Mathimatika2aug13

Μπορείτε να βρείτε ύλες, ανακοινώσεις , παλαιότερα θέματα, προγράμματα, λυμένα θέματα καθώς και άλλα φυλλάδια στο τραπεζάκι της Δαπ η στο dap-oikonomikou.gr Για απορίες γραφτείτε στο Φόρουμ του https://www.facebook.com/groups/econnomikis

facebook

Για οποιαδήποτε άλλη πληροφορία μπορείτε επικοινωνήσετε στο dap.oikonomikou@gmail.com

ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟ ΦΟΙΤΗΤΗ

να

ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ Περιεχόμενα: 1. Μαθηματικά ΙΙ – Μάρτιος 2014 2. Μαθηματικά ΙΙ - Σεπτέμβριος 2013 3. Μαθηματικά ΙI - Ιούνιος 2013 •

Μελάς

•

Κορκοτσίδης

1. Μαθηματικά ΙΙ - Σεπτέμβριος 2010 2. Μαθηματικά ΙΙ - Ιούλιος 2010 •

Τμήμα Α’

•

Τμήμα Β'

3. Μαθηματικά ΙΙ - Ιανουάριος 2010 4. Μαθηματικά ΙΙ - Ιούνιος 2009 •

Τμήμα Α'

•

Τμήμα Β’

5. Μαθηματικά ΙΙ - Φεβρουάριος 2009 6. Μαθηματικά ΙΙ - Ιούνιος 2008 •

Τμήμα Α’

•

Τμήμα Β’

7. Μαθηματικά ΙΙ - Ιανουάριος 2008 8. Μαθηματικά ΙΙ - Σεπτέμβριος 2007 •

Τμήμα Α'

•

Τμήμα Β’

9. Μαθηματικά ΙΙ - Ιούνιος 2007 •

Τμήμα Α’

•

Τμήμα Β'

10. Μαθηματικά ΙΙ - Φεβρουάριος 2007 11. Μαθηματικά ΙΙ - Αύγουστος 2006 (εμβόλιμη) •

Τμήμα Α'

•

Τμήμα Β'

12. Μαθηματικά ΙΙ - Ιούλιος 2006 13. Μαθηματικά ΙΙ - Ιούνιος 2006 14. Μαθηματικά ΙΙ - Ιανουάριος 2006 15. Μαθηματικά ΙΙ - Σεπτέμβριος 2005

ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ •

Τμήμα Α'

•

Τμήμα Β’

16. Μαθηματικά ΙΙ - Ιούνιος 2005 •

Τμήμα Α'

•

Τμήμα Β’

17. Μαθηματικά ΙΙ - Φεβρουάριος 2005 18. Μαθηματικά II - Σεπτέμβριος 2004 •

Τμήμα Α’

•

Τμήμα Β'

19. Μαθηματικά II - Ιούνιος 2004 •

Τμήμα Α'

•

Τμήμα Β’

20. Μαθηματικά II - Φεβρουάριος 2004 21. Μαθηματικά II - Ιούνιος 2003 •

Τμήμα Α’

•

Τμήμα Β’

22. Μαθηματικά II - Απρίλιος 2003 (εμβόλιμη) 23. Μαθηματικά II - Φεβρουάριος 2003 •

Τμήμα Α’

•

Τμήμα Β’

24. Μαθηματικά II - Σεπτέμβριος 2001 •

Τμήμα Α’

•

ΤμήμαΒ'

25. Μαθηματικά II - Ιούνιος 2001 •

Τμήμα Α’

•

ΤμήμαΒ’

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2014 – ΚΑΤΣΙΚΗΣ Θέμα 1ο: Α) Να χρησιμοποιήσετε την μέθοδο Lagrange για να βρείτε τα ακρότατα (αν υπάρχουν) της συνάρτησης f(x,y) = 𝑥 2 + 𝑦 τα οποία είναι ταυτόχρονα και σημεία του κύκλου 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1. (2.5 μονάδες) Β) Να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A=�

2 1 � 0 3

(2.5 μονάδες)

Θέμα 2ο: Α) Να λύσετε το παρακάτω σύστημα(1.5 μονάδες) 𝑥𝑦 − 2�𝑦 + 3𝑦𝑧 = 8 2𝑥𝑦 − 3�𝑦 + 2𝑦𝑧 = 7 −𝑥𝑦 + �𝑦 + 2𝑦𝑧 = 4

Β) Αν g(s,t) = f(s 2 − t2 , t2 − s 2) και η f είναι παραγωγίσιμη, να δείξετε ότι η g ικανοποιεί την εξίσωση ∂g

∂g

t ∂s + s ∂t = 0 1,5 μονάδες

y2

Θέμα 3ο: Δίνεται η συνάρτηση f (χ, y) =xln � x � + 3x − xy2 Να χαρακτηρίσετε τα κρίσιμα σημεία της f ως τοπικά μέγιστα - ελάχιστα ή σαγματικά σημεία. (2 μονάδες) Καλή Επιτυχία

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΣΕΠΤΕΜΒΡΗΣ 2013- ΜΕΛΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2012-2013 ΜΕΛΑΣ ΘΕΜΑ 1Ο (2,5 μονάδες) Επιλύστε με μεθόδους γραμμικής άλγεβρας για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων α, β το ακόλουθο γραμμικό σύστημα ΑΧ=c, όπου 𝑥 𝛼 1 1 1 Α=�1 −1 0� , Χ= �𝑦� , c= � 0�. 𝑧 0 3 1 𝑏 Συγκεκριμένα

Α) για ποιες τιμές του α και β το σύστημα έχει μία και μοναδική λύση και ποια είναι η λύση αυτή; (0,8 μονάδες) Β) για ποιες τιμές των α, β το σύστημα είναι αδύνατο; (0,5 μονάδες) Γ) για ποιες τιμές των α, β το σύστημα είναι αόριστο και ποιες είναι οι λύσεις στην περίπτωση αυτή; (1,2 μονάδες) ΘΕΜΑ 2Ο (2 ΜΟΝΑΔΕΣ) Δίνεται πίνακας Α=�1 0�

0 1

Α) είναι ο πίνακας Α απλής δομής; Αιτιολογήστε.(1,4 μονάδες) Β) Αν είναι διαγωνοποιείστε τον Α και επαληθεύστε τη σχέση διαγωνιοποίησης αγνοώντας το γεγονός ότι ο Α είναι ήδη διαηώνιος.(0,6 μονάδες) ΘΕΜΑ 3Ο (2 ΜΟΝΑΔΕΣ) Α) Δίνεται ότι 𝑒 𝜀𝜑(𝑥𝑦) +σφ(𝑒 𝑥𝑦 ) = ln𝑧 𝑥 + [𝜎𝜐𝜈(𝑥𝑦𝑧)]𝑥 . Υπολογίστε την μερική παράγωγο. (1 μονάδα) Β) Βρείτε την εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου της επιφάνειας -2=𝜒 3 𝑦 + 3𝑥 2 𝑦 2 𝑧 στο σημείο (1,1,-1) (1 μονάδα)

ΘΕΜΑ 4Ο (2,5 ΜΟΝΑΔΕΣ) Μελετήστε ως προς τα ακρότατα τη συνάρτηση 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦𝑒 −𝑥−𝑦

ΘΕΜΑ 5Ο (2 ΜΟΝΑΔΕΣ)

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα διυλιστήριο το οποίο πρέπει να στείλει με πλοίο διυλισμένα προϊόντα σε δύο δεξαμενές αποθήκευσης Α και Β. το κόστος αποστολής με πλοίο x μονάδων στην αποθήκη Α είναι 𝛼𝜒 2, ενώ το κόστος αποστολής με πλοίο y μονάδων στην αποθήκη Β είναι 𝛽𝑦 2 , Όπου α>0 και β>0 δεδομένες σταθερές. Πώς μπορούμε να αποστείλουμε συνολικά Q μονάδες και στις δύο δεξαμενές ελαχιστοποιώντας το κόστος αποστολής;

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΚΟΡΚΟΤΣΙΔΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΘΕΜΑ 1Ο Να βρεθεί η ορθογώνια προβολή και η ορθογώνια συνιστώσα του διανύσματος 𝑤 𝑟 =(3 -1 2) στο χώρο που παράγουν τα διανύσματα 𝑢𝑟 = (2 0 1) και 𝑣 𝑟 = (−2 1 0). Ποιο πρόβλημα ελαχιστοποίησης έχει λυθεί με τον τρόπο αυτό; ΘΕΜΑ 2Ο

1 3

Έστω Q(K,L)=60𝐾 4 𝐿4 , 𝑝𝐾 = 6, 𝑝𝐿 = 4. Να βρεθούν τα Κ και L που μεγιστοποιούν το παραγόμενο προϊόν, αν διατίθενται συνολικά 1000 χρηματικές μονάδες για τη μίσθωση κεφαλαίου και εργασίας.( μην υπολογίσετε την τιμή της ψευδομεταβλητής λ.) ΘΕΜΑ 3Ο Α) Να βρεθεί, με πλήρη εξήγηση, η εξίσωση του επιπέδου το οποίο διέρχεται από το σημείο (0, 2, 1) και είναι κάθετο προς το διάνυσμα 𝑢𝑟 = (6 3 − 2) Β) Να βρεθεί η ορθογώνια διεύθυνση του επιπέδου με εξίσωση 7+3z = 6x+15y, καθώς και δύο σημεία από τα οποία διέρχονται. ΘΕΜΑ 4Ο Α) Να υπολογισθεί με τον πιο σύντομο τρόπο η τιμή του ολοκληρώματος 𝛪 = ∬𝑅 �𝑥𝑦 𝑑𝐴, όπου R το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία (0,0), (1,2) και (1,6). Β) Να γραφεί το 𝛪 με την άλλη σειρά ολοκλήρωσης, χωρίς να ξαναϋπολογιστει.

ΘΕΜΑ 5Ο Δίνεται το σύστημα

4𝑥 2𝑥

−𝑦 +8𝑦

+𝑧 − 6𝑤 = 0 −𝑧 =0

Να βρεθούν, με τη μέθοδο του αξονικού στοιχείου, οι λύσεις του. Να αποδειχθεί ότι αυτές συνιστούν διανυσματικό χώρο. Να βρεθεί η διάστασή του και δύο από τις βάσεις του.

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Μαθηματικά ΙΙ – Φεβρουάριοσ 2011 Θέκα 1ν (3 κνλάδεο) a) Λα ειαρηζηνπνηεζεί ε ζπλάξηεζε (σο πξνο x,y,z)

Τπφ ηνλ πεξηνξηζκφ

Όπνπ

θαη

b) Λα βξεζνχλ νη ηηκέο ηνπ a έηζη ψζηε ην ζχζηεκα 10

λα έρεη άπεηξεο ην πιήζνο ιχζεηο. ΢ηελ πεξίπησζε απηή λα γξάθεη ν ρψξνο ησλ ιχζεσλ ζε απιή κνξθή. Θέκα 2ν (3 κνλάδεο) a) Λα δηαηππσζεί ε κεζνδνινγία γηα ηελ εχξεζε ησλ ηέηνησλ ψζηε λα κεγηζηνπνηείηαη ε ζπλάξηεζε θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο , ……, (ζπλζήθεο πξψηεο θαη δεχηεξεο ηάμεο) b) Λα βξεζνχλ θαη λα ραξαθηεξηζηνχλ ηα αθξφηαηα ηεο ζπλάξηεζεο

Θέκα 3ν (3 κνλάδεο) a) Λα εμεγεζνχλ νη έλλνηεο i) Θξίζηκα ζεκεία ii) Ηδηνηηκέο iii) Σνπηθά αθξφηαηα iv) Δζζηαλή v) Αληίζηξνθνο πίλαθαο b) Λα βξεζεί (κε απφδεημε) ε επζεία ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ γηα ηα ζεκεία (1,1), (2,3) θαη (5,5). (Τπόδεημε: Διαρηζηνπνηήζηε ηελ ζπλάξηεζε ∑ φπνπ είλαη ηα ηξία ζεκεία πνπ δίλνληαη) Θέμα 4ο (2 μονάδερ) Έζηω ο πίνακαρ [

]

Όπνπ w ζηαζεξφο πξαγκαηηθφο αξηζκφο. Λα γξαθεί ν πίλαθαο Α ζε θαλνληθή κνξθή Jordan θαη λα απνδεηρζεί φηη

3

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Μαθηματικά ΙΙ - Σεπτέμβριοσ 2010 Θέκα 1ν: Γίλεηαη ην ζχζηεκα {

Α). Λα γξάςεηε ην (΢) ζηε κνξθή ⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗

⃗​⃗, κεηά ζηε κνξθή

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗ και αθού βπείηε ηο rankΑ να εξηγήζεηε επαπκώρ γιαηί ηο (Σ) έσει μη μηδενικέρ λύζειρ. Β). Να επιλύζεηε ηο (Σ) με μεθόδοςρ Γπαμμικήρ Άλγεβπαρ (Gauss ή pivot) και να βπείηε μια βάζη ηος σώπος λύζεων ηος (Σ) καθώρ και ηη διάζηαζη ηος. Θέμα 2ο: Να διαγωνοποιηθεί ο πίνακαρ

(

)

Θέμα 3ο: Α). Γίνεηαι η ζςνάπηηζη . Να βπεθεί η μέγιζηη ηιμή ηηρ καηεςθςνόμενηρ παπαγώγος ηηρ f ζηο ζημείο Ρ(0,0,2) καθώρ και ηο διάνςζμα καηά ηην καηεύθηνζη ηος οποίος αςηή λαμβάνει Β). Να διαηςπωθεί ηο θεώπημα Euler για ομογενείρ ζςναπηήζειρ και να επαληθεςηεί για ηη ζςνάπηηζη Θέμα 4ο: Με ηη μέθοδο Lagrange να βπεθούν και να σαπακηηπιζηούν ηα ακπόηαηα ηηρ ζςνάπηηζειρ . Θέμα 5ο: Να ςπολογίζεηε ηο ∫ ∫

, όπος R ηο σωπίο πος πεπικλείεηαι από ηιρ εςθείερ

Μαθηματικά ΙΙ – Ιούλιοσ 2010 Τμήμα Α’ Θέκα 1ν. Γίλνληαη νη παξαηεξήζεηο Υ1

Υ2

Τ

8

1

4

3

1

10

7 5

2 6

7 9

Λα εθηηκεζεί κε ηε κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγψσλσλ ε παιηλδξνκεζε ειαρηζηνπνηψληαο (κε θιαζηθε κέζνδν) ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγσληθψλ απνθιίζεσλ.

,

Θέκα 2ν. Λα ιπζεί ην πξφβιεκα ηνπ Θέκαηνο 1 κέζσ νξζνγψληαο πξνβνιήο ηνπ δηαλχζκαηνο Τ ζηνλ δηαλπζκαηηθφ ππνρψξν πνπ παξάγνπλ ηα δηαλχζκαηα Υ1 θαη Υ2. Θέκα 3ν. (α) Λα δεηρζεί αλαιπηηθά φηη αλ ι είλαη ηεο κήηξαο Α, ηφηε ιθ είλαη ηδηνηηκήο ηεο Αθ. (β) Λα βξεζνχλ ηα ηα ραξαθηεξηζηηθά κεγέζε ηεο

4

(

).

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Θέκα 4ν. Γίλεηαη ην ζχζηεκα Δθηειψληαο pivots ζηελ επαπμεκέλε κήηξα, λα βξείηε – αλ ππάξρνπλ, γηα θάζε κία πεξίπησζε μερσξηζηά – ηηο ηηκέο ηεο παξακέηξνπ ι γηα γηα ηηο νπνίεο απηφ έρεη κία ιχζε, θακία ιχζε, άπεηξεο ιχζεηο. ΢ε θάζε κία απφ ηηο πεξηπηψζεηο απηέο λα εμεγήζεηε ηελ απάληεζε ζαο κε βάζε ηηο ηηο r(A) θαη r(A/b), θαη λα δψζεηε ηε γεσκεηξηθή εηθφλα ηνπ πξάγκαηνο (α) ζε φξνπο ησλ αληηζηνίρσλ επζεηψλ θαη (β) ζε φξνπο δηαλπζκάησλ-ζηειψλ ⁄ ⁄ Θέκα 5ν. (α) Λα κεγηζηνπνηεζεί ε πνζφηεηα ηνπ παξαγφκελνπ πξντφληνο, αλ θαη δηαηίζεληαη ζπλνιηθά 120 ρξεκ. κνλάδεο γηα ηε κίζζσζε παξαγσγηθψλ ζπληειεζηψλ

(β) Ζ ηηκή ηεο ςεπδνκεηαβιεηήο ι πξνθχπηεη φηη είλαη απηφ;

. Ση πιεξνθφξεζε καο δίλεη

Τμήμα Β΄ Να διερευνθκεί ωσ προσ τθν επιλυςιμότθτα του το ςφςτθμα

{

και να δοθεί γεωμεηπική πεπιγπαθή ηος σώπος λύζεων ζηην πεπίπηωζη πος έσει άπειπερ λύζειρ. Σηην πεπίπηωζη πος ηο (Σ) καθίζηαηαι αδύναηο, να δικαιολόγηζη με σπήζη ηηρ θεωπία γπαμμικήρ ανεξαπηηζίαρ – εξάπηηζηρ διανςζμάηων. Θέμα 2 .Να βπεθεί

, αν

(

).

Θέμα 3. Γίνεηαι η με εξίζωζη A). Να βπεθεί η εξίζωζη ηος εθαπηόμενος επιπέδος ζηην παπαπάνω επιθάνεια ζηο ζημείο (1, -1, 1). Β). Βπείηε ηην καηεςθςνόμενη παπάγωγο ηηρ f καηά μήκορ ενόρ διανύζμαηορ πος είναι κάθεηο ζηην παπαπάνω επιθάνεια ζηο ζημείο (1, -1, 1). Σσολιάζηε ηο αποηέλεζμα. Θέμα 4. Α). Γίνεηαι η ζςνάπηιζη παπαγωγήρ . Να ζσεδιαζηούν και να σαπακηηπιζηούν γεωμεηπικά οι καμπύλερ ιζοπαπαγωγήρ ηηρ Q και να δείξεηε όηι είναι θθίνοςζερ. Β). Να διαηςπώθει και να επαληθεςηεί ηο θεώπημα ηος Euler για ηη ζςνάπηηζη

Θέμα 5. Να βπεθεί η εςθεία παλινδπόμηζηρ να δοθεί εκηίμηζη για ηο p αν q=3

για ηα ζήμεια (1,1), (2,3),(4,3) και

⁄ ⁄ Θεμα 6. Γίνεηαι η ζςνάπηηζη σπηζιμόηηηαρ . Να βπεθούν οι ποζόηηηερ πποϊόνηων x, y, οι οποίερ μεγιζηοποιούν ηη σπηζιμόηηηα, ςπο ηην πποϋπόθεζη όηι καηαναλώνονηαι πποϊόνηα αξίαρ 90 σπ. μονάδων, με ηιρ ηιμέρ ηων πποϊόνηων x και yνα είναι 45 και 20 σπ. μονάδερ ανηίζηοισα

5

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Θέμα 7. Να ςπολογιζηεί ηο εμβαδόν ηος σωπίος πος πεπικλείεηαι από ηιρ καμπύλερ και βπίζκεηαι κάηω από ηην εςθεία y=1 Απαντήστε σςνολικά σε 5 από τα 7 θέματα εκ των οποίων τα 1, 6, 7 ςποσπεωτικά. Διάπκεια εξέτασηρ 2 ώπερ

Μαθηματικά ΙΙ - Ιανουάριοσ 2010 Θέκα 1νλ: Βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ κ ην θάησζη ζχζηεκα έρεη κε κεδεληθέο ιχζεηο, νη νπνίεο θαη λα βξεζνχλ

Θέκα 2νλ: Τπνινγίζαηε ηηο ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλχζκαηα ηνπ πίλαθα ( ) Θέκα 3νλ: Δπαιεζεχζαηε ην ζεψξεκα Euler γηα ηελ ζπλάξηεζε: Θέκα 4νλ: Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο , b+c=1. Σα K θαη L είλαη ζπλαξηήζεηο ⁄ ησλ παξαγφλησλ x θαη y θαη ηζρχεη , . Τπνινγίζαηε ην νιηθφ δηαθνξηθφ ηεο dQ Θέκα 5νλ: Βξείηε ηελ επζεία ειάρηζησλ ηεηξαγψλσλ πνπ παιηλδξνκεί αλάκεζα ζηα ζεκεία (0,1), (1,3), (-1,-1) Θέκα 6νλ: Βξείηε ηελ θαηεπζπλφκελε παξάγσγν ηεο ζπλάξηεζεο: P(1,1) θαηά ηελ θαηεχζπλζε ηνπ δηαλχζκαηνο ⃗​⃗ ( )

ζην ζεκείν

Θέκα 7νλ: Βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλάξηεζεο , φηαλ Θέκα 8νλ: ρξεζηκνπνηψληαο δηπιφ νινθιήξσκα, ππνινγίζαηε ην εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ πνπ νξίδεηαη απφ ηα γξαθήκαηα ησλ ζπλαξηήζεσλ: ΜΑΘΗΜΑΣΘΙΑ ΘΘ – ΢ΕΠΣΕΜΒΡΘΟ΢ 2009 Θέκα 1ν

(Α) Λα δηαγσληνπνηεζεί ε κήηξα (πίλαθαο) Α=(

Θέκα 2ν

Θέκα 3ν ∫ *∫

+

Θέκα 4ν

).

(Β) Γηα θάζε κηα απφ ηηο επφκελεο πξνηάζεηο λα απνθαλζείηε αλ είλαη αιεζήο ή ςεπδήο. ΢ηελ πεξίπησζε πνπ είλαη ςεπδήο, λα δηνξζψζεηε (κε κηα ή δχν ιέμεηο) ην δεύηεξν ζθέινο ηεο ψζηε λα είλαη αιεζήο. (α) Ζ Αnxn είλαη κε αληηζηξέςηκε, αλ έρεη κεδεληθή ηδηνηηκή. (β) Ζ Αnxn είλαη δηαγσληνπνηήζηκε, αλ έρεη n ην πιήζνο ηδηνδηαλχζκαηα. Λα δηεξεπλεζεί ην επφκελν ζχζηεκα (πφζεο ιχζεηο έρεη) γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ησλ παξακέηξσλ a θαη b: 2x-y=4a x+by=0 Λα ζρεδηάζεηε ην ρσξίν νινθιήξσζεο γηα ην νινθιήξσκα +∫ *∫

+

θαη ζηελ ζπλέρεηα λα αληηζηξέςεηε ηελ ζεηξά νινθιήξσζεο. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f: 2 κε ηχπν f(x,y)=xey+yex. (α) Λα ππνινγίζεηε ηελ θαηεπζπλφκελε παξάγσγν ηεο f(x,y) ζην ζεκείν Ρ(1,1) θαηά ηελ θαηεχζπλζε ηνπ δηαλχζκαηνο u=() (β) Λα βξείηε ηελ θαηεχζπλζε σο πξνο ηελ νπνία ε θαηεπζπλφκελε παξάγσγνο ζην ζεκείν Ρ(1,1) ιακβάλεη κέγηζηε ηηκή.

Θέκα 5ν

6

Αλ Q=10 , pK=8, pL=2 θαη δηαηίζεληαη ζπλνιηθά γηα ηελ ακνηβή ησλ παξαγσγηθψλ ζπληειεζηψλ 300 ρξεκ. Κνλάδεο, λα βξείηε ηα K θαη L πνπ κεγηζηνπνηνχλ ην παξαγφκελν πξντφλ. Ση πιεξνθφξεζε καο παξέρεη ην γεγνλφο φηη, ζην ζεκείν ηεο αξηζηνπνίεζεο, είλαη ι=1.25 (φπνπ ι πνιιαπιαζηαηήο Lagrange)

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Μαθηματικά ΙΙ – Ιούνιοσ 2009 Τμήμα Α΄ Θέκα 1 (α) Λα αληιήζεηε ηελ εμίζσζε επηπέδνπ πνπ δηέξρεηαη απφ ην ζεκείν (ν, 0, 6) θαη είλαη νξζνγψλην πξνο ην δηάλπζκα u=(

).

(β) Γίλεηαη ε εμίζσζε 3x- y+ z=3. Λα βξεζεί ε νξζνγψληα δηεχζπλζε ηνπ επηπέδνπ πνπ νξίδεη απηή. (γ) Κε βάζε ηα εηο (α) θαη (β), ηη ζπκπεξαίλεηε πεξί ησλ ιχζεσλ ηνπ ζπζηήκαηνο ησλ δχν εμηζψζεσλ; (κε ζαθήλεηα). Θέκα 2 (α) Λα απνδείμεηε φηη ν κεηαζρεκαηηζκφο T:R3 R2 πνπ δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν Σ(x,y,z)=(x+z,y-x) είλαη γξακκηθφο. (β) Λα βξεζεί ε κήηξα ηνπ, σο πξνο ηηο αθφινπζεο βάζεηο: Σελ {( )

( )

Θέκα

Λα

3

(

)} απφ ηνλ R3 θαη ηελ ηππηθή, {e1, e2} απφ ηνλ R2.

εμεγήζεηε

πιήξσο

γηαηί

ε

κήηξα

Α=[

είλαη

]

νθζαικνθαλψο

δηαγσληνπνηήζηκε. Ιαηόπηλ, λα ηε δηαγσλνπνηήζεηε αλαιπηηθά. Θέκα 4 (α) Λα απνδείμεηε φηη νη ιχζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο

ζπληζηνχλ

δηαλπζκαηηθφ ρψξν. (β) Ση δηαζηάζεσο είλαη απηφο; Λα βξείηε δχν δηαθνξεηηθέο βάζεηο ηνπ. Θέκα 5 Έζησ Q=A ζπλάξηεζε παξαγσγηθνχ κεηαζρεκαηηζκνχ, θαη Θ=8, L=27. (α) Θαηά πνηα αλαινγία πξέπεη λα απμεζνχλ ηα K θαη L, ψζηε ην παξαγφκελν πξντφλ λα απμεζεί κε ηνλ κέγηζην δπλαηφ ξπζκφ; (β) Κε πνην ξπζκφ ζα κεηαβιεζεί ην Q, αλ ηα K θαη L κεηαβιεζνχλ θαηά ηελ αλαινγία 3 πξνο 4, δειαδή, θαηά ηελ θαηεχζπλζε ηνπ δηαλχζκαηνο ( );

Τμήμα Β’ Θέκα 1ν Λα ιχζεηε ην νκνγελέο γξακκηθφ ζχζηεκα: x+2y+z=0 2x+4y+z=0 x+2y-z=0 Κεηαμχ ησλ παξαπάλσ ιχζεσλ, λα πξνζδηνξίζεηε εθείλεο πνπ ηθαλνπνηνχλ ηελ ζπλζήθε y-xy=2z.

2ν

Θέκα

α)

Λα

ππνινγίζεηε

ηνλ

πίλαθα

Α n,

β) Λα απνδείμεηε φηη ε ζπλάξηεζε f(x,y,z)=xyzln(

n

Є )

N,

φπνπ

Α=*

+. είλαη

νκνγελέο. Λα δηαηππψζεηε ην ζεψξεκα ηνπ Euler γηα ηελ f. Θέκα 3ν Έζησ φηη γηα ηξία πξντφληα ηζρχνπλ: p1=13-3q1, p2=225q2, p3=64-6q3 θαη C=10+q1+2q2+4q3 φπνπ p1, p2, p3 ε ηηκή θάζε πξντφληνο, q1, q2, q3 νη αληίζηνηρεο πνζφηεηεο θαη C ην θφζηνο. Λα βξείηε ηηο πνζφηεηεο q1, q 2, q3 πνπ κεγηζηνπνηνχλ ην θέξδνο. Θέκα 4ν Λα ππνινγίζεηε ην δηπιφ νινθιήξσκα √

dxdy, φπνπ R={(x,y) Є R2 I4≤x2+y2≤9,0≤x θαη √ } ∬ ν Θέκα 5 Λα ρξεζηκνπνηήζεηε ην θξηηήξην ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ γηα λα πξνζδηνξίζεηε κηα θακπχιε ηεο κνξθήο y=Aekx ε νπνία είλαη πιεζηέζηεξε ζηα ζεκεία (1,e3), (2,e2) θαη (3,e9).

7

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Μαθηματικά ΙΙ – Φεβρουάριοσ 2009 ΘΔΚΑ 1 (1.5 κνλάδα) Λα βξεζνχλ νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλχζκαηα ηνπ πίλαθα

0 1   1 0

ΘΔΚΑ 2 (1 κνλάδα) Βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ησλ a,b ην θάησζη ζχζηεκα είλαη αδχλαην, αφξηζην ή έρεη κία ιχζε:

(a  1) x  by  a  b bx  (a  1) y  a  b ΘΔΚΑ 3 (1 κνλάδα) Βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλάξηεζεο

f ( x, y)  x 2 y 3 (6  x  y)

ΘΔΚΑ 4 (1.5 κνλάδα) Βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλάξηεζεο

x2  2x  2 y 2  z 2  z

φηαλ ηζρχνπλ νη πεξηνξηζκνί:

x  y  z  1 , 2x  y  z  5 . ΘΔΚΑ 5 (1 κνλάδα) Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα



R

ησλ ζπλαξηήζεσλ

xydxdy

, φπνπ ην ρσξίνλ R νξίδεηαη απφ ηα γξαθήκαηα

x  0 , y  0 , y   x  1, y   x 1 .

ΘΔΚΑ 6 (2 κνλάδεο) Έζησ φηη ε ζπλάξηεζε U(x,y) ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε

UeU  x

y . Τπνινγίζαηε ην δηαθν-

ξηθφ dU. ΘΔΚΑ 7 (2 κνλάδεο) Έζησ ε ζπλάξηεζε f(x,y), x>0, y>0 είλαη νκνγελήο βαζκνχ 1, δείμαηε ρξεζηκνπνηψληαο ην Θεψξεκα ηνπ Euler, φηη:

2 f x 2

2 f xy

2 f xy

2 f y 2

8

0

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Μαθηματικά ΙΙ – Ιούνιοσ 2008 Τμήμα Α’ ΘΕΜΑ 1. Πξντφλ ηνπ νπνίνπ ε ηηκή πψιεζεο είλαη p=30 ρξεκαηηθέο κνλάδεο παξάγεηαη θάησ απφ ηηο ζπλζήθεο ηεο ζπλάξηεζεο παξαγσγήο Q=20K1/3L2/3. Λα ππνινγηζζνχλ ηα K θαη L πνπ κεγηζηνπνηνχλην έζνδν απφ ηε πψιεζε φισλ ησλ παξαγφκελσλ κνλάδσλ, αλ δηαηίζεληαη ζπλνιηθά 1000 ρξεκ. Κνλάδεο γηα ηελ αγνξά παξαγσγηθψλ ζπληειεζηψλ, ησλ νπνίσλ νη ηηκέο είλαη pk=10, pL=4.

ΘΕΜΑ 2. Αλ Υ νη επελδχζεηο θαη Τ ην ΑΔΠ, λα εθηηκεζνχλ νη ζπληειεζηέο ηεο παιηλδξφκεζεο Τ=β0+β1Υ κε ηε βνήζεηα ησλ παξαηεξήζεσλ

X Y

8

9

7

10

13 16

14

16

κε φπνηα κέζνδν ζέιεηε: Γειαδή, κέζσ ειαρηζηνπνίεζεο, κέζσ νξζνγψληαο πξνβνιήο δηαλχζκαηνο ζε ρψξν, ή κέζσ ηχπνπ κε κήηξεο.

ΘΕΜΑ 3. Λα γξάςεη ην νινθιήξσκα

∬

√

θαη κε ηηο δχν ζεηξέο νινθιήξσζεο, φηαλ

R είλαη ε πεξηνρή πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηηο y=x2, y=-x2 θαη ρ=3. Θαηφπηλ, λα ππνινγηζζεί κε εθείλε απφ ηηο δχν ζεηξέο πνπ είλαη πην εχθνιε/ζχληνκε.

ΘΕΜΑ 4. (α) Λα δνζεί ε εμίζσζε ηνπ επηπέδνπ πνπ πεξλάεη απφ ην ζεκείν (2,1,0) θαη είλαη νξζνγψλην πξνο ην δηάλπζκα ut=(4 1 -2). (β) Λα βξεζεί ε κήηξα ηνπ γξακκηθνχ κεηαζρεκαηηζκνχ ν νπνίνο δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν Σ(ρ,y) = (x-y, -x, x+y), σο πξνο ηηο ηππηθέο βάζεηο

e1, e2, e3 ησλ ρψξσλ R

2

 4   2     ,     1   1  

θαη

θαη R3, αληίζηνηρα.

ΘΕΜΑ 5. (α) Λα βξεζνχλ νη ιχζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο

x  y  z 1 2 x  y  3z  0

, ηα r(A),

r(A│b) θαη νη ιχζεηο ηνπ αληίζηνηρνπ νκνγελνχο. (β) Λα απνδεηρζεί φηη νη ιχζεηο ηνπ ηειεπηαίνπ ζπληζηνχλ δηαλπζκαηηθφ ππνρψξν ηνπ R3. Ση δηαζηάζεσο είλαη απηφο; Λα δψζεηε κηα βάζε ηνπ.

9

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Τμήμα Β’ Θέκα 1. Δμεηάζηε αλ νη πην θάησ πίλαθεο είλαη φκνηνη:

 2  3 0  

1 4 1 0

 0  0 5  

 1  2 0   0 5   0 0 

θαη

 0   0  5   2 

Γηθαηνινγήζηε πιήξσο ηελ απάληεζε ζαο.

Θέκα 2.

1. Έζησ V θαη W δηαλπζκαηηθνί ρψξνη. Πφηε κηα απεηθφληζε Σ: V  W ζα ιέγεηαη γξακκηθή; Γψζηε ηνλ νξηζκφ ηνπ ππξήλα KerT. 2. Γίλεηαη γξακκηθή απεηθφληζε T: R4  R3 κε ηχπν

 x  x    1 2 1 1    y   y T     2 1 1 1    z  z    1 1 1 2     w  w Λα βξεζεί ν ππξήλαο, KerT, θαη κηα βάζε απηνχ.

Θέκα 3. Γξάςηε ηελ παξακεηξηθή εμίζσζε επζείαο πνπ είλαη θάζεηε ζην ζεκείν (3,0,4) ηεο επηθάλεηαο (ρ-3)2+(z-2)2=(2-y)(2+y)

Θέκα 4. Πνηα ζεκεία ηνπ θχθινπ x2+y2=45 βξίζθνληαη πιεζηέζηεξα ηνπ ζεκείνπ (1,2);

Θέκα 5. Λα νινθιεξσζεί ε ζπλάξηεζε (x2+y2)-1/2 πάλσ ζην ρσξηφ ηνπ επηπέδνπ πνπ θξάζζεηαη απφ ην θχθιν x2+(y-2)2=4, ηνλ άμνλα 0ρ θαη ηελ επζεία ρ=2.

Μαθηματικά ΙΙ – Ιανουάριοσ 2008 Θέκα 1

a) Λα κεγηζηνπνηεζεί ην

f ( x, y)  x  y

ππφ ηνλ πεξηνξηζκφ

x2  xy  y 2  3

b) Λα βξεζνχλ νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλχζκαηα ηνπ πίλαθα

1 a  a1   

10

www.dap-oikonomikou.gr

.

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Θέκα 2 a) Λα δηεξεπλεζεί ε ιχζε ηνπ ζπζηήκαηνο

x  3y  z  0 x  y  2 z  4 2 x  2 y  bz  a σο πξνο ηηο παξακέηξνπο a, b . b) Λα δηαηππσζνχλ νη ζπλζήθεο πξψηεο θαη δεχηεξεο ηάμεο γηα ηε κεγηζηνπνίεζε ηεο ζπλάξηεζεο ,………,

f ( x1 , x2 ,.....x ) θάησ

απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο

g1 ( x1 , x2 ,....., x )  0

gk ( x1 , x2 ,......., x )  0

Θέκα 3 a) Λα βξεζεί (κε απφδεημε) ε επζεία ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ γηα ηα ζεκεία (1, 1), (2, 1), (3, 3), (4, 3) θαη (5, 5) . b) Γηα πνηεο ηηκέο ηεο παξακέηξνπ ‘x’ ν παξαθάησ πίλαθαο αληηζηξέθεηαη θαη πνηνο είλαη ν αληίζηξνθφο ηνπ;

 x2  2 0 

x 2  1 1 2 x 

ΝΑ ΓΡΑΦΟΥΝ ΟΛΑ ΤΑ ΘΔΜΑΤΑ

Μαθηματικά ΙΙ – Σεπτέμβριοσ 2007 Τμήμα Α΄ ΘΔΚΑ 1 Λα εληνπηζζνχλ

θαη

λα

ραξαθηεξηζζνχλ

ηα

αθξφηαηα

f  x, y, z   3x  2 y  z , ππφ ηνλ πεξηνξηζκφ x  2 x  y  z  1 2

ηεο

ζπλάξηεζεο

2

ΘΔΚΑ 2 Λα βξεζνχλ νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλχζκαηα ηεο κήηξαο

 5 1 A   3 3 

θαη λα

δηαγσληνπνηεζεί απηή. ΘΔΚΑ 3 Λα ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα

x 8

y 2

x 0

y x3

 

1

  y 4  dydx .

ΘΔΚΑ 4

Q  10K 0,4 L0,3 N 0,2 .

0, 4  0,3  0, 2  1 , είλαη θαλεξφ

Έζησ ζπλάξηεζε παξαγσγήο α) Γεδνκέλνπ φηη

φηη απηή εκθαλίδεη θζίλνπζεο απνδφζεηο

θιίκαθαο. Εεηείηαη λα απνδείμεηε απηφ, κε βάζε ηνλ νξηζκό ηεο έλλνηαο ησλ απνδφζεσλ θιίκαθαο.

11

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

β) Γηαηί ιέκε επίζεο φηη απηή εκθαλίδεη θζίλνπζεο νηθνλνκίεο θιίκαθαο; Δμεγείζηε κε ζαθήλεηα ηη ζεκαίλεη απηφ. Γ) Να ππνινγηζζεί αλαιπηηθά ε ειαζηηθφηεηα ηεο παξαγσγήο σο πξνο ην θεθάιαην. ΘΔΚΑ 5 (α) Γίλεηαη ε ιεθηηθή δηαηχπσζε ηνπ επφκελνπ πξνβιήκαηνο: «Να βπεθεί ηο ζημείο ηομήρ ηων επιθανειών

3xy  z 2  y3 z  4

και

x  yz 2  1

πος

βπίζκεηαι πληζιέζηεπα ζηην απσή ηων αξόνων.» Λα εμεγήζεηε κε πνηα κέζνδν κπνξεί λα ιπζεί, θαη λα ην δηαηππώζεηε αλαιπηηθά, ρσξίο λα πξνβείηε πξάγκαηη ζηελ επίιπζή ηνπ.

f  x, y   xy 2 .

(β) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε

Λα βξεζεί ε θαηεχζπλζε κεγίζηεο θαζόδνπ

απηήο, ζην ζεκείν (1, 2).

Τμήμα Β’ ΘΔΚΑ 1Ο 1. Πφηε ζχλνιν

B  u1 ,..., uk  , k δηαλπζκάησλ δηαλπζκαηηθνχ ρψξνπ

απνηειεί βάζε ηνπ V; Πνηεο είλαη νη ζπληεηαγκέλεο ηπραίνπ 2. ΢πκπιεξψζηε ην ζχλνιν

 V

V επί ηνπ R, ιέκε φηη

σο πξνο ηε βάζε Β;

1,3,1 ,  1,1,0 ψζηε απηφ λα απνηειεί βάζε γηα ηνλ R .

3

(Να αλαπηπρζεί ζηε ζειίδα 2 ηνπ ηεηξαδίνπ). ΘΔΚΑ 2Ο Γξάςηε ηελ

εμίζσζε

 x  1   z  2 2

2

ηνπ

επηπέδνπ

  2  y  2  y 

πνπ

είλαη

εθαπηφκελν

ζηελ

επηθάλεηα

ζην ζεκείν (1, 0, 4).

(Να αλαπηπρζεί ζηε ζειίδα 3 ηνπ ηεηξαδίνπ). ΘΔΚΑ 3Ο Εεηείηαη λα ειαρηζηνπνηεζεί ην θφζηνο θαηαζθεπήο αλνηθηήο παξαιιειεπηπέδνπ δεμακελήο, ρσξεηηθφηεηαο 8 m3, αλ είλαη γλσζηφ φηη γηα ηελ έδξα βάζεο ηεο απαηηείηαη ιακαξίλα πάρνπο ηεηξαπιάζηνπ απ’ φηη γηα ηηο ππφινηπεο έδξεο. Θεσξήζηε φηη ην πάρνο ησλ εδξψλ δελ αιινηψλεη νπζηαζηηθά ηηο δηαζηάζεηο ηεο δεμακελήο. (Να αλαπηπρζεί ζηε ζειίδα 4 ηνπ ηεηξαδίνπ). ΘΔΚΑ 4Ο 1. Γίλεηαη πίλαθαο

A Mn  R

. Πφηε ν πξαγκαηηθφο αξηζκφο ι θαιείηαη ηδηνηηκή ηνπ πίλαθα

Α θαη πφηε έλα δηάλπζκα   R θαιείηαη ηδηνδηάλπζκα ηνπ A ; 2. Βξείηε ην ι ψζηε ν πην θάησ πίλαθαο λα είλαη δηαγσληνπνηήζηκνο, n

2    3 1

(Να αλαπηπρζεί ζηε ζειίδα 5 ηνπ ηεηξαδίνπ). ΘΔΚΑ 5Ο Λα ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο, θχθινπ

x2   y  2  4 2

f  x, y  

πνπ δελ θαιχπηεηαη απφ ηνλ θχθιν

1 x  y2 2

x2  y 2  4 .

(Να αλαπηπρζεί ζηε ζειίδα 6 ηνπ ηεηξαδίνπ)

12

πάλσ ζην κέξνο ηνπ

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Μαθηματικά ΙΙ – Ιούνιοσ 2007 Τμήμα Α’ Θέκα 1ν Α) Λα βξεζεί ε παξαγσγφο ηεο

UT

f  x, y   ln( xy) ζηελ

θαηεχζπλζε ηνπ δηαλχζκαηνο

 3 4 , θαη λα εθηηκεζεί ζην ζεκείν (3,12) απηήο. Ση πιεξνθφξεζε καο παξέρεη ε

επξεζείζα ηηκή; Β) Πνηα είλαη ε θαηεχζπλζε κέγηζηεο αλφδνπ ηε f ζην σο άλσ ζεκείν; Πνηα είλαη ε θαηεχζπλζε κέγηζηεο θαζφδνπ; Θέκα 2ν Α) Λα απνδείμεηε φηη νη ηζνυςείο θακπχιεο θάζε ζπλάξηεζεο ηχπνπ Cobb-Douglas,



Q  AK a L

, είλαη παληνχ θπξηέο, ζην ζεηηθφ ηεηαξηεκφξην.

Β) Υσξίο λα ππνινγίζεηε ηίπνηα, λα εμεγήζεηε κε ζαθήλεηα γηαηί ε κήηξα

 2 1 1    0 0 3   0 0 4 

είλαη

ή

δελ

είλαη

αληηζηξέςηκε

ΘΑΗ

γηαηί

είλαη

ή

δελ

είλαη

δηαγσληνπνηήζηκε.

Θέκα 3ν Λα ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα

   y ( x3 )dA , R

φπνπ R ην ηξίγσλν κε

θνξπθέο ηα ζεκεία (0,0), (2,1) θαη (2,5). Θέκα 4ν

Λα βξεζεί ε αλαιπηηθή εμίζσζε ηνπ επηπέδνπ πνπ νξίδεηαη απφ ηα δηαλχζκαηα

uT   2 1 1 θαη uT  1 0 1 .

x  y  z 1 Θέκα 5ν Γίλεηαη ην ζχζηεκα

2 x  y  3z  0 x  4y  3 5 x  17 y  z  13

Α) Λα βξεζνχλ κε ηε κέζνδν αμνληθνχ ζηνηρείνπ ηα r(A) θαη r(A|b). Κε βάζε απηά λα πείηε πφζεο ιχζεηο έρεηο εμεγψληαο κε ζαθήλεηα ηελ απάληεζή ζαο. Β) Αλ έρεη ιχζεηο, λα βξεζνχλ. Θαηφπηλ, λα δψζεηε ηηο ιχζεηο ηνπ αληίζηνηρνπ νκνγελνχο ζπζηήκαηνο ρσξίο λα ην ιχζεηε, θαη λα απνδείμεηε φηη απηέο(νη ιχζεηο ηνπ νκνγελνχο) ζπληζηνχλ δηαλπζκαηηθφ ρψξν (ππνρψξν ηνπ

13

R3 ).

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Τμήμα Β΄ Θέκα 1ν : Λα βξεζεί, αλ ππάξρεη, ν αληίζηξνθνο ηνπ πίλαθα :

 2 5 4   3 7 6 . 1 2 3   Θέκα 2ν : 1. Πφηε k δηαλχζκαηα ρψξνπ V επί ηνπ R ιέγνληαη γξακκηθά αλεμάξηεηα; 2. Ση θαιείηαη βάζε θαη ηη δηάζηαζε πεπεξαζκέλνπ δηαλπζκαηηθνχ ρψξνπ επί ηνπ R;

R3 είλαη

3. Δμεηάζηε αλ ηα δηαλχζκαηα (1,2,1), (2,-1,-1), (3,-4,-3) ηνπ

γξακκηθά

αλεμάξηεηα. Θέκα

3ν:

Γείμηε

φηη

ε

εμίζσζε



ηνπ

x  x 2 / 4  y 2 / 9 ζην ζεκείν x0 , y0 , z0

εθαπηφκελνπ

επηπέδνπ

 δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν z  z



ζην

2 x0 x

0

4

παξαβνινεηδέο



2 yy0 9

.

Θέκα 4ν: Λα βξεζεί ε επζεία παιηλδξφκεζεο κε ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ γηα ηα ζεκεία

x 1 1 2 3 5 y 21 28 3 1 2 Λα απνδείμεηε φινπο ηνπο ηχπνπο πνπ ζα ρξεζηκνπνηήζεηε.

Θέκα 5ν : Λα ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο,

κέξνο ηνπ θχθινπ

f ( x, y ) 

 x  22  y 2  4 πνπ δελ θαιχπηεηαη απφ ηνλ θχθιν

1 x2  y 2

πάλσ ζην

x2  y 2  4 .

Μαθηματικά ΙΙ – Φεβρουάριοσ 2007 Θέκα 1ν Α) Λα βξεζνχλ ηα

k1 , k2

πξνο x,y,z.

ψζηε ην παξαθάησ γξακκηθφ ζχζηεκα λα έρεη άπεηξεο ιχζεηο σο

1 k  1  0

k1 1 0

2   x   k2  1   y    k2  5  z   5 

Β) Πφηε ν παξαπάλσ 3x3 πίλαθαο ησλ ζπληειεζηψλ αληηζηξέθεηαη θαη πνηνο είλαη ν αληίζηξνθφο ηνπ; Θέκα 2ν Α) Λα ιπζεί ην ζχζηεκα

14

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

2x  3y  z  0 5x  2 y  2 z  5 x  y  7z  7 κε ηελ κέζνδν απαινηθήο ηνπ Gauss. Β) Λα βξεζνχλ νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλχζκαηα ηνπ πίλαθα

3 1  1 3   Θέκα 3ν Α) Λα ιπζεί ην πξφβιεκα ειαρηζηνπνίεζεο

min( x  y  z 2 ) Όηαλ

x2  y 2  1

Β) Λα ειαρηζηνπνηεζεί ε παξάζηαζε

x2 ( y 2  1)  3 y 2 ( x 2  1)

Μαθηματικά ΙΙ – Αύγουςτοσ 2006 (εμβόλιμη) Τμήμα Α΄ ΘΕΜΑ 1 Λα ππνινγηζηεί ην δηπιφ νινθιήξσκα

dA

  x  y 

x

2

T

φπνπ Σα ε πεξηνρή πνπ νξίδεηαη απφ ηηο ζρέζεηο x+y≤3, x>1, y>1. ΘΕΜΑ 2 Κε πιήξε εθαξκνγή ηεο κεζφδνπ ησλ πνιιαπιαζηαζηψλ Lagrange (κέρξη θαη πιήξε αλάιπζε ησλ πξνζήκσλ ησλ νξηνζεηεκέλσλ Δζζηαλψλ νξηδνπζψλ ) λα βξείηε ηα κήθε x, y, θαη zησλ πιεπξψλ νξζνγσλίνπ παξαιιειεπηπέδνπ κε κέγηζην φγθν, αλ ην άζξνηζκα ησλ ελ ιφγσ κεθψλ πξέπεη λα είλαη ίζν κε 9.

Τμήμα Β΄ Θέκα 1 a) Λα βξεζεί ν αληίζηξνθνο ηνπ πίλαθα

1 y 1  0 1 1    x 5 0  Πφηε ν παξαπάλσ αληίζηξνθνο νξίδεηαη;

15

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

b) Δμεγήζηε κε δηθφ ζαο παξάδεηγκα ηε ζεκαζία ηεο νξίδνπζαο ζηε ιχζε γξακκηθψλ ζπζηεκάησλ. Θέκα 2 a) Λα βξεζνχλ νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλχζκαηα ηνπ πίλαθα

2 1 1 2    ηη κπνξνχκε λα ζπκπεξάλνπκε γηα ηε ηεηξαγσληθή κνξθή

x 2  y 2  xy b) Λα δηεξεπλεζεί ε ιχζε ηνπ ζπζηήκαηνο x-3y+z = 0 x+y-2z = -4 2x-2y-z = a σο πξνο ηελ παξάκεηξν ‘a’. (θαηά ηελ εμέηαζε έπξεπε λα ιπζνχλ φια ηα ζέκαηα)

Μαθηματικά ΙΙ – Ιούλιοσ 2006 Θέκα 1 α) Λα ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα y 4

x 4

y0 xy

e x

2

dxdy n  2 y0 3 y0 1 n  yo f '( x0 )   y0    ...  (1)  h  2 3 n 

β) ΢ην πξφβιεκα δεζκεπκέλεο αξηζηνπνίεζεο ηεο ζπλάξηεζεο

f ( x, y, z)  2 xy 2  x3  z 2 Τπφ ηνλ πεξηνξηζκφ:

y  3x 2  8

λα δνζνχλ : Ζ Ιαγθξαλδηαλή ζπλάξηεζε,

νη ζπλζήθεο πξψηεο ηάμεο θαη ε νξηνζεηεκέλε

Δζζηαλή κήηξα, ζηε γεληθή ηνπο κνξθή. Θέκα 2 α) Λα βξεζεί ε παξάγσγνο

Du f

 4  5 u   3   5

     

ηελ θαηεχζπλζε

ηεο ζπλάξηεζεο

f ( x, y)  x3 y 2

ζην ζεκείν (1,-1), θαηά

β) ΢ε πνηα θαηεχζπλζε απφ ην ζεκείν (1,-1) είλαη ε παξάγσγνο ηεο f κέγηζηε

16

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Μαθηματικά ΙΙ – Ιούνιοσ 2006 Θέκα 1 a) Λα βξεζεί ν αληίζηξνθνο ηνπ πίλαθα

1 x  0 1 0 0 

2  1 5 

2

b) Δμεγήζηε κε δηθφ ζαο παξάδεηγκα ηε ζεκαζία ηνπ rank ([A ,b]) ζηε ιχζε γξακκηθψλ εμηζψζεσλ Θέκα 2 a) Λα εμεηαζζεί ην πξφζεκν ηεο ηεηξαγσληθήο κνξθήο

3x2  y 2  z 2  2 xy  2 xz ππνινγίδνληαο ηηο ηδηνηηκέο ελφο θαηάιιεινπ πίλαθα. b) Λα ιπζεί ην ζχζηεκα x-3y+z=0 5x+y-2z=-4 -x+y+7z=8 κε ηελ κέζνδν Gauss.

Μαθηματικά ΙΙ – Ιανουάριοσ 2006 Θέκα 1ν:

(α) Γείμαηε φηη

1 2 3 4 2 3 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4

4

1 4 3  1  (β) Γίδεηαη ν πίλαθαο A  0 3  0 2 1 Υξεζηκνπνηψληαο ην ζεψξεκα Cayley-Hamilton δείμαηε φηη αληηζηξέθεηαη θαη ππνινγίζαηε ηνλ αληίζηξνθφ ηνπ Θέκα 2ν: (α) Γείμαηε φηη, έλα ν πίλαθαο

A  Rnn έρεη κε κεδεληθή νξίδνπζα, ηφηε ν πίλαθαο P  AT A

είλαη ζεηηθά νξηζκέλνο. (β) Γείμαηε φηη, εάλ ν ζπκκεηξηθφο πίλαθαο

A  Rnn έρεη

ηδηνηηκή

νξηζκέλνο, ηφηε ι>0

17

www.dap-oikonomikou.gr

  R θαη

είλαη ζεηηθά

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Θέκα 3ν: Βξείηε

ηα

αθξφηαηα

πεξηνξηζκνχο:

ηεο

ζπλάξηεζεο

f ( x, y, z)  x 2  y 2  xy  2 z 2  xz ππφ

ηνπο

x yz 2 x yz 0

Θέκα 4ν: Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα

x dxdy s x  y2

φπνπ S πεξηνρή ζην πξψην ηεηαξηεκφξην,

y  x, y  3x

θαη ηελ πεξηθέξεηα θχθινπ κε θέληξν ηελ



πεξηθιεηνκέλε απφ ηηο επζείεο

2

αξρή ησλ αμφλσλ θαη αθηίλα 1 Θέκα 5ν: Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο

Q  cK a  Lb , a  b  1 .

Έζησ κηα επζεία πνπ δηέξρεηαη

απφ ηελ αξρή ησλ αμφλσλ, ζπλαληά δχν θακπχιεο ηζνπαξαγσγήο ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα. Γείμαηε φηη νη θιίζεηο ησλ θακππιψλ απηψλ ζηα ζεκεία Α θαη Β είλαη ίζεο. Θέκα 6ν: Υξεζηκνπνηψληαο ηελ κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ πξνζδηνξίζαηε θακπχιε ηεο κνξθήο

y( x)  Ae x  Be2 x ε νπνία παιηλδξνκεί «άξηζηα» αλάκεζα ζηα ζεκεία:

(0,1),(1,-2),(2,-40)

Μαθηματικά ΙΙ – Σεπτέμβριοσ 2005 Τμήμα Α΄ ΖΗΣΗΜΑ 1 (Κνλάδεο 2): Ζ δήηεζε D ελφο αγαζνχ εμαξηάηαη γεληθά απφ ηελ ηηκή ηνπ αγαζνχ Ρ θαη ην δηαζέζηκν εηζφδεκα Τ γηα ηελ αγνξά ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ αγαζνχ κέζσ ηεο ζπλάξηεζεο δήηεζεο D=f(P,Y) , φπνπ f ζπλερψο παξαγσγίζηκε θαη νκνγελήο κεδεληθνχ βαζκνχ ζπλάξηεζε. Λα ππνινγηζηεί ε νξίδνπζα ηνπ πίλαθα

 f (tP, tY ) A   P  Y 

f  (tP, tY )  Y  P 

, φπνπ t>0.

ΖΗΣΗΜΑ 2 (Κνλάδεο 2): Λα βξεζνχλ ηα αθξφηαηα ηεο πεξηνξηζκφ

18

f(x1 , x2 )  x1  x2  x3

4 x12  4 x22  4 x32  3 .

www.dap-oikonomikou.gr

ππφ ην

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

ΖΗΣΗΜΑ 3 (Κνλάδεο 2): Ζ δήηεζε D ελφο αγαζνχ εμαξηάηαη απφ ηελ ηηκή ηνπ αγαζνχ Π κε

 4 BP  D  A exp    . Λα εθηηκήζεηε ηηο ζηαζεξέο Α θαη Β απφ ηα παξαθάησ  P 1 

βάζε ηε ζρέζε: δεδνκέλα:

D

exp(-1)

exp(-2)

exp(-2)

P

1/3

1

3

ΖΗΣΗΜΑ 4 (Κνλάδεο 2): Λα ππνινγίζηε ην νινθιήξσκα

I   xdxdy

πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηελ επζεία y = x θαη ηελ παξαβνιή

y  x2

s

γηα

, φπνπ S ε πεξηνρή

0  x  1.

ΖΗΣΗΜΑ 5 (Κνλάδεο 2): i)

Λα δψζεηε άλσ ηξηγσληθφ πίλαθα

A3 X 3

κε ηδηνηηκέο -1 , 1 θαη 0. Λα

δηθαηνινγήζεηε γηαηί δελ είλαη αληηζηξέςηκνο. ii)

Αλ

A3 X 3

πίλαθαο κε ηδηνηηκέο -1,1 θαη 0, λα δείμεηε φηη

A2k  A

γηα θάζε

ζεηηθφ αθέξαην k.

Τμήμα Β’ Θέκα 1νλ: Δμεηάζαηε εάλ ν πίλαθαο:

 0 1 0    4 4 0   2 1 2   

είλαη δηαγσληνπνηήζηκνο ή φρη

Θέκα 2νλ: Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε:

F ( x, y ) 

x 0

y x

0 y

0 0

0 y

0 0

x 0

y x

Έζησ F(x,y)=c ,

c

κηα ζπγθεθξηκέλε ηζνυςήο ηεο θαη (a,b) ηπραίν ζεκείν απηήο ηεο

ηζνυςνχο. Γείμαηε φηη ε εθαπηνκέλε επζεία, ζην ζεκείν (a,b) έρεη εμίζσζε:

y

a3 c x 3 3 b b

Θέκα 3νλ: Ο αληαγσληζκφο κεηαμχ δχν θξαηψλ Α θαη Β «κεηξηέηαη» απφ ηελ ζπλάξηεζε

W (a, b)   2   2b φπνπ a,b ηα επίπεδα εμνπιηζκνχ ηνπο , κε  , b [0, 2 ] .

1. Τπνινγίζαηε ηα ζεκεία φπνπ W(a,b) παξνπζηάδεη κέγηζην 2. Έζησ ε ηζνυςήο: W(a,b)=k , k κηα ζηαζεξά. Δμεγήζαηε ηη ζεκαίλεη ε πνζφηεηα ππνινγηδφκελε ζε ζπγθεθξηκέλν ζεκείν (a*,b*) θαη ππνινγίζαηε ηελ.

19

www.dap-oikonomikou.gr

da , db

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Θέκα 4νλ: Βξείηε ηα κέγηζηα θαη ειάρηζηα ηεο ζπλάξηεζεο ρ+y

x  2 y2  z2  1 2

φηαλ ηζρχνπλ νη πεξηνξηζκνί:

x  y  z 1

Θέκα 5νλ: Υξεζηκνπνηψληαο πνιηθέο ζπληεηαγκέλεο δείμαηε φηη: 



0

0

 

e ( x

2

 y2 )

dxdy 

 4

Μαθηματικά ΙΙ – Ιούνιοσ 2005 Τμήμα Α΄ Ζήηεκα 1ν (Κνλάδεο 2) : Λα ππνινγηζηεί ην

I   exp( x 2  y 2 )dxdy s

φπνπ s ε

πεξηνρή πνπ βξίζθεηαη ζην 1ν ηεηαξηεκφξην αλάκεζα ζηνλ νξηδφληην άμνλα θαη ζηελ επζεία ε: y=x.

f ( x1 , x2 )  x12  2 x22 ππφ ηνλ

Ζήηεκα 2ν (Κνλάδεο 2) : Λα βξεζνχλ ηα αθξφηαηα ηεο πεξηνξηζκφ

x1  x2  1 .

Ζήηεκα 3ν (Κνλάδεο1,5) : Ζ δήηεζε D ελφο αγαζνχ εμαξηάηαη απφ ηελ ηηκή ηνπ αγαζνχ P κε βάζε ηελ ζρέζε: D=Aexp(-BP). Λα εθηηκήζεηε ηηο ζηαζεξέο Α,Β απφ ηα παξαθάησ δεδνκέλα: D

exp(-1)

exp(-2)

exp(-2)

P

1

2

3

Ζήηεκα 4ν (Κνλάδεο 1,5) : Λα δείμεηε φηη ε ζπλάξηεζε

f ( x1 , x2 )  exp( x12  x22 )

είλαη θπξηή. Ζήηεκα 5ν (Κνλάδεο 1,5) : Λα δηεξεπλεζεί ην παξαθάησ ζχζηεκα σο πξνο ηελ πξαγκαηηθή παξάκεηξν ι :

x1   x2  

 x1  x2  1 Ζήηεκα 6ν (Κνλάδεο 1,5) : 1. Λα δείμεηε φηη ηα δηαλχζκαηα απνηεινχλ κηα βάζε ηνπ

20

x  (1,1,1)T

,

y  (1,0,0)T

R3 .

www.dap-oikonomikou.gr

θαη

z  (0, 2, 2)T δελ

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

A  R3 x3 λα δείμεηε φηη ηα δηαλχζκαηα

2. Αλ

βάζε ηνπ

Ax , Ay θαη Az επίζεο δελ απνηεινχλ κηα

R3 .

Ζήηεκα 7ν (Κνλάδεο 2) : Λα βξείηε ηνλ πίλαθα

2005

A

φπνπ

2 0 0    A   0 1 1  .  0 1 1  

Τμήμα Β’ Θέκα 1ν (1,5 κνλάδα) : Γίδεηαη ην ζχζηεκα :

1 2  x   1        1 a  y   b  Βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ησλ a,b ην ζχζηεκα έρεη κία, θακία ή άπεηξεο ιχζεηο, ΢ηελ πξψηε θαη ηξίηε πεξίπησζε βξείηε ηηο ιχζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο. Θέκα 2ν (1,5 κνλάδα) :

(α) Γείμαηε φηη :

1 2 3 4 1 a b 1 1 b a 1 4 3 2 1

 15(a  b)(a  b  2)

(β) Διέγμαηε εάλ ηα δηαλχζκαηα

βάζε ηνπ

1 2     u1   0  , u2   1 1  1    

θαη

 1   2 u3   3   2  2   

απνηεινχλ

R3 .

Θέκα 3ν (2 κνλάδεο) : Γίδεηαη ν πίλαθαο

 1 Ak   k 1  2

 1 0 A  . Γείμαηε φηη:  1 2 

0  2k 

Θέκα 4ν (1,5 κνλάδα) : 1. Δμεηάζαηε εάλ ε ζπλάξηεζε

f ( x, y)  x  y  e x  e x y είλαη θπξηή ή θνίιε.

2. Δπαιεζεχζαηε ην ζεψξεκα ηνπ Euler γηα ηε ζπλάξηεζε:

21

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

f ( x, y ) 

2011

xy x2  y 2

Θέκα 5ν (2 κνλάδεο) : Γίδνληαη ηα δεδνκέλα :

(1, e2 ),(2, e1 ),(3, e) Υξεζηκνπνηψληαο ηελ κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ πξνζεγγίζαηε ηα κε ζπλάξηεζε ηεο κνξθήο

6ν

Θέκα

y( x)  aebx .

(2

κνλάδεο)

:

Ζ

U ( x, y)  100  e x  e y ,

ζπλάξηεζε

ρξεζηκφηεηαο

ελφο

θαηαλαισηή

εμαξηάηαη απφ ηηο πνζφηεηεο δχν πξντφλησλ x θαη y.

Έζησ φηη ε απφθηεζε κίαο κνλάδνο απφ ην πξντφλ x ζηνηρίδεη 2 επξψ θαη απφ ην y 5 επξψ. Ο θαηαλαισηήο ζέιεη λα δηαζέζεη αθξηβψο 100 επξψ. Βξείηε ηα x θαη y πνπ κεγηζηνπνηνχλ ηελ U.

Θέμα 7ο (1,5 μονάδα) : Χρθςιμοποιώντασ διπλό ολοκλιρωμα, υπολογίςατε το εμβαδόν του χωρίου που ορίηεται από τα γραφιματα των ςυναρτιςεων:

y ( x )  x 2 , y ( x)   x 2  2 x

Μαθηματικά ΙΙ – Φεβρουάριοσ 2005 Ζήηεκα 1ν: (α)Λα ιχζηε ην ζχζηεκα:

 2  y2  1

θαη 2ρ + y = 0

(β) Λα εθαξκφζεηε ηελ πξψηε επαλάιεςε ηεο κεζφδνπ Newton-Raphson γηα ην παξαπάλσ ζχζηεκα κε αξρηθφ ζεκείν ην ( x0 ,

y0 )

=(0,1) Γηαηί ε κέζνδνο Newton-Raphson δελ δίλεη ηε

ιχζε ζηελ πξψηε επαλάιεςε; Δμεγήζηε.

Ζήηεκα 2ν: Λα βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλάξηεζεο f( x1 , x2 , x3 ) =

x1 x3

ππφ ηνλ πεξηνξηζκφ

x 21 + x 2 2 - x1 x2 +2 x 23 -

x1 + x2 + x3 =1.

Ζήηεκα 3ν: Λα ππνινγίζηε ην νινθιήξσκα: πεξηθιείεηαη απφ ηηο επζείεο y= x θαη y=

3x

I   xdxdy s

φπνπ S είλαη ε πεξηνρή πνπ

θαη βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθφ ηνπ θχθινπ κε

θέληξν ηελ αξρή ησλ αμφλσλ θαη αθηίλα 1.

Ζήηεκα 4ν: (α) Λα δείμεηε φηη αλ ν πίλαθαο

A  Rnxn

έρεη ηδηνηηκή

Ρ=2  +3Α έρεη ηδηνηηκή 2  +3ι.

2

22

2

www.dap-oikonomikou.gr

R

ηφηε ν πίλαθαο

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ (β) Λα δείμεηε φηη αλ ν πίλαθαο

1

πίλαθαο

έρεη ηδηνηηκή

1 

2011 έρεη ηδηνηηκή   R θαη είλαη αληηζηξέςηκνο ηφηε ν

A  Rnxn

.

Μαθηματικά ΙΙ – Σεπτέμβριοσ 2004 Τμήμα Α’ Θέκα 1ν (Α) Λα δείμεηε φηη αλ ι  R είλαη ηδηφηηκε ηνπ πίλαθα πίλαθα

A  Rnn

ηφηε ην

2

είλαη ηδηφηηκε ηνπ

2  Rnn .

(Β) Λα δείμεηε φηη αλ det(A)=0 γηα θάπνηνλ πίλαθα

 Rnn

det( Ak )  0

ηφηε

γηα φινπο

ηνπο ζεηηθνχο αθέξαηνπο θ. Θέκα 2ν Γηα θάπνην πξνηφλ ζαο έρνπλ δνζεί ηα παξαθάησ δεδνκέλα Πξνζθνξάο(ρ)-Σηκήο(y) γηα ζηαζεξή δήηεζε ηνπ πξνηφληνο: Πξνζθνξά(

1/9

3/7

1

1/4

2/3

e

1

e

e

ρ) Σηκή( y)

e2

Γλσξίδεηε φηη γηα ζηαζεξή ζηαζεξέο θαη

f ( x) 

10 x .

1 x

δήηεζε ε ηηκή ππαθνχεη ζην λφκν:

y  Ke

af ( x)

, φπνπ a, K

Λα εθηηκήζεηε κε ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ηηο

ηηκέο ησλ ζηαζεξψλ απηψλ. Θέκα 3ν Λα ππνινγηζζεί ην I

 s ( x2  y 2 )dxdy ,

φπνπ Sείλαη ε πεξηνρή πνπ βξίζθεηαη ζην 1ν

ηεηαξηεκφξην θαη πεξηθιείεηαη απφ ηελ επζεία y=x θαη ηελ παξαβνιή

y  x2 .

Θέκα 4ν Λα βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλάξηεζεο ηνλ πεξηνξηζκφ

23

f ( x , x , x )  x 2  x x  2x2  x2  x x 1 2 3 i 1 2 2 3 2 3

x  x  x  1.

1 2 3

www.dap-oikonomikou.gr

ππφ

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Τμήμα Β΄ Θέκα 1νλ ( 20 κνλάδεο) Γίλνληαη ηα ζπζηήκαηα: (1) 2ρ-3y-z=o θαη (2) 2ρ-3y-z=0 x+y+z=0 ρ+z+y=1 (α) ( 8 κνλάδεο )

Λα βξεζνχλ νη ιχζεηο ηνπ (1) θαη λα απνδεηρζεί φηη ζπληζηνχλ

δηαλπζκαηηθφ ρψξν. ( Θεσξείζηε γλσζηφ φηη ν (β) (

R3

είλαη Γ.Υ.) Πνηα είλαη ε γεσκεηξία ηνπο;

7 κνλάδεο ) Λα βξεζεί ε γεληθή ιχζε ηνπ (2). Πνηα ε αλαιπηηθή ζρέζε ηεο κε ηε

γεληθή ιχζε ηνπ (1); Πνηα ε γεσκεηξία ησλ ιχζεσλ; (γ) ( 3 κνλάδεο ) Λα βξεζνχλ κε ζηνηρεηψδε αηηηνιφγεζε ηα ζπζηήκαηα, θαη

A r ( A) , r ( ) θαη b

γηα ηα δχν

nul ( A) .

(δ) ( 2 κνλάδεο ) Πνην ζεψξεκα γλσξίδεηε ζρεηηθά κε ηα r(A) θαη nul(A); Θέκα 2νλ ( 10 κνλάδεο)

 2   Γίλνληαη ηα δηαλχζκαηα u= 1   3  

1    θαη w= 3    2  

1.

Nα εμεηαζζεί αλ είλαη νξζνγψληα. ( 2 κνλάδεο)

2.

Λα πξνβιεζεί ην W νξζνγψληα επί ηνπ U, δειαδή λα βξεζνχλ ε νξζνγψληα πξνβνιή

θαη ε νξζνγψληα ζπληζηψζα.(6 κνλάδεο) Λα θαλνληθνπνηεζεί ην u.( 2 κνλάδεο)

3.

Θέκα 3νλ (6 κνλάδεο) Γείμαηε φηη νη κήηξεο Α θαη αληηζηνηρεί ζηελ



θαη

AK

έρνπλ ηα ίδηα ηδηνδηαλχζκαηα, ε δε ηδηφηηκε ι ηεο Α

AK .

Θέκα 4νλ ( 14 κνλάδεο) Γίλνληαη:

1 1 Q  6 K 3 L 2 , p  80 , p  30 . k L

Λα κεγηζηνπνηεζεί ην παξαγφκελν πξνηφλ

αλ δηαηίζεληαη 600 ρξεκαηηθέο κνλάδεο.

Μαθηματικά ΙΙ – Ιούνιοσ 2004 Τμήμα Α΄ ΘΕΜΑ 1ν Δμεγείζηε ηε γεσκεηξία (κφλν) ησλ παξαθάησ πξνβιεκάησλ:

24

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ A. Αλ

2011

Q  6K 0.2 L0.8 , pK  10, pL  8 ,

λα κεγηζηνπνηεζεί ην πξντφλ αλ δηαηίζεληαη

500 ρξεκ. κνλάδεο.

B. Λα

ειαρηζηνπνηεζεί

ην

θφζηνο

παξαγσγήο

1000

κνλάδσλ

ηνπ

πξντφληνο,

αλ

Q  10K 0.4 L0.6 , pK  5, pL  1.

ΘΕΜΑ 2ν a. Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ επηπέδνπ πνπ δηέξρεηαη απφ ηελ αξρή ησλ αμφλσλ θαη είλαη

θάζεην πξνο ην δηάλπζκα

 2 v   1  .  3  

b. Λα απνδεηρζεί φηη ηα ζεκεία - δηαλχζκαηα απηνχ ζπληζηνχλ δηαλπζκαηηθφ ρψξν.

ΘΕΜΑ 3ν Λα βξεζνχλ ηαπηφρξνλα ε r(A) θαη ε r(A|b), αλ

 2 3 4  A  1 6 1    1 9 3 

θαη

1 b   2  . Ση ζπκπεξαίλεηε πεξί ηνπ ζπζηήκαηνο Ax=b. 1  

ΘΕΜΑ 4ν Έζησ

ηδηνδηαλχζκαηα

0.9 0.3 A   0.1 0.7 

 3 x1    1

θαη

κε ηδηνηηκέο

1  1, 2  0.6

θαη αληίζηνηρα

1 x2    . Λα ππνινγηζζεί ε κήηξα A1000 , ζεσξψληαο φηη  1

(0.6)1000  0 . ΘΕΜΑ 5ν Γίλεηαη ην νινθιήξσκα

πεξηθιείεηαη απφ ηηο

I   3 y 2 xdA , 

y  x 2 , y   x και x  4 .

φπνπ

ε πεξηνρή πνπ

Λα γξαθεί ην / θαη κε ηηο δχν ζεηξέο

νινθιήξσζεο θαη λα ππνινγηζζεί κε εθείλε πνπ είλαη πην εχθνιε.

25



www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Τμήμα Β’ ΖΗΣΗΜΑ 1°

Γηαγσληνπνηψληαο

ηνλ

1 1 1 A  , 2 1 1

πίλαθα

λα

δείμεηε

φηη

A2004  2 A1000  A  0 22 . ΖΗΣΗΜΑ 2° Λα απνδείμεηε φηη: ηα δηαλχζκαηα

e2 x1  2 x22  2 x2e x1  x2 sin(2 x1x3 )  sin 2 (2 x1x3 )  0 , γηα φια

( x1 , x2 , x3 )T 3 .

ΖΗΣΗΜΑ 3° Λα ππνινγηζηεί ην

αληζψζεηο:

I    ( x 2  y 2 )dxdy, S

φπνπ S είλαη ε πεξηνρή πνπ νξίδεηαη απφ ηηο

x  0, 1  x 2  y 2  4 και x  y  3x .

(Τπφδεημε: ΢ρεδηάζηε ηελ

πεξηνρή θαη ρξεζηκνπνηήζηε πνιηθέο ζπληεηαγκέλεο). ΖΗΣΗΜΑ 4° Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο:

f  x1 , x2 , x3   x12  2 x1 x2  2 x22  2 x32  x2 x3 , φπνπ

x1 , x2 , x3

ζπληειεζηέο πνπ ηθαλνπνηνχλ

x1  x2  x3  1 . Λα βξείηε ηα αθξφηαηα

ηεο ζπλάξηεζεο ρξεζηκφηεηαο. Να απαληεζνύλ όια ηα δεηήκαηα. Όια ηα δεηήκαηα είλαη ηζνδύλακα.

Μαθηματικά ΙΙ – Φεβρουάριοσ 2004 ΖΗΣΗΜΑ 1° (Βαζκ. 2,5) a.

Λα

ιπζεί

ε

εμίζσζε

Α.Υ

=

Β

φπνπ,

  A 

    B      b.

Λα ιπζεί ε εμίζσζε Α2 = 1, κε α  [0,2π]

c.

Λα βξεζεί ν Υλ θαη ε νξίδνπζα ηνπ Γ, φπνπ Γ = Υ2 +Υ4 + Υ6

ΖΗΣΗΜΑ 2° (Βαζκ. 2,5) a.

Λα ιπζεί ην ζχζηεκα:

26

ρ - 2ς + 2σ = ιρ

www.dap-oikonomikou.gr

     

θαη

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

ρ + 2ις + 2σ = 2ς

(΢)

ρ - 2ς + 2σ = 2ισ b.

Όηαλ ην (΢) έρεη απεηξία ιχζεσλ λα βξεζνχλ νη ππφρσξνη ησλ ιχζεσλ, ε δηάζηαζε θάζε ππφρσξνπ θαη κία βάζε ηνπ. Δπίζεο ε γσλία αλά δχν ησλ δηαλπζκάησλ ησλ βάζεσλ θαη αλ ζπλνιηθά απνηεινχλ βάζε ηνπ R3.

ΖΗΣΗΜΑ 3° (Βαζκ. 2,5) Λα βξεζνχλ ηα ζεκεία ηεο ρ + ς2 = 4 πνπ απέρνπλ ηελ κέγηζηε & ηελ ειάρηζηε απφζηαζε απ’ην ζεκείν Α(1,0). ΖΗΣΗΜΑ 4° (Βαζκ. 2,5) Λα ππνινγίζεηε ην

  x  2 y dxdy , νπνχ ν ρψξνο R νξίδεηαη απφ ηνπο ζεηηθνχο εκηάμνλεο R

θαη ηηο y = 2x + 2, y = 5 – x. Παξαηεξήζεηο a.

Λα γξαθνχλ φια ηα ζέκαηα

b.

Λα παξαδνζεί ην έληππν καδί κε ην γξαπηφ.

Μαθηματικά ΙΙ – Ιούνιοσ 2003 Τμήμα Α’ ΘΕΜΑ 1ν (20 κνλάδεο)

Γίλεηαη ην ζχζηεκα

 2  1 3  x  5    1  1 y   0 . 1   1  4 6  z  5     

Λα βξεζνχλ κε ηε κέζνδν ηνπ αμνληθνχ

ζηνηρείνπ επί θαηάιιειεο επαπμεκέλεο κήηξαο: a.

Σα r(A)θαη r(Α | b), φπνπ Α ε κήηξα ησλ ζπληειεζηψλ

b.

Ζ γεληθή ιχζε ηνπ αληηζηνίρνπ νκνγελνχο ζπζηήκαηνο

c.

Ζ γεληθή ιχζε ηνπ δνζέληνο

d.

Ζ δηάζηαζε ηνπ ρψξνπ ησλ ιχζεσλ ηνπ νκνγελνχο ζπζηήκαηνο θαη κία βάζε απηνχ

e.

Πνηα είλαη ε γεσκεηξία ησλ ιχζεσλ ζην (Β) θαη πνηα ζην (Γ);

f.

Πνηα είλαη ε κεδεληθφηεηα (nullity) ηεο Α; Πνηα ζρέζε ζπλδέεη ηα r(A), nul(A) & ην πιήζνο ησλ αγλψζησλ;

ΘΕΜΑ 2ν (15 κνλάδεο) Λα ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα

2x 4  x 3  1 dx .

(Τπφδεημε: Σν Φ = 1 είλαη ξίδα ηνπ

παξνλνκαζηή.)

27

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

ΘΕΜΑ 3ν (15 κνλάδεο) Γίλνληαη: Q = 6QKL, pK = 100 , pL = 60 . a.

Λα κεγηζηνπνηεζεί ε παξαγσγή αλ δηαηίζεληαη γηα ηελ αγνξά ησλ Κ θαη L 60000 ρξεκαηηθέο κνλάδεο. (Λα εμεηαζζνχλ θαη νη ζπλζήθεο δεχηεξεο ηάμεο.)

b.

Γίλεηαη φηη λ  0,45. Ση πιεξνθφξεζε καο δίλεη απηφ;

ΘΕΜΑ 4ν (10 κνλάδεο) Λα βξεζεί ε πξνβνιή θαη ε νξζνγψληα ζπληζηψζα ηνπ δηαλχζκαηνο

ρψξν πνπ παξάγνπλ ηα

1 u   2

1 2

2  2 

θαη

 1 v     2



1 2



w 3 5

2

 ζηνλ

2 .

2 

Τμήμα Β’ Θέκα 1 a.

Έζησ Q(K,L)) = 200K0,6L0,2 ζπλάξηεζε παξαγσγήο θαη pK = 10, pL = 3 νη ηηκέο ησλ παξαγσγηθψλ ζπληειεζηψλ. Λα βξεζνχλ ηα Κ, L πνπ ειαρηζηνπνηνχλ ην θφζηνο παξαγσγήο 500 κνλάδσλ ηνπ πξντφληνο.

b.

Λα βξεζνχλ νη ηηκέο ηνπ α έηζη ψζηε ην ζχζηεκα λα έρεη άπεηξεο ην πιήζνο ιχζεηο

αx + 2y = 1 2x + αy = -1 Θέκα 2 a.

Λα δηαηππσζεί ε κεζνδνινγία γηα ηελ εχξεζε ησλ x1 ,x2,…xν ηέηνησλ ψζηε λα κεγηζηνπνηείηαη ε ζπλάξηεζε f(x1 ,x2,…xν) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο g1(x1 ,x2,…xν) = 0,…, gκ(x1 ,x2,…xν) = 0.

b.

Λα βξεζεί (κε απφδεημε) ε επζεία ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ γηα ηα ζεκεία (1,1), (2,1), (2,3), (4,3) θαη (5,5).

Θέκα 3 a.

Λα εμεγεζνχλ:

(i) Θεψξεκα Fubini

(ii) x-απιφ ρσξίν

(iii) ηνπηθά αθξφηαηα

(iv) εζζηαλή

(v) δηάθξηζε ηηκψλ b.

Λα βξεζεί ην δηπιφ νινθιήξσκα ηεο ζπλάληεζεο 3y2x1/2 ζην ρσξίν πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηηο θακπχιεο y=x2, y=-x2, x=4.

Θέκα 4 a.

Λα ππνινγηζηεί ε ηάμε rank([A, b]) γηα ην ζχζηεκα εμηζψζεσλ

x - 3y + z = 0 5x + y - 2z = -4 -x + y +7z = 8

28

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Πνηα είλαη ε θπζηθή ηεο ζεκαζία; Τπνινγίζαηε ην rank([A,b]) - rank(A) θαη εξκελεχζηε ην απνηέιεζκα. b.

Κε ηελ βνήζεηα θαηάιιεινπ ζεσξήκαηνο, λα γξαθεί ην δηπιφ νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = x( y+l) ex+y επάλσ ζην νξζνγψλην ρσξίν [a,b]x[c,d], ζαλ γηλφκελν δχν

απιψλ νινθιεξσκάησλ. Θέκα 5 a.

Υσξίο λα αλαπηπρζεί ε νξίδνπζα, λα απνδεηρζεί φηη νη ηηκέο x = 0 θαη x = 2 ηθαλνπνηνχλ ηελ εμίζσζε:

x 2  det  2 0 

x 2  1 1 0 0  5

Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x είλαη ν παξαπάλσ πίλαθαο αληηζηξέςηκνο; b.

Λα βξεζνχλ νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλχζκαηα ηνπ παξαπάλσ πίλαθα φηαλ x = 0.

ΝΑ ΓΡΑΦΟΤΝ ΟΛΑ ΣΑ ΘΕΜΑΣΑ

Μαθηματικά ΙΙ – Απρίλιοσ 2003 (εμβόλιμη) ΖΗΣΗΜΑ 1° (Βαζκ. 2,5) Γίλεηαη ην ζχζηεκα:

x+y–σ=1 2x + 3y + ισ = 3 x + ιy + 3σ = 2

a.

Λα ιπζεί

b.

Όηαλ έρεη απεηξία ιχζεσλ, λα βξεζνχλ ηα x, y, σ ψζηε x2 + y2 + σ2 = 1.

ΖΗΣΗΜΑ 2° (Βαζκ. 2,5) Γίλεηαη ν πίλαθαο:

2  1  λ 100 101 A  . Λα βξεζεί ν Α , λ  Ε θαη ν Β = Α + Α .

3  2  

ΖΗΣΗΜΑ 3° (Βαζκ. 2,5)

Γίλεηαη ν πίλαθαο:

1 2 2 A   1 2  1 .  1 1 4 

Λα βξεζνχλ ηα ραξαθηεξηζηηθά δηαλχζκαηα ηνπ Α & λα

ππνινγηζηεί ν Ρ-1Α. ΖΗΣΗΜΑ 4° (Βαζκ. 2,5) Λα βξεζνχλ ηα αθξφηεηα ηεο f(x,y) = 3x2 + 3y2 – y3 – 3x2y + 5.

29

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

ΖΗΣΗΜΑ 5° (Βαζκ. 2,5) Λα ππνινγίζεηε ην

I    x  y  2dxd y A

κε x  2 θαη Α : x2 + y2 – 4x  0.

Μαθηματικά ΙΙ – Φεβρουάριοσ 2003 Τμήμα Α’ ΘΕΜΑ 1νλ : Κειεηήζαηε θαη επηιχζαηε ην ζχζηεκα: (1 ΚΟΛΑΓΑ)

ΘΕΜΑ 2νλ :

. Τπνινγίζαηε ηελ δχλακε Α2003. (1 ΚΟΛΑΓΑ)

Γίδεηαη ε κήηξα ΘΕΜΑ 3νλ : Λα

βξεζνχλ,

εάλ

ππάξρνπλ,

ηα

ηνπηθά

αθξφηαηα

ηεο

ζπλαξηήζεσο:

. (1 ΚΟΛΑΓΑ) ΘΕΜΑ 4νλ : Τπνινγίζαηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλαξηήζεσο

, φηαλ

(1

ΚΟΛΑΓΑ) ΘΕΜΑ 5νλ:

Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα

φπνπ R ην ρσξίν πνπ νξίδεηαη απφ ηηο

επζείεο: y = 0, x = 0, 2x + y = 4. (1 ΚΟΛΑΓΑ). ΘΕΜΑ 6νλ: Οη πνζφηεηεο πξνζθνξάο ελφο πξντφληνο, πνπ κεηξήζεθαλ γηα ζπγθεθξηκέλεο ηηκέο θαη νη αληίζηνηρεο ηηκέο ηνπ, δίδνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: a.

Κε ηελ βνήζεηα απηνχ ηνπ πίλαθα θαη ππνζέηνληαο φηη ε πξαγκαηηθή δήηεζε D θαη ε ηηκή p, ζπλδένληαη κε ηελ ζρέζε D = kp + ι, k,ι ζηαζεξέο, ππνινγίζαηε ηελ δήηεζε γηα p = 4, ρξεζηκνπνηψληαο ηελ κέζνδν ησλ

Σηκή Πξντφληνο Πνζφηεηα

1

7

3

9

5

10

ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ. (1 ΚΟΛΑΓΑ)

30

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ b.

2011

Κε ηελ βνήζεηα ηνπ ηδίνπ πίλαθα θαη ππνζέηνληαο φηη ε πξαγκαηηθή δήηεζε D θαη ε ηηκή p, ζπλδένληαη κε ηελ ζρέζε D = kp, k ζηαζεξά, ππνινγίζαηε ηελ δήηεζε γηα p = 4, ρξεζηκνπνηψληαο ηελ κέζνδν ησλ δηαλπζκάησλ. (Τπφδεημε: Ηζρχεη ε βαζηθή ζρέζε: Κέηξεζε = Πξαγκαηηθφηεηα + ζθάικα, ή ||e||

Θα ππνινγίζνπκε ην k έηζη ψζηε

min.) (2 ΚΟΛΑΓΔ΢)

ΘΕΜΑ 7νλ : Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο

Έζησ φηη κία επζεία, πνπ δηέξρεηαη

απφ ηελ αξρή ησλ αμφλσλ, ζπλαληά δχν θακπχιεο ηζνπαξαγσγήο ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα. Γείμαηε φηη νη θιίζεηο ησλ θακπχισλ απηψλ ζηα ζεκεία Α θαη Β είλαη ίζεο. (2 ΚΟΛΑΓΔ΢)

Τμήμα Β’ ΖΗΣΗΜΑ 1 (Βαζ. 2) Έζησ

Λα βξεζεί ην εκβαδφλ:

a.

Κεηαμχ ηεο

, ηνπ

θαη ησλ επζεηψλ

x = -2 θαη x = 2.

b.

Κεηαμχ ηεο

θαη ηεο επζείαο (ε) y = x+3

c.

Κεηαμχ ηεο

θαη ησλ εθαπηφκελσλ ηεο πνπ δηέξρνληαη απφ ην

ΖΗΣΗΜΑ 2 (Βαζ. 2) Λα βξεζνχλ ηα αθξφηαηα ηεο

φηαλ

ΖΗΣΗΜΑ 3 (Βαζ. 3) Λα ππνινγηζηνχλ ηα νινθιεξψκαηα

α)

β)

ΖΗΣΗΜΑ 4 (Βαζ. 3)

Λα ππνινγηζηεί ην

φηαλ Α:

ΖΗΣΗΜΑ 5 (Βαζ. 2) Λα ππνινγηζηνχλ ηα νινθιεξψκαηα

α)

31

www.dap-oikonomikou.gr

Α (1 ,-4 ).

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Μαθηματικά ΙΙ – Σεπτέμβριοσ 2001 Τμήμα Α’ ΖΗΣΗΜΑ 1 (ΒΑΘ. 2.5)

Έζησ

Λα βξεζεί ην εκβαδφλ:

α) Κεηαμχ ηεο Cf θαη ηνπ άμνλα β) Κεηαμχ ηεο Cf θαη ηεο επζείαο (ε): y=x+l γ) Κεηαμχ ηεο Cf θαη ησλ εθαπηφκελσλ ηεο πνπ δηέξρνληαη απφ ην ζεκείν Α(1 ,-5) ΖΗΣΗΜΑ 2 (ΒΑΘ.2) Λα ραξαθηεξίζεηε ηα ζηάζηκα ζεκεία ηεο : ΖΗΣΗΜΑ 3 (ΒΑΘ.2.5)

Λα ππνινγίζεηε ηηο

ζην ζεκείν (2,-1) φηαλ

ΖΗΣΗΜΑ 4 (ΒΑΘ.3)

α) Λα δείμεηε φηη :

β) Λα ππνινγίζεηε ην ΖΗΣΗΜΑ 5 (ΒΑΘ.2.5) Λα βξεζνχλ ηα αθξφηαηα ηεο

Τμήμα Β΄ ΑΙΙΑΝΣΗ΢ΑΣΕ

΢Ε

4

ΑΠΟ

ΣΑ

5

ΘΕΜΑΣΑ

ΘΕΜΑ 1νλ : Ζ ζπλάξηεζε y(x) ηθαλνπνηεί ηελ πεπιεγκέλε ζρέζε:

Τπνινγίζαηε πξνζεγγηζηηθά, ηελ πνζφηεηα: ΘΕΜΑ 2νλ : Ζ ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο ελφο αηφκνπ, εμαξηάηαη κφλν απφ ηηο πνζφηεηεο Υ, Τ θαη έρεη ηχπν:

φπνπ Υν,Τν,α,β ζηαζεξέο ζεηηθέο πνζφηεηεο κε α + β = 1.

32

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

i) Δίλαη ε ζπλάξηεζε απηή νκνζεηηθή; ii) ΢ηελ παξνχζα θάζε Υ = 2Υ0, Τ = 2Τ0 θαη ην θφζηνο αχμεζεο ηνπ Υ είλαη 5000 δξαρκέο αλά κνλάδα θαη ηνπ Τ, 4000. Έζησ φηη ηζρχεη ε καζεκαηηθή ζρέζε:

4Yo  5  .

Γείμαηε

φηη ν θηελφηεξνο ηξφπνο αχμεζεο ηεο ρξεζηκφηεηαο είλαη ε αχμεζε ηνπ Τ. ΘΕΜΑ 3νλ: Τπνινγίζαηε, κε ηελ κέζνδν Lagrange, ηα αθξφηαηα ηεο f(x,y,z) = ρ + y + z, δεδνκέλσλ ησλ πεξηνξηζκψλ

x2  y 2  1 και 2 x  z  1.

ΘΕΜΑ 4νλ: Ο αληαγσληζκφο κεηαμχ δχν θξαηψλ Α θαη Β "κεηξηέηαη" απφ ηελ ζπλάξηεζε

W  a, b    2   2b

φπνπ α, b ηα επίπεδα εμνπιηζκνχ ηνπο, κε α, b

  0,  .   2

i) Yπνινγίζαηε ηα ζεκεία φπνπ ε W(a, b) παξνπζηάδεη κέγηζην.

ii) Έζησ ε ηζνυςήο: W(a, b) = k, k κία ζηαζεξά. Δμεγήζαηε ηη ζεκαίλεη ε πνζφηεηα

da db ,

ππνινγηδφκελε ζε ζπγθεθξηκέλν ζεκείν (α*, 6*). ΘΕΜΑ 5νλ : Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα  /2

 0

dx a x  b x

α, b δεδνκέλεο ζηαζεξέο.

Μαθηματικά ΙΙ – Ιούνιοσ 2001 ΘΕΜΑ 1νλ: Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα:

(1.5 Κνλάδα.) ΘΕΜΑ 2νλ: Βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλαξηήζεσο (1.5 Κνλάδα). ΘΕΜΑ

3νλ:

U  x, y, z   x

0.5

Ζ

y

0.5

ζπλάξηεζε

z ,

σθειηκφηεηαο

ελφο

θαηαλαισηνχ

είλαη

0.5

φπνπ x,y,z νη πνζφηεηεο απφ ηξία πξντφληα, πνπ ζέιεη λα

αγνξάζεη κε αληίζηνηρν θφζηνο 0.25, 1 θαη 2 δξαρκέο αλά κνλάδα πξντφληνο. Δάλ ν θαηαλαισηήο ζέιεη λα δηαζέζεη αθξηβψο 11 δξαρκέο, βξείηε εθείλεο ηηο ηηκέο ησλ x, y, z πνπ κεγηζηνπνηνχλ ηελ σθειηκφηεηα ηνπ. (2 Κνλάδεο).

33

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

Τμήμα Α’ ΘΕΜΑ

4νλ:

Γίδεηαη

ε

πεπιεγκέλε

y  x  x y

ζπλάξηεζε

2

 x .

.

Κε

ηελ

βνήζεηα

ηνπ

ζεσξήκαηνο Taylor ππνινγίζαηε κε αθξίβεηα 4 δεθαδηθψλ ςεθίσλ ηελ ηηκή y(1.01). (1 Κνλάδα)

ΘΕΜΑ

5νλ.

Γίδεηαη

  3 y 2  2 y  1 .

ε

ζπλάξηεζε

παξαγσγήο

2

Βξείηε ηελ θιίζε ηεο ηζνυςνχο

Q  x, y    2 x 2  3x  1

Q  x, y   25

2

+

ζην ζεκείν (2, 1) θαζψο

θαη έλα θάζεην δηάλπζκα κήθνπο 1. Δάλ ηα πξνεγνχκελα x.y εμαξηψληαη απφ δχν άιιεο παξακέηξνπο α. b

κέζσ ησλ ηχπσλ

θαη

,

βξείηε ηνλ ηχπν ηεο

νξηαθήο αιιαγήο ηεο ζπλάξηεζεο παξαγσγήο φηαλ αιιάδνπλ ηα α θαη b ηαπηφρξνλα. (2 Κνλάδεο)

ΘΕΜΑ 6νλ: Ζ ζπλάξηεζε

είλαη νκνγελήο βαζκνχ 3. Γείμαηε φηη ηζρχεη ε

ζρέζε:

x2

2 2 2 f 2 f 2 f 2 f 2  f 2  f  y  z  2 xz  2 xy  2 yz 6f x 2 y 2 z 2 zx yx zy

ΘΕΜΑ 7ov:

(2 Κνλάδεο).

Κε ηελ κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ βξείηε ηελ γξακκηθή θακπχιε

δήηεζεο q = α · p + b, πνπ παιηλδξνκεί αλάκεζα ζηα ζεκεία (0.9, 1.6), (1.1,0.4), (1.4, 0.5). Υξεζηκνπνηψληαο απηφ ην απνηέιεζκα ππνινγίζαηε ηελ ηηκή ηνπ πξντφληνο πνπ κεγηζηνπνηεί ηα θέξδε, φηαλ ην θφζηνο δίδεηαη απφ ηνλ ηχπν

C(q) = -7 + 8 · q2.

(2

Κνλάδεο).

Τμήμα Β’ ΘΕΜΑ 4νλ: 

 e x x

2

Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα

 x  dx (1 Κνλάδα).

0

ΘΕΜΑ 5νλ: Λα βξεζεί ην εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη απφ ην εκηθχθιην

x 2  y 2  4,

κε

y0

θαη ηηο δηρνηφκνπο ησλ γσληψλ ησλ αμφλσλ.

ΘΕΜΑ 6νλ: Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα

x

 y

2

dxdy

A

34

www.dap-oikonomikou.gr

(2 Κνλάδεο).

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά ΙΙ

2011

φηαλ ν ρψξνο νινθιήξσζεο Α, είλαη ην ηξίγσλν κε θνξπθέο (0.1), (1.2), (2.1).

(2

Κνλάδεο). ΘΕΜΑ 7νλ: Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε 2

φηη

z  f  x, y  , όπου x     , y    .

 f  1  f   f   f     2                x   y  2

2

Γείμαηε

2

(2 Κνλάδεο).

Βρείτε στο site και στα τραπεζάκια μας: ηην Ύλη ηων μαθημάηων ηοςρ κωδικούρ και ηον ηόπο διανομήρ ηων Σςγγπαμμάηων Θέμαηα Παλαιόηεπων Εξεηαζηικών Λςμένα Θέμαηα ζηα μαθήμαηα Σημειώζειρ για ηα μαθήμαηα

Και άλλο Χρήσιμο Υλικό

ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟΝ ΦΟΙΤΗΤΗ

35

www.dap-oikonomikou.gr