Πεξηερνκελα
Πεξηερνκελα ...............................................................................................................2 Αριθμηηικες Και Υπολογιζηικες Μεθοδοι Σηην Οικονομια – Ιοσνιος 2008 .................3 Αριθμηηικες Και Υπολογιζηικες Μεθοδοι Σηην Οικονομια – Ιοσνιος 2007 .................4 Αριθμηηικες & Υπολογ. Μεθοδοι Σηην Οικονομια – Ιοσλ 2006...................................5 Αριθμ. & Υπολογ. Μέθοδοι Σηην Οικονομία – Ιοσ 2005 .............................................6
ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΕ ΚΑΙ ΤΠΟΛΟΓΙΣΙΚΕ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ – ΙΟΤΝΙΟ 2008 1. (2.5 κνλάδεο) Ζ ζπλάξηεζε (3,11), (4,20), (5,15), παξνπζηάδεη κέγηζην θνληά ζην 4. Υπνινγίζαηε ην κε νπνηεζδήπνηε κεζόδνπο θξίλεηαη θαηάιιειεο, κε αθξίβεηα ελόο δεθαδηθνύ ςεθίνπ.
2. (2.5 κνλάδεο) Γίδεηαη ν πίλαθαο
3 1 0
A
1 2 1
0 1 3
. Γηα λα βξνύκε ηελ κηθξόηεξε
ηδηνηηκή ηνπ εξγαδόκελνπ σο εμήο: 1. Υπνινγίδνπκε ηνλ πίλαθα Α-ιΗ, Η ν κνλαδηαίνο. 2. Με ηε κέζνδν Jordan κεηαηξέπνπκε ηνλ πίλαθα Α-ιΗ ζε δηαγώλην. 3. Πνιιαπιαζηάδνληαο
ηα
δηαγώληα
ζηνηρεία
βξίζθνπκε ην ραξαθηεξηζηηθό πνιπώλπκν 4. Θέηνληαο
πνπ
βξήθακε
πξνεγνπκέλσο
(ι) =|Α-ιΗ|
(ι)=0, θαη ρξεζηκνπνηώληαο ηελ κέζνδν ηνπ ζηαζεξνύ ζεκείνπ κε
αξρηθή ηηκή ρ0=0.9, ππνινγίδνπκε ηε δεηνύκελε ηδηνηηκή, κε αθξίβεηα ελόο δεθαδηθνύ ςεθίνπ. Δθαξκόζαηε. 3. (2 κνλάδεο) Φξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν απαινηθήο ηνπ Gauss, κε νιηθή νδήγεζε, δείμαηε όηη:
0 1 1 0
1 0 0 2
0 1 2 0
1 0 0 1
9
4. (3 κνλάδεο) Γηα λα ππνινγίζνπκε ην νινθιήξσκα
I
b a
f ( x ) dx ,
f(x), κε ην ηύπν ηνπ Simpson, εξγαδόκαζηε σο εμήο:
b a v
a.
Οξίδνπκε v θαη βήκα
b.
Οξίδνπκε ηα ζεκεία ρ0=α, ρ1=α+h,…ρv-1=α+(v-1)h,ρv=b
c.
Φξεζηκνπνηώληαο ηνλ ηύπν:
Iv
h
.
h f (a) 4 f ( x1) 2 f ( x 2) 4 f ( x 3) ... 4 f ( xv 1) 3
f (b)
κηαο ζπλάξηεζεο
d.
Δάλ
,
Iv Iv 1
ε
κέζνδνο
ζηακαηάεη,
αιιηώο
επαλαιακβάλεηαη,
απμάλνληαο ηνλ αξηζκό λ.
Μνξθώζαηε όια ηα παξαθάησ ζε ιεπηνκεξή ςεπδνθώδηθα.
ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΕ ΚΑΙ ΤΠΟΛΟΓΙΣΙΚΕ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ – ΙΟΤΝΙΟ 2007 Διδάζκονηες Ση. Θώηζηνο, Γ. ΑΘαλαζίνπ Θέμα 1ον : α)Δπηιύζαηε κε ηελ κέζνδν ηεο νιηθήο νδήγεζεο ηνπ Gauss ην ζύζηεκα: 8
x1 6 10 x1 10
6
x2 5 10 x 2
10
10
5
10
6
Β) Υπνινγίζηε κε ηελ κέζνδν Gauss-Jordan ηνλ αληίζηξνθν ηνπ πίλαθα:
J
N
0 Θέμα 2ον : Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε:
0.2 0.1 Φ 0.3 01 1 3 0.2 0 F(ρ) 0 1 1 2 N
Φξεζηκνπνηώληαο θαηάιιεια πνιπσλπκηθή παξεκβνιή, ηελ κέζνδν Newton-Raphson, θαη ην ζρήκα ηνπ Horner, βξείηε πνπ παξνπζηάδεη αθξόηαην, θαζώο θαη ην είδνο ηνπ.
Θέμα 3ον: Οη θακπύιεο
ex
θαη 3x+7 ηέκλνληαη ζην δηάζηεκα [-3,10] ζε δύν αθξηβώο
ζεκεία. Δληνπίζαηε ηα, κε αθξίβεηα ε=0,01, ρξεζηκνπνηώληαο νπνηαδήπνηε κέζνδν θξίλεηε απαξαίηεη, ΔΘΤΟΣ ηεο Newton-Raphson.
Θέμα 4ον : Γώζαηε ςεπδνθώδηθα γηα ην ππνινγηζκό ηεο πνζόηεηαο i=0(1)n, δεδνκέλα.
yk , όπνπ y1,
ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΕ & ΤΠΟΛΟΓ. ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ – ΙΟΤΛ 2006 ΘΕΜΑ 1ον : ( 2 Μνλάδεο ) Ζ εμίζσζε ρ3-ρ-1=0 έρεη κία ιύζε ζην δηάζηεκα [1,2]. Φξεζηκνπνηώληαο
θαηάιιειεο
αξρηθέο
ζπλζήθεο
θαη
ηελ
κέζνδν
ηεο
ηέκλνπζαο,
ππνινγίζαηε ηελ κε αθξίβεηα ηξηώλ δεθαδηθώλ ςεθίσλ. ΘΕΜΑ 2ον : ( 2 κνλάδεο ) Γίδεηαη ην ζύζηεκα : 2.25ρ=3.7y =1.11 1.67x-3.41y = 0.98
Φξεζηκνπνηώληαο ηελ επαλαιεπηηθή κέζνδν Jacobi θαη αξρηθέο ηηκέο
x0 =0.5, y 0 =-0.1,
ππνινγίζαηε ηξεηο δηαδνρηθέο πξνζεγγίζεηο ηεο ιύζεο ηνπ. ΘΕΜΑ 3ον ( 2.5 Μνλάδεο) Μία ζπλάξηεζε δήηεζεο πεξηγξάθεηαη από ηα δεδνκέλα : Τηκή Πξντόληνο
Πνζόηεηα Εήηεζεο
0.8
5.384
1.4
4.316
2.0
3.5
2.6
2.936
Θαη κία ζπλάξηεζε πξνζθνξάο από ηα δεδνκέλα :
Φξεζηκνπνηώληαο
Τηκή Πξντόληνο
Πνζόηεηα Πξνζθνξάο
1
2.6
3
3.296
4
4.7
αξηζκεηηθέο
κεζόδνπο
(
παξεκβνιή,
Newton-Raphson,
Horner)
ππνινγίζαηε ην ζεκείν ηζνξξνπίαο, πνπ βξίζθεηαη θνληά ζην 2, κε αθξίβεηα ε=0.1. ΘΕΜΑ 4ον : ( 3.5 Μνλάδεο ) Έζησ ζαλ ηζαπέρνληα δεδνκέλα ( xi.yi ) ,i= 0(1)n, ηα νπνία αληηπξνζσπεύνπλ κία ζπλάξηεζε f(x).
Ζ παξάγσγνο ηεο ζηελ ζέζε ρν δίδεηαη από ηνλ
ηύπν :
f '( x0 )
1 h
2
y0
y0 2
3
n y0 yo ... ( 1)n 3 n
Γώζαηε αιγόξηζκν ( ςεπδνθώδηθα ) ν νπνίνο λα ππνινγίδεη ηελ
f '( x0 )
γηα δεδνκέλν n.
Αριθμ. & Τπολογ. Μέθοδοι την Οικονομία – ΙΟΤ 2005 (Τα παρακάηφ θέμαηα είναι σποτρεφηικά και δίνοσν 5 μονάδες) Θέμα 1ο: Έζησζαλ ηα δεδνκέλα (0,2) , (2,1) , (3,4). Μνξθώζαηε θαηάιιειν πνιπώλπκν παξεκβνιήο. Θέμα 2ο: Να βξεζεί κε ηελ κέζνδν απαινηθήο ηνπ Jordan ν αληίζηξνθνο ηνπ πίλαθα:
1 2 1 0 Θέμα 3ο: Φξεζηκνπνηώληαο ηελ κέζνδν ηνπ ζηαζεξνύ ζεκείνπ, αξρηθή ηηκή x0 =10 θαη ην ζρήκα ηνπ Horner , ππνινγίζαηε ηηο δύν ξίδεο ηεο εμίζσζεο
0.27 x2 3.51x 7.12 0 κε αθξίβεηα δύν δεθαδηθώλ ςεθίσλ. (Γράυηε ένα από ηα ακόλοσθα θέμαηα. Το πρώηο δίνει 4 μονάδες και ηο δεύηερο 5) Θέμα 4ο: Έζησ πνιπώλπκν p(x), n-βαζκνύ θαη ξ κία πξαγκαηηθή ηνπ ξίδα. Θέινπκε λα ππνινγίζνπκε ηελ ξ ρξεζηκνπνηώληαο ηελ κέζνδν Newton-Raphson θαη ην ζρήκα ηνπ Horner γηα ηνλ ππνινγηζκό ησλ ηηκώλ ηνπ p(x) θαη ηεο παξαγώγνπ ηνπ. Γώζαηε ζρεηηθό αιγόξηζκν. Θέκα 5ν: Γίδεηαη ην ηξηδηαγώλην ζύζηεκα:
b1 x1 c1 x2
d1
a2 x1 b2 x2
c2 x3
d2
a3 x2 b3 x3 c3 x4
an 1 xn
an xn
2
1
bn 1 xn
bn xn
1
d3
cn 1 xn
dn
1
dn
Θέινπκε λα ην επηιύζνπκε κε ηελ επαλαιεπηηθή κέζνδν ηνπ Jacobi. Γώζαηε αιγόξηζκν γηα ηελ δηαδηθαζία, ν νπνίνο ζα ιακβάλεη ππόςε δύν θξηηήξηα: (η) ηελ ηθαλνπνηεηηθή πξνζέγγηζε ησλ ιύζεσλ (ηη) ηνλ αξηζκό ησλ επαλαιήςεσλ. (Γνπιέςηε κε ηα ζηνηρεία ησλ πηλάθσλ).