecção das linhas com as colunas, onde os pregos estão fixados. Observando a representação do geoplano apresentada na questão e os segmentos nela traçados, fica evidenciado que o segmento que une vertical ou horizontalmente, dois pontos consecutivos representa a unidade de comprimento e que dois pontos unidos em diagonal não a representam. Estes pontos podem ser tomados como as diagonais de quadrados ou retângulos formados por segmentos da malha retangular e considerados como hipotenusas de triângulos retângulos cujos catetos são os lados dos quadrados ou dos retângulos e podem ser calculados pela Relação de Pitágoras, como amostra a figura 1 a seguir:

Figura 1: Representação geométrica de números irracionais.

ENADE Comentado 2008: Matemática

Pode-se, então, concluir que é verdadeiro afirmar que o geoplano auxilia na representação geométrica de números irracionais da forma

a , o que torna correta a

opção C. Observando a figura 2 a seguir,

Figura 2: Interpretação de propriedades da radiciação.

constata-se que

5 + 13 ≠ 18 , e pode-se verificar que é verdadeiro afirmar que o

geoplano auxilia na compreensão de que

a + b ≠ a + b , o que torna correta a

opção A. Observando a figura 3 a seguir,

Figura 3: Interpretação de propriedades da radiciação.

tem-se que: (1)

18 = 9 × 2 = 9 × 2 = 3 2 e (2)

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

20 = 4 × 5 = 4 × 5 = 2 5

Por (1) e (2) pode-se afirmar que é verdade que o geoplano auxilia na compreensão de que

ab = a ⋅ b , o que torna correta a opção C.

Observando a figura 4,

Figura 4: Interpretação de propriedades da radiciação.

verifica-se que

20 + 5 = 2 5 + 5 = 3 5 e considera-se verdadeiro afirmar que o

geoplano auxilia na simplificação de expressões com números irracionais algébricos, o que torna a opção E correta. Pelo exposto até aqui, pode-se afirmar que o geoplano retangular auxilia na representação geométrica, na compreensão das operações e na simplificação de expressões com números irracionais da forma

a , o que não é o caso do número π,

relação entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, o que torna incorreta a opção D, que também é a única que não refere números irracionais na forma

a. Esta questão é considerada fácil, na medida em que o respondente já

tenha tido alguma experiência com o geoplano na Educação Básica ou no Curso de Licenciatura em Matemática. Referência Bibliográfica: MACHADO, R. M. Mini-curso: explorando o geoplano. In: II Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, Salvador – BA, 2004. Disponível em: <http://www.bienasbm.ufba.br/M11.pdf>. Acesso em: 28 de novembro de 2010.

ENADE Comentado 2008: Matemática

QUESTÃO 37 Segundo os parâmetros curriculares nacionais, todas as disciplinas escolares devem contribuir com a construção da cidadania. Refletindo sobre esse tema, avalie as asserções a seguir.

Uma forma de o ensino da Matemática contribuir com a formação do cidadão é o professor propor situações-problema aos alunos, pedir que eles exponham suas soluções aos colegas e expliquem a estratégia de resolução utilizada, estimulando o debate entre eles, porque os alunos, ao expor seu trabalho para os colegas, ouvir e debater com eles as diferentes estratégias utilizadas, são estimulados a justificar suas próprias estratégias, o que contribui com o desenvolvimento da autonomia, estimula a habilidade de trabalhar em coletividade e a respeitar a opinião do outro, características fundamentais de um cidadão crítico e consciente.

A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta. (A)

As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.

(B)

As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. (D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. (E)

Ambas as asserções são proposições falsas.

Gabarito: Alternativa A Autoria: Ruth Portanova e Monica Bertoni dos Santos Comentário: A afirmação abaixo contém as duas asserções que constam na presente questão: Uma forma de o ensino da Matemática contribuir para a formação do cidadão é o professor propor situações-problema aos alunos, pedir que eles exponham suas soluções aos colegas e expliquem a estratégia de resolução utilizada, estimulando um debate entre eles, porque os alunos, ao expor seu trabalho para os colegas, ouvir e debater com eles as diferentes estratégias utilizadas, são

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

estimulados a justificar suas próprias estratégias, o que contribui com o desenvolvimento da autonomia, estimula a habilidade de trabalhar em coletividade e a respeitar a opinião do outro, características fundamentais de um cidadão crítico e consciente.

Pode-se afirmar que esta é uma afirmação verdadeira, referindo literaturas que estão disponíveis hoje, entre as quais, são citados o texto de Ulisses F. Araujo (Professor Doutor da Universidade de São Paulo), na p. 5, quando fala sobre o uso de metodologias que propõem situações-problema e indica a importância das situações de aprendizagem que propiciam a discussão e a argumentação por parte do educando: Essa construção pressupõe um sujeito ativo, que participa de maneira intensa e reflexiva das aulas. Um sujeito que constrói sua inteligência e sua personalidade através do diálogo estabelecido com seus pares e com os professores, na própria realidade cotidiana do mundo em que vive.

e a recomendação que consta na p. 42 do Caderno do Professor (2009): Professor, favoreça que seu aluno leia e resolva as situaçõesproblema propostas, trabalhando com autonomia e chegando aos conceitos muito mais pelas relações que ele próprio possa estabelecer do que pela sua fala.

Desdobrando a referida afirmação em duas proposições, conforme foi proposto na questão, percebe-se, ainda, nas duas referências citadas, que, além de verdadeiras, a segunda proposição pode ser considerada uma justificativa correta da primeira, na medida em que a autonomia é algo que a escola deve se preocupar em desenvolver, se quiser contribuir para a construção da cidadania. Desta forma, a resposta correta corresponde à alternativa A. Esta questão é considerada fácil, pois as literaturas que tratam da Educação Matemática e da Resolução de Problemas, bem como os documentos legais que regem a Educação Básica são amplamente trabalhados durante o Curso de Licenciatura em Matemática. Referências Bibliográficas: ARAUJO, U. F. A construção da cidadania e de relações democráticas no cotidiano escolar. Disponível em: <http://www.redhbrasil.net/documentos/bilbioteca_on_line/modulo4/mod_4_ulisses.p df>. Acesso em: 07 de abril de 2010. Rio Grande do Sul. Secretaria de Estado da Educação. Departamento Pedagógico. Lições do Rio Grande: Caderno do Professor. Porto Alegre: SE/DP, 2009. v.4.

ENADE Comentado 2008: Matemática

QUESTÃO 38 Entre os procedimentos envolvidos na modelagem de uma situação-problema, estão sua tradução para a linguagem matemática e a resolução do problema, utilizando-se conhecimentos matemáticos. Nessa perspectiva, um professor propôs a seguinte situação-problema para seus alunos: Escolha o nome para uma empresa que possa ser lido da mesma forma de qualquer um dos lados de uma porta de vidro transparente. A solução desse problema pressupõe encontrar

(A)

letras do alfabeto que sejam simétricas em relação a um ponto.

(B)

letras do alfabeto que tenham simetria em relação a um eixo horizontal.

(C) letras do alfabeto que tenham simetria em relação a um eixo vertical. (D) palavras que sejam simétricas em relação a um ponto. (E)

palavras que sejam simétricas em relação a um eixo horizontal.

Gabarito: Alternativa C Autoria: Ruth Portanova e Monica Bertoni dos Santos Comentário: Somente palavras que têm simetria em relação a um eixo vertical podem ser lidas da mesma forma de qualquer um dos lados, quando escritas em uma porta de vidro transparente. Tais palavras como OMO, AMA, OVO, conterão apenas letras maiúsculas do nosso alfabeto tais que, elas mesmas tenham simetria em relação a um eixo vertical. Portanto, letras que pertençam ao conjunto P = {A, H, I, M, N, O, T, U, V, X, Y}. Assim, é correta a solução desse problema que pressupõe encontrar no nome da empresa que possa ser lido da mesma forma de ambos os lados de uma porta de vidro transparente, letras do alfabeto que tenham simetria em relação a um eixo vertical, o que justifica como verdadeira apenas a alternativa C. Com o auxílio da bibliografia citada, o leitor poderá ampliar o conceito de simetria. Esta questão é considerada fácil se, na Educação Básica ou no Curso de Licenciatura em Matemática, o respondente tiver trabalhado com o referido tema.

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Referências Bibliográficas: ARAUJO, P. V. Curso de Geometria. Lisboa: Gradiva, 2002. DIENES, Z. P.; GOLDING, E. W. A geometria pelas tranformações. São Paulo: Herder, 1971. RÊGO, R. G. do; et al. Padrões de simetria do cotidiano a sala de aula. João Pessoa: Editora Universitária/UFPB, 2006. SMOLE, K.; DINIS, M.; CANDIDA, P. (Orgs.) Figuras e Formas. Porto Alegre: Artmed, 2003. Coleção Matemática de 0 a 6 anos. v.3

ENADE Comentado 2008: Matemática

QUESTÃO 39 As questões I e II abaixo fizeram parte das provas de Matemática do Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB), em 2003, para participantes que terminaram, respectivamente, a 8.ª série do ensino fundamental e o 3.º ano do ensino médio. Na questão I, 56% dos participantes escolheram como correta a opção C, enquanto, na questão II, 61% dos participantes escolheram como correta a opção A. O número 0,25 pode ser representado pela fração (A) 1 4 1 (B) 2 2 (C) 5 (D) 1 8

questão I

questão II

Analisando os dados apresentados, assinale a opção que não justifica o erro que os estudantes cometeram ao escolher as suas respostas.

(A)

Na questão I, a maioria dos respondentes considera que a representação do a número decimal 0,ab na forma de fração é . b

(B)

Nas questões I e II, a maioria dos respondentes considera que as frações

a e b

b são equivalentes. a

1 são 4

representações de números diferentes. (D) Na questão II, a maioria dos respondentes considera que −

2 e -0,4 são 5

representações de números diferentes. (E)

Na questão II, a maioria dos respondentes considera que a representação a decimal da fração é a,b. b

Gabarito: Alternativa B Autoria: Marilene Jacintho Müller 86

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Comentário: A questão destaca um conteúdo que deve ser trabalhado profundamente no Ensino Fundamental. Explora, especificamente, o conhecimento do aluno sobre as representações fracionária e decimal de um número, a localização de uma fração na reta real e, também, faz referência ao conceito de frações equivalentes. Fazendo um breve comentário sobre a questão, pode-se dizer que: a) Nos itens A e E, observa-se que as respostas apontam para um equívoco que frequentemente os alunos cometem ao representarem um número decimal na forma de fração e vice-versa. b) Nos itens C e D, se os alunos tivessem clareza sobre as representações dos números racionais e tivessem identificado que os números são iguais, teriam escolhido a resposta correta. Assim, eles realmente pensam que 0.25 e 1/4 (questão I) e -2/5 e -0.4 (questão II) são diferentes. c) Logo, a opção que não justifica o erro que os estudantes cometeram é a B. Na questão I, por exemplo, 0,25 = aluno considera que

25 1 = , e não existe alternativa que mostre que o 100 4

a b = . Na questão II, até é possível pensar que o aluno fez b a

−2 5 5 equivalente a , e como = -2,5, a opção por ele escolhida foi a A. No 5 −2 −2

entanto, a conjunção “Nas questões I e II, a maioria dos respondentes considera que as frações

a b e são equivalentes”, não se verifica. b a

Entende-se que esta questão é fácil, uma vez que o conhecimento matemático exigido para resolvê-la é, especificamente, do Ensino Fundamental. Referências Bibliográficas: DANTE, L. R. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. v.5. IMENES, L. M.; LELLIS, M. Matemática. São Paulo: Scipione, 2003. v.5. IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade. São Paulo: Atual, 2005. v.5.

ENADE Comentado 2008: Matemática

QUESTÃO 40 – DISCURSIVA A

No retângulo ABCD ao lado, o lado AB mede 7 cm e

B x

o lado AD mede 9 cm. Os pontos I, J, K e L foram

marcados sobre os lados AB, BC, CD e DA, respectivamente, de modo que os segmentos AI, BJ, CK e DL são congruentes. L x D

Com base nessa situação, faça o que se pede nos itens a seguir e transcreva suas respostas para o Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados.

a) Demonstre que o quadrilátero IJKL é um paralelogramo. b) Escreva a função que fornece a área do paralelogramo IJKL em função de x e determine, caso existam, seus pontos de máximo e de mínimo. c) Na resolução desse problema, que conceitos matemáticos podem ser explorados com alunos do ensino fundamental e do ensino médio?

Autoria: Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann Comentário: Para analisar a questão, inicialmente, devem-se conhecer conceitos geométricos

tais

como

segmentos

congruentes,

triângulo,

quadrilátero,

paralelogramo, retângulo, área de figuras planas e congruência de triângulos. Estes conceitos podem ser encontrados em livros como Barbosa (2000). Necessita-se, também, dos conceitos de ponto de mínimo e de ponto de máximo de uma função, que são apresentados em livros de Cálculo como Stewart (2006). No entanto, para facilitar o entendimento da resolução desta questão, alguns destes conceitos serão apresentados a seguir. Dois

triângulos

são

congruentes

for

possível

estabelecer

uma

correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que lados e ângulos correspondentes sejam congruentes. Sobre congruência de triângulos, destaca-se o Axioma LAL:

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

Se, em dois triângulos ABC e EFG, tem-se Â = Eˆ , AB = EF e AC = EG, então os triângulos são congruentes. Considerando os conceitos apresentados, tem-se que: a) Para demonstrar que IJKL é um paralelogramo, pode-se mostrar, pelo axioma LAL, que os triângulos IBJ e KDL são congruentes (DL = BJ = x, DK = BI = 7 – x e Dˆ = Bˆ = 90 o ) e que o triângulo IAL é congruente ao triângulo KCJ (AI = CK = x, AL = CJ = 9 – x e Aˆ = Cˆ = 90o ). Portanto, tem-se que IJ = LK e IL = JK e, consequentemente, que o quadrilátero IJKL é um paralelogramo, pelo teorema: Se os lados opostos de um quadrilátero são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo. Esta é uma forma simples de resolver este problema. Existem outras, por exemplo, a sugerida pelo resolutores do MEC, que utiliza o Teorema ALA. b) A área do paralelogramo IJKL será obtida retirando-se da área do retângulo ABCD as áreas dos triângulos ALI, BIJ, CKJ e DKL. A área do retângulo ABCD é igual a 63, a área dos triângulos BIJ e DKL é igual a e CKJ é igual a

(7 − x ) x e a dos triângulos ALI 2

(9 − x ) x . Assim, a área do paralelogramo IJKL é igual a: 2

A( x ) = 63 − 2

(7 − x ) x (9 − x ) x −2 = 2 x 2 − 16 x + 63 . 2 2

Para determinar o mínimo ou o máximo local de A(x), se existirem, pode-se utilizar os conhecimentos sobre função quadrática ou os de derivadas e suas propriedades. 1) Trabalhando com a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, sabe-se que: −b I. Se a > 0, a função é ilimitada superiormente e assume valor mínimo f  ;  2a  −b II. Se a < 0, a função é ilimitada inferiormente e assume valor máximo f  .  2a  Como, em nosso problema, temos a = 2 > 0, b = -16 e c = 63, este ponto de

mínimo é obtido pela propriedade acima, ou seja, x =

− b − ( −16) = = 4. 2a 2x 2

ENADE Comentado 2008: Matemática

Pelo gráfico da função quadrática A(x), apresentado na figura 1 abaixo, podese observar que o ponto de mínimo local em x = 4.

Figura 1: Gráfico da parábola

A( x ) = 2 x 2 − 16 x + 63 .

2) Utilizando o Teste da Derivada Segunda: Suponha que f’’ seja contínua na proximidade de c. (a) Se f’(c) = 0 e f’’(c) > 0, então f tem um mínimo local em c. (b) Se f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, então f tem um máximo local em c. Aqui, f’(c) e f’’(c) denotam, respectivamente, as derivadas de primeira e segunda ordem da função f(x), em x = c. Aplicando este resultado na função A(x), obtém-se: A′( x ) = 4 x − 16 = 0 ⇒ x = 4 e A′′( x ) = 4 ⇒ A′′( 4) = 4 > 0 ,

isto é, x = 4 é um ponto de mínimo local da função A(x). c) Partindo das soluções acima, como foi visto, conclui-se ainda que os conceitos matemáticos envolvidos nesta questão que podem ser explorados com alunos do ensino fundamental e do ensino médio são: congruência de triângulos, propriedades do paralelogramo, cálculo de áreas de figuras planas, expressões algébricas, estudo do gráfico e das propriedades da função quadrática. Os conceitos de derivadas poderiam se explorados com alunos de escolas que ainda trabalham com noções de Cálculo Diferencial. Entende-se que esta questão é de nível de dificuldade médio, pois, via de regra, na Educação Básica, os alunos pouco trabalham com conceitos de geometria 90

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

ou não trabalham com noções de Cálculo que ficam para ser explorados apenas na Licenciatura em Matemática. Referências Bibliográficas: BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2000. (Coleção do Professor de Matemática) LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1998. v.1 (Coleção do Professor de Matemática) STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.

ENADE Comentado 2008: Matemática

COMPONENTE ESPECÍFICO BACHARELADO

QUESTÃO 41

figura I

figura II

O cilindro e o catenóide, representados nas figuras I e II, são superfícies regulares de rotação geradas, respectivamente, pelas curvas α1(t) = (1, 0, t) e α2(t) = (cosh t, 0, t), com t ∈ . Considerando essas informações, conclui-se que (A)

a curvatura gaussiana do catenóide é negativa.

(B)

as duas superfícies são localmente isométricas.

as curvas α1(t) e α2(t) são os paralelos das respectivas superfícies de rotação.

Gabarito: Alternativa C Autoria: Augusto Vieira Cardona, Luiz Eduardo Ourique e Ivan Ricardo Tosmann Comentário: Para analisar a questão, torna-se necessário o conhecimento de alguns conceitos de Geometria Diferencial, que serão apresentados a seguir, de forma reduzida. Uma curva paramétrica C no espaço 3 é o gráfico da função γ:(a,b)→ 3, para a e b reais, onde a função γ é dita uma parametrização da curva C. O comprimento

v = v1 + v 2 +  + v n 2

vetor

v = (v 1, v 2 ,, v n ) ∈

n

e o comprimento de uma curva γ(t) é dado por

dado

por

∫ γ(t )

dt .

Uma superfície paramétrica S no espaço 3 é o gráfico de uma bijeção contínua σ : U → S , cuja inversa também é contínua, onde U é um conjunto aberto no plano 2. Neste caso, diz-se que σ é uma parametrização da superfície S. Um

ENADE Comentado 2008: Matemática

conjunto U é dito aberto no 2, se para todo a ∈ U, existe um real positivo ε tal que

u − a < ε implica que u ∈ U. Uma superfície de revolução, ou superfície de rotação, é uma superfície obtida pela rotação de uma curva plana, chamada curva de perfil, ao redor de uma reta, contida no mesmo plano da curva, chamada de eixo de rotação. Os círculos obtidos pela rotação de um ponto fixo da curva de perfil ao redor do eixo de rotação são chamados de paralelos à superfície de rotação. Para o caso em que o eixo de rotação é o eixo z, o plano em consideração é o xz e a curva de perfil é parametrizada por γ(t) = (f(t), 0, g(t)). Assim, a alternativa E está errada, pois, as curvas α1(t ) e α 2 (t ) são as curvas de perfil e não os paralelos das respectivas superfícies de rotação. Os paralelos serão a intersecção destas superfícies de rotação com planos paralelos ao plano xy. Dada uma superfície de revolução parametrizada por γ(t) = (f(t), 0, g(t)), então sua curvatura gaussiana é definida como K=

(f(u ) g(u ) − f(u ) g (u ))f (u ) g (u ) , (f (u ))2

onde o ponto denota a derivada da função em relação à u. A curvatura gaussiana de uma superfície independe da parametrização escolhida. Neste caso, considerando que a curva de perfil seja parametrizada por γ(t) = (f(t), 0, t), com f(t) > 0, a curvatura gaussiana seria dada por K =

− f(u ) . Ou seja, o sinal da curvatura gaussiana f (u )

depende da concavidade da curva de perfil. Com isto, pode-se observar que a alternativa D está errada, pois, no cilindro, temos f (u ) = 1, sendo que a curvatura gaussiana será K = 0 . Portanto, ela é constante, mas não é positiva. Também, conclui-se que a alternativa correta é a A, pois, na catenoide, temos f (u ) = cosh(u ) e f(u ) = cosh(u ) , sendo que a curvatura gaussiana será K = −1< 0 . Se f(u ) > 0 ou o gráfico de f estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo I, então ele é côncavo para cima em I. Neste caso, a curvatura gaussiana seria negativa. Se f(u ) < 0 ou o gráfico de f estiver abaixo de todas as suas tangentes no intervalo I, então ele é côncavo para baixo em I. Neste caso, a 94

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curvatura gaussiana seria positiva. É fácil observar que, se f é uma função constante, a curvatura gaussiana será nula. Mesmo sem a realização de cálculos, também é fácil observar que o cilindro tem curvatura gaussiana nula e que a catenoide tem curvatura gaussiana negativa, o que permite verificar rapidamente a veracidade da alternativa A e a falsidade da alternativa D. Uma isometria entre duas superfícies S1 e S2 é uma bijeção f tal que f e sua inversa têm componentes com derivadas parciais contínuas de quaisquer ordens, que leva curvas de S1 em curvas de mesmo comprimento em S2. Sabe-se que a curvatura gaussiana de uma superfície é preservada por isometrias. Desta forma, a alternativa B está errada, pois, como vimos acima, as curvaturas gaussianas do cilindro e da catenoide são, respectivamente, 0 e -1, portanto diferentes, contrariando a informação de que superfícies isométricas têm a mesma curvatura gaussiana em cada ponto. Uma curva paramétrica γ(t) em uma superfície S é dita uma geodésica se γ(t ) é nula ou perpendicular à superfície no ponto γ(t), para todo t. Um vetor será perpendicular a uma superfície paramétrica S no ponto σ (u, v ) se este vetor for múltiplo do vetor normal σ u × σ v , onde × denota o produto vetorial. Como exemplo, as circunferências obtidas pela intersecção do cilindro x 2 + y 2 = 1 com planos paralelos ao plano xy e as retas paralelas ao eixo z, contidas neste cilindro, são geodésicas neste cilindro (PRESSLEY, 2001). Com isto, pode-se concluir que a alternativa C está errada, pois, além das retas paralelas ao eixo z contidas no cilindro, as circunferências referidas acima também são geodésicas. Considera-se que esta questão é difícil, por exigir o conhecimento de muitos conceitos de Geometria Diferencial, no entanto, não são necessários cálculos para a sua resolução, pois os sinais das curvaturas Gaussianas podem ser observados através da concavidade de suas curvas de perfil (como vimos acima), ou seja, através de uma simples observação das figuras apresentadas. Referências Bibliográficas: PRESSLEY, A. Elementary differential geometry. Londres: Springer – Verlag, 2001. (Springer Undergraduate Mathematics Series). STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.

ENADE Comentado 2008: Matemática

QUESTÃO 42 Um domínio de integridade é um domínio principal quando todo ideal é principal, isto é, pode ser gerado por um único elemento. Com base nesse conceito, avalie as seguintes afirmações. I

O anel [x] — de polinômios sobre  na variável x — é um domínio principal, em que  é o anel dos inteiros.

Se K é um corpo, K[x] — o anel de polinômios sobre K na variável x — é um domínio principal.

III

O anel dos inteiros gaussianos [i] é um domínio principal.

É correto o que se afirma em (A)

I, apenas.

(B)

II, apenas.

(C)

I e III, apenas.

(D)

II e III, apenas.

(E)

I, II e III.

Gabarito: Alternativa D Autoria: Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues Comentário: Para analisar a questão, são necessários os seguintes conceitos: domínio de integridade, domínio euclidiano, domínio fatorial, domínio principal, anel de polinômios sobre , anel de polinômios sobre um corpo e anel dos inteiros gaussianos. Algumas propriedades específicas de cada uma dessas estruturas também são necessárias, entre elas: a) Se a e b são elementos de um domínio principal D, então mdc(a,b) pertence a esse domínio. Observe que, se I ⊆ D é o ideal gerado por a e b, então existe d em I tal que o ideal gerado por a e b é igual ao ideal gerado por d, pois o domínio é principal. Assim, d = ra+sb, com r, s em D. Além disso, como a e b são elementos de I, a = dx e b = dy, para x e y ∈ D, isto é, d | a e d | b. Supondo, agora, que exista d’ em D tal que d’ | a e d’ | b, ou seja, que existem m e n em D tais que d’m = a e d’n = b, o que indica que d’ ∈ I. Pode-se então, escrever d’ = qd com q ∈ D. Logo d = mdc(a b).

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

b) Se D é um domínio euclidiano então D é um domínio principal. A demonstração pode ser encontrada em Garcia e Lequain (2002, p. 41). Analisando as afirmações apresentadas na questão, verifica-se que a primeira é falsa. Para mostrar que [x] não é um domínio principal, basta considerarmos o ideal <2,x> (gerado por 2 e por x) de [x], que não é principal. De fato, sabe-se que os elementos desse ideal são da forma 2.p(x) + x.q(x) com p(x) e q(x) em [x]. Supondo que esse domínio é principal, pela primeira propriedade acima, tem-se que d(x) = mdc(2,x) será o gerador desse ideal. Entretanto, sabe-se que mdc(2, x) = 1, de onde segue que <2,x> = [x]. Absurdo, pois o elemento 1 não pode ser escrito da forma 2.p(x) + x.q(x), com p(x) e q(x) em [x]. A afirmação I, portanto, é falsa. Com respeito à segunda afirmação, o fato de que o anel de polinômios sobre um corpo é um domínio principal está demonstrado na literatura sobre o assunto. Veja, por exemplo, em Gonçalves (2003, p. 72). A afirmação II, portanto, é verdadeira. A terceira afirmação está correta, e sua validade pode ser constatada, se a segunda propriedade acima for utilizada, pois [i] é um domínio euclidiano com a norma

ϕ :[i] →  dada por ϕ (a + bi ) = a 2 + b 2 . A afirmação III, portanto, é verdadeira. Assim, tem-se como resposta certa a alternativa D. Esta questão é difícil, uma vez que envolve conceitos com maior nível de complexidade. Referências Bibliográficas: GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002. GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2003.

ENADE Comentado 2008: Matemática

QUESTÃO 43 Considere o espaço vetorial V = (2, < , >1) munido do seguinte produto interno: <u, v>1 = x1x2 - y1x2 - x1y2 + 4y1y2, em que v = (x1, y1) e u = (x2, y2) são vetores de x 2

2. Considere T: V → V o operador linear dado por T ( x, y ) = (2y , ) . Com relação ao produto interno < , >1 e ao operador T, assinale a opção correta. (A)

Os vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) são ortogonais em relação ao produto interno < , >1.

(B)

O operador T preserva o produto interno, isto é, < T(u), T(v) >1 = < u, v >1.

Existe um vetor v = (x, y) ∈ 2 tal que x2 + y2 = 1 e <v, v>1 = 0.

Gabarito: Alternativa B Autoria: Vera Lúcia Martins Lupinacci Comentário: Para resolver a questão, é necessário o conhecimento dos conceitos de operador linear, núcleo de uma transformação linear, espaço vetorial com produto interno e suas propriedades. O conceito de operador linear é apresentado na questão 22. Núcleo de uma transformação linear T: V → W é o conjunto de todos os vetores v ∈ V que são transformados no vetor nulo. Indica-se esse conjunto por N(T) = {v ∈ V; T(v) = 0}. Um produto interno sobre V é uma função que a cada par de vetores v1 e v2 do espaço vetorial V, associa um número real, denotado v 1,v 2 , satisfazendo as propriedades: a. v , v ≥ 0 , para todo vetor v, e v , v = 0 se, e somente se v = 0. b. α v 1, v 2 = α v 1, v 2 , para todo real α . c. v 1 + v 2 , v 3 = v 1, v 3 + v 2 , v 3 . d. v 1,v 2 = v 2 ,v 1 .

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

Usa-se o produto interno entre dois vetores para identificar se os vetores são ortogonais. Formalmente, diz-se que dois vetores, u e v, de um espaço vetorial V com produto interno < , > são ortogonais (em relação a este produto interno) se <u,v> = 0. Considerando os conceitos apresentados acima e o conhecimento de algumas propriedades que se referem a eles, conclui-se que: A alternativa A não é verdadeira. Para comprovar este fato, basta efetuar o cálculo do produto interno entre os vetores (1,0) e (0,1), ou seja, < (1,0), (0,1) > 1 = (1 ⋅ 0 − 0 ⋅ 0 − 1.1 + 4 ⋅ 0.1) = −1 ≠ 0 . Portanto os vetores apresentados não são ortogonais em relação a este produto interno. A alternativa C está errada, pois existe um vetor de 2, por exemplo, o vetor (2,1) tal que T(2,1) = (2,1) e T(1,2) = (4, ½), ou seja, T(2,1) ≠ T(1,2). A alternativa D está errada, pois a imagem do vetor u = (2,0) pela transformação linear citada é diferente do vetor nulo, isto é, T(2,0) = (0,1). Assim, de acordo com a definição do núcleo de uma transformação linear, justifica-se que o vetor u não pertence ao núcleo de T. A alternativa E está errada, pois a definição de produto interno garante que se < v , v >1 = 0, então v é o vetor nulo do 2 e o vetor (0,0) não satisfaz a equação x2 + y2 = 1. Desta forma, conclui-se que a alternativa correta é a B. De fato, T(u) = (2y2,x2/2) é a imagem do vetor u = (x2, y2) e T(v) = (2y1,x1/2) é a imagem o vetor v = (x1,y1), assim o produto interno entre os vetores T(u) e T(v) é o real < T(u) , T(v) >1 = < (2y2,x2/2) , (2y1,x1/2) >1 =2y2.2y1 – (x2/2).2y1 – 2y2.(x1/2) + 4x2/2.x1/2 = 4y2y1 – x2y1 – y2x1 + x2x1 = x1.x2 - y1.x2 – x1.y2 + 4y1.y2 = < u , v >1. Tem-se que o operador T preserva o produto interno entre os vetores. Entende-se que esta questão é de nível de dificuldade médio, pois exige o conhecimento de diversos conceitos e propriedades dos operadores lineares, principalmente o conceito de produto interno em um espaço vetorial. Referências Bibliográficas: ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLBRINI, J. L. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.

ENADE Comentado 2008: Matemática

QUESTÃO 44 Para cada número real k, a equação diferencial y ' ' ( x ) + 2y ' ( x ) + k y ( x ) = 0 possui uma única solução y k (x ) que satisfaz às condições iniciais y k (0) = 0 e y k' (0) = 1. Considere o limite Lk = lim y k ( x ) e analise as seguintes asserções a respeito x → +∞

desse limite. Para qualquer k ∈ (0,1), o valor de Lk é zero porque a equação diferencial dada é não-linear.

A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.

(A)

As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.

(B)

As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. (D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. (E)

Ambas as asserções são proposições falsas.

Gabarito: Alternativa C Autoria: Luiz Eduardo Ourique Comentário: Os conceitos a seguir são necessários para resolver esta questão: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Uma equação diferencial de segunda ordem é dita linear, se puder ser escrita

na forma

y ' ' ( x ) + p( x )y ' ( x ) + q( x ) y ( x ) = g ( x ) .

Esta equação é dita

homogênea, se g ( x ) ≡ 0 , e diz-se que tem coeficientes constantes se p(x ) e q(x ) são constantes. Assim, equação diferencial y ' ' ( x ) + 2y ' ( x ) + k y ( x ) = 0 é uma equação diferencial linear de segunda ordem, com coeficientes constantes e homogênea, o que torna falsa a segunda asserção.

100

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

A solução geral desta equação pode ser calculada através da equação característica: r 2 + 2r + k = 0 , cujas raízes são: r1 = – 1 –

1 − k e r2 = –1 +

1− k .

Por hipótese, k ∈ (0,1), logo as raízes da equação característica r1 e r2 são números reais negativos e diferentes, pois 0 < k < 1 , implica 0 < 1 − k < 1 . A solução geral da equação diferencial dada é:

y k ( x ) = c1e r1x + c 2e r2 x . Por outro lado, o problema de valor inicial, y ' ' ( x ) + 2y ' ( x ) + k y ( x ) = 0 k k  k , = ( 0 ) 0 y  k  ′ y k (0) = 1 possui

uma

única

y k ( x ) = c1e r1x + c 2e r2 x

solução obtemos

y k (x ) .

fato,

derivando

solução

geral

y k ' ( x ) = r1c1e r1x + r2c 2e r2 x . Assim, as condições

c + c = 0 iniciais implicam na solução do sistema  1 2 , cuja solução é única, já que o c1r1 + c 2 r2 = 1 determinante da matriz dos coeficientes do sistema é D =

1 1 = r2 – r1 ≠ 0, r1 r2

pois r1 ≠ r2. Seja Lk = lim y k ( x ) . Então Lk = lim c1e r1x + c 2e r2 x = 0 , pois r1 < 0 e r2 < 0. Ou x →+∞

x → +∞

seja, o limite Lk é nulo, porque o coeficiente k é um número entre 0 e 1, o que mostra que a primeira asserção é uma proposição verdadeira. Assim, concluí-se que a resposta correta é dada no item C. O limite Lk é nulo, porque o coeficiente k é um número real entre 0 e 1, e isso implica que r1 < 0 e r2 < 0. Por outro lado, a segunda asserção é falsa, pois foi visto acima que a equação diferencial dada é linear. As demais alternativas são falsas, pois: a) A alternativa A afirma que as duas asserções são proposições verdadeiras, o que é falso, uma vez que a equação diferencial dada é linear; b) A alternativa B diz que as duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda não é justificativa correta da primeira. De fato, a segunda asserção não

ENADE Comentado 2008: Matemática

101

justifica a primeira, além disso, ela não é uma proposição verdadeira, já que a equação diferencial dada é linear; c) A alternativa D afirma que a primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. No entanto, como vimos acima, a primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa; d) A alternativa E afirma que ambas as asserções são falsas e vimos que a primeira asserção é uma proposição verdadeira. Esta é uma questão difícil, pois a sua resolução exige o conhecimento dos conceitos de solução de uma equação diferencial ordinária, classificação de uma equação diferencial quanto à linearidade e unicidade da solução de um problema de valores iniciais, conceitos geralmente trabalhados em um único semestre. Referências Bibliográficas: BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 7.ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 2005. STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.

102

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

QUESTÃO 45 Considere uma função f:  →  que possui segunda derivada em todo ponto e que satisfaz à seguinte propriedade: f (2 + h ) + f (2 − h ) − 2f (2) = 1. h →0 h2 Um estudante de cálculo diferencial, ao deparar-se com essa situação, escreveu a lim

afirmação seguinte. A segunda derivada f’’(2) = 1 porque g ( x + h ) + g ( x − h ) − 2g ( x ) = g ′′( x ) , qualquer que seja a função g. h →0 h2

lim

Com relação ao afirmado pelo estudante, assinale a opção correta. (A)

As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.

(B)

As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. (D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. (E)

Ambas as asserções são proposições falsas.

Gabarito: Alternativa C Autoria: Liara Aparecida dos Santos Leal Comentário: A questão apresenta uma proposta teórica sobre o conceito de derivada e suas propriedades, sua resolução implica na interpretação lógica das alternativas, além da habilidade no desenvolvimento do cálculo de limites. Uma função f : X →  é derivável em um ponto de acumulação a ∈ X quando existir o limite: lim h →0

f (a + h ) − f (a ) = f ′(a ) . Deve-se lembrar que a ∈  é um h

ponto de acumulação do conjunto X quando a = lim xn, sendo (xn) uma sequência de elementos de X, dois a dois distintos. Sendo definida como um limite, a derivada tem um caráter local.

ENADE Comentado 2008: Matemática

103

Sob as mesmas hipóteses, vale o seguinte resultado: f (a + h ) − f (a − h ) . h →0 2h

Se f é derivável em a, então f ′(a ) = lim

Esta propriedade não é abordada nesta questão, mas o leitor pode demonstrar este resultado como exercício, utilizando a ideia apresentada para resolver o problema proposto. No entanto, a recíproca não é verdadeira: a existência do limite acima, não implica a existência da derivada num ponto. Como contra-exemplo, pode-se considerar a função f ( x ) = x . Esta função não é derivável em x = 0, porém é possível calcular o limite, ou seja, | h | − | −h | f ( h ) − f ( −h ) = lim = 0. h →0 h →0 2h 2h

lim

Vale um resultado análogo para a derivada segunda de f no ponto a: f (a + h ) + f (a − h ) − 2f (a ) . h →0 h2

Se existir f ′′(a ) , então f ′′(a ) = lim

Para demonstrar esta propriedade, utiliza-se um importante teorema envolvendo as derivadas de ordem n de uma função, dado pela Fórmula de Taylor Infinitesimal: Seja f : (c, d ) → IR n vezes derivável no ponto a ∈ (c, d ) . Então, para todo h tal que a + h ∈ (c, d ) , tem-se f (a + h ) = f (a ) + f ′(a ).h +

f ′′(a ) 2 f ( n ) (a ) n r (h ) h + r (h ) , onde lim n = 0 . .h + ... + h →0 h n! 2!

Essa fórmula será utilizada para provar o resultado enunciado acima para a derivada segunda f ′′(a ) . Considerando h > 0 , tal que [a-h,a+h] ⊂ (c,d), e supondo a existência de f ′′(a ) , tem-se que: f (a + h ) = f (a ) + f ′(a ).h +

r1 (h ) f ′′(a ) 2 .h + r1 (h ) , com lim 2 = 0 h →0 h 2!

e f (a − h ) = f (a ) − f ′(a ).h +

r ( −h ) f ′′(a ) 2 .h + r 2 ( −h ) , com lim 2 2 = 0 . 0 h → 2! h

Adicionando membro a membro: f (a + h ) + f (a − h ) = 2f (a ) + f ′′(a ).h 2 + r1 (h ) + r 2 ( −h ) ,

104

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

donde f ′′(a ) =

Calculando

f (a + h ) + f (a − h ) − 2f (a ) r1 (h ) r 2 ( −h ) − 2 − h2 h h2

limite,

para

h → 0,

obtém-se

resultado

desejado,

comprovando que, sob a hipótese da existência da derivada segunda, esta pode ser dada pelo limite: f ′′(a ) = lim

h →0

f (a + h ) + f (a − h ) − 2f (a ) . h2

Faz-se importante observar que, neste caso, a recíproca também não é  x 2, x ≥ 0 . 2 − x , x < 0

verdadeira. Como contra-exemplo, considera-se a função f ( x ) =  Embora não exista f ′′(0) , é possível calcular o limite, ou seja, f (0 + h ) + f (0 − h ) − 2f (0) h2 − h2 = = 0. lim h →0 h →0 h2 h2

lim

Na questão proposta, a função f :  →  possui derivada segunda em todo ponto e satisfaz a propriedade: f (2 + h ) + f (2 − h ) − 2f (2) = 1. h →0 h2

lim

Portanto, está correta a afirmação que f ′′(2) = 1, dada pelo limite acima, já que a derivada segunda existe, por hipótese. Entretanto, não está correto afirmar que a derivada segunda de qualquer função pode ser dada pelo limite. Conforme o contraexemplo mostrado acima, a existência do limite não implica a existência da derivada segunda no ponto. Conclui-se que a resposta correta é a letra C, a primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. A questão pode ser considerada difícil, visto que requer conhecimentos de diversos conceitos e propriedades não elementares relacionadas com a derivada de uma função. Referência Bibliográfica: LIMA, E. L. Curso de Análise. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada – IMPA, 1987. v.1.

ENADE Comentado 2008: Matemática

105

QUESTÃO 46 Considere as integrais complexas

I1 =

∫

1 z= 2

cos πz

z(z − 1)

dz e I 2 =

∫

1 z +1 = 2

cos πz

z(z − 1)

dz .

A soma I1 + I2 é igual a (A)

4πi.

(B)

2πi.

-4πi.

Gabarito: Alternativa B Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos e Augusto Vieira Cardona Comentário: Os conceitos apresentados abaixo variam de autor para autor. Por exemplo, o que um autor entende por curva, outro denomina curva suave. Desta forma, foram selecionados

conceitos

considerados

mais

fácil

apresentação

entendimento, necessitando alterá-los de forma a uniformizar os termos adotados. Uma curva orientada ou paramétrica C no plano complexo é um conjunto de pontos z = (x, y) tais que x = x(t ) e y = y (t ) , com t ∈ [a, b], onde x(t) e y(t) são funções contínuas. Pode-se escrever z = z(t ) , com a ≤ t ≤ b . Se z(a) = z(b), C é dita uma curva fechada. Se não existem dois valores distintos de t em [a, b], t 1 < t 2 , t 1 ≠ a e t 2 ≠ b , tais que z(t 1 ) = z(t 2 ) , diz-se que a curva C é simples (Curva de Jordan). Uma curva é dita suave, se z ′ (t ) existe, é contínua e não se anula para todo t no intervalo (a, b). Um caminho é uma cadeia contínua de curvas suaves. Deve-se observar que o sentido em que a curva C é percorrida com o crescimento do t é chamado sentido positivo de C. Um conjunto D de números complexos é dito aberto, se cada ponto a de D é o centro de um disco aberto de raio positivo r, z − a < r , cujos pontos pertencem todos a D. Um conjunto aberto D de números complexos é dito conexo se, para cada par de pontos de D, existe um caminho constituído de segmentos de reta que os une

106

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

e que se encontra inteiramente contido em D. Um domínio é um conjunto aberto e conexo. Um domínio D é dito simplesmente conexo se toda curva fechada em D contém somente pontos do interior de D. O leitor, também, pode encontrar estes conceitos em Spiegel (1981, p. 9, 10 e 140) e em Churchill (1975, p. 16, 17 e 104). Diz-se que uma função f(z) é analítica num ponto z0 , se sua derivada f’(z) existe não só em z 0 como também em todo ponto z contido em algum disco aberto

z − z 0 < r . Diz-se que uma função é analítica num domínio D se ela é analítica em todo ponto de D. Conforme o Teorema Integral de Cauchy ou de Cauchy – Goursat: Se f(z) é uma função analítica num domínio simplesmente conexo D, então para todo caminho fechado C contido em D, tem-se

∫ f (z) dz = 0 .

Segundo a Fórmula Integral de Cauchy, pode-se afirmar que: Se f(z) é uma função analítica num domínio D limitado por um caminho fechado C e z0 é um ponto qualquer de D, então

f (z)

∫z−z

dz = 2π i f ( z 0 )

onde a integração é efetuada no sentido positivo ao longo de C.

1/2 z =

1 2

Figura 1: Caminhos

-1

-1/2

1 z +1 = 2

z =

1 1 e z +1 = no plano complexo. 2 2

ENADE Comentado 2008: Matemática

107

Serão aplicados os teoremas acima para resolver as duas integrais desta questão. Observa-se na figura 1 que a função f ( z ) = limitado pela curva z =

cos πz

(z − 1)2

é analítica no domínio

1 , e que z0 = 0 é um ponto deste domínio. Desta forma, 2

obtemos, da Fórmula Integral de Cauchy, I1 =

∫ z=

cos πz

1 2

z(z − 1)

 cos πz  dz = 2πi  = 2πi . 2   (z − 1)  z =0

Quando o sentido de uma curva não é mencionado, considera-se sendo este o sentido positivo. Nota-se, também, na figura 1, que a função f ( z ) = analítica no domínio limitado pela curva z + 1 =

cos πz

z(z − 1)

1 . Portanto, pelo Teorema Integral 2

de Cauchy, obtém-se que:

I2 =

∫

1 z +1 = 2

cos πz

z(z − 1)

dz = 0 .

Finalmente, conclui-se que I1 + I 2 = 2πi , ou seja, a alternativa correta é a alternativa B. Considera-se a questão fácil, uma vez que é uma aplicação direta dos teoremas de Cauchy. Referências Bibliográficas: ÁVILA, G. S. de S. Variáveis complexas e aplicações. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e suas aplicações. São Paulo: McGrawHill, 1975. COLWELL, P.; MATHEWS, J. C. Introdução às variáveis complexas. São Paulo: Edgard Blucher, 1976. SPIEGEL, M. R. Variáveis complexas: com uma introdução as transformações conformes e suas aplicações: resumo da teoria, 379 problemas resolvidos, 973 problemas propostos. São Paulo: McGraw-Hill, 1981.

108

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

QUESTÃO 47 Considere o grupo G das raízes 6-ésimas da unidade, isto é, o grupo formado pelos números complexos z, tais que z6 = 1. Com relação ao grupo G, assinale a opção correta.

(A)

O grupo G é cíclico.

(B)

G é um grupo de ordem 3.

2πi 5

é um elemento primitivo de G.

(D) Existe um subgrupo de G que não é cíclico. (E)

Se z é um elemento primitivo de G, então z2 também é um elemento primitivo de G.

Gabarito: Alternativa A Autoria: Neda da Silva Gonçalves, Thaisa Jacintho Müller e Virgínia Maria Rodrigues Comentário: Para analisar a questão, são necessários os conceitos de grupo, grupo cíclico, subgrupo, ordem de um grupo, elementos primitivos de um grupo e, mais especificamente, o grupo multiplicativo das raízes sextas da unidade em ℂ. Conhecimentos estes que poderão ser ampliados em Garcia e Lequain (2002). A questão trata do grupo formado pelas soluções complexas da equação z6 = 1. Desde o Ensino Médio, trabalha-se com as raízes da unidade no conjunto dos números complexos, portanto, com facilidade obtêm-se as soluções dessa equação, que geometricamente representam vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência unitária. Na forma trigonométrica, essas soluções são: cos

2(k − 1)π 2(k − 1)π + i sin , k = 1, 2, 3, ...., n, n n

Para n = 6, tem-se o conjunto: {1,

1 3 1 1 3 3 1 3 i, − i , -1, − − i} + i, − + 2 2 2 2 2 2 2 2

e, na forma exponencial desses complexos, tem-se o grupo: πi

({1, e 3 , e

2πi 3

, e πi , e

4πi 3

5πi 3

} , ⋅ ).

ENADE Comentado 2008: Matemática

109

Observe que os arcos determinados no círculo unitário medem πi

πi

(e 3 )0 = 1, (e 3 )1 = e 3 ,(e 3 ) 2 = e

2πi 3

πi

,(e 3 )3 = e πi ,(e 3 ) 4 = e

4πi 3

π 3

πi

, (e 3 ) 5 = e

5πi 3

πi

isto é, o grupo é cíclico gerado por e 3 . Assim, a alternativa correta é a A e as demais alternativas são falsas, pois: Alternativa B – conforme se observa, no grupo criado acima, a ordem de G é 6, pois possui 6 elementos. πi

Alternativa C – as únicas raízes primitivas da unidade nesse grupo são e 3 e e ou seja, e

2πi 6

10πi 6

5πi 3

Alternativa D – os subgrupos de G, possuem 6, 3, 2 ou 1 elementos (Teorema de Lagrange). O próprio grupo, como já foi visto, é cíclico e os outros possuem menos de 5 elementos, o que permite afirmar que também são cíclicos. πi

Alternativa E – e

é primitivo e e

2πi 3

não o é.

Esta questão tem nível de dificuldade médio, pois, embora o conteúdo de números complexos seja trabalhado desde o ensino médio, sua relação com a estrutura de grupo cíclico compõe um conteúdo algébrico que não é dos mais fáceis. Referência Bibliográfica: GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002.

110

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

QUESTÃO 48 No plano 2, considere que o conjunto Q consiste dos lados de um quadrado de lado unitário. Nesse conjunto, pode-se definir uma métrica d da seguinte maneira: dados dois pontos distintos, A, B ∈ Q, d(A,B) é definida como o comprimento euclidiano da menor poligonal contida em Q e com extremidades A e B, e d(A,B) = 0, se A = B, conforme ilustra a figura abaixo.

B t

d(A, B) = s + t

A s

O espaço métrico Q, munido da métrica d,

(A)

tem diâmetro igual a

(B)

possui um par de pontos tais que d(x,y) ≠ d(y,x).

(C) é um subespaço métrico do plano 2 munido da métrica euclidiana. (D) coincide com uma bola aberta de centro em um dos vértices de Q e de raio 3 na métrica d. (E)

é igual à união de duas bolas abertas de centros em vértices distintos de Q e de raio 1 na métrica d.

Gabarito: Alternativa D Autoria: Augusto Vieira Cardona e Maria Beatriz Menezes Castilhos Comentário: Para analisar a questão é necessário o conhecimento dos conceitos de métrica, espaço métrico, subespaço métrico, bola aberta e diâmetro de um espaço métrico. Uma métrica de um conjunto M é uma função d: M × M →  tal que para quaisquer x, y, z ∈ M tem-se que: a. d(x,x) = 0; b. Se x ≠ y, então d(x,y) > 0;

ENADE Comentado 2008: Matemática

111

c. d(x,y) = d(y,x); d. d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z). Neste caso, diz-se que o par (M, d) é espaço métrico, ou seja, um espaço métrico é um conjunto M dotado de uma métrica d. Por exemplo, o plano 2 = {(x,y); x, y ∈ }, dotado da métrica euclidiana d (( x1, x 2 ), ( y 1, y 2 )) = ( x1 − x 2 )2 + ( y 1 − y 2 )2 ,

é um espaço métrico. Tem-se que um subconjunto S de M, dotado da restrição da métrica d ao conjunto S × S, é um subespaço métrico de M. Define-se bola aberta em M, de centro a e raio r, ao conjunto B(a;r) = {x ∈ M; d(x,a) < r}. Tem-se, também, que um subconjunto X de um espaço métrico M é dito limitado, se existe uma constante c > 0 tal que d(x,y) ≤ c para quaisquer x, y ∈ X e define-se o diâmetro de X como diam(X) = sup{d(x,y); x, y ∈ X}. Considerando os conceitos apresentados acima, conclui-se que: a) A alternativa A está errada, pois o maior valor para a métrica d será obtido entre dois vértices não consecutivos e este valor será a soma dos comprimentos euclidianos de dois lados do quadrado Q, ou seja, o diâmetro de Q será igual a 2; b) A alternativa B está errada, pois discorda da terceira condição que uma métrica deve satisfazer; c) A alternativa C está errada, pois, para Q ser um subespaço métrico do 2, Q deveria ser dotado da mesma métrica do 2 e não da métrica d definida no problema. d) A alternativa E está errada, pois, mesmo que os vértices não sejam consecutivos, pelo fato das bolas serem abertas, os outros dois vértices estariam fora deste conjunto, ou seja, ele não seria igual ao espaço métrico Q. Para compreender este raciocínio, observe que uma bola aberta na métrica d, de centro em a e raio r, consistiria de todos os pontos x de Q tais que o comprimento euclidiano da menor poligonal contida em Q com extremidades a e x seja menor que r. Assim, uma bola aberta na métrica d, de centro em um vértice a de Q e raio 1, consistiria dos dois lados do quadrado Q, adjacentes a a, excluindo as extremidades desses lados, diferentes de a. 112

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

Desta forma, conclui-se que a alternativa correta é a D, pois uma bola centrada em qualquer ponto a de Q com um raio r qualquer, maior que o diâmetro de Q, diam(Q) = 2 < r = 3, coincidiria com Q. Isto ocorre porque esta bola deverá, por definição, estar contida em Q e, para qualquer ponto x de Q, tem-se d(x,a) < r, ou seja, Q estará contido na bola. Entende-se que esta questão é difícil, por exigir o conhecimento de diversos conceitos sobre espaços métricos e porque as alternativas D e E exigem uma leitura muito cuidadosa para não se cometer um erro de avaliação. O candidato poderia optar pela alternativa E, ao não perceber que, pelo menos, os outros dois vértices ficariam de fora. Além disto, uma análise apressada da alternativa D, observando que o raio da bola é três, maior do que o diâmetro de Q, poderia levar à conclusão de que esta alternativa está errada. Referência Bibliográfica: LIMA, E. L. Espaços métricos. 2. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1977.

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113

QUESTÃO 49 Quando uma partícula desloca-se ao longo de uma curva C parametrizada por →

r (t)=(x(t),y(t),z(t)), t ∈ [a,b], sob a ação de um campo de força F em 3, o trabalho realizado ao longo de C é dado por →

b →

∫ F ⋅ dr = ∫ F (r(t )) ⋅ dt (t )dt .

C →

Se F (r ) = f (| r |)

r , em que f:  →  é uma função contínua e r = x 2 + y 2 + z 2 , |r |

→

então F = grad(g( r )) , em que g é uma primitiva de f. Considerando essas →

informações, conclui-se que o trabalho realizado pelo campo F (r ) =

2π r ao longo | r |2

da hélice C dada por r (t) = (cos(t), sen(t), t), t ∈ [0, 2π], é:

(A)

– 2π ln(1+4π2).

(B)

  1 − 1 . –6π   [1 + 4π 2 ] 3   

 1 (C) 2π 1 −  1 + 4π 2 

 .  

(D) 4π ln 1 + 4π 2 . (E)

2π ln 1 + 4π 2 .

Gabarito: Alternativa E Autoria: Luiz Eduardo Ourique Comentário: →

A integral de linha

∫ F ⋅ dr é interpretada como o trabalho realizado pelo campo

C →

vetorial F ao longo de uma curva C. Se a curva C é uma curva dada pela equação → →

vetorial r(t), com a ≤ t ≤ b , então o trabalho também é denotado por ∫ F ⋅T dr , a integral C

→

da componente escalar de F na direção do versor tangente a curva C.

114

Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

Quanto à segunda afirmação, observa-se que, se g é uma primitiva de f, então g ′( x ) = f ( x ) . Assim, g ( r ) = g

(

∂g = g′ x 2 + y 2 + z2 ∂x

)

+ y 2 + z2 e

x x +y +z 2

→

que é a primeira componente de F (r ) = f (| r |)

= g ′(| r |)

x x = f (| r |) , |r| |r|

r . Repetindo este procedimento |r|

→

para a segunda e a terceira componentes de F (r ) , chega-se à demonstração de que →

→

F (r ) = grad(g( r )) . Lembrando que um campo vetorial F é dito conservativo, se ele →

é o gradiente de alguma função escalar f. Neste caso, f é dita potencial de F . Pode-se resolver esta questão de duas formas diferentes: Solução1: →

Partindo do campo vetorial F (r) = f: + → +, dada por f ( x ) =

2π 2π r , define-se a função contínua r= 2 |r||r| |r|

2π . Então g ( x ) = ∫ f ( x )dx = 2π ln( x ) x

é uma

primitiva de f. As extremidades da hélice C são os pontos A(1,0,0) e B(1,0,2π). Como visto →

acima, o campo vetorial F (r) =

2π r é um campo vetorial conservativo, pois | r |2

→

F (r ) = grad(g( r )) .

Assim, integral de linha que corresponde ao cálculo do trabalho é igual a diferença do potencial g nas extremidades de C: →

∫ F dr = g(B) – g(A) = 2π(ln |B| – ln |A|) =

= 2π( ln

12 + 02 + (2π )2 – ln

12 + 02 + 02 ) = 2π ln

1 + 4π 2 .

Solução 2: →

Calculando o campo vetorial F na hélice r (t) = (cost, sent, t), obtém-se que |r | =

cos 2 t + sen 2 t + t 2 =

1+ t 2

ENADE Comentado 2008: Matemática

115

e, portanto: →

F (r ) =

2π 2π (cos t, sent, t ) . r= 2 1+ t 2 |r|

O vetor velocidade é o vetor →

na integral definida é igual a F ⋅

dr (t ) = (–sent, cost, 1). Assim, o produto escalar dt

2π dr (− sent cos t + sent cos t + t ) = 2π 2 . (t ) = 2 dt 1+ t 1+ t

Desta forma, o trabalho realizado é igual a integral definida de linha (conforme a primeira afirmação acima): →

∫ F dr =

2π

2π 2πt 2 dt π ln( 1 + t ) = = 2 ∫0 1 + t 0

= π (ln(1 + (2π ) 2 ) − ln(1 + 0 2 )) = π ln(1 + 4π 2 ) = 2 π ln 1 + 4π 2 , usando a propriedade n ln x = ln xn. A resposta correta é a alternativa E. Através do cálculo direto, vemos que as demais alternativas estão erradas. Esta questão é de nível de dificuldade médio, considerando que a sua resolução envolve conhecimentos mais avançados do Cálculo e do Cálculo Vetorial, como propriedades dos campos vetoriais conservativos, e definição do trabalho como uma integral de linha. A solução 1 é mais elegante, uma vez que prescinde da parametrização da curva, ao contrário da solução 2, que usa a definição da integral de linha. Referências Bibliográficas: BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 7.ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 2005. STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J.; GIORDANO, F. R. Cálculo. 11.ed. São Paulo: Addison Wesley, 2009.

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Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

QUESTÃO 50 Efetuando-se o produto das séries de Taylor, em torno da origem, das funções reais f (x) =

1 e g ( x ) = ln(1 + x ) , obtém-se, para x < 1, o desenvolvimento em série de 1+ x

potências da seguinte função:

ϕ( x ) =

ln(1 + x ) 1 1 1 1 1 1    = x − 1 +  x 2 + 1 + +  x 3 − 1 + + +  x 4 +... 1+ x  2  2 3  2 3 4

O coeficiente de xn na série de potências de ϕ ' , a derivada de primeira ordem da função ϕ , é igual a: 1 1 + ... + 2 n

(A)

(B)

1 1  ( −1) n n 1 + + ... +  n  2

(C)

1   1 ( −1) n (n + 1)1 + + ... +  n + 1  2

(D)

1 1 1   (n + 1) 1 + + ... + +  n +1 n + 2  2

(E)

1 1  1 1   ( −1) n n 1 + + ... +  1 + + ... +  n  2 n + 1  2

Gabarito: Alternativa C Autoria: Cláudia Helena Fettermann Batistela e Luiz Carlos Renz Comentário: Uma série de potências é uma série da forma: ∞

∑c n =0

x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 +... ,

em que x é a variável e cn , com n = 0, 1, 2, 3, ..., são constantes chamadas coeficientes da série. Esta série pode convergir para todo x real, em apenas um ponto ou em um intervalo I, chamado intervalo de convergência da série. Uma série de potências é uma função derivável, cujo domínio é o intervalo de convergência, e pode-se determinar a função derivada pela derivação de cada termo da série, como se faz para um polinômio. Um estudo a respeito deste assunto pode ser ampliado em Stewart (2006). ENADE Comentado 2008: Matemática

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O coeficiente de xn em ϕ ' ( x ) é determinado a partir do termo de xn

+ 1

ϕ (x ) . Desta forma, considerando que:

ϕ( x ) =

ln(1 + x ) 1 1 1    = x + ( −1)1 1 +  x 2 + ( −1) 2 1 + +  x 3 + ( −1)3 1 + 1+ x 2 2 3    1 1 1 1   + ... + ( −1) n −1 1 + + + ... +  x n + ( −1) n 1 + + n 2 3 2  

1 1 1 4 + +  x +... 2 3 4 1 1  n +1 + ... +  x + ... n + 1 3

verifica-se que:  

1 2

1 1 2 1 1 1   +  x − 4 1 + + +  x 3 + ... +  2 3  2 3 4 1 1 1 1 1 1  n   + ( −1) n −1 (n ) 1 + + + ... +  x n −1 + ( −1) n (n + 1) 1 + + + ... +  x + ... n n + 1  2 3  2 3

ϕ ' ( x ) = 1 − 2 1 +  x + 3 1 +

ou seja, o coeficiente de xn encontra-se, então, no item C das opções apresentadas. Esta questão é fácil, pois, para resolvê-la, somente é necessário o conhecimento de derivação de função polinomial. Referência Bibliográfica: STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.

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Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

QUESTÃO 51 – DISCURSIVA Considere uma função derivável f:  →  que satisfaz à seguinte condição: Para qualquer número real k ≠ 0, a função g k (x ) definida por g k ( x ) = x − kf ( x ) não é injetora. Com base nessa propriedade, faça o que se pede nos itens a seguir e transcreva suas respostas para o Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados. a) Mostre que, se g k′ ( x 0 ) = 0 para algum k ≠ 0, então f ′( x 0 ) =

1 . k

b) Mostre que, para cada k ∈  não-nulo, existem números α k e β k tais que g k (α k ) = g k ( β k ) . Além disso, justifique que, para todo k ∈  não-nulo, existe um número θ k tal que g k′ (θ k ) = 0 . c) Mostre que a função derivada de primeira ordem f’ não é limitada. Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos Comentário: a) Pela definição de g k (x ) , segue que g k′ ( x ) = 1 − kf ′( x ) . Portanto, sendo g k′ ( x 0 ) = 0 e k ≠ 0, tem-se que g k′ ( x 0 ) = 1 − kf ′( x 0 ) = 0 , então f ′( x 0 ) =

1 . k

b) Como, por hipótese, a função não é injetora, então existem pelo menos dois pontos com a mesma imagem pela função g k . Para cada k ∈ , esses pontos escolhidos podem ser denotados por α k

e β k , obtendo-se, então,

g k (α k ) = g k ( β k ) . Aplicando o Teorema do Valor Médio para a função g k , no intervalo [α k , β k ] , obtém-se um ponto no interior desse intervalo que será denotado por θ k , que satisfaz a condição g k′ (θ k ) =

g k ( β k ) − g k (α k ) = 0. βk − αk

c) Então, como foi visto acima, para cada k ≠ 0, existe um número θ k tal que g k′ (θ k ) = 0 (passo b) e, portanto, f ′(θ k ) =

1 (passo a). Como k é um número real k

qualquer diferente de zero, então a derivada de f não é limitada, uma vez que se pode escolher k arbitrariamente próximo de zero, o que implica que existem números reais nos quais a derivada de f é arbitrariamente grande.

ENADE Comentado 2008: Matemática

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Esta questão pode ser considerada de nível médio de dificuldade, pois os itens a, b e c apresentam os passos para a solução da questão, induzindo a escolha dos resultados a serem usados nessa demonstração. Referência Bibliográfica: LIMA, E. L. Curso de análise. 4.ed. Rio de Janeiro: IMPA,1982.

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Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

LISTA DE COLABORADORES

Augusto Vieira Cardona Cármen Regina Jardim de Azambuja Cláudia Helena Fettermann Batistela Francisco Alberto Rheingantz Silveira Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann Hélio Radke Bittencourt Ivan Ricardo Tosmann João Feliz Duarte de Moraes Liara Aparecida dos Santos Leal Luiz Carlos Renz Luiz Eduardo Ourique Mara Lúcia Müller Botin Maria Beatriz Menezes Castilhos Marilene Jacintho Müller Marisa Magnus Smith Monica Bertoni dos Santos Neda da Silva Gonçalves Ruth Portanova Thaisa Jacintho Müller Vanessa Martins de Souza Vera Lúcia Martins Lupinacci Virgínia Maria Rodrigues

ENADE Comentado 2008: Matemática

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