Άσκηση 3. Έστω X 1 , X 2 ,..., X v τ.δ. από X ~ U ( −θ ,θ ) .
α) Να δειχθεί ότι η σ.σ. T = max { X 1 , X 2 ,..., X v } είναι επαρκής και πλήρης σ.σ. για την παράµετρο θ. β) Να βρεθεί: η α.ε.ε.δ. του εύρους 2θ του διαστήµατος και 1) 2) η α.ε.ε.δ. της διασποράς V(X). Λύση: 1 1 = , −θ < x < θ 1 α) = f ( x,θ ) = θ − ( −θ ) 2θ I ( −θ < x < θ ) 2 θ 0,αλλο ύ Επάρκεια: Παραγοντικό κριτήριο Neyman: v v v 1 1 f ( x,θ ) = ∏ f ( xi ,θ ) = ∏ ⋅ I ( −θ < x < θ ) = I −θ < xi < θ ) = v ∏ ( θ 2 2 θ i =1 i =1 ( ) i=1 1
( 2θ )
v
I 0 ≤ xi < θ ) = v ∏ ( i =1
v
1
( 2θ )
v
∏ I ( 0 ≤ max { x
i
i =1
h ( X ) ⋅ g T ( X ) ,θ µε: g T ( X ) ,θ =
1
( 2θ )
v
)
, i = 1,2,..., v} < θ =
(
I 0 ≤ max { xi , i = 1,2,..., v} < θ
και h ( X ) = 1 , άρα
η T ( X ) = max { xi , i = 1,2,..., v} είναι επαρκής για το θ. Πληρότητα: Βρίσκουµε την συνάρτηση κατανοµής της Τ: hT ( t ) . Αθροιστική της Τ: Για t < 0 , FT ( t ) = 0 , για t ≥ θ , P ( x1 ≤ t ) = 1 για 0 ≤ t ≤ θ έχουµε: FT ( t ) = P (T ≤ t ) = P max { xi , i = 1,2,..., v} ≤ t =
(
)
P ( x1 ≤ t , x2 ≤ t ,..., xv ≤ t ) = (1) P ( x1 ≤ t ) P ( x2 ≤ t ) ⋅ ⋅ ⋅ P ( xv ≤ t ) = (2)
P ( x1 ≤ t )
v
P ( x1 ≤ t ) = P ( −t ≤ x1 ≤ t ) = P ( x1 ≤ t ) − P ( x1 ≤ −t ) = FX ( t ) − FX ( −t ) = t −t 2t t − = = 2θ 2θ 2θ θ
1 2
Λόγω ανεξαρτησίας. Λόγω ισονοµίας.
1
)
v v −1 v d d t t v −1 t t 1 FT ( t ) = ⇒ fT ( t ) = FT ( t ) = v = = v dt θ dt θv θ θ θ v hT ( t ) = v t v −1
θ
Έστω g (T ) : E g (T ) = 0 ⇒ θ
θ
t v−1
θ
∫ g ( t ) h ( t ) dt = 0 ⇒ ∫ g ( t ) v θ
v
ντας ως προς θ, έχουµε: g (θ )θ
v −1
T
0
∫ g (t ) t
dt = 0 ⇒
0
v −1
dt = 0, ∀t και παραγωγίζο-
0
= 0, ∀θ ⇒ g (θ ) = 0, ∀θ , δεδοµένου ότι
θ v −1 > 0, ∀θ
εποµένως η T ( X ) = max { xi , i = 1,2,..., v} είναι και πλήρης. β) 1) Ζητούµε συνάρτηση της Τ, η οποία να είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της g (θ ) = 2θ θ
Έστω Ψ1 (T ) : E Ψ1 (T ) = 2θ ⇒ ( ) ∫ Ψ1 ( t ) fT ( t ) dt = 2θ ⇒ 3
0
θ
∫ Ψ1 ( t ) v 0
t v−1
θv
dt = 2θ ⇒
θ
v
∫ Ψ1 ( t ) t dt = 2θ ⇒ v −1
θv
0
θ
v −1 ∫ Ψ1 ( t ) t dt = 0
2θ v +1 και, v
2 ( v + 1)θ v παραγωγίζοντας ως προς θ, παίρνουµε: Ψ1 (θ )θ = ⇒ v 2 ( v + 1)θ v 2 ( v + 1) 2 ( v + 1) Ψ1 (θ ) = = θ , άρα η Ψ1 (T ) = T(X )= v −1 vθ v v 2 ( v + 1) max { xi , i = 1, 2,..., v} είναι η α.ε.ε.δ. του 2θ. v 2) Κατά τα γνωστά όταν X ~ U ( −θ ,θ ) , τότε η διασπορά v −1
θ − ( −θ ) ( 2θ ) = 4θ 2 = θ 2 , V (X ) = = 12 12 12 3 άρα ζητούµε συνάρτηση της Τ, η οποία να είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια 2
της g (θ ) =
2
θ2 3 θ
θ2
t v −1
θ2
Έστω Ψ 2 (T ) : E Ψ 2 (T ) = ⇒ ( ) ∫ Ψ 2 ( t ) v v dt = ⇒ 3 3 θ 0
3
3
Τα όρια της ολοκληρώσεως είναι 0 και θ, διότι
0 ≤T ≤θ .
2
v
θ
θ v ∫0
Ψ 2 ( t ) t dt = v −1
θ2 3
θ
⇒
∫ Ψ (t )t 2
0
προς θ, παίρνουµε: Ψ 2 (θ )θ v −1 = Άρα η σ.σ. Ψ 2 (T ) = g (θ ) =
θ2 3
v −1
dt =
3v
και, παραγωγίζοντας ως
( v + 2 ) θ v+1 ⇒ 3v
( v + 2) T 2 = ( v + 2) 3v
θ v+2
3v
=V (X )
3
( max { X }) i
Ψ 2 (θ ) = 2
( v + 2) θ 2 . 3v
είναι η α.ε.ε.δ. του