Lista de Exercícios
Integrais Prof. Walter Lucas P. Jr.
Questões: 1. Resolva as integrais.
2 3 g ) ∫ + 3 dx x x
1 m) ∫ x + dx x
h) ∫ 2.sec x. tg x dx
n) ∫ ( 2.e x + 3.4 x ) dx
e 2 + 2.cos x − 3.sen x c) ∫ dx 2
i ) ∫ 3x.2 x dx
o) ∫ sec 2 5 x dx
d ) ∫ cot g x dx
j)
a)
∫(x
4
− x 3 + 2 x 2 + 4 x − 3) dx
b)
∫(
x + 1 x − x + 1 dx
)(
)
cos x + sen x sen 3 x
x3 − 6 x + 5 ∫ x dx
p ) ∫ sen x.cos x dx
k ) ∫ a x . e x dx
e)
∫
f)
∫ ( x − cos x ) dx
(1 + sen x )
l)
∫x
1 1 − ( ℓn x 2 )
dx
3
q)
∫
r) ∫
x dx 1+ x4
(1+ x )( x )
dx
2. Resolva as integrais por substituição:
a)∫
dx x ln x
b) ∫ e −5 x dx c) ∫
sen 3θ dθ 1 + cos 3θ
f )∫ e tgx . sec 2 x dx
k )∫ x 2 .e −2 x dx
p)∫ x. cos(3x 2 ) dx
g ) ∫ e 2t . 1 + e 2t dt
sen(5 / x) dx x2 dx m) ∫ x e
q)∫ e x dx
h)∫
d )∫ x 2 1 + x dx 2
e)∫ [cos sec(sen x)] . cos x dx
5x 4 dx x 5 +1
3
l )∫
i) ∫ sec 2 5 x dx
n)∫
j ) ∫ e sen x cos x dx
o) ∫
e
y
y
s) ∫ cos 4θ . 2 − sen 4θ dθ
dy x
4 − 5x
r ) ∫ [sen(sen x)]. cos x dx
2
dx
t )∫ n a + bx dx
3. Resolva as integrais por partes:
ln x dx x
a ) ∫ x.e x dx
f ) ∫ x 2 .ln x dx
k ) ∫ e x .cos x dx
p)∫
b) ∫ x 2 .e x dx
g ) ∫ x.sec 2 x dx
l ) ∫ e −2 x .sen x dx
q ) ∫ x .ln x dx
c) ∫ x.sen x dx
h) ∫ x.(ln x) 2 dx
m) ∫ x 3 .e x dx
r ) ∫ x. arc tgx dx
d ) ∫ x.ln x dx
i ) ∫ (ln x) 2 dx
n) ∫ x3 .cos x 2 dx
s ) ∫ sen(ln x)dx
e) ∫ ln x dx
j ) ∫ x.e 2 x dx
o) ∫ e − x cos 2 x dx
t ) ∫ cos(ln x)dx
2
Lista de Exercícios
Integrais
4. Resolva as integrais por frações parciais:
2 dx x −3 1 b) ∫ dx 2x + 3 x c) ∫ dx x +1 2x + 3 d )∫ dx x +1 a) ∫
3x dx x−2 x+2 g )∫ dx x −1 x2 h) ∫ dx x +1 dx i) ∫ (x + 1)(. x − 1) f )∫
5x + 3 dx x 2 − 3x + 2 2 l )∫ 2 dx x − 5x + 6 2x + 3 m) ∫ dx x.( x − 2) 1 n) ∫ 2 dx x −4
x −3 dx x 2 + 3x + 2 2x − 3 q) ∫ dx 1+ x2 1 r )∫ 2 dx x + 4x + 8 dx s)∫ 2 x + 2x + 2
k )∫
2 x 5 + dx j ) ∫ 2 e) ∫ dx x −4 x −1 x
o) ∫
p)∫
x +1 dx x −x−2
t )∫
2
1 dx x + x +1 2
5. Resolva as integrais por substituição trigonométrica:
x2
1 a) ∫ dx 4 + x2
f )∫
b) ∫ 1 − 4 x 2 dx
g ) ∫ x 2 . 1 − x 2 dx
l )∫
dx
h) ∫ 3 − 4 x 2 dx
m) ∫
dx
i) ∫
1
n) ∫
c) ∫ d )∫ e) ∫
1 4 − x2 1 4 + x2 x 1− x
2
dx
1− x2
x. 1 + x 2
dx
dx
j ) ∫ 9 − ( x − 1) 2 dx
k ) ∫ 9 − 4 x dx
p) ∫
2
9 − x2 dx 2x 2
o) ∫
x2 3. x 2 + 4 1
q)∫ dx
r )∫
dx
s) ∫
x2. 1+ x2 dx x2. 4 + x2
9 − 4x 2 dx x x2 2x − x
2
dx
9 − x2 dx 2x 2 dx
x 3 x 2 − 16 ex t )∫ dx 2x e +1
6. Resolva as integrais por substituição trigonométrica:
dx 1 + sen x − cos x dx b) ∫ 2 + cos x dx c) ∫ 5 + 4.cos x a) ∫
dx dx 3.tgx + 2 2 − cos x e) ∫ dx 2 + cos x sen x f )∫ dx 1 − sen x d )∫
dx 3 − 2.cos x dx h) ∫ 5 + 4.sen x cos x i)∫ dx 1 + sen 2 x g )∫
dx 1 − sen x 1 − 2.cos x k )∫ dx 5 − 4.cos x 1 − cos x l) ∫ dx 1 + sen x j)∫
Lista de Exercícios
Integrais
7. Em cada caso abaixo, determine a área entre os gráficos das funções:
a) y = x 2 e y = x ,
f ) y = x3 e y = 5
1 ≤ x ≤1 4
g ) y = cos x , y = 0 e
b) x = y , x = y − 2 2
π 4
≤x≤
π 2
1 , x = 0, y = 1 e y = e x i) y = x 3 − 4 x 2 + 3 x e y = x 2 − x
c) y = 1 ± x e x = 4
h) x =
d ) y = x 3 − 4x , y = 0 e 0 ≤ x ≤ 2 e) y = e x , y = e 2 x , x = 0, x = ln 2
j ) y = x e y = x 3 ,−2 ≤ x ≤ 2
8. Mediante integrais calcule a área de uma elipse de eixo maior a sobre as abscissas e eixo menor b . 9. Mediante integrais calcule a área de um triangulo de altura h e base b . 10. Calcule a área entre os gráficos de y = x 2 − 2 x e y = −
x2 + 2x . 2
11. Uma partícula move-se sobre o eixo 0x com aceleração proporcional ao quadrado da velocidade. Sabe-se que no instante t = 0 a velocidade é de v = 2m / s e, no instante t = 1s, 1m / s. Determine
v = v(t ), t ≥ 0; Em seguida, determine a função de posição supondo x(0) = 0. 12º) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos
f ( x) =
ln x + x
x x −1 2
x
do gráfico da função
, com e ≤ x ≤ e 2 .
13º) O toro é um sólido obtido pela rotação de um disco ao redor de um eixo que não o encontra. Veja o esquema do gráfico abaixo e em seguida calcule o volume do toro nas condições do gráfico.
y
rotação em x.
r
a x a>r>0
Lista de Exercícios
Integrais
t t 14º) Calcule o comprimento da curva x(t ) = e .sent e y (t ) = e . cos t com 0 ≤ t ≤
15º) Calcule o comprimento da curva
π 2
.
x(t ) = a.(cos t + t.sent ) e y (t ) = a.( sent − t. cos t ) com
0≤t ≤π . 16º) Calcule o comprimento da curva x(t ) = t e y (t ) =
a 2 − t 2 , − a ≤ x ≤ a.
17º) Calcule o comprimento das curvas dadas suas parametrizações abaixo: a)
x(t ) = 2.(t − sent ) e y (t ) = 2.(1 − cos t )
0≤t ≤π .
b)
x(t ) = t.sent e y (t ) = t. cos t
0≤t ≤π .
c)
x(t ) = 2. cos t + 2.t.sent e y (t ) = 2.sent − 2.t. cos t ,
0 ≤ t ≤ π /2.
d)
x(t ) = e t . cos t e y (t ) = e t .sent
1≤ t ≤ 2
e)
x(t ) = t.sent e y (t ) = t. cos t
0≤t ≤π
18º) Chama-se ciclóide à curva definida por um ponto de uma circunferência de raio r que rola sem deslizar sobre uma reta. Na figura abaixo vemos o gráfico de uma ciclóide onde r = 1 , cuja parametrização é dada pelas equações:
x(t ) = t − sen t e y (t ) = 1 − cos t , com 0 ≤ t ≤ 2π .
- Com base nos dados acima pede-se:
0 ≤ t ≤ 2π ;
a)
a área da ciclóide com
b)
o comprimento da ciclóide com
c)
o volume que a ciclóide gera no espaço quando sofre uma rotação em torno de x com
0 ≤ t ≤ 2π ;
0 ≤ t ≤ 2π . 19º) Descanse enquanto a outra lista encontra-se em andamento!!!