CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 11 - 3 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHÂN DẠNG CHI TIẾT - CHUYÊN SƯ PHẠM HN by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 11

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 11 3 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHÂN DẠNG CHI TIẾT - CHUYÊN SƯ PHẠM HN WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Toán 11

PHÉP QUAY

Câu 7.

Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O . Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O , góc quay α , 0 ≤ α ≤ 2π , biến hình chữ nhật thành chính nó? A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số.

Câu 8.

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Cho hình vuông ABCD tâm O . Phép quay tâm O, góc quay α bằng bao nhiêu biến hình vuông ABCD thành chính nó.

1H1

MỤC LỤC Phần A. CÂU HỎI .......................................................................................................................................................... 1

A. α =

Dạng 1: Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng phép quay ............................................................................. 1 Dạng 2. Xác định ảnh của điểm, đường thẳng qua phép quay bằng phương pháp tọa độ ...................................... 4

Câu 9.

Dạng 2.1.Xác định ảnh của một điểm qua phép quay............................................................................................. 4 Dạng 2.2. Xác định ảnh ∆ ' của đường thẳng ∆ qua phép quay. ......................................................................... 6 Dạng 2.3. Xác định ảnh của một hình H (đường tròn, elip, parabol…) .............................................................. 8 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ............................................................................................................................. 8 Dạng 1: Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng phép quay ............................................................................. 8 Dạng 2. Xác định ảnh của điểm, đường thẳng qua phép quay bằng phương pháp tọa độ .................................... 13 Dạng 2.1.Xác định ảnh của một điểm qua phép quay........................................................................................... 13 Dạng 2.2. Xác định ảnh ∆ ' của đường thẳng ∆ qua phép quay. ....................................................................... 15

π 2

B. α =

π 6

C. α =

π 3

D. α =

π 4

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Cho tam giác đều ABC . Hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành C . A. ϕ = 30° . B. ϕ = 60° hoặc ϕ = −60° . C. ϕ = −120° . D. ϕ = 90° .

Câu 10. Cho tam giác đều ABC có tâm O . Phép quay tâm O , góc quay ϕ biến tam giác đều thành chính nó thì góc quay ϕ là góc nào sau đây: π 2π 3π π A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 Câu 11. Chọn 12 giờ làm mốc, khi kim giờ chỉ một giờ đúng thì kim phút đã quay được một góc bao nhiêu độ?

Dạng 2.3. Xác định ảnh của một hình H (đường tròn, elip, parabol…) ............................................................ 18

Phần A. CÂU HỎI Dạng 1: Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng phép quay Câu 1.

Cho 2 đường thẳng bất kì d và d ’ . Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d ’ ? A. không có phép nào. B. có 1 phép duy nhất. C. chỉ có 2 phép. D. có vô phép số.

Câu 2.

Cho hình vuông tâm O . Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc α , 0 ≤ α < 2π biến hình vuông thành chính nó? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4.

Câu 3.

Gọi d ’ là hình ảnh của d qua tâm I góc quay ϕ (biết I không nằm trên d ), đường thẳng d ’ song với d khi: π π 2π B. ϕ = . C. ϕ = . D. ϕ = −π . A. ϕ = . 3 6 3

Câu 4.

Giả sử Q( O,ϕ ) ( M ) → M ′, Q( O,ϕ ) ( N ) → N ′ . Khi đó mệnh đề nào sau đây sai? =M ′ON ′ . A. OM , OM ′ = ϕ . B. MON C. MN = M ′N ′ . D. ∆MON = ∆M ′ON ′ .

(

)

Câu 5.

(THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc α , 0 ≤ α < 2π biến hình chữ nhật trên thành chính nó? A. Không có. B. Bốn. C. Hai. D. Ba.

Câu 6.

Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O , góc quay α ≠ k 2π , k ∈ ℤ. A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số.

A. 360° .

B. −360° .

C. −180° .

D. 720° .

Câu 12. Trong các chữ cái và số sau, dãy các chữ cái và số khi ta thực hiện phép quay tâm A , góc quay 180° thì ta được một phép đồng nhất ( A là tâm đối xứng của các chữ cái hoặc số đó). A. X , L, 6,1, U . B. O, Z , V ,9,5 . C. X , I , O ,8,S . D. H , J , K , 4,8 . Câu 13.

(GIỮA KÌ I YÊN HÒA HÀ NỘI 2017-2018) Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD có tâm O , góc DC , DA = 90o . Khi đó ảnh của điểm B qua phép quay tâm O góc quay −90o là điểm

(

)

nào? A. C . B. A . C. Là M ∉ { A, C , D, O} .

D. D .

Câu 14. Cho hình vuông ABCD tâm O , M là trung điểm của AB , N là trung điểm của OA . Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O góc quay 90° . A. ∆BM ′N ′ với M ′, N ′ lần lượt là trung điểm của BC , OB . B. ∆CM ′N ′ với M ′, N ′ lần lượt là trung điểm của BC , OC . C. ∆DM ′N ′ với M ′, N ′ lần lượt là trung điểm của DC , OD . D. ∆DM ′N ′ với M ′, N ′ lần lượt là trung điểm của AD, OD . Câu 15. Gọi I là tâm đối xứng của các hình A, B, C , D . Khi thực hiện phép quay tâm I góc quay 180° thì hình nào luôn được phép đồng nhất?

C. N chạy trên d ′ và d ′′ lần lượt là ảnh của d qua phép quay Q(O ,60°) và Q(O ,−60°) . D. N là ảnh của O qua phép quay Q(O,60°) . Câu 26. Cho hai đường tròn cùng bán kính ( O ) và ( O ') tiếp xúc ngoài nhau. Có bao nhiêu phép quay góc A.

90° biến hình tròn ( O ) thành ( O ') ?

Câu 16. Chọn 12 giờ làm mốc, khi đồng hồ chỉ năm giờ đúng thì kim giờ đã quay được một góc bao nhiêu độ? A. 270 0 . B. −3600 . C. −1500 . D. 1350 . Câu 17. Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 biết Q O ;−1200 ( ∆1 ) = ∆ 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? ( ) A ( ∆1 , ∆ 2 ) = 1200 .

C. ( ∆1 , ∆2 ) = −1200 .

B. ∆1 // ∆ 2 .

(

)

B. ABC = 90 0 .

C. ABC = 450 .

C. 2 .

D. Vô số.

Câu 29. Cho 3 điểm A , B , C , điểm B nằm giữa A và C . Dựng về phía đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và EC . Xác định dạng của ∆BMN . A. cân. B. vuông. C. vuông cân. D. đều.

D. ABC = 750 .

Câu 19. Cho hai điểm phân biệt I , M và Q( I;−32π ) ( M ) = N . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M là trung điểm của đoạn IN . C. I là trung điểm của đoạn MN .

B. 1.

Câu 27. Cho hình lục giác đều ABCDE tâm O . Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm O góc quay 1200 . A. ∆OAB . B. ∆BOC . C. ∆DOC . D. ∆EOD . Câu 28. Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn AB’ và nằm ngoài đoạn thẳng A’B . Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác OAA’ và OBB’ . Xác định dạng của tam giác GOG’ A. cân. B. vuông. C. vuông cân. D. đều.

D. ( ∆1 , ∆ 2 ) = 600 .

Câu 18. Cho hai điểm phân biệt A, B và Q A;300 ( B ) = C . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ABC = 30 0 .

A. 0 .

B. N là trung điểm của đoạn IM . D. M ≡ N .

Câu 20. Cho ∆ABC đều (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác). Kết luận nào sau đây sai? A. Q π  ( B ) = C . B. Q π  ( C ) = B . C. Q 7π  ( C ) = B . D. Q 7π  ( A ) = C .

Câu 30. Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d . M là điểm di động trên d . Xác định qu ỹ tích điểm N sao cho ∆OMN đều. A. N ∈ d′ với d ′ = Q(O ,60°) ( d ) . B. N ∈ d′ với d ′ = Q(O ,180°) ( d ) .

Câu 21. Gọi I là tâm hình vuông ABCD (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác). Kết luận nào sau đây sai? A. Q I ,900 ( ∆IBC ) = ∆ICD . B. Q I ,−900 ( ∆IBC ) = ∆IAB . ( ) ( )

= MAK . Khi đó mệnh đề nào sau đây Câu 31. Cho hình vuông ABCD , M ∈ BC , K ∈ DC sao cho BAM là đúng? A. AD = AK − KD . B. AB = AM + DK . C. AK = BM + KD . D.

 A,   3

 A, −  3 

 A,  3  

C. Q I ,1800 ( ∆IBC ) = ∆IDA . ( )

 A, −  3  

C. N ∈ d′ với d ′ = Q(O ,120°) ( d ) .

D. Q I ,3600 ( ∆IBC ) = ∆IDA . ( )

Câu 22. Gọi I là tâm ngũ giác đều ABCDE (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác). Kết luận nào sau đây là sai? A. Q I,1440 ( CD ) = EA . B. Q I,720 ( AB ) = BC . C. Q I,1440 ( AB ) = DE . D. Q I,720 ( CD ) = BC . ( ) ( ) ( ) ( ) Câu 23. Gọi I là tâm lục giác đều ABCDEF (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác). Kết luận nào sau đây là sai? A. Q I ,−1200 ( ∆IED ) = ∆IBA . B. Q I ,−600 ( ∆IAB ) = ∆IBC . ( ) ( ) C. Q I ,600 ( AB ) = BC . D. Q I ,1800 ( ∆ICD ) = ∆IFA . ( ) ( ) Câu 24. Cho hình vuông ABCD có cạnh 2 và có các đỉnh vẽ theo chiều dương. Các đường chéo cắt nhau tại I . Trên cạnh BC lấy BJ = 1 . Xác định phép biến đổi AI thành BJ biết O là tâm quay. A. BJ = Q(O ,45° ) AI . B. BJ = Q(O ,−45° ) AI . C. BJ = Q(O ,135° ) AI . D. BJ = Q( O ,−135°) AI .

( )

Câu 25. Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d , M là điểm di động trên d . Tìm tập hợp điểm N sao cho tam giác MON đều. A. N chạy trên d′ là ảnh của d qua phép quay Q(O ,60°) .

D. N ∈ d′ với d ′ = Q(O ,−120°) ( d ) .

Câu 32. Cho ∆ABC . Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông BCIJ , ACMN . Gọi O, P lần lượt là tâm đối xứng của chúng, D là trung điểm của AB . Xác định dạng của ∆DOP . A. cân. B. vuông. C. vuông cân. D. đều. Dạng 2. Xác định ảnh của điểm, đường thẳng qua phép quay bằng phương pháp tọa độ Dạng 2.1.Xác định ảnh của một điểm qua phép quay. Câu 33.

(Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm B ( −3;6 ) . Tìm tọa độ điểm E sao cho B là ảnh của E qua phép quay tâm O , góc quay 90° A. E ( 6;3) . B. E ( −3; − 6 ) . C. E ( −6; −3) . D. E ( 3; 6 ) .

Câu 34.

(THPT NÔNG CỐNG - THANH HÓA LẦN 1_2018-2019) Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm B ( −3;6 ) . Tìm tọa độ điểm E sao cho B là ảnh của E qua phép quay tâm O , góc quay 90° A. E ( 6;3) .

B. E ( −3; − 6 )

C. E ( −6; −3)

D. E ( 3; 6 )

Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A ( 0;3) . Tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay Q O ,−450 .

(

)

B. N chạy trên d′ là ảnh của d qua phép quay Q( O, −60°) . 3

 1 3  ; A. A '  .  2 2

3 1 B. A '  ;  . 4 4

 −3 1  ; C. A '  .  2 2

 1 3 y x ' = x −  2 2 . A.  y' = 3 x + 1 y  2 2

 3 3  ; D. A '  .  2 2

Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phép quay Q biến điểm A ( −1;5) thành điểm A ' ( 5;1) A. Q O , −900 ( A ) = A ' . ( ) Câu 37.

B. Q O ,900 ( A ) = A ' . ( )

C. Q O ,1800 ( A) = A ' . ( )

D. Q O ,−2700 ( A ) = A ' . ( )

B. M ′ (1;1) .

C. M ′ ( −1;1) .

D. M ′ (1;1) .

Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép quay tâm O góc quay α biến điểm M ( x; y ) thành điểm

1 3 3 1  M '  x − y; x + y  . Tìm α . 2 2 2 2   π π A. α = . B. α = . 6 3 Câu 39.

B ( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) , D ( xD ; yD ) thì xB .xC .xD bằng: A. 12. B. 8. C. 16.

2π C. α = . 3

phép quay tâm O ( 0; 0 ) , góc quay 450 ?

3π D. α = . 4

(

B. M '

(

)

2; 0 .

C. M ' ( 0;1) .

D. M ' (1; −1) .

Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm A ( −2;3) , A’ (1;5) và B ( 5; −3) , B’ ( 7; −2 ) . Phép quay tâm I ( x; y ) biến A thành A’ và B thành B’ , ta có x + y bằng:

A. −1 . Câu 49.

B. 2

C. 1

D. −3

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm A (1; 0 ) thành điểm A ' ( 0;1) . Khi đó nó biến điểm M (1; −1) thành điểm nào sau đây? A. M ' (1; 0 ) . B. M ' ( −1;1) . C. M ' ( −1; −1) . D. M ' (1;1) .

Câu 50.

(THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho A ( −1; 2 ) , B ( 3; − 1) , A′ ( 9; − 4 ) , B′ ( 5; − 1) . Trong mặt phẳng Oxy , phép quay tâm I ( a; b ) biến A thành A′ , B thành B′ . Khi đó giá trị a + b là: A. 5 .

Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A ( x; y ) . Biểu thức tọa độ của điểm A ' = Q(O ,ϕ ) ( A) là:

B. 4 .

C. 3 .

D. 2 .

Dạng 2.2. Xác định ảnh ∆ ' của đường thẳng ∆ qua phép quay.

 x ' = x cos ϕ + y sin ϕ B.  .  y ' = x sin ϕ − y cos ϕ  x ' = x cos ϕ − y sin ϕ D.  .  y ' = x cos ϕ + y sin ϕ

Câu 51.

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng có d : 2 x − y + 1 = 0 , ảnh d ' của d qua phép quay tâm O, góc quay −900 là: A. d ' : x − 2 y − 1 = 0 B. d ' : x + 2 y − 1 = 0 C. d ' : 2 x − y + 1 = 0 D. d ' : x + 2 y + 1 = 0

Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x + y + 1 = 0 , điểm I (1; −2 ) , phép quay

Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A ( 4;1) . Biểu thức tọa độ của điểm A ' = Q O ,−900 ( A ) là: ( ) C. A ( 4; −1) .

)

A. M ' 0; 2 .

Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A ( x; y ) . Biểu thức tọa độ của điểm A ' = Q O ,−900 ( A ) là: ( ) x ' = − y x ' = − y x ' = y x ' = y A.  . B.  . C.  . D.  . y ' = x  y ' = −x  y ' = −x y ' = x

B. A (1; −4 ) .

D. 32.

Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , Qua phép quay tâm O , góc quay 900 biến điểm M ( −3;5) thành điểm nào? A. ( 3; 4 ) B. ( −5; −3) . C. ( 5; −3) . D. ( −3; −5 ) .

Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A ( x; y ) . Biểu thức tọa độ của điểm A ' = Q O ,900 ( A ) là: ( ) x ' = y x ' = − y x ' = − y x ' = y A.  . B.  . C.  . D.  .  y ' = −x y ' = x  y ' = −x y ' = x

A. A ( −1; 4 ) .

 1 3 y x ' = − x −  2 2 . D.  y' = − 3 x + 1 y  2 2

Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M (1;1) . Hỏi điểm nào sau đây là ảnh của điểm M qua

(THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A ( 3; 4 ) . Gọi A′ là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O ( 0; 0 ) , góc quay 90° . Điểm A′ có tọa độ là A. A′ ( −3; 4 ) . B. A′ ( −4; −3) . C. A′ ( 3; −4 ) . D. A′ ( −4;3) .

 x ' = x cos ϕ − y sin ϕ A.  .  y ' = x sin ϕ + y cos ϕ  x ' = x sin ϕ − y cos ϕ C.  .  y ' = x sin ϕ + y cos ϕ

 1 3 y x ' = x +  2 2 . C.  y' = 3 x + 1 y  2 2

Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD tâm I (1; 2 ) , biết điểm A ( 4;5 ) . Khi đó với

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm A (1; 0 ) thành điểm A′ ( 0;1) . Khi đó nó biến điểm M (1; −1) thành điểm: A. M ′ ( −1; −1) .

 1 3 y x ' = x −  2 2 . B.  y' = 3 x − 1 y  2 2

Q O ,900 ( d ) = d ' . Xác định phương trình đường thẳng d′ .

( ) A. − x + y − 2 = 0 .

D. A ( −4; −1) .

Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A ( x; y ) . Biểu thức tọa độ của điểm A ' = Q O ,600 ( A ) là: ( )

Câu 53.

B. x − y − 1 = 0 .

(

A. 3 x + 5 y + 15 = 0 5

C. x − y + 3 = 0 .

D. x − y − 3 = 0 .

(LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 5 x − 3 y + 15 = 0 . Viết phương trình của đường thẳng d ' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay Q O,90o .

)

B. 5 x + 3 y + 15 = 0

C. 3 x + 5 y − 15 = 0

D. 5 x + 3 y − 15 = 0 6

Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d có phương trình 5x − 3 y + 15 − 0 . Tìm ảnh d ’ của d qua phép quay Q O ,900 với O là gốc tọa độ.?

(

A. 5x − 3 y + 6 = 0 .

)

B. 3x + 5 y + 15 = 0 .

C. 5x + y − 7 = 0 .

D. −3x + 5 y + 7 = 0 .

Dạng 2.3. Xác định ảnh của một hình H (đường tròn, elip, parabol…) Câu 64.

Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho I ( 2;1) và đường thẳng d : 2 x + 3 y + 4 = 0 . Tìm ảnh của d qua Q I ,450

(

phép quay với tâm quay là gốc tọa độ O và góc quay bằng 270° . A. ( C ) : x2 + y 2 − 10 x − 4 y + 4 = 0 . B. ( C ) : x2 + y 2 + 10 x + 4 y + 4 = 0 .

)

A. − x + 5 y − 2 + 3 2 = 0 .

B. − x + 5 y − 3 + 10 2 = 0 .

C. x − 5 y + 3 + 2 = 0 .

D. − x + 5 y − 3 + 11 2 = 0 .

C. ( C ) : x2 + y 2 + 10 x − 4 y + 4 = 0 . Câu 65.

Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình các cạnh AB, BC của ∆ABC biết A (1; 2) ,

2 3 . , cos B = 5 10 A. AC : x − y − 1 = 0, BC : x − y + 5 = 0 . C. AC :3 x − y − 1 = 0, BC : x − 2 y + 5 = 0 .

B (3; 4) và cos A =

B. AC :3 x − y − 2 = 0, BC : x − 2 y + 3 = 0 . D. AC :3 x − y − 4 = 0, BC : x − 2 y + 2 = 0 .

Câu 59.

Câu 60.

Câu 61.

C. d ′ : 3 x − y − 6 = 0 .

(

)

B. ( C ) : x 2 + y 2 + 6 y − 6 = 0 .

D. ( C ) : x 2 + y 2 + 6 x − 5 = 0 .

C. x 2 + ( y + 3) = 4 .

Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép quay tâm O góc quay 450 Q O ,450 . Tìm ảnh của đường

(

D. x 2 + y 2 + 2 x + 2 y − 2 = 0 .

Câu 69. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường tròn 2

+ y − 2 x + 4 y − 4 = 0 qua phép quay Q

π  O ,−  2 

A. ( x + 2 ) + ( y + 1) = 9 .

D. 90° .

Câu 1. Câu 2.

( C’)

là ảnh của

. 2

B. ( x − 2 ) + ( y − 1) = 9. D. ( x − 1) + ( y + 2 ) = 9.

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng 1: Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng phép quay Đáp án D. Đáp án D. Thật vậy, các phép quay biến hình vuông thành chính nó: Q O ,00 , Q O ,900 , Q O ,1800 , Q O,2700 .

(

 2  2 B.  x +  +  y +  = 4 . 2 2    

 2  2 C.  x −  +  y + 2  = 4 . 2    

C. ( x − 2 ) 3 + ( y + 1) = 9.

D. d ' : − x + 5 y − 3 + 10 2 = 0

 2  2 A.  x −  +  y −  = 4 . 2 2    

(C ) : x

Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 4 x + 3 y + 5 = 0 và x + 7 y − 4 = 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia

)

tròn ( C ) : ( x − 1) + y = 4 .

C. d ' : − x + 5 y − 10 2 = 0

D. ( C ') : ( x + 3 ) + ( y − 2 ) = 9

A. x 2 + ( y − 3) = 4 .

D. d ′ : x − 3 y − 2 = 0 .

B. d ' : − x + 5 y − 3 = 0

B. ( C ') : ( x − 3 ) + ( y + 2 ) = 9

của ( C ) qua Q O,900 .

D. d : x + y + 4 = 0 .

A. d ' : − x + 5 y − 3 + 2 = 0

C. 60° .

)

Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 6 x + 5 = 0 . Tìm ảnh đường tròn ( C ′ )

Câu 62. Cho I ( 2;1) và đường thẳng d : 2 x + 3 y + 4 = 0 . Tìm ảnh của d qua Q I ;450 . ( )

thì số đo của góc quay ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ 180°) là: A. 120° . B. 45° .

C. ( C ') : ( x + 5 ) + ( y − 7 ) = 9

(THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 3 x − y + 2 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d′ là ảnh của d qua phép quay tâm O B. d ′ : x + 3 y − 2 = 0 .

A. ( C ' ) : ( x + 2 ) + ( y − 2 ) = 9

(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng ∆ : x − y + 2 = 0 . Hãy viết phương trình đường thẳng d là ảnh của đường thẳng ∆ qua

góc quay −90o . A. d ′ : x + 3 y + 2 = 0 .

(

(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y = x . Tìm ảnh của d qua phép quay tâm O , góc quay 90° . A. d ′ : y = 2 x . B. d ′ : y = − x . C. d ′ : y = −2 x . D. d ′ : y = x .

C. d : x + y − 2 = 0 .

(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Phép quay tâm O(0;0) góc quay 900 biến đường tròn (C): x 2 + y 2 − 4 x + 1 = 0 thành đường tròn có phương trình: A. x2 + ( y − 2)2 = 3 B. x 2 + ( y − 2)2 = 3 C. x 2 + ( y − 2)2 = 9 D. x 2 + ( y + 2)2 = 3 2

(THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ 0xy , phép quay tâm I ( 4; −3) góc quay 180° biến đường thẳng d : x + y − 5 = 0 thành đường thẳng d′ có phương trình A. x − y + 3 = 0 . B. x + y + 3 = 0 . C. x + y + 5 = 0 . D. x + y − 3 = 0 .

phép quay tâm O , góc quay 90ο . A. d : x + y + 2 = 0 . B. d : x − y + 2 = 0 .

D. ( C ) : x2 + y 2 − 10 x + 4 y + 4 = 0 .

Câu 66. Tìm ảnh của đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 9 qua phép quay Q I ;900 với I ( 3; 4 ) .

Câu 57. Tìm ảnh của đường thẳng d : 5 x − 3 y + 15 = 0 qua phép quay Q O;900 . ( ) A. d ' : x + y + 15 = 0 B. d ' : 3 x + 5 y + 5 = 0 C. d ' : 3 x + y + 5 = 0 D. d ' : 3 x + 5 y + 15 = 0 Câu 58.

(THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn biết ( C ′) là ảnh của ( C ) qua

( C ′) : x2 + y 2 − 4 x + 10 y + 4 = 0 . Viết phương trình đường tròn ( C )

)

(

)

(

)

(

)

Câu 3. Câu 4.

Đáp án D. Khi ϕ = −π , phép quay trở thành phép đối xứng tâm I ⇒ d / / d′ . Đáp án A. OM ′ = OM Q( O,ϕ ) ( M ) → M ′ ⇔  với ϕ là góc lượng giác. ( OM , OM ′) = ϕ

(

= 60° nên để phép quay tâm A với góc quay ϕ biến B thành C thì ϕ = 60° hoặc Ta có BAC ϕ = −60° ⇒ Chọn B Câu 10. Đáp án B.

)

Trong khi đó đáp án A: OM , OM ′ = ϕ (không là góc lượng giác) Câu 5.

Ta có Q( O , 0) , Q( O , π ) biến hình chữ nhật có O là tâm đối xứng thành chính nó.

Câu 6.

Vậy có hai phép quay tâm O góc α , 0 ≤ α < 2π biến hình chữ nhật trên thành chính nó. Đáp án B. Q( O,α ) ( M ) → M khi M ≡ O tâm quay.

Câu 7.

Đáp án

Câu 8.

OA = OB  Q(O ,ϕ ) ( A ) = B ⇔  2π ( OA, OB ) = ϕ = 3 Câu 11. Đáp án B. Khi kim giờ chỉ đến một giờ đúng thì kim phút quay được đúng một vòng theo chiều âm và được một góc là −360° . Câu 12. Đáp án C. Ta có: Q( A,180°) ( X ) = X ; Q( A,180°) ( I ) = I ; Q( A,180°) ( O ) = O;

Q( A,180°) (8 ) = 8; Q( A,180°) ( S ) = S .

Khi góc quay α = 0 hoặc α = 2π thì phép quay biến hình chữ nhật thành chính nó. Câu 13.

Lời giải

Chọn A

Câu 9.

Trước hết ta có nhận xét: Một phép biến hình, biến hình vuông thành chính nó nếu ảnh của một đỉnh bất kì trong 4 đỉnh của hình vuông là một trong bốn đỉnh hình vuông đó. Gọi A ' là ảnh của A qua phép quay tâm O , góc quay α . Theo giả thiết thì vị trí của A ' phải trùng 1 trong các vị trí của 3 điểm còn lại. Thử các đáp án, ta thấy chỉ có đáp án A là thỏa mãn yêu cầu bài toán, khi đó A′ ≡ B . Suy ra, chọn A Chọn B

Vì DC , DA = 90o nên thứ tự các điểm A, B, C , D cùng chiều kim đồng hồ.

(

)

Do đó Q O; −90o ( B ) = C .

(

Câu 14.

Đáp án

)

Ta có: Q( O,90°) ( A) = D 9

Q( O,90°) ( M ) = M ′ là trung điểm AD .

(O')

Q( O,90°) ( N ) = N ′ là trung điểm OD .

Câu 15. Câu 16. Câu 17. Câu 19. Câu 20. Câu 21. Câu 22. Câu 23. Câu 24.

Đáp án C. Từ hình C ta có qua phép Q( I ,180°) ta luôn được một hình là chính nó.

Đáp án C. Khi kim giờ chỉ đến năm giờ đúng thì kim giờ quay được đúng −1500 tức theo chiều âm. Đáp án D. Đáp án D. Đáp án C. Đáp án D. Đáp án C. Đáp án B. Đáp án A.

Gọi I là tâm của phép quay, I1 , I 2 là tâm các đường tròn ( O ) và ( O′) .  II1 = II 2 . Vậy chỉ có 1 phép quay thỏa mãn. Q I ,900 ( I1 ) = I 2 ⇔  0 ( ) ( II1 , II 2 ) = 90 Câu 27. Đáp án D. Q O ,1200 ( A ) = E , Q O ,1200 ( F ) = D , Q O ,1200 ( O ) = O ⇒ Q O ,1200 ( ∆AOF ) = ∆EOD .

Câu 28.

( ) Đáp án

(

)

(

)

(

)

C. B

A' G' G

AB 2 = = 1 ⇒ AI = BJ lại có ( AI , BJ ) = 45° 2 2 ⇒ BJ = Q(O ,45°) ( AI ) tâm O là giao điểm của trung trực AB và cung chứa góc 45° đi qua A, B ⇒ BJ = Q(O ,45° ) AI .

Ta có: AI =

Q O ,900 ( A ) = B )  ( ⇒ Q O ,900 ( ∆OAA′ ) = ∆OBB′ ⇒ Q O ,900 ( G ) = G′ .  ( ) ( ) Q  (O ,900 ) ( A′ ) = B′ = 900 GOG′

( )

Câu 25. Đáp án C

Câu 29.

Đáp án

OG = OG′

và

đó

d'' - 600

600

N A

Phép quay tâm B góc quay 60 biến các điểm E , C lần lượt thành A, F biến đoạn EC thành AF nên biến trung điểm N của EC thành trung điểm M của AF ⇒ BN = BM và ( BN , BM ) = 600 ⇒ ∆BMN đều.

1 = 600 ∆OMN đều ⇒ OM = ON và NOM Vì vậy khi chạy trên d thì N chạy trên d ' là ảnh của d qua Q O ,600 và N chạy trên d " là ảnh ( ) của d qua Q O,−600 . ( ) Câu 26. Đáp án B.

Câu 30.

Đáp án

A. O 60o

M N

Vì ∆OMN đều và O cố định ⇒ N = Q O ,600 ( M ) .

(

Câu 31. AM = BM + AB . Đáp án

 3 3  ; Áp dụng biểu thức tọa độ ⇒ A′    2 2 Câu 36. Đáp án A. OA = OA′ = 26 Ta có:  ⇒ Q O ,−900 ( A ) = A′ ( ) OA.OA′ = 0 (Do A nằm ở góc phần tư thứ hai, A′ nằm ở góc phần tư thứ nhất) Câu 37. Chọn B Ta có: OA = (1;0 ) , OA′ = ( 0;1) . Do OA′ ⊥ OA nên góc quay ϕ = ±90° .

)

C. M' 1

A 2 3

 x ′ = − yA Ta thấy  A nên góc suy ra góc quay ϕ = 90° .  y A′ = x A Gọi ảnh của M ( x; y ) qua phép quay tâm O , góc quay ϕ = 90° là M ′ ( x′; y′) .

K 1

 x′ = − y = 1 . Vậy: M ′ (1;1) . Ta có:   y′ = x = 1 Câu 38. Đáp án B.  x′ = x.cos α − y.sin α π Theo biểu thức tọa độ:  . Do giá trị tọa độ M ′ ⇒ α = 3  y′ = x.sin α + y.cos α

Ta có: Q A,900 : B → D; Q A,900 : M → M ′ ⇒ Q A,900 : BM → DM ′ ⇒ BM = DM ′ .

(

)

(

)

(

)

Vậy, BM + KD = DM ′ + KD . Cần chứng minh: M ′, D , K thẳng hàng và ∆AKM ′ cân tại K ⇒ DM ′ + KD = KM ′ . Thật vậy: Q ADM ′ = 900 ( BM ) = DM ′ ⇒ BM ⊥ DM ′ . Mà BM // AD ⇒ AD ⊥ DM ′ ⇒

( A,90 ) 0

M ′, D, K thẳng hàng.

Ta có: Q A,900

(

)

Câu 39.

′ =M : ∆ABM → ∆ADM ′ ⇒ M 1 1 .

Câu 40. Câu 41. Câu 42. Câu 43. Câu 44.

⇒ ∆AKM cân tại K ′AK + ′AK + ′AK = M Có: M A1 = 900 ⇒ M A3 = 900 (do A1 = A3 ) ⇒ M 1

Câu 32.

Câu 33.

⇒ KM ′ = KD + DM ′ = KA ⇒ KD + BM = AK Đáp án C. Ta có: Q C ,900 : M → A; B → I ⇒ Q O ,900 : MB → AI ⇒ MB = AI . ( ) ( ) 1   DP // BM , DP = 2 BM Mà  ⇒ DO = DP và DO ⊥ DP  DO // AI , DO = 1 AI  2 ⇒ ∆DOP là tam giác vuông cân. Dạng 2. Xác định ảnh của điểm, đường thẳng qua phép quay bằng phương pháp tọa độ Dạng 2.1.Xác định ảnh của một điểm qua phép quay. Chọn C Q( O; 90°) : E ( x; y ) → B ( x′; y′ )

Câu 45.

M P A

(

 x ′ = x A .cos 90° − y A .sin 90° = − y A = −4 Ta có  A ⇒ A′ ( −4; 3 ) .  y A′ = x A .sin 90° + y A .cos 90° = x A = 3 Đáp án B. Đáp án A. Đáp án A. Đáp án B. Đáp án A. Vận dụng biểu thức tọa độ của phép quay tâm O và góc quay ϕ ta được đáp án A . Đáp án C. Ta có: Q I ,900 ( A) = B ⇒ B ( −2;5 ) . I là trung điểm AC ⇒ C ( −2; −1) ; I là trung điểm BD

)

⇒ D ( 4; −1)

Câu 46.

 x′ = y  x = −6 Ta có  ⇒  y ′ = − x  y = −3 Câu 34. Chọn C Q( O; 90°) : E ( x; y ) → B ( x′; y′ )

⇒ xB .xC .xD = 16 . Đáp án B

x ' = − y Q O ,900 : M ( x; y ) → M ' ( x '; y ' ) ⇒  ( ) y' = x  x ' = −5 Cách 1: Dùng biểu thức tọa độ ⇒ M ' :   y ' = −3 Cách 2: Vẽ biễu diễn tọa độ của điểm trên hệ trục Oxy ⇒ M ' ( −5;3) .  x ' = −5 OM = OM '  34 = x '2 + y '2 Cách 3: Ta có Q O ;900 ( M ) = M ' ⇔  ⇔ ⇒ ( )  y ' = −3 OM OM ' = 0  −3x '+ 5 y ' = 0 Câu 47. Đáp án A  x ' = x cos ϕ − ysin ϕ Q O ,900 : M ( x; y ) → M ' ( x '; y ' ) ⇒  ( )  y ' = x sin ϕ + y cos ϕ

 x′ = y  x = −6 Ta có  ⇒ . ′ y x = −   y = −3 Câu 35. Đáp án D. 13

 x ' = 0 ⇒ M ' 0; 2 Cách 1: Theo biểu thức tọa độ :   y ' = 2 xx '+ yy ' Góc giữa 2 vecto: cosϕ = x 2 + y 2 . x '2 + y '2

(

M ( x, y ) ∈ d ⇒ x '+ 2 y '− 1 = 0 ⇒ d ' : x + 2 y − 1 = 0 Do đó chọn B. Câu 52. Đáp án D. Ta có: I ∈ d ⇒ I ∈ d′ Đường thẳng d ′ có dạng: x − y + c = 0 . ⇒ c = −3 ⇒ d ′ : x − y − 3 = 0 Câu 53. Chọn A Ta có: Q(O ;90°) : d ֏ d ' khi đó d ⊥ d '

)

OM = OM ' Cách 2: Q O;450 M ( x; y ) → M ' ( x '; y ' ) ⇔=  0 ( ) ( OM , OM ' ) = 45  12 + 12 = x '2 + y '2 2 2   x ' + y ' = 2 ⇔ ⇔ x '+ y ' 0 cos45 =  x '+ y ' = 2 2 x '2 + y '2 

(

Giải hệ trên ⇒ M ' 0; 2 Câu 48.

đi

d′

qua

I nên

1+ 2 + c = 0

Vậy pt đường thẳng d ' : 3 x + 5 y + m = 0 Gọi M (0; 5) ∈ d Khi đó: Q(O;90°) : M (0; 5) ∈ d ֏ M ' (−5; 0) ∈ d '

)

Thay M ' (−5; 0) vào d ' ta được: m = 15

Đáp án D Q(O ,α ) ( A) = A ' ⇒ IA = IA ' (1)

Câu 54.

Q(O ,α ) ( B ) = B ' ⇒ IB = IB ' ( 2)   Từ (1) và ( 2 ) ⇒   

Vì

( −2 − x ) + ( 3 − y ) 2

( 5 − x ) + ( −3 − y )

(1 − x ) + ( 5 − y )

( 7 − x ) + ( −2 − y )

Vậy pt d ' : 3 x + 5 y + 15 = 0 Đáp án B

A' 2

25  x= 6 x + 4 y = 13  2 ⇔ ⇔ ⇒ x + y = −3  4 x + 12 y = 19  y = − 31  2 Câu 49. Chọn D Ta có phép quay tâm O biến điểm A (1; 0 ) thành điểm A ' ( 0;1) suy ra góc quay ϕ = 90°.

B' d O

Do M (1; −1) là điểm nằm ở góc phần tư thứ ( IV ) nên phép quay tâm O, góc quay ϕ = 90° biến

Câu 50.

điểm M thành điểm M ' ( x; y ) nằm ở góc phần tư thứ ( I ) hay x > 0, y > 0. OM .OM ' = 0 x − y = 0   x = 1 2 . Mặt khác,  OM = OM ' ⇔  12 + ( −1) = x 2 + y 2 ⇔  y =1   > > x 0, y 0 x > 0, y > 0  

Cách 1: Chọn A ( 0;5) ∈ d , B ( −3; 0 ) ∈ d '

Vì A′ và B′ lần lượt là ảnh của A và B qua phép quay tâm I ( a; b ) nên ta có

Cách 2: Vì góc quay là 900 ⇒ d ⊥ d ' ⇒ d ' có dạng 3x + 5 y + c = 0

( −1 − a ) + ( 2 − b ) = ( 9 − a ) + ( −4 − b 2 )  IA = IA′ 20a − 12b − 92 = 0 a = 4  ⇔ ⇔ ⇔  2 2 2 2 a − 4 = 0  b = − 1  IB = IB′ 3 − + − 1 − = 5 − + − 1 − a b a b ) ( ) ( ) ( ( ) Vậ y a + b = 3 .

Chọn A ( 0;5) ∈ d qua phép quay Q O ,900 ta được A’ ( −5; 0 ) ∈ d ' ⇒ c = 15

Q O ,900 ( A ) = A ' ( −5;0 ) ∈ d '

(

)

Q O ,900 ( B ) = B ' ( 0; −3 ) ∈ d '

( ) Đường thẳng d ’ là đường thẳng A’B’: 3x + 5 y + 15 = 0

(

)

Cách 3: Sử dụng qu ỹ tích Với mọi điểm M ( x; y ) ∈ d ta có Q O ,900 ( M ) = M ' ( x '; y ') ∈ d '

(

)

x ' = − y x = y ' ⇔ Từ biểu thức tọa độ  .Thế x , y vào phương trình đường thẳng d ta được d ’ y' = x  y = −x ' : d ' : 3x + 5 y + 15 = 0 Câu 55. Đáp án D.

Dạng 2.2. Xác định ảnh ∆ ' của đường thẳng ∆ qua phép quay. Câu 51. Lời giải Chọn B x = − y ' Gọi M ( x, y ) ∈ d , M '( x ', y ') ∈ d ' sao cho Q(O,−900 ) ( M ) = M ' ⇒  y = x' 15

Chọn 2 điểm M ( −2;0 ) , N (1; −2 ) ∈ d . Gọi M ′ ( x1 ; y1 ) và N ′ ( x2 ; y2 ) là ảnh của M , N qua Q I ,450

(

. Áp dụng biểu thức tọa độ:  3 2 5 2  x′ − x0 = ( x − x0 ) cos ϕ − ( y − y0 ) sin ϕ ⇒ M ′  2 − ;1 −  , N ′ 2 + 2;1 − 2 2  2 2   y ′ − y0 = ( x − x0 ) sin ϕ + ( y − y0 ) cos ϕ   5 2 2  ⇒ M ′N ′ =  ;  2   2 Gọi d ′ = Q I ,450 ( d ) ⇒ d ′ đi qua M ′, N ′ và có vtcp u = ( 5;1) ⇒ d ′ : − x + 5 y − 3 + 11 2 = 0.

(

Câu 56.

( ) Đáp án C. Sử dụng tính

chất

của

phép

quay

tâm

Vậy phương trình d : x + y + 2 = 0 .

Câu 61.

)

I ( a; b ) ∈ d : Ax + By + C = 0

Thay vào (1) : c = 2 .

)

Lấy A ( 0; 2 ) ∈ d . Qua phép quay tâm O góc quay −90o , điểm A ( 0; 2 ) biến thành điểm B ( 2; 0 ) ∈ d ′ . Khi đó m = −2 .

Vậy phương trình đường d′ là x + 3 y − 2 = 0 .

Câu 62. Hướng dẫn giải Chọn D. + Lấy hai điểm M ( −2;0 ) ; N (1; −2 ) thuộc d .

thành

d ′ : ( A − B tan ϕ )( x − a ) + ( A tan ϕ + B )( y − b ) = 0 . Khi đó ta được phương trình: AC :3 x − y − 1 = 0, BC : x − 2 y + 5 = 0

Gọi M ' ( x1 ; y1 ) , N ' ( x2 ; y2 ) là ảnh của M , N qua Q I ;450

(

Câu 57. D.

+ d ' ⊥ d nên phương trình có dạng 3x + 5 y + c = 0 Lấy M ( −3;0 ) ∈ d , ta có Q 0;900 ( M ) = M ' ( 0; −3) , M ' ∈ d ' ⇒ C = 15 , hay

(

)

d ' : 3 x + 5 y + 15 = 0 . + Hoặc áp dụng công thức nhanh: − Bx + Ay + C .sin α = 0 ta có: d ' có PT là 3x + 5 y + 15 = 0 .

d′

M′

Tương tự:

 x2 = 2 + 2  x2 = 2 + (1 − 2 ) cos 450 − ( −2 − 1) sin 450 ⇔ ⇒ N ' 2 + 2;1 − 2 2 .  0 0  y2 = 1 + (1 − 2 ) sin 45 + ( −2 − 1) cos 45  y2 = 1 − 2 2  5 2 2  2 + Ta có M ' N ' =  ; ( 5;1) . = 2 2 2   Gọi d ' = Q I ;45 ( d ) thì d ' có VTCP u = M ' N ' = ( 5;1) ⇒ VTPT n = ( −1;5) ( )

(

180° d M Câu 58. Ta có phép quay Q I ;180o là phép đối xứng tâm I ( ký hiệu là ĐI ) (

)

(

) (

)

Phương trình: d ' : − x − 2 − 2 + 5 y − 1 + 2 2 = 0 ⇔ − x + 5 y − 3 + 10 2 = 0 .

 M ( 0;5 ) ∈ d  Xét  ĐI ( M ) = M ′ ⇒ M ′ (8; − 11)   I ( 4; − 3) Cho M ′ ( 8; −11) ∈ d ′ ⇒ m = 3 . Vậy d ′ : x + y + 3 = 0 .

Câu 63.

Chọn B Đường thẳng a : 4 x + 3 y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến na = ( 4; 3) . Đường thẳng b : x + 7 y − 4 = 0 có vectơ pháp tuyến nb = (1; 7 ) . Góc α là góc tạo bởi a và b ta có cos α = cos na , nb =

 x′ = − y Phép quay tâm O , góc quay 90 biến điểm M ( x; y ) thành điểm M ′ ( x′; y′) với  .  y′ = x

(

)

4.1 + 3.7 2

4 +3

1 +7

2 ⇒ α = 45° . 2

Vậy ϕ = 45° .

Mà y = x ⇒ − x′ = y′ ⇒ x′ + y′ = 0 ⇒ y = − x .

Câu 60.

)

Vì I ∉ d nên nếu ĐI ( d ) = d′ thì d / / d′ , suy ra phương trình d ′ : x + y + m = 0 ( m ≠ −5) .

Câu 59.

)

 3 2  x1 = 2 −  x1 = 2 + ( −2 − 2 ) cos 450 − ( 0 − 1) sin 450  2 ⇔ Ta có  0 0 5  y1 = 1 + ( −2 − 2 ) sin 45 + ( 0 − 1) cos 45 y =1− 2  1 2  3 2 5 2 ⇒ M ' 2 − ;1 − . 2 2  

Hướng dẫn giải Chọn

Qua phép quay tâm O góc quay −90o đường thẳng d biến thành đường thẳng d′ vuông góc với d. Phương trình đường thẳng d′ có dạng: x + 3 y + m = 0 .

Đường thẳng d là ảnh của đường thẳng ∆ qua phép quay tâm O , góc quay 90ο nên d vuông góc với ∆ . Phương trình d có dạng x + y + c = 0 (1)

Câu 64.

Ch ọn M ( 0; 2 ) ∈ ∆ , M ′ là ảnh của M qua phép quay nên M ′ ( −2; 0 ) ∈ d

Dạng 2.3. Xác định ảnh của một hình H (đường tròn, elip, parabol…) Chọn A Đường tròn ( C′) có tâm I′ ( 2; − 5) , bán kính R′ = 4 + 25 − 4 = 5 . Ta có ( C ′) = Q(O ,270°) ( ( C ) ) ⇔ ( C ′) = Q(O , −90°) ( ( C ) ) ⇔ ( C ) = Q(O ,90°) ( ( C ′) ) .

 xI = − yI ′ = 5 Do đó I = Q(O ,90° ) ( I ′ ) . Vì đây là phép quay 90° nên  , suy ra I ( 5; 2 ) .  yI = xI ′ = 2 Bán kính đường tròn ( C ) là R = R′ = 5 . 2

⇔ ( x ') + ( y ') + 4 x '+ 2 y '− 4 = 0 2

⇔ ( x '+ 2 ) + ( y '+ 1) = 9

Vậy ( C ) : ( x − 5 ) + ( y − 2 ) = 25 ⇔ ( C ) : x2 + y 2 − 10 x − 4 y + 4 = 0 .

Câu 65.

Thế vào ( C ) : ( − y ') + ( x ') + 2 y '+ 4 x '− 4 = 0

Chọn B Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2; 0 ) và bán kính R = 3  x ′ = − yI = 0 Q O ,900 ( C ) = ( C ′ ) ⇒ Q O ,900 ( I ) = I ′ ⇔  I ( ) ( )  y I ′ = xI = 2 2 Vậy phương trình đường tròn ( C ′ ) : x 2 + ( y − 2 ) = 3

Câu 66. Hướng dẫn giải D. + ( C ) có tâm J (1; −2 ) , R = 3 , gọi J ' ( x '; y ') = Q I ;900 ( I ) ta có

Chọn

(

)

π π   x ' = 3 + (1 − 3) cos 2 − ( 4 + 2 ) sin 2 = −3   y ' = 4 + (1 − 3) sin π + ( 4 + 2 ) cos π = 2  2 2 2

⇒ J ' ( −3; 2 ) mà R ' = R = 3 nên phương trình ( C ') : ( x + 3) + ( y − 2 ) = 9 . Câu 67.

Đáp án C. Đường tròn ( C ) có tâm I ( −3;0 ) và bán kính R = 2. Q O ,900 ( I ) = I ′ ⇒ I ′ ( 0; −3 ) . ( ) 2

Phương trình đường tròn ( C ′) : x 2 + ( y + 3) = 4.

Câu 68.

Đáp án A. Đường tròn ( C ) có tâm I (1;0) và bán kính R = 2 .

 0  x′ = 1.cos 45 =  Q O ,450 ( I ) = I ′ ( x′; y ′ ) ⇒  ( )  y ′ = 1.sin 450 =  2

2 2 . 2 2 2

 2  2 Phương trình đường tròn:  x −  + y−  =4 2   2   Câu 69. Đáp án A Cách 1: Đường tròn ( C ) có tâm I (1; −2 ) , bán kính R = 3 . Q

π  O ,−  2 

( I ) = I ' ⇒ I ' ( −2; −1) 2

Đường tròn ( C ') có tâm I ' ( −2; −1) , bán kính R ' = R = 3 có phương trình: ( x + 2 ) + ( y + 1) = 9 Cách 2: Phương pháp quỹ tích Ta có Q π  : M ( x; y ) → M ' ( x '; y ' ) với ∀M ∈ ( C ) ⇒ M ' ∈ ( C ')  O ,−  2 

x ' = y x = − y ' ⇔ Từ biểu thức tọa độ   y ' = −x y = x ' 19

TOÁN 11

Câu 6.

PHÉP TỊNH TIẾN

1H1-2

A. Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. B. Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng. C. Phép tịnh tiến biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính. D. Phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với nó.

MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI.......................................................................................................................................... 1

Câu 7.

DẠNG 2. xác định ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép tịnh tiến bằng phương pháp tọa độ .......... 5

Câu 8.

Dạng 2.1 Điểm .............................................................................................................................................. 5 Dạng 2.2 Đường thẳng .................................................................................................................................. 8 Câu 9.

DẠNG 2. xác định ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép tịnh tiến bằng phương pháp tọa độ ........ 17 Dạng 2.1 Điểm ............................................................................................................................................ 17 Dạng 2.2 Đường thẳng ................................................................................................................................ 20

A. Không. Câu 11.

Câu 2.

Câu 4.

B. 1.

C. 2 .

B. 1.

C. 2 .

D. Vô số.

A. M ′N ′ = 5 .

B. M ′N ′ = 7 .

A. A′B ′ = v .

C. A′B′ = 13 .

B. A′B′ = AB .

C. M ′N ′ = 1 .

C. AB = v .

D. A′B ′ + AB = 0 .

Câu 14. Cho hai đường thẳng d1 và d 2 song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến theo vectơ v ≠ 0

D. Vô số.

biến d1 thành d 2 ?

B. Thứ tự ba điểm thẳng hàng.

A. 0 .

B. 1.

D. Điểm P . 1

C. 2 .

D. Vô số.

biến điểm A thành điểm nào? Câu 15. Cho hình bình hành ABCD . Phép tịnh tiến T AB + AD

A. A′ đối xứng với A qua C . C. O là giao điểm của AC qua BD .

biến điểm Q thành điểm nào? C. Điểm M .

B. A′B ′ = 10 .

D. M ′N ′ = 3 . Câu 13. Với hai điểm A, B phân biệt và T ( A ) = A′, T ( B ) = B′ với v ≠ 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

(THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Cho hình chữ nhật MNPQ . Phép tịnh tiến theo véc tơ MN

B. Điểm N .

A. A′B′ = 10 .

Phép tịnh tiến không bảo toàn yếu tố nào sau đây?

A. Điểm Q .

C. Hai.

B. Một.

(THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A ( 2; −3 ) , B (1; 0 ) .Phép tịnh tiến theo u ( 4; −3) biến điểm A, B tương ứng thành A′, B′ khi đó, độ

D. Vô số.

Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó?

A. Khoảng cách giữa hai điểm. C. Tọa độ của điểm. D. Diện tích. Câu 5.

C. 2 .

Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường tròn thành chính nó?

A. 0 .

B. MM ' = NN ' D. MNM ' N ' là hình bình hành.

D. A′B′ = 5 . Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M ( 0; 2 ) , N ( −2;1) và véctơ v = (1; 2 ) . Ơ. Phép tịnh tiến theo véctơ v biến M , N thành hai điểm M ′, N ′ tương ứng. Tính độ dài M ′N ′ .

Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó?

A. 0 . Câu 3.

( M ) = N ⇔ AB = 2 MN C. T2 AB

dài đoạn thẳng A′B′ bằng:

Dạng 1. Các bài toán liên quan lý thuyết định nghĩa, tính chất, ứng dụng của phép tịnh tiến

A. 0 .

D. 1 .

Câu 10. Cho hai đường thẳng d1 và d 2 cắt nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d1 thành d 2

Dạng 2.3 Đường cong ................................................................................................................................. 22

PHẦN A. CÂU HỎI

C. 3 .

Giả sử T v ( M ) = M '; Tv ( N ) = N ' . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. M ' N ' = MN . C. MM ' = NN ' .

Dạng 1. Các bài toán liên quan lý thuyết định nghĩa, tính chất, ứng dụng của phép tịnh tiến ........................ 11

B. 2 .

Kết luận nào sau đây là sai? (A) = B A. Tu ( A) = B ⇔ AB = u B. T AB C. T0 ( B ) = B

Dạng 2.3 Đường cong ................................................................................................................................. 10 PHẦN B. ĐÁP ÁN CHI TIẾT ........................................................................................................................ 11

(CTN - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn thành chính nó? A. 0 .

Dạng 1. Các bài toán liên quan lý thuyết định nghĩa, tính chất, ứng dụng của phép tịnh tiến .......................... 1

Câu 1.

(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

B. A′ đối xứng với D qua C . D. C . 2

Câu 16. Cho tam giác ABC có trọng tâm G , T ( G ) = M . Mệnh đề nào là đúng? AG A. B. C. D.

M là trung điểm BC . M trùng với A . M là đỉnh thứ tư của hình bình hành BGCM . M là đỉnh thứ tư của hình bình hành BCGM . A.

Câu 17. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Tìm ảnh của ∆AOF qua phép tịnh tiến theo vect vectơ AB .

A. ∆AOB .

B. ∆BOC .

C. ∆CDO .

( B ) = A . B. TCD

(I ) = B . C. T DI

B. 1.

C. 2 .

B. Tiếp tuyến của ( C ) tại điểm B . C. Tiếp tuyến của ( C ) song song với AB . D. Đường thẳng song song với ∆ và đi qua O

D. MN .

Câu 20. Cho hình bình hành ABCD . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng AB thành đường thẳng CD và biến đường thẳng AD thành đường thẳng BC ? A. 0 .

A. Đường kính của đường tròn ( C ) song song với ∆ .

( I ) = C D. TIA

Câu 19. Cho hình vuông ABCD tâm I . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , DC . Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến ∆AMI thành ∆MDN ? A. AM . B. NI . C. AC .

Câu 24. Cho đường tròn ( C ) có tâm O và đường kính AB . Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A . Phép tịnh tiến theo vectơ AB biến ∆ thành:

D. ∆DEO .

Câu 18. Cho hình bình hành ABCD tâm I . Kết luận nào sau đây sai? ( A) = B . A. T DC

D. Vô số.

Câu 21. Cho hình vuông ABCD tâm I . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD , DC . Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến tam giác AMI thành INC

Câu 25. Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn ( O, R ) và A thay đổi trên đường tròn đó, BD là đường kính. Khi đó quỹ tích trực tâm H của ∆ABC là: A. Đoạn thẳng nối từ A tới chân đường cao thuộc BC của ∆ABC . B. Cung tròn của đường tròn đường kính BC . C. Đường tròn tâm O′ bán kính R là ảnh của ( O, R ) qua T . HA . D. Đường tròn tâm O ' , bán kính R là ảnh của ( O, R ) qua T DC

Câu 26. Cho hình bình hành ABCD , hai điểm A, B cố định, tâm I di động trên đường tròn ( C ) . Khi đó quỹ tích trung điểm M của cạnh DC : , K là trung điểm của BC . A. là đường tròn ( C′ ) là ảnh của ( C ) qua T KI , K là trung điểm của AB . B. là đường tròn ( C′ ) là ảnh của ( C ) qua T KI

A. AM .

B. IN .

C. AC .

C. là đường thẳng BD . D. là đường tròn tâm I bán kính ID .

D. MN .

Câu 27. Cho đường tròn ( O ) và hai đđiểm A, B . Một điểm M thay đổi trên đường tròn ( O ) . Tìm quỹ tích điểm M ′ sao cho MM ′ + MA = MB .

Câu 22. Cho hình bình hành ABCD tâm I . Kết luận nào sau đây là sai? (D) = C . A. T AB

( B ) = A . B. TCD

C. T (I ) = C . AI

D. T (I ) = B . ID

Câu 23. Trong các đối tượng: con cá (hình A), con bướm (hình B), con mèo (hình C), con ngựa (hình D), hình nào có phép tịnh tiến?

(O)) . A. ( O′ ) = T AB (

B. ( O′) = T (O ) ) . AM (

( O )) . C. ( O′ ) = T BA (

(O)) . D. ( O′) = T BM (

Câu 28. Cho tứ giác lồi ABCD có AB = BC = CD = a , BAD = 75° và ADC = 45° .Tính độ dài AD . A. a 2 + 5 .

B. a 3 .

C. a 2 + 3 .

D. a 5 .

= 150°, D = 90° . Tính độ dài BC . Câu 29. Cho tứ giác ABCD có AB = 6 3, CD = 12 , A = 60°, B A. 4 . 3

B. 5 .

C. 6 .

D. 2 . 4

Câu 30. Trên đoạn AD cố định dựng hình bình hành ABCD sao cho

AC BD . Tìm quỹ tích đỉnh C . = AD AB

A. Đường tròn tâm A , bán kính là AB 3 .

B. Đường tròn tâm A , bán kính là AC .

C. Đường tròn tâm A , bán kính là AD .

D. Đường tròn tâm A , bán kính là AD 2 .

Câu 38.

A. (1;6 ) .

Câu 31. Cho hai đường tròn có bán kính R cắt nhau tại M , N . Đường trung trực của MN cắt các đường 2

Câu 39.

tròn tại A và B sao cho A, B nằm cùng một phía với MN . Tính P = MN + AB . A. P = 2 R 2 .

B. P = 3 R 2 .

C. P = 4 R 2 .

B. R 2 .

C. R 3 .

Câu 40.

C. 6 .

Câu 41.

Câu 35.

C. M ′ ( 3;1) .

B. A′ ( −1; −2 ) .

C. A′ ( 4; 2 ) .

D. A′ ( 3;3) .

(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho v = ( −1;5 ) và điểm M ′ ( 4; 2 ) . Biết M ′ là ảnh

của M qua phép tịnh tiến T v . Tìm M . A. M ( −4;10 ) . Câu 37.

B. M ( −3; 5 ) .

C. M ( 3; 7 ) .

D. M ( 5; −3 ) .

B. A′ (1; 4 ) .

C. A′ (1; − 4 ) .

D. A′ ( 2; −1) .

D. A′ ( −1; 4 ) . 5

B. ( 2; −1) .

C. ( −2; −4 ) .

D. ( −6; −5 ) .

B. A′ ( −1; 5 ) .

C. A′ ( 3; −1) .

D. A′ ( −3;1) .

(THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A(2;5) . Phép tịnh tiến theo vectơ v = (1;2 ) biến A thành điểm

A. P ( 3; 7 ) .

B. N (1;6 ) .

C. M ( 3;1) .

D. Q ( 4; 7 ) .

Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A ( 3; −3) . Tìm tọa độ diểm A′ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véctơ v = ( −1;3) .

B. A′ ( 2; 0 ) .

C. A′ ( 4; 0 ) .

D. A′ ( −2;0 ) .

Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tọa độ điểm M ′ là ảnh của điểm M (1; 2 ) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 3;1) .

A. M ′ ( 4; −2 ) .

B. M ′ ( 4; 2 ) .

C. M ′ ( 2;1) .

D. M ′ ( 4; −1) .

Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho vectơ v = ( 2;1) và điểm A ( 4;5 ) . Hỏi A là ảnh của điểm nào sau đây qua phép tịnh tiến theo vectơ v.

A. (1;6 ) .

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ điểm A′ là ảnh của điểm A ( −1;3) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 2;1) .

A. A′ ( −1; − 4 ) .

Câu 42.

A. A′ ( 2; −6 ) .

D. M ′ ( 4;7 ) .

(THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Phép tịnh tiến biến gốc tọa độ O thành điểm A (1; 2 ) sẽ biến điểm A thành điểm A′ có tọa độ là:

A. A′ ( 2; 4 ) . Câu 36.

B. M ′ (1;3) .

C. A′ ( −2;2) .

(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho vectơ v (1; 2 ) . Tìm ảnh của điểm A ( −2; 3) qua phép tịnh tiến theo vectơ v .

A. A′ ( 5; −1) .

D. 4, 5 .

(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M ( 2;5 ) . Phép tịnh tiến theo vectơ v = (1; 2 ) biến điểm M thành điểm M′ . Tọa độ điểm M′ là:

A. M ′ ( 3;7 ) .

B. A′ ( 2; −2) .

tọa độ điểm A ' .

DẠNG 2. xác định ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép tịnh tiến bằng phương pháp tọa độ Dạng 2.1 Điểm Câu 34.

D. ( 3;1) .

(CỤM CHUYÊN MÔN 4 - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy

A. ( −2;1) .

nhiêu? B. 5 .

C. ( 4;7 ) .

, cho ∆ABC có A ( 2; 4 ) , B ( 5;1) , C (1; −2 ) . Phép tịnh tiến T biến ∆ABC thành ∆A ' B ' C ' . Tìm BC

D. 2 R .

Câu 33. Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD kẻ các đường cao BK và BH của nó biết KH = 3, BD = 5 . Khoảng cách từ B đến trực tâm H1 của tam giác BKH có giá trị bằng bao

A. 4 .

B. ( 3;7 ) .

(TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018)Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A ( 3;0) và vectơ v = (1;2) . Phép tịnh tiến Tv biến A thành A′ . Tọa độ điểm A′ là

A. A′ ( 4;2) .

D. P = 6 R 2 .

Câu 32. Cho hai đường tròn có bán kính R tiếp xúc ngoài với nhau tại K . Trên đường tròn này lấy điểm AKB = 90° . Độ dài AB bằng bao nhiêu? A , trên đường tròn kia lấy điểm B sao cho

A. R .

(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Trong mặt phẳng Oxy , cho v = (1; 2 ) , điểm M ( 2;5 ) . Tìm tọa độ ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến v .

B. ( 2; 4 ) .

C. ( 4;7 ) .

D. ( 6;6 ) .

Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A ( 2; 2 ) , B ( 4; 6 ) và Tv ( A) = B . Tìm vectơ v.

A. (1; 2 ) .

B. ( 2; 4 ) .

C. ( 4; 2 ) .

D. ( −2; −4 ) .

Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , biết điểm M ′ ( −3;0 ) là ảnh của điểm M (1; −2 ) qua Tu và điểm M ′′ ( 2;3) là ảnh của M ′ qua T v . Tìm tọa độ vectơ u + v.

A. (1;5 ) .

B. ( −2; −2 ) .

C. (1; −1) .

D. ( −1;5 ) .

A. ( −6; 2 ) .

Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm A′, B ′ lần lượt là ảnh của các điểm A ( 2;3) , B (1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 3;1) . Tính độ dài vectơ A′B′.

A. 2 .

Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( −5; 2 ) , C ( −1;0 ) . Biết B = Tu ( A) , C = Tv ( B ) . Tìm tọa độ của vectơ u + v để có thể thực hiện phép tịnh tiến Tu +v biến điểm A thành điểm C.

B. G′ ( 5; 6 ) .

C. G′ ( 3;1) .

B. M ( 3; 7 ) .

C. M ( −5;7 ) .

M ( x1; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) , gọi M ', N ' lần lượt là ảnh của M , N qua phép biến hình F . Khi đó khoảng cách d giữa M ' và N ' bằng:

D. G′ ( −1;3) .

A. d = C. d =

B. v = ( 0; 2 ) .

C. v = ( −1; 0 ) .

Câu 58.

D. d =

( x2 − x1 ) + ( y2 + y1 )

(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng ( d1 ) : 2 x + 3 y + 1 = 0 và ( d 2 ) : x − y − 2 = 0 . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d1

thành d 2 .

B. F là phép tịnh tiến theo v = ( −2;3) . D. F là phép tịnh tiến theo v = ( −2; −3) .

A. Vô số. Câu 59.

B. ABCD là hình bình hành. D. A, B, C , D thẳng hàng.

D. G′ ( −4; 4 ) .

Câu 60.

C. 1.

D. 0 .

B. v = ( 2;1) .

C. v = ( −1; 2 ) .

D. v = ( 2; −4 ) .

(XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đường thẳng ∆′ là ảnh của đường thẳng ∆ : x + 2 y − 1 = 0 qua phép tịnh tiến theo véctơ v = (1; −1) .

A. ∆′ : x + 2 y − 3 = 0 . 7

B. 4 .

(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2 x − y + 1 = 0 . Để phép tịnh tiến theo v biến đường thẳng d thành chính nó thì v phải là vectơ nào trong các vectơ sau đây? A. v = ( 2; 4 ) .

Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ∆ABC biết A ( 2; 4 ) , B ( 5;1) , C ( −1; −2 ) . Phép tịnh tiến theo véctơ BC biến ∆ABC thành ∆A′B′C′ tương ứng các điểm. Tọa độ trọng tâm G′ của ∆A′B′C′ là:

C. G′ ( 4; −2 ) .

( x2 + x1 ) + ( y2 − y1 )

( x2 + x1 ) + ( y2 + y1 )

Dạng 2.2 Đường thẳng

Câu 53. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A (1; 6 ) ; B ( −1; −4 ) . Gọi C , D lần lượt là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo v = (1;5 ) . Kết luận nào sau đây là đúng:

B. G′ ( 4; 2 ) .

B. d =

6  6  7  7  A. M  ; 2  , N  ;0  . B. M  ; 2  , N  ;0  . 5  5  5  5  8  8  9  9  C. M  ; 2  , N  ;0  . D. M  ; 2  , N  ;0  . 5  5  5  5 

đúng:

A. G′ ( −4; −2 ) .

B ( 3; −4 ) . Lấy M trên d , N trên trục hoành sao cho MN vuông góc với d và AM + MN + NB

D. v = ( 2; 0 ) .

có điểm M ' = F ( M ) sao cho M ' ( x '; y ' ) thỏa mãn: x ' = x + 2; y ' = y − 3 . Mệnh đề nào sau đây

A. ABCD là hình vuông. C. ABDC là hình bình hành.

nhỏ nhất. Tìm tọa độ M , N ?

D. M ( −5; −3) .

Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép biến hình F xác định như sau: Với mỗi điểm M ( x; y ) ta

A. F là phép tịnh tiến theo v = ( 2;3) . C. F là phép tịnh tiến theo v = ( 2; −3) .

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )

Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng có phương trình d : y = 2 , và hai điểm A (1;3) ;

Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M ( −5; 2 ) và điểm M ′ ( −3; 2 ) là ảnh cảu M qua phép tịnh tiến theo véctơ v . Tìm tọa độ véctơ v .

A. v = ( −2; 0 ) .

D. ( 4; 2 ) .

 x ' = x.cos α − y.sin α + a điểm M ( x; y ) thành điểm M ' ( x '; y ' ) trong đó:  . Cho hai điểm  y ' = x.sin α + y.cos α + b

Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M ′ ( −4; 2 ) , biết M ′ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véctơ v = (1; −5) . Tìm tọa độ điểm M .

A. M ( −3;5) .

C. ( 4; −2 ) .

Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , với α , a, b là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi

Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có các điểm A ( 3; 0 ) , B ( −2; 4 ) , C ( −4;5) . G là trọng tâm tam giác ABC và phép tịnh tiến theo vectơ u ≠ 0 biến điểm A thành G . Tìm tọa độ G′ biết G′ = Tu ( G ) .

A. G′ ( −5;6 ) .

B. ( 2; −4 ) .

B. ∆′ : x + 2 y = 0 .

C. ∆′ : x + 2 y + 1 = 0 .

D. ∆′ : x + 2 y + 2 = 0 . 8

Câu 61.

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường

thẳng ( d1 ) : 2 x + 3 y + 1 = 0 và ( d 2 ) : x − y − 2 = 0 . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d1 thành d 2 . A. Vô số. Câu 62.

B. 4 .

C. 1.

Câu 69. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d : 2 x − 3 y + 3 = 0 và d' : 2 x − 3 y − 5 = 0 . Tìm tọa độ v có phương vuông góc với d và Tv biến đường thẳng d thành d ' .

D. 0 .

 −6 4  A. v =  ;  .  13 13 

(THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có

phương trình x + y − 2 = 0 . Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo véc tơ v = ( 3; 2 ) biến đường thẳng d thành đường thẳng nào sau đây? B. x − y + 2 = 0 .

B. x + 5 y + 15 = 0 . C. x + 5 y + 6 = 0 . D. − x − 5 y + 7 = 0 . Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v = ( −4; 2 ) và đường thẳng ∆ ′ : 2 x + y − 5 = 0 . Hỏi ∆′ là ảnh

6 . 13 Dạng 2.3 Đường cong

Câu 71.

B. ∆ : 2 x + y − 9 = 0 .

B. v = ( 0; 2 ) .

C. v = ( 0;1) .

D. v = ( −1;1) .

B. ∆′ : x + 2 y − 3 = 0 . C. ∆′ : x + 2 y + 1 = 0 .

D. ∆′ : x + 2 y + 2 = 0 .

Câu 72.

B. v = ( −2;1) .

đường thẳng ∆ : 2 x − y − 5 = 0 . Tìm qu ỹ tích đỉnh C ?

A. Là đường thẳng có phương trình 2 x − y − 10 = 0 .

5 . 13

C. Là đường thẳng có phương trình 2 x − y + 7 = 0 .

D. v = ( 2; − 1) .

cho hai đường tròn ( C ' ) : x 2 + y 2 + 2 ( m − 2 ) x − 6 y + 12 + m 2 = 0 và ( C ) : ( x + m ) + ( y − 2 ) = 5. Vecto v nào dưới đây là vecto của phép tịnh tiến biến ( C ) thành ( C ') ? A. v = (1; 2 ) . B. v = ( −2;1) . C. v = ( 2;1) . D. v = ( 2; −1) .

Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2x + 4 y − 1 = 0 qua Tv với v = (1; 2) . A. ( x + 2 ) + y 2 = 6 .

( C′)

là ảnh cảu đường tròn

B. ( x − 2 ) + y 2 = 6 .

C. x 2 + y 2 − 2x − 5 = 0 . D. 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 4 = 0 . Câu 74. Cho vectơ v = ( a; b ) sao cho khi tịnh tiến đồ thị y = f ( x ) = x3 + 3x + 1 theo vectơ v ta nhận được

B. P = −1.

A. P = 3 .

D. Là đường tròn có phương trình x 2 + y 2 − 2 x + y = 0 . Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 3 x + y − 9 = 0 . Tìm phép tịnh tiến theo véc tơ v

có giá song song với Oy biến d thành d ' đi qua A (1;1) C. v = ( 2; −3) .

C. v = ( −1; 2 ) .

đồ thị hàm số y = g ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 6 x − 1 . Tính P = a + b .

B. Là đường thẳng có phương trình x + 2 y − 7 = 0 .

B. v = (1; −5 ) .

−8 . 13

(THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,

Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành OABC với điểm A ( −2;1) , điểm B thuộc

A. v = ( 0;5 ) .

(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn 2 2 = 5 và ( C ′ ) : x 2 + y 2 + 2 ( m − 2 ) y − 6 x + 12 + m 2 = 0 . Vectơ v nào dưới

A. v = ( 2;1) .

Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đườn thẳng ∆ ′ là ảnh của đường thẳng ∆ : x + 2 y − 1 = 0 qua phép tịnh tiến theo véctơ v = (1; −1) .

A. ∆′ : x + 2 y = 0 .

16 . 13

đây là vectơ của phép tịnh tiến biến ( C ) thành ( C′ ) ?

C. ∆ : 2 x + y − 15 = 0 . D. ∆ : 2 x + y − 11 = 0 .

 x = 1 + 2t Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ∆ :  và đường thẳng ∆′ : x + 2 y − 1 = 0 .  y = −1 − t Tìm tọa độ vectơ v biết T v ( ∆ ) = ∆′.

A. v = ( 0; −1) .

( C ) : ( x + m) + ( y − 2)

của đường thẳng ∆ nào sau đây qua T v . A. ∆ : 2 x + y + 5 = 0 .

 16 −24  D. v =  ; .  13 13 

của d qua phép tịnh tiến T w . Khi đó a + b bằng:

C. 3x + 3 y − 2 = 0 .

A. x + 5 y − 15 = 0 .

 −16 −24  ; C. v =  .  13 13 

Câu 70. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v = ( −2;1) và đường thẳng d : 2 x − 3 y + 3 = 0 , d1 : 2 x − 3 y − 5 = 0 . Tìm tọa độ w = ( a; b ) có phương vuông góc với đường thẳng d để d1 là ảnh

D. x + y − 3 = 0 . Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ∆ : x + 5 y − 1 = 0 và vectơ v = ( 4; 2 ) . Khi đó ảnh của đường thẳng ∆ qua phép tịnh tiến theo vectơ v là A. x + y + 2 = 0 .

 −1 2  B. v =  ;  .  13 13 

D. v = ( 0; −5) .

D. P = −3 .

Câu 75. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 1 = 0 qua phép tịnh tiến theo v = (1;3) .

( C′)

là ảnh của đường tròn

A. ( C ′ ) : ( x − 3) + ( y − 4 ) = 2 .

B. ( C ′ ) : ( x − 3) + ( y − 4 ) = 4 .

D. ( C ′ ) : ( x + 3) + ( y − 4 ) = 4 .

C. ( C ′ ) : ( x + 3 ) + ( y + 4 ) = 4 . 9

C. P = 2 .

2 Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v = ( 3; −1) và đường tròn ( C ) : ( x − 4 ) + y 2 = 16 . Ảnh của

( C ) qua phép tịnh tiến T v

là

B. ( x + 1) + ( y + 1) = 16 .

D. ( x + 7 ) + ( y − 1) = 16 .

A. ( x − 1) + ( y − 1) = 16 .

C. ( x − 7 ) + ( y + 1) = 16 .

Câu 5.

(Q ) = P . Do MNPQ là hình chữ nhật nên MN = QP ⇒ T MN

Câu 6.

Phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Câu 7.

Có một phép tịnh tiến biến đường tròn thành chính nó là T 0 .

Câu 8.

Đáp án D

Câu 77. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v = (1; −2 ) và đường cong ( C ) : 2 x 2 + 4 y 2 = 1 . Ảnh của ( C ) qua phép tịn tiến Tv là A. 2 x 2 + 4 y 2 + 4 x + 16 y − 17 = 0 . 2

B. 2 x 2 + 4 y 2 − 4 x + 16 y + 17 = 0 .

C. 2 x + 4 y − 4 x − 16 y + 17 = 0 .

Theo tính chất của một phép tịnh tiến thì các đáp án A, B, C là đúng. MNM ' N ' không theo thứ tự các đỉnh của hình bình hành nên D sai.

D. 2 x + 4 y − 4 x − 16 y − 7 = 0 .

x y2 Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip ( E ) : + = 1 và véc tơ v = ( 2;1) . Ảnh của ( E ) qua 16 9 phép tịn tiến Tv là: 2

A. ( E ) :

( x − 2) 16

( y − 1)

x2 y 2 C. ( E ) : + =1. 4 9

= 1.

B. ( E ) :

( x + 2)

( y + 1) 9

= 1.

x2 − 2 y 2 − 1 D. ( E ) : + =1. 16 9

B. 5 .

C. 6 .

Câu 11.

Phép tịnh tiến bảo toàn độ dài nên AB = A′B′ = 10 .

Câu 12.

Đáp án

Tv ( M ) = M ′ Ta có  ⇒ MN = M ′N ′ = Tv ( N ) = N ′ Câu 13. Đáp án B.

x2 − x + 1 Câu 79. Cho véc tơ v = ( a; b ) sao cho khi phép tịnh tiến đồ thị y = f ( x ) = theo véc tơ v ta nhận x −1 x2 đồ thị hàm số y = g ( x ) = . Khi đó tích a.b bằng: x +1

A. 1.

Câu 10. Đáp án A Do phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên không có phép tịnh tiến nào biến d1 thành d2 .

( −2 − 0 ) + (1 − 2 )

= 5.

Ta chỉ ra được ABB ' A ' là hình bình hành ⇒ A ' B ' = AB Câu 14. Đáp án D. ( d ) thành d nên có vô số phép tịnh tiến thỏa mãn. Chẳng hạn lấy bất kỳ A ∈ d1 , B ∈ d2 ⇒ T 1 2 AB

Câu 15.

Đáp án D. Ta có AB + AD = AC ⇒ T ( A) = C . AC

Câu 16.

Đáp án

D. 4 .

PHẦN B. ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1.

Dạng 1. Các bài toán liên quan lý thuyết định nghĩa, tính chất, ứng dụng của phép tịnh tiến Đáp án D. Khi véc tơ v của phép tịnh tiến Tv có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho thì sẽ có

Câu 2.

vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó. Đáp án B. Khi v = 0 : Đường tròn ( C ) có tâm I thì T v biến đường tròn ( C ) thành chính nó.

Câu 3. Câu 4.

Ta có T ( G ) = M ⇔ AG = GM ⇒ BGCM là hình bình hành. AG

Đáp án B. Khi v = 0 có một phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó. Đáp án C. Khi t ọa độ của véc tơ tị nh tiến v ≠ 0 .

Câu 17.

Đáp án

Ta có T ( I ) = I ' ⇔ II ' = ID ⇔ I ' ≡ D . Vậy D sai ID Câu 23.

Đáp án D Trong hình D đối tượng con ngựa này là ảnh của con ngựa kia qua một phép tịnh tiến theo một hướng xác định. Câu 24. Đáp án B.

T ( A ) = B  AB ( O ) = C ⇒ T ( ∆AOF ) = ∆BCO . Ta có T AB AB  TAB ( F ) = O

Câu 18.

Đáp án

( I ) = A nên đáp án D sai. Ta có TIA

Câu 19.

. Đáp án

( ∆ ) = ∆′ ⇒ ∆′//∆, ∆′ là tiếp tuyế n của đường tròn Theo tính chất 2 của phép tịnh tiến nên T AB

( C ) tại điểm Câu 25.

( ∆AMI ) = ∆MDN . Từ hình vẽ ta có T AM

Câu 20.

Đáp án

Kẻ đường kính BD ⇒ ADCH là hình bình hành(Vì AD //CH và AH //DC cùng vuông góc với một đường thẳng) ( A) = H . ⇒ AH = DC ⇒ T DC

. Vậy H thuộc đường tròn tâm O ' , bán kính R là ảnh của ( O, R ) qua T DC

Câu 26.

Đáp án

Từ hình vẽ ta có ( AB ) = CD với AB, CD là các đoạn thẳng. TBC ( AB ) = CD , với AD, BC là đoạn thẳng nên có một phép tịnh tiến thỏa mãn. TBC

Câu 21. Câu 22.

Gọi K là trung điểm của AB ⇒ K cố định. ( I ) = M ⇒ M ∈ ( C ′ ) = T ( ( C ) ) . Ta có T KI KI

Đáp án D ( ∆AMI ) = ∆INC Ta có MN = AI = IC ⇒ T MN

Câu 27.

Đáp án D 13

Đáp án

( M ) = M′ . Ta có : MM ′ + MA = MB ⇔ MM ′ = MB − MA = AB ⇔ T AB 14

. Vậy tập hợp điểm M ′ là ảnh của đường tròn ( O ) qua T AB

Câu 28.

Đáp án

= MAD = MAB = 30 0 ⇒ ∆AMD cân tại M ⇒ BC = MA = MD = 6 . Vậy MDA

Câu 30.

Đáp án D. Chọn hệ trục về chiều dương như hình vẽ.

B(x,y)

C(x+1,y)

x A

( A ) = A′′. Xét TBC

Khi đó CA′ = BA = CD ⇒ ∆CA′D cân tại C .

′CD = 600 ⇒ ∆CA′D đều. ⇒A Cố định D (1; 0 ) . Với B ( x; y ) ⇒ C ( x + 1; y )

⇒ A′DA = 150 và AA′ = BC = CD = A′D = a

Từ giả thiết AC . AB = AD.BD

′D = 1500 ⇒ AA

⇔ 2

Do đó AD = 2 A′A − 2 A′A cos AA′D = 2a + 3a (áp dụng định lí cosin).

( ⇔ (x ⇔ (x

Đáp án

+ y2 . x2 + y2 =

( x − 1)

+ y2

)( x + y + 2 x ) = 1 − 2 x + y + 1)( x + y + 2 x ) − x − y − 2 x = 1 − 2 x + y + 1)( x + y + 2 x − 1) = 0 (do x + y + 1 > 0 ).

⇔ x 2 + y2

⇒ AD = a 2 + 3 .

Câu 29.

( x + 1)

⇔ x 2 + y 2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ ( x + 1) + y 2 = 2 (1) . Suy ra quỹ tích B là đường tròn tâm I , bán kính

2 ( I là điểm đối xứng của D qua A )

( B ) = C Ta có TBC

Câu 31.

Vậy qu ỹ tích của C là đường tròn tâm A , bán kính AD 2 . Đáp án C. Giả sử trung trực MN cắt ( O1 ) tại A , cắt ( O2 ) tại B ( O1 ở giữa A, B ) (Bạn đọc tự vẽ hình)

Thực hiện phép trịnh tiến theo vectơ O2O1 đường tròn ( O2 ) biến thành đường tròn (O1 ) . vì vậ y

( A ) = M ⇒ ABCM là hình bình hành. Xét TBC

B biến thành A , M biến trhành M1 , N biến thành N1 .

= 300 ⇒ BCD = 600 và MCD = 300 ⇒ BCM

MNN1 M1 là hình bình hành nội tiếp nên là hình chữ nhật. Vậy MN 2 + M1 M 2 = MN 2 + AB 2 = 4 R 2

Ta có MD 2 = MC 2 + DC 2 − 2 MC .DC . cos 30 0 = 36 ⇒ MD = 6 1 MD = CD và MC = MD 3 ⇒ ∆MDC là nửa tam giác đều. 2

= 900 ⇒ MDA = 300 ⇒ DMC 15

Câu 32.

. Đáp án

Câu 33.

Đáp án

D. Sử dụng phép tịnh tiến theo vectơ O1O2 thì K biến thành C , KA thành CB . Vì vậ y AB = 2 R . A. 16

Câu 41.

x + 2 = 1  x = −1 Ta có T v ( A ) = A′ ⇔ AA′ = v ⇔  ⇔ ⇒ A′ ( −1;5 ) . y = 5 y −3 = 2 x − 2 = 1 x = 3 Câu 42. Ta có Tv : A ( 2;5 ) ֏ A′ ( x, y ) ⇔ AA′ = v ⇔  ⇔ . y −5 = 2 y = 7

⇒ A′ ( 3;7 ) ⇒ A′ ≡ P .

A K

Vậy phép tịnh tiến theo vectơ v = (1; 2 ) biến A thành điểm P ( 3;7 ) .

Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ KD ta có :

Câu 43.

K biến thành D , H1 biến thành H , B biến thành P

Ta có ∆PHK vuông tại H và KH = 3, KP = BD = 5 nên PH = 25 − 9 = 4 ⇒ BH1 = PH = 4 . DẠNG 2. xác định ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép tịnh tiến bằng phương pháp tọa độ Dạng 2.1 Điểm  x′ = 2 + 1 = 3 Câu 34. Gọi Tv ( M ) = M ′ ( x′ ; y ′ ) ⇔  . Vậy M ′ ( 3; 7 ) .  y′ = 5 + 2 = 7 Câu 35. Phép tịnh tiến biến gốc tọa độ O thành điểm A (1; 2 ) nên vectơ tịnh tiến u = OA = (1; 2 ) .

Câu 37.

Đáp án

Câu 45.

Đáp án

x = 2  x = x + x v Theo biểu thức tọa độ ⇒  A ⇔  y A = y + yv y = 4

Đáp án

 x′ = x + a 4 = x − 1 ⇒ ⇒ M ( 5; −3 )  ′ y = y + b  2 = y + 5

Câu 47.

Đáp án

Câu 48.

Đáp án

Gọi A′ ( x; y ) là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ v ( 2;1) .

Câu 49.

Gọi M ′ ( x′; y′) là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến v .  x′ − 2 = 1  x′ = 3 ⇒ M ′ ( 3; 7 ) . Ta có MM ′ = v ⇔ ( x′ − 2; y′ − 5 ) = (1; 2 ) ⇔  ⇔  y′ − 5 = 2  y′ = 7

Câu 40.

A. Ta có u = MM ′, v = M ′M ′′ ⇒ u + v = MM′′ = (1;5) . C. Ta có

Vậy A′ (1; 4 ) .

Câu 39.

 x = xB − x A  x = 2 ⇔ v Ta có  v  yv = yB − y A  yv = 4

x +1 = 2 x = 1 Khi đó AA′ = v ⇔  . ⇔ y −3 =1 y = 4

Câu 38.

 xA′ = x A + xv x ′ = 2 ⇔ A ⇒ A′ ( 2; 0 ) . Ta có Tv ( A ) = A′ ( xA′ y A′ ) ⇔ AA′ = v ⇔  y = y + y  A′  y A′ = 0 A v Câu 44. Đáp án B.  x′ = 4 T v ( M ) = M ′ ( x ′; y′ ) ⇔  ⇒ M ′ ( 4;2 )  y′ = 2

Câu 46.

 x′ = 1 + 1 = 2 Khi đó,  ⇒ A′ ( 2; 4 ) .  y′ = 2 + 2 = 4

Câu 36.

Giả sử A′ ( x; y ) .

Đáp án

T v ( A ) = A′ T v ( B ) = B′

⇒ A′B′ = AB = 5 .

A. Ta tìm được G ( −1;3) ⇒ u = AG = ( −4;3)

T ( G ) = G′ ⇒ AG = GG′ ⇒ G′ ( −5; 6) . AG

 x′ = x + 1 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tv là  nên ảnh của điểm A ( 3;0) là điểm A′ ( 4;2) .  y′ = y + 2 BC = ( −4; −3) . x ' = x + a  x ' = 2 − 4 = −2 Biểu thức tọa độ của T . Vậy A ' ( −2;1) . ⇔ ( A) = A ' là:  BC y' = y + b y' = 4−3 =1 17

Câu 50.

Đáp án C. Ta có: Tv ( M ) = M ′ ( xM ′ ; yM ′ ) ⇔ MM ′ = v

 xv = xM ′ − xM  xM = xM ′ − xv  xM = −5 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ M ( −5;7 ) .  yv = yM ′ − yM  yM = yM ′ − yv  yM = 7 Câu 51. Đáp án D. 18

 xv = xM ′ − xM  xv = 2 Ta có: Tv ( M ) = M ′ ( xM ′ ; yM ′ ) ⇔ MM ′ = v ⇔  ⇔ ⇒ v = ( 2;0 ) . = y − y y  v  yv = 0 M′ M Câu 52. Đáp án C.  x ′ = x + a a = 2 Thật vậ y theo biểu thức tọa độ của T v ( M ) = M ′  ⇒ ⇒ v = ( 2; −3 ) . ′ y = y + b b = − 3  

Câu 53.

Đáp án

= Câu 57.

− x1 ) + ( y2 − y1 ) ⇒ d =

Đáp án A. Ta có tọa độ trọng tâm ∆ABC là G ( 2;1) ; BC = ( −6; −3) .

T u

Gọi H ∈ d1 , K ∈ d 2 sao cho HK ⊥ d1 . Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ HK ( A ) , A B ∩ d = N , M ∈ d với MN ⊥ d Gọi A1 = THK 1 2 1 1

AM + MN + NB nhỏ nhất ⇔ AM + NB nhỏ nhất ( MN không đổi) AM + NB = A1 N + NB ≥ A1 B

Dấu " = " xả y ra khi N = A1 B ∩ d 2 Lấy A1 (1;1) , điểm N cần tìm là giao điểm của A1B và trục hoành. Gọi N ( x0 ; 0 ) ⇒ A1N = ( x0 − 1; −1) , A1B = ( 2; −5)

x − 1 −1 7  7  7 = ⇒ x0 = ⇒ N  ;0  và M  ;2  . Vì A1N và A1B cùng phương nên 0 2 −5 5 5  5  Dạng 2.2 Đường thẳng Câu 58. Nhắc lại kiến thức: " Phép tịnh tiến theo vectơ v biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó " . Ta có: ( d1 ) và ( d2 ) không song song hoặc trùng nhau, suy ra không có phép tịnh tiến nào biến

(x ′ − x ′) +(y ′ − y ′)

⇒ M ′N ′ =

 x ′ = x .cos α − y .sin α + a 2 2 2   y2′ = x2 .sin α − y2 .cos α + b

Câu 59.

đường thẳng ( d1 ) thành ( d2 ) . Phép tịnh tiến theo v biến đường thẳng d thành chính nó khi vectơ v cùng phương với vectơ chỉ phương của d . Mà d có VTCP u = (1; 2 ) .

Câu 60.

Gọi M ( x; y ) là điểm thuộc ∆ .

 x′ = x + 1  x = x′ − 1 M ′ ( x′; y ′ ) = T v ( M ) ⇒  ⇒ .  y′ = y − 1  y = y′ + 1

( x ′ − x ′ ) cos α + ( y ′ − y ′ ) sin α + ( x ′ − x ′ ) sin α + ( y ′ − y ′ ) cos α 2

u+v

 x ′ = x .cos α − y .sin α + a 1 1 Ta có  1  y1′ = x1 .sin α − y1 .cos α + b

Ta có sơ đồ tổng quát:

d2 K

 xG′ = −4  xG ′ = xG + x BC ( G ) = G ′ ( x ; y ) ⇔ GG ′ = BC ⇔ TBC ⇔ ⇒ G ′ ( −4; −2 ) .  G′ G′ y y y = + G  yG′ = −2 BC  G ′ Câu 55. Đáp án C. Ta có: Tu ( A) = B ⇔ AB = u T v ( B ) = C ⇔ BC = v Mà AC = AB + BC = u + v Do đó: Tu + v ( A ) = C ⇔ AC = u + v = ( 4; −2 ) .

Đáp án

− x1 ) + ( y2 − y1 ) .

MN ⊥ d . Cách 2 :

T v ( B ) = D ⇒ D ( 0;1) AB = ( −2; −10 ) , CD = ( −2; −10 ) , BC = ( 3;15) AD = ( −1; −5) ⇒ BC = −3 AD, AB = CD ⇒ A, B, C, D thẳng hàng.

Câu 56.

Đáp án B. Cách 1 : Thử các tọa độ M , N ta được kết quả AM + MN + NB nhỏ nhất với M ∈ d , N ∈ Ox và

T v ( A ) = C ⇒ C ( 2;11)

Câu 54.

Thay vào phương trình đường thẳng ∆ ta được: x′ − 1 + 2 ( y′ + 1) − 1 = 0 ⇔ x′ + 2 y ′ = 0 . 19

Vậy phương trình đường thẳng ∆′ là ảnh của đường thẳng ∆ có dạng: x + 2 y = 0 .

Vậy phương trình ∆′ : x + 2 y = 0 . Cách 3: Sử dụng qu ỹ tích

Câu 61. Nhắc lại kiến thức: " Phép tịnh tiến theo vectơ v biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó " .

Lấy M ( xM ; yM ) ∈ ∆ ⇔ xM + 2 yM − 1 = 0 (1) .

 x′ = xM + 1  xM = x′ − 1 Ta có Tv ( M ) = M ′ ( x′; y′) ∈ ∆′ ⇔  ⇔ ′ y y = − 1  M  yM = y ′ + 1

Ta có: ( d1 ) và ( d2 ) không song song hoặc trùng nhau, suy ra không có phép tịnh tiến nào biến đường thẳng ( d1 ) thành ( d2 ) . Câu 62.

M ' qua phép tịnh tiến T v .

Đáp án

Vậy quỹ tích điểm C là đường thẳng ∆ ' song song với ∆ . Ta tìm được phương trình ∆ ' : 2 x − y − 10 = 0 . Câu 68.

Đáp án

Ảnh của ∆ có dạng x + 5y + c = 0 ( ∆ ′ )

Chọn

A (1; 0 ) ∈ ∆ : T v ( A ) = A′ ( x; y ) ∈ ∆′ ⇒ A′ ( 5;2 )

Vậ y ∆ ′ : x + 2 y = 0 . Câu 67. Đáp án A. Vì OABC hình bình hành nên T ( B) = C AO

x ' = −x  x '' = x '+ 3  x '' = − x + 3  x = − x ''+ 3 và  . Do M ( x; y ) ∈ d Ta có:  ⇒ ⇒ y' = −y  y '' = y '+ 2  y '' = − y + 2  y = − y ''+ 2 ⇒ x + y − 2 = 0 ⇒ − x ''+ 3 − y ''+ 2 − 2 = 0 ⇒ x ''+ y ''− 3 = 0 . Vậy ảnh của d qua liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo v là d '' : x + y − 3 = 0 .

Câu 63.

Thay vào (1) ta được ( x′ − 1) + 2 ( y′ + 1) − 1 = 0 ⇔ x′ + 2 y′ = 0 .

Gọi M ( x; y ) ∈ d , M ' ( x '; y ') là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O , M '' ( x ''; y '') là ảnh của

thế

x ' = x Gọi M ( x; y ) ∈ d ⇒ Tv ( M ) = M ' ( x '; y') ⇔  y ' = y + k

vào

Thế vào phương trình d ⇒ d ' : 3 x '+ y´− k − 9 = 0 mà d ' đi qua A (1;1) nên k = −5 .

∆′ : 5 + 10 + c = 0 ⇒ c = −15

Câu 69.

⇒ ∆′ : x + 5 y − 15 = 0 .

Câu 64.

Đáp án

D. x′ = x − 4 Điểm M ( x; y ) ∈ ∆ biến thành M ( x ′; y ′ ) ∈ ∆′ ⇒  thay x ′, y ′ vào  y′ = y + 2

Đáp án

( 2)

16 −24 Giải hệ (1) và ( 2 ) ta được a = ; b = . 13 13 Câu 70. Đáp án C. Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là n = ( 2; −3) ⇒ w = ( 2m; −3m )

C. Chọn A (1; −1) ∈ ∆ Thử đáp án C ⇒ Tv ( A ) = A′ ⇒ A′ (1; 0 ) ∈ ∆′ (thỏa mãn)

Câu 66.

 x = x '− a D. Gọi v = ( a; b ) , ta có T v ( M ) = M ' ( x '; y' ) ∈ d ' ⇒   y = y '− b Thế vào phương trình đường thẳng d : 2 x '− 3 y '− 2 a + 3b + 3 = 0

Từ giả thiết suy ra −2a + 3b + 3 = −5 ⇔ −2a + 3b = −8 (1) Véc tơ chỉ phương của d là u = ( 3; 2 ) . Do u ⊥ v ⇒ u.v = 0 ⇔ 3a + 2b = 0

∆ ′ : 2 x + y − 11 = 0 .

Câu 65.

D. Véc tơ v có giá song song với Oy ⇒ v = ( 0; k ) , k ≠ 0

T w ( M ) = M ′ ( 2m;1 − 3m ) , với M ∈ d

Đáp án A. Cách 1: Chọn A (1;0 ) ∈ ∆ ⇒ Tv ( A) = A′ ( 2; −1) ∈ ∆′ .

T w ( d ) = d ′ ⇒ d ′ có dạng 2 x − 3y + β = 0

Vì d ′ qua M ⇒ 4 m − 3 + 9m + β = 0 ⇔ β = 3 − 13m . ⇒ d ′ : 2 x − 3y + 3 − 13m = 0

Chọn B ( −1;1) ∈ ∆ ⇒ Tv ( B ) = B′ ( 0;0 ) ∈ ∆′ .

⇒ đường thẳng ∆ ′ chính là đường thẳng A′B′ . Đường thẳng ∆ ′ qua A′ ( 2; −1) và có một véctơ pháp tuyến n = (1; 2 ) có phương trình là:

Để d1 ≡ d ′ ⇒ 3 − 13m = −5 ⇔ m =

8  16 24  8 ⇒ w =  ;−  ⇒ a + b = − . 13 13  13 13 

Dạng 2.3 Đường cong

∆′ :1( x − 2 ) + 2 ( y + 1) = 0 ⇔ x + 2 y = 0 . Câu 71.

Cách 2. Tv ( ∆ ) = ∆′ ⇒ ∆′, ∆ là hai đường thẳng cùng phương nên ∆ ′ có dạng x + 2 y + m = 0 .

Điều kiện để ( C′ ) là đường tròn ( m − 2 ) + 9 − 12 − m2 > 0 ⇔ −4m + 1 > 0 ⇔ m <

1 . 4

Khi đó:

Chọn A (1;0 ) ∈ ∆ ⇒ Tv ( A ) = A′ ( 2; −1) ∈ ∆′ ⇒ m = 0 .

Đường tròn ( C′ ) có tâm là I ′ ( 2 − m; 3 ) , bán kính R′ = −4m + 1 . 21

 x′ = x + 1  x = x′ − 1 Sử dụng quỹ tích điểm M ( x; y ) ∈ ( C ) : T v ( M ) = M ′ ( x ′; y′ ) ∈ ( C ′ ) ⇒  ⇒  y′ = y − 2  y = y′ + 2

Đường tròn ( C ) có tâm là I ( − m; 2 ) , bán kính R = 5 .  R′ = R Phép tịnh tiến theo vectơ v biến ( C ) thành ( C′ ) khi và chỉ khi   II ′ = v

Thay vào ( C ) ta được đáp án

Câu 78.

 −4m + 1 = 5  m = −1 .Vậy chọn A ⇔  ⇔  ′ v II 3 m ; m = = + − ( ) v = ( 2;1) 

Đường tròn ( C ') có tâm I ' ( −m + 2;3 ) , ( C ) có tâm I ( −m; 2 ) ⇒ II ' ( 2;1) ⇒ ( I ') = Tv ( I ) ⇒ v ( 2;1) .

Câu 73.

Đáp án B. Cách 1: Theo tính chất của phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Thay vào ( E ) ta được đáp án

Câu 79.

Đáp án

Ta có g ( x ) = f ( x − a ) + b 2

( x − a ) − ( x − a) + 1 + b x2 = x +1 x − a −1 x 2 + ( −2a + b − 1) x + a2 − ab + a − b + 1 x2 ⇔ = x +1 x − a −1  a = −2 ⇒ ⇒ a.b = 6 .  b = −3

Ta có: đường tròn ( C ) có tâm I (1; −2 ) , bán kính R = 6 .

⇔

Suy ra: T v ( I ) = I′ ( 2; 0 ) . Vậy đường tròn ( C′) có tâm I′ ( 2; 0 ) , bán kính R′ = R = 6 có phương trình: 2

 x = x′ − 2 Sử dụng quỹ tích điểm: T v ( M ) = M ′ ( x ′; y′ ) với mọi điểm M ( x; y ) ∈ ( E ) ⇒   y = y′ − 2

Câu 72.

( x − 2)

Đáp án

+ y2 = 6 .

Cách 2: Sử dụng quỹ tích: Gọi M ( x; y ) ∈ ( C ) ⇒ Tv ( M ) = M ′ ( x′; y ′)  x′ = x + 1  x = x′ − 1 ⇒ ⇔  y′ = y + 2  y = y′ − 2 Thế x, y vào phương trình đường tròn ( C ) , ta có:

( x′ − 1)

+ ( y ′ − 2 ) − 2 ( x′ − 1) + 4 ( y′ − 2 ) − 1 = 0 ⇔ ( x′ ) + ( y ′ ) − 4 x′ − 2 = 0 2

Vậ y ( C ′ ) : ( x − 2 ) + y 2 = 6 .

Câu 74.

Đáp án

Từ giả thiết ta có: g ( x ) = f ( x − a ) + b ⇔ x3 − 3 x 2 + 6 x − 1 = ( x − a ) + 3 ( x − a ) + 1 + b   3

⇔ x3 − 3 x 2 + 6 x − 1 = x3 − 3ax 2 + 3 ( a 2 + 1) x − a 3 − 3a + 1 + b

a = 1 Đồng nhất thức ta được:  ⇒ P = a +b = 3. b = 2 Câu 75. Đáp án B.

Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;1) , bán kính R = 2 2

Ta có I ′ = T v ( I ) ⇒ I ′ ( 3;4 ) ⇒ ( C′ ) : ( x − 3) + ( y − 4 ) = 4 .

Câu 76.

Đáp án

Đường tròn ( C ) có tâm I ( 4; 0 ) , bán kính R = 4 Ta có T v ( I ) = I ′ ( 7; −1) 2

Vậy đường tròn ảnh là (C ′ ) : ( x − 7 ) + ( y + 1) = 16

Câu 77.

Đáp án

B. 23

TOÁN 11

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM

1H1

MỤC LỤC

PHẦN A. CÂU HỎI .......................................................................................................................................................... 1 Dạng 1. Khai thác dịnh nghĩa, tinh chất va ứng dụng của phép đối xứng trục và đối xứng tâm..................................... 1

Câu 7.

qua các phép đối xứng tâm O1 và O2 . Khằng định nào sau đây đúng?

Dạng 2. Tìm ảnh của điểm, đường thẳng qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm bằng phương pháp tọa độ.................. 3

A. MM 2 = O1O2 .

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 6 Dạng 1. Khai thác dịnh nghĩa, tinh chất va ứng dụng của phép đối xứng trục và đối xứng tâm..................................... 6

(HKI-Chu Văn An-2017) Cho ba điểm M , O1 , O2 . Gọi M1 , M 2 tương ứng là ảnh của điểm M

Câu 8.

Dạng 2. Tìm ảnh của điểm, đường thẳng qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm bằng phương pháp tọa độ................ 12

B. M 1M 2 = −2O1O2 .

C. M 1M 2 = 2O1O2 .

D. O1M 1 = O2 M 2 .

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Hình nào sau đây có vô số tâm đối xứng? A. Hình vuông. B. Hình tròn. C. Đường thẳng. D. Đoạn thẳng.

PHẦN A. CÂU HỎI Dạng 1. Khai thác dịnh nghĩa, tinh chất va ứng dụng của phép đối xứng trục và đối xứng tâm. Câu 9.

Giải sử phép đối xứng tâm O biến đường thẳng d thành d1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Câu 1.

Cho đường thẳng a . Qua phép đối xứng trục a , đường thẳng nào biến thành chính nó.

A. d1 cắt d .

A. Các đường thẳng song song với a . B. Các đường thẳng vuông góc với a . C. Các đường thẳng hợp với a một góc 60 0 . D. Các đường thẳng hợp với a một góc 30 0 . Câu 2.

Câu 3.

B. Một.

C. Hai.

D. Vô số.

Câu 6.

Câu 12.

B. Hình tròn.

C. Tam giác bất kì.

D. Parabol.

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho hình vuông ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD . Kí hiệu Ðd là phép đối xứng trục qua đường thẳng d . Khẳng định nào sau đây sai? A. ÐAC ( B ) = A .

B. Hình tam giác đều có trục đối xứng. D. Hình bình hàng có trục đối xứng.

B. ÐBD ( A ) = C .

C. ÐMN ( B ) = A .

D. ÐMN ( D ) = C .

Câu 13. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng phía với d . Gọi A1 đối xứng với A , B1 đối

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d ' . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến d thành d ' A. Không có phép đối xứng trục nào. C. Có một phép đối xứng trục.

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Hình nào dưới đây có tâm đối xứng? A. Hình thang.

(GIỮA KÌ I YÊN HÒA HÀ NỘI 2017-2018) Khẳng định nào sau đây SAI? A. Đường tròn có trục đối xứng. C. Đường thẳng có trục đối xứng.

Câu 5.

A. Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau có một tâm đối xứng. B. Hình vuông có một tâm đối xứng. C. Hình gồm hai đường tròn bằng nhau có một tâm đối xứng. D. Đường elip có vô số tâm đối xứng. Câu 11.

Câu 4.

D. d và d1 cắt nhau tại O .

Câu 10. Mệnh đề nào sau đây là sai:

Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d′ . có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng này thành đường thẳng kia? A. Không có.

B. Nếu O ∉ d thì d d1 .

C. Nếu d qua O thì d cắt d1 .

B. Có vô số phép đối xứng trục. D. Có hai phép đối xứng trục.

xứng với B qua d . M là điểm trên d thỏa mãn MA + MB nhỏ nhất. Chọn mệnh đề sai: A. Góc giữa AM và d bằng góc giữa BM và d . B. M là giao điểm của A1B và d . C. M là giao điểm của AB1 và d .

Hình nào dưới đây có một tâm đối xứng?

D. M là giao điểm của AB và d. 1

Câu 14. Với mọi tứ giác ABCD , kí hiệu S là diện tích tứ giác ABCD . Chọn mệnh đề đúng: A. S =

1 ( AB.CD + BC. AD ) 2

C. S > AB.CD + BC. AD D. S ≥

B. S ≤

A. A ' ( −1; −3 ) .

1 ( AB.CD + BC. AD ) 2

Câu 21.

C. A ' (1; −3 ) .

D. A ' (1;3 ) .

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Trong mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) , tìm tọa độ điểm M ′ là ảnh của điểm M ( 2; 4 ) qua phép đối xứng tâm I (1; −2 )

1 ( AB.CD + BC. AD ) . 2

Câu 15. Cho hai điểm A, B phân biệt. Gọi S A , S B là phép đối xứng qua A, B . Với điểm M bất kì, gọi M 1 = S A ( M ) , M 2 = S B ( M 1 ) . Gọi F là phép biến hình biến M thành M 2 . Chọn mệnh đề đúng:

A. F không là phép dời hình C. F là phép đối xứng tâm.

B. A ' ( −1; 3) .

A. M ′ ( 4; 2 ) . Câu 22.

(HKI-Chu

B. M ′ ( 0;8 ) . Văn

An-2017)

Trong

C. M ′ ( 0; −8 ) . mặt

phẳng

D. ( −4;8 ) .

tọa

độ

Oxy

cho

điểm

A ( −1; 2 ) , B ( 3; 4 ) , C ( 4; −3) . Phép đối xứng tâm I (1; 2 ) biến tam giác ABC thành tam giác

B. F là phép đối xứng trục. D. F là phép tịnh tiến.

A ' B ' C ' . Tìm tọa độ điểm G ' là trọng tâm của tam giác A ' B ' C ' .

A. G ' ( 3; 0 ) . Câu 23.

B. G ' ( 0; 4 ) .

C. G ' ( 4;5 ) .

D. G ' ( 0;3 ) .

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d :3 x + 2 y + 5 = 0 . Ảnh của đường thẳng

( d ) qua

phép đối xứng tâm O là đường thẳng có

phương trình

A. Đường tròn tâm O′ là ảnh của đường tròn ( O ) qua ĐI .

A. 3 x + 2 y − 1 = 0 .

B. Đường tròn tâm O′ là ảnh của đường tròn ( O ) qua ĐE Câu 24.

C. Đường tròn tâm O′ là ảnh của đường tròn ( O ) qua phép đối xứng tâm ĐF

B. 3 x + 2 y + 1 = 0 .

C. 3 x + 2 y − 5 = 0 .

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Phép đối xứng tâm I ( a; b )

D. Đường tròn tâm O′ là ảnh của đường tròn ( O ) qua phép đối xứng tâm ĐB .

biến điểm A (1;3 ) thành điểm A′ (1;7 ) . Tính tổng T = a + b .

Dạng 2. Tìm ảnh của điểm, đường thẳng qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm bằng phương pháp tọa độ

A. T = 8. Câu 25.

D. 3 x + 2 y = 0 .

B. T = 4.

C. T = 7.

D. T = 6.

(GIỮA KÌ I YÊN HÒA HÀ NỘI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2

(C ) : ( x + 2 ) + ( y − 5 ) = 18 , phép đối xứng tâm I (1; −4) biến đường tròn ( C ) thành đường thẳng

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép biến hình F : M ( x; y ) → M ′ ( y; x ) .

( C′)

Chọn mệnh đề đúng: A. F là phép đối xứng trục Oy .

Câu 26.

C. A(−5;2) .

D. A(6; −1) .

Câu 27.

 2 14  C.  ;  . 5 5 

D. (C ') : ( x + 4 ) + ( y + 13 ) = 18 .

B. P ' ( 2;1) .

C. P ' ( 2; −1) .

D. P ' ( −1;2 ) .

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x − y − 3 = 0. Xác định phương trình đường thẳng d′ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm

I (1;0) .

2 x − y = 0 . Lấy A ( 2; 2 ) ; Đa ( A) thành điểm có tọa độ bao nhiêu? 1 1 B.  ;  . 2 2

B. (C ') : ( x − 4 ) + ( y − 13 ) = 18 .

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Trong hệ tọa độ Oxy , phép đối xứng tâm là gốc

A. P ' ( −2; −1) .

Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép đối xứng trục Đa , với a là đường thẳng có phương trình:

A. ( −2;2 ) .

tọa độ O biến điểm P ( −2;1) thành điểm P ' có tọa độ là.

và điểm I (1;1) ; biết A ' là ảnh của A qua phép đối xứng tâm I . Khi đó tọa độ điểm A là

B. A(−6;1) .

C. (C ') : ( x − 4 ) + ( y + 13 ) = 18 .

(GIỮA KÌ I YÊN HÒA HÀ NỘI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A '(−4;3)

A. A(5; −2) .

A. (C ') : ( x + 4 ) + ( y − 13 ) = 18 .

B. F là phép đối xứng trục Ox . C. F là phép đối xứng với trục đối xứng là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. D. F là phép đối xứng trục với trục là đường phân giác của góc phần tư thứ hai. Câu 18.

có phương trình là

A. d ′ : x − y − 1 = 0 .

 14 2  D.  ;  .  5 5

Câu 28.

B. d ′ : x + y + 1 = 0 .

C. d ′ : x − y + 1 = 0 .

D. d ′ : x + y − 1 = 0 .

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng ∆ : x + 2 y − 3 = 0 và ∆′ : 2 x − y − 4 = 0 . Qua phép đối xứng tâm I (1; −3) ,

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A ( −1;3) . Tìm ảnh của A qua phép đối xứng tâm O .

điểm M trên đường thẳng ∆ biến thành điểm N thuộc đường thẳng ∆′ . Tính độ dài MN . 3

B. MN = 4 5 .

A. MN = 13 .

C. MN = 2 13 .

Câu 37.

D. MN = 12 .

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường 2

Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M (1;3) và M ' ( −1;1) .Phép đối xứng trục Đa biến

( C′)

điểm M thành M ' có trục a có phương trình: A. x − y + 2 = 0 .

B. x − y − 2 = 0 .

C. x + y + 2 = 0 .

D. x + y − 2 = 0 .

B. x + y + 2 = 0 .

C. x + y − 2 = 0 .

D. x + 2 y − 2 = 0 .

B. ( x − 1) + ( y + 2 ) = 4.

D. ( x + 1) + ( y + 2 ) = 4.

C. x − 2 y − 10 = 0 .

Tìm ảnh đường tròn ( C′ ) của ( C ) qua phép đối xứng trục Oy .

A. x 2 + y 2 − 4 x − 5 y + 1 = 0 . 2

B. x 2 + y 2 + 4 x + 5 y + 1 = 0 .

D. x 2 + y 2 + 4 x − 5 y + 1 = 0 .

C. 2 x + 2 y + 8 x + 10 y − 2 = 0 .

D. x + 2 y − 10 = 0 .

Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ∆ : x + y − 2 = 0 . Tìm ảnh ∆ ' đối xứng với ∆ qua

Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) có phương trình: x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 4 = 0 . Tìm ảnh đường tròn ( C′ ) của ( C ) qua phép đối xứng tâm I (1;3) .

đường thẳng d : 3x + y − 4 = 0 . A. 7 x − y + 6 = 0 .

Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) có phương trình: x 2 + y 2 − 4 x + 5 y + 1 = 0 .

của d qua phép đối xứng trục l . Phương trình của d ' là:

B. x + 2 y + 10 = 0 .

C. ( x − 1) + ( y − 2 ) = 4.

Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng l : y − 2 = 0 , d : x + 2 y + 2 = 0 . Gọi d ' là ảnh A. x − 2 y + 10 = 0 .

có phương trình là

A. ( x + 1) + ( y − 2 ) = 4.

Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x − y − 2 = 0 . Ảnh của d qua phép đối xứng trục tung có phương trình: A. x − y + 2 = 0 .

tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 4. Phép đối xứng trục Ox biến đường tròn ( C ) thành đường tròn

B. x − 7 y + 5 = 0 .

C. 7 x + y + 6 = 0 .

D. 5 x − 2 y − 6 = 0 .

A. x 2 + y 2 − 10 x − 16 = 0 . 2

B. x 2 + y 2 − 10 y − 16 = 0 .

D. x 2 + y 2 − x − 10 y + 9 = 0 .

C. x + y − 10 y + 16 = 0 .

Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ảnh của đường thẳng d : x + 2 y − 3 = 0 qua phép đối xứng tâm I ( 4;3 ) là:

A. x + 2 y − 17 = 0 . Câu 34.

B. x + 2 y + 17 = 0 .

C. x + 2 y − 7 = 0 .

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

D. x + 2 y − 15 = 0 .

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm ảnh của đường tròn (C ) : ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 4 qua phép đối xứng trục Ox .

Câu 35.

A. ( C ′ ) : ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 4 .

C. ( C ′ ) : ( x − 1)2 + ( y − 2) 2 = 4 .

B. ( C ′ ) : ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = 4 .

D. ( C ′ ) : ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 2 .

(HKI-Chu

(C ) : ( x − 2)

Văn 2

An-2017)

Trong

mặt

phẳng

tọa

độ

Oxy ,

cho

đường

tròn

+ ( y + 3 ) = 9 . Viết phương trình đường tròn ( C ') là ảnh của đường tròn ( C ) qua

Dạng 1. Khai thác dịnh nghĩa, tinh chất va ứng dụng của phép đối xứng trục và đối xứng tâm. Câu 1.

Cho đường thẳng a . Qua phép đối xứng trục a , đường thẳng nào biến thành chính nó. A. Các đường thẳng song song với a . B. Các đường thẳng vuông góc với a . C. Các đường thẳng hợp với a một góc 60 0 . D. Các đường thẳng hợp với a một góc 30 0 . Đáp án B. Lời giải:

phép đối xứng trục Oy . 2

B. ( C ' ) : ( x − 2 ) + ( y − 3 ) = 9 .

D. ( C ' ) : ( x + 2 ) + ( y + 3 ) = 4 .

A. ( C ' ) : ( x + 2 ) + ( y + 3 ) = 9 . C. ( C ') : ( x − 2 ) + ( y + 2 ) = 9 . Câu 36.

l a

(GIỮA KÌ I YÊN HÒA HÀ NỘI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng

∆ : 3x − 5 y + 9 = 0 , phép đối xứng trục Ox biến đường thẳng ∆ thành đường thẳng ∆′ có phương

trình là

A. −3x + 5 y − 9 = 0 .

B. 3x + 5 y − 9 = 0 .

C. 3x + 5 y + 9 = 0 .

D. −3x + 5 y + 9 = 0 .

Giả sử l là đường thẳng vuông góc với a . Lấy A ∈ l và Da ( A ) ≡ A′ ⇒ AA′ ⊥ a ⇒ A′ ∈ l và ngược lại vẫn thỏa mãn ⇒ Da ( l ) = l . 5

Câu 2.

C. Có một phép đối xứng trục.

Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d′ . có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng này thành đường thẳng kia? A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số. Lời giải: C. Đáp án

D. Có hai phép đối xứng trục. Lời giải

Chọn D d

Có 2 phép đối xứng trục với các trục là hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau d và d′ . a' d

d' d'

Câu 3.

Câu 4.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hình vuông có vô số trục đối xứng. B. Hình chữ nhật có 4 trục đối xứng. C. Tam giác đều có vô số trục đối xứng. D. Tam giác cân nhưng không đều có 1 trục đối xứng. Lời giải: Đáp án D. Tam giác cân nhưng không đều có một trục đối xứng là đường cao ứng với đỉnh của tam giác cân đó.

Hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng d và d ' là các trục đối xứng của phép đối xứng trục biến d thành d ' , do đó có hai phép đối xứng trục thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6.

A. Đáp án

(GIỮA KÌ I YÊN HÒA HÀ NỘI 2017-2018) Khẳng định nào sau đây SAI? A. Đường tròn có trục đối xứng. B. Hình tam giác đều có trục đối xứng. C. Đường thẳng có trục đối xứng. D. Hình bình hàng có trục đối xứng. Lời giải

Câu 7.

C. Lời giải:

qua các phép đối xứng tâm O1 và O2 . Khằng định nào sau đây đúng? A. MM 2 = O1O2 . B. M 1M 2 = −2O1O2 . C. M 1M 2 = 2O1O2 .

D. O1M 1 = O2 M 2 .

Lời giải Chọn C Ta có O1O2 là đường trung bình của tam giác MM 1M 2 nên suy ra M 1M 2 = 2O1O2 .

Vì:

Câu 8.

Đường tròn có vô số trục đối xứng là các đường thẳng đi qua tâm của nó. Tam giác đều có ba trục đối xứng chính là ba đường cao của nó.

Đường thẳng có vô số trục đối xứng là các đường thẳng vuông góc với nó. Hình bình hành nói chung không có trục đối xứng.

Câu 5.

(HKI-Chu Văn An-2017) Cho ba điểm M , O1 , O2 . Gọi M1 , M 2 tương ứng là ảnh của điểm M

Hình C có một tâm đối xứng tại giao điểm của hai đường chéo.

Chọn D

Hình nào dưới đây có một tâm đối xứng?

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d ' . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến d thành d ' A. Không có phép đối xứng trục nào. B. Có vô số phép đối xứng trục. 7

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Hình nào sau đây có vô số tâm đối xứng? A. Hình vuông. B. Hình tròn. C. Đường thẳng. D. Đoạn thẳng. Lời giải Chọn C Theo định nghĩa về hình có tâm đối xứng thì chỉ có đường thẳng có vô số tâm đối xứng. Đó là một điểm bất kì lấy trên đường thẳng đó. 8

Câu 9.

Giải sử phép đối xứng tâm O biến đường thẳng d thành d1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. d1 cắt d .

B. Nếu O ∉ d thì d d1 .

C. Nếu d qua O thì d cắt d1 .

D. d và d1 cắt nhau tại O . Lời giải:

Đáp án B A B

d O

Vì AB không vuông góc với AC .

Câu 13. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng phía với d . Gọi A1 đối xứng với A , B1 đối

xứng với B qua d . M là điểm trên d thỏa mãn MA + MB nhỏ nhất. Chọn mệnh đề sai: A. Góc giữa AM và d bằng góc giữa BM và d . B. M là giao điểm của A1B và d .

Thật vậy, A, B ∈ d . Qua phép đối xứng tâm O ∉ d ta được ảnh là A′, B′∈ d1 , AB A′B′ .

Câu 10. Mệnh đề nào sau đây là sai: A. Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau có một tâm đối xứng. B. Hình vuông có một tâm đối xứng. C. Hình gồm hai đường tròn bằng nhau có một tâm đối xứng. D. Đường elip có vô số tâm đối xứng. Lời giải: Đáp án D Đường elip có một tâm đối xứng. Câu 11.

Câu 12.

C. M là giao điểm của AB1 và d . D. M là giao điểm của AB và d. Lời giải: Đáp án D B A

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Hình nào dưới đây có tâm đối xứng? A. Hình thang. B. Hình tròn. C. Tam giác bất kì. D. Parabol. Lời giải Chọn B Tâm đối xứng của hình tròn là tâm của hình tròn đó. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho hình vuông ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD . Kí hiệu Ðd là phép đối xứng trục qua đường thẳng d . Khẳng định nào sau đây sai? A. ÐAC ( B ) = A .

B. ÐBD ( A ) = C .

C. ÐMN ( B ) = A .

d M A1 B1

Với ∀N ∈ d : A1 N + BN ≥ A1B do A1 N = AN , A1M = AM

⇒ AN + BN = A1 N + BN ≥ A1B = A1M + MB = AM + MB . Đẳng thức xảy ra khi M ≡ N . Vậy A1B ∩ d . Câu 14. Với mọi tứ giác ABCD , kí hiệu S là diện tích tứ giác ABCD . Chọn mệnh đề đúng: 1 1 A. S = ( AB.CD + BC . AD ) B. S ≤ ( AB.CD + BC . AD ) 2 2 1 C. S > AB.CD + BC. AD D. S ≥ ( AB.CD + BC . AD ) . 2 Lời giải: Đáp án B.

D. ÐMN ( D ) = C .

Lời giải Chọn A

Gọi K là điểm xác định bởi KA + 2 KB + 3KC = 0 .

1 1 AB + AC . 3 2 1 1 Mặt khác AEIF là hình bình hành nên AI = AE + AF = AB + AC nên K ≡ I . 3 2 Từ giả thiết ⇒ 6 PK + KA + 2 KB + 3KC = 6 IQ ⇔ PK = IQ hay PI = IQ

(

) (

)

Khi đó KA + 2 KA + AB + 3 KA + AC = 0 ⇔ AK =

(

)

⇒ ĐI ( P ) = Q ⇒ khi P di động trên ( O ) thì Q di động trên đường ( O′ ) là ảnh của ( O ) qua

Sử dụng phép đối xứng trục qua đường trung trực AC ⇒ S ABC ≤

1 AB. AC . Gọi D ′ đối xứng với 2

phép đối xứng tâm I . Dạng 2. Tìm ảnh của điểm, đường thẳng qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm bằng phương pháp tọa độ

D qua trung trực của AC ⇒ S ABCD = S ABCD′ = S BAD′ + SBCD′

1 1 AB. AD′ , S BCD′ ≤ BC.CD′ 2 2 1 1 1 ⇒ S ABCD ≤ AB. AD′ + BC .CD′ = ( AB.CD + BC . AD ) 2 2 2 Câu 15. Cho hai điểm A, B phân biệt. Gọi S A , S B là phép đối xứng qua A, B . Với điểm M bất kì, gọi Do S ABD ′ ≤

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép biến hình F : M ( x; y ) → M ′ ( y; x ) . Chọn mệnh đề đúng: A. F là phép đối xứng trục Oy .

B. F là phép đối xứng trục Ox . C. F là phép đối xứng với trục đối xứng là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. D. F là phép đối xứng trục với trục là đường phân giác của góc phần tư thứ hai. Lời giải: Đáp án C

M 1 = S A ( M ) , M 2 = S B ( M 1 ) . Gọi F là phép biến hình biến M thành M 2 . Chọn mệnh đề đúng:

A. F không là phép dời hình C. F là phép đối xứng tâm.

B. F là phép đối xứng trục. D. F là phép tịnh tiến. Lời giải:

Đáp án D M1

Câu 18.

Ta có: MA = AM 1 , M 1 B = BM 2 .

a y=x

(GIỮA KÌ I YÊN HÒA HÀ NỘI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A '(−4;3) và điểm I (1;1) ; biết A ' là ảnh của A qua phép đối xứng tâm I . Khi đó tọa độ điểm A là

A. A(5; −2) .

B. A(−6;1) .

MM 1 = MA + AM 1 + M 1 B + BM 2 = AM 1 + AM 1 + M 1 B + M 1 B = 2 AM 1 + 2 M 1 B = 2 AB . Vậy F là

phép tịnh tiến theo vectơ 2AB .

C. A(−5;2) .

D. A(6; −1) .

Lời giải Chọn B

Câu 16. Cho ∆ABC và đường tròn tâm O . Trên đoạn AB , lấ y điểm E sao cho BE = 2 AE , F là trung điểm của AC và I là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEIF . Với mỗi điểm P trên ( O ) ta dựng điểm Q sao cho PA + 2 PB + 3PC = 6 IQ . Khi đó tập hợp điểm Q khi P thay đổi là: A. Đường tròn tâm O′ là ảnh của đường tròn ( O ) qua ĐI . B. Đường tròn tâm O′ là ảnh của đường tròn ( O ) qua ĐE

Vì A ' là ảnh của A qua phép đối xứng tâm I nên I là trung điểm của AA' .

 xA + xA ' = 2.xI ⇒ A(−6;1) . Vậ y   y A + y A ' = 2. y I Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép đối xứng trục Đa , với a là đường thẳng có phương trình:

C. Đường tròn tâm O′ là ảnh của đường tròn ( O ) qua phép đối xứng tâm ĐF

2 x − y = 0 . Lấy A ( 2; 2 ) ; Đa ( A ) thành điểm có tọa độ bao nhiêu?

D. Đường tròn tâm O′ là ảnh của đường tròn ( O ) qua phép đối xứng tâm ĐB .

A. ( −2; 2 ) .

Lời giải: Đáp án A 11

1 1 B.  ;  . 2 2

 2 14  C.  ;  . 5 5  Lời giải:

 14 2  D.  ;  .  5 5 12

Đáp án C

Câu 22. y M'

An-2017)

Trong

Câu 23.

phương trình A. 3 x + 2 y − 1 = 0 .

C. A ' (1; −3 ) .

điểm

D. G ' ( 0;3 ) .

B. 3 x + 2 y + 1 = 0 .

( d ) qua

phép đối xứng tâm O là đường thẳng có

C. 3 x + 2 y − 5 = 0 . Lời giải

D. 3 x + 2 y = 0 .

Gọi M ′ ( x′; y′) là ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm O . Ta có: ÐO ( M ) = M ' nên theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O :

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép đối xứng tâm I biến A (1; 3) thành A ' ( 5;1) thì I có C. I (12;8 ) .

 x′ = − x  x = − x′ ⇔ .  ′ y = − y   y = − y′

D. I ( 3; 2 ) .

Thay vào (1) ta được: 3 ( − x′) + 2 ( − y′ ) + 5 = 0 ⇔ 3 x′ + 2 y′ − 5 = 0 .

Lời giải: Đáp án D

Gọi ảnh của đường thẳng ( d ) qua phép đối xứng tâm O là ( d′) thì M ′ ( x′; y′) ∈ ( d ′)

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Trong mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) , tìm tọa

Vậy ảnh của đường thẳng ( d ) qua phép đối xứng tâm O là ( d ′ ) :3 x + 2 y − 5 = 0 .

độ điểm M ′ là ảnh của điểm M ( 2; 4 ) qua phép đối xứng tâm I (1; −2 ) B. M ′ ( 0;8 ) .

Gọi M ( x; y ) ∈ ( d ) ⇔ 3x + 2 y + 5 = 0 (1) .

x ' = 1 Ta có: ĐO ( A ) = A ' ⇒  ⇒ A ' (1; −3) .  y = −3

A. M ′ ( 4; 2 ) .

cho

Chọn C

D. A ' (1;3 ) .

Đáp án C

Câu 21.

Oxy

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d :3 x + 2 y + 5 = 0 . Ảnh của đường thẳng

Lời giải:

B. I ( 4; −2 ) .

độ

Ta có G ( 2;1) ⇒ G ' (1.2 − 2; 2.2 − 1) = ( 0; 3) . Hay G ' ( 0;3 ) .

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A ( −1;3) . Tìm ảnh của A qua phép đối xứng tâm O .

tọa độ là: A. I ( 6; 4 ) .

tọa

Ta có G ' = DI ( G ) với G là trọng tâm tam giác ABC .

2  ( x − 2 ) .1 + 2 ( y − 2 ) = 0  x = 5 x + 2 y = 6  ⇒ x+2 y+2 ⇔ ⇔ − =0  2 x − y = −2 2.  y = 14  2 2  5

B. A ' ( −1; 3) .

phẳng

Chọn D

n = ( 2; −1) là vectơ pháp tuyến của a , AA ' và n cùng phương và H ∈ a

A. A ' ( −1; −3 ) .

mặt

Lời giải

Văn

A ' B ' C ' . Tìm tọa độ điểm G ' là trọng tâm của tam giác A ' B ' C ' . A. G ' ( 3; 0 ) . B. G ' ( 0; 4 ) . C. G ' ( 4;5 ) .

 x+2 y+2 Ta có D a ( A ) = A′ ( x; y ) . Gọi H là trung điểm AA′ ⇒ H  ;  2   2

(HKI-Chu

A ( −1; 2 ) , B ( 3; 4 ) , C ( 4; −3) . Phép đối xứng tâm I (1; 2 ) biến tam giác ABC thành tam giác

C. M ′ ( 0; −8 ) .

D. ( −4;8 ) .

Câu 24.

Lời giải

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Phép đối xứng tâm I ( a; b ) biến điểm A (1; 3 ) thành điểm A′ (1; 7 ) . Tính tổng T = a + b .

A. T = 8.

Chọn C

M ′ là ảnh của M qua phéo đối xứng tâm I (1; −2 ) ⇔ IM ′ = − IM ⇔ I là trung điểm của MM ′

B. T = 4.

C. T = 7. Lời giải

D. T = 6.

Chọn D Phép đối xứng tâm I ( a; b ) biến điểm A (1; 3 ) thành A′ (1; 7 ) nên ta có I là trung điểm của đoạn

 x ′ = 2 xI − xM = 0 ⇒ M  yM ′ = 2 xI − yM = −8

thẳng AA′ .

Lấy A ( 3;0 ) ∈ d . Gọi A′ là ảnh của A qua phép đối xứng tâm I . Ta có:

x A + xA ' 1+1   x = =1  xI =  I 2 2 Do đó:  . Vậy I (1;5 ) ⇒ a = 1; b = 5 ⇒ T = a + b = 1 + 5 = 6 . ⇔  y = y A + yA' y = 3+ 7 = 5 I I  2  2

Câu 25.

 xA′ = 2 xI − xA  x ′ = −1 ⇔ A ⇔ A′ = ( −1; 0 ) .  y = y − y 2 I A  A′  y A′ = 0

(GIỮA KÌ I YÊN HÒA HÀ NỘI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2

( C′)

Vì A′∈ d ′ nên −1 − 0 + m = 0 ⇔ m = 1 ⇒ d ′ : x − y + 1 = 0.

(C ) : ( x + 2 ) + ( y − 5 ) = 18 , phép đối xứng tâm I (1; −4) biến đường tròn ( C ) thành đường thẳng

có phương trình là 2

A. (C ') : ( x + 4 ) + ( y − 13 ) = 18 . C. (C ') : ( x − 4 ) + ( y + 13 ) = 18 .

Câu 28.

B. (C ') : ( x − 4 ) + ( y − 13 ) = 18 .

điểm M trên đường thẳng ∆ biến thành điểm N thuộc đường thẳng ∆′ . Tính độ dài MN .

D. (C ') : ( x + 4 ) + ( y + 13 ) = 18 .

B. MN = 4 5 .

A. MN = 13 .

C. MN = 2 13 . Lời giải

Lời giải

Chọn C Gọi M ( a; b ) ∈ ∆ . Ta có: a + 2b − 3 = 0 ⇒ a = 3 − 2b ⇒ M ( 3 − 2b; b ) .

Chọn C Gọi M ( x, y ) ∈ (C ), M '( x ', y ') ∈ (C ') sao cho Đ I (M) = M'.

 xM + xN = 2 xI Vì điểm I (1; −3) là trung điểm của đoạn thẳng MN nên  ⇒ N ( 2b − 1; −b − 6) .  yM + yN = 2 yI

 x '+ x = 2  x = − x '+ 2 Do đó I là trung điểm của MM ' nên  ⇔ y y ' + = − 8   y = − y '− 8 2

Cho N ∈ ∆ ′ ta có: 2 ( 2b − 1) + 6 + b − 4 = 0 ⇔ b = 0 ⇒ M ( 3;0 ) , N ( −1;6 ) . Vậy MN = 2 13 . 2

Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M (1;3) và M ' ( −1;1) .Phép đối xứng trục Đa biến

Mà M ∈ (C ) : ( x + 2 ) + ( y − 5 ) = 18 ⇒ ( − x '+ 2 + 2 ) + ( − y '− 8 − 5 ) = 18 2

điểm M thành M ' có trục a có phương trình: A. x − y + 2 = 0 . B. x − y − 2 = 0 . C. x + y + 2 = 0 .

⇔ ( x '− 4 ) + ( y '+ 13 ) = 18. 2

Đáp án D

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Trong hệ tọa độ Oxy , phép đối xứng tâm là gốc

A(x;y)

tọa độ O biến điểm P ( −2;1) thành điểm P ' có tọa độ là.

A. P ' ( −2; −1) .

B. P ' ( 2;1) .

D. x + y − 2 = 0 .

Lời giải:

Vậy (C ') : ( x − 4 ) + ( y + 13 ) = 18 .

Câu 26.

D. MN = 12 .

C. P ' ( 2; −1) .

D. P ' ( −1;2 ) .

Lời giải Chọn C

Câu 27.

Phép đối xứng tâm O biến điểm P ( −2;1) thành điểm P ' ⇔ O là trung điểm PP ' ⇔ P ' ( 2; −1)

Ta có: a là trung trực của MM '

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng

Gọi A ( x; y ) ∈ a ⇔ AM 2 = AM '2

d : x − y − 3 = 0. Xác định phương trình đường thẳng d′ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm

I (1;0) . A. d ′ : x − y − 1 = 0 .

B. d ′ : x + y + 1 = 0 .

C. d ′ : x − y + 1 = 0 . Lời giải

⇔ ( x − 1) + ( y − 3) = ( x + 1) + ( y − 1) ⇔ x + y − 2 = 0

Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x − y − 2 = 0 . Ảnh của d qua phép đối xứng trục tung có phương trình: A. x − y + 2 = 0 . B. x + y + 2 = 0 . C. x + y − 2 = 0 . D. x + 2 y − 2 = 0 .

D. d ′ : x + y − 1 = 0 .

Chọn C

Lời giải: Đáp án B

Vì I ∉ d ⇒ d ′ / / d nên phương trình d ′ : x − y + m = 0.

Lấy M ( x; y ) ⇒ M ' ( − x; y ) đối xứng với M qua Oy . 15

Vậy ảnh của d qua phép đối xứng trục tung là:

 1 7  ⇒ N ' M =  ;  ⇒ n = ( 7; −1) là vectơ pháp tuyến của ∆ ' . 5 5

−x − y − 2 = 0 ⇒ x + y + 2 = 0 Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng l : y − 2 = 0 , d : x + 2 y + 2 = 0 . Gọi d ' là ảnh của d qua phép đối xứng trục l . Phương trình của d ' là: A. x − 2 y + 10 = 0 . B. x + 2 y + 10 = 0 . C. x − 2 y − 10 = 0 .

Vậy phương trình đường thẳng ∆ ' là: 7 x − y − 6 = 0

Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ảnh của đường thẳng d : x + 2 y − 3 = 0 qua phép đối xứng tâm D. x + 2 y − 10 = 0 .

I ( 4;3 ) là:

Lời giải:

A. x + 2 y − 17 = 0 .

Đáp án A

C. x + 2 y − 7 = 0 .

D. x + 2 y − 15 = 0 .

Lời giải: Đáp án A. Sử dụng phương pháp quỹ tích, ta có:  x′ = 8 − x  x = 8 − x′ Ðd : M ( x; y ) → M ′ ( x′; y′) ⇒  ⇒ ′ 6 y = − y   y = 6 − y′

y=2

Thế vào phương trình d ta có: 8 − x′ + 2 ( 6 − y′ ) − 3 = 0 ⇔ − x′ − 2 y′ + 17 = 0 ⇔ x′ + 2 y − 17 = 0.

x1 x

Câu 34. Lấy M ( x; y ) qua phép đối xứng trục l là M ( x1 ; y1 ) .

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm ảnh của đường tròn (C ) : ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 4 qua phép đối xứng trục Ox .

 x1 = x  x = x1 ⇔ Với  4 y = − y  1  y = 4 − y1

A. ( C ′ ) : ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 4 .

C. ( C ′ ) : ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 4 .

B. ( C ′ ) : ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = 4 .

D. ( C ′ ) : ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 2 . Lời giải.

M ∈ d ⇔ x + 2 y + 2 = 0 ⇔ x1 − 2 y1 + 10 = 0

Chọn C

⇔ M ' ∈ d ' có phương trình x − 2 y + 10 = 0

Đường tròn (C ) có tâm I (1; −2), R = 2 .

Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ∆ : x + y − 2 = 0 . Tìm ảnh ∆ ' đối xứng với ∆ qua

DOx ( I ) = I ′(1; 2) .

đường thẳng d : 3x + y − 4 = 0 . A. 7 x − y + 6 = 0 .

B. x + 2 y + 17 = 0 .

B. x − 7 y + 5 = 0 .

C. 7 x + y + 6 = 0 .

Gọi ( C ′ ) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục Ox , khi đó ( C ′ ) có tâm I ′(1; 2), R ′ = R = 2 .

D. 5 x − 2 y − 6 = 0 .

Lời giải:

Vậy phương trình đường tròn ( C ′ ) : ( x − 1)2 + ( y − 2) 2 = 4 .

Đáp án A Câu 35.

(HKI-Chu

Văn 2

An-2017)

Trong

mặt

phẳng

tọa

độ

Oxy ,

cho

đường

tròn

( C ) : ( x − 2 ) + ( y + 3) = 9 . Viết phương trình đường tròn ( C ') là ảnh của đường tròn ( C ) qua

phép đối xứng trục Oy .

B. ( C ' ) : ( x − 2 ) + ( y − 3 ) = 9 .

D. ( C ' ) : ( x + 2 ) + ( y + 3 ) = 4 .

A. ( C ' ) : ( x + 2 ) + ( y + 3 ) = 9 .

C. ( C ') : ( x − 2 ) + ( y + 2 ) = 9 .

Lời giải

x + y − 2 = 0 x = 1 Xét hệ phương trình:  ⇔ ⇒ ∆ ∩ d = M (1;1) 3 x + y − 4 = 0 y =1

Chọn A Đường tròn có tâm I ( 2; −3) ; bán kính R = 3 .

4 2 Chọn N ( 2; 0 ) ∈ ∆ . Gọi N ' là ảnh của N qua Đd ta tìm được N '  ; −  5 5

Ảnh của tâm I ( 2; −3) qua trục Oy là I ' ( −2; −3) . 2

Do đó ảnh của đường tròn qua trục Oy là ( C ' ) : ( x + 2 ) + ( y + 3) = 9 . 17

Câu 36.

(GIỮA KÌ I YÊN HÒA HÀ NỘI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : 3x − 5 y + 9 = 0 , phép đối xứng trục Ox biến đường thẳng ∆ thành đường thẳng ∆ ′ có phương trình là A. −3x + 5 y − 9 = 0 . B. 3x + 5 y − 9 = 0 . C. 3x + 5 y + 9 = 0 . D. −3x + 5 y + 9 = 0 . Lời giải Chọn C

Tìm ảnh đường tròn ( C ′ ) của ( C ) qua phép đối xứng tâm I (1;3) .

x ' = x x = x ' . Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Ox là:  ⇔ y ' = −y y = −y '

A. x 2 + y 2 − 10 x − 16 = 0 . 2

(* )

tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 4. Phép đối xứng trục Ox biến đường tròn ( C ) thành đường tròn

( C′) có phương trình là 2

D. x 2 + y 2 − x − 10 y + 9 = 0 .

 x′ = 2 xI − x = 2 − x  x = 2 − x′ M ′ ( x′; y′) ∈ ( C ′) ⇒  ⇔ . Thế vào ( C ) ta có:  y = 6 − y′  y′ = 2 yI − y = 6 − y

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường

B. x 2 + y 2 − 10 y − 16 = 0 .

Lời giải: Đáp án C. Cách 1: ÐI ( ( C ) ) = ( C ′ ) : Với mọi M ( x; y ) qua phép đối xứng tâm I ta được

đường thẳng ∆ ' là ảnh của đưởng thẳng ∆ qua phép đối xứng trục Ox , do đó phương trình đường thẳng ∆ ' là 3x + 5 y + 9 = 0 .

C. x + y − 10 y + 16 = 0 .

Vì tọa độ điểm M ' ( x '; y ' ) thỏa mãn phương trình (*) , mà khi M thay đổi thì M ' chạy trên

Câu 37.

 x = − x′ 2 2 ⇒ ⇒ ( − x′) + ( y′) + 4 x′ + 5 y′ + 1 = 0 .  y = y′ Vậy phương trình đường tròn ( C′ ) là x 2 + y 2 + 4 x + 5 y + 1 = 0 . Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) có phương trình: x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 4 = 0 .

Giả sử M ( x; y ) là điểm bất kì thuộc ∆ , M ' ( x '; y ') = §Ox ( M ) .

Do đó M ( x '; − y ' ) , vì M ∈ ∆ nên: 3x '− 5 ( − y ') + 9 = 0 ⇔ 3x '+ 5 y '+ 9 = 0

Lời giải: Đáp án B. Phương pháp quỹ tích: từ biểu thức tọa độ ÐOy : M ( x; y ) → M ′ ( x′; y′ ) ∈ ( C ′ )

( 2 − x′) + ( 6 − y′) − 4 ( 2 − x′) − 2 ( 6 − y′) − 4 = 0 ⇔ ( x′) + ( y′) Vậy đường tròn ( C ′ ) : x 2 + y 2 − 10 y + 16 = 0 .

− 10 y′ + 16 = 0

Cách 2: Đường tròn ( C ) có tâm M ( 2;1) , bán kính R = 3 , ÐI ( M ) = M ′ ⇒ M ′ ( 0;5 ) .

A. ( x + 1) + ( y − 2 ) = 4.

Vậy đường tròn ( C ′ ) : x 2 + y 2 − 10 y + 16 = 0 .

B. ( x − 1) + ( y + 2 ) = 4. C. ( x − 1) + ( y − 2 ) = 4. D. ( x + 1) + ( y + 2 ) = 4. Lời giải Chọn C Đường tròn ( C ) có tâm I (1; − 2 ) và bán kính R = 2. Phép đối xứng trục Ox biến đường tròn ( C ) thành đường tròn ( C′) . Khi đó đường tròn ( C′) có tâm I ′ và bán kính R′, với I ' = ĐOx ( I ) ⇒ I ′ = (1;2 ) và R ′ = R = 2. 2

Vậy phương trình đường tròn ( C′) là: ( x − 1) + ( y − 2 ) = 4.

Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) có phương trình: x 2 + y 2 − 4 x + 5 y + 1 = 0 . Tìm ảnh đường tròn ( C ′ ) của ( C ) qua phép đối xứng trục Oy .

A. x 2 + y 2 − 4 x − 5 y + 1 = 0 . 2

C. 2 x + 2 y + 8 x + 10 y − 2 = 0 .

B. x 2 + y 2 + 4 x + 5 y + 1 = 0 . D. x 2 + y 2 + 4 x − 5 y + 1 = 0 . 19

TOÁN 11

D. F biến tam giác thành tam giác bằng nó.

PHÉP BIẾN HÌNH, PHÉP DỜI HÌNH Câu 7.

1H1-6

A. Phép biến mọi điểm M thành điểm M ′ sao cho O là trung điểm MM ′ , với O là điểm cố định cho trước. B. Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d. C. Phép biến mọi điểm M thành điểm O cho trước. D. Phép biến mọi điểm M thành điểm M ′ là trung điểm của đoạn OM , với O là một điểm cho trước.

Phần A. Câu hỏi Câu 1.

Khẳng định nào sai? A. Phép tịnh tiến biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. B. Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng nó. C. Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. D. Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Câu 2.

Câu 8.

Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của phép dời hình?

(II) Phép biến hình F2 : M 2 ( x2 ; y2 ) → M 2′ ( 2 x2 ; 2 y2 ) A. Chỉ phép biến hình (I). B. Chỉ phép biến hình (II). C. Cả hai phép biến hình (I) và (II). D. Cả hai phép biến hình (I) và (II) đều không là phép dời hình.

Khẳng định nào sau đây sai? A. Phép quay góc quay −90° biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó. B. Phép quay góc quay −90° biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc với nó. C. Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó. D. Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Câu 4.

Câu 9.

Trong mặt phẳng xét hình (H) là hình gồm hai đường tròn tâm O và tâm O' có bán kính tương ứng là R và R ' (với R > R ' ). Khi đó:

B. Đường vuông góc với đường nối tâm OO ' và đi qua trung điểm của OO' sẽ chia hình (H) thành hai phần bằng nhau. C. Đường nối hai điểm bất kì A, B (không trùng với OO ' ) với A thuộc (O) , B thuộc (O ') sẽ chia hình (H) thành hai phần bằng nhau. D. Mỗi đường thẳng bất kì đi qua O hoặc O' chia hình (H) thành hai phần bằng nhau.

A. Hai hình bằng nhau thì luôn phải trùng khít lên nhau. B. Hai hình bằng nhau khi có phép dời hình biến hình này thành hình kia. C. Gọi A, B tương ứng là tập hợp điểm của hình H và H ' . D. Hai hình trùng khít lên nhau thì luôn phải bằng nhau. Phép dời hình nào sau đây biến tam giác AMO thành tam giác CPO ? A. Phép tịnh tiến theo véc tơ AM . B. Phép đối xứng trục MP . C. Phép quay tâm O góc quay 1800 . D. Phép quay tâm O góc quay −1800 . Câu 11. Cho hai hình bình hành. Hãy chỉ ra một đường thẳng chia hai hình bình hành đó thành hai phần bằng nhau.

Phép biến hình nào sau đây là một phép dời hình?

A. Đường thẳng đi qua hai tâm của hai hình bình hành. B. Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hai hình bình hành. C. Đường thẳng đi qua tâm của hình bình hành thứ nhất và một đỉnh của hình bình hành còn lại. D. Đường chéo của một trong hai hình bình hành đó.

A. Phép đồng nhất. B. Phép chiếu lên một đường thẳng. C. Phép biến mọi điểm M thành điểm O cho trước. D. Phép biến mọi điểm M thành điểm là trung điểm của đoạn OM với O là điểm cho trước. Câu 6.

Mệnh đề nào sau đây là sai?

Câu 10. Cho hình vuông tâm O . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC , CD, DA .

A. Đường nối tâm OO ' sẽ chia hình (H) thành hai phần bằng nhau.

Câu 5.

Xét hai phép biến hình sau, đâu là phép dời hình? (I) Phép biến hình F1 : M 1 ( x1 ; y1 ) → M1′ ( − y1 ; x1 )

A. Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. B. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của ba điểm đó. C. Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến tia thành tia. D. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp k lần đoạn thẳng ban đầu. Câu 3.

Phép biến hình nào sau đây là một phép dời hình?

Câu 12. Cho hai phép biến hình: F1 :M ( x; y) → M ' ( x +1; y − 3) , F2 :M ( x; y) → M ' (−y; x ) . Phép biến

Phép biến hình F là phép dời hình khi và chỉ khi:

hình nào trong hai phép biến hình trên là phép dời hình.

A. F biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó. B. F biến đường thẳng thành chính nó. C. F biến đường thẳng thành đường thẳng cắt nó.

A. Chỉ phép biến hình F1 . 1

B. Chỉ phép biến hình F2 .

Câu 20. Cho phép dời hình:

C. Cả hai phép biến hình F1 và F1 .

B. BCD .

C. DAB .

B. m = −2 .

C. m = 1 .

Câu 17. Cho

∆ABC

và

B. M ≡ B . D. Các khẳng định trên đều sai. điểm M thỏa mãn BM = 2CM .

C. 57 .

F1 :M ( x; y) → M ' ( x + 2; y − 4)

Oxy , cho các phép dời hình:

và

B. (0;5) .

C. (−6;5) .

D. (6;5) .

Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm A ( −3; 2 ) , B ( 4;5 ) , C ( −1;3) . Gọi ∆A1 B1C1 là ảnh của

∆ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc −900 và phép tịnh tiến theo véc tơ v = ( 0;1) . Khi đó tọa độ các đỉnh của ∆A1 B1C1 là: F

là

phép

dời

hình.

Gọi

thuộc đường thẳng AB. Biết F(C) và C nằm cùng phía với AB . Với mọi M bất kì chọn khẳng

định đúng. A. F(M) và M đối xứng nhau qua AB .

B. F(M) và M đối xứng nhau qua BC .

C. F(M) = M với mọi M .

D. F( M) = A .

A. A1 (1; 2 ) , B1 ( −1; 4 ) , C1 ( 3;5) .

B. A1 ( 2; −3) , B1 ( 5; −4 ) , C1 ( 3; −1) .

C. A1 ( 5; −4 ) , B1 ( 2; −3) , C1 ( 3; −1) .

D. A1 ( 2; 4 ) , B1 ( 5; −3) , C1 ( 3; 2 ) .

Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d :3 x + y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d′ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo véc tơ v ( −2;1) và phép quay tâm O góc quay 1800 .

D. 74 .

Câu 18. Cho hai điểm A, B và phép dời hình F thỏa mãn F( A) = A; F ( B) = B . Gọi C là điểm không

A. −6 x − 2 y − 7 = 0 .

B. −3 x − y + 8 = 0 .

C. 3 x + y − 6 = 0 .

D. 6 x + 2 y − 15 = 0 .

Câu 25. Nếu thực hiện liên tiếp hai phép quay cùng tâm Q(O,ϕ1 ) và phép Q(O,ϕ2 ) thì kết quả là: A. một phép đồng nhất. B. phép tịnh tiến. C. phép quay tâm O góc quay ϕ1 + ϕ 2 .

Câu 19. Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Mệnh đề nào sau đây đúng: A. Hai hình thang B. Hai hình thang C. Hai hình thang D. Hai hình thang

D. ( x − 2) + ( y + 1) = 2 .

A. qua hai phép đối xứng trục có các trục cắt nhau là một phép quay. B. qua hai phép tịnh tiến ta được một phép tịnh tiến. C. qua hai phép đối xứng tâm ta được phép tịnh tiến hoặc đối xứng tâm. D. qua hai phép quay ta luôn được một phép đồng nhất.

bằng:

B. 106 .

Câu 22. Mệnh đề nào sau đây là sai: Phép biến hình thực hiện:

F( A) = A1 ; F( B) = B1 ; F(C) = C1 ; F( M) = M1 , biết AB = 4, BC = 5, CA = 6 . Độ dài đoạn A1M1

A. 116 .

A. (4;1) .

Câu 16. Cho hai điểm phân biệt A, B và F là phép dời hình, biết F( A) = A; F( B) = B . Giả sử N thuôc

A. M ≡ A . C. M ≡ N .

F2  F1 ( A ) .

D. không tồn tại m.

đường thẳng AB , N ≠ A, N ≠ B và F( N) = M . Chọn khẳng định đúng?

F2 : M ( x; y ) → M ' ( − x; − y ) . Tìm tọa độ ảnh của điểm A (4; −1) qua F1 rồi đến F2 , nghĩa là

D. BMD .

1  Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét biến hình F : M ( x; y) → M '  x; my . Với giá trị nào của m thì  2  F là phép dời hình?

A. m = 2 .

B. ( x + 2) + ( y −1) = 2 .

Câu 21. Trong mặt phẳng

D. E .

Câu 14. Cho hình chữ nhật và một phép dời hình F trong mặt phẳng. Biết rằng qua phép dời hình F tam giác ABC biến thành tam giác BAD , tam giác ADC biến thành tam giác nào sau đây? A. CBA .

C. ( x + 4) + ( y − 3) = 2 .

của điểm C là: C. C .

A. ( x − 4) + ( y + 3) = 2 .

Câu 13. Cho một ngũ giác đều và một phép dời hình f . Biết rằng f (A) = C, f (E) = B và f ( D) = A . Ảnh B. B .

Xác định ảnh của đường tròn

D. Cả hai phép biến hình F1 và F1 đều không là phép dời hình.

A. A .

F : M ( x; y) → M '( x − 3; y +1).

AEJK và FOIC bằng nhau. BEJO và FOIC bằng nhau. AEJK và DHOK bằng nhau. BJEF và ODKH bằng nhau.

Câu 26.

D. phép quay tâm O góc quay là ϕ1 + ϕ 2 . 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : ( x − 7 ) + ( y − 3 ) = 4 . Ảnh của đường tròn qua việc thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véc tơ v = (1;5 ) và phép quay tâm O , góc quay −45 là 2

A. ( x + 8 ) + ( y − 8 ) = 4 .

(

C. x − 8 2 3

)

+ ( y − 8) = 4 .

(

B. x 2 + y − 8 2

(

D. x − 8 2

)

= 4.

+ y2 = 4 . 4

Câu 27.

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Tìm ảnh của điểm N ( 2; − 4 ) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc quay −90° và phép tịnh tiến theo vectơ u = ( −1; 2 ) .

A. N ' ( −5;0 ) . Câu 28.

B. N ' ( −2; − 4 ) .

D. N ' ( 2; − 4 ) .

Câu 4. Câu 5. Câu 6.

hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc quay −90° và phép tịnh tiến theo v .

Câu 7.

B. M ′ (1; 2 ) .

C. M ′ ( −1; −2 ) .

D. M ′ ( −1;6 ) .

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng

Câu 8.

d : 5x − y + 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm I ( 2; −1) và phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 3; 4 ) . A. 5x + y + 34 = 0 . Câu 30.

B. 5x − y − 34 = 0 .

C. 5x + y − 34 = 0 .

D. ( x + 5) + ( y − 2) = 10 .

C. ( x + 1) + ( y − 6 ) = 10 . Câu 31.

(I )

hình

( xM − xN ) + ( yM − y N )

Đáp án A Ví dụ: Tv (∆ABC) = ∆A 'B'C ', v ≠ 0 ⇔ ∆ABC = ∆A 'B'C ' và phân biệt.

Câu 10.

Đáp án D Q A =C  (O ;−1800 ) ( )  Ta có: Q O ;−1800 ( M ) = P ⇒ Q O ;−1800 : ∆AMO → ∆CPO ( ) ( )  Q O ;−1800 ( O ) = O )  (

B. ( x −1) + ( y + 6) = 10 .

biến

Câu 9.

xứng trục Oy 2

phép

có: 2

Xét tương tự với phép biến hình (II) không là phép dời hình.

= 10. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn ( C ) qua phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vecto v = ( 3; 2 ) và phép đối

Đáp án A Chọn hai điểm M ( xM ; yM ) , N ( xN ; y N ) bất kỳ.

F1 ( M ) = M ′ ( − yM ; xM ) ; F1 ( N ) = N ′ ( − y N ; xN ) ⇒ MN = M ′N ′ =

A. ( x + 1) + ( y + 2 ) = 10 .

Đáp án A Đáp án A. Phép đồng nhất bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì Đáp án D. F biến tam giác thành tam giác bằng nó tức bảo toàn khoảng cách hay độ dài các cạnh. Đáp án A Với mọi điểm A, B tương ứng có ảnh A′, B′ qua phép biến hình với quy tắc O là trung điểm tương ứng ⇒ AB = A′B′ ⇒ Đây là phép dời hình.

Xét

D. 5x − y + 34 = 0 .

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Trong mặt phẳng ( Oxy ) cho đường tròn

(C ) : ( x + 2) + ( y − 4 )

Chọn

Tính chất phép quay.

Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M ( 5; −2 ) và v = (1;3) . Tìm ảnh của điểm M qua phép dời

A. M ′ ( 2;5) . Câu 29.

C. N ' ( −4; − 2 ) .

Câu 3.

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2 ( C ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 4 . Nếu thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véc tơ v ( 2;3) và phép đối

Câu 11.

Đáp án A

Câu 12.

Đáp án C. Xét hai điểm A ( x A ; y A ) và B( x B ; y B ) qua hai phép biến hình F1 và F2 . Với phép biến hình F1 :

xứng trục ( ∆ ) : x − y − 3 = 0 thì đường tròn (C ) biến thành đường tròn nào sau đây. 2

A. ( x − 4 ) + y 2 = 4

2 B. x + ( y − 4) = 4

C. x 2 + y 2 = 4

D. ( x − 3) + ( y − 1) = 4

Phần B.Lời giải tham khảo Câu 1.

Chọn

Câu 2.

Theo tính chất của phép quay. Chọn D.

A → A ' (x A +1; y A − 3) ; B → B'( x B +1; y B − 3) ⇒ AB = A 'B' = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) Tương tự với phép biến hình F2 thì AB = A ' B ' nên ta chọn đáp án C

Theo tính chất của phép dời hình của SGK. 5

Câu 13.

Đáp án D

Có 2 khả năng xả y ra: C và C1 đối xứng với nhau qua AB hoặc C ≡ C1

Nếu M = f (C) ta có CA = CM (do f (A) = C ) (1)

Theo giả thiết C và C1 cùng phía so với AB ⇒ C ≡ C1 .

CE = MB (do f ( E) = B ) (2)

Với mọi M ta vẽ đường thẳng qua M cắt AB, AC tại D và E. Theo câu 7:

CD = MA (do f ( D) = A ) (3)

F( D) = D, F( E) = E ⇒ F( M) = M .

(1) ⇔ M thuộc đường tròn tâm C bán kính CA

Câu 19.

Đáp án A Ta có hình thang AEJK biến thành hình thang FOIC qua hai và phép đối xứng trục EH. phép dời hình là phép tịnh tiến TEO

Câu 20.

Đáp án C

(2) ⇔ M thuộc đường tròn tâm B bán kính CE = BE (3) ⇔ M thuộc đường tròn tâm A bán kính CD = AE . Vậ y M ≡ E Câu 14. Đáp án B Theo giả thiết F : ∆ABC → ∆BAD

x ' = x − 3  x = x '+ 3   Ta có F : M ( x; y) → M ' ( x '; y ') ⇒  ⇔   y ' = y +1  y = y '−1  

⇒ F (A) = B; F (B) = A; F (C) = D . Ta xác định ảnh của D qua phép dời hình F. Giả

F ( D) = E ,

sử

Câu 21.

F là phép dời hình ⇔ OA 2 = OA '2 ⇔ 8 = 1 + 4m 2 ⇔ m 2 =

Đáp án D

7 . 4

Thật

Lấy điểm B( 2;1) ⇒ F( B) = B'(1; m)

Đáp án C Ta có F( AB) = AB ⇔ F là phép đồng nhất ⇒ M ≡ N

Câu 17.

Đáp án B. Theo tính chất phép dời hình AM = A1M1 BM = 2CM ⇔ AM − AB = 2 AM − AC ⇔ AM = 2AC − AB ⇒ AM 2 = 4AC 2 + AB2 − 4AC.AB (*) Ta có: BC = AC − AB ⇒ BC 2 = AC2 + AB2 − 2AC.AB thế vào ⇒ 2AC.AB = AC2 + AB2 − BC 2 ,

Câu 18.

vậy

xét

phép

quay:

OM = OM '  Q(O,α ) : M → M ' ⇔     (OM, OM ') = α

và

 IM ' = IM '' (với tâm O ≠ I, α ≠ ϕ ) ⇒ ∃ M ≠ M ' ⇒ Không có phép Q(I,ϕ) : M ' → M '' ⇔     (IM ', IM '') = ϕ đồng nhất thỏa mãn. Câu 23. Đáp án D Q O ;900 : ∆ABC → ∆A′B′C ′ ⇒ A′ ( 2;3) , B′ ( 5; −4 ) , C ′ ( 3;1)

7 (vô lí) ⇒ OB ≠ OB' . Nên F không là phép dời hình 4

Câu 16.

Đáp án C

Câu 22.

Lấy O (0; 0) ; A (2; 2) ta có: F(O) = O; F( A) = A '(1; 2m)

(

x ' = 6  Ta có: F1 :A ( 4; −1) → A ' ( x '; y ') ⇒      y ' = −5  x '' = −6  F2 :A '(6; −5) → A ''( x ''; y '') ⇒    y '' = 5  

Vậy E ≡ C hay F( D) = C ⇒ ∆ADC → ∆BCD qua

OB2 = OB '2 ⇔ 5 = 1 + m 2 ⇔ 5 = 1 +

Vậy phương trình (C ') là: ( x + 4) + ( y − 3) = 2

Vậy điểm E là điểm chung của ba đường tròn. Đường tròn tâm B bán kính AD, tâm A bán kính BD và tâm D bán kính b. F Đáp án

AD = BE, BD = AE, CD = DE

Câu 15.

M ( x; y) ∈ (C) : ( x + 1) + ( y − 2) = 2 ⇔ ( x '+ 4) + ( y '− 3) = 2 .

có

(

)

Tv : ∆A′B′C ′ → ∆A1B1C1 ⇒ A1 ( 2; 4) , B1 ( 5; −3) , C1 ( 3; 2)

)

Câu 24.

(*)

có:

Đáp án B. T v ( d ) = d ′′ ⇒ d ′′ :3x + y + 8 = 0 ; Q O ;1800 ( d ′′ ) = d ′ ⇒ d ′ là ảnh của d′′ qua phép đối xứng tâm O .

(

)

AM = 2AC − AB + 2BC = 72 −16 + 50 = 106 ⇒ AM = 106 Đáp án C

⇒ d ′ : − 3 x − y + 8 = 0 Tv (d ) = d ', Q O,1800 (d ) = d ' ⇒ d ' có dạng 3x + y + c = 0 . ( )

Gọi C1 = F (C) và F(A) = A, F(B) = B nên theo tính chất phép dời hình ta có ∆ABC = ∆ABC1 7

Gọi M 1 = Q(O , −90°) ( M ) ⇒ M 1 ( −2; −5) .

Chọn M (0; −3) ∈ d ⇒ Tv ( M ) = M '(−2; −2) ∈ d ' ⇒ c = 8 ⇒ d ' : 3x + y + 8 = 0

⇒ Đường thẳng d '' : −3x − y + 8 = 0 . Câu 25.

Gọi M ′ là ảnh của điểm M qua phép dời hình đã cho.

Gọi M ' = Q(O,ϕ1 ) (M ) , M '' = Q(O,ϕ 2 ) ( M ')

Khi đó M ′ = Tv ( M 1 ) . Vậy M ′ ( −2 + 1; −5 + 3) hay M ′ ( −1; −2 ) .

Ta có: OM ' = OM, (OM, OM ') = ϕ1 và OM '' = OM ', (OM ', OM '') = ϕ 2

Câu 29.

⇒ OM '' = OM và (OM '', OM ) = ϕ1 + ϕ 2 hay Q(O,ϕ1 +ϕ2 ) (M ) = M '' . Câu 26.

Chọn

Lời giải Chọn B Gọi F = Tv ÐI là phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I và phép tịnh tiến Tv .

Gọi I là tâm đường tròn và ( C′ ) là ảnh của ( C ) khi thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véc tơ v = (1;5 ) và phép quay tâm O , góc quay −45 .

Gọi d1 = ÐI ( d ) , d ' = T v ( d1 ) ⇒ d ' = F ( d ) .

Gọi I1 là ảnh của I khi thực hiện phép tịnh tiến theo véc tơ v = (1;5 ) .

Do d ' song song hoặc trùng với d do đó phương trình của d ' có dạng 5 x − y + c = 0 . Lấy M ( 0;1) ∈ d ta có ÐI ( M ) = M ' ( 4; −3) .

 xI = xI + 1 = 8 Ta có  1 nên I1 ( 8;8) .  yI1 = yI + 5 = 8

 xM '' − 4 = 3  xM '' = 7 ⇔ Lại có T v ( M ') = M '' ⇔ M ' M '' = v ⇔   yM '' + 3 = 4  yM '' = 1

Gọi I 2 là ảnh của I1 khi thực hiện phép quay tâm O , góc quay −45 .

⇒ M '' ( 7;1) nên F ( M ) = M '' .

Mà M '' ∈ d ' ⇒ 34 + c = 0 ⇔ c = −34 . Vậy d ' : 5 x − y − 34 = 0 .

Câu 30.

Chọn C Tâm I ( −2; 4 ) , Gọi I ′ = T v ( I ) . Ta có:

(

)

(

 x ′ − xI = 3  x ′ =1 II ′ = v ⇔ ( xI ′ − xI ; yI ′ − yI ) = ( 3; 2 ) ⇔  I ⇔ I y y − = 2 I  I′  yI ′ = 6

)

Suy ra I 2 8 2;0 . Do đó I 2 8 2;0 là ảnh của I khi thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véc tơ v = (1;5 ) và phép quay tâm O , góc quay −45 hay I 2 8 2;0 là tâm của ( C′ ) . Hơn nữa, phép

(

)

 x ′′ = − xI ′ = −1 Gọi I ′′ là ảnh của I ′ qua phép đối xứng trục Oy . Khi đó:  I  yI ′′ = yI ′ = 6

quay và phép tịnh tiến đều bảo toàn khoảng cách nên R(C ) = R(C ′) = 2 .

(

Vậy có ( C′) phương trình là x − 8 2

Câu 27.

)

Câu 31. + y2 = 4 .

Lời giải Chọn A

Chọn A

Đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 4 có tâm I (1; −2) và bán kính R = 2 .

Ảnh của điểm N1 ( −4; − 2 ) qua phép tịnh tiến theo vectơ u ( −1; 2 ) là N ' ( −5;0 ) .

Gọi C1 (I1 , R1 ) là ảnh của C(I, R) qua phép Tv Ta có: R 1 = R = 2 , I1 = Tv (I) = (1 + 2; − 2 + 3) = (3;1)

Vậy ảnh của điểm N ( 2; − 4 ) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc quay −900 và phép tịnh tiến theo vectơ u ( −1; 2 ) là N ' ( −5;0 ) .

Câu 28.

Ảnh của điểm N ( 2; − 4 ) qua phép quay tâm O góc quay −90° là N1 ( −4; − 2 ) .

nên (C1 ) có phương trình: ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 4

Chọn C

Gọi C2 (I 2 , R 2 ) là ảnh của C1 (I1 , R1 ) qua phép D∆ 9

Ta có: R2 = R1 = 2 Phương trình đường thẳng I1 I 2 đi qua I1 (3;1) nhận u (1;1) làm vecto pháp tuyến: 1.( x − 3) + 1.( y − 1) = 0 ⇔ x + y − 4 = 0

7  x= x + y − 4 = 0  7 1 2 Gọi {M } = I1I 2 ∩ ∆ . M ( x; y ) ⇒  ⇔ ⇒M ;   2 2 x − y − 3 = 0 y = 1  2 1   7 M là trung điểm của I1 I 2 ⇒ I 2  2. − 3; 2. − 1 = ( 4;0 ) 2   2

(C 2 ) có phương trình: ( x − 4) 2 + y 2 = 4 ⇒ chọn A.

TOÁN 11

A. 0 .

PHÉP VỊ TỰ

1H1-7

Câu 7.

Phần A. CÂU HỎI .......................................................................................................................................................... 1

Câu 8. Câu 9.

Dạng 2.2 Tìm ảnh của một hình ................................................................................................................................ 5 Phần B. Lời giải tham khảo ........................................................................................................................................... 8 Dạng 1. Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép vị tự .......................................................................... 8 Dạng 2. Tìm ảnh của một điểm hoặc hình qua phép vị tự bằng phương pháp tọa độ ............................................... 12 Dạng 2.1 Tìm ảnh của một điểm ............................................................................................................................. 12

D. Vô số.

Có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn ( C ) thành đường tròn ( C′) ? A. 3 .

Dạng 2. Tìm ảnh của một điểm hoặc hình qua phép vị tự bằng phương pháp tọa độ ................................................. 4 Dạng 2.1 Tìm ảnh của một điểm ............................................................................................................................... 4

C. 2 .

điểm phân biệt. Có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn ( O ; R ) thành đường tròn ( O '; R ) ? A. Có đúng một phép vị tự. B. Có vô số phép vị tự. C. Không có phép vị tự nào. D. Có đúng hai phép vị tự.

MỤC LỤC Dạng 1. Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép vị tự .......................................................................... 1

B. 1.

(HKI-Chu Văn An-2017) Cho hai đường tròn bằng nhau ( O; R ) và ( O '; R ) với O, O ' là hai

B. 1.

C. 2 .

D. không xác định.

Cho điểm O và k ≠ 0 . Gọi M ′ là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số k . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó. B. OM ′ = kOM . C. Khi k = 1 phép vị tự là phép đối xứng tâm. D. M ′ = V(O ,k ) ⇔ M = V 1  ( M ′ ) .  c,   k

Câu 10.

Dạng 2.2 Tìm ảnh của một hình .............................................................................................................................. 13

(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho 4 IA = 5IB . Phép vị tự tâm I tỉ số k biến A thành B . Tìm k . 5 4 4 5 A. k = − . B. k = − . C. k = . D. k = 4 5 5 4

Câu 11. Cho hình bình hành ABCD. Điểm G là trọng tâm tam giác ABC. Phép vị tự tâm G tỉ số k biến điểm B thành điểm D. Giá trị của k là 1 1 A. k = − . . B. k = 2. . C. k = . . D. k = −2. 2 2

Phần A. CÂU HỎI Dạng 1. Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép vị tự Câu 1.

(GIỮA KÌ I YÊN HÒA HÀ NỘI 2017-2018) Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng song song d và d ' . Khẳng định nào sau đây đúng. A. Có vô số phép vị tự biến đường thẳng d thành đường thẳng d ' . B. Không có phép đối xứng trục nào biến đường thẳng d thành đường thẳng d ' . C. Có duy nhất một phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d ' . D. Có duy nhất một phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d ' .

Câu 2.

Mệnh đề nào sau đây sai về phép vị tự: A. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy. B. Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó. C. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó. D. Biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

Câu 3.

Cho hai đường thẳng song song d và d′ . Có bao nhiêu phép vị tự đối với tỉ số k = 20 biến đường thẳng d thành d′ ? A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất. C. Chỉ có 2 phép. D. Có vô số phép.

Câu 4.

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho hai đường thẳng d và d ′ song song. Có bao nhiêu phép vị tự đối với tỉ số k ≠ 0 biến đường thẳng d thành d ′ . A. Có một. B. Có hai. C. Vô số. D. Không có.

Câu 5.

Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d′ . Có bao nhiêu phép vị tự biến đường thẳng d thành d′ ? A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất. C. Chỉ có 2 phép. D. Có vô số phép.

Câu 6.

Cho hai đường thẳng song song d và d′ , và một điểm O không nằm trên chúng. Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành d′ ? 1

Câu 12.

(GIỮA KÌ I YÊN HÒA HÀ NỘI 2017-2018) Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA . Phép vị tự tâm G tỷ số k biến tam giác ABC thành tam giác NPM , khi k bằng 1 1 A. k = − . B. k = . C. k = 2 . D. k = −2 . 2 2

Câu 13.

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho đường tròn ( O ) , AB và CD là hai

đường kính. Gọi E là trung điểm của AO ; CE cắt AD tại F . Tìm tỷ số k của phép vị tự tâm E biến C thành F . 1 1 1 1 A. k = − . B. k = − . C. k = . D. k = . 3 2 3 2 Câu 14. Cho hai điểm O, I . Xét phép vị tự V tâm I tỉ số k ≠ 1 và phép tịnh tiến theo u = (1 − k ) IO . Lấ y điểm M bất kì, M1 = V ( M ) , M 2 = T ( M 1 ) . Phép biến hình F biến M thành M 2 . Chọn mệnh đề đúng: A. F là phép vị tự tâm O tỉ số 1 − k . B. F là phép vị tự tâm O tỉ số k . 1 1 C. F là phép vị tự tâm O tỉ số . D. F là phép vị tự tâm O tỉ số − . k k Câu 15. Cho ∆ABC có cạnh 3, 5, 7 . Phép đồng dạng tỉ số k = 2 biến ∆ABC thành ∆A′B′C ′ có diện tích là: 15 3 15 3 15 3 A. . B. 15 3 . C. . D. . 2 4 8

Câu 16.

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Xét phép vị tự tâm I với tỉ số k = 3 biến tam giác ABC thành tam giác A′B ′C ′. Hỏi diện tích tam giác A′B ′C ′ gấp mấy lần diện tích tam giác ABC ? A. 6 . B. 3 . C. 9 . D. 27 .

Câu 17. Cho hai phép vị tự V( O ,k ) và V( O′,k′) với O và O′ là hai điểm phân biệt và k.k ′ = 1 . Hợp của hai phép vị tự đó là phép nào sau đây? A. Phép tịnh tiến. B. Phép đối xứng trục. C. Phép đối xứng tâm. D. Phép quay.

Câu 18. Cho ∆ABC vuông tại A , AB = 6, AC = 8 . Phép vị tự tâm A tỉ số

3 biến B thành B′ , biến C 2

thành C′ . Mệnh đề nào sau đây sai? A. BB′C ′C là hình thang. B. B′C ′ = 12 . 3 2 C. S A′B′C ′ = . D. Chu vi ∆ABC = chu vi ∆A′B′C′ . 4 3

 I, −   2

 J,   2

R   M,   R + R′ 

Dạng 2.1 Tìm ảnh của một điểm (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Trong mặt phẳng Oxy , phép vị tự tâm I tỉ số k = −2 biến điểm A ( 3; 2 ) thành điểm B ( 9;8 ) . Tìm tọa độ tâm vị tự I . A. I ( 4;5 ) . Câu 25.

 J, −   2

Câu 20. Cho đường tròn ( O; R ) và một điểm A cố định trên đường tròn. BC là dây cung di động và BC

( ( O, R ) ) .

Câu 23. Cho đường tròn tâm O và hai đường kính AA′ và BB′ vuông góc với nhau. M là điểm bất kì trên đường kính BB′ , M ′ là hình chiếu vuông góc của M xuống tiếp tuyến với đường tròn tại A . I là giao điểm của AM và A′M ′ . Khi đó I là ảnh của M trong phép vị tự tâm A tỉ số bao nhiêu? 2 2 1 1 A. . B. − . C. . D. − . 3 3 3 3 Dạng 2. Tìm ảnh của một điểm hoặc hình qua phép vị tự bằng phương pháp tọa độ

Câu 24.

Câu 19. Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ) . Đáy lớn AB = 8 , đáy nhỏ CD = 4 . Gọi I là giao điểm của hai đường chéo và J là giao điểm của hai cạnh bên. Phép biến hình AB thành CD là phép vị tự nào? A. V 1  . B. V 1  . C. V 1  . D. V 1  .  I,   2

D. Tập hợp điểm I là đường tròn: ( O′′ ) = V

Câu 26.

B. I ( − 21; − 20 ) .

C. I ( 7; 4 ) .

D. I ( 5; 4 ) .

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ảnh của điểm M (1; −2) qua phép vị tự tâm 0 tỉ số k = −2 là  1  1  A. M ′  − ;1 . B. M ′(−2; 4) . C. M ′(2; −4) . D. M ′  ;1 .  2  2  (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép vị tự tâm

có độ dài không đổi bằng 2a ( a < R ) . Gọi M là trung điểm BC . Khi đó tập hợp trọng tâm G

I (2; −1) tỉ số k biến điểm M (1; −3) thành điểm M ′(4;3) . Khi đó giá trị của k là.

của ∆ABC là: A. G = V 2  ( M ) , tập hợp là một đường tròn.

A. k =

 A,   3

B. G = V

( M ) , tập hợp là một đường thẳng.

C. G = V

( M ) , tập hợp là một đường tròn.

D. G = V

( M ) , tập hợp là một đường thẳng.

1  O,   2 1  A,   3 2  B,   3

Câu 27.

Câu 28.

C. R 3 .

D. k =

1 . 2

( R > R′) . Đường kính qua C . Một đường thẳng di động qua A cắt ( O; R ) tại M

( O; R ) tại B và cắt ( O′; R′) tại ( O′; R′) tại N . Gọi I là giao điểm của BN và CM . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Tập hợp điểm I là đường tròn: ( O′′ ) = V R′  ( ( O, R ) ) . C,

A c ắt

và cắt

 R + R′ 

B. Tập hợp điểm I là đường tròn: ( O′′ ) = V

( ( O, R ) ) .

C. Tập hợp điểm I là đường tròn: ( O′′ ) = V

( ( O, R ) ) .

R  C,   R + R′  R′   M,   R + R′ 

Câu 29.

B. ( −10;2) .

C. (18;2) .

D. ( 20;5) .

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy 3 biến phép vị tự tâm O t ỷ số k = 3 biến A (1; 2 ) thành B , phép vị tự tâm B tỷ số k ′ = 2 M ( −2; −2) thành điểm N . Tính độ dài đoạn thẳng ON . A. ON =

D. 2 R 2 .

Câu 22. Cho hai đường tròn ( O; R ) và ( O′; R′ ) tiếp xúc trong tại A

 

C. k = −2 .

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy A. ( −10;5) .

và đoạn AB lần lượt tại C và D . Đường thẳng CD cắt ( O; R ) tại I . Tính độ dài đoạn AI .

B. R 2 .

B. k = 2 .

cho phép vị tự tâm I ( 2;3) , tỷ số k = −2 biến điểm M ( −7; 2 ) thành điểm M ′ có tọa độ là

Câu 21. Cho đường tròn ( O; R ) đường kính AB . Một đường tròn ( O′) tiếp xúc với đường tròn ( O ) A. 2 R 3 .

−1 . 2

15 . 2

B. ON = 15 .

C. ON = 10 .

D. ON =

11 . 2

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy 1 cho hai điểm M ( 4;6 ) và M ′ ( −3;5 ) . Phép vị tự tâm I , tỉ số k = biến điểm M thành M ′ . Tìm 2 tọa độ tâm vị tự I . A. I ( −10; 4 ) . B. I ( −4;10) . C. I (1;11) . D. I (11;1) .

Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A ( 3; 2 ) . Ảnh của A qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −1 là: A. ( 3; 2 ) . B. ( 2;3) . C. ( −2; −3) . D. ( −3; −2 ) . 3

Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm ảnh A′ của điểm A (1; −3) qua phép vị tự tâm O tỉ số −2 A. A′ ( 2; 6 ) .

B. A′ (1;3) .

C. A′ ( −2;6 ) .

Câu 40.

(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm A(1;5) , B (−3; 2) . Biết các điểm A , B theo thứ tự là ảnh của M , N qua phép vị tự tâm O , tỉ số k = −2 . Độ dài đoạn thẳng MN là A. 50 . B. 12,5 . C. 10 . D. 2,5 .

Câu 41.

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 , AC = 4 . Phép vị tự tâm B tỉ số k = −3 biến tam giác ABC thành tam giác A′B ′C ′ . Tính diệ n tích S của tam giác A′B ′C ′ . A. S = 12 . B. S = 54 . C. S = 48 . D. S = 18 .

Câu 42.

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 2 x + y − 3 = 0 . Phép vị tự tâm O , tỉ số k = 2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau? A. 4 x − 2 y − 3 = 0 . B. 2 x + y + 3 = 0 . C. 2 x + y − 6 = 0 . D. 4 x + 2 y − 5 = 0 .

D. A′ ( −2; −6 ) .

Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2 ) . Tìm ảnh A′ của A qua phép vị tự tâm I ( 3; −1) tỉ số

k = 2. A. A′ ( 3; 4 ) .

B. A′ (1;5) .

C. A′ ( −5; −1) .

D. A′ ( −1;5 ) .

Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho P ( −3; 2 ) , Q (1;1) , R ( 2; −4 ) . Gọi P′, Q′, R ′ lần lượt là ảnh của 1 P, Q, R qua phép vị tự tâm O tỉ số k = − . Khi đó tọa độ trọng tâm của tam giác P′Q′R′ là: 3 1 1  1  2 1 2  B.  0;  . C.  ; −  . D.  ;0  . A.  ;  . 9 3  9  3 3 9 

Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 0;3) , B ( 2; −1) , C ( −1;5 ) . Phép vị tự tâm A tỉ số k biến B thành C . Khi đó giá trị k là: 1 A. k = − . B. k = −1 . 2

1 C. k = . 2

Câu 43.

D. k = 2 .

Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 0;3) , B ( 2; −1) , C ( −1;5 ) . Phép vị tự tâm A tỉ số k biến B thành C . Khi đó giá trị k là: A. k = 2 . B. k = −1 .

C. k = 1 .

D. k ∈∅ .

Câu 44.

Câu 38.

Câu 39.

C. 28π .

B. ( x − 4)2 + ( y − 2)2 = 4 .

D. ( x − 4)2 + ( y − 2)2 = 16 .

C. ( x − 2) + ( y − 4) = 16 . Câu 45.

diện tích của hình tròn ( C ′ ) là

Câu 37.

D. ( C ) : x 2 + y 2 + 4 x = 0 .

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường

x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 2 = 0 . Gọi ( C ′) là ảnh của ( C ) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 . Khi đó

B. 4 7π .

2 2 B. ( C ) : x + y − 4 y = 0 .

vị tự tâm O tỉ số k = −2 . A. ( x + 2)2 + ( y + 4)2 = 16 .

(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) :

A. 7π .

O tỉ số 2 biến đường tròn ( C ) thành đường tròn ( C′) .

tròn ( C ) có phương trình ( x − 1)2 + ( y − 2)2 = 4 . Tìm phương trình ( C′) là ảnh của ( C ) qua phép

Dạng 2.2 Tìm ảnh của một hình Câu 36.

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn

( C ) : x 2 + y 2 + 2 x = 0 , phép vị tự tâm Viết phương trình đường tròn ( C′) . A. ( C ) : x 2 + y 2 + 4 y = 0 . C. ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x = 0 .

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) có phương trình x2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0 và điểm I ( 2;1) . Phép vị tự tâm I tỉ số k = 2

D. 28π 2 .

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 3x + y − 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm 1 O tỉ số k = − 2 A. 3x + y + 1 = 0 . B. 3x − y + 1 = 0 . C. x + 3 y + 1 = 0 . D. 3x + y − 1 = 0 . (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Cho hai điểm M ( −3; 2 ) và N ( 0; −2 ) . 4 Phép vị tự tâm I bất kì, tỉ số − biểu diễn hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M ′ và 3 N ′ . Độ dài M ′N ′ là 20 10 6 A. 5 . B. . C. . D. . 3 3 5 (HKI-Chu Văn An-2017) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép vị tự tâm O(0;0) tỉ số k = −2 biến đường thẳng d : 2 x + 3 y − 2 = 0 thành đường thẳng nào sau đây? A. d ' : −2 x + 3 y + 2 = 0 . B. d ' : 2 x + 3 y + 4 = 0 . C. d ' : −2 x − 3 y + 2 = 0 . D. d ' : 3x − 2 y + 2 = 0 . 5

biến đường tròn ( C ) thành đường tròn ( C′ ) . Viết phương trình đường tròn ( C′) . 2

A. x 2 + ( y + 5 ) = 36 . Câu 46.

B. x 2 + ( y − 5 ) = 36 . C. ( x − 5 ) + y 2 = 36 . D. ( x + 5 ) + y 2 = 36 .

(ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn

( C ) : x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 2 = 0 . Gọi ( C ') đó diện tích của hình tròn ( C ') là. A. 7π .

B. 4 7π .

là ảnh của ( C ) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 . Khi

D. 28π 2 .

C. 28π .

Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 5 x + 2 y − 7 = 0 . Tìm ảnh d′ của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 . A. 5 x + 2 y + 14 = 0 . B. 5 x + 4 y + 28 = 0 . C. 5 x − 2 y − 7 = 0 . D. 5 x + 2 y − 14 = 0 . 2

Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = 4 . Tìm ảnh ( C′) của ( C ) qua phép vị tự tâm I ( −1; 2 ) tỉ số k = 3 ?

A. x 2 + y 2 − 14 x + 4 y − 1 = 0 . 2

C. ( x − 5 ) + ( y + 1) = 36 .

B. x 2 + y 2 + 4 x − 7 y − 5 = 0 . 2

D. ( x − 7 ) + ( y − 2 ) = 9 . 6

Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép vị tự tâm O tỉ số k = 2x +1 qua phép vị tự trên. 1− x 4x +1 4x +1 A. y = . B. y = . 2 − 4x 1− 4x

1 . Tìm ảnh ( S′ ) của đường cong 2

(S ) : y =

C. y =

2x +1 . 1− 2x

2x −1 . 1− 4x

D. y =

Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2 x + y − 4 = 0, I ( −1; 2) . Tìm ảnh d′ của d

Câu 1. Câu 2. Câu 3. Câu 4.

qua phép vị tự tâm I tỉ số k = −2

B. −2 x + y + 8 = 0 .

A. 2 x − y + 4 = 0 .

C. 2 x + y + 8 = 0 .

D. x +

1 y + 2 = 0. 2

Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 3 x − y − 5 = 0. Tìm ảnh d′ của d qua phép vị 2 tự tâm O tỉ số k = − 3 A. −3 x + y − 9 = 0 . B. 3 x − y − 10 = 0 . C. 9 x − 3 y + 15 = 0 . D. 9 x − 3 y + 10 = 0 . x y Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d : − = 1 và d ′ : 2 x − y − 6 = 0 . Phép vị tự 2 4 V(O ,k ) ( d ) = d ′. Tìm k

A. k =

3 . 2

2 B. k = − . 3

1 C. k = . 3

1 D. k = − . 3 2

Câu 53. Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh đường tròn ( C′) của đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 5 qua phép vị tự tâm 0 tỉ số k = −2 . 2 2 A. ( C ′ ) : ( x + 2 ) + ( y + 4 ) = 10 .

B. ( C ′ ) : ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = 10 .

C. ( C ′ ) : ( x + 2 ) + ( y − 4 ) = 20 .

Câu 5. Câu 6. Câu 7. Câu 8. Câu 9. Câu 10.

Câu 11.

B. 2 5 .

C. 3 5 .

D. 4 5 .

Phần B. Lời giải tham khảo Dạng 1. Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép vị tự Chọn A Đáp án D. Đáp án D. Chọn C Lấ y hai điểm A và A′ tùy ý trên d và d ′ . Chọn điểm O thỏa mãn OA′ = kOA ; k ≠ 0 . Khi đó phép vị tự tâm O tỉ số k sẽ biến đường thẳng d thành đường thẳng d ′ . Do A và A′ tùy ý trên d và d ′ nên suy ra có vô số phép vị tự. Đáp án A Theo tính chất phépv ị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng nhay, không có trường hợp d cắt d′ . Đáp án B. Chọn A Có một phép vị tự duy nhất, tâm vị tự là trung điểm đoạn OO ' , tỉ số vị tự k = − 1 . Đáp án D. Không xác định vì thiếu giả thiết về phép vị tự. Đáp án C. Khi k = 1 : phép vị tự V(O ,1) ( M ) = M ′ ⇔ M ≡ M ′ Chọn C 4 4 Ta có: 4 IA = 5IB ⇔ IB = IA ⇒ k = . 5 5 Chọn D

D. ( C ′ ) : ( x − 2 ) + ( y + 4 ) = 20 . 2

Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y + 1) = 5. Tìm ảnh đường tròn của đường tròn ( C ) qua phép vị tự tâm I (1; 2 ) và tỉ số k = −2

( C′) 2

A. x + y 2 + 6 x − 16 y + 4 = 0 . 2

C. ( x + 3 ) + ( y − 8 ) = 20 . Câu 55. Trong

mặt

phẳng

( C2 ) : ( x − 4 ) + ( y − 3 ) A. ( −2;3) .

D. ( x − 3 ) + ( y + 8 ) = 20 . Oxy ,

cho

hai

đường

tròn

( C1 ) : ( x − 1)

B. ( 2;3) .

C. ( 3; −2 ) .

+ ( y − 3) = 1 ;

D. (1; −3) . 2

( C1 ) : ( x − 3) + ( y − 3) ( C2 ) : ( x − 10 ) + ( y − 7 ) = 9 . Tìm tâm vị tự trong biến ( C ) thành ( C′ ) .

 36 27  A.  ;  .  5 5 

= 4 . Tìm tâm vị tự ngoài của hai đường tròn đó

Câu 56. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn 2

Vì B và D nằm về 2 phía điểm G nên tỉ số vị tự k < 0 . GD Mặt khác V(G ,k ) ( B ) = D nên GD = k GB ⇒ k = = 2. GB Vậy k = −2 .

B. x 2 + y 2 − 6 x + !6 y − 4 = 0 .

= 9 và đường tròn

 13  B.  ;5  . 2 

 32 24  C.  ;  .  5 5 

 13  D.  5;   2

⇒ V

1  G ;−  2 

Câu 57. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 1 = 0 ,

( C2 ) : x 2 + y 2 − 16 x − 8 y + 64 = 0 . Gọi

Câu 12. Chọn A 1 →N GN = − GA ⇔ V 1  : A  2  G;−  2  1 →P GP = − GB ⇔ V 1  : B  2  G;−  2  1 →M GM = − GC ⇔ V 1  : C  2  G ;−  2  : ∆ ABC  → ∆NPM

I1 , I 2 là tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài của ( C1 ) và ( C2 ) . Tính độ

dài đoạn thẳng I1 I 2 . 7

M I

Câu 13.

Lấy điểm M bất kỳ: V(O ;k ) ( M ) = M 1 và V(O′;k ′) ( M 1 ) = M 2 ⇒ OM 1 = kOM và O′M 2 = k ′O′M 1 Khi đó phép hợp thành F ( M ) = M 2 . Gọi I là ảnh của O qua phép hợp V(O′;k ) ⇒ O′I = kO′O Khi đó IM 2 = k ′OM 1 = k .k ′OM nên: MM 2 = OI = OO′ + O′I = (1 − k ′ ) OO′ Vậy F là phép tịnh tiến theo vectơ u = (1 − k ′ ) OO′ .

Chọn A Câu 18.

Đáp án B B'

B 6

Xét hai tam giác AEF và BEC đồng dạng với nhau nên

EF AE 1 = = (do E là trung điểm của EC EB 3

AO ).

Câu 19.

1 1 Suy ra EF = − EC nên tỷ số phép vị tự k = − . 3 3 Câu 14.

3 3 V 3  ( B ) = ( B′ ) ⇒ AB′ = AB = 9;V 3  ( C ) = ( C ′ ) ⇒ AC ′ = AC = 12 ⇒ B′C ′ = 92 + 122 = 15 2 2  A;   A;   2  2 . Đáp án C J

Đáp án B. IM 1 = K .IM (1) M 1M 2 = u = (1 − k ) IO ⇒ IM 2 − IM 1 = (1 − k ) IO ⇔ IM 2 = IM 1 + (1 − k ) IO ( 2 ) Thế (1) vào ( 2 ) : IM 2 = k IM + (1 − k ) IO ⇒ OM 2 = kOM

Ta có AB 1 1 1 = ;V ( A) = C ⇔ IC = − IA;V I , 1  ( B ) = D ⇔ ID = − IB CD 2  I , 12  2 2    2 . 1 1 ⇒ IC − ID = − IA − IB ⇔ CD = − AB 2 2 Câu 20. Đáp án A

Vậy F là phép vị tự tâm O tỉ số k . Đáp án B. 15 3 Ta có: S∆ABC = 4 Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. S ⇒ ∆A′B′C ′ = 4 ⇔ S∆A′B′C ′ = 15 3 . S∆ABC Câu 16. Chọn C S Vì phép vị tự cũng là phép đồng dạng nên ta có: A′B′C ′ = k 2 ⇒ S A′B′C ′ = 9.S ABC . S ABC Câu 17. Đáp án A Câu 15.

(

)

B M

(

Ta có: OM ⊥ BC ⇒ OM = R 2 − a 2 ⇒ M ∈ O; R 2 − a 2

)

B′ M′

2 Ta có: AG = AM ⇒ G = V 2  ( M ) 3  A,   3

M A

) thì G chạy trên đường tròn (O′) là ảnh của

(

Khi M di động trên đường tròn O; R 2 − a 2

đường tròn ( O ) qua phép vị tự V

2  A,   3

Câu 21.

I A′

. B

Đáp án B

AI MM ′ AI 2 2 = =2⇒ = = AM AA′ IM + AI 2 + 1 3 2 2 ⇒ AI = AM . Vậy I là ảnh của M trong phép vị tự tâm A tỉ số . 3 3 Dạng 2. Tìm ảnh của một điểm hoặc hình qua phép vị tự bằng phương pháp tọa độ

C O'

Dạng 2.1 Tìm ảnh của một điểm Chọn D x = 5 9 − xI = −2 ( 3 − xI ) ⇒ I Ta có IB = −2 IA ⇔  . 8 − yI = −2 ( 2 − y I )  yI = 4 Câu 25. Chọn B V(O ,−2) ( M ) = M ′ ( −2 x0 ; −2 y0 ) = M ′( −2; 4) . Câu 26. Lời giải Chọn C Ta có V( I ,k ) ( M ) = M ′ ⇔ IM ′ = k IM . Mà IM ′ = ( 2; 4 ) , IM = ( −1; −2) . Nên IM′ = −2IM ⇒ k = −2 . Câu 27. Chọn D Gọi ảnh của M qua phép vị tự tâm I , t ỷ số k = −2 là M ′ ( x′; y ′) .  x′ − 2 = 18  x′ = 20 Khi đó IM ′ = −2 IM ⇔ IM ′ = (18; 2 ) ⇔  ⇔ . Vậy M ′ ( 20;5 ) . ′ y − 3 = 2   y′ = 5 Câu 28. Chọn A Do V(O ;3) ( A ) = B ⇒ tọa độ điểm B ( 3;6 ) . 3 Do V 3  ( M ) = N ⇒ BN = BM (*) . 2  B;   2

Câu 24. I

R′ Ta có: V R′  ( O ) = O′ ⇔ CO′ = CO R C,   R V

R′  C,   R

( I ) = D ⇔ CD =

Từ (1) và ( 2 ) ⇒

Câu 22.

R′ CI R

(1)

( 2)

CD′ CO = ⇒ OI€ O′D ⇒ OI ⊥ AB ⇒ I là điểm chính giữa của cung AB . CD CI

Đáp án A M N I B

A C

Ta dự đoán V

CI  C;   CM 

(M ) = I

mà M nắm trên đường tròn ( O ) ⇒ I nằm trên đường tròn

( O1 ) = V C ; CI  ( O )  

3  9 x − 3 = ( −2 − 3)   x = −  9  2 Gọi tọa độ điểm N ( x; y ) , từ (*) ta có biểu thức:  ⇔ 2 ⇒ N  − ; −6  . 3 2    y − 6 = ( −2 − 6 )  y = −6  2  9 15  Vậy ON =  − ; −6  ⇒ ON = . 2  2  Câu 29. Chọn A Gọi tọa độ tâm vị tự I ( a; b ) ⇒ IM ′ = ( −3 − a;5 − b ) , IM ( 4 − a; 6 − b ) .

 CM 

CI Ta cần chứng minh theo R và R ′ CM CM CI + IM IM IM IB BM AB R CI R′ Ta có mà = = 1+ = = = = ⇒ = CI CI CI CI IN CN AC R′ CM R + R′ ⇒ V R′  ( M ) = I C,   R + R′ 

Câu 23.

Đáp án

Câu 38.

1  −3 − a = ( 4 − a ) 1  a = −10  2 Ta có V 1  ( M ) = M ′ ⇔ IM ′ = IM ⇒  ⇔ . Vậy: I ( −10; 4 ) . 1 2 I;  b = 4 5 − b = ( 6 − b )  2  2 Câu 30. Đáp án D.  x′ = − 3 Áp dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự: V(O ,−1) ( A ) = A′ ⇒ A′ :   y ′ = −2 Câu 31. Đáp án C V(O ;−2 ) ( A ) = A′ ⇔ OA′ = −2OA ⇒ A′ ( −2; 6 ) . Câu 32.

Ta có: MN = 32 + 4 2 = 5 ⇒ M ′N ′ =

Câu 39.

 O ,−  3 

độ

các

Suy ra MN =

Chọn B 1 Diện tích S0 của tam giác vuông ABC là: S0 = .3.4 = 6. 2 Do đó, diện tích S của tam giác A′B ′C ′ qua phép vị tự tâm B , tỉ số k = −3 là S = S0 .k 2 = 6.9 = 54. Câu 42. Chọn C Gọi M ( x; y ) là điểm tùy ý thuộc d : 2 x + y − 3 = 0 và M ′ ( x′; y′) là ảnh của M ( x; y ) qua phép

Đáp án D

vị tự tâm O , tỉ số k = 2 .  x=  x′ = 2 x  Ta có: OM ′ = 2OM ⇔  ⇔  y′ = 2 y y = 

Dạng 2.2 Tìm ảnh của một hình Chọn C Đường tròn ( C ) có tâm I ( −1; 2 ) , bán kính R =

( −1)

+ 22 − ( −2 ) = 7 .

x′ 2 . y′ 2

y′ − 3 = 0 ⇔ 2 x′ + y ′ − 6 = 0 . 2 Vì M ( x; y ) ∈ d nên M ′ ( x′; y′) ∈ d ′ . Do đó phương trình d ′ là: 2 x + y − 6 = 0 .

Suy ra bán kính của đường tròn ( C ′ ) là R′ = k .R = 2 R = 2 7 .

Thay vào phương trình đường thẳng d , ta được: x′ +

Vậy diện tích của ( C′) là: S ′ = π ( R′ ) = 28π . Câu 37. Chọn A Gọi M ( x; y ) là một điểm thuộc đường thẳng d M ′ ( x′; y ′ ) là ảnh của M qua phép vị tự tâm O theo tỉ số k = −

AB = 2,5 . 2

Câu 41.

5  5 = k .4 k = ⇒ Giả sử V( A,k ) ( B ) = C ⇔ AC = k AB ⇔  4 ⇒ không thỏa mãn ⇒ k ∈∅ . 1 = −k k = −1 Câu 36.

⇒ d ' : 2 x + 3 y + 4 = 0. Chọn D Ta có: AB = (−3 − 1) 2 + (2 − 5)2 = 5 . Vì V( O ,−2) M = A và V(O ,−2) N = B nên AB =| −2 | .MN

điểm

 −2   1 1  2 4  1 P′ 1;  ; Q′  − ; −  ; R′  − ;  . Nên tọa độ trọng tâm ∆P′Q′R′ là  0;  .  3   3 3  3 3  9 Câu 34. Đáp án A  −1 = 2k 1 Giả sử V( A,k ) ( B ) = C ⇔ AC = k AB ⇔  ⇒k=− . 2  2 = k ( −4 ) Câu 35.

Chọn B Qua phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = −2 biến đường thẳng d : 2 x + 3 y − 2 = 0 thành đường thẳng song song với nó nên có dạng: d ' : 2 x + 3 y + c = 0 ( c ≠ −2 ) .  x ' = −2 ⇒ A ' ( −2;0 ) . Qua phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = −2 ta có: OA ' = −2OA ⇒  y' = 0 A ' ( −2; 0 ) ∈ d ' ⇒ −4 + c = 0 ⇔ c = 4 (TM ).

Câu 40.

tọa

4 20 MN = 3 3

Trên d : 2 x + 3 y − 2 = 0 lấ y A (1; 0 ) .

Đáp án D

 x′ − 3 = 4 V( I ,2) ( A) = A′ ⇔ IA′ = 2 IA ⇔  ⇒ A ( −1;5 ) .  y′ + 1 = 6 Câu 33. Đáp án B V 1  ( P ) = P′;V 1  ( Q ) = Q′;V 1  ( R ) = R′ ⇒

Chọn B

Câu 43.

1 2

Chọn D Đường tròn ( C ) có tâm I ( −1; 0) và bán kính R = 1 . Gọi I ′ ( x; y ) , R ′ lần lượt là tâm đường tròn và bán kính đường tròn ( C′ ) . V O;2 ( I ) = I ′ . Do ( C′) là ảnh của đường tròn ( C ) qua phép vị tự tâm O tỉ số 2 khi đó  ( )  R′ = 2 R = 2  x = −2 Ta có V(O ;2 ) ( I ) = I ′ ⇔ OI ′ = 2OI ⇔  ⇒ I ′ ( −2;0 ) . y = 0

1 ⇒ OM ′ = − OM 2 x  ′ x =−  x = −2 x ′  2 ⇔ ⇔ y  y = −2 y ′  y′ = −  2 ⇒ 3 ( − 2 x ′ ) + ( −2 y ′ ) − 2 = 0 ⇔ 3 x ′ + y ′ + 1 = 0 ⇒ ảnh của d qua phép vị tự tâm O là 3x + y + 1 = 0

Vậy đường tròn ( C′ ) có tâm I′ ( −2;0 ) và bán kính R = 2 có phương trình là ( x + 2 ) + y 2 = 4 2

Câu 44. 13

⇔ x + y + 4x = 0 . Chọn A 14

Đường tròn ( C ) có tâm I (1; 2) và bán kính R = 2 . Vì ( C′) là ảnh của ( C ) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 nên ( C′) có bán kính R’ = −2 .2 = 4 .

Câu 48.

Vậy d ′ : 5 x + 2 y + 14 = 0 . Đáp án C. M'

Gọi I ′ ( x ; y ) là tâm của ( C ′ ) , ta có I ′ ảnh của I qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 .  x = −2.1 = −2 Ta có OI ′ = −2OI ⇒  ⇒ I ′ ( −2; − 4 )  y = −2.2 = −4 2

Câu 45.

M O

Vậy đường tròn ( C ′ ) : ( x + 2 ) + ( y + 4 ) = 16 . Chọn A ( C ) có phương trình: x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0 ⇔ ( x − 1)2 + ( y + 2 )2 = 9 .

M''

 x′ = −1 + 3 (1 + 1) = 5 V( I,3) ( J ) = J ′ ( x′; y′ ) ⇒  ⇒ J ′ ( 5; −1)  y′ = 2 + 3 (1 − 2 ) = −1 2 2 R′ = 3R = 6 ⇒ ( C ′ ) : ( x − 5 ) + ( y + 1) = 36

 x − 2 = 2 (1 − 2 ) x = 0   II = 2 II1  đường tròn ( C ) thành đường tròn ( C′ ) nên ta có:  2 ⇔  y − 1 = 2 ( −2 − 1) ⇔  y = −5 .  R2 = 2 R1  R = 6  2  R2 = 2.3 2 Vậy ( C′ ) : x 2 + ( y + 5 ) = 36 .

Câu 49.

(C )

qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 nên

( C ')

O,   2

 ′ 1 1 x = x 2 x′ +  2 ⇔ y =  x = 2 x′ thế vào S ⇒ 2 y ′ = 2.2 x′ + 1 ⇔ y ′ = 2 ⇒ ( )  1 − 2 x′ 1 − 2 x′  y = 2 y′  y′ = 1 y  2 4x + 1 Vậ y ( S ′ ) : y = 2 − 4x

có bán kính

R ' = −2 . 7 = 2 7 .

(

Do đó hình tròn ( C ' ) có diện tích S = π 2 7

Câu 47.

Đáp án

)

= 28π .

Câu 50.

d′

Đáp án A. V 1  : M ( x; y ) → M ′ ( x′; y ′)

∀M ( x; y ) ∈ ( S ) ⇒ M ′ ( x′; y′) ∈ ( S ′ )

Chọn C Ta có ( C ) có bán kính R = 7 là ảnh của

Đường tròn ( C ) có tâm J (1;1) , bán kính R = 2 .

Gọi I 2 ( x; y ) và R2 là tâm và bán kính đường tròn ( C′ ) . Vì phép vị tự tâm I tỉ số k = 2 biến

( C ')

Do đó ( C ) có tâm I1 (1; −2 ) và bán kính R1 = 3 .

Câu 46.

Đáp án C V( I ,−2) ( d ) = d ′ ⇒ d€ d ′ nên d ′ có dạng 2 x + y + c = 0

 x′ = 5 M ( 2;0 ) ∈ d ⇒ V( I ;−2) ( M ) = M ′ ( x; y ) ∈ d ′ ⇒   y ' = −2 d ′ :10 − 2 + c = 0 ⇒ c = 8 Vậ y d ′ : 2 x + y + 8 = 0 . Câu 51. Đáp án D Tương tự câu 6 ⇒ d ′ : 9 x − 3 y + 10 = 0 . Câu 52. Đáp án A d : 2 x − y − 4 = 0 ⇒ d€ d′  x′ = 2 k Chọn M ( 2; 0 ) ∈ d ⇒ V(O ,k ) ( M ) = M ′ ( x′; y ′ ) ⇒   y′ = 0 3 Do M ′ ∈ d ′ ⇒ 2.2k − 0 − 6 = 0 ⇔ k = . 2 Câu 53. Đáp án C Đường tròn ( C ) có tâm I (1; −2 ) và bán kính R = 5 Chọn

O M′

Cách 1: Chọn hai điểm A, B phân biệt trên d , xác định ảnh A′, B ′ tương ứng. Đường thẳng d ′ cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh A′, B ′ (học sinh tự làm). Cách 2: Do d ′ song song hoặc trùng với d. Nên d ′ có dạng 5 x + 2 y + c = 0 . Lấy M (1;1) ∈ d . Khi đó: V(O ,−2 ) ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) ⇔ OM ′ = −2OM ⇒ M ′ ( −2; −2 ) Thay vào d ′ ⇒ c = 14 . Vậy d ′ : 5 x + 2 y + 14 = 0

1   x = − 2 x′  x′ = −2 x Cách 3: Gọi M ( x; y ) ∈ d : V(O ,−2 ) ( M ) = M ′ ( x′; y ′ ) ⇒  ⇔ y=  y′ = −2 y  y = − 1 y′  2 5 ′ ′ ′ Thế vào phương trình đường thẳng d : − x − y '− 7 = 0 ⇔ 5 x + 2 y + 14 = 0 2

điểm

thế

vào

 x′ = −2 ⇒ V(O ,−2) ( I ) = I ′ ( x′; y′ ) ⇒  ⇒ I ′ ( −2; 4 ) . Bán kính R′ = k .R = 2 5  y′ = 4 15

⇒ đường tròn ( C ′ ) : ( x + 2 ) + ( y − 4 ) = 20 . Câu 54. Đáp án C  x′ = −3 ⇒ J ′ ( −3;8 ) Đường tròn ( C ) có tâm I ( 8;1) : V( I ,−2) ( J ) = J ′ ( x′; y′ ) ⇔ IJ ′ = −2 IJ ⇒   y′ = 8 2 2 Bán kính R′ = k R = 2 5 ⇒ phương trình ( C ′ ) : ( x − 3 ) + ( y − 8 ) = 20 .

Câu 55.

Đáp án A Đường tròn ( C1 ) có tâm I1 (1;3) và bán kính R1 = 1

Đường tròn ( C2 ) có tâm I 2 ( 4;3) và bán kính R2 = 2 Gọi là tâm vị tự ngoài củ a I R V( I ,k ) ( ( C1 ) ) = ( C2 ) ⇒ V( I ,k ) ( I1 ) = I 2 , k = 2 = 2 ⇔ II 2 = 2 II1 ⇒ I ( −2;3) . R1 Câu 56. Đáp án A Đường tròn ( C ) có tâm I ( 3;3) và bán kính R = 3

phép

vị

tự

Đường tròn ( C ′) có tâm I ′ (10;7 ) và bán kính R ′ = 2 ⇒ I ≠ I ′, R ≠ R ′ ⇒ tỉ số vị tự k = −

2 3

2 36    x − 10 = − 3 ( x − 3)  x = 5 ⇒ V(O1 ,k ) ( I ) = I ′ ⇔ O1 I ′ = kO1 I với O1 ( x; y ) là tâm vị tự trong ⇔   x − 7 = − 2 ( y − 3)  y = 27  3 5   36 27  Vậy O1  ;   5 5  Câu 57. Chọn D Đường tròn ( C1 ) có tâm O1 ( 2;1) , bán kính R1 = 2 . Đường tròn ( C2 ) có tâm O2 ( 8; 4 ) , bán kính R2 = 4 .

Giả sử I1 ( x; y ) là tâm vị tự ngoài khi đó ta có phép vị tự tâm I1 , tỉ số k =

R2 = 2 sẽ biến đường R1

 x = −4 8 − x = 2 ( 2 − x ) tròn ( C1 ) thành đường tròn ( C2 ) suy ra I1O2 = 2 I1O1 ⇔  ⇔ y 4 − y = 2 1 − ( )  y = −2 

⇒ I1 ( −4; −2 ) . Nếu I 2 ( x; y ) là tâm vị tự trong thì ta có phép vị tự tâm I 2 , tỉ số k = −

( C1 ) thành đường tròn ( C2 ) suy ra

R2 = −2 sẽ biến đường tròn R1

x = 4 8 − x = −2 ( 2 − x ) ⇔ ⇒ I 2 ( 4; 2 ) . I 2O2 = −2I 2O1 ⇔  y = 2 4 − y = −2 (1 − y )

Khi đó I1 I 2 = 82 + 4 2 = 4 5 .

TOÁN 11

C. Tồn tại phép đồng dạng biến hình chữ nhật (không phải hình vuông) thành hình vuông. D. Phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác có cùng diện tích.

PHÉP ĐỒNG DẠNG

1H1-8

Câu 7.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? I. “ Mỗi phép vị tự tỉ số k là một phép đồng dạng tỉ số k ”. II. “ Mỗi phép đồng dạng là một phép dời hình”. III. “ Thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng ta được một phép đồng dạng” A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Chỉ III. D. Cả I và III.

CÂU 8.

Phép đồng dạng với tỉ số k nào dưới đây thì được một hình bằng hình ban đầu? 1 A. 1. B. 0. C. 2. D. . 2

Câu 9.

Cho ∆ABC và ∆A′B′C′ đồng dạng với nhau theo tỉ số k . Chọn câu sai: A. k là tỉ số hai trung tuyến tương ứng. B. k là tỉ số hai đường cao tương ứng. C. k là tỉ số hai góc tương ứng. D. k là tỉ số hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tương ứng.

MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI ................................................................................................................................................... 1 Dạng 1. Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép đồng dạng ......................................................... 1 Dạng 2. Tìm ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép đồng dạng bằng phương pháp tọa độ ....................... 3 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ......................................................................................................................... 5 Dạng 1. Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép đồng dạng ......................................................... 5 Dạng 2. Tìm ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép đồng dạng bằng phương pháp tọa độ ....................... 8

Câu 10. Cho hình vuông ABCD , P thuộc cạnh AB , H là chân đường vuông góc hạ từ B đến PC . Phép đồng dạng viến ∆BHC thành ∆PHB . Khi đó ảnh của B và D lần lượt là: B. C và Q ( Q ∈ BC ; BQ = BH ) . A. P và Q ( Q ∈ BC ; BQ = BH ) .

PHẦN A. CÂU HỎI Dạng 1. Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép đồng dạng Câu 1.

(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? B. Có phép vị tự không phải là phép dời hình. A. Phép đồng dạng là một phép dời hình. C. Phép dời hình là một phép đồng dạng. D. Phép vị tự là một phép đồng dạng.

Câu 2.

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. “ Phép vị tự tỷ số k = −1 là phép dời hình”. B. “ Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó”. C. “ Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính”. D. “ Phép quay tâm I góc quay 90° biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc với nó”.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

C. H và Q ( Q ∈ BC ; BQ = BH ) .

Câu 11. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Phép đồng dạng tỉ số k = 1 là phép dời hình. B. Phép đồng dạng tỉ số k = −1 là phép đối xứng tâm. C. Phép đồng dạng tỉ số k = 1 là phép tịnh tiến. D. Phép đồng dạng tỉ số k = 1 là phép vị tự tỉ số k = 1 Câu 12. Giả sử phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác A1 B1C1 . Giả sử F biến trung tuyến AM của ∆ABC thành đường cao A1M 1 của ∆A1 B1C1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? B. ∆A1 B1C1 là tam giác cân. A. ∆A1 B1C1 là tam giác đều. C. ∆A1 B1C1 là tam giác vuông tại B1 . D. ∆A1 B1C1 là tam giác vuông tại C1 .

Cho các khẳng định sau: (1) Phép vị tự là một phép dời hình. (2) Phép đối xứng tâm là một phép dời hình. (3) Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì. (4) Phép quay tâm O góc quay bất kì biến M thành M ′ thì O, M , M ′ thẳng hàng. Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng? A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hai đường thẳng bất kỳ luôn đồng dạng. C. Hai hình vuông bất kỳ luôn đồng dạng.

Câu 13. Cho hình chữ nhật ABCD và AC = 2 AB . Gọi Q là phép quay tâm A góc quay ϕ = ( AB , AC ) V là phép vị tự tâm A tỉ số 2, F là phép hợp thành của V và Q . F biến đường tròn tâm B bán kính BA thành đường tròn nào sau đây? B. Đường tròn tâm C bán kính CA . A. Đường tròn tâm D bán kính DB . C. Đường tròn tâm D bán kính DC . D. Đường tròn tâm A bán kính AC .

B. Hai đường tròn bất kỳ luôn đồng dạng. D. Hai hình chữ nhật bất kỳ luôn đồng dạng.

CÂU 14. Cho hai đường tròn ( I ; R ) và ( I ′; 2 R ) tiếp xúc ngoài nhau tại O . d là đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn tại O . Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số k , Đ là phép đối xứng qua đường thẳng d , F là phép hợp thành của Đd và V( O ;k ) . Với giá trị k bằng bao nhiêu thì F biến ( I ; R ) thành

Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Phép dời hình là phép đồng dạng, tỉ số k = −1 . B. Phép vị tự tỉ số k là một phép đồng dạng với tỉ số −k . C. Phép vị tự tỉ số k ≠ 0 là phép đồng dạng tỉ số k .

( I ′; 2 R ) ? A. k = 2 .

D. Phép đồng dạng là phép dời hình với k ≠ 0 . Câu 6.

D. P và C .

Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Mọi phép đồng dạng đều biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó B. Mọi phép đồng dạng biến hình vuông thành hình vuông.

B. k = −2 .

1 C. k = − . 2

D. k =

1 . 2

Câu 15. Cho hình vuông ABCD tâm O (điểm được đặt theo chiều kim đồng hồ). A′, B′, C′, D′ theo thứ tự là trung điểm của AB, BC , CD, DA . Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 và Q là phép quay 1

tâm O góc quay −

. Phép biến hình F được xác định là hợp thành liên tiếp của phép quay và 4 phép vị tự. Khi đó qua F ảnh của đoạn thẳng B′D′ là: A. Đoạn D′B′ . B. Đoạn A′C′ . C. Đoạn CA . D. Đoạn BD . CÂU 16. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IA + 2 IB = 0 . Gọi G là trọng tâm ∆ABD . F là phép đồng dạng biến ∆AGI thành ∆COD . Khi đó F là hợp bởi hai phép biến hình nào? A. Phép tịnh tiến theo GD và phép V( B ;−1) . B. Phép Q G;1080 và phép V 1  .

(

C. Phép V

3  A;   2

A. x + 2 y + 11 = 0 .

D. Phép V

và phép Q O;−1080 .

(

)

3  A;   2

)

C. x + 2 y − 6 = 0 .

Câu 22. Trong mặt phẳng Oxy , xét phép biến hình F

D. x + 2 y + 6 = 0 .

biến mỗi điểm M ( x; y) thành điểm

M ′ ( 2x −1;− 2 y + 3) . Viết phương trình đường thẳng d ′ là ảnh của đường thẳng d : x − 2 y + 6 = 0 qua phép biến hình. A. x + 2 y + 7 = 0 . B. x + 2 y + 5 = 0 .

Câu 23.

C. 2 x + y + 5 = 0 .

D. 2 x + y + 7 = 0 .

(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) 2

có phương trình ( x − 2) + ( y − 2) = 4 . Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên

 B;   2

và phép Q G ;−1080 .

(

B. x + 2 y − 11 = 0 .

1 và phép quay tâm O góc quay 90° sẽ biến (C) thành các đường 2 tròn nào trong các đường tròn sau.

)

tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k =

Câu 17. Phóng to một hình chữ nhật kích thước là 4 và 5 theo phép đồng dạng tỉ số k = 3 thì được hình có diện tích là: A. 60 đơn vị diện tích. B. 180 đơn vị diện tích. C. 120 đơn vị diện tích. D. 20 đơn vị diện tích. Câu 18. Cho hình chữ nhật ABCD , AC và BD cắt nhau tại I . Gọi H , K , L và J lần lượt là trung điểm AD , BC , KC và IC .

A. ( x − 1) + ( y − 1) = 1. B. ( x + 1) + ( y − 1) = 1 . 2

C. ( x + 2 ) + ( y − 1) = 1 . Câu 24.

D. ( x − 2) + ( y − 2 ) = 1 .

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với A(3;1), B(2;3), C (9; 4) . Gọi A ', B ', C ' là ảnh của A, B, C qua phép đồng dạng F có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 và phép tịnh tiến theo vec tơ AB . Tính diện tích tam giác A ' B ' C ' (theo đơn vị diện tích). B. 60 . C. 30 . D. 15 . A. 7,5 .

 x ' = 2x − 3 Câu 25. Xét phép biến hình f : M ( x , y ) ֏ M (' x ', y ') trong đó  thì f là phép  y ' = −2 y + 1 B. Phép đồng dạng. C. Phép quay. D. Phép dời hình. A. Phép tịnh tiến.

Ảnh của hình thang JLKI qua phép đồng dạng bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm C tỉ số 2 và phép quay tâm I góc 180° là. A. hình thang IHDC . B. hình thang IKBA . C. hình thang HIAB . D. hình thang IDCK . Câu 19. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I . Gọi H , K , L, J lần lượt là trung điểm của AD, BC , KC, IC. Tứ giác IHCD đồng dạng với tứ giác nào sau đây? A. JLKI . B. ILJH . C. JLBA . D. ALJH Câu 20. Cho ∆ABC có đường cao AH , H nằm giữa BC. Biết AH = 4, HB = 2, HC = 8. Phép đồng dạng F biến ∆HBA thành ∆HAC . F được hình thành bởi hai phép biến hình nào? 1 A. Phép đối xứng tâm H và phép vị tự tâm H tỉ số k = . 2 B. Phép tịnh tiến theo BA và phép vị tự tâm H tỉ số k = 2 . C. Phép vị tự tâm H tỉ số k − 2 và phép quay tâm H góc quay là góc ( HB, HA ) . D. Phép vị tự tâm H tỉ số k = 2 và phép đối xứng trục

Câu 26. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) có tâm A ( −3; 4 ) , bán kính R = 2 . Viết phương trình đường tròn ( C ′ ) là ảnh của đường tròn ( C ) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v = (1; −1) và phép vị tự tâm I ( 0; 4 ) tỉ số k = −2 . 2

B. ( x + 6 ) + ( y − 4 ) = 8 .

D. ( x − 4 ) + ( y − 6 ) = 8 .

A. ( x + 4 ) + ( y − 6 ) = 2 . C. ( x − 4 ) + ( y − 6 ) = 2 .

Câu 27. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M ( 2; 4 ) . Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k =

điểm nào sau đây? A. ( 2; −1) .

1 và phép quay tâm O góc quay −90° sẽ biến điểm M thành 2

B. ( 2;1) .

C. ( −1; 2 ) .

D. (1; 2 )

Câu 28. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2 x − y = 0 thỏa mãn phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện llieen tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 và phép đối xứng trục Oy sẽ biến đường thẳng d thành đường thẳng nào sau đây? A. −2 x − y = 0 . B. 2 x + y = 0 . C. 4 x − y = 0 . D. 2 x + y − 2 = 0

Dạng 2. Tìm ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép đồng dạng bằng phương pháp tọa độ Câu 21. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : x + 2 y − 3 = 0 . Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 và phép tịnh tiến theo vectơ v = (1;2) biến đường thẳng d thành đường thẳng d ′ có phương trình 3

Câu 29. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn ( C ) : ( x − 2 ) + ( y − 2 ) = 4 . Hỏi phép đồng dạng có được

1 bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = và phép quay tâm O góc quay 900 sẽ 2 biến ( C ) thành đường tròn nào sau đây? 2

A. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) = 1 . 2

B. ( x − 1) + ( y − 1) = 1 .

C. ( x + 2 ) + ( y − 1) = 1 .D. ( x + 1) + ( y − 1) = 1 Câu 30. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm M (1; 2 ) . Phép đồng dạng là hợp thành của phép vị tự tâm I (1; 2 ) tỉ số k = 2 và phép quay tâm O góc quay

(

A. ( 2; −1)

Câu 3.

B. 2 2; 2

)

sẽ biến M thành điểm có tọa độ: 4 C. 2; 2 2 D. 2 2; − 2

(

)

(

)

Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x + 2 y = 0 . Phép đồng dạng là phép thực hiện liên tiếp qua phép vị tự tâm I (1; −2 ) tỉ số k = 3 và phép quay tâm O góc quay thẳng d thành đường thẳng nào sau đây? A. 2 x − y − 6 = 0 B. x + 2 y − 6 = 0

C. 2 x − y + 6 = 0

π 2

sẽ biến đường

Phép vị tự t ỷ số k = −1 là đối xứng tâm. Chọn D +Phép vị tự không phải là phép dời hình mà là phép đồng dạng, nên (1) sai. + Phép đối xứng tâm là một phép dời hình, nên (2) đúng. + Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì, nên (3) đúng. + Phép quay tâm O góc quay bất kì biến M thành M ′ và O, M , M ′ thẳng hàng chỉ khi đó là phép quay tâm O có góc quay là 0° hoặc 180° , nên (4) sai.

Câu 4. Đáp án D Với hai hình chữ nhật bất kỳ ta chọn từng cặp cạnh tương ứng khi đó tỉ lệ giữa chúng chưa chắc đã bằng nhau. Vì vậ y không phải lúc nào cũng tồn tại phép đồng dạng biến hình chữ nhật này thành hình chữ nhật kia. Câu 5. Đáp án C. Câu 6. Đáp án B. Câu 7. Đáp án C. CÂU 8. Đáp án A. Câu 9. Đáp án C. A. Câu 10. Đáp án P

D. 2 x − y − 3 = 0 H

Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M ( 0;1) . Phép đồng dạng là phép thực hiện liên tiếp qua phép vị tự tâm I ( 4; 2 ) tỉ số k = −3 và phép đối xứng qua trục d : x − 2 y + 4 = 0 sẽ biến M thành điểm nào sau đây? A. (16;5 ) B. (14;9 ) C. (12;13 ) D. (18;1) 2

Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) = 4 . Phép đồng dạng là phép thực hiện liên tiếp qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 và phép quay tâm O góc quay 1800 sẽ biến đường tròn ( C ) thành đường tròn nào sau đây? ( O là gốc tọa độ)

A. x 2 + y 2 − 4 x − 8 y − 2 = 0 2

C. ( x + 2 ) + ( y + 4 ) = 16

B. x 2 + y 2 + 4 x + 8 y + 2 = 0 2

D. ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = 16 2

C. ( x + 4 ) + ( y + 4 ) = 1

Câu 11. Đáp án A Khi k = 1 phép đồng dạng bảo toàn khoảng cách nên là phép dời hình. Câu 12.

Đáp án D. Theo tính chất phép đồng dạng thì A1M 1 là đường trung tuyến của ∆A1 B1C1 , theo giả thiết A1M 1 lại là đường cao nên ∆A1 B1C1 là tam giác cân tại A1 . Vì vậ y ∆ABC cân tại A . Câu 13. Đáp án B. V( A;2) ( B ) = B1 ; Q( A;ϕ ) ( B1 ) = C

Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) = 9 . Phép đồng dạng là 1 phép thực hiện liên tiếp qua phép vị tự tâm I (1; −1) tỉ số k = và phép tịnh tiến theo v = ( 3; 4 ) 3 sẽ biến đường tròn ( C ) thành đường tròn có phương trình: A. ( x − 4 ) + ( y − 4 ) = 9

Qua V( A;2 ) biến đường tròn tâm B bán kính BA thành đường tròn tâm B1 bán kính B1 A . Qua Q( A;ϕ ) biến đường tròn tâm B1 bán kính B1 A thành đường tròn tâm C bán kính CA . D

B. ( x − 4 ) + ( y − 4 ) = 1 2

I B

D. ( x − 1) + y = 1

CÂU 14.

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu 1. Câu 2.

Đáp án

Dạng 1. Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép đồng dạng Chọn A Phép đồng dạng có thể làm thay đổi kích thước của hình nên không phải là một phép dời hình. Chọn A 5

Câu 20.

A O

4 φ

Ta có: Đ d ( ( I ) ) = ( I1 ) ;V(O;2) ( ( I1 ) ) = ( I ′ ) . Vậy k = 2

Câu 15.

Đáp án

Ta có V( H ,2)

C. A'

Ta có: Q

π O;   4

Dạng 2. Tìm ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép đồng dạng bằng phương pháp tọa độ Câu 21. Chọn B Gọi ∆ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số 2. Lấ y M ( x ; y ) ∈ d , M1 = V( O,2) ( M ) ⇔ OM1 = 2OM với M1(x1; y1) ∈∆.

biến B′, D′ thành B1 , D1 : B1 D1 = B′D′ và B1 , D1 nằm trên đường thẳng qua AC

 1   x = x1   x1 = 2 x  1 1  2 . Vì  Ta có  ⇔ M ( x; y ) ∈ d nên x1 + 2. y1 − 3 = 0 .   1 2 2    y1 = 2 y = y y  1  2  

V O; 2 ( B1 ) = B2 ;V O; 2 ( D1 ) = D2 ⇒ OB2 = 2OB1 , OD2 = 2OD1 ⇒ B2 D2 = 2 B1 D1 = 2 B′D′ = AC ( ) ( ) . CÂU 16. Đáp án C. I

Vậy phương trình ∆ là x + 2 y − 6 = 0 .

Gọi d ′ là ảnh của ∆ qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (1;2) . Khi đó M ′ = Tv ( M1 ) ⇔ M1M ′ = v    x ′ = x1 + 1  x1 = x '− 1 ⇔ ⇔     ′    y1 = y ′ − 2  y = y1 + 2

G O

- Phép V

3  A;   2

Vì M1(x1; y1) ∈∆ nên x ′ − 1 + 2 ( y ′ − 2) − 6 = 0 . Vậy phương trình d ′ là x + 2 y − 11 = 0

( ∆AGI ) = ∆AOB Câu 22.

- Phép Q O;−1800 ( ∆AOB ) = ∆COD

(

Lời giải Chọn A Chọn A(0;3) và B( 2;4) là hai điểm thuộc đường thẳng d .

)

Câu 17.

Đáp án B. Qua phép đồng dạng tỉ số k = 3 ta được các cạnh tương ứng của hình chữ nhật là 12 và 15. ⇒ Diện tích của hình chữ nhật ảnh là: 12.15 = 180. Câu 18. Chọn A V( C ;2) biến hình thang JLKI thành hình thang IKBA .

Gọi A′ = F ( A) và B′ = F ( B) , ta có A′ (−1;−3) và B′ (3;−5) . Do A , B là hai điểm thuộc đường thẳng d và d ′ = F (d) nên A′ và B′ thuộc d ′. Hay đường thẳng d ′ chính là đường thẳng A ′ B ′. Ta có A′ B′ = (4; − 2) . VTPT của đường thẳng A ′ B ′ là n = (1;2) . Đường thẳng A ′ B ′ đi qua điểm A′ (−1;−3) và có VTPT n = (1;2) nên có phương trình là

Q( I ;180°) biến hình thang IKBA thành hình thang IHDC . Câu 19. M

Câu 23.

Chọn B

1 x y biến điểm M ( x; y ) thành M ′  ;  , phép quay tâm O góc quay 2 2 2 x y  y x ° 90 biến điểm M ′  ;  thành M ′′  − ;  . 2 2  2 2 Vậy điểm M ′′ ( a; b ) là ảnh của điểm M ( 2b; −2a ) , vậ y ảnh của đường tròn ( C ) là Phép vị tự tâm ( O ) tỉ số k =

I A

( x +1) + 2( y + 3) = 0 ⇔ x + 2 y + 7 = 0 .

Đáp án A

dạng hợp thành của V( H ,2) và Q( H ;ϕ ) biến ∆HBA thành ∆HAC .

H Đáp án C và Q( H ;ϕ ) với ϕ = ( HB, HA) biến B thành A và A thành C, vậ y F là phép đồng

Tứ giác IHDC là hình thang vuông. Ta thấy IHDC đồng dạng với JLKI theo tỉ số

1 2 7

( 2b − 2) + ( −2a − 2) Câu 24.

Ta lại có Q O;900

= 4 ⇔ ( a + 1) + ( b − 1) = 1 .

(

Chọn C Ta có AB = (2 − 3) 2 + (3 − 1) 2 = 5 , tương tự AC = 3 5, BC = 5 2. Áp dụng công thức Hê rông tính được diện tích

tam

giác

Khi đó ( C1 ) có tâm A1 = Tv ( A) và bán kính R1 = R = 2 . Ta có A1 ( −3 + 1; 4 − 1) hay A1 ( −2;3) .

C ′) ) = ( C ′′ ) có bán kính R ′′ = 1 và tâm I ′′ ( x′′; y ′′ ) được xác định

 x′′ = − y′ = −1 ⇒ I ′′ ( −1;1)   y ′′ = x′ = 1

ABC :

5 5  5  5   15 S = p( p − a)( p − b)( p − c ) =  2 + 5  2 − 5  2 + 2 5  2 5 − 2 = . 2 2  2  2   2 Tam giác ABC qua phép đồng dạng F như đề cho biến thành tam giác A ' B ' C ' đồng dạng với tam giác tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng k =| −2 |= 2 nên diện tích tam giác A ' B ' C ' : 15 S A ' B ' C ' = 4S ABC = 4. = 30. 2 Câu 25. Chọn B. Dễ thấy phép biến đổi tọa độ trên không bảo toàn khoảng cách. Vì vậy ta sẽ loại bỏ các phương án A, C, D. Biểu thức tọa độ trên là phép đồng dạng với t ỷ số k = 2 . Câu 26. Chọn D Gọi ( C1 ) là ảnh của ( C ) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (1; −1) .

) ((

Vậy phương trình đường tròn ( C′′ ) là: ( x + 1) + ( y − 1) = 1 .

Câu 30.

Đáp án

 x′ = 3 Ta có: V( I ;2) ( M ) = M ′ ( x; y ) ⇔ IM ′ = 2 IM ⇒  ⇒ M ′ ( 3; −1) .  y′ = −1  3 2 2 + =2 2  x′′ =  2 2 Q π  ( M ′ ) = M ′′ ( x′′; y′′ ) ⇒  ⇒ M ′′ 2 2; 2  O;   y′′ = 3 2 − 2 = 2  4  2 2 Câu 31. Đáp án C. Ta có: V( I ;3) ( d ) = d ′ ⇔ d ′ d ⇒ d ′ có dạng: x + 2 y + c = 0 .

(

Chọn M ( 2; −1) ∈ d ⇒ V( I ;3) ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) ⇒ M ′ ( 4;1) ∈ d ′ ⇒ 4 + 2 + c = 0 ⇒ c = −6

⇒ d′ : x + 2y − 6 = 0 . d ′ ) = d ′′. π(

Có Q

Do ( C′) là ảnh của đường tròn ( C ) qua phép đồng dạng đã cho nên ( C′) là ảnh của đường tròn

( C1 ) qua phép vị tự tâm I ( 0; 4) tỉ số k = −2 . ( C′) có tâm A′ = V( I ;−2) ( A1 ) và bán kính R′ = −2 .R1 = 2 2 .  x′ = 4  x′ − 0 = −2 ( −2 − 0 ) Gọi A′ ( x′; y ′) . Ta có IA′ = −2 IA1 ⇔  ⇒ A′ ( 4;6 ) . ⇔  y′ = 6  y′ − 4 = −2 ( 3 − 4 ) 2 2 Vậy đường tròn ( C′) có phương trình là ( x − 4 ) + ( y − 6 ) = 8 .

 O;   4

Gọi N ( x′; y′ ) ∈ d ′ ⇒ Q

π  O;   2

 x′′ = − y  x = y′′ ⇒  y′′ = x  y = − x′′

( N ′) = N ′′ ( x′′; y′′ ) ⇒ 

Thế vào phương trình d ′′ : y′′ − 2 x′′ − 6 = 0 . Vậy phương trình d ′′ : 2 x − y + 6 = 0 . Câu 32. Đáp án C. Ta có: V( I ;−3) ( M ) = M ′ ( x; y ) ⇔ IM ′ = −3IM ⇒ M ′ (16;5 ) . Đ d ( M ′ ) = M ′′ ( x ′′; y ′′ ) ⇒ d là trung trực của M ′M ′′ ⇒ M ′M ′′ có dạng: 2 x + y + c = 0 đi qua M ′ ⇒ c = −37 ⇒ M ′M ′′ : 2 x + y − 37 = 0 Gọi H là trung điểm của M ′M ′′ 2 x + y − 37 = 0 ⇒ H (14;9 ) ⇒ M ′′ (12;13) . ⇒ tọa độ H là nghiệm của hệ  x − 2 y + 4 = 0 Câu 33. Đáp án D. Đường tròn ( C ) có tâm J (1; 2 ) bán kính R = 2

Câu 27.

1 Đáp án A Ta có V 1  ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) ⇔ OM ′ = OM ⇒ M ′ ( 2; −1) 2  O;   2  x′′ = y ′ = 2 Q(O ;−90°) ( M ′ ) = M ′′ ( x′′; y ′′ ) ⇒  ⇒ M ′′ ( 2; −1) .  y′′ = − x′ = −1

Câu 28. Đáp án A Ta có: V(O ;−2 ) ( d ) = d ′ ⇒ d ′ d

⇒ d′ có dạng: 2 x − y + c = 0 Chọn N (1; 2 ) ∈ d : V(O ;−2 ) ( N ) = N ′ ( −2; −4 ) ∈ d ′ ⇒ −4 + 4 + c = 0 ⇒ c = 0

V(O ;−2) ( J ) = J1 ( x′; y ′ ) ⇒ J1 ( −2; −4 ) , bán kính R1 = 2 R = 4

+ phương trình đường thẳng d ′ : 2 x − y = 0 Qua phép đối xứng trục Oy : Đ oy ( d ′) = d ′′

Q O ;1800 ( J1 ) = J 2 ( x′′; y′′ ) ⇒ J 2 ( 2; 4 ) , bán kính R2 = R1 = 4

1  O;   2

(( C ) ) = ( C ′) nên đường tròn ( C ′) có tâm I ′ (1;1) và bán kính

⇒ Phương trình ( C1 ) : ( x + 2 ) + ( y + 4 ) = 16

(

)

Vậy phương trình đường tròn cẩn tìm là: ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = 16 Câu 34. Đáp án B. Đường tròn ( C ) có tâm J (1; 2 ) bán kính R = 3 1 1 V 1  ( J ) = J1 ⇔ IJ1 = IJ ⇒ J1 (1;0 ) , R1 = R = 1 3 3 I;   3 T v ( J1 ) = J 2 ⇒ J1 J 2 = v ⇒ J 2 ( 4; 4 ) , bán kính R2 = 1

Suy ra phương trình ảnh d′′ cần tìm là: −2 x − y = 0

Câu 29. Đáp án D. Gọi V

)

R′ = 1 .

Vậy đường tròn ảnh qua hai phép V

1 I;   3

và T v là: ( x − 4 ) + ( y − 4 ) = 1 .

TOÁN 11

D. Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1H2-1

Câu 4.

(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Ba đường thẳng đôi một song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng. B. Ba đường thẳng phân biệt đôi một cắt nhau thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng. C. Ba đường thẳng đôi một cắt nhau thì chúng đồng quy tại một điểm. D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 5.

Cho các khẳng định: (1): Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. (2): Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. (3): Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa. (4): Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng thì chúng thẳng hàng. Số khẳng định sai trong các khẳng định trên là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .

Câu 6.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì cheo nhau. B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. D. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.

Câu 7.

Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b B. Vô số. C. 2. . D. 1. A. 0. .

Câu 8.

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Trong các hình vẽ sau hình nào có thể là hình biểu diễn của một hình tứ diện? (chọn câu đúng và đầy đủ nhất)

MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1 DẠNG 1. LÝ THUYẾT ................................................................................................................................................... 1 DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG........................................................................................ 3 DẠNG 3. TÌM GIAO ĐIỂM ............................................................................................................................................ 5 DẠNG 4. TÌM THIẾT DIỆN ........................................................................................................................................... 7 DẠNG 5. ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG ...................................................................................................................... 11 DẠNG 6. TỈ SỐ ............................................................................................................................................................. 12 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 14 DẠNG 1. LÝ THUYẾT ................................................................................................................................................. 14 DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG...................................................................................... 16 DẠNG 3. TÌM GIAO ĐIỂM .......................................................................................................................................... 21 DẠNG 4. TÌM THIẾT DIỆN ......................................................................................................................................... 27 DẠNG 5. ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG ...................................................................................................................... 40 DẠNG 6. TỈ SỐ ............................................................................................................................................................. 44

PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. LÝ THUYẾT Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. B. Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song. C. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó. D. Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

A. ( I ), ( II ) .

B. (I ),(II ),(III ),( IV ) . C. ( I ) .

D. (I ),(II ),( III ) .

Câu 9.

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số cạnh là A. 9 cạnh. B. 10 cạnh. C. 6 cạnh. D. 5 cạnh.

Câu 10.

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết điều nào sau đây? A. Một đường thẳng và một điểm thuộc nó. B. Ba điểm mà nó đi qua. C. Ba điểm không thẳng hàng. D. Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng.

(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là A. 5 mặt, 5 cạnh. B. 6 mặt, 5 cạnh. C. 6 mặt, 10 cạnh. D. 5 mặt, 10 cạnh.

Câu 11.

Trong các tính chất sau, tính chất nào không đúng? A. Có hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua hai điểm phân biệt cho trước. B. Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. C. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Hình chóp có 16 cạnh thì có bao nhiêu mặt? A. 10 . B. 8 . C. 7 . D. 9 .

Câu 12.

Cho hình chóp S. ABC . Gọi M , N , K , E lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, BC . Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng? A. M , K , A, C . B. M , N , A, C . C. M , N , K , C . D. M , N , K , E .

Câu 13. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây: A. Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. B. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. C. Nếu mặt phẳng ( P ) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng ( Q ) thì ( P ) và ( Q ) song song với nhau. D. Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó. Câu 14.

Câu 15.

Câu 16.

A. SO . Câu 23.

(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó? A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 6 . (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho tam giác ABC khi đó số mặt phẳng qua A và cách đều hai điểm B và C là? B. 1. C. 2 . D. Vô số. A. 0 .

Câu 24.

Câu 25.

Cho hình chóp S. ABCD với ABCD là hình bình hành. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng và ( SAD ) là A. Đường thẳng SC . B. Đường thẳng SB . C. Đường thẳng SD . D. Đường thẳng SA .

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang ABCD ( AD // BC ) . Gọi M là trung điểm CD . Giao tuyến của hai mặt phẳng ( MSB ) và ( SAC ) là A. SI ( I là giao điểm của AC và BM ). B. SO ( 0 là giao điểm của AC và BD ). C. SJ ( J là giao điểm của AM và BD ). D. SP ( P là giao điểm của AB và CD ).

Câu 27.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , M là trung điểm SC . Khẳng định nào sau đây sai? A. Giao tuyến của ( SAC ) và ( ABCD ) là AC . B. SA và BD chéo nhau.

A. SM .

(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Giao tuyến của ( SMN ) và ( SAC ) là

B. AC .

C. SO .

B. SB .

C. SC .

D. SD .

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang ABCD ( AD // BC ) . Gọi M là trung điểm của CD . Giao tuyến của hai mặt phẳng ( MSB ) B. SI với I là giao điểm của AC và BM . D. SJ với J là giao điểm của AM và BD .

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho hình chóp S. ABCD , biết AC cắt BD tại M , AB cắt CD tại O . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) . 3

A. CP . Câu 29.

C. MN .

D. SN .

D. Giao tuyến của ( SAB ) và ( SCD ) là SO .

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD , M là trung điểm của 1 2 AB , N là điểm trên AC mà AN = AC , P là điểm trên đoạn AD mà AP = AD . Gọi E là 4 3 giao điểm của MP và BD , F là giao điểm của MN và BC . Khi đó giao tuyến của ( BCD ) và

( CMP )

D. AC .

B. SA .

C. AM cắt ( SBD ) . Câu 28.

(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) là

và ( SAC ) là: A. SP với P là giao điểm của AB và CD . C. SO với O là giao điểm của AC và BD . Câu 22.

B. SO ( O là tâm của hình bình hành ABCD ). D. SD .

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD , AD = 2 BC . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) .

A. SA . Câu 21.

Cho hình chóp S. ABCD có AC ∩ BD = M , AB ∩ CD = N . Giao tuyến của hai mặt phẳng và ( SCD ) là:

( SAB ) Câu 26.

A. SA . Câu 20.

D. ( IAC ) ∩ ( JBD ) = AO ( O là tâm ABCD ).

C. Nếu ( P ) chứa a thì ( P ) cũng chứa b . D. Tất cả các khẳng định trên đều sai. DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG

A. SK ( K là trung điểm của AB ). C. SF ( F là trung điểm của CD ). Câu 19.

và giao điểm của

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SA và SB . Khẳng định nào sau đây sai? A. ( SAB ) ∩ ( IBC ) = IB . B. IJCD là hình thang. C. ( SBD ) ∩ ( JCD ) = JD .

( SAC )

Câu 18.

D. SC .

AC và DB .

Cho mặt phẳng ( P ) và hai đường thẳng song song a và b . Mệnh đề nào sau đây đúng? B. Nếu ( P ) cắt a thì ( P ) cũng cắt b .

C. SA .

CD . D. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) là đường thẳng đi qua

A. Nếu ( P ) song song với a thì ( P ) cũng song song với b .

Câu 17.

B. SM .

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB . Kết luận nào sau đây sai? A. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SBC ) là đường thẳng đi qua S và không song song với AD . B. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SBC ) là đường thẳng đi qua S và song song với AD C. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) là đường thẳng đi qua S và song song với

là B. NE .

C. MF .

D. CE .

Cho bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng. Gọi I , K lần lượt là trung điểm hai đoạn thẳng AD và BC . IK là giao tuyến của cặp mặt phẳng nào sau đây ? A. ( IBC ) và ( KBD ) . B. ( IBC ) và ( KCD ) . C. ( IBC ) và ( KAD ) . D. ( ABI ) và ( KAD ) .

Câu 30. (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và AC . Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Giao tuyến của hai mặt phẳng ( GMN ) và ( BCD ) là đường thẳng: A. qua M và song song với AB . C. qua G và song song với CD .

B. Qua N và song song với BD . D. qua G và song song với BC .

DẠNG 3. TÌM GIAO ĐIỂM Câu 31.

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của BC , AD . Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Gọi I là giao điểm củủa NG với mặt phẳng ( ABC ) . Khẳng định nào sau đđây đúng? A. I ∈ AM . B. I ∈ BC . C. I ∈ AC . D. I ∈ AB .

Câu 39.

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , I lần lượt là trung điểm của SA , BC điểm G nằm giữa S và I sao cho SG 3 = . Tìm giao điểm của đường thẳng MG với mặt phẳng ( ABCD) . SI 5 A. Là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AI . B. Là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng BC . C. Là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng CD . D. Là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AB .

Câu 40.

Cho tứ diện ABCD . Lấy đ điiểm M sao cho AM = 2CM và N là trung điểm AD . Gọi O là một điểm thuộc miền trong của ∆ BCD . Giao điểm của BC với ( OMN ) là giao đđiểm của BC với

Cho hình chóp S . ABCD có I là trung điểm của SC , giao điểm của AI và ( SBD ) là A. Điểm B. Điểm C. Điểm D. Điểm

Câu 32.

Câu 38.

K (với O là trung điểm của BD và K = SO ∩ AI ). M (với O là giao điểm của AC và BD , M là giao điểm SO và AI ). N (với O là giao điểm của AC và BD , N là trung điểm của SO ). I.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. M , N lần lượt thuộc đoạn AB , SC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Giao điểm của MN và ( SBD ) là giao điểm của MN và SB . B. Đường thẳng MN không cắt mặt phẳng ( SBD ) . C. Giao điểm của MN và ( SBD ) là giao điểm của MN và SI , trong đó I là giao điểm của CM và BD.

Câu 33.

Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng ( ABCD) . Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C . Giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng ( ABM ) là A. giao điểm của SD và BK (với K = SO ∩ AM ). B. giao điểm của SD và AM . C. giao điểm của SD và AB . D. giao điểm của SD và MK (với K = SO ∩ AM ).

Câu 34.

(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AD , BC ; G là trọng tâm của tam giác BCD . Khi đó, giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng ( ABC ) là: A. Điểm A . B. Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN . C. Điểm N . D. Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng BC .

Câu 35.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC . Gọi I là giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng ( SBD ) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây: A. IA = 3IM . B. IM = 3IA . C. IM = 2 IA . D. IA = 2IM .

Câu 36.

(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có M , N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC . Gọi P là điểm thuộc cạnh CD sao cho CP = 2 PD và Q là điểm thuộc cạnh AD sao cho bốn điểm M , N , P, Q đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Q là trung điểm của đoạn thẳng AC . B. DQ = 2 AQ C. AQ = 2 DQ D. AQ = 3 DQ .

Câu 37.

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD , gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB , CD ; G là trọng tâm tam giác BCD . Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng ACD là A. Giao điểm của đường thẳng EG và AF . B. Điểm F . C. Giao điểm của đường thẳng EG và CD . D. Giao điểm của đường thẳng EG và AC .

A. OM . Câu 41.

Cho hình chóp , phẳng là A. Giao điểm của C. Giao điểm của

Câu 42.

B. MN . , và và

. .

C. A, B đều đúng.

D. A, B đều sai.

là một điểm trên cạnh , là một đđiểm trên cạnh , . Khi đó giao điểm của đường th với mặt thẳng B. Giao điểm của D. Giao điểm của

và và

. .

Cho hình chóp S . ABC có đ đáy áy ABC là tam giác, như hình vẽ bên duới.

Với M , N , H lần lượt là các đ điểm thuộc vào các cạnh AB, BC , SA sao cho MN không song song với AB. Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng AN với BM . Gọi T là giao điểm của đường NH với ( SBO ) . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. T là giao điểm của hai đường thẳng SO với HM . B. T là giao điểm của hai đường thẳng NH và BM . C. T là giao điểm của hai đường thẳng NH và SB . D. T là giao điểm của hai đường thẳng NH và SO .

Câu 43.

Câu 44.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là một tứ giác (AB không song song với CD). Gọi M là trung điểm của SD, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN = 2 NB. Giao điểm của MN với (ABCD) là điểm K. Hãy chọn cách xác định điểm K đúng nhất trong 4 phương án sau: A. K là giao điểm của MN với AC. B. K là giao điểm của MN với AB. C. K là giao điểm của MN với BC. D. K là giao điểm của MN với BD. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm của CD, CB, SA . H là giao điểm của

C. một tứ giác không có cặp cạnh đối nào song song. Câu 50.

hình chóp với mặt phẳng ( MNQ ) là đa giác có bao nhiêu cạnh?

A. 3 . Câu 51.

AC và MN . Giao điểm của SO với ( MNK ) là điểm E . Hãy chọn cách xác định điểm E đúng nhất trong bốn phương án sau:

A. E là giao điểm của MN với SO . C. E là giao điểm của KH với SO .

D. hình bình hành.

(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD . Có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , AD , SC . Thiết diện của B. 4 .

C. 5 .

D. 6 .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang, AB // CD và AB = 2CD . Gọi O là giao điểm của SE SF 2 = = (tham khảo hình SA SC 3 vẽ dưới đây).

AC và BD . Lấy E thuộc cạnh SA , F thuộc cạnh SC sao cho

B. E là giao điểm của KN với SO . D. E là giao điểm của KM với SO .

DẠNG 4. TÌM THIẾT DIỆN Câu 45.

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD với ABCD là tứ giác lồi. Thiết diện của mặt phẳng (α ) tùy ý với hình chóp không thể là A. tam giác. B. tứ giác. C. ngũ giác. D. lục giác.

Câu 46.

Cho hình chóp S .ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD . Gọi M , N lần lượt là hai trung điểm của AB,CD . Gọi (P ) là mặt phẳng qua MN và cắt mặt bên (SBC ) theo một giao tuyến. Thiết diện của (P ) và hình chóp là: B. Hình chữ nhật. A. Hình bình hành.

Câu 47.

a2 2 . 6

a2 3 . 4

a2 2 . 4

a2 3 . 2

C. ngũ giác.

Câu 53.

Cho tứ diện ABCD . Trên các cạnh AB, BC , CD lần lượt lấy các điểm P, Q, R sao cho 1 AP = AB, BC = 2QC , R không trùng với C , D . Gọi PQRS là thiết diện của mặt phẳng ( PQR ) 3 với hình tứ diện ABCD . Khi đó PQRS là A. hình thang cân. B. hình thang. 7

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD, E là trung điểm của cạnh SA, F , G là các điểm thuộc cạnh SC, AB

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA . Thiết diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi ( IBC ) là A. Tứ giác IBCD . B. Hình thang IGBC ( G là trung điểm SB ). C. Hình thang IJBC ( J là trung điểm SD ). D. Tam giác IBC .

Câu 54.

D. lục giác.

D. một hình bình hành.

(F không là trung điểm của SC ). Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( EFG) là một hình A. lục giác. B. ngũ giác. C. tam giác. D. tứ giác.

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, SC . Thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( MNP ) là một A. tam giác. B. tứ giác.

Câu 49.

Câu 52.

D. Hình vuông.

(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cho tứ diện ABCD đều cạnh a . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , mặt phẳng ( CGD ) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là. A.

Câu 48.

C. Hình thang.

Thiết diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi mặt phẳng ( BEF ) là A. một tam giác. B. một tứ giác. C. một hình thang.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Cắt tứ diện bởi mặt phẳng ( GCD ) . Tính diện tích của thiết diện.

A. Tứ giác. Câu 62.

B. Ngũ giác.

C. Lục giác.

D. Tam giác.

(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD và P là một điểm thuộc cạnh BC ( P không trùng trung điểm cạnh BC ). Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) là: A. Tam giác. B. Lục giác. C. Ngũ giác. D. Tứ giác.

Câu 63.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AB / / CD ) . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD , BC và G là trọng tâm tam giác SAB . Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( IJG ) là hình bình hành. Hỏi khẳng định nào sao đây đúng?

A. AB = 3CD . Câu 64. A. Câu 55.

B. 2 3 .

7 a 2 17 . 24

a 2 17 . 4

a 2 17 . 8

7 a 2 17 . 12

Câu 65.

Câu 66.

D. Tứ giác.

Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD và P là một điểm thuộc cạnh

BC ( P không trùng trung điểm cạnh BC ). Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) là: A. Tam giác. B. Lục giác. C. Ngũ giác. D. Tứ giác. Câu 58.

Câu 59.

(3) Diện tích của ( H ) bằng

D. tứ giác.

(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm của CD , CB , SA . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( MNK ) là một đa giác ( H ) . Hãy chọn khẳng định đúng? B. ( H ) là một hình bình hành.

C. ( H ) là một ngũ giác. D. ( H ) là một tam giác.

Câu 61.

(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD và P là một điểm thuộc cạnh BC ( P không là trung điểm của BC ). Thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) là 9

1 . 4

3 (4) Quỹ tích trọng tâm ( H ) là một đoạn thẳng có độ dài bằng . 2 (Trọng tâm của hình A1 A2 ... An là điểm G thỏa mãn GA1 + GA2 + ... + GA3 = 0 ). A. 3. B. 4. C. 2. D. 1

Câu 67.

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy C′ là điểm trên cạnh 2 SC sao cho SC ′ = SC . Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( ABC′) là một đa giác m cạnh. 3 Tìm m . A. m = 6 . B. m = 4 . C. m = 5 . D. m = 3 .

5 2 a . 2

diện của tứ diện ABCD cắt bới mặt phẳng (α ) .Trong các khẳng định sau có bao nhiêu khẳng định đúng? (1) ( H ) là một hình chữ nhật. (2) Chu vi của ( H ) bằng 2.

C. tam giác.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Điểm M di động trên đoạn BC , M khác B và C .Mặt phẳng (α ) đi qua M đồng thời song song với hai đường thẳng AB, CD .Gọi ( H ) là thiết

A. hình thang cân.

A. ( H ) là một hình thang. Câu 60.

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a ( a > 0 ) . Tính diện tích thiết diện của

Cho hình chóp S . ABCD , có M là trung điểm của SC , N thuộc cạnh BC sao cho NB = 2 NC . Thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng ( AMN ) là

B. hình bình hành.

2 D. AB = CD . 3

Cho tứ diện ABCD có các mặt là những tam giác đều có độ dài các cạnh bằng 2a . Gọi M , N

hình lập phương đã cho cắt bởi mặt phẳng trung trực của đoạn AC′ . 2 2 2 3 3 2 A. B. a 2 . C. a . a . 3 4

Cho hình chóp S . ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB và SD . Thiết diện của hình chóp S . ABCD và mặt phẳng ( AMN ) là hình gì A. Tam giác. B. Ngũ giác. C. Tam giác cân.

Câu 57.

3 C. AB = CD . 2

lần lượt là trung điể m các cạnh AC , BC và P là trọng tâm tam giác BCD . Mặt phẳng ( MNP ) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là: a 2 11 a2 3 a2 2 a 2 11 . . . . A. B. C. D. 4 4 4 2

Cho khối lập phương ABCD. A′B′C ′D ′ cạnh a . Các điểm E, F lần lượt trung điểm C ′B′ và C ' D ' . Tính diện tích thiết diện của khối lập phương cắt bởi mặt phẳng ( AEF ) .

A. Câu 56.

2 2 D. . 3

1 B. AB = CD . 3

Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh BC , AD, AC, BD và G là giao điểm của MN và PQ . Tính diện tích tam giác GAB ?

A. Câu 68.

a2 3 . 8

a2 3 . 4

a2 2 . 8

a2 2 . 4

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD , G là điểm nằm trong tam giác SCD . E , F lần lượt là trung điểm của AB và AD . Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( EFG ) là: A. Tam giác.

B. Tứ giác.

C. Ngũ giác.

D. Lục giác. 10

Câu 69.

(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC , CD . Hỏi thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) là hình gì? A. Hình ngũ giác. B. Hình tam giác. C. Hình tứ giác.

Câu 70.

Câu 71.

C. Các đường thẳng MP, NQ, SO đôi một song song. D. Các đường thẳng MP, NQ, SO trùng nhau. Câu 76.

D. Hình bình hành.

(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AB / /CD ) . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC và G là trọng tâm tam giác SAB . Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( IJG ) là hình bình hành. Hỏi khẳng định nào sao đây đúng? 1 3 2 A. AB = CD . B. AB = CD . C. AB = 3CD . D. AB = CD 3 2 3

Câu 77.

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ có cạnh bằng 2 . Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng chứa đường chéo AC′ . Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được. A. 2 6 . B. 6 . C. 4 . D. 4 2 .

Câu 78.

(HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang AB và DC , M là trung điểm của SC và DM

( AD // BC , AD > BC ) . Gọi I là giao điểm của cắt ( SAB ) tại J . Khẳng định nào sau đây SAI?

Câu 74.

Câu 79.

Cho hình chóp tứ giác S . ABCD , gọi O là giao điểm của AC và BD . Một mặt phẳng (α ) cắt các cạnh bên SA, SB, SC , SD tương ứng tại các điểm M , N , P, Q . Khẳng định nào đúng?

(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hình tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của AB , BD . Các điểm G , H lần lượt trên cạnh AC , CD sao cho NH cắt MG tại I . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. A , C , I thẳng hàng B. B , C , I thẳng hàng. C. N , G , H thẳng hàng. D. B , G , H thẳng hàng.

A. Các đường thẳng B. Các đường thẳng C. Các đường thẳng D. Các đường thẳng

Câu 80.

(THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD . Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD . âu sai. 2 B. BG1 , AG2 và CD đồng qui. A. G1G2 = AB . 3 C. G1G2 // ( ABD ) . D. G1G2 // ( ABC ) .

Câu 81.

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang ABCD với 1 AD // BC và AD = 2 BC . Gọi M là điểm trên cạnh SD thỏa mãn SM = SD . Mặt phẳng 3 SN c ắ t c ạ nh bên t ạ i đ i ể m . Tính t ỉ s ố . ABM SC N ( ) SC SN 2 SN 3 SN 4 SN 1 A. B. C. D. = . = . = . = . SC 3 SC 5 SC 7 SC 2

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang ABCD ( AD // BC, AD > BC ) . Gọi I là giao điểm của AB và DC ; M là trung điểm của SC và DM A. Đường thẳng SI là giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) . B. Đường thẳng JM thuộc mặt phẳng ( SAB ) . C. Ba điểm S , I , J thẳng hàng. D. Đường thẳng DM thuộc mặt phẳng ( SCI ) . (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác S . ABCD , có đáy ABCD là tứ giác lồi. O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Một mặt phẳng (α ) cắt các cạnh bên SA , SB , SC , SD tương ứng tại các điểm M , N , P , Q . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Các đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui. B. Các đường thẳng MP , NQ, SO chéo nhau. 11

MN , PQ, SO đồng quy. MP, NQ, SO đồng quy. MQ, PN , SO đồng quy. MQ, PQ, SO đồng quy.

DẠNG 6. TỈ SỐ

cắt mặt phẳng ( SAB ) tại J . Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 75.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn là BC . M , N lần lượt là trung điểm của SB, SC . Điểm I là giao điểm của AB và DC . Phát biểu nào sau đây đúng

A. MI = ( SAB ) ∩ ( SCD ) . B. Bốn điểm M, N, A, D không đồng phẳng. C. NI = ( SAB ) ∩ ( SCD ) . D. Ba đường thẳng AM, DN, SI đôi một song song hoặc đồng quy.

A. Ba điểm S , I , J thẳng hàng. B. Đường thẳng JM thuộc mặt phẳng ( SAB ) . C. Đường thẳng SI là giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB) và ( SCD) . D. Đường thẳng DM thuộc mặt phẳng ( SCI ) . Câu 73.

Cho tứ diện ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của cạnh AB , BC . Mặt phẳng ( P ) đi qua EF cắt AD , CD lần lượt tại H và G . Biết EH cắt FG tại I . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. I , A, B . B. I , C , B . C. I , D, B . D. I , C , D .

DẠNG 5. ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG

Câu 72.

(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD . Một mặt phẳng ( P ) bất kì cắt các cạnh SA, SB, SC , SD lầm lượt tại A '; B '; C '; D ' . Gọi I là giao điểm của AC và BD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây? A. Các đường thẳng AB, CD, C ' D ' đồng quy B. Các đường thẳng AB, CD, A 'B' đồng quy C. Các đường thẳng A ' C ', B ' D ',SI đồng quy. D. Các phương án A, B, C đều sai

Câu 82.

Câu 83.

Câu 84.

Câu 85.

(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M , N theo thứ tự là trọng tâm ∆SAB; ∆SCD . Gọi G là giao điểm của đường SG thẳng MN với mặt phẳng ( SAC ) , O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Khi đó tỉ số bằng GO 3 5 A. B. 2 . C. 3 D. . 2 3

Câu 89.

(HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp S . ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của 1 SA, BC và P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AP = AB . Gọi Q là giao điểm của SC và 3 SQ . ( MNP ) . Tính tỉ số SC SQ 2 SQ 2 SQ 1 SQ 3 A. B. C. D. = . = . = . = . SC 5 SC 3 SC 3 SC 8

(HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang ABCD với AD // BC 1 và AD = 2 BC . Gọi M là điểm trên cạnh SD thỏa mãn SM = SD . Mặt phẳng ( ABM ) cắt cạnh 3 SN bên SC tại điểm N . Tính tỉ số . SC SN 1 SN 2 SN 4 SN 3 A. B. C. D. = . = . = . = . SC 2 SC 3 SC 7 SC 5

Câu 90.

(THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hình chóp S . ABCD đáy ABCD là hình bình hành. M , N là lượt là trung điểm của AB và SC . I là giao điểm của AN và ( SBD ) . J là

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho hình chóp S . ABC. Gọi M , N lần lượt AP 1 là trung điểm của SA và BC , P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho = . Gọi Q là giao AB 3 SQ điểm của SC và mặt phẳng ( MNP ) . Tính . SC 1 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 6

A. 4 .

Câu 86.

1 . 2

2 . 3

Câu 87.

Câu 88.

3 . 2

C. k =

4 . 3

11 12

IB là: IJ

7 . 2

11 . 3

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho hình chóp S . ABC. Gọi M , N lần lượt là trung 1 điểm của SA , BC và P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AP = AB. Gọi Q là giao điểm của 3 SQ SC và ( MNP ) . Tính tỉ số ⋅ SC SQ 1 SQ 3 SQ 2 SQ 2 A. B. C. D. = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ SC 3 SC 8 SC 3 SC 5

3 . 4

IN JN + ? IA JM B. k =

3 5

Câu 92.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm M , N thứ tự là trung điểm

A. k = 2 .

B. 3 .

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SB , SD và OC . Gọi giao KS điểm của ( MNP ) với SA là K . Tỉ số là: KA 2 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 3 4 2

của các cạnh AB, SC . Gọi I , J theo thứ tự là giao điểm của AN , MN với mặt phẳng ( SBD ) . Tính k =

20 21

Câu 91.

AN bằng bao nhiêu? lệ NI A. 1 .

giao điểm của MN với ( SBD ) . Khi đó tỉ số

Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD , BC , điểm G là trọng tâm của tam giác BCD . Gọi I giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng ( ABC ) . Khi đó tỉ

13 20

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

5 D. k = . 3

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AC và BC . Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK = 2 KD . Gọi F là giao điểm FA của AD với mặt phẳng ( IJK ) . Tính tỉ số . FD 7 11 5 A. . B. 2 . C. . D. . 3 5 3

Câu 1. Câu 2. Câu 3. Câu 4.

DẠNG 1. LÝ THUYẾT Chọn A Chọn C Chọn A.

Chọn D Mệnh đề: “ Ba đường thẳng đôi một song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng ” sai vì có thể xảy ra trường hợp sau:

Cho tứ diện ABCD, gọi M là trung điểm của AC. Trên cạnh AD lấ y điểm N sao cho AN=2ND, trên cạnh BC lấy điểm Qsao cho BC=4BQ.gọi I là giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng JB JQ (BCD), J là giao điểm của đường thẳng BD và mặt phẳng (MNQ).Khi đó bằng + JD JI 13

Câu 12.

Vậy khi đó hình chóp có 8 mặt bên và 1 mặt đáy nên nó có 9 mặt. Chọn A

b c P

Mệnh đề: “ Ba đường thẳng phân biệt đôi một cắt nhau thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng ” sai vì có thể xảy ra trường hợp sau:

K b

A E

Mệnh đề: “ Ba đường thẳng đôi một cắt nhau thì chúng đồng quy tại một điểm” sai vì có thể xảy ra trường hợp sau:

b a

C Câu 13. Câu 14. Câu 15.

Câu 5.

Chọn B. (1) sai khi hai mặt phẳng trùng nhau. (4) sai khi hai mặt phẳng trùng nhau. Câu 6. Chọn C. Đáp án C đúng, vì hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong mặt phẳng nên chúng không có điểm chung. Câu 7. Chọn D +) Trong không gian hai đường thẳng a và b chéo nhau, có một và chỉ một mặt phẳng đi qua a và song song với b . Câu 8. Chọn A Hình ( III ) không phải là hình biểu diễn của một hình tứ diện ⇒ Chọn A Câu 9. Chọn B Hình chóp có số cạnh bên bằng số cạnh đáy nên số cạnh của hình chóp là: 5 + 5 = 10. Câu 10. Chọn C Hình chóp có đáy là ngũ giác có: • 6 mặt gồm 5 mặt bên và 1 mặt đáy. • 10 cạnh gồm 5 cạnh bên và 5 cạnh đáy. Câu 11. Chọn D Hình chóp S. A1 A2 ...An , ( n ≥ 3) có n cạnh bên và n cạnh đáy nên có 2n cạnh.

Câu 16.

Ta thấy M , K cùng thuộc mặt phẳng ( SAC ) nên bốn điểm M ; K ; A; C đồng phẳng. Mệnh đề đúng là: “Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.” Trong không gian, bốn điểm không đồng phẳng tạo thành một hình tứ diện. Vì vậy xác định nhiều nhất bốn mặt phẳng phân biệt. + TH1. Mặt phẳng cần tìm đi qua A và song song với BC . Ta được một mặt phẳng thỏa mãn. + TH2. Mặt phẳng cần tìm đi qua A và trung điểm M của cạnh BC . Có vô số mặt phẳng đi qua A và M nên có vô số mặt phẳng thỏa mãn bài toán. Tóm lại có vô số mặt phẳng thỏa mãn bài toán. Chọn B Gọi ( Q) là mặt phẳng chứa a và b . a ∩ ( P ) = I cắt a nên ( P ) ∩ ( Q) = d . Trong ( Q ) d ∩ a = I nên d ∩ b = J từ đó b ∩ ( P ) = J . DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG

Câu 17. Lời giải Chọn D Ta thấy ( SAC ) ∩ ( SAD ) = SA . Câu 18.

Chọn B

Ta có: 2n = 16 ⇔ n = 8 . 15

Câu 19.

Gọi O là tâm hbh ABCD ⇒ O = AC ∩ MN ⇒ SO = ( SMN ) ∩ ( SAC ) . Chọn C S

O = AB ∩ CD  Ta có:  AB ⊂ ( SAB ) ⇒ O ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD ) .  CD ⊂ ( SAC )

Câu 23. B

Lại có: S ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD ) ; S ≠ O . Khi đó ( SAB ) ∩ ( SCD ) = SO . Chọn B

Có S ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD ) . O ∈ AC , AC ⊂ ( SAC ) ⇒ O ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD ) .  O ∈ BD, BD ⊂ ( SAC ) Nên SO = ( SAC ) ∩ ( SBD ) . Câu 20. Chọn B S ∈ ( SAB ) ∩ ( SBC ) Ta có:  ⇒ SB là giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) .  B ∈ ( SAB ) ∩ ( SBC ) Câu 21.

Chọn B

Ta có S ∈ ( SAD ) ∩ ( SCB ) và AD ∩ CB = J ( vì AD không song song với CB ) Suy ra SJ = ( SAD ) ∩ ( SCB ) và SJ và cắt AD Câu 24. Chọn D

Giao tuyến của hai mặt phẳng ( MSB ) và ( SAC ) là SI với I là giao điểm của AC và BM . Câu 22. Chọn A

Ta có: ( IAC ) ∩ ( JBD ) = ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO . 17

Câu 25.

Chọn D

Ta có hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) có điểm S chung và lần lượt đii qua hai đường thẳng song song là AB và CD nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua S và song song với AB và CD . Do đó đáp áp án D sai. Câu 28. Chọn D

S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) . Ta có C ∈ ( BCD ) ∩ ( CMP ) (1) .

 N ∈ AB ⊂ ( SAB ) Vì AB ∩ CD = N nên  .  N ∈ CD ⊂ ( SCD )

 E ∈ BD ⇒ E ∈ ( BCD ) Lại có BD ∩ MP = E ⇒  ( 2) .  E ∈ MP ⇒ E ∈ ( CMP ) Từ (1) và ( 2) ⇒ ( BCD ) ∩ ( CMP ) = CE . Câu 29. Chọn C.

Do đó N là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng trên. Câu 26.

Vậy SN là giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) . Chọn A S

D I B

M C

Gọi I là giao điểm của AC và BM .  I ∈ AD ⊂ ( KAD ) ⇒ I là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng ( IBC ) và ( KAD ) .   I ∈ ( IBC )  K ∈ BC ⊂ ( IBC ) ⇒ K là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng ( IBC ) và ( KAD ) .   K ∈ ( KAD )

I ∈ AC ⊂ ( SAC ) I ∈ BM ⊂ ( SBM )

Nên I ∈ ( SAC ) ∩ ( SBM ) và S ∈ ( SAC ) ∩ ( SBM ) Câu 27.

Vậy SI là giao tuyến của hai mặt phẳng ( MSB ) và ( SAC ) . Chọn D.

Vậy ( IBC ) ∩ ( KAD ) = IK .

N D

B G

C C Câu 30. Ta có MN là đường trung bình tam giác ACD nên MN // CD .

Ta có G ∈ ( GMN ) ∩ ( BCD ) , hai mặt phẳng ( ACD ) và ( BCD ) lần lượt chứa DC và MN nên

giao tuyến của hai mặt phẳng ( GMN ) và ( BCD ) là đường thẳng đi qua G và song song với CD . Câu 31.

DẠNG 3. TÌM GIAO ĐIỂM Chọn B.

D G

N C

Câu 32. D. Giao điểm của MN và ( SBD ) là giao điểm của MN và BD . Chọn C

Trong mặt phẳng ( AND) : AN ∩ MG = E .

E ∈ AN , AN ⊂ ( ABC ) ⇒ E ∈ ( ABC ) . E ∈ MG .

⇒ E = MG ∩( ABC ) . Câu 35.

Câu 33.

Vậy giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng ( ABC ) là E ( E = AN ∩ MG ) . Chọn D.

Chọn A S

Gọi AC ∩ BD = O thì ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO . O

Trong mặt phẳng ( SAC ) , lấy AM ∩ SO = I ⇒ I = AM ∩ ( SBD ) .

Do trong ∆SAC , AM và SO là hai đường trung tuyến, nên I là trọng tâm ∆SAC . Vậy IA = 2 IM .

Trong mặt phẳng (SAC ) , SO ∩ AM = K . Trong mặt phẳng (SBD) , kéo dài BK cắt SD tại N ⇒ N là giao điểm của SD với mặt phẳng ( ABM ) ⇒ Chọn A. Câu 34. Chọn B

Câu 36.

Chọn C

M Q

N D

B P

M C

Theo giải thiết, M , N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC nên MN / / AC . Hai mặt phẳng ( MNP ) và ( ACD ) có MN / / AC và P là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng ⇒ giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng PQ đi qua P và song song với AC ; cắt AD tại Q . CP = 2 PD Mặt khác, trong tam giác ACD có  nên AQ = 2 DQ  PQ / / AC Câu 37. Chọn A

Dễ thấy NG và AM cùng nằm trong mặt phẳng ( AMD ) .

DN 1 DG 2 = , = . DA 2 DM 3 Do đó NG và AM cắt nhau. Gọi I = NG ∩ AM , AM ⊂ ( ABC ) ⇒ I = NG ∩ ( ABC ) . Vậy khẳng định đúng là I ∈ AM . Câu 39. Chọn A Mặt khác ta lại có

B C G

M Xét mặt phẳng ( ABF ) có E là trung điểm của AB , BG =

2 BF nên EG không song 3

song với AF ⇒ Kéo dài EG và AF cắt nhau tại M . Vì AF ⊂ ( ACD ) nên M là giao điểm của EG và ( ACD ) ⇒ Chọn A Câu 38. Chọn A

a) Xét trong mặt phẳng ( SAI ) ta có MG ∩ AI = { J } .  J ∈ AI ⊂ ( ABCD ) Do đó:   J ∈ MG Suy ra: Giao điểm của đường thẳng MG với mặt phẳng ( ABCD) là điểm J . Câu 40. Chọn B.

M D

O C

Dễ thấy OM không đồng phẳng với BC và MN cũng không đồng phẳng với BC . Vậy cả A và B đều sai. Câu 41. Chọn C T ∈ NH T ∈ ( SAN ) Ta có: T = NH ∩ ( SBO ) ⇒  ⇒ ⇒ T ∈ SO . Vậy T = NH ∩ SO . T ∈ SBO ( ) T ∈ ( SBO )  Câu 43. Chọn D S

N A

B C

Xét ∆SBD có M là trung điểm của SD và N thuộc SB sao cho SN = 2 NB ⇒ SN =

Câu 44.

2 SB. 3

suy ra MN kéo dài cắt BD tại K. Chọn C

I = SO ∩ AM ⇒ I ∈ AM ⇒ I ∈ ( AMN ) J = AN ∩ BD ⇒ J ∈ AN ⇒ J ∈ ( AMN ) ⇒ IJ ⊂ ( AMN ) Khi đó giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng ( AMN ) là giao điểm của SD và IJ Câu 42. Chọn D.

Khi đó do MN || BC nên theo định lý ba giao tuyến song song hoặc đồng quy áp dụng cho ba mặt phẳng (P );(SBC );(ABCD ) thì ta được ba giao tuyến MN ; BC ; PQ đôi một song song.

Câu 47.

Do đó thiết diện là một hình thang. Chọn C

Vì ( KMN ) ∩ ( SAC ) = KH . Do đó E là giao điểm của KH với SO .

Câu 45.

DẠNG 4. TÌM THIẾT DIỆN Chọn D

Gọi giao điểm của CG với AB là I . Thiết diện của mặt phẳng ( CGD ) với tứ diện ABCD là tam giác DCI .

a 3 a 3 và CG = . Áp dụng định lí Pytago 2 3 1 1 a 6 a 3 a2 2 . . = DG. CI = . = 2 2 3 2 4

G là trọng tâm tam giác đều ABC nên ta có CI = nên DG = DC 2 − CG 2 =

Câu 48.

a 6 . Vậy S DCI 3

Chọn C

Vì hình chóp S . ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi thì có 4 mặt bên và một mặt đáy nên thiết diện của mặt phẳng (α ) tùy ý với hình chóp chỉ có thể có tối đa là 5 cạnh. Do đó thiết diện không thể là lục giác. Câu 46. Chọn C S

Trong ( ABCD ) : CD và BC cắt MN lần lượt tại I và E .

Trong ( SBC ) : PI cắt SB tại J . Trong ( SDC ) : PE cắt SD tại K .

M B

Khi đó ( MNP ) giao với ( ABCD ) , ( SDA) , ( SBC ) , ( SAB ) , ( SDC ) lần lượt theo các giao tuyến

- Giả sử mặt phẳng (P) cắt (SBC) theo giao tuyến PQ .

MN , NK , PJ , JM , KP . Nên thiết diện tạo thành là ngũ giác MNKPJ . 27

Câu 49.

Chọn B A

P S

D R

Q C

AP CQ 1 Do = = ⇒ PQ // AC . AB CB 3 Giao tuyến của mặt phẳng ( PQR ) và ( ACD ) là đường thẳng đi qua R và song song với AC ,

cắt AD tại S . Do đó PQRS là thiết diện của mặt phẳng ( PQR ) với hình tứ diện ABCD .

Trong ( SAC ) , gọi I = SO ∩ EF , trong ( SBD ) , gọi N = BI ∩ SD . Suy ra N là giao điểm của

Theo cách dựng thì PQ // RS mà R bất kỳ trên cạnh CD nên thiết diện là hình thang. Câu 50. Chọn C

đường thẳng SD với mặt phẳng ( BEF ) . Câu 52.

Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( BEF ) là tứ giác BFNE . Chọn B

Trong mp ( ABCD ) , gọi K = MN ∩ CD , L = MN ∩ BC suy ra K ∈ ( SCD ) , L ∈ ( SBC ) . Trong mp ( SCD ) , gọi P = KQ ∩ SD . Trong mp ( SBC ) , gọi R = LQ ∩ SC . Khi đó ta có: ( MNQ ) ∩ ( ABCD ) = MN ; ( MNQ ) ∩ ( SAD ) = NP ; ( MNQ ) ∩ ( SCD ) = PQ ;

( MNQ ) ∩ ( SBC ) = QR ; ( MNQ ) ∩ ( SAB ) = RM . Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác. Câu 51. Chọn B

Gọi N = EG ∩ SB; K = NF ∩ BC; O = AC ∩ BD; FE ∩ SO; H = NI ∩ SD. Khi đó, ta có: ( SAB ) ∩ ( EGF ) = EG; ( ABCD ) ∩ ( EGF ) = GK ;

( EGF ) ∩ ( SBC ) = KF ; ( EGF ) ∩ ( SCD ) = FH ; ( EGF ) ∩ ( SAD ) = EH . Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( EGF ) là ngũ giác EGKFH . Câu 53. Chọn C

I J G

A O

Qua A dựng đường thẳng song song với EF cắt CD, CB lần lượt tại I , J . Khi đó, IF cắt DD ' tại G và EJ cắt BB ' tại K , ta có thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng ( AEF ) là ngũ giác AKEFG .

Gọi O là giao điểm AC và BD . Gọi G là giao điểm của SO , CI . Trong ( SBD ) , gọi J là giao điểm của BG với SD . Suy ra J là trung điểm của SD . Vậy thiết diện là hình thang IJCB ( J là trung điểm SD ). Cách khác: BC ⊂ ( IBC )   AD ⊂ ( SAD )  Ta có:  ⇒ ( IBC ) ∩ ( SAD ) = IJ // AD // BC BC // AD  I ∈ ( IBC ) ∩ ( SAD ) 

( J ∈ SB ) .

Do IJ là đường trung bình của tam giác SAD nên J là trung điểm SD . Vậy thiết diện là hình thang IJCB ( J là trung điểm SD ). Câu 54. Chọn C

Câu 56.

′ ′ Ta có: GD = D F = 1 ⇒ GD′ = 1 DD′ = a ⇒ GF = KE = a 13 , GK = BD = a 2 và GD DA 2 3 3 6 a 2 a 2 17 . Suy ra S EFGK = EF = . 2 8 a 13 a 2 17 Tam giác AKG cân tại A và AK = AG = . Suy ra S AGK = . 3 6 2 7a 17 Vậy S AKEFG = S EFGK + S AGK = . 24 Hướng dẫn giải Chọn

D. S

M D

Gọi M là trung điểm AB . Khi đó cắt tứ diện bởi mặt phẳng ( GCD ) ta được thiết diện là

∆MCD . Ta có tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2 ⇒ MC = MD = Khi đó nửa chu vi ∆MCD : p = Nên S∆MCD =

Câu 55.

Gọi SC ∩ ( AMN ) = { P} .

2 3 = 3 ; CD = 2 . 2

Khi đó, Thiết diện của hình chóp S . ABCD và mặt phẳng ( AMN ) là tứ giác AMPN .

3+ 3+2 = 1+ 3 . 2

Câu 57.

Chọn D

p ( p − MC )( p − MD )( p − CD ) = 2 .

Chọn A 31

Trong mp ( ABC ) kéo dài MP , AC cắt nhau tại I.

Trong mp ( ACD ) kéo dài IN cắt AD tại Q. ợc: ( ABC ) ∩ ( MNP ) = MP

M Q

( BCD ) ∩ ( MNP ) = PN ( ACD ) ∩ ( MNP ) = NQ ( ABD ) ∩ ( MNP ) = QM

B D P

N C

Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) là tứ giác MPNQ. I

Câu 58.

Chọn.

Gọi E = MN ∩ AC và F = PE ∩ SO . Trong ( SBD ) qua F kẻ đường thẳng song song với s MN và lần lượt cắt SB , SD tại H , G . Khi đó ta thu được thiết diện là ngũ giác MNHKG.

E C

N O

B C

Câu 60. Gọi O = AC ∩ BD và I = AC′ ∩ SO ; Kéo dài BI cắt SD tại D′ . Khi đó ( ABC′ ) ∩ ( ABCD ) = AB ; ( ABC′ ) ∩ ( SAB ) = AB ; ( ABC′ ) ∩ ( SBC ) = BC′ và

Kéo AN cắt CD tại E , kéo EM cắt SD tại P , ta có:

( AMN ) ∩ ( ABCD ) = AN ; ( AMN ) ∩ ( SBC ) = NM ; ( AMN ) ∩ ( SCD ) = MQ ( AMN ) ∩ ( SAD ) = QA . Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác ANMQ . Câu 59.

và

( ABC′ ) ∩ ( SAD ) = AD′ ; ( ABC′ ) ∩ ( SBD ) = C ′D′ . Suy ra thiết diện là tứ giác ABC′D′ nên m = 4 .

Sửa trên hình điểm P thành điểm K nhé

AB + CD . 2 Xét 2 mặt phẳng ( IJG ), ( SAB ) có G là điểm chung ⇒ giao tuyến của chúng là đường thẳng EF đi qua G , EF // AB // CD // IJ với E ∈ SA , F ∈ SB . Nối các đoạn thẳng EI , FJ ta được thiết diện là tứ giác EFJI , là hình thang vì EF // IJ . 2 Vì G là trọng tâm của tam giác SAB và EF // AB nên theo định lí Ta – lét ta có: EF = AB 3 AB + CD 2 AB = ⇔ AB = 3CD Nên để thiết diện là hình bình hành ta cần: EF = IJ ⇔ 2 3 Câu 64. Chọn A

Từ giả thiết suy ra IJ // AB // CD , IJ =

R M

P N C Câu 61. Gọi Q = NP ∩ BD . Gọi R = QM ∩ AD . Suy ra: Q ∈ ( MNP ) và R ∈ ( MNP ) .

Câu 62.

Vậy thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) là tứ giác MRNP . Chọn D

Mặt phẳng ( MNP ) cắt tứ diện ABCD theo một thiết diện là một tam giác MND . Do tứ diện ABCD có các mặt là những tam giác đều có độ dài các cạnh bằng 2 a nên  MD ⊥ AC ⇒ MD = DN = a 3 .   DN ⊥ BC 1 MN = AB = a (tính chất đường trung bình ). 2

Trong mp ( ABC ) kéo dài MP , AC cắt nhau tại I. Trong mp ( ACD ) kéo dài IN cắt AD tại Q.

( ABC ) ∩ ( MNP ) = MP ( BCD ) ∩ ( MNP ) = PN ( ACD ) ∩ ( MNP ) = NQ ( ABD ) ∩ ( MNP ) = QM Câu 63.

S MND = Câu 65.

Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) là tứ giác MPNQ . Chọn A

(

)

MN + MD + ND a 2 3 + 1 = . 2 2 a4 a 2 11 2 3 +1 2 3 −1 = . 4 2 4

(

p ( p − MN )( p − MD )( p − ND ) =

)(

)

Chọn C E

A E

F G

Gọi E , F , G , H , I , J lần lượt là trung điểm của BC , CD , DD′, A′D ′, A′B′, BB′ . Ta có EA = EC′ ⇒ E thuộc mặt phẳng trung trực của AC′ . Tương tự F , G , H , I , J thuộc mặt phẳng trung trực của AC′ . Do đó thiết diện của hình lập phương đã cho cắt bởi mặt phẳng trung trực của AC′ là lục giác đều a 2 . EFGHIJ cạnh EF = 2 2

a 2 3 3 3 2 Vậy diện tích thiết diện là S = 6.  = a .  . 4  2  4 Câu 66. Chọn C

R N P B

Gọi R, S lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trong hình tứ diện đều ta chứng minh được RS đi qua G và vuông góc với AB a 3 Ta có: AS = BS = 2 AB + BS + SA a + a 3 Kí hiệu: p = = 2 2 1 dt ( ∆ G AS) = GR. AB 2 1 1 1 = ( SR. AB) = dt ( ∆SAB ) 2 2 2 .  a 3  a 3 = p ( p − a )  p −   p −    2  2  

P N

D S

C Trong ( BCD ) dựng MQ / / CD, (Q ∈ BD ) Trong ( ABC ) dựng MN / / AB, ( N ∈ AC ) Trong ( ACD ) dựng NP / / CD , ( P ∈ AD ) Thiết diện ( H ) là hình chữ nhật MNPQ (do tứ diện ABCD là tứ diện đều).

a2 2 8

(1) Đúng. (2) Đúng.Vì: Đặt BM = k , (0 < k < 1) thì MQ = k ; MN = 1 − k Do đó chu vi của hình chữ nhật MNPQ là: 2 ( k + 1 − k ) = 2 (3) Sai.Vì: S MNPQ = k (1 − k ) . (4) Sai.Vì trọng tâm hình chữ nhật MNPQ nằm trên đoạn nối trung điểm cạnh AB và cạnh CD .Đoạn đó dài

Câu 67.

2 . 2

Chọn C Câu 68. Trong mặt phẳng ( ABCD ) : EF ∩ BC = I ; EF ∩ CD = J Trong mặt phẳng (SCD ) : GJ ∩ SC = K ; GJ ∩ SD = M Trong mặt phẳng ( SBC ) : KI ∩ SB = H 37

Ta có: (GEF ) ∩ ( ABCD ) = EF , (GEF ) ∩ (SAD ) = FM , (GEF ) ∩ (SCD ) = MK

Từ (1) , ( 2 ) và ( 3) ⇒

(GEF ) ∩ (SBC ) = KH , (GEF ) ∩ (SAB) = HE

2 AB + CD AB = ⇔ 4 AB = 3 AB + 3CD ⇔ AB = 3CD 3 2 C

Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng ( EFG ) là ngũ giác EFM KH

B' A'

D' H

Câu 71.

Gọi ( H ) là thiết diện của hình lập phương và mặt phẳng (α ) chứa AC′ .

+ Trường hợp ( H ) có một đỉnh thuộc cạnh BB′ hoặc DD′ .

R D

Giao tuyến của (α ) và ( A′B′C ′D′) là đường thẳng d , hình chiếu vuông góc của A′ lên d là

điểm H . Khi đó góc giữa (α ) và ( A′B′C ′D′) là AHA′ . AA′ AA′ Vì A′H ⊥ d nên A′H ≤ A′C′ , do đó sin α = A′C ′A ≥ = sin AC ′A′ , do đó cos α ≤ cos AH AC ′ Hình chiếu vuông góc của hình ( H ) lên ( A′B′C ′D′) là hình vuông A′B′C′D′ , do đó diện tich

P C

hình ( H ) : S A′B′C′D′ = S( H ) .cos α ⇒ S ( H ) =

Câu 69. Gọi PN ∩ AB = I , NP ∩ AD = K . Kẻ IM cắt SB tại R , kẻ MK cắt SD tại Q .

Diện tích thiết diện nhỏ nhất khi cos α lớn nhất, tức là cos α = cos A′C ′A = cần tìm là S( H ) =

S BB′C ′C , min S( H ) = 2 6 . cos α + Trường hợp ( H ) có một đỉnh thuộc cạnh BC hoặc A′D′ , chọn mặt phẳng chiếu là ( BAA′B′) ,

chứng minh tương tự ta cũng có S( H ) =

B H I

Câu 70.

chứng minh tương tự ta cũng có, min S( H ) = 2 6 .

Vì ( IJG ) ∩ ( SAB ) = {G} ta có IJ / / AB vì IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

( IJG ) ∩ ( SAB ) = Gx / / AB / / IJ . Gọi

2 . Khi đó diện tích 3

4 3 =2 6. 2 + Trường hợp ( H ) có một đỉnh thuộc cạnh CD hoặc A′B′ , chọn mặt phẳng chiếu là ( BCC ′B′) ,

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) là ngủ giác MPQMR .

S A′B′C ′D′ . cos α

Câu 72.

DẠNG 5. ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG Chọn B

E = Gx ∩ SA, F = Gx ∩ SB

( IJG ) ∩ ( SAD ) = EI ; ( IJG ) ∩ ( ABCD ) = IJ ; ( IJG ) ∩ ( SBC ) = JF Suy ra thiết diện ( IJG ) và hình chóp là hình bình hành IJFE ⇔ IJ = EF (1) 2 2 vì G là trọng tâm tam giác SAB ⇔ SG = GH ⇒ EF = AB ( 2 ) 3 3 và IJ =

AB + CD 2

( 3)

vì IJ là đường trung bình của hình thang ABCD 39

Trong ( SCD) , DM ∩ SI = J . Khi đó J = DM ∩ ( SAB ) .

Câu 74. Ta có M ∉ ( SAB ) nên đường thẳng JM không thuộc mặt phẳng ( SAB ) . Câu 75. Chọn A

Câu 73. Do NH cắt MG tại I nên bốn điểm M , N , H , G cùng thuộc mặt phẳng (α ) . Xét ba mặt phẳng

(α ) ∩ ( ABC ) = MG  ( ABC ) , ( BCD ) , (α ) phân biệt, đồng thời (α ) ∩ ( BCD ) = NH mà MG ∩ NH = I  ( ABC ) ∩ ( BCD ) = BC

Ta có M , N , P , Q đồng phẳng và tạo thành tứ giác MNPQ nên hai đường MP và NQ cắt nhau. (1) ( MNPQ ) ∩ ( SAC ) = MP  Mặt khác: ( MNPQ ) ∩ ( SBD ) = NQ (2)  ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO

Suy ra MG , NH , BC đồng quy tại I nên B , C , I thẳng hàng.

Câu 76.

Từ (1), (2) suy ra các đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui. Chọn C

Xét ba mặt phẳng: ( SAB ) , ( SCD ) , ( MNDA) có:

( SAB ) ∩ ( SCD ) = SI ; ( SAB ) ∩ ( MNDA) = AM ; ( SCD ) ∩ ( MNDA) = DN Suy ra AM, DN, SI đôi một song song hoặc đồng quy (định lý về giao tuyến 3 mặt phẳng) Nên D đúng. Câu 79. Chọn B

D' A' B'

C' A

B C

Hai mặt phẳng ( P ) và ( SAC ) cắt nhau theo giao tuyến A ' C ' .

Hai mặt phẳng ( P ) và ( SBD ) cắt nhau theo giao tuyến B'D' . Hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cắt nhau theo giao tuyến SI .

Ta có: MP ⊂ mp ( SAC ) ; NQ ⊂ mp ( SBD )

Vậy ba đường thẳng A ' C ', B'D',SI đồng quy.

Và ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO Gọi I = MP ∩ NQ Thì I ∈ SO nên MP, NQ, SO đồng quy. DẠNG 6. TỈ SỐ

Câu 77. Chọn C I ∈ EH ⊂ ( ABD )   ⇒ I ∈ ( ABD ) ∩ ( ABC ) = BD . I ∈ FG ⊂ ( ABC )  Vậy I , D, B thẳng hàng. Câu 78. ChọnD

I = EH ∩ FG ⇒

Câu 80. IG IG GG 1 1 1 Ta có: 1 = 2 = ⇒ 1 2 = ⇒ G1G2 = AB . IB IA 3 AB 3 3

Tam giác SBC có MN là đường trung bình nên MN song song BC, lại có BC song song AD nên suy ra MN song song AD, do đó M, N, A, D đồng phẳng. 43

A C

P N B

Gọi I là giao điểm của NP và AC . Khi đó Q là giao điểm của MI và SC . Từ A kẻ đường thẳng song song với BC , cắt IN tại K . AK AP 1 IA AK 1 Khi đó = = ⇒ = = . BN BP 2 IC CN 2 Từ A kẻ đường thẳng song song với SC , cắt IQ tại E . AE AM AE IA 1 1 SQ 1 Khi đó = . = = 1 ⇒ AE = SQ , = = ⇒ AE = CQ . Do đó 2 SQ SM CQ IC 2 SC 3 Câu 84. Chọn B

Câu 81. Gọi F là giao điểm của AB và CD . Nối F với M , FM cắt SC tại điểm N . Khi đó N là giao điểm của ( ABM ) và SC . Theo giả thiết, ta chứng minh được C là trung điểm DF . Trong mặt phẳng ( SCD ) kẻ CE song song NM ( E thuộc SD ). Do C là trung điểm DF nên

suy ra E là trung điểm MD . Khi đó, ta có SM = ME = ED và M là trung điểm SE . Do MN // CE và M là trung điểm SE nên MN là đường trung bình của tam giác SCE . Từ đó SN 1 suy ra N là trung điểm SC và = . SC 2 Câu 82. Chọn B

B M A

+) Gọi I = PN ∩ AC ; gọi Q = IM ∩ SC

QS IC MA QS IA =1⇒ = . . (1) QC IA MS QC IC IA NC PB IA PA 1 +) Áp dụng định lí Menalaus trong tam giác ABC ta có =1⇒ = = (2) . . IC NB PA IC PB 2 QS 1 SQ 1 +) Từ (1) và ( 2 ) suy ra = hay = . QC 2 SC 3 Câu 85. Chọn A Áp dụng định lý Menelaus đối với tam giác AND và cát tuyến IGM ta có: MA GD IN IN IN 1 AN . . = 1 ⇔ 1.2. =1⇔ = ⇔ =1 MD GN IA IA IA 2 NI Câu 86. Chọn B +) Áp dụng định lí Menalaus trong tam giác SAC ta có

Ta có: O ∈ FE .Xét hai mặt phẳng ( SEF ) và ( SCD ) có:

O ∈ EF ⊂ ( SEF )   ⇒ O ∈ ( SEF ) ∩ ( SAC ) . Mà S ∈ ( SEF ) ∩ ( SAC ) nên ( SEF ) ∩ ( SAC ) = SO. O ∈ AC ⊂ ( SAC )  G ∈ MN ⇒ MN ∩ ( SAC ) = {G} . Trong mặt phẳng ( SEF ) ta có: SO ∩ MN = G ⇒  G ∈ SO ⊂ ( SAC ) Xét tam giác SFE có: MG / / EF ( do MN / / EF ) ⇒

Câu 83.

SG SM 2 SG = = ⇒ = 2. SO SE 3 GO

Chọn C

AF = 2. FD Cách 2 :

Vậ y

JB EC KD EC 1 EC . . = 1 ⇒ 1. . =1⇒ = 2. JC ED KB ED 2 ED EC FD IA FD FD 1 Xét ∆ACD , áp dụng định lí Menelaus có : . . .1 = 1 ⇒ = 1 ⇒ 2. = . ED FA IC FA FA 2 FA Vậ y = 2. FD Câu 88. Chọn D. Vì M là trung điểm AC nên IM là trung tuyến tam giác IAC Mặt khác AN=2 ND nên ta có D là trung điểm của IC (Áp dụng định lí Ptoleme trong tam giác ACD có cát tuyến MI) Áp dụng định lí Ptoleme trong tam giác BCD có đường thẳng QI cắt BD,DC,CB lần lượt tại J,I,Q BJ DI CQ BJ 1 3 JB 2 nên: . . . . =1⇒ =1⇒ = JD IC QB JD 2 1 JD 3 Áp dụng định lí Ptoleme trong tam giác QIC có đường thẳng BD cắt QI,DC,CQ lần lượt tại B,I,D QJ ID CB QJ 1 4 JB 1 nên: . . . . =1⇒ =1⇒ = JI DC BQ JI 1 1 JD 4 JB JQ 2 1 11 ⇒ + = + = JD JI 3 4 12 Câu 89. Chọn A Xét ∆BCD , áp dụng định lí Menelaus có :

N I

A M

D O

K B

L C

Gọi O = AC ∩ BD, BD ∩ MC = K . Trong ( SAC ) : SO ∩ AN = I . Trong ( SMC ) : SK ∩ MN = J .

IN 1 = . IA 2 K là trọng tâm tam giác ABC , lấy L là trung điểm KC . Ta có MK = KL = LC . NL là đường trung bình của tam giác SKC nên NL / / SK , mà K là trung điểm ML nên KJ là JN IN JN 3 = 1⇒ + = . đường trung bình của tam giác MNL . Khi đó JM IA JM 2 Câu 87. Chọn B Ta thấy I là trọng tâm tam giác SAC nên

Trong mặt phẳng ( BCD ) hai đường thẳng JK và CD không song song nên gọi E = JK ∩ CD

Khi đó E ∈ ( ACD) . Suy ra : ( ACD ) ∩ ( IJK ) = EJ .

Trong ( ACD ) gọi F = EI ∩ AD . Khi đó ( IJK ) ∩ AD = F . Cách 1 :

Trong mặt phẳng ( ABCD ) : Gọi I = AB ∩ CD ⇒ I ∈ AB ⊂ ( ABM ) Trong mặt phẳng ( SCD ) : Gọi N = IM ∩ SC và K là trung điểm IM . IC BC 1 Ta có: = = (do BC // AD ) ID AD 2 Vẽ DH // BC và H ∈ IE . Ta có :

Trong tam giác IMD có KC là đường trung bình nên KC // MD và KC =

1 BJ BK BJ = = 2 ⇒ HD = ⇒ HD = JC . HD KD 2 2

1 MD 2

1 MD ⇒ SM = KC . 2 Lại có KC // SM ( do M ∈ SD )

Mà SM =

Suy ra D là trung điểm của CE . Xét ∆ACE có EI và AD là hai đường trung tuyến nên F là trọng tâm của ∆ACE . 47

⇒

SN SM SN 1 = = 1 . Vậ y = . NC KC SC 2

S Q

I A E

J M

Câu 90.

N N

Câu 92. Trong mặt phẳng ( ABC ) : NP cắt AC tại E .

K P

N B

Trong mặt phẳng ( SAC ) : EM cắt SC tại Q .

Ta có Q ∈ EM ⇒ Q ∈ ( MNP ) mà Q ∈ SC ⇒ Q là giao điểm của SC và ( MNP ) .

Gọi O là trung điểm của AC nên O = AC ∩ BD . Trong mặt phẳng ( SAC ) : AN ∩ SO = I nên I

Trong mặt phẳng ( ABC ) từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt EN tại K .

là giao điểm của AN và ( SBD ) . Trong ( ABN ) ta có MN ∩ BI = J nên J là giao điểm của MN

Theo Talet ta có

với ( SBD ) . Gọi K là trung điểm của SD . Suy ra NK //DC //AB và BI ∩ SD = K hay B , I , J ,

K thẳng hàng. Khi đó NK //BM và NK =MA = BM và tứ giác AKMN là hình bình hành. Xét NK MJ BJ hai tam giác đồng dạng ∆KJN và ∆BJM có = = = 1 suy ra J là trung điểm của BM NJ JK MN và J là trung điểm của BK hay BJ = JK . Trong tam giác ∆SAC có I là trọng tâm của NI 1 IJ NI 1 IJ 1 IJ IJ 1 IB tam giác nên = . Do AK //MN nên = = ⇒ = = ⇒ = hay =4. IA 2 IK IA 2 JK 3 BJ BI 4 IJ S

K I

AK AP 1 AK 1 = = mà BN = NC ⇒ = . BN PB 2 CN 2 AE 1 AK AE Theo Talet ta có = ⇒ = . CN EC EC 2 Trong mặt phẳng ( SAC ) từ A kẻ đường thẳng song song với SC cắt EQ tại I .

AE 1 AI 1 1 AI AE mà = = ⇒ = ⇒ AI = QC (*) . QC 2 QC EC EC 2 2 AI AI AM Theo Talet ta có mà AM = SM ⇒ = = 1 ⇒ AI = SQ (**) . SQ SQ SM 1 SQ 1 Từ (*) và (**) ta có SQ = QC ⇒ = . 2 SC 3

Theo Talet ta có

N A

B O

P D

Câu 91. Gọi J = SO ∩ MN , K = SA ∩ PJ thì K = SA ∩ ( MNP ) .

Vì M , N lần lượt là trung điểm của SB , SD nên J là trung điểm của SO . Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác SAO với cát tuyến là KP , ta có: SK AP OJ SK KS 1 . . =1 ⇔ .3.1 = 1 ⇔ = . KA PO JS KA KA 3 KS 1 Vậ y = . KA 3

TOÁN 11

HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Câu 10.

Cho hai đường thẳng chéo nhau a , b và điểm M không thuộc a cũng không thuộc b . Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng đi qua M và đồng thời cắt cả a và b ? B. 3 . C. 2 . D. 1. A. 4 .

Câu 11.

(THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Trong không gian cho đường thẳng a chứa trong mặt phẳng ( P ) và đường thẳng b song song với mặt phẳng ( P ) . Mệnh đề nào sau đây là đúng? B. a , b không có điểm chung. A. a // b . C. a , b cắt nhau. D. a , b chéo nhau.

Câu 12.

(THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. B. Trong không gian hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau. C. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau. D. Trong không gian hai đường chéo nhau thì không có điểm chung.

1H2-2 DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1.

(Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến d1 , d 2 , d3 trong đó d1 song song với d 2 . Khi đó vị trí tương đối của d 2 và d 3 là? A. Chéo nhau. B. Cắt nhau. C. Song song. D. trùng nhau.

Câu 2.

(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. C. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau. D. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.

Câu 3.

là b thì a và b là hai đường thẳng A. cắt nhau. B. trùng nhau. Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

C. chéo nhau.

D. song song với nhau.

Cho hình tứ diện ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB và CD cắt nhau. B. AB và CD chéo nhau. C. AB và CD song song. D. Tồn tại một mặt phẳng chứa AB và CD .

Câu 13.

Cho tứ diện ABCD và M , N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC , ABD . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. MN / /CD . B. MN / / AD . C. MN / / BD . D. MN / / CA .

Câu 14.

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình bình hành tâm O, I là trung điểm của SC , xét các mệnh đề: (I) Đường thẳng IO song song với SA . (II) Mặt phẳng ( IBD ) cắt hình chóp S . ABCD theo thiết diện là một tứ giác.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song C. Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau D. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau

(III) Giao điểm của đường thẳng AI với mặt phẳng ( SBD ) là trọng tâm của tam giác ( SBD ) .

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Lấy A , B thuộc a và C , D thuộc b . Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC ? A. Cắt nhau. B. Song song nhau. C. Có thể song song hoặc cắt nhau. D. Chéo nhau. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a , b , c trong đó a song song với b . Khẳng định nào sau đây sai? A. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng a và b . B. Nếu b song song với c thì a song song với c . C. Nếu điểm A thuộc a và điểm B thuộc b thì ba đường thẳng a , b và AB cùng ở trên một mặt phẳng. D. Nếu c cắt a thì c cắt b . (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho đường thẳng a nằm trên mp ( P ) , đường thẳng b cắt ( P ) tại O và O không thuộc a . Vị trí tương đối của a và b là A. chéo nhau. B. cắt nhau. C. song song với nhau. D. trùng nhau.

Câu 9.

DẠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α ) . Nếu ( β ) chứa a và cắt ( β ) theo giao tuyến

Cho hai đường thẳng a , b chéo nhau. Một đường thẳng c song song với a . Khẳng định nào sau đây đúng? A. b và c song song. B. b và c chéo nhau hoặc cắt nhau C. b và c cắt nhau. D. b và c chéo nhau. 1

(IV) Giao tuyến của hai mặt phẳng ( IBD ) và ( SAC ) là IO . Số mệnh đề đúng trong các mệnh để trên là A. 2. B. 4. C. 3.

D. 1.

Câu 15.

Cho tứ diện ABCD . Gọi I và J lần lượt là trọng tâm ∆ABC và ∆ABD . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. IJ song song với CD . B. IJ song song với AB . C. IJ chéo nhau với CD . D. IJ cắt AB .

Câu 16.

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD , AD = 2 BC . Gọi G và G′ lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SAD. GG ′ song song với đường thẳng A. AB . B. AC . C. BD . D. SC .

Câu 17. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD . Gọi G và E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABC . Mệnh đề nào dưới đây đúng A. GE và CD chéo nhau. B. GE //CD . D. GE cắt CD . C. GE cắt AD . Câu 18.

(THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho hình tứ diện ABCD , lấy điểm M tùy ý trên cạnh AD ( M ≠ A, D ) . Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua M song song với mặt phẳng ( ABC ) lần lượt cắt BD , DC tại N , P . Khẳng định nào sau đây sai? A. MN //AC . B. MP //AC . C. MP // ( ABC ) .

D. NP //BC . 2

Câu 19. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD . Đường thẳng IJ song song với đường thẳng: A. CM trong đó M là trung điểm BD . B. AC . C. DB . D. CD . Câu 20.

Câu 21.

(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M , N theo thứ tự là trọng tâm ∆SAB; ∆SCD . Gọi I là giao điểm của các SI đường thẳng BM ; CN . Khi đó tỉ số bằng CD 1 2 3 A. 1 B. . C. D. . 2 3 2

Câu 23.

Câu 24.

B. SA = 2SD .

C. SA = SD .

Câu 26.

Câu 28.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho hình chóp S. ABC . Bên trong tam giác ABC ta lấy một điểm O bất kỳ. Từ O ta dựng các đường thẳng lần lượt song song với SA, SB, SC và cắt các mặt phẳng ( SBC ) , ( SCA) , ( SAB ) theo thứ tự tại A′, B′, C ′ . Khi đó OA ' OB ' OC ' + + tổng tỉ số T = bằng bao nhiêu? SA SB SC 3 1 A. T = 3 . B. T = . C. T = 1 . D. T = . 4 3

D. 2SA = 3SD .

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi N là trung điểm của cạnh SC . Lấy điểm M đối xứng với B qua A . Gọi giao điểm G của đường GM thẳng MN với mặt phẳng ( SAD ) . Tính tỉ số . GN 1 1 B. . C. 2 . D. 3 . A. . 2 3 (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD . Các điểm P , Q lần lượt là trung điểm của AB và CD ; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2 RC . Gọi S là SA giao điểm của mp ( PQR ) và cạnh AD . Tính tỉ số . SD 7 5 3 A. . B. 2 . C. . D. . 3 3 2 Cho tứ diện ABCD . Lấy ba điểm P , Q, R lần lượt trên ba cạnh AB , CD , BC sao cho

PR //AC và CQ = 2QD . Gọi giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng ( PQR ) là S . Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. AS = 3DS . B. AD = 3DS . C. AD = 2DS . D. AS = DS . Câu 25.

(CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung đi ểm của AB , AD và G là trọng tâm tam giác SBD . Mặt phẳng SH ( MNG ) cắt SC tại điểm H . Tính SC 2 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 5 4 3 3

Cho tứ diện ABCD . P , Q lần lượt là trung điểm của AB , C D . Điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2R C . Gọi S là giao điểm của mặt phẳng ( PQR ) và AD . Khi đó A. SA = 3SD .

Câu 22.

Câu 27.

Cho tứ diện ABCD . Gọi K , L lần lượt là trung điểm của AB và BC . N là điểm thuộc đoạn PA CD sao cho CN = 2 ND . Gọi P là giao điểm của AD với mặt phẳng ( KLN ) . Tính tỉ số PD PA 1 PA 2 PA 3 PA A. B. C. D. = . = . = . = 2. PD 2 PD 3 PD 2 PD

(THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD , M là điểm thuộc BC sao cho MC = 2 MB . Gọi N , P lần lượt là trung điểm của BD và AD . Điểm Q là giao điểm của QC . AC với ( MNP ) . Tính QA QC 3 QC 5 QC QC 1 A. B. C. D. = . = . = 2. = . QA 2 QA 2 QA QA 2

DẠNG 3. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG ĐỂ TÌM GIAO TUYẾN

Câu 29.

(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Giao tuyến của ( SAB ) và ( SCD ) là A. Đường thẳng qua S và song song với AD . B. Đường thẳng qua S và song song với CD . C. Đường SO với O là tâm hình bình hành. D. Đường thẳng qua S và cắt AB .

Câu 30.

(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cho S. ABCD có đáy là hình bình hành. Mệnh đề nào sau đây sai? A. ( SAD ) ∩ ( SBC ) là đường thẳng qua S và song song với AC . B. ( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA . C. ( SBC ) AD . D. SA và CD chéo nhau.

Câu 31.

(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CB . Khi đó giao tuyến của 2 mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) là đường thẳng song song với A. AD .

Câu 32.

B. IJ .

C. BJ .

D. BI .

Cho hình chóp S . ABCD có mặt đáy ( ABCD ) là hình bình hành. Gọi đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SBC ) . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đường thẳng B. Đường thẳng C. Đường thẳng D. Đường thẳng Câu 33.

d d d d

đi qua đi qua đi qua đi qua

S S S S

và song song với và song song với và song song với và song song với

AB . DC . BC . BD .

(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cho chóp S. ABCD đáy là hình thang ( đáy lớn AB, đáy nhỏ CD ). Gọi I , K lần lượt là trung điểm của AD , BC . G là trọng tâm tam giác

SAB . Khi đó giao tuyến của 2 mặt phẳng ( IKG ) và ( SAB ) là? A. Giao tuyến của 2 mặt phẳng ( IKG ) và ( SAB ) là đường thẳng đi qua S và song song AB, IK B. Giao tuyến của 2 mặt phẳng ( IKG ) và ( SAB ) là đường thẳng đi qua S và song song AD . C. Giao tuyến của 2 mặt phẳng ( IKG ) và ( SAB ) là đường thẳng đi qua G và song song CB .

D. Giao tuyến của 2 mặt phẳng ( IKG ) và ( SAB ) là đường thẳng đi qua G và song song AB, IK . Câu 34.

(HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang ABCD

Câu 41.

( AB //CD ) .

Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AD và BC . Giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và

( SCD ) là A. Đường thẳng đi qua B. Đường thẳng đi qua C. Đường thẳng đi qua D. Đường thẳng đi qua Câu 35.

S S S S

và qua giao điểm của cặp đường thẳng AB và SC . và song song với AD . và song song với AF . và song song với EF .

Cho tứ diện S .ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AB //CD ) . Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của BC , AD và SA . Giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( MNP ) là

Câu 42. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ , AC ∩ BD = O , A′C ′ ∩ B′D′ = O′ . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CC′ . Khi đó thiết diện do mặt phẳng ( MNP ) cắt hình lập phương là hình: A. Tam giác. B. Tứ giác. C. Ngũ giác. D. Lục giác. Câu 43. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SD , điểm N nằm trên cạnh SB sao cho SN = 2 NB và O là giao điểm của AC và BD. Khẳng định nào sau đây sai? A. Thiết diện của hình chóp S. ABCD với mặt phẳng ( AMN ) là một hình thang.

A. đường thẳng qua M và song song với SC . B. đường thẳng qua P và song song với AB . C. đường thẳng PM . D. đường thẳng qua S và song song với AB . Câu 36.

B. Đường thẳng MN cắt mặt phẳng ( ABCD ) . C. Hai đường thẳng MN và SC chéo nhau. D. Hai đường thẳng MN và SO cắt nhau.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AB // CD ) . Gọi I , J lần lượt là trung

điểm của AD và BC , G là trọng tâm ∆SAB . Giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( IJG ) là A. đường thẳng qua S và song song với AB . B. đường thẳng qua G và song song với DC . C. SC . D. đường thẳng qua G và cắt BC . Câu 37.

Câu 44.

(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho tứ diện ABCD . Gọi M là trung điểm của AB. Cắt tứ diện ABCD bới mặt phẳng đi qua M và song song với BC và AD , thiết diện thu được là hình gì? A. Tam giác đều. B. Tam giác vuông. C. Hình bình hành. D. Ngũ giác.

Câu 45.

(HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SD , N là điểm trên cạnh SB sao cho SN = 2SB , O là giao điểm của AC và BD . Khẳng định nào sau đây sai? A. Đường thẳng MN cắt mặt phẳng ( ABCD ) .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD // BC. Giao tuyến của ( SAD ) và

( SBC )

là

A. Đường thẳng đi qua B. Đường thẳng đi qua C. Đường thẳng đi qua D. Đường thẳng đi qua

S S S S

và song song với và song song với và song song với và song song với

AB . CD . AC . AD

B. Thiết diện của hình chóp S. ABCD với mặt phẳng ( AMN ) là một hình thang.

Câu 38. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SBC ) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây? A. AD . B. AC . C. DC . D. BD .

C. Hai đường thẳng MN và SO cắt nhau. D. Hai đường thẳng MN và SC chéo nhau. Câu 46.

DẠNG 4. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG TÌM THIẾT DIỆN

Câu 39. Cho hình chóp S. ABCD , đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng ( MCD ) với hình chóp S . ABCD là hình gì? A. Tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình thoi. Câu 40.

(SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấ y các AM AN 1 = = .Gọi P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh CD, CB. Khẳng định AB AD 3 nào sau đây là đúng A. Tứ giác MNPQ là hình bình hành. B. Tứ giác MNPQ là một hình thang nhưng không phải hình bình hành. C. Bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng. D. Tứ giác MNPQ không có cặp cạnh đối nào song song. điểm M, N sao cho

(THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD //BC , AD = 2 BC . M là trung điểm của SA . Mặt phẳng ( MBC ) cắt hình chóp theo thiết diện là A. Hình bình hành. B. Tam giác. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang. 5

(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho hình chóp tứ giác S . ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và BC . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( MNP ) và hình chóp S . ABCD là A. Tứ giác MNPK với K là điểm tuỳ ý trên cạnh AD. B. Tam giác MNP. C. Hình bình hành MNPK với K là điểm trên cạnh AD mà PK // AB. D. Hình thang MNPK với K là điểm trên cạnh AD mà PK // AB.

Câu 47.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung điểm của OB , (α ) là mặt phẳng đi qua M , song song với AC và song song với SB . Thiết diện của hình chóp S . ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α ) là hình gì? A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tam giác.

D. Tứ giác.

Câu 48.

Câu 49.

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điêm của AB , AC . E là điểm trên cạnh CD với ED = 3EC . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( MNE ) và tứ diện ABCD là A. Tam giác MNE . B. Tứ giác MNEF với E là điểm bất kì trên cạnh BD . C. Hình bình hành MNEF với E là điểm trên cạnh BD mà EF // BC . D. Hình thang MNEF với E là điểm trên cạnh BD mà EF // BC .

Câu 5. Câu 6.

Chọn C Chọn D

Cho hình chóp S . ABCD với các cạnh đáy là AB , CD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD , BC và G là trọng tâm tam giác SAB . Tìm k với AB = kCD để thiết diện của mặt phẳng ( GIJ ) với hình chóp S . ABCD là hình bình hành.

Ta có: a và b là hai đường thẳng chéo nhau nên a và b không đồng phẳng. Giả sử AD và BC đồng phẳng. + Nếu AD ∩ BC = M ⇒ M ∈ ( ABCD ) ⇒ M ∈ ( a; b )

J C

A. k = 4 . B. k = 2 . C. k = 1 . D. k = 3 . Câu 50. (LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . E là điển trên cạnh CD với ED = 3EC . Thiết diện tạo bởi mặt

Câu 7. Câu 8.

Mà a và b không đồng phẳng, do đó không tồn tại điểm M . + Nếu AD // BC ⇒ a và b đồng phẳng (mâu thuẫn giả thiết). Vậy điều giả sử là sai. Do đó AD và BC chéo nhau. Mệnh đề “nếu c cắt a thì c cắt b ” là mệnh đề sai, vì c và b có thể chéo nhau. Chọn A b

phẳng ( MNE ) và tứ diện ABCD là:

A. Tam giác MNE . B. Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD . C. Hình bình hành MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD mà EF song song với BC . D. Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF song song với BC . Câu 51.

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3. Câu 4.

B A

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của SA , SB , BC điểm G nằm giữa S và I SG 3 sao cho = .Thiết diện của hình chóp S . ABCD với mặt phẳng ( MNG ) là SI 5 A. hình thang. B. hình tam giác. C. hình bình hành. D. hình ngũ giác. DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Chọn C Ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đôi một song song hoặc đồng quy. Chọn B Đáp án A sai do hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song với nhau. Đáp án C sai do hai đường thẳng không song song thì có thể trùng nhau hoặc cắt nhau. Đáp án D sai do hai đường thẳng không cắt nhau và không song song với nhau thì có thể trùng nhau. Đáp án B đúng. Chọn D Chọn B Do ABCD là hình tứ diện nên bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng (loại đáp án A, C, D). 7

Do đường thẳng a nằm trên mp ( P ) , đường thẳng b cắt ( P ) tại O và O không thuộc a nên

đường thẳng a và đường thảng b không đồng phẳng nên vị trí tương đối của a và b là chéo nhau. Câu 9. Chọn B Khi c và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng cắt nhau. Còn b và c không cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng chéo nhau. Do c song song với a nên nếu b và c song song với nhau thì b cũng song song hoặc trùng với a , điều này trái với giả thiết là a và b chéo nhau. Câu 10. Chọn D. Gọi ( P ) là mặt phẳng qua M và chứa a ; ( Q ) là mặt phẳng qua M và chứa b . Giả sử tồn tại đường thẳng c đi qua M và đồng thời cắt cả a và b suy ra c ∈ ( P ) ⇒ c = ( P) ∩ (Q) .  c ∈ ( Q ) Mặt khác nếu có một đường thẳng c′ đi qua M và đồng thời cắt cả a và b thì a và b đồng phẳng (vô lí). Do đó có duy nhất một đường thẳng đi qua M và đồng thời cắt cả a và b .

Câu 11.

b // ( P ) thì b có thể song song với a (hình 1) mà b cũng có thể chéo a (hình 2). 8

A b

P Hình 1

J Hình 2

Câu 12.

b // ( P ) ⇒ b ∩ ( P ) = ∅ ⇒ b ∩ a = ∅ . Vậy a , b không có điểm chung. Áp dụng định nghĩa hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.

Câu 13.

DẠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Chọn A

I D

C Gọi E là trung điểm AB . Vì I và J lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và ABD nên:

N M B

Câu 16.

EI EJ 1 = = EC ED 3

Suy ra: IJ / /CD . Chọn C S

Dễ thấy MN , AD là hai đường thẳng chéo nhau nên loại B. Dễ thấy MN , BD là hai đường thẳng chéo nhau nên loại C. Dễ thấy MN , CA là hai đường thẳng chéo nhau nên loại D. Suy ra chọn A. Câu 14. Chọn C Mệnh đề (I) đúng vì IO là đường trung bình của tam giác SAC . Mệnh đề (II) sai vì tam giác IBD chính là thiết diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi mặt phẳng ( IBD) .

Mệnh đề (III) đúng vì giao điểm của đường thẳng AI với mặt phẳng ( SBD ) là giao điểm của AI với SO . Mệnh đề (IV) đúng vì I , O là hai điểm chung của 2 mặt phẳng ( IBD ) và ( SAC ) . Vậy số mệnh đề đúng trong các mệnh để trên là: 3. Câu 15. Chọn A

G' G D K H

Gọi H và K lần lượt là trung điểm cạnh AB; AD . Với G và G′ lần lượt là trọng tâm tam giác SG SG ′ 2 = = ⇒ GG ′ // HK (1). SAB và SAD ta có: SH SK 3 Mà HK // BD ( HK là đường trung bình tam giác ABD (2). Từ (1) và (2) suy ra GG′ song song với BD.

Có lẽ trong ví dụ này cách này hơi dài, song chúng tôi vẫn sẽ trình bày ở đây, để các bạn có thể hiểu và vận dụng cách 3 hợp lí trong các ví dụ khác. Dễ thấy, bốn điểm D , C , I , J đồng phẳng. ( DCIJ ) ∩ ( AMN ) = IJ  ( DCIJ ) ∩ ( BCD ) = CD Ta có:  ⇒ IJ CD MN . ( AMN ) ∩ ( BCD ) = MN  MN CD  Câu 20. Chọn A I

Câu 17. Gọi M là trung điểm của AB . Trong tam giác MCD có

MG ME 1 = = suy ra GE //CD MD MC 3

D P

Câu 18. Do ( P ) // ( ABC ) ⇒ AB // ( P )

Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và CD.  I ∈ BM ⊂ ( SAB ) Ta có I = BM ∩ CN ⇒  ⇒ I ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD ) .  I ∈ CN ⊂ ( SCD ) Mà S ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD ) . Do đó ( SAB ) ∩ ( SCD ) = SI .

AB / / CD

   Ta có:  ⇒ SI / / AB/ / CD .Vì SI / /CD nên SI / /CF . CD ⊂ ( SCD )  ( SAB ) ∩ ( SCD ) = SI  SI SN SI Theo định lý Ta – let ta có: = = 2 ⇒ SI = 2CF = CD ⇒ = 1. CF NF CD AB ⊂ ( SAB )

 MN = ( P ) ∩ ( ABD ) Có  ⇒ MN //AB , mà AB cắt AC nên MN //AC là sai.  AB ⊂ ( ABD ) , AB // ( P ) Câu 19. Đáp án D. Cách 1: ( Đưa về cùng mặt phẳng và vận dụng kiến thức hình học phẳng)  I ∈ CE Gọi E là trung điểm của AB . Ta có  nên suy ra IJ và CD đồng phẳng.  J ∈ DE EI EJ 1 Do I , J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ABD nên ta có: = = . Suy ra EC ED 3 IJ CD . Cách 2: ( Sử dụng tính chất bắc cầu) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BD và BC . Suy ra MN CD (1). AI AJ 2 Do I , J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD nên ta có: = = . Suy ra AN AM 3 IJ MN (2). Từ (1) và (2) suy ra IJ CD . Cách 3: (Sử dụng định lí giao tuyến của 3 mặt phẳng).

Câu 21. Chọn B Gọi F = BD ∩ RQ. Nối P với F cắt AD tại S. 12

DF BR CQ DF RC 1 . . =1⇒ = = . FB RC QD FB BR 2 DF BP AS SA FB Tương tự ta có =1⇒ = = 2 ⇒ SA = 2SD. . . FB PA SD SD DF Câu 22. Chọn C

Ta có

Q R C Q ∈ ( PQR ) ∩ ( ACD )  Ta có:  PR ⊂ ( PRQ ) ; AC ⊂ ( ACD ) ⇒ ( PQR ) ∩ ( ACD ) = Qx với Qx //PR //AC   PR //AC Gọi S = Qx ∩ AD ⇒ S = ( PQR ) ∩ AD

Gọi giao điểm của AC và BD là O và kẻ OM cắt AD tại K . Vì O là trung điểm AC , N là trung điểm SC nên ON // SA (tính chất đường trung bình). Vậy hai mặt phẳng ( MON ) và ( SAD ) cắt nhau tại giao tuyến GK song song với NO . Áp dụng định lí Talet cho GK // ON , ta có: GM KM = (1) GN KO Gọi I là trung điểm của AB , vì O là trung điểm của BD nên theo tính chất đường trung bình, OI // AD , vậy theo định lí Talet: KM AM AB = = = 2 . (2) KO AI AI GM Từ (1) và (2), ta có = 2. GN Câu 23. Chọn B

Xét tam giác ACD có QS //AC SD QD 1 Ta có: = = ⇒ AD = 3SD . AD CD 3 Câu 25. Chọn D A

K P B

L C

Giả sử LN ∩ BD = I . Nối K với I cắt AD tại P Suy ra ( KLN ) ∩ AD = P PA NC Ta có: KL / / AC ⇒ PN / / AC Suy ra: = =2 PD ND

Trong mặt phẳng ( BCD ) , gọi I = RQ ∩ BD . Trong ( ABD ) , gọi S = PI ∩ AD ⇒ S = AD ∩ ( PQR ) . Trong mặt phẳng ( BCD ) , dựng DE / / BC ⇒ DE là đường trung bình của tam giác IBR .

⇒ D là trung điểm của BI . Trong ( ABD ) , dựng DF / / AB ⇒ Câu 24.

Chọn B

DF 1 DF 1 SA = ⇒ = ⇒ = 2. BP 2 PA 2 SD 13

N A

A P

Câu 26.

Mặt khác AB ⊂ ( ABC ) , ( ABC ) và ( MNP ) có điểm M chung nên giao tuyến của ( ABC ) và

Ta có:

Gọi M , N , P lần lượt là giao điểm của AO và BC , BO và AC , CO và AB . OA′ MO SCMO S BMO SCMO + S BMO SOBC Ta có = = = = = SA MA SCMA S BMA SCMA + S BMA S ABC OB′ NO S ANO SCNO S ANO + SCNO SOAC . = = = = = SB NB S ANB SCNB S ANB + SCNB S ABC OC ′ PO S APO S BPO S APO + S BPO SOAB = = = = = SC PC S APC S BPC S APC + S BPC S ABC OA ' OB ' OC ' SOBC SOAC SOAB S ABC Từ đó T = + + = + + = =1. SA SB SC S ABC S ABC S ABC S ABC

Ta có NP // AB ⇒ AB // ( MNP ) .

( MNP )

Câu 28.

là đường thẳng MQ // AB ( Q ∈ AC ) .

QC MC = = 2 . Vậy QA MB

DẠNG 3. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG ĐỂ TÌM GIAO TUYẾN

Câu 27. Trong mặt phẳng ( ABCD ) , gọi E = MN ∩ AC . Trong mặt phẳng ( SAC ) , gọi H = EG ∩ SC .

 H ∈ EG; EG ⊂ ( MNG ) Ta có:  ⇒ H = SC ∩ ( MNG ) .  H ∈ SC Gọi I , J lần lượt là trung điểm của SG và SH .  IJ // HG Ta có  ⇒ A , I , J thẳng hàng  IA // GE CH CE Xét ∆ACJ có EH // AJ ⇒ = = 3 ⇒ CH = 3 HJ . HJ EA Lại có SH = 2 HJ nên SC = 5 HJ . SH 2 Vậy = . SC 5

Câu 29. S là điểm chung của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) .

 AB ⊂ ( SAB )  Mặt khác CD ⊂ ( SCD ) .  AB // CD  Nên giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) là đường thẳng St đi qua điểm S và song Câu 30.

song với CD . Chọn A

( SAD ) ∩ ( SBC ) Câu 31.

là đường thẳng qua S và song song với BC .

Xét hai mặt phẳng ( IKG ) , ( SAB )

Chọn D

Ta có G ∈ ( GIK ) ; G ∈ ( SAB ) suy ra G là điểm chung thứ nhất.

IK / / AB, IK ⊂ ( GIK ) , AB ⊂ ( SAB ) . Câu 34.

Suy ra ( IKG ) ∩ ( SAB ) = Gx / / IK / / AB Chọn D S

Gọi d là đường thẳng qua S và song song với AB ⇒ d // BI  AB // CD  Ta có:  AB ⊂ ( SAB ) ⇒ ( SAB ) ∩ ( SCD ) = d .  CD ⊂ ( SCD )

Vậy giao tuyến cần tìm song song với BI . Câu 32. Chọn C

Ta có:  AB //CD   AB ⊂ ( SAB ) ⇒ giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) là đường thẳng đi qua S và CD ⊂ ( SCD ) 

 S ⊂ ( SAD ) ∩ ( SBC )   AD ⊂ ( SAD ) Ta có  do đó giao tuyến của giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAD ) và  BC ⊂ ( SBC )  AD //BC  ( SBC ) là đường thẳng d đi qua S và song song với BC , AD . Câu 33. Chọn D

song song với AB . Lại có AB //EF , nên giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) là đường thẳng đi qua S và song song với EF . Câu 35. Chọn B

P A

Ta có: hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SBC ) có 1 điểm chung là S và lần lượt chứa hai đường thẳng

AD và BC song song nhau nên giao tuyến d của hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SBC ) đi qua S và song song AD , BC .

M D

Ta có P ∈ SA ⊂ ( SAB ) ; P ∈ ( MNP ) nên P là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng ( SAB ) và

( MNP ) . Mặt khác: MN //AB ( do MN là đường trung bình của hình thang ABCD ). Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( MNP ) là đường thẳng qua P và song song

Câu 38. Ta có AD // BC ⇒ ( SAD ) ∩ ( SBC ) = d , với d là đường thẳng đi qua S và song song với AD

với AB , SC . Câu 36. Chọn B. S

DẠNG 4. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG TÌM THIẾT DIỆN Câu 39. Đáp án C. Gọi N là trung điểm của SB . Do MN / / AB , AB / /CD ⇒ MN / /CD . Như vậy suy ra N thuộc mặt phẳng ( MCD ) .

( MCD ) ∩ ( SAD ) = MD  ( MCD ) ∩ ( SAB ) = MN Ta có:  ( MCD ) ∩ ( SBC ) = NC  MCD ∩ ABCD = CD ) ( ) ( Vậy tứ giác MNCD là thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng ( MCD ) . Kết hợp với MN / /CD , suy ra MNCD là hình thang.

x B

A J

I D

Ta có IJ // AB (1) (đường trung bình hình thang ).

G ∈ ( GIJ ) ∩ ( SAB )( 2) . IJ ⊂ ( GIJ ) , AB ⊂ ( SAB )( 3)

Từ (1) , ( 2) , ( 3) ⇒ Gx = ( GIJ ) ∩ ( SAB ) , Gx // AB , Gx // CD . Câu 37.

Chọn D

M A

Câu 40.

b) Hai đường thẳng MN và SC chéo nhau. Hiển nhiên đúng do S . ABCD là hình chóp. Do đó đáp án C đúng. c) Hai đường thẳng MN và SO cắt nhau vì chúng cùng nằm trong mặt phẳng ( SBD ) . Do đó đáp án D đúng. Vậy đáp án A sai.

Ta có ( BMC ) ∩ ( ABCD ) = BC , ( BMC ) ∩ ( SAB ) = BM

( BMC ) ∩ ( SAD ) = M x , M x //AD //BC , M x ∩ SD = N , ( BMC ) ∩ ( SCD ) = NC Suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( MBC ) là tứ giác BMNC .

1   MN = AD suy ra 2  MN //AD

Ta có 

Câu 41.

Ta có

MN = BC nên thiết diện BMNC là hình bình hành.  MN //BC

AM AN 1 MN 1 = = ⇒ MN / / BD và = (1) AB AD 3 BD 3

1 Mặt khác vì PQ là đường trung bình của tam giác BCD ⇒ PQ = BD , PQ / / BD ( 2 ) 2 Từ (1) (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình thang, nhưng không là hình bình hành.

B′

C′

D′

P C Câu 44. Gọi α là mặt phẳng đi qua M và song song với BC và AD .  M ∈ (α ) ∩ ( ABD ) Xét (α ) và ( ABD ) có  nên (α ) ∩ ( ABD ) = MQ với Q là trung điểm BD . (α ) AD Q ∈ (α ) ∩ ( BCD ) Xét (α ) và ( MNPQ ) có  nên (α ) ∩ ( BCD ) = QP với P là trung điểm CD . (α ) BC

C N

D Q

O Câu 42.

O′

A′

 MN //AC Ta có  ⇒ ( MNP ) // ( AB′C )  NP //AB′

 P ∈ (α ) ∩ ( ACD ) Xét (α ) và ( ACD ) có  nên (α ) ∩ ( ACD ) = NP với N là trung điểm AC . (α ) AD Mà MN , PQ là hai đường trung bình của tam giác ABC và DBC .  MN PQ Nên ta có   MN = PQ Vậy thiết diện là hình bình hành MNPQ . Câu 45. Chọn B

⇒ ( MNP ) cắt hình lập phương theo thiết diện là lục giác.

Câu 43. a) MN không song song với BD . Suy ra trong ( SBD ) ta có MN cắt BD . Do đó đáp án B đúng.

MN ∩ BD = I ⇒ MN ∩ ( ABCD ) = I . nên A đúng. 21

Trong ( SAB ) , gọi J là giao điểm của d 2 với SA . Khi đó, J là trung điểm của SA . Ta cũng có:  H ∈ (α ) ∩ ( SBC ) ⇒ (α ) ∩ ( SBC ) = d 3 đi qua H và song song với SB .  ( SBC ) ⊃ SB / / (α ) Trong ( SBC ) , gọi L là giao điểm của d3 với SC . Khi đó, L là trung điểm của SC . Mặt khác:  M ∈ (α ) ∩ ( SBD ) ⇒ (α ) ∩ ( SBD ) = d 4 đi qua M và song song với SB .  ( SBD ) ⊃ SB / / (α ) Trong ( SBC ) , gọi K là giao điểm của d 4 với SD .

Hai đường thẳng MN và SO cắt nhau do cùng nằm trong mặt phẳng ( SBD ) và không song song nên C đúng. Hai đường thẳng MN và SC chéo nhau vì không cùng nằm trong một mặt phẳng nên D đúng Câu 46. Chọn D S

M N

Vậy thiết diện của hình chóp S . ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α ) là ngũ giác HIJKL .

Câu 48. A

Chọn D I

M N F

Vì MN / / AB ⇒ AB / / ( MNP ) mà AB ⊂ ( ABCD ) nên mp ( MNP ) cắt mp ( ABCD ) theo giao

tuyến là đường thẳng qua P và song song với AB .

Do M , N lần lượt là trung điêm của AB , AC ⇒ MN // BC . Ta có  E ∈ ( MNE ) ∩ ( BCD )   MN ⊂ ( MNE ), BC ⊂ ( BCD) ⇒ ( MNE ) ∩ ( BCD ) = EF // MN // BC ( F ∈ BD) .  MN / / BC  Ta có: ( MNE ) ∩ ( ABC ) = MN , ( MNE ) ∩ ( ACD ) = NE , ( MNE ) ∩ ( BCD ) = EF , ( MNE ) ∩ ( ABD) = FM . Vậy thiết diện là hình thang MNEF (vì EF // MN ). CN 1 CE 1 Xét ∆CAD có = ≠ = ⇒ EN ∩ AD = I . CA 2 CD 4 Ta có ( MNE ) ∩ ( ABD ) = FM  ( ABD) ∩ ( ACD ) = AD   ⇒ MN , AD, FM đồng qui tại I . ( MNE ) ∩ ( ACD ) = EN   EN ∩ AD = I Do đó MNEF không thể là hình bình hành. Câu 49. Chọn D C

Trong mp ( ABCD ) , qua P kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại K ⇒ MN / / PK . Vậy thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( MNP ) và hình chóp S . ABCD là hình thang MNPK với K là

điểm trên cạnh AD mà PK / / AB. Câu 47. Chọn B

Ta có:  M ∈ (α ) ∩ ( ABCD ) ⇒ (α ) ∩ ( ABCD ) = d1 đi qua M và song song với AC .  ( ABCD ) ⊃ AC / / (α ) Trong ( ABCD ) , gọi I , H lần lượt là giao điểm của d1 với AB và BC . Khi đó, I và H lần

lượt là trung điểm của AB và BC . Ta lại có:  I ∈ (α ) ∩ ( SAB ) ⇒ (α ) ∩ ( AB ) = d 2 đi qua I và song song với SB .  ( SAB ) ⊃ SB / / (α )

K I

Dễ thấy giao tuyến của hai mặt phẳng ( GIJ ) và ( SAB ) là đường thẳng Gx đi qua G và song

( MNG ) ∩ ( SAB ) = MN  ( MNG ) ∩ ( SBC ) = NP Do đó:  ( MNG ) ∩ ( ABCD ) = PQ  MNG ∩ SAD = QM ) ( ) ( Suy ra: Thiết diện của hình chóp S . ABCD với mặt phẳng ( MNG ) là tứ giác MNPQ .

song với các đường thẳng AB , IJ . Giao tuyến Gx cắt SA tại M và cắt SB tại N . Thiết diện của mặt phẳng ( GIJ ) với hình chóp S . ABCD là hình thang IJNM vì IJ //MN .

IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên ta có: AB + CD kCD + CD k + 1 = = IJ = CD . 2 2 2 2 2 G là trọng tâm tam giác SAB nên MN = AB = kCD . 3 3 Để IJNM là hình bình hành ta cần phải có IJ = MN k +1 2 k + 1 2k CD = kCD ⇔ ⇔ = ⇔ k = 3. 2 3 2 3 Câu 50. Chọn D

( MNG ) ∩ ( SAB ) = MN   PQ / / AB ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ⇒ Nhận xét:  . MNG ∩ ABCD = PQ ) ( )  PQ / / MN (  AB / / MN  Suy ra: Thiết diện của hình chóp S . ABCD với mặt phẳng ( MNG ) là hình thang MNPQ .

M N

D F

E C

Ta có: ( MNE ) ∩ ( ABC ) = MN , ( MNE ) ∩ ( ACD ) = NE . Vì hai mặt phẳng ( MNE ) và ( BCD ) lần lượt chứa hai đường thẳng song song là MN và BC nên

( MNE ) ∩ ( BCD ) = Ex

(với Ex là đường thẳng qua E và song song với BC ), Ex cắt BD tại F

. 1 3 BC ; EF = BC . 2 4 Vậy thiết diện là hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF song song với BC . Câu 51. Chọn A

( MNE ) ∩ ( BCD ) = EF

và ( MNE ) ∩ ( ADD ) = FM . Và MN =

Xét trong mặt phẳng ( SBC ) ta có NG ∩ BC = { P} . Vì MN / / AB nên ( MNG ) ∩ ( ABCD ) theo giao tuyến đi qua P song song với AB , CD và cắt AD tại Q .

TOÁN 11

A. Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại. B. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại. C. Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng. D. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

1H2-3

Câu 5.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng đó. B. Nếu hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. C. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó phải đồng quy. D. Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

Câu 6.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây A. Nếu hai mặt phẳng song song cùng cắt mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến tạo thành song song với nhau. B. Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai đường thẳng chéo nhau những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. C. Nếu mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng ( Q ) thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng

PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1.

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. B. Nếu a // ( P ) thì tồn tại trong ( P ) đường thẳng b để b // a .

a // ( P ) C. Nếu  thì a // b . b ⊂ ( P ) D. Nếu a // ( P ) và đường thẳng b cắt mặt phẳng ( P ) thì hai đường thẳng a và b cắt nhau. Câu 2.

( P)

song với mặt phẳng ( Q ) thì mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng ( Q ) . Câu 7.

(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì trùng nhau. C. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì chéo nhau. D. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể chéo nhau, song song, cắt nhau hoặc trùng nhau.

Câu 8.

(ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho các giả thiết sau đây. Giả thiết nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng (α ) ?

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho mặt phẳng (α ) và đường thẳng

d ⊄ (α ) . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Nếu d / / (α ) thì trong (α ) tồn tại đường thẳng ∆ sao cho ∆ / / d . B. Nếu d / / (α ) và b ⊂ (α ) thì b / / d . C. Nếu d ∩ (α ) = A và d ′ ⊂ (α ) thì d và d ′ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau. D. Nếu d / / c ; c ⊂ (α ) thì d / / (α ) . Câu 3.

Câu 9.

(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho các mệnh đề sau:

A. a // b và b ⊂ (α ) .

B. a // ( β ) và ( β ) // (α ) .

C. a // b và b // (α ) .

D. a ∩ (α ) = ∅ .

Cho hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d . Đường thẳng a song song với cả hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) . Khẳng định nào sau đây đúng? A. a, d trùng nhau. B. a, d chéo nhau. C. a song song d .

(1). Nếu a // ( P ) thì a song song với mọi đường thẳng nằm trong ( P ) . (2). Nếu a // ( P ) thì a song song với một đường thẳng nào đó nằm trong ( P ) .

D. a, d cắt nhau.

Câu 10. Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau a, b, c . Gọi ( P ) là mặt phẳng qua a , ( Q ) là mặt phẳng

(3). Nếu a // ( P ) thì có vô số đường thẳng nằm trong ( P ) song song với a .

Câu 4.

đều song song với mặt phẳng ( Q ) .

D. Nếu mặt phẳng ( P ) có chứa hai đường thẳng phân biệt và hai đường thẳng đó cùng song song

(4). Nếu a // ( P ) thì có một đường thẳng d nào đó nằm trong ( P ) sao cho a và d đồng phẳng. Số mệnh đề đúng là A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1.

qua b sao cho giao tuyến của ( P ) và ( Q ) song song với c . Có nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng

(THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

C. Một mặt phẳng ( Q ) , vô số mặt phẳng ( P ) . D. Một mặt phẳng ( P ) , một mặt phẳng ( Q ) .

( P)

và ( Q ) thỏa mãn yêu cầu trên?

A. Vô số mặt phẳng ( P ) và ( Q ) .

B. Một mặt phẳng ( P ) , vô số mặt phẳng ( Q ) .

DẠNG 2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Câu 11.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB . Gọi P, Q lần lượt là hai SP SQ 1 điểm nằm trên cạnh SA và SB sao cho = = . Khẳng định nào sau đây là đúng? SA SB 3 A. PQ cắt ( ABCD ) . B. PQ ⊂ ( ABCD ) . C. PQ / / ( ABCD ) .

Câu 12.

(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho tứ diện ABCD . Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD . Khẳng định nào sau đây SAI? A. G1G2 // ( ABD ) . B. G1G2 // ( ABC ) . D. G1G2 =

2 AB . 3

Cho tứ diện ABCD , gọi G1 , G2 lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và ACD . Mệnh đề nào sau đây sai? A. G1G2 // ( ABD ) . B. Ba đường thẳng BG1 , AG2 và CD đồng quy.

2 AB . 3 Câu 14. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M , N , K lần lượt là trung điểm của DC , BC , SA. Gọi H là giao điểm của AC và MN . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. MN chéo SC . B. MN // ( SBD ) . C. MN // ( ABCD ) . D. MN ∩ ( SAC ) = H . C. G1G2 // ( ABC ) .

Câu 15.

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O1 , O2 lần lượt là tâm của ABCD , ABEF . M là trung điểm của CD . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. MO2 cắt ( BEC ) . B. O1O2 song song với ( BEC ) .

D. O1O2 song song với ( AFD ) .

(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M , N theo thứ tự là trọng tâm ∆SAB; ∆SCD . Khi đó MN song song với mặt phẳng A. ( SAC ) B. ( SBD) . C. ( SAB ) D. ( ABCD ) .

Câu 17.

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Các điểm I , J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SAD . M là trung điểm CD . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. IJ // ( SCD) . B. IJ // ( SBM ) . C. IJ // ( SBC ) . D. IJ / /( SBD) . Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , M là trung điểm SA . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. OM // ( SCD ) . B. OM // ( SBD ) . C. OM // ( SAB ) . D. OM // ( SAD ) . Câu 19.

Câu 20.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang, AB // CD và AB = 2CD . Lấ y E thuộc cạnh SA , SE SF 2 = = . Khẳng định nào dưới đây đúng? SA SC 3 A. Đường thẳng EF song song với mặt phẳng ( SAC ) .

Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD. M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Khi đó đường thẳng MG song song với mặt phẳng nào dưới đây? A. ( ACD ) . B. ( BCD ) . C. ( ABD ) . D. ( ABC ) .

Câu 21. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD , G là trọng tâm ∆ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 2 MC . Đường thẳng MG song song với mặt phẳng A. ( ACD ) . B. ( ABC ) . C. ( ABD ) . D. ( BCD). Câu 22.

(CỤM CHUYÊN MÔN 4 - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. M , N lần lượt là trung điểm của SC và SD . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. MN / / ( SBD ) .

Câu 23.

D. G1G2 =

C. O1O2 song song với ( EFM ) . Câu 16.

D. Đường thẳng CD song song với mặt phẳng ( BEF ) .

D. PQ và CD chéo nhau.

C. BG1 , AG2 và CD đồng quy. Câu 13.

B. Đường thẳng EF cắt đường thẳng AC . C. Đường thẳng AC song song với mặt phẳng ( BEF ) .

B. MN / / ( SAB ) .

C. MN / / ( SAC )

D. MN / / ( SCD ) .

(SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Cho tứ diện ABCD , G là trọng tâm tam giác ABD . Trên đoạn BC lấ y điểm M sao cho MB = 2MC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. MG song song với ( ACD ) B. MG song song với ( ABD ) . C. MG song song với ( ACB ) .

D. MG song song với ( BCD ) .

Câu 24.

(SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của A′B′ và CC ′ . Khi đó CB′ song song với A. ( AC′M ) . B. ( BC ′M ) . C. A′N . D. AM .

Câu 25.

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD , AD = 2 BC . Gọi M là điểm thuộc cạnh SD sao cho MD = 2MS . Gọi O là giao điểm của AC và BD. OM song song với mặt phẳng A. ( SAD ) . B. ( SBD ) . C. ( SBC ) . D. ( SAB ) .

Câu 26.

Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có tất cả các mặt là hình vuông cạnh a. Các điểm M , N lần lượt nằm trên AD ', DB sao cho AM = DN = x(0 < x < a 2) Khi x thay đổi, đường thẳng MN luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây? A. ( CB ' D ') . B. ( A ' BC ) . C. ( AD ' C ) . . D. ( BA ' C ')

Câu 27. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. AA '; BB '; CC ' lần lượt lấy ba điểm M , N , P sao cho Trên các cạnh

A' M 1 B ' N 2 C ' P 1 D 'Q = ; = ; = . Biết mặt phẳng ( MNP) cắt cạnh DD ' tại Q. Tính tỉ số AA ' 3 BB ' 3 CC ' 2 DD ' .

1 5 2 . C. . D. . 3 6 3 Câu 28. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O , O1 lần lượt là tâm của ABCD , ABEF M là trung điểm của CD . Khẳng định nào sau đây sai? A. OO1 // ( BEC ) . B. OO1 // ( AFD ) . C. OO1 // ( EFM ) . D. MO1 cắt ( BEC ) . A.

1 . 6

F thuộc cạnh SC sao cho

DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 4

Câu 29.

(CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , I là trung điểm cạnh SC . Khẳng định nào sau đây sai? A. Đường thẳng IO song song với mặt phẳng ( SAD ) .

Câu 36.

là hình gì? A. Hình tam giác.

B. Mặt phẳng ( IBD ) cắt hình chóp S. ABCD theo thiết diện là một tứ giác. C. Đường thẳng IO song song với mặt phẳng ( SAB ) . (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thỏa mãn MA = 3MB. Mặt phẳng ( P ) qua M và song song với SC , BD . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ( P ) cắt hình chóp theo thiết diện là một ngũ giác.

(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy, ABCD là hình vuông cạnh a 2 , SA = 2a . Gọi M là trung điểm cạnh SC , (α ) là mặt phẳng đi qua A ,

M và song song với đường thẳng BD . Tính diện tích thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng (α ) . A. a 2 2 .

Câu 32.

(Sở Ninh Bình - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD . Điểm M thuộc đoạn AC ( M khác A , M khác C ). Mặt phẳng (α ) đi qua M song song với AB và AD . Thiết diện của (α ) với tứ diện ABCD là hình gì? A. Hình vuông B. Hình chữ nhật C. Hình tam giác D. Hình bình hành Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , gọi I là trung điểm cạnh SC . Mệnh đề nào sau đây sai? A. Đường thẳng IO song song với mặt phẳng ( SAD ) .

B. Đường thẳng IO song song với mặt phẳng ( SAB ) . C. Mặt phẳng ( IBD ) cắt mặt phẳng ( SAC ) theo giao tuyến OI . D. Mặt phẳng ( IBD ) cắt hình chóp S. ABCD theo một thiết diện là tứ giác. Câu 33.

A. ab .

4a 2 2 . 3

2a 2 2 . 3

ab . 9

C. 2ab .

1 IJ . 3

2 ab . 9

Câu 40. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD , AB = CD = 6 . M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = x.BC ( 0 < x < 1) . mp ( P ) song song với AB và CD lần lượt cắt BC , DB, AD, AC tại M , N , P, Q . Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu ? B. 9 . C. 11 . D. 10 . A. 8 . (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình hộp ABCD. A′B′C′D′ , gọi M là trung điểm CD , ( P ) là mặt phẳng đi qua M và song song với B ′D và CD′ . Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng ( P ) là hình gì? A. Ngũ giác. B. Tứ giác. C. Tam giác.

A. IO // mp ( SAB ) .

D. Lục giác.

Câu 42.

(THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Cho tứ diện ABCD có AB = 6 , CD = 8 . Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với AB , CD để thiết diện thu được là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó bằng 31 18 24 15 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7

Câu 43.

(THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện ABCD . Trên các cạnh AD , BC MA NC 1 = = . Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa đường theo thứ tự lấy các điểm M , N sao cho AD CB 3 thẳng MN và song song với CD . Khi đó thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng ( P ) là: A. một tam giác. B. một hình bình hành. C. một hình thang với đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ D. một hình thang với đáy lớn gấp 3 lần đáy nhỏ.

C. Mặt phẳng ( IBD ) cắt hình chóp S. ABCD theo thiết diện là một tứ giác. D. ( IBD ) ∩ ( SAC ) = OI . Câu 34.

S. ABCD là hình gì? A. Ngũ giác. B. Hình bình hành. C. Tứ giác không có cặp cạnh đối nào song song.

4a 2 . 3

diện tích thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (α ) biết IM =

Câu 41.

(ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và BC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNI) và hình chóp S.ABCD là: A. Tứ giác MNIK với K là điểm bất kỳ trên cạnh AD. B. Tam giác MNI. C. Hình bình hành MNIK với K là điểm trên cạnh AD mà IK//AB. D. Hình Thang MNIK với K là một điểm trên cạnh AD mà IK//AB Câu 35. Gọi ( P ) là mặt phẳng qua H , song song với CD và SB . Thiết diện tạo bởi ( P ) và hình chóp

Câu 39. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b . Gọi I , J lần lượt là trung điểm AB và CD , giả sử AB ⊥ CD . Mặt phẳng (α ) qua M nằm trên đoạn IJ và song song với AB và CD . Tính

(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I là trung điểm cạnh SC . Khẳng định nào sau đây sai? B. IO // mp ( SAD ) .

D. Hình ngũ giác.

Câu 38.

C. ( P ) cắt hình chóp theo thiết diện là một tứ giác. Câu 31.

C. Hình thang.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm thuộc đoạn SB . Mặt phẳng ( ADM ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là A. Hình thang. B. Hình chữ nhật. C. Hình bình hành. D. Tam giác.

B. ( P ) cắt hình chóp theo thiết diện là một tam giác. D. ( P ) không cắt hình chóp.

B. Hình bình hành.

Câu 37.

D. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( IBD ) và ( SAC ) là IO . Câu 30.

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD . Điểm M thuộc đoạn AC . Mặt phẳng (α ) qua M song song với AB và AD . Thiết diện của (α ) với tứ diện ABCD

D. Hình thang. 5

Câu 44.

Cho tứ diện ABCD . Điểm G là trọng tâm tam giác BCD . Mặt phẳng (α ) qua G, (α ) song song với AB và CD . (α ) cắt trung tuyến AM của tam giác ACD tại K. Chọn khẳng định đúng?

A. (α ) cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là một hình tam giác. C. AK = Câu 45.

AM .

B. AK =

Câu 52.

D. Giao tuyến của (α ) và (CBD) cắt CD .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng ( P ) qua BD và song song

Câu 53.

a 7 . 4

a 7 . 6

Mặt phẳng ( P ) qua M và song song với hai đường thẳng SC, BD . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 1. Câu 2.

C. ( P ) cắt hình chóp theo thiết diện là một tam giác. D. ( P ) cắt hình chóp theo thiết diện là một ngũ giác. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , M là trung điểm SA .Gọi (α )

Câu 4. Câu 5.

là mặt phẳng đi qua M , song song với SC và AD . Thiết diện của (α ) với hình chóp S . ABCD là hình gì? A. Hình thang. B. Hình thang cân. C. Hình chữ nhật. D. Hình bình hành.

3a 2 51 . 144

3a 2 31 . 144

5a 2 457 . 12

5a 2 51 . 2

N Q P D A B

Câu 8.

Câu 6. Ví dụ ( SAD ) chứa MN ; PQ cùng song song với ( ABCD ) nhưng ( SAD ) cắt ( ABCD ) . Lý thuyết : Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể chéo nhau, song song, cắt nhau hoặc trùng nhau. Chọn a ∩ (α ) = ∅

Câu 9.

Chọn C

Câu 7.

5a 2 51 . 4

5a 2 51 . 144

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng 6a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CA, CB; P là điểm trên cạnh BD sao cho

giác SAB . Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( IJG ) là hình bình hành. Hỏi khẳng định nào sao đây đúng? 1 3 2 A. AB = 3CD . B. AB = CD . C. AB = CD . D. AB = CD . 3 2 3

BP = 2 PD . Diện tích S thiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi ( MNP ) là:

a 2 31 . 144

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Chọn B Chọn B Mệnh đề B sai vì b và d có thể chéo nhau. (1). Sai. (2). Đúng. (3). Đúng. (4). Đúng. Vậy có 3 mệnh đề đúng. Giả sử (α ) song song với ( β ) . Một đường thẳng a song song với ( β ) có thể nằm trên (α ) . Vì B. … hai mặt phẳng đó song song hoặc trùng nhau. C. … ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. D. … ai đường thẳng đó hoặc song song, hoặc chéo nhau, hoặc cắt nhau, hoặc trùng nhau.

(THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AB / /CD ) . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC và G là trọng tâm tam

5a 2 457 . 2

D. a .

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

B. ( P ) cắt hình chóp theo thiết diện là một tứ giác.

3a . 4

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a , I là trung điểm của AC , J là một điểm trên cạnh AD sao cho AJ = 2 JD . ( P ) là mặt phẳng

Câu 3.

A. ( P ) không cắt hình chóp.

Câu 51.

chứa IJ và song song với AB . Tính diện tích thiết diện khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng ( P ) .

(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Cho hình hộp ABCD . A′B ′C ′D ′ . Gọi I là trung điểm AB . Mặt phẳng ( IB′D′) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Tam giác

Cho hìnhchóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm thuộc đoạn SB ( M khác S và B ). Mặtphẳng ( ADM ) cắt hình chóp S. ABCD theo thiết diện là A. Hình bình hành. B. Tam giác. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang. Câu 48. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thỏa mãn MA = 3MB .

Câu 50.

song song với SA, AB cắt các cạnh

MNPQ ngoại tiếp được đường tròn, bán kính đường tròn đó là

Câu 47.

Câu 49.

( P)

AD , BC , SC , SD theo thứ tự tại M , N , P, Q . Đặt AM = x ( 0 < x < a ) . Gọi x là giá trị để tứ giác

AM .

với SA . Khi đó mặt phẳng ( P ) cắt hình chóp S . ABCD theo thiết diện là một hình A. Hình thang. B. Hình chữ nhật. C. Hình bình hành. D. Tam giác.

Câu 46.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AB // CD ) , cạnh AB = 3a , AD = CD = a . Tam giác SAB cân tại S , SA = 2a . Mặt phẳng

Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó. Câu 10. Chọn D

a c b

MG1 1  G1 ∈ BM ; MB = 3 Gọi M là trung điểm CD ⇒  G ∈ AM ; MG2 = 1  2 MA 3 1 MG1 MG2 Xét tam giác ABM , ta có = = ⇒ G1G2 // AB (định lí Thales đảo) 3 MB MA GG MG1 1 1 ⇒ 1 2 = = ⇒ G1G2 = AB . AB MB 3 3 Câu 13. Chọn D

(Q)

(P)

Vì c song song với giao tuyến của ( P ) và ( Q ) nên c ( P ) và c ( Q ) . Khi đó, ( P ) là mặt phẳng chứa a và song song với c , mà a và c chéo nhau nên chỉ có một mặt phẳng như vậ y. Tương tự cũng chỉ có một mặt phẳng ( Q ) chứa b và song song với c . Vậy có nhiều nhất một mặt phẳng ( P ) và một mặt phẳng ( Q ) thỏa yêu cầu bài toán.

Gọi M là trung điểm của CD .

DẠNG 2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

G G // AB MG1 MG2 1  1 2 ⇒ D sai. = = ⇒ 1 MB MA 3 G1G2 = AB 3  Vì G1G2 // AB ⇒ G1G2 // ( ABD ) ⇒ A đúng.

Xét ∆ABM ta có:

Vì G1G2 // AB ⇒ G1G2 // ( ABC ) ⇒ C đúng.

Ba đường BG1 , AG2 , CD , đồng quy tại M ⇒ B đúng. Chọn C Vì MN ⊂ ( ABCD ) nên MN không song song với mặt phẳng ( ABCD ) ⇒ câu C sai.

Câu 15.

Chọn

Câu 11.

Câu 14.

Chọn C.  PQ / / AB   AB ⊂ ( ABCD ) ⇒ PQ / / ( ABCD ) .   PQ ⊂ ( ABCD ) Câu 12. Chọn D

C Gọi N , P lần lượt là trung điểm của cạnh AB , AD . SI SJ 2 Xét ∆SNP có = = ⇒ IJ // NP . SN SP 3 Xét ∆ABD có M là đường trung bình trong tam giác ⇒ NP // BD . Suy ra IJ // BD .

A B

 IJ ⊄ ( SBD)  ⇒ IJ // ( SBD) . Ta có ( IJ // BD ( BD ⊂ ( SBD ) 

O2 Câu 18.

Chọn A

Gọi J là giao điểm của AM và BC . Ta có: MO1 / / AD / / BC ⇒ MO1 / / CJ . Mà O1 là trung điểm của AC nên M là trung điểm của AJ . Do đó MO2 / / EJ .

Từ đó suy ra MO2 / / ( BEC ) (vì dễ nhận thấy MO2 không nằm trên ( BEC ) ).

Vậy MO2 không cắt ( BEC ) . Câu 16. Chọn D

Ta có: M là trung điểm SA ; O là trung điểm AC ⇒ OM là đường trung bình ∆ SAC . ⇒ OM //SC ( SC ⊂ ( SCD ) ; OM ⊄ ( SCD ) ) ⇒ OM // ( SCD ) .

Câu 19.

Chọn C

E F

Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và CD. Do M ; N là trọng tâm tam giác SAB; SCD nên S , M , E thẳng hàng; S , N , F thẳng hàng. SM 2 SN = = nên theo định lý Ta – let ⇒ MN / / EF . Xét ∆SEF có: SE 3 SF Mà EF ⊂ ( ABCD ) nên MN / / ( ABCD ) . Câu 17.

SE SF 2 = = nên đường thẳng EF // AC . Mà EF ⊂ ( BEF ) , AC ⊄ ( BEF ) nên AC song SA SC 3 song với mặt phẳng ( BEF ) .

Vì

Chọn D Câu 20. 11

Chọn A 12

Gọi E là trung điểm AD C M D

B G

Câu 23.

Gọi I là trung điểm của AD . Xét tam giác BCI có

BM BG 2 = = BC BI 3

⇒ MG / /CI , CI ⊂ ( ACD ) , MG ⊄ ( ACD )

Câu 21. Gọi P là trung điểm AD BM BG 3 = = ⇒ MG //CP ⇒ MG// ( ACD ) . Ta có: BC BP 2

⇒ MG / / ( ACD ) . C

A B G

A' M B'

Câu 24. - Gọi G là giao điểm của AC′ và A′C ⇒ G là trung điểm của A′C ⇒ MG là đường trung bình của tam giác A′CB′ ⇒ CB′ / / MG ⇒ CB′ / / ( AC ′M ) .

Câu 22. Ta có MN / / CD ⇒ MN / / AB ⇒ MN / / ( SAB ) Câu 25.

Chọn C

AM MD′ AD′ = = DN NB DB Suy ra AD , MN và D′B luôn song song với một mặt phẳng (định lí Ta-lét đảo). Vậy MN luôn song song với một mặt phẳng ( P ) , mà ( P ) song song với AD và D′B

Từ giả thiết ta có:

Mặt phẳng này chính là mp ( A′D′CB ) hay ( A′BC ) B

A N P'

O B

AD // BC ; AC ∩ BD = O ⇒

OC OB BC 1 DO 2 DM 2 = = = ⇒ = . Mặt khác: = OA OD AD 2 DB 3 DS 3

DO DM = DB DS ⇒ OM // SB Mà SB ⊂ ( SBC ) , OM ⊄ ( SBC ) .

⇒

Câu 26.

Câu 27.

Gọi độ dài cạnh bên của hình hộp là a . Giao tuyến của mặt phẳng ( MNP ) với ( CDD ' C ' ) là đường thẳng đi qua P và song song với

Nên OM // ( SBC ) . Chọn B

MN (do MN / / ( CDD ' C ' ) ) Gọi P ' là trung điểm BB ' và Q ' ∈ AA ' : MN / / P ' Q ' . Khi đó tứ giác MNP ' Q ' là hình bình hành 2 1 1 1 1 và NP ' = a − a = a ⇒ MQ ' = a ⇒ Q ' A ' = MA '− MQ ' = a . 3 2 6 6 6 A'Q ' D 'Q 1 = = . Vậy AA ' DD ' 6 Câu 28. Chọn D D

C O

 Sử dụng định lí Ta-lét thuận Vì AD //A′D ′ nên tồn tại ( P ) là mặt phẳng qua AD và song song với mp ( A′D′CB )

( Q)

là mặt phẳng qua M và song song với mp ( A′D′CB )

Giả sử ( Q ) cắt DB tại N ′

AM DN ′ Theo định lí Ta-lét ta có: = (*) AD′ DB Mà các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh a nên AD′ = DB = a 2 Từ (*) ta có AM = DN ′ ⇒ DN ′ = DN ⇒ N ′ ≡ N ⇒ MN ⊂ (Q )

Suy ra OO1 là đường trung bình trong tam giác ACE ⇒ OO1 // EC .

( Q ) // ( A′D′CB ) suy ra MN luôn song song với mặt phẳng cố định ( A′D′CB ) hay ( A′BC )  Sử dụng định lí Ta-lét đảo

Vậy OO1 // ( BEC ) , OO1 // ( AFD ) và OO1 // ( EFC ) . Chú ý rằng: ( EFC ) = ( EFM ) .

Xét tam giác ACE có O, O1 lần lượt là trung điểm của AC , AE . Tương tự, OO1 là đường trung bình của tam giác BFD nên OO1 // FD .

DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

M D

B P

I A

(α ) //AB  Ta có  ⇒ (α ) ∩ ( ABC ) = MN với MN //AB và N ∈ BC . AB ⊂ ( ABC )   (α ) //AD Ta có  ⇒ (α ) ∩ ( ADC ) = MP với MP //AD và P ∈ CD . AD ⊂ ( ADC )  (α ) ∩ ( BCD ) = NP . Do đó thiết diện của (α ) với tứ diện ABCD là hình tam giác MNP .

Câu 29. A đúng vì IO // SA ⇒ IO // ( SAD ) . C đúng vì IO // SA ⇒ IO // ( SAB ) . D đúng vì ( IBD ) ∩ ( SAC ) = IO .

B sai vì mặt phẳng ( IBD ) cắt hình chóp S . ABCD theo thiết diện là tam giác IBD .

Câu 32.

Chọn D

S R P Q

Trong tam giác SAC có O là trung điểm AC , I là trung điểm SC nên IO / / SA ⇒ IO song song với hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD ) .

N C

Mặt phẳng ( IBD ) cắt ( SAC ) theo giao tuyến IO.

Mặt phẳng ( IBD ) cắt ( SBC ) theo giao tuyến BI , cắt ( SCD ) theo giao tuyến ID , cắt ( ABCD )

theo giao tuyến BD ⇒ thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( IBD ) và hình chóp S . ABCD là tam giác

B M

IBD. Vậy đáp án D sai. Câu 33. Chọn C

Câu 30. Trong ( ABCD ) , kẻ đường thẳng qua M và song song với BD cắt BC , CD , CA tại K , N , I . Trong ( SCD ) , kẻ đường thẳng qua N và song song với SC cắt SD tại P .

Trong ( SCB ) , kẻ đường thẳng qua K và song song với SC cắt SB tại Q . Trong ( SAC ) , kẻ đường thẳng qua I và song song với SC cắt SA tại R . Thiết diện là ngũ giác KNPRQ . Câu 31. Chọn C

I A

B O

Trong mặt phẳng ( SAC ) có I , O lần lượt là trung điểm của SC , SA nên IO // SA.

 IO // ( SAB ) Suy ra  .  IO // ( SAD ) Hai mặt phẳng ( SAC ) và ( IBD ) có hai điểm chung là O, I nên giao tuyến của hai mặt phẳng là

IO. Thiết diện của mặt phẳng ( IBD ) cắt hình chóp ( S . ABCD ) chính là tam giác IBD.

B N

Câu 34.

B. Tam giác MNI. C. Hình bình hành MNIK với K là điểm trên cạnh AD mà IK//AB. D. Hình Thang MNIK với K là một điểm trên cạnh AD mà IK//AB Chọn D Hình vẽ:

(α ) và ( ABC ) có M chung, (α ) song song với AB , AB ⊂ ( ABC ) . ⇒ (α ) ∩ ( ABC ) = Mx, Mx / / AB và Mx ∩ BC = N . (α ) và ( ACD ) có M chung, (α ) song song với AD , AD ⊂ ( ACD ) ⇒ (α ) ∩ ( ACD ) = My, My / / AD và My ∩ CD = P . Ta có (α ) ∩ ( ABC ) = MN . (α ) ∩ ( ACD ) = MP . (α ) ∩ ( BCD ) = NP . Thiết diện của (α ) với tứ diện ABCD là tam giác MNP .

A K

D C

Ta xét ba mặt phẳng (MNI), (SAB), (ABCD) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến song song. ( MNI ) ∩ ( SAB ) = MN

Câu 37.

Chọn A S

( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB 1 mµ MN//= AB 2 ⇒ ( MNI ) ∩ ( ABCD ) theo giao tuyến là một đường thẳng đi qua I và song song với AB, sẽ cắt AD

tại một điểm K: IK//=AB Vậy thiết diện cần tìm là: Hình thanh MNIK với K là điểm trên cạnh AD mà IK//AB. Câu 35. Chọn D ( P ) là mặt phẳng qua H , song song với CD và SB nên ( P ) cắt ( ABCD ) theo giao tuyến qua

H song song CD cắt BC , AD lần lượt tại F , E ; ( P ) cắt ( SBC ) theo giao tuyến FI // SB (

Do BC // AD nên mặt phẳng ( ADM ) và ( SBC ) có giao tuyến là đường thẳng MG song song

I ∈ SC ); ( P ) cắt ( SCD ) theo giao tuyến JI // CD ( J ∈ SD ). Khi đó thiết diện tạo bởi ( P ) và hình chóp S . ABCD là hình thang vì JI // FE , FI // SB , JE // SA

Câu 36.

với BC Thiết diện là hình thang AMGD .

nên FI không song song với JE . Chọn A

(α ) // CD  Ta có CD ⊂ ( ICD ) ⇒ giao tuyến của (α ) với ( ICD) là đường thẳng qua M và   M ∈ (α ) ∩ ( ICD ) song song với CD cắt IC tại L và ID tại N . (α ) // AB  ⇒ giao tuyến của (α ) với ( JAB ) là đường thẳng qua M và song song  AB ⊂ ( JAB )   M ∈ (α ) ∩ ( JAB )

M F E I

với AB cắt JA tại P và JB tại Q .

D O

Câu 38. Gọi O = AC ∩ BD , I = SO ∩ AM . Trong mặt phẳng ( SBD ) qua I kẻ EF / / BD , khi đó ta có

( AEMF ) ≡ (α )

là mặt phẳng chứa AM và song song với BD . Do đó thiết diện của hình chóp bị

cắt bởi mặt phẳng (α ) là tứ giác AEMF .

 FE // BD Ta có:  ⇒ FE ⊥ ( SAC ) ⇒ FE ⊥ AM .  BD ⊥ ( SAC ) Mặt khác ta có: * AC = 2a = SA nên tam giác SAC vuông cân tại A , suy ra AM = a 2 . 2 4a * I là trọng tâm tam giác SAC , mà EF // BD nên tính được EF = BD = . 3 3 2 1 2a 2 Tứ giác AEMF có hai đường chéo FE ⊥ AM nên S AEMF = FE. AM = . 2 3

(α ) // CD  Tương tự CD ⊂ ( BCD ) ⇒ EH // CD (5)  Q ∈ (α ) ∩ ( BCD ) Từ (4) và (5) ⇒ FG // EH // CD (6). Từ (3) và (6), suy ra EFGH là hình bình hành. Mà AB ⊥ CD nên EFGH là hình chữ nhật. LN IN . Xét tam giác ICD có: LN // CD ⇒ = CD ID IN IM Xét tam giác ICD có: MN // JD ⇒ . = ID IJ LN IM 1 1 b Do đó = = ⇒ LN = CD = . CD IJ 3 3 3 PQ JM 2 2 2a Tương tự . = = ⇒ PQ = AB = AB JI 3 3 3 2 ab . Vậy SEFGH = PQ. LN = 9 Câu 40. Chọn B

N M L D

H Q

E J d

Câu 39.

(α ) // AB  Tương tự  AB ⊂ ( ABD ) ⇒ HG // AB (2).  N ∈ (α ) ∩ ( ABD ) Từ (1) và (2) ⇒ EF // HG // AB (3) (α ) // CD  Ta có CD ⊂ ( ACD ) ⇒ FG // CD (4)   P ∈ (α ) ∩ ( ACD )

(α ) // AB  ⇒ EF // AB (1) Ta có  AB ⊂ ( ABC )   L ∈ (α ) ∩ ( ABC )

3 * Gọi I là điểm thuộc A′B′ sao cho A′I = A′B′ , gọi K là trung điểm của DD ′ . Ta có: 2  MI //DB′ ⇒ ( P ) ≡ ( MIK )   MK //CD′ * Gọi E = MK ∩ C ′D′, F = MK ∩ CC ′ . * Gọi P = IE ∩ B′C ′, Q = IE ∩ A′D′, N = PF ∩ BC . * Thiết diện của hình hộp ABCD. A′B′C′D′ cắt bởi mặt phẳng ( P ) là ngũ giác MNPQK .

A P Q

N M

Câu 42.

 MQ //NP //AB Xét tứ giác MNPQ có   MN //PQ //CD ⇒ MNPQ là hình bình hành. Mặt khác, AB ⊥ CD ⇒ MQ ⊥ MN . Do đó, MNPQ là hình chữ nhật. MQ CM Vì MQ //AB nên = = x ⇒ MQ = x. AB = 6 x . AB CB Theo giả thiết MC = x.BC ⇒ BM = (1 − x ) BC . MN BM = = 1 − x ⇒ MN = (1 − x ) .CD = 6 (1 − x ) . CD BC Diên tích hình chữ nhật MNPQ là Vì MN //CD nên

 x +1 − x  S MNPQ = MN .MQ = 6 (1 − x ) .6 x = 36.x. (1 − x ) ≤ 36   =9 . 2   1 Ta có S MNPQ = 9 khi x = 1 − x ⇔ x = 2 Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 9 khi M là trung điểm của BC .

Giả sử một mặt phẳng song song với AB và CD cắt tứ diện ABCD theo một thiết diện là hình  MK // AB // IN  thoi MNIK như hình vẽ trên. Khi đó ta có:  MN // CD // IK .  MK = KI  Cách 1:  MK CK  MK AC − AK  AB = AC  6 = AC Theo định lí Ta – lét ta có:  ⇒  KI = AK  KI = AK  CD AC  8 AC 7 MK AK MK KI MK MK 24 ⇒ = 1− ⇒ = 1− ⇒ = 1− MK = 1 ⇔ MK = . ⇔ 6 AC 6 8 6 8 24 7 24 Vậy hình thoi có cạnh bằng . 7 Cách 2:  MK CK  AB = AC MK MK CK AK Theo định lí Ta-lét ta có:  ⇒ + = + AB CD AC AC  KI = AK  CD AC 7 MK AC MK MK AK + KC 24 ⇒ + = ⇒ = = 1 ⇒ MK = . 6 8 AC 24 AC 7 A

C M

M A

B Q

I K B' P

Câu 43. Trong mặt phẳng ( ACD ) ,từ M kẻ MP // CD

( P ∈ AC ) .

Trong mặt phẳng ( BCD ) ,từ M kẻ NQ // CD ( Q ∈ BD ) .

A' Câu 41.

D' E

Khi đó ta có MPNQ là thiết diện của mặt phẳng ( P ) và tứ diện ABCD .

 MP // CD  NQ // CD   Ta có  (1);  (2). 1 2  MP = 3 CD  NQ = 3 CD  NQ // MP  Từ (1) và (2) ta có  . 1  MP = 2 NQ Vậy MPNQ là hình thang có đáy lớn bằng hai lần đáy nhỏ.

I A

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD ⇒ I là trung điểm của AC và BD ( P ) //SA ⇒ ( P ) ∩ ( SAC ) = OI   BD ⊂ ( P ) Khi đó OI / / SA và I là trung điểm của SC ( P ) ∩ ( SBC ) = BI và ( P ) ∩ ( SCD ) = ID Vậy thiết diện là tam giác BDI Câu 46. Chọn B Ta có ( IB′D′) và ABCD có I là một điểm chung.

B′D′ ⊂ ( IBD )   BD ⊂ ( ABCD ) ⇒ ( IBD ) ∩ ( ABCD ) = IJ //BD ( J ∈ AD )  B′D′//BD 

Câu 44. Chọn B Xác định thiết diện: (α ) qua G, song song với CD ⇒ (α ) ∩ ( BCD) = HI (giao tuyến đi qua G và song song CD, H ∈ BC, I ∈ CD ) Tương tự ta được (α ) ∩ ( ABD ) = IJ ( JI / / AB ) (α ) ∩ ( ACD ) = JN ( JN / / CD ) (α ) ∩ ( ABC ) = HN Vậy (α ) là (HNJI) Vì G là trọng tâm tam giác BCD mà IG / / CD nên Mặt khác IJ song song AB nên

Lờigiải Chọn D

2 3

Lại có JK song song DM (vì K ∈ AM , M ∈ CD ) nên

Câu 45.

Thiết diện là hình thang IJD ′B ′ .

Câu 47.

2 3

. Vậy AK =

Chọn D

Ta có M là một điểm thuộc đoạn SB với M khác S và B .  M ∈ ( ADM ) ∩ ( SBC )   AD ⊂ ( ADM ) ⇒ ( ADM ) ∩ ( SBC ) = Mx // BC // AD . Suy ra   BC ⊂ ( SBC )  AD // BC  Gọi N = Mx ∩ SC thì ( ADM ) cắt hình chóp S . ABCD theo thiết diện là tứ giác AMND . Vì MN // AD và MN với AD không bằng nhau nên tứ giác AMND là hình thang. 25

Câu 48.

Chọn D S

G H F

P B

+ Mặt phẳng ( P ) qua M và song song với hai đường thẳng SC, BD

Câu 49.

( P) ∩( ABCD) = Mx / / BD, Mx ∩ BC = N , Mx ∩ CD = P. ( P) ∩(SBC) = Ny / / SC, Ny ∩ SB = F. ( P) ∩( SCD) = Pt / / SC, Pt ∩ SD = H . Trong ( SAB) : MF ∩ SA = G . + ( P) ∩( ABCD) = NP. ( P) ∩ (SCD) = PH . ( P) ∩( SAD) = HG. ( P) ∩ (SAB) = GF . ( P) ∩( SBC) = FN. Vậy ( P ) cắt hình chóp theo thiết diện là ngũ giác NPHGF .

AB + CD Từ giả thiết suy ra IJ // AB // CD , IJ = . 2 Xét 2 mặt phẳng ( IJG), (SAB) có G là điểm chung ⇒ giao tuyến của chúng là đường thẳng EF đi qua G , EF // AB // CD // IJ với E ∈ SA , F ∈ SB . Nối các đoạn thẳng EI , FJ ta được thiết diện là tứ giác EFJI , là hình thang vì EF // IJ . Vì G là trọng tâm của tam giác SAB và EF // AB nên theo định lí Ta – lét ta có: EF = Nên để thiết diện là hình bình hành ta cần: EF = IJ ⇔

Câu 51.

Chọn A

Chọn B

2 AB 3

AB + CD 2 AB = ⇔ AB = 3CD 2 3

K Q Q

 M ∈ (α ) ∩ ( SAD ) ⇒ (α ) ∩ ( SAD ) = MN //AD ( N ∈ SD ) (1) .  (α ) //AD; AD ⊂ ( SAD )  N ∈ (α ) ∩ ( SCD ) ⇒ (α ) ∩ ( SCD ) = NP //SC ( P ∈ CD ) .  (α ) //SC ; SC ⊂ ( SCD )  P ∈ (α ) ∩ ( ABCD ) ⇒ (α ) ∩ ( ABCD ) = PQ //AD ( Q ∈ AB ) ( 2 ) .  (α ) //AD; AD ⊂ ( ABCD )

(α ) ∩ ( SAB ) = MQ Từ (1) ( 2 ) suy ra MN //PQ //AD ⇒ thiết diện Câu 50.

Ta có AB / / MN ( Vì MN là đường trung bình của ∆ABC ), AB ⊄ ( MNP ) , MN ⊂ ( MNP ) ⇒ AB / / ( MNP ) . Lại có AB ⊂ ( ABD ) , do đó ( MNP ) ∩ ( ABD ) = PQ ( Q ∈ AD ) sao cho: PQ / / AB / / MN

( MNP ) ∩ ( ABC ) = MN , ( MNP ) ∩ ( BCD ) = NP, ( MNP ) ∩ ( ACD ) = MQ .

MNPQ là hình thang.

Vậy thiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi ( MNP ) là hình thang MNPQ ( vì MN / / PQ ) Mặt khác các tam giác ACD, BCD đều và bằng nhau nên MQ = NP ⇒ MNPQ là hình thang cân.

Chọn A 27

PQ 2 KP 2 1 1 = mà N là trung điểm = , PQ / / MN ⇒ AB = 3a; PQ = AB = 2a. Ta có MN 3 KN 3 2 3 của CB ⇒ P là trọng tâm tam giác BCK ⇒ D là trung điểm của CK ⇒ CK = 12a. a 117 1 NP = CK 2 + CN 2 − 2CK .CN .cos 60° = . 3 3 MN =

a 457  MN − PQ  Chiều cao của hình thang MNPQ là h = NP 2 −  .  = 2 6   MN + PQ 5a 2 457 .h = . 2 12 Chọn B

Hình thang cân MNPQ có đường tròn nội tiếp ⇒ MN + PQ = MQ + NP (Tính chất tiếp tuyến) a ⇒ 3a − 2 x + x = 4 ( a − x ) ⇒ x = 3

STD =

Câu 52.

1 1 7a a 4a ⇒ MF = MN − PQ = a ; PQ = ; QM = 2 2 3 3 3 a 7 16 a 2 2 2 2 ⇒ QF = MQ − MF = −a = 9 3 MN =

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp hình thang MNPQ là R =

Câu 53.

Chọn C

a 7 1 QF = 2 6

( P ) // SA ⇒ MQ // SA ; ( P ) // AB ⇒ MN // AB ;

( P ) // AB ⇒ ( P ) // CD ⇒ PQ // CD ⇒ PQ // MN

Tứ giác MNPQ là hình thang. E

PN CN . = ( P ) // SA; ( P ) // AB ⇒ ( P ) // ( SAB ) ⇒ PN // SB ⇒ SB CB

K K D

Gọi K = ( P ) ∩ BD , L = ( P ) ∩ BC , E = ( P ) ∩ CD . Vì ( P ) / / AB nên IL / / AB , JK / / AB . Do đó thiết diện là hình thang IJKL và L là trung điểm

MQ // SA ⇒

MQ DM = . SA DA

MN // AB ⇒

DM CN PN QM = ⇒ = ⇒ PN = QM ⇒ MNPQ là hình thang cân. DA CB SB SA

MQ // SA ⇒

MQ DM a − x = = SA DA a

PQ // CD ⇒

PQ SQ AM x = = = ⇒ PQ = x CD SD AD a

KD JD 1 = = . KB JA 2 Xét tam giác ACD có I , J , E thẳng hàng. Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt ta có: ED IC JA ED 1 . . =1⇒ = ⇒ D là trung điểm EC . EC IA JD EC 2 Dễ thấy hai tam giác ECI và ECL bằng nhau theo trường hợp c-g-c. Áp dụng định lí cosin cho tam giác ICE ta có: a 13 13a 2 ⇒ EL = EI = . EI 2 = EC 2 + IC 2 − 2 EC .IC .cos 60° = 4 2 cạnh BC , nên ta có

⇒ MQ = 2 ( a − x )

ME DM a − x EN BN AM x = = ⇒ ME = 3 ( a − x ) ; = = = ⇒ EN = x AB DA a CD BC AB a ⇒ MN = ME + EN = 3a − 2 x .

Gọi E = MN ∩ BD ⇒

Áp dụng công thức Hê-rông cho tam giác ELI ta có: S ELI = Với p =

p ( p − x)

( p − y) =

51 2 a 16

a EI + EL + IL 2 13 + 1 13 = a , x = EI = EL = a , y = IL = . 2 2 4 2

Hai tam giác ELI và tam giác EKJ đồng dạng với nhau theo tỉ số k = 29

2 nên 3 30

5 51 2 2 Do đó: S IJKL = S ELI − S EKJ = S ELI −   S ELI = a . 144 3

TOÁN 11

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

B. Mọi đường thẳng đi qua điểm A ∈ ( P ) và song song với (Q ) đều nằm trong ( P ) .

1H2-4

C. Nếu đường thẳng ∆ cắt ( P ) thì ∆ cũng cắt (Q ) . D. Nếu đường thẳng a ⊂ ( Q ) thì a// ( P ) .

Cho hai mặt phẳng phân biệt ( P ) và ( Q ) ; đường thẳng a ⊂ ( P ) ; b ⊂ ( Q ) . Tìm khẳng định sai trong các mệnh đề sau. A. Nếu ( P ) / / ( Q ) thì a / / b .

DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN ............................................................................................................................... 5

B. Nếu ( P ) / / ( Q ) thì b / / ( P ) .

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 7

C. Nếu ( P ) / / ( Q ) thì a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.

Câu 4.

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.................................................................................................................................. 1

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.................................................................................................................................. 7 DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG .................................................................................................................. 9 DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN ............................................................................................................................. 15

D. Nếu ( P ) / / ( Q ) thì a / / ( Q ) Câu 5.

đó nằm trong ( P ) .

PHẦN A. CÂU HỎI

D. Cho hai đường thẳng a , b nằm trong mặt phẳng ( P ) và hai đường thẳng a′ , b′ nằm trong

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1.

Câu 2.

mặt phẳng ( Q ) . Khi đó, nếu a // a′ ; b // b′ thì ( P ) // ( Q ) .

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu hai mặt phẳng (α ) và ( β ) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α ) đều song song với mặt phẳng ( β ) . B. Nếu hai mặt phẳng (α ) và ( β ) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đều song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( β ) . C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt mặt phẳng (α ) và ( β ) thì (α ) và ( β ) song song với nhau. D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. A. Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng (α ) . Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng a chứa M

Câu 6.

Trong không gian, cho đường thẳng a và hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Nếu (P) và (Q) cùng cắt a thì (P) song song với (Q). B. Nếu (P) và (Q) cùng song song với a thì (P) song song với (Q). C. Nếu (P) song song với (Q ) và a nằm trong mp (P) thì a song song với (Q). D. Nếu (P) song song với (Q ) và a cắt (P) thì a song song với (Q).

Câu 7.

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau? A. Vô số. B. 3 . C. 2 . D. 1.

Câu 8.

(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho hình lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau A. mp ( AA ' B ' B ) song song với mp ( CC ' D ' D ) .

và song song với (α ) .

B. Diện tích hai mặt bên bất ki bằng nhau. C. AA ' song song với CC ' . D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau.

B. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Khi đó tồn tại duy nhất mặt phẳng (α ) chứa a và song song với b. C. Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng (α ) . Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng ( β ) chứa điểm M và song song với (α ) . D. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α ) song song với nhau. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng ( β ) chứa a và song song với (α ) . Câu 3.

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng khác thì chúng song song với nhau. B. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đồng quy. C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng ( P ) thì a song song với một đường thẳng nào

Câu 9.

(THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? - Nếu a ⊂ mp ( P ) và mp ( P ) // mp ( Q ) thì a // mp ( Q ) . ( I ) - Nếu a ⊂ mp ( P ) , b ⊂ mp ( Q ) và mp ( P ) // mp ( Q ) thì a // b . ( II ) - Nếu a // mp ( P ) , a // mp ( Q ) và mp ( P ) ∩ mp ( Q ) = c thì c // a . ( III )

Cho hai mặt phẳng ( P ) và (Q ) song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Đường thẳng d ⊂ ( P ) và d ′ ⊂ ( Q ) thì d //d ′ . 1

A. Chỉ ( I ) .

B. ( I ) và ( III ) .

C. ( I ) và ( II ) .

D. Cả ( I ) , ( II ) và ( III ) . 2

Câu 10.

Câu 11.

Câu 12.

(THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề sai là A. Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung. B. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. C. Hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia. D. Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho trước theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến song song với nhau. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Trong không gian cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Khẳng định nào sau đây sai? A. d ⊂ ( P ) và d ' ⊂ (Q ) thì d // d’. B. Mọi đường thẳng đi qua điểm A ∈ ( P ) và song song với (Q) đều nằm trong (Q). C. Nếu đường thẳng a nằm trong (Q) thì a // (P). D. Nếu đường thẳng ∆ cắt (P) thì ∆ cắt (Q). (Cụm Liên Trường - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho đường thẳng a ⊂ (α ) và đường thẳng b ⊂ ( β ) . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. (α ) / / ( β ) ⇒ a / / ( β ) và C. a và b chéo nhau.

b / / (α ) .

Câu 18.

C. ( MON ) // ( SBC ) . Câu 19.

và không nằm trong ( ABCD ) . Một mặt phẳng ( P ) cắt Ax , By , Cz , Dt tương ứng tại A′ , B′ , C′ , D′ sao cho AA′ = 3 , BB′ = 5 , CC ′ = 4 . Tính DD′ . B. 6 . C. 2 . D. 12 . A. 4 .

D. (α ) / / ( β ) ⇒ a / / b.

Câu 22.

C. ( BDA′ ) // ( D′B′C ) . D. ( BA′D′ ) // ( ADC ) . Câu 14. Cho hình hộp ABCD. A′B′C′D′ . Mặt phẳng ( AB′D′) song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây? A. ( BCA′) . B. ( BC ′D ) . C. ( A′C ′C ) . D. ( BDA′) . Câu 15. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Mặt phẳng ( AB′D′ ) song song với mặt phẳng nào sau đây? A. ( BA′C ′) . B. ( C ′BD ) . C. ( BDA′) . D. ( ACD′) . Câu 16. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có các cạnh bên AA′, BB′, CC ′, DD′ . Khẳng định nào sai? A. BB′DC là một tứ giác đều. B. ( BA′D′) và ( ADC ′) cắt nhau. C. A′B ′CD là hình bình hành. D. ( AA′B′B ) // ( DD′C ′C ) . (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho hình lăng trụ ABC . A ′B ′C ′ . Gọi I , J , K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACC ′ , AB ′C ′ . Mặt phẳng nào

sau đây song song với ( IJK ) ? B. ( AA′B ) .

(THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hình chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA, SD . Mặt phẳng ( OMN ) song song với mặt phẳng nào sau đây? B. ( SCD ) . C. ( ABCD ) . D. ( SAB ) . A. ( SBC ) .

Câu 21. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Cho hình bình hành ABCD . Qua A , B , C , D lần lượt vẽ các nửa đường thẳng Ax , By , Cz , Dt ở cùng phía so với mặt phẳng ( ABCD ) , song song với nhau

B. a / /b ⇒ (α ) / / ( β ) .

Câu 13. (Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018) Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Mệnh đề nào sau đây sai? A. ( ACD′) // ( A′C ′B ) . B. ( ABB′A′) // ( CDD′C ′) .

A. ( BC ′A ) .

D. ( PON ) ∩ ( MNP ) = NP .

Câu 20. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ . Gọi H là trung điểm của A′B′ . Mặt phẳng ( AHC′) song song với đường thẳng nào sau đây? A. BA′ . B. BB′ . C. BC . D. CB′ .

DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Câu 17.

(THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N , P theo thứ tự là trung điểm của SA , SD và AB . Khẳng định nào sau đây đúng? B. ( NOM ) cắt ( OPM ) . A. ( NMP ) // ( SBD ) .

C. ( BB′C ) .

D. ( CC ′A ) .

(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy AD và BC . Gọi M là trọng tâm tam giác SAD , N là điểm thuộc đoạn AC NC PC sao cho NA = , P là điểm thuộc đoạn CD sao cho PD = . Khi đó, mệnh đề nào sau đây 2 2 đúng? A. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( SBC ) và ( MNP ) là một đường thẳng song song với BC . B. MN cắt ( SBC ) . C. ( MNP ) // ( SAD ) . D. MN // ( SBC ) và ( MNP ) // ( SBC )

Câu 23.

(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần lượt là O và O′ , không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trung điểm AB , xét các khẳng định ( I ) : ( ADF ) // ( BCE ) ; ( II ) :( MOO′) // ( ADF ) ; ( III ) :( MOO′ ) // ( BCE ) ; ( IV ) : ( ACE ) // ( BDF ) . Những khẳng định nào đúng? A. ( I ) . B. ( I ),( II ) . C. ( I ), ( II ) , ( III ) . D. ( I ), ( II ) , ( III ) , ( IV ) .

Câu 24. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là điểm di động trên đoạn AB . Qua M vẽ mặt phẳng (α ) song song với ( SBC ) . Gọi N , P , Q lần lượt là giao của mặt phẳng (α ) với các đường thẳng CD , SD , SA . Tập hợp các giao điểm I của hai đường thẳng MQ và NP là A. Đoạn thẳng song song với AB . B. Tập hợp rỗng. C. Đường thẳng song song với AB . D. Nửa đường thẳng.

Câu 25.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang, AB // CD và AB = 2CD . Gọi O là giao điểm của SE SF 2 = = (tham khảo hình SA SC 3 vẽ dưới đây).

AC và BD . Lấy E thuộc cạnh SA , F thuộc cạnh SC sao cho

A. Hình tam giác.

B. Hình bình hành.

C. Hình thang.

D. Hình vuông.

Câu 30. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của đoạn AB , M là điểm di động trên đoạn AI . Qua M vẽ mặt phẳng (α ) song song với ( SIC ) . Tính chu vi của thiết diện tạo bởi

(α )

với tứ diện SABC , biết AM = x .

(

)

A. 2 x 1 + 3 .

(

)

B. 3 x 1 + 3 .

C. Không tính được.

(

)

D. x 1 + 3 .

Câu 31. Cho hình chóp cụt tam giác ABC. A′B′C ′ có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại A và A′ và có S AB 1 = . Khi đó tỉ số diện tích ∆ABC bằng S ∆A′B′C ′ A′B′ 2 1 1 A. 4 . B. . C. . D. 2 . 2 4

= 30° . Mặt phẳng Câu 32. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, BAC

( P)

song song với ( ABC ) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2 MA . Diện tích thiết diện của ( P )

và hình chóp S . ABC bằng bao nhiêu? 14 A. 1. B. . 9

25 . 9

16 . 9

Câu 33. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M , N lần lượt là trung điểm của

AB, CD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α ) đi qua MN và song song với mặt phẳng

Gọi (α ) là mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng ( BEF ) . Gọi P là giao điểm của SD với (α ) . SP . SD SP 3 A. = . SD 7

( SAD ) .Thiết diện là hình gì? A. Hình thang B. Hình bình hành

Tính tỉ số

SP 7 = . SD 3

SP 7 = . SD 6

SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng (α ) di động song song với mặt phẳng ( SBD ) và đi qua

điểm I trên đoạn AC và AI = x ( 0 < x < a ) . Thiết diện của hình chóp cắt bởi (α ) là hình gì? A. Hình bình hành B. Tam giác C. Tứ giác D. Hình thanG

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Mặt phẳng ( P ) chứa BD và song song với mặt phẳng

( AB′D′) cắt hình lập phương theo thiết diện là. A. Một tam giác đều. B. Một tam giác thường. C. Một hình chữ nhật. D. Một hình bình hành. Câu 27.

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D ′ cạnh a . Mặt phẳng (α ) qua AC và song song với BB′ .

Câu 35. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Gọi M là trung điểm của AB . Mặt phẳng ( MA′C ′) cắt hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ theo thiết diện là hình gì? A. Hình thang. B. Hình ngũ giác. C. Hình lục giác. D. Hình tam giác. Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2 , hai đáy AB = 6 , CD = 4 . Mặt phẳng ( P ) song song với ( ABCD ) và cắt cạnh SA tại M sao cho SA = 3 SM . Diện tích thiết diện của ( P ) và hình chóp S . ABCD bằng bao nhiêu?

Tính chu vi thiết diện của hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ khi cắt bởi mặt ph ẳng (α ) .

(

)

A. 2 1 + 2 a . Câu 28.

B. a .

D. Tam giác

Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O có AC = a, BD = b . Tam giác

SP 6 = . SD 7

DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN

Câu 26.

C. Tứ giác

C. a

(

)

D. 1 + 2 a

(SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện đều SABC . Gọi I là trung điểm của đoạn AB , M là điểm di động trên đoạn AI . Qua M vẽ mặt phẳng (α ) song song với

( SIC ) . Thiết diện tạo bởi (α ) với tứ diện SABC là. A. hình bình hành. B. tam giác cân tại M . C. tam giác đều.

D. hình thoi.

Câu 37.

5 3 . 9

2 3 . 3

C. 2 .

7 3 . 9

Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a . Xét tứ diện AB ' CD ' . Cắt tứ diện đó bằng mặt phẳng đi qua tâm của hình lập phương và song song với mặt phẳng ( ABC ) . Tính diện tích của thiết diện thu được.

Câu 29. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α ) song song với ( SBC ) . Thiết diện tạo bởi

(α )

và hình chóp S . ABCD là hình gì? 5

Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng (α ) . Khi đó có vô số đường thẳng chứa M và song song với

Câu 3.

Câu 4.

A. Câu 38.

a . 3

2a . 3

a . 2

Câu 5.

3a . 4

(α ) . Các đường thẳng này cùng nằm trong mặt phẳng đi qua M và song song với (α ) . Do đó đáp án A là sai. Chọn A Nếu ( P ) và ( Q ) song song với nhau và đường thẳng d ⊂ ( P ) , d ′ ⊂ ( Q ) thì d , d ′ có thể chéo nhau. Nên khẳng định A là sai. Chọn A Đáp án A sai vì khi cho hai mặt phẳng phân biệt ( P ) và ( Q ) ; đường thẳng a ⊂ ( P ) ; b ⊂ ( Q ) thì a và b có thể chéo nhau Chọn C

(THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A , SA = a 3 , SB = 2a . Điểm M nằm trên đoạn AD sao cho AM = 2MD . Gọi ( P ) là mặt phẳng qua M và song song với ( SAB ) . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( P ) .

A. Câu 39.

5a 2 3 . 18

5a 2 3 . 6

4a 2 3 . 9

4a 2 3 . 3

(Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCDA ' B ' C ' D ' có AB = a, BC = b, CC ' = c . Gọi O, O ' lần lượt là tâm của ABCD và A ' B ' C ' D ' . Gọi (α ) là mặt

Đáp án A sai vì hai mặt phẳng đó có thể trùng nhau. Đáp án B sai vì ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song hoặc trùng nhau (lý thuyết). Đáp án C đúng. Ta chọn mặt phẳng (α ) chứa a và cắt mặt phẳng ( P ) theo giao tuyến d thì

phẳng đi qua O ' và song song với hai đường thẳng A ' D và D ' O . Dựng thiết diện của hình hộp chữ nhật ABCDA ' B ' C ' D ' khi cắt bởi mặt phẳng (α ) . Tìm điều kiện của a, b, c sao cho thiết diện

d ⊂ ( P ) và a // d (Hình 1).

là hình thoi có một góc bằng 60 0 .

A. a = b = c . Câu 40.

1 B. a = b = c . 3

1 C. a = c = b . 3

Đáp án D sai vì ta có thể lấy hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) thỏa a , b nằm trong mặt phẳng ( P ) ; a′

1 D. b = c = a . 3

(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân ( AD || BC ), BC = 2a , AB = AD = DC = a , với a > 0 . Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Biết hai đường thẳng S D và AC vuông góc nhau,

Câu 6. Câu 7.

M là điểm thuộc đoạn OD ( M khác O và D ), MD = x , x > 0 . Mặt phẳng (α ) qua M và song song với hai đường thẳng SD và AC , cắt khối chóp S.ABCD theo một thiết diện. Tìm để diện tích thiết diện đó là lớn nhất?

a 3 A. x = . 4

x = a

a 3 . C. x = 2

x c

x = a.

Gọi hai đường thẳng chéo nhau là a và b , c là đường thẳng song song với a và cắt b . Gọi mặt phẳng (α ) ≡ ( b, c ) . Do a //c ⇒ a // (α )

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 1. Câu 2.

, b′ nằm trong mặt phẳng ( Q ) với a // b // a′ // b′ mà hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) cắt nhau (Hình 2). Chọn C. Chọn A

Giải sử mặt phẳng ( β ) // (α ) mà b ⊂ (α ) ⇒ b // ( β )

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Chọn A Lý thuyết. Chọn A

Câu 8.

Mặt khác a // (α ) ⇒ a // ( β ) . Có vô số mặt phẳng ( β ) // (α ) nên có vô số mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau. Chọn B

C' D'

Câu 9. Câu 10. Câu 11. Câu 12.

Câu hỏi lý thuyết. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau có thể trùng nhau. Đáp án A sai vì d và d’ có thể chéo nhau. Chọn A - Do (α ) / / ( β ) và a ⊂ (α ) nên a / / ( β ) .

Câu 15. Ta có B′D′//BD ; AD′//C ′B ⇒ ( AB′D′) // ( C ′BD ) . Câu 16. Chọn A

- Tương tự, do (α ) / / ( β ) và b ⊂ ( β ) nên b / / (α ) .

Câu 13.

DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Chọn D D'

Câu A, C đúng do tính chất của hình hộp. ( BA′D′) ≡ ( BA′D′C ) ; ( ADC′ ) ≡ ( ADC ′B′ )

( BA′D′) ∩ ( ADC ′) = ON . Câu B đúng.

Do B′∉ ( BDC ) nên BB′DC không phải là tứ giác.

Ta có ( BA′D′ ) ≡ ( BCA′D′) và ( ADC ) ≡ ( ABCD ) . Câu 17.

Mà ( BCA′D′) ∩ ( ABCD ) = BC , suy ra ( BA′D′ ) // ( ADC ) sai. Câu 14.

Chọn C

Lời giải

Chọn B

Do ADC′B′ là hình bình hành nên AB′//DC ′ , và ABC ′D′ là hình bình hành nên AD′//BC ′ nên ( ABD′) // ( BC′D ) .

B Do I , J , K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACC ′ nên 9

AI AJ 2 = = nên IJ //MN . AM AN 3 10

⇒ IJ // ( BCC ′B′ )

Tương tự IK // ( BCC ′B′)

⇒ ( IJK ) // ( BCC ′B′ ) Hay ( IJK ) // ( BB′C ) . Câu 18. Chọn C

B S

A' M

H B' A

Gọi M là trung điểm của AB suy ra MB′ AH ⇒ MB′ ( AHC ′ ) . (1) Vì MH là đường trung bình của hình bình hành ABB′A′ suy ra MH song song và bằng BB′ nên MH song song và bằng CC′ ⇒ MHC ′C là hình hình hành ⇒ MC HC ′ ⇒ MC ( AHC ′ ) . ( 2 )

Từ (1) và ( 2 ) , suy ra ( B′MC ) ( AHC ′) ⇒ B′C ( AHC ′ ) .

Xét hai mặt phẳng ( MON ) và ( SBC ) . Ta có: OM // SC và ON // SB . Mà BS ∩ SC = C và OM ∩ ON = O . Do đó ( MON ) // ( SBC ) . S

Câu 21. Do ( P ) cắt mặt phẳng ( Ax, By ) theo giao tuyến A′B′ ; cắt mặt phẳng ( Cz , Dt ) theo giao tuyến

D O

C ′D′ , mà hai mặt phẳng ( Ax, By ) và ( Cz, Dt ) song song nên A′B′//C ′D′ . Tương tự có A′D′//B′C ′ nên A′B′C ′D′ là hình bình hành. Gọi O , O′ lần lượt là tâm ABCD và A′B′C ′D′ . Dễ dàng có OO′ là đường trung bình của hai AA′ + CC ′ BB′ + DD′ = hình thang AA′C′C và BB′D′D nên OO′ = . 2 2 Từ đó ta có DD′ = 2 .

Câu 19. Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm AC , BD . Do đó: MO / / SC ⇒ MO / / ( SBC ) Và NO / / SB ⇒ NO / / ( SBC ) Suy ra: ( OMN ) / / ( SBC ) . Câu 20. Chọn D

Vì ( I ) : ( ADF ) // ( BCE ) đúng và ( II ) : ( MOO ′ ) // ( ADF ) đúng nên theo tính chất bắc cầu ta có

( III ) :( MOO′) // ( BCE ) đúng. Xét mặt phẳng ( ABCD ) có AC ∩ BD = O nên hai mặt phẳng ( ACE ) và ( BDF ) có điểm O Câu 24.

chung vì vậy không song song nên ( IV ) : ( ACE ) // ( BDF ) sai. Chọn A I

S Q

N B

Câu 22. NC   NA = 2 Ta có  ⇒ NP // AD // BC (1) .  PD = PC  2 M ∈ ( SAD ) ∩ ( MNP ) . Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAD ) và ( MNP ) là đường thẳng d qua M song song với BC và MN . Gọi R là giao điểm của d với SD . DR DP 1 Dễ thấy: = = ⇒ PR // SC ( 2 ) . DS DC 3 Từ (1) và ( 2 ) suy ra: ( MNP ) // ( SBC ) và MN // ( SBC ) .

Lần lượt lấy các điểm N , P , Q thuộc các cạnh CD , SD , SA thỏa MN BC , NP SC , PQ AD . Suy ra (α ) ≡ ( MNPQ ) và (α ) ( SBC ) .

 I , S ∈ ( SCD ) Vì I = MQ ∩ NP ⇒  ⇒ I nằm trên đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng  I , S ∈ ( SAB ) M ≡ B ⇒ I ≡ S với T là điểm thỏa mãn tứ giác ABST là hình bình ( SAB ) và ( SCD ) . Khi  M ≡ A ⇒ I ≡ T hành. Vậy quỹ tích cần tìm là đoạn thẳng song song với AB . Câu 25.

Chọn D

E O'

B O

Câu 23.

 AD //BC Xét hai mặt phẳng ( ADF ) và ( BCE ) có :  nên ( I ) : ( ADF ) // ( BCE ) là đúng.  AF //BE  AD //MO Xét hai mặt phẳng ( ADF ) và ( MOO′) có :  nên ( II ) : ( MOO ′ ) // ( ADF ) là đúng.  AF //MO′

SE SF 2 = = nên đường thẳng EF // AC . Mà EF ⊂ ( BEF ) , AC ⊄ ( BEF ) nên AC song SA SC 3 song với mặt phẳng ( BEF ) . Vì

Vì AC qua O và song song với mặt phẳng ( BEF ) nên AC ⊂ (α ) . Trong ( SAC ) , gọi I = SO ∩ EF , trong ( SBD ) , gọi N = BI ∩ SD . Suy ra N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng ( BEF ) .

Hai mặt phẳng song song ( BEF ) và (α ) bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba là ( SCD ) theo hai giao tuyến lần lượt là FN và Ct nên hai giao tuyến đó song song nhau, tức là Ct // FN . Trong ( SCD ) , Ct cắt SD tại P . Khi đó P là giao điểm của SD với (α ) . BO AB BO 2 = = 2⇒ = . OD CD BD 3 SE SI 2 IS Trong tam giác SAC , có EF // AC nên = = ⇒ =2. SA SO 3 IO NS BD IO NS BO IS 2 4 Xét tam giác SOD với cát tuyến NIB , ta có: . . . =1⇒ = = .2 = . ND BO IS ND BD IO 3 3 SN 4 Suy ra: = (1). SD 7 SN SF 2 Lại có: = = (Do CP // FN ) (2). SP SC 3 SP 6 Từ (1) và (2) suy ra = . SD 7 Trong hình thang ABCD , do AB // CD và AB = 2CD nên

Câu 26.

Ta dễ dàng dựng được thiết diện là tứ ACC ′A′ . Tứ giác ACC ′A′ là hình chữ nhật có chiều dài là AC = a 2 và chiều rộng AA′ = a . Khi đó chu vi thiết diện của hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ khi cắt bởi mặt phẳng (α ) là

(

)

P = 2. ( AC + AA′ ) = 2 1 + 2 a .

DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN Chọn A

Câu 28. Qua M vẽ MP //IC , P ∈ AC , MN //SI , N ∈ SA . MN MP Ta có = và SI = IC nên suy ra MN = MP thiết diện là tam giác cân tại M . SI IC Câu 29. Chọn C

Do BC′ song song với AD′ , DC′ song song với AB ' nên thiết diện cần tìm là tam giác đều BDC ′ Câu 27. Chọn A

Hình chóp cụt ABC. A′B′C ′ có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song nên tam giác ABC đồng 1 . AB. AC S ∆ABC AB AC 1 ′ ′ ′ dạng tam giác A B C suy ra . = 2 = = . S ∆A′B′C ′ 1 . A′B′. A′C ′ A′B′ A′C ′ 4 2

S Q

P M

Câu 32.

Chọn D S

O N

Lần lượt lấ y các điểm N , P , Q thuộc các cạnh CD , SD , SA thỏa MN BC , NP SC ,

PQ AD . Suy ra (α ) ≡ ( MNPQ ) và (α ) ( SBC ) . Theo cách dựng trên thì thiết diện là hình thang. Câu 30. Chọn A

B 1 = 1 .4.4.sin 30° = 4 . Diện tích tam giác ABC là S ∆ABC = . AB. AC .sin BAC 2 2 Gọi N , P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng ( P ) và các cạnh SB, SC .

SM SN SP 2 = = = . SA SB SC 3 Khi đó ( P ) cắt hình chóp S . ABC theo thiết diện là tam giác MNP đồng dạng với tam giác

Vì ( P ) // ( ABC ) nên theoo định lí Talet, ta có

ABC theo tỉ số k =

I B

Câu 33.

AM 2 x Để ý hai tam giác MNP và SIC đồng dạng với tỉ số = AI a  CMNP 2 x 2x 2x  a 3 a 3 ⇒ = ⇔ CMNP = ( SI + IC + SC ) =  + + a  = 2 x CSIC a a a  2 2  Câu 31. Chọn C

2 16 2 . Vậy S∆MNP = k 2 .S ∆ABC =   .4 = . 3 9 3

Chọn A S

(

)

3 +1 .

K H A M

 M ∈ ( SAB ) ∩ (α ) Ta có  ⇒ ( SAB ) ∩ (α ) = MK SA, K ∈ SB . ( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA  N ∈ ( SCD ) ∩ (α )  Tương tự (α ) ( SAD ) ⇒ ( SCD ) ∩ (α ) = NH SD, H ∈ SC .  ∩ = SCD SAD SD ( ) ( ) 

Dễ thấy HK = (α ) ∩ ( SBC ) . Thiết diện là tứ giác MNHK Ba mặt phẳng ( ABCD ) , ( SBC ) và (α ) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là MN , HK , BC ,

Câu 34.

mà MN BC ⇒ MN HK . Vậy thiết diện là một hình thang. Chọn B S

A O

H I C

Trong mặt phẳng ( ABB′A′) , AM cắt BB′ tại I

Trường hợp 1. Xét I thuộc đoạn OA  I ∈ (α ) ∩ ( ABD )  Ta có (α ) ( SBD )  ( ABD ) ∩ ( SBD ) = BD

⇒ (α ) ∩ ( ABD ) = MN BD, I ∈ MN .  N ∈ (α ) ∩ ( SAD )  Tương tự (α ) ( SBD ) ⇒ ( SAD ) ∩ (α ) = NP SD, P ∈ SN .  ∩ = SAD SBD SD ( ) ( )  Thiết diện là tam giác MNP . (α ) ( SBD )  Do ( SAB ) ∩ ( SBD ) = SB ⇒ MP SB . Hai tam giác MNP và BDS có các cặp cạnh tương ứng  ( SAB ) ∩ (α ) = MP song song nên chúng đồng dạng, mà BDS đều nên tam giác MNP đều. Trường hợp 2. Điểm I thuộc đoạn OC , tương tự trường hợp 1 ta được thiết diện là tam giác đều HKL như ( hv ) . Câu 35.

1 A′B′ nên B là trung điểm B′I và M là trung điểm của IA′ . 2 Gọi N là giao điểm của BC và C ′I . Do BN //B′C và B là trung điểm B′I nên N là trung điểm của C ′I . Suy ra: tam giác IA′C ′ có MN là đường trung bình. Ta có mặt phẳng ( MA′C ′ ) cắt hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ theo thiết diện là tứ giác A′MNC ′ có MN //A′C ′ Vậy thiết diện là hình thang A′MNC ′ . Cách khác: ( ABCD ) // ( A′B′C ′D′ )  Ta có: ( A′C ′M ) ∩ ( A′B′C ′D′ ) = A′C ′ ⇒ Mx //A′C ′ , M là trung điểm của AB nên Mx cắt BC  ′ ′ ( A C M ) ∩ ( ABCD ) = Mx tại trung điểm N .Thiết diện là tứ giác A′C ′NM . Câu 36. Chọn A

Do MB //A′B′; MB =

Chọn A

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D, C trên AB  AH = BK ; CD = HK ABCD là hình thang cân ⇒  ⇒ BK = 1 .  AH + HK + BK = AB 19

Tam giác BCK vuông tại K , có CK = BC 2 − BK 2 = 22 − 12 = 3 . AB + CD 4+6 Suy ra diện tích hình thang ABCD là S ABCD = CK . = 3. =5 3. 2 2 Gọi N , P, Q lần lượt là giao điểm của ( P ) và các cạnh SB, SC, SD . Vì ( P ) // ( ABCD ) nên theo định lí Talet, ta có

MN NP PQ QM 1 = = = = . AB BC CD AD 3

Khi đó ( P ) cắt hình chóp theo thiết diện MNPQ có diện tích S MNPQ = k 2 .S ABCD =

Câu 37.

5 3 . 9

Chọn C Câu 38. Ta có:

( P ) // ( SAB ) ( P ) ∩ ( ABCD ) = MN ⇒  và MN // PQ // AB (1) , ∈ ∈ M AD M P ( )  ( P ) ∩ ( SCD ) = PQ ( P ) // ( SAB ) ( P ) ∩ ( SAD ) = MQ  MQ // SA ⇒  và   NP // SB  M ∈ AD, M ∈ ( P ) ( P ) ∩ ( SBC ) = NP Mà tam giác SAB vuông tại A nên SA ⊥ AB ⇒ MN ⊥ MQ (2) Từ (1) và (2) suy ra ( P ) cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang vuông tại M và Q .

Cách xác định mặt phẳng thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua tâm của hình lập phương và song song với mặt phẳng ( ABC ) với tứ diện AB ' CD ' :

Mặt khác

Trong ( ACC ' A ' ) kẻ đường thẳng qua O và song song với AC , cắt AA ' tại trung điểm I Trong ( ABB ' A ' ) kẻ đường thẳng quan I song song với AB , cắt AB ' tại trung điểm J . Trong ( B ' AC ) kẻ đường thẳng qua J song song với AC , cắt B ' C tại trung điểm K . Trong ( B ' CD ') kẻ đường thẳng qua K song song với B ' D ' , cắt D ' C tại trung điểm L . Trong ( D ' AC ) kẻ đường thẳng qua L song song với AC , cắt AD ' tại trung điểm M . Mặt phẳng vừa tạo thành song song với ( ABC ) và tạo với tứ diện AB ' CD ' thiết diện là hình bình hành MJKL . Ta có

MQ // SA ⇒

DQ 1 MQ DM DQ 1 = = ⇒ MQ = SA và = . SA DA DS 3 DS 3

PQ // CD ⇒

2 PQ SQ = ⇒ PQ = AB , với AB = SB 2 − SA2 = a CD SD 3

Khi đó S MNPQ =

Câu 39.

1 1 SA  2 AB 5a 2 3  MQ. ( PQ + MN ) ⇔ S MNPQ = . . + AB  ⇔ S MNPQ = 2 3  3 2 18 

Chọn D

 JM / / B ' D ' ⇒ Tứ giác MJKL là hình chữ nhật.   ML / / A ' C ' 2 1 1 1 a2 . S MJKL = JM .ML = B ' D '. A ' C ' = . a 2 = 2 2 4 2

(

)

Trong mp ( SBD) kẻ đường thẳng qua M song song với S D , cắt cạnh SB tại H . Trong mp ( ABCD ) kẻ đường thẳng qua M song song với AC , cắt các cạnh DA và DC lần lượt tại E và F . Trong mp ( SDA) kẻ đường thẳng qua E song song với S D , cắt cạnh SA tại I .

Gọi E là tâm hình chữ nhật DCC′D′ , F là trung điểm OC . Trên ( ABCD) , gọi G = BF ∩ CD .

Trong mp ( SDC) kẻ đường thẳng qua F song song với S D , cắt cạnh SC tại G . Khi đó thiết diện của khối chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (α ) là ngũ giác EFGHI .

Trên ( CDD′C′) , gọi H = GE ∩ C′D′ .

Dễ thấy ABCD là nửa lục giác đều có tâm là trung điểm K của BC . Do đó ADCK và ABND là hình thoi nên AC ⊥ KD . Mặt khác AC ⊥ SD nên AC ⊥ ( SKD) ⇒ AC ⊥ SK .

Trên ( A′B′C′D′) , gọi G = BF ∩ CD .

 D′O // ( BKHG ) Khi đó,  nên thiết diện tạo thành là tứ giác BKHG .  A′D // ( BKHG ) Theo đề BKHG là hình thoi có một góc 6 0 0 nên ta có:

Lại có SK ⊥ BC (vì △SBC đều), suy ra SK ⊥ ( ABCD) ⇒ SK ⊥ KD . Ta có IG là giao tuyến của (α ) với ( SAC ) , mà AC || (α ) , suy ra IG || AC . Mặt khác H M || SD và SD ⊥ AC , suy ra HM ⊥ IG và HM ⊥ EF và IGFE là hình chữ nhật.

 HK = HG  A′B′C′D′ = CDD′C′ ⇒ b = c ⇔ .  0 = 1200  BKH = 120 BKH a2 2 a Dễ thấy: C G = ⇒ BG 2 = BC 2 + CG 2 = b + . 9 3 2 2 2 Trong ∆BKO′ có: BO ′ = KB + KO ′ − 2 KB.KO ′.cos120 0 2 1 1  1 = BG2 + BG2 − 2BG. BG. −  = 7 BG 2 = 7  b 2 + a  . 4 2 4 9   2 4 Trong ∆BOO′ có: BO ′ 2 = BO 2 + OO ′2 ⇔ 7 a2 b=c ← →  b2 + 4 9

Diện tích thiết diện EFGHI bằng s = S EFGI + S HGI = IG . NM + 1 IG .HN . 2

Ta có AK = K D = AD = a nên △ AKD đều.

2 a 3 a 3 = . 3 2 3

Mà BD ⊥ AK , AC ⊥ KD nên O là trọng tâm tam giác ADK . Suy ra OD = . AC = BD = a 3

DM EF DM x . AC = .a 3 = 3x . = ⇒ EF = DO AC DO a 3 3 a 3 −x GF CF OM OM .SD = 3 .2a = 2a − 2 3 x . = = ⇒ GF = SD CD OD OD a 3 3 6a − 2 x 3 HM BM BM a 3−x . = ⇒ HM = .SD = .2a = 3 SD BD BD a 3

7  2 a2  1 2 2 2 b +  = (a + b ) + c 4 9  4

Ta có

 1 2 a 2 2 a > 0, b > 0  = ( a + b ) + b ←  → b = . 3  4

Vậ y b = c = a .

Câu 40.

( △ BAC vuông tại A , do KA = KB = KC ).

SD = SK 2 + KD2 = 2a .

Chọn A

Suy ra HN = HM − NM = HN − GF = 23

6a − 2x 3 4x 3 − 2a − 2 3x = . 3 3

(

)

 a 3  3a 2 3 1 4x 3 .3x + 2a − 2 3x .3x = −4 3x2 + 6ax = − 3  2 x − . Vậ y s = .  + 2 3 2  4 

(

Suy ra s ≤

)

3a 2 3 a 3 a 3 ⇔x= . Dấu “=” xả y ra khi và chỉ khi 2x − . 4 2 4

TOÁN 11

B. Hình chiếu song song của hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ theo phương AA′ lên mặt phẳng ( ABCD ) là hình vuông. C. Hình chiếu song song của hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ theo phương AA′ lên mặt phẳng ( ABCD ) là hình thoi. D. Hình chiếu song song của hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ theo phương AA′ lên mặt phẳng ( ABCD ) là một tam giác.

PHÉP CHIẾU SONG SONG

1H2-5 PHẦN A. CÂU HỎI Câu 1: Câu 2:

Câu 3:

Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn? A. Chéo nhau. B. Đồng qui. C. Song song.

D. Thẳng hàng.

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thảnh đoạn thẳng. B. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song. C. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của ba điểm đó. D. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.

Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ , gọi I , I ′ lần lượt là trung điểm của AB , A′B′ . Qua phép chiếu song song đường thẳng AI ′ , mặt phẳng chiếu ( A′B′C ′) biến I thành ? A. A′ . B. B′ . C. C′ . D. I ′ .

Câu 5:

Cho tam giác ABC ở trong mặt phẳng (α ) và phương l . Biết hình chiếu (theo phương l ) của

A. Điểm A . B. Trùng với phương chiếu. C. Đường thẳng đi qua A . D. Đường thẳng đi qua A hoặc chính A . Câu 13: Giả sử tam giác ABC là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là: A. Giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác ABC . B. Giao điểm của hai đường trung trực của tam giác ABC . C. Giao điểm của hai đường đường cao của tam giác ABC . D. Giao điểm của hai đường phân giác của tam giác ABC . Câu 14: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC . Hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng ( SAD ) là điểm nào sau đây?

tam giác ABC lên mặt phẳng ( P ) là một đoạn thẳng. Khẳng định nào sau đây đúng? A. (α ) // ( P ) .

B. (α ) ≡ ( P ) .

A. S . C. A .

C. (α ) // l hoặc (α ) ⊃ l . D. A, B, C đều sai. Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:

Câu 9:

D. Hình thoi.

Câu 11: Trong các mện đề sau mệnh đề nào sai: A. Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu của nó. B. Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân. C. Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó. D. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau. Câu 12: Nếu đường thẳng a cắt mặt phẳng chiếu ( P ) tại điểm A thì hình chiếu của a sẽ là:

Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ , qua phép chiếu song song đường thẳng CC′ , mặt phẳng chiếu ( A′B′C ′) biến M thành M ′ . Trong đó M là trung điểm của BC . Chọn mệnh đề đúng? A. M ′ là trung điểm của A′B′ . B. M ′ là trung điểm của B′C′ . C. M ′ là trung điểm của A′C ′ . D. Cả ba đáp án trên đều sai.

Câu 4:

Câu 10: Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau? A. Hình vuông. B. Hình bình hành. C. Hình thang.

B. Trung điểm của SD . D. D .

Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình tam giác. B. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một đoạn thẳng. C. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình chóp cụt. D. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một điểm.

Câu 15: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm A theo phương AB lên mặt phẳng ( SBC ) là điểm nào sau đây?

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau. B. Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó. C. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau. D. Một tam giác bất kỳ đều có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.

Câu 16:

A. S . C. B .

Cho lăng trụ ABC . A′B ′C ′ . Gọi M là trung điểm của AC . Khi đó hình chiếu song song của điểm M lên ( AA′B′ ) theo phương chiếu CB là A. Trung điểm BC .

Câu 17:

Qua phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành. A. Ba đường thẳng đôi một song song với nhau. B. Một đường thẳng. C. Thành hai đường thẳng song song. D. Cả ba trường hợp trên.

B. Trung điểm của BC . D. C .

B. Trung điểm AB .

C. Điểm A .

D. Điểm B .

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ . Gọi O = AC ∩ BD và O′ = A′C′ ∩ B′D′ . Điểm M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Qua phép chiếu song song theo phương AO′ lên mặt phẳng ( ABCD ) thì hình chiếu của tam giác C′MN là A. Đoạn thẳng MN .

B. Điểm O .

C. Tam giác CMN .

D. Đoạn thẳng BD .

Câu 18: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Xác định các điểm M , N tương ứng trên các đoạn AC ', B ' D ' MA sao cho MN song song với BA ' và tính tỉ số . MC ' A. 2 B. 3 C. 4 D. 1

Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hình chiếu song song của hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ theo phương AA′ lên mặt phẳng ( ABCD ) là hình bình hành.

Câu 19: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và CC ' . 1

a) Xác định đường thẳng ∆ đi qua M đồng thời cắt AN và A ' B . b) Gọi I , J lần lượt là giao điểm của ∆ với AN và A ' B . Hãy tính tỉ số A. 2

B. 3

C. 4

Câu 7:

IM . IJ D. 1

 Phương án A: Đúng vì khi đó hình chiếu của chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.  Phương án B: Đúng vì mặt phẳng chiếu chứa đường thẳng đã cho.

Câu 20: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ , gọi M , N , P lần lượt là tâm của các mặt bên ( ABB′A′) ,

( BCC ′B′) và ( ACC ′A′) . Qua phép chiếu song song đường thẳng ( AB′C ) khi đó hình chiếu của điểm P ?

Câu 1: Câu 2:

Câu 3: Câu 4:

Câu 8:

A. Trung điểm của AN . B. Trung điểm của AM . C. Trung điểm của B′N . D. Trung điểm của B′M . PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Chọn A. Do hai đường thẳng qua phép chiếu song song ảnh của chúng sẽ cùng thuộc một mặt phẳng. Suy ra tính chất chéo nhau không được bảo toàn. Chọn B. Tính chất của phép chiếu song song. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Suy ra B sai : Chúng có thể trùng nhau. Chọn B. Ta có phép chiếu song song đường thẳng CC′ , biến C thành C′ , biến B thành B′ . Do M là trung điểm của BC suy ra M ′ là trung điểm của B′C′ . Chọn B. A

Câu 9:

 Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là điểm A .  Nếu phương chiếu không song song hoặc không trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là đường thẳng đi qua điểm A . Câu 13: Chọn B. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của ba đường trung trực. Câu 14: Chọn B. Giả sử N là ảnh của M theo phép chiếu song song đường thẳng AB lên mặt phẳng ( SAD ) .

I C

thành điểm B′ .

Câu 15: A′

Chọn C.

I′

 Phương án D: Đúng - tính chất phép chiếu song song. Chọn D. Tính chất phép chiếu song song. Chọn B. Qua phép chiếu song song đường thẳng AA′ lên mặt phẳng ( ABCD ) sẽ biến A′ thành A , biến

B′ thành B , biến C′ thành C , biến D′ thành D . Nên hình chiếu song song của hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ là hình vuông. Câu 10: Chọn C. Tính chất của phép chiếu song song. Câu 11: Chọn A. Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình chiếu của nó. Câu 12: Chọn D.

AI //B′I ′   ⇒ AIB′I ′ là hình bình hành. AI = B′I ′  Suy ra qua phép chiếu song song đường thẳng AI′ , mặt phẳng chiếu ( A ' B ' C ') biến điểm I

Câu 5:

 Phương án C: Sai vì hình chiếu của chúng chỉ có thể song song hoặc cắt nhau.

BC′ và mặt phẳng chiếu

Ta có

 Chọn A - hình chiếu là một đa giác. Chọn C.

Suy ra MN //AB ⇒ MN //CD . Do M là trung điểm của SC ⇒ N là trung điểm của SD . Chọn C. Do AB ∩ ( SBC ) = { A} suy ra hình chiếu song song của điểm A theo phương AB lên mặt phẳng

( SBC )

B′

Câu 16:

C′

là điểm B .

Chọn B

 Phương án A: Hình chiếu của tam giác ABC vẫn là một tam giác trên mặt phẳng ( P ) .  Phương án B: Hình chiếu của tam giác ABC vẫn là tam giác ABC .  Phương án C: Khi phương chiếu l song song hoặc được chứa trong mặt phẳng (α ) . Thì hình chiếu của tam giác là đoạn thẳng trên mặt phẳng ( P ) . Nếu giao tuyến của hai mặt Câu 6:

phẳng (α ) và ( P ) là một trong ba cạnh của tam giác ABC . Chọn A. Qua phép chiếu song song chỉ có thể biến hình chóp cụt thành một đa giác.  Loại B - chỉ là một đoạn thẳng. Gọi N là trung điểm của AB . Ta có: MN // CB . Vậy hình chiếu song song của điểm M lên ( AA′B′ ) theo phương chiếu CB là điểm N . Câu 17: Chọn A

 Loại C - phép chiếu song song không thể là một khối đa diện.  Loại D - chỉ là một điểm. 3

a) Giả sử đã dựng được đường thẳng ∆ cắt cả AN và BA ' . Gọi I , J lần lượt là giao điểm của ∆ với AN và BA ' . Xét phép chiếu song song lên ( ABCD ) theo

phương chiếu A ' B . Khi đó ba điểm J , I , M lần lượt có hình chiếu là B, I ', M . Do J , I , M thẳng hàng nên B, I ', M cũng thẳng hàng. Gọi N ' là hình chiếu của N thì An ' là hình chiếu của AN . Vì I ∈ AN ⇒ I ' ∈ AN ' ⇒ I ' = BM ∩ AN ' . Từ phân tích trên suy ra cách dựng:

Ta có: O′C′ = AO và O′C ′ || AO nên tứ giác O′C′OA là hình bình hành ⇒ O ′A || C ′O . Do đó hình chiếu của điểm O′ qua phép chiếu song song theo phương O′A lên mặt phẳng ( ABCD ) là điểm O. chiếu song song theo phương O′A lên mặt phẳng ( ABCD ) lần lượt là điểm M và N.

N J

∆

B C

I' A

Mặt khác điểm M và N thuộc mặt phẳng ( ABCD ) nên hình chiếu của M và N qua phép

M D

- Lấy I ' = AN '∩ BM . - Trong ( ANN ') dựng II ' NN ' ( đã có NN ' CD ' ) cắt AN tại I . - Vẽ đường thẳng MI , đó chính là đường thẳng cần dựng. a) Ta có MC = CN ' suy ra MN ' = CD = AB . Do đó I ' là trung điểm của BM . Mặt khác IM II ' JB nên II ' là đường trung bình của tam giác MBJ , suy ra IM = IJ ⇒ = 1. IJ Câu 20: Chọn A.

Vậy qua phép chiếu song song theo phương AO′ lên mặt phẳng ( ABCD ) thì hình chiếu của tam giác C′MN là đoạn thẳng MN . Câu 18: Lời giải Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng ( A ' B ' C ' D ') theo phương chiếu BA ' . Ta có

N là ảnh của M hay M chính là giao điểm của B ' D ' và ảnh AC ' qua phép chiếu này. Do đó ta xác định M , N như sau: K Trên A ' B ' kéo dài lấy điểm K sao cho A ' K = B ' A ' thì ABA ' K là hình bình hành nên AK / / BA ' suy ra K là ảnh của A trên AC ' qua phép chiếu song song. Gọi N = B ' D '∩ KC ' . Đường thẳng qua N và A' song song với AK cắt AC ' tại M . Ta có M , N là các điểm cần xác định. Theo định lí Thales, ta có MA NK KB ' = = = 2. MC ' NC ' C ' D '

A D

B' C'

Câu 19: Lời giải

TOÁN 11

VECTO TRONG KHÔNG GIAN

Câu 5.

1H3-1

Contents A. CÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 1 DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.................................................................................................................................. 1

DẠNG 2. ĐẲNG THỨC VÉC TƠ

DẠNG 2. ĐẲNG THỨC VÉC TƠ .................................................................................................................................. 2 DẠNG 3. PHÂN TÍCH VÉC TƠ THEO CÁC VÉC TƠ CHO TRƯỚC ......................................................................... 6 DẠNG 4. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VÉC TƠ .............................................................................................. 8

Câu 6.

B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .......................................................................................................................................... 10 DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT................................................................................................................................ 10

Câu 7.

DẠNG 2. ĐẲNG THỨC VÉC TƠ ................................................................................................................................ 10 DẠNG 3. PHÂN TÍCH VÉC TƠ THEO CÁC VÉC TƠ CHO TRƯỚC ....................................................................... 20 DẠNG 4. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VÉC TƠ ............................................................................................ 24

Câu 8.

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 9.

Câu 1.

(THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD . Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD ? A. 12 . B. 4 . C. 10 . D. 8 .

Câu 2.

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng nếu có hai trong ba vectơ đó cùng phương. B. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng nếu có một trong ba vectơ đó bằng vectơ 0 . C. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng có giá thuộc một mặt phẳng. D. Cho hai vectơ không cùng phương a và b và một vectơ c trong không gian. Khi đó a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho c = ma + nb .

Câu 4.

Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB′ và CD′ . Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. AI = CJ . B. D′A′ = IJ . C. BI = D′J . D. A′I = JC . Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mệnh đề nào sau đây sai? A. AB + AD + AA ' = AC ' . B. AC = AB + AD . C. AB = CD . D. AB = CD .

(THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 A. GA + GB + GC + GD = 0 . B. OG = OA + OB + OC + OD . 4 2 1 C. AG = AB + AC + AD . D. AG = AB + AC + AD . 3 4

(

A. CÂU HỎI

Câu 3.

Cho ba vectơ a, b, c . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu a, b, c không đồng phẳng thì từ ma + nb + pc = 0 ta suy ra m = n = p = 0 . B. Nếu có ma + nb + pc = 0 , trong đó m 2 + n 2 + p 2 > 0 thì a, b, c đồng phẳng. C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p ≠ 0 ta có ma + nb + pc = 0 thì a, b, c đồng phẳng. D. Nếu giá của a, b, c đồng qui thì a, b, c đồng phẳng.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng. B. Nếu trong ba vectơ a , b , c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng. C. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng. D. Nếu trong ba vectơ a , b , c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng. A. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng thì có c = ma + nb với m, n là các số duy nhất. B. Ba véctơ không đồng phẳng khi có d = ma + nb + pc với d là véctơ bất kì. C. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng. D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng.

)

Cho tứ diện ABCD , gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; Đẳng thức nào sai? 1 1 A. IJ = AC + BD . B. IJ = AD + BC . 2 2 1 1 C. IJ = DC + AD + BD . D. IJ = AB + CD . 2 2

( (

Câu 10.

( (

)

(

)

(

)

Cho tứ diện ABCD . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. BC + AB = DA − DC . B. AC − AD = BD − BC . C. AB − AC = DB − DC . D. AB − AD = CD + BC .

Câu 11. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Chọn đẳng thức vectơ đúng: A. AC ' = AB + AB ' + AD . B. DB ' = DA + DD ' + DC . C. AC ' = AC + AB + AD . D. DB = DA + DD ' + DC . Câu 12. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Biểu thức nào sau đây đúng: A. A ' D = A ' B ' + A ' C . B. AB ' = AB + AA ' + AD . C. AC ' = AB + AA ' + AD . D. AD ' = AB + AD + AC ' . Câu 13. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Khẳng định nào sau đây sai? A. AB + CD = CB + AD . B. 2MN = AB + DC . C. AD + 2 MN = AB + AC . D. 2MN = AB + AC + AD . Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây đúng? A. SA + SD = SB + SC . B. SA + SB + SC + SD = 0 . C. SA + SC = SB + SD . D. SA + SB = SC + SD .

Câu 15. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB ? A. A′B′ . B. A′C . C. A′C ′ . D. A′B . Câu 16. Cho hình chóp S . ABC , gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Ta có A. SA + SB + SC = SG . B. SA + SB + SC = 2SG . C. SA + SB + SC = 3SG . D. SA + SB + SC = 4SG . Câu 17. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD , G là trung điểm của IJ . Cho các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A. GA + GB + GC + GD = 0 . B. GA + GB + GC + GD = 2IJ . C. GA + GB + GC + GD = JI . D. GA + GB + GC + GD = −2 JI . Câu 18. Cho hình lăng trụ tam giác ABCA′B′C ′ . Đặt AA′ = a, AB = b, AC = c, BC = d . Trong các biểu thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng. A. a + b + c = d . B. a = b + c . C. a + b + c + d = 0 . D. b − c + d = 0 . Câu 19. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C , D tạo thành hình bình hành là: A. OA + OB + OC + OD = 0 . B. OA + OC = OB + OD . 1 1 1 1 C. OA + OB = OC + OD . D. OA + OC = OB + OD . 2 2 2 2 Câu 20. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' . Khi đó, vectơ bằng vectơ AB là vectơ nào dưới đây? A. D ' C ' . B. BA . C. CD . D. B ' A ' . Câu 21. Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng? 1 1 B. AO = AB + AD + AA1 . A. AO = AB + AD + AA1 . 3 2 1 2 C. AO = AB + AD + AA1 . D. AO = AB + AD + AA1 . 4 3

( (

) )

( (

) )

Câu 22. Cho hình hộp ABCD.EFGH . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. AD + DH = GC + GF . B. AD − AB − AE = AG . C. AD − DH = GC − GF . D. AD + AB + AE = AH . Câu 23. Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: DA + DB + DC = k DG 1 1 B. k = 3. C. k = . D. k = . A. k = 2. 2 3 Câu 24. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 với tâm O . Chọn đẳng thức sai. B. AC1 = AB + AD + AA1 . A. AB + AA1 = AD + DD1 . C. AB + BC1 + CD + D1 A = 0 . D. AB + BC + CC1 = AD1 + D1O + OC1 . Câu 25. Cho hình chóp S . ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu SA + SB + 2SC + 2SD = 6 SO thì ABCD là hình thang. B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA + SB + SC + SD = 4 SO . 3

C. Nếu ABCD là hình thang thì SA + SB + 2SC + 2SD = 6 SO . D. Nếu SA + SB + SC + SD = 4 SO thì ABCD là hình bình hành. Câu 26. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA = a ; SB = b ; SC = c ; SD = d . Khẳng định nào sau đây đúng? A. a + b + c + d = 0 . B. a + b = c + d . C. a + d = b + c . D. a + c = d + b . Câu 27. Cho tứ diện ABCD . Gọi P, Q là trung điểm của AB và CD . Chọn khẳng định đúng? 1 1 A. PQ = BC + AD . B. PQ = BC − AD . 2 2 1 C. PQ = BC + AD . D. PQ = BC + AD . 4

(

)

( (

) )

Câu 28. Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN = k AC + BD

(

A. k = 2.

1 B. k = . 2

)

1 C. k = . 3

D. k = 3.

Câu 29. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. CA1 + AC = CC1 . B. AC1 + CA1 + 2C1C = 0 . C. AC1 + A1C = AA1 . D. AC1 + A1C = 2 AC . Câu 30. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA = a, SB = b , SC = c, SD = d . Khẳng định nào sau đây đúng? A. a + c + d + b = 0 . B. a + c = d + b . C. a + b = c + d . D. a + d = b + c . Câu 31. Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC . Đẳng thức đúng là. A. SI = SA + SB + SC . B. SI = 3 SA − SB + SC . 1 1 1 C. SI = SA + SB + SC . D. 6SI = SA + SB + SC . 3 3 3

(

)

Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A. AB + AC = AD . B. SB + SD = SA + SC . C. SA + SD = SB + SC . D. AB + BC + CD + DA = 0 . Câu 33. Cho hình lập phương ABCDEFGH , thực hiện phép toán: x = CB + CD + CG A. x = CE . B. x = CH . C. x = EC . D. x = GE . Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi G là điểm thỏa mãn: GS + GA + GB + GC + GD = 0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? B. GS = 4OG . A. G , S không thẳng hàng. C. GS = 5OG . D. GS = 3OG . Câu 35. Cho hình hộp ABCD. A′B′C′D′ . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: BD − D′D − B′D′ = k BB′ A. k = 4 . B. k = 1 . C. k = 0 . D. k = 2 . Câu 36. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn đẳng thức sai? 4

A. BC + BA = B1C1 + B1 A1 . C. BC + BA + BB1 = BD1 .

1 C. AM = AB + AD + AA1 2

B. AD + D1C1 + D1 A1 = DC . D. BA + DD1 + BD1 = BC .

Câu 37. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: PI = k PA + PB + PC + PD .

(

1 A. k = . 4

)

1 . 2 Câu 38. Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng. Xét các vectơ x = 2a − b , y = −4 a + 2b , z = −3b − 2c . Chọn khẳng định đúng? A. Hai vectơ x , y cùng phương. B. Hai vectơ x , z cùng phương. C. Ba vectơ x , y , z đồng phẳng. D. Hai vectơ y , z cùng phương.

B. k = 2 .

C. k = 4 .

D. k =

Câu 46. Cho ABCD. A1 B1C1 D1 là hình hộp, trong các khẳng định sau khẳng định sai: A. AC1 + AC = 2 AC B. AC1 + CA1 + 2CC1 = 0 1 C. AC1 + A1C = AA1 D. CA1 + AC = CC1 Câu 47. Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa GA + GB + GC = 0 ( G là trọng tâm của tứ diện). Gọi O là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. GA = −2OG B. GA = 4OG C. GA = 3OG D. GA = 2OG DẠNG 3. PHÂN TÍCH VÉC TƠ THEO CÁC VÉC TƠ CHO TRƯỚC

Câu 48.

Câu 39. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi M là trung điểm AD . Chọn đẳng thức đúng. 1 1 1 A. C1M = C1C + C1 D1 + C1 B1 . B. C1M = C1C + C1 D1 + C1 B1 . 2 2 2 C. BB1 + B1 A1 + B1C1 = 2 B1 D . D. B1M = B1 B + B1 A1 + B1C1 .

Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 ( Tham khảo hình vẽ bên ). A1 D 1

Câu 40. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD và G là trung điểm của MN . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. GM + GN = 0 . B. MA + MB + MC + MD = 4MG . C. GA + GB + GC = GD .D. GA + GB + GC + GD = 0 . Câu 41. Cho hình hộp ABCD. A′B′C′D′ . Khẳng định nào sau đây là sai? B. AC − BA ' + DB + C ' D = 0 . A. BD − D ' D − B ' D ' = BB ' . C. AC + BA ' + DB + C ' D = 0 . D. AB + B ' C ' + DD ' = AC ' . Câu 42. Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA + GB + GC + GD = 0 ( G là trọng tâm của tứ diện). Gọi G0 là giao điểm của GA và mp ( BCD ) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? B. GA = 4G0G . C. GA = 3G0G . D. GA = 2G0G . A. GA = −2G0G . Câu 43. Cho tứ diện đều ABCD , M và N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB và CD . Mệnh đề nào sau đây sai?. 1 B. MN = A. AC + BD = AD + BC . AD + BC . 2 C. AC + BD + AD + BC = −4 NM . D. MC + MD − 4 MN = 0 .

(

1 1 D. AM = AB + AD + AA1 2 2

)

Câu 44. Cho ABCD. A1 B1C1 D1 là hình hộp, với K là trung điểm CC1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1 A. AK = AB + AD + AA1 B. AK = AB + BC + AA1 2 1 1 C. AK = AB + AD + AA1 D. AK = AB + AD + AA1 2 2 Câu 45. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 với M = CD1 ∩ C1 D . Khi đó: 1 1 1 1 1 A. AM = AB + AD + AA1 B. AM = AB + AD + AA1 2 2 2 2 2

C Mệnh đề nào sau đây đúng? A. AC1 = AA1 + AD . B. AC1 = AA1 + AB . C. AC1 = AB + AD . D. AC1 = AA1 + AD + AB . Câu 49. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C′. Đặt AB = a , AA′ = b , AC = c . Khẳng định nào sau đây đúng? A. B′C = a + b − c . B. B′C = −a + b − c . D. B′C = − a + b + c C. B′C = − a − b + c . Câu 50. Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C '. Đặt AA′ = a , AB = b , AC = c Gọi I là điểm thuộc đường thẳng CC ' sao cho C ' I = 3C ' C , G điểm thỏa mãn GB + GA ' + GB ' + GC ' = 0. Biểu diễn vectơ IG qua các vectơ a , b, c. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng? 1  1 1  A. IG =  a + 2b − 3c  . B. IG = (a + b + 2c ) . 43 3  1 1  1  C. IG = ( a + c − 2b ) . D. IG =  b + c − 2a  4 3 4 

Câu 51.

(Thi thử THPT lần 2-Yên Dũng 2-Bắc Giang) Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ với G là trọng tâm của tam giác A′B′C′ . Đặt AA′ = a, AB = b, AC = c . Khi đó AG bằng 1 1 1 1 A. a + b + c . B. a + b + c . C. a + b + c . D. a + b + c 6 3 2 4

(

)

(

)

(

)

(

)

Câu 52.

Cho tam giác x = 1, x = −3. có AB = 2; AC = 5, gọi AD là phân giác trong của góc A (D thuộc cạnh BC). Mệnh đề nào sau đây đúng? 5 2 5 2 A. AD = AB + AC . B. AD = AB − AC . 7 7 7 7 −5 2 5 2 C. AD = AB + AC . D. AD = − AB − AC . 7 7 7 7

Câu 53. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ , gọi M là trung điểm cạnh bên BB′ . Đặt CA = a , CB = b , CC ′ = c . Khẳng định nào sau đây là đúng? 1 1 1 1 A. AM = −a + b + c . B. AM = a − b + c . C. AM = − a + b + c . D. AM = a + b − c . 2 2 2 2 Câu 54.

Câu 55.

Câu 56.

Câu 57.

Câu 58.

Câu 59.

(THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của BC và AD . Đặt AB = b , AC = c , AD = d . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 1 1 A. MP = ( d + b − c ) . B. MP = ( d − b − c ) .C. MP = ( c + d + b ) . D. MP = ( c + b − d ) . 2 2 2 2 Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Đặt x = AB, y = AC , z = AD . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 2 A. AG = ( x + y + z ) . B. AG = − ( x + y + z ) . 3 3 1 1 C. AG = ( x + y + z ) . D. AG = − ( x + y + z ) . 3 3 ′ ′ ′ ′ Cho hình hộp ABCD. A B C D có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt AC ′ = u , CA ' = v , BD′ = x , DB ′ = y . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 B. 2OI = ( u + v + x + y ) . A. 2OI = − ( u + v + x + y ) . 2 4 1 1 C. 2OI = − ( u + v + x + y ) . D. 2OI = ( u + v + x + y ) . 4 2 Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có AA′ = a, AB = b, AC = c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ BC ′ qua các vectơ a, b, c . A. BC ′ = a + b − c B. BC ′ = − a + b − c C. BC ′ = −a − b + c D. BC ′ = a − b + c . Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB = b , AC = c , AD = d . Khẳng định nào sau đây đúng. 1 1 A. MP = (c + b − d ) . B. MP = (c + d − b) . 2 2 1 1 C. MP = (c + d + b) . D. MP = ( d + b − c) . 2 2 Cho tứ diện ABCD . Đặt AB = a, AC = b, AD = c, gọi M là trung điểm của BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 1 1 A. DM = a + 2b − c . B. DM = −2 a + b + c . 2 2

(

)

(

)

1 1 C. DM = a − 2b + c . D. DM = a + b − 2c . 2 2

(

)

Câu 60. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho 3 AP = 2 AD , 3BQ = 2 BC . Các vectơ MP, MQ, MN đồng phẳng khi chúng thỏa mãn đẳng thức vectơ nào sau đây: 3 3 1 1 A. MN = MP + MQ . B. MQ = MN + MQ . 4 4 2 2 2 2 3 3 C. MN = MP + MQ . D. MN = MP + MQ . 3 3 2 2 Câu 61. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB và G là trộng tâm cảu tam giác BCD . Đặt AB = b, AC = c, AD = d . Phân tích véc tơ MG theo d , b, c . 1 1 1 1 1 1 A. MG = − b + c + d . B. MG = b + c + d . 6 3 3 6 3 3 1 1 1 1 1 1 C. MG = − b − c + d . D. MG = − b − c − d . 6 3 3 6 3 3

DẠNG 4. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VÉC TƠ Câu 62.

Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 ( Tham khảo hình vẽ bên ). A1 D 1

A B

Mệnh đề nào sau đây sai? A. Các véc tơ A1C1 , BD, CA đồng phẳng. C. Các véc tơ AC1 , AA1 , AC đồng phẳng.

D C B. Các véc tơ AC1 , AA1 , AD đồng phẳng. D. Các véc tơ AC 1 , BB1 , AC đồng phẳng.

Câu 63. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn khẳng định đúng. A. BA1 , BD1 , BD đồng phẳng. B. BA1 , BD1 , BC đồng phẳng. C. BA1 , BD1 , BC1 đồng phẳng. D. BD, BD1 , BC1 đồng phẳng. Câu 64. Cho hình hộp ABCD. A′B ′C ′D ′ . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB′A′ và BCC ′B ′ . Khẳng định nào sau đây sai? A. Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng. B. BD + 2 IK = 2 BC . 1 1 C. Ba vectơ BD; IK ; B′C ′ không đồng phẳng. D. IK = AC = A′C ′ . 2 2 Câu 65. Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. BD , EK , GF đồng phẳng. B. BD , IK , GC đồng phẳng. 8

C. BD , AK , GF đồng phẳng.

D. BD , IK , GF đồng phẳng.

Câu 66. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Bộ 3 vectơ nào sau đây đồng phẳng: A. AB ', CD ', A ' B . B. AC ', AD, AB . C. AC ', C ' D, A ' B ' .

C. BC; AD; MN .

Câu 75. Cho tứ diện ABCD. M là điểm trên đoạn AB và MB = 2MA . N là điểm trên đường thẳng CD mà CN = kCD . Nếu MN , AD, BC đồng phẳng thì giá trị của k là: 2 3 4 1 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 3 2 3 2

D. B ' D, AC, A ' D ' .

Câu 67. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB và CD. Ba véc tơ nào đồng phẳng: A. MN , AC, AD . B. MN , AC , BD . C. MN , AC, BC . D. MN , BC, BD . Câu 68. Cho ba vectơ a, b, c . Điều kiện nào sau đây khẳng định a, b, c đồng phẳng? A. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p = 0 và ma + nb + pc = 0 . B. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p ≠ 0 và ma + nb + pc = 0 . C. Tồn tại ba số thực m, n, p sao cho ma + nb + pc = 0 . D. Giá của a, b, c đồng qui.

Câu 76. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BD lần lượt lấ y M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Các vec tơ BD, AC , MN không đồng phẳng B. Các vec tơ MN , DC , PQ đồng phẳng C. Các vec tơ AB, DC , PQ đồng phẳng D. Các vec tơ AC , DC, MN đồng phẳng

Câu 69. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , BC . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Các vectơ BD , AC đồng phẳng. B. Các vectơ AB , DC , MN đồng phẳng. C. Các vectơ AB , AC , MN không đồng phẳng. D. Các vectơ AN , CM , MN đồng phẳng. Câu 70. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai? A. Vì AB + BC + CD + DA = 0 nên bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng. B. Vì NM + NP = 0 nên N là trung điểm của đoạn MP. 1 C. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điẻm O bất kì ta có OI = OA + OB. 2 D. Từ hệ thức AB = 2 AC − 8 AD ta suy ra ba véctơ AB, AC, AD đồng phẳng. Câu 71. Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Các vectơ x = a − 2b + 4c , y = 3a − 3b + 2c đồng phẳng. B. Các vectơ x = a + b + c , y = 2a − 3b + c đồng phẳng. C. Các vectơ x = a + b − c , y = 2a − b + 3c đồng phẳng. D. Các vectơ x = a + b + 2c , y = 2a − 3b − 6c , z = − a + 3b + 6c đồng phẳng. Câu 72. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấ y các điểm M, N sao cho AM = 3MD , NB = −3 NC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Khẳng định nào sau đây sai? A. Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng. B. Các vectơ AB, PQ, MN đồng phẳng. D. Các vectơ BD, AC , MN đồng phẳng. C. Các vectơ PQ, DC , MN đồng phẳng.

(

D. AC; DC; MA.

)

B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu 1.

Câu 2. Câu 3. Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Chọn A Số vectơ khác vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD là số các chỉnh hợp chập 2 của phần tử ⇒ số vectơ là A42 = 12 . Chọn D Theo định lý về tính đồng phẳng của ba vectơ chọn D Chọn A + Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng. Chọn C Câu A sai vì ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với cùng một mặt phẳng. Câu B sai vì thiếu điều kiện 2 véctơ a , b không cùng phương. Câu C sai vì d = ma + nb + pc với d là véctơ bất kì không phải là điều kiện để 3 véctơ a, b, c đồng phẳng. Chọn D Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng. DẠNG 2. ĐẲNG THỨC VÉC TƠ Chọn D

Câu 73. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M là trung điểm của AA ' , O là tâm của hình bình hành ABCD . Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng? A. MO, AB và B ' C . B. MO, AB và A ' D ' . C. MO, DC ' và B ' C . D. MO, A ' D và B ' C ' . Câu 74. Cho tứ diện ABCD. M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . Bộ ba vecto nào dưới đây đồng phẳng? A. BC, BD, AD. B. AC; AD; MN . 9

Ta có: IJ = IA + AJ

=−

1 1 AB + AC + AD 2 2

(

)

1 1 BC + AD = AB + BD + CD + DC + BC 2 2

(

)

(

)

1 = AB + CD + 2 BC . 2 1 Vậy đẳng thức sai là IJ = AB + CD . 2 Câu 10. Chọn C

(

)

(

Câu 7.

)

 AB − AC = CB Có  ⇒ AB − AC = DB − DC .  DB − DC = CB Câu 11. Chọn B Theo quy tắc hình hộp ta có DB ' = DA + DD ' + DC

Chọn D

B' C'

Câu 8.

(

Câu 9.

)

Câu 12. Câu 13.

Câu 14.

I Câu 15. Câu 16.

D' B

Mệnh đề sai là: AB = CD , AB và CD là hai Vectơ đối nhau. Chọn C Có G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên: 1 GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ 4GA + AB + AC + AD = 0 ⇔ AG = AB + AC + AD . 4 Chọn D

Câu 17.

D . Chọn C AB + AA ' + AD = AA ' + AC = AC′ . Chọn D Ta có N là trung điểm của BC nên 2MN = MB + MC = MA + AB + MA + AC = 2MA + AB + AC = DA + AB + AC = − AD + AB + AC (Vì M là trung điểm AD). Chọn C Ta có VT = SB + BA + SD + DC = SB + SD + ( BA + DC ) = SB + SD = VP (Vì ABCD là hình bình hành nên BA + DC = 0 ). Chọn A Ta có AB //A′B′ ⇒ A′B′ là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB . Chọn C SA + SB + SC = SG + GA + SG + GB + SG + GC = 3SG . Chọn A GA + GB + GC + GD = 2GI + 2GJ = 2 GI + GJ = 0 .

(

J Câu 18.

C 11

)

Chọn D Ta có: b − c + d = AB − AC + BC = CB + BC = 0 . 12

Câu 19.

Chọn B A

D O

Câu 20.

Chọn A B' C'

D' B C

A. Đúng vì SA + SB + 2SC + 2 SD = 6SO SC ⊥ ( BIH ) . Vì O, A, C và BIH thẳng hàng nên đặt OA = kOC ; OB = mOD ⇒ ( k + 1) OC + ( m + 1) OD = 0 . OA OB = = 2 ⇒ AB / / CD. Mà OC , OD không cùng phương nên k = −2 và m = −2 ⇒ OC OD B. Đúng. Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm O vào vế trái. C. Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD, BC thì sẽ sai. D. Đúng. Tương tự đáp án A với k = −1, m = −1 ⇒ O là trung điểm 2 đường chéo. Câu 26. Chọn D

Dễ dàng thấy AB = D ' C ' . Câu 21. Chọn B Theo quy tắc hình hộp: AC1 = AB + AD + AA1 . 1 1 Mà AO = AC1 nên AO = AB + AD + AA1 . 2 2 Câu 22. Chọn C

(

)

B D

* Ta có AD + AB + AE = AG theo qui tắc đường chéo hình hộp ⇒ Phương án A sai. AD + DH = AH  * Do  ⇒ AD + DH = −(GC + GF ) . Vậy B sai. GC + GF = GB = HA * Có AD − AB − AE = BD − BF = FD ⇒ Phương án C sai.  AD − DH = AD − AE = ED * Có  ⇒ AD − DH = GC − GF . Vậy D đúng. GC − GF = FC = ED Câu 23. Chọn B DA + DB + DC = 3DG . Câu 24. Chọn A Ta có AB + AA1 = AB1 , AD + DD1 = AD1 mà AB1 ≠ AD1 nên AB + AA1 = AD + DD1 sai. Câu 25. Chọn C

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . Ta phân tích như sau:  SA + SC = 2 SO (do tính chất của đường trung tuyến)   SB + SD = 2 SO ⇒ SA + SC = SB + SD ⇔ a + c = d + b . Câu 27. Chọn A Ta có: PQ = PB + BC + CQ và PQ = PA + AD + DQ 1 nên 2PQ = PA + PB + BC + AD + CQ + DQ = BC + AD . Vậy PQ = BC + AD 2 Câu 28. Chọn B 1 1 MN = MC + MD (quy tắc trung điểm) = MA + AC + MB + BD 2 2 1 Mà MA + MB = 0 (vì M là trung điểm AB ) ⇒ MN = AC + BD . 2 Câu 29. Chọn D + Gọi O là tâm của hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . + Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.

(

)

(

)

(

)

(

)

* Theo quy tắc hình bình hành AB + AD = AC ⇒ Phương án C sai. * Có SB + SD − SA − SC = AB − CD = AB − BA = 2 AB . Vậy D sai. Câu 33. Chọn A CB + CD + CG = CA + CG = CE . Câu 34. Chọn B

(

Câu 30.

)

GS + GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ GS + 4GO + OA + OB + OC + OD = 0 ⇔ GS + 4GO = 0 ⇔ GS = 4OG . Câu 35. Chọn B

Chọn B

B  a + c = SA + SC = 2SO Gọi O = AC ∩ BD . Ta có:  ⇒ a + c = d + b .  d + b = SD + SB = 2SO Câu 31. Chọn C 1 1 1 Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên SA + SB + SC = 3SI ⇔ SI = SA + SB + SC . 3 3 3 Câu 32. Chọn D

Ta có BD + DD ′ + D ′B′ = BB′ nên k = 1 Câu 36. Chọn D B1

B A C

B O

Ta có: BA + DD1 + BD1 = BA + BB1 + BD1 = BA1 + BD1 ≠ BC nên D sai. Do BC = B1C1 và BA = B1 A1 nên BC + BA = B1C1 + B1 A1 . A đúng Do AD + D1C1 + D1 A1 = AD + D1 B1 = A1 D1 + D1 B1 = A1 B1 = DC nên AD + D1C1 + D1 A1 = DC nên B đúng. Do BC + BA + BB1 = BD + DD1 = BD1 nên C đúng. Câu 37. Chọn A

 SA − SB = BA * Có  .  SC − SD = DC = − BA Mà muốn có SA + SD = SB + SC ⇔ SA − SB = SC − SD ⇒ Vô lí. Vậy A sai. * Có AB + BC + CD + DA = AC + CA = 0 . Vậy B đúng. 15

Ta có PA + PC = 2 PM , PB + PD = 2 PN 1 nên PA + PB + PC + PD = 2 PM + 2 PN = 2( PM + PN ) = 2.2.PI = 4 PI . Vậy k = 4 Câu 38. Chọn A + Nhận thấy: y = −2 x nên hai vectơ x , y cùng phương. Câu 39. Chọn A

* Ta có: AC − BA′ + DB + C ′D = AC − BA′ + C ′B = AC + D′A − BA′ = D′C − B′A = A′B + A′B = 2 A′B ⇒ Phương án C sai. * Ta có: AC + BA′ + DB + C ′D = AC + BA′ + C ′B = AC + D′A + BA′ = D′C + B′A = A′B − A′B = 0 ⇒ Phương án D đúng. Câu 42. Chọn C A

A M

B A1

(

)

Theo đề: G0 là giao điểm của GA và mp ( BCD ) ⇒ G0 là trọng tâm tam giác BCD . ⇒ G0 A + G0 B + G0C = 0 Ta có: GA + GB + GC + GD = 0 ⇒ GA = − GB + GC + GD = − 3GG0 + G0 A + G0 B + G0C = −3GG0 = 3G0G .

)

(

)

(

)

Câu 43.

) (

)

Đáp án D A

)

M B D N

C A. Đúng vì: AC + BD = AD + DC + BC + CD = AD + BC . AC + BD = AM + MN + ND + BM + MN + NC vì: B. Đúng = 2MN + AM + BM + ND + NC = 2MN C. Đúng vì: AC + BD + AD + BC = 2 AN + 2 BN = 2 AN + BN = −2 NA + NB = −4 NM .

(

) (

)

(

1 1 A Sai vì B1M = B1 B + BM = BB1 + BA + BD = BB1 + B1 A1 + B1 D1 2 2 1 1 = BB1 + B1 A1 + B1 A1 + B1C1 = BB1 + B1 A1 + B1C1 . 2 2 1 1 B Đúng vì C1M = C1C + CM = C1C + CA + CD = C1C + C1 A1 + C1 D1 2 2 1 1 = C1C + C1 B1 + C1 D1 + C1 D1 = C1C + C1 D1 + C1 B1 . 2 2 C Sai. theo câu B suy ra. D Sai vì BB1 + B1 A1 + B1C1 = BA1 + BC = BD1 . Câu 40. Chọn C M , N , G lần lượt là trung điểm của AB , CD , MN theo quy tắc trung điểm: GA + GB = 2GM ; GC + GD = 2GN ; GM + GN = 0 . Suy ra: GA + GB + GC + GD = 0 hay GA + GB + GC = −GD . Câu 41. Chọn B

(

) (

)

(

Theo t/ c hình hộp: AB = DC = A′B ′ = D′C ′; AD = BC = A′D ′ = B′C ′ ; A A′ = BB ′ = CC ′ = D D′ . * Ta có: AB + B′C ′ + D D′ = AB + AD + A A′ = AC ′ (qui tắc hình hộp) ⇒ Phương án A đúng. * Ta có: BD − D′D − B ′D′ = ( BD − B′D′) − D′D = 0 + BB′ = BB′ ⇒ Phương án B đúng.

) (

)

(

)

Vậy D sai

Câu 44. Hướng dẫn giải 1 1 Có AK = AC + CK = ( AB + AD ) + AA1 = AB + AD + AA1 2 2 17

⇒ G là trung điểm MN. Gọi H là hình chiếu của N lên MD ⇒ NH là đường trung bình của ∆AOD và OG là đường trung bình của ∆MNH 1 1 1 1 1 ⇒ OG = NH = . AO ⇒ OG = NH = . AO 2 2 2 2 4 hay GA = 3OG Chọn C

K B1

Câu 48.

Chọn A

DẠNG 3. PHÂN TÍCH VÉC TƠ THEO CÁC VÉC TƠ CHO TRƯỚC Chọn D A1 D 1

Câu 45.

Hướng dẫn giải 1 1 1 Ta có: AM = AD + DM = AD + DC1 = AD + ( DC + DD1 ) = AD + AB + AA1 2 2 2 Chọn B

Câu 46.

Hướng dẫn giải B Ta có AC1 = AA1 + AC = AA1 + AD + AB A

D C

Câu 49.

A' D

Ta có: AC1 + A1C = AA1 AC1 = AA1 − AC1 ⇔ A1C = C1 A1 Chọn C

Câu 47.

Chọn C Ta có B ' C = B ' B + BC = − BB ' + BA + AC = − BB ' − AB + AC = −b − a + c ⇒ B′C = −a − b + c hay B′C = −a − b + c . Câu 50. Chọn A

N G

B D H O M C

Hướng dẫn giải Gọi M, N là trung điểm của BC, AD 19

GB + GA′ + GB′ + GC ′ = 0 ⇔ 4 IG = IB + IA′ + IB′ + IC ′ ⇔ 4 IG = IC + CB + IC ′ + C ′A′ + IC ′ + C ′B′ + IC ′ ⇔ 4 IG = IC + 3IC ′ + 2CB + C ′A′

( (

) ( ) ( ) 1 ⇔ 4 IG = CC ′ + 2 ( AB − AC ) − AC 3

)

1  1  ⇔ IG =  a + 2b − 3c  43 

Câu 51.

Chọn B C

Câu 53. 1 1 1 Ta có: AM = AB + AB′ = CB − CA + CB′ − CA = CB + CB′ − 2CA . 2 2 2 Theo quy tắc hình bình hành ta lại có: CB′ = CC ′ + CB . 1 1 1 Do đó: AM = 2CB + CC ′ − 2CA = −CA + CB + CC′ = −a + b + c . 2 2 2

(

)

(

)

(

)

1 Do G là trọng tâm tam giác A′B′C ′ nên AG = AA′ + AB′ + AC ′ . 3 Áp dụng quy tắc hình bình hành trong các hình bình hành ABB′A′, ACC ′A′ có: 1 1 1 1 1 1 1 AG = AA′ + AB + AA′ + AC + AA′ = AA′ + AB + AC = a + b + c . 3 3 3 3 3 3 3 Câu 52. Chọn A

(

) (

)

D M

Câu 54.

1 1 1 1 Ta có: MP = AP − AM = AD − ( AB + AC ) = ( AD − AB − AC ) = ( d − b − c ) . 2 2 2 2 Câu 55. Chọn C A

D B

AB DB 2 = = ⇒ 5 DB = 2 DC . AC DC 5 5 2 Suy ra: 5BD = 2 DC ⇔ 5 AD − AB = 2 AC − AD ⇔ AD = AC + AC . 7 7 Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

(

) (

)

C Ta có: G là trọng tâm tam giác BCD ⇒ GB + GC + GD = 0 . 1 Nên x + y + z = AB + AC + AD = 3 AG + GB + GC + GD = 3 AG ⇒ AG = x + y + z . 3 Câu 56. Chọn C

(

)

3BQ = 2 BC ⇔ 3BM + 3MQ = 2 BM + 2MC ⇔ BM = 2MC − 3MQ ( 2 ) 3 3 Cộng (1) và ( 2 ) theo vế suy ra MN = MP + MQ . 4 4 Câu 61. Đáp án A

A Ta phân tích: u + v = AC ′ + CA′ = AC + CC ′ + CA + AA′ = 2 AA′ . x + y = BD′ + DB′ = BD + DD′ + DB + BB′ = 2 BB′ = 2 AA′ . ⇒ u + v + x + y = 4 AA′ = −4 A′A = −4.2OI . 1 ⇒ 2OI = − ( u + v + x + y ) . 4 Câu 57. Chọn D

( (

) ( ) (

)

B G

C 1 1 1 1 1 MG = MB + MC + MD = . AB + MA + AC + MA + AD 3 3 2 3 3 1 2 1 1 1 2  1  1 1 = AB + MA + AC + AD = AB + .  − AB  + AC + AD 6 3 3 3 6 3  2 3  3 1 1 1 1 1 1 = − AB + AC + AD = − b + c + d 6 3 3 6 3 3

(

Ta có: BC ′ = BA + AC ′ = − AB + AC + AA′ = −b + c + a = a − b + c . Câu 58. Chọn B 1 Ta có c + d − b = AC + AD − AB = 2 AP − 2 AM = 2 MP ⇔ MP = (c + d − b ) . 2 Câu 59. Chọn D 1 1 Ta có: DM = DA + AB + BM = AB − AD + BC = AB − AD + BA + AC 2 2 1 1 1 1 1 = AB + AC − AD = a + b − c = a + b − 2c . 2 2 2 2 2 Câu 60. Chọn A

( )

(

Câu 62.

)

(

) (

)

DẠNG 4. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VÉC TƠ Chọn B A1

)

A M

B C Ta có A1C1 , BD, CA cùng có giá song song hoặc nằm trong ( ABCD ) ⇒ A đúng Ta có AC1 , AA1 , AC cùng có giá nằm trong ( AA1C1C ) ⇒ C đúng Ta có AC 1 , BB1 , AC cùng có giá song song hoặc nằm trong ( AA1C1C ) ⇒ D đúng

P B D N

3 AP = 2 AD ⇔ 3 AM + 3MP = 2 AM + 2MD Ta có ⇔ AM = 2 MD − 3MP (1)

Câu 63.

Vậy B sai. Chọn B Ta có 3 véctơ BA1 , BD1 , BC đồng phẳng vì chúng có giá cùng nằm trên mặt phẳng ( BCD1 A1 ) .

Câu 64.

Chọn C 24

D M

B A′

D′

B D

B′

C′

Ta có 1 1 MN = MC + MD = MA + AC + MB + BD 2 2 1 = AC + BD 2 Vậy theo định lý về ba véc tơ đồng phẳng suy ra MN , AC, BD đồng phẳng. Câu 68. Chọn B Theo giả thuyết m + n + p ≠ 0 ⇒ tồn tại ít nhất một số khác 0 . n p Giả sử m ≠ 0 . Từ ma + nb + pc = 0 ⇒ a = − b − c . m m a, b, c đồng phẳng (theo định lý về sự đồng phẳng của ba véctơ). Câu 69. Chọn D 1 A Đúng vì MN = AB + DC . 2

Ta có: BD ⊂ ( ABCD ) ; IK / / AC , AC ⊂ ( ABCD ) ⇒ IK / / ( ABCD ) ;

(

B′C ′ / / BC , BC ⊂ ( ABCD ) ⇒ B′C ′ / / ( ABCD ) . Vậy ba vectơ BD; IK ; B′C ′ đồng phẳng. Câu 65. Chọn D

(

) (

)

(

I H

)

 IK //( ABCD)  + GF //( ABCD) ⇒ IK , GF , BD đồng phẳng.  BD ⊂ (ABCD)  + Các bộ véctơ ở câu A, C, D không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng. Câu 66. Chọn A D

B Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN thì MN không nằm trong mặt phẳng ( ABC ) . C Sai. Tương tự đáp án B thì AN không nằm trong mặt phẳng ( CMN ) . 1 D Đúng vì MN = AC + BD . 2 Câu 70. Chọn A A Đúng theo định nghĩa về sự đồng phẳng của 3 véctơ. B. Đúng C. Đúng vì OA + OB = OI + IA + OI + IB Mà IA + IB = 0 (vì I là trung điểm AB ) ⇒ OA + OB = 2OI . D. Sai vì không đúng theo định nghĩa sự đồng phẳng. Câu 71. Chọn A

(

Dễ thấy D ′C song song với mặt phẳng ( ABB ′A′ ) nên AB ', CD ', A ' B đồng phẳng. Câu 67.

Chọn B

)

Các vectơ x, y, z đồng phẳng ⇔ ∃m, n : x = my + nz . Mà : x = my + nz .

3m + 2n = 1  ⇔ a − 2b + 4c = m 3a − 3b + 2c + n 2 a − 3b − 3c ⇔ −3m − 3n = −2 (hệ vô nghiệm) 2 m − 3n = 4  Vậy không tồn tại hai số m, n : x = my + nz . Câu 72. Chọn D

(

) (

)

B N

AD = AM + MN + ND BC = BM + MN + NC 1 1 ⇒ AD + BC = 2 MN ⇒ MN = AD + BC 2 2 Vậy ba vecto BC; AD; MN . đồng phẳng. Câu 75. Đáp án A

P M K

I Q

A C

Gọi I là trung điểm BD và K là trọng tâm của tam giác ABD. Ta thấy AB, DC, MN song song với mặt phẳng ( PIQ ) nên vectơ AB, DC, MN đồng phẳng. AB, MN song song với mặt phẳng ( PIQ ) nên vectơ AB, PQ, MN đồng phẳng. DC , MN song song với mặt phẳng ( PIQ ) nên vectơ PQ, DC , MN đồng phẳng.

Câu 73.

Đáp án A

C' C

Qua M vẽ mặt phẳng (α ) song song với AD và BC .

(α ) cắt AC tại P , BD tại Q và CD tại N . Ta có MP //PN //AD . Các vecto MN , AD, BC có giá song song hay nằm trong mặt phẳng (α ) nên đồng phẳng. 2 2 Ta có CN = CD . Vậy k = . 3 3

B' D C Câu 76.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có MO // ( CDA ' B ') ; AB / / A ' B ' ⇒ AB // ( CDA ' B ' ) , B ' C ' nằm trong mặt phẳng ( CDA ' B ' ) nên các vecto MO, AB, BC dồng phẳng vì có giá song song hay nằm trên mặt phẳng

( CDA ' B ' ) . 1 1 1 1 1 = A ' B ' + B ' C = A ' B ' + B ' C ' = AB + B ' C . Cách 2: Ta có MO = A ' C 2 2 2 2 Vậy các vecto MO, AB, BC đồng phẳng. Câu 74. Đáp án C

(

) (

)

P M

E B

Q N

Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE=3EC, lấy F trên BD sao cho BF=3FD 1   NE / / AB, NE = 3 AB ⇒ NE / / MF , NE / / MF   MF / / AB, MF = 1 AB  3 ⇒ NEMF là hình bình hành và 3 vec tơ BA, DC , MN có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (MFNE) ⇒ BA, DC , MN đồng phẳng ⇒ BD, AC , MN không đồng phẳng. Chon A

TOÁN 11

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Câu 4.

Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a . Gọi M là trung điểm cạnh AB . Góc tạo bởi hai vectơ BC và OM bằng A. 135° . B. 150° . C. 120° . D. 60° .

Câu 5.

(Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên, năm 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ', biết đáy ABCD là hình vuông. Tính góc giữa A ' C và BD.

1H3-2

Contents A. CÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 1

DẠNG 1. GÓC CỦA HAI VÉCTƠ ................................................................................................................................. 1 DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG ................................................................................................................. 3

DẠNG 3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC ......................................................................................................... 11 B. LỜI GIẢI ................................................................................................................................................................... 12 DẠNG 1. GÓC CỦA HAI VÉCTƠ ............................................................................................................................... 12

A. 90 0.

Câu 2.

C. 60 0.

D. 450.

(Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . A. 90° . B. 30° . C. 120° . D. 60° .

Câu 7.

(THPT Trần Phú - Lần 1 - 2018-2019) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Giá trị tích vô hướng AB ( AB − CA) bằng A.

(SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Cho hình chóp S . ABC có BC = a 2 , các cạnh còn lại đều bằng a . Góc giữa hai vectơ SB và AC bằng A. 60° . B. 120° . C. 30° . D. 90° .

B. 30 0.

Câu 6.

DẠNG 1. GÓC CỦA HAI VÉCTƠ Câu 1.

DẠNG 3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC ......................................................................................................... 48

A. CÂU HỎI

DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG ............................................................................................................... 17

a2 . 2

a2 2 . 2

a2 3 . 2

3a 2 . 2

Câu 8.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C′ có tất cả các cạnh đều bằng a , cosin góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC′ bằng 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 4

Câu 9.

Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA, OB , OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a . Gọi M là trung điểm cạnh AB . Góc hợp bởi hai véc tơ BC và OM bằng A. 120º . B. 150º . C. 135º . D. 60º .

= DAB = 60O , AB = AD = AC (tham khảo như hình vẽ bên). Cho tứ diện ABCD có CAB

Câu 10. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác A′BC đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ABC ) . M là trung điểm cạnh CC′ . Tính cosin góc α giữa hai đường thẳng AA′ và BM . 2 22 33 11 22 A. cosα = . B. cosα = . C. cosα = . D. cosα = . 11 11 11 11

Câu 3.

Gọi ϕ là góc giữa AB và CD . Chọm mệnh đề đúng? 1 A. ϕ = 60O . B. cos ϕ = . C. ϕ = 90O . 4 Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Tính cos BD, A′C ′ A. cos BD, A′C ′ = 0 . B. cos BD, A′C ′ = 1 .

(

( ) 1 C. cos ( BD, A′C ′ ) = . 2

( ) D. cos ( BD , A′C ′ ) =

Câu 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung đi ểm của BC , AD . Biết AB = 2a , CD = 2a 2 và MN = a 5. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là A. 60 . B. 30 . C. 90 . D. 45 .

3 D. cos ϕ = . 4

)

Câu 12.

(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hình chóp S. ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và góc = 30°. Côsin góc tạo bởi hai đường thẳng AB và SC gần nhất với giá trị nào sau đây? CAB A. 0,83. B. 0,37. C. 0, 45. D. 0, 71.

2 . 2 1

Câu 13.

(THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a và ABCD là hình vuông. Gọi M là trung điểm của CD. Giá trị MS .CB bằng a2 a2 a2 2a 2 A. . B. − . C. . D. . 2 2 3 2

Câu 14.

(THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABC có AB = AC , = SAB . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và BC. SAC A. 45° . B. 60° . C. 30° . D. 90° . A. 45° .

DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Câu 24. Câu 15. (Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D '. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và A ' B. A. 60° B. 45° C. 75° D. 90°

B. 30° .

C. 60° .

D. 90° .

(SGD Nam Định) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh a . Gọi M là trung điểm của CD và N là trung điểm của A′D′ . Góc giữa hai đường thẳng B′M và C ′N bằng B. 45° . C. 60° . D. 90° . A. 30° .

Câu 25. Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a; OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi I là trung điểm BC . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và OI . A. 45° . B. 30° . C. 90° . D. 60° .

Câu 16.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Góc giữa hai đường thẳng BA′ và CD bằng: A. 45° . B. 60° . C. 30° . D. 90° .

Câu 17.

(THPT Chuyên ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a , BC = a . Các cạnh bên của hình chóp cùng bằng a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . A. 45° . B. 30° . C. 60° . D. arctan 2 .

= 400 . Số đo góc giữa Câu 26. Cho hình hình lăng trụ ABCD. A′ B ′C ′D ′ có đáy là hình chữ nhật và CAD hai đường thẳng AC và B′D′ là A. 400 . B. 200 . C. 500 . D. 800 . Câu 27.

(Chuyên Đại học Vinh - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có I , J lần lượt là trung điểm của BC và BB ' . Góc giữa hai đường thẳng AC và IJ bằng A. 450 . B. 600 . C. 300 . D. 1200 . (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Góc giữa hai đường thẳng AC và DA′ bằng A. 60° . B. 45° . C. 90° . D. 120° .

Câu 18.

(THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Góc giữa hai đường thẳng A′C ′ và BD bằng. A. 60° . B. 30° . C. 45° . D. 90° .

Câu 19.

(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ , góc giữa hai đường thẳng A′B và B′C là B. 60° . C. 30° . D. 45° . A. 90° .

Câu 28.

Câu 20.

(THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng 2 . Gọi C1 là trung điểm của CC′ . Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng BC1 và A′B′ .

Câu 29. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Tính góc giữa hai đường thẳng AB′ và A′C′ . A. 60° . B. 45° . C. 30° . D. 90° .

A. Câu 21.

Câu 22.

2 . 6

2 . 4

2 . 3

2 . 8

Câu 31. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA = a 3 và SA ⊥ BC . Góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng A. 90° . B. 60° . C. 45° . D. 30° .

(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện đều ABCD . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là A. 45° . B. 90° . C. 60° . D. 30° .

Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ (hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng AC và A′D bằng

(THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc ( IJ , CD ) bằng: A. 30° .

Câu 23.

B. 60° .

C. 45° .

Câu 30. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Góc giữa hai đường thẳng AB′ và CD′ bằng B. 45° . C. 30° . D. 90° . A. 60° .

D. 90° .

(CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ (hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng AC và A′D bằng

A. 30° .

B. 60° .

C. 90° .

D. 45° .

Câu 33. Cho hình lăng trụ đều ABCD. A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa hai đường thẳng BC ' và B ' D ' bằng A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 900 .

1 . 3

2 2 . 9

Câu 40. Cho tứ diện ABCD . Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , AD . Giả sử

AB = CD = a và PQ =

Câu 34. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết

MN = 3a , góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 45° . B. 90° . C. 60° .

1 . 10

A. 900.

D. 30° .

a 3 . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 2 B. 450. C. 30. D. 600.

(Thi giữa kì II - 1819 Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định) Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có có đáy là hình vuông cạnh 2a ; cạnh SA = a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm CD . Tính cos α với α là góc tạo bởi SB và AM . 2 1 2 4 A. − . B. . C. . D. . 5 2 5 5

Câu 41.

(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a , BC = a 2 . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và SC ta được kết quả: A. 90° . B. 30° . C. 60° . D. 45° .

Câu 42.

Câu 36.

(THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng, lần 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C′ có AB = a và AA′ = a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC ′ bằng A. 90° . B. 30° . C. 60° . D. 45° .

(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết MN = a 3 . Tính góc giữa AB và CD . A. 45° . B. 30° . C. 90° . D. 60° .

Câu 43.

Câu 37.

(Tham khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC . Gọi M là trung điểm của BC ( tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng

(THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ . Gọi M trung điểm các cạnh CD . cosin của góc giữa AC và C ′M là 2 1 10 A. 0 . B. . C. . D. . 2 2 10

Câu 44.

(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a = 4 2cm , cạnh bên SC vuông góc với đáy và SC = 2cm . Gọi M , N là trung điểm của AB và BC . Góc giữa hai đường thẳng SN và CM là A. 30° . B. 60° . C. 45° . D. 90° .

Câu 45.

(SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Cho lăng trụ tam giác đều ABC .MNP có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi I là trung điểm cạnh AC . Cosin của góc giữa hai đường thẳng NC và IB bằng 6 10 6 15 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 5

Câu 46.

(ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng AB và MN bằng 30° .

Câu 35.

A. 900 .

B. 300 .

C. 600 .

D. 450

Câu 38. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ ; gọi M là trung điểm của B′C ′ . Góc giữa hai đường thẳng AM và BC′ bằng A. 45° . B. 90° . C. 30° . D. 60° . Câu 39.

[THPT NINH BÌNH-BẠC LIÊU-2019] Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Gọi M là trung điểm của DD′ (Tham khảo hình vẽ). Tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳng B′C và C ′M

A. MN =

a . 2

B. MN =

a 3 . 2

C. MN =

a 3 . 3

D. MN =

a . 4 6

Câu 47.

(THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018) Cho hình lập phương trình ABCD. A′ B ′C ′D ′ . Gọi M là trung điểm của DD′ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng B′C và C′M .

A. 60° . Câu 55. A.

2 2 . 9

1 . 10

1 . 3

Câu 48.

(THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có AB = 1, AA′ = 2 . Tính góc giữa AB′ và BC ′ B. 450 . C. 1200 . D. 600 . A. 300 .

Câu 49.

(SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU - 2018) Cho hình chóp S . ABC có SA , SB , SC vuông góc với nhau đôi một và SA = SB = SC . Gọi M là trung điểm của AC . Góc giữa SM và AB bằng: A. 600 . B. 300 . C. 900 . D. 450 .

Câu 50.

(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S . ABC có độ dài các cạnh SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC là? A. 45° . B. 90° . C. 60° . D. 30° .

Câu 51.

(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC = AB = AC = 1 , BC = 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB , SC . A. 45° . B. 120° . C. 30° . D. 60° .

Câu 52.

(XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI , với I là trung điểm của AD . 3 1 3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 4 2

Câu 53.

Câu 54.

7 . 7

B. cos α = −

7 . 7

C. cos α = 0 .

D. cos α =

B. 120° .

C. 90° .

Câu 57.

(CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a , BC = a . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 7 35 5 7

Câu 58.

(THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 1 ; = 60° ; BAD = 90° ; DAC = 120° . Tính côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng AG và CD , BAC trong đó G là trọng tâm tam giác BCD . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 3

Câu 59.

(THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H , K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH = 3HA, AK = 3KD . Trên đường thẳng vuông góc với = 30° . Gọi E là giao điểm của CH và BK mặt phẳng ( ABCD ) tại H lấy điểm S sao cho SBH D.

9 . 5 39

Câu 60.

(THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp đều S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc giữa hai đường thẳng MN và SC là A. 45° . B. 60° . C. 30° . D. 90° .

Câu 61.

(THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Cho hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , C ′D′ . Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP . B. 90° C. 30° . D. 45° . A. 60° .

(THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . A′B′C ′ có AB = a và AA′ = 2 a . Góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC ′ bằng

D. 30° .

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , BB′. Cosin của góc hợp bởi MN và AC ' bằng 3 2 5 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 4

. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC . 28 18 36 A. . B. . C. . 5 39 5 39 5 39

2 . 3

D. 30° .

Câu 56.

(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có SA = a , = 60° CSA = 90° ASB = BSC SB = 2a , SC = 3a , , . Gọi α là góc giữa hai đường thẳng SA và BC . Tính cos α . A. cos α =

C. 90° .

(KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC = AC = AB = a , ABC = 45° . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và DC . A. 60° .

1 . 3

B. 45° .

Câu 62.

(THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = a . Gọi M là trung điểm SB . Góc giữa AM và BD là A. 60 . B. 30 . C. 90 . D. 45 .

Câu 63.

(SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Tính giá trị của cos ( AB, DM ) . A.

3 . 2

3 . 6

1 . 2

(Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết MN = a 3 , góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng. A. 450 . B. 900 . C. 600 . D. 300 .

Câu 74. Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ ( ABC ) và tam giác ABC vuông tại B ,

SA = a, AB = a, BC = a 2 .Gọi I là trung điểm BC . Côsin của góc giữa đường thẳng AI và

2 . 2

SC là?

Câu 64. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, BC , C ′D′ . Xác định góc giữa MN và AP . B. 30° . C. 90° . D. 45° A. 60° .

A. − Câu 75.

Câu 65. Cho khối chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và AC là 3 2 5 5 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 5 Câu 66.

Câu 73.

(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho tứ diện ABCD có AC = 3a, BD = 4 a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết AC vuông góc BD . Tính MN . a 7 5a 7a a 5 A. MN = . B. MN = . C. MN = . D. MN = . 2 2 2 2

2 3

B. 2 3

2 3

2 8

(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho tứ diện ABCD gọi M , N lần lượt là trung điểm a 3 của BC và AD . Biết AB = CD = a , MN = . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . 2 0 0 A. 30 . B. 90 . C. 600 . D. 1200 .

Câu 76. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AD . Biết AB = CD = a và a 3 MN = . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 2 A. 30° . B. 90° . C. 120° . D. 60° .

3 = DAB = 60°; CD = AD. Gọi ϕ là góc giữa hai đường AD, CAB 2 thẳng AB và CD . Chọn khẳng định đúng về góc ϕ .

Câu 77. Cho tứ diện ABCD với AC =

= 40° . Số đo góc giữa hai Câu 67. Cho hình lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình chữ nhật và CAD đường thẳng AC , B′D′ là B. 20° . C. 50° . D. 80° . A. 40° Câu 68. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng CD ' và A ' C ' bằng. A. 300. B. 900. C. 600. D. 450. Câu 69. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a ; AD = a 2 ; SA = 2a

; SA ⊥ ( ABCD ) . Tính côsin góc giữa hai đường thẳng SB và AC . A.

3 . 4

2 . 5

1 . 15

1 . 5

Câu 70. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Tính góc giữa hai đường thẳng A′B và AD′ . 0 0 0 0 B. 60 . C. 45 . D. 30 A. 90 . Câu 71. Cho hình chóp đều S.ABC có SA = 9a , AB = 6a . Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho 1 SM = MC . Côsin của góc giữa hai đường thẳng SB và AM bằng 2 7 A. . 2 48

1 B. . 2

19 . 7

A. cos ϕ =

3 . 10

5 . 5

3 . 5

B. ϕ = 30° .

C. ϕ = 60° .

D. cos ϕ =

1 . 4

Câu 78. Cho tứ diện S. ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a; BC = a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 0° . B. 120° . C. 60° . D. 90° .

14 D. . 3 48

Câu 79.

Câu 72. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a, AB = a , BC = a 3 . Tính cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng SC và BD . A.

3 . 4

3 . 10 9

Cho lăng trụ đều ABC .DEF có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2 a . Tính cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng AC và BF . 5 3 5 3 A. B. C. D. 10 5 5 10

A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

Câu 80. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi M là trung điểm của BC . Tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳng AB và DM ? 3 3 3 1 A. . B. . C. . D. . 2 6 3 2 Câu 81.

(THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc với nhau, biết AB = AC = AD = 1 . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng B. 60° . C. 30° . D. 90° . A. 45° .

Câu 82.

(THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos ( AB, DM ) bằng: A.

3 . 6

2 . 2

3 . 2

1 . 2

Câu 89.

(THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. B. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. C. Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. D. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.

Câu 90.

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Trong hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. BB′ ⊥ BD . B. A′C′ ⊥ BD . C. A′B ⊥ DC ′ . D. BC ′ ⊥ A′D .

DẠNG 3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Câu 83.

(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Trong không gian, cho đường thẳng d và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với đường thẳng d ? A. 3. B. vô số. C. 1. D. 2.

Câu 84. Trong không gian cho trước điểm M và đường thẳng ∆ . Các đường thẳng đi qua M và vuông góc với ∆ thì: A. vuông góc với nhau. B. song song với nhau. C. cùng vuông góc với một mặt phẳng. D. cùng thuộc một mặt phẳng. Câu 85.

Câu 91. Cho hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ . Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng BC′ ? A. A′D . B. AC . C. BB′ . D. AD′ . Câu 92. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi tâm O và SA = SC , SB = SD . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. AC ⊥ SD . B. BD ⊥ AC . C. BD ⊥ SA . D. AC ⊥ SA .

B. LỜI GIẢI

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian, cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì vuông góc với đường thẳng còn lại. B. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

DẠNG 1. GÓC CỦA HAI VÉCTƠ S

Câu 86. Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c phân biệt và mặt phẳng ( P ) . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu a ⊥ c và ( P ) ⊥ c thì a // ( P ) . B. Nếu a ⊥ c và b ⊥ c thì a // b . C. Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a ⊥ c . D. Nếu a ⊥ b thì a và b cắt nhau hoặc chéo nhau.

Câu 1.

Câu 87. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. B. Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng ∆ cho trước. C. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia. D. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Câu 88.

2 − a + 0 SB. AC SA. AC + AB. AC 1 2 Ta có cos SB, AC = = = = =− . a2 a2 a2 2 SB . AC Vậy góc giữa hai vectơ SB và AC bằng 120° . Chọn C − AB. AC.cos CAB = 0. AB.CD = AB AD − AC = AB AD − AB. AC = AB. AD cos DAB

(

Câu 2.

(

)

(

SA + AB . AC

)

Câu 3.

⇒ ϕ = 90 . Chọn A

(THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai 11

Câu 6.

Câu 7.

Vậy A 'C ⊥ BD hay góc giữa A ' C và BD bằng 90 0. Chọn A

Gọi M là trung điểm của AB . Vì hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều nên CM ⊥ AB, DM ⊥ AB . Khi đó AB.CD = AB.(CM + MD) = AB.CM + AB.MD = 0 . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 90° . Chọn D 2 Ta có: AB AB − CA = AB. AB + AB. AC = AB + AB . AC .cos AB, AC

(

Câu 4.

)

Câu 8.

Chọn C

(

)

= a 2 + a.a.cos 600 = a 2 + a = 3a . = AB 2 + AB. AC.cos BAC 2 2 Chọn A

(

BD ⊥ AC || A′C ′ ⇒ BD ⊥ A′C′ ⇒ cos BD, A′C ′ = 0 .

(

)

B M C

 1 1 a2 OM = OA + OB Ta có  2 ⇒ OM .BC = − OB 2 = − . 2 2  BC = OC − OB 

(

)

1 Đặt AA′ = a , AB = b, AC = c theo giả thiết ta có: a = b = c = a, ab = ac = 0, bc = a 2 . 2 Có ABB′A′ và BCC′B′ là các hình vuông nên AB′ = BC ′ = a 2 . Mà AB′ = a + b và BC ′ = AC ′ − AB = a + c − b suy ra 1 a 2 + a 2 − a2 AB′.BC ′ 1 2 cos ( AB′, BC ′) = cos AB′, BC ′ = = = . 4 a 2.a 2 AB′ BC ′

a 2 1 1 . AB = OA2 + OB 2 = 2 2 2 2 a − OM .BC 1 2 Do đó: cos OM , BC = = = − ⇒ OM .BC = 120° . 2 OM .BC a 2 .a 2 2 Chọn A Đặt A ' B ' = a, A ' D ' = b, A ' A = c, AB = x. A 'C = A ' B ' + A ' D ' + A ' A = a + b + c . BD = AD − AB = b − a . A ' C.BD = (a + b + c ).(b − a ) = a.b − ( a ) 2 + (b) 2 − b.a + c.b − c.a . = 0 − x 2 + x 2 − 0 + 0 − 0 = 0 . (Vì ABCD là hình vuông nên a = b = x ).

BC = OB2 + OC 2 = a 2 và OM =

(

Câu 5.

)

(

)

(

Câu 9.

)

Chọn A

3a 2 4

Suy ra cos ( AA′, BM ) = M

Câu 11.

Chọn D

a 6 a 22 . 2 4

33 . 11

I B

Gọi I là trung điểm của AC ta có góc hợp bởi hai véc tơ BC và OM bằng 180° trừ đi góc tạo bởi hai véc tơ MI và MO BC a 2 = Ta có: BC = a 2 ⇒ MI = 2 2 a 2 Tam giác OAB vuông cân tại O nên: OM = . 2 a 2 Tam giác OAC vuông cân tại O nên: OI = . 2 Suy ra góc tạo bởi hai véc tơ MI và MO bằng 60° Suy ra góc hợp bởi hai véc tơ BC và OM bằng 120° Câu 10.

Chọn

Ta có: MN = MB + BA + AN và MN = MC + CD + DN . Suy ra 2MN = MB + MC + BA + CD + AN + DN = BA + CD (Vì M là trung điểm BC và N là

(

) (

)

trung điểm AD ). 1 2 2 2 2 2 2 Khi đó: 4MN = BA + CD + 2 BA.CD ⇔ BA.CD = 4 MN − BA − CD = 4a 2 . 2 BA.CD 2 Do vậy ta có: cos ( AB, CD ) = = . 2 BA . CD

)

(

Câu 12.

Vậy, số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 45 . Chọn B S

B. a

a a

(

H B

a 3 và AH ⊥ BC , A′H ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( AA′H ) ⇒ BC ⊥ AA′ hay 2 BC ⊥ BB′ . Do đó: BCC′B′ là hình chữ nhật.

Ta có: AH = A′H =

Khi đó: CC ′ = AA′ =

a 2 .6 22 a 3 a 6 . 2= ⇒ BM = a 2 + =a . 2 2 16 4

3a 2 Xét: AA′.BM = AA′. BC + CM = 0 + AA′.CM = . 4

(

a2 a2 3 +) Ta có: AB.SC = AB SA + AC = AB.SA + AB. AC = a.a.cos120° + a.a.cos 30° = − + 2 2 a2 a2 3 AB.SC − + −1 + 3 = 2 2 2 = ≈ 0.37. Chọn +) Do đó: cos AB, SC = B. AB.SC a 2 Câu 13. Chọn A Do tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau nên hình chóp S . ABCD là hình chóp đều  SO ⊥ ( ABCD ) . ⇒  AC ⊥ BD Do M là trung điểm của CD nên ta có: 1 1 MS = OS − OM = − OC − OD + OS , CB = OB − OC = −OD − OC . 2 2 Do OC; OS ; OD đôi một vuông góc với nhau nên ta có: 1 1 a2 MS .CB = OC 2 + OD 2 = OC 2 = 2 2 2

)

(

)

A′

D′

B′

C′ A D

A M

B Câu 14.

C Câu 16. B Có CD //AB ⇒ ( BA′, CD ) = ( BA′, BA) = ABA′ = 45° (do ABB′A′ là hình vuông). Câu 17. Chọn A

Chọn D

S A

D M

(

)

. Ta có AB //CD nên AB; SC = CD ; SC = SCD

C H

Gọi M là trung điểm của CD . Tam giác SCM vuông tại M và có SC = a 2 , CM = a nên là = 45° . Vậy tam giác vuông cân tại M nên SCD AB; SC = 45° .

(

B Cách 1: − AS . AB.cos SAB = 0. Ta có AS .BC = AS . AC − AB = AS . AC − AS . AB = AS . AC.cos SAC

(

) (

)

Do đó số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 90°. Câu 15.

DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Chọn A

Câu 18. Ta có: A′C ′; BD = AC ; BD = 90°

(

) (

)

Do A′BCD′ là hình bình hành nên A′B //D′C . Suy ra góc giữa hai đường thẳng AC và A′B bằng góc giữa hai đường thẳng AC và D′C và đó chính là góc ACD′ = 60° (do ∆ ACD ' đều).

a 2 a 2 Đặt AB = a , AB.CD = AB CB + BD = BA.BC − BA.BD = − = 0 ⇒ AB ⊥ CD . 2 2 S

(

)

B J Câu 22. IJ // SB  = 60° Ta có  ⇒ ( IJ , CD ) = ( SB , AB ) = SBA CD // AB  (vì tam giác SAB là tam giác đều cạnh a ).

) (

Câu 23. ′C ′ = 60° . Ta có: ( AC , A′D ) = ( A′C ′, A′D ) = DA Vì A′D = A′C ′ = C ′D . Câu 24. Chọn D

Câu 20. ′ ′ = BC Ta có A′B′ // AB ⇒ BC 1, A B 1 , AB = ABC1 .

(

Câu 19. ′B . Ta có B′C // A′D ⇒ ( A′B; B′C ) = ( A′B; A′D ) = DA Xét ∆DA′B có A′D = A′B = BD nên ∆DA′B là tam giác đều. ′B = 60° . Vậy DA

)

Tam giác ABC1 có AB = 1; AC1 = BC1 = 2 và cos B =

2 AB 2 + BC12 − AC12 ⇔ cos B = . 2 AB.BC1 4

Gọi I là trung điểm của C ′D ′ khi đó IB′ là hình chiếu vuông góc của B′M trên ( A′B′C ′D′ ) . Mặt khác ta ′C ′ + NC ′B′ = NC ′D′ + NC ′B′ = B ′C ′D′ = 90° ⇒ C ′N ⊥ IB ′ Do đó C ′N ⊥ B ′M . Vậy góc giữa có IB B′M và C ′N bằng 90° . Câu 25. Chọn D

Câu 21. 19

I B

Vì tứ diện OABC có OA = OB = OC = a; OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một nên ta có thể dựng hình lập phương AMNP.OBDC như hình vẽ với I là trung điểm BC nên {I } = OD ∩ BC . Cạnh của hình lập phương trên bằng a nên AB = AN = NB = a 2 vậy tam giác ABN đều. Dễ thấy OI / / AN nên góc giữa hai đường thẳng AB và OI bằng góc giữa AB và AN bằng 60° . Câu 26. Chọn D A'

Ta có AC // A ' C ' nên góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' bằng góc giữa hai đường thẳng A ' C ' và DA ' . Mà A ' C ' = DA ' = DC ' (các đường chéo của hình vuông). Suy ra ∆A ' C ' D là tam giác đều ⇒ A ' C ' D = 60° . Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' bằng 60° . Câu 29. Chọn A

A D

B C

(

) (

)

Ta có BD / / B ′D ′ ⇒ AC ; B ′D′ = AC; BD .

= 400 ⇒ OAB = OBA = 500 ⇒ Gọi O = AC ∩ BD . Vì CAD AOB = 800 0 ′ ′ Vậy AC ; B D = 80 .

(

Câu 27.

)

Giả sử hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ có cạnh là a . Do AC A′C ′ nên ( AB′, A′C ′ ) = ( AB′, AC ) .

Chọn B B

B' C'

= 60° . Ta có: AB ′ = AC = CB ′ = a 2 ⇒Tam giác AB ′C đều nên CAB′ ′ = 60° . ⇒ ( AB′, A′C ′ ) = ( AB′, AC ) = CAB Câu 30. Chọn D

A D J

A' D'

Vì IJ // B ' C nên ( IJ , AC ) = ( B ' C, AC ) .

Mà AC , AB ', CB ' là đường chéo của các hình vuông bằng nhau nên AC = AB ' = CB ' . ACB ' = 600 . ⇒ ∆ACB ' đều. Vậy ( IJ , AC ) = ( B ' C , AC ) = Câu 28.

B C

Ta có: C′D // AB′ . ′D , CD ′ = 90° (vì CDD′C ′ là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc). ⇒ AB ′, CD ′ = C

Chọn A

(

Câu 31. 21

) (

)

Chọn B 22

 PM / / NQ / /CD     CD ⇒ PMQN là hình bình hành.  PM = NQ =   2  AB Ta cũng có MQ / / NP / / AB, MQ = NP = . 2 Do AB = CD = 2a ⇒ PM = MQ = QN = NP = a . . Áp dụng định lí Côsin ta có AB, CD) = α ⇒ cos α = cos MPN Gọi (

(

) MN = PM + PN − 2 PM .PN .cos ( MPN ) ⇔ 3a = a + a − 2.a.a .cos ( MPN ) a + a − 3 a − 1 = ⇔ cos ( MPN = ) 2.a.a 2 2

AD / / BC , SA ⊥ BC ⇒ SA ⊥ AD hay ∆SAD vuông tại A . . AD / / BC , SD ∩ AD = D ⇒ ( SD , BC ) = ( SD , AD ) = SDA

= ∆SAD vuông tại A ⇒ tan SDA

Câu 32.

SA = 60° . = 3 ⇒ SDA AD Câu 35.

= 1 ⇒ ( nên cos α = cos MPN AB, CD ) = 60° 2 Chọn C

(

Chọn A Gọi cạnh hình lập phương là a . ′A′D . Ta có ( AC , A′D ) = ( A′C ′, A′D ) = C

)

Vì A′C ′ = A′D = DC ′ = a 2 nên tam giác A′C′D là tam giác đều. ′A′D = 60° . Suy ra C Câu 33. Chọn C

' , xét ∆BDC ' có BD, BC ', DC' đều là các đường chéo Ta có ( BC ', B ' D ' ) = ( BC ', BD ) = DBC của

bằng a ' = 600 . ( BC ', B ' D ') = ( BC ', BD ) = DBC

Câu 34.

hình

vuông

cạnh

nên

∆BDC '

là

tam

giác

đều.

đó

Ta có AM = AD 2 + DM 2 = a 5, SB = SA2 + AB 2 = a 5 . AM .SB = AD + DM . SA + AB = AD.SA + AD. AB + DM .SA + DM . AB = DM . AB = 2a 2 . Mặt khác AM .SB = AM .SB.cos AM , SB = 5a 2 .cos AM , SB 2 2 ⇒ 2a 2 = 5a 2 .cos AM , SB ⇔ cos AM , SB = . Suy ra cos α = . 5 5

(

)(

(

Chọn C

) (

)

(

)

C' P

B Câu 36. Chọn C Gọi M , N , P, E lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, BB ', B ' C ', BC .

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD . Khi đó ta có

Suy ra MN / / AB ' và NP / / BC ' . Khi đó góc giữa đường thẳng AB ' và BC ' là góc giữa hai đường thẳng MN và NP . 23

Ta có: MN = NP =

a 3 . 2

Xét tam giác A′B′M vuông tại B′ ta có: A′M =

Xét tam giác PEM vuông tại E , MP 2 = PE 2 + ME 2 = 2a 2 +

a 2 9a 2 = . 4 4

Xét tam giác AA′M vuông tại A′ ta có: AM =

Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNP , ta có 3a 2 3a 2 9a 2 + − MN 2 + NP 2 − MP 2 4 4 =−1. cos MNP = = 4 3a 2 2.MN .NP 2 2. 4 Do đó góc MNP bằng 1200 nên góc giữa đường thẳng AB ' và BC ' bằng 600 . Câu 37. Chọn C

A′B′2 + B′M 2 = a 2 + AA′2 + A′M 2 = a 2 +

a2 a 5 . = 2 4

5a 2 3a = . 2 4

a 5 BC ′ a 2 ; MN = . = 2 2 2 Trong tam giác AMN ta có: 9a 2 2 a 2 5a 2 + − 2 2 2 2 + − MA MN AN 4 4 = 6a . 4 = 1 . cos AMN = = 4 4 6a 2 2 2.MA.MN 3a a 2 2 2. . 2 2 Suy ra AMN = 45° . AMN = 45° . Vậy ( AM , BC ′ ) = ( AM , MN ) = Có AN = A′M =

Câu 39.

Chọn A

Đặt OA = a suy ra OB = OC = a và AB = BC = AC = a 2 a 2 Gọi N là trung điểm AC ta có MN / / AB và MN = 2 Suy ra góc ( OM , AB ) = ( OM , MN ) . Xét OMN a 2 nên OMN là tam giác đều 2 0 = 60 . Vậy ( OM , AB ) = ( OM , MN ) = 600 . Suy ra OMN

Trong tam giác OMN có ON = OM = MN =

Câu 38.

Gọi N là trung điểm của AA′ ⇒ B′N // C ′M ⇒ ( B′C , C ′M ) = ( B′C , B′N )

Chọn A B

a2 a 5 a 2 3a = ; B′C = a 2; NC = 2a 2 + = 4 2 4 2 2 2 2 2 ′ ′ B N + B C − NC a 1 ′C = Vậy cos ( B′C , C ′M ) = cos NB = = 2 B′N .B′C a 5 10 2. .a 2 2 Câu 40. Chọn D Xét tam giác B ′NC có B′N = a 2 +

N A D B'

Giả sử cạnh của hình lập phương là a > 0 . Gọi N là trung điểm đoạn thẳng BB′ . Khi đó, MN //BC′ nên ( AM , BC ′ ) = ( AM , MN ) .

Q a

M a

Câu 42. Kẻ MP // AB , NP // CD nên góc giữa AB và CD là góc giữa MP và NP . 2 2 2 2 2 2 = MP + NP − MN = a + a − 3a = − 1 ⇔ MPN = 120° . cos MPN 2 2.MP.NP 2a 2 Vậy góc giữa AB và CD bằng 60° .

 IP / / AB do IP , IQ lần lượt là các đường trung bình của tam giác Gọi I là trung điểm của AC , khi đó   IQ / / CD CAB và ACD . Suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD là góc giữa hai đường thẳng IP và IQ .

D M

Xét tam giác IPQ , ta có 2

2 2 a a a 3    +  − 2 2 2 2 2 = IP + IQ − PQ =      2  = − 1 suy ra PIQ = 1200 . cos PIQ 2 2 IP.IQ 2 a 2.   2 Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD có số đo là 180 0 − 1200 = 60 0. Câu 41. * Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) , theo đầu bài SA = SB = SC và

tam giác ∆ ABC vuông cân tại A ta có H là trung điểm của BC . Gọi M , N lần lượt là trung  MN // AB điểm của SA , SB ta có:  ⇒ Góc giữa AB và SC là góc giữa MN và HN .  HN // SC AB a SC a SA a Xét tam giác ∆MNH ta có: MN = = ; MH = = ; HN = = ( Do ∆SHA vuông tại 2 2 2 2 2 2 H) = 60° . Vậy góc cần tìm là 60° . ⇒ tam giác ∆MNH là tam giác đều ⇒ MNH

A′

Câu 43.

D′

B′

C′

Ta có AC //A′C ′ nên góc giữa AC và C ′M cũng bằng góc giữa A′C ′ và C ′M là A′C ′M .

a 5 ( trong tam gics 2 3a a a vuông CC ′M có CM = ), A′M = ( trong tam giác vuông A′MD , MD = , A′D = a 2 ). 2 2 2 Gọi cạnh của hình lập phương có độ dài là a . Khi đó A′C ′ = a 2 , C ′M =

Xét tam giác A′MC ′ ta có cos A′C ′M =

+ C ′M 2 − A′M 2 1 = . 2 A′M .C ′M 2

( A′C ′)

H B Câu 44. 27

Gọi I là trung điểm của BM , ta có NI //CM nên góc giữa SN và CM là góc giữa SN và NI . 1 1 3 = 6; Xét tam giác SNI có SN = SC 2 + CN 2 = 4 + 8 = 2 3 ; NI = CM = 4 2. 2 2 2 CI = CM 2 + MI 2 = 24 + 2 = 26 ⇒ SI = SC 2 + CI 2 = 4 + 26 = 30 .

−12 SN 2 + NI 2 − SI 2 12 + 6 − 30 2 = 135° . ⇒ SNI = = =− 2SN .NI 2 2.2 3. 6 3 2.4 Vậy góc giữa SN và CM bằng 45° .

= Vậy cos SNI

1 1 Gọi P là trung điểm của AC . Suy ra PM = CD = AB = PN . Do đó tam giác PMN cân tại 2 2 P . Lại có góc giữa AB và MN bằng 30° nên góc giữa MN và PN bằng 30° . Vậy tam giác PMN là tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120° . a 3 Ta có PN . 3 = MN nên MN = . 2

M J

Câu 47. Kẻ B′N song song với C′M . Ta được ( B′C; C ′M ) = ( B′C; B′N ) = NB′C

A I

Ta có B′C =

Câu 45. Gọi J là trung điểm của MP . Góc giữa hai đường thẳng NC và IB bằng góc giữa hai đường thẳng NC và NJ . a 3 5a 2 Ta có JN = , NC 2 = NP 2 + PC 2 = 2a 2 , JC 2 = JP 2 + PC 2 = . 2 4 2

= Xét tam giác NJC có: cos JNC

JN 2 + NC 2 − JC 2 2 NJ .NC

a 5 , 2

3 CN = AN 2 + AC 2 = a 2 ′C = Áp dụng định lý hàm số côsin trong ∆B′NC , ta được cosNB

2 a 3 a 5   + a 2 −  2    2  = 6 = 4 a 3 2 .a 2 2

(

BB′2 + BC 2 = a 2 , B′N = AB′2 + A′N 2 =

1 B′N 2 + B′C 2 − NC 2 . = 2.B′N .B′C 10

)

Câu 46.

Câu 48. Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABB′A′ và M là trung điểm của A′C ′ .

AB.SC Cách 2: cos ( AB , SC ) = cos AB, SC = AB.SC a2 Ta có AB.SC = SB − SA SC = SB.SC − SA.SC = SB.SC .cos 90° − SA.SC .cos 60° = − . 2 −a 2 2 1 Khi đó cos ( AB, SC ) = 2 = a 2

3 ′ = 600 . suy ra ( AB′, BC′ ) = ( AB′, IM ) = MIB 2

Có IM = IB′ = B′M =

(

)

Câu 49. 1 1 C1. SM . AB = SA + SC SB − SA = − SA2 2 2 SA SM = ; AB = SA 2 2 SM . AB 1 cos SM , AB = = − ⇒ SM , AB = 1200 SM . AB 2 Vậy góc giữa SM và AB bằng 60° .

(

)(

)

(

)

C2. N là trung điểm của BC . Tam giác SMN đều (cạnh bằng

1 SA ). Nên góc giữa SM và AB 2

bằng góc SMN bằng 60° .

Câu 51.  Tam giác ABC vuông tại A và tam giác SBC vuông tại S vì AB = AC = 1 , BC = 2 và SB = SC = 1 , BC = 2 . 1  Ta có SC. AB = SC SB − SA = SC .SB − SC .SA = 0 − SC.SB.cos 60° = − . 2 SC . AB 1  Suy ra cos ( SC ; AB ) = cos SC ; AB = = . Vậ y góc giữa hai đường thẳng AB , SC SC . AB 2 bằng 60° .

(

)

(

)

A B

A I

C Câu 50. Ta có BC = a 2 nên tam giác ABC vuông tại A . Vì SA = SB = SC = a nên hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC ) trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

(

M B

Tam giác ABC vuông tại A nên I là trung điểm của BC . AB.SC Ta có cos ( AB, SC ) = cos AB, SC = . AB.SC 1 1 a2 AB.SC = AB SI + IC = AB.SI = − BA.BC = − BA.BC.cos 45° = − . 2 2 2 a2 1 cos ( AB, SC ) = 22 = ⇒ ( AB, SC ) = 60° . a 2

)

Câu 52. Gọi M là trung điểm của BD . Ta có: IM // AB . ⇒ ( AB , IC ) = ( IM , IC ) .

. ⇒ cos ( AB, IC ) = cos ( IM , IC ) = cos IM , IC = cos MIC

(

)

AB.CD 1 Mặt khác ta lại có AB.CD = AB CD cos AB.CD ⇔ cos AB, CD = = − 2 AB CD ⇒ AB, DC = 120° ⇒ ( AB, CD ) = 60° .

2 a a 3 a 3  −    + 2 2 2 = MI + IC − MC =  2   2   2  = 3 . Mà: cos MIC 6 2.MI .IC a a 3 2. . 2 2 = 3. ⇒ cos ( AB, IC ) = cos MIC 6

(

)

(

)

Câu 56. * Xét hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ cạnh a . * Đặt a = AB, b = AD, c = AA′ ⇒ a = b = c = a, a.b = b.c = a.c = 0 .

Câu 53. SA.BC SA.( SC − SB) SA.SC − SA.SB cos α = cos( SA, BC ) = = = SA.BC SA.BC SA.BC SA.S C.cos 90° − SA.SB.cos 60° 7 = = . 7 a. 4a 2 + 9a 2 − 2.2a.3a.cos 60°

* Ta có: 1 1 1 1 a 3 MN = AN − AM = AB + BN − AM = a − b + c ⇒ MN = a 2 + a 2 + a 2 = 2 2 4 4 2 AC ′ = AB + AD + AA′ = a + b + c ⇒ AC ′ = a 2 + a 2 + a 2 = a 3 1 1 AC ′.MN = a 2 − a 2 + a 2 = a 2 2 2 MN . AC ′ 2 . cos ( MN ; AC ′ ) = cos MN ; AC ′ = = 3 MN . AC ′

(

)

Câu 54. Ta có AB′.BC ′ = AB + BB′ BC + CC ′ = AB.BC + AB.CC ′ + BB ′.BC + BB ′.CC ′

(

)(

)

a2 3a 2 . = AB.BC + AB.CC ′ + BB′.BC + BB ′.CC ′ = − + 0 + 0 + 2a 2 = 2 2 2 3a 1 AB′.BC ′ 2 Suy ra cos AB′, BC ′ = = = ⇒ ( AB′, BC ′ ) = 60° . AB′ . BC ′ a 3.a 3 2

(

Câu 55.

A H

)

C Câu 57. 0 ( SC , ( ABCD ) ) = ( SC , CH ) = SCH = 60 . SB. AC cos ( SB , AC ) = SB. AC SB. AC = SH + HB AB + BC = SH . AB + SH .BC + HB. AB + HB.BC

Ta có tam giác ABC vuông cân tại A , tam giác BDC vuông cân tại D . Ta có AB.CD = DB − DA CD = DB.CD − DA.CD 1 = DB CD cos DB, CD − DA CD cos DA, CD = − a 2 . 2

(

)

(

)

(

)(

)

1 = HB. AB + HB.BC = AB 2 = 2a 2 2

cos ( AG , MG ) = cos AGM =

=a 6. AC = a 5 , CH = a 2 + a 2 = a 2 , SH = CH .tan SCH

(

)

SB = SH 2 + HB 2 = a 6 + a 2 = a 7 . SB. AC 2 2a 2 cos ( SB, AC ) = . = = SB. AC a 7.a 5 35

Câu 59.

AG + GM − AM 2. AG.GM

 3  3  7   +  −  3   3   3  1 =  = . 6 3 3 2. . 3 3

Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có ∆ABD = ∆BCH . ⇒ HEB = 90° . ABD = BCH ⇒

B E

B G

Câu 58. * ∆ABC đều ⇒ BC = 1 .

* ∆ACD cân tại A có CD = AC 2 + AD 2 − 2 AC. AD.cos120° = 3 . * ∆ABD vuông cân tại A có BD = 2 . * ∆BCD có CD2 = BC 2 + BD2 ⇒ ∆BCD vuông tại B . Dựng đường thẳng d qua G và song song CD , cắt BC tại M . Ta có MG // CD ⇒ ( AG, CD ) = ( AG, MG ) . 2

3 1 Gọi I là trung điểm của BC , xét ∆BDI vuông tại B có DI = BD2 + BI 2 = 2 +   = . 2  2 Ta có

IM MG IG 1 1 1 BC 1 1 3 1 1 = = = ⇒ IM = .IC = . = ; MG = .CD = ; IG = .ID = . IC CD ID 3 3 3 2 6 3 3 3 2

 3   1 2 7 Xét ∆AIM vuông tại I có AM = AI 2 + IM 2 =   +  6  = 3 . 2  

H C

, SH = BH . tan 30° = a 3 . Ta có: cos ( SE ; BC ) = cos ( SE ; EI ) = cos SEI

cos AID =

AI + ID − AD 2 AI .ID

 3   3 2 2   +   −1 2   2 4 3 = = 9 3 3 2. . 2 2 2

HB HE HB 2 9a 81a 2 2a 39 = ⇒ HE = = , SE = SH 2 + HE 2 = 3a 2 + = . HC HB HC 5 25 5 2

2a 651 HE HI HE 2 27 a  27a  = ⇒ HI = = , SI = SH 2 + HI 2 = 3a 2 +  .  = 25 HB HE HB 25  25  EI HI 9 36a = = ⇒ EI = BC HB 25 25 Áp dụng định lý cosin cho tam giác SEI ta được:

 3 1 3 1 4 3 3 AI 2 + IG 2 − 2 AI .IG.cos AID =   +   − 2. 2 . 2 . 9 = 3 .  2  2 Xét ∆AMG có AG =

 2a 39   36a  2  2a 651    +   − 2 2 2 = SE + EI − SI =  5   25   25  = 18a . cos SEI 2.SE.EI 2a 39 36a 5 39 2. . 5 25 35

(

)

′ = 45° ⇒ MN ⇒ NMC , AP = 45° .

D a

Câu 60.

Gọi P là trung điểm của CD .

Câu 62. ; AM = BD; AM ) = MN AMN Gọi N là trung điểm SD khi đó MN BD , suy ra (

(

Ta có: NP // SC ⇒ ( MN , SC ) = ( MN , NP ) . Xét tam giác MNP ta có: MN =

⇒ MN 2 + NP 2 =

a 2 a a , NP = , MP = 2 2 2

AN = AM = MN =

)

a 2 , suy ra ∆AMN là tam giác đều, nên AMN = 60 2

a 2 a 2 a2 = + = MP 2 ⇒ ∆MNP vuông tại N 4 4 2

= 90° ⇒ ( MN , SC ) = ( MN , NP ) = 90° . ⇒ MNP A'

B' C'

Câu 63. Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a. Gọi N là trung điểm của AC . Khi đó: AB , DM = MN , DM

(

M N

) (

)

a a 3 , DM = DN = . 2 2

C Câu 61. ′ . ′ ′ Ta có tứ giác AMC P là hình bình hành nên AP // MC ⇒ MN , AP = MN , MC ′ = NMC

Ta có: MN =

Gọi cạnh hình vuông có độ dài bằng a .

MN 2 + MD2 − ND2 = cos NM D= 2.MN .MD

(

) (

)

Xét tam giác C ′CM vuông tại C có C ′M = C ′C 2 + MC 2 = C ′C 2 + BC 2 + MB 2 = Xét tam giác C ′CN vuông tại C có C ′N = C ′C 2 + CN 2 = Mà MN =

3a . 2

5a . 2

Vậy cos (AB, DM ) =

Câu 64.

AC a 2 = . 2 2

′ = Xét tam giác C ′CM có cos NMC

Chọn D

a2 3 4 = . 6 a a 3 2. . 2 2

3 . 6

MC′2 + MN 2 − C′N 2 2 = 2MC′.MN 2 37

Vậy cosα =

Câu 66.

AC .SB AC .SB

a2 2 . = 4 a 2.2a

Chọn A D

Câu 67.

Gọi P là trung điểm AB  AC // PN AC 3a BD ⇒ PN ⊥ PM và PN = Ta có  = ; PM = = 2a 2 2 2  BD // PM 5a MN = PM 2 + PN 2 = 2 Chọn D

Câu 68.

AC; B′D′) = ( AC; BD ) = AOB = 80° với O là tâm hình chữ nhật ABCD . Vì BD // B ′D ′ nên ( Chọn C

Ta có MN song song AC (Đường trung bình) ( MN , AP ) = ( AC , AP ) Giả sử hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ có độ dài các cạnh bằng 1 Xét tam giác APC có: 2 2  5 1  3 1 ; AC = 12 + 12 = 2 ; AP = 12 + 12 +    = . PC = 12 +   =  2  2   2 2 

9 5 2+ − 4 4 = 1 ⇒ PAC = = 45° . Theo định ý hàm cos trong tam giác APC ta có: cos PAC 3 2 2 2. 2 Câu 65. Chọn B

B' a 2

C' a 2

A a

D a 2

Gọi α là góc giữa hai đương thẳng AC và SB . Có AC = a 2 , SB = 2a . Có AC .SB = AB + AD . AB − AS = AB 2 = a 2 .

(

)(

Ta thấy A ' C '/ / AC ⇒ ( CD ', A ' C ' ) = ( CD ', AC ) = ϕ Do các mặt của hình lập phương bằng nhau nên các đướng chéo AC = CD ' = AD ' = a 2 Suy ra ∆ACD ' đều nên ( CD ', A ' C ' ) = ( CD ', AC ) = ϕ = 600.

)

Câu 69.

Chọn C

SA2 + SB 2 − AB 2 7 ! = cos ! = = cosCSB ASC 2SA.SB 9 ! 2 2 2 AM = SA + SM − 2SA.SM .cos ASC = 48 ⇒ AM = 4 3 1 AM = SM − SA = SC − SA 3  1  1 − SA.SB.cos ASB = −42a 2 nên Do đó AM .SB =  SC − SA  SB = .SC.SB.cos BSC 3 3 

Ta có cos ! ASB =

cos( AM ; SB ) =

Gọi H là trung điểm của SD ⇒ OH || SB . Do đó ( SB, AC ) = ( OH , AC ) . Tính được SB = 5a; SD = a 6; AC = a 3 , suy ra OH =

AM .SB AM .SB

42 14 . = 4 3.9 3 48

Cách 2.

1 a 5 a 6 1 SB = ; AH = SD = ; 2 2 2 2

3 2 5 2 3 2 a + a − a 1 a 3 15 4 2 . . Do đó cos AOH = 4 nên cos ( SB, AC ) = = 2 15 3 5 15 2. a. a 2 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng BA’ và B’D’ bằng 60 0 . Câu 70. Chọn B AO =

Gọi E là trung điểm AC . 2 1 Ta có 2MS + MC = 0 ⇔ AM = AS + AC . 3 3 Dễ chứng minh được AC ⊥ ( SBE ) nên AC ⊥ SB .

Vì là hình lập phương ⇒ 6 mặt đều là hình vuông bằng nhau nên các đường chéo của chúng đèu bằng nhau

SA2 + SB 2 − AB 2 7 = 2SA.SB 9  2 1  2 2 2  −7  Do đó AM .SB =  AS + AC  .SB = . AS .SB = AS .SB.cos AS , SB = .9a.9a.  = −42a 2 . 3 3 3 3 3   9 

⇒ A′C ′ = A′B = BC ′ ⇒ ∆A′C′B đều 0 Ta có: AD′ / / BC ′ ⇒ ( A′B; AD′ ) = ( A′B; BC ′ ) = ∠A′BC ′ = 60 Câu 71.

cos ! ASB =

(

Chọn D

Vậy cos( AM ; SB ) = Câu 72.

Chọn.

AM .SB AM .SB

42 14 = . 4 3.9 3 48

∧

Cách 1

)

∧

Kẻ OM SC ⇒ ( SC , BD) = (OM , BD) Ta có ABCD là hình chữ nhật có AB = a , BC = a 3 ⇒ AC = BD = 2a . 41

SC SA2 + AC 2 a 5 BD a 5 = = , BM = SA2 + AB 2 = = a , OM = . 2 2 2 2 2 2 2 2 ∧ ∧ OM + BO − BM 5 5 . = cos( MOB) = ⇒ cos ( SC , BD) = 2OM .BO 5 5 Chọn C

cos AIH =

BO =

Câu 73.

HI 2 = AI 3

AIH = Côsin của góc giữa đường thẳng AI và SC là cos Câu 75.

2 3

Chọn C D N

A B P

M C

(

) (

)

, PN . AB, CD = PM Gọi P là trung điểm AC , ta có PM //CD và PN //AB , suy ra

Gọi P là trung điểm của AC , ta có: MP //AB , PN //CD và MP = PN =

Dễ thấy PM = PN = a . = Xét ∆PMN ta có cos MPN

(

a . 2

Do MP //AB và PN //CD nên góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MP và PN .

PM 2 + PN 2 − MN 2 a 2 + a 2 − 3a 2 1 = =− 2 PM .PN 2.a.a 2

)

= 1200 ⇒ ⇒ MPN AB, CD = 1800 − 1200 = 600 .

= Xét tam giác MPN , có cos MPN

Câu 76.

1 MP 2 + PN 2 − MN 2 = 120° . = − ⇒ MPN 2 2.MP.PN

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 60° . Chọn D A

N A

Câu 74. Gọi H là trung điểm SB ta có SC / / HI Góc giữa đường thẳng AI và SC bằng góc giữa đường thẳng AI và HI

M C

 AB || NE nên góc giữa hai đường thẳng AB và CD Gọi E lần lượt là trung điểm của BD . Vì  CD || ME bằng góc giữa hai đường thẳng NE và ME . a 2 a 2 3a 2 + − 2 2 2 ME + NE − MN 1 = = 4 4 2 4 =− Trong tam giác MNE ta có: cos MEN a 2 ME.NE 2 2. 4 = 120° . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 60° . Suy ra MEN

AB 2 + SA2 a 2 1 AH = SB = = 2 2 2 a2 3 2 2 2 AI = AB + BI = a + = a 2 2 SC SA2 + AC 2 a 2 + 3a 2 = = =a 2 2 2 2 2 2 AI = AH + H I suy ra tam giác AHI vuông tại H

HI =

Câu 77.

Chọn D 3 Đặt CD = AD = a ⇒ AC = a . 2 AB.DC Ta có: cos AB, DC = | AB | . | DC | − AB. AD.cos BAD AB.DC = AB. AC − AD = AB. AC − AB. AD = AB. AC.cos BAC

(

Gọi M , N , E lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC , CF , AB .  MN / / BF Khi đó:  ⇒ ( AC ; BF ) = ( MN ; ME ) .  ME / / AC . Tính góc EMN

)

(

Xét tam giác MNE , ta có: 1 1 1 a 5 MN = BF = BC 2 + CF 2 = a 2 + 4a 2 = 2 2 2 2 1 a a 3 ME = AC = , EC = 2 2 2 a 7 3a 2 2 2 NE = EC + NC = + a2 = 4 2 a 2 5a 2 7 a 2 + − 2 2 2 ME + MN − EN 4 4 =− 1 = Suy ra: cos EMN = 4 2 ME .MN a a 5 2 5 2. . 2 2 = 5 Vậy cos ( AC ; BF ) = cos EMN 10 Câu 80. Chọn B

)

3a a .cos 60° − AB.a.cos 60° = AB. 2 4 a . AB AB.DC 4=1 Nên cos AB, DC = = | AB | . | DC | AB.a 4 Vì cos( AB, CD) = cos AB, DC = AB.

(

)

(

)

1 Vậy cos( AB, CD) = . 4 Câu 78. Chọn C

Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC, SB, SA . Góc giữa AB và SC là góc giữa PN và MN . a MN = = NP 2 2

a 3 a 2 a a 3 ⇒ PM = PC 2 − CM 2 =   −  2  = 2 2 2     = 60° . Suy ra tam giác MNP là tam giác đều ⇒ MNP PC = BP =

Câu 79.

Vậy góc giữa AB và SC bằng 60° . Chọn A

a F

B Gọi N là trung điểm của AC . Khi đó, AB MN nên ( DM , AB ) = ( DM , MN ) .

E N

Dễ dàng tính được DM = DN =

a 3 a và MN = . 2 2

A C

2 2 2 = DM + MN − DN = Trong tam giác DMN , ta có cos DMN 2 DM .MN

E B

a2 3 4 = . 6 a 3 a 2⋅ ⋅ 2 2 46

3 3 > 0 nên cos ( DM , MN ) = . 6 6 3 Vậy cos ( DM , AB ) = . 6 Chọn D

= Vì cos DMN

Câu 81.

C A

a 3 Giả sử tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a ta có: DM = . 2 3 a.a.cos 60° + a.a.cos120° AB.DM AB.DB + AB.BM = Ta lại có: cos AB, DM = = . = 6 a 3 a 3 AB . DM a. a. 2 2 3 Vậy cos ( AB, DM ) = . 6

1 M

(

Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AD .  MN // AB  Trong ∆ABC , có  1 1 (Tính chất đường trung bình)  MN = 2 AB = 2  NP // CD  Trong ∆ACD , có  1 2 (Tính chất đường trung bình)  NP = CD =  2 2

Câu 83.

2 3 1  2  Trong ∆AMP , có MP = AP 2 + AM 2 =   +  .  = 2 2    2   MN // AB Ta có  ⇒ ( AB; CD ) = ( MN ; NP ) = MNP  NP // CD Áp dụng định lý Cosin cho ∆MNP , có 2

Câu 84. Câu 85. Câu 86.

 2   1 2  3    +  −  = NP + NM − MP =  2   2   2  = 0 ⇒ MNP = 90° cos MNP 2 NP.NM 2 1 2. . 2 2 Hay ( AB; CD ) = 90° . 2

Câu 82.

Câu 87.

)

DẠNG 3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Chọn B Trong không gian, có vô số đường thẳng qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. Vì vậy chọn đáp án B Chọn D Suy ra từ tính chất 1 theo SGK hình học 11 trang 100 . a ⊥ b ⇒ a ⊥ c. Sử dụng định lí  b //c Chọn D Theo kiến thức SGK có bốn vị trí tương đối của hai đường thẳng mà nếu hai đường thẳng trùng nhau hoặc song song thì chúng không vuông góc với nhau do đó nếu a ⊥ b thì a và b cắt nhau hoặc chéo nhau. Chọn D Qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Các đường thẳng này cùng nằm trên mặt phẳng qua O và vuông góc với đường thẳng ấy. Vậy D sai.

Câu 88.

Chọn A

Hướng dẫn giải Chọn C Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể song song hoặc chéo nhau. Đáp án C chỉ đúng trong mặt phẳng. Câu 89. Chọn B Đáp án A sai do hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

 AA′ ⊥ AB Ví dụ: Cho lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ ta có  . Dễ thấy AA′ và AD cắt nhau.  AD ⊥ AB Đáp án C sai do hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể trùng nhau. Đáp án D sai do trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể chéo nhau. Câu 90. Chọn A A'

D' C'

Ta có tam giác SAC cân tại S và SO là đường trung tuyến cũng đồng thời là đường cao. Do đó SO ⊥ AC . Trong tam giác vuông SOA thì AC và SA không thể vuông tại A .

Vì hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên các tứ giác ABCD , A′B′BA , B′C ′CB đều là hình thoi nên ta có AC ⊥ BD mà AC // A′C ′ ⇒ A′C ′ ⊥ BD (B đúng). A′B ⊥ AB′ mà AB′ // DC ′ ⇒ A′B ⊥ DC ′ (C đúng). BC ′ ⊥ B ′C mà B′C // A′D ⇒ BC′ ⊥ A′D (D đúng). Câu 91. Chọn A

Câu 92.

Ta có: A′D / / B′C , B′C ⊥ BC ′ ⇒ A′D ⊥ BC ′ Chọn D

TOÁN 11

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Câu 2.

(THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước? A. Vô số. B. 2 . C. 3 . D. 1.

Câu 3.

(THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α ) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong

1H3-3

Contents A. CÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 1

mặt phẳng (α ) .

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.................................................................................................................................. 1 DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG...................................................................................................................................................... 3

B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α ) thì d vuông

Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng........................................................................................................ 3

C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (α ) thì d

góc với mặt phẳng (α ) .

Dạng 2.2 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng .................................................................................................... 4

vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (α ) .

DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ..................................................................... 4 Dạng 3.1 Góc của cạnh bên với mặt phẳng đáy ........................................................................................................... 4 Dạng 3.2 Góc giữa cạnh bên với mặt phẳng bên........................................................................................................ 10

D. Nếu d ⊥ (α ) và đường thẳng a // (α ) thì d ⊥ a . Câu 4.

Dạng 3.3 Góc giữa đường thẳng khác với mặt phẳng ........................................................................................... 14 DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC.................................................................................................. 17 B. LỜI GIẢI ................................................................................................................................................................... 19 DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT................................................................................................................................ 19 DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG.................................................................................................................................................... 19

Câu 5.

thì mặt phẳng ( P ) song song hoặc trùng với mặt phẳng ( Q ) .

Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng...................................................................................................... 19 Dạng 2.2 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng .................................................................................................. 24 DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ................................................................... 26 Dạng 3.1 Góc của cạnh bên với mặt phẳng đáy ......................................................................................................... 26 Dạng 3.2 Góc giữa cạnh bên với mặt phẳng bên........................................................................................................ 40 Dạng 3.3 Góc giữa đường thẳng khác với mặt phẳng ........................................................................................... 52

(SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Trong không gian, khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. D. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây? A. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P ) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( Q )

Câu 6.

DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC.................................................................................................. 60

B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P ) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng ( P ) thì đường thẳng a song song với đường thẳng b . C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P ) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng ( P ) thì đường thẳng a song song hoặc trùng với đường thẳng b . D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho. (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây: A. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. B. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời a ⊥ b . Luôn có mặt phẳng (α ) chứa a và

(α ) ⊥ b . C. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Nếu mặt phẳng (α ) chứa a và mặt phẳng

A. CÂU HỎI DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 7. Câu 1.

(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng

( P ) , trong đó

a ⊥ ( P ) . Chọn mệnh đề sai.

A. Nếu b // a thì b // ( P ) .

B. Nếu b // a thì b ⊥ ( P ) .

C. Nếu b ⊥ ( P ) thì b // a .

D. Nếu b // ( P ) thì b ⊥ a .

( β ) chứa b thì (α ) ⊥ ( β ) . D. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng ( P ) . Chọn khẳng định đúng? A. Nếu a ( P ) và b ⊥ a thì b ⊥ ( P ) .

B. Nếu a ( P ) và b ⊥ ( P ) thì b ⊥ a .

C. Nếu a ⊥ ( P ) và b ⊥ a thì b ( P ) .

D. Nếu a ( P ) và b ( P ) thì b a .

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho tứ diện MNPQ có hai tam giác MNP và QNP là hai tam giác cân lần lượt tại M và Q . Góc giữa hai đường thẳng MQ và NP bằng A. 45° . B. 30° . C. 60° . D. 90° .

Câu 18.

Câu 9.

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O , SA = SC , SB = SD . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng? A. SA ⊥ ( ABCD ) . B. SO ⊥ ( ABCD ) . C. SC ⊥ ( ABCD ) . D. SB ⊥ ( ABCD ) .

Câu 19.

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABCD) . Khẳng định nào sau đây sai? A. CD ⊥ (SBC ) . B. SA ⊥ ( ABC ) .

Câu 11.

C. BC ⊥ ( SAB ) .

Câu 13.

(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SC , SD . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AH ⊥ ( SCD ) . B. BD ⊥ ( SAC ) . C. AK ⊥ ( SCD ) . D. BC ⊥ ( SAC ) .

Câu 14.

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M là hình chiếu của A trên SB . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. AM ⊥ SD . B. AM ⊥ ( SCD ) . C. AM ⊥ CD . D. AM ⊥ ( SBC ) .

Câu 17.

Câu 21.

Câu 22.

(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp SABC có SA ⊥ ( ABC ) .

D. SA ⊥ BC .

(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho tứ diện đều ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Mệnh đề nào sau đây sai? A. MN ⊥ AB . B. MN ⊥ BD . C. MN ⊥ CD . D. AB ⊥ CD . DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Dạng 3.1 Góc của cạnh bên với mặt phẳng đáy

Câu 23.

(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) ; tam giác ABC đều cạnh a và SA = a (tham khảo hình vẽ bên). Tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) . S

(ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. BA ⊥ ( SAD ) . B. BA ⊥ ( SAC ) . C. BA ⊥ ( SBC ) . D. BA ⊥ ( SCD ) . (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng 2 , cạnh bên SA bằng 3 và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh bên SB và N là hình chiếu vuông góc của A trên SO . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. AC ⊥ ( SDO ) . B. AM ⊥ ( SDO ) . C. SA ⊥ ( SDO ) . D. AN ⊥ ( SDO ) .

D. BC ⊥ AC .

(THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho tứ diện S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của

A trên cạnh SB và SC . Khẳng định nào sau đây sai? A. AM ⊥ SC . B. AM ⊥ MN . C. AN ⊥ SB .

D. DM ⊥ ( ABC ) .

(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc đáy. Mệnh đề nào sau đây sai? A. BC ⊥ ( SAB ) . B. AC ⊥ ( SBD ) . C. BD ⊥ ( SAC ) . D. CD ⊥ ( SAD ) .

Câu 16.

(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = 2, DB = DC = 3 . Khẳng định nào sau đây đúng? B. AC ⊥ BD . C. AB ⊥ ( BCD ) . D. DC ⊥ ( ABC ) . A. BC ⊥ AD .

chiếu vuông góc của S lên BC . Hãy chọn khẳng định đúng. B. BC ⊥ AH . C. BC ⊥ AB . A. BC ⊥ SC .

Câu 12.

Câu 15.

D. SH , AK và BC đồng quy.

(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S. ABC đáy ABC là tam giác đều, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và SB . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. CM ⊥ SB . B. CM ⊥ AN . C. MN ⊥ MC . D. AN ⊥ BC . Câu 20. (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) và H là hình

D. BD ⊥ ( SAC ) .

(THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều. Gọi M là trung điểm của AB . Khẳng định nào sau đây đúng? A. CM ⊥ ( ABD ) . B. AB ⊥ ( MCD ) . C. AB ⊥ ( BCD ) .

B. HK ⊥ ( SBC ) .

C. BC ⊥ ( SAB ) .

Dạng 2.2 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng

Câu 8.

Câu 10.

A. BC ⊥ ( SAH ) .

A. 60o . Câu 24.

B. 45o .

C. 135o .

D. 90o .

(Trường THPT Thăng Long Lần 1 năm 2018-2019) Cho hình chóp S. ABC có cạnh SA vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây? B. SB và SC . C. SA và SB . D. SB và BC . A. SB và AB .

Gọi H , K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau? 3

Câu 25.

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( ABCD ) bằng: 3 A. arcsin . B. 450 . C. 600 . D. 300 . 5

Câu 26.

(THPT YÊN KHÁNH A - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 2. Tính góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD ) .

Câu 27.

A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 900 . (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Cho hình lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có AB = 3 và AA′ = 1 . Góc tạo bởi giữa đường thẳng AC′ và ( ABC ) bằng

A. 45o . B. 60o . C. 30o . D. 75o . Câu 28. (SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện đều ABCD . Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( BCD ) . Tính cosϕ .

A. 90 . Câu 31.

B. 45 .

C. 30 .

D. 60 .

(102 - THPT 2019) Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 2 a , tam giác ABC vuông tại B , AB = a và BC = 3a (minh họa như hình vẽ bên).

A. cosϕ = 0 . Câu 29.

Câu 30.

B. cosϕ =

1 . 2

C. cosϕ =

3 . 3

D. cosϕ =

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng A. 90° . B. 30° . C. 60° .

2 . 3

(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương thi thử lần 1 (2018-2019)) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Độ lớn của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng B. 75° . C. 30° . D. 60° . A. 45° .

Câu 32.

D. 45° .

(103 - THPT 2019) Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . SA = 2a . Tam giác ABC vuông cân tại B và AB = a ( minh họa như hình vẽ bên).

(101 - THPT 2019) Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC vuông tại B , AB = a 3 và BC = a (minh họa hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng A. 450 . Câu 33.

B. 600 .

C. 300 .

D. 900 .

(104 - THPT 2019) Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC vuông cân tại B và AB = a 2 (minh họa như hình vẽ bên).

C a 2

a 2

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng A. 60o . Câu 34.

Câu 35.

Câu 36.

B. 45o .

C. 30o .

D. 90o .

Câu 40.

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 2 a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng B. 90° . C. 30° . D. 45° . A. 60° .

Câu 41.

(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = a và SB = 2a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng. 0 0 0 0 A. 60 . B. 45 . C. 30 . D. 90 .

Câu 42.

A. cot ϕ = 2 . Câu 43.

C. 0.

1 . 3

B. 45°.

C. 30°.

D. 90°.

1 B. cot ϕ = . 2

C. cot ϕ = 2 2 .

D. cot ϕ =

2 . 4

(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hình chóp S . ABC có SB vuông góc ( ABC ) . Góc B. SC và AB .

C. SC và BC .

D. SC và SB .

(Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho hình thoi ABCD tâm O có BD = 4a, AC = 2a . Lấ y = 1 . Tính số đo góc giữa điểm S không thuộc ( ABCD ) sao cho SO ⊥ ( ABCD ) . Biết tan SBO 2 SC và ( ABCD ) . A. 600 .

3 5 . 5

giữa SC với ( ABC ) là góc giữa

SC và ( ABCD ) ( tham khảo hình vẽ bên). Khi đó tan ϕ bằng

, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy và SA = a . Gọi ϕ là góc tạo bởi SB và mặt phẳng ( ABCD ) . Xác định cot ϕ ?

Câu 44.

(Thi thử lần 4-chuyên Bắc Giang_18-19) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , SA = 3a . Gọi ϕ là góc giữa

5 . 3

(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a

A. SC và AC .

Câu 39.

(Thi thử hội 8 trường chuyên lần 3 - 23 - 5 - 2019) Cho lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa đường thẳng AB′ và mặt phẳng ( A′B′C ′) bằng A. 60°.

A. Các mặt bên của hình chóp các tam giác vuông B. ∆SBC vuông. C. AH ⊥ SC D. Góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng ( ABC ) là góc SCB

3 . 5

(Nho Quan A - Ninh Bình - lần 2 - 2019) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của

A. 1.

Câu 37.

cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC ) . Tính tan α .

(Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại C , AC = a , BC = 2 a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng B. 90° . C. 30° . D. 45° . A. 60° .

(THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng A. 45° . B. 60° . C. 30° . D. 90° . Câu 38. (THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Cho hình chóp S . ABC tam giác ABC vuông tại B cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ). Gọi H là hình chiếu của A trên SB . Mệnh đề nào sau đây SAI?

5 . 5

B. 750 .

C. 300 .

D. 450 .

Câu 45.

(SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình chóp S . MNP có đáy là tam giác đều, MN = a , SM vuông góc với mặt phẳng đáy, SP = 2 a , với 0 < a ∈ ℝ . Tính góc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng đáy. A. 45° . B. 90° . C. 60° . D. 30° .

Câu 46.

(ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SB = 5a . Tính sin của góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD ) .

2 2 . 3

3 2 . 4

3 17 . 17

2 34 . 17

Câu 47.

(THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a , AD = a . SA vuông góc với mặt phẳng đáy. SA = a 3 . Cosin của góc giữa SC và mặt đáy bằng: 5 7 6 10 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4

Câu 48.

(CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh ADC = 60° . Gọi O là giao điểm của AC và BD , SO ⊥ ( ABCD ) và SO = a . Góc giữa 2a ,

đường thẳng SD và mặt phẳng ( ABCD ) bằng A. 60° . B. 75° . C. 30° . D. 45° . Câu 49. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình a 6 vuông cạnh a và SA ⊥ ( ABCD ) . Biết SA = . Góc giữa SC và ( ABCD ) là: 3 A. 45° . B. 30° . C. 75° . D. 60° . Câu 50.

(THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. a 3 15 . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy Biết thể tích của khối chóp S . ABCD là 6 ( ABCD ) là A. 120o .

Câu 51.

C. 45o .

3 B. . 2

3 . 7

2 3 D. . 3

(THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019)Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Tam giác SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Số đo góc giữa đường thẳng SA và ( ABC ) bằng:

Câu 58.

Câu 59.

Câu 54.

Câu 60.

Câu 55.

C. 60° .

1 . 3

2 . 6

(THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của SB và SD , O là giao điểm của AC và BD . Khẳng định nào sau đây sai? A. SO ⊥ ( ABCD ) . B. ( SAC ) ⊥ ( SBD ) .

(

)

D. SA , ( ABCD ) = 60° .

(THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC ) là trung điểm của cạnh BC . Biết ∆SBC đều, tính A. 45°

Câu 61.

B. 90°

C. 30°

D. 60°

(Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ , đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , ACB = 300 . M là trung điểm AC . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của BM . Khoảng cách từ C′ đến mặt phẳng ( BMB′)

3a . Tính số đo góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình lăng trụ. 4 0 A. 60 . B. 300 . C. 900 . D. 450 . Dạng 3.2 Góc giữa cạnh bên với mặt phẳng bên

bằng

D. 450 .

Câu 62.

(SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKI I - 2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , SA ⊥ ( ABC ) , SA = a 3 . Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) . B. 45° .

2 . 2

góc giữa SA và ( ABC )

(THPT NGÔ QUYỀN - HẢI PHÒNG - 2018) Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SA = a

A. 75° .

6 . 3

C. EF // ( ABCD ) .

, tam giác ABC đều cạnh a . Góc giữa SC và mặt phẳng ( ABC ) là:

C. 300 .

A. 45° . B. 30° . C. 75° . D. 60° . (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau và SA = SB = SC = a . sin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng A.

H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và ( ABC ) . B. 75° . C. 60° . D. 45° .

B. 600 .

D. 2 2 .

Câu 57.

(THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC ) trùng với trung điểm

A. arctan 2

C. 2 .

(SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2 a , H là hình chiếu của S lên AB , tam giác SAB vuông cân tại S , SH vuông góc với ( ABC ) . Góc giữa cạnh SC và mặt đáy bằng: A. 600 . B. 300 . C. 900 . D. 450 .

A. 30° . Câu 53.

2 . 3

Câu 56.

D. 60o .

(THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Cho hình lăng trụ đều ABC . A′B′C ′ có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của AB và α là góc tạo bởi đường thẳng MC′ và mặt phẳng ( ABC ) . Khi đó tan α bằng 2 7 A. . 7

Câu 52.

B. 30 o .

D. 30° .

(SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là α . Khi đó tan α bằng

(THPT Minh Khai - lần 1) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi tâm O , SO ⊥ ( ABCD ) .

Góc giữa SA và mặt phẳng ( SBD ) là góc

ASO . A. Câu 63.

. C. SAC

ASB . D.

(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a 2 . Tìm số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( SAB ) . A. 45o .

. B. SAO

B. 30o .

C. 90o .

D. 60o . 10

Câu 64. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 3 Gọi α là góc tạo bởi giữa đường thẳng SB và mặt phẳng

( SAC ) , khi đó α 2 A. cos α = . 8 Câu 65.

thỏa mãn hệ thức nào sau đây: B. sin α =

2 . 8

C. sin α =

2 . 4

D. cos α =

2 . 4

(THPT CHUYÊN LAM SƠ SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và SA = a 6 (hình vẽ). Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( SAC ) . Tính sin α ta được kết quả là:

2 6 3 . B. . C. 2 . D. . 2 3 3 Câu 70. (Chuyên ĐH Vinh-lần 2-2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC . A′B ′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2, BC = 1, AA′ = 1 . Tính góc giữa AB′ và ( BCC ′B′) . A. 45 °. B. 90°. C. 30°. D. 60°. A.

A. Câu 66.

1 . 14

3 . 2

1 . 5

B. 60° .

C. 45° .

(Thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 1 (13/4/2019)) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh ABC = 600 , SA = a 3 và SA ⊥ ( ABCD ) . Tính góc giữa SA và mặt phẳng ( SBD ) . 2a , A. 60° . B. 90° . C. 30° . D. 45° .

Câu 72.

(Kinh Môn - Hải Dương L2 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a , AD = a 3 . Cạnh bên SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 2 . Góc giữa đường thẳng SC và mặt

phẳng ( SAB ) là A. 30° . B. 90° . C. 45° . D. 60° . Câu 73. (HKI-Chuyên Vinh 18-19) Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ⊥ ( ABCD) và SA = a . Góc giữa đường thẳng SB và ( SAC ) là A. 30° . Câu 74.

D. 30° .

B. 30° .

C. 60° .

D. 90° .

C. 60° .

D. 45° .

(QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với đáy ( ABCD ) và

A. Câu 75.

(Cụm liên trường Hải Phòng-L1-2019) Cho khối chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC

vuông tại B , AC = 2a , BC = a , SB = 2a 3 . Tính góc giữa SA và mặt phẳẳng ( SBC ) . A. 45° . B. 30° . C. 60° . D. 90° . Câu 69. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC . A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = AA′ = a (tham khảo hình vẽ bên). Tính tang của góc giữa đường thẳng BC′ và mặt phẳng ( ABB ′A′ ) .

B. 75° .

SA = 2a . Tính cosin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( SAD ) .

(THPT KIẾN AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC . A′B ′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = BC = a , BB ' = a 3 . Tính góc giữa đường thẳng A′B và mặt phẳng ( BCC ′B′ ) . A. 45° .

Câu 68.

2 . 2

(THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB = a , AD = 3a . Cạnh bên SA = a 2 và vuông góc mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( SAC ) bằng: A. 75° .

Câu 67.

Câu 71.

5 . 5

2 5 . 5

1 . 2

D. 1 .

(THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a 2 , AD = a , SA vuông góc với đáy và SA = a . Tính góc giữa SC và ( SAB ) . A. 90° .

B. 60° .

C. 45° .

D. 30° .

Câu 76.

(THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D ′ (hình bên). Tính góc giữa đường thẳng AB′ và mặt phẳng ( BDD′B ′ ) . B. 90° . C. 45° . D. 30° . A. 60° .

Câu 77.

(THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với ( ABCD ) ,

AB = 3,BC = 4 ,SA = 1 (tham khảo hình vẽ dưới đây). Sin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( SBD ) bằng

Câu 83.

(CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = 2a , BC = a , ABC = 120° . Cạnh bên SD = a 3 và SD vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ bên). Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng ( SAC ) S

D D

A. Câu 78.

1 . 3

13 26 . 338

12 . 65

B. 2 .

1 . 2

2 . 3

5 . 3

2 . 2

3 . 2

A. Câu 84.

3 . 3 Câu 85.

3 . 4

3 . 2

Câu 86.

Câu 82.

1 C. . 4

B. 450 .

C. 600 .

1 . 2

D. 900 .

C′

D′ P

B′

D. 900 .

3 . 7

Câu 87. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Cho hình hộp ABCD. A′B ′C ′D ′ có M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh A′B′ , A′D′ , C ′D ′ . Góc giữa đường thẳng CP và mặt phẳng ( DMN ) bằng?

1 D. . 5

(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B , cạnh bên = 600 và SA = a 2 . Góc giữa đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = 2a , BAC SB và mặt phẳng ( SAC ) bằng A. 300 .

3 . 5

C. 1 .

A′

1 B. . 3

(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi E , M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SA , α là góc tạo bởi đường thẳng EM và mặt phẳng ( SBD ) . Giá trị của tan α bằng

tan α .

1 A. . 2

1 . 4

(SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B , cạnh = 600 và SA = a 2 . Góc giữa đường thẳng SB bên SA vuông góc với mặt đáy, AB = 2a , BAC và mặt phẳng ( SAC ) bằng

A. 2 .

(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , = 600 , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 3 . Gọi α là góc giữa SA và mặt phẳng ( SCD ) . Tính góc ABC

3 . 4

A. 450 . B. 600 . C. 300 . Dạng 3.3 Góc giữa đường thẳng khác với mặt phẳng

2 2 . 3

2 . 3

(LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D ′ có cạnh bằng a , gọi α là góc giữa đường thẳng A′B và mặt phẳng ( BB′D′D ) . Tính sin α . A.

(Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . Gọi α là góc giữa SD và ( SAC ) . Giá trị sin α bằng 2 A. . 4

Câu 81.

12 26 . 338

(Chuyên Phan Bội Châu-lần 1-2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi = 60o . SA = SB = SD = a 3 . Gọi α là góc giữa đường thẳng SD và tâm I , cạnh a , góc BAD 2 mặt phẳng ( SBC ) . Giá trị sin α bằng A.

Câu 80.

(THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2 AD = 2a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 15 . Tính tang của góc giữa SC và mặt phẳng ( SAD ) . A.

Câu 79.

11 26 . 328

C 14

Câu 88.

A. 0° . B. 45° . C. 30° . D. 60° . (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD đều cạnh a , AB vuông góc với mp ( BCD ) , AB = 2a . M là trung điểm đoạn AD ,gọi ϕ là góc giữa CM

Câu 91.

SB . Góc giữa đường thẳng CM và mặt phẳng ( SAB ) bằng:

với mp ( BCD ) ,khi đó:

3 A. tan ϕ = . 2 Câu 89.

(THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh lần 1 năm 18-19) Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SA = 2a 3, AB = 2a , tam giác ABC vuông cân tại B . Gọi M là trung điểm của A. 900 .

2 3 B. tan ϕ = . 3

3 2 C. tan ϕ = . 2

6 D. tan ϕ = . 3

Câu 92.

(THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SC và AD (tham khảo hình vẽ). Câu 93.

C. 450 .

D. 300 .

(Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều và nàm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD . Tính sin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng SA và mặt phẳng ( SHK ) . A.

B. 600 .

2 . 2

2 . 4

14 . 4

7 . 4

(Tham khảo 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ( ABCD) bằng S

Góc giữa MN và mặt đáy ( ABCD ) bằng A. 90° . Câu 90.

B. 30° .

C. 45° .

D. 60° . B

(THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD (tham khảo hình vẽ). Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( BCD ) . Tính tan ϕ .

2 A. . 2 Câu 94.

3 B. . 3

2 C. . 3

1 . 3

[THPT THĂNG LONG-HÀ NỘI-LẦN 2-2018-2019] Cho hình chóp đều S. ABCD có

SA = 5a , AB = a . Gọi M , N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD . Tính cosin của

(

)

góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng MQP .

2 A. . 2

Câu 95.

15 . 6

(Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , BC = a 3 , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Đặt α là góc giữa

Câu 96. C

B. tan ϕ =

3 . 2

đường thẳng BD và ( SBC ) . Giá trị của sin α bằng

A. tan ϕ = 2 .

1 B. . 2

2 . 2

C. tan ϕ = 3 .

D. tan ϕ =

2 . 4

5 . 5

1 . 2

3 . 2

(HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , SA và α là góc tạo bởi đường thẳng MN với ( SBD ) . Tính tan α .

3 . 3

A. Câu 97.

B. 1.

C. 2.

(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Biết rằng góc giữa MN và ( ABCD ) bằng 600 , cosin góc giữa MN và mặt phẳng ( SBD ) bằng: 16

41 5 2 5 2 41 . B. . C. . D. . 41 5 5 41 Câu 98. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Cho lăng trụ ABC . A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của B′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC .

Cạnh bên hợp với ( ABC ) góc 60° . Sin của góc giữa AB và mặt phẳng ( BCC ′B′ ) . 3 3 1 2 . B. . C. . D. . 13 2 13 13 13 Câu 99. (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp VS . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = a , SA ⊥ AB , SC ⊥ BC , SB = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA , BC . Gọi α là góc giữa MN với ( ABC ) . Tính cos α . A.

A. cos α =

2 11 . 11

B. cos α =

6 . 3

C. cos α =

2 6 . 5

D. cos α =

10 . 5

Câu 100. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là điểm trên đoạn SD sao cho SM = 2 MD . S

Câu 107. (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Cho hình hộp đứng ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , AA′ = 3a . Mặt phẳng qua A vuông góc với A′C cắt các cạnh BB′, CC ′, DD′ lần lượt tại I , J , K . Tính diện tích thiết diện AIJK

Tan góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ( ABCD ) là

1 A. . 3

5 B. . 5

3 C. . 3

1 D. . 5

2a 2 11 . 3

a 2 11 . 2

a 2 11 . 3

3a 2 11 . 2

Câu 108. Cho hình chóp đều S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a , các mặt bên là các tam giác vuông cân tại S . Gọi G là trọng tâm của ∆ABC , (α ) là mặt phẳng qua G vuông góc với

DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC Câu 101. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC và tam giác ABC vuông tại C . Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ( ABC ) . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. H là trung điểm của cạnh AB . B. H là trọng tâm tam giác ABC . C. H là trực tâm tam giác ABC . D. H là trung điểm của cạnh AC . Câu 102. (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) và đáy

ABCD là hình vuông tâm O ; Gọi I là trung điểm của SC ; Xét các khẳng định sau: 1. OI ⊥ ( ABCD ) .

SC . Diện tích thiết diện của hình chóp S. ABC khi cắt bởi mặt phẳng (α ) bằng 4 2 2 4 2 a . B. a 2 . C. a 2 . D. a 2 . 9 3 3 9 Câu 109. Cho lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 2 . Gọi M là trung điểm của AB . Diện tích thiết diện cắt lăng trụ đã cho bởi mặt phẳng ( A ' C ' M ) là A.

7 2 2 a . 16

3 35 2 a . 16

3 2 2 a . 4

9 2 a . 8

Câu 110. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A , đáy lớn AD = 8 , đáy nhỏ BC = 6 . SA vuông góc với đáy, SA = 6 . Gọi M là trung điểm của AB . ( P ) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB . Thiết ( P ) có diện tích bằng: diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi mặt phẳng B. 15 . C. 30 . D. 16 . A. 20 .

2. BD ⊥ SC . 3. ( SAC ) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD . 4. SB = SC = SD . Trong bốn khẳng định trên, số khẳng định sai là A. 1. B. 4. C. 2.

Câu 105. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy góc 450 . Một mặt phẳng (α ) đi qua A và vuông góc với SC cắt hình chóp S . ABCD theo thiết diện là tứ giác AB ′C ′D ′ có diện tích bằng: a2 3 a2 3 a2 3 a2 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 6 3

qua M và song song với SA, AD . Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( P ) là A. Hình bình hành. B. Hình vuông. C. Hình thang vuông. D. Hình chữ nhật.

Câu 104. (THPT THĂNG LONG - HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có độ dài cạnh đáy bằng a . Độ dài cạnh bên của hình chóp bằng bao nhiêu để góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60° . 2a a 3 a 2a A. . B. . C. . D. . 6 6 3 3

Câu 106. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B . SA vuông góc với đáy, M là một điểm trên cạnh AB . Gọi ( P ) là mặt phẳng

Câu 103. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều với cạnh a . Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . M là một điểm khác B và ở trên SB sao SM cho AM vuông góc với MD . Khi đó, tỉ số bằng SB 3 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 8 3

D. 3. 17

Câu 111. (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc. Gọi α , β , γ lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng ( ABC ) (hình vẽ).

A M

P I N

Câu 9.

NP ⊥ MI  Gọi I là trung điểm cảu NP , ta có:  → NP ⊥ (QIM ) → NP ⊥ QM .    NP ⊥ QI Chọn B S

(

)(

)

Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 3 + cot 2 α . 3 + cot 2 β . 3 + cot 2 γ là A. Số khác.

B. 48 3 .

C. 48 .

D. 125 .

B. LỜI GIẢI

Câu 10.

Chọn A S

Câu 1.

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Nếu a ⊥ ( P ) và b // a thì b ⊥ ( P ) .

Câu 2. Câu 3.

Theo tính chất 1 SGK Hình học 11 trang 100 . Khẳng định B sai vì: đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α )

Câu 4.

Ta có O là trung điểm của AC , BD Mà SA = SC , SB = SD ⇒ SO ⊥ AC , SO ⊥ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) .

mà hai đường thẳng đó song song thì d không vuông góc với mặt phẳng (α ) . Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

D A

Câu 5. Câu 6.

Phát biểu D đúng theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hiển nhiên B đúng. Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Do đó, A sai. Nếu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau và cắt nhau thì mặt phẳng chứa cả a và b không thể vuông góc với b . Do đó, C sai. Qua một đường thẳng có vô số mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác. Do đó, D sai.

Câu 7.

Chọn B

Câu 8.

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chọn D

Từ giả thiết, ta có : SA ⊥ ( ABC ) ⇒ B đúng.  BC ⊥ AB Ta có :  ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ C đúng.  BC ⊥ SA  BD ⊥ AC Ta có:  ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ D đúng.  BD ⊥ SA Do đó: A sai. Chọn A. Nhận xét: Ta có cũng có thể giải như sau: CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD )  CD ⊥ SA Mà (SCD) và ( SAD) không song song hay Trùng nhau nên CD ⊥ ( SCD) là sai. Chọn

CD ⊥ SA   ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AK . CD ⊥ AD  AK ⊥ SD  Có  ⇒ AK ⊥ ( SCD ) . AK ⊥ CD  Câu 14. Chọn D

Có

A M B

Câu 11. CM ⊥ AB   ⇒ AB ⊥ ( CDM ) . DM ⊥ AB 

D A

 SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB ) . Do SA ⊥ ( ABCD ) và ABCD là hình vuông nên   AB ⊥ BC  BC ⊥ ( SAB )  AM ⊥ SB ⇒ AM ⊥ BC ;  ⇒ AM ⊥ ( SBC )   AM ⊥ BC  AM ⊂ ( SAB ) Câu 15. Chọn A

Câu 12. Ta có:  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) . +  BC ⊥ SA CD ⊥ AD + ⇒ CD ⊥ ( SAD ) . CD ⊥ SA

Ta có: BA ⊥ SA (do SA ⊥ ( ABCD ) ) BA ⊥ AD (do ABCD là hình vuông)

 BD ⊥ AC + ⇒ BD ⊥ ( SAC ) .  BD ⊥ SA Suy ra: đáp án B sai.

⇒ BA ⊥ ( SAD ) . S

H K

B I

Câu 13.

Dạng 2.2 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng

M A

D H

O Câu 16. B  BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⊃ AN ⇒ AN ⊥ BC . Ta có:   BC ⊥ SA Theo giả thiết: AN ⊥ SO . Vậy AD ⊥ ( SDO ) .

Câu 18. Theo đề bài ta có: ∆ABC , ∆DBC lần lượt cân tại A, D . Gọi H là trung điểm của BC .

 AD ⊂ ( ADH )  AH ⊥ BC ⇒ ⇒ ⇒ BC ⊥ AD . DH ⊥ BC   BC ⊥ ( ADH )

N C

A M

A H

Câu 19.

K B

Câu 17. Cách 1:  BC ⊥ SA Ta có  ⇒ BC ⊥ ( SAH ) nên A đúng suy ra C sai vì mặt phẳng ( SAH ) và mặt phẳng  BC ⊥ SH là hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với BC suy ra ( SAH ) // ( SAB ) . Điều này không thể vì hai mặt phẳng này có SA chung. Cách 2: Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ BA nên tam giác ABC vuông tại B , điều này giả thiết không cho suy ra C sai.

( SAB )

CM ⊥ AB  ⇒ CM ⊥ ( SAB ) ⇒ CM ⊥ SB Ta có CM ⊥ SA  SA, AB ⊂ SAB ( )  Mà AN ⊂ ( SAB ) ⇒ CM ⊥ AN

 MN SA ⇒ MN ⊥ ( ABC ) Mặt khác   SA ⊥ ( ABC )  MN ⊂ ( SAB ) Vì  ⇒ MN ⊥ CM . CM ⊥ ( ABC )

mà MN ⊥ AB . Suy ra MN ⊥ ( ABD ) (Vô lí vì ABCD là tứ diện đều) Vậy phương án B sai. DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Dạng 3.1 Góc của cạnh bên với mặt phẳng đáy . Câu 23. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) là góc SCA = 45° . Tam giác SAC vuông cân tại A nên góc SCA Câu 24. Chọn A

Câu 20.  BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ AH . Ta có:   BC ⊥ SA

B A

Ta có: Hình chiếu của SB trên mặt phẳng ( ABC ) là AB nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng SB và AB . Câu 25. Chọn C

C Câu 21. Ta có: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC mà BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) , AM ⊂ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AM .

 AM ⊥ SB Vậy  ⇒ AM ⊥ ( SBC ) ⇒ AM ⊥ SC ⇒ Đáp án AM ⊥ SC đúng.  AM ⊥ BC  AM ⊥ ( SBC ) Vì  ⇒ AM ⊥ MN ⇒ Đáp án AM ⊥ MN đúng.  MN ⊂ ( SBC ) SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC ⇒ Đáp án SA ⊥ BC đúng. Vậy AN ⊥ SB sai.

. Vì SA ⊥ ABCD nên góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( ABCD ) là góc SDA SA 0 = = 60 . Trong tam giác vuông SDA ta có: tan SDA = 3 ⇒ SDA AD S

a 2 C

Câu 22. • ∆NAB cân tại N nên MN ⊥ AB . • ∆MCD cân tại M nên MN ⊥ CD . • CD ⊥ ( ABN ) ⇒ CD ⊥ AB .

B Câu 26. . ( SC, ( ABCD) ) = ( SC, AC ) = SCA

= 450. Trong tam giác vuông SAC có SA = AC = a 2 ⇒ SCA

• Giả sử MN ⊥ BD 25

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD , ta có SO ⊥ ( ABCD ) .

Câu 27. 1 CC ′ , tan C ′AC = 30 o . ′AC = Ta có ( AC ′, AC ) = CAC′ ⇒C = AC ′, ( ABC ) ) = ( AC 3

=α . SA, ( ABCD ) ) = ( SA, AO ) = SAO (

a 2 1 1 AC = AB 2 + BC 2 = . 2 2 2 a 2 1 OA ∆SAO vuông tại O có cos α = = 2 = suy ra α = 60° . SA a 2 2 Vậy góc giữa SA và ( ABCD ) bằng 60° . Câu 30. Chọn B Ta có OA =

B H

M C

Câu 28. Gọi M là trung điểm của CD . Ta có BM =

AB 3 . 2

Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng ( BCD ) thì H ∈ BM và BH =

2 BM 3

(

Ta có cosϕ = cos ABM = Câu 29.

BH = AB

)

. Ta thấy hình chiếu vuông góc của SC lên ( ABC ) là AC nên SC , ( ABC ) = SCA

AB 3 . 3 Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( BCD ) là ABM . =

= SA = 1 . Mà AC = AB 2 + BC 2 = 2a nên tan SCA AC

AB 3 3 = 3. AB 3

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 45 .

Câu 31.

Chọn D

Chọn D Vì SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) . bằng SCA

= Mà tan SCA

Câu 32.

SA 2a = =1. AC a 2 + 3a 2

= 45° . Vậy SCA Chọn A

Ta có AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng ( ABC ) .

=ϕ . Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng SCA Câu 33.

Ta có AC = a 2 , SA = a 2 nên tam giác SAC vuông cân tại A ⇒ ϕ = 450 . Chọn B

Có SA ⊥ ( ABC ) nên AB là hình chiếu của SA trên mặt phẳng ( ABC ) .

(

) (

)

. ⇒ SB , ( ABC ) = SB , AB = SBA

2 2 Mặt khác có ∆ABC vuông tại C nên AB = AC + BC = a 3 . 2a

= Khi đó tan SBA 2a

Câu 36.

SA 1 = , ( ABC ) = 30° . nên SB AB 3 S

a 2

)

(

Chọn A

Ta có SA ⊥ ( ABC ) nên đường thẳng AC là hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt

phẳng ( ABC ) .

(

) (

)

(tam giác SAC vuông tại A ). Do đó, α = SC , ( ABC ) = SC , AC = SCA a

Tam giác ABC vuông cân tại B nên AC = AB 2 = 2a . = SA = 1 nên α = 45o . Suy ra tan SCA AC Câu 34. Chọn A

Ta có SA ⊥ ( ABC ) tại A nên AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng đáy. . Suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là SBA

= Tam giác SAB vuông tại A nên cos SBA Câu 37.

Chọn A

A B

Câu 35.

AB 1 = 600 . = ⇒ SBA SB 2 S

. Do SA ⊥ ( ABCD ) nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng góc SBA

= Ta có cos SBA

AB 1 = 60° . = ⇒ SBA SB 2

. Do SA ⊥ ( ABCD ) nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng góc SCA

Vậy góc giữa đường thẳng SB và và mặt phẳng đáy bằng bằng 60° . Chọn C

= SA = 1 ⇒ SCA = 45° . Ta có SA = 2a , AC = 2a ⇒ tan SCA AC 29

Câu 38.

Câu 39.

Vậy góc giữa đường thẳng SC và và mặt phẳng đáy bằng bằng 45° . Chọn D Ta có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ). Nên hình chiếu của SC trên mặt phẳng đáy ( ABC ) là AC Vậy góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng ( ABC ) là góc SCA

Chọn D +) AC là hình chiếu của SC trên ( ABCD ) nên ( SC , ( ABCD ) ) = ( SC, AC ) = ∠SCA = ϕ Ta có: AC = AD 2 + DC 2 = 4a 2 + a 2 = 5a . Tam giác SAC vuông tại A nên tan ϕ =

Câu 40.

SA 3a 3 3 5 . = = = AC 5 5a 5

Chọn A B

) (

(

)

Ta có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SB , ( ABCD ) = SB , BA = SBA

AB 2a = = 2. ⇒ cot ϕ = SA a Câu 43. Chọn C S

=α . AH là hình chiếu của SA trên ( ABC ) ⇒ ( SA , ( ABC ) ) = ( SA , AH ) = SAH

* Hình chiếu vuông góc của SC lên ( ABC ) là BC nên góc giữa SC với ( ABC ) là góc giữa SC

Câu 44.

= 45° . ∆SBC = ∆ABC ⇒ SH = AH ⇒ ∆SAH vuông cân tại H ⇒ α = SAH Vậy tan α = 1 . Câu 41. Chọn B và BC . Chọn D

Từ giả thiết của bài toán suy ra: A′B′ là hình chiếu vuông góc của AB ' trên ( A′B ' C ') .

AB′, A′B′ = Do đó, ( AB′, ( A′B′C′ ) ) = ( ) AB′A′ .

Câu 42.

Tam giác AB′A′ vuông tại A′ có AA′ = A′B ′ = a ⇒ ∆AA′B ′ vuông cân tại A′ . AB′, A′B′ = Suy ra ( AB′, ( A′B′C′) ) = ( ) AB′A′ = 45°.

. Góc giữa SC và ( ABCD ) là góc SCO

Chọn A

BD = 4a ⇒ BO = 2a 31

= 2 a. 1 = a SO = BO.tan SBO 2 AC = 2a ⇒ OC = a = 450 . Vậy SCO Câu 45. Chọn C S

Câu 47. Hình chiếu của SC lên ( ABCD) là AC

Ta có: SN = SP = 2 a

(

Do đó  SC , ( ABCD ) = SCA

)

, ( MNP ) = SNM Vì SM ⊥ ( MNP ) → SN

AC = AB 2 + AD 2 = 4a 2 + a 2 = a 5 ⇒ SC = 2a 2

= MN = a = 1 → SNM = 60 ° cos SNM SN 2a 2 Câu 46. Chọn D

= Trong tam giác vuông SAC : cos SCA

ABCD là hình vuông cạnh 3a nên AC = 3a 2

Câu 48.

2a. 3 =a 3. Ta có ABCD là hình thoi cạnh 2a , và ADC = 60° nên ∆ACD đều và OD = 2 = SO = 1 suy ra và tan SDO Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( ABCD ) là SDO DO 3 = 30° . SDO

Xét tam giác SAB vuông tại A : SA = SB 2 − AB 2 = 4a , ( ABCD ) = SCA SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SC

(

)

Xét tam giác SAC vuông tại A :

SC = SA2 + AC 2 = a 34 = sin SCA

AC a 5 10 . = = SC 2a 2 4

SA 2 34 . = SC 17

1 a 15 3V = V = S ABCD .SH ⇒ SH = . S ABCD 2 3

CH = AC 2 + AH 2 =

a 6 3

SC , ( ABCD ) ) = ( SC , CH ) . (

= tan SCH

Câu 49. Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) .

a 5 . 2

SH = 3. CH

Vậy ( SC , ( ABCD ) ) = 60o

C Câu 51.

Do đó AC là hình chiếu của SC lên ( ABCD ) . . ⇒ ( SC , ( ABCD ) ) = ( SC , AC ) = SCA

Ta có MC là hình chiếu của MC ′ lên ( ABC ) . Suy ra α = C ′CM . Xét tam giác MCC ′ vuông tại C có: tan α =

a 6 SA 3 Xét tam giác SAC vuông tại A có tan SCA = = 3 = . AC a 2 3 = 30° . ⇒ SCA

CC ′ a 2 3 . = = CM a 3 3 2 S

Vậy góc giữa SC và ( ABCD ) là 30° . a a

A a

Câu 52. Dễ thấy AH là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy. . Do đó góc tạo bởi SA và ( ABC ) là SAH

Mặt khác, ∆ABC = ∆SBC ⇒ SH = AH =

a 3 . Vậy tam giác SAH là tam giác vuông cân đỉnh 2

= 45° . H hay SAH

Câu 50. Gọi H là trung điểm AB . Ta có SH ⊥ ( ABCD) .

S ABCD = a 2 .

Câu 56.

Do tam giác SAB vuông cân tại S nên H là trung điểm của AB và ta có SH = B

Câu 53. - Nhận thấy AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng ( ABC ) nên góc giữa SC và . ( ABC ) là góc SCA

1 AB = a . 2

. Góc giữa cạnh SC và mặt đáy là góc SCH 2a 3 = HS = 1 = a 3 , SH = a nên tan SCH Xét tam giác vuông HSC có HC = HC 2 3 = 300 . ⇒ SCH Câu 57. Chọn D BC 3 Gọi H là trung điểm cạnh BC ⇒ SH ⊥ BC ; SH = ( ∆SBC đều) 2 ( SBC ) ⊥ ( ABC )  ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC ⇒ SH ⊥ ( ABC )   SH ⊥ AB; SH ∈ ( SBC )

= 450 . - Do △SAC vuông cân tại A nên SCA

Câu 54. Vì SA ⊥ ( ABC ) nên SB , ( ABC ) = SBA

(

)

= SA = 3 ⇒ SBA = 60° . Suy ra tan SBA AB S

(

) (

)

; ( ABC ) = SA ; AH = SAH ⇒ SA 2a

∆ABC vuông tại A; H là trung điểm BC ⇒ AH = A

Câu 55.

tan α =

= SH = ∆SAH vuông tại H ⇒ tan SAH AH

BC 2

BC. 3 2 = 3 ⇒ SAH = 60° . BC 2

SA 2a = = 2. AC a 2

+ EF //BD ⇒ EF // ( ABCD ) .

(

) (

)

= 45° . + SA , ( ABCD ) = SA , AO = SAO K

E S

A F

Câu 58. Trong tam giác ABC kẻ đường cao AK và CF và AK ∩ CF = { E} nên E là trực tâm tam giác ABC .  SC ⊥ SA ⇒ SC ⊥ ( SAB ) hay SC ⊥ AB   SC ⊥ SB Mà CF ⊥ AB nên AB ⊥ ( SCF ) ⇒ AB ⊥ SE . Chứng minh tương tự ta được BC ⊥ ( SAK )

Câu 60. Gọi H là trung điểm của BC suy ra SH ⊥ ( ABC )

⇒ BC ⊥ SE . Vậy SE ⊥ ( ABC ) .

Do đó hình chiếu của SA lên mặt phẳng ( ABC ) là AH

Ta có CE là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ( ABC ) . ( SC , ( ABC ) ) = ( SC , CE ) = SCE

Do ∆ABC và ∆SBC đều cạnh a nên SH = AH ⇒ ∆SAH vuông cân tại H = 45° . ⇒ ( SA, ( ABC ) ) = SAH Câu 61.

1 1 1 = + . Mặt khác tam giác SAB vuông tại S SE 2 SC 2 SF 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 a = + = + + ⇔ = nên . Suy ra . ⇔ SE = SF 2 SA2 SB 2 SE 2 SC 2 SA2 SB 2 SE 2 a 2 3 = SE = a : a = 1 . sin SCE SC 3 3

Ta có tam giác SCF vuông tại S nên

Chọn A

S 3a , 4 Trong tam giác ABC có: AC = 2a , BM = a , AM = a suy ra tam giác ABM là tam giác đều cạnh a . Dựng hình bình hành AA′H ′H suy ra H ′ ∈ ( BMB′) , K là hình chiếu của A lên H ′H .

Ta có: d ( C ′ , ( BMB′ ) ) = d ( C , ( BMB′ ) ) = d ( A , ( BMB′) ) =

 BM ⊥ AH ⇒ BM ⊥ ( AA′H ′H ) ⇒ BM ⊥ AK .   BM ⊥ A′H

 AK ⊥ BM 3a ⇒ AK ⊥ ( BMB′ ) ⇒ d ( A , ( BMB′ ) ) = AK = .  4  AK ⊥ HH ′

D O

B Câu 59.

Trong hình bình hành AA′H ′H ta có AK .HH ′ = A′H . AH ⇒

A′H AK 3a 2 3 . = = . = HH ′ AH 4 a 3 2

AA′, AH ) = A ' AH . Mặt khác: ( AA′, ( ABC ) ) = (

Ta có: + S . ABCD là hình chóp đều ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) .

A' H A' H 3 ⇒ = = AA′H = 600 . AA′ HH ′ 2 Dạng 3.2 Góc giữa cạnh bên với mặt phẳng bên Câu 62. Chọn A Trong tam giác vuông AA ' H có sin AA′H =

 BD ⊥ AC + ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBD ) ⊥ ( SAC ) .  BD ⊥ SO 39

D Câu 65.

Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì BO ⊥ ( SAC ) ⇒ α = ( SB, ( SAC ) ) = BSO .

Vì ABCD là hình thoi ⇒ AO ⊥ BD . Mà AO ⊥ SO do SO ⊥ ( ABCD ) . Suy ra AO ⊥ ( SBD ) hay O là hình chiếu của A lên ( SBD ) .

Ta có SB = a 7 , sin α =

ASO ( ASO < 90° do ∆SAO vuông ở O ). Suy ra góc giữa SA và mặt phẳng ( SBD ) là góc

a 2 BO 1 = 2 = . SB a 7 14 S

A a

D A

C Câu 63. B Dễ thấy CB ⊥ ( SAB ) ⇒ SB là hình chiếu vuông góc của SC lên ( SAB ) . . Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( SAB ) là CSB

Câu 66. Kẻ BH ⊥ AC và H ∈ AC ⇒ BH ⊥ ( SAC ) .

= 90°; CB = a; SB = a 3 ⇒ tan CSB = CB = a = 1 . Tam giác CSB có B SB a 3 3 = 30° . Vậy CSB Câu 64.

SH là hình chiếu của BH trên mặt phẳng ( SAC ) .

Gọi O là tâm của đáy ABCD .

. Góc giữa SB và mặt phẳng ( SAC ) là BSH

Ta có BO ⊥ AC và BO ⊥ SA nên SO là hình chiếu của SB trên ( SAC ) .

Ta có BH =

a 3 , SB = SA2 + AB 2 = a 3 . 2 = BH = 1 ⇒ BSH = 30° . Trong tam giác vuông SBH ta có sin BSH SB 2

. Suy ra α = BSO

Lại có BO =

a 2 BO 2 = , SB = SA2 + AB 2 = 2a . Suy ra sin α = . 2 SB 4

AB.BC

AB 2 + BC 2

⇒ BA′ là hình chiếu của BC ′ lên mặt phẳng ( ABB′A′ ) .

⇒ ( BC ′; ( ABB′A′ ) ) = ( BC ′; BA′ ) .

′BC ′ = ∆A′BC ′ vuông tại A′ ⇒ tan A Câu 70.

2 A′C ′ a = . = A′B a 2 2

Chọn D C

Câu 67.

Hình lăng trụ đứng ABC . A′B′C ′ nên BB′ ⊥ ( A′B ′C ′ ) ⇒ BB ′ ⊥ A′B ′ ⇒ A′B ′ ⊥ BB ′ (1) Bài ra có AB ⊥ BC ⇒ A′B′ ⊥ B′C ′ . A'

Kết hợp với (1) ⇒ A′B′ ⊥ ( BCC ′B′ ) ⇒ ( A′B; ( BCC ′B′ ) ) = A′BB′

A′B′ a 1 ⇒ tan ( A′B; ( BCC ′B′ ) ) = 30° . A′B; ( BCC ′B′ ) ) = tan A′BB′ = ⇒ ( = = BB′ a 3 3 Câu 68. Chọn B

AB ⊥ BC  Ta có:  ⇒ AB ⊥ (BCC′B′) , suy ra BB′ là hình chiếu vuông góc của AB ′ trên mặt AB ⊥ BB′ phẳng ( BCC ′B′) . Vậy góc giữa đường AB′ và ( BCC ′B′) chính là góc góc AB′B .

Xét tam giác ABB′ vuông tại B có BB′ = AA′ = 1 , AB = AC 2 − BC 2 = 3 AB Suy ra tan AB ′B = AB ′B = 60° . = 3⇒ BB′ Câu 71. Chọn C

S B

Trong ( SAB) kẻ AH ⊥ SB ( H ∈ SB) .  SA ⊥ BC Vì  ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH .     AB ⊥ BC

Mà SB ⊥ AH do cách dựng nên AH ⊥ ( SBC ) , hay H là hình chiếu của A lên ( SBC ) suy ra

góc giữa SA và ( SBC ) là góc ASH hay góc ASB . Tam giác ABC vuông ở B ⇒ AB = AC 2 − BC 2 = a 3 AB 1 Tam giác SAB vuông ở A ⇒ sin ASB = ASB = 30° = ⇒ SB 2 Câu 69.

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD , gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SO , ta có: BD ⊥ AC   ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ AH .    BD ⊥ SA

∆ABC vuông cân tại A ⇒ AB = AC = a .

∆ABA′ vuông tại A ⇒ A′B = a 2 . C ′A′ ⊥ A′B′ Ta có  ⇒ C ′A′ ⊥ ( ABB′A′ ) . C ′A′ ⊥ AA′

Từ AH ⊥ SO, AH ⊥ BD suy ra AH ⊥ ( SBD ) , hay SH là hình chiếu vuông góc của SA lên

(SBD ) , 43

SA, SO) = ASO . Suy ra ( SA, ( SBD)) = ( Ta có ∆ABC đều cạnh 2a nên OA = a . OA 1 ASO = AOS = 30° . ∆SAO vuông tại A nên tan = ⇒ SA 3 Câu 72. Chọn C S

Câu 74. ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  Ta có: ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) .  ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA

Ta có BC ⊥ AB , BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB ) . Hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng ( SAB ) là SB .

 AB ⊥ AD  Mà  AB ⊥ SA ⇒ AB ⊥ ( SAD ) .  AD ∩ SA = A  SA 2 = cos ( . SB, ( SAD ) ) = cos BSA = 5 SA2 + AB 2

. Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( SAB ) là góc BSC

Xét tam giác ∆SBC vuông tại B có SB = SA2 + AB 2 = 2a 2 + a 2 = a 3 . BC = AD = a 3 . Suy ra tam giác ∆SBC vuông cân tại B . = 45° . Suy ra BSC Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( SAB ) bằng 45° . Câu 73. Chọn A S

Câu 75.  BC ⊥ AB Ta có:  ⇒ SA ⊥ ( SAB ) ⇒ SB là hình chiếu vuông góc của SC lên ( SAB )  BC ⊥ SA . ⇒ SC , SAB = CSB

I B

Gọi I là tâm của hình vuông ABCD . Vì ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC ; Vì SA ⊥ ( ABCD) nên SA ⊥ BD Suy ra BD ⊥ ( SAC ) , do đó góc giữa đường thẳng SB và ( SAC ) là góc BSI Ta có: SB = a 2 ; BI =

(

))

Tam giác SAB vuông tại A có: SB = SA2 + AB 2 = a 3 . = BC = 1 ⇒ CSB = 30° . Tam giác SBC vuông tại B có: tan CSB SB 3

a 2 = BI = 1 ⇒ BSI = 30° . ⇒ sin BSI 2 SB 2

K O C

I A D Câu 76. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó ta có AO ⊥ BD (1). Mặt khác ta lại có ABCD. A′B′C ′D ′ là hình lập phương nên BB′ ⊥ ( ABCD ) ⇒ BB′ ⊥ AO (2). Từ (1) và (2) ta có AO ⊥ ( BDD′B ′ ) ⇒ ( AB′, ( ABCD ) ) = ( AB′, B′O ) = AB′O .

Xét tam giác vuông AB ′O có sin AB′O =

AO 1 AB′O = 30° . = ⇒ AB′ 2

Do ( SBC ) ⊥ ( SBH ) nên từ H kẻ HK ⊥ SB tại K thì HK = d ( H , (SBC )) và

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , gốc tọa độ trùng với điểm A , trục Ox nằm trên đường thẳng AD , chiều dương từ A ⇒ D , Tương tự trục Oy nằm trên đường thẳng AB , chiều dương từ A ⇒ B , trục Oz nằm trên đường thẳng AS , chiều dương từ A ⇒ S . Vậy A ( 0, 0,0 ) ,D ( 4, 0,0 ) ,B ( 0,3,0 ) ,C ( 4,3,0 ) ,S ( 0 ,0,1) . x y z Ta có mặt phẳng ( SBD ) : + + = 1 ⇒ 3x + 4 y + 12 z −12 = 0 , SC = ( 4,3, −1) . 4 3 1 Gọi α là góc tạo bởi SC và ( SBD ) .

sin α =

Theo giả thiết, ABD là tam giác đều. Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD . Do SA = SB = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD suy ra SH ⊥ ( ABD) hay SH ⊥ ( ABCD) .

Vậy ( AB ′, ( ABCD ) ) = 30° . Câu 77.

12 26 . 338 S

a 15 1 1 1 . = + ⇒ HK = HK 2 HB 2 HS 2 9 a 15 2 2 Mặt khác, d ( H , ( SBC )) = d ( A, ( SBC )) = d ( D, ( SBC )) ⇒ d ( D, ( SBC )) = . 3 3 6 và Gọi O là hình chiếu vuông góc của điểm D trên ( SBC ) . Khi đó: α = ( SD , SO ) = DSO DO = d ( D, ( SBC )) =

a 15 . 6

a 15 DO 5 Xét tam giác SDO vuông tại O có: sin α = . = 6 = SD 3 a 3 2 Câu 80. Chọn A

A D

Câu 78.

CD ⊥ AD   ⇒ CD ⊥ ( SAD ) . Do đó góc giữa SC và mặt phẳng ( SAD ) là góc CSD . CD ⊥ SA  CD 2a 1 = CD = tan CSD = = . SD SA2 + AD 2 15a 2 + a 2 2 Chọn C

Ta có

Câu 79.

 DO ⊥ AC ⇒ DO ⊥ ( ABCD ) . Gọi O = AC ∩ BD . Ta có:   DO ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABCD ) ) SD; SO = DSO ⇒ SO là hình chiếu của SD lên mặt phẳng ( SAC ) ⇒ ( SD; ( SAC ) ) = ( ) =α . Xét ∆SAD vuông tại A : SD = 3a 2 + a 2 = 2a . 47

Xét ∆SOD vuông tại O : có SD = 2a , OD =

Câu 81.

Chọn A

a 2 = DO = 2 . ⇒ sin α = sin DSO 2 SD 4

AH = AB.cos 600 = 2a.

1 = a. 2

Xét tam giác SAH vuông tại S , SH = SA2 + AH 2 =

(a 2 )

+ a2 = a 3 .

Xét tam giác SBH vuông tại H có SH = HB = a 3 suy ra tam giác SBH vuông tại H .

= 450 . Vậy BSH

Trong mặt phẳng ( ABCD ) kẻ AH ⊥ CD tại H . Trong mặt phẳng ( SAH ) kẻ AK ⊥ SH tại K . Khi đó AK ⊥ ( SCD ) nên góc giữa SA mặt phẳng ASH = α . ( SCD ) là

a 3 . 2 AH 1 ASH = Trong tam giác vuông ASH có tan = . AS 2 Tam giác ADC đều nên AH =

Câu 83. Ta có sin ( SB; ( SAC ) ) =

d ( B; ( SAC ) ) SB

d ( D; SAC ) SB

=a 7. Xét tam giác ABC ta có AC = BA2 + BC 2 − 2 BA.BC .cos BAC BO =

⇒ BD = a 3 và SB = SD 2 + BD 2 = 3a 2 + 3a 2 = a 6 . AD AC = AD.sin D = a.sin120° = 21 . ⇒ sin C Xét tam giác ADC ta có = AC 14 a 7 sin C sin D Gọi K là hình chiếu của D lên AC , và I là hình chiếu của D lên SK . Ta có  AC ⊥ DK  DI ⊥ SK ⇒ AC ⊥ DI . Do đó  ⇒ d ( D; ( SAC ) ) = DI .  AC ⊥ SD   DI ⊥ AC

Câu 82. Trong mặt phẳng ( ABC ) kẻ BH ⊥ AC Mà BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ ( SAC )

= Mặt khác sin C

. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( SAC ) bằng BSH Xét tam giác ABH vuông tại H , BH = AB.sin 600 = 2a.

BA2 + BC 2 AC 2 4a 2 + a 2 7 a 2 a 3 − = − = 2 4 2 4 2

DK = 2a. 21 = a 21 . ⇒ DK = DC .sin C DC 14 7

3 =a 3 2 49

Dạng 3.3 Góc giữa đường thẳng khác với mặt phẳng

a 21 6 7 = a. = Xét tam giác SDK ta có DI = 4 21 2 SD 2 + DK 2 2 3a + a 49 6 a d ( D; SAC ) DI 1 = 4 = = . Vậy sin ( SB; ( SAC ) ) = SB a 6 4 SB Trong mặt phẳng ( SDK ) kẻ DI ⊥ SK suy ra d ( D; ( SAC ) ) = DI . a 3.

SD.DK

B E

O D

Câu 86. Dựng hình bình hành ABFC . Ta có EM // SF nên góc giữa EM và ( SBD ) bằng góc giữa SF và ( SBD ) . . FB // AC ⇒ FB ⊥ ( SBD ) do đó góc giữa SF và ( SBD ) bằng góc FSB

= Ta có tan FSB

BF AC = = 2 . Vậy chọn SB SB

A′

Câu 84. Gọi H là tâm hình vuông A′B′C ′D′ . Ta có A′H ⊥ B′D′ , A′H ⊥ BB′ ⇒ A′H ⊥ ( BB′D′D ) . BH là hình chiếu của A′B trên ( BB ′D′D )

)

D′ P

B′

a 2 A′H 1 ⇒ A′H , ( BB′D′D ) = A′BH = α . sin α = = 2 = . A′B a 2 2

(

C′

S Câu 87.

 MN // B′D′ Ta có  ⇒ MN // BD ⇒ bốn điểm M , N , B , D đồng phẳng.  BD // B′D′

H A

600

CP // BM Lại có tứ giác BCPM là hình bình hành ⇒  ⇒ CP // ( DMN )  BM ⊂ ( DMN )

(

Mà ta có: SB = a 6 , HB = AB sin 600 = a 3 ⇒ sin( B SH ) =

)

⇒ CP , ( DMN ) = 0° .

Câu 85. Kẻ BH ⊥ AC ( H ∈ AC ) và theo giả thiết BH ⊥ SA nên BH ⊥ (SAC ) Do đó, SH là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng ( SAC ) Suy ra, ( SB, ( SAC )) = ( SB , SH ) = B SH . 1 ⇒B SH = 450 . 2

) (

(

)

. Khi đó MN , ( BCD ) = MN , MD = NMD

Ta có ∆NMD vuông tại N do đó tan ϕ =

Câu 91.

ND = MN

a 2 a

Chọn C

2 2

= 2.

Câu 88. Gọi N là trung điểm BC . Ta có góc giữa CM với mp ( BCD ) bằng góc MCN .

AB = a. 2 a 3 + CN = . 2 MN 2 2 3 = a. = . Vậy tan ϕ = CN 3 a 3

+ MN =

B BC ⊥ AB  ⇒ BC ⊥ ( SAB) Có    BC ⊥ SA

Có BM là hình chiếu của CM lên mặt phẳng ( SAB ) . Suy ra (CM ;( SAB)) = CMB S

= Ta có tan CMB

2.2a 2

(2 a 3 )

+ (2 a )

= 45° ⇒ CMB Vậy (CM ; ( SAB )) = 45°

M A

BC 2 AB 2 AB = = = MB SB SA2 + AB 2

Câu 92.

Chọn B

H P

Câu 89.

Gọi H là trung điểm AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) và SH =

a 3 . 2

Gọi P là trung điểm CH ⇒ MP //SH ⇒ MP ⊥ ( ABCD ) , suy ra góc giữa MN với mặt đáy

( ABCD ) Có MP =

(do MPN = 90° ) là góc MNP

a 1 a 3 AH + CD 2 + a 3a SH = , PN = = = 2 4 2 2 4

Gọi E là trung điểm của đoạn KH , ta có ∆AHK vuông cân tại A vì AH = AK =

1 a nên 2

AE ⊥ KH do đó  AE ⊥ SH ⇒ AE ⊥ ( SHK ) , suy ra   AE ⊥ HK SA, ( SHK ) = ( SA, SE ) = ASE = α .

a 3 = MP = 4 = 1 ⇒ MNP = 30° . ⇒ tan MNP 3a PN 3 4 Câu 90. Trong ∆AMD , kẻ NH ⊥ MD , suy ra NH ⊥ ( BCD ) . Nên MD là hình chiếu vuông góc của MN lên mặt phẳng BCD .

(

Mà AE =

)

a 2 1 1 KH = AH 2 + AK 2 = . 2 2 4 54

∆ SEA vuông tại E có sin α =

Vậy sin α =

Câu 93.

Chọn D

Có K = SO ∩ DN . Do S. ABCD hình chóp đều nên SO ⊥ ( ABCD) suy ra hình chiếu vuông góc

AE 2 = . SA 4

(

)

của đường thẳng DN trên mặt phẳng ABCD là đường thẳng DO nên

2 . 4

( DN ,( ABCD)) = ( DN , DO) .

Xét tam giác vuông SOA có OA =

SBD ⇒ OK =

1 SO = 3

2 3 2 a; SA = 5a ⇒ SO = a . Mà K là trọng tâm tam giác 2 2

2a = OD ⇒ ∆OKD vuông cân tại O hay KDO = 450 . 2

Hay DN,(MPQ) = 450 ⇒ cos DN,(MPQ) =

(

Câu 95.

)

(

)

Chọn A

2 . 2

a2 a 2 = 2 2 Gọi M là trung điểm của OD ta có MH / / SO nên H là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( ABCD) và MH = 1 SO = a 2 . 2 4 . Do đó góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ( ABCD ) là MBH Gọi O là tâm của hình vuông. Ta có SO ⊥ ( ABCD ) và SO = a 2 −

a 2 = MH = 4 = 1 . Khi đó ta có tan MBH BH 3a 2 3 4

H A

d ( D, ( SBC ) ) BD

d ( A, ( SBC ) ) BD

( SAB ) ⊥ ( SBC ) . Kẻ AH ⊥ SB thì AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH = d ( A, ( SBC ) ) .  ( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB a 2 1 1 1 1 1 2 và BD = BA2 + AD 2 = 2a . = + = + = ⇒ AH = AH 2 AB 2 AS 2 a 2 a 2 a 2 2 d ( A, ( SBC ) ) AH a 2 2 = = = Vậy sin α = . BD BD 2.2a 4 Câu 96. Chọn D

1 Vậy tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ( ABCD) bằng . 3 Câu 94. Chọn A

Q C

Ta có sin α =

Do M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD nên mặt phẳng ( ABCD) song song

(

)

mặt phẳng (MPQ) suy ra góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng MQP cũng là góc giữa

(

)

đường thẳng DN và mặt phẳng ABCD . Gọi O = AC ∩ BD , I , J lần lượt là trung điểm của OS , OB . 55

  NI ⊥ ( SBD ) . ⇒  NI / / AC / / MJ   MJ ⊥ ( SBD ) Suy ra ( MN , ( SBD ) ) = ( MN , IJ ) Ta có

OA ⊥ ( SBD )

NI / / AC / / MJ   Có:  ⇒ MJNI là hình bình hành. Gọi K = MN ∩ IJ suy ra K là trung điểm 1 NI = AC = MJ  4  của IJ và MN đồng thời NI ⊥ IK a 2 = NI = OA = 2 = 2 trong đó a là cạnh của hình vuông ABCD . Ta có tan α = tan NKI a IK SB 2

H A

M B Câu 98. Ta có B′G ⊥ ( ABC ) nên BG là hình chiếu của BB′ lên mặt phẳng ( ABC ) . ′BG = 60° . ⇒ ( BB′, ( ABC ) ) = ( BB′, BG ) = B

Gọi M là trung điểm BC và H là hình chiếu của A lên B′M , ta có  BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ ( AB′M ) ⇒ BC ⊥ AH .   BC ⊥ B′G Mà AH ⊥ B′M nên AH ⊥ ( BCC ′B ′ ) . Do đó HB là hình chiếu của AB lên mặt phẳng ( BCC ′B′ ) . ⇒ ( AB, ( BCC ′B ′ ) ) = ( AB, HB ) = ABH . Xét tam giác ABH vuông tại H có sin ABH =

Câu 97. B′G = BG. tan 60° = a

Gọi E , F lần lượt là trung điểm SO , OB thì EF là hình chiếu của MN trên ( SBD ) . Gọi P là trung điểm OA thì PN là hình chiếu của MN trên ( ABCD ) . = 60° . Theo bài ra: MNP

3 2 . . 3 = a. 2 3 2

 a 3 1 a 39 2 .  = . B′M = B′G 2 + GM 2 = a +  6  2 3

Áp dụng định lý cos trong tam giác CNP ta được: 2

 3a 2  a 2 3a 2 a 2 5a 2 NP 2 = CP 2 + CN 2 − 2CP.CN .cos 45° =   4  + 4 − 2. 4 . 2 . 2 = 8 .   Suy ra: NP =

Ta có ∆AHM ∼ ∆B′GM ⇒ AH =

a 10 a 30 a 30 , MP = NP.tan 60° = ; SO = 2 MP = . 4 4 2

a 3 AM .B′G a. 2 3a . = = B′M a 39 13 6

3a 3 Vậy sin ABH = 13 = . a 13

SB = SO 2 + OB 2 = 2a 2 ⇒ EF = a 2 . 1 OA ). 2 Gọi I là giao điểm của MN và EF , khi đó góc giữa MN và mặt phẳng ( SBD ) là NIF .

Ta lại có: MENF là hình bình hành ( vì ME và NF song song và cùng bằng

= cos NIF

AH . AB

IK a 2 4 2 5 . . = = IN 2 a 10 5

MH MD HD 1 = = = . SO SD OD 3 SO a 2 a 2 a 2 5a 2 1 ⇒ MH = = ⇒ BH = BD − HD = a 2 − = và HD = OD = . 3 6 3 6 6 6 Xét tam giác BHM vuông tại H có: = MH ⇒ tan ( BM ; ( ABCD ) ) = 1 . tan ( BM ; ( ABCD ) ) = MBH BH 5

Do MH ⊥ BD ⇒ MH // SO . Ta có

M D

DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC

Câu 99. Gọi D là hình chiếu của S lên ( ABC ) , ta có:

 BC ⊥ SC  AB ⊥ SA ⇒ BC ⊥ CD và  ⇒ AB ⊥ AD .   BC ⊥ SD  AB ⊥ SD Mà ABC là tam giác vuông cân tại B nên ABCD là hình vuông. Gọi H là trung điểm của AD , ta có MH // SD mà ⇒ MH ⊥ ( ABCD ) .

Do đó HN là hình chiếu của MN lên ( ABC ) . . ⇒ α = ( MN , ( ABC ) ) = ( MN , NH ) = MNH 2

SC = SB − BC = 4a − a = a 3 .

A Câu 101. Do SA = SB = SC nên hình chiếu vuông góc của điểm S trên ( ABC ) trùng với tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Mặt khác tam giác ABC vuông tại C nên H là trung điểm của AB . Câu 102. Chọn A

SD = SC 2 − DC 2 = 3a 2 − a 2 = a 2 . 1 a 2 2 MH 2 .SD tan α = = . = 2 = NH AB a 2 6 1 1 = . ⇒ cos α = = 1 1 + tan 2 α 3 1+ 2

I M

A A

H O

Câu 100. Ta có BD = a 2 ⇒ OD =

a 2 . 2

 BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ SC . Khẳng định 2 đúng. Xét khẳng định 2, Ta có:   BD ⊥ SA  BD ∩ ( SAC ) = O Xét khẳng định 3, Ta có:  , O là trung điểm của BD . Khẳng định 3 đúng.  BD ⊥ ( SAC )

a 2 a 2 Xét tam giác SOD vuông tại O có: SO = SD − OD = a −  .  = 2  2  Kẻ MH ⊥ BD tại H nên ( BM ; ( ABCD ) ) = MBH 2

Xét khẳng định 1, Ta có: OI là đường trung bình trong tam giác SAC nên OI / / SA , mà SA ⊥ ( ABCD ) suy ra OI ⊥ ( ABCD ) . Khẳng định 1 đúng.

 SB 2 = SA2 + AB 2  2 2 2  SC = SA + AC ⇒ SB = SD ≠ SC . Khẳng định 4 sai. Xét khẳng định 4, Ta có:  2 2 2  SD = SA + AD  AB ≠ AC  Vậy trong các khẳng định trên số khẳng định sai là 1. Câu 103. Chọn A

S A

D O C

Câu 105. = 45° . Ta có B′D ′ ⊥ SC và BD ⊥ SC và SC không vuông góc với mặt phẳng Dễ thấy SBA ( SBD ) , suy ra BD / / B ′D ′ . Nên từ I = SO ∩ AC ′ nên từ I kẻ B ′D ′ / / BD cắt SB , SD lần lượt tại B′ , D′ .  AB′ ⊥ SC Từ trên suy ra B′D′ ⊥ AC ′ và  ⇒ AB′ ⊥ SB .  AB′ ⊥ BC

M D

Suy ra S AB′C′D′ =

Áp dụng tính chất nửa lục giác đều, ta có BD ⊥ AB . Mặt khác, BD ⊥ SA . Suy ra BD ⊥ ( SAB ) , ta được BD ⊥ AM .

Vậy S AB′C′D′ =

Kết hợp AM ⊥ MD , ta được AM ⊥ ( SBD ) . Suy ra AM ⊥ SB .

SM SM .SB SA2 3a 2 3 = = = = . SB SB 2 SB 2 4a 2 4 O trên mặt phẳng ( ABC ) .

1 a 6 a 2 B′D′ SB′ a 2 1 và . AC ′.B′D′ . Mà AC′ = = = = ⇒ B′D′ = BD SB 2.a 2 2 2 3 2

1 3 2 AC′.B′D′ = a . 2 6 S

Khi đó

AH ⊥ BC nên H là trực tâm của tam giác ABC . N

A M

Q B

Câu 106. Do ( P ) // SA và M ∈ ( SAB ) ∩ ( P ) nên ( P ) ∩ ( SAB ) = MN (với N ∈ SB; MN // SA ). Do ( P ) // AD và M ∈ ( ABCD ) ∩ ( P ) nên ( P ) ∩ ( ABCD ) = MQ (với Q ∈ BC; MQ // AD ).

Câu 104.

Do ( P ) // AD và N ∈ ( SBC ) ∩ ( P ) nên ( P ) ∩ ( SBC ) = NP (với P ∈ SC; NP // AD // BC ).

Đặt SA = x . Gọi O là tâm của tam giác đều ABC ⇒ SO ⊥ ( ABC ) .

Vậy thiết diện là hình thang vuông MNPQ .

Hình chiếu của SA trên mặt phẳng ( BCD ) là AO ⇒ góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là góc

∠SAO = 60° . Xét tam giác vuông SAO : cos 60° =

AO AO ⇒ SA = = cos 60° SA

a 3 3 = 2a . 1 3 2 61

K D' C' T

N S

A D

O Câu 107. Dựng AM ⊥ A′D ta có AM ⊥ ( A′DC ) ⇒ AM ⊥ A′C ,

Xét ∆SBC vuông cân tại S , BC = 2a ta có:

Tương tự, dựng AN ⊥ A′B ta có AN ⊥ ( A′BC ) ⇒ AN ⊥ A′C . Vậy mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt phẳng ( AMN ) .

SB 2 + SC 2 = BC 2 ⇔ 2 SB 2 = 4a 2 ⇔ SB 2 = 2a 2 ⇒ SB = a 2 = SA = SC . Gọi J là trung điểm của BC , trong ( SJA) kẻ GK / / SA cắt SJ tại K .

Kéo dài AM ∩ DD′ = {K } , AN ∩ BB′ = { I } , và AS ∩ CC ′ = { J } với {S } = MN ∩ A′C .

Trong ( SBC ) kẻ đường thẳng qua K song song với SB cắt SC và CB lần lượt tại H và I .

Thiết diện AIJK là thiết diện cần tìm. Dễ thấy ABCD là hình chiếu vuông góc của AIJK lên mặt phẳng ( ABCD ) .

Trong ( SAC ) kẻ HM / / SA cắt SC tại M . Do các mặt bên của hình chóp S . ABC là các tam giác vuông tại S nên ta có:  SA ⊥ SC ⇒ SA ⊥ ( SBC ) mà GK / / SA ⇒ GK ⊥ ( SBC ) ⇒ GK ⊥ SC (1).   SA ⊥ SB

Ta có S ABCD = S AIJK .cos ( ( ABCD ) , ( AIJK ) ) . Dễ thấy góc giữa hai mặt ( AIJK ) và ( ABCD ) là góc giữa hai đường A′A & A′C và là góc ′C . AA A′A 3a 3 ′C = Xét tam giác vuông A′AC . = = A = 1v có cos AA A′C a 11 11

(

Vậy S AIJK =

SB ⊥ SC ⇒ IH ⊥ SC (2). Do   IH / / SB Từ (1) và (2) ⇒ SC ⊥ ( HMI ) . Vậy thiết diện là ∆HMI .

)

S ABCD a 2 11 ⇒ S AIJK = . cos ( ( ABCD ) , ( AIJK ) ) 3

Ta có: KG / / SA; KJ / / SB và do G là trọng tâm ∆ABC nên

JG JK JI 1 CI 2 = = = ⇒ = . JA JS JB 3 CB 3

Mặt khác: HI / / SB; HM / / SA nên ta có:

Câu 108. Chọn A

2 CI HI 2 2a 2 = = ⇒ HI = SB = 3 CB SB 3 3 2 CI CH HM 2 2a 2 = = = ⇒ HM = SA = . 3 CB CS SA 3 3 Do SB ⊥ ( ( SAC ) ; HI / / SB ⇒ HI ⊥ ( SAC ) ⇒ HI ⊥ MH ⇒ ∆HMI vuông tại H . 2

Diện tích ∆HIM là: S∆HIM =

1 1  2 2a  4a 2 . HM .HI = .   = 2 2  3  9

Câu 109. Chọn B Hình vẽ minh họa

( SCD ) kẻ NP //SD với P ∈ SC . Trong mặt phẳng Vì M là trung điểm của AB nên N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh CD , SC , SB . Do đó thiết diện là hình thang MNPQ vuông tại Q và M .

1 1 1 1 ( AD + BC ) = ( 8 + 6 ) = 7 MQ = SA = 3 PQ = BC = 3 2 2 2 2 , và . MN + PQ ) .QM ( 7 + 3) .3 ( S MNPQ = = = 15 2 2 Vậy diện tích của thiết diện là : . Câu 111. Gọi H là trực tâm tam giác ABC , vì tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc nên ta 1 1 1 1 = + + có OH ⊥ ( ABC ) và . OH 2 OA2 OB 2 OC 2 , β = ( , γ = ( . Ta có α = ( OA; ( ABC ) ) = OAH OB; ( ABC ) ) = OBH OC; ( ABC ) ) = OCH

Ta có

C M

H B

Gọi N là trung điểm BC . Kẻ MN / / AC ⇒ MN / / A ' C ' Mặt phẳng ( A ' C ' M ) cắt lăng trụ theo thiết diện là hình thang A ' C ' NM .

OH OH OH , sin β = , sin γ = . OA OB OC 1 1 1 1 Đặt a = OA , b = OB , c = OC , h = OH thì 2 = 2 + 2 + 2 và h a b c 1  1  1   M = 3 + cot 2 α . 3 + cot 2 β . 3 + cot 2 γ =  2 + 2  .  2 + 2  .  2 + 2  sin α   sin β   sin γ    1 1 1 a2   b2   c2  =  2 + 2  .  2 + 2  .  2 + 2  = 8 + 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) . 2 + 2 ( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) . 4 + a 2b 2 c 2 . 6 . h h h h h h    

Nên sin α =

Gọi E , E ' lần lượt là trung điểm AC và A ' C ' . Gọi H là giao điểm của MN và BE Ta dễ dàng chứng minh MN ⊥ ( E ' HE ) .

(

( A ' C ' NM ) ∩ ( ABC ) = MN  Ta có  EH ⊥ MN . ⇒ ( HE , HE ' ) = E ' HE = ϕ ( A ' C ' NM ) , ( ACNM ) ) = (  E ' H ⊥ MN  3a 2 a 35 a 3 a 3 . E ' H = E ' E 2 + EH 2 = 2a 2 + = ⇒ HE = 16 4 2 4

Ta có BE =

Từ đó cos ϕ =

(

(a b

2 2

a 3 + a 2  4 = 3a 3 2 2 16 S 3a 2 3 35 3a 2 35 . = ACNM = . = cos ϕ 16 16 3 S a

)(

) h1 = ( a

+ b 2c 2 + c 2 a 2 ) .

)

1 1 1  1 1 1 + b2 + c 2 ) .  2 + 2 + 2  ≥ 3 3 a 2 .b 2 .c 2 .3 3 2 . 2 . 2 = 9 . a b c a b c 

1  1 1 1 = ( a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) .  2 + 2 + 2  h4 a b c 

  1 1 1 ≥ 3 3 a 2b2 .b 2 c 2 .c 2 a 2 .  3 3  2 . 2 . 2  a b c 

( MN + AC ) .HE =  2 =

Ta có S ACNM = S A ' C ' NM .cos ϕ , ⇒ S A 'C ' NM

)(

Ta có: a 2 + b 2 + c 2 .

HE a 3 4 3 = . = HE ' 4 a 35 35

Diện tích hình thang cân S ACNM

MN =

1  3 4 4 4   = 3 a b c .9 3 4 4 4 = 27 . abc   3

a 2b 2 c 2 .

3   1 1 1  1  1 1 1 = a 2b 2 c 2 .  2 + 2 + 2  ≥ a 2b 2 c 2 .  3 3  2 . 2 . 2   = 27 . 6  a b c  h a b c   

Do đó:

1 1 1 + 2 ( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) . 4 + a 2b 2 c 2 . 6 h2 h h ≥ 8 + 4.9 + 2.27 + 27 = 125 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c , hay OA = OB = OC . Vậy min M = 125 . M = 8 + 4 ( a 2 + b2 + c 2 ) .

P D

A N

M Câu 110. B Ta có

AB ⊥ SA  ( P ) qua M và vuông góc với AB nên ( P ) // ( SAD )  ⇒ AB ⊥ ( SAD ) . Mà AB ⊥ AD 

⇒ ( P ) //SA

( P ) //AD và ( P ) //SD . ( SAB ) kẻ MQ //SA với Q ∈ SB . Trong mặt phẳng ( ABCD ) kẻ MN //AD với N ∈ CD . Trong mặt phẳng ,

Î±

H h

TOÁN 11

A. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng tùy ý nằm trong mỗi mặt phẳng. B. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. C. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn. D. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

1H3-4

Câu 3.

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai? A. Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau. B. Hình chóp tứ giác đều có các cạnh bên bằng nhau. C. Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông. D. Hình chóp tứ giác đều có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên đáy trùng với tâm của đáy.

Câu 4.

Cho các đường thẳng a, b và các mặt phẳng (α ) , ( β ) . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau a ⊥ (α ) a ⊥ b A.  B.  ⇒ (α ) ⊥ ( β ) . ⇒ b // (α ) . a ⊂ β ( ) a ⊥ (α )  a ⊥ b (α ) ⊥ ( β )   C. a ⊂ (α ) ⇒ (α ) ⊥ ( β ) . D. a ⊂ (α ) ⇒ a ⊥ b .   b ⊂ ( β ) b ⊂ ( β )

Câu 5.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? A. Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng kia. B. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước C. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. D. Đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đườngthẳng chéo nhau a , b khi và chỉ khi d vuông góc với cả a và b.

Câu 6.

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (α ) . có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và vuông góc với (α ) . A. 2 . B. 0 . C. Vô số. D. 1 .

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, MẶT PHẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG .................................................................................................. 4 Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với đường thẳng .................................... 4 Dạng 2.2 Hai mặt phẳng vuông góc ............................................................................................................................. 4 DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG ................................................................................................. 6 Dạng 3.1 Góc của mặt phẳng bên với mặt phẳng đáy .................................................................................................. 6 Dạng 3.2 Góc của hai mặt phẳng bên ..................................................................................................................... 10 Dạng 3.3 Góc của hai mặt phẳng khác ....................................................................................................................... 13 DẠNG 4. MỘT SỐ CÂU HỎI LIÊN QUAN ................................................................................................................ 15 B. LỜI GIẢI ................................................................................................................................................................... 18 DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT................................................................................................................................ 18 DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, MẶT PHẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG ................................................................................................ 19 Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với đường thẳng .................................. 19 Dạng 2.2 Hai mặt phẳng vuông góc ........................................................................................................................... 21 DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG ............................................................................................... 26 Dạng 3.1 Góc của mặt phẳng bên với mặt phẳng đáy ................................................................................................ 26 Dạng 3.2 Góc của hai mặt phẳng bên ..................................................................................................................... 41 Dạng 3.3 Góc của hai mặt phẳng khác ....................................................................................................................... 52 DẠNG 4. MỘT SỐ CÂU HỎI LIÊN QUAN ................................................................................................................ 61

Câu 7.

Mảnh bìa phẳng nào sau đây có thể xếp thành lăng trụ tứ giác đều?

A. CÂU HỎI DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1.

Câu 2.

Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. C. Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 00. D. Hai đường thẳng trong không gian cắt nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng lớn hơn 00 và nhỏ hơn 900.

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 1

Câu 13.

Cho hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) song song với nhau và một điểm M không thuộc ( P ) và ( Q ) . Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với ( P ) và ( Q ) .

B. Vô số. C. 1 . D. 2 . A. 3 . DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, MẶT PHẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với đường thẳng

C. Câu 8.

Câu 9.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc nhau. B. Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. C. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia. D. Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng vuông góc với nhau. Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (α ) . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và vuông góc với (α ) ? A. 2 .

Câu 10.

Câu 11.

B. 0 .

C. Vô số.

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây? i) Hình hộp đứng có đáy là hình vuông là hình lập phương ii) Hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình chữ nhật iii) Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy iv) Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau là hình lập phương A. 1 . B. 2 . C. 3 .

Câu 14.

Cho hình chóp S . ABCD đều. Gọi H là trung điểm của cạnh AC . Tìm mệnh đề sai? B. SH ⊥ ( ABCD ) . C. ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) . D. CD ⊥ ( SAD ) . A. ( SAC ) ⊥ ( SBD ) .

Câu 15.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và SA = SC , SB = SD . Mệnh đề nào sau đây sai? A. SC ⊥ ( SBD ) . B. SO ⊥ ( ABCD ) . C. ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) . D. ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) .

Câu 16.

Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Mệnh đề nào sau đây sai? A. SA ⊥ BC .

Câu 17.

D. 1.

D. 4 .

(Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Trong không gian cho hai đường thẳng a , b và mặt phẳng ( P ) , xét các phát biểu sau: (I). Nếu a / / b mà a ⊥ ( P ) thì luôn có b ⊥ ( P ) .

C. AB ⊥ SC .

D. SB ⊥ BC .

13 . 5

13 . 3

15 . 5

15 . 3

Câu 18. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hai mặt bên ( SAB ) và ( SAD ) vuông góc với mặt đáy. AH , AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB , SAD . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. BC ⊥ AH . B. SA ⊥ AC . C. HK ⊥ SC . D. AK ⊥ BD . Dạng 2.2 Hai mặt phẳng vuông góc Câu 19.

(II). Nếu a ⊥ ( P ) và a ⊥ b thì luôn có b / / ( P ) .

B. AB ⊥ BC .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi đường MD và mặt phẳng ( SBC ) .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SB vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng ( SBD ) ?

(III). Qua đường thẳng a chỉ có duy nhất một mặt phẳng (Q ) vuông góc với mặt phẳng ( P ) .

A. ( SBC ) .

(IV). Qua đường thẳng a luôn có vô số mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng ( P ) . Câu 20.

Số khẳng định đúng trong các phát biểu trên là A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 .

B. ( SAD ) .

C. ( SCD ) .

D. ( SAC ) .

Cho lăng trụ đứng ABC . A′B′C ′ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC , mệnh đề nào sau đây sai ? A. ( ABB′ ) ⊥ ( ACC ′ ) . B. ( AC ′M ) ⊥ ( ABC ) . C. ( AMC ′ ) ⊥ ( BCC ′ ) . D. ( ABC ) ⊥ ( ABA′ ) .

Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai? A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. B. Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại. C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. D. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. 3

Câu 21.

Câu 22.

(THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018).Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy, I là trung điểm AC , H là hình chiếu của I lên SC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. ( BIH ) ⊥ ( SBC ) . B. ( SAC ) ⊥ ( SAB ) . C. ( SBC ) ⊥ ( ABC ) . D. ( SAC ) ⊥ ( SBC ) . Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA ⊥ ( ABC ) , gọi M là trung điểm của AC . Mệnh đề nào sai ? 4

C. ( A′BD ) ≡ ( CB ′D ′) . D. ( A′BD ) ∩ ( CB′D ′) = BD ′ . Câu 29. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA = SC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Mặt phẳng ( SBD ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . B. Mặt phẳng ( SBC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . C. Mặt phẳng ( SAD ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . D. Mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Dạng 3.1 Góc của mặt phẳng bên với mặt phẳng đáy A. ( SAB ) ⊥ ( SAC ) . Câu 23.

B. BM ⊥ AC .

C. ( SBM ) ⊥ ( SAC ) .

Câu 25.

Câu 30.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 6 (như hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây là đúng?. A. ( SBC ) ⊥ ( ABCD ) . B. ( SBC ) ⊥ ( SCD ) . C. ( SBC ) ⊥ ( SAD )

Câu 24.

D. ( SAB ) ⊥ (SBC ) .

D. ( SBC ) ⊥ ( SAB ) .

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mặt phẳng ( AB ' C ) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A. ( D ' BC ) . B. ( B ' BD ) . C. ( D ' AB ) . D. ( BA ' C ') .

Câu 31.

Cho hình chóp S . ABC có đđáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh bên SA vuông góc với I là trung điểm cạnh AC , H là hình chiếu của I trên SC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. ( SBC ) ⊥ ( IHB ) . B. ( SAC ) ⊥ ( SAB ) . C. ( SAC ) ⊥ ( SBC ) . D. ( SBC ) ⊥ ( SAB ) .

Câu 32. (THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a 2 a 2 và chiều cao bằng . Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng: 2 3 1 A. 1 . B. . C. 3 . D. . 4 3

( ABC ) . Gọi

Câu 26.

Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D . Biết SA = AD = DC = a , AB = 2 a . Khẳng định nào sau đây sai? A. ( SBD ) ⊥ ( SAC ) . B. ( SAB ) ⊥ ( SAD ) . C. ( SAC ) ⊥ ( SBC ) .

Câu 27.

[KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho hình lập phương ABCD. A′BC ′D ′ . Tính góc giữa mặt phẳng ( ABCD ) và ( ACC ′A′ ) . A. 45° . B. 60° . C. 30° . D. 90° .

D. ( SAD ) ⊥ ( SCD ) .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.Trong số các mặt phẳng chứa mặt đáy và các mặt )? bên của hình chóp, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (SAB)?

(Thi thử SGD Hưng Yên) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Góc giữa A. 45° .

B. 60° .

C. 0° .

( ABCD )

C. 1 .

. A. Góc SDA

D. 2 .

Câu 28. (THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ , khẳng định nào đúng về hai mặt phẳng ( A′BD ) và ( CB′D′) . A. ( A′BD ) ⊥ ( CB′D ′) . B. ( A′BD ) // ( CB′D′) .

. B. Góc SCA

. C. Góc SCB

D. Góc ASD .

Câu 34. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 4a , AD = 3a . Các cạnh bên đều có độ dài 5a . Tính góc α giữa ( SBC ) và

( ABCD ) . A. α ≈ 75°46′ .

D. 90° .

bằng

B. 3 .

và

Câu 33. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt đáy (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai mặt phẳng ( SCD ) và

A. 4 .

( ABCD )

( A′B′C ′D′) bằng

B. α ≈ 71°21′ .

C. α ≈ 68°31′ .

D. α ≈ 65°21′ . 6

Câu 35. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN - 2018) Cho hình chóp S . ABCD với đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a , SA = a 6 và vuông góc với đáy. Góc giữa ( SBD ) và ( ABCD ) bằng? A. 900 . Câu 36.

B. 300 .

C. 450 .

Câu 45.

D. 600 .

(THPT PHÚ LƯƠNG - THÁI NGUYÊN - 2018) Cho hình lăng trụ ABC . A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên AA′ = 2a . Hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng ( ABC )

trùng với trung điểm của đoạn BG (với G là trọng tâm tam giác ABC ). Tính cosin của góc ϕ giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABB′A′ ) . A. cos ϕ =

1 95

B. cos ϕ =

1 165

1 C. cos ϕ = . 134

A. cos α =

1 . 2

B. cos α =

1 . 2 3

C. cos α =

1 . 3 2

Câu 46.

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Côsin của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2

Câu 47.

(Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1) Cho hình lập phương ABCD. A′ B ′C ′D ′ có cạnh bằng a . Giá trị sin của góc giữa hai mặt phẳng ( BDA′) và ( ABCD) bằng

1 D. cos ϕ = . 126

Câu 37. (THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện S . ABC có các cạnh SA , SB ; SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = 1 . Tính cos α , trong đó α là góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) ? D. cos α =

(Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy 3a . Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 2 A. 45° . B. 30° . C. 60° . D. 75° .

bằng a 3 , đường cao bằng

1 . 3

3 . 4

6 . 4

6 . 3

3 . 3

Câu 38. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a 2 . Biết SA ⊥ ( ABC ) và SA = a . Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng A. 30° . B. 45° . C. 60° . D. 90° .

Câu 48.

(THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 2a . Góc giữa mặt phẳng ( SBC ) mặt phẳng đáy bằng A. 90o . B. 60o . C. 45o . D. 30o .

Câu 39. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC vuông cân tại B , AB = BC = a , SA = a 3 , SA ⊥ ( ABC ) . Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) là

Câu 49.

(THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , đường cao SA = x . Góc giữa ( SBC ) và mặt đáy bằng 60 0 . Khi đó x bằng

A. 45o . Câu 40.

Câu 42.

Câu 43.

C. 90o .

D. 30o .

(THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OB = OC = a 6 , OA = a . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( OBC ) . A. 60° .

Câu 41.

B. 60o .

B. 30° .

C. 45° .

(TT DIỆU HIỀN - CẦN THƠ - 2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B , SA ⊥ ( ABC ) , SA = 3 cm , AB = 1 cm , BC = 2 cm . Mặt bên ( SBC ) hợp với đáy một góc bằng: A. 30° . B. 90° . C. 60° . D. 45° . (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a 3 , 3a đường cao bằng . Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng: 2 A. 30° . B. 45° . C. 60° . D. 75° . (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho tứ diện OABC có OA, OB , OC đôi một

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có diện tích đáy bằng 3a 2 (đvdt), diện tích tam giác A′BC bằng 2 a 2 (đvdt). Tính góc giữa hai mặt phẳng ( A′BC ) và ( ABC ) ? A. 120 .

B. 60 .

C. 30 .

Câu 50.

D. 90° .

vuông góc và OB = OC = a 6 , OA = a . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và (OBC ) bằng A. 900 B. 600 C. 450 D. 300 Câu 44.

D. 45 . 7

a 6 . 2

a 3 . 2

a . 3

(TRƯỜNG CHUYÊN QUANG TRUNG- BÌNH PHƯỚC 2018-2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có BC = a , BB ' = a 3 . Góc giữa hai mặt phẳng ( A ' B ' C ) và ( ABC ' D ') bằng A. 60o .

Câu 51.

B. a 3 .

B. 45o .

C. 30o .

D. 90o .

(THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019)Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa một mặt bên và mặt đáy. 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3

Câu 52.

(Kim Liên - Hà Nội lần 2 năm 2019) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng 3a . Gọi α là góc giữa mặt bên và mặt đáy, mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 10 2 14 A. cos α = . B. cos α = . C. cos α = . D. cos α = . 4 10 2 14 Câu 53. (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( AB ' C ') và ( A ' B ' C ') . Tính giá trị của

tan α ? 2 3 A. . 3 Câu 54.

3 . 3

3 2 . 2

3 . 2

(SP Đồng Nai - 2019) Cho hình lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng a . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( AB ' C ') và ( A ' B ' C ') . 8

A. 30° .

B. 60° .

C. 45° .

D. 90° .

Câu 55.

(Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD với O là tâm của 3 đáy và chiều cao SO = AB . Tính góc giữa mặt phẳng ( SAB ) và mặt phẳng đáy. 2 A. 90° . B. 60° . C. 30° . D. 45° .

Câu 56.

(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho hình chop S. ABC có SA ⊥ ( ABC) , tam

3 5 . B. . 31 5 Dạng 3.2 Góc của hai mặt phẳng bên

Câu 63.

giác ABC đều cạnh 2a , SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 . Khi đó mp ( SBC ) tạo với đáy một góc x . Tính tan x .

A. tan x = 2 . Câu 57.

C. tan x =

3 . 2

D. tan x =

2 . 3

1 . 2

3 . 2

B. 45°

C. 30°

a . 3

B. x =

a 3 . 3

C. x =

D. x =

a . 2

π 4

π 3

π 6

D. arctan 3 .

(Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABC ) , AB = a , SA = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB, SC . Côsin của góc giữa hai mặt phẳng ( AMN ) và ( ABC ) bằng

1 A. . 2 Câu 62.

2 5 B. . 5

5 C. . 5

93 . 31

15 . 5

3 . 5

D Góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SDM ) bằng

A. 45° .

B. 60° .

C. 30° .

D. 90° .

Câu 65. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AD = DC = a . Biết SAB là tam giác đều cạnh 2a và mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng

( SAB )

(Thi thử Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa – 07-05 - 2019) Cho tứ diện ABCD có BCD là tam a 6 a 3 giác vuông tại đỉnh B , cạnh CD = a , BD = , AB = AC = AD = . Tính góc tạo bởi các 3 2 mặt phẳng ( ABC ) và mặt phẳng ( BCD ) .

Câu 64. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a 2 , AD = a và SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB (tham khảo hình vẽ).

D. 75°

a 2 . 3

1 . 2

(HKII-CHUYÊN NGUYỄN HUỆ-HN-2018-2019) Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a , CD = 2 x . Tìm giá trị của x để

A. x =

Câu 61.

2 . 2

hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABD ) vuông góc với nhau.

Câu 60.

3 . 2

(THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - Lần 1 - Năm học 2018_2019) Cho hình chóp S . ABCD a 6 . Khi đó góc giữa mặt có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = 6 phẳng ( SBD ) và mặt đáy ( ABCD ) là. A. 60°

Câu 59.

1 . 3

3 . 15

(THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB = a , AC = 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 2 a. Gọi ϕ là góc tạo bởi hai mặt phẳng ( SAC ) , ( SBC ) . Tính cos ϕ = ? A.

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C′ có cạnh đáy 3a bằng a . Gọi M là điểm trên cạnh AA′ sao cho AM = . Tang của góc hợp bởi hai mặt phẳng 4 và là: ( MBC ) ( ABC ) A. 2 .

Câu 58.

B. tan x =

và ( SBC ) .

2 A. . 7

Câu 66.

2 . 6

3 . 7

5 . 7

(THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tam giác đều SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB , CD . Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( SAB ) và

( SCD )

bằng

2 A. . 3

2 3 . 3

3 . 3

3 . 2

Câu 67. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Góc ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và

1 D. . 4

(Thi thử Nguyễn Huệ- Ninh Bình- Lần 3- 2019)Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có cạnh bên = 1200 . Gọi M là trung điểm BB′ thì côsin của góc tạo bởi AA′ = 2a , AB = AC = a , góc BAC hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AC ′M ) là 9

( SCD ) . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. tan ϕ =

2 3 . 3

B. tan ϕ =

3 . 3

C. tan ϕ =

3 . 2

D. tan ϕ =

2 . 3 10

Câu 68. (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a 3 . Góc tạo bởi ( SAB ) và ( SCD ) bằng A. 30° . Câu 69.

B. 60° .

C. 90° .

Câu 75.

D. 45° .

(THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy a 3 . Mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và nằm ABCD là hình chữ nhật, AB = a ; AD = 2 trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Biết ASB = 120° . Góc giữa hai mặt phẳng

B. 30° .

C. 45° .

B. 150° .

C. 60° .

21 . 7

5 . 5

2 . 5

1 . 5

−2 . 5

−1 . 5

(THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh bên bằng 2a , cạnh đáy bằng a . Gọi α là góc giữa hai mặt bên của hình chóp đó. Hãy tính cos α . 8 3 7 1 A. cos α = . B. cos α = . C. cos α = . D. cos α = . 15 2 15 2

Câu 78.

[THPT NINH BÌNH-BẠC LIÊU-2019] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a . Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và

D. 120° .

Câu 71. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA = a (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) bằng?

2 5 . 5

Câu 77.

và ( SAC ) .

A. 30° .

( SBC ) là

D. 90° .

Câu 70. (THPT KIẾN AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S . ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , biết AB = AC = a , BC = a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB )

5 . 7

Câu 76. (TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , SA ⊥ ( ABC ) , SA = a 3 . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và

( SAD ) và ( SBC ) bằng: A. 60° .

(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương thi thử lần 1 (2018-2019)) Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 2 2 . Gọi α là góc của mặt phẳng ( SAC ) và mặt phẳng ( SAB ) . Khi đó cosα bằng

( SAD ) bằng S

D B

A. 60° . Câu 72.

B. 45° .

C C. 30° .

A. 60° . Câu 79.

D. 90° .

(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = BC = a và SA = a . Góc giữa hai mặt phẳng ( SAC )

B. 30° .

C. 90° .

và ( SBC ) bằng

A. 60° .

B. 90° .

C. 30° .

D. 45° .

(SGD Điện Biên - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3 , BC = 4 . Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA bằng 4 .

D. 45° .

Câu 73.

(THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a (hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SBC ) bằng: B. 30° . C. 60° . D. 90° . A. 45° . Câu 74. (Trường THPT Chuyên Lam Sơn_2018-2019) Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình thoi tâm O và SO ⊥ ( ABCD ) , SO = 0

A. 90 .

a 6 , BC = SB = a .Số đo góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD) là: 3 B. 600 . C. 300 . D. 450 .

Côsin của góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) bằng

A. 11

3 17 . 17

3 34 . 34

2 34 . 17

5 34 . 17 12

Câu 80.

(Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác đều và ( SAB ) vuông góc với ( ABCD ) . Tính cos ϕ với ϕ là

Câu 87.

góc tạo bởi ( SAC ) và ( SCD ) . 3 6 . B. . 7 7 Dạng 3.3 Góc của hai mặt phẳng khác

Câu 81.

5 . 7

2 . 7

(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM ĂM 2018) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D ′ có tâm O . Gọi I là 1 ′ ′ tâm của hình vuông A B C ′D ′ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO = MI (tham 2 khảo hình vẽ).

(THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Cho hình lăng trụ đều ABC . A′B ′C ′ có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( AB ′C ′ ) và ( A′BC ) , tính cos α

Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( MC ′D′) và ( MAB ) bằng. A.

1 . 7

21 . 7

7 . 7

Câu 88.

4 . 7

Câu 82. (Tham khảo THPTQG 2019) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Góc giữa hai mặt phẳng ( A′B′CD ) và ( ABC′D′) bằng A. 30° . Câu 83.

Câu 84.

C. 45° .

6 85 . 85

7 85 . 85

6 13 . 65

(Tham khảo 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . A′B ′C ′ có AB = 2 3 và AA′ = 2. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh A′B′, A′C′ và BC (tham khảo hình vẽ bên). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( AB′C′ ) và ( MNP ) bằng C'

D. 90° .

N M

A. 90° . B. 120 C. 60° . D. 45° 120° . 45 . (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-L1-2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình thoi, AC = 2 AA′ = 2a 3 . Góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BD ) và ( C ′BD ) bằng B. 600 .

C. 450 .

D. 300 .

(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương thi thử lần 1 (2018-2019)) Cho lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có AB = 2 3, BB ' = 2. Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm của A ' B ', A ' C ', BC. Nếu gọi α là

P B

độ lớn của góc giữa hai mặt phẳng ( MNP ) và ( ACC ') thì cosα bằng A. Câu 86.

(THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hình lập phương ABCD. A′ B ′C ′D ′ . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( A′ BC ) và ( A′ CD ) .

A. 900 . Câu 85.

B. 60° .

17 13 . 65

4 . 5

2 . 5

3 . 5

2 3 . 5

(THPT Phan Bội Châu - Nghệ An - L2 - 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB 6 mặt ABCD là hình vuông, AA ' = . Xác định góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BD ) và ( C ' BD ) . 2 0 0 0 0 A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .

Câu 89.

6 13 . 65

13 . 65

17 13 . 65

18 13 . 65

(Thi thử lần 4-chuyên Bắc Giang_18-19) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B ′C ′D ′ có các cạnh AB = 2 ; AD = 3 ; AA′ = 4 . Góc giữa hai mặt phẳng ( BC′D ) và ( A′C ′D ) là α , (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính giá trị gần đúng của α ?

B. Hai mặt phẳng ( AA′B ' B ) và ( BB′C ) vuông góc với nhau.

C. AC ′ = 2 a 2 . D. Đáy ABC là tam giác vuông.

D C

Câu 94. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi d B , dC lần lượt là các đường thẳng đi qua B , C và vuông góc với ( ABC ) . ( P ) là mặt phẳng đi qua A và hợp với ( ABC ) một góc bằng 60° . ( P ) cắt d B , dC tại D và E . Biết AD =

A' D'

. Khẳng định nào sau đây là đúng? . Đặt β = DAE

A. 38,1° . B. 45, 2° . C. 53, 4° . D. 61,6° . Câu 90. (KSCL Sở Hà Nam - 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình thoi. Biết AC = 2, AA′ = 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( AB ′D′ ) và ( CB ′D ′ ) . A. 60 0 . Câu 91.

B. 90 0 .

C. 450 .

A. β = 30° . Câu 95.

B A

a 3 . 3

Câu 97. H

Câu 92.

Câu 98.

7 85 . 85

17 13 . 65

6 13 . 65

C. x = a 3 .

D. x =

a . 3

(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D ′ có các cạnh AB = 2 , AD = 3 , AA′ = 4 . Góc giữa hai mặt phẳng ( AB ' D ') và ( A ' C ' D) là α . Tính giá trị gần đúng của góc α . A. 45, 2° . B. 38,1° . C. 53, 4° . D. 61,6° .

Câu 99.

B. x = a .

C. x =

a 3 . 2

D. x =

a . 2

6 . 3

6 . 4

6 . 6

2 2 . 3

(THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp tam giác đều S . ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC . Biết mặt phẳng ( AMN ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) . Tính diện tích tam giác AMN theo a . A.

a 2 10 . 24

(THPT

CHUYÊN

a 2 10 . 16

VĨNH

PHÚC

C. -

LẦN

a2 5 . 8

D. 2018)Cho

tứ

a2 5 . 4

diện

ABCD

có V

AC = AD = BC = BD = a và hai mặt phẳng ( ACD ) , ( BCD ) vuông góc với nhau. Tính độ dài cạnh CD sao cho hai mặt phẳng ( ABC ) , ( ABD ) vuông góc.

DẠNG 4. MỘT SỐ CÂU HỎI LIÊN QUAN

Câu 93.

B. x = a .

(THPT THÁI PHIÊN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương ABCD. A/ B / C / D / có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng (P) đi qua dường chéo BD / , khi diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất, côsin góc tạo bởi (P) và mặt phẳng ( ABCD) bằng A.

Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC ′D′) và (MAB) bằng 6 85 . 85

D. β = 60° .

tạo với nhau một góc 60° .

6 . 2

(ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018)Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA ⊥ ( ABCD ) , SA = x . Xác định x để hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SDC ) A. x = a 3 .

C. sin β =

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a và CD = 2 x . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của

A. x =

2 . 6

AB và CD . Với giá trị nào của x thì ( ABC ) ⊥ ( ABD ) ?

Câu 96.

B. sin β =

( ACD ) ⊥ ( BCD ) ,

D. 30 0 .

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có tâm O . Gọi I là tâm của hình vuông A′B ′C ′D ′ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO = 2 MI (tham khảo hình vẽ). N

a 6 , AE = a 3 2

2a . 3

a . 3

a . 2

D. a 3 .

(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Trong hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có AB = AA′ = a , BC = 2a , AC = a 5 . Khẳng định nào sau đây sai? A. Góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( A′BC ) có số đo bằng 45° .

Câu 100. (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - HKI - 2018) Bạn Nam làm một cái máng thoát nước mưa, mặt cắt là hình thang cân có độ dài hai cạnh bên và cạnh đáy đều bằng 20 cm , thành máng

nghiêng với mặt đất một góc ϕ ( 0° < ϕ < 90°) . Bạn Nam phải nghiêng thành máng một góc trong khoảng nào sau đây để lượng nước mưa thoát được là nhiều nhất?

2 3 a. 3

3 a. 3

2a .

D. 2 2a .

Câu 107. Cho hình hộp chữ nhật ABCB. A′B ′C ′D′ có AB = a , AD = a 3, AA′ = a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , AA′ . Góc giữa hai đường thẳng MN và BB′ bằng A. 45° . B. 90° . C. 60° . D. 30° . 20cm φ

20cm

Câu 108. (Bình Giang-Hải Dương lần 2-2019) Cho hình lăng trụ đứng AB = AA′ = a, BC = 2 a; AC = a 5 . Khẳng định nào sau đây sai?

20cm

A. [50°;70° ) .

B. [10°;30°) .

C. [30°;50° ) .

D. [ 70°;90° ) .

thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (α ) biết (α ) tạo với mặt phẳng ( ABB ′A′) một

B. LỜI GIẢI

góc 60° .

3 . 2

C. 6 .

3 3 . 2

Câu 1.

Câu 102. Cho hình lập phương ABCD.A' B' C' D' có cạnh bằng 3. Gọi M ,N ,P là ba điểm lần lượt thuộc ba cạnh BB',C ' D', AD sao cho BM = C' N = DP = 1 . Tính diện tích S của thiết diện cắt bởi mặt phẳng ( M N P ) với hình lập phương đã cho. A. S =

13 3 . 3

B. S =

17 3 . 3

C. S =

15 3 . 2

Câu 103. Cho hình hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng

D. S =

3 . Mặt phẳng (α ) cắt tất cả các

tạo với ( ABB′A′) một góc 60° .

3 . 2

C. 6 .

3 3 . 2

Câu 104. Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng ( ABC ) và mặt phẳng

( SBC ) bằng 600. Tính diện tích A. 1.

∆ABC , biết diện tích ∆SBC bằng 2. C. 4.

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Chọn B A sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.

13 3 . 2

cạnh bên của hình lập phương. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi (α ) biết (α )

A. 2 3 .

có

A. AC ′ = 2a 2 . B. Góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( A′BC ) có số đo bằng 45° . C. Đáy ABC là tam giác vuông. D. Hai mặt phẳng ( AA′B′B ) và ( BB′C ′) vuông góc với nhau.

Câu 101. (Trường THPT Thăng Long Lần 1 năm 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD. A′ B ′C ′D ′ có cạnh bằng 3 . Mặt phẳng (α ) cắt tất cả các cạnh bên của hình lập phương. Tính diện tích

A. 2 3 .

ABC. A′B′C ′

D. 2.

Câu 105. (Bình Giang-Hải Dương lần 2-2019) Bác Bình muốn làm một ngôi nhà mái lá cọ như trong hình với diện tích mặt nền nhà (tính theo viền tường bên ngoài ngôi nhà) là 100 m 2 , mỗi mặt phẳng mái nhà nghiêng so với mặt đất 300 , để lợp một m 2 mái nhà cần mua 100 nghìn đồng lá cọ. Hỏi số tiền bác Bình sử dụng mua lá cọ để lợp tất cả mái nhà gần nhất với số nào sau đây? (coi như các mép của mái lá cọ chỉ chớm đến viền tường bên ngoài ngôi nhà, chỗ thò ra khỏi tường không đáng kể). A. 11,547 triệu đồng. B. 12,547 triệu đồng. C. 18,547 triệu đồng. D. 19,547 triệu đồng.

C Sai vì hai đường thẳng đó có thể trùng nhau. D Sai vì hai đường thẳng đó có thể cheo nhau. Câu 2. Chọn B Câu 3. Chọn A Lý thuyết. Câu 4. Chọn A Câu 5. Chọn A Câu 6. Chọn D Câu 7. Chọn A Câu 8. Chọn A Chọn D Câu 9. Câu 10. Chọn B Có hai mệnh đề đúng là ii) và iii) Câu 11. Chọn A

Câu 106. Cho tứ diện ABCD AC = AD = BC = BD = a , ( ACD ) ⊥ ( BCD ) và ( ABC ) ⊥ ( ABD ) . Tính độ dài cạnh CD.

Khẳng định (I) đúng (Hình vẽ trên) Khẳng định (II) sai vì nếu a ⊥ ( P ) và a ⊥ b thì b / / ( P ) hoặc b ⊂ ( P )

Khẳng định (III) sai trong trường hợp đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( P ) . Khi đó có vô sô mặt phẳng chứa đường thẳng a và vuông góc với mặt phẳng ( P ) . Ví dụ hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ thì qua đường thẳng AA′ ta chỉ ra được ít nhất ba mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) .

D H

Câu 15.

Chọn A Từ giả thiết suy ra SO ⊥ AC ; SO ⊥ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) mà SO ⊂ ( SBD ) , SO ⊂ ( SAC )

⇒ ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) ; ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) . Vậy SC ⊥ ( SBD ) là mệnh đề sai.

Khẳng định (IV) sai trong trường hợp đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( P ) . Khi

đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( P ) thì qua đường thẳng a có duy nhất một mặt phẳng ( Q ) vuông góc với mặ t phẳng ( P ) .

Câu 12.

Câu 16.

Chọn A

Chọn C S

SA ⊥ BC đúng vì SA ⊥ ( ABC ) . AB ⊥ BC đúng vì ∆ABC vuông tại B .  AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB ) . SB ⊥ BC đúng vì   SA ⊥ BC

Hình ảnh minh họa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( R ) nhưng không song song với nhau. Câu 13. Chọn B + Qua M có duy nhất một đường thẳng d vuông góc với ( P ) và ( Q ) .

Câu 17.

Chọn C

+ Mọi mặt phẳng chứa d đều vuông góc với ( P ) và ( Q ) nên có vô số mặt phẳng qua M vuông góc với ( P ) và ( Q )

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, MẶT PHẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với đường thẳng Câu 14. Lời giải Chọn D

Gọi D1 là hình chiếu vuông góc của D trên ( SBC ) . Gọi α là góc tạo bởi đường MD và mặt phẳng ( SBC ) . Khi đó:

sin α =

DD1 . MD

a2 a 5 = . 4 2 Gọi H là chân đường cao kẻ từ S của ∆SAB . Khi đó do tam giác SAB đều và a 3 . ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) và SH = 2 Kẻ HH 1 ⊥ SB ⇒ HH1 ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( H , ( SBC ) ) = HH1 và ta có Ta có MD = CD 2 + CM 2 = a 2 +

a 3 1 1 1 1 1 = + = + ⇒ HH1 = . HH12 SH 2 BH 2  a 3 2  a  2 4     2  2   

 AC ⊥ BD Ta có  ⇒ AC ⊥ ( SBD ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SBD ) .  AC ⊥ SB Câu 20. Chọn B

a 3 Ta có DD1 = d ( D, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = 2d ( H , ( SBC ) ) = 2 HH1 = . 2 DD1 15 = Do đó sin α = . MD 5

M B

Ta có BC ⊥ AM và BC ⊥ AA′ nên BC ⊥ ( AA′M ) ⇒ ( ABC ) ⊥ ( AA′B′B ) .

Câu 18. ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) Ta có  nên SA ⊥ ( ABCD ) ( SAD ) ⊥ ( ABCD )

Nếu ( AC ′M ) ⊥ ( ABC ) thì suy ra ( AC ′M ) ≡ ( AA′B′B ) : Vô lý. Do đó B sai.

Suy ra SA ⊥ AC (B đúng); SA ⊥ BC ; SA ⊥ BD . Mặt khác BC ⊥ AB nên BC ⊥ ( SAB ) suy ra BC ⊥ AH (A đúng). và BD ⊥ AC nên BD ⊥ ( SAC ) suy ra BD ⊥ SC ;

Đồng thời HK // BD nên HK ⊥ SC (C đúng). Vậy mệnh đề sai là AK ⊥ BD (vì không đủ điều kiện chứng minh). Dạng 2.2 Hai mặt phẳng vuông góc Câu 19. Chọn D

I A

BC ⊥ SA ( do SA ⊥ ( ABCD ) )  BC ⊥ AB ( gt )  ⇒ BC ⊥ ( SAB ) mà BC ⊂ ( SBC ) . Vậy ( SBC ) ⊥ ( SAB ) .  SA ∩ AB = A  Câu 24. Chọn B  AC ⊥ BD Ta có:  ⇒ AC ⊥ ( BB ' D ) mà AC ⊂ ( AB ' C ) ⇒ ( AB ' C ) ⊥ ( BB ' D ) .  AC ⊥ BB ' Câu 25. Chọn B. S

Câu 21.  BI ⊥ AC ( gt ) Ta có:  ⇒ BI ⊥ ( SAC ) ⊃ SC ⇒ SC ⊥ BI (1) .  BI ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABC ) ) Theo giả thiết: SC ⊥ IH

(2) .

Từ (1) và ( 2 ) suy ra: SC ⊥ ( BIH ) . Mà SC ⊂ ( SBC ) nên ( BIH ) ⊥ ( SBC ) . Câu 22. Chọn A + Có tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B , M là trung điểm của AC ⇒ BM ⊥ AC H

BM ⊥ AC   ⇒ BM ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBM ) ⊥ ( SAC ) . BM ⊥ SA  BC ⊥ SA  + Có  ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB ) BC ⊥ AB  + Có

B Vì AB ⊥ ( SAC ) nên ( SAC ) ⊥ ( SAB ) .

Vậy A sai.

Câu 23.

Câu 26.

Chọn A S

 AB ⊥ AD Ta có  ⇒ AB ⊥ ( SAD ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( SAD ) , suy ra phương án B đúng.  AB ⊥ SA

Chọn D

Lại có AC 2 = AD 2 + DC 2 = a 2 + a 2 = 2a 2 ⇒ AC = a 2 . Gọi M là trung điểm của AB . Khi đó BC 2 = MB 2 + MC 2 = a 2 + a 2 = 2a 2 ⇒ BC = a 2 . Ta thấy AB 2 = AC 2 + CB2 ⇒ BC ⊥ AC .  BC ⊥ AC Như vậ y  ⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAC ) , suy ra phương án C đúng.  BC ⊥ SA

DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Dạng 3.1 Góc của mặt phẳng bên với mặt phẳng đáy

 DC ⊥ AD Ta có  ⇒ DC ⊥ ( SAD ) ⇒ ( SCD ) ⊥ ( SAD ) , suy ra phương án D đúng.  DC ⊥ SA Câu 27. Chọn B ( SAB) ⊥ ( ABCD)  ( SAB) ∩ ( ABCD) = AB ⇒ BC ⊥ ( SAB)  BC ⊥ AB  ⇒ ( SBC ) ⊥ (SAB) Tương tự suy ra (SAD) ⊥ (SAB). ≠ 900 SCD ; SAB = ISJ

((

)(

))

Câu 30. Do AA′ ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( ACC ′A′ ) ⊥ ( ABCD ) . Câu 31. Chọn C

Vậy có 3 mặt phẳng ( ABCD);(SAD);(SBC ) vuông góc với (SAB).

B C

Ta thấy hai mặt phẳng ( ABCD ) và ( A′B′C ′D′) là hai mặt đáy của hình lập phương nên chúng song song với nhau. Vậy góc giữa ( ABCD ) và ( A′B′C ′D′) bằng ( ABCD ) , ( A′B ′C ′D ′ ) = 0° .

Câu 28. Ta có CD′ // A′B mà A′B ⊂ ( A′BD ) nên CD′ // ( A′BD ) .

)

(

CB′ // A′D mà A′D ⊂ ( A′BD ) nên CB′ // ( A′BD ) .

Vậy ( CB′D′) chứa hai đường thẳng CD′ , CB′ cắt nhau và cùng song song với ( A′BD ) từ đó ta có ( A′BD ) // ( CB ′D′) . S B

Câu 29. E

Câu 32.

; EO = a 2 Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng SEO 2 = SO = 1. Xét ∆SEO vuông tại O , ta có tan SEO EO CD ⊥ ( SAD ) . Câu 33. Ta có  ⇒ ( ( ABCD ) , ( SCD ) ) = SDA ( ABCD ) ∩ ( SCD ) = CD

Gọi O = AC ∩ BD . Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD (1). Mặt khác tam giác SAC cân tại S nên SO ⊥ AC (2). Từ (1) và (2) suy ra AC ⊥ ( SBD ) nên ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) .

A H

Câu 34. D Gọi O , H lần lượt là trung điểm của AC và BC .

Xét tam giác SHC vuông tại H ta có: SH = SC 2 − HC 2 =

( 5a )

91a 3  . − a = 2 2 

Vì SA = SB = SC = SD = 5a nên SO ⊥ ( ABCD ) . Ta có: ( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC , SH ⊥ BC , OH ⊥ BC , suy ra góc giữa ( SBC ) và ( ABCD ) bằng

=α . SHO Xét tam giác SOH vuông tại O , ta có: cos α =

OH 2a 4 91 ⇒ α ≈ 65°21′ . = = SH 91 91a 2

H K

B Câu 36. - Gọi H là trung điểm BG , theo giả thiết A′H ⊥ ( ABC ) . - Gọi M , K lần lượt là trung điểm của AB và BM CM ⊥ AB ⇒ ⇒ HK ⊥ AB ⇒ ( A′HK ) ⊥ AB  HK / / CM A′KH = ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABB′A′ ) ⇒

a 3 AB 2 + AG 2 BG 2 7a 2 ⇒ AH 2 = − = 3 2 4 12 1 a 3 41a 2 165a 2 2 2 2 2 ⇒ A′H = A′A − AH = ; HK = GM = ⇒ A′K = A′H 2 + HK 2 = 12 2 12 48 HK 1 ⇒ cos ϕ = = . A′K 165 Câu 37. Cách 1: - Ta có: AB = a , AG = BG =

Câu 35. D C Từ A ta kẻ đường vuông góc tới BD , thì chân đường vuông góc là tâm O của hình vuông, từ đây dễ thấy SO ⊥ BD , nên góc giữa hai mặt phẳng là góc SOA . SA a 6 Xét tam giác ∆SOA có tan SOA = = = 3 . Vậy góc cần tìm bằng 600 . OA a 2

Gọi D là trung điểm cạnh BC . 27

 SA ⊥ SB Ta có  ⇒ SA ⊥ ( SBC ) ⇒ SA ⊥ BC .  SA ⊥ SC Mà SD ⊥ BC nên BC ⊥ ( SAD ) .

(

( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC  ( SAM ) ⊥ BC ⇒ ( SBC ) , ( ABC ) = SM , AM . Kẻ AM ⊥ BC tại M . Ta có  ( SAM ) ∩ ( SBC ) = SM  SAM ∩ ABC = AM ) ( ) ( Suy ra góc giữa ( SBC ) và ( ABC ) bằng góc SMA .

)

Khi đó tam giác SAD vuông tại S có SD =

) (

(

=α . SBC ) , ( ABC ) = SDA ⇒ ( SD 1 3 1 ; AD = và cos α = . ⇔ cos α = AD 2 2 3

= Ta có tan SMA

Cách 2:

)

SA a = 45° . = = 1 ⇒ SMA AM a

Câu 39. . Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SA . Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) là góc SBA

= tan SBA Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ Ta có S ( 0; 0; 0 ) , A ( 0; 0;1) , B ( 0;1; 0 ) , C (1; 0; 0 )

SA a 3 = 60o . = = 3 ⇒ SBA AB a

⇒ phương trình mặt phẳng ( ABC ) : x + y + z − 1 = 0 có VTPT n = (1;1;1) . Mặt phẳng ( SBC ) ≡ Oxy : z = 0 có VTPT là k = ( 0;0;1) . n. k 1 Khi đó góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) là cos α = ⇔ cos α = . 3 n.k

B Câu 40. Gọi I là trung điểm của BC ⇒ AI ⊥ BC . Mà OA ⊥ BC nên AI ⊥ BC . ( OBC ) ∩ ( ABC ) = BC  . ⇒ ( OI , AI ) = OIA Ta có:  BC ⊥ AI ( OBC ) , ( ABC ) ) = (  BC ⊥ OI  Ta có: OI = C

1 1 BC = OB 2 + OC 2 = a 3 . 2 2

= Xét tam giác OAI vuông tại A có tan OIA M

Vậ y

Câu 38.

OA 3 = 30° . = ⇒ OIA OI 3

( OBC ) , ( ABC ) ) = 30° . (

Vây, góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và (OBC ) bằng 300 Câu 44. Chọn C

B Câu 41. Theo giả thiết vì SA ⊥ ( ABC ) nên SA ⊥ AB , SA ⊥ BC . Mặt khác BC ⊥ AB nên BC ⊥ SB . Vậy =α . góc giữa ( SBC ) và đáy là góc SBA

SA = 3 ⇒ α = 60° . Trong tam giác vuông SAB ta có: tan α = AB B

+) Ta có ∆ABC là hình chiếu vuông góc của ∆A′BC trên mặt phẳng ( ABC ) +) Gọi ϕ là góc giữa ( A′BC ) và ( ABC ) . Ta có: cos ϕ =

Câu 45.

S∆ABC a 2 3 3 = = ⇒ ϕ = 30 . S∆A′BC 2a 2 2

Chọn C S

Câu 43.

Câu 42. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD ; M là trung điểm của CD . . Góc giữa mặt bên và mặt đáy là SMO a 3 1 Ta có OM = AD = . 2 2 3 a = SO = 2 = 3 ⇒ SMO = 60° . Xét tam giác SOM vuông tại O , ta có tan SMO OM 3 a 2

D B

Gọi O = AC ∩ BD thì SO ⊥ ( ABCD ) . là góc cần tìm. Gọi M là trung điểm của BC thì SMO Xét ∆SMO vuông tại O có: 3a SO = 60°. tan SMO = = 2 = 3 ⇒ SMO OM a 3 2 Câu 46. Chọn D

Lời giải Chọn D Gọi M là trung điểm của BC . Suy ra OM ⊥ BC . Nên góc giữa hai mặt phẳng . ( ABC ) và (OBC ) chính là góc OMA Ta có: Tam giác OBC vuông cân tạ O 1 1 nên OM = BC = OB 2 + OC 2 = a 3 2 2 Xét tam giác OAM vuông tại O có = OA = 1 . Suy ra tan OMA OM 3 = 300 OMA

a a 6 O

B H I

a 6

Hình chóp tứ giác đều ABCD có H là trọng tâm của tam giác đáy BCD và DH cắt BC tại I B

Ta có AH ⊥ ( BCD )

BC ⊥ SA vì SA ⊥ ( ABCD ) .

Tam giác BCD đều và H là trọng tâm của tam giác BCD nên DI ⊥ BC .  AH ⊥ BC ⇒ AI ⊥ BC   DI ⊥ BC ⇒ góc giữa mặt bên ( ABC ) và mặt đáy ( BCD ) là AID

⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB .

( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC SB ⊂ ( SBC ) , SB ⊥ BC AB ⊂ ( ABCD ) , AB ⊥ BC ⇒ góc giữa mặt phẳng ( SBC ) mặt phẳng ( ABCD )

a 3 2 1 a 3 Tam giác BCD đều có H là trọng tâm nên IH = DI = . 3 6 IH 1 AH ⊥ ( BCD ) nên tam giác AIH vuông tại H . Khi đó cos AIH = = AH 3 Câu 47. Chọn C Tam giác ABC đều có AI là đường trung tuyến nên AI =

= AB = a = 1 ⇒ SBA = 600 . ∆ v SAB : cos SBA SB 2a 2 Vậy góc giữa mặt phẳng ( SBC ) mặt phẳng đáy bằng 60o .

Câu 49. Lời giải

Chọn B

. bằng góc giữa SB , AB bằng góc SBA

A D I B

BD ⊥ AI  ⇒ BD ⊥ ( AIA′) ; BD = ( BDA′) ∩ ( ABCD ). Gọi I = AC ∩ BD . Ta có:   BD ⊥ AA′   Do đó góc giữa hai mặt phẳng ( BDA′) và ( ABCD) là AIA′ . Ta có: vuông ∆AA′I

Câu 48.

tạ i a 2 a 6 AA′ 6 2 2 . AA′ = a; AI = ⇒ A′ I = AA′ + AI = ⇒ sin AIA′ = = 2 2 A′ I 3 Chọn B

có:

( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC   BC ⊥ SA ( SAB ) ⊥ BC BC SAB ⇒ ⊥ . Ta có ( )    BC ⊥ AB ( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB  SAB ∩ ABCD = AB ) ( ) (

ˆ = 600 . Do đó tan 600 = x ⇒ x = a 3 . Suy ra góc giữa ( SBC ) và mặt đáy bằng góc SBA a Câu 50. Chọn A

a 3

D A

Ta có: (( A ' B 'C); ( ABC ' D ')) = ( BC '; B ' C )

Ta có BC ⊥ AB 33

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo BC ' và B ' C . CB 1 = ⇒ CB ' B = 30o . BB ' 3 ' = 120o ⇒ CIB = 60o . Tam giác IBB ' cân tại I , suy ra: BIB

Xét ∆SOB vuông tại O: SO = SB 2 − OB 2 = a 7

+) tan CB 'B =

Xét ∆SON vuông tại O: SN = SO 2 + ON 2 = 2 2a Xét ∆SON vuông tại O: cos α =

Vậy (( A ' B 'C); ( ABC ' D ')) = 60 .

Câu 51.

Câu 53.

Chọn A

1 2 ON = = SN 2 2 4

Chọn A C

A S

A' A

Gọi H là trung điểm của B ' C ' ⇒ AH ⊥ B ' C ' (do ∆AB ' C ' cân tại A ) và A ' H ⊥ B ' C ' (do ∆A ' B ' C ' đều). Suy ra ( AB ' C ') , ( A ' B ' C ') = AH , A ' H = AHA ' .

) (

(

Giả sử S . ABCD là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . a 3 a Gọi O = AC ∩ BD và M là trung điểm của cạnh CD ⇒ OM = và SM = . 2 2 CD ⊥ SO Theo giả thiết ta có  ⇒ CD ⊥ ( SOM ) ⇒ CD ⊥ SM . CD ⊥ OM . Vậy ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ( OM , SM ) = SMO

Vậy tan AHA ' =

Câu 54.

)

AA ' a 2 3 . = = A' H a 3 3 2

Chọn A

a OM 3 Xét tam giác vuông SOM ta có cos SOM = . = 2 = SM a 3 3 2 Câu 52. Chọn A

Gọi M là trung điểm B ' C ' . Do lăng trụ đều nên ta có: A ' M ⊥ B ' C ' , AM ⊥ B ' C ' . Do đó góc giữa hai mặt phẳng ( AB ' C ') và ( A ' B ' C ') là góc AMA ' . Lại có tam giác đều A ' B ' C ' nên A ' M = 2a

Gọi O là giao điểm của AC và BD , N là trung điểm của BC . α = ( ( SBC ) , ( ABC D ) ) = ( SN , ON ) = SNO

OB =

Từ đó: tan AMA ' =

1 BD = 2a 2 35

3 =a 3. 2

AA ' a 1 = = A' M a 3 3 36

Câu 55.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( AB ' C ') và ( A ' B ' C ') bằng 30° . Chọn B S

A I

O C

Đặt AB = a , gọi I là trung điểm của AB . Ta có: ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB  ⇒ ( ( SAB ) , ( ABCD ) ) = ( SI , OI ) = SIO SI ⊥ AB OI ⊥ AB  Mặt khác, ta lại có: 3 a 3 3 1 SO 2 = 60o AB = a, SO = AB = a, OI = a ⇒ tan SIO = = = 3 ⇒ SIO 1 2 2 2 OI a 2 Câu 56. Chọn D

Gọi D là trung điểm của BC . Ta có ( MBC ) ∩ ( ABC ) = BC .  BC ⊥ AD ⇒ BC ⊥ ( AMD ) . Và   BC ⊥ AM , (vì tam giác MAD vuông tại A ). Do đó α = ( MBC ) , ( ABC ) = ( DM , AD ) = MDA

)

(

Vậy tan α =

Câu 58.

AM 3a 2 3 . = . = AD 4 a 3 2

Chọn C S

x 2a

30°

Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ AB là hình chiếu của AB lên ( ABC ) .

2a 3 = ( SB ;( ABC )) = 30° , SA = AB tan 30° = Do đó SBA . 3 Gọi M là trung điểm của BC , ta có 2a 3 ∆ABC đều cạnh 2a ⇒ AM = 2 ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC  = ( SBC Và  AM ⊥ BC ; ABC ) = x . ⇒ SMA  SM ⊥ BC  Vậy tan x =

Câu 57.

Gọi O = AC ∩ BD ta có SO ⊥ BD, AO ⊥ BD

Góc giữa mặt phẳng ( SBD ) và mặt phẳng ( ABCD ) là góc SOA Xét tam giác vuông SOA có SA =

= Nên tan SOA

SA 2a 3 2 2 . = = . AM 3 2a 3 3

Chọn C

a 6 a 2 ; OA = 6 2

a 6 SA 3 = 30° = 6 = , suy ra góc SOA OA a 2 3 2

Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD ) bằng 30° Câu 59. Chọn B

 BC ⊥ MH Suy ra  ⇒ ( ( ABC ) , ( BCD ) ) = AMH .  BC ⊥ AM

A K

AMH = tan

AH = MH

 a 3   a 2   −  AB 2 − BH 2  2  2 = = 3. 1 1 a 6 BD . 2 2 3

π Suy ra AMH = . 3 Câu 61. Chọn C

Gọi H , K lần lượt là trung điểm của CD và AB . Do tam giác ACD cân tại A nên AH ⊥ CD mà ( ACD ) ⊥ ( BCD )

⇒ AH ⊥ ( BCD ) ⇒ AH ⊥ HB ⇒ AB = HA2 + HB 2 = 2 ( a 2 − x 2 ) và HK =

2 ( a2 − x2 ) AB = 2 2

. Do các tam giác ABC , ABD cân tại C và D nên CK ⊥ AB , DK ⊥ AB ⇒ góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABD là góc ( KC , KD ) . Khi đó:

(

)

(

)

= 90° ⇔ KH = ( ABC ) ⊥ ( ABD ) ⇔ CKD

Vậ y x =

Câu 60.

CD ⇔ 2

2 ( a2 − x2 )

=x⇔x=

a 3 . 3

Ta có: MN //BC (tính chất đường trung bình) ⇒ MN // ( ABC ) ⇒ ( AMN ) ∩ ( ABC ) = Ax .

Chọn B

 Ax ⊥ AB Dễ thấy, BC ⊥ ( SAB ) ⇒ Ax ⊥ ( SAB ) ⇒  . Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( AMN ) và  Ax ⊥ AM . Vì tam giác SAB vuông, nên MAB = SBA . Ta có: ( ABC ) là MAB

= cos SBA = cos MAB

Câu 62.

AB = SB

a SA2 + AB 2

a 5 . = 5 a 5

Chọn D C'

D B' 2a

H C

Gọi M và H lần lượt là trung điểm BC và CD . Do AB = AC = AD =

M A

a 3 và H là chân 2

a C

đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy BCD nên AH ⊥ ( BCD ) .

 BC ⊥ MH  Ta có  BC ⊥ AH ⇒ BC ⊥ ( AMH ) .  MH , AH ⊂ AMH ( ) 

Kéo dài BC cắt C ′M tại D , khi đó giao tuyến của ( ABC ) và ( AC ′M ) là AD . Do M là trung điểm của BB′ suy ra DB = BC = a 2 + a 2 − 2a 2 cos120 = a 3 Trong mặt phẳng ( ABC ) kẻ BK ⊥ AD , K ∈ AD . 39

Gọi ϕ là góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AC ′M ) . Ta có cos ϕ = A

BK . MK

Vậ y

AKH . (( SAC ) , ( SBC )) = ( AK , HK ) =

Do AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ HK hay tam giác AHK vuông tại H .

a C

Ta có AH = a

a 3

AB.SA AB 2 + SA2

Vậy cos AKH = B

2a 5 ; AK = 5

AC.SA AC 2 + SA2

= a 2 ⇒ HK =

a 30 . 5

HK 15 = . AK 5

a 3

= 1200 nên Do tam giác ABC cân tại A và góc BAC ABC = ACB = 300 suy ra ABD = 1500 . 3 Ta có AD 2 = BD 2 + AB 2 − 2 BD. AB.cos1500 = 3a 2 + a 2 + 2a 2 3. = 7a2 . 2 0 = sin150 .a 3 = 3 ⇒ BK = AB.sin DAB =a 3 = a 3. Suy ra AD = a 7 ⇒ sin DAB a 7 2 7 2 7 2 7 a 3 BK 93 3a 2 a 31 = 2 7 = = . Vậy cos ϕ = . ⇒ MK = BM 2 + BK 2 = a 2 + MK a 31 31 28 2 7

N Câu 64.

AM AD 2 = = , do đó hai tam giác ABC và DAM đồng dạng, suy BC AB 2 ra AMN + MAN = 90° . Vậy AC ⊥ DM ⇒ DM ⊥ ( SAC ) mà DM ⊂ ( SDM ) nên góc giữa hai

Gọi N = AC ∩ DM . Ta có

2 7

mặt phẳng ( SAC ) và ( SDM ) là 90° .

Dạng 3.2 Góc của hai mặt phẳng bên S

S K

Câu 63.

Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC

C D Câu 65. Theo giả thuyết H là hình chiếu của C lên AB nên hình chiếu của mặt phẳng ( SBC ) lên mặt

Mặt khác BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH (1).

phẳng ( SAB ) là ( SBH ) . Đặt α = ( ( SBC ) , ( SAB ) ) ta có: cos α =

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB , SC khi đó ta có.

S ∆SBH . S∆SBC

Mặt khác ta có: a2 3 1 S∆SHB = a.a 3 = . 2 2 SB = SC = 2a; BC = a 2 .

AH ⊥ SC (2).

Từ (1) và (2) ta có AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC (3). Mặt khác ta lại có AK ⊥ SC (4). Từ (3) và (4) ta có SC ⊥ ( AHK ) ⇒ SC ⊥ HK . 41

S∆SBC =

(

a 4+ 2

).a

(

( SAB ) ⊥ ( ABCD )  Ta có:  AB = ( SAB ) ∩ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD )   SH ⊂ ( SAB ) , SH ⊥ AB

)

a2 7 2 a 2 a 4− 2 . . . = 2 2 2 2

2 S∆SBH 3 = Vậy cos α = . S ∆SBC 7

Gọi I là trung điểm của CD ⇒ HI là đường trung bình của hình vuông ABCD ⇒ HI = a , HI ⊥ CD CD ⊥ SH Do  ⇒ CD ⊥ ( SHI ) ⇒ CD ⊥ SI  CD ⊥ HI

 S ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD )  Lại có  AB ⊂ ( SAB ) ; CD ⊂ ( SCD ) ⇒ Sx = ( SAB ) ∩ ( SCD ) với Sx / / AB / /CD   AB / / CD

x B H

C K

 Sx / / AB Ta có:  ⇒ SH ⊥ Sx . Chứng minh tương tự: Sx ⊥ SI .  AB ⊥ SH  Sx = ( SCD ) ∩ ( SAB )  =ϕ Khi đó:  SH ⊂ ( SAB ) , SH ⊥ AB ⇒  SH , SI ) = HSI ( SAB ) , ( SCD )  = (   SI ⊂ ( SCD ) , SI ⊥ CD

D Câu 66. Ta có: H là trung điểm AB thì SH ⊥ AB (vì tam giác SAB đều) ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Mà  ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB  AB CD Mặt khác  ⇒ ( SAB ) ∩ ( SCD ) = Sx // AB // CD S ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD )

(

HI 2 3 . = SH 3 Giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) là đường thẳng d đi qua S và d //AB, d //CD .

Xét ∆SHI có: tan ϕ =

 Sx ⊥ SH Mà Sx ⊥ ( SHK ) ⇒  , với K là trung điểm CD .  Sx ⊥ SK . ⇒ ( SAB ) , ( SCD ) = HSK

Câu 68.

Do đó d ⊥ SA, d ⊥ SD , góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) là góc giữa SA và SD

)

Tam giác SAD vuông tại A , tan ASD =

= HK = 2 3 . Khi đó tan HSK SH 3

AD 1 , do đó góc cần tìm bằng 30° . = AS 3

Câu 69. Gọi H là trung điểm của AB , theo đề ra ta được SH ⊥ ( ABCD ) .

Dựng T , K lần lượt là hình chiếu của H lên SA , SB ⇒ HT ⊥ ( SAD ) và HK ⊥ ( SBC ) .

(

) (

)

Vậy ( ; HK . SAD ) ; ( SBC ) = HT

B C Câu 67. Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH là trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SAB

= 60° Xét tứ giác SKHT có hai góc vuông đối diện nhau nên SKHT là tứ giác nội tiếp ⇒ KHT do ASB = 120° . = 60° . SAD ) ; ( SBC ) = HT ; HK = KHT Vậy (

(

) (

)

ϕ H

Câu 70. Vì SA ⊥ ( ABC ) nên SA ⊥ AB và SA ⊥ AC . Câu 72.

( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA  . ⇒ ( SAB ) , ( SAC ) = AB, AC = BAC ta có:  SA ⊥ AB  SA ⊥ AC 

(

= Xét ∆ABC có cos BAC

(

) (

)

(

a2 + a2 − a 3 AB 2 + AC 2 − BC 2 = 2. AB. AC 2.a.a

)

Ta có ( SAC ) ⊥ ( ABC ) (vì SA ⊥ ( ABC ) ) và BH ⊥ AC ⇒ BH ⊥ ( SAC ) .

=−

Gọi H là trung điểm cạnh AC

Trong mặt phẳng ( SAC ) , kẻ HK ⊥ SC thì SC ⊥ ( BHK ) ⇒ SC ⊥ BK .

1 = 120° . ⇒ BAC 2

(

)

=ϕ . ⇒ ( SAC ) , ( SBC ) = SKH

)

SAB ) , ( SAC ) = 120° . Vậy (

Mặt khác

Tam giác ABC vuông cân tại B có AB = BC = a nên AC = a 2 và BH =

ϕ x

Hai tam giác CKH và CAS đồng dạng nên HK =

D Tam giác BHK vuông tại H có tan ϕ =

Câu 71.

(

a 2 . 2

HC.SA a 2 HC.SA ⇔ HK = = . 2 2 SC 3 SA + AC

BH = 3 ⇒ ϕ = 60° . BK

)

SAC ) , ( SBC ) = 60° . Vậy (

CD ⊥ ( SAD )  Sx ⊥ SA ⇒ Sx ⊥ ( SAD ) ⇒  Ta có  và ( SAB ) ∩ ( SCD ) = Sx // AB //CD CD // Sx  Sx ⊥ SD

)

(

⇒ ( SAB ) , ( SCD ) = ASD = ϕ . Tam giác SAD vuông tại A có SA = AD = a ⇒ ∆SAD vuông cân tại A

⇒ ϕ = 45°

(

)

SAB ) , ( SCD ) = 45° . Vậy ( Câu 73. Ta có: ( SBC ) ∩ ( SAD ) = Sx // BC // AD . Ta chứng minh được BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ Sx ⊥ SB . 45

Lại có: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AD ⇒ SA ⊥ Sx .

= 45° . Vậy góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và ( SAD ) là góc BSA Câu 74. Chọn A

Theo bài ra ta có OB = SB 2 − SO 2 = a 2 − và OA = AB 2 − OB 2 = a 2 −

6a 2 3a = 9 3

3a a 6 . = 9 3

AC = 2 2 ⇒ ∆SAC là tam giác đều ⇒ S∆SAC = 2 3 ⇒ S∆SAO = 3 S

SH = SA2 − AH 2 = 7 ⇒ S ∆SAB = 7 . Hình chiếu vuông góc của ∆SAB lên mặt phẳng ( SAC ) là ∆SAO .

Suy ra: cosα = Câu 76.

S ∆SAO 3 21 . = = S ∆SAB 7 7

Chọn B

A x

a 6   a 3   a 6 ;0;0  , B  0; ;0  , S  0;0; Chọn hệ trục Oxyz , với O ( 0;0;0 ) , A  , 3 3   3      a 6   a 3  C  − ;0;0  , D  0; − ;0  . 3 3     Phương trình mặt phẳng ( SBC ) có vectơ pháp tuyến là n = −1; 2;1 và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( SCD) là n ' = −1; − 2;1 .

(

)

Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD) ta có: 1− 2 +1

cosϕ = cos n, n ' =

( )

(−1) +

( 2)

(

+ 11 . ( −1) 2 + − 2

)

Gọi M là trung điểm của BC . Do tam giác ABC đều nên AM ⊥ BC và a 3 AM = AB sin 60° = 2 Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A trên SM , SB . Vì SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AB, SA ⊥ AM . Trong các tam giác vuông SAB , SAM , ta có:

=0 + 11

a 15 1 1 1 a 3 1 1 1 = + ⇒ AK = = + ⇒ AH = ; AK 2 SA2 AB2 2 AH 2 SA2 AM 2 5  BC ⊥ SA ( do SA ⊥ ( ABC ) ) ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ AH   AM ⊥ BC

Suy ra góc ϕ = 900 Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD) là 900 Câu 75. Chọn C

 AH ⊥ SM  AH ⊥ KH  SB ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒  ⇒ SB ⊥ ( AHK ) ⇒ SB ⊥ HK . .    AH ⊥ BC  AH ⊥ SB  SB ⊥ AK Từ AH ⊥ KH ⇒ KH = AK 2 − AH 2 =

a 3 20

 SB ⊥ AK HK 1 ⇒ ( ( SAB ) , ( SBC ) ) = AKH ⇒ cos ( ( SAB ) , ( SBC ) ) = = Từ  AK 5  SB ⊥ HK Câu 77. Chọn C 47

 BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB . Ta có:   BC ⊥ SA Mà Sx //BC ⇒ Sx ⊥ SB tại S . (1)  SA ⊥ AD Ta lại có:  ⇒ SA ⊥ Sx tại S . (2)  Sx //AD Từ (1) và (2) ⇒ ( , SA = SBC ) , ( SAD ) = SB ASB .

) (

(

A H

)

Xét tam giác SAB vuông tại A có: SA = AB ⇒ ∆SAB vuông cân tại A ⇒ ASB = 45° SBC ) , ( SAD ) = 45° . ⇒ (

(

Gọi M , N là chân đường cao hạ từ các đỉnh B , S của tam giác SBC . H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC ) .

Câu 79.

)

Chọn B S

Ta có: AB ⊥ ( SHC ) ⇒ AB ⊥ SC Mặt khác SC ⊥ BM ⇒ SC ⊥ ( ABM ) ⇒ SC ⊥ AM K

( SAC ) ∩ ( SBC ) = SC   AM ⊂ ( SAC ) Vậy  ⇒ ( ( SAC ) ; ( SBC ) ) = ( AM ; BM ) .  BM ⊂ ( SBC ) SC ⊥ AM , SC ⊥ BM  Ta tính góc AMB . Xét tam giác AMB . Tam giác SBC cân tại S nên N là trung điểm của BC .

P H

a 2 a 15 = . 4 2 SN .BC a 15.a a 15 +) BM = . = = SC 2.2a 4 +) AM = AC 2 − MC 2 = BC 2 − MC 2 = BM . 15a 2 15a 2 + − a2 AM 2 + BM 2 − AB 2 7 16 Ta có cos AMB = = 16 = > 0 , suy ra góc AMB nhọn. 2 15a 2.MA.MB 15 2. 16 7 Vậy α = ( ( SAC ) ; ( SBC ) ) = ( AM ; BM ) = AMB ⇒ cos α = . 15 Câu 78. Chọn D +) SN = SC 2 − NC 2 = 4a 2 −

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có: AC 2 = AB 2 + BC 2 = 32 + 42 = 5 . Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống SA . Xét tam giác CAK vuông tại K ta có:

AK = CA2 − CK 2 = 52 − 42 = 3 . Kẻ SH ⊥ AC , H ∈ AC và KP //SH , P ∈ AC thì KP ⊥ ( ABCD ) . Xét tam giác BAC vuông tại B và tam giác KAC vuông tại K ta thấy các cạnh tương ứng bằng nhau và KP là đường cao của tam giác KAC nên BP là đường cao của tam giác BAC . Kẻ PM ⊥ KA , M ∈ KA . Vì KA ⊥ PB và KA ⊥ PM nên KA ⊥ ( PMB ) . Suy ra KA ⊥ MB . . Như vậy, góc giữa mặt phẳng ( SAC ) và ( SAB ) bằng góc PMB Xét tam giác KAC vuông tại K ta có: KP. AC = KA.KC ⇒ KP =

Suy ra BP = KP = a

KA.KC 3.4 12 = = . AC 5 5

12 . 5 2

9  12  Xét tam giác KPA vuông tại P ta có PA = KA2 − KP 2 = 32 −   = . 5  5 PA.PK 36 = Lại có PM . AK = PA.PK ⇒ PM = . AK 25

 12   36  12 34 Xét tam giác PMB vuông tại P ta có MB = PB 2 + PM 2 =   +   = . 25  5   25 

 S ∈ ( SAD ) ∩ ( SBC )  Ta có:  ⇒ ( SAD ) ∩ ( SBC ) = Sx //BC , Sx //AD .  BC // AD 49

= Ta có: cos PMB

Câu 80.

MP 36 25 3 34 . = . = MB 25 12 34 34

Vậy cos ϕ =

Chọn C

5 . 7

Dạng 3.3 Góc của hai mặt phẳng khác

O D

A K

Câu 81. Giả sử cạnh của hình lăng trụ đều ABC . A′B′C ′ có độ dài bằng a . Gọi M = A′B ∩ AB′ và N = A′C ∩ AC ′ . Khi đó ( AB ′C ′ ) ∩ ( A′BC ) = MN .

Gọi H , O, J lần lượt là trung điểm của AB, AC , CD . I là hình chiếu vuông góc của O lên SJ , K là hình chiếu vuông góc của I lên SC . ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .  SH ⊥ AB  ⇒ SH ⊥ CD . Mặt khác, CD ⊥ HJ ⇒ CD ⊥ ( SHJ ) ⇒ CD ⊥ OI .

Kẻ A′I ⊥ MN Khi đó

(

)

SH =

mà AA′ ⊥ BC , BC //MN ⇒ AA′ ⊥ MN . Vậy AI ⊥ MN .

Gọi J là trung điểm BC . a 3 7 1 a 7 AJ = a ⇒ A′I = A′J = , A′J = AA′2 + AJ 2 = . 2 2 2 4 Xét tam giác ∆A′IA có: 1 AI 2 + A′I 2 − AA′2 −1 ⇒ cos α = cos ( AI , A′I ) = cos 180 − A′IA = . cos A′IA = = 7 2. AI . A′I 7 Câu 82. Chọn D A B

 OI ⊥ SJ SC ⊥ OI ⇒ OI ⊥ ( SCD ) ⇒ OI ⊥ SC , Có  ⇒ SC ⊥ OK .  OI ⊥ CD  SC ⊥ IK nhọn) (do ∆OKI vuông tại I nên OKI Suy ra ( , KI = OKI SAC ) , ( SCD ) = KO

) (

( I ∈ MN )

( ( AB′C ′) , ( A′BC ) ) = ( AI , A′I ) = α .

a 3 a 7 a 3 2 , SC = SD = SB 2 + BC 2 = a 2 , SJ = SH 2 + HJ 2 =   + a = 2 . 2 2  

OI OJ IJ OJ .SH a 3 . = = ⇒ OI = = SH SJ H J SJ 2 7 OJ .HJ a . IJ = = SJ 7

Có SI = SJ − IJ =

∆SHJ ∽ ∆OIJ ⇒

O B′

A′ D′ Ta có: CD ⊥ ( ADD′A′ ) ⇒ CD ⊥ A′D

5 7a . 14

)

C′

 A′D ⊥ AD′ ⇒ AD′ ⊥ ( A′B′CD )  CD ⊥ AD′

5 7a a . SI KI SI .JC 5 14a . = ⇒ KI = = 14 2 = ∆SKI ∼ ∆SJC ⇒ SC JC SC 56 a 2 ∆OKI vuông tại I 24 OI a 3 56 tan ϕ = = . = KI 2 7 5 14a 25 1 25 5 Có cos 2 ϕ = = ⇒ cos ϕ = (do cos ϕ > 0 ) 1 + tan 2 ϕ 49 7

Mà AD′ ⊂ ( ABC ′D′ ) ⇒ ( ABC ′D′) ⊥ ( A′B′CD )

Câu 83.

Do đó: góc giữa hai mặt phẳng ( A′B′CD ) và ( ABC ′D′ ) bằng 90° . Chọn C

Trong tam giác OA′C′ : cos O =

OA′2 + OC ′2 − A′C ′2 6a 2 + 6a 2 − 12 a 2 = =0 2.OA′.OC ′ 2.6a 2

′OC ′ = 900 . Suy ra A Chú ý: có thể suy ra góc A′OC ′ vuông bằng cách nhận xét 2 tam giác AOA′, COC ′ vuông cân. Câu 85. Chọn B H

N C'

M B'

BD ⊥ AC  Ta có: ( A′ BC ) ∩ ( A′ CD ) = A′ C . Do  ⇒ BD ⊥ A′ C .    BD ⊥ AA′ Kẻ BE ⊥ A′ C = {E } , thì ( BDE ) ⊥ A′ C .

L A

) (

Do ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ đều nên nó là lăng trụ đứng và có đáy là tam giác đều. Ta lấy thêm các trung điểm của AB , AC lần lượt là các điểm E , L. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của

Vậy ( ; ED . A′BC) ;( A′CD) = EB

)

A ' N , CL. Khi đó thực hiện phép chiếu vuông góc tam giác MNP lên mặt phẳng ( ACC ' A ') ta được tam giác KNH . Tam giác MNP có MN = 3, MP = NP

 BC ⊥ BA  Có  ⇒ BC ⊥ ( AA′ B ′B ) ⇒ BC ⊥ A′ B .     BC ⊥ BB ′ Giả sử hình lập phương ABCD. A′ B ′C ′D ′ có cạnh bằng a . Tam giác A′ BC vuông tại B với đường cao là BE , ta có: a 2 a 2 1 1 1 1 1 3 = + = 2 + 2 = 2 ⇒ BE = . Tương tự ta có DE = . BE 2 BC 2 BA′ 2 a 2a 2a 3 3 Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác BDE : 2a 2 2a 2 + − 2a 2 2 2 2 −1 BE + DE − BD 3 = = 120° . = cos BED ⇒ BED = 3 2a 2 2.BE.DE 2 2. 3 = 60° . ′ ′ Vậy ( A BC) ;( A CD) = EB; ED = 180°− BED

(

Câu 84.

) (

với MP = PE 2 + ME 2 = 3 + 4 = 7 . Tam giác MNP cân tại P nên độ dài đường cao kẻ từ P tính được là

Vậy cos α =

O D

Câu 86. B'

3 5 = . 4 2

15 5 3 . . 3= 22 4 Tam giác KHN có diện tích được tính là 3 3  3 3 +   .2  3 +  .2 2 2 2  −  = 3. S KHN = S ACC ' A ' − S AKHA ' − S KCC ' N = 4 3 −  2 2 2 Áp dụng công thức hình chiếu ta có S KHN = S MNP .cos α .

)

7−

Nên diện tích là: S MNP =

Chọn A

P B

( BDE ) ∩ ( A′ BC ) = EB ; ( BDE ) ∩ ( A′ CD ) = ED .

(

K E

Chọn C

3 S KHN 2 2 = = . S MNP 5 3 5 4

 BD ⊥ AC → BD ⊥ ( ACC ′A′ ) → BD ⊥ OA′, BD ⊥ OC ′ Ta có:   BD ⊥ A′A Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( A′BD ) và ( C ′BD ) là góc giữa hai đường thẳng OA′ và OC′ . Theo giả thiết: AC = 2 A′A = 2a 3 ⇒ AO = A′A = a 3 → OA′ = OC ′ = a 6 53

D O

Ta chọn hình lập phương có cạnh bằng 6 . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh C ′D′ và AB . Khi đó ta có

+ Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD . x 6 . Đặt AB = x ⇒ BC = x; AA ' = 2

MP = MI 2 + IP 2 = 13 , MQ = 5, PQ = 6 2 Áp dụng định lý hàm cos ta được: 2 2 2 = MP + MQ − PQ = − 17 13 . cos PMQ 2MP.MQ 65 Gọi α là góc giữa ( MC ′D′) và ( MAB ) :

x 6 x 10 2 ⇒ ∆ A ' BD cân ⇒ A ' O ⊥ BD . A ' B = A ' D =   + x = 2  2  2

x 6 x 10 2 ⇒ ∆C ' BD cân ⇒ C ' O ⊥ BD . C ' B = C ' D =   + x = 2  2 

6 13 . 65 Câu 88. Chọn B Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC và B′C′; I = BM ∩ AB′, J = CN ∩ AC ′, E = MN ∩ A′Q. sin α =

+ ( A ' BD ) ∩ ( C ' BD ) = BD

A ' O ⊥ BD, A ' O ⊂ ( A ' BD )

Suy ra, ( MNP ) ∩ ( AB′C′) = ( MNCB ) ∩ ( AB′C ′) = IJ và gọi K = IJ ∩ PE ⇒ K ∈ AQ với E là trung điểm MN (hình vẽ). MNP ) , ( AB ′C ′ ) = AQ , PE = α ( AA′QP ) ⊥ IJ ⇒ AQ ⊥ IJ , PE ⊥ IJ ⇒ (

C ' O ⊥ BD, C ' O ⊂ ( C ' BD ) ⇒ góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BD ) và ( C ' BD ) bằng góc giữa A ' O và C ' O . + Tính A ' OC ' . 2

) (

(

Ta có AP = 3, PQ = 2 ⇒ AQ = 13 ⇒ QK =

 x 10   x 2  A ' O = C ' O = A ' B 2 − BO 2 =   −   = x 2 .  2   2 

= cos α = cos QKP

A 'C ' = x 2 . A ' OC ' = 600 . ⇒ ∆ A ' OC ' đều ⇒

KQ2 + KP 2 − PQ2 2 KQ.KP

5 5 13 ; PE = ⇒ PK = . 2 3 3

13 . 65 C'

0 Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BD ) và ( C ' BD ) bằng 60 .

Cách khác: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' để tìm góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BD ) và ( C ' BD ) .

Câu 87.

)

E M

A' J

Chọn D

K I C

P B

Cách 2 55

( MNP ) ∩ ( MNQ ) = MN  0  PE ⊂ ( MNP ) ; PE ⊥ MN ⇒ ( ( MNP ) ; ( MNQ ) ) = PEQ hoặc ( ( MNP ) ; ( MNQ ) ) = 180 − PEQ  QE ⊂ ( MNQ ) ; QE ⊥ MN Tam giác ABC đều có cạnh 2 3 ⇒ AP = 3 . Tam giác APQ vuông tại A nên ta có: PQ = AP 2 + AQ 2 = 32 + 12 = 10 2

Tam giác A ' QE vuông tại A ' nên ta có: QE =

13 3 A ' E 2 + A ' Q 2 =   + 12 = 2 2 2

Gắn

hệ

trục

(

tọa

) (

độ

)

Oxyz

hình

như

(

) (

⇒ P ( 0;0;0 ) , A ( 3;0;0 ) , B 0; 3;0 , C 0; − 3;0 , A′ ( 3;0; 3;0;2 2) , B′ 0; 3;2 3; 2 , C ′ 0; − 3; 2

vẽ

)

3 3  3 3  nên M  ; ; 2  , N  ; − ; 2  2 2 2 2    

5 3 Tam giác PEF vuông tại F nên ta có: PE = FP 2 + FE 2 = 22 +   = 2 2 Áp dụng định lý hàm số côsin vào tam giác PQE ta có: 25 13 + − 10 2 2 2 13 = EP + EQ − PQ = 4 4 cos PEQ =− 2.EP.EQ 65 5 13 2. . 2 2 = − cos PEQ = 13 . Do đó: cos ( ( MNP ) ; ( AB ' C ') ) = cos 1800 − PEQ 65 Câu 89. Chọn D Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau.

(

)

1   Ta có vtpt của mp ( AB′C ′ ) là n1 = AB′, AC ′  = ( 2; 0;3) và vtpt của mp ( MNP ) là 2 3 n2 = ( 4;0; −3)

Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( AB′C ′ ) và mp ( MNP ) ⇒ cosϕ = cos n1 , n2 =

(

)

8−9 13 25

13 65

Cách 3

Theo cách chọn hệ trục tọa độ và theo bài ra ta có: A ( 0;0; 0 ) ; B ( 2;0; 0 ) ; D ( 0;3;0 ) ; C ( 2;3;0 ) ;

C′ ( 2;3; 4) ; A′ ( 0;0; 4 ) . Ta có: BC′ = ( 0;3; 4 ) ; BD = ( −2;3; 0 ) ⇒ n( BC ′D ) =  BC ′; BD  = ( −12; − 8;6 ) ⇒ n1 = ( 6; 4; − 3) là một vectơ pháp tuyến của ( BC′D ) . Tương tự ta có: n2 = ( 6; − 4; − 3) là một vectơ pháp tuyến của ( A′C ′D ) . n .n 6.6 − 16 + 9 29 = . Ta có: cos α = 1 2 = 2 2 2 n1 n2 61 62 + 42 + ( −3) . 62 + ( −4 ) + ( −3) Gọi Q là trung điểm của AA ' , khi đó mặt phẳng ( AB ' C ') song song với mặt phẳng ( MNQ ) nên góc giữa hai mặt phẳng

( AB ' C ')

và ( MNP ) cũng bằng góc giữa hai mặt phẳng ( MNQ ) và

( MNP ) .

⇒ α ≈ 61, 6° .

Câu 90. Lời giải Chọn A

Ta có: 57

Gọi cạnh hình lập phương là 1. Ta có LM = = Ta có: cos LMN

10 34 , MN = , NL = 2 . 6 6

MN 2 + ML2 − NL2 −7 85 . = 2 MN .ML 85

Suy ra cosin của góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (MC ′D′) là

Câu 92.

7 85 . 85

Chọn D

Gọi O = A′C ′ ∩ B′D′ .

( AB′D′ ) ∩ ( CB′D′) = B′D′ Mà B ′D ′ ⊥ ( ACC ′A′ )

( A′C ′CA) ∩ ( AB′D′ ) = AO Mặt khác:  ( A′C ′CA) ∩ ( CB′D′ ) = CO suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( AB ′D′ ) và ( CB′D ′ ) là góc giữa AO và CO . CO = AO =

Câu 91.

AA′2 + A′O 2 = 2 = AC ⇒ ∆AOC là tam giác đều.

Vậy góc cần tìm bằng 60 0 . Chọn B B

N A

Gọi M và N là tâm của các hình chữ nhật AA ' D ' D và A ' B ' C ' D ' . Dễ thấy ∆A ' MN = ∆D ' MN . Gọi H là chân đường cao từ đỉnh A ' của tam giác A ' MN . Thế thì D ' H ⊥ MN . Suy ra cos α = cos A ' HD ' .

Ta có: A ' D = 5 ; A ' M =

Xét tam giác A ' MN . 2 61 A ' M 2 + A ' N 2 − MN 2 9 Ta có cos A ' = . ⇒ sin A ' = 1 − cos 2 A ' = = 2. A ' M . A ' N 5 13 5 13

1 61 1 61 = MN . A ' H ⇒ A ' H = A ' M . A ' N .sin A ' = = D'H . 2 4 2 2 5 A ' H 2 + D ' H 2 − A ' D '2 29 Trong tam giác A ' HD ' có cos H = =− 2. A ' H .D ' H 61 29 Vậy cos α = ⇒ α ≈ 61,6° . 61 ⇒ S∆A' MN =

H K A'

5 13 ; A' N = ; MN = 5 . 2 2

M C'

B' L

I D'

Giao tuyến của (MAB) và (MC ′D′) là đường thẳng KH như hình vẽ. Gọi J là tâm hình vuông ABCD . L, N lần lượt là trung điểm của C ′D ′ và AB . Ta có: C′D′ ⊥ ( LIM ) ⇒ C ′D′ ⊥ LM ⇒ LM ⊥ KH . Tương tự AB ⊥ ( NJM ) ⇒ AB ⊥ MN ⇒ MN ⊥ KH . Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (MC ′D′) chính là góc giữa 2 đường thẳng (MN , ML) .

DẠNG 4. MỘT SỐ CÂU HỎI LIÊN QUAN

Câu 93.

B 2

Xét tam giác ABC có AB 2 + BC 2 = a 2 + ( 2a ) = 5a 2 = AC 2 ⇒ tam giác ABC vuông tại B . ⇒ Đáp án D đúng. Do ABC . A′B′C ′ là lăng trụ đứng và tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ ( BB′C )

⇒ ( AA′B ' B ) ⊥ ( BB′C ) ⇒ Đáp án B đúng.

B a

D Câu 95. ( ACD ) ⊥ ( BCD )  Theo giả thiết ta có: ( ACD ) ∩ ( BCD ) = CD ⇒ AJ ⊥ ( BCD ) ⇒ AJ ⊥ BJ .  AJ ⊥ CD 

Do ABC . A′B′C ′ là lăng trụ đứng và tam giác ABC vuông tại B nên ABA′ = 45° ⇒ Đáp án A đúng. (( ABC ) , ( A′BC ) ) = ( AB, A′B ) = AA′2 + AC 2 = a 2 + 5a 2 = a 6 ⇒ Đáp án C sai.

Xét tam giác vuông A′AC ta có A′C =

(

)

(

∆ACD = ∆BCD (c.c.c) ⇒ AJ = BJ ⇒ AB = AJ 2 = 2 AC 2 − CJ 2 = 2 a 2 − x 2

D A

B Câu 94. Ta có: ∆ABC là hình chiếu của ∆ADE trên mặt phẳng ( ABC ) .

Do đó S ABC = S ADE .cos 60° ⇒ Mặt khác S ADE =

)

1 1 2 ( a2 − x2 ) ⇒ AI = AB = 2 2 Dễ thấy ∆CAB và ∆DAB bằng nhau và cân tại các đỉnh C và D .

⇒ DI = CI = AC 2 − AI 2 = a 2 −

− x2 ) 2

a2 + x2 . 2

CI ⊥ AB Có  , nên để ( ABC ) ⊥ ( ABD ) thì CI ⊥ DI hay ∆ICD vuông tại I .  DI ⊥ AB

a2 3 a2 3 1 . = S ADE . ⇒ S ADE = 4 2 2

2 1 ⇒ a 3 = 1 . a 6 .a 3 sin β ⇒ sin β = 2 . AD. AE.sin DAE 2 2 2 2 6

⇔ CD = CI 2 ⇔ 2 x = a 2 + x 2 ⇔ x =

a 3 . 3

Câu 96. Ta có ( SCD ) ⊥ ( SAD ) , vẽ AN ⊥ SD tại N ⇒ AN ⊥ ( SCD ) . 61

AM ⊥ SB tại M ⇒ AM ⊥ ( SBC ) . . ⇒ ( ( SBC ) , ( SCD ) ) AM = AN = MAN

( SAB ) ⊥ ( SBC ) , vẽ

Ta có SB = SD = x 2 + a 2 , AM = AN =

ax x2 + a2

3a 2 a 2 a 5 − = . 4 8 2 2

Xét tam giác ASH vuông tại H nên AH = SA2 − SH 2 =

SM MN SM .BD = ⇒ MN = SB BD SB

1 1 a 5 a a 2 10 Vậy S AMN = . AH .MN = . . = . 2 2 2 2 2 16

.a 2 x2a 2 x2 + a2 ⇒ MN = 2 . 2 2 2 2 x + a2 x +a x +a xa x2a 2 = 2 ⇔ x2 + a2 = x 2 ⇔ x = a . ∆AMN đều cho ta MN = AM ⇒ 2 2 x + a2 x +a Câu 97. Gọi ϕ là góc tạo bởi ( P) và mặt phẳng ( ABCD) Diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất

SM =

⇒ MN =

Câu 99. Gọi H là trung điểm của CD nên AH ⊥ CD ⇔ AH ⊥ ( BCD ) (do ( ACD ) ⊥ ( BCD ) ) và ( ACD ) ∩ ( BCD ) = CD

/ ⇔ ϕ = ( BD / , ( ABCD ) ) = D BD / cos D BD = Câu 98.

Gọi M là trung điểm của AB nên CM ⊥ AB Vì ( ABC ) ⊥ ( ABD ) và ( ABC ) ∩ ( ABD ) = AB ⇒ CM ⊥ MD.

BD 2 6 = = BD / 3 3

∆ABC = ∆ABD ⇒ MC = MD ⇒ ∆MCD vuông cân tại M . x2 x2 Đặt CD = x ⇒ AH 2 = BH 2 = a 2 + ⇔ AB 2 = AH 2 + BH 2 = 2a 2 + 4 2

Ta thấy do hình chóp S . ABC đỉnh S là chóp tam giác đều nên AB = BC = AC = a.

∆SAB = ∆SAC ( c.c.c ) ⇒ AM = AN .

x2 x2 1 1 1 2 2 AB = 2a 2 + ⇔ MH = CD ⇔ 2a 2 + . = x 2 2 2 2 2 2 2 2 2a x . ⇔ 2a 2 + = 2 x 2 ⇔ 4a 2 = 3 x 2 x = 2 3 Câu 100. Chọn A

Ta có MH =

Do đó tam giác AMN cân tại A. Gọi H là trung điểm của MN thì AH ⊥ MN và I là trung điểm của BC. ( AMN ) ⊥ ( SBC )  ( AMN ) ∩ ( SBC ) = MN ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SH ; AH ⊥ SI  Trong ( AMN ) : AH ⊥ MN Xét tam giác SAI có đường AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên tam giác SAI cân tại A. a 3 = SA = SB. Tam giác ABC đều cạnh a ⇒ AI = 2 Xét tam giác SBI vuông tại I nên SI = SB 2 − BI 2 = Ta có: SH =

20cm φ

3a 2 a 2 a − = . 4 4 2

20cm A

1 a SI = . 2 2 2

20cm

Để lượng mưa thoát được nhiều nhất khi diện tích hình thang cân ABCD lớn nhất.

∆QKH vuông tại K nên sin 60° =

Do đó ta tìm được MN = 3 . Vậy diện tích của thiết diện S MNPQ = 2 3 . Câu 102. Đáp án. D.

QK QK QK ⇒ QH = = 2 ; KH = = 1. QH sin 60° tan 60°

Khi đó ta có: HK = AB = 20cm , DH = CK = cos ϕ.20 , AH = BK = sin ϕ.20 . 1 1 Do đó: S ABCD = ( AB + CD ) . AH = ( 20 + 20 + 2.20.cos ϕ ) .20.sin ϕ = 400. (1 + cos ϕ ) .sin ϕ 2 2

Đặt t = cos ϕ , vì ϕ ∈ ( 0°;180° ) ⇒ cos ϕ > 0 ⇒ S = 400 (1 + t ) 1 − t 2 . Xét f ( t ) = (1 + t ) 1 − t 2 với t ∈ ( 0;1) . Khi đó: f ′ ( t ) = 1 − t 2 + (1 + t ) .

−t 1− t

−2t 2 − t + 1 1− t 2

t = −1 Do đó: f ′ ( t ) = 0 ⇔  1 .Bảng biến thiên: t =  2 Dựng NK = 3MB,MN ∩ KB = I PI ∩ AB = J , NQ = 2 MJ MR = 2 PQ Thiết diện là lục giác MRNQPJ . Cách 1: S MRNQPJ = S MJPQ + S MQNR 2

Từ bảng biến thiên ta có f ( t ) đạt giá trị lớn nhất tại t =

Câu 101. Chọn A

3 2  3 6 6 FE = 32 +   = 2 ⇒ FG = 2 ,GE = 6  2 

1 1 ⇒ cos ϕ = ⇒ ϕ = 60° . 2 2

P A'

D' Q

H D

2 6 (3 2 + 3 2 ) 3 2 =5 3 2 2 1 (3 2 + 3 2 ) 6 ( MQ + NR )EG 3 S MJPQ = = =4 3 2 2 13 3 . S MRNQPJ = S MJPQ + S MQNR = 2 Cách 2: Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( MRNQPJ );( PJBTKD ) S S MRNQPJ = PJBTKD cosϕ 1 13 S PJBTKD = S ABCD − S KCT − S APJ = 9 − − 2 = 2 2 3 2 FU 3 cosϕ = cosEFU= = 2 = FE 3 6 3 2 S MJPQ =

M A

Gọi M , N , P, Q lần lượt là giao điểm của (α ) với các cạnh bên AA′, BB ′, CC ′, DD ′ . Thiết diện của (α ) với hình lập phương là hình bình hành MNPQ . Kẻ QH vuông góc với MN , QK vuông góc với AA′ . Suy ra HK ⊥ MN .  ( MNPQ) ∩ ( ABB′A′) = MN   = 60° . QH , HK ) = QHK ⇒ (( MNPQ) , ( ABB′A′)) = ( Vì  QH ⊥ MN   HK MN ⊥   

( MQ + JP )FG = 2

S MRNQPJ =

S PJBTKD 13 3 . = cosϕ 2

Câu 103. Chọn A a

a N M

a a D

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. ∆ABC = ∆ABD ⇒ CM = DM . = 90 o . ( ABC ) ⊥ ( ABD ) ⇒ CMD

⇒ ∆MCD vuông cân tại M. ⇒ MN ⊥ CD . Tương tự, ta cũng có ∆ABN vuông cân tại N ⇒ MN ⊥ AB Đặt CD = 2 x, ( 0 < x < a ) ta có: CN = DN = MN = x .

Giả sử (α ) cắt tất cả các cạnh bên như hình vẽ. Do góc giữa (α ) và ( ABB′A′) bằng 60° nên suy ra góc giữa (α ) và mặt đáy ( ABCD ) bằng

90° − 60° = 30° . Gọi S ′ là diện tích tứ giác IJKL và S là diện tích của hình vuông ABCD . S Ta có S ′ = S .cos 30° ⇒ S ′ = = cos 30°

( 3) 3 2

AN = BN = a 2 − x 2 . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABN ta có: 1 1 1 2 1 3 + = ⇔ 2 2 = 2 ⇔x= a. AN 2 BN 2 MN 2 a −x x 3 2 3 ⇒ CD = 2 x = a. 3 Câu 107. Chọn C

= 2 3.

M B

Câu 104. Chọn A Áp dụng công thức diện tích hình chiếu: 1 S∆ABC = S∆SBC .cos 60° = 2. = 1 2 Câu 105. Chọn A Ngôi nhà có hai mái đối xứng nhau và có diện tích bằng nhau, diện tích một nửa mặt nền nhà bằng S = 50 m 2 . Gọi S ' là diện tích một mái, khi đó một mái nhà có hình chiếu vuông góc là một S 100 2 S nửa mặt nền nhà. Ta có = cos 300 ⇒ S ' = = m . Vậy tổng diện tích mái nhà là S' cos 300 3 200 2 m . 3 200 Số tiền bác Bình cần là .100 ≈ 11547 nghìn đồng ≈ 11,547 triệu đồng. 3 Câu 106. Chọn A 67

Vì AA′ / / BB′ nên góc giữa hai đường thẳng MN và BB′ bằng góc giữa MN và AA′ và bằng góc ANM . Xét tam giác ANM vuông tại A , ta có: tan ANM =

Câu 108. Chọn A

AM a 3 2 ANM = 60° . = . = 3⇒ AN 2 a

Ta có: Tam giác ACC ′ vuông tại C . Mà CC ′ = AA′ = a; AC = a 5 ⇒ AC ′ = AC 2 + CC ′2 = a 6 do đó khẳng định AC ′ = 2a 2 là sai. +) Ta có AB 2 + BC 2 = a 2 + 4a 2 = 5a 2 = AC 2 chứng tỏ tam giác ABC vuông tại B +) Ta có AB ⊥ BC ; AB ⊥ BB′ ⇒ AB ⊥ ( BB′C ′ ) mà AB ⊂ ( AA′B′B ) ⇒ ( AA′B′B ) ⊥ ( BB′C ′ ) +) Ta có AB = AA′ ⇒ ABB′A′ là hình vuông do đó A′BA = 45° . Mặt khác: ( ABC ) ∩ ( A′BC ) = BC BC ⊥ AB và BC ⊥ BB ′ ⇒ BC ⊥ ( ABB ′A′ ) ( ABB′A′ ) ∩ ( ABC ) = AB; ( ABB′A′) ∩ ( A′BC ) = A′B ⇒ góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( A′BC )

bằng góc giữa AB và A′B và bằng A′BA . Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( A′BC ) có số

đo bằng 45° .

TOÁN 11

KHOẢNG CÁCH

1H3-5

Contents

DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG ................................................................................... 3

a 2 . 2

Câu 7.

(Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD đều cạnh bằng 2 , tam giác ABC vuông tại B , BC = 3 . Biết khoảng cách giữa hai đường 11 thẳng chéo nhau AB và CD bằng . Khi đó độ dài cạnh CD là 2 A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 3 .

Câu 8.

Cho hình bình hành ABCD . Qua A, B, C , D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By, Cz , Dt cùng phía so với ( ABCD ) song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng ( ABCD ) . Một

B. LỜI GIẢI ................................................................................................................................................................... 18 DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG ................................................................................. 23 Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng ...................................................................................... 34

mặt phẳng ( β ) lần lượt cắt các nửa đường thẳng Ax, By, Cz , Dt tại A′, B′, C ′, D′ thỏa mãn AA′ = 2, BB′ = 3, CC ′ = 4 . Hãy tính DD′. A. 3. B. 7. C. 2. D. 5.

DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .......................................................................................... 54

A. CÂU HỎI

(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD đều cạnh bằng 2 , tam giác ABC vuông tại B , BC = 3 . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD

DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

bằng

Câu 9.

A. Câu 1.

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy là a 2 và tam giác SAC đều. Tính độ dài cạnh bên của hình chóp. A. 2a . B. a 2 . C. a 3 . D. a .

Câu 2.

(Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD có AC = 3a, BD = 4a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết AC vuông góc BD . Tính MN . a 7 5a 7a a 5 A. MN = . B. MN = . C. MN = . D. MN = . 2 2 2 2

Câu 10.

3a . 2

a . 2

C. a 3 .

a . 3

11 . Khi đó độ dài cạnh CD là 2 B. 2 . 2.

C. 1.

(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có độ dài cạnh đáy bằng 4 3 và cạnh bên bằng 12 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AA ' và BC , gọi P và Q là hai điểm chạy trên đáy ( A ' B ' C ') sao cho PQ = 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = MP + NQ bằng

A. 8 3 . Câu 11.

(Ngô Quyền - Hải Phòng lần 2 - 2018-2019) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA ⊥ ( ABC ) , góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( SBC ) là 60 . Độ dài cạnh SA bằng A.

Câu 4.

a 3 . 2

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ có AD = 2a , CD = a , AA′ = a 2 . Đường chéo AC′ có độ dài bằng: A. a 5 . B. a 7 . C. a 6 . D. a 3 .

DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ................................................... 18

Câu 3.

Câu 6.

DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .......................................................................................... 11

Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên............................................................................ 23

a . 3

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AD = 2a , CD = a , AA ' = a 2 . Đường chéo AC ' có độ dài bằng A. a 5 . B. a 7 . C. a 6 . D. a 3 .

Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên.............................................................................. 3 Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng ........................................................................................ 6

Câu 5.

A. CÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 1 DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ..................................................... 1

a . 2

Câu 12.

B. 3 37 .

C. 3 61 .

D. 6 29 .

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 2a , ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Gọi O là tâm của ABCD , tính khoảng cách từ O đến SC . a 2 a 3 a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 4 3 4 3 Một hình lập phương được tạo thành khi xếp miếng bìa carton như hình vẽ bên.

(ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C ′ có tất cả các cạnh đều bằng a . Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30° . Hình chiếu H của A trên mặt phẳng ( A′B ′C ′ ) là trung điểm của B′C ′ . Tính theo a khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ ABC.A′B′C ′ . 1

Câu 17.

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB = a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng A.

Câu 18. Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB sau khi xếp, biết rằng độ dài đoạn thẳng AB bằng 2 a . a 5 a 5 a 5 A. . . . B. C. D. a 5 . 2 4 3 DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên

Câu 13.

A. Câu 20.

5a . 3

2a .

Câu 15.

2a 57 . 19

2a 3 . 19

3a . 2

6a . 6

3a . 3

2a . 2

a . 2

3a . 2

a . 2

Câu 22.

B. a .

a 6 . 3

a 2 . 2

(HKII-CHUYÊN NGUYỄN HUỆ-HN-2018-2019) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng 1 . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng ( BDA′) . 3 . 3

B. d =

6 . 4

C. d =

2 . 2

D. d = 3 .

(Thi thử lần 4-chuyên Bắc Giang_18-19) Cho hình lăng trụ đứng ABCA' B'C ' có đáy là tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a , AB = a 3 , (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCC ' B' ) là

2a 38 . 19

(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , 2SA = AC = 2a và SA vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) là A.

Câu 16.

D. a 2 .

(Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB = a , AC = a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng a 57 . 19

5a . 5

(THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh

A. d =

B , AB = a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng

Câu 21.

Câu 14.

2 2a . 3

(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại

C. 2a .

( SBC ) bằng

SA = AB = 2a , tam giác ABC vuông tại B (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng

B. a .

5a . 3

C, BC = a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh lần 1 năm 18-19) Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ ( ABC ) ,

A. a 3 .

(Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng A.

Câu 19.

2 5a . 5

2a 6 . 3

4a 3 . 3

a 6 . 3

a 3 . 3

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SB = 3a , AB = 4a, BC = 2a . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) bằng A.

12 61a . 61

3 14a . 14

4a . 5

12 29a . 29

A. Câu 23.

a 5 . 2

a 7 . 3

a 3 . 2

a 21 . 7

(Thi thử Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa – 07-05 - 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Khoảng cách từ tâm O của đáy tới mp ( SCD ) bằng 4

A. Câu 24.

a . 2

a . 3

a 6 . 35

a 3 . 35

2a 3 . 35

Câu 27.

C. 2a 3 .

2a . 3

2a . 2

C. cos α =

3 . 2

D. cos α =

3a . 2

a . 2

C. a .

a 3 . 3

B. a 3 .

C. 2a 3 .

3 . 3

2a 3 . 19

a 17 . 19

a . 19

khoảng cách từ O đến các mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) , ( SCD ) lần lượt là 1; 2; 5 .

19 . 20

(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi I là trung điểm của SC . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng

( ABCD ) Câu 36.

(KSCL Sở Hà Nam - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A ' BC ) bằng 5

Câu 37.

B. IC .

C. IA .

D. IO .

(Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi M là trung điểm của SD . Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SAC ) bằng A.

a 3 . 6

bằng độ dài đoạn thẳng nào?

A. IB .

D. 2a .

B. d =

(Chuyên Quốc Học Huế lần 2 - 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A ' BD) theo a . A.

Câu 31.

2 . 2

a 3 . 4

20 . 19 C. d = 2 . 2 D. d = . 2 Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng

D. a 2.

(Thi thử SGD Bình Phước - 2019) Cho hình chóp S . ABC có SA = 3a và SA ⊥ ( ABC ) . Biết ABC = 120° . Khoảng cách từ A đến ( SBC ) bằng AB = BC = 2a , A.

Câu 30.

B. cos α =

(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng

A. d =

Câu 35.

1 . 2

a 6 . 4

Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng ( SAD ) .

(Đề thi HSG 12-Sở GD&ĐT Nam Định-2019) Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC = a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và K là hình chiếu của điểm A trên cạnh SC . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AGK ) . Tính cos α , biết rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( KBC ) bằng

A. cos α =

a 3 . 2

( SBD ) . Biết

a . 2

Câu 29.

Câu 34.

D. a 6 .

2a . 3

(Thi Thử Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-Lần 2-2019) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết OA = a, OB = 2a, OC = a 3 . Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( ABC ) .

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp S . ABCD có đường cao SA = 2a , đáy ABCD là hình thang vuông ở A và D , AB = 2a, AD = CD = a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng A.

Câu 28.

B. 2a 6 .

a 21 . 7

Câu 33.

(SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình chóp S .MNPQ có đáy là hình

A. a 3 .

(Sở giáo dục Cần Thơ - 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AA′ = AC = a và AB = a 3 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A ' BC ) bằng a 21 a 21 a 7 a 3 A. . B. . C. . D. . 7 7 3 3

3a 5

vuông cạnh MN = 3a 2 , SM vuông góc với mặt phẳng đáy, SM = 3a , với 0 < a ∈ ℝ . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( SNP ) bằng

a 12 . 7

Câu 32.

D. d ( S ,( ABCD ) ) = SA.

(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC là tam giác vuông tại A , AC = a 3 , ABC = 30° . Góc giữa SC và mặt phẳng ABC bằng 60° . Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến ( SBC ) bằng bao nhiêu? A.

Câu 26.

(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O , SA vuông góc với mặt đáy. Hỏi mệnh đề nào sau đây là sai? A. d ( B,( SCD ) ) = 2d ( O,( SCD ) ) . B. d ( A,( SBD ) ) = d ( B,( SAC ) ) . C. d ( C,( SAB ) ) = d ( C,( SAD ) ) .

Câu 25.

a . 6

a 2 . 2

a 2 . 4

a . 2

a . 4

(THPT NÔNG CỐNG - THANH HÓA LẦN 1_2018-2019) Cho tứ diện đều S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng 2a , gọi M là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho DM = 2 MA . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( BCD ) . A.

2a 6 . 9

B. a 6 .

4a 6 . 9

2a 6 . 3 6

Câu 38.

(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ) bằng: A.

Câu 39.

a 3 . 4

a 3 . 3

a 6 . 3

Câu 46.

a 6 . 2

(THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Trong không gian cho tam giác ABC có ABC = 90o , AB = a . Dựng AA’, CC’ ở cùng một phía và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tính

A. Câu 47.

Câu 40.

a . 2

a . 3

41 a . 12

12 61 a C. . 61

Câu 48.

Câu 42.

Câu 43.

a 3 . 2

B. a .

Câu 49.

D. a .

C. a 3 .

Câu 50.

D. 2a .

A. Câu 51.

( SHC ) . Câu 44.

6a . 5

5a . 12

1 a. 2

1 a. 5

3a . 4

5a . 4

2 a. 3

3 a. 2

2 5 a. 5

1 a. 3

2 a. 11

2 a. 9

Câu 52.

a . 2

a 3 . 2

a 3 . 4

D. a .

21a . 14

21a . 7

2a . 2

21a . 28

(102 - THPT 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD ) bằng A.

(LÊ HỒNG PHONG HKI 2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi F là trung điểm của cạnh SA . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( FCD ) ? A.

Câu 45.

12a . 5

5a B. . 8

(101 - THPT 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) bằng

3a 6 . 16

(THPT Cẩm Bình 2018-2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 2 AD = 2a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ( ABCD ) . Tính

vuông cạnh 4a. Gọi H là điểm thuộc đường thẳng AB sao cho 3HA + HB = 0 . Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SHC ) đều vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng

5a . 6

khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) .

a C. . 2

(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

a 6 . 2

(Trường THPT Chuyên Lam Sơn_2018-2019) Cho hình lăng trụ ABC . A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a, AC = 2a . Hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt phẳng ( ABC ) là

(Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) bằng. A.

điểm I thuộc cạnh BC . Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( A′BC ) .

61 a . 12

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBD ) .

a 3 B. . 2

3a 6 . 8

(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh AB = 2 AD = 2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ( ABCD ) Tính

a 3 A. . 4

(Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình thoi tâm O cạnh a ,

3a A. . 8

D. 2 a .

(Thi thử Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Cho hình chóp S . ABCD có SA vuông góc với mặt đáy và đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AB = 4a , AD = 3a , SB = 5a . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SBD ) .

12 41 a A. . 41 Câu 41.

B. a .

a 6 . 3

= 60 ° , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 3a . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SBC ) bằng ABC

khoảng cách từ trung điểm của A’C’ đến ( BCC ' ) .

(Thi thử lần 1 trường THPT Hậu Lộc 2 năm 2018-2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a , SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . Gọi H là hình chiếu của A lên SB . Khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) bằng

21a . 28

21a . 14

2a . 2

21a . 7

(103 - THPT 2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SAC ) bằng

(TRƯỜNG CHUYÊN QUANG TRUNG- BÌNH PHƯỚC 2018-2019) Cho hình chóp S. ABC = 30° , SA = a và BA = BC = a . Gọi D là có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC điểm đối xứng với B qua AC . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD ) bằng A.

21 a. 7

2 21 a. 7

21 a. 14

2 a. 2 7

Câu 58.

(THPT THUẬN THÀNH 3 - BẮC NINH) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B biết BC = a 3 , BA = a . Hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AC và biết thể tích khối chóp S . ABC bằng

a3 6 . Tính khoảng cách d từ 6

C đến mặt phẳng ( SAB ) . A

A. d = B

a 21 A. . 14

Câu 53.

2a . 2

a 21 . 7

Câu 59.

a 21 . 7

21a . 28

21a . 7

21a . 14

a 15 . 7

a 21 . 3

A. h =

2 a 3

3 A. h = a . 4 Câu 60.

Câu 57.

a 3 . 6

B. a 3 .

a 3 . 4

a 30 . 10

D. d =

a 66 . 11

4 3 a . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng 3

2 B. h = a . 3

8 C. h = a . 3

4 D. h = a . 3

(Thi thử SGD Hưng Yên) Cho hình chóp S . ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a , SA = 2a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) .

4a 5 . 5

4a 5 . 25

2a 5 . 5

8a 5 . 25

Câu 61. (Kim Liên - Hà Nội lần 2 năm 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AB . Biết AD = DC = CB = a, AB = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và mặt phẳng

( SBD )

tạo với đáy góc 450 . Gọi I là trung điểm cạnh AB . Tính khoảng cách từ I đến mặt

phẳng ( SBD ) .

A. d = Câu 62.

. Khoảng cách từ

a 3 . 2

a . 4

Câu 63.

B. d =

a . 2

C. d =

a 2 . 4

D. d =

a 2 . 2

(SGD Điện Biên - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tâm O . Biết SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SBC ) bằng a 5 A. . 5

điểm M đến mặt phẳng ( SCD ) bằng A.

C. d =

(Thi HK2 THPT Chuyên Bắc Giang 2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy la hình vuông cạnh bằng a 2 . Tam giác SAD cân tại S và mặt phẳng ( SAD ) vuông góc với mặt phẳng

(THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - Lần 1 - Năm học 2018_2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy, mặt bên ( SCD ) tạo với mặt đáy một góc bằng 600 , M là trung điểm BC . Biết thể tích khối chóp S . ABCD bằng

2a 66 . 11

( SCD ) .

4 3 a . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng ( SCD ) 3 4 8 3 B. h = a C. h = a D. h = a 3 3 4

B. d =

đáy. Biết thể tích khối chóp S . ABCD bằng

a 15 . 3

(Đề minh họa lần 1 2017) Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2 a . Tam giác SAD cân tại S và mặt bên ( SAD ) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S . ABCD bằng

Câu 56.

= 60° , (Tham khảo THPTQG 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , BAD SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD ) bằng A.

Câu 55.

a 2 . C. 2

(104 - THPT 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) bằng A.

Câu 54.

a 21 . B. 28

a 30 . 5

2a 5 . 5

4a 5 . 5

3a 5 . 5

(SP Đồng Nai - 2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a ,

(Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . = 60o , hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trọng tâm của tam Góc BAC

AD = a 3 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD ) .

giác ABC , góc tạo bởi hai mặt phẳng ( SAC ) và ( ABCD ) là 60o . Khoảng cách từ B đến mặt

phẳng ( SCD ) bằng

3a . 2 7

3a . 7

9a . 2 7

a 2 7

Câu 64. .

2a 57 . 19

2a . 5

a 5 . 2

a 57 . 19

(Thi thử Nguyễn Huệ- Ninh Bình- Lần 3- 2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SA . Biết AD = a 3, AB = a . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( MBD ) bằng 10

A. Câu 65.

2a 15 . 10

a 39 . 13

2a 39 . 13

a 15 . 10

(Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . A′B′C ′ có AB = 2 3 và AA′ = 2 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh A′B′ , A′C ′ và BC (tham khảo hình vẽ dưới). Khoảng cách từ A đến ( MNP ) bằng

Câu 69.

a 2 . 2

B. 3a .

17 A. . 65 Câu 66.

6 13 B. . 65

13 C. . 65

12 D. . 5

(Kim Liên - Hà Nội - Lần 1 - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang a a 3 ABC = 30° . Biết AC = a , CD = , SA = và cạnh SA vuông góc với vuông tại C và D , 2 2 mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD ) bằng

a 3 . 3

C. 2a 3 .

D. 3a 2 .

(HKI- BÙI THỊ XUÂN-TP HCM 2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và SA = a . Tính khoảng C. d = a 2 .

D. d = a .

Câu 72.

(Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1) Cho hình lập phương ABCD. A′ B ′C ′D ′ có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB′ và A′ C ′ bằng a 2 B. a . C. a 3 . D. . A. a 2 . 2

Câu 73.

(Thi thử THPT lần 2-Yên Dũng 2-Bắc Giang) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 3 . Gọi M là trung điểm SD . Tính khoảng cách

P A

Câu 71.

cách d giữa hai đường thẳng SB và CD . A. d = 2a . B. d = a 3 .

a 3 . 2

(SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình hộp chữ nhật EFGH .E ′F ′G ′H ′ có EF = 3a, EH = 4a, EE ′ = 12a, với 0 < a ∈ ℝ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF ′ và GH ′ bằng A. 12a . B. 3a . C. 2a . D. 4a .

Câu 70. N M

(SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình chóp S . MNPQ có đáy là hình vuông, MN = 3a , với 0 < a ∈ ℝ , biết SM vuông góc với đáy, SM = 6 a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng NP và SQ bằng A. 6a .

a 2 . 3

giữa đường thẳng AB và CM . 2a 3 a 3 . B. . A. 3 2 Câu 74.

A. a 6 .

3a . 4

a 3 . 4

(THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, các mặt ( SAB ) , ( SAD ) vuông góc với đáy. Góc giữa ( SCD ) và đáy bằng 60° , BC = a . Khoảng cách

giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

a 6 B. . 2 a 6 C. . 4 a 3 D. . 2

A. Câu 75.

3a . 2

B. 2

3 a. 13

a . 2

D. 2

3 a. 5

(Tham khảo 2018) Cho lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ có cạnh bằng a ( tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A′C ′ bằng

DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Câu 67.

(KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB′ và CD′ . a 2 A. B. a. C. a 2. D. 2a. . 2

Câu 68.

(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 11

3a .

B. a .

3a . 2

2a .

Câu 76.

(THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a , BC = 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD , SC bằng a 30 a 30 4 21a 2 21a A. . B. . C. . D. . 6 21 21 12

Câu 84.

(HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Cho tứ diện SABC có các cạnh SA, SB , SC đôi một vuông góc với nhau và SA = a, SB = 2a, SC = 3a . Gọi I là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AI theo a. a 2 3a 2 A. a . B. a 2 . C. . D. . 2 2

Câu 77.

(Ngô Quyền - Hải Phòng lần 2 - 2018-2019) Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có AB = a , AA′ = 2a . Khoảng cách giữa AB′ và CC ′ bằng 2a 5 a 3 . B. a . A. C. a 3 . D. . 5 2

Câu 85.

Câu 78.

(Chuyên ĐH Vinh-lần 2-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a , AD = 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD .

(Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi E là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa đường thẳng SE và đường thẳng BC bằng bao nhiêu? a a 2 a 3 a 3 . B. . C. . D. . A. 3 2 2 3

Câu 86.

(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AD = 2a . Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD . 2a A. 2a . B. a 2 . C. a . D. . 5

Câu 87.

(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = a , AD = 2a . Mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với

A. Câu 79.

6a . 6

Câu 82.

a 3 . 3

6a . 3

3a . 3

a 2 . 2

a 5 . 2

a 3 . 2

a 6 . 4

2a 5 . 5

D. a 6 .

(TRIỆU QUANG PHỤC HƯNG YÊN-2018-2019) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = OC = 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng: a 2 a 6 2a 5 A. . B. . C. a . D. . 2 5 3

( ABCD ) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SD . Tính khoảng cách giữa AH và SC biết AH = a . 19 2 19a 73 2 73 A. B. . C. D. a. a. a. 19 19 73 73 Câu 88.

(NGÔ GIA TỰ_VĨNH PHÚC_LẦN 1_1819) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình = 300 , SBC = 600 và SCA = 450. Tính khoảng cách d giữa hai hành và SA = SB = SC = 11, SAB đường thẳng AB và SD . 22 A. d = 4 11. B. d = 2 22. C. d = D. d = 22. . 2

Câu 89.

(NGÔ GIA TỰ LẦN 1_2018-2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành và = 300 , SBC = 600 và SCA = 450 . Tính khoảng cách d giữa hai đường SA = SB = SC = 11 , SAB thẳng AB và SD ? 22 A. d = 4 11 . B. d = 2 22 . C. d = . D. d = 22 . 2

Câu 90.

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp đáy là hình vuông cạnh a 17 , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H trung điểm của a, SD = 2 đoạn AB . Gọi K là trung điểm của đoạn AD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD theo a . a 3 a 3 a 3 a 3 A. B. C. . D. . 5 45 15 25

Câu 91.

(ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , I là trung điểm của AB , hình chiếu S lên mặt đáy là trung điểm H của CI , góc giữa SA và đáy là 45° . Khoảng cách giữa SA và CI bằng:

(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông với đường chéo AC = 2a , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Khoảng cách giữa hai đường

thẳng SB và CD là a A. . 3 Câu 83.

(HKI-Chuyên Vinh 18-19) Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AD = 2a , SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng A.

Câu 81.

6a 2

(Thi thử hội 8 trường chuyên lần 3 - 23 - 5 - 2019) Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C′ có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 2a ; BC = 2a 3 . Tam giác A′BC vuông cân tại A′ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ( ABC ) . Khoảng cách giữa hai AA′ và BC bằng A. a 3 .

Câu 80.

a . 2

C. a 2 .

D. a 3 .

(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có

AC = a, BC = 2a, ACB = 120° . Gọi M là trung điểm của BB′ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC′ theo a . 3 7 3 A. a . B. a 3 . C. a . D. a . 7 7 7

A. Câu 92.

Câu 93.

a . 2

Câu 95.

a 3 . 2

a 77 . 22

Câu 100. (TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Góc giữa SC

a 7 . 4

(CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho hình chóp S . ABC có = 900 , CSA = 120 0 . Tính khoảng cách d giữa hai đường SA = SB = SC = a , ASB = 60 0 , BSC thẳng AC và SB . a 3 a 3 a 22 a 22 A. d = . B. d = . C. d = . D. d = . 4 3 11 22 (SGD Nam Định) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC . A. h =

Câu 94.

a 7 . 3

B. h =

a 21 . 7

C. h = a 3 .

D. h =

a 7 . 21

(Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′ B ′C ′ có tất cả các cạnh đều bằng a . M là trung điểm của AA′ . Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MB′ và BC . a 3 a 6 a A. . B. . C. . D. a . 2 2 3 (Cụm liên trường Hải Phòng-L1-2019) Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi I là trung điểm của AB , hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của

CI , góc giữa SA và mặt đáy bằng 45o . Gọi G là trọng tâm tam giác ∆SBC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CG bằng a 21 a 14 a 77 a 21 A. . B. . C. . D. . 14 8 22 7 Câu 96.

Câu 97.

(THPT Minh Khai - lần 1) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD . a 2 a 3 A. B. C. a 2. D. a 3. . . 2 2 (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA ⊥ ( ABC ) , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60° . Tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng AC và SB . a 2 A. . B. 2a . 2 Câu 98.

Câu 99.

a 7 . 7

a 15 . 5

(Chuyên Đại học Vinh - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC . A′B ′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Gọi E là trung điểm của AB . Cho biết AB = 2a , BC = 13 a , CC ′ = 4a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng A′B và CE bằng 4a 12a 6a 3a A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC ' và CD '. a 3 a 2 . . A. a 2. B. 2a. C. D. 3 3 15

và mặt đáy bằng 450 . Gọi E là trung điểm BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC . a 5 a 5 a 38 a 38 A. . B. . C. . D. . 5 19 5 19 Câu 101. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là ình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng 2a a a 6a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Câu 102. (THPT THUẬN THÀNH 3 - BẮC NINH) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình = 120° và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa thoi có cạnh bằng a 3 , BAD ( SBC ) và ( ABCD ) bằng 60° . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC . A.

3a 39 . 26

a 14 . 6

a 39 . 26

3a 39 . 13

Câu 103. (Nho Quan A - Ninh Bình - lần 2 - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và SC = 10 5 . Gọi

M , N lần lượt là trung điểm của SA và CD . Tính khoảng cách d giữa BD và MN . A. d = 3 5 .

B. d = 5 .

C. d = 5 .

D. d = 10 .

Câu 104. (Đề thi thử Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk lần 2) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của S xuống ( ABC ) trùng với trung điểm H của AB .

Biết góc tạo bởi hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) bằng 600 . Khoảng cách giữa AB và SC A.

a 3 . 6

a 2 . 4

a 3 . 4

a 3 . 2

Câu 105. (Thi Thử Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-Lần 2-2019) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1, gọi M là trung điểm AD và N trên cạnh BC sao cho BN = 2 NC . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và CD . 2 2 6 6 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 9 Câu 106. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho hình chóp S . ABC D có đáy là hình thoi cạnh là 2a , = 60° . Tam giác SA D là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M ABC

AM 1 = . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng AB 3 30 3 3 a. a. C. D. a. 5 2 4

là điểm trên cạnh AB sao cho A.

30 a. 10

Câu 107. (HKI - SGD BẠC LIÊU_2017-2018) Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình vuông, ∆SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD có diện tích 84π cm2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là

(

)

3 21 7

( cm ) .

2 21 7

( cm ) .

21 7

( cm )

6 21 7

Câu 108. (THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. M , N , P lần lượt là trung điểm SB , BC , SD . Tính khoảng cách giữa AP và MN

3a A. . 15

3a 5 B. . 10

a 5 D. . 5

C. 4a 15 .

mặt phẳng ( SAD ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , góc giữa SD và ( ABCD ) bằng 60° . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng a 3 3a 3a 6a A. . B. . C. . D. . 4 2 7 2

( cm ) .

Câu 114. [THPT THĂNG LONG-HÀ NỘI-LẦN 2-2018-2019] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a . Hình chiếu của S trên mặt đáy là trung điểm của H của OA . Góc giữa hai mặt phẳng ( SCD ) và ( ABCD ) bằng 45° . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC .

Câu 109. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình = 45o . Tính khoảng cách d giữa hai = 30o , SBC = 60o và SCA hành và SA = SB = SC = 11, SAB đường thẳng AB và SD . 22 B. d = 2 22 . C. d = . D. d = 22 A. d = 4 11 . 2

A. a 6 .

( ABCD ) ,

đáy là hình thang vuông tại các đỉnh A và B , có AD = 2 AB = 2 BC = 2 a , SA = AC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng: a 15 a 10 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 5 4 5

Câu 1.

Câu 2.

Câu 111. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho tứ diện O. ABC có OA, OB , OC đôi một vuông góc với nhau, OA = a và OB = OC = 2a . Gọi M là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AB bằng 2a 2 5a 6a A. . B. a . C. . D. . 2 5 3 Câu 112.

a 3 . 3

a 2 . 2

3a 2 . 4

3a 2 . 2

DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chọn A Hình chóp tứ giác đều S . ABCD nên ABCD là hình vuông có cạnh bằng a 2 nên AC = 2a . Tam giác SAC đều nên cạnh bên SA = AC = 2a . Chọn A Gọi P là trung điểm AB AC 3a BD  AC // PN = ; PM = = 2a Ta có  ⇒ PN ⊥ PM và PN = // BD PM 2 2 2  5a MN = PM 2 + PN 2 = 2

(THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ cạnh a ( tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB′ và BC ′ bằng

B. LỜI GIẢI

Câu 110. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có các mặt phẳng ( SAB ) , ( SAD )

cùng vuông góc với mặt phẳng

B. a 2 .

D' P C. a 3 .

D. a 2 .

Câu 113. (THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019)Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB = a , BC = a 3 . Tam giác ASO cân tại S ,

B Câu 3.

Chọn A 18

 AB ⊥ DM ⇒ AB ⊥ ( DMN ) ⇒ CE ⊥ ( DMN ) ⇒ MH ⊥ CE   AB ⊥ MN  MH ⊥ DN 11 ⇒ MH ⊥ ( CDE ) tại H ⇒ d ( AB, CD ) = d  M ; ( CDE )  = MH =  2  MH ⊥ CE

Tam giác DMN có DM = MN = 3 ⇒ H là trung điểm DN , mà HN = MN 2 − MH 2 = ⇒ DN = 1

Xét tam giác DNC vuông tại N CD = DN 2 + CN 2 = 2 .

Gọi I là trung điểm BC , khi đđó BC ⊥ AI Mặt khác BC ⊥ AI , BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAI ) ⇒ BC ⊥ SI . Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ẳng ( ABC ) và ( SBC ) là SIA = Tam giác SIA vuông tại A nên tan SIA

Câu 4.

1 2

SA = a 3 . 3 = 3a . ⇔ SA = IA. tan SIA AI 2 2

Câu 5.

(

AC ' = AB 2 + AD 2 +AA '2 = a 2 + ( 2a ) + a 2 Câu 6.

Chọn A. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30° nên AA′H = 30° . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ ABC. A′B′C ′ bằng a AH = AA′.sin AA′H = AA′.sin 30° = . 2 Chọn B 2

)

Câu 8.

Chọn C t

=a 7. y

Chọn B

z D'

A' I'

B' D

A I B

Câu 9.

Câu 7.

Gọi I là giao của AC và BD . I ′ là giao điểm của A′C′ và B′D′ . Khi đó II ′ là đường trung bình của các hình thang ACC′A′ và BDD′B′ . Theo tính chất của hình thang ta có 2 II ′ = BB′ + DD′ = AA′ + CC′ = 2 + 4 = 6 ⇒ DD′ = 3 . Chọn A

Ta có AC = AD2 + DC 2 = a 5 . Nên AC ′ = AC 2 + CC ′2 = 5a 2 + 2a 2 = a 7 . Chọn A Dựng hình chữ nhật ABCE , gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, CE , MH ⊥ DN tại H Ta có 19

T = MP + NQ = 62 + x 2 + 122 + y 2 ≥

( 6 + 12 ) + ( x + y )

≥ 182 + 32 = 3 37 .

x + y = 3 x = 1  ⇔ Dấu " = " xảy ra khi: 6 y = 12 x . 6.12 + xy ≥ 0  y = 2  Câu 11.

Vậy Tmin = 3 37 . Chọn B

Dựng hình chữ nhật ABCE , gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, CE , MH ⊥ DN tại H Ta có  AB ⊥ DM ⇒ AB ⊥ ( DMN ) ⇒ CE ⊥ ( DMN ) ⇒ MH ⊥ CE   AB ⊥ MN  MH ⊥ DN 11 ⇒ MH ⊥ ( CDE ) tại H ⇒ d ( AB, CD ) = d  M ; ( CDE )  = MH =  2  MH ⊥ CE

Tam giác DMN có DM = MN = 3 ⇒ H là trung điểm DN , mà HN = MN 2 − MH 2 = ⇒ DN = 1

Câu 10.

H 12

OC =

Kẻ OH ⊥ SC ⇒ d ( O, SC ) = OH . AC a 2 ; SC = SA2 + AC 2 = a 6 = 2 2 OH SA OC.SA a 2.2a a 3 ∆OHC ≈ ∆SAC ⇒ = ⇒ OH = = = 3 OC SC SC 2a 6 Câu 12. Chọn D

Xét tam giác DNC vuông tại N CD = DN 2 + CN 2 = 2 . Chọn B A'

1 2

B 4 3

N C

3 = 6. 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của N lên B′C′ . Đặt A′P = x, QH = y . Ta có: A′P + PQ + QH ≥ A′H ⇔ A′P + 3 + QH ≥ 6 ⇔ x + y ≥ 3 . Dấu " = " xảy ra khi P, Q nằm trên đoạn A′H .

Chiều cao của tam giác đáy: AN = A′H = 4 3.

Sau khi xếp miếng bìa lại ta được hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh 2a , O là tâm của A ' B 'C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, A ' B. 1 ⇒ MN = AA ' = 2 a , OM = A ' D ' = a . 2  AB ⊥ OM Lại có:  ⇒ AB ⊥ ON ⇒ d ( O, AB ) = ON = OM 2 + MN 2 = a 5 .  AB ⊥ MN

Lại có: MP = 62 + x 2 , NQ = 12 2 + y 2 . Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki : ∀x, y, a , b ∈ ℝ ⇒ a 2 + b 2 + x 2 + y 2 ≥ (a + x) 2 + (b + y ) 2 .

ay = bx đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  . ax + by ≥ 0 Ta có : 21

DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên

Câu 13. Lời giải Chọn D

H A C

Kẻ AH ⊥ SB ( H ∈ SB ) . Gọi H là trung điểm cạnh SB .    AH ⊥ BC ( BC ⊥ ( SAB)) ⇒ AH ⊥ ( SBC ) .   AH ⊥ SB   Do đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) là AH =

Câu 14.

Chọn B

 BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH ⊂ ( SAB ) . Ta có:   BC ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABC ) )  AH ⊥ SB Vì  ⇒ AH ⊥ ( SBC ) .  AH ⊥ BC

SB 2a 2 = =a 2. 2 2

Do đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) là d ( A,( SBC )) = AH . AC Xét tam giác ABC vuông cân tại B , có AC = 2a ⇒ AB = = 2a . 2 1 1 1 1 1 3 Xét tam giác SAB vuông tại A , ta có: = + = + = AH 2 SA2 AB 2 a 2 2a 2 2a 2 2a 2 6a ⇒ AH 2 = ⇒ AH = . 3 3 6a Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) là d( A,( SBC )) = AH = . 3 Câu 16. Chọn A S

Từ A kẻ AD ⊥ BC mà SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC

⇒ BC ⊥ ( SAD ) ⇒ ( SAD ) ⊥ ( SBC ) mà ( SAD ) ∩ ( SBC ) = SD

⇒ Từ A kẻ AE ⊥ SD ⇒ AE ⊥ ( SBC )

⇒ d ( A; ( SBC ) ) = AE 1 1 1 4 = + = AD 2 AB 2 AC 2 3a 2 1 1 1 19 2a 57 Trong △SAD vuông tại A ta có: ⇒ AE = = + = AE 2 AS 2 AD 2 12a 2 19

Trong △ ABC vuông tại A ta có:

Từ B kẻ BI ⊥ AC nối S với I và kẻ BH ⊥ SI dễ thấy BH là khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) Ta có B.SAC là tam diện vuông tại B nên: 1 1 1 1 1 1 1 61 12 61a = + + = + + = ⇒ BH = BH 2 BS 2 BC 2 BA2 9a 2 4a 2 16a 2 144a 2 61 Câu 17. Chọn A

Câu 15. Lờigiải Chọn C 23

a C

 BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ ( SAC ) Vì   BC ⊥ SA Khi đó ( SBC ) ⊥ ( SAC ) theo giao tuyến là SC .

 BC ⊥ AB Ta có  ⇒ BC ⊥ ( SAB ) .  BC ⊥ SA Kẻ AH ⊥ SB . Khi đó AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ ( SBC )

Trong ( SAC ) , kẻ AH ⊥ SC tại H suy ra AH ⊥ ( SBC ) tại H .

⇒ AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng AH .

1 1 1 1 1 5 4a 2 5a ⇒ AH 2 = ⇒ AH = = + = + = . AH 2 SA2 AB 2 4a 2 a 2 4a 2 5 5 Chọn B

Ta có

Câu 18.

Ta có AC = BC = a , SA = a nên tam giác SAC vuông cân tại A . 1 1 SC = a 2 . 2 2 3V 3V Cách 2: Ta có d ( A, ( SBC ) ) = A.SBC = S . ABC . S ∆SBC S ∆SBC

Suy ra AH =

 BC ⊥ AC Vì  ⇒ BC ⊥ SC nên tam giác SBC vuông tại C .  BC ⊥ SA 1 1 3. SA. CA2 3VA.SBC 3VS . ABC a 2 3 2 Suy ra d ( A, ( SBC ) ) = = = = . 1 S∆SBC S ∆SBC 2 SC.BC 2 Câu 20. Chọn D

 BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) Ta có:   BC ⊥ SA

 ( SAB) ⊥ ( SBC ) ⇒ ( SAB) ∩ ( SBC ) = SB Trong mặt phẳng ( SAB ) : Kẻ AH ⊥ SB ⇒ AH = d ( A; ( SBC ) )

4 1 1 1 1 1 = + = 2 + 2 = 2. 3a AH 2 SA 2 AB 2 a 3a

⇒ d ( A; ( SBC ) ) = AH = Câu 19.

3a . 2

Chọn B

Kẻ AH ⊥ SB trong mặt phẳng ( SBC )

 BC ⊥ AB Ta có:  ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH  BC ⊥ SA  AH ⊥ BC a 2 1 Vậ y  . ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH = SB = 2 2  AH ⊥ SB 25

Câu 21.

Chọn A

a 2 a a 3 a 2 OM = ; SM = Ta có SO = SB 2 − BO 2 = a 2 −  .  = 2 ; 2 2 2  

a 2 a . 2 2= a . a 3 6 2 Cách khác: Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên ( SCD ) . Vì OC, OD, OS đôi một vuông góc nên ta

Ta lại có OH .SM = SO.OM ⇒ OH =

1 1 1 1 = + + (không cần xác định chính xác vị trí của điểm H) OH 2 OC 2 OD2 OS 2 Chọn B

có

Câu 24. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD .  BD ⊥ AO Ta có  ⇒ BD ⊥ ( AA′O )  BD ⊥ AA′ Suy ra ( BDA′ ) ⊥ ( AA′O ) . Kẻ AH ⊥ A′O ⇒ AH ⊥ ( BDA′ ) . Suy ra AH = d ( A, ( BDA′) ) . Xét tam giác AA′O vuông tại A có AA′ = 1, AO = Vậy d ( A, ( BDA′ ) ) =

Câu 22.

1 2 : AH = AC = 2 2

AA′. AO

AA′2 + AO 2

3 . 3

- Vì O là trung điểm của BD nên d ( B,( SCD ) ) = 2d ( O,( SCD ) ) . Do đó câu A đúng.

3 . 3

- Kẻ AH vuông góc với SO mà hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) vuông góc với nhau theo giao

Chọn C Vì lăng trụ ABCA' B'C ' là lăng trụ đứng nên ( ABC) ⊥ ( BCC ' B' ) .

tuyến SO , suy ra AH vuông góc với mặt phẳng ( SBD ) . Ta có d ( A,( SBD ) ) = AH < OA và d ( B,( SAC ) ) = OB = OA nên d ( A,( SBD ) ) < d ( B,( SAC ) ) Do đó câu B sai. - Ta có d ( C,( SAB ) ) = CB và d ( C,( SAD ) ) = CD nên d ( C,( SAB ) ) = d ( C,( SAD ) ) . Do đó câu C đúng. - Vì SA vuông góc với mặt đáy nên d ( S ,( ABCD ) ) = SA . Do đó câu D đúng.

Do đó kẻ AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ ( BCC ' B' ) . '

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCC B ) là đoạn AH . Ta có AC = 4a 2 − 3a 2 = a .

Câu 23.

1 1 1 1 1 4 3a = + = + = ⇒ AH = . AH 2 AB2 AC 2 3a 2 a 2 3a 2 2 Chọn C

Câu 25.

Chọn D S

600

a 3

Gọi M là trung điểm của CD ; H là hình chiếu vuông góc của O lên SM ⇒ OH ⊥ SM (*) . 30°

OM ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SOM ) ⇒ CD ⊥ OH (**) Ta có   SM ⊥ CD

Dựng AM ⊥ BC ; AH ⊥ SM

Từ (*), (**) suy ra OH ⊥ ( SCD ) khi đó d ( O, ( SCD ) ) = OH . 27

Ta có: AM ⊥ BC   ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ AH ⊥ BC và AH ⊥ SM ⇒ AH ⊥ ( SBC ) SA ⊥ BC  ⇒ d ( A; SBC ) = AH

SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ BC ⊥ SA (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ ( SAC ) + Dựng AH ⊥ SC , có AH ⊥ BC (vì BC ⊥ ( SAC ) , ( SAC ) ⊃ AH ) ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A; ( SBC ) ) = AH

Tam giác SAC vuông tại A ⇒ SA = AC .tan 60° = a 3. 3 = 3a ∆SAC = ∆BAC ( g − c − g ) ⇒ SA = BA = 3a 1 1 1 1 1 4 Tam giác ABC vuông tại A ⇒ = + = + = AM 2 AB 2 AC 2 9a 2 3a 2 9 a 2 1 1 1 1 1 4 5 3a Tam giác SAM vuông tại A ⇒ = + ⇒ = + = ⇒ AH = AH 2 SA2 AM 2 AH 2 9a 2 9a 2 9a 2 5 Câu 26. Chọn D

Câu 28.

Gọi H là hình chiếu của M trên SN . Ta có:  NP ⊥ MN ⇒ NP ⊥ ( SMN ) mà SH ⊂ ( SMN ) ⇒ NP ⊥ SH .   NP ⊥ SM

1 1 1 1 1 3 2a = + = + = ⇒ AH = = d ( A; ( SBC ) ) AH 2 AS 2 AC 2 4a 2 2a 2 4a 2 3 Chọn D

Tam giác ABC vuông cân tại B mà AC = a 2 suy ra AB = BC = a . Do BC ⊥ BA , BC ⊥ SA (vì SA ⊥ ( ABC ) ) nên BC ⊥ ( SAB ) .

 SH ⊥ NP ⇒ SH ⊥ ( SNP) hay khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( SNP ) bằng MH .   SH ⊥ SN MN .SM 3a.3a 2 Trong tam giác vuông SMN có MH = = =a 6. MN 2 + SM 2 9a 2 + 18a 2 Câu 27. Chọn A

Gọi H là hình chiếu của điểm A lên SB , thì AH ⊥ SB , AH ⊥ BC (vì BC ⊥ ( SAB ) ) nên

AH ⊥ ( SAB ) hay AH = d ( A, ( SBC ) ) =

. 2 Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông SAB với đường cao AH , ta được: 1 1 1 1 1 1 1 = + ⇒ 2 = − = ⇒ SA = a nên tam giác SAB vuông cân tại A do AH 2 SA2 AB 2 SA AH 2 AB 2 a 2 đó trọng tâm G thuộc AH . Từ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC và AK ⊥ SC nên SC ⊥ ( AHK ) hay SC ⊥ ( AGK ) .

Vì SC ⊥ ( AGK ) và SA ⊥ ( ABC ) nên góc giữa hai mặt phẳng ( AGK ) và ( ABC ) chính là góc

. giữa hai đường thẳng SC và SA hay α = CSA

H E

Theo trên ta có SC = SA2 + AC 2 = a 3 suy ra cos α =

Câu 29.

SA a 3 = = . AC a 3 3

Chọn A

+ Lấy E là trung điểm AB ⇒ tứ giác ADCE là hình vuông cạnh bằng a ⇒ AC = a 2

+ ∆BCE vuông cân CE ⊥ EB , CE = EB = a ⇒ BC = a 2

(

∆ACB có: AC 2 + BC 2 = a 2

) + (a 2 )

= 4a 2 = AB 2 ⇒ ∆ACB vuông tại C

⇒ BC ⊥ AC (1) 29

Gọi S là diện tích tam giác ABC ta có S =

1 BA.BC.sin120° = a 2 3 . Nên thể tích khối chóp 2

Gọi D là trung điểm cạnh BC , E là hình chiếu của A lên A' D .  BC ⊥ AD ⇒ BC ⊥ ( ADA ') ⇒ BC ⊥ AE Ta có:  .  BC ⊥ AA '

1 3

S . ABC là V = Bh = a 2 3.3a = 3a 3 3 .

Gọi AH là đường cao trong tam giác ABC khi đó ta có AH =

 AE ⊥ BC ⇒ AE ⊥ ( A ' BC ) , suy ra d ( A, ( A ' BC ) ) = AE .   AE ⊥ A ' D

2 S 2a 2 3 = =a 3. BC 2a

SH = SA2 + AH 2 = 2a 3 . 1 Vì BC ⊥ ( SAH ) ⇒ BC ⊥ SH . Nên diện tích tam giác SBC là S1 = BC.SH = 2a 2 3 . 2 3V 3a 3 3 3a Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) là d = . = 2 = S1 2 2a 3 Câu 30. Chọn A

Trong tam giác A ' AD có: AA ' = a , AD =

a 3 , 2

1 1 1 1 4 7 a 3 a 21 = + = + = ⇒ AE = = . AE2 AA'2 AD2 a2 3a2 3a2 7 7 Câu 32.

Chọn A A'

Gọi I = AC ∩ BD và H là hình chiếu của A lên đường thẳng A ' I . Ta có: BD ⊥ AI ⇒ BD ⊥ AH BD ⊥ AA '

{

Kẻ AE ⊥ BC ( E ∈ BC ) ; AH ⊥ A′E ( H ∈ A 'E ) . BC ⊥ AE  Ta có:  ⇒ BC ⊥ ( A′AE ) ⇒ BC ⊥ AH . BC ⊥ AA′  Mà AH ⊥ A′E ⇒ AH ⊥ ( A′BC ) . Do đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A ' BC ) bằng AH . 1 1 1 4 Xét tam giác ABC vuông tại A ta có = + = . AE 2 AB 2 AC 2 3a 2 a 21 1 1 1 4 1 7 = + = + = ⇒ AH = Xét tam giác A′AE vuông tại A ta có . AH 2 AE 2 A′A2 3a 2 a 2 3a 2 7 Câu 33. Chọn B

{

⇒ AH ⊥ BD ⇒ AH ⊥ ( A ' BD ) ⇒ d( A, ( A ' BD )) = AH . AH ⊥ A ' I a 3 1 1 1 1 1 3 . = + = + 2 = 2 ⇒ AH = AH 2 AI 2 AA '2 a 3 a 2 2 a ( ) 2 Chọn B

Ta có:

Câu 31.

1 1 1 1 = + + ( 2) ; q 2 OS 2 OB '2 OC '2 1 1 1 1 = + + ( 3) u 2 OS 2 OC '2 OD '2

Chứng minh tương tự:

1 1 1 1 = + + ( 4) v 2 OS 2 OD '2 OA '2 1 1 1 1 Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) , ( 4 ) ta có 2 + 2 = 2 + 2 . p u q v

O H

Trong tam giác OAB dựng đường cao OH , trong tam giác OCH dựng đường cao  BC ⊥ OH OI ⇒ OI ⊥ CH (1) . Mặt khác ta có  ⇒ BC ⊥ ( OAH ) ⇒ BC ⊥ OI (2) . Từ (1) và (2)  BC ⊥ OA

Với p = 1; q = 2; u = 5 ⇒

( 5)

1 1 1 19 20 + ⇒ 2= ⇒d =v= . v 22 v 2 20 19

Cách 2:

suy ra OI ⊥ ( ABC ) ⇒ d ( O; ( ABC ) ) = OI . Xét tam giác OAB vuông tại O có OA = a, OB = 2a ⇒ OH =

1 + 12

OA2 .OB 2 4a 4 2a = = . 2 2 OA + OB 5a 2 5

Xét tam giác OCH vuông tại O có

OC = a 3, OH =

2a OC 2 .OI 2 12a 4 2 3a ⇒ OI = = = . 2 2 OC + OI 19a 2 5 19

Vậy d ( O; ( ABC ) ) = OI = Câu 34.

2 3a . 19

Dựng mặt phẳng qua O, vuông góc với SO , cắt các đường thẳng SA, SB, SC , SD lần lượt tại A′, B′, C ′, D′ ⇒ SO ⊥ ( A′B′C ′D′) .

Chọn B Cách 1:

Vì ( SAC ) ⊥ ( SBD ) ⇒ A′C ′ ⊥ B′D′ .

Ta có:

1 1 1 1 1 + + = = . ( 2) SO 2 OB′2 OC ′2 d ( O, ( SB′C ′ ) ) 4

1 1 1 1 1 + + = = . ( 3) SO 2 OC ′2 OD′2 d ( O, ( SC ′D′ ) ) 5

C' A'

1 1 1 1 + + = = 1 . (1) SO 2 OA′2 OB′2 d ( O, ( SA′B′ ) )

O B

1 1 1 1 1 + + = = . ( 4) SO 2 OD′2 OA′2 d ( O, ( SD′A′ ) ) d 2

Gọi p , q, u , v lần lượt là các khoảng cách từ O đến các mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) , ( SCD ) , ( SDA) .

(1) , ( 2) , ( 3) , ( 4 ) ⇒ 1 +

Trong mặt phẳng ( SAC ) dựng đường thẳng qua O vuông góc với đường thẳng SO cắt hai đường thẳng SA, SC lần lượt tại A ', C '

Trong mặt phẳng ( SBD ) dựng đường thẳng qua O vuông góc với đường thẳng SO cắt hai đường thẳng SB, SD lần lượt tại B ', D ' .

Câu 35.

20 1 1 1 ⇒d = = + . 5 4 d2 19

Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng Chọn D

Do ( SAC ) ⊥ ( SBD ) , ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO, A ' C ' ⊥ SO nên A ' C ' ⊥ ( SBD )

⇒ A'C ' ⊥ B ' D ' . Khi đó tứ diện OSA ' B ' có OS , OA ', OB ' đôi một vuông góc nên ta chứng minh được 1 1 1 1 = + + (1) p 2 OS 2 OA '2 OB '2 33

Từ giả thiết suy ra OI là đường trung bình của ∆SAC , do đó OI SA .  IO SA Ta có  ⇒ IO ⊥ ( ABCD ) .  SA ⊥ ( ABCD ) Vậy d ( I , ( ABCD ) ) = OI . Câu 36. Chọn B

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Ta có AG ⊥ ( BCD ) tại G nên d ( A, ( BCD ) ) = AG . 2

a 3 a 6 AB 2 − BG 2 = a 2 −   = 3 . 3  

Xét tam giác ABG vuông tại G có AG =

Câu 39.

Chọn A A'

d ( M , ( SAC ) ) =

Câu 37.

Chọn C

a 2 1 1 1 . d ( D, ( SAC ) ) = DO = BD = 2 2 4 4

• Gọi M, N, H lần lượt là trung điểm của A’C’, AC, BC. ⇒ MN / / CC ' ⊂ ( BCC ' ) ⇒ MN / / ( BCC ' )

a 2

⇒ d ( M ; ( BCC ') ) = d ( N ; ( BCC ' ) ) = NH = Câu 40.

Gọi H là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác BCD, AG là đường cao của tứ diện 3 2 2 3a Xét tam giác đều BCD có BH = 2a. . = a 3 ⇒ BG = BH = 2 3 3

Chọn A S

 2 3a  2 6 Xét tam giác vuông ABG có AG = AB 2 − BG 2 = (2a )2 −   3  = 3 a.  

2 2 4 6 Mà d ( M ; ( BCD )) = d ( A;( BCD )) = AG = a. 3 3 9 Câu 38. Chọn C

Ta có: SA = SB 2 − AB 2 = Ta có

( 5a ) − ( 4a ) d ( C , ( SBD ) ) = d ( A, ( SBD ) ) = h .

= 3a .

Tứ diện ASBD có các cạnh AB, AD, AS đôi một vuông góc với nhau và AB = 4a, AD = 3a, AS = 3a nên ta có

1 1 1 1 1 1 1 41 12a 41 = + + = + + = ⇒h= h 2 AB 2 AD 2 AS 2 16a 2 9a 2 9a 2 144a 2 41 12 a 41 Vậy d ( C , ( SBD ) ) = . 41 Câu 41. Chọn B S

Vì chóp SABCD là chóp đều nên ABCD là hình vuông cạnh 2a . Gọi O là tâm hình vuông, ta có SO ⊥ ( ABCD ) . Ta có d ( A, ( SCD ) ) = 2d ( O, ( SCD ) ) .

Gọi K trung điểm CD ⇒ OK ⊥ CD . Lại có CD ⊥ SO . Suy ra CD ⊥ ( SOK ) suy ra ( SCD ) ⊥ ( SOK ) .

H I

Trong ( SOK ) kẻ OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( O, ( SCD ) ) = OH .

K B

Xét ∆SOK vuông tại O , đường cao OH , ta có 1 1 1 1 1 a 3 = + = + ⇒ OH = ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = 2OH = a 3 . OH 2 OK 2 OS 2 a 2 3a 2 2 Câu 43. Chọn B

Kẻ SI ⊥ AB. Do tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ( ABCD ) .

⇒ I là trung điểm của AB và SI ⊥ ( ABCD ) . ∆SAB đều cạnh 2 a ⇒ SI =

2a 3 = a 3. 2

Kẻ IK ⊥ BD ( K ∈ BD ) , AH ⊥ BD ( H ∈ BD ) ⇒ IK =

1 AH 2

Kẻ IJ ⊥ SK , ( J ∈ SK ) (1).  IK ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( SIK ) ⇒ BD ⊥ IJ (2). Ta có   SI ⊥ ( ABCD ) ⇒ SI ⊥ BD Từ (1) và (2) suy ra IJ ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( I , ( SBD) ) = IJ .

Trong mặt phẳng ( ABCD ) dựng BI ⊥ HC .

1 1 1 1 5 2a a = + ⇒ = ⇒ AH = ⇒ IK = Ta có: . AH 2 AB 2 AD 2 AH 2 4a 2 5 5

Câu 42.

H I

( SAB ) ∩ ( SHC ) = SH ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) . Ta có:  ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ; ( SHC ) ⊥ ( ABCD )  BI ⊥ HC ⇒ BI ⊥ ( SHC ) ⇒ d ( B, ( SHC ) ) = BI . Khi đó:   BI ⊥ SH Xét trong tam giác BHC vuông tại B ta có: 1 1 1 1 1 25 12a . = + = + = ⇒ BI = BI 2 BH 2 BC 2 ( 3a )2 ( 4a )2 144a 2 5

a 3 1 1 1 1 16 a 3 ⇒ d ( I , ( SBD) ) = = + ⇒ 2 = 2 ⇒ IJ = . IJ 2 SI 2 IK 2 IJ 3a 4 4 a 3 . I là trung điểm AB ⇒ d ( A, ( SBD) ) = 2d ( I , ( SBD) ) = 2 Chọn C 37

Suy ra: Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SHC ) bằng Câu 44.

12a . 5

CD ⊥ AK  ⇒ CD ⊥ ( SAK ) ⇒ ( SCD ) ⊥ ( SAK ) . Ta có     CD ⊥ SA Trong mặt phẳng ( SAK ) , dựng AH ⊥ SK , với H ∈ SK . Suy ra AH ⊥ ( SCD ) tại H . Do AB song song với mặt phẳng ( SCD ) nên d ( B , ( SCD )) = d ( A, ( SCD )) = AH . Xét ∆SAK vuông tại A , ta có 1 1 1 1 4 7 21 = + = + = ⇒ AH = a. AH 2 SA2 AK 2 a 2 3a 2 3a 2 7 Câu 46. Chọn D

Chọn C

Gọi O = AC ∩ BD , G = SO ∩ FC ⇒ G là trọng tâm tam giác SAC . d ( S , ( FCD ) ) SG Do đó: = = 2 ⇒ d ( S , ( FCD ) ) = 2 d ( O , ( FCD ) ) = 2h . d ( O, ( FCD ) ) OG Lại có: ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC , BD và OC ⊥ OD .

 SO ⊥ ( ABCD ) Mà: SA = SB = SC = SD ⇒  ⇒ ABCD là hình vuông. OA = OB = OC = OD

a 2 a 2 a 2 1 . ⇒ OG = OS = ⇒ OS = SC 2 − OC 2 = 2 2 3 6 1 1 1 1 1 22 + + ⇒h= a. = Khi đó: O.GCD là tứ diện vuông đỉnh O ⇒ 2 = h OC 2 OD 2 OG 2 a 2 22 ⇒ OC = OD =

Vậy ⇒ d ( S , ( FCD ) ) = 2h =

Câu 45.

2 a. 11

Chọn A

Do ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD nên tứ giác ABCD cũng nội tiếp đường tròn đường kính AD . Gọi I là trung điểm AD thì các tam giác △ IAB , △ IBC ,△ ICD

đều cạnh a và AC ⊥ CD nên AC = AD 2 − CD2 = a 3 . Lấ y K ∈ BC ; M ∈ AD sao cho HK SC ; KM CD ⇒ d ( H ; ( SCD ) ) = d ( K ; ( SCD ) ) = d ( M ; ( SCD ) )

△SAB vuông tại A có SB = 2a và SH .SB = SA2 ⇔ SH = Vậ y

3a 2 3a SH 3 KC MD = ⇒ = = = . 2a 2 SB 4 CB DI

 AC ⊥ CD MD MD 3 d ( M ; ( SCD ) ) 3 ⇒ CD ⊥ ( SAC ) . = = ⇒ = . Do  AD 2 DI 8 d ( A; ( SCD ) ) 8 CD ⊥ SA

Trong mp ( SAC ) kẻ AN ⊥ SC tại N thì AN ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A; ( SCD ) ) = AN .

Do D là điểm đối xứng với B qua AC và ∆ABC cân tại B nên tứ giác ABCD là hình thoi cạnh a . Suy ra ∆BCD là tam giác đều cạnh a . a 3 Gọi M là trung điểm của CD , suy ra BM ⊥ CD và BM = . 2 Qua điểm A , dựng đường thẳng song song với BM và cắt CD tại K . a 3 Khi đó AK ⊥ CD và AK = BM = . 2

△SAC vuông cân tại A (Do SA = AC = a 3 ) nên AN =

a 6 . 2

3 3a 6 Vậy d ( H ; ( SCD ) ) = d ( M ; ( SCD ) ) = . AN = 8 16 Câu 47. Chọn A

C a

Xét tam giác ABC có AB = a , AC = 2 a ⇒ BC = a 5 . Trong mp ( ABC ) kẻ AH ⊥ BC , H ∈ BC .

Cách 1: = 60 ° và AB = BC . Xét ∆ABC đều do ABC Lấy I là trung điểm BC , kẻ AH ⊥ SI tại H . Ta có: AI ⊥ BC , mà BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAI ) , AH ⊂ ( SAI ) ⇒ BC ⊥ AH .

( ABC ) ⊥ ( A ' BC )  Ta có: ( ABC ) ∩ ( A ' BC ) = BC ⇒ AH ⊥ ( A′BC ) ⇒ d ( A, ( A′BC ) ) = AH  AH ⊥ BC  AB. AC 2 5 2 5 Trong tam giác vuông ABC ta có AH = = a ⇒ d ( A, ( A′BC ) ) = a. BC 5 5 Câu 49. Chọn B

Từ và ⇒ AH ⊥ ( SBC ) tại H ⇒ AH = d ( A, ( SBC ) ) . Ta có: ∆ABC đều cạnh a ⇒ AI =

a 3 . 2

Xét ∆SAI vuông tại A có: 1 1 1 4 4 16 3a = + = + = ⇒ AH = = d ( A, ( SBC ) ) . AH 2 SA2 AI 2 9a 2 3a 2 9 a 2 4 Ta có: d ( O, ( SBC ) ) OC 1 1 3a = = ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = . 2 8 d ( A, ( SBC ) ) AC 2

Cách 2: Tương tự cách 1 ta có ∆ABC đều cạnh a ⇒ AI =

a 3 . 2

a2 3 1 Diện tích ∆OBC là: SOBC = .S ∆ABC = . 2 8 1 1 3a a 2 3 a 3 3 = Thể tích của khối chóp S .OBC là: VS .OBC = .SA.S∆OBC = . . . 3 3 2 8 16 2

Gọi I là trung điểm của AB ⇒ SI ⊥ AB .  SI ⊥ AB  Ta có: ( SAB ) ⊥ ( ABCD )( gt ) ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) .  ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB

 3a   a 3  Xét ∆SAI vuông tại A : SI = SA2 + AI 2 =   +   = 3a .  2   2  Xét ∆SAI có SA = SC ( do ∆SAB = ∆SAC ) ⇒ SI là đường cao ⇒ S∆SBC =

Xét ∆SAB đều có cạnh bằng 2a ⇒ SI = a 3

1 1 1 1 1 5 2a 5 . = + = + = ⇒ AK = AK 2 AB 2 AD 2 4a 2 a 2 4a 2 5 1 5a Kẻ JI ⊥ BD tại J ⇒ JI / / AK ⇒ JI = AK = . Ta có: BD ⊥ SI ⇒ BD ⊥ ( SJI ) . 2 5 Kẻ HI ⊥ SJ tại H ⇒ IH ⊥ ( SBD ) tại H ⇒ d ( I ; ( SBD ) ) = IH . Kẻ AK ⊥ BD tại K . Ta xét ∆BAD có:

1 SI .BC = a 2 3 . 2

3.a3 3 3VS .OBC 3a Ta có: d ( O; ( SBC ) ) = = 16 = . S ∆SBC 8 a2 3 Câu 48. Chọn C

1 1 1 5 1 16 a 3 . = + = + = ⇒ HI = HI 2 JI 2 SI 2 a 2 3a 2 3a 2 4 Do I là trung điểm của AB nên:

Xét ∆SJI có:

d ( A; ( SBD ) ) d ( I ; ( SBD ) ) Câu 50.

AB a 3 . = 2 ⇒ d ( A; ( SBD ) ) = 2d ( I ; ( SBD ) ) = 2 AI

Chọn B

Gọi H là trung điểm AB . Suy ra SH ⊥ ( ABCD ) . Ta có

d ( H , ( SBD ) ) d ( A, ( SBD ) )

. Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ). . Từ H kẻ HM ⊥ BD , M là trung điểm của BI và I là tâm của hình vuông. BD ⊥ HM  Ta có:  ⇒ BD ⊥ (SHM) .    BD ⊥ SH

BH 1 = ⇒ d ( A, ( SBD ) ) = 2d ( H , ( SBD ) ) . BA 2

Gọi I là trung điểm OB , suy ra HI || OA (với O là tâm của đáy hình vuông).

Câu 51.

1 a 2  BD ⊥ HI ⇒ BD ⊥ ( SHI ) . Suy ra HI = OA = . Lại có  2 4  BD ⊥ SH a 21 1 1 1 = + ⇒ HK = Vẽ HK ⊥ SI ⇒ HK ⊥ ( SBD ) . Ta có . HK 2 SH 2 HI 2 14 a 21 Suy ra d ( A, ( SBD ) ) = 2d ( H , ( SBD ) ) = 2 HK = . 7

Từ H kẻ HK ⊥ SM ⇒ HK ⊥ BD ( Vì BD ⊥ (SHM) ). ⇒ HK ⊥ ( SBD ) ⇒ d(H;(SBD)) = HK. HK . .

AI AC 2a 3a = = . SH = . 2 4 4 2 2a 3a . HM .HS 21a 4 2 .. HK = = = 2 2 14 HM 2 + HS 2  2a   3a   +     4   2 

Ta có: HM =

d (C;( SBD)) = d ( A;( SBD)) = 2d ( H ;( SBD)) = 2 HK = 2. Vậy: d (C ;( SBD )) =

Câu 52.

Chọn D

21a 21a = .. 14 7

21a .. 7 S

. Chọn D

H A I B

A D

G O

I C

K O C

* Gọi O = AC ∩ BD và G là trọng tâm tam giác ABD , I là trung điểm của AB ta có

SI ⊥ ( ABCD ) và

d ( D; ( SAC ) ) d ( I ; ( SAC ) )

DG = 2 ⇒ d ( D; ( SAC ) ) = 2.d ( I ; ( SAC ) ) . IG

* Gọi K là trung điểm của AO , H là hình chiếu của I lên SK ta có IK ⊥ AC; IH ⊥ ( SAC )

⇒ d ( D; ( SAC ) ) = 2.d ( I ; ( SAC ) ) = 2.IH a 3 BO a 2 ; IK = = 2 2 4 a 3 1 1 1 4 16 28 = + = + = ⇒ IH = IH 2 SI 2 IK 2 3a 2 2a 2 3a 2 2 7

* Xét tam giác SIK vuông tại I ta có: SI =

⇒ d ( D; ( SAC ) ) = 2.d ( I ; ( SAC ) ) = 2.IH =

Câu 53.

a2 3 . 2 3 a 3 Thể tích hình chóp S . ABCD : V = . 6 Ta có SD = a 2 , AC = a 3 , SC = 2 a .

Cách 1 Diện tích hình thoi S =

a 21 . 7

Chọn C

Nửa chu vi ∆SCD là p∆SCD =

S∆SCD =

(

3a + a 2 . 2

)

p ( p − a )( p − 2a ) p − a 2 =

a2 7 4

1 a3 3 3. . 2 6 = a 21 7 a2 7 4 Cách 2 Ta có AB // CD ⇒ AB // ( SCD ) , suy ra d ( B, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) . 3V d ( B, ( SCD ) ) = S . BCD = S ∆SCD

Trong mặt phẳng ( ABCD ) , kẻ AK ⊥ CD tại K . Gọi O là giao điểm của AC và BD , I là trung điểm của AB . Kẻ IK / / BD, K ∈ AC ; kẻ IH ⊥ SK , H ∈ SK (1).

Trong mặt phẳng ( SAK ) , kẻ AH ⊥ SK tại H . Suy ra AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AH .

Do ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) và tam giác SAB đều nên SI ⊥ ( ABCD ) ⇒ SI ⊥ AC Lại có IK ⊥ AC , suy ra AC ⊥ ( SIK ) ⇒ AC ⊥ IH (2) Từ (1) và (2) suy ra IH ⊥ ( SAC ) suy ra IH là khoảng cách từ I đến đến mặt phẳng ( SAC ) bằng

1 2a BO = , tam giác SIK vuông tại I nên 2 4 1 1 1 28 3a = + = ⇒ IH = 2 7 IH 2 SI 2 IK 2 3a 2 Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) bằng hai lần khoảng cách từ H đến mặt phẳng Ta có IK =

( SAC ) Câu 54.

nên khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) là d =

Chọn A

Câu 55.

Tam giác SAK vuông tại A , AH là đường cao, suy sa: a 21 1 1 1 4 1 7 a 3 , do AK = . = + = + = ⇒ AH = AH 2 AK 2 AS 2 3a 2 a 2 3a 2 7 2 a 21 Vậy d ( B, ( SCD ) ) = . 7

Lời giải Chọn B

21a . 7

Gọi I là trung điểm của AD . Tam giác SAD cân tại S 45

⇒ SI ⊥ AD

SA ⇒ SA = x 3 . AD 3 x 3 1 1 . V ABCD = SA.S ABCD = . x 3. x 2 = 3 3 3 a3 3 x3 3 a3 3 Mà thể tích khối chóp S . ABCD bằng ⇒ = ⇒ x = AD = a và SA = a 3 . 3 3 3 + Tam giác vuông SAD có đường cao AH :

Tam giác vuông SAD có: tan 60 0 =

SI ⊥ AD Ta có  ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) ( SAD ) ⊥ ( ABCD )

⇒ SI là đường cao của hình chóp. 1 4 1 Theo giả thiết VS . ABCD = .SI .S ABCD ⇔ a 3 = SI .2a 2 ⇔ SI = 2a 3 3 3

a 3 1 1 1 1 1 4 = + = + = ⇒ AH = . AH 2 AD 2 SA2 a 2 3a 2 3a 2 2

Vì AB song song với ( SCD )

⇒ d ( B, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = 2d ( I , ( SCD ) ) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD .

SI ⊥ DC ⇒ IH ⊥ DC . Ta có Mặt khác   ID ⊥ DC Xét tam giác SID vuông tại I :

 IH ⊥ SD ⇒ IH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( I , ( SCD ) ) = IH   IH ⊥ DC

1 1 1 1 4 2a = + = + ⇒ IH = IH 2 SI 2 ID 2 4a 2 2a 2 3

⇒ d ( B, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = 2d ( I , ( SCD ) ) = Câu 56.

a 3 a 3 . Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( SCD ) bằng 2 = 2 4 Câu 57. Chọn A

4 a. 3

Chọn C A

D E

I H C

Gọi I = AC ∩ BD , H là trọng tâm của tam giác ABC .

= 60o nên ∆ABC , ∆ACD là các tam giác đều cạnh a . Do ABCD là hình thoi và BAC = 60o . ⇒ ( SAC ) , ( ABCD ) = SIH

)

(

a 3 a 3 1 2 4 2a 3 a ⇒ IH = BI = ; SH = IH .tan 60 o = ; HD = BD = BI = . 2 3 6 3 3 3 2 Kẻ HK ⊥ CD , HE ⊥ SK ⇒ d ( H , ( SCD ) ) = HE . Ta có: BI =

1 d ( B; ( SCD ) ) (vì M là trung điểm BC ). 2 Vì AB / / ( SCD ) ⇒ d ( B; ( SCD ) ) = d ( A; ( SCD ) ) .

+ d ( M ; ( SCD ) ) =

Trong tam giác vuông HKD ta có HK = HD.sin 30o =

Kẻ AH ⊥ SD AH ⊥ CD vì CD ⊥ ( SAD ) (do CD ⊥ AD; CD ⊥ SA )

Do đó d ( H , ( SCD ) ) = HE =

⇒ AH ⊥ ( SCD ) . Mặt khác

⇒ d ( A; ( SCD ) ) = AH . + ( ABCD ) ∩ ( SCD ) = CD

Câu 58.

d ( B, ( SCD ) ) d ( H , ( SCD ) )

SH .HK SH 2 + HK 2

a 3 . 3

a . 7

BD 3 3 a 3a . = ⇒ d ( B, ( SCD ) ) = . = HD 2 2 7 2 7

Chọn B

CD ⊥ ( SAD ) , SDA = 600 . ⇒ góc giữa ( SCD ) và ( ABCD ) bằng góc SDA Gọi cạnh của hình vuông ABCD có độ dài bằng x . 47

Vì AB // ( SCD ) ⇒ d ( B, ( SCD ) ) = d ( A,( SCD ) . Mặt khác H là trung điểm của AD

⇒ d ( B,( SCD) ) = d ( A,( SCD) ) = 2d ( H ,(SCD) ) = Câu 60.

Chọn D

4a 4a . Vậ y h = . 3 3

K A

H M

B H

1 a 6 1 1 = . .a.a 3.SH ⇔ SH = a 2 . Mà VS . ABC = .S ABC .SH ⇔ 3 6 3 2 Vì H là trung điểm của cạnh AC ⇒ d ( C; ( SAB ) ) = 2d ( H ; ( SAB ) ) .

I O

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Dựng AK ⊥ SD tại K ⇒ CD ⊥ AD , CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AK ⇒ AK ⊥ ( SCD ) SH SK = ⇒ HK // BD . SB SD ∆ SBD cân đỉnh S , gọi J = HK ∩ SO ⇒ HJ = JK . Dựng AJ cắt SC tại I . Dựng

Gọi M là trung điểm của cạnh AB ⇒ HM ⊥ AB . BC a 3 = Mà AB ⊥ SH ⇒ AB ⊥ ( SHM ) và HM = . 2 2 Kẻ KH ⊥ SM tại K . Do AB ⊥ ( SHK ) ⇒ AB ⊥ HK ⇒ HK ⊥ ( SAB ) tại K .

Câu 59.

Ta có: SH ⊥ ( ABC ) .

⇒ d ( H ; ( SAB ) ) = HK =

Ta có: ∆ SAB = ∆ SAD ⇒

JM // AK ⇒ JM ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( H ; ( SCD ) ) = 2 d ( J ; ( SCD ) ) = 2 JM .

a 3 a 2. SH .HM 2 = a 66 ⇒ d ( C ; ( SAB ) ) = 2a 66 . = 2 2 11 11 SH + HM 3a 2 2a 2 + 4

2a 5 2a 3 3a 2 2a 3 4a 3 2a 2 ; AI = ; SO = ; AJ = ; IJ = ; HJ = . 5 3 2 5 15 5 IJ JM 4a 5 8a 5 = ⇒ JM = ⇒ d ( H ; ( SCD ) ) = . Ta có: AI AK 25 25 Câu 61. Chọn C Ta có: AH = AK =

Chọn D

K D

H A

 AD CI Hai tứ giác ADCI và BCDI là hình thoi ⇒  ⇒ AD ⊥ BD CI ⊥ BD = 450 . ⇒ BD ⊥ ( SAD ) ⇒ SD ⊥ BD . Suy ra góc giữa mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD ) là SDA

Gọi H là trung điểm của AD . Vì ∆SAD cân nên SH ⊥ AD ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) . Trong mp ( SAD ) kẻ HK ⊥ SD (1) .Vì

CD ⊥ AD   ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ HK ( 2 ) . CD ⊥ SH 

Do đó SA = AD = a . Gọi H là hình chiếu của A lên SD ⇒ AH ⊥ ( SBD )

Từ (1) và (2) suy ra HK ⊥ ( SCD ) ⇒ HK = d ( H , ( SCD) ) .

4 2 a ⇒ SH = 2a . Xét tam giác SHD vuông tại H ta có 3 1 1 1 1 1 9 2a 2a = + = + = ⇒ HK = ⇒ d ( H , ( SCD) ) = . HK 2 SH 2 HD 2 4a 2 a 2 4a 2 3 3 2

1 3

⇒ d ( A, ( SBD ) ) = AH =

Ta có VS . ABCD = SH .a 2.a 2 =

Ta có

Câu 62.

d ( I , ( SBD ) ) d ( A, ( SBD ) )

a 2 . 2

IB 1 a 2 1 = ⇒ d ( I , ( SBD ) ) = d ( A, ( SBD ) ) = . AB 2 2 4

Chọn A 50

Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD ) là d ( C , ( SBD ) ) =

Câu 64.

2a 57 . 19

Chọn B

1 Ta có: d ( O ; ( SBC ) ) = d ( A ; ( SBC ) ) . 2 Kẻ AH ⊥ SB (1) .  BC ⊥ AB +)  ⇒ BC ⊥ ( SAB ) .  BC ⊥ SA ⇒ AH ⊥ BC ( 2 ) .

Diện tích hình chữ nhật ABCD là S ABCD = AD. AB = a 2 3 .

Từ (1) và ( 2 ) ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A ; ( SBC ) ) = AH .

∆ SAB đều cạnh AB = a , gọi H là trung điểm AB ⇒ SH ⊥ AB , SH =

+) Xét tam giác SAB , ta có: AH =

SA. AB SA2 + AB 2

2 5 a. 5

Vậy khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SBC ) bằng

Câu 63.

Chọn A

a 3 . 2

( SAB ) ⊥ ( ABCD )  Do ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .   SH ⊂ ( SAB ) , SH ⊥ AB 1 a3 Thể tích hình chóp S . ABCD là: VS . ABCD = SH .S ABCD = . 3 2 a 3 Gọi M là trung điểm SA ⇒ BM = và thể tích tứ diện MBCD là: 2 1 1 1 1 1 a3 . VMBCD = d ( M , ( BCD ) ) .S∆BCD = . d ( S , ( ABCD ) ) . S ABCD = VS . ABCD = 3 3 2 2 4 8

a 5 . 5

Hình chữ nhật ABCD có BD = AB 2 + AD 2 = 2a . Có SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ AD , mà AB ⊥ AD ⇒ AD ⊥ ( SAB ) ⇒ AD ⊥ SA . Gọi O = AC ∩ BD . Suy ra, O là trung điểm của AC nên d ( C , ( SBD ) ) = d ( A, ( SBD ) ) . Kẻ AK ⊥ BD , AH ⊥ SK .  SA ⊥ BD Ta có  ⇒ BD ⊥ ( SAK ) ⇒ ( SBD ) ⊥ ( SAK ) .  AK ⊥ BD

1 a 2 39 . MB.MD = 2 8 1 Mà thể tích tứ diện CMBD là: VCMBD = d ( C , ( MBD ) ) .S∆MBD 3 a3 3 a 39 3VCMBD 3VMBCD . ⇒ d ( C , ( MBD ) ) = = = 2 8 = 13 S∆MBD S∆MBD a 39 8 Câu 65. Chọn D

Diện tích tam giác MBD là S∆MBD =

( SBD ) ∩ ( SAK ) = SK , suy ra AH ⊥ ( SBD ) nên d ( A, ( SBD ) ) = AH . Lại do   AH ⊥ SK

AB. AD a.a 3 a 3 . = = 2 AB 2 + AD 2 a 2 + 3a 2 1 1 1 1 4 19 2a 57 = + = + = ⇒ AH = . AH 2 SA2 AK 2 4a 2 3a 2 12a 2 19

Ta có AK =

a 13 . 2 ⇒ ∆ MBD có MB 2 + MD 2 = BD 2 ⇒ ∆ MBD vuông tại M . ⇒ ∆ MAD vuông tại A , MD = MA2 + AD 2 =

AB. AD = BD

Gọi E là giao điểm của AB và CD ; H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SD , BC . Ta có a 3 a 3 = CK , KB = AK . cot AD = AC 2 − CD 2 = . ABC = CD. cot 30° = 2 2 BC = BK + KC = a 3 . Tam giác EBC có AD // BC và BC = 2 AD nên AD là đường trung bình, suy ra A là trung điểm của cạnh EB . CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AH .  CD ⊥ SA  AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AH .   AH ⊥ SD

E D

Tam giác SAD vuông cân tại A nên AH =

A F

Vậy d ( B, ( SCD ) ) =

B  MN ⊥ A′D - Gọi D là trung điểm của B ′C ′ ⇒  ⇒ MN ⊥ ( A′DPA ) ⇒ ( MNP ) ⊥ ( A′DPA )  MN ⊥ DP - Gọi E = MN ∩ A′D ⇒ EP là giao tuyến của ( MNP ) và ( A′DPA ) .

Câu 67.

AD 2 a 6 = . 2 4

EB a 6 .d ( A, ( SCD ) ) = 2 AH = . EA 2

DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Chọn B B

- Dựng AH ⊥ EP ⇒ AH ⊥ ( MNP ) ⇒ AH = d ( A; ( MNP ) ) .

AP 3 = - Gọi F là trung điểm của AP ⇒ EF ⊥ AP và EF = A′A = 2 , FP = 2 2 5 EF . AP 2.3 12 = = . ⇒ EP = EF 2 + FP 2 = ⇒ AH = 5 5 2 EP 2 12 Vậy d ( A; ( MNP ) ) = . 5 Câu 66. Chọn B

B' A'

* Do AB′// ( CDD′C ′) nên ta có:

d ( AB′; CD′ ) = d ( AB′; ( CDD′C′ ) ) = d ( A; ( CDD′C ′) ) = AD = a .

Câu 68.

Chọn B A

H D

Gọi E , F lần luợt là trung điểm của AB và CD . Do tứ diện ABCD đều cạnh a nên 3a 2 a 2 a 2 a 3 .Xét trong tam giác cân ECD tại E có EF 2 = ED 2 − FD 2 = − = . 2 4 4 2 Do tam giác ABC , ABD đều nên ED ⊥ AB, EC ⊥ AB suy ra EF ⊥ AB mà tam giác ECD cân DE = CE =

tại E nên EF ⊥ CD . Vậy khoảng cách giữa AB và CD bằng độ dài đoạn EF . Tức bằng

Câu 69. 53

Chọn B 54

a 2 . 2

Gọi O = A′ C ′ ∩ B ′D ′ . Ta có BB′ ⊥ B′O, A′C ′ ⊥ B′O ⇒ B ′O = d ( BB′, A′C ′) .

a 2 1 1 . B ′D ′ = B ′C ′ 2 + C ′D ′ 2 = 2 2 2 Chọn B

B ′O = M

Câu 73.

Do MN ⊥ SM ( giả thiết SM vuông góc với đáy) và MN ⊥ MQ (do MNPQ là hình vuông) vậy MN ⊥ ( SMQ ) suy ra d ( NP,SQ ) = d ( NP, ( SMQ ) ) = d ( N , ( SMQ ) ) = NM = 3a .

Câu 70.

Chọn D E'

G' 12a

3a F

 EF ′ ⊂ ( EFF ′E ′ )  Ta có: GH ′ ⊂ ( GHH ′G′ ) ⇒ d ( EF ′, GH ′ ) = d ( ( EFF ′E ′ ) , ( GHH ′G′ ) ) = d ( E , ( GHH ′G ′ ) ) .  ′ ′ ′ ′ EFF E || GHH G ( ) ( )  Vì EH ⊥ ( GHH ′G ′ ) ⇒ d ( E , ( GHH ′G ′ ) ) = EH = 4a. Câu 71. Chọn D

*) Trong tam giác ∆SAD , kẻ đường cao AH ⇒ AH ⊥ SD (1). CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AH (2). CD ⊥ SA Từ (1), (2) ⇒ AH ⊥ ( SCD ) . Có AB / / CD ⇒ AB / / ( SCD ) , mà CM ⊂ ( SCD )

⇒ d ( AB, CM ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = AH . 1 1 1 a 3 1 1 4 = + ⇒ AH = . = + = AH 2 SA2 AD 2 3a 2 a 2 3a 2 2 Chọn A

*) Câu 74.

S Vì CD // AB nên CD // ( SAB ) . Do đó d ( CD ; SB ) = d ( CD ; ( SAB ) ) = d ( D ; ( SAB ) ) = DA = a . Câu 72. Chọn D

A B

D C

Theo giả thiết các mặt ( SAB ) , ( SAD ) vuông góc với đáy nên suy ra SA ⊥ ( ABCD ) . 55

( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD  Xét 2 mặt phẳng ( SCD ) và ( ABCD ) có:  AD ⊥ CD ( gt )  SD ⊥ CD (vì CD ⊥ SAD ( )  = 60° . Suy ra ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ( AD , SD ) = SDA Mặt khác, AB / /CD ⊂ ( SCD ) ⇒ AB / / ( SCD ) ⇒ d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) . Trong ( SAD ) , từ A dựng AH ⊥ SD tại H thì AH ⊥ ( SCD ) nên d ( A, ( SCD ) ) = AH . Xét tam giác SAD vuông tại A có: AD = a, SA = AD.tan 60° = a 3 ⇒

1 1 1 a 3 . = + ⇒ AH = AH 2 AS 2 AD 2 2

Gọi I là trung điểm của AB . Ta có: CC ′ / / BB′ nên CC ′ / / ( ABB′A′) .

Câu 75.

Chọn B Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và A′C ′ bằng khoảng cách giữa mặt phẳng song song ( ABCD) và ( A′B′C′D′) thứ tự chứa BD và A′C ′ . Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A′C ′ bằng a . Câu 76. Chọn C

Vì AB′ ⊂ ( ABB′A′) nên d ( CC ′, AB′) = d ( CC ′, ( ABB′A′ ) ) = CI . Do lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ nên tam giác ABC đều cạnh a nên CI = Nên d ( CC ′, AB′ ) = CI =

Câu 78. M

a 3 ⋅ 2

a 3 ⋅. 2

Chọn C Kẻ Dx / / AC , Dx ∩ AB = { I } . AC / / DI ; AC ⊄ mp ( SDI ) ⇒ AC / / mp ( SDI ) Khi đó d ( AC ; SD ) = d ( A, ( SDI ) )

Kẻ AH vuông góc với DI tại H , do SA ⊥ DI nên DI ⊥ mp ( SAH ) ⇒ mp ( SAH ) ⊥ mp ( SDI ) = SH

A O

Trong mp ( SAH ) , kẻ AP ⊥ SH = {P} suy ra d ( A; ( SDI ) ) = AP

Ta có, trong mp ( ABCD ) : AH / / = CD = a 2 .

Trong tam giác: SAH vuông tại A , có AP là đường cao 1 1 1 1 1 3 a 6 a 6 ⇒ = + = + = 2 ⇒ AP = ⇒ d ( AC ; SD ) = AP = 2 AP 2 SA2 SH 2 a 2 a 2 3 3 a 2

Gọi O là tâm hình chữ nhật và M là trung điểm SA , ta có: SC // ( BMD ) . Do đó d ( SC , BD ) = d ( SC , ( BMD ) ) = d ( S , ( BMD ) ) = d ( A, ( BMD ) ) = h

(

Ta có: AM , AB , AD đôi một vuông góc nên 1 1 1 1 4 1 1 = + + = + + h 2 AM 2 AB 2 AD 2 a 2 a 2 4 a 2 2a 21 Suy ra: h = . 21 Câu 77. Chọn D

)

K H B

A Câu 79. Chọn D Gọi H là trung điểm của BC và K là hình chiều của H trên A′A . Theo giả thiết ta có tam giác ABC cân tại A nên BC ⊥ AH (1) và

AH =

AB 2 − BH 2 = 4 a 2 − 3a 2 = a . Mặt khác ( A′BC ) ⊥ ( ABC ) và tam giác A′BC vuông cân 58

1 BC = a 3. Từ (1 ) và ( 2 ) suy ra 2 BC ⊥ ( AHA′ ) ⇒ BC ⊥ HK nên HK là đoạn vuông góc chung của A′A và BC .

tại A′ nên A′H ⊥ BC ( 2 ) và A′H =

Vậy d ( A′A, BC ) = HK =

Câu 80.

AH . A′H 2

AH + A′H

a2 3 a 2 + 3a 2

a 3 . 2

Chọn C

H A

 DA ⊥ SA Ta có  ⇒ DA ⊥ ( SAB ) .  DA ⊥ AB CD ⊄ ( SAB ) Mặt khác  ⇒ CD // ( SAB ) . CD // AB

Từ đó suy ra khoảng cách giữa SB và CD bằng khoảng cách giữa ( SAB ) và CD và bằng DA .

Trong tam giác SAD kẻ đường cao AH ta có AD. AS 2a.a 2a 5 AD. AS = AH .SD ⇒ AH = = = 2 2 SD 5 ( 2a ) + a

Từ giác ABCD là hình vuông với đường chéo AC = 2a suy ra DA = 2a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là a 2 . Câu 83. Chọn D

Dễ thấy AH chính là đường vuông góc chung của AB và SD 2a 5 Vậy d ( AB, SD) = AH = . 5 Câu 81. Chọn D

E B'

C O

Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB .

Có ABC . A′B′C ′ là hình lăng trụ đứng nên CH ⊥ ( ABB ′A′ ) ⇒ d ( C , ( ABB′A′ ) ) = CH

• Ta có được OA ⊥ (OBC ) .

CC′ / / BB′ ⇒ CC′ / / ( ABB′A′) nên d ( CC ′, AM ) = d ( CC ′, ( ABB′A′ ) ) = d ( C , ( ABB ′A′ ) ) = CH

• Trong mặt phẳng (OBC), dựng điểm E sao cho OMCE là hình bình hành thì OMCE cũng là hình vuông (do OBC là tam giác vuông cân tại O). CE ⊥ OE ⇒ CE ⊥ ( AOE ) . • Lại có:  CE ⊥ OA • Kẻ OH ⊥ AE tại H thì OH ⊥ ( AEC ) .

Vì OM // ( AEC ) nên d ( AC ; OM ) = d (O ; ( ACE ) ) = OH =

Câu 82.

OA.OE 2

OA + OE

a.a 2 2

a + 2a

Chọn C

a 6 . 3

Xét tam giác ABC có

A B 2 = C A 2 + C B 2 − 2 .C A .C B . c o s 1 2 0 ° = 7 a 2 ⇒ A B = a

1 1 3 3 S∆ABC = CACB . .sin C = AB.CH ⇒ a.2a. = a 7.CH ⇒ CH = a . 2 2 2 7 Vậy d ( AM , CC′) = a

Câu 84.

3 7

Chọn D

AS + AE

Câu 86.

a 2.

AS . AE

Trong tam giác vuông SAE ta có AK =

= 2a 2 +

a 2 2

a 4

a 2 . 3

Chọn B S

H 3a

C 2a

I B

Trong ( SBC ) kẻ IK / / SC ⇒ SC / / ( AIK ) Khoảng cách d ( SC ; AI ) = d ( SC; ( AIK ) ) = d ( S ; ( AIK ) ) . SA, SB , SC đôi một vuông góc với nhau ⇒ SC ⊥ ( SAB ) , mà IK / / SC ⇒ IK ⊥ ( SAB ) .

Trong ( SAB ) kẻ SH ⊥ AK

SH ⊥ IK ( IK ⊥ ( SAB ) )

∆SAD vuông cân tại A có AH là đường cao nên H là trung điểm của SD , suy ra 1 2a 2 =a 2. AH = SD = 2 2 Vậy d ( AB, SD ) = a 2 . Câu 87. Chọn A

⇒ SH ⊥ ( AIK ) ⇒ d ( S ; ( AIK ) ) = SH . a a 2 1 1 1 1 1 2 . = + = + = ⇒ SH = = SH 2 SA2 SK 2 a 2 a 2 a 2 2 2 Vậy d ( SC; AI ) =

Câu 85.

Chọn D

Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh SD . Ta có  AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ ( SAD ) ⇒ AB ⊥ AH .   AB ⊥ SD Suy ra AH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AB và SD . Do đó d ( AB , SD ) = AH .

a 2 . 2

S K

A B

( SAB ) ⊥ ( ABCD )  Ta có: ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) .  ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AH , mà AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ ( SCD ) . *  CD ⊥ SA Trong ( SCD ) kẻ HK ⊥ SC tại K ⇒ AH ⊥ HK .

I C Gọi I là trung điểm của AC , ta có EI // BC nên

d ( BC , SE ) = d ( BC , ( SEI ) ) = d ( B, ( SEI ) ) = d ( A, ( SEI ) ) = AK (hình vẽ).

⇒ HK là đoạn vuông góc chung của AH và SC . * Ta có: 61

1 1 1 1 1 1 3 4a 2 = 2+ ⇔ 2 = − = 2 ⇒ SA2 = . 2 2 2 2 AH SA AD SA AH AD 4a 3 62

Tam giác SBC đều nên BC = 11 .

a 3 57a ; AC = AB 2 + AD 2 = a 5 ; SC = SA2 + AC 2 = . 3 3 SH . CD a 3 HK CD 3 19 = ⇔ HK = = . a. = a ∆ SHK ∼ ∆ SCD ( g − g ) ⇔ SC SH SC 3 57a 19 SH = SA2 − AH 2 =

Tam giác SAC vuông tại C : AC = SA2 + SC 2 = 11 2 . Từ đó ⇒ ∆ABC vuông tại C . Gọi H là trung điểm của AB . Do SA = SB = SC nên hình chiếu của S xuống đáy trùng với tâm H của đáy. Do AB / /CD nên d ( AB, SD ) = d ( AB, ( SDC ) ) = d ( H , ( SDC ) ) . Từ H kẻ HK ⊥ DC , mà DC ⊥ SH nên DC ⊥ ( SHK ) . Từ H kẻ HI ⊥ SK , HI ⊥ DC (vì DC ⊥ ( SHK ) ) ⇒ HI ⊥ ( SDC ) .

HI = d ( H , ( SDC ) ) . HK = d ( C , AB ) =

AC.BC 11 2.11 11 6 . = = AB 3 11 3

= 300 ⇒ SH = 1 SA = 11 . Trong tam giác vuông SAH , SAH 2 2 HK .HS Ta có: HI = = 22 . HK 2 + HS 2 Câu 90. Chọn A

Câu 88. Chọn D = 600 nên ∆SBC đều, do đó BC = 11. Do SB = SC = 11 và SBC = 450 nên ∆SAC vuông cân tại S , hay AC = 11 2. Ta lại có, SA = SC = 11 và SCA = 300 nên AB = 11 3. Mặt khác, SA = SB = 11 và SAB Từ đó, ta có AB 2 = BC 2 + AC 2 suy ra ∆ABC vuông tại C. Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Vì SA = SB = SC nên SH ⊥ ( ABC ). Gọi M là điểm trên CD sao cho HM ⊥ AB , suy ra HM ⊥ CD. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ C xuống AB. Khi đó, HM / / CN và HM = CN . Do ∆ABC vuông tại C nên theo công thức tính diện tích ta có: CA.CB 11 6 HM = CN = = 3 CA2 + CB 2

1 11 3 11 Ta lại có, CH = AB = nên SH = SC 2 − CH 2 = . 2 2 2 Trong tam giác vuông SHM , dựng đường cao HI ( I ∈ SM ), suy ra HI ⊥ ( SCD ). Khi đó, SH .HM = 22. d ( AB, SD) = d ( AB, ( SCD)) = d ( H , ( SCD )) = HI = SH 2 + HM 2 Vậy d ( AB, SD ) = 22. Câu 89. Chọn D

= 300 , SBC = 600 và SCA = 450 nên ta được các góc có Theo giả thiết: SA = SB = SC = 11 , SAB số đo như hình vẽ. Trong tam giác SAB : AB = SA2 + SB 2 − 2SA.SB.cos1200 = 11 3 . 63

Ta có SH 2 = SD 2 − HD 2 = SD 2 − AH 2 − AD 2 =

17 a 2 a 2 − − a 2 = 3a 2 4 4

Do HK / / ( SBD ) ⇒ d ( HK ; ( SBD) ) = d ( H ;( SBO) ) = h , với O là giao điểm hai đường chéo Do tứ diện HSBO vuông tại O nên Vậ y h =

Câu 91.

Chọn C

1 1 1 1 1 4 4 25 = + + = + + = h 2 SH 2 HB 2 HO 2 3a 2 a 2 a 2 3a 2

a 3 5

Kẻ đường thẳng Ax song song với IC , kẻ HE ⊥ Ax tại E . Vì IC // ( SAE ) nên d ( IC ; SA) = d ( IC ; ( SAE ) ) = d ( H ; ( SAE ) ) . Kẻ HK ⊥ SE tại K , K ∈ SE . (1) Ax ⊥ HE , Ax ⊥ SH ⇒ Ax ⊥ ( SEA) ⇒ Ax ⊥ HK (2) 64

Từ (1), (2) suy ra HK ⊥ ( SAE ) . Vậy d ( H ; ( SAE ) ) = HK . 2

CH = IH =

 a 3   a 2 a 7 1 1a 3 a 3 IC = = ; AH = IH 2 + IA2 =  .  4  +  2  = 4 2 2 2 4  

= 45° ⇒△SAH vuông cân tại H nên SH = AH = a 7 . ; ( ABC ) ) = SAH ( SA 4 a ( vì tứ giác AIHE là hình chữ nhật) 2 a 7 a . SH .HE a 77 4 2 HK = = . 2 2 2 22 SH + HE  a 7   a 2   +   4   2 Chọn C

Ta có HE = IA =

Câu 92.

Gọi H là trung điểm cạnh AB ⇒ SH ⊥ AB . Kết hợp giả thiết ( SAB ) ⊥ ( ABC ) suy ra SH ⊥ ( ABC ) .

Dựng hình bình hành ACBD , kẻ HK ⊥ BD ( K ∈ BD ), kẻ HI ⊥ SK ( I ∈ SK ). Ta có AC // ( SBD ) ⇒ d ( SB , AC ) = d ( AC , ( SBD ) ) = d ( A , ( SBD ) ) . Ta có AH ∩ ( SBD ) = B và AB = 2.HB suy ra d ( A , ( SBD ) ) = 2 d ( H , ( SBD ) ) (1)

 BD ⊥ HK Ta có  ⇒ BD ⊥ ( SHK ) ⇒ BD ⊥ HI mà HI ⊥ SK ⇒ HI ⊥ ( SBD )  BD ⊥ SH ⇒ d ( H , ( SBD ) ) = HI ( 2 )

Tính HI dựa vào tam giác vuông SHK có đường cao HI , với SH = M d

1 1 1 16 4 28 21 = + = + = ⇒ HI = a ( 3) HI 2 HK 2 HS 2 3a 2 a 2 3a 2 14 21 Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) suy ra d ( SB , AC ) = a. 7 Câu 94. Chọn B

a a 3 ; HK = . 2 4

Theo công thức

H N A

Ta có AB = SA = SB = a; BC = a 2 + a 2 = a 2; AC = a 2 + a 2 − 2a.a .cos1200 = a 3 Suy ra AC 2 = AB 2 + BC 2 , hay ∆ABC vuông tại B . Gọi H là trung điểm của AC thì HA = HB = HC , mặt khác SA = SB = SC nên SH là trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC , do đó SH ⊥ ( ABC ) . Gọi d là đường thẳng qua B và song song với AC , (α ) là mặt phẳng xác định bởi SB và . Khi đó AC / / (α ) ⇒ d ( AC ; SB) = d ( SC; (α )) = d ( H ;(α )) . Gọi M là hình chiếu vuông góc của H lên d và K là hình chiếu vuông góc của H lên SM , dễ thấy d ( H ;(α )) = HK . Gọi N là chân đường cao hạ từ B xuống AC thì 1 1 1 1 1 3 a 6 = + = + = ⇒ BN = BN 2 AB 2 BC 2 a 2 2a 2 2a 2 3 a 6 a 0 Ta có HM = BN = , SH = a.cos 60 = 3 2 a 22 1 1 1 4 3 11 = + = + = ⇒ HK = Trong tam giác vuông SHM ta có: . HK 2 SH 2 HM 2 a 2 2a 2 2a 2 11 Câu 93. Chọn B 65

Do BC / / B ′C ′ nên d ( B ′M ; BC ) = d ( BC ; ( MB ′C ′)) = d ( B; ( MB ′C ′)) = 2d ( A; ( MB ′C ′)) (do

BE BB′ = = 2 ). AE AM

a 3 a , A′ M = suy ra A′ H = d ( A; ( MB ′C ′)) = A′ H , ta có A′ I = 2 2

Vậy d ( B ′M ; BC ) = 2 A′H =

Câu 95.

a a 3 . a 3 2 2 = 2 4 a 3a 2 + 4 4

a 3 . 2

Thể tích khối chóp MIBC là: 1 1 SH 1 1 a 7 1 a a 3 21 3 . IC.IB = . . . . = VMIBC = ME.S∆IBC = . a . 3 3 2 2 3 8 2 2 2 192 21 3 a 3. 3VMIBC 77 192 Suy ra d ( S , ( MIC )) = d ( B, ( MIC )) = = = a. S∆IMC 22 33 2 a 32 Câu 96. Chọn C

H a

Chọn C

Gọi giao điểm của CG với SB là M . Suy ra M là trung điểm của SB . Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ M xuống mặt phẳng ( ABC ) .

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tam giác CND cân tại N ⇒ MN ⊥ CD (1) Tam giác AMB cân tại M ⇒ MN ⊥ AB (2) Từ (1) và (2) ⇒ MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD ⇒ d ( AB , CD ) = MN CD Ta có MD = = a ; ND = a 3 2 Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông NMD ta có:

Ta có AS / / IM ⇒ AS / / ( IMC ) . Suy ra d ( SA, CG ) = d ( SA, ( IMC )) = d ( S , ( IMC )) = d ( B , ( IMC )) . Theo bài ra ta có CI =

a 3 a 3 suy ra IH = . 2 4

Suy ra AH = AI 2 + IH 2 =

(

a 2 3a 2 a 7 + = . 4 16 4

MN = ND 2 − MD 2 = (a 3) 2 − a 2 = a 2

)

Do góc SA , ( ABC ) = 45o suy ra tam giác ∆SHA vuông cân tại H .

Câu 97.

a 7 . 4 a 14 Suy ra SA = AH 2 = . 4 Xét tam giác ∆SBC có: a 14 Dễ thấy SB = SA = . 4 a 10 SC = SI = SH 2 + IH 2 = . 4

Suy ra SH = AH =

Vậy d ( AB, CD) = a 2 Chọn D S

A C

a 38 2 SC 2 + 2 BC 2 − SB 2 = . 4 8 Xét tam giác ∆IMC có: SA a 14 a 38 a 3 , CM = , CI = IM = = 2 8 8 2 33 2 Suy ra S∆IMC = . a 32

Suy ra CM =

= 60° , do đó AS = AB tan 60° = a 3 Trong ∗SA ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SB, ( ABC ) ) = ( SB, AB ) = SBA mp ( ABC ) lấ y điểm D sao cho tứ giác ACBD là hình bình hành ∗ Ta có AC // ( SBD ) nên d ( AC , SB ) = d ( AC , ( SBD ) ) = d ( A, ( SBD ) ) ∗ Gọi I là trung điểm của BD , H là hình chiếu của A trên SI

Tam giác ABC đều và tứ giác ACBD là hình bình hành nên AB = AD = BD = a hay tam giác

ABD đều ⇒ AI =

a 3 2

Ta có AI ⊥ BD mà SA ⊥ BD nên BD ⊥ ( SAI ) ⇒ BD ⊥ AH , lại có AH ⊥ SI nên AH ⊥ ( SBD ) Vậy d ( AC , SB ) = d ( A, ( SBD ) ) = AH =

Câu 98.

SA2 . AI 2 a 15 = SA2 + AI 2 5

Chọn C C'

H A

Vì DA, DC , DD ' đôi một vuông góc nên ta có

1 1 1 1 1 3 a 3 = + + ⇔ 2 = 2 ⇔h= . h 2 DA2 DC 2 DD '2 h a 3 a 3 Vậy d ( BC ', CD ') = . 3 GHI CHÚ : Ta chứng minh bài toán sau Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O 1 1 1 1 = + + trên mặt phẳng ( ABC ) , ta có H là trực tâm tam giác ABC và . OH 2 OA2 OB 2 OC 2 Thật vậy, từ giả thiết ta có OA ⊥ OB  A  ⇒ OA ⊥ ( OBC ) OA ⊥ OC  Khi đó BC ⊥ OA  H  ⇒ BC ⊥ ( OAH ) ⇒ BC ⊥ AH (1) BC ⊥ OH  Tương tự OB ⊥ ( OAC ) Mà

Gọi F là trung điểm AA′ . Ta có ( CEF ) //A′B nên d ( CE , A′B ) = d ( A′B, ( CEF ) ) = d ( A′, ( CEF ) ) = d ( A, ( CEF ) ) . Kẻ AI ⊥ CE ; AH ⊥ FI thì AH ⊥ ( CEF ) hay d ( A, ( CEF ) ) = AH . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 49 . = + = + + + = + + = AH 2 AF 2 AI 2 AF 2 AE 2 AF 2 AC 2 a 2 9 a 2 4a 2 36a 2 Suy ra 6a . d ( CE , A′B ) = d ( A, ( CEF ) ) = AH = 7 6a Vậy khoảng cách giữa A′B và CE là . 7

Câu 99. Chọn C Ta có BC '/ / AD ' ⇒ BC '/ / ( ACD ' ) . Do đó d ( BC ', CD ' ) = d ( BC ', ( ACD ' ) )

AC ⊥ OB   ⇒ AC ⊥ ( OBH ) ⇒ AC ⊥ BH AC ⊥ OH 

( 2)

Từ (1) và ( 2 ) suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.

K B

Gọi K là giao điểm của AH và BC , ta suy ra BC ⊥ OK (định lý ba đường vuông góc). 1 1 1 = + Xét trong tam giác vuông OBC có: OK 2 OB 2 OC 2 1 1 1 = + Xét trong tam giác vuông OAK ta lại có: OH 2 OA2 OK 2 1 1 1 1 = + + Từ đó suy ra (Đpcm). OH 2 OA2 OB 2 OC 2 Câu 100. Chọn D

Dựng hình bình hành DKCE , khi đó DE / /( SCK ) .

= d ( B, ( ACD ' ) ) = d ( D, ( ACD ') ) = h 69

1 d ( DE ; SC ) = d ( DE ; ( SCK )) = d ( D;( SCK )) = d ( A; ( SCK )) . 3 Kẻ AI ⊥ CK ⇒ CK ⊥ ( SAI ) ⇒ ( SCK ) ⊥ ( SAI ) .

Kẻ AJ ⊥ SI ⇒ AJ ⊥ ( SCK ) ⇒ d ( A;( SCK ) = AJ . Ta có S∆ACK =

a 5 3a 2 3a 5 , CK = DE = , suy ra AI = . 4 2 5

a 38 1 1 1 3a 38 1 . = + ⇒ AJ = ⇒ d ( D;( SCK )) = AJ = AJ 2 SA2 AI 2 19 3 19 Câu 101. Chọn B

Từ kẻ B Bx //AC ⇒ AC // ( SB, Bx )

Từ B

x D

kẻ A AK ⊥ Bx ( K ∈ Bx )

Do  AK ⊥ Bx ⇒ Bx ⊥ ( SAK ) ⇒ Bx   SA ⊥ Bx

⊥ BD 1 1 ⇒ d ( SC ; BD ) = d ( O; SC ) = d ( A; SC ) = AH 2 2 3 3a 3 . 3= ; AC = AB = a 3 2 2 1 1 1 4 1 13 3a 3 3a 39 = + = + = ⇒ AH = = AH 2 AS 2 AC 2 27a 2 3a 2 27 a 2 13 13

Xét tam giác SAC vuông tại A ta có SA = AI .tan 60° = a 3.

và AH ⊥ SK O

Do ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SAC ) là mặt phẳng chứa SC và

Suy ra d ( AC , SB ) = d ( AC , ( SB, Bx ) ) = d A, SB, Bx

D 60

⇒ d ( SC ; BD ) = AH

1 3a 39 AH = . 2 26

Câu 103. Chọn B

Nên AH ⊥ ( SB, Bx ) ⇒ d ( A, ( SB, Bx ) ) = AH = BAC (so le trong Ta có ∆BKA đồng dạng với ∆ABC vì hai tam giác vuông có KBA AK AB AB.CB a.2a 2 5a Suy ra = ⇒ AK = = = . CB CA CA 5 a 5 1 1 1 1 5 9 2a = + = + = ⇒ AH = . Trong tam giác SAK có AH 2 AS 2 AK 2 a 2 4a 2 4a 2 3 2a Vậy d ( AC , SB ) = . . 3 Câu 102. Chọn A * Gọi I là trung điểm của BC , do ∆ABC là tam giác đều nên  AI ⊥ BC = 60° ⇒ ( ( SBC ) ; ( ABCD ) ) = ( AI ; SI ) = SIA   SI ⊥ BC

Gọi P là trung điểm của BC ⇒ BD // NP ⇒ BD // ( MNP ) 1 ⇒ d ( BD, MN ) = d ( BD, ( MNP ) ) = d ( D, ( MNP ) ) = d ( C , ( MNP ) ) = d ( A, ( MNP ) ) . 3 Gọi I = AC ∩ NP . Kẻ AH ⊥ MI tại H .  NP ⊥ SA Ta có  ⇒ NP ⊥ ( SAC ) ⇒ NP ⊥ AH .  NP ⊥ AC  AH ⊥ MI ⇒ AH ⊥ ( MNP ) ⇒ d ( A, ( MNP ) ) = AH .   AH ⊥ NP

(

Ta có SA2 = SC 2 − AC 2 = 10 5 71

) − (10 2 )

= 300 . 72

1 1 30 1 1 1 4 16 20 = + . = + = + = ⇒ AH = AH 2 AM 2 AI 2  SC 2  3 AC 2 300 1800 900 2 5      2   4  1 Vậy d ( BD, MN ) = AH = 5 . 3 Câu 104. Chọn A

Suy ra

K H

Gọi H là tâm tam giác ABC khi đó AH ⊥ ( ABC ) . Có BN = 2 NC ⇒ NH / /CD .

Có (SAC ) ∩ ( SBC ) = SC.  AB ⊥ SH ⇒ AB ⊥ ( SHC ) ⇒ AB ⊥ SC Từ giả thiết ta có   AB ⊥ HC  AB ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (AIB) ⇒ SC ⊥ BI do đó góc gữa ( SAC ) và ( SBC ) là Hạ AI ⊥ SC ta có  AIB hoặc SC ⊥ AI 1800 − AIB . Nhận thấy ABC là tam giác đều nên ABI không thể là tam giác đều. Vì thế AIB = 1200.

Gọi I là trung điểm CD , từ M kẻ đường thẳng / / CD cắt AI tại E. Gọi K là trung điểm HI , J là hình chiếu của K lên HE . Khi đó d ( MN , CD ) = d ( I , ( EMHN ) ) = 2d ( K , ( EMHN ) ) = 2 KJ .

1 1 1 3 1 6 1 1 3 AI 2 − IH 2 = − = ; EK = AH = HI = BI = 2 2 2 4 12 6 2 6 12 1 1 1 144 1 6 6 ⇒ = + = + 6 = 54 ⇒ KJ = = ⇒ d ( MN , CD ) = . KJ 2 KH 2 KE 2 3 54 18 9 Câu 106. Chọn B Ta có KH =

 AB ⊥ ( SHC )  AB ⊥ HI Từ  SC ⊥ (AIB) ⇒  SC ⊥ HI ⇒ d ( AB; HC ) = HI .   Tam giác ABI cân tại I nên HI cũng là phân giác góc AIH = 600. AIB , suy ra AH a a 3 = = . Xét tam giác AIH vuông tại H có HI = tan 600 2 3 6 Câu 105. Chọn C

60o

Dựng MN song song BC ⇒ d ( SM , BC ) = d ( BC , ( SMN )) = d (C , ( SMN )) FC = 2 FH , HE ⊥ ( SMN ) ⇒ d (C , ( SMN )) = 2d ( H , ( SMN )) = 2 HE

a 3 , SH = a 3 3 1 1 1 3 1 10 30 30 = + = + = ⇒ HE = a ⇒ d ( SM , BC ) = a. HE 2 HF 2 HS 2 a 2 3a 2 3a 2 10 5 Câu 107. Chọn D

HC = a 3 ⇒ HF =

AQ.ND = AD + DQ DC + CN = 0 ⇒ AQ ⊥ ND

(

)(

)

ND ⊥ PQ  Vậy có  ⇒ ND ⊥ ( APQ ) tại E ⇒ d( MN , AP ) = NE ND ⊥ AQ  a 1 1 1 5 mà có = + = ⇒ DE = DE 2 DA2 DQ 2 a 2 5 a 5 3a 5 ⇒ EN = 2 10 3a 5 Vậy d ( MN , AP ) = . 10 Câu 109. Chọn D

và DN =

Gọi H là trung điểm của AB thì SH ⊥ ( ABCD ) , Gọi F là trọng tâm tam giác (SAB), O là trung điểm AC và I là đỉnh của hình chữ nhật OHFI thì OI là trục của đường tròn ABCD và FI là trục của đường tròn (SAB) nên tâm của mặt cầu là I và bán kính của mặt cầu là IA. Diện tích của mặt cầu là 4π R 2 = 84π nên R 2 = 21 . 2

x 3 x 2 Đặt AB = x > 0 thì R 2 = IA2 = IO 2 + OA2 = HF 2 + OA2 =   +   = 21 ⇒ x = 6  6   2  Kẻ hình bình hành BDAJ thì khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (JAS) và gấp hai lần khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (JAS). Kẻ HK ⊥ JA ở K, kẻ HG vuông góc với SK ở G thì HG là khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng 3 . Có (JAS). Tam giác AHK vuông cân ở H, AH=3 nên HK = 2 1 1 1 2 1 7 3 21 . = + = + = ⇒ HG = HG 2 HK 2 HS 2 9  6. 3  2 27 7    2  Vậy khoảng cách cần tính là

6 21 . 7

Dựa vào định lý cosin ta dễ dàng tính được AB = 11 3, BC = 11, AC = 11 2 . Khi đó ∆ ABC vuông tại C. Do SA = SB = SC , nên hình chiếu của S xuống mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung

điểm H của AB . Nên SH ⊥ ( ABCD ) . SH = SA.s inSAB =

11 . 2

Kẻ HK ⊥ CD, AP ⊥ CD , tứ giác APKH là hình chữ nhật,

11 6  1 1 1  = +  . 3  AP 2 AD 2 AC 2  Trong tam giác vuông SHK , kẻ HI ⊥ SK . Do AB CD nên d ( AB, SD ) = d ( AB , ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) = HI .

HK = AP =

1 1 1 = + ⇒ HI = 22 . HI 2 SH 2 HK 2 Vậy d ( AB, SD ) = 22 . Câu 110. Chọn D Ta có,

Câu 108. Gọi Q là trung điểm CD , ta có PQ //SC //MN nên có MN / / ( APQ )

⇒ d ( MN , PQ ) = d ( MN , ( APQ ) ) = d ( N , ( APQ ) )  ND ⊥ HC ⇒ ND ⊥ ( SHC ) ⇒ ND ⊥ SC ⇒ ND ⊥ PQ Vì  ND ⊥ SH 75

 BN ⊥ ON ⇒ BN ⊥ ( OAN ) ⇒ OH ⊥ BN mà OH ⊥ AN   BN ⊥ OA

⇒ OH ⊥ ( ABN ) ⇒ d ( O, ( ABN ) ) = OH ∆OAN vuông tại O , đường cao OH 1 4 1 1 1 1 1 1 4 = + = + ⇒ = + = + OH 2 OA2 ON 2 OA2 BM 2 OA2 BC 2 OA2 OB 2 + OC 2 a 6 a 6 1 4 3 2a 2 ⇒ d ( AB, OM ) = OH = = 2 + 2 = 2 ⇒ OH 2 = ⇒ OH = 2 3 3 3 a 4a + 4a 2a Câu 112. Chọn A Cách 1:

C O

A H Theo giả thiết SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AC ; SA = AC = a 2 . Gọi M là trung điểm của AD . Ta có: BM // CD ⇒ CD // ( SBM )

⇒ d ( CD; SB ) = d ( CD; ( SBM ) ) = d ( C; ( SBM ) ) = d ( A; ( SBM ) ) . Theo giả thiết và theo cách dựng ta có ABCM là hình vuông cạnh a . Gọi K = AC ∩ BM ⇒ AK ⊥ BM ⇒ BM ⊥ ( SAC ) .

K B'

Dựng AH ⊥ SB . Khi đó: d ( A; ( SBM ) ) = AH

Xét tam giác SAC vuông tại A , đường cao AH có: a 10 1 1 1 1 2 = + = + ⇒ AH = . AH 2 SA2 AK 2 2a 2 a 2 5 Câu 111. Chọn D

Gọi O và O′ lần lượt là tâm các hình vuông ABCD và A′B ′C ′D ′ của hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ cạnh a . Ta có:

B′D′ ⊥ A′C ′   ⇒ B′D′ ⊥ ( AA′C ′C ) B′D′ ⊥ AA′ 

Mà A′C ⊂ ( AA′C ′C ) ⇒ A′C ⊥ B′D′ Ta lại có: C

AB′ ⊥ A′B   ⇒ AB′ ⊥ ( A′BCD′ ) AB′ ⊥ A′D′

Mà A′C ⊂ ( A′BCD′) ⇒ A′C ⊥ AB′

Từ ( 1 ) và

(1)

(2)

⇒ A′C ⊥ ( AB′D′)

Tương tự ta chứng minh được ⇒ A′C ⊥ ( BDC ′ )

B N

⇒ ( AB′D′ ) // ( BDC ′ )

Ta có ∆OBC vuông cân tại O , M là trung điểm của BC ⇒ OM ⊥ BC OM / / BN Dựng hình chữ nhật OMBN , ta có  ⇒ OM / / ( ABN )  BN ⊂ ( ABN ) ⇒ d ( AB, OM ) = d ( OM , ( ABN ) ) = d ( O, ( ABN ) )

Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB′ và BC′ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( AB′D′ ) và ( BDC ′ ) Giả sử A′C ∩ OC ′ ; A′C ∩ AO ′ = K Xét ∆OHC ∽ ∆ C ′HA′

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AN ta có: 77

(g − g) ⇒

HC OC OC 1 = = = A′H A′C ′ AC 2 78

HC HC 1 1 1 = = = ⇒ HC = A′C A′C A′H + HC 1 + 2 3 3 Tương tự ta có: A′K =

S M

1 A′C 3

Vậy Hai mặt phẳng ( AB′D′ ) và ( BDC ′ ) song song với nhau, vuông góc với đoạn A′C và chia

A′C thành 3 phần bằng nhau. Do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB′D′) và ( BDC ′ ) bằng

A′C a 3 . = 3 3

H F

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB′ và BC′ bằng

Khi đó d ( AC , SB ) = d ( B, ( MAC ) ) = d ( D, ( MAC ) ) = Ta có: MI =

3 3 d ( I , ( MAC ) ) = IK . 2 2

1 SH = a 2

IE = 2 HF = 2. AF .tan 300 =

= 2 AH .cos300 = AH 3 ⇒ AH = AO = a ⇒ HD = 2a 3 Ta có AO = 2 AH .cos HAO 3 3 3 ⇒ SH = 2 a . Lây M là trung điểm SD , kẻ MI / / SH ( I ∈ AD ) , kẻ IE ⊥ AC, IK ⊥ ME

Kẻ SH ⊥ AD tại H , suy ra SH ⊥ ( ABCD ) , do SA = SO ⇒ HA = HO nên H thuộc trung trực = 600 . AO . Góc giữa SD và ( ABCD ) là góc SDH

a 3 . 3

Cách 2:

a 3

1 1 1 a 3 a 3a = + ⇒ IK = ⇒ d ( SB, AC ) = . = . IK 2 IM 2 IE 2 2 2 2 4 Câu 114. Chọn B

Ta có AD′ // BC ′ ⇒ BC ′ // ( AB′D′)

⇒ d ( BC ′, AB′ ) = d ( BC ′, ( AB′D′ ) ) = d ( C′, ( AB′D′) ) = d ( A′, ( AB′D′ ) )

Gọi A′C ′ ∩ B ′D ′ = O Ta có:

A′O ⊥ B′D′   ⇒ B′D′ ⊥ ( AA′O ) AA′ ⊥ B′D′  E

Kẻ A′H ⊥ AO và ta có ( AA′O ) ∩ ( AB′D′ ) = AO nên ta có A′H ⊥ AO

⇒ d ( A′, ( AB′D′) ) = A′H

D H

∆AA′O vuông tại A′ có A′H là đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông nên ta có:

N O

1 1 1 1 1 1 3 a2 a 3 = + ⇒ = + = ⇒ A′H 2 = ⇒ A′H = A′H 2 AA′2 A′O 2 A′H 2 a 2  a 2  2 a 2 3 3    2  Câu 113. Chọn A

M C

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và MD .

⇒ HN ⊥ CD ⇒ SN ⊥ CD ( do HN là hình chiếu của SN lên ( ABCD ) ). ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD  = 450 . Ta có  HN ⊥ CD , suy ra góc giữa ( SCD ) và ( ABCD ) là SNH  SN ⊥ CD 

Ta có AB / /CD ⇒ AB / / ( SCD ) nên d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) . 79

Mà

d ( H , ( SCD ) ) d ( A, ( SCD ) )

CH 3 4 = ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) . CA 4 3

( SHN ) ⊥ ( SCD ) Ta có  . Kẻ HE ⊥ SN ⇒ HE ⊥ ( SCD ) . ( SHN ) ∩ ( SCD ) = SN

Suy ra d ( H , ( SCD ) ) = HE . Ta có

HN CH 3 3 3 3a = = ⇒ HN = AD = .2a = AD CA 4 4 4 2

3a 3a 2 3a 1 1 1 4 4 8 , . = + = + = ⇒ HE = = 2 HE 2 HS 2 HN 2 9 a 2 9 a 2 9a 2 4 2 2 4 Vậy d ( AB, SC ) = d ( H , ( SCD ) ) = a 2 . 3

Do đó SH = HN =