Fluidos no Newtonianos by Danilo Zuñiga

Capítulo 13

Fluidos no newtonianos.

Fluidos no newtonianos. Muchos líquidos y mezclas de líquidos y sólidos no obedecen a la ley de Newton a esos fluidos se les llama no- newtonianos.

Figura.- Diferentes fluidos y su clasificación. La ley de Newton establece que: 𝜏𝑤 = −𝜇

𝑑𝑢 𝑑𝑟

En donde μ es la viscosidad absoluta; 𝜏𝑤 es el esfuerzo cortante en la pared y 𝑑𝑢 es 𝑑𝑟 la velocidad de corte. En un fluido que sigue la ley de Newton se observa que: 

- du / dy Es decir que la viscosidad es constante a cualquier velocidad. 𝜇=

𝜏𝑤 𝑑𝑢 − 𝑑𝑟

Todos los gases y un buen número de fluidos siguen la ley de Newton. Existen sin embargo, muchos fluidos que no siguen ese comportamiento. Entre los fluidos no newtonianos que con más frecuencia se encuentran en la industria alimentaria están: Fluidos Bingha. Son aquellos que necesitan de un cierto esfuerzo para comenzar a fluir. Como ejemplo tenemos muchas de las pastas. Margarina, mezclas de chocolates, grasas, jabones, etc.



0

- du / dy Figura 1.- Reograma de un fluido Bingham

Como se ve estos fluidos presentan la característica de que para que fluyan se necesita aplicar un esfuerzo inicial sobre el material, llamado esfuerzo de cedencia, τ0. La ecuación que representa el comportamiento de estos fluidos es:

 0 

du dr

Fluidos seudoplásticos. Son aquellos en lo que la viscosidad decrece al aumentar la velocidad de corte. Como ejemplos tenemos las soluciones poliméricas de alto peso molecular, la pulpa de papel, la mayonesa, las pinturas y gran número de fluidos que se procesan en la industria alimentaria. La mayoría de los fluidos relacionados con la industria alimentaria presentan este comportamiento, ya sea simple o ligado con el Bingham. La forma en que se comportan estos fluidos puede representarse mediante la ecuación siguiente, llamada ecuación de las potencias.

 du    dr 

  a 

 du  a  K   dr  n 1

n 1

Siendo μa la viscosidad aparente n el índice de comportamiento del fluido K el índice de consistencia.

El comportamiento de estos fluidos en un reograma se observaría de la siguiente forma:

μa



du dr

Figura 2.- Reograma de un fluido pseudoplástico.

Fluidos dilatantes. En ellos la viscosidad aumenta al aumentar el gradiente de velocidad

μa



du dr Figura 3.- Reograma de un fluido dilatante

 du    dr 

  a 

 du  a  K   dr  n 1

n 1

A estos fluidos se les puede aplicar la ley de las potencias, pero en ellos n es siempre mayor de 1. La mayoría de los fluidos no-newtonianos que se encuentran en la industria alimentaria son pseudoplásticos. Fluidos Herschel-Bulkley. Estos fluidos son una mezcla de los fluidos Bingham y los pseudoplásticos. Es

decir requieren de un esfuerzo para comenzar a fluir, pero una vez que lo hacen su comportamiento se asemeja más a l de un fluido pseudoplático.

𝜏𝑥𝑦

𝑑𝑢𝑥 𝑛 = −𝑚 ( ) + 𝜏𝐻 𝑑𝑦

El modelo de Herschel-Bullkley contiene tres parámetros empíricos; m, n y 𝜏𝐻 , que se obtienen ajustando los datos experimentales que definen el reograma de la sustancia. Fluidos Casson. El modelo de Casson es del tipo semiempírico, aunque su fundamento es teórico su extensión y aplicación se han empleado diversos tipos de suspensiones. La ecuación de Casson es del tipo visco plástico, es decir, tiene un esfuerzo límite τ C y presenta la forma matemática siguiente: 𝑑𝑢𝑥 ) + √𝜏𝑐 √𝜏𝑥𝑦 = −𝜂𝐶 √( 𝑑𝑦

La ecuación anterior tiene dos parámetros constantes, cuyos valores se obtienen de forma experimental. Este modelo se usa para describir el comportamiento del alimentos y materiales biológicos tales como: la sangre, el yogurt, el puré de tomate, el chocolate fundido, etc. así como el comportamiento de algunas suspensiones y líquidos de formas farmacéuticas. Fluidos dependientes del tiempo. También dentro de los no-newtonianos tenemos los fluidos reopécticos y los

tixotrópicos, que a diferencia de los demás, su comportamiento depende del esfuerzo cortante aplicado con el tiempo.

Tixotrópico



du dr

Reopéctico

Tiempo

Figura 4.- Reograma de fluidos reopécticos y tixotrópicos. Los fluidos reopécticos muestran un incremento de la viscosidad aparente respecto al tiempo. Son ejemplo de ello algunos coloides, soles, arcillas, bentonitas y suspensiones de yeso. Los fluidos tixotrópicos muestran una disminución de la viscosidad aparente con el tiempo, como ejemplo tenemos a las pinturas y la salsa cátsup. En la práctica se encuentran combinaciones de varios comportamientos. Viscosímetros. La viscosidad de los fluidos no newtonianos no se encuentra reportada en la literatura por lo que debe obtenerse experimentalmente mediante el empleo de aparatos llamados viscosímetros. Entre los más empleados están:

Figura 5.- Viscosímetro Brookfield.

Figura 6.- Reómetro de Stormer.

Viscosímetro rotacional Brookfield. Los viscosímetros rotacionales son útiles en un amplio intervalo de viscosidades y particularmente son valiosos para el estudio de sistemas no newtonianos. Normalmente se emplean en el campo superior a los 50 poises. .Los viscosímetros de rotación emplean la idea de que la fuerza requerida para rotar un objeto inmerso en un fluido puede indicar la viscosidad del fluido. El más común de los viscosímetros de rotación son los del tipo Brookfield que determina la fuerza requerida para rotar un disco o cilindro en un fluido a una velocidad conocida. El viscosímetro rotacional está compuesto de: cilindro giratorio, cilindro estacionario (bob), resorte de restitución, dial de lectura directa, un sistema de engranaje y perillas para el cambio de velocidades y un vaso contenedor de muestra de fluido. Son instrumentos de medición y control de viscosidad, indispensables en el control de calidad de innumerables productos. Todos se suministran con certificado de fábrica, juego de agujas, instructivo, estuche y soporte. Todos los viscosímetros Brookfield utilizan el conocido principio de la viscosimetria

rotacional; miden la viscosidad captando el par de torsión necesario para hacer girar a velocidad constante un husillo inmerso en la muestra de fluido. El par de torsión es proporcional a la resistencia viscosa sobre el eje sumergido, y en consecuencia, a la viscosidad del fluido.

Si el cilindro interior rota dentro del líquido a ciertas revoluciones por minuto (RPM) a este movimiento se opone una fuerza que actúa sobre las paredes del cilindro.

𝐹=

𝑇𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑅

Y el esfuerzo cortante sobre el cilindro es: 𝑇

𝑅

2𝜋𝑅𝐿

𝜏𝑤 = ×

𝑇 2𝜋𝐿𝑅 2

El esfuerzo cortante o flujo de momentum está relacionado con la viscosidad por:

𝜏𝑊 = −𝜇𝜴 = 𝟐𝝅(𝑹𝑷𝑴)

Caídas de presión a régimen laminar par fluido Bingham.

El modelo de fluido Bingham puedes ser representado en términos de esfuerzos cortantes (τ) contra velocidad cortante. (𝛾) , o como viscosidad aparente (μa )contra velocidad de corte.

𝜏 = 𝜏𝑜 + 𝜇𝛾

𝜇𝑎 =

𝜏 𝜏𝑜 = +𝜇 𝛾 𝛾

La viscosidad absoluta se aproxima a la viscosidad aparente conforme se va incrementando la velocidad de corte., de manera que un fluido Bigham se comporta como un fluido newtoniano a altas velocidades.

Las pérdidas por fricción que causa el paso de estos fluidos por el interior de tuberías se puede calcular por: ∑𝐹 𝑀

=2𝑓𝐵𝐿

𝑢2 𝐷

Para encontrar el factor de fricción Bingham a régimen laminar se puede usar la expresión:

𝑓𝐵𝐿

4 16 𝑁𝐻𝑒 𝑁𝐻𝑒 = [1 + − 3 ] 𝑅𝑒 6 𝑅𝑒 3𝑓𝐵𝐿 𝐿𝑅𝑒 7

En donde Re es el número de Reynolds, NHe es el número de Hedstrom. El factor de fricción de Bingham para flujo laminar f BL está implícito y debe resolverse por iteraciones, pero como el último término de la ecuación es normalmente pequeño, el valor de f BL obtenido por omisión de este término es un buen punto para empezar la solución iterativa.

𝑁𝐻𝐸 =

𝜌 𝜏𝑜 𝐷 2 𝜇𝑎2

Y ReB= 4 Ca ρ/πDμa

Problema 1. Un fluido Bingham fluye a razón de 0.00158 m3/s por un ducto de 0.0348 m de diámetro interno. El fluido tiene una densidad de 1250 kg/m3 y un τo = 157, una viscosidad aparente de 0.05 P-s. ¿Cuál será la caída de presión por metro de tubo?

1.- Planteamiento. 1.1.- Caída de presión. ∑𝐹 𝑀

=2𝑓𝐵𝐿

𝑢2

En donde:

𝐷

𝑓𝐵𝐿 =

4 16 𝑁𝐻𝑒 𝑁𝐻𝑒 [1 + − 3 7] 𝑅𝑒 6 𝑅𝑒 3𝑓𝐵𝐿 𝑅𝑒

𝑁𝐻𝐸

𝜌 𝜏𝑜 𝐷 2 = 𝜇𝑎2

ReB= 4 Ca ρ/πDμa

2.- Cálculos. 2.1.- Velocidad. 𝑢=

0.00158 𝑚 = 1.66 2 0.785(0.0348) 𝑠

2.2.- Número de Reynolds.

𝑅𝑒 =

4𝐶𝑎𝜌 4 × 0.00158 × 1250 = = 1445 𝜋𝐷𝜇𝑎 𝜋 × 0.0348 × 0.05

2.3.- Número de Hedstrom.

𝑁𝐻𝐸 =

𝜌 𝜏𝑜 𝐷2 1250×(0.0348)2 157 2 𝜇𝑎

(0.05)2

= 95066

2.4.- factor de fricción Despreciando el último término.

𝑓𝐵𝐿 =

16 𝑁𝐻𝑒 16 95066 [1 + ]= [1 + ] = 0.1324 𝑅𝑒 6 𝑅𝑒 1445 6 × 1445

Colocando este valor en la ecuación:

𝑁

𝑁4

95066

(95066)4

𝑓𝐵𝐿 = 𝑅𝑒 [1 + 6 𝐻𝑒 − 3𝑓3𝐻𝑒 ]= [1 + 6×1445 − 3(0.1324)3 (1)(1445)7 ] = 0.1232 𝑅𝑒 𝑅𝑒 7 1445 𝐵𝐿

2.5.- Pérdidas por fricción.

∑𝐹 𝑀

=2𝑓𝐵𝐿

𝑢2 𝐷

L=2 × 0.1232 ×

(1.66)2 0.0348

× 1 = 19.51

𝐽 𝑘𝑔

2.6.- Caída de presión.

∆𝑃 = 19.51

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐽 𝑘𝑔 𝑘𝑔 × 1250 3 = 24388𝑃𝑎 = 0.25 2 𝑘𝑔 𝑚 𝑐𝑚

3.- Resultado. Se espera una caída de presión de 0.25 kg / cm2 por cada metro de tubo.

Caídas de presión a régimen turbulento para fluidos Bingham. Las caídas de presión a régimen turbulento para los fluidos Bingham se calculan por medio de la ecuación:

∆𝑃 = 2𝑓𝐵

𝑢2 𝜌 𝐷

En donde fB = es el factor de fricción de Bingham que se calcula por medio de: 1

𝑚 𝑚 )𝑚 𝑓𝐵 = (𝑓𝐵𝐿 + 𝑓𝐵𝑇

Siendo m =1.7+40 000/𝑅𝑒𝐵 Y ReB= 4 Ca ρ/πDμa En donde fBT es el factor de Bingham turbulento.

𝑓𝐵𝑇 = 10𝑎 𝑅𝑒 −0.193

Y el factor 𝑎 = −1.378(1 + 0.146 exp(−2.9 × 10−5 𝑁𝐻𝐸 NHE es el número de Hedstrom.

𝑁𝐻𝐸 = El factor fBL es el factor de Bingham laminar

𝜌 𝜏𝑜 𝐷 2 𝜇𝑎2

𝑓𝐵𝐿 =

(𝑁𝐻𝐸 )4 16 𝑁𝐻𝐸 [1 + − ] 𝑅𝑒 6 𝑅𝑒 3(𝑓𝐵𝐿 )3 (𝑅𝑒)7

Ejemplo 2. Una pasta se bombea a través de una línea de tubería cuyo diámetro interno es de 0.4413 m con un caudal de 400 m3/h. El fluido se comporta como un fluido Bingham con las siguientes propiedades (a la temperatura de operación): τo = 2 N /m2; μa = 0.03 Pa-s; ρ=1500 kg /m3 ¿Cuál es el factor de fricción para este sistema y cuál es la caída de presión esperada por metro de tubo? 1.- Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Caída de presión. Para flujo turbulento y fluido Bingham.

∆𝑃 = 2𝑓𝐵

𝑢2 𝜌 𝐷 1

𝑚 𝑚 )𝑚 𝑓𝐵 = (𝑓𝐵𝐿 + 𝑓𝐵𝑇

Siendo m =1.7+40 000/𝑅𝑒𝐵

3.- Cálculos. 3.1.- Reynolds.

𝑅𝑒 =

𝐶𝑎 4𝜌 400 × 4 × 1500 = = 16030 𝜋𝐷 𝜇𝑎 3600 × 𝜋 × (0.4413) × 0.03

3.2.- Número de Hedstrom.

𝜌𝜏𝑜 𝐷2 1500 × 2 × (0.4413)2 = = 649200 𝜇𝑎2 0.032

𝑁𝐻𝐸 = 3.3.- Factor laminar.

Sustituyendo los valores en la ecuación del factor laminar de Bingham y resolviendo por tanteos encontramos que:

𝑓𝐵𝐿 =

(𝑁𝐻𝐸 )4 16 𝑁𝐻𝐸 [1 + − ] 𝑅𝑒 6 𝑅𝑒 3(𝑓𝐵𝐿 )3 (𝑅𝑒)7

𝑓𝐵𝐿 = 0.007138 3.4.- Factor turbulento. Factor 𝑎 = −1.378(1 + 0.146 exp(−2.9 × 10−5 𝑁𝐻𝐸 )=-1.378

𝑓𝐵𝑇 = 10𝑎 𝑅𝑒 −0.193

𝑓𝐵𝑇 = 10−1.378 (16030)−0.193 = 0.006463 3.5.- Factor de fricción total. 1

𝑚 𝑚 )𝑚 𝑓𝐵 = (𝑓𝐵𝐿 + 𝑓𝐵𝑇

m =1.7+40 000/𝑅𝑒𝐵

𝑚 = 1.7 +

40000 16030

=4.2

𝑓𝐵 =((0.007138)4.2 + (0.006463)4.2 )4.2 =0.00805

3.6.- Caída de presión.

𝑢=

400 𝑚 = 0.7268 3600 × 0.785 × (0.4413)2 𝑠

∆𝑃 = 2𝑓𝐵

𝑢2 𝜌 𝐷

=2 × 0.00805

(0.7268)2 ×1500 0.4413

= 28.9

𝑃𝑎 𝑚

4.- Resultado. La caída de presión esperada es de 28.9 Pascales por cada metro de tubería.

Fluidos que siguen la ley de las potencias.

Debido a la alta viscosidad de los fluidos no-newtonianos, la mayoría del transporte por tuberías se hace a flujo laminar. A flujo laminar se puede emplear la ecuación de Hagen y Poiseuille.

R P1 P2

Si por un ducto de longitud L y diámetro R fluye un fluido a régimen laminar entonces:

∆𝑃 𝐴 = 𝜏𝑤 𝑆 Y por lo tanto:

∆𝑃𝜋𝑟 2 = 𝜏𝑤 2𝜋𝑟𝐿 Y entonces resulta que:

𝜏𝑤 =

∆𝑃𝑟 ∆𝑃𝐷 = 2𝐿 4𝐿

(1)

A flujo laminar la velocidad media está dada por:

𝑢𝑚 =

∆𝑃𝐷2 32𝐿𝜇

(2) Hagen-Poiseuille . Pero de (1):

∆𝑃 =

𝜏𝑤 4𝐿 (3 ) 𝐷

Sustituyendo (3) en (2)

𝑢𝑚 =

𝜏𝑤 4𝐿𝐷2

𝐷32𝐿𝜇

𝜏𝑤 8𝜇

𝐷

(4)

Y entonces:

𝜏𝑤 = 𝜇 (

8𝑢𝑚 𝐷

) (5)

Comparando esto con la ecuación de Newton. 𝜏𝑤 = −𝜇

Se observa que la rapidez de corte es :−

𝑑𝑢

𝑑𝑢 𝑑𝑟

𝑑𝑟

8𝑢𝑚 𝐷

(6)

Entonces la ecuación de Newton se puede reescribir como:

∆𝑃𝐷 4𝐿

8𝑢𝑚

= 𝜇(

𝐷

)

(7)

Para los fluidos no –newtonianos esa ecuación se puede reescribir como:

∆𝑃𝐷 8𝑢𝑚 = 𝜇𝑎 ( ) 4𝐿 𝐷 En donde 𝜇𝑎 es la viscosidad aparente o sea la que presenta el fluido a una velocidad determinada.

Para los fluidos no-newtonianos que siguen la ley de las potencias, la ecuación de Newton se puede reescribir como:

PD  8u   K  4L D

Siendo

 8u  a  K   D

n 1

u = velocidad promedio D = diámetro de la tubería ΔP = caída de presión L = longitud μa= viscosidad aparente

Ejemplo 3. En un aparato parecido al mostrado se obtuvieron los siguientes datos para un fluido no newtoniano que tiene una densidad de 1015 kg / m3.

Caudal en galones /min Caída de presión en libras sobre pulgada cuadrada 0.3911

1.35

1.57

2.59

1.87

3.09

2.035

3.2

2.16

3.3

2.33

3.55

Obtenga los valores de n y K para el fluido. 2.- Planteamiento. 2.1.- Ecuación de flujo. Para un fluido que sigue el modelo de las potencias

PD  8u   K  4L D

3.- Cálculos. 3.1.- Caudales y velocidades. A = 1.266 x 10-4 m2

DI = 0.0127 m

3 gal 3.785 l m3 min 5 m Ca  0.3911     2.467  10 min gal 1000 l 60 s s

u

Ca m  0.1948 A s

Procediendo de la misma manera con los demás datos se obtiene la siguiente tabla:

Ca en

m3  105 s

U en m/s

2.467

0.1948

9.9

0.7819

11.79

0.9312

12.83

1.0134

13.62

1.0758

14.69

1.1603

3.2.- Caídas de presión

  l b 0.454k g 9.81N in 2 N P  1.35 2      9319.46 2 2 2 lb kg in (0.0254) m m

Procediendo de la misma forma con las demás presiones se puede obtener la siguiente tabla:

P

3.3.- Datos de

N m2

ΔP en psi

9319.46

1.35

17879.5

2.59

21331.29

3.09

22090.5

3.2

22780.98

3.3

24506.82

3.55

PD 8u y de 4L D

PD 9319.46  0.0127 N   29.58 2 4L 4 1 m 8u 8  0.1948 1   122.7 D 0.0127 s

PD 4L

8u D

29.58

122.7

56.76

492.5

67.72

586.5 8

70.13

638.3 6

72.32

677.6 6

77.8

730.8 9

3.3.- Obtención de los parámetros de flujo. De la ecuación:

PD  8u   K  4L D log

Se obtiene que:

PD 8u  log K  n log 4L D

Esto indica que si los datos se grafican en papel logarítmico se debe obtener una línea recta con pendiente n y ordenada al origen K.

De la gráfica se obtiene que:

n

log 50  log 40  0.5606 log 335  log 225

log 50 =log K + 0.5606 log 335 K = 1.92035

N n s m2

4.- Resultados. El valor de n es de 0.5606 y el de K de 1.92035

N n s m2

Reynolds generalizado. Para un fluido que se mueve a régimen laminar

K 4 L  8u  P    D D

Para asegurarse de que flujo es laminar debe obtenerse el número de Reynolds generalizado definido por:

N Re generalidazo 

D n u 2 n  8 n 1 K

Ejemplo 4. Un fluido sigue la ley exponencial y tiene una densidad de 1041 kg / m3. El fluido se mueve a través de 14.9 m de una tubería de 0.0524 m de diámetro interior a una velocidad media de 0.0728 m /s. Las propiedades reológicas del fluido son K = 15.23 N s n / m2 y n = 0.4. Calcule la caída de presión y las pérdidas de presión. 1.- Diagrama de flujo.

L = 14.9 m ; D =0.0524 m; u =0.0728 m /s ; ΔP=?

2.- Planteamiento. 2.1.- Caída de presión si el flujo es laminar.

K 4 L  8u  P    D D

2.2.- Reynolds generalizado.

N Re generalidazo

D n u 2 n   n 1 8 K

3.- Cálculos. 3.1.- Reynolds generalizado.

N Re generalidazo  El flujo es laminar. 3.2.- Caída de presión.

D n u 2 n  (0.0524) 0.4 (0.0728)1.6 (1041)  1.106 = (8) 0.6 (15.23) 8 n 1 K

K 4 L  8u  (15.23)(4)(14.9)  8  0.0728  P    =   0.0524 D D  0.0524 

0.4

 45390

N m2

ΔP=45390Pa=0.449 atm =0.4642 kg / cm2

4.- Resultado. La caída de presión es de 0.4642 kg / cm2. Flujo turbulento en fluidos no newtonianos que siguen la ley de las potencias. En el caso de fluidos no newtonianos que se mueven en régimen turbulento se utiliza la ecuación siguiente para obtener las caídas de presión por fricción:

P  4 f

Lu 2  D2 gc

Donde f es el factor de fricción de Fanning, que es función del Reynolds generalizado y de n. El valor de f puede obtenerse mediante la gráfica:

N Re generalidazo

D n u 2 n   n 1 8 K

Figura 7.- Gráfica del Reynolds generalizado contra el factor de fricción.

Esa grafica se utiliza para tubos lisos. Cuando se tienen tuberías comerciales rugosas se puede utilizar la gráfica de Moody, siempre y cuando se emplee el Reynolds generalizado para obtener el factor de fricción. Ejemplo 5. Un puré se bombea isotérmicamente a través del sistema mostrado. ¿Cuáles serán las pérdidas por fricción? La temperatura es constante e igual a 15 ° C. ¿Cuál es el trabajo de la bomba si la eficiencia de esta es del 70%? El gasto másico es de 2000 kg / h. Datos del fluidos: densidad 1100 kg / m3, K = 0.18 N s / m2, n = 0.645. La presión en el tanque inicial es la atmosférica. La presión final de descarga es de 20 psig

1.- Diagrama de flujo.

1“

3/4 “

2 P2= 20 psig

2.- Planteamiento. 2.1.- Bernoulli

P





u 2 z g  F     2 gc gc M

Para fluidos no newtonianos

N Re generalidazo 

D n u 2 n  8 n 1 K

2.- Cálculos. 2.1.- Velocidades En la línea de 1 “

A  (1 0.0254) 2

 4

 5.065 10  4 m 2

3 1h kg m3 4 m   5.0510 Caudal = Ca  2000  h 1100kg 3600s s

u

5.0510 4 m 1 4 s 5.06510

En la línea de ¾ de pulgada

A  (0.75  0.0254) 2

 4

 2.849 10  4 m 2

5.0510 4 m u  1.77 4 s 2.84910

3.2.- Reynolds en las líneas

En la línea de una pulgada

N Re generalidazo 

D n u 2 n  (0.0254) 0.645 (1) 20.645 (1100)   1198 8 n 1 K 0.18(8) 0.6451

En la línea de tres cuartos.

N Re generalidazo 

D n u 2 n  (0.01905) 0.645 (1.77)1.355 (1100) =2169  8 n 1 K 0.18 (8) 0.6451

3.3.- Factores de fricción Del diagrama Para la línea de 1 pulgada Para la línea de 3/ 4

ff =0.0133, fD =0.0532

ff =0.00737; fD = 0.0245

3.4.- Pérdidas por fricción En la línea de 1 pulgada

 (1) 2 (2) k gm F  0.0532  0.2135 M 2(9.81)(0.0254) kg

En la línea de tres cuartos

 (1.77) 2 (6) k gm F  0.0245  1.232 M 2(9.81)(0.01905) kg

Pérdidas totales por fricción

 k gm F  1.445 M kg 3.5.- Energía de presión

   1 atm 10333k g k gm lb m3  20 2    12.78   lb 1 atm m 2 1100kg  kg in 14.7 2 in

P

3.5.- Energía cinética

 2 2 u 2  u1 (1.77) 2 k gm Ec    0.1596 2 gc 2(9.81) kg 3.6.- Energía potencial

 k gm Ep  3 kg

3.7.- Bernoulli

 3  0.1596  12.78  1.445  -Po / M = 11.38 kgm / kg

3.8.- Potencia

Po M

  1h k gm kg k gm Po  11.38  2000   6.324 kg h 3600s s

Po 

6.32  0.12HP 75(0.7)

4.- Resultado. Las pérdidas por fricción son de 1.445 kgm / kg. La potencia requerida es de 0.12 HP.

Perdidas por fricción por accesorios y válvulas en flujos no newtonianos. Un fluido que se desplaza a través de una tubería, presenta pérdidas por fricción que se originan por la fricción contra las paredes, por los cambios de dirección, por accesorios tales como válvulas, codos, expansiones, etc. Para el manejo de fluidos no newtonianos que con valores de números de Reynolds mayores a 500, la caída de presión por accesorios se calcularía como: ∆𝑃 𝜌

∑𝐹

𝑢 =K2𝑔𝑐 𝑀

En donde K se obtiene de tablas. Para fluidos no newtonianos que circulan a factores K se calculan mediante la expresión: 𝐾𝑁 =

500𝐾 𝑅𝑒

Reynolds

menores de 500, los

Problema 6. En el sistema de flujo mostrado, el diámetro de la línea de hierro forjado es de 0.0348 m. El fluido no newtoniano se desplaza a 1.66 m/s y tiene una densidad de 1250 kg /m3, una K de 5.2Pa sn y n=0.45. Calcular la potencia de la bomba si su eficiencia es del 80%. El filtro presente en el sistema presenta una caída de presión de 100 kPa.

1.- Planteamiento. Para obtener la potencia de la bomba se debe efectuar un Bernoulli. 1.1.- Ec. De Bernoulli ∑𝐹 𝜏 ∆𝑢2 𝑔 ∆𝑃 + ∆𝑍 + =− − 2𝑔𝑐 𝑔𝑐 𝜌 𝑀 𝑀

Para el caso propuesto ΔU =0 y ΔP=0 Por lo tanto: ∆𝑍

∑𝐹 𝜏 𝑔 =− − 𝑔𝑐 𝑀 𝑀

2.- Cálculos. 2.1.- Número de Reynolds generalizado. 𝑅𝑒𝑔 =

𝜌 𝐷𝑛 𝑢2−𝑛 1250 × (1.66)2−0.45 × (0.0348)0.45 = = 384 𝐾 8𝑛−1 5.2 × 80.45−1

Por lo tanto ff = 16 /Re = 0.0494. 2.2.- Pérdidas por accesorios. Dado que el fluido se desplaza a régimen laminar a través de las tuberías, para determinar el factor K y así evaluar las pérdidas por accesorios se aplica la ecuación: 𝐾𝑁 =

𝐾𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 =

500𝐾 500 (0.5) = 0.65 = 𝑅𝑒 384

𝐾𝑣á𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 =

𝐾𝑐𝑜𝑑𝑜 =

2.3.- Pérdidas por fricción. Por tubo

500𝐾 𝑅𝑒

500 × 7 = 9.11 384

500 × 0.4 = 0.52 384

∑𝐹 𝑀

= 0.0494

2×(1.66)2 9.81×0.0348

𝑘𝑔𝑚

× 12=4.785

𝑘𝑔

Por accesorios: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑𝐹 (1.66)2 𝑘𝑔𝑚 (0.65 + 9.11 + 3 × 0.52)) = 1.58 = 𝑀 2 × 9.81 𝑘𝑔

2.4.- Pérdidas en el filtro. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑𝐹 100 000 𝑘𝑔𝑚 = = 8.15 𝑀 9.81 × 1250 𝑘𝑔

2.4.- Bernoulli. (4.5 − 2)

9.81 𝜏 = −4.785 − 1.58 − 8.15 − 9.81 𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜏 𝑘𝑔𝑚 = −17.015 𝑀 𝑘𝑔

2.5.- Potencia de la bomba. Masa de fluido = 1.66X 1250 X 0.785 X (0.0348)2=1.97 kg /s 𝒫𝐻 = 17.015 𝑋 1.97 = 33.56 𝒫𝐵 =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 33.56 𝑘𝑔𝑚 41.95 = 0.6 𝐻𝑃. 0.8 𝑠

3.- Resultado. Se necesita una bomba de ¾ de caballo.

Cálculo de pérdidas de presión en Fluidos Bingham pseudopláticos. Estos fluidos también llamados de Herschel-Bulkley tienen un comportamiento en los reoagramas parecidos al siguiente:

La ecuación que define a estos fluidos se puede poner como: 𝜏 = 𝜏𝑜 + K γn

La caída de presión para estos fluidos se puede obtener por:

∆𝑃 =

2𝑓𝐻𝐵 𝐿𝑢2 𝜌 𝐷

En donde: 16 𝑓𝐻𝐵 = factor de fricción de Herschel 𝑅𝑒𝛹 El número de Reynolds para estos fluidos está definido por: 𝑅𝑒 =

𝜌 𝐷𝑛 𝑢2−𝑛 4𝑛 𝑛 [ ] 8𝑛−1 𝐾 1 + 3𝑛

También se suele utilizar el número de Reynolds como: 2

2 𝛹 𝑛−1 𝑛 𝑅𝑒 = 2 𝐻𝑒 [ ] [ ] 1 + 3𝑛 𝜉𝑜

En donde He es el número de Hedstrom generalizado. 2

𝜌 𝐷2 𝜏𝑜 𝑛−1 𝐻𝑒 = [ ] 𝐾 𝐾 𝛹 = (1 + 3𝑛)𝑛 (1 − 𝜉𝑜)1+𝑛 𝜙 (1−𝜉𝑜)2

𝜉𝑜 Φ=[(1+3𝜉𝑜) + 2𝜉𝑜(1−𝜉𝑜) + (1+𝑛)] (1+2𝑛)

𝜉𝑜 =

2𝜏𝑜 𝜏𝑜 = 2 𝜌𝑢 𝑓𝐻𝐵 𝜏𝑤

𝑛

Para obtener el factor de Herschel-Bulkley se debe estimar ξ iteraciones.

mediante

Problema 7. Un fluido Herschel-Bulkley fleye a razón de 0.00158 m 37s por un ducto de 0.0348 m de diámetro interno. El fluido tiene una densidad de 1250 kg/m 3 , un τo = 157 , n = 0.45 , K = 5.2 Pa-s. ¿Cuál será la caída de presión que experimentará el flujo de ese fluido por metro de tubo? 1.- Traducción.

2.- Planteamiento. 2.1.- Caída de presión. ∆𝑃 =

En donde: 16 𝑓𝐻𝐵 = factor de fricción de Herschel 𝑅𝑒𝛹 3.- Cálculos. 3.1.- Velocidad.

2𝑓𝐻𝐵 𝐿𝑢2 𝜌 𝐷

𝑢=

0.00158 𝑚 = 1.66 2 0.785(0.0348) 𝑠

3.2.- Reynolds. 𝑅𝑒 =

(0.0348)0.45 (1.66)2−0.45 × 1250 = 323.81 (8)0.45−1 (5.2)

3.3.- Número de Hedstrom. 2

(0.0348)2 (1250) 157 0.45−1 𝐻𝑒 = [ ][ ] = 36430 5.2 5.2

3.4.- Factores ξ y Ψ Para obtener estos factores se deben hacer tanteos. Si ξ =0.75 , Ψ =0.1602 y ξ calculada = 0.29958 Si ξ = 0.585 0.45

𝛹 = (1 + 3(0.45))

(1 − 0.5)1+0.45 [

(1 − 0.585)2 (1 + 3(0.45))

2(0.585)(1 − 0.585) (0.585)2 + ] (1 + 2(0.45) 1 + 0.45

0.45

= 0.3247

Por lo tanto 323.81 = 2 X 36430 Despejando ξ =0.599 Por lo tanto :

2 0.3247 −1 0.45 [ ] [ ] 1+3(0.45) 𝜉

𝑓𝐻𝐵 =

0.45

16 = 0.156 0.3247(323.81)

3.4.- Caída de presión. ∆𝑃 = 2

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 0.156 × 1 × 1250 × (1.66)2 𝑘𝑔 𝑘𝑔 = 30881𝑃𝑎 = 3148 2 = 0.31479 2 0.0348 𝑚 𝑐𝑚

4.- Resultado. La caída de presión es de 30 881 Pa. Manejo de suspensiones y emulsiones. Cuando se bombean a través de una tubería horizontal las emulsiones y las suspensiones de sólidos con líquidos hay una tendencia a la separación o al asentamiento a menos que la velocidad de flujo se mantenga por arriba de un valor mínimo. En el caso de las emulsiones la separación de las fases se puede prever manteniendo la velocidad lo suficientemente alta para asegurar el flujo turbulento (Re >> 4000). En el caso de las suspensiones sólido-líquido hay dos velocidades de importancia. La velocidad mínima, que es aquella por debajo de la cual los sólidos se asientan y la velocidad a la cual los sólidos se mantienen dispersos o velocidad estándar. Para partículas no floculantes con diámetros medios entre 0.05 y 0.5 mm se tiene que:

    V   K g Dp S    K=74.5 x 10-3 para la velocidad estándar. K= 25.3 x 10-3 para la velocidad mínima.  m  Densidad media de la suspensión.

0.816

 D m   m

  

0.633

 m  xV  S  (1  xV )  En donde xV= fracción volumétrica de los sólidos en suspensión. μm = viscosidad de la suspensión (generalmente se toma la del líquido). ρ S = densidad del sólido.  = densidad del líquido. V= velocidad. Dp = diámetro medio de las partículas. D = diámetro del tubo, g = aceleración de la gravedad. La caída de presión en estos casos se puede obtener mediante: 1.5 2  u min P'P  g D  S      121 xV    2  P V    g Dp S   

0.75

ΔP= caída de presión como si pasara agua pura a la velocidad V. ΔP’=caída de presión de la suspensión que se mueve a la velocidad V. Umin = velocidad mínima. Problemas sugeridos de autoevaluación 1.- Un fluido con una velocidad de 0.3 m/s fluye a través de una tubería de 1.5 pulgadas de diámetro interno. En la tubería hay 30 m de tubo liso, una válvula de globo, 3 codos rectos y una descarga. ¿Cuál será la caída de presión en la línea? Datos: n=0.7, K=0.3 N sn/m2; densidad = 1200 kg /m3. R.-La caída de presión es de 2683 kg/m2. 2.- ¿Cuál será la caída de presión en 150 m de tubo de 1.5 pulgadas de acero inoxidable y liso por el que circula un fluido no –newtoniano con los siguientes parámetros: n= 0.85; K = 0.015 lbsn/ft2 y una densidad de 963 kg /m3, si el caudal es de 275 litros /minuto? R.- La caída de presión es de 274572 kg /m2. 3.- En un viscosímetro de cilindros concéntricos se investigó el comportamiento reológico a 20°C de una solución acuosa de un fluido obteniéndose los siguientes resultados: Τ N/m2 3.36 4.36 5.94 7.59 9.48 14.56 19.24 23.67 du/dr 7.33 9.67 13.94 18.72 24.63 43.55 69.93 84.5 -1 s ¿De qué tipo de fluido se trata? Deduzca una expresión para su viscosidad aparente. R.- Se trata de un fluido no newtoniano seudoplástico. La viscosidad aparente está −0.1952 dada por:𝜇𝑎 = 0.7002 (𝑑𝑢 ) 𝑑𝑟 4.- Se va a bombear polietileno fundido a través de una tubería de acero de una pulgada cédula 40 a razón de 0.95 L /min. Calcule la caída de presión por unidad de longitud. Datos: n=0.49; densidad 939 kg /m3, K =329 N sn/m2. R.- la caída de presión es de 1.5 kg /cm2 por metro de tubo.

5.- Por una tubería lisa se transporta un fluido no-newtoniano con un Reynolds generalizado de 20 000 ¿Cuál será el valor del factor de fricción si K = 0.418 lb s n /ft2 y n = 0.575? R.- El factor de fricción es de 0.0045. 6.- Se desea transportar jugo de manzanas a través del sistema mostrado. El flujo del jugo es de 0.65 kg /s y la temperatura de 15 ° C. Determine las pérdidas por fricción producidas y la potencia de la bomba si esta tiene una eficiencia del 70%. Datos del jugo: K =5 dinas/cm2 sn , densidad = 1.1 g /cm3, n = 0.645.

R.- La pérdidas por fricción son de 402 kgm /kg .Se requiere una bomba de 6 HP. 7.-Un fluido que obedece la ley exponencial y que tiene una densidad de 1041 kg / m3 fluye a través de 14.9 m de una tubería de 0.0524 m de diámetro interno a una velocidad promedio de 0.0726 m /s. Las propiedades reológicas del fluido son: K = 15.23 N sn/m2 y n = 0.4. Calcule la caída de presión y las pérdidas por fricción. R.- la caída de presión es de 45 490 Pa, las pérdidas por fricción son de 43.6 J /kg. 8.- Un fluido pseudoplástico con 961 kg /m3 de densidad se desplaza a través de un tubo liso cuyo diámetro interno es de 0.0508 m a la velocidad de 6.1 m /s. Las propiedades del fluidos son: n =0.3; K = 2.744 N sn/m2. Calcule las pérdidas por fricción en un tubo de 30.5 m de largo. R.- La caída de presión es de 1.4 kg /cm2. 9.- ¿Cuál será la caída de presión en 100 m de tubo para un caudal de 100 L /min de CMC al 0.65% en agua que se transporta a través de una tubería de una pulgada de diámetro? Datos: n = 0.716; K = 0.00634 lb sn/ft2; densidad = 1000 kg /m3.

10.- ¿Cuál será la potencia de la bomba requerida para llevar puré de plátano desde un tanque a través de una tubería de media pulgada de diámetro interno y de 10 m de longitud equivalente? El nivel del puré en el tanque está a 6 m por arriba de la descarga del tanque. El flujo del puré es de 0.125 Kg /s. La descarga es a la atmósfera. Las propiedades del puré son: K= 60 (dinas/cm2) sn; densidad 977 kg /m3; n = 0.454. R.- La potencia teórica requerida es de 3.88 kgm /s.

11.-Una mezcla de chocolate fundido a 38 ° C se mueve por una tubería de 4 pulgadas a una velocidad de 0.7 m /s. El chocolate se comporta como un fluido Bingham con las propiedades siguientes: τ0 = 20 N / m2, μœ = 2 Pa.s; densidad = 1100 Kg /m3. ¿Cuál es el factor de fricción esperado para este sistema? R.- El factor de fricción es de 0.852.