math S1 & S2

Cours d’Analyse Math´ ematiques I

S. As Soulaimani∗

A. Ezziani?

Universit´e Hassan II–Mohammedia, Facult´e des Sciences Juridiques Economiques et Sociales A¨ın Sebˆaa ∗

sami.assoulaimani@gmail.com ? aezziani@gmail.com

Sciences Economiques et Gestion Automne 2009, S1

2

Attention Ce polycopi´e est en cours de pr´eparation il est mis en ligne juste pour aider les ´etudiants a` r´eviser, il est (tr`es) loin de sa version d´efinitive.

3

4

Table des mati` eres 1 G´ en´ eralit´ es sur les ensembles 1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Op´erations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Fonctions d’une variable r´ eelle 2.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Fonctions : d´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . .

2.2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Parit´e et sym´etrie . . . . . . . . . . . . . .

2.2.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.4 P´eriodicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.5 Convexit´e / Concavit´e . . . . . . . . . . . .

2.3 Limites et D´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.3 D´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.4 D´eriv´ees successives . . . . . . . . . . . . .

2.3.5 Th´eor`emes importants . . . . . . . . . . . .

2.4 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.1 Rappels sur la fonction logarithme n´ep´erien 2.5.2 Rappels sur la fonction exponentielle . . . .

2.5.3 Logarithme et exponentielle de base a . . .

2.6 Optimisation et extremum locaux d’une fonction .

2.7 Primitives et int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.1 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.2 Int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.3 Int´egrales g´en´eralis´ees . . . . . . . . . . . .

2.8 Formule de Taylor–D´eveloppements limit´es . . . .

2.8.1 D´eveloppements limit´es usuels . . . . . . .

2.8.2 Op´erations sur les d´eveloppements limit´es .

2.8.3 Application des d´eveloppements limit´es . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 3 3 6 6 7 9 10 11 12 12 15 17 19 20 22 23 23 24 25 26 28 28 29 31 33 33 35 37

3 Fonctions de plusieurs variables r´ eelles 39 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1 Produit cart´esien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5

` TABLE DES MATIERES

6

3.2

3.3

3.4

3.1.2 L’ensemble R2 . . . . . . . . . . . . . . .

Fonctions de deux variables . . . . . . . . . . . .

3.2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2 Limites et continuit´e . . . . . . . . . . . .

3.2.3 D´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . .

3.2.4 D´eriv´ees partielles d’ordre 2 . . . . . . . .

Int´egrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1 Int´egrales sur les rectangles . . . . . . . .

3.3.2 Int´egrales sur les domaines non rectangles Optimisation d’une fonction de deux variables . .

3.4.1 Optimisation sans contrainte . . . . . . .

3.4.2 Optimisation sous contrainte . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

39 44 44 46 47 50 51 51 53 56 56 58

Chapitre 1

G´ en´ eralit´ es sur les ensembles 1.1

Ensembles

D´ efinition 1.1.1. Un ensemble est une collection d’objets. Les objets d’un ensemble sont encore appel´es ´el´ements de cet ensemble.

Exemple 1.1.2.

1. IN = {0, 1, 2, 3, . . .} est l’ensemble des entiers naturels,

2. Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} est l’ensemble des entiers relatifs, 3. Q est l’ensemble des nombres rationnels, 4. R est l’ensemble des r´eels.

Remarque 1.1.3. On convient qu’il existe un ensemble ne contenant aucun ´el´ement qu’on appellera l’ensemble vide. On le notera par ∅ (ou par { }).

D´ efinition 1.1.4. Soient A et B deux ensembles non vides. B est dit sous ensemble de A ou contenu dans A si tous les ´el´ements de B appartiennent ` a A. On note B ⊂ A. Exemple 1.1.5.

1. IN = {−1/2, 2, 3/5} est un sous-ensemble de Q.

2.

R+

= {x ∈ R/ x ≥ 0} ⊂ R,

3.

R−

= {x ∈ R/ x ≤ 0} ⊂ R,

4. R∗ = {x ∈ R/ x 6= 0} ⊂ R.

1.2

Op´ erations sur les ensembles

D´ efinition 1.2.1. Soit E un ensemble et B et C deux sous-ensembles de E. 1. L’intersection de B et de C est le sous-ensemble de E not´e par B ∩ C et d´efini par B ∩ C = {x ∈ E / x ∈ B et x ∈ C}.

2. L’union (ou la r´eunion) de B et de C est le sous ensemble de E not´e B ∪ C, d´efini par B ∪ C = {x ∈ E / x ∈ B ou x ∈ C}.

1

´ ERALIT ´ ´ SUR LES ENSEMBLES CHAPITRE 1. GEN ES

2

3. Le compl´ementaire de B dans E est le sous ensemble not´e E \ B (ou CEB ), d´efini par CEB = {x ∈ E/ x 6∈ B }.

Remarque 1.2.2. Il est tr`es important de noter que pour que les op´erations ∩ et ∪ aient un sens l’ordre des parenth`eses est crutial1 .

Propri´ et´ es 1.2.3. Soient A, B et C des ensembles quelconques. On a les propri´et´es suivantes – Commutativit´ e A ∩ B = B ∩ A. – Associativit´ e (A∩B)∩C = A∩(B ∩C) et de mˆeme pour la r´eunion on a (A∪B)∪C = A ∪ (B ∪ C).

– Distributivit´ e On a (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

Exemple 1.2.4. Soient les ensembles suivants E = {−6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {−6, −4, −2, 1, 2, 3} et C = {−4, 1, 2, 5, 7}.

On a alors – B ∩ C = {−4, 1, 2}.

– B ∪ C = {−6, −4, −2, 1, 2, 3, 5, 7} – B \ C = {−6, −2, 3} Exercice 1.2.5. En consid´erant le dernier exemple. Donner explicitement les ensembles suivants 1. B \ (C ∩ B) 2. CEB ∩ CEC 3. CEB∪C 4. CEB∩C 5. CEB ∪ CEC Propri´ et´ es 1.2.6. Soient E un ensemble non-vide et B et C deux sous-ensembles de E. On a 1. CEB∪C = CEB ∩ CEC 2. CEB∩C = CEB ∪ CEC . ¥

1 En effet regardons l’exemple suivant : Soient A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}, B = {−2, 1, 2, 3} et C = {−4, 1, 2, 5, 7}. L’´ecriture A ∪ B ∩ C aura diff´erentes lectures qui donnerait des r´esultats diff´erents.

1. Si on lit l’expression A ∪ B ∩ C comme ¸ca (A ∪ B) ∩ C alors on a (A ∪ B) ∩ C = {1, 2}, 2. et si la lecture se fait de cette mani`ere A ∪ (B ∩ C), on alors A ∪ (B ∩ C) = A. Il est clair que A ∪ (B ∩ C) 6= (A ∪ B) ∩ C

Chapitre 2

Fonctions d’une variable r´ eelle 2.1

Applications

D´ efinition 2.1.1 (Application). Soient E et F deux ensembles quelconques non-vides.

– Une application f allant de E vers F est une correspondance entre les ´el´ements de E et les ´el´ements de F telle que ` a chaque ´el´ement de E on fait correspondre au plus1 un seul ´el´ement de F .

– L’ensemble E est dit l’ensemble de d´ epart. F est dit l’ensemble d’arriv´ ee.

– Si x ∈ E et y ∈ F tels que f (x) = y, alors x est dit un ant´ ec´ edent de y, et y est dite l’image de x par f . f E

g E

F

F

Fig. 2.1 – f est une application et g n’est pas une application

Exemple 2.1.2.

1. Soient E = R et F = Z on d´efinit par f la ”correspondance“ E(x) (la partie enti`ere de x). E(x) est une application car E(x) est un seul ´el´ement pour tout 1

Ce qu’on veut dire par l` a c’est que un ´el´ement de E peut avoir soit une image par f ou ne pas avoir d’image du tout.

3

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

4

x ∈ R. Remarquer que tous les ´el´ements de [0, 1[ ont la mˆeme image 0, pourtant ceci ne d´erange pas le fait que E(·) soit une application.

2. Regardons la fonction f (x) = |x|. On veut montrer que la d´eriv´ee de cette fonction n’est pas une application. On sait que ½ x quand x ≥ 0, f (x) −x quand x ≤ 0.

Alors on a

½ f 0 (x)

1 quand x ≥ 0, −1 quand x ≤ 0.

On remarque que f 0 (0) = {−1, 1}. Donc f ’(x) n’est pas une application.

D´ efinition 2.1.3 (Compos´ee de deux applications). Soient f une application de E dans F1 et g une application de F2 dans G. Si F1 ⊂ F2 , l’application x 7−→ g(f (x)) d´efinie sur E ` a valeurs dans G est appel´ee compos´ee des applications g et f , on la note g ◦ f .

E

f

F1 c F2

g

G

go f Exemple 2.1.4.

1. Soient les deux applications : f : R −→ R+ g : R −→ R et x 7−→ x2 x 7−→ 1 − x la compos´ee de g et f est donn´ee par : h = gof : R −→ R x 7−→ g(f (x)) = g(x2 ) = 1 − x2 2. Soient les deux applications : + f : R −→ R+ g : R− −→ R √ et x 7−→ x2 x 7−→ −x

Ici, le domaine d’arriv´ee de f est R+ . Or le domaine de d´epart de g est R− . La fonction g ◦ f n’a donc pas de sens ici (puisque R+ 6⊂ R− ).

Remarque 2.1.5.

– La composition de fonctions n’est g´en´eralement pas commutative : f ◦ g 6= g ◦ f .

– La composition de fonctions est associative : f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.

D´ efinition 2.1.6 (Injective, surjective, bijective). Soient E et F deux ensembles quelconques et f : E −→ F une application.

2.1. APPLICATIONS

5

i) L’application f est injective si et seulement si f (x1 ) = f (x2 ) alors x1 = x2 ii) L’application f est surjective si et seulement si f (E) = F iii) L’application f est bijective si est seulement si elle est ` a la fois surjective et injective.

E

f

F

(a) Application injective

E

g

F

(b) Application surjective

E

h

F

(c) Application bijective

Remarque 2.1.7.

1. i) est ´equivalente au fait que chaque ´el´ement dans F a au plus un ant´ec´edent dans E. Elle est aussi ´equivalente ` a si x1 6= x2 alors f (x1 ) 6= f (x2 ).

2. ii) est ´equivalente au fait que tout ´el´ement de F a au moins un ant´ec´edent dans E (c’est-` a-dire ∀ y ∈ F, ∃ x ∈ E tel que f (x) = y).

3. iii) de la d´efinition est ´equivalente au fait que tout ´el´ement de F a un unique ant´ec´edent dans E (c’est-` a-dire ∀ y ∈ F, ∃! x ∈ E tel que f (x) = y).

D´ efinition 2.1.8 (Application r´eciproque). Soit f une application bijective de E dans F , on appelle application r´eciproque de f not´ee f −1 l’application de F dans E qui ` a tout ´el´ement y de F associ´e un unique ant´ec´edent x de E par f .

Remarque 2.1.9. a- f −1 ◦ f (x) = x, ∀ x ∈ E. b- f ◦ f −1 (y) = y, ∀ y ∈ F .

Exemple 2.1.10 (Application injective). Soient E =]0, 1], F = [0, 2] et f (x) = x2 . On sait alors que f est injective car si f (x) = f (y) alors on a x2 = y 2 (x − y)(x + y) = 0 donc x − y = 0, car x + y > 0 puisque x, y ∈]0, 1]. Remarquer que si on prend un autre ensemble de d´epart E = [−1, 1] par exemple, le raisonnement qui pr´ec`ede ne tient plus et on a de plus que f (1) = f (−1) = 1. On conclut que le fait qu’une application soit injective ou non d´epend aussi de l’ensemble de d´epart.

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

6

Exemple 2.1.11 (Application surjective). Soient E = [−1, 1], F = [−1, 1] et f (x) = x3 . Il est tr`es facile de voir ici que f (E) = F donc f est surjective. Remarquer que si on change l’ensemble d’arriv´ee F en le mettant plus grand (au sens de l’inclusion) f n’est plus surjective.

Exercice 2.1.12 (Application bijective). Soient E = R, F = R+,∗ et f (x) = ex . Montrer que f est bijective et d´eterminer l’application r´eciproque f −1 .

2.2 2.2.1

Fonctions : d´ efinitions et propri´ et´ es D´ efinitions

D´ efinition 2.2.1 (Fonctions, Domaine de d´efinition, Courbe).

– Une fonction est une application num´erique.

– Le domaine de d´efinition d’une fonction f donn´ee, not´e par Df est l’ensemble dans lequel la fonction est bien d´efinie : c’est-` a-dire si x ∈ Df alors f (x) existe (ou a un 2 sens) – La courbe (ou graphe) de la fonction f dans un rep`ere orthonorm´e, not´ee par Cf , est l’ensemble suivant Cf = {(x, y) ∈ Df × R tel que y = f (x)}.

Exemple 2.2.2. Consid´erons les fonctions suivantes.

1. Soit f (x) = 1/x. Df = R∗ . √ 2. Soit g(x) = x. Dg = R+ .

3. Soit h(x) = ln(x). Dh = R+,∗ .

4. Soit z(x) = ln( √1x ). Donner Dz ?

3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Fig. 2.2 – Courbe de la fonction x 7−→

2

9

10

√ x

Il est ` a noter que comme dans le langage courant la composition des mots dans √ une phrase s’il ne respectent pas un ordre pr´ecis n’auraient aucun sens. Ainsi pour les math´ematiques 1/0, −3, n’ont aucun sens..

´ ´ ES ´ 2.2. FONCTIONS : DEFINITIONS ET PROPRIET

7

Remarque 2.2.3. Soit h = g ◦ f : E ⊂ R −→ G ⊂ R la fonction compos´ee des fonctions g et f . Le domaine de d´efinition de h est d´efini par : Dg◦f = {x ∈ E / x ∈ Df etf (x) ∈ Dg }.

Exemple 2.2.4. On consid`ere les deux fonctions : f : R −→ R x 7−→

g : R −→ R

et 1 x−2

On calcule facilement la fonction compos´ee g ◦ f : µ g ◦ f (x) = g(f (x)) = g

x 7−→

1 x−2

2x + 1 x−1

¶ , ∀ x 6= 2

1 +1 x x−2 = , ∀ x 6= 3, 1 3−x −1 x−2

2 =

et son domaine de d´efinition Dg◦f

= {x ∈ R / x ∈ Df et f (x) ∈ Dg } 1 6= 1} x−2 = {x ∈ R / x 6= 2 et x 6= 3}

= {x ∈ R / x 6= 2 et

= R \ {2, 3}.

2.2.2

Parit´ e et sym´ etrie

D´ efinition 2.2.5 (Fonction paire). Soit f : Df 7→ R une fonction telle que i) si x ∈ Df alors −x ∈ Df , ii) on a f (x) = f (−x), Alors f est dite fonction paire.

Remarque 2.2.6. Une fonction paire est une fonction qui est sym´etrique par rapport ` a l’axe des ordonn´ees.

Il est ` a noter que la raison principale de l’´etude de la parit´e est le fait que l’on se restreint sur la partie positive (ou n´egative) de Df quand on ´etudie la fonction f .

Exemple 2.2.7. Les fonctions suivantes sont des fonctions paires.

1. Soit f (x) = 1/x2 . Df = R∗ . √ 2. Soit g(x) = x4 + 2x2 + 1. Dg = R. 3. Soit h(x) = ln(|x|). Dh = R∗ .

D´ efinition 2.2.8 (Fonction impaire). Soit f : Df 7→ R une fonction telle que i) si x ∈ Df alors −x ∈ Df , ii) on a f (−x) = −f (x), Alors f est dite fonction impaire.

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

8

Remarque 2.2.9. Une fonction impaire est une fonction qui est sym´etrique par rapport ` a l’origine.

Exercice 2.2.10. Montrer que : – les fonctions suivantes sont impaires.

1. Soit f (x) = 1/x3 . Df = R∗ .

2. Soit g(x) = x3 + 2x. Dg = R. 3. Soit h(x) = sin(x3 + 2x). Dh = R. – Une fonction paire n’est pas une fonction injective.

– Peut on dire qu’une fonction impaire est injective3 ?

– Si f (x) est paire et que g(x) est paire alors f (g(x)) est paire. Que dire si f est paire (resp. impaire) et que g est impaire (resp. paire) ?

Th´ eor` eme 2.2.11. Soient f une fonction d´efinie sur Df , et a un r´eel quelconque, tels que Df est sym´etrique par rapport au point a.

– Si pour tout x ∈ Df on a f (a − x) = f (a + x), alors Cf est sym´etrique par rapport ` a l’axe x = a.

– Si pour tout x ∈ Df on a f (a − x) + f (a + x) = b, 2 alors la courbe Cf est sym´etrique par rapport au point M (a, b).

Exemple 2.2.12. Soit f (x) = (x − 1)2 . On veut montrer que Cf est sym´etrique par rapport ` a l’axe x = 1. Il est facile de voir que Df = R, donc Df est sym´etrique par rapport ` a 1. On a ¡ ¢2 f (1 − x) = (1 − x) − 1 =(−x)2 = x2 . de mˆeme

¡ ¢2 f (1 + x) = (1 + x) − 1 =x2 .

Donc on a montr´e que f (1 + x) = f (1 − x).

Exemple 2.2.13. Soit f (x) = (x − 1)3 . On veut montrer que Cf est sym´etrique par rapport au point M (1, 0). Df = R, donc Df est sym´etrique par rapport ` a 1. On a ¡ ¢3 f (1 − x) = (1 − x) − 1 =(−x)3 = −x3 .

3

Indication : Regarder la fonction

  −1 0 f (x)  1

si x < 0 si x=0 si x > 0

´ ´ ES ´ 2.2. FONCTIONS : DEFINITIONS ET PROPRIET

9

100 90 80 70 60 50 x=1 40 30 20 10 0

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Fig. 2.3 – La courbe de x −→ (x − 1)2

de mˆeme

¡ ¢3 f (1 + x) = (1 + x) − 1 =x3 .

Donc on a montr´e que f (1 + x) + f (1 − x) −x3 + x3 = = 0.

2 2

1000 800 600 400 200

M(1,0)

0 −200 −400 −600 −800 −1000

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Fig. 2.4 – La courbe de x −→ (x − 1)3

2.2.3

Monotonie

D´ efinition 2.2.14. Soit une fonction f : I 7→ R o` u I ⊂ Df est un intervalle donn´e. i) On dit que f est croissante dans I si pour tout x, y ∈ I tels que x ≤ y on a f (x) ≤ f (y).

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

10

ii) On dit que f est d´ ecroissante4 dans I si pour tout x, y ∈ I tels que x ≤ y on a f (y) ≤ f (x).

Remarque 2.2.15. La croissance ou la d´ecroissance d’une fonction est une propri´et´e locale en g´en´eral. En effet une fonction donn´ee peut ˆetre croissante sur un intervalle I et d´ecroissante sur un autre intervalle J. Pour s’en convaincre facilement regardons l’exemple suivant : f (x) = |x|, cette fonction est d´ecroissante sur R− mais croissante sur R+ .

Exemple 2.2.16. Soit f (x) = x3 . On a Df = R, et on veut monter que f est croissante sur Df . En effet, soient x, y ∈ Df tel que x ≤ y. Calculons le signe f(x)-f(y) On a f (x) − f (y) = x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 ) 1 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 + y 2 ) 4 4 1 2 3 2 = (x − y)((x + y) + y ) ≤ 0.

2 4 On a donc montr´e que si x, y ∈ Df tel que x ≤ y alors f (x) ≤ f (y). Par cons´equence f est croissante

2.2.4

P´ eriodicit´ e

D´ efinition 2.2.17 (Fonction p´eriodique). Une fonction f : E ⊂ R −→ R est p´eriodique, s’il existe un nombre T non nul (T 6= 0) tel que f (x + T ) = f (x), ∀ x ∈ E. Exemple 2.2.18. On consid`ere la fonction cosinus : cos : R −→ [−1, 1] x 7−→ cos(x) La fonction cosinus est p´eriodique de p´eriode 2π.

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

2π

−0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

−10

−5

0

5

10

Fig. 2.5 – La courbe de x −→ cos(x)

4

Comme d´efinition ´equivalente, on peut dire que f est d´ecroissante sur I ssi −f est croissante sur I.

´ ´ ES ´ 2.2. FONCTIONS : DEFINITIONS ET PROPRIET

11

Exercice 2.2.19. Soit f : R −→ R une fonction p´eriodique de p´eriode T .

– Montrer que f (x + kT ) = f (x), ∀ x ∈ E, k ∈ Z. – Montrer que f n’est pas injective.

2.2.5

Convexit´ e / Concavit´ e

f (x)

Cf

d f (c) f (y) x

c

y

c = λx + (1 − λ)y d = λf (x) + (1 − λ)f (y)

Fig. 2.6 – Fonction convexe

f (x)

f (c)

Cf

d f (y)

x

c

y

c = λx + (1 − λ)y d = λf (x) + (1 − λ)f (y)

Fig. 2.7 – Fonction concave

D´ efinition 2.2.20. Soit une fonction f : I 7−→ R o` u I ⊂ Df est un intervalle donn´e.

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

12

i) On dit que f est convexe5 dans I si pour tout x, y ∈ I et λ ∈ [0, 1] on a ¡ ¢ f λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y). ii) On dit que f est concave6 dans I si pour tout x, y ∈ I et λ ∈ [0, 1] on a ¡ ¢ f λx + (1 − λ)y ≥ λf (x) + (1 − λ)f (y).

Remarque 2.2.21. Il est important de noter que la convexit´e / concavit´e d’une fonction est un caract`ere locale. En effet une fonction peut ˆetre convexe sur un intervalle et concave sur un autre. Pour s’en convaincre regarder la fonction x3 qui concave sur R− et convexe sur R+ .

Exemple 2.2.22. La fonction f (x) = x2 est convexe sur R. En effet, soient x, y ∈ R et λ ∈ [0, 1]. Il suffit de montrer que ¡ ¢ ¡ ¢ f λx + (1 − λ)y − λf (x) + (1 − λ)f (y) ≤ 0.

On a ¡ ¢ ¡ ¢ f λx + (1 − λ)y − λf (x) + (1 − λ)f (y) = λ2 x2 + (1 − λ)2 y 2 + 2λ(1 − λ)xy − λx2 − (1 − λ)2 y 2 = (λ2 − λ)x2 + (λ2 − λ)y 2 + 2λ(1 − λ)xy = λ(1 − λ)(−x2 − y 2 + 2xy) = −λ(1 − λ)(x + y)2 ≤ 0.

2.3 2.3.1

Limites et D´ eriv´ ees Limites

D´ efinition 2.3.1. Soient ` et a deux r´eels et f une fonction d´efinie sur Df . On dit que la limite de f quand x tend vers a est `, que l’on note comme suit lim f (x) = `,

x→a

si lorsque x s’approche de a f (x) s’approche de `.

Remarque 2.3.2.

1. On peut avoir a = ±∞ et ` = ±∞.

2. Il est important de noter que pour que l’expression lim f (x) = ` ait un sens, il n’est x→a pas n´ecessaire que a ∈ Df .

5

De mani`ere tr`es formelle on peut dire qu’une fonction est convexe sur un intervalle I si ` a chaque fois qu’une droite coupe son graphe en deux points sur I on aura que la droite est en bas du graphe dans la zone d’intersection..

6 Comme d´efinition ´equivalente, on peut dire que f est concave sur I si et seulement si −f est convexe sur I.

´ ´ 2.3. LIMITES ET DERIV EES

13

D´ efinition 2.3.3.

– On dit que la limite ` a droite de f quand x tend vers a est `, que l’on note comme suit lim f (x) = `, x→a+

si lorsque x s’approche de a avec x > a, f (x) s’approche de `.

– On dit que la limite ` a gauche de f quand x tend vers a est `, que l’on note comme suit lim f (x) = `,

x→a−

si lorsque x s’approche de a avec x < a, f (x) s’approche de `.

Exemple 2.3.4.

1. Soit la fonction f d´efinie comme suit f (x) =

x2 −1 x−1 .

x2 − 1 (x − 1)(x + 1) = lim x→1 x − 1 x→1 x−1 lim

On a : = lim (x + 1) = 2. x→1

2. Soit f : R −→ R la fonction d´efinie par g(x) = x1 . On a : lim g(x) = +∞ et lim g(x) = −∞.

x→0+

x→0−

Th´ eor` eme 2.3.5. f admet une limite ` en a si et seulement si lim f (x) = lim f (x) = `. x→a+

x→a−

Propri´ et´ es 2.3.6. Soient a, b deux r´eels, et f , g et h des fonctions.

– Asymptotes : Si on a lim f (x) − (ax + b) = 0, x→±∞

alors la droite d’´equation y = ax + b est une asymptote ` a la courbe Cf en ±∞.

– Gendarmes : Soit I un intervalle de R . Si 1. pour tout x ∈ I \ {a} on a g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), 2. et lim g(x) = lim h(x) = b, x→a

x→a

alors on a lim f (x) = b.

x→a

– Gendarmes en +∞ : Si f et g sont d´efinies sur un intervalle I du type [a, +∞[ et 1. pour tout x ∈ I on ait g(x) ≤ f (x), 2.

lim g(x) = +∞,

x→+∞

alors lim f (x) = +∞.

x→+∞

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

14

Exemple 2.3.7. On consid`ere la fonction : f : R+ −→ R 1 + x. x On a lim f (x) − x = 0, par cons´equent la droite d’´equation y = x est une asymptote ` a Cf x→+∞ en +∞. x 7−→

20 18 16 14 12 10 8 6 4

y=x

2 0

0

1

2

3

4

5

sin(x) . Montrer que lim f (x) = 07 x→±∞ x Propri´ et´ es 2.3.9 (Op´erations sur les limites). Soient deux fonctions f (x) et g(x) deux fonctions admettant comme limite respectivement `1 et `2 (ou ±∞) quand x tend vers a, +∞ ou −∞, on a alors 1. Addition Exercice 2.3.8. Soit f (x) =

f (x)

`1

`1

+∞

−∞

+∞

g(x)

`2

∞

−∞

−∞

+∞

f (x) + g(x)

`1 + `2

∞

ind´ etermin´ ee

−∞

+∞

2. Multiplication

7

f (x)

`1

`1 6= 0

0

∞

g(x)

`2

∞

∞

∞

f (x) × g(x)

`1 × `2

∞

ind´ etermin´ ee

∞

Indication : utiliser la propri´et´e des gendarmes.

´ ´ 2.3. LIMITES ET DERIV EES

15

3. Division

f (x)

`1

`1

`1 6= 0

∞

0

∞

g(x)

`2 6= 0

∞

0

`2

0

∞

f (x)/g(x)

`1 /`2

0

∞

∞

ind´ etermin´ ee

ind´ etermin´ ee

Formes ind´ etermin´ ees Les formes ind´etermin´ees sont les formes pour lesquelles on ne 0 ∞ peut pas conclure imm´ediatement. Il s’agit de (+∞) + (−∞), 0 × ∞, , et 1+∞ . Pour 0 ∞ chacune de ces situations il faut lever l’ind´etermination.

Exemple 2.3.10. x3 − 2x2 − 1 x3 (1 − 2/x − 1/x3 ) = lim = 1/2. x→+∞ x→+∞ 2x3 + 2 x3 (1 + 2/x3 ) lim

Remarque 2.3.11. Un ploynˆ ome se comporte comme son terme de plus haut degr´e quand x tend vers l’infini : 1. Soit P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn un polynˆ ome de degr´e n. On a alors lim P (x) = x→∞ n lim an x . x→∞

2. Soient P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn et Q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm deux polynˆ omes de degr´e respectivement n et m on alors P (x) an bn = lim x→∞ Q(x) x→∞ bm xm lim

Exemple 2.3.12.

– x2 + x − 2 (x − 1)(x + 2) x+2 = lim = lim = 3/5.

2 x→1 x + 3x − 4 x→1 (x − 1)(x + 4) x→1 x + 4 lim

– √ √ x2 + x − 2 (x2 + x − 2)( x + 1) (x − 1)(x + 2)( x + 1) √ √ = lim √ = lim = 6. x→1 x→1 ( x − 1)( x + 1) x→1 x−1 x−1 lim

2.3.2

Continuit´ e

D´ efinition 2.3.13. (Continuit´e) Soit une fonction f d´efinie sur Df .

1. On a dit que f est continue en un point a ∈ Df si lim f (x) = f (a).

x→a

Si de plus f est continue en tout point de Df alors on dit simplement que f est continue.

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

16

2. On dit que f est discontinue en asi f n’est pas continue en a.

Th´ eor` eme 2.3.14. f est continue en un point a si est seulement si lim f (x) = lim f (x) = x→a+

f (a).

x→a−

a

(a) Fonction continue

Exemple 2.3.15.

(b) Fonction discontinue en a

– Soit f la fonction d´efinie par f : R −→ R   x + 1 si x < 1 3/2 si x = 1 x 7−→  2 − x si x > 1

f est discontinue en 1.

– Soit g la fonction d´efinie par g : R −→ R ½ x si x ≤ 1 x 7−→ 2 − x si x > 1 g est continue en 1 ( lim g(x) = lim g(x) = 1 = g(1)). x→1+

x→1−

2

1

1.5

0.5

1

0

0.5

−0.5

0

−1

−0.5

−1.5

−1

−2

−1.5

−2.5

−2

−3

−2.5

−3.5

−3 −4

−3

−2

−1

0

(c) Cf

1

2

3

4

−4 −4

−3

−2

−1

0

(d) Cg

1

2

3

4

´ ´ 2.3. LIMITES ET DERIV EES

17

Remarque 2.3.16. La plupart des fonctions usuelles sont continues sur leurs domaines de d´efinition : les polynˆ omes, les fonctions racines (n’i`emes), les sin et cos.

La compos´ee, le produit, la somme, la diff´erence, les fractions faites par des fonctions continues sont continues sur le domaine de d´efinition de la fonction r´esultante8 de ces op´erations.

Th´ eor` eme 2.3.17. (Th´eor`eme de valeurs interm´ediaires T.V.I) 1. Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I, 2. Soient a < b tels que a et b appartiennent ` a I. Pour tout r´eel k compris entre f (a) et f(b) il existe un c ∈ [a, b] tel que f (c) = k.

Si de plus la fonction f est strictement monotone alors on sait qu’il existe un unique c ∈ [a, b] tel que f (c) = k.

Cas particulier : si f est continue sur [a, b] et si f (a) · f (b) < 0. Alors ∃c ∈]a, b[ tel que f (c) = 0.

Th´ eor` eme 2.3.18 (Th´eor`eme de Weierstrass). Soit f une fonction continue sur [a, b] ⊂ R, alors i) f est born´ee sur [a, b] : ∃ A ≥ 0 tel que |f (x)| ≤ A ∀ x ∈ [a, b]. ii) f atteint ses bornes : – ∃β ∈ [a, b] tel que M = sup f (x) = f (β), x∈[a,b]

– ∃α ∈ [a, b] tel que m = inf f (x) = f (α). x∈[a,b]

2.3.3

D´ eriv´ ee

D´ efinition 2.3.19 (D´eriv´ee). Soient f une fonction d´efinie sur un intervalle ouvert I et a ∈ I. – On dit que f est d´erivable en a si f 0 (a) = lim

x→a

f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim h→0 x−a h

existe et finie.

– On dit que f est d´erivable ` a droite en a si fd0 (a) = lim

x→a+

f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim + x−a h h→0

existe et finie.

8

Ce qu’on veut dire par l` a c’est que si f est continue et g et continue alors f.g est continue sur D(f.g) de mˆeme pour f /g qui est continue sur D(f /g) et non Df ∩ Dg.

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

18

– On dit que f est d´erivable ` a gauche en a si fg0 (a) = lim

x→a−

f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim x−a h h→0−

existe et finie.

Th´ eor` eme 2.3.20. f est d´erivable en a si et seulement si f est d´erivable ` a droite et ` a gauche et fd0 (a) = fg0 (a).

Th´ eor` eme 2.3.21. Si f est d´erivable en a alors f est continue en a.

Remarque 2.3.22. La r´eciproque de ce th´eor`eme est fausse en g´en´erale.

Exemple 2.3.23. Soit la fonction f (x) = |x|. f est continue en 0 et (0) x – fd0 (0) = lim f (x)−f = lim |x| x−0 x = lim x = 1 –

fd0 (0)

=

x→0+

x→0+

(0) lim f (x)−f x−0 x→0−

lim |x| x→0− x

=

x→0+

−x x→0− x

= lim

= −1

fd0 (0) 6= fg0 (0), donc f n’est pas d´erivable en 0.

5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 −5

0

5

Interpr´ etation g´ eom´ etrique de la d´ eriv´ ee Si f est d´erivable en un point a alors f 0 (a) d´esigne la pente ou le coefficient directeur de la tangente `a la courbe de f (Cf ) au point d’abscisse a. L’´equation de la tangente `a Cf au point d’abscisse a est y = f 0 (a)(x − a) + f (a).

Cas particuliers 1. Si f 0 (a) = 0 alors Cf admet une tangente horizontale au point a.

2. Si lim

x→a

f (x)−f (a) x−a

= ±∞ alors Cf admet une tangente verticale au point a.

Remarque 2.3.24. Si f 0 d(a) 6= f 0 g(a) alors la demi-tangente ` a droite est diff´erente de la demi-tangente ` a gauche au point a, on dit alors que Cf admet un point anguleux au point a (voir par exemple la courbe pr´ec´edente)

´ ´ 2.3. LIMITES ET DERIV EES

19

Op´ erations sur les d´ eriv´ ees Somme Si f et g sont d´erivables en a. Alors f + g est d´erivable en a et (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a).

Multiplication par un scalaire Si f est d´erivable en a. Alors ∀ α ∈ R, (αf ) est d´erivable en a et (αf )0 (a) = αf 0 (a).

Produit Si f et g sont d´erivables en a. Alors f g est d´erivable en a et (f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a). µ ¶0 f f Division Si f et g sont d´erivables en a et g(a) 6= 0. Alors est d´erivable en a et (a) = g g 0 0 f (a)g(a) − f (a)g (a) . g(a)2 Compos´ ee Si f est d´erivable en a et si g est d´erivable en f (a). Alors g ◦ f est d´erivable en a et (g ◦ f )0 (a) = g 0 (f (a)) × f 0 (a).

R´ eciproque Soient f : I −→ J une fonction bijective. Si f est d´erivable en x et f 0 (x) 6= 0.

Alors f −1 est d´erivable en y = f (x) et (f −1 )0 (y) = [f 0 (x)]−1 = [f 0 (f −1 (y))]−1 Puissance Si f est d´erivable en a. Alors ∀ n ∈ IN∗ , f n est d´erivable en a et (f n )0 (a) = nf n−1 (a) × f 0 (a). f (x) α (α ∈ R) ax + b (a, b ∈ R) xn (n ∈ IN∗ ) 1 x √ x

[0, +∞[

ln x

]0, +∞[

xα

ex (α ∈ R∗ ) sin x cos x tan x

Df R R R R∗

R ]0, +∞[ R R R \ {π/2 + kπ / k ∈ Z}

arctan(x)

R

f 0 (x) 0 a nxn−1 1 − 2 x 1 √ 2 x 1 x ex αxα−1 cos x − sin x 1 + tan2 (x) 1 1 + x2

Df 0 R R R R∗ ]0, +∞[ ]0, +∞[ R ]0, +∞[ R R Dtan R

Tab. 2.1 – Tableau des d´eriv´ees usuelles

2.3.4

D´ eriv´ ees successives

D´ efinition 2.3.25. Soit f une fonction d´erivable en un point a 1. Si f 0 est d´erivable en a. On dit alors que f est deux fois d´erivable en a ou que f admet une d´eriv´ee seconde en a. On la note f 00 (a).

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

20

2. Si f 00 est d´erivable en a. On dit alors que f est trois fois d´erivable en a. On la note f (3) (a).

3. Si f (n) est d´erivable en a. On dit alors que f est n + 1 fois d´erivable en a. On la note f (n+1) (a).

4. Si f est n fois d´erivable sur un intervalle I et si f (n) est continue sur I. On dit alors que f est de classe C n sur I. 5. On dit que f est de classe C ∞ sur I, si f est ind´efiniment d´erivable sur I. Exemple 2.3.26. f (x) = 5x3 − 3x2 + 7x − 22, Df = R. Pour tout x ∈ R, on a : f 0 (x)

= 15x2 − 6x + 7

f 00 (x)

= 30x − 6

f (3 )(x) = 30 f (n) (x) = 0, ∀n ≥ 4

2.3.5

Th´ eor` emes importants

Th´ eor` eme 2.3.27 (Th´eor`eme de Rolle). Si f est continue sur [a, b] et d´erivable sur ]a, b[ telle que f (a) = f (b) alors ∃ c ∈]a, b[ telle que f 0 (c) = 0.

Remarque 2.3.28. L’hypoth`ese de la d´erivabilit´e sur ]a, b[ est n´ecessaire pour appliquer le th´eor`eme de Rolle.

Exemple 2.3.29. f (x) = |x| est continue sur [−1, 1] et f (−1) = f (1) = 1. Pourtant f 0 ne s’annule pas sur ]−1, 1[. On n’a pas pu appliquer le th´eor`eme de Rolle car f n’est pas d´erivable sur ] − 1, 1[ (f n’est pas d´erivable en 0).

Th´ eor` eme 2.3.30 (Th´eor`eme des accroissements finis (T.A.F)). Si f est continue sur [a, b] et d´erivable sur ]a, b[ alors ∃ c ∈]a, b[ telle que f 0 (c) =

f (b) − f (a) b−a

´ ´ 2.3. LIMITES ET DERIV EES

21

Remarque 2.3.31. Le th´eor`eme de Rolle est un cas particulier du th´eor`eme des accroissements finis.

Th´ eor` eme 2.3.32. Soit f une fonction d´erivable sur un intervalle I 1. Si f 0 (a) ≥ 0, ∀ a ∈ I. Alors f est croissante sur I. 2. Si f 0 (a) ≤ 0, ∀ a ∈ I. Alors f est d´ecroissante sur I. 3. Si f 0 (a) > 0, ∀ a ∈ I. Alors f est strictement croissante sur I. 4. Si f 0 (a) < 0, ∀ a ∈ I. Alors f est strictement d´ecroissante sur I. 5. Si f 0 (a) = 0, ∀ a ∈ I. Alors f est constante sur I. Th´ eor` eme 2.3.33 (de la bijection). Soit f : I → R, si f est continue et strictement monotone sur I. Alors f est bijective sur f (I).

Th´ eor` eme 2.3.34. Soit f deux fois d´erivable sur un intervalle I. 1. Si f 00 (x) ≥ 0, ∀ x ∈ I. Alors f est convexe sur I. 2. Si f 00 (x) ≥ 0, ∀ x ∈ I. Alors f est concave sur I. Exemple 2.3.35.

1. f (x) = x2 est convexe sur R. 2. g(x) = x3 est convexe sur [0, +∞[ et concave sur ] − ∞, 0].

R` egle de l’Hˆ opital Si f et g sont deux fonctions continues sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[ avec f (a) = g(a) = 0 0 (x) (x) = ` alors lim fg(x) = `. alors si lim fg0 (x) x→a

x→a

Remarque 2.3.36. La r`egle de l’Hˆ opital est un outil tr`es puissant pour calculer les limites dans le cas des formes ind´etermin´ees (voir les exemples ci-dessous).

Exemple 2.3.37. ex −x−1 . x→0 x sin x

1. lim

On pose f (x) = ex − x − 1 et g(x) = x sin x, on a :

– lim f (x) = 0 et lim g(x) = 0 x→0

x→0

– f 0 (x) = ex − 1, g 0 (x) = sin x + x cos x, lim f 0 (x) = 0 et lim g 0 (x) = 0 x→0

x→0

– f 00 (x) = ex , g 0 (x) = 2 cos x − x sin x, lim f 00 (x) = 1 et lim g 00 (x) = 2. x→0

D’apr`es la r`egle de l’Hˆ opital, on obtient :

x→0

ex − x − 1 f (x) f 0 (x) f 00 (x) = lim = lim 0 = lim 00 = 1/2. x→0 x→0 g(x) x→0 g (x) x→0 g (x) x sin x lim

p lim x − x2 − x =

2.

x→+∞

=

lim

1−

x→+∞

lim

h→0

√1 2 1−h

1

p √ 1 − 1/x 1− 1−h = lim (h = 1/x) h→0 1/x h = 1/2

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

22

2.4

Branches infinies

1. Si lim f (x) = ∞, alors la droite d’´equation x = a est une asymptote verticale `a la x→a courbe Cf .

x=a

Cf

a

Exemple : la droite d’´equation x = 0 est une asymptote verticale `a la courbe de f (x) = 1/x.

2. Si lim f (x) = a, alors la droite d’´equation y = a est une asymptote horizontale `a Cf . x→∞

a

y=a Cf

Exemple : la droite d’´equation y = 0 est une asymptote horizontale `a la courbe de f (x) = 1/x. f (x) 3. Si lim = ∞, on calcule lim x→∞ x→∞ x

2.5. FONCTIONS USUELLES

23

f (x) = ∞, alors Cf admet une branche parabolique de direction asymptox→∞ x tique l’axe des ordonn´ees (x = 0).

Exemple : f (x) = x2 . Cf admet une branche parabolique, la direction asymptotique ´etant celle de l’axe des ordonn´ees. f (x) ii) Si lim = a et si lim (f (x)−ax) = ∞, alors Cf admet une branche parabolique x→∞ x x→∞ de direction asymptotique la droite d’´equation y = ax. (Si a = 0, cette direction asymptotique est celle de la droite d’´equation y = 0). √ Exemples :a) f (x) = x, Df = R+ . Cf admet une branche parabolique, la direction asymptotique ´etant celle de l’axe des abscisses. √ b) g(x) = x + x + 1, Dg = [−1, +∞[. Cg admet une branche parabolique, la direction asymptotique ´etant celle de la droite d’´equationy = x. i) Si lim

iii) Si lim (f (x) − ax) = b, alors la droite d’´equation y = ax + b est une asymptote x→∞ oblique `a Cf . x2 + x − 1 Exemple : f (x) = , Df = R \ {1}. la droite d’´equation y = x + 2 est x−1 une asymptote `a la courbe repr´esentant f .

2.5

Fonctions usuelles

2.5.1

Rappels sur la fonction logarithme n´ ep´ erien

D´ efinition 2.5.1. ln est la primitive de la fonction x 7−→ 1.

Propri´ et´ es 2.5.2.

1. Dln =]0, +∞[ 2. ln0 (x) = 1/x, ∀ x ∈]0, +∞[ 3. ∀ a, b > 0, ln(ab) = ln(a) + ln(b) 4. ∀ a > 0, ln( a1 ) = − ln a 5. ∀ a, b > 0, ln( ab ) = ln(a) − ln(b) 6. ∀ a > 0, ∀ n ∈ IN∗ , ln(an ) = n ln(a) Limites remarquables : 1.

lim ln(x) = +∞

x→+∞

2. lim ln(x) = −∞ x→0

ln(x) = 0, ∀ α > 0 x→+∞ xα 4. lim xα ln(x) = 0, ∀ α > 0 3.

lim

x→0

ln(1 + x) = 1. x→0 x

5. lim

1 x

sur ]0, +∞[ qui s’annule au point

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

24

Tableau de variation de ln(x)

x

0

1

f 0 (x)

e

+∞

+ +∞

f (x)

1 0 −∞

Fig. 2.8 – Courbe de x 7−→ ln(x)

Remarque 2.5.3. La fonction ln(x) est continue et strictement croissante de ]0, +∞[ sur R. Donc d’apr`es le th´eor`eme de la bijection ln est bijective de ]0, +∞[ sur R et son application r´eciproque est la fonction exponentielle exp(x) (ou ex , voir la sous-section suivante).

2.5.2

Rappels sur la fonction exponentielle

D´ efinition 2.5.4. On appelle fonction exponentielle la fonction r´eciproque de ln. Elle est not´ee exp : R −→ ]0, +∞[ x 7−→ ex .

Pour tout x ∈ R, ex est l’unique solution de ln(ex ) = x.

Propri´ et´ es 2.5.5.

2.5. FONCTIONS USUELLES

25

1. Dexp = R 2. exp0 (x) = exp(x), ∀ x ∈ R 3. ∀ x, y > 0, exp(x + y) = exp(x) × exp(y) 4. ∀ x ∈ R, exp(−x) = 1/ exp(x) 5. ∀ x, y ∈ R, exp(x − y) = exp(x)/ exp(y) 6. ∀ x ∈ R, ∀ n ∈ IN∗ , (exp x)n = exp(nx) 7. exp(0) = 1 (car ln 1 = 0) 8. exp(1) = e ≈ 2.7 Limites remarquables : 1.

2.

lim ex = +∞

x→+∞

lim ex = 0

x→−∞

ex = +∞, ∀ α > 0 x→+∞ xα ex − 1 4. lim = 1. x→0 x 3.

lim

Tableau de variation de exp(x)

x

−∞

0

f 0 (x)

1

+∞

+ +∞

f (x)

e 1 0

2.5.3

Logarithme et exponentielle de base a

D´ efinition 2.5.6.

1. Pour a > 0 on d´efinit la fonction logarithme de base a par loga :]0, +∞[ −→ ] − ∞, +∞[ x 7−→ loga x =

ln x ln a

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

26

Fig. 2.9 – Courbe de x 7−→ exp(x)

2. Pour a > 0 on d´efinit la fonction exponentielle de base a par expa :] − ∞, +∞[ −→ ]0, +∞[ x 7−→ expa x = ax = ex ln a Remarque 2.5.7. loga (x) est la fonction qui ` a x associe la puissance ` a laquelle il faut ´elever a pour trouver x, c’est-` a-dire que aloga (x) = x.

Exemple 2.5.8. Soient x = 5.2 et a = log1 0(x) = ln x/ ln 10 = 0.7160. On a alors x = 10a .

4 3 2 1 0 −1 −2 −3 ln log2

−4

log −5

2.6

10

0

2

4

6

8

10

12

Optimisation et extremum locaux d’une fonction

D´ efinition 2.6.1. Soient f : I −→ R, I est un intervalle de R et a ∈ Df . On dit que

2.6. OPTIMISATION ET EXTREMUM LOCAUX D’UNE FONCTION

27

1. f admet un maximum global en a si f (a) ≥ f (x), ∀ x ∈ I. 2. f admet un maximum local en a si f (a) ≥ f (x), ∀ x ∈ J ⊂ I (J un sous-intervalle ouvert de I contenant a).

3. f admet un minimum global en a si f (a) ≤ f (x), ∀ x ∈ I. 4. f admet un minimum local en a si f (a) ≤ f (x), ∀ x ∈ J ⊂ I (J un sous-intervalle ouvert de I contenant a).

5. Si f admet un minimum ou maximum local en a sur I, on dit que a est un extremum local pour f en I.

f(a)

f (a) ≥ f (x), ∀ x ∈ I

f(b)

f (b) ≥ f (x), ∀ x ∈ J

a

b

J I

Fig. 2.10 – f admet un maximum global en a et un maximum local en b

f (a) ≤ f (x), ∀ x ∈ I f (b) ≤ f (x), ∀ x ∈ J

J a

b f(b) f(a)

I

Fig. 2.11 – f admet un minimum global en a et un minimum local en b

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

28

Proposition 2.6.2. Si f admet un extremum local en a et si f est d´ erivable en a, alors f 0 (a) = 0

(C.N ).

– La condition (C.N) s’appelle condition n´ ecessaire d’optimalit´e ou condition de premier ordre d’optimalit´e.

– Un point v´erifiant la condition (C.N) s’appelle point stationnaire.

Remarque 2.6.3. La condition f 0 (a) = 0 est n´ecessaire mais n’est pas suffisante. Par exemple f (x) = x3 , 0 est un point stationnaire de f et f ne pr´esente ni minimum ni maximum en 0.

Proposition 2.6.4. Soient f : I −→ R deux fois d´erivable et a ∈ Df un point stationnaire de f (f 0 (a) = 0) 1. Si f 00 (a) > 0

(C.S)

alors f admet un minimum local en a.

2. Si f 00 (a) < 0

(C.S)

alors f admet un maximum local en a.

3. Si f 00 (a) = 0, on ne sait pas conclure.

4. La condition (C.S) s’appelle condition suffisante d’optimalit´e ou condition de second ordre d’optimalit´e.

Exemple 2.6.5. Soit f la fonction d´efinie sur R par f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 7. f admet un maximum local en a = 1 et un minimum local en b = 3.

En effet : 1. f 0 (a) = 0 et f 00 (a) = −6 < 0 2. f 0 (b) = 0 et f 00 (b) = 6 > 0.

Remarque 2.6.6. Cette propri´et´e sert, par exemple en ´economie, ` a optimiser la fonction b´en´efice li´ee ` a une production industrielle en cherchant le maximum de cette fonction (voir exercice 4, s´erie 2).

2.7 2.7.1

Primitives et int´ egrales Primitives

D´ efinition 2.7.1. Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I. On dit que F est une primitive de f sur I lorsqu’elle est d´erivable sur I et que F 0 (x) = f (x), ∀ x ∈ I. Notation : F (x) =

R

f (x) dx.

Propri´ et´ es 2.7.2. Si F est une primitive de f sur I, toutes les primitives de f sur I sont les fonctions F + C ( o` u C est une fonction constante sur I ; C = cte)

´ 2.7. PRIMITIVES ET INTEGRALES

29

Exemple 2.7.3.

1. f (x) = x2 − 3x3 + 5x − 7, F (x) =

x3 3x4 5x2 − + − 7x + cte 3 4 2

√ 1 2. f (x) = √ , F (x) = 2 x + cte x x 3. f (x) = , F (x) = x − ln(x + 1) + cte x+1 1 2 2 4. f (x) = xex , F (x) = ex + cte.

2 Primitives usuelles f (x) α (α ∈ R∗ ) 1/x2 √ 1/ x 1/x ex cos x sin x 1 + tan2 x = 1/ cos2 x xα (α ∈ R∗ , α 6= −1) u0 (x) u(x) 0 u (x)eu(x)

p u0 (x)/ u(x) u0 (x)(u(x))α (α ∈ R∗ , α 6= −1)

R F (x) = f (x) dx αx + cte −1/x + cte √ 2 x + cte ln |x| + cte ex + cte sin x + cte − cos x + cte tan x + cte xα+1 α+1

ln(|u(x)|) + cte eu(x) + cte p 2 u(x) + cte (u(x))α+1 α+1

+ cte

Th´ eor` eme 2.7.4. Si f est continue sur un intervalle I, alors f admet des primitives sur I. Th´ eor` eme 2.7.5. Si F et G sont respectivement des primitives de f et g sur I, alors 1. F + G est une primitive de f + g 2. ∀ λ ∈ R, λF est une primitive de λf .

Th´ eor` eme 2.7.6. Si F et G sont deux primitives de la mˆeme fonction sur un intervalle I, alors ∃ k ∈ R tel que G(x) = F (x) + k, ∀ x ∈ I (les deux fonctions sont ´egales ` a une constante pr`es).

2.7.2

Int´ egrales

D´ efinition 2.7.7. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b]. L’int´egrale de a ` ab de f est la surface alg´ebrique d´elimit´ee par les trois droites d’´equation x = a, x = b, y = 0 et la courbe de f (Cf ).

Rb Notation : a f (x) dx.

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

30

Cf

a

b

Th´ eor` eme 2.7.8 (Lien entre l’int´egrale et les primitives). Soit F une primitive d’une fonction continue f sur [a, b], on a alors : Z

b

f (x) dx = F (b) − F (a). a

Z Notation : a

b

f (x) dx = [F (x)]ba

Propri´ et´ es 2.7.9.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Rb

Rb Rb a (f + g) dx = a f (x) dx + a g(x) dx Rb Rb a (λf )(x) dx = λ a f (x) dx, ∀ λ ∈ R Rb Rb Si f ≤ g sur [a, b], alors a f (x) dx ≤ a g(x) dx Rb Si f ≥ 0 sur [a, b], alors a f (x) dx ≥ 0 Rb Rb | a f (x) dx| ≤ a |f (x)| dx Rb Rc Rb Relation de Chasles : a f (x) dx = a f (x) dx + c f (x) dx Ra a f (x) dx = 0 Ra Rb Par convention, si a ≤ b, on pose b f (x) dx = − a f (x) dx Ra Ra Si f est paire sur [−a, a], alors −a f (x) dx = 2 0 f (x) dx Ra Si f est impaire sur [−a, a], alors −a f (x) dx = 0

M´ ethode d’int´ egration par parties Proposition 2.7.10. Si f et g sont deux fonctions de classe C 1 sur [a, b], alors Z

b

Z 0

f (x)g(x) dx = a

[f (x)g(x)]ba

−

b

f (x)g(x) dx. a

´ 2.7. PRIMITIVES ET INTEGRALES

31

Exemple 2.7.11.

Z 2 Z 2 1 ln x dx = [x ln x]21 − x dx (f 0 (x) = 1, g(x) = ln x) I = 1. x 1 1 = (2 ln 2 − 1 ln 1) − [x]21 = 2 ln 2 − 1 Z 1 Z 1 J = xex dx = [xex ]10 − ex dx (f 0 (x) = ex , g(x) = x) 2.

0 0 = e − [ex ]10 = 1 M´ ethode de changement de variable Th´ eor` eme 2.7.12.

Z

Z

b

β

f (x) dx = a

f (ϕ(t)) ϕ0 (t) dt

α

avec ϕ(α) = a et ϕ(β) = b.

R4 Exemple 2.7.13. I = 0 1+dx√x dx.

On pose le changement de variable t = √ √ t = 0 = 0 et x = 4 ⇒ t = 4 = 2

√ x et donc dt =

dx √ , 2 x

d’o` u dx = 2tdt. x = 0 ⇒

Z 2 Z 2 (2t + 2) − 2 dx 2t √ = dt = dt I = 1+t 0 0 1+ x 0 1+t Z 2 Z 2 2 = 2 dt − dt = [2t]20 − [2 ln(1 + t)]20 = 4 − 2 ln 3 0 0 1+t Z

2.7.3

4

Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

D´ efinition 2.7.14.

R +∞ 1. Soit f continue sur [a, +∞[, on dit que l’int´egrale a f (x) dx est convergente si RA RA R +∞ lim a f (x) dx existe et finie. Dans ce cas a f (x) dx = lim a f (x) dx.

A→+∞ A→+∞ Ra 2. Soit f continue sur ] − ∞, a], on dit que l’int´egrale −∞ f (x) dx est convergente si Ra Ra Ra lim A f (x) dx existe et finie. Dans ce cas −∞ f (x) dx = lim A f (x) dx.

A→−∞ A→−∞ R +∞ 3. Soit f continue sur ] − ∞, +∞[, on dit que l’int´egrale −∞ f (x) dx est convergente s’il Ra R +∞ existe a ∈ R tel que −∞ f (x) dx et a f (x) dx soient convergentes. Dans ce cas Z

Z

+∞

−∞

Z

a

f (x) dx =

f (x) dx + −∞

Z

+∞

f (x) dx = lim

A→−∞ A

a

Z

a

f (x) dx + lim

B→+∞ a

B

f (x) dx.

Rb Rb 4. Soit f continue sur ]a, b], on dit que l’int´egrale a f (x) dx est convergente si lim t f (x) dx t→a+ Rb Rb existe et finie. Dans ce cas a f (x) dx = lim t f (x) dx. t→a+ Rb Rt 5. Soit f continue sur [a, b[, on dit que l’int´egrale a f (x) dx est convergente si lim a f (x) dx − t→b Rb Rt existe et finie. Dans ce cas a f (x) dx = lim a f (x) dx. t→b−

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

32

Rb 6. Soit f continue sur ]a, b[, on dit que l’int´egrale a f (x) dx est convergente s’il existe Rc Rb a < c < b tel que a f (x) dx et c f (x) dx soient convergentes. Dans ce cas Z

Z

b

Z

c

f (x) dx =

f (x) dx +

a

Z

b

f (x) dx = lim

a

s→a+

c

Z

c

f (x) dx + lim

t→b−

s

t

f (x) dx. c

R +∞ 7. Soit f continue sur ]a, +∞[, on dit que l’int´egrale a f (x) dx est convergente s’il existe Rc R +∞ c > a tel que a f (x) dx et c f (x) dx soient convergentes. Dans ce cas Z

Z

+∞

f (x) dx = a

Z

c

f (x) dx + a

Z

+∞

f (x) dx = lim

t→a+ t

c

Z

c

A

f (x) dx + lim

A→+∞ c

f (x) dx.

Ra 8. Soit f continue sur ]−∞, a[, on dit que l’int´egrale −∞ f (x) dx est convergente s’il existe Rc Ra c < a tel que −∞ f (x) dx et c f (x) dx soient convergentes. Dans ce cas Z

Z

a

−∞

Z

c

f (x) dx =

f (x) dx + −∞

Z

a

A→−∞ A

c

Z

c

f (x) dx = lim

f (x) dx + lim

t→a−

t

f (x) dx. c

9. Une int´egrale est dite divergente si elle n’est pas convergente.

Exemple 2.7.15.

1.

R1 0

dx √ x

lim

t→0+

2.

dx est convergente 1 √ √ dx √ dx = lim [2 x]1t = lim 2 − 2 t = 2 x t→0+ t→0+ t

Z

R1

ln x dx est convergente Z 1 lim ln x dx = lim [x ln x − x]1t = lim −1 − t ln t + t = −1 0

t→0+

t→0+

t

t→0+

3. A quelle condition sur α ∈ R l’int´egrale

lim

Z

+∞

 

lim A

eαx dx est convergente ⇐⇒ α < 0.

0

Conditions ` a retenir Z +∞ eαx dx est convergente ⇐⇒ α < 0.

1.

0

Z

+∞

2.

1

Z 3.

0

1

0

eαx dx est convergente ?

 si α = 0   +∞ A A→+∞ αx +∞ si α > 0 e dx = =  lim α1 (eαA − 1) si α 6= 0  0  A→+∞ −1/α si α < 0

Z A→+∞

R +∞

dx dx est convergente ⇐⇒ α > 0. xα

dx dx est convergente ⇐⇒ α < 1. xα

si α = 0

´ ´ 2.8. FORMULE DE TAYLOR–DEVELOPPEMENTS LIMITES

2.8

33

Formule de Taylor–D´ eveloppements limit´ es

Th´ eor` eme 2.8.1 (Formule de Taylor). Soit f une fonction de classe C n sur [a, b]. Alors il existe une fonction ε d´efinie sur ]a, b] telle que f (x) = f (a)+(x−a)f 0 (a)+

(x − a)2 00 (x − a)n (n) f (a)+· · ·+ f (a)+(x−a)n ε(x) et lim ε(x) = 0 x→a 2! n!

On parle de formule de d´ eveloppement de Taylor avec reste de Young. Le reste ´etant (x − a)n ε(x).

Cas particulier a = 0 : f (x) = f (0) + xf 0 (0) +

x2 00 xn (n) f (0) + · · · + f (0) + xn ε(x), avec lim ε(x) = 0. x→0 2! n!

D´ efinition 2.8.2. Soient I un intervalle, a ∈ I et f une fonction d´efinie sur I ∗ = I \ {a} (d´efinie sur I sauf peut ˆetre au point a). On dit que f on dit que f admet un d´ eveloppement limit´ e au voisinage de a (V(a)) ` a l’ordre n ∈ IN, s’il existe un polynˆ ome Pn de degr´e inf´erieur ou ´egal ` a n tel que : f (x) = Pn (x − a) + (x − a)n ε(x), ∀ x ∈ I ∗ et lim ε(x) = 0, x→a

c’est-` a-dire f (x) = a0 + a1 (x − a) + · · · + an (x − a)n + (x − a)n ε(x) avec lim ε(x) = 0, x→a

o` u a0 , a1 , · · · , an sont des r´eels. On note DLn (f, a) = Pn (x − a).

Cas particulier a = 0 : f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + xn ε(x) avec lim ε(x) = 0, x→0

2.8.1

D´ eveloppements limit´ es usuels

1. f (x) = ex – f (x) = ex ⇒ f (0) = 1 – f 0 (x) = ex ⇒ f 0 (0) = 1 – f 00 (x) = ex ⇒ f 00 (0) = 1 – f (n) (x) = ex ⇒ f (n) (0) = 1 Donc, au voisinage de 0, n

ex = 1 + x +

X xk x2 xn + ··· + + xn ε(x) = + xn ε(x), avec lim ε(x) = 0. x→0 2! n! k! k=0

2. f (x) = ln(1 + x) – f (x) = ln(1 + x) ⇒ f (0) = 1 1 – f 0 (x) = 1+x ⇒ f 0 (0) = 1 −1 00 – f 00 (x) = (1+x) 2 ⇒ f (0) = −1

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

34 n+1

– f (n) (x) = (−1)(1+x)(n−1)! ⇒ f (n) (0) = (−1)n+1 (n − 1)! n Donc, au voisinage de 0, n

ln(1+x) = x−

X xn x2 xk +· · ·+(−1)n+1 +xn ε(x) = (−1)k+1 +xn ε(x), avec lim ε(x) = 0. x→0 2 n k k=1

x)α ,

R∗ )

3. f (x) = (1 + (α ∈ – f (x) = (1 + x)α ⇒ f (0) = 1 – f 0 (x) = α(1 + x)α−1 ⇒ f 0 (0) = α – f 00 (x) = α(α − 1)(1 + x)α−2 ⇒ f 00 (0) = α(α − 1) – f (n) (x) = α(α − 1) · · · (α − n + 1)(1 + x)α−n ⇒ f (n) (0) = α(α − 1) · · · (α − n + 1) Donc, au voisinage de 0, α(α − 1) 2 α(α − 1) · · · (α − n + 1) n n x +· · ·+ x +x ε(x), avec lim ε(x) = 0. x→0 2! n!

Cas particuliers : (1+x)α = 1+αx+

(a) α = −1 n

X 1 (−1)k xk + xn ε(x). = 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + xn ε(x) = 1+x k=0

(b) α = 1/2

√ 1 1 1 + x = 1 + x − x2 + x2 ε(x).

2 8

(c) α = −1/2

1 3 1 √ = 1 − x + x2 + x2 ε(x).

2 8 1+x

4. f (x) = cos x. n

cos x = 1 −

X x2k x2n x2 x4 (−1)k + + · · · + (−1)n + x2n ε(x) = + x2n ε(x), 2!

4!

(2n)!

(2k)!

avec lim ε(x) = 0.

k=0

x→0

5. f (x) = sin x. n

sin x = x −

X x2k+1 x2n+1 x3 x5 (−1)k + + · · · + (−1)n + x2n+1 ε(x) = + x2n+1 ε(x), 3!

5!

(2n + 1)!

(2k + 1)!

avec lim ε(x) = 0.

k=0

x→0

Remarque 2.8.3.

1.

2.

3.

4.

Si f est paire et si 0 ∈ Df , alors f (0) = 0.

Si f est paire, alors f 0 est impaire.

Si f est impaire, alors f 0 est paire.

Si f est paire, alors toutes les d´eriv´ees d’ordre impaire sont impaires, par cons´equent on n’aura que des termes d’ordre paire dans DLn (f, 0).

5. Si f est impaire, alors toutes les d´eriv´ees d’ordre paire sont impaires, par cons´equent on n’aura que des termes d’ordre impaire dans DLn (f, 0).

´ ´ 2.8. FORMULE DE TAYLOR–DEVELOPPEMENTS LIMITES

2.8.2

35

Op´ erations sur les d´ eveloppements limit´ es

Soient f et g admettent chacune un d´eveloppement limit´e d’ordre n en 0. Alors – Somme : f + g admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n en 0 et DLn (f + g, 0) = DLn (f, 0) + DLn (g, 0).

– ∀ λ ∈ R, λf admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n en 0 et DLn (λf, 0) = λ DLn (f, 0).

Exemple : h(x) =

ex + e−x au voisinage de 0, `a l’ordre 4 2 x2 x3 x4 + + + x4 ε1 (x) 2!

3!

4! x2 x3 x4 =1−x+ − + + x4 ε1 (x).

2!

3!

4!

f (x) = ex = 1 + x + g(x) = e−x Donc

1 x2 x4 ex + e−x = (f (x) + g(x)) = 1 + + + x4 ε(x).

2 2 2!

4!

– Produit : f × g admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n en 0. La partie r´eguli`ere DLn (f g, 0) est obtenue en faisant le produit de DLn (f, 0) × DLn (g, 0) et ne gardant que les termes de degr´e ≤ n. ex au voisinage de 0, `a l’ordre 3 Exemple : f (x) = 1+x ex = 1 + x +

x2 x3 + + x3 ε1 (x) 2 6

1 = 1 − x + x2 − x3 + x3 ε1 (x) 1+x Donc ex 1+x

= 1 − x + x2 − x3 + x − x2 + x3 + = 1+

x2 x3 − + x3 ε(x).

2 3

– Division : si lim g(x) 6= 0 alors x→0

f g

x2 x3 x3 − + + x3 ε(x) 2 2 6 .

admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n en 0. La

partie r´eguli`ere DLn (f /g, 0) est obtenue en faisant la division suivant les puissances croissantes `a l’ordre n de DLn (f, 0) par DLn (g, 0). ex Exemple : h(x) = au voisinage de 0, `a l’ordre 3 1+x ex = 1 + x +

x2 2

+

x3 6

+ x3 ε1 (x)

g(x) = 1 + x, lim g(x) = 1 6= 0. x→0

En faisant la division suivant les puissances croissantes, on obtient :

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

36

1+x+ − 1+x

x2 x3 + 2 6

1+

x2 x3 + 2 6 − 2 x x3 + 2 2 x3 − 3 − x3 x4 − − 3 3 4 x 3

Donc,

1+x x2 x3 − 2 3

x2 x3 ex =1+ − + x3 ε(x).

1+x 2 3 Exercice 2.8.4. D´eterminer le d´eveloppement limit´e de la fonction tan x au voisinage de 0 ` a l’ordre 3.

– Composition : si lim f (x) = 0, alors g ◦ f admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n x→0

en 0. La partie r´eguli`ere DLn (g ◦ f, 0) est obtenue en faisant la composition Q(P (x)) et ne gardant que les termes de degr´e ≤ n, avec P (x) = DLn (f, 0) et Q(x) = DLn (g, 0).

Exemple : h(x) = ln(1 + sin x) au voisinage de 0, `a l’ordre 3 x3 + x3 ε1 (x) 6 x2 x3 g(x) = ln(1 + x) = x − + + x3 ε2 (x) 2 3 h(x) = g ◦ f (x), lim f (x) = lim sin x = 0.

f (x) = sin x = x −

x→0

x→0

Le d´eveloppement limit´e de h `a l’ordre 3 au voisinage de 0 est : x3 1 x3 1 x3 ) − (x − )2 + (x − )3 + x3 ε(x) 6 2 6 3 6 2 3 x x = x− + + x3 ε(x).

2 6 – D´ erivation : f 0 admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n − 1 en 0 et ln(1 + sin x) = (x −

DLn−1 (f 0 , 0) = DL0n (f, 0).

Exemple : g(x) =

1 au voisinage de 0, `a l’ordre 4 1+x

f (x) = ln(1 + x) = x −

x2 x3 x4 x5 + − + + x5 ε(x).

2 3 4 5

En d´erivant, on obtient : g(x) =

1 = f 0 (x) = 1 − x + x2 − x3 + x4 + x4 ε(x).

1+x

´ ´ 2.8. FORMULE DE TAYLOR–DEVELOPPEMENTS LIMITES

37

– Primitive : Si f 0 admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre n au voisinage de 0. Alors f admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre n + 1 au voisinage de 0. La partie r´eguli`ere DLn+1 (f, 0) est la primitive de DLn (f 0 , 0) qui prend la valeur f (0) au point 0.

Exemple : f (x) = cos x au voisinage de 0, `a l’ordre 6. On sait que cos0 x = − sin x et − sin x = −x +

x3 x5 − + x5 ε1 (x).

6 120

En calculant la primitive de − sin x, on obtient : cos x = cte −

x2 x4 x6 + − + x6 ε(x), 2 24 720

en particulier, cos 0 = cte ⇒ cte = 1, d’o` u: cos x = 1 −

2.8.3

x2 x4 x6 + − + x6 ε(x).

2!

4!

6!

Application des d´ eveloppements limit´ es

Calcul des limites–Formes ind´ etermin´ ees Exemple 2.8.5. ln(x + 3) − ln 3 √ .

1. lim √ x→0 x+2− 2 On a : ln(x + 3) = ln(3(1 + x/3)) = ln 3 + ln(1 + x/3) = ln 3 + x/3 + xε1 (x) et p √ p √ √ x + 2 = 2(1 + x/2) = 2 1 + x/2 = 2 (1 + x/4 + xε2 (x)) . √ ln(x + 3) − ln 3 ln 3 + x/3 + xε1 (x) − ln 3 2 2 √ = lim √ √ √ = D’o` u lim √ x→0 x→0 3 x+2− 2 2 + 2/4x + xε2 (x) − 2 √ 1 + 2x − (1 + x) 2. lim f (x) = lim . x→0 x→0 x2 On a : √ 1 + 2x = 1 + x − x2 /2 + x2 ε(x) f (x) =

1 + x − x2 /2 − 1 − x + x2 ε(x) 1 = − + ε(x) 2 x 2

1 Donc lim f (x) = − . x→0 2 Equation d’asymptote oblique et position de la courbe par rapport aux asymptotes µ ¶ 1+x 2 Exemple 2.8.6. f (x) = x ln . Cf admet des asymptotes obliques au voisinage de x ±∞, ´etudions la position de Cf par rapport ` a ces asymptotes.

1 + x 1 1 Posons y = 1/x, f (x) = x2 ln( ) = x2 ln(1 + ) = 2 ln(1 + y) = g(y), x x y

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

38

quand x → ∞, y → 0.

En calculant le d´eveloppement limit´e de g au voisinage de 0, on obtient : g(y) =

1 y2

ln(1 + y) =

1 (y y2

− y 2 /2 + y 3 /3 + y 3 ε(y))

= 1/y − 1/2 + y/3 + yε(y) = x −

1 1 1 1 + + ε( ) = f (x).

2 3x x x

Donc la droite d’´equation y = x − 1/2 est une asymptote oblique ` a la courbe Cf au voisinage de ±∞.

1 – Si x → +∞, > 0 ⇒ f (x) − (x − 1/2) > 0, d’o` u Cf est au dessus de l’asymptote au 3x voisinage de +∞.

1 – Si x → −∞, < 0 ⇒ f (x) − (x − 1/2) < 0, d’o` u Cf est en dessous de l’asymptote au 3x voisinage de −∞. √ Exercice 2.8.7. Soit f (x) = x2 − 4x. Montrer que Cf admet des asymptotes obliques au voisinage de ±∞ et donner les ´equations en pr´ecisant la position par rapport ` a Cf . ¥

Chapitre 3

Fonctions de plusieurs variables r´ eelles 3.1 3.1.1

Introduction Produit cart´ esien

D´ efinition 3.1.1. Soient E et F deux ensembles non-vides. On appelle produit cart´ esien de E par F l’ensemble not´e E × F d´efini par E × F = {(x, y) / x ∈ E, y ∈ F }.

Exemple 3.1.2.

1. R2 = R × R 2. R+ × R = {(x, y) / x ∈ R+ et y ∈ R} (2, −1) ∈ R+ × R et (−1, 2) 6∈ R+ × R car −1 6∈ R+ √ √ 3. [0, 20[×] − 1, 3] = {(x, y) / 0 ≤ x < 20 et − 1 < y ≤ 3} 4. R3 = R × R × R 5. Rn = |R × R × {z· · · × R} n

3.1.2

fois

L’ensemble R2

On consid`ere l’ensemble R2 = R × R. Un ´el´ement de R2 est un couple not´e (x, y).

D´ efinition 3.1.3. Soient X = (x1 , x2 ) et Y = (y1 , y2 ) deux ´el´ements de R2 .

– On dit que X = Y si et seulement si x1 = y1 et x2 = y2 .

– La somme de X et Y est X + Y = (x1 + y1 , x2 + y2 ) – Le produit de λ ∈ R par X : λX = (λx1 , λ2 x2 ) Remarque 3.1.4. On g´en´eralise la d´efinition ci-dessus pour l’ensemble Rn = R×R×· · ·×R. Un ´el´ement de Rn est un n–uplets (x1 , x2 , · · · , xn ). Soient X = (x1 , x2 , · · · , xn ) et Y = (y1 , y2 , · · · , yn ) deux ´el´ements de Rn .

39

40

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES – On dit que X = Y si et seulement si x1 = y1 , x2 = y2 , · · · et xn = yn .

– La somme de X et Y est X + Y = (x1 + y1 , x2 + y2 , · · · , xn + yn ) – Le produit de λ ∈ R par X : λX = (λx1 , λ2 x2 , · · · , λxn )

L’´ equation d’une droite Soient a, b et c trois r´e´els tels que a et b ne soient pas sumultan´ement nuls. Le sous ensemble de R2 : © ª ∆ = (x, y) ∈ R2 / ax + by + c = 0 d´efinit une droite, dite droite d’´equation ax + by + c = 0.

1. Si b 6= 0 on peut r´eecrire l’´equation de la droite ax + by + c = 0 sous la forme d’une ´equation r´eduite : c a y = αx + β avec α = − et β = − . b b c 2. Si b = 0, l’´equation r´eduite de la droite est : x = − . a 3. Suivant les valeurs de a, b et c on a plusieurs repr´esentations : (a) a = 0, droite d’´equation r´eduite y = −c/b, c’est une droite horizontale (voir figure 3.1) y

y=−c/b −c/b

x

Fig. 3.1 – Droite horizontale d’´equation by + c = 0 (b) b = 0, droite d’´equation r´eduite x = −c/a, c’est une droite verticale (voir figure 3.2) a c (c) a 6= 0 et b 6= 0, droite d’´equation r´eduite y = − x − (voir figure 3.3) b b La droite d’´equation ax + by + c = 0 s´epare l’ensemble R2 en deux demi-plans :

3.1. INTRODUCTION

41

y

x=−c/a

−c/a

x

Fig. 3.2 – Droite verticale d’´equation ax + c = 0

y y=−(a/b)x−c/b

−c/b

−c/a

x

Fig. 3.3 – Droite d’´equation ax+by+c=0

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

42

1. Le demi-plan sup´erieur (respectivement strictement sup´erieur) (voir figure 3.4(a)) : P1 = {(x, y) ∈ R2 / ax + by + c ≥ 0 (respectivement ax + by + c > 0)} 2. Le demi-plan inf´erieur (respectivement strictement inf´erieur) (voir figure 3.4(b)) : P2 = {(x, y) ∈ R2 / ax + by + c ≤ 0 (respectivement ax + by + c < 0)} y y=−(a/b)x−c/b

y y=−(a/b)x−c/b

P1

−c/b

−c/b

P2 −c/a x x

−c/a

(a) Demi-plan sup´erieur

(b) Demi-plan inf´erieur

Fig. 3.4 – Demi-plans sup´erieur et inf´erieur

Exemple 3.1.5. On consid`ere la droite ∆ d’´equation x + y + 1 = 0.

– Le point O = (0, 0) ∈ P1 = {(x, y) / x + y + 1 ≥ 0} ; le demi plan sup´erieur ; car 0 + 0 + 1 = 1 ≥ 0.

– Le point A = (−1, −1) ∈ P2 = {(x, y) / x + y + 1 ≤ 0} ; le demi plan inf´erieur ; car −1 − 1 + 1 = −1 ≤ 0. ∆

y

P1 O x

−1 −1

A

P2

L’´ equation d’un cercle Soient A = (a, b) ∈ R2 et r > 0 un r´eel. Le sous ensemble de R2 : C(A, r) = {(x, y) ∈ R2 / (x − a)2 + (y − b)2 = r2 } d´efinit le cercle de centre A et de rayon r (voir figure 3.5). C’est l’ensemble des points de R2 `a distance ´egale `a r de A. Ce cercle s´epare l’ensemble R2 en deux parties :

3.1. INTRODUCTION

43 y

r b

A

a

x

Fig. 3.5 – Le cercle C(A, r)

1. Le sous-ensemble des points de R2 `a distance inf´erieure (respectivement strictement inf´erieure) `a r (voir figure 3.6(a)) : © ª D(A, r) = (x, y) ∈ R2 / (x − a)2 + (y − b)2 ≤ r2 (respectivement (x − a)2 + (y − b)2 < r2 ) .

C’est le disque de centre A et de rayon r.

2. Le sous ensemble des points de R2 ` a distance sup´erieure (respectivement strictement sup´errieure) `a r (voir figure 3.6(b)) : © ª (x, y) ∈ R2 / (x − a)2 + (y − b)2 ≥ r2 (respectivement (x − a)2 + (y − b)2 > r2 ) .

y

b

111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 r 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 A 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111

r b

A

a

(a)

a

(b)

Fig. 3.6 – Le disque D(A, r) et le sous-ensemble R2 \ D(A, r)

x

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

44

3.2

Fonctions de deux variables

Dans cette section on ne consid´erera que des fonctions `a deux variables r´eelles et `a valeurs dans R. f : A ⊂ R2 7→ R L’id´ee principale de ce chapitre est de g´en´eraliser les principaux r´esultats et d´efinitions qu’on a trouv´e pour les fonctions `a une variable r´eelle au cas de deux variables, `a savoir – Limite continuit´e et d´eriv´ee, – Int´egrale et primitive, – Optimisation avec ou sans contrainte.

3.2.1

D´ efinitions

D´ efinition 3.2.1. Une fonction de deux variables r´eelles est une application f d´efinie sur R2 ` a valeurs dans R : f : R2 −→ R (x, y) 7−→ f (x, y) Si z0 = f (x0 , y0 ), alors (x0 , y0 ) est dit un ant´ ec´ edent de z0 par f , et z0 est dite l’ image de −→

(x0 , y0 ) par f . Le triplet (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) est un point M ou un vecteur OM dans un rep`ere orthonorm´e de R3 (voit figure 3.7)

z0 M

O

y0

x0

Fig. 3.7 – z0 = f (x0 , y0 )

D´ efinition 3.2.2 (Domaine de d´efinition). Soit f : R2 → R une fonction de deux variables.

Le domiane de d´efinition de f , not´e par Df est l’ensemble des couples (x, y) ∈ R2 qui ont une image par f : Df = {(x, y) ∈ R2 / f (x, y) existe}.

Exemple 3.2.3.

3.2. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES

45

x , Df = {(x, y) ∈ R2 / y 6= 0} = R × R∗ y 2. g(x, y) = ln(xy), 1. f (x, y) =

Dg = {(x, y) ∈ R2 / xy > 0} = {(x, y) ∈ R2 / (x > 0 et y > 0) ou (x < 0 et y < 0)} = R+∗ × R+∗ ∪ R−∗ × R−∗ 3. h(x, y) = ln(x + y + 1), Dh = {(x, y) ∈ R2 / x + y + 1 > 0} Le domaine d´efinition de h est le demi-plan sup´erieur strictement ` a la droite d’´equation x + y + 1 = 0.

4. s(x, y) = x2 + y 2 − xy, Ds = R2 .

D´ efinition 3.2.4 (Graphe). On appelle graphe de f l’ensemble de Gf tel que : Gf = {(x, y, f (x, y)) ∈ R3 / (x, y) ∈ Df }.

Gf est un sous-ensemble de R3 , sa repr´esentation graphique dans R3 est une surface de R3 .

Exemple 3.2.5. Soit f : [−1, 1] × [−1, 1] → R la fonction d´efinie par f (x, y) = x2 + y 2 . La repr´esentation graphique de Gf est pr´esent´ee sur la figure 3.8

2

Z

1.5

1

0.5

0 1 0.5

1 0.5

0

0

−0.5 Y

−0.5 −1

−1

X

Fig. 3.8 – La repr´esentation graphique de f (x, y) = x2 + y 2

Une mani`ere tr`es commode pour dessiner le graphe (en 3 D) d’une fonction est de proc´eder avec les courbes de niveau. L’id´ee est la suivante : on dessine le graphe de f tranche par tranche `a savoir l’intersection du graphe avec les plans z = k. C’est ce qu’on appelle les courbes de niveau. (voir la d´efinition ci-dessous) D´ efinition 3.2.6 (Courbe de niveau). Soit k ∈ R. On appelle courbe de niveau k de la fonction f l’ensemble Ck (f ) tel que : Ck (f ) = {(x, y) ∈ R2 / (x, y) ∈ Df et f (x, y) = k}.

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

46

Remarque 3.2.7. Pour les ´economistes, lorsque f est une fonction d’utilit´ e, les courbes de niveau s’appellent courbes d’indiff´ erence et lorsque f est une fonction de production elles s’appellent isoquantes.

Exemple 3.2.8.

1. f (x, y) = x2 + y 2 , Df = R2 .

– Pour k√> 0, Ck (f ) = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 = k} c’est le cercle de centre (0, 0) et de rayon k.

– Pour k = 0, Ck (f ) = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 = 0} = (0, 0).

– Pour k < 0, Ck (f ) = ∅.

4 3.5

Z

3 2.5 2 1.5 1 2 1

2 1

0

0

−1

−1 −2

Y

−2

X

2. g(x, y) = y − x2 , Dg = R2 . Pour k ∈ R, Ck (g) = {(x, y) ∈ R2 / y = x2 + k}. par exemple C1 (f ) = {x, y) ∈ R2 / y = x2 + 1}.

3.2.2

Limites et continuit´ e

Il faut noter qu’on a les mˆemes d´efinitions de la limite et de la continuit´e que dans le cas d’une fonction num´erique `a une seule variable. Notament D´ efinition 3.2.9. Soient ` ∈ R et (a, b) ∈ R2 , et f : Λ ⊂ R2 7→ R une fonction ` a deux variables. On dit que la limite de f quand (x, y) tend vers a est `, que l’on note comme suit lim

(x,y)→(a,b)

f (x, y) = `,

si lorsque (x, y) s’approche de (a, b) f (x) s’approche de `.

Ici la diff´erence essentielle avec les fonctions `a une variable c’est qu’on a pas seulement deux mani`eres d’approcher le point (a, b), (limite `a droite et limite `a gauche) mais une infinit´e de mani`eres de l’approcher (approcher de droite, de gauche, par le haut, par le bas, en passant par la diagonale, d’une mani`ere spirale, etc ..). A ce moment l` a comme dans le cas d’une seule variable on dira qu’il y a existence de la limite si quleque soit la mani` ere avec laquelle on approche le point (a, b) on a la mˆ eme limite. En effet, regardons cet exemple

3.2. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES

47

Exemple 3.2.10. Soit f la fonction d´efinie comme suit f : R2 → R (x, y) 7→

x2

xy . + y2

Il est simple de v´erifier que f n’admet pas de limite en (0, 0). Si on approche (0, 0) sur la droite diagonale x = y on aura 1 x2 = 2 2 2 (x,x)→(0,0) (x,x)→(0,0) x + x 1 = .

2 Si on approche (0, 0) sur la droite y = 0. On a alors lim

f (x, x) =

lim

(x,0)→(0,0)

lim

f (x, 0) = 0.

D´ efinition 3.2.11. (Continuit´e) Soit f une fonction num´erique ` a deux variables d´efinie sur Df .

On a dit que f est continue en un point (a, b) ∈ Df si lim

(x,y)→(a,b)

f (x, y) = f (a, b).

Si de plus f est continue en tout point de Df alors on dit simplement que f est continue.

Remarque 3.2.12. Il est ` a noter que si la fonction f est continue composante par composante1 , ceci ne veut pas dire qu’elle est continue dans le sens d´efini ci-dessus.

3.2.3

D´ eriv´ ees partielles

Soit f : R2 → R une fonction de deux variables r´eelles d´efinie sur un voisinage V de (a, b).

D´ efinition 3.2.13. i) On appelle d´ eriv´ ee partielle de f par rapport ` a x en (a, b), la limite suivante lorsqu’elle existe f (a + h, b) − f (a, b) f (x, b) − f (a, b) = lim . lim x→a h→0 x−a h C’est la d´eriv´ee de la fonction x 7→ f (x, b) en a (on fixe b et on d´erive par rapport ` ax au point a). ∂f (a, b) Cette limite est alors not´ee : fx0 (a, b) ou ∂x ii) On appelle d´ eriv´ ee partielle de f par rapport ` a y en (a, b), la limite suivante lorsqu’elle existe f (a, y) − f (a, b) f (a, b + k) − f (a, b) lim = lim . y→b k→0 y−b k C’est la d´eriv´ee de la fonction y 7→ f (a, y) en b (on fixe a et on d´erive par rapport ` ay au point b). ∂f Cette limite est alors not´ee : fy0 (a, b) ou (a, b) ∂y 1

C’est ` a dire que f est continue si je fixe une valeur pour y et je fais varier le x, et aussi continue si je fixe la valeur de x et je fais varier le y.

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

48

∂f iii) Le vecteur ( ∂f e gradient2 de f au point (x, y). On le note comme ∂x (x, y), ∂y (x, y)) est appel´ suit ∂f ∂f Of (x, y) := ( (x, y), (x, y)). ∂x ∂y

Si de plus les fonctions C 1.

∂f ∂f ∂x (x, y), ∂y (x, y)

sont continues alors la fonction f est dite de classe

Exemple 3.2.14.

1. f (x, y) = x4 − y 3 , Df = R2 ∂f ∂f (x, y) = 4x3 , (x, y) = −3y 2 , ∀ (x, y) ∈ Df ∂x ∂y Alors le gradient de f s’´ecrit Of (x, y) = (4x3 , −3y 2 ) 2. g(x, y) = ex/y , Dg = R × R∗ ∂g 1 ∂g −x (x, y) = ex/y , (x, y) = 2 ex/y , ∀ (x, y) ∈ Dg ∂x y ∂y y Alors le gradient de g est 1 −x Og(x, y) = ( ex/y , 2 ex/y ) y y 3. h(x, y) = ln(x + y + 1), Dh = {(x, y) ∈ R2 / x + y + 1 > 0} ∂h 1 ∂h 1 (x, y) = , (x, y) = , ∀ (x, y) ∈ Dh ∂x x + y + 1 ∂y x+y+1 Alors le gradient de h est Oh(x, y) = (

1 1 , ) x+y+1 x+y+1

Remarque 3.2.15. Les r`egles de d´erivation d’une fonction d’une variable reste valable pour exy calculer les d´eriv´ees partielles. Par exemple, on consid`ere la fonction h(x, y) = 2 , x + y2 Dh = R2 \ (0, 0). Posons f (x, y) = exy et g(x, y) = x2 + y 2 . Alors pour tout (x, y) 6= (0, 0) ¡ ¢ exy yx2 + y 3 − 2x fx0 (x, y)g(x, y) − f (x, y)gx0 (x, y) 0 hx (x, y) = = (x2 + y 2 )2 (g(x, y))2 ¡ ¢ fy0 (x, y)g(x, y) − f (x, y)gy0 (x, y) exy x3 + xy 2 − 2y 0 = hy (x, y) = (x2 + y 2 )2 (g(x, y))2 2

Cette notation est introduite pour avoir une ´ecriture compacte des d´eriv´ees partielles d’une fonction ` a ∂f ∂f ∂f ∂f , , , . . . , plusieurs variables (pour ne pas ˆetre oblig´e d’´ecrire ( ∂x ) on ´ e crit seulement Of ).

Elle ne ∂x ∂x ∂x n 1 2 3 doit pas mettre l’´etudiant en confusion car ce n’est rien d’autre qu’une notation. Il y a donc rien ` a prouver ou a ` comprendre ! !

3.2. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES

49

Maintenant qu’on sait trouver des d´eriv´ees partielles de degr´e 1, on aimerait retrouver les r´esultats habituels comme dans le cas d’une fonction `a une variable r´eelle comme l’´equation de la droite tangente, le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1.

• Plan Tangent : en 3D on parle plus d’une droite tangente `a la courbe car il y en a une infinit´e, d’ailleurs ces infinit´es de droites forment un plan. Ce plan est appel´e le plan tangent. L’´equation d’un plan tangent au graphe de f au point (a, b, f (a, b)) s’´ecrit comme suit ∂f ∂f z = f (a, b) + (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b). ∂x ∂y Par exemple, l’´equation du plan tangent au graphe de f (x, y) = x2 + y 2 au point (−1, 1, 2) est z = 2(x + 1) + 2(y − 1) + 2 = −2x + 2y − 2.

8

6

4

2

0

−2

−4

−6

−8

−10 2

1.5

1

0.5

0

−0.5

−1

−1.5

−2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

• D´ eveloppement Limit´ e d’ordre 1 La formule du d´eveloppement limit´e se g´en´eralise comme suit au cas d’une fonction `a deux variables f (a + h, b + k) = f (a, b) + h avec

lim

(h,k)→(0,0)

p ∂f ∂f (a, b) + k (a, b) + h2 + k 2 ε(h, k), ∂x ∂y

ε(h, k) = 0.

On √ remarque tr`es vite qu’entre le plan tangent et la formule de D.L. il n’y a que le terme h2 + k 2 ε(h, k) qui se rajoute. Ce dernier ´etant destin´e `a tendre vers 0, on comprend qu’on peut avoir une approximation avec un erreur de l’ordre 1 au voisinage de (a, b) `a l’aide de l’´equation du plan tangent.

Exemple 3.2.16. Soit f la fonction d´efinie comme suit : f (x, y) = x2 +y 2 . On calcule l’´equation du plan tangent au point (0.5, 0.5), puis on veut approcher la valeur de f (0.503, 0.498).

1. On a Of (x, y) = (2x, 2y), alors Of (0.5, 0.5) = (1, 1).

2. L’´equation du plan tangent est z = 0.5 + (x − 0.5) + (y − 0.5).

3. Une valeur approch´e de f (0.503, 0.498) est f (0.503, 0.498) = f (0.5 + 0.003, 0.5 − 0.002) ≈ 0.5 + 0.003 − 0.002 = 0.501.

4. La vraie valeur est 0.501013.

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

50

3.2.4

D´ eriv´ ees partielles d’ordre 2

D´ efinition 3.2.17. Si f est une fonction de classe C 1 , et que ses d´eriv´ees partielles aussi sont de classe C 1 , f est dite alors de classe C 2 .

Th´ eor` eme 3.2.18 (Th´eor`eme de Schwarz). Si f : R2 7→ R est une fonction de classe C 2 alors on a ¢ ¢ ∂ ¡ ∂f ∂ ¡ ∂f (x, y) = (x, y) . ∂x ∂y ∂y ∂x Dans la suite on adoptera les notations suivantes : 00 fxx (x, y) = 00 fyy (x, y) = 00 fxy (x, y) = 00 fyx (x, y) =

∂2f (x, y) ∂x2 ∂2f (x, y) ∂y 2 ∂2f (x, y) ∂x∂y ∂2f (x, y) ∂y∂x

= = = =

¢ ∂ ¡ ∂f (x, y) , ∂x ∂x ¢ ∂ ¡ ∂f (x, y) , ∂y ∂y ¢ ∂ ¡ ∂f (x, y) , ∂x ∂y ¢ ∂ ¡ ∂f (x, y) . ∂y ∂x

Exemple 3.2.19. On consid`ere la fonction f (x, y) = xey . On a ∂f (x, y) = ey , ∂x

∂f (x, y) = xey ∂x

On remarque que les fonctions ey et xey sont continues. Par le calcul (sans utiliser le th´eor`eme) on trouve alors ∂2f ∂2f (x, y) = (x, y) = ey . ∂y∂x ∂x∂y On a aussi

∂2f (x, y) = 0, ∂x2

et

∂2f (x, y) = xey . ∂y 2

On g´en´eralise maintenant la notion de D.L `a l’ordre 2 pour une fonction de deux variable de classe C 2 .

Proposition 3.2.20. Si f est une fonction de classe C 2 au voisinage (a, b), alors f admet un d´eveloppement limit´e d’ordre 2 au voisinage de (a, b). f (a + h, b + k) = f (a, b) + h + avec

lim

(h,k)→(0,0)

∂f ∂f h2 ∂ 2 f ∂2f (a, b) + k (a, b) + (a, b) + hk (a, b) ∂x ∂y 2 ∂x2 ∂x∂y

k2 ∂ 2 f (a, b) + (h2 + k 2 ) ε(h, k), 2 ∂y 2

ε(h, k) = 0.

Exemple 3.2.21. On reprend l’exemple f (x, y) = x2 + y 2 . On veut approcher la valeur de f (0.503, 0.498).

´ 3.3. INTEGRALES DOUBLES

51

00 (x, y) = f 0 (x, y) = 2 et f 00 (x, y) = 0 alors ∇f (0.5, 0.5) = 1. On a ∇f (x, y) = (2x, 2y), fxx xy yy 00 (0.5, 0.5) = f 0 (0.5, 0.5) = 2 et f 00 (0.5, 0.5) = 0.

(1, 1), fxx yy xy

2. Une valeur approch´e de f (0.503, 0.498) est f (0.503, 0.498) = f (0.5+0.003, 0.5−0.002) ≈ 0.5+0.003−0.002+0.000009+0.000004 = 0.501013.

On retrouve la valeur exacte de f (0.503, 0.498). Ce r´esultat am´eliore celui obtenu dans l’exemple 3.2.16 avec un DL d’ordre 1.

3.3 3.3.1

Int´ egrales doubles Int´ egrales sur les rectangles

D´ efinition 3.3.1. Soit f : R → R une fonction continue sur le rectangle R = [a, b] × [c, d] (a < b, c < d). L’int´egrale double de f sur le rectangle R est le volume alg´ ebrique d´elimit´e par le graphe de f , et les 5 plans z = 0, x = a, x = b, y = c et y = d.

Propri´ et´ es 3.3.2. Soient f et g deux fonctions continues sur le rectangle R = [a, b] × [c, d] (a < b, c < d). Alors Z Z Z Z Z Z 1. (f (x, y) + g(x, y)) dxdy = f (x, y) dxdy + g(x, y) dxdy R R R Z Z Z Z (λ f (x, y)) dxdy = λ f (x, y) dxdy, ∀ λ ∈ R 2.

R R Z Z Z Z 3. Si f (x, y) ≤ g(x, y), ∀ (x, y) ∈ R, alors f (x, y) dxdy ≤ g(x, y) dxdy R R ¯Z Z ¯ Z Z ¯ ¯ ¯ |f (x, y)| dxdy 4. ¯ f (x, y) dxdy ¯¯ ≤ R

R

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

52

µZ

Z Z 5. Si f (x, y) est de la forme h(x) `(y), alors

f (x, y) dx dy = R

b

¶ µZ h(x) dx

a

¶

d

`(y) dy

c

Exemple 3.3.3. Soit f (x, y) = x2 + xy + 1 d´efinie sur le rectangle R = [a, b] × [c, d] = [0, 3] × [1, 2].

1. – En int´egrant par rapport ` a y on obtient : · ¸y=2 Z d Z 2 1 2 3 2 2 f (x, y) dy = (x + xy + 1) dy = x y + xy + y = x2 + x + 1.

2 2 c 1 y=1 – En int´egrant maintenant le r´esultat obtenu par rapport ` a x, on a : · ¸3 ¶ Z b µZ 2 Z 3 1 3 3 2 27 75 2 2 3 x + x + x = 9+ +3 = . (xy + y + 1) dy dx = (x + x+1) dx = 2 3 4 4 4 a 1 0 0 2. Commen¸cant maintenant par l’int´egration par rapport ` a x puis continuant le calcul en int´egrant par rapport ` ay: – En int´egrant par rapport ` a x on obtient : ¸x=3 · Z b Z 3 9 1 3 1 2 x + x y+x = y + 12. f (x, y) dx = (x2 + xy + 1) dx = 3 2 2 a 0 x=0 – En int´egrant le r´esultat obtenu par rapport ` a y, on a : ¶ · ¸2 Z d µZ 3 Z 2 9 9 2 27 75 2 (xy + y + 1) dx dy = ( y + 12) dy = y + 12y = + 12 = .

4 4 4 c 0 1 2 1 On remarque dans cet exemple que les deux int´egrations ont donn´ee le mˆeme r´esultat. Ceci est dˆ u au th´eor`eme suivant : Th´ eor` eme 3.3.4 (Th´eor`eme de Fubini). Soient R = [a, b] × [c, d] un rectangle de R2 et f : R → R une fonction continue. Alors on a ¶ ¶ Z Z Z d µZ b Z b µZ d f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx.

R

c

a

a

c

xy Exemple Z Z 3.3.5. Soient R = [1, 2] × [0, 2], f : R → R d´efinie par f (x, y) = ye et I = f (x, y) dx dy. D’apr`es le th´eor`eme de Fubini, le calcule de I peut se faire de deux R

mani`eres : 1. En a x et puis par rapport ` a y, ce qui nous donne : Z 2 int´egrant d’abord par rapport ` 2y y yexy dx = [exy ]x=2 u x=1 = e − e . D’o` 1

Z I=

·

2

(e 0

2y

1 2y − e ) dy = e − ey 2 y

¸2 0

1 1 = e4 − e2 + .

2 2

2. En int´egrant d’abord par rapport ` a y et puis par rapport ` a x. En utilisant une int´egration par parties, on obtient : · ¸ µ ¶ Z 2 y xy 1 xy y=2 2 1 1 xy ye dy = e − 2e = − 2 e2x + 2 . x x x x x 0 y=0

´ 3.3. INTEGRALES DOUBLES

53

L’int´egration de ce dernier terme par rapport ` a x n´ecessite aussi une int´egration par parties : Z 1

2 µµ

2 1 − 2 x x

¶ 2x

e

1 + 2 x

¶

· ¸2 Z 2 2 2x 1 2x 1 dx = e dx − e dx − 2 x 1 1 x 1 x · ¸2 Z 2 Z 2 1 2x 1 2x 1 1 2x = e dx − e dx + e + 2 2 x 2 1 x 1 x 1 1 4 1 = e − e2 + .

2 2 Z

2

On remarque que le deuxi`eme calcul n’est pas ´evident par rapport au premier. Donc pour appliquer le th´eor`eme de Fubini, le choix de l’ordre d’int´egration est tr`es important.

Exercice 3.3.6. Sur le rectangle R = [0, 1] × [1, 2] calculer les int´egrales des fonctions suivantes : – – – –

3.3.2

f (x, y) = xy g(x, y) = x + y h(x, y) = x2 y `(x, y) = xy + cos x.

Int´ egrales sur les domaines non rectangles

© ª Soit D ⊂ R2 le domaine d´efini par D = (x, y) ∈ R2 / x ∈ [a, b] et u1 (x) ≤ y ≤ u2 (x) , o` u u1 et u2 sont deux fonctions `a variable r´eelle continues sur [a, b] (a < b). Si f : D ⊂ R2 −→ R une fonction continue, alors l’int´egrale de f sur D est donn´ee par Z b ÃZ

Z Z

!

u2 (x)

f (x, y) dx dy = D

f (x, y) dy a

dx.

u1 (x)

Exemple 3.3.7.

2 2 1. Soient D = {(x, R y) R ∈ R / x ≥ 0 et x ≤ y ≤ 1} (voir la figure 3.9) et f (x, y) = xy + x.

Calculons I = D f (x, y) dx dy

Z Z

Z

I =

1 µZ 1

f (x, y) dx dy = Z

= 0

D

1·

1 2 xy + xy 2

¸y=1

(xy + x) dy 0

x2

Z

dx = y=x2

¶

0

· ¸ 1 5 1 4 3 2 1 2 = − x − x + x = .

10 4 4 5 0

1µ

dx

¶ 1 4 3 3 − x − x + x dx 2 2

54

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

Fig. 3.9 – Le domaine D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 1 et x2 ≤ y ≤ 1} 2. Soient D le demi-disque sup´erieur de centre (0,0) et de rayon r (voir la figure 3.10) 2 et f (x, y) = x2 y. On d´ecrit Z D Z comme D = {(x, y) ∈ R / − r ≤ x ≤ r et 0 ≤ y ≤ p r2 − x2 }. Calculons I = f (x, y) dx dy.

D

Z Z

Z

I =

ÃZ

√

r2 −x2

Z

r

= −r

·

·

−r

1 2 2 x y 2

¸y=√r2 −x2

dx

0

Z

r

dx = −r

y=0

!

2

x y dy

f (x, y) dx dy = D

=

r

1 2 2 (r x − x4 ) dx 2

¸r r2 x3 x5 r5 r5 2r5 − = − = .

6 5 −r 3 5 15

D −r

r

Fig. 3.10 – Le demi-disque sup´erieur de centre (0, 0) et de rayon r

´ 3.3. INTEGRALES DOUBLES

55

On d´efinit de la mˆeme mani`ere l’int´egrale sur un domaine compris entre les courbes de deux ª © fonctions et de deux droites horizontales. Soit D = (x, y) ∈ R2 / v1 (y) ≤ x ≤ v2 (y) et c ≤ y ≤ d , o` u v1 et v2 sont deux fonctions `a variable r´eelle continues sur [c, d] (c < d). Si f : D ⊂ R2 −→ R une fonction continue, alors l’int´egrale de f sur D est donn´ee par !

Z Z Z ÃZ v2 (y)

d

f (x, y) dx

f (x, y) dx dy = D

dy.

v1 (y)

c

Exemple 3.3.8. Soit D le trap`eze form´e de 4 points A=(1,1), B = (5, 1), C = (2, 4) et D = (4, 4) (voir la figure ci-dessous). On d´ecrit D comme ½ ¾ y+2 16 − y 2 D = (x, y) ∈ R / 1 ≤ y ≤ 4 et ≤x≤ .

3 3 Calculons l’int´egrale de f (x, y) = x + y sur le trap`eze D. !

Z Z Z ÃZ 16−y 4

3

f (x, y) dx dy = D

Z = · =

1

4·

(x + y) dx

y+2 3

1

1 2 x + xy 2

dy

¸x=(16−y)/3

Z

4µ

¶ 2 8 − y 2 + y + 14 dy 3 3

dy = 1

x=(y+2)/3

2 8 − y 3 + y 2 + 14y 9 6

¸4

= 48.

1

5 4.5

y=4

D

4

C

3.5 3

D

x=(y+2)/3

2.5

x=(16−y)/3

2 1.5 1

A

B

y=1

0.5 0

0

1

2

3

4

5

6

Exercice 3.3.9. Soit D le triangle d´elimit´e par les droites y = 0, y = x + 1 et y = −x + 1.

Calculer les int´egrales des fonctions suivantes sur D. – f (x, y) = xy – g(x, y) = x + y – h(x, y) = x2 y – `(x, y) = xy + cos x.

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

56

3.4 3.4.1

Optimisation d’une fonction de deux variables Optimisation sans contrainte

Soient f : Λ → R une fonction d´efinie sur Λ un domaine de R2 et (a, b) ∈ Λ.

D´ efinition 3.4.1. On dit que 1. f admet un maximum global en (a, b) si f (a, b) ≥ f (x, y), ∀ (x, y) ∈ Λ.

2. f admet un maximum local en (a, b) s’il existe un disque Br de centre (a, b) et de rayon r > 0 tel que f (a, b) ≥ f (x, y), ∀ (x, y) ∈ Br .

3. f admet un minimum global en (a, b) si f (a, b) ≤ f (x, y), ∀ (x, y) ∈ Λ.

4. f admet un maximum local en (a, b) s’il existe un disque Br de centre (a, b) et de rayon r > 0 tel que f (a, b) ≤ f (x, y), ∀ (x, y) ∈ Br .

5. Si f admet un maximum local ou un minimum local en (a, b) sur Λ, on dit que (a, b) est un extremum local.

Proposition 3.4.2. Si f admet un extremum local en (a, b) et si f admet des d´eriv´ees partielles d’ordre 1 en (a, b), alors ∂f ∂f (a, b) = 0 et (a, b) = 0 (∇f (a, b) = (0, 0))) . ∂x ∂y

(3.4.1)

– La condition (3.4.1) s’appelle condition n´ ecessaire d’optimalit´e ou condition de premier ordre d’optimalit´e.

– Un point v´erifiant la condition (3.4.1) s’appelle point stationnaire ou point critique.

Remarque 3.4.3. La condition ∇f (a, b) = (0, 0) est n´ecessaire mais n’est pas suffisante.

C’est-` a-dire on peut avoir un point stationnaire de f et f ne pr´esente ni minimum ni maximum en ce point.

D´ efinition 3.4.4. Si f admet des d´eriv´ees de f en (a, b) par : ¯ 00 00 (a, b) ¯ fxx (a, b) fyx ¯ Hf (a, b) = ¯ ¯ f 00 (a, b) f 00 (a, b) xy yy

partielles d’ordre 2 en (a, b), on d´efinit le hessien ¯ ¯ ¡ 00 ¢2 ¯ 00 00 (a, b) × fyy (a, b) − fxy (a, b) . ¯ = fxx ¯

Exemple 3.4.5. Soit f : R2 → R la fonction d´efinie par f (x, y) = x3 +x2 y−3y 2 . En calculant les d´eriv´ees partielles d’ordre 2 de f , on obtient : ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f (x, y) = 6x + 2y, (x, y) = (x, y) = 2x, (x, y) = −6. ∂x2 ∂y∂x ∂x∂y ∂y 2 D’o` u le hessien de f en tout point (x, y) ∈ R2 est ¯ ¯ ¯ 6x + 2y 2x ¯ ¯ = −4x2 − 36x − 12y. ¯ Hf (x, y) = ¯ 2x −6 ¯ En particulier, pour les point (0,0), (1,1) et (-1,2), on a : Hf (0, 0) = 0, Hf (1, 1) = −52, Hf (−1, 2) = 8.

3.4. OPTIMISATION D’UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES

57

Th´ eor` eme 3.4.6. Soit f : R2 → R une fonction de classe C 2 au voisinage de (a, b) un point critique de f : fx0 (a, b) = 0 et fy0 (a, b) = 0.

00 (a, b) < 0, alors f admet un maximum local en (a, b).

– Si Hf (a, b) > 0 et fxx 00 (a, b) > 0, alors f admet un minimum local en (a, b).

– Si Hf (a, b) > 0 et fxx – Si Hf (a, b) < 0, alors f n’admet pas d’extremum local en (a, b). On dit que (a, b) est un point col ou un point selle.

– Si Hf (a, b) = 0, on ne peut pas conclure.

Exemple 3.4.7.

1. Soit f : R2 → R la fonction d´efinie par f (x, y) = 3xy − x3 − y 3 . D´eterminons les extremums de cette fonction.

Le gradient de f est : ∇f (x, y) = (3y − 3x2 , 3x − 3y 2 ).

Donc les points critiques de f v´erifient : ½ ½ 3y − 3x2 = 0 y = x2 =⇒ 3x − 3y 2 = 0. x − x4 = 0.

½ =⇒

y = x2 x = 0 ou x = 1

Les deux points critiques de f sont (0,0) et (1,1). Pour pr´eciser la nature de ces points critiques, on calcule le hessien de f : ¯ ¯ ¯ −6x 3x ¯ ¯ = 36xy − 9.

Hf (x, y) = ¯¯ 3x −6y ¯ On a : – Hf (0, 0) = −9 < 0, f n’admet pas d’extremum en (0,0), (0,0) est un point col de f .

00 (1, 1) = −6 < 0, f admet un maximum local en (1,1).

– Hf (1, 1) = 27 > 0 et fxx 2. Soit f : R2 → R la fonction d´efinie par f (x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 . D´eterminons les extremums de cette fonction.

Le gradient de f est : ∇f (x, y) = (3x2 + 4xy, 2x2 + 2y).

Donc les points critiques de f v´erifient : ½ ½ 3x2 + 4xy = 0 3x2 − 4x3 = x2 (3 − 4x) = 0 =⇒ 2 2x + 2y = 0. y = −x2 .

Les solutions de l’´equation x2 (3 − 4x) = 0 sont x = 0 et x = 34 .

– Si x = 0 l’´equation y = −x2 donne y = 0, donc le point (0,0) est un point critique de f.

9 9 – Si x = 34 l’´equation y = −x2 donne y = − 16 , donc le point ( 34 , − 16 ) est un point critique de f .

9 Les points susceptibles de donner un extremum sont (0,0) et ( 34 , − 16 ). Pour pr´eciser la nature de ces points critiques, on calcule le hessien de f : ¯ ¯ ¯ 6x + 4y 4x ¯ ¯ = −16x2 + 12x + 8y. ¯ Hf (x, y) = ¯ 4x 2 ¯ On a :

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

58

– Hf (0, 0) = 0 et d’apr`es le th´eor`eme 3.4.6, on ne peut pas conclure directement. On remarque que pour x > 0, f (x, 0) = x3 > f (0, 0) = 0, par contre f (−x, 0) = −x3 < f (0, 0) = 0, d’o` u f n’admet pas d’extremum en (0, 0) 9 – Hf ( 43 , − 16 ) = − 92 < 0, donc d’apr`es le th´eor`eme 3.4.6, f n’admet pas d’extremum en 9 9 ( 34 , − 16 ). De plus ( 34 , − 16 ) est un point col de f .

3.4.2

Optimisation sous contrainte

Dans cette derni`ere section, on s’int´er´esse `a l’optimisation d’une fonction de deux variables sous contrainte. Autrement dit, les deux variables x et y sont li´es par une ´equation cart´esienne ”contrainte” de type g(x, y) = 0. Le probl`eme s’´ecrit alors sous la forme : ½ optimiser f (x, y), (3.4.2) sous la contrainte g(x, y) = 0.

Pour r´esoudre le probl`eme ce probl`eme, on propose deux m´ethode : M´ ethode de substitution Si `a partir de l’´equation g(x, y) = 0, on peut exprimer y en fonction de x : y = h(x) (respectivement x en fonction de y : x = h(y)), on remplace y (respectivement x) par sa valeutr en fonction de x (respectivement y) dans f (x, y), alors f (x, y) = f (x, h(x)) = F (x) (respectivement f (x, y) = f (h(y), y) = F (y)) est une fonction d’une seule variable x et la recherche des extremums se fait `a l’aide de la m´ethode propos´ee dans le chapitre 2 (voir la section §2.6) pour les fonctions d’une seule variable.

Exemple 3.4.8. Trouver les extremums de f (x, y) = 3xy−x2 −y 2 sous la contrainte x−y−2 = 0.

Soit g la fonction d´efinie par g(x, y) = x − y − 2. A partir de l’´equation de la contrainte g(x, y) = 0, on peut exprimer y en fonction de x : y = x − 2 = h(x), donc F (x) = f (x, h(x)) = 3x(x − 2) − x2 − (x − 2)2 = x2 − 2x − 4.

Cherchons les points critiques de F : F 0 (x) = 2x − 2 = 0 ⇒ x = 1 Donc F admet un seul point critique a = 1 et comme F 00 (a) = 2 > 0 alors F admet un minimum local en a = 1. Par cons´equent, f admet un minimum local en (a, h(a)) = (1, −1) sous la contrainte x − y − 2 = 0.

M´ ethode des multiplicateurs de Lagrange Dans le cas g´en´eral, on utilise la m´ethode des multiplicateurs de Lagrange (dite aussi la m´ethode du lagrangien).

D´ efinition 3.4.9 (Lagrangien). Soit f, g : R2 → R deux fonctions de classe C 1 . Le Lagrangien associ´e ` a f et g est la fonction L : R3 → R d´efinie par : L(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y).

3.4. OPTIMISATION D’UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES

59

D´ efinition 3.4.10. Un point (x0 , y0 , λ0 ) est dit point stationnaire (ou critique) du Lagrangien L, si :  0 L (x , y , λ ) = fx0 (x0 , y0 ) + λ0 gx0 (x0 , y0 ) = 0,   x 0 0 0 L0y (x0 , y0 , λ0 ) = fy0 (x0 , y0 ) + λ0 gy0 (x0 , y0 ) = 0, ∇L(x0 , y0 , λ0 ) = 0 ⇔   0 Lλ (x0 , y0 , λ0 ) = g(x0 , y0 ) = 0.

D´ efinition 3.4.11. Soit f, g : R2 → R, o` u f est de classe C 2 et g de classe C 1 . Le hessien du Lagrangien associ´e ` a f et g au point (x0 , y0 , λ0 ) est : ¯ ¯ ¯ L00 L00 L00 ¯ ¯¯ L00 L00 g 0 ¯¯ xy ¯ xx ¯ 00 ¯ 00 ¯ ¯ xx xy x ¯ xλ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ Lxy gx0 ¯ ¯ Lxx gx0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ HL (x0 , y0 , λ0 ) = ¯ L00yx L00yy L00yλ ¯ = ¯¯ L00yx L00yy gy0 ¯¯ = gx0 ¯ ¯ − gy0 ¯ ¯ 00 0 00 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Lyy gy Lyx gy ¯ ¯ 00 ¯ ¯ Lλx L00λy L00λλ ¯ ¯ gx0 gy0 0 ¯ ¡ ¢ ¡ ¢ = gx0 gy0 L00xy − gx0 L00yy − gy0 gy0 L00xx − gx0 L00yx .

Th´ eor` eme 3.4.12. Soit f, g : R2 → R, o` u f est de classe C 2 et g de classe C 1 au voisnage de (x0 , y0 ) ∈ R2 . Avec (x0 , y0 , λ0 ) un point critique du Lagrangien associ´e ` a f et g : L0x (x0 , y0 , λ0 ) = L0y (x0 , y0 , λ0 ) = g(x0 , y0 ) = 0.

– Si HL (x0 , y0 , λ0 ) < 0, alors f admet un minimum local en (x0 , y0 ) sous la contrainte g(x, y) = 0.

– Si HL (x0 , y0 , λ0 ) > 0, alors f admet un maximum local en (x0 , y0 ) sous la contrainte g(x, y) = 0.

– Si HL (x0 , y0 , λ0 ) = 0, on ne peut pas conclure.

Exemple 3.4.13. On consid`ere le probl`eme d’optimisation suivant : ½ optimiser f (x, y) = x + y + 12, sous la contrainte x2 + y 2 − 1 = 0.

Le lagrangien associ´e ` a ce probl`eme est L(x, y, λ) = x + y + 12 + λ(x2 + y 2 − 1).

Le point (x, y, λ) est un point critique de L si et seulement si :  1     0 x=− λ 6= 0   2λ   1 + 2λx = 0  Lx (x, y, λ) = 0 1 L0 (x, y, λ) = 0 ⇔ 1 + 2λy = 0 ⇔ y = − λ 6= 0   2  y0 2  2λ x +y −1=0 Lλ (x, y, λ) = 0    1 −1=0 2λ2 On trouve donc λ1 =

p √ 2/2 et λ2 = − (2)/2, on a alors deux points critiques : √ √ √ λ1 = 2/2 ⇒ x1 = − 2/2 et y1 = − 2/2 √ √ √ λ2 = − 2/2 ⇒ x2 = 2/2 et y2 = 2/2.

(3.4.3)

60

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

Le hessien du lagrangien est ¯ ¯ ¯ 2λ 0 2x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 2x ¯ ¯ ¯−2y ¯ 2λ 2x HL (x, y, λ) = ¯¯ 0 2λ 2y ¯¯ = 2x ¯¯ ¯ ¯ 0 2y 2λ 2y ¯ 2x 2y 0 ¯

¯ ¯ ¯ = 2x(−4xλ)−2y(4yλ) = −8λ(x2 +y 2 ). ¯

√ En (x1 , y1 , λ1 ), le hessien HL (x√1 , y1 ,√λ1 ) = −4 2 < 0, donc le probl`eme (3.4.3)√ admet un √ 2 2 2 2 2 2 minimum local en (x1 , y1 ) = (− 2 , − 2 ) sous la contrainte x +y −1 = 0 et f (− 2 , − 2 ) = √ 12 − 2. √ En (x2 , y2 , λ2 ), le hessien HL (x√2 , y√ eme (3.4.3) √admet un 2 , λ2 ) = 4 2 > 0, donc le probl` √ 2 2 2 2 2 2 maximum local en (x2 , y2 ) = ( 2 , 2 ) sous la contrainte x + y − 1 = 0 et f ( 2 , 2 ) = √ 12 + 2. ¥