Corriente alterna fisica desbloqueado

CORRIENTE ALTERNA SILVIA E. ELÍAS

DERECHOS DE COPIA: Estos Apuntes se presentan en forma digital para su consulta por los alumnos de las Asignaturas Electromagnetismo y Física II de las carreras: Ingeniería Electrónica, Ingeniería Electromecánica, Ingeniería Mecánica, Ingeniería Civil, Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Ingeniería Industrial, Ingeniería en Minas e Ingeniería en Metalurgia Extractiva, de la Facultad de Ingeniería de la UNSJ. De forma general, se autoriza su impresión, pero nunca su modificación y/o utilización con fines diferentes al mencionado.

2

ÍNDICE Introducción ________________________________________________________ 4 Corriente Continua y Corriente Alterna __________________________________ 5 Corriente Sinusoidal__________________________________________________ 8 Ventajas de la Señal Alterna __________________________________________ 10 Circuitos de Corriente Alterna _________________________________________ 12 Relación de fase en circuitos de corriente alterna _____________________________ 12

Análisis de Circuitos de Corriente Alterna_______________________________ 13 Consideraciones generales _______________________________________________ Una resistencia conectada a un generador de corriente alterna __________________ Un condensador conectado a un generador de corriente alterna__________________ Una inductancia conectada a un generador de corriente alterna__________________

13 15 17 19

Circuito RCL Serie __________________________________________________ 23 Generalidades _________________________________________________________ Solución analítica ______________________________________________________ Solución mediante el empleo de fasores _____________________________________ Empleo de números complejos ____________________________________________

23 25 27 30

Circuito RCL Paralelo _______________________________________________ 34 Generalidades _________________________________________________________ Solución analítica ______________________________________________________ Solucion mediante el empleo de fasores _____________________________________ Empleo de números complejos ____________________________________________

34 36 38 40

Circuitos Mixtos ____________________________________________________ 43 Resonancia ________________________________________________________ 46 Circuito resonante serie _________________________________________________ Circuito resonante paralelo_______________________________________________ Características de los circuitos resonantes serie ______________________________ Características de los circuitos resonantes paralelo ___________________________ Aplicaciones de los circuitos resonantes _____________________________________

46 46 47 48 48

Valores Medios y Eficaces ____________________________________________ 49 Potencia en los Circuitos de Corriente Alterna____________________________ 53 Potencia en un circuito resistivo puro_______________________________________ Potencia en un circuito capacitivo puro _____________________________________ Potencia en un circuito inductivo puro ______________________________________ Potencia en un circuito cualquiera _________________________________________ Potencia activa y reactiva ________________________________________________ Factor de potencia______________________________________________________ Potencia compleja ______________________________________________________

54 56 57 58 60 61 62

Ejercicios resueltos __________________________________________________ 66 Ejercicio Nº 1: Modelo del motor eléctrico___________________________________ 66 Ejercicio Nº2 __________________________________________________________ 69

3

CORRIENTE ALTERNA INTRODUCCIÓN Casi todos los días de nuestra vida usamos aparatos eléctricos que funcionan con corriente alterna, entre los que se encuentran las radios, los televisores, ordenadores, los teléfonos, los frigoríficos, etc. Lo que hace a la electricidad alterna generalmente más útil que la continua, es que la primera puede ser controlada más fácilmente.

La frecuencia de las instalaciones de producción de energía eléctrica está normalizada. Esto se debe a que las máquinas y aparatos eléctricos de corriente alterna funcionan normalmente a una frecuencia determinada para la cual están calculados. En la mayoría de los países del mundo la frecuencia normalizada es de 50Hz ó 60Hz. La disminución de la frecuencia por debajo de los 40Hz es inadmisible, ya que con ello es perceptible para la vista el centelleo de las lámparas de incandescencia; el aumento de la frecuencia tampoco es deseable ya que da lugar al crecimiento proporcional de la f.e.m. de autoinducción, lo que dificulta sustancialmente la transmisión de energía por los hilos de las líneas aéreas.

En la industria para fines especiales se aplican ampliamente corrientes alternas de las más variadas frecuencias: en los motores rápidos de 400 a 2000Hz, en hornos eléctricos de 500Hz a 50MHz, etc. Las corrientes alternas de altas frecuencias son necesarias para la transmisión sin cables de cantidades relativamente pequeñas de energía mediante ondas electromagnéticas, en la radiotécnica, televisión (de hasta 3.1010Hz) y en la mayoría de los dispositivos de electrónica industrial.

Para los dispositivos de alta frecuencia, en lugar de la frecuencia se emplea ampliamente el concepto de longitud de onda. Para la frecuencia industrial de 50Hz, la longitud de onda es de 6000km, pero para la frecuencia de 30.109Hz es igual a 1cm.

Un alto porcentaje de la energía generada en el mundo está en forma de corriente alterna. El uso preferente de la corriente alterna en las instalaciones electroenergéticas e industriales se explica principalmente por el hecho de que con corriente alterna trabajan los transformadores, y los motores de corriente alterna son más sencillos, resistentes y baratos que los motores de corriente continua. Tiene especial importancia la posibilidad de transformar la energía eléctrica, o sea, una transformación sencilla y con pequeñas pérdidas, de la corriente de gran intensidad y baja tensión, en corriente de pequeña intensidad y alta tensión o la transformación inversa.

Una bobina giratoria dentro de un campo magnético induce una f.e.m. alterna de una manera muy eficiente.

En este capítulo se presentan algunos aspectos sobre la corriente alterna en circuitos eléctricos.

4

CORRIENTE CONTINUA Y CORRIENTE ALTERNA La corriente eléctrica puede ser continua o alterna.

La corriente continua se abrevia con las letras C.C. (Corriente Continua) o D.C. (Direct Current); y la alterna, por C.A. (Corriente Alterna) o A.C.(Alternated Current).

La C.C. implica un flujo de carga que fluye siempre en un solo sentido. Una batería produce C.C. en un circuito porque sus bornes tienen siempre el mismo signo de carga. Los electrones se mueven siempre en el circuito en el mismo sentido: del borne negativo que los repele al borne positivo que los atrae. Aún si la corriente se mueve en pulsaciones irregulares, en tanto lo haga en un solo sentido, es C.C. La C.A. se comporta como su nombre lo indica, los electrones del circuito se desplazan primero en un sentido y luego en sentido contrario, con un movimiento de vaivén en torno a posiciones relativamente fijas. Esto se consigue alternando la polaridad del voltaje del generador o de otra fuente.

La ventaja de la corriente alterna proviene del hecho de que la energía eléctrica en forma de corriente alterna se puede transmitir a grandes distancias por medio de fáciles elevaciones de voltaje que reducen las pérdidas de calor en los cables.

La aplicación principal de la corriente eléctrica, ya sea C.C. o C.A., es la transmisión de energía en forma silenciosa, flexible y conveniente de un lugar a otro.

Las Figs.1 y 2 muestran graficas de V = V ( t ) correspondientes a distintos tipos de corriente continua.

V

V

t

t Fig. 1

Fig. 2

Corriente continua constante.

Corriente continua variable.

La representación de la C.C., es la de la Fig.1 , si el valor de la tensión es constante durante todo el tiempo y la de la Fig.2 si dicho valor varía a lo largo del tiempo (pero nunca se hace negativa).

Ahora bien, existen generadores en los que la polaridad está constantemente cambiando de signo, por lo que el sentido de la corriente es uno durante un intervalo de tiempo, y de sentido contrario en el intervalo siguiente.

5

Obsérvese que siempre existe paso de corriente; lo que varía constantemente es el signo (el sentido) de ésta.

V

t Fig.3 Corriente alterna.

Las corrientes alternas más importantes son las llamadas corrientes alternas periódicas: son aquellas que se repiten cada cierto intervalo de tiempo llamado PERÍODO, se expresa en unidades de tiempo y se representa por la letra T .

En las Figs.4 a 7 se muestran varios tipos de corrientes alternas periódicas.

V

V

t

t

Fig. 4

Fig. 5

Corriente rectangular.

Corriente triangular.

V

V

t

t

Fig. 6

Fig. 7

Corriente diente de sierra.

Corriente sinusoidal.

Históricamente, las primeras corrientes eléctricas utilizadas fueron las C.C. que, debido a las grandes pérdidas que implica su transporte, eran utilizadas en lugares próximos al sitio donde se generaban. El uso de C.A. permitió el transporte de energía a grandes distancias.

6

Los voltajes bajos son más prácticos para uso local, porque se aíslan con más facilidad y no hay peligro de descargas disruptivas como cuando los voltajes son altos.

En reciprocidad, como mostraremos, es mucho más eficiente transmitir la energía eléctrica a altos voltajes, desde una planta generadora hasta los lugares donde se vaya a utilizar. Los transformadores nos permiten reconciliar las distintas necesidades de voltaje de la transmisión a grandes distancias y del uso local. El hecho de que los transformadores requieren C.A. para funcionar, ha determinado el papel del la C.A. en nuestro uso de la electricidad.

Se puede demostrar que es más eficiente transmitir energía eléctrica a altos voltajes, sea de C.A. o de C.C. El hecho de que la misma potencia puede ser transmitida a una baja tensión y gran intensidad de corriente o bien a una alta tensión y pequeña intensidad de corriente tiene un gran valor práctico.

Un circuito elemental de transmisión de energía eléctrica consta de un generador que suministra energía eléctrica sobre una línea de transporte formada por dos conductores de resistencia r , a una carga de resistencia R . De acuerdo con la Ley de Ohm la tensión de este circuito es:

ε = I r + I R = I r + VC

(1)

Multipliquemos la Ec. (1) por la intensidad de corriente, transformándola de esta manera en la ecuación de distribución de potencia en el circuito:

ε I = I 2 r + I VC

(2)

Donde ε I es la potencia entregada por el generador; I 2 r es la pérdida de potencia en los conductores de la línea y PC = I VC es la potencia consumida por la carga.

Si aumentamos dos veces la tensión en los bornes de la carga, para obtener igual potencia es necesario disminuir dos veces la intensidad de corriente de carga, o sea, I 2

hasta el valor I ′ = . En este caso las pérdidas en los conductores de la línea (para r invariable) disminuyen cuatro veces ya que:

I ′2 r =

I2 r 4

Por lo tanto, al aumentar dos veces la tensión, si se mantiene invariable el porcentaje de pérdidas en la transmisión, se puede disminuir cuatro veces la sección de los conductores o aumentar cuatro veces la longitud de la línea de transmisión.

7

CORRIENTE SINUSOIDAL Las funciones seno y coseno son funciones periódicas. La función coseno es la π⎞ ⎛ función seno desfasada hacia la izquierda un cuarto de ciclo: cos (ω t ) = sen ⎜ ω t + ⎟ 2⎠ ⎝ y = sen x y = cos x y

T

1

−2π

2π

−1

x

π⎞ ⎛ cos ω t = sen ⎜ ω t + ⎟ 2⎠ ⎝ T= f =

2π

ω

( Período ) =

1 f

ω (Frecuencia) 2π

La más importante de las corrientes alternas periódicas es la llamada corriente sinusoidal o senoidal, porque es la única capaz de pasar a través de resistencias, bobinas y condensadores sin deformarse. Puede demostrarse que cualquier otra forma de onda se puede construir a partir de una suma de ondas sinusoidales de determinadas frecuencias. Se llama sinusoidal porque sigue la forma de la función matemática SENO. Esta función es: donde:

v : es el valor instantáneo de la tensión, es decir, el valor en un determinado instante t . i : es el valor instantáneo de la corriente, es decir, el valor en un determinado instante t .

V : es el valor de pico de la tensión, también llamado amplitud de la tensión.

I : es el valor de pico de la corriente, también llamado amplitud de la corriente.

ω : es una constante propia de la corriente de que se trate, relacionada con la frecuencia.

t : es el tiempo expresado en segundos.

8

Los parámetros que caracterizan la señal en C.A. son: la amplitud, la frecuencia angular y la fase inicial.

Frecuencia angular

v( t ) = V sen (ω t + φ ) Amplitud

Fase inicial

Las Figs. 8 a 10 muestran la influencia de la variación de estos parámetros.

Variación de amplitud v

V1 t

V1 〈 V 〈 V2

Fig. 8 Variación de amplitud en la Función SENO.

Variación de frecuencia v

ω1 〈 ω

t

ω

ω2 〉 ω Fig. 9 Variación de frecuencia angular en la Función SENO.

9

Variación de fase inicial v

φ1

t

φ =0

φ2 〉 φ1 Fig. 10 Variación de fase en la Función SENO.

10

VENTAJAS DE LA SEÑAL ALTERNA Frente a la corriente continua, la alterna presenta las siguientes ventajas: Se genera en los alternadores sin grandes dificultades.

Los generadores de C.A. (alternadores) son más eficaces y sencillos que los de C.C. (dínamos).

La tecnología necesaria para el transporte de energía a grandes distancias es mucho más económica y accesible.

Su elevación y reducción, necesarias para reducir las pérdidas de energía, se realiza con altos rendimientos y bajo costo mediante los transformadores.

Los receptores de C.A. son más numerosos y utilizables en casi todas las aplicaciones.

La conversión de C.A. en C.C. no presenta complicaciones.

Además, frente a otros tipos de onda, la señal senoidal tiene las siguientes propiedades: La función seno se define perfectamente mediante su expresión matemática.

Es fácil de operar.

11

CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA En este capítulo, la discusión queda limitada a circuitos que sólo contengan elementos lineales; de modo que las relaciones entre las corrientes, voltajes, sus derivadas y sus integrales sean lineales, siendo las constantes de proporcionalidad los parámetros R, L y C o sus recíprocos.

El único elemento de importancia en el circuito de C.C. (además de la fuente de f.e.m.) es el resistor.

Puesto que la C.A. se comporta en forma distinta de la C.C., los elementos adicionales del circuito adquieren importancia. Además de la resistencia, tanto la inducción electromagnética como la capacitancia desempeñan papeles importantes.

En electricidad aplicada los circuitos de C.A. son de gran importancia, pero aquí nos limitaremos a discutir los circuitos elementales y al estudio de algunos métodos sencillos para su análisis, cuando tales circuitos están conectados a una fuente de tensión senoidal.

El análisis de los circuitos de C.A. exige el planteamiento y la solución de ciertas ecuaciones diferenciales. Para profundizar más en el conocimiento de estos circuitos, examinaremos el problema desde varios puntos de vista.

Además de desarrollar las ideas necesarias para discutir las relaciones tensiónintensidad en los circuitos de C.A., discutiremos la disipación de potencia en tales circuitos.

Relación de fase en circuitos de corriente alterna En todos los circuitos de C.C., el voltaje y la corriente alcanzan sus valores máximos y el valor cero al mismo tiempo, por lo que se dice que están en fase. Los efectos de la inductancia y la capacitancia en circuitos de C.A. evitan que el voltaje y la corriente alcancen sus valores máximos y mínimos al mismo tiempo. Es decir, la corriente y el voltaje en la mayoría de los circuitos de C.A. están fuera de fase.

12

ANÁLISIS DE CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Consideraciones generales Un circuito de C.A. consta de una combinación de elementos (resistencias, capacidades y autoinducciones) y un generador que suministra la corriente alterna.

Una f.e.m. alterna senoidal se produce mediante la rotación de una bobina con velocidad angular constante dentro de un campo magnético uniforme.

ε = ε m sen ω t

(3)

Para analizar los circuitos de corriente alterna se emplean dos procedimientos, uno geométrico denominado de vectores rotatorios o fasores, y otro que emplea los números complejos.

Un ejemplo del primer procedimiento, es la interpretación geométrica del Movimiento Armónico Simple como proyección sobre el eje “y” de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud y que rota con una velocidad angular igual a la frecuencia angular.

Mediante las representaciones vectoriales, la longitud del vector representa la amplitud y su proyección sobre el eje vertical representa el valor instantáneo de dicha cantidad. Los vectores se hacen rotar en sentido contrario al de las agujas del reloj.

Con letras mayúsculas representaremos los valores de la amplitud y con letras minúsculas los valores instantáneos.

En la Fig.11 , se observa la interpretación de un M.A.S. como proyección sobre el eje “y”, del extremo de un vector rotatorio de módulo igual a la amplitud A.

y

JG A

a = A sen (ω t + φ)

ωt φ

x

Fig. 11 Interpretación geométrica del Movimiento Armónico Simple.

13

Este vector rota con velocidad angular ω igual a la frecuencia angular del M.A.S, en el sentido contrario a las agujas del reloj. Dicha proyección vale a = Asen (ω t + φ ) .

El ángulo (ω t + φ ) que forma el vector rotatorio con el eje de las “x” se denomina fase del movimiento. El ángulo φ que forma en el instante t = 0 , se denomina fase inicial.

En la Fig.12 se muestra el vector rotatorio (fasor) en su movimiento durante un intervalo [0, T ] , para φ = 0 . T es el tiempo que tarda el punto en recorrer la circunferencia, es decir, el PERÍODO del movimiento circular, que es el mismo que el del movimiento armónico correspondiente. ε, i

Ver animación

π

0

2π

θ

Fig. 12 Función armónica generada por un vector rotatorio (fasor).

14

Una resistencia conectada a un generador de corriente alterna Consideremos un circuito que contiene un resistor puro en serie con un generador de C.A. como se observa en la Fig. 13 .

ε = ε m sen (ω t )

R

Fig. 13 Fuente de corriente alterna conectada a una resistencia.

Este es un circuito ideal en el que los efectos inductivos y capacitivos son despreciables.

Numerosos dispositivos de uso doméstico como lámparas, calentadores y tostadores, se aproximan a una condición de resistencia pura.

Aplicando la ley de las mallas de Kirchhoff a este circuito:

ε − vR = 0

(4)

encontramos que la diferencia de potencial entre las terminales de la fuente, es igual a la diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia, por tanto:

vR = ε m sen (ω t ) = iR R

(5)

donde vR es la caída de tensión instantánea en la resistencia, por lo tanto la corriente instantánea será: iR =

ε R

=

εm R

sen ω t

(6)

Si la resistencia es óhmica ( R independiente de v e i ), la dependencia temporal de i es:

iR = I R sen (ω t ) ,

IR =

εm R

(7)

donde la amplitud de la corriente, I R es constante.

15

La Fig. 14 muestra los fasores generatrices de i y ε para el circuito resistivo puro de la Fig. 13 . ε, i

Ver animación

iR vR

ωt

0

Fig. 14 Fasores generatrices de i y v para un circuito resistivo puro.

Como iR y vR varían según sen (ω t ) , Ecs. (5) y (7), alcanzan sus valores máximos al mismo tiempo, por lo tanto se dice que están en fase.

7π , 4ω como la de la Fig.15 , vemos que los extremos de las flechas corresponden a los valores de tensión y corriente máximos, que desplazados sobre el eje vertical nos dan los valores instantáneos de la tensión y corriente en la resistencia.

Haciendo una instantánea de la animación mostrada en la Fig.14 , para t ′ =

En la Fig.15( b ) puede verse que para un circuito de corriente alterna puramente resistivo, el voltaje y la corriente están en fase o dicho de otro modo, el ángulo de fase entre el voltaje y la corriente es cero.

JJG

JJG

El diagrama de fasores, Fig.15( a ) nos muestra esta relación con I R y VR paralelos, mientras rotan en sentido antihorario. ε, i

iR

t' =

vR 7π/4

7π 4ω

ω t’

JJG

G VR JJ =Gε

ωt

IR

(a)

(b) Fig. 15

(a) Diagrama de fasores para el circuito de la Fig.13. (b) Gráficas de i y v frente a ω t para el mismo circuito.

EN LOS CIRCUITOS RESISTIVOS PUROS LA CORRIENTE Y LA TENSIÓN ESTÁN EN FASE. 16

Un condensador conectado a un generador de corriente alterna En la Fig.16 se muestra una fuente de corriente alterna conectada a un condensador, formando un circuito de corriente alterna puramente capacitivo.

ε = ε m sen (ω t )

C

Fig. 16 Fuente de corriente alterna conectada a un condensador.

La regla de las mallas de Kirchhoff aplicada al circuito da:

ε − vC = 0

(8)

Por lo tanto: vC = ε m sen (ω t )

donde vC =

(9)

q es la caída de tensión en el capacitor.

C

Para obtener la corriente debemos despejar q y derivarla respecto del tiempo. q = C ε m sen (ω t )

iC =

dq = ω C ε m cos (ω t ) dt

π⎞ ⎛ Usando la relación cos( ω t ) = sen ⎜ ω t + ⎟ , podemos escribir: 2⎠ ⎝ π ⎞ ⎛ iC = I C sen ⎜ ω t + ⎟ I C = ω C ε m = ε m ( 1 ωC ) 2 ⎠ ⎝

(10)

(11)

donde I c es la amplitud de la corriente oscilante.

En la sección anterior vimos que para un circuito resistivo I R = ε m R , por analogía definimos la reactancia capacitiva X C como:

XC =

1 ωC

(12) 17

Por lo tanto, la amplitud de la corriente es:

Ic =

εm

(13)

XC

La amplitud de la corriente resulta inversamente proporcional a la reactancia capacitiva. Obsérvese que las unidades de la reactancia capacitiva son las mismas que las de la resistencia, así que la unidad SI de la reactancia capacitiva es también el ohmio ( Ω ) .

En los circuitos puramente capacitivos, la reactancia capacitiva limita la amplitud de la corriente de forma similar a como la limita la resistencia en los circuitos resistivos. Sin embargo, al contrario de lo que ocurre con la resistencia, la reactancia capacitiva depende de la frecuencia; es proporcional a la inversa de la frecuencia. La reactancia capacitiva es también proporcional a la inversa de la capacidad del condensador, de manera que para una misma frecuencia, un condensador de menor capacidad impide el paso de la corriente en mayor medida que otro de capacidad más alta.

Comparando las expresiones de vC e iC , Ecs. (9) y (11), observamos que se encuentran desfasadas en (π/2) rad.

La Fig.17 muestra cómo se generan las gráficas de i y ε frente a ω t a partir del correspondiente diagrama de fasores, y en ellos se observa claramente la diferencia de fase entre ellas. ε, i

Ver animación iR vR

ωt

0

Fig. 17 Fasores generatrices de i y v para un circuito capacitivo puro.

La Fig.18 muestra la instantánea de la Fig.17 , para t ′ =

7π .

4ω

El máximo de vC está siempre desplazado (π/2) radianes (o 90°) hacia la derecha del máximo de iC .

18

Esto significa que el voltaje alcanza su máximo valor un cuarto de período más ⎡ t π / 2⎤ y podemos decir que “el voltaje se encuentra tarde que la corriente ⎢ = ω ⎥⎦ ⎣4 retrasado 90° respecto de la corriente” o que “la corriente adelanta al voltaje en 90°”.

JJG En el diagrama de fasores, Fig. 18( a ) , el fasor VC va siempre (π/2) por detrás del

JJG

fasor I C , conforme ambos rotan en sentido contrario a las agujas del reloj. ε, i JJG IC

7π/4

t' =

iC

7π 4ω

vC

ω t’

JJG

G VC = ε

ωt

(a)

(b) Fig. 18

(a) Diagrama de fasores para el circuito de la Fig.16. (b) Gráficas de i y v frente a ω t para el mismo circuito.

EN LOS CIRCUITOS CAPACITIVOS PUROS LA CORRIENTE ESTÁ ADELANTADA 90° RESPECTO DE LA TENSIÓN.

19

Una inductancia conectada a un generador de corriente alterna En la Fig. 19 se muestra una fuente de corriente alterna conectada a una inductancia, formando un circuito puramente inductivo.

ε = ε m sen (ω t )

L

Fig. 19 Fuente de corriente alterna conectada a una inductancia.

Aunque realmente la mayoría de las inductancias poseen una resistencia apreciable en sus bobinados, supondremos por simplicidad que esta inductancia posee una resistencia suficientemente baja como para poderla despreciar.

Aplicando la regla de las mallas de Kirchhoff a este circuito se obtiene:

ε − vL = 0

(14)

Por lo tanto:

vL = ε m sen (ω t ) Como vL = L

(15)

diL , podemos escribir: dt

ε m sen (ω t ) = L

diL dt

(16)

Para obtener la corriente integramos ambos miembros de la ecuación anterior, es decir:

∫ di

L

=

εm L

∫ sen( ω t ) dt

Los límites de integración se ignoran ya que dependen de las condiciones iniciales, las cuales no son importantes en esta situación.

Por lo tanto: iL = −

εm cos( ω t ) + C ωL

(17) 20

La constante de integración representa una componente continua de la corriente.

Como la fuente produce una f.e.m. que oscila simétricamente respecto al cero, no puede existir esta componente continua y la constante de integración debe ser cero.

π⎞ ⎛ Usando la relación − cos( ω t ) = sen ⎜ ω t − ⎟ , podemos escribir: 2⎠ ⎝ π⎞ ⎛ iL = I L sen ⎜ ω t − ⎟ , 2⎠ ⎝

IL =

εm ωL

(18)

donde I L es la amplitud de la corriente.

Por analogía con la resistencia y con la reactancia capacitiva, definimos la reactancia inductiva X L , como: XL = ω L

(19)

de forma que la amplitud de la corriente es: IL =

εm

(20)

XL

La amplitud de la corriente es proporcional a la inversa de la reactancia inductiva. La unidad SI de la reactancia inductiva es el ohmio ( Ω ) .

En los circuitos inductivos, la reactancia inductiva limita la corriente, de la misma forma que la resistencia limita la corriente en los circuitos resistivos y la reactancia capacitiva lo hace en los circuitos capacitivos.

La reactancia inductiva es directamente proporcional a la inductancia del inductor y a la frecuencia ω . Una inducción, impedirá poco el paso de una corriente que varía lentamente, pero impedirá fuertemente el paso de una corriente de variación rápida. ε, i

iR

Ver animación

vR

ωt

0

Fig. 20 Fasores generatrices de i y v para un circuito inductivo puro.

21

Al igual que para el circuito capacitivo, la comparación de las expresiones de vL , e iL , Ecs. (15) y (18), nos indica que sus oscilaciones se encuentran desfasadas π/2 rad., pero este desfasaje tiene signo contrario al del circuito capacitivo.

La Fig. 20 muestra cómo se generan las gráficas de i y ε frente a ω t a partir del correspondiente diagrama de fasores, y en ellos se observa claramente la diferencia de fase entre ellas.

Si, como en los casos anteriores, detenemos la animación de la Fig. 20 para un 7π , obtenemos la Fig.21 . instante cualquiera, por ej. para t ′ = 4ω En la Fig.21( b ) se muestran las gráficas de iL y vL frente a ωt para el circuito inductivo y el correspondiente diagrama de fasores en la Fig.21( a ) .

En las gráficas de iL y vL , el máximo de vL aparece desplazado π/2 radianes o 90° a la izquierda del máximo de iL , esto significa que el voltaje alcanza su máximo ⎡T π / 2 ⎤ valor un cuarto de período antes que la corriente ⎢ = . En el diagrama de ω ⎥⎦ ⎣4 JJG JJG fasores el fasor VL va π/2 rad. por delante del fasor I L mientras ambos rotan en sentido antihorario.

Podemos describir este resultado diciendo que “el voltaje adelanta a la corriente en 90°” o que “la corriente está retrasada 90° respecto del voltaje”. t′ =

ε, i

7π 4ω

vL

ω ′t

7π/4

JJG

JJG

G VL = ε

IL

ωt iL

(a)

(b) Fig. 21

(a) Diagrama de fasores para el circuito de la Fig.19. (b) Gráficas de i y v frente a ω t para el mismo circuito.

EN LOS CIRCUITOS INDUCTIVOS PUROS LA CORRIENTE ESTÁ ATRASADA 90° RESPECTO DE LA TENSIÓN.

22

CIRCUITO RCL SERIE Generalidades La Fig. 22 muestra un circuito formado por la combinación en serie de una resistencia, un condensador, un inductor y una fuente de C.A. En el estudio de este circuito aparecerán juntos los aspectos estudiados en las secciones anteriores.

R

ε = ε m sen (ω t )

C

L

Fig. 22 Circuito de C.A. que contiene Resistencia, Inductancia y Capacitancia en Serie.

La f.e.m. está dada por la Ec. (3)

ε = ε m sen (ω t )

(3)

Dado que los cuatro componentes de nuestro circuito están conectados en serie, por todos ellos circula la misma corriente. Considerando los resultados de las secciones anteriores, podemos esperar que el voltaje oscilante v de la fuente produzca una corriente oscilante i con la misma frecuencia ω, pero desfasada respecto a v, por lo tanto:

i = I sen (ω t + φ )

(21)

en la cual todavía falta determinar los valores de I y φ .

Aplicando la regla de las mallas de Kirchhoff, la suma de los voltajes entre los extremos de la resistencia, el condensador y el inductor, es igual al voltaje de la fuente, es decir:

ε = vR + vC + vL

(22)

En esta ecuación sólo aparecen cantidades que varían en forma sinusoidal con el tiempo, y sus valores máximos son, respectivamente:

23

⎧ε m ⎪V = I R R ⎪ R ⎨ ⎪ VC = I C X C ⎪V = I X L L ⎩ L

(23)

La Ec. (22) es válida en cualquier instante de tiempo, por lo tanto se puede usar para calcular i y φ a partir de la Ec. (21). Sin embargo, debido a las diferencias de fase que existen entre los distintos términos, este método no es sencillo, como veremos a continuación.

24

Solución analítica Vamos a obtener la solución del circuito RCL de la Fig. 22 rigurosamente.

Si se aplica una tensión sinusoidal al circuito, la corriente resultante será también sinusoidal. Podemos, pues escribir las expresiones siguientes para la intensidad y la tensión:

i = I sen (ω t ) ,

ε = ε m sen (ω t + φ )

(24)

Deseamos obtener la amplitud y el ángulo de fase. El hecho de que las tensiones instantáneas en cada elemento se suman para dar la tensión aplicada, Ec. (22), puede expresarse en la forma: I R sen (ω t ) + I Lω cos (ω t ) −

I cos (ω t ) = ε m sen (ω t + φ ) ωC

(25)

Hemos hecho esta suma teniendo en cuenta el adelanto o retraso de fase de las tensiones empleando la función trigonométrica apropiada. La solución de esta ecuación nos permite hallar la relación entre ε e i así como el ángulo de fase entre ellas.

Como la Ec. (25) es válida en cualquier instante, podemos escribir π particularizando para ω t = 0 y para ω t = , las ecuaciones: 2 I = ε m sen φ ωC

(ω t = 0 )

(26)

⎛π ⎞ I R = ε m sen ⎜ + φ ⎟ = ε m cos φ ⎝2 ⎠

π⎞ ⎛ ⎜ω t = ⎟ 2⎠ ⎝

(27)

I Lω −

Elevando al cuadrado ambas expresiones y sumando, resulta: 2 ⎡ 2 ⎛ 1 ⎞ ⎤ 2 2 ⎢ R + ⎜ Lω − ⎟ ⎥ I = εm ωC ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎣⎢

Despejando I obtenemos:

I=

εm R + ( X L − XC ) 2

2

(28)

Por lo tanto podemos escribir:

25

I=

εm

(29)

Z

la cual recuerda la relación I =

ε

para redes resistivas de una sola malla actuadas por

R

una f.e.m. estacionaria.

La magnitud: Z =

R2 + ( X L − X C )

2

(30)

se denomina impedancia de un circuito RCL en serie. También podemos escribir:

εm = I Z

o

Z =

εm I

(31)

Para obtener el ángulo de fase dividimos miembro a miembro las Ecs. (26) y (27): tan φ =

(VL

− VC ) VR

(32)

La aplicación de este procedimiento a circuitos más complejos, puede resultar complicado, en consecuencia, se recurre al diagrama de fasores.

26

Solución mediante el empleo de fasores En la Fig. 23( a ) se han dibujado los tres diagramas de las Figs. 15( a ), 18( a ) y 21( a ) , modificados en dos aspectos. Se ha cambiado la escala de modo que la amplitud de la intensidad sea la misma en todos o sea: I R = I C = I L = I Asimismo, los diagramas se han rotado unos respecto a otros hasta conseguir que los fasores generatrices de la intensidad sean paralelos. Estas dos modificaciones son las apropiadas para el circuito serie, en el que la intensidad en todos los puntos del circuito es la misma.

JJG VL JJG JJG VL − VC JJG VC

G

ε

φ JJG VR

G I

JJG VR (a)

(b) Fig. 23

(a) Diagrama de fasores para el circuito RCL Serie de la Fig.22.

JJG JJG JJG

(b)Relación entre los fasores VR , VC , VL y V , para el mismo circuito.

Por G último, conviene aclarar que, para simplificar el diagrama, se ha trazado el fasor I de modo que coincida con el eje horizontal, lo cual tiene la siguiente justificación:

G

La orientación del fasor I , se determina por su fase inicial α . Ésta depende del instante en que comienza la lectura del tiempo, por lo tanto es arbitraria en la mayoría de los casos. Aprovechando la posibilidad de elegir arbitrariamente la fase inicial, al analizar los circuitos de C.A., conviene dirigir por el eje horizontal un vector conocido cualquiera. De este modo se considera igual a cero su fase inicial. Después de esto, todos los demás fasores se orientan con relación al fasor conocido.

G

Por lo tanto, un único fasor I representa la corriente en todos los elementos del circuito, y su componente vertical corresponde a la Ec. (21).

JJG

G

VR es paralelo a I , pues en un componente resistivo, el voltaje está en fase con la corriente.

JJG

G

JJG

G

VC está retrasado π/2 rad. respecto a I , como ocurre para un componente capacitivo.

VL está adelantado π/2 rad. respecto a I , como sucede para un componente inductivo.

27

Habiendo conseguido que la amplitud y fase de la intensidad sean las mismas en todos los elementos, JJlos G JJvectores G JJG generatrices de la tensión correspondientes a vR , vC y vL , es decir, VR , VC y VL , respectivamente, nos dan ahora las amplitudes y fases relativas de las tensiones sinusoidales (instantáneas) entre extremos de los elementos.

El valor instantáneo de la tensión del generador es igual a la suma de las tensiones instantáneas entre extremos de cada elemento de acuerdo con la Ec. (22).

Además, como la suma de tensiones sinusoidales de la misma frecuencia es siempre otra tensión sinusoidal, podemos expresar este mismo hecho diciendo que el fasor generatriz de la tensión resultante, entre extremos de todos los elementos, es precisamente igual a la suma vectorial de los fasores generatrices individuales, es decir:

JJG JJG

JJG

G

VR + VC + VL = ε

(33)

En la Fig.23( b ) se ha representado esta relación entre fasores.

JJG

JJG

Como VC y VL están siempre en la misma recta y con sentidos opuestos, han sido

(

JJG

JJG

combinados en un único fasor VL − VC

JG

)

cuyo módulo es (VL − VC ) y dado que

G JJG entonces V = ε viene dado por la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos VR y JJG JJG

(V

L

)

− VC , aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene:

ε m2 = VR2 + (VL − VC )

2

(34)

Sustituyendo los valores de VR , VC y VL dados por las Ecs. (23), tendremos: 2 2 2 ε m2 = ( I R ) + ( I X L − I X C ) = I 2 ⎡ R 2 + ( X L − X C ) ⎤

⎣

⎦

Despejando I llegamos de nuevo a la Ec. (28) deducida anteriormente por el método analítico.

I=

εm R + ( X L − XC ) 2

I=

2

εm Z

(35)

Por lo tanto se puede escribir: Z =

R2 + ( X L − X C )

2

(36)

De este modo, se ha resuelto el primer problema propuesto, es decir determinar I en términos de los cinco parámetros que caracterizan el circuito: R, C, L ε m y ω .

28

Nótese JG que siempre que los términos de reactancia contribuyan a Z, el fasor G tensión V entre los extremos del circuito está fuera de fase con el fasor intensidad I .

Observando la Fig. 23( b ) , la magnitud del ángulo de fase se puede determinar a partir de: tan φ =

(VL

− VC ) VR

(37)

Las Ecs. (23) muestran que el voltaje a través de cada elemento depende directamente de la resistencia o la reactancia. Como consecuencia de esto, es posible construir un diagrama de fase alternativo considerando R, X L y X C como cantidades vectoriales, como el de la Fig. 24 a ) .

Un diagrama de este tipo se puede utilizar para el cálculo de la impedancia, como se aprecia en la Fig. 24 b ) .

JJJG XL

(

JJJG JJJG X L − XC

)

JG Z

φ JJJG XC

JG R

JG R

(a)

(b) Fig. 24

Diagrama de impedancias para el circuito de la Fig. 22.

El ángulo de fase a través del diagrama de impedancias se determina como: tan φ =

( XL

− XC ) R

(38)

Por supuesto, este ángulo es el mismo que el que se obtiene mediante la Ec. (37) Obsérvese a partir del diagrama de impedancias, que un valor de X L 〉 X C da por resultado un ángulo de fase positivo. En otras palabras, si el circuito es predominantemente inductivo, el voltaje se adelanta a la corriente. En un circuito predominantemente capacitivo, X C 〉 X L y resulta un ángulo de fase negativo, lo cual indica que el voltaje está atrasado respecto a la corriente. Por lo tanto el segundo problema propuesto ha quedado resuelto, se ha expresado φ = φ ( R, C, L, ω ) .

29

Empleo de números complejos El cálculo de los circuitos de C.A. mediante los diagramas vectoriales, resulta demasiado laborioso para los circuitos complejos. Estos cálculos se simplifican sustancialmente si representamos las magnitudes sinusoidales por números complejos.

El empleo del método complejo da la posibilidad de expresar en forma algebraica las operaciones geométricas con los fasores de las corrientes y tensiones alternas. Esto permite, en particular, aplicar para el cálculo de los circuitos de corriente alterna las leyes de Kirchhoff y todos los métodos de cálculo de los circuitos complejos de C.C. Al emplear el método complejo, los fasores se examinan en el plano complejo, o sea en el sistema de coordenadas cartesianas, cuyo rasgo distintivo es que un eje se considera real y el otro imaginario.

En los cálculos de los circuitos de C.A. aparecen cantidades complejas que representan magnitudes sinusoidales de tiempo (corriente alterna, tensión alterna, f.e.m.) y otras que no lo hacen (por ej., la impedancia Z , la admitancia Y , etc.). En la mayoría de la bibliografía disponible, no se hace diferencia en su notación, y todas las cantidades complejas se representan con letras mayúsculas con un asterisco de superíndice. El módulo de una cantidad compleja se representa por una letra mayúscula.

En beneficio de los estudiantes que ya conocen los métodos de trabajo con magnitudes complejas, vamos a discutir su aplicación para resolver problemas de circuitos de C.A. Cuando se trabaja en problemas eléctricos, la letra j, comúnmente llamada operador j, se usa en reemplazo de la i, para evitar confusiones con la corriente.

Las relaciones: ⎧ VR = I R ⎪ ⎪ VC = I X C ⎨ ⎪ VL = I X L ⎪ε = I Z ⎩ m

(39)

tienen la forma que establece la Ley de Ohm en corriente continua, para los valores máximos de las corrientes y las tensiones y no son válidas para valores instantáneos.

Por lo tanto si se obtiene ε m como la suma de VR , VC y VL se comete un GRAVE ERROR. En cambio en un circuito de C.C. constituido por resistencias puras, este proceder es correcto ya que no hay diferencias de fase entre tensiones y corrientes.

Los valores son constantes, independientes del tiempo.

30

Para proceder en C.A. del mismo modo como lo hacemos en C.C., dibujamos el mismo diagrama fasorial de la Fig. 23 pero considerando que los puntos extremos de los fasores allí dibujados son puntos de un plano complejo, es decir representan números complejos, como se hace en la Fig. 25 .

Im

Plano Complejo VL*

V* = ε* I*

* CL

V

φ ωt

VR* Re al

VC* Fig. 25 Representación de los fasores en el plano complejo para el circuito RLC Serie.

Por lo tanto, de acuerdo con este diagrama, podemos escribir las Ecs. (39) con números complejos, es decir:

⎧VR* = I * R* ⎪ * ⎪VC = I * X C* ⎨ * * * ⎪VL = I X L ⎪ * * * ⎩ε = I Z

(40)

Según la Fig.25 , las expresiones complejas de la corriente y las tensiones usando la representación exponencial serán:

I* = I e jω t VR* = VR e j ω t

V = VC e * C

π⎞ ⎛ j ⎜ω t − ⎟ 2⎠ ⎝

31

V = VL e * L

π⎞ ⎛ j ⎜ω t + ⎟ 2⎠ ⎝

ε * = ε m e j (ω t + φ ) * CL

V

= VC L e

π⎞ ⎛ j ⎜ω t + ⎟ 2⎠ ⎝

VC* L = VL* − VC*

donde

y

VCL = VL − VC

De acuerdo a las Ecs. (40), podemos deducir la forma explícita que deben tener los números complejos R* , X C* , X *L y Z * : R = *

VR* I

*

* C

* C *

X =

* L *

VR e jωt

=

Ie

jωt

=

VR

e

I

π⎞ ⎛ j ⎜ωt − ⎟ 2⎠ ⎝

VC e V X = = I I e jωt

* L

Z* =

V I

ε* I

*

VL e

=

=

π⎞ ⎛ j ⎜ωt + ⎟ 2⎠ ⎝

I e jω t

ε m e j (ω t + φ ) Ie

jω t

j (ω t − ω t )

=

VC

=

VL

=

e

I

I

εm I

e

e

= R ⋅ e j 0 = R + j0

π ⎛ ⎞ − ωt ⎟ j⎜ωt − 2 ⎝ ⎠

π ⎛ ⎞ j⎜ωt + − ωt ⎟ 2 ⎝ ⎠

j (ω t + φ − ω t )

= XC e

= XL e

j

−j

π 2

π 2

= 0 − j XC = − j XC

= 0+ j XL = j XL

= Z e j φ = Z ( cos φ + j sen φ )

Por lo tanto:

R* = R ⋅ e j0 = R + j0 = R X = X C ⋅e * C

X *L = X L ⋅ e

−j

j

π

π 2

= 0 − j XC = − j XC

(41) (42)

= 0+ j ⋅ XL = j ⋅ XL

(43)

Z * = Z ⋅ e j φ = Z ⋅ ( cos φ + j sen φ )

(44)

2

Observando el diagrama fasorial del circuito RCL serie, Fig. 23 , podemos obtener las siguientes relaciones:

cos φ =

VR

εm

(45)

32

sen φ =

VL − VC

(46)

εm

Recordando que

Z =

εm I

, podemos escribir la parte real e imaginaria de Z * del

siguiente modo

Z ⋅ cos φ =

ε m VR VR ⋅ = =R I εm I

Z ⋅ s en φ =

ε m VL − VC VL − VC VL VC ⋅ = = − = X L − XC I I I I εm

Con estos resultados, el número complejo Z * se puede expresar: Z* = R + j ( X L − X C )

(47)

Según las Ecs. (41), (42) y (43), esta ecuación representa la suma de las tres impedancias complejas, es decir:

Z * = R* + X C* + X *L

(48)

Podemos generalizar este resultado de la siguiente manera: En un circuito de C.A. constituido por resistencias, inductancias y capacitancias en serie, la impedancia total como número complejo es la suma de las impedancias complejas de cada uno de los elementos del circuito.

Esta regla es la misma que se aplica en un circuito de C.C. con dos o más resistencias en serie.

33

CIRCUITO RCL PARALELO Generalidades La Fig. 26 muestra un circuito formado por la combinación en paralelo de una resistencia, un condensador, un inductor y una fuente de C.A.

ε = ε m sen (ω t )

R

C

L

Fig. 26 Circuito de C.A. que contiene Resistencia, Inductancia y Capacitancia en Paralelo.

Los circuitos paralelo son usados en los sistemas eléctricos más frecuentemente que los circuitos serie. En equipos electrónicos se usan circuitos serie, paralelo y combinación de éstos. A causa de que todas las bobinas y condensadores tienen alguna resistencia, no es posible hacer un circuito conteniendo reactancias puras conectadas en paralelo. Sin embargo, en algunas bobinas y condensadores, especialmente en éstos, la resistencia es tan baja en comparación con la reactancia que se supone la resistencia nula. En estas condiciones un circuito puede ser considerado como si sólo contuviera una combinación de resistencias y reactancias puras conectadas en paralelo.

La f.e.m. está dada por la Ec. (3)

ε = ε m sen (ω t )

(3)

Dado que los cuatro componentes de nuestro circuito están conectados en paralelo, la diferencia de potencial entre sus extremos es la misma. Considerando los resultados de las secciones anteriores, podemos esperar que el voltaje oscilante v de la fuente produzca una corriente oscilante i con la misma frecuencia ω, pero desfasada respecto a v, por lo tanto:

i = I sen (ω t + φ )

(49)

Aplicando la regla de los nodos, la intensidad de línea es la suma de las intensidades de cada rama, es decir: iT = iR + iC + iL

(50)

34

En esta ecuación sólo aparecen cantidades que varían en forma sinusoidal con el tiempo, y sus valores máximos son, respectivamente: ⎧ IT ⎪ ⎪ IR = εm R ⎪ ⎪ ⎨ I = εm ⎪ C XC ⎪ ⎪I = ε m ⎪ L X L ⎩

(51)

La Ec. (50) es válida en cualquier instante de tiempo, por lo tanto puede usarse para calcular i y φ a partir de la Ec. (49).

Los elementos conectados en paralelo a través de un generador de C.A. se estudian por los mismos procedimientos seguidos para los elementos conectados en serie.

35

Solución analítica Vamos a obtener la solución del circuito RCL del la Fig. 26 rigurosamente.

Si se aplica una tensión sinusoidal al circuito, la corriente resultante será también sinusoidal. Podemos, pues escribir las expresiones siguientes para la tensión y la intensidad:

ε = ε m sen (ω t )

i = I sen (ω t + φ )

(52)

Deseamos obtener la amplitud y el ángulo de fase.

El hecho de que las corrientes instantáneas en cada elemento se suman para dar la corriente total, Ec. (50), puede expresarse en la forma:

εm

sen (ω t ) +

R

εm XC

cos (ω t ) −

εm XL

cos (ω t ) = I sen (ω t + φ )

(53)

Hemos hecho esta suma teniendo en cuenta el adelanto o retraso de fase de las corrientes empleando la función trigonométrica apropiada. La solución de esta ecuación nos permite hallar la relación entre i y ε así como el ángulo de fase entre ellas.

Como la Ec.(53) es válida en cualquier instante, podemos escribir π particularizando para ω t = 0 y para ω t = , las ecuaciones: 2

⎛ 1 1 ⎞ − ⎟ = I sen φ X X L ⎠ ⎝ C

εm ⎜

⎛1⎞ ⎟ = I cos φ ⎝R⎠

εm ⎜

(ω t = 0 )

(54)

π⎞ ⎛ ⎜ω t = ⎟ 2⎠ ⎝

(55)

Elevando al cuadrado ambas expresiones y sumando, resulta: 2 ⎡ 1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎤ 2 ε ⎢ 2 +⎜ − ⎟ ⎥= I XL ⎠ ⎥ ⎢⎣ R ⎝ X C ⎦ 2 m

Despejando ε m obtenemos: I=

εm ⎛ 1 1 1 ⎞ +⎜ − ⎟ 2 R ⎝ XC X L ⎠

2

(56)

36

Por lo tanto podemos escribir: I=

εm

(57)

Z

la cual recuerda la relación I =

ε R

para redes resistivas de una sola malla actuadas por

una f.e.m. estacionaria.

La magnitud: Z =

1 ⎛ 1 1 1 ⎞ + − ⎜ ⎟ R2 ⎝ X C X L ⎠

2

(58)

se denomina impedancia del circuito RCL paralelo.

También podemos escribir:

1 = Z

1 ⎛ 1 1 ⎞ +⎜ − ⎟ 2 R ⎝ XC X L ⎠

2

(59)

Para obtener el ángulo de fase dividimos miembro a miembro las Ecs. (54) y (55): 1 1 − X X L ωC − 1 / ω L tgφ = C = 1/ R 1/ R

(60)

37

Solucion mediante el empleo de fasores El diagrama de fasores para el circuito de la Fig.26 es el de la Fig.27 .

JJG IC JJG JJG IC − I L

JJG IL

JJG IR

JJG IT

φ JJG IR

G

ε

(a)

G

ε

(b) Fig. 27

(a) Diagrama de fasores para el circuito RCL Paralelo de la Fig.26.

JJG JJG JJG

JJG

(b)Relación entre los fasores I R , I C , I L e IT , para el mismo circuito.

En este caso la diferencia de potencialGinstantánea a través de cada elemento es la misma en amplitud y fase y solo un fasor ε representa el voltaje entre los bornes, ya que:

JJG

JJG

JJG

G

VR = VC = VL = ε

(61)

La solución de los circuitos con dos o más receptores en paralelo, requiere la determinación de las intensidades de las corrientes en cada rama del circuito, para combinarlas luego vectorialmente y hallar la corriente resultante.

JJG

El fasor I R de amplitud

IR =

εm

(62)

R

G

JJG

y en fase con ε representa la intensidad en la resistencia. El fasor I C de amplitud IC =

εm XC

=

εm 1 / ωC

(63)

G

JJG

y avanzado 90º respecto a ε representa la intensidad en el condensador y el fasor I L de amplitud: IL =

εm XL

=

εm ωL

(64)

G

y retrasado 90º respecto a ε representa la intensidad en la autoinducción.

38

De acuerdo con la regla de los nodos de Kirchhoff, la intensidad instantánea en la línea es igual a la suma (algebraica) de las intensidades instantáneas iT , es decir: iT = iR + iC + iL

(65)

JJG

JJG JJG

JJG

y está representada por un fasor IT , suma vectorial de los fasores I R , I C e I L , es decir:

JJG

JJG JJG JJG

IT = I R + I C + I L

(66)

de donde: IT = I R2 + ( I C − I L )

2

(67)

Sustituyendo los valores de I R , I C e I L dados por las Ecs. (62), (63) y (64), obtenemos: IT = ε m

1 ⎛ 1 1 ⎞ +⎜ − ⎟ 2 R ⎝ XC X L ⎠

2

(68)

Por lo tanto se puede escribir: I =

εm

(69)

Z

La magnitud Z dada por la ecuación: 1 = Z

1 ⎛ 1 1 ⎞ +⎜ − ⎟ 2 R ⎝ XC X L ⎠

2

(70)

se denomina impedancia de un circuito RCL paralelo.

En el diagrama φ es el ángulo de fase entre la intensidad resultante y la tensión aplicada y está determinado por:

1 1 − X X L ωC − 1 / ω L = tgφ = C 1/ R 1/ R Que resulta ser idéntica a la Ec. (60).

39

Empleo de números complejos Las relaciones:

εm ⎧ I = R ⎪ R ⎪ ⎪I = ε m ⎪ C X C ⎨ ⎪ ε ⎪IL = m XL ⎪ ⎪ε = I Z ⎩ m

(71)

tienen la forma que establece la Ley de Ohm en corriente continua, para los valores máximos de las corrientes y las tensiones y no son válidas para valores instantáneos.

Por lo tanto si se obtiene I como la suma de I R , I C e I L se comete un GRAVE ERROR. En cambio en un circuito de C.C. constituido por resistencias puras, este proceder es correcto ya que no hay diferencias de fase entre tensiones y corrientes.

Los valores son constantes, independientes del tiempo.

Para proceder en C.A. del mismo modo como lo hacemos en C.C., dibujamos el mismo diagrama fasorial de la Fig. 27 pero considerando que los puntos extremos de los fasores allí dibujados son puntos de un plano complejo, es decir representan números complejos, como se hace en la Fig. 28 .

Im

Plano Complejo I C*

IT*

I *LC

ε*

φ

I *R

ωt

Re al

I *L Fig. 28 Representación de los fasores en el plano complejo para el circuito RCL Paralelo.

40

Por lo tanto, de acuerdo con este diagrama, podemos escribir las Ecs. (71) con números complejos, es decir: ⎧ * ε* ⎪ IR = * R ⎪ ⎪ * ε* ⎪I C = X * C ⎨ * ⎪ ε ⎪ I *L = * XL ⎪ ⎪ * * * ⎩ε = IT Z

(72)

Según la Fig. 28 , las expresiones complejas de las corrientes y la tensión, usando la representación exponencial serán: ⎧ε * ⎪ * ⎪IR ⎪ ⎪ * ⎨ IC ⎪ ⎪ * ⎪IL ⎪ * ⎩ IT

= εm e jω t = I R e jω t = IC e = IL e = Ie

π⎞ ⎛ j ⎜ω t + ⎟ 2⎠ ⎝

(73)

π⎞ ⎛ j ⎜ω t − ⎟ 2⎠ ⎝

j (ω t + φ )

donde I *LC = I C* − I *L

De acuerdo a las Ecs. (72), podemos deducir la forma explícita que deben tener los números complejos R* , X C* , X *L y 1 Z * :

R* =

X = * C

X = * L

ε* I

* R

ε* I

* C

ε* I

* L

=

=

ε m e jωt IR e

jω t

ε m e j ωt IC e

=

= R ⋅ e j0 = R + j0

π⎞ ⎛ j⎜ωt + ⎟ 2⎠ ⎝

ε m e j ωt IL e

π⎞ ⎛ j⎜ωt − ⎟ 2⎠ ⎝

= XC e

= XL e

−j

j

π 2

π 2

= 0 − j XC = − j XC

= 0+ j XL = j XL

1 I* I e ( ) I 1 1 = * = = e j φ = e j φ = ( cos φ + j sen φ ) * j ωt ε εm e εm Z Z Z j ω t +φ

41

Por lo tanto:

R* = R e j0 = R + j0 = R X C* = X C e X = XL e * L

−j

j

π 2

π 2

(74)

= 0 − j XC = − j XC

(75)

= 0+ j ⋅ XL = j ⋅ XL

(76)

1 1 = ( cos φ + j sen φ ) * Z Z

(77)

Las Ecs.(74), (75) y (76) coinciden con las Ecs.(41), (42) y (43), obtenidas anteriormente.

Observando el diagrama fasorial del circuito RCL paralelo, Fig. 27 , podemos obtener las siguientes relaciones:

cos φ =

IR I

sen φ =

IC − I L

(78)

I

Reemplazando las Ecs (78) en la Ec. (77), y recordando que Z =

εm I

obtenemos:

⎛I I I I ⎞ 1 cos φ senφ I R I = +j = + j⎜ C − L ⎟ * Z Z Z εm I ⎝ εm I εm I ⎠ 1 1 = + Z* R

⎛ 1 1 ⎞ 1 1 1 j⎜ − + ⎟= − ⎝ X C X L ⎠ R jX C jX L

Teniendo en cuenta las Ecs. (74), (75) y (76), esta ecuación representa la suma de las inversas de las tres impedancias complejas, es decir: 1 1 1 1 = *+ * + * * Z R XC XL

(79)

Podemos generalizar este resultado de la siguiente manera: En un circuito de C.A. constituido por resistencias, inductancias y capacitancias en paralelo, la inversa de la impedancia total como número complejo es la suma de las inversas de las impedancias complejas de cada uno de los elementos del circuito.

Esta regla es la misma que se aplica en un circuito de C.C. con dos o más resistencias en paralelo.

42

CIRCUITOS MIXTOS Cuando se trabaja con circuitos de corriente alterna, interesa conocer las corrientes y tensiones sobre distintos elementos pasivos (resistencias, capacitores y bobinas). Asimismo, dado que la f.e.m. que alimenta al circuito varía en el tiempo, es importante conocer la respuesta de estos elementos como función del tiempo.

E1 análisis de circuitos de corriente alterna se ve simplificado sobremanera si se utiliza la Ley de Ohm Generalizada, Ec.(80).

V =I Z *

*

V* Z = * I

*

*

(80)

donde Z * es la impedancia del circuito.

Si la tensión aplicada varía senoidalmente, la impedancia puede expresarse como una función de la frecuencia y de las tres constantes fundamentales del circuito: R, C y L .

De este modo: Para un circuito RESISTIVO puro: La IMPEDANCIA es igual a la RESISTENCIA .

Z* = Z = R Para un circuito CAPACITIVO puro: La IMPEDANCIA es igual a la REACTANCIA CAPACITIVA .

X C* = −

1 j ωC

Para un circuito INDUCTIVO puro La IMPEDANCIA es igual a la REACTANCIA INDUCTIVA .

X *L = ω L j Para un circuito RCL serie La IMPEDANCIA EQUIVALENTE es la SUMA de las impedancias complejas de cada uno de los elementos que constituyen el circuito

(

)

Z * = R + X *L − X C* j

43

Para un circuito paralelo La INVERSA DE LA IMPEDANCIA EQUIVALENTE es la SUMA de las inversas de las impedancias complejas de cada una de las n ramas del circuito.

1 1 1 1 1 = * + * + * + .... + * * Z Z1 Z2 Z3 Zn

Para un circuito RCL paralelo La INVERSA de la IMPEDANCIA TOTAL es la suma de las inversas de las impedancias complejas de cada uno de las ramas del circuito.

1 1 1 1 = + + Z* R X C* X *L El uso del álgebra de números complejos hace posible la resolución de problemas que serían muy difíciles de solucionar por otros métodos y permite un gran ahorro de tiempo cuando hay que resolver un gran número de problemas simples.

El análisis de circuitos de C.A. mediante el uso de diagramas fasoriales y números complejos se simplifica teniendo en cuenta las siguientes consideraciones: En el caso de un circuito serie, ha de tomarse el fasor intensidad de corriente como base para determinar la relación de fase, puesto que es el mismo para todos los componentes del circuito.

En el caso de un circuito paralelo, debe tomarse el fasor tensión como base para determinar la relación de fase, ya que es el mismo para todas las ramas del circuito.

De este modo, los fasores representativos del circuito, se pueden expresar del siguiente modo:

CIRCUITO RLC SERIE

CIRCUITO RLC PARALELO

I* = I + 0 j

ε* = εm + 0 j

VR* = VR + 0 j

I *R = I R + 0 j

VL* = 0 + VL j

I C* = 0 + I C j

VC* = 0 − VC j

I *L = 0 − I L j

ε * =VR* + VL* + VC*

IT* = I *R + I C* + I *L

44

Así, la resolución de un circuito de C.A. se limita a asignar las impedancias correspondientes a cada rama y luego resolverlo como si fuera un circuito de C.C. La Ley de Ohm Generalizada puede aplicarse para cada elemento del circuito y esto permite hallar las dependencias temporales y los desfasajes de cada uno de los elementos.

Dibujar un diagrama fasorial debe ser parte de cada análisis de circuitos. Si el trazado de los diagramas se efectúa cuidadosamente, constituirá un análisis gráfico del circuito. Sin embargo, por lo general es más fácil realizar el análisis numéricamente, dibujando sólo esquemas a mano de los diagramas fasoriales. Estos esquemas nunca deben ser omitidos, (a menos que el problema sea tan simple que el diagrama pueda representarse mentalmente sin ayuda de papel y lápiz) ya que no sólo ayudan a entender lo que está pasando sino que ahorran una cantidad enorme de tiempo al hacer evidentes los errores muy grandes en la aritmética, como la inversión de un signo o la colocación equivocada de un punto decimal.

Al trazar el primer fasor de corriente, cualquier longitud es conveniente para representarlo y la escala del resto de los fasores corriente queda decidida al hacer esta elección de longitud. Lo mismo sucede con los fasores tensión en relación con el primer fasor tensión que aparezca en el diagrama.

45

RESONANCIA La resonancia ocurre a la frecuencia para la cual la corriente terminal y el voltaje terminal de una red reactiva están en fase uno respecto al otro.

Una red complicada con varias ramas reactivas puede tener varias frecuencias de resonancia. Nos limitaremos al estudio de circuitos resonantes RCL serie puro y paralelo puro.

Para la conexión en serie de L y C , aparece la resonancia de tensión, mientras que para la conexión en paralelo, la resonancia de corriente.

Circuito resonante serie En el diagrama de la Fig. 23 vemos que la condición de resonancia, exige que las tensiones entre extremos de C y L sean iguales y opuestas, de modo que el ángulo de fase sea cero. Por lo tanto: VL = VC

⇒

X L = XC

por lo tanto

ωL =

1 ωC

⎛ 1 ⎞ Si llamamos ω0 a esta frecuencia de resonancia, tenemos que: ω0 = ⎜ ⎟ ⎝ LC ⎠

(81) 1/ 2

(82)

Para este valor particular de frecuencia i y v están en fase y la relación tensión intensidad coincide con la Ley de Ohm.

Circuito resonante paralelo El circuito paralelo de la Fig. 26 también presenta un comportamiento resonante.

En este caso, analizando el diagrama de la Fig. 27 observamos que la condición de resonancia, exige que las corrientes a través de L y C sean iguales y opuestas, de modo que el ángulo de fase sea cero. Por lo tanto:

I L = IC ⇒

1 1 = X L XC

es decir ω L =

1 ωC

⎛ 1 ⎞ Si llamamos ω0′ a esta frecuencia de resonancia, tenemos que: ω0′ = ⎜ ⎟ ⎝ LC ⎠

(83) 1/ 2

(84)

Para este valor particular de frecuencia i y v están en fase y la relación tensiónintensidad coincide con la Ley de Ohm. 46

Características de los circuitos resonantes serie En resonancia, la impedancia de un circuito serie es mínima y de valor igual a la resistencia del circuito.

El circuito se comporta como resistivo puro. La intensidad que pasa por todas las partes del circuito es la misma y es igual a la intensidad de línea. La corriente llega a su valor máximo y está en fase con la tensión aplicada.

El factor de potencia del circuito es, por consiguiente, la unidad.

Los voltajes resultantes en las reactancias son aproximadamente iguales y con un desfasaje entre ellos próximo a 180º, y el voltaje en la resistencia es igual al voltaje aplicado.

Aumentando el valor de la resistencia disminuirán la intensidad de línea y los voltajes en las reactancias.

La intensidad de corriente para la resonancia aumenta bruscamente, si la resistencia es pequeña. Pero es de especial importancia el aumento brusco de las tensiones en las reactancias, (sobre todo si éstas son grandes) que pueden alcanzar un valor igual a varias veces la tensión aplicada. Pero en la práctica el límite del aumento de las tensiones de reactancia será la perforación del aislamiento entre las espiras del arrollamiento de la bobina o entre las armaduras del condensador.

La resonancia de tensión es un fenómeno peligroso para las instalaciones de energía eléctrica Puede surgir inesperadamente, además los fusibles no protegen los circuitos contra la aparición de altas tensiones parciales peligrosas, que pueden hacer funcionar los dispositivos de protección para desconectar el equipo. Afortunadamente, tales condiciones de resonancia son relativamente raras.

Para frecuencias menores que la de resonancia, la reactancia capacitiva es mayor y la corriente va en adelanto.

Para frecuencias mayores que la de resonancia, la reactancia inductiva es mayor y la corriente va en retraso.

47

Características de los circuitos resonantes paralelo En resonancia, la impedancia de un circuito paralelo es máxima.

El circuito se comporta como resistivo puro y la corriente y la tensión están en fase.

El factor de potencia del circuito será, por consiguiente, la unidad.

La intensidad de línea es mínima e igual al voltaje aplicado dividido por la impedancia del circuito.

Los voltajes resultantes en la inductancia y en la capacitancia son iguales entre sí e iguales al voltaje aplicado.

En resonancia las intensidades en la bobina y en el capacitor son aproximadamente iguales y con un desfasaje entre ellas próximo a los 180º.

Aumentando el valor de la resistencia, disminuirá la impedancia del circuito y, por lo tanto disminuirá la intensidad de línea.

A diferencia de la resonancia de tensión, la resonancia de corriente es un fenómeno que no es perjudicial para la instalación eléctrica. Aquí no hay nada inesperado, ya que para producir grandes corrientes reactivas es necesario conectar bobinas de choque potentes y grandes baterías de condensadores.

Para frecuencias menores que la de resonancia, la intensidad en la bobina aumenta y la intensidad de línea va en retraso.

Para frecuencias mayores que la de resonancia, la intensidad en el condensador aumenta y la intensidad de línea va en adelanto.

Aplicaciones de los circuitos resonantes Los principios de la resonancia se utilizan en radio, televisión y otros circuitos electrónicos para aumentar la potencia de una señal útil y para disminuir al mínimo la potencia de señales no convenientes.

Los circuitos resonantes serie se utilizan donde se busca la intensidad máxima para una frecuencia definida o una banda de frecuencias. Por lo tanto, se aprovechan en gran escala en la técnica de comunicaciones y en la automatización para sintonizar los dispositivos transmisores y de recepción a una frecuencia determinada.

Los circuitos resonantes paralelo se utilizan donde la potencia de una señal de cualquier frecuencia o banda de frecuencias ha de ser reducida al mínimo. También, el régimen próximo a la resonancia de corriente se aplica en gran escala para aumentar el factor de potencia de las empresas industriales.

48

VALORES MEDIOS Y EFICACES La diferencia de potencial instantánea entre dos puntos de un circuito de C.A. puede medirse conectando a través de ellos un oscilógrafo calibrado, y la intensidad instantánea, conectando un oscilógrafo entre los extremos de una resistencia que forme parte de dicho circuito. El galvanómetro ordinario de cuadro móvil tiene un momento de inercia demasiado grande para seguir los valores instantáneos de una corriente alterna: promedia el par fluctuante que actúa sobre su cuadro, y su desviación resulta proporcional a la intensidad media.

La mayor parte de los instrumentos de medida en corriente alterna se calibran para medir, no el valor máximo de la intensidad o el voltaje, sino el valor eficaz, que es, como demostraremos a continuación, la raíz cuadrada del valor medio cuadrático de la intensidad o el voltaje.

Se llama valor eficaz de una señal en corriente alterna al valor de una señal de corriente continua constante, que desarrolla la misma potencia que la señal de alterna, al aplicarla sobre una misma resistencia.

Es decir, se conoce el valor máximo de una corriente alterna ( I ) . Se aplica ésta sobre una cierta resistencia y se mide la potencia producida sobre ella. A continuación, se busca un valor de corriente continua que produzca la misma potencia sobre esa misma resistencia. A este último valor, se le llama valor eficaz de la primera corriente (la alterna).

Deduciremos la relación entre valores máximo y eficaz considerando una resistencia de valor R recorrida por una intensidad continua I0 durante un tiempo t .

La cantidad de calor desprendida será I 02 R t .

Si sustituimos la C.C. por la C.A. y deseamos que el calor desprendido sea I ef2 R t , podemos determinar la relación entre esta I ef así definida y el valor máximo de la

corriente I, siendo i = I sen (ω t ) .

La potencia instantánea será i 2 R , por lo tanto en el tiempo t el calor desarrollado valdrá:

I ef2 R t =

∫ i R dt t

2

0

(85)

despejando I ef2 =

1 t

t

∫I 0

2

sen 2 (ω t ) dt

(86)

Esta integral puede resolverse fácilmente recodando la siguiente definición: El valor medio de cualquier magnitud. f ( t ) , variable con el tiempo, durante un intervalo comprendido entre t1 y t2 , se define mediante la expresión: 49

f =

t2 1 f ( t )dt t2 − t1 ∫t1

(87)

De donde: f ( t2 − t1 ) = ∫ f ( t )dt t2

(88)

t1

El valor medio tiene la siguiente interpretación gráfica: la integral

∫

t2

t1

f ( t )dt es

el área comprendida bajo la gráfica de f ( t ) en función de t , entre las ordenadas correspondientes a t1 y t2 , y el producto f ( t2 − t1 ) es el área de un rectángulo de altura f y base ( t2 − t1 ) . Ahora bien, según la definición de iguales.

f dichas áreas son

Apliquemos esta definición a una magnitud que varia sinusoidalmente; por ej. una intensidad dada por i = I sen (ω t )

El valor medio de la intensidad para el medio ciclo comprendido entre t = 0 y t = π / ω es

I=

π πω 2I I sen (ω t ) dt = ∫ ω 0 π

(89)

Resulta así que la intensidad media es 2 π (aproximadamente 2/3) veces la intensidad máxima, y el área comprendida bajo el rectángulo de la Fig. 29 es igual al área bajo un arco de la sinusoide.

I

I=

2I

Fig. 29

π

El valor medio de una corriente sinusoidal,

0

π ω

2π

ω

Calculado sobre un semiciclo es I

t

=

2I

π

.

El valor medio para un ciclo completo es cero.

La intensidad media para un ciclo completo (o número cualquiera de ciclos completos) es:

I=

2π

ω

∫

2π

0

ω

I sen (ω t ) dt = 0

(90) 50

Como cabía esperar, ya que el área positiva bajo el arco comprendido entre t = 0 y t = π / ω es igual al área negativa bajo el arco t = π / ω y t = 2π / ω , por lo tanto si se envía una corriente sinusoidal a través de un galvanómetro de cuadro móvil, el aparato señalara cero.

Teniendo en cuenta la definición del valor medio de una función, podemos determinar el valor de la integral de la Ec. (86).

I ef2 =

t 1 t 2 2 ⎞ 2⎛1 = ω I sen t dt I sen 2 (ω t ) dt ⎟ = I 2 sen 2 (ω t ) ( ) ⎜ ∫ ∫ t 0 ⎝t 0 ⎠

(91)

Este valor puede deducirse examinando la Fig. 30 , en la que se comparan las funciones sen (ω t ) y sen 2 (ω t ) . Como esta última es también sinusoidal pero desplazada respecto al eje horizontal, vemos por simetría que su valor medio es 1 2 . sen (ω t )

t sen 2 (ω t ) Fig. 30 Demostración gráfica de que

1

sen 2 (ω t ) = 1 2 12

t

Por lo tanto: sen 2 (ω t ) = 1 2

Analíticamente trigonométrica: sen 2 (ω t ) =

(92) se

llega

1 ⎡1 − cos ( 2 ω t ) ⎤⎦ 2⎣

al

mismo

resultado

escribiendo

la

relación

(93)

Como el valor medio de cos ( 2ω t ) es cero, se deduce inmediatamente el resultado de la ecuación (92).

51

Una vez que tenemos este valor el problema está resuelto. En efecto, teniendo en cuenta las Ecs.(91) y (92),podemos escribir

I2 I = 2 2 ef

(94)

El mismo tipo de razonamiento conduce a:

Vef2 =

V2 2

(95)

De este modo hemos demostrado que los valores eficaces de la corriente y de la tensión resultan ser los valores cuadráticos medios (RMS) de estas magnitudes, es decir:

( )

VRMS = Vef = v VRMS = Vef =

2

V 2

1/ 2

= ⎡V 2 sen 2 (ωt ) ⎤ ⎣ ⎦

1/ 2

= V ⎡ sen 2 (ωt ) ⎤ ⎣ ⎦

I RMS = I ef =

I 2

1/ 2

⎛1⎞ =V ⎜ ⎟ ⎝2⎠

1/ 2

(96)

Las siglas R.M.S., comúnmente utilizadas para designar valores cuadráticos medios provienen del término “root mean square”.

La importancia de los valores eficaces radica en que con ellos se obtienen matemáticamente los mismos resultados que operando con valores instantáneos, realizando operaciones mucho más sencillas.

Los voltajes y las intensidades en los sistemas de distribución de energía se expresan siempre en función de sus valores eficaces, así cuando se habla de la red de suministro de energía eléctrica en corriente alterna a 220V, quiere decirse que el valor eficaz es 220V. La amplitud del voltaje es: Vm = 2 Vef = 311V .

52

POTENCIA EN LOS CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA La potencia instantánea suministrada a un circuito de C.A. es:

p = vi

(97)

Siendo v la diferencia de potencial instantánea entre los bornes del circuito e i la intensidad instantánea. Esta potencia proviene de la fuente, el generador (o la batería para C.C.). La energía electromagnética recorre el circuito y reaparece como energía térmica en una resistencia, o como energía mecánica en un motor o en una bocina, como energía luminosa en una lámpara fluorescente, como energía química al cargar una batería o quizá en alguna otra forma no eléctrica.

La expresión de potencia, Ec. (97), es la misma que la de C.C. donde P = VI pero las variaciones periódicas de las tensiones y corrientes alternas dan lugar a las variaciones periódicas de la potencia que éstas desarrollan.

Esta potencia periódica que varía rápidamente es una magnitud poco conveniente para estimar el estado energético de los dispositivos de C.A. Por esta razón como magnitud fundamental para valorar las condiciones energéticas en las instalaciones de corriente alterna, se ha tomado su potencia media por período, llamada potencia activa o simplemente potencia de corriente alterna, P. Consideremos a continuación algunos casos especiales.

53

Potencia en un circuito resistivo puro Si un circuito se compone de una resistencia pura R , como en la Fig.13 , v e i están en fase. La grafica que corresponde a p se obtiene multiplicando en cada instante las ordenadas de las gráficas de v y de i en la Fig.15( b ) y está representada por la curva continua de la Fig.31 . (El producto vi es positivo cuando v e i son ambas positivas o negativas.) En todo instante se suministra energía a la resistencia, si bien el ritmo de suministro no es constante. ε, i, p iR

p

P

ωt

vR

Fig. 31 Potencia instantánea suministrada a una resistencia. La potencia media es

1 VI .

2

La curva de la potencia es simétrica respecto a un valor igual a la mitad de su ordenada máxima VI , de modo que la potencia media es 1 P = VI 2

(98)

Se puede obtener el mismo resultado analíticamente. La ecuación de la curva de potencia es: P = V sen (ω t ) I sen (ω t ) = VI sen 2 (ω t )

(99)

Teniendo en cuenta la Ec. (93), podemos escribir: 1 1 p = VI − VI cos ( 2ω t ) 2 2

(100)

1 VI , ya que es nulo el 2 valor medio del segundo término para un número entero de ciclos, es decir:

Por lo tanto, la potencia media es igual al término constante

54

1 P = VI 2

(101)

La potencia media puede escribirse también así: P=

V I = Vef I ef 2 2

(102)

Además, dado que Vef = I ef R , se tiene que: P = I ef2 R

(103)

y toda la potencia suministrada al circuito se disipa en la resistencia produciéndose elevación de temperatura o flujo calórico al medio exterior.

De la Ec. (100) se observa que la potencia instantánea “pulsa” con una frecuencia que es el doble que la de la tensión o corriente. Además, queda claro también, que la potencia media debe ser siempre positiva (o a lo sumo nula), lo cual pone de manifiesto que se trata de una potencia consumida en la carga. Es decir, toda la potencia suministrada a un circuito resistivo puro, se disipa en la resistencia, produciéndose elevación de temperatura o flujo calórico al medio exterior. Es pues, la potencia útil, siendo por ello que recibe el nombre de potencia activa.

Obsérvese que las Ecs. (102) y (103) tienen exactamente la misma forma que para un circuito de C.C.

55

Potencia en un circuito capacitivo puro Supongamos ahora un circuito capacitivo puro como el de la Fig. 16 . La intensidad y el voltaje se hallan entonces desfasados 90º. Si se multiplican las curvas de v y de i de la Fig. 18( b ) (el producto vi es negativo cuando v e i tienen signos opuestos) se obtiene la curva de potencia de la Fig. 32 , que es simétrica respecto al eje horizontal. La potencia media es, por lo tanto, nula. ε, i, p iC

p

vC

ωt

Fig. 32 Potencia instantánea suministrada a un condensador. La potencia media es nula.

Para comprender por qué sucede esto recordemos que potencia positiva significa energía suministrada a un dispositivo, y potencia negativa quiere decir energía suministrada por el dispositivo. El proceso que estamos considerando es, en definitiva, el de carga de un condensador. Durante los intervalos en que p es positiva, se suministra energía para cargar el condensador, y cuando p es negativa el condensador se descarga y devuelve energía al generador.

El valor de la potencia media se obtiene como sigue. La potencia instantánea es: 1 p = VI sen (ω t ) cos (ω t ) = VI sen ( 2ω t ) 2

(104)

El valor medio de sen ( 2ω t ) extendido a un número entero de ciclos, es nulo.

Por lo tanto: P =0

56

Potencia en un circuito inductivo puro La Fig. 33 es una curva de potencia de un circuito inductivo puro como el de la Fig. 19 .

Como en el caso del condensador, la intensidad y el voltaje están desfasados 90º. ε, i, p iL

p

vL

ωt

Fig. 33 Potencia instantánea suministrada a una autoinducción. La potencia media es nula.

El valor de la potencia media se obtiene también como sigue. La potencia instantánea es: 1 p = −VI sen (ω t ) cos (ω t ) = − VI sen ( 2ω t ) 2

(105)

El valor medio de sen ( 2ω t ) extendido a un número entero de ciclos, es nulo y la potencia media es nula.

P =0

En particular, cuando en un circuito hay una inductancia pura se producen oscilaciones de energía entre la fuente y en campo magnético de la autoinducción. En el campo magnético la energía se acumula mientras aumenta la intensidad de corriente; cuando ésta decrece, la energía vuelve de nuevo a la fuente. Luego cuando la corriente al pasar por el valor cero aumenta nuevamente, la energía se acumula otra vez en el campo magnético, etc. Estas oscilaciones nocivas de energía condicionan la aparición de la potencia negativa durante una parte de período de corriente alterna.

57

Potencia en un circuito cualquiera En el caso más general la intensidad y el voltaje presentan un desfasaje φ , y p = VI sen (ω t ) sen (ω t − φ )

(106)

La curva de la potencia instantánea tiene la forma representada en la Fig.34 . El área comprendida bajo los arcos positivos es mayor que la situada bajo los negativos, siendo así positiva la potencia media neta. ε, i, p φ

i

p P v

ωt

Fig. 34 Potencia instantánea suministrada a un circuito cualquiera de C.A..

La potencia media es

1 P = VI cos φ = Vef I ef cos φ .

2

Esto se demuestra como sigue. Utilizando la relación sen (ω t − φ ) = sen (ω t ) cos φ − cos (ω t ) sen φ

(107)

la Ec. (106) puede escribirse: P = VI ⎡⎣ sen 2 (ω t ) cos φ − sen (ω t ) cos (ω t ) senφ ⎤⎦

(108)

El primer término del paréntesis, salvo el factor cos φ , que es constante tiene sen 2 (ω t ) , cuyo valor medio es ½. El valor medio del segundo término es nulo, puesto

que cos (ω t ) sen (ω t ) es simétrica respecto a cero, y sen φ es constante. Por lo tanto la potencia media es:

1 P = VI cos φ = Vef I ef cos φ 2

(109)

Esta fórmula es válida independientemente de las causas que han dado lugar al desfasaje en el circuito.

58

La Ec. (109) es la expresi贸n general de la potencia suministrada a cualquier circuito de C.A..

Esta ecuaci贸n establece que la potencia que entra a cualquier circuito de C.A. es el producto de los valores eficaces del voltaje terminal por la corriente terminal y el coseno del 谩ngulo de fase. S贸lo se aplica a corriente y voltaje senoidal.

Analizar la validez de la Ec. (109) en los casos citados previamente.

59

Potencia activa y reactiva Sólo cuando la impedancia de la carga es puramente resistiva la potencia media es P = Vef I ef , y únicamente con una carga resistiva la corriente se emplea totalmente en suministrar potencia del generador a la resistencia de la carga. Cuando hay reactancia así como resistencia, una componente de la corriente del circuito se emplea en suministrar la energía que es almacenada y descargada periódicamente por la reactancia. Esta corriente almacenada que está fluyendo a y desde el campo magnético del inductor o el campo eléctrico del capacitor alternativamente, se suma a la corriente del circuito pero no contribuye a la potencia media. Provoca pérdidas al hacer circular más corriente de la necesaria por los conductores y hace que deban sobredimensionarse.

Desde este punto de vista, la potencia media en un circuito es llamada activa, y la potencia que suministra el almacenamiento de energía en los elementos reactivos, se denomina potencia reactiva.

La potencia activa, designada por P es:

P = Vef I ef cos φ

(109')

y la potencia reactiva designada por Q es:

Q = Vef I ef senφ

(110)

La interpretación geométrica de estas ecuaciones es útil. En la Fig. 35( a ) se

JG

G

muestran los fasores V e I . Ambos tienen magnitudes R.M.S. Para calcular la potencia

G

JG

debemos encontrar la proyección de I sobre V y multiplicarla por V .

JG V I cos φ

φ

G I

V sen φ

JG V

φ I sen φ

V cos φ

(a)

(b)

G I

Fig. 35 (a), (b) Geometría de P y Q

60

G

JG

Como la proyección de I sobre V es I cos φ , este método concuerda con la Ec.(109'). La potencia activa se considera como el producto del voltaje por la componente en fase o activa de la corriente.

En forma similar, la potencia reactiva es el producto del voltaje por la componente reactiva de la corriente. Q es la proyección de I sobre una línea normal a V, como en la Fig. 35( a ) , multiplicada por V.

JG

G

Alternativamente, los mismos V e I se muestran en la Fig.35( b ) . En este caso

G

JG

JG

la proyección de V se encuentra sobre I , resultando V cos φ . La proyección de V

G

sobre una línea normal a I , resulta V sen φ . Éstas al multiplicarse por I, dan como resultado P y Q, respectivamente. Los resultados finales son los mismos cuando la componente de la corriente se encuentra tanto en fase como en cuadratura con el voltaje, que cuando las componentes del voltaje se encuentran en fase o en cuadratura con la corriente.

Factor de potencia El cos φ se usa tan frecuentemente que se le da un nombre especial. Por razones que se deducen de la Ec. (109') se denomina factor de potencia del circuito.

Es un factor reductor, que es siempre menor o igual a la unidad y representa la relación entre la potencia entregada a la carga y la potencia consumida (y por lo tanto aprovechada) por la misma. Éste indica cuánta cantidad de la potencia aparente se usa realmente, es decir se convierte en activa. fp =

P = cos φ Vef I ef

(111)

Cuanto menor es el factor de potencia, es decir, cuanto mayor es el desfasaje, tanto peor desde el punto de vista energético se aprovecha la instalación eléctrica: en sus bornes se mantiene una tensión normal, consume una corriente considerable, sin embargo su potencia activa es relativamente pequeña. Por ej., si la tensión en los bornes de la instalación es V = 6kV , ésta carga la red de potencia activa P = 600kW siendo la intensidad de corriente I = 200 A . El factor de potencia es: cos φ = 0.5 Sin embargo cuando cos φ = 1 , para obtener igual potencia sería suficiente que la intensidad de corriente sea I = 100 A .

Por lo tanto, cuanto más pequeño sea el factor de potencia menor será la potencia aprovechada. En la mayoría de los casos no se requiere una compensación total ya que para cos φ = 0.95 queda una corriente reactiva prácticamente despreciable. Para compensar esta corriente hay que aumentar considerablemente la capacidad de los condensadores, lo que económicamente no es ventajoso.

Si no se tratara de tensiones y corrientes senoidales puras, el factor de potencia no sería el cos φ .

61

Potencia compleja Al elegir los transformadores, secciones de cables, interruptores, etc., es necesario saber para qué intensidad de corriente deben ser calculados. Para ello no es suficiente conocer la tensión y la potencia activa P, hay que determinar también el cos φ de la instalación. Cuando hay varios receptores de energía con diferentes cos φ , estos cálculos se complican sustancialmente. Para facilitar estos cálculos, se introduce una magnitud auxiliar, la potencia aparente.

La potencia de la corriente alterna no es una cantidad sinusoidal. Se compone de un término constante y otro sinusoidal de frecuencia doble, por consiguiente no puede determinarse como producto de los complejos de la tensión y de la corriente del circuito examinado. Por esta causa para determinar la potencia basándose en los complejos expresados en forma exponencial:

V * = Ve jα

(112)

I * = Ie j β

(113)

hay que aplicar un procedimiento artificial. Tomemos el complejo conjugado de corriente:

I * = Ie− j β = I cos β − j I sen β al multiplicarlo por el complejo de tensión, obtenemos:

S * =V * I * = VI e

j (α − β )

=VI e jφ = VI cos φ + jVI senφ = VI φ = P + jQ

(114)

ya que α − β = φ .

La magnitud obtenida, S * , se denomina potencia compleja. Su parte real es igual a la potencia activa, P , y la parte imaginaria, es igual a la potencia reactiva Q .

En la Fig.36 se muestran P, Q y S* . P y Q se miden a lo largo de los ejes real e imaginario, en el plano complejo de potencia.

Im

Plano Complejo

S*

Q

φ P

Re al

Fig. 36 Potencia Compleja.

62

JG

Consideremos que en la Fig.35( b ) , V , V cos φ y Vsen φ , se multiplican cada uno por I ef , el valor R.M.S. de la corriente. Cuando las componentes del voltaje se multiplican por la corriente, se convierten en P y Q , respectivamente.

La potencia compleja es una cantidad compleja con módulo igual al producto del voltaje por la corriente terminales (ambos R.M .S. ) y con un ángulo igual al ángulo de fase por el cual la corriente está atrasada respecto al voltaje, como en la Fig. 36 .

La magnitud de S*, es la potencia aparente:

S = Vef I ef

(115)

de manera que: S 2 = P2 + Q2

(116)

P = S cos φ

(117)

Q = S sen φ ,

Q = P tan φ

(118)

El nombre de potencia aparente proviene del hecho de que el circuito “aparenta” consumir S , pero en realidad consume P , mientras que el resto corresponde a la potencia reactiva Q .

Es importante notar que S * es un número complejo, pero no representa una cantidad que varíe senoidalmente, como v e i . Z * es otro ejemplo de una cantidad compleja que no representa una cantidad senoidal.

La Ec. (119) muestra una relación entre S * y Z * .

Otra forma útil de la Ec.(114), resulta cuando se introduce la impedancia. De la definición de la impedancia en la Ec. (80), Z* =

V * Vef jφ = e I * I ef

usando el ángulo φ de la Fig. 35( a ) .

Entonces, de la Ec.(114): S * = VIe jφ = I 2

V jφ e = I 2 Z * = I 2 R + jI 2 X I

(119)

Como S * = P + jQ , se observa que: P = I 2R

y

Q = I2X

(120) 63

La Ec. (120) expresa que, así como una carga resistiva consume potencia activa, una carga inductiva (con reactancia positiva) consume potencia reactiva. Por otro lado, una carga capacitiva (teniendo reactancia negativa), puede decirse que consume potencia reactiva negativa.

Si una línea alimenta dos cargas, una inductiva y la otra capacitiva, las dos cargas juntas consumen únicamente la diferencia entre sus dos potencias reactivas.

El circuito inductivo tiene una potencia reactiva en atraso o negativa y el circuito capacitivo tendrá una potencia reactiva en adelanto o positiva. Por lo tanto, sus respectivos triángulos de potencia serán los de la Fig. 37 P

Q

S

Q

S

P Circuito inductivo

Circuito capacitivo Fig. 37

Triángulo de potencia.

En cualquier sistema hay conservación de la potencia reactiva al igual que hay conservación de la potencia activa. Cualquier cantidad consumida por un dispositivo debe ser producida por otro.

Si bien las tres potencias tienen unidades de V . A , se establecen las siguientes diferencias:

[ P] = W

(Watt )

[Q ] = VAr

(Volt − Ampere reactivo )

[ S ] = VA (Volt − Ampere ) Por supuesto, el Watt y el VAr son dimensionalmente lo mismo que el VA . Este cambio de notación, simplifica las indicaciones de la potencia en los catálogos, cálculos, etc.

En los tableros de los transformadores y generadores, se indica la potencia aparente. El aislamiento de los transformadores y generadores se calcula para una determinada tensión nominal y la sección de los conductores de los devanados se calcula para una determinada corriente nominal. Por lo tanto, la tensión y la corriente se limitan individualmente, además, estas limitaciones no dependen del desfasaje φ entre la tensión y la corriente.

64

De acuerdo con la Ec. (115), la potencia aparente de un generador, un transformador y de otras instalaciones de corriente alterna, está determinada por el producto de los valores eficaces de la tensión y de la corriente. Por lo tanto, teniendo en cuenta la Ec. (117), para una potencia aparente constante, el valor de la potencia consumida admisible, disminuye al disminuir cos φ .

El concepto de la potencia reactiva se aplica para el cálculo de la potencia aparente de una instalación, por ej. para determinar la potencia de un transformador necesario para una empresa industrial. Los diferentes receptores de energía eléctrica, consumen tanto la potencia activa como la reactiva. La potencia aparente para la que debe instalarse un transformador, se determina por la suma de las potencias activas de todos los receptores y la suma de sus potencias reactivas, empleando la fórmula:

S=

(∑ P) + (∑Q) 2

2

(121)

Convencionalmente, se suele considerar negativa la potencia reactiva capacitiva, por lo cual los condensadores hay que considerarlos como generadores de potencia reactiva QC , mientras que los receptores inductivos, se consideran como sus consumidores de potencia reactiva QL .

Cuando entre los receptores hay capacidades e inductancias, la potencia total de la instalación es:

S=

(∑ P) + (∑Q − ∑Q ) 2

L

C

2

(122)

Mediante la potencia reactiva capacitiva que compensa la potencia inductiva de los motores eléctricos, aumenta el cos φ de la empresas industriales.

65

EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio Nº 1: Modelo del motor eléctrico 2Ω

120V , 60Hz

C

10mH

a) Encontrar el factor de potencia sin el capacitor. b) Determinar el valor de C que hace máximo el factor de potencia. c) ¿Cómo cambia la energía disipada en el motor? a) Sin el capacitor:

Z* = R + j X L

(

)

X L = ω L = 2 π f L = 2π 60 10 10 −3 Ω X L = j3.77 Ω = 3.77 Ω 90º Z * = ( 2 + j3.77 ) Ω

Z = 4.27 Ω ⎛ 3.77 ⎞ ⎟ = 1.08rad . ⎝ 2 ⎠

θ = tan −1 ⎜

factor de potencia = 0.468 Vef = 120V ,

I ef =

120V = 28.1A 4.27 Ω

P =Vef I ef cos φ P = 120V 28.1A 0.468 = 1.58kW

66

b) Con el capacitor:

factor de potencia máximo = 1 ⇒ φ = 0 Para cumplir esta condición, es necesario que la impedancia sea real.

1 1 1 = − * Z R + j XL j XC 1 1 R − jωL = + jωC = 2 + jωC * Z R + jωL R + ω 2 L2

1 R − jω L + jω R 2C + jω 3CL2 = Z* R 2 + ω 2 L2

(

2 2 2 1 R + jω − L + R C + ω CL = Z* R 2 + ω 2 L2

)

En esta ecuación si hacemos nulo los términos entre paréntesis, la parte imaginaria de Z * será igual a cero y, por lo tanto será satisfecha la condición requerida.

(

L = C R 2 + ω 2 L2

)

⇒ C=

L R + ω 2 L2 2

C = 549 µ F

El diagrama de la página siguiente proporciona otro camino para determinar el valor de C que hace máximo el factor de potencia, es decir hace resonante el circuito, ya que:

I 2 = I1 senθ = 24.82 A⎫ I2 ⎪ ε ⎬⇒ C= I 2 = IC = = εω C⎪ εω XC ⎭

∴ C = 549 µ F

c) Cálculo de la potencia: Con este valor de C , Z * = Z =

Z = 9.11Ω

y

V2 P= , Z

R R + ω 2 L2 2

P = 1.58kW

Se encuentra que la potencia con el capacitor es la misma que sin él.

Justificar este resultado.

67

Diagrama fasorial del circuito del ejercicio Nº1 a) Circuito sin capacitor.

Im

Análisis de la serie R − L .

JJG

VL

G

EstasJJimpedancias G JJG G tienen en común I .

Dado que I R = I L = I , es conveniente adoptar estas JJG corrientes JJG como referencia y trazar, VR en fase y VL adelantada 90º.

G ε θ

JJG G

VR

Real

I

tan θ =

VL X L = , VR R

θ = 62.05º

b) Circuito con capacitor.

Im

JJG

Análisis de la serie R − L .

VL

G ε θ

Este diagrama es el mismo que el anterior, salvo que la corriente por esta rama ya no es laJG única del circuito, por lo que la llamamos I 1 .

JJG JG

VR

I 1 Real

Análisis del paralelo RL − C .

Im

JG I2

JJG

G ε

IT

θ

JG I1

Real

G

Estas impedancias tienen en común ε .

Redibujamos el diagrama anterior rotado un ángulo θ , en Gsentido horario, para tener, de como este modo a ε JJ G JJG origen de fase. Ahora podemos trazar I 2 = I C adelantada 90º y cuya magnitud sea la apropi JG ada para que al sumarla vectorialmente con I 1 , dé como resultante la

JJG

G

corriente total IT en fase con ε , tal como lo requiere el enunciado del problema.

68

Ejercicio Nº2 a

Encontrar las corrientes en todas las ramas y las diferencias de potencial Vab y Vbc para el circuito de la Fig.

R1

Considerar:

ε = 100V , 60Hz R1 = 10 Ω

R2

b

ε

R2 = 1Ω

C

L

C = 1mF

c

L = 10mH

La solución de este ejercicio puede obtenerse siguiendo los pasos listados a continuación.

Calcular Z 1* ,Z 2* , Z 3* y Z 4* Z 1* = R1 = 10 Ω = 10Ω 0º Z 2* = R2 = 1Ω = 1Ω 0º

Z 3* = j X L = j ω L Z 3* = j 3.77 Ω = 3.77 Ω 90º

Z 4* = − j X C = −

j ωC

Z 4* = − j 2.65Ω = 2.65Ω −90º

Determinar la impedancia equivalente del circuito. * En la siguiente Fig. se esquematizan los pasos sucesivos para encontrar Z eq .

a

a

a a

Z1

Z2

Z1

Z1

b

b b

Z4

Z 23

Z4

Z3

Z eq

Z 234 c

c

c Reducción del circuito.

c

69

* : impedancia de la serie Z 2 − Z 3 .

Calcular Z 23 * Z 23 = Z 2* + Z 3* * Z 23 = ( 1 + j 3.77 ) Ω = 3.9 Ω 75,14º * Calcular Z 234 : impedancia del paralelo Z 23 − Z 4 .

Z

* 234

* Z 23 Z 4* = * Z 23 + Z 4*

* Z 234 = 6.89 Ω −62.24º = ( 3.21 − j6.10 ) Ω

* Calcular Z eq : impedancia de la serie Z1 − Z 234 .

* * Z eq = Z1* + Z 234 * Z eq = ( 13.21 − j6.10 ) Ω = 14.55Ω −24.78º

Determinar I *T , I *1 e I *2

ε * = 100 0º V* IT = * Z eq *

I *T = 6.87 A 24.78º = ( 6.24 + j2.88 ) A * Vbc* = IT* Z 234

Vbc* = 47.35V −37.46º = ( 37.59 − j28.80 )V I1 = *

Vbc* * Z 23

I *1 = 12.14 A −112.6º = ( −4.67 − j11.21) A

70

I2 = *

Vbc* Z 4*

I *2 = 17.87 A 52.54º = ( 10.87 + j14.18 ) A Obtener Vab*

Vab* = IT* Z1*

Vab* = 68.70 A 24.78º = ( 62.37 + j28.79 ) A Cuando se calcula una división de corriente o de voltaje, hay un medio obvio de comprobar los resultados: sumando las componentes. Esta oportunidad de encontrar errores es muy importante y no debe ser pasada por alto.

Comprobaremos a continuación, si la adición de la distribución de corriente y de voltaje encontradas arroja los mismo resultado que los hallados, para IT y ε .

IT* = I 1* + I 2*

IT* = ( −4.67 − j11.21) A + (10.87 + j14.18 ) A IT* = ( 6.20 + j2.97 ) A ≅ ( 6.24 + j2.88 ) A Vac* = Vab* + Vbc*

ε * = ( 62.37 + j28.79 )V + ( 37.59 − j28.80 )V

ε * = ( 99.96 − j0.01)V ≅ 100V 0º

71

Diagrama fasorial del circuito del ejercicio Nº2

Im

Análisis de la serie Z 2 − Z 3 .

JJG

JG

JJG

VL

Vbc

JG

Estas impedancias tienen en común I 1 ,

JJG

JJG

I 1 = I R2 = I L . Por lo tanto, es conveniente adoptar

JJG

estas corrientes como referencia y trazar, VR2 en

θ

JJG

JG

JJG

Real

I1

VR

JG

fase y VL adelantada 90º con I 1 .

Im

JG I2

Análisis del paralelo Z 23 − Z 4 .

JJG

Estas impedancias tienen en común Vbc .

Redibujamos el diagrama anterior rotado un , en sentido horario, para tener, de este ángulo θJJG modo a Vbc como origen de fase. Ahora podemos

JJG

JJG

I 2 = IC

trazar

adelantada

JG

90º

y

JJG IT

sumarla

θ

vectorialmente con I 1 para obtener la corriente

α JJG Vbc

Real

JJG

total IT .

JG I1

Im

JJG

JJG

IT

α JJG

Vbc

φ

Análisis de la serie Z 1 − Z 234 .

Vab

G ε

Real

Tomando como JJG referencia JJG a IT , podemos trazar VR1 = Vab en

JJG

JJG

G

fase con éste y obtener Vac = ε como JJG JJGresultado de la suma de Vab y Vbc .

72