lista de calculo

Centro de Ensino Superior FUCAPI Lista de Exercícios de Cálculo II

Prof. Walter Lucas

1º) Resolva as seguintes integrais indefinidas abaixo: x dx 1+ x 4 cos x + sen x b) ∫ dx sen 3 x

a) ∫

c) ∫

(1 + sen x )

dx

(x − cos x ) 3 arctg x ) ( dx d) ∫ 2 e) ∫

1+ x 1

(

x 1 − ℓn x

f) ∫ x.(ln x) 2 dx

2

)

dx

g) ∫ x . ln x dx h) ∫ e ax senbx dx i) ∫ sen(ln x)dx j) ∫ cos(ln x)dx ln x 2 dx x2 x −1 m) ∫ 2 dx x −4

l) ∫

2x − 3 dx ( x − 1) 3 x+3 o) ∫ 3 dx x − 2x 2 − x + 2

n) ∫

x+5 dx x − 4x2 + 4x 4 q) ∫ 3 2 dx x − x − 2x

p) ∫

r) ∫ s) ∫

3

x2 1− x2 x2

dx

2x − x2

dx

t) ∫

1

dx x . 1+ x2 ex u) ∫ 2 x dx e +1 1 v) ∫ dx 1 + cos x 1 − cos x x) ∫ dx 1 + senx

z)

2

1

∫ senx + cos x dx

w) ∫ tg x. ln 2 (cos x) dx

2º) Usando integrais calcule a área de uma elipse de eixo maior a e eixo menor b.

3º) Deduza a área de um triângulo de altura h e base b.

4º) Calcule a área entre os gráficos de y = x 2 − 2 x e y = −

x2 + 2x .

2

5º) Em cada caso abaixo determine a área entre os gráficos das funções: 1 f ) y = x3 e y = 5 2 a) y = x e y = x , ≤ x ≤ 1 4 π π g ) y = cos x , y = 0 e ≤ x ≤ 4 2 b) x 2 = y , x = y − 2 c) y = 1 ± x e x = 4 d ) y = x 3 − 4x , y = 0 e 0 ≤ x ≤ 2 e) y = e x , y = e 2 x , x = 0, x = ln 2

1 , x = 0, y = 1 e y = e x i) y = x 3 − 4 x 2 + 3x e y = x 2 − x h) x =

j ) y = x e y = x 3 ,−2 ≤ x ≤ 2

6º) Calcule o comprimento da curva x(t ) = e t .sent e y (t ) = e t . cos t com 0 ≤ t ≤

π 2

.

7º) Calcule o comprimento da curva x(t ) = a.(cos t + t.sent ) e y (t ) = a.( sent − t. cos t ) com 0 ≤ t ≤ π .

8º) Calcule o comprimento da curva x(t ) = t e y (t ) = a 2 − t 2 , − a ≤ x ≤ a.

9º) Calcule a área da região limitada pelo eixo dos x e pelo gráfico de f ( x) = 1 + senx − cos 2 x, 0 ≤ x ≤ 2π .

10º) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x do gráfico da função f ( x ) =

ln x + x

x x −1 2

, com e ≤ x ≤ e 2 .

11º) O toro é um sólido obtido pela rotação de um disco ao redor de um eixo que não o encontra. Veja o esquema do gráfico abaixo e em seguida calcule o volume do toro nas condições do gráfico.

y

rotação em x.

r

a x a>r>0 12º) Seja uma partícula que se desloca ao longo do tempo t sobre uma trajetória fixa x(t ) . Considere v = v(t ) e a = a(t ) sua velocidade e aceleração ao longo do tempo, respectivamente. Relacione sua velocidade, posição e aceleração independentes do tempo t sabendo que em t = t 0 ela está em uma posição x = x 0 ,com velocidade inicial v = v 0 e após ter passado um intervalo de tempo t ocupará uma posição fixa x com velocidade v.

Obs.: Tal relação recebe o nome de relação de Torriceli.

13º) Calcule o comprimento das curvas dadas suas parametrizações abaixo: a) x(t ) = 2.(t − sent ) e y (t ) = 2.(1 − cos t ) 0≤t ≤π . b) x(t ) = t.sent e y(t ) = t. cos t 0≤t ≤π . c) x(t ) = 2. cos t + 2.t.sent e y (t ) = 2.sent − 2.t. cos t , 0 ≤ t ≤ π / 2 . d) x(t ) = e t . cos t e y (t ) = e t .sent 1≤ t ≤ 2 e) x(t ) = t.sent e y(t ) = t. cos t 0≤t ≤π 14º) Uma partícula move-se sobre o eixo 0 X com aceleração proporcional ao quadrado da velocidade. Sabe-se que no instante t = 0 a velocidade é de v = 2m / s e, no instante t = 1s, 1m / s. a) Determine v = v(t ), t ≥ 0; b) Determine a função de posição supondo x(0) = 0.

15º) Chama-se ciclóide à curva definida por um ponto de uma circunferência de raio r que rola sem deslizar sobre uma reta. Na figura abaixo vemos o gráfico de uma ciclóide onde r = 1 , cuja parametrização é dada pelas equações: x(t ) = t − sen t e y (t ) = 1 − cos t , com 0 ≤ t ≤ 2π .

- Com base nos dados acima pede-se: a) a área da ciclóide com 0 ≤ t ≤ 2π ; b) o comprimento da ciclóide com 0 ≤ t ≤ 2π ; c) o volume que a ciclóide gera no espaço quando sofre uma rotação em torno de x com 0 ≤ t ≤ 2π .