UNIDAD 1. EL NÚMERO REAL 1.1 EXPRESIÓ APROXIMADA – CONTROL DEL ERROR. NOTACIÓ CIENTIFICA OBJETIVOS: Dominar la expresión decimal de un número. Calcular o aproxima los errores absolutos i relativos en una aproximación. Expresión decimal de los números aproximados. Cifras significativas. Cuando estamos realizando operaciones con números con muchas cifras, podemos realizar una aproximación. Al comprar productos realizamos esta operación sin darnos cuenta: Esta camiseta vale 6€ (cuando marca 5’95€) Aquel coche vale unos 12.000€ (11.850€) Las cifras significativas son los valores diferentes del cero que queremos expresar en esta aproximación, a partir del primer número diferente de cero: Veamos el resultado en esta tabla con el número: 8764 Cifras significativas: 3 cifras sign. 2 cifras sign. 1 cifras sign. Aproximación 8760 8800 9000 Redondeo de números En matemáticas, el método más empleado para aproximar es el redondeo. El método para redondear es el siguiente: Nos fijamos en el número posterior a la cifra significativa que queremos redondear: Si es menor que 5 (de 0 a 4), ponemos ceros a partir de esta cifra: 3 cifras significativas: 23647, el siguiente es 4, por tanto quedará: 23600. Si es mayor que 5 (de 5 a 9), sumamos 1 a la primera cifra significativa y ponemos ceros a partir de esta cifra: 3 c.s. de 23456, es un 5 --> 23500.
Practica:
Ej. 1. Realiza el redondeo con tres cifras significativas de: a. 27.890 = d. 123.456 = b. 12,316 = e. 0,023467 = c. 1.547.236 = f. 399.500 = Error absoluto y error relativo Definimos: Error absoluto (E.a.): Es la diferencia entre el valor real de un número y su aproximación. Error relativo (E.r.): Es el cociente entre el error absoluto cometido en una aproximación y el valor real.
Una camiseta tiene un valor real de 5.95€, calcula el E.a. y E.r. cometido cuando aproximamos a 6€.
Error absoluto: E.a.= 5.95 – 6.00 = -0.05 Error relativo: E.r. = -0,05/5.95 = - 0’0084 en % sería 0’84% Practica: Ej. 2. Obtén el E.a. y el E.r. de las aproximaciones del Ej. 1.
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UNIDAD 1. EL NÚMERO REAL Ej. 3. Sea el número 9865. Obtén el E.r. cuando redondeamos a: a. 3 cifras significativas.
b. 2 cifras significativas.
c. 1 cifra significativa.
¿Qué podemos deducir de la relación que hay entre las cifras significativas utilizadas y el error relativo cometido?
Notación científica ¿Cómo pasar un número muy grande a notación científica? Se pone como parte entera el primer dígito de la izquierda. Seguidamente se pone una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos. Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras no decimales que tiene el número menos una (la primera). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la izquierda. Es un exponente positivo. Poner en notación científica el número 3897000000000000
Parte entera: 3,897 Exponente de la potencia de diez: +15 (hay 16 dígitos no decimales, menos uno da 15) El número en notación científica sería: 3,897·10 15 ¿Cómo pasar un número muy pequeño a notación científica? Se pone como parte entera el primer dígito distinto de cero de la izquierda. Seguidamente se pone una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos. Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras decimales que tiene el número hasta la primera que sea distinta de cero (incluida). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la derecha. Es un exponente negativo. Poner en notación científica el número 0,000000000003897
Parte entera: 3,897 Exponente de la potencia de diez: -12 (hay 12 dígitos decimales, hasta la cifra 3, incluyendo dicha cifra) El número en notación científica sería: 3,897·10 -12 Ej. 4. Escribe en notación científica: a. La capacidad de una gran computadora para almacenar datos es de quinientos billones de bytes b. El radio del átomo de oxígeno mide sesenta y seis billonésimas de metro. c. La superficie de la Tierra es aproximadamente de quinientos diez millones de kilómetros cuadrados.
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UNIDAD 1. EL NÚMERO REAL d. La velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por segundo. e. El virus de la gripe tiene un diámetro de cinco cienmilésimas de mm. f. En la Vía Láctea hay aproximadamente ciento veinte mil millones de estrellas. ACTIVIDADES DE REFUERZO Ej. 5 –Expresa en notación científica y halla el error absoluto y relativo cometido: 3256730000 m. ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN DE LA UNIDAD. Ej. 6 – La masa del protón es de: 0’000000000000000000000000000167262158 Kg. Expresa esta cantidad en notación científica con tres cifras significativas. Calcula el error relativo cometido. Realiza el mismo ejercicio con: la masa del neutrón: 0’000000000000000000000000000167492716 Kg la masa del electrón: 0’0000000000000000000000000000000910938188 kg. Ej. 7 – Sabiendo que el radio de la Tierra es de 6378 Km. Calcula el error relativo cometido en la aproximación del ejercicio 4, apartado c. ACTIVIDADES DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD. Remitir a las actividades de la explicación, y ejercicios de los libros de consulta de clase.
1.2 NÚMEROS NATURALES – RACIONALES E IRRACIONALES OBJETIVOS: Saber clasificar el tipo de números en función de sus características. Definimos: Número Natural : es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos. Se representa:
Número Entero: Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. Se representan por la letra:
ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán Zahlen ("números", pronunciado [‘tsaːlən]).
Números Racional: a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo). Es decir, una fracción común con numerador y denominador distinto de cero. El término racional alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números
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UNIDAD 1. EL NÚMERO REAL racionales se denota por europeos)
que significa «cociente» (Quotient en varios idiomas
Aquel que no es racional, lo llamaremos irracional: expresar en forma de fracción.
es decir no se puede
Número Real ( : El conjunto de números naturales, enteros, racionales e irracionales lo definimos como números reales:
ACTIVIDADES DE REFUERZO Ej. 8 – Clasifica los siguientes números
ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN DE LA UNIDAD. Ej. 9 – Representa en la recta real
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UNIDAD 1. EL NÚMERO REAL Busca información en Internet, sobre la relevancia del número áureo a lo largo de la historia del arte. El número áureo es un número irracional que viene representado por:
Ver estos videos: El numero divino El número de Oro - El Sello de Dios
Obtén una aproximación de 4 cifras significativas, y calcula el error relativo cometido.
ACTIVIDADES DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD. Remitir a las actividades de la explicación, y ejercicios de los libros de consulta de clase.
1.3 REPRESENTACIÓN DE INTERVALOS Y RECTAS OBJETIVOS: Representar intervalos en forma de inecuación y gráficamente. Cuando resolvemos un ejercicio de cálculo, o resolvemos un problema, la solución suele ser un número. Pero, ¿Qué ocurre cuando la solución es un conjunto de números? Para indicar que una solución es un conjunto de números, lo podemos indicar de tres formas diferentes:
Ejemplo
Gráficamente
Que valores de x cumplen que tenga solución real. La solución serán aquellos valores que den valores positivos en la ecuación 16-x², es decir valores mayores o igual que el -4 y menores o igual que el 4.
Nomenclatura
Desigualdad
Representaremos la solución como un duplo de números, separados por una coma. En los extremos pondremos un corchete, en el caso que la solución sea válida el corchete cerrara el número. En caso contrario el corchete serà abierto.
Solución
Intervalo
[-4,4]
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Expresaremos la solución usando los signos <, , >. Indicaremos que valores reales de la incógnita cumplen la solución.
Representaremos sobre la recta real los límites de la solución (en nuestro caso el -4 y el 4). Si el número sirve como solución el punto lo pintamos por dentro (•). En el caso que no sea así, pintamos el circulo hueco (⁰). Después unimos los puntos con una línea por encima o debajo de la recta real.
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UNIDAD 1. EL NÚMERO REAL ACTIVIDADES DE REFUERZO Ej. 10 – Representa las siguientes soluciones de las tres formas posibles: I) , 3
I) x
1 II) , 2
I) x / x 6
3
] -2, 6] [-1, +∞[
1 x
II) x
2 x 5
II) x
3 x 2
ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN DE LA UNIDAD. Ej. 11 – Que valores cumplirán que x+5>0
Ej. 12 – Que valores de x darán solución real para la siguiente expresión algebraica:
ACTIVIDADES DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD. Remitir a las actividades de la explicación, y ejercicios de los libros de consulta de clase.
1.4 RAICES. PROPIEDADES DE LAS RAICES. OBJETIVOS: . Simplificar expresiones numéricas irracionales sencillas y operar con números reales: Interpreta y simplifica radicales. Opera con raíces. Racionaliza denominadores.
. Expresión de raíces en forma exponencial, y viceversa.
Cualquier raíz la podemos expresar en forma de potencia: Recuerda que cuando n=2 no se indica en el radical, y si m=1 tampoco se indica en el exponente así tendríamos que
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.
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UNIDAD 1. EL NÚMERO REAL Ej. 13. Expresa en forma de potencia o radical las siguientes expresiones: Propiedades de las potencias y los radicales
Propiedades de las potencias y radicales: POTENCIAS RAÍCES 1.1.Demostración: C.Q.D. 2.-
2.Demostración:
3.-
3.Demostración:
4.-
4.Demostración:
Comentarios:
Utilización de la calculadora para obtener potencias y raíces
En todas las calculadoras científicas encontraremos unas teclas que servirán para obtener resultados de potencias o raíces ¿Cuál es tú caso?
a. b. c. d. Ej. 14 Explica con tus propias palabras, cómo calcularías con la calculadora y da el resultado de: , Ej. 15 Expresa en forma radical
a) a 5 ·b5
1 3
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b) x²
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3 / 2 1/ 3
UNIDAD 1. EL NÚMERO REAL 1.5 UTILIZACIÓN DE LAS PROPIEDADES CON RAÍCES. SIMPLIFICACIÓN. OPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado: Utilidades relacionadas con la simplificación: Reducción de radicales a índice común: Pasos Ejemplo 1.- Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice. m.c.m (2, 5, 3) = 30 2.- Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes. Extracción de factores fuera del signo radical Se descompone el radicando en factores. Puede ocurrir: Ejemplo: Explicación Un exponente es mayor que el Un exponente es índice, se divide dicho igual al índice, el exponente por el índice. El factor cociente obtenido es el correspondiente exponente del factor fuera del sale fuera del radicando y el resto es el radicando.(b) exponente del factor dentro del radicando (a)
Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando (c)
Ejemplo Introducción de factores dentro del signo radical Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical: Ej. 16 - Simplifica y extrae los factores que puedas fuera del radical: 5
d ) 3 81a 4b3c 6
4
a)
864a b
b)
x4y 5 z3
98 x 4 e) 16 y 5
a 4 b 6c 7
f ) 4 144a 6 4
c)
3
Suma (Resta) de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando:
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UNIDAD 1. EL NÚMERO REAL Multiplicación de radicales.
Para poder multiplicar radicales han de tener el mismo radical. Una vez tengan el mismo radical, se multiplican los radicandos:
Ej. 17 Calcula y simplifica el resultado:
c) 32 2 18 98 50 27 3 192 2 12
a) 3
b)
3
d)
9 3
f ) 150 54 24 4
5 5 4 25
g)
4
h) 3
27
e)
x2 3 x2
33 ·6 6 3 4
2
Racionalizar
En una fracción nunca podemos dejar un radical en el denominador. La explicación es que una fracción representa un valor (numerador) repartido en varias partes iguales (el denominador). Si el denominador es un numero irracional, no podemos hacer partes exactas iguales, por tanto hay que obtener una expresión equivalente que no contenga raíces en el denominador. Nos podemos encontrar dos casos: 1. Encontramos una raíz en el denominador: Pasos Ejemplo 1 Ejemplo 2 1.- Multiplicamos en el numerador y en el denominador por la raíz complementaria que anule el denominador. 2.- Operamos y simplificamos 2. Encontramos una suma o resta con raíces en el denominador: Pasos 1.- Multiplicamos en el numerador y en el denominador por el complementario del denominador:
2.- Operamos y simplificamos
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Ejemplo
UNIDAD 1. EL NÚMERO REAL Ej. 17 Racionaliza:
b)
4 2 2 g) 4 2
1
a)
5 3 5
c)
a
d) 2
e)
3 2 3 2
f)
3 8
3 23 2 11 2 11
h)
2 3 3 2
ACTIVIDADES DE REFUERZO DE LA UNIDAD Ej. 18 Representa en la recta: Ej. 19 Escribe en forma de intervalo y representa: I) x / x 6
II) x
2 x 5
Escribe en forma de desigualdad y representa: ] -2 , 5] ] – , 3] Ej. 20 Opera:
Ej. 21 Calcula:
Ej 22. Racionalizar:
Ej. 23 Opera y simplifica:
a.
3 2 3 2
b.2 48 3 75 5 27 2 12 c.
5 5 3
3 5 3
5 6 3 2 2 3 d . · 6 3 2 e.
2 1 2 2
f .2 8 3 18 5 50 2 32
ACTIVIDADES DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD. Remitir a las actividades de la explicación, y ejercicios de los libros de consulta de clase.
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UNIDAD 1. EL NÚMERO REAL
MAPA CONCEPTUAL DE LA UNIDAD Anota todos los conceptos trabajados en la unidad y trata de relacionarlos
Webs de consulta y ejercicios de ampliación. http://www.vitutor.com/di/re/b_3.html http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp14_numeros_reales.php http://www.vadenumeros.es/cuarto/operaciones-con-radicales.htm
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