UNIDAD 1
MATEMÁTICA Unidad 1
Operaciones con números reales y polinomios
Objetivos de la unidad: Realizarás operaciones con los números reales y la raíz cuadrada, aplicarás sus propiedades para solucionar problemas de la vida diaria, valorando el aporte de los demás. Interpretarás la realidad, valorando el lenguaje algebraico de los polinomios y propondrás soluciones a problemáticas económicas y sociales, a través de los productos notables.
Octavo Grado - Matemática
55
Polinomios estudiarás
Grado
Valor numérico
Operaciones de
Números reales
Suma
Resta
Multiplicación
se dividen en entre ellos Irracionales
Racionales
Productos notables
estudiarás
Propiedades
Operaciones de
Suma
Resta
Multiplicación
División
Descripción del Proyecto En esta unidad profundizarás tus conocimientos sobre los conjuntos numéricos y nociones de álgebra, iniciados en séptimo grado, que aplicarás en diferentes situaciones cotidianas, por ejemplo, calculando áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos. Al finalizar la unidad trabajarás en un proyecto de la vida real, que está relacionado con áreas y por lo tanto con polinomios.
56
Matemática - Octavo Grado
Lección 1
Primera Unidad
Números irracionales y reales Motivación
R osa y Ángela midieron la longitud de la circunferencia y el diámetro, del borde de un vaso. Las medidas que tomaron son: Longitud de la circunferencia = 24.66 cm Diámetro = 7.85 cm Ellas encontraron la razón entre estas dos medidas obteniendo: 24.66 = 3.1414012....... 7.85 ¿Qué número te recuerda el resultado?
Indicadores de logro: Determinarás y explicarás el origen de los números irracionales, valorando su unidad práctica. Mostrarás seguridad al graficar los números irracionales en la recta numérica. Resolverás con perseverancia ejercicios aplicando los números irracionales.
Determinarás y explicarás los números reales valorando su utilidad en la vida cotidiana. Ubicarás gráficamente con precisión los números reales en la recta numérica.
Números Irracionales Observa los siguientes números: 3 ÷1 =
3 3 5 2 5 = 3, = 0.6 , = 0.625 , = 0.6666..., = 0.454545 1 5 8 3 11
a Se han escrito en la forma con a y b números enteros b y b ≠ 0. ¿Cómo son los decimales que se obtienen? Ahora encuentra con tu calculadora 2 y el valor de π Seguramente obtuviste los resultados: 2 = 1.414213562… π = 3.141592654…
¿Cómo son los decimales obtenidos? Estos números no son decimales exactos ni periódicos, como los anteriores, ya que algunos matemáticos han calculado muchas cifras y observado que no tienen período alguno. Por tanto no se pueden escribir de la a forma ya que no son números racionales. A estos b números les llamamos números irracionales y los denotamos por Q’. Entonces tienes que los números irracionales son los números que tienen parte decimal no periódico y también aquellos que no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros.
Octavo Grado - Matemática
57
UNIDAD 1 El número π (letra griega pi) se utiliza en algunas fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes. Recordarás que para calcular el perímetro de una circunferencia la fórmula es: C = π d ó C = 2 π r El número π (pi) es la relación que hay entre la longitud de una circunferencia (C) y su diámetro (d), es decir: Longitud de la circunferencia π= = 3.14159265... Longitud del diámeetro c En el ejemplo de motivación el valor de π, no es d exacto ya que las medidas son aproximadas.
Uno de los matemáticos de la antigüedad que estudió los números irracionales fue Pitágoras y lo hizo midiendo la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1. Recordarás, que un triángulo es triángulo rectángulo, cuando uno de sus ángulos mide 90º, es decir, cuando tiene un ángulo recto. Observa el cuadrado al trazar una diagonal, se forma un triángulo rectángulo.
2
Ejemplo 1 Aplicando el número irracional π , encuentra la longitud de la siguiente circunferencia que tiene 23 cm de diámetro.
1
1 Es decir: d2 = 12 + 12 = 2
23 cm
Aplicas teorema de Pitágoras Luego d = 2 = 1.414213…
Solución: C= π d C = 3.14159265... (23cm) = 72.2566309… cm Generalmente, medidas como la anterior no se expresan con todos los decimales, sino con dos decimales. El resultado aproximado es C = 72.26 cm
Punto de apoyo Recuerda que para aproximar a las décimas, se hace así: Mayor o igual a 5, se aumenta 1 al decimal anterior. 7.55 7.6 Menor que 5, se deja igual el decimal anterior. 7.54 7.5
58
Matemática - Octavo Grado
¿Qué otros ejemplos de números irracionales puedes escribir? Utiliza una calculadora y encuentra 3 , 6 , y 7 Los resultados anteriores son del mismo tipo que el de 2 , por lo tanto, son números irracionales. En general, si m es un número natural o cero y n es un número natural n ≥ 2. Entonces:
n
Es un número natural o cero, si la raíz es exacta.
m Es un número irracional, si la raíz no es exacta.
UNIDAD 1
Actividad
1
1. Determina cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales. Si es necesario, utiliza una calculadora. 2 12 a) c) − π e) − g) 36 3 3 d) 5 f) 7 h) 18 4 2. ¿Cuál es la longitud que recorre la rueda de un carro al dar una vuelta completa, si se conoce que el diámetro mide 22 cm? b)
Representación de los números irracionales Q´ en la recta numérica Al igual que los números racionales, los números irracionales también se pueden ubicar en la recta numérica. Veamos como representar 2 .Necesitas utilizar una regla y un compás. Sobre la recta numérica, partiendo de cero, dibuja un triángulo rectángulo, cuyos lados que forman el ángulo recto midan 1, el otro lado medirá 2 ; luego, con un compás llevas la medida de 2 , a la recta numérica, a partir de cero.
10
0
1
21.4142
2
Actividad Ubica en la recta numérica:
5
3 5
2
5
3, 5, 6 y 7
Propiedades de los números irracionales
4 En la recta numérica anterior representastes los números irracionales y te diste cuenta 3 así como los números racionales y los números enteros. que siguen un orden lógico, Notas que se cumple una 2 de las siguientes condiciones:
10
a <b , a >b ó a =b 1
8
Entonces decimos que el conjunto de los números irracionales es un conjunto ordenado. 1 2 3 4 -1
6
41.5
33.5
59
29.5
Octavo Grado - Matemática
25.5
-4
21.5
-3
2 17.5
-2
4
UNIDAD 1 ¿Cuántos números irracionales existen entre 2.236067977... y 2.236067978...? Observa la recta numérica que construiste, notarás espacios donde encontrarás algunos de estos números: 2.2360679771..., 2.2360679772..., 2.2360679773..., 2.2360679774..., 2.2360679775... 2.2360679776..., 2.2360679777..., 2.2360679778..., 2.2360679779..., 2.23606797791... ¿Qué puedes concluir? Entre dos números irracionales diferentes, existe un número infinito de números irracionales. Por esta razón, se dice que los números irracionales es un conjunto numérico denso. El conjunto de los números irracionales también cumple la propiedad de ser un conjunto infinito.
3
Actividad
1. Entre cada pareja de números irracionales coloca al menos tres números irracionales que estén contenidos entre ellos: b) 5 ______ 6 18 _____ 20 2. Escribe entre cada pareja el símbolo >, < ó =, según corresponda:
c) π
a)
a) 5 _______
5
b)
20 _____7
c)
______ 12
7 ______ π 2
Los números reales Son el conjunto numérico que resulta de unir los números racionales y los números irracionales se denota así:
Q Q' =
Q
Q'
El rectángulo anterior representa a los números reales.
60
Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 1
4
Actividad 1. Dado los siguientes números, determina cuáles números son racionales y cuáles irracionales: 3 1 a) –3.2515769 d) −5 g) 12 j) − m) 3 9 p) 0.80 5 3 1 b) 0.416666… e) 9 h) 0 k) 0.175 n) 2π q) 7 12 c) 0.7777… f) i) 33 l) 3 8 o) 0.666... r) 7 3
s)
−
100
t) u)
2 9
3
125
Propiedades de los números reales Recuerda que Q Q´ = , representa los números reales. Es decir, que la unión de ambos conjuntos numéricos, forman el conjunto de los números reales. Como Q es infinito y Q´ también es infinito, esto nos dice que los números Reales son infinitos. También observamos, que entre dos números irracionales, existe un número infinito de números irracionales. Igual, entre dos racionales cualesquiera, existe un número infinito de racionales. A partir de esto, decimos que los números reales son densos. Y si comparamos dos números reales, a y b podemos obtener una de las siguientes condiciones:
a < b, b < a ó a = b
Lo que significa que los números reales , es un conjunto numérico ordenado.
Octavo Grado - Matemática
61
UNIDAD 1
Representación geométrica de los números reales Cuando estudiaste los números racionales, aprendiste que a cada uno de ellos le corresponde un punto en la recta numérica. ¿Lo recuerdas? Esto mismo sucede con los números irracionales desarrollado en las páginas anteriores. Como el conjunto de los números reales , resulta de unir los números racionales y los números irracionales, a todo número real le corresponde también un punto en la recta numérica. Con base a lo anterior, podemos afirmar que a todo punto de la recta, le corresponde un único número real, de ahí que también se le llama recta de los números reales. Ahora, presentamos algunos números reales en la recta numérica: - 1.5 -4
-3
-1 0 −1 — 1 2 —
-2
2.8 π
2
- 0.5
2
1
4
3
4
Tú puedes colocar otros, hazlo. Para ubicar números en la recta, es conveniente que primero ubiquemos el origen que se designó con el número cero. Los puntos de la recta a la derecha del origen se identifican como los números reales positivos + y los puntos que están a la izquierda del origen son los números reales negativos −. Observa: −
+ 0
Utilizando la recta numérica, coloca los números −2 y −8, observa:
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
−8 es menor que −2 −8 está ubicado a la izquierda de −2 Veamos este otro ejemplo, en la siguiente recta coloca los números −4.5 y 3.5 - 4.5
0
3.5
3.5 es mayor que −4.5 3.5 está ubicado a la derecha de −4.5 ¿Qué puedes concluir? Que al observar dos números en la recta numérica, el que se encuentra a la derecha de otro, siempre será mayor.
62
Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 1
5
Actividad 1. Grafica una recta numérica y coloca los siguientes números reales. 3 1 7 , 1, − 4, , 6.5, − 2, , 5 8 2. Escribe el símbolo >, <, =, entre cada pareja de números. a) 3.36
3. 63
1 2 c) −9
1 5 −15
b)
18 y 3.1
d) −8 e)
2
f)
4
2 2 π
3. Representa en la recta numérica diez números irracionales.
Resumen El conjunto de los números reales, está formado por la unión de todos los números decimales exactos, periódicos y no periódicos; es decir que todo número real puede analizarse por medio de su parte decimal. Los números reales se pueden representar en la recta numérica. A todo punto de la recta le corresponde un único número real. Y a todo número real le corresponde un único punto de la recta numérica. Infinito Q Q´ =
Propiedades de los números
Ordenado Denso
Octavo Grado - Matemática
63
UNIDAD 1
Autocomprobación Un ejemplo de número irracional es: 0.444…
Discreto b) Tiene un primer elemento c) Discontinuo d) Ordenado a)
11 c) 2.16666… d) –1.6875 b)
Si b representa un número real y se tiene que b > 0, de los siguientes números el que representa a b es: a) b)
−1 0
4
El par de números reales que cumple con la relación “<” entre el primero y el segundo es: a)
3 c) − 5 3 d) 5
11 , 8
b)
3 .d.
2 .d.
2
Una propiedad de los números irracionales es:
3
2, − 4
c)
π,
d)
5, 25
1 .b.
a)
3
5
Soluciones
1
4 .a.
π Y LOS EGIPCIOS Desde tiempos antiguos, los egipcios y babilonios, sabían de la existencia de la relación entre la longitud de una circunferencia cualquiera y la longitud de su diámetro. Esta relación es representada en la actualidad por π y se lee pi. Pero, fueron los egipcios quienes alcanzaron una mejor aproximación de π , que plasmaron en la pirámide de Gizeh. La relación que existe entre la mitad del perímetro de la base y la altura de esa pirámide es el valor que ellos asignaban a π .
64
Matemática - Octavo Grado
Lección 2
Primera Unidad
Motivación
Operaciones con números reales
M
aría tiene ahorrado $35.65 y su papá le regala $42.75. ¿Cuánto tiene en total? Solución: Para resolver tienes que recordar la suma de números decimales. Es decir 35.65 + 42.75 Al efectuar la operación se tiene: 35.65 + 42.75 78.40 El total es $ 78.40 Indicadores de logro: Resolverás problemas con seguridad utilizando operaciones combinadas de números reales y signos de agrupación
Suma y resta de números reales Con los números reales podemos realizar operaciones de suma y resta. Los siguientes ejemplos ilustran.
Ejemplo 1 1 3 René compró el día lunes litro de leche y el martes 2 4 litro de leche. ¿Cuántos litros compró en total? 1 3 Efectúa: + 2 4
1 2 2 3 5 = y + = 2 4 4 4 4 5 R: En total René compró litros de leche. 4 Esto se debe a que
Ejemplo 2
Rosa tiene 2.5 litros de gaseosa y regala 2 litros. ¿Qué cantidad de gaseosa le queda?
Solución:
Solución:
1 3 + , dibujamos la recta 2 4 1 numérica. Partimos de 0, nos desplazamos a la 2 3 derecha, partiendo de esta posición nos movemos 4 5 siempre a la derecha, llegamos a . 4 1 3 — 2 + — 4
La operación es 2.5 − 2.0, esto también puede escribirse como: 2.5 + (−2.0)
Para encontrar la suma de
1 3 5 — +— =— 2 4 4
1 — 2 3 1 5 — 1 0 — 6 — 7 2 –— — 4 4 — 4 4 4 4 4
Utilizando la recta numérica, nos movemos, a partir de cero, 2.5 unidades hacia la derecha. Desde este punto, nos movemos 2 unidades hacia la izquierda, llegando a 0.5 Así es que 2.5 + (−2) = 0.5 2.5 - 0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Octavo Grado - Matemática
65
UNIDAD 1 Ejemplo 3 Ahora efectúa: −
Solución:
Propiedades de la suma de números reales
2 4 + − 3 3
Utilizando la recta numérica: A partir de 0, nos movemos 2 hacia la izquierda, desde este punto, nos 3 4 movemos hacia la izquierda, llegando a −2. Los 3 dos movimientos son a la izquierda porque ambos
1 Juana para su cumpleaños se come de su pastel y 8 3 reparte entre sus amigas los . ¿Qué cantidad del pastel 4 se comieron?
números son negativos. 4 -— 3 -2
2 -— 3
5 4 -1 2 1 -— -— -— -— 3 3 3 3
Entonces: −
0
1 2 — — 3 3
1
2 4 + − =−2 3 3
Aplica las reglas de la suma y efectúa: a) −15 + (− 23)
=
5 7 − + 6 12
=
b)
a)
66
Si ambos signos son positivos, la suma es positiva
Efectúa: 2 + 0
Solución:
-1
b) Si ambos signos son
negativos, la suma es 1. Para sumar dos negativa números reales con el 2. Para dos números mismo signo: reales de signo Se suman sus valores diferentes: absolutos. Se determina el signo de la suma:
Ejemplo 4
2 +0
Observa Reglas para sumar.
3 1 La operación a realizar es + y al efectuarla se 4 8 3 1 7 obtiene + = 4 8 8 7 R: Se comieron del pastel. 8
Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor.
El signo de la suma es el signo del sumando que tenga el valor absoluto mayor.
Matemática - Octavo Grado
0
1
2
2
3
A partir de cero te mueves hacia la derecha hasta 2 y luego, no realizas ningún otro movimiento, porque al agregar 0, no se efectúa desplazamiento, o sea que te quedas en 2 . Es decir que 2 + 0 = 2
Ejemplo 5 Pedro tiene $0.69 y su hermano $0.25. ¿Cuánto tienen en total?
Solución: Pedro realiza la siguiente operación 0.69 + 0.25 = 0.94 y su hermano 0.25 + 0.69 = 0.94 Observa que llegan a la misma respuesta, es decir que tienen $0.94
UNIDAD 1 Ejemplo 6
A partir de los ejemplos anteriores podemos observar las propiedades de la suma con números reales.
Siempre en la recta numérica efectúa 5 + (– 5)
Solución:
En general para todo a, b, y c ∈ se cumple:
5 -5
-1
0
1
2
3
4
5
6
Después de dibujar en la recta, partiendo de 0, te desplazas 5 unidades hacia la derecha, partiendo de este punto te desplazas 5 unidades a la izquierda, llegando a 0.
a+b ∈ a + b = b + a a + (b + c) = (a + b) + c a + 0 = 0 + a = a
Propiedad de cierre o clausura Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Propiedad del elemento identidad de la suma es "0"
a +( − a) =(− a) + a = 0
Propiedad del inverso aditivo
Actividad
O sea que 5 + (– 5) = 0
1
Ejemplo 7
a) Verifica las propiedades conmutativa y asociativa utilizando
Marina tiene 12 libros en su biblioteca, su hermana le regala 9 y su tía 7. ¿Cuántos libros tiene en total?
los siguientes números: 1 3 5 , y 2 4 8 2 b) Raúl está pintando su casa, el viernes pintó los el sábado 5 1 ¿Qué parte de la casa ha pintado? 3 c) Elba está ahorrando para comprar un pastel el día de su cumpleaños; la primera semana ahorró $2.15; la segunda $1.90 y la tercera $ 3.34. ¿Cuánto ha reunido en total? Utiliza la propiedad asociativa para su resolución.
Ejemplo 8 Por la mañana Jorge jugó a las chibolas y perdió 8. Por la tarde, volvió a jugar y perdió 4. ¿Cuántas chibolas perdió en total?
Solución: Si efectuamos la suma tenemos: a) Al sumar primero los
que le regalaron: 12 + (9 + 7) 12 + 16 28
b) Al sumar en el orden
en que se los regalaron:
Solución:
(12 + 9) + 7 21 + 7 28
Si a ganar le asignamos un signo positivo, perder será negativo porque es lo contrario.
Observa que llegamos al mismo resultado. R: Marina tiene 28 libros en total.
La operación a efectuar es −8 – 4 − 8 − 4 = −12 R: Jorge perdió 12 chibolas en total.
Octavo Grado - Matemática
67
UNIDAD 1 Ejemplo 9
En general, la resta se define así:a − b = a + (− b)
Efectúa: −
2 3 – 5 10
Solución:
−
Ejemplo 10
7 2 3 – =− 10 5 10
Efectúa: –6 – (–8)
2
Solución: La operación planteada es –6 – (–8) esto equivale a sumar el opuesto de −8, que es 8. Es decir: – 6 – (–8) = −6 + 8 = 2
Actividad
1. Resuelve las siguientes situaciones: a) Un vehículo saliendo de San Salvador, viaja hacia el oriente, después de recorrer 86 km, gira para desplazarse hacia el poniente y
recorre 120 km. ¿A qué distancia del punto de partida se encuentra el vehículo?
b) Un grupo de jóvenes deciden escalar el volcán de Santa Ana. Primero, suben 30 m; después 25 m, luego descienden 12 m; después
suben 18 m y por último bajan 23 m. ¿A qué distancia del pie del volcán se encuentran los jóvenes?
Multiplicación de números reales Desde los primeros años de estudio aprendiste cómo multiplicar números positivos, ya sea enteros, fraccionarios o decimales.
Ejemplo 11 Roxana compra 8 cuadernos, si cada uno tiene un precio de $3.45, ¿cuánto tiene que pagar?
Solución: La operación a realizar es 3.45 × 8 Al operar se tienen que 3.45 × 8 = 27.60. R: Roxana tiene que pagar $27.60
Solución: Deuda, se representa con signo negativo (–); por lo tanto, para averiguar su deuda debes efectuar: (–2.75) (7) ¿Cuál es el resultado? (–2.75) (7) = – 19.25. R: Doña María debe $19.25.
Ejemplo 13 2 5 Si se efectúa: − − 7 3 ¿Qué resultado obtienes? 10 7 3 21 Observa que los ejemplos anteriores aplica lo siguiente:
Solución: − 5 − 2 = a)
Ejemplo 12 A doña María, le llegan a comprar 7 de sus clientes y no tiene cambio, entonces a cada uno le queda debiendo $2.75 ¿Cuánto debe doña María?
68
Matemática - Octavo Grado
b)
El producto de dos números reales que tienen el mismo signo es positivo.
(+) × (+) = +
El producto de dos números reales de distinto signo es negativo.
(+) × (−) = −
(−) × (−) = +
(−) × (+) = −
UNIDAD 1
Propiedades del producto de números reales La multiplicación así como la suma, cumple con ciertas propiedades. En general para a, b y c ∈ Propiedades
En simbolos
Ejemplos
Cierre o clausura
ab ∈ R
3 3 9 × = 4 5 20
Conmutativa
ab = ba
(−5)(2.3) = (2.3) (−5 ) − 11.5 = −11.5
Asociativa
a (b c) = (ab) c
Efectúa: (−2.4) (−7.3) (6) [(−2.4) (−7.3)] (6) = (−2.4) [(−7.3)(6)] (17.52)(6) = (−2.4) (−43.8) 105.12 = 105.12
Elemento identidad
(a) (1) = (1) (a) = a
3 × 1=3, 1 × 5=5, −4 × 1= −4
Elemento inverso multiplicativo
1 1 (a) ( ) = ( ) (a) = 1, a a con a ≠ 0
1 1 3 = 1 , ( 5 ) = 1 3 5
a (b + c) = ab + ac
Efectúa 5 (4 + 7) y (5 × 4) + (5 × 7) 5 (4 + 7) = (5 × 4) + (5 × 7) 5 × 11 = 20 + 35 55 = 55
Distributiva del producto sobre la suma
División de números reales Resuelve las siguientes situaciones:
Ejemplo 14
Ejemplo 15
Rocío, tiene la mitad de una sandía y la quiere repartir en partes iguales, entre 6 de sus amigas. ¿Qué parte de la sandía le tocará a cada una?
Cinco hermanos deben $755.76. Ellos pagarán partes iguales ¿cuánto cancelará cada uno?
Solución: 1 ÷6 2 Ahora recuerda cómo efectuar esta operación: Plantea la operación:
1 1 1 1 ÷6= × = 2 2 6 12 1 R: A cada una le tocará de la sandía. 12
Solución: La operación a realizar es −755.75 ÷ 5 Al efectuarla se obtiene que: 1 − 755.75 ÷ 5 = −755.75 × = − 151.15 5 R: Cada uno pagará $ 151.15
Octavo Grado - Matemática
69
UNIDAD 1 Ejemplo 16 Efectúa:
a) – 24 ÷
Solución:
5 6
Observa
b) – 72.48 ÷ – 6.25
Al dividir 0 entre cualquier número real diferente de cero el resultado es cero (0) Al dividir cualquier número entre cero el resultado es indeterminado o indefinido.
6 5 144 = – 24 × = − 5 6 5 −72.48 b) =11.5968 −6.25 a) – 24 ÷
3
Observa
Efectúa las siguientes operaciones:
Que a y b son números reales y b ≠ 0. La operación división se denota por a ÷ b y se define como a 1 b
3 ÷ 5 8 4 b) 87 ÷ 2 a)
c) 146 ÷ 3
En los ejemplos anteriores se cumple: a) El cociente de dos números
reales que tienen el mismo signo es positivo.
b) El cociente de dos números
reales de distintos signo es negativo.
(+) ÷ (+) = + (−) ÷ (−) = +
(+) ÷ (−) = − (−) ÷ (+) = −
Actividad
d) 0.876 ÷ 0.15 e) – 6.75 ÷ – 3 f) 123 ÷ − 4
Signos de agrupación Como la suma y la multiplicación son operaciones asociativas, cuando tenemos expresiones como esta: 3 + 5 + 2, están perfectamente determinadas y podemos operar agrupando así: 3 + ( 5 + 2 ) = 3 + 7 = 10 Pero si tenemos la expresión 5 + 8 × 4 y efectuamos: Primero la suma:
Primero la multiplicación:
5 + 8 × 4 =
0 ? 8 Partiendo de lo anterior tenemos que 0 ÷ 8 =?
13 × 4 = 52
¿Qué número multiplicado por 8 resulta cero? 8 × _ = 0 Solo 0, es decir que 0 ÷ 8 = 0 porque 8 × 0 = 0 0 Entonces: = 0 8 15 b) Qué sucede con 15 ÷ 0; o sea: 0 15 = x, entonces (0) (x) = 15 ¿Cuál es el valor de “x”? Si 0 Como 0, multiplicado por cualquier número es 0, entonces; no existe solución para 15 0 0 c) ¿A qué es igual ? 0
Para evitar confusiones, cuando hay más de una operación se debe respetar la jerarquía de las operaciones.
Casos de particular importancia a) ¿A qué es igual
70
Matemática - Octavo Grado
5+8×4= 5 + 32 = 37
¿Cuál es el resultado correcto?
Observa La jerarquía de las operaciones es: primero se efectúan las multiplicaciones o divisiones, luego las sumas o restas. Cuando se quiere establecer el orden en que se tiene que realizar las operaciones, utilizamos los signos de agrupación, como paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }
UNIDAD 1 Ejemplo 17 Efectúa: 3 + [8 – (3 × 4) + (9 + 2) + 7] – 12
Solución: Como hay varios signos de agrupación, comenzaremos con los interiores. 3 + [8 – (6 × 4) + (9 + 2) + 7] – 12 = 3 + [8 – (24) + (11) + 7] – 12 = 3 + [8 – 24 + 11 + 7] – 12 = 3 + [2]−12 = 5 − 12 =−7
Ejemplo 18
Observa Al suprimir los signos de agrupación que están precedidos del signo +, se dejan las cantidades con su respectivo signo pero si están precedidos por el signo "–" se cambia el signo a dichas cantidades.
Efectúa: − {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + (9 ÷ 3 + 5) – 2 × 4] −1}
Solución: – {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + (9 ÷ 3 + 5) – 2 × 4] –1} = − {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + 8 – 2 × 4] –1} = – {8 + 4 – [30 + 2 + 8 – 8] –1} = − {8 + 4− [32] −1} = − {8 + 4− 32 −1} = −{−21} = 21
Actividad
4
Resumen
a) Un comité que organiza una fiesta necesita 3 globos por cada
una de las 8 mesas. Necesitan también 21 globos por cada una de las 4 paredes del salón. Para otra decoración necesitan 15 globos y otra persona solicita 10 globos más. ¿Cuántos globos necesitan en total?
Efectúa las siguientes operaciones: b) 3 × 4 + {8 + 7 – [5 × 4 + 3 – 12 ÷ 2 + (4 – 2 × 5)]}
En esta lección estudiaste las operaciones aritméticas aplicadas en los números reales y algunas de sus propiedades, así como la utilización de los signos de agrupación. Propiedades
Suma
Multiplicación
Cierre o clausura Conmutativa Asociativa
si si si
si si si
Propiedades
Suma
Multiplicación
Distributiva Elemento identidad Elemento inverso
no 0
si respecto a la suma 1
−a
1 a
c) – 4 + 7 – {6 × 2 + 8 + (4 × 5 – 9 + 3) – 15} + 2
Octavo Grado - Matemática
71
UNIDAD 1
Autocomprobación Doña Berta tiene $2.20 y lo reparte entre sus 4 hijos. ¿Cuánto le toca a cada uno?
3
comparte con sus amigas los hermanos
$ 0.54 b) $0.55 c) $0.054 d) 55 a)
2 1 y con sus vecinos. ¿Qué cantidad de 10 4
pastel se comieron?
5 10 5 b) 20 a)
Efectúa: 3+8–5×4+7–6÷3 –4 b) 4 c) 8.3 d) 0
4
2 del pastel, con sus 5
17 20 8 d) 10 c)
Efectúa: 40 − 15 ÷ 5 − (3 × 7 + 4 − 20) 24 b) 32 c) − 32 d) 0
a)
a)
1. b.
2. a.
2
El día de su cumpleaños, a Rosa le regalan un pastel,
Soluciones
1
3. c.
4. b.
SISTEMAS NUMÉRICO INDIO Y LAS OPERACIONES Los modernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la introducción de los números árabes y la notación decimal posicional. Los números árabes, basados en la aritmética, fueron desarrollados por los grandes matemáticos indios Aryabhatta, Brahmagupta y Bhaskara I. Aryabhatta ideó la notación posicional, dando diferente valor a un número dependiendo del lugar ocupado, y Brahmagupta añadió el cero al sistema numérico indio. Brahmagupta desarrolló la moderna suma, resta, multiplicación y división, basadas en los números arábigos.
72
Matemática - Octavo Grado
Lección 3
Primera Unidad
Polinomios
Motivación a) Los elementos de un monomio son coeficientes y variables.
Monomio −6 a5 b2 c3 0.14 m−1 n3 x2 y
Coeficiente −6 0.14 1
Variables a5 b 2 c 3 m−1 n3 x2 y
b) Un polinomio es la suma o resta de dos o más monomios.
2 Así: m 3 n 2 + 5m 2 n − m , − 8 x 3 + 27 y 3 son polinomios. 3 Indicadores de logro: Identificarás, determinarás y explicarás el grado absoluto y relativo de un polinomio con seguridad. Resolverás problemas aplicando el valor numérico con confianza.
Resolverás con seguridad sumas y restas de polinomios que contienen signos de agrupación.
Grado absoluto y relativo de un monomio y de un polinomio Identifica los elementos del monomio: 3x3y. Ahora, determina el exponente de x y el de y. Al sumar los exponentes de ambas variables obtenemos 4. Este número define el grado absoluto del monomio. Los exponentes de las variables x e y determinan el grado relativo respecto a cada una de ellas. Entonces tenemos que el monomio 3x3y es de cuarto grado absoluto y el grado relativo respecto a “x” es tercer grado y respecto a “y” es de primer grado. A continuación identificarás el grado absoluto y relativo en polinomios.
Ejemplo 1 3x + 2x2y + 7x 3 y2
Solución: Seguramente, lo primero que hiciste fue encontrar el grado absoluto de cada término así.
3x + 2x2 y + 7x 3 y2 Grado 1 Grado 3 Grado 5
Diremos que el polinomio es de quinto grado. Porque, el grado absoluto de un polinomio está dado por el mayor grado absoluto de sus términos. Para el grado relativo con respecto a sus variables, tomarás el mayor valor de los exponentes de esa variable. Así con respecto a x es de grado tres y con respecto a y es de grado dos.
Octavo Grado - Matemática
73
UNIDAD 1 Ejemplo 2 Encuentra el grado absoluto y relativo del polinomio: 1 1 8x 6 − 7 x 5 + x 4 − x 3 2 3
Solución:
El grado absoluto es 6 y el relativo es 6 porque sólo hay una variable, no especificamos respecto a que variable lo hemos encontrado.
1
3x2 = 3(15)2 = 3(225) = 675 El área es de 675 cm2 Evaluar una expresión algebraica significa hallar el valor numérico, mediante la sustitución del valor asignado a la variable.
Observa
Actividad
Dados los siguientes polinomios, indica su grado absoluto y su grado relativo con respecto a cada una de sus variables. 3x 5 − 4 x 3 + x − 8 b) 4 a 5b − 7a 4b 3 − 8ab 4 1 7 5 c) m 8 + m 7 n 5 − m 6 n 4 3 8 9 Escribe un ejemplo de: a)
d) Polinomio cuyo grado absoluto sea 10.
La variable representa un valor numérico cualquiera que pertenece a los números reales.
Ejemplo 3 Evaluar la expresión: –8x5y2 para x = – 3, y = 3?
Solución: Al encontrar su valor numérico tenemos:
e) Binomio de primer grado absoluto.
(– 8)(–3)5 (3)2= (–8) (–243) (9) = 17496
f) Trinomio de cuarto grado absoluto y de tercer
Ejemplo 4
grado respecto a x.
Valor numérico A Mario le interesa saber cuál es el área de una tira de papel; si está dada por 3x2 y además el valor de x es de 15 cm.
74
Para encontrar el área sustituimos el valor de x en la expresión dada, Así:
Matemática - Octavo Grado
Encuentra el valor numérico de la expresión: 3 x 3 + 2 x 2 y − 3 xy 2 para x = −2 , y = −1
Solución: Sustituimos los valores asignados a las variables: 3 x 3 + 2 x 2 y − 3 xy 2 = 3(–2)3 + 2(–2)2 (–1) – 3 (–2) (–1)2
= 3(-8) + 2 (4) (–1) – 3 (–2) (1)
= –24 – 8 + 6
= –26
UNIDAD 1 Ejemplo 5
Solución:
¿Podrías evaluar la siguiente expresión?
Para encontrar el perímetro de una figura geométrica se suman las longitudes de todos sus lados.
2a 2b 2 + 3ab − 7a Para a = −3 , b = 2
Entonces, en nuestro caso, tendríamos que:
Solución:
x + (2x) + (x + 1) + (x + 2) = (x + 2x + x + x) + (1 + 2)
2a 2b 2 + 3ab − 7a = 2( −3 )2 ( 2 )2 + 3( −3 )( 2 ) − 7( −3 ) = 72 − 18 + 21
= 75
= 5x + 3
Ejemplo 7
2
Actividad Evalúa las siguientes expresiones para: a = –2, b = 3, m = –1, n = 2, p = 4 y x = 1
Efectúa: (2x2 + 3x) + (3x2 – 5x + 4)
Solución: Agrupa los términos semejantes: (2x2 + 3x) + (3x2 – 5x + 4) = (2x2 +3x2) + (3x – 5x) + 4
a) amp – 5bx b) 3a2bx3 + 7m2np c) 6b2m3 – 7n2px5
2ab − 8mn + 8 px
f)
9m 2 x 4 − 8a 2 p − 5b 3 m 5
Los siguientes ejemplos te ilustrarán la forma de sumar polinomios.
Ejemplo 6 Encuentra una expresión algebraica para el perímetro de la figura dada. x
x+2
2x
= 5x2 – 2x + 4
2x 2 + 3x 3x 2 − 5x + 4 5x 2 − 2x + 4
Suma de polinomios
x +1
= 5x2 + (–2x) + 4
Otra forma puede ser escribir un polinomio debajo del otro. Colocando los términos semejantes en la misma columna. Así para el ejemplo anterior tenemos:
d) 7ab + 5m5n2 – 8px e)
Ejemplo 8 1 1 5 1 3 1 Suma: m 3 + m 2 − m con m 3 − m 2 + m 2 4 6 6 8 3
Solución:
1 3 1 2 5 m + m − m 2 4 6 1 3 3 2 1 m − m + m 6 8 3 4 3 1 2 3 m − m − m 6 8 6
Para expresar el resultado debemos simplificar las fracciones, y se obtiene: 2 3 1 2 1 m − m − m 3 8 2
Octavo Grado - Matemática
75
UNIDAD 1 Ejemplo 9 Suma los siguientes polinomios: 7a2 – 9a3 + 5a – 4; 8 + 2a3 – a; 3a3 + 2 – 6a – 4a2
Solución: Al observar los polinomios dados, te das cuenta en cada uno que el orden de la parte literal es diferente, entonces lo primero que debes hacer es ordenarlo, ya sea en forma ascendente o descendente respecto al exponente. En este caso, podrías ordenar en forma descendente respecto a la variable a es decir, que el exponente de a vaya disminuyendo así:
– 9a3 + 7a2 + 5a – 4 2a3
3a3 – 4a2 – 6a + 2
– 4a3 + 3a2 – 2a + 6
Ejemplo 10 Suma 0.25m3n – 0.4m2n + 0.7mn3; 0.19mn3 + 0.86m2n – 0.68m3n
Solución:
0.25m3n – 0.4m2n + 0.7mn3
– 0.68m3n + 0.86m2n + 0.19mn3
– 0.43m3n + 0.46m2n + 0.89mn3
3
Actividad
Efectúa las siguientes sumas de polinomios: a) 7x + 5x3 – 6x4; 5 + 3x3 + 4x + 8x4 b) a5 + 3a2 + 2a; 6a3 – 5a4 + 3a; a4 – 8a2 – 4a5 –2a3 c) 7b3 – c3; 7c3 – 9bc; 4b3 + 2b – 5bc d) 8m4n + 3m2n3 – 7mn4; 6n5 – 7m4n + mn4 – 3m2n3 e)
76
–a +8
Matemática - Octavo Grado
4 3 3 2 5 3 7 2 y + x y − x y2 ; x2 y + x y2 − y 9 8 6 4 3 3
UNIDAD 1
Resta de polinomios Observa los siguientes rectángulos: 2x + 1 x+3 x
x
A
B
Perímetro de A: 6x + 2 Perímetro de B: 4x + 6
Encuentra la diferencia del perímetro del rectángulo de la figura A y el rectángulo de la figura B?
(6 x + 2) − ( 4 x + 6 )
Elimina los signos de agrupación y utiliza la ley de los signos, entonces obtienes: 6x + 2 - 4x - 6 = 2x - 4
Relaciónalo con la resta de números reales, puedes ver que es una suma del minuendo con el inverso aditivo del sustraendo.
Ejemplo 11 De 8a5b – 5a4b2 resta 5a5b + 3a4b2
Solución: (8a5b – 5a4b2) – (5a5b+3a4b2) Elimina los paréntesis: 8a5b – 5a4b2 – 5a5b – 3a4b2 = 3a5b – 8a4b2 Utiliza el mismo proceso que en la suma, colocarlo uno debajo del otro, así:
8a5b – 5a4b2 → –5a5b – 3a4b2 → 3a5b – 8a4b2 →
Minuendo. Inverso aditivo del sustraendo . Diferencia.
Ejemplo 12 Resta 13xy4 + 5x2y3 – 9x3y2 de 6xy4 – 7x2y3 + 5x3y2
Solución: ¿Cuál es el minuendo y cuál es el sustraendo? El polinomio que está después de la palabra “de” indica el minuendo. Ahora realizamos la operación:
6xy4 – 7x2y3 + 5x3y2 –13xy4 – 5x2y3 + 9x3y2 –7xy4 – 12x2y3 + 14x3y2
Observa que a todos los términos del sustraendo se les cambia de signo.
Octavo Grado - Matemática
77
UNIDAD 1 Ejemplo 13 De:
3 6 1 5 5 4 7 3 3 m + m − m resta m 6 − m 5 − m 4 5 2 8 10 8 4
Solución:
4
3 6 1 5 5 4 m + m − m 5 2 8 7 3 3 − m6 + m5 + m4 10 8 4 1 7 1 − m6 + m5 + m4 10 8 8
Actividad
a) Resta
0.5 x 3 − 0.75 x 2 + 0.6 x de 0.83 x 3 − 0.55 x 2 + 0.16 x
a 4 − 15ab 3 + 20a 2b 2 − 18a 3b de a 4 − 5a 2b 2 − 18ab 3 − a 3b 3 3 1 2 5 1 3 3 2 2 c) De m − m + m resta m − m + m 4 2 6 2 4 3 m +1 − 8 x m +2 + 5 x m +3 resta 7 x m +1 − 6 x m +2 + 3 x m +3 d) De 3 x b) Resta
Signos de agrupación en expresiones algebraicas Escribe la siguiente expresión algebraica suprimiendo el signo de agrupación: 4 x + 5 y + ( 3 x − 2 y ) . Observa que el paréntesis está precedido por el signo +, entonces:
4 x + 5 y + (3x − 2 y ) = 4 x + 5 y + 3x − 2 y
Al operar se tiene:
4 x + 5 y + (3x − 2 y ) = 4 x + 5 y + 3x − 2 y
= 7x + 3 y
Ahora mira este otro ejemplo:
Observa Si los signos de agrupación están precedidos por el signo más, se suprime, dejando los términos con su respectivo signo. Pero si el signo es menos, al suprimirlo, los términos que estaban encerrados cambian de signo.
¿Cómo simplificas ?
3 x + 5 x − 2 y − ( 3 x + 4 y ) − 9 x + y
Suprime signos de agrupación: 3 x + 5 x − 2 y − ( 3 x + 4 y ) − 9 x + y = 3 x + [ 5 x − 2 y − 3 x − 4 y − 9 x + y ] = 3 x + 5 x − 2 y − 3 x − 4 y − 9 x + y
= −4 x − 5 y Primero suprimes el paréntesis y luego el corchete. Es decir de adentro hacia fuera.
78
Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 1 Ejemplo 14 Simplifica:
5a 3 + ( 8a 2 − 6 a 3 − 4 )
Solución: El signo de agrupación va precedido del signo + 5a 3 + ( 8a 2 − 6 a 3 − 4 ) = 5a 3 + 8a 2 − 6 a 3 − 4 = −a 3 + 8a 2 − 4
Ejemplo 15 Simplifica: 2m + n − ( 5m − 6 n )
Solución: El signo de agrupación está precedido del signo −: 2m + n − ( 5m − 6 n ) = 2m + n − 5m + 6 n = −3m + 7 n
Actividad
5
Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:
{(
) (
) (
2 2 2 2 a) m + − 7 m − 5mn + −4 n + mn − − m − mn
{
}
b)
3 x − − x + −5 y + ( − x + y ) − 3 y + 6 x
c)
− [ −7a + 4 − ( 3a + 2 − 5a ) + 8 − a ] + 2a − 7
d)
8b − 3 + [ 4b − ( 9b − 6 ) + 5 − 2b ]
)}
Resumen Tanto en monomios como en polinomios podemos encontrar el valor absoluto y relativo, lo mismo que su valor numérico de acuerdo al valor asignado para cada variable, si hay signos de agrupación se deben suprimir. Para suprimir signos de agrupación es importante tomar en cuenta el signo que lo precede, si el signo es “+”, los términos que están contenidos no cambian su signo, pero si el signo es “–”, entonces el signo de cada término cambia y para reducir la expresión se debe tomar en cuenta que sólo se pueden sumar o restar los términos semejantes.
Octavo Grado - Matemática
79
UNIDAD 1
Autocomprobación Al evaluar la expresión 3m 3 n − 5m 2 n 3 + 2mn 2 para m = −2 y n = 3 lo que se obtiene es:
3
a)
−522 b) 522 c) −648 d) 630
(3x
2
7y4 b) 11 y 4 c) 11 y 7 d) 7 y 7
+ 7 x − 5) + ( 4 x − 6 + 6 x 3
2
x 3 − x +1 b) − x 3 + x − 1 c) 7 x − 13 x 3 − 11 d) 13 x 3 + 7 x 2 − 11 a)
3
) resulta:
4
Resta 6 a 5b − 8a 3b 2 − 7ab 3 + 2b 4 de 3b 4 + 6 a 3b 2 − 2a 5b + 5ab 3 −8a 5b + 14 a 3b 2 + 12ab 3 + b 4 b) −8a 5b + 14 a 3b 2 − 12ab 3 − b 4 a)
4 a 5b − 2a 3b 2 + 12ab 3 − 5b 4 d) −4 a 5b + 2a 3b 2 + 2ab 3 + 5b 4 c)
3. b.
Al efectuar
a)
1. c.
2
El grado absoluto y relativo respecto a x de la expresión 8 x 2 y 5 + 7 x 3 y 6 − 3 x 4 y 7 respectivamente es:
Soluciones
1
2. d.
4. a.
¿DE DÓNDE VIENE LA PALABRA ÁLGEBRA? La palabra Álgebra procede del árabe y significa restauración y reducción. De esta manera se denominó a la forma extraña de escribir matemáticamente con letras y números, puesto que una misma magnitud puede añadirse o sustraerse de una igualdad de dos cosas y por otra parte, podemos reducir el número de cosas siempre que sea posible. Los babilonios escribían sus letras y signos con unos punzones sobre tablas de barro que luego cocían para que no se perdiera lo escrito. Algunas de esas tablas se han encontrado recientemente y nos han permitido saber lo listos que eran nuestros antepasados de Babilonia.
80
Matemática - Octavo Grado
Lección 4
Primera Unidad
Potencia de exponentes enteros y multiplicación de Polinomios Motivación
Una señora tiene varias bolsas con naranjas, en la primera
tiene 2, en la segunda el doble de la primera, en la tercera el doble de la segunda, en la cuarta el doble de la tercera y en la quinta el doble de la cuarta, ¿cuántas naranjas tiene en la quinta bolsa? ¿Qué planteamiento realizarías? Podría ser el siguiente: Primera = 2 Segunda = 2 × 2 Tercera = 2 × 2 × 2 Cuarta = 2 × 2 × 2 × 2 y en la quinta = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 que es 25= 32 R: Tiene 32 naranjas en la quinta bolsa. Indicadores de logro: Resolverás problemas aplicando las propiedades de los exponentes enteros, con seguridad y confianza.
Demostrarás confianza al resolver problemas aplicando la multiplicación de polinomios.
Potencias de exponentes enteros Esto mismo es aplicable en algebra. Por ejemplo:
En Aritmética estudiaste lo que es una potencia y las leyes de los exponentes.
5 m = m . m .m .m .m 5 factores
Observa y completa: = (2 × 2 × 2 × 2)(3 × 3)
= 16 × 9
En general:
Donde:
= 144
b) 3 4
=
×
×
×
an =
a. a. a. a. a..... a
a
c) (−5)3
=
×
×
=
n factores
base
d) 71
=
=
{
a) (24)(32)
n
exponente
Octavo Grado - Matemática
81
UNIDAD 1 Ejemplo 1
Ejemplo 3
Un cubo tiene una arista de longitud x . ÂżCuĂĄl es el volumen?
Aplica la propiedad y efectĂşa:
x
x
a) (m5) (m3) b) (b7) (bâ&#x2C6;&#x2019;4)
SoluciĂłn: Propiedades con exponentes
(m5) (m3) = m5+3 = m8
Los siguientes ejemplos te ilustrarĂĄn las propiedades con exponentes.
(b7) (bâ&#x2C6;&#x2019;4) = b7+(-4) = b3
â&#x20AC;Š
Teniendo en cuenta que: an = a.a....a n veces (3)(3)(3)(3)(3) = (3)5 = 243 (3)3(3)2 = (3)3 + 2 (27)(9) = (3)5
Ejemplo 4 El profesor de matemĂĄtica invita a sus estudiantes a redactar problemas utilizando potencias. MarĂa comparte el de ella y dice asĂ: En un canasto hay 28 naranjas y se tiene que repartir entre 26 estudiantes. ÂżCuĂĄntas naranjas le corresponde a cada uno?
SoluciĂłn:
243 = 243
Observa En general: a m .a n = a m + n Para multiplicar potencias que tienen la misma base, se escribe la misma base y se suman sus exponentes.
La operaciĂłn a realizar es: 28 á 26 28 2 Ă&#x2014; 2 Ă&#x2014; 2 Ă&#x2014; 2 Ă&#x2014; 2 Ă&#x2014; 2 Ă&#x2014; 2 Ă&#x2014; 2 = = 2ď ť Ă&#x2014; 2 = 22 6 2 2Ă&#x2014;2Ă&#x2014;2Ă&#x2014;2Ă&#x2014;2Ă&#x2014;2 8 â&#x2C6;&#x2019; 6 = 2 factores 8 2 Es decir que: 6 = 28â&#x2C6;&#x2019;6 = 22 = 4 2 R: A cada uno le tocan 4 naranjas.
Ejemplo 2 EfectĂşa: ( a 4 )( a 2 )
Observa
SoluciĂłn:
a .a ) (a )(a ) = ( a .a .a .a )( 4
2
6 = ( aaaaaa ) = a 4 2 4 + 2 = 6 factores factores factores
Para darle soluciĂłn al ejemplo 1, recordamos que el volumen del cubo se encuentra multiplicando el valor de la arista tres veces, es decir:
xď ť .x .x = x 3
3 factores
82
MatemĂĄtica - Octavo Grado
am m â&#x2C6;&#x2019;n Al efectuar n para a â&#x2030; 0 , se tiene a a Para dividir potencias de la misma base, diferente de cero, se escribe la misma base y se restan sus exponentes. Veamos ahora que sucede cuando el exponente del divisor es mayor que el dividendo.
UNIDAD 1
Observa El exponente negativo resulta cuando el exponente del numerador es menor que el exponente del denominador: a m m −n =a an 1 Y podemos decir que: a − n = n a
x2 x6
Encuentra: 23 × 33
Solución: 23 × 33 = ( 2 × 2 × 2 )( 3 × 3 × 3 ) = 8 × 27 = 216 3 factores 3 factores
23 × 33 = (2 × 3)3 = 63 = 6 × 6 × 6 = 216
Solución:
x2 x .x 1 1 = = = 4 6 x x .x .x .x . x . x x .x .x .x x
Ejemplo 7
La base 2 y la base 3 están elevadas al mismo exponente por lo que se puede escribir así:
Ejemplo 5 Efectúa:
Aplica esta conclusión y efectúa. m7 = y 4÷ y 4 = 7 m
am Y si aplicas la propiedad: n = a m −n a x2 1 2− 6 −4 Tienes: 6 = x = x por lo tanto: 4 = x −4 x x Observa este caso:
Esto significa que 23 × 33 = (2 × 3)3 = 216
Observa ( ab )n = a n b n
En general:
Verifica las siguientes igualdades:
a 5b 5 = ( ab )5 ; ( xy ) = x 6 y 6 ; ( mnp ) = m 8 n 8 p 8 ;
Ejemplo 6
8
6
[(a + b )c ]−2 = (a + b )−2 c −2 ; (3xy )
Efectúa: 33 ÷ 33
2
= 32 x 2 y 2 = 9 x 2 y 2
Solución: 33 3 × 3 × 3 1 3 ÷3 = 3 = = =1 3 3×3×3 1 3
3
33 27 = =1 33 27 Al aplicar la propiedad de dividir potencias de la misma base tenemos: 3 3 3− 3 0 =3 =3 33 ¿Qué concluyes? Toda cantidad elevada a la cero es igual a uno. También podemos decir que:
Observa En general para : a ≠ 0
a 0 =1
Octavo Grado - Matemática
83
UNIDAD 1 Ejemplo 8 5 Encuentra: 7
3
Solución:
3 5 5 5 5 5× 5× 5 5 = 3 = = 7 7 7 7 7 × 7 × 7 7 3 factores 3 factores 3
3
5 53 Entonces: = 3 7 7
Ejemplo 9 m Efectúa: n
5
Solución:
5
5 5 5 m m m m m m m m m .m .m .m .m m = = = = Entonces: n n5 n n n n n n n .n .n .n .n n5
Ejemplo 10 3ab Efectúa: 2mn
3
Observa
Solución: 3
n
3
3 3
3 3
27a b 3ab 3 a b = 3 3 3 = 3 3 2mn 2 m n 8m n
n a a En general: = n Para b ≠ 0 b b
Ejemplo 11 Rosa tiene limones en un canasto . Su hijo que estudia octavo grado dice que son (24)2 limones. ¿Sabes tú cuántos limones tiene Rosa?
Solución: Aplicando los conocimientos sobre potencias, tenemos:
(2 )
= 2 4 × 2 4 = ( 2 × 2 × 2 × 2 )( 2 × 2 × 2 × 2 ) = 16 × 16 = 256 4 factores 4 factores ¿Cuántas veces hemos multiplicado el 2 por sí mismo? Se verifica que son 8 veces. 4 2
Entonces: ( 2 4 ) = 2 4×2 = 28 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256 2
R: Rosa tiene 256 limones.
Ejemplo 12 2 Efectúa: m 4 n −2 3
Solución: 4
16 16 −8 2 4 4 −2 4 ( m ) ( n ) = m n 3 81
84
Matemática - Octavo Grado
Observa
4
En general :
(a )
m n
= a mn
UNIDAD 1
1
Actividad
Aplica las propiedades de los exponentes según corresponda en cada caso y encuentra el resultado: 0
x5 −3 a) y 2 c) ( xy ) b)
b7 e) 5 b
3 m 4 .m −5 d) ( x + y )a f) 3 a −5
Multiplicación de polinomios Iniciemos recordando la multiplicación de monomios. Observa el siguiente rectángulo:
x
( a 3 )2 g) ( 3 x − 2 y ) i) 6 m 5 3 a3 5× 2 h) j) a −2 3 × 7
2
0
Multiplicación de monomio por polinomio Ejemplo 13 Carlos tiene una pintura de forma rectangular con las dimensiones que aparece en el dibujo y quiere calcular el área que cubrirá en la pared.
2x 2x
¿Cuál es su área? Sabes que A = bh (base por altura) Al sustituir por los valores que tiene el rectángulo dado, tenemos que: A = (2x)(x) Procedemos a multiplicar los coeficientes con su respectivo signo: (2 × 1) = 2 Luego la parte literal:
3x + 2
Solución: El área del rectángulo se calcula así A = bh Planteando la operación: A = (3x + 2) (2x) Observarás que son expresiones algebraicas que conocemos como monomios y polinomios.
Entonces resulta que: (2x)(x) = 2x2
Para realizar la operación, multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, luego suma algebraicamente los productos resultantes así:
R: Su área es 2x2 unidades cuadradas.
A =(3x + 2)(2x) = (3x) (2x) + (2) (2x) = 6x2 + 4x
x . x = x2
R: El área de la pintura es 6x2 + 4x unidades cuadradas.
Octavo Grado - Matemática
85
UNIDAD 1 Ejemplo 14
2
Efectúa: ( −5a 2 )( 6 a 3 − 7a 2 )
Solución:
( −5a )(6a 2
Efectúa las siguientes multiplicaciones: 3
− 7a 2 ) = ( −5a 2 )( 6 a 3 ) + ( −5a 2 )( −7a 2 )
m 5 − 6 m 2 n − 8mn 2 + 2n 3 − 5 por 4 mn 4 b) 3b 7 − 2b 6 + 5b 5 + 8b 4 − 6b 3 + 2 por −7b 4 c a)
= −30a 5 + 35a 4
Ejemplo 15
−2a x b + 3a x +1b x − 5a x +2b x +1 por 3a 2 x b 3 x 5 4 2 3 2 2 3 d) x + 7 x y − 6 x y − 3 x por −5 x y c)
Efectúa: (4x5 − 7x4 + 3x3) (2x3)
0.2b 3c 2 por 0.3b 6 c 2 + 0.75b 5c 3 − 0.53b 4 c 4
e)
Solución:
( 4 x − 7 x + 3x )( 2x ) = = ( 4 x )( 2 x ) + ( −7 x )( 2 x ) + ( 3 x )( 2 x ) = 8 x + ( −14 x ) + 6 x 5
Actividad
4
5
3
3
8
3
4
7
3
3
Multiplicación de polinomio por polinomio
3
6
= 8 x 8 − 14 x 7 + 6 x 6
Ejemplo 16 Multiplica: 3 x a +2 y b +1 − 5 x a +3 y b +2 − 6 x a y b por −2 x 2 y 3
Solución:
Ahora que ya sabes multiplicar monomio por polinomio, podrás efectuar polinomio por polinomio siguiendo el mismo proceso.
Ejemplo 17 Un pedazo de cartón tiene las dimensiones que aparecen en el dibujo, encuentra su superficie.
3 x a +2 y b +1 − 5 x a +3 y b +2 − 6 x a y b Por
−2 x 2 y 3 x −3
−6 x a + 4 y b + 4 + 10 x a +5 y b +5 + 12 x a +2 y b +3
Observa Para multiplicar un polinomio con un monomio, se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio.
3x 4
Solución:
A = bh
En este caso es: A = ( x − 3 )( 3 x + 4 ) Para realizar la operación coloca los polinomios en forma vertical y aplica la propiedad distributiva: por 3x ( x − 3)→ 4 ( x − 3)→
x −3 3x + 4 3x 2 − 9x + 4 x − 12 3 x 2 − 5 x − 12
86
Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 1
Observa Proceso: Se multiplica cada uno de los términos del segundo polinomio por todos los términos del primero, colocando los productos de modo que los términos semejantes queden en columna para facilitar la suma.
Ejemplo 18 2 2 3 Multiplica: 5a − 4 + 6 a por 2a − 3a + 4 a
Solución: Nota que los polinomios no están ordenados, entonces primero se deben ordenar, en general se hace en forma descendente, es decir de mayor a menor exponente: Por −3a ( 6 a + 5a − 4 ) 3
6 a + 5a − 4 −3a 3 + 2a 2 + 4 a −18a 5 −15a 4 +12a 3
2
2a 2 ( 6 a 2 + 5a − 4 ) 4 a ( 6 a 2 + 5a − 4 )
Ejemplo 19
+12a 4 +10a 3 − 8a 2 + 24 a 3 + 20a 2 −16 a −18a 5 − 3a 4 + 46 a 3 +12a 2 −16 a
Efectúa: ( 4 x − 6 x )( 8 x − 4 x − 6 x + 5 x 2
5
4
3
2
)
Solución: La multiplicación cumple con ser conmutativa, podemos cambiar el orden de los factores: 8x 5 − 4 x 4 − 6 x 3 + 5x 2
por
3
Actividad
2
Efectúa las siguientes multiplicaciones: 2 1 1 a) x − y x + y 3 5 3 b)
( 5ab
c)
(m
d)
( 7 x − 4 )( −3 x 2 − 8 x + 6 )
e)
(3 y
2
2
+ b )( 4 a − 3ab )
− 3m + 2 )( 2m − 5 )
3
− 5 y 2 + 6 y − 8 )( 2 y 2 − 7 y + 5 )
f) ( 2m 2 x +1 − 8m 2 x + 2 + 7 m 2 x +3 )( −3m 3 x −1 + 5m 3 x − 2 + m 3 x −3 )
4x 2 −6x
4 x 2 (8 x 5 − 4 x 4 − 6 x 3 + 5 x 2 ) 32 x 7 −16 x 6 − 24 x 5 + 20 x 4 −6 x (8 x 5 − 4 x 4 − 6 x 3 + 5 x 2 ) − 48 x 6 + 24 x 5 + 36 x 4 − 30 x 3
32 x 7 − 64 x 6 + 0
+ 56 x 4 − 30 x 3
Por lo tanto el resultado es: 32x7 − 64x6 + 56x4 − 30x3
Punto de apoyo 0 -2 y 0 0 no esta definido. En general 0n con “n” negativo o cero no está definido es indeterminado.
Resumen Para a ,b ∈R , m , n ∈Z se cumplen las siguientes leyes de los exponentes, para las potencias que estén definidas:
a m .a n = a m +n a m m −n b) n = a si a ≠ 0 a a)
c)
(a )
m n
d)
a m b m = ( ab )m
e)
am a = b bm
m
= a mn
Octavo Grado - Matemática
87
UNIDAD 1
Autocomprobación
4
Berta tiene 3x + 5y – 4 mangos, si María tiene 4x veces los que tiene Berta. La expresión que representa la cantidad de mangos que tiene es: a)
3 4 Si efectúas ( 5m ) ÷ ( 5m ) el resultado es:
a)
( 5m )7
b)
5m
1 ( 5m )−1 1 d) 5m c)
Efectúa el producto 3 x 5 − 4 x 4 + 8 x 3 por 2 x − 8 El resultado es: 6 x 6 + 28 x 5 + 64 x 3 6 5 4 3 b) 5 x +15 x + 20 x − 16 x 6 5 4 3 c) 6 x − 32 x + 48 x − 64 x a)
12 x + 20 xy − 16 x 2
12 x 2 + 5 y − 4 c) 12 x 2 + 20 xy + 16 x d) 3 x + 5 y − 16 x b)
d)
6 x 6 + 20 x 5 − 64 x 3
1. d.
2
3
2
Soluciones
1
6 2 Si desarrollas aplicando propiedades 10 obtienes: 9 36 a) c) 25 100 1296 162 b) d) 10 ,000 625
2 . a.
3. d.
4. c.
DESCARTES Y EL ÁLGEBRA En 1982 G.H. Nesselman, para estudiar el desarrollo histórico de la notación algebraica, dividió su evolución en tres períodos: álgebra retórica, álgebra sincopada y álgebra simbólica. En el álgebra simbólica se encuentra nuestro simbolismo actual. El matemático francés Fracois Viete, propuso en su obra In artem analyticam isagoge, publicada en 1591, los principios fundamentales del álgebra, usar letras vocales para representar variables y consonantes para constantes, desarrollando con esta nomenclatura los algoritmos algebraicos. La costumbre actual de usar las últimas letras del alfabeto para variables y las primeras para constantes fue introducida por otro matemático francés René Descartes en 1637.
René Descartes
88
Matemática - Octavo Grado
Lección 5
Primera Unidad
Productos notables
Motivación
J
osé tiene una fotografía de forma cuadrada cuyos lados miden x + y, quiere saber cuál es el área de la superficie. Como recordarás para encontrar el área de un cuadrado multiplicas lado por lado, en nuestro caso:
( x + y ) = ( x + y )( x + y ) 2
Lo cual corresponde geométricamente al área de un cuadrado.
Indicadores de logro: Deducirás, explicarás y aplicarás los productos notables.
El cuadrado de la suma de dos términos x
y
y
Observa las siguientes figuras:
( x + y ) = ( x + y )( x + y ) y al efectuar la operación: 2
por
Observa
x+ y x+ y x 2 + xy + xy + y 2
x 2 + 2 xy + y 2
Esto significa que: ( x + y ) = x 2 + 2 xy + y 2 2
El cuadrado de la suma de dos términos es igual a: El cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.
A esto se le llama cuadrado de la suma de dos términos.
Octavo Grado - Matemática
89
UNIDAD 1 Ejemplo 1 Encuentra el producto de ( 3m + 2n )2 aplicando la regla del cuadrado de la suma de dos términos:
Solución: ( 3 m + 2 n )2
( 3 m )2
=
Cuadrado de la suma de dos terminos
2( 3m )( 2n )
+
Doble producto del 1º por el 2º
Cuadrado del 1º
+
( 2 n )2 Cuadrado del 2º
9m 2 + 12mn + 4 n 2
=
Ejemplo 2 1 2 Escribe el resultado de: m 2 + n 3 5 3
Solución:
2
2
2
1 2 2 3 1 2 1 2 2 3 2 3 m + n = m + 2 m n + n 5 3 5 5 3 3 Cuadrado de la suma de dos términos
Doble producto del 1º por el 2º
Cuadrado del 1º
=
Ejemplo 3
2
Cuadrado del 2º
1 4 4 2 3 4 6 m + mn + n 25 15 9
Escribe el desarrollo de: ( 2 x 4 y + 5 x 3 y 2 )
2
Solución:
( 2x
4
y + 5 x 3 y 2 ) = ( 2 x 4 y ) + 2( 2 x 4 y )( 5 x 3 y 2 ) + ( 5 x 3 y 2 ) 2
2
2
= 4 x 8 y 2 + 20 x 7 y 3 + 25 x 6 y 4
1
Actividad
Efectúa el desarrollo de los siguientes cuadrados:
90
Matemática - Octavo Grado
a)
(x
b)
(3a
c)
( 5m 3 n 2 + 2m 2 n 3 )
3
+ 5 ) 2
5
+ 4b
2
) 2
2
d)
( 2x
2
+ 3 y 3 ) 2
2
1 3 e) a 2 + b 2 5 3 2
f)
1 −2 2 x + y 9 3
g)
2 3 3 2 m n + m n 3 5
a +2 a +1 h) ( x + y )
2
i) Escribe el área de un
cuadrado cuyo lado mide 4 x + 3
2
UNIDAD 1
El cuadrado de la diferencia de dos términos Rosa tiene un lienzo de tela de forma cuadrada, cuyos lados miden "x". Lo quiere para cubrir un espacio también cuadrado, pero el lienzo de tela es más grande, por lo que decide cortar una parte, si la parte que corta es "y"; entonces el lienzo medirá x − y, ¿cuál es su área?
Solución:
Ejemplo 4 Efectúa:
(3x
(3x
2
2
x− y x− y
Efectúa:
− xy + y
x − 2 xy + y 2
Esto significa que: = x2 (x − y)2
3 5 1 4 a − a 4 6
2
Solución:
2
2
2
−
Cuadrado del 1º
2xy
y2
+
Doble producto del 1º por el 2º
Cuadrado del 2º
2 2 3 5 1 4 3 5 3 5 1 4 1 4 a − a = a − 2 a a + a 4 6 4 4 6 6
=
R: El área del lienzo de tela es x2 − 2xy + y2
x-y
y
y (x − y)
y²
(x − y)²
x
y (x - y)
x-y
y
y
2
Verifica que el resultado es el mismo obtenido anteriormente.
simplificar
2
Actividad Encuentra el desarrollo de los siguientes cuadrados: 2
1 a) 3a − b 4 b)
Al observar las áreas se tiene:
9 10 6 9 1 8 Hay una fracción a − a + a que se puede 16 24 36
9 1 1 = a 10 − a 9 + a 8 16 4 36
Ahora, geométricamente tenemos:
(x − y) = x − 2y(x − y) − y
2
Ejemplo 5
x 2 − xy
2
2
= 9 x 4 − 36 x 2 y + 36 y 2
( x − y ) = ( x − y )( x − y )
2
2
− 6 y ) = ( 3 x 2 ) − 2( 3 x 2 )( 6 y ) + ( 6 y )
2
Cuadrado de la diferencia de dos terminos
−6 y)
Solución:
Rosa encuentra el área efectuando el producto:
por
2
(6 x
2
d)
( 2a
x +1
− 7b y −2 )
2
y − 5 x 3 y 2 ) e) ( 7 m 3 n 2 − 8m 4 n 3 ) 2
2
2
2 1 1 c) a 5b − a 4b f) ( 5 x a +b − 8 y 2 a +b ) 3 5
Octavo Grado - Matemática
91
UNIDAD 1
El cubo de la suma de dos términos Asociando los dos primeros factores tienes:
De acuerdo con la ilustración, para encontrar el volumen del cubo tienes:
( x + y ) = ( x + y ) ( x + y ) . Y como ya sabes que ( x + y ) = x + 2xy + y entonces faltaría que multipliques por ( x + y ) . Así: ( x + y ) = ( x + 2xy + y )( x + y ) o sea: 3
2
2
2
3
2
2
x 2 + 2 xy + y 2 y x +
por
x+y
2
x 3 + 2 x 2 y + xy 2
( x + y ) = ( x + y )( x + y )( x + y ) 3
+ x 2 y + 2 xy 2 + y 3
x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3
Observa El cubo de la suma de dos términos es igual a: el cubo del primer término, más tres veces el producto del cuadrado del primer término por el segundo, más tres veces el primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
Ejemplo 6 Desarrolla: ( 3m + 2n )
3
Solución: ( 3m + 2n )3
( 3m )3 + 3( 3m )2 ( 2n ) + 3( 3m )( 2n )2 + ( 2n )3
=
Cubo de la suma de dos términos
Cubo del 1.º
Tres por el cuadrado del 1.º por el 2.º
Tres por el 1.º por el cuadrado del 2.º
Cubo del 2.º
27m3 + 54 m2n + 36mn2 + 8n3
=
Ejemplo 7 2 1 Efectúa utilizando la regla: x 4 + y 5 3 2 3
3
3
2
2 3 2 4 1 5 2 4 2 4 1 5 2 4 1 5 + 1 5 x + y x 3 x y = + + 3 x y y 3 2 3 3 2 3 2 2
Cubo del 1.º
Cubo de la suma de dos términos
92
Tres por el cuadrado del 1.º por el 2.º
=
8 12 12 8 5 6 4 10 1 15 x + x y + x y + y 27 18 12 8
=
8 12 2 8 5 1 4 10 1 15 x + x y + x y + y 27 3 2 8
Matemática - Octavo Grado
Tres por el 1º por el cuadrado del 2.º
Cubo del 2.º
UNIDAD 1 Ejemplo 8 Desarrolla: ( 4 a 2 + 5b 3 )
3
Solución:
( 4a
2
+ 5b 3 ) = ( 4 a 2 ) + 3( 4 a 2 ) ( 5b 3 ) + 3( 4 a 2 )( 5b 3 ) + ( 5b 3 ) 3
3
2
3
2
= 64 a 6 + 240a 4b 3 + 300a 2b 6 + 125b 9
3
Actividad Encuentra el resultado al desarrollar el cubo que se indica en cada expresión: 3 1 1 5 4 3 a) ( 2a + b )3 c) m 2 + n 3 e) ( 4 m + 2n ) 3 2 b)
(3x
+ y) 3
2
d)
( 5x
2
y + 2 xy 2 ) 3
f)
( 2m
x
+ 3n 2 x )
3
El cubo de la diferencia de dos términos Roberto tiene una caja de forma cúbica que mide de arista x. La quiere introducir en otra de la misma forma pero es más pequeña, entonces decide cortarle a cada dimensión "y" unidades. ¿Cuál es el volumen de la caja más pequeña? Algebraicamente esto corresponde a:
(x − y ) =(x − y ) (x − y ) ( x − y ) = ( x − 2xy + y )( x − y ) 3
2
3
2
Observa
2
El cubo de la diferencia de dos términos es igual a: El cubo del primer término, menos tres veces el producto del cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
x 2 − 2 xy + y 2 x −y
Por
x 3 − 2 x 2 y + xy 2 − x 2 y + 2 xy 2 − y 3
x 3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3 Compara con el cubo de la suma, ves que la diferencia son sus signos, entonces tenemos que:
(x − y )
3
Cubo de la diferencia de dos términos
=
x3
−
Cubo del 1.º
3 x 2 y + Tres por el cuadrado del 1.º por el 2.º
y3
3 xy 2 − Tres por el 1.º por el cuadrado del 2.º
Cubo del 2.º
R: El volúmen de la caja más pequeña es (x3 − 3x2y + 3xy2 − y3) unidades cúbicas.
Octavo Grado - Matemática
93
UNIDAD 1 Ejemplo 9 1 2 Desarrolla: m 3 − n 2 3 5
3
Solución:
2
3 2 3 3 1 3 2 2 = 1 m 3 − 3 1 m 3 2 n 2 + 3 1 m 3 2 n 2 − 2 n 2 m − n 3 5 5 3 5 3 3 5
Cubo de la diferencia de dos términos
Cubo del 1.º
Tres por el 1.º por el cuadrado del 2.º
Tres por el cuadrado del 1.º por el 2.º
Cubo del 2.º
3 1 3 2 2 = 1 m 9 − 2 m 6 n 2 + 4 m 3n 4 − 8 n 6 m − n 27 15 25 125 3 5
Ejemplo 10 Desarrolla: ( 2a − 3b )
3
Solución: ( 2a − 3b )3 = ( 2a )3 − 3( 2a )2 ( 3b ) + 3( 2a )( 3b )2 − ( 3b )3 = 8a 3 − 36 a 2b + 54 ab 2 − 27b 3
4
Actividad
Encuentra el resultado al desarrollar el cubo que se indica en cada expresión: a)
(3x 5 y 4 − 4 x 3 y 2 ) 3
c)
( 2a
d)
( 7m n
3
3 1 b) m − n 3 4
m
− 5a n ) 3
3 2
− 5mn 4 ) 3
e)
3 7 2 6 b − c 5 7
f)
(x
a +b
3
− y b +c )
3
El producto de la suma de dos términos por su diferencia Son Productos de la forma: ( x + y )( x − y ) Encontremos este producto:
por
x+ y x− y x 2 + xy − xy − y 2
x2 − y2
Observa El producto de la suma de dos términos por su diferencia, ( x + y )( x − y ) es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos términos. Es decir: x 2 − y 2
Ejemplo 11 Efectúa el producto: ( 3 x − 2 y )(3 x + 2 y )
Solución:
( 3 x − 2 y )( 3 x + 2 y ) = ( 3 x ) − ( 2 y ) 2
= 9x 2 − 4 y 2
94
Matemática - Octavo Grado
2
UNIDAD 1 Ejemplo 12 1 2 1 2 Efectúa el producto: a 3 − b 2 a 3 + b 2 2 3 2 3
Solución:
2
1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 a − b a + b = a − b 2 3 2 3 2 3 1 6 4 4 = a − b 4 9
2
Ejemplo 13 Encuentra el producto de: ( 2 x m +1 + 3 y m −2 )( 2 x m +1 − 3 y m −2 )
Solución:
( 2x
m +1
+ 3 y m − 2 )( 2 x m +1 − 3 y m − 2 ) = ( 2 x m +1 ) − ( 3 y m − 2 ) 2
5
Actividad
2
Encuentra el resultado de los siguientes productos indicados: a)
( 5a + 3b )( 5a − 3b )
b)
(3x
c)
1 1 1 1 m + n m − n 2 6 2 6
5
− 4 y 4 )( 3 x 5 + 4 y 4 )
d)
( 2a b − 7a b )( 2a b + 7a b )
e)
3 2 2 3 3 2 2 3 a + b a − b 4 5 4 5
f)
( 2m
= 4 x 2( m +1) − 9 y 2( m − 2) = 4 x 2 m + 2 − 9 y 2 m − 4
4
2x
5 2
4
5 2
− 3n x +1 )( 2m 2 x + 3n x +1 )
Resumen Nombre
Expresión
El cuadrado de la suma de dos términos.
(x + y )
2
= x 2 + 2 xy + y 2
El cuadrado de la diferencia de dos términos.
(x − y )
2
= x 2 − 2 xy + y 2
El cubo de la suma de dos términos.
(x + y )
3
= x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3
El cubo de la diferencia de dos términos.
(x − y )
= x 3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3
El producto de la suma de dos términos por su diferencia.
( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2
3
Regla El cuadrado de la suma de dos términos es igual a: el cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término. El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual a: el cuadrado del primer término menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término. El cubo de la suma de dos términos es igual a: el cubo del primer término más tres veces el producto del cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo. El cubo de la diferencia de dos términos es igual a: el cubo del primer término menos tres veces el producto del cuadrado del primero por el segundo más tres veces el primero por el cuadrado del segundo menos el cubo del segundo. El producto de la suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos términos.
Octavo Grado - Matemática
95
UNIDAD 1
Autocomprobación 2
3
a)
9x2 – 30xy – 25y2 b) 9x2 – 25y2 c) 9x2 – 8xy + 25y2 d) 9x2 – 30xy + 25y2
( 2a
2
+ 5b 4 ) es igual a: 3
8a 6 + 120a 4b 4 + 750a 2b 8 + 125b 12 6 4 4 2 8 12 b) 6 a + 30a b + 30a b + 125b a)
8a 6 + 60a 4b 4 + 150a 2b 8 + 125b 12 d) 6 a 6 + 60a 4b 4 + 150a 2b 8 + 125b 12 c)
4
a)
1 2 1 1 1 1 1 x + xy + y 2 c) x 2 + xy + y 2 4 6 9 4 3 9
b)
1 2 1 2 x + y 4 9
d)
1 2 1 1 x + xy + y 2 4 3 6
Efectua ( 0.3m 2 − 0.7 n 2 )( 0.3m 2 + 0.7 n 2 ) 0.09m 4 − 0.49n 4 b) 0.9m 4 − 0.49n 4 c) 0.9m 4 − 4.9n 4 2 2 d) 0.09m − 0.49n a)
2. c.
2
2
1 1 x + y es igual a: 2 3
1. d.
Al efectuar ( 3 x − 5 y ) se obtiene:
Soluciones
1
3. c.
4. a.
LAS FÓRMULAS Y EL ÁLGEBRA Las fórmulas son expresiones algebraicas que mediante la utilización de las propiedades conmutativa y distributiva de los números reales, nos permiten obtener las relaciones que generan las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, etc. No se sabe con certeza quien las descubrió, sin embargo algunas culturas antiguas ya las utilizaban, por ejemplo los babilonios, en sus tablillas, con escritura cuneiforme, aparecen algunas como:
( a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2
96
Matemática - Octavo Grado
Solucionario Lección 1
Lección 3
Actividad 1
Actividad 1
1. a) Racional d) Irracional b) Racional e) Racional c) Irracional f) Irracional
g) Racional h) Irracional
1. a) Grado absoluto : 5o Grado relativo respecto a x: 5o b) Grado absoluto: 7o
2. C = πd = 3.1416 (22 cm) = 69.12 cm
Relativo respecto a a: 5o y respecto a b : 4º
Actividad 3
c) Grado absoluto: 12o.
2. a) 5 > 5 b) 20 < 7
c)
Actividad 4 a) Racional b) Racional c) Racional d) Racional e) Racional.
f) Racional g) Irracional h) Racional i) Irracional j) Racional
7 >π 2
k) Racional l) Racional m) Irracional n) Irracional o) Racional
Relativo respecto a m, 8º y respecto a n : 5º
Actividad 2 a) –7 d) –94
1 1 > 2 5 e) 2 > 2
c)
−9 > −15
−8 < 2
f)
4 >π
d)
6 5 d) 5.84
m 4 n − 6 mn 4 + 6 n 5 9 3 2 4 e) x 2 y + xy 2 − y + y 3 8 2 3 9
0.33 x 3 + 0.2 x 2 − 0.44 x
b − 25a 2b 2 − 3ab 3 1 1 1 c) m 3 + m 2 + m 4 4 6 m +1 m +2 − 2 x + 2 x m +3 d) −4 x
b) 38 m
3
b) 43.5
c) 48.66666….
Actividad 5
e) 2.25
f) −30.75
a)
−5m 2 + 7 mn − 4 n 2
c)
8a − 17
b)
− x + 7 y
d)
b +8
Actividad 4 a) 133 globos.
−3a 5 − 4 a 4 + 4 a 3 − 5a 2 + 5a
b) 17a
Actividad 3 a)
b)
d)
a)
b) $7.39
Actividad 2 a) 34 km
2 x 4 + 8 x 3 + 11x + 5
Actividad 4
Actividad 1 11 15
a)
c) 11b 3 + 2b − 14bc + 6 c 3
Lección 2 a)
c) –166 f) 4
Actividad 3
Actividad 5 2. a) 3.36 < 3.63 b)
b) 92 e) 6
b) 16
c) –14
Octavo Grado - Matemática
97
Solucionario Lección 4
Actividad 2
1 3 9a 2 − ab + b 2 2 16 4 2 5 3 6 4 b) 36 x y − 60 x y + 25 x y 1 2 1 c) a 10b 2 − a 9b 2 + a 8b 2 9 15 25 2 x +2 − 28a x +1b y −2 + 49b 2 y − 4 d) 4 a
Actividad 1
a)
1. a) 1 b) m −1 c) x −3 y −3
d)
(x + y ) a 3
3
a 15 = a 25 −10 a 3 3 5 ×2 125 × 8 1000 j) 3 = = 3 3 × 7 27 × 343 9261
e)
b 2 f) 3a 5 g) 1
i)
a 12 m 12
Actividad 2
h)
4 m n − 24 m n − 32m n + 8mn − 20 mn 11 10 9 8 7 4 b) −21b c + 14b c − 35b c − 56b c + 42b c − 14b c 3 x 3 x +1 + 9a 3 x +1b 4 x − 15a 3 x +2b 4 x +1 c) −6 a b d) −5 x 7 y 3 − 35 x 6 y 5 + 30 x 5 y 4 + 15 x 4 y 3 e) 0.06b 9c 4 + 0.15b 8c 5 − 0.106b 7 c 6
a)
6 4
3 5
2 6
7
4
Actividad 3 2 2 3 1 x + xy − y 2 9 5 5 2 2 2 3 b) 20a b − 15a b + 4 ab − 3ab 2 a)
c)
2m − 11m + 19m − 10
d)
−21x 3 − 44 x 2 + 74 x − 24
e)
6 y 5 − 31 y 4 + 62 y 3 − 83 y 2 + 86 y − 40
f)
−39m 5 x + 59m 5 x +1 + 2m 5 x −1 − 21m 5 x +2 + 2m 5 x −2
3
2
Lección 5 b)
9a 10 + 24 a 5b 2 + 16b 4
c)
25m 6 n 4 + 20 m 5 n 5 + 4 m 4 n 6
d)
4 x 4 + 12 x 2 y 3 + 9 y 6
1 4 4 9 4 2 2 2 1 4 e) a + a b + b f) x −4 + x −2 y + y 2 81 27 9 25 5 9 4 6 2 4 5 2 9 4 2 g) m n + m n + m n 9 5 25 2a + 4 + 2 x a +2 y a +1 + y 2a +2 i) 16 x 2 + 24 x + 9 h) x
98
49m 6 n 4 − 112m 7 n 5 + 64 m 8 n 6
f)
25 x 2a +2b − 80 x a +b y 2a +b + 64 y 4 a +2b
Actividad 3 a)
8a 3 + 12a 2b + 6 ab 2 + b 3
27 x 6 + 27 x 4 y + 9 x 2 y 2 + y 3 1 6 1 4 3 1 2 6 1 9 c) m + m n + mn + n 27 6 4 8 d) 125 x 6 y 3 + 150 x 5 y 4 + 60 x 4 y 5 + 8 x 3 y 6 b)
e)
64 m 15 + 96 m 10 n 4 + 48m 5 n 8 + 8n 12
f)
8m 3 x + 36 m 2 x n 2 x + 54 m x n 4 x + 27 n 6 x
Actividad 4 27 x 15 y 12 − 108 x 13 y 10 + 144 x 11 y 8 − 64 x 9 y 6 1 3 1 2 9 27 b) m − m n + mn 2 − n 3 27 4 16 64 3m 2 m +n m +2 n c) 8a − 60a + 150a − 125a 3 n a)
343m 9 n 6 − 735m 7 n 8 + 525m 5 n 10 − 125m 3 n 12 27 21 54 14 6 36 7 12 8 18 e) b − b c + bc − c 125 175 245 343 f) x 3 a +3b − 3 x 2 a + 2b y b +c + 3 x a +b y 2b + 2 c − y 3b +3 c d)
Actividad 1 6 3 a) x + 10 x + 25
e)
Matemática - Octavo Grado
Actividad 5 a)
25a 2 − 9b 2
b)
9 x 10 − 16 y 8
c)
1 2 1 2 m − n 4 36
4 a 8b 2 − 49a 10b 4 9 4 4 6 e) a − b 16 25 d)
f)
4 m 4 x − 9n 2 x + 2
Proyecto Un dueño de finca era aficionado a la matemática. Al morir deja de herencia su finca a sus cuatro hijos. Les dice que las dimensiones de la finca son (3x + 2y) en cada uno de sus lados. Les pide a sus hijos que: a) Expresen el área de la finca en función de x e y. b) Calculen el área de la finca dado que x = 2.5 km, y = 3.0 km c) Repartan el terreno de tal manera que al primero le corresponda 5x2 , al segundo
le corresponda 10xy, al tercero 4y2, y al cuarto (4x2 + 2xy).
d) ¿Estarías de acuerdo con la repartición anterior, sabiendo que x = 2.5 km
y = 3.0 km?
e) Si no estás de acuerdo con la repartición anterior, ¿cómo lo harías tú?
Octavo Grado - Matemática
99
Recursos Aguilera Liborio Raúl, Matemática Octavo grado. Talleres Gráficos UCA, San Salvador, El Salvador, 2007, 219p Aponte Gladis, Pagán Estela, Fundamentos de Matemática Básica, Editorial Addison Wesley, 1ª Edición. México 1998, 482p. Carpinteyro Vigil Eduardo, Sánchez Hernández Rubén, Álgebra, Publicaciones Cultural, 1ª Edición, México 2002 622p. Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática I, Aritmética y Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1994, 281p. Mendoza William y Galo de Navarro Gloria, Matemática 8º grado, UCA Editores, 2ª edición. San Salvador, El salvador, 2003, 419p Rees Paul K, Sparks Fred W, Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1991, 626p.
100 Matemática - Octavo Grado