MATEMÁTICA Unidad 5 Utilicemos Radicales
Objetivos de la Unidad: Aplicarás con seguridad las leyes de los radicales para la resolución de problemas relacionados con el entorno
55
Radicación identificación de Elementos de un radical
uso de reglas
operar con radicales semejantes
convertir y simplificar
Reglas de los radicales
Expresión con radical. Exponentes fraccionarios.
Operación con radicales
proceso de simplificación
( a) n
Suma y resta
n
Producto n
ab
División
a b
n
Racionalización n
a
n m
m
a
Descripción del proyecto Al final de esta unidad investigarás las fórmulas de volúmenes y áreas de algunos poliedros y sólidos geométricos tales como: la esfera, el cono, la pirámide, el cilindro, etc.
56 Matemática - Noveno Grado
Lección 1
Quinta Unidad
Radicación Algebraica Motivación
E
n esta unidad estudiarás de manera interesante todo lo relativo a este elemento algebraico y su operación llamada Radicación. Hagamos de caso que nos iniciamos en el tema y considera la siguiente situación: “Se quiere construir una tarima rectangular cuya superficie tenga 75 m 2 de área, y cuyo largo sea tres veces su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la tarima?
Indicadores de logro: Simplificarás con seguridad expresiones que contengan radicales haciendo uso de sus propiedades.
Identificarás con seguridad todas las partes de un radical. Explicarás y extraerás con confianza la raíz n-ésima.
Comienza por lo más importante: define x: “ancho de la tarima”, y 3x, “largo de la tarima”. En consecuencia una ecuación algebraica para el área es:
Por lo tanto las raíces de la ecuación son:
( 3x ) x = A (Largo por ancho igual área); la cual,
Como no puede haber tarimas que tengan ancho negativo, te decides por la raíz principal x = 5
al reunirla con la información 75 m2, te conduce a: 3 x 2 = 75 . Y esta expresión no es más que una ecuación cuadrática incompleta; cuya solución ya trabajaste en la unidad 3.
3 x 2 = 75 , x 2 = 25 , x 2 − 25 = 0
Factorizas y tienes:
( x − 5 )( x + 5 ) = 0
x = 5 y x = −5
Con un ancho de 5 m y un largo de 15 m, obtienes 75 m2 de área. ¡Muy bien!, ¡Haz resuelto el problema! ¿Pero cuándo aparecen los radicales? Aparecen cuando en una ecuación, una variable real x está elevada a una potencia (o exponente) y se quiere conocer el valor que toma esa variable.
Noveno Grado - Matemática 57
UNIDAD 5 La raíz cuadrada de un número En el problema que vienes resolviendo tienes:
x ( x ) = x = 25 2
¿Qué número multiplicado por si mismo es igual a 25? Obviamente se te ocurre que x = 5. Dirás que 5 es la raíz cuadrada del número 25.
Del ejemplo 1, puedes extraer los siguientes resultados, muy importantes: La raíz cuadrada principal de un número positivo es positiva. Los números negativos no tienen raíces cuadradas en el sistema de los números reales.
, llamado signo de radical, se usa para El símbolo denotar la raíz cuadrada no negativa (o raíz principal) de un número.
De manera general puedes referirte a la raíz cuadrada de un número de la siguiente forma:
Para el caso 25 = 5 se lee “raíz cuadrada de 25 es igual a 5”.
Considera que a y b son dos números reales positivos. Dices que la raíz cuadrada principal del número a, es igual a b, si:
Ejemplo 1
a = b significa que a = b 2
Encuentra la raíz cuadrada principal de los siguientes números: a)
81
c)
0.25
b)
1 16
d)
−9
Solución: La pregunta que debes hacerte es la siguiente: ¿Qué número multiplicado por si mismo (o elevado al cuadrado) da por resultado la cifra que está dentro del signo radical? a)
81 = 9 , ya que 92 = 81
b)
1 1 1 1 1 1 = , ya que = = 4 4 4 16 16 4
c)
0.25 = 0.5 , ya que ( 0.5 )( 0.5 ) = ( 0.5 )2 = 0.25
d)
−9 no es un número real, ya que no existe un
2
número real que al ser elevado al cuadrado sea igual a −9.
58 Matemática - Noveno Grado
a
Se emplea para la raíz cuadrada.
− a Denota la raíz cuadrada negativa.
UNIDAD 5 Ejemplo 2 Encuentra: a) − 64
b)
1 49
−
Solución: a)
− 64 = −8
b)
−
c) d)
c)
( −8)2
d)
(
49
)
2
Raíz cuadrada negativa.
1 1 =− 49 7
( −8)2 = 8
(
)
Cualquier número real elevado al cuadrado siempre es positivo.
2
49 = ( 7 )2 = 49
La raíz cúbica de un número 3 a ¿Cuánto mide la arista de un cubo cuyo volumen es 64 unidades cúbicas? Volumen = (b )(b )(b ) = b 3
b
Si b3 = 64, entonces el único valor que puede tomar b es el 4, ya que ( 4 )( 4 )( 4 ) = 64
b
b
Entonces, 4 es la raíz cúbica de 64. En notación matemática escribes: 3 64 = 4 , que se lee raíz cúbica de 64 es 4. 3 En general, te refieres a la raíz cúbica señalando: 3 a = b significa que a = b donde a y b son cualesquier número real.
Ejemplo 3 Encuentra: a)
3
1000
b)
3
−8
c)
Solución:
−3 −
1 125
d)
(
3
64
)
3
a)
3
1000 = 10
3 Ya que 10 3 = 1000 ; (nota que 3 1000 = 10 3 )
b)
3
−8 = −2
Ya que ( −2 )3 = −8 ; (Así 3 −8 = 3 ( −2 )3 )
c) d)
1 − 3 − =−3 125
(
3
3
1 1 1 − = − − = 5 5 5
Ya que: −
1 1 =− 125 5
3
)
3
64 = ( 4 )3 = 64
Del ejemplo 3 puedes extraer el siguiente resultado importante: Para cualquier número real, siempre existe una raíz cúbica, que es única.
Noveno Grado - Matemática 59
UNIDAD 5 Raíz n-ésima de un número: n a Considera n un número entero n ≥ 2 , te refieres a la raíz n-ésima del número real a, señalando:
n
a = b Significa que a = b n
Si n es par, los números a y b deben ser positivos ( a ≥ 0 , b ≥ 0 ) . Si n es impar, los números a y b pueden ser cualquier número real. Los elementos de la expresión radical se identifican así: Signo de radical Índice n
Cantidad subradical o radicando
a =b
Raíz n-ésima
A la operación de extraer la raíz de un número que esta dentro del signo radical, se le llama radicación.
Ejemplo 4 Identifica los elementos de las siguientes expresiones radicales: 625 = 25
a)
b)
5
−32 = −2
Solución:
a) Índice:
2 Radicando: 625 Raíz: 25
b) Índice:
5 Radicando: −32 Raíz: −2
Es costumbre omitir el índice 2 en la raíz cuadrada.
1 a)
b)
Actividad −27
c)
6
1 − 16
d)
5
3
60 Matemática - Noveno Grado
4
( −3)6
e)
32
f)
3
0.64
g)
3
83
h)
4
64 8 81
i)
7
−1
j)
3
8 27
UNIDAD 5 Reglas de los radicales Hay ciertas reglas o propiedades que te serán útiles para simplificar expresiones algebraicas que contengan radicales. Una primera regla, muy simple la puedes deducir si examinas el literal d) de los ejemplos 2 y 3.
Regla 1 Si a, es un número real (y el radical representa un número real); y n, es un entero n ≥ 2 Se tiene:
)
3
)
3
64 = ( 4 )3 = 64
¿Qué observas en común en los dos ejemplos? Escribe aquí tu observación:
Ejemplo 5 Encuentra:
( 81 ) b) ( −32 ) a)
4
5
Solución:
( 81 ) = (3) = 81 b) ( −32 ) = ( −2 ) = −32 4
5
4
4
5
Ejemplos:
( 3) =3 , ( 3
5
)
5
−2 = −2 ,
( 7) 80
80
=7
Una segunda regla es deducible de la misma definición. Hemos señalado por ejemplo que:
3 Si 1000 = 10 entonces 1000 = 10 3
Si 4 81 = 3 entonces 81 = 3
Si 5 −32 = −2 entonces −32 = ( −2 )5
4
Pero esto significa que puedes expresar el radicando, en cada caso como una potencia, y luego extraer la raíz; es decir:
4
5
a)
n
2
49 = ( 7 )2 = 49
En el ejemplo 3, hiciste:
(
n
La potencia n-ésima de la raíz n-ésima de un número a, es igual a “a”.
En el ejemplo 2, hiciste lo siguiente:
(
( a ) =a
5
¿Puedes deducir la regla? ¡Por supuesto que sí!
3
1000 = 3 10 3 = 10
4
81 = 4 3 4 = 3
5
−32 = 5 ( −2 )5 = −2
¿Puedes señalar cómo es la regla?
Noveno Grado - Matemática 61
UNIDAD 5 Regla 2 Si a, es un número real (y el radical representa un número real); y n , es un entero n ≥ 2 . Se tiene : n a n = a La raíz n-ésima de la potencia n-ésima de a, es igual a “a” Un caso especial se presenta cuando se tiene un número real negativo elevado a una potencia par. 2 El resultado de ( −5 ) debe tomarse como 5 (y no como −5) ya que cualquier número elevado a una potencia par, debe ser positivo.
Ejemplo 6 Utiliza la regla 2 para comprobar que: a)
3
8( 27 ) = 3 8 × 3 27
b)
3
Solución:
3 8 8 =3 27 27
Llevando una comprobación de igualación: a)
3
8( 27 ) = 3 8 × 3 27
3
23 ( 33 ) = 3 23 × 3 33
3
( 2 × 3)3 = 2 × 3
b) Te invito que en tu
cuaderno desarrolles la comprobación de este literal. Sólo haz lo mismo que en a)
63 = 6 6=6 3
Vas a emplear el ejemplo 6 para introducir las dos últimas reglas de esta lección.
Regla 3 Si x e y son números reales y n ≥ 2 :
n
xy = n x
( y) n
“La raíz n-ésima de un producto de números, es igual al producto de las raíces n-ésimas de tales números.
Regla 4 Si x e y son números reales ( y ≠ 0 ) y n ≥ 2 :
n
x nx = y n y
La raíz n-ésima de un cociente de números es igual a la raíz n-ésima del numerador entre la raíz n-ésima del denominador.
62 Matemática - Noveno Grado
UNIDAD 5 Ejemplo 7 Simplifica las expresiones con radical. Supón que las variables x e y son positivas. x 11 y 8 3 y 2x 12 9 3 a) 4 x y b) 5 c) xy 3 81 y 2 x 4
Solución:
Simplificar el radical significa extraer todas las raíces hasta que el radicando sólo tenga variables con exponentes menores que el índice del radical. a)
4
x 12 y 9 = 4 ( x 3 ) ( y 2 ) y = 4 ( x 3 y 2 ) y 4
4
= 4 (x 3 y 2 )
5
4
y
x 11 y 8 5 11−1 8−3 5 10 5 = x y = x y xy 3
= 5 (x 2 ) y 5 = 5 (x 2 y ) 5
c)
4
=x3 y2 4 y
b)
4
5
=x2 y 3
3 y 2x 1 Ley cancelativa =3 2 4 81 y x 27 x 3 3
1 1 = = 3x 3x 3
Resumen En esta lección haz aprendido a extraer la raíz n-ésima de expresiones con radicales y reconocer sus elementos. También te haz familiarizado con cuatro de las principales reglas que se emplean para simplificar radicales.
( x ) = x
n
xy = n x
n
x n = x
n
x nx = y n y
n
n
( y) n
Noveno Grado - Matemática 63
UNIDAD 5
Autocomprobación Simplifica las expresiones con radicales y selecciona en cada caso la respuesta correcta:
3
4
81x 8 2 a) 9 x 4 b) 9 x 2
3x d) 27 x 2
3
4
8 y 12 27
2 2 a) y 3 2 6 b) y 9
8 3 c) y 27 d)
2 4 y 3
3. a.
2
a)
5x 2
b)
5x 4
c)
25 x 4
d)
10 x 2
Seleccione el enunciado que NO es verdadero: a)
5
b)
4
c)
6
d)
2. d.
c)
El resultado de 5 x . 5 x 3 es igual a:
−32 = −2
( −3)4 = −3 82 = 2 9 y2 =3 y
1. c.
1
Soluciones
4. b.
RAPIDEZ DE UN AUTO AL FRENAR La policía utiliza la radicación cuando calcula la velocidad a la que iba un vehículo cuando se le ordena parar al conductor. En la fórmula S =16.1 fd la letra “d” representa la distancia en metros desde que aplica el freno hasta donde paró. La f es un coeficiente de fricción que es igual a 1, cuando la carretera está seca y 0.5 cuando está mojada. De tal manera que: si un auto derrapa 25 metros con f = 1 ¿A qué rapidez venia el auto en carretera seca? ¿A qué rapidez venia si la carretera estaba mojada? Utiliza f = 5
64 Matemática - Noveno Grado
Lección 2
Quinta Unidad
Identificación de expresiones radicales Motivación
Q
¿ ué son los exponentes racionales? En la unidad 4 estudiaste la potenciación con exponentes enteros y te familiarizaste con algunas reglas. ¿Recuerdas éstas? 5 × 5−1 = 50 = −3 a−n = 5 = ¡Muy bien! Las mismas reglas te sirvieron para deducir otras reglas: 54 × 5−4 = 50 = 1, por lo tanto tuviste que aceptar que: 1 1 −4 5 4 × 5−4 = 1 , 5−4 = 4 Observa (5 se puede escribir 4 ) 5 5 1 −n En general a = n con n, número entero. a Pero ¿Qué sucede 1si el exponente es un número racional y la expresión adopta la forma a n ? Verás que para obtener una expresión equivalente debes hacer uso de radicales. Indicadores de logro: Convertirás con interés y esmero expresiones con radicales a potencias con exponentes fraccionarios y viceversa.
¿Recuerdas la siguiente definición de raíz cúbica?
Pero entonces de acuerdo a nuestra definición
“Si 3 a = b entonces a = b 3 , pero también si a = b 3 entonces 3 a = b ”
3 3 Si 2 = b entonces 2 = b
Vas a emplearla en un ejemplo concreto, averiguando a qué es igual la expresión fraccionaria. 1 3
Considera que 2 es igual a un número real b. 3
1 2 = b , 2 3 = b 3 Elevas al cubo ambos lados de la ecuación. 1 3
13 ×3 3 2 = b 2=b3
Es decir que:
1
3
2 = 23 .
Este es un ejemplo que relaciona las expresiones con exponente con las expresiones con radical. La regla general queda así: 1
an = n a
Leyes de los exponentes.
Noveno Grado - Matemática 65
UNIDAD 5 Ejemplo 1 Haciendo uso de la regla de exponentes racionales, calcula: 1 2
a)
9
b)
64 3
−
1 3
d)
8
e)
25 2
1
3
1
c) 16 4
Solución: 1
a)
9 2 = 9 = 32 = 3
b)
64 3 = 3 64 = 3 4 3 = 4
c)
16 4 = 4 16 = 4 2 4 = 2
d)
8 3=
1
1
−
1
1 8
1 3
=
3
1 1 1 =3 3= 8 2 2
3
e)
25 2 : nota que este ejercicio se sale de nuestra regla, ya que el numerador de la fracción no es 1, sino que es 3. Sin embargo, si respetas las leyes de los exponentes, puedes hacer lo siguiente: 3
1 25 = 25 2 = 3 2
(
)
3
25 = ( 5 )3 = 125 También se llega a la misma respuesta si haces:
3 2
25 = 253 = 56 =
(5 )
3 2
= 53 = 125
La discusión de este literal te sirve para organizar la siguiente regla de los exponentes racionales. m
“Un exponente racional de la forma a n , donde m, n son enteros con n >0 , es equivalente a la siguiente expresión con radical: m
an =
( a) n
m
También es equivalente: m n
a = n am
Por ejemplo:
66 Matemática - Noveno Grado
3
2 2 = 23 ;
3
22 =
( 2)
3
UNIDAD 5
Conversión de una expresión radical a potencia con exponente fraccionario Ejemplo 2 Convierte las expresiones con radical, a expresiones con exponentes fraccionarios y simplifica: 1 48 3 3 3 2 a) 8 b) 3 c) 5 −32 d) 3 9 e) 3 − f) 64 3
( )
Solución:
1 2
8 = 8 = (2
a)
1 3 2
)
2 3
3
3 2
3 = 2 También pudiste haberlo hecho así: 8 = 2 = 2 2
b)
3
32 = 3
c)
5
−32 = 5 ( −2 )5 = ( −2 ) 5 = −2
d)
3
e)
3
5
3
1 3
( 9 ) = 3 ( 9) 3
1 − =3 64 1
1 3
1 3
2 3
= 3 (3) = 3
1 2 + 3 3
=3
3
3
1 1 1 3 − = − = − 4 4 4 1
1
2 2 48 48 2 ( 4 × 3 ) 2 ( 4 ) 2 ( 3 ) 2 = 1 = = =4 1 1 3 2 2 2 3 3 3
f)
1
1
Actividad Convierte las expresiones con radical, a expresiones con exponentes fraccionarios. Simplifica si es posible. a)
3
9 =
d)
b)
5
7 4 =
e)
3
x 2 =
( x ∈ )
c)
3
( −125)2 =
f)
3
x 6 y 6 =
( x , y ∈ )
17 =
6
6 6 2 2 3 Seguramente en el ejercicio f) procediste así: x y = ( xy ) = ( xy ) 3 = ( xy ) = x y 6
3
3 6 6 6 También pudiste haber hecho lo siguiente: x y = x 3
6
3
2
6
y6 = x 3 y 3 = x2 y2
Puedes notar que las leyes de los exponentes son las que más se emplean. Si las utilizas correctamente, puedes poco a poco ir desarrollando ejercicios más complejos.
Noveno Grado - Matemática 67
UNIDAD 5 Ejemplo 3 Suponiendo que las variables son positivas, simplifica cada expresión. Expresa la respuesta de manera que sólo haya exponentes positivos. 1 1 1 x 2 y )3 ( −1 13 − 12 13 43 2 2 2 4 a) x x x b) ( xy ) ( x y ) c) d) 4 x y 2 ( xy 2 ) 3
(
)
3 2
Solución:
3
1
− 12 + 13 + 43
a)
x −2 x 3 x 4 = x
b)
( xy ) ( x y )
1
1 4
2
(x y ) c) ( xy )
2
2
d)
1 3
2 3
=
(4x y ) −1
1 3
2
1 2
3 2
Ejemplo 4
( )( y y ) = x
1 1 1 2 1 2 1 = x 4 y 4 x (2) y (2) = x 4 x
2
1
2 3
4 3
x3 y3 x y
7
= x 12
=
2
− 32
4 3
− 13
x 3x y y
=
x0 y
3 3
1 4
5 4
y 4 = ( xy ) 4
5
5
1 y
=
1
1
1
y2
y 2 y 2 = 4 x y = 4 3 = 64 3 = 8 3 x x x2 3 2
− 32
1 2
3
Escribe los radicales como exponentes racionales y simplifica. a)
(a b )
3 4 3
( 5 y )(3 y ) 3
b)
Solución: b)
3
3
3
(a 3b 4 ) = (a 3b 4 ) 2 = (a 3 ) 2 (b 4 ) 2 = a 3
a)
( 5 y )(3 y ) = 5 y 3
1 2
c)
3 3 2
b
3 4 2
x x 9
= a 2b 6
1 1 5 + 13 2 3 6 3 y 15 y 15 y = = 1
3 32 c) x x = x ( x ) = x = x 2 = x 4 Intenta resolver los siguientes ejercicios:
2
Actividad
Traslada las expresiones con radical a su equivalente con exponente fraccionario y simplifica. a)
( x )( x ) x2 y2
b) c)
3
(x y ) 3
2
y
4
d)
3 2
1 2
x 4 ( 3x ) 2 x3
e) Evalúa el producto
2 50
68 Matemática - Noveno Grado
Abonemos un poco más a la comprensión de nuestra regla. Suponte que en el ejercicio a) hubieras tenido una expresión como:
( a )( a )( a ) = ..., 3
3
3
1 1 1 1 1 1 Hubieras procedido: a 3 a 3 a 3 = a 3 + 3 + 3 = a 1 = a O bien:
14 14 14 14 1 a =a a a a =a =a
( a )( a )( a )( ) 4
4
4
4
UNIDAD 5 Resumiendo tienes que:
( a ) =a ( a ) =a 2
( a ) =a
3
3
4
4
Esta secuencia de resultados justifica un poco más la definición de expresión con radicales: “la potencia n de un radicando a, con índice radical n, tiene como resultado el radicando a”
Exprésalo aquí:
¡Muy bien!
Ahora practicarás con los exponentes racionales en el sentido contrario, es decir: convertir en radical, una expresión racional.
Conversión de potencias en exponentes fraccionarios a expresiones con radicales Se trata de utilizar nuestras definiciones: 1 n
2
4 2 2 32 3 3 5 x 5 x 5 x 53 x 4 c) = = = 3 3 2 34 y3 4 2 y y y
m n
a = n a y a = n am
En casos como los siguientes: 1
2
a3 = 3 a
a 5 = 5 a2
=
53 x3 3 x
y2
Realiza algunos ejercicios en este sentido.
Ejemplo 5
( 5x )
Solución: a)
3 − 2
1 2 2 x d) 1 1 6 3 z y
2 3
1 2
2 3
1 2
( 4 x )(3 x ) = 12 x x = 12 x 3
( 5 x )− 2 =
1
( 5x )
3 2
= = =
=
1
=
1 2 + 2 3
= 12 x = 12 6 x 5
( 5x )
3
1 53 x 3
=
1 1 2 2 2x 2x 2 2x d) = 1 1 = 1 2 1 1 6 3 2 2 z y z 6 y 3 z 3 y 3 2x = 3 z 3 y2
2
5 6
b)
5x 3 x y y
2
Expresa en forma de radical las potencias fraccionarias y 2 simplifica: 32 2 1 5x a) 4 x 2 3 x 3 c) 3 4 y b)
y
=
1
( 5 x )2 ( 5 x )
1
( 5 x )2 ( 5 x )
2x 3
zy 2
Puedes observar en las respuestas de los ejercicios resueltos, que los exponentes de las variables del radicando, son siempre menores que el índice del radical. Por ejemplo la respuesta del literal a) es 12 6 x 5 ; y es claro que 6 es mayor que 5. Cuando este se cumple es que puedes decir que la simplificación ha terminado. No puedes considerar que hayas terminado, si tienes por 4
5
ejemplo 3 x y ; también si hay un producto o cociente de radicales que tienen el mismo índice deben reunirse en un solo radical.
1
5x ( 5x )
Noveno Grado - Matemática 69
UNIDAD 5
3
Actividad
Expresa en forma de radical las potencias fraccionarias y simplifica. 2 a) ( 4 x ) 8b 5 1 2
25 d) b
−
3 4
3 3 b) −2a 4 5a 2
−2 x 3 e) 1 1 y 2z 6
2
3 y −2 f) − 13 4x
4
1
33 c) z 4
−1
Ejemplo 6 Calcula el valor de las expresiones: a)
− 4 x 3 + 3 x 3 + 2 x 0 para x = 8
b)
3a − 2 + a 2b −3 + a 0b 3 para a = 4, b = 1.
2
1
1
1
Solución: a)
= = =
−2
4 3
x
2
4 3
8
2
4 3
43
b)
1
4 x 3 + 3x 3 + 2x 0 =
4
x
2 3
+33 x +2
+33 x + 2 +33 8 +2
Sustituyes x = 8
+ 3( 2 ) + 2 = 1 + 6 + 2 = 9 1
3a − 2 + a 2b −3 + a 0b 3 = 1
3 1
a2
+
a 2 13 +b b3
3 a2 3 + + b Sustituyes a = 4 y b = 1 a b3 3 42 3 3 = + 3 + 1 = + 16 + 1 4 1 2 37 = 2 =
70 Matemática - Noveno Grado
UNIDAD 5
Resumen En esta lección has continuado enriqueciendo tus conocimientos sobre los radicales. Aunque quizás lo más importante que has obtenido ha sido la extensión de la potenciación con exponentes fraccionarios y su equivalente como expresión con radical. 1 5
Ahora sabes que 9 no puede ser otra cosa más que 5 9 ; y a su vez 5 9 no puede ser otra cosa más que 9 . 1 5
2 5
De igual forma conoces ahora que 4 es igual a 5 4 2 y viceversa. Nota que de acuerdo a esto se pueden dar otras equivalencias, por ejemplo: 5
4
4 2 = 5 2 4 = 2 5 , que es conforme con las leyes usuales de los exponentes, ya que:
2 5 = ( 22 ) 5 = 4 5 2
4
2
En muchas simplificaciones de expresiones algebraicas, resulta muy útil el empleo de estas equivalencias. A veces una expresión con exponentes fraccionarios, se desarrolla mejor si la pasas a su equivalente con radicales, en otras la expresión con radical se trabaja mejor si la pasas a expresión racional. Observa los siguientes ejemplos:
( 32) = 5 ( 32)2 = 5 ( 25 ) = 5 ( 22 ) = 5 4 5 = 4 2
2 5
6
3
4 4 = 4 2 = 43 =
5
( 4 ) =2 =8 3
3
Las reglas más importantes de esta lección: 1 n
m
a = a ; n
an =
( a) n
m
Noveno Grado - Matemática 71
UNIDAD 5
Autocomprobación 2 4 2 Al simplificar la expresión 3 x y 3 x y obtienes:
3
( ) 1 4
27 3 = 3
3
1 2 d) = 8 4
y 3x 6
1 3
x y
y3 x x2 3 b) 5 y2
, obtienes: c)
53 y
y3 x x d) 5 y
3. d.
5x y 3
5 xy 3
4
2 3
Al sustituir x = 8 en la ecuación x + obtienes:
16 0 +3 x x
30 b) 6 c) 14 d) 10 a)
2. b.
Al simplificar a)
1 4
b)
1
9 = 27
4 2 3 c) = 9 2
1. a.
2
3
−1
3 2
a)
x2 y 2 2 b) x y 2 3 2 c) ( x y ) a)
d)
Señala cuál de las igualdades es incorrecta:
Soluciones
1
4. c.
RADICALES EN LA GEOMETRIA Una aplicación de los radicales en la geometría, consiste en encontrar uno de los lados de un triángulo, así: Si se conoce el lado de un triángulo equilátero su a altura h se calcula mediante h = 3 2 En efecto utilizando el teorema de Pitágoras se a 2 a2 tiene: h 2 + = a 2 , h 2 = a 2 − 2 4 2 3a 2 , luego h = 3a = a 3 h = 4 2 4 Un ejemplo es el Triángulo de las Bermudas. 2
72 Matemática - Noveno Grado
Lección 3
Quinta Unidad
Operaciones con radicales Motivación
S
¿ e pueden sumar y restar los radicales? Investiguemos si puede hacerse. Suponte que por alguna suerte de sortilegio “la raíz cúbica de 5 es igual a una sandía” 3 5 = 1 sandía. Obviamente esto te obliga a aceptar que si tienes 4 3 5 , entonces eres el orgulloso dueño de 4 sandías. Por lo tanto una operación tal como 4 3 5 − 3 5 = 3 3 5 , es una operación correcta. De igual manera 4 3 5 + 2 3 5 = 6 3 5 Indicadores de logro: Identificarás, reducirás y efectuarás operaciones con radicales semejantes con seguridad.
Extraerás con seguridad factores de un radical.
Radicales semejantes En la situación anterior observaste que si es posible operar con sandías; es decir con 3 5 ; pero, ¿se podrán realizar las siguientes operaciones? a)
4 3 5 + 2 3 7 = ...
b)
4 3 5 − 2 5 = ...
c)
2 3 5 − 3 40 = ...
Verás que sólo una es posible. En el literal a), 5 y 7 son números primos muy diferentes, por lo tanto 3 7 no puede ser una sandía. No se pueden sumar en el literal b); el análisis es más fácil “la raíz cuadrada de 5, no puede ser igual a la raíz cúbica de 5”. No se pueden restar. De acuerdo a lo que se ha dicho, es el literal c) el que se puede operar, observa: 2 3 5 − 3 40 = 2 3 5 − 3 8 × 5 = 2 3 5 − 3 8 3 5 = 2 3 5 − 2 3 5 = 0 Puedes decir que
3
3 40 es un término que tiene un radical semejante con 5 .
La siguiente definición es la que utilizarás para identificar radicales semejantes. Los radicales son semejantes si tienen iguales sus índices y también iguales sus cantidades subradicales.
Noveno Grado - Matemática 73
UNIDAD 5 Ejemplo 1 Son semejantes los radicales: a) 18 y 72
b)
18 y 128
Solución: Si los radicales tienen el mismo índice lo que debes hacer es trabajar con la cantidad subradical. Un mecanismo consiste en descomponer los radicandos en sus factores primos. a)
18 9 3
2 3 3
3 ×2 =3 2 2
Son semejantes.
72 36 18 9 3
2 2 2 3 3
( 2 )(3 )2 = 2(3) 2
2
2 =6 2
128 2 64 2 32 2 26 ( 2 ) = 8 2 16 2 8 2 4 2 Son semejantes. 2 2 Entonces, ¿cuándo es que se pueden sumar y restar radicales? b)
18 = 3 2
Cuando los términos que vas a sumar o restar tienen radicales semejantes. Por supuesto que, la mayoría de las veces tienes que utilizar las reglas de radicales para simplificar totalmente el radical dado, hasta que se convierta en un término con un radical semejante al término que quieres operar del radicando. La descomposición en factores primos, debe ser el primer paso. Por ejemplo: 12 − 3 = 4 × 3 − 3 = 4 × 3 − 3 = 2 3 − 3 = 3
Ejemplo 2 Efectúa las siguientes operaciones, si es posible. a)
18 + 72
b)
72 − 128
c)
4x 2 y + 9 y 3
Solución: a) Como ya trabajaste los radicales
18 y 72 en el ejemplo 13, tienes que
18 = 3 2 y 72 = 6 2 . Como son radicales semejantes puedes sumarlos así:
18 + 72 = 3 2 + 6 2 = ( 3 + 6 ) 2 = 9 2
74 Matemática - Noveno Grado
UNIDAD 5 b) De la misma forma:
1
Actividad
72 − 128 = 6 2 − 8 2 = ( 6 − 8 ) 2 = −2 2 c) Primero tienes que utilizar las reglas de radicales
Suma, resta y simplifica las siguientes expresiones.
para ver si éstos son semejantes.
4 x 2 y = 22 x 2 y = 2 x y ya que la 22 x 2 = 2 x
a)
9 y 3 = 32 y 2 y = 3 y y utilizaste la propiedad
b)
y 2 y = y 3 ; y además que 32 y 2 = 3 y
9 3 + 4 3
d)
3
24 + 3 −81 + 3 4
e)
3
8c 5d − 3 27c 2d 4
3 24 − 54 + 300 f)
3
8 x 4 + 3 xy 6
3 − 48 + 12
c)
Luego los radicales son semejantes y puedes sumarlos 4 x 2 y + 9 y 3 = 2x y + 3 y y = ( 2x + 3 y ) y
Ejemplo 3 Suma, resta y simplifica las siguientes expresiones con radicales. a)
5 3 7 − 3 3 7 + 3 7
c)
b)
3 10 + 4 90 − 5 40
d)
a 25a − a 3 4 x 2 y − 25 xy 2 + x 2 y + 16 xy 2
Solución: a)
5 3 7 − 3 3 7 + 3 7 = ( 5 − 3 + 1) 3 7 = 3 3 7
Encuentras todos los factores de los radicandos:
b)
10 5 1
3 10 + 4 90 − 5 40 2 5
3 2( 5 ) + 4 32 ( 2 × 5 ) − 5 2 2 ( 2 × 5 )
90 45 15 5 1
2 3 3 5
40 20 10 5 1
2 2 2 5
3 10 + 4 × 3 10 − 5 × 2 10 = 3 10 + 12 10 − 10 10 = 5 10 c)
a 25a − a 3 = a 52 a − a 2a
d)
= 5a a − a a = ( 5 − 1)a a = 4 a a
4 x 2 y − 25 xy 2 + x 2 y + 16 xy 2 = 4 x 2
y − 25 y 2 x + x 2
y + 16 y 2 x
= 2x y − 5 y x + x y + 4 y x
= 2x y + x y + 4 y x − 5 y x
= ( 2 + 1) x y + ( 4 − 5 ) y x
= 3x y − y x
(
) (
)
Noveno Grado - Matemática 75
UNIDAD 5
2
Actividad
Realiza las sumas del término de fila con el término de columna y completa la tabla. Sólo llena los recuadros de aquellos resultados que provienen de radicales semejantes. En los dos primeros cuadros de la segunda columna tienes un ejemplo: 2 x 2 + x 8 = x 2 + x 22 ( 2 ) = x 2 + 2 x 2 = 3 x 2
3
2 y 4 + x 8 : Blanco. No hay radicales semejantes. 18
x 8
x 3 16 y
2x 2 3
2 y4
x 0 8x 4
El siguiente ejercicio tienen un poco de dificultad pero te servirá para observar como se pueden combinar los conocimientos adquiridos y trascender en el manejo del álgebra. Digamos que se trata del uso de los radicales semejantes en la solución de una ecuación, que termina siendo cuadrática.
Ejemplo 4 Resuelve la ecuación: 2
1
x 3 − 4x 3 − 5 = 0
Solución: 2
1
x 3 − 4x 3 − 5 = 0
(x ) − 4x 1 3
2
( x ) −4 3
2
1 3
3
− 5 = 0 Regla de exponentes fraccionarios.
x − 5 = 0 Equivalencia de exponente fraccionario con radical.
Ahora le pondremos un apodo a
3
x . Convengamos que 3 x = y
Sustituyendo en la ecuación tienes: y 2 − 4 y − 5 = 0 , que se ha convertido en una ecuación cuadrática. El camino que sigue ya lo conoces:
( y − 5)( y + 1) = 0 → y = 5 ;
76 Matemática - Noveno Grado
y = −1 son las soluciones.
UNIDAD 5
Pero recuerda que
3
x = y . Por lo tanto:
3
x = 5 → x = 53 = 125
3
x = −1 → x = ( −1)3 = −1
La solución para x es de la ecuación original es S = {125 , − 1} Es muy recomendable adquirir como costumbre, que siempre que resuelvas una ecuación debes comprobar si el conjunto solución que has encontrado satisface la ecuación dada. En el presente caso: Si tenemos:
(
3
)
2
125 − 4 3 125 − 5 =
( ) 3
2
53 − 4 3 53 − 5 = 5 2 − 4 ( 5 ) − 5 = 25 − 20 − 5 = 0
Si x = −1
(
3
)
2
−1 − 4 3 −1 − 5 = ( −1)2 − 4 ( −1) − 5 = 1+ 4 − 5 = 0
Observa que en efecto los dos valores satisfacen la ecuación. En la operatoria de radicales tú puedes también echar mano de otros conocimientos que ya tienes, por ejemplo, la ley distributiva de los números:
ab + ac = a (b + c )
Ejemplo 5 Encuentra la respuesta de la siguiente expresión con radicales
Solución:
43 a ( 2a + 1) + 2 3 a 4 3
43 4 a ( 2a + 1) + 2 3 a 4 = 3 a ( 2a + 1) + 2 3 a 3 3 a Ley del producto de radicales 3 3 43 = a ( 2a + 1) + 2a 3 a Raíz n de una potencia n 3 2 = 2 3 a ( 2a + 1) + a Aplicas Factor Común 3 4 2 Reduces términos semejantes = 2 3 a a + + a 3 3 7 2 = 2 3 a a + 3 3 2 = 3 a [ 7a + 2 ] 3
Noveno Grado - Matemática 77
UNIDAD 5
Extracción de factores de un radical De hecho esta operación la has venido haciendo, al realizar las simplificaciones en los n n ejercicios. Te has amparado en la definición a = a , que en palabras puedes traducir: “En la radicación, si el índice del radical es igual al exponente a que está elevada una cantidad o variable en el radicando, entonces esa cantidad o variable sale del radicando”. 3
7 3 = 7 ;
5
25 = 2 ;
4
54 = 5 ;
7
(−x y ) 2
7
= −x 2 y
Has visto que también es válida si varios factores tienen potencias iguales al índice, es decir: 3 π 3 x 3 y 3 = π xy Lo que nos resta para hacer más práctico el proceso de simplificación es que, si los factores tienen exponentes m que son múltiplos del índice n, entonces el factor sale del m radical con exponente n Esto es: 6 6 6 3 π 6 x 6 y 6 = π 3 x 3 y 3 = π 2x 2 y 2
Ejemplo 6 Simplifica a)
5
b)
x 12 y 6
c)
400 x 7 y 4
d)
4
8x 3 4 x 2 9a 6b −4
Solución: a)
5
10
x 12 y 6 = 5 x 10 x 2 y 5 y = x 5 y 5 5 x 2 y
5
=x2 y 5 x2 y 400 x 7 y 4 = 2 4 ( 52 ) x 6 ( x ) y 4 = 22 ( 5 ) x 3 y 2 x
b)
= 20 x 3 y 2 x c)
4
8 x 3 4 x 2 = 4 8 x 3 ( 2 x ) = 4 16 x 4 = 4 24 x 4 = 2x
d)
2
6
−4
9a 6b −4 = 32 a 6b −4 = 3 2 a 2 b 2
3a 2 = 3a b = 2 b 2 −2
78 Matemática - Noveno Grado
UNIDAD 5
3
Actividad Simplifica hasta que el exponente del factor sea menor que el índice del radical. a)
5
b) c)
3
a 7b 11 =
d)
250 x 7 y 4 =
e)
a 2b 3 a 4b =
f)
16 x 4 y 2 = 3
27c 2d 4 − 3 c 8d = 27a 3 27a 6 =
Resumen En esta lección has aprendido a identificar radicales semejantes y utilizar tus conocimientos para reducir o simplificar expresiones con radicales. También has adquirido mejores herramientas para extraer factores de un radical. Hay algunas cosas importantes a remarcar: Los factores dentro del radical debes descomponerlos en factores con exponentes que sean múltiplos del índice del radical. De esa manera podrás extraerlos del radical. Dentro del radical no deben quedar factores con exponente mayor que el índice del radical. Simplifica el radicando antes del proceso de extracción de factores:
4
4 8 x 9 y 7 4 9−1 7−3 4 8 4 = x y = x y =x 4 y4 =x2 y 3 xy
3
3 xy 2 3 y 2− 2 3 1 1 1 3 = = =3 = 4 2 4 −1 3 3x 3x 81x y 81x 27 x 3
Debes recordar que para lograr mayor confianza y seguridad en tus procedimientos de solución tienes, necesariamente, que practicar y realizar suficientes ejercicios.
Noveno Grado - Matemática 79
UNIDAD 5
Autocomprobación
1
11 7 Al simplificar 5 x y obtienes:
a) b)
x2 y2 2
x y
5
5
xy
c) x
2
xy
2
y
d) xy 2
5
5
x2 y
3
xy 2
Selecciona la igualdad que no se cumple: a)
3
( −5)3 = −5
b)
4
( b ) =b 3
4
3
8 x 3 y 6 = 2 xy 2 1 d) 6 x = 36 x 2 c)
4
a)
3
b)
3
c)
23 2
d)
−3 2
2 54 − 16
El resultado de simplificar 2b 3 8b 6 es: 6
16b 6 b) 2b b c) 2b d) 4b b a)
2. a.
54 − 3 16 es igual a:
1. b.
3. d.
3
Soluciones
2
3
4. b.
DISTANCIA AL HORIZONTE La curvatura de la Tierra limita la distancia que se puede ver desde un edificio. Una fórmula que calcula la distancia máxima es d = 2rh + h 2 donde h: es la altura del edificio y r es el radio de la Tierra. (r = 6375 km) Si tanto d, r y h se miden en km, ¿qué distancia máxima se observaría desde la azotea de un edificio de 500 m?
d = 2( 6375 )( 0.5 ) + ( 0.5 )2 = 79.8 km ¿Cuál es la distancia máxima que se puede observar desde la azotea de un edificio de 100 m? Verifica d = 35.71 km.
80 Matemática - Noveno Grado
Quinta Unidad
Lección 4 Factores de los radicales
Motivación
C
¿ ómo se introducen factores dentro de un radical? Un número real a, se encontraba de paseo por una carretera cuando de pronto se topó con un túnel, donde había una enorme “raíz quinta”. Si no te conviertes en una “potencia cinco”, no te dejo pasar le dijo la raíz quinta. El número real vio que la cosa iba en serio, así que no tuvo 5 más remedio que hacer: ( a )( a )( a )( a )( a ) = a entrar al radical, invocar la ley de extracciones de factores de un radical y salir como si nada del otro lado del túnel.
Indicadores de logro: Introducirás factores bajo el signo del radical, con confianza. Transformarás con seguridad los radicales empleando cambio de índices.
Racionalizarás con orden expresiones radicales.
Introducción de factores en un radical La operación contraria de extraer factores es introducir factores. De acuerdo a la lección anterior, para extraer los factores 4 6 de la expresión 3 8 x y procedías así:
3
8 x 4 y 6 = 3 23 x 3 xy 6 3
3
6
= 2 3 x 3 y 3 3 x = 2 xy 2 3 x Si ahora deseas hacer la operación contraria, es decir regresar los factores dentro del radical, (la x se ha quedado muy sola) bastaría con elevar cada factor a la potencia 3.
Noveno Grado - Matemática 81
UNIDAD 5 Ejemplo 1 Introduce los factores en el radical y simplifica el radicando. xy 5 a a) 2a 2 3b b) −3 x 3 2 xy c) d) a 4 xy 2
Solución:
( 2a ) 3b = ( 4a )3b = 2 2
a)
2a 2 3b =
b)
−3 x 3 2 xy = 3 ( −3 x )3 2 xy = 3 −27 x 3 ( 2 xy ) = 3 −54 x 4 y
c) d)
4
12a 4b
5 xy 5 x5 y5 x6 y6 xy 5 5 5 4 xy = ( 4 xy ) = ( 4 xy ) = 8 2 2 32
a = a2 a =
a
a 4a =
a5
En general puedes justificar este procedimiento empleando las reglas conocidas:
an b =
n
an n b =
n
a nb
Definición raíz n, de una potencia n
1
Regla del producto
Actividad
Introduce los factores en el radical y simplifica el radicando. a) b)
−3 xy 2 x =
c)
2 xy 2 3 x + y =
ab 2 3 2c = c a
d)
23
2=
Cambio de índice en un radical De acuerdo a las leyes cancelativas de los números reales, sabes que: 1 2 3 4 = = = = ... 3 6 9 12 Luego si a, es un número real, tenemos que: 1
2
3
4
a 3 = a 6 = a 9 = a 12 = ... Y ahora, de acuerdo a las leyes de los exponentes fraccionarios y su equivalente en forma de radical se tiene que:
82 Matemática - Noveno Grado
3
a = 6 a 2 = 9 a 3 = 12 a 4 = ...
UNIDAD 5 Has expresado un radical de índice 3, en radical de índice 6, índice 9, índice 12, etc. Es muy importante advertir que 6, 9, 12,…, son múltiplos de 3. Sólo puedes aumentar el índice del radical en múltiplos del índice del radical dado. 3
5
a No se puede aumentar a
, ya que 5 no es múltiplo de 3.
Los siguientes son aumentos válidos:
x = 4 x 2 = 6 x 3 = 8 x 4 = ...
b = 10 b 2 = 15 b 3 = 20 b 4 = ...
5
¿Crees que puedes deducir una regla? Por ejemplo: 3 ¿Puedes expresar 2 x 2 en radical índice 6?
¡Muy bien! ¡Sé que lo has hecho! Intentado ser prácticos puedes proceder también así:
2 x 2 = 3× 2 ( 2 x 2 ) = 6 4 x 4 2
3
¿Puedes escribir una regla ahora?
Nota lo siguiente: 6
4x 4 = 3
4x 4 = 3
( 2x )
2 2
= 3 2x 2
Se puede regresar a la expresión inicial.
Ejemplo 2 Incrementa el índice del radical dado, al índice señalado. Simplifica el radicando. 2 xy 2 a índice 8 b)
a)
3
4 x 2 y a índice 12
c)
5
2ab a índice 15
Solución: a) Para aumentar a índice 8, debes multiplicar el índice por 4
2 xy 2 =
4
( 2xy )
2 4
= 8 ( 2 xy 2 ) = 8 16 x 4 y 8 4
b)
3
4x 2 y = 3
c)
5
2ab = 5 3 ( 2ab )3 = 15 ( 2ab )3 = 15 8a 3b 3
4
(4x y ) 2
4
8 = 4 2
= 12 ( 4 x 2 y ) = 12 4 4 x 8 y 4 = 12 256 x 8 y 4 4
Noveno Grado - Matemática 83
UNIDAD 5
2
Actividad
Incrementa el índice del radical dado, al índice señalado. Simplifica el radicando. a)
3ab a raíz de 6:
c)
3
2 xz 2 a raíz de 9:
a 2b 3 a raíz de 10:
d)
3
ab 2 z a raíz de 7:
5
b)
Reducir el índice de un radical Se trata de realizar, si es posible, la operación contraria. Por ejemplo, dado un radical en índice 12 exprésalo como radical índice 3. Lo que es importante señalar ahora, es que el índice al cual se quiere reducir el radical debe ser submúltiplo del índice del radical inicial. Un índice 12 se puede reducir a índice 2, 3, 4 y 6. 6 3 El proceso es exactamente al revés. Si quieres reducir 8 x a índice 2, procedes así:
6
8 x 3 = 2× 3 8 x 3 =
3
8x 3 =
3
( 2x ) 3 = 2x
Ejemplo 3 Reducir el índice del radical dado, al índice menor posible. Simplifica el radicando.
a)
6
a 9b 3
b)
8
81a 4b 12
c)
18
a 12b 6 c 6
Solución: a) Los múltiplos de 6 son el 2 y el 3. Al observar el radicando puedes advertir que se
pueden extraer factores si el radicando se encontrara dentro de puedes hacer:
a 9b 3 =
3
a 9b 3 = a 3b
81a 4b 12 =
4
81a 4b 12 = 3ab 3
6
b)
8
c)
18
3
. Por lo tanto
a 12b 6 c 6 = 3×6 a 12b 6 c 6 = 3 6 a 12b 6 c 6 = 3 a 2bc
Has visto que puedes incrementar y reducir el índice de un radical. La regla general que puedes precisar y que en la práctica has venido utilizando la puedes deducir así: De los ejemplos particulares de la forma: Puedes establecer:
84 Matemática - Noveno Grado
n m
5 3
x 3 = 15 x 3
a m = n ×m a m ; m, n enteros
UNIDAD 5
3
Actividad Reduce el índice del radical dado, al índice menor posible. Simplifica el radicando. a)
4
x 2 y 2 =
d)
15
27 x 3 y 6 =
b)
4
16 x 4 y 2 =
e)
8
16 x 4 y 2 =
c)
6
9a 6b 4 =
Racionalización de radicales A menudo el denominador de una fracción contiene un radical. Por ejemplo:
2 3
Racionalizar el denominador de una fracción significa de manera simple, hacer 2 desaparecer el radical del denominador. En el caso de , hay que hacer desaparecer 3 3 del denominador. La clave para hacer está en multiplicar por un conveniente número 2 2 x +1 3 , Por ejemplo =1 =1 , 2 =1 x +1 3 2
( ) ( )
Para el caso de
2 , la racionalización se consigue haciendo 3
2 3 2× 3 × = 2 3 3 3
( )
=
2 3 3
Noveno Grado - Matemática 85
UNIDAD 5 Ejemplo 4 Racionaliza el denominador de la expresión y simplifica 2 1 1 a) b) 3 c) d) 3 4 5 x2
5
1 a2
e)
1 x +1
Solución:
1 1 5 = × = 5 5 5
a)
2 b) = 3 4
5 5
=
( 5) 2 ( 4 ) 2( 4 ) 2 2 × = = 4 ( 4) ( 4) 4 2
2
3
3
5
3
2
3
2
3
4
3
3
=
43 2 3 = 2 4
c) Hay una forma alterna y más rápida de resolver este ejercicio. Nota que sólo falta
una x en el radicando para completar x3 y que la x puede salir del radical. 1
3
d)
5
x
2
13 x
=
3
x
2 3
x
=
3 3
x x
3
=
3
x x
5 3 5 3 5 3 5 1 1 1 a a a = = × = = 2 5 5 5 3 5 2 5 2 a a a a a a
e) Este ejercicio es un poco diferente a los demás. Se debe multiplicar por
para que el radical pueda desaparecer. 1 x −1 x −1 x −1 × = = x +1 x −1 x −1 x +1 x −1
(
El producto en el denominador es:
(
)(
)
)( x − 1) = = ( x ) − 1= x − 1 x +1
x x − x + x −1
2
Revisemos un poco más nuestros procedimientos de racionalización Si el denominador tiene
Debemos multiplicar arriba y abajo por
x
x
86 Matemática - Noveno Grado
( a)
2
Para obtener en el denominador x a
3
a
3
a
3
a2
a
y2
5
y3
y
a −b
a +b
a −b2
a +b
a −b
a −b2
5
x −1 x −1
3
UNIDAD 5
4
Actividad
Racionaliza el denominador de la expresión y simplifica: a)
3 = 2
c)
1 = 3 x
e)
b)
3 = 20
d)
2 = x −1
f)
1 5
x2
=
7 = 3
Resumen En esta lección has aprendido a introducir factores dentro del signo radical, identificándola como la operación inversa de extracción de factores. Si el factor a introducir es a
Y el radical es
x
a2 y 5
y2 a2 b
El radicando queda así:
a2 7
3 3
7
x7 a
a2 3
(a y ) 2
5
3
= 3 a6 y3
5
5
a 2 5 a 10 b = b 5
Has revisado también variados ejemplos y desarrollado ejercicios relacionados con aumentar o bien reducir el índice de un radical. Debes recordar aquí que solo puedes aumentar el índice en múltiplos del índice del radical dado.
3
x = 6 x 2 = 12 x 4
Y en el proceso contrario solo puedes reducir un índice en sub-múltiplos del índice dado.
15
x 5 = 12 a 4 = 9 a 3 = 3 a
Finalmente has desarrollado, con seguridad y confianza, varios ejercicios de racionalización del denominador de una fracción.
Noveno Grado - Matemática 87
UNIDAD 5
Autocomprobación
2 3
2 3 3
3
6 3 3 3 d) 3 c)
Al introducir dentro del radical los factores de la expresión 2 xy 2
b)
4
4x y 4x 3 y 3
c) d)
4
y 3 xy
c)
3
xy 2
b)
x xy
d)
4
x4 y4
2 Al incrementar el índice de x y a 6 tienes:
3
a)
4
2
x4 y4
c)
2
2
b)
6
x 5 y 3
d) x 6
4x y
4x y y
3. a.
a)
2
x obtienes: y
a)
2. b.
b)
3
Al reducir el índice del radical al menor índice posible y simplificar la expresión 6 x 3 y 9 obtienes:
7
x 14 y 7 y3
1. c.
a)
2
3
2
Al racionalizar el denominador de 3 9 obtienes:
Soluciones
1
4. d.
RADICALES EN EL CALCULO DE VOLUMEN Algunos tanques subterráneos en las gasolineras tienen la forma de un cilindro circular recto y están colocados horizontalmente con la superficie. El volumen V de gasolina en el tanque está calculado mediante la fórmula 96 3 V = 40 h 2 − , donde h es la altura de la h 5 gasolina en pulgadas. Si al introducir una varilla de profundidad en el tanque la altura es h = 8 pulgadas ¿Cuánta gasolina hay en el tanque?
88 Matemática - Noveno Grado
Lección 5
Quinta Unidad
Operaciones con radicales Motivación
A Marcelo le han dejado la tarea de sumar los radicales siguientes:
3 6 4 ; − 5 3 2 ; 6 27 ; − 8 4 9 Él solo recuerda que hay que simplificar los radicales. ¿Puedes tú ayudarle a Marcelo a sumar estos radicales?
Indicadores de logro: Efectuarás sumas y restas de radicales con seguridad Efectuarás multiplicaciones y divisiones de radicales con destreza y seguridad.
Resolverás problemas utilizando radicales y sus operaciones con orden esmero.
Con una calculadora de bolsillo tu puedes hacer 2 + 3 , 2. 3 , 2 − 3 , obtener una respuesta rápida.
2 ,y 3
Sin embargo, si no dispones de calculadora o el profesor no te lo permite en esta etapa de tu estudio, debes conocer como proceder para realizar cualquier operación con radicales. Es lo que vamos a revisar en esta última lección.
Suma y resta de radicales En la lección 3 de esta unidad tú trabajaste con radicales semejantes. Si recuerdas: dos radicales son semejantes si tienen “igual índice e igual cantidad sub-radical o radicando” ¿Son radicales semejantes los siguientes? Responde falso (f) o verdadero (v) a)
2 5 y −8 5
d)
3
b)
7 3 xy y 2 3 yx
e)
5 3 −8 y 3 3 8
c)
−3 3
1 y 8 3 x −1 x
f)
3
32 y 32
32 y −5 3 2
Noveno Grado - Matemática 89
UNIDAD 5 Para realizar sumas y restas con los radicales solo debemos analizar las situaciones. Los índices y los radicandos son exactamente iguales 2 5 y −8 5 se pueden sumar y restar directamente. Suma : 2 5 + ( −8 5 ) = ( 2 − 8 ) 5 = −6 5
Resta : 2 5 + ( −8 5 ) = 2 5 + 8 5 = ( 2 + 8) 5
= 10 5 Los índices son iguales pero los radicando no lo son, aunque posiblemente lo sean si se simplifican. 32 y −5 3 2 se pueden sumar y restar pero debemos simplificar 3
3
3
32
32
3
(
)
23 .2 = 2 3 2
Suma: 3 32 + −5 3 2 = 2 3 2 − 5 3 2
(
)
= ( 2 − 5 ) 3 2 = −3 3 2
Resta: 3 32 −5 3 2 = ( 2 + 5 ) 3 2
Ejemplo 1 Suma, resta y simplifica las siguientes expresiones. a)
−10 12 + 2 3
b)
3 x 9 xy + 4 25 y d) 3 8 x 4 + 3 − x
a)
( −10 )( 2) 3 + 2 3
−20 3 + 2 3
( −20 + 2 ) 3
−18 3
b)
3 x 9 y + 4 25 y = 3 x 32 y + 4 52 y
= ( 3 x )( 3 ) y + 4 ( 5 ) y
= 9 x y + 20 y
= ( 9 x + 20 ) y
c)
3
16 a 4 − 2a = 3 23 .2.a 3 .a − 2a
Puede suceder que la simplificación del radicando no conduzca a un radical semejante. En ese caso no se puede realizar la operación.
d)
90 Matemática - Noveno Grado
16 a 4 − 2a
−10 12 + 2 3 = −10 4.3 + 2 3
24 + 3 3 2 = 3 23 x 3 + 3 2 = 2 3 3 + 3 3 2 y no son semejantes.
3
Solución:
=73 2
3
c)
3
= 2a 3 2a − 3 2a = ( 2a − 1) 3 2a
8 x 4 + 3 − x = 3 23 .x 3 x + 3 ( −1)3 x
= 2x 3 x − 13 x = ( 2 x − 1) 3 x
(y ≥ 0)
UNIDAD 5
1
Actividad Efectúa y simplifica las siguientes expresiones 32 x + 4 2 x 5
d)
b)
2 12 − 3 27
e)
c)
5 3 2 − 2 3 54
4
a)
8a 3 − 3 50a
(a ≥ 0)
3 8 x 3 − 18 xy 2 + 32 x 5
Producto de radicales El procedimiento en la multiplicación de radicales puede ser mucho más fácil que en las sumas y restas ya que no se necesite que los radicales sean semejantes. Vamos a considerar el siguiente esquema para desarrollar nuestro tema.
(
5
x y
)(
3
x y
5
4
)=
5
( x y )( x y ) = 2
3
4
5
x y
5
5
= xy
( x )( y ) = ( 3
6
x3
)( y ) = 6
2
6
x3 y2
El otro camino consiste en hacer uso de los exponentes
Los índices de los radicales son iguales son iguales. En este caso no hay problema pues basta que utilicemos nuestra regla de la raíz e-nésima de un producto. 2
Y ahora podemos hacer el producto cuando se tienen raíces iguales.
racionales y su forma equivalente como radical: n a m =a
m n
Retomando nuestro producto de arriba hacemos.
( x )( y ) = ( x ) ( y ) 1
1
1 3 2 3
1 2
=x y 3 2 los denominadores de los exponentes fraccionarios deben ser iguales (mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6) 3
3
3
1
2
1
3
1
Es muy fácil, ¿no es cierto?
= X 6 y 6 = ( x 3 )6 ( y 2 )6 = ( x 3 y 2 )6 = 6 x 3 y 2
Los índices de los radicales no son iguales, aquí si hay un pequeño problema, pero tenemos dos caminos que podemos seguir.
Puedes notar que hemos llegado al mismo resultado. Con un poco de práctica tú podrás utilizar cualquiera de los dos recursos para enfrentar los productos.
El primero consiste en incrementar los radicales a su mínimo común múltiplo. Por ejemplo si deseamos hacer el producto x 3 y debemos expresar los dos
( )( )
radicales como 6 , el mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6, y esto ya lo hicimos en la lección 4.
x=
3
x 3
= 6 x3
3
y=3
y2
= 6 y2
Noveno Grado - Matemática 91
UNIDAD 5 Ejemplo 2 Multiplicar los radicales y simplificar. a)
(3 6 )( 2 2 )
b)
3 x 2 12 x
c)
3 x 2 5 x
( ) e) ( 5 )( 9 ) d)
x 2 x −5 3
f)
2 y 3 4 y2
Solución: a)
(3 6 )( 2 2 ) = 6
6 2 = 6 6( 2 ) = 6 12 = 6 22 ( 3 ) = 12 3
(
)(
)
3 x 2 12 x = x 3 2 3 x = 2 x 3( 3 x )
b)
(
)(
)
= 2 x 32 x = 6 x x
3 x 2 5 x = 310 x 5 210 x 2 = 610 x 5 10 x 2
c)
= 610 x 5 x 2 = 610 x 7
(
e)
)
x 2 x −5 =2 x x −5 x
d)
( 5 )( 9 ) = 3
= 2 x 2 − 5 x = 2x − 5 x 6
53 6 92 = 6 53 92 = 6 10125
2 y 3 4 y 2 = 6 ( 2 y )3 6 ( 4 y 2 ) 2 = 6 2 3 y 3 4 2 y 4
f)
= 6 26 2 y 6 y = 2 y 6 2 y
2
Actividad
Multiplica los radicales y simplifica. a)
( 5 8 )( −3 3 ) =
d)
(
b)
5a 20a 3 =
e)
(
x 2 =
f)
(
c)
(6 x )(1−
92 Matemática - Noveno Grado
3
3
)
12 x 3
xy
)(
3
)( y ) = 5
)
2
)
x2 y2 =
x +1 =
UNIDAD 5 Ejemplo 3 Calcula el valor de las expresiones cuando x = 2, y = −1 a)
(
3
x+ y
)(
3
)
y − 1
b)
( x )( 3
1− 2 y
)
Solución:
( x + y )( y − 1) = ( x + y )( y − 1) = b) ( x )( 1 − 2 y ) = ( x ) (1 − 2 y ) = ( ) 3
a)
3
3
6
3
2
3
3
6
( 2 − 1)( −1 − 1) = 3 1( −2 ) = − 3 2
6
x 2 (1 − 2 y 3 ) = 6 22 (1 − 2( −1)3 = 6 4( 3 )3 = 6 108
División de radicales Para la división de radicales las estrategias son las mismas que para la multiplicación. Si los radicales tienen igual índice, empleas la regla de raíz e-nésima de un cociente.
3
2x 2 y 2
3
4x 2 y
=3
2 x 2 y 2 3 x 2−2 y 2−1 3 y = = 4x 2 y 2 2
Si los radicales no tienen igual índice, debes expresarlos en un índice común igual al mínimo común múltiplo de los radicales. 3
6 ( 3ab 2 )2 81a 4b 2 3 333a 3ab 2 32 a 2b 4 b 6 3 a = = 3a = = 3a 6 3 3 3 3 6 3ab 3ab 3ab 3a Simplificas exponentes. ( 3ab )
Ejemplo 4
Efectúa las divisiones y simplifica. 3 10 3 a) b) c) 2 10
3
Solución: a)
20 x 3 y 5x
6
d)
a 4b ab
10 10 = = 5 ; en este caso se podría haber seguido también el camino de 2 2 10 2 20 22 5 2 5 racionalizar al denominador. = = = = 5 2 2 2 2 2
3 6 32 6 32 6 9 = = = b) 10 6 10 3 10 3 1000 3
3
c)
5y 6
d)
20 x 3 y
=
6 ( 20 y )2 x 3 20 y 20 2 y 2 400 16 6 6 6 x x =x = = = x 3 3 5 y 125 y 5y 6 5y ( 5 y )3
6 4 a 4b a b 6 a 4b 6 a = = 3 3= 2 ab 6 ( ab )3 ab b
Noveno Grado - Matemática 93
UNIDAD 5
3
Actividad
Efectúa las divisiones y simplifica. a)
3
3
12 = 3 3
b)
12 = 3
c)
5
2 xy 2
3
2 xy 2
=
4
d)
a 2b 2 = ab
Ejemplo 5 80
Considera los siguientes triángulos semejantes:
Solución:
6+2 5
2+ 2 5 x
Por semejanza de triángulos puedes escribir: x 2+ 2 5 = 6+2 5 80 De aquí puedes despejar x: 2+ 2 5 x= 6+2 5 80
x= x= x=
(2 + 2
( ) 5 )( 6 + 2 5 ) 4 5
12 + 12 5 + 4 5 + 4 4 5
( 5)
Descompones 80
2
Efectúas la multiplicación.
12 + 16 5 + 20 4 5
Operas.
32 + 16 5 4 5 16 2 + 5 x= 4 5
x=
(
x= =
)
(
4 2+ 5 5
(
4 2+ 5
(
5
)⋅
)
4 x= 2 5+ 5
x=
(
5 5
¿Qué propiedad aplicaste en este paso?
Racionalizas.
5
( 5) ) 2
)
4 8 2 5 + 5 = 5 + 4 5 5
94 Matemática - Noveno Grado
Sumas.
Verifica las operaciones anteriores.
UNIDAD 5
Resumen Con esta lección has completado tus conocimientos sobre los radicales, sus reglas, operaciones y simplificaciones. Solo debes recordar algunas cosas: Para combinar y simplificar radicales en las sumas y las restas casi siempre tendrás que simplificar el radicando para obtener radicales semejantes. En el producto y la división de radicales la clave está en convertirlos en radicales con igual índice. Esté índice lo consigues al hallar el mínimo común múltiplo de los radicales implicados en la operación. Recuerda también que puedes recurrir a la equivalencia de exponentes racionales para resolver el problema. Por ejemplo:
(
4
xy
)(
)
xy 2 = ( xy ) 4 ( xy 2 ) 2 = ( xy ) 4 ( xy 2 ) 4 = ( xy ) 4 ( x 2 y 4 ) 4 = 1
1
1
(( xy )( x y )) = ( x y ) 2
4
1 4
3
5
1 4
2
1
1
= 4 x3 y5 = y 4 x3 y
Noveno Grado - Matemática 95
UNIDAD 5
Autocomprobación Al efectuar la operación y simplificar 5 8 − 2 32 se obtiene: es:
Al operar y simplificar 2 x 6 xy 3 obtienes:
a)
2 2 c) 8
a)
4
( 4 x 2 )( 6 xy 3 )
c)
2 3 y xy
b)
3 8 d) 3 4
b)
2 xy 2 3
d)
2 xy 3 y
Selecciona la igualdad que es correcta. a)
18 − 8 = 2 c) 4 27 4 9 = 3
b)
x +1 = 1 x
d)
x = 2x 2x
3. d.
4
3 Al operar y simplificar 2 xy ÷ 3 2 y obtienes:
a)
6
2x 3 y
c)
y 6 2x 3 y
b)
6
x 3 y 7
d)
y 6 xy
2. a.
2
3
1. a.
Soluciones
1
4. c.
CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS Cuando se deja caer un objeto libremente desde la azotea de un edificio de altura h conocida, tú puedes calcular muy fácilmente el tiempo (en segundos) que
1 2
tarda en llegar al suelo.Así h = gt 2 dado que (g es la aceleración de la gravedad en
m y t indica s2
el tiempo en segundos) al despejar t obtienes un radical: t =
2h con g = 9.8 m/s2 g
si el edificio tiene 100 mts de altura entonces:
t=
96 Matemática - Noveno Grado
2(100) = 4.5 seg 9.8
Solucionario Lección 1 Actividad 1 a)
3
−27 = ( −3 ) = −3
d)
4 1 1 1 = − 4 4 = − 2 16 2
e)
( −3)6 = 3
f)
b) − 4 c)
6
3
3
5
3
32 = 2
g)
3
64 = 2 8
0.64 = 0.8
h)
4
81 = 3
83 = 8
i)
7
−1 = −1
j)
8 3 23 2 = = 27 3 33 3
3
Lección 2 Actividad 1 2
a)
3
9 = 3 32 = 3 3
b)
5
7 4 = 7 5
c)
4
3
( −125 )2 = ( −53 ) = ( −5)3× 3 = ( −5)2 = 25 2 3
1
17 = 17 2
d)
Actividad 2 a)
( x )( x ) = ( x )( x ) = x 1 2
2
c)
1 2
1 1 2+ 2
3
(x y ) 3
2
= x = x d)
2
Actividad 3
6
2
e)
3
x2 =x 3
f)
3
x6 y6 = x 3 y 3 = x2 y2
6
6
2 2 1 x 4 ( 3x ) 2 = x ( 9x 2 ) = 3 2 x 2 x 2 = 3x x 3 x
2 2
x 2 y 2 = x 2 y 2 = xy
b)
2
( )
2 50 = 2 2 5 2 2 2 = 5 2 2 2 + 2 = 5( 2 ) = 10 1
e)
2
1
2
1
1
6
y4 = 3 x6 y6 = x 3 y 3 = x2 y2
(
)
(
)
−
3 4
2 a) ( 4 x ) 8b 5 = 4 x 8 5 b 2 = 2 x 8 5 b 2 = 16 x 5 b 2
2 d) b 5
3 9 8 1 32 4 4 4 b) −2a 4 a a a a = −10a 2 4 a 5 = − 10 = − 10
−2 x 3 16 x e) 1 1 = 2 y y 2z 6
3 2 1 × 34 3 4 3 2 c) z = z = z = z
3 y −2 3−1 y 2 4 y 2 = f) 1 1 = 3 4 x − 3 4 −1 x 3 3 x
1 2
2
1
1
= 4
b
2 3 × 5 4
1
=
b 3
3 10
= 10
1
b
3
= 10
1 b3
x z2
−1
Lección 3 Actividad 1 a) b) c)
9 3 + 4 3 = ( 9 + 4 ) 3 = 13 3 3 − 48 + 12 = 3 − 4 3 + 2 3 = − 3 3 24 − 54 + 300 = 6 6 − 3 6 + 10 3 = 3 6 + 10 3
Noveno Grado - Matemática 97
Solucionario d)
3
24 + 3 −81 + 3 4 = 2 3 3 − 3 3 3 + 3 4 = − 3 3 + 3 4
e)
3
8c 5d − 3 27c 2d 4 = ( 2c − 3d ) 3 c 2d
f)
3
8 x 4 + 3 xy 6 = ( 2 x + y 2 ) 3 x
Actividad 3 a)
5
b)
a 7b 11 = ab 2 5 a 2b
c)
250 x 7 y 4 = 5 x 3 y 2 10 x
d)
3
3 8 3 2 4 2 3 2 a 2b 3 a 4b = 3 a 6b 2 = a 2 3 b 2 e) 27c d − c d = ( 3d − c ) c d
16 x 4 y 2 = 4 x 2 y
f)
27a 3 27a 6 = 9a a
Lección 4 Actividad 1 a)
− 18 x 3 y 2 b)
3
Actividad 2
2a 2b 6 c2
c)
3
8x 3 y 6 ( x + y )
d)
23
2 = 3 23 2 =
3
27
a) 6 27a 3b 3 b) 10 a 4b 6 c) 9 8 x 3 z 6 d) no se puede, ya que 7 no es múltiplo de 3.
Actividad 3 xy
a)
a 3 3b 2
5
3 xy 2
e)
2
(
)
e)
d)
( 2a − 15 ) 2a
e)
d)
5 8 2 x 6 27 xy 4 e) 15 x y
b)
2x y
c)
b)
15 10
c)
x2 x
d)
c)
− 3 2
b) 10a 2
c)
3
16 3
c)
15
d)
Actividad 4 6 2
a)
Lección 5
3
x +1 x −1
4
4x 2 y
5
x3 x
f)
21 3
Actividad 1 a)
( 2 + x ) 4 2 x b) −5 3
( 6 x − 3 y + 4 x 2 ) 2x
Actividad 2 a)
−30 6
Actividad 3 a)
3
4
b)
6
98 Matemática - Noveno Grado
x −x 1 4x 2 y 4
d) 1
f)
x + 2 x +1
Proyecto Te habrás dado cuenta en los supermercados que muchos productos sobre todo los líquidos, tales como: agua, leche, bebidas gaseosas, cervezas, etc. son presentados en envases que tienen formas de poliedros y sólidos geométricos. Según sea la cantidad de producto que se desea ofrecer, así son las dimensiones del envase. Tu proyecto consiste en fijar un volumen de producto a ofrecer al público; y una vez fijado, calcular las dimensiones que debe tener el envase. Te doy un ejemplo: quieres vender un queso cuya presentación tenga forma de pelota y un volumen de queso de 2,145 cm3, ¿Cuál debe ser el radio de la pelota? 4 4 La fórmula del volumen de una esfera es V = π r 3 ; luego 2 ,145 = πr 3 . Por lo 3 3 3( 2 ,145 ) 3 3 → r = 512.08 = 8 cm . tanto r = 4π ¿Estamos de acuerdo en lo que tienes que hacer? Deseas vender conos de sorbete con una altura de 10 cm y un volumen de . ¿Cuál debe ser el radio? Deseas vender una bebida gaseosa en envases cilíndricos de 6.4 cm de diámetro y un volumen de , ¿cuál debe ser la altura del envase? Quieres vender leche de soya en envases con forma de pirámide cuadrada de altura 8 cm y un volumen de , ¿cuál debe ser la longitud del lado de la base?
r 0
v h
g
Superficie lateral Base
b
Noveno Grado - Matemática 99
Recursos Dennis G.Zill y Jaqueline M. Dewar, Álgebra y Trigonometría, segunda edición, Mc Graw Hill, Bogotá 2000. Stewar, Redlin y Watson, Precálculo, tercera edición, Thompson, México 2001. Sullivan, Álgebra y trigonometría, séptima edición, Pearson Prentice Hall, México 2006. William Mendoza y Gloria Galo de Navarro, Matemática básica PreUniversitara 8ª reimpresión; UCA editores, El Salvador 2007. www. didactika.com www.descartes.com http://es.wikipedia.org/wiki/Marie-Curie
100 Matemática - Noveno Grado
UNIDAD 5
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Noveno Grado - Matemรกtica 101
UNIDAD 5
102 Matemรกtica - Noveno Grado