Aula nº 01 - Sinais e Sistemas by Davi Galucio

Sinais e Sistemas Conceitos de Sinais e Sistemas; Representação de Sinais e Sistemas; Tipos de Sinais: Sinais contínuos no tempo; Sinais discretos no tempo;  Sinais Periódicos e Não periódicos, Determinísticos e Aleatórios Sinais Digitais; Energia e Potência de Um Sinal; Transformação da Variável Independente; Funções Impulso unitário e Degrau unitário. 1

SINAIS E SISTEMAS – IMPORTÂNCIA 

O estudo de sinais e sistemas é assunto básico para a Engenharia Eletrônica em todos os níveis e com diversas aplicações;



Serve como base para outras sub-áreas da Engenharia Elétrica como: PDS, Sistemas de Comunicações e Sistemas de Automação e Controle.

1. Conceitos de Sinais e Sistemas 

O que é um Sinal ? “ Um sinal é fortemente definido como uma função de uma ou mais variáveis, a qual se veicula informações sobre a natureza de um fenômeno físico”. Haykin, pg 22. “ Sinais são representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveis independentes”. Oppenheim, pg 3. 3

1. Conceitos de Sinais e Sistemas 

Conclusão: Um Sinal é . . .

“ Uma função matemática que representa algum fenômeno físico. Esta função possui uma ou mais variáveis independentes.” SINAL UNIDIMENSIONAL - Ex: Sinal da Fala. SINAL MULTIDIMENSIONAL - Ex: Imagem. 4

1. Conceitos de Sinais e Sistemas ď&#x201A;&#x2014;

Exemplos de Sinais: Sinal de Voz: relaciona tempo x amplitude 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

1. Conceitos de Sinais e Sistemas 

Exemplos de Sinais: Imagem Raio-x: posição x intensidade

1. Conceitos de Sinais e Sistemas 

Exemplos de Sinais: Imagem Nível de Cinza: posição x intensidade

1. Conceitos de Sinais e Sistemas ď&#x201A;&#x2014;

Exemplos de Sinais: Temperatura do Ar: tempo x temperatura 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 -5

1. Conceitos de Sinais e Sistemas 

O que é um Sistema ?

“Um sistema é fortemente definido como uma entidade que manipula um ou mais Sinais para realizar uma função, produzindo, assim, novos sinais.” Haykin, pg. 22 “Um Sistema pode visualizado como um processo em que Sinais de entrada são transformados pelo Sistema, resultando em outros Sinais de saída.” Oppenheim, pg 38. 9

1. Conceitos de Sinais e Sistemas 

Conclusão: Um Sistema é . . . “ Um modelo matemático que transforma um ou mais Sinais de entrada em um ou mais Sinais de saída.” “ Um Sistema pode ser representado por Sinais de entrada xn(t), por Sinais de saída ym(t) e por uma transformação ou operador H.”

xn(t)

ym(t) 10

1. Conceitos de Sinais e Sistemas 

Os Tipos de Sistemas mais comuns são:

Circuitos Elétricos  Sistemas de Comunicação  Sistemas de voz  Sistemas de Controle  etc ... 

1. Sinais e Sistemas – Dia a Dia!!! Os sinais, de uma forma ou de outra, constituem um ingrediente básico de nossa vida diária!!!   



Sinais da Fala, Sinais Visuais (Imagens ou Objetos); INTERNET - transmitem sinais de informações de interesse geral, publicidade, jogos, etc... Batimentos Cardíacos, Pressão Sanguínea, Temperatura - transmitem sinais/informações que auxiliam em diagnósticos médicos; Previsão do Tempo - temperatura, umidade, velocidade e direção dos ventos permitem prevenir situações de risco. 12

1. Sistema de Comunicação 

Existem 3 elementos básicos num Sistema de Comunicação: o transmissor, o canal e o receptor

Sinal de Mensagem

Transmissor

Sinal Transmitido

Sinal Recebido

Canal

Ruídos ou Perturbações

Receptor

Estimativa do Sinal da Mensagem

Reconstruir o sinal

2. Sistema de Controle 

Existem 02 aspectos importantes a serem observados num Sistema de Controle: a resposta e a robustez. SISO Sinal de erro Entrada

Sinal de Realimentação

Planta Saída

F.T de Realimentação

2. Representação de Sinais e Sistemas



Os Sinais podem ser representados por funções, visualizados graficamente.



Veremos que dependendo do tipo de Sinal que temos no tempo teremos uma representação diferente.

2. Representação de Sinais e Sistemas



Os Sistemas podem ser representados por diagramas em blocos (como vimos anteriormente) ou por modelos matemáticos.



Da mesma forma que os sinais, os sistemas, dependendo dos tipos de sinais envolvidos, podem ser representados de maneira diferente. Estas representações serão vistas na segunda parte.

3. Classificação dos Sinais  Sinais

de Tempo Contínuo e Discreto;  Sinais Pares e Ímpares;  Sinais Periódicos e Não Periódicos;  Sinais Determinísticos e Aleatórios;  Sinais de Energia e Potência.

3. Sinais Contínuos no Tempo 

Um Sinal é Contínuo no Tempo se estiver definido para todo o tempo, ou seja, t é uma variável contínua.



A amplitude do sinal pode ou não variar com o tempo.

3. Sinais Contínuos no Tempo



Um Sinal Contínuo tem a seguinte forma:

3. Sinais Contínuos no Tempo 

Os Sinais Contínuos no Tempo possuem uma símbologia particular onde o tempo é representado por parênteses, ou seja: x(t)

t 20

4. Sinais Discretos no Tempo 

Os Sinais Discretos no Tempo estão definidos apenas em instantes de tempos fixos (números inteiros).



Um sinal x[n] é um sinal discreto no tempo, se é definido em instantes isolados de n;



A variável que representa o tempo, neste caso, tem somente valores discretos, os quais são uniformemente espaçados;



Normalmente, é derivado de um sinal de tempo contínuo fazendo-se uma amostragem do mesmo a uma taxa uniforme. 21

4. Sinais Discretos no Tempo ď&#x201A;&#x2014;

A forma de um sinal discreto ĂŠ:

4. Sinais Discretos no Tempo 

Os Sinais Discretos no Tempo também possuem uma representação particular onde temos um eixo do tempo sendo discreto representado por colchetes: x[n]

n 23

4. Sinais Discretos no Tempo 

Podemos discretizar o sinal contínuo abaixo. Pegando seu valor em vários tempos específicos iguais. Esses tempos são chamados de Tempo de Amostragem T.

4. Sinais Discretos no Tempo

ď Ź

O Sinal discretizado resultante serĂĄ:

Exercícios 

Identifique os seguintes sinais como contínuos e discretos 1 3000

0.8

2000

0.6

1000

0.4

-1000

0.2 -2000

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

2.5

0.3

3.5

4.5

70 40

60 20

-20

30 20

-40

10 -60 0

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS  Sinal 

Par

Diz-se que um sinal de tempo contínuo x(t) ou discreto x[n] é um sinal Par se ele satisfizer a seguinte condição: x(-t) = x(t) para todo t. x[-n] = x[n] para todo n.



Em outras palavras, os sinais pares são simétricos em relação ao eixo vertical ou origem de tempo; 27

CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS  Exemplos

de Sinais Pares

CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS  Sinal 

Ímpar

Diz-se que um sinal de tempo contínuo x(t) ou discreto x[n] é um sinal Ímpar se ele satisfizer a seguinte condição:

x(-t) = -x(t) para todo t. x[-n] = -x[n] para todo n. 

Em outras palavras, os sinais ímpares são assimétricos em relação à origem de tempo;

CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS  Exemplos

de Sinais Ímpares

CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS Ex1: Faça os gráficos dos componentes pares e ímpares dos sinais mostrados a seguir.

xe 

1 x(t )  x(t ) 2

xo 

1 x(t )  x(t ) 2

CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS Ex2: Faça os gráficos dos componentes pares e ímpares dos sinais mostrados a seguir.

xe 

1 x[n]  x[n] 2

xo 

1 x[n]  x[n] 2

5. Sinais Periódicos Contínuos



Matematicamente, um sinal x(t) contínuo é periódico se satisfaz a seguinte condição para todo t, com T sendo constante positiva:

x t xtT 

Sinais periódicos são Sinais que se repetem com o passar do tempo.

5. Sinais Periódicos Contínuos 

O Menor Intervalo de repetição de um sinal periódico é o Período T (medido em Segundos). É número de vezes que o sinal se repete em 1 segundo é chamado freqüência f. A relação entre f e T é:

1 f  T 

A Freqüência é medida em Hz (fórmula acima) ou em radianos por segundo (fórmula abaixo). Frequência angular:

2  T

5. Sinais Periódicos Contínuos 

Exemplos de Sinais Periódicos Contínuos, perceba o intervalo de repetição:

5. Sinais Periódicos Discretos 

De forma análoga, um sinal x[n] discreto é periódico se satisfaz a seguinte condição para todo n com N sendo inteiro positivo constante:

xnxnN

5. Sinais Periódicos Discretos 

Também definimos a freqüência e o período como:



O Menor valor do número inteiro N é o Período. A freqüência, para os sinais periódicos discretos é medida em radianos e definida como:

2  N

5. Sinais Periódicos Discretos 

Exemplo de Sinais Periódicos Discretos

6. Sinais Não Periódicos Contínuos e Discretos



Os sinais que não satisfazem as condições de periodicidade são sinais não periódicos. Exemplos:

7. Sinais Determinísticos 

Sinais Determinísticos e Aleatórios



Um sinal determinístico é um sinal sobre o qual não existe nenhuma incerteza com respeito a seu valor em qualquer tempo. Podem ser modelados por uma função de tempo t conhecida. Ex:

 

xt 3cos2t xn j e3 jn2

8. Sinais Aleatórios 

Um sinal aleatório é um sinal que assume valores aleatórios em qualquer tempo dado e devem ser analisados

por modelos

probabilísticos (estatisticamente). 

No nosso curso não estudaremos estes sinais!!!



Um exemplo clássico de sinal aleatório é o ruído.

9. Sinais Digitais 

Os sinais digitais são sinais que assumem um número finito de valores. E estão definidos para um número, também finito de valores de tempo.



Em outras palavras, um sinal digital possui amplitude discreta e valores de tempo discreto.Ver Exemplo:

9. Sinais Digitais, Quantizados e Discretos



Iremos identificar as diferenças fundamentais entre estes três tipos de sinais.

Primeiramente, veremos um Sinal analógico, este possui: • Tempo Contínuo • Amplitude Contínua

9. Sinais Digitais, Quantizados e Discretos 

Sinal Digital

Este seria o Sinal Digital onde temos: • Tempo Discreto • Amplitude Discreta

9. Sinais Digitais, Quantizados e Discretos 

Sinal Discreto

O Sinal Discreto onde temos: • Tempo Discreto • Amplitude Contínua

9. Sinais Digitais, Quantizados e Discretos



Sinal Quantizado

O Sinal Quantizado onde temos: • Tempo Contínuo • Amplitude Discreta

10. Energia e Potência de Sinais Energia e Potência média associam uma função constante para cada sinal, o seu cálculo é realizado por integrais impróprias.  A Energia para Sinais Contínuos e Discretos é: 

 T/2 2  2 Exn  E  lim x t dt    T     T /2  

Sinal Contínuo

Sinal Discreto

10. Energia e Potência de Sinais Quando temos sinais periódicos a Integral anterior possui resultado infinito, portanto a Energia é infinita. OBS: Isso ocorre, também, com sinais aleatórios.  Para esses casos, definimos a Potência média, que é obtida, para Sinais Contínuos e Discretos por: 

1N1 1 2 2 P x t dt P  x n TT/2 Nn0 T/2

Sinal Contínuo

Sinal Discreto

T é o período

N é o período 48

10. Energia e Potência de Sinais



ATENÇÃO: Quando temos sinais não periódicos devemos calcular a potência através da fórmula: T /2

1 1 N 2 2  P  lim x t dt P   lim  x n  T   N   T 2 N  1 n   N  T /2 Sinal Contínuo

Sinal Discreto

10. Energia e Potência de Sinais  

Sinais de Energia e Potência Um sinal é chamado de Sinal de Energia se e somente se, a energia total do sinal satisfizer a condição:

0E 

Um sinal é chamado de Sinal de Potência se e somente se, a potência média do sinal satisfizer a condição:

0P 

Sinal de Energia Potência Média Zero. ◦ Ex: Sinais Determinísticos e Não-Periódicos.



Sinal de Potência Energia Infinita. ◦ Ex: Sinais Periódicos e Aleatórios. 50

10. Energia e Potência de Sinais • Ex1) Determine se os seguinte sinal é de energia, de potência ou nenhum dos dois.

x(t )  e atu(t ),

•



E   x(t ) dt   e 2

-

 2 at

a 0 1 dt   2a

Sinal de Energia

11. Transformações da Variável



Os Sinais podem ser manipulados com algumas operações em suas variáveis.



Em um Sinal possuímos:Variáveis Independentes e Variáveis Dependentes.

11. Transformações da Variável Independente 

Para o Sinal x(t) = sin(2t) temos que: x(t) : variável dependente t : variável independente x(t)

1.5

0.5

-0.5

-1

-1.5 -3

-2

-1

11. Transformações na Variável



Para realizarmos operações na variável dependente temos que operar com x(t) e;



Para realizarmos operações na variável independente temos que operar com t. De forma análoga, se o sinal for discreto devemos operar n.



A seguir verificaremos as operações mais usuais.

11. Transformações da Variável Dependente



Operações na variável dependente: x(t) e x[n]



Multiplicação por escalar: consiste em aumentar ou diminuir o tamanho do sinal. Esta operação é definida como:

a  xt 

a  xn

Para x(t) contínuo

Para x[n] discreto

11. Transformações da Variável Dependente 

Operações na variável dependente: x(t) e x[n]



Adição e Multiplicação: consiste na soma ou multiplicação de, usualmente, dois sinais. Estas operações são definidas como:

x1tx2t

x1nx2n

x1t x2t

x1n x2n

Para x(t) contínuo

Para x[n] discreto 56

11. Transformações da Variável Dependente



Operações na variável dependente: x(t)



Diferenciação e Integração: consiste em derivar ou integrar o sinal em questão. Essa operação é definida como:

d xt  dt

 xt dt

Derivada

Integral 57

11. Transformações da Variável Dependente 

Exercício 1 (Schaum)

11. Transformações da Variável Dependente 

Exercício – Solução (1.4 – Schaum)

11. Transformações da Variável Dependente 

Exercício 2 (Prova 2008)



Considerando os sinais de tempo contínuo x1(t) e x2(t), mostrados nas figuras abaixo, realize a seguinte operação de transformação de variáveis: a) x1(t)+x2(t)

11. Transformações da Variável Independente



Operações na variável independente: t e n



Multiplicação por escalar: consiste na expansão (0 < a < 1) ou compressão (a >1) do eixo do tempo, para sinais contínuos. Para sinais discretos usamos valores inteiros.

xat 

xkn

Para x(t) contínuo 0 < a < 1 expansão a >1 contração

Para x[n] discreto k é inteiro 61

11. Transformações da Variável Independente 1.

Mudança de Escala de Tempo

Seja x(t) um sinal de tempo contínuo. O sinal y(t) é obtido pela mudança de escala da variável independente, tempo t, por um fator a.

y(t )  x(at )  

Se a > 1 : y(t) é uma versão comprimida de x(t); Se 0 < a < 1 : y(t) é uma versão expandida (estendida) de x(t).

11. Transformações da Variável Independente 

Exercício (Multiplicação por escalar) – Sinal Discreto



Seja x[n] um sinal de tempo discreto. O sinal y[n] é obtido pela mudança de escala da variável independente, tempo n, por um fator a=2: y[n] = x[2n]

11. Transformações da Variável Independente 

Operações na variável independente: t e n



Deslocamento: consiste em deslocar o eixo t para a direita se temos -a ou para a esquerda se temos +a. Para sinais discretos usamos valores inteiros positivos e negativos. Esta operação e definida por:

xt  a 

xn  k 

xt  a 

xn  k 

Para x(t) contínuo -a desl. Direita +a desl. Esquerda

Para x[n] discreto -k desl. Direita +k desl. Esquerda 64

11. Transformações da Variável Independente



Método Prático: Considere o sinal x(t) queremos x(t+2) x(t)

-2

-1

t(ant)

11. Transformações da Variável Independente



Método Prático: Considere o sinal x(t) queremos x(t+2) x(t)

-2

-1

t(ant)

t(novo)

x(t+2)

-2

-1

t(novo)= t(ant)-2 66

11. Transformações da Variável Independente



Método Prático: Conclusão Operação x(t+2) x(t+3)

Novo Gráfico, como calcular t t(novo)= t(ant)-2 t(novo)= t(ant)-3

x(t-2) x(t-3)

t(novo)= t(ant)+2 t(novo)= t(ant)+3

Portanto x(operação)

t(novo)= t(ant)operação inversa

11. Transformações da Variável Independente  Deslocamento no Tempo y(t )  x(t  t0 ) 

to é o deslocamento de tempo.  Se to > 0, x(t) é deslocada intacta para a direita.  Se to < 0, x(t) é deslocada para a esquerda.

11. Transformações da Variável Independente 

Exercício (Deslocamento)



Seja x[n] um sinal de tempo discreto dado pela expressão abaixo. Encontre o sinal y[n] = x[n +3]

1 , n  1,2  x[n]   1 , n  1,2 0 , n  0, n  2 

1 , n  1,2  y[n]   1 , n  4,5 0 , n  -3, n  1, n  5 

11. Transformações da Variável Independente



Operações na variável independente: t e n



Reflexão: simetria ou espelho de t ou n. É definida por:

x t  Para x(t) contínuo

x n Para x[n] discreto

11. Transformações da Variável Independente 2. Reflexão Ex.: Considere o pulso triangular x(t) abaixo. Encontre a versão refletida de x(t) em relação ao eixo da amplitude.

x(t )  0, para t  - T1 e t  T2

y(t )  0, para t  T1 e t  - T2

11. Transformações da Variável Independente



Regras das Operações: Quando as operações ocorrerem simultaneamente, devemos fazer as execuções na ordem abaixo:

1º Deslocamento no Tempo;  2º Reflexão;  3º Compressão ou Expansão. 

11. Transformações da Variável Independente

Ex1: Um sinal de tempo discreto x[n] é mostrado a seguir.

Faça o gráfico do seguinte sinal: a)

x[-n+2]. 73

11. Transformações da Variável Independente

Ex2: Um sinal de tempo contínuo x(t) é mostrado a seguir.

Faça o gráfico de cada um dos seguintes sinais: a) x(t -2); d) x(-t) b) c)

x(2t). x(t/2)

e) x(-2t+2)

11. Transformações da Variável Independente

Ex3: Um sinal de tempo discreto x[n] é mostrado a seguir.

Faça o gráfico de cada um dos seguintes sinais: a) x[n -2] d) x[-n+2] b) c)

x[2n] x[-n]

e) x[-2n-2]

SINAIS ELEMENTARES 

Há diversos sinais elementares que se destacam no estudo de sinais e sistemas;



Servem como blocos de construção para a construção de sinais mais complexos;



Podem ser usados para modelar muitos sinais físicos que ocorrem na natureza;



Sinais exponenciais e senoidais, a função degrau, a função impulso e a função rampa.

12. Função Degrau Unitário 

Os tipos de Função Degrau Unitário são:

Função Degrau Unitário de Tempo Discreto;  Função Degrau Unitário de Tempo Contínuo. 

SINAIS ELEMENTARES  Função Degrau Unitário • A função degrau unitária u(t) é definida como:

1 u0 (t )   0

t0 t0

• Observe que ela é descontínua em t = 0 e que o valor em t = 0 é indefinido.

SINAIS ELEMENTARES Função Degrau Unitário • A função degrau unitária deslocada u(t-to) é definida como 1 u (t  t0 )   0

t  t0 t  t0

SINAIS ELEMENTARES 

Função Degrau Unitário de Tempo Discreto



A função degrau unitário (Discreta) e seu gráfico são: 0 , n0   u n 1 , n0 

SINAIS ELEMENTARES 

Função Degrau Unitário de Tempo Contínuo



A função degrau unitário (Contínua) e seu gráfico são: 0 , t0  u t  1 , t0 

13. Função Impulso Unitário 

Os tipos de Função Impulso Unitário são:

Função Impulso Unitário de Tempo Discreto;  Função Impulso Unitário de Tempo Contínuo. 

SINAIS ELEMENTARES 

Função Impulso Unitário de Tempo Discreto



A definição desta função e o seu gráfico são: 0 , n0   n 1 , n0 

SINAIS ELEMENTARES 

Função Impulso Unitário de Tempo Contínuo



A definição desta função e o seu gráfico são: t  0 t  0 

tdt1



SINAIS ELEMENTARES  Função Impulso Unitário • A função impulso unitário δ(t) é conhecida como a função delta de Dirac, tem um papel central na análise de sistemas.

SINAIS ELEMENTARES Função Rampa Unitária • A função rampa unitária, é definida como t u1 (t )   0

t0 t0

SINAIS ELEMENTARES  Sinais Exponenciais Complexos O sinal complexo x(t )  e j t é um exemplo importante de um sinal complexo. x(t )  e j0t  cos ot  jsenot 0

Parte Real

Parte Imaginária

• O sinal x(t) é periódico com período T0  2

o

SINAIS ELEMENTARES â&#x20AC;˘ Sinais Exponenciais Complexos

Sinal senoidal exponencialmente

crescente.

decrescente.

SINAIS ELEMENTARES  Sinais Exponenciais Reais Observe que se s   um número real. Então x(t) se reduz a um sinal real exponencial x(t )  et

Exponencial crescente. σ>0

Exponencial decrescente. σ<0

SINAIS ELEMENTARES Sinais Senoidais Um sinal senoidal de tempo contínuo pode ser expresso como

x(t )  A cos(0t   ) Amplitude real

Ângulo (rad)

Freqüência (rad/s)

SINAIS ELEMENTARES Sinais Senoidais

Período Fundamental

T0 

2

o

Freqüência Fundamental (Hz)

f0 

Freqüência Angular Fundamental (Hz)

1 T0

0  2f 0 91

SINAIS ELEMENTARES Ex1) Um sinal de tempo contínuo x(t) é mostrado abaixo. Faça o gráfico de cada um dos seguintes sinais:

a) x(t)u(1-t)

1 u (1  t )   0

t 1 t 1

SINAIS ELEMENTARES b) x(t)[u(t) - u(t-1)]

1 u (t )  u (t  1)   0

0  t 1 caso contrário

Sinais e Sistemas - Aulas

FIM â&#x20AC;&#x201C; PARTE 01