MATEMÁTICA Unidad 2
Unidades de superficie. Fracciones
Objetivos de la Unidad: Utilizarás con seguridad las unidades de medidas de longitud, unidades métricas de superficie y unidades agrarias, aplicando su equivalencia para resolver problemas del entorno. Aplicarás las operaciones de números fraccionarios comunes, utilizando las reglas y procedimientos para realizar correctamente dichas operaciones al resolver situaciones problemáticas de tu entorno.
55
Las medidas de superficie se consideran en
Las medidas agrarias
El Sistema Internacional
pueden ser
se estudiaran El metro cuadrado (m2)
Caballería(cab)
Vara cuadrada (v2) Área (a)
Manzana (mz) Hectárea
Fracciones
pueden ser Propias
Impropias se transforma
se representan en la
se realizan
Recta numérica
Operaciones
para
de
Mixtas Suma
Ordenarlos Simplificarlos
Resta
División Multiplicación
Descripción del proyecto María Inés estudia séptimo grado. De lunes a viernes y en época normal de estudio distribuye en promedio, las 24 horas del día de acuerdo a las actividades que realiza. Se desea averiguar a qué actividad dedica más tiempo, a cuál dedica menos tiempo, en qué orden dedica su tiempo a las diversas actividades, además de otras respuestas.
56 Matemática - Séptimo Grado
Lección 1
Segunda Unidad
Unidades de superficie del Sistema Internacional. (SI) Motivación
El señor Benavides tiene un terreno de
2 km de largo y 100 m de ancho a la orilla de la playa; y quiere vender lotes que tengan 40 m de ancho a la orilla de la playa y 100 m de largo, ¿cuántos lotes tendrá el terreno? ¿Qué área tendrá cada lote en m 2?
Indicadores de logro: Identificarás y determinarás con seguridad los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado. Identificarás con destreza las unidades métricas de superficie.
Convertirás con confianza unidades métricas de superficie. Resolverás problemas de conversión de unidades métricas de superficie.
Superficie y áreas Las líneas que limitan algunas figuras como la pizarra, la puerta y la carátula de un libro, definen una característica de los cuerpos. Esta característica se llama superficie. A la medida de una superficie se llama área.
Séptimo Grado - Matemática
57
UNIDAD 2 Para determinar el área de una región o superficie lo haces de cualquiera de estas formas. a)
Utilizas una unidad de superficie arbitraria. Por ejemplo:
Unidad de superficie
Comparación de la región con su unidad de superficie
Área de la región 4 Unidades
3
1 2
4
Aproximadamente 12 unidades
El metro cuadrado es un cuadrado que mide 1 m de lado. Dispone de una cinta métrica o de una regla de longitud 1 m y mide el patio de tu casa o del centro escolar. Ahora dibuja en tu cuaderno el centímetro cuadrado. ¿Lo haces así? ¿Cuál es el área de esta región o superficie?
1 cm 1 cm
Para calcular el área de una región, colocando unidades en su interior, no siempre se calcula de forma exacta. Por ejemplo, ¿cuál es el área de los siguientes triángulos?
Área aproximada por defecto: 6 cm2
58 Matemática - Séptimo Grado
Área aproximada por exceso: 15 cm2
UNIDAD 2 Ejemplo 1 Encuentra el área de cada región. Para ello, utiliza como unidad de superficie el cuadrado que forma parte de la cuadrícula.
A2
A1
A4 A3 Solución: Llamando A1, A 2, A 3 y A4 a las áreas indicadas tienes: a) A1 = 16 unidades cuadradas (u 2)
c) A 3 = Unas 17 ó 18 u2
b) A 2 = 10 unidades cuadradas (u 2)
d) A4 = Unas 19 u2
Ejemplo 2 Calcula el área de las figuras del ejemplo anterior aplicando la fórmula respectiva.
Solución: En las figuras A i representa el área, b la base y h la altura. b ×h a) A1 = b × h c) A 3 = 2 6×6 = 4 × 4 = 16 = = 18 2 R = 16 u2 = 18 u 2 b) A 2 = b × h
= 5 × 2 = 10
R = 10 u2
d) Puedes ver que la figura indicada con A4está compuesta por un rectángulo
y una circunferencia formada por dos semicircunferencias. Luego:
A4 = b × h + π r 2
A4 = 2 × 3 + (3.14 × 1)
= 6 + 3.14 = 9.14 R = 9.14 u2
Séptimo Grado - Matemática
59
UNIDAD 2
1
Actividad
a) En el plano de un invernadero se observan las áreas dedicadas a cada tipo de flor.
1m
Determina su valor contando los cuadros y mediante su respectiva fórmula. ¿Cuál es la unidad de superficie que utilizas?
1m b) Copia en tu cuaderno y encuentra el área de las figuras siguientes. Hazlo contando los cuadros y
mediante su respectiva fórmula.
A1 A2 A3
A5 A4 1 cm 1 cm
60 Matemática - Séptimo Grado
UNIDAD 2
Unidades de superficie del Sistema Internacional de unidades, SI ¿Cuál de los dibujos de superficie se expresa en m2? La de una moneda de $ 0.25
El mapa de El Salvador
Observa que no todas las superficies deben medirse en metros cuadrados (m 2), aunque se pueda. Así, para determinar el área de nuestro país utilizas el kilómetro cuadrado (km2). Para determinar el área de una moneda de $ 0.25 utilizas el centímetro cuadrado (cm 2). ¿Recuerdas las unidades de longitud del Sistema Internacional de unidades, SI? km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Para convertir una unidad de longitud en la inmediata inferior, multiplicas por 10. Y para convertirla en la inmediata superior divides entre 10. Ahora observa lo que sucede con las unidades de superficie.
Si dibujas en el suelo 1 m2, cada subdivisión de éste es el de 1 dm2 . 2 2 1dm2 Luego, ¿cuántos dm contiene el m ?
1m
Puedes ver que 1m2 = 100 dm2
1m
1dm
Como este mismo razonamiento lo llevas a las otras unidades, concluyes que para convertir una unidad de superficie a la inmediata inferior, multiplicas por 100. Y para convertirla a la inmediata superior, divides entre 100.
Séptimo Grado - Matemática
61
UNIDAD 2 Es decir, con los submúltiplos del metro cuadrado o m2, tienes: 1 m2 = 100 decímetros cuadrados o dm2 1 m2 = 10,000 centímetros cuadrados o cm2 1 m2 = 1 000,000 milímetros cuadrados o mm2 .
Ejemplo 6 Un rectángulo mide 30 cm de ancho y 60 cm de largo. Expresa su área en cm2, mm2, m2 y dm2 .
Solución:
Con los múltiplos del metro cuadrado, tienes: 30 cm
1 km2 = 100 hectómetros cuadrados o hm2 . 1 km2 = 1,000 decámetros cuadrados o dam2 . 1 km2 = 1 000,000 metros cuadrados o m2 . 60 cm
Puedes ver que las unidades de superficie del SI forman un sistema posicional, donde cada unidad es igual a 100 unidades del submúltiplo inmediato inferior.
Al área del rectángulo es: A = b × h A = 60 cm × 30 cm
Ejemplo 3
A = 1,800 cm2
¿Cuántos hm hay en 5,000 m ? 2
2
Luego: 1,800 cm2 = 1,800 × 100 = 180,000 mm2
Solución: 1 hm = 100 dam 2
2
1 hm 2 = 100 x 100 m 2 = 10,000 m 2
5 ,000 Luego, 5,000 m 5 ,000 m = hm 2 = 0.5 hm 2 10 ,000 2
2
Ejemplo 4
Si la superficie de El Salvador tiene un área aproximada de 21,000 km2, ¿cuántos dam2, hm2 y m2 hay? 21,000 km2 = 21,000 × 100 = 2 100,000 dam2
= 2 100,000 × 100 = 210 000,000 hm2
= 210 000,000 × 100 = 21 000 000,000 m2
Ejemplo 5 Si el área de una moneda de $ 0.25 es de 4.52 cm , ¿cómo podemos expresarlo en m2? 2
1,800 cm2 = 1,800 ÷ 100 = 18 dm2
1,800 cm2 = 18 ÷ 100 = 0.18 m2
Ejemplo 7 Retomando el problema del señor Benavides, como el terreno mide 2 km de largo, en metros tiene 2,000 m de playa y se divide entre 40 lotes para obtener el total de lotes: P0: 2,000 ÷ 40 = 50 En total son 50 lotes, a la orilla de la playa.
Solución: Para obtener el área tenemos:
= 40 × 100 = 4,000 m2
4.52 cm2 = 4.52 × 100 = 452 mm2
100 m R: En total son 50 lotes y cada lote mide 4,000 m2
4.52 cm 2 4.52 cm = = 0.0452 100 0.0452 dm 2 2 0.0452 cm = = 0.000452 m 2 100 2
40 m
62 Matemática - Séptimo Grado
A = base por altura (b × h)
UNIDAD 2
2
Actividad 1. Completa la columna de la derecha en las siguientes tablas: a)
Múltiplo del m2
Abreviaturas Equivalencia en m2
Decámetro cuadrado
dam2
Hectómetro cuadrado
hm2
Kilómetro cuadrado
km2
b)
Submúltiplo del m2
Abreviaturas Equivalencia en m2
Decímetro cuadrado
dm2
Centímetro cuadrado
cm2
Milímetro cuadrado
mm2
1 100
2. Convierte: a) 2 m2 a cm2
c) 1.2 cm2 a mm2
e) 5 km2 a dam2
b) 4 m2 a dm2
d) 0.75 cm2 a mm2
f) 0.35 km2 a hm 2
g) 250 cm2 a m2
3.Un cuadrado tiene un área de 7,169 cm2, y el área de otro cuadrado es de 256 dm2. ¿Cuál tiene mayor área?
Resumen La unidad de medida del área es el metro cuadrado. km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 kilometro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado 1 1 00 1 00 00 1 00 00 00 1 00 00 00 00 1 00 00 00 00 00 1 00 00 00 00 00 00 1 m2 = 1000000 mm2 Para pasar de una unidad mayor a una menor se multiplica por 100 por cada casilla que haya de una unidad a otra.
1 dm2 = 0.0001 dam2 Para pasar de una unidad menor a una mayor se divide por una potencia de 100 por cada casilla que haya de una unidad a otra.
Séptimo Grado - Matemática
63
UNIDAD 2
Autocomprobación
1
La unidad básica de superficie del SI es: El km2 b) El cm2 c) El m2 d) El hm2 a)
3
Expresa la siguiente área en m2: 0.33 b) 0.033 c) 0.0033 d) 0.00033 a)
330 mm2
4
Para convertir cm2 a dam2: Multiplicas por 100 b) Divides entre 100 c) Divides entre 1 000,000 d) Multiplicas por 1 000,000 a)
2. d.
1 m2 b) 0.01 m2 c) 0.10 m2 d) 0.001 m2 a)
1. c.
Diez centímetros cuadrados equivalen a:
Soluciones
3. d.
2
4. c.
CALCULANDO EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO La figura de la derecha muestra un piso de baldosas hechas de superficies triangulares. Cada uno de los cuadrados pequeños está formado por dos baldosas, mientras que el cuadrado mayor está formado por cuatro. Esta figura pudo haber sugerido a un personaje anónimo de la India una de las demostraciones que existen del famoso teorema de Pitágoras, el cual estudiarás posteriormente. Este teorema sirve de base para la demostración de la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo de lados a, b y c: A = s ( s − a )( s − b )( s − c ) donde s es el semiperímetro del triángulo.
64 Matemática - Séptimo Grado
Lección 2
Segunda Unidad
Unidades agrarias Motivación
L
a urbanización La Hacienda se ubica en San José Villanueva, departamento de La Libertad. La primera etapa se inició con un área de 10 manzanas. ¿Sabes cuáles son las equivalencias de esta unidad de superficie? ¿Esa área es mayor o menor que 10 hectáreas?
Indicadores de logro: Identificarás y convertirás con interés las unidades agrarias.
Resolverás con seguridad problemas de conversión de unidades agrarias.
Un legado español: la vara cuadrada Ejemplo 1
Vendo terreno 1,500 v2
30 varas
30 varas
50 varas
50 varas Expresa las áreas del rectángulo en metros cuadrados.
En El Salvador el área de un terreno se mide por lo general en varas cuadradas. ¿Cómo haces para convertir varas a metros? ¿Por cuánto multiplicas? ¿Cómo haces para convertir metros a varas?
1 vara = 0.836 m
O sea que: 1 metro =
1 varas = 1.196 varas 0.836 ¿Por cuánto multiplicas? ¿Por cuánto divides para convertir varas a metros? A la vara la representas así: 1 vara = 1 v
Solución: Como 1 v = 0.836 m entonces: 0.836 m 50 v = 50 v = 41.8 m 1v 0.836 m 30 v = 30 v = 25.08 m 1v Como: 50 v = 41.8 m de base (b) 30 v = 25.08 m de altura (h) El área en m2 es A = b × h A = (41.8 m)(25.08 m) = 1048.34 m2 R: El área del rectángulo es 1048.34 m2
Séptimo Grado - Matemática
65
UNIDAD 2
Equivalencia metro cuadrado vara cuadrada ¿Cómo encontrar el equivalente de una vara cuadrada y el metro cuadrado? Como 1 v = 0.836 m, entonces una vara cuadrada (v2) equivale a: 1 v2 = (0.836 m) × (0.836 m) = 0.698896 m2 1 v2 = 0.698896 m2 Aproximando: 1 v2 = 0.70 m2
1 v2 = 0.70 m2 1 v = 0.836 1 v = 0.836 m
¿Cuánto equivale 1 m2 a v2?
Solución: 1 v2 = 1.42857 v 2 0.70 m 2
1 m2 = 1 m2
Ejemplo 2
Aproximando 1 m2 = 1.43 v2
Don Jenaro tiene dos terrenos. El terreno norte mide 1,500 m 2 y el sur 2,000 v2 .
a) ¿Cuál es más grande? b) ¿Cuál es la diferencia entre ambos?
Solución: Convertir 1500 m2 a v2 Como 1 m2 = 1.43 v2
1.43 v 2 1500 m = 1500 m = 2145 v 2 2 1m 2 Al comparar las áreas 2145 v > 2000 v2 donde el terreno norte es mayor que el del sur. 2
2
La diferencia entre los dos es: 2,145 v2– 2,000 v2= 145 v2 . ¿De qué otra manera resuelves este problema? Con seguridad observas que la forma de resolverlo es convirtiendo las varas cuadradas a metros cuadrados; o sea: 2 2 0.70 m 2 2,000 v = 2000 v = 1400 m 2 2 1v En este caso, la diferencia en metros cuadrados es: 1,500 m 2 – 1,400 m2 = 100 m2 Entonces: 1500 m2 > 1400 m2 El terreno norte es mayor que el del sur.
66 Matemática - Séptimo Grado
UNIDAD 2 Ejemplo 3 En el proyecto urbanístico "El frutal", se venden terrenos de 2,500 v2 con casas de 150 m2 . El área resultante será de jardinería y árboles frutales, lo cual contribuirá a la ecología del país. ¿Cuál es esa área?
Solución: Convertir los metros cuadrados que mide la casa a varas cuadradas: 1.43 v 2 150 m 2 = 214.54 v 2 1 m 2 Luego, el área verde es:2,500 v2 − 214.5 v2 = 2,285.5 v2 El área de jardinería y árboles frutales es 2,285.5 v2
El área y la hectárea El área (a)
Entonces, ¿de qué otra manera defines la hectárea?
Otra unidad de superficie se llama área. El área es la unidad de superficie equivalente a: 100 m 2 1 área = 100 m2 Hectárea (ha) La hectárea es la unidad de superficie agraria equivalente a cien áreas (1 hectárea = 100 área), luego: Como 1 área = 100 Entonces: 1 ha = (100)(100) 1 ha = 10,000 m2 En otras palabras, ¿cuánto mide el lado del cuadrado que tiene por área 10,000 m2? Para que el área mida 10,000 m2, el lado del cuadrado debe medir 100 m de lado.
Observa La hectárea es la unidad de superficie que equivale a un cuadrado de 100 m de lado. Representando gráficamente a la hectárea, tienes:
1 ha = 10,000 m2 100 m
100 m
Séptimo Grado - Matemática
67
UNIDAD 2 Ejemplo 4 Un terreno rectangular mide 6 km de largo por 3 km de ancho. Calcula a cuántas áreas (a) y a cuántas hectáreas (ha) equivale.
Solución: Convertir km a hm: 1 km2 = 1,000,000 m2
1 ,000 ,000 m 2 18 km 2 = 18 ,000 ,000 m 2 2 1 km 18 km 2 = 18 ,000 ,000 m 2
Para calcular las áreas (a):
1a 18 ,000 ,000 m 2 = 180 ,000 a 100 m 2 18 km 2 = 180 ,000 a
Para calcular las hectáreas (ha):
1 ha 18 ,000 ,000 m 2 = 1 ,800 ha 10 ,000 m 2 18 km 2 = 1800 ha
1
Actividad
a) Dionisio va a comprar un terreno, y elige entre dos: uno a $35 v2 y el otro a $40 m2 . Si están en la
misma zona y presentan las mismas ventajas, ¿por cuál de los dos se decide Dionisio?
b) Una propiedad mide 50 ha, y otra mide 600,000 m2 ¿cuál es mayor? c) Un terreno mide 15,256 v2 . Calcula a cuántas hectáreas equivale.
68 Matemática - Séptimo Grado
UNIDAD 2
La Manzana (mz) Se le llama manzana a la medida de superficie equivalente a la que posee un cuadrado de 100 varas de lado.
10,000 v2
100 v
1 manzana = 100 v × 100 v 1 mz = 10,000 v2
100 v
Ejemplo 5 La familia Estrada López tiene un terreno sembrado de árboles frutales y maderables. Su área es de cinco manzanas. ¿Cuántas hectáreas mide el terreno?
Solución:
10 ,000 v 2 5 mz = 50 ,000 v 2 1 mz 5 mz = 50,000 v 2
Como: 1 v2 = 0.70 m2
0.70 m 2 50 ,000 v 2 = 35 ,000 m 2 2 1v 50 ,000 v 2 = 35 ,000 m 2
Como: 1 ha = 10,000 m2
1 ha 35 ,000 m 2 = 3.5 ha 10 ,000 m 2
Entonces 5 mz = 3.5 ha. El terreno mide 3.5 ha
Séptimo Grado - Matemática
69
UNIDAD 2 Ejemplo 6 Encuentra la equivalencia de la manzana con la hectárea. ¿Cuántas manzanas (mz) tiene 1 hectárea?
Solución:
1ha = 10,000 m2 y 1 m2 = 1.43 v2
1.43 v 2 1ha = 10,000 × 1.43 v2 1000 m 2 = 14300 v 2 2 1m 1ha = 14,300 v2 1 mz = 10,000 v2 1 ha = 14,300 v2 1 mz 1 ha = 14,300 v2 10 , 000 v 2
1 ha = 1.43 mz
2
Actividad
a) Un terreno rectangular mide 200 m por 150 m ¿cuántas manzanas tiene el terreno? b) Calcula cuántas manzanas tiene un terreno de 40 ha. c) ¿A cuántas manzanas equivale el kilómetro cuadrado? d) Ahora puedes contestar la pregunta al inicio de esta lección. ¿Qué es mayor, 10 hectáreas ó 10 manzanas?
La Caballería (cab) La caballería es otra unidad agraria que equivale a 64.34 manzanas. Con el crecimiento urbano de El Salvador, su uso es cada vez menor.
Ejemplo 7
528 cab = 8.21 cab 64.34 Se concluye que el terreno de 528 mz es mayor que el de 6.5 cab.
Una hacienda mide 528 manzanas y otra mide 6.5 caballerías. ¿Cuál es mayor?
Si la comparación se hubiera hecho en relación a la manzana entonces:
Solución:
6.5 cab = 6.5 × 64.34 mz
Encuentra las caballerías que tienen 528 mz.
6.5 cab = 418.21 mz
Como 1 cab = 64.34 mz, entonces:
Luego el terreno que mide 528 mz es el mayor.
70 Matemática - Séptimo Grado
UNIDAD 2
3
Actividad
a) Una hacienda tiene una superficie de 2.3 cab. Si se cultivan diariamente 4.5 mz, ¿cuánto falta por
cultivar después de una semana?
Resumen Las unidades agrarias sirven para medir superficies de terrenos. En el SI, se miden en áreas y hectáreas. En nuestro país también se miden en unidades heredadas de la colonia, éstas son la vara cuadrada, la manzana y la caballería. El siguiente cuadro te muestra la equivalencia entre unidades agrarias: mz
1 7 , 000
1 10 , 000
1 70
1.43
1
ha
1 10 , 000
0.00007
1 100
1
0.70
a
1 100
0.007
1
100
70
1.43 1 m2
1 0.70 v2
143 100 a2
14,300 10,000 ha
10,000 7,000 mz
v2 m2
Por ejemplo, si quieres saber cuántas v2 hay en 1 m2, ubicas al m2 en la fila de abajo y subes hasta llegar a v2: 1 m2 = 1.43 v2. De igual forma obtienes que 1 ha = 14,300 v2 = 100 a, etc.
Séptimo Grado - Matemática
71
UNIDAD 2
Autocomprobación
De las siguientes áreas, la menor es: mz b) cab c) ha d) km2 a)
4
Una hectárea equivale a: 10,000 v2 b) 10,000 m2 c) 100 áreas d) b y c son correctas a)
El área de un terreno de 1.5 mz, es: 15,000 v2 b) 105 ha c) 105,000 m2 d) Todas las anteriores a)
2. a.
15 ha b) 9 mz c) 50 a d) 5,000 v2 a)
3
1. a.
3. d.
2
De las siguientes áreas, la mayor es:
Soluciones
1
4. a.
LA MANZANA Las medidas de superficie se estandarizan con el Sistema Internacional de unidades, SI, aunque en algunos países todavía se usan otras medidas, por ejemplo en Estados Unidos, se usa con frecuencia el Acre (4,046.8 m2) en El Salvador, aún se utiliza la manzana y cada vez se usa con menor frecuencia la caballería. Durante la fundación de las ciudades españolas en Hispanoamérica, las construcciones se erigían dentro de cuadrados de 100 varas por lado, a este espacio se llamo manzana. Coloquialmente, como una reminiscencia colonial se llama manzana al área delimitada por cuatro calles sin importar la longitud de las calles ni la figura que éstas hagan.
72 Matemática - Séptimo Grado
Lección 3
Segunda Unidad
Números racionales Motivación
Para el día de la madre se compraron carretes de listón para las chongas de los regalos teniendo las siguientes medidas y la cantidad de chongas por listón. a) Carrete de 5 metros para 3 chongas b) Carrete de 4 metros para 7 chongas c) Carrete de 10 metros para 9 chongas d) Carrete de 8 metros para 7 chongas e) Carrete de 6 metros para 7 chongas f) Carrete de 3 metros para 3 chongas g) Carrete de 10 metros para 6 chongas h) Carrete de 12 metros para 14 chongas Representar en fracciones las medidas de los listones utilizados para cada chonga. Hay chongas que ocuparán la misma cantidad de listón. ¿Cuáles son? Indicadores de logro: Identificarás y presentarás con precisión y seguridad diferentes números racionales positivos y negativos en la recta numérica. Identificarás con seguridad fracciones equivalentes positivas y negativas.
Obtendrás con interés fracciones equivalentes positivas y negativas aplicando los procesos de ampliación y simplificación.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Un entrenador decide que en su equipo 2 de los 11 jugadores jueguen la posición de carrileros. ¿Qué fracción del equipo representan los 2 jugadores? 2 Solución: son carrileros 11
De una pizza, Milena se comió 3 de las 8 partes que está dividida. ¿Qué fracción de la pizza se comió Milena? 3 de la pizza. 8 En los ejemplos anteriores, las cantidades son representadas en forma de fracciones, las cuales pueden ser propias, cuando el numerador es menor que la unidad o impropia, cuando el numerador es mayor que la unidad. La fracción impropia puede transformarse en fracción mixta o la fracción mixta a impropia.
Solución:
Séptimo Grado - Matemática
73
UNIDAD 2
Fracciones Fracciones menores que la unidad.
1 2 1 2
Fracciones iguales a la unidad.
2 2
1 1 4 3 1 3 1 1 3 4
3 3
1 4 1 5
1 Los números: 5 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , ......etc. 1 2 3 4 5 6 5 2 4 6 8 11 ...........etc. 1 3 , 5 , 7 , 10 , 14 , 5 son ejemplos de fracciones menores que la unidad.
1 1 5 4
Los números: 2 3 4 5 6 7 , , , , , , .......etc. 6 2 3 4 5 6 7 6 son ejemplos de fracciones iguales a la unidad.
4 4
Fracciones mayores que la unidad. 3 2
5 3
11 12
7 4
Los números: 3 5 7 11 , , , , ........etc. 2 3 4 12 son ejemplos de fracciones mayores que la unidad.
Números mixtos 7 3 En el ejemplo anterior, observas que equivale a 1 + 4 4 7 3 3 o sea 1 . Luego = 1 4 4 4 3 El número 1 se llama mixto. ¿Por qué?, ¿cómo 4 7 conviertes la fracción en número mixto? 4 −4 3
74 Matemática - Séptimo Grado
7 4 1
7 3 =1 4 4
UNIDAD 2 ¿Cómo conviertes un número mixto a fracción? Por ejemplo, si tienes la fracción, ¿Cómo la conviertes a número mixto? 2 1− = 3
5 =− 3
+
Observa que se divide el entero en las partes que indica el denominador. Después, cuentas el total de partes. 2 3 2 5 1 = + = 3 3 3 3 También lo puedes representar de la siguiente forma: 2 3 2 (1 × 3 ) + 2 5 1+ = + = = 3 3 3 3 3 2 (1 × 3 ) + 2 5 Es decir: 1 = = 3 5 3
1
Actividad Dibuja en tu cuaderno, la bandera de El Salvador y coloréala ¿Qué fracción le corresponde a cada color? 1. Escribe una fracción que represente cada una de las siguientes situaciones. a)
En todo el mundo, por cada 100 niñas nacen 105 niños. b) En Costa Rica se preservan ocho de cada diez de sus bosques. c) Si la superficie de la tierra se divide en 5 partes, 3 de ellas la ocupan los océanos. d) Una persona de 60 años ha dormido en promedio un total de 20 años. 2. Copia y completa el siguiente cuadro. Y presenta los números mixtos como fracciones y viceversa. Número mixto Fracción
2 18 7
1 5
3 15 4
2 7
8 12 5
5 9
4 7 2
2 3
5
3 4
17 3
Séptimo Grado - Matemática
75
UNIDAD 2
Representación geométrica de las fracciones Dos vehículos salen de San Salvador hacia San Miguel. Acompañan a la familia Sánchez Lara, que asistirá a una boda. Luego de 30 minutos el vehículo A recorre las dos terceras partes del total, y el B ha avanzado la mitad. ¿En qué orden van los vehículos?
Para representar a
1 . 0 1/2 1 2 Puedes ver que el vehículo A, ha avanzado mayor distancia que B, ¿Cuál de las dos fracciones es menor? 2 1 ¿Cuál es mayor? Como está a la derecha de 3 2 2 1 2 1 decimos que es mayor que ; es decir: > 3 2 3 2 iguales y marcas
Para contestar la pregunta, se representan las fracciones 2 divides la 3 2 unidad en tres partes iguales y marcas . 3 en la recta numérica. Para representar a
0
2/3
1 divides la unidad en dos partes 2
1
2/3 1/2
0
1
Ejemplo 3 Ubica las fracciones
Solución:
5 5 y − en la recta numérica. 7 7
5 divides la unidad en siete partes iguales y luego cuentas 7 cinco partes hacia la derecha. Para ubicar a − 5 lo haces de forma similar, 7 pero trabajas a la izquierda del cero. Para ubicar a
-1
- −5 7
76 Matemática - Séptimo Grado
0
−57
1
UNIDAD 2
2
Actividad
En tu cuaderno dibuja la recta numércia y localiza las siguientes fracciones, ordénalas de menor a mayor. 1 2 3 4 5 1 2 5 a) , , , , , c) , , 2 2 2 2 2 2 3 6 b)
4 5 2 1 7 , , , , , 3 3 3 3 3
d)
1 5 1 −2 , −1 , −1 , − ,1 2 2 2
Equivalencia de fracciones Las fracciones que representan la misma porción en los rectángulos, son fracciones equivalentes. 1 2 5 representan la Observa que las regiones , y 2 4 10 misma porción.
Copia la figura en tu cuaderno, colorea de izquierda a derecha la fracción correspondiente a cada rectángulo. 1 2
Por lo tanto, esas fracciones son equivalentes, es decir: 1 2 5 = = son iguales. 2 4 10 También observas que:
1 3
1 2 ; 1 1 × 2 2 ; 1 1 × 3 3 = = = = = 3 6 2 2× 2 4 2 2×3 6 1 1× 4 4 = = 2 2× 4 8
2 4
1 1× 5 5 = = 2 2 × 5 10
Puedes ver que dada una fracción, obtienes fracciones equivalentes si multiplicas el numerador y el denominador por el mismo número.
2 6 5 10 Ahora en sentido inverso, si en lugar de multiplicar dividimos entre la misma cantidad, tenemos: 4 4 ÷ 2 2 2 2÷2 1 = = = = 8 8÷2 4 4 4÷2 2 Al dividir ambos miembros de una fracción entre un mismo número se ha reducido o simplificado.
Séptimo Grado - Matemática
77
UNIDAD 2 Ejemplo 4 Simplifica la fracción:
Solución:
48 72
48 48 ÷ 2 24 24 24 ÷ 2 12 = ; = = = 72 72 ÷ 2 36 36 36 ÷ 2 18 12 12 ÷ 2 6 6 6 ÷3 2 48 es equivalente a 2 Entonces: = = = = 18 18 ÷ 2 9 9 9÷3 3 72 3
2 ? Decimos que una fracción está en su mínima 3 expresión cuando el numerador y el denominador sólo pueden dividirse entre la 2 unidad. En este caso, la fracción es irreductible; así, la fracción es irreductible. 3 Ésta propiedad te sirve para convertir fracciones a un común denominador, por 3 5 ejemplo, convertir al común denominador las fracciones y . 4 6 Para ello, encuentras el mínimo común múltiplo de los denominadores 4 y 6. ¿Puedes continuar simplificando a
Si denotas por M4 a los múltiplos de 4 y por M6 a los múltiplos de 6, tienes:
Punto de apoyo El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12. M4 = {0, 4, 8, 12, 16. …. } M6 = {0, 6, 12, 18, 24. … } Como el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12, entonces hay que convertir 3 y 5 4 6 a fracciones equivalentes con denominador 12. 3 3×3 9 5 5 × 2 10 para = Para = = ; = 4 4 × 3 12 6 6 × 2 12 Se observa que el menor número común múltiplo de los denominadores es 12. 3 5 multiplicas sus dos términos por 3, en la fracción multiplicas 4 6 ambos términos por 2. Observa que en
Ahora, ya estamos listos para responder a las preguntas de la actividad de motivación. Al observar los carretes y la cantidad de chongas se puede decir que: 10 10 5 6 a) A = C = G= E = 6 9 3 7
78 Matemática - Séptimo Grado
UNIDAD 2 3 12 8 F = H= 3 14 7 b) Las chongas que tendrán la misma cantidad de listón son: 10 5 10 5 6 12 A = y G = porque son equivalentes = y E = con H = porque 6 3 3 6 7 14 6 12 también son equivalentes = 7 14 B=
7 4
D=
3
Actividad Efectúa en tu cuaderno: 1. Escribe 4 fracciones equivalentes a: 3 2 1 7 a) b) c) d) 5 3 4 7 2. Encuentra el número que falta para que las fracciones sean equivalentes: 4 12 3 1 7 2 8 a) = b) = c) = d) = 27 4 16 2 3 3. Reduce cada fracción a su mínima expresión: 15 40 18 7 a) b) c) d) 30 60 24 14 4. Reduce las siguientes fracciones al común denominador (cd) que te indicamos: 3 2 3 y 2 ; cd = 24 y ; cd = 12 b) 4 3 4 3 5. Reduce las siguientes fracciones a un común denominador: 3 3 5 1 4 5 a) y b) y c) y 5 4 7 2 7 21 a)
c)
2 3 y ; cd = 15 3 5
d)
3 1 y 14 21
e)
42 35
Resumen En esta lección repasaste la noción de fracción, sus elementos y las clases de fracciones que hay: menores, iguales o mayores que la unidad, cuando una fracción es mayor que la unidad, puede representarse como número mixto, además, un número mixto puede escribirse como una fracción. Cuando representas una fracción en la recta numérica, esto se llama representación geométrica. Esta te permite decir cual de las fracciones es mayor o menor que otra. Dos fracciones son equivalentes si corresponden al mismo punto en la recta numérica, una aplicación de la equivalencia de fracción, es la ampliación y la reducción de éstas, reducir una fracción es lo mismo que simplificarla, además, las equivalencias de fracciones te permiten convertirlas a un común denominador.
Séptimo Grado - Matemática
79
UNIDAD 2
Autocomprobación
15 9
c)
9 15
b)
24 9
d)
9 24
La fracción equivalente a 2 4 11
b)
11 4
d)
4 a 10
3. b.
a)
3 es: 4 10 c) 4
3 4 4 b) 4 a)
4
3 4 2 1 , , , la mayor es: 4 4 4 4
De las siguientes fracciones:
2 4 1 d) 4
c)
Una fracción equivalente a
3 es: 4
6 8
a)
15 20
d)
Todas son equivalentes
2. b.
a)
3
b)
c)
1. c.
2
En un departamento de una empresa de 15 personas, 9 son mujeres”, la fracción que representa esta situación es:
9 12
Soluciones
1
4. d.
ORIGEN DE LAS FRACCIONES El nombre de fracción se le debe a Juan de Luna, quién usó la palabra “fractio” para traducir el vocablo árabe “al-kasr” que significa quebrar o romper. El origen de las fracciones o quebrados es muy remoto. Ya eran conocidas por los babilonios, egipcios y griegos. Los babilonios las utilizaron teniendo como único denominador al número 60. Los egipcios por su parte las emplearon con sólo el 1 como numerador. Por
5 1 escribían y 8 4 2 1 1 considerando que equivale a . Los griegos 2 8 8 ejemplo si querían representar
marcaban con un acento el numerador, y con 2 el denominador.
80 Matemática - Séptimo Grado
Lección 4
Segunda Unidad
Suma y resta de fracciones Motivación
La biblioteca escolar está organizada en 6 áreas:
¿Qué parte del área total ocupa Ciencias y Deportes?
M: Matemática C: Ciencias E: Estudios Sociales L: Lenguaje I: Inglés D: Deportes ¿Qué parte del área total ocupa Matemática y Ciencias? Puedes ver que matemática y ciencias ocupan: 2 2 4 + = del total. 8 8 8
L I
M
En el gráfico observas que Ciencias y Deportes 2 1 3 ocupan: + = del total 8 8 8 ¿Qué parte ocupa Lenguaje y Estudios Sociales? 1 1 2 Lenguaje y Estudios Sociales ocupan + = 8 8 8 del total.
C
E D
Indicadores de logro: Realizarás adiciones y sustracciones de números racionales positivos y negativos con igual y/o diferente denominador.
Resolverás con seguridad problemas aplicando las operaciones fundamentales de los números fraccionarios positivos y negativos.
Continuando con la introducción puedes concluir que: Para sumar fracciones con igual denominador, sumas los numeradores y colocas el mismo denominador.
Ejemplo 1 Un pastel se divide en 16 partes iguales. Milena toma 2 partes y Juanita 3. ¿Cuántas partes del pastel tomaron entre las dos?
Séptimo Grado - Matemática
81
UNIDAD 2 Solución: Como Milena tomó 2 de las 16 partes y Juanita 3, en total tomaron: 2 3 2+3 5 + = = partes. 16 16 16 16
a c y son fracciones comunes, donde b ≠ 0 entonces, b b a c a +c + = b b b
En general, si
Ejemplo 2
¿Cuál es la diferencia entre las partes del pastel que tomaron Juanita y Milena?
Solución: 3 2 del pastel y Milena , la diferencia entre ambas partes es: 16 16 3 2 1 − = del pastel. 16 16 16
Como Juanita tomó En general, si
a c y son fracciones comunes, donde b ≠ 0 entonces, b b a c a −c − = b b b
Ejemplo 3 Roberto y Amanda trabajan en el departamento de producción de una fábrica. Cierto 7 5 día, Roberto realiza de una obra, y Amanda . Sin embargo, debido a un corte 24 24 1 de energía eléctrica se perdió del trabajo. ¿Qué parte del trabajo realizaron ese día 24 Roberto y Amanda?
82 Matemática - Séptimo Grado
UNIDAD 2 Solución: 5 7 de la obra y Amanda , 24 24 1 en total realizaron 5 + 7 . Como se perdió , la parte de la obra que realizaron 24 24 24 5 7 1 5 + 7 − 1 11 fue: + − = = . 24 24 24 24 24
Como Roberto realizó
En total, Roberto y Amanda realizaron 11 de la obra. 24
Ejemplo 4 Efectúa:
1 7 + 4+ +3 10 10
Solución:
Cuando en una suma o resta de fracciones aparecen números enteros, sumas primero las fracciones y enteros por aparte y luego sumas ambos resultados. Es decir: 1 7 1+ 7 8 4 + = = = 10 10 10 10 5 4 +3= 7 4 4 Luego: +7=7 5 5 Otra forma de hacerlo es sumando primero los enteros y convertir la suma a fracción. 7 7 × 10 70 O sea, 4 + 3 = 7 ; pero 7 = = = 1 1 × 10 10 Luego,
1 7 70 78 8 4 + + = =7 =7 10 10 10 10 10 5
1
Actividad Efectúa mentalmente las siguientes operaciones. Anota la respuesta y simplifica si es necesario: a)
1 2 + 4 4
c)
4 1 − 6 6
e)
3 1 + 5 + 8 8
b)
1 3 + 4 4
d)
3 2 − 5 5
f)
5 2 1 − + 9 9 9
g)
2+
3 4
Séptimo Grado - Matemática
83
UNIDAD 2
Suma de Fracciones con distinto denominador Ejemplo 5
Solución:
2 3 Fíjate ahora en la suma: + 3 4 ¿Cómo son los denominadores?
3 2 2 + 5 3
Solución: Común denominador. Encontramos el mínimo común múltiplo de 3 y 4. M3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ....}
13 2 + 5 3
39 10 + 15 15
M4 = {0, 4, 8, 12, 56, ....}
49 15
El mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12. La fracción equivalente de: 2 2 2x 4 8 = = 3 3 3x 4 12 De
8 9 17 + = 12 12 12
5 3 Encuentra el resultado de la resta − 3 8
Solución:
=
Para sumar fracciones con diferente denominador, primero las expresas con un común denominador y luego las sumas. De preferencia, el común denominador será el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Ejemplo 6 3 2 Resuelve la suma 2 + 5 3
2
3 5 ×
5 3 − 3 8
2 3 17 Entonces: + = 3 4 12
Observa
Recuerda:
+
13 5
2 2 49 2 + = 3 3 15
Ejemplo 7
3 3 x3 9 = = 4 4 x3 12
3 4
Fracciones equivalentes con denominadores comunes.
2 × 5 + 3 = 13
84 Matemática - Séptimo Grado
20 9 − 24 24
40 − 9 = 24 31 = 24
Fracciones equivalentes con igual denominador. Se restan los numerandos.
UNIDAD 2
Operaciones de fracciones con signo Para mejorar su conducción física y su figura, Lorena practica gimnasia.
Para averiguar cuáles son las nuevas medidas necesitas efectuar las siguientes sumas: a) Medidas del brazo
1 35 + −1 2
b) Medidas de la Cintura
3 80 + −5 4
c) Medidas de la pantorrilla
Después de un tiempo cambia algunas medidas de su cuerpo como lo indica la tabla de la izquierda. Medidas Antes
Cambio en cm
Grosor del brazo: 35 cm
1 −1 2
Cintura: 80 cm
3 −5 4
Pantorrilla: 27 cm
2
1 4
¿Qué parte del cuerpo aumentó de medida? ¿Qué partes del cuerpo disminuyeron de medida? ¿Cuáles son sus medidas después de un tiempo?
27 + 2
1 4
Para efectuar estas operaciones con fracciones negativas aplicarás las leyes de los signos de operaciones con números enteros. Y para hacerlo con fracciones positivas, el procedimiento que acabas de estudiar. Así: 1 1 35 3 70 3 67 a) 35 + −1 = + − = + − = = 33 2 1 2 2 2 2 2 b)
3 80 23 80 + −5 = + − 4 1 4
320 + ( −23 ) 4 320 − 23 297 1 = = = 74 4 4 4 =
c)
1 27 9 108 + 9 117 1 27 + 2 = + = = = 29 4 1 4 4 4 4
1 Lorena disminuyó el grosor del brazo a 33 cm, también 2 1 1 la cintura a 74 cm y aumentó la pantorilla a 29 cm. 4 4 Observa otor ejemplo: ¿Cómo restas
3 2 − − ? De seguro lo haces así: 2 7
3 2 3 2 21 + 4 25 11 −− = + = = =1 2 7 2 7 14 14 14
Séptimo Grado - Matemática
85
UNIDAD 2 Ejemplo 8 En el receso de la clase de Educación Física, Rebeca se tomó la mitad del agua de una 1 botella, y al final de la clase se tomó del agua de una botella. ¿Qué parte del agua 3 bebió en total? ¿Qué parte del agua sobró?
Solución: La parte que se tomó es: 1 1 (1 × 3 ) + (1 × 2 ) 3 + 2 5 + = = = 2 3 6 6 6
Luego, la parte del agua que sobró es: 5 6 5 1− = − 6 6 6 1 R: El agua que sobro es 1 6 = 6 6 Observa que representamos por 1 = el total del agua que estaba en la botella. 6
Ejemplo 9
En una tarea en equipo, Ricardo digitó la tercera parte de ésta, y Ana digitó dos quintas partes. Si Marina digitó el resto. ¿Qué parte de la tarea le tocó digitar a Marina?
Solución: La parte de la tarea que digitaron Ricardo y Ana es: 1 2 (1 × 5 ) + ( 2 × 3 ) 5 + 6 11 + = = = 3 5 15 15 15
Luego, la parte de la tarea que digitó Marina es: 11 15 11 4 1− = − = 15 15 15 15 4 R: La parte que le tocó digitar a Marina es. 15
86 Matemática - Séptimo Grado
UNIDAD 2
2
Actividad
1. Efectúa las operaciones siguientes y si es necesario simplifica las respuestas, hasta su mínima expresión. 3 2 7 4 2 1 2 3 3 1 2 − a) + c) + e) + + g) 2 − 2 i) 4 3 5 2 10 5 3 5 4 2 3 b)
1 3 + 2 4
d)
5 1 + 7 2
f) 3 − 7
h)
4 7 − 5 10
2 4 2 de metro de listón rojo, de listón verde y de amarillo. ¿Cuántos metros de 3 3 3 listón compró Patty? Expresa tu respuesta como número mixto.
2. Patty compró
3. El señor Jiménez tiene una tabla de 3 m para hacer los entrepaños de un estante. Corta dos pedazos 5 3 de 3 m cada uno y otro de m. Necesita otro pedazo que mida m. ¿Le alcanza la madera que 6 4 4 aún le queda? Da una explicación de tu respuesta. 3 1 4. Una lámina tiene una longitud de 4 m. Se le cortan dos pedazos: uno de 2 de longitud, y otro 4 2 de 1 1 m. ¿Cuál es la longitud de la lámina que sobra? 3 5. Efectúa las operaciones indicadas. 1 1 1 3 + 4 + 5 2 3 4 1 2 1 b) 5 + 7 − 3 6 5 3 1 2 c) 33 + 66 − 100 3 3 a)
d)
5 5 3 7 + 6 − 4 8 6
e)
1 1 27 1 3 − 1 + − 2 5 2 10 4
f)
7 − 10
3 −2 4 3 2 h) − 4 5 3 1 1 i) 2 − 3 2 2 g)
Resumen Para sumar o restar fracciones de igual denominador éste se mantiene y sólo se suman o restan los numeradores: a c a +c a c a −c a) + = b) − = para b ≠ 0 b b b b b b Para sumar o restar fracciones con diferente denominador, se convierten a un común denominador en base a la equivalencia de fracciones. El menor de los denominadores comunes es su mínimo común múltiplo.
Séptimo Grado - Matemática
87
UNIDAD 2
Autocomprobación
Todas son correctas.
d)
d)
4
5 1 + es el resultado de: 8 4 7 1 a) 1 b) 8 7
c)
8 7
a y c son correctas.
1 3
Joseph compró una barra de chocolate y le dio a uno de sus 1 hermanos 1 de ella, 1 a otro y a una hermana. 3 4 6 La parte de la barra que le quedó a Joseph es: a)
3. a.
d)
c)
Ninguna de las anteriores.
1 2
2. b.
2
10 4
c)
2 1 1 − 1 es igual a: 3 2 1 1 a) b) 1 6 6
b)
1 3
c)
1 4
1. d.
3
3 7 + es el resultado de: 4 4 5 1 a) b) 2 2 2
d)
1 6
Soluciones
1
4. c.
SUMANDO FRACCIONES CON RESULTADO 1 1 — 2
1 — 2
1 — 6 1 — 12
1 — 4
1 — 12
1 — 4
1 — 6
1 — 6 1 — 12
1 — 3
1 — 3
1 — 3
1 — 12
1 — 12
1 — 4
1 — 6 1 1 1 — — — 12 12 12
1 — 4
1 — 6
1 — 6 1 — 12
1 — 12
1 — 12
1 — 12
1 0.0 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
88 Matemática - Séptimo Grado
0.7
0.8
0.9 1.0
En la ilustración, la unidad se ha dividido en partes iguales. Comprueba las siguientes igualdades: 1 1 + =1 2 2 1 1 1 + + =1 3 3 3 1 1 1 1 + + + =1 4 4 4 4 1 1 1 Además + + = 1 2 4 4 ¿Qué otras sumas dan uno, en el dibujo?
Lección 5
Segunda Unidad
Multiplicación y división de fracciones Motivación
Para una presentación en el Auditórium de la Feria
Internacional, se habilitaron 300 asientos de palco y 2 540 de general. Si se ocuparon de los asientos de 3 5 palco y de general. ¿Cuántos asientos sobraron? 6 Este tipo de situaciones se resuelven mediante la multiplicación de fracciones.
Indicadores de logro: Realizarás multiplicaciones y divisiones de números racionales positivos y negativos, valorando tu trabajo individual. Resolverás ejercicios con operaciones combinadas de números fraccionarios.
Resolverás con seguridad problemas aplicando las operaciones fundamentales de los números racionales, positivos y negativos.
Multiplicación de entero por fracción Observa como sumamos varias mitades de naranja:
1 + 2 Nota que si sumas 2 mitades, obtienes la unidad:
1 2
+
1 2
1 2
= 2x
+
1 2
Fíjate que si tienes 3 mitades, obtienes una unidad más
2 1 = =1 2 2
=
3x
1 3 1 = =1 2 2 2
1 2
Séptimo Grado - Matemática
89
UNIDAD 2 1 2
+
1 2
1 + 2
+
1 1 4 = 4x = = 2 2 2 2
Observa que 4 mitades, obtienes 2 unidades:
1 2
+
1 2
+
1 2
1 + 2
+
1 2
1 5 1 = 5× = = 2 2 2 2
1 2 En base a los ejemplos anteriores, ¿Cómo multiplicas un entero por una fracción? 1 5 1 3 Multiplica 5x . Lo haces así: 5 × = = 2 2 2 2 2 1 Ahora resuelve la operación 6 x = 2 3 ¡Claro! con 5 mitades obtienes 2 unidades más
Multiplicación de fracciones ¿Cuánto mide el área de un rectángulo cuyo largo mide 1m
Solución:
1m
4− m 5
5 4 m y su ancho mide m? 8 5
5 4 5x 4 20 x = = 8 5 8x5 40 20 20÷20 1 Simplificando: = = 40 40÷40 2 1 2 m 2 Otra forma: 1 1 5 4 5 4 1 x Simplificando x = 8 5 8 5 2 2 1 1 R: m2 2 R: El área del rectángulo es
5− m 8
Este ejemplo comprueba que, en general, el producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador al producto de los numeradores; y por denominador al producto de los denominadores. a c a ×c con b y d diferentes de cero. Es decir: × = b d b ×d
90 Matemática - Séptimo Grado
UNIDAD 2 Ejemplo 1
Ejemplo 3
Efectúa los siguientes productos y simplifica cuando sea necesario. 3 2 a) x 4 3
1 Un filtro purifica agua a razón de 15 litros por hora. 2 ¿Cuántos litros purifica en 2 horas y quince minutos?
Solución:
1 horas. Luego, como 4 1 1 purifica 15 litros por hora, en 2 horas purifica 2 4 1 1 15 = 2 litros. Luego: 2 4
3 2 3× 2 6 1 × = = = 4 3 4 × 3 12 2 b)
2 5 x 3 6
Solución:
2 5 2 × 5 10 5 = = × = 3 6 3 × 6 18 9
c)
16 3 x 3 4
Solución:
16 3 16 × 3 48 × = = =4 3 4 3 × 4 12
d) 8x1
1 2
Solución: Dos horas quince minutos son 2
7 1 1 31 9 279 = 34 15 2 = = 2 4 2 4 8 8
Ejemplo 4 Para una presentación en el Auditórium de Feria Internacional, se habilitaron 300 asientos de palco y 540 2 de general. Si se ocuparon de los asientos de palco y 3 5 de general. ¿cuántos asientos sobraron? 6
Solución:
1 8 3 8 × 3 24 8 ×1 = × = = = 12 2 1 2 1× 2 2
Ejemplo 2 Para preparar jaleas, la mezcla ideal es: por cada kg de 3 fruta, agregar kg de azúcar. Si Lorena quiere preparar 4 mermelada con 4 kg de mango. ¿cuántos kg de azúcar necesita agregar?
Solución: Por cada kg de fruta agrega 3 kg de azúcar. Como son 4 4 kg de mango, necesita agregar: 3 3 4 3 × 4 12 ×4= × = = = 3 kg de azúcar. 4 4 1 4 4
Solución: El número de asientos ocupados de palco es: 2 × 300 600 2 = = 200 ( 300 ) = 3 ×1 3 3 El número de asientos ocupados de general es: 5 ( 540 ) = 5 × 540 = 2 , 700 = 450 6 6 ×1 6 Luego se ocuparon: 200 + 450 = 650 asientos. Y el total de asientos es: 300 + 540 = 840 asientos Luego, sobraron: 840 − 650 = 190 asientos. R: Los asientos que sobraron son 190.
Séptimo Grado - Matemática
91
UNIDAD 2
1
Actividad
1. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica la respuesta cuando haya que hacerlo. a)
1 10 x 5 9
c)
16 3 x 3 4
e)
29 51 x 17 16
g)
120 55 x 7 64
i)
1 1 3 x2 4 5
b)
2 5 x 3 6
d)
9 4 x 10 27
f)
32 9 x 12 14
h)
55 36 x 204 121
j)
2 5 x 49 7
2 2. Una cooperativa contribuye con una obra de beneficio social, y dona 1 centavos por cada artículo 3 que vende. Si en un mes vende 3,200 artículos, ¿Cuánto donó La cooperativa?
División de Fracciones Cuando estudiaste las operaciones con números enteros, aprendiste que la división es la operación inversa de la multiplicación. Por ejemplo: 6 ÷ 3 = 2 por que 2 × 3 = 6 Cuando trabajas con fracciones aplicas esa misma propiedad de la división. Así: 1 1 8 9 9 8 porque × 5 = 1 ; 1 ÷ = porque × = 1 5 5 8 9 9 8 1 7 1 1 7 1 1 1 ÷ 7 = porque × 7 = = Observa esta última división: ÷ = 14 14 2 2 1 14 2 14 1 1 7 1 1 1 Puedes ver que ÷ = × = es decir obtienes 14 2 1 2 7 14 1÷ 5 =
Lo que se hace es dejar el dividendo igual y multiplicarlo por el inverso del divisor.
92 Matemática - Séptimo Grado
UNIDAD 2 2 1 10 Ahora razona este resultado: ÷ = con seguridad 3 5 3 lo harás así: 10 1 10 2 2 1 2 5 10 ÷ = × = ; porque = = 3 5 15 3 3 5 3 1 3 3 5 ¿Cómo divides ÷ ? ¡De seguro lo haces así!: 4 9 3 5 3 9 3 × 9 27 = ÷ = × = 4 9 4 5 4 × 5 20 En general para dividir fracciones multiplicas el dividendo por el inverso del divisor así: a c a d ad ÷ = × = con b y c diferentes de cero. b d b c bc
Ejemplo 5 Expresa las siguientes divisiones como productos y efectúa. 5 3 35 5 1 3 a) b) ÷ c) 5 ÷ 2 ÷ 7 2 6 3 2 5
Solución:
35 5 35 3 35 × 3 105 ÷ = × = = 6 3 6 5 6 × 5 30 5 3 5 2 5 × 2 10 b) ÷ = × = = 7 2 7 3 7 × 3 21 1 3 11 13 11 5 11 × 5 55 c) 5 ÷ 2 = ÷ = × = = 2 5 2 5 2 13 2 × 13 26 a)
Ejemplo 6
Naomi es la presidenta de su grado y junto a toda la directiva organizan una fiesta a la cual asistiran 50 1 personas. Necesitan averiguar cuántas botellas de 2 2 litros de refresco deben comprar.
1 litro pueden llenarse con una 4 1 botella de 2 litros. 2 1 b) ¿Cuántos vasos de de litro y cuántos de litro 8 1 pueden llenarse con una botella de 2 2 a) ¿Cuántos vasos de
Solución:
a) El número de vasos de
1 de litro que se llenan es: 4
1 1 5 1 5 4 20 2 ÷ = ÷ = × = = 10 vasos. 2 4 2 4 2 1 2 b) El número de vasos de
1 de litro que se llenan es: 8
1 1 5 1 5 8 40 2 ÷ = ÷ = × = = 20 vasos. 2 8 2 8 2 1 2 1 R: Luego con una botella de 2 litros se llenan 10 vasos 2 1 1 de de litro ó 20 vasos de litro. 4 8 1 ¿Cuántas botellas de 2 litros, debe comprar la 2 directiva?
Solución: Las 50 personas tomarán un total de: 1 50 1 50 50 × = × = = 25 litros 2 1 2 2 1 Como cada botella contiene 2 litros, el número de 2 botellas que deben comprar es: 1 25 5 25 50 25÷2 = ÷ = x = 10 botellas 2 1 2 1 2
Séptimo Grado - Matemática
93
UNIDAD 2 Ejemplo 7 En una carretera de 4 km de largo se colocaron señales cada ¿Cuántas señales se colocaron?
2 de kilómetros. 5
Solución: Averigua cuantos veces
2 2 está contenido en 4. Es decir 4 ÷ es igual a: 5 5
2 2 4 5 20 4 ÷ = × = = 10 5 1 2 2
2
R: Se colocaron 10 señales.
Actividad
1. Expresa cada división como una fracción en su mínima expresión. a) 6 ÷ 2
c) 12
÷ 39
b) 1 ÷ 7
d) 63 ÷ 21
e) 10 ÷ 10 f)
3 3 ÷ 7 8
7 14 ÷ 9 15 1 1 h) 1 ÷ 4 3 2 g)
1 2. Se usa un recipiente de 2 litros de capacidad para llenar un tanque con 20 litros de capacidad 2 ¿Cuántas veces se usa el recipiente para llenar el tanque?
Punto de apoyo
94 Matemática - Séptimo Grado
(+) (+) = +
(+) / (+)= +
(+) (−) = −
(+) / (−) = −
(−) (+) = −
(−) / (+) = −
(−) (−) = +
(−) / (−)= +
UNIDAD 2 Para multiplicar y dividir fracciones con signos (iguales o diferentes) aplicas las mismas leyes de los números enteros.
Ejemplo 8 a)
b)
2 9 2 × 9 18 6 × = = = 3 5 3 × 5 15 5 2 9 2 × ( −9 ) 18 6 =− =− ×− = 3 5 3× 5 15 5
3 5 3 5 3 6 18 9 − ÷− = ÷ = × = = 4 6 4 6 4 5 20 10 2 − 1 ÷ 2 3 3 2 4 d) 1 3 4 + × 5 2 11 c)
Solución: Para efectuar este tipo de operaciones procedes así: 2 1 4 3 1 3 1 11 Paso 1. Eliminas los paréntesis en cada término: − = − = ; + = . 3 2 6 6 6 5 2 10 Paso 2. Simplificas el numerador: 2 1 3 1 3 1 11 1 4 4 2 − ÷ 2 = ÷ 2 = ÷ = × = = 3 2 4 6 4 6 4 6 11 66 33
Paso 3. Simplificas el denominador: 3 1 4 11 4 4 2 + × = × = = 5 2 11 10 11 10 5 Paso 4. Sustituyes cada resultado en la expresión, así: 2 2 2 5 10 5 ÷ = × = = 33 5 33 2 66 33
Resumen Para sumar o restar fracciones con igual denominador, este se mantiene y sólo sumas o restas los numeradores. Si las fracciones poseen diferentes denominadores, antes de sumarlas o restarlas las conviertes a un común denominador. Para multiplicar fracciones, multiplicas numeradores y denominadores entre sí, y para dividirlas, multiplicas el dividendo por el inverso del divisor. Para operar fracciones con signos, sigues las mismas leyes de operaciones con enteros.
Séptimo Grado - Matemática
95
UNIDAD 2
Autocomprobación
5 − 5 5 b) 5
c) x
a)
4
a)
27 2
c) 1
b)
1 13 2
d) a y b son correctos
1 2
c)
−1
d) a y c son correctos
3 2 × − es igual a: 4 9 a)
6 36
c) −
b)
27 8
d)
2. d.
1 3x 4 es igual a: 2
3 2 − + − es igual a: 5 5
1 6
1 6
1. b.
2 3 5 2 2 2 d) − 5 3
2 2 − × 5 3 2 3 b) − × 5 2 a)
3. d.
2
3
2 2 ÷ − es igual a: 5 3
Soluciones
1
4. c .
ONCE OVEJAS Un famoso problema de aplicación de las fracciones dice así: Un pastor tenía tres hijos, y al morir les dejó de herencia sus 11 ovejas repartidas así: Al mayor le dejó la mitad; al mediano la cuarta parte del rebaño. Al menor, le dejó la sexta parte de las ovejas y tú ¿cómo las repartirías? ¿Lo haces así?: Comenzó prestando una oveja, o sea, completó 12. 12 ÷ 2 = 6 ovejas le dió al menor. 12 ÷ 4 = 3 ovejas le dió al mediano. 12 ÷ 6 = 2 ovejas le dió al mayor. ¿Cómo hizo para regresar la que prestó?
96 Matemática - Séptimo Grado
Solucionario Lección 1 Actividad 1 b) A1= 20 cm2 ,
A 2 = 49 cm2
A 3 = 4 cm2
A4 = 20 c m2
A 5= 9.86 cm2
Actividad 2 3. 256 dm2 = 256 × 100 = 25,600 cm2: ésta es el área mayor.
Lección 2 Actividad 1 a) Como vale $40 el m 2 , equivale decir que vale $40 los 1.43 v2; es decir, el precio de
la v2 sería de
40 = $27.97, por lo que ésta sería la mejor opción. 1.43
b) Como 50 ha = 50 × 10,000 m 2 = 500,000 m2: ésta es la propiedad menor.
15 , 256 2 m = 10 , 668.53m 2 , 1.43 10 , 668.53m 2 2 = 1.067 ha como 1 ha = 10,000 m ;. 10 , 000 m 2
c) 15,256 v2=
Actividad 2
30 , 000 = 3 ha = 3 × 1.43mz = 4.29mz 10 , 000 b) 40 ha = 40 × 1. 43 mz = 57.2 mz. a) A =200 × 150 = 30,000 m 2=
Actividad 3 a) 4.5 × 7 = 31.5 mz; 2.3 cab = 2.3 × 64.34 mz= 147.98 mz.
Luego, el área que falta es 147.98 – 31.5 = 116.48 mz.
Lección 3 Actividad 1 8 4 3 20 1 100 b) = c) d) = 10 5 5 60 3 105 4 11 3 23 2 77 1 14 2 23 ;3 ; ;5 ; 2. En su orden: 2 ; ; 3 ; ; 2 ; 5 9 2 3 3 4 7 5 4 7 1. La relación es a)
Séptimo Grado - Matemática
97
Solucionario Actividad 2 b)
1 2 4 5 7 ; ; ; ; 3 3 3 3 3
c)
1 2 5 ; ; 2 3 6
6 9 12 ; ; 10 15 20
c)
2 3 4 ; ; 2. a) 12 b) 14 c) 9 8 12 16
Actividad 3 1. a)
3. a) 1 2
b)
d) 12
2 3 c) 3 4
18 16 4. a) 9 ; 8 b) ; 24 24 12 12 10 7 12 15 5.a) b) ; ; 14 14 20 20
Lección 4 Actividad 2
4+5 9 33 − 32 1 2+3 5 10 + 9 19 b) d) = = = c) = 10 10 12 12 4 4 15 15 8 2 2. = 2 m 3 3 6 5 18 + 10 28 7 3. + = = = ; luego comparas. 4 6 12 12 3 19 23 57 − 46 11 5 4 15 + 8 23 4. + = = m = ; luego; − = 4 6 12 12 2 3 6 6 16 3 27 9 32 − 15 54 − 45 17 9 34 + 9 43 5. e) − + − = = + = = + 5 2 10 4 10 20 10 20 20 20 1. a)
Lección 5 Actividad 1 a)
1 × 10 10 2 = = ; 5 × 9 45 9
b)
Actividad 2 1. a)
6 =3 2
c)
12 4 = 39 13
1 63 d) =3 7 21 2. Se usa 8 veces. b)
98 Matemática - Séptimo Grado
2 × 5 10 5 = = 3 × 6 18 9
f)
3 8 8 × = 7 3 7
h)
4 2 8 × = 3 9 27
i)
13 11 143 × = 4 5 20
Proyecto 1. De lunes a viernes, en períodos normales de estudio, María Inés distribuye en promedio, las 24 horas del día de la siguiente manera: Actividad
Fracción del día
Alimentarse
2 24
Descansar y divertirse
1 6
Estudiar
1 4
Aseo personal
1 24
Dormir
1 3
Trabajo en casa
1 8
a) ¿A qué actividad dedica más tiempo? b) ¿A qué actividad dedica menos tiempo? c) Ordena el tiempo que dedica a las diversas actividades
de acuerdo a la relación "menor que" y a la relación "mayor que".
d) ¿Qué fracción de tiempo suman las actividades
dormir y descansar y diversión? ¿Cuánto tiempo suman ambas actividades?
e) ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre "estudio" y
"dormir"?
f) Sin efectuar la operación, determina cuál es la suma
de las fracciones correspondientes a las diversas actividades.
2. La familia López Rodríguez adquiere un terreno de 1,200 v2 para construir su
vivienda y establecer una granja de gansos para el consumo humano y como mascotas. También planifican un área de jardinería y árboles frutales. Para ello distribuyen el terreno así: 1 6
Para la vivienda
1 3
Para la granja
1 12
Para veredas internas
a) ¿Cuál es la mayor de todas las áreas? b) ¿Cuál es la menor? c) ¿Cuál es el área que ocupará el jardín y los árboles frutales?
Séptimo Grado - Matemática
99
Recursos BALDOR, Aurelio, Aritmética, Edición Cultural Centroamericana, Edición 1968, Guatemala. DOLCIANI, Wooton y otros, Matemáticas modernas para escuelas secundarias. Tomos 1 y 2, Publicaciones Cultural, S. A. 7ª reimpresión 1980, México.
100 Matemática - Séptimo Grado