Fisica I by Guillermo Diaz

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Isaac Newton, un día mientras estaba sentado bajo un arbol le cayó una manzana en la cabeza, esto lo hizo reflexionar sobre la fuerza de atracción de los cuerpos. Si la tierra atrae a la manzana, la manzana atrae a la tierra, a su vez todos los cuerpos se atraen entre sí. Newton concluyo que existe una fuerza que expeimentan los planetas que los mantiene en su trayectorias, casi circulares, alrededor del sol. Newton concibió la idea de que el Sol tambien ejerce algún tipo de fuerza de atracción sobre los planetas.

Si la luna gira alrededor de la Tierra, debe existir alguna atracción de la tierra sobre la luna, que es la que la mantiene en su orbita alrededor de la tierra. Existen otras lunas girando alrededor de otros planetas y por consiguiente, esta atracción de un cuerpo sobre todo aparece como fenómeno general.

Cada masa del Universo atrae a cualquier otra, con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Lo que Newton descubrió fue la Ley de la Gravitación Universal que dice: LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL. – Dos cuerpos cualesquiera se atraen uno a otro directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. La ecuación matemática es:

F = α . m1.m2

Incluyendo la constante de proporcionalidad, la ecuación se convierte en:

F = G.m1.m2 d2

Donde: F = Fuerza. m = masa de los cuerpos. d = Distancia entre los cuerpos. G = Constante de la Gravitación Universal.

P.R. Heyl Y P. Chizanowski, en el National Bureu of Standard de los Estados Unidos, obtuvieron en 1942 el valor de “G” actualmente aceptado. Si la Fuerza se da en Newtons, la Masa en Kilogramos y la Distancia en Metros, el valor de “G” es:

G = 6.673 x 10-11 m3 / Kg x seg2. Si la Fuerza se da en Dinas, la Masa en Gramos y la Distancia en Centimetros, el valor de “G” es:

G = 6.673 x 10-8 cm3 / gr x seg2. Si la Fuerza se da en Lb-fuerza, la Masa en Slug y la Distancia en Pies, el valor de “G” es:

G = 6.673 x 10-11 pies3 / slug x seg2.

Ejemplos: 1.- Encontrar la fuerza de atracción entre la luna y la tierra, si la masa de la luna es de 7.3 x 1022 Kg y la masa de la tierra es de 6 x 1024 Kg y la separación entre sus centros es de 3.9 x 108 m. DATOS

FORMULA

m1 = 7.3 x 1022 Kg F = G.m1.m2 24 m2 = 6 x 10 Kg d2 8 d = 3.9 x 10 m. d2 = 15.21 x 1016 m2 G = 6.673 x 10-11 m3 / Kg x seg2 F?

SUSTITUCIÓN. F = ( 6.673 x 10

-11

m / Kg x seg )( 7.3 x 10 16

15.21 x 10 m

Kg)( 6 x 10

Kg)

F = (292.2774 x 10+35 Kg.m3 / seg2) 15.21 x 10+16 m2 F = 19.216 X 10+19 Kg.m / seg2. F = 19.216 X 10+19 Newtons.

2. – Encontrar la masa de la tierra, utilizando la ecuación de la Gravitación Universal, si se sabe que la fuerza ejercida por la tierra sobre cualquier cuerpo de masa igual a 1 gr que se encuentra sobre su superficie es de 981 Dinas y ademas sabiendo ademas que el radio de la tierra es de 6370 Km.

DATOS

FORMULA

m1 = 1 gr F = G.m1.m2 m2 = ? d2 d = 6.37 x 108 cm. m2 = ..F.d2.. 2 16 2 d = 40.577 x 10 cm G.m1 G = 6.673 x 10-8 cm3 / gr x seg2 F = 981 gr x cm / seg2

SUSTITUCIÓN. m2 = (981gr.cm / seg2)( 40.577 x 1016 cm2) (6.673 x 10-8 cm3 / gr x seg2)(1 gr) m2 = (39806.037 x 10+16 gr.cm3 / seg2) (6.673 x 10-8 cm3 / seg2)

m2 = 5965.239 x 10+24 gr.

3. – Dos esferas de metal con una masa de 5 Kg cada una, estan colocadas a 1.2 m centro a centro. Calcular la fuerza de atracción entre ellas. DATOS

FORMULA

SUSTITUCIÓN

M1 = 5 Kg M2 = 5 Kg

F = G.m1.m2 d2

F = (6.673 x 10-11 m3 / Kg x seg2)(5 Kg)(5 Kg) (1.44 m2)

d = 1.2 m. d2 = 1.44 m2 G = 6.673 x 10-11 m3 / Kg x seg2

F = (1.66825 x 10-9 Kg. m3 / seg2) (1.44 m2)

F=? F = 1.158 x 10-9 Kg.m / seg2.

Ejercicios: 1.- Encontrar la fuerza de atracción entre Júpiter una de sus lunas, si la masa de la luna es de 8.9 x 10+23 Kg y la masa de Júpiter es de 9 x 10+32 Kg y la separación entre sus centros es de 5.9 x 10+11 m. 2. – Encontrar la masa de Marte, utilizando la ecuación de la Gravitación Universal, si se sabe que la fuerza ejercida por Marte sobre cualquier cuerpo de masa igual a 1 Kg que se encuentra sobre su superficie es de 1210 Newtons y ademas sabiendo ademas que el radio de Marte es de 9850 Km. 3. – Dos esferas de metal con una masa de 350 gr cada una, estan cocolcadas a 800 cm centro a centro. Calcular la fuerza de atracción entre ellas. 69

LEYES DE KEPLER INTRODUCCIÓN Mucho antes que Newton, los astrónomos habian descubierto que los Planetas giraban en orbitas alrededor del Sol. Aristóteles y Ptolomeo describian las orbitas de los Planetas mediante movimientos de circulos dentro de circulos.

Nicolas Copernico sostenía que los Planetas giraban alrededor del Sol y no alrededor de la Tierra. John Kepler, astrónomo y filósofo alemán, encontró que era posible describir los movimientos del sistema Solar mediante tres Leyes simples. Las Leyes de Kepler vinieron a reforzar la hipótesis de Copérnico que sostenía que los Planetas giraban alrededor del Sol y no alrededor de la Tierra. Las Leyes de Kepler se aplican a satélites que se mueven en torno a un planeta. John Kepler presentó en su libro las pruebas, por observación y matemáticas, de que todos los planetas se mueven en orbitas elípticas y elaboró sus Leyes conocidas como Leyes de Kepler del Movimiento Planetario y son: PRIMERA LEY DE KEPLER. – Cada planeta describe una órbita elíptica, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Planeta

Sol f2 Eje mayor

Eje mayor

SEGUNDA LEY DE KEPLER. – La linea recta que une al Sol, con cualquiera de los planetas describe áreas iguales en intervalos iguales de tiempo. Una consecuencia de esta segunda Ley de Kepler, es que el invierno en el hemisferio norte es mas corto que en el hemisferio sur, donde el invierno es en julio cuando la tierra esta mas lejos del sol.

Según la primera Ley de Kepler los planetas recorren orbitas elípticas y en uno de sus focos esta el Sol de acuerdo con la segunda Ley de Kepler los planetas recorren distancias iguales en intervalos de tiempo iguales.

Julio

Enero

Sol

“ Un planeta se trasladara de A a B en el mismo tiempo empleado de ir de C a D”.

TERCERA LEY DE KEPLER. – Los cubos de las distancias del sol a dos planestas cualesquiera, están en la misma relación que los cuadrados de sus periodos correspondientes. La expresión matematica de la Tercera Ley de Kepler es:

R13. = T12. R23 T22

Donde: R1 = Distancia del planeta 1 hasta el sol. T1 = Periodo del planeta 1. R2 = Distancia del planeta 2 hasta el sol. T2 = Periodo del planeta 2.

Kepler especificó que la distancia R debe tomarse como la mitad del diámetro mayor de la elipse. Los satelites dan vueltas indefinidamente sobre el mismo punto del ecuador terrestre. Eso se debe a que tienen el mismo periodo que el periodo de rotación de la tierra.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

DESCRIPCIÓN CINEMATICA DE MOVIMIENTO.

¿Qué es el movimiento? Seguramente habrás tenido la oportunidad de ver en la pantalla de un cine o televisión, movimientos en cámara lenta; por ejemplo, el vuelo de un colibrí o en cámara rápida el nacimiento y desarrollo de una flor. El movimiento en ambos casos a simple vista es prácticamente imposible obsérvalos con precisión.

En nuestra vida cotidiana hemos visto un objeto que cae, el caminar o correr de una persona, la rápida marcha de un ciclista o de un avión, así como el agua de un río que fluye libremente; decimos que estos objetos están en movimiento, pero ¿Cómo definimos al movimiento?

MOVIMIENTO. – Se dice que un movimiento ocurre cuando un objeto cambia de posición en el transcurso del tiempo.

Si conocemos y controlamos el movimiento de los cuerpos, podemos utilizarlo en nuestro beneficio. Recordemos que la Mecánica es la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos y las causas que lo producen.

Cuando un objeto se pone en movimiento es necesario referirnos con respecto a que lo efectúa, pues carecemos de un sentido de velocidad absoluta. Pongamos por caso el siguiente ejemplo: una persona (un observador) se encuentra en el interior de un tren cerrado que se mueve con velocidad constante en línea recta y sin fricción; ésta (la persona dentro del tren) no puede determinar si se encuentra en reposo o en movimiento, a menos que mire hacia el exterior y fije un punto en el horizonte, pues solo tendrá la sensación de movimiento cuando compare su posición con respecto un punto fijo.

Un ejemplo claro de este hecho lo experimentamos día con día al no tener la sensación de movimiento, aun cuando estemos girando alrededor del eje terrestre y nos movamos alrededor del sol también.

Cuando se habla de un sistema de referencia, asociamos a éste un sistema de coordenadas cartesiano y un reloj que permiten determinar la posición (o localización) de los cuerpos y partículas, para determinar si se encuentran en reposo.

DEFINICIÓN DE TRAYECTORIA, DISTANCIA Y DESPLAZAMIENTO.

Antes de definir Trayectoria definiremos otro concepto de suma importancia para estudiar el movimiento, que es el concepto de Posición.

Analicemos el siguiente caso: un ave en pleno vuelo parece sin movimiento para un observador que viaja en un automóvil con la misma velocidad y dirección que el ave, mientras que para otro observador que se encuentra fijo sobre la tierra, el ave se aleja conforme transcurre el tiempo. De lo anterior, podemos definir posición como:

POSICIÓN. – Se define como un punto arbitrario que se caracteriza por tener unas coordenadas especificas, medidas con respecto a un sistema de referencia en cualquier instante de tiempo.

En consecuencia de lo anterior, el movimiento de cualquier objeto esta determinado por una sucesión de puntos en el espacio que especifican la variación de la posición del cuerpo en cada instante. Por lo anterior definimos por trayectoria como:

TRAYECTORIA. – Línea (conjunto de puntos) que describe un cuerpo en su movimiento, como consecuencia de los cambios de su posición en el espacio.

Del ejemplo anterior, podemos concluir que el movimiento de un cuerpo es relativo; ya que depende del sistema de referencia que se elija, siendo esto lo que determina la posición y la forma de la Trayectoria que siga el cuerpo.

El movimiento de los cuerpos, puede ser Rectilíneo o Circular según la trayectoria que siga dicho cuerpo.

Al describir un movimiento usamos frecuentemente el término Distancia Recorrida, por lo que es necesario definirla como:

DISTANCIA RECORRIDA. – La suma de todas las longitudes de todos los segmentos que conforman la trayectoria. (Es una magnitud escalar)

Muchas veces confundimos lo que es Distancia Recorrida por lo que es Desplazamiento, en este curso se hará la diferenciación para que no haya equivocaciones en lo que resta de su vida profesional.

Distancia Recorrida

Desplazamiento E Por lo que definiremos desplazamiento como. DESPLAZAMIENTO. – Cantidad vectorial que describe el cambio neto de posición de un cuerpo en determinada dirección (Si la Trayectoria de la distancia es en línea recta se puede sustituir la palabra Desplazamiento por Distancia). (Es una magnitud vectorial) La Distancia y el Desplazamiento se expresan en unidades de longitud. (cm, m, Km, etc.)

DEFINICION DE RAPIDEZ y VELOCIDAD. ¿Qué es rapidez?, ¿Qué es velocidad? Decimos que un objeto se mueve cuando cambia su posición con respecto a algún punto de referencia. Iniciamos nuestro estudio con los movimientos más simples de la naturaleza (cuya 74

característica es su desplazamiento en línea recta); tal como ocurre con un competidor de una carrera de 100 metros planos; un automóvil que recorre el tramo recto de una carretera sin variar su dirección o el vuelo del águila que surca nuestro cielo en línea recta, etc.

¿Podemos comparar estos movimientos? Comparar significa en nuestro caso, no solo indicar cuál de ellos es más rápido o más lento, si no también especificar, cuántas veces lo es; esto nos induce a definir una variable cuyo valor sirve para nuestros propósitos. Esta variable es la Rapidez. Cabe señalar que no es lo mismo Rapidez que Velocidad.

RAPIDEZ. – Expresa la distancia que realiza un cuerpo en una unidad de tiempo. (Es una magnitud escalar) VELOCIDAD. – Expresa el desplazamiento que realiza un cuerpo en una unidad de tiempo. (Es una magnitud vectorial)

Tanto la Rapidez como la Velocidad siempre se va a expresar en las siguientes unidades (cm / seg, m / seg, Km / hra, plg / seg, pie / seg, yrd / seg, milla / hra, etc.)

INTERPRETACIÓN GRAFICA DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U) Si al moverse un cuerpo no varía su velocidad ni su dirección y además su trayectoria es una línea recta, decimos que se trata de un Movimiento Rectilíneo Uniforme. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.). – Cuando el cuerpo recorre distancias iguales en intervalos de tiempo iguales y la trayectoria es una línea recta se dice que es un Movimiento Rectilineo Uniforme. Frecuentemente se utilizan graficas para analizar las relaciones entre cantidades. Si un cuerpo se mueve con velocidad constante y recorre distancias iguales en tiempos iguales, la distancia recorrida será directamente proporcional al tiempo transcurrido, es decir describirá una trayectoria en línea recta. Para describir mas concretamente este movimiento, consideraremos un móvil que lleva una velocidad uniforme de 5 m / seg.

Representando en un eje de coordenadas de las “x” el tiempo y en el eje de la “y” las distancias tenemos que:

Tiempo (seg) 1 2 3 4 5

Distancia (m) 5 10 15 20 25

D I S T A N C I A E N M E T R O S

25 20

10 5

2 3 4 5 TIEMPO EN SEGUNDOS

6 76

Si las distancias que recorre un automóvil son iguales en tiempos iguales, se dice que se mueve con velocidad constante. La velocidad constante o velocidad media de un cuerpo en movimiento, se define como la distancia recorrida en la unidad de tiempo.

VELOCIDAD MEDIA. – Se define como el cambio de distancia en el tiempo transcurrido. La formula matemática para expresar la velocidad media es:

V=d t

Donde: V = Velocidad media. d = Distancia. t = Tiempo.

Significa que la velocidad es un valor promedio para un determinado intervalo de tiempo. Las unidades en las que se expresa la Velocidad Media son:

cm / seg, m / seg, Km / hra, plg / seg, pie / seg, yrd / seg, milla / hra, etc

Ejemplos: 1. – Un automóvil recorrió 2560 m en un viaje que duro 1 hora y 20 minutos. Encontrar la Velocidad Media en m / seg.

DATOS d = 2560 m t = 1 hra 20 min t = 80 min = 4800 seg V=?

FORMULA

SUSTITUCION

V=d t

V = 2560 m 4800 seg V = 0.5333 m / seg.

2. – Un ciclista recorrió una distancia de 6.5 Km a una velocidad de 10 m / seg. Encontrar el tiempo (en segundos) que duro en recorrer esa distancia.

DATOS d = 6.5 Km

FORMULA V=d

SUSTITUCION t = 6500 m 77

d = 6.5 x 1000 m = 6500 m V = 10 m / seg t=?

t t=d V

10 m / seg t = 650 seg.

3. – Un automóvil ocupo un tiempo de 6 horas para recorrer una distancia a una velocidad 4 m / seg. Encontrar el total de la distancia (en metros) que recorrió.

DATOS t = 6 horas t = 6 x 3600 seg = 21600 seg V = 4 m / seg d=?

FORMULA V=d t d=Vxt

SUSTITUCION d = (4 m / seg) x (21600 seg) d = 86400 m.

Ejercicios: 1. – Un automóvil recorrió 18520 m en un viaje que duro 2 horas y 40 minutos. Encontrar la Velocidad Media en m / seg. 2. – Un ciclista recorrió una distancia de 12 Km a una velocidad de 25 m / seg. Encontrar el tiempo (en segundos) que duro en recorrer esa distancia. 3. – Un automóvil ocupo un tiempo de 1 hora y 15 minutos para recorrer una distancia a una velocidad 2.5 m / seg. Encontrar el total de la distancia (en metros) que recorrió. 4. – Un automóvil ocupo un tiempo de 260 minutos para recorrer una distancia a una velocidad 3 m / seg. Encontrar el total de la distancia (en metros) que recorrió.

DEFINICIÓN DE VELOCIDAD INSTANTÁNEA, ACELERACIÓN Y ACELERACIÓN MEDIA Hasta ahora hemos visto cuerpos que se mueven con velocidades constantes en unidades de tiempo iguales, el tema que ahora nos ocupa se refiere a cuerpos que no se mueven con velocidades constantes, y para su análisis tenemos la necesidad de definir que:

VELOCIDAD INSTANTÁNEA. – Es la velocidad de un cuerpo en determinado instante. Cuando viajamos en un automóvil, cuya velocidad va cambiando y observamos que en el velocímetro la velocidad va aumentando desde que parte del reposo, decimos que el movimiento no es uniforme. Como el movimiento de un cuerpo no siempre es uniforme, y esto se debe a que las fuerzas que producen el movimiento pueden ser diferentes. Cuando un cuerpo se mueve con velocidad variable, se dice que esta acelerando, esta definición puede darse como:

ACELERACIÓN. – Es el cambio de Velocidad (vector) que sufre un cuerpo en la unidad de tiempo (escalar).

Se dice que un sistema cambia de velocidad cuando modifica alguna de sus características vectoriales, es decir, cuando hay cambios en la magnitud, en la dirección o en ambas simultáneamente. Así, un automóvil que viaja en línea recta, acelera uniformemente si la magnitud de la velocidad aumenta o disminuye de la misma manera en cada instante de tiempo. Por otra parte, si el mismo automóvil mantiene constante la velocidad, pero recorre una pista circular, entonces la velocidad cambia de dirección en cada punto de la trayectoria, variando en consecuencia el vector velocidad; en este caso la aceleración es radial y apunta hacia el centro del circulo. De los ejemplos anteriores se deduce que si la velocidad no es constante en el tiempo (es decir que cambia su magnitud o su dirección, o ambas) entonces su variación en cualquier intervalo de tiempo está representada por la Aceleración Media, cuya definición se da a continuación:

ACELERACIÓN MEDIA. – Es el cociente del cambio de velocidad (velocidad final menos velocidad inicial) entre el intervalo de tiempo que transcurre para efectuar el cambio. Las unidades de la aceleración se obtienen al dividir las unidades de la velocidad entre las del tiempo. Ejemplo:

cm ..seg.. = seg

cm ; seg2

m ..seg.. = m ; seg seg2

plg ..seg.. = plg ; seg seg2

pie ..seg.. seg

pie seg2 79

INTERPRETACION GRAFICA DEL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.) Si un cuerpo se mueve con aceleración constante, la distancia recorrida es inversamente proporcional al tiempo transcurrido, esto quiere decir que si expresaramos este movimiento graficamente, este nunca nos daría una línea recta, si no que una linea curva. Consideremos el siguiente ejemplo, un cuerpo con aceleración constante y que recorre las distancias indicadas en la tabla siguiente durante los primeros 5 segundos, obtenemos que: Si trazamos en una grafica las cantidades de tiempo en el eje de las “x”, y las distancias en el eje de las “y”, obtenemos:

Tiempo (seg) 1 2 3 4 5

Distancia (m) 2 4 8 14 22

Nota: recordar los intervalos. (Solo para el maestro)

D I S T A N C I A E N M E T R O S

25 20

1 2 3 4 5 TIEMPO EN SEGUNDOS

Haciendo el análisis de la grafica observamos que el cuerpo sufre una aceleración constante de 2 m / seg. Por lo que siempre debemos de tener presentes las siguientes precisiones:

Si la velocidad aumenta, la aceleración es positiva. Si la velocidad disminuye, la aceleración es negativa. Cuando el cuerpo esta parado o se mueve con velocidad constante no existe aceleración.

Cuando las velocidades, final e inicial son iguales en cualquier intervalo de tiempo, La Aceleración es Cero, como en el movimiento rectilíneo uniforme. 80

Como la aceleración es el cambio de la velocidad en la unidad de tiempo la fórmula matemática de la aceleración será:

Vf – Vo t

Donde: a = Aceleración. Vf = Velocidad final. Vo = Velocidad inicial. t = Tiempo.

Recordemos que las unidades de la aceleración se obtienen al dividir las unidades de la velocidad entre las del tiempo. Ejemplo: cm ..seg.. = seg

1 cm seg2

cm ; seg2

m ..seg.. = m ; seg seg2

plg ..seg.. = plg ; seg seg2

pie ..seg.. seg

pie seg2

significa que el cuerpo tiene una aceleración de 1 cm / seg cada segundo.

Las ecuaciones matemáticas del movimiento acelerado son:

Si el cuerpo parte con velocidad inicial. a = Vf – Vo t Vf = Vo + a.t d = (Vf – Vo).t 2 d = Vo.t + a.t2 2 2 2.a.d = Vf – Vo2

Si el cuerpo parte del reposo, sin velocidad inicial (Vo = 0) a = Vf t Vf = a.t d = (Vf).t 2 d= a.t2 2 2.a.d = Vf2

Ejemplos: 1. – La velocidad inicial de un automóvil es de 20 m / seg y la aumenta hasta los 35 m / seg en 4 segundos. Encontrar la aceleración.

DATOS

FORMULA

SUSTITUCION

Vo = 20 m / seg Vf = 35 m / seg t = 4 seg a=?

a = Vf- Vo t

a = (35 m / seg – 20 m / seg) 4 seg a = 15 m / seg 4 seg a = 3.75 m / seg2.

2. – Encontrar la velocidad final de un ciclista que inició su recorrido con una velocidad 45 m / seg y sufre una aceleración de 5 m / seg2 en 8 seg.

DATOS

FORMULA

SUSTITUCION

Vo = 45 m / seg a = 5 m / seg2 t = 8 seg Vf = ?

Vf = Vo + a.t

Vf = (45 m / seg) + [(5 m / seg 2)(8 seg)] Vf = (45 m / seg) + (40 m / seg) Vf = 85 m / seg.

3. – Encontrar la velocidad inicial de un ciclista que finalizó su recorrido con una velocidad 92 m / seg que sufrió una aceleración de 6 m / seg2 en 12 seg. 82

DATOS Vf = 92 m / seg a = 6 m / seg2 t = 12 seg Vo = ?

FORMULA Vf = Vo + a.t Vo = Vf – a.t

SUSTITUCION Vo = (92 m / seg) - [(6 m / seg 2)(12 seg)] Vo = (92 m / seg) - (72 m / seg) Vo = 20 m / seg.

4. – Encontrar la distancia recorrida por un cuerpo que partió con una velocidad inicial de 8 m / seg y obtuvo una aceleración de 2 m /seg2 en un lapso de 16 segundos.

DATOS Vo = 8 m / seg a = 2 m / seg2 t = 16 seg d=?

FORMULA d = Vo.t + a.t2 2

SUSTITUCION d = [(8 m / seg)(16 seg)] + [(2 m / seg 2)(16 seg)2] 2 d = 128 m + 256 m d = 384 m.

5. – Encontrar la aceleración de un ciclista que inició su recorrido con una velocidad 5 m / seg , su velocidad final es de 15 m / seg después de haber recorrido 80 m.

DATOS

FORMULA

SUSTITUCION

Vo = 5 m / seg Vf = 15 m / seg d = 80 m a=?

2.a.d = Vf2 – Vo2

a = (15 m / seg)2 - (5 m / seg)2 2(80m) a = 200 m2 / seg2 160 m a = 1.250 m / seg2.

a = Vf2 – Vo2 2.d

Ejercicios: 1. – La velocidad inicial de un automóvil es de 12 m / seg y la aumenta hasta los 72 m / seg en 5 segundos. Encontrar la aceleración. 2. – Encontrar la velocidad final de un ciclista que inició su recorrido con una velocidad 25 m / seg y sufre una aceleración de 10 m / seg2 en 4 seg. 3. – Encontrar la velocidad inicial de un ciclista que finalizó su recorrido con una velocidad 111 m / seg que sufrió una aceleración de 11 m / seg2 en 11 seg. 4. – Encontrar la distancia recorrida por un cuerpo que partió con una velocidad inicial de 32 m / seg y obtuvo una aceleración de 6 m /seg2 en un lapso de 8 segundos. 83

5. – Encontrar la aceleración de un ciclista que inició su recorrido con una velocidad 8 m / seg , su velocidad final es de 64 m / seg después de haber recorrido .25 Km. 6. – Un automóvil parte del reposo y recorre una distancia de 8000 cm en 6 seg, al terminar su velocidad final es de 12 m / seg. Encontrar la aceleración. 7. – Encontrar la velocidad final de un ciclista que partió del reposo, que sufrió una aceleración de 12 m / seg2 en 0.35 min. 8. – Encontrar la velocidad inicial de un ciclista que finalizó su recorrido con una velocidad 126 m / seg que sufrió una aceleración de 3 m / seg2 en 0.30min.

DEFINICIÓN DE GRAVEDAD

Aceleración debida a la Gravedad.

La experiencia cotidiana, nos permite afirmar que, cualquier objeto a cierta altura, cae, con un movimiento acelerado y en línea recta, cuando se le deja de sostener. Esta aceleración que denotaremos (señalaremos siempre) por la letra g, tiene un valor constante de 9.80665 m / seg2 (sistema M.K.S.) y de 32.174 pie / seg2 (en el sistema ingles).

Galileo Galilei, astrónomo, matemático y físico, italiano, concluyo, a partir de observaciones experimentales, que: “Todos los cuerpos cercanos a la superficie terrestre son atraídos con la misma aceleración g”, esta afirmación es una idealización de la realidad, pues las características del movimiento dependen principalmente de la forma, tamaño y densidad del objeto, y en orden secundario, del lugar donde se realice el experimento y de las condiciones atmosféricas del mismo.

Los experimentos realizados en diferentes puntos de la tierra demuestran que la aceleración debida a la gravedad no es la misma en todas partes, sino que hay pequeñas variaciones, pero son tan pequeñas que no tienen ninguna consecuencia.

Tomando en cuenta las observaciones anteriores, puede afirmarse que:

aceleración debida a la gravedad es vertical y dirigida hacia abajo.

Siempre utilizaremos los siguientes valores constantes para Gravedad, que son:

la Aceleración de la 85

g = 981 cm / seg2. g = 9.81 m / seg2. g = 386.22 plg / seg2. g = 32 pie / seg2.

Siempre se tomara la aceleraci贸n de la gravedad como negativa cuando va hacia abajo.

Si dos objetos cualesquiera caen simult谩neamente en el vaci贸, desde la misma altura, llegaran al mismo tiempo y con la misma velocidad.

CAIDA LIBRE Anteriormente se ha descrito como un caso particular el movimiento con aceleración constante, el movimiento de caída de los cuerpos cerca de la superficie terrestre; necesita un análisis mas cuidadoso.

Para hacer este análisis utilizaremos el siguiente ejemplo, si tomamos la película de un objeto que cae y la pasamos lentamente; lo que se observa es lo siguiente; inicialmente el objeto está en reposo, al comenzar a caer la velocidad se va incrementando conforme recorre la distancia que lo separa del suelo, alcanzando el valor máximo cuando este llega al suelo, o sea que la distancia se reduce a cero. Por lo que definiremos Caída Libre como:

CAIDA LIBRE. – Es la acción de lanzar o dejar caer libremente un cuerpo cualquiera desde una altura cualquiera.

Cuando un cuerpo inicia su movimiento al dejarlo caer libremente su velocidad inicial es igual a cero. Pero cuando lo lanzamos desde una altura cualquiera la velocidad inicial siempre es diferente de cero.

Las ecuaciones matemáticas para Caída Libre son las mismas que las del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado, solo se sustituyen “g” por “a” y “h” por “d”. 87

Si el cuerpo parte con velocidad inicial.

Si el cuerpo parte del reposo, sin velocidad inicial (Vo = 0)

Vf = Vo + g.t h = (Vf – Vo).t 2 h = Vo.t + g.t2 2 Vf 2 = Vo2 + 2.g.h

Vf = g.t h = (Vf).t 2 h= g.t2 2 Vf2 = 2.g.h

Al igual que en el movimiento acelerado las unidades para la aceleración de la gravedad se obtienen al dividir las unidades de la velocidad entre las del tiempo. Ejemplo: cm ..seg.. = seg

cm ; seg2

m ..seg.. = m ; seg seg2

plg ..seg.. = plg ; seg seg2

pie ..seg.. seg

pie seg2

Ejemplos: 1. – Se deja caer una piedra desde un puente que tiene una altura de 8 m. Calcular. a) ¿ Cuanto tiempo duro la piedra en el aire? b) ¿ A que velocidad llega al agua?

DATOS h=8m g = 9.81 m / seg2 t=? Vf = ?

FORMULA a) h = g.t2 2 t=

2.h g

SUSTITUCION t=

….(2)(8 m).… 9.81 m / seg2

1.631 m2 / seg2

t = 1.277 seg. b) Vf = g.t

Vf = (9.81 m / seg2) x (1.277 seg) Vf = 12.527 m / seg.

2. – Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 8 m / seg desde un árbol de 15 m de altura. Calcular. a) ¿ Con que velocidad chocara con el suelo? b) ¿Cuanto tiempo tardara la piedra en caer?

DATOS h = 15 m g = 9.81 m / seg2 Vo = 8 m / seg Vf = ? t=?

FORMULA a) Vf2 = Vo2 + 2.g.h Vf = Vo2 + 2.g.h

SUSTITUCION Vf = (8 m / seg)2 + (2)(9.81 m / seg2)(15 m) Vf =

358.30 m2 / seg2

Vf = 18.93 m / seg. b) Vf = Vo + g.t t = Vf – Vo g

t = (18.93 m / seg) – (8 m / seg) 9.81 m / seg2 t = 1.114 seg.

3. – Se lanzó un objeto con una velocidad inicial de 6 m / seg, este llego al suelo con una velocidad de 56 m / seg, después de 9 seg. Encontrar la altura desde la que fue lanzado.

DATOS Vo = 6 m / seg Vf = 56 m / seg2 t = 9 seg h=?

FORMULA h = (Vf - Vo) . t 2

SUSTITUCION h = [(56 m / seg) - (6 m / seg)] x (9 seg) 2 h = 225 m.

4. – Se deja caer un objeto desde un edificio y tarda en llegar al suelo 8 segundos. Calcular. a) La velocidad con que llega al suelo. b) La altura del edificio. DATOS

FORMULA

SUSTITUCION

t = 8 seg g = 9.81 m / seg2 Vf = ? t=?

a) Vf = g.t

Vf = (9.81 m / seg2) x (8 seg) Vf = 78.48 m / seg.

b) h = Vf.t 2

h = (78.48 m / seg) x (8 seg) 2 h = 313.92 m.

5. – Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 6 m / seg, al llegar al suelo su velocidad final es de 88 m / seg. Calcular 89

a) La altura desde la que fue lanzado. b) El tiempo que permaneció en el aire. DATOS

FORMULA

SUSTITUCION

h=? g = 9.81 m / seg2 Vo = 6 m / seg Vf = 88 m / seg t=?

a) Vf2 = Vo2 + 2.g.h

h = [(88 m / seg)2 - (8 m / seg)2] 2 (9.81 m / seg2)

h = Vf2 - Vo2 2.g

h = 7680 m2 / seg2 19.62 m / seg2 h = 391.44 m.

b) h = (Vf - Vo) . t 2 t = ....2.h.... Vf + Vo

t = …….(2) ( 391.44 m)…….. (88 m / seg) - (6 m / seg) t = 782.88 m.... (96 m / seg) t = 8.33 m.

6. – Se lanzó un objeto desde una altura de 452 m, con una velocidad inicial de 18 m / seg, el objeto permaneció en el aire 12 seg. Encontrar la velocidad final con que llega al suelo. DATOS

FORMULA

SUSTITUCION

h = 452 m Vo = 18 m / seg2 t = 12 seg Vf = ?

h = (Vf - Vo) . t 2

Vf = (2)(452 m) – (18 m / seg) 12 seg

Vf = (2.h) - Vo t

Vf = 75.33 m / seg – 18 m / seg Vf = 57.33 m / seg.

Ejercicios: 1. – Se deja caer una piedra desde un puente que tiene una altura de 120 m. Calcular. a) ¿ Cuanto tiempo duro la piedra en el aire? b) ¿ A que velocidad llega al agua? 2. – Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 12 m / seg desde un árbol de 180 cm de altura. Calcular. a) ¿ Con que velocidad chocara con el suelo? b) ¿Cuanto tiempo tardara la piedra en caer? 3. – Se lanzó un objeto con una velocidad inicial de 8 m / seg, este llego al suelo con una velocidad de 72 m / seg, después de 11 seg. Encontrar la altura desde la que fue lanzado.

4. – Se deja caer un objeto desde un edificio y tarda en llegar al suelo 17 segundos. Calcular. 90

a) La velocidad con que llega al suelo. b) La altura del edificio. 5. – Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 9 m / seg, al llegar al suelo su velocidad final es de 166 m / seg. Calcular b) La altura desde la que fue lanzado. b) El tiempo que permaneció en el aire. 6. – Se lanzó un objeto desde una altura de 565 m, con una velocidad inicial de 15 m / seg, el objeto permaneció en el aire 20 seg. Encontrar la velocidad final con que llega al suelo.

TIRO VERTICAL

Recordando el ejemplo que se dio anteriormente para describir la Caída Libre tenemos que si tomamos una película de un objeto que cae y la pasamos lentamente; lo que se observa es lo siguiente; inicialmente el objeto está en reposo, al comenzar a caer la velocidad se va incrementando conforme recorre la distancia que lo separa del suelo, alcanzando el valor máximo cuando este llega al suelo, o sea que la distancia se reduce a cero. ¿Qué ocurriría si la película se pasa al revez? Veríamos un objeto que parte inicialmente con una velocidad distinta de cero, disminuyendo su valor conforme se aleja del piso hasta hacerse nula cuando alcanza la altura máxima. Lo especificado anteriormente es lo que ocurre cuando lanzamos un objeto verticalmente hacia arriba, éste se va frenando por la acción de la aceleración de la gravedad.

Es importante analizar lo siguiente “cuando se lanza un objeto hacia arriba, este se va frenando hasta llegar a un punto en el que momentáneamente estará en reposo y su velocidad será igual cero, luego iniciara el movimiento de regreso aumentando su velocidad hasta llegar al suelo con la misma velocidad con la que fue lanzado”.

Para analizar esta clase de movimiento, usaremos la siguiente regla de signos, siempre tomando como origen el punto de lanzamiento. 92

Distancias por encima del origen POSITIVAS.

Velocidad hacia arriba POSITIVA.

Distancias por abajo del origen NEGATIVAS.

Velocidad hacia abajo NEGATIVA.

Aceleraci贸n de la Gravedad Natural (Hacia abajo) NEGATIVA.

4 seg

Velocidad hacia abajo NEGATIVA.

3 seg

5 seg

V=-

Velocidad hacia arriba POSITIVA.

V=+

Aceleraci贸n de la Gravedad NEGATIVA.

g=-

2 seg

6 seg

1 seg

7 seg

Distancias por arriba del origen POSITIVAS.

8 seg

Origen

Distancias por debajo del origen NEGATIVAS.

Como el movimiento de Tiro Vertical sigue las mismas leyes que el movimiento de Ca铆da Libre, entonces las formulas ser谩n las mismas.

Si el cuerpo parte con velocidad inicial.

Si el cuerpo parte del reposo, sin velocidad inicial (Vo = 0)

Vf = Vo + g.t h = (Vf – Vo).t 2 h = Vo.t + g.t2 2 Vf 2 = Vo2 + 2.g.h

Vf = g.t h = (Vf).t 2 h= g.t2 2 Vf2 = 2.g.h

Esta clase de movimiento, tiene otras tres nuevas incógnitas por calcular que son:

La altura máxima alcanzada. El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. El tiempo que permanece en el aire.

Las expresiones matemáticas para calcular estas incógnitas son:

h max = Vo2 ó h max = Vo.t Altura máxima alcanzada. 2g 2 t = Vo Tiempo para alcanzar la altura máxima. g 2t Tiempo que permanece en el aire.

Ejemplos: 1. – Se lanza una flecha hacia arriba con una velocidad de 24 m / seg. Calcular. a) El tiempo para alcanzar la altura máxima. b) La altura máxima alcanzada. DATOS Vo = 24 m / seg g = 9.81 m / seg2 h max = ? t=?

FORMULA

SUSTITUCION

a) t = Vo g

t = (24 m / seg) 9.81 m / seg2 t = 2.45 seg

b) h max = Vo.t 2

h max = (24 m / seg) x (2.446 seg) 2 h max = 29.352 m.

h max = Vo2 2.g

h max = ….(24 m /seg)2…. (2)(9.81 m / seg2) 94

h max = 29.357 m.

2. – Se lanza una bola hacia arriba, llega a una altura máxima de 245 m. Calcular. a) El tiempo para alcanzar la altura máxima. b) Su velocidad cuando llega al suelo. c) Su velocidad a los 5 seg. DATOS h max = 245 m g = 9.81 m / seg2 t=? Vf = ? Vf5 = ?

FORMULA

SUSTITUCION

Para poder calcular t es necesario conocer Vo por lo que la obtenemos de h max = Vo2 (donde g y h max son conocidas) 2.g Vo =

h max. 2.g

Vo =

(245 m)(2)(9.81 m / seg2)

Vo = 69.33 m / seg. a) t = Vo g

t = 69.33 m / seg 9.81 m / seg2 t = 7.067 seg.

b) Como la velocidad con que se lanza un objeto, debe ser la misma con la que llega entonces Vo = -Vf (es negativa por que va hacia abajo). Vo = - Vf c ) Vf5 = Vo + g.t

Vf = - 69.33 m / seg Vf5 = (69.33 m /seg) +(- 9.81 m / seg2)(5 seg) Vf5 = 20.28 m / seg.

3. – Se lanza una flecha hacia arriba, regresa al suelo después de 10 seg. Calcular. a) La velocidad con que fue lanzada. b) La altura máxima alcanzada. DATOS

FORMULA

SUSTITUCION

2t = 10 seg g = 9.81 m / seg2 t = 5 seg Vo = ? h max = ?

a) t = Vo g Vo = g.t

Vo = (9.81 m / seg2)x(5 seg) Vo = 49.05 m / seg.

b) h max = Vo.t 2

h max = (49.05 m / seg) x (5 seg 2 h max = 122.625 m.

h max = Vo2 2.g

h max = ….(49.05 m /seg)2…. (2)(9.81 m / seg2) h max = 122.625 m.

4. – Se lanza una pelota hacia arriba, llega a una altura máxima de 435 m. Calcular. a) El tiempo para alcanzar la altura máxima. b) Su velocidad a los 8 seg. c) Su velocidad a los 12 seg. DATOS h max = 435 m g = 9.81 m / seg2 t=? Vf8 = ? Vf12 = ?

FORMULA

SUSTITUCION

Para poder calcular t es necesario conocer Vo por lo que la obtenemos de h max = Vo2 (donde g y h max son conocidas) 2.g Vo =

h max. 2.g

Vo =

(435 m)(2)(9.81 m / seg2)

Vo = 92.38 m / seg. a) t = Vo g

b ) Vf8 = Vo + g.t

t = 92.38 m / seg 9.81 m / seg2 t = 9.417 seg. Vf8 = (92.38 m /seg)+( - 9.81 m / seg2)(8 seg) Vf8 = 13.90 m / seg.

c ) Vf12 = Vo + g.t Vf12 = (92.38 m /seg)+( - 9.81 m / seg2)(12 seg) Vf12 = - 25.34 m / seg.

5. – Se lanza una piedra hacia arriba, regresa al suelo después de 18 seg. Calcular. a) La velocidad con que fue lanzada. b) La altura máxima alcanzada. DATOS

FORMULA

SUSTITUCION

2t = 18 seg g = 9.81 m / seg2 t = 9 seg Vo = ?

a) t = Vo g Vo = g.t

Vo = (9.81 m / seg2)x(9 seg) Vo = 88.29 m / seg. 96

h max = ? b) h max = Vo.t 2 h max = Vo2 2.g

h max = (88.29 m / seg) x (9 seg) 2 h max = 397.305 m. h max = ….(88.29 m /seg)2…. (2)(9.81 m / seg2) h max = 397.305 m.

Ejercicios: 1. – Se lanza una bola hacia arriba, llega a una altura máxima de 300 m. Calcular. a) El tiempo para alcanzar la altura máxima. b) Su velocidad cuando llega al suelo. c) Su velocidad a los 6 seg. 2. – Se lanza una flecha hacia arriba, regresa al suelo después de 16 seg. Calcular. a) La velocidad con que fue lanzada. b) La altura máxima alcanzada. 3. – Se lanza una pelota hacia arriba, llega a una altura máxima de 520 m. Calcular. d) El tiempo para alcanzar la altura máxima. e) Su velocidad a los 9 seg. f) Su velocidad a los 16 seg. 4. – Se lanza una piedra hacia arriba, regresa al suelo después de 22 seg. Calcular. a) La velocidad con que fue lanzada. b) La altura máxima alcanzada.