Mikro1paketaaskisewn by ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ

Μπορείτε να βρείτε ύλες, ανακοινώσεις , παλαιότερα θέματα, προγράμματα, λυμένα θέματα καθώς και άλλα φυλλάδια στο τραπεζάκι της Δαπ η στο dap-oikonomikou.gr Για απορίες γραφτείτε στο Φόρουμ του https://www.facebook.com/groups/econnomikis

facebook

Για οποιαδήποτε άλλη πληροφορία μπορείτε επικοινωνήσετε στο dap.oikonomikou@gmail.com

ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟ ΦΟΙΤΗΤΗ

να

Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Μικροοικονοµική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Νοέµβριος 2010 Ενδεικτικές απαντήσεις στο 1ο πακέτο ασκήσεων Ασκήσεις 1. α) Αν βάλουµε την ποσότητα του αγαθού X στον οριζόντιο και την ποσότητα του Υ στον κάθετο άξονα, η εισοδηµατική γραµµή θα είναι η ευθεία που τέµνει τον κάθετο άξονα στο 60 και τον οριζόντιο άξονα στο a>0. β) Επειδή 60=Μ/pΥ, αν pΥ=10 θα έχουµε ότι Μ=600. γ) Επειδή α=Μ/pΧ=40, τότε για M=600 που βρήκαµε στο (β), θα έχουµε pΧ=15. δ) Αν δε γνωρίζουµε τιµές και εισόδηµα, οι µόνες πληροφορίες που έχουµε είναι Μ/pΥ=60 και Μ/pΧ=40. Καθώς έχουµε 2 εξισώσεις και 3 αγνώστους, δεν µπορούµε να βρούµε τις τιµές παρά µόνο συναρτήσει του Μ, αφού κάθε διαφορετικό επίπεδο εισοδήµατος αντιστοιχεί και σε διαφορετικές τιµές των αγαθών. Αυτό που µπορούµε να υπολογίσουµε είναι ο λόγος των τιµών pΧ/pΥ, ο οποίος ισούται µε 3/2. ε) Η ευθεία που αντιστοιχεί στα σηµεία (0,60) και (a,0) είναι 60x+ay=60a. στ) Από το (γ), έχουµε M=600 και pΧ=15. Η εισοδηµατική γραµµή είναι η ευθεία που τέµνει τον κάθετο άξονα στο 60 και τον οριζόντιο άξονα στο 40. Αν pΧ=30, τότε η νέα εισοδηµατική γραµµή θα είναι η ευθεία που τέµνει τον κάθετο άξονα στο 60 και τον οριζόντιο άξονα στο 20 (=600/30). Η ωφέλεια του ατόµου θα επηρεαστεί, διότι κανένα από τα καλάθια πάνω στην προηγούµενη εισοδηµατική γραµµή (εκτός από το (0,60)) δεν είναι διαθέσιµο τώρα. Συνεπώς, µε την αλλαγή της τιµής, το άτοµο θα επιλέξει ένα καλάθι που θα του δίνει µικρότερη ωφέλεια. 2. α) Έστω x η ποσότητα των κόκκινων µήλων και y η ποσότητα των πράσινων µήλων. Η συνάρτηση ωφέλειας της Μαρίας είναι u(x,y)=x+y, ενώ του Νίκου είναι u(x,y)=3x+y (αφού ο Νίκος ανταλλάσει πάντα 1 κόκκινο µε 3 πράσινα µήλα, οι καµπύλες αδιαφορίας του πρέπει να έχουν σταθερή κλίση (άρα είναι ευθείες) µε κλίση – 3). β) Στο σχήµα αριστερά, οι πράσινες ευθείες είναι καµπύλες αδιαφορίας της Μαρίας (ευθείες µε κλίση – 1), ενώ οι µπλε ευθείες είναι καµπύλες αδιαφορίας του Νίκου (ευθείες µε κλίση –3). Με την έντονη µαύρη γραµµή φαίνεται η εισοδηµατική γραµµή της Μαρίας, ενώ η έντονη κόκκινη γραµµή είναι η εισοδηµατική γραµµή του Νίκου. Από το σχήµα φαίνεται ότι η Μαρία µεγιστοποιεί την ωφέλειά της στο σηµείο Α (αγοράζει 0 κόκκινα και 100 πράσινα µήλα), ενώ ο Νίκος µεγιστοποιεί την ωφέλειά του στο σηµείο Β (αγοράζει 80/1,5 κόκκινα και 0 πράσινα µήλα).

γ) Αν οι τιµές είναι ίσες µε 1, τότε ο εισοδηµατικός περιορισµός της Μαρίας θα έχει την ίδια κλίση µε τις καµπύλες αδιαφορίας της, και άρα, η ωφέλειά της θα είναι µέγιστη για οποιοδήποτε καλάθι (x,y) που να ικανοποιεί την εξίσωση x+y=100 (δηλαδή, έχουµε άπειρες λύσεις). Ο Νίκος, επειδή και πάλι οι καµπύλες αδιαφορίας του έχουν µεγαλύτερη κλίση (κατά απόλυτη τιµή) από τον εισοδηµατικό του περιορισµό, θα αγοράζει µόνο κόκκινα µήλα, και συνεπώς θα επιλέξει το καλάθι (80,0). δ) Αφού ο Νίκος καταναλώνει θετικές ποσότητες και από τα δύο αγαθά, ο εισοδηµατικός του περιορισµός πρέπει να έχει την ίδια κλίση µε την καµπύλη αδιαφορίας του, κάτι που σηµαίνει ότι px/py=3 (στην περίπτωση αυτή, ο Νίκος έχει άπειρες βέλτιστες επιλογές, και απλά επιλέγει µία από αυτές). Επίσης, επειδή px60+py20=80, θα έχουµε px=6/5 και py=2/5. Στις τιµές αυτές, η Μαρία αγοράζει µόνο πράσινα µήλα, και άρα θα επιλέξει το καλάθι (0, 250). 3. α) Η συνάρτηση ωφέλειας έχει τη µορφή u(x,y)=min{ax,2ay}, a>0. Αυτό σηµαίνει ότι για το άτοµο τα µήλα και τα πορτοκάλια είναι συµπληρωµατικά αγαθά, µε το άτοµο να συνδυάζει κάθε ποσότητα µήλων µε τη διπλάσια ποσότητα πορτοκαλιών. β) Όλοι οι συνδυασµοί καλαθιών δίνουν στο άτοµο την ίδια ωφέλεια: το άτοµο είναι αδιάφορο µεταξύ οποιωνδήποτε δύο καλαθιών και εποµένως, και τα δύο αγαθά είναι ουδέτερα. γ) Tα µήλα είναι επιθυµητό αγαθό (αν αυξήσουµε την ποσότητά τους κρατώντας την ποσότητα των πορτοκαλιών σταθερή, το άτοµο κερδίζει ωφέλεια). Αντίθετα, τα πορτοκάλια είναι ανεπιθύµητο αγαθό, µιας και αν αυξήσουµε την ποσότητά τους κρατώντας την ποσότητα των µήλων σταθερή, το άτοµο χάνει ωφέλεια. δ) Tα µήλα είναι ουδέτερο αγαθό, διότι αν αυξήσουµε την ποσότητά τους κρατώντας την ποσότητα των πορτοκαλιών σταθερή, το άτοµο παραµένει στην ίδια καµπύλη αδιαφορίας (ούτε κερδίζει, ούτε χάνει ωφέλεια). Τα πορτοκάλια είναι επιθυµητό αγαθό, γιατί αν αυξήσουµε την ποσότητά τους κρατώντας την ποσότητα των µήλων σταθερή, το άτοµο βρίσκεται σε υψηλότερη καµπύλη αδιαφορίας (κερδίζει ωφέλεια). ε) Το άτοµο έχει τη µέγιστη ωφέλεια όταν καταναλώνει 5 µήλα και 10 πορτοκάλια. Οποιοσδήποτε άλλος συνδυασµός αντιστοιχεί σε µικρότερη ωφέλεια. Για δύο τυχαία καλάθια (x1, y1), (x2, y2), το (x1, y1) θα είναι καλύτερο από το (x2, y2) αν ισχύει η σχέση [(x1–5)2+(y1–10)2]1/2<[(x2–5)2+(y2–10)2]1/2 (δηλαδή, προτιµάται το καλάθι µε τη µικρότερη απόσταση από το (5,10)). 4. α) MRS=x2/x1, και άρα x2/x1=p1/p2 (1). Eπίσης, p1x1+p2x2=M (2) (εισοδηµατικός περιορισµός). Οι (1) και (2) δίνουν x1=Μ/2p1 και x2=Μ/2p2. Η έµµεση συνάρτηση ωφέλειας είναι V(p1,p2,M)=ln(Μ/2p1)+ln(Μ/2p2)=ln(Μ2/4p1p2). H αντισταθµισµένη συνάρτηση ζήτησης βρίσκεται από την (1) και την lnx1+lnx2=u, όπου u το επίπεδο ωφέλειας το οποίο επιδιώκουµε στο πρόβληµα ελαχιστοποιήσης δαπανών, και συνεπώς x1=((p2/p1)·eu)1/2 και x2=((p1/p2)·eu)1/2. Η συνάρτηση δαπανών είναι: e(p1,p2,u)=p1·((p2/p1)·eu)1/2+p2·((p1/p2)·eu)1/2, ή e(p1,p2,u)=2·(p1p2eu)1/2. [Θα µπορούσαµε να κάνουµε τη µεγιστοποίηση ωφέλειας και την ελαχιστοποίηση της δαπάνης χρησιµοποιώντας τη µέθοδο Lagrange]. Για τα (β) έως (ε) εργαζόµαστε παροµοίως, και έχουµε: β) Συνάρτηση ζήτησης: x1=(Μ+p2)/2p1, x2=Μ/2p2–1/2 V(p1,p2,M)=p2/4p1+Μ/2p1+Μ2/4p1p2 Αντισταθµισµένη συνάρτηση ζήτησης: x1=(up2/p1)1/2, x2=(up2/p1)1/2–1 e(p1,p2,u)=p1(up2/p1)1/2+p2(up2/p1)1/2–p2 γ) Συνάρτηση ζήτησης: x1=Μp2/(p12+p1p2), x2=Μp1/(p22+p1p2)

V(p1,p2,M)=(Μp2/(p12+p1p2))1/2+(Μp1/(p22+p1p2))1/2 Αντισταθµισµένη συνάρτηση ζήτησης: x1=(up2/(p1+p2))2, x2=(up1/(p1+p2))2 e(p1,p2,u)=p1(up2/(p1+p2))2+p2(up1/(p1+p2))2 δ) Συνάρτηση ζήτησης: x1=Μ/2p1, x2=Μ/2p2 V(p1,p2,M)=(Μ2/4p1p2)1/2=Μ/2(p1p2)1/2 Αντισταθµισµένη συνάρτηση ζήτησης: x1=u·(p2/p1)1/2, x2=u·(p1/p2)1/2 e(p1,p2,u)=2up11/2p21/2 (Σηµείωση: η συνάρτηση ζήτησης είναι ίδια µε της (α), κάτι που είναι αναµενόµενο αφού η συνάρτηση ωφέλειας είναι γνησίως αύξων µετασχηµατισµός της συνάρτησης ωφέλειας που δίνεται στο (α)). ε) Συνάρτηση ζήτησης: x1=3Μ/5p1, x2=2Μ/5p2 V(p1,p2,M)=(3Μ/5p1)1/2(2Μ/5p2)1/3 Αντισταθµισµένη συνάρτηση ζήτησης: x1=u6/5·(2p1/3p2)–2/5, x2= u6/5·(2p1/3p2)–3/5 e(p1,p2,u)=p1u6/5·(2p1/3p2)–2/5+p2u6/5·(2p1/3p2)–3/5 5. α) Κάνοντας τη µεγιστοποίηση της ωφέλειας µε τον υπόψη εισοδηµατικό περιορισµό x1+x2=400 (είτε µε τη Lagrangian, είτε θέτοντας τον οριακό λόγο υποκατάστασης ίσο µε το λόγο των τιµών), προκύπτει ότι x1=x2=200. β) Ο Γιάννης θα λάβει τη µέγιστη επιδότηση αν καταναλώσει 200 µονάδες γάλακτος. Εποµένως, αν x1≤200, ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι 0,8x1+x2=400, ενώ αν x1>200 θα είναι x1+x2=440 (η τιµή του γάλακτος είναι πάλι ίση µε 1, αλλά είναι σαν το εισόδηµα του Γιάννη να έχει αυξηθεί κατά 40). Ο εισοδηµατικός αυτός περιορισµός κάνει καµπή στο (200, 240), όπως φαίνεται και στο σχήµα αριστερά (σηµείο Α). Με την κόκκινη γραµµή φαίνεται η αρχική εισοδηµατική γραµµή (µε το σηµείο Β να αντιστοιχεί στην άριστη κατανάλωση), ενώ τα µπλε ευθύγραµµα τµήµατα αντιστοιχούν στον νέο εισοδηµατικό περιορισµό. γ) Αν δεν υπάρχει περιορισµός, τότε η τιµή του γάλακτος είναι 0,8 ανεξαρτήτως ποσότητας, οπότε ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι 0,8x1+x2=400. Μεγιστοποιώντας τη συνάρτηση ωφέλειας µε το γνωστό τρόπο, προκύπτει x1=250 και x2=200. Με την κατανάλωση αυτή, το άτοµο έχει ωφέλεια u=50.000. δ) Χωρίς την επιδότηση αλλά µε νέο εισόδηµα, έστω M′, ο Γιάννης έχει πλέον τον εισοδηµατικό περιορισµό x1+x2=M′. Μεγιστοποιώντας την ωφέλεια, προκύπτει ότι x1=M′/2, x2=M′/2, και το επίπεδο ωφέλειας είναι M′2/4. Για να προτιµάει ο Γιάννης την επιδότηση θα πρέπει M′2/4≤50.000, δηλαδή M′≤447,21. Άρα αν η αύξηση στο εισόδηµα του Γιάννη είναι µικρότερη από 47,21, τότε ο Γιάννης θα προτιµήσει την επιδότηση στην τιµή του αγαθού. (Σηµείωση: Για το (δ) θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε και την έµµεση συνάρτηση ωφέλειας V(p1,p2,M). Για να βρούµε για ποια εισοδήµατα προτιµάται η επιδότηση, θα έπρεπε να βρούµε ποια M′ ικανοποιούν την V(1, 1, M′)≤V(0,8, 1, 400)).

6. α) MUx=x–1/2/2, MUy=y–1/2, άρα MRSxy=y1/2/2x1/2. Αν x=4, y=4, τότε MRSxy=1/2. Aυτό σηµαίνει ότι η Ελένη θα έδινε µέχρι 0,5 µονάδες του y για να πάρει µία µονάδα του x ακόµα, και άρα δε θα δεχτεί την ανταλλαγή. Αυτό φαίνεται εύκολα και από τη συνάρτηση ωφέλειας, µιας και u(5,3)<u(4,4). β) ∆ε θα αλλάξει τίποτα, διότι, αν px, py είναι οι αρχικές τιµές και M το αρχικό εισόδηµα, τότε ο νέος εισοδηµατικός περιορισµός είναι 2pxx+2pyy=2M, οπότε αν διαιρέσουµε κατά µέλη µε το 2, λαµβάνουµε τον αρχικό εισοδηµατικό περιορισµό. Άρα, όσα καλάθια ήταν εφικτά πριν, είναι εφικτά και τώρα. Το πρόβληµα µεγιστοποίησης της ωφέλειας δε θα επηρεαστεί καθόλου. γ) Έχουµε y1/2/2x1/2=4 και 4x+y=40. Λύνοντας το σύστηµα ως προς x και y έχουµε x=10/17 και y=640/17. (Θα µπορούσαµε να το λύσουµε και µε τη µέθοδο Lagrange). 7. α) Μια συνάρτηση ωφέλειας για την περίπτωση αυτή είναι η u(xA,xB)=7xA+4xB (και οποιοσδήποτε γνησίως αύξων µετασχηµατισµός αυτής). Οι καµπύλες αδιαφορίας θα είναι ευθείες µε κλίση –7/4 (µετράµε την ποσότητα του αγαθού Β στον κάθετο και του αγαθού Α στον οριζόντιο άξονα) και φορά αύξησης ωφέλειας προς τα πάνω και δεξιά. β) Μια συνάρτηση ωφέλειας είναι η u(xA,xB)=min{2xA,5xB} (θα µπορούσαµε κάλλιστα να λάβουµε u(xA,xB)=min{xA,5xB/2} ή, γενικότερα, min{αxA,5αxB/2} µε α>0, καθώς και οποιονδήποτε γνησίως αύξων µετασχηµατισµό αυτών. Οι καµπύλες αδιαφορίας έχουν σχήµα «L», µε τις κορυφές να βρίσκονται πάνω στην ευθεία xB=2xA/5 (µετράµε την ποσότητα του αγαθού Β στον κάθετο και του αγαθού Α στον οριζόντιο άξονα) και φορά αύξησης ωφέλειας προς τα πάνω και δεξιά.

Ερωτήσεις κατανόησης 1. Η πρόταση αυτή δεν είναι αναγκαστικά σωστή: για παράδειγµα, οι συναρτήσεις ωφέλειας (α) και (δ) της άσκησης 4 οδηγούν στην ίδια συνάρτηση ζήτησης, όµως έχουν διαφορετικές συναρτήσεις έµµεσης ωφέλειας. 2. Το άτοµο αυτό έχει ωφέλεια ίση µε min{10,2}=2. Aν, τώρα, για παράδειγµα, κατανάλωνε x=9, τότε θα είχε ωφέλεια πάλι ίση µε 2 (=min{9,2}) και θα εξοικονοµούσε το κόστος µια µονάδας του αγαθού x. Άρα, η επιλογή δεν είναι άριστη, αφού το άτοµο έχει µονάδες του αγαθού x που δεν του προσφέρουν καθόλου επιπλέον ωφέλεια, και θα µπορούσε να επιλέξει έναν συνδυασµό που να του προσφέρει µεγαλύτερη ωφέλεια. Για τη συγκεκριµένη συνάρτηση ωφέλειας, µόνο οι συνδυασµοί ποσοτήτων για τους οποίους 2x=y είναι συµβατοί µε τη µεγιστοποίηση της ωφέλειας. 3. Η άποψη αυτή είναι γενικά λάθος. Η συνθήκη αριστοποίησης είναι MRS12= MU1/MU2=p1/p2. Για να ισχύει ότι MU1=MU2, θα πρέπει και οι τιµές των αγαθών να είναι ίσες. 4. Η συνάρτηση ωφέλειας της Κατερίνας είναι u(xΚ,xΖ)=min{xΚ,xΖ}, όπου xΚ η ποσότητα καφέ και xΖ η ποσότητα ζάχαρης. Αν xΚ=xΖ=50, τότε η ωφέλεια είναι ίση µε 50, και επιπλέον κατανάλωση από οποιοδήποτε αγαθό χωρίς να αυξηθεί και το άλλο, δε θα προκαλέσει καµιά αλλαγή στην ωφέλεια. (Για παράδειγµα, αν xΚ=51, xΖ=50, τότε επειδή min{51,50}=50, η ωφέλεια θα παραµείνει 50). Συνεπώς, η οριακή

ωφέλεια από κάθε αγαθό είναι µηδενική. Αν τώρα xΚ=40, xΖ=50, τότε µία παραπάνω µονάδα καφέ οδηγεί σε αύξηση της ωφέλειας κατά µία µονάδα, και άρα MUΚ=1. Μια παραπάνω µονάδα ζάχαρης δεν οδηγεί σε αύξηση της ωφέλειας, και άρα MUΖ=0. (Παρατήρηση: Θα µπορούσε κανείς να πάρει τη συνάρτηση ωφέλειας u(xΚ,xΖ)=min{αxΚ,αxΖ} για οποιοδήποτε a>0. Στην περίπτωση αυτή, αν xΚ=40 και xΖ=50, MUΚ=α. Πρόκειται για τη γενικότερη περίπτωση της λύσης που αναφέρεται πιο πάνω, και για την οποία, a=1). 5. Βλ. Varian, Κεφάλαιο 5, Σχήµα 5.8 6. α) Το (1,6) είναι καλύτερο από το (1,5) αφού οι προτιµήσεις είναι µονοτονικές. Επειδή τώρα το (1,5) είναι εξίσου καλό µε το (5,1) (αφού βρίσκονται στην ίδια καµπύλη αδιαφορίας), το (1,6) θα είναι καλύτερο και από το (1,5). β) Το (2,2) δεν είναι γραµµικός συνδυασµός των (1,5) και (5,1), οπότε η πληροφορία ότι οι προτιµήσεις είναι κυρτές δε µας βοηθάει να αποφανθούµε. Επίσης, το (2,2) δεν περιέχει µεγαλύτερες ποσότητες από κάθε αγαθό σε σχέση µε το (5,1), άρα ούτε η µονοτονικότητα µας δίνει κάποια πληροφορία: συνεπώς, δεν µπορούµε να κάνουµε τη σύγκριση. γ) Και πάλι δεν µπορούµε να αποφανθούµε, για τους ίδιους λόγους µε το (β). δ) Επειδή το (3,3) είναι γραµµικός συνδυασµός των (1,5) και (5,1) και οι προτιµήσεις είναι κυρτές, το (3,3) θα είναι καλύτερο από το (1,5) ή το (5,1). 7. Έστω 2 καλάθια Α, Β. Αφού υπάρχει η συνάρτηση ωφέλειας, θα υπάρχουν και οι αριθµοί u(A), u(B), και θα ισχύει είτε u(A)≥u(B), είτε u(A)≤u(B) (ή και τα δύο). Από τον ορισµό της συνάρτησης ωφέλειας, αυτό σηµαίνει ότι είτε το Α θα είναι τουλάχιστον τόσο καλό όσο το Β, είτε το Β θα είναι τουλάχιστον τόσο καλό όσο το Α, κάτι που σηµαίνει ότι οι προτιµήσεις είναι πλήρεις. Αν τώρα έχουµε τρία καλάθια Α, Β, Γ µε u(A)≥u(B) και u(Β)≥u(Γ), τότε, αφού αυτά τα επίπεδα ωφέλειας είναι πραγµατικοί αριθµοί, θα ισχύει και u(A)≥u(Γ). Αυτό σηµαίνει (και πάλι από τον ορισµό της συνάρτησης ωφέλειας) ότι αν το Α είναι τουλάχιστον τόσο καλό όσο το Β και το Β είναι τουλάχιστον τόσο καλό όσο το Γ, θα πρέπει και το Α να είναι τουλάχιστον τόσο καλό όσο το Γ, δηλαδή οι προτιµήσεις είναι µεταβατικές. 8. Αν x είναι η ποσότητα των µπουκαλιών του 1 λίτρου και y είναι η ποσότητα των µπουκαλιών του µισού λίτρου, τότε η συνάρτηση ωφέλειας είναι u(x,y)=2x+y, και οι καµπύλες αδιαφορίας θα είναι ευθείες µε κλίση –2. Αν τώρα pΧ<2pY, τότε pΧ/pY<2 ή –pΧ/pY>–2, και άρα ο εισοδηµατικός περιορισµός θα έχει µεγαλύτερη κλίση (κατά απόλυτη τιµή) από την καµπύλη αδιαφορίας, και συνεπώς, το άτοµο θα καταναλώνει µόνο µπουκάλια του 1 λίτρου (δες και άσκηση 2). Άρα, x=M/pΧ και y=0. 9. Αν pΧx+pYy≤M είναι ο αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός, τότε υποδιπλασιασµός των τιµών και συγχρόνως διπλασιασµός του εισοδήµατος σηµαίνει ότι ο νέος εισοδηµατικός περιορισµός θα είναι (pΧ/2)·x+(pY/2)·y≤2M, ή pΧx+pYy≤4M. Άρα το σύνολο των καταναλωτικών δυνατοτήτων θα αλλάξει (προς το καλύτερο) σε σχέση µε το αρχικό. 10. Αφού τα αγαθά είναι τέλεια υποκατάστατα και ο καταναλωτής αγοράζει θετικές ποσότητες και από τα δύο αγαθά, συµπεραίνουµε ότι έχουν ίδια τιµή, διότι διαφορετικά το άτοµο θα ξόδευε όλο το εισόδηµά του στο φθηνότερο από τα 2 αγαθά (δες και άσκηση 2). Άρα, επειδή και στις δύο περιόδους ο καταναλωτής αγοράζει και

από τα δύο αγαθά, αυτό σηµαίνει ότι οι τιµές παραµένουν ίσες µεταξύ τους, κάτι που κάνει το άτοµο αδιάφορο σχετικά µε τον ποιον συνδυασµό αγαθών θα επιλέξει.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2010-2011 Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Μάθηµα: Μικροοικονοµική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής

Πρώτο πακέτο ασκήσεων Προθεσµία παράδοσης 19 Νοεµβρίου 2010 (στο µάθηµα του κ. Αθανασίου ή της κ. Καπλάνογλου) Κάθε µία από τις ασκήσεις αντιστοιχεί σε 1 βαθµό, ενώ κάθε µία από τις ερωτήσεις κατανόησης αντιστοιχεί σε µισό βαθµό. Άσκηση 1. (1/2 βαθµός) Ένα άτοµο καταναλώνει µόνο 2 τα αγαθά Χ και Υ. Αν το άτοµο καταναλώσει όλο το εισόδηµά του στο αγαθό Υ, θα µπορέσει να έχει 60 µονάδες του Y, ενώ αν καταναλώσει όλο το εισόδηµά του στο Χ, τότε θα µπορέσει να έχει a>0 µονάδες του Χ. Στην πραγµατικότητα, ο καταναλωτής αυτός ξοδεύει όλο το εισόδηµά του σε ένα καλάθι που έχει θετικές ποσότητες και από τα δύο αγαθά. α) Να χαράξετε την εισοδηµατική γραµµή. β) Αν η τιµή του αγαθού Y είναι ίση µε 10, ποιο είναι το εισόδηµα του καταναλωτή; γ) Αν η τιµή του αγαθού Y είναι ίση µε 10 και α=40, ποια είναι η τιµή του αγαθού Χ; δ) Αν οι τιµές και το εισόδηµα δεν είναι γνωστά και γνωρίζουµε ότι α=40, µπορούµε να συµπεράνουµε ποιες θα είναι οι τιµές των δύο αγαθών; ε) Ποια είναι η εξίσωση του εισοδηµατικού περιορισµού (συναρτήσει α); στ) Έστω ότι αρχικά η τιµή του αγαθού Y είναι ίση µε 10 και α=40. Αν τιµή του αγαθού Χ διπλασιαστεί, ποιος θα είναι ο νέος εισοδηµατικός περιορισµός; Να σχεδιάσετε τη νέα εισοδηµατική γραµµή. Θα επηρεαστεί η ωφέλεια του καταναλωτή;

Άσκηση 2. (1 βαθµός) Η Μαρία και ο Νίκος καταναλώνουν µονάχα πράσινα µήλα και κόκκινα µήλα: η Μαρία δεν ξεχωρίζει µεταξύ των δύο τύπων και θεωρεί ότι «όσο περισσότερα µήλα, τόσο το καλύτερο». Ο Νίκος βρίσκει τα κόκκινα µήλα πιο νόστιµα, και, ανεξάρτητα από το πόσα µήλα έχει από το κάθε χρώµα, είναι πάντα διατεθιµένος να δώσει µέχρι και 3 πράσινα µήλα για να πάρει ένα κόκκινο µήλο ακόµα. ∆ίνεται ότι το εισόδηµα της Μαρίας είναι 100, ενώ του Νίκου είναι 80. α) Να προτείνετε συναρτήσεις ωφέλειας που να περιγράφουν τις προτιµήσεις του Νίκου και της Μαρίας και, σε κατάλληλο διάγραµµα, να δείξετε µερικές καµπύλες αδιαφορίας για τα άτοµα αυτά. β) Αν η τιµή των κόκκινων µήλων είναι pΚ=1,5 ανά κιλό, ενώ η τιµή των πράσινων είναι pΠ=1, να βρεθεί η κατανάλωση του κάθε ατόµου για πράσινα και κόκκινα µήλα. γ) Να επαναλάβετε το (β) για pΚ=1 και pΠ=1. δ) Αν ο Νίκος καταναλώνει 20 κιλά πράσινα µήλα και 60 κιλά κόκκινα µήλα, ποιες είναι οι τιµές των αγαθών; Πόσα κιλά από κάθε αγαθό καταναλώνει τότε η Μαρία;

Άσκηση 3. (1 βαθµός) Υποθέτουµε ότι ένα άτοµο καταναλώνει µήλα και πορτοκάλια. Αν µετράµε την ποσότητα των µήλων (x) στον οριζόντιο και την ποσότητα των πορτοκαλιών (y) στον κάθετο άξονα, τι πληροφορίες παίρνουµε για τις προτιµήσεις του ατόµου σε κάθε µία από τις παρακάτω περιπτώσεις; α) Οι καµπύλες αδιαφορίας έχουν σχήµα «L» και φορά αύξησης προς τα πάνω και δεξιά, µε τις «κορυφές» των L να βρίσκονται πάνω στην ευθεία y=0,5x. β) Υπάρχει µία και µοναδική «καµπύλη» αδιαφορίας που περιλαµβάνει όλα τα σηµεία x≥0, y≥0. γ) Οι καµπύλες αδιαφορίας έχουν θετική κλίση και φορά αύξησης ωφέλειας προς τα κάτω και δεξιά. δ) Οι καµπύλες αδιαφορίας είναι οριζόντες γραµµές µε φορά αύξησης ωφέλειας προς τα πάνω. ε) Οι καµπύλες αδιαφορίας είναι οµόκεντροι κύκλοι µε κέντρο το σηµείο (5,10) και φορά αύξησης ωφέλειας προς το σηµείο (5,10).

Άσκηση 4. (1/2 βαθµός) Για κάθε µία από τις παρακάτω συναρτήσεις ωφέλειας, να βρείτε τη συνάρτηση ζήτησης, την έµµεση συνάρτηση ωφέλειας, την αντισταθµισµένη συνάρτηση ζήτησης και τη συνάρτηση δαπανών. α) u(x1,x2)= lnx1+lnx2 β) u(x1,x2)= x1+x1x2 γ) u(x1,x2)= x11/2+x21/2 δ) u(x1,x2)=x11/2x21/2 ε) u(x1,x2)=x11/2x21/3 Άσκηση 5. (1 βαθµός) Ο Γιάννης καταναλώνει δύο αγαθά: γάλα και καφέ. Η συνάρτηση ωφέλειάς του είναι u(x1,x2)=x1x2, όπου x1 η ποσότητα γάλακτος και x2 η ποσότητα καφέ που καταναλώνει ανά περίοδο. Οι τιµές του γάλακτος και του καφέ είναι p1=1, p2=1 αντίστοιχα. Το εισόδηµα του Γιάννη είναι 400 χρηµατικές µονάδες. α) Ποιος είναι ο άριστος συνδυασµός κατανάλωσης του Γιάννη; Να δείξετε τον άριστο αυτό συνδυασµό σε σχετικό διάγραµµα. β) Έστω ότι η κυβέρνηση δίνει µια επιδότηση στο γάλα και για κάθε ευρώ που ξοδεύει ο Γιάννης η κυβέρνηση του δίνει €0,20 µε τον περιορισµό ότι το συνολικό ποσό της επιδότησης δεν πρέπει να ξεπερνά τα €40. Να γράψετε τον νέο εισοδηµατικό περιορισµό και να τον δείξετε σε ένα διάγραµµα. Πώς διαµορφώνεται τώρα ο εισοδηµατικός περιορισµός; Με ένα διάγραµµα να δείξετε τον εισοδηµατικό περιορισµό και σε ποιο σηµείο του υπάρχει καµπή. γ) Έστω ότι η επιδότηση που περιγράφεται στο (β) δεν υπόκειται σε κανέναν περιορισµό. Ποια θα είναι τώρα η άριστη κατανάλωση του Γιάννη; δ) Υποθέτουµε ότι αντί για την επιδότηση του (γ), το εισόδηµα του Γιάννη αυξάνεται κατά m. Ποια είναι η µέγιστη τιµή του m για την οποία ο Γιάννης θα προτιµάει την επιδότηση από την αύξηση του εισοδήµατός του;

Άσκηση 6. (1/2 βαθµός) Έστω ότι η Ελένη έχει συνάρτηση ωφέλειας u(x,y)=x1/2+2y1/2. α) Να βρείτε τον οριακό λόγο υποκατάστασης (MRS) και να υπολογίσετε την τιµή του στην περίπτωση του η Ελένη έχει 4 µονάδες του x και 4 µονάδες του y. Θα δεχόταν η Ελένη να δώσει 1 µονάδα του y για να λάβει µία παραπάνω µονάδα του αγαθού x; β) Έστω ότι οι τιµές των δύο αγαθών διπλασιάζονται, ενώ παράλληλα διπλασιάζεται και το εισόδηµα της Ελένης. Είναι τώρα η Ελένη σε καλύτερη ή σε χειρότερη θέση από ό,τι πριν; γ) Έστω ότι τελικά οι τιµές διαµορφώνονται σε px=4, py=1, ενώ το εισόδηµα είναι M=40. Τι ποσότητες από κάθε αγαθό θα επιλέξει η Ελένη; Άσκηση 7. (1/2 βαθµός) Υποθέστε ότι υπάρχουν δύο αγαθά, A και B. Για κάθε µια από τις πιο κάτω περιπτώσεις, να δηµιουργήσετε µια συνάρτηση χρησιµότητας U(A,B) που αντιστοιχεί στην ακόλουθη πληροφόρηση. Χαράξετε την καµπύλη αδιαφορίας για κάθε περίπτωση. α) Ο καταναλωτής θεωρεί ότι τα αγαθά A και B είναι τέλεια υποκατάστατα µε τέσσερις µονάδες του Α να είναι ισοδύναµες µε επτά µονάδες του Β. β) Ο καταναλωτής θεωρεί ότι τα αγαθά A και B είναι τέλεια συµπληρωµατικά και χρησιµοποιεί πάντα δύο µονάδες του Β µε πέντε µονάδες του Α.

Ερωτήσεις κατανόησης Να απαντήσετε σύντοµα αλλά επαρκώς στις παρακάτω ερωτήσεις: Κάθε µία από τις ερωτήσεις κατανόησης αντιστοιχεί σε µισό βαθµό. 1. «∆ύο άτοµα που έχουν τις ίδιες ακριβώς συναρτήσεις ζήτησης θα έχουν και την ίδια συνάρτηση έµµεσης ωφέλειας». Συµφωνείτε ή όχι µε την άποψη αυτή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 2. Έστω ότι ένα άτοµο µε συνάρτηση ωφέλειας u(x,y)=min{2x,y} καταναλώνει 5 µονάδες του αγαθού x και 2 µονάδες του αγαθού y. Γιατί είµαστε σίγουροι ότι το άτοµο αυτο δε µεγιστοποιεί την ωφέλειά του; 3. «Αν ο Γιώργος καταναλώνει δύο αγαθά και µεγιστοποιεί τη συνάρτηση ωφέλειάς του υπό τον εισοδηµατικό του περιορισµό, τότε η κατανάλωση του άριστου συνδυασµού συνεπάγεται ότι οι οριακές ωφέλειες από κάθε αγαθό θα είναι ίσες». Συµφωνείτε ή όχι µε την άποψη αυτή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 4. Έστω ότι για την Κατερίνα ο καφές και η ζάχαρη είναι συµπληρωµατικά αγαθά, και ότι η Κατερίνα χρησιµοποιεί ίση ποσότητα καφέ και ζάχαρης σε κάθε φλιτζάνι. Αν η Κατερίνα καταναλώνει 50 γραµµάρια καφέ και 50 γραµµάρια ζάχαρης την ηµέρα, ποια είναι η οριακή ωφέλεια από κάθε αγαθό; Ποια θα ήταν η οριακή ωφέλεια αν η Κατερίνα κατανάλωνε 40 γραµµάρια καφέ και 50 γραµµάρια ζάχαρης; 5. Να δείξετε µε τη βοήθεια ενός σχήµατος ότι αν ένα άτοµο δεν έχει κυρτές προτιµήσεις, τότε στον άριστο συνδυασµό κατανάλωσης ο οριακός λόγος υποκατάστασης δεν ισούται αναγκαστικά µε το λόγο των τιµών.

4 6. Έστω ότι για τον Θανάση τα καλάθια (1,5) και (5,1) βρίσκονται στην ίδια καµπύλη αδιαφορίας. Αν οι προτιµήσεις του Θανάση είναι κυρτές και µονοτονικές, να γράψετε για κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις αν είναι σωστή ή λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α) Ο Θανάσης προτιµάει το καλάθι (1,6) από το (5,1). β) Ο Θανάσης προτιµάει το καλάθι (5,1) από το (2,2). γ) Ο Θανάσης προτιµάει το καλάθι (1,6) από το (2,2). δ) Ο Θανάσης προτιµάει το καλάθι (1,5) από το (3,3). 7. Να δείξετε ότι αν µπορούµε να περιγράψουµε τις προτιµήσεις ενός ατόµου µε µια συνάρτηση ωφέλειας, τότε οι προτιµήσεις αυτές είναι πλήρεις και µεταβατικές. 8. Έστω ότι ένα άτοµο υποκαθιστά τέλεια ένα µπουκάλι νερό του ενός λίτρου µε δύο µπουκάλια νερό του µισού λίτρου. Με δεδοµένο ότι το µπουκάλι του ενός λίτρου νερό κοστίζει λιγότερο από ό,τι δύο µπουκάλια του µισού λίτρου, που θα είναι η ζήτηση του ατόµου για µπουκάλια του µισού λίτρου, και ποια για µπουκάλια του ενός λίτρου συναρτήσει των τιµών και του εισοδήµατος του ατόµου; 9. Αν όλες οι τιµές υποδιπλασιαστούν και το εισόδηµα διπλασιαστεί, το σύνολο των καταναλωτικών δυνατοτήτων δεν αλλάζει επειδή οι σχετικές τιµές δεν αλλάζουν. 10. «Το νερό Αύρα και το νερό Λουτράκι είναι τέλεια υποκατάστατα για τον Ισίδωρο. Αρχικά ο Ισίδωρος καταναλώνει 10 µπουκάλια νερό Αύρα και 3 µπουκάλια νερό Λουτράκι. Μετά από µία εβδοµάδα ο Ισίδωρος καταναλώνει 6 µπουκάλια νερό Αύρα και 7 µπουκάλια νερό Λουτράκι. Μπορούµε να συµπεράνουµε ότι το νερό Λουτράκι είναι τώρα πιο φτηνό.» Συµφωνείτε µε την άποψη αυτή, και γιατί;

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Ι Διδάσκοντες: Α. Παπανδρέου-Β.Ράπανος

28/08/2006

Τελική Εξέταση Μικροοικονομική Ι Η εξέταση αυτή έχει ΔΥΟ τμήματα. Πρέπει να απαντηθούν 5 από τις 8 ερωτήσεις από το Τμήμα Α και 2 ασκήσεις από το Τμήμα Β (η πρώτη είναι υποχρεωτική). Το κάθε Τμήμα αντιστοιχεί με 5 μονάδες. Καλό να μην ξεπεράσετε τα 10 λεπτά ανά ερώτηση του Τμήματος Α και 30 λεπτά ανά άσκηση του Τμήματος Β. Καλή τύχη! Τμήμα Α Απαντήστε 5 από τις 8 ερωτήσεις. 1. Αν η Ελένη μεγιστοποιεί τη συνάρτηση χρησιμότητας U(x,y), υπό τον εισοδηματικό της περιορισμό, τότε η κατανάλωση του άριστου συνδυασμού συνεπάγεται ότι οι οριακές χρησιμότητες των x και y θα είναι ίσες. Η πρόταση αυτή είναι γενικά λάθος. Η μεγιστοποίηση της U(x,y) υπό τον εισοδηματικό περιορισμό της Ελένης γίνεται στο σημείο όπου

p MU x = MRS = x py MU y Άρα οι οριακές χρησιμότητες των x και y είναι ίσες μόνο αν οι τιμές είναι ίσες. Σε μια ακραία λύση δεν είναι δυνατό να έχουμε κάτι τέτοιο. 2. Η Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης για ένα κατώτερο αγαθό έχει πιο μεγάλη κλίση (είναι πιο απότομη) από τη Χικσιανή καμπύλη για το αγαθό αυτό. Η Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης περιλαμβάνει και το εισοδηματικό αποτέλεσμα και το αποτέλεσμα υποκατάστασης και έτσι με την εξίσωση Slutsky έχουμε

∂xi ∂xi = ∂pi ∂pi

U =U

− xi

∂xi ∂hi ∂x = − xi i ∂I ∂I ∂pi

3. Αν δύο αγαθά είναι τέλεια υποκατάστατα , γιατί ο καταναλωτής δεν θα επέλεγε ποτέ θετική ποσότητα και των δυο αγαθών αν διαφέρουν οι τιμές τους; Γιατί μόνο ακραία επιλογή θα μεγιστοποιούσε την χρησιμότητα σε αυτήν την περίπτωση. Όποιες δαπάνες στο ακριβότερο αγαθό θα σήμαινε πως πληρώνει παραπάνω ανά μονάδα χρησιμότητας από αυτό που θα μπορούσε αγοράζοντας το φτηνότερο αγαθό. 4. Μια εταιρεία έχει μέσο κόστος AC = 0,8q , τι αποδόσεις κλίμακας έχει; Εξηγείστε. Φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας. Το κόστος παραγωγής ανά μονάδα αυξάνεται καθώς αυξάνεται η συνολική παραγωγή, που σημαίνει πως αν διπλασίαζε τις εισροές η παραγωγή θα αυξανόταν λιγότερο από δύο φορές (οι εισροές ανά μονάδα παραγωγής αυξάνονται με το ύψος της παραγωγής).

Προσοχή: Η εξέταση συνεχίζεται στην πίσω σελίδα.

5. Εξηγείστε τι είναι το αποτέλεσμα υποκατάστασης και δείξετε με διάγραμμα το αποτέλεσμα υποκατάστασης από μια αύξηση της τιμής ενός αγαθού. Δείτε το σχήμα 5.4 σελ. 171 του Νίκολσον. 6. Η Άννα έχει ομοθετικές προτιμήσεις και με το σημερινό εισόδημά της αγοράζει 5 κιλά πορτοκάλια και 2 κιλά μήλα την εβδομάδα. Αν αυξηθεί το εισόδημά της τι μπορούμε να πούμε για τις νέες ποσότητες πορτοκαλιών και μήλων που θα αγοράζει; Εξηγείστε. Το μόνο που μπορούμε να πούμε είναι πως θα αυξήσει τις ποσότητες και των δύο αγαθών διατηρώντας σταθερή την αναλογία 5 προς 2. Στις ομοθετικές συναρτήσεις χρησιμότητας «ο οριακός λόγος υποκατάστασης εξαρτάται μόνον από το λόγο των ποσοτήτων των δύο αγαθών». Μια αύξηση του εισοδήματος (χωρίς αλλαγή των τιμών) σημαίνει πως στο νέο σημείο που επιλέγει ο καταναλωτής θα έχει το ίδιο ΟΛΥ οπότε και θα μένει σταθερή η αναλογία των αγαθών που καταναλώνει. 7. Ποιο είναι το δυαδικό πρόβλημα της εταιρείας που προσπαθεί να βρει τους συντελεστές που ελαχιστοποιούν το κόστος; Ποια είναι η ερμηνεία του λ στο πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους; Το δυαδικό πρόβλημα είναι να επιχειρήσει να μεγιστοποιήσει προϊόν με δεδομένο συνολικό κόστος (σελ. 60 2ος τόμος Νίκολσον). Στο πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους το λ μας λεει πόσο λιγότερο θα κόστιζε αν μπορούσαμε να παράξουμε ένα λιγότερο προϊόν (δηλαδή το οριακό κόστος παραγωγής της τελευταίας μονάδας). 8. «Μια επιχείρηση που έχει αρνητικά κέρδη θα κλείσει.» Είναι σωστή αυτή η πρόταση; Απαντήστε και με την χρήση διαγράμματος. Όχι. Βραχυχρόνια θα παραμείνει σε λειτουργία αρκεί να καλύπτει μέρος των σταθερών εξόδων. Σε διάγραμμα πρέπει να δείξουμε ένα σημείο παραγωγής όπου δεν καλύπτει το βραχυχρόνιο μέσο συνολικό κόστος αλλά καλύπτει τουλάχιστον το βραχυχρόνιο μέσο μεταβλητό κόστος.

Τμήμα Β Απαντήστε μια άσκηση για κατανάλωση (Τμήμα Β.1) και μία άσκηση για παραγωγή (Τμήμα Β.2) Τμήμα Β.1 (Κατανάλωση) Άσκηση 1 Ας υποθέσουμε ότι ένας πολύ φτωχός καταναλωτής ξοδεύει το ημερήσιο εισόδημα του που είναι €6 σε ψωμί (Χ), το οποίο κοστίζει 25 λεπτά ανά μονάδα και σε γάλα; (Υ), το οποίο κοστίζει €1 ανά μονάδα. Οι προτιμήσεις του περιγράφονται από τη συνάρτηση χρησιμότητας U = X1/4 Y3/4

α. Ποιος ο οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ ψωμιού και γάλακτος; β. Βρείτε την ημερήσια κατανάλωση ψωμιού και γάλακτος που κάνει ο καταναλωτής. γ. Με δεδομένες τις προτιμήσεις του καταναλωτή και τις τιμές, είναι το ψωμί και το γάλα κανονικά ή κατώτερα αγαθά; Εξηγείστε πως το βρίσκετε. Τι συνεπάγεται το γεγονός ότι το ψωμί είναι κανονικό είτε κατώτερο αγαθό για το αν είναι και αγαθό Giffen; Τι συνεπάγεται το γεγονός ότι το ψωμί είναι κατώτερο αγαθό για το αν είναι και αγαθό Giffen; Άσκηση 1. Απάντηση α) MRS=Y/(3X) β) Ο καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητα του όταν MRS =PX/PY , δηλαδή όταν Y/(3X) = 0,25/1. Ο εισοδηματικός του περιορισμός είναι 0,25X + 1Y = 6. Λύνοντας τις δύο αυτές σχέσεις ταυτόχρονα έχουμε ότι: Χ = 6, Υ = 4,5. γ) Τόσο το ψωμί όσο και το γάλα είναι κανονικά αγαθά. Ένα αγαθό είναι κανονικό όταν ο καταναλωτής αγοράζει περισσότερο από αυτό όταν αυξάνει το εισόδημα του. Κατώτερο είναι το αγαθό από το οποίο αγοράζει λιγότερο ο καταναλωτής όταν αυξάνει το εισόδημα του. Επειδή οι τιμές είναι σταθερές, ο νέος συνδυασμός τον οποίο θα επιλέξει καταναλωτής, όταν αυξηθεί το εισόδημα του, θα έχει τον ίδιο οριακό λόγο υποκατάστασης. Και τα δύο αγαθά δεν μπορεί να είναι κατώτερα, διότι ο καταναλωτής δεν θα επιλέξει λιγότερο και από τα δύο αγαθά αν αυξηθεί το εισόδημα του, διότι σε μια τέτοια περίπτωση η χρησιμότητα του θα μειωνόταν. Επομένως, και τα δύο αγαθά πρέπει να είναι κανονικά. Το γεγονός ότι το ψωμί είναι κανονικό αγαθό σημαίνει ότι δεν είναι αγαθό Giffen για τον καταναλωτή. Αγαθό Giffen είναι εκείνο από το οποίο επιλέγει περισσότερο ο καταναλωτής όταν αυξάνει η τιμή του. Η αντίδραση του καταναλωτή σε μια αύξηση της τιμής μπορεί να διαχωριστεί σε αποτέλεσμα υποκατάστασης και σε αποτέλεσμα εισοδήματος. Το αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι η μεταβολή στον άριστο συνδυασμό του καταναλωτή, όταν αλλάζουν οι σχετικές τιμές, διατηρώντας τον καταναλωτή πάνω στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας. Με κανονικό σχήμα καμπυλών αδιαφορίας, ο καταναλωτής επιλέγει λιγότερο από το αγαθό, η τιμή του οποίου αυξάνει. Το εισοδηματικό αποτέλεσμα, αναφέρεται στη μειωμένη αγοραστική δύναμη που έχει ο καταναλωτής λόγω της αύξησης της τιμής. Το εισοδηματικό αποτέλεσμα συνεπάγεται ότι ο καταναλωτής επιλέγει λιγότερη ποσότητα ενός κανονικού αγαθού όταν αυξάνει η τιμή του και μεγαλύτερη ποσότητα ενός κατώτερου αγαθού όταν αυξάνει η τιμή του. Επομένως, μόνο όταν ένα αγαθό είναι κατώτερο και το εισοδηματικό αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο από το αποτέλεσμα υποκατάστασης, το αγαθό αυτό θα είναι Giffen. Άσκηση 2 Υποθέστε ότι υπάρχουν δύο αγαθά σε μια οικονομία – τρόφιμα και αυτοκίνητα. α) Να δείξετε ότι και τα δύο αγαθά δεν μπορεί ταυτόχρονα να είναι αγαθά πολυτελείας (Υπενθύμιση: αγαθό πολυτελείας είναι εκείνο η εισοδηματική ελαστικότητα του οποίου είναι μεγαλύτερη από τη μονάδα.)

β) Ας θεωρήσουμε ότι υπάρχουν δύο άτομα, η Σόνια και ο Χρήστος, των οποίων οι καμπύλες ζήτησης για τρόφιμα δίνονται από τις σχέσεις

QTΣ ( pT ) = 100 − 5 pT QTX ( pT ) = 200 − 4 pT αντίστοιχα. Να βρείτε τη συνολική ζήτηση για τρόφιμα και να την παραστήσετε γραφικά. γ) Χρησιμοποιώντας την καμπύλη συνολικής ζήτησης που βρήκατε στο (β) να απαντήσετε σύντομα αν η ζήτηση για τρόφιμα είναι ελαστική ως προς την τιμή. Για ποια τιμή των τροφίμων η ελαστικότητα είναι μεγαλύτερη της μονάδας και για ποια τιμή μικρότερη της μονάδας; δ) Τα συνολικά έσοδα από την πώληση τροφίμων είναι R=PΤQΤ. Σε ποια τιμή μεγιστοποιούνται τα έσοδα; Άσκηση 2. Απάντηση α) Έχουμε ότι PTQT + PΑυτQA =I Ας πάρουμε μια μεταβολή στο εισόδημα ΔΙ, (με τις τιμές σταθερές) οπότε έχουμε PT ΔQT + PΑυτ ΔQA =ΔI Η οποία μπορεί να ξαναγραφεί ως (QT PT ΔQT)/QT + (QAPΑυτ ΔQA)/QA =ΔI Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της πιο πάνω εξίσωσης με Ι, έχω

pT QT ΔQT p AQA ΔQA ΔI + = I QT I QA I Και διαιρώντας μετά με (ΔΙ/Ι), βρίσκουμε ότι

pT QT ΔQT I p Q ΔQA I + A A =1 I QT ΔI I QA ΔI ή

sT eTI + s Ae AI = 1 όπου si είναι το μερίδιο του αγαθού i (=T, A) στο εισόδημα που δαπανάται φια τρόφιμα και αυτοκίνητα. Ένα αγαθό είναι πολυτελείας όταν eI>1. Όμως αν και οι δύο ελαστικότητες είναι η κάθε μια μεγαλύτερη από τη μονάδα, τότε, αφού sT + sA =1, θα έχουμε,

sT eTI + s AeAI > 1 πράγμα που όμως δεν μπορεί να ισχύει. Άρα μόνο το ένα από τα δύο αγαθά μπορεί να είναι αγαθό πολυτελείας.

β) Η συνολική καμπύλη ζήτησης για τρόφιμα είναι

αν pT > 20 αν pT < 20

QT = QTΣ + QTX = 200 − 4 pT QT = QTΣ + QTX = 300 − 9 pT QT = QTΣ + QTX = 0

αν pT > 50

120

300

γ)

dQ p p pT = −9 T = −9 dp Q QT 300 − 9 pT

Η ζήτηση είναι ελαστική όταν

e >1

Η ζήτηση είναι anαστική όταν

e <1 pT >1 300 − 9 pT

Άρα η ζήτηση είναι ελαστική όταν

Η ζήτηση είναι ανελαστική όταν

9 pT > 300 − 9 pT pT > 16,67 pT < 16,67

δ) Έσοδα = pTQT = pT(300 – 9pT) Max εσόδων :dR/dp = 0 300 – 18pT = 0

pT = 16.67

Τμήμα Β.2 (Παραγωγή) 5

Άσκηση 3 Υποθέστε ότι μια επιχείρηση που παράγει ενδύματα χρησιμοποιεί δύο συντελεστές: κεφάλαιο (Κ, ώρες λειτουργίας της μηχανής) και εργασία (L, ώρες εργασίας). Η συνάρτηση παραγωγής δίνεται από τη σχέση. 1 2

1 2

Υ=K L

Οι τιμές των συντελεστών είναι r=4 και w=36, όπου r είναι η τιμή του κεφαλαίου και w είναι η τιμή της εργασίας. Υποθέστε ότι η επιχείρηση αναμένει να έχει παραγωγή Υ, ίση με 300 μονάδες προϊόντος. α) Να υπολογίσετε το συνδυασμό εκείνο των συντελεστών που ελαχιστοποιεί το κόστος. Ποιο είναι το συνολικό κόστος παραγωγής; Ποιο είναι το κόστος παραγωγής ανά μονάδα προϊόντος; Υποθέστε ότι το αναμενόμενο επίπεδο παραγωγής απροσδόκητα αυξάνει στις 450 μονάδες, μετά την εγκατάσταση του κεφαλαίου. β) Βραχυχρόνια το κεφάλαιο είναι σταθερό και δεν μπορεί να μεταβληθεί. Ποια είναι η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής; Επιδεικνύει αυτή αύξουσες, σταθερές ή φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας; γ) Ποια ποσότητα εργασίας πρέπει να χρησιμοποιήσει η επιχείρηση για να παραγάγει 450 μονάδες στο ελάχιστο κόστος; Ποια είναι το μεταβλητό κόστος παραγωγής; Ποιο είναι το συνολικό κόστος (συμπεριλαμβανομένου και του κόστους κεφαλαίου); Ποιο είναι το κόστος ανά μονάδα προϊόντος; δ) Να επαναλάβετε το (γ), υποθέτοντας ότι ο στόχος για το επίπεδο παραγωγής μειώνεται βραχυχρόνια στο 200. Να απεικονίσετε γραφικά τη βραχυχρόνια συνάρτηση κόστους της επιχείρησης. Άσκηση 3. Απάντηση Έχουμε να λύσουμε το πρόβλημα Min wL+rK Υπό τον περιορισμό 1 2

1 2

Υ=K L

, όπου w=36, r=4.

Μπορούμε να επιλύσουμε το πρόβλημα είτε χρησιμοποιώντας τη Λαγκραντζιανή μέθοδο, είτε υποκαθιστώντας τη δεύτερη σχέση στην πρώτη, είτε χρησιμοποιώντας το ότι ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (TRS) πρέπει να είναι ίσος με το λόγο των τιμών των συντελεστών.

∂f ( K , L) ∂L TRS = − =− ∂f ( K , L) ∂K

1 −2 2 L K K 2 =− 1 1 L 1 2 −2 L K 2

TRS = −

w K =− r L

w L r

Αντικαθιστώντας στη συνάρτηση παραγωγής έχουμε ότι 1

Υ=(

w 2 2 L) L r

ή 1

w Υ = ( )2 L r

r και L = ( ) 2 Y w

1 L = ( )Y 3

και K = (

36 1 )( Y ) = 3Y 4 3

Υ=300 πράγμα που σημαίνει ότι L=100, K=900 C(Y) = 4(900) + 36(100) = 7200 AC = 7200/300 =24 β) Ο στόχος για το επίπεδο προϊόντος είναι 450, και η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής είναι 1 2

1 2

Υ = (900) L = 30 L

Η συνάρτηση αυτή έχει φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας. Διπλασιάζοντας το L το προϊόν αυξάνει λιγότερο από το διπλάσιο. γ) Βραχυχρόνια, η επιχείρηση επιλέγει μόνο έναν συντελεστή, την εργασία. 1 2

Υ = 450 = 30 L

L = 225 C = rK + wL = 4 (900) + 36 (225) = 11.700 C/Y = 11.700/450 = 26 VC = wL = 36 (225) = 8100

δ)

200 = 30 L1/2 πράγμα που σημαίνει ότι L = 44,4 C =3600 + 36 (44,4) = 5198,4 C/Y = 26 VC = 36 (44,4) = 1598,4

Άσκηση 4 Εξετάστε την καμπύλη ίσου προϊόντος στο πιο κάτω διάγραμμα.

Αν ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης στο σημείο Α είναι 12 και ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης στο σημείο Β είναι 2, ποια είναι η ελαστικότητα υποκατάστασης, σ, καθώς μετακινούμαστε από το σημείο Α στο Β; Να δείξετε τους υπολογισμούς σας. Άσκηση 4. Απάντηση Η ελαστικότητα υποκατάστασης δίνεται από τη σχέση

K L σ= %ΔMRTS L , K %Δ

Η ποσοστιαία μεταβολή στο λόγο κεφαλαίου εργασίας για το πιο πάνω διάγραμμα είναι

KB KA − A B K L L x100 %Δ = A K L LA 5 10 − K 5 2 %Δ = x100 10 L 2

%Δ

K 1− 5 = x100 5 L

%Δ

K = −80% L

Η ποσοστιαία μεταβολή στον οριακό λόγο τεχνικής υποκατάστασης δίνεται από τη σχέση

% ΔMRTS L , K =

MRTS LB, K − MRTS LA, K MRTS LA, K

%ΔMRTS L , K = % ΔMRTS L , K

x100

2 − 12 x100 12 = −83,33

Άρα η ελαστικότητα υποκατάστασης είναι

K L σ= %ΔMRTS L , K %Δ

σ=

− 80% = 0,96 − 83.33

!"#$!%&'()%* "+(#,# "-./0µ.1-2 3456 2012-2013 'µ7µ. *8-595µ8-:9 $;8<40µ:9 )=>0µ.: )8-?558-595µ8-7 "9=@A<0 406 B.4.9=@C<06 -.8 406 !.?.DCD76

!?:45 ;.-345 .<-7<EC9 !"#$% &. (B=>E µF. .;2 486 .<-7<E86 ;.F?9E8 1 G.>µ2) H<-0<0 "1. !"# $%&' ()*+&," - +".#(-µ,&"$/ 01,µµ/ +*23 $,&,*,4'&/ $," µ", $,µ564- ,(",7#1),3 0", (6# 51#82*&, (9 $," :). ;.&' 2&" - &"µ/ &#< ,0,=#6 9 +)*," 20 +<1>. ?)*," (<*,&2* *, <5#4#0".&+) - &"µ/ &#< ,0,=#6 :; !#", +)*," - +@).'.- &-3 +".#(-µ,&"$/3 01,µµ/3; K#*%(+3 : 50

K#*%(+3 9 40 A* - &"µ/ &#< 9 ,<@-=+) .+ 25 +<1> $," - &"µ/ &#< ,0,=#6 : 5,1,µ+)*+" - )(",, 5#", =, +)*," - µ+&,B#4/ .&# 5"# 5%*' ("%01,µµ,; C, +5-1+,.&+) - .<*#4"$/ D1-."µ2&-&, &#< $,&,*,4'&/; H<-0<0 "1. ";=940<0 E# +".2(-µ, &#< $,&,*,4'&/ ".#6&," µ+ 40*20=800. F<*+5>3 - &"µ/ &#< : +)*," (800/50)=16 +<1>. G +@).'.- &-3 +".#(-µ,&"$/3 01,µµ/3 +)*," 800 = 20 X + 16 Y. A* - &"µ/ &#< 9 ,<@-=+) .&, 25 +<1>, =, µ5#1+) *, ,0#1%.+" µ2*# 32 µ#*%(+3 &#< 9 µ+ &, 800 +<1>. (+5#µH*'3 µ+&,$)*-.- &-3 01,µµ/3 51#3 &, ,1".&+1%). G .<*#4"$/ D1-."µ2&-&, =, µ+"'=+), ,7#6 # $,&,*,4'&/3 (+ =, µ5#1+) 5", *, 7&%.+" .&-* 51#-0#6µ+*- $,µ564- ,(",7#1),3. H<-0<0 "2. A3 <5#=H.#<µ+ 2&" # $,&,*,4'&/3 ,0#1%I+" µ2*# (6# ,0,=% $," HD+" 01,µµ"$H3 $,µ564+3 ,(",7#1),3, 5#< - $4).- &#<3 +)*," ).- µ+ J, (-4,(/ # #1",$23 420#3 <5#$,&%.&,.-3 +)*," J. !#", +)*," - $,&,*,4".$2µ+*- 5#.2&-&,3 ".#11#5),3 0", &# $%=+ ,0,=2 2&,* (,) Px = 1 +<1> $," Py = 1 +<1> $," &# +".2(-µ% &#< +)*," 1000 +<1> $," (B) Px = 1 +<1> $," Py = 2 +<1> µ+ &# )("# +".2(-µ,;

H<-0<0 "2. ";=940<0 L4+3 #" $,µ564+3 ,(",7#1),3 +)*," 01,µµ"$H3 $," HD#<* &-* )(", $4).-, ).- µ+ –1/2, $," +)*," 5,1%44-4+3 µ+&,@6 &#<3. 1000

1000= x + y

600

400

1000= x + 2y

200

400

800

1200

2000

F&-* 51>&- 5+1)5&'.- 1000 = 9 + :, %1, :=1000 – 9, (-4. HD+" $4).- –1 $," &Hµ*+" &#<3 %@#*+3 .&, .-µ+), : = 1000 (2&,* 9=0) $," 9 = 1000 (2&,* : = 0). M $,&,*,4'&/3 =, HD+" .-µ+)# ".#11#5),3 .&#* %@#*, &'* : (:=1000, 9=0). F&- (+6&+1- 5+1)5&'.-, # +".#(-µ,&"$23 5+1"#1".µ23 +)*," 1000 = 9 + 2:, %1, : = 500 – J 9, (-4. HD+" $4).- – J $," &Hµ*+" &#<3 %@#*+3 .&, .-µ+), 9 = 1000 $," : = 500 (2&,* 9 = 0). M $,&,*,4'&/3 HD+" %5+"1+3 46.+"3. H<-0<0 "3. M N>.&,3 $,&,*,4>*+" (6# ,0,=% 0%4, $," %44, ,0,=% . ;.&' x1 - 5#.2&-&, 0%4,$&#3 $," x2 - 5#.2&-&, &'* %44'* ,0,=>*, 5#< $,&,*,4>*+" &# µ/*,. M" &"µH3 &#< 0%4,$&#3 (p1) $," &'* %44'* ,0,=>* (p2) +)*," p1 = p2 =1. M" 51#&"µ/.+"3 &#< $,&,*,4'&/ ()*#*&," ,52 &- .DH.-

u(x1,x2) = x1x2. E# +".2(-µ, &#< N>.&, +)*," O400 &# µ/*,. ,) !#"#3 +)*," # %1".&#3 .<*(<,.µ23 $,&,*%4'.-3 &#< N>.&,; P+)@&+ (",01,µµ,&"$% &-* +10,.), .,3. B) :5#=H.&+ 2&" - $<BH1*-.- ()*+" µ", +5"(2&-.- .&# 0%4, $," 0", $%=+ +<1> 5#< @#(+6+" # N>.&,3 - $<BH1*-.- &#< ()*+" O0,50 ((-4,(/ 50 4+5&%) µ+&1-&% µ+ &#* 5+1"#1".µ2 2&" &# .<*#4"$2 5#.2 5#< 5,)1*+" ,52 &# $1%&#3 (+* @+5+1*% &, O100. !>3 (",µ#17>*+&," # +".#(-µ,&"$23 5+1"#1".µ23 µ+&% &-* +5"(2&-.-; K+ H*, ("%01,µµ, *, (+)@+&+ &#* +".#(-µ,&"$2 5+1"#1".µ2 $," .+ 5#"# .-µ+)# &#< <5%1D+" $,µ5/. H<-0<0 "3. ";=940<0 ,) M +".#(-µ,&"$23 5+1"#1".µ23 &#< N>.&, +)*,"

p1 x1 + p2x2 = 400

3 M" 51#&"µ/.+"3 &#< N>.&, +)*," Cobb-Douglas $," +5#µH*'3 HD#<* #µ,42 .D/µ,. M #1",$23 420#3 <5#$,&%.&,.-3 µ+&,@6 &'* (6# ,0,=>* ()*+&," ,52 &- .DH.-

F&# %1".&# 2µ'3 # MRS 51H5+" *, +)*," ).#3 µ+ &# 420# &'* &"µ>*, $," +5+"(/ p1 = p2 =1 HD#<µ+

Q1,

$," +5#µH*'3

x1 = x2 ?5#µH*'3, # N>.&,3 @#(+6+" &# )("# 5#.2 0", 0%4, $," %44, ,0,=%. K+ (+(#µH*# &#* +".#(-µ,&"$2 &#< 5+1"#1".µ2

x1 + x2= 400 B1).$#<µ+ 2&"

x1 = x2 = 200

B) G +@).'.- &-3 01,µµ/3 +".#(-µ,&"$#6 5+1"#1".µ#6 +)*,"

0,5x1 + x2 = 400 ,* x1 R 200, x1 + x2 = 500 ,* x1 > 200. S", *, B1#6µ+ &- 01,µµ/ +".#(-µ,&"$#6 5+1"#1".µ#6 ,3 .$+7&#6µ+ '3 +@/3: A* M N>.&,3 (+* ,0#1%I+" $,=24#< 0%4,, &2&+ @#(+6+" O400 0", &, %44, ,0,=%. E# .-µ+)# +5#µH*'3 (0,400) +)*," 5%*' .&- 01,µµ/. S", $%=+ +<1> 5#< @#(+6+" # N>.&,3 0", 0%4,, µHD1" H*, µH0".&# O200, 5,)1*+" 5).' 50 4+5&% ,52 &# $1%&#3. A<&2 .-µ,)*+" 51,$&"$% 2&" # N>.&,3 54-1>*+" µ2*# 50 4+5&% '3 &"µ/ 0", &, 0%4,, µHD1" *, 7&%.+" &(,5%*- 0", 0%4, .&, O200, #52&+ - +5".&1#7/ 5#< 5,)1*+" +)*," O100. K+ %44, 420", &# .-µ+)# (200,300) +)*," +5).-3 5%*' .&- 01,µµ/ +".#(-µ,&"$#6 5+1"#1".µ#6. G $4).&-3 01,µµ/3 5#< .<*(H+" &, .-µ+), (0,400) $," (200,300) +)*," –(1/2). S", $%=+ +<1> 5#< µ+">*+" # N>.&,3 &- (,5%*- &#< 0", %44, ,0,=%, µ5#1+) *, ,0#1%.+" 0%4, ,@),3 O2. L&,* 2µ'3 7&%.+" &# .-µ+)# (200,300), - $4).- &-3 01,µµ/3 0)*+&," -1 $," ,<&2 +5+"(/ (+* 5,)1*+" 54H#* +5"(2&-.-. E+4"$%, ,* # N>.&,3 @#(+6+" 24# &#< &# +".2(-µ, 0", 0%4,, =, ,0#1%.+" 0%4, ,@),3 O400 .<* &"3 +5"(#&/.+"3 O100. E# .-µ+)# +5#µH*'3 (500,0) .<*(H+&," µ+ &# (200,300). G $,µ5/ +)*," .&# .-µ+)# (200,300)

N,µ5/

H<-0<0 "4 ;.&' (6# $,&,*,4'&H3, # A*(1H,3 $," - T)$< $," # $,=H*,3 HD+" +".2(-µ, O300, &# #5#)# µ5#1+) *, D1-."µ#5#"-=+) 0", &-* ,0#1% (6# ,0,=>* 9 $," :. G &"µ/ ,*% µ#*%(, &#< 9 +)*," O5 $," &#< - &"µ/ &#< : +)*," O4. G .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 &#< A*(1H, ()*+&," ,52 &- .DH.UA = X2 Y $," &-3 T)$<3 ,52 &- .DH.UI = X(Y+100) ,. U, B1+)&+ &#<3 #1",$#63 420#<3 <5#$,&%.&,.-3 µ+&,@6 9 $," : 0", &#* A*(1H, $," &- T)$<. B. U, <5#4#0).+&+ &"3 5#.2&-&+3 &'* 9 $," : 5#< =, ,0#1%.+" $%=+ %&#µ# .&-* 51#.5%=+", &#< *, µ+0".&#5#"/.+" &- D1-."µ2&-&, &#<. ?@-0+).&+ &" ,$1"B>3 $%*+&+. H<-0<0 "4. ";=940<0 M +".#(-µ,&"$23 5+1"#1".µ23 0", $%=+ %&#µ# +)*," 5J + 4K = 300 S", &#* A*(1H, HD#<µ+ 2&"

$," - D1-."µ2&-&, &#< $,&,*,4'&/ µ+0".&#5#"+)&," 2&,*

Q1,

V6*#*&,3 ,<&/ &- .DH.- .+ .<*(<,.µ2 µ+ &#* +".#(-µ,&"$2 5+1"#1".µ2 B1).$#<µ+ 2&" J = 40 -.8 K = 25 !,12µ#", 0", &- T)$< B1).$#<µ+ 2&" $," V6*#*&,3 B1).$#<µ+ 2&" J = 70, K= -12,5 ?5+"(/ 2µ'3 (+* µ5#1+) *, HD#<µ+ ,1*-&"$/ $,&,*%4'.- &#< :, 0" ,<&2 =, HD#<µ+ ,$1,), 46.- $," - T)$< =, $,&,*,4>*+" J = 60, K = 0. H<-0<0 "5 A5+"$#*).&+ &"3 $,µ564+3 ,(",7#1),3 0", &"3 +@/3 .<*,1&/.+"3 D1-."µ2&-&,3

25#< min .-µ,)*+" +4%D".&# $," max µH0".&# H<-0<0 "5. ";=940<0 a.

K+ .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 u(x,y) = x+2y $," µ+ .&,=+1/ &- D1-."µ2&-&, HD#<µ+ 2&"

5#< +)*," - +@).'.- &-3 $,µ564-3 ,(",7#1),3.

N,µ564+3 ,(",7#1),3

K+ .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 D1-."µ2&-&,

u(x,y) =min{x,2y} $," µ+ .&,=+1/ &-

2&"

?5"46#*&,3 '3 51#3 y HD#<µ+ 2&"

5#< +)*," - +@).'.- 0", &"3 $,µ564+3 ,(",7#1),3

N,µ564+3 ,(",7#1),3

c. K+ .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 u(x,y) =max{x,2y} $," µ+ .&,=+1/ &- D1-."µ2&-&, 2&"

?5"46#*&,3 '3 51#3 y HD#<µ+ 2&"

5#< +)*," - +@).'.- 0", &"3 $,µ564+3 ,(",7#1),3

N,µ564+3 ,(",7#1),3

d. K+ .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 D1-."µ2&-&,

u(x,y) =min{2x+y, 2y+x} $," µ+ .&,=+1/ &-

2&"

?5"46#*&,3 '3 51#3 y HD#<µ+ 2&"

5#< +)*," - +@).'.- 0", &"3 $,µ564+3 ,(",7#1),3

N,µ564+3 ,(",7#1),3

e. K+ .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 u(x,y) =max{2x+y, 2y+x} $," µ+ .&,=+1/ &D1-."µ2&-&, HD#<µ+ 2&" ?5"46#*&,3 '3 51#3 y HD#<µ+ 2&"

5#< +)*," - +@).'.- 0", &"3 $,µ564+3 ,(",7#1),3

N,µ564+3 ,(",7#1),3

H<-0<0 "6. A* &# ,0,=2 9 µ+&1%&," .&#* #1"I2*&"# %@#*, $," &# : .&#* $%=+&#, &" µ5#1+)&+ *, 5+)&+ 0", &"3 51#&"µ/.+"3 $%5#"#< ,&2µ#< &#< #5#)#< #" $,µ564+3 ,(",7#1),3 ,) +)*," 5,1%44-4+3 51#3 &#* %@#*, &'* :; B)HD#<* =+&"$/ $4).- µ+ &"3 54H#* +5"=<µ-&H3 $,µ564+3 ,(",7#1),3 *, +)*," 51#3 &, (+@"%; 0) HD#<* ,1*-&"$/ $4).- µ+ &"3 5"# +5"=<µ-&H3 $,µ564+3 *, +)*," +$+)*+3 51#3 &, ,1".&+1% H<-0<0 "6. .;=940<0 ,) E# %&#µ# ,<&2 (+* +*(",7H1+&," $,=24#< 0", &# 52.# Y HD+", B) E# %&#µ# ,<&2 µ".+) &# : ,44% =H4+" &# 9. 0) E# %&#µ# ,<&2 µ".+) $," &, (6# ,0,=%. H<-0<0 "7. M K%$-3 HD+" .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 U(x; y) = x(y + 1). G &"µ/ &#< x +)*," 2 $," &#< y +)*," 1. E# +".2(-µ, +)*," 10. !2.# x I-&% # K%$-3; !2.# y; A* &# +".2(-µ, &#< ("54,.",.&+) $," #" &"µH3 (+* ,44%@#<* =, ("54,.",.&+) - I/&-.- &#< K%$- 0", &, (6# ,0,=%; H<-0<0 "7. ";=940<0 G ".2&-&, &#< MRS µ+ &# 420# &'* &"µ>* .<*+5%0+&," (y + 1)/x = 2. M +".#(-µ,&"$23 &#< 5+1"#1".µ23 +)*," 2x+y = 10. V6*#*&,3 &"3 (6# ,<&H3 +@".>.+"3 B1).$#<µ+ 2&" x = 11/4 $," y = 9/2. A* ("54,.",.&+) &# +".2(-µ, $," #" &"µH3 5,1,µ+)*#<* ,µ+&%B4-&+3, I/&-.- &#< 0", &, (6# ,0,=% /E9 =, ("54,.",.&+). S", *, &# (#6µ+ ,<&2 ,3 .-µ+">.#<µ+ 2&" ,* #" 5#.2&-&+3 &'* (6# ,0,=>* ("54,.",.&#6* , # MRS (+* =, 5,1,µ+)*+" # )("#3 $," +5#µH*'3 (+* =, ".#6&," µ+ &# 420# &'* &"µ>*, # #5#)#3 5,1,µH*+" .&,=+123..

10 ";.947<4E .9 58 ;85 -=4C ;?54=<E86 EF9.8 <C<436 (&) 7 @=>56 (L) (1,5 G.>µ26) A1. A* $%5#"#3 HD+" &- .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 U = 1000000+2min {x, y} &2&+ &# x $," &# y +)*," &H4+", .<µ54-1'µ,&"$% ,0,=% 0" ,<&2 &# %&#µ#. FWFEM A2. A* &# ,0,=2 1 µ+&1%&," .&#* #1"I2*&"# %@#*, $," &# ,0,=2 2 .&#* $%=+&# %@#*, $," ,* - &"µ/ &#< ,0,=#6 1 +)*," p1 $," &#< ,0,=#6 2 +)*," p2, &2&+ - $4).- &-3 01,µµ/3 +".#(-µ,&"$#6 5+1"#1".µ#6 +)*," -p2 /p1 . VACMF A3. A* # X.)('1#3 HD+" 5+1"..2&+1, CD &#< F&"*0$ ,5’ 2&" &#< ;1"$ N4%5&#*, +)*," 512=<µ#3 *, ,*&,44%@+" ,$1"B>3 H*, CD &#< F&"*0$ µ+ (6# CD &#< ;1"$ N4%5&#*, ,44% ,* HD+" 5+1"..2&+1, CD &#< ;1"$ N4%5&#* ,5’ 2&" &#< F&"*0$, &2&+ +)*," 512=<µ#3 *, ,*&,44%@+" ,$1"B>3 H*, CD &#< ;1"$ N4%5&#* µ+ (6# CD &#< F&"*0$. M X.)('1#3 HD+" $<1&H3 51#&"µ/.+"3. VACMF A4. A* - ?4H*- µ+0".&#5#"+) &- .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 U(x,y), <52 &#* +".#(-µ,&"$2 &-3 5+1"#1".µ2, &2&+ - $,&,*%4'.- &#< %1".&#< .<*(<,.µ#6 .<*+5%0+&," 2&" #" #1",$H3 D1-."µ2&-&+3 &'* x $," y =, +)*," ).+3, 2&,* #" &"µH3 &'* ,0,=>* (+* +)*," ).+3. VACMF A5. A* 24+3 #" &"µH3 ("54,.",.&#6* $," &# D1-µ,&"$2 +".2(-µ, 5,1,µ+)*+" ,µ+&%B4-&#, &# .6*#4# &'* $,&,*,4'&"$>* (<*,&#&/&'* (+* ,44%I+" +5+"(/ #" .D+&"$H3 &"µH3 (+* ,44%I#<*. VACMF A6. G ?4H*- HD+" &- .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 U(x; y) = x+2y. A* - &"µ/ &#< x +)*," 1 $," &#< y +)*," J, &2&+ - ?4H*- 51H5+" *, $,&,*,4>*+" ).+3 5#.2&-&+3 ,52 &, (6# ,0,=% 0", *, µ+0".&#5#"/.+" &- D1-."µ2&-&, &-3. VACMF A7. M N>.&,3 HD+" µ", $,µ564- ,(",7#1),3 µ+ +@).'.N>.&,3 $,&,*,4>*+" &# .<*(<,.µ2 (4,16), # MRS= -(5/4). VACMF A8. ;*, %&#µ# µ+ .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 VACMF A9. G .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 Cobb-Douglas. FWFEM.

. L&,* #

HD+" $<1&H3 51#&"µ/.+"3.

,*&"51#.'5+6#<* 51#&"µ/.+"3

A10. A* # $,&,*,4'&/3 (+* HD+" $<1&H3 51#&"µ/.+"3, &2&+ H*, .-µ+)# +5,7/3 µ+&,@6 &-3 $,µ564-3 ,(",7#1),3 &#< $," &-3 01,µµ/3 +".#(-µ,&"$#6 5+1"#1".µ#6 &#< 51H5+" *, +)*," &# %1".&# .-µ+)# $,&,*%4'.-3. VACMF

$?C47<E86 ;5@@.;@76 E;8@5D76 (1,5 G.>µ26) !#", ,52 &"3 5"# $%&' ,5,*&/.+"3 +)*," .'.&/; F-µ+">.&+ &- .'.&/, $,&% &- 0*>µ.,3, ,5%*&-.- µ+ H*, $6$4#. A1. M A4H@,*(1#3 @2(+Y+ 24, &, D1/µ,&% &#< 0", *, ,0#1%.+" 5 B"B4), $," 6 CD. E# $%=+ B"B4)# $#.&)I+" 8 +<1> $," # A4H@,*(1#3 +)D+ 82 +<1> .&# 5#1&#724" &#<. A* &# x

11 ,*&"51#.'5+6+" &#* ,1"=µ2 &'* B"B4)'* $," &# y &#* ,1"=µ2 &'* CD, 5#", ,52 &"3 5,1,$%&' +@".>.+"3 5+1"01%7+" &#* +".#(-µ,&"$2 5+1"#1".µ2 &#< A4H@,*(1#<; (,) 8x + 6y = 82 (B) 6x + 8y = 82 (0) 8x + 7y = 82 (() 5x + 6y = 82 &C<47 .;=940<0: D A2. A* &, ,0,=% X $," Y +)*," .<µ54-1'µ,&"$% $," - &"µ/ &#< 9 ,<@-=+): (,) G I/&-.- 0", &# : =, ,<@-=+). (B) G I/&-.- 0", &# : =, µ+"'=+). (0) G I/&-.- 0", &# : (+ =, µ+&,B4-=+). (() ?)*," ,BHB,"# +%* - I/&-.- 0", &# : =, ,<@-=+) - =, µ+"'=+). &C<47 .;=940<0 G A3. M" 51#&"µ/.+"3 4H0#*&," µ#*#&#*"$H3 ,*: (,) 24, &, ,0,=% $,&,*,4>*#*&," .+ .&,=+1H3 ,*,4#0)+3 (B) 24, &, ,0,=% +)*," &H4+", <5#$,&%.&,&,. (0) 5+1"..2&+1# 51#&"µ%&," ,52 4"02&+1# (() # #1",$23 420#3 <5#$,&%.&,.-3 +)*," 7=)*'* (+) N,*H*, ,52 &, 5"# 5%*' &C<47 .;=940<0 D A4. A* - T%4", @#(+6+" 24# &-3 &# +".2(-µ,, µ5#1+) *, ,0#1%.+" 47 B+1)$#$, $," 10 $+1%.",. K5#1+) +5).-3 µ24"3 *, ,0#1%.+" 20 B+1)$#$, $," 19 $+1%.",. G &"µ/ 0", &, B+1)$#$, +)*," 18 4+5&%. !#", +)*," - &"µ/ 0", &, $+1%.",; (,) 64 (B) 3 (0) 21 (() 54 (+) N,*H*, ,52 ,<&%. &C<47 .;=940<0 / A5. M" $,µ564+3 ,(",7#1),3 &#< N#.µ% +)*," $6$4#", µ+ 24#<3 *, HD#<* $H*&1# .&# .-µ+)# (12,19). A52 #5#"+.(/5#&+ $,µ564+3 ,(",7#1),3 =, 51#&"µ#6.+ ,<&H3 51#3 &# $H*&1#. !"# ,52 &, 5"# $%&' +)*," .'.&2; (,) M" 51#&"µ/.+"3 &#< N#.µ% (+* +)*," 54/1+"3. (B) M N#.µ%3 51#&"µ% &# (18, 25),52 &# (8, 16). (0) M N#.µ%3 51#&"µ% &# (8, 25) ,52 &# (8, 16). (() M N#.µ%3 51#&"µ% &# (8, 17) ,52 &# (18, 28). (+) E, .'.&% +)*," 5+1"..2&+1, ,52 H*, &C<47 .;=940<0: / A6. G .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 &-3 N,&+1)*,3 +)*," U(x; y) = y +5x0,5. ;D+" µ", µ#*%(, ,52 &# x $," (6# µ#*%(+3 ,52 y. A* - $,&,*%4'.- &-3 ,52 &# x µ+"'=+) .&# µ-(H*, 52.+3 µ#*%(+3 y 51H5+" *, 5%1+" 0", *, +)*," +@).#< $,4% µ+ 51"*; (,) 14 (B) 9 (0) 11 (() 7

12 (+) $,*H*, ,52 &, 5"# 5%*'. &C<47 .;=940<0: / A7. A* 51#&"µ> 6 µ/4, $," 1 5#1&#$%4" ,52 5 µ/4, $," 2 5#1&#$%4",, &2&+ µ5#1> *, .<µ5+1%*' 2&" (,) #" 51#&"µ/.+"3 µ#< +)*," µ+&,B,&"$H3. (B) #" 51#&"µ/.+"3 µ#< +)*," 54/1+"3. (0) #" 51#&"µ/.+"3 µ#< +)*," $<1&H3. (() #" 51#&"µ/.+"3 µ#< <5,$#6#<* .&# U2µ# &-3 I/&-.-3. (+) N,*H*, ,52 &, 5"# 5%*'. &C<47 .;=940<0 E A8. G K,1), HD+" &-* .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 U(x, y) = x+63y-3y2. E# +".2(-µ, &-3 +)*," 184. A* - &"µ/ &#< x +)*," 1 $," &#< y +)*," 33, 52.+3 µ#*%(+3 &#< x =, ,0#1%.+"; (,) 17 (B) 22 (0) 24 (() 0 (+) 19 &C<47 .;=940<0 E A9. G µ561, Amstel $," - µ561, Heineken +)*," &H4+", <5#$,&%.&,&, 0", &#* $. !2&$," - $4).- &-3 $,µ564-3 ,(",7#1),3 &#< +)*," -1. K", µH1, ,021,.+ 2 µ5#<$%4", Amstel $," 20 µ5#<$%4", Heineken. A<&2 .<*+5%0+&," 2&" (,) G Amstel +)*," 5"# 7&-*/ ,52 &-* Heineken. (B) G Amstel +)*," 5"# ,$1"B/ ,52 &-* Heineken. (0)G Heineken $," - Amstel $#.&)I#<* &# )("#. (() M $. !2&-3 51#&"µ% &-* Heineken ,52 &-* Amstel. (+)E)5#&, ,52 &, 5"# 5%*'. &C<47 .;=940<0 D A10. M E.%14" HD+" .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 . U(xA; xB) = xAxB; G &"µ/ &'* µ/4'* (A) +)*," 1 $," &-3 µ5,*%*,3 (T) +)*," 2 . A* &# +".2(-µ, &#< +)*," 120, 52.+3 µ5,*%*+3 =, $,&,*%4'*+ ,* +5H4+0+ &# $,4%=" 5#< µ+0".&#5#"+) &- D1-."µ2&-&, &#<, µ+ (+(#µH*# &# +".2(-µ, &#<; (,) 30 (B) 15 (0) 60 (() 6 (+) 90 &C<47 .;=940<0 .

!"#$% '. &0µE8:<4E /F;@. <E -=>E E?:40<0 ;58. EF9.8, -.4= 40 D9:µ0 <.6, <C<47 (&) 7 @=>56 (L). (&A95@8-7 G.>µ5@5DF. : 2 G.>µ5F) T1. A* # $,&,*,4'&/3 (,5,*% 24# &# +".2(-µ,, &2&+ +)*," ,(6*,&# 24, &, ,0,=% $,&>&+1,. & T2. A* - $,µ564- I/&-.-3 HD+" ,1*-&"$/ $4).- $," +)*," +<=+), 01,µµ/, &2&+ +4,.&"$2&-&, I/&-.-3 '3 51#3 &-* &"µ/ +)*," .&,=+1/ .+ 24# &# µ/$#3 &-3 $,µ564-3. L T3. A* #" 51#&"µ/.+"3 +)*," #µ#=+&"$H3, &2&+ - $4).- &-3 $,µ564-3 Engel 0", $%=+ ,0,=2 =, µ+">*+&," 2&,* ,<@%*+&," &# +".2(-µ,. L T4. A* #" 51#&"µ/.+"3 +)*," #µ#=+&"$H3 $," 24+3 #" &"µH3 ("54,.",.&#6*, ,44% &# +".2(-µ, 5,1,µ+)*+" .&,=+12, &2&+ - I/&-.- 0", 24, &, ,0,=% =, µ+"'=+) .&# µ".2. & T5. K", ,6@-.- .&-* &"µ/ +*23 $,&>&+1#< ,0,=#6 #(-0+) &, %&#µ, 5#< &# $,&,*,4>*#<* .+ $,46&+1- =H.-. L T6. F&-* 5+1)5&'.- &'* #µ#=+&"$>* 51#&"µ/.+'* 24- µ+&,B#4/ .&- I/&-.- +*23 ,0,=#6 420' µ+&,B#4/3 &-3 &"µ/3 &#< #7+)4+&," .&# ,5#&H4+.µ, <5#$,&%.&,.-3. L T7. A* (6# ,0,=% x $," y +)*," &H4+", <5#$,&%.&,&, $," # $,&,*,4'&/3 ,0#1%I+" µ2*# &# x, &2&+ ,* - &"µ/ &#< x µ+">*+&,", &2&+ 24- - µ+&,B#4/ .&- I/&-.- &#< x #7+)4+&," .&# ,5#&H4+.µ, +".#(/µ,&#3. & T8. M S"%**-3 (,5,*% 24# &#< &# +".2(-µ, .+ (6# ,0,=%. E# H*, ,52 ,<&% +)*," ,0,=2 Giffen. A* - &"µ/ &#< ,0,=#6 Giffen ,<@%*+", - I/&-.- 0", &# %44# ,0,=2 51H5+" *, µ+"'=+). & T9. G $,&% Hicks +$(#D/ &#< ,5#&+4H.µ,&#3 <5#$,&%.&,.-3, ,52 µ", µ+&,B#4/ &-3 &"µ/3 &#<, µ+&1% &- µ+&,B#4/ .&- I/&-.- &#< $,&,*,4'&/ ,* &# +".2(-µ, &#< $,&,*,4'&/ µ+&,B4-=+) &2.# >.&+ *, +)*," ,1$+&2 0", *, 5,1,µ+)*+" .&-* )(", $,µ564- ,(",7#1),3 5#< /&,* 51"* &- µ+&,B#4/ &-3 &"µ/3. & T10. G ".#(6*,µ- µ+&,B#4/ .&# +".2(-µ, ,52 H*, 721# +)*," &# +5"54H#* +".2(-µ, 5#< D1+"%I+&," H*,3 $,&,*,4'&/3 0", *, +)*," +@).#< $,4% µ+&% &# 721#, 25'3 /&,* ,1D"$% 51"* +5"B4-=+) # 721#3. L T11. A* - D1-."µ2&-&, +)*," Cobb-Douglas, &2&+ - ,*&".&,=µ".&"$/ $," ".#(6*,µµ+&,B#4/ +)*," ).+3. L T12. A* - &"µ/ &'* µ/4'* ,<@-=+) $," - +".#(-µ,&"$/ &#<3 +4,.&"$2&-&, +)*," =+&"$/, - I-&#6µ+*- 5#.2&-&, &'* µ/4'* =, µ+"'=+) #5'.(/5#&+. A* 2µ'3 -

14 +".#(-µ,&"$/ +4,.&"$2&-&, &'* µ/4'* +)*," ,1*-&"$/, µ", ,6@-.- .&-* &"µ/ &#<3 µ5#1+) *, ,<@/.+" / *, µ+">.+" &- I-&#6µ+*- 5#.2&-&,. &

";.947<4E 2@E6 486 ;85 -=4C .<-7<E86 (B=>E =<-0<0 µE4?= 0,8 G.>µ2) H<-0<0 I1. :5#=H.&+ 2&" H*,3 $,&,*,4'&/3 HD+" &- .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 U=

. !#", -

.<*%1&-.- I/&-.-3 0", &# ,0,=2 9; L&,* Py = 1 $," &# Px µ+&,B%44+&," ,52 10 .+ 20, 5#", +)*," - +4,.&"$2&-&, I/&-.-3 '3 51#3 &-* &"µ/ &#< (K5#1+)&+ *, &# +$71%.+&+ '3 .<*%1&-.- &#< +".#(/µ,&#3)

H<-0<0 I2 :5#=H.&+ &>1, 2&" # $,&,*,4'&/3 HD+" µ", .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 U=

!#", +)*," - .<*%1&-.- I/&-.-3 0", &# 9 $," :; !#", - +4,.&"$2&-&, I/&-.-3 &#< 9, 2&,* - &"µ/ &#< Z9 µ+&,B4-=+) ,52 1 .+ 2; !#", - +".#(-µ,&"$/ +4,.&"$2&-&, 2&,* &# +".2(-µ, m ,44%I+" ,52 100 .+ 200; (K5#1+)&+ *, +$71%.+&+ ,<&% '3 .<*,1&/.+"3 &'* m, PX, / PY 25'3 +)*," &# 5"# $,&%44-4#)

H<-0<0 I3. :5#=H.&+ H*,* $,&,*,4'&/ µ+ 51#&"µ/.+"3 0", &, ,0,=% 9 $," : 5#< 5+1"01%7#*&," ,52 &- .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 U = X2/3Y1/3. ,. U, B1+)&+ &-* +@).'.- 0", .<*%1&-.- 01,µµ/3 I/&-.-3 '3 51#3 &# +".2(-µ, ($,µ564- +".#(/µ,&#3 $,&,*%4'.-3), 2&,* - &"µ/ &#< 9 +)*," O8 $," - &"µ/ &#< : +)*," O3. U, B1+)&+ +5).-3 &-* +@).'.- 0", &-* $,µ564- Engel 0", &# X, µ+ (+(#µH*+3 &"3 &"µH3 ,<&>* &'* ,0,=>*; !#", - +".#(-µ,&"$/ +4,.&"$2&-&, I/&-.-3 &#< 9; E" .<*+5%0+&," ,<&2 0", &-* +".#(-µ,&"$/ +4,.&"$2&-&, I/&-.-3 &#< : $," 5>3 µ+&,B%44+&," &# +".#(-µ,&"$2 µ+1)("# 5#< (,5,*%&," 0", &# : 2&,* ,<@%*+" &# +".2(-µ,;

H<-0<0 I4. ;*,3 $,&,*,4'&/3 (,5,*% 24# &# +".2(-µ% &#< .+ 2 ,0,=%, 9 $," :. A* - ,6@-.&-3 &"µ/3 &#< 9 $,&% 2 +<1> (+* µ+&,B%44+" &-* $,&,*,4".$2µ+*- 5#.2&-&, &#< :, 5#", +)*," - +4,.&"$2&-&, I/&-.-3 0", &# ,0,=2 9; H<-0<0 I4. ";=940<0 A* &# : +)*," .&,=+12 $," - &"µ/ &#< (+* ,44%I+" +5).-3, &2&+ - (,5%*- 0", &# : +)*," .&,=+1/. A7#6 #6&+ &# +".2(-µ, ,44%I+", - (,5%*- 0", &# 9 +)*," +5).-3 .&,=+1/. Q1, %44,@+ - &"µ/ &#< 9 $," - .<*#4"$/ (,5%*- (+* µ+&,B4/=-$+. A<&2 .<µB,)*+" 2&,* - +4,.&"$2&-&, I/&-.-3 +)*," ).- µ+ -1. G 5#.#.&",), µ+&,B#4/ &-3 5#.2&-&,3 +)*," ).- µ+ &-* 5#.#.&",), µ+&,B#4/ &-3 &"µ/3.

H<-0<0 I5. F+ µ", +<1'5,8$/ 51'&+6#<., - ;*'.- ?5"D+"1-µ,&">* C+%&1#< ,*H=+.+ .+ H*, 01,7+)# µ+4+&>* *, ("+1+<*/.+" &- I/&-.- 0", +"."&/1", =+%&1#<. K+&% ,52 H1+<*+3 5#< H0"*,*, &# 01,7+)# <5#420".+ &"3 ,$24#<=+3 +4,.&"$2&-&+3 I/&-.-3: ?4,.&"$2&-&, '3 51#3 &-* &"µ/ = -3, +".#(-µ,&"$/ +4,.&"$2&-&, = 2,5, .&,<1#+"(/3 +4,.&"$2&-&, .+ .DH.- µ+ &-* &"µ/ &'* +"."&-1)'* $"*-µ,&#01%7#< = 2, +4,.&"$2&-&, .+ .DH.- µ+ &- (,5%*- 0", (",7/µ".- = 1,5. K+ B%.- &, (+(#µH*, ,<&% ,5,*&/.&+ &"3 5,1,$%&' +1'&/.+"3: (,) !#", =, /&,* - 512&,./ .,3 0", &-* &"µ/ &'* +"."&-1)'* =+%&1#<; U, ,<@-=+), *, µ+"'=+) / *, µ+)*+" 25'3 HD+"; (B) A* ,<@-=+) - (,5%*- 0", (",7/µ".- $,&% 20%, 52.# µ5#1+) *, ,<@-=+) - &"µ/ &'* +"."&-1)'* =+%&1#< D'1)3 *, µ+&,B4-=+) # ,1"=µ23 &'* +"."&-1)'* 5#< ,0#1%I+&," ,52 &# $#"*2; (0) A* ,<@-=+) &# +".2(-µ, $,&% 5%, 52.# µ5#1+) *, ,<@-=+) - &"µ/ &'* +"."&-1)'* =+%&1#< D'1)3 *, µ+&,B4-=+) # ,1"=µ23 &'* +"."&-1)'*; (() A* µ+"'=+) - &"µ/ &'* +"."&-1)'* $"*-µ,&#01%7#< $,&% 20%, 52.# 51H5+" *, µ+"'=+) - &"µ/ &'* +"."&-1)'* =+%&1#< 0", *, µ-* +5-1+,.&+) # ,1"=µ23 &'* +"."&-1)'* =+%&1#< 5#< ,0#1%I+&," ,52 &# $#"*2; H<-0<0 I5. ";=940<0 (,) G I/&-.- +)*," +4,.&"$/. F<*+5>3 µ", µ+)'.- &-3 &"µ/3 &'* +"."&-1)'* =, ,6@,*+ &, H.#(, &'* =+%&1'*. !1#[52=+.- : *, <5%1D#<* %(+"+3 =H.+"3. (B) A* ,<@-=+) - (,5%*- 0", (",7/µ".- $,&% 20%, - I-&#6µ+*- 5#.2&-&, =, ,<@-=+) $,&% 30%. K+ +4,.&"$2&-&, I/&-.-3 '3 51#3 &-* &"µ/ -3, - &"µ/ µ5#1+) *, ,<@-=+) $,&% 10%, #52&+ - µ+)'.- &-3 I-&#6µ+*-3 5#.2&-&,3 $,&% 30% =, ,*&".&,=µ).+" &-* ,6@-.- ,52 &- µ+0,46&+1- (",7/µ".-. (0) A* ,<@-=+) &# +".2(-µ, $,&% 5%, - I-&#6µ+*- 5#.2&-&, =, ,<@-=+) $,&% 12.5%. (-12.5%)/(% µ+&,B#4/ .&-* &"µ/)= -3. Q1, % µ+&,B#4/ .&-* &"µ/ = 4,17% (() K+)'.- &-3 &"µ/3 &'* +"."&-1)'* $"*-µ,&#01%7#< $,&% 20%, µ+)'.- &-3 I-&#6µ+*-3 5#.2&-&,3 0", +"."&/1", =+%&1#< = 20% * 2 = 40%. M52&+ (40%)/(% µ+&,B#4/ .&-* &"µ/)= -3. Q1, % µ+&,B#4/ .&-* &"µ/ = -13,3% H<-0<0 I6. :5#=H.&+ 2&" - .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 +*23 $,&,*,4'&/ ()*+&," ,52 &- .DH.U = (X + 20)(Y + 20).

18 ,) S", &- µ+0".&#5#)-.- &-3 +<-µ+1),3 &#< 52.# 9 $," 52.# : =, ,0#1%I+" # $,&,*,4'&/3 $%=+ B(#µ%(, ,* &# +".2(-µ, &#< +)*," O120, - &"µ/ &#< X +)*," O10 ,*% µ#*%(, 51#82*&#3 $," - ,*&).&#"D- &"µ/ &#< : +)*," O2; B) :5#=H.&+ 2&" - &"µ/ &#< 9 µ+">*+&," .&# O2 ,*% µ#*%(,. N,&% 52.# # $,&,*,4'&/3 51#.,1µ2I+" &-* $,&,*%4'.- &#< 0", 9 $," :, 420' &#< ,5#&+4H.µ,&#3 <5#$,&%.&,.-3 (Hicks); !2.- 51#.,1µ#0/ .&- I/&-.- &'* 9 $," : #7+)4+&," .&# ,5#&H4+.µ, +".#(/µ,&#3; H<-0<0 I6. ";=940<0

H<-0<0 I7 G V)*&, $,&,*,4>*+" (6# ,0,=% 9 $," : $," - .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 &-3 +)*," . M" .<*,1&/.+"3 I/&-.-3 0", 9 $," : ()*#*&," ,52 &"3 +@".>.+"3 $,"

,*&).&#"D,. A1D"$% HD#<µ+, PX = 18 $," PY = 2. E#

+".2(-µ, &-3 V)*&,3 +)*," 288. :5#=H.&+ &>1, 2&" - &"µ/ &#< 9 µ+">*+&," .&# 8. :5#4#0).&+ &# ,5#&H4+.µ, <5#$,&%.&,.-3 $," +".#(/µ,&#3 ($,&% Hicks) 420' &-3 µ+)'.-3 &-3 &"µ/3.

H<-0<0 I7. ";=940<0

H<-0<0 I8 :5#=H.&+ 2&" H*,3 $,&,*,4'&/3 HD+" .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 U(x,y) =min{3x,5y}. M" &"µH3 &'* (6# ,0,=>* +)*," PX = 5 $," PY = 10 $," &# +".2(-µ, &#< $,&,*,4'&/ +)*," 220. !#"+3 5#.2&-&+3 9 $," : µ+0".&#5#"#6* &-* +<-µ+1), &#< $,&,*,4'&/; H<-0<0 I8. ";=940<0

H<-0<0 I9. :5#=H.&+ µ", #"$#*#µ), µ+ (6# ,0,=% 91 $," 92 . G .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 &#< $,&,*,4'&/ +)*," U(X1, X2 ) = ln X1 + X2 . A1D"$% #" &"µH3 +)*," P1=1, P2=4, $," &# +".2(-µ, m=20. ,) !#"+3 #" %1".&+3 +5"4#0H3 &#< $,&,*,4'&/ 0", 91 $," 92. B) :5#=H.&+ 2&" - &"µ/ &#< ,0,=#6 1 ,<@%*+" .&# P1=2. !#", - *H, +5"4#0/ &#< $,&,*,4'&/ 0", &# X1.

21 0) T1+)&+ &# ,5#&H4+.µ, +".#(/µ,&#3 $," <5#$,&%.&,.-3 .6µ7'*, µ+ &#* Slutsky 5#< .<*(H+&," µ+ &- µ+&,B#4/ .&-* &"µ/ &#< X1. H<-0<0 I9. ";=940<0

H<-0<0 I10 :5#=H.&+ 2&" - F#7), $,&,*,4>*+" $,7H $," B+*I)*- $," - .<*%1&-.- D1-."µ2&-&,3 &-3 ()*+&," ,52 &- .DH.-

22 U(!,") = 2lnT + 2lnN G $<BH1*-.- +@+&%I+" &-* +5"B#4/ +*23 721#< t = 1 ,*% 4)&1# B+*I)*-3. :5#=H.&+ 2&" - &"µ/ &-3 B+*I)*-3 ,*% 4)&1# +)*," 2, - &"µ/ &#< $,7H +)*," 1 $," &# +".2(-µ, +)*," m=20. ,) :5#4#0).&+ &-* ,*&".&,=µ".&"$/ µ+&,B#4/ &#< 721#< t = 1, .&- B+*I)*-. B) !#", +)*," - ".#(6*,µ- µ+&,B#4/ &#< 721#< t = 1, .&- B+*I)*-; H<-0<0 I10. ";=940<0

!"#$!%&'()%* "+(#,# "-./0µ.1-2 3456 2012-2013 'µ7µ. *8-595µ8-:9 $;8<40µ:9 )=>0µ.: )8-?558-595µ8-7 "9=@A<0 406 B.4.9=@C<06 -.8 406 !.?.DCD76 EFG4F?5 ;.-345 .<-7<FC9 !"#$%&'%( #$ )*+( µ,# #"- %,. ",/ )*%0 "1/%*'(,. (2$#, '0'%&(3) & 4*+/. (5) (&A95@8-7 H.>µ5@5DI. 2 H.>µ5I) 1. !"#$ "% µ&'% ()%*+$ #,-.$/"#0 ()&(/0 $# #,-.$/"#0 %(1'23(%"/ 4#0 "% %)0#4+. (5) 2. 6,% /0')%&7, %0 X 4#0 Y &8%,$ "9$ :20# "0µ3. ; ',$2,#'µ+7 "%,7 (%, /-#'<#=:>/0 "% 8#µ9=+"/)% 4+'"%7 ?0# 2/2%µ&$% /(:(/2% ()%*+$"%7 /:$#0 "% '9µ/:% +(%, 9 4=:'9 "97 4#µ(@=97 0'%(#)#?1?37 /:$#0 :'9 µ/ -1. (A) 3. B$ % 4#"#$#=1"37 1 &8/0 ',$.)"9'9 >3"9'97 x1 = 1,000 - 2p 4#0 % 4#"#$#=1"37 2 &8/0 "9 ',$.)"9'9 >3"9'97 x2 = 500 - p, "+"/ 9 ',$.)"9'9 ',$%=0437 >3"9'97 /:$#0 x = 1,500 - 3p for p < 500. (A). 4. B$ 9 ',$.)"9'9 >3"9'97 /:$#0 ?)#µµ043 17 ()%7 "9$ "0µ3, "+"/ 9 /=#'"04+"9"# 17 ()%7 "9$ "0µ3 /:$#0 9 :20# ?0# +=/7 "07 "0µ&7. (5) 5. B$ 9 "0µ3 "1$ µ3=1$ µ/0C$/"#0 4#". D3 "% 40=+, "+"/ 9 >3"9'9 ?0# µ3=# E# #,-9E/: 4#". 10 40=.. F)#, 9 >3"9'9 ?0# µ3=# /:$#0 /=#'"043. (5) 6. B$ 9 ',$.)"9'9 (#)#?1?37 /:$#0 f(x1, x2) = x1x2, "+"/ %0 #(%2+'/07 4=:µ#4#7 /:$#0 '"#E/)&7. (5). 7. G:$#0 2,$#"+ $# &8%,µ/ <E:$%$"# %)0#4. ()%*+$"# ?0# +=%,7 "%,7 ',$"/=/'"&7 4#0 $# &8%,µ/ #@-%,'/7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7. (A). 8. H ',$.)"9'9 (#)#?1?37 f(x, y) = x2/3 + y2/3 &8/0 #@-%,'/7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7. (5) 9. I0# /(08/:)9'9 8)9'0µ%(%0/: 2@% µ/"#J=9"%@7 ',$"/=/'"&7 (#)#?1?37 4#0 &8/0 "9$ ',$.)"9'9 (#)#?1?37 f(x1, x2) = (2x1 + 4x2)1/2. ; %)0#4+7 =+?%7 "/8$0437 ,(%4#".'"#'97 µ/"#-@ x1 4#0 x2 /:$#0 '"#E/)+7. (A). 10. B$ 9 "0µ3 "%, ()%*+$"%7 µ0#7 #$"#?1$0'"0437 /(08/:)9'97 #,-.$/0 4#0 +=/7 %0 .==/7 "0µ&7 (#)#µ&$%,$ '"#E/)&7, "+"/ "% ()%*+$ "97 /(08/:)9'97 2/$ µ(%)/: $# µ/01E/:. (A). 11. B$ %0 #(%2+'/07 4=:µ#4#7 /:$#0 #@-%,'/7, "+"/ "% 4+'"%7 #$. µ%$.2# ()%*+$"%7 µ/0C$/"#0 4#EC7 40$%@µ#'"/ ()%7 "# 4."1 4#0 2/-0. "97 4#µ(@=97 :'%, 4+'"%,7. (5). 12. H ',$.)"9'9 4+'"%,7 !(y) = 10 + 3y &8/0 %)0#4+ 4+'"%7 µ04)+"/)% #(+ "% µ&'% 4+'"%7 ?0# +=# "# /(:(/2# ()%*+$"%7. (A). 13. H (/)0%83 4."1 #(+ "9$ 4#µ(@=9 %)0#4%@ 4+'"%,7 µ/"). "% ',$%=04+ µ/"#J=9"+ 4+'"%7. (A).

14. K% µ&'% (.?0% 4+'"%7 2/$ #,-.$/0 (%"& µ/ "% ()%*+$. (5). 15. H µ/"#J%=3 '"% (=/+$#'µ# "%, (#)#?1?%@, +"#$ 9 "0µ3 #==.>/0 #(+ "% p1 '"% p2 /:$#0 "% µ0'+ "%, /µJ#2%@ (%, /:$#0 '"# #)0'"/). "97 4#µ(@=97 %)0#4%@ 4+'"%,7 4#0 µ/"#-@ p1 4#0 p2. (5) 16. G:$#0 2,$#"+ $# &8%,µ/ &$#$ 4=.2% '"%$ %(%:% +=/7 %0 /(08/0)3'/07 4.$%,$ µ92/$04. %04%$%µ04. 4&)29 '"9 µ#4)%8)+$0# 0'%))%(:#. (A). 17. B$ ,(.)8%,$ '"#E/)&7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7 '/ &$#$ #$"#?1$0'"04+ 4=.2%, "+"/ 9 4#µ(@=9 µ#4)%8)+$0#7 ()%'<%).7 "%, 4=.2%, /:$#0 %)0>+$"0#. (A). 18. B$ µ0# /(08/:)9'9 '/ &$#$ 4=.2% &8/0 ',$.)"9'9 (#)#?1?37 F(x, y) = x3/4y3/4, +(%, x 4#0 y /:$#0 %0 2@% ',$"/=/'"&7 (%, 8)9'0µ%(%0%@$"#0 ?0# "9$ (#)#?1?3 "%, #?#E%@, "+"/ % 4=.2%7 2/$ µ(%)/: $# /:$#0 #$"#?1$0'"04+7 µ#4)%8)+$0#. (A). 610%&'(,. "/44#"4&. (",4/7&. (H '1'"3 #(.$"9'9 /:$#0 µ/ 20#<%)/"04+ 8)Cµ#) (&A95@8-7 H.>µ5@5DI. 3 H.>µ5I) 1. A9µ/0C'"/ (%0% #(+ "# (#)#4."1 "#$ ',µJ#:$/0 +"#$ #,-.$/"#0 9 (%'+"9"# /$+7 µ/"#J=9"%@ ',$"/=/'"3: #. K% ',$%=04+ ()%*+$ #,-.$/"#0 µ&8)0 "% %)0#4+ ()%*+$ $# µ/01E/: '"% µ92&$. J. !'% "% µ&'% ()%*+$ /:$#0 µ04)+"/)% #(+ "% %)0#4+ ()%*+$, "% µ&'% ()%*+$ #,-.$/"#0, /:"/ "% %)0#4+ ()%*+$ #,-.$/"#0 /:"/ "% %)0#4+ ()%*+$ µ/0C$/"#0. ?. K% ',$%=04+ ()%*+$ #,-.$/"#0 ()C"# µ/ #@-%$"# ),Eµ+ 4#0 @'"/)# µ/ <E:$%$"# ),Eµ+, µ/". +µ17 #(+ 4.(%0% '9µ/:% µ/0C$/"#0. 2. K% µ&'% ()%*+$ #$"0'"%08/: '"9$ 4=:'9 "97 4#µ(@=97 "%, ',$%=04%@ ()%*+$"%7, ?0’#,"+ 4#0 ?:$/"#0 #)$9"04+ +"#$ "% "/=/,"#:% #)8:>/0 4#0 µ/0C$/"#0. 2. H >3"9'9 ?0# )%=+?0# 2:$/"#0 #(+ "9 '8&'9 Q = 1.000P-2,50I 2. L(%E&'"/ +"0 "% 4#". 4/<#=3 /0'+29µ# I /:$#0 D6.000. A"9$ "0µ3 P = D45, 9 /=#'"04+"9"# "97 >3"9'97 17 ()%7 "9$ "0µ3 '/ #(+=,"/7 "0µ&7 /:$#0 #. 1,0. J. 2,25. ?. 2. 2. 0,50. /. 2,50. 3. H >3"9'9 ?0# /0'9"3)0# ?0# µ0# ',$#,=:# )%4 /:$#0 %(p) = 200.000 – 10.000p, +(%, p /:$#0 9 "0µ3 "%, /0'0"9):%,.B$ 9 "0µ3 "%, /0'0"9):%, /:$#0 D17, "+"/ 9 /=#'"04+"9"# "97 >3"9'97 "1$ /0'0"9):1$, 17 ()%7 "9$ "0µ3, /:$#0 #. -2,83. J. -11,33. ?. -17

2. /.

-8,50. -5,67.

4. B$ 9 >3"9'9 ?0# /0'0"3)0# '/ &$# E&#")% /:$#0 q = 3.800 - 95p, '/ (%0# "0µ3 µ/?0'"%(%0%@$"#0 "# ',$%=04. &'%2#; #. D80 J. D40 ?. D20 2. D10 /. M#$&$# #(+ "# (0% (.$1. 5. I0# /(08/:)9'9 &8/0 ',$.)"9'9 (#)#?1?37 f(x1, x2) = (xJ1 + xJ2)&, µ/ ' > 0 4#0 & > 0. H /(08/:)9'9 #,"3 &8/0 #. B@-%,'/7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7 #$ 4#0 µ+$% #$ 2' + & > 1. J. B@-%,'/7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7 #$ 4#0 µ+$% #$ '& > 1. ?. B@-%,'/7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7 #$ 4#0 µ+$% #$ ' + & > 1. 2. A"#E/)&7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7 #$ 4#0 µ+$% #$ & = 1. /. A"#E/)&7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7 #$ 4#0 µ+$% #$ ' = &. 6. N'"1 9 ',$.)"9'9 (#)#?1?37 f(x1, x2) = (x(1 + x(2)',+(%, (>0 4#0 '>0. A/ (%0/7 "0µ&7 "1$ ( 4#0 ' % %)0#4+7 =+?%7 "/8$0437 ,(%4#".'"#'97 /:$#0 <E:$1$; #. O0# +=/7 "07 "0µ&7 "%, ( #$ ' < 1 J. O0# +=/7 "07 "0µ&7 "%, ( 4#0 ' #$ (' < 1 ?. O0# +=/7 "07 "0µ&7 "%, ( 4#0 ' #$ ( > ' 2. O0# +=/7 "07 "0µ&7 "%, ' #$ ( < 1 /. M#µ0. #(+ "07 (0% (.$1. 7. H ',$.)"9'9 (#)#?1?37 Q = 50K0,25L0,25 (#)%,'0.>/0 #. B@-%,'/7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7. J. A"#E/)&7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7 ?. PE:$%,'/7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7. 2. B@-%,'/7 4#0 µ/". <E:$%,'/7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7 /. B)$9"04&7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7. 8. I0# /(08/:)9'9 (#).?/0 ()%*+$ µ/ ")/07 '"#E/)%@7 ',$"/=/'"&7 4#0 &$#$ µ/"#J=9"+. H J)#8,8)+$0# ',$.)"9'9 (#)#?1?37 "97 /(08/:)9'97 /:$#0 q = 154x - 5x2, +(%, x /:$#0 9 (%'+"9"# "%, µ/"#J=9"%@ ',$"/=/'"3 (%, 8)9'0µ%(%0/:"#0. H "0µ3 "%, Q)%*+$"%7 /:$#0 D2 #$. µ%$.2# 4#0 9 "0µ3 "%, µ/"#J=9"%@ ',$"/=/'"3 /:$#0 D8 #$. µ%$.2#. Q+'/7 µ%$.2/7 "%, x E# 8)9'0µ%(%03'/0 9 /(08/:)9'9 J)#8,8)+$0#; #. 15 J. 30 ?. 17 2. 7 /. M#$&$# #(+ "# (0% (.$1.

9. I0# /(08/:)9'9 (%, µ/?0'"%(%0/: "% 4&)2%7 "97 8)9'0µ%(%0/: &$# µ+$% ',$"/=/'"3, x. H ',$.)"9'9 (#)#?1?37 "97 /:$#0 q = 4x1/2. H "0µ3 "%, ()%*+$"%7 /:$#0 D12 4#0 "%, ',$"/=/'"3 D3. H (%'+"9"# "%, ',$"/=/'"3 (%, >9"/: 9 /(08/:)9'9 /:$#0 #. 64. J. 16. ?. 60. 2. 8. /. M#$&$# #(+ "# (0% (.$1. 10. I0# #$"#?1$0'"043 /(08/:)9'9 &8/0 "9 ',$.)"9'9 (#)#?1?37 f(x1, x2) = 12x11/2 + 4x21/2. H "0µ3 "%, ',$"/=/'"3 1 /:$#0 D1 4#0 "%, ',$"/=/'"3 2 /:$#0 D2. H "0µ3 "%, ()%*+$"%7 /:$#0 D4. Q%0# (%'+"9"# µ/?0'"%(%0/: "% 4&)2%7; #. 304 J. 608 ?. 300 2. 612 /. 292 11. R7 /(: 4/<#=37 µ0#7 /"#0)/:#7 (%, (#).?/0 ,(%=%?0'"&7 E&=/"/ $# J)/:"/ "% 4+'"%7 (#)#?1?37 170 ,(%=%?0'"C$. H ',$.)"9'9 (#)#?1?37 /:$#0 q = min{x, y} +(%, x 4#0 y /:$#0 %0 (%'+"9"/7 "1$ 2@% ',$"/=/'"C$ (#)#?1?37. H "0µ3 "%, x /:$#0 D18 4#0 "%, y D10. Q%0# /:$#0 9 #(.$"9'9; #. D2.580 J. D4.760 ?. D8.460 2. D6.180 /. M#$&$# #(+ "# (0% (.$1. 12. A"9 J)#8,8)+$0# (/):%2% µ0# /(08/:)9'9 µ/ ',$.)"9'9 (#)#?1?37 F(L, M) = 4L1/2M1/2 (L =/)?#':#, I=µ98#$&7) ()&(/0 $# 8)9'0µ%(%03'/0 "&''/)07 µ98#$&7 . B$ "% 4+'"%7 /)?#':#7 /:$#0 D4 #$. µ%$.2# 4#0 "% 4+'"%7 µ98#$37 /:$#0 D4 #$. µ98#$3, "% J)#8,8)+$0% ',$%=04+ 4+'"%7 (#)#?1?37 48 µ%$.21$ ()%*+$"%7 /:$#0 #. D102. J. D162. ?. D192. 2. D320. /. D160. 13. I0# #$"#?1$0'"043 /(08/:)9'9 &8/0 J)#8,8)+$0# ',$.)"9'9 4+'"%,7 c(y) = 2y3 - 16y2 + 64y + 50. H /(08/:)9'9 (#).?/0 &$# E/"04+ /(:(/2% ()%*+$"%7 J)#8,8)+$0#µ+$% 4#0 µ+$% #$ 9 "0µ3 /:$#0 µ/?#=@"/)9 #(+ #. D16. J. D64. ?. D32. 2. D35. /. D31.

14. H ',$.)"9'9 µ#4)%8)+$0%, 4+'"%,7 µ0#7 /(08/:)9'97 /:$#0 !(q) = 6q2 + 486. I#4)%8)+$0# 9 /(08/:)9'9 E# ()%'<&)/0 E/"043 (%'+"9"# ()%*+$"%7 #$ 9 "0µ3 "%, ()%*+$"%7 /:$#0 µ/?#=@"/)9 #(+ #. D216. J. D54. ?. D224. 2. D108. /. D113. 15. N$#7 #$"#?1$0'"04+7 4=.2%7 µ/ (%==&7 /(08/0)3'/07 +=/7 %0 %(%0/7 &8%,$ "9$ :20# ',$.)"9'9 4+'"%,7 c(y) = y2 + 4 for y > 0 4#0 c(0) = 0. H 4#µ(@=9 >3"9'97 "%, 4=.2%, /:$#0 %(p) = 50 - p, +(%, p /:$#0 9 "0µ3. ; #)0Eµ+7 "1$ /(08/0)3'/1$ "%, 4=.2%, '/ 0'%))%(:# µ#4)%8)+$0# /:$#0 #. 4. J. 23. ?. 25. 2. 46. /. 2.

";.947<4F <F 2@. 4. ;85 -=4C ;?5H@7µ.4. (B=>F ;?2H@0µ. µF4?= 1 H.>µ2) !?2H@0µ. 1. ;0 (#)#4."1 ',$#)"3'/07 (#)#?1?37 #$"0'"%08%@$ '/ #@-%,'/7, <E:$%,'/7 3 '"#E/)&7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7; (#) q = 3L + 2K (J) q = (2L + 3K)1/2 (?) q = 3LK2 (2) q= L1/2K1/2 (/) q = 4L1/2 + 4K B(.$"9'9: (#) '"#E/)&7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7 (J) <E:$%,'/7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7 (?) #@-%,'/7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7 (2) '"#E/)&7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7 (/) <E:$%,'/7 #(%2+'/07 4=:µ#4#7

!?2H@0µ. 2.

L(%E&'"/ +"0 µ0# /(08/:)9'9 (%, =/0"%,)?/: '/ 4#E/'"C7 (=3)%,7 #$"#?1$0'µ%@ &8/0 ',$.)"9'9 µ#4)%8)+$0%, 4+'"%,7 c(y) = 3y2 +675 ?0# y>0 4#0 c(0) = 0. Q%0# /:$#0 9 µ#4)%8)+$0# ',$.)"9'9 ()%'<%).7 "97 /(08/:)9'97; O$1):>%,µ/ +"0 9 µ#4)%8)+$0# ',$.)"9'9 ()%'<%).7 /:$#0 "% "µ3µ# "97 4#µ(@=97 %)0#4%@ 4+'"%,7 (.$1 #(+ "9 4#µ(@=9 µ&'%, 4+'"%,7 H /(08/:)9'9 µ/?0'"%(%0/: "% 4&)2%7 "97, Q(y) = py – c(y) A@µ<1$# µ/ "9 ',$E349 ()C"97 ".-97:

B<%@ c(y) = 0; Q(0) = 0. G(%µ&$17 ()&(/0 $# J)%@µ/ "9$ "0µ3 #?%).7 ?0# "9$ %(%:# "% 4&)2%7 /:$#0 µ92&$, /<+'%$ 9 /(08/:)9'9 E# (#).?/0 E/"043 (%'+"9"# ?0# "0µ&7 µ/?#=@"/)9 #(+ #,"3$, 4#0 µ92/$043 (%'+"9"# ?0# "0µ&7 µ04)+"/)9 #(+ #,"3$. O0# "9 ',?4/4)0µ&$9 ',$.)"9'9 4+'"%,7 M#0 y= p/6. B$"04#E0'"C$"#7 '"9 ',$.)"9'9 4&)2%,7 4#0 E&"%$"#7 "% 4&)2%7 :'% µ/ µ92&$, &8%,µ/

G(%µ&$17 9 4#µ(@=9 ()%'<%).7 -/40$. #(+ p = 90. H µ#4)%8)+$0# ',$.)"9'9 ()%'<%).7 /:$#0:

!?2H@0µ. 3. L(%E&'"/ +"0 /:'"/ 20/,E,$"37 µ0#7 /"#0)/:#7 (%, (#).?/0 (#(%@"'0# 4#0 9 J)#8,8)+$0# ',$.)"9'9 ',$%=04%@ 4+'"%,7 /:$#0 C(q) = 5q2 + 180, +(%, q /:$#0 9 (#)#?1?3 '/ >/@?9 (#(%,"'0C$. #) S# /4<).'/"/ "9$ .)0'"9 (%'+"9"# (#)#?1?37 ?0# µ0# "0µ3 P, 29=#23 J)/:"/ "% q(P).

8%#$ µ,# (",9(21:': µ(7,'%/"/,(2 %# );1<: %:. +;%(, /1,#)- ;'/</ 2'/ µ( /1,#)- )-'%/.. 3%/$ %;4(,/ #$%#70$,'µ- %/ /1,#)- ;'/</ (2$#, "*$%# 2'/ µ( %:$ %,µ& P. =1# P =10q, & <,#>/1(%,)* q = P/ 10 J) I/ J.'9 #,"+ (%, J)34#"/ '"% (#), $# /4<).'/"/ "9 ',$.)"9'9 4/)2C$ 17 ()%7 "% P. ?# );1<: (2$#, ;'/<# µ(2/$ )-'%/.. @:4#<&, "(q) = R(q) A C(q). !$%,)#+,'%B$%#. -"/C q %/ 2'/ %/C P/10, D12')/Cµ(

?) Q%0% /:$#0 "% .)0'"% /(:(/2% (#)#?1?37 +"#$ 9 "0µ3 ?0# &$# >/@?%7 (#(%,"'0C$ /:$#0 D80; !"- %/ (#) ;9/Cµ( -%,

2) Q%0% /:$#0 '"% 4&)2%7 '/ #,"3 "9$ "0µ3; !"- %/ (D) ;9/Cµ( -%,

!?2H@0µ. 4. L(%E&'"/ +"0 µ0# /(08/:)9'9 8)9'0µ%(%0/: ")/07 /0')%&7, /)?#':# (L), 4/<.=#0% (K) 4#0 ,=04. (M) 4#0 &8/0 "9$ /-37 ',$.)"9'9 (#)#?1?37 Q = KL + M. ;0 "0µ&7 ?0# "07 /0')%&7 K, L, 4#0 M /:$#0 #$":'"%08# 4, 16 4#0 1. H /(08/:)9'9 =/0"%,)?/: '"9 J)#8,8)+$0# (/):%2%, µ/ "% 4/<.=#0% '"#E/)+ '"% M = 20. #) I/ M = 20, (%0# /:$#0 9 µ%)<3 "97 ',$.)"9'97 (#)#?1?37; G:$#0 9 /)?#':# 4#0 "# ,=04. "&=/0# ,(%4#".'"#"&7, "&=/0# ',µ(=9)1µ#"04&7 3 .'8/"/7 µ/"#-@ "%,7;; !$ E = 20, : 'C$*1%:': "#1#707&. 72$(%#, Q = 20L + M. 6"/µ;$0., : 'C$*1%:': "#1#707&. ;9(, µ-$/ <F/ (,'1/;.. G 'C$*1%:': #C%& (2$#, (","4;/$ 71#µµ,)& '( #C%;. %,. <F/ (,'1/;. )#, ("/µ;$0. µ( '%#+(1- %/ E, (17#'2# )#, C4,)* (2$#, %;4(,# C"/)#%*'%#%# '%:$ "#1#707&.

J) Q%0% /:$#0 "% J)#8,8)+$0% ',$%=04+ 4+'"%7 (#)#?1?37 400 µ%$.21$ #?#E%@; !>/F L )#, M (2$#, %;4(,# C"/)#%*'%#%#, : (",9(21:': +# (4#9,'%/"/,&'(, %/ )-'%/. %:. 91:',µ/"/,B$%#. µ-$/ (17#'2# & µ-$/ C4,)*. H,# $# D1/Fµ( %, +# )*$(, "1;"(, $# 'C7)12$/Cµ( "/,# #"- %,. <F/ "(1,"%B'(,. ;9(, µ,)1-%(1/ )-'%/.. I, <F/ <C$#%;. #)1#2(. "(1,"%B'(,. (2$#, (L1 ,M1) = (20,0) )#, (L2 ,M2) = (0, 400). 3%:$ "1B%: "(12"%0': %/ D1#9C91-$,/ )-'%/. %:. (",9(21:':. (2$#, STC1 = 4K + 16L + M = (4)(20) + (16) (20) + 0 = 400. 3%: <(F%(1: "(12"%0': %/ D1#9C91-$,/ )-'%/. %:. (",9(21:':. (2$#, STC2 = 4K + 16L + M = (4)(20) + (16) (0) +400 = 480. !>/F : "1B%: "(12"%0': (L1 ,M1) = (20,0) ;9(, µ,)1-%(1/ )-'%/., %-%( (",4;7(%#, #C%& : "(12"%0':.

!?2H@0µ. 5. I0# /(08/:)9'9 (#).?/0 ()%*+$ µ/ "9$ "/8$%=%?:#

+(%, "% 4/<.=#0%, ), µ/")."#0 '/ C)/7 =/0"%,)?:#7 "1$ µ98#$C$ 4#0 9 /)?#':#, L, µ/")."#0 '/ C)/7 /)?#':#7. K% ()%*+$ y µ/")."#0 '/ /"3'0# J.'9. H #µ%0J3 "97 /)?#':#7 #$. C)# /:$#0 wL = 10 4#0 9 1)0#:# #µ%0J3 "%, 4/<#=#:%, /:$#0 wM = 20. #) K0 /:2%,7 #(%2+'/07 &8/0 9 "/8$%=%?:# #,"3; H,# $# </Fµ( %, #"/<-'(,. ;9(, : %(9$/4/72#, "/44#"4#',*J/Cµ( -4(. %,. (,'1/;. µ( ;$#$ #1,+µ- t > 1:

-"/C

)#, =1# /, #"/<-'(,. )42µ#)#. (2$#, #FK/C'(.. J) L(%=%?:'"/ "% %)0#4+ ()%*+$ /)?#':#7 4#0 4/<#=#:%,

?) L(%E&'"/ +"0 9 /(08/:)9'9 ,(%?).</0 ',µJ+=#0% ?0# $# /$%040.'/0 M = 1.000 C)/7 =/0"%,)?:#7 "1$ µ98#$C$ ?0# "% 2008. S# J)/:"/ "9 ',$.)"9'9 J)#8,8)+$0%, 4+'"%,7 "97 /(08/:)9'97 ?0# "% 2008.

G (",9(21:': 4F$(, %/ "1-D4:µ#

5F$/$%#. %:$ %(4(C%#2# '9;': D12')/Cµ(t

)#, : 'C$*1%:': )-'%/C. (2$#,

2) Q%0# /:$#0 9 ',$.)"9'9 J)#8,8)+$0%, %)0#4%@ 4+'"%,7; 9 ',$.)"9'9 J)#8,8)+$0%, µ&'%, 4+'"%,7; A/ (%0% '9µ/:% "&µ$%$"#0 %0 2@% #,"&7 4#µ(@=/7; G 'C$*1%:': D1#9C91-$,/C /1,#)/F )-'%/C. (2$#,

G 'C$*1%:': D1#9C91-$,/C µ;'/C )-'%/C. (2$#,

G 'C$*1%:': /1,#)/F )-'%/C. %;µ$(, %: 'C$*1%:': µ;'/C )-'%/C. '%/ ':µ(2/ -"/C

Πακέτο Ι-2008: Ασκήσεις και Λύσεις Μικροοικονομικής Θεωρίας Ι

Βαθμολόγηση: Κάθε άσκηση αντιστοιχεί με 1 μονάδα εκτός αν αναφέρει ρητά κάτι άλλο. Εάν θεωρείτε πως έχετε απαντήσει την μισή άσκηση σωστά τότε βάλτε τις μισές μονάδες για εκείνη την άσκηση. Ο βαθμός μπορεί να είναι δεκαδικός, π.χ., στην πρώτη άσκηση μπορεί να έχετε απαντήσει 2 από τις 3 υποερωτήσεις σωστά. Σε αυτήν την περίπτωση ο βαθμός για την άσκηση θα είναι 0,66 μονάδες. 1. Έστω πως τα κέρδη μιας επιχείρησης δίνονται από την συνάρτηση Π(q)=-2q2+80q-15 α. Βρείτε την ποσότητα q που μεγιστοποιεί τα κέρδη. β. Ικανοποιείται η συνθήκη δεύτερης τάξης; Λύση 1. α. ΣΠΤ: (x) = 0 -4q + 80 = 0 q* = 20 Β. ΣΔΤ (x*) < 0 -4 < 0 αυτό ισχύει για όλα τα σημεία (η συνάρτηση είναι κοίλη παντού). 2. Ο Κώστας έχει μια συνάρτηση χρησιμότητας U(C,T)=10C2T3 που θέλει να μεγιστοποιήσει υπό τον εισοδηματικό του περιορισμό 3C+2T=50. α. Γράψετε την συνάρτηση Lagrange για το πρόβλημα του Κώστα. β. Ποιες είναι η συνθήκες πρώτης τάξης; γ. Ποιες είναι οι άριστες τιμές των C και T; Λύση α. Μεγιστοποίηση L= 10C2T3-λ(50-3C-2T) CT Β. ΣΠΤ: LC = 20CΤ3- 3= 0 or 20CΤ3 = 3 LT = 30C2T2- 2= 0 or 30C2T2 = 2 L= 50 – 3C – 2T = 0 or 50 = 3C + 2T γ. Λύνοντας για τις μεταβλητές C,T, και μας δίνει: C* = 10 ; T* = 10 3 Το ύψος που παίρνει μια μπάλα που ρίχνεται κατακόρυφα στον αέρα με ορισμένη δύναμη, είναι συνάρτηση του χρόνου (t) που διαρκεί η ρίψη f(t) = -0,5gt2+40t (όπου το g είναι σταθερά που προσδιορίζεται από τη βαρύτητα). (α) Πώς εξαρτάται η τιμή του f(t) που είναι το μέγιστο ύψος της μπάλας, από την παράμετρο g; (β) Χρησιμοποιήστε την απάντηση που δώσατε στο α για να περιγράψετε πώς μεταβάλλεται το μέγιστο ύψος καθώς μεταβάλλεται η παράμετρος g. (γ) Χρησιμοποιήστε το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης για ν’απαντήσετε το ερώτημα β απευθείας. (δ) Στη Γη g = 32, αλλά η τιμή αυτή διαφέρει κάπως σε διάφορα μέρη του κόσμου. Αν δύο περιοχές είχαν σταθερές βαρύτητας που διέφεραν κατά 0,1, ποια θα ήταν η διαφορά του μέγιστου ύψους της μπάλας στις δύο περιοχές; 3. Λύση

α.

f (t )  0.5 gt 2  40t df 40   g t  40  0, t *  . dt g

β. Υποκαθιστώντας t*, f (t * )  0.5 g (40 g ) 2  40(40 g )  800 g .

γ.

δ.

f (t * )  800 g 2 . g f 1   (t *) 2 εξαρτάται από το g γιατί το t* εξαρτάται από το g. g 2 f 40 800   0.5(t * ) 2  0.5( ) 2  . so 2 g g g 800 32  25, 800 32.1  24.92 , μια μείωση .08. Σημειώστε ότι

800 g 2  800 322  0.8 οπότε μια αύξηση 0.1 στο g θα οδηγούσε σε μια μείωση του ύψους κατά 0.08 σύμφωνα με το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης. 4. Έστω το παρακάτω πρόβλημα μεγιστοποίησης υπό περιορισμό:

Μεγιστοποιήστε y = x1 + 5ln x2 Υπό τον περιορισμό k – x1 – x2 = 0 Όπου k είναι μια σταθερά που μπορεί να λάβει οποιαδήποτε συγκεκριμένη τιμή. α. Δείξτε ότι αν k =10, τότε αυτό το πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί μόνο με ισοτικούς περιορισμούς. β. Δείξτε ότι η επίλυση αυτού του προβλήματος για k = 4 απαιτεί όπως x1 = -1. γ. Αν το x σε αυτό το πρόβλημα πρέπει να είναι μη αρνητικό, τότε ποια είναι η άριστη λύση για k = 4; δ. Ποια είναι η λύση σε αυτό το πρόβλημα όταν k = 20; Τι συμπεραίνετε συγκρίνοντας τη λύση που βρήκατε με τη λύση του υποερωτήματος (α); (Σημείωση: Το πρόβλημα αυτό σχετίζεται με την αποκαλούμενη “οιονεί γραμμική συνάρτηση”. Αυτές οι συναρτήσεις παρέχουν σημαντικά παραδείγματα για μερικούς τύπους συμπεριφοράς στη θεωρία του καταναλωτή – όπως θα δούμε στην συνέχεια). 4. Λύση α. Ο Lagrange του προβλήματος είναι £  x1  5ln x2   (k  x1  x2 ) που μας δίνει £  1   0 x1 ΣΠΤ:

5 £    0 x2 x2 £  k  x1  x2  0 

Οπότε,   1  5 x2 or x2  5 . Με k = 10, οι άριστες τιμές είναι x1  x2  5.

β. Με k = 4, λύνοντας τις ΣΠΤ μας δίνει x2  5, x1  1. γ. Άριστες τιμές x1  0, x2  4, y  5ln 4. Όποια θετική τιμή του x1 μειώνει το y. δ. Αν k = 20, οι άριστες τιμές είναι x1  15, x2  5. Επειδή αυξήσεις του x2 φέρνουν φθίνουσα οριακή μεγέθυνση του y ενώ με το x1 δεν συμβαίνει αυτό, όλες οι βέλτιστες λύσεις είναι τέτοιες που όταν το x2 φτάσει το 5, όποιες παραπάνω ποσότητες πηγαίνουν εξ’ ολοκλήρου στο x1.

5. Σχεδιάστε μια τυπική καμπύλη αδιαφορίας για τις ακόλουθες συναρτήσεις χρησιμότητας και προσδιορίστε αν έχουν κυρτές καμπύλες αδιαφορίας (δηλαδή, κατά πόσο ο MRS μειώνεται καθώς αυξάνεται το x).

α. U ( x, y )  x  y xy β. U ( x, y )  x y γ. U ( x, y )  x  2 y 5. Λύσεις α. MRS  f x f y  0.5 x 0.5 1 — MRS είναι φθίνων

β. MRS  f x f y 

( x  y ) y  xy ( x  y)2

( x  y ) x  xy  y 2 x 2 — MRS είναι φθίνων. 2 ( x  y)

Γ. MRS  f x f y  2 1 — MRS είναι σταθερός.

6. Όπως είδαμε στο Σχήμα 3.5 (του Nicholson), ένας τρόπος για να δείξουμε την κυρτότητα των καμπυλών αδιαφορίας είναι να δείξουμε ότι, για κάθε ζεύγος σημείων (x1,y1) και (x2,y2) μιας καμπύλης αδιαφορίας της μορφή U = k, η χρησιμότητα που  x  x y  y2  σχετίζεται με το σημείο  1 2 , 1  είναι τουλάχιστον μεγέθους k. 2   2 Χρησιμοποιήστε την προσέγγιση αυτή για να συζητήσετε την κυρτότητα των καμπυλών αδιαφορίας για τις ακόλουθες τρεις συναρτήσεις. Σχεδιάστε τα αποτελέσματά σας. α. U ( x, y )  Min( x, y ) β. U ( x, y )  Max( x, y ) γ. U ( x, y )  x  y

6. Λύση α. Η περίπτωση όπου το ίδιο το αγαθό περιορίζει την χρησιμότητα δεν έχει ενδιαφέρον γιατί το U ( x1 , y1 )  x1  k  U ( x2 , y2 )  x2  U [( x1  x2 ) 2, ( y1  y2 ) 2]  ( x1  x2 ) 2 . Αν τα

αγαθά που περιορίζουν την χρησιμότητα διαφέρουν τότε y1  x1  k  y2  x2 . Οπότε, ( x1  x2 ) / 2  k και ( y1  y2 ) / 2  k οπότε η καμπύλη αδιαφορίας είναι κυρτή. β. Επίσης, η περίπτωση όπου το ίδιο το αγαθό είναι η μέγιστη χρησιμότητα δεν έχει ενδιαφέρον. Αν διαφέρουν τα αγαθά, y1  x1  k  y2  x2 . ( x1  x2 ) / 2  k , ( y1  y2 ) / 2  k οπότε η καμπύλη είναι κοίλη (όχι κυρτή). γ. Εδώ ( x1  y1 )  k  ( x2  y2 )  [( x1  x2 ) / 2, ( y1  y2 ) / 2] οπότε η καμπύλη αδιαφορίας δεν είναι ούτε κυρτή ούτε κοίλη –είναι γραμμική

7 (δύο μονάδες) Έστω ότι ένα άτομο έχει αρχικές ποσότητες από δύο αγαθά που του προσφέρουν χρησιμότητα. Οι αρχικές αυτές ποσότητες δίνονται από τα x και y . α. Σχεδιάστε αυτές τις δύο αρχικές ποσότητες στο χάρτη καμπυλών αδιαφορίας του ατόμου. β. Αν το άτομο μπορεί να ανταλλάξει x με y (και αντίστροφα) με άλλα άτομα, τι είδους ανταλλαγές θα πραγματοποιούσε οικειοθελώς; Τι είδους ανταλλαγές δεν θα πραγματοποιούσε; Πώς σχετίζονται οι ανταλλαγές αυτές με τον MRS του ατόμου στο σημείο ( x , y ); γ. Έστω ότι το άτομο είναι σχετικά ικανοποιημένο με τις αρχικές ποσότητες που διαθέτει και θα σκεφτόταν να πραγματοποιήσει ανταλλαγές μόνο στην περίπτωση που θα αυξανόταν η χρησιμότητά του κατά ένα ποσό τουλάχιστον ίσο με k. Πώς θα το δείχνατε αυτό στο χάρτη καμπυλών αδιαφορίας του ατόμου;

7. Λύση α.

β. Όποτε υπάρχει δυνατότητα ανταλλαγής σε όρους που διαφέρουν από τον ΟΛΥ στο x , y θα υπάρχει δυνατότητα να αυξηθεί η χρησιμότητα (δείτε το διάγραμμα). γ. Για να θελήσει να εγκαταλείψει τις αρχικές ποσότητες θα πρέπει οι δυνατότητες ανταλλαγής των αγαθών να διαφέρουν σημαντικά από τον Οριακό Λόγο Υποκατάστασης για να μπορέσει να έχει σημαντική αύξηση χρησιμότητας (δείτε το διάγραμμα 8 (δύο μονάδες). Μια ομάδα φίλων έχουν τις ακόλουθες συναρτήσεις χρησιμότητας:

Γιάννης U(x1,x2) = x1x2 Μαρία U(x1,x2) = 100x1x2 + 200 Σοφία U(x1,x2) = x1x2/(1 + x1x2) Κώστας U(x1,x2) = -1/(50 + 2x1x2)

Λίζα U(x1,x2) = x1(1,000 + x2) Φώτης U(x1,x2) = (x1x2)/2 – 1,000 Γιώργος U(x1,x2) = x1/x2 Χαρά U(x1,x2) = -x1x2

α. Από τους υπόλοιπους επτά ποιοι έχουν τις ίδιες προτιμήσεις με τον Γιάννη; β. Από τους υπόλοιπους επτά ποιοι έχουν τις ίδιες καμπύλες αδιαφορίας με τον Γιάννη; γ. Εξηγείστε τις διαφορές στις απαντήσεις σας για το α και β. α) Οι συναρτήσεις χρησιμότητας της Μαρίας, της Σοφίας, του Κώστα, και του Φώτη είναι θετικός μονοτονικός μετασχηματισμός της συνάρτησης χρησιμότητας του Γιάννη. Εφόσον η χρησιμότητα είναι τακτική έννοια και ο θετικός μονοτονικός μετασχηματισμός διατηρεί την ιεράρχηση των προτιμήσεων, και τα πέντε άτομα αυτά έχουν τις ίδιες προτιμήσεις. Η συνάρτηση g(.) που κάνει τον μονοτονικό μετασχηματισμό είναι:

Μαρία: g(U του Γιάννη ) = 100U + 200 , g() = 100 > 0 Σοφία: g(U του Γιάννη) = U/(1 + U) , g() = 1/(1+U)2 > 0 Κώστας: g(U του Γιάννη) = -1/(50 + 2U) , g() = 2/(50 + 2U)2 > 0 Φώτης: g(U του Γιάννη) = U/2 – 1,000 , g() = ½ > 0 Ένας άλλος τρόπος να απαντήσουμε αυτήν την άσκηση είναι να υπολογίσουμε τον ΟΛΥ κάθε ατόμου (τα πέντε άτομα που αναφέραμε εδώ έχουν τον ίδιο ΟΛΥ) αλλά πρέπει να είστε προσεχτικοί ως προς την κατεύθυνση της αύξησης της χρησιμότητας—δείτε το (γ). β) Κάθε καλάθι (x1,x2) προσφέρει διαφορετικό νούμερο (επίπεδο) χρησιμότητας για τα 7 άτομα. Όμως, επειδή η χρησιμότητα είναι μόνο τακτική έννοια και εφόσον ορίζεται μια καμπύλη αδιαφορίας ως το σύνολο των αγαθών που το άτομο θεωρεί ισάξια, το νούμερο που παριστά το επίπεδο χρησιμότητα δεν έχει καμιά σημασία (παρά το να μας βοηθάει να προσδιορίζουμε την ιεράρχηση των προτιμήσεων). Αν αγνοήσουμε το νούμερο που αντιστοιχεί με το ύψος της χρησιμότητας, και δούμε τον χάρτη των προτιμήσεων (τις καμπύλες αδιαφορίας και την κλίση της κάθε καμπύλης), τότε θα δούμε πως εκτός από την Μαρία, την Σοφία, τον Κώστα, και τον Φώτη, η Χαρά επίσης έχει τον ίδιο χάρτη προτιμήσεων με τον Γιάννη. Μόνο που στην περίπτωση της Χαράς η κατεύθυνση της αύξησης της χρησιμότητας είναι αντίθετη από του Γιάννη (και των άλλων), οπότε οι καμπύλες αδιαφορίας αντιπροσωπεύουν διαφορετικές προτιμήσεις αν και έχουν το ίδιο σχήμα.

γ) Επειδή οι προτιμήσεις είναι τακτική έννοια, ένας θετικός μονοτονικός μετασχηματισμός διατηρεί την ιεράρχηση των προτιμήσεων. Δεν διατηρεί τον αριθμό (μέγεθος) που αντιστοιχεί με τα επίπεδα χρησιμότητας.

Πακέτο ΙΙ-2008: Ασκήσεις και Λύσεις Μικροοικονομικής Θεωρίας Ι

χρησιμότητας έχουμε V ( px , p y , I )  [ I px ] [(1   ) I p y ]  BIpx p y (1 ) όπου B    (1   )(1 ) . β. Έχοντας την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας λύνουμε για Ι: E ( px , p y , V )  B 1 px p (1y  )V . γ. Η ελαστικότητα των δαπανών ως προς το px δίνεται από τον εκθέτη  . Δηλαδή, όσο πιο σημαντικό είναι το x στην συνάρτηση χρησιμότητας τόσο μεγαλύτερο ποσοστό πρέπει να δαπανηθεί για να αποζημιωθεί ο καταναλωτής για την αύξηση της τιμής x. 2. Έστω πως η συνάρτηση χρησιμότητας είναι U(x, y) = lnx + lny και px = 1, I = 10. Αν το y πρέπει να αγοραστεί σε ακέραιο νούμερο, ποια είναι η μέγιστη τιμή που θα πλήρωνε αυτό το άτομο για y; Λύση: 5 3. Η χρησιμότητα ενός ατόμου είναι U ( x, y )  x 2  y 2 όπου px = 2, py = 3, I = 50, τι ποσότητες θα επιλέξει το άτομο αυτό; Λύση: (25, 0). 4. Αν η συνάρτηση χρησιμότητας ενός ατόμου για καφέ (x) και κρέμα (y) είναι U(x, y) = min (x, 5y), ποια είναι η συνάρτηση ζήτησης του;

Λύση: X = I/(px + 0.2py). Ένα άτομο έχει συνάρτηση χρησιμότητας U(x, y) = min(3x, y) όπου (x) είναι 5. ρακέτες του τένις και (y) μπάλες του τένις. Βρείτε την συνάρτηση δαπανών. Λύση 1  E   px  p y U . 3 

6. Η αρχή του εφάπαξ ποσού που φαίνεται στο Σχήμα 4.5 (σελ. 161) του Νίκολσον μπορεί να εφαρμοστεί και στην πολιτική μεταβιβαστικών πληρωμών και στη φορολογία. α. Χρησιμοποιήστε ένα σχήμα παρόμοιο μ’ αυτό του Σχήματος 4.5 για να δείξετε ότι μια εισοδηματική επιχορήγηση δίνει σ’ένα άτομο περισσότερη χρησιμότητα απ’ ότι η επιδότηση του αγαθού x που κοστίζει το ίδιο στην κυβέρνηση. β. Χρησιμοποιήστε την συνάρτηση δαπανών Cobb-Douglas E ( px , p y , U )  2 px0,5 p 0,5 y U για να υπολογίσετε την πρόσθετη αγοραστική δύναμη που

απαιτείται προκειμένου ν’αυξηθεί η χρησιμότητα του ατόμου από U = 2 σε U = 3. γ. Χρησιμοποιήστε και πάλι την εξίσωση E ( px , p y , U )  2 px0,5 p 0,5 y U για να εκτιμήσετε πόσο πρέπει να επιδοτηθεί το αγαθό x προκειμένου ν’ αυξηθεί η χρησιμότητα του ατόμου από U = 2 σε U = 3. Πόσο κοστίζει αυτή η επιδότηση στην κυβέρνηση; Πώς συγκρίνεται αυτό το κόστος με το κόστος που υπολογίσατε στο υποερώτημα (β); δ. Το Πρόβλημα 1 σας ζητά να υπολογίσετε τη συνάρτηση δαπανών για μια πιο γενική συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas απ’ αυτή που χρησιμοποιήσαμε στο Παράδειγμα 4.4 Χρησιμοποιήστε αυτή τη συνάρτηση δαπανών για ν’απαντήσετε ξανά τα υποερωτήματα (β) και (γ) για την περίπτωση όπου α = 0,3 –ένας αριθμός κοντά στο μέρος του εισοδήματος που δαπανούν τα χαμηλού εισοδήματος άτομα σε τρόφιμα. ε. Πώς θ’ άλλαζαν οι υπολογισμοί σας σ’ αυτό το πρόβλημα εάν είχαμε χρησιμοποιήσει τη συνάρτηση δαπανών για την περίπτωση των σταθερών αναλογιών E ( px , p y ,U )  ( px  0, 25 p y )U ;

Λύση

α.. β. E ( px , p y , U )  2 px0.5 p 0.5 y U . With p x  1, p y  4, U  2, E  8 . Για να αυξηθεί η χρηστικότητα στις 3 μονάδες θα χρειαστούν δαπάνες E = 12 . Δηλαδή μια επιδότηση 4 ευρω.

γ. Τώρα πρέπει E  8  2 px0.5 40.53 or px0.5  8 12  2 3 . Οπότε px  4 9 -δηλαδή, κάθε μονάδα πρέπει να επιδοτηθεί με 5/9. Στην επιδοτημένη τιμή αυτό το άτομο επιλέγει να αγοράσει x = 9. Οπότε η συνολική επιδότηση είναι 5 – ένα ευρώ περισσότερο από ότι είχαμε στο (β). δ. E ( px , p y , U )  1.84 px0.3 p 0.7 y U . Με p x  1, p y  4, U  2, E  9.71 . Αυξάνοντας τηνU σε 3 θα απαιτούσε μια αύξηση δαπανών 4.86. Με επιδότηση στο αγαθό x θα έπρεπε η τιμή του x να είναι px  0.26 . Δηλαδή μια επιδότηση 0,74 ανά μονάδα. Με αυτήν την χαμηλή τιμή το άτομο θα επέλεγε x = 11.2, οπότε η συνολική επιδότηση θα έφτανε 8.29. 7. Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ζήτησης δεν είναι ομογενείς μηδενικού βαθμού στις τιμές px , py , και στο I; α. x = I / (px,+ py ). β. x = I .5 p x 0.3 p y0.2 . γ. δ.

x  I p y / p 2x . x = I p y/ p x .

Λύση: δ 8. Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις (έννοιες) είναι ομογενείς μηδενικού βαθμού στις μεταβλητές: I. Η Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης [x = x(px, py , I)] II. Η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας [V = g (px, py , I)] III. Η αντισταθμιστική συνάρτηση χρησιμότητας [x = xc (px, py , U)] Λύση: Μόνο η Μαρσαλιανή. 9. Η Σοφία έχει την ακόλουθη έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας: 1/3

2/3

 1   2  V ( p1 , p2 , I )  I      3 p1   3 p2  α. Βρείτε την Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης για x1 x1 ( p1 , p2 , I ) β. Βρείτε την συνάρτηση δαπανών E ( p1 , p2 ,U ) γ. Βρείτε την αντισταθμιστική συνάρτηση ζήτησης για x1 h1 ( p1 , p2 , U ) δ. Δείξτε ότι η συνάρτηση του Slutsky ισχύει στην περίπτωση μιας μεταβολής στην ζήτηση του x2 που προκαλεί μια αλλαγή στην τιμή του p1. Λύση: α. Κάνοντας χρήση της ταυτότητας του Roy: 1/2

2/3

1 2  1 Y     ( p2 ) 2/3    ( p1 ) 4/3 V ( p1 , p2 , I ) / p1 I 3  3  3 x1 ( p1 , p2 , I )     1/2 2/3 V ( p1 , p2 , I ) / I 3 p1 1  2 2/3 1/3     ( p2 ) ( p1 ) 3  3 β. Κάνοντας χρήση της ταυτότητας V ( p1 , p2 , E ( p1 , p2 , U ))  U

1/3

2/3

 1   2  1/3  3 p2  I     U  I  U (3 p1 )    2   3 p1   3 p2  γ. Κάνοντας χρήση του θεωρήματος της περιβάλλουσας καμπύλης:  p  h1 ( p1 , p2 , U )  U  2   2 p1 

2/3

10. Υποθέστε ότι ένα άτομο θεωρεί το ζαμπόν και το τυρί ως τέλεια συμπληρωματικά – θα χρησιμοποιεί πάντα μια φέτα ζαμπόν και μια φέτα τυρί για να φτιάχνει σάντουιτς. Υποθέστε επίσης ότι το ζαμπόν και το τυρί είναι τα μόνα αγαθά που αγοράζει αυτό το άτομο και ότι το ψωμί είναι δωρεάν. α. Δείξτε ότι αν η τιμή του ζαμπόν είναι ίση με την τιμή του τυριού, τότε η ελαστικότητα ζήτησης του ζαμπόν ως προς την τιμή του είναι -0,5 και ότι η σταυροειδής ελαστικότητα ζήτησης του ζαμπόν ως προς την τιμή του τυριού είναι επίσης -0,5. β. Εξηγήστε γιατί τα αποτελέσματα του υποερωτήματος (α) αντανακλούν μόνο το αποτέλεσμα εισοδήματος και όχι το αποτέλεσμα υποκατάστασης. Ποιες είναι οι αντισταθμιστικές ελαστικότητες σε αυτό το πρόβλημα; γ. Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα από το υποερώτημα (β) γι να δείξετε πώς θα άλλαζε η απάντηση που δώσατε στο υποερώτημα (α) αν η μια φέτα ζαμπόν κόστιζε δύο φορές περισσότερο από μια φέτα τυρί. δ. Εξηγήστε πώς αυτό το πρόβλημα θα μπορούσε να επιλυθεί διαισθητικά υποθέτοντας ότι αυτό το άτομο καταναλώνει μόνον ένα αγαθό. Λύση α. Λόγω των σταθερών αναλογιών μεταξύ του h και του c, ξέρουμε πως η ζήτηση του ζαμπόν είναι h  I ( ph  pc ) . Οπότε

eh , ph 

p ( p  pc )  ph h ph I    h h  . 2 ph h ( ph  pc ) I ( ph  pc )

Με αντίστοιχη άλγεβρα βλέπουμε πως eh , pc 

 pc . Οπότε, εάν ( ph  pc )

ph  pc , eh , ph  eh , pc  0.5 . b. Με σταθερές αναλογίες δεν υπάρχουν αποτελέσματα υποκατάστασης. Εδώ οι αντισταθμιστικές ελαστικότητες ως προς την τιμή είναι μηδέν, οπότε η εξίσωση Slutsky δείχνει πως ex , px  0  sx  0.5 . 2 1 , eh , pc  . 3 3 Αν αυτό το άτομο καταναλώνει μόνο σάντουιτς ζαμπόν και τυρί, η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή για αυτά πρέπει να είναι -1. Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή του ενός αγαθού (μέρους του ‘συνολικού αγαθού’) αντανακλά την αναλογική επίδραση μιας μεταβολής της τιμής του ενός αγαθού στην τιμή του σάντουιτς (του ‘συνολικού αγαθού’).

c. Με ph  2 pc από το (α) βλέπουμε πως το eh , ph 

Πακέτο IΙΙ-2008: Ασκήσεις και Λύσεις Μικροοικονομικής Θεωρίας Ι

Λύση Συν. Παραγ. x11/4 x23/4 x1  x1/2 2 3 ( x11/3  x1/3 2 )

ΟΠ1

ΟΠ2

1 3/4 3/4 x1 x2 4 1

3 1/4 1/4 x1 x2 4 1 1/2 x2 2

2 2/3 ( x11/3  x1/3 2 ) x1

2 2/3 ( x11/3  x1/3 2 ) x2

ΟΛΤΥ 1 x2 3 x1 2



Αποδόσεις Κλ. Σταθερές Φθίνον

1/2 2

 x12/3 x22/3

Σταθερές

2. Έστω ότι μια επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής Y=min{L,2K}. α. Τι αποδόσεις κλίμακας έχει αυτή η συνάρτηση παραγωγής; Εξηγείστε. β. Ζωγραφίστε λίγες καμπύλες ίσου προϊόντος με την εισροή L στον οριζόντιο άξονα. γ. Αν η επιχείρηση θέλει να παράγει 10 μονάδες προϊόντος υπολογίστε την συνάρτηση ζήτησης του κεφαλαίου και της εργασίας. Πώς εξαρτάται η ζήτηση για κάθε εισροή από τις σχετικές τιμές τους;

Λύση: 2. α) Αυτή η συνάρτηση παραγωγής έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας. Για να το δείτε αυτό πολλαπλασιάστε και τις δύο εισροές με μία σταθερά t > 0: min{tL,2(tK)} = min{tL,t2K} = tmin{L,2K}. β) Επειδή οι εισροές είναι συμπληρωματικές οι καμπύλες ίσου προϊόντος έχουν σχήμα L:

Y=10

L 10

γ) Η πιο αποδοτική σε κόστος μέθοδος να παραχθούν 10 μονάδες προϊόντος είναι με 10 μονάδες εργασίας και 5 μονάδες κεφαλαίου. 3. Μια επιχείρηση έχει την εξής συνάρτηση παραγωγής f ( x1 , x2 )  (2 x1  4 x2 )1/2 . α. Ζωγραφίστε τις καμπύλες ίσου προϊόντος που αντιστοιχούν με παραγωγή προϊόντος 3 και 4 (στον οριζόντιο άξονα βάλτε την εισροή x1 ). β. Αν η τιμή του προϊόντος είναι 4, η τιμή της εισροής x1 είναι 2, και η τιμή της άλλης εισροής είναι 3, βρείτε την ζήτηση των εισροών που μεγιστοποιεί τα κέρδη και την ποσότητα του προϊόντος που θα παραχθεί. Λύση: α) β) Παρατηρήστε ότι οι εισροές είναι τέλεια υποκατάστατα οπότε μόνο μια εισροή θα χρησιμοποιηθεί. Το οριακό προϊόν της εισροής 1 είναι μικρότερο από το οριακό προϊόν της εισροής 2. Επίσης γνωρίζουμε πως P*MPi=τιμή της εισροής i, στην άριστη επιλογή: 4*(1/2)*((2x1 +4x2)-1/2)*4=3. Λύνοντας για x2, παρατηρώντας ότι x1=0, μας δίνει την λύση: x1*=0 ; x2*=16/9 και προϊόν που μεγιστοποιεί το κέρδος 8/3. 4. Βρείτε την συνάρτηση συνολικού κόστους για την επιχείρηση με συνάρτηση παραγωγής q = k .5 l .75 . Λύση: Bq 4 / 5 v 2 / 5 w3/ 5 όπου Β είναι μια σταθερά.

5. Μια επιχείρηση παράγει αναψυκτικά με δύο εισροές, ζάχαρη (S) και ανθρακούχο νερό (B) σε σταθερές αναλογίες: 6 κουτάλια ζάχαρης προς 12 λίτρα ανθρακούχο νερό. α. Βρείτε την συνάρτηση παραγωγής. β. Τι αποδόσεις κλίμακας έχει αυτή η συνάρτηση; γ. Γράψτε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους της επιχείρησης και λύστε για τις παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης των εισροών, S ( ws , vB , y ) και B ( ws , vB , y ) . δ. Βρείτε την μακρόχρονη καμπύλη κόστους. Λύση 5. α) y=min{S/6,B/12},δηλαδή είναι τέλεια συμπληρωματικά στην συνάρτηση παραγωγής. β) y(tS,tB)=min {(tS)/6,(tB)/12}=t*min{S/6,B/12}=t*y, οπότε σταθερές αποδόσεις κλίμακας. γ) Ελαχιστοποίηση wSS+wBB υπό τους περιορισμούς y=min{S/6,B/12}, S, B S0 B0 Δεν σας βοηθάει συνάρτηση Lagrange σε αυτό το πρόβλημα γιατί οι καμπύλες ίσους προϊόντος έχουν γωνία. Για όποιο επίπεδο προϊόντος y, η επιχείρηση χρειάζεται y=S/6 μονάδες της S, οπότε: S=6y είναι η παράγωγη συνάρτηση ζήτησης για S. Για όποιο επίπεδο προϊόντος y, η επιχείρηση χρειάζεται y=B/12 μονάδες του B, οπότε: B=12y είναι η παράγωγη συνάρτηση ζήτησης για B. δ) Οπότε η συνάρτηση κόστους είναι c(wS,wB,y)= wSS*+wBB*= wS6y+wB12y= 6y(wS+2wB) 6- Έστω μια συνάρτηση παραγωγής y  f ( x1 , x2 )  2 x11/2 x1/2 2 α. Πάτε στην ιστοσελίδα http://socs.berkeley.edu/~sgoldman/Surface/surf.htm και δείξτε διαγραμματικά την συνάρτηση παραγωγής. β. Σε ποιο βαθμό είναι η συνάρτηση ομογενής; Τι σημαίνει αυτό; γ. Βρείτε το οριακό προϊόν του x1 . Τι σημαίνει αυτό; δ. Βρείτε την δεύτερη παράγωγο του x1 . Τι σημαίνει αυτό και ποια η σημασία του πρόσημου: ε. Υπολογίστε το μέσο προϊόν του x1 και εξηγείστε τι σημαίνει. στ. Δείξτε διαγραμματικά το οριακό και μέσο προϊόν στο ίδιο διάγραμμα (έτσι ώστε να συμβαδίζει με τις απαντήσεις που έχετε ήδη δώσει). ζ. Γράψτε μια μαθηματική εξίσωση που δείχνει όλους τους συνδυασμούς εισροών που παράγουν 2 μονάδες προϊόντος. Δείξτε το διαγραμματικά. Υπολογίστε την κλίση της καμπύλης αυτής. Ποιος είναι ο ρυθμός αλλαγής αυτής της κλίσης; 2 η. Υπολογίστε f12   f

. Τι μας λεει αυτό για το σχήμα της καμπύλης ίσου x1x2 προϊόντος; Ισχύει το ίδιο για όλες τις πιθανές συναρτήσεις παραγωγής;

(α)

(β) Είναι ομογενείς πρώτου βαθμού. Δηλαδή η συνάρτηση έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας. Αν αυξήσουμε τις εισροές κατά ένα σταθερό ποσοστό η παραγωγή προϊόντος θα αυξηθεί κατά το ίδιο ποσοστό. 1/2

f ( x1 , x2 )  x2  (γ)    . Μας λεει πόσο θα αυξηθεί το προϊόν για μια μικρή αύξηση x1  x1  της εισροής. x21/2  2 f ( x1 , x2 )   . Μας λεει πως αλλάζει το οριακό προϊόν καθώς αυξάνουμε 2 x13/2 x12 την εισροή. Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει πως έχουμε φθίνον οριακό προϊόν. Κάθε νέα αύξηση της εισροής παράγει λιγότερο προϊόν (εφόσον κρατάμε σταθερούς τους άλλους συντελεστές).

(δ)

ε. APx1 

f ( x1 , x2 ) 2 x1/2 2  1/2 Μας λεει πόσο παράγει κατά μέσο όρο μια εισροή. x1 x1

στ. Δείξτε διαγραμματικά το οριακό και μέσο προϊόν στο ίδιο διάγραμμα (έτσι ώστε να συμβαδίζει με τις απαντήσεις που έχετε ήδη δώσει).

ζ. Γράψτε μια μαθηματική εξίσωση που δείχνει όλους τους συνδυασμούς εισροών που παράγουν 2 μονάδες προϊόντος. Δείξτε το διαγραμματικά. Υπολογίστε την κλίση της καμπύλης αυτής. Ποιος είναι ο ρυθμός αλλαγής αυτής της κλίσης; 2 η. Υπολογίστε f12   f

. Τι μας λεει αυτό για το σχήμα της καμπύλης ίσου x1x2 προϊόντος; Ισχύει το ίδιο για όλες τις πιθανές συναρτήσεις παραγωγής; 7 (δύο μονάδες). Σε προηγούμενο σημείο στο βιβλίο του ο Νίκολσον παρουσίασε μια συνάρτηση σταθερής ελαστικότητας U ( x1 , x2 )  ( x1 ) /   ( x2 ) /  για   0,   1 . Στο κεφάλαιο για τις συναρτήσεις παραγωγής βλέπουμε την συνάρτηση σταθερής   

ελαστικότητας f ( x1 , x2 )  ( x1  x2 ) για   0,   1 . 

α. Δείξτε ότι ως συναρτήσεις χρησιμότητας αντιστοιχούν με τις ίδιες προτιμήσεις. β. Εξηγείστε γιατί δεν αντιστοιχούν με τις ίδιες συναρτήσεις παραγωγής. γ. Κάντε χρήση της λογαριθμικής μορφής του ορισμού της ελαστικότητας υποκατάστασης για να δείξετε ότι η συνάρτηση σταθερής ελαστικότητας υποκατάστασης καλά ονομάζεται ως τέτοια (μην κάνετε τους ίδιους υπολογισμούς του Νίκολσον). δ. Δώστε δύο λόγους γιατί οι συναρτήσεις βάζουν περιορισμούς στις τιμές των δ και ρ. Λύση 7 α. Η χρησιμότητα είναι έννοια που ιεραρχεί καταστάσεις οπότε οι συναρτήσεις χρησιμότητας έχουν μόνο τακτική σημασία και έτσι επιδέχονται αύξοντα μονοτονικό μετασχηματισμό. Κάντε αυτόν τον μετασχηματισμό της συνάρτησης U: 

g (U )  (U  ) / και δ = ρ. Αυτό μας δίνει (x1  x2 )  . Αυτός είναι μονοτονικός μετασχηματισμός γιατί g’(U) > 0 για κάθε δ διάφορο του μηδενός. Επίσης δεν μας απασχολεί αν το ε/δ είναι μονό ή ζυγό γιατί το Uδ είναι θετικό για όλα τα x1,x2 θετικά.

Οπότε οι δύο συναρτήσεις αντιπροσωπεύουν τις ίδιες προτιμήσεις και είναι πρακτικά η ταυτόσημες συναρτήσεις χρησιμότητας. (Για τον ίδιο λόγο δεν ενδιαφερόμαστε αν οι εκθέτες μιας συνάρτησης Cobb-Douglas αθροίζονται σε ένα γιατί μπορούμε πάντα να κάνουμε μονοτονικό μετασχηματισμό έτσι ώστε οι εκθέτες να αθροίζονται σε ένα.) β. Οι συναρτήσεις παραγωγής δεν αντιπροσωπεύουν μόνο τακτικές ιεραρχήσεις αλλά φυσικές ιδιότητες (ποσότητες) οπότε οι δύο συναρτήσεις σταθερής ελαστικότητας αντιπροσωπεύουν διαφορετικές συναρτήσεις παραγωγής. γ. Λύνοντας για TRS12 έχουμε Λύνοντας για

f x  TRS12  1   1  f 2  x2 

 1

x2 x2 :  (TRS12 )1/(1  ) x1 x1

Αν πάρουμε τους λογάριθμους έχουμε: ln(

x2 )  [1/ (1   )]ln(TRS12 ) x1

x   ln  2   x1   1 Με την εφαρμογή του ορισμού της ελαστικότητας σε λογάριθμους  ln TRS12 1   που είναι σταθερό.

δ. Η μονοτονικότητα απαιτεί ε>0: f i  0 . Βλέπουμε πως fi   ( x1  x2 )(   )/  ( x1 1 )  0 ισχύει για ε >0.

(Ασθενής) Κυρτότητα:  ( f1 / f 2 ) / x1  0 x  [ f1 / f 2 ] [( x1 / x2 )  1 ]   (   1)  1  x1 x1  x2 

 2

0  0

Η παρακάτω απάντηση ήταν πιο δύσκολη απ’ ότι περίμενα λόγω του ε. Για φθίνουσες αποδόσεις κλίμακα· πρέπει fii  0 . fii   xi  2 ( x1  x2 )( 2  )/  {(   1) x j  (  1) xi }

Οπότε, για να ισχύει σε αυτήν την περίπτωση με ε=1 πρέπει το   1 . Αν το ε >1, τότε   1 είναι αναγκαία άλλα όχι ικανή συνθήκη. Αν το ε < 0, τότε   1 δεν είναι ούτε αναγκαία ούτε ικανή συνθήκη.

8. Δείξτε διαγραμματικά πώς θα μπορούσαμε να έχουμε ‘ακραίες λύσεις’ στο πρόβλημα του παραγωγού (ελαχιστοποίηση του κόστους) όπως είχαμε στο πρόβλημα του καταναλωτή και ερμηνεύστε το διάγραμμα κάνοντας αναφορά στο ΟΛΤΥ.

Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει την περίπτωση που έχουμε τέλεια υποκατάστατες εισροές (η μπλε γραμμή είναι η καμπύλη ίσου προϊόντος) και μια καμπύλη ίσου κόστους (πορτοκαλί χρώμα) που έχει κλίση μεγαλύτερη από τον ΟΛΤΥ. Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε ακραία λύση όπου η εταιρεία προσλαμβάνει μόνο κεφάλαιο.

Πακέτο ΙII-2006: Ασκήσεις Μικροοικονομικής Θεωρίας Ι Προσοχή: ημερομηνία παράδοσης 8 Ιανουαρίου 2007 Προσοχή: Για να ληφθεί υπόψη η συμμετοχή σας στα πακέτα ασκήσεων στον τελικό βαθμό σας να έχετε φροντίσει την καταγραφή των βαθμών σας στο wiki το αργότερο μέχρι τις 15 Ιανουαρίου 2007. Ανακοίνωση: Μπορείτε να παραλάβετε το φυλλάδιο με τις σημειώσεις της Μίκρο από την γραμματεία. Βαθμολόγηση: Κάθε άσκηση αντιστοιχεί με 1 μονάδα εκτός αν αναφέρει ρητά κάτι άλλο. Εάν θεωρείτε πως έχετε απαντήσει την μισή άσκηση σωστά τότε βάλτε τις μισές μονάδες για εκείνη την άσκηση. Ο βαθμός μπορεί να είναι δεκαδικός. Άσκηση 1. (2 βαθμοί) Υποθέστε ότι μια επιχείριση παράγει ένα προϊόν με τη συνάρτηση παραγωγής 2 3

1 3

Q = 9K L

Το ημερομίσθιο είναι €18 την ώρα και η απόδοση του κεφαλαίου €36 την ώρα. Η επιχείρηση αντιμετωπίζει την εξής συνάρτηση ζήτησης Q = 240 – 10P α. Βρείτε το συνδυασμό κεφαλαίου (Κ) και εργασίας (L) και το επίπεδο του προϊόντος που μεγιστοποιεί τα κέρδη. Ποια τιμή θα χρεώνει η επιχείρηση; Ποιο το κέρδος της επιχείρησης; β. Ας υποθέσουμε ότι η επιχείρηση θέλει να μεγιστοποιήσει τα έσοδα της, αντί τα κέρδη. Πόσο προϊόν πρέπει να παράγει η επιχείρηση; Ποια τιμή θα χρεώνει; Πόσα κέρδη θα κάνει η επιχείρηση σε αυτή την περίπτωση αν παράγει το προϊόν της με το ελάχιστο κόστος; Άσκηση 1. Απάντηση α. λύνοντας τη συνάρτηση ζήτησης ως προς P έχουμε ότι P = 24 – 0,1Q Τα συνολικά έσοδα είναι TR = PQ = 24Q – 0,1Q2 Το οριακό έσοδο είναι

MR = 24 – 0,2Q

Το συνολικό κόστος είναι TC = 36K + 18L Για να εκφράσουμε το συνολικό κόστος ως συνάρτηση του Q, θα χρησιμοποιήσουμε τη συνθήκη για ελαχιστοποίηση του κόστους και τη συνάρτηση παραγωγής. Ξέρουμε ότι το κόστος ελαχιστοποιείται όταν ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (MRTS) ισούται με το λόγο των τιμών των συντελεστών. Από τη συνάρτηση παραγωγής έχουμε ότι

1 1 2 2 − − dQ dQ 3 3 και 3 = 6K L = 3K L 3 dL dK

MRTSKL = που συνεπάγεται ότι K = L.

K w 18 = = 2 L r 36

Άρα 2 3

1 3

2 3

1 3

Q = 9K L = 9K K = 9K και

K = L = Q/9

Αντικαθιστώντας στον ορισμό του TC, έχουμε TC = 36(Q/9) + 18(Q/9) = 4Q + 2Q =6Q,

και άρα

MC = 6 Από τα πιο πάνω έχουμε ότι MR (=24 – 0,2Q) = MC(=6) Q = 90 Και επομένως

Κ= 10,

L = 10

Η τιμή θα είναι P = 24 – 0,1 (90) = 15 Και τα κέρδη της επιχείρησης είναι Π = TR – TC = 24Q – 0,1Q2 – 6Q = 18Q – 0,1Q2 = 810. β. Η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα έσοδα της όταν θέτει το οριακό της έσοδο ίσο με το μηδέν. Δηλαδή MR = 24 – 0,2Q = 0, το οποίο συνεπάγεται ότι Q = 120 Η τιμή του προϊόντος θα είναι τώρα P = 24 – 0,1(120) = 12,

και

Π = TR – TC = 24Q – 0,1Q2 – 6Q = 18Q – 0,1Q2 Π =720 Άσκηση 2 (2 βαθμοί)

Ας υποθέσουμε ότι μια επιχείρηση έχει μια συνάρτηση συνολικού βραχυχρόνιου κόστους της μορφής STC = 0,03Q3 + 1,8Q2 + 36Q + 10 Να βρείτε την εξίσωση βραχυχρόνιας προσφοράς της επιχείρησης με προϊόν Q ως συνάρτηση της τιμής P.

Άσκηση 2. Απάντηση Σε μια ανταγωνιστική αγορά η βραχυχρόνια καμπύλη προσφοράς προσδιορίζεται εκεί όπου η τιμή (P) είναι ίση με το οριακό κόστος (MC), με δεδομένο ότι το MC είναι μεγαλύτερο από το AVC. MC = 0,09Q2 + 3,6Q + 36, Επίσης TVC = 0,03Q3 + 1,8Q2 + 36Q , και AVC = 0,03Q2 + 1,8Q + 36 Το MC είναι μεγαλύτερο από το AVC για όλες τις θετικές τιμές του Q, επειδή κάθε όρος στο MC είναι τουλάχιστο οσο μεγάλος είναι και στο AVC. Άρα η βραχυχρόνια καμπύλη προσφοράς είναι P = 0,009Q2 + 3,6Q + 36 για Q>0, P>36. Γράφοντας το ως συνάρτηση του P βρίσκουμε 0,09Q2 + 3,6Q + (36 – P) = 0 Q = {-3,6 + [3,62 – 4(0,09)(36 – P)]0,5}/2(0,09), και QS = -20 + (10/3)P0,5 QS = 0

για P≥36 για P<36

Άσκηση 3. Να δείξετε ότι η συνάρτηση

f ( K , L) = K 2 + L , K , L ≥ 0 δεν αντιπροσωπεύει

τεχνολογία με αύξουσες, σταθερές ή φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας. Άσκηση 3. Απάντηση Για να δούμε τις αποδόσεις κλίμακας γράφουμε f (λK , λL) = λt f ( K , L) , όπου λ>1 και t>0. Έχουμε όμως

f ( λ K , λ L ) = ( λK ) 2 + λ L = λ2 K 2 + λ

η οποία δεν μπορεί να γραφεί ως

λ t (K 2 + L) Άσκηση 4 Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής μιας επιχείρησης είναι

f ( K , L) = (3 K + L ) 2 Η τιμή του Κ είναι €1και η τιμή του L είναι €3. Ποιος είναι ο πιο φτηνός τρόπος παραγωγής 16 μονάδων του προϊόντος; Άσκηση 4. Απάντηση Στο άριστο

TRS =

Έχουμε ακόμη ότι

r w

∂f r MPK ∂K 3 L 1 = = TRS = = = ∂f w MPL K 3 ∂L

(3 K + L ) 2 = 16 Λύνοντας έχουμε Κ= 81/49,

L = 1/49

Το ελάχιστο κόστος για την παραγωγή 16 μονάδων είναι (81/49) + 3 x (1/49) =12/7

Άσκηση 5. Να βρείτε τη συνάρτηση κόστους για τις εξής συναρτήσεις παραγωγής

min{x1 , x22 } 1

β . x1 2 x2 2 Άσκηση 5. Απάντηση α. Στο άριστο σημείο έχουμε

x1 = x22 = y Άρα

c( y ) = w1 y + w2 y 1

β. Με x1 2 x2 2

TRS =

w1 MP1 x2 = = w2 MP2 x1 1

Έχουμε επίσης ότι y = x1 2 x2 2 Λύνοντας τις δύο πιο πάνω σχέσεις έχουμε ότι 1

⎛ w2 ⎞ 2 x1 = ⎜⎜ ⎟⎟ y ⎝ w1 ⎠ 1

⎛ w1 ⎞ 2 x2 = ⎜⎜ ⎟⎟ y ⎝ w2 ⎠ Άρα η συνάρτηση κόστους είναι 1

⎛ w2 ⎞ 2 ⎛ w1 ⎞ 2 c( y ) = w1 ⎜⎜ ⎟⎟ y + w2 ⎜⎜ ⎟⎟ y = 2 w2 w1 y ⎝ w1 ⎠ ⎝ w2 ⎠ Άσκηση 6 Δείξετε πώς ένα μονοπώλιο θα παράγει μόνο στο ελαστικό τμήμα της καμπύλης ζήτησης. Απάντηση 6 Η ΣΠΤ για μεγιστοποίηση κερδών ενός μονοπωλητή είναι

P(Q) +

∂P(Q) Q = MC ∂Q

⎡ ∂P(Q) Q ⎤ ⇔ P(Q) ⎢1 + ⎥ = MC ( ) Q P Q ∂ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⇔ P(Q) ⎢1 + ⎥ = MC Q P ∂ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ∂P Q ⎥⎦ ⎡ 1⎤ ⇔ P(Q) ⎢1 + ⎥ = MC ⎣ ε⎦ Όσο η καμπύλη ζήτηση έχει αρνητική κλίση, ε < 0. Οπότε, τα οριακά έσοδα είναι θετικά

1− −

> −1

ε >1 Άσκηση 7 (2 βαθμοί) Έστω μια επιχείρηση με συνάρτηση παραγωγής f(x) -= 20x – x2 . Έστω η τιμή του προϊόντος που πουλάει είναι p = 1, και οι τιμή της εισροής x είναι w. Μόνο θετικές ποσότητες της εισροής μπορούν να χρησιμοποιηθούν. (α) Ποια είναι η συνθήκη πρώτης τάξης για μεγιστοποίηση κερδών αν x > 0; Απάντηση

π = f ( x) − wx = 20 x − x 2 − wx ∂π ⇒ ΣΠΤ :

∂x

= 20 − 2 x − w

7 (β) Για ποιες τιμές του w θα είναι η άριστη τιμή του x μηδέν; Απάντηση: Λύνοντας την ΣΠΤ για θετική τιμή (μεγαλύτερη του μηδενός) του x έχουμε:

x* = 10 −

w 2

Η επιχείρηση θα επιλέξει θετική τιμή μόνο εάν ισχύουν δύο συνθήκες: (1)

x* ≥ 0 και (2) τα κέρδη για θετική τιμή του x είναι μεγαλύτερα από τα κέρδη που θα είχε αν δεν παρήγαγε τίποτα (x = 0). Η πρώτη συνθήκη ισχύει

⇔ 10 −

w ≥ 0 ⇔ w ≤ 20 2

Η δεύτερη συνθήκη ισχύει πάντα για αυτήν την συνάρτηση παραγωγής (μπορείτε να εξηγείσετε γιατί;). Οπότε, η άριστη τιμή του x θα είναι μηδέν όταν (γ) Για ποιες τιμές του w θα είναι η άριστη τιμή του x δέκα; Απάντηση:

x* = 10 −

w = 10 ⇔ w = 0 2

(δ) Βρείτε την παράγωγη ζήτηση εργασίας ως συνάρτηση του w. Απάντηση:

w ⎧ αν w ≤ 20 ⎪10 − x =⎨ 2 ⎪⎩0 αν w > 20 *

(ε) Βρείτε την συνάρτηση κέρδους Απάντηση:

⎧20( x* ) − ( x* ) 2 − w( x* ) αν w ≤ 20 π =⎨ αν w > 20 ⎩0

w ≥ 20 .

2006-1007 :

!" 5

16.00,

x2 (p1)

(p2)

p1 = p2 =1.

u(x1,x2) = x1x2. .

!400 ) "

; # $

%) & $

% !0,50 (

) $ ;'

!100. " $ . #

)

p1 x1 + p2x2 = 400 Cobb-Douglas $

MRS

( p2 =1

(x , x ) 1 2

MRS

U (x , x ) 1 2 x 1 U (x , x ) 1 2 x 2

(x , x ) 1 2

p1 p2

x 2 x 1 ,

p1 =

2 )

x1 x2

1 x1 = x2

x1 + x2= 400 x1 = x2 = 200

%) + $

0,5x1 + x2 = 400 x1 , 200, x1 + x2 = 500 x1 > 200. -

$ :

% . (0,400) , , !100. '

, !200,

!400 . 50 50 !200, (200,300)

$ .

(0,400)

. + (200,300) –(1/2). , (200,300), . , $ $ !400 (200,300). +

!2. /

-1

, (500,0)

!100. (200,300)

!300, 1

&. +

!4. + UA = X2Y

0 U$ = X(Y+100) .2 %

$ 1

%. 2

1 2.

& . *$

5% + 4& = 300 A MRS XY

2Y X

MRS XYA

pX pY

)

2Y X

4 % = 40 "

& = 25

B MRS XY

5 4

pX pY

Y 100 X

B MRS XY

5 4

% % = 70, &= -12,5

% = 60, & = 0.

min

max

a. '

u(x,y) = x+2y

1 u 2

1 x 2

b. '

u(x,y) =min{x,2y}

x min{x,2 y}

1 [ u, 2 1 u 2

)

1 x 2 1 y x 2

6 c. '

u(x,y) =max{x,2y}

x u

max{x,2 y} 2y

1 x 2 1 y x 2

* 1 u] 2

[ 0, y

1 u 2

d. '

u(x,y) =min{2x+y, 2y+x}

y, 2 y

* u y

min{2 x

1 u 2

1 x 2

x y

e. '

u(x,y) =max{2x+y, 2y+x}

y, 2 y

* y

max{2 x

u 2x 1 1 u x 2 2

x y

& ,

B. -

U(A,B)

8 .1

. )

B 0..

: U ( A, B )

7 A 4

(

$ B

7 A 4

0 : U ( A, B )

min 2 A,5B

L, $ 2/5

. $

)

&; %) $ ; )

# )

1 1. )

& 6.

# ' y

, %)

U(x; y) = x(y + 1). + x. ' ;"

10. " $

y; .

. x

2 '

; # +

MRS

2x+y = 10. 4

(y + 1)/x = 2. $

9 x = 11/4 %

, ,

.. "

( )

" $

(*)

)

2 p2, -p2 /p1 . 4 5 (

. .

! !( .

MRS

y = 9/2. .

. 4 5 ( U = 1000+2min {x, y} . (6(

$ x 2 20 4 x11 / 2 . / MRS= -(5/4). 4 5 (

4. (4,16), 5.

' $ $

CD % CD CD CD .4 5 (

’ ’

6. 4 5 ( U ( x, y )

U ( x, y )

7. + Cobb-Douglas. (6(

.+'

2 ln x 3 ln y

.4 5 ( 9. + 3 . 10.

" (

2 y

½,

U(x; y) = (x + 2)(y + 1). MRSxy

U(x; y) = x+2y.

.4 5 ( x

)) ) ! ) + : " ,

.4 5 (

;

10 1.

;

( ) (%) ( ) ( ) ( ) "

(18, 25) (8, 25) (8, 17) :

: .

( ) (%) ( ) ( ) ( )3 "

% .

! 0 .'

, 20 %

$ 18

% ( ) 64 (%) 3 ( ) 21 ( ) 54 ( )3 "

19 ;

47 %

5. +

U(x; y) = y +5x0,5.

1 ,

( ) 14 (%) 9 ( ) 11 ( )7 ( ) " 6.

. (8, 16). (8, 16). (18, 28).

2. ( ) (%) ( ) ( ) ( )3 "

(12,19). ."

x is

;

: %

$ 64

U(x1, x2) = 4x11/2 +x2. 17

;

11 ( )9 (%) 19 ( )4 ( )2 (3) 1 "

7. + 0 184. ; ( ) 17 (%) 22 ( ) 24 ( )0 ( ) 19 " 8.

U(x; y) = x -(1/y),

1 !30,

1 y. y

(

). 1,

( ) 30 (%) 15 ( ) 60 ( )6 ( ) 90 "

+ -

-1. '

20 . ( )+ (%) + % ( ) Coke and Pepsi cost the same. ( ) ." ( ) . " + 10. ( )

( ) (%) ( ) ( ) ( ) " 9. +

U(x, y) = x+63y-3y2. 33,

(0) ;

. U(xA; xB) = xAxB; + 120,

2006-1007 :

!"# "

28 " &

" %& (().

16.00, "% ,

. , $

( )

, .

, .(

Engel .(

, ,

. .

5. x

y z

y x

6. !

Laspeyres

1, 1

1. .

7. x

z. (

8. " . (. 9. # ,

10. %

$ .(

$ 11.

x $

, x

, . .

12. ! &

Giffen.

Giffen

. . 13. '

Hicks

$ $ .

$ 14. '

$ , .(

$ 15.

Cobb-Douglas, . (

" &"

)

( *; +

Py = 1

. ) 10

20,

(" ) 1.

)

MU X

2 X

MU Y

2 Y

MUX/MUY =(/*. PX/PY. ,

YPY=XPX,

XPX +YPY =m, *=0,5m/PX

Y=0,5m/PY. +

P( = 1

100%),

m/20 0,5.

)

$ m/40,

20 ( 50%. ,

( * -*

m m, PX,

)

100

(; )

2; )

200; (" )

MU X

PX/PY.

MUY=1. ,

2 X

1 (m PX X ) PY

PY . + 4 PX

m PY

PY2 4

PX,

PY2 , 16

MRS

MUX/MUY PY2

2 (

4 PX2

100%),

75%. ,

0,75.

) (

(

U = X2/3Y1/3. . /

(

03. / $

Engel

(

; )

*; (

(

; 3.

)

) ' , MRS

.# . #

MRSYX = 2Y/X = PX/PY = 08/03 Y = (4/3)X. Engel

(m).

8X+3Y = m 2Y/X = 8/3 X = 1/12. &

X/m = 1/12 * = PXX/m = 8(1/12) = 2/3.

.% 2/3

*. ,

1/3

(

1. $) " $

: MRSYX = 2Y/X = PX/PY => 2PYY = PXX PXX + PYY = m :

PXX +0,5PXX = m X = m/(1,5PX). 0150,

X = 150/(1,5PX)= 100/PX. #

)

PY.

* 4.

(

U = (X + 20)(Y + 20). ) &

* 0120,

$ 4

(

02;

(

010

$) (

.2 (,

(Hicks); )

(

; 4.

)

MRS .. : 10X + 2Y = 120

MRSYX=PX/PY: (Y + 20)/(X + 20) = 10/2 .

, X = -2 and Y = 70.

. .%

X=0

(

Y = 60. "

MRSYX

*. $) "

: 2X + 2Y = 120

MRSYX=PX/PY: (Y + 20)/(X + 20) = 2/2 .

, X = 30

Y = 30. ! 30

(Hicks),

30. &

( $

. 0, Y = 60,

MRSYX = 1: : (X + 20)(Y + 20) = (0 + 20)(60 + 20) = 1600

MRSYX=PX/PY: (Y + 20)/(X + 20) = 2/2 .

X = 20

Y = 20. '

X = 0, Y = 60

X = 20, Y = 20 *. 5

X = 20, Y = 20

20 X = 30, Y = 30

(

40. ' ,

* (

10.

)

'. U XY . ! X I 2 Px .

* Y

( *

(

2 Py 288. (

, PX = 18

PY = 2. 8.

(

. )

, X

288

, X

288

2(18)

2(8)

8, Y

288

2( 2)

: 576

………………………………(1)

8(72)

576

MRS XY

Y X

(1)

(2)

X = 12

Y = 48

8 2

PX PY

………………………..(2) Y$

, ,

= 12 – 8 = 4 (

= 18 – 12 = 6 )

6. (

, x1, x2, x3,.

p1, p2, p3, 6 .

) U(x 1 , x 2 , x 3 )

a log x1 , b log x 2

( )% Douglas. 6

L a ln x1

b ln x 2

Cobb-

L 0 x1 L 0 x2 L 0 x3 ,

a, b , c

x1 1 x 2 x3

*) U(x1 , x 2 , x 3 ) )

c log x 3

c ln x3 a x1 b x2 c x3

( p1 x1

p2 x2 a p1 b p2 c p3

p3 x3

x1 x2 x3

a b c

a m (a b c) p1 b m ( a b c ) p2 c m (a b c) p3

2 x1

)

a b c m

U(x,y) =min{3x,5y}. !

220. )

PY = 10 ;

(

7. (#

3x = 5y x = (5/3)y

y=(3/5)x

! 5x + 10y =220 "

$ x* = 20, y* = 12

(

». #

PX = 5

)

x1= m-p1.

(

)

8. *1

*2 . '

U(X1, X2 ) = ln X1 + X2 . P1=1, P2=4,

m=20.

))

*2.

$) (

P1=2. )

X1. )3

Slutsky X1.

$ 8.

)

1 x1 1

) MRS= -(P1/ P2)

1 4

= 4. " . "

1*1 + 4*2 = 20, $ $) +

*2 = 4.

MRS= -(2/4)

–(1*1)= -1/2,

*1 = 2.

Slutsky

. 2(4) + 4(4) = 24. 04. 7

m’ – m = X1 5- = 4(1) = 4. )

; X1 = 2,

. = 2 – 4 = -2 .' m = 20

X1 = 2,

x1S

x1 ( p1' , m') x1 ( p1 , m) 2 4

x1 ( p1' , m) x1 ( p1' , m')

x1n

2 2

) (

U( , ) = 2ln3 + 2ln2 '

t=1

)(

m=20.

t = 1,

$) )

t = 1,

;

) '

$ 2

PB PK

MRS

B K

PK K

2 PB B

$ PB PK PB B

m .# 2 PB

PK (

PB B PK

PB B) PB B PK

m 2 PK

* 3 = 20/4 = 5

2 = 20/2 = 10,

U = 2ln(5) +2ln(10) = 7,82

" * &: )

2 ln(

;

m' m' ) 2 ln( ) 2(2 1) 2(1)

7,82 ,

(2+1)

m’ 2ln (m’) – 2ln (6) + 2ln (m’) – 2ln (2) = 7,82 4 lnm’ = 7,82 + 2ln(6) + 2ln(2) ln m’= 3,20 elnm’= e3,20

m’ = 24,5 CV = 24,5 – 20 = 4,5 " * &:)

; "

: 3 = 20/2(3) = 10/3

= 2ln(10/3) + 2ln(10) = 7,01

m’

. 2 ln(

2 = 20/2 = 10

m' m' ) 2 ln( ) 2( 2) 2(1)

7,01

2ln (m’) + 2ln(m’) = 7,01 + 2ln (4) + 2ln(2) lnm’= 2,79

m’ = e2,79 = 16.33 EV = 20 – 16,33 = 3,67

2007-2008 : !

2008,

16.00,

. ( )

1 x2 = 500 - p,

x1 = 1.000 - 2p

p < 500.

q = 20 - 2p, .

4. 10

f(x, y) = min{2x + y, x + 2y},

6. !

! 7.

f(x1, x2) = x1x2,

8. #

$ . f(x, y) = x2/3 + y2/3

10. % 11. &

1/2

13.

2 x = 1.500 - 3p

12.

( )

f(x1, x2) = (2x1 + 4x2) . ' $ ,

$ ,

$ .

14. %

(y) = 10 + 3y

$ 15. % 16. (

$ .

17. % "

18. #

p1 p1

F(x, y) = x3/4y3/4, ,

20. . () 1.

3. %

4. %

p2 p2.

19.

2. %

. ". . . . . ". . . .

. ". . . .

3 3,33 4 5 6 I

. . . .

19,

-2,83. -11,33. -17 -8,50. -5,67.

2,5,

6.000. ) 1,0. 2,25. 2. -0,50. 2,50. ,

) 2

P = 45,

Q = 1.000P-2,50I 2. *

17,

(p) = 200.000 – 10.000p,

(p) = (p + 1)-2,

. ". . . .

6. % !

7. &

8. .

9. &

10. %

. ". . . .

-3,80 -7,60 -5,70 -3,80 -1,90 ; 80 40 20 10 + ! p = 3 + q. ,

p = 240 - 2q ! 6

f(x1, x2) = (x"1 + x"2) ,

) )

. ". . . .

/ / / / +

. ". . .

. "

+ + + -

. ". . . .

q = 3.800 - 95p,

$ x2 = 70x15. x1/x2 = 4 x2 = 70x1-4. x2 = 70x1-0,20. x1 = 0.20x2-0,80

. .

! ,

" . .. >0

> 0. %

2 + > 1. > 1. + > 1. = 1. = . >0 >0. )

f(x1, x2) = (x 1 + x 2) , ! ; <1 <1 > <1 . f(x1, x2) = x10,80x20,20. % 702/10

Q = 50K0,25L0,25

) 0

. .

11. & " " " "

12. &

13. &

14. 1

15. %

. $

. ". . . .

;

.% .-

8 15 30 17 7 + q = 4x . % 64. 16. 60. 8. +

1 . ". . . .

. ". . . .

. 1

304 608 300 612 292 ! .%

;

2.580 4.760 8.460 6.180 +

. 4y1/2. ". (3/4)y1/2. . (3/4)y2. . (4/3)y2. . + 16. ) " = , &= )

, x. % 3. %

2. %

" x

. 1/2

. ". . . .

q = 154x - 5x2, - $ 2 x

f(x1, x2) = 12x11/2 + 4x21/2. % $ 4. -

170

" .%

q = min{x, y} x 18 y 10. -

. .)

;

y = f(x1, x2) = (min{x1, 3x2})1/2, , w1 = w2 = 1, t

. .

F(L, M) = 4L1/2M1/2 (L

19. %

20. %

21. .

$ 192. 192. 192. 320. 160.

. ". . . .

17. & %

18. & !

c(y) = 2y3 - 16y2 + 64y + 50.

" $ . ". . . .

16. 64. 32. 35. 31.

. ". . . .

64. 72. 16. 32. 37.

(Q) = 4Q2 + 64. & $

1 . ". . . . . ". . . .

w1 = 5 ! p/20. m x{w1, 5w2}p. min{w1, 5w2}p. 10p. min{5p, 125p}p.

S(p) =

(q) = 6q2 + 486. &

! 216. 54. 224. 108. 113.

c(y) = y2 + 4 for y > 0 .' . 4. ". 23. . 25. . 46. . 2.

f(x1, x2) = (min{x1, 5x2})1/2. 2 w2 = 25

c(0) = 0. %

(p) = 50 - p,

$% *

" C(q) = 5q2 + 180,

. P,

") & "

( ),

q(P).

80;

; 2. ,

(L),

Q = KL + M. ' 4, 16

1. %

K, L, ,

) & + = 20,

(M)

M + = 20.

! ;#

, ") -

(K)

;; 400

;

3. Q = KL

! $%

! .( "

, ,

, L,

$ y

w+ = 20.

)( ") *

" ; $

wL = 10

! 2008. 2 "

) -

+ = 1.000

2008.

" ;

" ;)

;

Πακέτο Ι-2006: Ασκήσεις και Λύσεις Μικροοικονομικής Θεωρίας Ι Βαθμολόγηση: Κάθε άσκηση αντιστοιχεί με 2 μονάδες εκτός αν αναφέρει ρητά κάτι άλλο. Εάν θεωρείτε πως έχετε απαντήσει την μισή άσκηση σωστά τότε βάλτε τις μισές μονάδες για εκείνη την άσκηση. Ο βαθμός μπορεί να είναι δεκαδικός, π.χ., στην πρώτη άσκηση μπορεί να έχετε απαντήσει 14 από τις 19 υποερωτήσεις σωστά. Σε αυτήν την περίπτωση ο βαθμός για την άσκηση θα είναι 0,73 μονάδες. Άσκηση 1 Σε κάθε μια από τις πιο κάτω συναρτήσεις του x, να υπολογίσετε την παράγωγο ως προς x. Αν μια συνάρτηση έχει περισσότερες από μια μεταβλητές, να βρείτε τη μερική παράγωγο ως προς x. Δεν είναι απαραίτητο να δείξετε λεπτομέρειες της εργασίας σας.

Άσκηση 1, Απάντηση a. f’(x) = 8x b. f’(x) = 6 c. f’(x) = 6

2 d. f’(x) = 45x2+8x e. u’= -6x2 f. u’= 1/x g. f’(x) = (1/2)x - (1/2) h. f’(x) = y i. f’(x) = (1/2)x –(1/2) y (1/2) j. u’(x) = (1/2)x –(1/2) y (1/2) k. u’(x) = 2(x+3) l. f’(x) = 3/x m. f’(x) = (1/3)x –(2/3) y (1/2) z (1/6) n. f’(x) = 0 o. f’(x) = 0 p. f’(x) = 3/x q. f’(x) = 2x log x +x2 (1/x) r. f’(x) = (1-logx)/x2 s. f’(x) = 2x log y+12x2y

Άσκηση 2 Απεικονίστε γραφικά μια καμπύλη αδιαφορίας για κάθε μια από τις πιο κάτω συναρτήσεις. Υπολογείστε τον οριακό λόγο υποκατάστασης για κάθε συνάρτηση. Είναι οι καμπύλες αδιαφορίας κυρτές; a. U = 4X + 2Y b. U =

c. U =

X 2Y 2

d. U = X 1 / 3Y 2 / 3 e. U = logX + logY

Άσκηση 2. Απάντηση

a. U = 4X + 2Y Y

b. U =

MRS =

c. U =

ασθενώς κυρτή

Y MRS = − X

dU / dX = −4 / 2 = −2 dU / dY

X 2Y 2

MRS = −

Y X

Κυρτή; Ναι

d. U = X 1 / 3Y 2 / 3

MRS = −

1Y 2X

Κυρτή; Ναι e. U = log X + log Y

MRS = −

Μονοτονικός μετασχηματισμός των προτιμήσεων στο b και c

Y X

Κυρτή; Ναι

Άσκηση 3 Να βρείτε τις MU1, MU2, και MRS για κάθε μια από τις πιο κάτω συναρτήσεις

1. U(x1, x2) = x1x2 2. U(x1, x2) = ax1+bx2 3. U(x1, x2) = (ax1+bx2)2 – 2, x1, x2 ≥0 4. U(x1, x2) = ln x1 + x2) Άσκηση 3. Απάντηση With Με

Με

Έχουμε

Με

Έχουμε

Άσκηση 4 Απεικονίστε τις καμπύλες αδιαφορίας για τις εξής συναρτήσεις χρησιμότητας

όπου min σημαίνει ελάχιστο και max μέγιστο Άσκηση 4. Απάντηση

a. Με συνάρτηση χρησιμότητας u(x,y) = x+2y και με σταθερή τη χρησιμότητα u έχουμε ότι y = 1 u − 1 x που είναι η εξίσωση της καμπύλης αδιαφορίας.

Καμπύλες αδιαφορίας

b. Με συνάρτηση χρησιμότητας u(x,y) =min{x,2y} και με σταθερή τη χρησιμότητα

u ότι

1 ⎧ ⎪⎪ x αν y ≥ 2 x u = min{x,2 y} = ⎨ ⎪2 y αν y < 1 x ⎪⎩ 2

Επιλύνοντας ως προς y έχουμε ότι ⎧ 1 ∈ [ u , + ∞ ) αν x = u ⎪⎪ y=⎨ 2 ⎪= 1 u αν x > u ⎪⎩ 2

που είναι η εξίσωση για τις καμπύλες αδιαφορίας

Καμπύλες αδιαφορίας

c. Με συνάρτηση χρησιμότητας u(x,y) =max{x,2y} και με σταθερή τη χρησιμότητα

u ότι

1 ⎧ x αν y ≤ x ⎪⎪ 2 u = max{x,2 y} = ⎨ ⎪2 y αν y > 1 x ⎪⎩ 2

Επιλύνοντας ως προς y έχουμε ότι 1 ⎧ ⎪⎪∈ [ 0, 2 u ] αν x = u y=⎨ ⎪= 1 u αν x < u ⎪⎩ 2

που είναι η εξίσωση για τις καμπύλες αδιαφορίας

Καμπύλες αδιαφορίας

d. Με συνάρτηση χρησιμότητας χρησιμότητα u ότι

u(x,y) =min{2x+y, 2y+x} και με σταθερή τη

⎧⎪2 x + y αν y ≥ x u = min{2 x + y, 2 y + x} = ⎨ ⎪⎩2 y + x αν y < x

Επιλύοντας ως προς y έχουμε ότι ⎧u − 2 x αν y ≥ x ⎪ y = ⎨1 1 αν ⎪⎩ 2 u − 2 x

y<x

που είναι η εξίσωση για τις καμπύλες αδιαφορίας

Καμπύλες αδιαφορίας

e. Με συνάρτηση χρησιμότητας u(x,y) =max{2x+y, 2y+x} και με σταθερή τη χρησιμότητα u έχουμε ότι ⎧2 x + y αν y < x ⎪ u = max{2 x + y, 2 y + x} = ⎨ ⎪⎩2 y + x αν y ≥ x

Επιλύνοντας ως προς y έχουμε ότι ⎧u − 2 x αν y < x ⎪ y = ⎨1 1 αν ⎪⎩ 2 u − 2 x

y≥x

που είναι η εξίσωση για τις καμπύλες αδιαφορίας

Καμπύλες αδιαφορίας

Άσκηση 5 Έστω δύο καταναλωτές Α και Β και ο καθένας έχει εισόδημα €300, το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αγορά δύο αγαθών Χ και Υ. Η τιμή ανά μονάδα του Χ είναι €5 και του η τιμή του Υ είναι €4. Η συνάρτηση χρησιμότητας του Α δίνεται από τη σχέση UA = X2Y και του ατόμου Β από τη σχέση UΒ = X(Y+100) α. Να βρείτε τους οριακούς λόγους υποκατάστασης μεταξύ Χ και Υ για Α και Β β. Να υπολογίσετε τις ποσότητες των Χ και Υ που θα αγοράσει κάθε άτομο στην προσπάθεια του να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητα του. Εξηγείστε τι ακριβώς κάνετε. Άσκηση 5. Απάντηση Ο εισοδηματικός περιορισμός για κάθε άτομο είναι 5Χ + 4Υ = 300 Για το άτομο Α έχουμε ότι

MRS XYA =

2Y X

και η χρησιμότητα του καταναλωτή μεγιστοποιείται όταν

MRS XYA =

pX pY

Άρα

2Y 5 = X 4

Λύνοντας αυτή τη σχέση σε συνδυασμό με τον εισοδηματικό περιορισμό βρίσκουμε ότι Χ = 40 και Υ = 25 Παρόμοια για το Β άτομο βρίσκουμε ότι B MRS XY =

pX pY

και

B MRS XY =

Y + 100 5 = X 4

Λύνοντας βρίσκουμε ότι Χ = 70, Υ= -12,5 Επειδή όμως δεν μπορεί να έχουμε αρνητική κατανάλωση του Υ, γι αυτό θα έχουμε ακραία λύση και το Β άτομο θα καταναλώνει Χ = 60, Υ = 0.

Πακέτο ΙI-2006: Ασκήσεις Μικροοικονομικής Θεωρίας Ι Προσοχή: ημερομηνία παράδοσης 4 Δεκεμβρίου 2006 Βαθμολόγηση: Κάθε άσκηση αντιστοιχεί με 1 μονάδα εκτός αν αναφέρει ρητά κάτι άλλο. Εάν θεωρείτε πως έχετε απαντήσει την μισή άσκηση σωστά τότε βάλτε τις μισές μονάδες για εκείνη την άσκηση. Ο βαθμός μπορεί να είναι δεκαδικός, π.χ., στην πρώτη άσκηση μπορεί να έχετε απαντήσει 2 από τις 3 υποερωτήσεις σωστά. Σε αυτήν την περίπτωση ο βαθμός για την άσκηση θα είναι 0,66 μονάδες. 1 (δύο μονάδες). Έστω ότι η έμμεση συνάρτηση ενός καταναλωτή είναι V ( Px , Py , I ) = ln I − a ln Px − b ln Py

d (P , P , I ) (α) Βρείτε τις κανονικές (Μαρσαλιανές) συναρτήσεις ζήτησης x x y και d y ( Px , Py , I ) . [Βοήθεια: θα χρειαστείτε την Ταυτότητα του Roy (Roy’s Identity) για να λύσετε το πρόβλημα αυτό. Δείτε σελίδα 161 του Νίκολσον] E ( px , p y , U 0 ) που σχετίζεται με την έμμεση (β) Βρείτε την συνάρτηση δαπανών συνάρτηση που σας δίνει η εκφώνηση. h ( P , P ,U ) (γ) Βρείτε τις αντισταθμιστικές (Χικσιανές) συναρτήσεις ζήτησης x x y 0 και hy ( Px , Py , U 0 ) . Απάντηση: (α) Κάνοντας χρήση της Ταυτότητας του Roy ∂V ∂V ∂P ∂P dx = − x , d y = − y ∂V ∂V ∂I ∂I και από την παραπάνω έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας έχουμε: ∂V a ∂V a ∂V 1 =− , =− , = px ∂Py p y ∂I I ∂Px

οπότε οι Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης είναι: dx = a

I I ,dy = b px py

(β) Για να βρεθεί η συνάρτηση δαπανών κάνουμε χρήση της ταυτότητας: V ( px , p y , E ( px , p y , u )) = u οπότε με την παραπάνω έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας έχουμε

ln E ( px , p y , u ) − a ln px = b ln p y = u και λύνοντας για E ( px , p y , u ) βρίσκουμε την συνάρτηση δαπανών: E ( px , p y , u ) = eu pxa p by

(γ) Για να βρούμε την αντισταθμιστική συνάρτηση ζήτησης (Χικσιανή) κάνουμε χρήση του Λύματος του Sheppard

hi =

∂E ( px , p y , u ) ∂pi

όπου i = x,y. Οπότε κάνοντας χρήση της συνάρτησης δαπανών που βρήκαμε στο (β), μπορούμε να βρούμε την αντισταθμιστική συνάρτηση ζήτησης: hx = aeu pxa −1 p by και hy = beu pxa p by −1 .

2. Έστω ένας καταναλωτής έχει συνάρτηση χρησιμότητας U=

, οπότε

και . Ποια είναι η συνάρτηση ζήτησης; Όταν το Py = 1 και Px μεταβάλλεται από 10 σε 20, ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης? (μπορείτε να την εκφράσετε ως συνάρτηση του I.) Απάντηση: Ο λόγος MUX/MUY μας δίνει Υ/Χ το οποίο εξισώνουμε με τον λόγο των τιμών , PX/PY, οπότε έχουμε YPY=XPX . Οπότε ο καταναλωτής θα δαπανήσει το ίδιο ποσό για κάθε αγαθό. Αντικαθιστώντας στον εισοδηματικό περιορισμό XPX +YPY =I, έχουμε X = 0.5 I/PX και Y=0.5 I/PY. Όταν το Py = 1 και Px αλλάζει από 10 σε 20 (αύξηση κατά 100%), η ζητούμενη ποσότητα αλλάζει από I/20 σε I/40, μείωση κατά 50%. Οπότε η ελαστικότητα ζήτησης είναι 0.5. ( Για πολύ μικρές μεταβολές είναι 1.) 3. Έστω ένας καταναλωτής U= , ώστε ενώ MUY=1. Ποιες είναι οι συναρτήσεις ζήτησης για τα αγαθά X και Y; Ποια η ελαστικότητα ζήτησης του X όταν το PX αλλάζει από 1 στο 2; Ποια είναι η ελαστικότητα εισοδήματος όταν το εισόδημα αλλάζει από 100 σε 200 ευρώ;

Απάντηση: Ο λόγος MUX/MUY είναι βέβαια 1, που εξισώνουμε με τον λόγο των τιμών, PX/PY, οπότε

και

. Όταν αλλάζει η τιμή

PX από 1 στο 2 (αύξηση κατά 100%), το X αλλάζει από σε , αύξηση 75%. Οπότε η ελαστικότητα είναι 0.75. Εφόσον το X δεν είναι συνάρτηση του I, και εξαρτάται μόνο από το λόγο των τιμών για αυτό η ελαστικότητα εισοδήματος είναι μηδέν. 4 (δύο μονάδες). Έστω ότι ένας καταναλωτής έχει μια σταθερής ελαστικότητας −1 −1 συνάρτηση χρησιμότητας U ( X , Y ) = − X − Y . (α) Είναι οι προτιμήσεις που απεικονίζονται με αυτήν την συνάρτηση ομοθετικές; Εξηγείστε την απάντησή σας.

Απάντηση: Ομοθετικές συναρτήσεις χρησιμότητα έχουν ΟΛΥ που εξαρτάται μόνο από τον λόγο των αγαθών και όχι από την απόλυτη ποσότητα των αγαθών. Αυτό είναι χρήσιμο γιατί όλες οι καμπύλες αδιαφορίας είναι απλώς αντίγραφα της μίας, οπότε συμπεράσματα που βγάζουμε από οποιαδήποτε καμπύλη αδιαφορίας (η από κάποια ομάδα καμπυλών) μπορεί να γενικευθεί και για άλλες καμπύλες αδιαφορίας. Οι ομοθετικές προτιμήσεις έχουν όμως και «αδυναμίες». Οι καμπύλες εισοδηματικής επέκτασης (income-consumption curves) είναι ευθείες από την αρχή των αξόνων (μηδέν). Δηλαδή, όταν το εισόδημα αυξηθεί (η μειωθεί) κατά s%, το άριστο καλάθη αγαθών αυξάνεται (μειώνεται) κατά s%. Τι είναι ο ΟΛΥ; MRS =

∂U

−2 ∂X = MU X = X = ⎛⎜ Y ⎞⎟ ∂U MU Y Y −2 ⎝ X ⎠ ∂Y

∴ U ( X , Y ) είναι ομοθετική.

(β) Κάνοντας χρήση της μεθόδου αριστοποίησης Lagrange βρείτε την Μαρσαλιανή (κανονική) συνάρτηση ζήτησης X και Y. Απάντηση: L = − X −1 − Y −1 + λ [I − PX X + PY Y ] ∂L c = 0 → X − 2 − λ PX = 0 ∂X ∂L d = 0 → Y −2 − λ PY = 0 ∂Y ∂L e = 0 → [I − PX X + PY Y ] = 0 ∂λ ⎛ P ⎞ X −2 Y −2 = → X = ⎜⎜ Y ⎟⎟Y PX PY ⎝ PX ⎠ Αντικαθιστώντας το Χ που βρήκαμε στο e και λύνοντας για Y βρίσκουμε:

Συνδυάζοντας c & d μας δίνει ,

⎛ P ⎞ PX ⎜⎜ Y ⎟⎟Y + PY Y = I → ⎝ PX ⎠

(

⎛ P ⎞⎛ I X * = ⎜⎜ Y ⎟⎟⎜ ⎜ ⎝ PX ⎠⎝ PX PY + PY

)

PX PY + PY Y = I → Y * =

I PX PY + PY

⎞ ⎛ PY ⎞⎛ ⎞ ⎛ I I ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ PX ⎟⎜ P ( P + P ) ⎟ ⎜ P + P P X Y ⎠ X Y ⎠⎝ Y ⎠ ⎝ ⎝ X

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(γ) Αν ο καταναλωτής έχει I = $100, PX = $1, and PY = $1, τι ποσότητες του X και Y μεγιστοποιούν την χρησιμότητα; Απεικονίστε τον εισοδηματικό περιορισμό και τις βέλτιστες ποσότητες κατανάλωσης και τουλάχιστον τρία σημεία της συνάρτησης χρησιμότητας (που αντιστοιχεί με την άριστη επιλογή). Απάντηση: Y

100

50 U* = -.04

Y* =

100 I = = 50 yams PX PY + PY (1 + 1)

X* =

100 I = = 50 xylophones PX PY + PX (1 + 1)

U ( X , Y ) = − X −1 − Y −1 =

100

−1 1 2 − = − = −.04 "utils" 50 50 50

Μπορεί να φαίνεται περίεργο νούμερο για μονάδες «χρησιμότητας» (utils), αλλά μην ξεχνάτε πως οι προτιμήσεις είναι τακτικές και έχει σημασία η ιεράρχηση των καλαθιών οπότε δεν έχει σημασία το νούμερο αυτό καθ’ αυτό. Επίσης, έχουμε MU X > 0 και MU Y > 0 και τα δύο φθίνουν. Έστω X = 100, τότε U = -.04 = -1/100 – 1/Y, οπότε Y = 33.33. Οπότε (X,Y) = (100, 33.33) είναι η βέλτιστη καμπύλη αδιαφορίας, όπως το (X,Y) = (33.33, 100).

(δ) Ποια είναι η τιμή του λ στο βέλτιστο σημείο; Εκφράστε την σε μονάδες.

Ποια είναι η οικονομική ερμηνεία του λ ; Δείξετε πως αυτό ισχύει (κατά προσέγγιση) αυξάνοντας το εισόδημα κατά 1 ευρώ και υπολογίζοντας την νέα βέλτιστη χρησιμότητα. Απάντηση: 1 1 1 = 2 = = .0004 utils/δολάρια που μας λεει πόση παραπάνω X PX 50 (1) 2500 χρησιμότητα μας δίνει λίγο παραπάνω Χ (ή Υ) όταν ξοδέψουμε ένα επιπλέον δολάριο για αυτό. Οπότε το λ μπορεί να ειδωθεί ως την οριακή χρησιμότητα ενός επιπλέον δολαρίου κατανάλωσης (με άλλα λόγια η «οριακή χρησιμότητα του χρήματος ). 101 101 Αν I = $101, τότε Y * = = 50.5 , οπότε = 50.5 και X * = (1 + 1) (1 + 1) −1 1 2 U ( X , Y ) == − =− = −.03960396 " utils" που είναι περίπου .0004 50.5 50.5 50.5 περισσότερο από το αρχικό επίπεδο χρησιμότητας, -.0004.

λ=

(ε) Ικανοποιούνται οι συνθήκες δεύτερης τάξης; Εξηγείστε. Απάντηση:

f xx f y2 − 2 f xy f x f y + f yy f x2 < 0 ? f x = X −2 , f xx = −2 X −3 , f xy = 0, f y = Y −2 , f yy = −2Y −3 f xx f y2 − 2 f xy f x f y + f yy f x2 = −2 X −3 (Y − 2 ) 2 − 2(0) X − 2Y − 2 − 2Y −3 ( X − 2 ) 2 = −

2 2 − 12 < 0 12 50 50

ναι, εφόσον έχουμε αρνητικό πρόσημο το X και Y μεγιστοποιούν την χρησιμότητα και η κρίσιμο σημείο που μας δίνουν οι συνθήκες πρώτης τάξης δεν είναι ελάχιστο ή σημείο καμπής. (στ) Αν ο καταναλωτής έβαζε σαν στόχο να πετύχει μια παραπάνω μονάδα χρησιμότητας από αυτό που υπολογίσατε στο (γ) παραπάνω, πόσο παραπάνω εισόδημα θα χρειαζόταν; Απάντηση: 1

1 = 2500 . Χρειάζεται $2,500 παραπάνω δολάρια. .0004 λ Ή μπορεί να παρατηρήσει κάποιος ότι χρειάζεται χρησιμότητα για να γίνει θετική ποσότητα. (-.04 + 1 = .96), που δεν είναι δυνατόν, οπότε καμιά αύξηση εισοδήματος και αύξηση κατανάλωσης των X και Y θα μπορούσαν να φέρουν αυτό το αποτέλεσμα.

λ=

οπότε λ D =

5 (δύο μονάδες). Μια συνάρτηση χρησιμότητας χαρακτηρίζεται «διαχωρίσιμη» εάν μπορεί να γραφτεί ως εξής:

U ( X , Y ) = U1 ( X ) + U 2 (Y ) Όπου U > 0, U < 0 και τα U1 , U 2 δεν είναι κατ’ ανάγκη η ίδια συνάρτηση. (α) Τι υποθέτει η διαχωρισιμότητα σχετικά με την σταυροειδή μερική παράγωγο U XY ; Δώστε μια διαισθητική εξήγηση του τι σημαίνει αυτή η συνθήκη και σε ποιες περιπτώσεις μπορεί να ισχύει. Απάντηση: ' i

'' i

Αυτή η μορφή συνάρτησης υποθέτει ότι UXY = 0. Δηλαδή, η οριακή χρησιμότητα του X δεν εξαρτάται από το πόσο Y καταναλώνεται. Παρότι απίθανο με μια αυστηρή ερμηνεία και όταν εξετάζουμε μεμονωμένα αγαθά, αυτή η ‘ανεξαρτησία’ μπορεί να ισχύει για μεγάλες ομάδες αγαθών όπως «τρόφιμα» και «κατοικίες». (β) Δείξτε ότι εάν η χρησιμότητα είναι διαχωρίσιμη, κανένα αγαθό δεν μπορεί να είναι κατώτερο. Απάντηση:

Επειδή η μεγιστοποίηση της χρησιμότητας απαιτεί MUX / PX = MUY /PY, μια αύξηση του εισοδήματος χωρίς μεταβολή του PX ή PY σημαίνει πως πρέπει και το X και το Y να αυξηθούν για να διατηρηθεί η ισότητα (υποθέτοντας ότι Ui > 0 και Uii < 0) (γ) Μας επιτρέπει η υπόθεση της διαχωρισιμότητας να συμπεράνουμε σίγουρα εάν τα Χ και τα Υ είναι ατελή υποκατάστατα ή ατελή συμπληρωματικά; Εξηγείστε. Απάντηση:

Ξανακάνοντας χρήση του MUX / PX = MUY /PY , μια αύξηση της τιμής PX θα προκαλέσει πτώση στο X , και αύξηση του MUX . Οπότε η κατεύθυνση της μεταβολής του MUX / PX απροσδιόριστη. Οπότε το ίδιο ισχύει και για το Y. . (δ) Χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas προκειμένου να δείξετε ότι η διαχωρισιμότητα δεν μένει ανεπηρέαστη από μονοτονικούς μετασχηματισμούς. Σημείωση: Διαχωρίσιμες συναρτήσεις εξετάζονται λεπτομερέστερα στις Προεκτάσεις του κεφαλαίου 6 του Νίκολσον. Απάντηση: Αν U = X α Y β M U X =α X α−1 Y β

Αλλά ln U = α ln X + β ln Y

M U X = α/X . Οπότε η πρώτη περίπτωση δεν είναι διαχωρίσιμη αλλά η δεύτερη είναι. 6. Έστω μία καταναλώτρια με συνάρτηση χρησιμότητας

u ( x1 , x2 ) = 4 x11/ 2 + 2 x21/ 2 Έχει ένα τριήμερο όπου μπορεί να επιλέξει να μείνει στο χωριό της όπου οι τιμές των δύο αγαθών είναι p1 = 4, p2 = 2 . Εναλλακτικά μπορεί να πάρει ένα λεωφορείο και να 6

πάει σε κοντινή πόλη όπου οι τιμές είναι p1 = 1, p2 = 2 . Δεν λαμβάνει οποιαδήποτε χρησιμότητα (ούτε χάνει χρησιμότητα) από το ταξίδι ή την επίσκεψη σε άλλη πόλη. Έχει εισόδημα Ι = 20. Ποια είναι η μέγιστη τιμή για εισιτήριο του λεωφορείου που διατίθεται να πληρώσει; Απάντηση: Με την μέθοδο του Lagrange μπορούμε να βρούμε τις συναρτήσεις ζήτησης:

Η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας είναι:

Αντικαθιστώντας στην έμμεση συνάρτηση το εισόδημα και τις τιμές του χωριού της βρίσκουμε την αρχική της χρησιμότητα. Αυτή είναι η χρησιμότητα που θα έχει αν αποφασίσει να μην αγοράσει το εισιτήριο για να πάει στην κοντινή πόλη αλλά μείνει στο χωριό της και μεγιστοποιήσει την χρησιμότητά της με τις εκεί τιμές.

Η καταναλώτριά μας θα είναι διατεθειμένη να πληρώσει μέχρι f δολάρια για ένα εισιτήριο λεωφορείου έτσι ώστε το I – f να της παρέχει αρκετό εισόδημα για να

πετύχει την ίδια χρησιμότητα που θα μπορούσε να πετύχει αν παρέμενε στο χωριό της. Οπότε, χρησιμοποιώντας τις τιμές της πόλης και το εισόδημα 20 –f στην συνάρτηση έμμεσης χρησιμότητας μας δίνει:

Οπότε το μέγιστο που θα πλήρωνε η καταναλώτριά μας για εισιτήριο λεωφορείου είναι $13,34. 7. Η συνάρτηση χρησιμότητας του Πέτρου είναι u ( x1 , x2 ) = min{x, y} . Ο Πέτρος έχει $150 και οι τιμές του x και του y είναι $1. Το αφεντικό του Πέτρου σκέφτεται να τον στείλει σε άλλη πόλη που οι τιμές είναι px = 1, p y = 2 . Το αφεντικό δεν προσφέρει

καμιά αύξηση του μισθού του Πέτρου. Ο Πέτρος έχοντας κάνει μικροοικονομική στο Πανεπιστήμιο Αθηνών γνωρίζει καλά τι είναι η αντισταθμιστική (CV) και η ισοδύναμη μεταβολή (EV). Λεει πως το να μετακινηθεί σε άλλη πόλη είναι το ίδιο κακό με μια μείωση του μισθού του κατά $Α. Επίσης λεει πως δεν θα τον πείραζε να μετακομίσει αν λάμβανε μια αύξηση της τάξεως $Β. Βρείτε το Α και το Β. Απάντηση: Με αυτές τις προτιμήσεις που αντιλαμβάνεται τα αγαθά ως τέλεια συμπληρωματικά ο Πέτρος θα επιλέγει πάντα να καταναλώνει ίσες ποσότητες και των δύο αγαθών. Βάζοντας τις τιμές που αντιμετωπίζει στην πόλη που διαμένει ο Πέτρος στην έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας έχουμε:

Αντίστοιχα, αν υποχρεωθεί να πάει στην άλλη πόλη ο Πέτρος χωρίς να λάβει αύξηση μισθού, η έμμεση χρησιμότητα του θα είναι:

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών

Ακαδημαϊκό έτος 2005-2006

ex,I =

1 100 1 dD I = = dI D 100 3 3

ex, p =

dD p 1 2 = −2 = − dp D 3 3

Άσκηση 2 Ένα άτομο καταναλώνει σοκολάτες και άλλα αγαθά. Η συνάρτηση χρησιμότητας του δίνεται από τη σχέση u(x; y) = 100x −(x2/2)+ y, όπου x είναι σοκολάτες και y το εισόδημα που ξοδεύει για τα άλλα αγαθά.. (α) Ποια είναι η (αντίστροφη) καμπύλη ζήτησης για σοκολάτες;. (β) Αν η τιμή της σοκολάτας είναι 50, πόσες σοκολάτες θα αγοραστούν; (γ) Αν η τιμή της σοκολάτας είναι 80, πόσες σοκολάτες θα αγοραστούν; (δ) Έστω ότι το συνολικό εισόδημα είναι 4.000. Ποια είναι η συνολική του χρησιμότητα για σοκολάτες και για το χρήμα που ξοδεύει για άλλα αγαθά, αν η τιμή της σοκολάτας είναι 50;

(ε) Ποια είναι η συνολική του χρησιμότητα για σοκολάτες και για το χρήμα που ξοδεύει για άλλα αγαθά, αν η τιμή της σοκολάτας είναι 80; (ζ) Ποια είναι η μεταβολή στο πλεόνασμα του καταναλωτή όταν η τιμή μεταβάλλεται από το 50 στο 80; Άσκηση 2, Απάντηση Σχηματίζουμε τη Λαγκραντζιανή και έχουμε L=100x −(x2/2)+ y + λ(I- pxx-pyy) Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι (dL/dx)=100-x -λpx=0 (dL/dy)=1 –λpy=0 dL/dλ)= I- pxx-pyy =0 α) Είναι σαφές ότι p = 100 − x β) 50 γ) 20 δ) Αντικαταστήσετε τις πιο πάνω τιμές στη συνάρτηση χρησιμότητας και θα βρείτε 5,250. ε) Πάλι με αντικατάσταση βρίσκουμε 4,200 ζ) Το πλεόνασμα του καταναλωτή στην τιμή 50 είναι 1250 και στην τιμή 80 το πλεόνασμα είναι 200. Άρα η μεταβολή είναι 1050. Άσκηση 3 Έστω καταναλωτής με συνάρτηση χρησιμότητας για δύο αγαθά X και Y, η οποία έχει τη μορφή U = (X + 20)(Y + 20). Ο οριακός λόγος υποκατάστασης είναι MRSX,Y = (Y + 20)/(X + 20). α. Αν ο καταναλωτής επιδιώκει τη μεγιστοποίηση της ευημερίας του, πόσο θα αγοράσει από το X και Y; αν το εισόδημα είναι 120, η τιμή του Χ είναι 10 ανά μονάδα, και η τιμή του Y είναι 2 ανά μονάδα; β. Υποθέστε ότι η τιμή του X μειώνεται στο 2. Πόσο μεταβάλλει ο καταναλωτής τη ζήτηση του για X και Y λόγω του αποτελέσματος υποκατάστασης; Πόσο μεταβάλλει ο καταναλωτής τη ζήτηση του για X και Y λόγω του αποτελέσματος εισοδήματος; Άσκηση 3, Απάντηση

α. Για τη μεγιστοποίηση της ευημερίας του ο καταναλωτής εξισώνει τον MRS με το λόγο των τιμών των δύο αγαθών Εισοδηματικός περιορισμός: 10X + 2Y = 120 MRSX,Y=PX/PY: (Y + 20)/(X + 20) = 10/2 Λύνοντας τις δύο εξισώσεις βρίσκουμε ότι, X = -2 and Y = 70. Αυτός όμως δεν είναι εφικτός συνδυασμός επειδή ο καταναλωτής δεν μπορεί να καταναλώνει αρνητικές ποσότητες του αγαθού Χ. Άρα έχουμε ακραία λύση. Στην περίπτωση αυτή, ο καταναλωτής ξοδεύει όλο του το εισόδημα στο Y, και άρα X = 0 και Y = 60. Στο συνδυασμό αυτό ο MRSX,Y είναι 4, που είναι μικρότερος από το λόγο των τιμών, όπως συμβαίνει όταν έχουμε ακραίες λύσεις με Χ=0 β. Όταν η τιμή μειωθεί στο 2, ακολουθώντας την ίδια διαδικασία έχουμε Εισοδηματικός περιορισμός: 2X + 2Y = 120 MRSX,Y=PX/PY:

(Y + 20)/(X + 20) = 2/2

Λύνοντας τις εξισώσεις αυτές βρίσκουμε, X = 30 και Y = 30. Ο συνδυασμός αυτός είναι εφικτή λύση. Έτσι λόγω της μεταβολής της τιμής, η κατανάλωση του Χ αυξάνει κατά 30 και του Υ μειώνεται κατά 30 μονάδες. Για να βρούμε το αποτέλεσμα υποκατάστασης πρέπει να βρούμε το συνδυασμό στην αρχική καμπύλη αδιαφορίας (δηλαδή με σταθερό το εισόδημα) που εφάπτεται με τη γραμμή του εισοδηματικού περιορισμού που έχει νέα κλίση. Άρα πρέπει να δούμε το συνδυασμό στην καμπύλη αδιαφορίας με Χ=0 και Υ=60, για τον οποίο MRSX,Y = 1: Καμπύλη αδιαφορίας: (X + 20)(Y + 20) = (0 + 20)(60 + 20) = 1600 MRSXY=PX/PY:

(Y + 20)/(X + 20) = 2/2

Λύνοντας τις δύο αυτές εξισώσεις βρίσκουμε, X = 20 και Y = 20. Η κίνηση κατά μήκος της καμπύλης αδιαφορίας, από X = 0, Y = 60 στο X = 20, Y = 20 είναι το αποτέλεσμα υποκατάστασης που προκαλείται από την πτώση της τιμής του Χ. Με άλλα λόγια το αποτέλεσμα υποκατάστασης συνεπάγεται μια αύξηση στην κατανάλωση του Χ κατά 20 μονάδες και μείωση του Υ κατά 40 μονάδες. Η κίνηση από X = 20, Y = 20 στο X = 30, Y = 30 είναι το αποτέλεσμα εισοδήματος, δηλαδή το αποτέλεσμα εισοδήματος από την πτώση της τιμής του Χ είναι μια αύξηση του Χ κατά 10 μονάδες και μια αύξηση του Υ κατά 10.

Άσκηση 4. Ας υποθέσουμε ότι ένας καταναλωτής έχει τη συνάρτηση χρησιμότητας u(x,y) = x + y. Αρχικά ο καταναλωτής αντιμετωπίζει τιμές px=1και py=2 και έχει εισόδημα €10. αν οι τιμές αλλάξουν σε px=4και py=2, να υπολογίσετε την αντισταθμιστική μεταβολή. Άσκηση 4. Απάντηση Αφού τα δύο αγαθά είναι τέλεια υποκατάστατα, ο καταναλωτής θα καταναλώνει το συνδιασμό (10, 0) και θα έχει χρησιμότητα 10. Μετά την αλλαγή τιμής θα καταναλώνει το συνδυασμό (0, 5) και θα έχει χρησιμότητα 5. Μετά την αλλαγή τιμής θα χρειάζεται €20 για να έχει χρησιμότητα 10. Άρα, η αντισταθμιστική μεταβολή είναι 20 − 10 = 10 Άσκηση 5 Η συνάρτηση ζήτησης για τα εισιτήρια ενός τυπικού ποδοσφαιρικού αγώνα για την ομάδα του ΠΟΚ είναι D(p) = 200.000 −10.000p. Ο ιδιοκτήτης της ομάδας ορίζει την τιμή σε τέτοιο ύψος ώστε να μεγιστοποιεί τα έσοδα του. Το στάδιο μπορεί να χωρέσει 100.000 θεατές. (α) Ποια είναι η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης; (β) Ποια είναι η συνάρτηση συνολικών εσόδων; (γ) Σε ποια τιμή θα μεγιστοποιηθούν τα έσοδα;. Ποια ποσότητα πωλείται σ’ αυτή την τιμή; (δ) Σε αυτή την ποσότητα ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης; . Θα γεμίσει το στάδιο; (ε) Μετά τις επιτυχίες της ομάδας στο Champions League, η καμπύλη ζήτησης μετατοπίζεται προς τα πάνω. Η νέα καμπύλη ζήτησης είναι q(p) = 300, 000 −10, 000p. Ποια είναι η νέα αντίστροφη καμπύλη ζήτησης; (ζ) Αν ξεχάσουμε τη χωρητικότητα του γηπέδου, ποια τιμή μεγιστοποιεί τα έσοδα;. Πόσα εισιτήρια πωλούνται σ’ αυτή την τιμή; 150,000. (η) Όπως θα παρατηρήσετε από την πιο πάνω απάντηση, ποσότητα που μεγιστοποιεί τα έσοδα είναι μεγαλύτερη από τη χωρητικότητα του γηπέδου. Ο ιδιοκτήτης της ομάδας ξέρει ότι δεν μπορεί να πωλήσει θέσεις που δεν έχει. Σε ποια τιμή θα πωλήσει τα 100.000 εισιτήρια για να μεγιστοποιήσει τα έσοδα του;

(θ) Ποια η ελαστικότητα ζήτησης σ’ αυτή την τιμή-ποσότητα; Άσκηση 5. Απάντηση α)

p(q) = 20 −q/10, 000

β) R=pq= 20q −q2/10, 000 γ) Παίρνουμε την συνάρτηση συνολικών εσόδων που μπορεί να γραφεί ως pq=200.000p10.000p2 Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της ως προς p, την εξισώνουμε με το μηδέν και λύνουμε ως προς p. Η τιμή είναι 10. Κάνουμε το ίδιο με τη συνάρτηση συνολικών εσόδων R(q) = 20q−q2/10, 000 Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της ως προς q, την εξισώνουμε με το μηδέν και λύνουμε ως προς q. H ποσότητα 100.000 δ) Η ελαστικότητα είναι -1. Το στάδιο θα γεμίσει ε) p(q) = 30 −q/10, 000. ζ) Αν ακολουθήσουμε την ίδια διαδικασία με το (γ) θα βρούμε 15 και θα πωληθούν 150,000 εισιτήρια. η) 20 θ) e = −2. Άσκηση 6

0.5

Υποθέστε ότι η συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή U (x, y) =(xy) . Υποθέστε ότι είναι σταθερές οι τιμές Px =Px 0 και Py =Py 0 και το εισόδημα στο επίπεδο Io. α) Έστω ότι η κυβέρνηση επιβάλλει ένα φόρο t στο αγαθό x (άρα Px (t) =Px 0 t ), αλλά αποζημιώνει κάθε καταναλωτή με ένα ποσό έτσι ώστε να παραμείνει στην αρχική καμπύλη αδιαφορίας U (x, y) =V (Px , Py , I0) . Αυτό μπορούμε να το ονομάσουμε “αντισταθμιστικό” φόρο. Με δεδομένες τις τιμές και το φόρο, τι ποσό πρέπει να δοθεί ως αποζημίωση για να μείνει ο καταναλωτής στην αρχική καμπύλη αδιαφορίας; (Με άλλα λόγια, ποια η διαφορά στη δαπάνη που απαιτείται ώστε ο καταναλωτής να παραμείνει στο παλαιό επίπεδο χρησιμότητας με τη νέα τιμή που περιλαμβάνει το φόρο). β) Πόσα φορολογικά έσοδα εισπράττονται με τον αντισταθμιστικό φόρο ως συνάρτηση των τιμών, του εισοδήματος και του t; Αυτό μπορείτε να το υπολογίσετε άμεσα χρησιμοποιώντας τις πληροφορίες για τα φορολογικά έσοδα και την αποζημίωση, ή ως η διαφορά μεταξύ της δαπάνης του καταναλωτή στο συνδυασμό που καταναλώνει μετά το φόρο και του εισοδήματος που παίρνουν οι πωλητές σ’ αυτό τον συνδυασμό. καταναλωτικών δαπανών γ) Ποια είναι η απώλεια ευημερίας λόγω του φόρου; Πότε μπορεί να είναι μηδέν; Άσκηση 6, Απάντηση Για τη συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas

U(x, y) = (xy)1/ 2 ξέρουμε ότι οι συναρτήσεις ζήτησης, οι Μαρσαλιανές και οι αντισταθμιστικές δίνονται από τις εξής σχέσεις

dx ( px , py , I ) =

I , 2px

hx ( px , py ,U ) = U (

py px

d y ( px , py , I ) =

I 2py

hy ( px , py ,U ) = U (

)1/ 2 ,

px 1/ 2 ) py

Ex ( px , py ,U ) = 2U ( px py )1/ 2 , α) Η αποζημίωση που απαιτείται για να διατηρηθεί ο καταναλωτής στο αρχικό επίπεδο χρησιμότητας

U0 =V( px0 , py0 , I0 )

είναι

Ex ( px0 + t, py0 ,V( px0 , py0 , I0 ) − Ex ( px0 , py0 ,V( px0 , py0 , I0 ) Αντικαθιστώντας τις πραγματικές τιμές βρίσκουμε ότι το ποσό της αποζημίωσης R είναι

2 I 0 ( p x 0 + t )1 / 2 p1y/02 2 p1x/02 p1y/02

−

2 I 0 p1x /02 p1y/02 2 p1x /02 p1y/02

= I 0 [(

p x 0 + t 1/ 2 ) − 1] px0

β) Τα φορολογικά έσοδα TR είναι ίσα με το φόρο ανά μονάδα προϊόντος επί την ποσότητα του x που ζητείται στην τιμή px0+t και στο αντισταθμισμένο εισόδημα Ι0+R

TR = td x ( p x 0 + t , p y 0 , I 0 (

p x 0 + t 1/ 2 I 0t ) )= px0 2 p1x/02 ( p x 0 + t )1 / 2

γ) Η απώλεια ευημερίας DWL είναι η διαφορά μεταξύ αυτού που η κυβέρνηση καταβάλλει ως επιστροφή (αποζημίωση) και αυτού που η κυβέρνηση εισπράττει ως φορολογικά έσοδα.

DWL = R − TR = I 0 [( I0[

p x 0 + t 1/ 2 I t ) − 1] − 1 / 2 0 = px0 2 p x 0 ( p x 0 + t )1 / 2

2 px0 + t ) − 1] 2 p1x /02 ( p x 0 + t )1 / 2

Άσκηση 7 Αν η συνάρτηση χρησιμότητας είναι U(x,y,z)= (x-a)α (y-b)β(z-c)γ και α+β+γ=1, να βρείτε τις Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης, την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας και τη συνάρτηση δαπάνης. (Νύξη: Θυμηθείτε ότι ο μετασχηματισμός της συνάρτησης χρησιμότητας μπορεί να βοηθήσει και ακόμη ότι η συνάρτηση δαπάνης μπορεί να βρεθεί εύκολα αν έχουμε τη συνάρτηση έμμεσης χρησιμότητας). Άσκηση 7, Απάντηση Αν πάρουμε ένα μονοτονικό μετασχηματισμό της συνάρτησης χρησιμότηταςμ ελογαρίθμους έχουμε

lnU(x,y,z)= αln(x-a)+ βln(y-b)+ γ ln(z-c) Η Λαγκραντζιανή είναι L= αln(x-a)+ βln(y-b)+ γ ln(z-c)+λ(I-pxx-pyy) Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι

α dL = − λp x = 0 dx x − a

dL β = − λ py = 0 dy y − b dL γ = − λ pz = 0 dz z − c dL = I − px x − p y y − pz z = 0 dλ Από αυτές τις συνθήκες μπορούμε να βρούμε τις Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης

x( p x , p y , p z , I ) = a + ( I − p x a − p y b − p z c) y ( p x , p y , p z , I ) = b + ( I − p x a − p y b − p z c) z ( p x , p y , p z , I ) = c + ( I − p x a − p y b − p z c)

α px

β py

Για να βρούμε την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας αντικαθιστούμε τις συναρτήσεις ζήτησης στην αρχική συνάρτηση χρησιμότητας

U ( x, y , z ) = U ( x ( p x , p y , p z , I ), y ( p x , p y , p z , I ), z ( p x , p y , p z , I ) = V ( p x , p y , p z , I ) για να πάρουμε τη συνάρτηση

V ( p x , p y , p z , I ) = (a + ( I − p x a − p y b − p z c) (c + ( I − p x a − p y b − p z c ) ( I − p x a − p y b − p z c)(

α px

γ pz )α (

− a ) α (b + ( I − p x a − p y b − p z c )

β py

− c) γ

β py

)β (

γ pz

)γ

Η συνάρτηση δαπάνης είναι απλά η αντίστροφη της πιο πάνω. Θέτουμε V=U και λύνουμε ως προς I=e(P,U) και έχουμε

(

α px

) (

γ pz

)

= ( I − p x a − p y b − p z c)

+ px a + p yb + pz c = I

+ p x a + p y b + p z c = e(U , p )

Μπορούμε να λύσουμε την πιο πάνω με το να λύσουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης της δαπάνης

− b) β

Πακέτο Ι: Ασκήσεις Μικροοικονομικής Θεωρίας Ι Προσοχή: ημερομηνία παράδοσης 7 Νοεμβρίου 2005

∂f@x, y,zD ∂f@x, y,zD ∂f@x, y,zD , == , ∂x ∂y ∂z 2 2 2

82xy+ y + 2xz, x + 2xy, x <

∂2f@x, y,zD = 2 Hy+ zL ∂x2 ∂2f@x, y,zD ∂2f@x, y,zD = = 2Hx+ yL ∂x∂y ∂ y∂x

∂2f@x, y,zD ∂2f@x, y,zD = = ∂x∂z ∂z∂x ∂2f@x, y,zD = ∂y2

∂2f@x, y,zD ∂2f@x, y,zD = = ∂ y∂z ∂z∂y

∂2f@x, y,zD = ∂z2

(β) g ( x, y ) = e x log(1 + y )

x ∂g@x, yD ∂g@x, yD , = = 9 x Log@1+ yD, = ∂x ∂y 1+ y

∂2g@x,yD i j j j ∂x2 j j j 2 j j ∂ g@x,yD k ∂y∂x

x xLog@1+ yD y i z j z j z 1+y j z z j x z =j x ∂2g@x,yD z j z j − H1+yL2 ∂y2 { k 1+y ∂2g@x,yD ∂x∂y

y z z z z z z z {

(γ) f ( x, y, z ) = [a1 x b + a2 y b + (1 − a1 − a2 ) z b ]1/ b Για αυτήν την

συνάρτηση βρείτε μόνο τις παραγώγους f x , f y , f z .

∂f@x, y,zD −1+1 = −1+b x a1 Hxba1+ zb H1− a1 −a2L + yba2L b ∂x ∂f@x, y,zD −1+1 = −1+b b b b y a2 Hx a1+ z H1− a1 −a2L + y a2L b ∂y

∂f@x, y,zD −1+ 1 b b b = −1+b b z H 1 − a − a LH x a + z H 1 − a − a L + y a L 1 2 1 1 2 2 ∂z

Άσκηση 2: Να βρείτε ποιες από τις ακόλουθες συναρτήσεις είναι ομογενείς. Αν

είναι, να βρείτε επίσης και το βαθμό. x3 + y 3 + x 2 y (α) f ( x, y, z ) = xyz f (tx, ty, tz ) = =

(tx)3 + (ty )3 + (tx) 2 (ty ) (tx)(ty )(tz )

t 3 ( x3 + y 3 + x 2 y) 3

t ( xyz )

= t 3/ 2 f ( x, y, z )

Οπότε ομογενείς 3/2 βαθμού. (β) f ( x, y, z ) = x 2 + yz f ( x, y, z ) = (tx) 2 + (ty )(tz ) = t 2 f ( x, y, z ) Οπότε ομογενείς 2ου βαθμού. (γ) f ( x, y, z ) = log x 2 + log y 2 + log z 2 f (tx, ty, tz ) = 3log t 2 + f ( x, y, z ) Οπότε δεν είναι ομογενείς.

Άσκηση 3: Βρείτε το λόγο της οριακής χρησιμότητας των αγαθών, x και y, όταν η συνάρτηση χρησιμότητας έχει την μορφή Cobb-Douglas u = f ( x, y ) = Ax a y b . Δείξτε πως ο λόγος είναι ίδιος όταν η συνάρτηση χρησιμότητας έχει τις ακόλουθες μορφές:

(α) log u = log A + a log x + b log y ∂ log u a ∂x = x = a y ∂ log u b b x y ∂y 1 (β) g (u ) = 1 + e−u − x a y b a −1 b x y ∂g (u ) ae − xa yb 2 a y ) ∂x = (1 + e = a b − x y a b − 1 ∂g (u ) be b x x y a b ∂y (1 + e − x y ) 2

Άσκηση 4: Οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κοίλες, κυρτές, αυστηρά κοίλες, αυστηρά κυρτές, ή τίποτα από αυτά;

f ( x , y ) = ( x + y )e − x f ( x, y ) = x y 2

x, y ≥ 0

f ( x, y ) = x + y

x, y > 0

Απάντηση: Για αυτήν την άσκηση είναι χρήσιμο να δείτε το κεφάλαιο 11 του Chiang «Μαθηματικές μέθοδοι οικονομικής ανάλυσης» Τόμος Β’, εκδόσεις Κριτική.

Για την πρώτη συνάρτηση η δεύτερη κύρια ελάσονα είναι αρνητική οπότε η συνάρτηση δεν είναι ούτε θετικά ούτε αρνητικά ορισμένη, που σημαίνει πως η συνάρτηση δεν είναι ούτε κυρτή ούτε κοίλη. ∂2f@x, yD = −2 −x+ −xHx+ yL ∂x2

ƒ ∂2f@x,yD ƒ ƒ ƒ ƒ ∂x2 ƒ ƒ ƒ ƒ ∂2f@x,yD ƒ ƒ ƒ ƒ ∂y∂x

ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ∂x∂y ƒ −2 −x+ −xHx+ yL − −x ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ = =− −2x ƒ ƒ ƒ −x ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ∂2f@x,yD ƒ − 0 ƒ ƒ ƒ ∂y2 ∂2f@x,yD

Για την δεύτερη συνάρτηση η δεύτερη κύρια ελάσονα είναι αρνητική οπότε η συνάρτηση δεν είναι ούτε θετικά ούτε αρνητικά ορισμένη, που σημαίνει πως η συνάρτηση δεν είναι ούτε κυρτή ούτε κοίλη. ∂2f@x, yD = 2y2 ∂x2

ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ 2y2 4xy ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ = = −12x2 y2 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ 2 ∂2f@x,yD ƒ ƒ ƒ 4xy 2x ƒ ƒ ƒ ∂y2

∂2f@x,yD

∂x2

∂x∂y

∂2f@x,yD ∂y∂x

Για θετικές τιμές του x,y η τρίτη συνάρτηση έχει μια πρώτη αρνητική κύρια ελάσονα και δεύτερη θετική. Η συνάρτηση είναι αρνητικά ορισμένη που σημαίνει πως είναι αυστηρά κοίλη. Σε περίπτωση που τα x,y μπορούν να πάρουν και αρνητικές τιμές τότε δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε την καμπυλότητα της συνάρτησης. −

1 1 < 0, >0 3 ê 2 3 4x 16x ê2 y3ê2

Άσκηση 5: Βρείτε τα κρίσιμα σημεία των συναρτήσεων που ακολουθούν και προσδιορίστε αν είναι τοπικά μέγιστα, τοπικά ελάχιστα, ή κάτι άλλο:

(α) z = −3x 2 − y 3 + 12 xy − 36 y (β) z = 3x 2 − 6 xy + y 2 + y 4 (γ) z = x 4 + y 4 − ( x + y ) 2 . (α) Έχουμε δύο κρίσιμα σημεία {x, y} = {4, 2}και{12, 6} . Το πρώτο σημείο είναι σημείο καμπής (ούτε ελάχιστο ούτε μέγιστο) της συνάρτησης γιατί η ορίζουσα της Εσσιανής σε εκείνο το σημείο έχει αρνητικές την κύρια πρώτη και δεύτερη ελάσονα (-6,-72) (η συνάρτηση δεν είναι ούτε θετικά ούτε αρνητικά ορισμένη). Το δεύτερο σημείο είναι τοπικά μέγιστο γιατί η ορίζουσα της Εσσιανής σε εκείνο το σημείο έχει αρνητική την κύρια πρώτη ελάσονα και θετική την κύρια δεύτερη ελάσονα (-6,72) (η συνάρτηση δεν είναι ούτε θετικά ούτε αρνητικά ορισμένη). Το διάγραμμα παρακάτω δίνει μια εικόνα της καμπυλότητας στα δύο σημεία. y 5 0 -5 500 fHx,yL

0 -500

-1000

0 5 10 x

(β) Έχουμε τρία κρίσιμα σημεία {x, y} = {−1, −1},{0, 0}και{1,1} . Τα πρόσημα των κύριων πρώτων και δεύτερων ελάσονων είναι αντιστοίχως (6,48), (6,-24), (6,48). Αυτό σημαίνει πως στα σημεία {-1,-1} και {1,1} έχουμε τοπικά ελάχιστα και στο σημείο {0,0} έχουμε σημείο καμπής (ούτε ελάχιστο ούτε μέγιστο). Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει τα τρία σημεία όπως θα τα βλέπαμε κοιτάζοντας από κάτω.

1 0

-1 -2 40 30 fHx,yL 20 10 0 -2 -1 0 1 y

(γ) Έχουμε και εδώ τα ίδια τρία κρίσιμα σημεία {x, y} = {−1, −1},{0, 0}και{1,1} . Όμως τα πρόσημα των κύριων πρώτων και δεύτερων ελάσονων είναι αντιστοίχως (10,96), (-2,0), (10,96). Αυτό σημαίνει πως στα σημεία {-1,-1} και {1,1} έχουμε τοπικά ελάχιστα και στο σημείο {0,0} έχουμε τοπικό μέγιστο. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει τα δύο τοπικά ελάχιστα σημεία όπως θα τα βλέπαμε κοιτάζοντας από κάτω (το τοπικό μέγιστο δεν φαίνετε καλά). x

1 0

-1 -2 15 fHx,yL

10 5 0 -2 -1 0 1 y

Άσκηση 6: (δύο μονάδες) Ο εισοδηματικός σας περιορισμός είναι τέτοιος ώστε αν δαπανάτε ολόκληρο το εισόδημά σας μπορείτε να αγοράσετε ή 3 μονάδες του x και 8 μονάδες του y ή 8 μονάδες του x και 3 μονάδες του y. (α) Δείξτε τα δύο αυτά καλάθια και τον εισοδηματικό περιορισμό. (β) Ποιος είναι ο λόγος τιμών του x προς y. (γ) Αν ξοδεύετε όλο το εισόδημά σας για το x, πόσο x θα αγοράζατε; (δ) Αν σας άρεσαν και τα δύο αγαθά και δεν υπήρχαν άλλα αγαθά για να ξοδέψετε το εισόδημά σας, εξηγείστε γιατί δεν θα επιλέγατε να αγοράσετε 5 μονάδες x και 5 μονάδες y σε αυτές τις τιμές και με αυτό το εισόδημα.

(α) Στους άξονες θα έχετε ποσότητα x και y. Ο εισοδηματικός περιορισμός είναι: x+y=11. Για να το βρούμε λύνουμε px x + p y y = I = px 3 + p y 8 = px 8 + p y 3 οπότε βρίσουμε πως px = p y .

(β) Ο λόγος τιμών είναι 1 προς 1. (γ) 11. (δ) Γιατί τότε δεν θα ξοδεύατε όλο το εισόδημά σας και κατ’ επέκταση δεν θα μεγιστοποιούσατε την χρησιμότητά σας. Θα φροντίζατε να αγοράσετε άλλο ένα x ή y, εκτός εάν είχατε κορεστεί στο σημείο (5,5). Άσκηση 7: (δύο μονάδες) Ο Γεράσιμος Βρομιάρης καταναλώνει δύο αγαθά: σκουπίδια και dvd με ροκ μουσική. Τα σκουπίδια δεν τα καταναλώνει στην κυριολεξία αλλά τα στοιβάζει στο κήπο του όπου τα μασουλάνε ένα γουρούνι και ποντίκια. Ο λόγος που μαζεύει σκουπίδια είναι επειδή κάποιοι τον πληρώνουν 2 ευρώ για κάθε σακούλα. Δεν έχει άλλη πηγή εισοδήματος. Τα dvd κοστίζουν 6 ευρώ. Γράψτε τον εισοδηματικό περιορισμό του Γεράσιμου και δείξτε το διαγραμματικά σκιάζοντας την περιοχή των εφικτών συνδυασμών «αγαθών».

Ο εισοδηματικός περιορισμός μπορεί να γραφτεί ως 6C-2G=0.

Άσκηση 8:

(α) Με την μέθοδο Lagrange βρείτε το ακρότατο της συνάρτησης f ( x, y ) = x 2 + y 2 υπό τον περιορισμό x + 4 y = 2 και πείτε αν είναι μέγιστο, ελάχιστο, ή κάτι άλλο. L = x 2 + y 2 + λ ( x + 4 y − 2) ∂L : 2x + λ = 0 ∂x ∂L : 2 y + 4λ = 0 ∂y ∂L : x + 4y − 2 = 0 ∂λ Λύνοντας τις τρεις εξισώσεις για τους τρεις αγνώστους βρίσκουμε το ακρότατο 2 8 4 σημείο είναι {x, y, λ} = { , , − } . 17 17 17

Η πλαισιωμένη ορίζουσα είναι αρνητική οπότε έχουμε ικανή συνθήκη δεύτερης τάξης για ελάχιστο (δείτε σελίδα 112-113 στο Chiang). 0 4 1 H 2 = 4 2 0 = −34 1 0 2

4 3 2

2 1 1

0 -1 -2

0 -1 -1

0 1 -2 2

Πακέτο 2: Ασκήσεις Μικροοικονομικής Θεωρίας Ι Προσοχή: ημερομηνία παράδοσης 23 Νοεμβρίου 2005

Άσκηση 1: Η Μαρία καταναλώνει τρία αγαθά, κόκκινο κρασί, αθλητικά παπούτσια, και γεύματα από ιταλικά εστιατόρια. Η τιμή του κόκκινου κρασιού που αρέσει στην Μαρία είναι 20 ευρώ το μπουκάλι, η τιμή των αθλητικών παπουτσιών είναι 80 ευρώ το ζευγάρι, και η τιμή του γεύματος στα ιταλικά εστιατόρια είναι 50 ευρώ. Η Μαρία έχει 400 ευρώ την εβδομάδα να ξοδεύει όπως θέλει. (α) Χρησιμοποιώντας τα σύμβολα K για κρασί, Π για παπούτσια και Φ για φαγητό, καταγράψετε τον εισοδηματικό περιορισμό της Μαρίας για εβδομαδιαία κατανάλωση. 20K + 80Π + 50Φ = 400 (β) Δείξετε σε διάγραμμα τριών διαστάσεων τον εισοδηματικό περιορισμό καταγράφοντας προσεκτικά τα σημεία-τομείς με τους άξονες και παρουσιάζοντας όλες τις απαραίτητες πληροφορίες. Με άξονες Φ στο κάθετο, Π προς τα δεξιά, και Κ από πίσω προς τα εμπρός, έχουμε τα σημεία που τέμνει ο εισοδηματικός περιορισμός αντιστοίχως: άξονα Φ:8, άξονα Π: 5, άξονα Κ: 20. K

20 8

6 Φ 4

0 4 2 0 Π

(γ) Έστω πως έχει αποφασίσει η Μαρία να αγοράζει μόνο ένα ζευγάρι αθλητικών παπουτσιών ανά βδομάδα, τι εξίσωση (εισοδηματικός περιορισμός) θα πρέπει να ισχύει για τις αγορές κρασιού και φαγητού ανά βδομάδα; 20Κ+80Π = 320

(δ) Πώς θα περιγράφατε μια ‘καμπύλη’ αδιαφορίας στις 3 διαστάσεις; Αν είναι συνάρτηση Cobb-Douglas θα έμοιαζε σαν μπολ. K 2

8 40

20 Φ

0 20

10 5 Π

2 1.75 1.5

1.25

1.5

1.75

1.25 2.51

1.5

0.5

(ε) Αναφέρετε μια συνάρτηση χρησιμότητας τριών αγαθών που δεν θα οδηγούσε σε ακραία λύση εκ μέρους του καταναλωτή. Εξηγείστε. Η Cobb-Douglas θα ήταν μια τέτοια συνάρτηση. Οι καμπύλες αδιαφορίας σε μια τέτοια συνάρτηση δεν τέμνουν ποτέ τους άξονες οπότε καθώς φτάνει η κατανάλωση ενός αγαθού προς το μηδέν η οριακή χρησιμότητά τους τείνει προς το άπειρο. Για οποιαδήποτε θετική τιμή θα θέλει ο καταναλωτής να καταναλώσει έστω απειροελάχιστη ποσότητα. Άσκηση 2: Έστω πως έχουμε δύο αγαθά x και y, με αρχικές τιμές px = 10, p y = 5 . Ένας καταναλωτής έχει εισόδημα I = 200 αλλά αν ο καταναλωτής αγοράσει παραπάνω από 10 μονάδες του αγαθού x οι επιπλέον μονάδες του x μπορούν να αγοραστούν σε τιμή έκπτωσης p*x = 5 . (α) Ζωγραφίσετε τον εισοδηματικό περιορισμό.

y 40 30 20 10

(β) Τι θα μπορούσαμε να λέγαμε για τις επιλογές του καταναλωτή αν οι προτιμήσεις του είναι κοίλες; Κάνετε χρήση διαγράμματος. y 40 30 20 10 x

Οι καμπύλες αδιαφορίας μπορεί να έμοιαζαν όπως στο παραπάνω διάγραμμα. Εδώ βλέπουμε πως για να φτάσει στην υψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας θα πρέπει να επιλέξει μόνο y. Γενικότερα θα έκανε ακραίες επιλογές ο καταναλωτής (ή μόνο x ή μόνο y). (γ) Τι θα μπορούσαμε να λέγαμε για τις επιλογές του καταναλωτή αν οι προτιμήσεις του είναι αυστηρά κυρτές; Κάνετε χρήση διαγράμματος. y 50 40 30 20 10

Γενικά θα περιμέναμε «εσωτερική» λύση (δηλαδή με συνδυασμούς που εμπεριέχουν θετικές ποσότητες και των δύο αγαθών). Το αν θα εφάπτεται η καμπύλη αδιαφορίας στο πρώτο ή δεύτερο τμήμα του εισοδηματικού περιορισμού θα εξαρτάται σε κάθε περίπτωση από την συγκεκριμένη μορφή των προτιμήσεων. Στο διάγραμμα το παραπάνω επιλέγει ο καταναλωτής ποσότητα του x μικρότερη του 10 οπότε βρίσκεται στο βρίσκεται στο πρώτο τμήμα του εισοδηματικού περιορισμού. Υπάρχει

και μια περίεργη περίπτωση να εφάπτεται μια καμπύλη αδιαφορίας και στα δύο τμήματα του εισοδηματικού περιορισμού. Τι θα συνέβαινε τότε; (δ) Αν γνωρίζουμε πως οι προτιμήσεις του καταναλωτή αποτυπώνονται με την συνάρτηση χρησιμότητας u = x 3/ 4 y1/ 4 , τι ποσότητες του x θα αγοράσει; Εδώ μπορούμε να δούμε αν θα έχει μεγαλύτερη χρησιμότητα αντιμετωπίζοντας τον εισοδηματικό περιορισμό 10 x + 5 y = 200 ή τον εισοδηματικό περιορισμό 5 x + 5 y = 150 . Κάνοντας χρήση της έμμεσης συνάρτησης χρησιμότητας μπορούμε να βρούμε σε πιο τμήμα του εισοδηματικού περιορισμού θα κατακτήσει μεγαλύτερη χρησιμότητα. Η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας μας δείχνει πως ο καταναλωτής θα προτιμήσει να βρίσκεται στο τμήμα του εισοδηματικού περιορισμού που είναι πιο επίπεδο. 1 3 I v( px , p y , I ) = 3 4 3 1 4 px4 p y4 v(10,5, 200) = 13,554 v(5,5,150) = 17, 0963 Για να βρούμε τις ποσότητες χρειαζόμαστε τις συναρτήσεις ζήτησης: x=

3I I ,y= 4 px 4 px

3*150 = 22,5 4*5 150 y= = 7,5 4*5

y 50 40 30 20 10 20

Άσκηση 3 (δύο μονάδες): Έστω μια συνάρτηση χρησιμότητας u ( x, y ) = − x −1 − y −1 (α) Τι μπορούμε να πούμε για αυτήν την συνάρτηση χρησιμότητας; Ποια είναι η μέγιστη χρησιμότητα που μπορεί να πετύχει ο καταναλωτής όταν εκφράζονται οι προτιμήσεις του με αυτήν την συνάρτηση; Δημιουργεί πρόβλημα αυτό;

Αυτή η συνάρτηση είναι σταθερής ελαστικότητας. Η γενική της μορφή είναι

u ( x, y ) =

xδ

yδ

, όπου το δ = -1. Το περίεργο είναι πως η χρησιμότητα είναι πάντα

αρνητική. Η μέγιστη χρησιμότητα που μπορεί να πετύχει ο καταναλωτής είναι 0 που δεν μπορεί να την πετύχει ποτέ αλλά μπορεί να πλησιάσει καθώς η κατανάλωση των x και y φτάσουν στο άπειρο. Δεν υπάρχει πρόβλημα με αυτήν την συνάρτηση γιατί αυτό που έχει σημασία δεν είναι το πρόσημο αλλά η σωστή καταγραφή της ταξινόμησης των προτιμήσεων. Εδώ βλέπουμε πως μεγαλύτερη κατανάλωση θα σχετίζεται με μικρότερο αρνητικό νούμερο και θα σημαίνει μεγαλύτερη χρησιμότητα. (β) Βρείτε τις Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης, x( p1 , p2 , I ), y ( p1 , p2 , I ) . x=

I px + px

,y=

I p y + px

(γ) Δείξτε πώς οι Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης είναι ομογενείς μηδενικού βαθμού. x(tpx , tp y , tI ) =

tI tI = tpx + tpx tp y t ( px + px

y (tpx , tp y , tI ) =

tI tI = tp y + tpx tp y t ( p y + px

py ) py )

I px + px

I p y + px

= x( px , p y , I ) = y ( px , p y , I )

(δ) Βρείτε την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας. v( px , p y , I ) = −[

px + px

]−[

p y + px

]

(ε) Ποιό είναι το δυαδικό πρόβλημα αυτής της συνάρτησης;

L = px x + p y y + (u − (− x −1 − y −1 )) (στ) Βρείτε τις αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης (Χικσιανές).

px py

1+ hx ( px , p y , u ) = −

1+ , hy ( px , p y , u ) = −

px u

(ζ) Βρείτε την συνάρτηση δαπανών. e( px , p y , u ) = −[

px + px u

]−[

p y + px u

]

(η) Επιβεβαιώστε για το αγαθό x ότι η αντισταθμιστική συνάρτηση ζήτησης είναι ίδια με την μερική παράγωγο της συνάρτησης δαπανών ως προς την τιμή του x.

∂e( px , p y , u ) ∂px

px py

1+ =−

= hx ( px , p y , u )

(θ) Επιβεβαιώστε πως η συνάρτηση Slutsky ισχύει για το αγαθό x ως προς τις μεταβολές της τιμής του. ∂x( px , p y , I ) ∂px

∂hx ( px , p y , u ) ∂px

− x( px , p y , I ) •

∂x( px , p y , I ) ∂I

(ι) Έστω πως προσδιορίζουμε αρχικό εισόδημα Ι = 100 και αρχικές τιμές p x = 1, p y = 1 (για την παραπάνω συνάρτηση χρησιμότητας). Έστω πως η τιμή του y διπλασιάζεται. Οι αρχές αποφασίζουν να δώσουν μια εισοδηματική ενίσχυση ώστε να μπορέσει να ανακτήσει την χαμένη ευημερία. Πρέπει να επιλέξουν οι αρχές αν θα δώσουν αρκετά χρήματα ώστε να μπορεί ο καταναλωτής να αγοράσει το καλάθι που αγόραζε πριν την αλλαγή της τιμής του y, ή να δώσουν αρκετά χρήματα ώστε να ξαναπιάσει την χρησιμότητα που είχε πριν την αλλαγή της τιμής. Πόσα χρήματα θα δώσει το κράτος σε κάθε περίπτωση; Τι προτιμάει ο καταναλωτής; Στην πρώτη περίπτωση (να δώσουν οι αρχές αρκετά χρήματα να ανακτήσει το ίδιο καλάθι με πριν) θα πρέπει οι αρχές να φροντίσουν ώστε το συνολικό εισόδημα να είναι px x(1,1,100) + p1y y (1,1,100) = 1*50 + 2*50 = 150 , οπότε πρέπει να δώσουν άλλα 50 ευρώ στο αρχικό εισόδημα. Στην δεύτερη περίπτωση οι αρχές μπορούνε να δώσουν όσο χρειάζεται για να ξαναβρεί την αρχική χρησιμότητα. Η αρχική −1 −1 . Οπότε θα χρειαστεί δαπάνες e(1, 2, ) = 145, 711 . χρησιμότητα είναι v(1,1,100) = 25 25 Δηλαδή με 45,711 ενίσχυση του εισοδήματος ο καταναλωτής θα βρει την αρχική του χρησιμότητα στις νέες τιμές. Ο καταναλωτής βέβαια πάντα προτιμάει τα παραπάνω χρήματα γιατί έτσι θα μπορέσει να βρεθεί με περισσότερη χρησιμότητα από πριν την αλλαγή της τιμής του y. (κ) Προτείνετε έναν μονοτονικό μετασχηματισμό της συνάρτησης χρησιμότητας. Π.χ., u(x,y)+132 ή 2*u(x,y). Το βασικό είναι να μην αλλάζει η κατάταξη των προτιμήσεων. Το –u(x,y) δεν θα ήταν σωστό γιατί αναποδογυρίζει τις προτιμήσεις. Άσκηση 4. Έστω ο κύριος Μπούφος έχει την συνάρτηση χρησιμότητας U ( K , Z ) = min( K , 4 Z ) όπου Κ είναι καφές και Ζ είναι ζάχαρη. (α) Εξηγείστε με λόγια την λογική αυτής της συνάρτησης χρησιμότητας. Αυτή η συνάρτηση δείχνει προτιμήσεις για δύο αγαθά που ο καταναλωτής τα αντιμετωπίζει ως τέλεια συμπληρωματικά. Δηλαδή έχει αξία το ένα αγαθό μόνο αν καταναλώνεται με το άλλο σε μια σταθερή αναλογία. Σε αγαθά όπως ζάχαρη και καφέ είναι λογικό ο καταναλωτής να έχει τέτοιες προτιμήσεις, δηλαδή να θέλει να

πίνει τον καφέ μόνο με συγκεκριμένη ποσότητα ζάχαρης και να μην διατίθεται να πιει αλλιώς. (β) Υπολογίστε τις συναρτήσεις ζήτησης για το Κ και το Ζ. Γνωρίζουμε πως στις βέλτιστες επιλογές θα ισχύει ο λόγος Κ = 4Ζ. Αυτό σημαίνει πως ο καταναλωτής θα πίνει το καφέ με ¼ ζάχαρη. Αν συνδιάσουμε αυτήν την πληροφορία με τον εισοδηματικό περιορισμό: pK K + pZ Z = I μπορούμε να λύσουμε για τις συναρτήσεις ζήτησης. K=

I I ,Z = . PK + 0, 25 PZ 4 PK + PZ

(γ) Έστω οι τιμές pK = 3, pZ = 1 . Δείξτε διαγραμματικά το σημείο μεγιστοποίησης της χρησιμότητας (δείχνοντας αριθμητικά τις άριστες ποσότητες K, Z, και την ‘τιμή’ της καμπύλης αδιαφορίας). Δείξτε επίσης την επίδραση μιας αύξησης της τιμής του Ζ. Έπρεπε να σας είχα δώσει και συγκεκριμένη τιμή για το εισόδημα. Οπότε θα υποθέσω τώρα ότι το εισόδημα είναι 12. Σε αυτήν την περίπτωση το σημείο μεγιστοποίησης της χρησιμότητας θα είναι ο συνδυασμός καφέ και ζάχαρης 12 12 { , }. 3, 25 13 K 12 10 8 6 4 2 2

Η αύξηση της τιμής της ζάχαρης θα σημαίνει μια μείωση της αγοράς και των δύο αγαθών. Παρακάτω δείχνω την τιμή της Ζάχαρης να ανεβαίνει στα 2 ευρω. K 12 10 8 6 4 2 2

Άσκηση 5 (δύο μονάδες). Ο προπονητής κ. Αναβολικός του αρέσει οι αθλητές του να είναι μεγαλόσωμοι, γρήγοροι και υπάκουοι. Αν ο αθλητής Α είναι καλύτερος από τον αθλητή Β σε δύο από τα τρία χαρακτηριστικά, τότε ο προπονητής προτιμάει τον Β, αλλά αν ο Β είναι καλύτερος από τον Α σε δύο από τα τρία χαρακτηριστικά, τότε ο κ. Αναβολικός προτιμάει τον Β από τον Α. Αλλιώς είναι αδιάφορος ως προς αυτούς. Ο Μπούλης ζυγίζει 200 κιλά, τρέχει πολύ αργά, και είναι αρκετά υπάκουος. Ο Λούλης ζυγίζει 150 κιλά, τρέχει πολύ γρήγορα, αλλά είναι τρομερά ανυπάκουος. Ο Φραμπαλάς ζυγίζει 120 κιλά, τρέχει αρκετά γρήγορα, αλλά είναι τρομερά υπάκουος. (α) Ο κ. Αναβολικός προτιμάει τον Μπούλη από τον Λούλη ή το ανάποδο; Προτιμάει τον Μπούλη από τον Λούλη. (β) Ο κ. Αναβολικός προτιμάει τον Λούλη από τον Φραμπαλά ή το ανάποδο; Προτιμάει τον Λούλη από τον Μπούλη. (γ) Ο κ. Αναβολικός προτιμάει τον Μπούλη από τον Φραμπαλά ή το ανάποδο; Προτιμάει τον Φραμπαλά από τον Μπούλη. (δ) Ο προπονητής κ. Αναβολικός έχει μεταβατικές προτιμήσεις; Όχι. (ε) Μετά από πολλές αποτυχίες, ο κ. Αναβολικός αποφασίζει να αλλάξει τον τρόπο που αξιολογεί τους αθλητές. Με τις νέες προτιμήσεις ο Αναβολικός προτιμάει τον Α από τον Β αν ο Α είναι καλύτερος και στα τρία χαρακτηριστικά (που θέλει ο προπονητής), και προτιμάει τον Β από τον Α αν ο Β είναι καλύτερος και στα τρία χαρακτηριστικά. Είναι αδιάφορος μεταξύ των Α και Β αν ζυγίζουν το ίδιο, έχουν την ίδια ταχύτητα, και είναι εξίσου υπάκουοι. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις ο προπονητής λεει απλά πως δεν μπορεί να συγκρίνει τον Α με τον Β. Αυτές οι νέες προτιμήσεις συμβαδίζουν με τα αξιώματα των προτιμήσεων; Εξηγείστε. Όχι δεν συμβαδίζουν. Οι νέες προτιμήσεις του προπονητή είναι μεταβατικές αλλά δεν είναι πλήρεις. Το αξίωμα της πληρότητας λεει πως ο προπονητής πρέπει να είναι σε θέση πάντα να συγκρίνει καταστάσεις. Αυτό επιτρέπει να λεει πως είναι αδιάφορος μεταξύ δύο καταστάσεων αλλά δεν επιτρέπει την περίπτωση να μην είναι σε θέση να τοποθετηθεί σαφώς. Άσκηση 6: Ο Χάρης Χαζούλης είναι ευτυχέστερος όταν καταναλώνει 8 μπισκότα και 4 ποτήρια γάλα την ημέρα. Όποτε καταναλώνει περισσότερο από αυτά τα δύο αγαθά από τα (8,4) μειώνεται η ικανοποίηση του (είναι σε χειρότερη μοίρα). Όποτε έχει λιγότερο από τις αγαπημένες ποσότητες των δύο αγαθών μειώνεται η ικανοποίησή του. Η μητέρα του τον υποχρεώνει να πίνει 7 ποτήρια γάλα και 2 μπισκότα την ημέρα. Μια μέρα όταν έλειπε η μητέρα η σαδιστική αδερφή του Χάρη τον ανάγκασε να καταναλώσει 13 μπισκότα και ένα ποτήρι γάλα παρότι ο Χάρης διαμαρτυρήθηκε για τα τελευταία 5 μπισκότα και ικέτευσε για παραπάνω γάλα. Αν και παραπονέθηκε ο Χάρης στην μητέρα του για την συμπεριφορά της αδερφής του, ομολόγησε πως προτίμησε το καλάθι της αδερφής από αυτό που τον αναγκάζει να φαει η μητέρα του.

(α) Δείξετε διαγραμματικά καμπύλες αδιαφορίας που θα συμβάδιζαν με τις προτιμήσεις του Χάρη Χαζούλη παρουσιάζοντας με προσοχή όλα τα σημεία για τα οποία έχει εκφράσει ξεκάθαρη άποψη.

(δ) Είναι κυρτές αυτές οι προτιμήσεις; Εξηγείστε. Όχι δεν είναι κυρτές. Βλέπουμε πως η κλίση του ΟΛΥ (Οριακός Λόγος Υποκατάστασης) είναι θετική σε κάποια τμήματα των καμπυλών αδιαφορίας (κάτι που δεν θα συνέβαινε σε περίπτωση κυρτών προτιμήσεων). Άσκηση 7: Μια εταιρεία τηλεπικοινωνιών δίνει την δυνατότητα να επιλέξει ο πελάτης ανάμεσα σε δύο διαφορετικές τιμολογιακές συνδρομές. Για 12 ευρώ το μήνα μπορεί να κάνει όσα αστικά τηλέφωνα θέλει χωρίς παραπάνω χρέωση ανά τηλεφώνημα. Αλλιώς, πληρώνει 8 ευρώ το μήνα και χρεώνεται επιπλέον 5 λεπτά για κάθε αστική κλίση. Έστω πως έχει 20 ευρώ να ξοδεύει το μήνα. (α) Δείξτε διαγραμματικά τους εισοδηματικούς περιορισμούς που σχετίζονται με τις δύο πολιτικές. Η μαύρη (οριζόντια) γραμμή δείχνει το πρώτο πρόγραμμα συνδρομής (12 ευρώ το μήνα με απεριόριστα αστικά τηλέφωνα), ενώ η διακεκομμένη κόκκινη δείχνει το δεύτερο πρόγραμμα (8 ευρώ με χρέωση 5 λεπτά την κλήση).

(β) Πού τέμνουν οι δύο εισοδηματικοί περιορισμοί; Στο σημείο (80,8). (γ) Δείξετε καμπύλες αδιαφορίας που σχετίζονται με κάποιον που προτιμάει την δεύτερη πολιτική, και άλλες καμπύλες αδιαφορίας που σχετίζονται με κάποιον που προτιμάει την πρώτη τιμολογιακή πολιτική. Αυτή που προτιμάει την δεύτερη πολιτική θα έχει καμπύλη όπως αυτή που γράφει Blue curve, και αυτή που προτιμάει την πρώτη πολιτική θα έχει καμπύλη όπως αυτή που γράφει Pencil curve.

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών

Ακαδημαϊκό έτος 2005-2006

Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι Διδάσκοντες: Α. Παπανδρέου Β. Ράπανος Πακέτο ΙII: Ασκήσεις Μικροοικονομικής Θεωρίας Ι Προσοχή: ημερομηνία παράδοσης 8 Δεκεμβρίου 2005 Βαθμολόγηση: Κάθε άσκηση αντιστοιχεί με 1 μονάδα εκτός αν αναφέρει ρητά κάτι άλλο. Εάν θεωρείτε πως έχετε απαντήσει την μισή άσκηση σωστά τότε βάλτε τις μισές μονάδες για εκείνη την άσκηση. Ο βαθμός μπορεί να είναι δεκαδικός, π.χ., σε μια άσκηση μπορεί να έχετε απαντήσει 2 από τις 3 υποερωτήσεις σωστά. Σε αυτήν την περίπτωση ο βαθμός για την άσκηση θα είναι 0,66 μονάδες. Άσκηση 1 Η συνάρτηση ζήτησης ενός αγαθού δίνεται από τη σχέση D(p,Ι) = 4 - 2p + Ι/100, όπου p είναι η τιμή του αγαθού και Ι το εισόδημα. Αν το Ι=100 και p=1. (a); Ποια είναι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης του αγαθού;. (b) Ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή του αγαθού; Άσκηση 2 Ένα άτομο καταναλώνει σοκολάτες και άλλα αγαθά. Η συνάρτηση χρησιμότητας του δίνεται από τη σχέση u(x; y) = 100x −(x2/2)+ y, όπου x είναι σοκολάτες και y το εισόδημα που ξοδεύει για τα άλλα αγαθά.. (α) Ποια είναι η (αντίστροφη) καμπύλη ζήτησης για σοκολάτες;. (β) Αν η τιμή της σοκολάτας είναι 50, πόσες σοκολάτες θα αγοραστούν; (γ) Αν η τιμή της σοκολάτας είναι 80, πόσες σοκολάτες θα αγοραστούν; (δ) Έστω ότι το συνολικό εισόδημα είναι 4.000. Ποια είναι η συνολική του χρησιμότητα για σοκολάτες και για το χρήμα που ξοδεύει για άλλα αγαθά, αν η τιμή της σοκολάτας είναι 50; (ε) Ποια είναι η συνολική του χρησιμότητα για σοκολάτες και για το χρήμα που ξοδεύει για άλλα αγαθά, αν η τιμή της σοκολάτας είναι 80; (ζ) Ποια είναι η μεταβολή στο πλεόνασμα του καταναλωτή όταν η τιμή μεταβάλλεται από το 50 στο 80; Άσκηση 3 Έστω καταναλωτής με συνάρτηση χρησιμότητας για δύο αγαθά X και Y, η οποία έχει τη μορφή U = (X + 20)(Y + 20). Ο οριακός λόγος υποκατάστασης είναι MRSX,Y = (Y + 20)/(X + 20).

α. Αν ο καταναλωτής επιδιώκει τη μεγιστοποίηση της ευημερίας του, πόσο θα αγοράσει από το X και Y; αν το εισόδημα είναι 120, η τιμή του Χ είναι 10 ανά μονάδα, και η τιμή του Y είναι 2 ανά μονάδα; β. Υποθέστε ότι η τιμή του X μειώνεται στο 2. Πόσο μεταβάλλει ο καταναλωτής τη ζήτηση του για X και Y λόγω του αποτελέσματος υποκατάστασης; Πόσο μεταβάλλει ο καταναλωτής τη ζήτηση του για X και Y λόγω του αποτελέσματος εισοδήματος; Άσκηση 4. Ας υποθέσουμε ότι ένας καταναλωτής έχει τη συνάρτηση χρησιμότητας u(x,y) = x + y. Αρχικά ο καταναλωτής αντιμετωπίζει τιμές px=1και py=2 και έχει εισόδημα €10. αν οι τιμές αλλάξουν σε px=4και py=2, να υπολογίσετε την αντισταθμιστική μεταβολή. Άσκηση 5 Η συνάρτηση ζήτησης για τα εισιτήρια ενός τυπικού ποδοσφαιρικού αγώνα για την ομάδα του ΠΟΚ είναι D(p) = 200.000 −10.000p. Ο ιδιοκτήτης της ομάδας ορίζει την τιμή σε τέτοιο ύψος ώστε να μεγιστοποιεί τα έσοδα του. Το στάδιο μπορεί να χωρέσει 100.000 θεατές. (α) Ποια είναι η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης; (β) Ποια είναι η συνάρτηση συνολικών εσόδων; (γ) Σε ποια τιμή θα μεγιστοποιηθούν τα έσοδα;. Ποια ποσότητα πωλείται σ’ αυτή την τιμή; (δ) Σε αυτή την ποσότητα ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης; . Θα γεμίσει το στάδιο; (ε) Μετά τις επιτυχίες της ομάδας στο Champions League, η καμπύλη ζήτησης μετατοπίζεται προς τα πάνω. Η νέα καμπύλη ζήτησης είναι q(p) = 300, 000 −10, 000p. Ποια είναι η νέα αντίστροφη καμπύλη ζήτησης; (ζ) Αν ξεχάσουμε τη χωρητικότητα του γηπέδου, ποια τιμή μεγιστοποιεί τα έσοδα;. Πόσα εισιτήρια πωλούνται σ’ αυτή την τιμή; 150,000. (η) Όπως θα παρατηρήσετε από την πιο πάνω απάντηση, ποσότητα που μεγιστοποιεί τα έσοδα είναι μεγαλύτερη από τη χωρητικότητα του γηπέδου. Ο ιδιοκτήτης της ομάδας ξέρει ότι δεν μπορεί να πωλήσει θέσεις που δεν έχει. Σε ποια τιμή θα πωλήσει τα 100.000 εισιτήρια για να μεγιστοποιήσει τα έσοδα του; (θ) Ποια η ελαστικότητα ζήτησης σ’ αυτή την τιμή-ποσότητα; Άσκηση 6

0.5

β) Πόσα φορολογικά έσοδα εισπράττονται με τον αντισταθμιστικό φόρο ως συνάρτηση των τιμών, του εισοδήματος και του t; Αυτό μπορείτε να το υπολογίσετε άμεσα χρησιμοποιώντας τις πληροφορίες για τα φορολογικά έσοδα και την αποζημίωση, ή ως η διαφορά μεταξύ της δαπάνης του καταναλωτή στο συνδυασμό που καταναλώνει μετά το φόρο και του εισοδήματος που παίρνουν οι πωλητές σ’ αυτό τον συνδυασμό. καταναλωτικών δαπανών γ) Ποια είναι η απώλεια ευημερίας λόγω του φόρου; Πότε μπορεί να είναι μηδέν; Άσκηση 7 Αν η συνάρτηση χρησιμότητας είναι U(x,y,z)= (x-a)α (y-b)β(z-c)γ και α+β+γ=1, να βρείτε τις Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης, την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας και τη συνάρτηση δαπάνης. (Νύξη: Θυμηθείτε ότι ο μετασχηματισμός της συνάρτησης χρησιμότητας μπορεί να βοηθήσει και ακόμη ότι η συνάρτηση δαπάνης μπορεί να βρεθεί εύκολα αν έχουμε τη συνάρτηση έμμεσης χρησιμότητας).

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών

Ακαδημαϊκό έτος 2005-2006

Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι Διδάσκοντες: Α. Παπανδρέου Β. Ράπανος Πακέτο ΙV: Ασκήσεις Μικροοικονομικής Θεωρίας Ι Προσοχή: ημερομηνία παράδοσης 11 Ιανουαρίου 2005 Βαθμολόγηση: Κάθε άσκηση αντιστοιχεί με 1 μονάδα εκτός αν αναφέρει ρητά κάτι άλλο. Εάν θεωρείτε πως έχετε απαντήσει την μισή άσκηση σωστά τότε βάλτε τις μισές μονάδες για εκείνη την άσκηση. Ο βαθμός μπορεί να είναι δεκαδικός, π.χ., σε μια άσκηση μπορεί να έχετε απαντήσει 2 από τις 3 υποερωτήσεις σωστά. Σε αυτήν την περίπτωση ο βαθμός για την άσκηση θα είναι 0,66 μονάδες Άσκηση 1. Μια επιχείρηση έχει την εξής συνάρτηση παραγωγής Q=K1/3L2/3 Η ζήτηση για το προϊόν της επιχείρησης δίνεται από τη σχέση Q=540-6P α) Να υπολογίσετε το οριακό προϊόν εργασίας και κεφαλαίου. β) Τι είδους αποδόσεις κλίμακας έχει αυτή η επιχείρηση; Άσκηση 1. Απάντηση a) MPL =(2/3)(Q/L), MPK =(1/3) (Q/L) β) Αν πολλαπλασιάσουμε τους συντελεστές με ένα αριθμό, π.χ. t βρίσκουμε ότι το προϊόν πολλαπλασιάζετε με το ίδιο αριθμό, άρα σταθερές αποδόσεις κλίμακας Q=K1/3L2/3 = (tK)1/3(tL)2/3 = t K1/3L2/3=tQ. Άσκηση 2 Έστω η συνάρτηση παραγωγής

f ( x1 , x2 ) = ( x1a + x2a ) b όπου a και b είναι σταθεροί θετικοί αριθμοί. Για ποιες θετικές τιμές των a και b, υπάρχουν φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας; Σταθερές αποδόσεις κλίμακας; Αύξουσες αποδόσεις κλίμακας;

2 Άσκηση 2. Απάντηση Πολλαπλασιάζω τα x1 και x2 με το t, οπότε έχω

f (tx1 , tx2 ) = [(tx1 ) a + (tx2a )]b

f (tx1 , tx2 ) = [t a ( x1 ) a + t a ( x2a )]b = t ab ( x1a + x2a ) b Οπότε με ab <1, φθίνουσες αποδόσεις, με ab =1 σταθερές και με ab >1 αύξουσες αποδόσεις κλίμακας. Άσκηση 3. Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής μιας επιχείρησης είναι

f ( x1 , x2 , x3 ) = Ax1a x2b x3c

με a+b+c>1

Να δείξετε ότι οι αποδόσεις κλίμακας είναι αύξουσες Άσκηση 3. Απάντηση Για κάθε t>1 έχουμε ότι

f (tx1 , tx2 , tx3 ) = A(tx1 ) a (tx2 ) b (tx3 ) c = t a +b+c f ( x1 , x2 , x3 ) > tf ( x1 , x2 , x3 )

Άσκηση 4. Έστω ότι μια επιχείρηση έχει την εξής συνάρτηση παραγωγής

f ( x1 , x2 ) = x1 + x22 α) Τι συμβαίνει στο οριακό προϊόν των συντελεστών 1 και 2, (αυξάνεται, παραμένει σταθερό ή μειώνεται)όταν η ποσότητα του συντελεστή αυξάνει; β) Αυτή η συνάρτηση παραγωγής δεν ικανοποιεί τον ορισμό των αυξουσών, σταθερών ή φθινουσών αποδόσεων κλίμακας, Γιατί συμβαίνει αυτό; γ) Βρείτε ένα συνδυασμό των συντελεστών παραγωγής τέτοιο ώστε αν διπλασιαστεί η ποσότητα των συντελεστών το προϊόν θα υπερδιπλασιαστεί. δ) Βρείτε ένα συνδυασμό των συντελεστών παραγωγής τέτοιο ώστε αν διπλασιαστεί η ποσότητα των συντελεστών το προϊόν θα υποδιπλασιαστεί. Άσκηση 4. Απάντηση α)

f ( x1 , x2 ) = x1 + x22 = x11 / 2 + x22

1 df ( x1 , x2 ) 1 −21 = x1 + x22 = 1 2 dx1 2x 2 Είναι φανερό ότι όταν αυξάνεται το x1 το προϊόν μειώνεται. Επίσης για τη μεταβολή του x2 έχουμε ότι 1 df ( x1 , x2 ) = x12 + 2 x2 dx 2

Είναι φανερό ότι όταν αυξάνεται το x2 το προϊόν αυξάνεται β) Οι αποδόσεις κλίμακας είναι διαφορετικές ανάλογα με τη μεταβολή του λόγου των συντελεστών παραγωγής. γ) Π.χ. x1=1 και x2=4 δ) Π.χ. x1=4 και x2=0 Άσκηση 5. Υποθέστε ότι η συνάρτηση παραγωγής είναι

f ( x1 , x2 ) = (min{x1 ,2 x2 })1 / 2 α) Τι είδους αποδόσεις κλίμακας συνεπάγεται αυτή η συνάρτηση; β) Αν οι τιμές των συντελεστών είναι {1, 1} ποιος ο πιο φτηνός τρόπος (ποιες οι ποσότητες συντελεστών) για την παραγωγή 4 μονάδων; Ποιο το κόστος; γ) Αν οι τιμές είναι {1, 1} ποιος ο πιο φτηνός τρόπος (ποιες οι ποσότητες συντελεστών) για την παραγωγή 5 μονάδων; Ποιο το κόστος; δ) Αν οι τιμές είναι {1, 1}, ποιο το κόστος για την παραγωγή y μονάδων; ε) Αν οι τιμές είναι {w1, w2} Ποιο το κόστος για την παραγωγή y μονάδων; Άσκηση 5. Απάντηση α) Αν πολλαπλασιάσω με ένα συντελεστή t, θα έχουμε

f (tx1 , tx2 ) = (min{tx1 ,2tx2 })1 / 2 = t 1 / 2 (min{tx1 ,2tx2 })1 / 2 Άρα, φθίνουσες αποδόσεις. β) Η συνάρτηση παραγωγής μπορεί να γραφεί ως

f 2 (tx1 , tx2 ) = (min{tx1 ,2tx2 })

4 Από τη στιγμή που έχουμε συνάρτηση Leontieff 1 μονάδα x1 πρέπει να συνδιάζεται με 2 μονάδες του x2 για μια μονάδα προϊόντος στο τετράγωνο. Άρα για 42 πρέπει να συνδυαστούν 16 μονάδες x1 με 8 μονάδες x2. Το κόστος, με τιμές {1,1} θα είναι 16+8=24. γ) Με το ίδιο σκεπτικό για 5 μονάδες προϊόντος πρέπει να απασχοληθούν 25 μονάδες του x1 και 12,5 μονάδες του x2 και κόστος 37,5 δ) Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι κόστος y=3y2/2 ε) Με τιμές των συντελεστών { w1 , w2}το κόστος είναι (w1+ w2/2)y2. Άσκηση 6. Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής με δύο συντελεστές

f ( x1 , x2 ) = x11 / 2 x21 / 4 Η τιμή του προϊόντος είναι 4. Η αμοιβή του συντελεστή 1 είναι w1 και του συντελεστή 2 είναι.w2. α) Γράψετε μια εξίσωση που δίνει την αξία του οριακού προϊόντος του κάθε συντελεστή συντελεστή και ότι είναι ίση με την αμοιβή του. β) Αν η αμοιβή του συντελεστή 1 είναι ίση με 2 και του συντελεστή 2 είναι ίση με 1, πόσες μονάδες συντελεστών θα ζητήσει η επιχείρηση; Άσκηση 6. Απάντηση α) Αξία οριακού προϊόντος = P x MP

P × MPx =

df ( x1 , x2 ) = 2 x1−1 / 2 x12 / 4 = w1 dx1

P × MPx = 1

df ( x1 , x2 ) = x11 / 2 x2−3 / 4 = w2 dx 2

Λύνουμε αυτές τις δύο εξισώσεις ως w1 και w2 και βρίσκουμε ‘οτι

x1 =

8 w w2 3 1

και

x2 =

4 w w22 2 1

β) Με απλές αντικαταστάσεις στις πιο πάνω σχέσεις βρίσκουμε ότι

x1 = x2 = 1, προϊόν = 1,

Άσκηση 7 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί εργασία και μηχανές για να παραγάγει ένα προίόν με την εξής συνάρτηση παραγωγής

f ( L, M ) = 4 L1 / 2 M 1 / 2 όπου L είναι μονάδες εργασίας και M μονάδες μηχανών. Το κόστος εργασίας είναι €40 ανά μονάδα και το κόστος της μηχανής ανά μονάδα είναι €10. α) Ποια είναι η κλίση της γραμμής ίσου κόστους; β) Βρείτε τον αριθμό των μηχανών ανά εργάτη που ελαχιστοποιεί το κόστος της επιχείρησης. γ) Σε επίπεδο προϊόντος ίσο με 40, πόσες μονάδες εργασίας και μηχανών ζητούνται; Ποιο το κόστος παραγωγής των 40 μονάδων προϊόντος; Άσκηση 7. Απάντηση α) TC = 40L+10M. Παραγωγίζοντας και θέτοντας την πρώτη παράγωγο ίση με μηδέν έχουμε ότι η κλίση της γραμμής ίσου κόστους έχει κλίση ίση με -4. β) Βρίσκουμε την κλίση της γραμμής ίσου προϊόντος από τη συνάρτηση παραγωγής, με παραγώγιση ως ρος L και Μ, η οποία είναι ίση με Μ/L. Την εξισώνουμε με την κλίση της γραμμής ίσου κόστους και βρίσκουμε ότι ο αριθμός των μηχανών ανά εργάτη είναι 4. γ) Ξέρουμε ότι (Μ/L) = 4, δηλαδή M =4L. Αντικαθιστώ στη συνάρτηση παραγωγής το 40 για το προϊόν και το M =4L και βρίσκω ότι L= 5 και στη συνέχεια Μ=20. Το κόστος παραγωγής των 40 μονάδων είναι TC = 5x40+10x20=400. Άσκηση 8. Αν το συνολικό κόστος μιας επιχείρησης είναι TC = 2s2+10. Να υπολογίσετε τα α) TVC β) TFC γ) AVC δ) AFC ε) ATC ζ) MC

Άσκηση 8. Απάντηση α) TVC = 2s2 β) TFC = 10 γ) AVC = 2s δ) AFC = 10/s ε) ATC = 2s + 10s ζ) MC = 4s

28/08/2006

∂xi ∂xi = ∂pi ∂pi

U =U

− xi

∂xi ∂hi ∂x = − xi i ∂I ∂I ∂pi

Προσοχή: Η εξέταση συνεχίζεται στην πίσω σελίδα.

pT QT ΔQT p AQA ΔQA ΔI + = I QT I QA I Και διαιρώντας μετά με (ΔΙ/Ι), βρίσκουμε ότι

pT QT ΔQT I p Q ΔQA I + A A =1 I QT ΔI I QA ΔI ή

β) Η συνολική καμπύλη ζήτησης για τρόφιμα είναι

αν pT > 20 αν pT < 20

QT = QTΣ + QTX = 200 − 4 pT QT = QTΣ + QTX = 300 − 9 pT QT = QTΣ + QTX = 0

αν pT > 50

120

300

γ)

dQ p p pT = −9 T = −9 dp Q QT 300 − 9 pT

Η ζήτηση είναι ελαστική όταν

e >1

Η ζήτηση είναι anαστική όταν

e <1 pT >1 300 − 9 pT

Άρα η ζήτηση είναι ελαστική όταν

Η ζήτηση είναι ανελαστική όταν

9 pT > 300 − 9 pT pT > 16,67 pT < 16,67

δ) Έσοδα = pTQT = pT(300 – 9pT) Max εσόδων :dR/dp = 0 300 – 18pT = 0

pT = 16.67

Τμήμα Β.2 (Παραγωγή) 5

1 2

Υ=K L

1 2

Υ=K L

, όπου w=36, r=4.

∂f ( K , L) ∂L TRS = − =− ∂f ( K , L) ∂K

1 −2 2 L K K 2 =− 1 1 L 1 2 −2 L K 2

TRS = −

w K =− r L

w L r

Αντικαθιστώντας στη συνάρτηση παραγωγής έχουμε ότι 1

Υ=(

w 2 2 L) L r

ή 1

w Υ = ( )2 L r

r και L = ( ) 2 Y w

1 L = ( )Y 3

και K = (

36 1 )( Y ) = 3Y 4 3

1 2

Υ = (900) L = 30 L

Υ = 450 = 30 L

L = 225 C = rK + wL = 4 (900) + 36 (225) = 11.700 C/Y = 11.700/450 = 26 VC = wL = 36 (225) = 8100

δ)

200 = 30 L1/2 πράγμα που σημαίνει ότι L = 44,4 C =3600 + 36 (44,4) = 5198,4 C/Y = 26 VC = 36 (44,4) = 1598,4

Άσκηση 4 Εξετάστε την καμπύλη ίσου προϊόντος στο πιο κάτω διάγραμμα.

K L σ= %ΔMRTS L , K %Δ

Η ποσοστιαία μεταβολή στο λόγο κεφαλαίου εργασίας για το πιο πάνω διάγραμμα είναι

KB KA − A B K L L x100 %Δ = A K L LA 5 10 − K 5 2 %Δ = x100 10 L 2

%Δ

K 1− 5 = x100 5 L

%Δ

K = −80% L

Η ποσοστιαία μεταβολή στον οριακό λόγο τεχνικής υποκατάστασης δίνεται από τη σχέση

% ΔMRTS L , K =

MRTS LB, K − MRTS LA, K MRTS LA, K

%ΔMRTS L , K = % ΔMRTS L , K

x100

2 − 12 x100 12 = −83,33

Άρα η ελαστικότητα υποκατάστασης είναι

K L σ= %ΔMRTS L , K %Δ

σ=

− 80% = 0,96 − 83.33

Πακέτο Ι: Ασκήσεις και Λύσεις Μικροοικονοµικής Θεωρίας Ι Νοέµβριος 2004

Βαθµολόγηση: Κάθε άσκηση αντιστοιχεί µε 1 µονάδα εκτός αν αναφέρει ρητά κάτι άλλο. Εάν θεωρείτε πως έχετε απαντήσει την µισή άσκηση σωστά τότε βάλτε τις µισές µονάδες για εκείνη την άσκηση. Ο βαθµός µπορεί να είναι δεκαδικός. Η διαδικασία καταχώρησης βαθµών στο ιστότοπο θα σας ανακοινωθεί. Άσκηση 1: Υπολογίστε τις πρώτες και δεύτερες παραγώγους (και όλους τους µερικούς παραγώγους) των ακόλουθων συναρτήσεων: 1

(α) f ( x, y, z ) = ( x a + y a + z a ) a Απάντηση: 9

∂f@x, y,zD ∂f@x, y,zD ∂f@x, y,zD == , , ∂x ∂y ∂z

−1+a

Hx + y + z L a

1 −1+ 1 −1+ 1 a −1+a , y−1+aHxa +ya +zaL a, z−1+aHxa + ya+ zaL a>

∂2f@x, y,zD −2+1 = H−1 + aL x−2+aHya +zaLHxa+ ya+ zaL a ∂x2 ∂2f@x, y,zD ∂2f@x, y,zD = = −2+ 1 −1+a −1+a ∂x∂y ∂ y∂x −H−1 + aL x y Hxa+ ya+ zaL a ∂2f@x, y,zD ∂2f@x, y,zD = = −2+ 1 −1+a −1+a −H−1 + aL x z Hxa+ ya+ zaL a ∂x∂z ∂z∂x ∂2f@x, y,zD = −2+1 ∂y2 H−1+ aL y−2+aHxa +zaL Hxa+ ya+ zaL a ∂2f@x, y,zD ∂2f@x, y,zD = = −2+ 1 −1+a −1+a ∂ y∂z ∂z∂y −H−1 + aL y z Hxa+ ya+ zaL a

∂2f@x, y,zD = −2+1 a a −2+a a −1 + aL Hx + y L z Hx + ya+ zaL a ∂z2

(β) g ( x, y ) = x 4 y 4 Απάντηση: 9

∂g@x, yD ∂g@x, yD 3y1ê4 x3ê4 , = =9 , = ∂x ∂y 4x1ê4 4y3ê4

∂2g@x,yD i j j 2 j j ∂x j j j j ∂2f@x,yD k ∂y∂x

1ê4 y i z j − 3y5ê4 z j ∂x∂y z 16x j z =j z j z j 2 z ∂ f@x,yD z j 3 j ∂y2 { k 16x1ê4y3ê4 ∂2g@x,yD

3 16x1ê4y3ê4 3ê4 − 3x7ê4 16y

y z z z z z z z z {

(γ) f ( x, y ) = e x + ln y Απάντηση:

∂f@x, yD ∂f@x, yD = = 8 x y, x< , ∂x ∂y

∂2g@x,yD i j j ∂x2 j j j j j j ∂2f@x,yD k ∂y∂x

y z xy x z z z = J N z x z ∂2f@x,yD z 0 z ∂y2 { ∂2g@x,yD ∂x∂y

Άσκηση 2: Οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κοίλες, κυρτές, αυστηρά κοίλες, αυστηρά κυρτές, ή τίποτα από αυτά; f ( x, y ) = y 2 + 4 x 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 0,5( x12 + x22 − x32 ) + x1 x2 f ( x, y ) = x + y Εφόσον αυτές οι συναρτήσεις είναι διαφορίσιµες µπορούµε να ελέγξουµε για την καµπυλότητα τους βλέποντας τις κύριες ελάσονες τις Εσσιανής (βλέπε «ορισµοί»). Απάντηση: Για αυτήν την άσκηση είναι χρήσιµο να δείτε το κεφάλαιο 11 του Chiang «Μαθηµατικές µέθοδοι οικονοµικής ανάλυσης» Τόµος Β’, εκδόσεις Κριτική. Για την πρώτη συνάρτηση και οι δύο κύριες ελάσονες είναι θετικές οπότε η συνάρτηση είναι θετικά ορισµένη, που σηµαίνει πως είναι αυστηρά κυρτή. ∂2f@x, y,zD =8 ∂x2

ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

∂2f@x,yD ∂x2

∂2f@x,yD ∂y∂x

ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ∂x∂y 8 0 ƒ ƒ = À À = 16 ƒ 0 2 ∂2f@x,yD ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ∂y2 ∂2f@x,yD

Για την δεύτερη συνάρτηση οι τρείς κύριες ελάσονες είναι αντίστοιχα θετική, µηδενική, µηδενική, οπότε πρέπει να εξετάσουµε και τις υπόλοιπες ελάσονες. Βλέποντας τις υπόλοιπες ελάσονες συµπεραίνουµε πως η συνάρτηση δεν είναι ούτε κυρτή ούτε κοίλη. ƒ 1 1 0 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ 1 1 ƒ ƒ ƒ ƒ 1, À À = 0, ƒ 1 1 0 =0 ƒ ƒ ƒ 1 1 ƒ ƒ ƒ ƒ 0 0 −1 ƒ ƒ 1 0 1, À À = −1 0 −1 1 0 −1, À À =−1 0 −1

Για θετικές τιµές του x,y η τρίτη συνάρτηση έχει µια πρώτη αρνητική κύρια ελάσονα και δεύτερη θετική. Η συνάρτηση είναι αρνητικά ορισµένη που σηµαίνει πως είναι αυστηρά κοίλη. Σε περίπτωση που τα x,y µπορούν να πάρουν και αρνητικές τιµές τότε δεν µπορούµε να προσδιορίσουµε την καµπυλότητα της συνάρτησης. −

1 1 < 0, >0 4x3ê2 16x3ê2 y3ê2

Άσκηση 3: Βρείτε τα κρίσιµα σηµεία των συναρτήσεων που ακολουθούν και προσδιορίστε αν είναι τοπικά µέγιστα, τοπικά ελάχιστα, ή κάτι άλλο: (α) z = − x + xy − y 2 + 2 x + y Απάντηση: Τα κρίσιµα σηµεία είναι x=-3 και y = -1. Από τις συνθήκες δεύτερης τάξης βρίσκουµε πως οι κύριες ελάσονες έχουν τιµές 0, -1 αντίστοιχα, οπότε η συνάρτηση αυτή δεν έχει ούτε µέγιστο ούτε ελάχιστο και το συγκεκριµένο σηµείο ονοµάζεται σιγµατικό καµπής.

fHx,yL

20 0 4

-20 -40

-5

0 0 x

-2 5 -4

(β) z = e 2 x − 2 x + 2 y + 3 Απάντηση: Οι δύο µερικές παράγωγοι δεν είναι ίσες µε το µηδέν οπότε δεν έχουµε ακρότατο σηµείο (δεν υπάρχει µέγιστο, ελάχιστο, σηµείο καµπής, ή σαγµατικό σηµείο). Αναγκαία και ικανή συνθήκη για κρίσιµα σηµείο είναι όλοι οι µερικές παράγωγοι να είναι ταυτόχρονα µηδέν. (γ) z = 5 x 2 + 8 y 2 + 3 Απάντηση: Τα κρίσιµα σηµεία είναι x = 0, y = 0. Από τις συνθήκες δεύτερης τάξης βρίσκουµε πως οι κύριες ελάσονες έχουν θετικές τιµές οπότε το κρίσιµο σηµείο είναι τοπικά και σφαιρικά ελάχιστο.

100 fHx,yL 50

0 0 -2 0

-2

x 2

Άσκηση 4 (δύο µονάδες): Μια επιχείρηση που παράγει δύο προϊόντα λειτουργεί σε συνθήκες τέλειου ανταγωνισµού. Οι τιµές των προϊόντων είναι εξωγενείς p1 , p2 . Τα έσοδα της επιχείρησης είναι R = p1q1 + p2 q2 , όπου qi είναι η ποσότητα που παράγει η επιχείρηση του αντίστοιχου προϊόντος. Η συνάρτηση κόστους της επιχείρησης είναι C = q12 + q1q2 + 2q22 . Οπότε τα κέρδη της επιχείρησης είναι

π = p1q1 + p2 q2 − q12 − q1q2 − 2q22 . (α) Βρείτε τις ποσότητες των δύο προϊόντων που µεγιστοποιούν τα κέρδη Απάντηση 4 1 q1* = p1 − p2 7 7 1 2 q2* = − p1 + p2 7 7 (β) Ελέγξτε τις συνθήκες δεύτερης τάξης. Απάντηση

Οι δύο κύριες ελάσονες έχουν τιµές -2 και 7 αντιστοίχως (αρνητικό και θετικό πόσιµο) οπότε ικανοποιούνται και οι αναγκαίες συνθήκες για µέγιστο. (γ) Ποια είναι τα µέγιστα κέρδη; Απάντηση Αντικαθιστούµε τις τιµές που βρήκαµε στο (α) στην συνάρτηση των κερδών. Παρακάτω δεν έχω κάνει την αντικατάσταση αλλά αν την είχα κάνει θα πρέπει µέγιστα κέρδη να είναι συνάρτηση των τιµών των δύο προϊόντων.

π * ( p1 , p2 ) = p1q1* + p2 q2* − q1*2 − q1*q2* − 2q2*2 = p1J

4p1 p2 4p1 p2 2 4p1 p2 p1 2p2 p1 2p2 2 p1 2p2 − N−J − N −J − NJ− + N − 2J− + N + J− + N p2 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

1 2 I2p2 1− p1 p2 + p2M 7

(δ) Αποδείξετε πως ισχύει το θεώρηµα της περιβάλλουσας καµπύλης για το 2 ∂A 1 H2p2 1− p1 p2 + p2LE 7

∂ p1

dπ * . dp1

4 1 ∂π∗ ∗ = q1 = p1− p ∂ p1 7 7

Άσκηση 5: Έστω η χρησιµότητα ενός ατόµου εξαρτάται από την κατανάλωση δύο αγαθών U = ( x + 2)( y + 1) , αλλά έχει τον περιορισµό να µην µπορεί να ξοδέψει παραπάνω από 130 = 4 x + 6 y . (α) Με την µέθοδο Lagrange βρείτε τις τιµές των x, y , λ που µεγιστοποιούν την χρησιµότητά του. Απάντηση x = 16, y = 11, λ = 3 (β) Ελέγξτε τις συνθήκες δεύτερης τάξης. Απάντηση Η πλαισιωµένη ορίζουσα είναι θετική οπότε έχουµε ικανή συνθήκη δεύτερης τάξης για µέγιστο (δείτε σελίδα 112 -113 στο Chiang). 0 4 6y i z j ¯¯¯¯ z z = 48 > 0 j » H2» = j j z j 4 0 1z k 6 1 0{

Άσκηση 6: (δύο µονάδες) (α) Να αποτυπωθεί διαγραµµατικά ο εισοδηµατικός περιορισµός Ι = 100, px = 4 όπου οι πρώτες πέντε µονάδες του y αγοράζονται στην τιµή των p y = 10 ενώ αν αγοράσει ο καταναλωτής πάνω από πέντε µονάδες του y οι υπόλοιπες αγοράζονται στην τιµή των 5 ( p 'y = 5 ). Απάντηση

Το σηµείο καµπής είναι στο x = 12.5, y = 5. Τα σηµεία τοµείς των x, y µε τον άξονα είναι x = 25, y = 15. (β) Για έναν καταναλωτή µε τέτοιο εισοδηµατικό περιορισµό εξηγήστε τα χαρακτηριστικά της επιλογής που µεγιστοποιεί την χρησιµότητά του όταν οι προτιµήσεις του είναι (ι) κοίλες, (ιι) κυρτές, ή (ιιι) τα αγαθά είναι τέλεια υποκατάστατα. Απάντηση: (ι) Κοίλες προτιµήσεις θα είχαν το ακόλουθο σχήµα 14

Με το παραπάνω εισοδηµατικό περιορισµό θα µπορούσαµε να έχουµε µεγιστοποίηση της χρησιµότητας σε ένα από τα δύο άκρα ή κατά σύµπτωση και στα δύο άκρα (αδιάφορο µεταξύ των δύο άκρων). (ιι) Κυρτές προτιµήσεις είναι αυτές που απεικονίζονται µε την συνηθισµένη καµπύλη αδιαφορίας, π.χ., Cobb-Douglas. Οπότε θα περιµέναµε ένα εσωτερικό µέγιστο σε µία από τις κλίσεις του εισοδηµατικού περιορισµού. Κατά τύχη θα µπορούσε να είναι τέτοια η καµπυλότητα ώστε καµπύλη αδιαφορίας που µεγιστοποιεί την χρησιµότητα να εφάπτεται και στα δύο τµήµατα του εισοδηµατικού περιορισµού. Θα µπορούσε επίσης να έχουµε µέγιστο σε ακρότατο σηµείο (αγορά µόνο x ή µόνο y) ανάλογα µε την µορφή των κυρτών προτιµήσεων (την µορφή της καµπύλης αδιαφορίας).

(ιιι) Τέλεια υποκατάστατα θα είχαν το ακόλουθο σχήµα:

100 80 60 40 20

Όπως και µε τις κοίλες προτιµήσεις θα περιµέναµε το σηµείο µεγιστοποίησης της χρησιµότητας να είναι σε ένα από τα δύο άκρα. Υπάρχει βέβαια η περίπτωση να ευθυγραµίζεται ένα τµήµα του εισοδηµατικού περιορισµού µε την ‘καµπύλη’ αδιαφορίας, οπότε το άτοµο θα είναι αδιάφορο σε ποιο σηµείο του συγκεκριµένου τµήµατος θα βρίσκεται. Άσκηση 7: Έστω µια οικονοµία µε 3 αγαθά, x, y , z και 2 άτοµα, Α, Β. Άτοµο Α έχει στην κατοχή του µία µονάδα z, µια µονάδα y, και κάποια χρήµατα. Άτοµο Β έχει στην κατοχή του µόνο µία µονάδα x. Άτοµο Α έχει µη µεταβατικές προτιµήσεις έτσι ώστε: x y z και z x . ∆εν χρειάζεται να ορίσουµε τις προτιµήσεις του ατόµου Β (γιατί δεν χρειάζεται;). Κάνοντας χρήση των προτιµήσεων του Α σκεφθείτε κάποιες ανταλλαγές που µπορούν να γίνουν µεταξύ Α και Β έτσι ώστε να καταλήξουν όλα τα χρήµατα στον Β και να έχει και στην κατοχή του την αρχική µονάδα x. Απάντηση: Φανταστείτε την ακόλουθη σειρά ανταλλαγών µεταξύ Α και Β: Ο Β δίνει µία µονάδα του αγαθού x για να λάβει από τον Α µία µονάδα του y. Ο Β δίνει ένα y για ένα z. Ο Β δίνει ένα z για ένα x συν µια µικρή ποσότητα χρηµάτων (η συνέχεια των προτιµήσεων µας εξασφαλίζει πως θα υπάρχει κάποια έστω απειροελάχιστη ποσότητα χρηµάτων που θα δεχόταν για αυτήν την ανταλλαγή). Στο τέλος αυτών των ανταλλαγών ο Β έχει ένα x (αυτό µε το οποίο ξεκίνησε) και κάποια λίγα χρήµατα. Ο Α έχει την αρχική ποσότητα y και z, αλλά µε λίγο λιγότερο χρήµα. Αυτή η ακολουθία ανταλλαγών µπορεί να επαναληφθεί όσες φορές χρειάζεται µέχρι να χάσει ο Α όλα τα χρήµατά του. Άσκηση 8: Κατασκευάστε δύο διαφορετικές συναρτήσεις χρησιµότητας που αντιπροσωπεύουν τις ακόλουθες προτιµήσεις: a ∼ b ≺ c ≺ d ≺ e ∼ f . Ορίζω συνάρτηση χρησιµότητα: x U(x) V(x)

a 0 -100

b 0 -100

Όπου U(a) = 0, U(b) = 0, κ.λ.π.

c 1/2 20

d 3/4 21

e 1 1000

f 1 1000

Πακέτο 3: Ασκήσεις Μικροοικονοµικής Θεωρίας Ι/2004-11-24 Προσοχή: ηµεροµηνία παράδοσης 8 ∆εκεµβρίου 2004 Τα πακέτα να παραδοθούν στα φροντιστήρια του κ. Καφούρου.

Άσκηση 1 (δύο µονάδες): Υποθέστε ότι η χρησιµότητα δίνεται από: Χρησιµότητα = U ( X , Y ) = XY Α. Βρείτε τις αντισταθµιστικές συναρτήσεις ζήτησης. Απάντηση: Μπορούµε να βρούµε τις αντισταθµιστικές συναρτήσεις ζήτησης είτε αντικαθιστώντας το εισόδηµα µε την συνάρτηση δαπανών στις Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης είτε κατευθείαν βρίσκοντας τις άριστες τιµές του δυαδικού προβλήµατος (ελαχιστοποίηση δαπανών για να πετύχουµε ένα σταθερό επίπεδο χρησιµότητας). L = p X X + pY Y + λ (U − XY ) ∂L ⎫ : p X − λY = 0 ⎪ pX Υ p ⎪ ∂X = ⇒ Χ = Υ Υ (1) ⎬⇒ ∂L pY Χ pΧ : pY − λ X = 0 ⎪ ∂Y ⎭⎪ ∂L U : U − XY = 0 ⇒ Υ = (2) ∂λ Χ (2) pY U (1) ⇒ Χ = pX

pX U pY

Β. Πώς διαφέρει η αντισταθµιστική συνάρτηση ζήτησης από την Μαρσαλιανή; Εξηγείστε και δείξτε το διαγραµµατικά. Απάντηση: Η αντισταθµιστική συνάρτηση ζήτησης µας δείχνει τις άριστες ποσότητες των αγαθών για διαφορετικές τιµές αλλά για δεδοµένη χρησιµότητα. (Υποθέτει ότι µεταβάλλεται το ονοµαστικό εισόδηµά µας έτσι ώστε να διατηρούµε την ίδια χρησιµότητα ακόµα και όταν αλλάζουν οι τιµές). Η Μαρσαλιανή συνάρτηση χρησιµότητας µας δείχνει τις άριστες ποσότητες των αγαθών για διαφορετικές τιµές και για δεδοµένο ονοµαστικό εισόδηµα. Μια µεταβολή στην Μαρσαλιανή ζητούµενη ποσότητα που προέρχεται από µια µεταβολή στην τιµή του αγαθού θα συµπεριλαµβάνει ένα αποτέλεσµα εισοδήµατος και ένα αποτέλεσµα υποκατάστασης, ενώ η µεταβολή στην Χικσιανή ζητούµενη ποσότητα θα συµπεριλαµβάνει µόνο το αποτέλεσµα υποκατάστασης. Εφόσον τα αγαθά υπό εξέταση είναι κανονικά (θετικό εισοδηµατικό αποτέλεσµα) τότε ξέρουµε πως η Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης θα

έχει µικρότερη κλίση από την Χικσιανή συνάρτηση ζήτησης. Στο παρακάτω διάγραµµα βλέπουµε τις δύο συναρτήσεις ζήτησης. Βλέπουµε επίσης πως αν είχαµε µια πτώση της τιµής του Χ η µεταβολή στην Μαρσαλιανή ζήτηση θα ήταν µεγαλύτερη από την µεταβολή στην Χικσιανή γιατί η Μαρσαλιανή συµπεριλαµβάνει ένα θετικό εισοδηµατικό αποτέλεσµα.

Αποτέλεσµα Υποκατάστασης

Αποτέλεσµα εισοδήµατος

Γ. Βρείτε την συνάρτηση δαπανών και δείξτε πώς από αυτήν µπορείτε να βρείτε κατ’ ευθείαν την έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας. Απάντηση: Μπορούµε απλώς να αντικαταστήσουµε τις τιµές του Χ και Υ στην συνάρτηση δαπανών µε τις άριστες (Χικσιανές) τιµές που βρήκαµε στο µέρος Α της ίδιας άσκησης. pY pX U + pY U = 2 p X pY U pX pY Για να βρούµε την έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας αναδιατάσσουµε την συνάρτηση δαπανών έτσι ώστε να έχουµε την χρησιµότητα στην µία πλευρά της ισότητας (όπου Ε=Ι): E ( p X , pY , U ) = p X

U ( p X , pY , I ) =

I2 4 p X pY

∆. Έστω οι τιµές του Χ και Υ είναι PX = 1, PY = 1 και το εισόδηµα είναι I = 100. Αν οι αρχές βάλουν ένα φόρο στην τιµή του Υ κατά 50% (δηλαδή αυξηθεί η τιµή του Υ κατά 50%) πόσα έσοδα θα αποκτήσουν;

Απάντηση: Με µια φορολογία στην τιµή του Υ τα έσοδα της κυβέρνησης θα είναι 0,5*Υ(1, 1,5,100) (δηλαδή την άριστη τιµή του Υ µε τιµές PX = 1, PY = 1,5, Ι=100). Πρέπει να βρούµε την άριστη ζητούµενη ποσότητα του Υ µε την νέα (µετά φόρων) τιµή του Υ.

100 = 33,33 οπότε τα έσοδα θα είναι 0,5*33,333 = 16,67. 3

Ε. Θα µπορούσαν να βγάλουν τα ίδια έσοδα επιβαρύνοντας λιγότερο τον καταναλωτή; Αν ναι, πόσο µικρότερη θα ήταν η επιβάρυνση; Εξηγείστε και δείξτε και διαγραµµατικά. Απάντηση: Θα µπορούσαν οι αρχές να καταφέρουν τα ίδια έσοδα µε εφάπαξ φόρο στο εισόδηµα του καταναλωτή, δηλαδή να αφαιρέσουν 16,67 ευρώ από το εισόδηµά του. Σε αυτήν την περίπτωση η έµµεση χρησιµότητα που µπορεί να πετύχει ο καταναλωτής είναι ( I − 16, 67) 2 83,332 = = 1735,9 4 p X pY 4*1*1 Η χρησιµότητα που θα είχε µε το φόρο στην τιµή του Υ θα ήταν U ( p X , pY , I − 16, 67) =

100 = 1666, 67 4 p X φ pY 4*1*1,5 Οπότε ενώ τα έσοδα είναι τα ίδια για την κυβέρνηση σαφώς προτιµάει ο καταναλωτής να φορολογηθεί το εισόδηµά του. U ( p X , φ pY , I ) =

Η ‘επιβάρυνση’ σε αυτήν την περίπτωση είναι η µειωµένη χρησιµότητα που πετυχαίνει ο καταναλωτής κατά 69.3 µονάδες (1735,9-1666,67). 100

100

Θα µπορούσαµε επίσης να µετρήσουµε την διαφορά µε ‘χρηµατικό’ µέτρο συγκρίνοντας τις ελάχιστες δαπάνες που απαιτούνται για να πετύχει ο καταναλωτής τα δύο επίπεδα χρησιµότητας. Συγκεκριµένα η διαφορά των δαπανών είναι E (1,1,1666, 67) − E (1,1,1735,9) = 69, 23 . Οπότε θα λέγαµε πως η απώλεια του καταναλωτή είναι 69,23 ευρώ.

Άσκηση 2 : ∆είξτε διαγραµµατικά την σχέση µεταξύ της Μαρσαλιανής και Αντισταθµιστικής συνάρτησης ζήτησης στην περίπτωση κατώτερου αγαθού. Εξηγείστε µε λόγια. Απάντηση:

Για κατώτερα αγαθά βλέπουµε στο παραπάνω διάγραµµα πως η Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης θα είναι πιο κάθετη από την αντισταθµιστική (Χικσιανή) 4

συνάρτηση ζήτησης. Ο λόγος είναι πως το εισοδηµατικό αποτέλεσµα δεν έχει την ίδια ‘κατεύθυνση’ µε το αποτέλεσµα υποκατάστασης. Συγκεκριµένα, για µια µείωση στην τιµή, το αποτέλεσµα υποκατάστασης θα οδηγεί πάντα σε µια αύξηση της ζητούµενης ποσότητας. Επειδή µια µείωση στην τιµή σηµαίνει αύξηση του πραγµατικού εισοδήµατος, για κατώτερο αγαθό, το εισοδηµατικό αποτέλεσµα θα έχει την αντίθετη κατεύθυνση µε το αποτέλεσµα υποκατάστασης, περιορίζοντας την συνολική (Μαρσαλιανή) αύξηση της ζητούµενης ποσότητας. Ασκηση 3:

Έστω η Γιάννα έχει συνάρτηση χρησιµότητας U ( X , Y ) = XY , εισόδηµα Ι=100 και αντιµετωπίζει τιµές PX = 2, PY = 1 . Τι όφελος χρησιµότητας θα έχει αν µειωθεί η τιµή του Χ από 2 σε 1; Απαντήστε κάνοντας χρήση συνάρτησης δαπανών αλλά και µε ολοκλήρωµα. Απάντηση: 2 2 1*1250 pu ∫1 p2 1 0 dp1 = ∫1 p1 dp1 = 29, 2893 E ( p X0 , pY ,U 0 ) − E ( p1X , pY , U 0 ) = E (2,1,1250) − E (1,1,1250) = 100 − 70, 72 = 29, 28 (α) ∆είξτε την αύξηση οφέλους σε διάγραµµα ως εµβαδόν κάτω από συνάρτηση ζήτησης. Να καταγραφούν µε ακρίβεια όλες οι πληροφορίες. Απάντηση:

(β) ∆είξτε την αύξηση οφέλους σε διάγραµµα µε εισοδηµατικό περιορισµό και καµπύλη αδιαφορίας. Να καταγραφούν µε ακρίβεια όλες οι πληροφορίες. Απάντηση:

(γ) Ποιο θα ήταν το όφελος αν χρησιµοποιούσαµε την Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης; Γιατί υπάρχει διαφορά; Απάντηση: 2 2 100 I ∫1 2 p1 dp1 = ∫1 p1 dp1 = 34, 65

Βλέπουµε και διαγραµµατικά πως η Μαρσαλιανή θα έδειχνε ένα µεγαλύτερο όφελος από την Χικσιανή. Η Μαρσαλιανή καµπύλη ζήτησης διαφέρει από την Χικσιανή (εκτός εάν το αποτέλεσµα εισοδήµατος είναι µηδέν) οπότε θα διαφέρει και το εµβαδόν µεταξύ δύο τιµών. Η σωστή µέτρηση του πλεονάσµατος του καταναλωτή γίνεται µε την Χικσιανή.

Άσκηση 4 (δύο µονάδες). Σας δίνεται η παρακάτω πληροφορίες για τις αγορές ενός καταναλωτή. Καταναλώνει µόνο δύο αγαθά:

Αγαθό 1 Αγαθό 2

ΈΤΟΣ 1 Ποσότητα Τιµή 100 100 100 100

ΈΤΟΣ 2 Ποσότητα Τιµή Χ 90 130 100

∆εν γνωρίζουµε τι ποσότητα κατανάλωσε από το αγαθό 1 έτος 2. Για κάθε µία από τις ακόλουθες προτάσεις ορίσετε τις ποσότητες κατανάλωσης του αγαθού 1 το έτος 1 που θα συµβάδιζαν µε αυτές (π.χ., Χ µεγαλύτερο του 30 και µικρότερο ή ίσο µε 60): (α) Η συµπεριφορά της είναι ασυνεπής (σε αντίθεση µε το αξίωµα της αποκαλυφθείσας προτίµησης); (β) Το καλάθι που καταναλώνει το έτος 1 (100,100) έχει αποκαλυφθεί προτιµότερο του καλαθιού που καταναλώνεται το έτος 2 (Χ, 130). (γ) Το καλάθι που καταναλώνει το έτος 2 (Χ, 130) έχει αποκαλυφθεί προτιµότερο του καλαθιού που καταναλώνεται το έτος 1. (100, 100). Απάντηση:

Ας ονοµάσουµε το αγαθό 2 του δεύτερου έτους y. (α) Η συµπεριφορά παραβιάζει το αξίωµα της αποκαλυφθείσας προτίµησης αν 100 × X + 100 × 130 ≤ 100 × 100 + 100 × 100 και 90 × 100 + 100 × 100 ≤ 90 × X + 100 × 130

δηλαδή παραβιάζεται το αξίωµα όταν το y ∈ [66, 6, 70] (β) Το καλάθι που καταναλώνει το έτος 1 αποκαλύπτεται προτιµότερο του καλαθιού που καταναλώνεται το έτος 2 όταν 100 × X + 100 × 130 ≤ 100 × 100 + 100 × 100 και 90 × 100 + 100 × 100 > 90 × X + 100 × 130

δηλαδή όταν το y < 66, 6 (β) Το καλάθι που καταναλώνει το έτος 2 αποκαλύπτεται προτιµότερο του καλαθιού που καταναλώνεται το έτος 1 όταν 90 × 100 + 100 × 100 ≤ 90 × X + 100 × 130 και 100 × X + 100 × 130 > 100 × 100 + 100 × 100

δηλαδή όταν το y > 70

Άσκηση 5 (δύο µονάδες): 1

Έστω µια συνάρτηση χρησιµότητας u (a1 , a2 ) = a12 a22 . Υπάρχουν τρία αγαθά Χ, Υ, και Ζ που µπορούν να αγοραστούν. Η αγορά των προϊόντων αυτών δεν παρέχει καµιά άµεση χρησιµότητα, αλλά τα αγαθά αυτά µπορούν να συνδυαστούν από το άτοµο προκειµένου να ‘κατασκευάσει στο σπίτι’ και να καταναλώσει βιταµίνες ( a1 ) και θερµίδες ( a2 ). Οι συναρτήσεις παραγωγής των δύο αυτών ‘χαρακτηριστικών’ είναι: a1 = 0,1X + 0,4Y + 0,5Z και a2 = 0,4 X + 0,5Y + 0,1Z . Το εισόδηµα του ατόµου είναι Ι=100, οι τιµές των Χ,Υ,Ζ είναι p X = 1, pY = 1,5, pZ = 1,5 . (α) ∆είξτε µε διάγραµµα το πρόβληµα του καταναλωτή, κάνοντας χρήση των συγκεκριµένων στοιχείων που σας δίνει η άσκηση. Φροντίστε να φανούν όλα τα στοιχεία µε ακρίβεια στο διάγραµµα. Απάντηση:

Όταν ξοδεύει όλα τα χρήµατα στο Χ πετυχαίνει συνδυασµό βιταµινών και θερµίδων Χ* (10,40), πράσινο για Υ* (26,6667, 33,333) , και κίτρινο για Ζ* (33,3333, 6,6667). (β) Ποια θα είναι η επιλογή του καταναλωτή; Συγκεκριµένα, τι συνδυασµό των συστατικών Χ,Υ,Ζ θα αγοράσει, τι συνδυασµό από βιταµίνες και θερµίδες θα καταναλώσει, και ποια θα είναι η χρησιµότητα που θα κατακτήσει; Αν δυσκολεύεστε να δώσετε απάντηση µε µαθηµατική απόδειξη προσπαθήστε να δώσετε µια διαισθητική απάντηση κάνοντας αναφορά στο διάγραµµα. Απάντηση: Γνωρίζουµε πως ο καταναλωτής που µεγιστοποιεί την χρησιµότητά του θα επιλέξει ένα από τα τρία σηµεία που καταναλώνει µόνο Χ, Υ, ή Ζ, ή µπορεί θα διαλέξει κάποιο σηµείο σε ένα από τις δύο γραµµές που ενώνουν Χ και Υ, και Υ και Ζ αντίστοιχα. Μπορούµε να υπολογίσουµε τον ΟΛΥ σε κάθε σηµείο. Στο σηµείο όπου ξοδεύει όλο το εισόδηµα στο Υ βλέπουµε (και µπορούµε να υπολογίσουµε) πως ο ΟΛΥ είναι µεγαλύτερος από την κλίση της γραµµής που ενώνει το Χ και Υ. Αυτό σηµαίνει πως αν µπορούσε ο καταναλωτής να συνεχίσει προς τα δεξιά (από το σηµείο Υ) στο ‘εισοδηµατικό περιορισµό’ θα το έκανε γιατί θα ανέβαινε σε ψηλότερη χρησιµότητα. Με αντίστοιχη λογική βλέποντας πως ο ΟΛΥ σε αυτό το σηµείο (Υ) είναι µικρότερος από την κλίση της γραµµής που ενώνει το Υ και το Ζ, ο 8

καταναλωτής θα προτιµούσε να συνεχίσει προς τα αριστερά στην προέκταση του ‘εισοδηµατικού περιορισµού’ (ΥΖ) αλλά δεν µπορεί. Οπότε πετυχαίνει ο καταναλωτής την µεγαλύτερη χρησιµότητα ξοδεύοντας όλο το εισόδηµα στο Υ. Θα ξοδέψει όλα τα χρήµατά του στο µοναδικό συστατικό Υ όπου και θα εξασφαλίσει την µέγιστη χρησιµότητα των 29.8142 µονάδων. Η ποσότητα του Υ που θα αγοράσει θα είναι 66,66 και αυτό θα του δώσει τον συνδυασµό των βιταµινών και θερµίδων (26,6667, 33,333). (γ) Εξηγείστε µε λόγια την λογική της επιλογής του καταναλωτή. Απάντηση: Το έχω κάνει ήδη στην απάντηση για το β. Άσκηση 6

Έστω µια συνάρτηση χρησιµότητας U ( x, y , z ) = xy + z . (α) Βρείτε αν τα x,y,z είναι ατελή συµπληρωµατικά, υποκατάστατα ή κάτι άλλο. (β) Βρείτε αν τα x,y,z είναι τέλεια συµπληρωµατικά, υποκατάστατα ή κάτι άλλο. (γ) Ποια είναι η εισοδηµατική ελαστικότητα του x; (δ) Ποια η εισοδηµατική ελαστικότητα του z; (ε) Ποια είναι η σταυροειδής ελαστικότητα του x ως προς µεταβολές στις τιµές του y; ∆υστυχώς η επιλογή της συνάρτησης ήταν ατυχής γιατί δεν αντιλήφθηκα την δυσκολία εύρεσης των συναρτήσεων ζήτησης και η σχετικά περίπλοκη µορφή τους. Η συγκεκριµένη συνάρτηση ( U ( x, y , z ) = xy + z ) δεν έχει ‘απλές’ λύσεις και έχει χαρακτηριστικά όµοια µε τις γραµµικές συναρτήσεις ζήτησης δύο αγαθών. Για αυτό το λόγο φαντάζοµαι πως σας παίδεψε πολύ – και ενδεχοµένως να την εγκαταλείψατε. Απάντηση: L = u ( x, y , z ) + λ ( I − p x x − p y y − p z z ) 1 ⎫ ∂L 1 x22 : − λ p1 = 0 ⎪ 1 ⎪ ∂x 2 2 x1 ⎪ px y = ⇒ px x = p y y (1) ⎬⇒ 1 p x y ⎪ ∂L 1 x12 : − λ p2 = 0 ⎪ ∂y 2 12 ⎪ x2 ⎭ ∂L :1 − λ p3 = 0 ∂y ∂L : I − px x − p y y − pz z = 0 (2) ∂λ

Με αυτά τα δεδοµένα δεν θα µπορέσουµε να βρούµε κανονικές συναρτήσεις ζήτησης. Μπορούµε να βρούµε κάποιες σχέσεις των τιµών που θα καθορίζουν την ζήτηση των τριών αγαθών. Κάνοντας χρήση της συνάρτηση (1) και (2) βρίσκουµε πως I = 2 px x + pz z , επίσης µε δεδοµένη την σχέση (1) θα µπορούσαµε να γράψουµε την συνάρτηση ζήτησης ως

px 12 u = ( ) x + z . Με αυτό το τρόπο έχουµε ένα εισοδηµατικό περιορισµό και µια py γραµµική συνάρτηση ζήτησης σε δύο διαστάσεις (έχουµε ενσωµατώσει την σχέση του x και y στην νέα συνάρτηση χρησιµότητας). Με αυτήν την γραµµική συνάρτηση χρησιµότητας γνωρίζουµε πως ανάλογα µε τις τιµές των αγαθών θα έχουµε κάποιες ακραίες λύσεις. Συγκεκριµένα:

px > pz

px I ⇒ z = ,x = y =0 py pz

px < pz

px I I ,y= ⇒ z = 0, x = 2 px 2 py py

px = pz

px I 2 px ⇒z= − x py pz py

Στην τελευταία περίπτωση η ‘επιφάνεια’ αδιαφορίας εφάπτεται σε περισσότερο από ένα σηµείο µε τον εισοδηµατικό περιορισµό (µια γραµµή στο τρισδιάστατο χώρο), έτσι ώστε ο καταναλωτής θα είναι αδιάφορος µεταξύ ή των δύο προηγούµενων ακραίων σηµείων, ή οποιοδήποτε συνδυασµό των ( x, y, z ) που ικανοποιούν την I 2 px εξίσωση z = − x. pz py

Τα παρακάτω διαγράµµατα δείχνουν δύο όψεις της τρίτης λύσεις όταν οι τιµές των αγαθών είναι px = 1, p y = 1, pz = 2 , το εισόδηµα είναι Ι = 10, και η επιφάνεια αδιαφορίας έχει τιµή 4 (τα κόκκινα σηµεία δείχνουν κάποια σηµεία που αντιστοιχούν µε µεγιστοποίηση της χρησιµότητας π.χ., x = 1, y = 1, z = 4 ) y 5

10 7.5

2.5 0 4 z 2

0 0

2.5

5 x

7.5

0 2.5 x 5

7.5

10 4 z 2 0

2.5

5 y

7.5

(α) Το z είναι ‘τέλειο’ υποκατάστατο των x και y (µαζί). ‘Τέλειο’ µε την έννοια της άπειρης υποκαταστασιµότητας (όπως είναι οι γραµµικές συναρτήσεις χρησιµότητας). p px I ⇒ z = , x = y = 0 , τότε ο καταναλωτής ξοδεύει όλο το Όταν έχουµε 2 x > pz py pz

εισόδηµα στην αγορά του z. Μεταβολές στις τιµές των x και y που δεν ανατρέπουν αυτήν την ανισότητα δεν επηρεάζουν την ζήτηση του z. Αντίστοιχα δεν µπορούν να επηρεάσουν και την ζήτηση των x και y που µένει µηδενική όσο δεν ανατρέπετε η παραπάνω ανισότητα. Αν πάµε να εφαρµόσουµε τον ορισµό του ατελούς υποκατάστατου για την ζήτηση του z σε αυτήν την περίπτωση δεν µπορούµε γιατί η ζήτηση του z δεν µοιάζει να εξαρτάται από τις τιµές των x και y. Όµως το z είναι υποκατάστατο των x και y (µαζί) µε την µορφή της άπειρης υποκαταστασιµότητας όταν ανατρέπετε η παραπάνω ανισότητα τιµών. Όταν έχουµε 2

px < pz

px I I ⇒ z = 0, x = ,y= τότε το µόνο που χρειαζόµαστε py 2 px 2 py

να κοιτάξουµε είναι τις σχέσεις µεταξύ x και y. Εδώ βέβαια έχουµε απλώς τις συναρτήσεις ζήτησης Cobb-Douglas των δύο αγαθών. Αλλά επειδή η Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης έχουν µόνο την τιµή του ίδιου του αγαθού, µια µεταβολή της τιµής του y δεν θα επηρεάσει την ζήτηση του x και αντίστροφα. Μοιάζουν τα αγαθά αυτά να µην έχουν σχέση µεταξύ τους ή να καταναλώνονται σε σταθερές αναλογίες. Αυτή η περίπτωση των Cobb-Douglas είναι ειδική και ενώ τα αγαθά είναι τέλεια υποκατάστατα (δείτε παρακάτω) δεν µπορούν να προσδιοριστούν ως ατελή υποκατάστατα γιατί το αποτέλεσµα υποκατάστασης ακυρώνεται ακριβώς από το αποτέλεσµα εισοδήµατος. (∆είτε το Παράδειγµα 6.1 στον Nicholson σελ. 207). (β) Όπως είπαµε πιο πάνω δεν έχει νόηµα η εφαρµογή των ορισµών ατελούς και τέλειας υποκαταστασιµότητας µεταξύ του z και των x και y (εφόσον είναι έχουν άπειρη υποκαταστασιµότητα). Μπορούµε όµως να πούµε πως τα x και y είναι τέλεια υποκατάστατα από τις Χικσιανές συναρτήσεις ζήτησης στην περίπτωση που έχουµε p px I I ⇒ z = 0, x = 2 x < ,y= . Σε αυτήν την περίπτωση η Χικσιανές pz py 2 px 2 py συναρτήσεις ζήτησης θα είναι:

p 0,5 y

px0,5 hx = V 0,5 , hy = V 0,5 , οπότε και έχουµε px py

∂hy ∂hx > 0, > 0 (δηλαδή τέλεια υποκατάστατα). ∂p y ∂px

(γ) Όταν 2 2

px < pz

px η εισοδηµατική ελαστικότητα του x είναι µηδέν, αλλά όταν py

px 1 . η εισοδηµατική ελαστικότητα είναι py 2 px

(δ) Όταν 2 2

px > pz

px 1 , αλλά όταν η εισοδηµατική ελαστικότητα του z είναι py pz

px η εισοδηµατική ελαστικότητα του z είναι µηδέν. py

(ε) Μηδέν. Άσκηση 7

I1 I , X 2 = 2 . Ποια είναι η αγοραία (η 2 PX 5PX συνολική ζήτηση);. ∆είξτε διαγραµµατικά τις δύο συναρτήσεις ζήτησης και την αγοραία ζήτηση.

Έχουµε δύο συναρτήσεις ζήτησης: X 1 =

Απάντηση:

I1 I + 2 2 PX 5PX

Για την περίπτωση που Ι1=Ι2=100 και Px=1 έχουµε το παρακάτω σχήµα. Οι δύο ατοµικές συναρτήσεις ζήτησης και η αγοραία ζήτηση που είναι µια οριζόντια άθροιση των δύο ατοµικών. 10 8 6 4 2

Πακέτο 4: Ασκήσεις Μικροοικονοµικής Θεωρίας Ι/2004-12-8 Προσοχή: ηµεροµηνία παράδοσης 22 ∆εκεµβρίου 2004 Τα πακέτα να παραδοθούν στα φροντιστήρια του κ. Καφούρου. 1

3 3 Άσκηση 1 (δύο µονάδες): Η συνάρτηση f ( K , L) = K L είναι οµογενής πρώτου

βαθµού. (α) Αν σε τρεις τυχαίες καµπύλες ίσου προϊόντος βρούµε τρία σηµεία (ένα σε κάθε καµπύλη) που έχουν την ίδια κλίση (οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης ίδιος), τι κοινό θα έχουν αυτά τα σηµεία; Απάντηση: Σε µια συνάρτηση παραγωγής µε σταθερές αποδόσεις (και οµοθετική) τα τρία σηµεία στις τρεις διαφορετικές καµπύλες ίσου προϊόντος που έχουν την ίδια κλίση, θα βρίσκονται πάνω στην ίδια ακτίνα που περνά από την αρχή των αξόνων και θα έχουν τον ίδιο λόγο κεφαλαίου-εργασίας. (β) Τι µπορούµε να πούµε για τις αποδόσεις κλίµακας γι’ αυτή την συνάρτηση και µε ποιο τρόπο απεικονίζεται διαγραµµατικά; Πώς θα δείχναµε µια συνάρτηση φθίνουσας απόδοσης στο ίδιο διάγραµµα; Απάντηση: Επειδή είναι σταθερές οι αποδόσεις αν πολλαπλασιάσουµε τους δύο συντελεστές µε µια σταθερά (κρατώντας τον ίδιο λόγο κεφαλαίου εργασίας) θα πολλαπλασιάζεται και το προϊόν µε την ίδια σταθερά. ∆είτε το σχήµα 11.2 στην σελίδα 28 του Nicholson. Στο διάγραµµα αυτό οι αποστάσεις µεταξύ των καµπυλών ίσου προϊόντος είναι ίδιες εφόσον η διαφορά στο προϊόν είναι ίδια. Αν όµως είχαµε µια συνάρτηση µε φθίνουσες αποδόσεις τότε για ίσες αυξήσεις κεφαλαίου εργασίας (ίσες αποστάσεις µεταξύ καµπυλών ίσου προϊόντος) θα είχαµε µικρότερες αυξήσεις του προϊόντος. Π.χ., στο σχήµα 11.2 αν η πρώτη καµπύλη θα αντιστοιχούσε µε ποσότητα q = 1, η δεύτερη καµπύλη θα ήταν q = 1,7 (λιγότερο από 2) και η τρίτη q = 2,4 (λιγότερο από 3). (γ) Τι επιπτώσεις θα είχε στις αποδόσεις κλίµακας ένας µονοτονικός µετασχηµατισµός αυτής της συνάρτησης παραγωγής (δηλαδή µια οµοθετική συνάρτηση παραγωγής); Απάντηση: Ενώ επιτρέπεται να κάνουµε µονοτονικό µετασχηµατισµό στις συναρτήσεις χρησιµότητας γιατί το µόνο που έχει σηµασία εκεί είναι να διατηρήσουµε την ιεραρχία των προτιµήσεων (δεν έχει σηµασία ο αριθµός που προσδίδουµε σε µια καµπύλη αδιαφορίας), δεν ισχύει το ίδιο σε µια συνάρτηση παραγωγής όπου µια καµπύλη ίσου προϊόντος αναφέρεται σε πραγµατικές φυσικές µονάδες κάποιου προϊόντος. Το να πούµε πως µε το ίδιο κεφάλαιο και εργασία παράγουµε διπλάσιο προϊόν (µε την ίδια τεχνολογία), π.χ., στην περίπτωση που πάρουµε το µονοτονικό 1

3 3 µετασχηµατισµό g ( K , L) = 2 f ( K , L) = 2 K L , θα ήταν εντελώς λάθος γιατί η

συνάρτηση παραγωγής αναφέρεται σε φυσικές µονάδες.

Ασκηση 2: ∆είξτε διαγραµµατικά πώς θα µπορούσαµε να έχουµε ‘ακραίες λύσεις’ στο πρόβληµα του παραγωγού (ελαχιστοποίηση του κόστους) όπως είχαµε στο πρόβληµα του καταναλωτή και ερµηνεύστε το διάγραµµα κάνοντας αναφορά στο ΟΛΤΥ. Απάντηση:

Με αυτές τις καµπύλες ίσου προϊόντος και µε την κλίση της συνάρτησης συνολικό ∂f w ∂L κόστος (λόγος τιµών εργασίας – κεφαλαίου) έχουµε < σε όλα τα σηµεία της v ∂f ∂K καµπύλης ίσου προϊόντος. Με αυτά τα δεδοµένα η ελαχιστοποίηση του κόστους επιβάλει την χρήση µόνο εργασίας (αφού και η τελευταία µονάδα εργασίας είναι ‘σχετικά φτηνότερη’ από το κεφάλαιο µε δεδοµένο τις σχετικές τιµές και την απόδοση). Μια άλλη διατύπωση: το µοναδιαίο κόστος της τελευταίας µονάδας προϊόντος που παράγεται κοστίζει λιγότερο να παραχθεί µε εργασία παρότι δεν έχει χρησιµοποιηθεί καθόλου κεφάλαιο. Η τεχνολογία που απεικονίζεται την περίπτωση που το κεφάλαιο δεν είναι απαραίτητη εισροή στην παραγωγή (µπορεί να παραχθεί το προϊόν και χωρίς κεφάλαιο). 1

Ασκηση 3: Έστω πως έχουµε την συνάρτηση παραγωγής f ( K , L) = 10 K 3 L3 . (α) Ποια είναι η µέση παραγωγικότητα της εργασίας και του κεφαλαίου; 1 2 q Απάντηση: APL = = 10( K / L) 3 APK = 10( L / K ) 3 L (β) Παραστήστε διαγραµµατικά την καµπύλη APL για Κ = 50.

APL 35 30 25 20 15

(γ) Παραστήστε διαγραµµατικά την καµπύλη ίσου προϊόντος για q = 20 . K 10

L 2

(δ) Εµφανίζει αυτή η συνάρτηση φθίνοντα οριακό λόγο τεχνικής υποκατάστασης; Απάντηση: 2K Ο λόγος τεχνικής υποκατάστασης του L στο K είναι RTS = , το οποίο φθίνει L καθώς αυξάνουµε το L (και µειώνεται και το Κ). (ε) Προσδιορίστε όλες τις βραχυχρόνιες (K σταθερό) και µακροχρόνιες συναρτήσεις κόστους (STC, TC, SAVC, SAFC, AVC, AFC, SMC, MC). Τα AVC, AFC, έπρεπε να είναι απλώς AC, γιατί µακροχρόνια δεν υπάρχει ‘σταθερό’ κόστος. Απάντηση: 1

Ελαχιστοποιούµε L = vK + wL + λ (q − 10 K 3 L2 ) ΣΠΤ: ⎫ 10 L 23 v−λ ( ) = 0 ⎪ ⎪ w 2K 3 Κ ⎬⇒ = 1 v L 20 K 3 w − λ ( ) = 0⎪ ⎪⎭ 3 L Αν τώρα πάρουµε την συνάρτηση παραγωγής και την διαιρέσουµε µε L q K 13 10 2 K 13 ) Έχουµε = 10( ) = 1 ( L L L 3 2 w 2K Κάνοντας και χρήση της παραπάνω σχέσης = έχουµε: v L

1 3

1 1 − 3 3

2 q 10 w = 1 ( ) ⇒ L = qw v 10 L v 23

1 3

1 1 − 2 3 ⇒ wL = qw v 3 10 2

2 2 − 23 Παροµοίως βρίσκουµε vK = qw 3 v 3 10 2 3

2 3

1 3

1 1 − 2 2 3 TC = qw v + qw v 3 10 10 −

2 3

2 3 − 23 23 2 3 13 − 13 w v + wv AC = TC/q = 10 10 2

2 3 − 23 23 2 3 13 − 13 MC = w v + w v =AC 10 10 3

wq 2

STC = vK1 +

3 2

1 2 1

10 K

wq 2

vK1 +

10 2 K12 q

SATC= 1

SAVC=

wq 2 3

10 2 K12 vK SAFC= 1 q 1

3 wq 2 SMC= 2 32 12 10 K1

(στ) Για τιµές των εισροών v=w=2, και K1 =5, δείξετε διαγραµµατικά όλες τις παραπάνω συναρτήσεις κόστους. Απάντηση:

TC 5 4 3 2 1 q 5

AC,MC 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 q 5

STC 12 10 8 6 4 2 q 5

SATC 10 8 6 4 2 q 5

SAVC 1 0.8 0.6 0.4 0.2 q 5

SAFC 20 17.5 15 12.5 10 7.5 5 2.5 q

Άσκηση 4: Λύστε την άσκηση 11.6 του Nicholson. Απάντηση: ∂q 1 ρ ( 1− ρ ) / ρ • ρ K ρ −1 = [K + L ρ ] 11.6 α. MP K = ∂K ρ

= q1− ρ • K ρ −1 = (q/K )1− ρ 1− ρ

⎛q⎞ Με αντίστοιχο τρόπο βρίσκουµε MP L = ⎜ ⎟ ⎝ L⎠

β.

RTS = MP K / MP L = (L/K )1− ρ

γ.

−ρ eq, K = ∂q /∂K • K/q = (q /K ) =

−ρ eq, L = (q /L ) =

1 1 + (L /K )ρ

1 1 = ρ 1 + (K /L ) 1 + (L /K )− ρ

Με κοινό παρονοµαστή βρίσκουµε: eq, K + eq, L = 1 που µας δείχνει ότι έχουµε σταθερές αποδόσεις.

δ.

Εφόσον σ =

1 το αποτέλεσµα βγαίνει αβίαστα από το (α). 1− ρ

Άσκηση 5: Λύστε την άσκηση 11.8 του Nicholson.

q = f(K, L) έχει σταθερές αποδόσεις κλίµακας. Οπότε για κάθε m > 0 f(mK, mL) = mf(K, L).

Το θεώρηµα του Euler

mf(K, L) = f1K + f2L. Εδώ το εφαρµόζουµε για την περίπτωση που το m = 1: οπότε, q = f(K, L) =fK ⋅ K + fL . L

MPL = fL, APL = q/L. If fL > q/L, then fL ⋅ L > q (εφόσον L > 0). Οπότε για να ισχύει η ισότητα q = fK ⋅ K + fL ⋅ L, το fK πρέπει να είναι αρνητικό (εφόσον δεν θεωρούµε ότι µπορεί να πάρει αρνητικές τιµές το K). Άσκηση 6: Λύστε την άσκηση 12.4 του Nicholson αντικαθιστώντας την συνάρτηση παραγωγής στο εγχειρίδιο µε την συνάρτηση παραγωγής q = min(6 K , 2 L ) .

12.4

q = min(6K, 2L) v = 1 w = 3 TC = vK + wL = K + 3L α.

Μακροχρόνια, πρέπει 6K = 2L, 3K = L

LTC = K + 3 *3K = 10 K = β.

10 L, 3

LAC =

10 K 5 = 6K 3

MC =

5 . 3

K = 10 q = min(60, 2L) L < 30, q = 2 L

AC =

TC = 10 + 3L = 10 +

3q 2

10 3 + q 2

Εάν L > 5, q = 60 TC = 10 + 3L

AC =

10 + 3L 60

MC είναι άπειρο για q > 60. Μέχρι να φτάσουµε τις 60 µονάδες του προϊόντος το κόστος παραγωγής της κάθε µονάδας εξαρτάται µόνο από τις 7

επιπλέον µονάδες εργασίας – αφού το κεφάλαιο είναι σταθερό. Μετά την ποσότητα 60 µονάδων εφόσον δεν µπορούµε να αυξήσουµε το κεφάλαιο όσο και να αυξάνουµε την εργασία δεν θα αυξήσουµε την παραγόµενη ποσότητα. Το οριακό κόστος παραγωγής µιας επιπλέον µονάδας γίνεται άπειρο.

MC10 = MC50 = .3/2 MC100 είναι άπειρο. Άσκηση 7: Λύστε την άσκηση 13.2 π(q) = R(q) - C(q)

Εφάπαξ φόρος T

π(q) = R(q) - C(q) - T

∂π ∂R ∂C − = −0=0 ∂q ∂q ∂q

MR = MC , καµία αλλαγή

Αναλογικός φόρος π(q) = (1 - t)(R - C),

∂π = (1 − t )(MR − MC ) = 0, ∂q

MR = MC , καµία αλλαγή

Φόρος ανά µονάδα π(q) = R(q) - C(q) - tq

∂π = MR − MC − t = 0 ∂q MR = MC + t, το q αλλάζει: οπότε ο φόρος κατά µονάδα έχει επίδραση στο συνολικό προϊόν. Άσκηση 8 (δύο µονάδες): Λύστε την άσκηση 13.4 Απάντηση: q = 100 - 2P MC = AC = 10

α. Μεγιστοποιείται το κέρδος όταν MR = MC = 50q - q2/2

TR = Pq = (50 - q/2)q

MR = 50 - q MR = MC: 50 - q = 10, q = 40, P = 30, π = 800 β.

Μέγιστα έσοδα: MR = 0

50 - q = 0

q = 50, P = 25, π = 750 γ.

Περιορισµός π = 768

50q - q2/2 - 10q = 768

Βρίσκουµε: q = (32, 48) 8

Αλλά θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε τα έσοδα οπότε q = 48, P = 26. δ. 50 40 30 20 10

100

Ασκήσεις Μικροοικονοµικής Θεωρίας Ι/2004-11-3 Άσκηση 1: Έστω µια συνάρτηση χρησιµότητας 1

u ( x, y ) = 3 x 2 + y 2 (α) Εξηγήστε γιατί µπορούµε να ασχοληθούµε µόνο µε ‘εσωτερικές’ λύσεις στο πρόβληµα µεγιστοποίησης του καταναλωτή µε αυτήν την συνάρτηση χρησιµότητας.

Απάντηση: Η χρησιµότητα είναι αυστηρά αύξουσα συνάρτηση των δύο αγαθών σε όλα τα επίπεδα κατανάλωσης. Για να έχουµε ακραίες λύσεις θα έπρεπε να ισχύει x1 = 0 =

∂L 3 < 0 ⇔ 1 − λ p1 < 0 ∂x1 2 x12

x1 = 0 =

∂L 1 < 0 ⇔ 1 − λ p2 < 0 ∂x 2 2 x12

Εφόσον τα λ , p1 , p2 είναι όλα θετικά, οι παραπάνω συνθήκες θα ισχύουν όταν xi → 0 αν pi → ∞ . Οπότε δεν θα έχουµε ακραίες λύσεις παρά µόνο αν οι τιµές τείνουν προς το άπειρο. (β) Βρείτε τις Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης, x( p1 , p2 , I ), y ( p1 , p2 , I ) . Απάντηση:

x( p1 , p2 , I ) =

9 Ip2 p1 ( p1 + 9 p2 )

y ( p1 , p2 , I ) =

Ip1 p2 ( p1 + 9 p2 )

(γ) ∆είξτε πώς οι Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης είναι οµογενείς µηδενικού βαθµού. Απάντηση: Μια συνάρτηση είναι οµογενής µηδενικού βαθµού αν f (ax, ay ) = f ( x, y ) για όλα τα a > 0 . 9aIap2 a 2 9 Ip2 x(ap1 , ap2 , aI ) = = 2 = x( p1 , p2 , I ) ap1 (ap1 + 9ap2 ) a p1 ( p1 + 9 p2 )

y (ap1 , ap2 , aI ) =

aIap1 a 2 Ip1 = 2 = y ( p1 , p2 , I ) ap2 (ap1 + 9ap2 ) a p2 ( p1 + 9 p2 )

(δ) Βρείτε την έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας. Απάντηση:

v( p1 , p2 , I ) = 9

Ip2 + p1 ( p1 + 9 p2 )

Ip1 p2 ( p1 + 9 p2 )

(ε) Ποιό είναι το δυαδικό πρόβληµα αυτής της συνάρτησης; Απάντηση: 1

L = p1 x1 + p2 x2 + λ (u − 3x 2 − y 2 ) (στ) Βρείτε τις αντισταθµιστικές συναρτήσεις ζήτησης (Χικσιανές). Απάντηση: hx ( p1 , p2 , u ) =

9 p22u 2 ( p1 + 9 p2 ) 2

p12u 2 hy ( p1 , p2 , u ) = ( p1 + 9 p2 ) 2 (ζ) Βρείτε την συνάρτηση δαπανών. Απάντηση: I ( p1 , p2 , u ) =

p1 p2u 2 p1 + 9 p2

(η) Επιβεβαιώστε για το αγαθό x ότι η αντισταθµιστική συνάρτηση ζήτησης είναι ίδια µε την µερική παράγωγο της συνάρτησης δαπανών ως προς την τιµή του x. Απάντηση: 9 p22u 2 ∂I ( p1 , p2 , u ) = hx ( p1 , p2 , u ) = ( p1 + 9 p2 ) 2 ∂p1 (θ) Επιβεβαιώστε πως η συνάρτηση Slutsky ισχύει για το αγαθό x ως προς τις µεταβολές της τιµής του. Απάντηση: Θέλουµε να επιβεβαιώσουµε ∂x( p1 , p2 , I ) ∂hx ( p1 , p2 , u ) ∂x( p1 , p2 , I ) = − x( p1 , p2 , I ) • . ∂p1 ∂p1 ∂I ∂x( p1 , p2 , I ) 9 Ip (2 p1 + 9 p2 ) = − 22 ∂p1 p1 ( p1 + 9 p2 ) 2 ∂hx ( p1 , p2 , u ) ∂x( p1 , p2 , I ) − x( p1 , p2 , I ) • = ∂p1 ∂I ∂hx ( p1 , p2 , u ) ∂x( p1 , p2 , I ) 9 p 2 (2 p1 + 9 p2 )u 2 − x( p1 , p2 , I ) • =− 2 ∂p1 ∂I p1 ( p1 + 9 p2 )3 2

Αν τώρα αντικαταστήσουµε στην πρώτη συνάρτηση ( −

9 Ip2 (2 p1 + 9 p2 ) ) το Ι µε p12 ( p1 + 9 p2 ) 2

p1 p2u 2 (που βρήκαµε παραπάνω) θα έχουµε επαληθεύσει την σχέση. p1 + 9 p2 (ι) Έστω πως προσδιορίζουµε αρχικό εισόδηµα Ι = 100 και αρχικές τιµές px = 1, p y = 1 (για την παραπάνω συνάρτηση χρησιµότητας). Έστω πως η τιµή του y διπλασιάζεται. Οι αρχές αποφασίζουν να δώσουν µια εισοδηµατική ενίσχυση ώστε να µπορέσει να ανακτήσει την χαµένη ευηµερία. Πρέπει να επιλέξουν οι αρχές αν θα δώσουν αρκετά χρήµατα να µπορέσει ο καταναλωτής να αγοράσει το καλάθι που αγόραζε πριν την αλλαγή της τιµής του y, ή να δώσουν αρκετά χρήµατα ώστε να ξαναπιάσει την χρησιµότητα που είχε πριν την αλλαγή της τιµής. Πόσα χρήµατα θα δώσει το κράτος σε κάθε περίπτωση; Τι προτιµάει ο καταναλωτής; Απάντηση:

Για να µπορέσει ο καταναλωτής να αγοράσει το αρχικό καλάθι θα πρέπει να έχει εισόδηµα I ' = 1 • x(1,1,100) + 2 • y (1,1,100) = 110 . ∆ηλαδή επιπλέον 10 ευρώ. Αν όµως οι αρχές δώσουν αρκετά χρήµατα για να ανακτήσει την χαµένη ευηµερία θα πρέπει I (1, 2, v(1,1,100)) = 105.263 . Οπότε θα πρέπει να δώσει 5,263 ευρώ σε αυτήν την περίπτωση. Σίγουρα ο καταναλωτής θα προτιµούσε να πάρει 10 ευρώ αλλά θα τα ξόδευε µε άλλο τρόπο (δεν θα αγόραζε το αρχικό καλάθι) και κατ’ επέκταση θα απολάµβανε µεγαλύτερη ευηµερία απ’ ότι πριν την αλλαγή της τιµής. 2. Έστω ο κύριος Μπούφος έχει την συνάρτηση χρησιµότητας 1 U ( K , Z ) = min( K , Z ) 3 όπου Κ είναι καφές και Ζ είναι ζάχαρη. (α) Εξηγήστε µε λόγια την λογική αυτής συνάρτησης χρησιµότητας. Απάντηση: Ο κύριος Μπούφος πάντα πίνει τον καφέ του µε 3 κουταλιές ζάχαρη. Σε αυτήν την περίπτωση µπορούµε να µετράµε την χρησιµότητά του µε όποια από τα δύο νούµερα (Κ, 1/3Ζ) είναι µικρότερο. Εάν έχει ένα φλιτζάνι καφέ και πάνω από 3 κουτάλια ζαχαρί η χρησιµότητά του είναι 1 γιατί όσο ζάχαρη παραπάνω και να έχει χρησιµοποιεί µόνο 3 ανά φλιτζάνι. (β) Υπολογίστε τις συναρτήσεις ζήτησης για το Κ και το Ζ. Απάντηση: Γνωρίζουµε πως ο Μπούφος (εφόσον είναι ‘ορθολογική’ η συµπεριφορά του) θα επιλέγει εκείνες τις ποσότητες καφέ και ζάχαρη που θα έχουν την αναλογία Κ = 1/3 Ζ. ∆εδοµένο τον εισοδηµατικό περιορισµό pK K + pZ Z = I , µπορούµε να λύσουµε I 3I (αυτές είναι οι για άριστες ποσότητες Κ και Ζ: K * = , Z* = PK + 3PZ PK + 3PZ συναρτήσεις ζήτησης).

(γ) ∆είξετε τρεις µονοτονικούς µετασχηµατισµούς αυτής της συνάρτησης χρησιµότητας και εξηγήστε γιατί είναι αποδεκτή µε αριθµητικό παράδειγµα. Απάντηση: Υπάρχουν άπειροι µονοτονικοί µετασχηµατισµοί. Τρεις τυχαίοι µονοτονικοί µετασχηµατισµοί είναι: 1 U ( K , Z ) = min(5 + K ,5 + Z ) 3 1 U ( K , Z ) = min(ln( K ), ln( Z )) 3 U ( K , Z ) = min(3K , Z )

Η αρχική συνάρτηση χρησιµότητας και η τελευταία είναι απλώς οι πιο απλές αλλά όλες εµπεριέχουν την ίδιες πληροφορίες για τις προτιµήσεις. (δ) Ποια είναι η έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας; Απάντηση: I 1 (= K * = Z * ) PK + 3PZ 3 Έτσι που προσδιορίζεται η συνάρτηση χρησιµότητας ξέρουµε πως η µέγιστη χρησιµότητα θα ορίζεται από εκείνες τις ποσότητες του καφέ και ζάχαρης που διατηρούν την συγκεκριµένη αναλογία (βέβαια αυτό προϋποθέτει πως µπορούµε να φανταζόµαστε µη ακέραιες ποσότητες, π.χ., 1,7 φλιτζάνια καφέ). V ( PK , PZ , I ) =

(ε) Υπολογίστε την συνάρτηση δαπανών. Απάντηση: Εφόσον έχουµε βρει την έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας µπορούµε εύκολα να λύσουµε για την συνάρτηση δαπανών E ( PK , PZ ,V ) = ( PK + 3PZ )V . (στ) Έστω οι τιµές pK = 1, pZ = 1, I = 8 . ∆είξτε διαγραµµατικά το σηµείο µεγιστοποίησης της χρησιµότητας (δείχνοντας αριθµητικά τις άριστε ποσότητες K, Z, και την ‘τιµή’ της καµπύλης αδιαφορίας). ∆είξτε επίσης την επίδραση µιας αύξησης της τιµής του Ζ. Απάντηση: Στην εκφώνηση είχα ξεχάσει να βάλω συγκεκριµένο εισόδηµα. Με εισόδηµα 8 ευρώ θα είχαµε το παρακάτω διάγραµµα (συγχωρέστε την έλλειψη ταλέντου στην ζωγραφική):

3. Η Έλενα έχει συνάρτηση χρησιµότητας u ( x1 , x2 ) = ( x1 + 1)( x2 + 4) . Η τιµή του x2 , p2 = 1 . Η Έλενα ξοδεύει όλα τα χρήµατά της για να αγοράσει 6 µονάδες του x2 και καµιά µονάδα του x1 . Με αυτά τα δεδοµένα ποια είναι η κατώτερη τιµή που µπορεί να έχει το x1 ; Εξηγήστε την απάντησή σας και µε την χρήση διαγράµµατος. Απάντηση Οι ποσότητες που µεγιστοποιούν την χρησιµότητα είναι x1* = 0, x2* = 6. p Για εσωτερική λύση θα έπρεπε ΟΛΥ12= 1 . p2

Στην περίπτωση της άσκησης έχουµε x1* = 0 , οπότε η σχετική συνθήκη είναι p ΟΛΥ12 ≤ 1 . p2 Κάνοντας χρήση της συνάρτησης χρησιµότητας έχουµε ΟΛΥ12 * MU1 x2 + 4 p1 = ≤ . = MU 2 x1* + 1 p2 6 + 4 p1 ≤ , οπότε p1 ≥ 10. Υποκαθιστώντας τις άριστες τιµές x1* , x2* , έχουµε 0 +1 1 Μπορούµε να υπολογίσουµε το εισόδηµα της Έλενας κάνοντας χρήση του εισοδηµατικού περιορισµού: m = p1 *0 + 1*6 = 6 . Στο σηµείο αριστοποίησης έχουµε µέγιστη χρησιµότητα: u * = u (0, 6) = (0 + 1)(6 + 4) = 10. Μπορούµε να βρούµε την συνάρτηση της συγκεκριµένης καµπύλης αδιαφορίας: u ( x1 , x2 ) = 10 = ( x1 + 1)( x2 + 4) , 10 − 4. και λύνοντας για x2 = x1 + 1

Παρακάτω η σκούρα µπλε γραµµή είναι ο εισοδηµατικός περιορισµός. Η φούξια καµπύλη είναι η συνάρτηση χρησιµότητας. Η ανοιχτή µπλε είναι ένας εισοδηµατικός περιορισµός όταν η τιµή του x1 = 5, και η κίτρινη εισοδηµατικός περιορισµός όταν η τιµή του x1 = 15.

7 6 5 4 3 2 1 0

Series1 Series2 Series3 Series4

0,5

4. Με ορισµένες υπηρεσίες, π.χ., τηλέφωνο, συνδροµητική τηλεόραση, οι καταναλωτές έχουν να επιλέξουν µεταξύ δύο συνδροµητικών πακέτων. Μπορεί να πληρώσουν ένα εφάπαξ ψηλό αρχικό ποσό και στην συνέχεια µια χαµηλή τιµή ανά µονάδα της υπηρεσίας, ή να πληρώσουν ένα χαµηλό εφάπαξ ποσό αλλά υψηλή τιµή ανά µονάδα. Έστω ότι έχεις εισόδηµα €100. Υπάρχουν δύο πακέτα. Πακέτο Α έχει τιµή εφάπαξ €20 µε τιµή ανά µονάδα €2. Πακέτο Β έχει τιµή εφάπαξ €40 µε τιµή ανά µονάδα €1. Έστω x οι δαπάνες για όλα τα άλλα αγαθά και y η ποσότητα που καταναλώνεις για την υπηρεσία. (α) Γράψτε τους δύο εισοδηµατικούς περιορισµούς για τα δύο πακέτα υπηρεσιών θεωρώντας και στις δύο περιπτώσεις ότι έχετε ήδη πληρώσει το εφάπαξ ποσό για το συγκεκριµένο πακέτο. Απάντηση Πακέτο Α: Εφάπαξ ποσό = ΕΞ=20, p y = 2

Πακέτο Β: Εφάπαξ ποσό = ΕΞ=40, p y = 1 Γενικά: x + p y y = m − ΕΞ , όπου x = δαπάνες για τα άλλα αγαθά. Έτσι: Πακέτο Α: x + 2 y = 80 Πακέτο Β: x + y = 60 (β) Εάν η συνάρτηση χρησιµότητας σου είναι u ( x, y ) = xy , πόσο y θα αγοράζατε σε κάθε περίπτωση; Απάντηση: Πακέτο Α: max u ( x, y ) = xy υπό τον περιορισµό x + 2 y = 80 x, y

Λύνοντας βρίσκουµε ότι x*A = 40 , y *A = 20 και η χρησιµότητα του καταναλωτή είναι 40*20=800. Πακέτο Β: max u ( x, y ) = xy υπό τον περιορισµό x + y = 60 x, y

Λύνοντας βρίσκουµε ότι x*A = 30 , y*A = 30 και η χρησιµότητα του καταναλωτή είναι 30*30=900. (γ) Ποια από τα δύο πακέτα θα προτιµούσατε; Εξηγήστε. Απάντηση: 6

Εφόσον η χρησιµότητα του καταναλωτή είναι µεγαλύτερη µε το δεύτερο πακέτο, αυτό θα διαλέξει (εφόσον συµβαδίζει η συµπεριφορά της µε τις υποθέσεις της ορθολογικότητας). 5. Η συνάρτηση χρησιµότητας της Γιάννας είναι u ( x1 , x2 ) = 2 ln x1 + x2 . Με το τωρινό της εισόδηµα και τις σχετικές τιµές των δύο αγαθών, καταναλώνει 10 µονάδες του x1 και 15 µονάδες του x2 . Αν το εισόδηµά της διπλασιαστεί, και οι τιµές δεν αλλάξουν, πόσες µονάδες του x1 θα αγοράσει µετά την αύξηση του εισοδήµατος; Απάντηση: Ας βρούµε τις συναρτήσεις ζήτησης της Γιάννας: max 2ln x1 + x2 + λ (m − p1 x1 − p2 x2 ), x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. x, y

x1* = 2

p2 m > 0 , x2* = − 2 ≥ 0 όταν m ≥ 2 p2 . p1 p2

Παρατηρήστε πως όταν m < 2 p2 η λύση είναι ακραία: x1* =

m * , x2 = 0. p1

Στην δικιά µας περίπτωση γνωρίζουµε πως x1* = 10 , x2* = 15 , οπότε η λύση είναι p εσωτερική. Επίσης βλέπουµε πως στην συνάρτηση ζήτησης του x1* = 2 2 , η p1 ζητούµενη ποσότητα του είναι ανεξάρτητη από το εισόδηµα, οπότε διπλασιάζοντας το εισόδηµα δεν θα επηρεάσει την ζήτηση για το x1* . Όλη η αύξηση του εισοδήµατος θα δαπανηθεί στο x2* . 6. Ο Κώστας µεγιστοποιεί την χρησιµότητά του υπό εισοδηµατικό περιορισµό και πετυχαίνει µια άριστη ποσότητα δύο αγαθών. Μετά αλλάζουν οι τιµές και βρίσκεται σε καλύτερη µοίρα ο Κώστας (σε σηµείο που προτιµάει). Μπορούµε να συµπεράνουµε ότι το νέο καλάθι αγαθών που επέλεξε κοστίζει περισσότερο µε τις παλιές τιµές απ’ ότι το παλιό καλάθι; Εξηγήστε. Απάντηση:

Το διάγραµµα δείχνει την περίπτωση που περιγράφουµε στην άσκηση. Στις αρχικές τιµές και εισόδηµα ο Κώστας µεγιστοποιεί την χρησιµότητα στο σηµείο Α, όπου ο ΟΛΥ (καµπύλη αδιαφορίας ICo) είναι ίδιος µε την κλίση του εισοδηµατικού περιορισµού (BCo). Γνωρίζουµε ότι θα είναι σε καλύτερη θέση µετά από την αλλαγή των τιµών, οπότε, το νέο σηµείο (άριστης) κατανάλωσης (το Β) πρέπει να βρίσκεται σε καµπύλη αδιαφορίας ψηλότερη από την αρχική (ICo). Εάν µεγιστοποιεί την χρησιµότητά του, το νέο καλάθι θα είναι στο σηµείο όπου ο νέος ΟΛΥ είναι ίδιος µε την κλίση του νέου εισοδηµατικού περιορισµού (ICo). Ναι µπορούµε να συµπεράνουµε ότι το νέο καλάθι αγαθών που επέλεξε κοστίζει περισσότερο µε τις παλιές τιµές απ’ ότι το παλιό καλάθι. Στις παλαιές τιµές, η κλίση οποιουδήποτε εισοδηµατικού περιορισµού πρέπει να είναι ίδια µε τον αρχικό εισοδηµατικό περιορισµό. Μια παράλληλη µετατόπιση του εισοδηµατικού περιορισµού BCo προς τα µέσα σχετίζεται µε µια αφαίρεση εισοδήµατος και αντίστροφα, µια παράλληλη µετατόπιση προς τα έξω σηµαίνει µια αύξηση εισοδήµατος. Μια παράλληλη µετατόπιση του αρχικού ΕΠ (BCo) έτσι ώστε να περνάει από το σηµείο Β θα απαιτεί µια παράλληλη µετατόπιση προς τα έξω (δηλαδή περισσότερα χρήµατα), που σηµαίνει πως το νέο καλάθι κοστίζει περισσότερο µε τις παλαιές τιµές απ’ ότι το παλαιό καλάθι. Αυτό ισχύει ανεξάρτητα από το πού θα εντοπίσουµε το σηµείο Β στην νέα καµπύλη αδιαφορίας. (Αυτή η λογική είναι η ίδια που βρίσκεται πίσω από την µέτρηση του πλεονάσµατος του καταναλωτή. Μπορούµε δηλαδή να χρησιµοποιούµε την συνάρτηση δαπανών για να µετράµε τις αποστάσεις µεταξύ καµπυλών αδιαφορίας).