math S1 & S2 by anas Darif

Cours d’Analyse Math´ ematiques I

S. As Soulaimani∗

A. Ezziani?

Université Hassan II–Mohammedia, Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales A¨ın Sebâa ∗

sami.assoulaimani@gmail.com ? aezziani@gmail.com

Sciences Economiques et Gestion Automne 2009, S1

Attention Ce polycopié est en cours de préparation il est mis en ligne juste pour aider les étudiants a` réviser, il est (très) loin de sa version définitive.

Table des mati` eres 1 G´ en´ eralit´ es sur les ensembles 1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Fonctions d’une variable r´ eelle 2.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fonctions : définitions et propriétés . . . . . . . . . 2.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Parité et symétrie . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Convexité / Concavité . . . . . . . . . . . . 2.3 Limites et Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Théorèmes importants . . . . . . . . . . . . 2.4 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Rappels sur la fonction logarithme népérien 2.5.2 Rappels sur la fonction exponentielle . . . . 2.5.3 Logarithme et exponentielle de base a . . . 2.6 Optimisation et extremum locaux d’une fonction . 2.7 Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . 2.8 Formule de Taylor–Développements limités . . . . 2.8.1 Développements limités usuels . . . . . . . 2.8.2 Opérations sur les développements limités . 2.8.3 Application des développements limités . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 3 3 6 6 7 9 10 11 12 12 15 17 19 20 22 23 23 24 25 26 28 28 29 31 33 33 35 37

3 Fonctions de plusieurs variables r´ eelles 39 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1 Produit cart´esien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5

` TABLE DES MATIERES

3.2

3.3

3.4

3.1.2 L’ensemble R2 . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions de deux variables . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Limites et continuité . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Dérivées partielles d’ordre 2 . . . . . . . . Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Intégrales sur les rectangles . . . . . . . . 3.3.2 Intégrales sur les domaines non rectangles Optimisation d’une fonction de deux variables . . 3.4.1 Optimisation sans contrainte . . . . . . . 3.4.2 Optimisation sous contrainte . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

39 44 44 46 47 50 51 51 53 56 56 58

Chapitre 1

G´ en´ eralit´ es sur les ensembles 1.1

Ensembles

D´ efinition 1.1.1. Un ensemble est une collection d’objets. Les objets d’un ensemble sont encore appelés éléments de cet ensemble. Exemple 1.1.2.

1. IN = {0, 1, 2, 3, . . .} est l’ensemble des entiers naturels,

2. Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} est l’ensemble des entiers relatifs, 3. Q est l’ensemble des nombres rationnels, 4. R est l’ensemble des réels. Remarque 1.1.3. On convient qu’il existe un ensemble ne contenant aucun élément qu’on appellera l’ensemble vide. On le notera par ∅ (ou par { }). D´ efinition 1.1.4. Soient A et B deux ensembles non vides. B est dit sous ensemble de A ou contenu dans A si tous les éléments de B appartiennent ` a A. On note B ⊂ A. Exemple 1.1.5.

1. IN = {−1/2, 2, 3/5} est un sous-ensemble de Q.

R+

= {x ∈ R/ x ≥ 0} ⊂ R,

R−

= {x ∈ R/ x ≤ 0} ⊂ R,

4. R∗ = {x ∈ R/ x 6= 0} ⊂ R.

1.2

Op´ erations sur les ensembles

D´ efinition 1.2.1. Soit E un ensemble et B et C deux sous-ensembles de E. 1. L’intersection de B et de C est le sous-ensemble de E noté par B ∩ C et défini par B ∩ C = {x ∈ E / x ∈ B et x ∈ C}. 2. L’union (ou la réunion) de B et de C est le sous ensemble de E noté B ∪ C, défini par B ∪ C = {x ∈ E / x ∈ B ou x ∈ C}. 1

´ ERALIT ´ ´ SUR LES ENSEMBLES CHAPITRE 1. GEN ES

3. Le complémentaire de B dans E est le sous ensemble noté E \ B (ou CEB ), défini par CEB = {x ∈ E/ x 6∈ B }. Remarque 1.2.2. Il est très important de noter que pour que les opérations ∩ et ∪ aient un sens l’ordre des parenthèses est crutial1 . Propri´ et´ es 1.2.3. Soient A, B et C des ensembles quelconques. On a les propriétés suivantes – Commutativit´ e A ∩ B = B ∩ A. – Associativit´ e (A∩B)∩C = A∩(B ∩C) et de même pour la réunion on a (A∪B)∪C = A ∪ (B ∪ C). – Distributivit´ e On a (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Exemple 1.2.4. Soient les ensembles suivants E = {−6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {−6, −4, −2, 1, 2, 3} et C = {−4, 1, 2, 5, 7}. On a alors – B ∩ C = {−4, 1, 2}. – B ∪ C = {−6, −4, −2, 1, 2, 3, 5, 7} – B \ C = {−6, −2, 3} Exercice 1.2.5. En considérant le dernier exemple. Donner explicitement les ensembles suivants 1. B \ (C ∩ B) 2. CEB ∩ CEC 3. CEB∪C 4. CEB∩C 5. CEB ∪ CEC Propri´ et´ es 1.2.6. Soient E un ensemble non-vide et B et C deux sous-ensembles de E. On a 1. CEB∪C = CEB ∩ CEC 2. CEB∩C = CEB ∪ CEC . ¥

1 En effet regardons l’exemple suivant : Soient A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}, B = {−2, 1, 2, 3} et C = {−4, 1, 2, 5, 7}. L’écriture A ∪ B ∩ C aura différentes lectures qui donnerait des résultats différents.

1. Si on lit l’expression A ∪ B ∩ C comme ¸ca (A ∪ B) ∩ C alors on a (A ∪ B) ∩ C = {1, 2}, 2. et si la lecture se fait de cette mani`ere A ∪ (B ∩ C), on alors A ∪ (B ∩ C) = A. Il est clair que A ∪ (B ∩ C) 6= (A ∪ B) ∩ C

Chapitre 2

Fonctions d’une variable r´ eelle 2.1

Applications

D´ efinition 2.1.1 (Application). Soient E et F deux ensembles quelconques non-vides. – Une application f allant de E vers F est une correspondance entre les éléments de E et les éléments de F telle que ` a chaque élément de E on fait correspondre au plus1 un seul élément de F . – L’ensemble E est dit l’ensemble de d´ epart. F est dit l’ensemble d’arriv´ ee. – Si x ∈ E et y ∈ F tels que f (x) = y, alors x est dit un ant´ ec´ edent de y, et y est dite l’image de x par f . f E

g E

Fig. 2.1 – f est une application et g n’est pas une application

Exemple 2.1.2. 1. Soient E = R et F = Z on définit par f la ”correspondance“ E(x) (la partie entière de x). E(x) est une application car E(x) est un seul élément pour tout 1

Ce qu’on veut dire par l` a c’est que un ´el´ement de E peut avoir soit une image par f ou ne pas avoir d’image du tout.

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

x ∈ R. Remarquer que tous les éléments de [0, 1[ ont la même image 0, pourtant ceci ne dérange pas le fait que E(·) soit une application. 2. Regardons la fonction f (x) = |x|. On veut montrer que la dérivée de cette fonction n’est pas une application. On sait que ½ x quand x ≥ 0, f (x) −x quand x ≤ 0. Alors on a

½ f 0 (x)

1 quand x ≥ 0, −1 quand x ≤ 0.

On remarque que f 0 (0) = {−1, 1}. Donc f ’(x) n’est pas une application. D´ efinition 2.1.3 (Composée de deux applications). Soient f une application de E dans F1 et g une application de F2 dans G. Si F1 ⊂ F2 , l’application x 7−→ g(f (x)) définie sur E ` a valeurs dans G est appelée composée des applications g et f , on la note g ◦ f .

F1 c F2

go f Exemple 2.1.4. 1. Soient les deux applications : f : R −→ R+ g : R −→ R et x 7−→ x2 x 7−→ 1 − x la compos´ee de g et f est donn´ee par : h = gof : R −→ R x 7−→ g(f (x)) = g(x2 ) = 1 − x2 2. Soient les deux applications : + f : R −→ R+ g : R− −→ R √ et x 7−→ x2 x 7−→ −x

Ici, le domaine d’arrivée de f est R+ . Or le domaine de départ de g est R− . La fonction g ◦ f n’a donc pas de sens ici (puisque R+ 6⊂ R− ). Remarque 2.1.5. – La composition de fonctions n’est généralement pas commutative : f ◦ g 6= g ◦ f . – La composition de fonctions est associative : f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h. D´ efinition 2.1.6 (Injective, surjective, bijective). Soient E et F deux ensembles quelconques et f : E −→ F une application.

2.1. APPLICATIONS

i) L’application f est injective si et seulement si f (x1 ) = f (x2 ) alors x1 = x2 ii) L’application f est surjective si et seulement si f (E) = F iii) L’application f est bijective si est seulement si elle est ` a la fois surjective et injective.

(a) Application injective

(b) Application surjective

Remarque 2.1.7. 1. i) est équivalente au fait que chaque élément dans F a au plus un antécédent dans E. Elle est aussi équivalente ` a si x1 6= x2 alors f (x1 ) 6= f (x2 ). 2. ii) est équivalente au fait que tout élément de F a au moins un antécédent dans E (c’est-` a-dire ∀ y ∈ F, ∃ x ∈ E tel que f (x) = y). 3. iii) de la définition est équivalente au fait que tout élément de F a un unique antécédent dans E (c’est-` a-dire ∀ y ∈ F, ∃! x ∈ E tel que f (x) = y). D´ efinition 2.1.8 (Application réciproque). Soit f une application bijective de E dans F , on appelle application réciproque de f notée f −1 l’application de F dans E qui ` a tout élément y de F associé un unique antécédent x de E par f . Remarque 2.1.9. a- f −1 ◦ f (x) = x, ∀ x ∈ E. b- f ◦ f −1 (y) = y, ∀ y ∈ F . Exemple 2.1.10 (Application injective). Soient E =]0, 1], F = [0, 2] et f (x) = x2 . On sait alors que f est injective car si f (x) = f (y) alors on a x2 = y 2 (x − y)(x + y) = 0 donc x − y = 0, car x + y > 0 puisque x, y ∈]0, 1]. Remarquer que si on prend un autre ensemble de départ E = [−1, 1] par exemple, le raisonnement qui précède ne tient plus et on a de plus que f (1) = f (−1) = 1. On conclut que le fait qu’une application soit injective ou non dépend aussi de l’ensemble de départ.

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

Exemple 2.1.11 (Application surjective). Soient E = [−1, 1], F = [−1, 1] et f (x) = x3 . Il est très facile de voir ici que f (E) = F donc f est surjective. Remarquer que si on change l’ensemble d’arrivée F en le mettant plus grand (au sens de l’inclusion) f n’est plus surjective. Exercice 2.1.12 (Application bijective). Soient E = R, F = R+,∗ et f (x) = ex . Montrer que f est bijective et déterminer l’application réciproque f −1 .

2.2 2.2.1

Fonctions : d´ efinitions et propri´ et´ es D´ efinitions

D´ efinition 2.2.1 (Fonctions, Domaine de définition, Courbe). – Une fonction est une application numérique. – Le domaine de définition d’une fonction f donnée, noté par Df est l’ensemble dans lequel la fonction est bien définie : c’est-` a-dire si x ∈ Df alors f (x) existe (ou a un 2 sens) – La courbe (ou graphe) de la fonction f dans un repère orthonormé, notée par Cf , est l’ensemble suivant Cf = {(x, y) ∈ Df × R tel que y = f (x)}. Exemple 2.2.2. Considérons les fonctions suivantes. 1. Soit f (x) = 1/x. Df = R∗ . √ 2. Soit g(x) = x. Dg = R+ . 3. Soit h(x) = ln(x). Dh = R+,∗ . 4. Soit z(x) = ln( √1x ). Donner Dz ?

3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

Fig. 2.2 – Courbe de la fonction x 7−→

√ x

Il est ` a noter que comme dans le langage courant la composition des mots dans √ une phrase s’il ne respectent pas un ordre pr´ecis n’auraient aucun sens. Ainsi pour les math´ematiques 1/0, −3, n’ont aucun sens..

´ ´ ES ´ 2.2. FONCTIONS : DEFINITIONS ET PROPRIET

Remarque 2.2.3. Soit h = g ◦ f : E ⊂ R −→ G ⊂ R la fonction composée des fonctions g et f . Le domaine de définition de h est défini par : Dg◦f = {x ∈ E / x ∈ Df etf (x) ∈ Dg }. Exemple 2.2.4. On considère les deux fonctions : f : R −→ R x 7−→

g : R −→ R

et 1 x−2

On calcule facilement la fonction compos´ee g ◦ f : µ g ◦ f (x) = g(f (x)) = g

x 7−→

1 x−2

2x + 1 x−1

¶ , ∀ x 6= 2

1 +1 x x−2 = , ∀ x 6= 3, 1 3−x −1 x−2

2 =

et son domaine de d´efinition Dg◦f

= {x ∈ R / x ∈ Df et f (x) ∈ Dg } 1 6= 1} x−2 = {x ∈ R / x 6= 2 et x 6= 3}

= {x ∈ R / x 6= 2 et

= R \ {2, 3}.

2.2.2

Parit´ e et sym´ etrie

D´ efinition 2.2.5 (Fonction paire). Soit f : Df 7→ R une fonction telle que i) si x ∈ Df alors −x ∈ Df , ii) on a f (x) = f (−x), Alors f est dite fonction paire. Remarque 2.2.6. Une fonction paire est une fonction qui est symétrique par rapport ` a l’axe des ordonnées. Il est ` a noter que la raison principale de l’étude de la parité est le fait que l’on se restreint sur la partie positive (ou négative) de Df quand on étudie la fonction f . Exemple 2.2.7. Les fonctions suivantes sont des fonctions paires. 1. Soit f (x) = 1/x2 . Df = R∗ . √ 2. Soit g(x) = x4 + 2x2 + 1. Dg = R. 3. Soit h(x) = ln(|x|). Dh = R∗ . D´ efinition 2.2.8 (Fonction impaire). Soit f : Df 7→ R une fonction telle que i) si x ∈ Df alors −x ∈ Df , ii) on a f (−x) = −f (x), Alors f est dite fonction impaire.

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

Remarque 2.2.9. Une fonction impaire est une fonction qui est symétrique par rapport ` a l’origine. Exercice 2.2.10. Montrer que : – les fonctions suivantes sont impaires. 1. Soit f (x) = 1/x3 . Df = R∗ . 2. Soit g(x) = x3 + 2x. Dg = R. 3. Soit h(x) = sin(x3 + 2x). Dh = R. – Une fonction paire n’est pas une fonction injective. – Peut on dire qu’une fonction impaire est injective3 ? – Si f (x) est paire et que g(x) est paire alors f (g(x)) est paire. Que dire si f est paire (resp. impaire) et que g est impaire (resp. paire) ? Th´ eor` eme 2.2.11. Soient f une fonction définie sur Df , et a un réel quelconque, tels que Df est symétrique par rapport au point a. – Si pour tout x ∈ Df on a f (a − x) = f (a + x), alors Cf est symétrique par rapport ` a l’axe x = a. – Si pour tout x ∈ Df on a f (a − x) + f (a + x) = b, 2 alors la courbe Cf est symétrique par rapport au point M (a, b). Exemple 2.2.12. Soit f (x) = (x − 1)2 . On veut montrer que Cf est symétrique par rapport ` a l’axe x = 1. Il est facile de voir que Df = R, donc Df est symétrique par rapport ` a 1. On a ¡ ¢2 f (1 − x) = (1 − x) − 1 =(−x)2 = x2 . de même

¡ ¢2 f (1 + x) = (1 + x) − 1 =x2 .

Donc on a montr´e que f (1 + x) = f (1 − x).

Exemple 2.2.13. Soit f (x) = (x − 1)3 . On veut montrer que Cf est sym´etrique par rapport au point M (1, 0). Df = R, donc Df est sym´etrique par rapport ` a 1. On a ¡ ¢3 f (1 − x) = (1 − x) − 1 =(−x)3 = −x3 . 3

Indication : Regarder la fonction

  −1 0 f (x)  1

si x < 0 si x=0 si x > 0

´ ´ ES ´ 2.2. FONCTIONS : DEFINITIONS ET PROPRIET

100 90 80 70 60 50 x=1 40 30 20 10 0

−8

−6

−4

−2

Fig. 2.3 – La courbe de x −→ (x − 1)2

de mˆeme

¡ ¢3 f (1 + x) = (1 + x) − 1 =x3 .

Donc on a montr´e que f (1 + x) + f (1 − x) −x3 + x3 = = 0. 2 2

1000 800 600 400 200

M(1,0)

0 −200 −400 −600 −800 −1000

−8

−6

−4

−2

Fig. 2.4 – La courbe de x −→ (x − 1)3

2.2.3

Monotonie

D´ efinition 2.2.14. Soit une fonction f : I 7→ R o` u I ⊂ Df est un intervalle donn´e. i) On dit que f est croissante dans I si pour tout x, y ∈ I tels que x ≤ y on a f (x) ≤ f (y).

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

ii) On dit que f est d´ ecroissante4 dans I si pour tout x, y ∈ I tels que x ≤ y on a f (y) ≤ f (x). Remarque 2.2.15. La croissance ou la décroissance d’une fonction est une propriété locale en général. En effet une fonction donnée peut être croissante sur un intervalle I et décroissante sur un autre intervalle J. Pour s’en convaincre facilement regardons l’exemple suivant : f (x) = |x|, cette fonction est décroissante sur R− mais croissante sur R+ . Exemple 2.2.16. Soit f (x) = x3 . On a Df = R, et on veut monter que f est croissante sur Df . En effet, soient x, y ∈ Df tel que x ≤ y. Calculons le signe f(x)-f(y) On a f (x) − f (y) = x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 ) 1 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 + y 2 ) 4 4 1 2 3 2 = (x − y)((x + y) + y ) ≤ 0. 2 4 On a donc montré que si x, y ∈ Df tel que x ≤ y alors f (x) ≤ f (y). Par conséquence f est croissante

2.2.4

P´ eriodicit´ e

D´ efinition 2.2.17 (Fonction périodique). Une fonction f : E ⊂ R −→ R est périodique, s’il existe un nombre T non nul (T 6= 0) tel que f (x + T ) = f (x), ∀ x ∈ E. Exemple 2.2.18. On considère la fonction cosinus : cos : R −→ [−1, 1] x 7−→ cos(x) La fonction cosinus est périodique de période 2π. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

2π

−0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

−10

−5

Fig. 2.5 – La courbe de x −→ cos(x)

Comme définition équivalente, on peut dire que f est décroissante sur I ssi −f est croissante sur I.

´ ´ ES ´ 2.2. FONCTIONS : DEFINITIONS ET PROPRIET

Exercice 2.2.19. Soit f : R −→ R une fonction p´eriodique de p´eriode T . – Montrer que f (x + kT ) = f (x), ∀ x ∈ E, k ∈ Z. – Montrer que f n’est pas injective.

2.2.5

Convexit´ e / Concavit´ e

f (x)

d f (c) f (y) x

c = λx + (1 − λ)y d = λf (x) + (1 − λ)f (y)

Fig. 2.6 – Fonction convexe

f (x)

f (c)

d f (y)

c = λx + (1 − λ)y d = λf (x) + (1 − λ)f (y)

Fig. 2.7 – Fonction concave

D´ efinition 2.2.20. Soit une fonction f : I 7−→ R o` u I ⊂ Df est un intervalle donn´e.

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

i) On dit que f est convexe5 dans I si pour tout x, y ∈ I et λ ∈ [0, 1] on a ¡ ¢ f λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y). ii) On dit que f est concave6 dans I si pour tout x, y ∈ I et λ ∈ [0, 1] on a ¡ ¢ f λx + (1 − λ)y ≥ λf (x) + (1 − λ)f (y). Remarque 2.2.21. Il est important de noter que la convexité / concavité d’une fonction est un caractère locale. En effet une fonction peut être convexe sur un intervalle et concave sur un autre. Pour s’en convaincre regarder la fonction x3 qui concave sur R− et convexe sur R+ . Exemple 2.2.22. La fonction f (x) = x2 est convexe sur R. En effet, soient x, y ∈ R et λ ∈ [0, 1]. Il suffit de montrer que ¡ ¢ ¡ ¢ f λx + (1 − λ)y − λf (x) + (1 − λ)f (y) ≤ 0. On a ¡ ¢ ¡ ¢ f λx + (1 − λ)y − λf (x) + (1 − λ)f (y) = λ2 x2 + (1 − λ)2 y 2 + 2λ(1 − λ)xy − λx2 − (1 − λ)2 y 2 = (λ2 − λ)x2 + (λ2 − λ)y 2 + 2λ(1 − λ)xy = λ(1 − λ)(−x2 − y 2 + 2xy) = −λ(1 − λ)(x + y)2 ≤ 0.

2.3 2.3.1

Limites et D´ eriv´ ees Limites

D´ efinition 2.3.1. Soient ` et a deux r´eels et f une fonction d´efinie sur Df . On dit que la limite de f quand x tend vers a est `, que l’on note comme suit lim f (x) = `,

x→a

si lorsque x s’approche de a f (x) s’approche de `. Remarque 2.3.2. 1. On peut avoir a = ±∞ et ` = ±∞. 2. Il est important de noter que pour que l’expression lim f (x) = ` ait un sens, il n’est x→a pas n´ecessaire que a ∈ Df . 5

De manière très formelle on peut dire qu’une fonction est convexe sur un intervalle I si ` a chaque fois qu’une droite coupe son graphe en deux points sur I on aura que la droite est en bas du graphe dans la zone d’intersection.. 6 Comme définition équivalente, on peut dire que f est concave sur I si et seulement si −f est convexe sur I.

´ ´ 2.3. LIMITES ET DERIV EES

D´ efinition 2.3.3. – On dit que la limite ` a droite de f quand x tend vers a est `, que l’on note comme suit lim f (x) = `, x→a+

si lorsque x s’approche de a avec x > a, f (x) s’approche de `. – On dit que la limite ` a gauche de f quand x tend vers a est `, que l’on note comme suit lim f (x) = `,

x→a−

si lorsque x s’approche de a avec x < a, f (x) s’approche de `. Exemple 2.3.4. 1. Soit la fonction f d´efinie comme suit f (x) =

x2 −1 x−1 .

x2 − 1 (x − 1)(x + 1) = lim x→1 x − 1 x→1 x−1 lim

On a : = lim (x + 1) = 2. x→1

2. Soit f : R −→ R la fonction d´efinie par g(x) = x1 . On a : lim g(x) = +∞ et lim g(x) = −∞.

x→0+

x→0−

Th´ eor` eme 2.3.5. f admet une limite ` en a si et seulement si lim f (x) = lim f (x) = `. x→a+

x→a−

Propri´ et´ es 2.3.6. Soient a, b deux r´eels, et f , g et h des fonctions. – Asymptotes : Si on a lim f (x) − (ax + b) = 0, x→±∞

alors la droite d’´equation y = ax + b est une asymptote ` a la courbe Cf en ±∞. – Gendarmes : Soit I un intervalle de R . Si 1. pour tout x ∈ I \ {a} on a g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), 2. et lim g(x) = lim h(x) = b, x→a

x→a

alors on a lim f (x) = b.

x→a

– Gendarmes en +∞ : Si f et g sont d´efinies sur un intervalle I du type [a, +∞[ et 1. pour tout x ∈ I on ait g(x) ≤ f (x), 2.

lim g(x) = +∞,

x→+∞

alors lim f (x) = +∞.

x→+∞

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

Exemple 2.3.7. On considère la fonction : f : R+ −→ R 1 + x. x On a lim f (x) − x = 0, par conséquent la droite d’équation y = x est une asymptote ` a Cf x→+∞ en +∞. x 7−→

20 18 16 14 12 10 8 6 4

y=x

2 0

sin(x) . Montrer que lim f (x) = 07 x→±∞ x Propri´ et´ es 2.3.9 (Op´erations sur les limites). Soient deux fonctions f (x) et g(x) deux fonctions admettant comme limite respectivement `1 et `2 (ou ±∞) quand x tend vers a, +∞ ou −∞, on a alors 1. Addition Exercice 2.3.8. Soit f (x) =

f (x)

+∞

−∞

+∞

g(x)

∞

−∞

+∞

f (x) + g(x)

`1 + `2

∞

ind´ etermin´ ee

−∞

+∞

2. Multiplication

f (x)

`1 6= 0

∞

g(x)

∞

f (x) × g(x)

`1 × `2

∞

ind´ etermin´ ee

∞

Indication : utiliser la propri´et´e des gendarmes.

´ ´ 2.3. LIMITES ET DERIV EES

3. Division

f (x)

`1 6= 0

∞

g(x)

`2 6= 0

∞

f (x)/g(x)

`1 /`2

∞

ind´ etermin´ ee

Formes ind´ etermin´ ees Les formes indéterminées sont les formes pour lesquelles on ne 0 ∞ peut pas conclure immédiatement. Il s’agit de (+∞) + (−∞), 0 × ∞, , et 1+∞ . Pour 0 ∞ chacune de ces situations il faut lever l’indétermination. Exemple 2.3.10. x3 − 2x2 − 1 x3 (1 − 2/x − 1/x3 ) = lim = 1/2. x→+∞ x→+∞ 2x3 + 2 x3 (1 + 2/x3 ) lim

Remarque 2.3.11. Un ploynˆ ome se comporte comme son terme de plus haut degr´e quand x tend vers l’infini : 1. Soit P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn un polynˆ ome de degr´e n. On a alors lim P (x) = x→∞ n lim an x . x→∞

2. Soient P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn et Q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm deux polynˆ omes de degr´e respectivement n et m on alors P (x) an bn = lim x→∞ Q(x) x→∞ bm xm lim

Exemple 2.3.12.

– x2 + x − 2 (x − 1)(x + 2) x+2 = lim = lim = 3/5. 2 x→1 x + 3x − 4 x→1 (x − 1)(x + 4) x→1 x + 4 lim

– √ √ x2 + x − 2 (x2 + x − 2)( x + 1) (x − 1)(x + 2)( x + 1) √ √ = lim √ = lim = 6. x→1 x→1 ( x − 1)( x + 1) x→1 x−1 x−1 lim

2.3.2

Continuit´ e

D´ efinition 2.3.13. (Continuit´e) Soit une fonction f d´efinie sur Df . 1. On a dit que f est continue en un point a ∈ Df si lim f (x) = f (a).

x→a

Si de plus f est continue en tout point de Df alors on dit simplement que f est continue.

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

2. On dit que f est discontinue en asi f n’est pas continue en a. Th´ eor` eme 2.3.14. f est continue en un point a si est seulement si lim f (x) = lim f (x) = x→a+

f (a).

x→a−

(a) Fonction continue

Exemple 2.3.15.

(b) Fonction discontinue en a

– Soit f la fonction d´efinie par f : R −→ R   x + 1 si x < 1 3/2 si x = 1 x 7−→  2 − x si x > 1

f est discontinue en 1. – Soit g la fonction d´efinie par g : R −→ R ½ x si x ≤ 1 x 7−→ 2 − x si x > 1 g est continue en 1 ( lim g(x) = lim g(x) = 1 = g(1)). x→1+

x→1−

1.5

0.5

−0.5

−1

−0.5

−1.5

−1

−2

−1.5

−2.5

−2

−3

−2.5

−3.5

−3 −4

−3

−2

−1

−4 −4

−3

−2

−1

(d) Cg

´ ´ 2.3. LIMITES ET DERIV EES

Remarque 2.3.16. La plupart des fonctions usuelles sont continues sur leurs domaines de définition : les polynˆ omes, les fonctions racines (n’ièmes), les sin et cos. La composée, le produit, la somme, la différence, les fractions faites par des fonctions continues sont continues sur le domaine de définition de la fonction résultante8 de ces opérations. Th´ eor` eme 2.3.17. (Théorème de valeurs intermédiaires T.V.I) 1. Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, 2. Soient a < b tels que a et b appartiennent ` a I. Pour tout réel k compris entre f (a) et f(b) il existe un c ∈ [a, b] tel que f (c) = k. Si de plus la fonction f est strictement monotone alors on sait qu’il existe un unique c ∈ [a, b] tel que f (c) = k. Cas particulier : si f est continue sur [a, b] et si f (a) · f (b) < 0. Alors ∃c ∈]a, b[ tel que f (c) = 0. Th´ eor` eme 2.3.18 (Théorème de Weierstrass). Soit f une fonction continue sur [a, b] ⊂ R, alors i) f est bornée sur [a, b] : ∃ A ≥ 0 tel que |f (x)| ≤ A ∀ x ∈ [a, b]. ii) f atteint ses bornes : – ∃β ∈ [a, b] tel que M = sup f (x) = f (β), x∈[a,b]

– ∃α ∈ [a, b] tel que m = inf f (x) = f (α). x∈[a,b]

2.3.3

D´ eriv´ ee

D´ efinition 2.3.19 (Dérivée). Soient f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a ∈ I. – On dit que f est dérivable en a si f 0 (a) = lim

x→a

f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim h→0 x−a h

existe et finie. – On dit que f est d´erivable ` a droite en a si fd0 (a) = lim

x→a+

f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim + x−a h h→0

existe et finie. 8

Ce qu’on veut dire par l` a c’est que si f est continue et g et continue alors f.g est continue sur D(f.g) de mˆeme pour f /g qui est continue sur D(f /g) et non Df ∩ Dg.

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

– On dit que f est d´erivable ` a gauche en a si fg0 (a) = lim

x→a−

f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim x−a h h→0−

existe et finie. Th´ eor` eme 2.3.20. f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable ` a droite et ` a gauche et fd0 (a) = fg0 (a). Th´ eor` eme 2.3.21. Si f est dérivable en a alors f est continue en a. Remarque 2.3.22. La réciproque de ce théorème est fausse en générale. Exemple 2.3.23. Soit la fonction f (x) = |x|. f est continue en 0 et (0) x – fd0 (0) = lim f (x)−f = lim |x| x−0 x = lim x = 1 –

fd0 (0)

x→0+

(0) lim f (x)−f x−0 x→0−

lim |x| x→0− x

x→0+

−x x→0− x

= lim

= −1

fd0 (0) 6= fg0 (0), donc f n’est pas d´erivable en 0. 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 −5

Interpr´ etation g´ eom´ etrique de la d´ eriv´ ee Si f est dérivable en un point a alors f 0 (a) désigne la pente ou le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f (Cf ) au point d’abscisse a. L’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse a est y = f 0 (a)(x − a) + f (a). Cas particuliers 1. Si f 0 (a) = 0 alors Cf admet une tangente horizontale au point a. 2. Si lim

x→a

f (x)−f (a) x−a

= ±∞ alors Cf admet une tangente verticale au point a.

Remarque 2.3.24. Si f 0 d(a) 6= f 0 g(a) alors la demi-tangente ` a droite est différente de la demi-tangente ` a gauche au point a, on dit alors que Cf admet un point anguleux au point a (voir par exemple la courbe précédente)

´ ´ 2.3. LIMITES ET DERIV EES

Op´ erations sur les d´ eriv´ ees Somme Si f et g sont dérivables en a. Alors f + g est dérivable en a et (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a). Multiplication par un scalaire Si f est dérivable en a. Alors ∀ α ∈ R, (αf ) est dérivable en a et (αf )0 (a) = αf 0 (a). Produit Si f et g sont dérivables en a. Alors f g est dérivable en a et (f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a). µ ¶0 f f Division Si f et g sont dérivables en a et g(a) 6= 0. Alors est dérivable en a et (a) = g g 0 0 f (a)g(a) − f (a)g (a) . g(a)2 Compos´ ee Si f est dérivable en a et si g est dérivable en f (a). Alors g ◦ f est dérivable en a et (g ◦ f )0 (a) = g 0 (f (a)) × f 0 (a). R´ eciproque Soient f : I −→ J une fonction bijective. Si f est dérivable en x et f 0 (x) 6= 0. Alors f −1 est dérivable en y = f (x) et (f −1 )0 (y) = [f 0 (x)]−1 = [f 0 (f −1 (y))]−1 Puissance Si f est dérivable en a. Alors ∀ n ∈ IN∗ , f n est dérivable en a et (f n )0 (a) = nf n−1 (a) × f 0 (a). f (x) α (α ∈ R) ax + b (a, b ∈ R) xn (n ∈ IN∗ ) 1 x √ x

[0, +∞[

ln x

]0, +∞[

xα

ex (α ∈ R∗ ) sin x cos x tan x

Df R R R R∗

R ]0, +∞[ R R R \ {π/2 + kπ / k ∈ Z}

arctan(x)

f 0 (x) 0 a nxn−1 1 − 2 x 1 √ 2 x 1 x ex αxα−1 cos x − sin x 1 + tan2 (x) 1 1 + x2

Df 0 R R R R∗ ]0, +∞[ ]0, +∞[ R ]0, +∞[ R R Dtan R

Tab. 2.1 – Tableau des d´eriv´ees usuelles

2.3.4

D´ eriv´ ees successives

D´ efinition 2.3.25. Soit f une fonction dérivable en un point a 1. Si f 0 est dérivable en a. On dit alors que f est deux fois dérivable en a ou que f admet une dérivée seconde en a. On la note f 00 (a).

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

2. Si f 00 est dérivable en a. On dit alors que f est trois fois dérivable en a. On la note f (3) (a). 3. Si f (n) est dérivable en a. On dit alors que f est n + 1 fois dérivable en a. On la note f (n+1) (a). 4. Si f est n fois dérivable sur un intervalle I et si f (n) est continue sur I. On dit alors que f est de classe C n sur I. 5. On dit que f est de classe C ∞ sur I, si f est indéfiniment dérivable sur I. Exemple 2.3.26. f (x) = 5x3 − 3x2 + 7x − 22, Df = R. Pour tout x ∈ R, on a : f 0 (x)

= 15x2 − 6x + 7

f 00 (x)

= 30x − 6

f (3 )(x) = 30 f (n) (x) = 0, ∀n ≥ 4

2.3.5

Th´ eor` emes importants

Th´ eor` eme 2.3.27 (Théorème de Rolle). Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ telle que f (a) = f (b) alors ∃ c ∈]a, b[ telle que f 0 (c) = 0.

Remarque 2.3.28. L’hypothèse de la dérivabilité sur ]a, b[ est nécessaire pour appliquer le théorème de Rolle. Exemple 2.3.29. f (x) = |x| est continue sur [−1, 1] et f (−1) = f (1) = 1. Pourtant f 0 ne s’annule pas sur ]−1, 1[. On n’a pas pu appliquer le théorème de Rolle car f n’est pas dérivable sur ] − 1, 1[ (f n’est pas dérivable en 0). Th´ eor` eme 2.3.30 (Théorème des accroissements finis (T.A.F)). Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ alors ∃ c ∈]a, b[ telle que f 0 (c) =

f (b) − f (a) b−a

´ ´ 2.3. LIMITES ET DERIV EES

Remarque 2.3.31. Le théorème de Rolle est un cas particulier du théorème des accroissements finis. Th´ eor` eme 2.3.32. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I 1. Si f 0 (a) ≥ 0, ∀ a ∈ I. Alors f est croissante sur I. 2. Si f 0 (a) ≤ 0, ∀ a ∈ I. Alors f est décroissante sur I. 3. Si f 0 (a) > 0, ∀ a ∈ I. Alors f est strictement croissante sur I. 4. Si f 0 (a) < 0, ∀ a ∈ I. Alors f est strictement décroissante sur I. 5. Si f 0 (a) = 0, ∀ a ∈ I. Alors f est constante sur I. Th´ eor` eme 2.3.33 (de la bijection). Soit f : I → R, si f est continue et strictement monotone sur I. Alors f est bijective sur f (I). Th´ eor` eme 2.3.34. Soit f deux fois dérivable sur un intervalle I. 1. Si f 00 (x) ≥ 0, ∀ x ∈ I. Alors f est convexe sur I. 2. Si f 00 (x) ≥ 0, ∀ x ∈ I. Alors f est concave sur I. Exemple 2.3.35. 1. f (x) = x2 est convexe sur R. 2. g(x) = x3 est convexe sur [0, +∞[ et concave sur ] − ∞, 0].

R` egle de l’Hˆ opital Si f et g sont deux fonctions continues sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[ avec f (a) = g(a) = 0 0 (x) (x) = ` alors lim fg(x) = `. alors si lim fg0 (x) x→a

x→a

Remarque 2.3.36. La règle de l’Hˆ opital est un outil très puissant pour calculer les limites dans le cas des formes indéterminées (voir les exemples ci-dessous). Exemple 2.3.37. ex −x−1 . x→0 x sin x

1. lim

On pose f (x) = ex − x − 1 et g(x) = x sin x, on a :

– lim f (x) = 0 et lim g(x) = 0 x→0

x→0

– f 0 (x) = ex − 1, g 0 (x) = sin x + x cos x, lim f 0 (x) = 0 et lim g 0 (x) = 0 x→0

x→0

– f 00 (x) = ex , g 0 (x) = 2 cos x − x sin x, lim f 00 (x) = 1 et lim g 00 (x) = 2. x→0

D’apr`es la r`egle de l’Hˆ opital, on obtient :

x→0

ex − x − 1 f (x) f 0 (x) f 00 (x) = lim = lim 0 = lim 00 = 1/2. x→0 x→0 g(x) x→0 g (x) x→0 g (x) x sin x lim

p lim x − x2 − x =

x→+∞

lim

1−

x→+∞

lim

h→0

√1 2 1−h

p √ 1 − 1/x 1− 1−h = lim (h = 1/x) h→0 1/x h = 1/2

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

2.4

Branches infinies

1. Si lim f (x) = ∞, alors la droite d’´equation x = a est une asymptote verticale `a la x→a courbe Cf .

x=a

Exemple : la droite d’équation x = 0 est une asymptote verticale à la courbe de f (x) = 1/x. 2. Si lim f (x) = a, alors la droite d’équation y = a est une asymptote horizontale à Cf . x→∞

y=a Cf

Exemple : la droite d’´equation y = 0 est une asymptote horizontale `a la courbe de f (x) = 1/x. f (x) 3. Si lim = ∞, on calcule lim x→∞ x→∞ x

2.5. FONCTIONS USUELLES

f (x) = ∞, alors Cf admet une branche parabolique de direction asymptox→∞ x tique l’axe des ordonnées (x = 0). Exemple : f (x) = x2 . Cf admet une branche parabolique, la direction asymptotique étant celle de l’axe des ordonnées. f (x) ii) Si lim = a et si lim (f (x)−ax) = ∞, alors Cf admet une branche parabolique x→∞ x x→∞ de direction asymptotique la droite d’équation y = ax. (Si a = 0, cette direction asymptotique est celle de la droite d’équation y = 0). √ Exemples :a) f (x) = x, Df = R+ . Cf admet une branche parabolique, la direction asymptotique étant celle de l’axe des abscisses. √ b) g(x) = x + x + 1, Dg = [−1, +∞[. Cg admet une branche parabolique, la direction asymptotique étant celle de la droite d’équationy = x. i) Si lim

iii) Si lim (f (x) − ax) = b, alors la droite d’équation y = ax + b est une asymptote x→∞ oblique à Cf . x2 + x − 1 Exemple : f (x) = , Df = R \ {1}. la droite d’équation y = x + 2 est x−1 une asymptote à la courbe représentant f .

2.5

Fonctions usuelles

2.5.1

Rappels sur la fonction logarithme n´ ep´ erien

D´ efinition 2.5.1. ln est la primitive de la fonction x 7−→ 1. Propri´ et´ es 2.5.2. 1. Dln =]0, +∞[ 2. ln0 (x) = 1/x, ∀ x ∈]0, +∞[ 3. ∀ a, b > 0, ln(ab) = ln(a) + ln(b) 4. ∀ a > 0, ln( a1 ) = − ln a 5. ∀ a, b > 0, ln( ab ) = ln(a) − ln(b) 6. ∀ a > 0, ∀ n ∈ IN∗ , ln(an ) = n ln(a) Limites remarquables : 1.

lim ln(x) = +∞

x→+∞

2. lim ln(x) = −∞ x→0

ln(x) = 0, ∀ α > 0 x→+∞ xα 4. lim xα ln(x) = 0, ∀ α > 0 3.

lim

x→0

ln(1 + x) = 1. x→0 x

5. lim

1 x

sur ]0, +∞[ qui s’annule au point

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

Tableau de variation de ln(x)

f 0 (x)

+∞

+ +∞

f (x)

1 0 −∞

Fig. 2.8 – Courbe de x 7−→ ln(x)

Remarque 2.5.3. La fonction ln(x) est continue et strictement croissante de ]0, +∞[ sur R. Donc d’après le théorème de la bijection ln est bijective de ]0, +∞[ sur R et son application réciproque est la fonction exponentielle exp(x) (ou ex , voir la sous-section suivante).

2.5.2

Rappels sur la fonction exponentielle

D´ efinition 2.5.4. On appelle fonction exponentielle la fonction r´eciproque de ln. Elle est not´ee exp : R −→ ]0, +∞[ x 7−→ ex . Pour tout x ∈ R, ex est l’unique solution de ln(ex ) = x. Propri´ et´ es 2.5.5.

2.5. FONCTIONS USUELLES

1. Dexp = R 2. exp0 (x) = exp(x), ∀ x ∈ R 3. ∀ x, y > 0, exp(x + y) = exp(x) × exp(y) 4. ∀ x ∈ R, exp(−x) = 1/ exp(x) 5. ∀ x, y ∈ R, exp(x − y) = exp(x)/ exp(y) 6. ∀ x ∈ R, ∀ n ∈ IN∗ , (exp x)n = exp(nx) 7. exp(0) = 1 (car ln 1 = 0) 8. exp(1) = e ≈ 2.7 Limites remarquables : 1. 2.

lim ex = +∞

x→+∞

lim ex = 0

x→−∞

ex = +∞, ∀ α > 0 x→+∞ xα ex − 1 4. lim = 1. x→0 x 3.

lim

Tableau de variation de exp(x)

−∞

f 0 (x)

+∞

+ +∞

f (x)

e 1 0

2.5.3

Logarithme et exponentielle de base a

D´ efinition 2.5.6. 1. Pour a > 0 on d´efinit la fonction logarithme de base a par loga :]0, +∞[ −→ ] − ∞, +∞[ x 7−→ loga x =

ln x ln a

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

Fig. 2.9 – Courbe de x 7−→ exp(x)

2. Pour a > 0 on d´efinit la fonction exponentielle de base a par expa :] − ∞, +∞[ −→ ]0, +∞[ x 7−→ expa x = ax = ex ln a Remarque 2.5.7. loga (x) est la fonction qui ` a x associe la puissance ` a laquelle il faut ´elever a pour trouver x, c’est-` a-dire que aloga (x) = x. Exemple 2.5.8. Soient x = 5.2 et a = log1 0(x) = ln x/ ln 10 = 0.7160. On a alors x = 10a .

4 3 2 1 0 −1 −2 −3 ln log2

−4

log −5

2.6

Optimisation et extremum locaux d’une fonction

D´ efinition 2.6.1. Soient f : I −→ R, I est un intervalle de R et a ∈ Df . On dit que

2.6. OPTIMISATION ET EXTREMUM LOCAUX D’UNE FONCTION

1. f admet un maximum global en a si f (a) ≥ f (x), ∀ x ∈ I. 2. f admet un maximum local en a si f (a) ≥ f (x), ∀ x ∈ J ⊂ I (J un sous-intervalle ouvert de I contenant a). 3. f admet un minimum global en a si f (a) ≤ f (x), ∀ x ∈ I. 4. f admet un minimum local en a si f (a) ≤ f (x), ∀ x ∈ J ⊂ I (J un sous-intervalle ouvert de I contenant a). 5. Si f admet un minimum ou maximum local en a sur I, on dit que a est un extremum local pour f en I.

f(a)

f (a) ≥ f (x), ∀ x ∈ I

f(b)

f (b) ≥ f (x), ∀ x ∈ J

J I

Fig. 2.10 – f admet un maximum global en a et un maximum local en b

f (a) ≤ f (x), ∀ x ∈ I f (b) ≤ f (x), ∀ x ∈ J

J a

b f(b) f(a)

Fig. 2.11 – f admet un minimum global en a et un minimum local en b

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

Proposition 2.6.2. Si f admet un extremum local en a et si f est d´ erivable en a, alors f 0 (a) = 0

(C.N ).

– La condition (C.N) s’appelle condition n´ ecessaire d’optimalité ou condition de premier ordre d’optimalité. – Un point vérifiant la condition (C.N) s’appelle point stationnaire. Remarque 2.6.3. La condition f 0 (a) = 0 est nécessaire mais n’est pas suffisante. Par exemple f (x) = x3 , 0 est un point stationnaire de f et f ne présente ni minimum ni maximum en 0. Proposition 2.6.4. Soient f : I −→ R deux fois dérivable et a ∈ Df un point stationnaire de f (f 0 (a) = 0) 1. Si f 00 (a) > 0

(C.S)

alors f admet un minimum local en a. 2. Si f 00 (a) < 0

(C.S)

alors f admet un maximum local en a. 3. Si f 00 (a) = 0, on ne sait pas conclure. 4. La condition (C.S) s’appelle condition suffisante d’optimalité ou condition de second ordre d’optimalité. Exemple 2.6.5. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 7. f admet un maximum local en a = 1 et un minimum local en b = 3. En effet : 1. f 0 (a) = 0 et f 00 (a) = −6 < 0 2. f 0 (b) = 0 et f 00 (b) = 6 > 0. Remarque 2.6.6. Cette propriété sert, par exemple en économie, ` a optimiser la fonction bénéfice liée ` a une production industrielle en cherchant le maximum de cette fonction (voir exercice 4, série 2).

2.7 2.7.1

Primitives et int´ egrales Primitives

D´ efinition 2.7.1. Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I. On dit que F est une primitive de f sur I lorsqu’elle est d´erivable sur I et que F 0 (x) = f (x), ∀ x ∈ I. Notation : F (x) =

f (x) dx.

Propri´ et´ es 2.7.2. Si F est une primitive de f sur I, toutes les primitives de f sur I sont les fonctions F + C ( o` u C est une fonction constante sur I ; C = cte)

´ 2.7. PRIMITIVES ET INTEGRALES

Exemple 2.7.3. 1. f (x) = x2 − 3x3 + 5x − 7, F (x) =

x3 3x4 5x2 − + − 7x + cte 3 4 2

√ 1 2. f (x) = √ , F (x) = 2 x + cte x x 3. f (x) = , F (x) = x − ln(x + 1) + cte x+1 1 2 2 4. f (x) = xex , F (x) = ex + cte. 2 Primitives usuelles f (x) α (α ∈ R∗ ) 1/x2 √ 1/ x 1/x ex cos x sin x 1 + tan2 x = 1/ cos2 x xα (α ∈ R∗ , α 6= −1) u0 (x) u(x) 0 u (x)eu(x)

p u0 (x)/ u(x) u0 (x)(u(x))α (α ∈ R∗ , α 6= −1)

R F (x) = f (x) dx αx + cte −1/x + cte √ 2 x + cte ln |x| + cte ex + cte sin x + cte − cos x + cte tan x + cte xα+1 α+1

ln(|u(x)|) + cte eu(x) + cte p 2 u(x) + cte (u(x))α+1 α+1

+ cte

Th´ eor` eme 2.7.4. Si f est continue sur un intervalle I, alors f admet des primitives sur I. Th´ eor` eme 2.7.5. Si F et G sont respectivement des primitives de f et g sur I, alors 1. F + G est une primitive de f + g 2. ∀ λ ∈ R, λF est une primitive de λf . Th´ eor` eme 2.7.6. Si F et G sont deux primitives de la même fonction sur un intervalle I, alors ∃ k ∈ R tel que G(x) = F (x) + k, ∀ x ∈ I (les deux fonctions sont égales ` a une constante près).

2.7.2

Int´ egrales

D´ efinition 2.7.7. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b]. L’intégrale de a ` ab de f est la surface algébrique délimitée par les trois droites d’équation x = a, x = b, y = 0 et la courbe de f (Cf ). Rb Notation : a f (x) dx.

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

Th´ eor` eme 2.7.8 (Lien entre l’int´egrale et les primitives). Soit F une primitive d’une fonction continue f sur [a, b], on a alors : Z

f (x) dx = F (b) − F (a). a

Z Notation : a

f (x) dx = [F (x)]ba

Propri´ et´ es 2.7.9. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Rb Rb a (f + g) dx = a f (x) dx + a g(x) dx Rb Rb a (λf )(x) dx = λ a f (x) dx, ∀ λ ∈ R Rb Rb Si f ≤ g sur [a, b], alors a f (x) dx ≤ a g(x) dx Rb Si f ≥ 0 sur [a, b], alors a f (x) dx ≥ 0 Rb Rb | a f (x) dx| ≤ a |f (x)| dx Rb Rc Rb Relation de Chasles : a f (x) dx = a f (x) dx + c f (x) dx Ra a f (x) dx = 0 Ra Rb Par convention, si a ≤ b, on pose b f (x) dx = − a f (x) dx Ra Ra Si f est paire sur [−a, a], alors −a f (x) dx = 2 0 f (x) dx Ra Si f est impaire sur [−a, a], alors −a f (x) dx = 0

M´ ethode d’int´ egration par parties Proposition 2.7.10. Si f et g sont deux fonctions de classe C 1 sur [a, b], alors Z

Z 0

f (x)g(x) dx = a

[f (x)g(x)]ba

−

f (x)g(x) dx. a

´ 2.7. PRIMITIVES ET INTEGRALES

Exemple 2.7.11. Z 2 Z 2 1 ln x dx = [x ln x]21 − x dx (f 0 (x) = 1, g(x) = ln x) I = 1. x 1 1 = (2 ln 2 − 1 ln 1) − [x]21 = 2 ln 2 − 1 Z 1 Z 1 J = xex dx = [xex ]10 − ex dx (f 0 (x) = ex , g(x) = x) 2. 0 0 = e − [ex ]10 = 1 M´ ethode de changement de variable Th´ eor` eme 2.7.12.

f (x) dx = a

f (ϕ(t)) ϕ0 (t) dt

avec ϕ(α) = a et ϕ(β) = b. R4 Exemple 2.7.13. I = 0 1+dx√x dx. On pose le changement de variable t = √ √ t = 0 = 0 et x = 4 ⇒ t = 4 = 2

√ x et donc dt =

dx √ , 2 x

d’o` u dx = 2tdt. x = 0 ⇒

Z 2 Z 2 (2t + 2) − 2 dx 2t √ = dt = dt I = 1+t 0 0 1+ x 0 1+t Z 2 Z 2 2 = 2 dt − dt = [2t]20 − [2 ln(1 + t)]20 = 4 − 2 ln 3 0 0 1+t Z

2.7.3

Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

D´ efinition 2.7.14. R +∞ 1. Soit f continue sur [a, +∞[, on dit que l’intégrale a f (x) dx est convergente si RA RA R +∞ lim a f (x) dx existe et finie. Dans ce cas a f (x) dx = lim a f (x) dx. A→+∞ A→+∞ Ra 2. Soit f continue sur ] − ∞, a], on dit que l’intégrale −∞ f (x) dx est convergente si Ra Ra Ra lim A f (x) dx existe et finie. Dans ce cas −∞ f (x) dx = lim A f (x) dx. A→−∞ A→−∞ R +∞ 3. Soit f continue sur ] − ∞, +∞[, on dit que l’intégrale −∞ f (x) dx est convergente s’il Ra R +∞ existe a ∈ R tel que −∞ f (x) dx et a f (x) dx soient convergentes. Dans ce cas Z

+∞

−∞

f (x) dx =

f (x) dx + −∞

+∞

f (x) dx = lim

A→−∞ A

f (x) dx + lim

B→+∞ a

f (x) dx.

Rb Rb 4. Soit f continue sur ]a, b], on dit que l’int´egrale a f (x) dx est convergente si lim t f (x) dx t→a+ Rb Rb existe et finie. Dans ce cas a f (x) dx = lim t f (x) dx. t→a+ Rb Rt 5. Soit f continue sur [a, b[, on dit que l’int´egrale a f (x) dx est convergente si lim a f (x) dx − t→b Rb Rt existe et finie. Dans ce cas a f (x) dx = lim a f (x) dx. t→b−

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

Rb 6. Soit f continue sur ]a, b[, on dit que l’int´egrale a f (x) dx est convergente s’il existe Rc Rb a < c < b tel que a f (x) dx et c f (x) dx soient convergentes. Dans ce cas Z

f (x) dx =

f (x) dx +

f (x) dx = lim

s→a+

f (x) dx + lim

t→b−

f (x) dx. c

R +∞ 7. Soit f continue sur ]a, +∞[, on dit que l’int´egrale a f (x) dx est convergente s’il existe Rc R +∞ c > a tel que a f (x) dx et c f (x) dx soient convergentes. Dans ce cas Z

+∞

f (x) dx = a

f (x) dx + a

+∞

f (x) dx = lim

t→a+ t

f (x) dx + lim

A→+∞ c

f (x) dx.

Ra 8. Soit f continue sur ]−∞, a[, on dit que l’int´egrale −∞ f (x) dx est convergente s’il existe Rc Ra c < a tel que −∞ f (x) dx et c f (x) dx soient convergentes. Dans ce cas Z

−∞

f (x) dx =

f (x) dx + −∞

A→−∞ A

f (x) dx = lim

f (x) dx + lim

t→a−

f (x) dx. c

9. Une int´egrale est dite divergente si elle n’est pas convergente. Exemple 2.7.15. 1.

R1 0

dx √ x

lim

t→0+

dx est convergente 1 √ √ dx √ dx = lim [2 x]1t = lim 2 − 2 t = 2 x t→0+ t→0+ t

ln x dx est convergente Z 1 lim ln x dx = lim [x ln x − x]1t = lim −1 − t ln t + t = −1 0

t→0+

3. A quelle condition sur α ∈ R l’int´egrale

lim

+∞

 

lim A

eαx dx est convergente ⇐⇒ α < 0.

Conditions ` a retenir Z +∞ eαx dx est convergente ⇐⇒ α < 0. 1. 0

+∞

2. 1

Z 3.

eαx dx est convergente ?

 si α = 0   +∞ A A→+∞ αx +∞ si α > 0 e dx = =  lim α1 (eαA − 1) si α 6= 0  0  A→+∞ −1/α si α < 0

Z A→+∞

R +∞

dx dx est convergente ⇐⇒ α > 0. xα

dx dx est convergente ⇐⇒ α < 1. xα

si α = 0

´ ´ 2.8. FORMULE DE TAYLOR–DEVELOPPEMENTS LIMITES

2.8

Formule de Taylor–D´ eveloppements limit´ es

Th´ eor` eme 2.8.1 (Formule de Taylor). Soit f une fonction de classe C n sur [a, b]. Alors il existe une fonction ε d´efinie sur ]a, b] telle que f (x) = f (a)+(x−a)f 0 (a)+

(x − a)2 00 (x − a)n (n) f (a)+· · ·+ f (a)+(x−a)n ε(x) et lim ε(x) = 0 x→a 2! n!

On parle de formule de d´ eveloppement de Taylor avec reste de Young. Le reste ´etant (x − a)n ε(x). Cas particulier a = 0 : f (x) = f (0) + xf 0 (0) +

x2 00 xn (n) f (0) + · · · + f (0) + xn ε(x), avec lim ε(x) = 0. x→0 2! n!

D´ efinition 2.8.2. Soient I un intervalle, a ∈ I et f une fonction définie sur I ∗ = I \ {a} (définie sur I sauf peut être au point a). On dit que f on dit que f admet un d´ eveloppement limit´ e au voisinage de a (V(a)) ` a l’ordre n ∈ IN, s’il existe un polynˆ ome Pn de degré inférieur ou égal ` a n tel que : f (x) = Pn (x − a) + (x − a)n ε(x), ∀ x ∈ I ∗ et lim ε(x) = 0, x→a

c’est-` a-dire f (x) = a0 + a1 (x − a) + · · · + an (x − a)n + (x − a)n ε(x) avec lim ε(x) = 0, x→a

o` u a0 , a1 , · · · , an sont des r´eels. On note DLn (f, a) = Pn (x − a). Cas particulier a = 0 : f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + xn ε(x) avec lim ε(x) = 0, x→0

2.8.1

D´ eveloppements limit´ es usuels

1. f (x) = ex – f (x) = ex ⇒ f (0) = 1 – f 0 (x) = ex ⇒ f 0 (0) = 1 – f 00 (x) = ex ⇒ f 00 (0) = 1 – f (n) (x) = ex ⇒ f (n) (0) = 1 Donc, au voisinage de 0, n

ex = 1 + x +

X xk x2 xn + ··· + + xn ε(x) = + xn ε(x), avec lim ε(x) = 0. x→0 2! n! k! k=0

2. f (x) = ln(1 + x) – f (x) = ln(1 + x) ⇒ f (0) = 1 1 – f 0 (x) = 1+x ⇒ f 0 (0) = 1 −1 00 – f 00 (x) = (1+x) 2 ⇒ f (0) = −1

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

34 n+1

– f (n) (x) = (−1)(1+x)(n−1)! ⇒ f (n) (0) = (−1)n+1 (n − 1)! n Donc, au voisinage de 0, n

ln(1+x) = x−

X xn x2 xk +· · ·+(−1)n+1 +xn ε(x) = (−1)k+1 +xn ε(x), avec lim ε(x) = 0. x→0 2 n k k=1

x)α ,

R∗ )

3. f (x) = (1 + (α ∈ – f (x) = (1 + x)α ⇒ f (0) = 1 – f 0 (x) = α(1 + x)α−1 ⇒ f 0 (0) = α – f 00 (x) = α(α − 1)(1 + x)α−2 ⇒ f 00 (0) = α(α − 1) – f (n) (x) = α(α − 1) · · · (α − n + 1)(1 + x)α−n ⇒ f (n) (0) = α(α − 1) · · · (α − n + 1) Donc, au voisinage de 0, α(α − 1) 2 α(α − 1) · · · (α − n + 1) n n x +· · ·+ x +x ε(x), avec lim ε(x) = 0. x→0 2! n! Cas particuliers : (1+x)α = 1+αx+

(a) α = −1 n

X 1 (−1)k xk + xn ε(x). = 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + xn ε(x) = 1+x k=0

(b) α = 1/2

√ 1 1 1 + x = 1 + x − x2 + x2 ε(x). 2 8

1 3 1 √ = 1 − x + x2 + x2 ε(x). 2 8 1+x

4. f (x) = cos x. n

cos x = 1 −

X x2k x2n x2 x4 (−1)k + + · · · + (−1)n + x2n ε(x) = + x2n ε(x), 2! 4! (2n)! (2k)!

avec lim ε(x) = 0.

k=0

x→0

5. f (x) = sin x. n

sin x = x −

X x2k+1 x2n+1 x3 x5 (−1)k + + · · · + (−1)n + x2n+1 ε(x) = + x2n+1 ε(x), 3! 5! (2n + 1)! (2k + 1)!

avec lim ε(x) = 0.

k=0

x→0

Remarque 2.8.3. 1. 2. 3. 4.

Si f est paire et si 0 ∈ Df , alors f (0) = 0. Si f est paire, alors f 0 est impaire. Si f est impaire, alors f 0 est paire. Si f est paire, alors toutes les dérivées d’ordre impaire sont impaires, par conséquent on n’aura que des termes d’ordre paire dans DLn (f, 0). 5. Si f est impaire, alors toutes les dérivées d’ordre paire sont impaires, par conséquent on n’aura que des termes d’ordre impaire dans DLn (f, 0).

´ ´ 2.8. FORMULE DE TAYLOR–DEVELOPPEMENTS LIMITES

2.8.2

Op´ erations sur les d´ eveloppements limit´ es

Soient f et g admettent chacune un développement limité d’ordre n en 0. Alors – Somme : f + g admet un développement limité d’ordre n en 0 et DLn (f + g, 0) = DLn (f, 0) + DLn (g, 0). – ∀ λ ∈ R, λf admet un développement limité d’ordre n en 0 et DLn (λf, 0) = λ DLn (f, 0). Exemple : h(x) =

ex + e−x au voisinage de 0, `a l’ordre 4 2 x2 x3 x4 + + + x4 ε1 (x) 2! 3! 4! x2 x3 x4 =1−x+ − + + x4 ε1 (x). 2! 3! 4!

f (x) = ex = 1 + x + g(x) = e−x Donc

1 x2 x4 ex + e−x = (f (x) + g(x)) = 1 + + + x4 ε(x). 2 2 2! 4! – Produit : f × g admet un développement limité d’ordre n en 0. La partie régulière DLn (f g, 0) est obtenue en faisant le produit de DLn (f, 0) × DLn (g, 0) et ne gardant que les termes de degré ≤ n. ex au voisinage de 0, à l’ordre 3 Exemple : f (x) = 1+x ex = 1 + x +

x2 x3 + + x3 ε1 (x) 2 6

1 = 1 − x + x2 − x3 + x3 ε1 (x) 1+x Donc ex 1+x

= 1 − x + x2 − x3 + x − x2 + x3 + = 1+

x2 x3 − + x3 ε(x). 2 3

– Division : si lim g(x) 6= 0 alors x→0

f g

x2 x3 x3 − + + x3 ε(x) 2 2 6 .

admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n en 0. La

partie régulière DLn (f /g, 0) est obtenue en faisant la division suivant les puissances croissantes à l’ordre n de DLn (f, 0) par DLn (g, 0). ex Exemple : h(x) = au voisinage de 0, à l’ordre 3 1+x ex = 1 + x +

x2 2

x3 6

+ x3 ε1 (x)

g(x) = 1 + x, lim g(x) = 1 6= 0. x→0

En faisant la division suivant les puissances croissantes, on obtient :

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

1+x+ − 1+x

x2 x3 + 2 6

x2 x3 + 2 6 − 2 x x3 + 2 2 x3 − 3 − x3 x4 − − 3 3 4 x 3

Donc,

1+x x2 x3 − 2 3

x2 x3 ex =1+ − + x3 ε(x). 1+x 2 3 Exercice 2.8.4. Déterminer le développement limité de la fonction tan x au voisinage de 0 ` a l’ordre 3. – Composition : si lim f (x) = 0, alors g ◦ f admet un développement limité d’ordre n x→0

en 0. La partie régulière DLn (g ◦ f, 0) est obtenue en faisant la composition Q(P (x)) et ne gardant que les termes de degré ≤ n, avec P (x) = DLn (f, 0) et Q(x) = DLn (g, 0). Exemple : h(x) = ln(1 + sin x) au voisinage de 0, à l’ordre 3 x3 + x3 ε1 (x) 6 x2 x3 g(x) = ln(1 + x) = x − + + x3 ε2 (x) 2 3 h(x) = g ◦ f (x), lim f (x) = lim sin x = 0.

f (x) = sin x = x −

x→0

Le développement limité de h à l’ordre 3 au voisinage de 0 est : x3 1 x3 1 x3 ) − (x − )2 + (x − )3 + x3 ε(x) 6 2 6 3 6 2 3 x x = x− + + x3 ε(x). 2 6 – D´ erivation : f 0 admet un développement limité d’ordre n − 1 en 0 et ln(1 + sin x) = (x −

DLn−1 (f 0 , 0) = DL0n (f, 0). Exemple : g(x) =

1 au voisinage de 0, `a l’ordre 4 1+x

f (x) = ln(1 + x) = x −

x2 x3 x4 x5 + − + + x5 ε(x). 2 3 4 5

En d´erivant, on obtient : g(x) =

1 = f 0 (x) = 1 − x + x2 − x3 + x4 + x4 ε(x). 1+x

´ ´ 2.8. FORMULE DE TAYLOR–DEVELOPPEMENTS LIMITES

– Primitive : Si f 0 admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0. Alors f admet un développement limité à l’ordre n + 1 au voisinage de 0. La partie régulière DLn+1 (f, 0) est la primitive de DLn (f 0 , 0) qui prend la valeur f (0) au point 0. Exemple : f (x) = cos x au voisinage de 0, à l’ordre 6. On sait que cos0 x = − sin x et − sin x = −x +

x3 x5 − + x5 ε1 (x). 6 120

En calculant la primitive de − sin x, on obtient : cos x = cte −

x2 x4 x6 + − + x6 ε(x), 2 24 720

en particulier, cos 0 = cte ⇒ cte = 1, d’o` u: cos x = 1 −

2.8.3

x2 x4 x6 + − + x6 ε(x). 2! 4! 6!

Application des d´ eveloppements limit´ es

Calcul des limites–Formes ind´ etermin´ ees Exemple 2.8.5. ln(x + 3) − ln 3 √ . 1. lim √ x→0 x+2− 2 On a : ln(x + 3) = ln(3(1 + x/3)) = ln 3 + ln(1 + x/3) = ln 3 + x/3 + xε1 (x) et p √ p √ √ x + 2 = 2(1 + x/2) = 2 1 + x/2 = 2 (1 + x/4 + xε2 (x)) . √ ln(x + 3) − ln 3 ln 3 + x/3 + xε1 (x) − ln 3 2 2 √ = lim √ √ √ = D’o` u lim √ x→0 x→0 3 x+2− 2 2 + 2/4x + xε2 (x) − 2 √ 1 + 2x − (1 + x) 2. lim f (x) = lim . x→0 x→0 x2 On a : √ 1 + 2x = 1 + x − x2 /2 + x2 ε(x) f (x) =

1 + x − x2 /2 − 1 − x + x2 ε(x) 1 = − + ε(x) 2 x 2

1 Donc lim f (x) = − . x→0 2 Equation d’asymptote oblique et position de la courbe par rapport aux asymptotes µ ¶ 1+x 2 Exemple 2.8.6. f (x) = x ln . Cf admet des asymptotes obliques au voisinage de x ±∞, ´etudions la position de Cf par rapport ` a ces asymptotes. 1 + x 1 1 Posons y = 1/x, f (x) = x2 ln( ) = x2 ln(1 + ) = 2 ln(1 + y) = g(y), x x y

´ CHAPITRE 2. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

quand x → ∞, y → 0. En calculant le d´eveloppement limit´e de g au voisinage de 0, on obtient : g(y) =

1 y2

ln(1 + y) =

1 (y y2

− y 2 /2 + y 3 /3 + y 3 ε(y))

= 1/y − 1/2 + y/3 + yε(y) = x −

1 1 1 1 + + ε( ) = f (x). 2 3x x x

Donc la droite d’équation y = x − 1/2 est une asymptote oblique ` a la courbe Cf au voisinage de ±∞. 1 – Si x → +∞, > 0 ⇒ f (x) − (x − 1/2) > 0, d’o` u Cf est au dessus de l’asymptote au 3x voisinage de +∞. 1 – Si x → −∞, < 0 ⇒ f (x) − (x − 1/2) < 0, d’o` u Cf est en dessous de l’asymptote au 3x voisinage de −∞. √ Exercice 2.8.7. Soit f (x) = x2 − 4x. Montrer que Cf admet des asymptotes obliques au voisinage de ±∞ et donner les équations en précisant la position par rapport ` a Cf . ¥

Chapitre 3

Fonctions de plusieurs variables r´ eelles 3.1 3.1.1

Introduction Produit cart´ esien

D´ efinition 3.1.1. Soient E et F deux ensembles non-vides. On appelle produit cart´ esien de E par F l’ensemble not´e E × F d´efini par E × F = {(x, y) / x ∈ E, y ∈ F }. Exemple 3.1.2. 1. R2 = R × R 2. R+ × R = {(x, y) / x ∈ R+ et y ∈ R} (2, −1) ∈ R+ × R et (−1, 2) 6∈ R+ × R car −1 6∈ R+ √ √ 3. [0, 20[×] − 1, 3] = {(x, y) / 0 ≤ x < 20 et − 1 < y ≤ 3} 4. R3 = R × R × R 5. Rn = |R × R × {z· · · × R} n

3.1.2

fois

L’ensemble R2

On considère l’ensemble R2 = R × R. Un élément de R2 est un couple noté (x, y). D´ efinition 3.1.3. Soient X = (x1 , x2 ) et Y = (y1 , y2 ) deux éléments de R2 . – On dit que X = Y si et seulement si x1 = y1 et x2 = y2 . – La somme de X et Y est X + Y = (x1 + y1 , x2 + y2 ) – Le produit de λ ∈ R par X : λX = (λx1 , λ2 x2 ) Remarque 3.1.4. On généralise la définition ci-dessus pour l’ensemble Rn = R×R×· · ·×R. Un élément de Rn est un n–uplets (x1 , x2 , · · · , xn ). Soient X = (x1 , x2 , · · · , xn ) et Y = (y1 , y2 , · · · , yn ) deux éléments de Rn . 39

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES – On dit que X = Y si et seulement si x1 = y1 , x2 = y2 , · · · et xn = yn . – La somme de X et Y est X + Y = (x1 + y1 , x2 + y2 , · · · , xn + yn ) – Le produit de λ ∈ R par X : λX = (λx1 , λ2 x2 , · · · , λxn )

L’´ equation d’une droite Soient a, b et c trois rééls tels que a et b ne soient pas sumultanément nuls. Le sous ensemble de R2 : © ª ∆ = (x, y) ∈ R2 / ax + by + c = 0 définit une droite, dite droite d’équation ax + by + c = 0. 1. Si b 6= 0 on peut réecrire l’équation de la droite ax + by + c = 0 sous la forme d’une équation réduite : c a y = αx + β avec α = − et β = − . b b c 2. Si b = 0, l’équation réduite de la droite est : x = − . a 3. Suivant les valeurs de a, b et c on a plusieurs représentations : (a) a = 0, droite d’équation réduite y = −c/b, c’est une droite horizontale (voir figure 3.1) y

y=−c/b −c/b

Fig. 3.1 – Droite horizontale d’équation by + c = 0 (b) b = 0, droite d’équation réduite x = −c/a, c’est une droite verticale (voir figure 3.2) a c (c) a 6= 0 et b 6= 0, droite d’équation réduite y = − x − (voir figure 3.3) b b La droite d’équation ax + by + c = 0 sépare l’ensemble R2 en deux demi-plans :

3.1. INTRODUCTION

x=−c/a

−c/a

Fig. 3.2 – Droite verticale d’´equation ax + c = 0

y y=−(a/b)x−c/b

−c/b

−c/a

Fig. 3.3 – Droite d’´equation ax+by+c=0

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

1. Le demi-plan supérieur (respectivement strictement supérieur) (voir figure 3.4(a)) : P1 = {(x, y) ∈ R2 / ax + by + c ≥ 0 (respectivement ax + by + c > 0)} 2. Le demi-plan inférieur (respectivement strictement inférieur) (voir figure 3.4(b)) : P2 = {(x, y) ∈ R2 / ax + by + c ≤ 0 (respectivement ax + by + c < 0)} y y=−(a/b)x−c/b

y y=−(a/b)x−c/b

−c/b

P2 −c/a x x

−c/a

(a) Demi-plan sup´erieur

(b) Demi-plan inf´erieur

Fig. 3.4 – Demi-plans sup´erieur et inf´erieur

Exemple 3.1.5. On considère la droite ∆ d’équation x + y + 1 = 0. – Le point O = (0, 0) ∈ P1 = {(x, y) / x + y + 1 ≥ 0} ; le demi plan supérieur ; car 0 + 0 + 1 = 1 ≥ 0. – Le point A = (−1, −1) ∈ P2 = {(x, y) / x + y + 1 ≤ 0} ; le demi plan inférieur ; car −1 − 1 + 1 = −1 ≤ 0. ∆

P1 O x

−1 −1

L’´ equation d’un cercle Soient A = (a, b) ∈ R2 et r > 0 un réel. Le sous ensemble de R2 : C(A, r) = {(x, y) ∈ R2 / (x − a)2 + (y − b)2 = r2 } définit le cercle de centre A et de rayon r (voir figure 3.5). C’est l’ensemble des points de R2 à distance égale à r de A. Ce cercle sépare l’ensemble R2 en deux parties :

3.1. INTRODUCTION

43 y

r b

Fig. 3.5 – Le cercle C(A, r)

1. Le sous-ensemble des points de R2 à distance inférieure (respectivement strictement inférieure) à r (voir figure 3.6(a)) : © ª D(A, r) = (x, y) ∈ R2 / (x − a)2 + (y − b)2 ≤ r2 (respectivement (x − a)2 + (y − b)2 < r2 ) . C’est le disque de centre A et de rayon r. 2. Le sous ensemble des points de R2 ` a distance supérieure (respectivement strictement supérrieure) à r (voir figure 3.6(b)) : © ª (x, y) ∈ R2 / (x − a)2 + (y − b)2 ≥ r2 (respectivement (x − a)2 + (y − b)2 > r2 ) .

111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 r 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 A 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111

r b

(a)

(b)

Fig. 3.6 – Le disque D(A, r) et le sous-ensemble R2 \ D(A, r)

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

3.2

Fonctions de deux variables

Dans cette section on ne considérera que des fonctions à deux variables réelles et à valeurs dans R. f : A ⊂ R2 7→ R L’idée principale de ce chapitre est de généraliser les principaux résultats et définitions qu’on a trouvé pour les fonctions à une variable réelle au cas de deux variables, à savoir – Limite continuité et dérivée, – Intégrale et primitive, – Optimisation avec ou sans contrainte.

3.2.1

D´ efinitions

D´ efinition 3.2.1. Une fonction de deux variables r´eelles est une application f d´efinie sur R2 ` a valeurs dans R : f : R2 −→ R (x, y) 7−→ f (x, y) Si z0 = f (x0 , y0 ), alors (x0 , y0 ) est dit un ant´ ec´ edent de z0 par f , et z0 est dite l’ image de −→

(x0 , y0 ) par f . Le triplet (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) est un point M ou un vecteur OM dans un rep`ere orthonorm´e de R3 (voit figure 3.7)

z0 M

Fig. 3.7 – z0 = f (x0 , y0 )

D´ efinition 3.2.2 (Domaine de définition). Soit f : R2 → R une fonction de deux variables. Le domiane de définition de f , noté par Df est l’ensemble des couples (x, y) ∈ R2 qui ont une image par f : Df = {(x, y) ∈ R2 / f (x, y) existe}. Exemple 3.2.3.

3.2. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES

x , Df = {(x, y) ∈ R2 / y 6= 0} = R × R∗ y 2. g(x, y) = ln(xy), 1. f (x, y) =

Dg = {(x, y) ∈ R2 / xy > 0} = {(x, y) ∈ R2 / (x > 0 et y > 0) ou (x < 0 et y < 0)} = R+∗ × R+∗ ∪ R−∗ × R−∗ 3. h(x, y) = ln(x + y + 1), Dh = {(x, y) ∈ R2 / x + y + 1 > 0} Le domaine définition de h est le demi-plan supérieur strictement ` a la droite d’équation x + y + 1 = 0. 4. s(x, y) = x2 + y 2 − xy, Ds = R2 . D´ efinition 3.2.4 (Graphe). On appelle graphe de f l’ensemble de Gf tel que : Gf = {(x, y, f (x, y)) ∈ R3 / (x, y) ∈ Df }. Gf est un sous-ensemble de R3 , sa représentation graphique dans R3 est une surface de R3 . Exemple 3.2.5. Soit f : [−1, 1] × [−1, 1] → R la fonction définie par f (x, y) = x2 + y 2 . La représentation graphique de Gf est présentée sur la figure 3.8

1.5

0.5

0 1 0.5

1 0.5

−0.5 Y

−0.5 −1

−1

Fig. 3.8 – La repr´esentation graphique de f (x, y) = x2 + y 2

Une manière très commode pour dessiner le graphe (en 3 D) d’une fonction est de procéder avec les courbes de niveau. L’idée est la suivante : on dessine le graphe de f tranche par tranche à savoir l’intersection du graphe avec les plans z = k. C’est ce qu’on appelle les courbes de niveau. (voir la définition ci-dessous) D´ efinition 3.2.6 (Courbe de niveau). Soit k ∈ R. On appelle courbe de niveau k de la fonction f l’ensemble Ck (f ) tel que : Ck (f ) = {(x, y) ∈ R2 / (x, y) ∈ Df et f (x, y) = k}.

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

Remarque 3.2.7. Pour les ´economistes, lorsque f est une fonction d’utilit´ e, les courbes de niveau s’appellent courbes d’indiff´ erence et lorsque f est une fonction de production elles s’appellent isoquantes. Exemple 3.2.8. 1. f (x, y) = x2 + y 2 , Df = R2 . – Pour k√> 0, Ck (f ) = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 = k} c’est le cercle de centre (0, 0) et de rayon k. – Pour k = 0, Ck (f ) = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 = 0} = (0, 0). – Pour k < 0, Ck (f ) = ∅.

4 3.5

3 2.5 2 1.5 1 2 1

2 1

−1

−1 −2

−2

2. g(x, y) = y − x2 , Dg = R2 . Pour k ∈ R, Ck (g) = {(x, y) ∈ R2 / y = x2 + k}. par exemple C1 (f ) = {x, y) ∈ R2 / y = x2 + 1}.

3.2.2

Limites et continuit´ e

Il faut noter qu’on a les mêmes définitions de la limite et de la continuité que dans le cas d’une fonction numérique à une seule variable. Notament D´ efinition 3.2.9. Soient ` ∈ R et (a, b) ∈ R2 , et f : Λ ⊂ R2 7→ R une fonction ` a deux variables. On dit que la limite de f quand (x, y) tend vers a est `, que l’on note comme suit lim

(x,y)→(a,b)

f (x, y) = `,

si lorsque (x, y) s’approche de (a, b) f (x) s’approche de `. Ici la différence essentielle avec les fonctions à une variable c’est qu’on a pas seulement deux manières d’approcher le point (a, b), (limite à droite et limite à gauche) mais une infinité de manières de l’approcher (approcher de droite, de gauche, par le haut, par le bas, en passant par la diagonale, d’une manière spirale, etc ..). A ce moment l` a comme dans le cas d’une seule variable on dira qu’il y a existence de la limite si quleque soit la mani` ere avec laquelle on approche le point (a, b) on a la mˆ eme limite. En effet, regardons cet exemple

3.2. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES

Exemple 3.2.10. Soit f la fonction d´efinie comme suit f : R2 → R (x, y) 7→

xy . + y2

Il est simple de v´erifier que f n’admet pas de limite en (0, 0). Si on approche (0, 0) sur la droite diagonale x = y on aura 1 x2 = 2 2 2 (x,x)→(0,0) (x,x)→(0,0) x + x 1 = . 2 Si on approche (0, 0) sur la droite y = 0. On a alors lim

f (x, x) =

lim

(x,0)→(0,0)

lim

f (x, 0) = 0.

D´ efinition 3.2.11. (Continuité) Soit f une fonction numérique ` a deux variables définie sur Df . On a dit que f est continue en un point (a, b) ∈ Df si lim

(x,y)→(a,b)

f (x, y) = f (a, b).

Si de plus f est continue en tout point de Df alors on dit simplement que f est continue. Remarque 3.2.12. Il est ` a noter que si la fonction f est continue composante par composante1 , ceci ne veut pas dire qu’elle est continue dans le sens d´efini ci-dessus.

3.2.3

D´ eriv´ ees partielles

Soit f : R2 → R une fonction de deux variables réelles définie sur un voisinage V de (a, b). D´ efinition 3.2.13. i) On appelle d´ eriv´ ee partielle de f par rapport ` a x en (a, b), la limite suivante lorsqu’elle existe f (a + h, b) − f (a, b) f (x, b) − f (a, b) = lim . lim x→a h→0 x−a h C’est la dérivée de la fonction x 7→ f (x, b) en a (on fixe b et on dérive par rapport ` ax au point a). ∂f (a, b) Cette limite est alors notée : fx0 (a, b) ou ∂x ii) On appelle d´ eriv´ ee partielle de f par rapport ` a y en (a, b), la limite suivante lorsqu’elle existe f (a, y) − f (a, b) f (a, b + k) − f (a, b) lim = lim . y→b k→0 y−b k C’est la dérivée de la fonction y 7→ f (a, y) en b (on fixe a et on dérive par rapport ` ay au point b). ∂f Cette limite est alors notée : fy0 (a, b) ou (a, b) ∂y 1

C’est ` a dire que f est continue si je fixe une valeur pour y et je fais varier le x, et aussi continue si je fixe la valeur de x et je fais varier le y.

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

∂f iii) Le vecteur ( ∂f e gradient2 de f au point (x, y). On le note comme ∂x (x, y), ∂y (x, y)) est appel´ suit ∂f ∂f Of (x, y) := ( (x, y), (x, y)). ∂x ∂y

Si de plus les fonctions C 1.

∂f ∂f ∂x (x, y), ∂y (x, y)

sont continues alors la fonction f est dite de classe

Exemple 3.2.14. 1. f (x, y) = x4 − y 3 , Df = R2 ∂f ∂f (x, y) = 4x3 , (x, y) = −3y 2 , ∀ (x, y) ∈ Df ∂x ∂y Alors le gradient de f s’´ecrit Of (x, y) = (4x3 , −3y 2 ) 2. g(x, y) = ex/y , Dg = R × R∗ ∂g 1 ∂g −x (x, y) = ex/y , (x, y) = 2 ex/y , ∀ (x, y) ∈ Dg ∂x y ∂y y Alors le gradient de g est 1 −x Og(x, y) = ( ex/y , 2 ex/y ) y y 3. h(x, y) = ln(x + y + 1), Dh = {(x, y) ∈ R2 / x + y + 1 > 0} ∂h 1 ∂h 1 (x, y) = , (x, y) = , ∀ (x, y) ∈ Dh ∂x x + y + 1 ∂y x+y+1 Alors le gradient de h est Oh(x, y) = (

1 1 , ) x+y+1 x+y+1

Remarque 3.2.15. Les règles de dérivation d’une fonction d’une variable reste valable pour exy calculer les dérivées partielles. Par exemple, on considère la fonction h(x, y) = 2 , x + y2 Dh = R2 \ (0, 0). Posons f (x, y) = exy et g(x, y) = x2 + y 2 . Alors pour tout (x, y) 6= (0, 0) ¡ ¢ exy yx2 + y 3 − 2x fx0 (x, y)g(x, y) − f (x, y)gx0 (x, y) 0 hx (x, y) = = (x2 + y 2 )2 (g(x, y))2 ¡ ¢ fy0 (x, y)g(x, y) − f (x, y)gy0 (x, y) exy x3 + xy 2 − 2y 0 = hy (x, y) = (x2 + y 2 )2 (g(x, y))2 2

Cette notation est introduite pour avoir une écriture compacte des dérivées partielles d’une fonction ` a ∂f ∂f ∂f ∂f , , , . . . , plusieurs variables (pour ne pas être obligé d’écrire ( ∂x ) on ´ e crit seulement Of ). Elle ne ∂x ∂x ∂x n 1 2 3 doit pas mettre l’étudiant en confusion car ce n’est rien d’autre qu’une notation. Il y a donc rien ` a prouver ou a ` comprendre ! !

3.2. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES

Maintenant qu’on sait trouver des dérivées partielles de degré 1, on aimerait retrouver les résultats habituels comme dans le cas d’une fonction à une variable réelle comme l’équation de la droite tangente, le développement limité à l’ordre 1. • Plan Tangent : en 3D on parle plus d’une droite tangente à la courbe car il y en a une infinité, d’ailleurs ces infinités de droites forment un plan. Ce plan est appelé le plan tangent. L’équation d’un plan tangent au graphe de f au point (a, b, f (a, b)) s’écrit comme suit ∂f ∂f z = f (a, b) + (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b). ∂x ∂y Par exemple, l’équation du plan tangent au graphe de f (x, y) = x2 + y 2 au point (−1, 1, 2) est z = 2(x + 1) + 2(y − 1) + 2 = −2x + 2y − 2.

−2

−4

−6

−8

−10 2

1.5

0.5

−0.5

−1

−1.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1.5

• D´ eveloppement Limit´ e d’ordre 1 La formule du développement limité se généralise comme suit au cas d’une fonction à deux variables f (a + h, b + k) = f (a, b) + h avec

lim

(h,k)→(0,0)

p ∂f ∂f (a, b) + k (a, b) + h2 + k 2 ε(h, k), ∂x ∂y

ε(h, k) = 0.

On √ remarque très vite qu’entre le plan tangent et la formule de D.L. il n’y a que le terme h2 + k 2 ε(h, k) qui se rajoute. Ce dernier étant destiné à tendre vers 0, on comprend qu’on peut avoir une approximation avec un erreur de l’ordre 1 au voisinage de (a, b) à l’aide de l’équation du plan tangent. Exemple 3.2.16. Soit f la fonction définie comme suit : f (x, y) = x2 +y 2 . On calcule l’équation du plan tangent au point (0.5, 0.5), puis on veut approcher la valeur de f (0.503, 0.498). 1. On a Of (x, y) = (2x, 2y), alors Of (0.5, 0.5) = (1, 1). 2. L’équation du plan tangent est z = 0.5 + (x − 0.5) + (y − 0.5). 3. Une valeur approché de f (0.503, 0.498) est f (0.503, 0.498) = f (0.5 + 0.003, 0.5 − 0.002) ≈ 0.5 + 0.003 − 0.002 = 0.501. 4. La vraie valeur est 0.501013.

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

3.2.4

D´ eriv´ ees partielles d’ordre 2

D´ efinition 3.2.17. Si f est une fonction de classe C 1 , et que ses dérivées partielles aussi sont de classe C 1 , f est dite alors de classe C 2 . Th´ eor` eme 3.2.18 (Théorème de Schwarz). Si f : R2 7→ R est une fonction de classe C 2 alors on a ¢ ¢ ∂ ¡ ∂f ∂ ¡ ∂f (x, y) = (x, y) . ∂x ∂y ∂y ∂x Dans la suite on adoptera les notations suivantes : 00 fxx (x, y) = 00 fyy (x, y) = 00 fxy (x, y) = 00 fyx (x, y) =

∂2f (x, y) ∂x2 ∂2f (x, y) ∂y 2 ∂2f (x, y) ∂x∂y ∂2f (x, y) ∂y∂x

= = = =

¢ ∂ ¡ ∂f (x, y) , ∂x ∂x ¢ ∂ ¡ ∂f (x, y) , ∂y ∂y ¢ ∂ ¡ ∂f (x, y) , ∂x ∂y ¢ ∂ ¡ ∂f (x, y) . ∂y ∂x

Exemple 3.2.19. On consid`ere la fonction f (x, y) = xey . On a ∂f (x, y) = ey , ∂x

∂f (x, y) = xey ∂x

On remarque que les fonctions ey et xey sont continues. Par le calcul (sans utiliser le th´eor`eme) on trouve alors ∂2f ∂2f (x, y) = (x, y) = ey . ∂y∂x ∂x∂y On a aussi

∂2f (x, y) = 0, ∂x2

∂2f (x, y) = xey . ∂y 2

On généralise maintenant la notion de D.L à l’ordre 2 pour une fonction de deux variable de classe C 2 . Proposition 3.2.20. Si f est une fonction de classe C 2 au voisinage (a, b), alors f admet un développement limité d’ordre 2 au voisinage de (a, b). f (a + h, b + k) = f (a, b) + h + avec

lim

(h,k)→(0,0)

∂f ∂f h2 ∂ 2 f ∂2f (a, b) + k (a, b) + (a, b) + hk (a, b) ∂x ∂y 2 ∂x2 ∂x∂y

k2 ∂ 2 f (a, b) + (h2 + k 2 ) ε(h, k), 2 ∂y 2

ε(h, k) = 0.

Exemple 3.2.21. On reprend l’exemple f (x, y) = x2 + y 2 . On veut approcher la valeur de f (0.503, 0.498).

´ 3.3. INTEGRALES DOUBLES

00 (x, y) = f 0 (x, y) = 2 et f 00 (x, y) = 0 alors ∇f (0.5, 0.5) = 1. On a ∇f (x, y) = (2x, 2y), fxx xy yy 00 (0.5, 0.5) = f 0 (0.5, 0.5) = 2 et f 00 (0.5, 0.5) = 0. (1, 1), fxx yy xy

2. Une valeur approché de f (0.503, 0.498) est f (0.503, 0.498) = f (0.5+0.003, 0.5−0.002) ≈ 0.5+0.003−0.002+0.000009+0.000004 = 0.501013. On retrouve la valeur exacte de f (0.503, 0.498). Ce résultat améliore celui obtenu dans l’exemple 3.2.16 avec un DL d’ordre 1.

3.3 3.3.1

Int´ egrales doubles Int´ egrales sur les rectangles

D´ efinition 3.3.1. Soit f : R → R une fonction continue sur le rectangle R = [a, b] × [c, d] (a < b, c < d). L’intégrale double de f sur le rectangle R est le volume alg´ ebrique délimité par le graphe de f , et les 5 plans z = 0, x = a, x = b, y = c et y = d.

Propri´ et´ es 3.3.2. Soient f et g deux fonctions continues sur le rectangle R = [a, b] × [c, d] (a < b, c < d). Alors Z Z Z Z Z Z 1. (f (x, y) + g(x, y)) dxdy = f (x, y) dxdy + g(x, y) dxdy R R R Z Z Z Z (λ f (x, y)) dxdy = λ f (x, y) dxdy, ∀ λ ∈ R 2. R R Z Z Z Z 3. Si f (x, y) ≤ g(x, y), ∀ (x, y) ∈ R, alors f (x, y) dxdy ≤ g(x, y) dxdy R R ¯Z Z ¯ Z Z ¯ ¯ ¯ |f (x, y)| dxdy 4. ¯ f (x, y) dxdy ¯¯ ≤ R

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

µZ

Z Z 5. Si f (x, y) est de la forme h(x) `(y), alors

f (x, y) dx dy = R

¶ µZ h(x) dx

`(y) dy

Exemple 3.3.3. Soit f (x, y) = x2 + xy + 1 définie sur le rectangle R = [a, b] × [c, d] = [0, 3] × [1, 2]. 1. – En intégrant par rapport ` a y on obtient : · ¸y=2 Z d Z 2 1 2 3 2 2 f (x, y) dy = (x + xy + 1) dy = x y + xy + y = x2 + x + 1. 2 2 c 1 y=1 – En intégrant maintenant le résultat obtenu par rapport ` a x, on a : · ¸3 ¶ Z b µZ 2 Z 3 1 3 3 2 27 75 2 2 3 x + x + x = 9+ +3 = . (xy + y + 1) dy dx = (x + x+1) dx = 2 3 4 4 4 a 1 0 0 2. Commen¸cant maintenant par l’intégration par rapport ` a x puis continuant le calcul en intégrant par rapport ` ay: – En intégrant par rapport ` a x on obtient : ¸x=3 · Z b Z 3 9 1 3 1 2 x + x y+x = y + 12. f (x, y) dx = (x2 + xy + 1) dx = 3 2 2 a 0 x=0 – En intégrant le résultat obtenu par rapport ` a y, on a : ¶ · ¸2 Z d µZ 3 Z 2 9 9 2 27 75 2 (xy + y + 1) dx dy = ( y + 12) dy = y + 12y = + 12 = . 4 4 4 c 0 1 2 1 On remarque dans cet exemple que les deux intégrations ont donnée le même résultat. Ceci est dˆ u au théorème suivant : Th´ eor` eme 3.3.4 (Théorème de Fubini). Soient R = [a, b] × [c, d] un rectangle de R2 et f : R → R une fonction continue. Alors on a ¶ ¶ Z Z Z d µZ b Z b µZ d f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx. R

xy Exemple Z Z 3.3.5. Soient R = [1, 2] × [0, 2], f : R → R définie par f (x, y) = ye et I = f (x, y) dx dy. D’après le théorème de Fubini, le calcule de I peut se faire de deux R

mani`eres : 1. En a x et puis par rapport ` a y, ce qui nous donne : Z 2 int´egrant d’abord par rapport ` 2y y yexy dx = [exy ]x=2 u x=1 = e − e . D’o` 1

Z I=

(e 0

1 2y − e ) dy = e − ey 2 y

¸2 0

1 1 = e4 − e2 + . 2 2

2. En int´egrant d’abord par rapport ` a y et puis par rapport ` a x. En utilisant une int´egration par parties, on obtient : · ¸ µ ¶ Z 2 y xy 1 xy y=2 2 1 1 xy ye dy = e − 2e = − 2 e2x + 2 . x x x x x 0 y=0

´ 3.3. INTEGRALES DOUBLES

L’intégration de ce dernier terme par rapport ` a x nécessite aussi une intégration par parties : Z 1

2 µµ

2 1 − 2 x x

¶ 2x

1 + 2 x

· ¸2 Z 2 2 2x 1 2x 1 dx = e dx − e dx − 2 x 1 1 x 1 x · ¸2 Z 2 Z 2 1 2x 1 2x 1 1 2x = e dx − e dx + e + 2 2 x 2 1 x 1 x 1 1 4 1 = e − e2 + . 2 2 Z

On remarque que le deuxième calcul n’est pas évident par rapport au premier. Donc pour appliquer le théorème de Fubini, le choix de l’ordre d’intégration est très important. Exercice 3.3.6. Sur le rectangle R = [0, 1] × [1, 2] calculer les intégrales des fonctions suivantes : – – – –

3.3.2

f (x, y) = xy g(x, y) = x + y h(x, y) = x2 y `(x, y) = xy + cos x.

Int´ egrales sur les domaines non rectangles

© ª Soit D ⊂ R2 le domaine défini par D = (x, y) ∈ R2 / x ∈ [a, b] et u1 (x) ≤ y ≤ u2 (x) , o` u u1 et u2 sont deux fonctions à variable réelle continues sur [a, b] (a < b). Si f : D ⊂ R2 −→ R une fonction continue, alors l’intégrale de f sur D est donnée par Z b ÃZ

Z Z

u2 (x)

f (x, y) dx dy = D

f (x, y) dy a

dx.

u1 (x)

Exemple 3.3.7. 2 2 1. Soient D = {(x, R y) R ∈ R / x ≥ 0 et x ≤ y ≤ 1} (voir la figure 3.9) et f (x, y) = xy + x. Calculons I = D f (x, y) dx dy

Z Z

I =

1 µZ 1

f (x, y) dx dy = Z

= 0

1·

1 2 xy + xy 2

¸y=1

(xy + x) dy 0

dx = y=x2

· ¸ 1 5 1 4 3 2 1 2 = − x − x + x = . 10 4 4 5 0

1µ

¶ 1 4 3 3 − x − x + x dx 2 2

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

Fig. 3.9 – Le domaine D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 1 et x2 ≤ y ≤ 1} 2. Soient D le demi-disque sup´erieur de centre (0,0) et de rayon r (voir la figure 3.10) 2 et f (x, y) = x2 y. On d´ecrit Z D Z comme D = {(x, y) ∈ R / − r ≤ x ≤ r et 0 ≤ y ≤ p r2 − x2 }. Calculons I = f (x, y) dx dy. D

Z Z

I =

ÃZ

√

r2 −x2

= −r

−r

1 2 2 x y 2

¸y=√r2 −x2

dx = −r

y=0

! 2

x y dy

f (x, y) dx dy = D

1 2 2 (r x − x4 ) dx 2

¸r r2 x3 x5 r5 r5 2r5 − = − = . 6 5 −r 3 5 15

D −r

Fig. 3.10 – Le demi-disque sup´erieur de centre (0, 0) et de rayon r

´ 3.3. INTEGRALES DOUBLES

On définit de la même manière l’intégrale sur un domaine compris entre les courbes de deux ª © fonctions et de deux droites horizontales. Soit D = (x, y) ∈ R2 / v1 (y) ≤ x ≤ v2 (y) et c ≤ y ≤ d , o` u v1 et v2 sont deux fonctions à variable réelle continues sur [c, d] (c < d). Si f : D ⊂ R2 −→ R une fonction continue, alors l’intégrale de f sur D est donnée par ! Z Z Z ÃZ v2 (y)

f (x, y) dx

f (x, y) dx dy = D

dy.

v1 (y)

Exemple 3.3.8. Soit D le trapèze formé de 4 points A=(1,1), B = (5, 1), C = (2, 4) et D = (4, 4) (voir la figure ci-dessous). On décrit D comme ½ ¾ y+2 16 − y 2 D = (x, y) ∈ R / 1 ≤ y ≤ 4 et ≤x≤ . 3 3 Calculons l’intégrale de f (x, y) = x + y sur le trapèze D. ! Z Z Z ÃZ 16−y 4

f (x, y) dx dy = D

Z = · =

4·

(x + y) dx

y+2 3

1 2 x + xy 2

¸x=(16−y)/3

4µ

¶ 2 8 − y 2 + y + 14 dy 3 3

dy = 1

x=(y+2)/3

2 8 − y 3 + y 2 + 14y 9 6

¸4

= 48. 1

5 4.5

y=4

3.5 3

x=(y+2)/3

2.5

x=(16−y)/3

2 1.5 1

y=1

0.5 0

Exercice 3.3.9. Soit D le triangle délimité par les droites y = 0, y = x + 1 et y = −x + 1. Calculer les intégrales des fonctions suivantes sur D. – f (x, y) = xy – g(x, y) = x + y – h(x, y) = x2 y – `(x, y) = xy + cos x.

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

3.4 3.4.1

Optimisation d’une fonction de deux variables Optimisation sans contrainte

Soient f : Λ → R une fonction définie sur Λ un domaine de R2 et (a, b) ∈ Λ. D´ efinition 3.4.1. On dit que 1. f admet un maximum global en (a, b) si f (a, b) ≥ f (x, y), ∀ (x, y) ∈ Λ. 2. f admet un maximum local en (a, b) s’il existe un disque Br de centre (a, b) et de rayon r > 0 tel que f (a, b) ≥ f (x, y), ∀ (x, y) ∈ Br . 3. f admet un minimum global en (a, b) si f (a, b) ≤ f (x, y), ∀ (x, y) ∈ Λ. 4. f admet un maximum local en (a, b) s’il existe un disque Br de centre (a, b) et de rayon r > 0 tel que f (a, b) ≤ f (x, y), ∀ (x, y) ∈ Br . 5. Si f admet un maximum local ou un minimum local en (a, b) sur Λ, on dit que (a, b) est un extremum local. Proposition 3.4.2. Si f admet un extremum local en (a, b) et si f admet des dérivées partielles d’ordre 1 en (a, b), alors ∂f ∂f (a, b) = 0 et (a, b) = 0 (∇f (a, b) = (0, 0))) . ∂x ∂y

(3.4.1)

– La condition (3.4.1) s’appelle condition n´ ecessaire d’optimalité ou condition de premier ordre d’optimalité. – Un point vérifiant la condition (3.4.1) s’appelle point stationnaire ou point critique. Remarque 3.4.3. La condition ∇f (a, b) = (0, 0) est nécessaire mais n’est pas suffisante. C’est-` a-dire on peut avoir un point stationnaire de f et f ne présente ni minimum ni maximum en ce point. D´ efinition 3.4.4. Si f admet des dérivées de f en (a, b) par : ¯ 00 00 (a, b) ¯ fxx (a, b) fyx ¯ Hf (a, b) = ¯ ¯ f 00 (a, b) f 00 (a, b) xy yy

partielles d’ordre 2 en (a, b), on d´efinit le hessien ¯ ¯ ¡ 00 ¢2 ¯ 00 00 (a, b) × fyy (a, b) − fxy (a, b) . ¯ = fxx ¯

Exemple 3.4.5. Soit f : R2 → R la fonction définie par f (x, y) = x3 +x2 y−3y 2 . En calculant les dérivées partielles d’ordre 2 de f , on obtient : ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f (x, y) = 6x + 2y, (x, y) = (x, y) = 2x, (x, y) = −6. ∂x2 ∂y∂x ∂x∂y ∂y 2 D’o` u le hessien de f en tout point (x, y) ∈ R2 est ¯ ¯ ¯ 6x + 2y 2x ¯ ¯ = −4x2 − 36x − 12y. ¯ Hf (x, y) = ¯ 2x −6 ¯ En particulier, pour les point (0,0), (1,1) et (-1,2), on a : Hf (0, 0) = 0, Hf (1, 1) = −52, Hf (−1, 2) = 8.

3.4. OPTIMISATION D’UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES

Th´ eor` eme 3.4.6. Soit f : R2 → R une fonction de classe C 2 au voisinage de (a, b) un point critique de f : fx0 (a, b) = 0 et fy0 (a, b) = 0. 00 (a, b) < 0, alors f admet un maximum local en (a, b). – Si Hf (a, b) > 0 et fxx 00 (a, b) > 0, alors f admet un minimum local en (a, b). – Si Hf (a, b) > 0 et fxx – Si Hf (a, b) < 0, alors f n’admet pas d’extremum local en (a, b). On dit que (a, b) est un point col ou un point selle. – Si Hf (a, b) = 0, on ne peut pas conclure.

Exemple 3.4.7. 1. Soit f : R2 → R la fonction définie par f (x, y) = 3xy − x3 − y 3 . Déterminons les extremums de cette fonction. Le gradient de f est : ∇f (x, y) = (3y − 3x2 , 3x − 3y 2 ). Donc les points critiques de f vérifient : ½ ½ 3y − 3x2 = 0 y = x2 =⇒ 3x − 3y 2 = 0. x − x4 = 0.

½ =⇒

y = x2 x = 0 ou x = 1

Les deux points critiques de f sont (0,0) et (1,1). Pour préciser la nature de ces points critiques, on calcule le hessien de f : ¯ ¯ ¯ −6x 3x ¯ ¯ = 36xy − 9. Hf (x, y) = ¯¯ 3x −6y ¯ On a : – Hf (0, 0) = −9 < 0, f n’admet pas d’extremum en (0,0), (0,0) est un point col de f . 00 (1, 1) = −6 < 0, f admet un maximum local en (1,1). – Hf (1, 1) = 27 > 0 et fxx 2. Soit f : R2 → R la fonction définie par f (x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 . Déterminons les extremums de cette fonction. Le gradient de f est : ∇f (x, y) = (3x2 + 4xy, 2x2 + 2y). Donc les points critiques de f vérifient : ½ ½ 3x2 + 4xy = 0 3x2 − 4x3 = x2 (3 − 4x) = 0 =⇒ 2 2x + 2y = 0. y = −x2 . Les solutions de l’équation x2 (3 − 4x) = 0 sont x = 0 et x = 34 . – Si x = 0 l’équation y = −x2 donne y = 0, donc le point (0,0) est un point critique de f. 9 9 – Si x = 34 l’équation y = −x2 donne y = − 16 , donc le point ( 34 , − 16 ) est un point critique de f . 9 Les points susceptibles de donner un extremum sont (0,0) et ( 34 , − 16 ). Pour préciser la nature de ces points critiques, on calcule le hessien de f : ¯ ¯ ¯ 6x + 4y 4x ¯ ¯ = −16x2 + 12x + 8y. ¯ Hf (x, y) = ¯ 4x 2 ¯ On a :

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

– Hf (0, 0) = 0 et d’après le théorème 3.4.6, on ne peut pas conclure directement. On remarque que pour x > 0, f (x, 0) = x3 > f (0, 0) = 0, par contre f (−x, 0) = −x3 < f (0, 0) = 0, d’o` u f n’admet pas d’extremum en (0, 0) 9 – Hf ( 43 , − 16 ) = − 92 < 0, donc d’après le théorème 3.4.6, f n’admet pas d’extremum en 9 9 ( 34 , − 16 ). De plus ( 34 , − 16 ) est un point col de f .

3.4.2

Optimisation sous contrainte

Dans cette dernière section, on s’intérésse à l’optimisation d’une fonction de deux variables sous contrainte. Autrement dit, les deux variables x et y sont liés par une équation cartésienne ”contrainte” de type g(x, y) = 0. Le problème s’écrit alors sous la forme : ½ optimiser f (x, y), (3.4.2) sous la contrainte g(x, y) = 0. Pour résoudre le problème ce problème, on propose deux méthode : M´ ethode de substitution Si à partir de l’équation g(x, y) = 0, on peut exprimer y en fonction de x : y = h(x) (respectivement x en fonction de y : x = h(y)), on remplace y (respectivement x) par sa valeutr en fonction de x (respectivement y) dans f (x, y), alors f (x, y) = f (x, h(x)) = F (x) (respectivement f (x, y) = f (h(y), y) = F (y)) est une fonction d’une seule variable x et la recherche des extremums se fait à l’aide de la méthode proposée dans le chapitre 2 (voir la section §2.6) pour les fonctions d’une seule variable. Exemple 3.4.8. Trouver les extremums de f (x, y) = 3xy−x2 −y 2 sous la contrainte x−y−2 = 0. Soit g la fonction définie par g(x, y) = x − y − 2. A partir de l’équation de la contrainte g(x, y) = 0, on peut exprimer y en fonction de x : y = x − 2 = h(x), donc F (x) = f (x, h(x)) = 3x(x − 2) − x2 − (x − 2)2 = x2 − 2x − 4. Cherchons les points critiques de F : F 0 (x) = 2x − 2 = 0 ⇒ x = 1 Donc F admet un seul point critique a = 1 et comme F 00 (a) = 2 > 0 alors F admet un minimum local en a = 1. Par conséquent, f admet un minimum local en (a, h(a)) = (1, −1) sous la contrainte x − y − 2 = 0. M´ ethode des multiplicateurs de Lagrange Dans le cas général, on utilise la méthode des multiplicateurs de Lagrange (dite aussi la méthode du lagrangien). D´ efinition 3.4.9 (Lagrangien). Soit f, g : R2 → R deux fonctions de classe C 1 . Le Lagrangien associé ` a f et g est la fonction L : R3 → R définie par : L(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y).

3.4. OPTIMISATION D’UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES

D´ efinition 3.4.10. Un point (x0 , y0 , λ0 ) est dit point stationnaire (ou critique) du Lagrangien L, si :  0 L (x , y , λ ) = fx0 (x0 , y0 ) + λ0 gx0 (x0 , y0 ) = 0,   x 0 0 0 L0y (x0 , y0 , λ0 ) = fy0 (x0 , y0 ) + λ0 gy0 (x0 , y0 ) = 0, ∇L(x0 , y0 , λ0 ) = 0 ⇔   0 Lλ (x0 , y0 , λ0 ) = g(x0 , y0 ) = 0. D´ efinition 3.4.11. Soit f, g : R2 → R, o` u f est de classe C 2 et g de classe C 1 . Le hessien du Lagrangien associé ` a f et g au point (x0 , y0 , λ0 ) est : ¯ ¯ ¯ L00 L00 L00 ¯ ¯¯ L00 L00 g 0 ¯¯ xy ¯ xx ¯ 00 ¯ 00 ¯ ¯ xx xy x ¯ xλ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ Lxy gx0 ¯ ¯ Lxx gx0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ HL (x0 , y0 , λ0 ) = ¯ L00yx L00yy L00yλ ¯ = ¯¯ L00yx L00yy gy0 ¯¯ = gx0 ¯ ¯ − gy0 ¯ ¯ 00 0 00 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Lyy gy Lyx gy ¯ ¯ 00 ¯ ¯ Lλx L00λy L00λλ ¯ ¯ gx0 gy0 0 ¯ ¡ ¢ ¡ ¢ = gx0 gy0 L00xy − gx0 L00yy − gy0 gy0 L00xx − gx0 L00yx . Th´ eor` eme 3.4.12. Soit f, g : R2 → R, o` u f est de classe C 2 et g de classe C 1 au voisnage de (x0 , y0 ) ∈ R2 . Avec (x0 , y0 , λ0 ) un point critique du Lagrangien associé ` a f et g : L0x (x0 , y0 , λ0 ) = L0y (x0 , y0 , λ0 ) = g(x0 , y0 ) = 0. – Si HL (x0 , y0 , λ0 ) < 0, alors f admet un minimum local en (x0 , y0 ) sous la contrainte g(x, y) = 0. – Si HL (x0 , y0 , λ0 ) > 0, alors f admet un maximum local en (x0 , y0 ) sous la contrainte g(x, y) = 0. – Si HL (x0 , y0 , λ0 ) = 0, on ne peut pas conclure. Exemple 3.4.13. On considère le problème d’optimisation suivant : ½ optimiser f (x, y) = x + y + 12, sous la contrainte x2 + y 2 − 1 = 0. Le lagrangien associé ` a ce problème est L(x, y, λ) = x + y + 12 + λ(x2 + y 2 − 1). Le point (x, y, λ) est un point critique de L si et seulement si :  1     0 x=− λ 6= 0   2λ   1 + 2λx = 0  Lx (x, y, λ) = 0 1 L0 (x, y, λ) = 0 ⇔ 1 + 2λy = 0 ⇔ y = − λ 6= 0   2  y0 2  2λ x +y −1=0 Lλ (x, y, λ) = 0    1 −1=0 2λ2 On trouve donc λ1 =

p √ 2/2 et λ2 = − (2)/2, on a alors deux points critiques : √ √ √ λ1 = 2/2 ⇒ x1 = − 2/2 et y1 = − 2/2 √ √ √ λ2 = − 2/2 ⇒ x2 = 2/2 et y2 = 2/2.

(3.4.3)

´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

Le hessien du lagrangien est ¯ ¯ ¯ 2λ 0 2x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 2x ¯ ¯ ¯−2y ¯ 2λ 2x HL (x, y, λ) = ¯¯ 0 2λ 2y ¯¯ = 2x ¯¯ ¯ ¯ 0 2y 2λ 2y ¯ 2x 2y 0 ¯

¯ ¯ ¯ = 2x(−4xλ)−2y(4yλ) = −8λ(x2 +y 2 ). ¯

√ En (x1 , y1 , λ1 ), le hessien HL (x√1 , y1 ,√λ1 ) = −4 2 < 0, donc le probl`eme (3.4.3)√ admet un √ 2 2 2 2 2 2 minimum local en (x1 , y1 ) = (− 2 , − 2 ) sous la contrainte x +y −1 = 0 et f (− 2 , − 2 ) = √ 12 − 2. √ En (x2 , y2 , λ2 ), le hessien HL (x√2 , y√ eme (3.4.3) √admet un 2 , λ2 ) = 4 2 > 0, donc le probl` √ 2 2 2 2 2 2 maximum local en (x2 , y2 ) = ( 2 , 2 ) sous la contrainte x + y − 1 = 0 et f ( 2 , 2 ) = √ 12 + 2. ¥