Η ΔΑΠ-Οικονομικού, ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟΝ ΦΟΙΤΗΤΗ, τώρα και με τθν επανζκδοςθ των κεμάτων παλαιότερων εξεταςτικών ςε όλα τα μακιματα. Τα παλαιότερα κα τα βρείτε ςτα τραπεηάκια τθσ ΔΑΠ ςε φυλλάδια και ςθμειώςεισ, κακώσ και ςε θλεκτρονικι μορφι ςτο DVD και ςτο site μασ, www.dap-oikonomikou.gr μαηί με άλλο χριςιμο υλικό.
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
Περιεχόμενα Περιεχόμενα ................................................................................................................................ 1 Οικονομετρία – Σεπτζμβριοσ 2010 ............................................................................................. 2 Οικονομετρία – Ιοφνιοσ 2010 ...................................................................................................... 3 Οικονομετρία – Ιανουάριοσ 2010 ............................................................................................... 4 Οικονομετρία – Σεπτζμβριοσ 2009 ............................................................................................. 5 Οικονομετρία – Ιοφνιοσ 2009 ...................................................................................................... 7 Οικονομετρία – Φεβρουάριοσ 2009 ........................................................................................... 8 Οικονομετρία – Ιανουάριοσ 2008 ............................................................................................. 10 Οικονομετρία – Σεπτζμβριοσ 2007 ........................................................................................... 12 Οικονομετρία – Ιοφνιοσ 2007 .................................................................................................... 14 Οικονομετρία – Ιανουάριοσ 2007 ............................................................................................. 16 Οικονομετρία – Σεπτζμβριοσ 2006 (εμβόλιμθ) ........................................................................ 18 Οικονομετρία – Ιοφνιοσ 2006 .................................................................................................... 21 Οικονομετρία – Ιανουάριοσ 2006 ............................................................................................. 23 Οικονομετρία – Σεπτζμβριοσ 2005 ........................................................................................... 24 Οικονομετρία – Ιοφνιοσ 2005 .................................................................................................... 26 Οικονομετρία – Φεβρουάριοσ 2005 ......................................................................................... 29 Οικονομετρία – Σεπτζμβριοσ 2004 ........................................................................................... 31 Οικονομετρία – Ιοφνιοσ 2004 .................................................................................................... 33 Οικονομετρία – Φεβρουάριοσ 2004 ......................................................................................... 36 Οικονομετρία – Φεβρουάριοσ 2003 ......................................................................................... 37 Οικονομετρία – Φεβρουάριοσ 2002 ......................................................................................... 39 Οικονομετρία – Φεβρουάριοσ 2000 ......................................................................................... 41
1
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
Οικονομετρία – Σεπτέμβριος 2010 Θέμα 1ο: Κε βάζε ζηνηρεία απφ ηελ ειιεληθή νηθνλνκία πνπ αθνξνχλ ηελ θαηαλάισζε θαπλνχ (Y) ην δείθηε ηηκψλ θαπλνχ (X1), ην δείθηε ηηκψλ πνηψλ (X2), ην θαζαξφ εζληθφ εηζφδεκα (X3) θαη ηηο δαπάλεο γηα εθπαίδεπζε (X4), αλ ε θαηαλάισζε θαπλνχ, ην θαζαξφ εζληθφ εηζφδεκα θαη νη δαπάλεο γηα ηελ εθπαίδεπζε εθθξαζζνχλ ζε εθαη. δξαρκέο ζε ζηαζεξέο ηηκέο 1970 θαη νη δείθηεο ηηκψλ θαπλνχ θαη πνηψλ ζε έηνο βάζεο 1970, εθαξκφδνληαο ηε κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ έρνπκε γηα ηελ πεξίνδν 1970 έσο 1991 φηη: ̂ (1) (
)
(
)
(
)
(
(
)
)
̅ ̂
(
)
(
)
(
(2)
)
̅ (α)(Βαζκνί 2.0) Λα ειεγρζνχλ ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5% αλ ε εηζαγσγή ησλ κεηαβιεηψλ Υ3 θαη Υ4 βειηίσζε ζηαηηζηηθά ζεκαληηθά ηελ εξκελεπηηθή ηθαλφηεηα ηεο (2) ζπλάξηεζεο παιηλδξφκεζεο. Απφ ηελ εθηίκεζε κε ηελ κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ηεο παιηλδξφκεζεο ηεο θαηαλάισζεο θαπλνχ πάλσ ζηνπο δείθηεο ηηκψλ θαπλνχ θαη πνηψλ έρνπκε γηα ηελ πεξίνδν 1970-1980: ̂ (3) (
)
(
)
(
)
̅ Γηα ηελ πεξίνδν 1981-1991: ̂ (
)
(
)
(
(4)
)
̅ (β)(Βαζκνί 2.0) Λα ειεγρζεί ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5%, αλ νη δείθηεο ηνπ θαπλνχ θαη ησλ πνηψλ επεξεάδνπλ ην ίδην ηελ θαηαλάισζε θαπλνχ θαηά ηηο πεξηφδνπο 1970-1980 θαη 1981-1991 (γ)(Βαζκνί 1.0) Υξεζηκνπνηψληαο ηε θαηάιιειε ςεπδνκεηαβιεηή εθθξάζαηε ηελ παιηλδξφκεζε (ή παιηλδξνκήζεηο) πνπ πξέπεη λα εθηηκεζεί (ή εθηηκεζνχλ) κε ηελ κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ θαη αλαπηχμαηε ελαιιαθηηθή δηαδηθαζία ειέγρνπ πξνθεηκέλνπ λα ειεγρζεί ε πξνεγνχκελε ππφζεζε (Δξψηεκα (β)). εκείσζε: Λα δνζνχλ νη ηηκέο ηεο ςεπδνκεηαβιεηήο γηα ηελ πεξίνδν 1970-1991 Θέμα 2: ( ) (α)(Βαζκνί 2.5) Θεσξείζηε ην ππφδεηγκα (1). (η) Αλ ηζρχεη πνηεο ζα είλαη νη ηδηφηεηεο ησλ OLS εθηηκεηξηψλ ηεο (1); (u) Θέινπκε λα ειέγμνπκε ηελ ππφζεζε . Λα εμεγήζεηε ηνλ ηξφπν ππνινγηζκνχ θαηάιιειεο ζηαηηζηηθήο ειέγρνπ ( ) κε βάζε ηελ εθηηκήηξηα πνπ πξνηείλεηε σο θαηάιιειε φηαλ (β)(Βαζκνί 2.0) Δθηηκήζεθαλ νη αθφινπζεο παιηλδξνκήζεηο κε OLS (1), (0.5) (0.2)
,
(0.01)
̂ ̂ ̂ (2), (0.5) (0.2) (0.7) ζε έλα δείγκα 100 παξαηεξήζεσλ. Ση κπνξείηε λα ζπκπεξάλεηε γηα ηα ηπραία ζθάικαηα uη; Κε βάζε ηα απνηειέζκαηα απηά κπνξείηε λα δερζείηε (ηελ ζηαηηζηηθή ππφζεζε) φηη ν ζπληειεζηήο κεηαβιεηήο yt-1 είλαη δηαθνξεηηθφο απφ 0 ζηελ παιηλδξφκεζε (1); Δμεγείζηε (γ)(Βαζκνί 0.5)Έζησ φηη ζε κηα OLS παιηλδξφκεζε ην θξηηήξην Durbin-Watson (DW) ππεξβαίλεη ηελ θξίζηκε ηηκή. Απηφ ζεκαίλεη ζε θάζε πεξίπησζε φηη ππάξρεη απηνζπζρέηηζε πξψηεο ηάμεο; (Δμεγείζηε) Θέμα 3ο:
2
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
Έζησ φηη ην επηζπκεηφ επίπεδν Y* ηεο Τ πξνζδηνξίδεηαη απφ ην ππφδεηγκα Σύκθσλα κε ην ππόδεηγκα κεξηθήο αλαπξνζαξκνγήο ηζρύεη ( ) Δθηηκήζεθε ην αθόινπζν ππόδεηγκα κε ηελ κέζνδν OLS: ̂ (1) , (
)
(
)
Όπνπ νη αξηζκνί ζε ( ) είλαη ηα ηππηθά ζθάικαηα. (α)(Βαζκνί 2.5) i) Να ππνινγηζηεί ε ηηκή ηνπ βαζκνύ πξνζαξκνγήο είλαη κεγαιύηεξνο ηνπ 0.6 (α=0.05). ii) Να ππνινγηζηνύλ ν καθξνρξόληνο θαη βξαρπρξόληνο πνιιαπιαζηαζηήο ηεο Υ σο πξνο ηελ Φ. (β)(Βαζκνί 2.5) Έζησ όηη (2) Τη ζπκπεξάζκαηα πξνθύπηνπλ γηα ηηο ηδηόηεηεο ησλ OLS εθηηκεηώλ θαη ησλ ηππηθώλ ζθαικάησλ ζηελ (1); Αηηηνινγείζηε. Με βάζε ηελ πιεξνθόξεζε πνπ δίλεηαη ζηε ζρέζε (2) κπνξείηε λα πξνηείλεηε ελαιιαθηηθή κέζνδν εθηίκεζεο ηεο (1) πνπ πξνηηκάηαη σο πξνο ηηο ηδηόηεηεο ησλ εθηηκεηώλ;
Γίλνληαη:
. Να δνζνύλ απαληήζεηο δύν ζέκαηα Τν θύιιν ησλ ζεκάησλ λα παξαδίδεηαη κε ην γξαπηό κέρξη ηηο 18:30
Οικονομετρία – Ιούνιος 2010 Θέμα 1: Γίλεηαη ην ππφδεηγκα δήηεζεο εηζαγσγψλ: Όπνπ Κ = εηζαγσγέο, Τ = εζληθφ εηζφδεκα, ΡD = δείθηεο ηηκψλ εγρσξίσλ πξντφλησλ θαη ΡΡ = δείθηεο ηηκψλ μέλσλ πξντφλησλ. Κε δείγκα Σ = 64 εηεζίσλ παξαηεξήζεσλ εθηηκήζεθε (νη αξηζκνί κέζα ζηηο παξελζέζεηο είλαη ηα αληίζηνηρα ηππηθά ζθάικαηα) κε ηε κέζνδν ειάρηζησλ ηεηξαγψλσλ (Δ.Σ.) ην (1) θαη έδσζε ηελ εμίζσζε: ̂ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ (
κε ∑ ̂ ̂ (̂
̂ (̂ ̂ )
̂ )
̂ (̂
)
(
)
(
)
(
)
̂ )
.
Δθηηκήζεθε αθφκε (κε Δ.Σ.) ε παξαθάησ παξαιιαγή ηνπ ππνδείγκαηνο (1): ̂ ̂ ) ⏟ ⏟( (
)
κε ∑ ̂ . Λα ειεγρζνχλ ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5%, νη παξαθάησ ππνζέζεηο: (α)(Βαθμοί 0,5) έλαληη ηεο . (β)(Βαθμοί 0,5) έλαληη ηεο . (γ)(Βαθμοί 2) έλαληη ηεο . (δ)(Βαθμοί 2) έλαληη ηεο . Θέμα 2: Γίλεηαη ην αθφινπζν ππφγεηγκα (1) (2) Όπνπ QD, QS =ε δεηνχκελε θαη ε πξνζθεξφκελε, αληίζηνηρα, πνζφηεηα ελφο αγξνηηθνχ αγαζνχ, Ρ= ε ηηκή ηνπ αγαζνχ θαη W=δείθηεο βξνρφπησζεο. Γεδνκέλνπ φηη: ̅
3
̅
̅
∑
∑
www.dap-oikonomikou.gr
∑
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
̅ ̅ ̅ δεηείηε: Όπνπ (α)(Βαθμοί 1)Να εμεηάζεηε ηελ ηαπηνπνίεζε ησλ εμηζώζεσλ ηνπ ππνδείγκαηνο. (β)(Βαθμοί 1)Να εθηηκήζεηε θάζε εμίζσζε κε ηελ θαηαιιειόηεξε κέζνδν εθηίκεζεο. (γ)(Βαθμοι 1)Να πεξηγξάςεηε πιήξσο ηε δηαδηθαζία εθηίκεζε ηεο (1) κε ηε κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ ζε δπνζηάδηα (2SLS), σο ζπλέρεηα ηεο δηαδηθαζίαο πνπ έρεηε ήδε εθαξκόζεη ζην εξώηεκα (β). (δ)(Βαθμοί 2)Αλ ηξνπνπνηεζεί ε εμίζσζε δήηεζεο ηνπ αγαζνύ (1), δηά ηεο πξνζζήθεο ηεο κεηαβιεηήο Υ=εηζόδεκα: (3). Εεηήηαη λα ρξεζηκνπνηήζεί θαηάιιεια, ςεπδνκεηαβιεηή D1, ώζηε λα ειεγρζνύλ νη επηπηώζεηο ζηε ζπλάξηεζε δήηεζεο (3), ζε πεξηόδνπο πνπ αζθείηε πνιηπηθή ζπγθξάηεζεο ηηκώλ θαη κηζζώλ. Δηδηθόηεξα λα ειεγρζεί αλ εζπλαάξηεζε δήηεζεο αιιάδεη ζέζε θαη ηαπηόρξνλα γίλεηαη ιηγόηεξν ειαζηηθή σο πξνο ηελ ηηκή θαη σο πξνο ην εηζόδεκα. Αθνινύζσο, λα δνζνύλ νη ππνζέζεηο πνπ ζεσξείηε όηη πξέπεη λα ειεγρζνύλ θαζώο θαη ηα αληίζηνηρα, ζηαηηζηηθά θξηηήξηα πνπ πξέπεη λα εθαξκνζζνύλ. Θέμα 3: Έζησ ην ππόδεηγκα κεξηθήο πξνζαπκνγήο γηα ηε ζπλάξηεζε δήηεζεο ηξνθίκσλ: (1) (
)
(
(2)
)
Όπνπ: Q= δαπάλεο γηα ηξόθηκα ζε ζηαζεξέο ηηκέο, P= δείθηεο ηηκώλ ηξνθίκσλ, G=γεληθόο δείθηεο ηηκώλ θαηαλάισζεο, Φ= ζύλνιν δαπαλώλ θαηαλάισζεο, Q*= επηζπκεηό επίπεδν θαηαλάισζεο ηξνθίκσλ, u= ηπραίν ζθάικα θαη e=βάζε ινγαξίζκσλ. Με βάζε ην παξαπάλσ ππόδεηγκα, εθηηκήζεθε γηα ηελ ειιεληθή νηθνλνκία ε αθόινπζε ζπλάξηεζε, γηα 35 ζπλερή έηε, κε ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ: ̀ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ (3) (
)
(
)
(
κε
)
(
)
(
(
)( )
(
)
) θαη
(
) .
(α)(Βαθμοί 2) Να βξεζνύλ νη εθηίκεζε ησλ παξακέηξσλ α1, α2, α3, γ ηνζ ππνδείγκαηνο (1) θαη (2). (β)(Βαθμοί 1) Γηα ην ππόδεηγκα, από ηελ εθηίκεζε ηνπ νπνίνπ, πξνέθπςε ε ζρέζε (3), λα εμεηαζζεί κε δύν ηξόπνπο αλ ππάξρεη απηνζπζρέηηζε, γηα α=0,05 επίπεδν ζελαληηθόηεηαο. (γ)(Βαθμοί 1) Γηα ην ππόδεηγκα, από ηελ εθηίκεζε ηνπ νπνίνπ, πξνέθπςε ε ζρέζε (3), λα εμεηαζζεί ε ππόζεζε νκνζθεδαζηηθόηεηαο, γηα α=0.05 επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο (δ)(Βαθμοί 1) Έηλαη δπλαηή, κε ηε κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ , ε εθηίκεζε ηνπ ππνδείγκαηνο, άπν ηελ εθηίκεζε ηνπ νπνίνπ πξνέθπςε ε ζρέζε (#), αλ ηζρύεη: (i) G+P=ι (ζεηηθή ζηαζεξά); Να εμεηαζζεί ρσξηζηά θάζε πεξίπησζε θαη λα αηηηνινγεζεί ε απάληεζή ζαο.
Γίλνληαη:
. Να δοθούν απανηήζεις ζε δύο θέμαηα.
Οικονομετρία – Ιανουάριος 2010 ΘΔΜΑ 1 Έζησ φηη εθηηκήζεθε ην αθφινπζν ππφδεηγκα κε ηελ κέζνδν OLS απφ δείγκα 24 αηφκσλ: (1) ̂ i= +0.3Mi-0.96Di, R2=0.4 (0.12) (0.05)
(0.04)
φπνπ νη αξηζκνί ζε ( ) είλαη ηππηθά ζθάικαηα, Τi: ην εηήζην εηζφδεκα (ζε ρηιηάδεο επξψ), Κi: ην επίπεδν κφξθσζεο (ζε ρξφληα) θαη Di=1, αλ ην άηνκν είλαη γπλαίθα. α) (βαζκνί: 0.5) Πνηφ είλαη ην εθηηκψκελν εηήζην εηζφδεκα i) ελφο άλδξα κε 6 ρξφληα κφξθσζεο θαη ii) κηαο γπλαίθαο κε 9 ρξφληα κφξθσζεο;
4
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
β) (βαζκνί: 1) Λα γίλεη έιεγρνο ζηαηηζηηθήο ζεκαληηθφηεηαο ηνπ ππνδείγκαηνο (α=0.05). γ) (βαζκνί: 1) Λα ειεγρζεί ζηαηηζηηθά ε ππφζεζε φηη γηα δεδνκέλν επίπεδν κφξθσζεο ην εηζφδεκα ηνπ άλδξα ππεξβαίλεη ην εηζφδεκα ηεο γπλαίθαο (α=0.05) δ) (βαζκνί: 0.5) Έζησ φηη ν εξεπλεηήο ζέιεη λα εμεηάζεη ηελ επίδξαζε ηεο εξγαζηαθήο πξνυπεξεζίαο ζην εηζφδεκα θαη ζπκπεξηιακβάλεη ζηελ (1) ηελ εξκελεπηηθή κεηαβιεηή Πi=Hi-Mi-5, φπνπ Ζi είλαη ε ειηθία. Θα κπνξνχζε λα ππάξρεη πξφβιεκα ζηελ εθηίκεζε ηεο (1); Δμεγείζηε. ε) (βαζκνί: 2) Έζησ ηψξα φηη ν εξεπλεηήο ππνςηάδεηαη φηη ε δηαζπνξά ( ) ηνπ δηαηαξαθηηθνχ φξνπ είλαη κηα γξακκηθή ζπλάξηεζε ηνπ επηπέδνπ κφξθσζεο (Κ i). Λα αλαθέξεηε θαη λα πεξηγξάςεηε 2 δηαδηθαζίεο ειέγρνπ ηεο ελ ιφγσ ππφζεζεο. ΘΔΜΑ 2 Έζησ ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο Cobb-Douglas Τη=β0 εt Όπνπ Τt: ην πξντφλ, Θt: ην απφζεκα ηνπ θεθαιαίνπ θαη Lt: ν ζπληειεζηήο εξγαζίαο. Έζησ φηη εθηηκήζεθε ην αθφινπζν ππφδεηγκα κε ηελ κέζνδν OLS απφ δείγκα 20 ρξφλσλ: (1) ln( ̂ t)=-7.2+0.4ln(Kt)+0.5ln(Lt), R2=0.5 (0.12) (0.02)
(0.01)
φπνπ νη αξηζκνί ζε ( ) είλαη ηππηθά ζθάικαηα. α) (βαζκνί: 1) Λα ειεγρζεί ζηαηηζηηθά ε ππφζεζε φηη ε ειαζηηθφηεηα ηνπ πξντφληνο σο πξνο ην θεθάιαην είλαη κηθξφηεξε ηεο κνλάδαο (α=0.05) β) (βαζκνί: 1) Λα ειεγρζεί ζηαηηζηηθά ε ππφζεζε φηη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο έρεη ζηαζεξέο απνδφζεηο θιηκαθαο, αλ ζην δείγκα ηζρχεη ̂ ( ̂ 1, ̂ 2)0.5 (α=0.05). γ) (βαζκνί: 1) Έζησ ηψξα φηη δίλεηαη ε ζηαηηζηηθή ειέγρνπ DW=0.2 γηα ηελ εθηηκψκελε εμίζσζε (1). Ση κπνξείηε λα ζπκπεξάλεηε γηα ηηο ηδηφηεηεο ησλ OLS εθηηκήζεσλ ησλ ζπληειεζηψλ ηεο (1); Πνηέο είλαη νη ζπλέπεηεο ζηνπο ειέγρνπο πνπ θάλακε ζηα εξσηήκαηα α) θαη β); δ) (βαζκνί: 2) Έζησ ηψξα φηη εθηηκήζεθε ην αθφινπζν ππφδεηγκα κε ηελ κέζνδν OLS απφ δείρλεη 19 ρξφλσλ: (2) ln( ̂ t)=-2.1+0.2ln(Kt)+0.3ln(Lt)+0.8ln(Yt-1), R2=0.9, DW=0.4 (0.16) (0.1)
(0.05)
(0.01)
Αμηνπνηψληαο φιεο ηηο πιεξνθνξίεο, εμεγείζηε πνηά απφ ηηο δχν εθηηκψκελεο ζπλαξηήζεηο παξαγσγήο (1) θαη (2) ζα πξνηηκνχζαηε; ΘΔΜΑ 3 Έζησ ην ζχζηεκα (1) Τt=α1+α2Υt+ε1t (2) Xt=β1+β2Τt+ε2t (3) Zt=γ1+γ2Τt+γ3Υt+γ4Q1+ε3t Όπνπ Xt, Yt θαη Zt είλαη ελδνγελήο κεηαβιεηέο, Q1 είλαη εμσγελήο κεηαβιεηή, θαη ε1t, ε2t, ε3t είλαη νη δηαηαξαθηηθνί φξνη πνπ είλαη αλεμάξηεηνη κεηαμχ ηνπο θαη δελ έρνπλ απην ζπζρέηηζε. α) (βαζκνί: 1) Λα βξεζνχλ νη εμηζψζεηο αλεγκελήο κνξθήο. β) (βαζκνί: 1) Αλ εθηηκνχζαηε ηελ εμίζσζε (2) κε ηε κέζνδν OLS, εμεγείζηε εάλ πξνθχπηνπλ πξνβιήκαηα σο πξνο ηηο εθηηκήζεηο ησλ β1, β2. γ) (βαζκνί: 1) Αλ εθηηκνχζαηε ηελ εμίζσζε (3) κε ηε κέζνδν OLS, ζα είλαη νη OLS εθηηκήηξηεο ζπλεπείο; Δμεγείζηε. δ) (βαζκνί: 2) Αλ αληί γηα ηελ εμίζσζε (2) είρακε (2*) Xt=β1+β2Τt-1+ε2t πσο ζα εθηηκνχζαηε ην ζχζηεκα γηα λα ιάβεηε ζπλεπείο θαη απνηειεζκαηηθέο εθηηκήηξηεο; Δμεγείζηε. Λα απαληεζνχλ 2 απν ηα 3 ζέκαηα
Οικονομετρία – Σεπτέμβριος 2009 Θέμα 1ο (α) (Βαζκνί 1.25) Λα δεηρζεί φηη ζην θιαζζηθφ γξακκηθφ ππφδεηγκα κε ζηαζεξφ φξν ηα θαηάινηπα ειάρηζησλ ηεηξαγψλσλ έρνπλ πάληα κέζν ίζν κε ην κεδέλ. Τπφδεημε: Θεσξήζηε ̂ 0-∑ ̂ ηελ παξάγσγν ηεο ∑ ( )2 σο πξνο ̂ 0. (β) (Βαζκνί 1.25) Έζησ εθηηκήηξηα παξακέηξσλ ζην θιαζζηθφ γξακκηθφ ππφδεηγκα πνπ γξάθεηαη ζηελ κνξθή ̂ =Wy, φπνπ ν πίλαθαο W είλαη κε ζηνραζηηθφο. Πνηά ζπλζήθε πξέπεη ̂ λα ηθαλνπνηεί ν W, έηζη ψζηε ε εθηηκήηξηα λα είλαη ακεξφιεπηε; (γ) (Βαζκνί 1.25) Δθηίκεζε LS κε βάζε 20 δεδνκέλα γηα ην ππφδεηγκα y=β0+β1x+ε έδσζε SSE=166. Θαηφπηλ ηα δεδνκέλα απηά ρσξίζηεθαλ ζε δχν ρξνληθέο ππνπεξηφδνπο κε 10
5
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
παξαηεξήζεηο ζε θάζε ππνπεξίνδν. Δθηίκεζε LS έδσζε SSE1=23 θαη SSE2=101, γηα ηελ πξψηε θαη δεχηεξε ππνπεξίνδν, αληίζηνηρα. Λα γίλεη έιεγρνο γηα ηελ ζηαζεξφηεηα ησλ ζπληειεζηψλ ζηηο δχν ππνπεξηφδνπο. (δ) (Βαζκνί 1.25) Έζησ φηη νη ππνπεξηφδνη αην εξψηεκα (γ) αληηζηνηρνχλ, ε κελ πξψηε ζε κηθξέο ηηκέο ηεο εξκελεπηηθήο κεηαβιεηήο x, ε δε δεχηεξε ζε κεγάιεο ηηκέο ηεο ίδηαο κεηαβιεηήο. Λα γίλεη θαηάιιεινο έιεγρνο γηα χπαξμε εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο ζηα ζθάικαηα ηνπ ππνδείγκαηνο. (ηα εξσηήκαηα (γ) θαη (δ), λα δηαηππσζνχλ κε ζαθήλεηα νη αληηζηνηρεο κεδεληθέο ππνζέζεηο θαη ηα ζπκπεξάζκαηά ζαο). Θέμα 2ο (1) Κε βάζε 10 παξαηεξήζεηο θαη ηελ κέζνδν LS εθηηκήζεθε ε αθφινπζε εμίζσζε παιηλδξφκεζεο: ̂ t=3.637+0.275Xt+0.548Zt, Cov( ̂ 1, ̂ 2)=0.055, R2=0.78. (0.275) (0.219) (ζηηο παξελζέζεηο είλαη νη εθηηκήζεηο ησλ ηππηθψλ ζθαικάησλ). Λα γίλεη έιεγρνο: (α) (Βαζκνί 1.0) Γηα ηελ ζηαηηζηηθή ζεκαληηθφηεηα ησλ επηκέξνπο ζπληειεζηψλ β 1 θαη β2. (β) (Βαζκνί 1.5) Γηα ηελ ππφζεζε Ζ0:β1+β2=1, θαη λα θαηαζθεπαζζεί ην αληίζηνηρν δηάζηεκα εκπηζηνζχλεο. (γ) (Βαζκνί 1.0) Γηα ηελ ζηαηηζηηθή ζεκαληηθφηεηα ηεο παιηλδξφκεζεο. (2) (Βαζκνί 1.5) Έζησ φηη ηζρχεη ην ππφδεηγκα y=β1x1+β2x2+ε, αιιά εκείο αληί γη΄ απηφ, εθηηκνχκε ηελ εμίζσζε y= ̃ 1x1+u (δεδνκέλα ζε απνθιίζεηο απφ ηνπο κέζνπο). Λα δεηρζεί φηη ∑ ε εθηηκήηξηα ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ̂̃ 1= ∑ είλαη κεξνιεπηηθή. (ηα εξσηήκαηα (α) θαη (γ), λα δηαηππσζνχλ κε ζαθήλεηα νη αληίζηνηρεο κεδεληθέο ππνζέζεηο θαη ηα ζπκπεξάζκαηά ζαο). Θέμα 3ο Έζησ ην ππφδεηγκα Τt=α+∑ t (1) φπνπ: Τt=ηδησηηθή θαηαλάισζε, Υt=ηδηνηηθφ εηζφδεκα γηα ηε πεξίνδν t. Αλ νη πνζφηεηεο wi είλαη πηζαλφηεηεο πνζ αθνινπζνχλ θάπνηα ζπγθεθξηκέλε θαηαλνκή θαη β ην αζξνηζκα ησλ ζπληειεζηψλ φισλ ησλ ρξνληθψλ πζηεξήζεσλ, ηφηε ην ππφδεηγκα γξάθεηαη: Τt=a+β∑ t. (2) Αλ wi=(1-ι)ιi, γηα i=0,1,2,... θαη 0<ι<1 (3), ηφηε: (α) (Βαζκνί 2) Λα δείμεηε φηη: Τt=α(1-ι)+β(1-ι)Υt+ιΤt-1+ut (4) φπνπ ut=εt-ιεt-1. Ζ εθηίκεζε ηεο (4), γηα ζηνηρεία ηεο ειιεληθήο νηθνλνκίαο (1993-2000), κε ηε κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ δίλεη: ̂ =4.63368+0.37556Yt-1+0.484476Xt (5) (1.07) (0.085163) (0.05423) R2=0.998, ̂ =0.743, d=1.757 (Durbin-Watson), F=2515.5. Δπίζεο βξέζεθε φηη έρνπκε βνεζεηηθέο παιηλδξνκήζεηο: ̂ t=2.26095+0.055002 ̂ t-1-0.153789Yt-1+0.08609104Xt (6) (1.583) (0.525758) (0.12828) (0.08002) R2=0.2495 ̂ t=-1.38467+0.702699 ̂ t-10.0084843 ̂ t-2-0.00033682Yt-1+0.0171604Xt (7) (4.176) (0.96041) (0.59717) (0.219738) (0.1228) R2=0.155 εκείσζε: Οη αξηζκνί ζηηο παξελζέζεηο είλαη νη εθηηκήζεηο ησλ ηππηθψλ ζθαικάησλ, αληίζηνηρα, ησλ ζπληειεζηψλ ησλ ζρέζεσλ (5), (6), (7). (β) (Βαζκφο 1) Λα βξεζνχλ νη εθηηκήζεηο ησλ ζπληειεζηψλ β i ησλ Υt-i ηεο (1), γηα i= 0, 1, 2, 3. (γ) (Βαζκφο 1) Λα εμεηαζζεί ε απηνζπζρέηηζε πξψηεο ηάμεο ησλ θαηαινίπσλ ηεο (4) κε δχν δηαθνξεηηθά θξηηήξηα, γηα επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α=0.05. (δ) (Βαζκφο 1) Λα εμεηαζζεί ε απηνζπζρέηηζε δεχηεξεο ηάμεο ησλ θαηαινίπσλ ηεο (4), γηα επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α=0.05. εκείσζε: Γίλεηαη φηη: z0.025=1.96, z0.05=1.645, F2,11,0.05=3.98, F2,16,0.05=3.63, F8,8,0.05=3.44, F2,7,0.05=4.74, t7,0.025=2.365, t11,0.025=2.201, =3.841, =5.991, dL=0.971, dU=1.331 (γηα α=0.05, Σ=12, Θ=2)
6
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
Οικονομετρία – Ιούνιος 2009 Θέμα 1ο (α) Έζησ ην ππφδεηγκα Yj=α+β1Xj+β2Zj+εj, j=1,…,n. (η) (Βαζκνί 0.50) Αλ νη ζπληειεζηέο β1 θαη β2 είλαη γλσζηνί, πνηα είλαη ε εθηηκήηξηα ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ (LS) ηεο παξακέηξνπ α; (ii) (Βαζκνί: 1.0) ην ίδην ππφδεηγκα αλ ηψξα νη ζπληειεζηέο β 1 θαη β2 είλαη άγλσζηνη θαη ηζρχεη (1) Zj/Xj=1.5, ή (2) Zj/Xj=Xj, j=1,…,n, ζα ππήξρε πξφβιεκα εθηίκεζεο LS ησλ παξακέηξσλ β1 θαη β2; Αλ λαη, πνηνο ζπλδηαζκφο ησλ β1 θαη β2 είλαη δπλαηφ λα εθηηκεζεί; Αηηηνινγήζηε ζε θάζε πεξίπησζε. (β) Έζησ ε εμίζσζε (1): Yt=βXt+εt, t=1,…,T. (i) (Βαζκνί: 1.5) Αλ ηζρχεη Vαr(εt)= λα ππνινγηζζεί ε γεληθεπκέλε εθηηκήηξηα ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ (GLS) ηεο παξακέηξνπ β. (ii) (βαζκνί: 2.0) ην ίδην ππφδεηγκα έζησ φηη ηψξα ηζρχεη εt=ξεt-1+ut είλαη ζθαηξηθά θαη =1. Δθηηκήζηε ηε δηαθχκαλζε ηνπ εθηηκεηή LS κε βάζε ηηο παξαηεξήζεηο ( ) =(1,0),(2,2),(-1,1), σο αθνινχζσο: (1) Τπνινγίζηε ηνλ εθηηκεηή LS ηνπ β απφ ηελ εμίζσζε (1). (2) Τπνινγίζηε ηα αληίζηνηρα θαηάινηπα ̂t, θαη ην ξ απφ ηνλ ηχπν ∑̂ ̂ ̂= ∑ ̂ (3)
Τπνινγίζηε ηελ δεηνχκελε δηαθχκαλζε κε βάζε ηνλ ηχπν Vαr( ̂ LS)= φπνπ x=(-1,2,-1)Σ θαη ν πίλαθαο W έρεη ζηνηρεία wij=
Θέμα 2ο Έζησ 27 παξαηεξήζεηο (Yt,X1t,X2t), κε ∑( (ΥΣΥ)-1=[
̅)
|
|
(
)
,i,j=1,2,3.
θαη
]
Κε βάζε απηέο ηηο παξαηεξήζεηο εθηηκήζεθε ην ππφδεηγκα ̂ t=1.17+0.60Υ1t+0.37X2t, θαη έδσζε άζξνηζκα ηεηξαγψλσλ θαηαινίπσλ ∑ ̂ =0.85. (i) (Βαζκνί: 1.0) Λα γίλεη έιεγρνο γηα ηελ ζηαηηζηηθή ζεκαληηθφηεηα ηεο παιηλδξφκεζεο. (ii) (Βαζκνί: 2.0) Λα θαηαζθεπαζζεί δηάζηεκα πξφβιεςεο γηα ηελ κέζε ηηκή ηνπ ]. Τ φηαλ Υ1=140 θαη Υ2=875. Γίλεηαη ( ) φπνπ =[ (iii) (Βαζκνί: 2.0) Απφ ηηο παξαθάησ παιηλδξνκήζεηο, επηιέμηε ηελ θαηάιιειε γηα ηελ θάζε πεξίπησαε παιηλδξφκεζε θαη θάληε ηνλ έιεγρν εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο θαη απηφζπζρέηηζεο: ̂ +ut, R2=0.25 ̂t=0.1X1t+0.02X2t+0.01 ̂ +ut, R2=0.141. ηηο πεξηπηψζεηο (i) θαη (iii), αλαθέξαηε ηελ αληίζηνηρε κεδεληθή ππφζεζε, θαη δηαηππψζηε κε ζαθήλεηα ηα ζπκπεξάζκαηά ζαο. Γίλνληαη: =3.841, F0.05,2,24=3.4, t0.025,24=2.064, F0.05,3,24=3.01 Θέμα 3ο Έζησ ην απινπζηεπκέλν καθξννηθνλνκηθφ ππφδεηγκα Ct=α0+α1Τt+α2Ct-1+ε1t, (1) It=β0+β1Yt+β2Yt-1+ε2t, (2) Τt=Ct+It+Zt, (3) Όπνπ Ct, It, Yt, αληίζηνηρα, θαηαλάισζε, επελδχζεηο θαη εηζφδεκα. ηελ ηαπηφηεηα ηνπ εηζνδήκαηνο φιεο νη άιιεο κεηαβιεηέο εθηφο ηεο θαηαλάισζεο θαη ησλ επελδχζεσλ αληηπξνζσπεχνληαη απφ ηελ εμσγελή κεηαβιεηή Εt. εκεηψλεηαη φηη γηα ηνπο δηαηαξαθηηθνχο φξνπο ε1t, ε2t δερφκαζηε φηη ηζρχνπλ φιεο νη βαζηθέο ππνζέζεηο ηνπ θιαζηθνχ γξακκηθνχ ππνδείγκαηνο. (i) (Βαζκνί: 0.5) Λα γξαθεί ε δηαξζξσηηθή κνξθή ηνπ καθξννηθνλνκηθνχ ππνδείγκαηνο κε πίλαθεο BW+ΓΥ=Δ (4) Όπνπ: W= ν πίλαθαο ησλ ελδνγελψλ κεηαβιεηψλ, Υ= ν πίλαθαο ησλ πξνθαζνξηζκέλσλ κεηαβιεηψλ θαη Δ= ν πίλαθαο ησλ δηαηαξαθηηθψλ φξσλ. (ii) (Βαζκνί: 0.5) Λα δνζεί ε κνξθή ησλ εμηζψζεσλ ηεο αλεγκέλεο κνξθήο (πξνζνρή: δελ δεηείηαη λα βξεζνχλ νη ζπλαξηήζεηο ησλ ζπληειεζηψλ ( ij, γηα i=0,1,2). (iii) (Βαζκνί: 1.0) Λα ηαπηνπνηεζνχλ νη εμηζψζεηο ηνπ καθξννηθνλνκηθνχ ππνδείγκαηνο θαη λα επηιεγεί ε θαιχηεξε κέζνδνο εθηίκεζεο θάζε εμίζσζεο ηνπ καθξννηθνλνκηθνχ ππνδείγκαηνο, εθφζνλ είλαη δπλαηή ε εθηίκεζή ηεο.
7
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
(iv) (Βακμοί: 1.0) Να περιγραφοφν αναλυτικά τα επιμζρουσ βιματα τθσ εκτιμθτικισ μεκόδου, που ζχει επιλεγεί για τθν εκτίμθςθ κάκε εξίςωςθσ του αρχικοφ υποδείγματοσ, παρουςιάηοντασ τθν μορφι των επιμζρουσ εξιςώςεων που πρζπει να εκτιμθκοφν ςε κάκε βιμα και χρθςιμοποιώντασ τουσ ςυμβολιςμοφσ των μεταβλθτών που εμφανίηονται ςτο αρχικό υπόδειγμα. (v) (Βακμοί: 2.0) (i) Μπορεί να εκτιμθκεί το μακροοικονομικό υπόδειγμα με τθν μζκοδο ελαχίςτων τετραγώνων ςε τρία ςτάδια (3SLS); Να αιτιολογθκεί θ απάντθςθ. (ii) Ποια βαςικι διαφορά ωσ προσ τον τρόπο εκτίμθςθσ χαρακτθρίηει τθ μζκοδο 3SLS ζναντι τθσ μεκόδου ελαχίςτων τετραγώνων ςε δφο ςτάδια (2SLS); (iii) Ποιεσ ιδιότθτεσ χαρακτθρίηουν ςυγκριτικά τισ μεκόδουσ 3SLS και 2SLS; (iv) Ποια είναι τα μειονεκτιματα τθσ μεκόδου 3SLS ζναντι τθσ 2SLS;
Οικονομετρία – Φεβρουάριος 2009 ΘΔΜΑ 1 Έζησ φηη ε θαζαξή επέλδπζε, Η, θαη ε κεηαβνιή ζηηο πσιήζεηο S, ζπλδένληαη κε ηε ζρέζε
Ii 0 1Si ui (i 1, 2,......n) . Έλα ηπραίν δείγκα απφ 5 επηρεηξήζεηο έδσζε ηα παξαθάησ (νη κεηαβιεηέο είλαη κεηξεκέλεο ζε ρηιηάδεο επξψ) Η
10
24
41
14
6
S
30
20
70
50
-20
1. Θάλεηε ηηο απαξαίηεηεο ππνζέζεηο γηα λα κπνξέζεηε λα εθαξκφζεηε ηελ Κέζνδν Διαρίζησλ Σεηξαγψλσλ. 2. Λα βξεζνχλ νη εθηηκήζεηο OLS ησλ εθηηκεηψλ θαζψο θαη ν πίλαθαο δηαθπκάλζεσλ – ζπλδηαθπκάλζεσλ. 3. Θα κπνξνχζακε λα εμαηξέζνπκε θάπνηεο απφ ηηο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο; 4. Λα δνζνχλ ηα δηαζηήκαηα εκπηζηνζχλεο γηα ηνπο ζπληειεζηέο (α=5%). Λα εμεγήζεηε ηελ ζεκαζία ηνπο. 5. Λα ειέγμεηε ηελ ππφζεζε 3β0=20β1 ΘΔΜΑ 2 Α. Έρνπκε ην ππφδεηγκα
yi 0 1 xi 2 zi i (1) .
(i) (βαζκνί : 1) Κε ηελ κέζνδν OLS ιάβακε ηα εμήο απνηειέζκαηα.
yi 6.12 0.16 xi 1.07 zi ei(2), n 40 R2 0.98
(2.62)(0.26)(0.22) ^2
ei 28.6 0.36 xi 5.36 zi (3) R2 0.22. Λα
δηεξεπλεζεί
αλ
ηα
ζθάικαηα
είλαη
εηεξνζθεδαζηηθά.
Πνηάο
κνξθήο
είλαη
ε
εηεξνζθεδαζηηθφηεηα πνπ δηεξεπλάηαη; Ση ζπκπεξάζκαηα πξνθχπηεη σο πξνο ηηο ηδηφηεηεο ησλ ζπληειεζηψλ ηεο (2) ;
8
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
(ii)
(βαζκνί
:
2)
Αλ
ε
δηαθχκαλζε
i k[ E ( yi )] k (0 0 xi 2 zi ) 2
2
2
ηνπ
2010 φξνπ
ζθάικαηνο
εi
είλαη
ηεο
κνξθήο
λα αλαπηχμεηε ηε δηαδηθαζία πνπ ζα αθνινπζήζεηε
γηα λα ιάβεηε ακεξφιεπηεο, ζπλεπείο θαη απνηειεζκαηηθέο εθηηκήζεηο ησλ β 0,β1,β2 (δελ απαηηείηαη
λα
απνδείμεηε
ηηο
ηδηφηεηεο
ηεο
ακεξνιεςίαο,
ηεο
ζπλέπεηαο
θαη
ηεο
απνηειεζκαηηθφηεηαο).
Β. (βαζκνί : 2)Έλαο εξεπλεηήο εθηίκεζε ην αθφινπζν ππφδεηγκα Yi αιεζηλφ είλαη ην
Yi 0 1 X i1 2 X i 2 i .
0 i X i1 i ,
ελψ ην
Λα δείμεηε πνηεο είλαη νη επηπηψζεηο σο πξνο
ηηο ηδηφηεηεο ηνπ εθηηκεηή ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ γηα ην ππφδεηγκα πνπ εθηίκεζε ν εξεπλεηήο. ΘΔΜΑ 3 Α. (βαζκνί : 1)Κε ηελ κέζνδν Δ.Σ (OLS) εθηηκήζεθε ε εμήο παιηλδξφκεζε απφ έλα δείγκα 60 παξαηεξήζεσλ. (1)
y 1.47 0.11x1 1.10 x2 0.15x3 e, n 60, R2 0.96
(0.41)(0.36)(0.64)(0.40) Όπνπ νη αξηζκνί ζε παξελζέζεηο ηα ηππηθά ζθάικαηα ησλ εθηηκεζέλησλ ζπληειεζηψλ. Γηα α=5% λα ειεγρζεί ζηαηηζηηθά ε ππφζεζε Ζ0: β1+β2+β3=1, έλαληη ηεο Ζ1: β1+β2+β3>1 αλ νη κεηαβιεηέο ρ1, ρ2 θαη ρ3 αλά δεχγε είλαη νξζνγψληεο (αζπζρέηηζηεο). Β. (βαζκνί : 1) Δθηηκήζεθαλ κε OLS νη αθφινπζεο παιηλδξνκήζεηο
yi 5 0.65 yt 1 0.5xt ut (1), DW 0.5, R2 0.35
(0.5)(0.2)(0.01) ut 0.5 0.05 yt 1 0.05xt 0.25ut 1 0.07ut 2 vt (2), R 2 0.07 ε έλα δείγκα 100 παξαηεξήζεσλ. Ση κπνξείηε λα ζπκπεξάλεηε ζρεηηθά κε ηηο ηδηφηεηεο ησλ OLS εθηηκήζεσλ ησλ ζπληειεζηψλ ηεο (1) (εμεγείζηε); Γ. Γίλνληαη νη ζρέζεηο
(1)Y1 0 1Zt 2Yt 1 1t (2)Wt 0 1Zt 2Yt 2t Έζησ φηη Δ(ε1t, ε2t)≠0, E(ε1t, ε1s)=0, E(ε2t, ε2s)=0, E(ε1t, ε2s)=0 (t≠s) θαη φηη ε Z είλαη αλεμάξηεηε απφ ηα ζθάικαηα ε1 θαη ε2. (i)
(βαζκνί : 1) Αλ ε ζρέζε (1) θαζψο θαη ε ζρέζε (2) εθηηκεζνχλ κε OLS, λα εμεγήζεηε γηα θάζε έλαλ ζπληειεζηή αλ ε εθηίκεζε ηνπ είλαη ζπλεπήο ή φρη.
(ii)
(βαζκνί : 1,5) Λα αλαπηχμεηε κηα δηαδηθαζία εθηίκεζεο πνπ ζα αθνινπζήζεηε γηα λα ιάβεηε ζπλεπείο εθηηκήζεηο ησλ παξακέηξσλ ηεο ζρέζεο (2) .
9
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
Γίλεηαη
φηη:
z0.05 1,645, z0.025 1,96, to 05.3 2,35, t0.054 2.13, t0,025,3 3,18, t0,05,4 2,78, x
2 0,05,1
3,84, x
2 6,05,2
Να απαντθκοφν 2 από τα 3 κζματα.
Οικονομετρία – Ιανουάριος 2008 Θέμα Ι Γηα ην ππφδεηγκα
Y1 0 11i 2 2i 3 3i ui , i 1, 2,3,...N Δθθξάδνληαο ηηο κεηαβιεηέο σο απνθιίζεηο απφ ηνπο δεηγκαηηθνχο κέζνπο, έρνκε:
60 0 0 N 33, x ' x 0 55 0 0 0 25
,
112 x ' y 95 76
,
ˆ 2 0.475.
1. Λα βξεζνχλ νη εθηηκήζεηο OLS ησλ ζπληειεζηψλ β1, β2 , β3 , θαζψο θαη ν πίλαθαο δηαθπκάλζεσλ – ζπλδηαθπκάλζεσλ . 2. Λα γίλεη έιεγρνο ζεκαληηθφηεηαο ηνπ ππνδείγκαηνο . Θα κπνξνχζακε λα εμαηξέζνπκε θάπνηεο κεηαβιεηέο απφ ην ππφδεηγκα ; 3. Λα δνζνχλ ηα δηαζηήκαηα εκπηζηνζχλεο γηα ηνπο ζπληειεζηέο ( α=5%). Λα εμεγήζεηε ηελ ζεκαζία ηνπο . 4. Λα ειέγμεηε ηελ ππφζεζε β2= β3 + β1
Θέμα ΙΙ (η) Αλαθέξεηε κε ζχληνκε αηηηνιφγεζε αλ νη παξαθάησ πξνηάζεηο ηζρχνπλ ζε θάζε πεξίπησζε ή φρη : 1. (0,5 κνλάδεο ) Όηαλ ππάξρεη εηεξνζθεδαζηηθφηεηα ε κέζνδνο ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ πάληνηε ππεξεθηηκά ηα ηππηθά ζθάικαηα ησλ εθηηκεηψλ. 2. (0,5 κνλάδεο ) Όηαλ ππάξρεη απηνζπζρέηηζε ζηα ζθάικαηα ,ν OLS εθηηκεηήο Δίλαη κεξνιεπηηθφο θαη κε απνηειεζκαηηθφο . ( ii) (1 κνλάδα) Γηαηππψζηε ηηο ππνζέζεηο ηνπ θιαζζηθνχ γξακκηθνχ ππνδείγκαηνο θαη απνδείμηε αλ ν εθηηκεηήο OLS είλαη ακεξφιεπηνο ή φρη . (iii) (3 κνλάδεο ) Αο ππνζέζνπκε φηη εθηηκήζαηε ην αθφινπζν ππφδεηγκα κε ηελ κέζνδν OLS απφ δείγκα 100 αηφκσλ.
Yˆi 1.28 0.1X i 0.12 D2i 0.2 D3i (0.27)
10
(0.12)
(0.04)
(0.05)
www.dap-oikonomikou.gr
5,99, F0,05,2,60 3
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
Όπνπ νη αξηζκνί ζε ( ) είλαη ηππηθά ζθάικαηα , θαη Yi : ε εηήζηα δαπάλε ( ζε ρηιηάδεο επξψ ) γηα ηνπξηζηηθά ηαμίδηα . Υη : ην εηήζην εηζφδεκα (ζε ρηιηάδεο επξψ ) D2i =1 , αλ ην επίπεδν κφξθσζεο είλαη Ιχθεην. D2i =0 , αλ ην επίπεδν κφξθσζεο είλαη δηαθνξεηηθφ απφ Ιχθεην θαη D3i =1 , αλ ην επίπεδν κφξθσζεο είλαη ΑΔΗ . D3i = 0 ,αλ ην επίπεδν κφξθσζεο είλαη δηαθνξεηηθφ απφ ΑΔΗ. α) Πνηα είλαη ε εθηηκεζείζα εηήζηα δαπάλε : (η) ελφο απνθνίηνπ Ιπθείνπ κε εηήζην εηζφδεκα 100 ρηι. επξψ , (ηη) ελφο απνθνίηνπ γπκλαζίνπ κε εηήζην εηζφδεκα 100 ρηι. επξψ θαη (ηηη) ελφο απνθνίηνπ ΑΔΗ κε εηήζην εηζφδεκα 100 ρηι. επξψ. β) Λα ειεγρζεί ζηαηηζηηθά ε ππφζεζε φηη γηα δεδνκέλν επίπεδν εηζνδήκαηνο ε κέζε εηήζηα δαπάλε ελφο απνθνίηνπ ιπθείνπ θαη ελφο αηφκνπ κε ρακειφηεξν επίπεδν κφξθσζεο είλαη ίζεο . γ) Λα ειεγρζεί φηη ε κέζε εηήζηα δαπάλε ελφο απνθνίηνπ ΑΔΗ ππεξβαίλεη ηελ κέζε εηήζηα δαπάλε ελφο απνθνίηνπ Γπκλαζίνπ κε ην ίδην εηζφδεκα θαηά πεξηζζφηεξν απφ 100 επξψ.
Θέμα ΙΙΙ 1. (2,5 κνλάδεο ) Γίλεηε ην ζχζηεκα
Qt 0 1Pt 2 X t u1t
(1α)
Qt 0 1Pt u2t
(1β)
φπνπ Υt είλαη εμσγελήο κεηαβιεηή . Α) Βξείηε ηηο εμηζψζεηο αλεγκέλεο κνξθήο . Β) ε πνηεο πεξηπηψζεηο
απφ ηηο εμηζψζεηο ( 1α) θαη ( 1β) νη ζπληειεζηέο κπνξνχλ λα
εθηηκεζνχλ κε ηελ Έκκεζε Κέζνδν ησλ Διαρίζησλ Σεηξαγψλσλ ( ILS); Βξείηε ησλ ελ ιφγσ ζπληειεζηψλ κε ηελ κέζνδν ILS .
2. (2,5 κνλάδεο) Θεσξείζηε ην αθφινπζν ππφδεηγκα φπνπ
yi 0 1 x1i 2 x2i ui
(1) ,
E (ui2 ) 1 x1i 2 x2i 3 x12i 4 x22i
(2).
α) Γηαηππψζηε έιεγρν γηα ηελ χπαξμε εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο ηεο κνξθήο (2)
11
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία β)
Πξνηείλεηε
θαη
πεξηγξάςηε
ηελ
2010
θαηάιιειε
κέζνδν
εθηίκεζεο
(1)
πνπ
δίλεη
απνηειεζκαηηθνχο εθηηκεηέο , φηαλ ππάξρεη εηεξνζθεδαζηηθφηεηα ηεο κνξθήο (2).
Γίλνληαη:
F0.05,4,30 2.69, F0.05,3,29 2.93, F0.05,4,29 2.70, t0.05,29 1.699,
t0.025,29 2.045, t0.025,30 2.042, z0.025 1.96, z0.05 1.645 Να απανηήζεηε ζε 2 από ηα 3 θέμαηα. Καλή επιηυχία.
Οικονομετρία – Σεπτέμβριος 2007 Θέμα 1ο
Z 0 1 2
Σν ππφδεηγκα
(1) εθηηκήζεθε κε ηελ θιαζηθή κέζνδν Διαρίζησλ
Σεηξαγψλσλ ρξεζηκνπνηψληαο ηα δεδνκέλα 12
Z j 1
j
12
12
j 1
j 1
753, X j 643, Y j 106
12
12
12
j 1
j 1
j 1
Z 2j 48139, X 2j 34843, Y j2 976 12
12
12
j 1
j 1
j 1
X j Z j 40830, Y j Z j 6796, X jY j 5779 Οη εθηηκήζεηο είλαη:
b0 3.65, b1 0.855, b2 1.506. 2
(1) (Βαζκνί: 3.5) Λα ππνινγηζζεί ε ηηκή ηνπ ζπληειεζηή πξνζδηνξηζκνχ R , θαη κε βάζε απηή ηελ ηηκή λα ειεγρζεί ε ζηαηηζηηθή ζεκαληηθφηεηα ηνπ ππνδείγκαηνο. Γίλεηαη
F0.05,2,9 4.26.
Τπόδειξη:
R 2
b1 ( X X ) ( Z Z ) b2 (Y Y )( Z Z )
(Z Z )
2
(2) (Βαζκνί: 1.5) Έζησ φηη ζην ππφδεηγκα (1) ε κεηαβιεηή κεηαβιεηή
X cX (c, : ά). Έηζη
X
αληηθαζίζηαηαη κε ηελ
πξνθχπηνπλ λένη ζπληειεζηέο, έζησ
0 .
γηα ηηο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο
ζηαζεξφο φξνο
ζρεηίδνληαη νη ζπληειεζηέο
ηξνπνπνηεζεί ε εθηηκήηξηα
ειαρίζησλ
ηεηξαγψλσλ
b2
αληηθαηαζηαζνχλ κε ηηο ηηκέο Θέμα 2ο
X θαη Y , θαζψο θαη λένο j , j 0,1, 2 ; Πσο λνκίδεηε φηη ζα
1 , 2 ,
ηνπ
X
ζπληειεζηή
ηεο
κεηαβιεηήο
Y,
αλ
νη
ηηκέο
Πσο
X
; Αηηηνινγήζαηε.
(1) (Βαζκνί: 3.5) Σν ππφδεηγκα
Y 0 1 X1 2 X 2
εθηηκήζεθε κε ηελ θιαζηθή
κέζνδν Διαρίζησλ Σεηξαγψλσλ (ΔΣ) κε ρξήζε 100 παξαηεξήζεσλ. Κε βάζε ηα θαηάινηπα
et
εθηηκήζεθαλ νη παξαθάησ παιηλδξνκήζεηο (ζηηο παξελζέζεηο πεξηέρνληαη ηα ηππηθά
ζθάικαηα):
12
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία (i)
2010
et 0.2 0.51 X1t (0.11)
(ii)
2
et 0.2 1.4 X1t 2.3 X 2t 0.01X12t 0.31X 22t 0.001X1t X 2t ,
R2 0.08 (iii) et 0.35 et 1 , (0.21)
(iv)
et 0.2 0.5 X1t 0.3 X 2t 0.48et 1 0.31et 2 , R2 0.23
Λα γίλνπλ θαηάιιεινη ζθαικάησλ. Γίλεηαη:
έιεγρνη
γηα
απηνζπζρέηηζε
θαη
εηεξνδηαζθεδαζηηθφηεηα
ησλ
2 2 t0.025,97 1.96, X 0.05,5 11.07, X 0.05,2 5.99
(2) (Βαζκνί: 1.5) ηελ πεξίπησζε χπαξμεο εηεξνδηαζθεδαζηηθφηεηαο, πνηα ηδηφηεηα ησλ εθηηκεηξηψλ ΔΣ ηνπ γξακκηθνχ ππνδείγκαηνο πάεη λα ηζρχεη: (i) Γξακκηθφηεηα (ii) Ακεξνιεςία (iii) πλέπεηα (iv) Απνηειεζκαηηθφηεηα; Ωο παξάδεηγκα παξαζέζαηε ηελ δηαθχκαλζε ηεο εθηηκήηξηαο ΔΣ ηνπ
ζην ππφδεηγκα
(ζηαζεξφ) κε απηήλ ηνπ ηδίνπ ππνδείγκαηνο φηαλ
Yj a bX j j , φηαλ V r ( ) 2
V r ( ) t2
(κεηαβιεηφ).
ο
Θέμα 3 χκθσλα κε ην ππφδεηγκα ηνπ επηηαρπληή επελδχζεσλ ζηελ Διιάδα (1960-2000), ην
K * t
επηζπκεηφ επίπεδν ηνπ παγίνπ θεθαιαίνπ
είλαη γξακκηθή ζπλάξηεζε ηνπ πξντφληνο
Qt : Kt* a Qt
(1).
χκθσλα κε ην ππφδεηγκα κεξηθήο πξνζαξκνγήο, ηζρχεη ν κεραληζκφο:
Kt Kt 1 ( Kt* Kt 1 ) t φπνπ
t
δηαηαξαθηηθφο φξνο θαη
δίλνληαη νη ζρέζεηο
Kt Kt 1 It Dt
φπνπ
(2),
(3) θαη
I t αθαζάξηζηεο
ζπληειεζηήο πξνζαξκνγήο, κε
Dt Kt 1 t
επελδχζεηο,
Dt
0 1.
Αθφκε
(4), απνζβέζεηο θαη
t
δηαηαξαθηηθφο φξνο. Κεηά
απφ θαηάιιειεο αληηθαηαζηάζεηο θαη πξάμεηο, απφ ηηο ζρέζεηο (1), (2), (3), θαη (4), θαηαιήγνπκε ζηελ παιηλδξφκεζε
It Qt (1 )Qt 1 (1 ) It 1 ut
φπνπ
ut
(5),
δηαηαξαθηηθφο φξνο.
Υξεζηκνπνηψληαο γηα ηελ πεξίνδν 1960-2000 ηηο παξαηεξήζεηο γηα
I t , Qt
(ζε ζηαζεξέο ηηκέο
αγνξάο 1970, δηζ. δξρ. ), θαη εθαξκφδνληαο ηελ κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ζηελ παιηλδξφκεζε (5), έρνπκε φηη
It 0.5559 0.5014Qt 0.4665Qt 1 0.7473It 1 (0.16)
θαη
2
(6.02)
( 5.77)
R 0.9422, DW . . 1.543
(6),
(9.28)
θαη
2 (n p) R2 2.6916
(ησλ Breusch-Godfrey γηα
απηνζπζρέηηζε α΄ ηάμεο). ηηο παξελζέζεηο πεξηέρνληαη νη ηηκέο ηεο ζηαηηζηηθήο (1) (Βαζκνί: 1) Εεηείηαη λα βξεζνχλ νη ηηκέο ησλ
, ,
θαη
t.
ησλ ζρέζεσλ (1), (2) θαη
(4). (2) Εεηείηαη λα εμεηαζζεί: (α) (Βαζκνί: 1.5) Κε δπν δηαθνξεηηθνχο ηξφπνπο, αλ ππάξρεη απηνζπζρέηηζε πξψηεο ηάμεο ζηα ζθάικαηα ηεο παιηλδξφκεζεο, γηα 0.05. (β) (Βαζκνί: 0.5) Αλ ε πξνζαξκνγή ηνπ ηξέρνληνο επηπέδνπ ηνπ παγίνπ θεθαιαίνπ πξνο ην επηζπκεηφ επίπεδν ηνπ παγίνπ θεθαιαίνπ είλαη αξγή ή φρη. (γ) (Βαζκνί: 1) Αλ ππάξρνπλ δπζθνιίεο ζηελ εθηίκεζε κε ειάρηζηα ηεηξάγσλα ηεο ζρέζεο (5), πξνθεηκέλνπ λα πξνθχςνπλ ζπλεπείο εθηηκήηξηεο. Αηηηνινγήζαηε ηελ απάληεζή ζαο. Αλ
13
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
λαη, πνηα δηαδηθαζία πξέπεη λα εθαξκνζζεί, ψζηε νη εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ησλ ζπληειεζηψλ ηεο (5) λα είλαη ζπλεπείο; (δ) (Βαζκνί: 1) Αλ ε χπαξμε θάπνηαο απφ ηηο παξαθάησ ζπλζήθεο (ή θαη νη δχν) ζα δεκηνπξγνχζε πξφβιεκα γηα ηελ εθηίκεζε ηεο (5): (i)
(
Qt 1 Q ) , (ii) ( t 21 ) , γηα 0 1,0 1. Qt Qt
Αηηηνινγήζαηε ηελ απάληεζή ζαο. Γίλεηαη φηη:
U 2 2 z0.05/ 2 1.96, z0.05 1.645, f0.05,40,40 1.69, X 0.05,1 3.84, X 0.05,40 43.77
ΑΠΟ ΣΑ ΣΡΙΑ (3) ΘΔΜΑΣΑ ΝΑ ΓΡΑΦΟΤΝ ΣΑ ΓΤΟ (2)
Οικονομετρία – Ιούνιος 2007 Θέμα 1ο Α) (βαζκνί 3,5) Έζησ ην γξακκηθφ ππφδεηγκα
Y , j 1, 2,..., n. j
j
i) Θάησ απφ ηηο θιαζζηθέο ππνζέζεηο, πνηα είλαη ε εθηηκήηξηα ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ (LS) ηεο 10
παξακέηξνπ β; Αλ
Y j 50 πνηα ζα είλαη ε ηηκή απηήο ηεο εθηηκήηξηαο; j 1
ii) Αλ ππνζέζνπκε φηη Var ( ,
X
j=1,
2,…,
n.
) X j
, φπνπ Υ>0 είλαη εμσγελήο κεηαβιεηή κε γλσζηέο ηηκέο j
Πνηα
είλαη
ε
θαηάιιειε
εθηηκήηξηα
ηεο
παξακέηξνπ
β;
Αλ
j
X1 Y1 1, X 2 Y2 2, X 3 Y3 3 , λα ππνινγηζζεί ε ηηκή ηεο ελ ιφγσ εθηηκήηξηαο. iii) Τπνζέηνπκε φηη
Cov( j , k )
j k
, j, k 1, 2,..., n , φπνπ ε ηηκή ηνπ ξ είλαη γλσζηή. Λα
βξεζεί ε γεληθεπκέλε εθηηκήηξηα LS ηεο παξακέηξνπ β γηα n=2, κε βάζε ηα δεδνκέλα Β) (βαζκνί 1,5) Έζησ ην γξακκηθφ ππφδεηγκα: Αλ ππνζέζνπκε φηη Cov(
j
,k )
j k
Y1 , Y2 .
(Y ) Yj X j Z j j , j 1, 2,..., n :
, j, k 1, 2,..., n
:
Ζ θιαζζηθή εθηηκήηξηα LS είλαη ακεξφιεπηε; Ζ θιαζζηθή εθηηκήηξηα LS είλαη απνηειεζκαηηθή; (ii) Γεκηνπξγείηαη πξφβιεκα αλ ζην ππφδεηγκα (Τ) πξνζζέζνπκε σο εξκελεπηηθή κεηαβιεηή ηελ W
f (X , Z) 1
Γίλεηαη
, φπνπ 1)
a b 1 b c ac b 2
f ( x, z) x 3z ή 2) f ( x, z ) xz 2 ;
c b b a .
(diag ( x1 , x2 ,..., xk ))1 diag (
14
1 1 1 , ,..., ) x1 x2 xk
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
Θέμα 2ο 4
Yt X t , t 1, 2,..., T .
Έζησ ην ππφδεηγκα (Τ):
j
j 1
Ζ εθηίκεζε LS κε βάζε Σ=100
jt
παξαηεξήζεηο έδσζε SST=2000 θαη SSR=1800. Κε ηηο ίδηεο παξαηεξήζεηο εθηηκήζεθε επίζεο ην ππφδεηγκα, έζησ (Τ1), πνπ πξνθχπηεη απφ ην (Τ) κε
3
0
, θαη έδσζε ηα παξαθάησ απνηειέζκαηα:
4
1 4.2, 2 0.75, s2 3.70,Var ( 1 ) 0.74, Var ( 2 ) 1.48, Cov( , ) 0.74, SSR 1640. 1
2
0
: 0 ( 5%)
(i)
(βαζκνί: 1) Λα ειεγρζεί ε ππφζεζε H
(ii)
(βαζκνί:2) Γηα ην ππφδεηγκα (Τ1) λα θαηαζθεπαζζεί ην 95% δηάζηεκα πξφβιεςεο γηα ηελ ηηκή ηνπ Τ, φηαλ
(iii)
(βαζκνί:2) Λα γίλεη ν έιεγρνο
0
3
4
X 1, j 1, 2. j
1 2 2 1 ζην ππφδεηγκα (Τ1) ( 5%) .
Θέμα 3ο Α) (βαζκνί:2) Έζησ ε βηνκεραληθή παξαγσγή (Q) σο ζπλάξηεζε ηεο ζπλνιηθήο αμίαο ησλ πσιήζεσλ ιηαληθήο (S), θαη φηη νη δηαζέζηκεο παξαηεξήζεηο γηα ηελ ειιεληθή νηθνλνκία αλαθέξνληαη ζε ηξίκελα γηα ηελ πεξίνδν 1990-1999, (1)
Qt St t , 0
1 0 .
1
Δξεπλεηήο παξαηήξεζε φηη νη δχν κεηαβιεηέο Q θαη S γηα ηελ εμεηαδφκελε πεξίνδν παξνπζίαζαλ ζπζηεκαηηθέο απμνκεηψζεηο γχξσ απφ κηα γεληθά απμαλφκελε ηάζε, αλάινγα κε ην ηξίκελν ζην νπνίν αλαθέξνληαη ηα ζηνηρεία. Ζ δηαπίζησζε απηή ην έθαλε λα ζθεθζεί φηη πηζαλφλ ππάξρνπλ επνρηθέο επηδξάζεηο ζηνλ πξνζδηνξηζκφ ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο. Γηα ηνλ ιφγν απηφ εηζήγαγε θαηάιιειεο ςεπδνκεηαβιεηέο ζην ππφδεηγκα (1) θαη θαηαζθεχαζε δπν λέα ππνδείγκαηα γηα λα ειέγμεη θαηά πφζνλ ππάξρνπλ ζηαηηζηηθά ζεκαληηθέο επνρηθέο επηδξάζεηο ζηελ δηακφξθσζε ηεο βηνκεραληθήο
παξαγσγήο. Δηδηθφηεξα εξεχλεζε αλ ν
επνρηθφο παξάγνληαο επεξέαζε: (i) Κφλν ηνλ ζηαζεξφ φξν, θαη (ii) ην ζηαζεξφ φξν θαη ηελ θιίζε. Εεηείηαη λα δνζνχλ ηα δχν απηά ππνδείγκαηα γηα ηηο πεξηπηψζεηο (i) θαη (ii) θαζψο θαη νη αληίζηνηρνη
ζηαηηζηηθνί
έιεγρνη
(ππνζέζεηο
θαη
ζηαηηζηηθέο
ζεκαληηθφηεηαο α). Β) Έζησ ην παξαθάησ καθξννηθνλνκηθφ ππφδεηγκα Θαηαλάισζε: Δπελδχζεηο: Φφξνη:
15
Ct a a Yt a C 0
1
2
It Yt Y 0
0
1
2 t 1
1
t Yt
t 1
3t
, 1t
I
3 t 1
2t
,
,
www.dap-oikonomikou.gr
ειέγρνπ
γηα
επίπεδν
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία Δηζφδεκα:
2010
Yt Ct It Gt ,
Ct :θαηαλάισζε, Yt :εηζφδεκα, I t :επελδχζεηο, t :θφξνη, Gt :δεκφζηεο
Όπνπ
δαπάλεο θαη
it :δηαηαξαθηηθνί φξνη, γηα t=1, 2,…,n, i=1, 2, 3. (i)
(βαζκνί
0.5)
Λα
BWt X t Et
γξαθεί
ην
(5), φπνπ:
παξαπάλσ θαη
Wt
Xt
ππφδεηγκα
κε
ρξήζε
πηλάθσλ
είλαη νη πίλαθεο ησλ ελδνγελψλ θαη
πξνθαζνξηζκέλσλ κεηαβιεηψλ, αληίζηνηρα, ελψ Β θαη Γ είλαη νη πίλαθεο ησλ δηαξζξσηηθψλ ζπληειεζηψλ ησλ ελδνγελψλ θαη πξνθαζνξηζκέλσλ κεηαβιεηψλ, αληίζηνηρα, θαη E είλαη ν πίλαθαο ησλ δηαηαξαθηηθψλ φξσλ. t
(ii)
(βαζκνί 1) Λα δηαηππσζνχλ νη βαζηθέο ππνζέζεηο ησλ δηαηαξαθηηθψλ φξσλ ηνπ ππνδείγκαηνο (5).
(iii)
(βαζκνί 1.5) Λα εμεηαζζνχλ σο πξνο ηελ ηαπηνπνίεζε νη εμηζψζεηο ησλ επελδχζεσλ (2) θαη θφξσλ (3) θαη λα πξνηαζεί ε θαιχηεξε κέζνδνο εθηίκεζεο ησλ εμηζψζεσλ απηψλ.
Γίλνληαη
F
0.05,2,96
3.10 t
0.025,98
1.96
ΑΠΟ ΣΑ ΣΡΙΑ ΘΔΜΑΣΑ ΝΑ ΓΡΑΦΟΤΝ ΣΑ ΓΤΟ
Οικονομετρία – Ιανουάριος 2007 Θέμα 1 Αο ππνζέζνπκε φηη ζέινπκε λα κειεηήζνπκε ηελ ζπκπεξηθνξά ηεο θαηαλάισζεο θαηά ηελ πεξίνδν 1956-1970, κε βάζε ην ππφδεηγκα θαηαλάισζε,
Υ2
ην
θαζαξφ
(1956=1,1957=2,…….,1970+15).
Yi 1 2 2i 33i ui , φπνπ Τ είλαη ε
εηζφδεκα
θαη
Έρνπκε
Υ3 ηα
ε
κεηαβιεηή
αθφινπζα
84.8 4.7 0.1693 2.8416 74.7 1 X 'X , X ' X X 'y 4.7 0.28 28416 51.2696 4.2
ρξφλνο δεδνκέλα
φπνπ
νη
κεηαβιεηέο Τ, Υ2 θαη Υ 3 είλαη κεηξεκέλεο ζε απνθιίζεηο απφ ηνπο κέζνπο. Αλ
Y Y i
2
321, Y 3.67, X 2 4 X 3 8 ,
1. Λα βξεζνχλ νη εθηηκήζεηο OLS
2
θαη
3
ζπλδηαθπκάλζεσλ ηνπο (Γίλεηαη επηπιένλ φηη
θαζψο θαη ν πίλαθαο δηαθπκάλζεσλ-
u
i
2
29 ).
Λα βξεζεί ε εθηίκεζε
ηνπ ζηαζεξνχ φξνπ β1. 2. Λα γίλνπλ έιεγρνη ζεκαληηθφηεηαο γηα ηνπο ζπληειεζηέο. Λα βξεζνχλ ηα αληίζηνηρα δηαζηήκαηα εκπηζηνζχλεο θαη λα εμεγήζεηε ηελ ζεκαζία ηνπο.
16
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
3. Λα δψζεηε κέηξα πνπ εμεηάδνπλ ην ππφδεηγκα σο πξνο ηελ εξκελεπηηθή ηνπ ηθαλφηεηα (0.5 κνλ) 4. Θάλνληαο ρξήζε ηνπ εξσηήκαηνο 4, λα γίλεη έιεγρνο ηεο απφ θνηλνχ ππφζεζεο
2 3 0 (0.5 κνλ) 5. Διέγμηε ηελ ππφζεζε
2 3
κε βάζε ηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο. Γηαηππψζηε
έλαλ ελαιιαθηηθφ ηξφπν ειέγρνπ. 6. Έζησ φηη ηα έηε 1958 θαη 1959 είλαη έηε πνιέκνπ θαη ζέινπκε λα ειέγμνπκε ηελ ππφζεζε φηη θαηά ηα έηε απηά ε επίδξαζε ηνπ εηζνδήκαηνο (νξηαθή ξνπή πξνο θαηαλάισζε) είλαη κηθξφηεξε ζε ζχγθξηζε κε ηα έηε εηξήλεο. Δμεγήζηε ηε δηαδηθαζία κε ηελ νπνία ζα θαηαιήμεηε ζην απνδεθηφ ζπκπέξαζκα. Θέμα 2 Α. ρνιηάζηε (θαη εμεγείζηε) ζχληνκα ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο: 1. Αλ παξαιεθζεί κηα ζεκαληηθή εξκελεπηηθή κεηαβιεηή, ηφηε ν εθηηκεηήο ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ είλαη κεξνιεπηηθφο (1 κνλ.). 2. Έλα ζεκαληηθφ Durbin-Watson d δελ ζεκαίλεη αλαγθαία φηη ππάξρεη απηνζπζρέηηζε πξψηεο ηάμεο (0.5 κνλ.). 3. Ο κεηαζρεκαηηζκφο ησλ
πξψησλ δηαθνξψλ γηα λα
απαιιαρζνχκε απφ ηελ
απηνζπζρέηηζε ππνζέηεη φηη ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο ξ κεηαμχ εt θαη εt-1 είλαη 1 (0.5 κνλ.). Β. Αο ππνζέζνπκε φηη έλα γξακκηθφ ππφδεηγκα κε δχν εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο x θαη z (i=1,2,3,….,500) ηζρχεη φηη:
12 ( ') a) Ηζρχεη
2 2 100 x500 1
2 100 2 2 100 x101 1 2 2 100 x102 1
φηη
ν
εθηηκεηήο
αλαπνηειεζκαηηθφο;
Δίλαη
ειαρίζησλ αιεζέο
ηεηξαγψλσλ
φηη
φηη
νη
είλαη
κεξνιεπηηθφο
ζηαηηζηηθέο
t
θαη
F
θαη πνπ
ρξεζηκνπνηνχληαη γηα ην θιαζζηθφ γξακκηθφ ππφδεηγκα δελ ηζρχνπλ; Δμεγείζηε. b) Πσο ζα εθηηκνχζαηε ην ππφδεηγκα; Γηαηί ε εθηηκήηξηα πνπ πξνηείλεηαη είλαη θαηάιιειε;
17
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία Γ.
Δθηηκήζεθαλ
νη
2010 αθφινπζεο
παιηλδξνκήζεηο
yt 5 0.65 yt 1 0.5 xt ut , DW 0.5, R 2 0.35 (0.5)
(0.2)
(0.01)
ut 0.5 0.05 yt 1 0.05 xt 0.25 u t 1 vt .R 2 0.05 (0.5)
(0.2)
(0.7)
ζε έλα δείγκα 100 παξαηεξήζεσλ. Ση κπνξείηε λα ζπκπεξάλεηε γηα ηα ηπραία ζθάικαηα
ut ;
Θέμα 3 Α. Γίλεηαη ην αθφινπζν ππφδεηγκα:
Yt a0 a1Rt u2t
(1)
Rt 0 1M t 2Yt u1t
(2)
φπνπ Τ: ην αθαζάξηζην εζληθφ πξντφλ, R: ην επηηφθην θαη Κ: ε πξνζθνξά ρξήκαηνο (εμσγελήο). I.
Ζ εθηίκεζε ηεο εμίζσζεο (1) κε OLS δίλεη ακεξφιεπηε θαη ζπλεηή εθηίκεζε ηεο α1; Γηθαηνινγείζηε θαη εμεγείζηε ηελ απάληεζή ζαο. Απαηηείηαη άιιε κέζνδνο θαη πνηα;
II.
Δμεηάζηε αλ νη εμηζψζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη ηαπηνπνηεκέλεο ή φρη.
III.
Βξείηε ηελ αλεγκέλε κνξθή.
IV.
Πξνηείλεηε θαη αλαπηχμηε κέζνδν εθηίκεζεο ησλ παξακέηξσλ ησλ εμηζψζεσλ. Δμεγείζηε γηαηί ε κέζνδνο είλαη θαηάιιειε.
εκείσζε:
t12(0.05)=1.78, 2
t12(0.05)=2.18,
t15(0.05)=1.75,
F1,12(0.05)=4.75,
2
F2,12(0.05)=3.89, x 1(0.05)=3.84, x 3(0.05)=7.82 Να απανηηθούν 2 από ηα 3 θέμαηα
Οικονομετρία – Σεπτέμβριος 2006 (εμβόλιμη) ΘΔΜΑ 1ο 1. (Βαζκνί: 2.5) Γίλνληαη πξνο εθηίκεζε ηα παξαθάησ ππνδείγκαηα. Γηα θάζε έλα απφ ηα ππνδείγκαηα απηά δείμαηε i) αλ απηφ είλαη ή κεηαηξέπνληαη ζε γξακκηθφ, ή είλαη κε γξακκηθφ, θαη ii) αλ είλαη θαηάιιειε κέζνδνο εθηίκεζεο ε θιαζηθή κέζνδνο Διαρίζησλ
Σεηξαγψλσλ.
Όπνπ
πξνηείλεηαη
ηελ
θιαζηθή
κέζνδν
Σεηξαγψλσλ, δηαηππψζηε θαηάιιειεο ππνζέζεηο γηα ηα ζθάικαηα.
18
www.dap-oikonomikou.gr
Διαρίζησλ
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
(Y 1) : Y j 0 1e 1 j 2 log( X 2 j ) j . x
(Y 2) : Y j 0 1 X 1 j 2 X 22 j 3 ( X 1 j X 22 j ) j . (Y 3) : Y j 2 j j . (Y 4) : Y j e X j j . (Y 5) : Y j 2.
j
j , j j 1 u j , ( : ό), (u ) 0, COV (u ) I .
2. (Βαζκνί: 2.5) Έζησ φηη γηα ην ππφδεηγκα (Τ5) έρνπκε ηα δεδνκέλα
( X j , Y j ), j 1, 2.
Λα
ππνινγηζηεί ε (γεληθεπκέλε) εθηηκήηξηα πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζεί γηα ηελ εθηίκεζε ηεο παξακέηξνπ γ ηνπ ππνδείγκαηνο, θαη λα γξαθεί ε δηαζπνξά ηεο.
1
Γίλεηαη
a b 1 b a a 2 b2
a b b a
ΘΔΜΑ 2ο
() 11 2 2
Έζησ ην ππφδεηγκα
.
1. (Βαζκνί: 2.5) Τπνζέηνπκε φηη ηα ζθάικαηα ε είλαη αλά δχν αζπζρέηηζηα θαη ηζρχεη,
Var ( t ) X12t . Λα
κεηαζρεκαηηζζεί θαηάιιεια ην ππφδεηγκα (Τ) θαη λα εθαξκνζζεί ζηελ
ζπλέρεηα ε κέζνδνο Διαρίζησλ Σεηξαγψλσλ γηα ηελ εθηίκεζε ησλ παξακέηξσλ κε βάζε ηα δεδνκέλα:
(Y , X1 , X 2 ) (10,1, 2),(40, 2,8),(100, 4, 20) 2. (Βαζκνί: 2.5) Έζησ ηψξα φηη ζην ππφδεηγκα (Τ) ηα ζθάικαηα έρνπλ ζηαζεξή δηαθχκαλζε. Δθηίκεζε Διαρίζησλ Σεηξαγψλσλ κε Σ=40 δεδνκέλα (δηαθνξεηηθά απφ απηά ηνπ εξσηήκαηνο 1) έδσζε θαηάινηπα
et
. Κε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή
et
, εθηηκήζεθαλ νη εμηζψζεηο
e 0.45 X 1t 0.36 X 2t , SSE 15 ~
e 0.40 X 1t 0.3 X 2t 0.50et 1 , SSE 13, SST 16 Λα γίλνπλ θαηάιιεινη έιεγρνη γηα χπαξμε απηνζπζρέηηζεο ησλ ζθαικάησλ. 2 2 X 0.05,1 3.84, X 0.05,3 7.81, F0.05,1,37 4.10, F0.05,1,36 4.15
ΘΔΜΑ 3ο 1) Έζησ ην παξαθάησ ππφδεηγκα κεξηθήο πξνζαξκνγήο γηα ηελ ζπλάξηεζε δήηεζεο εξγαζίαο
19
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
( L :επηζπκεηφ χςνο απαζρφιεζεο)
(1) Lt 0 1t 2t 3t 2 t , (2)Lt Lt Lt 1 ( L Lt 1 ), t
(ζπλάξηεζε δήηεζεο εξγαζίαο) (ζπλάξηεζε πξνζαξκνγήο δήηεζεο εξγαζίαο)
Γηα 0<γ<1 Όπνπ L=απαζρφιεζε, Υ=πξντφλ , t=ρξφλνο, γ=ζπληειεζηήο πξνζαξκνγήο, ε=δηαηαξαθηηθφο φξνο (ζθαηξηθά ζθάικαηα). Απφ δείγκα 44 παξαηεξήζεσλ εθηηκήζεθε ε παξαθάησ ζπλάξηεζε δήηεζεο εξγαζίαο (ζηηο παξελζέζεηο ηα ηππηθά ζθάικαηα):
(3)
Lt 14.5 0.17 X t 0.03t 0.01t 2 0.3Lt 1 ,
(2.80)
(0.02)
(0.01)
(0.002)
(0.08)
R2 0.76, DW ( Durbin Watson) 1.37 (α)(Βαζκνί: 1.3) Λα εθηηκεζεί ε ηηκή ηνπ ζπληειεζηή πξνζαξκνγήο. Ση έρεηε λα παξαηεξήζεηε σο πξνο ηελ ηαρχηεηα πξνζαξκνγήο; (β)(Βαζκνί: 1.3) εμίζσζεο
Λα ειεγρζεί ε απηνζπζρέηηζε πξψηεο ηάμεο, ζχκθσλα κε ηα ζηνηρεία ηεο
(3), γηα επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α=1%. Αλ αληί ηεο
κεηαβιεηή ζεσξεζεί ε
Lt ,
ηη ζα εθθξάδεη ν ζπληειεζηήο ηεο
Lt
Lt 1
, σο εμαξηεκέλε
σο πξνο ηνλ ηξφπν
πξνζαξκνγήο; (γ) (Βαζκνί: 0.9) Λα βξεζεί ε καθξνρξφληα επίδξαζε ζηελ απαζρφιεζε, ηφζν ηνπ πξντφληνο (Υ), φζν θαη ηεο ηερλνινγηθήο πξνφδνπ-εληάζεσο θεθαιαίνπ ή αλζξσπίλνπ θεθαιαίνπ 2 t )
(t
.Πσο εξκελεχεηε ηηο ζρεηηθέο εθηηκήζεηο;
2. (Βαζκνί 1.5) Δμεηάζαηε σο πξνο ηελ ηαπηνπνίεζε ηηο δηαξζξσηηθέο εμηζψζεηο ηνπ παξαθάησ ζπζηήκαηνο θαη ππνδείμαηε, γηα ηελ πεξίπησζε καο, ηελ θαηαιιειφηεξε κέζνδν εθηίκεζεο πεξηνξηζκέλεο πιεξνθφξεζεο.
(i)
ln y1t a0 a1 ln y2t a2 xt 1t
(ii)
y2t 0 1Y1t 2 xt 2t ,
Όπνπ γηα γηα
i 1, 2, yi ,ln yi ί έ ,
x = εμσγελήο κεηαβιεηή, θαη
i 1, 2, t = δηαηαξαθηηθνί φξνη.
20
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
ί : 0.01, 44, 4 : d L 1.15, du 1.52 0.01, 44, 3: t0.01,44 2.32, z0.05 1.645, z0.025 1.96, z0.1 1.28 d L 1.19, du 1.47 z0.001 3.08, z0.01 2.33, z0.005 2.58
Οικονομετρία – Ιούνιος 2006 Θέκα 1ν Έζησ 3 παξαηεξήζεηο απφ ην ππφδεηγκα(Τ):
Yj 11 2 2 j , j 1, 2,3.
Γίλεηαη φηη ηα ζθάικαηα ε έρνπλ κέζν κεδέλ , θαη πίλαθα ζπλδηαζπνξάο :
(α) (Βαζκνί : 2.0) Γηα πνηεο ηηκέο ηεο παξακέηξνπ ξ έρνπκε γηα ηα ζθάικαηα : (i)Οκνζθεδαζηηθφηεηα θαη Όρη Απηνζπζρέηεζε. (ii)Οκνζθεδαζηηθφηεηα θαη Απηνζπζρέηεζε. (iii)Δηεξνζθεδαζηηθφηεηα θαη Όρη Απηνζπζρέηεζε. (iv)Δηεξνζθεδαζηηθφηεηα θαη Απηνζπζρέηεζε. (β)(Βαζκνί
:3.0)
Έζησ
φηη
γηα
ην
ππφδεηγκα
(Τ):
εηεξνζθεδαζηηθφηεηα θαη κε απηνζπζρέηηζε . Κε βάζε ηα
δηαπηζηψλεηαη
φηη
( X1 , X 2 , Yj ), j 1, 2,3,
έρνπκε
λα γξαθεί
ε (γεληθεπκέλε) εθηηκήηξηα πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζεί γηα ηελ εθηίκεζε ηνπ ππνδείγκαηνο. Λα εμεηαζζεί αλ ε εθηηκήηξηα απηή είλαη ακεξφιεπηε ,θαη λα γξαθεί ν πίλαθαο ζπλδηαζπνξάο ηεο 1
Γίλεηαη Θέκα 2ν
a b 1 c b ac b 2 b a b c
Έζησ ην ππφδεηγκα (Τ): γηα ηελ δεηνχκελε πνζφηεηα Q αγαζνχ , σο ζπλάξηεζε ηεο ηηκήο ηνπ P ,θαη ηεο ηηκήο π ηνπ βαζηθνχ ππνθαηάζηαηνπ . Ζ εθηίκεζε Διαρίζησλ Σεηξαγψλσλ κε βάζε ηξηκεληαία ζηνηρεία έδσζε ηα παξαθάησ απνηειέζκαηα :
Πεξίνδνο 1 (1986-1990) :
Πεξίνδνο 2 (1991-1995):
21
Qt Pt 2 t , SSE 100
Qt 1.5Pt 1.8 t , SSE 115
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
Πεξίνδνο 3 (1996-2000):
Qt 1.15Pt 2.2 t , SSE 250
Πεξίνδνο 4 (1986-2000):
Qt 1.25Pt 1.9 t , SSE 300
Πεξίνδνο 5 (1986-1995):
Qt 1.2Pt 1.92 t , SSE 245
(i)(Βαζκνί :2.0) Λα γίλεη θαηάιιεινο έιεγρνο γηα χπαξμε δηαξζξσηηθήο κεηαβνιήο κεηαμχ ησλ Πεξηφδσλ 1 θαη 2 (1986-1990 θαη 1991-1995 (ii) (Βαζκνί 1.5) Αλ ππνζέζνπκε φηη ε (κεληαία) ηηκή Ρ ηνπ πξντφληνο απμαλφληαλ θαζ’ φιε ηελ δηάξθεηα ηεο πεξηφδνπ 1986-2000, λα δηελεξγεζεί θαηάιιεινο έιεγρνο γηα ηελ χπαξμε εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο ζην ππφδεηγκα (Τ).
et
(iii) (Βαζκνί: 1.5) Απφ ηα θαηάινηπα εθηηκήζεθε
ε
εμίζσζε
et 0.2et 1
.
ηεο παιηλδξφκεζεο ηεο Πεξηφδνπ 4 (1986-2000), Λα
γίλεη
θαηάιιεινο
έιεγρνο
γηα
χπαξμε
απηνζπζρέηηζεο 1εο ηάμεο ησλ ζθαικάησλ. Θέκα 3ν Έζησ ην ππφδεηγκα: (1)
Y1t a0 a1 X1t 1t ,
(2)
Y2t 0 1Y1t 2t ,
Όπνπ
Y1 , Y2
: ελδνγελείο κεηαβιεηέο ,
X 1 : εμσγελείο κεηαβιεηή 1 , 2 : ηπραία ζθάικαηα .
(α) Έζησ φηη ηα ζθαηξηθά ηπραία ζθάικαηα είλαη αζπζρέηηζηα ,δει
Cov(1 , 2 ) 0
.
(i)(Βαζκνί 1.0) Αλ εθαξκνζζεί ε κέζνδνο ησλ Διαρίζησλ Σεηξαγψλσλ γηα ηελ εθηίκεζε ησλ εμηζψζεσλ (1) θαη (2), δίλεη ηθαλνπνηεηηθέο σο πξνο ηηο ηδηφηεηεο ησλ εθηηκήηξηεο ; ( Αηηηνινγήζαηε ηελ απάληεζή ζαο ) . ( iii) (Βαζκνί : 0,5) Θα δηέθεξε ε απάληεζε ζαο αλ ζηελ εμίζσζε (2) ηνπ ππνδείγκαηνο πξνζηεζεί σο εξκελεπηηθή κεηαβιεηή ε
X1
; (Αηηηνινγείζηε ηελ απάληεζή ζαο ).
(iii) (Βαζκνί :1,5) Αλ ε εμίζσζε (1) ηνπ αξρηθνχ ππνδείγκαηνο ηξνπνπνηεζεί ζηελ (3):
(3)
Y1t 0 11t 2 2t 3 1t X 2t 4 1t X 2t u1t ,
(φπνπ
2
22
= εμσγελείο κεηαβιεηή ,
u1
= ηπραίν ζθάικα )
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
είλαη δπλαηή ε εθηίκεζε κε ηελ κέζνδν Διαρίζησλ Σεηξαγψλσλ φισλ ησλ παξακέηξσλ ηεο εμίζσζεο (3); Αλ φρη πνηεο παξάκεηξνη κπνξνχλ λα εθηηκεζνχλ ; (Αηηηνινγήζαηε). (β) (Βαζκνί : 2.0) Έζησ
ην αξρηθφ ππφδεηγκα ησλ εμηζψζεσλ (1) θαη(2) , θαη φηη γηα ηα
Cov(1 , 2 ) 0 .Πσο
ζθαηξηθά ζθάικαηα ηζρχεη
ζα εθηηκήζνπκε ηελ εμίζσζε (2) ηνπ
ππνδείγκαηνο γηα λα πάξνπκε ζπλεπείο εθηηκήηξηεο; 2 2 2 2 0.05,18 28.9, 0.05,3 7.81, 0.05,36 50.2, 0.05,38 53.1,
F0.05,18,18 2.22, F0.05,3,3 9.28, F0.05,2,36 3.27, F0.05,2,38 3.25. Γίλνληαη
d L 1.51, dU 1.65
ΑΠΟ ΣΑ ΣΡΙΑ (3) ΘΔΜΑΣΑ ΝΑ ΓΡΑΦΟΤΝ ΣΑ ΣΡΙΑ (2)
Οικονομετρία – Ιανουάριος 2006 ΝΑ ΓΡΑΦΟΤΝ ΓΤΟ ΑΠΟ ΣΑ ΣΡΙΑ ΘΔΜΑΣΑ Θέκα 1ν Απφ δείγκα 85 παξαηεξήζεσλ εθηηκήζεθε ν OLS ην εμήο ππφδεηγκα (νη αξηζκνί ζε παξέλζεζε είλαη ηππηθά ζθάικαηα) : ^
Yt 2619 62, 48 X 1t 43,98 X 2t , R 2 0,84 (273)
(0,6)
(1)
(7,36)
Ζ ζπλδηαθχκαλζε ησλ εθηηκεηξηψλ ησλ ζπληειεζηψλ ^
έρεη εθηηκψκελε ηηκή
^
1
θαη
2
(ησλ
X1
θαη
X 2 αληίζηνηρα)
^
C o v( 1 , 2 ) 5 .
(α) (βαζκφο 1) Λα ειεγρζεί (ζε α = 0.05) ε ζηαηηζηηθή ζεκαληηθφηεηα ηεο εμίζσζεο παιηλδξφκεζεο).
2 40 ,
(β) (βαζκνί 3) Λα ειεγρζνχλ (ζε α = 0.05) νη ππνζέζεηο: η) ηηη)
21 32
έλαληη ησλ ελαιιαθηηθψλ
ηη)
1 2 0
θαη
2 40, 1 2 0 21 32 αληίζηνηρα
(γ) (βαζκνί 1) Αλ παξαιεηπφηαλ ε κεηαβιεηή
X2
απφ ηελ παιηλδξφκεζε θαη ιακβάλακε ηελ
OLS εθηίκεζε ηνπ ππνδείγκαηνο ρσξίο ηελ κεηαβιεηή απηή, πνηα ζα ήηαλ ε επίδξαζε ζηελ ^
OLS εθηίκεζε ηνπ ζπληειεζηή ηεο Γίλνληαη:
^
^
X 1 , δεδνκέλνπ φηη C o v( 1 , 2 ) 0 ;
z0.025 1,96, F1,82,0.05 3,96 F2,82,0.05 3,11.
Θέκα 2ν (α) (βαζκνί 2,5) Κε εηήζηα ζηνηρεία ζέινπκε λα εθηηκήζνπκε κηα ζπλάξηεζε ηεο κνξθήο
Yt 0 1 X t 2 Zt et
23
(1). Σν δείγκα καο απνηειείηαη απφ έηε εηξήλεο θαη έηε πνιέκνπ.
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
Αλ ην κέζν επίπεδν ηεο Τ θαζψο θαη ε επίδξαζε ηεο κεηαβιεηήο Υ ( 1 ) δηαθέξνπλ κεηαμχ πεξηφδνπ εηξήλεο θαη πεξηφδνπ πνιέκνπ, πσο ζα εθηηκήζεηε ην ππφδεηγκα; Θέινπκε λα ειέγμνπκε ηελ ππφζεζε φηη ζε πεξίνδν εηξήλεο ε επίδξαζε ηεο Υ είλαη δηπιάζηα απφ φηη ζε πεξίνδν πνιέκνπ. Λα παξνπζηάζεηε ηε ζηαηηζηηθή ειέγρνπ θαη λα εμεγήζεηε πφηε ε ππφζεζε απηή απνξξίπηεηαη. (β) Θεσξείζηε ην ππφδεηγκα
Yt 0 1 X t 2 Zt ut
(1)
η) (βαζκφο 1) Πεξηγξάςηε κηα απφ ηηο κεζφδνπο ειέγρνπ πνπ κπνξείηε λα ρξεζηκνπνηήζαηε γηα
λα
δηαπηζηψζεηε
αλ
ηζρχεη
ε
ππφζεζε
Var (ut ) 2 έλαληη
ηεο
ελαιιαθηηθήο
Var (ut ) k 2 X t 2 ηη) (βαζκνί 1,5) Έζησ φηη ηζρχεη
2 0 .
Var (ut ) k 2 X t 2 θαη
ζέινπκε λα ειεγρζεί ε ππφζεζε
H0 :
Πνηα δηαδηθαζία ζα αθνινπζήζεηε κε βάζε ηελ νπνία ζα πξνθχςεη ε θαηάιιειε
ζηαηηζηηθή ειέγρνπ; Θέκα 3ν (α)
Ζ
Τ
εξκελεχεηαη
απφ
Yt a 0 X t 1 X t 1 2 X t 2 θιαζηθέο
ππνζέζεηο,
ελψ
ηε
t γηα
Υ
(1) κε ηα ηνπο
κέζσ ζθάικαηα
ηνπ
ππνδείγκαηνο
t λα
αθνινπζνχλ ηηο
k ηζρχεη
ζπληειεζηέο
ε
ζρέζε
k k ,0 1, k 0,1, 2,... (2) (ππφζεζε Koyck). η) (βαζκνί 1,5) Δμεγείζηε πσο απφ ηηο (1) θαη (2) νδεγεζήθακε ζηελ εθηίκεζε ηεο εμίζσζεο: ^
Yt 6 1, 2 X t 0, 25 Yt , t 1, 2,...,100, d 0,84, R 2 0,76 (2,2)
(0,35)
(3)
Βξείηε
απφ
ηηο
(0,04)
εθηηκήζεηο ηεο (3) ηηο εθηηκήζεηο ησλ ηεζζάξσλ πξψησλ παξακέηξσλ ηνπ (1). Πνηα πξνβιήκαηα εθηίκεζεο παξνπζηάδεηαη ε εμίζσζε (3); ηη) (βαζκφο 1) Διέγμηε (ζε α = 0.05) ηελ χπαξμε απηνζπζρέηηζεο 1 εο ηάμεο ζηα ζθάικαηα ηεο (3). Γίλνληαη:
z0.025 1,96, d L 1,63, dU 1,72
Οικονομετρία – Σεπτέμβριος 2005 ΠΡΟ ΣΑ ΣΡΙΑ ΘΔΜΑΣΑ ΝΑ ΓΡΑΦΟΤΝ ΣΑ ΓΤΟ Θέμα 1ο Έζησ ην ππφδεηγκα
(Y ) : j w w j e j
φπνπ Q είλαη ε πξνζθεξφκελε πνζφηεηα θαη p ε
ηηκή πξνο αγαζνχ, θαη w ην χςνο ηνπ εκεξνκηζζίνπ. Κε ηελ κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ^
(LS) θαη ρξήζε 30 παξαηεξήζεσλ εθηηκήζεθε ε εμίζσζε:
24
( E ) : Q j 2.5 j 4.0w j .
www.dap-oikonomikou.gr
Πξνο
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία εθηηκήζεθε ^
^
ν
πίλαθαο
δηαθπκάλζεσλ
ζπλδηαθπκάλζεσλ
ησλ
εθηηκεηξηψλ
LS
σο
^ ^ 1.12 1.75 . V ( ) 2 1.75 1.5
^
V ( ) 2 ( )1
–
2010
θαη έδσζε
(α) (0,75 κνλάδεο) Λα γίλεη έιεγρνο
H0 : 2
(β) (1,25 κνλάδεο) Λα γίλεη έιεγρνο
H 0 : 2 w 0
έλαληη
H1 : 2
(α=0.05)
H1 : w 0
έλαληη
(α=0.05)
(γ) (0,75 κνλάδεο) Λα ππνινγηζζεί θαη λα εξκελεπζεί ε ειαζηηθφηεηα πξνο πξνζθνξάο σο
πξνο ηελ ηηκή, ζην ζεκείν ησλ κέζσλ. Γίλνληαη
Q 100 θαη p 8
(δ) (1,0 κνλάδα) Κε ρξήζε ησλ θαηαινίπσλ
u j απφ
^
ηελ εμίζσζε (Δ), εθηηκήζεθε κε ηελ
^ 2
κέζνδν LS ε εμίζσζε: ζπληειεζηή
u j 0 1 j 2 w j 3 j 2 4 w j 2 5 j w j e j θαη
πξνζδηνξηζκνχ
R2 0.15 .
Λα
γίλεη
θαηάιιεινο
έιεγρνο
γηα
έδσζε χπαξμε
εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο. (α=0.05) (ε) (1,25 κνλάδεο) Αλ ζην γξακκηθφ ππφδεηγκα y=Υβ+ε ππνζέζνπκε φηη ηα ζθάικαηα έρνπλ πίλαθα δηαθπκάλζεσλ – ζπλδηαθπκάλζεσλ
V ( ) 2 ,
φπνπ Ω είλαη πξνο κε κνλαδηαίνο
πίλαθαο, λα βξεζεί ν πίλαθαο δηαθπκάλζεσλ – ζπλδηαθπκάλζεσλ ησλ εθηηκεηξηψλ LS. Γίλνληαη
t0.05,28 1.70, x 20.05,5 11.07, t0.025,28 2.05
Θέμα 2ο
(Y ) : Yt 0 1 X1t 2 X 2t et ,
Δθηίκεζε ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ηνπ ππνδείγκαηνο
^
^
βάζε 30 παξαηεξήζεηο έδσζε ηελ εμίζσζε
κε
( E ) : Yt 0.1 X 1t 2 X 2t , 2 4 .
(α) (1,75 κνλάδεο) Λα θαηαζθεπαζζεί ην δηάζηεκα πξφβιεςεο γηα ηελ ηηκή ηνπ Y φηαλ
X1 1 X 2 2 . (α=0.05) (β) (2,25 κνλάδεο) Λα γίλεη έιεγρνο πξνο ππφζεζεο
Γίλνληαη
0 0, 1 2 .(a 0.05)
1 0 1 1 a b 1 ( ) 0 2 2 b c ac b 2 1 2 3
1
c b b a
^
(γ) (1,0 κνλάδα) Κε ρξήζε ησλ θαηαινίπσλ
u j απφ
^
κέζνδν LS ε εμίζσζε πξνζδηνξηζκνχ
^
ηελ εμίζσζε (Δ) εθηηκήζεθε κε ηελ ^
u j 0 1 X1t 2 X 2t 3 ut 1 4 ut 2 et ,
R2 0.20 .
Λα γίλεη θαηάιιεινο έιεγρνο γηα χπαξμε απηνζπζρέηηζεο.
(α=0.05) Γίλνληαη
25
θαη έδσζε ζπληειεζηή
t0.025,27 2.05, x 20.05,2 5.99, F0.05,27 3.35
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
Θέμα 3ο Θεσξνχκε φηη ην πξνζδνθψκελν ηδησηηθφ δηαζέζηκν εηζφδεκα
(Y * ) πξνζδηνξίδεη
θαηαλάισζε ( C ) ζηελ Διιάδα ζχκθσλα κε ην ππφδεηγκα: εθαξκφζνπκε
ην
παξαηεξνχκελν
ππφδεηγκα
ησλ
πξνζδνθψκελν
αλαπξνζαξκνδφκελσλ
ηδησηηθφ
δηαζέζηκν
παξαηεξνχκελν ( Τ ) ζχκθσλα κε ηελ ζρέζε:
ηελ ηδησηηθή
(1)Ct t Y *t t .
πξνζδνθηψλ,
εηζφδεκα
Y
*
Αλ
ηφηε
ην
κε
ζπλδέεηαη
κε
ην
(2)Y *t Y *t 1 (Yt Y *t 1 ),0 1 .
(α) (2,0 κνλάδεο) Κε ηελ βνήζεηα πξνο ζρέζεο (2) λα ηξνπνπνηεζεί ην ππφδεηγκα (1), ψζηε ην ηξνπνπνηεκέλν ππφδεηγκα λα κπνξεί λα εθηηκεζεί κε ηελ κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ. (β) (3,0 κνλάδεο) Γίλνληαη νη παξαθάησ εθηηκήζεηο πξνο ζπλάξηεζεο ηδησηηθήο θαηαλάισζεο C ζηελ Διιάδα γηα ηελ ρξνληθή πεξίνδν 1960-1995 (ζηαζεξέο ηηκέο αγνξάο 1970, δηο.δξρ.), κε ηελ κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ: Δθηίκεζε ζηαζεξάο:
11.2008 (5.27)
Δθηίκεζε ζπληειεζηή εηζνδήκαηνο ( Yt ):
0.2636 (5.71)
Δθηίκεζε ζπληειεζηή θαηαλάισζεο κε πζηέξεζε
(Ct 1 ) :
0.6582 (11.29)
2
:
R
0.9988
h-Durbin:
1.4563
εκείσζε: 1) Πξνο παξελζέζεηο είλαη νη ηηκέο πξνο ζηαηηζηηθήο t
Z0.05 1.645
2)
Εεηείηαη λα βξεζνχλ νη εθηηκήζεηο ησλ ζπληειεζηψλ α , β , γ ησλ (1) θαη (2) θαη λα ππνινγηζηνχλ ε βξαρπρξφληα ξνπή πξνο θαηαλάισζε θαη ε καθξνρξφληα ξνπή πξνο θαηαλάισζε. Λα εμεηαζζεί αλ ππάξρεη απηνζπζρέηηζε 1εο ηάμεο ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α=0.05.
Οικονομετρία – Ιούνιος 2005 Θέμα 1ο Έζησ φηη 10 παξαηεξήζεηο γηα ην ππφδεηγκα 10
x1j2 100 , j=1
10
x
1j
j 1
10
x22 j 40 , j 1
x2 j 20 ,
10
x j 1
1j
j
10
: j
Yj2 16925 , j=1
230 ,
10
x j=1
0 11 j 2 2 j j , έδσζαλ :
10
Yj 400 , j 1
j 100 ,
2j
10
X j 1
2j
10
X j 1
1j
100 ,
200 .
( Κε θεθαιαία νη κεηαβιεηέο ζηηο αξρηθέο ηηκέο , θαη κε κηθξά νη ηηκέο ζε απνθιίζεηο απφ ηνπο κέζνπο φξνπο ) . i.
( 1.0 Κνλάδα )
Λα γίλεη εθηίκεζε ησλ ζπληειεζηψλ
0 , 1 , 2
ησλ Διαρίζησλ Σεηξαγψλσλ.
26
www.dap-oikonomikou.gr
κε ηελ κέζνδν
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία ii.
( 1.5 Κνλάδεο ) βνήζεηα
ηνπ
λα
2010
Λα ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο πξνζδηνξηζκνχ ειεγρζεί
ε
ππφζεζε
ηεο
ζηαηηζηηθήο
R2
, θαη κε ηελ
ζεκαληηθφηεηαο
ηνπ
ππνδείγκαηνο . 2
iii.
( 2.5 Κνλάδεο ) Λα ππνινγηζζεί ε εθηηκήηξηα , θαη ζηελ ζπλέρεηα λα γίλεη ν έιεγρνο
1 2 0
Τπφδεημε :
a b
1
b 1 c ac b 2
c b
ηεο δηαθχκαλζεο ησλ ζθαικάησλ
-b , R2 a
κε ρξήζε ηεο θαηαλνκήο t .
n
j 1
j 1
n
j 1
Γίλνληαη
n
1 x1 j j 2 x2 j j .
2 j
t0.025,7 2.36 , F0,05,2,7 4.74 , F0.05,3,7 4.35 , t0.025,8 2.31.
Θέμα 2ο Δθηίκεζε Διαρίζησλ Σεηξαγψλσλ ηνπ ππνδείγκαηνο 35 παξαηεξήζεηο , έδσζε θαηάινηπα
et
Y : Yt
1 X t 2Zt t
κε βάζε
. Κε ρξήζε ησλ θαηαινίπσλ εθηηκήζεθαλ νη
παξαθάησ παιηλδξνκήζεηο θαη βξέζεθαλ νη αληίζηνηρεο ηηκέο ζπληειεζηή πξνζδηνξηζκνχ ή ηα αληίζηνηρα αζξνίζκαηα ηεηξαγψλσλ θαηαινίπσλ ( SSE ) :
et2 0.2 0.025 X t 0.05 X t2 , R2 0.15 et2 0.5 0.01Zt 0.03Zt2 , R2 0.13 et2 0.1 0.20 X t Zt , R2 0.12 et 0.13 0.25 X t 0.5Zt , SSE 130 et 0.10 0.21X t 0.39Zt 0.05et 1 0.01et 2 , SSE 100 i.
( 1.25 Κνλάδεο ) Λα γίλνπλ θαηάιιεινη έιεγρνη γηα χπαξμε εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο .
ii.
( 1.0 Κνλάδα ) Αλ ζε θάπνηα απφ ηηο πεξηπηψζεηο ειέγρνπ εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο ηνπ εξσηήκαηνο (i) πξνθχπηεη εηεξνζθεδαζηηθφηεηα ησλ ζθαικάησλ , λα πξνηαζεί θαηάιιεινο κεηαζρεκαηηζκφο ηνπ ππνδείγκαηνο ( Τ ) , θαη λα δεηρζεί φηη ν κεηαζρεκαηηζκφο απηφο νδεγεί ζε άξζε ηνπ πξνβιήκαηνο .
iii.
( 1.25 Κνλάδεο )
Λα γίλεη θαηάιιεινο έιεγρνο γηα χπαξμε απηνζπζρέηηζεο ησλ
ζθαικάησλ . iv.
( 1.50 Κνλάδεο ) ηελ ζπλέρεηα , ην ππφδεηγκα ( Τ ) εθηηκήζεθε κε βάζε 10 λέεο παξαηεξήζεηο ( κε ηελ κέζνδν Διαρίζησλ Σεηξαγψλσλ ) . Σα λέα θαηάινηπα πνπ πξνέθπςαλ απφ απηή ηελ εθηίκεζε είλαη : -1.705 , 2.07 , -0.83 , 2.475 , -2.175 , 2.00 , -3.095 , 2.455 , -3.12 , 1.915 . Λα γίλεη ν έιεγρνο Durbin-Watson γηα απηνζπζρέηηζε 1εο ηάμεο . Λα ππνινγηζζεί ε αθξηβήο θαη φρη ε πξνζεγγηζηηθή ηηκή ηνπ θξηηεξίνπ .
Γίλνληαη
27
2 2 2 x0.05,1 3.84 , x0.05,2 5.99 , x0.05,3 7.81 ,
F0.05,2,30 3.32 , F0.05,4,30 2.69 .
,
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
α = 5 % , αξηζκφο εξκελεπηηθψλ κεηαβιεηψλ = 2 :
dL 0.70 , dU 1.64
Θέμα 3ο Έζησ ην παξαθάησ δηαξζξσηηθφ ππφδεηγκα δηαζχλδεζεο κηζζψλ – ηηκψλ : ( α ) πλάξηεζε πιεζσξηζκνχ ηηκψλ : ( 1 ) (
β
)
πλάξηεζε
pt a0 a1wt a2Yt 1t , a1, a2 0
πιεζσξηζκνχ
ηηκψλ
:
(
2
)
wt 0 1pt 2ut 2t , 1 0 , 2 0 , φπνπ
pt
: πνζνζηηαία κεηαβνιή ζην γεληθφ επίπεδν ηηκψλ ,
επίπεδν ηνπ λνκηζκαηηθνχ κηζζνχ ,
Yt
: αζξνηζηηθή δήηεζε ,
wt
ut
:πνζνζηηαία κεηαβνιή ζην : ξπζκφο αλεξγίαο .
Σα απνηειέζκαηα απφ ηελ εθαξκνγή ηεο κεζφδνπ Διαρίζησλ Σεηξαγψλσλ ζην αλεγκέλν ππφδεηγκα , πνπ αληηζηνηρεί ζην αξρηθφ ππφδεηγκα ( 1 ) – ( 2 ) , γη ΓΔΓΟΚΈΛΑ Σεο Διιεληθήο Οηθνλνκίαο γηα ηελ πεξίνδν 1960 – 1995 ( δηο. δξρ. ζηαζεξέο ηηκέο 1970 ) , είλαη ηα εμήο :
2
(3)
pt 1.68241 0.04479Yt 0.87508ut , R 0.6520 ,
(4)
w t 9.37057 0.03250Yt 1.42523ut , R 0.4923 ,
2.4202
0.0054
0.3485
2
2.5689
0.0058
0.3700
( ζηηο παξελζέζεηο απεηθνλίδνληαη νη αληίζηνηρεο ηππηθέο απνθιίζεηο ) i.
( 3.5 Κνλάδεο ) Λα εθηηκεζνχλ νη δηαξζξσηηθνί ζπληειεζηέο ησλ εμηζψζεσλ ( 1 ) θαη ( 2 ) κε ηηο θαηαιιειφηεξεο εθηηκεηηθέο κεζφδνπο πεξηνξηζκέλεο πιεξνθφξεζεο ( Λα αηηηνινγεζεί ε επηινγή ησλ κεζφδσλ ) .
ii.
( 1.5 Κνλάδεο ) Αλ ε ζπλάξηεζε ( 1 ) πιεζσξηζκνχ ηηκψλ αληηθαηαζηαζεί κε ηελ ( 5): (5)
pt a0 a1wt 1 a2Yt a3 pt 1 1t , a1,a2,a3 0
θαη εθηηκεζεί κε ηελ κέζνδν Διαρίζησλ Σεηξαγψλσλ , πξνθχπηνπλ ηα απνηειέζκαηα :
(6)
pt 3.29432 0.33264w i 1 0.01391Yt 0.39320 pt 1 2.3883
0.1482
0.0074
0.1655
,
( ζηηο παξελζέζεηο απεηθνλίδνληαη νη αληίζηνηρεο ηππηθέο απνθιίζεηο ) Durbin-Watson = 1.37 ,
2
R 0.7575 .
Εεηείηαη λα εμεηαζζεί γηα α = 5 % , αλ ζηα ζθάικαηα ηεο εμίζσζεο ( 5 ) ππάξρεη απηνζπζρέηηζε 1εο ηάμεο . Γίλνληαη :
z0.10 1.28 , z0.05 1.645 , z0.025 1.96 2 t0.025,29 2.045 , t0.05,29 1.699 , x0.025,30 46.979
α = 5 % , αξηζκφο εξκελεπηηθψλ κεηαβιεηψλ = 3 :
dL 1.29 , dU 1.65 .
ΑΠΟ ΣΑ ΣΡΙΑ ( 3 ) ΘΔΜΑΣΑ ΝΑ ΓΡΑΦΟΤΝ ΣΑ ΓΤΟ ( 2 )
28
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
Οικονομετρία – Φεβρουάριος 2005 Λα γξαθνχλ ηα 2 απφ ηα 3 ζέκαηα. Γηάξθεηα εμέηαζεο 2 ψξεο. Θέμα 1ο: (α) (βαζκνί 2) Οη παξαθάησ πξνηάζεηο είλαη ζσζηέο ή ιάζνο; Γηθαηνινγείζηε κε ζπληνκία ηελ απάληεζή ζαο. (i) Οη εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ είλαη γξακκηθέο, ακεξφιεπηεο θαη άξηζηεο, κφλν φηαλ ηα αλεμάξηεηα θαη νκνζθεδαζηηθά ζθάικαηα αθνινπζνχλ θαλνληθή θαηαλνκή κε κέζν κεδέλ. (ii) Οη θιαζηθνί έιεγρνη ππνζέζεσλ ζηελ αλάιπζε ηεο παιηλδξφκεζεο ζηεξίδνληαη ζηελ ππφζεζε φηη ν δηαηαξαθηηθφο φξνο αθνινπζεί θαλνληθή θαηαλνκή. (iii) Όηαλ ππάξρεη απηνζπζρέηηζε ζηα ζθάικαηα, ηφηε ζε θάζε πεξίπησζε νη εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ησλ ζπληειεζηψλ ηεο παιηλδξφκεζεο είλαη ζπλεπείο. (iv) Ο ζπληειεζηήο πνιιαπινχ πξνζδηνξηζκνχ
R2
δελ κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα ηε
ζχγθξηζε εμηζψζεσλ παιηλδξφκεζεο πνπ έρνπλ δηαθνξεηηθέο εξκελεπφκελεο κεηαβιεηέο. (β) (βαζκνί 3) Γηα έλα δείγκα 30 παξαηεξήζεσλ εθηηκήζεθε κε ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ην ππφδεηγκα:
Yi 0 11i 2 2i i ^
1 =0,7
^
,
2 = -0,2
^
,
Απφ ηελ εθηίκεζε πξνέθπςαλ ηα εμήο απνηειέζκαηα: ^
^
1
=0,02 ,
^
^
2
=0,05 ,
^
^
C ov( 1 , 2 ) = -0,00025
θαη
R 2 =0,77 .
Λα ειεγρζνχλ, ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5% νη ππνζέζεηο: (i)
H 0 : 2 =0 ,έλαληη ηεο H1 : 2 <0
(ii)
H 0 : 1 = 2 =0, έλαληη ηεο H1 : Κηα ηνπιάρηζηνλ απφ ηηο 1
(iii)
H 0 :2 1 + 2 =1, έλαληη ηεο H1 :2 1 + 2 1 κε έλα t-test
(iv)
H 0 :2 1 + 2 =1, έλαληη ηεο H1 :2 1 + 2 1 κε έλα F-test
Γίλνληαη:
t27,0.025 =2,052
,
t27,0.05 =1,703
,
F1,27,0.05 =4,21
,
θαη
2 0
F2,27,0.05 =3,35
Θέμα 2ο: (α) (βαζκνί 2) Θεσξείζηε ην ππφδεηγκα
ut )= k 2 X t ,
Yt 0 1 X t 2 Zt ut .
Αλ ηζρχεη ε ζρέζε Var(
πνηεο είλαη νη ηδηφηεηεο ησλ εθηηκεηξηψλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ (OLS) ησλ
παξακέηξσλ ηνπ ππνδείγκαηνο; Βξείηε ηελ εθηηκήηξηα γεληθεπκέλσλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ (GLS) ηνπ δηαλχζκαηνο
' [0 1 2 ] γηα ην ελ ιφγσ ππφδεηγκα, φηαλ Var( ut )= k 2 X t .
Πνηεο νη ηδηφηεηεο ηεο εθηηκήηξηαο απηήο; (β)
(βαζκνί
3)
Γηα
ηελ
πεξίνδν
^
θαηαλάισζεο:
C t 380 0, 67 Yt , κε (120)
29
(0,29)
1948-2002
εθηηκήζεθε
^2
t 2, 24
^
θαη
ε
παξαθάησ
ζπλάξηεζε
^
( t 1 )2 1, 46
www.dap-oikonomikou.gr
(1)
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
^
ελψ
γηα
ηα
t
θαηάινηπα
^
ηεο
^
t 0,89 0, 03Yt 0, 063 1 (0,15)
(1)
εθηηκήζεθε
ε
βνεζεηηθή
παιηλδξφκεζε:
R 2 =0,49 (2)
κε
(0,002)
(0,001)
(i) Λα εμεηαζζεί , ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5%, ε χπαξμε απηνζπζρέηηζεο 1εο ηάμεο ζηα ζθάικαηα ηνπ ππνδείγκαηνο (1) κε ηνλ έιεγρν Durbin-Watson. (ii) Λα εμεηαζζεί, ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5%, ε χπαξμε απηνζπζρέηηζεο 1 εο ηάμεο ζηα ζθάικαηα ηνπ ππνδείγκαηνο (1) κε ηνλ έιεγρν Breusch-Godfrey(LM-test). (iii) Δπεηδή ππάξρνπλ ππφλνηεο γηα ηελ χπαξμε δηαξζξσηηθήο κεηαβνιήο ζην ππφδεηγκα θαηαλάισζεο απφ ην 1975 θαη κεηά, εθηηκήζεθε θαη πάιη ην ππφδεηγκα γηα δχν ππνπεξηφδνπο κε ηα εμήο απνηειέζκαηα: ^2
^
Πεξίνδνο 1948-1974:
C t 210 0,59 Yt (82)
κε
(0,21)
C t 520 0,81Yt (150)
κε
(0,31)
0,86
(3)
0,98
(4)
1t
^2
^
Πεξίνδνο 1975-2002:
2t
Λα εμεηαζζεί ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5%, ε χπαξμε δηαξζξσηηθήο κεηαβνιήο ζην ππφδεηγκα θαηαλάισζεο (Chow-test) (iv) Πεξηγξάςηε πσο κε ηελ εηζαγσγή θαηάιιειεο ςεπδνκεηαβιεηήο ζην ππφδεηγκα (1) ζα κπνξνχζαηε λα ειέγμεηε αλ ε ζπλάξηεζε θαηαλάισζεο έρεη κεηαβιεζεί θαη θαηά ζέζε θαη θαηά θιίζε απφ ην 1975 θαη κεηά. Πνηνη είλαη νη ζρεηηθνχ έιεγρνη πνπ πξέπεη λα εθαξκνζζνχλ; Γίλνληαη:
d L = 1,53
,
dU = 1,62
,
X 21,0.05 = 3,841
,
F2,51,0.05 = 4,03
Θέμα 3ο: (α)
(βαζκνί
2)
Όηαλ
ζην
Yi 0 1 X1i 2 X 2i ... X i i
θιαζηθφ
γξακκηθφ
ππφδεηγκα:
παξαιεθζνχλ κία ή πεξηζζφηεξεο εξκελεπηηθέο
κεηαβιεηέο νη εθηηκήζεηο OLS ησλ ζπληειεζηψλ ηνπ ππνδείγκαηνο είλαη ακεξφιεπηεο ή φρη; Απνδείμηε. *
(β) (βαζκνί 3) Έζησ φηη ην επηζπκεηφ χςνο ηεο απαζρφιεζεο ζηελ βηνκεραλία ( Et ) εξκελεχεηαη απφ ην ππφδεηγκα: φπνπ
Qt
Et* = α + β Qt
απαζρφιεζεο
( Et )
Et Et 1 ( Et* Et 1 ) 60
At
+
t
είλαη ην επίπεδν ηεο βηνκεραληθήο παξαγσγήο,
ηελ ηερλνινγηθή πξφνδν, ελψ ηα ζθάικαηα ηεο
+γ
εηψλ
νδεγεζήθακε
^
πξνζδηνξίδεηαη
t
(1)
At
είλαη κεηαβιεηή πνπ εθθξάδεη
είλαη ζθαηξηθά. Όκσο, ην πξαγκαηηθφ χςνο απφ
ηε
ζρέζε
κεξηθήο
, 0<δ<1 (2). Θάησ απφ απηέο ηηο ππνζέζεηο θαη γηα κηα πεξίνδν ζηελ
εθηίκεζε
ηεο
παξαθάησ
εμίζσζεο
^
E t 5, 24 0, 03 Qt 0,31 t 0,38 t 1 (2,02)
30
(0,09)
(0,12)
πξνζαξκνγήο:
κε d=1,58 (DW) (3)
(0,04)
www.dap-oikonomikou.gr
παιηλδξφκεζεο:
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
(i) Λα βξεζνχλ νη εθηηκήζεηο ησλ παξακέηξσλ ηνπ ππνδείγκαηνο (1) (ii) Λα ειεγρζεί ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5% ε ππφζεζε
H 0 :δ=0,7 έλαληη ηεο H1 :δ<0,7
(iii) Λα εμεηαζζεί ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5%, ε χπαξμε απηνζπζρέηηζεο 1 εο ηάμεο ζηα ζθάικαηα ηνπ ππνδείγκαηνο (3) κε ηνλ έιεγρν Durbin . Γηαηί ρξεζηκνπνηείηαη ζηελ πεξίπησζε απηή ν έιεγρνο Durbin θαη φρη ν έιεγρνο Durbin-Watson; Γίλνληαη:
Z0.025 1,96
θαη
Z0.05 1,645
Οικονομετρία – Σεπτέμβριος 2004 Θέμα 1ο (i) ( 1 κνλάδα) Ζ κέζνδνο ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ(LS) γηα 10 παξαηεξήζεηο ηνπ ππνδείγκαηνο
(
Τ
Yˆ 47.2 1.60 X 1.15 X j 1j 2j
έδσζε:
,
θαη εθηηκήηξηα δηαθχκαλζεο ζθαικάησλ
Αλ
Y , 1 0 1 1j 2 2j j
):
ˆ 2 3.66 .
10 2 (Y Y ) 656.1 , λα ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο πξνζδηνξηζκνχ, θαη κε ηελ ρξήζε j j 1
ηνπ λα ειεγρζεί ε ππφζεζε ηεο ζηαηηζηηθήο ζεκαληηθφηεηαο ηνπ ππνδείγκαηνο ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α=0,01. (ii )
( 1,5 κνλάδα)
Λα ειεγρζεί ε ππφζεζε
0 , ζε επίπεδα 1
2
α=0.05, αλ δίλνληαη εθηηκήηξηεο ησλ δηαθπκάλζεσλ. ζπλδηαθχκαλζεο (iii)
Έζησ
ζπληειεζηή πξνζδηνξηζκνχ
( iv)
e
e2 a a Z u j 0 1 1 j
ζεκαληηθφηεηαο
s 2 ( ˆ ) 4 2
θαη ηεο
ˆ ( ˆ , ˆ ) 2 . cov 1 2
( 1 Mνλάδα )
πξφηππν
s 2 ( ˆ ) 9 , 1
j
ηα θαηάινηπα απφ ηελ εμίζσζε (1). Υξεζηκνπνηψληαο ην
, φπνπ
R2 0.45 .
Z X2 X2 , j 1j 2j
θαη κε ηε κέζνδν LS βξίζθνπκε
Λα γίλεη έιεγρνο εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο ζε επίπεδν
a 0.01 .
( 1.5 Κνλάδα )
Αο ππνζέζνπκε φηη ζην ππφδεηγκα (Τ) ηζρχνπλ νη ζπλήζεηο
ππνζέζεηο ηνπ θιαζηθνχ γξακκηθνχ ππνδείγκαηνο, εθηφο ηεο νκνζθεδαζηηθφηεηαο ε νπνία αληηθαζίζηαηαη
απφ
ηελ:
2 Var ( ) 2 2 j
j
1j
2j
.
Πξνηείλαηε
θαηάιιειν
κεηαζρεκαηηζκφ ησλ κεηαβιεηψλ θαη λέν ππφδεηγκα, έζησ (Τ1), έηζη ψζηε ζην (Τ1) λα ηζρχνπλ φιεο νη ππνζέζεηο ηνπ θιαζηθνχ γξακκηθνχ ππνδείγκαηνο, ζπκπεξηιακβαλνκέλεο ηεο
31
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
t 2.365 0.025,7
νκνζθεδαζηηθφηεηαο. Γίλνληαη
,
6.635 , F 9.55 , X 2 0.01,1 0.01,2,7
F 5.59 . 0.05,1,7 Θέμα 2ο Δθηίκεζε
LS
ηνπ
ππνδείγκαηνο
παξαηεξήζεηο έδσζε θαηάινηπα βξίζθνπκε ηηο εμηζψζεηο (1)
(Τ):
e . t
Y , t 1 t 2 t t
κε
βάζε
40
Κε ρξήζε ησλ θαηαινίπσλ θαη ηεο κεζφδνπ LS
e 0.57e t t 1
, (0,14 ε αληίζηνηρε ηππηθή απφθιηζε) θαη (2)
2 , R 0.15 e 54.5 0.02 X 0.01Z 0.31e 0.10e t t t t 1 t 2 ( η )
( 2 Κνλάδεο) Λα γίλνπλ θαηάιιεινη έιεγρνη γηα απηνζπζρέηηζε
1εο ηάμεο θαη γηα
απηνζπζρέηηζε 2εο ηάμεο ζ επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 1%. ( ii )
( 2 Κνλάδεο) Αο ππνζέζνπκε φηη ηα
απηνζπζρέηηζε 1
t
X
εο
ζθάικαηα ζην ππφδεηγκα (Τ) παξνπζηάδνπλ
ηάμεο θαη φηη έρνπκε ηηο παξαθάησ 4 παξαηεξήζεηο γηα ην (Τ):
Z
t
Y t
t
1
1.0
2.0
10
2
2.5
5.1
20
3
4.8
6.1
30
4
6.2
8.3
40
Υξεζηκνπνηήζαηε ηελ ηηκή ηνπ ζπληειεζηή ζηελ εμίζσζε (1), ψζηε απφ ηηο ηηκέο , λα δεκηνπξγήζεηε λέεο ηηκέο( δεδνκέλα), έζησ
* , Z * , Y * , t t t
X
t
,
Z ,Y t t
έηζη ψζηε ζην ππφδεηγκα κε
ηηο λέεο ηηκέο, ηα ζθάικαηα λα έρνπλ κεησκέλε απηνζπζρέηηζε. Κπνξείηε ηψξα λα πεξηγξάςεηε κηα επαλαιεπηηθή δηαδηθαζία πνπ ζα νδεγήζεη ηειηθά ζε δεδνκέλα θαη αληίζηνηρν ππφδεηγκα, κε απηνζπζρέηηζε ζηαηηζηηθά μη ζεκαληηθή; ( iii ) ( 1 Κνλάδα) Έζησ φηη ζην ππφδεηγκα (Τ) ηζρχεη γηα ηα ζθάικαηα,
1 1 επθνιία)
), φπνπ
φηη
t
ut 0 , Var ut 2 , ut us 0 , t s .
,
E t
Var ( ) : t
ζηαζεξά(
αλεμάξηεηα
ηνπ
t 1
u , t
(
Τπνζέζαηε( γηα
ρξφλνπ
t),
θαη
φηη
, ηελ Var (t ) , θαη ηελ cov(t , t 1) 0 .
cov(u , ) 0 . Τπνινγίζαηε ηψξα ηελ E t t t 1 Γίλνληαη
32
Z
0.005
2.57 , X 2 9.21 . 0.01,2
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
ΘΔΜΑ 3Ο (α) Απφ ππφδεηγκα θαηαλεκφκελσλ ρξνληθψλ πζηεξήζεσλ, κεηά ηελ
επηβνιή γλσζηήο
ππνζέζεσο πξνθχπηεη ην ππφδεηγκα:
(1 ) ( ) , t t t 1 t t 1 (I)
φπνπ 0< ι < 1.
(1,5 Κνλάδα) Λα δεηρζεί φηη ν δηαηαξαθηηθφο φξνο
* t
t
t 1
,
απηνζπζρεηίδεηαη. (II)
( 2 Κνλάδεο )
Πνην άιιν πξφβιεκα εθηφο ηεο απηνζπζρέηηζεο εκθαλίδεηαη
ζην παξαπάλσ ππφδεηγκα; Αλαπηχμαηε θαηάιιειε δηαδηθαζία άξζεο ηνπ πξνβιήκαηνο απηνχ. Έζησ φηη ζηε ζπλέρεηα, ζην λέν ππφδεηγκα πνπ πξνθχπηεη, εθαξκφζηεθε ε κέζνδνο LS. Πνηεο είλαη νη ηδηφηεηεο ησλ εθηηκεηξηψλ ησλ ζπληειεζηψλ; (β)
( 1,5 Κνλάδα)
Λα εμεηαζζεί σο πξνο ηελ ηαπηνπνίεζε ην
ζχζηεκα
a a y a y2 a z 1t o 1 2t 2 2t 3 t 1t
(1)
y z o 1 1t 2 t 2t
(2)
2t
φπνπ
z : t
θαη ηα
εμσγελήο κεηαβιεηή, ελψ νη άιιεο κεηαβιεηέο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη ελδνγελείο,
,
1t 2t
είλαη ηπραία ζθάικαηα. Πνηα ζεσξείηε φηη είλαη ε θαηαιιειφηεξε κέζνδνο
εθηίκεζεο θάζε εμίζσζεο ηνπ ζπζηήκαηνο;
Οικονομετρία – Ιούνιος 2004 Θέμα 1ο Έζησ φηη 25 παξαηεξήζεηο γηα ην ππφδεηγκα
25
X12j 134 j 1
25
X 22 j 454 j 1
25
X1 j X 2 j 244 j 1
(Y ) : Y j 1 X1 j 2 X 2 j j , έδσζαλ:
25
Y j2 3173.54
25
j 1
X1 jY j 629.53 j 1
25
Yj
268.82
j 1
25
X 2 jY j 1167.16 j 1
(i) (0.5 Κνλάδεο) Λα γίλεη εθηίκεζε ησλ ζπληειεζηψλ
1 , 2
κε ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ
ηεηξαγψλσλ (LS). (ii) (1 Κνλάδα) Λα ειεγρζεί ε ππφζεζε ηεο ζηαηηζηηθήο ζεκαληηθφηεηαο ηνπ ππνδείγκαηνο ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α = 0.05.
33
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία n
Τπφδεημε:
j 1
(iii)
e2j
n
j 1
Y j2
2010
n n ˆ ˆ 1 X1 jY j 2 X 2 jY j , e j : Θαηάινηπα. j 1 j 1
21 2 0 (a 0.05) .
(1.5 Κνλάδεο) Λα ειεγρζεί ε ππφζεζε
(iv) (2 Κνλάδεο) Οη αξρηθέο 25 παξαηεξήζεηο ρσξίζηεθαλ ζε ηξία κέξε κε 10, 5, θαη 10 παξαηεξήζεηο ζην 1ν ,2° θαη 3° κέξνο, αληίζηνηρα. Δθηίκεζε ηνπ (Τ) κε ηελ κέζνδν LS γηα ηηο 10 παξαηεξήζεηο ζην 1° κέξνο έδσζε άζξνηζκα ηεηξαγψλσλ θαηαινίπσλ 49.67. Αληίζηνηρε εθηίκεζε γηα ηηο 10 παξαηεξήζεηο ζην 3° κέξνο έδσζε άζξνηζκα ηεηξαγψλσλ θαηαινίπσλ 71.59. Αλ νη 10 παξαηεξήζεηο ζην 1° κέξνο αληηζηνηρνχλ ζηηο δέθα κηθξφηεξεο ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο
X1 ,
ελψ νη 10 παξαηεξήζεηο ζην 3° κέξνο
αληηζηνηρνχλ ζηηο δέθα κεγαιχηεξεο ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο απηήο, λα γίλεη ν έιεγρνο εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο ησλ Goldfeld-Quandt
(α = 0.05 ). ε πνηα κνξθή
εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο αληηζηνηρεί ν έιεγρνο απηφο;
t
Γίλνληαη 0.025,23
2.07, F0.05,2,23 3.42, F0.05,1,23 4.28, F0.05,8,8 3.44
Θέμα 2ο Δθηίκεζε LS ηνπ ππνδείγκαηνο
15
t 1
(i)
et2
708.428
Yt 0 1 X t 2 Zt t , έδσζε:
15
et et 1 657.054 t 2
e1 1.06 e15 2.16
(2 Κνλάδεο) Λα γίλεη ν έιεγρνο Durbin-Watson γηα απηνζπζρέηηζε 1εο ηάμεο ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5%.
(ii)
(1 Κνλάδα) Λα ππνινγηζζεί ε ηηκή
(iii)
(1
Κνλάδα)
Κε
X t , Zt και Yt δεδνκέλα
ρξήζε ζε
pˆ
ηνπ ζπληειεζηή απηνζπζρέηηζεο
pˆ ,
ηνπ
λα
γίλεη
X t* , Zt* και Yt* ,
X t* , Zt* και Yt* ,
θαηάιιεινο
p.
κεηαζρεκαηηζκφο
ησλ
έηζη ψζηε ζην ππφδεηγκα κε ηα λέα
ηα ζθάικαηα λα έρνπλ κεησκέλε απηνζπζρέηηζε. Ωο
X t* , Zt* και Yt* ,
εθαξκνγή, ππνινγίζηε ηηο ηηκέο ησλ
αλ έρνπκε ηηο παξαθάησ 4
παξαηεξήζεηο:
X t 14.5 15.3 15.9 17.4 Zt 16.7 16.8 19.5 22.1 Yt 42.3 40.9 43.8 47.0 (iv)
(1 Κνλάδα) Λα δηεξεπλεζνχλ νη ζπλέπεηεο ζηελ ακεξνιεςία ηνπ θιαζηθνχ εθηηκεηή LS, αλ
γηα
ηα
ζθάικαηα
E (ut ) 0, Var (ut ) 2 ,
34
et θαη
ηζρχεη
et pet 1 ut
E (ut u s ) 0, t s .
www.dap-oikonomikou.gr
,
φπνπ
Δπίζεο αλ ζέζνπκε
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2W ,
2010
γηα ηνλ πίλαθα δηαζπνξάο-ζπλδηαζπνξάο (Γ-Σ) ησλ ζθαικάησλ
et ,
λα
ππνινγηζζεί ν πίλαθαο Γ-Σ ηνπ θιαζηθνχ εθηηκεηή LS, θαη λα εμεηαζζεί θάησ απφ πνηεο ζπλζήθεο απηφο ζπκπίπηεη κε ηνλ πίλαθα Γίλνληαη
2 ( X T X )1 .
d L 0.95, dU 1.54 .
Θέμα 3ο Γίλεηαη ην ππφδεηγκα:
(1) Y1t 12Y2t 11 X1t 12 X 2t 1t (2) Y2t 23Y3t 23 X 3t 2t
t 1, 2,..., T
(3) Y3t Y1t Y2t φπνπ
Y1 , Y2 , Y3
νη ελδνγελείο θαη
X1 , X 2 , X 3
νη πξνθαζνξηζκέλεο κεηαβιεηέο ηνπ
ππνδείγκαηνο. (i) (0.5 Κνλάδεο) Λα γξαθεί ην ζχζηεκα ππφ κνξθή πηλάθσλ γηα φιεο ηηο Τ παξαηεξήζεηο. (ii) (1 Κνλάδα) Λα εμεηαζζεί ε ηαπηνπνίεζε ησλ εμηζψζεσλ ηνπ ππνδείγκαηνο θαη λα επηιεγεί
γηα
θάζε
εμίζσζε,
ε
θαιχηεξε
εθηηκεηηθή
κέζνδνο
πεξηνξηζκέλεο
πιεξνθφξεζεο. (iii) (1.5 Κνλάδεο) Γηα ηελ εθηίκεζε ηνπ αξρηθνχ ππνδείγκαηνο, είλαη δπλαηή ε εθαξκνγή ηεο κεζφδνπ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ζε ηξία ζηάδηα (3SLS); Αλ λαη, εμεγήζαηε πφηε θαη γηαηί νη εθηηκήηξηεο ησλ ζπληειεζηψλ 3SLS ηαπηίδνληαη κε ηηο εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ζε δχν ζηάδηα (2SLS). (iv) (2 Κνλάδεο) Αλ ζηελ εμίζσζε (1) ηνπ αξρηθνχ ππνδείγκαηνο ζέζνπκε
12 0 ,
πξνθχπηεη ε εμίζσζε:
(4) Y1t 11 X1t 12 X 2t u1t Γηα ηελ εμίζσζε (4) ηζρχνπλ νη ππνζέζεηο ηνπ θιαζηθνχ γξακκηθνχ ππνδείγκαηνο, εθηφο απφ ηελ ππφζεζε
Var (u1t ) u2 :ζηαζεξφ.
Ζ εθηίκεζε ηεο (4) κε ηελ κέζνδν LS
δίλεη ηελ
(5) Yˆ1t 0.168 X1t 0.700 X 2t T 85, R 2 0.75 Δπίζεο κε ηελ βνήζεηα ησλ θαηαινίπσλ
uˆt
απφ ηελ εμίζσζε (5) θαη εθαξκφδνληαο ηελ
κέζνδν LS πξνθχπηεη ε
(6) uˆt2 2.10 X1t 0.45 X 2t 0.35 X12t 0.35 X 22t 0.08 X1t X 2t Λα γίλεη έιεγρνο γηα εηεξνζθεδαζηηθφηεηα ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο α = 0.05 . Γίλνληαη
35
2 2 0.05,5 11.07, 0.05,2 5.99
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
Οικονομετρία – Φεβρουάριος 2004 ΘΔΜΑ 1ο
Y u , i 1,2,...,20
Έζησ ην ππφδεηγκα
1
0
1i
1
2i
2
1
γηα ην νπνίν δίλνληαη
ηα παξαθάησ δεδνκέλα:
Y
y
120
X 1 20
X 2 10 φπνπ
i
i
x
2
x
2
1i
y
2
Y1 Y
,
x1i
2i
367
y x
12
y x
4
x x
i
1i
X 1i X 1
θαη
x2 i
60
1i
i
34
2i
2i
6
X 2i X 2
.
a) (βαζκφο 1) Λα εθηηκεζνχλ νη παξάκεηξνη β0, β1 θαη β2 ηνπ ππνδείγκαηνο. b) (βαζκφο 1) Λα εθηηκεζεί ε δηαθχκαλζε s2 ησλ ζθαικάησλ. Λα βξεζεί ν ζπληειεζηήο πνιιαπινχ
R2
πξνζδηνξηζκνχ
ηεο
δηαθπκάλζεηο ησλ εθηηκεηξηψλ c)
1
εμίζσζεο
παιηλδξφκεζεο.
Λα
εθηηκεζνχλ
νη
θαη
2 , σο θαη ε ζπλδηαθχκαλζε απηψλ.
(βαζκφο 1) Λα γίλνπλ νη παξαθάησ έιεγρνη, ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5%: (i) ηεο ππφζεζεο Ζ0 : β1 = 0 έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο Ζ1 : β1 0, (ii) ηεο ππφζεζεο Ζ0 : β2 = 8 έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο Ζ1 : β2 < 8 θαη (iii) ηεο ζηαηηζηηθήο ζεκαληηθφηεηαο (εξκελεπηηθφηεηαο) νιφθιεξεο ηεο εμίζσζεο παιηλδξφκεζεο.
d) (βαζκνί 2) Λα γίλεη ν έιεγρνο ηεο ππφζεζεο Ζ0 : 2β1 + β2 = 13 έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο Ζ1 : 2β1 + β2 13, ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5%, κε δχν ηξφπνπο: (i) κε έλα t-test θαη (ii) κε έλα F-test. Γίλνληαη: t17,0.025 = 2,11 , t17,0.05 = 1,74 , F1,17,0.05 = 4,45 θαη F2,17,0.05 = 3,59. ΘΔΜΑ 2° a) Θεσξείζηε ηε ζπλάξηεζε
y x z t
0
1
t
2
2
t
t
(1)
2
i. (βαζκνί 0.5) Αλ E( εt ) = 0 θαη var( εt ) = k xt , πνηεο ζα είλαη νη ηδηφηεηεο ησλ OLS εθηηκεηξηψλ ηεο (1); ii. (βαζκνί 1) Παξνπζηάζηε έλαλ ζηαηηζηηθφ έιεγρν κε βάζε ηνλ νπνίν ζα δηαπηζηψζεηε αλ ηζρχεη ε ππφζεζε var( εt ) = k2 xt2. iii. (βαζκνί 1) Κεηαζρεκαηίζηε ην ππφδεηγκα (1)
έηζη ψζηε ηα
ζθάικαηα λα είλαη
νκνζθεδαζηηθά θαη εμεγείζηε ζε ηη καο δηεπθνιχλεη ν κεηαζρεκαηηζκφο απηφο. b) (βαζκνί 1,5) Πξνθεηκέλνπ λα κειεηεζεί ε επίδξαζε ηεο δεκφζηαο θαηαλάισζεο D t ζηελ ηδησηηθή θαηαλάισζε Ct , εθηηκήζεθαλ νη αθφινπζεο παιηλδξνκήζεηο κε ηε κέζνδν ΔΣ κε δεδνκέλα ηεο πεξηφδνπ 1946-75 (φπνπ GNP ην ΑΔΠ θαη t ν ρξφλνο).
36
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
1) Ct = 26,19 + 0,6248GNPt – 0,4398Dt , ...............................R2 = 0,999 (2,73)
(0,006)
(0,0736)
2) (C/GNP)t = 25,92 (l/GNP)t + 0,6246 – 0,4315(D/GNP)t .........R2 = 0,875 (2,22)
(0,0068)
(0,0597)
Κε δεδνκέλε ηελ (1), γηα πνην ιφγν ζεσξείηε φηη εθηηκήζεθε ε (2); Κε βάζε ηα απνηειέζκαηα ησλ (1) θαη (2), γηα ηνπο ζπληειεζηέο ησλ GNP θαη D πνηεο εθηηκήζεηο ζα επηιέγαηε σο θαηαιιειφηεξεο θαη γηαηί; ΘΔΜΑ 3°
I t I t 1 Y I t* I t 1
(α) (βαζκνί 3) Ζ ππφζεζε ηεο κεξηθήο αλαπξνζαξκνγήο επηζπκεηφ χςνο επελδχζεσλ
I t* Yt t
I t 2,82 0,34Y 0,46I t t 1 1, 03
i.
0, 05
0, 08
(1) ζην
(2) νδήγεζε ζηελ εθηίκεζε ηεο ζρέζεο:
, t = 1, 2, …, 100 , R2 = 0,937 , d = 1,64 (DW) (3)
Λα εθηηκεζεί ε ηηκή ηεο παξακέηξνπ γ (βαζκφο πξνζαξκνγήο) θαη λα ειεγρζεί, ζε επίπεδν ζεκαληηθφηεηαο 5% (ππνζέηνληαο φηη ηα ζθάικαηα είλαη ζθαηξηθά), ε ππφζεζε Ζ0
:
γ
=
0,3
έλαληη
ηεο
ελαιιαθηηθήο
Ζ1 : γ > 0,3. ii.
Λα
εμεηαζζεί,
απηνζπζρέηηζε 1
ζε εο
επίπεδν
ζεκαληηθφηεηαο
5%,
αλ
ε
εμίζσζε
(3)
παξνπζηάδεη
ηάμεο ζηα ζθάικαηα.
Γίλνληαη: Ε0,05 = 1,645 θαη Ε0,025 = 1,96. (β) (βαζκνί 2) Αο ζεσξήζνπκε ηε ζπλάξηεζε επελδχζεσλ (3) ζηα πιαίζηα ελφο καθξννηθνλνκηθνχ Θευλζηαλνχ ππνδείγκαηνο. πγθεθξηκέλα, ζεσξνχκε ην ππφδεηγκα: Ct = α0 + α1 Yt + α2 Ct-1 + ε1t ..........................................................................................................................(4) It = β0 + β1 Yt + β2 It-1 + ε2t ...................................................................................(5) Yt = Ct + It + Gt
(6)
φπνπ Ct = θαηαλάισζε, It = επελδχζεηο, Yt = εηζφδεκα θαη Gt = θξαηηθέο δαπάλεο. (i)
Λα γξαθεί ην ππφδεηγκα ππφ ηελ ηππηθή ηνπ κνξθή Byt + Γxt = ut , φπνπ yt θαη xt είλαη ηα δηαλχζκαηα ησλ ελδνγελψλ θαη πξνθαζνξηζκέλσλ κεηαβιεηψλ αληίζηνηρα.
(ii)
Λα εμεηαζζεί σο πξνο ηελ ηαπηνπνίεζε ην ππφδεηγκα.
ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΘΟΥΝ 2 ΑΠΟ ΤΑ 3 ΘΔΜΑΤΑ.
Οικονομετρία – Φεβρουάριος 2003 ΘΔΜΑ 1 (α) ζεσξείζηε ην ππφδεηγκα y t = β 0 + β 1 x t
+ β 2 Ε t + ε t (1). Κε ηε κέζνδν Δ.Σ (OLS)
εθηηκήζεθε ε εμήο παιηλδξφκεζε: (2)
yt=1.37+0.632( x+z)t-0.180zt,
37
n=40
R2=0.98
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία (0.257) (3)
2010
(0.448)
yt=1.37+0.632(x-z)t+1.084zt,
(0.257)
n= 4 0
(0.160)
φπνπ n : κέγεζνο δείγκαηνο θαη ζε παξελζέζεηο ηα ηππηθά ζθάικαηα ησλ εθηηκεζέλησλ ζπληειεζηψλ, a) ( βαζκνί 2) Γηα α=5% λα ειεγρζνχλ ζηαηηζηηθά νη ππνζέζεηο (i) β1 =β2, (ii) β1 + β2 = 1 b) (βαζκνί 1) ε πεξίπησζε πνπ δελ απνξξίπηεηαη ν πεξηνξηζκφο (η) πνηα είλαη ε κνξθή ηεο ζπλάξηεζεο
παιηλδξφκεζεο πνπ ζα εθηηκνχζαηε γηα λα ιάβεηε εθηηκήζεηο πνπ
ηθαλνπνηνχλ ηνλ πεξηνξηζκφ; Παξνπζηάζηε ελαιιαθηηθφ ηξφπν ειέγρνπ ηνπ γξακκηθνχ πεξηνξηζκνχ β1 = β2 πνπ λα βαζίδεηαη ζηα απνηειέζκαηα ηεο πξνηεηλφκελεο κνξθήο θαη φζν θαη ηεο αξρηθήο ζπλάξηεζεο (1). c)
(βαζκνί 1) Ση ηηκή έρεη ν ζπληειεζηήο R2 ηεο (3) ;Δμεγείζηε.
d) (βαζκνί 1) Ση ηηκή έρεη ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο κεηαμχ ηεο Εt θαη ησλ θαηαινίπσλ et ηεο παιηλδξφκεζεο (2); Δμεγείζηε..
z e z e t t
εκείσζε: Ο ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν:
2 t
2 t
ΘΔΜΑ 2 a) (βαζκνί 2,5) Δθηηκνχκε ζπλάξηεζε ηεο κνξθήο: y t = β 0 + β 1 x t + β 2 Ε t + ε t
(1) κε
εηήζηα ζηνηρεία. Σν δείγκα καο απνηειείηαη απφ έηε εηξήλεο θαη έηε πνιέκνπ. Αλ ην κέζν επίπεδν ηεο y θαζψο θαη ε επίδξαζε ηεο κεηαβιεηήο x (β1) δηαθέξνπλ κεηαμχ πεξηφδνπ εηξήλεο θαη πεξηφδνπ πνιέκνπ, πψο ζα εθηηκήζεηε ην ππφδεηγκα; ζέινπκε λα ειέγμνπκε ηελ ππφζεζε φηη ζε πεξίνδν εηξήλεο ε επίδξαζε ηεο x είλαη δηπιάζηα απ' φηη ζε πεξίνδν πνιέκνπ. Λα παξνπζηάζεηε ηε ζηαηηζηηθή ειέγρνπ θαη λα εμεγήζεηε πφηε ε ππφζεζε απηή απνξξίπηεηαη. b) (βαζκνί 2,5) Πξνθεηκέλνπ λα κειεηεζεί ε επίδξαζε ηνπ επηηνθίνπ Rt ζηε δήηεζε ρξήκαηνο Κt, εθηηκήζεθαλ νη αθφινπζεο παιηλδξνκήζεηο κε ηε κέζνδν ΔΣ κε δεδνκέλα ηεο πεξηφδνπ 1966-95 (φπνπ GNP ην ΑΔΠ θαη t ν ρξφλνο). 1) Κ t = 2 6 . 1 9 + 0 . 6 2 4 8 G N P t - 0 . 4 3 9 8 R t , R2 =0.999 (se)
(2.73)
(0.006)
(0.0736)
2) ( M / G N P ) t = 2 5 . 9 2 ( 1 / G N P ) t + 0 . 6 2 4 6 - 0 . 4 3 1 5 ( R / G N P ) t , (se)
(2.22)
(0.0068)
R2 = 0.875
(0.0597)
Γηα πνην ιφγν ζεσξείηε φηη εθηηκήζεθε ε (2) θαη πνηα ήηαλ ε ππφζεζε ζρεηηθά κε ηνλ φξν ζθάικαηνο ηνπ ππνδείγκαηνο πνπ νδήγεζε ζηελ εθηίκεζε ηεο (2).Ζ εθηηκήηξηα ηεο επίδξαζεο ηεο Rt ζηελ Κt (ζπληειεζηήο ηεο Rt) ηη ηδηφηεηεο ζα έρεη ζε θαζεκία πεξίπησζε; (Γηθαηνινγείζηε )
38
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
ΘΔΜΑ 3 Γίλεηαη ην παξαθάησ νηθνλνκεηξηθφ ππφδεηγκα : (1) Τ1 = β10 Τ2+ β11X1 + β12Υ2 + β13Υ3 + ε1 (2) Τ2 = β20 Τ1+ β21Υ1 + β22Υ2 + β23Υ3 + ε2 Όπνπ Τ1, Τ2 ελδνγελείο κεηαβιεηέο, Υ1, Υ2, Υ3 πξνθαζνξηζκέλεο κεηαβιεηέο θαη ε1, ε2 δηαηαξαθηηθνί φξνη. a) (βαζκνί 0,5) Λα εμεηαζηεί ε ηαπηνπνίεζε ησλ εμηζψζεσλ ηνπ ππνδείγκαηνο. b) (βαζκνί 1) Έζησ φηη ηζρχνπλ νη πεξηνξηζκνί (η) β12 = β23 = 0 (ηη) β21 = β22 = 0. Γηα θάζε πεξίπησζε (η) θαη (ηη) ρσξηζηά επηιέμηε, εθφζνλ είλαη δπλαηφλ, θαηάιιειε εθηηκεηηθή κέζνδν γηα ηελ εθηίκεζε ησλ εμηζψζεσλ ηνπ ππνδείγκαηνο (Αηηηνινγείζηε). c)
(βαζκνί 2) Έζησ φηη ηζρχνπλ νη ζπλζήθεο β10=0 θαη C(ε1, ε2) 0 θαη ν δηαηαξαθηηθφο φξνο θάζε εμίζσζεο έρεη ζηαζεξή δηαθχκαλζε θαη δελ απηνζπζρεηίδεηαη. Πψο κπνξνχκε λα εθηηκήζνπκε θαηά ηνλ θαιχηεξν ηξφπν θάζε κία απφ ηηο εμηζψζεηο ηνπ ππνδείγκαηνο; Πνηεο νη ηδηφηεηεο ησλ εθηηκεηηθψλ κεζφδσλ πνπ ρξεζηκνπνηήζαηε;
d) (βαζκνί 1,5) Έζησ φηη ηζρχνπλ νη ζπλζήθεο β10=0 θαη C(ε1, ε2)=0 θαη ν δηαηαξαθηηθφο φξνο θάζε εμίζσζεο έρεη ζηαζεξή δηαθχκαλζε θαη δελ απηνζπζρεηίδεηαη. Πνηα εθηηκεηηθή δηαδηθαζία
πξνηείλεηε
γηα
ηελ
εθηίκεζε
ησλ
εμηζψζεσλ
ηνπ
ππνδείγκαηνο;
(Αηηηνινγείζηε). Πνηεο νη ηδηφηεηεο ησλ αληίζηνηρσλ εθηηκεηξηψλ; εκείσζε : Γίλνληαη: z(0.025) = l.96, z(0.05) = l.64.
Οικονομετρία – Φεβρουάριος 2002 ΘΔΜΑ 1° 1)
(βαθμοί
3)
Δπηιέγεηαη
E a 11 2 2 u
1 ,
γηα
δηεξεχλεζε
ην
εμήο
πξφηππν
δαπάλεο
φπνπ Δ ε εκεξήζηα θαηά θεθαιή δαπάλε (ζε δξρ.) γηα
ηξφθηκα ζε κηα πεξηνρή, Υ1 = 1 αλ ε δαπάλε αθνξά εκηαζηηθή πεξηνρή θαη 0 ζε θάζε άιιε πεξίπησζε θαη , Υ2 = 1 αλ ε δαπάλε αθνξά αζηηθή πεξηνρή θαη 0 ζε θάζε άιιε πεξίπησζε. Κε ηε κέζνδν ΟLS εθηηκήζεθε ε εμήο παιηλδξφκεζε κε δεδνκέλα 75 πεξηνρψλ (αγξνηηθψλ, εκηαζηηθψλ θαη αζηηθψλ) ηεο ρψξαο (νη αξηζκνί ζε παξέλζεζε είλαη ηππηθά ζθάικαηα). Δ = 1200 +300 Υ1 +800 (Υ1+Υ2) , (100)
R2 = 0,74
(2)
(300)
(i) Πνηα είλαη ε εθηίκεζε ηεο θαηά θεθαιή δαπάλεο ζε κηα αγξνηηθή, ζε κηα εκηαζηηθή θαη ζε κηα αζηηθή πεξηνρή αληίζηνηρα, (ii) Δπαιεζεχεηαη ε ππφζεζε φηη (α)γηα α=5% ε δαπάλε ζε αγξνηηθή πεξηνρή δελ ππεξβαίλεη ηελ αληίζηνηρε ζε εκηαζηηθή πεξηνρή; (β) γηα α = 1 % ε δηαθνξά ηεο δαπάλεο ζε αζηηθή πεξηνρή απφ ηελ αληίζηνηρε ζε εκηαζηηθή πεξηνρή είλαη κεγαιχηεξε απφ 300 δξρ.; (εμεγείζηε). (iii) Αλ αληί ηεο (2) εθηηκνχζακε ηε κνξθή (1) πνηα ζα ήηαλ ε ηηκή ηνπ R2 ;
39
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2) (βαθμοί 2) ζεσξείζηε ην ππφδεηγκα
2010
Y 0 1 2 u
(1).
(i) Πεξηγξάςηε κηα κέζνδν ειέγρνπ κε ηελ νπνία ζα δηαπηζηψζεηε αλ ηζρχεη ε ππφζεζε V a r ( u η ) = ζ2 έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο V a r ( u η ) = θ 2 Υ η 2 .
(ii) Αλ εθηηκεζεί ε (1) κε OLS θαη ηζρχεη
Var u 2 X2
ηη πξνβιήκαηα
πξνθχπηνπλ ; ΘΔΜΑ 2° Απφ δείγκα 85 παξαηεξήζεσλ εθηηκήζεθε κε OLS ην εμήο ππφδεηγκα (νη αξηζκνί ζε παξέλζεζε είλαη ηππηθά ζθάικαηα) Τt = 2619 + 62,48X1t-43,98X2t………………………………..R2 = 0,84 (273)
(0,6)
(7,36)
Ζ ζπλδηαθχκαλζε ησλ εθηηκεζέλησλ ζπληειεζηψλ b1 θαη b2 (ησλ Υ1 θαη Υ2 ) έρεη εθηηκψκελε ηηκή S12 = 5. (i) (βαζκνί 1) Λα ειεγρζεί ε ζηαηηζηηθή ζεκαληηθφηεηα ηεο παιηλδξφκεζεο (ii) (βαζκνί 3) Λα ειεγρζεί ζηαηηζηηθά ε ππφζεζε (α) β2= -38 , (β) β1+β2=0 , (γ) 2β1 = -3β2. (iii) (βαζκνί 1) Πνηα είλαη ε κνξθή ηεο παιηλδξφκεζεο πνπ ζα εθηηκεζεί αλ ηζρχεη ν γξακκηθφο πεξηνξηζκφο (α) 2βη = -3β2 , (β) β2=-38. ΘΔΜΑ 3° Έζησ ην ππφδεηγκα
1
wt 10 11Pt 1t
2
Pt 20 21wt 22 t 23t 2t
φπνπ wt= πνζνζηηαία κεηαβνιή ζηνπο ρξεκαηηθνχο κηζζνχο, wt = πνζνζηηαία κεηαβνιή ζηηο ηηκέο, Κt = πνζνζηηαία κεηαβνιή ζηελ πξνζθεξφκελε πνζφηεηα ρξήκαηνο, At = πνζνζηφ αλεξγίαο ζηελ πεξίνδν t, ε1t , ε2t, = ηπραία ζθάικαηα. a) (βαζκνί 3)Λα εμεηαζηεί ε δπλαηφηεηα εθηίκεζεο ησλ εμηζψζεσλ (1), (2) θαη λα ππνδεηρζεί ε θαιχηεξε κέζνδνο εθηίκεζεο πεξηνξηζκέλεο πιεξνθφξεζεο (Αηηηνινγήζηε). Λα εθαξκφζεηε αλαιπηηθά ζην ζχζηεκα ηε κέζνδν πνπ ζα ππνδείμεηε. b) (βαζκνί
2)
Αλ
αληί
ηεο
wt a10 a11 At a12 wt 1 1t
(1)
έρνπκε
ηελ
εμίζσζε
θαη νη ηηκέο ηνπ δηαηαξαθηηθνχ φξνπ
(1)
1t
απηνζπζρεηίδνληαη (α βαζκνχ απηνζπζρέηηζε), ελψ ν ζπληειεζηήο απηνζπζρέηηζεο είλαη άγλσζηνο, λα αλαπηχμεηε θαηάιιειε δηαδηθαζία εθηίκεζεο ηεο ( 1 ).
40
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία Γίλνληαη:
2010
z0,05 1,64, z0,025 1,96, z0.05 2,33, F0,05 2,60 3,15, F0,05 2,120 3,07
Λα απαληεζνχλ 2 απφ ηα 3 ζέκαηα.
Θαιή
επηηπρία.
Οικονομετρία – Φεβρουάριος 2000 ΘΔΜΑ 1 Κηα νηθνλνκηθή ζρέζε έρεη ηελ εμήο ζηνραζηηθή κνξθή : y i = β 0 + β 1 x 1 i + β 2 x 2 i + β 3 x 3 i + β4x4i + εi Κε ηε κέζνδν Δ.Σ. εθηηκήζεθαλ νη εμήο παιηλδξνκήζεηο απφ δείγκα 82 παξαηεξήζεσλ (νη αξηζκνί ζε παξελζέζεηο ππνδειψλνπλ ηππηθά ζθάικαηα, ελψ έγηλε ε ππφζεζε φηη ηα ζθάικαηα ε i είλαη ζθαηξηθά). yI = -1,28 + 0,25(x1i + x2i) - 0,02x2i + 0,03x3i + 0,83x4i (2,73) (0,12)
2
i
862,3
(0,14) θαη
(0,04)
(0,06)
2 11,20
(y - x3)i = -78,28 - 0,03 (x1 + x2)i + 0,99x4i (2,06)
2
i
(0,21)
1055,5
(0,18) θαη
2
13,36
a) Λα ειεγρζνχλ νη εμήο ππνζέζεηο : (1) H0: β1= β2 έλαληη Ζ1 : β1≠ β2 , (2) Ζ0 : β1 = β2 , β3 = 1 έλαληη Ζ1: είηε β1≠β2 είηε β3≠1. b) Αλ γλσξίδαηε ηελ χπαξμε απηνζπζρέηηζεο ζηα ζθάικαηα πνηεο ζα ήηαλ νη ζπλέπεηεο σο πξνο ηελ αλσηέξσ εθηηκήηξηα Δ.Σ. θαη ηα ζπκπεξάζκαηα ηνπ εξσηήκαηνο (α). (Γίλνληαη F0.05 (2,60) = 3,15 , F0,05(2,120) = 3,07 , F0,05(4,60) = 2,45 , Z0,025 = 1,96) ΘΔΜΑ 2
A.
Ζ ππφζεζε ηεο κεξηθήο αλαπξνζαξκνγήο : C t - C t - 1 = γ( C t - C t - 1 ) ζην επηζπκεηφ χςνο ηεο θαηαλάισζεο:
Ct yt t
νδήγεζε ζηελ εθηίκεζε ηνπ ππνδείγκαηνο
Ct = 0,10 + 0,128yt + 0,870Ct-1 R2 = 0,978
(0,033)
(0,127) Τπνινγίζηε ηελ ηηκή ηεο παξακέηξνπ γ ηνπ βαζκνχ πξνζαξκνγήο θαζψο θαη ηελ καθξνρξφληα θαη βξαρπρξφληα νξηαθή ξνπή πξνο θαηαλάισζε. Πνηεο είλαη νη ηδηφηεηεο ησλ εθηηκεηξηψλ ησλ παξακέηξσλ απηψλ; B. Θεσξείζηε ηε ζπλάξηεζε y t = β 0 + β 1 x t + β 2 z t + ε 2
2
Aλ Δ( ε1 ) = 0 θαη var (ε1 ) = k x a.
41
t
(1)
t
Πνηεο ζα είλαη νη ηδηφηεηεο ησλ OLS εθηηκεηξηψλ ηεο (1)
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία b.
Κεηαζρεκαηίζηε
ην
ππφδεηγκα
(1)
2010 έηζη
ψζηε
ηα
ζθάικαηα
λα
είλαη
νκνζθεδαζηηθά ΘΔΜΑ 3 Έζησ ην παξαθάησ ππφδεηγκα πξνζδηνξηζκνχ κηζζψλ-ηηκψλ: (1) w t =β
10
+β
11
(2) p t = β
20
+β
21
pt+β
12
wt+β
Αt+ε
22
1t
Α t+ β
23
Κt+ε
2t ,φπνπ:
w t = πνζνζηηαία κεηαβνιή ζηνπο ρξεκαηηθνχο κηζζνχο , p t = πνζνζηηαία κεηαβνιή ζηηο ηηκέο , M
t
= πνζνζηηαία κεηαβνιή ζηελ πξνζθεξφκελε πνζφηεηα ρξήκαηνο , Α
t
= πνζνζηφ
αλεξγίαο ζηελ πεξίνδν t. a) (βαζ.1) Λα εμεηαζηεί ε ηαπηνπνίεζε ηνπ ππνδείγκαηνο (1) , (2). b) (βαζ.1) Λα εμεηαζηεί θαη αηηηνινγεζεί αλ ελδείθλπηαη ε εθαξκνγή γηα θάζε εμίζσζε ηνπ ππνδείγκαηνο: (1) ηεο έκκεζεο κεζφδνπ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ (ILS) , (2) ηεο κεζφδνπ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ (LS) , (3) ηεο κεζφδνπ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ζε δχν ζηάδηα (2SLS) c)
(βαζ.2) Λα απαληεζεί ην εξψηεκα (β) : (1) Αλ ζηελ εμίζσζε (1) ηεζεί β Αλ ζηελ εμίζσζε (1) ζπκπεξηιεθζεί ε κεηαβιεηή w
t-1
12
= 0 θαη (2)
.
d) (βαζ.1) Κπνξεί ην ππφδεηγκα ησλ εμηζψζεσλ (1), (2) λα εθηηκεζεί κε ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ζε ηξία ζηάδηα (3SLS); Λα αηηηνινγεζεί ε απάληεζή ζαο Να
απανηήζεηε
ζε
δύο
Καλή Δπιηυχία
42
www.dap-oikonomikou.gr
θέμαηα
Παλαιότερα Θέματα: Οικονομετρία
2010
Βρείτε στο site και στα τραπεζάκια μας: ηην Ύλη ηων μαθημάηων ηοςρ κωδικούρ και ηον ηόπο διανομήρ ηων Σςγγπαμμάηων Θέμαηα Παλαιόηεπων Εξεηαζηικών Λςμένα Θέμαηα ζηα μαθήμαηα Σημειώζειρ για ηα μαθήμαηα
Και άλλο Χρήσιμο Υλικό
ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟΝ ΦΟΙΤΗΤΗ 43
www.dap-oikonomikou.gr