Άσκηση 3. Έστω X 1 , X 2 ,..., X v τ.δ. από X ~ U ( −θ ,θ ) .
α) Να δειχθεί ότι η σ.σ. T = max { X 1 , X 2 ,..., X v } είναι επαρκής και πλήρης σ.σ. για την παράµετρο θ. β) Να βρεθεί: η α.ε.ε.δ. του εύρους 2θ του διαστήµατος και 1) 2) η α.ε.ε.δ. της διασποράς V(X). Λύση: 1 1 = , −θ < x < θ 1 α) = f ( x,θ ) = θ − ( −θ ) 2θ I ( −θ < x < θ ) 2 θ 0,αλλο ύ Επάρκεια: Παραγοντικό κριτήριο Neyman: v v v 1 1 f ( x,θ ) = ∏ f ( xi ,θ ) = ∏ ⋅ I ( −θ < x < θ ) = I −θ < xi < θ ) = v ∏ ( θ 2 2 θ i =1 i =1 ( ) i=1 1
( 2θ )
v
I 0 ≤ xi < θ ) = v ∏ ( i =1
v
1
( 2θ )
v
∏ I ( 0 ≤ max { x
i
i =1
h ( X ) ⋅ g T ( X ) ,θ µε: g T ( X ) ,θ =
1
( 2θ )
v
)
, i = 1,2,..., v} < θ =
(
I 0 ≤ max { xi , i = 1,2,..., v} < θ
και h ( X ) = 1 , άρα
η T ( X ) = max { xi , i = 1,2,..., v} είναι επαρκής για το θ. Πληρότητα: Βρίσκουµε την συνάρτηση κατανοµής της Τ: hT ( t ) . Αθροιστική της Τ: Για t < 0 , FT ( t ) = 0 , για t ≥ θ , P ( x1 ≤ t ) = 1 για 0 ≤ t ≤ θ έχουµε: FT ( t ) = P (T ≤ t ) = P max { xi , i = 1,2,..., v} ≤ t =
(
)
P ( x1 ≤ t , x2 ≤ t ,..., xv ≤ t ) = (1) P ( x1 ≤ t ) P ( x2 ≤ t ) ⋅ ⋅ ⋅ P ( xv ≤ t ) = (2)
P ( x1 ≤ t )
v
P ( x1 ≤ t ) = P ( −t ≤ x1 ≤ t ) = P ( x1 ≤ t ) − P ( x1 ≤ −t ) = FX ( t ) − FX ( −t ) = t −t 2t t − = = 2θ 2θ 2θ θ
1 2
Λόγω ανεξαρτησίας. Λόγω ισονοµίας.
1
)