dap_themata_2010_arithm_method

Πεξηερνκελα

Πεξηερνκελα ...............................................................................................................2 Αριθμηηικες Και Υπολογιζηικες Μεθοδοι Σηην Οικονομια – Ιοσνιος 2008 .................3 Αριθμηηικες Και Υπολογιζηικες Μεθοδοι Σηην Οικονομια – Ιοσνιος 2007 .................4 Αριθμηηικες & Υπολογ. Μεθοδοι Σηην Οικονομια – Ιοσλ 2006...................................5 Αριθμ. & Υπολογ. Μέθοδοι Σηην Οικονομία – Ιοσ 2005 .............................................6

ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΕ΢ ΚΑΙ ΤΠΟΛΟΓΙ΢ΣΙΚΕ΢ ΜΕΘΟΔΟΙ ΢ΣΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ – ΙΟΤΝΙΟ΢ 2008 1. (2.5 κνλάδεο) Ζ ζπλάξηεζε (3,11), (4,20), (5,15), παξνπζηάδεη κέγηζην θνληά ζην 4. Υπνινγίζαηε ην κε νπνηεζδήπνηε κεζόδνπο θξίλεηαη θαηάιιειεο, κε αθξίβεηα ελόο δεθαδηθνύ ςεθίνπ.

2. (2.5 κνλάδεο) Γίδεηαη ν πίλαθαο

3 1 0

A

1 2 1

0 1 3

. Γηα λα βξνύκε ηελ κηθξόηεξε

ηδηνηηκή ηνπ εξγαδόκελνπ σο εμήο: 1. Υπνινγίδνπκε ηνλ πίλαθα Α-ιΗ, Η ν κνλαδηαίνο.

2. Με ηε κέζνδν Jordan κεηαηξέπνπκε ηνλ πίλαθα Α-ιΗ ζε δηαγώλην.

3. Πνιιαπιαζηάδνληαο

ηα

δηαγώληα

ζηνηρεία

βξίζθνπκε ην ραξαθηεξηζηηθό πνιπώλπκν 4. Θέηνληαο

πνπ

βξήθακε

πξνεγνπκέλσο

(ι) =|Α-ιΗ|

(ι)=0, θαη ρξεζηκνπνηώληαο ηελ κέζνδν ηνπ ζηαζεξνύ ζεκείνπ κε

αξρηθή ηηκή ρ0=0.9, ππνινγίδνπκε ηε δεηνύκελε ηδηνηηκή, κε αθξίβεηα ελόο δεθαδηθνύ ςεθίνπ. Δθαξκόζαηε.

3. (2 κνλάδεο) Φξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν απαινηθήο ηνπ Gauss, κε νιηθή νδήγεζε, δείμαηε όηη:

0 1 1 0

1 0 0 2

0 1 2 0

1 0 0 1

9

4. (3 κνλάδεο) Γηα λα ππνινγίζνπκε ην νινθιήξσκα

I

b a

f ( x ) dx ,

f(x), κε ην ηύπν ηνπ Simpson, εξγαδόκαζηε σο εμήο:

b a v

a.

Οξίδνπκε v θαη βήκα

b.

Οξίδνπκε ηα ζεκεία ρ0=α, ρ1=α+h,…ρv-1=α+(v-1)h,ρv=b

c.

Φξεζηκνπνηώληαο ηνλ ηύπν:

Iv

h

.

h f (a) 4 f ( x1) 2 f ( x 2) 4 f ( x 3) ... 4 f ( xv 1) 3

f (b)

κηαο ζπλάξηεζεο

d.

Δάλ

,

Iv Iv 1

ε

κέζνδνο

ζηακαηάεη,

αιιηώο

επαλαιακβάλεηαη,

απμάλνληαο ηνλ αξηζκό λ.

Μνξθώζαηε όια ηα παξαθάησ ζε ιεπηνκεξή ςεπδνθώδηθα.

ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΕ΢ ΚΑΙ ΤΠΟΛΟΓΙ΢ΣΙΚΕ΢ ΜΕΘΟΔΟΙ ΢ΣΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ – ΙΟΤΝΙΟ΢ 2007 Διδάζκονηες Ση. Θώηζηνο, Γ. ΑΘαλαζίνπ Θέμα 1ον : α)Δπηιύζαηε κε ηελ κέζνδν ηεο νιηθήο νδήγεζεο ηνπ Gauss ην ζύζηεκα: 8

x1 6 10 x1 10

6

x2 5 10 x 2

10

10

5

10

6

Β) Υπνινγίζηε κε ηελ κέζνδν Gauss-Jordan ηνλ αληίζηξνθν ηνπ πίλαθα:

J

N

0 Θέμα 2ον : Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε:

0.2 0.1 Φ 0.3 01 1 3 0.2 0 F(ρ) 0 1 1 2 N

Φξεζηκνπνηώληαο θαηάιιεια πνιπσλπκηθή παξεκβνιή, ηελ κέζνδν Newton-Raphson, θαη ην ζρήκα ηνπ Horner, βξείηε πνπ παξνπζηάδεη αθξόηαην, θαζώο θαη ην είδνο ηνπ.

Θέμα 3ον: Οη θακπύιεο

ex

θαη 3x+7 ηέκλνληαη ζην δηάζηεκα [-3,10] ζε δύν αθξηβώο

ζεκεία. Δληνπίζαηε ηα, κε αθξίβεηα ε=0,01, ρξεζηκνπνηώληαο νπνηαδήπνηε κέζνδν θξίλεηε απαξαίηεη, ΔΘΤΟΣ ηεο Newton-Raphson.

Θέμα 4ον : Γώζαηε ςεπδνθώδηθα γηα ην ππνινγηζκό ηεο πνζόηεηαο i=0(1)n, δεδνκέλα.

yk , όπνπ y1,

ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΕ΢ & ΤΠΟΛΟΓ. ΜΕΘΟΔΟΙ ΢ΣΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ – ΙΟΤΛ 2006 ΘΕΜΑ 1ον : ( 2 Μνλάδεο ) Ζ εμίζσζε ρ3-ρ-1=0 έρεη κία ιύζε ζην δηάζηεκα [1,2]. Φξεζηκνπνηώληαο

θαηάιιειεο

αξρηθέο

ζπλζήθεο

θαη

ηελ

κέζνδν

ηεο

ηέκλνπζαο,

ππνινγίζαηε ηελ κε αθξίβεηα ηξηώλ δεθαδηθώλ ςεθίσλ. ΘΕΜΑ 2ον : ( 2 κνλάδεο ) Γίδεηαη ην ζύζηεκα : 2.25ρ=3.7y =1.11 1.67x-3.41y = 0.98

Φξεζηκνπνηώληαο ηελ επαλαιεπηηθή κέζνδν Jacobi θαη αξρηθέο ηηκέο

x0 =0.5, y 0 =-0.1,

ππνινγίζαηε ηξεηο δηαδνρηθέο πξνζεγγίζεηο ηεο ιύζεο ηνπ. ΘΕΜΑ 3ον ( 2.5 Μνλάδεο) Μία ζπλάξηεζε δήηεζεο πεξηγξάθεηαη από ηα δεδνκέλα : Τηκή Πξντόληνο

Πνζόηεηα Εήηεζεο

0.8

5.384

1.4

4.316

2.0

3.5

2.6

2.936

Θαη κία ζπλάξηεζε πξνζθνξάο από ηα δεδνκέλα :

Φξεζηκνπνηώληαο

Τηκή Πξντόληνο

Πνζόηεηα Πξνζθνξάο

1

2.6

3

3.296

4

4.7

αξηζκεηηθέο

κεζόδνπο

(

παξεκβνιή,

Newton-Raphson,

Horner)

ππνινγίζαηε ην ζεκείν ηζνξξνπίαο, πνπ βξίζθεηαη θνληά ζην 2, κε αθξίβεηα ε=0.1. ΘΕΜΑ 4ον : ( 3.5 Μνλάδεο ) Έζησ ζαλ ηζαπέρνληα δεδνκέλα ( xi.yi ) ,i= 0(1)n, ηα νπνία αληηπξνζσπεύνπλ κία ζπλάξηεζε f(x).

Ζ παξάγσγνο ηεο ζηελ ζέζε ρν δίδεηαη από ηνλ

ηύπν :

f '( x0 )

1 h

2

y0

y0 2

3

n y0 yo ... ( 1)n 3 n

Γώζαηε αιγόξηζκν ( ςεπδνθώδηθα ) ν νπνίνο λα ππνινγίδεη ηελ

f '( x0 )

γηα δεδνκέλν n.

Αριθμ. & Τπολογ. Μέθοδοι ΢την Οικονομία – ΙΟΤ 2005 (Τα παρακάηφ θέμαηα είναι σποτρεφηικά και δίνοσν 5 μονάδες) Θέμα 1ο: Έζησζαλ ηα δεδνκέλα (0,2) , (2,1) , (3,4). Μνξθώζαηε θαηάιιειν πνιπώλπκν παξεκβνιήο. Θέμα 2ο: Να βξεζεί κε ηελ κέζνδν απαινηθήο ηνπ Jordan ν αληίζηξνθνο ηνπ πίλαθα:

1 2 1 0 Θέμα 3ο: Φξεζηκνπνηώληαο ηελ κέζνδν ηνπ ζηαζεξνύ ζεκείνπ, αξρηθή ηηκή x0 =10 θαη ην ζρήκα ηνπ Horner , ππνινγίζαηε ηηο δύν ξίδεο ηεο εμίζσζεο

0.27 x2 3.51x 7.12 0 κε αθξίβεηα δύν δεθαδηθώλ ςεθίσλ. (Γράυηε ένα από ηα ακόλοσθα θέμαηα. Το πρώηο δίνει 4 μονάδες και ηο δεύηερο 5) Θέμα 4ο: Έζησ πνιπώλπκν p(x), n-βαζκνύ θαη ξ κία πξαγκαηηθή ηνπ ξίδα. Θέινπκε λα ππνινγίζνπκε ηελ ξ ρξεζηκνπνηώληαο ηελ κέζνδν Newton-Raphson θαη ην ζρήκα ηνπ Horner γηα ηνλ ππνινγηζκό ησλ ηηκώλ ηνπ p(x) θαη ηεο παξαγώγνπ ηνπ. Γώζαηε ζρεηηθό αιγόξηζκν. Θέκα 5ν: Γίδεηαη ην ηξηδηαγώλην ζύζηεκα:

b1 x1 c1 x2

d1

a2 x1 b2 x2

c2 x3

d2

a3 x2 b3 x3 c3 x4

an 1 xn

an xn

2

1

bn 1 xn

bn xn

1

d3

cn 1 xn

dn

1

dn

Θέινπκε λα ην επηιύζνπκε κε ηελ επαλαιεπηηθή κέζνδν ηνπ Jacobi. Γώζαηε αιγόξηζκν γηα ηελ δηαδηθαζία, ν νπνίνο ζα ιακβάλεη ππόςε δύν θξηηήξηα: (η) ηελ ηθαλνπνηεηηθή πξνζέγγηζε ησλ ιύζεσλ (ηη) ηνλ αξηζκό ησλ επαλαιήςεσλ. (Γνπιέςηε κε ηα ζηνηρεία ησλ πηλάθσλ).