CESF-Fucapi Prof. Walter Lucas
Eixo dos Senos
1
π/2 = 90º 2π/3 = 120º
3 2 2 2 1 2
3π/4 = 135º 5π/6 = 120º
π/3 = 60º
+
π/4 = 45º π/6 = 30º
-1 π 3 2 − 2 2
−
1 2
0
1 2
1 2 2 − 2 3 − 2
2 2
−
7π/6 = 210º 5π/4 = 225º 4π/3 = 240º
3 2
11π/6 = 330º 7π/4 = 315º 5π/3 = 300º
-
3π/2 = 270º
-1
Relações Fundamentais:
Relações Derivadas: sen(2 x) = 2.senx. cos x
Fórmulas Usuais
sen x tgx = , ∀ cos x ≠ 0 cos x cos x cot gx = , ∀ sen x ≠ 0 sen x sen 2 x + cos 2 x = 1 1 sec x = , ∀ cos x ≠ 0 cos x 1 cos sec = , ∀ sen x ≠ 0 sen x cos sec2 x = 1 + cot g 2 x
cos(2 x) = cos 2 x − sen 2 x 2.tgx tg (2 x) = 1 − tg 2 x sen(3 x) = 3.senx − 4 sen 3 x
cos sec2 x = 1 + cot g 2 x sen( x + y ) = senx. cos y + cos xseny sen( x − y ) = senx. cos y − cos xseny cos( x + y ) = cos x. cos y − senx.seny cos( x − y ) = cos x. cos y + senx.seny
Soma e Diferença de Arcos
sec2 x = 1 + tg 2 x
cos(3 x) = 4. cos 3 x − 3 cos x sen(3 x) tg (3 x) = cos(3x) tgx + tgy 1 − tgx.tgy tgx − tgy tg ( x − y ) = 1 + tgx.tgy
tg ( x + y ) =
Fórmulas do Arco Duplo
−
Fórmulas do Arco Triplo
180º
0º 1 2π Eixo dos Cossenos
1 − cos x 2
x cos = 2
1 + cos x 2 1 − cos x 1 + cos x
x 2 .tg 2 sen x = x 1 + tg 2 2 x 1 − tg 2 2 cos x = x 1 + tg 2 2 x 2 .tg 2 tgx = x 1 − tg 2 2
x− y x+ y sen x + sen y = 2 cos sen 2 2
Fórmulas do Arco Metade
x tg = 2
x+ y x− y sen x − sen y = 2 cos sen 2 2
x− y x+ y cos x − cos y = −2 sen sen 2 2 x− y x+ y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2
Arcos Notáveis (1º Quadrante) 30º
45º
60º
Seno
1 2
Cosseno
3 2 3 3
2 2 2 2
3 2 1 2
1
3
Tangente
Arcos Notáveis no Ciclo
0
π
tgx + tgy =
sen ( x + y ) cos x. cos y
tgx − tgy =
sen ( x − y ) cos x. cos y
cos x + cos y cos x. cos y (cos x − cos y ) sec x + sec y = − cos x. cos y sen x + sen y cos sec x + cos sec y = sen x. sen y (sen x − sen y ) cos sec x − cos sec y = − sen x. sen y sen ( x + y ) cot gx + cot gy = sen x. sen y sen ( x − y ) cot gx − cot gy = − sen x. sen y sec x + sec y =
π
3π 2
2π
0 -1 0 ∅ -1 ∅
-1 0 0 0 ∅ -1
0 1 0 ∅ 1 ∅
2
Seno 0 1 Cosseno 1 0 Tangente 0 ∅ Cotangente 0 ∅ Secante 1 ∅ Cossecante 1 ∅ Obs.: ∅ significa que não existe o valor.
Fórmulas de Prostaférese
x sen = 2
Funções Trigonométricas:
1 - Função Seno Informações Gerais f ( x) = sen x
Sinal da Função nos Quadrantes
Df = R Im f = [−1, 1 ] Função Ímpar pois, f ( x) = − f (− x) Função é Periódica de período p = 2π O Gráfico chama-se Senóide:
Gráfico da função f(x)= sen x
2 - Função Cosseno Informações Gerais f ( x ) = cos x Df = R Im f = [−1, 1 ] Função Par pois, f ( x) = f (− x) Função é Periódica de período p = 2π O Gráfico chama-se Senóide.
Gráfico da função f(x)= cos x
Sinal da Função nos Quadrantes
3 - Função Tangente Informações Gerais
Sinal da Função nos Quadrantes
f ( x) = tgx
π Df = x ∈ R / x ≠ + kπ , k ∈ Z 2 Im f = R Função ímpar pois, f ( x) = − f (− x) Função Periódica de período p = π ⇒ tgx = tg ( x + kπ ) O Gráfico chama-se tangentóide: Gráfico da f(x)= tg x
4 - Função Cossecante
Informações Gerais f ( x ) = cos sec x
Df = {x ∈ R / x ≠ kπ , k ∈ Z } Im f = { y ∈ R / y ≤ −1 ou y ≥ 1} Função Periódica de período p = π Abaixo o Gráfico da f(x)= cossec x
Sinal da Função nos Quadrantes
5 - Função Secante Informações Gerais
Sinal da Função nos Quadrantes
f ( x) = sec x
π Df = x ∈ R / x ≠ k , k ∈ Z 2 Im f = { y ∈ R / y ≤ −1 ou y ≥ 1} Função Periódica de período p = π Abaixo o Gráfico da f(x)= sec x
6 - Função Cotangente
Informações Gerais f ( x ) = cot gx
Df = {x ∈ R / x ≠ kπ , k ∈ Z } Im f = R Função Periódica de período p = π Abaixo o Gráfico da f(x)= cotg x
Sinal da Função nos Quadrantes
* Uma função f : X ⊂ R → R é periódica ⇔ ∃ p ∈ R / f ( x + p ) = f ( x) ∀x ∈ X . Teorema de Funções Periódicas:
→ Se uma função é do tipo y = a + b.sen( mx + q) ou y = a + b. cos( mx + q ) onde a, b, m e q ∈ R e b, m ≠ 0 então seu período é dado por p =
2π m
→ Se uma função é do tipo y = a + b.tg (mx + q ) onde a, b, m e q ∈ R e b, m ≠ 0 então período é dado por p =
seu
π
m
Critérios Gerais para Resolução de Equações Trigonométricas: → Se sen x = sen y ⇒ x = y + 2kπ ou x = (π − y ) + 2kπ → Se cos x = cos y ⇒ x = y + 2kπ ou x = ( 2π − y ) + 2kπ ou x = ± y + 2kπ
→ Se tgx = tgy ⇒ x = y + kπ com y ≠
π
+ kπ 2 Obs.: No Caso de Inequações deve-se estudar nos quadrantes. Gráfico das Funções Trigonométricas Inversas: 1) Função Arco-Seno Se y = sen x ⇒ x = arcsen y e tal função é chamada a inversa da função seno. Informações gerais sobre x = arc seny Df = [ − 1,1 ] π π Im f = − , 2 2 π π F : [ − 1,1 ] → − , 2 2
2) Função Arco-Cosseno Se y = cos x ⇒ x = arccos y e tal função é a inversa da função cosseno. Informações gerais sobre x = arc cosy Df = [−1,1]
Im f = [0,π ]
F : [−1,1] → [0,π ]
3) Função Arco-Tangente Se y = tgx ⇒ x = arc tg y e tal função é chamada a inversa da função cosseno. Informações gerais sobre x = arc cosy Df = R π π Im f = − , 2 2 π π F : R → − , 2 2
A
Triângulos Quaisquer: b
Lei dos Senos
c C
a b c = = = 2R sen A sen B sen C
0
D
R
a B
A
Lei dos Cossenos
b
c
a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c. cos A b 2 = a 2 + c 2 − 2.a.c. cos B 2
m
n
c = a + b − 2.a.b. cos C B 2
2
C
H
Teoremas da Área
a
A área de um triângulo qualquer é igual à metade do produto de dois de seus lados pelo seno do ângulo compreendido entre esses lados.
1 A = .b.c. sen A 2 1 A = .a.b. sen C 2 1 A = .a.c. sen B 2
A b
c
B
a
C