Nueva generacion matematicas 1 by Realtronix

© D.R. 2014, Editorial Terracota, S.A. de C.V. Cerrada de Félix Cuevas 14 Col. Tlacoquemécatl del Valle, 03200 México D.F. Tel.: (55) 5335 0090 © 2014, Lidia Reyes García Dirección editorial: Rosa María Núñez Ochoa Coordinación editorial: Blanca Luz Torres Cano Edición: Gabriela Valentina Martínez Alemán, Griselda Ortigoza Alcalá, Enrique Estrada Mendoza (Io Biaani Bonifaz Chávez) Colaboración Especial: Diana Paloma Díaz Pérez, Manuel Vladimir Vega Blanco, Tania Pérez Rivera, Carmen Rivas Martínez Estilo: Eduardo Mendoza Tello, Xiomara Ballesteros Quezada, José Manuel Betancourt Linares

© D.R. 2014 por Cengage Learning Editores, S. A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Gerente de diseño y producción: Jeanette Vázquez Gabriel

Matemáticas 1 (serie Nueva Generación) Primera edición 2014 Lidia Reyes García

Diseño de interiores: Martha E. García Barrera © Editorial Terracota S. A. de C.V. © Cengage Learning Editores, S. A. de C.V.

ISBN: 978-607-519-229-1

Diagramación: Fusión Diseño / Martín Morales (Alejandra Bolaños), Sara Ortega, Judith S. Durán

Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Fernando Valenzuela Migoya

Ilustraciones: Ana Paula Dávila, Hugo Leyva, Jesús Enrique Gil de Maria y Campos

Director Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica: Ricardo H. Rodríguez

Fotografías: Glow Images Royalty Free, Stock.Xchange, Wikki Common

Director General de Cengage México: Enrique Fernández Calero

Diseño de portada: Studio Dos Gráfica Alterna S.A. de C.V. Fotografía de portada: ©TomZa/shutterstock

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Impreso en México 2017 10 9

2016 8 7

2015 2014 2013 6 5 4 3 2

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Bibliografía Índice Índice Presentación para el alumno

Presentación para el profesor

4 12

Bloque 1

Manejo de la información Evaluación de bloque

Lecciones

Página

Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

Lección 1 Conversión de fracciones y decimales

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

Lección 2 Fracciones y decimales en la recta

Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

Lección 3 Suma y resta con fracciones

Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

Lección 4 Reglas generales de sucesiones

Explicación del signiﬁcado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.

Lección 5 Lenguaje algebraico

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

Lección 6 Uso del juego de geometría

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Lección 7 Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos

Resolución de problemas de reparto proporcional.

Lección 8 Reparto proporcional

Identiﬁcación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

Lección 9 Situaciones de azar

Reactívate

Patronees y ecuaciones

Problemas aditivos

Números y sistemas de numeración

Semana

Figuras y cuerpos

Forma, espacio y medida

Tema

Nociones de

Eje

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Bloque

Proporcionalidad y funciones

Como usar este libro

probabilidad

Descripción de la propuesta

Contenidos

Bloque 2

Página

Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos.

Lección 10 Criterios de divisibilidad

Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Lección 11 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

Problemas aditivos

Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

Lección 12 Números fraccionarios y decimales

Problemas multiplicativos

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

Lección 13 Multiplicación y división de fracciones

Figuras y cuerpos

Tema

Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

Lección 14 Propiedades de la mediatriz y bisectriz

Justiﬁcación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de ﬁguras.

Lección 15 Perímetro y áreas de polígonos regulares

101

Identiﬁcación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.

Lección 16 Proporcionalidad directa con factores fraccionarios

108

Reactívate

112

Números y sistemas de numeración

Lecciones

Medida

Forma, espacio y medida Manejo de la información

Semana

Proporcionalidad y funciones

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico

Bloque

Contenidos

Evaluación de bloque Bloque 3

Problemas multiplicativos

Tema

Patrones y ecuaciones

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico

Bloque

114

Contenidos

Semana

Lecciones

Página

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

Lección 17 Multiplicación de números decimales

116

Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

Lección 18 División de números decimales

121

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

Lección 19 Ecuaciones de primer grado

125

Figuras y cuerpos

Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

Lección 20 Construcción de polígonos

130

Medida

Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.

Lección 21 Perímetro y área de polígonos regulares

135

Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

Lección 22 Aplicación sucesiva de factores de proporcionalidad

142

Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su veriﬁcación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.

Lección 23 Experimentos aleatorios

148

Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Lección 24 Tablas de frecuencia absoluta y relativa

154

Reactívate

160

Análisis y Nociones de Proporcionalidad representación y funciones probabilidad de datos

Manejo de la información

Forma, espacio y medida

Bibliografía Índice Índice

Evaluación del bloque

Bloque 4

Semana

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Números y sistemas de numeración

Contenidos

Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

Figuras y cuerpos

Tema

Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.

Medida

Eje

Forma, espacio y medida

Bloque

162

Justiﬁcación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráﬁca y algebraicamente). Explicitación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

Lecciones

Página

Lección 25 Números con signo

164

Lección 26 Construcción de círculos

169

Lección 27 Perímetro y área del círculo

175

Nociones de Proporcionalidad y funciones probabilidad Análisis y representación de datos

Manejo de la información

Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.

Lección 28 Regla de tres

180

Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.

Lección 29 Factor inverso en una relación de proporcionalidad

185

Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para veriﬁcar los resultados.

Lección 30 Problemas de conteo

192

Lectura de información representada en gráﬁcas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráﬁca más adecuada.

Lección 31 Gráﬁcas de barras y circulares

199

Reactívate

206

Evaluación de bloque Bloque 5

Problemas aditivos Problemas multiplicativos Patronees y ecuaciones Medida Proporcionalidad y funciones

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Tema

Forma, espacio y medida

Eje

Manejo de la información

Bloque

208

Evaluación de bloque

Contenidos

Semana

Lecciones

Página

Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.

Lección 32 Sumas y restas de números con signo

210

Uso de la notación cientíﬁca para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Lección 33 Notación cientíﬁca

217

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

Lección 34 Raíz cuadrada

223

Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.

Lección 35 Sucesión con progresión aritmética

230

Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.

Lección 36 Perímetro y área del círculo

236

Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.

Lección 37 Proporcionalidad múltiple

Reactívate

243

248

Anexo RDT

250

Bibliografía

252

Bloque 1 Aprendizajes esperados: sÂŹ #ONVIERTEÂŹNĂ&#x17E;MEROSÂŹFRACCIONARIOSÂŹAÂŹDECIMALESÂŹYÂŹ VICEVERSA sÂŹ #ONOCEÂŹ YÂŹ UTILIZAÂŹ LASÂŹ CONVENCIONESÂŹ PARAÂŹ REPRESENTARÂŹNĂ&#x17E;MEROSÂŹFRACCIONARIOSÂŹYÂŹDECIMALESÂŹENÂŹLAÂŹ RECTAÂŹNUMĂ?RICA sÂŹ 2EPRESENTAÂŹSUCESIONESÂŹDEÂŹNĂ&#x17E;MEROSÂŹOÂŹDEÂŹlGURASÂŹ AÂŹPARTIRÂŹDEÂŹUNAÂŹREGLAÂŹDADAÂŹYÂŹVICEVERSA

Competencias que se favorecen: sÂŹ sÂŹ sÂŹ sÂŹ

2ESOLVERÂŹPROBLEMASÂŹDEÂŹMANERAÂŹAUTĂ&#x2DC;NOMA #OMUNICARÂŹINFORMACIĂ&#x2DC;NÂŹMATEMĂ&#x2030;TICA 6ALIDARÂŹPROCEDIMIENTOSÂŹYÂŹRESULTADOS -ANEJARÂŹTĂ?CNICASÂŹElCIENTEMENTE

Acertijo Mientras disfrutaba de una vuelta en el carrusel, Sammy planteĂł este problema: Un tercio de los niĂąos que van delante de mĂ, sumado a los tres cuartos de aquellos que van detrĂĄs de mĂ da la respuesta correcta a la pregunta acerca del nĂşmero de caballos que hay en este carrusel. ÂżCuĂĄntos niĂąos habĂa?

El uso de las matemáticas se encuentra en las actividades más cotidianas.

Lección 1. #ONVERSIØN¬DE¬FRACCIONES¬¬ Y¬DECIMALES Lección 2. &RACCIONES¬Y¬DECIMALES¬EN¬LA¬RECTA

Lección 6.¬5SO¬DEL¬JUEGO¬DE¬GEOMETRÓA Lección 7.¬!LTURAS ¬MEDIANAS ¬MEDIATRICES¬Y¬ BISECTRICES¬EN¬TRIÉNGULOS

Lección 3. 3UMA¬Y¬RESTA¬CON¬FRACCIONES Lección 8.¬2EPARTO¬PROPORCIONAL Lección 4. 2EGLAS¬GENERALES¬DE¬SUCESIONES Lección 9.¬3ITUACIONES¬DE¬AZAR Lección 5.¬,ENGUAJE¬ALGEBRAICO

LecciĂłn 1

ConversiĂłn de fracciones y decimales Explor a ConversiĂłn de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa

1. Beatriz necesita comprar 35 de metro de listĂłn rojo, 2 metro de listĂłn blanco y 34 de metro de listĂłn verde para un trabajo del 15 de septiembre que realizarĂĄ en la escuela. Pero, al llegar a la papelerĂa encuentra que el encargado no entiende sus medidas y le pide que por favor se las repita pero utilizando nĂşmeros decimales. a) Ayuda a Beatriz a realizar la conversiĂłn correspondiente a la cantidad de listĂłn rojo.

Nexos

En sexto grado de primaria resolviste problemas en los que era necesario convertir nĂşmeros decimales a fracciones y viceversa. ÂżRecuerdas cĂłmo lo hacĂas?.

b) Realiza las conversiones que faltan. 1 2

3 4

2. Observa las siguientes fracciones no decimales en las que se ha obtenido su equivalente fracciĂłn decimal. 3 2

15 10

3 4

75 100

4 5

800 100

a) ÂżPor cuĂĄl nĂşmero se multiplicĂł el numerador y el denominador de cada fracciĂłn no decimal para obtener su equivalente fracciĂłn decimal? fracciĂłn decimal.ÂŹ&RACCIĂ&#x2DC;NÂŹ CUYOÂŹ DENOMINADORÂŹ ESÂŹ UNAÂŹ POTENCIAÂŹ DEÂŹ DIEZÂŹ COMOÂŹ ÂŹ ÂŹ ÂŹETC )

b) Analiza tu respuesta anterior y escribe una forma de encontrar fracciones equivalentes que ademĂĄs sean fracciones decimales dada una fracciĂłn.

c) ÂżTodas las fracciones se pueden transformar a fracciones decimales? ____________ Comprueba tu respuesta transformando la fracciĂłn 1 . 3

B L O Q U E

Te m a : N Ăş m e ro s y s i s te m a s d e n u m e r a c i Ăł n

En construcciĂłn 1. Beatriz compartiĂł con Enrique y Susana lo que le ocurriĂł con las medidas de los listones al comprar el material en la papelerĂa, Enrique dice que le sucediĂł algo similar con su papĂĄ al 1 ir a la ferreterĂa, donde le pidiĂł que revisara en el catĂĄlogo si habĂa clavos de 8 de pulgada. Enrique dijo que no supo cuĂĄl de las medidas era la de 18 y que para no quedarse con la duda las anotĂł, para despuĂŠs preguntarle a sus amigos.

0.5 pulgadas, 0.25 pulgadas 0.0625 pulgadas, 0.125 pulgadas En equipos contesten: a) ÂżCuĂĄl de las medidas corresponde a la de 18 pulgadas? b) Susana dice que es fĂĄcil contestar porque 1 tiene equivalencia en fracciĂłn decimal, ÂżestĂĄs 8 de acuerdo con esta afirmaciĂłn? ÂżPor quĂŠ? 2. Analicen las siguientes fracciones y anticipen cuĂĄles se pueden expresar como fracciones decimales. Luego, veriďŹ quen sus anticipaciones encontrando sus fracciones decimales equivalentes. 8 = 1 = 1 = 8 7 9

4 5 16

a) ÂżTodas las fracciones no decimales se pueden expresar como fracciones decimales? ÂżPor quĂŠ? b) Beatriz dice que las fracciones no decimales que tienen como denominador un mĂşltiplo de 2 o 5 se pueden expresar, despuĂŠs de realizar algunas operaciones, como fracciones decimales. Verifiquen si esta afirmaciĂłn es cierta. Justifiquen sus respuestas.

c) Si una fracciĂłn no decimal tiene como denominador un mĂşltiplo de 3, Âżse puede expresar como fracciĂłn decimal? ÂżPor quĂŠ? d) Sin hacer cĂĄlculos, Âżse puede anticipar, si una fracciĂłn no decimal tiene equivalencia en fracciĂłn decimal? Justifiquen su respuesta. e) Compartan con otros equipos su respuesta anterior y lleguen a un consenso. Con lo que cada uno argumente completen sus respuestas. f) Escriban cĂłmo se puede saber, sin hacer la divisiĂłn, si se trata de un decimal ďŹ nito o inďŹ nito.

decimal ďŹ nito.ÂŹ %SÂŹ AQUELÂŹ QUEÂŹ TIENEÂŹ UNÂŹ NĂ&#x17E;MEROÂŹ lNITOÂŹ DEÂŹ CIFRAS

decimal inďŹ nito.ÂŹ%SÂŹAQUELÂŹ QUEÂŹTIENEÂŹUNÂŹNĂ&#x17E;MEROÂŹINlNITOÂŹDEÂŹ CIFRAS

3. Analicen la siguiente informaciĂłn; luego realicen lo que se pide. Cuando un nĂşmero en su parte decimal tiene las mismas cifras que se repiten infinitamente, se dice que tiene un periodo y puede representarse como se muestra: â&#x20AC;&#x201C; 3.222222â&#x20AC;Ś = 3.2

3.2172172172â&#x20AC;Ś = 3. 217

E j e : Sen t id o n um ĂŠ r i c o y pe n s a m i e n to algebraico

A números como los anteriores se les conoce como números decimales periódicos puros. Un número periódico mixto es aquel número cuya parte decimal tiene cifras que no se repiten seguidas de otras que se repiten infinitamente. – 0.0052222222… = 0.005 2 4.551271271… = 4.55127 a) De lo que has trabajado en la pagina 19, ¿hay fracciones que hayas convertido a numero decimal, y estos sean un numero decimal periódico puro o número periódico mixto? ¿Cuales? Hay números que son infinitos y que no tienen un periodo, se les conoce como números decimales no exactos y no periódicos. Un ejemplo es el número 3.141592643589… llamado pi (π), con el que trabajarás en el Bloque 4. b) Anticipen qué tipo de número decimal se puede obtener en los siguientes casos: s¬ 3I¬EN¬UNA¬FRACCIØN ¬EN¬SU¬MÓNIMA¬EXPRESIØN ¬EL¬DENOMINADOR¬PUEDE¬FACTORIZARSE¬CON¬ ¬ y/o 5 más otros números diferentes, su expresión decimal es un número s¬ 3I¬EN¬UNA¬FRACCIØN ¬EN¬SU¬MÓNIMA¬EXPRESIØN ¬EL¬DENOMINADOR¬NO¬PUEDE¬FACTORIZARSE¬CON¬ 2 ni con 5, su expresión decimal es un número c) Validen sus anticipaciones con las siguientes fracciones, para ello, analicen cada denominador de cada fracción, luego, con el apoyo de una calculadora conviertan las fracciones en números decimales. 1 1 = = 3 6

1 15

1 9

1 30

8 15

= =

d) Comparen las respuestas de los incisos anteriores con el resto del grupo y juntos lleguen a un consenso. 4. Cuando por ﬁnes prácticos no es posible trabajar con todas las cifras decimales de un número, se pueden utilizar aproximaciones por medio del truncamiento o redondeo. Investiga en Internet en qué consiste cada uno de éstos métodos. Presenta una situación para cada método en la que representes su utilidad y realiza una exposición ante el grupo. 5. Conviertan los siguientes números decimales a fracciones no decimales. Las fracciones deben ser irreducibles. a) 0.125 = c) 0.625 = b) 0.375 = d) 0.875 = 6. Escriban el procedimiento que utilizaron para realizar el ejercicio anterior.

7. Expresen en fracciones los siguientes números decimales. Las fracciones deben ser irreducibles. En su cuaderno, justiﬁquen en cada caso la cantidad de cifras decimales que utilicen. a) 0.3 c) 0.083 b) 3.2 d) 1.13

B L O Q U E

Te m a : N ú m e ro s y s i s te m a s d e n u m e r a c i ó n

8. Comparen sus respuestas con las de otros equipos, en caso de que no coincidan, con la ayuda de su profesor analicen por quĂŠ y juntos escriban una conclusiĂłn acerca de cĂłmo expresar con una fracciĂłn un nĂşmero decimal periĂłdico puro o mixto. ConclusiĂłn: En plenaria, escriban sus conclusiones acerca de lo siguiente: sÂŹ %LÂŹTIPOÂŹDEÂŹNĂ&#x17E;MEROÂŹDECIMALÂŹQUEÂŹSEÂŹOBTIENEÂŹDEÂŹUNAÂŹFRACCIĂ&#x2DC;NÂŹDECIMAL sÂŹ %LÂŹTIPOÂŹDEÂŹNĂ&#x17E;MEROÂŹDECIMALÂŹQUEÂŹSEÂŹOBTIENEÂŹDEÂŹUNAÂŹFRACCIĂ&#x2DC;NÂŹNOÂŹDECIMAL

Destreza y estrategia 1. Realiza las siguientes conversiones de nĂşmeros fraccionarios a nĂşmeros decimales. Anticipa quĂŠ tipo de nĂşmero decimal obtendrĂĄs y justiďŹ ca tu respuesta. c)

a) 15 = AnticipaciĂłn: JustiďŹ caciĂłn:

3 6

AnticipaciĂłn: JustiďŹ caciĂłn:

117

d) 14 = 17 AnticipaciĂłn: JustiďŹ caciĂłn:

b) 20 = AnticipaciĂłn: JustiďŹ caciĂłn:

2. Realiza las siguientes conversiones de nĂşmeros decimales a fracciones, las fracciones deben ser irreducibles. a) 0.88 = d) 0.2727â&#x20AC;Ś =

b) 0.1833â&#x20AC;Ś = e) 1.1231 =

c) 0.95 =

CoevaluaciĂłn Intercambia tu libro con alguno de tus compaĂąeros con quienes trabajaste para evaluar el desempeĂąo de ambos. Considera las sugerencias para mejorar tu participaciĂłn en las siguientes actividades. Aspectos a considerar

SĂ

Observaciones

RealizĂł correctamente la conversiĂłn de decimales a fracciones y viceversa. UtilizĂł correctamente las tĂŠcnicas de redondeo y truncamiento. ParticipĂł activamente en la obtenciĂłn de conclusiones sobre el anĂĄlisis de denominadores.

E j e : Sen t id o n um ĂŠ r i c o y pe n s a m i e n to algebraico

En la cima Con ayuda de su profesor, de manera grupal, den respuesta al problema que se plantea. 1. 1. El papá de Susana es carpintero y le han solicitado tablas con medidas como las que se muestran en la Figura 1. 1.25 m

2 m 3

Figura 1

Para el acabado de cada una de ellas, necesita calcular el perímetro. a) ¿Pueden anticipar si les conviene resolver el problema con fracciones o decimales? b) ¿El número

2 3

es una fracción decimal? _______________ ¿Por qué?

c) Si conviertes la fracción a número decimal, ¿cuántas cifras decimales diferentes tiene la fracción 2 ? 3

d) Conviertan el número decimal a una fracción y calculen cuánto mide el perímetro. Expresen el resultado con números fraccionarios. e) Si necesitas el valor del perímetro porque vas a rodear el trozo de madera con un listón, ¿cómo te conviene expresarlo? 2. Discutan en qué casos se obtiene el mismo resultado al redondear y truncar un número decimal.

B L O Q U E

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Lección 2

Fracciones y decimales en la recta Explor a 1. La mamá de Valeria compró un metro de encaje delgado y dos metros de encaje grueso, para unos adornos navideños que piensa regalarle a sus hijas en esas fechas. El encaje delgado debe cortarlo en 10 partes iguales mientras que el grueso debe cortarlo en 4 partes iguales.

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación

Para evitar equivocarse, la mamá de Valeria ha decidido hacer marcas en los encajes antes de cortarlos. a) ¿A qué distancia deben estar entre sí las marcas del encaje delgado? ¿Y las del grueso? b) ¿Qué procedimiento seguiste para saber la distancia entre las marcas de ambos encajes? c) En la Figura 1, ayúdale a la mamá de Valeria a dibujar las marcas por donde deben ser cortados los encajes y escribe el nombre de la unidad fraccionaria que corresponde a cada marca.

Nexos Recuerda que en sexto grado de primaria resolviste problemas que implicaban representar medios y la unidad estaba dividida en sextos o bien, no estaba establecida. Además identificaste una fracción o un número decimal entre dos fracciones o números decimales dados.

0 Figura 1

2. En la escuela de Pamela, el profesor de Educación Física organizará una carrera en la que podrán participar todos los alumnos interesados. El maestro les ha pedido a Pamela y Valeria que le ayuden a organizarla. Ellas han decidido colocar en la pista algunos carteles que les indiquen a los concursantes en qué parte del recorrido se encuentran.

E j e : Sen t id o n um é r i c o y pe n s a m i e n to algebraico

A partir de la representación que se muestra en la Figura 2 contesta: a) ¿En qué parte del recorrido se encuentran los tres carteles en blanco?

b) ¿En qué parte de la pista se deben colocar carteles que indiquen las fracciones 2 , 3 , 3 y 5 ? Ubícalos en la Figura 2. 3 6 12 6

1 Carrera 2

Salida

Meta

Figura 2

c) ¿Cuál fue el razonamiento que usaste para intercalar los carteles del inciso anterior?

d) Comparte tu razonamiento con otro compañero y juntos veriﬁquen si la ubicación de sus carteles coincide. En caso contrario, con la ayuda de tu profesor, resuelvan sus diferencias.

B L O Q U E

Te m a : N ú m e ro s y s i s te m a s d e n u m e r a c i ó n

En construcción De manera individual realiza las siguientes actividades según se indica. 1. La carrera que están organizando Valeria y Pamela será de 5 km. En la Figura 3 aparece una representación que hicieron del recorrido. A

1 km

5 km

Figura 3

a) ¿Dónde ubicarías carteles que indiquen:

1 2

km; 3

2 5

km; 4

1 3

km? Colócalos en la Figura 3.

b) ¿Qué distancias deberían indicar los carteles ubicados en los puntos A, B, C y D que aparecen señalados en la representación del recorrido?

2. A lo largo del camino entre ciudad Laguna (L) y ciudad Márquez (M) aparecen tres carteles que indican la fracción de camino recorrido. Sin embargo, para mayor claridad, algunos conductores han pedido que estos sean cambiados a números decimales. a) ¿Qué número decimal debe escribirse en los carteles ubicados en los puntos señalados como E, F y G? 3 2 km L

5 2 km

E 1 km

15 4 km G

M 5 km

2 km Figura 4

b) Realiza las particiones que consideres necesarias para que puedas colocar en el recorrido los siguientes carteles: 0.3 km, 2.7 km, 3.55 km y 4.05 km. c) ¿Crees que puedes partir la recta tantas veces como sea necesario para localizar un número decimal finito? ¿Por qué?

E j e : Sen t id o n um é r i c o y pe n s a m i e n to algebraico

3. Otra ruta es la que va de ciudad Márquez (M) hasta ciudad Pedregal (P). a) Propongan la longitud de la recta y localicen los puntos M, A = 1.8 km, B = 16 km, C = 6 5 1 km, D = 8 8 km y P. Prolonguen la recta de la Figura 5, si es necesario. b) Comparen su ruta con la de otras parejas y establezcan una lista de sus diferencias o similitudes. ¿Por qué crees que haya sucedido esto?

6.5 km

Figura 5

4. Ubiquen en la recta de la Figura 6 la fracción que se encuentra en medio de las dos fracciones que se indican. Identifiquen ese punto con la letra A.

1 5

2 5

a) Localicen el punto que se encuentra en medio de la letra B.

Figura 6

1 5

y el punto A. Indiquen ese punto con

b) Ahora localicen el punto que se encuentra en medio de punto con la letra C.

1 5

y el punto B. Indiquen ese

c) Reflexionen, ¿cuántas fracciones pueden obtener al repetir este procedimiento varias veces?

d) En general, ¿qué pueden concluir acerca de este hecho?

e) ¿Creen que suceda lo mismo con los números decimales? Apoyen su respuesta planteando un ejemplo.

f) Realicen una plenaria y comenten sus resultados y observaciones. Discutan si siempre es posible encontrar entre dos fracciones otra fracción o entre dos números decimales otro número decimal. Escriban sus conclusiones con ayuda de su profesor. Con el procedimiento anterior, se han acercado a una noción importante de los números fraccionarios llamada densidad, la cual establece que dadas dos fracciones de valores diferentes, siempre es posible intercalar otra fracción entre ellas.

B L O Q U E

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Coevaluación Intercambia tu libro con alguno de tus compañeros con quienes trabajaste para evaluar el desempeño de ambos. Considera las sugerencias para mejorar tu participación en las siguientes actividades.

Aspectos a considerar

SÍ

Observaciones

Reconoció que entre dos fracciones siempre es posible intercalar otra fracción. Verificó que entre dos números decimales siempre es posible ubicar otro un número decimal. Comparó sus resultados con las de otros equipos y argumentó sus respuestas.

Destreza y estrategia 3

1. En la siguiente recta numérica ubica los siguientes números: 4 , 2

1 4

, 1.40, 0.4,

1.5

Figura 7

2. Determina los números decimales que corresponden a los puntos señalados.

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

Figura 8

3. Dibuja en tu cuaderno un recta numérica por cada uno de los incisos siguientes. Elige en cada caso la escala más adecuada para representar los números que se indican. Al terminar, escribe los criterios que utilizaste para trazar la recta y elegir la escala. Compara tus resultados con tus compañeros. a)

1 1 , 6 3

d) 1.2, 1.58, 2.01

5 7 , 4 3

15 15 5, 7

e) 2.5, 3.4, 4.6

E j e : Sen t id o n um é r i c o y pe n s a m i e n to algebraico

En la cima De manera individual, realiza lo que se pide en cada caso. 1. En las siguientes rectas se han representado números. A partir de éstos, señala dónde se ubican el 0 y el 1.

2 7

0.3

12 7

1.2

Figura 9

a) ¿Qué hiciste para localizar el origen de cada una de las rectas?

b) ¿Y para establecer la unidad?

c) En qué caso te fue más sencillo realizar el ejercicio, ¿usando números fraccionarios o números decimales? ¿Por qué? 2. En la siguiente recta numérica el segmento (0, 2) está dividido en tres partes iguales. Anota el número correspondiente al punto señalado con la ﬂecha. a) ¿El número que utilizaste fue decimal o fraccionario? ¿Por qué?

Figura 10

De manera grupal, comparen las respuestas dadas a los ejercicios anteriores, argumenten con base en lo que aprendieron en la lección sobre cómo ubicar números fraccionarios o decimales en la recta numérica a partir de los datos que se dan, como por ejemplo, la posición del cero, la escala, etcétera. Al ﬁnal, con todo el grupo, discutan y analicen lo siguiente.

B L O Q U E

Te m a : N ú m e ro s y s i s te m a s d e n u m e r a c i ó n

3. En las siguientes rectas numéricas, representa tres números decimales o fracciones que puedan ubicarse entre los dos números que ya están marcados.

1 6

2 6

1 10

2 10

1 30

3 30

Figura 11

a) ¿Cuántos números con dos cifras decimales hay mayores que 3.45 y menores que 4?

b) ¿Se permite cualquier cantidad de cifras decimales?

E j e : Sen t id o n um é r i c o y pe n s a m i e n to algebraico

Lección 3

Suma y resta con fracciones

Explor Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones

1. Un maestro de Educación Física aplicó una encuesta a un grupo de alumnos de primer grado para saber su deporte favorito. Los resultados son los siguientes. UÊ UÊ UÊ

1 4 1 6 1 3

de los entrevistados preﬁere jugar futbol. de los entrevistados contestó básquetbol. de los entrevistados se decidió por el beisbol.

UÊ El resto de los entrevistados no tiene deporte favorito. a) ¿Cuál es el deporte que más preﬁeren los alumnos? ¿Por qué? b) ¿Qué parte del total de los entrevistados no tiene un deporte favorito? ¿Por qué? Compara tus respuestas con las de otros compañeros. Argumenten y elijan las respuestas correctas.

Nexos En la primaria resolviste una serie de problemas de sumas y restas de fracciones con igual denominador y con distinto denominador. ¿Recuerdas cómo resolvías sumas o restas de fracciones con distinto denominador? ¿Recuerdas cómo obtener fracciones equivalentes?

2. Busca dos fracciones de distinto denominador que sumen 78 . ¿Puedes encontrar más de una solución? 3. ¿Es posible encontrar dos fracciones de distinto denominador que sumen 1? Razona tu respuesta y, en caso aﬁrmativo, propón algún ejemplo.

4. Busca dos fracciones de distinto denominador cuya diferencia sea 29 . ¿Habrá más de una solución? 5. ¿Es posible encontrar dos fracciones de distinto denominador cuya diferencia sea 1? Razona tu respuesta y, en caso aﬁrmativo, propón algún ejemplo.

B L O Q U E

Te m a : N ú m e ro s y s i s te m a s d e n u m e r a c i ó n

En construcción 1. El día de la competencia de la carrera organizada por Valeria y Pamela, ambas decidieron llevar varias jarras de agua para repartirla entre los participantes que llegaran a la meta. De una jarra que contenía 2 14 de litro de agua de sabor se sirvió un vaso de 14 de litro y dos vasos de 13 de litro. a) ¿Qué cantidad total de agua se sirvió en los vasos? Resuelve en el siguiente espacio.

b) Entonces, ¿qué cantidad de agua quedó en la jarra? Simplifica tu respuesta.

c) De la cantidad de agua que quedó en la jarra, ¿cuántos vasos de 4 de litro y cuántos de 3 de litro se pueden llenar de tal manera que no sobre agua en la jarra? Justifica tu respuesta y escribe tus operaciones.

1 1

2. Valeria tiene tres jarras del mismo tamaño que contienen 3 , 2 , y 1 4 litros de agua, respectiva1 mente. Vacía el contenido de las tres jarras en otra jarra más grande que ya tiene 2 3 litros. a) ¿Cuántos litros de agua tiene en total en la jarra grande? Justifica tu respuesta. 3 b) Si reparte el agua en tres recipientes; uno de medio cuarto, otro de 5 y el tercero de tres cuartos de litro. ¿Cuantos litros de agua le quedan en la jarra grande? Justifica tu respuesta.

Trabaja con algunos de tus compañeros y juntos realicen las siguientes actividades. 1 3 1 4 3. Redacten un problema con las cantidades 4 kg, 7 kg, 10 kg y 5 kg.

4. Redacten un problema que se pueda resolver con las operaciones 4 12 + 34 { 3 12

E j e : Sen t id o n um é r i c o y pe n s a m i e n to algebraico

Intercambien con los otros equipos los problemas que plantearon para darles solución y compartan las dificultades a las que se enfrentaron al resolverlos. 5. ¿Cuál es el resultado de cada una de las siguientes operaciones? a)

3 6

2 3

–

1 2

3 5

–

1 2

2 3

2 10

c) 1 12 – d)

2 16

2 5

3 4

–

3 5

= +

3 10

Comparen y revisen sus resultados con los de otros equipos. Con ayuda de su profesor elijan los resultados correctos y analicen la solución. Escriban un método para realizar más de una operación de suma y resta de fracciones.

Sí

Observaciones

Participó en el planteamiento y solución de los problemas. Analizó las propuestas de solución de los demás equipos. Justificó sus respuestas

Destreza y estrategia Reúnete con algún compañero y juntos resuelvan los siguientes problemas en sus cuadernos; para ello, vayan formulando argumentos que les den sustento al procedimiento y/o solución encontrados para cada problema. 1. Jorge y Laura están haciendo un viaje. Salen el lunes y recorren 15 del camino. El martes recorren la mitad de lo que les falta ¿qué parte les falta recorrer? 2. Claudia es ingeniera civil y dirige la pavimentación de una carretera de 45 12 km de longitud. Al día de ayer la obra ya llevaba 24 25 km pavimentados. Para este día, Claudia calcula que por la mañana se pavimentarán 2 23 km y por la tarde 1 34 km más. Si se cumple lo planeado para el día de hoy, ¿cuántos kilómetros de carretera faltarán por pavimentar?

B L O Q U E

Te m a : N ú m e ro s y s i s te m a s d e n u m e r a c i ó n

En la cima 1

1 1. Plantea un problema con las cantidades 4 38 pulgadas, 232 pulgadas y 128 pulga1 + 1 das; y que se pueda resolver con las operaciones 4 38 – 232 128

a) Pídele a tu profesor que revise la redacción de tu problema y en caso de que no sea coherente, replantéalo. b) ¿Cuáles son las diﬁcultades a las que te enfrentaste?

c) ¿Qué tuviste que considerar para plantear el problema?

¿Y para resolverlo?

d) ¿Qué puedes concluir acerca del planteamiento y resolución de problemas?

Expongan al grupo los problemas que elaboraron y entre todos veriﬁquen que la solución de los mismos corresponda a las operaciones planteadas. En conjunto escriban un método general que sirva para sumar o restar fracciones con diferente denominador.

E j e : Sen t id o n um é r i c o y pe n s a m i e n to algebraico

Lección 4

Reglas generales de sucesiones Explor Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras

1. Analiza las siguientes ﬁguras y realiza lo que se indica: 1

En la primaria resolviste problemas de sucesiones de figuras o de números que implicaban identificar y aplicar la regularidad para continuar la sucesión o encontrar términos faltantes.

a) Dibuja las dos figuras que ocupan los lugares 4 y 5. b) Completa la siguiente tabla que relaciona el número del lugar que ocupa cada figura y el número de elementos que la componen. Número de lugar que ocupa cada figura

Número de cuadrados que componen cada ﬁgura

9 13

Diferencia del número de cuadrados de dos ﬁguras consecutivas

Nexos

c) Observa la tabla. ¿Qué características tienen los números que corresponden a la fila “Número de cuadrados que componen cada figura”? d) A partir de las características que encontraste en el inciso anterior, ¿es posible afirmar que puedes encontrar una figura que tenga 100 cuadrados? ¿Por qué? e) ¿Puedes anticipar qué números no estarán en la segunda fila de la tabla? ¿Por qué? f) Escribe el número de cuadrados que tendrán la figura que está en el lugar 10 y la figura que está en el lugar 20. Figura que está en el lugar 10: Figura que está en el lugar 20:

cuadrados cuadrados

g) ¿En qué lugar se encuentra la ﬁgura que está conformada por 49 cuadrados?

Te m ade: ﬁguras Patrones y ecuaciones Un grupo que siguen un orden y cuya regularidad corresponde a una ley o regla de formación, recibe el nombre de sucesión. 34

B L O Q U E

En construcción 1. En equipos realicen los siguiente. Escriban los primeros ocho términos de la sucesión correspondiente al número de cuadrados de la sucesión de figuras del caso anterior. 5, 9, 13,

…

a) ¿Habrá alguna regla que permita determinar cualquier número de la sucesión? ¿Cuál? Argumenten su respuesta.

b) Escriban una regla que calcule la cantidad de cuadrados que tiene cada una de las ﬁguras que forman la sucesión. Utilicen los datos que obtuvieron al llenar la tabla de la página 34 para poner a prueba su regla.

c) Realicen una plenaria y compartan su regla con el resto del grupo. Pongan a prueba cada una de las reglas calculando con ayuda de su profesor el número de cuadrados que contienen las ﬁguras que se encuentran en las siguientes posiciones: 15, 25, 30, 40 y 100. d) ¿Con la regla que encontraron pueden conocer el número de cuadrados que tiene la ﬁgura que se encuentra en la posición 1000? ¿Por qué?

2. Resuelve el siguiente reto: a) Observa la siguiente sucesión de figuras. Si el primer elemento de la sucesión tiene 3 puntos y el segundo elemento tiene 5 puntos, dibuja los siguientes 3 elementos de la sucesión aplicando la siguiente regla: “El número de puntos que conforma a cada figura es igual al número de la posición de la figura por dos más uno.”

E j e : Sen t id o n um é r i c o y pe n s a m i e n to algebraico

b) Compara tus figuras con algún otro compañero, verifiquen que cada figura presente la misma regularidad en cuanto a su forma y al número de puntos. c) Al terminar, completen la siguiente tabla: Número de posición de la figura

Número de puntos de la ﬁgura

3 4 5 6 7 8 9 10

Reúnete con dos compañeros y resuelvan los siguientes problemas. Cuando terminen de resolverlos, comparen sus respuestas con las de otros equipos. En caso de que no coincidan, analicen con tu profesor, qué fue lo que ocurrió y juntos lleguen a un consenso de las respuestas. 3. Analicen la regularidad de la siguiente sucesión:

a) ¿Cuál es la regla que permite calcular el número de cuadrados de cualquier figura de la sucesión?

b) ¿Existe una sola regla para determinar el número de cuadrados que conforman a cualquier elemento de la sucesión de figuras?

B L O Q U E

Una sucesión con progresión aritmética es una sucesión donde la diferencia de dos términos consecutivos es un número constante. 4. Analicen la siguiente sucesión: 1 2 3 4

a) Escriban la sucesión de números que representa el número de cuadrados que compone a cada ﬁgura. b) Completen la regla que permite encontrar el número de cuadrados de cualquier figura de la sucesión en función de su posición. Al número de la posición se multiplica por _________ y al resultado se resta ________. 5. Trabajando con el mismo equipo, resuelvan el siguiente reto:

a) Supón que el lado del primer cuadrado es 1 cm. Si el lado de un cuadrado es el doble del anterior, ¿cuáles son las longitudes de los primeros cinco cuadrados? _____; _____; ______; _____; ______;… b) Si ahora se considera la sucesión de áreas de cada uno de los cuadrados de la sucesión anterior, ¿cuál es el área de la sexta y séptima figuras? c) Enuncia la regla que permite determinar la longitud del lado de cada cuadrado en la sucesión dada en el inciso a)

E j e : Sen t id o n um é r i c o y pe n s a m i e n to algebraico

6. Ahora, a partir de la siguiente regla: “El primer número de una sucesión es 3, y cada término se calcula multiplicando el anterior por 3”, escribe los siete primeros términos de la sucesión

a) ¿Existe alguna diferencia con las sucesiones hasta ahora trabajadas? ¿Por qué?

Una sucesión con progresión geométrica es una sucesión donde cada término se calcula multiplicando el anterior por una cantidad constante, llamada razón (r). Escribe un ejemplo:

7. En la sucesión de cuadrados de la ﬁgura, la sucesión numérica formada por las áreas de los 1 triángulos que sobran para obtener el siguiente cuadrado es:1, 12 , 4 , 18 , … a) ¿Cuál es la razón de esta progresión?

b) Enuncien la regla que permite determinar el área de cada cuadrado

B L O Q U E

Te m a : Patrones y ecuaciones

Si quieres descubrir otras sucesiones, realiza con una calculadora sencilla las siguientes actividades: 1. Teclea en tu calculadora lo siguiente y anota el resultado en el primer recuadro de la tabla.

2. Sin borrar el resultado que aparece en la pantalla, teclea = y anota el resultado en la segunda casilla de la tabla; nuevamente teclea = y anota el resultado en la tercera casilla, continúa así hasta completar la tabla. 3. Al terminar, compárala con la de otros compañeros y juntos comenten lo que observan. 4. Utiliza el mismo procedimiento para explorar qué sucede con otros números.

Aspectos a considerar

Sí

Observaciones

Participó en la formulación de la reglas de las sucesiones. Analizó las propuestas de los demás equipos.

Destreza y estrategia Analiza cada una de las siguientes sucesiones y escribe, para cada caso, cómo se obtiene un término a partir del anterior. a)

10 13 16 19 , , , ,… 12 12 12 12

4 , 16 , 64 , 256 ,… 10 10 10 10

E j e : Sen t id o n um é r i c o y pe n s a m i e n to algebraico

En la cima 1. En la siguiente sucesión, los triángulos rectángulos de la ﬁgura son isósceles. La longitud de cada uno de sus lados iguales corresponde a la medida del lado de cada cuadrado al que le corresponde. A partir de la ﬁgura, contesta de manera individual las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la sucesión numérica formada por el valor de las áreas de los triángulos?

b) ¿Qué tipo de progresión tiene la sucesión, aritmética o geométrica?

c) Enuncia la regla que permite determinar el área del triángulo que se forma en la parte superior de cualquier cuadrado.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y, con ayuda de tu profesor, de manera grupal discutan lo siguiente: UÊ ¿Qué deben observar para obtener la regla de cualquier sucesión?

B L O Q U E

Te m a : Patrones y ecuaciones

LecciĂłn 5

Lenguaje algebraico Explor

1. Dado el cuadrado de la Figura 1, escribe el procedimiento para calcular su perĂmetro.

ExplicaciĂłn del significado de fĂłrmulas geomĂŠtricas, al considerar a las literales como nĂşmeros generales con los que es posible operar.

a) Si el cuadrado fuera de 20 cm de lado ÂżcĂłmo calcularĂas su perĂmetro?

Figura 1 10

b) ÂżY si fuera de 30 cm por lado? c) ÂżY si fuera de l cm por lado? d) ÂżQuĂŠ puedes concluir acerca de las cuestiones anteriores?

Nexos %NÂŹLAÂŹPRIMARIAÂŹRESOLVISTEÂŹPROBLEMASÂŹ QUEÂŹ IMPLICABANÂŹ CALCULARÂŹ Ă&#x2030;REASÂŹ YÂŹ PERĂ&#x201C;METROSÂŹDEÂŹTRIĂ&#x2030;NGULOSÂŹYÂŹCUADRILĂ&#x2030;TEROSÂŹMEDIANTEÂŹELÂŹUSOÂŹDEÂŹALGUNASÂŹ FĂ&#x2DC;RMULAS ÂŹ%NÂŹESTAÂŹLECCIĂ&#x2DC;NÂŹREmEXIONARĂ&#x2030;SÂŹSOBREÂŹLAÂŹOBTENCIĂ&#x2DC;NÂŹYÂŹUSOÂŹDEÂŹ LASÂŹMISMAS ÂŹ ÂŹ

e) Expresa en forma simbĂłlica el perĂmetro como suma. f) Ahora escribe una expresiĂłn del perĂmetro obtenido como un producto. l

2. Escribe la fĂłrmula para calcular el ĂĄrea del cuadrado de la Figura 1. A= a) Si la longitud de los lados aumentara al doble, Âżen quĂŠ cambia el modo de calcular el ĂĄrea?

b) Escribe que signiďŹ ca la expresiĂłn l Ă&#x2014; l: Figura 2

E j e : Sen t id o n um ĂŠ r i c o y pe n s a m i e n to algebraico

En construcción 1. Completen la siguiente tabla: Figura

Fórmula del perímetro Como suma

Cálculo del perímetro

Como producto

Si l = 2 cm P=

Si n = 1.7 cm P=

Si x = 1.3 cm P=

Si x = 0.5 cm P=

P=l+l+l

l l n

n x x

x x

Tabla 1

a) ¿Qué hicieron para obtener las fórmulas para calcular el perímetro de las ﬁguras?

b) La fórmula que obtuvieron para calcular el perímetro del hexágono, ¿funcionará para cualquier ﬁgura que tenga seis lados? ¿Por qué?

Reúnete con alguno de tus compañeros y juntos realicen las actividades 2, 3 y 4. 2. Usen literales y escriban las fórmulas que se indican: a) Fórmula para obtener el perímetro de cualquier triángulo equilátero. b) Fórmula para obtener el perímetro de cualquier triángulo isósceles. c) Fórmula para obtener el perímetro de cualquier triángulo escaleno.

B L O Q U E

Te m a : Patrones y ecuaciones

d) Fórmula para obtener el perímetro de cualquier cuadrado. e) Fórmula para calcular el perímetro de cualquier rectángulo. f) Fórmula para obtener el perímetro de cualquier polígono regular. En matemáticas usamos letras (o literales), éstas sirven para simbolizar cantidades, es decir, son representaciones de datos numéricos. Casi siempre son letras del alfabeto latino como: a, b, l, h, m, x, y, z, w, etcétera, pero también pueden ser letras de otros alfabetos como el griego o el hebreo. Los datos que representa una letra pueden ser desconocidos o conocidos; por ejemplo, una letra que representa un dato numérico conocido es π (pi). Con las letras se pueden indicar y realizar operaciones de un modo abstracto, es decir, sin reparar en el valor exacto que la letra representa.

Figura 3 3. A partir de lo que muestra la Figura 4 completen la Tabla 2. Base del Rectángulo (cm)

Área del rectángulo (cm2)

Área Sombreada (cm2)

Área no sombreada (cm2)

2 3 4 b

Tabla 2

h 5 4 3

b Figura 4

a) Expliquen el significado de la fórmula para calcular el área de un triángulo cualquiera, A = bh . 2

E j e : Sen t id o n um é r i c o y pe n s a m i e n to algebraico

4. La fórmula que se presenta corresponde al perímetro de una ﬁgura irregular. De acuerdo con ella contesten: Diseña una hoja de cálculo con las siguientes indicaciones:

P = 4x + y + z

1. Haz clic en la celda C1 y escribe la fórmula = A1*B1; luego teclea ENTER.

a) ¿Cuántos lados iguales tiene la figura? b) ¿Cuántos lados distintos tiene? A

c) ¿Creen que sea importante saber interpretar una expresión matemática?

=A1*B1

2. Escribe el número que quieras en celda A1, teclea ENTER; luego, escribe otro número en la celda B1 y teclea ENTER. Observa qué número aparece en la celda C1.

Compartan las dificultades a las que se enfrentaron al resolver las actividades anteriores y con ayuda de su profesor lleguen a un consenso grupal.

3. Cambia los valores de las celdas A1 y B1 y analiza qué

Coevaluación

es lo que sucede. 4. Escribe qué representa la expresión = A1*B1:

Intercambia tu libro con alguno de tus compañeros con quienes trabajaste para evaluar el desempeño de ambos. Considera las sugerencias para mejorar tu participación en las siguientes actividades.

5. Diseña otra hoja de cálculo que implique calcular el área de cualquier triángulo. Al terminar, verifica que

Aspectos a considerar

funciona para cualquier medida de la base y altura de un triángulo. Comparte con todo el grupo el procedi-

Colaboró en la construcción y análisis de los significados de las fórmulas.

miento que seguiste.

Manejó adecuadamente las variables.

Sí

Observaciones

Participó activamente en la reflexión grupal.

Destreza y estrategia 1. Calcula el perímetro de los rectángulos que tienen las medidas que se te proporcionan. Base

1.8

1 3

Altura

0.5

Perímetro

B L O Q U E

Te ma : Patrones y ecuaciones

En la cima Reúnete con otro compañero y juntos realicen las siguientes actividades. 1. Apóyense en la Figura 5 para escribir una expresión matemática que represente la siguiente aﬁrmación: El área de un trapecio se calcula “base mayor más base menor por altura sobre dos”. y

Figura 5

a) ¿Esta expresión generaliza la fórmula del área de cualquier trapecio? . ¿Por qué?

2. A partir de la Figura 6, respondan: a) ¿Qué representa la literal x? b) ¿Qué signiﬁca la expresión 2x? c) ¿Cuál es la expresión matemática que representa el perímetro de este rectángulo? d) ¿Cuál es la expresión matemática que representa el área de este rectángulo?

Figura 6 2x

Reflexionen sobre la importancia de comprender el procedimiento o fórmula para calcular al área o perímetro de una figura en cuestión y luego poder expresarla matemáticamente. ¿Qué ventajas tiene generalizar el cálculo del perímetro o área de una figura?

E j e : Sen t id o n um é r i c o y pe n s a m i e n to algebraico