Proyecto Disciplinario Matematicas

UNIDAD EDUCATIVA FISCOMISIONAL “Mariana de Jesús” Regentada por las Hijas de la Caridad Cayambe – Ecuador 2021 – 2022

Proyecto Disciplinario – Matemáticas

Nombre: Farinango Pinchao Darwin Mishel Grado: 10mo B Fecha: 04/01/2021

1. Definición y ejemplo 2. Vértice 3. Puntos de corte con los ejes 4. Formas factorizada y canónica 5. Intersección de dos parábolas 6. Problemas resueltos

Función cuadrática (parábola) Explicamos los conceptos básicos relacionados con las funciones cuadráticas y resolvemos algunos problemas.

1. Definición y ejemplo Una función cuadrática (o parabólica) es una función polinómica de segundo grado. Es decir, tiene la forma

siendo a≠0a≠0.

Esta forma de escribir la función se denomina forma general.

La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola.

Ejemplo

Las parábolas tienen forma de ∪∪ (si a>0a>0) o de ∩∩ (si a<0a<0).

Además de la orientación, el coeficiente aa es la causa de la amplitud de la función: cuanto mayor es |a||a|, más rápido crece (o decrece) la parábola, por lo que es más cerrada.

2. Vértice

Las funciones cuadráticas tienen un máximo (si a<0a<0) o un mínimo (si a>0a>0). Este punto es el vértice de la parábola.

La primera coordenada del vértice es

Y la segunda coordenada es su imagen:

Ejemplo Calculamos el vértice de la función

Identificamos los coeficientes:

Como aa es negativo, la parábola tiene forma de ∩∩. El vértice es un máximo.

La primera coordenada del vértice es

Calculamos la segunda coordenada:

Por tanto, el vértice es el punto

Gráfica:

3. Puntos de corte con los ejes Una parábola siempre corta el eje de ordenadas (eje Y) en un punto. Como esto ocurre cuando x=0x=0, se trata del punto (0,c)(0,c) puesto que f(0)=cf(0)=c.

Una función corta al eje de abscisas cuando y=0y=0. Por tanto, para hallar estos puntos de corte, tenemos que resolver una ecuación cuadrática:

Como una ecuación cuadrática puede tener una, dos o ninguna solución, puede haber uno, dos o ningún punto de corte con el eje X. Recordamos la fórmula que necesitamos:

Ejemplo Calculamos los puntos de corte de la función

Los coeficientes de la ecuación son a=1a=1, b=0b=0 y c=−1c=−1.

Eje Y: El punto de corte con el eje Y es (0,−1)(0,−1).

Eje X: Resolvemos la ecuación de segundo grado:

Hay dos soluciones: x=1x=1 y x=−1x=−1.

La segunda coordenada es 00.

Por tanto, tenemos los puntos de corte

Gráfica:

4. Formas factorizada y canónica

La forma factorizada de una función cuadrática es

donde aa es el coeficiente principal (visto anteriormente); x1x1 y x2x2 son las soluciones de la ecuación ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0. 

Si la ecuación ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 no tiene soluciones, no podemos factorizar la función.



Si la ecuación sólo tiene es f(x)=a(x−x1)2f(x)=a(x−x1)2.

una

solución, x1x1,

la

forma

factorizada

Ejemplo En el ejemplo anterior vimos que los puntos de corte con el eje X de la función f(x)=x2−1f(x)=x2−1 son (1,0)(1,0) y (−1,0)(−1,0). Por tanto, la forma factorizada de esta función es

La forma canónica de una función cuadrática es

donde aa es el coeficiente principal visto ya; hh es la primera coordenada del vértice y kk es la segunda.

Ejemplo Vimos en un ejemplo que el vértice de la función f(x)=−2x2+3f(x)=−2x2+3 es (3/4,9/8) (3/4,9/8). Por tanto, su forma canónica es

5. Intersección de dos parábolas Podemos preguntarnos si las gráficas de dos funciones se cortan entre sí. Para resolver esta pregunta, tenemos que igualar las funciones y resolver la ecuación resultante.

Ejemplo Calculamos la intersección de las siguientes parábolas:

Igualamos ambas funciones y resolvemos la ecuación:

Las soluciones de la ecuación son x=1x=1 y x=−1x=−1.

La segunda coordenada se obtiene calculando la imagen:

Por tanto, los puntos de corte son (1,0)(1,0) y (−1,0)(−1,0).

Gráfica:

6. Problemas resueltos

Problema 1 Calcular el vértice de la siguiente función parabólica:

Solución Los coeficientes son a=−3a=−3, b=6b=6 y c=5c=5.

La primera coordenada del vértice es

Calculamos la segunda coordenada:

Por tanto, el vértice es el punto (1,8)(1,8).

Gráfica:

Problema 2

Determinar los puntos de corte y el vértice de la siguiente función:

Solución Los coeficientes son a=4a=4, b=4b=4 y c=−8c=−8.

La primera coordenada del vértice es

Calculamos la segunda coordenada:

Por tanto, el vértice es el punto

Punto de corte con el eje Y Ocurre cuando x=0x=0, así que se trata del punto (0,−8)(0,−8).

Punto de corte con el eje X

Resolvemos la ecuación cuadrática asociada:

Hemos dividido la ecuación entre 44 (esta operación no cambia las soluciones).

Por tanto, los puntos de corte son (1,0)(1,0) y (−2,0)(−2,0).

Gráfica:

Problema 3

Determinar los puntos de corte y el vértice de la siguiente función:

Solución Los coeficientes son a=1a=1, b=0b=0 y c=1c=1.

La primera coordenada del vértice es

Calculamos la segunda coordenada:

Por tanto, el vértice es el punto (0,1)(0,1).

Punto de corte con el eje Y Ocurre cuando x=0x=0, así que se trata del punto (0,1)(0,1).

Punto de corte con el eje X Resolvemos la ecuación cuadrática asociada:

Esta ecuación no tiene soluciones. Por tanto, la parábola no corta al eje de abscisas.

Gráfica:

Problema 4

Determinar los puntos de corte de la parábola

Y el vértice de la parábola

Solución La forma factorizada nos facilita calcular los puntos de corte con el eje X:

Punto de corte con el eje Y (sustituimos x=0x=0):

Por tanto, es el punto (0,−6)(0,−6).

Gráfica de ff:

La forma canónica de la función gg nos proporciona las coordenadas de su vértice: (2,−4) (2,−4).

Gráfica de gg:

Problema 5

Escribir la siguiente función en las formas factorizada y canónica:

Solución Los coeficientes son a=1/2a=1/2, b=1b=1 y c=−4c=−4.

La primera coordenada del vértice es

Calculamos la segunda coordenada:

Por tanto, el vértice es el punto

La forma canónica de la función es

Punto de corte con el eje Y: (0,−4)(0,−4).

Punto de corte con el eje X Resolvemos la ecuación cuadrática asociada:

Son los puntos (2,0)(2,0) y (−4,0)(−4,0).

La forma factorizada de la ecuación es

Gráfica: