Παράδειγµα – Άσκηση Έστω X 1 , X 2 ,…, X v τ.δ. από κανονική κατανοµή N ( µ ,σ 2 ) α) Να κατασκευασθεί ένα (1-α) ∆.Ε. για το µ β) Να βρεθεί η σχέση που πρέπει να ικανοποιεί το µέγεθος του δείγµατος ν, ώστε το µήκος του ∆Ε να είναι µικρότερο από το 2σ, µε πιθανότητα 1-β. Λύση: α) (1 − a ) ⋅ 100%∆Ε = X − ta 2( v−1) s , X + ta 2(v−1) s v v β) Μήκος ∆Ε = UB ( X ) − LB ( X ) = X + ta ( v −1) s − X − ta ( v −1) s = 2 2 v v X + ta s − X + ta s = 2ta s 2 2 2 v v v s v s P 2ta ( v −1) ≤ 2σ = 1 − β ⇒ P ≤ =1− β ⇒ v σ ta ( v −1) 2 2 s v P > =β ⇒ σ ta ( v −1) 2 2 s v P 2> 2 =β ⇒ σ ta ( v −1) 2 s2 v − 1 v v − 1 ( ) > ( )= β ⇒ P σ2 ta2 ( v−1) 0 2 s 2 ( v − 1) Θέτουµε: Y = , τότε 2
σ
Y ~ Xv2−1 και P (Y > Xβ2,v −1 ) = β ⇒
v ( v − 1) 2 2 = Xβ2,v−1 ⇒ v ( v − 1) = ta ,v −1 ⋅ Xβ ,v−1 2 2 ta ,v−1 2
1
β
Xβ2,v −1