askisi3

Page 1

Άσκηση 3. Έστω X 1 , X 2 ,..., X v τ.δ. από X ~ U ( −θ ,θ ) .

α) Να δειχθεί ότι η σ.σ. T = max { X 1 , X 2 ,..., X v } είναι επαρκής και πλήρης σ.σ. για την παράµετρο θ. β) Να βρεθεί: η α.ε.ε.δ. του εύρους 2θ του διαστήµατος και 1) 2) η α.ε.ε.δ. της διασποράς V(X). Λύση: 1 1  = , −θ < x < θ 1  α) = f ( x,θ ) = θ − ( −θ ) 2θ I ( −θ < x < θ ) 2 θ 0,αλλο ύ  Επάρκεια: Παραγοντικό κριτήριο Neyman: v v v 1 1  f ( x,θ ) = ∏ f ( xi ,θ ) = ∏  ⋅ I ( −θ < x < θ )  = I −θ < xi < θ ) = v ∏ ( θ 2   2 θ i =1 i =1 ( ) i=1 1

( 2θ )

v

I 0 ≤ xi < θ ) = v ∏ ( i =1

v

1

( 2θ )

v

∏ I ( 0 ≤ max { x

i

i =1

h ( X ) ⋅ g T ( X ) ,θ  µε: g T ( X ) ,θ  =

1

( 2θ )

v

)

, i = 1,2,..., v} < θ =

(

I 0 ≤ max { xi , i = 1,2,..., v} < θ

και h ( X ) = 1 , άρα

η T ( X ) = max { xi , i = 1,2,..., v} είναι επαρκής για το θ. Πληρότητα: Βρίσκουµε την συνάρτηση κατανοµής της Τ: hT ( t ) . Αθροιστική της Τ: Για t < 0 , FT ( t ) = 0 , για t ≥ θ , P ( x1 ≤ t ) = 1 για 0 ≤ t ≤ θ έχουµε: FT ( t ) = P (T ≤ t ) = P max { xi , i = 1,2,..., v} ≤ t =

(

)

P ( x1 ≤ t , x2 ≤ t ,..., xv ≤ t ) = (1) P ( x1 ≤ t ) P ( x2 ≤ t ) ⋅ ⋅ ⋅ P ( xv ≤ t ) = (2)

P ( x1 ≤ t )

v

P ( x1 ≤ t ) = P ( −t ≤ x1 ≤ t ) = P ( x1 ≤ t ) − P ( x1 ≤ −t ) = FX ( t ) − FX ( −t ) = t −t 2t t − = = 2θ 2θ 2θ θ

1 2

Λόγω ανεξαρτησίας. Λόγω ισονοµίας.

1

)


Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.