Οικονομική ανάλυση by ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ

Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Τομέας Πολιτικής Οικονομίας

Σημειώσεις στις παραδόσεις του μαθήματος «Εισαγωγή στην Οικονομική Ανάλυση»

Νίκος Θεοχαράκης Μάρτιος 2010

Σημείωση

Οι ανά χείρας σημειώσεις δεν αποτελούν αυτοτελές κείμενο. Συμπληρώνουν το διδακτικό εγχειρίδιο που θα επιλέξετε για τη μελέτη του μαθήματος με κάποια θέματα που αναφέρθηκαν στις διαλέξεις και αποτελούν μέρος της εξεταστέας ύλης του μαθήματος στις εξεταστικές περιόδους του τρέχοντος ακαδημαϊκού έτους. Διατίθενται – δωρεάν φυσικά – από την ιστοσελίδα του μαθήματος στο Τμήμα Οικονομικών Επιστημών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών. Τα αρχεία είναι σε μορφή PDF (Portable Document Format). Για να μπορέσετε να τα διαβάσετε θα χρειαστείτε το δωρεάν διανεμόμενο λογισμικό Acrobat Reader το οποίο μπορείτε να κατεβάσετε από την ιστοσελίδα http://get.adobe.com/reader/ Για τις σημειώσεις αυτές διατηρώ το copyright αλλά επιτρέπω ελεύθερα την αναπαραγωγή και διανομή τους για εκπαιδευτικούς σκοπούς και υπό την προϋπόθεση ότι η διανομή τους γίνεται με το κείμενο χωρίς προσθήκες, αφαιρέσεις και μεταβολές εντελώς δωρεάν και μέσα στο πλαίσιο δημόσιων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων στα οποία η εκπαίδευση παρέχεται δωρεάν.

Αθήνα, 10 Μαρτίου 2010 Νίκος Θεοχαράκης ntheocar@econ.uoa.gr

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Οικονομικά μεγέθη και μεταβλητές 1. Αποθέματα και ροές Μια βασική διάκριση των οικονομικών μεγεθών είναι αυτή μεταξύ αποθεμάτων και ροών Το απόθεμα (αγγλ. stock) δείχνει την τιμή μιας μεταβλητής σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Η ροή (αγγλ. flow) αφορά σε μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο. Τα αποθέματα μεταβάλλονται μέσω των ροών. Αν είχα χτες το πρωί στις 9:00 (χρονική στιγμή), 150 τεμάχια συγκεκριμένου εμπορεύματος στο ράφι και παρέλαβα 20 τεμάχια ενώ πώλησα 10 μέσα στην χθεσινή μέρα (χρονική περίοδος), το απόθεμά μου σήμερα το πρωί στις 9:00 θα είναι 160. Αντίστοιχα ο πληθυσμός μια χώρας [ο οποίος σημειωτέον απογράφεται κάθε δεκαετία] την ημέρα της απογραφής αποτελεί απόθεμα. Θα μεταβληθεί μέσα από ροές θετικά (δηλ. θα αυξηθεί) από τις γεννήσεις και από την μετανάστευση προς την χώρα αυτή και θα μεταβληθεί αρνητικά (δηλ. θα μειωθεί) από τους θανάτους και από την μετανάστευση σε άλλες χώρες. Παραδείγματα. 1. Τα στοιχεία που εμφανίζονται στον ισολογισμό μιας εταιρίας είναι συνήθως αποθέματα: Για αυτό βλέπουμε τον ισολογισμό που αφορά σε μια εταιρική χρήση, π.χ., την χρήση από 1/1/2007 έως 31/12/2007 να αναφέρεται στην 31η Δεκεμβρίου 2007, δηλαδή την ημέρα που κλείνει η χρήση. Το Ενεργητικό, το Παθητικό και η Καθαρή Θέση είναι αποθέματα. Εγγραφές στον ισολογισμό όπως «αποθέματα» ή «διαθέσιμα» ή «ταμείο» ή «καταθέσεις όψεως και προθεσμίας» «μακροπρόθεσμες υποχρεώσεις» «απαιτήσεις» είναι σαφώς αποθέματα. Οι αποσβέσεις όμως που αφαιρούνται από την «αξία κτήσεως» ενός παγίου για να την μετατρέψουν σε «αναπόσβεστη αξία» (απόθεμα) είναι ροές. Αντίθετα η «Κατάσταση Λογαριασμού Αποτελεσμάτων Χρήσεως 1/1/2007-31/12/2007» περιέχει ροές όπως «Κύκλος εργασιών» «πωλήσεις» «έξοδα διάθεσης» «κέρδη / ζημιές χρήσεως». Τα αποθέματα μεταβάλλονται μέσα στην χρήση. Με τον ισολογισμό παίρνουμε μια «φωτογραφία» στο κλείσιμό της. Για να μπορέσουμε να παρακολουθήσουμε τι έγινε οι ισολογισμοί παραθέτουν και τα αντίστοιχα στοιχεία την ημέρα που έκλεινε η προηγούμενη χρήση, ώστε να αντιληφθούμε πως άλλαξε η οικονομική κατάσταση της επιχείρησης. Αντίθετα στα Αποτελέσματα Χρήσεως, βλέπουμε τα έσοδα και της δαπάνες ανά κατηγορία της επιχείρησης μέσα στην χρήση και τα κέρδη ή της ζημίες της. Προκειμένου να αντιληφθείτε την πολυπλοκότητα των οικονομικών στοιχείων μιας σύγχρονης επιχείρησης επισκεφθείτε ως παράδειγμα τον δικτυακό τόπο της εταιρείας τσιμέντων ΤΙΤΑΝ (www.titan.gr) και διαβάστε το ετήσιο δελτίο στο οποίο συμπεριλαμβάνονται οι οικονομικές καταστάσεις στην (από την σελ. 50 και μετά). Η ηλεκτρονική διεύθυνση για το δελτίο είναι:

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 1 -

http://ir.titan.gr/uploads/annual_reports/2008/Annual_Report_and_Financial_Results_ 2008_GR.pdf Φυσικά δεν περιμένω να καταλάβετε και πολλά πράγματα, ίσως το μάθημα της Λογιστικής σας βοηθήσει κάπως, αλλά μπορείτε να πάρετε μια ιδέα και θα πρέπει να μπορείτε να πείτε ποια μεγέθη είναι ροές και ποια αποθέματα. Από τις παρατηρήσεις επίσης μπορείτε να καταλάβετε πόσο πολύπλοκη είναι η κατασκευή ενός οικονομικού μεγέθους και ότι στηρίζεται πάνω σε πλείστες όσες υποθέσεις. 2. Η δήλωση «ήπια δύο πορτοκαλάδες χθες», δηλ. «όλη την χθεσινή ημέρα κατανάλωσα δύο πορτοκαλάδες» αφορά σε ροή, ενώ η δήλωση «έχω δύο πορτοκαλάδες στο ψυγείο» (τώρα ή χθες το μεσημέρι) αφορά σε απόθεμα. 3. Η ανεργία αποτελεί απόθεμα. Εκφράζει μια οικονομική έννοια. Πρόκειται για τα άτομα που μπορούν και επιθυμούν να εργαστούν με τις επικρατούσες συνθήκες στην αγορά εργασίας αλλά δεν βρίσκουν δουλειά. Οι στατιστικές υπηρεσίες των διαφόρων κρατών και άλλοι οργανισμοί προσπαθούν να μετρήσουν αυτό το μέγεθος. Ο τρόπος μέτρησης διαφέρει και πολλές φορές προκύπτουν διαφορετικά στοιχεία. Για αυτό πρέπει πάντοτε να έχουμε κατανοήσει καλά πως μετρείται ένα μέγεθος πριν το χρησιμοποιήσουμε. Πρέπει επίσης να γνωρίζουμε αν άλλαξε ο τρόπος μέτρησης του από την μια χρονική στιγμή στην άλλη. Στην περίπτωση της ανεργίας στην Ελλάδα η Εθνική Στατιστική Υπηρεσία της Ελλάδος (ΕΣΥΕ) [επισκεφθείτε τον δικτυακό της τόπο στο http://www.statistics.gr/] στην Έρευνα του Εργατικού Δυναμικού εφαρμόζει την μέθοδο που ισχύει και στις υπόλοιπες χώρες της ΕΕ. Η ανεργία λοιπόν μετρείται ως ο αριθμός των ικανών προς εργασία ατόμων σε μία συγκεκριμένη γεωγραφική περιοχή ηλικίας 15 ετών και άνω τα οποία δεν εργάσθηκαν πάνω από δύο ώρες την προηγούμενη εβδομάδα και τα οποία επιθυμούσαν να εργασθούν (εννοείται με τον μισθό και τις συνθήκες της αγοράς) και έψαξαν ενεργά να βρουν εργασία στις προηγούμενες 4 εβδομάδες και ήταν διαθέσιμα να εργασθούν μέσα στις επόμενες 2 εβδομάδες. Μπορεί κανείς να έχει αντίρρηση για τον τρόπο μέτρησης (π.χ., γιατί δύο ώρες και όχι δέκα; Γιατί έπρεπε να ψάξουν ενεργά να βρουν εργασία, αν οι προηγούμενες προσπάθειες τους απέτυχαν συστηματικά;) αλλά το μέγεθος έτσι όπως ορίζεται αποτελεί απόθεμα. Η μεταβολή της ανεργίας γίνεται μέσω ροών. Το παρακάτω διάγραμμα ξεκαθαρίζει κάπως τα πράγματα. Ο πληθυσμός μιας χώρας είτε ανήκει στο εργατικό δυναμικό (Ε.Δ.) είτε είναι εκτός Ε.Δ. Όσοι είναι στο εργατικό δυναμικό είναι είτε απασχολούμενοι, έχουν δηλ. δουλειά , είτε επιθυμούν να βρουν εργασία, είναι δηλ., άνεργοι. Υπάρχουν δηλ., τρεις κατηγορίες: οι απασχολούμενοι, οι άνεργοι και οι εκτός Ε.Δ. Κάθε μία κατηγορία αντιπροσωπεύει ένα απόθεμα. Υπάρχει όμως μεγάλη κινητικότητα μεταξύ αυτών των κατηγοριών και κάθε στιγμή άτομα μετακινούνται από την μία κατηγορία στην άλλη. Οι μετακινήσεις αυτές αντιπροσωπεύουν ροές που στο διάγραμμα παριστάνονται με βέλη. Οι αριθμοί σε παρένθεση είναι εκατομμύρια άτομα και τα στοιχεία αφορούν στις ΗΠΑ το 20031. [Έτσι το 2003 είχαμε σε αποθέματα 137,1 εκ. 1

Πηγή: Bruce E. Kaufman & Julie E. Hotchkiss, The Economics of Labor Markets, 7th edition, Thomson, South-Western, 2006, σσ. 694-5. (Από αδημοσίευτα στοιχεία (μηνιαίοι μέσοι όροι) του Bureau of Labor Statistics των ΗΠΑ).

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 2 -

απασχολούμενους, 8,8 εκ. άνεργους, ενώ 74,7 άτομα ήταν εκτός εργατικού δυναμικού.] Έτσι έχουμε τις εξής ροές (κατάταξη με αριθμό βέλους) 1. 2. 3. 4. 5.

Απώλεια θέσης εργασίας λόγω απόλυσης ή παραίτησης με είσοδο στην ανεργία. Απώλεια θέσης εργασίας με έξοδο από το Ε.Δ. (π.χ., σύνταξη, γάμος χωρίς μισθωτή απασχόληση, σπουδές ή ανικανότητα για εργασία) Εύρεση εργασίας και έξοδος από την ανεργία Έξοδος από την ανεργία χωρίς να είναι στο Ε.Δ. (π.χ., «αποθαρρυμένος» εργάτης που κουράστηκε να ψάχνει για δουλειά). Κίνηση από εκτός δυναμικού στην ανεργία (π.χ., νεοεισερχόμενος στην αγορά εργασίας μετά τις σπουδές) που είναι άνεργος ή γυναίκα που επιστρέφει στην αγορά εργασίας όταν τα παιδιά έχουν φθάσει σε κάποια ηλικία και ψάχνει για δουλειά). Κίνηση από εκτός Ε.Δ. στην άμεση απασχόληση (π.χ., συνταξιούχος που επιστρέφει, ή άτομο εκτός Ε.Δ. που αποφασίζει να εργασθεί επειδή παρουσιάστηκε ευκαιρία απασχόλησης). Διάγραμμα 1: Αποθέματα και ροές στην αγορά εργασίας

Απασχολούμενοι

1 (1,9)

(137,1)

Άνεργοι (8,8)

3 (2,1) 6 (3,6) 2 (3,9)

4 (2,0) Εκτός Εργατικού Δυναμικού. (74,7)

5 (1,9)

4. Αντίθετα το Ακαθάριστο Εγχώριο Προϊόν που μετρά την αξία των αγαθών και υπηρεσιών που παρήχθησαν μέσα στα σύνορα μιας χώρας σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, συγκεκριμένα μέσα σε ένα έτος, αποτελεί ροή. Το ίδιο μέγεθος μπορεί να το προσεγγίσουμε με διαφορετικούς τρόπους. Έτσι το ΑΕΠ, προσπαθούμε να το συλλάβουμε μέσα από τρεις διαφορετικές διαδικασίες: (α) την παραγωγή (β) την δαπάνη και (γ) το εισόδημα. Το ΑΕΠ είναι μια κλασική περίπτωση οικονομικού Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 3 -

μεγέθους που ενώ εκφράζεται από έναν αριθμό, γίνονται πολλές και διαφορετικές υποθέσεις για την μέτρησή του. Για παράδειγμα η οικιακή εργασία δεν περιλαμβάνεται στο εθνικό εισόδημα. Ο διάδοχος του Alfred Marshall στο Πανεπιστήμιο του Cambridge, Arthur C. Pigou έγραφε: «Οι υπηρεσίες που παρέχουν οι γυναίκες περιλαμβάνονται στο εθνικό προϊόν όταν παρέχονται έναντι μισθού, στο εργοστάσιο ή στο σπίτι. Δεν περιλαμβάνονται όμως όταν παρέχονται δωρεάν από τις μητέρες και τις συζύγους στις οικογένειες τους. Έτσι, αν ένας άνδρας παντρευτεί την οικονόμο του ή την μαγείρισσα του, μειώνεται το εθνικό εισόδημα».2 Θυμηθείτε επίσης την πολιτική διαμάχη που είχε ξεσπάσει στην Ελλάδα μεταξύ κυβέρνησης και αντιπολίτευσης για την «αναθεώρηση» του ΑΕΠ. Η ΕΕ έχει εκδώσει ειδικό κανονισμό για τους εθνικούς λογαριασμούς. Μπορείτε να τον βρείτε (στα αγγλικά, στα γαλλικά και στα γερμανικά) στην εξής ηλεκτρονική διεύθυνση: http://forum.europa.eu.int/irc/dsis/nfaccount/info/data/esa95/esa95-new.htm Στην επόμενη σελίδα θα δείτε το ΑΕΠ της Ελλάδας όπως αποτυπώθηκε από την ΕΣΥΕ. Παρατηρείστε ότι η ΕΣΥΕ αναφέρει το ΑΕΠ και σε τρέχουσες και σε σταθερές τιμές του προηγουμένου έτους.

«Yet again, the services rendered by women enter into the dividend when they are rendered in exchange for wages, whether in the factory or in the home, but do not enter into it when they are rendered by mothers and wives gratuitously to their own families. Thus, if a man marries his housekeeper or his cook, the national dividend is diminished. These things are paradoxes.», Arthur C Pigou,. The Economics of Welfare. London: Macmillan and Co., 1932 (4η έκδοση). [1η έκδοση 1920], Pt I, Ch. III. Ηλεκτρονική έκδοση http://www.econlib.org/library/NPDBooks/Pigou/pgEW3.html

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 4 -

Γ.Γ. ΕΣΥΕ ΑΚΑΘΑΡΙΣΤΟ ΕΓΧΩΡΙΟ ΠΡΟΪΟΝ Σε εκατομμύρια € Κωδ. ESA 95

I.Τρέχουσες τιμές

GROSS DOMESTIC PRODUCT In mllion €

2000

2001

2002

2003

2004*

2005*

2006*

2007*

2008*

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ P.1

Παραγωγή αγαθών και υπηρεσιών (σε βασικές τιμές)

P.2

Ενδιάμεση ανάλωση (σε αγοραίες τιμές)

B.1

Ακαθάριστη προστιθέμενη αξία (σε βασικές τιμές)

D.21

Φόροι επί των προϊόντων

D.31

Επιδοτήσεις επί των προϊόντων

PRODUCTION APPROACH 216.062

231.102

249.131

268.157

287.448

301.913

319.233

345.800

359.761

Τελική καταναλωτική δαπάνη Νοικοκυριών ΜΚΙΕΝ Γενικής Κυβέρνησης

P.5

Ακαθάριστος σχηματισμός κεφαλαίου

P.51

Ακαθάριστος σχηματισμός παγίου κεφαλαίου

P.52

Μεταβολή αποθεμάτων

Output of goods and services (at basic prices)

95.680

102.134

110.015

113.854

120.368

126.742

133.188

145.998

149.037

Intermediate consumption (at purchasers' prices

120.382

128.969

139.115

154.303

167.080

175.171

186.045

199.802

210.724

Gross value added (at basic prices)

18.518

19.526

20.262

20.784

21.590

22.758

25.472

27.679

29.610

2.619

2.067

2.762

2.656

2.857

2.563

1.058

1.043

1.192

122.899

131.720

142.895

151.367

161.876

173.673

187.175

201.221

213.589

97.354

104.484

112.432

120.037

127.972

138.520

150.655

160.398

170.865

1.274

1.807

1.806

1.900

2.008

1.929

2.203

2.315

2.416

24.271

25.430

28.656

29.430

31.897

33.225

34.317

38.507

40.308

31.778

33.979

34.937

42.205

42.218

39.663

45.582

50.331

50.048

29.450

31.665

35.211

40.165

41.246

40.161

45.288

48.358

46.310

2.328

2.314

-274

2.040

972

-498

294

1.973

3.738

Changes in inventories

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΑΠΑΝΗΣ P.3

I.Current prices

Taxes on products Subsidies on products EXPENDITURE APPROACH Final consunmption expenditure Households PNPISH General Government Gross capital formation Gross fixed capital formation

P.6

Εξαγωγές αγαθών και υπηρεσιών

33.882

35.186

33.004

34.509

41.443

43.697

47.535

51.441

55.528

Exports of goods and services

P.7

Εισαγωγές αγαθών και υπηρεσιών

52.277

54.457

54.221

55.649

59.725

61.667

69.833

76.556

80.023

Imports of goods and services

45.313

47.873

55.370

59.988

64.647

67.848

71.937

78.167

82.781

Compensation of emloyees

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ D.1

Αμοιβές εξαρτημένης εργασίας

INCOME APPROACH

B.2

Ακαθάριστο λειτουργικό πλεόνασμα / μικτό εισόδημα

74.678

80.762

83.624

94.259

102.286

107.538

115.819

123.393

129.234

D.2

Φόροι επί της παραγωγής και των εισαγωγών

19.293

20.219

20.793

21.342

22.145

23.312

26.130

28.411

30.760

D.3

Eπιδοτήσεις

3.003

2.426

3.172

3.158

3.265

3.332

3.427

3.534

3.634

B.1*g

ΑΚΑΘΑΡΙΣΤΟ ΕΓΧΩΡΙΟ ΠΡΟΙΟΝ σε αγοραίες τιμές

136.281

146.428

156.615

172.431

185.813

195.366

210.459

226.437

239.141

II. Σταθερές τιμές προηγούμενου έτους

2001

2002

2003

2004*

2005*

2006*

2007*

2008*

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ P.1

Παραγωγή αγαθών και υπηρεσιών (σε βασικές τιμές)

Gross operating surlplus / mixed income Taxes on production and imports Subsidies GROSS DOMESTIC PRODUCT at market price

II.Constant prices of the previous year PRODUCTION APPROACH

224.922

243.344

259.022

279.636

291.482

310.213

334.767

344.699

Output of goods and services (at basic prices)

P.2

Ενδιάμεση ανάλωση (σε αγοραίες τιμές)

100.244

109.064

110.951

117.081

120.526

129.414

140.643

140.955

Intermediate consumption (at purchasers' prices

B.1

Ακαθάριστη προστιθέμενη αξία (σε βασικές τιμές)

124.678

134.280

148.071

162.556

170.956

180.799

194.124

203.744

Gross value added (at basic prices)

19.370

19.795

20.318

20.854

21.520

24.523

26.726

28.454

2.048

2.610

2.465

3.007

2.499

1.122

978

1.199

127.980

138.598

146.385

156.795

168.173

181.090

195.116

205.183

101.766

109.631

116.140

124.384

134.049

145.767

155.671

164.136

1.761

1.701

1.838

1.946

1.867

2.135

2.240

2.326

24.452

27.266

28.407

30.465

32.257

33.188

37.205

38.721

33.025

34.408

41.401

41.653

38.883

44.336

49.273

49.061

30.874

34.665

39.380

40.708

39.373

44.114

47.387

44.787

2.151

-257

2.021

945

-491

222

1.887

4.274

Changes in inventories

33.878

32.233

33.967

40.514

42.449

46.022

50.275

53.475

Exports of goods and services

D.21

Φόροι επί των προϊόντων

D.31

Επιδοτήσεις επί των προϊόντων ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΑΠΑΝΗΣ

P.3

Τελική καταναλωτική δαπάνη Νοικοκυριών ΜΚΙΕΝ Γενικής Κυβέρνησης

P.5

Ακαθάριστος σχηματισμός κεφαλαίου

P.51

Ακαθάριστος σχηματισμός παγίου κεφαλαίου

P.52

Μεταβολή αποθεμάτων

P.6

Εξαγωγές αγαθών και υπηρεσιών

P.7

Εισαγωγές αγαθών και υπηρεσιών

B.1*g

ΑΚΑΘΑΡΙΣΤΟ ΕΓΧΩΡΙΟ ΠΡΟΙΟΝ σε αγοραίες τιμές

*προσωρινά στοιχεία Πληροφορίες: A. ΠΑΤΕΡΑΚΗ Τηλέφωνο: 210 48 52 082 email: : anapat@statistics.gr

Taxes on products Subsidies on products EXPENDITURE APPROACH

52.882

53.775

55.829

58.560

59.528

67.248

74.793

76.719

142.001

151.464

165.923

180.402

189.977

204.200

219.871

231.000

Final consunmption expenditure Households PNPISH General Government Gross capital formation Gross fixed capital formation

Imports of goods and services GROSS DOMESTIC PRODUCT at market price *provisional data

2. Χρονολογικές σειρές, διαστρωματικά δεδομένα, panel data και αριθμοδείκτες Μια άλλη διάκριση μεταξύ οικονομικών στοιχείων είναι αυτή που αφορά την διάκριση σε χρονολογικές σειρές, διαστρωματικά δεδομένα, panel data και αριθμοδείκτες..

2.1 Χρονολογικές σειρές (time series) Μια χρονολογική σειρά δείχνει τις διαδοχικές μετρήσεις μιας μεταβλητής σε διαφορετικές χρονικές στιγμές ή σε διαφορετικές χρονικές περιόδους. Μπορεί να έχουμε χρονολογική σειρά από ροές (π.χ., την εξέλιξη του ΑΕΠ ανά έτος) ή αποθέματα (π.χ., την εξέλιξη της ανεργίας ανά τρίμηνο). Μπορεί να αφορά στην μέση τιμή ενός μεγέθους σε μία χρονική περίοδο (π.χ., την μέση τιμή του ασημιού σε ένα μήνα). Οι χρονολογικές σειρές αφορούν σε συγκεκριμένες χρονικές περιόδους ή διαστήματα. Μπορεί να είναι ημερήσιες (π.χ., η τιμή μιας μετοχής ή ενός μετάλλου ή μιας νομισματικής ισοτιμίας), εβδομαδιαίες, μηνιαίες, τριμηνιαίες ή ετήσιες. Συχνά είναι μέσοι όροι (π.χ., η μέσος όρος της ημερήσιας τιμής κλεισίματος του χρυσού ανά μήνα το 2005).3 Παράδειγμα χρονολογικής σειράς είναι ο παρακάτω πίνακας από την Έρευνα Εργατικού Δυναμικού της ΕΣΥΕ που δείχνει τον αριθμό (σε χιλιάδες) των ανέργων ηλικίας 15 ετών και άνω κατά διάρκεια ανεργίας ανά τρίμηνο για τα έτη 1998-2008 (Β τρίμηνο). Προέρχεται από τον δικτυακό τόπο της ΕΣΥΕ [www.statistics.gr] Πολλές φορές ένα μέγεθος από μόνο του δεν αρκεί. Στην περίπτωση της ανεργίας μας απασχολεί και η σύνθεσή της. Για τον λόγο αυτό συλλέγουμε στοιχεία για την διάρκειά της. Μας απασχολεί περισσότερο ένας μακροχρόνια άνεργος, δηλ., κάποιος που είναι άνεργος πάνω από 12 μήνες, από κάποιον που έχει μείνει άνεργος για τρεις μήνες.4 Ειδικό ενδιαφέρον υπάρχει για την ανεργία των νέων (κάτω των 25 ετών) ή των ατόμων ηλικίας άνω των 50 ή των γυναικών. Ενδιαφέρον επίσης υπάρχει για την ανεργία ανά γεωγραφική περιφέρεια ή ανά εκπαιδευτικό επίπεδο. Η διάρθρωση ενός μεγέθους μπορεί να μας πει πολλά για το τι πολιτικές πρέπει να εφαρμόσουμε.

Μπορεί ακόμα σε ορισμένες περιπτώσεις οι χρονικές στιγμές που μετρήθηκε μια μεταβλητή να μην απέχουν το ίδιο μεταξύ τους (π.χ., ανώτατη τιμή ασημιού μέσα στο έτος. Σε αυτήν την περίπτωση μπορεί η ανώτατη τιμή το 2005 να ήταν τον Δεκέμβριο, το 2006 τον Ιανουάριο και το 2008 τον Φεβρουάριο). Βεβαίως οι μετρήσεις γίνονται μέσα σε δεδομένα και ίσα χρονικά διαστήματα. 4 Ας σημειωθεί ότι πρέπει να καταλαβαίνουμε τι μετράμε. Η διάρκεια της ανεργίας εδώ σημαίνει πόσους μήνες είναι κάποιος άνεργος όταν ρωτήθηκε. Αυτό είναι εντελώς διαφορετικό από το πόσο διάστημα θα μείνει άνεργος μέχρι να βρει δουλειά ή να αποχωρήσει από το εργατικό δυναμικό. Είναι διαφορετικό να ρωτάς τους επιβάτες στην στάση του λεωφορείου πόσην ώρα περιμένουν και διαφορετικό να ξέρεις πόσην ώρα θα χρειαστεί να περιμένουν μέχρι να έρθει το επόμενο λεωφορείο. Βλ. George A Akerlof & Brian G. M. Main, «Unemployment Spells and Unemployment Experience», American Economic Review, τόμος 70, τεύχος 5, σσ. 885-93, Δεκέμβριος 1980.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 6 -

Πίνακας 6: Άνεργοι (σε χιλιάδες) ηλικίας 15 ετών και άνω κατά διάρκεια χρόνου ανεργίας, για τα έτη 1998 - 2008 (B΄ τρίµηνο) ανά τρίµηνο Πηγή: Γ.Γ. Ε.Σ.Υ.Ε Έρευνα Εργατικού ∆υναµικού ∆ιάρκεια Χρόνου Ανεργίας

Α΄ Β΄ Γ΄ ∆΄ Α΄ Β΄ Γ΄ ∆΄ Α΄ Β΄ Γ΄ ∆΄ Α΄ Β΄ Γ΄ ∆΄ Α΄ Β΄ Γ΄ ∆΄ Α΄ Β΄ Γ΄ ∆΄ τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο 1998 1998 1998 1998 1999 1999 1999 1999 2000 2000 2000 2000 2001 2001 2001 2001 2002 2002 2002 2002 2003 2003 2003 2003 532,1

489,2

491,3

519,0

558,9

543,3

536,4

580,4

565,0

519,3

504,7

504,9

515,4

478,4

468,6

513,4

524,0

462,1

458,9

476,0

487,7

441,8

439,2

471,1

Ηταν σε διαθεσιµότητα

0,0

∆εν άρχισε ακόµη Εχει βρει µία εργασία που θα αναλάβει αργότερα

0,9

1,1

1,9

0,7

7,0

5,5

5,3

7,7

1,8

2,2

3,3

7,3

5,8

4,2

5,2

8,5

3,7

3,1

2,2

3,3

3,8

1,3

1,6

2,7

20,0

10,0

8,9

16,2

0,0

Λιγότερο από 1 µήνα

21,6

19,3

23,7

23,2

19,0

20,4

24,4

31,8

15,2

17,8

24,7

29,6

28,8

23,4

25,4

40,3

16,7

15,0

21,3

31,7

17,6

14,4

17,6

24,7

1 - 2 µήνες

43,4

31,0

41,3

50,2

45,8

37,2

48,2

56,8

45,2

42,6

51,8

61,3

69,8

59,0

56,0

76,4

53,9

35,5

42,8

54,3

48,6

34,5

38,6

54,0

3 - 5 µήνες

78,5

60,2

51,4

66,6

95,3

65,5

52,1

69,2

94,9

68,7

56,9

61,9

69,3

59,0

53,6

60,5

95,1

67,7

59,3

59,8

83,1

56,0

50,1

56,1

6 - 11 µήνες

81,9

90,9

88,9

77,3

88,8

97,0

89,9

89,8

88,2

85,1

79,8

71,7

72,7

73,2

72,4

71,4

88,3

86,9

82,8

76,7

75,8

77,7

72,6

68,0

12 µήνες και άνω

285,9

276,7

275,2

284,8

302,9

317,8

316,5

325,0

319,6

303,0

288,2

273,2

269,0

259,6

256,0

256,3

266,4

253,8

250,6

250,2

258,9

257,8

258,8

265,7

ΝΕΟΙ

250,7

241,1

245,6

242,7

232,8

257,6

256,8

261,3

247,3

240,4

241,4

233,1

238,2

229,7

230,6

228,2

206,2

190,7

197,1

193,5

189,7

184,0

192,2

194,3

Ποσοστό (%) Νέων Ανέργων

47,1

49,3

50,0

46,8

41,6

47,4

47,9

45,0

43,8

46,3

47,8

46,2

48,0

49,2

44,5

39,4

41,3

43,0

40,7

38,9

41,6

43,8

41,2

Ποσοστό (%) Μακροχρόνια Ανέργων

53,7

56,6

56,0

54,9

54,2

58,5

59,0

56,0

56,6

58,3

57,1

54,1

52,2

54,3

54,6

49,9

50,8

54,9

54,6

52,6

53,1

58,4

58,9

56,4

ΣΥΝΟΛΟ

S301_SJO_1_TS_Q2_98_Q2_08_6_Y.xls:Τ6_ΑΝΕΡ_9807

σελ. 78

Α΄ Β΄ Γ΄ ∆΄ Α΄ Β΄ Γ΄ ∆΄ Α΄ Β΄ Γ΄ ∆΄ Α΄ Β΄ Γ΄ ∆΄ Α΄ Β΄ Γ΄ ∆΄ τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο τρίµηνο 2004 2004 2004 2004 2005 2005 2005 2005 2006 2006 2006 2006 2007 2007 2007 2007 2008 2008 2008 2008 543,8

492,7

485,9

500,4

502,4

466,9

469,8

470,9

473,1

427,4

408,3

429,1

445,7

398,0

387,5

396,5

406,5

357,1

Ηταν σε διαθεσιµότητα

0,0

∆εν άρχισε ακόµη Εχει βρει µία εργασία που θα αναλάβει αργότερα

3,9

4,5

4,2

5,6

5,0

3,6

4,7

5,9

2,8

1,5

2,4

3,4

3,5

3,3

3,4

3,9

3,5

2,5

0,0

Λιγότερο από 1 µήνα

26,0

16,3

19,1

27,3

22,2

21,0

22,9

26,6

11,4

11,9

12,2

20,1

18,1

16,0

19,0

21,0

21,1

16,7

1 - 2 µήνες

55,2

35,3

44,3

55,3

54,2

41,7

44,8

51,2

39,1

28,8

32,3

50,8

57,6

45,9

43,8

57,2

63,9

43,6

3 - 5 µήνες

92,4

62,1

50,4

54,8

71,1

56,5

53,9

60,1

83,8

58,5

50,5

49,6

75,7

54,8

47,6

56,9

70,2

51,9

6 - 11 µήνες

93,4

96,2

88,1

78,3

80,2

82,4

84,5

82,2

82,3

80,9

72,1

70,0

72,1

69,7

61,3

55,3

54,1

58,6

12 µήνες και άνω

272,9

278,3

279,7

279,0

269,7

261,6

259,0

244,9

253,6

245,9

238,8

235,2

218,6

208,2

212,5

202,1

193,7

183,8

ΝΕΟΙ

217,6

212,6

206,3

203,7

186,9

178,6

175,7

171,0

158,6

156,8

155,4

155,3

148,0

139,9

143,6

141,1

135,6

130,3

Ποσοστό (%) Νέων Ανέργων

40,0

43,1

42,5

40,7

37,2

38,2

37,4

36,3

33,5

36,7

38,1

36,2

33,2

35,2

37,1

35,6

33,36

36,5

Ποσοστό (%) Μακροχρόνια Ανέργων

50,2

56,5

57,6

55,8

53,7

56,0

55,1

52,0

53,6

57,5

58,5

54,8

49,1

52,3

54,8

51,0

47,65

51,5

ΣΥΝΟΛΟ

S301_SJO_1_TS_Q2_98_Q2_08_6_Y.xls:Τ6_ΑΝΕΡ_9807

σελ. 88

Τον πίνακα της προηγούμενης σελίδας μπορεί να τον κατανοήσουμε καλύτερα με την χρήση διαγραμμάτων. Τα διαγράμματα αυτά έγιναν με λογισμικό τύπου spreadsheet, όπως εν προκειμένω το MS Excel. Επιλέγω τι θέλω να δω. Εν προκειμένω θέλω να δω πρώτα πως εξελίχθηκε η ανεργία στα τελευταία δέκα χρόνια. Θέλω επίσης να δω πως εξελίχθηκε η ανεργία των νέων και των μακροχρόνια ανέργων. Το πρώτο διάγραμμα δείχνει πως εξελίχθηκε ο αριθμός των ανέργων στο σύνολο καθώς και των νέων και των μακροχρόνια (δηλ., πάνω από 12 μήνες) ανέργων. Παρατηρούμε ότι, παρά τις διακυμάνσεις ο αριθμός των ανέργων, αν και υψηλός, μειώνεται και στα τρία μεγέθη. Άνεργοι (σε χιλιάδες) ηλικίας 15 ετών και άνω, νέοι και μακροχρόνια άνεργοι για τα έτη 1998-2008 (Β' τρίμηνο) ανά τρίμηνο 600

Άνεργοι (σε χιλιάδες)

500

400

300

200

100

0 Α Β Γ 1998

Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ 1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

Δ Α Β 2008

Τρίμηνο Συνολικός αριθμός ανέργων

12 μήνες και άνω

ΝΕΟΙ

Αν ήθελα όμως να δω αν μειώνεται το ποσοστό των νέων ή των μακροχρόνια ανέργων στους ανέργους μαζί με την ανεργία θα πρέπει να χρησιμοποιήσω τα ποσοστά ανεργίας των ομάδων αυτών. Το δεύτερο διάγραμμα δείχνει την εξέλιξη του συνολικού αριθμού των ανέργων ανά τρίμηνο και μετράται στον δεξιό κάθετο άξονα, καθώς και την εξέλιξη του ποσοστού των νέων και των μακροχρόνια ανέργων που μετρώνται στον αριστερό κάθετο άξονα.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 9 -

Άνεργοι (σε χιλιάδες) 15 ετών και άνω και % νέων και μακροχρόνια ανέργων για τα έτη 1998-2008 (Β τρίμηνο) ανά τρίμηνο 100%

600

90%

% Ανέργων

70%

400

60% 50%

300

40% 200

30% 20%

Άνεργοι (σε χιλιάδες)

500

80%

100

10% 0%

0 Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β 1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

Τρίμηνο % Νέων Ανέργων

% Μακρο-χρόνια Ανέργων

Συνολικός αριθμός ανέργων

Παρατηρούμε τώρα ότι ενώ έχει μειωθεί κάπως το ποσοστό των ανέργων που είναι νέοι (από 47,1% πήγε στο 36,5%), το ποσοστό των ανέργων που είναι μακροχρόνια άνεργοι (περίπου 1 στους 2) παραμένει το ίδιο. Το τρίτο διάγραμμα μας δείχνει την διάρθρωση της ανεργίας ανά διάρκεια. Κάθε σειρά «επιτίθεται» (δηλ. τοποθετείται επάνω) από την άλλη ώστε η πάνω γραμμή να μας δίνει την εξέλιξη του αριθμού των συνολικών ανέργων. Άνεργοι (σε χιλιάδες) ηλικίας 15 ετών και άνω κατά διάρκεια χρόνου ανεργίας για τα έτη 1998-2008 (Β τρίμηνο) ανά τρίμηνο 600

Άνεργοι (σε χιλιάδες)

500

400

300

200

100

0 Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ Α Β 1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

Τρίμηνο Λιγότερο από 1 μήνα

1-2 μήνες

3-5 μήνες

6-11 μήνες

12 μήνες και άνω

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 10 -

Ένα άλλο παράδειγμα χρονολογικής σειράς σε ημερήσια βάση είναι η διαμόρφωση της τιμής μιας μετοχής. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει την εξέλιξη της τιμής της μετοχής της Εθνικής Τράπεζας το τελευταίο δωδεκάμηνο. Εξέλιξη της τιμής και του όγκου της μετοχής της Εθνικής Τράπεζας της Ελλάδος στο Χρηματιστήριο Αξιών Αθηνών στην περίοδο 12/10/2008-12/10/2009. Πηγή: www.in.gr

Στο πάνω τμήμα του διαγράμματος φαίνεται η εξέλιξη της τιμής της μετοχής σε ράβδους. Το εύρος της κάθε ράβδου δείχνει την ανώτατη και την κατώτατη τιμή της μετοχής σε ευρώ μέσα στην συγκεκριμένη ημέρα διαπραγμάτευσης. Η μικρή οριζόντια γραμμή στα δεξιά δείχνει την τιμή κλεισίματος και στα αριστερά την τιμή που άνοιξε η μετοχή. Το κάτω μέρος του διαγράμματος δείχνει τον όγκο της μετοχής, δηλ. πόσα τεμάχια διαπραγματεύθηκαν μέσα στην ημέρα. Πάνω από το διάγραμμα φαίνεται η τιμή ανοίγματος (Ο, Open), η ανώτατη τιμή μέσα στην ημέρα (H, High) η κατώτατη τιμή (L, Low), η τιμή κλεισίματος (C, Close) και ο όγκος (V, Volume). Άρα στο διάγραμμα αυτό για κάθε μέρα διαπραγμάτευσης έχω πέντε παρατηρήσεις (O, H. L. C, V). Μια χρονολογική σειρά θεωρητικά μπορεί να αφορά ακόμα και διάστημα μικρότερο μιας μέρας. Παράδειγμα: η διαμόρφωση της τιμής μιας μετοχής κατά την διάρκεια της διαπραγμάτευσης.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 11 -

Εξέλιξη της τιμής και του όγκου της μετοχής της Εθνικής Τράπεζας της Ελλάδος στο Χρηματιστήριο Αξιών Αθηνών στην συνεδρία της 12/10/2009. Πηγή: www.in.gr

Στο πιο πάνω διάγραμμα βλέπω πως εξελίχθηκε η τιμής της μετοχής της ΕΤΕ μέσα στην συνεδρία, λεπτό προς λεπτό. Για το λόγο αυτό στον οριζόντιο άξονα μετράω ώρες. Στις χρονολογικές σειρές η σειρά με την οποίαν παρουσιάζονται τα δεδομένα είναι σημαντική διότι πρόκειται για διαδοχικές χρονικές περιόδους. Επίσης παρατηρώντας την γραφική παράσταση μιας χρονοσειράς αντιλαμβάνομαι αν υπάρχει κάποια τάση (αγγλ. trend) στα δεδομένα μου – αν δηλαδή η μεταβλητή τείνει να αυξάνει ή να μειώνεται – αν υπάρχει κυκλικότητα ή εποχικότητα, κλπ.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 12 -

2.2 Διαστρωματικά δεδομένα (cross-sectional data) Ta διαστρωματικά δεδομένα καταγράφουν για μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή ή περίοδο τις τιμές μιας μεταβλητής για διαφορετικές οικονομικές μονάδες ή σύνολα μονάδων. Οι οικονομικές μονάδες μπορεί να είναι άτομα, νοικοκυριά, επιχειρήσεις, χώρες, γεωγραφικά διαμερίσματα, κλπ. Παραδείγματα διαστρωματικών δεδομένων Παράδειγμα 1 Μέσες ετήσιες ακαθάριστες αποδοχές εργαζομένων στην βιομηχανία και τις υπηρεσίες με πλήρη απασχόληση στις χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης το 2003 σε ευρώ. Πηγή: Eurostat [Από τον δικτυακό τόπο http://ec.europa.eu/eurostat ] Βουλγαρία Σλοβακία Ουγγαρία Μάλτα Πορτογαλία Ελλάδα Κύπρος Ισπανία Γαλλία Φιλανδία Περιοχή ευρώ Σουηδία ΕΕ 15 Βέλγιο Ολλανδία ΗΒ Λουξεμβούργο Γερμανία Νορβηγία Δανία

1.677,8 4.944,5 6.196,2 13.602,7 13.871,1 16.738,5 18.406,4 19.220,0 28.847,0 30.978,0 31.182,6 32.177,4 33.088,6 34.643,0 36.600,0 38.792,5 39.587,0 40.056,0 42.882,3 44.692,0

. Οι παραπάνω αποδοχές αφορούν μετρητά σε ευρώ που πληρώθηκαν απευθείας στους εργαζόμενους που απασχολούνται στην βιομηχανία και στις υπηρεσίες σε επιχειρήσεις με προσωπικό μεγαλύτερο των 10 ατόμων πριν από φόρους και κρατήσεις μέσα σε ένα έτος. Επέλεξα το 2003 διότι είναι το τελευταίο έτος για το οποίο υπάρχουν διαθέσιμα στοιχεία για την Ελλάδα.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 13 -

Παράδειγμα 2 Ποσοστά ανεργίας ανά διάρκεια στις χώρες της ΕΕ το 2007 (%).

Τα παραπάνω στοιχεία τα πήρα από την Στατιστική Επετηρίδα της Eurostat στη διεύθυνση http://epp.eurostat.ec.europa.eu/cache/ITY_PUBLIC/CH07_2009/EN/CH07_2009EN.XLS Δείχνουν την ανεργία στις 27 χώρες της ΕΕ συν στις τρεις χώρες που της διέπει ειδικό καθεστώς σύνδεσης και η κατάταξη είναι κατά φθίνουσα τάξη του ποσοστού της

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 14 -

συνολικής ανεργίας. Δείχνουν επίσης την διάρθρωση της ανεργίας κατά διάρκεια: πάνω από 12 μήνες ή λιγότερο από 12 μήνες. Ας σημειωθεί ότι ο χρόνος ανεργίας δεν καθορίζεται από πότε ο άνεργος είναι χωρίς δουλειά, αλλά από το πόσο χρόνο ψάχνει για δουλειά από την στιγμή που απολυθεί. Παράδειγμα 3 Συνολικές δαπάνες για εκπαιδευτικά ιδρύματα στην τριτοβάθμια εκπαίδευση στις χώρες του ΟΟΣΑ ανά φοιτητή σε ισοδύναμα δολάρια ΗΠΑ. Πηγή: ΟΟΣΑ, Education at a Glance: OECD Indicators, 2008 edition, Πίνακας Β2.1a

Χώρα ΟΟΣΑ ΗΠΑ Ελβετία Σουηδία Νορβηγία Δανία Αυστρία Αυστραλία Ολλανδία Ηνωμένο Βασίλειο Γερμανία Ιαπωνία Φιλανδία Βέλγιο Γαλλία Ιρλανδία Νέα Ζηλανδία Ισπανία Ισλανδία Πορτογαλία Ιταλία Κορέα Τσεχία Μεξικό Ουγγαρία Ελλάδα Σλοβακία Πολωνία ΟΟΣΑ μέσος όρος

Δαπάνες ανά φοιτητή σε ισοδύναμα US $ Τριτοβάθμια εκπαίδευση 24.370 21.734 15.946 15.552 14.959 14.775 14.579 13.883 13.506 12.446 12.326 12.285 11.960 10.995 10.468 10.262 10.089 9.474 8.787 8.026 7.606 6.649 6.402 6.244 6.130 5.783 5.593 11.512

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 15 -

Τα διαστρωματικά δεδομένα μπορούν να παραστούν με αντίστοιχα διαγράμματα. Μέσες ετήσιες ακαθάριστες αποδοχές σε ευρώ εργαζομένων με πλήρη απασχόληση στην βιομηχανία και τις υπηρεσίες το 2003 Πηγή: Eurostat 50.000,0 45.000,0 40.000,0 35.000,0

Ευρώ

30.000,0 25.000,0 20.000,0 15.000,0 10.000,0 5.000,0

Δα νί α

Η Β μβ ού ργ ο Γε ρμ αν ία Ν ορ βη γί α

Λο υξ ε

λλ αν δί

Βέ λγ ιο

ΕΕ

λλ ία Φ ιλ αν Π δί ερ α ιο χή ευ ρώ Σο υη δί α

Γα

το γα λί α Ελ λά δα Κύ πρ ος Ισ π αν ία

Μ άλ τα

ορ Π

Βο υλ γα ρί α Σλ οβ ακ ία Ο υγ γα ρί α

0,0

Ποσοστά ανεργίας ανά χώρα EE και διάρκεια Πηγή: Eurostat 15

Τουρκία

Άνεργοι λιγότερο από 12 μήνες

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 16 -

Νορβηγία

Κροατία

Δανία

Ολλανδία

Κύπρος

Ιρλανδία

Αυστρία

Λουξεμβούργο (1)

Λιθουανία

Ηνωμένο Βασίλειο

Εσθονία

Σλοβενία

Ιταλία

Λεττονία

Τσεχία

Ποσοστό μακροχρόνιας ανεργίας

Σουηδία

Ρουμανία

Μάλτα

Φιλανδία

Ουγγαρία

Βέλγιο

Πορτογαλία

Γερμανία (1)

Ελλάδα

Ισπανία

Γαλλία (1)

Βουλγαρία

Πολωνία

Σλοβακία

ΕΕ-27 (1)

Περιοχή ευρώ (1)

Δαπάνες για εκπαιδευτικά ιδρύματα ανά φοιτητή στις χώρες του ΟΟΣΑ 2005: Τριτοβάθμια εκπαίδευση 25.000

Ισοδύναμα δολάρια ΗπΑ

20.000

15.000

10.000

5.000

Η Π Ελ Α βε τ Σο ία υη δί Ν ορ α βη γί α Δα ν Αυ ία σ Αυ τρί στ α ρα Η λί νω Ο α μέ λλα νο νδ ί Βα α σί λ Γε ειο ρμ αν Ια ία πω Φ νία ιλ αν δί α Βέ λγ ιο Γα λλ ία Ι Ν ρλα έα ν Ζη δία λα νδ Ι σ ία πα Ισ νία λ Π ανδ ορ το ία γα λί α Ιτα λί α Κο ρέ α Τσ εχ ία Μ ε Ο ξι κ ό υγ γα ρ Ελ ία λά Σλ δα οβ α Π κία ολ ω Ο νί Ο α ΣΑ μέ σο ς όρ ος

Παρατηρείστε ότι στα διαγράμματα αυτά οι χώρες κατατάχτηκαν κατά φθίνουσα ή αύξουσα τάξη του μετρούμενου μεγέθους εκτός από τις περιπτώσεις εκείνες που κάποιες ομάδες είναι ξεχωριστές, όπως οι με ειδικό καθεστώς χώρες της ΕΕ.. Στα διαστρωματικά δεδομένα, αντίθετα με τις χρονολογικές σειρές – δεν μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία εμφανίζονται τα δεδομένα. Μπορούμε όμως να αποκτήσουμε μία αντίληψη για τα διαστρωματικά δεδομένα κατασκευάζοντας ένα ιστόγραμμα που να μας δείχνει την στατιστική τους κατανομή. Για παράδειγμα, αν τα διαστρωματικά δεδομένα είναι βαθμοί φοιτητών στις εξετάσεις του μαθήματος «Αρχές Οικονομικής Ανάλυσης Ι» στις εξετάσεις του Σεπτεμβρίου 2008 μπορούμε να αποκτήσουμε μια αντίληψη από τα αρχικά δεδομένα που βρίσκονται στους καταλόγους της γραμματείας του Τμήματος κατασκευάζοντας μια στατιστική κατανομή και στη συνέχεια δημιουργώντας το αντίστοιχο διάγραμμα.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 17 -

Ιστόγραμμα συχνότητας βαθμολογίας στις εξετάσεις Σεπτ. 08 του μαθήματος Αρχες Οικονομικής Ανάλυσης Ι

% φοιτητών που έλαβαν τον βαθμό

25%

20%

15%

10%

0% 0

Βαθμός

2.3 Panel data Πολλές φορές μας ενδιαφέρει να δούμε πώς εξελίχθηκαν στον χρόνο οι μετρήσεις για διαφορετικές μονάδες. Στην περίπτωση αυτή μία διάσταση δεν είναι αρκετή. Για τον λόγο αυτό χρησιμοποιούμε τα λεγόμενα panel data. Τα panel data μας δείχνουν τις τιμές μιας μεταβλητής για διαφορετικές οικονομικές μονάδες ή σύνολα μονάδων σε διαδοχικές χρονικές περιόδους Άρα τα panel data έχουν τουλάχιστον δύο διαστάσεις (εκ των οποίων η μία είναι ο χρόνος). Συνήθως όμως έχουμε πολυδιάστατα panel data. Εφαρμογές αυτού του τύπου έχουμε όταν παρακολουθούμε την εξέλιξη στον χρόνο μεταβλητών που αφορούν σε έναν αριθμό ατόμων που αποτελούν το panel. Έτσι αν έχουμε Τ χρονικές περιόδους (t = 1, 2,..., T ) και Ν μονάδες ή άτομα (i = 1, 2,..., N ) κάθε παρατήρηση στο σύνολο δεδομένων μας θα είναι X it το οποίο μπορεί να είναι και διάνυσμα αν μετράμε περισσότερες διαστάσεις. Παράδειγμα Ποσοστό ανεργίας στις χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης, συνδεδεμένες χώρες και χώρες αναφοράς από το 1997 έως το 2007. Εδώ έχουμε και χρονολογική σειρά για κάθε χώρα ξεχωριστά και διαστρωματικά δεδομένα για κάθε έτος ξεχωριστά.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 18 -

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 19 -

2.4 Αριθμοδείκτες Συχνά δεν μας ενδιαφέρει η απόλυτη τιμή ενός μεγέθους αλλά η εξέλιξη του ανεξάρτητα από την μονάδα μέτρησής του, είτε στον χρόνο είτε σε σχέση με άλλες μεταβλητές. Πολλές φορές αυτό διευκολύνει την σύγκριση με άλλα μεγέθη και κατασκευάζουμε αριθμοδείκτες παράλληλα με τα πρωτογενή στοιχεία. Άλλες φορές πάλι το πρωτογενές μέγεθος δεν έχει καμία σημασία και ο αριθμοδείκτης γίνεται το πρωτογενές μέγεθος. Γενικά: Ο αριθμοδείκτης εκφράζει τα στοιχεία σε σύγκριση με δεδομένη τιμή βάσης. Πάρτε το παράδειγμα δύο χρονολογικών σειρών: η πρώτη είναι η μέση ετήσια τιμή του ασημιού σε δολάρια ΗΠΑ (US$) ανά μετρικό τόνο κατά την περίοδο 19752006 και η δεύτερη σειρά είναι η εξέλιξη της τιμής του χαλκού πάλι σε δολάρια ΗΠΑ (US$) ανά μετρικό τόνο κατά την ίδια περίοδο Ο πίνακας μας είναι: Μέσες ετήσιες τιμές ασημιού και χαλκού σε δολάρια ΗΠΑ (US$) ανά μετρικό τόνο για τα έτη 1975-2006

Έτος 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Τιμή Τιμή μονάδος μονάδος ασημιού χαλκού ($/t) ($/t) 142.100 1.414 139.900 1.534 148.500 1.472 173.600 1.451 356.600 2.032 663.300 2.234 338.200 1.857 255.600 1.605 367.800 1.687 261.700 1.474 197.400 1.476 175.900 1.456 225.400 1.819 209.900 2.657 176.800 2.887 155.000 2.712 129.900 2.410 126.700 2.368 138.200 2.019 170.100 2.448 165.600 3.050 166.900 2.404 157.200 2.358 178.000 1.734

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 20 -

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

169.000 161.000 140.000 148.000 157.000 207.000 236.000 373.000

1.674 1.944 1.694 1.671 1.879 2.953 3.825 6.939

Πηγή: U.S. Geological Survey, Data Series 140, Historical Statistics for Mineral and Material Commodities in the United States [http://minerals.usgs.gov/ds/2005/140/] Πως μπορούμε να συγκρίνουμε την εξέλιξη των δύο μεγεθών; Κατασκευάζουμε έναν αριθμοδείκτη με χρονολογία βάσης το 1975 και θέτουμε τιμή 1975 =100. Οι υπόλοιπες τιμές του αριθμοδείκτη υπολογίζονται αν διαιρέσουμε την τιμή του αντίστοιχου μήνα με αυτήν του μήνα βάσης και το πολλαπλασιάσουμε επί 100. Τα στοιχεία μας τώρα γίνονται: Έτσι μπορούμε να δούμε πως εξελίχθηκε διαχρονικά η τιμή των δύο μετάλλων. Πρώτα σε πίνακα Δείκτης μέσων ετησίων τιμών ασημιού και χαλκού σε US$t για τα έτη 1975-2006

Έτος 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988

Τιμή Τιμή μονάδος μονάδος ασημιού χαλκού ($/t) ($/t) 100 100 98 108 105 104 122 103 251 144 467 158 238 131 180 114 259 119 184 104 139 104 124 103 159 129 148 188

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 21 -

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

124 109 91 89 97 120 117 117 111 125 119 113 99 104 110 146 166 262

204 192 170 167 143 173 216 170 167 123 118 137 120 118 133 209 271 491

Και ύστερα σε διάγραμμα. Εξέλιξη δεικτών τιμής χαλκού και ασημιού κατά την περίοδο 1975-2006 500 450 400

Δείκτης 1975 = 100

350 300 250 200 150 100 50 0 1975

1980

1985

1990

1995

2000

2005

Έτος Τιμή μονάδος ασημιού ($/t)

Τιμή μονάδος χαλκού ($/t)

Ένας κλασικός αριθμοδείκτης είναι ο λεγόμενος Δείκτης Τιμών Καταναλωτού, με τον οποίο μετράμε την εξέλιξη του επιπέδου των τιμών. Αυτός καταρτίζεται από την ΕΣΥΕ με βάση τον οικογενειακό προϋπολογισμό των νοικοκυριών και σταθμίζει βασικές κατηγορίες δαπάνης, π.χ., «διατροφή» «ένδυση-υπόδηση», «στέγαση», κλπ. και μέσα σε κάθε κατηγορία έχει υποκατηγορίες οι οποίες εξειδικεύονται στο τέλος με συγκεκριμένα αγαθά των οποίων οι τιμές συλλέγονται από ειδικά συνεργεία τιμοληψίας σε μηνιαία βάση. Είναι φυσικό ότι τα αγαθά που περιλαμβάνονται σε

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 22 -

αυτό το «καλάθι» δεν είναι σταθερά και ότι οι συντελεστές στάθμισης μπορεί να αλλάζουν, πάντα όμως με συγκεκριμένη μεθοδολογία. Μια φωτογραφία αυτής της στάθμισης μπορείτε να δείτε στο παρακάτω διάγραμμα

Για να δείτε την εξέλιξη των ετήσιων μεταβολών από το1959 του ΔΤΚ πηγαίνετε στον δικτυακό τόπο της ΕΣΥΕ στην ιστοσελίδα http://www.statistics.gr/portal/page/portal/ESYE/BUCKET/A0515/Other/A0515_DK T87_TS_MM_01_1959_09_2009_05_F_GR.xls Ένας άλλος δείκτης είναι ο Γενικός Δείκτης Τιμών του Χρηματιστηρίου Αθηνών. Έχει ως ημερομηνία βάσης=100 την 31/12/1980 και αποτελείται από τις 60 μεγαλύτερες μετοχές της κατηγορίας μεγάλης κεφαλαιοποίησης του Χρηματιστηρίου Αξιών Αθηνών (www.ase.gr). Η στάθμιση του δείκτη είναι ως προς την κεφαλαιοποίηση των εταιρειών. Η κεφαλαιοποίηση εκφράζεται ως το γινόμενο του αριθμού μετοχών επί την τιμή της μετοχής. Ο δείκτης αναθεωρείται δυο φορές τον χρόνο (Απρίλιο και Οκτώβριο) όπου κάποιες εταιρείες διαγράφονται από τον δείκτη και κάποιες άλλες εισάγονται. Δεν είναι όλοι οι χρηματιστηριακοί δείκτες σταθμισμένοι σύμφωνα με την κεφαλαιοποίηση. Ο παλαιότερος δείκτης, o DJIA (Dow Jones Industrial Average Index) του Χρηματιστηρίου Αξιών της Νέας Υόρκης

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 23 -

ο οποίος ξεκίνησε τον Μάιο του 1896 αποτελεί το αριθμητικό άθροισμα5 των τιμών 30 μετοχών των μεγαλύτερων εταιρειών σε σημαντικούς κλάδους της οικονομίας. Αντίθετα ο δείκτης S&P 500 (Standard & Poor 500) περιλαμβάνει τις 500 μεγαλύτερες εταιρείες σταθμισμένες με την κεφαλαιοποίησή τους. Οι χρηματιστηριακοί δείκτες μεταβάλλονται. Για παράδειγμα στις 22/9/2008 η Wall Street Journal που είναι υπεύθυνη για την κατασκευή του Dow Jones αποφάσισε να βγάλει από τον δείκτη την ασφαλιστική AIG η οποία περιήλθε στην ιδιοκτησία της Αμερικανικής κυβέρνησης και να βάλει στη θέση της την Kraft Foods εταιρεία τροφίμων. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει την εξέλιξη του Γενικού Δείκτη του ΧΑΑ το τελευταίο δωδεκάμηνο (12/10/2008-12/10/2009). (Πηγή: www.in.gr)

Συγκρίνετέ το τώρα με το αντίστοιχο διάγραμμα ένα χρόνο πριν (8/10/20078/10/2008).

Στην πραγματικότητα είναι λίγο πιο πολύπλοκο από αυτό. Δες π.χ., το λήμμα στη Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Dow_Jones_Industrial_Average

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 24 -

Προτού χαρείτε ότι επανήλθαμε στην ομαλότητα προσέξετε τον κάθετο άξονα στα δύο διαγράμματα. Στο τελευταίο διάγραμμα ο άξονας ξεκίναγε από τις 2.500 μονάδες και ξεπέρναγε τις 5.000. Την τελευταία χρονιά ο δείκτης κυμαίνεται από 1450 σε 2850 μονάδες. Ηθικό δίδαγμα: Προσέχετε πάντοτε τους άξονες, πολλές φορές μπορεί να σας παραπλανήσουν.

Ένας δείκτης δεν αναφέρεται απαραίτητα σε χρονολογική σειρά. Μπορούμε, π.χ., να κατασκευάσουμε ένα δείκτη από διαστρωματικά δεδομένα. Πάρτε για παράδειγμα τον πίνακα με τα διαστρωματικά δεδομένα που αναφέρεται στις μέσες ετήσιες ακαθάριστες αποδοχές στην ΕΕ που αναφέραμε πιο πάνω: Αν θέλουμε να δούμε πως συγκρίνονται οι αποδοχές κάθε χώρας με εκείνες της ΕΕ των 15 χρησιμοποιούμε τις αποδοχές αυτές ως τιμή βάσης. Έτσι ο πίνακας τώρα γίνεται:

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 25 -

Μέσες ετήσιες ακαθάριστες αποδοχές εργαζομένων στην βιομηχανία και τις υπηρεσίες με πλήρη απασχόληση στις χώρες της ΕΕ το 2003 σε ευρώ και δείκτης αποδοχών (τιμή βάσης ΕΕ 15=100).

Χώρα Βουλγαρία Σλοβακία Ουγγαρία Μάλτα Πορτογαλία Ελλάδα Κύπρος Ισπανία Γαλλία Φιλανδία Περιοχή ευρώ Σουηδία ΕΕ 15 Βέλγιο Ολλανδία ΗΒ Λουξεμβούργο Γερμανία Νορβηγία Δανία

Αποδοχές 1.677,8 4.944,5 6.196,2 13.602,7 13.871,1 16.738,5 18.406,4 19.220,0 28.847,0 30.978,0 31.182,6 32.177,4 33.088,6 34.643,0 36.600,0 38.792,5 39.587,0 40.056,0 42.882,3 44.692,0

Δείκτης 5,07 14,94 18,73 41,11 41,92 50,59 55,63 58,09 87,18 93,62 94,24 97,25 100,00 104,70 110,61 117,24 119,64 121,06 129,60 135,07

Από τον δείκτη αυτόν προκύπτει ότι οι μέσες ετήσιες ακαθάριστες αποδοχές στην Ελλάδα ήταν το 2003 το μισό περίπου των αποδοχών στην ΕΕ των 15.

Ρυθμός μεγέθυνσης Ο ρυθμός μεγέθυνσης είναι η ποσοστιαία μεταβολή ενός μεγέθους σε μία χρονική περίοδο. Η ποσοστιαία μεταβολή ενός μεγέθους προκύπτει ως το πηλίκο της απόλυτης μεταβολής ως προς την τιμή βάσης. Αν για παράδειγμα, η τιμή βάσης είναι 200 και το μέγεθος μεταβληθεί σε 220, η απόλυτη μεταβολή είναι 220-200=20, και η ποσοστιαία μεταβολή είναι 20/200=0,1=10%. Γενικά για X o , X 1 η ποσοστιαία μεταβολή X − Xo X = 1 − 1 . Έτσι αν το ΑΕΠ στην χρονική περίοδο βάσης υπολογίζεται ως 1 Xo Xo είναι X o και μεταβληθεί στον επόμενο χρόνο σε X 1 ο ρυθμός μεγέθυνσης του ΑΕΠ X είναι r = 1 − 1 ⇒ X 1 = X o (1 + r ) . Xo Πολλές φορές μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε τον μέσο ρυθμό μεγέθυνσης του ΑΕΠ για μια μεγαλύτερη χρονική περίοδο. Ας υποθέσουμε ότι οι τιμές του ΑΕΠ για n έτη μετά το έτος βάσης διαμορφώνονται σε X 1 , X 2 ,… , X n , και ας πάρουμε για παράδειγμα n=4. Οι τιμές που έχουμε είναι X 0 , X 1 , X 2 , X 3 , X 4 . Οι αντίστοιχοι ρυθμοί

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 26 -

X X1 X X − 1, r2 = 2 − 1, r3 = 3 − 1, r4 = 4 − 1. Από εδώ προκύπτει X0 X1 X2 X3 ότι X 1 = (1 + r1 ) X 0 , X 2 = (1 + r2 ) X 1 , X 3 = (1 + r3 ) X 2 , X 4 = (1 + r4 ) X 3 και άρα ότι X 4 = (1 + r1 )(1 + r2 )(1 + r3 )(1 + r4 ) X 0 . Ο μέσος ρυθμός μεγέθυνσης του ΑΕΠ είναι εκείνος ο ρυθμός εκείνος με τον οποίον αν μεγεθυνόταν σταθερά το ΑΕΠ από το έτος βάσης θα μας έδινε την τελική τιμή, δηλ., ο ρυθμός εκείνος για τον οποίον θα ισχύει ότι X 4 = (1 + r )(1 + r )(1 + r )(1 + r ) X 0 = (1 + r ) 4 X 0 . Προσοχή: ο ρυθμός αυτός δεν είναι ο μέσος όρος των επιμέρους ρυθμών δηλ. r +r +r +r r≠ 1 2 3 4 4 Πώς υπολογίζεται ο μέσος ρυθμός; Η απάντηση είναι απλή: μεγέθυνσης είναι r1 =

⎛ X ⎞4 X X 4 = (1 + r ) 4 X 0 ⇒ 4 = (1 + r ) 4 ⇒ r = ⎜ 4 ⎟ − 1 = X0 ⎝ X0 ⎠

X4 −1 X0

Παράδειγμα: Α. Έστω X 0 = 200, X 1 = 220, X 2 = 230, X 3 = 250, X 4 = 260. Τότε προκύπτει ότι r1 = 10%, r2 = 4,55%, r3 = 8, 7%, r4 = 4%. Ο μέσος ρυθμός είναι 1 4

⎛X ⎞ ⎛ 260 ⎞ 4 r = ⎜ 4 ⎟ −1 = ⎜ ⎟ − 1 ≈ 6, 78% . Παρατηρείστε ότι είναι διαφορετικός από τον ⎝ 200 ⎠ ⎝ X0 ⎠ μέσο όρο των ρυθμών μεγέθυνσης που είναι 6,81%. Β. Ας υποθέσουμε ότι ο μέσος ρυθμός μεγέθυνσης του ΑΕΠ είναι 10%. Ζητείται: Σε πόσα χρόνια θα διπλασιασθεί το ΑΕΠ; Αν δηλαδή το ΑΕΠ είναι το έτος βάσης X o και r = 10% , πότε το X n θα γίνει 2 X o . X 0 (1 + r ) n = 2 X o ⇒ (1 + r ) n = 2 ⇒ n ln(1 + r ) = ln 2 ⇒ Απάντηση:

ln 2 ln 2 0, 69315 = = ≈ 7, 27 ln(1 + r ) ln(1,1) 0,09531018 Δηλ., σε περίπου 7,3 έτη. n=

Να δούμε τώρα ένα πραγματικό παράδειγμα: την εξέλιξη του κατά κεφαλήν πραγματικού ΑΕΠ της Ελλάδος από το 1951 μέχρι το 2004. Στον κάθετο άξονα είναι το «πραγματικό» ΑΕΠ σε δολάρια ΗΠΑ.6. Ο ρυθμός μεγέθυνσης (ρ.μ.) έχει υπολογιστεί για κάθε έτος διαιρώντας με το προηγούμενο και αφαιρώντας την μονάδα: Τα στοιχεία είναι τα εξής:

Στην πραγματικότητα δεν χρησιμοποίησα πραγματικό ΑΕΠ σε σταθερές τιμές, αλλά «πραγματικό» με την μέθοδο της αγοραστικής δύναμης από μια σειρά δεδομένων που επιτρέπει την συγκρισιμότητα των στοιχείων μεταξύ χωρών. Για περισσότερες πληροφορίες δες τον δικτυακό τόπο http://pwt.econ.upenn.edu/ του Center for International Comparisons at the University of Pennsylvania.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 27 -

Εξέλιξη του πραγματικού κατά κεφαλήν ΑΕΠ της Ελλάδος για τα έτη 1951 – 2004 σε δολάρια ΗΠΑ με τη μέθοδο της αγοραστικής δύναμης Πηγή: Alan Heston, Robert Summers and Bettina Aten, Penn World Table Version 6.2, Center for International Comparisons of Production, Income and Prices at the University of Pennsylvania, September 2006. http://pwt.econ.upenn.edu/ Έτος Πρ. ΑΕΠ κ/κ 1951 511,63 1952 509,86 1953 572,09 1954 584,34 1955 624,36 1956 693,50 1957 764,82 1958 824,58 1959 860,97 1960 879,00 1961 991,70 1962 1.009,80 1963 1.118,24 1964 1.219,79 1965 1.343,04 1966 1.474,69 1967 1.597,58 1968 1.749,98 1969 2.010,50 1970 2.263,35 1971 2.546,82 1972 2.900,90 1973 3.304,61 1974 3.371,95 1975 3.846,02 1976 4.286,86 1977 4.656,82

ρ.μ -0,35% 12,21% 2,14% 6,85% 11,07% 10,28% 7,81% 4,41% 2,09% 12,82% 1,83% 10,74% 9,08% 10,10% 9,80% 8,33% 9,54% 14,89% 12,58% 12,52% 13,90% 13,92% 2,04% 14,06% 11,46% 8,63%

Έτος Πρ. ΑΕΠ κ/κ 1978 5.278,15 1979 5.834,09 1980 6.397,85 1981 6.885,12 1982 7.035,69 1983 7.152,11 1984 7.434,95 1985 7.781,78 1986 8.067,29 1987 8.131,22 1988 8.801,47 1989 9.373,12 1990 9.734,04 1991 10.382,41 1992 10.570,44 1993 10.554,61 1994 10.935,19 1995 11.317,18 1996 11.715,50 1997 12.248,62 1998 12.676,92 1999 13.256,27 2000 13.982,39 2001 14.939,96 2002 15.820,46 2003 16.966,55 2004 18.283,34

ρ.μ 13,34% 10,53% 9,66% 7,62% 2,19% 1,65% 3,95% 4,66% 3,67% 0,79% 8,24% 6,49% 3,85% 6,66% 1,81% -0,15% 3,61% 3,49% 3,52% 4,55% 3,50% 4,57% 5,48% 6,85% 5,89% 7,24% 7,76%

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 28 -

Ας τα βάλουμε σε ένα διάγραμμα. Εξέλιξη του πραγματικού κατα κεφαλή ΑΕΠ της Ελλάδος 1951-2004

Πραγματικό κατά κεφαλή ΑΕΠ σε δολάρια ΗΠΑ μεθοδος PPP

20000 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 1950

1955

1960

1965

1970

1975

1980

1985

1990

1995

2000

2005

Έτος

Παρατηρούμε πράγματι μια σημαντική άνοδο. Τι όμως μπορούμε να πούμε για τον τρόπο που μεταβλήθηκε το μέγεθός μας; Βάζοντας σε ένα διάγραμμα τον ρυθμό μεγέθυνσης το κατανοούμε καλύτερα. Ρθθμός μεγέθυνσης πραγματικού κατά κεφαλήν ΑΕΠ της Ελλάδας για τα έτη 1951-2004 16%

14%

12%

Ρυθμός μεγέθυνσης

10%

0% 1950

1955

1960

1965

1970

1975

1980

1985

1990

1995

2000

2005

-2% Έτος

Βλέπετε ότι ο ρ.μ. δεν αυξήθηκε με τον ίδιο τρόπο όλα τα έτη. Γενικά μάλιστα ο μέσος όρος του ρ.μ. ήταν μεγαλύτερος μέχρι το 1981, ενώ άρχισε να ανεβαίνει πάλι από το 1998 και μετά (Θυμηθείτε ότι αυτό που μετράμε είναι με συγκεκριμένη μέθοδο και μπορεί να διαφέρει από αυτό που διαβάζετε).

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 29 -

Ποιος ήταν ο μέσος ρυθμός μεγέθυνσης; Η αρχική και η τελική τιμή ήταν αντίστοιχα 511,63 και 18283,34. Και τα έτη μεγέθυνσης ήταν 2004-1951=53. Άρα σύμφωνα με τον τύπο ο μέσος ρυθμός μεγέθυνσης θα είναι: 1

⎛ X ⎞n ⎛X ⎞ 52 ⎛ 18283,34 ⎞ 52 r = ⎜ n ⎟ − 1 = ⎜ 2004 ⎟ − 1 = ⎜ ⎟ − 1 ≈ 7,12% ⎝ 511,63 ⎠ ⎝ X0 ⎠ ⎝ X 1951 ⎠ Μπορούμε μάλιστα να υπολογίσουμε ξεχωριστά τον μέσο ρ.μ. από το 1951 έως το 1981 και από το 1982 έως το 2004. Χρησιμοποιώντας τους τύπους έχουμε 1

⎛ X ⎞n ⎛ X ⎞ 29 ⎛ 6885.12 ⎞ 29 r51−81 = ⎜ n ⎟ − 1 = ⎜ 1981 ⎟ − 1 = ⎜ ⎟ − 1 ≈ 9,38% ⎝ 511,63 ⎠ ⎝ X0 ⎠ ⎝ X 1951 ⎠ 1

⎛ X ⎞n ⎛X ⎞ 29 ⎛ 6885.12 ⎞ 21 r82−04 = ⎜ n ⎟ − 1 = ⎜ 2004 ⎟ − 1 = ⎜ ⎟ − 1 ≈ 4, 65% 511,63 X X ⎝ ⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 1982 ⎠ Και όντως παρατηρούμε μια σημαντική επιβράδυνση του ρ.μ. την τελευταία εικοσαετία. Internet και Οικονομική Επιστήμη

Γενικά για την οικονομική επιστήμη χρήσιμοι είναι οι εξής δικτυακοί τόποι που παραπέμπουν σε άλλους συνδέσμους. Τα Resources for economists της American Economic Association στην διεύθυνση http://rfe.org/ Και το WebEc World Wide Web Resources in Economics στην διεύθυνση http://www.helsinki.fi/WebEc/ Τους κλασικούς των οικονομικών, πολιτικών και κοινωνικών επιστημών μπορείτε να βρείτε στο Online Library of Liberty στην διεύθυνση http://oll.libertyfund.org/ (φιλελεύθερης προσέγγισης) Ενώ για την μαρξιστική πολιτική οικονομία επισκεφθείτε το Marxists Internet Archive στην διεύθυνση http://www.marxists.org/ Τέλος για την Ελλάδα επισκεφθείτε την Τράπεζα της Ελλάδος στην διεύθυνση http://www.bankofgreece.gr/ Στοιχεία στο Διαδίκτυο Για στοιχεία άλλων κρατών επισκεφθείτε τους δικτυακούς τόπους της Eurostat, της Στατιστικής Υπηρεσίας της Ευρωπαϊκής Ένωσης [ http://epp.eurostat.ec.europa.eu ] (επιλέξτε ανάμεσα σε γερμανικά, αγγλικά και γαλλικά ] και για τις ΗΠΑ τον δικτυακό τόπο του Bureau of Labor Statistics [http://www.bls.gov/]. [Για μια ιστοσελίδα γεμάτη από συνδέσμους (links) σε δικτυακούς τόπους με στατιστικά στοιχεία επισκεφθείτε το http://www.helsinki.fi/WebEc/webecc8d.html

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 30 -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων

Άσκηση: Κατασκευάστε με ένα λογισμικό τύπου spreadsheet, όπως, π.χ., MS

Excel, μια καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων. Λύση: Δείτε το συνημμένο αρχείο ΚΠΔ.xls Σχολιασμός:

Καταρχήν να διευκρινήσω ότι η ΚΠΔ αποτελεί μια αφαίρεση που κρύβει περισσότερα από όσα εξηγεί. Αποτελεί ένα παιδαγωγικό κατασκεύασμα για να μας κάνει να πιστέψουμε ότι το βασικό αντικείμενο της οικονομικής επιστήμης είναι η ανάλυση της σπανιότητας (ή στενότητας) των πόρων. Αντανακλά δηλαδή τον ορισμό της οικονομικής επιστήμης όπως δόθηκε από τον Lionel Robbins (1898-1984), το 1932: «Η οικονομική είναι η επιστήμη που μελετά την ανθρώπινη συμπεριφορά ως σχέση μεταξύ στόχων και σπάνιων μέσων που έχουν εναλλακτικές χρήσεις».7 Εναλλακτικές προσεγγίσεις στην πολιτική οικονομία αντιμετωπίζουν την έννοια της σπανιότητας (scarcity) από διαφορετική σκοπιά. Οι μετα-Κεϋνσιανοί θεωρούν ότι τα παραγόμενα μέσα παραγωγής σε μια κυκλική παραγωγική διαδικασία δεν μπορούν να χαρακτηριστούν ως σπάνια και ότι η παραγωγή αποτελεί μια κοινωνική διαδικασία. Οι Μαρξιστές πάλι θεωρούν ότι η έννοια της στενότητας συσκοτίζει και τοποθετεί με λάθος τρόπο το οικονομικό πρόβλημα.8 Η οικονομία παρίσταται λοιπόν ως μια δυνατότητα παραγωγής δύο (ομάδων) αγαθών, έστω καταναλωτικών («βούτυρο») και δημοσίων αγαθών που προορίζονται για την άμυνα («κανόνια»). Οι παραγωγικοί πόροι είναι περιορισμένοι. Υπάρχουν πολλοί εφικτοί συνδυασμοί αγαθών.

Αυτοί όμως που μας ενδιαφέρουν είναι οι

αποτελεσματικοί συνδυασμοί, δηλ., οι συνδυασμοί εκείνοι που δεν μπορεί να

αυξήσουμε την παραγωγή ενός αγαθού χωρίς να μειώσουμε την παραγωγή του

“Economics is the science which studies human behaviour as a relationship between ends and scarce means which have alternative uses”. An Essay on the Nature and Significance of Economic Science, σ. 15. 8 Βλ., Frederic S. Lee, “Heterodox Economics”, λήμμα στο S. Durlauf & L. Blume (eds.), Palgrave Dictionary of Economics.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 31 -

άλλου.

Το σύνολο των αποτελεσματικών παραγωγικών συνδυασμών μας δίνει την

ΚΠΔ. Από τον ορισμό της παραγωγικής αποτελεσματικότητας και της ΚΠΔ προκύπτει ότι η ΚΠΔ έχει αρνητική κλίση: όταν αυξάνεται το ένα αγαθό μειώνεται αναγκαστικά και το άλλο. Θα μπορούσε να έχει θετική κλίση, έστω και σε ένα τμήμα της; Όχι, διότι αν τα σημεία Α και Β βρίσκονταν πάνω στο θετικό τμήμα της ΚΠΔ, ένα από τα δύο, έστω το Β, θα είχε περισσότερο και από τα δύο αγαθά από το Α, άρα το Α δεν θα ήταν αποτελεσματικό, άρα δεν μπορεί να βρίσκεται πάνω στην ΚΠΔ. Μαθηματικά εκφράζουμε την ΚΠΔ ως μία συνάρτηση των δύο αγαθών. Αν τα αγαθά μας είναι τα Χ και Υ, η ΚΠΔ είναι η Ψ=f(Χ). Η αρνητική κλίση της ΚΠΔ σημαίνει ότι η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική, δηλ. ότι f ′ ≡

dΨ < 0 . Η πρώτη dX

αυτή παράγωγος ονομάζεται οριακός λόγος μετασχηματισμού (Marginal Rate of Transformation), επειδή η ΚΠΔ δείχνει πως μετασχηματίζεται ένα αγαθό σε ένα άλλο. Πολύ συχνά υπάρχει σύγχυση σχετικά με την έννοια των φθινουσών αποδόσεων και την κλίση της ΚΠΔ. Η υπόθεση των φθινουσών αποδόσεων δεν έχει καμία σχέση με την κλίση της ΚΠΔ.

Η υπόθεση αυτή μας λέει ότι για κάθε αγαθό

ξεχωριστά το οριακό προϊόν (Marginal Product) του παραγωγικού συντελεστή βαίνει μειούμενο, δηλ., φθίνει. Αν τα δύο αγαθά Χ και Ψ παράγονται με τον παραγωγικό συντελεστή L, μέσα από τις συναρτήσεις παραγωγής X = f X ( L) και Ψ = f Ψ ( L) τα οριακά προϊόντα του παραγωγικού συντελεστή L είναι αντίστοιχα: MPL X ≡

df X ( L) df ( L) ≡ f X′ και MPL Ψ ≡ Ψ ≡ f Ψ′ . dL dL

Η υπόθεση των φθινουσών αποδόσεων μας λέει ότι η πρώτη παράγωγος των οριακών προϊόντων είναι αρνητική ότι δηλ., η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης παραγωγής είναι αρνητική, δηλ., f X′′ , f Ψ′′ < 0 .

Αν συμβαίνει αυτό τότε η ΚΠΔ

στρέφει τα κοίλα προς την αρχή των αξόνων έχει δηλ., δεύτερη παράγωγο αρνητική. Ας το δούμε αυτό μέσα από την άσκηση. Έστω η συνάρτηση παραγωγής X = f X ( LX ) = ALX α , όπου LX η ποσότητα του παραγωγικού συντελεστή L που χρησιμοποιείται για την παραγωγή του αγαθού

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 32 -

Χ. Οι Α και α είναι σταθεροί συντελεστές μεγαλύτεροι του μηδενός. Ποιο είναι το οριακό προϊόν του L στην παραγωγή του Χ. Παραγωγίζοντας έχουμε: fX′ ≡

df X ( LX ) = Aα LX α −1 . Παρατηρείστε ότι το οριακό προϊόν είναι θετικό. dLX

Ισχύει όμως η υπόθεση των φθινουσών αποδόσεων; Αυτό εξαρτάται από το α. Αν το α είναι μικρότερο της μονάδας τότε έχουμε φθίνουσες αποδόσεις.

Αυτό το

βρίσκουμε από την πρώτη παράγωγο του οριακού προϊόντος:

( )

′ d 2 f X ( LX ) f X ′ ≡ f ′′ = X = Aα (α − 1) LX α − 2 < 0 dLX 2

Αν α = 1 έχουμε σταθερές αποδόσεις και αν α > 1 τότε έχουμε αύξουσες αποδόσεις. Ας κάνουμε τρία σχήματα για να το κατανοήσουμε καλύτερα. Για όλα τα σχήματα

δίνουμε

τις

τιμές

Α=2

και

για

τα

τρία

σχήματα

έχουμε

α = 0,5 α = 1, α = 1,5 αντίστοιχα. Συνάρτηση παραγωγής με α<1 10

Αγαθό Χ

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

Παραγωγικός συντελεστής L

Φθίνουσες αποδόσεις: Παρατηρείστε ότι για L=20, X=8,9

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 33 -

Συνάρτηση παραγωγής με α=1 45

Αγαθό Χ

0 0

Παραγωγικός συντελεστής L

Σταθερές αποδόσεις: Παρατηρείστε ότι για L=20, X=40

Συνάρτηση παραγωγής με α<1 200

Αγαθό Χ

180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0

Παραγωγικός συντελεστής L

Αύξουσες αποδόσεις: Παρατηρείστε ότι για L=20, X=178,9 Παρατηρείστε πως μεταβάλλεται το οριακό προϊόν στο επόμενο σχήμα

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 34 -

Οριακό προϊόν για αύξουσες, σταθερές και φθίνουσες αποδόσεις 16

Οριακό προϊόν

αύξουσες αποδόσεις

10 α<0 α=1 α>1

4 σταθερές αποδόσεις 2 φθίνουσες αποδόσεις 0 0

Παραγωγικός συντελεστής

Αφού κατανοήσατε τώρα την έννοια των φθινουσών αποδόσεων ας δούμε πως κατασκευάζουμε την ΚΠΔ. Πρέπει τώρα να ορίσουμε την συνάρτηση παραγωγής του αγαθού Ψ. Ο ορισμός γίνεται με αντίστοιχο τρόπο: Ψ = f Ψ ( LΨ ) = BLΨ β Εφόσον χρησιμοποιούμε τον παραγωγικό συντελεστή L αποτελεσματικά, πρέπει ό,τι δεν χρησιμοποιούμε για την παραγωγή του Χ να χρησιμοποιείται για την παραγωγή του Ψ, άρα προκύπτει ότι για αποτελεσματική παραγωγή πρέπει LΨ = L − LX όπου L είναι η διαθέσιμη ποσότητα του παραγωγικού συντελεστή L. Από την συνάρτηση παραγωγής του Χ προκύπτει ότι 1

X = ALX ⇒ LX

X ⎛ X ⎞α = ⇒ LX = ⎜ ⎟ A ⎝ A⎠

Μπορούμε λοιπόν να εκφράσουμε το Ψ ως συνάρτηση του Χ. Η συνάρτηση παραγωγής του Ψ είναι: Ψ = f Ψ ( LΨ ) = BLΨ β . Αντικαθιστώντας έχουμε:

Ψ = BLΨ β

1 ⎛ ⎞ α X ⎛ ⎞ β ⎜ = B ( L − LX ) = B L − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ A⎠ ⎟ ⎝ ⎠

(ΚΠΔ)

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 35 -

Η εξίσωση αυτή μας δίνει την ΚΠΔ. Ας δούμε αν είναι εύλογη. Τι συμβαίνει αν όλοι οι διαθέσιμοι πόροι L διατεθούν για την παραγωγή του Ψ;

Θα περιμέναμε να είναι Ψ = BLβ . Αυτό μας

δείχνει και η συνάρτηση της ΚΠΔ. Για Χ=0 έχουμε β

1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ α α β X 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ Ψ = B L −⎜ ⎟ = B L −⎜ ⎟ ⎟ = B(L) . ⎜ ⎜ ⎝ A⎠ ⎟ ⎝ A⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Αντίστοιχα για Ψ=0 έχουμε β

1 1 ⎛ ⎞ α α X X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 = B ⎜ L − ⎜ ⎟ ⎟ ⇒ L − ⎜ ⎟ = 0 ⇒ X = ALα ⎜ ⎝ A⎠ ⎟ ⎝ A⎠ ⎝ ⎠

Τί κλίση έχει η καμπύλη; ′ 1 β ⎤ 1 β −1 1 ′ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ α α α dΨ ⎢ ⎜ X X X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎥ = ⎢ B L − ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ = Bβ ⎜ L − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ L − ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ dX ⎝ A⎠ ⎟ ⎝ A⎠ ⎟ ⎜ ⎝ A⎠ ⎟ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎛ ⎞ α X ⎛ ⎞ = Bβ ⎜ L − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ A⎠ ⎟ ⎝ ⎠

β −1

1 −1 ⎛ ⎞ α 1 1⎟ X Bβ ⎛ ⎞ ⎜− =− ⎜ ⎟ ⎜ α ⎝ A ⎠ A⎟ Aα ⎝ ⎠

1 ⎛ ⎞ α X ⎛ ⎞ ⎜L − ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ A⎠ ⎝ ⎠

β −1

⎛X⎞ ⎜ ⎟ ⎝ A⎠

1−α

Η καμπύλη έχει αρνητική κλίση για όλες τις τιμές των Α, Β, α, β μεγαλύτερες του μηδενός. Ας δούμε τι συμβαίνει αν έχουμε σταθερές αποδόσεις. Τα α και β είναι ίσα με την μονάδα. Η εξίσωση γίνεται. β

1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ α 1 ⎛ X X B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ X ⎞⎞ ⎜ ⎟ ⎜ Ψ = B L −⎜ ⎟ = B L − ⎜ ⎟ ⎟ = B ⎜ L − ⎜ ⎟ ⎟ = BL − X ⎜ ⎜ A ⎝ A⎠ ⎟ ⎝ A⎠ ⎟ ⎝ A ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Παρατηρείστε ότι η εξίσωση της ΚΠΔ είναι γραμμική. καμπύλης είναι σταθερή και ίση με −

Η κλίση της

B εφόσον α=β=1. A

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 36 -

Η δεύτερη παράγωγος είναι πιο πολύπλοκη να υπολογιστεί. Μπορεί όμως να αποδειχτεί ότι αν α, β<1 τότε είναι αρνητική, άρα θα στρέφει τα κοίλα προς την αρχή των αξόνων, ενώ αν και τα δύο είναι μεγαλύτερα της μονάδος τότε θα στρέφει τα κοίλα μακριά από την αρχή των αξόνων. Μπορείτε να «παίξετε» με το spreadsheet που παραθέτω σε άλλο αρχείο και να δείτε πως γίνεται η ΚΠΔ για διαφορετικούς παραμέτρους. Τα παρακάτω σχήματα είναι ενδεικτικά. Για α=β=1. ΚΠΔ 45

Αγαθό Ψ

0 0

Αγαθό Χ

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 37 -

Για α, β, <1 ΚΠΔ 10 9 8 7

Αγαθό Ψ

6 5 4 3 2 1 0 0

120

140

160

180

200

Αγαθό Χ

Για α, β, >1 ΚΠΔ 900

800

700

Αγαθό Ψ

600

500

400

300

200

100

0 0

100 Αγαθό Χ

Για α<1, β, >1

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 38 -

ΚΠΔ 900

800

700

Αγαθό Ψ

600

500

400

300

200

100

0 0

Αγαθό Χ

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 39 -

Ασκήσεις στην ΚΠΔ Άσκηση 1 Στο παρακάτω διάγραμμα η κοινωνία αποφασίζει αν θα παράγει βούτυρο (Β) ή κανόνια (Κ). Η καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων (ΚΠΔ) είναι η βκ. Αποδείξτε ότι όλα τα σημεία πάνω στην ΚΠΔ είναι κατά Pareto άριστα. Έστω το σημείο Α που βρίσκεται κάτω από την καμπύλη. Είναι όλα τα σημεία της ΚΠΔ κατά Pareto κυρίαρχα της κατανομής του σημείου Α ή όχι; Αν όχι ποια είναι αυτά; Δείξτε όλα τα σημεία τα οποία είναι κατά Pareto αποτελεσματικότερα (ή κατά Pareto κυρίαρχα) του Α. Ποια από αυτά είναι και κατά Pareto άριστα; Εξηγείστε.

Βούτυρο

ΚΠΔ

Α.

Κανόνια

Απάντηση Τα σημεία που είναι κατά Pareto κυρίαρχα του Α, δεν είναι η ΚΠΔ. Είναι τα σημεία εκείνα που βρίσκονται πάνω και δεξιά του Α κάτω από και επάνω στην ΚΠΔ. Αυτά που βρίσκονται στον τομέα ΑΒΓ. Εκεί έχουμε και περισσότερο βούτυρο και περισσότερα κανόνια. Μόνο όμως το τόξο ΒΓ πάνω στην ΚΠΔ που προκύπτει αν τραβήξουμε γραμμές παράλληλες προς τους άξονες οι οποίες διέρχονται από το Α, αποτελείται από κατανομές οι οποίες είναι και κυρίαρχες και αποτελεσματικές (ή άριστες). Αυτό συμβαίνει διότι οποιοδήποτε άλλο σημείο, έστω το Δ, που είναι κυρίαρχο του Α αλλά βρίσκεται κάτω από την ΚΠΔ κυριαρχείται από άλλα σημεία τα οποία βρίσκονται πάνω και δεξιά του και κάτω ή επάνω στην ΚΠΔ, δηλαδή από τον τομέα ΔΕΖ. Μόνο τα σημεία που ανήκουν πάνω στο τόξο ΒΓ δεν μπορούν να βελτιωθούν από εφικτές κατανομές και άρα είναι κατά Pareto άριστα ή αποτελεσματικά.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 40 -

Pareto κυρίαρχα: περισσότερο βούτυρο και περισσότερα κανόνια

Βούτυρο Β β

ΚΠΔ

Ε Δ.

Ζ Γ

Α.

Κανόνια

Άσκηση 2 Έστω ότι έχω μια οικονομία με L = 100 μονάδες παραγωγικού συντελεστή L. Μπορεί να κατασκευάσει το αγαθό Χ του οποίου η συνάρτηση παραγωγής είναι X = 4 LX και το αγαθό Υ του οποίου η συνάρτηση παραγωγής είναι Y = 8 LY .

Κατασκευάσατε την ΚΠΔ. Αποδείξτε ότι φθίνει και δικαιολογείστε την κυρτότητά της. Υπολογίστε τον Οριακό Λόγο Μετασχηματισμού. Απάντηση Εφόσον ο παραγωγικός συντελεστής είναι δεδομένος συνεπάγεται ότι LX = L − LY .

Εκφράζω το LY σε όρους Χ και έχω X = 4 LX ⇒ X = 4 ( L − LY ) ⇒ LY = Άρα η ΚΠΔ είναι Y = 8 LY ⇒ Y = 8

4L − X . 4

4L − X = 4 4 L − X = 4 400 − X . 4

Ο ΟΛΜ είναι 1 ⎤′ 1 dY 1 2 − ′ ⎡ = 4 400 − X = ⎢ 4 (400 − X )2 ⎥ = −4 ⋅ (400 − X ) 2 = − ⎢⎣ ⎥⎦ dX 2 400 − X Εφόσον είναι αρνητικός η ΚΠΔ έχει αρνητική κλίση.

ΟΛΜ =

(

)

Η κυρτότητά της δίνεται από την δεύτερη παράγωγο. 1 ′ 3 3 ⎛ 1⎞ d 2Y − ⎤ − − ′′ ⎡ 2 ⎥ = 2 ⎜− ⎟ 2 = −( 400 − X ) 2 < 0 ⎢ 4 400 X 2 400 X 400 X = − = − − − ( ) ( ) ⎟ ⎜⎝⎜ ⎠⎟ ⎢⎣ ⎥⎦ dX 2 2

(

)

Σε διαγράμματα έχουμε

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 41 -

Συνάρτηση παραγωγής X 450

400

350

300

250 X 200

150

100

0 0

100

120

Συνάρτηση παραγωγής Y 90

50 Y 40

0 0

100

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 42 -

ΚΠΔ 90

50 Υ 40

0 0

100

150

200

250

300

350

400

450

Άσκηση 3 Έχω 72 αυγά και 10 κιλά αλεύρι. Για να φτιάξω μια ομελέτα θέλω 6 αυγά και για να φτιάξω ένα κέικ θέλω μισό κιλό αλεύρι και 3 αυγά. Ποια είναι η ΚΠΔ μου; Απάντηση Αν χρησιμοποιήσω όλο το αλεύρι μου μπορώ να φτιάξω 20 κέικ για τα οποία θα χρειαστώ 60 αυγά. Άρα το μέγιστο που μπορώ να φτιάξω είναι 20 κέικ και θα περισσέψουν αυγά για 2 ομελέτες. Αν χρησιμοποιήσω όλα τα αυγά για ομελέτες θα φτιάξω 12 ομελέτες. Στο ενδιάμεσο για κάθε ομελέτα θα πρέπει να θυσιάσω δύο κέικ. Αν Χ είναι οι ομελέτες και Υ τα κέικ η ΚΠΔ είναι: Υ= Y = (72 − 6 X ) 3 , 2 ≤ X ≤ 12 ΚΠΔ 20

Υ, κέικ

19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

Χ, Ομελέτες

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 43 -

Άσκηση 4 Έστω ότι έχω 10 μονάδες παραγωγικού συντελεστή Κ. Για την παραγωγή του αγαθού Χ και του αγαθού Υ μας δίδονται τα εξής δεδομένα. Υπολογίστε την καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων σχηματίστε την γραφική της παράσταση και υπολογίστε τα οριακά προϊόντα των Χ και Υ. Τι είδους αποδόσεις έχουμε; Οφείλεται η αρνητική κλίση της ΚΠΔ στο είδος των αποδόσεων; Αν όχι για ποιο γεγονός είναι υπεύθυνες το είδος των αποδόσεων; Κ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Χ 0 50 98 143 183 220 252 280 302 317 327

Υ 0 20 39 56 70 81 89 95 99 101 102

Απάντηση Ο υπολογισμός της ΚΠΔ προκύπτει άμεσα από το γεγονός ότι αν χρησιμοποιούνται K X μονάδες για την παραγωγή του Χ απομένουν 10 − K X = KY μονάδες για την παραγωγή του Υ. Ξαναγράφουμε τον πίνακα και έχουμε ΚΧ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Χ 0 50 98 143 183 220 252 280 302 317 327

ΚΥ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Υ 102 101 99 95 89 81 70 56 39 20 0

Σε όρους γραφικής παράστασης έχουμε.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 44 -

ΚΠΔ 120

100

0 0

100

150

200

250

300

350

Για τα οριακά προϊόντα, θυμηθείτε τον ορισμό του οριακού προϊόντος κάντε τους υπολογισμούς και ελέγξτε τους με τον παρακάτω πίνακα. Κ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 50 98 143 183 220 252 280 302 317 327

MPX

0 20 39 56 70 81 89 95 99 101 102

50 48 45 40 37 32 28 22 15 10

MPY

20 19 17 14 11 8 6 4 2 1

Εφόσον τα οριακά προϊόντα βαίνουν μειούμενα και στις δύο περιπτώσεις έχουμε φθίνουσες αποδόσεις. Αλλά αυτές δεν είναι υπεύθυνες για την αρνητική κλίση της καμπύλης αλλά για την κυρτότητά της.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 45 -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ελαστικότητα ζήτησης: Θεωρία & Ασκήσεις Α Μέρος: Θεωρία Η έννοια της ελαστικότητας ζήτησης Τον χειμώνα του 1881-2 ο Alfred Marshall (1842-1924) κατέβηκε από την ηλιόλουστη ταράτσα του ξενοδοχείου του στο Palermo ενθουσιασμένος γιατί είχε ανακαλύψει την ελαστικότητα της ζήτησης. Σε τέσσερα χρόνια είχε εισαγάγει τον όρο «ελαστικότητα» στην οικονομική επιστήμη.9 Ο όρος καθιερώθηκε σύντομα στον βαθμό που στο πρώτο σημαντικό λεξικό της οικονομικής επιστήμης του Inglis Palgrave το 1894, ο Francis Y. Edgeworth (1845-1926) έγραψε το λήμμα «ελαστικότητα». Η ιδέα ότι η ζητούμενη ποσότητα δεν ανταποκρίνεται με τον ίδιο τρόπο σε μια μεταβολή των τιμών, είναι σχεδόν προφανής. Εμφανίζεται ήδη στην κλασσική πολιτική οικονομία, ειδικά στον John Stuart Mill (1848). Ο Cournot (18011877) ήταν πολύ κοντά στην ιδέα της ελαστικότητας ζήτησης, την οποία περιέγραψε (1838) αν και δεν έδωσε κάποιον όρο για αυτήν.

Τι είναι όμως η ελαστικότητα ζήτησης; Είναι μια έννοια που περιγράφει την ευαισθησία που έχει η ζητούμενη ποσότητα στην μεταβολή της τιμής. Πιο αυστηρά η ελαστικότητα ζήτησης (price elasticity of demand) είναι ο λόγος της ποσοστιαίας μεταβολής της ζητούμενης ποσότητας ενός αγαθού ως προς την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής του ίδιου αγαθού. Αν ΔQ είναι η μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας Q, και ΔP η μεταβολή της τιμής του P, τότε η ελαστικότητα ζήτησης ε D στο σημείο της καμπύλης ζήτησης (P, Q) ορίζεται ως: ΔQ Q εD ≡ ΔP P Το ενδιαφέρον στον ορισμό αυτόν είναι ότι η ελαστικότητα είναι ανεξάρτητη από τις διαστάσεις με τις οποίες μετράμε την τιμή και την ποσότητα. Είτε η τιμή είναι εκφρασμένη σε €, είτε σε χιλιάδες €, είτε σε δολάρια ΗΠΑ και η ποσότητα είναι εκφρασμένη είτε σε κιλά είτε σε τόνους είτε σε γραμμάρια η ελαστικότητα παραμένει η ίδια εφόσον οι μεταβολές είναι ποσοστιαίες. Επίσης, επειδή υποθέτουμε ότι η καμπύλη ζήτησης έχει αρνητική κλίση (δηλ., όταν αυξάνει η τιμή, μειώνεται η ζητούμενη ποσότητα), η ελαστικότητα παίρνει αρνητικές τιμές εφόσον οι μεταβολές της τιμής και της ποσότητας κινούνται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Πολλές φορές όμως, καταχρηστικά, όταν λέμε ότι μια ελαστικότητα είναι μεγαλύτερη, ή υψηλότερη, από μία άλλη αναφερόμαστε στο γεγονός ότι η απόλυτη τιμή της ελαστικότητας είναι μεγαλύτερη. Π.χ., λέμε ότι η ελαστικότητα -4 είναι «μεγαλύτερη» από την ελαστικότητα -2, ενώ μαθηματικά −4 < −2. Αντίστοιχα όταν λέμε «μοναδιαία» ελαστικότητα, εννοούμε ότι ε D = −1 . Για τον λόγο αυτό ορισμένοι συγγραφείς ορίζουν την ελαστικότητα ζήτησης ως απόλυτο μέγεθος δηλ. ως

Peter Newman, λήμμα “Elasticity” στο J. Eatwell, M. Milgate & P. Newman (επιμ.), New Palgrave: A Dictionary of Economics, London, Macmillan, 1987.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 46 -

ηD = ε D = −

ΔQ P ⋅ ΔP Q

Ας κάνουμε ένα αριθμητικό παράδειγμα βασισμένο στα δεδομένα ενός διδακτικού εγχειριδίου. Έστω μια γραμμική καμπύλη ζήτησης η οποία δίνεται από την εξίσωση Q = 100 − 8P και η οποία παριστάνεται στο παρακάτω διάγραμμα: Καμπύλη ζήτησης 15

12,5

P, Τιμή

7,5

2,5

0 0

100

120

Q, Ποσότητα

Τα δεδομένα του εγχειριδίου εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα.

P 12,5 10 7,5 5 2,5 0

Q 0 20 40 60 80 100

Ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης στο κάθε σημείο των δεδομένων; Ας πάρουμε το σημείο (P=5, Q=60). Αν αυξηθεί η τιμή από €5 σε €7,5 η ζητούμενη ποσότητα θα μεταβληθεί από 60 σε 40. Άρα, ΔQ = −20, ΔP = 2,5 . Τοποθετώντας τα δεδομένα στον τύπο της ελαστικότητας έχουμε: ΔQ −20 2 Q εD ≡ = 60 = − ≈ −0, 67 ΔP 2,5 3 5 P Παρατηρήστε ότι αν αντί να αυξήσετε την τιμή κατά €2,5 την μειώσετε κατά €2,5 θα έχετε το ίδιο αποτέλεσμα, μόνο που τώρα θα έχετε ΔQ = 20, ΔP = −2,5 .

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 47 -

Μπορείτε με τον ίδιο τρόπο να υπολογίσετε την ελαστικότητα σε κάθε σημείο των δεδομένων.

P 12,5 10 7,5 5 2,5 0

εD -∞ -4 -1,5 -0,67 -0,25 0

Q 0 20 40 60 80 100

Παρατηρήστε από τον τύπο ότι όταν η ποσότητα είναι μηδέν, εφόσον βρίσκεται στον παρονομαστή, η ελαστικότητα θα είναι πλην άπειρο, ενώ όταν η τιμή είναι μηδέν η ελαστικότητα θα είναι μηδενική, εφόσον η τιμή εμφανίζεται στον αριθμητή. Παρατηρήστε επίσης ότι όσο αυξάνει η τιμή τόσο αυξάνει και η ελαστικότητα (σε απόλυτα μεγέθη) έτσι ώστε, ενώ ξεκινά από το μηδέν καταλήγει βαθμιαία στο μείον άπειρο. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει αυτήν την σχέση. Σχέση ελαστικότητας και τιμής σε γραμμική καμπύλη ζήτησης 0

2,5

-7

12,5

εD, ελαστικότητα ζήτησης

-5

7,5

P, τιμή

-1

-3

-9

-11

-13

-15

Μπορούμε γενικότερα να υπολογίσουμε την ελαστικότητα μιας γραμμικής καμπύλης ζήτησης Q = α + β P a > 0, β < 0 σε κάθε σημείο αυτής ως εξής: Αν μεταβληθεί η τιμή κατά ΔP , η ζητούμενη ποσότητα θα μεταβληθεί κατά ΔQ = [α + β ( P + ΔP) ] − [α + β P ] = βΔP . Από τον τύπο της ελαστικότητας ζήτησης έχουμε: ΔQ P βΔP P P ⋅ = ⋅ =β⋅ εD ≡ ΔP Q ΔP α + β P α +βP

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 48 -

Όπως φαίνεται από την παραπάνω εξίσωση όσο μεγαλώνει το P μεγαλώνει ο αριθμητής και μικραίνει ο παρονομαστής, εφόσον το β είναι αρνητικό, άρα ο δεύτερος όρος του δεξιού σκέλους αυξάνει όσο μεγαλώνει το P. Επειδή το β είναι αρνητικό, η ελαστικότητα αυξάνει αντιστρόφως ανάλογα με την τιμή, στην γραμμική καμπύλη ζήτησης. Αυτό φαίνεται και από το πιο πάνω διάγραμμα. Σε απόλυτες τιμές όμως η ελαστικότητα είναι μεγαλύτερη όταν αυξάνει το P. Αυτό μπορούμε να το δούμε και με έναν άλλον τρόπο: Για να αποδείξουμε ότι η ελαστικότητα ζήτησης στην γραμμική καμπύλη ζήτησης είναι μονοτονικά dε D φθίνουσα ως προς P, εξετάζουμε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου . dP P′ (α + β P ) − P (α + β P )′ (α + β P ) − Pβ = βα < 0 dε D ⎛ P ⎞′ β =⎜β = =β ⎟ 2 2 2 dP ⎝ α + β P ⎠ (α + β P ) (α + β P ) (α + β P ) Αυτό συμβαίνει διότι ο παρονομαστής είναι θετικός (τετράγωνο), ενώ ο αριθμητής αποτελεί γινόμενο ενός θετικού όρου (του α) και ενός αρνητικού όρου (του β). Η γραμμική καμπύλη ζήτησης που εξετάσαμε έχει την ιδιότητα ότι η ελαστικότητα κάθε σημείου είναι ανεξάρτητη από το αν αυξήσαμε ή μειώσαμε την τιμή ή και κατά πόσο την μεταβάλαμε. Για Q = α + β P , ισχύει πάντοτε ότι ΔQ ΔP = β . Αυτή η ιδιότητα όμως δεν χαρακτηρίζει όλες τις καμπύλες ζήτησης. [Βλ. π.χ., την ανάλυση του εγχειριδίου του Begg στις σσ. 152-3.]. Για τον λόγο αυτό, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε έναν άλλον ορισμό της ελαστικότητας που ορίζεται σε συγκεκριμένο σημείο της καμπύλης ζήτησης για απειροελάχιστες μεταβολές της τιμής. Προσεγγίζουμε την καμπύλη ζήτησης με την εφαπτομένη ευθεία στο συγκεκριμένο σημείο και υπολογίζουμε την ελαστικότητα ως να ήταν η εφαπτομένη αυτή η καμπύλη ζήτησης.10 Μαθηματικά αυτό είναι ισοδύναμο με το να dQ P ⋅ . ορίσουμε την ελαστικότητα ίση με dP Q Μπορούμε να διακρίνουμε τους δύο ορισμούς με τις ονομασίες «τοξοειδή ⎛ ΔQ P ⎞ ⋅ ⎟ για πεπερασμένες μεταβολές και «ελαστικότητα σημείου» ελαστικότητα» ⎜ ⎝ ΔP Q ⎠ ⎛ dQ P ⎞ ⋅ ⎟ για απειροελάχιστες μεταβολές. Στην περίπτωση της γραμμικής καμπύλης ⎜ ⎝ dP Q ⎠ ζήτησης οι δύο ελαστικότητες συμπίπτουν.

Γενικότερα, αν η καμπύλη ζήτησης δίνεται από την σχέση Q = f ( P) , τότε η ελαστικότητα ζήτησης μπορεί να ορισθεί ως ε D = ( P ⋅ f ′( P ) ) f ( P) .11

Σκεφθείτε μία ακολουθία σημείων πάνω σε μια καμπύλη, x1 , x2 , … xi η οποία τείνει στο σημείο x0 .

Η εφαπτομένη στο σημείο x0 είναι το όριο μιας ακολουθίας της οποίας οι όροι είναι οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο x0 και από τα σημεία της προηγούμενης ακολουθίας. 11

Μάλιστα, με ακόμα γενικότερο τρόπο, αν έχουμε μια πραγματική μη μηδενική διαφορίσιμη συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα ανοικτό διάστημα στην γραμμή των πραγματικών αριθμών

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 49 -

Παρατηρείστε επίσης το εξής: Γνωρίζουμε από τον διαφορικό λογισμό ότι d ln x dx = 1 x . (όπου ln x ο φυσικός λογάριθμος του x) dx x d ln x d log a x Άρα = = dy y d ln y d log a y (όπου log a x ο λογάριθμος του x με βάση το a) Είδαμε προηγουμένως στην περίπτωση της γραμμικής καμπύλης ζήτησης ότι όσο αυξάνεται η τιμή τόσο «υψηλότερη» είναι η ελαστικότητα. Αυτό είναι ένα συμπέρασμα που ισχύει γενικότερα και για μη γραμμικές καμπύλες ζήτησης.12 Άρα η ελαστικότητα αφορά ένα σημείο και όχι μια καμπύλη. Ορισμένες όμως καμπύλες ζήτησης μπορεί να έχουν μια σταθερή ελαστικότητα. Θα συναντήσουμε τέσσερις τέτοιες περιπτώσεις: α. Τέλεια (ή απείρως) ελαστική καμπύλη ζήτησης: Σε αυτή την περίπτωση η καμπύλη ζήτησης είναι εντελώς οριζόντια και ε D = −∞ . Παράδειγμα μιας τέτοιας καμπύλης ζήτησης είναι αυτή που αντιμετωπίζει η επιχείρηση στον τέλειο ανταγωνισμό. Αν αυξήσει την τιμή έστω και κατά ένα λεπτό η ζήτησή της θα εξαφανιστεί. Στην ισορροπία της αγοράς η απείρως ελαστική καμπύλη ζήτησης καθορίζει την τιμή και η καμπύλη προσφοράς την ποσότητα. β. Εντελώς ανελαστική καμπύλη ζήτησης. Σε αυτή την περίπτωση η καμπύλη ζήτησης είναι κάθετη και ε D = 0 . Οι καταναλωτές είναι διατεθειμένοι να πληρώσουν οποιαδήποτε τιμή για μια συγκεκριμένη ποσότητα και η διαθέσιμη ποσότητα θα απορροφηθεί. Φανταστείτε την «αγορά» για μοσχεύματα σε εγχειρίσεις μεταμόσχευσης καρδιάς. (Πως καθορίζεται η ισορροπία αν και τα μοσχεύματα είναι περιορισμένα;) γ. Καμπύλη ζήτησης μοναδιαίας ελαστικότητας

α⎞ ⎛ Σε αυτή την περίπτωση η καμπύλη ζήτησης είναι υπερβολή ⎜ Q = ⎟ και ε D = −1 . P⎠ ⎝ Εν προκειμένω η συνολική δαπάνη των καταναλωτών ( P ⋅ Q ) θα είναι σταθερή (και ίση με α). f ( x) ορίζουμε την ελαστικότητα της f στο σημείο x, που συμβολίζουμε με ε f ( x) , με τον τύπο

ε f ( x) = xf ′( x) f ( x) . 12

Μπορώ να το αποδείξω ως εξής: Pf ′ d ε ( Pf ′ )′ f − f ′ ( Pf ′ ) ε= ⇒ = = 2 f dP f

( f ′ + Pf ′′ ) f

[Για την ακρίβεια αρκεί να ισχύει ότι f ′′ <

( f ′) f

− f ′ ( Pf ′ )

−

f′ P

< 0 για f ′′ < 0 .

. Παρατηρείστε ότι το δεξί σκέλος είναι

θετικό]]

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 50 -

δ. Καμπύλη ζήτησης σταθερής ελαστικότητας. Αυτή η περίπτωση είναι η γενικότερη και περιλαμβάνει και τις προηγούμενες. Έστω ότι η καμπύλη ζήτησης έχει την μορφή Q = α P β (α > 0, β < 0 ) . Η ελαστικότητα είναι ε D = (α P β )′ ⋅ P (α P β ) = αβ P β −1 ⋅ P (α P β ) = β . Αν β = −1 έχουμε την περίπτωση της μοναδιαίας ελαστικότητας.13 Είπαμε παραπάνω ότι η ελαστικότητα δεν χαρακτηρίζει μια καμπύλη αν αυτή δεν είναι καμπύλη σταθερής ελαστικότητας. Παρά ταύτα όταν έχουμε δύο καμπύλες μπορούμε να πούμε ότι η μία είναι πιο ελαστική από την άλλη. Ας πάρουμε το παράδειγμα δύο γραμμικών καμπυλών ζήτησης: την Qε = α ε + β ε P και την Qa = α a + β a P όπου α ε > aa , β ε < β a . Το σχήμα τους παριστάνεται στο παρακάτω διάγραμμα. Σχέση ελαστικοτήτων μιας ελαστικής και μιας ανελαστικής γραμμικής καμπύλης ζήτησης

P, τιμή

βa 20

βε

αε

αa

0 0

100

110

Q, ποσότητα DD ελαστική

DD ανελαστική

Παρατηρείστε ότι για κάθε Q οι ελαστικότητες είναι οι εξής: P P ε Dα > ε D ε ⇔ β a > βε ⇔ β a (α ε + β ε P ) > β ε (α a + β a P ) ⇔ β aα ε > β εα a αa + βa P αε + βε P το οποίο ισχύει εξ υποθέσεως. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει τις καμπύλες αυτές με τις ελαστικότητες υπολογισμένες σε κάθε Q.

Παρατηρείστε μάλιστα το εξής: Q = α P ⇒ ln Q = ln α + β ln P = γ + β ln P (όπου γ = ln α .) Άρα, σε μια καμπύλη σταθερής ελαστικότητας ζήτησης η σχέση των λογαρίθμων των τιμών και των ζητουμένων ποσοτήτων είναι γραμμική. Αν υποθέσουμε λοιπόν ότι η σχέση μεταξύ ζητούμενης ποσότητας και τιμής χαρακτηρίζεται από σταθερή ελαστικότητα, τότε είναι εύκολο να υπολογίσουμε την ελαστικότητα αυτή εκτιμώντας οικονομετρικά με την μέθοδο της απλής παλινδρόμησης, μια ευθεία στους λογαρίθμους των παρατηρουμένων ποσοτήτων και τιμών. 13

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 51 -

Σχέση ελαστικοτήτων μιας ελαστικής και μιας ανελαστικής γραμμικής καμπύλης ζήτησης 30

P, τιμή

25 20 15 10 5

Q, ποσότητα

0 -5

100

110

-10 -15 -20 -25 -30 -35

ε, ελαστικότητα

-40

DD ελαστική

DD ανελαστική

ε ελαστική

ε ανελαστική

Η ελαστικότητα μιας καμπύλης ζήτησης εξαρτάται από διάφορους παράγοντες αλλά ένας από τους σημαντικότερους είναι η δυνατότητα Πάρτε για παράδειγμα την υποκατάστασης του προϊόντος με άλλα αγαθά. καμπύλη ζήτησης καπνού. Αν οι καπνιστές είναι εθισμένοι στον καπνό, μια αύξηση της τιμής των τσιγάρων δεν θα μειώσει σημαντικά την κατανάλωσή τους. Για αυτό εξ άλλου είναι και αγαπημένο αντικείμενο φορολογίας των κυβερνήσεων, οι οποίες συνήθως επικαλούνται λόγους δημόσιας υγείας. Αν όμως, αυξηθεί η τιμή μιας συγκεκριμένης μάρκας τσιγάρων η ελαστικότητα ζήτησης για την συγκεκριμένη μάρκα θα είναι υψηλότερη, διότι οι καταναλωτές μπορεί να την υποκαταστήσουν με φθηνότερες μάρκες. Θυμηθείτε τι έγινε όταν η φορολογία των τσιγάρων ήταν επί της αξίας του πακέτου. Οι καταναλωτές μεταστράφηκαν σε φθηνότερες μάρκες, που είχαν κατ’ αναλογία χαμηλότερη φορολογία. Το κράτος τότε έβαλε ελάχιστη τιμή φορολογίας ανά πακέτο και οι καταναλωτές επέστρεψαν εν μέρει στις ακριβότερες μάρκες. Αν τώρα, ένα περίπτερο αποφάσιζε να βάλει υψηλότερη τιμή από τα άλλα, τότε – αν τα άλλα περίπτερα δεν ήταν πολύ μακριά – τότε οι καταναλωτές απλώς δεν θα αγόραζαν από το συγκεκριμένο περίπτερο. Δείτε τις τιμές της βενζίνης σε διάφορα πρατήρια. Μπορείτε να σκεφθείτε λόγους γιατί κάποια έχουν υψηλότερη τιμή ανά λίτρο; Στην μακροχρόνια περίοδο επίσης μπορώ να υποκαταστήσω πιο εύκολα κάποια αγαθά με άλλα. Μακροχρόνια, αν η τιμή του καπνού είναι μεγαλύτερη, περισσότεροι καπνιστές θα αποφασίσουν να κόψουν το κάπνισμα, κάποιοι νέοι καπνιστές θα το σκεφθούν δύο φορές πριν αρχίσουν, η τράκα θα είναι πιο δύσκολή, κλπ. Αν ακριβύνει η βενζίνη μακροπρόθεσμα θα αγοράσω πιο οικονομικό αυτοκίνητο ή και θα βρω δουλειά πιο κοντά στο σπίτι μου, κλπ. Κάποιες γραμμές λεωφορείων μπορεί να πυκνώσουν, κλπ. Βραχυχρόνια όμως, πολύ λίγα πράγματα μπορώ να κάνω για να μειώσω σημαντικά την κατανάλωσή μου. Άρα γενικά, θεωρούμε ότι οι μακροχρόνιες καμπύλες είναι πιο ελαστικές. Η ελαστικότητα ζήτησης μας δείχνει επίσης πως αυξάνει ή μειώνεται η καταναλωτική δαπάνη. Εφόσον η καταναλωτική δαπάνη (ή τα συνολικά έσοδα των επιχειρήσεων) ορίζονται ως PQ , αν έχουμε ανελαστική ζήτηση, μια αύξηση της

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 52 -

τιμής θα αυξήσει τα συνολικά έσοδα και μια μείωση της τιμής θα τα μειώσει. Αν η ελαστικότητα είναι μοναδιαία τα έξοδα θα παραμείνουν σταθερά. Για τον λόγο αυτό η μοναδιαία ελαστικότητα αποτελεί το όριο πάνω από το οποίο μια καμπύλη ζήτησης είναι ελαστική και κάτω από το οποίο η καμπύλη είναι ανελαστική δηλ., αν −1 < ε D < 0 η καμπύλη είναι ανελαστική και για −∞ < ε D < −1 η καμπύλη είναι ελαστική. Δείτε την περίπτωση του ιδιοκτήτη της ποδοσφαιρικής ομάδας του παραδείγματος του εγχειριδίου, όπου η σχέση προσέλευσης και εισιτηρίου δίνεται από την καμπύλη Q = 100 − 8P , όπου P είναι το εισιτήριο σε € και Q η προσέλευση σε χιλιάδες άτομα (πλην βεβαίως τσαμπατζήδων και προσκλήσεων). Η μοναδιαία ελαστικότητα βρίσκεται στο σημείο P = 6, 25, Q = 50 P Απόδειξη: εφόσον ε D = −1 = −8 ⇒ P = 100 16 = 6, 25 ⇒ Q = 50 100 − 8P Αν το εισιτήριο είναι στα €10, οι συνολικές εισπράξεις θα είναι €200.000. Μειώνοντας την τιμή στα €7,5 οι εισπράξεις ανεβαίνουν στα €300.000. Αν το εισιτήριο πέσει στα €6,25 τα έσοδα θα είναι €312.500. Μέχρι εκεί λοιπόν ο ιδιοκτήτης έχει κίνητρο να μειώσει την τιμή. Αν όμως η τιμή είναι €5, τότε τα έσοδα θα αυξηθούν μόνον όταν αυξήσει την τιμή, όχι όταν την μειώσει. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί και μαθηματικά: dR PQ′ = 0 ⇒ Q + PQ′ = 0 ⇒ = ε D = −1 max R = P ⋅ Q( P) ⇒ P dP Q Οι σχέσεις καμπύλης ζήτησης, εσόδων και ελαστικότητας φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα. Σχέση εσόδων ελαστικότητας 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11

P, τιμή εισιτηρίου σε €

350

μέγιστα έσοδα

325 300 275

225 200 175 150

ε, ελαστικότητα

125

R, Έσοδα (000 €)

250

100

μοναδιαία ελαστικότητα

75 50 25

0 100

Q, προσέλευση (χιλ.) DD

ε, ελαστικότητα

R, έσοδα

Στην πραγματικότητα, η προηγούμενη εξίσωση ισχύει γενικά και όχι μόνο για γραμμικές καμπύλες ζήτησης. Εφόσον R = pq αν θελήσουμε να δούμε πως

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 53 -

εξαρτώνται τα έσοδα από την ελαστικότητα μπορούμε να πάρουμε την πρώτη dR . Κάνοντας τις πράξεις έχουμε: παράγωγο των εσόδων ως προς την τιμή, δηλ. dp ⎛ dq p ⎞ dR d ( pq ) dp dq dq = = q+ p = q+ p = q ⎜⎜1 + ⋅ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ dp q ⎠⎟ dp dp dp dp dp Παρατηρείστε ότι ο δεύτερος όρος μέσα στην παρένθεση είναι η ελαστικότητα. Αντικαθιστώντας έχουμε: ⎛ dq p ⎞ dR = q ⎜⎜1 + ⋅ ⎟⎟⎟ = q (1 + εD ) . ⎜⎝ dp q ⎠⎟ dp Άρα αν η ελαστικότητα είναι μοναδιαία, δηλ., ίση με -1, η πρώτη παράγωγος είναι μηδενική και τα έσοδα μεγιστοποιούνται. Στο ανελαστικό τμήμα της ΚΖ ισχύει ότι −1 < εD < 0 και το (1 + εD ) > 0 , άρα τα έσοδα αυξάνουν, ενώ στο ελαστικό τμήμα συμβαίνει το αντίθετο.

Σταυροειδής ελαστικότητα και εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης Την έννοια της ελαστικότητας μπορούμε να την γενικεύσουμε και για την επίπτωση που έχει στην ζητούμενη ποσότητα ενός αγαθού η μεταβολή της τιμής ενός άλλου αγαθού ή του εισοδήματος. Γενικά, αν η ζητούμενη ποσότητα ενός αγαθού x είναι Qx , η τιμή του είναι Px , η τιμή ενός άλλου αγαθού y είναι Py και το εισόδημα είναι Ι, τότε η σταυροειδής ελαστικότητα ζήτησης του αγαθού x ως προς την τιμή του αγαθού y (cross elasticity of demand) ορίζεται ως dQ P ε x , Py ≡ x ⋅ y dPy Qx Παρατηρείστε ότι δεν μπορούμε να γνωρίζουμε εκ των προτέρων αν η ελαστικότητα αυτή θα είναι θετική, αρνητική ή μηδενική. Εξαρτάται από το αν το αγαθό είναι υποκατάστατο, συμπληρωματικό ή δεν έχει καμία επίδραση. Αν τα αγαθά x και y είναι υποκατάστατα (substitute goods), τότε όταν αυξηθεί η τιμή του αγαθού y, οι καταναλωτές θα αυξήσουν την κατανάλωση του αγαθού x. Άρα η σταυροειδής ελαστικότητα θα έχει θετικό πρόσημο. Όσο περισσότερο υποκατάστατα είναι τόσο μεγαλύτερη θα είναι η σταυροειδής ελαστικότητα. Αντίθετα, αν τα αγαθά x και y είναι συμπληρωματικά (complementary goods), τότε όταν αυξηθεί η τιμή του αγαθού y, οι καταναλωτές θα μειώσουν την κατανάλωση του αγαθού x. Άρα η σταυροειδής ελαστικότητα θα έχει αρνητικό πρόσημο. Αντίστοιχα η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης ενός αγαθού (income elasticity of demand) ορίζεται ως dQ I ε x,I ≡ x ⋅ dI Qx Πάλι δεν γνωρίζουμε το πρόσημο αυτής της ελαστικότητας. Ένα αγαθό ονομάζεται κανονικό (normal good) όταν αυξάνεται η ζήτησή του όταν αυξάνεται το εισόδημα ( dQx dI > 0 ) . Για τα κανονικά αγαθά η εισοδηματική ελαστικότητα είναι θετική. Ένα αγαθό ονομάζεται κατώτερο (inferior good) όταν μειώνεται η ζήτησή του όταν αυξάνεται το εισόδημα ( dQx dI < 0 ) . Για τα κατώτερα αγαθά η

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 54 -

εισοδηματική ελαστικότητα είναι αρνητική. Ορίζουμε επίσης ένα αγαθό ως αγαθό πολυτελείας ή ανώτερο αγαθό (luxury or superior good) αν η εισοδηματική ελαστικότητά του είναι μεγαλύτερη της μονάδας. Ορίζουμε επίσης ένα αγαθό ως (κανονικό) αναγκαίο αγαθό (necessity good) αν η εισοδηματική ελαστικότητά του είναι μικρότερη της μονάδας αλλά μεγαλύτερη του μηδενός.14 Τι σημαίνει αν ένα αγαθό είναι κατώτερο, αναγκαίο κανονικό ή πολυτελείας. Σχετίζεται με την αύξηση ή μείωση στο μερίδιο συμμετοχής της δαπάνης για το αγαθό αυτό στο εισόδημα του καταναλωτή. Αν το εισόδημα αυξηθεί κατά 10%, και υποθέσουμε ότι όλες οι τιμές παραμένουν αμετάβλητες, αν ένα αγαθό είναι κατώτερο θα μειωθεί συνολικά η ζητούμενη ποσότητα, άρα και η δαπάνη που κάνουμε για αυτό το αγαθό. Άρα η συμμετοχή του στο εισόδημα θα μειωθεί. Αν πάλι, ένα αγαθό είναι αναγκαίο κανονικό, η αύξηση του εισοδήματος θα αυξήσει συνολικά την ζητούμενη ποσότητα, αλλά αφού η εισοδηματική ελαστικότητα είναι μικρότερη από την μονάδα, η ποσότητα που θα καταναλωθεί (και κατά συνέπεια η δαπάνη) θα αυξηθεί ποσοστιαία λιγότερο από την αύξηση του εισοδήματος, άρα το μερίδιο του στο εισόδημα θα πέσει. Αντίθετα, αν ένα αγαθό είναι αγαθό πολυτελείας, και θα αυξηθεί η συνολική δαπάνη και το ποσοστό αυτής της δαπάνης στο εισόδημα θα αυξηθεί. Αν Qxi η ποσότητα ενός αγαθού xi και η τιμή του είναι Pi τότε η δαπάνη για αυτό το αγαθό θα είναι PQ i xi . Το μερίδιο στο εισόδημα θα είναι si = Αν μάλιστα έχουμε n αγαθά και i = 1, 2,… , n τότε n

∑ PQx i =1

PQ i xi I

=PQ i xi + … Pn Qxn = I 1 x1 + P2 Qx2 + … + PQ

(Αυτός είναι ο εισοδηματικός περιορισμός) και n n PQ i xi s = =1 ∑ ∑ i I i =1 i =1 Δηλαδή, το άθροισμα των μεριδίων συμμετοχής της δαπάνης για κάθε αγαθό στο εισόδημα είναι ίσο με την μονάδα. Έχουμε τις εξής σχέσεις: Όταν αυξηθεί το εισόδημα I ↑ Τύπος αγαθού

Κατώτερο Αναγκαίο κανονικό Πολυτελείας

Εισοδηματική ελαστικότητα

ε x,I

Δαπάνη για το αγαθό PQ i xi

ε x,I < 0

↓

Μερίδιο στο εισόδημα PQ i xi si = I ↓

0 < ε x,I < 1

↑

↓

ε x,I > 1

↑

Ορισμένοι συγγραφείς ορίζουν το αναγκαίο αγαθό ως το αγαθό που έχει εισοδηματική ελαστικότητα μικρότερη της μονάδας. Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό ένα κατώτερο αγαθό είναι αναγκαστικά αναγκαίο αφού η εισοδηματική ελαστικότητά του είναι μικρότερη της μονάδας, εφόσον είναι αρνητική.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 55 -

Για όσους δεν φοβούνται τα μαθηματικά: Ξαναγράφουμε τον εισοδηματικό περιορισμό. PQ 1 x1 + … + PQ i xi + … Pn Qxn = I

Παραγωγίζουμε μερικά15 κάθε όρο ως προς το εισόδημα. ∂Qx1 ∂Qxi ∂Qxn ∂I P1 + … + Pi + … Pn = =1 ∂I ∂I ∂I ∂I Σε κάθε όρο του αριστερού σκέλους πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με την ποσότητα και το εισόδημα. Qx I ∂Qx1 Qx I ∂Qxi Qx I ∂Qxn P1 1 + … + Pi i + … Pn n =1 Qx1 I ∂I Qxi I ∂I Qxn I ∂I Ξαναγράφουμε παρατηρώντας ότι si =

PQ i xi I

και ότι ε xi , I ≡

s1ε x , I + … + siε x , I + … snε xn , I = 1

dQx i dI

⋅

I Qx i

Δηλαδή το άθροισμα των γινομένων των εισοδηματικών ελαστικοτήτων όλων των αγαθών επί το μερίδιο συμμετοχής τους στο εισόδημα είναι ίσο με την μονάδα. Πρόκειται για την λεγόμενη συνάθροιση Engel (Engel aggregation). Ερώτηση: Σύμφωνα με αυτό μπορεί όλα τα αγαθά να είναι του ιδίου τύπου; (Βλ. άσκηση)

Λίγο πιο δύσκολο Ορίζουμε μια συνάρτηση f ( x1 , x2 … , xn ) ως ομογενή k βαθμού όταν ισχύει ότι για κάθε θ > 0 f (θ x1 ,θ x2 … ,θ xn ) = θ k f ( x1 , x2 … , xn ) Δηλαδή όταν πολλαπλασιάσουμε όλες τις μεταβλητές με έναν θετικό αριθμό θ, τότε η συνάρτηση είναι ίση με την αρχική επί θ εις την k. Για παράδειγμα, όταν φτιάχνω ένα κέικ και διπλασιάσω τα υλικά, τότε φτιάχνω δύο κέικ. Η συνάρτηση του κέικ είναι ομογενής πρώτου βαθμού. Αν έχω οικονομίες κλίμακος και διπλασιάζοντας την εργασία και το κεφάλαιο παράγω υπερδιπλάσιες μονάδες, τότε έχω ομογενή συνάρτηση μεγαλύτερη του πρώτου βαθμού. Μια συνάρτηση ζήτησης που περιλαμβάνει την τιμή του ίδιου του αγαθού, τις τιμές όλων των άλλων αγαθών και το εισόδημα είναι ομογενής συνάρτηση μηδενικού βαθμού, διότι η ζητούμενη ποσότητα δεν πρόκειται να μεταβληθεί αν, π.χ., διπλασιασθούν όλες οι τιμές και το εισόδημα. Δηλαδή, Αν η Qx1 = f ( Px1 , Px 2 ,… , Pxn , I ) είναι η συνάρτηση ζήτησης του αγαθού x1 , τότε ισχύει ότι Η μερική παράγωγος μιας συνάρτησης με περισσότερες από μία μεταβλητές ως προς μία μεταβλητή, λαμβάνεται όταν θεωρήσουμε τις άλλες μεταβλητές σταθερές, π.χ. για την συνάρτηση f ( x, y , x) = ax 2 + bxy + cz οι μερικές παράγωγοι ως προς x, y , z

είναι

∂f ∂x

= 2 ax + by ,

∂f ∂y

= bx,

∂f ∂z

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 56 -

f (θ Px1 ,θ Px 2 ,… ,θ Pxn ,θ I ) = θ 0 f ( Px1 , Px 2 ,… , Pxn , I ) = f ( Px1 , Px 2 ,… , Pxn , I ) για θ > 0 Το θεώρημα του Euler δηλώνει ότι για μια ομογενή συνάρτηση k βαθμού ισχύει ότι: ∂f ∂f x1 + x2 + ∂x1 ∂x2

∂f xn = kf ( x1 , x2 , ∂xn

, xn )

Στην περίπτωση της συνάρτησης ζήτησης ισχύει ότι ∂Qx1 ∂Px1

Px1 +

∂Qx1 ∂Px 2

Px 2 + … +

∂Qx1 ∂Pxn

Pxn +

∂Qx1 ∂I

I = 0 ⋅ f ( Px1 , Px 2 ,… , Pxn , I ) = 0

Διαιρώντας την εξίσωση αυτή με Qx1 προκύπτει ότι ∂Qx1 Px1 ∂Qx1 Px 2 ∂Qx1 Pxn ∂Qx1 I + +… + + =0 ∂Px1 Qx1 ∂Px 2 Qx1 ∂Pxn Qx1 ∂I Qx1 Οι όροι αυτής της εξίσωσης είναι οι αντίστοιχες ελαστικότητες: ο πρώτος είναι η ελαστικότητα ζήτησης της τιμής του ίδιου του αγαθού, οι επόμενοι n-1 είναι οι σταυροειδείς ελαστικότητες των άλλων αγαθών και ο τελευταίος όρος είναι η εισοδηματική ελαστικότητα. Άρα το άθροισμα όλων των ελαστικοτήτων ισούται με το μηδέν

ε x ,P + ε x ,P + ε x ,P + 1 1

1 3

+ ε x , Pn + ε x , I = 0 1

Αγαθά Giffen: Μία περίπτωση όπου η ελαστικότητα ζήτησης έχει θετικό πρόσημο Ο νόμος της ζήτησης αναφέρει ότι όταν αυξηθεί η τιμή ενός αγαθού μειώνεται η ζήτησή του. O Alfred Marshall στα Principles of Economics (1890) ανέφερε την εξής εξαίρεση την οποία απέδωσε στον Sir Robert Giffen (ο οποίος ήταν ακόμα “Mr.” στην α΄ έκδοση των Principles (1890) και αναφέρεται ως “Sir” σε επόμενες): όταν αυξηθεί η τιμή του ψωμιού οι εργατικές οικογένειες υφίστανται τέτοιο χτύπημα στο εισόδημά τους που αναγκάζονται να μειώσουν την κατανάλωση κρέατος και άλλων ακριβότερων αμυλωδών και επειδή το ψωμί παραμένει η φθηνότερη τροφή θα καταναλώσουν περισσότερο και όχι λιγότερο. «Αλλά» προσθέτει ο Marshall «τέτοιες περιπτώσεις είναι σπάνιες και όταν τις συναντήσουμε πρέπει να τις αντιμετωπίσουμε σύμφωνα με τις ιδιαιτερότητές τους».16 Η έρευνα όμως απέτυχε να εντοπίσει μια τέτοια παρατήρηση στα γραπτά του Robert Giffen και μια άλλη περίπτωση που 16

“There are however some exceptions. For instance, as Sir R. Giffen has pointed out, a rise in the price of bread makes so large a drain on the resources of the poorer labouring families and raises so much the marginal utility of money to them, that they are forced to curtail their consumption of meat and the more expensive farinaceous foods: and, bread being still the cheapest food which they can get and will take, they consume more, and not less of it. But such cases are rare; when they are met with, each must be treated on its own merits.” Principles of Economics, 8η έκδοση 1920, Book III, Chapter VI, §4

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 57 -

αναφέρθηκε – η πατάτα κατά την διάρκεια του λιμού στην Ιρλανδία – πάλι δεν τεκμηριώθηκε εμπειρικά. Τα αγαθά Giffen, αγαθά δηλαδή, των οποίων η ελαστικότητα ζήτησης είναι θετική, αναφέρεται σαν υποπερίπτωση στα διδακτικά εγχειρίδια. Μόνο πολύ πρόσφατα υποτίθεται ότι τεκμηριώθηκε η πρώτη εμπειρική παρατήρηση αγαθών Giffen στον πραγματικό κόσμο με την τιμή του ρυζιού στην σύγχρονη Κίνα.17

Β Μέρος: Ελαστικότητα: Ασκήσεις Άσκηση 1. Δίδονται οι εξής καμπύλες ζήτησης: Q = 200 − 5P, Q = 100 − 5 P + 100 P , Q = 250 P , Q = 50 P −2 , Q = 4 P −0,5 . Αν έχετε αντίστοιχο λογισμικό προσπαθήστε να τις σχεδιάσετε. Υπολογίστε την ελαστικότητα ζήτησης για κάθε καμπύλη. Σε ποιο σημείο η ελαστικότητα είναι μοναδιαία; Απάντηση P εD = Q′( P) Άρα έχουμε αντίστοιχα Q( P) PQ′ 5P P =− =− Q = 200 − 5P ⇒ Q′ = − 5 ⇒ ε D = Q 200 − 5P 40 − P

Q = 100 − 5P + 100 P ⇒ Q′ = −5 − 100 P −2 ⇒ ε D = Q = 250 P ⇒ Q′ = −250 P −2 ⇒ ε D = Q = 50 P ⇒ Q′ = −2 ⋅ 50 P −3 ⇒ ε D = −2

−5P − 100 P −1 PQ′ = Q 100 − 5 P + 100 P −1

PQ′ −250 P −2 P = = −1 Q 250 P −3 PQ′ P ( −2 ⋅ 50 P ) = = −2 Q 50 P −2

Q = 4 P −0,5 ⇒ Q′ = −0,5 ⋅ 4 P −1,5 ⇒ ε D =

−1,5 PQ′ P ( −0,5 ⋅ 4 P ) = = −0,5 Q 4 P −0,5

Στις δύο τελευταίες περιπτώσεις η ελαστικότητα είναι σταθερή και δεν είναι ποτέ μοναδιαία. Στην τρίτη περίπτωση είναι σταθερή και μοναδιαία. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε: P εD = − = −1 ⇒ P = 40 − P ⇒ P = 20 ⇒ Q = 100 40 − P Στην δεύτερη περίπτωση έχουμε: −5P − 100 P −1 εD = = −1 ⇒ 5P + 100 P −1 = 100 − 5 P + 100 P −1 ⇒ P = 10, Q = 60 −1 100 − 5 P + 100 P

Jensen, Robert T., and Nolan H. Miller. 2008. “Giffen Behavior and Subsistence Consumption.” American Economic Review, 98(4): 1553–77.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 58 -

Άσκηση 2. Αποδείξατε ότι σε μια γραμμική καμπύλη ζήτησης η απόλυτη τιμή της ελαστικότητας ζήτησης είναι μονοτονικά αύξουσα της τιμής. Απάντηση Έστω η γραμμική καμπύλη ζήτησης Q = a + bP, a > 0, b < 0 . Η ελαστικότητα ζήτησης είναι ε D = ( PQ′ ) Q = −bP (a + bP) . Η ελαστικότητα είναι μικρότερη του

μηδενός. Προκειμένου η απόλυτη τιμή της ελαστικότητας να είναι μονοτονικά αύξουσα ως προς την τιμή, θα πρέπει η ελαστικότητα να είναι μονοτονικά φθίνουσα ως προς την τιμή. Για να συμβαίνει αυτό, θα πρέπει η πρώτη παράγωγος της dε D ελαστικότητας ως προς την τιμή να είναι αρνητική. Άρα θα πρέπει: <0 dP Απόδειξη: d ε D d ( bP (a + bP) ) P′(a + bP ) − (a + bP )′ P ba (a + bP ) − bP = =b =b = <0 2 2 dP dP (a + bP) (a + bP) (a + bP) 2 ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Άσκηση 3 Αποδείξτε ότι σε μια γραμμική καμπύλη ζήτησης το σημείο της μοναδιαίας ελαστικότητας βρίσκεται στο μέσον της καμπύλης ζήτησης. Απάντηση Σε μια γραμμική καμπύλη ζήτησης Q = α + β P η ελαστικότητα είναι ίση με P P εD = β = β . Η μοναδιαία ελαστικότητα βρίσκεται στο σημείο ( P, Q) όπου α +βP Q ⎛ a ⎞ a P a = −1 ⇒ P = − ⇒ Q =α + β ⎜− ισχύει β ⎟ = . Το α είναι το σημείο α +βP 2β ⎝ 2β ⎠ 2 στο οποίο η καμπύλη ζήτησης τέμνει τον οριζόντιο άξονα. Από τα όμοια τρίγωνα προκύπτει άμεσα ότι το σημείο ( P, Q) στην καμπύλη βρίσκεται στο μέσον της καμπύλης ζήτησης.

Άσκηση 4

Στο παρακάτω διάγραμμα παριστάνεται μια γραμμική καμπύλη ζήτησης Q = α + β P . Ποιες είναι οι τιμές των αλγεβρικών τμημάτων (ΟΑ), (ΟΒ), (ΑΒ) και των εφ BAO , εφ ABO ; Απάντηση

Όταν P = 0 ⇒ Q = α + β ⋅ 0 = α . Άρα (OB ) = α . Όταν Q = 0 ⇒ 0 = α + β P ⇒ P = − α β . Άρα (OA) = − α β .

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 59 -

Το (ΑΒ) προκύπτει άμεσα από το πυθαγόρειο θεώρημα. ( AB ) =

α β

β 2 +1 .

A 12,5

7,5

2,5

0 0

Θυμηθείτε τον ορισμό της εφαπτομένης εφθ =

100

120

ημθ . συνθ

(OB) (OA) (OB) α ⇒ εφ BAO = = = −β , συν BAO = ( AB ) ( AB) (OA) − α β Αντίστοιχα έχουμε: (OA) (OB) (OA) − α β 1 ⇒ εφ ABO = = =− , συν ABO = ημ ABO = α β ( AB ) ( AB ) (OB )

ημ BAO =

Προσπαθήστε να συνδέσετε την Καρτεσιανή γεωμετρία με την άλγεβρα. Σκεφθείτε ότι αν εκφράσουμε την αντίστροφη καμπύλη ζήτησης θα έχουμε: α 1 Q =α + βP ⇒ P = − + Q .

[Πως εκφράζουμε στο επίπεδο την σχέση ψ = a + b χ ; Ποιες είναι οι γεωμετρικές α 1 εκφράσεις των a και b; Τι είναι λοιπόν οι τιμές − και ;]

Άσκηση 5

Έστω οι συναρτήσεις ζήτησης Qe = 100 − 8Pe και Qi = 50 − 2 Pi . αποδείξετε ότι η πρώτη είναι πιο ελαστική από την δεύτερη;

Μπορείτε να

Απάντηση

Pe Pi και Qi = 50 − 2 Pi ⇒ ε Di = −2 . 100 − 8Pe 50 − 2 Pi Άρα για κάθε δεδομένο P ισχύει ότι:

Qe = 100 − 8Pe ⇒ ε De = −8

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 60 -

P P < −2 ⇔ −8 ( 50 − 2 P ) < −2 (100 − 8 P ) ⇔ 100 − 8P 50 − 2 P −400 + 16 P < −200 + 16 P ⇔ −400 < −200

ε De < ε Di ⇔ −8

Αληθές. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. [Φυσικά μπορείτε να το υπολογίσετε και για κάθε δεδομένο Q χρησιμοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης]

Άσκηση 6

Έστω η εξής συνάρτηση ζήτησης: Qx = cPxα Py β Pzγ Pwδ I ζ όπου Qx , Px , Py , Pz , Pw , I είναι η ζητούμενη ποσότητα του αγαθού x, η τιμή του αγαθού x, οι τιμές των αγαθών y, z, w και το εισόδημα αντίστοιχα. α. Ποια είναι η οικονομική ερμηνεία των παραμέτρων α, β, γ, δ και ζ; . β. Ποιους περιορισμούς πιστεύετε ότι πρέπει να βάλουμε σε αυτές τις παραμέτρους; Απάντηση α. Πρόκειται για ελαστικότητες. Η συνάρτηση αυτή είναι σταθερής ελαστικότητας ως προς τις μεταβλητές. Το α είναι η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή του ίδιου του αγαθού, τα β, γ, και δ είναι οι σταυροειδείς ελαστικότητες ζήτησης ως προς τις τιμές των αγαθών y, z, και w. Το δ είναι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης.

Απόδειξη. Θυμηθείτε τους ορισμούς: Ελαστικότητα ζήτησης για το ίδιο το αγαθό

ε x, Px

α β γ δ ζ ′ Px ⋅ α cPxα −1Py β Pzγ Pwδ I ζ Px ∂Qx Px cPx Py Pz Pw I = = = =α cPxα Py β Pzγ Pwδ I ζ cPxα Py β Pzγ Pwδ I ζ Qx ∂Px

(

)

(

)

Σταυροειδής ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή άλλου αγαθού α β γ δ ζ ′ Py ⋅ β cPxα Py β −1Pzγ Pwδ I ζ Py ∂Qx Px cPx Py Pz Pw I ε x , Py = = = =β cPxα Py β Pzγ Pwδ I ζ cPxα Py β Pzγ Pwδ I ζ Qx ∂Py

(

)

(

)

Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης

ε x,I

α β γ δ ζ ′ I ⋅ ζ cPxα Py β −1Pzγ Pwδ I ζ −1 I ∂Qx I cPx Py Pz Pw I = = = =ζ Qx ∂I cPxα Py β Pzγ Pwδ I ζ cPxα Py β Pzγ Pwδ I ζ

(

)

(

)

β. Η ελαστικότητα ζήτησης πρέπει να είναι αρνητική: άρα α < 0 . Οι άλλες ελαστικότητες έχουν πρόσημο ανάλογα με το αν τα αγαθά είναι συμπληρωματικά ή υποκατάστατα (σταυροειδείς) και με το αν είναι κανονικά ή κατώτερα (εισοδηματική). Πρέπει όμως να υποθέσουμε και κάτι παραπάνω: Η ζητούμενη

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 61 -

ποσότητα πρέπει να μην επηρεάζεται από το εάν οι τιμές όλων των αγαθών και το εισόδημα μεταβληθούν κατά το ίδιο ποσοστό (γιατί;). Άρα η συνάρτηση ζήτησης πρέπει να είναι ομογενής μηδενικού βαθμού. Πρέπει δηλαδή:

Qx = cPxα Py β Pzγ Pwδ I ζ = c (θ P ) x (θ Py ) (θ Pz ) (θ Pw ) (θ I ) β

θ >0

Για να συμβαίνει αυτό πρέπει θ α + β +γ +δ +ζ = 1 ⇒ α + β + γ + δ + ζ = 0 . Γιατί σύμφωνα με αυτό τον περιορισμό δεν μπορεί όλα τα άλλα αγαθά να είναι συμπληρωματικά και το x κατώτερο;

Άσκηση 7 Συμβολίζουμε με Pi και Qxi την τιμή και την ποσότητα του αγαθού xi αντίστοιχα, όπου i = 1, 2,… , n .

Επίσης συμβολίζουμε με si =

PQ i xi I

δαπάνης για το αγαθό xi στο εισόδημα Ι και με ε xi , I ≡

το μερίδιο συμμετοχής της

dQx i dI

⋅

I την εισοδηματική Qx i

του ελαστικότητα. Θυμηθείτε το την λεγόμενη συνάθροιση Engel. s1ε x , I + … + siε x , I + … snε xn , I = 1 i

Δηλαδή το άθροισμα των γινομένων των εισοδηματικών ελαστικοτήτων όλων των αγαθών επί το μερίδιο συμμετοχής τους στο εισόδημα είναι ίσο με την μονάδα. Ερωτάται: Σύμφωνα με το θεώρημα αυτό μπορεί όλα τα αγαθά να είναι του ιδίου τύπου από πλευράς εισοδηματικής ελαστικότητας; Απάντηση

Αν όλα τα αγαθά είναι κανονικά δεν υπάρχει πρόβλημα. Δεν μπορεί όμως να είναι όλα κατώτερα ή όλα αναγκαία ή όλα πολυτελείας. Θα το αποδείξω με την εις άτοπον απαγωγή. Σκεφθείτε τι θα γινόταν αν όλα τα αγαθά ήταν κατώτερα. Όλες οι ελαστικότητες θα ήταν αρνητικές, άρα το αριστερό σκέλος της εξίσωσης θα ήταν αρνητικό. Το δεξί σκέλος όμως είναι ίσο με την μονάδα. Άρα άτοπο. Αν όλα τα αγαθά ήταν πολυτελείας τότε όλες οι εισοδηματικές ελαστικότητες θα ήταν μεγαλύτερες της μονάδας. Έστω το αγαθό xk το οποίο έχει την μικρότερη εισοδηματική ελαστικότητα από όλα τα υπόλοιπα, το οποίο όμως εξακολουθεί να έχει εισοδηματική ελαστικότητα μεγαλύτερη από την μονάδα.. Δηλ., ε x

k ,I

(

)

= ε * = min ε x , I ,…ε x , I ,…ε xn , I > 1 i

Τότε όμως θα ισχύει ότι s1ε x , I + … + siε x , I + … snε xn , I ≥ s1ε * + … + siε * + … + snε * = i

= ε * ( s1 + … + si + … + sn ) = ε * ∑ si i =1

Αλλά γνωρίζουμε ότι

i =1

∑ si = 1 . Συνεπώς 1 = ∑ siε x ,I >ε * ∑ si =ε * > 1 . Άτοπο. i

i =1

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 62 -

Ανάλογα αποδεικνύουμε ότι όλα τα αγαθά δεν μπορεί να είναι αναγκαία. Έστω το αγαθό xk το οποίο έχει την μεγαλύτερη εισοδηματική ελαστικότητα από όλα τα υπόλοιπα, το οποίο όμως εξακολουθεί να έχει εισοδηματική ελαστικότητα μικρότερη από την μονάδα..

εx

k ,I

(

)

= ε * = max ε x , I ,…ε x , I ,…ε xn , I < 1 . 1

Άρα 1 = ∑ siε x , I ≤ ε * ∑ si = ε * < 1 . Άτοπο. i =1

i =1

Άσκηση 8 Κάποιος ισχυρίζεται ότι είναι τόσο πλούσιος που καταναλώνει μόνο αγαθά πολυτελείας, ενώ κάποιος άλλος λέει ότι είναι τόσο φτωχός που καταναλώνει μόνο αναγκαία αγαθά; Ποιος έχει δίκιο; Τι θα συνέβαινε και στους δύο αν το εισόδημα τους αυξανόταν κατά 10%; Απάντηση Αυτό είναι το προηγούμενο ερώτημα διατυπωμένο χωρίς πολύπλοκα μαθηματικά. Η απάντηση είναι ότι και οι δύο έχουν άδικο. Αν κάποιος κατανάλωνε μόνο πολυτελή αγαθά θα σήμαινε ότι αν αυξανόταν το εισόδημά του έστω κατά 10%, η δαπάνη του για κάθε αγαθό θα αυξανόταν πάνω από 10%. Δεν θα μπορούσε όμως η συνολική δαπάνη που αποτελεί το άθροισμα των επιμέρους δαπανών να αυξηθεί συνολικά πάνω από την αύξηση του εισοδήματος. Αντίστοιχα κάποιος που καταναλώνει μόνο αναγκαία αγαθά αν το εισόδημά του αυξηθεί κατά 10%, δεν μπορεί η συνολική του δαπάνη να αυξηθεί κατά λιγότερο από 10% διότι έχουμε υποθέσει ότι το εισόδημα ισούται με την συνολική δαπάνη. Πολλοί φοιτητές στην άσκηση αυτή απαντούν ότι ακόμα και ο πιο πλούσιος καταναλώνει αγαθά που δεν είναι πολυτελείας: θα φάει ψωμί και θα πιει νερό. Αυτή η απάντηση φαίνεται λογική, αλλά συγχέει την τεχνική έννοια του αγαθού πολυτελείας με την καθημερινή έννοια. Ένας πλούσιος μπορεί να καταναλώνει τα καλύτερα δυνατά αγαθά: νερό από τις Γαλλικές Άλπεις σε κρυστάλλινες φιάλες, ψωμί από maître boulanger που έρχεται κατευθείαν από το Παρίσι, κλπ. Μπορεί να καταναλώνει αγαθά που για τους υπόλοιπους να είναι πολυτελείας, με την έννοια ότι αν αυξανόταν το εισόδημά τους θα αύξαναν την δαπάνη για αυτά. Αν όμως αυξηθεί και άλλο το εισόδημα του πλούσιου είναι υποχρεωμένος να ανακατανείμει την δαπάνη του και να αυξήσει είτε όλα τα αγαθά ισομερώς (δηλ., να έχουν όλα μοναδιαία εισοδηματική ελαστικότητα, πράγμα απίθανο) ή να αυξήσει αναλογικά περισσότερο την δαπάνη σε κάποια αγαθά (που θα είναι πλέον για αυτόν, αγαθά πολυτελείας) και να μειώσει αντίστοιχα την σχετική δαπάνη (δηλ., το μερίδιο) σε κάποια άλλα που θα είναι για αυτόν αναγκαία ανεξάρτητα αν πρόκειται για αγαθά εξαιρετικής ποιότητος.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 63 -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Σχέσεις μεταξύ συνολικών, μέσων και οριακών μεγεθών Το σημείωμα αυτό έχει στόχο να σας βοηθήσει να κατανοήσετε τις σχέσεις μεταξύ συνολικών, μέσων και οριακών μεγεθών. Οι σχέσεις αυτές είναι μαθηματικές και προκύπτουν άμεσα από τους ορισμούς των μεγεθών. Έτσι, είτε αναφερόμαστε στο προϊόν στις συναρτήσεις παραγωγής, στο κόστος στις συναρτήσεις κόστους ή στα έσοδα σε συναρτήσεις εσόδων, οι σχέσεις μεταξύ συνολικών, μέσων και οριακών μεγεθών διέπονται από τις ίδιες μαθηματικές αρχές. Έστω λοιπόν ένα μέγεθος Χ (π.χ., προϊόν, κόστος, έσοδο) που είναι συνάρτηση της ποσότητας q. Ορίζουμε τα μεγέθη • • •

Το συνολικό μέγεθος είναι TX = f (q) TX f (q) = [το συνολικό μέγεθος ανά μονάδα] Το μέσο μέγεθος είναι AX = q q dTX df (q) Το οριακό μέγεθος είναι MX = = = f ′ [η πρώτη παράγωγος του dq dq συνολικού μεγέθους]

Σημείωση: Οι συμβολισμοί προέρχονται από τις αγγλικές λέξεις total, average, marginal που σημαίνουν συνολικό, μέσο και οριακό αντίστοιχα. Έτσι έχουμε TP, AP, MP total, average & marginal product (προϊόν), TC, AC, MC, total, average & marginal cost (κόστος) και TR, MR total & marginal revenue (έσοδο). Το μέσο έσοδο φυσικά είναι η τιμή. Πρώτα θα εξετάσουμε τις σχέσεις μεταξύ μέσου και οριακού μεγέθους. Ειδικότερα θα εξετάσουμε πως συμπεριφέρεται το οριακό μέγεθος όταν μεταβάλλεται το μέσο μέγεθος. Την μεταβολή του μέσου μεγέθους, αν δηλ., αυξάνει, φθίνει ή παραμένει σταθερό θα την διαπιστώσουμε εξετάζοντας την πρώτη του παράγωγο: Η πρώτη παράγωγος του ΑΧ ως προς q είναι: AX ′ =

dAX ⎛ f (q ) ⎞′ f ′q − f 1 ⎛ f ⎞ 1 =⎜ = ⎜ f ′ − ⎟ = ( MX − AX ) ⎟ = 2 dq q q⎝ q⎠ q ⎝ q ⎠

(1)

Όπως γνωρίζουμε, όταν η πρώτη παράγωγος είναι θετική ένα μέγεθος αυξάνει, όταν είναι αρνητική ένα μέγεθος φθίνει και όταν είναι μηδενική το μέγεθος δεν μεταβάλλεται. Από την εξίσωση (1) προκύπτει ότι: Το πρόσημο της παράστασης (ΜΧ-ΑΧ) μας δίνει την κλίση της ΑΧ

Σκεφθείτε το και ως εξής: Είμαστε στην τάξη και υπολογίζουμε το μέσο όρο του ύψους των φοιτητών (ΑΧ) που παρακολουθούν. Ανοίγει η πόρτα και μπαίνει ένας ψηλός (δηλ., πάνω από το μέσο όρο). Ο ψηλός είναι ο οριακός φοιτητής. Το ύψος του είναι ΜΧ. Άρα MX > AX . Ο μέσος όρος τώρα ανεβαίνει. Αντίθετα, αν μπει ένας κοντός ( MX < AX ) ο μέσος όρος κατεβαίνει. Αντίστοιχα αν εξετασθείτε σε

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 64 -

ένα μάθημα και πάρετε καλύτερο βαθμό από τον μέσο όρο σας, ο μέσος όρος της βαθμολογίας σας ανεβαίνει. Αν αντίθετα πάτε χειρότερα ο μέσος όρος της βαθμολογίας σας κατεβαίνει Από την εξίσωση (1) προκύπτει ότι

1. Όταν το ΑΧ έχει αρνητική κλίση το οριακό μέγεθος είναι μικρότερο από το μέσο. dAX 1 < 0 ⇒ ( MX − AX ) < 0 ⇒ MX < AX . Αντίστροφα όταν το ΑΧ έχει θετική dq q κλίση, το οριακό μέγεθος είναι μεγαλύτερο από το μέσο.

διότι

1 2

1 − q2 1 1 −1 1 − 1 = q 2 και MX = q 2 = q 2 . Το ΜΧ είναι Π.χ., έστω ότι TX = q . Τότε AX = q 2 2 μικρότερο από το ΑΧ. Αυτό σημαίνει ότι το ΑΧ έχει αρνητική κλίση. Η κλίση δίνεται από την τιμή της πρώτης παραγώγου. Για να επιβεβαιώσετε λοιπόν ότι η κλίση του ΑΧ είναι αρνητική υπολογίστε την πρώτη παράγωγο του ΑΧ. Αυτή είναι ⎛ − 12 ⎞′ 1 − 12 −1 1 − 32 AX ′ = ⎜ q ⎟ = − q = − q < 0 . ο.ε.δ. 2 2 ⎝ ⎠ Για να βεβαιωθείτε ότι το κατανοήσατε, υπολογίστε τα αντίστοιχα μεγέθη της TX = q 2 και αποδείξτε ότι το ΜΧ βρίσκεται πάνω από το ΑΧ και ότι οι κλίσεις τους είναι θετικές.

Παρατηρείστε τα παρακάτω διαγράμματα τα οποία έχουν σχεδιαστεί για τις 1

συναρτήσεις TX = q 2 και TX = q 2 .

2. Όταν ΜΧ=ΑΧ, το ΑΧ έχει μέγιστο ή ελάχιστο, διότι ∂AX ∂q = 0 . Το αν είναι μέγιστο ή ελάχιστο εξαρτάται από το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου του ΤΧ18

Υπολογίσατε την δεύτερη παράγωγο του ΑΧ.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 65 -

Αν το ΑΧ είναι ελάχιστο, επειδή πρώτα φθίνει και μετά αυξάνει, το οριακό μέγεθος «κόβει» το μέσο από τα κάτω και μετά ανεβαίνει πάνω από το μέσο. Τα παρακάτω διαγράμματα, που θυμίζουν καμπύλες κόστους και παραγωγής, ξεκαθαρίζουν αυτές τις σχέσεις.

Φυσικά, μπορεί το AX να μην έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο, αλλά να παραμένει αμετάβλητο, δηλαδή, σταθερό. Σε αυτήν την περίπτωση η κλίση του ΑΧ είναι μηδέν και το ΜΧ είναι σταθερό και ίσο με το ΑΧ. Δύο παραδείγματα θα σας βοηθήσουν να το καταλάβετε: Πρώτο παράδειγμα. Έστω ότι το συνολικό κόστος δίνεται από τον τύπο TC = cq , όπου c είναι μία σταθερά. Το μέσο κόστος είναι σταθερό και ίσον με c εφόσον TC cq AC = = = c . Το οριακό κόστος είναι επίσης σταθερό και ίσο με το μέσο q q κόστος εφόσον MC = TC ′ = (cq )′ = c .

Αυτό είναι λογικό. Εφόσον το οριακό

κόστος παραμένει σταθερό το μέσο κόστος δεν μπορεί να μεταβάλλεται. Δεύτερο παράδειγμα. Έστω μία απείρως ελαστική καμπύλη ζήτησης. Στην περίπτωση αυτή η τιμή είναι σταθερή. Όταν η τιμή (δηλαδή, το μέσο έσοδο) είναι σταθερή, τότε και το οριακό έσοδο είναι σταθερό και ίσο με την τιμή. Κάθε επιπλέον

dAX dq = (1 q )( f ′ − f q ) ⇒ d 2 AX dq 2 = (1 q )′ ( f ′ − f q ) + ( f ′ − f q )′ (1 q ) = − q −2 ( f ′ − f q ) + ( f ′′ − ( f ′q − f ) q −2 ) (1 q ) = = − q −2 ( f ′ − f q ) + ( f ′′ q ) − q −2 ( f ′ − f q ) = −2q −2 ( f ′ − f q ) + f ′′ q = − ( 2 q ) ⋅ dAX dq + Στο σημείο όπου dAX dq = 0 η δεύτερη παράγωγος του ΑΧ είναι ίση με

f ′′ q

Δηλαδή η δεύτερη παράγωγος του ΑΧ έχει το ίδιο πρόσημο στα ακρότατα σημεία με την δεύτερη παράγωγο του ΤΧ. Παρατηρείστε τα διαγράμματα. Στο σημείο που το ΑΧ είναι ελάχιστο, το ΜΧ αυξάνει. Εφόσον το ΜΧ είναι η πρώτη παράγωγος του ΤΧ, αυτό σημαίνει ότι η δεύτερη παράγωγος είναι θετική. Αυτό φαίνεται επίσης και από την κυρτότητα του ΤΧ.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 66 -

μονάδα που πουλάει η επιχείρηση της αποφέρει επιπλέον έσοδα ίσα με την σταθερή τιμή. ∂AX 1 ∂AX = ( MX − AX ) ⇒ MX = AX + q, ∂q ∂q q δηλαδή ότι το οριακό μέγεθος ισούται με το μέσο μέγεθος συν την οριακή μεταβολή που υπέστη το μέσο μέγεθος επί όλες τις μονάδες.

3. Από την εξίσωση (1) προκύπτει ότι

Γενικά το οριακό μέγεθος, δεν είναι το μέγεθος της οριακής μονάδας, αλλά η μεταβολή που υφίσταται το συνολικό μέγεθος λόγω της οριακής μονάδας. Παράδειγμα, στην περίπτωση του εσόδου, το οριακό έσοδο δεν είναι μόνο η τιμή της επιπλέον μονάδας που πωλείται, αλλά το μέγεθος αυτό μείον την μεταβολή που υπέστησαν τα έσοδα επειδή και όλες οι προηγούμενες μονάδες πωλήθηκαν σε χαμηλότερη τιμή. Αυτό μπορείτε να το δείτε και ως εξής: Αν τα συνολικά έσοδα είναι TR = PQ και αυξηθεί η ζητούμενη ποσότητα κατά ΔQ, και αντίστοιχα η τιμή μειωθεί κατά ΔΡ, τότε τα νέα έσοδα θα είναι ( P −ΔP )(Q + ΔQ ) . Το οριακό έσοδο θα είναι η διαφορά τους MR = ( P −ΔP )(Q + ΔQ ) − PQ . Αναπτύσσοντας έχουμε MR = ( P −ΔP )(Q + ΔQ ) − PQ = PQ −ΔP ⋅ Q + P ⋅ΔQ −ΔP ⋅ΔQ − PQ ⇒ . MR = ( P −ΔP ) ΔQ −ΔP ⋅ Q . Ο πρώτος όρος στο δεξιό σκέλος είναι το έσοδο που

εισπράττουμε από την επιπλέον αύξηση της ποσότητας ( P −ΔP ) ΔQ , ενώ ο δεύτερος όρος ΔP ⋅ Q , είναι το έσοδο που χάθηκε επειδή όλες οι προηγούμενες μονάδες Q πωλούνται τώρα κατά ΔΡ λιγότερο.

4. Για γραμμική σχέση τύπου AX = α + β q , το συνολικό μέγεθος ΤΧ είναι TX = AX ⋅ q = (α + β q ) q = α q + β q 2 . Το οριακό μέγεθος είναι η πρώτη παράγωγος

του συνολικού μεγέθους άρα

MX = (α q + β q 2 )′ = α + 2 β q .

Τα παρακάτω

διαγράμματα έχουν γίνει για β θετικό και β αρνητικό αντίστοιχα.

Ας δούμε λίγο την περίπτωση της γραμμικής καμπύλης ζήτησης. Η αντίστροφη καμπύλη ζήτησης P = α + β Q (α > 0, β < 0) είναι η καμπύλη του μέσου εσόδου, δηλ., η τιμή είναι το μέσο έσοδο. Αυτό είναι προφανές. Εφόσον τα συνολικά έσοδα είναι TR = PQ ⇒ AR = TR Q = PQ Q = P . Το οριακό έσοδο είναι αντίστοιχα

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 67 -

2 dTR dPQ d (α + β Q ) Q d (α Q + β Q ) = = = = α + 2β Q . dQ dQ dQ dQ Άρα, όταν έχουμε μια γραμμική καμπύλη ζήτησης, η γραμμή του οριακού εσόδου ξεκινά από το σημείο του άξονα των y από το οποίο ξεκινά και η αντίστροφη καμπύλη ζήτησης, αλλά έχει διπλάσια κλίση, άρα τέμνει τον άξονα των x στο ήμισυ. Από εκεί και πέρα το οριακό έσοδο είναι αρνητικό. Στο σημείο αυτό τα συνολικά έσοδα φθάνουν το μέγιστο. Κάθε επιπλέον μονάδα αφαιρεί, αντί να προσθέτει έσοδα. Ας υπολογίσουμε στο σημείο αυτό την ζητούμενη ποσότητα, την τιμή, τα συνολικά έσοδα και την ελαστικότητα ζήτησης. Η ποσότητα προκύπτει άμεσα: MR = α + 2 β Q , άρα όταν το οριακό έσοδο είναι

MR =

α 2β ⎛ α ⎞ α Αντίστοιχα η τιμή είναι P = α + β Q = α + β ⎜ − που είναι εξ άλλου αυτό ⎟= ⎝ 2β ⎠ 2 μηδενικό η ποσότητα είναι MR = α + 2 β Q = 0 ⇒ Q = −

που αναμέναμε, αφού η τομή του άξονα των x στο ήμισυ από την καμπύλη του οριακού εσόδου, οδηγεί το αντίστοιχο P να είναι το ήμισυ του σημείου που η αντίστροφη καμπύλη ζήτησης τέμνει τον κάθετο άξονα [Αν δεν το καταλαβαίνετε αυτό δοκιμάστε όμοια τρίγωνα]. α2 ⎛α ⎞⎛ α ⎞ Τα συνολικά έσοδα είναι TR = PQ = ⎜ ⎟ ⎜ − = − ⎟ 4β ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2β ⎠ Για να υπολογίσουμε την ελαστικότητα, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε την α P κανονική καμπύλη ζήτησης. P = α + β Q ⇒ Q = − + . [Μην σας ξαφνιάζουν θα

πρόσημα, θυμηθείτε ότι το β είναι αρνητικό]. Η ελαστικότητα της ζήτησης ορίζεται dQ P dQ 1 ως ε = . Από την καμπύλη ζήτησης έχουμε ότι = . Αντικαθιστούμε τις dP Q dP β τιμές των P και Q που βρήκαμε όταν MR=0. Άρα η ελαστικότητα στο συγκεκριμένο σημείο είναι: dQ P 1 α 2 ⋅ = ⋅ = −1. dP Q β −α 2 β Γενικότερα, και όχι μόνο για γραμμικές καμπύλες ζήτησης, έχουμε το εξής: dp MR = TR′ = ( p (q ) ⋅ q )′ = p′q + p = q+ p⇒ dq

ε=

⎛ dp q ⎞ ⎛1 ⎞ MR = p ⎜ + 1⎟ = p ⎜ + 1⎟ ⎝ε ⎠ ⎝ dq p ⎠ Μπορούμε, δηλαδή να εκφράσουμε το οριακό έσοδο ως συνάρτηση της τιμής και της ελαστικότητας. Επιβεβαιώσατε ότι όταν η ελαστικότητα είναι μοναδιαία, δηλ. όταν ε = −1 , τότε το οριακό έσοδο είναι μηδενικό. Το αποδείξαμε παραπάνω στην περίπτωση της γραμμικής καμπύλης ζήτησης, αλλά ισχύει και για την περίπτωση όπου η καμπύλη ζήτησης είναι ορθογώνια υπερβολή και είναι σταθερής μοναδιαίας ελαστικότητας, όταν ισχύει δηλαδή ότι P = k Q και τα συνολικά έσοδα είναι σταθερά και ίσα με k. Παρατηρείστε ότι εφόσον η ελαστικότητα είναι αρνητική ισχύει ότι

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 68 -

⎛1 ⎞ + 1 < 1 ⇒ p ⎜ + 1⎟ < p ⇒ MR < AR = p . ε ⎝ε ⎠ Άρα, εφόσον το οριακό μέγεθος είναι μικρότερο από το μέσο, η κλίση του μέσου μεγέθους είναι αρνητική, το οποίο είναι λογικό αφού η κλίση της (αντίστροφης) καμπύλης ζήτησης είναι αρνητική. 1

Αν πάλι, η ελαστικότητα είναι άπειρη, δηλαδή η καμπύλη ζήτησης είναι οριζόντια τότε, από τον τύπο προκύπτει ότι MR=p. Δείτε το παρακάτω διάγραμμα για την γραμμική καμπύλη ζήτησης. Μέγιστα συνολικά έσοδα

P, MR

300

Συνολικά έσοδα

250

Καμπύλη Ζήτησης (Μέσο έσοδο) ε=-1

200

25 150

MR=0

0 0

2,5

7,5

12,5

-25

17,5

Οριακό έσοδο

-50

22,5

100

P (AR)

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 69 -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Καθαρό μονοπώλιο και Δείκτης Lerner Το καθαρό μονοπώλιο είναι μια μορφή αγοράς στην οποία υπάρχει μόνο μία επιχείρηση στον κλάδο. Αυτό μπορεί να οφείλεται στο ό,τι η επιχείρηση έχει μία νομική ή άλλη κατοχύρωση στο προϊόν της ή μπορεί να είναι φυσικό μονοπώλιο. Η νομική κατοχύρωση μπορεί να προκύπτει από μία κατοχυρωμένη ευρεσιτεχνία, όπως για παράδειγμα η πατέντα που έχει μια φαρμακευτική εταιρεία πάνω σε ένα φάρμακο. Ή μπορεί να έχει ένα ειδικό know-how (τεχνογνωσία) ή ένα εμπορικό μυστικό που δεν έχουν άλλες εταιρείες ή τέλος μπορεί να έχει ένα προνόμιο από το κράτος. Παλιά στην Ελλάδα, π.χ., τα σπίρτα και τα παιγνιόχαρτα ήταν κρατικό μονοπώλιο. Το φυσικό μονοπώλιο προκύπτει όταν οι καμπύλες κόστους είναι τέτοιες που μόνο μία επιχείρηση μπορεί να έχει χώρο στον κλάδο. Αυτό συμβαίνει όταν έχουμε μία μονίμως φθίνουσα καμπύλη μέσου κόστους, άρα και οριακού που βρίσκεται κάτω από την καμπύλη μέσου κόστους. Κάτι τέτοιο μπορεί να προκύψει όταν η είσοδος στον κλάδο απαιτεί μια πολύ μεγάλη αρχική επένδυση σε πάγιο (σταθερό) κόστος η οποία επιμερίζεται σε όλες τις μονάδες. Η επιχείρηση που ήδη βρίσκεται στον κλάδο αρκεί να αυξήσει την κλίμακα παραγωγής της για να παράγει σε χαμηλότερο κόστος αποτρέποντας τους ανταγωνιστές της. Η ισορροπία στο μονοπώλιο προκύπτει άμεσα από την υπόθεση ότι η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της: Τα κέρδη (π) είναι ίσα με τα συνολικά έσοδα (TR) μείον το συνολικό κόστος (TC) π = TR − TC Η επιχείρηση επιλέγει το επίπεδο εκείνο παραγωγής που μεγιστοποιεί τα κέρδη της, δηλ., θέτει την πρώτη παράγωγο των κερδών ίση με το μηδέν: d (TR − TC ) dTR dTC dTR dTC dπ =0⇒ − =0⇒ = max π ⇒ =0 ή Q dQ dQ dQ dQ dQ dQ Αλλά η πρώτη παράγωγος των συνολικών εσόδων ως προς την ποσότητα είναι το οριακό έσοδο (MR) και η πρώτη παράγωγος του συνολικού κόστους ως προς την ποσότητα είναι το οριακό κόστος (MC). Άρα η συνθήκη μεγιστοποίησης των κερδών συνεπάγεται ότι

Το οριακό έσοδο είναι ίσο με το οριακό κόστος MR=MC Σημείωση: Η συνθήκη αυτή ισχύει για κάθε επιχείρηση που μεγιστοποιεί τα κέρδη της. Στον τέλειο ανταγωνισμό όμως η κάθε επιχείρηση αντιμετωπίζει μια εντελώς οριζόντια καμπύλη ζήτησης που είναι ίση με την τιμή Ρ για κάθε ποσότητα. Άρα στον τέλειο ανταγωνισμό η τιμή, που είναι το μέσο έσοδο, είναι σταθερή άρα και το οριακό έσοδο της κάθε επιχείρησης είναι και αυτό σταθερό και ίσο με την τιμή. Άρα η επιχείρηση θέτει το οριακό κόστος ίσο με την τιμή και όχι με το οριακό έσοδο της καμπύλης ζήτησης του κλάδου.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 70 -

Το παρακάτω σχήμα δείχνει την ισορροπία της επιχείρησης στο μονοπώλιο.

α Καμπύλη Ζήτησης

PΜ

ACΜ

A MR

QΜ

2β

Έστω ότι έχω μια γραμμική καμπύλη ζήτησης της μορφής P = α − β Q , όπου τα α και β είναι μεγαλύτερα από το μηδέν. Πως βρίσκουμε την καμπύλη του οριακού εσόδου; Είναι απλό: Τα συνολικά έσοδα είναι TR = PQ = (α − βQ ) Q = αQ − β Q 2 . Το οριακό έσοδο προκύπτει αν παραγωγίσουμε τα συνολικά έσοδα ως προς την ποσότητα: 2 dTR d (αQ − β Q ) MR ≡ = = α − 2β Q dQ dQ Δηλαδή η καμπύλη του οριακού εσόδου θα είναι και αυτή γραμμική και θα ξεκινά στο ίδιο σημείο με την καμπύλη ζήτησης στον άξονα των τιμών, δηλ., στο α, και θα έχει διπλάσια κλίση από την καμπύλη ζήτησης, δηλ., 2β αντί για β. Δηλαδή θα τέμνει τον άξονα των ποσοτήτων στο μέσο της απόστασης μεταξύ της αρχής των αξόνων και του σημείου που η καμπύλη ζήτησης τέμνει τον άξονα των ποσοτήτων. Τις δύο αυτές καμπύλες, ζήτησης και οριακού εσόδου, τις τοποθετούμε στο διάγραμμα. Τοποθετούμε επίσης και τις καμπύλες μέσου και οριακού κόστους της επιχείρησης. Η επιχείρηση θα επιλέξει την ποσότητα στο σημείο που η καμπύλη του οριακού εσόδου τέμνει την καμπύλη του οριακού κόστους (το σημείο Α στο διάγραμμα). Η ποσότητα αυτή είναι η QM . Ποια είναι η τιμή που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη ποσότητα; Αυτό μας το δείχνει η καμπύλη ζήτησης: PM = α − βQM . Είναι το σημείο Β του διαγράμματος. Άρα το μονοπώλιο θα έχει τιμή και ποσότητα ισορροπίας PM και QM αντίστοιχα. Από το διάγραμμα μπορούμε να βρούμε και τα κέρδη του μονοπωλίου. Θυμηθείτε ότι τα κέρδη είναι συνολικά έσοδα μείον συνολικό κόστος. Τα συνολικά έσοδα στο

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 71 -

σημείο ισορροπίας είναι τιμή (ισορροπίας) επί ποσότητα (ισορροπίας), δηλ. PM ⋅ QM και είναι ίσα με το εμβαδόν του ορθογωνίου (0 PM BQM ) . Το συνολικό κόστος θα το βρούμε από την καμπύλη του μέσου κόστους. Εφόσον TC AC = ⇒ TC = AC ⋅ Q . Το μέσο κόστος στο σημείο ισορροπίας είναι αυτό που Q αντιστοιχεί στην ποσότητα QM , στο σημείο Γ του διαγράμματος και αντιστοιχεί στο σημείο ACM στον άξονα των τιμών. Άρα το συνολικό κόστος στο σημείο ισορροπίας δίνεται από το εμβαδόν του ορθογωνίου (0 ACM ΓQM ) . Αφαιρώντας το συνολικό κόστος από τα συνολικά έσοδα έχουμε τα κέρδη: π = TR − TC = PM ⋅ QM − ACM ⋅ QM = ( PM − ACM )⋅ QM

Που δίνονται από το εμβαδόν του ορθογωνίου ( ACM PM ΒΓ)

Γιατί στο σημείο ισορροπίας του μονοπωλίου η καμπύλη ζήτησης έχει ελαστικότητα σε απόλυτα μεγέθη μεγαλύτερη από τη μονάδα; Θυμηθείτε τον ορισμό των συνολικών εσόδων και του οριακού εσόδου. Τα συνολικά έσοδα είναι TR = pq . Το οριακό έσοδο προκύπτει από την παραγώγιση των ⎛ dp q ⎞ dTR d ( pq ) dp = = + 1⎟⎟⎟ . q + p = p ⎜⎜ συνολικών εσόδων ως προς q. MR ≡ ⎜⎝ dq p ⎠⎟ dq dq dq Θυμηθείτε επίσης τον ορισμό της ελαστικότητας ζήτησης ως προς την τιμή. dq p ε= dp q Αντικαθιστώντας στον τύπο του οριακού εσόδου έχουμε: ⎛ dp q ⎞ ⎛1 ⎞ + 1⎟⎟⎟ = p ⎜⎜ + 1⎟⎟⎟ MR = p ⎜⎜ ⎜⎝ ε ⎠ ⎝⎜ dq p ⎠⎟ Στο καθαρό μονοπώλιο η οριακή συνθήκη ισορροπίας για την μεγιστοποίηση του κέρδους είναι: MR = MC . Αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση έχουμε ⎛1 ⎞ MR = MC = p ⎜⎜ + 1⎟⎟⎟ ⎜⎝ ε ⎠ Εφόσον το οριακό κόστος είναι μεγαλύτερο από το μηδέν αυτό συνεπάγεται ότι ⎛1 ⎞ 1 1 MR = MC = p ⎜⎜ + 1⎟⎟⎟ > 0 ⇒ + 1 > 0 ⇒ > −1 ⇒ −1 > ε ⎜⎝ ε ⎠ ε ε Δηλ., η ελαστικότητα λαμβάνει τιμές από το -1 έως το −∞ . Αυτό μπορείτε να το δείτε και γεωμετρικά: Η καμπύλη του οριακού εσόδου τέμνει τον άξονα των ποσοτήτων στο σημείο που το οριακό έσοδο είναι ίσο με το μηδέν. Το σημείο αυτό βρίσκεται στο μέσο της απόστασης από την αρχή των αξόνων έως το σημείο που η καμπύλη ζήτησης τέμνει τον άξονα των ποσοτήτων. Αν φέρουμε την κάθετο στο σημείο αυτό, αυτή θα τμήσει την καμπύλη ζήτησης στο μέσον της. Αλλά στο μέσο της η καμπύλη ζήτησης έχει μοναδιαία ελαστικότητα, είναι μάλιστα το σημείο όπου μεγιστοποιούνται τα συνολικά έσοδα (αφού η πρώτη παράγωγος των Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 72 -

συνολικών εσόδων ως προς την ποσότητα που είναι το οριακό έσοδο είναι μηδενικό). Οποιαδήποτε όμως ισορροπία θα επέλθει μόνο στη σημείο όπου το οριακό έσοδο είναι θετικό, άρα στο τμήμα της καμπύλης ζήτησης που βρίσκεται αριστερά από το μέσο της και μέχρι το σημείο όπου αυτή τέμνει τον άξονα των τιμών. Αυτό όμως είναι το ελαστικό μέρος της καμπύλης ζήτησης.

Το MC τέμνει το MR στο DA

ε = −∞

Άρα η ισορροπία επέρχεται στο ελαστικό τμήμα της ΚΖ, δηλ., το DB

0A = AD ′ DB = BD ′

ε = −1

ε=0

Γιατί το μονοπώλιο δεν έχει καμπύλη προσφοράς; Για να υπάρχει καμπύλη προσφοράς πρέπει να υπάρχει μια συνάρτηση η οποία να αντιστοιχεί αμφιμονοσήμαντα την τιμή με την ποσότητα. Για συγκεκριμένη τιμή πρέπει να υπάρχει συγκεκριμένη ποσότητα προσφοράς και μάλιστα ανεξάρτητα από την καμπύλη ζήτησης. Στο μονοπώλιο όμως αυτό δεν συμβαίνει. Ο μονοπωλητής κοιτάζει πρώτα την καμπύλη ζήτησης και το οριακό έσοδο που αντιστοιχεί σε αυτήν για να αποφασίσει σε τι ποσότητα θα παράγει. Μπορεί για την ίδια ποσότητα να αντιστοιχούν διαφορετικές τιμές. Αυτό μπορούμε να το δείξουμε ως εξής: Το μονοπώλιο ισορροπεί στο σημείο όπου το οριακό έσοδο είναι ίσο με το οριακό κόστος. Για μία όμως συγκεκριμένη τιμή του οριακού εσόδου μπορεί να υπάρχουν διαφορετικές τιμές στη καμπύλη ζήτησης. Πάρτε ένα αριθμητικό παράδειγμα: Έστω σταθερό οριακό κόστος ίσο με 50 χ.μ. Η καμπύλη ζήτησης DD1 δίνεται από τη σχέση P=350-15Q. Η καμπύλη ζήτησης DD2 δίνεται από τη σχέση P=200-7,5Q. Οι αντίστοιχες καμπύλες οριακού εσόδου είναι MR1=350-30Q και MR2=200-15Q. Η ποσότητα ισορροπίας στη πρώτη περίπτωση είναι MR1 = 350 − 30Q = MC = 50 ⇒ Q = 10 και στη δεύτερη περίπτωση είναι πάλι MR 2 = 200 −15Q = MC = 50 ⇒ Q = 10 . Άρα η ποσότητα είναι ίδια. Ποιες όμως είναι οι αντίστοιχες τιμές; Στη πρώτη περίπτωση έχουμε P = 350 −15 ⋅10 = 200 και στη δεύτερη P = 200 − 7,5 ⋅10 = 125 . Άρα στην ίδια ποσότητα αντιστοιχούν δύο διαφορετικές τιμές που είναι μη συμβατό με την ύπαρξη καμπύλης προσφοράς. Το αριθμητικό παράδειγμα φαίνεται και στο παρακάτω διάγραμμα.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 73 -

DD1

MR1

DD2

MR2

400

350

300

250

200

150

100

0 0

Δείκτης Lerner

Ο οικονομολόγος Abba P. Lerner (1903-1982)19 (φωτογραφία) πρότεινε τον εξής δείκτη μονοπωλιακής δύναμης, γνωστό και ως Δείκτη Lerner (Lerner Index, LI): p − MC LI = p Ο λόγος για τον οποίον ο Lerner πρότεινε αυτόν τον δείκτη είναι ότι στον τέλειο ανταγωνισμό η τιμή είναι ίση με το οριακό κόστος ( p = MC ) . Η δύναμη του μονοπωλίου έγκειται στο ότι μπορεί να τιμολογήσει πάνω από το οριακό κόστος. Διαιρώντας την διαφορά p − MC με την τιμή p παίρνουμε ένα σχετικό δείκτη ο

A. P. Lerner. “The Concept of Monopoly and the Measurement of Monopoly Power”, Review of Economic Studies, τόμος 1, τεύχος 3, σσ. 157-175, (Ιούνιος 1934).

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 74 -

οποίος, όπως θα δείξουμε παρακάτω, κυμαίνεται μεταξύ 0, όταν έχουμε τέλειο ανταγωνισμό, και 1. Αντικαθιστώντας τον τύπο του οριακού κόστους (που είναι ίσος με αυτόν του οριακού εσόδου στο σημείο ισορροπίας) στον Δείκτη Lerner έχουμε:

LI =

p − MC = p

⎛1 ⎞ p − p ⎜⎜ + 1⎟⎟⎟ ⎝⎜ ε ⎠ p

=−

1 ε

Παρατηρείστε το εξής: Στο μονοπώλιο η ελαστικότητα στο σημείο ισορροπίας κυμαίνεται από το −1 έως το −∞ . Αυτό προκύπτει άμεσα από το γεγονός ότι το οριακό έσοδο είναι θετικό. Εφόσον – και με δεδομένο ότι η τιμή είναι θετική – ⎛1 ⎞ 1 1 MR = p ⎜⎜ + 1⎟⎟⎟ ≥ 0 ⇒ + 1 ≥ 0 ⇒ ≥ −1 ⇒ ε ≤ −1 ⎜⎝ ε ⎠ ε ε Αν η ελαστικότητα είναι άπειρη, δηλαδή η καμπύλη ζήτησης είναι οριζόντια, τότε ο Δείκτης Lerner είναι ίσος με το μηδέν εφόσον LI = −1 ε = −1 −∞ = 0 . Φυσικά, αν η ελαστικότητα πάρει την μέγιστη τιμή της, δηλ. – 1, ο δείκτης γίνεται ίσος με την μονάδα εφόσον LI = −1 ε = −1 −1 = 1 Ας κάνουμε ένα παράδειγμα. Έστω ένα μονοπώλιο που αντιμετωπίζει ένα σταθερό οριακό κόστος MC=12. Η καμπύλη ζήτησης του μονοπωλίου είναι η DD1 που δίνεται από την εξίσωση p1 = 100 − 8q1 . Άμεσα προκύπτει ότι η καμπύλη του οριακού εσόδου είναι MR1 = 100 −16q1 . [Γιατί προκύπτει άμεσα; Θυμηθείτε ότι dTR1 TR1 = p1q1 = (100 − 8q1 ) q1 = 100q1 − 8q12 ⇒ MR1 ≡ = 100 − 2 ⋅ 8q1 ] dq1 Η οριακή συνθήκη μας δίνει το q1 ισορροπίας: 100 −12 MC = 12 = MR1 = 100 −16q1 ⇒ q1* = = 5,5 . Η τιμή προκύπτει από την 16 καμπύλη ζήτησης DD1: p1 = 100 − 8q1 ⇒ p1* = 100 − 8 ⋅ 5,5 = 56 . Ο Δείκτης Lerner προκύπτει από τον τύπο: p − MC 56 −12 = ≈ 0, 79 LI1 = 1 p1 56 Η ελαστικότητα μάλιστα στο συγκεκριμένο σημείο είναι ίση με 1 1 ≈ −1, 27 LI1 = − ⇒ ε1 = − ε1 LI1 Αν η καμπύλη ζήτησης ήταν διαφορετική τι θα γινόταν; Έστω η πιο ελαστική καμπύλη ζήτησης DD2 που δίνεται από τον τύπο p2 = 40 − 2q2 . Τότε αντίστοιχοι υπολογισμοί μας δίνουν: MR2 = 40 − 4q2 = MC = 12 ⇒ q2 = (40 −12) 4 = 7 ⇒ p2 = 40 − 2 ⋅ 7 = 26 .

Ο Δείκτης Lerner είναι τώρα: LI 2 =

p2 − MC 26 −12 = ≈ 0,54 p2 26

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 75 -

1 ≈ −1,86 . LI 2 Άρα το μονοπώλιο απολαμβάνει μεγαλύτερη δύναμη με την πρώτη καμπύλη ζήτησης από ότι στη δεύτερη. Το παρακάτω διάγραμμα εκφράζει αυτές τις σχέσεις. Στο σημείο Α όπου τέμνεται η καμπύλη οριακού εσόδου της DD1 με το οριακό κόστος μας δίνει την ποσότητα ισορροπίας q1* . Στο σημείο Β πάνω στην DD1 προκύπτει η Η ελαστικότητα μάλιστα στο σημείο ισορροπίας είναι ίση με ε2 = −

τιμή ισορροπίας p1* . Τα σημεία Γ και Δ μας δίνουν το σημείο τομής της MR2 με την MC και την τιμή ισορροπίας για την DD2 αντίστοιχα.

100

DD1

MR1

DD2

MR2

DD2 Γ

0 0

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 76 -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Δυοπώλιο

Antoine Augustin Cournot (1801-1877)

Joseph Louis François Bertrand (1822-1900)

Heinrich von Stackelberg (1905-1946)

Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses Paris : Hachette, 1838

« Théorie des Richesses: revue de Théories mathématiques de la richesse sociale par Léon Walras et Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses par Augustin Cournot », Journal des Savants, 1883

Marktform und Gleichgewicht Wien: Julius Springer, 1934

Σε προηγούμενες διαλέξεις εξετάσαμε τον τέλειο ανταγωνισμό και το καθαρό μονοπώλιο. Στις μορφές αυτές της αγοράς δεν υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ των επιχειρήσεων. Στον μεν τέλειο ανταγωνισμό κάθε επιχείρηση είναι πολύ μικρή σε σχέση με το μέγεθος της αγοράς ώστε οι ενέργειές της δεν έχουν καμία επίδραση, στο δε μονοπώλιο δεν υπάρχουν άλλες επιχειρήσεις. Έτσι κάθε επιχείρηση όταν παίρνει τις αποφάσεις της που μεγιστοποιούν τα κέρδη της δεν λαμβάνει υπόψη της τις αποφάσεις των ανταγωνιστών της. Κάτι τέτοιο βέβαια δεν ισχύει στην πραγματική οικονομία. Στο θεωρητικό επίπεδο, στην ανάλυση των μορφών αγοράς αναφερόμαστε στη περίπτωση του ολιγοπωλίου20 όπου ένας μικρός αριθμός επιχειρήσεων δρα στην αγορά. Μία από τις πρώτες απόπειρες ανάλυσης της ολιγοπωλιακής αγοράς έγινε το 1838 από τον Γάλλο μαθηματικό Antoine Augustin Cournot.21 O Cournot ανέλυσε 20

Μικρή φιλολογική υποσημείωση: ενώ η λέξη μονοπώλιο είναι ελληνικότατη και απαντά στον a Αριστοτέλη [Πολιτικά Ι, 1259 19 ἔστι δ', ὥσπερ εἴπομεν, καθόλου τὸ τοιοῦτον χρηματιστικόν, ἐάν τις δύνηται μονοπωλίαν αὑτῷ κατασκευάζειν. διὸ καὶ τῶν πόλεων ἔνιαι τοῦτον ποιοῦνται τὸν πόρον, ὅταν ἀπορῶσι χρημάτων: μονοπωλίαν γὰρ τῶν ὠνίων ποιοῦσιν.] η λέξη ολιγοπώλιο κατασκευάζεται για πρώτη φορά στα λατινικά το 1516 ως oligopolium από τον Θωμά Μώρο στην Ουτοπία του. Sir Thomas More, Utopia: Quod si maxime increscat ouium numerus, precio nihil decrescit tamen, quod earum, si monopolium appellari non potest quod non vnus vendit certe oligopolium est. Reciderunt enim fere in manus paucorum eorundemque diuitum, quos nulla necessitas vrget ante vendendi quam libet «Αν και αυξάνει ο αριθμός των προβάτων η τιμή της δεν μειώνεται καθόλου, αν και δεν μπορούμε να το αποκαλέσουμε μονοπώλιο διότι δεν πωλεί μόνον ένας αλλά έχουμε ολιγοπώλιο. Διότι βρίσκονται στα χέρια λίγων πλουσίων που δεν τους ωθεί η ανάγκη να πουλήσουν.» Βλ. Edward H. Chamberlin, “On the Origin of ‘Oligopoly’ ”, Economic Journal, τόμος 67, τεύχος 266, (Ιούνιος 1957 ), σσ. 211-218. 21 Antoine Augustin COURNOT, (1838): Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses, Paris: Hachette. Αγγλική μετάφραση του Nathaniel T. Bacon ως Researches into the

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 77 -

αρχικά την περίπτωση του δυοπωλίου: υπάρχουν δύο ανταγωνιστές σε μια κοινή αγορά όπου ο καθένας καθορίζει την ποσότητα που θα παράγει λαμβάνοντας υπόψη την ποσότητα που (πιστεύει ότι) θα παράγει ο ανταγωνιστής του.22 Η βασική υπόθεση που κάνει ο Cournot είναι ότι οι επιχειρήσεις αποφασίζουν την ποσότητα που θα παράγουν και όχι την τιμή η οποία καθορίζεται από την καμπύλη ζήτησης του προϊόντος με βάση την ποσότητα που έχουν ήδη παραχθεί από τις δύο επιχειρήσεις. Εδώ θα εργασθούμε με ένα απλό γραμμικό υπόδειγμα, αλλά τα συμπεράσματα είναι απλό να γενικευθούν. Έστω λοιπόν δύο επιχειρήσεις: η Επιχείρηση 1 και η Επιχείρηση 2. Είναι οι μοναδικοί παραγωγοί σε μια αγορά στην οποία η (αντίστροφη) καμπύλη ζήτησης δίνεται από την εξίσωση p = a − bq , όπου, κατά τα ειωθότα, p είναι η τιμή και q η ζητούμενη ποσότητα. Η συνολική ποσότητα που διατίθεται στην αγορά παράγεται από τις δύο επιχειρήσεις, δηλ., q = q1 + q2 όπου q1 και q2 είναι οι ποσότητες που παράγουν οι επιχειρήσεις 1 και 2 αντίστοιχα. Οι επιχειρήσεις παράγουν με τις ίδιες συνθήκες κόστους Ci = cqi , ( i = 1, 2 ) , δηλαδή, το οριακό κόστος, c, για κάθε επιχείρηση είναι σταθερό και ίσο με το μέσο κόστος. Κάθε επιχείρηση επιδιώκει να μεγιστοποιήσει το κέρδος της π i = pqi − cqi . Η τιμή όμως εξαρτάται από την ποσότητα που παράγει η ίδια και η ανταγωνίστριά της. Ας δούμε λοιπόν το πρόβλημα της Επιχείρησης 1. Επιδιώκει να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της ∂π max π 1 ⇒ 1 = 0 q1 ∂q1 Η μεγιστοποίηση του κέρδους έχει ως αναγκαία συνθήκη ότι η πρώτη παράγωγος του κέρδους ως προς την ποσότητα που παράγει να είναι μηδενική.23 Το κέρδος της Επιχείρησης 1 είναι έσοδα μείον κόστος: π 1 = pq1 − cq1 = (a − bq)q1 − cq1 = [ a − b(q1 + q2 ) ] q1 − cq1 = aq1 − bq12 − bq1q2 − cq1 Παρατηρείστε ότι στην παραπάνω εξίσωση αντικαταστήσαμε την τιμή p με την εξίσωση p = a − bq = a − b ( q1 + q2 ) . Η πρώτη παράγωγος των κερδών ως προς q1 είναι ∂π 1 = ( aq1 − bq12 − bq1q2 − cq1 )′ = a − 2bq1 − bq2 − c ∂q1 ∂π 1 a − c q2 = 0 έχουμε a − 2bq1 − bq2 − c = 0 ⇒ q1 = − ( R1) Θέτοντας 2b 2 ∂q1 Η εξίσωση R1, που αποκαλείται εξίσωση αντίδρασης, μας δείχνει την αντίδραση της επιχείρησης 1 για κάθε ποσότητα που θα παραγάγει η επιχείρηση 2. Mathematical Principles of the Theory of Wealth, 1897. Ανατύπωση με επιμέλεια και επίμετρο για την Βιβλιογραφία των Μαθηματικών Οικονομικών του Irving Fisher, New York: Macmillan, 1927. [Ανατύπωση της έκδοσης του 1927, New York: Augustus M. Kelley, 1960]. Βλ. ιδιαίτερα το κεφάλαιο “On the competition of producers”. 22 Η ανάλυση του Cournot ήταν πιο πολύπλοκη. Ξεκίνησε από το μονοπώλιο, στη συνέχεια εξέτασε το δυοπώλιο και εφάρμοσε την ίδια ανάλυση για 3 και 4 ανταγωνιστές και έπειτα την γενίκευσε για Ν αριθμό επιχειρήσεων. Όταν το Ν είναι μεγάλο η ισορροπία του ολιγοπωλίου ταυτίζεται με εκείνη του τέλειου ανταγωνισμού. Για περισσότερα βλ. Γ. Βαρουφάκη-Ν. Θεοχαράκη, Μικροοικονομικά υποδείγματα μερικής και γενικής ισορροπίας, Αθήνα: τυπωθήτω- Γ. Δαρδανός, 2005. 23 Επιβεβαιώστε ότι ισχύει και η συνθήκη δευτέρας τάξεως π ′′ < 0 1

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 78 -

Αντίστοιχα η Επιχείρηση 2 έχει και αυτή μια ανάλογη εξίσωση αντίδρασης R2. a − c q1 q2 = − ( R 2) 2b 2 Προκειμένου να έχουμε ισορροπία παρατηρείστε ότι μόνο ένα ζεύγος q1 και q2 είναι συμβατό και με τις δύο εξισώσεις αντίδρασης. Αντικαθιστούμε στην R1 την τιμή του q2 από την R2 και έχουμε ⎛ a − c q1 ⎞ − ⎟ a − c q2 a − c ⎝⎜ 2b a−c 2 ⎠ a − c q1 q1 = − = − = + ⇒ q1 = . 2b 2 2b 2 4b 4 3b Αντικαθιστώντας πίσω στην R2 έχουμε a−c a − c q1 a − c a−c − = − 3b = = q1 q2 = 2b 2 2b 2 3b

Άρα q1* = q2* =

a−c 2 a−c ⎛ 2 a − c ⎞ a + 2c ⇒ qD = q1* + q2* = ⋅ ⇒ pD = a − b ⎜ ⋅ ⎟= 3b 3 b 3 ⎝3 b ⎠

Τα συνολικά κέρδη του κλάδου, δηλ., και των δύο επιχειρήσεων, είναι ⎛ a + 2c ⎞ ⎛ 2 a − c ⎞ 2(a − c) π D = ( pD − c ) qD = ⎜ − c⎟⎜ ⋅ ⎟= 9b ⎝ 3 ⎠⎝ 3 b ⎠ και για κάθε επιχείρηση ξεχωριστά είναι

π = π2 = * 1

πD 2

(a − c) =

[Σημείωση ο υπο-δείκτης D σημειώνει την τιμή ισορροπίας στο δυοπώλιο.]

Σύγκριση δυοπωλίου Cournot με μονοπώλιο και τέλειο ανταγωνισμό Ας δούμε πως συγκρίνεται η ισορροπία στο δυοπώλιο Cournot με εκείνη του μονοπωλίου. Στο μονοπώλιο ο μονοπωλητής εξισώνει το οριακό έσοδο με το οριακό κόστος για να προκύψει η ποσότητα ισορροπίας και η τιμή προκύπτει από την καμπύλη ζήτησης. Το οριακό έσοδο είναι MR = TR′ = ( pq )′ = [ (a − bq)q ]′ = ⎡⎣ aq − bq 2 ⎤⎦′ = a − 2bq Εξισώνοντας με το οριακό κόστος έχουμε a−c ⎛ a−c⎞ a+c MR = MC ⇒ a − 2bq = c ⇒ qM = ⇒ pM = a − bqM = a − b ⎜ ⎟= 2b 2 ⎝ 2b ⎠ Τα κέρδη του μονοπωλίου είναι

πM

a − c a − c (a − c) = ( pM − c ) qM = ⋅ = 2 2b 4b

Στον τέλειο ανταγωνισμό το οριακό έσοδο είναι ίσο με το μέσο έσοδο, δηλ., την τιμή αφού η καμπύλη ζήτησης για την ατομική επιχείρηση είναι απείρως ελαστική. Εξι-

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 79 -

σώνοντας την τιμή με το οριακό κόστος, παίρνουμε την ποσότητα ισορροπίας κατευθείαν από την καμπύλη ζήτησης. Άρα, αν είχαμε τέλειο ανταγωνισμό οι αντίστοιχες τιμές ισορροπίας θα ήταν: a−c . Το κέρδος φυσικά είναι μηδενικό. pTA = c ⇒ pTA = c = a − bqTA ⇒ qTA = b Παρατηρείστε ότι ισχύει το εξής a−c 2 a−c a−c > qD = ⋅ > qM = b 3 b 2b a + 2c a+c pTA = c < pD = < pM = 3 2

qTA =

(a − c) πM = 4b

2(a − c) > πD = > π TA = 0 9b 2

Με άλλα λόγια, η ποσότητα ισορροπίας είναι μεγαλύτερη στον τέλειο ανταγωνισμό και μικρότερη στο μονοπώλιο, ενώ η τιμή ισορροπίας είναι μικρότερη στον τέλειο ανταγωνισμό και μεγαλύτερη στο μονοπώλιο. Τα κέρδη αντίστοιχα είναι μεγαλύτερα στο μονοπώλιο και μικρότερα (ανύπαρκτα) στον τέλειο ανταγωνισμό. Στο δυοπώλιο η τιμή, η ποσότητα και τα κέρδη ισορροπίας είναι ανάμεσα στις δύο ακραίες περιπτώσεις μορφών αγοράς, τον τέλειο ανταγωνισμό και το μονοπώλιο. Τέλειος ανταγωνισμός Δυοπώλιο a−c 2 a−c ⋅ Ποσότητα ισορροπίας, q b 3 b a + 2c Τιμή ισορροπίας, p c 3 Κέρδη κλάδου, π

2(a − c) 9b

Μονοπώλιο a−c 2b a+c 2

(a − c)

Ας κάνουμε ένα αριθμητικό παράδειγμα. Έστω a = 20, b = 1, c = 2 . Τότε έχουμε Τέλειος ανταγωνισμός Δυοπώλιο Μονοπώλιο Ποσότητα ισορροπίας, q 18 12 9 Τιμή ισορροπίας, p 2 8 11 Κέρδη κλάδου, π 0 72 81 Την ισορροπία στις τρεις μορφές αγοράς στο αριθμητικό μας παράδειγμα μπορούμε να την απεικονίσουμε στο παρακάτω διάγραμμα.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 80 -

22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 0 -2 -3 -4

p = a − bq

Μονοπώλιο

MR = a − 2bq

Δυοπώλιο

Τέλειος ανταγωνισμός

MC = c 1

Συγκρίνοντας τις εναλλακτικές μορφές αγοράς προκύπτει το εξής ερώτημα: Αφού τα κέρδη στο μονοπώλιο είναι μεγαλύτερα από εκείνα στο δυοπώλιο γιατί οι δύο επιχειρήσεις δεν συνασπίζονται για να έχουν μεγαλύτερα κέρδη; Στο αριθμητικό μας παράδειγμα, τα συνολικά κέρδη του κλάδου είναι 72, άρα η κάθε επιχείρηση έχει κέρδη 36. Αν συμπήξουν μονοπώλιο τα κέρδη θα είναι 81, άρα ο καθένας θα έχει 40,5. Γιατί δεν το κάνουν; Αν οι δυο επιχειρήσεις μπορέσουν να ενωθούν νομικά σε μία επιχείρηση που θα είναι μονοπώλιο τότε πράγματι αυτή θα είναι η λογική λύση. Εναλλακτικά μπορεί να σχηματίσουν ένα καρτέλ για να λειτουργήσουν ως μονοπώλιο χωρίς όμως να υπάρχει νομική δέσμευση μεταξύ τους. Αρκεί όμως η ηθική δέσμευση; Παρατηρείστε το εξής: αν οι δύο επιχειρήσεις συμφωνήσουν να λειτουργήq a−c σουν ως μονοπώλιο τότε θα πρέπει να παράγουν η καθεμία από M = = 4,5 και 2 4b τα κέρδη της κάθε μίας θα είναι ίσα με

(a − c) πi =

πM 2

(a − c) = 8b

= 40,5 αντί για

= 36 στο δυοπώλιο. Η κάθε επιχείρηση όμως έχει κίνητρο να αποστεί 9b από αυτήν την συμφωνία, διότι θα σκεφτεί ως εξής: qM a − c = = 4,5 , τότε η καλύτερη 2 4b με την εξίσωση αντίδρασης η

«Αν η άλλη επιχείρηση παράγει ποσότητα ίση με ποσότητα

για

μένα

είναι,

σύμφωνα a−c 3 a−c a − c q j a − c qM 2 a−c − = − == − 4b = ⋅ = 6, 75 , διότι τότε θα μεγιqi = 2b 2 2b 2 2b 2 8 b στοποιήσω τα κέρδη μου, τα οποία τώρα θα γίνουν

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 81 -

⎡

⎞⎤

⎛q

⎡

⎛ ⎛ a − c ⎞ ⎛ 3 a − c ⎞ ⎞⎤ ⎛ 3 a − c ⎞

⎛3 a−c⎞

π i = ⎢ a − b ⎜ M + qi ⎟ ⎥ qi − cqi = ⎢ a − b ⎜ ⎜ ⎟+⎜ ⋅ ⎟ ⎟⎥ ⎜ ⋅ ⎟ − c⎜ ⋅ ⎟= ⎝ 2 ⎠⎦ ⎝ ⎝ 4b ⎠ ⎝ 8 b ⎠ ⎠ ⎦ ⎝ 8 b ⎠ ⎝ 8 b ⎠ ⎣ ⎣ ⎛ 3 ⎞ (a − c) =⎜ ⎟ ⋅ = 45,5625 . Άρα έχω κάθε κίνητρο να αθετήσω την συμφωνία.» b ⎝8⎠ 2

Αν όμως αθετήσει την συμφωνία και παραγάγει qi = 6, 75 , ο ανταγωνιστής του θα 6, 75 a − c qi παραγάγει q j = − = 9− = 5,625 και οι επόμενες αντιδράσεις θα είναι 2b 2 2 qi

6,1875 6,046875 6,011719 6,00293 6,000732 6,000183 6,000046 6,000011 6,000003 6,000001 6 6

5,90625 5,976563 5,994141 5,998535 5,999634 5,999908 5,999977 5,999994 5,999999 6 6 6

Άρα θα επανέλθουν στην αρχική ισορροπία του δυοπωλίου με κέρδη 36 για τον καθένα. Στην πραγματικότητα, αφού ο κάθε ένας τους είναι ορθολογικός και γνωρίζει ότι και ο ανταγωνιστής του είναι επίσης ορθολογικός, δεν πρόκειται να περάσουν από αυτούς τους γύρους μέχρι να ισορροπήσουν. Ο καθένας τους γνωρίζει ότι ο άλλος έχει κίνητρο να αθετήσει την συμφωνία και θα παραγάγει την ποσότητα ισορροπίας του δυοπωλίου. Άρα ακόμα και αν συμφωνήσουν από πριν να λειτουργήσουν ως μονοπωλητές, η συμφωνία αυτή δεν πρόκειται να τηρηθεί διότι η δέσμευση που θα αναλάβει ο καθένας τους δεν θα είναι πιστευτή από τον άλλο. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται πως μπορεί αν κάποια από τις δύο επιχειρήσεις να ξεκινήσει από ένα σημείο εκτός ισορροπίας να επανέλθει στο σημείο ισορροπίας μέσα από τις καμπύλες αντίδρασης. Με άλλα λόγια η ισορροπία στο υπόδειγμα Cournot είναι ευσταθής ισορροπία.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 82 -

Καμπύλες αντίδρασης δυoπωλίου Cournot 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Σημείο ισορροπίας R2

q1 0

Δίλημμα των Κρατουμένων Στα οικονομικά, ή, ορθότερα, στον κλάδο των κοινωνικών επιστημών που αποκαλείται Θεωρία Παιγνίων (Game Theory),24 η ισορροπία εκείνη που το αποτέλεσμα για όλους του «παίκτες» είναι χειρότερο για όλους από εκείνο που θα ίσχυε αν όλοι τους μπορούσαν από κοινού να υιοθετήσουν ένα σύνολο διαφορετικών στρατηγικών, έχει την μορφή του λεγόμενου «Διλήμματος των Κρατουμένων» (Prisoners’ dilemma). Το παίγνιο αυτό στην αρχική του μορφή έχει ως τυπικό παράδειγμα την εξής ιστορία. Η αστυνομία συλλαμβάνει δύο υπόπτους για ένοπλη ληστεία αλλά ο εισαγγελέας δεν έχει αρκετά στοιχεία για να τους καταδικάσει χωρίς να έχει την ομολογία ενός εκ των δύο. Λέει όμως στον κάθε κρατούμενο ξεχωριστά: «Αν ομολογήσεις την πράξη σας τότε, αν ο συγκρατούμενός σου δεν ομολογήσει, εσένα θα σε αφήσω ελεύθερο και ο άλλος θα καταδικαστεί σε δέκα χρόνια φυλακή με βάση την ομολογία σου. Αν δεν ομολογήσει κανένας σας, θα σας απαγγείλω κατηγορία για οπλοκατοχή και θα καταδικαστείτε από ένα χρόνο ο καθένας. Αν πάλι ομολογήσετε και οι δύο θα καταδικαστείτε για πέντε χρόνια ο καθένας». Οι νομικές λεπτομέρειες φυσικά δεν ενδιαφέρουν. Το παράδειγμα είναι από τις Η.Π.Α. όπου υπάρχει η δυνατότητα συν αλλαγής με την εισαγγελία με θεσμικά νόμιμο τρόπο (plea bargaining). Ο κάθε κρατούμενος σκέπτεται ως εξής: «Αν δεν ομολογήσω τότε αν ο άλλος ομολογήσει θα φάω 10 χρόνια. Αν πάλι ο άλλος δεν ομολογήσει θα φάω ένα χρόνο. Αντίθετα αν ομολογήσω, αν ο άλλος δεν ομολογήσει θα αφεθώ ελεύθερος, ενώ αν ομολογήσει θα φάω πέντε χρόνια. Σε κάθε περίπτωση, ό,τι και να κάνει ο άλλος, με συμφέρει να ομολογήσω». Το ίδιο όμως σκέφτονται και οι δύο και ομολογούν και καταδι24

Η Θεωρία Παιγνίων θεμελιώθηκε από τους John von Neumann και Oskar Morgenstern στο έργο τους Theory of games and economic behavior [Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1944]. Για μια εισαγωγή στα ελληνικά βλέπε Γιάνης Βαρουφάκης, Θεωρία Παιγνίων: Η θεωρία που φιλοδοξεί να ενοποιήσει τις κοινωνικές επιστήμες, Αθήνα: Gutenberg, 2007.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 83 -

κάζονται σε πέντε χρόνια ο καθένας. Αν όμως μπορούσαν να συνεννοηθούν και να δεσμευθούν με τρόπο που είναι αξιόπιστος (π.χ., ο νόμος της σιωπής (omertà) ή φόβος αντεκδίκησης25) τότε θα συνέφερε και τους δύο να μη μιλήσουν και θα κατέληγαν με ένα χρόνο ο καθένας. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις εναλλακτικές στρατηγικές των δύο παικτών-κρατουμένων και τα αποτελέσματά τους. Για παράδειγμα, στο πρώτο κελλί του πίνακα (πάνω αριστερά) το αποτέλεσμα (5, 5) δείχνει πέντε χρόνια για τον Α και πέντε χρόνια για το Β αν και οι δύο υιοθετήσουν την στρατηγική «ομολογώ», ενώ στο δεύτερο κελλί (κάτω αριστερά) ο Α καταδικάζεται για 10 χρόνια και ο Β αφήνεται ελεύθερος.

Κρατούμενος Α

Ομολογώ Δεν Ομολογώ

Κρατούμενος Β Ομολογώ Δεν Ομολογώ (5, 5) (0, 10) (10, 0) (1, 1)

Ο μύθος δηλοί ότι δεν ισχύει πάντοτε ότι οι αποκεντρωμένες αποφάσεις οδηγούν στο καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα. Στα οικονομικά το θεώρημα του αοράτου χεριού του Adam Smith ισχυρίζεται ότι αν ο κάθε εμπορευόμενος ενεργεί σύμφωνα με το ατομικό του συμφέρον το αποτέλεσμα είναι η εξυπηρέτηση του κοινού καλού. Ο ίδιος ο Smith όμως ήταν καχύποπτος για την τάση που έχουν οι εμπορευόμενοι να συνεννοούνται μεταξύ τους ενάντια στο κοινό καλό. Γράφει στον Πλούτο των Εθνών (Βιβλίο Ι, Κεφάλαιο 10). Άτομα του ιδίου επαγγέλματος σπάνια συναντιούνται, ακόμα και για λόγους ευθυμίας και διασκέδασης, χωρίς να καταλήξει η συζήτηση σε μια συνομωσία εναντίον του κοινού, ή σε κάποιο σχέδιο για να ανεβάσουν τις τιμές. Είναι πράγματι αδύνατο να εμποδίσουμε τέτοιες συναντήσεις με κάποιο νόμο ο οποίος θα ήταν εφαρμόσιμος και συμβατός με την ελευθερία και την δικαιοσύνη. Αλλά αν και ο νόμος δεν μπορεί να εμποδίσει άτομα του ιδίου επαγγέλματος να συγκεντρώνονται, δεν πρέπει από την άλλη να διευκολύνει τέτοιες συναντήσεις, πολλώ δε μάλλον να τις κάνει απαραίτητες.26

Για αυτό μια σικελική παροιμία λέει Cu e surdu, orbu e taci, campa cent'anni 'mpaci [Όποιος είναι κουφός, τυφλός και μουγκός θα ζήσει εκατό χρόνια ήσυχος.] 26 People of the same trade seldom meet together, even for merriment and diversion, but the conversation ends in a conspiracy against the public, or in some contrivance to raise prices. It is impossible indeed to prevent such meetings, by any law which either could be executed, or would be consistent with liberty and justice. But though the law cannot hinder people of the same trade from sometimes assembling together, it ought to do nothing to facilitate such assemblies; much less to render them necessary.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 84 -

Δυοπώλιο Bertrand και Δυοπώλιο Stackelberg Το 1883 ένας Γάλλος μαθηματικός Joseph Louis François Bertrand σε ένα άρθρο του στο περιοδικό Journal des Savants27 ασκεί κριτική στον Cournot λέγοντας ότι στο δυοπώλιο ο ανταγωνισμός γίνεται μέσω των τιμών και όχι μέσω των ποσοτήτων και άρα αν η πρώτη επιχείρηση θέσει μια τιμή p, τότε η δεύτερη επιχείρηση θα θέσει μια τιμή p-ε για να του πάρει την αγορά και η πρώτη επιχείρηση θα απαντήσει μειώνοντας παραπέρα την τιμή μέχρις ότου μέσα από ένα πόλεμο τιμών οδηγηθούν στο κόστος κάτω από το οποίο δεν συμφέρει καμία επιχείρηση να παράγει. Αν μάλιστα οι δύο επιχειρήσεις έχουν διαφορετικό κόστος και έστω ότι c2 > c1 , τότε η πρώτη επιχείρηση που έχει μικρότερο κόστος θα θέσει τιμή ίση με c2 κερδίζοντας c2 − c1 ανά μονάδα, δεδομένου ότι κάτω από το c2 η δεύτερη επιχείρηση δεν μπορεί να ακολουθήσει την πρώτη στον πόλεμο των τιμών. Άρα στο υπόδειγμα Bertrand το δυοπώλιο έχει τιμή ίση με αυτήν του τέλειου ανταγωνισμού. Ένας άλλος οικονομολόγος ο Heinrich von Stackelberg στο έργο του Marktform und Gleichgewicht [Μορφή αγοράς και ισορροπία] (Julius Springer, Βιέννη, 1934) εξετάζει μια ειδική περίπτωση του δυοπωλίου Cournot στην οποία η μία επιχείρηση (ο ηγέτης) έχει την δυνατότητα να θέσει πρώτος την ποσότητα, ενώ η δεύτερη επιχείρηση (ο ακόλουθος) αποφασίζει την ποσότητα αφού έχει ήδη αποφασίσει η πρώτη επιχείρηση. Στην περίπτωση αυτή ο ηγέτης μπορεί να εκμεταλλευτεί το πλεονέκτημά του ως εξής: Στο υπόδειγμα Cournot είδαμε την εξίσωση αντίδρασης μιας επιχείρησης όταν γνωρίζει το επίπεδο παραγωγής του ανταγωνιστή της. Στο υπόδειγμα Stackelberg ο ηγέτης ξέρει από την εξίσωση αντίδρασης του ακολούθου, πώς ο ακόλουθος θα αντιδράσει σε κάθε δικό του επίπεδο παραγωγής. a − c qH − ( RA ) qA = 2b 2 Ο ηγέτης χρησιμοποιεί την εξίσωση αυτή στην μεγιστοποίηση των δικών του κερδών. Τα κέρδη του ηγέτη είναι: πH = pqH − cqH = ⎡⎣ a − b (qH + q A )⎤⎦ qH − cqH = ⎡ ⎛ ⎡ a − c qH ⎤ ⎞⎟⎤ = ⎢ a − b ⎜⎜qH + ⎢ − ⎥ ⎟⎥ qH − cqH = ⎢ ⎜⎝ ⎢ 2 2 ⎦⎥ ⎠⎟⎥⎦ b ⎣ ⎣ ⎛ a − c qH ⎞⎟ = aqH − bqH 2 − bqH ⎜⎜ − ⎟⎟ − cqH = ⎜⎝ 2b 2⎠ a−c b q H − qH 2 = 2 2

Μεγιστοποιώντας ως προς qH έχουμε:

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 85 -

max π H ⇒ qH

b ∂π H ⎡a −c ⎤′ qH − qH 2 ⎥ = 0 ⇒ =0⇒ ⎢ 2 ∂qH ⎣ 2 ⎦

a−c a−c − bqH = 0 ⇒ qH = 2 2b Από την εξίσωση αντίδρασης του ακολούθου έχουμε: a−c a − c qH a − c a−c − = − 2b = qA = 2b 2 2b 2 4b Η συνολική ποσότητα που παράγεται είναι a−c a−c 3 a−c + = 2b 4b 4 b ⎛ 3 a − c ⎞⎟ a + 3c Ενώ η τιμή ισορροπίας είναι p = a − bq = a − b ⎜⎜ = ⎜⎝ 4 b ⎠⎟⎟ 4 Τα κέρδη των δύο επιχειρήσεων είναι αντίστοιχα 2 ⎛ a + 3c ⎞⎟ a − c (a − c) ⎜ π H = ( p − c ) qH = ⎜ − c⎟⎟ = ⎜⎝ 4 ⎠ 2b 8b q = qH + q A =

⎛ a + 3c ⎞ a − c (a − c) π A = ( p − c) q A = ⎜⎜ − c⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 4 ⎠ 4b 16b Ενώ τα κέρδη του κλάδου είναι 2

π = πH + π A =

(a − c) 8b

(a − c) 16b

3 (a − c) = 16 b

Παρατηρείστε ότι η ποσότητα που παράγει ο ηγέτης και άρα και τα κέρδη του είναι μεγαλύτερα από εκείνα του ακολούθου. Παρατηρείστε επίσης σε σχέση με το δυοπώλιο Cournot, ότι τα συνολικά κέρδη του κλάδου είναι μικρότερα, αλλά τα κέρδη του ηγέτη είναι μεγαλύτερα από τα κέρδη ενός δυοπωλητή Cournot. Αν χρησιμοποιήσουμε το αριθμητικό μας παράδειγμα όπου a = 20, b = 1, c = 2 , η ισορροπία Stackelberg μας δίνει. qH = 9, q A = 4,5 q = 13,5 p = 6,5

π = 60, 75 π H = 40,5 π A = 20, 25

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 86 -

Άσκηση Έστω η αντίστροφη καμπύλη ζήτησης p = 61− 2q . Το μέσο κόστος c είναι σταθερό και ίσο με μονάδα. Ποια θα είναι η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας καθώς και τα κέρδη του κλάδου για τις ακόλουθες μεταβλητές εξής μορφές αγοράς: Τέλειος ανταγωνισμός, Μονοπώλιο, Δυοπώλιο Cournot, Δυοπώλιο Bertrand, Δυοπώλιο Stackelberg.

Λύση Στον Τ.Α. τα κέρδη είναι μηδενικά και η τιμή ίση με το οριακό κόστος. Εφόσον το μέσο κόστος είναι σταθερό ισούται με το οριακό, άρα pTA = c = 1 . Από την αντίστροφη καμπύλη ζήτησης έχουμε p = 61− 2q = c = 1 ⇒ qTA = 30 Στο μονοπώλιο η ποσότητα καθορίζεται από την εξίσωση του οριακού εσόδου με το οριακό κόστος. Το οριακό έσοδο είναι: MR = TR ′ = ( pq )′ = ⎡⎣(61− 2q ) q ⎤⎦ ′ = (61q − 2q 2 )′ = 61− 4q . Εξισώνοντας με το οριακό κόστος προκύπτει ότι: MR = 61− 4q = MC = c = 1 ⇒ qM = 15 . Η τιμή ισορροπίας προκύπτει από την καμπύλη ζήτησης: pM = 61− 2qM = 61− 2 ⋅15 = 31 . Τα κέρδη είναι αντίστοιχα πM = ( pM − c)qM = (31−1) ⋅15 = 450 .

Στο δυοπώλιο Cournot η μεγιστοποίηση του κέρδους κάθε επιχείρησης με δεδομένη την ποσότητα παραγωγής της άλλης δίνει την εξίσωση αντίδρασης: ∂π ∂π ′ max πi ⇒ i = 0 ⇒ i = ⎡⎢(61− 2 (qi + q j )) qi − qi ⎤⎥ = 60 − 2q j − 4qi = 0 ⇒ qi ⎦ ∂qi ∂qi ⎣ qi = 15 −

i, j = A, B i ≠ j 2 Η ποσότητα ισορροπίας που ικανοποιεί και τις δύο εξισώσεις αντίδρασης είναι qi C = q j C = 10 ⇒ qC = qi C + q j C = 20 . Η τιμή ισορροπίας και τα συνολικά κέρδη προκύπτουν άμεσα: pC = 61− 2qC = 61− 2 ⋅ 20 = 21 πC = ( pC − c)qC = (21−1) ⋅ 20 = 400 Στο δυοπώλιο Bertrand η λύση είναι ίδια με αυτή του τέλειου ανταγωνισμού. Στο δυοπώλιο Stackelberg η επιχείρηση ακόλουθος έχει την εξίσωση αντίδρασης ίδια με αυτή του δυοπωλίου Cournot. q A = 15 − qH 2 . Την εξίσωση αυτή χρησιμοποιεί η επιχείρηση ηγέτης για να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της καθορίζοντας την ποσότητα ισορροπίας της:

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 87 -

πH = pqH − cqH = ⎡⎣ 61− 2 (qH + q A )⎤⎦ qH − qH = = ⎡⎣ 61− 2 (qH + 15 − qH 2)⎤⎦ qH − qH = = 30qH − qH 2 ⇒ ∂πH = 30 − 2qH = 0 ⇒ qH S = 15 ∂q H

Από την εξίσωση αντίδρασης της ακολούθου προκύπτει η ποσότητα ισορροπίας της καθώς και η συνολική ποσότητα ισορροπίας: q A S = 15 − qH S 2 = 15 −15 2 = 7,5 ⇒ qS = qH S + q A S = 22,5 Η τιμή ισορροπίας και τα συνολικά κέρδη προκύπτουν άμεσα: pS = 61− 2qS = 61− 2 ⋅ 22,5 = 16

πS = ( pS − c)qS = (16 −1) ⋅ 22,5 = 337,5

Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα στον παρακάτω πίνακα έχουμε:

Ποσότητα ισορροπίας, q Τιμή ισορροπίας, p Κέρδη κλάδου, π

Τέλειος ανταγωνισμός & Δυοπώλιο Bertrand 30 1 0

Δυοπώλιο Stackelberg 22,5 21 337,5

Δυοπώλιο Cournot Μονοπώλιο 20 15 31 16 400 450

Σύνδεσμοι Γιάνης Βαρουφάκης-Νίκος Θεοχαράκης, Μικροοικονομικά υποδείγματα μερικής και γενικής ισορροπίας, Αθήνα: τυπωθήτω-Γ. Δαρδανός, 2005. http://www.het.gr/HET/micro_links.htm Antoine Augustin Cournot, Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth, 1897 [Published by BiblioBazaar, LLC, 2008]: http://books.google.com/books?id=AhgKt7XLopsC Joseph Louis François Bertrand, « Théorie des Richesses: revue de Théories mathématiques de la richesse sociale par Léon Walras et Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses par Augustin Cournot », Journal des Savants, Σεπτέμβριος1883, τόμος 67, σσ. 499–508 http://cepa.newschool.edu/het/texts/marginal/bertrand83.pdf

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 88 -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Η έννοια της αποτελεσματικότητας κατά Pareto H αποτελεσματικότητα κατά Pareto αποτελεί κεντρική έννοια στην νεοκλασική οικονομική θεωρία. Απαντάται για πρώτη φορά στο έργο του Ιταλού οικονομολόγου και κοινωνιολόγου Vilfredo Pareto (1848-1923) Εγχειρίδιο Πολιτικής Οικονομίας το 1906.28 Ο Pareto πίστευε ότι δεν μπορούμε να μετρήσουμε την «χρησιμότητα» (utility) των ατόμων, την οποία ο ίδιος αποκαλούσε «ωφελιμότητα» (ophelimité),29 αλλά μόνον να πούμε ότι ένα άτομο προτιμά έναν συνδυασμό αγαθών από έναν άλλο συνδυασμό. Η χρησιμότητα υποδηλοί μια σχέση διάταξης και δεν είναι μια έννοια μετρήσιμη. Άρα δεν μπορούμε να πούμε ότι για το άτομο Α, ο συνδυασμός α έχει διπλάσια χρησιμότητα από ό,τι ο συνδυασμός β, αλλά μόνον ότι ο συνδυασμός β είναι προτιμότερος από τον συνδυασμό α. Πίστευε επίσης ότι δεν έχει έννοια να κάνουμε διαπροσωπικές συγκρίσεις χρησιμότητας, ούτε ότι μπορούμε να αθροίσουμε τις χρησιμότητες των επιμέρους ατόμων. Με άλλα λόγια όταν συγκρίνουμε δύο διαφορετικές κατανομές δεν μπορούμε να πούμε ότι η μία είναι καλύτερη από την άλλη διότι το άθροισμα των χρησιμοτήτων των ατόμων στη μία κατανομή είναι μεγαλύτερο από εκείνο της άλλης. Ως επιστήμονες δεν νοείται να εκφέρουμε πολιτικές αξιολογικές κρίσεις και να συγκρίνουμε δύο κατανομές όπου στην μία υπάρχει, π.χ., ισοκατανομή και στην άλλη τεράστια ανισότητα. Πρότεινε όμως ένα κριτήριο σύμφωνα με το οποίο μια κατανομή μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από μία άλλη. Το κριτήριο αυτό λέει ότι μία κατανομή είναι καλύτερη (ή κατά Pareto καλύτερη ή αποτελεσματικότερη) από μία άλλη, μόνο όταν η κατανομή αυτή δεν φέρνει σε χειρότερη μοίρα κανένα άτομο σε σχέση με την άλλη και βελτιώνει τη θέση τουλάχιστον ενός ατόμου. Έστω ν άτομα, η κατανομή Α είναι κατά Pareto αποτελεσματικότερη από την κατανομή Β, όταν κάποια άτομα προτιμούν την κατανομή Α και κανένα άτομο δεν προτιμά την κατανομή Β. Τότε λέμε ότι η κατανομή Β κυριαρχείται κατά Pareto από την κατανομή Α. Μία κατανομή είναι κατά Pareto άριστη (ή αποτελεσματική) (Pareto optimal ή Pareto efficient) μόνον όταν δεν υπάρχει καμία εφικτή κατανομή η οποία να είναι κατά Pareto αποτελεσματικότερη από αυτήν. Ας κάνουμε ένα παράδειγμα για να το κατανοήσουμε καλύτερα: Έστω τρία άτομα: η Άννα, ο Βασίλης και ο Γιάννης και τέσσερις πιθανές κατανομές ενός αγαθού: η Α, η Β, η Γ και η Δ. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει πόσες μονάδες αυτού του αγαθού έχει ο καθένας σε κάθε κατανομή:

Vilfredo Pareto, Manuale di economia politica, Società Editrice Libraria, Milano. Αναθεωρημένη γαλλική έκδοση ως Manuel d’économie politique, Giard et Brière, Paris, 1909. Αγγλική έκδοση της γαλλικής του 1927 ως Manual of Political Economy, Macmillan, London, 1972. 29 Η διαφορά της ωφελιμότητας από την χρησιμότητα στο έργο του Pareto δεν θα μας απασχολήσει εδώ. Οι ενδιαφερόμενοι ας συμβουλευθούν το λήμμα “Ophelimity” του Nicholas GeorgescuRoegen στο John Eatwell, Murray Milgate & Peter Newman (επιμ.), The New Palgrave: A Dictionary of Economics, London: Macmillan, 1987.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 89 -

Α Β Γ Δ

Άννα 1 2 0 2

Βασίλης 1 1 0 2

Γιάννης 1 1 2 1

Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις κατανομές αυτές με το κριτήριο του Pareto; Η κατανομή Β είναι αποτελεσματικότερη της Α κατά Pareto, διότι η Άννα είναι καλύτερα και ο Βασίλης και ο Γιάννης είναι στα ίδια. Η κατανομή όμως Β, δεν είναι και άριστη κατά Pareto διότι υπάρχει και άλλη κατανομή, η Δ, η οποία είναι αποτελεσματικότερη κατά Pareto, εφόσον στην Δ η Άννα και ο Βασίλης έχουν από δύο και ο Γιάννης από 1. Παρατηρείστε ότι δεν υπάρχει άλλη κατανομή που μπορεί να βελτιώσει τουλάχιστον έναν από τους τρεις χωρίς να χειροτερεύσει κάποιον άλλο. Άρα η Δ είναι κατά Pareto άριστη κατανομή. Τι συμβαίνει με την κατανομή Γ; Είναι και αυτή άριστη κατά Pareto! Αυτό συμβαίνει επειδή δεν υπάρχει άλλη κατανομή που να βελτιώνει τουλάχιστον έναν από τους τρεις χωρίς να χειροτερεύσει τους άλλους. Μπορεί η Δ να μοιράζει 5 μονάδες αγαθού (2+2+1) και η Γ μόνο 2, αλλά αυτό δεν ενδιαφέρει τον Γιάννη! Θα μπορούσαν βεβαίως η Άννα και ο Βασίλης, να πουν στον Γιάννη: «Δέξου την Δ, και εμείς θα σου δώσουμε από μισή μονάδα ο καθένας ώστε εσύ να έχεις πάλι δύο, ή ακόμα και από μία μονάδα ο καθένας ώστε να έχεις τρεις μονάδες αντί για δύο». Αυτό όμως δεν είναι πάντοτε εφικτό. Και έτσι όπως είναι καταστρωμένο το πρόβλημα αυτή η δυνατότητα δεν υπάρχει! Έτσι οι κατανομές Γ και Δ είναι οι κατανομές οι οποίες είναι κατά Pareto άριστες. Το κριτήριο της αποτελεσματικότητας του Pareto μπορούμε και να το εφαρμόσουμε και σε περιπτώσεις παραγωγής. Αν μπορούμε να οργανώσουμε έτσι τους παραγωγικούς πόρους μιας κοινωνίας ή μιας επιχείρησης, έτσι ώστε να παράγουμε περισσότερο από κάποια αγαθά και την ίδια ποσότητα από τα υπόλοιπα, τότε αυτή η οργάνωση παραγωγής είναι κατά Pareto αποτελεσματικότερη. Κατά τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να ορίσουμε και τις κατά Pareto άριστες κατανομές στην παραγωγή, όταν δεν υπάρχει άλλη (εφικτή, εννοείται) οργάνωση της παραγωγής όπου μπορούμε να παράγουμε περισσότερο από ένα τουλάχιστον αγαθό, χωρίς να μειώσουμε την παραγωγή των υπολοίπων. Στην περίπτωση των δύο αγαθών, ο γεωμετρικός τόπος των σημείων των Pareto αποτελεσματικών συνδυασμών μας δίνει την Καμπύλη Παραγωγικών Δυνατοτήτων. Οτιδήποτε κάτω από την καμπύλη αυτή δεν είναι άριστος κατά Pareto συνδυασμός και οτιδήποτε πάνω (έξω) από την καμπύλη αυτή δεν είναι εφικτός συνδυασμός. Γιατί όμως επιμένουμε τόσο στο κριτήριο του Pareto; Διότι μας παρέχει ένα μέτρο της αποφυγής της σπατάλης στην οργάνωση των παραγωγικών πόρων μιας κοινωνίας. Υπενθυμίζω ότι η σύγχρονη οικονομική θεωρία βασίζεται πάνω στην αρχή του μεθοδολογικού ατομικισμού. Όλα τα οικονομικά φαινόμενα πρέπει να εξηγηθούν βάσει της συμπεριφοράς των ατομικών οικονομικών υποκειμένων, των οικονομικών δρώντων. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα όταν αναφερόμαστε στους θεσμούς της αγοράς, ιδιαίτερα μάλιστα της τέλεια ανταγωνιστικής αγοράς. Προκειμένου λοιπόν να μπορούμε να συγκρίνουμε το αποτέλεσμα εναλλακτικών θεσμών οργάνωσης της κοινωνίας, όπως για παράδειγμα να κάνουμε την σύγκριση μεταξύ μιας κεντρικά σχεδιασμένης οικονομίας και μιας οικονομίας που στηρίζεται Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 90 -

στην αρχή του laissez-faire, πρέπει να έχουμε ένα κριτήριο με το οποίο θα μπορούμε να συγκρίνουμε το πόσο αποτελεσματικά οι διάφοροι θεσμοί οδηγούν σε αποτελέσματα που θεωρούμε κοινωνικά επιθυμητά. Πρέπει επίσης το κριτήριο αυτό να είναι απαλλαγμένο από πολιτικές αξιολογικές κρίσεις για το πως η κοινωνία κατανέμει τους πόρους της. Το κριτήριο του Pareto απετέλεσε τον ακρογωνιαίο λίθο αυτών των συγκρίσεων. Αποτέλεσε μέρος της τεχνικής απόδειξης του θεωρήματος του αόρατου χεριού του Adam Smith.30 Υπενθυμίζω ότι ο Smith έγραψε ότι σε καθεστώς ανταγωνιστικής αγοράς το κάθε άτομο ούτε γνωρίζει πόσο οι ενέργειές του επηρεάζουν το κοινό κάλο, ούτε είναι σκοπός του να το προωθήσει. Παρά ταύτα, ο καθένας ενεργώντας προς ίδιον συμφέρον τελικά οδηγείται από ένα αόρατο χέρι να προωθήσει το κοινό καλό. Πως όμως μπορούμε να περιγράψουμε το κοινό καλό χωρίς να καταφύγουμε σε μία συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας; Το κριτήριο Pareto δίνει εν μέρει μια τεχνική λύση. Αν η ανταγωνιστική αγορά οδηγεί σε κάποια κατανομή των πόρων και των αγαθών μεταξύ των ατόμων, μας αρκεί να αποδείξουμε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία αποτελεί μια κατά Pareto άριστη λύση, χωρίς να καταφύγουμε σε αξιολογικές κρίσεις. Μπορεί να μην μας αρέσει το αποτέλεσμα στο οποίο μας οδηγεί η αγορά, αλλά δεν μπορούμε να σκεφθούμε μια άλλη οργάνωση της οικονομίας η οποία θα βελτιώσει κάποιους χωρίς να χειροτερέψουν κάποιοι άλλοι. Αυτό βεβαίως δεν προκύπτει άμεσα από το κριτήριο του Pareto. Πρέπει να αποδειχθεί πρώτα. Η πλήρης αυστηρή απόδειξη αυτού του θεωρήματος έπρεπε να περιμένει μέχρι το 1954

Adam Smith, An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations, 1776, Βιβλίο IV, Κεφάλαιο 2, “Of Restraints upon the Importation from Foreign Countries”. But the annual revenue of every society is always precisely equal to the exchangeable value of the whole annual produce of its industry, or rather is precisely the same thing with that exchangeable value. As every individual, therefore, endeavours as much as he can both to employ his capital in the support of domestic industry, and so to direct that industry that its produce may be of the greatest value; every individual necessarily labours to render the annual revenue of the society as great as he can. He generally, indeed, neither intends to promote the public interest, nor knows how much he is promoting it. By preferring the support of domestic to that of foreign industry, he intends only his own security; and by directing that industry in such a manner as its produce may be of the greatest value, he intends only his own gain, and he is in this, as in many other cases, led by an invisible hand to promote an end which was no part of his intention. Nor is it always the worse for the society that it was no part of it. By pursuing his own interest he frequently promotes that of the society more effectually than when he really intends to promote it. I have never known much good done by those who affected to trade for the public good. It is an affectation, indeed, not very common among merchants, and very few words need be employed in dissuading them from it.

Παράβαλε επίσης και το εξής χωρίο από The Theory of Moral Sentiments.του Adam Smith (1759) Μέρος IV. “Of the Effect of Utility upon the Sentiment of Approbation”, Κεφάλαιο Ι. The produce of the soil maintains at all times nearly that number of inhabitants which it is capable of maintaining. The rich only select from the heap what is most precious and agreeable. They consume little more than the poor, and in spite of their natural selfishness and rapacity, though they mean only their own conveniency, though the sole end which they propose from the labours of all the thousands whom they employ, be the gratification of their own vain and insatiable desires, they divide with the poor the produce of all their improvements. They are led by an invisible hand to make nearly the same distribution of the necessaries of life, which would have been made, had the earth been divided into equal portions among all its inhabitants, and thus without intending it, without knowing it, advance the interest of the society, and afford means to the multiplication of the species. When Providence divided the earth among a few lordly masters, it neither forgot nor abandoned those who seemed to have been left out in the partition. These last too enjoy their share of all that it produces. In what constitutes the real happiness of human life, they are in no respect inferior to those who would seem so much above them. In ease of body and peace of mind, all the different ranks of life are nearly upon a level, and the beggar, who suns himself by the side of the highway, possesses that security which kings are fighting for.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 91 -

όταν οι Arrow και Debreu απέδειξαν τις ιδιότητες της ανταγωνιστικής ισορροπίας.31 Έτσι καταλήγουμε στο πρώτο θεώρημα των οικονομικών της ευημερίας: «Αν όλες οι αγορές είναι τέλεια ανταγωνιστικές, τότε το σημείο ισορροπίας που προκύπτει είναι κατά Pareto άριστο.» Τι δεν σημαίνει το κριτήριο του Pareto; Πρώτον, δεν σημαίνει ότι ένα αποτέλεσμα που είναι κατά Pareto άριστο είναι και κοινωνικά ή πολιτικά επιθυμητό. Μπορεί για παράδειγμα μια πολιτική διαδικασία να προτείνει μια κατανομή την οποία να προτιμά η κοινωνία, χωρίς να είναι απαραίτητα και κατά Pareto άριστη. Αν στο παράδειγμα των τριών ατόμων που αναφέραμε παραπάνω, ψήφιζαν η Άννα, ο Βασίλης και ο Γιάννης, η κατανομή Β θα έπαιρνε περισσότερους ψήφους από την κατανομή Γ, παρά το γεγονός ότι η Β δεν είναι άριστη κατά Pareto και η Γ είναι. Δεύτερον, δεν σημαίνει ότι το κριτήριο του Pareto αποτελεί και κριτήριο κοινωνικής δικαιοσύνης. Αν για παράδειγμα έχουμε να μοιράσουμε μια πίττα μεταξύ δύο ατόμων, όλες οι πιθανές κατανομές οι οποίες δεν καταστρέφουν κομμάτια της πίττας είναι κατά Pareto άριστες. Έτσι μια κατανομή που δίνει όλη την πίττα σε ένα άτομο είναι κατά Pareto άριστη. Σκεφθείτε ότι έχουμε τις εξής πιθανές κατανομές: 50%50%, 49%-49% (και το 2% να καταστρέφεται στην διαδικασία) και 0%-100%. Πως θα τις αξιολογούσατε από πλευράς κοινωνικής δικαιοσύνης; Μόνο όμως οι δύο (η πρώτη και η τρίτη) είναι κατά Pareto αποτελεσματικές. Τρίτον, δεν μπορούμε να συγκρίνουμε όλες τις κατανομές μεταξύ τους σύμφωνα με το κριτήριο του Pareto. Οι περισσότερες κατανομές δεν είναι συγκρίσιμες μεταξύ τους. Για να το καταλάβετε αυτό σκεφτείτε την μαθηματική έννοια (ή σχέση) της διάταξης (ordering)που ορίζεται πάνω σε ένα σύνολο. Τέτοια σχέση, είναι η σχέση «μεγαλύτερο ή ίσο» (≥) που ορίζεται πάνω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών (R). Αν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς, τον a και τον b, (όπου a, b ∈ R ) μπορούμε πάντα να πούμε είτε ότι a ≥ b είτε ότι b ≥ a . Η σχέση αυτή είναι μια πλήρης διάταξη. Αν όμως έχουμε διανύσματα στον δισδιάστατο καρτεσιανό χώρο, αν έχουμε δηλαδή το διάνυσμα ( x, y ) ∈ R × R και ορίσουμε την σχέση «μεγαλύτερο ή ίσο» (≥) ως εξής: ( x, y ) ≥ ( x′, y′) μόνον εάν x ≥ x′ και y ≥ y′ , τότε δεν μπορούμε πάντοτε να συγκρίνουμε δυο διανύσματα ως προς την σχέση (≥). Αν για παράδειγμα έχουμε τα διανύσματα (5, 2), (5,1) και (4,3) μπορούμε να πούμε ότι (5, 2) ≥ (5,1) αλλά δεν μπορούμε να συγκρίνουμε τα δύο πρώτα με το τρίτο. Ή αν μέσα στην τάξη ορίσουμε την σχέση «ο Α είναι πιο μεγαλόσωμος από τον Β», μόνο αν ο Α είναι και ψηλότερος και έχει μεγαλύτερο βάρος από τον Β, τότε υπάρχουν περιπτώσεις που η σχέση αυτή δεν ορίζεται (αν π.χ., ο Α είναι πιο χοντρός αλλά και πιο κοντός από τον Β). Το ίδιο ισχύει και στο κριτήριο Pareto. Μπορεί να υπάρχει μια ολόκληρη οικογένεια κατανομών, όπου όλες να είναι άριστες κατά Pareto αλλά να μην είναι συγκρίσιμες μεταξύ τους. Όπως επίσης υπάρχουν και κατανομές που δεν είναι κατά Pareto άριστες και οι οποίες δεν μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους σύμφωνα με το κριτήριο αυτό. Μπορεί επίσης να υπάρχει μια κατανομή που δεν είναι κατά Pareto άριστη, και η οποία όμως να μην κυριαρχείται κατά Pareto από μια άλλη κατανομή. Στο πα31

Kenneth J. Arrow & Gerard Debreu (1954): «Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy», Econometrica, τόμος 22, τεύχος 3 (Ιούλιος), σσ. 265-90. Ηλεκτρονικά διαθέσιμο ως Cowles Foundation Paper no. 87 από την διεύθυνση http://cowles.econ.yale.edu/P/cp/p00b/p0087.pdf.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 92 -

ράδειγμα του Πίνακα παραπάνω η κατανομή Γ είναι άριστη κατά Pareto, αλλά δεν κυριαρχεί την κατανομή Β. Τέταρτον, το κριτήριο του Pareto αφορά μόνο τα άτομα στα οποία εφαρμόζεται. Στο παράδειγμα του διλήμματος των κρατουμένων (prisoners’ dilemma) μας ενδιαφέρει μόνο η χρησιμότητα των κρατουμένων και όχι αυτή του ανακριτή ή του θύματος. Αν εξετάζουμε, π.χ., την δομή μιας ολιγοπωλιακής αγοράς η ανάλυσή μας θα είναι διαφορετική αν εξετάσουμε το κριτήριο από την σκοπιά των επιχειρήσεων και διαφορετική από την σκοπιά των καταναλωτών. Πέμπτον, οι λέξεις «άριστο» και «αποτελεσματικό» είναι λέξεις ιδεολογικά φορτισμένες. Συνειρμικά συνδέονται με το «επιθυμητό» και το «καλό». Πρέπει πάντοτε να έχετε υπόψη σας ότι τις χρησιμοποιούμε με την τεχνική τους έννοια. Δεν συνεπάγεται τίποτε από πολιτικής απόψεως. Εξ άλλου, το πρώτο θεώρημα των οικονομικών της ευημερίας αφορά μόνο σε τέλειες ανταγωνιστικές αγορές. Οποιαδήποτε «μικρή» απόκλιση από το τέλειο υπόδειγμα δεν συνεπάγεται ότι και η απόκλιση από το Pareto άριστο θα είναι και αυτή μικρή. Ούτε ότι και η «αρμονία» της ανταγωνιστικής αγοράς είναι αναγκαστικά και πολιτικά επιθυμητή. Αν το πιστεύετε αυτό, το πιστεύετε επειδή σας το υπαγορεύουν οι πολιτικές σας πεποιθήσεις και όχι επειδή σας το λέει η επιστήμη, ακόμη και η νεοκλασική θεωρία. Αν πιστεύετε στην λειτουργία της αγοράς σκεφθείτε ότι τα πραγματικά πλεονεκτήματα που μπορεί να δώσει γίνονται μέσα από διαδικασίες που είναι δυναμικές και δημιουργούν «σπατάλη» και καταστροφή πόρων. Γίνονται συνήθως μέσα από μετατόπιση της ΚΠΔ και όχι πάνω σε αυτήν. Τέλος, κάθε αποκεντρωμένη διαδικασία λήψης αποφάσεων δεν οδηγεί αναγκαστικά σε Pareto άριστα αποτελέσματα. Σκεφθείτε το δίλημμα των κρατουμένων που οδηγεί σε Pareto μη άριστα αποτελέσματα. Αν όλοι ψαρεύουμε στην ίδια λίμνη, το ψάρεμα του καθενός μας μειώνει τον πληθυσμό των ψαριών. Αν δεν έλθουμε όλοι σε μια κοινή συμφωνία για να περιορίσουμε το ψάρεμά μας, θα καταλήξουμε όλοι να πιάνουμε λιγότερα ψάρια. Αλλά με το ζήτημα των «εξωτερικοτήτων» (externalities) που καταστρέφει το κατά Pareto άριστο θα ασχοληθούμε σε άλλη διάλεξη.

Ασκήσεις Pareto, Paret-άκι μου, ποια κατανομή είναι η πιο αποτελεσματική; Άσκηση 1 Δυο άτομα μοιράζονται μεταξύ τους το ποσό των €1000. Οι δυνατές κατανομές είναι 0 για τον πρώτο και 1000 για τον δεύτερο, 100 για τον πρώτο και 900 για τον δεύτερο, 500-500, 900-100 και 1000-0. Ποια κατανομή είναι κατά Pareto αποτελεσματική; Απάντηση: Όλες!!!. Μπορεί να φαίνεται παράλογο και άδικο ότι οι κατανομές 1000-0 και 01000 είναι «αποτελεσματικές» ή «άριστες», αλλά η δικαιοσύνη στην μοιρασιά δεν αφορά το κριτήριο Pareto. Μόνον όταν μία κατανομή μπορεί να βελτιωθεί για τουλάχιστον έναν χωρίς να χάσει κάποιος άλλος, η κατανομή αυτή δεν είναι κατά Pareto αποτελεσματική. Όταν μοιράζεται ένα συγκεκριμένο ποσό Π μεταξύ δύο ατόμων, και το πρώτο άτομο παίρνει x και το δεύτερο (Π-x), δεν υπάρχει περιθώριο για βελτίωση κατά Pareto. Ό,τι κερδίσει ο ένας θα το χάσει ο άλλος. (Είναι μηδενικού αθροίσματος τα κέρδη κα οι ζημιές των ατόμων από την ανακατανομή).

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 93 -

Στην διανομή μιας πίτας σε ν άτομα, όταν όλοι θέλουν μεγαλύτερο κομμάτι – και ο τρόπος μοιρασιάς δεν επηρεάζει το μέγεθος της πίτας – κάθε δυνατή διανομή είναι κατά Pareto αποτελεσματική. Άσκηση 2 Δυο παιδάκια κάθονται μπροστά σε ένα σωρό με μήλα. Και τα δύο είναι «αχόρταγα»: δηλαδή αν τους δώσεις ν μήλα πάντα προτιμούν τα ν+1 μήλα, όποιο και να είναι το ν. Αλλά υπάρχει μια διαφορά: το ένα παιδάκι λιμοκτονεί, ενώ το άλλο παιδάκι, που ο πατέρας του είναι ο ιδιοκτήτης των μήλων, έχοντας ήδη χορτάσει, διασκεδάζει πετώντας τα μήλα στον τοίχο και απολαμβάνει το καλλιτεχνικό αποτέλεσμα. Ένας φοιτητής οικονομικών εξανίσταται από την κατάφωρη αδικία, παίρνει 10 μήλα από τον σωρό και τα δίνει στο πεινασμένο παιδί. Ο πατέρας του άλλου παιδιού, απόφοιτος και αυτός οικονομικών λέει στον φοιτητή: «Δεν σας έμαθαν στο πανεπιστήμιο ότι αυτή η κίνηση δεν είναι κατά Pareto αποτελεσματική; Μπορεί να πείναγε ο άλλος, αλλά τα μήλα ήταν δικά μου και η ωφέλειά του παιδιού μου μειώθηκε από αυτό. Φύγε πριν φωνάξω την αστυνομία!» Τι θα του απαντήσετε; Απάντηση: «Όντως η κίνησή μου δεν ήταν κατά Pareto αποτελεσματική. Και λοιπόν; Το κριτήριο Pareto δεν αποτελεί ούτε ηθική επιταγή ούτε οδηγό δράσης. Αν μπορούμε να το εφαρμόσουμε έχει καλώς. Αλλά υπάρχουν και άλλα πράγματα στην ζωή πέρα από το κριτήριο Pareto. Το άλλο το παιδάκι πείναγε και ο σαδιστής γιόκας σου πέταγε τα μήλα στον τοίχο. Θεώρησα ηθικό– και όχι επιστημονικό – χρέος μου να δώσω στο πεινασμένο παιδί λίγα μήλα. Λειτούργησα ηθικά και πολιτικά, όχι ως οικονομολόγος. Και θάπρεπε να ντρέπεσαι που μεγαλώνεις έτσι το παιδί σου». Φυσικά όμως μπορεί να φωνάξει την αστυνομία. Το πως θα το χειριστείτε αυτό (θα τον πιστέψετε και θα εξαφανιστείτε, θα του πετάξετε ένα μήλο στο κεφάλι, θα του πείτε «σιγά μη με συλλάβουν για ένα μήλο», κλπ.) είναι δικό σας θέμα. Άσκηση 3 ὅτι, φάναι, ὁ διδάσκαλός με ὡς ἤδη ἀκριβου̂ντα τὴν δικαιοσύνην καὶ ἄλλοις καθίστη δικάζειν. καὶ τοίνυν, φάναι, ἐπὶ μιᾳ̂ ποτε δίκῃ πληγὰς ἔλαβον ὡς οὐκ ὀρθω̂ς δικάσας. ἠ̂ν δὲ ἡ δίκη τοιαύτη. παι̂ς μέγας μικρὸν ἔχων χιτω̂να+ παι̂δα μικρὸν μέγαν ἔχοντα χιτω̂να ἐκδύσας αὐτὸν τὸν μὲν ἑαυτου̂ ἐκει̂νον ἠμφίεσε, τὸν δ' ἐκείνου αὐτὸς ἐνέδυ. ἐγὼ οὐ̂ν τούτοις δικάζων ἔγνων βέλτιον εἰ̂ναι ἀμφοτέροις τὸν ἁρμόττοντα ἑκάτερον χιτω̂να ἔχειν. ἐν τούτῳ δή με ἔπαισεν ὁ διδάσκαλος, λέξας ὅτι ὁπότε μὲν του̂ ἁρμόττοντος εἴην κριτής, οὕτω δέοι ποιει̂ν, ὁπότε δὲ κρι̂ναι δέοι ποτέρου ὁ χιτὼν εἴη, του̂τ' ἔφη σκεπτέον εἰ̂ναι τίς κτη̂σις δικαία ἐστί, πότερα τὸ βίᾳ ἀφελόμενον ἔχειν ἢ τὸ ποιησάμενον ἢ πριάμενον κεκτη̂σθαι: ἐπεὶ δὲ [ἔφη] τὸ μὲν νόμιμον δίκαιον εἰ̂ναι, τὸ δὲ ἄνομον βίαιον, σὺν τῳ̂ νόμῳ ἐκέλευεν ἀεὶ τὸν δικαστὴν τὴν ψη̂φον τίθεσθαι.

Στο παραπάνω κείμενο από την Κύρου παιδεία του Ξενοφώντος (A.III, στίχοι 16-17) ο νεαρός Κύρος, γιος του βασιλιά των Περσών, δικάζει την εξής υπόθεση: ένα μεγαλόσωμο παιδί που φοράει ένα μικρό χιτώνα, βρίσκει ένα μικρόσωμο παιδί που φοράει ένα μεγάλο χιτώνα. Το μεγάλο παιδί αρπάζει τον μεγάλο χιτώνα από το μικρό και τον φοράει και του δίνει να φορέσει τον δικό του. Ο Κύρος δικάζοντας βρήκε ότι είναι σωστό ο μεγαλόσωμος να έχει τον μεγάλο χιτώνα και ο μικρόσωμος τον μικρό. Ο δάσκαλός του Κύρου όμως τον χτύπησε λέγοντας ότι δεν δίκασε σωστά, γιατί δεν τον έβαλε να δικάσει τι ταιριάζει σε ποιόν, αλλά ποιος έχει δίκιο και σε ποιόν ανήκει ο χιτώνας. Ο μικρός ή αγόρασε τον χιτώνα ή τον έφτιαξε ο ίδιος, και ο μεγάλος δεν είχε δικαίωμα να τον αφαιρέσει με την βία. Ο δικαστής πρέπει να κρίνει σύμφωνα με τον νόμο. Ένας Άγγλος ιστορικός της οικονομικής σκέψης διατύπωσε την άποψη ότι

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 94 -

στο χωρίο αυτό του Ξενοφώντα συναντάμε για πρώτη φορά την έννοια του κατά Pareto άριστου. Εσείς τί νομίζετε; Η κρίση του Κύρου οδήγησε σε κατά Pareto αποτελεσματικότερη κατανομή ή όχι; Απάντηση: Ο δάσκαλος του νεαρού πρίγκηπα είχε απόλυτο δίκιο. Η κίνηση του Κύρου δεν αποτελούσε κατά Pareto βελτίωση (όχι βέβαια ότι ο δάσκαλος ήξερε από Pareto, 25 σχεδόν αιώνες πριν). Το μικρόσωμο παιδάκι ήθελε τον μεγάλο χιτώνα και η χρησιμότητά του μειώθηκε από την κίνηση του Κύρου. Χώρια που παραβιάστηκαν τα δικαιώματά του, που είναι και σοβαρότερο. Επί τη ευκαιρία να προσθέσω ότι ο εαυτός μας είναι ο μόνος κριτής του εάν η νέα κατάσταση είναι καλύτερη ή όχι. Δεν νοείται κάποιος να κάνει την κίνηση «για το καλό μας». Άσκηση 4 Γνωρίζετε ένα άτομο το οποίο προκαλεί το ερωτικό σας ενδιαφέρον και το οποίο ανταποκρίνεται. Αποφασίζετε από κοινού να συνάψετε ερωτικό δεσμό. Είναι η νέα κατάσταση κατά Pareto αποτελεσματικότερη; Πιστεύετε ότι αν ρωτήσετε το άτομο αυτό «Είσαι για ένα Pareto άριστο;», είναι πιθανόν η επίτευξη του να μην τελεσφορήσει; Αν όχι, γιατί; Απάντηση. Αν είστε συναινούντες ενήλικες και ο ερωτικός δεσμός είναι κάτι που το επιθυμείτε αμφότεροι, η νέα κατάσταση είναι σαφώς βελτίωση κατά Pareto. Κάθε συναλλαγή – εμπορική ή γενετήσια – υποτίθεται ότι δημιουργεί κέρδη για τα εμπλεκόμενα μέρη, εφόσον αποτελεί έκφραση της αβίαστης βούλησής τους. Βεβαίως, εξαρτάται ποια άτομα μετέχουν στην κατανομή. Αν είστε μόνον οι δύο, τότε αποτελεί κατά Pareto βελτίωση. Αν ενέχονται και άλλοι (γονείς, αντεραστές, «ο κόσμος», κλπ.) πρέπει να δούμε τι επίπτωση θα έχει σε αυτούς ο δεσμός. Αυτό αφορά βεβαίως το πλαίσιο αναφοράς και ανάλυσης και όχι αν κάτι τέτοιο είναι θεμιτό ή όχι («σαν θέλει η νύφη κι ο γαμπρός», «δεν με νοιάζει ο κόσμος τι θα πει», κλπ.). Το δεύτερο ερώτημα θέλει να δείξει, ότι σε πολλές συναλλαγές, η διαδικασία είναι τόσο σημαντική όσο και η ουσία. Σε μία ερωτική προσέγγιση, ο σύντροφός σας ενδιαφέρεται για τα κίνητρά σας. Για αυτό αν πείτε «ας συνάψουμε δεσμό διότι αυτό είναι σε όφελος και των δύο» αντί «τι ωραία μάτια έχεις», ή κάποια άλλη βαριάντα του ανοίγματος της παρτίδας, ήδη σηματοδοτείτε την ωφελιμιστική σας προσέγγιση, γεγονός που από μόνο του μπορεί να σας κάνει λιγότερο επιθυμητό. Μπορεί βεβαίως να εκληφθεί ως αστεϊσμός, οπότε αυτό που σηματοδοτείτε είναι κάτι άλλο, ή επίσης μπορεί να εκληφθεί ότι θέλετε να δείξετε ότι δεν θέλετε τίποτε περισσότερο από να περάσετε καλά και οι δύο, που από μόνο του να είναι περισσότερο επιθυμητό. «All is fair in love and war». Άσκηση 5 Δυο φίλοι, η Άννα και ο Βασίλης, κάθονται στο τραπέζι και έχουν μπροστά τους 2 μπουκάλια ποτό και 2 πιάτα φαΐ. Και οι δυο πεινούν και διψούν πολύ. Ο καθένας τους θα μπορούσε να τα φάει και να τα πιει όλα μόνος του. Υποθέτουμε ότι η κατανάλωση γίνεται σε ακέραιες μονάδες και ότι η φιλία τους δεν είναι τόσο δυνατή ώστε να υπερισχύσει της λαιμαργίας τους. Πόσες είναι οι δυνατές κατανομές; Ποια κατανομή είναι κατά Pareto αποτελεσματική; Απάντηση: Ο καθένας από του δύο φίλους μπορεί από το κάθε είδος να έχει καμία, μία ή δύο μονάδες (3 περιπτώσεις). Άρα οι πιθανές περιπτώσεις για την Άννα είναι

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 95 -

3x3=9. Εφόσον ο Βασίλης θα καταναλώσει τα υπόλοιπα, οι δυνατές κατανομές είναι 9. Οι κατανομές αυτές είναι: i. [(2,2) (0,0)] ii. [(2,1) (0,1)] iii. [(1,2) (1,0)] iv. [(1,1) (1,1)] v. [(2,0) (0,2)] vi. [(0,2) (2,0)] vii. [(1,0) (1,2)] viii. [(0,1) (2,1)] ix. [(0,0) (2,2)] όπου ⎡⎣( x A , y A )( xB , yB ) ⎤⎦ είναι

η κατανάλωση x A μονάδων ποτό από την Άννα, η κατανάλωση y A πιάτων φαΐ από την Άννα, και ( xB , yB ) η κατανάλωση των αντίστοιχων μονάδων ποτού και φαγητού

από τον Βασίλη αντίστοιχα. Χωρίς να γνωρίζουμε τις ειδικές προτιμήσεις τους δεν μπορούμε να πούμε πολλά πράγματα. Το μόνο που ξέρουμε είναι ότι οι κατανομές i. & ix. είναι κατά Pareto άριστες διότι σε αυτές αυτός που δεν έχει τίποτε δεν μπορεί να προτείνει σε αυτόν που τα έχει όλα μια κατανομή που είτε θα βελτιώσει την κατάστασή του είτε θα τον αφήσει ως έχει. Και άλλες κατανομές είναι Pareto αποτελεσματικές: απλά δεν έχουμε αρκετά δεδομένα για να κρίνουμε.

Άσκηση 6 Ας δούμε τώρα το παραπάνω παράδειγμα διαφορετικά. Πάλι έχουμε δύο άτομα την Α (Άννα) και τον Β (Βασίλη) και έστω ότι έχουμε 2 μονάδες από το αγαθό Χ (π.χ., μπουκάλια μπύρας) και 2 μονάδες από το αγαθό Υ (π.χ., πιάτα φαγητού) οι οποίες θα μοιραστούν στην Άννα και τον Βασίλη. Τώρα όμως τα άτομα μας έχουν πει ποιες είναι οι προτιμήσεις τους. Η Α, π.χ., μας λέει ότι η καλύτερη της προτίμηση είναι να έχει αυτή και τις δύο μονάδες από κάθε αγαθό και η χειρότερη της προτίμηση να μην έχει τίποτα. Άρα στην κατανομή (ΧΑ, ΥΑ) = (2, 2) αντιστοιχώ τον αριθμό UA=1 και στην κατανομή (ΧΑ, ΥΑ) = (0, 0) αντιστοιχώ τον αριθμό UA=9. Μπορεί έτσι να κατατάξει τις διάφορες κατανομές κατά σειράς προτίμησης. Αντίστοιχα για τον Βασίλη. Ο παρακάτω πίνακας μας δίνει όλες τις πιθανές κατανομές καθώς και τη σειρά προτίμησης (UΑ και UΒ) που ο καθένας δίνει στην κάθε κατανομή. Ας σημειωθεί ότι στην Άννα είναι αδιάφορο τί θα καταναλώσει ο Βασίλης: απλά μας λέει ότι πως κατατάσσει τις διάφορες δυνατές καταναλώσεις. Επίσης οι κατανομές είναι ορθολογικές με την έννοια ότι μια κατανομή (έστω η (i)) είναι προτιμότερη για κάθε άτομο από μία άλλη (έστω από την (ii)) αν έχει περισσότερο για το άτομο αυτό από το ένα αγαθό και περισσότερο ή τουλάχιστον το ίδιο από το άλλο αγαθό. Μπορείτε να πείτε ποιες κατανομές είναι κατά Pareto αποτελεσματικές και γιατί;

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 96 -

Άννα (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (ix)

Βασίλης

XΑ

YΑ

2 2 1 1 2 0 1 0 0

2 1 2 1 0 2 0 1 0

1 2 4 5 3 6 7 8 9

0 0 1 1 0 2 1 2 2

0 1 0 1 2 0 2 1 2

9 8 7 6 3 5 2 4 1

Απάντηση: Είδαμε ότι οι κατανομές i. και ix. είναι κατά Pareto αποτελεσματικές. Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι μόνο οι στήλες UA και UB και όχι οι καταναλώσεις των αγαθών. [Απλά παρατηρούμε ότι τα δύο άτομα θεωρούν ότι μια κατανομή είναι καλύτερη όταν περιέχει για αυτά περισσότερο από τουλάχιστον ένα αγαθό και όχι λιγότερο από το άλλο] Η κατανομή ii. δεν μπορεί να βελτιωθεί αφού για την Άννα η μόνη βελτίωση είναι η i. η οποία είναι χειρότερη για τον Βασίλη. Η κατανομή iii. όμως μπορεί να βελτιωθεί για την Α από τις κατανομές i., ii. & v., από τις οποίες η v. βελτιώνει και την θέση του Β. Άρα η v. κυριαρχεί κατά Pareto την iii., άρα η iii. δεν είναι αποτελεσματική. Η iv. κυριαρχείται επίσης από την v. Άρα ούτε και αυτή είναι αποτελεσματική. Η v. δεν κυριαρχείται από καμία. Η βελτίωση της Α σημαίνει και επιδείνωση του Β. Άρα είναι αποτελεσματική. Η vi. κυριαρχείται και αυτή από την v., άρα δεν είναι αποτελεσματική. Η vii. είναι αποτελεσματική αφού κανείς δεν μπορεί να βελτιώσει την θέση του χωρίς να χειροτερεύσει αυτή του άλλου. [Όλες οι προηγούμενες κατανομές βελτιώνουν την Α, αλλά μόνον η ix. βελτιώνει τον Β]. Τέλος η κατανομή viii. κυριαρχείται από δύο κατά Pareto άριστες κατανομές: την v. και την vii. Άρα οι αποτελεσματικές κατανομές είναι οι i., ii., v., vii. & ix. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει στην αριστερή στήλη ποιες κατανομές είναι αποτελεσματικές κατά Pareto, και για όποιες δεν είναι αποτελεσματικές δείχνει από ποιες κυριαρχούνται.

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 97 -

ΑποτελεΆννα σματικότητα ΚατάYΑ XΑ Pareto νομή

Βασίλης UA

Α. Pareto

(i)

Α. Pareto

(ii)

(v)

(iii)

(v)

(iv)

Α. Pareto

(v)

(vi)

Α. Pareto

(vii)

(v), (vii)

(viii)

Α. Pareto

(ix)

Άσκηση 7 Ας υποθέσουμε τώρα ότι δεν ξέρουμε τις προτιμήσεις των Α και Β, δηλαδή τα UΑ και UΒ, και ας υποθέσουμε ότι η αρχική κατανομή είναι η (vi). Τί νομίζετε ότι θα κάνουν οι δύο φίλοι; Τι θα γίνει αν η αρχική κατανομή είναι η (viii); Έχει σημασία που ο ένας δεν γνωρίζει τις προτιμήσεις του άλλου; Έχει σημασία που δεν τις ξέρει ένας ανεξάρτητος παρατηρητής; Απάντηση: Αν η αρχική κατανομή είναι η (vi) οι δύο φίλοι μπορεί να αρχίζουν να διαπραγματεύονται. Η μόνη διαπραγμάτευση όμως που θα επιτύχει είναι αν αντιστρέψουν τις θέσεις τους σε αγαθά, αν η Α, δηλ., προτείνει στον Β να του δώσει τα 2 πιάτα της για τις δύο φιάλες του. Η Α δεν ξέρει την χρησιμότητα του Β, αλλά είναι το μόνο παζάρι που ο Β θα δεχθεί. Είναι ως εάν η τιμή της φιάλης να είναι ένα πιάτο. Σε αυτήν την τιμή η Α θα προσφέρει 2 πιάτα και ο Β θα αγοράσει 2 φιάλες. Τότε θα καταλήξουν στην (v). Αν η αρχική κατανομή είναι η (viii) η Α μπορεί να προτείνει να αλλάξει το ένα πιάτο της με μία φιάλη και ο Β θα δεχθεί γιατί βελτιώνει την χρησιμότητά του. Η τιμή της φιάλης θα είναι ένα πιάτο. Τότε θα καταλήξουν στην (vii). Μπορεί όμως να προτείνει να ανταλλάξει το πιάτο της με δύο φιάλες. Η τιμή της φιάλης θα είναι μισό πιάτο. Τότε θα καταλήξουν στην (v). Πάλι ο Β θα βελτιώσει την χρησιμότητά του, αλλά όχι τόσο πολύ. Υπάρχει απροσδιοριστία για το που τελικά θα καταλήξουν. Ο καθένας μπορεί να επικαλεστεί διάφορα επιχειρήματα, αλλά στο τέλος έχει σημασία το πως θα χειριστούν τα μέρη την διαπραγμάτευση. Άρα δεν χρειάζεται κάποιος διαμεσολαβητής για να επιτευχθεί ένα Pareto άριστο. Μπορεί τα ίδια τα άτομα να αναλάβουν μέσω της ανταλλαγής να βελτιώσουν την θέση τους. Ένας όμως ανεξάρτητος μεσολαβητής μπορεί να επηρεάσει το αποτέλεσμα ανακοινώνοντας τιμές, τότε τα άτομα θα καταλήξουν εκεί που ήθελε ο «δημοπράτης». Αν ξεκινήσει από την τιμή 1 φιάλη = 1 πιάτο τότε θα καταλήξουν στην (vii), αν πει 1 φιάλη = ½ πιάτο τότε θα καταλήξουν στην (v).

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 98 -

Άσκηση 8 Στο παρακάτω διάγραμμα η κοινωνία αποφασίζει αν θα παράγει βούτυρο (Β) ή κανόνια (Κ). Η καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων (ΚΠΔ) είναι η βκ. Αποδείξτε ότι όλα τα σημεία πάνω στην ΚΠΔ είναι κατά Pareto άριστα. Έστω το σημείο Α που βρίσκεται κάτω από την καμπύλη. Είναι όλα τα σημεία της ΚΠΔ κατά Pareto κυρίαρχα της κατανομής του σημείου Α ή όχι; Αν όχι ποια είναι αυτά; Δείξτε όλα τα σημεία τα οποία είναι κατά Pareto κυρίαρχα. Ποια από αυτά είναι και κατά Pareto άριστα; Εξηγείστε.

Βούτυρο

ΚΠΔ

Α.

Κανόνια

Απάντηση: Τα σημεία που είναι κατά Pareto κυρίαρχα του Α, δεν είναι η ΚΠΔ. Είναι τα σημεία εκείνα που βρίσκονται πάνω και δεξιά του Α κάτω από και επάνω στην ΚΠΔ. Αυτά που βρίσκονται στον τομέα ΑΒΓ. Εκεί έχουμε και περισσότερο βούτυρο και περισσότερα κανόνια. Μόνο όμως το τόξο ΒΓ πάνω στην ΚΠΔ που προκύπτει αν τραβήξουμε γραμμές παράλληλες προς τους άξονες οι οποίες διέρχονται από το Α, αποτελείται από κατανομές οι οποίες είναι και κυρίαρχες και αποτελεσματικές. Αυτό συμβαίνει διότι οποιοδήποτε άλλο σημείο, έστω το Δ, που είναι κυρίαρχο του Α αλλά βρίσκεται κάτω από την ΚΠΔ κυριαρχείται από άλλα σημεία τα οποία βρίσκονται πάνω και δεξιά του και κάτω ή επάνω στην ΚΠΔ, δηλαδή από τον τομέα ΔΕΖ. Μόνο τα σημεία που ανήκουν πάνω στο τόξο ΒΓ δεν μπορούν να βελτιωθούν από εφικτές κατανομές

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 99 -

Βούτυρο

Pareto κυρίαρχα: περισσότερο βούτυρο και περισσότερα κανόνια

Β β

ΚΠΔ

Ε Δ. Α.

Ζ Γ

Κανόνια

Άσκηση 9

Ερμηνεύσατε το ίδιο σχήμα με τέτοιο τρόπο ώστε αντί για βούτυρο και κανόνια να έχουμε το πως αξιολογούν δύο άτομα (ο Α και ο Β) διαφορετικές κατανομές. (Όσο περισσότερο προτιμάει κάποιος μια κατανομή τόσο περισσότερες μονάδες «ωφέλειας» έχει.) Αν τα άτομα αυτά διαπραγματεύονται μεταξύ τους και ξεκινήσουν από το σημείο Α, που νομίζετε ότι θα καταλήξουν; Τι νόημα δίνετε τώρα στην ΚΠΔ; Απάντηση: Αν το Α είναι το αρχικό σημείο, τα άτομα μπορούν να βελτιώσουν την χρησιμότητά τους μέσα στο ΑΒΓ. Όλες αυτές οι κατανομές αποτελούν βελτίωση κατά Pareto του Α. Αλλά μόνο το τόξο ΒΓ είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που θα καταλήξουν οι διαπραγματεύσεις, διότι σε οποιοδήποτε άλλο σημείο (έστω Δ) υπάρχει χώρος για βελτίωση (ΔΕΖ). Το σημείο στο οποίο θα καταλήξουν οι διαπραγματεύσεις δεν το γνωρίζουμε: υπάρχει απροσδιοριστία. Η ΚΠΔ μπορεί να ερμηνευτεί τώρα ως η καμπύλη των αποτελεσματικών διαπραγματεύσεων. Άσκηση 10 (Το δίλημμα των κρατουμένων)

Δύο συνεργοί ληστεύουν ένα κατάστημα. Η αστυνομία τους υποψιάζεται και τους συλλαμβάνει, αλλά δεν έχει αρκετά στοιχεία να τους καταδικάσει. Ο ανακριτής τους εξετάζει ξεχωριστά και κάνει την εξής πρόταση στον κάθε ένα από τους συνεργούς: «Δεν έχω μεν αρκετά στοιχεία να σας παραπέμψω για ένοπλη ληστεία, αλλά μπορώ να σας παραπέμψω για οπλοκατοχή, η οποία επισύρει ένα έτος φυλάκισης. Αν όμως καταθέσεις εναντίον του συνεργού σου, τότε, αν αυτός δεν καταθέσει εναντίον σου θα αφεθείς ελεύθερος. Αν καταθέσει όμως εναντίον σου, τότε πάλι, αν εσύ δεν έχεις καταθέσει, αυτός θα αφεθεί ελεύθερος, ενώ ο εισαγγελέας θα ασκήσει όλη την αυστηρότητά του και θα καταδικαστείς σε 10 χρόνια κάθειρξη. Αν

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 100 -

ομολογήσετε αμφότεροι, τότε θα καταδικαστείτε σε πέντε χρόνια ο καθένας». Κατασκευάστε τον πίνακα με όλες τις πιθανές «στρατηγικές» των δύο συνεργών και τα αποτελέσματα που θα έχουν για αυτούς και τον συνεργό τους. Υποθέστε ότι και τα δύο άτομα είναι ορθολογικά και ότι το μόνο που τους ενδιαφέρει είναι το ύψος της ποινής. Δεν υπάρχει, δηλ., κάποιος «κώδικας τιμής», ούτε φοβάται κανείς από τους δύο ότι ο συνεργός του ή κάποιος άλλος θα τον τιμωρήσει επειδή «κάρφωσε». Ποια θα είναι η επιλογή των δύο συνεργών; Συγκρίνετε τις δύο περιπτώσεις: (α) να ομολογήσουν και οι δύο και (β) να μην ομολογήσει κανείς. Ποια από τις δύο είναι κατά Pareto κυρίαρχη; Ποια νομίζετε ότι θα επιλεγεί; Τι συμπεράσματα βγάζετε για την αποκεντρωμένη διαδικασία λήψης αποφάσεων; Απάντηση: Ας κατασκευάσουμε ένα πίνακα 2x2 ο οποίος θα δείχνει τις δυνατές στρατηγικές των δύο κρατουμένων. Μέσα στα τετράγωνα του πίνακα υπάρχουν τα χρόνια φυλάκισης για τον καθένα (α, β): α χρόνια για τον Α και β για τον Β.

Στρατηγική του Α

Δεν ομολογώ Ομολογώ

Στρατηγική του Β Δεν ομολογώ Ομολογώ (1, 1) (10, 0) (0, 10) (5, 5)

Παρατηρείστε ότι η στρατηγική (Δ.Ο., Δ.Ο.) είναι Pareto κυρίαρχη της στρατηγικής (Ομολογώ, Ομολογώ). Αυτή όμως που θα επικρατήσει είναι η τελευταία. Ο λόγος είναι απλός. Ο κάθε ένας θα σκεφτεί: «Αν ο άλλος ομολογήσει και εγώ δεν ομολογήσω θα φάω δέκα χρόνια. Αν ομολογήσω θα φάω πέντε. Αν πάλι ο άλλος δεν ομολογήσει και εγώ δεν ομολογήσω θα φάω ένα χρόνο. Αν όμως ομολογήσω θα αφεθώ ελεύθερος. Άρα ό,τι και να κάνει ο άλλος, εγώ είμαι καλύτερα αν ομολογήσω». Επειδή όμως και οι δύο είναι ορθολογικοί, θα σκεφθούν και οι δύο το ίδιο. Άρα θα ομολογήσουν και οι δύο και θα φάνε πέντε χρόνια. Δεν υπάρχει τρόπος ώστε να επιτύχουν το κατά Pareto άριστο αποτέλεσμα. Άρα η αποκεντρωμένη διαδικασία λήψης αποφάσεων δεν οδηγεί πάντοτε στο κατά Pareto άριστο αποτέλεσμα. Άσκηση 11 Σε ένα παιδικό πάρτι υπάρχει ένα μεγάλο γλυκό. Υπάρχουν δύο τρόποι να μοιραστεί το γλυκό αυτό: (α) Διαιρούμε το γλυκό σε όσα κομμάτια είναι όλα τα παιδάκια και δίνουμε στο καθένα από ένα κομμάτι. (β) Τα παιδάκια σχηματίζουν μια ουρά και το καθένα παίρνει όσο γλυκό θέλει. Συγκρίνετε τις δύο κατανομές που θα προκύψουν από πλευράς αποτελεσματικότητας κατά Pareto. Απάντηση: Η δεύτερη κατανομή είναι σίγουρα κατά Pareto άριστη, άσχετα από το εάν κάποια παιδάκια καταλήξουν χωρίς καθόλου γλυκό, αφού πιθανόν να μην φθάνει για όλους. Κανένα παιδάκι, αν είναι ορθολογικό, δεν θα θέλει να αλλάξει την θέση του στην ουρά με κάποιο άλλο παιδάκι, αφού η θέση μπροστά έχει μεγαλύτερη χρησιμότητα. Αν η ποσότητα που θα πάρει κάθε παιδάκι στην ίση κατανομή είναι μικρότερη από αυτή που θα έπαιρνε, αν το άφηναν να σερβιριστεί μόνο του, τότε η ίση κατανομή αυτή είναι άριστη κατά Pareto. Τώρα, αν κάποιο παιδάκι είναι λιγόφαγο και το κομμάτι που πάρει στην ίση κατανομή είναι περισσότερο από αυτό που θέλει, μπορεί να δώσει αυτό που δεν θέλει σε κάποιο άλλο παιδάκι και έτσι να

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 101 -

βελτιώσει την κατανομή. Σε αυτή την περίπτωση η πρώτη κατανομή δεν θα ήταν άριστη κατά Pareto. Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι η δεύτερη κατανομή είναι και κατά Pareto κυρίαρχη από την πρώτη. Άσκηση 12 Ας υποθέσουμε ότι όλοι μας προτιμούμε να δαπανήσουμε από €300 για να αγοράσουμε καταλύτη για το αυτοκίνητό μας και να έχουμε μια καθαρότερη ατμόσφαιρα. Ξέρουμε όμως ότι αν το κάνουν όλοι οι άλλοι, εμείς, ακόμα και αν αποφύγουμε την δαπάνη, πάλι θα απολαύσουμε καθαρή ατμόσφαιρα. Ποια ισορροπία θα επικρατήσει, δηλ. πόσοι θα αγοράσουν καταλύτες και τι ατμόσφαιρα θα έχουμε; Θα είναι η ισορροπία αυτή άριστη κατά Pareto; Τι συμπεραίνετε για το αόρατο χέρι του Adam Smith σε αυτήν την περίπτωση; Απάντηση: Και εδώ έχουμε ένα πρόβλημα αντίστοιχο με αυτό του διλήμματος των κρατουμένων. Όλοι θα προτιμήσουν να μην τοποθετήσουν καταλύτη, αφού ό,τι και να κάνουν όλοι οι άλλοι αυτοί θα είναι καλύτερα χωρίς να κάνουν την δαπάνη. Στο τέλος όμως θα καταλήξουμε να έχουμε βρώμικη ατμόσφαιρα. Άρα η ισορροπία δεν θα είναι άριστη κατά Pareto, αφού κυριαρχείται από την κατανομή που θα συνεπαγόταν να κάνουν όλη την δαπάνη και να έχουμε καθαρή ατμόσφαιρα. Άρα σε αυτήν την περίπτωση το αόρατο χέρι του Adam Smith δεν λειτουργεί. Θα ήταν καλύτερα για όλους το κράτος να επιβάλλει έναν νόμο που να κάνει τον καταλύτη υποχρεωτικό. [Τι θα γινόταν αν μια μερίδα του πληθυσμού θεωρεί ότι η καθαρή ατμόσφαιρα δεν αξίζει €300;].

Νίκος Θεοχαράκης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - 102 -