Μπορείτε να βρείτε ύλες, ανακοινώσεις , παλαιότερα θέματα, προγράμματα, λυμένα θέματα καθώς και άλλα φυλλάδια στο τραπεζάκι της Δαπ η στο dap-oikonomikou.gr Για απορίες γραφτείτε στο Φόρουμ του https://www.facebook.com/groups/econnomikis
Για οποιαδήποτε άλλη πληροφορία μπορείτε επικοινωνήσετε στο dap.oikonomikou@gmail.com
ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟ ΦΟΙΤΗΤΗ
να
ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ Περιεχόμενα: 1. Θεωρία Παιγνίων Απρίλιος 2014 2. Θεωρία Παιγνίων Ιανουάριος 2014(Εμβόλιμη) 3. Θεωρία Παιγνίων Ιανουάριος 2013
ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2014 ΟΔΗΓΙΕΣ: Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και ενδεχόμενη αδυναμία απάντησης ενός θέματος ή υποερωτήματος δεν θα έπρεπε να σάς εμποδίσει να απαντήσετε τα υπόλοιπα. Καλή επιτυχία. ΘΕΜΑ 1 (3 μονάδες) Θεωρήστε την εξής δημοπρασία πρώτης τιμής με σφραγισμένες προσφορές ("first price sealed bid auction"): Υπάρχουν δύο συμμετέχοντες τους οποίους συμβολίζουμε i= 1,2. 0 συμμετέχων i έχει αποτίμηση ν, για το αγαθό - δηλαδή αν ο i κερδίσει το αγαθό και πληρώσει την τιμή ρ τότε το όφελος του i είναι νi-ρ. Οι αποτιμήσεις των συμμετεχόντων είναι ανεξάρτητες και ομοιόμορφα κατανεμημένες στο [0.1]. Οι προσφορές, bi. είναι υποχρεωτικά μη αρνητικές. Οι συμμετέχοντες καταθέτουν ταυτόχρονα τις προσφορές τους. Ο πλειοδότης κερδίζει το αγαθό και καταβάλλει τιμή ίση με την προσφορά του, ο άλλος συμμετέχων ούτε παίρνει ούτε πληρώνει τίποτα. Σε περίπτωση ισοπαλίας, ο νικητής καθορίζεται από το στρίψιμο ενός συμμετρικού νομίσματος. Οι συμμετέχοντες είναι ουδέτεροι ως προς το ρίσκο. Ολα τα παραπάνω αποτελούν κοινή γνώση. 1. Διατυπώστε το παραπάνω ως ένα στατικό μπεϋζιανό παίγνιο 2. Διατυπώστε αλγεβρικά την συνθήκη που πρέπει να ισχύει ώστε ένα ζεύγος στρατηγικών (b1(v1).b2(v2) ) να αποτελεί μπεϋζιανή ισορροπία κατά Nash και εξηγήστε. 3. Βρείτε τις τιμές των παραμέτρων α, και γ, για τις οποίες υπάρχει μια γραμμική μπεϋζιανή ισορροπία κατά Nash (hint: Οι στρατηγικές πρέπει να έχουν τη μορφή bi (vi )=ai + γi vi ∀i. Δείξτε καθαρά όλη σας τη δουλειά και εξηγήστε αναλυτικά. ΘΕΜΑ 2 (2.5 μονάδες) Εστω 5 επιχειρήσεις που ανταγωνίζονται στα πρότυπα του υποδείγματος Cournot (με επιλογή ποσοτήτων τις οποίες διαθέτουν ταυτόχρονα στην αγορά). Η τιμή στην οποία εκκαθαρίζει η αγορά είναι 5 P(q1, q2, q3, q4,q5) = a - Σ qi i=1 Η συνάρτηση κόστους παραγωγής για κάθε επιχείρηση είναι η ίδια, γραμμική συνάρτηση της ποσότητας που παράγεται (σημειώστε ότι δεν υφίστανται πάγια κόστη παραγωγής): C(qi) = cqi Το κέρδος κάθε επιχείρησης είναι απλά τα έσοδά της (δηλ. το γινόμενο της πωλούμενης ποσότητας επί την τιμή εκκαθάρισης της αγοράς), μείον το κόστος παραγωγής της εν λόγω ποσότητας. 1. Υπολογίστε τις ποσότητες (κατά Nash) ισορροπίας του ως άνω παιγνίου και δείξτε καθαρά όλη σας τη δουλειά 2. Πώς συγκρίνονται τα κέρδη της κάθε επιχείρησης και του κλάδου με αυτά του κλασικού παιγνίου του δυοπωλίου κατά Cournot όπως προκύπτουν από τα παραπάνω για την περίπτωση δύο επιχειρήσεων και κατάλληλη προσαρμογή της συνάρτησης ζήτησης; ΘΕΜΑ 3 (2.5 μονάδες) Θεωρήστε το υπόδειγμα δυοπωλίου του Cournot όπου η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης είναι P(q1,q2) = a – q1 - q2 όμως, οι εταιρείες έχουν ασύμμετρα οριακά κόστη: c1 για την εταιρεία 1 και c2 για την εταιρεία 2. 1. Διερευνήστε τις τιμές των παραμέτρων a,c1 και C2 για τις οποίες και οι δύο εταιρείες θα επιλέξουν (σε ισορροπία κατά Nash) να παράξουν θετικές ποσότητες. 2. Βρείτε τις τιμές των παραμέτρων a,c1, c2 για τις οποίες η μία από τις δύο εταιρείες θα επιλέξει σε ισορροπία να παράξει μηδενική ποσότητα.
ΘΕΜΑ 4 (2 μονάδες) Εστω δύο εργαζόμενοι, i = 1,2 σε μία ομάδα και ότι ο καθένας από αυτούς έχει την επιλογή να "δουλέψει" (Si = 1) ή να "λουφάρει" (Si = 0). Το συνολικό προϊόν που παράγεται από την ομάδα (συναρτήσει των επιλογών των μελών της) είναι 4(S1 +S2) το οποίο τελικά μοιράζεται εξ ίσου μεταξύ των δύο παικτών. Κάθε εργαζόμενος υφίσταται προσωπικό κόστος ίσο με 3 όταν "δουλεύει", ενώ το προσωπικό του κόστος είναι ίσο με 0 όταν "λουφάρει". 1. Αφού συμβολίστε τη δουλειά με το γράμμα "Δ" και τη λούφα με το γράμμα "Λ", παρουσιάστε το παίγνιο σε κανονική μορφή (κατασκευή μήτρας πληρωμών). 2. Υπολογίστε όλες τις ισορροπίες κατά Nash (σε αμιγείς στρατηγικές). Δείξτε καθαρά όλη σας τη δουλειά.
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΟΣ ΘΑΝΟΠΟΥΛΟΣ 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΟΔΗΓΙΕΣ: Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και ενδεχόμενη αδυναμία απάντησης ενός θέματος ή υποερωτήματος δεν θα έπρεπε να σάς εμποδίσει να απαντήσετε τα υπόλοιπα. Εφόσον κρίνετε ότι χρειάζεται, μπορείτε να κάνετε ενδιάμεση χρήση αλγεβρικών αποτελεσμάτων ή θεωρημάτων που διατυπώθηκαν μέσα στην τάξη χωρίς όμως να χρειάζεται να παραθέσετε εδώ τις αποδείξεις τους. Καλή επιτυχία. ΘΕΜΑ 1 (5 μονάδες) Εστω δύο επιχειρήσεις που ανταγωνίζονται στα πρότυπα του υποδείγματος Stackelberg (με επιλογή ποσοτήτων q 1 , q 2 τις οποίες διαθέτουν διαδοχικά στην αγορά). Η τιμή στην οποία εκκαθαρίζει η αγορά είναι Pq 1 , q 2 130 − q 1 − q 2 Η συνάρτηση κόστους παραγωγής για κάθε επιχείρηση είναι η ίδια, γραμμική συνάρτηση της ποσότητας που παράγεται (σημειώστε ότι δεν υφίστανται πάγια κόστη παραγωγής): Cq i 10q i Το κέρδος κάθε επιχείρησης είναι απλά τα έσοδά της (δηλ. το γινόμενο της πωλούμενης ποσότητας επί την τιμή εκκαθάρισης της αγοράς), μείον το κόστος παραγωγής της εν λόγω ποσότητας. Υπολογίστε τις ποσότητες (κατά Nash - προς τα πίσω επαγωγή) ισορροπίας του ως άνω παιγνίου και δείξτε καθαρά όλη σας τη δουλειά. Υπολογίστε τις ποσότητες και τιμή ισορροπίας του προϊόντος και τα κέρδη των επιχειρήσεων στην αγορά Συγκρίνετε κέρδη, ποσότητες και τιμές με τα αντίστοιχα σε ένα περιβάλλον ανταγωνισμού στα πρότυπα του Cournot. Ποιά είναι η συνέπεια του γεγονότος ότι η επιχείρηση 2 έχει περισσότερη πληροφόρηση απ ΄ότι στο υπόδειγμα Cournot; Αναπτύξτε. ΘΕΜΑ 2 (3 μονάδες) Εστω 4 επιχειρήσεις που ανταγωνίζονται στα πρότυπα του υποδείγματος Cournot (με επιλογή ποσοτήτων τις οποίες διαθέτουν ταυτόχρονα στην αγορά). Η τιμή στην οποία εκκαθαρίζει η αγορά είναι 4
Pq 1 , q 2 , q 3 , q 4 a − ∑ q i i1
Η συνάρτηση κόστους παραγωγής για κάθε επιχείρηση είναι η ίδια, γραμμική συνάρτηση της ποσότητας που παράγεται (σημειώστε ότι δεν υφίστανται πάγια
κόστη παραγωγής): Cq i cq i Το κέρδος κάθε επιχείρησης είναι απλά τα έσοδά της (δηλ. το γινόμενο της πωλούμενης ποσότητας επί την τιμή εκκαθάρισης της αγοράς), μείον το κόστος παραγωγής της εν λόγω ποσότητας. Υπολογίστε τις ποσότητες (κατά Nash) ισορροπίας του ως άνω παιγνίου και δείξτε καθαρά όλη σας τη δουλειά. Πώς συγκρίνονται τα κέρδη της κάθε επιχείρησης με αυτά του κλασικού παιγνίου του δυοπωλίου κατά Cournot όπως αυτά υπολογίστηκαν στην τάξη (ή όπως προκύπτουν από τα παραπάνω για την περίπτωση δύο επιχειρήσεων και κατάλληλη προσαρμογή της συνάρτησης ζήτησης); ΘΕΜΑ 3 (2 μονάδες) Εστω δύο εργαζόμενοι, i 1, 2 σε μία ομάδα και ότι ο καθένας από αυτούς έχει την επιλογή να "δουλέψει" (s i 1) ή να "λουφάρει" (s i 0). Το συνολικό προϊόν που παράγεται από την ομάδα (συναρτήσει των επιλογών των μελών της) είναι 4s 1 s 2 το οποίο τελικά μοιράζεται εξ ίσου μεταξύ των δύο παικτών. Κάθε εργαζόμενος υφίσταται προσωπικό κόστος ίσο με 3 όταν "δουλεύει", ενώ το προσωπικό του κόστος είναι ίσο με 0 όταν "λουφάρει". Αφού συμβολίστε τη δουλειά με το γράμμα "Δ" και τη λούφα με το γράμμα "Λ", παρουσιάστε το παίγνιο σε κανονική μορφή (κατασκευή μήτρας πληρωμών). Υπολογίστε όλες τις ισορροπίες κατά Nash (σε αμιγείς στρατηγικές). Δείξτε καθαρά όλη σας τη δουλειά.
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ, ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ, (ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2012-2013) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΟΣ ΘΑΝΟΠΟΥΛΟΣ, ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ - 25 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΘΕΜΑ 1 Τουρνουά (Tournaments) Εστω το τροποποιημένο υπόδειγμα των Lazear & Rosen (JPE, 1981) που παρουσιάστηκε στην τάξη: - Παίκτες: δύο εργάτες και ο εργοδότης τους. - Ο εργάτης i , i 1, 2 , παράγει προϊόν yi ei i όπου e i συμβολίζει την προσπάθεια, ενώ το i , i 1, 2, είναι μια τυχαία μεταβλητή (θόρυβος) που λαμβάνει τιμές από μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f με μέση τιμή μηδέν και γνωστή διακύμανση. Το ύψος του θορύβου 1 και 2 προκύπτουν ανεξάρτητα. - Η παραγωγή διεξάγεται ως εξής: Η παραγωγή των εργατών γίνεται αντικείμενο παρατήρησης αλλά όχι οι επιλογές προσπάθειας (Οι μισθοί των εργατών μπορούν συνεπώς να εξαρτώνται από την παραγωγή τους αλλά όχι άμεσα από την προσπάθειά τους) - Ας υποθέσουμε ότι ο εργοδότης αποφασίζει να υποκινήσει τους εργάτες βάζοντάς τους να ανταγωνιστούν σε ένα τουρνουά. Ο μισθός που θα κερδίσει ο νικητής του τουρνουά (αυτός με τη μεγαλύτερη παραγωγή) είναι w ν , ενώ ο μισθός που θα έχει ο ηττημένος είναι w χ . - Το όφελος του εργάτη από την απολαβή μισθού w και από την καταβολή προσπάθειας e είναι: uw, e w − ge όπου : g ′ e 0, g ′′ e 0 - Το όφελος του εργοδότη είναι: y1 y2 − wν − wχ Εστω ότι ο εργοδότης έχει επιλέξει τους μισθούς w ν και w χ . Εκφράστε αλγεβρικά το πρόβλημα μεγιστοποίησης του αναμενόμενου μισθού του (αφαιρουμένου του κόστους του μόχθου του) που καλείται να επιλύσει ο κάθε εργάτης i, με κατάλληλη επιλογή του e ∗i προκειμένου το ζεύγος προσπάθειας e ∗1 , e ∗2 να αποτελέσει ισορροπία κατά Nash του υπολειπόμενου παιγνίου μεταξύ των εργατών. [1.5 μονάδα] Δείξτε αναλυτικά ότι η συνθήκη πρώτης τάξεως για το ανωτέρω πρόβλημα μεγιστοποίησης είναι: ∂ Pry i e i y j e ∗j w ν − w χ g ′ e i ∂e i και ερμηνεύστε αναλυτικά / λεκτικά το νόημα αυτής. [2 μονάδες] Εστω ότι σε μια συμμετρική ισορροπία κατά Nash (δηλ όταν e ∗1 e ∗2 e ∗ ) η ανωτέρω συνθήκη πρώτης τάξης γίνεται:
w ν − w χ f j 2 d j g ′ e ∗ j
Ερμηνεύστε λεκτικά το νόημα αυτής σε σχέση με τα κίνητρα των εργατών συναρτήσει των μισθών. [2 μονάδες] Συζητείστε (όχι μεταξύ σας...) τις συνέπειες που έχει σε μια ισορροπία κατά Nash στα κίνητρα των εργατών μια πολύ μεγάλη διακύμανση του παράγοντα που ΔΕΝ εξαρτάται από την προσπάθεια των παικτών [0.5 μονάδα] ΘΕΜΑ 2 "Ηθικός Κίνδυνος" μέσα σε Ομάδες (moral hazard in teams). Εστω δύο εργαζόμενοι, i 1, 2 σε μία ομάδα και ότι ο καθένας από αυτούς έχει την επιλογή να "δουλέψει" (s i 1) ή να "λουφάρει" (s i 0). Το συνολικό προϊόν που παράγεται από την ομάδα (συναρτήσει των επιλογών των μελών της) είναι 4s 1 s 2 το οποίο τελικά μοιράζεται εξ ίσου μεταξύ των δύο παικτών. Κάθε εργαζόμενος υφίσταται προσωπικό κόστος ίσο με 3 όταν "δουλεύει", ενώ το προσωπικό του κόστος είναι ίσο με 0 όταν "λουφάρει". Αφού συμβολίστε τη δουλειά με το γράμμα "Δ" και τη λούφα με το γράμμα "Λ", παρουσιάστε το παίγνιο σε κανονική μορφή (κατασκευή μήτρας πληρωμών). [0.5 μονάδα] Υπολογίστε όλες τις ισορροπίες κατά Nash (σε αμιγείς στρατηγικές). Δείξτε καθαρά όλη σας τη δουλειά. [1 μονάδα] ΘΕΜΑ 3 Δυναμικός Ηθικός Κίνδυνος μέσα σε Ομάδες (Dynamic Moral Hazard in Teams) Εστω τρεις εργαζόμενοι, i 1, 2, 3 σε μία ομάδα και ότι ο καθένας από αυτούς έχει την επιλογή να "δουλέψει" (s i 1) ή να "λουφάρει" (s i 0). Το συνολικό προϊόν που παράγεται από την ομάδα (συναρτήσει των επιλογών των μελών της) είναι 4s 1 s 2 s 3 το οποίο τελικά μοιράζεται εξ ίσου μεταξύ των τριών παικτών. Κάθε εργαζόμενος υφίσταται προσωπικό κόστος ίσο με 3 όταν "δουλεύει", ενώ το προσωπικό του κόστος είναι ίσο με 0 όταν "λουφάρει". Το παίγνιο επαναλαμβάνεται σε t στάδια, όπου t 1, 2, 3 Αφού συμβολίστε τη "δουλειά" με το γράμμα "Δ" και τη "λούφα" με το γράμμα "Λ", βρείτε μία ισορροπία κατά Nash του στατικού παιγνίου (t 1). [1 μονάδα] Εστω ότι το εν λόγω παίγνιο επαναλαμβάνεται επί t 3 περιόδους. Βρείτε τουλάχιστο μία ισορροπία κατά Nash του δυναμικού / επαναλαμβανόμενου παιγνίου. [1 μονάδα] Μπορείτε να βρείτε άλλη; Τί παρατηρείτε; [0,5 μονάδα]