dap_themata_2010_stat_2

ΑΠΡΙΛΙΟ΢ 2010

Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 2 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010

ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ ΣΙΣΛΟ΢ ............................................................................................................. ΢ΔΛΙΓΑ Περιεχόμενα ...................................................................................................................................................... 3 1.

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – IAN 2010 .................................................................................................................................. 4

2.

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – SEPT 2009 ................................................................................................................................ 5

3.

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – IOYN 2009 ................................................................................................................................ 5

4.

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΦΕΒΡ 2009................................................................................................................................ 6

5.

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΙΟΤΝ 2008 ................................................................................................................................ 7

6.

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΙΑΝ 2008 .................................................................................................................................. 8

7.

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΢ΕΠΣ 2007 .............................................................................................................................. 10

8.

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΙΟΤΝ 2007 .............................................................................................................................. 11

9.

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΙΑΝ 2007 ................................................................................................................................ 12

10. ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΢ΕΠΣ 2006 .............................................................................................................................. 14 11. ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΢ΕΠΣ 2006 ΕΜΒ ..................................................................................................................... 15 12. ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΙΟΤN 2006 .............................................................................................................................. 16 13. ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΙΑΝ 2006 ................................................................................................................................ 18 14. ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΢ΕΠΣ 2005 .............................................................................................................................. 19 15. ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΙΟΤ 2005 ................................................................................................................................ 20 16. ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΦΕΒ 2005 ............................................................................................................................... 21 17. ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΢ΕΠΣ 2004 .............................................................................................................................. 23 18. ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΙΟΤ 2004 ................................................................................................................................ 24 19. ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΦΕΒ 2004 ............................................................................................................................... 26 20. ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΙΟΤ 2003 ................................................................................................................................ 27 21. ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΦΕΒ 2003 ............................................................................................................................... 28 22. ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΢ΕΠΣ 2002 .............................................................................................................................. 29 23. ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΢ΕΠΣ 2001 .............................................................................................................................. 31 24. ΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΦΕΒ 2001 ............................................................................................................................... 32

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 3 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ - ΙΑΝΟΤΑΡΙΟΤ 2010 Θέμα 1ο (α) (3 Κνλάδεο) Έζησ ε εμίζσζε παιηλδξφκεζεο

, φπνπ Υ είλαη ε ηηκή ηνπ εηζνδήκαηνο θαη Τ ε

αληίζηνηρε ηηκή ηεο θαηαλάισζεο. ΢ε ζχλνιν n=10 παξαηεξήζεσλ ππνινγίζζηθαλ: QUOTE ,

,

,

. (i) Λα ππνινγηζζεί ν

ζπληειεζηήο πξνζδηνξηζκνχ θαη λα γίλεη ν ζρεηηθφο έιεγρνο γηα ηελ ζηαηηθή ζεκαληηθφηεηαο ηεο παιηλδξφκεζεο, (α=0.05). (ii) έλαληη ηεο , (α=0.05). (iii) Λ θαηαζθεπαζζεί ην 95% δηάζηεκα πξφβιεςεο γηα ηελ κέζε θαηαλάισζε φηαλ ην εηζφδεκα είλαη 10 κνλάδεο. (β) (2 Κνλάδεο) Ζ δηεχζπλζε δαλείσλ κηαο ηξάπεδαο επηιέγεη δχν ηπραία δείγκαηα 100 δαλείσλ έθαζησλ, απφ δχν ζπνθαηαζηήκαηα ηεο. ΢ην δείγκα ηνπ πξψηνπ ππνθαηαζηήκαηνο ηα κε εμππεξεηνχκελα δάλεηα ήηαλ 15, ελψ ζην δεχηεξν 25. Κπνξεί ε δηεχζελζε λα ζπκπεξάλεη φηη ην πξψην ππνθαηάζηεκα έρεη πξάγκαηη κηθξφηεξν πνζνζηφ κε εμππεξεηνχκελσλ δαλείσλ; (γηα ηνλ ζρεηηθφ έιεγρν ρξεζηκνπνηήζαηε α=0.05) Θέμα 2ο (α) (2 Κνλαδεο) Ο πξντζηάκελνο παξαγσγήο κηα βηνκεραληθήο κνλάδαο επηζπκεί λα ειέγμεη αλ ππάξρεη δηαθνξά ζηελ παξαγσγή κεηαμχ ηξηψλ κεραλψλ πνπ ιεηηνπξγνχλ ζηε κνλάδα. Δπί 5 εκέξεο θαηαγξάθεη ηνλ αξηζκφ ησλ ειαηησκαηηθψλ πξντφλησλ απφ θάζε κεραλή. Ο παξαθάησ πίλαθαο πεξηέρεη ηα δεδνκελα πνπ ζπλέιιεμε. Υξεζηκνπνηείζηε ηε κέζνδν ηεο αλάιπζεο δηαθχκαλζεο σο πξνο έλα παξάγνληα (κε α=0.05) γηα λα βνεζήζεηε ηνλ πξντζηάκελν λα απνθαζίζεη αλ ππάξρεη δηαθνξά. Γηαηππψζαηε ξεηά ηελ κεδεληθή θαη ελαιιαθηηθή ππφζεζε θαη ην ζπκπέξαζκα ζαο. Κεραλή 1

12

11

18

Κεραλή 2 Κεραλή 3 ΓΔΛΗΘΑ ΢ΤΛΟΙΑ

14

8

12

19

15

17

14

15

70

4900

7

9

50

2500

15

24

90 210

8100 15500

, (β) (1.5 Κνλάδα) Έζησ ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ: . Λα ππνινγηζζνχλ ην α, ε πηζαλφηεηα

, ε κέζε ηηκή θαη ε

δηαθχκαλζε ηεο Υ (γ) (1.5 Κνλάδα) Έζησ ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο . Λα ππνινγηζζεί μ εθηηκήηξηα ηεο παξακέηξνπ

:: (1) Κε ηελ κέζνδν ησλ ξνπψλ.

(2) Κε ηελ κέζνδν κέγηζηεο πηζαλνθάλεηαο. (3) Λα απνδεηρζεί φηη ε εθηηκήηξηα κέγηζηεο πηζαλνθάλεηαο είλαη ακεξφιεπηε θαη ζπλεπήο. Θέμα 3ο (α) (2 Κνλάδεο) Έλαο ζηαηηζηηθφο απνθάζηζε λα ειέγμεη ηηο ηηκέο δχν ππεξθαηαζηεκάησλ ζηε γεηηνληά ηνπ. Γηα ην ζθνπφ απηφ ζεκείσλε ην θφζηνο ησλ αγνψλ ηνπ επί 20 δηαδνρηθέο επηζθέςεηο (ελαιάμ) ζηα δχν θαηαζηήκαηα. Ο πίλαθαο πνπ αθνινπζεί πεξηέρεη ηα ζρεηηθά δεδνκέλα: Θαηάζηεκα Α 75 130 90 45 60 120 110 50 65 95 Θαηάζηεκα Β

45

60

70

95

65

30

15

40

55

90

Θαηαζθεπάζηε έλα 95% δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο γηα ην ιφγν ησλ δηαθπκάλζεσλ, θαη κε βάζε απηφ απνθαζίζηε αλ ππάξρεη ή φρη δηαθνξά ζηηο δηαθπκάλζεο (β) (2 Κνλάδεο) Υξεζηκνπνηψληαο ην απνηέιεζκα ηνπ πξνεγνπκέλνπ εξσηήκαηνο, ειέγμαηε (κε α=0.05) αλ ππάξρεη δηαθνξά ζηηο ηηκέο κεηαμχ ησλ δχν θαηαζηεκάησλ. (γ) (1 Κνλάδα) Αλαθέξαηε ηηο πξνυπνζέζεηο ησλ αλσηέξσ ειέγρσλ θαη ππνινγηζκνχ ηνπ δηαζηήκαηνο θαη ζρνιηάζηε θαηά πφζνλ έρνπλ ηεξεζεί απφ ηνλ ζηαηηζηηθφ πνπ ζρεδίαζε ηελ κειέηε. Γίδνληαη:

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 4 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΢ΔΠΣΔΜΒΡΙΟ΢ 2009 Θέμα 1ο (α) (3 Κνλάδεο) Έζησ φηη ε ζπλερήο η.κ. Υ έρεη ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο f(x)=

. Λα βξεζνχλ ε ηηκή ηεο παξακέηξνπ α θαη λα ππνινγηζζεη ε πηζαλφηεηα

P(

), θαη λα ππνινγηζζνχλ ε πξνζδνθψκελε ηηκή (ή αιιηψο κέζε ηηκή) θαη ε δηαθχκαλζε ηεο Υ.

(β) (2 Κνλάδεο) Κηα εξεπλεηηθή νκάδα ζπλέιιεμε ζηνηρεία απαζρφιεζεο γηα 100 άηνκα. Κεηαμχ ησλ αηφκσλ ππήξραλ 20 άλεξγνη. Λα ειεγρζεί αλ ην πνζνζηφ αλεξγίαο ππεξβαίλεη ην 15%, ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α=0.05. Θέμα 2ο (α) (2,5 Κνλάδεο) ΢ηηο δεκνζθνπήζεηο πνπ δηεμάγνληαη απηέο ηηο κέξεο, επηιέγνληαη δείγκαηα ηάμεο κεγέζνπο 1000 εξσηψκελσλ. Πνηφ είλαη ην κέγηζην ζθάικα (πξφβιεςεο) γηα έλα θφκκα πνπ «έρεη» ζηε δεκνζθφπεζε 35%; Θαη πνην γηα έλα άιιν πνπ «έρεη» 5%; Τπνινγίζηε ην ζθάικα κε επίπεδν εκπηζηνζχλεο 95%. (β) (2,5 Κνλάδεο) Έζησ φηη γηα ηελ εθηίκεζε γηα απιήο γξακκηθήο παιηλδξφκεζεο 20 παξαηεξήζεσλ, ππνινγίζηεθαλ νη αθφινπζεο ηηκέο:

,

,

, 19·

=7716, 19·

. Λα

ππνινγηζηνχλ νη εθηηκήηξηεο ησλ β1 θαη β0, λα ειεγρζεί εάλ ν β1 είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελφο, ζε επίπεδν α=0.05. Θέμα 3ο (α) (2,5 Κνλάδεο) Ζ νκάδα εζσηεξηθήο αμηνιφγεζεο κηαο ηξάπεδαο επηζπκεί λα ζπγθξίλεη ηξία ππνθαηαζηήκαηα σο πξνο ηνλ ρξφλν εμππεξέηεζεο πειαηψλ ζε κηα ζπγθεθξηκέλε εκπνξηθή πξάμε. Γνθηκάδεη 4 θνξέο ζε θαζέλα απφ ηα ηξία ππνθαηαζηήκαηα θαη ζεκεηψλεη ην ρξφλν πνπ ρξεηάζηεθε (ζε ιεπηά). Οη ρξφλνη πνπ θαηέγξαςε, δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα. Διέγμαηε (ζε επίπεδν α-0.05), αλ ηα ππνθαηαζηήκαηα δηαθέξνπλ σο πξνο ην ρξφλν εμππεξέηεζεο. Γίδεηαη

.

(β) (2,5 Κνλάδεο) Έζησ δείγκα Υ1,Υ2,...,Υn πνπ πξνέξρεηαη απφ θαηαλνκή κε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο f(x)=

, 0<x, 0<ζ. Λα ππνινγηζζεί ε εθηηκήηξηα ηεο παξακέηξνπ ζ, κε ηελ κέζνδν κέγηζηεο πηζαλνθάλεηαο, θαη λα

απνδεηρζεί φηη είλαη ακεξφιεπηε θαη ζπλεπήο. Γίδνληαη: G(1,96)=0.975, G(1,6449)=0.95, t18,0.025=2.445, t19,0.025=2.433,

ΑΘΡΟΗ΢ΚΑ P(X>

Τπνθαηάζηεκα Α 15 20 18 22 75 )=α αλ ε Υ αθνινπζεί ηελ

Τπνθαηάζηεκα Β 25 30 27 33 115

=4.256, φπνπ Τπνθαηάζηεκα Γ 20 10 25 15 70

ΓΔΛΗΘΟ ΑΘΡΟΗ΢ΚΑ 260

θαηαλνκή.

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΙΟΤΝΙΟ΢ 2009

Θέμα 1ο (α) (3 Κνλάδεο) Έζησ φηη ε ζπλερήο η.κ. X έρεη αθροιζηική ζπλάξηεζε θαηαλνκήο πηζαλφηεηαο: F(x)= Λα βξεζνχλ ε ηηκή ηεο παξακέηξνπ α θαη ε ζ.π.π., λα ππνινγηζηεί ε πηζαλφηεηα p k

θαη λα βξεζεί ε ξνπή πεξί

ηελ αξρή k-ηάμεο mk=E(X ) θαη απφ απηήλ λα ππνινγηζζνχλ ε πξνζδνθψκελε ηηκή θαη ε δηαθχκαλζε ηεο Υ. (β) (2,5 Κνλάδεο) Κηα εξεπλεηηθή νκάδα ζπλέιιεμε ζηνηρεία απαζρφιεζεο γηα 100 άλδξεο θαη 100 γπλαίθεο. Κεηαμχ ησλ αλδξψλ ππήξραλ 20 άλεξγνη ελψ κεηαμχ ησλ γπλαηθψλ 40. Λα ειεγρζεί αλ ην πνζνζηφ αλεξγίαο είλαη ην ίδην ζε άλδξεο θαη γπλαίθεο ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α=0.05. Θέμα 2ο (α) (2,5 Κνλάδεο) Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο κέζεο δηάξθεηαο «δσήο» ειαζηηθψλ απηνθηλήησλ (ζε ρηιηάδεο ρηιηφκεηξα), ζρεδηάδεηαη λα ιεθζεί, απφ ην ηκήκα ειέγρνπ πνηφηεηαο ηεο Δηαηξείαο, έλα ηπραίν δείγκα απφ ηε γξακκή παξαγσγήο. Απφ παιαηφηεξεο έξεπλεο είλαη γλσζηφ φηη ε ηππηθή απφθιηζε είλαη 16 ρηιηάδεο ρηιηφκεηξα. Πφζν κεγάιν πξέπεη λα είλαη ην δείγκα πνπ ζα ιεθζεί, ψζηε κε πηζαλφηεηα ηνπιάρηζηνλ 95%, ν δεηγκαηηθφο κέζνο λα δηαθέξεη απφ ηνλ άγλσζην κέζν ηνπ πιεζπζκνχ φρη πεξηζζφηεξν απφ 2 ρηιηάδεο ρηιηφκεηξα; (β) (2,5 Κνλάδεο) Έζησ φηη γηα ηελ εθηίκεζε γηα απιήο γξακκηθήο παιηλδξφκεζεο 20 παξαηεξήζεσλ, ππνινγίζηεθαλ νη αθφινπζεο ηηκέο: . Λα ππνινγηζηνχλ νη εθηηκήηξηεο ησλ β1 θαη β0, λα ειεγρηεί ε ζηαηηζηηθή ζεκαληηθφηεηα ηνπ ππνδείγκαηνο ζε επίπεδν α=0.05, θαη λα ππνινγηζηεί θαη εξκελεπηεί ν ζπληειεζηήο πξνζδηνξηζκνχ.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 5 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 Θέμα 3ο (α) (2,5 Κνλάδεο) Τπνςήθηνο αγνξαζηήο απηνθηλήηνπ επηζπκεί λα ζπγθξίλεη ηξία απηνθίλεηα σο πξνο ηελ θαηαλάισζε βελδίλεο. Γνθηκάδεη ηέζζεξηο δηαδξνκέο κε θαζέλα απφ ηα ηξία απηνθίλεηα θαη ζεκεηψλεη ηε βελδίλε πνπ θαηαλάισζε ην θαζέλα ζε ιίηξα. Οη ηηκέο πνπ θαηέγξαςε, δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα. Διέγμαηε αλ ηα απηνθίλεηα έρνπλ δηαθνξεηηθή θαηαλάισζε. απηνθίλεην1 απηνθίλεην2 απηνθίλεην3 23 28 15 25 30 10 22 27 22 20 25 13 Γενικό άθροιζμα ΑΘΡΟΗ΢ΚΑ 90 110 60 260 Γίδεηαη: (β) (2,5 Κνλάδεο) Έζησ ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο f(x)=

, -∞ < x < +∞, -∞ < κ < +∞, ζ2 > 0, φπνπ ζ2 γλσζηή ζηαζεξά. Λα ππνινγηζηεί ε εθηηκήηξηα ηεο

παξακέηξνπ κ, κε ηελ κέζνδν κέγηζηεο πηζαλνθάλεηαο, θαη λα απνδεηρηεί φηη είλαη ακεξφιεπηε θαη ζπλεπήο. Γίλνληαη: G(1.96)=0.975, G(0.70)=0.76, t18,0,0.25=2.445, t19,0,0.23=2433, =4.026, , φπνπ Ρ(Υ > )=α αλ ε Υ αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή.

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΦΔΒΡΟΤΑΡΙΟ΢ 2009 ΘΔΚΑ 1 Α.(2,5 κνλάδεο) Σα παξαθάησ δεδνκέλα αθνξνχλ ηελ απφδνζε (π) κηαο ρεκηθήο δηαδηθα-ζίαο σο ζπλάξηεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο (x). (i) Λα ππνινγηζζνχλ νη ζπληειεζηέο γξακκηθήο παιηλδξφκεζεο. (ii) Λα ειεγρζεί (κε ηε βνήζεηα ηεο θαηαλνκήο ηνπ Student), ε ζηαηηζηηθή ζεκαληηθφηεηα ηεο θιίζεο ηεο επζείαο παιηλδξφκεζεο κε α=0.05. (iii) Λα θαηαζθεπαζηεί ην 95% δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο γηα ηελ πξνβιεπφκελε κέζε απφδνζε θαπζίκνπ ζε επίπεδν ζεξκνθξαζίαο x0=6.

5

5

xi

Γεδνκέλα

5

0,

i 1

yi

5.5,

i 1

5

xi yi

20,

i 1

5 2 i

x

yi2

10,

i 1

47.25

i 1

Β.(2.5 κνλάδεο) Ο αθφινπζνο πίλαθαο πεξηέρεη ηνπο βαζκνχο (κε άξηζηα ην 100) θνηηεηψλ ζην κάζεκα ηεο ΢ηαηηζηηθήο ζε δχν παλεπηζηήκηα Α θαη Β. κε ηελ βνήζεηα ησλ θαηάιιεισλ ειέγρσλ λα εθηηκεζεί αλ ππάξρεη δηαθνξά ζηνπο βαζκνχο κεηαμχ ησλ δχν παλεπηζηεκίσλ (α=0.05) ΢ύνολα

7

Γίδεηαη επίζεο:

i 1

Παλεπηζηήκην Α

75

80

80

95

75

Παλεπηζηήκην Β

50

60

70

80

70

2 xAi

45200,

5 j 1

xBj2

85

70

560 330

22300

ΘΔΚΑ 2 Α.(2.5 κνλάδεο) Έλαο εξγαδφκελνο επηζπκεί λα ειέγμεη ηέζζεξηο δηαθνξεηηθέο δηαδξνκέο, σο πξνο ηνλ ρξφλν κεηάβαζεο ζηελ εξγαζία ηνπ. Κε ηελ βνήζεηα ηξηψλ γεηηφλσλ θαη ζπλαδέ-ιθσλ ηνπ επέιεμε ηξεηο εκέξεο θαη θαηέγξαςε ηνπο ρξφλνπο κεηάβαζεο θάζε δηαδξνκήο θά-ζε κέξα. Οη κεηξήζεηο ηνπο δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα. Διέγμαηε (κε α=0.05) αλ ε δηαξνκή επεξεάδεη ηνλ ρξφλν κεηάβαζεο (αθνχ ειέγμεηε φηη αλ ππάξρεη δηαθνξά κεηαμχ ησλ εκεξψλ).

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 6 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 Γεπηέξα

Σεηάξηε

Παξαζθεπή

΢ύνολα

Γηαδξνκή 1

13

16

16

45(2025)

Γηαδξνκή 2

14

12

14

40(1600)

Γηαδξνκή 3

19

17

19

55(3025)

Γηαδξνκή 4

24

30

26

80(6400)

΢ύνολα

70(4900)

75(5625)

75(5625)

220(48400) 12

Δληφο ησλ παξελζέζεσλ δίδνληαη ηα ηεηξάγσλα αζξνηζκάησλ. Δπίζεο δίδεηαη:

2 i 1 i

x

4380

Β.(2.5 κνλάδεο) Έζησ x κηα παξαηήξεζε ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ. Θέινπκε λα ειέγμνπκε ηελ κεδεληθή ππφζεζε H0=X αθνινπζεί U[0,1], έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο Ζ1:Υ αθνινπζεί Λ(2,1), φπνπ U[α,β] ε νκνηφκνξθε θαηαλνκή, κε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο: f(x)=1/(β-α), α<x<β, θαη λ(κ.ζ2) ε θαλνληθή θαηαλνκή κε κέζν κ θαη δηαθχκαλζε ζ2. πξνηείλεηαη λα απνξξηθζεί ε Ζ0 αλ ǀ xǀ >x0. Λα βξεζεί ε ηηκή x0 έηζη ψζηε Ρ(απνδνρήο ηεο Ζ0/Ζν ηζρχεη)=0,9. Λα ππνινγηζηνχλ νη πηζαλφηεηεο ησλ ζθάικαηνο ηχπνπ I θαη IIκ θαη ε ηζρχο π ηνπ ειέγxνπ. ΘΔΚΑ 3 Α.(2.5 κνλάδεο) Έζησ ε απφ θνηλνχ ζ.π.π.

f ( x, y )

e

x y

,x

0, y

0 . Λα

ππνινγη-ζηνχλ (i) Δ[Υ], Δ[Τ], Δ[ΥΤ],

V[X], Cov[X,Y] θαη fx/y(x/y), (ii) ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο ξ, θαη (iii) λα ειεγρζεί ε αλεμαξηεζία ηνπο. Γηθαηνινγήζηε ηελ απάληεζή ζαο.

f ( x)

1

x

e

,x

0,

0

Β.(2.5 κνλάδεο) Έζησ ε απφ θνηλνχ ζ.π.π. Λα ππνινγηζηεί ε εθηηκήηξηα ηεο παξακέηξνπ ζ: i) Κε ηελ κέζνδν ησλ ξνπψλ ii) κε ηελ κέζνδν κέγηζηεο πηζαλνθάλεηαο. Δίλαη ε εθηηκήηξηα απηή ακεξφιεπηε; Δίλαη ζπλεπήο; Απνδείμαηε ηνπο ηζρπξηζκνχο ζαο. Γίδνληαη

U f6,4,0.025

U 9.2, f4,6,0.025

U 6.23, f3,6,0.05

U 4.76, f2,6,0.05

5,14

, t10, 0.025=2.228,

t3, 0.0025=3.182, t8, 0.10=1.397, t9, 0.05=1.833 θαη t9, 0.05=1.86, G(-2,45)=0.0071, G(-1,55)=0.9394, G(1.30)=0.90

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΙΟΤΝΙΟ΢ 2008 1. (α) (2.5 κνλάδεο) Λα ππνινγίζεηε κηα εθηηκήηξηα ηεο δηαθχκαλζεο κε ηε κέζνδν ησλ ξνπψλ, θαη λα απνδείμεηε φηη ΓΔΛ είλαη ακεξφιεπηε. (β) (2.5 κνλάδεο) Έζησ ρ κηα παξαηήξεζε ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ. Θέινπκε λα ειέγμνπκε ηελ κεδεληθή ππφζεζε Ζ0:Υ αθνινπζεί U(-1,1), Έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο Ζ1:Υ αθνινπζεί Λ(0.45, 4), φπνπ U(α,β) ε νκνηφκνξθε θαηαλνκή, κε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο:

f ( x)

1

,

,

Θαη Λ(κ, ζ2) ε θαλνληθή θαηαλνκή κε κέζν κ θαη δηαθχκαλζε ζ2. Πξνηείλεηαη λα απνξξηθζεί ε Ζ0 αλ |ρ|>ρ0. Λα βξεζεί ηηκή ρ0 έηζη ψζηε Ρ (ζθάικα ηχπνπ Η)=0.05. Λα ππνινγηζζεί ε πηζαλφηεηα ζθάικαηνο ηχπνπ ΗΗ.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 7 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010

2. (α) (3 κνλάδεο) Κηα εηαηξία παξαγσγήο δεκεηξηαθψλ επηζπκεί λα ειέγμεη ηε δηαθνξά ησλ πσιήζεσλ ησλ πξντφλησλ ηεο, ζε ηξηα δηαθνξεηηθά θαηαζηήκαηα. Δπειέγεζαλ ηέζζεξηο δηαθνξεηηθέο εκέξεο, θαη νη πσιήζεηο πνπ αληηζηνηρνχλ ζε θάζε θαηάζηεκα, δίλνληαη ζην παξαθάησ πίλαθα ( ζε ρηιηάδεο €). Διέγμαηε αλ ηα θαηαζηήκαηα έρνπλ δηαθνξεηηθφ φγθν πσιήζεσλ. Θαηάζηεκα 1

Θαηάζηεκα 2

Θαηάζηεκα 3

ΑΘΡΟΗ΢ΚΑ

ΖΚΔΡΑ 1

30

25

15

70

ΖΚΔΡΑ 2

25

25

10

60

ΖΚΔΡΑ 3

30

30

60

ΖΚΔΡΑ 4

20

35

55

ΑΘΡΟΗ΢ΚΑ

105

115

10

2 i 1 i

Γίδεηαη

x

6525

25

245

.

(β) (2 κνλάδεο) Έζησ φηη θαηά ηελ εθηίκεζε γηα απιήο γξακκηθήο παιηλδξφκεζεο 20 παξαηεξήζεσλ, ππνινγίζηεθαλ νη αθφινπζεο εθηηκήηξηεο:

1,

0

1

2

1.2,

152, Sx2

50 .

Λα ειεγρζεί ε ζηαηηζηηθή ζεκαληηθφηεηα ηνπ ππνδείγκαηνο θαη λα

θαηαζθεπαζηεί έλα 90% δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο γηα ηελ πξφβιεςε ηνπ Τ, φηαλ ην ρ=15.

3. (α)(2.5 κνλάδεο) Ο αθφινπζνο πίλαθαο πεξηέρεη ηε βαζκνινγία 10 δηαγσληζκάησλ απφ δχν βαζκνινγεηέο (κε άξηζηα ην 100). Τπάξρεη δηαθνξά βαζκνινγίαο κεηαμχ ησλ βαζκνινγεηψλ; Γηαηππψζαηε φιεο ηηο ππνζέζεηο ζαο θαη δηελεξγήζαηε φινπο ηνπο αλαγθαίνπο ειέγρνπο. Βαζκνινγεηήο 1(ρi)

85

75

60

62

88

75

95

72

88

100

Βαζκνινγεηή 2 (yi)

69

60

50

55

91

60

80

50

75

90

10

Γίλνληαη:

i

x2 1 i

10

65616,

x 1 i

i

10

800,

i 1

yi

680

.

(β)(2.5 κνλάδεο) Έζησ ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο

f ( x)

1

e ,0

,0

.

Λα ππνινγηζζεί ε εθηηκήηξηα ηεο παξακέηξνπ ζ, κε ηε κέζνδν κέγηζηεο πηζαλνθάλεηαο, θαη λα απνδεηρζεί φηη είλαη ακεξφιεπηε θαη ζπλεπήο. Γίλνληαη:

G(0.70)=0.76,

G(0.25)=0.60,

t0,025,18=2.445,

t0,025,19=2.433,

F0.025,9,9=4,026,

F0.05,2,7=4,74, φπνπ Ρ(Υ>Fα,n1,n2)=α αλ ε Υ αθνινπζεί Fn1,n2 θαηαλνκή.

΢ΣΑΣΗ΢ΣΗΘΖ ΗΗ – IAN 2008 Θέμα 1ο (α) (2 Κνλάδεο) Έζησ ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο

f ( x) Λα ππνινγηζζεί ε εθηηκήηξηα ηεο παξακέηξνπ

1

x

e

,

x

0

,

0

.

κε ηελ κέζνδν κέγηζηεο πηζαλνθάλεηαο.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 8 από 34

F0.005,3,6=4,76,

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 (β) (3 Κνλάδεο) Οη ρξφλνη αλακνλήο γηα εμππεξέηεζε ζηα ηακεία δχν ππνθαηαζηεκάησλ Υ θαη Τ, κηαο ηξάπεδαο πεξηέρνληαη ζηνλ αθφινπζν πίλαθα. Λα ειεγρζεί ε ηζφηεηα ησλ κέζσλ ρξφλσλ αλακνλήο, ζε επίπεδν ειεγρζεί ε ηζφηεηα ησλ δηαθπκάλζεσλ

a 0,05

Υ

10

18

17

19

15

16

20

12

13

Τ

7

15

16

17

12

14

18

10

11

a

0, 05 ,

αθνχ

, νχησο ψζηε λα επηιεγεί ν θαηάιιεινο ηχπνο γηα ηε ζηαηηζηηθή

ειέγρνπ.

9

Γίδνληαη:

x2

2268

i 1 i

θαη

9

yi 2 1704

i 1

.

Θέμα 2ο (α) (3 Κνλάδεο) Κηα αιπζίδα πνιπθαηαζηεκάησλ επηζπκεί λα ειέγμεη ηξία δηαθνξεηηθά ππνθαηαζηήκαηα (Α, Β, Γ) σο πξνο ην χςνο ησλ εκεξήζησλ πσιήζεσλ. Δπέιεμε ηπραία έμη κέξεο θαη θαηέγξαςε ηηο πσιήζεηο (ζε ρηιηάδεο επξψ) θάζε θαηαζηήκαηνο, γηα θάζε κέξα. Απηέο δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: Α

20

18

12

15

15

10

Β

5

30

20

27

25

23

Γ

5

45

35

35

40

30

Διέγμαηε αλ ππάξρεη δηαθνξά ζηηο κέζεο πσιήζεηο κεηαμχ ησλ ππνθαηαζηεκάησλ.

18

Γίδεηαη:

x2

i 1 i

11626

.

(β) (2 Κνλάδεο) Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ:

0, k (2 x), kx,

f ( x)

x 0ήx 4 0 x 2 2 x 4

(α) Λα ππνινγηζζεί ην

k

νχησο ψζηε ε

αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε θαηαλνκήο

f ( x)

λα είλαη ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο. (β) λα επξεζεί ε

F ( x) , θαη (γ) λα ππνινγηζζεί ε πηζαλφηεηα P X 1

2

.

Θέμα 3ο (α) (2 Κνλάδεο) Έζησ θαλνληθφο πιεζπζκφο κε

60

θαη

2

36 .

(α) Ση πνζνζηφ ηνπ πιεζπζκνχ εθηηκάηαη φηη

είλαη κεγαιχηεξν ηνπ 72; (β) Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα είλαη κηθξφηεξνο ηνπ 58, ν κέζνο φξνο ελφο δείγκαηνο κεγέζνπο

n 9

απφ ηνλ πιεζπζκφ;

(β) (3 Κνλάδεο) Ο παξαθάησ πίλαθαο πεξηέρεη ηα βάξε θαη ηα χςε δέθα αηφκσλ. Λα επξεζεί, κε ηε βνήζεηα γξακκηθήο παιηλδξφκεζεο ε ζρέζε βάξνπο – χςνπο, λα ειεγρζεί σο πξνο ηε ζηαηηζηηθή ζεκαληηθφηεηα θαη λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα λα ππνινγηζηεί έλα 95% δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο γηα ηελ πξφβιεςε ηνπ κέζνπ χςνπο ελφο αηφκνπ πνπ δπγίδεη 80 θηιά. Ύςνο

180

173

176

194

155

162

205

172

183

200

Βάξνο

87

85

76

97

62

57

101

80

75

80

xi yi

xi2

145593

65698

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 9 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010

΢ΣΑΣΗ΢ΣΗΘΖ ΗΗ – ΢ΔΠΣ 2007 Θέμα 1ο (α)

(2

Κνλάδεο)

Ζ

1 ,0 x 1 2 0, ή

f ( x)

ζπλάξηεζε

2

ππθλφηεηαο

πηζαλφηεηαο

κεηαβιεηήο

X

είλαη

ύ

P( X 1 2 / 3), P(0 X 1/ 2ήX

θαηαλνκήο πηζαλφηεηαο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο

X

2).

Λα ππνινγηζηεί ε αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε

.

(β) (2 Κνλάδεο) Ρίρλνπκε έλα λφκηζκα 100 θνξέο. Έζησ

Γίλεηαη

ηπραίαο

x 3

Λα ππνινγηζζνχλ νη πηζαλφηεηεο

«Γξάκκαηα», κε

ηεο

X

ν αξηζκφο ησλ εκθαλίζεσλ ηνπ απνηειέζκαηνο

P («Γξάκκαηα») = 0.5 . Λα ππνινγηζζεί ε πηζαλφηεηα P(45

X

55) .

G(1) 0.84

(γ) (1 Κνλάδα) Έζησ πηζαλφηεηαο

f ( x)

e

X 1 , X 2 ,...., X n x

,x

ηπραίν δείγκα απφ ηελ εθζεηηθή θαηαλνκή κε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο

0 . Λα ππνινγηζζεί ε εθηηκήηξηα κέγηζηεο πηζαλνθάλεηαο ηεο παξακέηξνπ

.

Θέμα 2ο (α) (2.5 Κνλάδεο) Κία ηξάπεδα επηζπκεί λα ειέγμεη ηέζζεξα ππνθαηαζηήκαηα, σο πξνο ηνλ κέζν ρξφλν εμππεξέηεζεο πειαηψλ ζην ηκήκα θαηαλαισηηθήο πίζηεο. Δπειέγεζαλ ηξεηο εκέξεο θαη νη ρξφλνη εμππεξέηεζεο πνπ αληηζηνηρνχλ ζε θάζε θαηάζηεκα, θαηαγξάθεθαλ ζηνλ παξαθάησ πίλαθα. Τπνθαηάζηεκα 1

15

20

15

50

Τπνθαηάζηεκα 2

13

12

15

40

Τπνθαηάζηεκα 3

19

11

Τπνθαηάζηεκα 4

23

27

30

80

70

70

60

200

30

Διέγμαηε αλ ππάξρεη δηαθνξά ζην ρξφλν εμππεξέηεζεο πειαηψλ κεηαμχ ησλ θαηαζηεκάησλ. Πσο κπνξείηε λα πείηε 11

2 i 1 i

πνην θαηάζηεκα δηαθέξεη; Γίδεηαη:

x

4028 ,

(Κε πιάγηα, ζηα πεξηζψξηα ηνπ πίλαθα, είλαη ηα κεξηθά

αζξνίζκαηα). (β) (2.5 Κνλάδεο) Σν εηήζην νηθνγελεηαθφ εηζφδεκα

X

ζε θάπνηα αγξνηηθή πεξηνρή αθνινπζεί θαλνληθή θαηαλνκή κε

2

κέζε ηηκή 10.000 € θαη δηαθχκαλζε € . i) Ση πνζνζηφ νηθνγελεηψλ έρνπλ εηζφδεκα πνπ δελ ππεξβαίλεη ηα 6 ρηιηάδεο €; ii) ΢ρεδηάδεηαη θνξνινγηθή πνιηηηθή πνπ ζα αθνξά ην «πινπζηφηεξν» 10% ηνπ πιεζπζκνχ ηεο πεξηνρήο. Πνην είλαη ην ειάρηζην εηζφδεκα απηνχ ηνπ πινπζηφηεξνπ ηκήκαηνο ηνπ πιεζπζκνχ ηεο πεξηνρήο; iii) ΢ρεδηάδεηαη αλαθαηαλνκή ησλ εηζνδεκάησλ ηεο πεξηνρήο κε ζηφρν ην κέζν εηζφδεκα λα παξακείλεη ακεηάβιεην, αιιά λα κεησζεί ε αληζνθαηαλνκή ηνπ εηζνδήκαηνο. ΢ε πνην επίπεδν πξέπεη λα κεησζεί ε δηαθχκαλζε έηζη ψζηε

P(9000

X

11000) 0.40

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 10 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 Θέμα 3ο (α) (i) (1.5 Κνλάδεο) ΢ε έλα δείγκα 100 αηφκσλ (40 γπλαίθεο θαη 60 άλδξεο) βξέζεθαλ 45 πηπρηνχρνη ΑΔΗ, εθ ησλ νπνίσλ νη 20 ήηαλ άλδξεο. Λα ειεγρζεί (ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 0.05) εάλ ην πνζνζηφ πηπρηνχρσλ ΑΔΗ είλαη πςειφηεξν ζηηο γπλαίθεο. (ii) (1 Κνλάδα) Λα ππνινγηζηεί ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο, νχησο ψζηε ην κέγηζην ζθάικα κηαο δεκνζθφπεζεο λα κελ μεπεξλά ην 1%, κε πηζαλφηεηα εκπηζηνζχλεο 0.05. [ζεκείσζε: ρξεζηκνπνηείζηε (β) (2.5 Κνλάδεο) Έζησ ππφζεζε

H0 : X

x

αθνινπζεί

κία παξαηήξεζε ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο

U ( 1,1) ,

έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο

νκνηφκνξθε θαηαλνκή, κε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο : θαηαλνκή κε κέζν

2

θαη δηαθχκαλζε

X

. Πξνηείλεηαη λα απνξξηθζεί ε

. Θέινπκε λα ειέγμνπκε ηελ κεδεληθή αθνινπζεί

H1 : X

1

f ( x) H0

p 0.5 ]

αλ

N (0.45, 4) ,

,

θαη

φπνπ 2

ε θαλνληθή

,

x

x

x0 . Λα βξεζεί ε ηηκή x0

( ,

)

U( , )

έηζη ψζηε

P (ζθάικα ηχπνπ Η) = 0.05. Λα ππνινγηζζεί ε πηζαλφηεηα ζθάικαηνο ηχπνπ ΗΗ. Γίδονηαι G(0.25) = 0.60, G(0.50) = 0.70, G(0.70) = 0.76, G(1) = 0.84, G(1.28) = 0.90, G(1.645) = 0.95, G(1.96) = 0.975, G(2.0) = 0.98, και F0.05,2,6 = 5,143 και F0.05,3,7 = 4,347

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΙΟΤΝΙΟ΢ 2007 Θέμα 1ο Α) (2.5 κνλάδεο) Έζησ ε εμίζσζε παιηλδξφκεζεο

b

1

0.5 ,

y

0

1

x

. ΢ε δείγκα 10 παξαηεξήζεσλ (ρ,y) βξέζεθε

θαη εθηηκήζεθαλ νη ηππηθέο απνθιίζεηο ησλ ζθαικάησλ θαη ησλ ρ

3.84 ,

θαη

4,

Sx

αληίζηνηρα. Λα

θαηαζθεπαζηεί ν θαηάιιεινο πίλαθο αλάιπζεο δηαζπνξάο θαη (κέζσ απηνχ), λα ειεγρζεί ε ζηαηηζηηθή ζεκαληηθφηεηα ηεο ζρέζεο ησλ κεηαβιεηψλ ρ θαη y, ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5%. Γίδνληαη

fU

2.8,0.05

fU

5.32

1.8,0.05

,

fU

1.8,0.025

7.57

θαη

1.67 .

[΢εκείσζε: δίδεηαη SSE(ΚΔΓ)=(n-2)

2

, SSE=(n-1)(

S 2 b2 S x2 ) θαη SST(ΚΟΓ)=(n-1) S 2 ] Y

1

Y

Β) (2.5 κνλάδεο) Έζησ δείγκα ηξηψλ παξαηεξήζεσλ απφ θαλνληθή θαηαλνκή κε κέζε ηηκή 4 θαη δηαθχκαλζε 9. i) Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα θακκία παξαηήξεζε λα βξίζθεηαη ζην δηάζηεκα [4,7], θαη ii) πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα, ηνπιάρηζηνλ δχν παξαηεξήζεηο λα βξίζθνληαη ζην δηάζηεκα [4,7]. Γίλνληαη: G(0.5)=0.70, G(2.0)=0.98, θαη G(1)=0.8413. Θέμα 2ο Α) (2.5 κνλάδεο) Έλαο ηαθηηθφο ρξήζηεο ηνπ ΚΔΣΡΟ επηζπκεί λα ειέγμεη ηέζζεξηο δηαθνξεηηθνχο ηξφπνπο κεηάβαζεο ζην θέληξν ηεο πφιεο σο πξνο ηνλ απαηηνχκελν ρξφλν: ΚΔΣΡΟ, ιεσθνξείν, ΗΥ θαη ηαμί. Δπέιεμε κηα εβδνκάδα θαη θαηέγξαςε ηνλ ρξφλν (ζε ιεπηά ηεο ψξαο) πνπ ρξεηάζηεθε γηα λα κεηαβνχλ ζην θέληξν ν ίδηνο θαη νη ηξεηο θίινη ηνπ. Οη ρξφλνη πνπ αληηζηνηρνχλ ζε θάζε κέζν θαη θάζε εκέξα, δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα. Διέγμαηε αλ ην κέζν επεξεάδεη ηνλ ρξφλν κεηάβαζεο.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 11 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 Γεπηέξα

Σξίηε

Σεηάξηε

Πέκπηε

Παξαζθεπή

15

18

12

15

20

Ιεσθνξείν

25

30

20

27

23

ΗΥ

40

45

35

35

ηαμί

20

30

25

20

ΚΔΣΡΟ

Γίδνληαη:

fU

3.24

30

fU

3.26

30

20

3,16,0.05

4,12,0.05

x 2 14701 i 1

i

Β) (2.5 κνλάδεο) Ζ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ είλαη

0, x 0ήx 2 x, 0 x 1 2 x, 1 x 2

f ( x)

Λα ππνινγηζζνχλ νη πηζαλφηεηεο

2 , P X 3

P x 1

1

.

Θέμα 3ο Α) i) (κνλάδεο 1.5) ΢ε έλα δείγκα 100 αηφκσλ (40 γπλαίθεο θαη 60 άλδξεο) βξέζεθαλ 45 πηπρηνχρνη ΑΔΗ, εθ ησλ νπνίσλ νη 20 είλαη άλδξεο. Λα ειεγρζεί (ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 0.05) εάλ ην πνζνζηφ πηπρηνχρσλ ΑΔΗ είλαη πςειφηεξν ζηηο γπλαίθεο. ii) (1 κνλάδα) Λα ππνινγηζζεί ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο, νχησο ψζηε ην κέγηζην ζθάικα κηαο δεκνζθφπεζεο λα κελ μεπεξλά ην 1%. [ζεκείσζε: ρξεζηκνπνηήζηε

p

0.5 ]

Γίδνληαη G(1.645)=0.95, G(1.96)=0.975, G(1)=0.8413 Β) (2.5 κνλάδεο) Έζησ ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο

f ( x)

1

,0

x

,(

0) .

Λα ππνινγηζζεί ε εθηηκήηξηα ηεο παξακέηξνπ ζ: 1. Κε ηελ κέζνδν ησλ ξνπψλ 2. Κε ηελ κέζνδν κέγηζηεο πηζαλνθάλεηαο.

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΙΑΝ 2007 Θέμα 1ο (α) Έζησ ε εμίζσζε παιηλδξφκεζεο

y

0

1

x

. ΢ε δείγκα 10 παξαηεξήζεσλ (x, y) βξέζεθε

εθηηκήζεθαλ νη ηππηθέο απνθιίζεηο ησλ ζθαικάησλ θαη ησλ x,

3.84 ,

θαη

Sx

4,

ˆ

1

0.5 ,

θαη

αληίζηνηρα. Λα γίλεη ν έιεγρνο

Η0: β =0, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο Η1: β > 0, ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 10%. Γίλνληαη t0.10,8 = 1.397, t0.05,9 = 1.833, θαη t0.05,8 = 1.86. (2,5 Κνλάδεο) (β) Σν εηήζην νηθνγελεηαθφ εηζφδεκα Υ ζε θάπνηα αγξνηηθή πεξηνρή αθνινπζεί θαλνληθή θαηαλνκή κε κέζε ηηκή θαη δηαθχκαλζε ίζεο κε 4 ρηι. επξψ. i) Ση πνζνζηφ νηθνγελεηψλ έρνπλ εηζφδεκα πνπ δελ ππεξβαίλεη ηα 5 ρηι. επξψ;

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 12 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 ii) ΢ρεδηάδεηαη θνξνινγηθή πνιηηηθή πνπ ζα αθνξά ην «πινπζηφηεξν» 10% ηνπ πιεζπζκνχ ηεο πεξηνρήο. Πνην είλαη ην ειάρηζην εηζφδεκα απηνχ ηνπ πινπζηφηεξνπ ηκήκαηνο ηνπ πιεζπζκνχ ηεο πεξηνρήο; iii) ΢ρεδηάδεηαη αλαθαηαλνκή ησλ εηζνδεκάησλ ηεο πεξηνρήο κε ζηφρν ην κέζν εηζφδεκα λα παξακείλεη ακεηάβιεην, αιιά λα κεησζεί ε αληζνθαηαλνκή ηνπ εηζνδήκαηνο. ΢ε πην επίπεδν πξέπεη λα κεησζεί ε ηππηθή απφθιηζε έηζη ψζηε Ρ (3.5 < Φ <4.5) = 0.40 (2,5 Κνλάδεο) Γίλνληαη: G(0.50) = 0.70, G(2.0) = 0.98, G(1.30) = 0.90. Θέμα 2ο (α) (i) Κία εηαηξία παξαγσγήο δεκεηξηαθψλ επηζπκεί λα ειέγμεη ηέζζεξα δηαθνξεηηθά είδε ζπζθεπαζίαο, σο πξνο ηελ επίδξαζή ηνπο ζηηο πσιήζεηο. Δπειέγεζαλ ηξεηο εκέξεο θαη θαηαγξάθεθαλ νη πσιήζεηο (ζε εθαηνληάδεο παθέηα). Οη πσιήζεηο πνπ αληηζηνηρνχλ ζε θάζε ζπζθεπαζία θαη θάζε εκέξα, δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα. Διέγμαηε αλ ε ζπζθεπαζία επεξεάδεη ηνλ φγθν ησλ πσιήζεσλ. Ζκέξα 1

Ζκέξα 2

Ζκέξα 3

΢πζθεπαζία 1

12

18

15

΢πζθεπαζία 2

14

12

13

΢πζθεπαζία 3

19

17

21

΢πζθεπαζία 4

24

30

25

Γίδνληαη: F0.05, 3, 6 = 4.76, F0.05, 3, 8 = 4.07 (2,5 Κνλάδεο) (β) Ζ αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ είλαη Λα ππνινγηζζνχλ νη πηζαλφηεηεο

F ( x) 0, x 0 F ( x)

x / 2,0

P | X 1|

x 1

1/ 2,1 x 2 ( x 1) / 2, 2

P( X

2 3

2) .

x 3

F ( x) 1, x 3 . (2,5 Κνλάδεο) Θέμα 3ο (α) Ο αθφινπζνο πίλαθαο πεξηέρεη ηνπο ρξφλνπο έγθξηζεο ελφο ζηεγαζηηθνχ δαλείνπ (ζε εκέξεο) ζε δχν ππνθαηαζηήκαηα κηαο ηξάπεδαο. ΢ηφρνο ηεο κειέηεο είλαη λα εθηηκεζεί αλ ππάξρεη δηαθνξά ζηνπο ρξφλνπο κεηαμχ ησλ δχν ππνθαηαζηεκάησλ. Τπνθαηάζηεκα Α

75

76

75

77

73

Τπνθαηάζηεκα Β

73

74

74

72

72

7

5

X Ai2

Γίδεηαη:

2.228

X Bj2

39385 ,

i 1

t0.025,10

75

26649 , FU 0.025,6,4

9.2

,

FU 0.025,4,6

6.23 ,

j 1

θαη

t0.05,10

1.812

(2,5 Κνλάδεο)

(β) Έζησ ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο

f ( x)

x

1

, x 1, (

0).

Λα ππνινγηζζεί ε εθηηκήηξηα ηεο παξακέηξνπ ζ: i) Κε ηε κέζνδν ησλ ξνπψλ

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 13 από 34

74

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 ii) Κε ηε κέζνδν κέγηζηεο πηζαλνθάλεηαο.

΢τατιστική ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2006 ΘΔΚΑ 1 (α) (Βαζκνί 2.5). Οη κηζζνί ζε δχν νξγαληζκνχο Α θαη Β αθνινπζνχλ θαλνληθέο θαηαλνκέο. Γείγκα Error! Objects cannot be created from editing field codes.=11 εξγαδνκέλσλ απφ ηνλ Α έδσζε Error! Objects cannot be created from editing field codes.=1000 επξψ κε Error! Objects cannot be created from editing field codes.=54 θαη δείγκα Error! Objects cannot be created from editing field codes.=16 εξγαδνκέλσλ απφ ηνλ Β έδσζε Error!

Objects cannot be created from editing field codes.=1100 επξψ κε Error! Objects cannot be created from editing field codes. =45. Λα ειεγρζεί γηα ηε δηαθνξά ησλ κέζσλ κηζζψλ ε Error! Objects cannot be created from editing field codes. έλαληη ηεο Error! Objects cannot be created from editing field codes. ζε α=0.05, αθνχ πξψηα ειεγρζεί κε κνλφπιεπξν έιεγρν ε ηζφηεηα ησλ δηαθπκάλζεσλ ζε α=0.05 . (β) (Βαζκνί 2.5). Ζ ζπλερήο ηπραία δηκεηαβιεηή (Υ, Τ) έρεη αηηφ θνηλνχ ζππ Error! Objects cannot be created from editing field codes. Error! Objects cannot be created from editing field codes. αλ Error! Objects cannot be created from editing field codes. θαη Error! Objects cannot be created from editing field codes.

0

αιινχ

Λα ειεγρζεί ε αλεμαξηεζία ησλ ηκ Υ θαη Τ. Αλ δίλεηαη φηη Δ(Υ)=2/3, Δ(Τ)=4/3 θαη Δ(ΥΤ)=8/9, λα ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο ξ ησλ Υ θαη Τ θαη λα ζρνιηαζζεί αλ πεξηκέλακε απηφ ην απνηέιεζκα. ΘΔΚΑ 2 Απφ ηπραίν δείγκα ε=4 δεπγψλ (Error! Objects cannot be created from editing field codes.) ηεο ηηκήο Υ ελφο πξντφληνο ζε επξψ θαη ηεο πξνζθνξάο ηνπ Τ ζε ηφλνπο ππνινγίζζεθε ε γξακκηθή παιηλδξφκεζε Τ = -3.3 +1.2Υ. Τπνινγίζζεθε επίζεο φηη Error! Objects cannot be created from editing field codes.=1,67 θαη Error! Objects cannot be created from editing field codes. = 3. (α) (Βαζκνί 2). Λα αλαιπζεί ζε πίλαθα ε κεηαβιεηφηεηα ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Τ, θαη κέζσ ηνπ πίλαθα λα ειεγρζεί ζε α=0.05 αλ ππάξρεη γξακκηθή ζρέζε κεηαμχ ηεο ηηκήο θαη ηεο πξνζθνξάο ηνπ πξντφληνο. (β) (Βαζκφο 1). Λα ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο πξνζδηνξηζκνχ R2 (κε νπνηνλδήπνηε ηξφπν) θαη ε ειαζηηθφηεηα ηεο πξνζθνξάο γηα ηελ ηηκή Υ=10 επξψ θαη λα εξκελεπζνχλ νη έλλνηεο ηνπο. (γ) (Βαζκφο 1). Λα βξεζεί κε ηε κέζνδν κέγηζηεο πηζαλνθάλεηαο ε εθηηκήηξηα ηεο παξακέηξνπ ι ηεο θαηαλνκήο Poisson, πνπ έρεη ζππ Error! Objects cannot be created from editing field codes. (δ) (Βαζκφο 1). Σα εκεξήζηα αηπρήκαηα ζηνπο δξφκνπο κηαο πφιεο αθνινπζνχλ ηελ θαηαλνκή Poisson κε ι=12.5. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ην επφκελν ΢αββαηνθχξηαθν λα γίλνπλ 18 αηπρήκαηα; (Λα ρξεζηκνπνηεζεί ε δηφξζσζε θαηά Yates) ΘΔΚΑ 3 (α) (Βαζκνί 2). Ζ ηκ Υ έρεη ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηεο κνξθήο Error! Objects cannot be created from editing field codes. [0,1]. Αθνχ ππνινγηζζεί ην θ, λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα απφ 4 ηηκέο ηεο Υ, νη δχν λα είλαη κεγαιχηεξεο απφ 0.5.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 14 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 (β) (Βαζκνί 2), Οη κηζζνί ζε έλαλ Οξγαληζκφ αθνινπζνχλ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. Σπραίν δείγκα π=11 κηζζψλ έδσζε Error! Objects cannot be created from editing field codes.=2700. Λα ειεγρζεί ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α=0.05 ε ππφζεζε Error! Objects cannot be created from editing field codes. έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ηεοError! Objects cannot be created from editing field codes.. (γ) (Βαζκφο 1). Οη βαζκνί Υ ζε έλα κάζεκα αθνινπζνχλ ηελ Λ(6.3, 1.69). Θάησ απφ πνηνλ βαζκφ θ βαζκνινγείηαη ην 90% ησλ θνηηεηψλ; Γίλνληαη:Error! Objects cannot be created from editing field codes..Error! Objects cannot be created from editing field codes.. Error! Objects cannot be created from editing field codes.Error! Objects cannot be created from editing field codes.θαη Error! Objects cannot be created from editing field codes. Λα δοθούν απανηήζεις ζε δύο θέμαηα

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΔΜΒΟΛΙΜΗ ΢ΔΠ 2006 Θέμα 1 (α) ( Βαζκνί 3). Γηα ηελ ηκ Υ: ’’Δβδνκαδηαίεο δαπάλεο Υ γηα κεηαθνκίζεηο ησλ θαηνίθσλ κηαο πφιεο ζε επξψ’’ , ειέγμνπκε ηελ

0

:{

ππφζεζε

1 2

F ( x)

x /0 8

x 4}

έλαληη ηεο

1

:{

(2, 0.36)}

απφ κία ηηκή x

(δείγκα n=1 θαηνίθνπ) έηζη ψζηε ε πηζαλφηεηα λα δερζνχκε θαηά ιάζνο ηελ 1

ζα

0

αλ ε

είλαη αιεζήο , λα είλαη 0.05.

α (i) (Βαζκφο 1). Λα θαηαζθεπαζζεί ν έιεγρνο ηεο x< x0 , λα δερζνχκε ηελ

0

0

έλαληη ηεο

1

, δειαδή λα βξεζεί ε ηηκή

x0

ηεο Υ, έηζη ψζηε αλ

.

(ii) (Βαζκφο 1). Λα βξεζεί ην επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο απηνχ ηνπ ειέγρνπ. (iii) ( Βαζκφο 1). Αλ ε δεηγκαηηθή ηηκή είλαη x=0.9, λα βξεζεί ε θαηαλνκή πνπ ζα δερζνχκε γηα ηελ Υ θαη ε δηάκεζφο ηεο Κ. (β) ( Βαζκφο 1). Λα βξεζεί κε ηε κέζνδν κέγηζηεο πηζαλνθάλεηαο ε εθηηκήηξηα ηεο παξακέηξνπ ι ηεο εθζεηηθήο θαηαλνκήο, πνπ έρεη ζππ (γ)

f ( x)

e

x

/x

0.

( Βαζκφο 1). Λα ππνινγηζζεί ην α ψζηε ζπλάξηεζε

f ( x, y)

4 xy

γηα 0<x<1 θαη 0<y<α, λα είλαη απφ θνηλνχ

ζππ κηαο ηπραίαο δηκεηαβιεηήο (Υ,Τ). ΘΔΚΑ 2 (α) (Βαζκνί 2). ΢ε ηπραίν δείγκα n=100 δεπγψλ ηεο ηηκήο Υ ελφο πξντφληνο ζε επξψ θαη ηεο πξνζθνξάο ηνπ Τ ζε ρηι. ηφλνπο απφ ηνλ παξαγσγφ, ππνινγίζζεθαλ: i

2 i

36

110

i

25

2 i

336

Y

i i

30 S 2

0.98 S 2

3.63

Λα εθηηκεζεί ε ην γξακκηθφ ππφδεηγκα ηεο πξνζθνξάο επάλσ ζηελ ηηκή ηνπ πξντφληνο θαη λα ειεγρζεί ε έλαληη ηεο

1

:

1

0

ζε α=0.05.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 15 από 34

0

:

1

0

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 (β) (Βαζκνί 2). Ζ αλαινγία ησλ γπλαηθψλ ζηνλ ΟΣΔ είλαη 0.3. ΢ε ηπραίν δείγκα n=100 εξγαδνκέλσλ ζηε ΓΔΖ βξέζεθαλ 40 γπλαίθεο, Λα ειεγρζεί ζε α=0.05 αλ νη αλαινγίεο ησλ γπλαηθψλ εξγαδνκέλσλ ζηνπο δχν εξγαδνκέλνπο είλαη ίζεο ή δηαθνξεηηθέο. (γ) ( Βαζκφο 1). Ρίρλνπκε έλα λφκηζκα 400 θνξέο. Πνηα ε πηζαλφηεηα ν αξηζκφο ησλ Γξακκάησλ πνπ ζα εκθαληζζνχλ λα είλαη απφ 190 κέρξη θαη 210. ΘΔΚΑ 3 (α) ( Βαζκφο 2.5)

Γίλεηαη ε σξηαία παξαγσγή κέηξσλ πθάζκαηνο απφ ηηο θ=4

ΘΑΣΖΓΟΡΗΔ΢ 1

2Οο

3Οο

ΚΖΥΑΛΖ 1

2

3

1

ΚΖΥΑΛΖ 2

3

4

2

ΚΖΥΑΛΖ 3

1

3

2

ΚΖΥΑΛΖ 4

3

6

4

κεραλέο κηαο βηνηερλίαο (παξάγσλ Α) πνπ ηηο ρεηξίδνληαη n=3 ηερληθνί (παξάγσλ Β). Γίλεηαη επίζεο φηη ΚΟΓ=21.67,

=11 θαη

=8.17. Λα ειεγρζεί

ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α=0.05.

(i) H ηεο

:

0

1

10

20

40 ,

30

ΣΔΥΛΗΘΟΗ Οο

δίλεηαη φηη ν παξάγσλ ‘’κεραλή’’ δελ δηαθνξνπνηεί ζεκαληηθά ηελ παξαγσγή, έλαληη

: Κηα ηνπιάρηζηνλ κεραλή απνδίδεη δηαθνξεηηθά απφ ηηο ππφινηπεο θαη

(ii) (Βαζκνί

2.5). Οη κηζζνί ζηνπο νξγαληζκνχο Α θαη Β αθνινπζνχλ θαλνληθέο θαηαλνκέο. Γείγκα

εξγαδνκέλσλ απφ ηνλ Α έδσζε

x2 1100 Γίλεηαη

επξψ κε

z0.05

1.64 .

s22

επξψ κε

x1 1000

s12

2916

θαη δείγκα

n2

64

0.8531.

u f3,6,0.05

u 4.76 . f 2,6,0.05

81

εξγαδνκέλσλ απφ ηνλ Β έδσζε

2025 . Λα θαηαζθεπαζζεί ην δίπιεπξν 0.95ΓΔ γηα ηε δηαθνξά

z0.025 1.96 . G(1.05)

n1

1

2 ησλ

κηζζψλ ηνπο.

5.14

Λα δνζνχλ απαληήζεηο ζε δχν ζέκαηα.

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ II – ΙΟΤ 2006 ΛΑ ΑΠΑΛΣΖΘΟΤΛ ΓΤΟ ΘΔΚΑΣΑ ΘΔΚΑ 1 (α)(Βαζκνί 2). ΢ε έξεπλα ηνπ ελεξγνχ πιεζπζκνχ κηαο πφιεο (εξγαδφκελνη θαη άλεξγνη 15 εηψλ θαη άλσ), ηπραίν δείγκα έδσζε x2

H 0 : p1

n1 100 ελεξγψλ 22 p2

αλδξψλ έδσζε

x1

8

αλέξγνπο θαη ηπραίν δείγκα

άλεξγεο. Λα ειεγρζεί γηα ηηο αλαινγίεο

0

έλαληη ηεο

H1 : p1

p2

p1

ησλ αλδξψλ αλέξγσλ θαη

n2 p2

0 ζε α=0.05.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 16 από 34

200

ελεξγψλ γπλαηθψλ

ησλ γπλαηθψλ αλέξγσλ ε

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 (β)(Βαζκνί 3). Σπραίν δείγκα n=5 κειψλ ελφο πιεζπζκνχ έδσζε ηα παξαθάησ δεχγε ηηκψλ ησλ κεηαβιεηψλ Υ θαη Τ: (1,1), (2,1), (4,3) θαη (5,2). Λα εθηηκεζεί ε γξακκηθή παιηλδξφκεζε ηεο Y επάλσ ζηελ Υ, λα ππνινγηζηεί ν

R2

θαη λα

ειεγρζεί ζε α=0.05 ε χπαξμε ή φρη γξακκηθήο ζρέζεο κεηαμχ ησλ Υ θαη Τ. ΘΔΚΑ 2 (α)(Βαζκφο 1).Σπραίν δείγκα n=12 δεπγψλ ηηκψλ (

Y

b0 b1 X

κε

R2

0.652 .Λα ειεγρζεί ε H 0 :

(β)(Βαζκνί 2). Γηα ηελ ηκ Υ ζα ειέγμνπκε ηελ

X i , Yi )

0

1

ησλ κεηαβιεηψλ Υ θαη Τ έδσζε ηελ παιηλδξφκεζε

έλαληη ηεο

H0 :

H1 :

(60,100)

1

0 ,ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α=0.05.

έλαληη ηεο

H1 :

(65,81)

ζε α=0.05 απφ

δείγκα n=25 ηηκψλ ηεο. (i) Nα βξεζεί ε ηηκή

x0

έηζη ψζηε αλ ν δεηγκαηηθφο κέζνο

x

,λα δερζνχκε ηελ

x0

H0 .

(ii) Λα βξεζεί ε ηζρχο γ απηνχ ηνπ ειέγρνπ.

(γ)(Βαζκνί 2). Σπραίν δείγκα n=100 εξγαδνκέλσλ ζηε ΓΔΖ έδσζε κέζν κηζζφ

x 1400

επξψ θαη

s2

22500

.Λα

θαηαζθεπαζζεί ην δίπιεπξν δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο γηα ην κηζζφ κ φισλ ησλ εξγαδνκέλσλ ζε επίπεδν εκπηζηνζχλεο 0.95. ΘΔΚΑ 3 (α) (Βαζκνί 2). ΢ε πθαληνπξγία κε ηέζζεξηο κεραλέο , ειήθζε ηπραίν δείγκα ηξηψλ εκηψξσλ θαη κεηξήζεθε ε παξαγσγή θάζε κεραλήο ζε κέηξα πθάζκαηνο. ΚΖΥΑΛΖ Α: 2 3 1 ΚΖΥΑΛΖ Β: 3 4 2 ΚΖΥΑΛΖ Γ: 1 3 2 ΚΖΥΑΛΖ Γ: 3 6 4 Λα ειεγρζεί ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 0.05 αλ νη 4 κεραλέο έρνπλ ή φρη ηελ ίδηα κέζε αλά εκίσξν παξαγσγή

xij2 118

.(Γίλεηαη

).

(β)(Βαζκνί 2). Οη κηζζνί αθνινπζνχλ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. Γείγκα γηα ηε

2

ησλ κηζζψλ ε ππφζεζε

0

:

2

1500

(γ) (Βαζκφο 1). ΢ηνλ Οξγαληζκφ Α νη κηζζνί

έλαληη ηεο

1

:

n1 11 εξγαδνκέλσλ έδσζε s 54 . Λα ειεγρζεί

2

(1000,900) θαη

1500 , α=0.05.

ζηνλ νξγαληζκφ Β νη κηζζνί

(1100,1600) .

Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα έλαο ππάιιεινο ηνπ Α λα έρεη κεγαιχηεξν κηζζφ απφ έλαλ ππάιιειν ηνπ Β;

Γίλνληαη

z0.025 1.96 ,

2 X10,,0.05 18.307 ,

t3,,0.025

3.182 ,

u f1,,10,,0.05

4.96 ,

z0.05

1.64 ,

G(0.96) 0.8315 ,

G(2) 0.9772

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 17 από 34

u f3,,8,,0.05

4.07 ,

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ – ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ΢ 2006 ΘΔΚΑ 1ο (α) (2.5 κνλάδεο) Σν ζχλνιν ησλ κνλάδσλ πνπ ζπγθέληξσζαλ 15 ππνςήθηνη ζε δηαγσληζκφ ηνπ Α΢ΔΠ πνπ επηιέρηεθαλ ηπραία απφ ηξεηο Λνκαξρίεο δίλεηαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: Λνκαξρία 1

76

80

70

74

78

82

Λνκαξρία 2

95

85

91

89

92

90

Λνκαξρία 3

77

82

81

84

80

82

Κπνξνχκε λα δερζνχκε κε πηζαλφηεηα 0.95 φηη ν παξάγσλ «Λνκαξρία» δελ επεξεάδεη ηηο επηδφζεηο ησλ ππνςεθίσλ; 18

2 i 1 i

Γίλνληαη

123770 F0.05,2.15

x

3.68

(β) (2.5 κνλάδεο) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε θ, νχησο ψζηε ε

θαη

F0.05,3.15

f ( x, y)

3.29

( x y),0

y 1 . η) Λα ππνινγηζζεί ε ηηκή ηεο ζηαζεξάο

x 1,0

λα είλαη απφ θνηλνχ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηπραίσλ κεηαβιεηψλ Υ,Τ. ηη) Λα

f ( x, y )

ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο ξ ησλ Υ,Τ θαη λα εμεηαζζεί αλ νη δχν κεηαβιεηέο είλαη αλεμάξηεηεο. ΘΔΚΑ2ο (α) (2.5 κνλάδεο) Σα παξαθάησ δεδνκέλα αθνξνχλ ηελ ζρέζε βάξνπο y (ζε θηιά) θαη χςνπο ρ (ζε εθαηνζηά). η) Λα ππνινγηζζνχλ νη ζπληειεζηέο γξακκηθήο παιηλδξφκεζεο, ηη) Λα ειεγρζεί ε ζηαηηζηηθή ζεκαληηθφηεηα ηεο θιίζεο ηεο επζείαο παιηλδξφκεζεο ζε επίπεδν 5%. ηηη) Λα θαηαζθεπαζζεί ην 95% δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο γηα ην πξνβιεπφκελν κέζν βάξνο φηαλ ην χςνο είλαη 10

Γεδνκέλα

10

xi

1830,

i 1

t0.025,9

x0

10

yi

600,

i 1

2, 262

θαη

t0.025,8

175.

10

xi yi

10

xi 2

109979,

i 1

yi 2

335406,

i 1

36140

i 1

2,306.

(β) (1.5 κνλάδεο) Έζησ ρ κηα παξαηήξεζε ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ. Θέινπκε λα ειέγμνπκε ηελ κεδεληθή ππφζεζε

H 0 :Υ αθνινπζεί U(-1,1) , έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο H 1 :Υ αθνινπζεί Λ(0.45,4), φπνπ U(α,β) ε νκνηφκνξθε θαηαλνκή, κε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο: δηαθχκαλζε

2

1

f ( x)

. Πξνηείλεηαη λα απνξξηθζεί ε

H0

αλ

, α<ρ<β, θαη

x

( ,

2

)

ε θαλνληθή θαηαλνκή κε κέζν κ θαη

x0 . Λα βξεζεί ε ηηκή x0

Η)=0.05, θαη λα ππνινγηζζεί ε ηζρχο ηνπ ειέγρνπ. Γίλνληαη:

έηζη ψζηε Ρ(ζθάικα ηχπνπ

G(0.70) 0.76, G(0.25) 0.60

(γ) (1 κνλάδα) Τπνζέζαηε φηη ν εηήζηνο αξηζκφο ζεηζκψλ έληαζεο κεγαιχηεξεο ησλ 2,5 Ρίρηεξ πνπ έρνπλ επίθεληξν κέρξη 40 ρηιηφκεηξα απφ ην θέληξν ησλ Αζελψλ, είλαη – θαηά κέζνλ φξν – 6,5. Τπνινγίζηε ηελ πηζαλφηεηα λα έρνπκε ην 2007 πεξηζζφηεξνπο απφ 8 ηέηνηνπο ζεηζκνχο ρξεζηκνπνηψληαο ηελ θαλνληθή πξνζέγγηζε ηεο Poisson θαηαλνκήο κε δηφξζσζε ζπλέρεηαο. Γίλνληαη:

G(0.784) 0.7836

ΘΔΚΑ 3ο (α) (2 κνλάδεο) Έζησ είθνζη παξαηεξήζεηο (ζε δχν νκάδεο ησλ δέθα) πνπ παξηζηάλνπλ ρξφλνπο νινθιήξσζεο κηαο δηαδηθαζίαο ζε δχν δηαθνξεηηθά ππνθαηαζηήκαηα κηαο ηξάπεδαο (ζε ιεπηά): Τπνθαηάζηεκα Α: 120, 135, 110, 80, 140,

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 18 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 120, 110, 145, 100, 80. Τπνθαηάζηεκα Β: 110, 125, 120, 90, 130, 110, 100, 125, 110, 100. Καο ελδηαθέξεη λα ειέγμνπκε αλ (θαηά κέζνλ φξν) ην Τπνθαηάζηεκα Β έρεη κηθξφηεξνπο ρξφλνπο νινθιήξσζεο ηεο δηαδηθαζίαο απφ ην Α. Γηαηππψζηε η) ζρεηηθέο ππνζέζεηο ηη) κεδεληθή θαη ελαιιαθηηθή ππφζεζε θαη ηηη) ειέγμαηε ηελ κεδεληθή ππφζεζε κε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α = 0.05 Γίλνληαη:

G(1.645) 0.05, t0.05,18 1.73, t0.025,18

U f0.05,9,9

2.10,

3.18

(β) (2 κνλάδεο) Έλαο θαζεγεηήο δηδάζθεη κεγάιε ηάμε πξσηνεηψλ θαη ρξεζηκνπνηεί ηππνπνηεκέλε βαζκνινγία – πνπ απφ πείξα γλσξίδεη φηη αθνινπζεί θαλνληθή θαηαλνκή κε κέζε ηηκή κ = 70 θαη ηππηθή απφθιηζε ζ = 12. ΢ηφρνο ηνπ είλαη λα ηππνπνηήζεη ηνπο βαζκνχο θαηά ηέηνηνλ ηξφπν ψζηε ε θαηαλνκή ηεο βαζκνινγίαο λα έρεη ηα αθφινπζα πνζνζηά: 14% Α, 20% Β, 32% C, 205 D θαη 14% F. Πην πξέπεη λα είλαη ην φξην κεηαμχ Α θαη Β, θαη πην κεηαμχ Β θαη C; Γίλνληαη:

G(1.08) 0.86, G(0.41) 0.66

(γ) (1 κνλάδα) Έζησ

1

f ( x)

,a

X1, X 2 ,

x

, Xn

ηπραίν δείγκα απφ ηελ νκνηφκνξθε θαηαλνκή κε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο

. Λα ππνινγηζζνχλ νη εθηηκήηξηεο ησλ παξακέηξσλ α θαη β, κε ηελ κέζνδν ησλ

,

n

_

ξνπψλ, ρξεζηκνπνηψληαο ηνπ νξηζκνχο:

i

X

n

Xi 1

S

n

2

i

_

(Xi 1

X )2

n

.

ΑΠΟ ΣΑ 3 ΘΔΚΑΣΑ ΛΑ ΓΡΑΦΟΤΛ ΣΑ 2

΢τατιστική ΙΙ –΢ΔΠΣ 2005 ΘΔΚΑ 1 Ζ ηκ

X

f ( x)

x, 2

0 ,

1 1

.

2

(α) (Βαζκφο 1) Λα ππνινγηζηνχλ νη

( )

θαη

2

V (X ) .

(β) (Βαζκφο 1) Απφ ηνλ πιεζπζκφ ησλ ηηκψλ ηεο Υ επηιέγνπκε 54 ηηκέο. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ν κέζνο ηνπο λα είλαη κεγαιχηεξνο απν1.1; [Γίλεηαη G(1.8)=0.964]. (γ) (Βαζκνί 2) Απφ ζηνηρεία ηεο ηηκήο Υ ελφο πξντφληνο ζε επξψ θαη ηεο πξνζθνξάο ηνπ Τ ζε ηφλνπο απφ ηνλ παξαγσγφ, ππνινγίζζεθαλ

i

26 ,

εθηηκεζεί ε γξακκηθή παιηλδξφκεζε

2 i

E (Y )

174 , S x2 0

1

1.67 ,

i

18 ,

2 i

90 , S y2

3

θαη

Y

i i

, λα ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο πξνζδηνξηζκνχ

123 .

R2

Λα

, λα

εξκελεπζεί ε έλλνηά ηνπ θαη κέζνπ απηνχ λα ειεγρζεί ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 0.05 αλ ππάξρεη γξακκηθή ζρέζε κεηαμχ ησλ Υ θαη Τ. (δ) (Βαζκφο 1) ΢ε κία πφιε γίλνληαη θαηά κέζν φξν 5 αηπρήκαηα ηελ εκέξα. Αλ ν αξηζκφο ηνπο αθνινπζεί θαηαλνκή Poisson, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ην επφκελν πελζήκεξν λα γίλνπλ 26 αηπρήκαηα; ΘΔΚΑ 2 (α) (Βαζκφο 1) Ζ ζπλερήο ηκ Υ έρεη ζππ ηεο κνξθήο

f ( x)

K X

γηα

x [1, e 2 ] .

Αθνχ βξεζεί ην θ, λα ππνινγηζζεί ε

Δ(Υ) ζπλαξηήζεη ηνπ e.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 19 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 (β) (Βαζκνί 2) Οη κηζζνί ζηνλ Οξγαληζκφ Α έρνπλ κέζν αθνινπζνχλ

X

ηελ

1.300€

θαλνληθή

θαηαλνκή,

33856 .

S2

1.200€ .

1

ειήθζε

ηπραίν

Απφ ηνλ Οξγαληζκφ Β ζηνλ νπνίν νη κηζζνχ δείγκα

n=16

κηζζψλ,

πνπ

έδσζε

Λα ειεγρζεί ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 0.05 ε ππφζεζε ηεο ηζφηεηαο ησλ κέζσλ

κηζζψλ ζηνπο δχν Οξγαληζκνχο, δειαδή ε

H0 :

1

1200 έλαληη

ηεο

H1 :

2

1200 .

Δίλαη απηφο ν έιεγρνο

αμηφπηζηνο; Αλ φρη λα πξνηαζεί ηξφπνο αληηκεηψπηζεο ηνπ πξνβιήκαηνο. (γ) (Βαζκνί 2) ΢ε ηπραίν δείγκα

n1 100 γπλαηθψλ

βξέζεθαλ 60 θαπλίζηξηεο θαη ζε ηπραίν δείγκα

βξέζεθαλ 90 θαπληζηέο. Λα βξεζεί ην δηθαηάιεθην 0.95 δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο γηα ηα δηαθνξά

p1

200 αλδξψλ,

n2

p2 ησλ αλαινγηψλ

ησλ αλδξψλ θαπληζηψλ θαη γπλαηθψλ θαπληζηξηψλ. ΘΔΚΑ 3 (α)

(Βαζκνί

n2

200 αλδξψλ

H 0 : p1

2)

΢ε

ηπραίν

δείγκα

βξέζεθαλ

x2

n1 100 γπλαηθψλ 90 θαπληζηέο.

Λα

βξέζεθαλ ειεγρζεί

x1 ζε

60 θαπλίζηξηεο επίπεδν

θαη

ζε

ηπραίν

ζεκαληηθφηεηαο

α=0.05

0 (ηζφηεηα ησλ αλαινγηψλ ησλ αλδξψλ θαπληζηψλ θαη γπλαηθψλ θαπληζηξηψλ) έλαληη H1 : p1

p2

δείγκα

p2

ε

0.

(β) (Βαζκνί 2) Γηα ηνλ έιεγρν ηεο ηζφηεηαο ησλ κηζζψλ ησλ πηπρηνχρσλ, ησλ απνθνίησλ Ιπθείνπ θαη ησλ κε απνθνίησλ Ιπθείνπ πνπ εξγάδνληαη ζε έλαλ Οξγαληζκφ απφ δείγκα 4 εξγαδνκέλσλ θάζε θαηεγνξίαο, ππνινγίζζεθαλ ΚΚΓ=456 θαη ΚΔΓ=130. Λα ειεγρζεί αλ κπνξνχκε λα απνξξίςνπκε κε πηζαλφηεηα 0.99 ηελ ππφζεζε φηη νη κηζζνί ησλ ηξηψλ θαηεγνξηψλ εξγαδνκέλσλ δελ δηαθέξνπλ, αθνχ αλαθεξζνχλ νη πξνυπνζέζεηο ηζρχνο ηνπ ππνδείγκαηνο πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζεί θαη αθνχ γίλεη ν θαηάιιεινο πίλαθαο.

(γ) (Βαζκφο 1) Αλ ε ζπλερήο ηκ

Γίνονηαι:

t15,0.025

u f1,2,0.05 18.5 ,

X

f ( x)

G(0.1)=0.5398,

3x 2 , 32 0,

0

4

λα ππνινγηζζεί ε δηάκεζφο ηεο Κ.

ύ

G(0.3)=0.6179,

G(1.14)=0.8729,

u f 2,9,0.01 8.02 , Z 0.025 1.96 θαη

2.131

ΛΑ ΓΟΘΟΤΛ ΑΠΑΛΣΖ΢ΔΗ΢ ΢Δ ΓΤΟ ΘΔΚΑΣΑ

΢τατιστική II – ΙΟΤ 2005 ΘΔΚΑ 1ο (α) (Βαζκνί 3) Γίλεηαη ε αλά ιεπηφ παξαγσγή κέηξσλ πθάζκαηνο απφ ηηο 4 κεραλέο κηαο βηνηερλίαο, ζε έλα ηπραίν δείγκα n=3 ιεπηψλ. ΚΖΥΑΛΖ 1:

2

3

1

3

4

2

Λα ειεγρζεί ζε α=0.05 αλ ν παξάγσλ «κεραλή» επεξεάδεη ηελ παξαγσγή

ΚΖΥΑΛΖ 3:

1

3

2

(Γίλεηαη

ΚΖΥΑΛΖ 4:

5

6

4

ΚΖΥΑΛΖ 2:

xij2 134 )

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 20 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010

f ( x)

(β) (Βαζκνί 2) Ζ ζπλερήο ηπραία κεηαβιεηή Υ έρεη ζππ

x, 0 1, 1

x 1 32

Λα ππνινγηζζεί ε καζεκαηηθή ειπίδα Δ(ρ) θαη λα βξεζεί ε (αζξνηζηηθή) ζπλάξηεζε θαηαλνκήο F(ρ). ΘΔΚΑ 2ο Γίλνληαη ζηνηρεία ηεο ηηκήο Υ ελφο πξντφληνο ζε επξψ θαη ηε πξνζθνξάο ηνπ Y ζε ηφλνπο απφ ηνλ παξαγσγφ. Υ: Y:

5 3

6

7

4

8

4

_

κε

7

26,

i

_

6.5,

2 i

4.5, Yi 2

90, sY2

(α) (Βαζκνί 2) Λα εθηηκεζεί ε γξακκηθή παιηλδξφκεζε

E (Y )

κε

Yi

18, Y

174, sx2

3

1.67

X iYi

0

1

123

, λα εξκελεπζνχλ νη έλλνηεο ησλ

b1 .

ζπληειεζηψλ θαη λα ειεγρζεί ζε α=0.05 ε ζηαηηζηηθή ζεκαληηθφηεηα ηνπ

(β) (Βαζκνί 2) Λα αλαιπζεί ζε πίλαθα κεηαβιεηφηεηαο ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Τ, θαη κέζσ ηνπ πίλαθα λα ειεγρζεί πάιη ζε α=0.05 αλ ππάξρεη γξακκηθή ζρέζε κεηαμχ ηεο ηηκήο θαη ηεο πξνζθνξάο ηνπ πξντφληνο. (γ) (Βαζκφο 1) Σν 9% ησλ πξντφλησλ κηαο κεραλήο είλαη ειαηησκαηηθά. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα απφ 100 πξντφληα ηεο, ηνπιάρηζηνλ ηα 7 α είλαη ειαηησκαηηθά. ΘΔΚΑ 3ο (α) (Βαζκφο 1) Ζ ζπλερήο ηπραία δηκεηαβιεηή (Υ,Τ) έρεη απφ θνηλνχ ζππ

f ( x, y)

xy,

0

x 1 0,

0

y

2

Λα ειεγρζεί αλ νη ηκ Υ θαη Τ είλαη αλεμάξηεηεο _

(β) (Βαζκνί 2) Γείγκα 9 εξγαηψλ ηνπ εξγνζηαζίνπ Α έδσζε κέζεο εβδνκαδηαίεο απνδνρέο

s12

_

59.9 θαη ηζάξηζκν δείγκα απφ εξγνζηάζην Β έδσζε αληίζηνηρα x2

262.2

κε

s22

x1

48.5 .

283.2 €

κε

Αλ νη θαηαλνκέο

ησλ απνδνρψλ θαη ζηα δχν εξγνζηάζηα είλαη θαλνληθέο , λα ειεγρζεί ζε α=0.05 ε ππφζεζε ηεο ηζφηεηαο ησλ απνδνρψλ, αθνχ εμαζθαιηζζεί ζε α=0.05 ε αλαγθαία πξνυπφζεζε. (γ) (Βαζκνί 2) Πξέπεη λα εθηηκήζνπκε ην κέζν κ ελφο πιεζπζκνχ απφ ηπραίν δείγκα n=3 ηηκψλ

_

_

x1

ηηο εθηηκήηξηεο x, x

x2 3x3 8

_

,x

x1

2 x2 4

x3

. Πνηα είλαη ε απνηειεζκαηηθφηεξε

γηα λα ηελ πξνηηκήζνπκε;

G (0.87) Γίνονηαι:

u f1,2,0.05

0.81, t2,0.025 18.5

4.303, t16,0.05

u f8,8,0.05

u 1.746, f3,8,0.05

x1 , x2 , x3 κε κία απφ

4.07,

3.44

Λα δοθούν απανηήζεις ζε δύο θέμαηα.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 21 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ II – ΦΔΒ 2005 Θέμα 1ο: (α) (2.5 Κνλάδεο) Έζησ ε εμίζσζε παιηλδξφκεζεο y=

0

+

+ε ,ζηελ νπνία ηζρχνπλ φιεο νη ζπλήζεηο

1

^

ππνζέζεηο ηνπ θιαζηθνχ γξακκηθνχ ππνδείγκαηνο. Λα ππνινγηζζνχλ νη εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ

^

1,

0

ησλ

^

παξακέηξσλ

0,

1 . ΢ε δείγκα n=10 παξαηεξήζεσλ (ρ,y) βξέζεθε

1 =0.5,

θαη εθηηκήζεθαλ νη ηππηθέο απνθιίζεηο

^ ησλ

ζθαικάησλ

S 2x

(n

1)

θαη n

1

i

ησλ

ρ,

=3.84,

θαη

S

=4,

αληίζηνηρα

φπνπ

_

x)2

( xi 1

επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 10%. Γίλνληαη

.Λα γίλεη ν έιεγρνο

t0.10,8 =1.397

,

H0 :

1 =0,

έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο

H1 :

1 >0,

ζε

t0.05,9 =1.833 θαη t0.05,8 =1.86

(β) (2.5 Κνλάδεο) Έζησ ρ κία παξαηήξεζε ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ. Θέινπκε λα ειέγμνπκε ηελ κεδεληθή ππφζεζε

H 0 :Υ

αθνινπζεί U(-1,1)

, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο

θαηαλνκή, κε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο: f(x)= 2

κέζν κ θαη δηαθχκαλζε

. Πξνηείλεηαη λα απνξξηθζεί ε

H 1 :Υ

1 H0

αθνινπζεί Λ(0.45,4) , φπνπ U(α,β) ε νκνηφκνξθε , α < ρ < β, θαη Λ(κ,

αλ |ρ|>

0

2

) ε θαλνληθή θαηαλνκή κε

. Λα βξεζεί ε ηηκή

0

έηζη ψζηε Ρ(ζθάικα

ηχπνπ I)=0.05 .Λα ππνινγηζζεί ε πηζαλφηεηα ζθάικαηνο ηχπνπ II. Γίλνληαη: G(0.70)=0.76 , G(0.25)=0.60 Θέμα 2ο: (α) (2.0 Κνλάδεο) Κηα εηαηξία παξαγσγήο δεκεηξηαθψλ επηζπκεί λα ειέγμεη ηέζζεξα δηαθνξεηηθά

Θαηάζηεκα 1

Θαηάζηεκα 2

Θαηάζηεκα 3

είδε ζπζθεπαζίαο, σο πξνο ηελ επίδξαζε ηνπο ζηηο

΢πζθεπαζία 1

12

18

15

πσιήζεηο.

ζε

΢πζθεπαζία 2

14

12

13

δηαθνξεηηθέο πεξηνρέο. Οη πσιήζεηο πνπ αληηζηνηρνχλ ζε

΢πζθεπαζία 3

19

17

21

θάζε ζπζθεπαζία θαη θάζε θαηάζηεκα, δίλνληαη ζηνλ

΢πζθεπαζία 4

24

30

25

Δπειέγεζαλ

ηξία

θαηαζηήκαηα

παξαθάησ πίλαθα. Διέγμαηε αλ ε ζπζθεπαζία επεξεάδεη ηνλ φγθν ησλ πσιήζεσλ.

F0.05,3,6 =4.76

(β) (1.5 Κνλάδα) Ζ αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ είλαη F(x)=0 ,x<0 θαη F(x)=x/2 , 0

x<1 θαη F(x) =1, x

3 ΘΑΗ = 1/2 , 1

x<2 ΘΑΗ = (x-1)/2 , 2

Λα ππνινγηζζνχλ νη πηζαλφηεηεο Ρ(|Υ-1|

2/3) , Ρ(0

Υ

x<3

1/2 ή Υ>2). Λα γξαθεί ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο

πηζαλφηεηαο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ. (γ) (1.5 Κνλάδα) Έζησ ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο: εθηηκήηξηα ηεο παξακέηξνπ

f ( x)

(

1) x , 0

x

1 . Λα ππνινγηζζεί ε

κε (i) ηελ κέζνδν ησλ ξνπψλ θαη (ii) ηελ κέζνδν κέγηζηεο πηζαλνθάλεηαο.

Θέμα 3ο: (α) (2.5 Κνλάδεο) Ο αθφινπζνο πίλαθαο πεξηέρεη ηνλ ξπζκφ νιίζζεζεο (εθαηνζηά αλά εκέξα) ηνπ παγεηψλα Υφζεδνλ ζηελ Αληαξθηηθή, κεηξεκέλν κε δχν ηξφπνπο: (i) αλά ηξηεηία, (ii) αλά πεληαεηία. ΢ηφρνο ηεο κειέηεο είλαη λα εθηηκεζεί αλ ε κεηαβιεηφηεηα ησλ κεηξήζεσλ κεηαμχ ησλ δχν ηξφπσλ είλαη δηαθνξεηηθή. Θαηαζθεπάζηε έλα 95% δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο γηα ην ιφγν ησλ δηαθπκάλζεσλ, θαη κε βάζε απηφ απνθαζίζηε αλ ππάξρεη ή φρη δηαθνξά ζηηο δηαθπκάλζεηο.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 22 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 75

76

75

77

73

yi )

73

74

74

72

72

y 2j

26649 , F0.025,6,4

Ρπζκφο νιίζζεζεο αλά ηξηεηία ( xi ) Ρπζκφο νιίζζεζεο αλά πεληαεηία (

i Γίδεηαη :

Ρ(Υ>

7

2 1 xi

5

39385 ,

j

1

U

9.2

θαη

75

74

U F0.025,4,6

6.23

φπνπ

FaU,n1,n2 )=α αλ ε Υ αθνινπζεί FnU1,n2 θαηαλνκή.

(β) (2.5Κνλάδεο) Υξεζηκνπνηψληαο ην απνηέιεζκα ηνπ πξνεγνχκελνπ εξσηήκαηνο, λα θαηαζθεπαζζεί έλα 90% δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο γηα ηε δηαθνξά ησλ κέζσλ ηηκψλ ξπζκνχ νιίζζεζεο. Γίδνληαη:

t0.05,10 =1.8125 θαη t0.10,10 =1.372

ΑΠΟ ΣΑ ΣΡΗΑ (3) ΘΔΚΑΣΑ ΛΑ ΓΡΑΦΟΤΛ ΣΑ ΓΤΟ (2)

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ - ΢ΔΠΣ 2004 Λα γραθούν δύο από ηα ηρία θέμαηα. Θέμα 1: Λα θαηαζθεπαζζεί έιεγρνο ηεο ππφζεζεο:

H 0 : Ζ ηπραία κεηαβιεηή Υ αθνινπζεί ηελ νκνηφκνξθε θαηαλνκή ζην δηάζηεκα (0 , 4) έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο H 1 : Ζ ηπραία κεηαβιεηή Υ αθνινπζεί ηελ νκνηφκνξθε θαηαλνκή ζην δηάζηεκα ( 3 , 5). Ζ απφθαζε ζα ιεθζεί κφλν κε κία παξαηήξεζε

x1

ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ, έηζη ψζηε, αλ

x1 < x1 *,

δερφκαζηε ηελ

H0 . (α) Λα βξεζεί ε ηηκή

x1 *

έηζη ψζηε ε πηζαλφηεηα λα δερζνχκε ηελ

H1 ,

φηαλ ε

H0

είλαη αιεζήο, λα είλαη 0,05. Πνηα

είλαη ηφηε ε θξίζηκε πεξηνρή ηνπ ειέγρνπ; (3 βαζκνί). (β) Λα βξεζνχλ ηα ζθάικαηα ηχπνπ Η θαη ηχπνπ ΗΗ, σο θαη ε δχλακε ηνπ ειέγρνπ. (2 βαζκνί) Θέμα 2: Γίλεηαη παξαθάησ ν πίλαθαο ηηκψλ ησλ ηπραίσλ κεηαβιεηψλ Υ θαη Τ: Υ

0

1

2

3

4

5

Τ

3,20

5,67

10,66

18,88

35,91

64,50

Τπνςηαδφκαζηε φηη ε ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηα δεδνκέλα ηνπ πίλαθα είλαη ε

Y

a

X

. Λα εθηηκεζνχλ νη ηηκέο ησλ α θαη

β πνπ δίλνπλ ηελ θαιχηεξε θακπχιε πξνζαξκνγήο ζηα δεδνκέλα. Οη δεθαδηθνί ινγάξηζκνη ησλ ηηκψλ ηεο Τ κε ηε ζεηξά πνπ εκθαλίδνληαη ζηνλ παξαπάλσ πίλαθα είλαη: 0.505, 0.754, 1.028, 1.276, 1.555 θαη 1.810.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 23 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 Θέμα 3: Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ:

f x

1 , x 1, 2,... x x 1 0,

(α) Λα δεηρζεί φηη ε ζπλάξηεζε απηή ηθαλνπνηεί ηηο ζπλζήθεο κηαο ζπλάξηεζεο ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο.

(3 βαζκνί)

(β) Να δειτθεί ότι η μαθηματική ελπίδα της κατανομής αστής δεν σπάρτει. (2 βαθμοί)

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙ - ΙΟΤ 2004 Να γπαφούν τα δύο από τα τπία ζέματα. Το έντςπο αςτό να παπαδοζεί μαδί με το γπαπτό. Καλή επητςσία!

ΘΔΚΑ 1° a. (βαζκνί 2) Αλ Φ = αχ + β θαη Υ = γΥ + δ, φπνπ α, β, γ, δ είλαη πξαγκαηηθέο ζηαζεξέο, απνδείμηε φηη: Cov(X,Υ) = αγCον(χ,y) θαη

pXY

pxy .

b. (βαζκνί 3) Οη πσιήζεηο ζε εθαη. € κηαο εηαηξείαο δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα:

Έηνο (x)

1999 2000 2001 2002 2003 2004

Πσιήζεηο (y ζε εθαη. €) 10.20 10.51 10.82 11.11 11.39 ?

(i)

Πξνβιέςηε ηηο πσιήζεηο ηνπ 2004.

(ii)

Γψζηε ηηο νηθνλνκηθέο εξκελείεο ησλ ζπληειεζηψλ παιηλδξφκεζεο πνπ ζα εθηηκήζεηε.

(iii)

Βξείηε ην πνζνζηφ ηεο ζπλνιηθήο δηαζπνξάο ησλ πσιήζεσλ, πνπ εξκελεχεηαη απφ ην ρξφλν θαη ζρνιηάζηε.

Υπόδεηξε: Αλ ζέιεηε, γηα απινπνίεζε ησλ αξηζκεηηθψλ πξάμεσλ, ρξεζηκνπνηείζηε ηνπο κεηαζρεκαηηζκνχο: Φ = σ 2001, Y = 100(y – 11) θαη ηηο ζρέζεηο ηνπ εξσηήκαηνο (α). ΘΔΚΑ 2°

Κηα ηπραία κεηαβιεηή Υ θαηαλέκεηαη ζχκθσλα κε ηηο ππνζέζεηο

H0

(ζρήκα 1) ή

H1 (ζρήκα 2).

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 24 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010

Y

Σχήμα 2

Y

Σχήμα 1

X 0

1

H0

2

0

1

9

X

: ε Υ έρεη ζ.π.π. ηεο κνξθήο ηνπ ζρήκαηνο 1.

H1 : ε Υ είλαη νκνηφκνξθε ζην (1,9) a. (βαζκνί 2) Βξείηε ηηο ζ.π.π. ησλ παξαπάλσ θαηαλνκψλ κε ηε βνήζεηα ησλ ζρεκάησλ. b. (βαζκνί 3) Αλ επί ηε βάζεη κηαο παξαηήξεζεο ν έιεγρνο είλαη: {Γέμνπ ηελ

H0

αλ

x

x1}. Τπάξρεη ηηκή ηνπ

x1 [1,2) , έηζη ψζηε: Ρ(Να δεσζείρ

H1 | H 0

είναη αλεζήρ) = 2Ρ(Να δεσζείρ

H 0 | H1 είναη αλεζήρ);

ΘΔΚΑ 3° ΢ε 24 ππαιιήινπο κηαο επηρείξεζεο δίλεηαη έλα test ζρεδηαζκέλν λα πξνβιέςεη αλ απηνί ζα αληαπνθξηζνχλ κε επηηπρία ζηα θαζήθνληα ηνπο. Κεγάια scores, ζεσξεηηθά, ζην test δείρλνπλ κεγάιε πηζαλφηεηα επηηπρίαο ζηα θαζήθνληα πνπ ζα ηνπο αλαηεζνχλ. Κεηά απφ 6 κήλεο εθηηκήζεθε ε πξφνδνο ηνπο. Σαμηλνκνχληαη ηφηε απηνί σο επηηπρφληεο, κεηξίσο επηηπρφληεο, ειάρηζηα επαξθείο θαη αλεπαξθείο. Σα scores δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: a. (βαζκνί 3) Γηα επ. ζεκ. α = 0.05 ειέγμηε αλ ππάξρεη δηαθνξά ζηελ κεηαρείξηζε ηνπο απφ ην test. b. (βαζκνί 2) Λα βξεζνχλ δηαζηήκαηα εκπηζηνζχλεο (α = 0.05) γηα ην

4 θαη ηε δηαθνξά

2

4.

Οκάδα 1 Δπηηπρφληεο

64,49,61, 57,54,44,49

Οκάδα 2 Κεηξίσο επηηπρφληεο 55,60,38,44,41,45,41 Οκάδα 3 Διάρηζηα επαξθείο

33, 19,64,38,37,31

Οκάδα 4 Αλεπαξθείο

33,22,48, 16

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 25 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010

΢τατιστική II - ΦΔΒ 2004 Θέμα 1ο (a)

(2.5 Κνλάδεο) ΢ε δείγκα 11 εξγαδνκέλσλ ζε νξγαληζκφ ηνπ Γεκνζίνπ, βξέζεθε κέζε κεληαία ακνηβή 630 επξψ, κε ηππηθή απφθιηζε 54. Αληίζηνηρα δεδνκέλα ζε νξγαληζκφ ηνπ Ηδησηηθνχ Σνκέα έδσζαλ κέζε ακνηβή 16 εξγαδνκέλσλ 690 επξψ, κε ηππηθή απφθιηζε 45. i.

Λα ειεγρζεί ε ππφζεζε ηεο ηζφηεηαο ησλ δηαθπκάλζεσλ ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5%.

ii.

Λα θαηαζθεπαζζεί ην 95% δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο γηα ηελ δηαθνξά ησλ κέζσλ ακνηβψλ ζηνπο δχν νξγαληζκνχο,

iii. Ση ππνζέζεηο θάλαηε; Γίλεηαη

(b)

F0.05,10,15

2.54

θαη

t 0.025, 25

2.06 .

(1.5 Κνλάδεο) Ζ ηπραία κεηαβιεηή Φ έρεη ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο f(x) = 2x , 0 < x < 1. Λα ππνινγηζζνχλ: i.

Ζ κέζε ηηκή θαη ε δηαθχκαλζε ηεο X

ii.

Ζ πηζαλφηεηα Ρ (

X

> 0.70), φπνπ

X

είλαη ν κέζνο φξνο ζε ηπραίν δείγκα 36 παξαηεξήζεσλ ηεο Φ . Γίλεηαη

G(0.75) = 0.77 (c)

(1.0 Κνλάδα) Αλ Ε έρεη θαλνληθή θαηαλνκή κε κέζν κεδέλ θαη δηαθχκαλζε 4.0, ε W1, έρεη ρη-ηεηξάγσλν θαηαλνκή κε 1 βαζκφ ειεπζεξίαο θαη ε W2 έρεη ρη-ηεηξάγσλν θαηαλνκή κε 2 βαζκνχο ειεπζεξίαο, λα ππνινγηζζεί ε πηζαλφηεηα Ρ (Υ

1), νπνχ

X

3 Z 2 W1 W2

. Ση ππνζέζεηο θάλαηε; Γίλεηαη

t0.20,3

1·

Θέμα 2ο (a)

(2.5 Κνλάδεο) Σα παξαθάησ δεδνκέλα αθνξνχλ ηελ απφδνζε ( y ) κία ρεκηθήο δηαδηθαζίαο σο ζπλάξηεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο (x). i.

Λα ππνινγηζζνχλ νη ζπληειεζηέο γξακκηθήο παιηλδξφκεζεο.

ii.

Λα ειεγρζεί ε ζηαηηζηηθή ζεκαληηθφηεηα ηεο θιίζεο ηεο επζείαο παιηλδξφκεζεο ζε επίπεδν 5%.

iii. Λα θαηαζθεπαζζεί ην 95% δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο γηα ηελ πξνβιεπφκελε κέζε απφδνζε θαπζίκνπ ζε επίπεδν ζεξκνθξαζίαο x0 = 6.

5

Γεδνκέλα: i 1

(b)

xi

0,

5

yi

i 1

5

5.5,

xi y i

20 ,

i 1

5 i 1

x

2 i

10 ,

5

y i2

47 .25, t 0.025,3

3.182

i 1

(1.5 Κνλάδεο) Έζησ φηη ε ηπραία κεηαβιεηή Φ αθνινπζεί ηελ νκνηφκνξθε θαηαλνκή U(α,β), κε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο

f x

1

,

x

. Θέινπκε λα ειέγρμνπκε ηελ κεδεληθή ππφζεζε Ζ0 : Υ

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 26 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 αθνινπζεί U(0,1), έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο H1 : X αθνινπζεί U(0.5,1.5). Έζησ x κία παξαηήξεζε ηεο Φ . Πξνηείλεηαη λα απνξξηθζεί ε Η0 αλ σ > σ0 . Λα βξεζεί ε ηηκή x0 έηζη ψζηε Ρ (ζθάικα ηχπνπ Η)=0.05. Λα ππνινγηζζεί ε πηζαλφηεηα ζθάικαηνο ηχπνπ II. (c)

(1.0 Κνλάδα) Έζησ φηη ε ηπραία κεηαβιεηή Φ αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή Ν (α, β 2

εθθξαζζεί ε πηζαλφηεηα Ρ( |Φ –α|

β

2

) , β > 0 . Λα

) σο ζπλάξηεζε ηνπ G(β) .

Θέμα 3ο (a)

(2.5 Κνλάδεο) Έζησ Xij, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, …, 5, δεδνκέλα απφ 3 θαλνληθνχο πιεζπζκνχο κε θνηλή δηαζπνξά, αιιά πηζαλψο δηαθνξεηηθέο κέζεο ηηκέο. Σα δεδνκέλα απηά έδσζαλ 3

5

X 1.

1, X 2.

0, X 3.

1,

θαη

2

X ij

X i.

12.

i 1 j 1

i.

Διέγμαηε ηελ κεδεληθή ππφζεζε φηη νη κέζεο ηηκέο ησλ ηξηψλ πιεζπζκψλ ζπκπίπηνπλ.

ii.

Λα θαηαζθεπαζζεί ην δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο γηα ηελ δηαθνξά κεηαμχ ησλ κέζσλ ηηκψλ ηνπ πξψηνπ θαη ηνπ ηξίηνπ πιεζπζκνχ. k

Τπφδεημε

2

ni X i.

X

. Γίλεηαη

i 1

(b)

F0.05, 2,12

3.89

θαη

t0.025,12

2.179

(1.5 Κνλάδεο) Ρίρλνπκε έλα λφκηζκα 100 θνξέο. Έζησ Φ ν αξηζκφο ησλ εκθαλίζεσλ ηνπ απνηειέζκαηνο «Γξάκκαηα», κε Ρ( «Γξάκκαηα» )=0.5 . Λα ππνινγηζζεί ε πηζαλφηεηα Ρ(45

Φ

55). (Υξεζηκνπνηήζαηε ηελ

πξνζέγγηζε ηεο Γησλπκηθήο απφ ηελ Θαλνληθή θαηαλνκή). Γίλεηαη G(l) = 0.84 (c)

(1.0 Κνλάδα) Έζησ Υ1, Υ2,…,Υn ηπραίν δείγκα απφ ηελ εθζεηηθή θαηαλνκή κε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο f(x) = ζe-ζx, x 0. Λα ππνινγηζζεί ε εθηηκήηξηα κέγηζηεο πηζαλνθάλεηαο ηεο παξακέηξνπ ζ.

ΑΠΟ ΣΑ ΣΡΗΑ (3) ΘΔΚΑΣΑ ΛΑ ΓΡΑΦΟΤΛ ΣΑ ΓΤΟ ΘΑΙΖ ΔΠΗΣΤΥΗΑ

΢τατιστική II - ΙΟΤ 2003 Να γραφούν τα δύο από τα τρία ζέματα. Το έντυπο αυτό να παραδοζεί μαδί με το γραπτό. Θέμα 1ο Γηα ηελ ηπραία κεηαβιεηή Υ γίλνληαη δχν ππνζέζεηο: Ζν: {Ζ Υ θαηαλέκεηαη νκνηφκνξθα ζην δηάζηεκα (0, 5}} Hi: {Ζ Υ θαηαλέκεηαη νκνηφκνξθα ζην δηάζηεκα (4,7)}

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 27 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 a.

(Βαζκνί 2,5) Γηα λα απνθαζίζνπκε κεηαμχ Ζν θαη Hi κε βάζε κηα παξαηήξεζε σ1 θαηαζθεπάδνπκε έλαλ έιεγρν ηνπ ηχπνπ {Αλ Υ < x1 δερφκαζηε Ζν}. Λα βξεζεί ε ηηκή x1 ψζηε ε πηζαλφηεηα λα δερζνχκε ηελ H1, αλ ε Ζν είλαη αιεζήο, λα είλαη 0.05.

b.

(Βαζκνί 2,5) Λα βξεζεί ε δχλακε ηνπ παξαπάλσ ειέγρνπ.

Θέμα 2ο Ο παξαθάησ πίλαθαο δίλεη ην βάξνο ζε γξακκάξηα θάπνηνπ δψνπ ζε ζπκπιεξσκέλεο εβδνκάδεο: Υ: Ζιηθία ζε εβδνκάδεο ........ 11 .... 12 .... 13 .... 14 .... 15..... 16 Τ: Βάξνο ζε γξακκάξηα ........ 357 .. 382... 404 .. 423 .. 440 ... 451 a.

(Βαζκνί 2) Πνηα γξακκή παιηλδξφκεζεο, ηεο Υ επάλσ ζηελ Τ ή ηεο Τ επάλσ ζηελ Υ ζα είλαη ε πην θαηάιιειε; Γηθαηνινγήζηε ηελ επηινγή ζαο, εθηηκήζηε ηελ εμίζσζε παιηλδξφκεζεο θαη εξκελεχζηε ηηο ηηκέο ησλ παξακέηξσλ πνπ ζα βξείηε.

b.

(Βαζκφο 1) Πφζν βάξνο έρεη ην δψν 17 εβδνκάδεο κεηά ηε γέλλεζε ηνπ.

c.

(Βαζκνί 2) Λα βξεζεί ν ζπληειεζηήο πξνζδηνξηζκνχ θαη λα εξκελεπζεί ε έλλνηα ηνπ.

Θέμα 3ο (a) (Βαζκνί 3) Γεκνζθφπεζε ζε δείγκα n=1610 αηφκσλ δίλεη ζην θφκκα Α 31.7% θαη ζην θφκκα Β 39.5% i.

Λνκίδεηε φηη νη ζεκεηαθέο απηέο εθηηκήζεηο είλαη αμηφπηζηεο ή φρη θαη γηαηί;

ii.

Αλ ε απάληεζε ζαο είλαη φρη, βξείηε δηαζηήκαηα εκπηζηνζχλεο ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α = 0.05.

iii. Σν ζηαηηζηηθφ ζθάικα φπσο θαη ην κέγηζην πεξηζσξηαθφ ζθάικα, (ΚΚΔ), δελ δεκνζηεχνληαη σο φθεηιαλ απφ ηνλ θψδηθα δενληνινγίαο. Βξείηε ηα. (b) (Βαζκνί 2) ΢ε 30 άηνκα, πνπ κνηξάζακε ηπραίσο ζε 3 δεθάδεο, δνθηκάζακε 3 δίαηηεο, Α, Β, θαη Γ. Ζ απψιεηα βάξνπο ζε θηιά κεηά απφ 3 κήλεο, θαίλεηαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα. Α: ..... 8 ...... 4 ........ 5 ..... 7 ..... 3 ..... 7 ...... 4...... 6 ..... 7 1 Β: ..... 11 ..... 2 ........ 7 ..... 4 ..... -1 .... 8 ...... 3...... 3 ..... 6 7 Γ: ....... 3 ...... 6 ........ 8 ..... 1 ..... 5 ..... 12 ..... 7...... 9 ..... 5 11 Λα ειεγρζεί ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α =0.05 αλ νη ηξεηο δίαηηεο δηαθέξνπλ ή φρη, σο πξνο ηελ απψιεηα βάξνπο. (Γίλνληαη: Ε0.025 = 1.96, f

2 27 0.05

= 3.32

΢τατιστική II - ΦΔΒ 2003 Να απαντεζούν τα δύο από τα τρία δετήματα. Καλή επητυχία ! ΕΖΣΖΚΑ 1 (a) (βαζκνί 2) Αλ γηα ηελ ηπραία κεηαβιεηή Υ ηζρχεη Ρ(|Υ –1| = 2) = 0, λα εθθξαζζεί ε πηζαλφηεηα Ρ(|Υ –1| Error!

Objects cannot be created from editing field codes. 2) ζπλαξηήζεη ηεο αζξνηζηηθήο θαηαλνκήο F(x). (b) (βαζκνί 3) Έζησ φηη ε ηπραία κεηαβιεηή Υ αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή κε ζ.π.π. Error! Objects cannot be created from editing field codes. Λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα Ρ(Error! Objects cannot be created from editing field codes.) σο θαη ε καζεκαηηθή ειπίδα Δ(Υ).

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 28 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 ΕΖΣΖΚΑ 2 (a) (βαζκνί 2) Έλα ηπραίν δείγκα κεγέζνπο n = 10 ειήθζε απφ θαλνληθφ πιεζπζκφ Error! Objects cannot be created from editing field codes.. Σν δείγκα έδσζε: Error! Objects cannot be created from editing field codes. = 20 θαη s = 5. Λα βξεζεί έλα 95% δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο γηα ην κέζν ηνπ πιεζπζκνχ. Γίλεηαη Error!

Objects cannot be created from editing field codes. (b) (βαζκνί 3)

΢ε θάπνην ηπρεξφ παηρλίδη έλα λφκηζκα ξίρλεηαη δπν θνξέο. Ο παίθηεο Α έμαθλα θσλάδεη: ην λφκηζκα

είλαη θάιπηθν θαη κάιηζηα εθηηκψ φηη ε πηζαλφηεηα επηηπρίαο είλαη Error! Objects cannot be created from editing field codes.. Απνθαζίδνπλ λα δερζνχλ ηελ ππφζεζε Ζ0

φηη ην λφκηζκα δελ είλαη θάιπηθν, αλ θαη εθφζνλ

ιεθζνχλ δχν επηηπρίεο ζηηο δχν ξίςεηο ηνπ λνκίζκαηνο. Λα βξεζνχλ νη πηζαλφηεηεο ησλ ζθαικάησλ ηχπνπ Η θαη ηχπνπ II (α θαη β αληίζηνηρα). ΕΖΣΖΚΑ 3 (a) (βαζκνί 3) Γηαηηνιφγνο-Γηαβεηνιφγνο ζέιεη λα γλσξίδεη αλ ππάξρεη θάπνηα δηαθνξά κεηαμχ ηξηψλ δηαθνξεηηθψλ πξνγξακκάησλ δηαίηεο γηα ηηο ππέξβαξεο γπλαίθεο. Δπέιεμε ηπραία 10 γπλαίθεο γηα ην πξφγξακκα Η, 12 γηα ην πξφγξακκα II θαη 13 γηα ην πξφγξακκα III, ην νπνίν ήηαλ ην πξφγξακκα ζην νπνίν δελ δφζεθε θακία ζπγθεθξηκέλε δίαηηα (νκάδα ειέγρνπ). ΢ηνλ παξαθάησ πίλαθα δίλνληαη ηα % πνζνζηά απψιεηαο βάξνπο, φπνπ νη αξλεηηθέο ηηκέο δείρλνπλ πνζνζηά αχμεζεο βάξνπο.

i.

Πξφγξακκα Η

5

7

8

4

10

11

6

8

-3

1

Πξφγξακκα II

1

2

5

-2

3

4

6

1

4

-3

-1

1

Πξφγξακκα III

1

-2

3

-1

0

1

-1

4

3

2

1

-2

0

Κε ηε κέζνδν ηεο Αλάιπζεο Γηαθχκαλζεο, λα βξεζεί αλ ππάξρεη ζηαηηζηηθά ζεκαληηθή δηαθνξά ζηνπο κέζνπο, γηα α = 0.05 θαη γηα α = 0.01.

ii.

Λα βξεζεί έλα 95% δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο γηα ηε δηαθνξά Error! Objects cannot be created from editing field codes.Πνην απφ ηα δχν πξνγξάκκαηα είλαη θαιχηεξν θαη γηαηί; ΓίλνληαηError! Objects cannot be created from editing field codes.

(b) (βαζκνί 2) i.

Αλ W = αΥ + b θαη Ε = cY + d, φπνπ α, c Error! Objects cannot be created from editing field codes.Ο, λα δεηρζεί φηη Error! Objects cannot be created from editing field codes.

ii.

Γηα ηηο κεηαβιεηέο Υ θαη Τ δίλνληαη ηα ζεκεία (3 , 30) θαη (4 , 9). Λα βξεζεί ε γξακκή παιηλδξφκεζεο ηεο Τ πάλσ ζηε Υ θαη ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο ησλ Υ θαη Τ. Ση παξαηεξείηε; Δμεγήζαηε.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 29 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010

΢τατιστική II – ΢ΔΠΣ 2002 Να γραφούν 2 από τα 3 ζέματα. Καλή επητυχία. Θέμα Η (βαθμοί 5) Οθηψ ππνςήθηνη δηαγσλίζηεθαλ ζηε ΢ηαηηζηηθή θαη ηα Καζεκαηηθά θαη έιαβαλ ηελ παξαθάησ βαζκνινγία: Τπνςήθηνη

Α

Β

Γ

Γ

Δ

Ε

Ζ

ζ

Καζεκαηηθά

61

40

28

60

71

17

28

47

΢ηαηηζηηθή

84

72

43

51

62

31

27

58

(a) Τπνινγίζηε ηνλ ζπληειεζηή ζπζρέηηζεο r θαηά Pearson θαη βξείηε ηελ θαιχηεξε εθηίκεζε ηνπ βαζκνχ ζηε ΢ηαηηζηηθή πνπ πξέπεη λα πάξεη ν ππνςήθηνο πνπ έραζε ηελ εμέηαζε, αιιά έιαβε 67 ζηα Καζεκαηηθά. Κε ηη πνζνζηφ εκπηζηνζχλεο ν θαζεγεηήο ζα έθαλε απηφ; (b) Διέγμηε ηελ ππφζεζε Error! Objects cannot be created from editing field codes. ελάληηα ηεο Error! Objects cannot be created from editing field codes.ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α = 0.05. (c) Διέγμηε ηελ ππφζεζε Error! Objects cannot be created from editing field codes.ελάληηα ηεοError! Objects cannot be created from editing field codes., ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α = 0.05. Γίνεηαι Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes. Θέμα ΗΗ (Βαθμοί 5) (a) Πνηα είλαη ε έλλνηα ηνπ κεγίζηνπ πεξηζσξηαθνχ ζθάικαηνο (Maximum Marginal Error); Ζ εηαηξεία δεκνζθνπήζεσλ ALCO πξαγκαηνπνίεζε δεκνζθφπεζε απφ 20 - 24 ΢επηεκβξίνπ 2002. Σν δείγκα γηα ηελ Αζήλα ήηαλ 1.200 άηνκα. Γηα ην Γήκν Αζελαίσλ έδσζε ζεκεηαθή εθηίκεζε ππέξ ελφο ππνςεθίνπ 44,3%. Δζείο πνπ κάζαηε ΢ηαηηζηηθή, πψο ζα πξέπεη λα ην εξκελεχζεηε απηφ ην πνζνζηφ κε ηε ρξήζε δηαζηήκαηνο εκπηζηνζχλεο; (b) Γχν αλεμάξηεηα δείγκαηα κεγέζνπο 60 θαη 70 επηιέγνληαη απφ πιεζπζκφ αλδξψλ (Α) θαη γπλαηθψλ (Γ) ειηθίαο 4059 εηψλ γηα λα ζπγθξηζεί ε επίδξαζε ελφο ππλσηηθνχ ραπηνχ ζηα δχν θχια. Θαηαγξάθεθε ν αξηζκφο ησλ σξψλ πνπ θνηκήζεθαλ ηα επηκέξνπο άηνκα κεηά ηε ιήςε ηνπ ραπηνχ θαη ηα απνηειέζκαηα ζπλνςίδνληαη σο εμήο:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

(i) Λα εμεηαζηεί αλ ε επίδξαζε ηνπ ππλσηηθνχ ραπηνχ είλαη ίδηα ζηνπο άλδξεο θαη ζηηο γπλαίθεο. (ii) Πνηα είλαη ε αθξηβήο πηζαλφηεηα ηεο παξαηεξνχκελεο ηηκήο ηνπ θαηάιιεινπ ζηαηηζηηθνχ; Γειαδή βξείηε ηελ pvalue. Γίνεηαι: Ε0.025=1.96 και G (3.19) = 0,9993. Θέμα ΗΗΗ (βαθμοί 5) Σέζζεξηο δηαθνξεηηθέο κάξθεο ειαζηηθψλ απηνθηλήηνπ κε ηξία set ζηελ θάζε κάξθα ειέγρνληαη ζην ίδην απηνθίλεην θαη θάησ απφ ηηο ίδηεο ζπλζήθεο. Ο κέζνο αξηζκφο πνδψλ πνπ απαηηείηαη γηα λα ζηακαηήζνπλ ηξέρνληαο κε 10 κίιηα/ψξα θαηαγξάθεηαη γηα θάζε νκάδα ησλ ηεζζάξσλ ηχπσλ. Σύπος Η:

22

24

23

Σύπος ΗΗ:

23

26

23

Σύπος III:

24

26

25

Σύπος IV:

24

25

23

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 30 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 a.

Τπνζέηνληαο φηη ν κέζνο αξηζκφο πνδψλ πνπ απαηηείηαη γηα ην ζηακάηεκα είλαη θαλνληθά θαηαλεκεκέλνο, ειέγμηε ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α = 0.05 ηελ πνηφηεηα ησλ ηεζζάξσλ ηχπσλ ειαζηηθψλ, δειαδή αλ ππάξρνπλ δηαθνξέο ζηηο απνδφζεηο ηνπο.

b.

Βξείηε έλα 95% δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο γηα ηε δηαθνξά Error! Objects cannot be created from editing field codes. Γίλεηαη ην P0,05, 3.5 = 4.07 & t

0,025 .8

= 2.31

΢τατιστική II - ΢ΔΠΣ 2001 Να γραφούν τα δύο ζέματα από τα. τρία. Το έντυπο αυτό να παραδοζεί μαδί με το γραπτό. Καλή επητυχία. ΘΔΚΑ 1ο a.

(βαζκνί 2) Έλα εξγνζηάζην θαηαζθεπάδεη ζσιήλεο, ε δηάκεηξνο ησλ νπνίσλ θαηαλέκεηαη θαλνληθά κε κέζε ηηκή 0,498 ίληζεο θαη ηππηθή απφθιηζε 0,002 ίληζεο. Αλ νη ηερληθέο πξνδηαγξαθέο απαηηνχλ φπσο νη ζσιήλεο έρνπλ δηάκεηξν 0,5 ίληζεο κε απφθιηζε απφ ηελ ηηκή απηή ±0,004 ίληζεο, ηη πνζνζηφ ηεο παξαγσγήο δελ ζα είλαη απνδεθηφ; Γίλνληαη G(l) = 0,8413 θαη G(3) = 0,9987.

b.

(βαζκνί 3) Έλαο θηελνηξφθνο ζέιεη λα κάζεη αλ ζα παρχλνπλ ηα δψα ηνπ κε ην λα ηνπο δίλεη έλα ζπκπιήξσκα ζηελ ηξνθή ηνπο. Γηαιέγεη ζηελ ηχρε 20 δψα θαη ηα ρσξίδεη ζε δχν νκάδεο ησλ 10. Γηα έλα ρξνληθφ δηάζηεκα δίλεη ζηελ πξψηε νκάδα ην θαλνληθφ θαγεηφ, ελψ ζηε δεχηεξε νκάδα δίλεη θαη ην ζπκπιήξσκα. Θαηαγξάθνληαη κεηά ηα βάξε ησλ δψσλ θαη βξίζθεηαη φηη Error! Objects cannot be created from editing field codes.. ΢ε ηη ζπκπέξαζκα ζα θαηαιήμεη ν θηελνηξφθνο; Γίλνληαη: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

ΘΔΚΑ 2° a.

(βαζκνί 2) Ζ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ είλαη:

f x

kx, 0 x 2 0, αλλού

Λα βξεζεί ε αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε θαηαλνκήο πηζαλφηεηαο ηεο Υ θαη λα ππνινγηζζεί ε πηζαλφηεηα φπσο ε Υ πάξεη ηηκέο ζην δηάζηεκα [1/2,3/2]. b.

(βαζκνί 3) Έλαο αληηθαπληζηηθφο νξγαληζκφο ηζρπξίδεηαη φηη ηα 3/4 ηνπ πιεζπζκνχ κηαο πφιεο θαπλίδνπλ. Ιακβάλνληαο έλα ηπραίν δείγκα 50 αηφκσλ βξήθακε φηη 31 απφ απηνχο θαπλίδνπλ, (i)

Διέγμαηε, ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5%, ηνλ ηζρπξηζκφ απηφ.

(ii)

΢ηε ζπλέρεηα βξείηε έλα δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο γηα ηελ αλαινγία ησλ θαπληζηψλ ζην ίδην επίπεδν εκπηζηνζχλεο,

(iii)

Απφ ηηο δχν πξνεγνχκελεο δηαδηθαζίεο πξνθχπηεη κηα νπζηψδεο αληηλνκία. Πνηα είλαη απηή θαη πσο ηε δηθαηνινγείηε;

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 31 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 Γίλεηαη Error! Objects cannot be created from editing field codes. = 1,96. ΘΔΚΑ 3° ΢ε κηα πξφηππε κνλάδα θαιιηέξγεηαο ληνκάηαο ζπγθεληξψζεθαλ εβδνκαδηαία ζηνηρεία παξαγσγήο Υ (ζε ηφλνπο εκπνξεχζηκνπ πξντφληνο) θαη αληίζηνηρνπ θφζηνπο Τ (ζε ρηιηάδεο δξαρκψλ) γηα έλα δηάζηεκα 12 ζπλερφκελσλ εβδνκάδσλ. Σα ζηνηρεία απηά έδσζαλ: Error! Objects cannot be created from editing field codes. a.

(βαζκνί 2) Λα εθηηκεζεί ε εμίζσζε παιηλδξφκεζεο ηνπ θφζηνπο Τ επί ηεο παξαγσγήο X θαη λα εξκελεπζνχλ νη ζπληειεζηέο ηεο κε ζπγθεθξηκέλνπο νηθνλνκηθνχο φξνπο.

b.

(βαζκνί 2) Λα ππνινγηζζεί θαη λα εξκελεπζεί ν ζπληειεζηήο πξνζδηνξηζκνχ R2 θαη κε βάζε απηφλ λα ειεγρζεί ε ππφζεζε Error! Objects cannot be created from editing field codes. έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο Error! Objects cannot be created from editing field codes.ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5%. Γίλεηαη: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

c.

(βαζκφο 1) Λα πξνζδηνξηζζεί έλα δηάζηεκα πξφβιεςεο, ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5%, γηα ην αλακελφκελν (κέζν) θφζηνο, φηαλ ε εβδνκαδηαία παξαγσγή ληνκάηαο γίλεη 25 ηφλνη. Γίλεηαη: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

΢τατιστική II - ΦΔΒ 2001 Να γραφούν τα δύο ζέματα από τα τρία. Το έντυπο αυτό να παραδοζεί μαδί με τα γραπτά ΘΔΚΑ 1ο a.

(βαζκνί 2) Ζ η.κ. Υ έρεη ζ.π.π.: Error! Objects cannot be created from editing field codes. φπνπ k ζηαζεξά. Λα βξεζεί ε αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε θαηαλνκήο πηζαλφηεηαο ηεο Υ θαη λα ππνινγηζζεί ε πηζαλφηεηα Error! Objects cannot be created from editing field codes.

b.

(βαζκνί 3) Έλαο απφθνηηνο ηνπ Σκήκαηνο καο έρεη δχν πξνζθνξέο απαζρφιεζεο κε ηνλ ίδην κηζζφ απφ δχν εηαηξείεο ζε δηαθνξεηηθέο πφιεηο. Γηα λα απνθαζίζεη πνηα πξνζθνξά ζα δερζεί κειεηά ην θφζηνο ελνηθίνπ ζηηο δχν πφιεηο. Υξεζηκνπνηψληαο ηηο «Κηθξέο Αγγειίεο» βξίζθεη 20 δηακεξίζκαηα ζε θάζε πφιε θαη παξαηεξεί φηη ε κέζε ηηκή ελνηθίνπ ζηελ πφιε Α είλαη 70 ρηι. δξρ. κε ηππηθή απφθιηζε 5 ρηι, δξρ. θαη ζηελ πφιε Β 75 ρηι. δξρ. κε ηππηθή απφθιηζε 3,6 ρηι, δξρ. Κε ηε βνήζεηα ηνπ (ησλ) θαηάιιεινπ (θαηάιιεισλ) ειέγρνπ (ειέγρσλ) ππφζεζεο βνεζείζηε ηνλ απφθνηην λα επηιέμεη ζε πνηα πφιε ζα πάεη. Γίλνληαη: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

ΘΔΚΑ 2° (a) (βαζκνί 2) Ζ η.κ. Υ αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή Γάκκα κε παξακέηξνπο α = β = 2. Ζ η.κ. Ε αθνινπζεί ηελ ηππνπνηεκέλε θαλνληθή θαηαλνκή, ελψ ε η.κ. Τ δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν: Error! Objects cannot be created from

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 32 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 editing field codes. Λα ππνινγηζζνχλ νη πηζαλφηεηεο: Ρ(Υ < 6) θαη Ρ(Τ > 7,7) . Γίλνληαη: Error! Objects cannot be created from editing field codes. (b) (βαζκνί 3) Ο παξαθάησ πίλαθαο πεξηέρεη ηνπο βαζκνχο απνιπηεξίνπ Ιπθείνπ θαη ηνπο κέζνπο φξνπο ηνπ πξψηνπ έηνπο 8 θνηηεηψλ θαη θνηηεηξηψλ ηνπ Σκήκαηνο καο.

Βαζκφο απνιπηεξίνπ Ιπθείνπ

18

15

17

16

13

19

18

Κέζνο φξνο πξψηνπ έηνπο

7

7

5

5

3

8

7

15 6

(i) Λα εθηηκεζνχλ ν ζπληειεζηήο θιίζεο θαη ν ζηαζεξφο φξνο ηεο θαηάιιειεο παιηλδξφκεζεο θαη λα εξκελεπζεί ν ζπληειεζηήο θιίζεο. (ii) Τπάξρεη θαηά ηε γλψκε ζαο ζρέζε κεηαμχ ηνπ βαζκνχ απνιπηεξίνπ θαη ηνπ κέζνπ φξνπ πξψηνπ έηνπο; Γηθαηνινγήζαηε ηελ απάληεζε ζαο. (iii) Λα ππνινγηζηνχλ ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο θαη ν ζπληειεζηήο πξνζδηνξηζκνχ γηα ηα παξαπάλσ δεδνκέλα. Πνηα είλαη ε εξκελεία ηνπ ζπληειεζηή πξνζδηνξηζκνχ; Γίλεηαη: Error! Objects cannot be created from editing field codes. ΘΔΚΑ 3ο Γχν εξσηεκαηνιφγηα ησλ 20 εξσηήζεσλ ην θαζέλα, πνπ ειήθζεζαλ απφ ην βηβιίν «The Ultimate Pop Quiz Book, 1998», εδφζεζαλ ζε ηπραία επηιεγκέλν δείγκα, πνπ απνηειείην απφ 24 θνηηεηέο θαη 24 θαζεγεηέο ελφο Παλεπηζηεκίνπ, κε ζθνπφ λα ειέγμνπλ ηε γλψζε ηνπο γχξσ απφ ηελ pop κνπζηθή. Γψδεθα άηνκα απφ θάζε νκάδα (θνηηεηψλ θαη θαζεγεηψλ) απάληεζαλ ζε εξσηήζεηο ζρεηηθέο κε ηελ pop κνπζηθή ηεο δεθαεηίαο ηνπ '60, ελψ νη ππφινηπνη απάληεζαλ ζε εξσηήζεηο ζρεηηθέο κε ηελ pop κνπζηθή ηεο δεθαεηίαο ηνπ ‘90. Οη αξηζκνί ησλ ζσζηψλ απαληήζεσλ (κέγηζην ην 20) παξνπζηάδνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα.

Οκάδα,/Γεθαεηία

Αξηζκφο ζσζηψλ απαληήζεσλ

Error! Error!

Ob-

Ob-

jects

jects

can-

can-

not

not be

be

creat-

cre-

ed

ated

from

from

edit-

edit-

ing

ing

field

field

codes.

codes . Φνηηεηέο/Γεθαεηία ‘60

6

3

5

5

0

16

16

11

4

16

16

11

109

1377

Φνηηεηέο/Γεθαεηία ‘90

12

17

18

19

20

16

18

18

10

16

18

19

201

3463

Θαζεγεηέο/Γεθαεηία ‘60

10

16

7

19

18

6

7

3

12

14

18

15

145

2073

Θαζεγεηέο/Γεθαεηία ‘90

11

10

2

16

6

2

10

3

5

7

0

9

81

785

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 33 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010 Λα ειεγρζεί, ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5%, αλ ππάξρνπλ ζηαηηζηηθά ζεκαληηθέο δηαθνξέο ζηε γλψζε ηεο pop κνπζηθήο κεηαμχ ησλ νκάδσλ (θνηηεηψλ θαη θαζεγεηψλ) θαζψο θαη κεηαμχ ησλ δεθαεηηψλ (‘60 θαη ‘90). Λα ειεγρζεί επίζεο θαη αλ ππάξρεη αιιεινεπίδξαζε κεηαμχ νκάδσλ θαη δεθαεηηψλ. Γίλεηαη: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

www.dap-oikonomikou.gr Βπείηε ζηην ιζηοζελίδα μαρ: Ιζηοπία Πποηάζειρ Εκδηλώζειρ Χπήζιμα Links Downloads Ψςσαγωγία Ανακοινώζειρ Ππογπάμμαηα μαθημάηων & εξεηαζηικήρ Οδηγόρ Σποςδών Ύλη μαθημάηων Παλαιόηεπα θέμαηα μαθημάηων Λςμένα θέμαηα μαθημάηων Μεηαπηςσιακά Επίκαιπη απθογπαθία

Και πολλέρ ακόμη σπήζιμερ πληποθοπίερ …

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 34 από 34

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Σηαηιζηική II – Αππίλιορ 2010

www.dap-oikonomikou.gr

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr – Σελίδα 35 από 35