Mat 7u5

MATEMÁTICA Unidad 5

Multiplicación y división de monomios.

Operaciones con Radicales

Objetivos de la unidad: Utilizarás con seguridad, las operaciones con monomios, con el fin de encontrar soluciones a situaciones problemáticas escolares y del entorno.

Aplicarás con destreza la radicación y sus propiedades, al proponer soluciones a situaciones del ámbito escolar y social.

55

Los radicales se obtienen se estudia La raíz cuadrada La raíz cúbica

Las propiedades para

Expresiones algebraicas

Operaciones

se efectuará como Las operaciones

Producto Raíz de raíz

se utilizan División Las propiedades de los exponentes

Monomio por monomio

como

El producto

La división

de

de

Monomio por polinomio

Monomio entre monomio

Reducción de terminos semejantes

Monomio entre polinomio

Descripción del proyecto Se desea averiguar si al apoyar una escalera sobre una pared, ésta alcanza determinada altura de una vivienda.

Se sabe que cuando la base de una escalera se acerca a la pared sobre la cual se apoya, se alcanza una mayor altura. Por el contrario, cuando la base se aleja, la altura que se alcanza es menor. Se trata de averiguar si una escalera de longitud conocida, alcanza la altura deseada cuando se separa determinada distancia de la pared. Esto, sin perder de vista la seguridad de la persona que se subirá a la escalera.

56 Matemática - Séptimo Grado

Lección 1

Quinta Unidad

Propiedades de los exponentes Motivación

E

n un terreno de forma cuadrada, la familia Alfaro tiene un huerto casero, deciden aumentar el área sembrada y consideran duplicar la longitud del lado ¿En que medida aumentará el área? Si el lado se triplica, ¿cuánto aumentará el área? x

(2x)2

Indicadores de logro: Deducirás y aplicarás con seguridad la propiedad del producto de bases iguales.

Deducirás y aplicarás con seguridad la propiedad del cociente de bases iguales.

Deducirás y aplicarás con seguridad la propiedad de una potencia de otra potencia.

Deducirás y aplicarás con seguridad la propiedad de la potencia de un producto.

Deducirás y aplicarás con seguridad la propiedad de la potencia de un cociente.

Simplificarás cantidades numéricas y algebraicas que requieran de la aplicación de dos o más propiedades de los exponentes.

Determinarás y explicarás con confianza la utilidad de la notación científica.

Convertirás con seguridad cantidades en notación científica a notación decimal, sin calculadora.

Convertirás con seguridad cantidades en notación científica a notación decimal, con calculadora.

Convertirás con confianza cantidades en notación decimal a notación científica sin y con calculadora.

Multiplicarás y dividirás con autonomía cantidades en notación científica sin y con calculadora.

Aplicarás con confianza la notación científica en la resolución de problemas.

Regla del producto Oscar y Leticia desean calcular el producto 32(3)4.

Luego de discutir el procedimiento observa lo siguiente 32(3)4 = (3.3) (3.3.3.3) = 36 De manera similar efectúas: 53.54 = (5.5.5) (5.5.5.5) = 53 + 4 = 57 x4.x5 = (x.x.x.x) (x.x.x.x.x) = x4 + 5 = x9

Observa Los ejemplos anteriores te muestran que para multiplicar dos expresiones de igual base, ésta se conserva y se suman los exponentes. b m .b n = b m + n

Ejemplo 1: Simplifica las siguientes expresiones: a) 35.34

c) x9x

b) y4.y8

d) (a3b2) (a2b5)

Solución: a) 35(3)4 =35 + 4 = 39

c) x9(x) = x9+1 = x10

b) y4(y)8 = y4+8 =y12

d) (a3b2) (a2b5) = a3+2 b2+5 =a5b7

Séptimo Grado - Matemática 57

UNIDAD 5

Regla del cociente Oscar y Leticia desean ahora calcular la división 25 ÷ 23 ; ¡Ayúdales a encontrarla!

5 ¿ Lo haces así? 2 = 2.2.2.2.2 = 25−3 = 22 23 2.2.2 Para dividir dos expresiones de igual base, ésta se conserva y se resta el exponente del numerador menos el exponente del denominador. b m m-n =b , b ≠ 0 Recuerda: ¡La división entre cero no está definida! bn

Ejemplo 2 Simplifica las siguientes expresiones: 32 57 x7 a)

b)

c)

3 54 x2

d)

Solución:

m 5n 7

m 2n 5

9 x 4 y -7 18 x -1 y -1

e)

a)

57 7- 4 3 = 5 = 5 54

b)

32 2-1 =3 =3 3

c)

x7 = x 7-2 = x 5 2 x

d)

m 5n 7 = m 5- 2 n 7 - 5 = m 3 n 2 m 2n 5

e)

9 x 4 y -7 9 x 4 y -7 1 4 -( -1) -7-( -1) 1 5 -6 1 5 1 x5 = ⋅ ⋅ = (x ) ( y ) = x y = x 6= 6 18 x -1 y -1 18 x -1 y -1 2 2 2 y 2y

Regla de la potencia de una potencia 3 3 ¿Cómo simplificas las expresiones ( 2 ) y ( x ) ? ¿Qué regla aplicas para ello? Compara tu respuesta con la siguiente: 2

( 2 ) = 2 ( 2) = 2 ( ) = 2 b) ( x ) = x . x . x . x = x ( ) = x a)

3 2

3 4

3

3

3

3

3

32

6

3

34

4

Ejemplo 3 Simplifica las siguientes expresiones. a)

(2 )

5 4

(y ) d) ( p )

2

12

Observa Cuando una potencia está elevada a un exponente, se conserva la base y se multiplican los exponentes. n (b m ) = b m .n = b mn

3 4

3 b) ( -2 ) 

(y ) f) ( 4 ) e)

Solución: a)

(2 )

b)

( −2 )3  = ( −2 )3( 2) = ( −2 )6 = 26

5 4

= 25( 4 ) = 220 2

(y ) = y ( )= y ( ) d) ( p ) = p = p ( ) =y e) ( y ) = y c)

f)

58 Matemática - Séptimo Grado

7 3

c)

7 3

73

21

3 4

34

12

-3 5

-3 5

-15

(4 )

2 -3

= 4 2( -3) = 4 -6 =

= 1 46

1 y 15

-3 5

2 -3

UNIDAD 5

Regla de la potencia de un producto

Ejemplo 5

Ahora vas a resolver el problema planteado al inicio de esta lección. ¿Qué le sucede al área del cuadrado si el lado se duplica?

Si x es el valor inicial del lado, su área es A = x2 .

Efectúa las potencias: 4 3  ax   y4  a) c)  2   by 

Si el lado se duplica, su área es: (2x)2 = 2x.2x= 2.2.x.x= 22 x2 =4x2

Solución:

Observa que si el lado se duplica, el área se hace cuatro veces mayor.

Además observa que al elevar el producto 2x a la potencia 2 se eleva cada factor a dicha potencia ¿Qué le sucede al área si el lado se triplica? El área del cuadrado es: 2 2 2

(3x)2 = 3 x = 9 x

4

 ax  ( ax )4 a 1.4 x 1.4 a 4 x 4 c) = = ; con b e y ≠ 0  by  = (by )4 b 1.4 y 1.4 b 4 y 4 d) Comienzas simplificando la expresión dentro

del paréntesis.

3  8x 3 y 2  8 x 3 y 2 2  4 xy  = 4 ⋅ x ⋅ y = 2 x y , luego 3

 8x 3 y 2  3 3 2 3 2 3 6 3  4 xy  = ( 2 x y ) = 2 ( x ) ( y ) = 8 x y

Efectúa las potencias:

( 5x ) = 5 ( x ) = 25x b) ( 3 x y z ) = 3 ( x ) ( y ) ( z ) = 81x y c) ( −7 x yz ) = ( −7 ) ( x ) ( y ) ( z ) = 49 x 4

3

2

2

Ejemplo 4

3

3

5  x 5  ( x ) x 5.2 x 10 = b)  3  = 2 =  b  (b 3 ) b 3.2 b 6

Al elevar un producto a una potencia, se eleva cada n n n factor a la potencia. Es decir: ( ab ) = a b

3 2

 8x 3 y 2  d)  4 xy 

Primero aplicas la regla de la potencia de un cociente.

Luego eliges la regla que sea oportuna.

3 4 3  y 4  ( y ) y 4.3 y 12 a)  2  = 23 = 23 = 8

Observa que si el lado se triplica el área se hace nueve veces mayor. ¿Y si el lado se cuadruplica, cuántas veces es mayor el área?

a)

2

 x5  b)  3  b 

2

3 2

2 4

4

6

3 4

2 2

2

4 4

3 2

2 4

4 2

12

2 2

Ejemplo 6 16 6

z

8 8

y z

4

Regla de la potencia de un cociente La regla de la potencia de un cociente es similar a la regla de la potencia de un producto.

Es decir: n n a a = , con b ≠ 0   b bn

3

La arista de un cubo mide 8 cm, y la de otro 6 cm. ¿Cuánto suma el volumen de ambos cubos?

8 cm

Solución: Como el volumen de un cubo está dado por V= x3, donde x es el valor de la arista, entonces la suma de ambos volúmenes es 83 + 6 3 . Como no hay una propiedad referida a la suma de potencias, para calcular la suma de éstas, hay que efectuar y sumar ambas potencias: 83 + 6 3 = 512 + 216 = 728 cm 3 .

3 3 3×3×3 = 27 ¿Cómo sumariamos esto?

Séptimo Grado - Matemática 59

UNIDAD 5 Solución:

Ejemplo 7

2 2 4 2 4  −3a 2b 4  ( −3a b ) ( −3 ) ( a ) (b ) 9a 4b 8 a) = = 2 2  4 c 3  = 16 c 6 ( 4 )2 ( c 3 ) ( 4c 3 )

Efectúa y simplifica ( 6 x )

2 -3

Solución:

(6 x 2 ) = 6 −3 .( x 2 ) = 6 −3 .x (2−3) = 6 −3 .x −6 = −3

−3

2

2

b) Simplificas primero la expresión dentro del paréntesis

1 1 1 ⋅ 6= 3 6 x 216 x 6

y tienes: −2 x 3 y 5 −2 x 3 y 5 −2 x 2 2 1 x = ⋅ ⋅ = − 2 ⋅ = xy 7 y2 y2 1 x y7

Ejemplo 8 Efectúa las potencias y luego simplifica.

3 2  −2 x 3 y 5   −3a 2b 4  a) 

b)  xy 7   4 c 3 

1

2

2

Luego: 3 3 3 3 3  −2 x 3 y 5   −2 x 2  ( −2 x 2 ) ( −2 ) ( x 2 ) −8 x 6 = 6 3 = 3  xy 7  =  y 2  = y ( y2) ( y2)

Actividad

1. Escribe un ejemplo de la regla del producto y otro de la regla del cociente.

(

) , ¿Cuál es el signo de la expresión simplificada: positivo o

(

)

3 4 2. Al aplicar la regla de la potencia para simplificar la expresión − x y

negativo? ¿Cómo haces para determinarlo?

5 3 3. Al aplicar la regla de la potencia para simplificar la expresión −7 x b

negativo? ¿Cómo haces para determinarlo?

7

4

, ¿Cuál es el signo de la expresión simplificada: positivo o

4. Efectúa las potencias y luego simplifica las siguientes expresiones. a) x5.x4

c) y.y

e)

x 17 x 15

g)

b) y2 . y5

d) y. y2 . y−3

f)

x 15 x 17

h)

y3 y −1 b0

i)

x4 x4

k)

( −7 x )

j)

57 57

l)

(x )

2 0

2 3

5. Efectúa y simplifica: a)

(x )

c)

( −3x )2

e)

( 5xy )

g)

b)

(y )

d)

( −3x )3

f)

( −2x )

h) − x 4 y 5 z 6

5 2

3 4

3 4

3 5

( 9x y ) 2

3 2

(

)

i)

( −4 x

j)

x   a

3

4

y 2z )

3

 5a 2   2b 3 

b)

x4 y5 x2 y2

4

2

c)

ab 5 a 2b 6

e)

5 x 12 y 3 10 x 2 y 7

g)

 4x 5   2 x 3 

d)

10 x 3 y 5 5 xy 2

f)

−6 x 2 y 2 z 7 2x 5 y 9 z 8

h)

 9 y 2z 7   18 y 7 z 

60 Matemática - Séptimo Grado

 x  −  a

l)

 3a   2  b

2

6. Simplifica las siguientes expresiones: a)

k)

3

3

5

UNIDAD 5

Notación Científica ¿Sabes qué es un año luz?

Ejemplo 9

Imagínate que viajas a la velocidad de la luz por un año.

La distancia que recorres de esta forma se llama año luz. Como la velocidad de la luz en el vacío es de 300 millones de metros por segundo o sea 300,000,000 m/s, entonces un año luz equivale a multiplicar esta velocidad por 1 año (365 días = 31,536,000 segundos), o sea ¡300,000,000 m/s × 31,536,000 s!

Las áreas metropolitanas más pobladas del mundo son:

Así como en la ciencia se trabaja con números muy grandes, así los hay muy pequeños. Por ejemplo, ¿Sabes que el espesor de una pompa de jabón mide 0.0000001m?

Para facilitar el trabajo con este tipo de números, se creó la notación científica. Con esta notación, la velocidad de la luz se escribe 3 × 108 m/s, un año luz es 9.46 × 1015 m y el espesor de una pompa de jabón de 1.0 × 10 −7m.

Los números en notación científica se escriben como el producto de un número mayor o igual que 1 pero menor que 10 por una potencia de 10. Así:

a × 10 n con 1 ≤ a < 10

Tokio, con 31,200,000 New York, con 30,100,000 y Ciudad de México, con 21,500,000 habitantes.

Expresa estos números en notación científica.

Solución: 31,200,000 = 3.12 × 107 habitantes.

30,100,000 = 3.01 × 107 habitantes.

21,500,000 = 2.15 × 107 habitantes.

Observa que el punto decimal se movió 7 lugares a la izquierda. Esto se debe a que se dividió entre 10 millones. Por lo tanto, se ha de multiplicar por ese número, o sea por 107.

Los siguientes números se expresan en notación científica.

Masa de la tierra = 5.94 × 1021 toneladas .

Edad de la tierra = 4.6 × 108 años.

Distancia de la tierra a la estrella polar =1.0 × 1019m ¿Cómo conviertes cantidades de notación decimal o normal a notación científica?

Séptimo Grado - Matemática 61

UNIDAD 5 Ejemplo 10

b)

Escribe en notación científica 0.00368 y 0.00086.

Solución: c)

0.00368 = 3.68 × 10 −3; 0.00086 = 8.6 × 10 −4.

Como en este caso los números son menores que 1, el punto decimal se mueve a la derecha. En el primer caso, 3 lugares, por lo cual el exponente de 10 es − 3. En el segundo caso, 4 lugares, por lo cual el exponente es − 4. ¿Cómo conviertes cantidades de notación científica a notación decimal o normal?

Ejemplo 11 Escribe de notación normal:

(6 ×10 )(8 ×10 ) = 48 ×10 2

3

5

= 4.8 × 10 6

La calculadora y la notación científica ¿Qué te muestra tu calculadora cuando multiplicas números muy grandes o muy pequeños? Si tu calculadora no tiene la capacidad de mostrar la respuesta en forma de notación científica, probablemente obtengas una señal de error, ya que la respuesta es muy grande o muy pequeña para la pantalla.

Ejemplo 13

a) 3.2 × 10

b) 3.57 × 10

5

−4

Solución:

Si tu calculadora no posee notación científica: 700,000 × 500,000 = 350,000,000,000

a) Al correr el punto decimal 5 lugares a la

derecha, tienes: 3.2 × 105 = 3.2 × 100,000

= 320,00

Si tu calculadora posee notación científica: a) 700,000 × 500,000

b) Al correr el punto decimal 4 lugares a la

izquierda tienes: 3.57 × 10 −4 = 3.57 × 0.0001

= 0.00035

Ejemplo 12 a)

( 4.2 × 10 )( 2 × 10 )

b)

6.2 × 10 −5 2 × 10 −3

c)

(6 × 10 )(8 × 10 )

−4

6

2

3

Solución: Para efectuar operaciones en notación científica, aplicas las reglas de las potencias:

)(

)

(

a) 4.2 ×10 6 2 ×10 −4 = ( 4.2 × 2 ) 10 6 ×10 −4

= 8.4 ×10

2

62 Matemática - Séptimo Grado

Observa la forma en que el exponente aparece en pantalla. Esto significa 3.5 ×1011 b) 0.00008 × 0.0009

Efectúa las siguientes operaciones:

(

6.2 × 10 −5 6.2 10 −5 = × −3 2 × 10 −3 2 10 = 3.1× 10 −5−( −3) = 3.1× 10 −2

)

significa 7.2 × 10 −08

UNIDAD 5

2

Actividad 1. Representa en notación científica, las siguientes cantidades:

3. Efectúa las siguientes operaciones:

a) 5,000

g) 0.0057

a)

b) 75,000

h) 0.157

c) 9,000

i) 504

d) 0.00075

j) 0.82

e) 5,265,000

k) 0.000956

f) 518,000

l) 6,270,000

2. Representa en notación decimal o normal las siguientes cantidades dadas en notación científica: a) 5.4 × 103

e) 3.28 × 10 −1

b) 1.18 × 10

f) 1 × 10

−3

−4

c) 4 × 105

g) 2.3 × 10 −5

d) 3.14 × 106

h) 5.4 × 102

( 7 × 10 )( 2 × 10 ) d) 2

3

6 × 10 −3 b)

3 × 10 2

e)

8.4 × 10 −7

4 × 10 −2

f)

c)

6.8x10 5 2x10 3 3.0 × 10 4 6 × 10 −3

(1.5 × 10 )(3 × 10 ) −4

−2

4. Convierte a notación científica y efectúa. Comprueba tu respuesta mediante la calculadora. a) ( 500 ,000 )( 7 ,000 ,000 ) b) ( 0.0007 )( 8 ,000 ,000 ) c) 1 , 400 ,000 ÷ 0.007 d) 150 , 000 ÷ 0.0075

Resumen El siguiente cuadro te presenta un resumen de las propiedades de los exponentes.

Los números en notación científica se escriben como el producto de un número mayor o igual que 1 y menor que 10, por una potencia de 10.

Regla del Producto:

b m .b n = b m +n

Regla del Cociente:

b m m −n =b , b ≠0 bn

Regla de la Potencia de una potencia: Regla de la Potencia de un producto:

(b )

Regla de la Potencia de un cociente:

n a a = , b ≠0   b bn

m n

= b m . n = b mn

( ab )n = a n b n n

Séptimo Grado - Matemática 63

UNIDAD 5

Autocomprobación a)

73 b) 76 c) 133 d) Ninguna de las anteriores

( 2x ) ( 2x )

3 −3

3 3

a)

es igual a:

3

4

( 2x )

Al simplificar ( −4 x 3 y 2 ) obtienes: 3

16 x 9 y 6 b) −64 x 9 y 6 c) 64 x 9 y 6 d) −16 x 9 y 6 a)

De las siguientes cantidades, correctamente en notación científica es: a)

2.5 × 10 −7 b) 0.8 × 105 c) 12 × 10 −7 d) 15.8 × 109

3 0

b)

4x 9 c) 1 d) a y c son correctos

1. c.

2

Al simplificar la expresión 23 + 53 el resultado es:

Soluciones

1

2. d.

3. b.

4. a.

BYTES Una computadora lee la información en “bits” y en “bytes”. Un bit funciona como un switch o interruptor, y la computadora lo lee como encendido (1) o apagado (0). Un byte es una serie de 8 bits que forma un dato, como una letra o un dígito.

Cada byte puede representar 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 28 = 256 datos diferentes.

Son ejemplos de bytes: 10101100, 11100011.

Escribe en tu cuaderno tres bytes de 8 bits.

64 Matemática - Séptimo Grado

Lección 2

Quinta Unidad

OPERACIONES CON MONOMIOS Motivación

L

a figura de la derecha muestra dos tanques de agua de forma cúbica. La arista de uno de ellos es el doble de la arista del otro. ¿Cuál es la suma de sus volúmenes? Para determinar la suma de esos volúmenes, primero encontramos cuáles son dichos volúmenes.

El volumen del tanque A es: V = x 3 3 3 El volumen del tanque B es: V = ( 2 x ) = 8 x Luego la suma de ambos es: x 3 + 8 x 3 = (1 + 8 ) x 3 = 9 x 3

x

2x

Indicadores de logro: Resolverás con precisión sumas de monomios.

Resolverás con seguridad la diferencia de monomios.

Resolverás con satisfacción operaciones combinadas de sumas y diferencias de monomios.

Utilizarás con interés las reglas para suprimir o introducir un signo de agrupación al resolver operaciones.

Resolverás problemas aplicando operaciones combinadas con signos de agrupación.

Resolverás con seguridad ejercicios con monomios aplicando: potencia de un producto.

Resolverás con seguridad ejercicios con monomios aplicando: potencia de un cociente.

Resolverás con seguridad ejercicios con monomios aplicando: potencia de potencias y del exponente cero.

Suma con monomios

En la unidad anterior estudiaste los términos semejantes ¿Recuerdas cuáles son?

En el ejemplo anterior se sumaron dos monomios semejantes. Es decir, dos monomios con las mismas variables y los mismos exponentes.

La suma de dos monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la suma de los dos coeficientes.

Como los monomios 3x2y y 6xy2 no son semejantes, no pueden reducirse para formar otro monomio. La suma de esos monomios queda indicada: 3x2y + 6xy2 .

Ejemplo 1 Las dimensiones de cuatro terrenos se expresan en términos de x, como lo muestra la figura dada. ¿Cuál es la suma de sus áreas? ¿Cuál es su valor si x = 5?

Solución: Calculando el área de cada figura tienes que.

A1 = 3 x .x = 3 x 2 A2 = x .x = x 2 x

A3 = 2 x .x = 2 x 2 A4 = 4 x = 4 x

3x

La suma de las áreas es: 3x + x + 2x + 4 x 2

2

2

x x

Como los monomios 3 x 2 , x 2 y 2 x 2 son semejantes, al sumarlos resulta (3 + 1 + 2) x2=6x2 Luego, la suma es igual a 6x2 +4x. ¿Cuál es el valor cuando x = 5?

x 2x 4 x

Séptimo Grado - Matemática 65

UNIDAD 5 Sustituyendo si x = 5

La suma es 6(5)2 + 4(5) = 6(25) + 4(5)

= 150 + 20

= 170

Ejemplo 2 Suma los monomios: a)

x , y

c)

7 + ( −10 ) = −3

x + y b)

8 , − 2

d)

8 + ( −2 ) = 6

e)

7 , − 10

8a , 2a 8a + 2a = 10a

−5a , − 2a , − 10b , 5b , 2a , 4b , − 10 −5a + ( −2a ) + ( −10b ) + 5b + 2a + 4b + ( −10 )

= −5a + ( −2a ) + 2a + ( −10b ) + 5b + 4b + ( −10 ) Ordenando los monomios semejantes

−b

− 5a = −5a − b − 10

+ (− 10) Sumando

Resta de monomios ¿Cómo hallas la diferencia de áreas de los cuadrados de la par? Compara tu solución con la siguiente: 2 Área de A = x Área de B = ( 2 x )2 = 4 x 2 Luego, de 4x2 restas x2: (4 − 1) x2 − 3x2

La resta de dos monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la resta de los dos coeficientes.

Para restar los coeficientes sigues las reglas de la resta de números enteros y racionales que estudiaste en la unidad 1.

B A

x

2x

Ejemplo 3 Restar la segunda expresión de la primera. a)

7 , 4 7− 4=3

b)

f) -8 , - 3 5 , 9 −8 − ( −3 ) = −8 + 3 = −5 5 − 9 = −4

c)

9 , 5 9− 5= 4

g)

-8 , - 11 −8 − ( −11) = −8 + 11 = 3

d)

−4 , 3

h)

2a , 3b

−4 − 3 = −7

66 Matemática - Séptimo Grado

e)

3 , - 4 3 − ( −4 ) = 3 + 4 = 7

2a − 3b

-5 x 2 y , 6 x 2 y −5 x 2 y − 6 x 2 y = −11x 2 y 2 1 j) x 3 , x 3 3 2 2 3 1 3  2 1 3 1 3 x − x = −  x = x  3 2 3 2 6 i)

UNIDAD 5 Ejemplo 4 a) A la suma a con b, súmale a menos b

Solución: a + b + (a – b) = a + b + a – b

= a + a + b – b = 2a

Como el paréntesis está precedido de “+”, sus términos no cambian de signo.

b) De la suma a con b, réstale a menos b

Solución: a + b – (a – b) = a + b – a + b

= a – a + b + b = 2b

Como el paréntesis está precedido de “–”, sus términos cambian de signo.

c) De − 5x2y restar − 3x2y

Solución:

− 5x2y − (− 3x2y) = − 5x2y + 3x2y = = − 2x2y

d) Restar − 8ab3 de 11ab3

Solución:

11ab3 − (− 8ab3)= 11ab3 + 8ab3 = = 19ab3

Eliminación de signos de agrupación en expresiones algebraicas Analiza cómo se simplifican las siguientes expresiones con monomios cuando hay signos de agrupación. Al igual que trabajaste con números enteros, comienzas suprimiendo los signos de agrupación más internos. a) x2 + y2 – (x2 + 2xy + y2) + (–x2 + y2)

= x2 + y2 – x2 – 2xy – y2 – x2 + y2 = x2 – x2 – x2 + y2 – y2 + y2 – 2xy – x2

=

Eliminas paréntesis.

Agrupas términos semejantes.

Sumas términos semejantes.

+

y2

– 2xy

b) 2a + [a – (a + b)]

Eliminas paréntesis.

Eliminas corchete.

Reduces términos semejantes.

c) 2m + [(m – n) – (m + n)]

Eliminas paréntesis.

Eliminas corchetes.

Agrupas términos semejantes.

= 2a + [a – a – b] = 2a + a – a – b = 2a – b = = = =

2m + [m – n – m – n] 2m + m – n – m – n (2m + m – m) – n – n 2m – 2n

Séptimo Grado - Matemática 67

UNIDAD 5

Observa Recuerda: – (a + b) =– a – b De manera general

– (a − b + c) = – a + b – c

d) 4x2 + [– (x2 – xy) + (–3y2 + 2xy) – (–3x2 + y2)]

+

= 6x2

= 4x2 + [– x2 + xy – 3y2 + 2xy + 3x2 – y2] = 4x2 – x2 + xy – 3y2 + 2xy + 3x2 – y2 = 4x2 + 3x2 – x2 + xy + 2xy – 3y2 – y2

Eliminas paréntesis.

Eliminas corchetes.

Agrupas términos semejantes.

Reduces términos semejantes.

3xy – 4y2

e) x2 – {–7xy + [– y2 + (–x2 + 3xy – 2y2)]}

= x2 – {–7xy + [– y2 – x2 + 3xy – 2y2]} = x2 – {–7xy – y2 – x2 + 3xy – 2y2} = x2 + 7xy + y2 + x2 – 3xy + 2y2 = x2 + x2 + 7xy – 3xy + y2 + 2y2 = 2x2 + 4xy + 3y2

Eliminas paréntesis.

Eliminas corchetes.

Elimina llaves.

Agrupas términos semejantes.

Reduces términos semejantes.

Introduciendo una expresión entre signos de agrupación Como sabes, si el signo “+” precede al paréntesis, los términos dentro de éste, no cambian de signo. Por el contrario, si el signo “–” precede al paréntesis, los términos dentro de éste cambian de signo.

Ejemplo 5 Introduce la expresión 5x + 3y – 2 en un paréntesis precedido: a) Del Signo “más”

b) Del signo “menos”

Solución:

Solución:

5x + 3y – 2 = + (5x + 3y – 2)

5x + 3y – 2 = – (–5x – 3y + 2): ¿Por qué todos los términos de la expresión cambian de signo dentro del paréntesis?

68 Matemática - Séptimo Grado

UNIDAD 5 Ejemplo 6 Introduce los tres últimos términos de las siguientes expresiones dentro de un paréntesis precedido del signo “–”. a) x – y + w – z

b) a2 – 3ab – b2 – 5

Solución:

Solución:

x – (y – w + z)

a2 – (3ab + b2 + 5)

1

Actividad 1. Suma los siguientes monomios: a) – 3, – 5a, – 6b, 10a b)

3 2 2 x , − x , 2 y , − y 2 5 3

c) – 2a, 3b

e) pq, –10pq

d) – 7x, – 10x

2. Copia y completa el cuadro siguiente:

Dados minuendo y sustraendo determina su resta.

Minuendo 5k 8m –8p 5a2 x 5 –3a2b2

Sustraendo 7k 10m –2p –3xy3 –8 2 − a 2b 2 3

Resta

3. Resta: a) Restar x – y de y – x

c) Restar –b3 – b + 6 de –8b3 + 5b – 4

b) Restar x2 – y2 – 3xy de –5m2 – n2 + 6mn

d) Restar x – 3y – 9 de 5x

4. Simplifica las siguientes expresiones: a) a2 + b2 – (a2 + 2bb + b2) – (–a2 + b2) b) 8x2 + [–2xy – (–y2)] – [–x2 – (–xy + 3y2)] c) –(a + b) + (–a –b) – (–b + a) + (3a + b) d) – [–3a – {b + [–a + (2a – b) – (–a + b)] + 3b} + 4a]

5. Introduce todos los términos, excepto el primero, dentro de un paréntesis precedido del signo

menos:

a) a + 2b + (a – b)

c) x2 – 3xy + [(x2 – xy) + y2]

b) 4m – 2n + 3 – (–m + n) + (2m – n)

d) x3 – 3x2 + (–4x + 2) – 3x – (2x + 3)

Séptimo Grado - Matemática 69

UNIDAD 5 Propiedades de los exponentes Los monomios siguen las reglas o propiedades de los exponentes:

b m .b n = b m +n b m m −n b) =b , b ≠0 bn m n m .n mn c) (b ) = b = b a)

d)

Regla del Cociente.

Regla de la Potencia de una Potencia.

( ab )n = a n b n

Regla de la Potencia de un Producto.

a a   = n , b ≠ 0 b b

Regla de la Potencia de un Cociente.

n

e)

Regla del Producto.

n

Ejemplo 7

Punto de apoyo

Efectúa, aplicando las propiedades de las potencias: a)

Todo número elevado al exponente cero es igual a 1:

( a )0 = 1

( 5xb ) ( 5xb ) = 5 x (b ) 3 2

3 2

2

3 2

2

= 25 x 2b 6

b)

( −5xb ) ( −5xb )

= ( −5 )2 x 2 (b 3 ) = 25 x 2b 6

3 2

c)

2

3 5 3

 ab 2   5 

3

3

3 3

5 3

= −512a 3b 9c 15

3

3

( a )3 (b 2 ) = ( 5)3

3

( −2)3 ( a )3 (b 2 ) = 3 ( 3)3 ( m 3 )

=

3 6

ab 125 1 3 6 = ab 125 =

2  2ab 2  ( −2ab ) 3  − 3m 3  = ( 3m 3 ) 3

3

3

f)  −  3m 3 

2  ab 2  ( ab )  5  = 53

4

 1 2  1 4 2 4  − mn  =  −  m ( n ) 3 3 14 4 8 = 4 ( m )( n )

3 1 = m 4n8 81

 2ab 2 

3

4

4

( −8ab c ) ( −8ab c ) = ( −8) a (b ) (c ) 3 5 3

d)

 1  e)  − mn 2   3 

3 2

70 Matemática - Séptimo Grado

−8a 3b 6 27 m 9 8a 3b 6 =− 27 m 9

3

UNIDAD 5 Ejemplo 8

c)

Efectúa y simplifica. a)

( 4 x ) + ( 2x ) ( 4 x ) + ( 2x ) = 4 ( x ) + 2 ( x ) 3 2

2 3

3 2

2 3

2

3 2

3

= 16 x + 8 x

= 24 x 6

b)

6

( −3 z ) − ( 2 z ) ( −3 z ) − ( 2 z ) 4 2

2 3

6

2 4

4 2

2 4

= ( −3 )2 ( z 4 ) − ( 2 )4 ( z 2 ) 2

= 9 z 8 − 16 z 8

= −7 z 8

3

3 ( 2n )  n  2  3 3  4 3  4 4 3 ( 2n ) n = ( 2 n ) 3 n 3  2  2  4

4

=

2 4 ( 3 )3 4 3 ( n )n 23

= 2( 33 )( n 4 )n 3

= 54 n 7

2

Actividad 1. Efectúa utilizando las propiedades de las potencias: a)

( 5n )

e)

( −3m n )

i)

( −2x y )

m)

3 x 2 ( 2 x 4 ) − ( −5 x 2 )

b)

( −10b )

f)

( −3n n )

j)

(4x

n)

( −3a b ) ( 4a b )

c)

( 2t )

3 g)    a2 

d)

( −8k )

7 h)  −   x2 

3 2

6 2

3 −2

4 2 2

4 2 3 3

4 3

2

3 9 2. Considera la expresión ( − x y ) . Al utilizar la regla de la potencia respectiva, ¿Cómo es el signo de la expresión que resulta: positivo o negativo? ¿Cómo llegas a esa respuesta?

7

4 5

2

2

y 3 z ) −4

 −2 x 2 y 6  k)   5   2c  l)   − y 

3

2 4 3

3

2

2

3

5 4 3. Y en la expresión ( −4 a b ) ¿Cómo es el signo de la expresión que resulta? ¿Cómo llegas a esa respuesta?

10

Resumen Para sumar o restar dos monomios semejantes, solo sumas o restas sus coeficientes y mantienes la misma variable. Si un paréntesis está precedido de un signo “+”, todos los términos que están dentro de él mantienen su signo. Si está precedido del signo “−”, éstos cambian su signo.

Para elevar monomios a una potencia, se aplican las reglas o propiedades de los exponentes.

Séptimo Grado - Matemática 71

UNIDAD 5

Autocomprobación

3

4x

−4 x c) 4 y d) −4 y

a)

( 3 )2 ( a 5 ) ( b 4 ) 2

2

9a 25b 16 c) 9a 10b 8 d) a y c son correctas. b)

4

Al introducir un paréntesis en los últimos tres términos de la expresión 3 x − 2 y − 5 z − 8 antes del signo menos, resulta:

2

a)

b)

2

Una expresión equivalente a ( 3a 5b 4 ) es:

3x − ( 2 y + 5 z − 8)

3x − ( 2 y + 5 z + 8) c) 3 x + ( 2 y + 5 z + 8 ) d) 3 x ( −2 y − 5 z + 8 ) b)

Una expresión equivalente a ( 5 x 2 ) es: −3

a)

−15 x −6

b)

125 x −6

125 x6 1 d) 125 x 6 c)

1. c.

a)

Soluciones

1

Al reducir 2 x + 2 y − ( 2 x − 2 y ) resulta:

2. b.

3. d.

4. d.

ÁREAS Y VOLÚMENES COMO MONOMIOS

x

x y

x x x

x

72 Matemática - Séptimo Grado

Las operaciones con monomios se hallan en todas las situaciones de tu alrededor. Por ejemplo, el área del cuadrado se representa por el monomio x2. El volumen del cubo es x3. El área del rectángulo es el monomio xy.

El volumen de un paralelepípedo con base cuadrada de lado x y altura y es el monomio: x2y Si la base de un paralelepípedo es un rectángulo de dimensiones x, y, con altura z entonces el volumen lo representa el monomio: xyz ¿Qué monomio representa el área de un triángulo rectángulo?

Lección 3

Quinta Unidad

Exponente negativo, multiplicación y división de monomios Motivación 2 4 = 16

En las igualdades de la derecha te mostramos el valor

23 = 8

de algunas potencias de 2. ¿Cómo es el valor de una potencia en relación al valor anterior?

Observa la variación en los exponentes. ¿Cómo es el valor de un exponente en relación al anterior? ¿Qué valores adquieren w, x, y, z?

22 = 4 21 = 2 20 = 1

1 2 1 2x = 4 1 2y = 8 1 2z = 16 2w =

Indicadores de logro: Realizarás con esmero productos de monomio por polinomio aplicando propiedades de los exponentes.

Obtendrás, con esmero, cocientes entre monomios y cocientes entre un polinomio y un monomio.

Resolverás con seguridad problemas algebraicos utilizando operaciones combinadas entre monomios.

Convertirás con seguridad expresiones con exponentes negativos a expresiones con exponentes positivos y viceversa.

Resolverás problemas aplicando las potencias de exponentes enteros.

Realizarás con esmero productos de monomio por monomio aplicando propiedades de los exponentes

Exponente negativo En la situación anterior observas que el valor de una potencia es igual a la mitad de la anterior: 1 1 1 1 , , , .

2 4 8 16 Además, los exponentes disminuyen de uno en uno, por lo cual los valores que faltan son:

16, 8, 4, 2, 1,

w = −1

x = −2

y = −3

z = −4

Luego, tienes:

1 1 = 21 2 1 1 2−3 = 3 = 2 8 2−1 =

Como ya lo estudiaste en la lección 4 de la unidad anterior:

1 1 = 22 4 1 1 2−4 = 4 = 2 16 2−2 =

b −n =

1 bn

Ahora vas a aplicar esta equivalencia en monomios con varios factores.

Séptimo Grado - Matemática 73

UNIDAD 5 Ejemplo 1 Simplifica y expresa con exponentes positivos: 3b 4 3 −4 a) x d) x −7 g) 4 a −1 4 2 −2 3 −3  2 x −2 y  b) 2 y −5 e) ( x y ) h)   z −3  8 −3 2 c) x y f) 5k −3

Solución: −4 a) x =

1

x4

−3 2 c) x y =

1 y2 y2 ⋅ = x3 1 x3

b)

2 1 2 2 y −5 = ⋅ 5 = 5 d) 3 x −7 = 3 ⋅ 1 = 3 1 y y 4 4 x 7 4x 7

e)

(x

−2

y 3 ) = ( x −2 ) −3

(y )

3 −3

= x 6 y −9 x6 1 = ⋅ 9 1 y

=

=

8k 3 5

Recuerda que: a − n =

Simplifica y expresa con exponentes positivos: 5k −6 m 3b −4 4 x −3 z −6 2 x −5 a) b) c) 7 x −3 y 5 5a 3b −6 3 y −4 2 1 ⋅ −5 2 x 1 x5 Solución: a) = 3 y −4 3 ⋅ 1 1 y4 2 5

=x 3 y4

g)

3b 4 3b 4 = 4 a -1 4 ⋅ 1 1 a 3b 4 = 4 a 3b 4 4 = ÷ 1 a 3b 4 a = ⋅ 1 4 3ab 4 = 4 3 4 = ab 4

74 Matemática - Séptimo Grado

1 ; con a ≠ 0 an

Ejemplo 2

x6 y9

8 8 = −3 5 1 5k ⋅ 3 1 k 8 =

5 k3 8 5 = ÷ 3

1 k 8 k3 = ×

1 5 f)

−3

Observa

4 1 1 ⋅ ⋅ 4 x −3 z −6 1 x 3 z 6 b) = 5 a3 1 5a 3b −6 ⋅ ⋅ 1 1 b6 4 3 6

= x z3 5a b6 4 b6 = 3 6⋅ 3

x z 5a 4b 6

= 3 3 6 5a x z

2 y4 ⋅ x5 3 2 y4 = 5 3x =

Observa Observa que al simplificar expresiones como las anteriores, donde sólo hay productos indicados en el numerador y denominador, puedes cambiar un factor del numerador al denominador y viceversa.

Aplicando el procedimiento anterior en la solución del ejemplo c), tienes: 5k −6 m 3b −4 5m 3 x 3

= 4 6 5 7 x −3 y 5 7b k y

UNIDAD 5 Ejemplo 3

 ( 2 xz −2 )3  Simplifica la expresión:   2  2 xz 

4

Solución:

Trabajando con la expresión dentro del corchete tienes:

( 2xz )

−2 3

2 xz 2

23 x 3 ( z −2 )

3

=

2 xz 2

Luego:

4 x 3−1 4 x 2 8 x 3 z −6 8x 3 = = 8 = = z 2 xz 2 2 xz 2 z 6 z 2+6

 ( 2 xz −2 )3   4 x 2  4 4 4 x 8 256 x 8   =  8  = 32 = 32 2 z z  2 xz   z  4

Ejemplo 4  −2  Simplifica la expresión: 2 x −3 y  z 

2

Solución:

Trabajando con la expresión dentro del paréntesis, tienes: Luego:

2 x −2 y 2 yz 3 = 2 z −3 x

2

2

 2 x −2 y   2 yz 3  4 y 2 z 6  z −3  =  x 2  = x 4

1

Actividad Simplifica las siguientes expresiones y escríbelas con exponentes positivos: 1 −3 −4 12 x −2 y a) 3−2 f)

k) ( x ) o) x −3 2x 3 y 2 b) x−3

g)

1

y −3

c)

5−1

h)

(x )

d)

6 −2

i)

1

5−3

e) x

−4

−4 2

l)

5 j) ( x ) −2

(2 )

−3 −2

p)

3 x 4 y −2 6 y3

m)

x −3 .x −7

q)

 16 x −7 y −2   4 x 5 y 2 

n)

y6

y −3

r)

9 x 4 y −7 18 x −1 y −1

ñ)

−1

4 xy

 2 x −3  s)  4 x −7 

−3

−2

Séptimo Grado - Matemática 75

UNIDAD 5

Multiplicación de monomios a. Multiplicación de monomio por monomio.

Ejemplo 5 Efectúa las siguientes multiplicaciones:

( 5x y )(8x y ) d) ( 6 xy z )( −3 x y z )

(3x )( 5x ) b) ( −2 x )( 3 x ) a)

2

5

6

2

c)

4

5

2

5

4

4

7

Solución: a)

(3x )( 5x ) = 3( 5)x 2

5

2

= 15 x 2+5

=15 x 7

b)

( x )5

( −2x )(3x ) = ( −2)(3)x 6

4

= −6 x 6+ 4

= −6 x 10

c)

( 5x y )(8x y ) = ( 5)(8)x 2

5

4

( x )4

d)

(6 xy z )( −3x 2

y 1+ 4

= 40 x 7 y 5

6

2+ 5

5

4

y 7 z ) = 6 ( −3 ) x 1+ 4 y 2+7 z 5+1 = −18 x 5 y 9 z 6

En tu cuaderno, escribe la regla que utilizas para multiplicar monomios. b. Multiplicación de monomio por polinomio

Acá te presentamos esta operación: 5( 3 + 7 ) . ¿Recuerdas cómo la efectúas? Observa las siguientes dos formas de hacerlo.

5( 3 + 7 ) = 5(10 ) = 50 5( 3 + 7 ) = 5( 3 ) + 5( 7 ) = 15 + 35 = 50 Y tú, ¿Cómo la efectuaste?, ¿Cómo efectuarías la operación (2+8)5?

Esta propiedad se escribe así:

( a + b )c = ac + bc , donde a, b y c representan cualquier número. Esta propiedad se llama propiedad distributiva.

Ejemplo 6 Efectua las operaciones indicadas: a)

5( a + b )

76 Matemática - Séptimo Grado

b)

3x ( 2 y − 5)

c)

( 5a − 2)3b

UNIDAD 5 Solución: a)

5( a + b )

5( a + b ) = 5a + 5b b)

3x ( 2 y − 5)

3 x ( 2 y − 5 ) = 3 x ( 2 y ) − 3 x ( 5 ) = 6 xy − 15 x

( 5a − 2)3b ( 5a − 2)3b = 5a ( 3b ) − 2( 3b ) = 15ab − 6b

c)

¿Cómo efectúas esta operación: 3 x ( 2 y + 5 ) ? ¿Lo haces así: 3 x ( 2 y + 5 ) = 3 x ( 2 y ) + 3 x ( 5 ) = 6 xy + 15 x ?

Para multiplicar un monomio por un polinomio aplicas la propiedad distributiva.

Ejemplo 7 Efectúa las siguientes multiplicaciones: Efectúas las operaciones indicadas utilizando propiedades de exponentes.

Solución: a)

2x ( 5x 2 + 4 )

2 x ( 5 x 2 + 4 ) = 2 x ( 5 x 2 ) + 2 x ( 4 ) Utilizas propiedad distributiva. = 10 x 3 + 8 x

b)

−3 x ( 5 x 2 − 2 x − 3 )

−3 x ( 5 x 2 − 2 x − 3 ) = −3 x ( 5 x 2 ) + ( −3 x )( −2 x ) + ( −3 x )( −3 ) ¿Qué propiedad utilizas? = −15 x 3 + 6 x 2 + 9 x

c)

Verifica este resultado.

3x 2 ( 4 x 3 − 5x − 9)

3 x 2 ( 4 x 3 − 5 x − 9 ) = 3 x 2 ( 4 x 3 ) + 3 x 2 ( −5 x ) + 3 x 2 ( −9 )

d)

(3x (3x

2 2

− 2 xy + 3 ) 4 x

− 2 xy + 3 ) 4 x = ( 3 x 2 ) 4 x + ( −2 xy ) 4 x + ( 3 ) 4 x

e)

( 2x ( 2x

4 4

= 12 x 3 − 8 x 2 y + 12 x

− 4 x 3 − 2 )( −5 x )

− 4 x 3 − 2 )( −5 x ) = ( 2 x 4 )( −5 x ) + ( −4 x 3 )( −5 x ) + ( −2 )( −5 x )

= −10 x 5 + 20 x 4 + 10 x

Séptimo Grado - Matemática 77

UNIDAD 5

División de un polinomio entre un monomio Ejemplo 8 Efectúa las siguientes divisiones: 2x + 4 a) 2

b)

4 x 2 − 16 x 2x

Solución:

Solución:

2x + 4 2x 4 = + 2 2 2 = x +2 4 x 3 − 6 x 2 + 8x − 3 c) 2x

4 x 2 − 16 x 4 x 2 16 x = − 2x 2x 2x = 2x − 8

Solución:

4 x 3 − 6 x 2 + 8x − 3 4 x 3 6 x 2 8x 3 = − + − 2x 2x 2x 2x 2x 3 = 2x 2 − 3x + 4 − 2x

Ejemplo 9

x +2 2 Mientras que Samuel lo hace así: 1

Observa cómo Silvia y Samuel efectúan la división: Silvia lo hace así: x +2 x 2 x = + = +1 2 2 2 2 ¿Cuál de ellos, dividió correctamente?

x + 2 x +1 = = x +1 2 1 1

Solución: Silvia dividió correctamente. Samuel cometió un error al simplificar, ya que se trata de una suma, en el numerador.

78 Matemática - Séptimo Grado

UNIDAD 5

Actividad 1. Efectúa las siguientes multiplicaciones de monomios:

(6 x y ) 12 x

a)

x 2 ( 3 xy )

d)

−5 x 2 y 3 ( 6 x 2 y 5 )

g)

b)

6 xy 2 .3 xy 4

e)

4 x 4 y 6 ( −7 x 2 y 9 )

h)

9 xy 6 .6 x 3 y 8

i)

2 x (6 x 2 y 3 ) 3

6 2 9 7 f) 12 x y ( 2 x y ) 5 x 4 y 5 ( 6 xy 2 ) 2. Efectúa las siguientes multiplicaciones:

c)

2

4

 

a)

3( 2 x + 5 )

f)

−4 x ( −2 x + 6 )

k)

−3a ( −2a 2 + 5a − 6 )

b)

−3( 2 x + 5 )

g)

− x ( 3 x − 5 )

l)

( m + n ) 2mn

c)

3( 2 x − 5 )

h)

2a ( a 2 + 3a − 1)

m)

(x − y − 4) y

d)

−3( 2 x − 5 )

i)

5a ( −4 a 2 + 6 a − 4 )

n)

j)

b (b 2 − b + 1)

1 k ( k 2 − 6 k + 36 ) 2

k)

5a − 3 2a

−5 x ( x + 2 ) 3. Efectúa las siguientes divisiones: e)

a)

3a + 4

2

4 a − 6 2 9 x − 6 c) 3 3x − 8 d)

2 b)

e)

5 x − 12 6

2 x + 4 x 4x − 3 g)

x f)

−9a − 3 −3 6 − 5a i)

−5 h)

j)

2

3x 2 + 6 x − 9 3 2 6 y − 4 y + 12 m) 2y l)

n)

4x 2 − 6x + 7 x

3x + 6 x

Resumen Para convertir una expresión con exponente negativo, aplicas la igualdad b − n =

1 . bn

Para multiplicar dos monomios, multiplicas sus coeficientes y para determinar los exponentes de las variables, utilizas la regla del producto de exponentes.

Para multiplicar un monomio por un polinomio aplicas la propiedad distributiva.

Para dividir un polinomio entre un monomio divides cada término del primero entre el monomio.

Séptimo Grado - Matemática 79

UNIDAD 5

Autocomprobación Al efectuar el producto ( 5 x 5b 2 )( −3 xb ) resulta: a) 15 x 6b 2

a)

−15 x 5b 2

−10 x 5 y 3 c) −10 x 2 y − 2 x 5 y 3 d) −10 x 2 y + 2 x 5 y 3

El número 5−3 es igual a: 125

1 b)

125

c) d)

−

1 125

− 125

3. d.

a)

4

5 La expresión x + 5 equivale a:

5

1 + 5x 5

a)

x 5 + 5 c)

b)

x5 + 1 d) x5 + 1 5

2. b.

2

10 x 5 y 3

b)

15 x 5b 3 d) −15 x 6b 3 c)

Al efectuar el producto −2 x 2 y ( 5 − x 3 y 2 ) este resulta:

1. d.

b)

3

Soluciones

1

4. b.

EXPONENTE NEGATIVO 250 a. de C. El libro chino Chui-chang Suan-shu (Los nueve capítulos del arte matemático) fue escrito aproximadamente 250 años a. de C; dos figuras se reconocen como sus creadores Chang Shang y Keng Shou Chang. En éste trataban los exponentes positivos y negativos. Con El ábaco chino (Suan Pan) ellos representaban los números positivos y negativos.

Modernamente, los exponentes negativos forman parte de la ciencia y la tecnología. Por ejemplo, el número de átomos contenidos en un gramo de 6.02 un elemento es igual a: −23 = 6.02x10 23 10

80 Matemática - Séptimo Grado

Lección 4

Quinta Unidad

Raíces cuadradas y cúbicas Motivación

El teorema de Pitágoras establece que “en todo triángulo rectángulo, el

h=4m

5m

cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

De acuerdo a este teorema, ¿cuál es la longitud de la escalera en la figura de la derecha?

3m

Indicadores de logro: Determinarás y explicarás con confianza la radicación de cantidades numéricas.

Determinarás y explicarás con claridad la utilidad de las raíces cuadradas y cúbicas exactas.

Calcularás con seguridad las raíces cuadradas y cúbicas exactas.

Resolverás problemas aplicando ordenadamente las raíces exactas.

Aplicarás con confianza, la propiedad: producto de las raíces.

Simplificarás ordenadamente las raíces cuadradas y cúbicas con radicandos enteros, numéricos y algebraicos.

Raíz cuadrada Al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo dado resulta:

x 2 = 4 2 + 32 x 2 = 16 + 9 x 2 = 25 x = 25 = 5 , ya que 52 = (5)(5) = 25

5m

4m

3m La expresión 25 se lee “raíz cuadrada de 25”. se llama signo radical o signo de radical.

El signo El número o expresión que va dentro del signo radical se llama radicando. Toda la expresión 25 se llama expresión radical o radical. Las partes de un radical son: Signo radical Radical

25 Radicando

Otro elemento de una expresión radical es su índice: éste indica la raíz de la expresión. Las raíces cuadradas tienen índice 2, el cual no se escribe. Es decir: 25 = 2 25 . Otros radicales tienen índices diferentes de 2, así 3 8 es la raíz cúbica de 8. En este caso el índice es 3. En la expresión 5 32 o raíz quinta de 32. ¿Cuál es el índice?

Radical 16

Se lee Raíz cuadrada de 16

Radicando 16

64

Raíz cuadrada de 64

64

9 4

Raíz cuadrada de

9 4

9 4

Séptimo Grado - Matemática 81

UNIDAD 5 Todo número positivo posee dos raíces cuadradas: la raíz cuadrada principal o positiva y la raíz cuadrada secundaria o negativa. Así la raíz cuadrada principal o positiva de 25, se escribe 25 , o sea es el número positivo cuyo cuadrado es 25. ¿Cuál es dicho número? La raíz cuadrada secundaria o negativa de 25 se escribe − 25 : es el número negativo cuyo cuadrado es 25, o sea, − 25 = −5 , ya que ( −5 )2 = 25 .

Ejemplo 1

Radical

Equivale a

25 = 5

52 = 25

− 25 = −5 100 = 10 −

Clase de Raíz Principal o positiva

( −5)2 = 25

Secundaria o negativa

10 2 = 100

Principal Secundaria

2

 1 1  −  = 3 9

1 1 =− 9 3

Cuando no se exprese lo contrario, al considerar la raíz cuadrada de una expresión ésta será la principal o positiva.

Raíces cuadradas exactas A continuación te presentamos una lista de algunos números enteros no negativos que son cuadrados perfectos. Esto significa que su raíz cuadrada es exacta.

Radical

Valor 0

Comprobación

Valor 12

Comprobación

02 = 0

144 =

1=

1

12 = 1

169 =

13

132 = 169

4=

2

22 = 4

196 =

14

142 = 196

9=

3

32 = 9

225 =

15

152 = 225

16 =

4

4 2 = 16

256 =

16

16 2 = 256

25 =

5

52 = 25

289 =

17

17 2 = 289

0=

82 Matemática - Séptimo Grado

Radical

122 = 144

UNIDAD 5 Ejemplo 2

Ejemplo 4

Encuentra el valor de:

Simplifica haciendo uso de la propiedad anterior.

a)

225

c)

400

a)

10000

b)

9 25

d)

4 100

b)

900

Solución: 225 = (5)2 (3)2 = [(5)(3)]2 = (15)2 = 15 b)

Solución: 225 45 9 3 1

5 5 3 3

5

2

32

a)

9 25

Resuelve tú el literal b) c)

400

= [(2)(10)]2 = (20)2 = 20 d)

10000 = 100 (100 )

= 100 100 Ya que 100 es cuadrado perfecto 100 = (10)2

=10(10) =100

b)

Solución: 400 = (2)2 (10)2

Para encontrar el valor de una raíz cuadrada, procura descomponer el radicando en factores que sean cuadrados perfectos, los cuales ubicas en las raíces cuadradas de la página anterior. Así:

900 = 4 ( 225 )

900 450 = 4 225 225 = 22 32 52 75 = 2(15) 25 5 = 30 1

400 200 100 10 1

2 2 10 10

22

10 2

Pues 100 = 10 2 2 3 3 5 5

22 32 52

Observa que en el proceso de descomposición en factores de 900, obtienes que el factor 225 es cuadrado perfecto.

4 100

Resuelve el literal d)

ab = a b donde a y b son números no negativos.

Ejemplo 5 Simplifica descomponiendo el radicando en factores que sean cuadrados perfectos:

Ejemplo 3

a)

60

Las siguientes igualdades son ilustraciones de la propiedad anterior.

b)

80

a)

2(18 ) = 2 18

c)

4 ( 25 ) = 4 25

b)

9(100 ) = 9 100

d)

9( 25 ) = 9 25

Séptimo Grado - Matemática 83

UNIDAD 5 Solución: a) Como el único factor de 60 que es cuadrado perfecto es 4, entonces:

60 2 }4 30 2 = 2 15 15 15 } 15 1 Como 15 no es un cuadrado perfecto, concluyes que 60 no es cuadrado perfecto, o sea, 40 2 su raíz cuadrada no es exacta.

20 2 16 b) 80 = 16 5 10 2 10 2 =4 5 5 5 Como 5 no es cuadrado perfecto, concluyes que 80 tampoco lo es, 1 o sea, su raíz cuadrada no es exacta.

60 = 4 15

Ejemplo 6 Si el área de un cuadrado mide 576 m2, ¿cuánto mide el lado?

Solución:

Como el área del cuadrado se calcula elevando el lado al cuadrado, el valor de éste es la raíz cuadrada del área.

576 2 O sea, 4 288 2 2 x = 576 x = 576 144 12 144 12 12 x = 4 144 1 x = 2(12 ) = 24 R: El lado del cuadrado mide 24 m

A = 576 m2

x

Raíces Cúbicas

Como 53=125, entonces 5 es la raíz cúbica de 125. Esto lo escribimos así: 3 125 = 5 .

En General.

3 El número c se llama raíz cúbica de a si c3 = a, lo cual se escribe así: c = a

Ejemplo 7 Radical 8

=

Resultado 2

27

=

3

Raíz cúbica de 27

33 = 27

1 , 000

=

10

Raíz cúbica de 1,000

10 3 = 1 , 000

−8

=

−2

Raíz cúbica de – 8

( −2)3 = −8

−64

=

−4

Raíz cúbica de – 64

( −4 )3 = −64

3 3 3

3

3

84 Matemática - Séptimo Grado

Se lee Raíz cúbica de 8

Comprobación 23 = 8

UNIDAD 5 ¿Por qué la raíz cúbica de un número negativo resulta otro número negativo?

Raíces cúbicas exactas La siguiente es una lista de los primeros 11 números enteros no negativos que son cubos perfectos. Es decir, que su raíz cúbica es exacta.

Radical

3

3

1

=

Valor 1

Comprobación

3

8

=

2

23 = 2.2.2 = 8

3

27

=

3

33 = 3.3.3 = 27

Mediante la tabla anterior determina si 343, 1, 525, 729 y 428 son cubos perfectos.

3

64

=

4

4 3 = 4.4.4 = 64

Solución:

3

125

=

5

53 = 5.5.5 = 125

3

216

=

6

6 3 = 6.6.6 = 216

3 343 es cubo perfecto ya que 7 = 343 , 1 es cubo perfecto ya que 13 = 1 .

3

343

=

7

7 = 7.7.7 = 343

3

512

=

8

83 = 8.8.8 = 512

3

729

=

9

93 = 9.9.9 = 729

1 , 000

=

10

10 3 = 10.10.10 = 1 , 000

13 = 1.1.1 = 1

3

Ejemplo 8

525 no es cubo perfecto, ya que no aparece en la tabla anterior. Como 525 está entre 512 y 729, su raíz cúbica es mayor que 8 pero menor que 9; 729 es cubo perfecto, ya que 93 = 729 , y 428 no es cubo perfecto. ¿Entre qué valores se halla su raíz cúbica?

Simplificación de raíces cúbicas Ejemplo 9 Averigua si 1,728 es cubo perfecto.

Solución: El método que estudiaste para simplificar raíces cuadradas lo aplicas en las raíces cúbicas.

3 3 3 Es decir: ab = a b De manera similar a la raíz cuadrada, descompones el radicando en factores que sean cubos perfectos, los que encuentras en la lista anterior de raíces cúbicas.

3 3 3 Tienes entonces, 1728 = 8 216 = 2( 6 ) = 12

Datos obtenidos de la tabla 3 1728 Luego es cubo perfecto ya que 123 = 1,728

1728 2 864 2 8 432 2 216 216 1

Séptimo Grado - Matemática 85

UNIDAD 5 Ejemplo 10

c)

Simplifica: −4096

48t = 16(3t ) = 16 3t

48 = 4 3t 24 12

3

Solución:

6 3 1

−4096 = 3 −8 . 3 512 = −2( 8 ) = −16

3

3 Luego: 3 −4096 = −16 , tienes: ( −16 ) = −4 , 096

1

Actividad

1. Simplifica descomponiendo el radicando en factores que sean cuadrados perfectos o cubos perfectos según sea el caso.

4

a) b)

e)

− 4

c)

16

− 4 , 900

f)

196

g)

2 , 500

i)

3

−27

j)

3

8 , 000

k)

3

−1 , 728

l) 5 , 832 − 16 h) 1 , 764 2. Un terreno de forma cuadrada tiene un área de 4,225 m2 y se desea cercar con malla ciclón. ¿Cuántos metros de esta malla deben comprarse?

3

d)

3. Un cubo tiene un volumen de 13,824 cm3 ¿Cuánto mide su arista?

2

2 16 2 2 3

Puedes ver que las expresiones radicales o radicales, se simplifican buscando en el radicando factores que son cuadrados perfectos. Una expresión radical está simplificada cuando su radicando no tiene factores que son cuadrados perfectos.

Cuando en un radical aparecen variables, considera que éstas no representan números negativos.

Ejemplo 12 Simplifica: a)

75 x

c)

72 x 2

b)

45t 2

d)

x9

e)

y 15

Solución: Descompone en tu cuaderno, en factores las cantidades adentro del radical y compara con los resultados: a)

75 x = 25.3 x = 5 3 x

Ejemplo 11

b)

45t 2 = 9t 2 .5 = 9t 2 5 = 3t 5

Simplifica:

c)

72 x 2 = 36 x 2 .2 = 36 x 2 2 = 6 x 2

d)

x 9 = x 8 .x = x 8 x =

a)

50

b)

18

48t

c)

50 = 25.2 = 25 . 2 = 25 2 =5 2

b)

18 = 9.2

18 = 9 2 9 3 1

4 2

x =x4 x 8

Solución: a)

(x )

50 25 5 1

2 5 5

2 3 9 3

86 Matemática - Séptimo Grado

25

Para extraer raíz cuadrada de una potencia como x , el exponente debe ser par. Al2 sacar la raíz tomas la mitad 8 4 del exponente: x = ( x ) En el caso de las potencias impares, el radicando se expresa como el producto de la mayor potencia par y el término a la primera potencia.

Luego se simplifica la potencia par: d)

x 9 = x 8 .x = x 8 x = x 4 x

e)

y 15 = y 14 . y = y 14

y = y7 y

UNIDAD 5 Ejemplo 13 Simplifica: a)

3

16 a 4

b)

3

54 x 6 y 3

Solución: Los procedimientos que aplicaste para trabajar con raíces cuadradas, también se aplica a las raíces cúbicas. a)

3

b)

3

16 a 4 = 3 8.2.a 3 .a = 3 23 .a 3 .2.a = 3 23 .a 3 3 2.a = 2a 3 2a 54 x 6 y 3 = 3 ( 27 )( 2 )( x 6 )( y 3 ) = 3 ( 33 )( x 6 )( y 3 )( 2 ) = 3 x 2 y 3 2

2

Actividad 1. Simplifica las siguientes raíces. Recuerda que ninguna variable es negativa: c)

20

e)

3x 2

g)

9y

i)

64 y 2

k)

8t 2

8 2. Simplifica:

d)

200

f)

5 y2

h)

4x

j)

9x 2

l)

125a 2

a)

x6

c)

y 12

e)

16 x 16

g)

x 3

i)

k)

( x + 3)6

x 10 3. Simplifica:

d)

x 20

f)

x 5

h)

t 19

q 17 j) 8a 5

l)

12( x + 3 )7

a)

12

b)

b)

a)

3

−1

c)

3

x 3

e)

3

y7

g)

3

mn 3

b)

3

1

d)

3

x 6

f)

3

y 8

h)

3

−125 p 12

Resumen Los elementos de un radical o expresión radical son el signo radical, el radicando y el índice. Éste indica la raíz de la expresión. El índice de las raíces cuadradas no se escribe. Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas: la raíz cuadrada principal o positiva y la raíz cuadrada secundaria o negativa. La raíz cuadrada de un número, es exacta cuando corresponde a un número elevado al cuadrado. Para simplificar raíces cuadradas o cúbicas te basas en la propiedad del producto para los radicales:

a . b = a .b , 3 a . 3 b = 3 a .b .

Séptimo Grado - Matemática 87

UNIDAD 5

Autocomprobación El número que es cuadrado perfecto es:

3

5 El radical 32 x equivale a:

a)

1 , 225 b) 2 , 500 c) 10 , 000 d) Todos son cuadrados perfectos.

4

El número que es cubo perfecto es: a)

El radical 3 16 x 10 equivale a:

5 , 000

2x 3 2x 6 b) 2 x 2 a)

b)

3 , 375 c) 100 d) Todos son cubos perfectos.

4x 5 d) Ninguna de las anteriores. c)

1. d.

2

16 x 2 x b) 4 x x 2 c) 4 x x 2 d) 4 x 2 x a)

Soluciones

1

2. b.

3. d.

4. a.

RAÍCES INEXACTAS 2 = 1.4142135623730950488016887242....

Pero es solo una aproximación decimal de la raíz que no es exacta. Por lo que la mejor forma de representarla es como 2 .

Esto sucede con muchas raíces cuadradas que no dan un resultado excato.

3

3 = 1.4422495703074083823216383107796...

Pero al igual que el anterior es solo una aproximación decimal de la raíz, que no es exacta.

3 Por lo que la mejor forma de representarla es 3

88 Matemática - Séptimo Grado

Lección 5

Quinta Unidad

Operaciones con radicales Motivación

Una parcela mide 100 m de lado. Si se necesita otra cuya área sea el

doble, ¿por cuánto hay que multiplicar el lado? ¿Qué sucede si el lado se duplica?

Indicadores de logro: Simplificarás ordenadamente las raíces cuadradas y cúbicas con radicandos enteros, numéricos y algebraicos.

Aplicarás con seguridad la propiedad: Raíz de un cociente.

Diseñarás correctamente procedimientos y funciones que realizan cálculo matemático simulando una calculadora.

Simplificarás con confianza los radicales cuadrados y cúbicos semejantes con radicandos enteros numéricos o algebraicos.

Calcularás con orden la suma y resta de radicales cuadrados y cúbicos semejantes con radicandos enteros, numéricos y algebraicos.

Calcularás con autonomía la multiplicación de radicales cuadradas y cúbicas con radicandos enteros, numéricos y algebraicos.

Calcularás con seguridad los cocientes de radicales cuadradas y cúbicas con argumentos enteros numéricos y algebraicos que den respuestas exactas.

Propiedades de los radicales En la lección anterior aplicaste la siguiente propiedad de radicales, con a y b números no negativos:

ab = a b

3 3 Además de la propiedad: ab = a b , estas propiedades te permiten la multiplicación y simplificación de radicales.

3

Solución: a)

2 14 = 2(14 )

Propiedad de radicales.

= 2( 2 )( 7 ) 14 = 2(7)

= 22 ( 7 )

=2 7

2 (2) = 22 22 = 2

Ejemplo 1

b)

Multiplica y simplifica:

= 2( 2 )3

8 = 23

= 24

2(23) = 24

= 4

24 = 4

a)

2 14

b)

2 8

2 8 = 2( 8 )

Propiedad de radicales.

Séptimo Grado - Matemática 89

UNIDAD 5 Ejemplo 4

Ejemplo 2 3x 2 9x 3

Simplifica:

Divide y simplifica: 30a 3 a)

Solución: 3x

2

9 x = 3x ( 9x 3

2

) (3 x ) 3

Propiedad de radicales.

= 3x 2

= 32 ( 3 ) x 5

x2 (x3) = x5

= 32 ( 3 ) x 4 ( x )

x5 = x4 (x)

= 32 ( x 4 )( 3 )( x ) Propiedad conmutativa.

= 3x 2 3x

2

3

9 = 32

Trabaja en tu cuaderno. Aplica la propiedad del radical de un producto y simplifica la expresión:

2x

3

3

8x y

6a 2

b)

42 x 4 7x 2

Solución: =

6(5)(a )3

6a 2

Propiedad.

=

6 (5)a 2 .a

6a2

Simplificando.

= 5a

a)

b)

4

30a 3 6a 2

42 x 4 7x 2

=

42 x 4 Propiedad de la división 7x 2 de radicales.

Propiedad de la división de radicales

= 6x 2

Dividiendo en el radicando.

Compara las siguientes raíces: 25 25 y ¿Cómo son los resultados?

16 16 La relación entre las expresiones anteriores, sugieren la siguiente propiedad de radicales.

= 6 x2

Propiedad de la raíz de un producto.

= 6x

=x 6

a a = b b

o sea:

a a = con b ≠ 0 b b

Ejemplo 3 Simplifica: 25 a)

9

b)

Solución:

1

16

c)

18 32

a)

25 25 5 = = 9 9 3

b)

1 1 1 = = 16 16 4

c)

18 18 9.2 9 2 3 2 3 = = = = = 32 32 16.2 16 2 4 2 4

90 Matemática - Séptimo Grado

x2 =x Propiedad conmutativa del producto.

UNIDAD 5 Ejemplo 5 Aplicando un procedimiento similar al del ejemplo anterior simplifica: a)

64 x 4 y 2x 2 y

Ejemplo 6

Solución: 4

64 x y 2

2x y

En los ejercicios del ejemplo anterior, primero cancelas los factores comunes al numerador y denominador.

Después, usas la regla o propiedad del cociente de radicales y simplificas. Al igual que en la propiedad del producto de radicales, la propiedad de división de radicales se aplica a índices diferentes de dos.

= 32 x 2 = 16 x .2 2

= 16 x 2 2 = 4x 2

Divide y simplifica: a)

3

Solución: = 3 x6

15 xy 5 z 2 b) 3 x 5 yz

= 3 x 3 .x 3

Solución:

= 3 x3 3 x3 = x .x

15 xy 5 z 2 5 y 4z = 3 x 5 yz x4 = = =

x 9 3 9-3 = x x3

=x2

5 y 4z

x4 y 4 5z y2

x4 5z x2

b)

4

32a 10 4 = 16 a 10-2 2 2a

Solución: = 4 16 a 8 = 4 24 (a 2 ) = 4 24

4

4

(a )

2 4

= 2a 2 Observa que al igual que cuando el índice es 2, 4 4 simplificas 2 y

4

(a )

2 4

Séptimo Grado - Matemática 91

UNIDAD 5

1

Actividad

Simplifica las siguientes expresiones. Todas las variables representan números positivos: a)

12 3

c)

16 25

e)

40 x 3 2x

g)

50 x 3 y 6 10 x 3 y 8

i)

b)

56 7

d)

10 490

f)

45 x 2 16 x 2 y 4

h)

25 x 6 y 45 x 6 y 3

j)

54 x 9 3x 2 3

−8 x 3 27 y 6

Suma y resta de radicales Observa cada uno de los siguientes grupos de radicales. a)

3 5 , −8 5 , 2 5

b)

−7 3 , − 6 3 , 8 3 d) 2 4 7 , − 0.8 4 7

c)

5 3 4 , − 2 3 4 , 0.8 3 4

Solución: Lo haces así: a)

−5 7 − 9 7 = ( −5 + ( −9 )) 7 = −14 7

¿Qué tienen en común cada uno de ellos?

b)

8 6 + 5 6 = ( 8 + 5 ) 6 = 13 6

Los radicales semejantes se simplifican o reducen de la misma forma que los términos semejantes.

c)

−8 6 − 5 6 = ( −8 + ( −5 )) 6 = −13 6

Para que dos radicales sean semejantes deben de tener el mismo radicando y el mismo índice:

3

a 53 a son semejantes

¿Cómo reduces o simplificas la expresión 5 7 + 9 7 ?

Hazlo mentalmente y copia la respuesta en tu cuaderno.

Compárala con la siguiente:

5 7 + 9 7 = ( 5 + 9 ) 7 = 14 7

Ejemplo 7 Simplifica y reduce las siguientes expresiones con radicales: a)

−5 7 − 9 7

b)

8 6 +5 6

c)

−8 6 − 5 6

92 Matemática - Séptimo Grado

¿Cómo simplificas 7 5 − 2 5 ? ¿Lo haces mentalmente? Compara tu respuesta con la siguiente:

7 5 −2 5 =5 5

¿Puedes decir a qué es igual 5 x + 7 x ?

Ahora observa las siguientes simplificaciones: a)

5 − 4 5 + 8 = (1 − 4 ) 5 + 8 = −3 5 + 8

b)

4 3 + 2 3 − 9 = ( 4 + 2) 3 − 9 = 6 3 − 9

c)

2 x − 3 x + 7 x = (2 − 3 + 7) x = 6 x

d)

x + xy − 3 xy = x + (1 − 3 ) xy = x − 2 xy

UNIDAD 5 Ejemplo 8 Simplifica: 2 + 18

Solución: Como 18 tiene un factor que es cuadrado perfecto, 9 se escribe como el producto del cuadrado perfecto y otros factores 18 = 9 × 2 Luego: 2 + 18 = 2 + 9(2 ) = 2 + 9 2 = 2 + 3 2 = 4 2

Ejemplo 9 Simplifica: 24 − 54

Solución: Como el máximo común divisor de 24 y 54 es 6 entonces: 24 = 4 ( 6 ) Luego: 24 − 54 = 4 ( 6 ) − 9( 6 ) = 4 6 − 9 6 = 2 6 − 3 6 = − 6

2

Actividad Simplifica las siguientes expresiones. a)

4 5 − 10 5

e)

− x + 6 x − 2 x

i)

b)

7 + 2 7

f)

3 5 − x + 4 5 − 3 x

j)

c)

6 15 − 8 15

g)

3 x − x + x

k).

d) 2 11 − 1 11

3

h) 4 x −16 x + 3 y − 4 y

2

l)

k −10 m − 2 m + k

3 12 + 2 3 7 50 − 3 2 9 8 − 72

Multiplicación de expresiones con radicales Ejemplo 10

(

)(

Multiplica: 2 + 3 2 − 3

)

Solución: (2 + 3 )(2 − 3 ) = 2(2 − 3 ) + 3(2 − 3 ) = 4 − 2 3 + 2 3 − ( 3 )2 = 4 −3 =1

Séptimo Grado - Matemática 93

UNIDAD 5 Ejemplo 11 Efectúa:

(

5x + y

)(

5x −

y

Ejemplo 12

)

Simplifica:

Solución:

a)

−y

5x

(

5x + y

)(

5x − y

)

5xy

− 5xy

3 4

b)

3

c)

3 5

x 24 729

x 30

Solución: a)

3 4

x 24 = 12 x 24

Resultado:

= 12 x 12 12 x 12 = x .x

5 x + 5 xy − 5 xy − y = 5 x − y

=x2

5 x − y − 5 xy

b)

3

729 = 6 729

Otra forma:

= 6 36 =3

5 x ( 5 x − y ) = 5 x − 5 xy

y ( 5x − y ) =

5 xy − y

c) 3 5

−y

5x

x 30 = 15 x 30 = 15 x 15 15 x 15 = x .x

Luego: ( 5 x + y )( 5 x − y ) = 5 x − y

Raíz de raíz Al relacionar las expresiones

3

6

3

64 y 6 64 , tienes:

64 = 3 8 = 2 64 = 6 26 = 2

=x2

3

Actividad

1. Efectúa:

( 5 + 7 )( 5 − 7 ) b) ( 8 + 11)( 8 − 11) a)

En general se tiene:

n m

a = nm a

2. Simplifica: a)

Observa La raíz cúbica de la raíz cuadrada de 64 es igual a la raíz sexta (3 × 2) de 64.

94 Matemática - Séptimo Grado

3

x6

b)

3

x9

c)

3 5

a 30

UNIDAD 5 Ejemplo 13

b) Si el lado se multiplica por 2, tienes que:

Ahora se resolverá el problema planteado al principio de esta lección. Una parcela mide 100 m de lado, si se necesita otra cuya área sea el doble.

Luego, el área es:

a) ¿Por cuánto hay que multiplicar el lado?

2  = 2(100) = 200 m.

A = (200)2 = 40,000 m2, lo cual significa que el área se cuadruplica. ¿Qué sucede con el área si el lado se hace tres veces mayor?

b) ¿Qué sucede si el lado se duplica?

Solución: a) El área del cuadrado está dada por la fórmula A =

donde  es el lado.

2

¿Y si se hace cuatro veces mayor, que sucede con el área? ¿Por cuánto hay que multiplicar el lado para que el área se haga tres veces más grande?

Si el área es el doble, entonces ésta es:

2A = 20,000

Ejemplo 14

Luego, el nuevo lado es:  = k (100), encuentra k.

¿Cuánto mide la arista de un cubo cuya área total es 24 m2?

 2 = ( k (100 )) = 20 , 000 2

Solución:

k (100 ) = 20 ,000 = 2(10 ,000 ) = 100 2

Como el cubo tiene 6 caras, y cada una es un cuadrado, el área total es 6a2, donde a es el valor de la arista. Luego: 24 6a2 = 24, o sea, a 2 = = 4 6 2 Ahora bien, como a = 4, entonces a = 2 m.

De aquí se obtiene que k = 2 En este caso particular, el nuevo lado del cuadrado es 100 2 Al verificar la solución tienes que: A =  2 = (100 2 )2 =1002( 2 )2 =10,000(2)= 20,000 m2 que es el doble del área del cuadrado cuyo lado es 100 m, ya que en este caso el área es de (100)2 = 10,000 m2 .

O sea que la arista de un cubo cuya área total mide 24 m2, tiene una arista de 2 m.

Resumen Las principales propiedades o reglas de los radicales son:

ab = a b

a)

a na = , con b ≠ 0 b nb

b)

n

c)

n m

a = nm a

Para multiplicar binomios que contienen radicales, aplicas la técnica PEIU.

Séptimo Grado - Matemática 95

UNIDAD 5

Autocomprobación

a)

−2 2 c) 4 2

b)

2 2 d) −4 2

Al simplificar 24 resulta:

b)

−11 xy

b)

−6 xy + 5 x d) −11 x

Al simplificar

6 2 c) 4 6 2 4 d) 2 6

3. c.

a)

4

a)

−6 xy − 5 x

c)

60 x 2 y 4 5x 2 y 2

resulta:

a)

10

y

c)

10 y

b)

10

y

d)

2y 3

2. d.

xy − 7 xy − 5 x es igual a:

1. c.

2

3

32 es igual a:

Soluciones

1

4. b.

EL SIGNO

Lado 5 = 5

Lado 7 = 7

Lado 9 = 9 = 3

Lado =

96 Matemática - Séptimo Grado

Los signos matemáticos se fueron incorporando de forma paulatina. Antes que éstos aparecieran, se usaba la palabra raíz o lado para referirse a la raíz cuadrada de un número. El signo apareció por primera vez en 1,525, en el libro de álgebra publicado en alemán por Christoff Rudolff. El símbolo de la raíz tiene su origen en una r inicial de la palabra latina radix.

El número raíz cuadrada de dos aparece por primera vez al aplicar los griegos el teorema de Pitágoras para calcular la diagonal de un cuadrado de lado 1.

Solucionario Lección 1

2. a) 5,400

Actividad 1.

( − x )( − x )( − x )( − x )( − x )( − x )( − x ) = − x 3. ( −7 ) ( x ) (b ) = 2 , 401x b el resultado es 3

5 4

4

e) 0.328

g) 0.000023

b) 0.00118 d) 3 140,000 f) 0.0001 h) 540

2. Al simplificar obtienes: − x 3.7 y 4.7 = − x 21 y 28 , el resultado es negativo, porque: 3

c) 400,000

3

3

3

3 4

3

3

21

20 12

3. a) 14 × 106

c) 2.1 × 10 −5

e) 5 × 106

b) 2 × 10 −5

d) 3.4 × 102

f) 4.5 × 10 −6

4. a) 3.5 × 1012 b) 5.6 × 103 c) 2 ×108 d) 2 × 107

Lección 2

positivo, porque ( −7 )( −7 )( −7 )( −7 ) = 2 , 401 .

Actividad 1. x4 4. a) x 9 e) x 17−15 = x 2 i) 4 = x 4 − 4 = x 0 = 1 x 1. a) 5a – 6b – 3 c) 3b − 2a e) – 9pq 7 1 1 5 7 11 4 b) y f) 17 j) = =1 b) x + y d) −17 x 7 x 15− x 2 5 10 3 2 2 0 7 c) y g) y 3−( −1) = y 4 k) ( −7 x ) = 1 2. –2k; –2m; –6p; 5a2 x + 3xy3; 13; − a 2b 2 .

3 d) y1+2−3 = y0 =1 h) 1 l) x 2(3) = x 6 c) –7b3 + 6b – 10 3. a) 2y – 2x 5. a) x 10

625 x 4 y 12 i) −64 x 12 y 6 z 3 x2 12 b) y f) −32 x 15 j) a2 x5 2 2 2 c) ( −3 ) ( x ) = 9 x g) 81x 4 y 6 k) − a5 27a 3 3 3 3 d) ( −3 ) ( x ) = −27 x h) − x 12 y 15 z 18 l) b6 625a 8 2 3 6. a)

d) 2 x y g) 4 x 4 12 16b x 10 z 18 b) x 2 y 3 e) h)

2 y4 8 y 15 1 1 3

c) 2-1 6 -5 = f) − 3 7 a b ab x y z e)

Actividad 2.

1. a) 5 × 103

e) 5.265 × 106

i) 5.04 × 102

b) 7.5 × 104

f) 5.18 × 105

j) 8.2 × 10 −1

c) 9 × 10

g) 5.7 × 10

k) 9.56 × 10

3

−3

d) 7.5 × 10 −4 h) 1.57 × 10 −1

−4

l) 6.27 × 106

b) –5m2 – n2 + 6mn – x2 + y2 + 3xy d) 4x+ 3y + 9;

4. a) a2 – 3b2 b) 9x2 – 3xy + 4y2 c) 0 d) a + 2b; 5. a) a – [–2b – (a – b)] = a – (–2b – a + b) = a – (– a – b) b) 4m – [2n – 3 + (–m + n) – (2m – n)] = 4m – [4n – 3m – 3] c) x2 – (3xy – [(x2 – xy) + y2]) = x2 – (4xy – x2 – y2) d) x3 – [3x2 – (–4x + 2) + 3x + (2x + 3)] = x3 – (3x2 + 9x + 1)

Actividad 2.

1. a) 25n 6

f)

4 x 4 y 12 25 8c 3 l) − 3 y

−27 n 18

k)

27

a6 49 1 c)

h) 4 6 x 4t 12 d) −512k i) −32 x 10 y 20 b) 100b 12

e)

9m 8 n 4

g)

j)

1 256 x 8 y 12 z 4

m) 131x 6 n)

−432a 12b 14

Séptimo Grado - Matemática 97

Solucionario Lección 3

Lección 4

Actividad 1.

Actividad 1.

1 f) x 3 k) x 12 9 3 1 6 b) 3 g) y l) 2 = 64 x a)

1 1 m) 10 8 x x

o)

6

x5 y

p)

x4 2 y5

q)

x 36 y 12 64

c)

1

5

d)

6 +3 9 1 i) 125 n) y = y 36

s)

4 x8

e)

4x 1 j) 1 ñ)

4 y x x 10

r)

x5 2 y6

h)

Actividad 2.

g)

3x 6 y

b) 18 x 2 y 6

e)

−28 x 6 y 15

h)

54 x 4 y 14

30 x 5 y 7

f)

24 x 15 y 9

i)

4x 3 y 3

2. a) 6 x + 15

f)

8 x 2 − 24 x

b)

k)

−6 x − 15 g) −3 x 2 + 5 x

6 a 3 − 15a 2 + 18a

l)

2m 2 n + 2mn 2

xy − y 2 − 4 y k3 d) −6 x + 15 i) −20a 3 + 30a 2 − 20a n) − 3k 2 + 18k 2 3 2 e) −5 x 2 − 10 x j) b − b + b c)

6 x − 15

3 3. a) a + 2 2 b)

2a − 3

c)

3x − 2

3 x −4 2 5 e) x − 2 6

d)

h)

2a 3 + 6 a 2 − 2a

4

x 3 g) 4 − x h) 3a + 1

f)

2+

6 − +a 5 6 j) 3 + x i)

k)

m)

5 3 − 2 2a

x 2 + 2x − 3 6 m) 3 y − 2 + y 7 n) 4 x − 6 + x l)

98 Matemática - Séptimo Grado

g) 50

j) 20

b) –2

e) 14

h) 42

k) –12

c) 4

f) –70 i) –3

2. El área de un cuadrado es x2, entonces x = 4225 = 65 m de lado; por tanto deberá comprar (65 m) (4) = 260 m de malla ciclón. 3.

Actividad 2.

−30 x 4 y 8

c)

d) –4

El volumen de un cubo es x3, entonces x = 3 13 , 824 = 24 cm , por tanto la arista mide 24 cm.

d)

1. a) 3 x 3 y

1. a) 2

1. a) 2 3

e)

x 3

i) 8y

b)

2 2

f)

y 5

j) 3x

c)

2 5

g)

3 y

k)

2t 2

h)

2 x

l)

5a 5

2. a) x 3

e)

4x 8

i)

q8 q

b)

x5

f)

x2 x

j)

2a 2 2a

c)

y6

g)

x x

k)

( x + 3)3

d)

x 10

h)

t9 t

l)

2( x + 3 )3 3 x + 9

3. a) –1

d)

x 2

g)

n3 m

b) 1

e)

y2 3 y

h)

−5 p 4

c) x

f)

y2 3 y2

2

d) 10

Solucionario Lección 5 Actividad 1. a) 2

c)

4

5

e)

2x 5

2 2

d)

1

7

f)

3 5

4 y2

g)

2 x + x

j)

8 3

h)

−12 x − y

k)

32 2

7 5 − 4 x i) 2 k − 12 m

l)

12 2

b)

Actividad 2. a)

−6 5

b)

3 7

1 11 6 e) 3 x

c)

−2 15

f)

d)

5 y 5 h)

3y g)

i)

3x 3 2x

j)

−

2x 3 y2

Actividad 3.

(

)(

)

1. a) 5 + 7 5 − 7 = 25 − 7 = 18

b) 53

2. a) x

b)

x x

c) a2 .

Proyecto La cooperativa de técnicos “El Porvenir” se dedica a efectuar instalaciones eléctricas y han establecido una serie de normas de seguridad industrial. Una de ellas establece que la distancia entre la base o pie de una escalera y la superficie sobre la cual se apoya debe estar entre la cuarta parte y la mitad de la longitud de la escalera.

Para efectuar una instalación a 9 m de altura de un edificio apoyarán una escalera de 10 m de longitud a 5 m de éste. Se preguntan si la escalera alcanzará la altura deseada.

Para averiguarlo, comienzas aplicando una consecuencia del teorema de Pitágoras:

10 m

h

En todo triángulo rectángulo, un cateto, para el caso h, es igual al cuadrado de la hipotenusa (10 m) menos el cuadrado del otro cateto (5 m).

Ayúdales a los técnicos a resolver el problema.

5m

Séptimo Grado - Matemática 99

Recursos ANGEL, Allen, Algebra intermedia. Prentice Hall Hispanoamericana, S.A., Segunda edición n LOSADA y Mateus, Matemáticas en Acción, tomos 2 y 3. Editorial McGraw Hill Latinoamericana, S.A., Primera edición, 1978, Colombia Vizmanos y Anzola, Matemáticas Algoritmo I. Ediciones SM, Primera edición, 1992, España

http://www.monografias.com/trabajos10/radic/radic.shtml

100 Matemática - Séptimo Grado