Chuyên đề môn Toán lớp 10 đầy đủ 2018 - Đặng Việt Đông

TÀI LIỆU, CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN LỚP 10

vectorstock.com/25895458

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

DẠY KÈM QUY NHƠN MATHS PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Chuyên đề môn Toán lớp 10 đầy đủ 2018 - Đặng Việt Đông PDF VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Chương 1

MỆNH ĐỀ TẬP HỢP

§

1. MEÄNH ÑEÀ 

i. KIÕN THøC CÇN NHí  Mệnh đề  Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.  Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.  Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P.  Mệnh đề "không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P.  Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng.  Mệnh đề kéo theo: Cho mệnh đề P và Q.  Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là: P  Q, (P suy ra Q).  Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.  Lưu ý rằng: Các định lí toán học thường có dạng P  Q. Khi đó:  P là giả thiết, Q là kết luận.  P là điều kiện đủ để có Q.  Q là điều kiện cần để có P.  Mệnh đề đảo Cho mệnh đề kéo theo P  Q. Mệnh đề Q  P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q.  Mệnh đề tương đương: Cho mệnh đề P và Q.  Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P  Q.  Mệnh đề P  Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để P  Q và Q  P đều đúng.  Lưu ý rằng: Nếu mệnh đề P  Q là 1 định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.  Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.  Kí hiệu  và : Cho mệnh đề chứa biến P( x) với x  X . Khi đó:  "Với mọi x thuộc X để P( x) đúng" được ký hiệu là: " x  X , P( x)" hoặc " x  X : P( x)".  "Tồn tại x thuộc X để P( x) đúng" được ký hiệu là: " x  X , P( x)" hoặc " x  X : P( x)".  Mệnh đề phủ định của mệnh đề " x  X , P( x)" là " x  X , P( x)".  Mệnh đề phủ định của mệnh đề " x  X , P( x)" là " x  X , P( x)".  Phép chứng minh phản chứng: Giả sử ta cần chứng minh định lí: A  B.  Cách 1. Giả sử A đúng. Dùng suy luận và kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng.  Cách 2. (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng.  Lưu ý:  Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Ngoài ra nó không chia hết Trang 1/10

cho bất cứ số nào khác. Số 0 và 1 không được coi là số nguyên tố. Các số nguyên tố từ 2 đến 100 là 2;3;5;7;11;13;17;19; 23; 29;31;37; 41; 43; 47;53;59;...  Ước và bội: Cho a, b  . Nếu a chia hết b, thì ta gọi a là bội của b và b là ước của a.  Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 2 hay nhiều số tự nhiên là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.  Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 2 hay nhiều số tự nhiên là số nhỏ nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. ii.BµI TËP TR¾C NGHIÖM Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai? A. “Mệnh đề” là từ gọi tắc của “mệnh đề logic”. B. Mệnh đề là một câu khẳng đúng hoặc một câu khẳng định sai. C. Mệnh đề có thể vừa đúng hoặc vừa sai. D. Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng, một khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. Câu 2: Chọn khẳng định sai. A. Mệnh đề P và mệnh đề phủ định P , nếu P đúng thì P sai và điều ngược lại chắc đúng. B. Mệnh đề P và mệnh đề phủ định P là hai câu trái ngược nhau. C. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề không phải P được kí hiệu là P . Câu 3:

D. Mệnh đề P : “  là số hữu tỷ” khi đó mệnh đề phủ định P là: “  là số vô tỷ”. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Nếu a  b thì a 2  b 2 . B. Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3 . C. Nếu em chăm chỉ thì em thành công.

Câu 4:

Câu 5: Câu 6:

Câu 7:

D. Nếu một tam giác có một góc bằng 60 thì tam giác đó là đều. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề: a. Huế là một thành phố của Việt Nam. b. Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế. c. Hãy trả lời câu hỏi này! d. 5  19  24 . e. 6  81  25 . f. Bạn có rỗi tối nay không? g. x  2  11 . A. 1 . B. 2 . C. 3 . Câu nào trong các câu sau không phải là mệnh đề? A. 3  2  7 . B. x 2 +1 > 0 . C. 2  x 2  0 . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề đúng: A.  là một số hữu tỉ. B. Tổng của hai cạnh một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba. C. Bạn có chăm học không? D. Con thì thấp hơn cha. Mệnh đề " x  , x 2  3" khẳng định rằng:

D. 4 . D. 4 + x .

A. Bình phương của mỗi số thực bằng 3 . B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 3 . C. Chỉ có một số thực có bình phương bằng 3 . D. Nếu x là số thực thì x 2  3 . Trang 2/10

Câu 8:

Kí hiệu X là tập hợp các cầu thủ x trong đội tuyển bóng rổ, P  x  là mệnh đề chứa biến “ x cao trên 180 cm ”. Mệnh đề " x  X , P( x)" khẳng định rằng:

A. Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên 180 cm . B. Trong số các cầu thủ của đội tuyển bóng rổ có một số cầu thủ cao trên 180 cm . C. Bất cứ ai cao trên 180 cm đều là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ. D. Có một số người cao trên 180 cm là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ. Câu 9: Cách phát biểu nào sau đây không thể dùng để phát biểu mệnh đề: A  B . A. Nếu A thì B . B. A kéo theo B . C. A là điều kiện đủ để có B . D. A là điều kiện cần để có B . Câu 10: Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển”. A. Mọi động vật đều không di chuyển. B. Mọi động vật đều đứng yên. C. Có ít nhất một động vật không di chuyển. D. Có ít nhất một động vật di chuyển. Câu 11: Phủ định của mệnh đề: “Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn” là mệnh đề nào sau đây: A. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn tuần hoàn. B. Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. C. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. D. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân tuần hoàn. Câu 12: Cho mệnh đề A : “ x  , x 2  x  7  0 ” Mệnh đề phủ định của A là: A. x  , x 2  x  7  0 .

C. Không tồn tại x : x 2  x  7  0 .

B. x  , x 2  x  7  0 . D. x  , x 2 - x  7  0 .

Câu 13: Mệnh đề phủ định của mệnh đề P : " x 2  3 x  1  0" với mọi x là: A. Tồn tại x sao cho x 2  3 x  1  0 .

B. Tồn tại x sao cho x 2  3 x  1  0 .

C. Tồn tại x sao cho x 2  3 x  1  0 .

D. Tồn tại x sao cho x 2  3 x  1  0 .

Câu 14: Mệnh đề phủ định của mệnh đề P : “ x : x 2  2 x  5 là số nguyên tố” là : A. x : x 2  2 x  5 không là số nguyên tố.

B. x : x 2  2 x  5 là hợp số.

C. x : x 2  2 x  5 là hợp số.

D. x : x 2  2 x  5 là số thực.

Câu 15: Phủ định của mệnh đề " x  ,5 x  3 x 2  1" là: A. " x  ,5 x  3 x 2 " .

C. "  x  ,5 x  3 x 2  1" .

B. " x  ,5 x  3 x 2  1" . D. " x  ,5 x  3 x 2  1" .

Câu 16: Cho mệnh đề P  x  : " x  , x 2  x  1  0" . Mệnh đề phủ định của mệnh đề P  x  là: A. " x  , x 2  x  1  0" .

B. " x  , x 2  x  1  0" .

C. " x  , x 2  x  1  0" .

D. "  x  , x 2  x  1  0" .

Câu 17: Mệnh đề nào sau là mệnh đề sai? A. n   : n  2n . B. n   : n 2  n . Câu 18: Trong các mệnh đề sau tìm mệnh đề đúng?

C. x   : x 2  0 .

D. x   : x  x 2 .

A. x   : x 2  0 . B. x   : x  3 . Câu 19: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. n  , n 2  1 không chia hết cho 3 .

C. x   :  x 2  0 .

D. x   : x  x 2 .

C. x  ,  x  1  x  1 . 2

B. x  , x  3  x  3 . D. n  , n 2  1 chia hết cho 4 .

Câu 20: Cho n là số tự nhiên, mệnh đề nào sau đây đúng? A. n, n  n  1 là số chính phương.

B. n, n  n  1 là số lẻ. Trang 3/10

C. n, n  n  1 n  2  là số lẻ. Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.   2   2  4 .

D. n, n  n  1 n  2  là số chia hết cho 6 . B.   4   2  16 .

23  5  2 23  2.5 . D. Câu 22: Cho x là số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng? C.

23  5   2 23  2.5 .

A. x, x 2  5  x  5  x   5 .

B. x, x 2  5   5  x  5 .

C. x, x 2  5  x   5 .

D. x, x 2  5  x  5  x   5 .

Câu 23: Chọn mệnh đề đúng: A. n  * , n 2  1 là bội số của 3 . C. n  , 2n  1 là số nguyên tố.

B. x  , x 2  3 .

D. n  , 2n  n  2 .

Câu 24: Trong các mệnh đề nào sau đây mệnh đề nào sai? A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau. B. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông. C. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. D. Một tam giác là đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 60 . Câu 25: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là đúng? A. Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a  b chia hết cho c . B. Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau. C. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9 . D. Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5 . Câu 26: Mệnh đề nào sau đây sai? A. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật  tứ giác ABCD có ba góc vuông. B. Tam giác ABC là tam giác đều   A  60 . C. Tam giác ABC cân tại A  AB  AC . D. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O  OA  OB  OC  OD . Câu 27: Tìm mệnh đề đúng: A. Đường tròn có một tâm đối xứng và có một trục đối xứng. B. Hình chữ nhật có hai trục đối xứng. C. Tam giác ABC vuông cân   A  450 . D. Hai tam giác vuông ABC và A ' B ' C ' có diện tích bằng nhau  ABC  A ' B ' C ' . Câu 28: Tìm mệnh đề sai: A. 10 chia hết cho 5  Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc nhau. B. Tam giác ABC vuông tại C  AB 2  CA2  CB 2 . C. Hình thang ABCD nội tiếp đường tròn  O   ABCD là hình thang cân. D. 63 chia hết cho 7  Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau. Câu 29: Với giá trị thực nào của x mệnh đề chứa biến P  x  : 2 x 2  1  0 là mệnh đề đúng:

4 . 5 Câu 30: Cho mệnh đề chứa biến P  x  :" x  15  x 2 " với x là số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng: A. 0 .

B. 5 .

C. 1 .

D.

A. P  0  .

B. P  3 .

C. P  4  .

D. P  5  .

C. A  A .

D. A   A .

Câu 31: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. A  A . B.   A .

Trang 4/10

Câu 32: Cho biết x là một phần tử của tập hợp A , xét các mệnh đề sau:

 I  : x  A .  II  :  x  A .  III  : x  A .  IV  :  x  A . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng A. I và II . B. I và III . C. I và IV . D. II và IV . Câu 33: Các kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “ 7 là một số tự nhiên”. A. 7   . B. 7   . C. 7   . D. 7   . Câu 34: Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “ 2 không phải là số hữu tỉ” A.

2  .

B.

2 .

2 . D. 2 không trùng với  . Câu 35: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? x2 1 x2 1  ” là mệnh đề “ x  , 2  ”. A. Phủ định của mệnh đề “ x  , 2 2x 1 2 2x 1 2 2 B. Phủ định của mệnh đề “ k  , k  k  1 là một số lẻ” là mệnh đề “ k  , k 2  k  1 là một số chẵn”. C. Phủ định của mệnh đề “ n   sao cho n 2  1 chia hết cho 24” là mệnh đề “ n   sao C.

cho n 2  1 không chia hết cho 24”.

D. Phủ định của mệnh đề “ x  , x 3  3 x  1  0 ” là mệnh đề “ x  , x 3  3 x  1  0 ”.

Câu 36: Cho mệnh đề A  “x   : x 2  x” . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là phủ định của mệnh đề A ? A. “x   : x 2  x” .

B. “x   : x 2  x” . C. “x   : x 2  x” . D. “x   : x 2  x” . 1 Câu 37: Cho mệnh đề A  “x   : x 2  x   ” . Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề A và xét tính 4 đúng sai của nó. 1 A. A  “x   : x 2  x   ” . Đây là mệnh đề đúng. 4 1 B. A  “x   : x 2  x   ” . Đây là mệnh đề đúng. 4 1 C. A  “x   : x 2  x   ” . Đây là mệnh đề đúng. 4 1 D. A  “x   : x 2  x   ” . Đây là mệnh đề sai. 4 Câu 38: Để chứng minh định lý sau đây bằng phương pháp chứng minh phản chứng “Nếu n là số tự nhiên và n 2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”, một học sinh lý luận như sau: (I) Giả sử n chia hết cho 5. (II) Như vậy n  5k , với k là số nguyên. (III) Suy ra n 2  25k 2 . Do đó n 2 chia hết cho 5. (IV) Vậy mệnh đề đã được chứng minh. Lập luận trên: A. Sai từ giai đoạn (I). B. Sai từ giai đoạn (II). C. Sai từ giai đoạn (III). D. Sai từ giai đoạn (IV). 2 Câu 39: Cho mệnh đề chứa biến P  n  : “ n  1 chia hết cho 4” với n là số nguyên. Xét xem các mệnh đề P  5  và P  2  đúng hay sai? A. P  5  đúng và P  2  đúng.

B. P  5  sai và P  2  sai. Trang 5/10

C. P  5  đúng và P  2  sai.

D. P  5  sai và P  2  đúng.

Câu 40: Cho tam giác ABC với H là chân đường cao từ A . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 1 1   A. “ ABC là tam giác vuông ở A  ”. 2 2 AH AB AC 2 B. “ ABC là tam giác vuông ở A  BA2  BH .BC ”. C. “ ABC là tam giác vuông ở A  HA2  HB.HC ”. D. “ ABC là tam giác vuông ở A  BA2  BC 2  AC 2 ”. Câu 41: Cho mệnh đề “phương trình x 2  4 x  4  0 có nghiệm”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho và tính đúng, sai của mệnh đề phủ định là: A. Phương trình x 2  4 x  4  0 có nghiệm. Đây là mệnh đề đúng. B. Phương trình x 2  4 x  4  0 có nghiệm. Đây là mệnh đề sai. C. Phương trình x 2  4 x  4  0 vô nghiệm. Đây là mệnh đề đúng. D. Phương trình x 2  4 x  4  0 vô nghiệm. Đây là mệnh đề sai. Câu 42: Cho mệnh đề A  “n   : 3n  1 là số lẻ”, mệnh đề phủ định của mệnh đề A và tính đúng, sai của mệnh đề phủ định là: A. A  “n   : 3n  1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề đúng. B. A  “n   : 3n  1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề sai. C. A  “n   : 3n  1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề sai. D. A  “n   : 3n  1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề đúng. Câu 43: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Để tứ giác ABCD là hình bình hành, điều kiện cần và đủ là hai cạnh đối song song và bằng nhau. B. Để x 2  25 điều kiện đủ là x  2 . C. Để tổng a  b của hai số nguyên a, b chia hết cho 13, điều kiện cần và đủ là mỗi số đó chia hết cho 13. D. Để có ít nhất một trong hai số a, b là số dương điều kiện đủ là a  b  0 . Câu 44: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu tổng hai số a  b  2 thì có ít nhất một số lớn hơn 1. B. Trong một tam giác cân hai đường cao bằng nhau. C. Nếu tứ giác là hình vuông thì hai đường chéo vuông góc với nhau. D. Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. Câu 45: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lí? A. x  , x 2 chia hết cho 3  x chia hết cho 3 . B. x  , x 2 chia hết cho 6  x chia hết cho 3 .

C. x  , x 2 chia hết cho 9  x chia hết cho 9 .

D. x  , x chia hết cho 4 và 6  x chia hết cho 12 . Câu 46: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là định lí? A. x  , x  2  x 2  4 . B. x  , x  2  x 2  4 .

C. x  , x 2  4  x  2 . D. Nếu a  b chia hết cho 3 thì a, b đều chia hết cho 3 .

Trang 6/10

Iii. §¸P ¸N. Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai? A. “Mệnh đề” là từ gọi tắc của “mệnh đề logic”. Trang 7/10

Câu 2:

B. Mệnh đề là một câu khẳng đúng hoặc một câu khẳng định sai. C. Mệnh đề có thể vừa đúng hoặc vừa sai. D. Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng, một khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. Lời giải Chọn C. Theo định nghĩa thì một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai. Chọn khẳng định sai. A. Mệnh đề P và mệnh đề phủ định P , nếu P đúng thì P sai và điều ngược lại chắc đúng. B. Mệnh đề P và mệnh đề phủ định P là hai câu trái ngược nhau. C. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề không phải P được kí hiệu là P .

Câu 3:

D. Mệnh đề P : “  là số hữu tỷ” khi đó mệnh đề phủ định P là: “  là số vô tỷ”. Lời giải Chọn B. Vì các đáp án A, C, D đúng, còn đáp án B dùng ý “hai câu trái ngược nhau” chưa rõ nghĩa. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Nếu a  b thì a 2  b 2 . B. Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3 . C. Nếu em chăm chỉ thì em thành công.

Câu 4:

Câu 5:

D. Nếu một tam giác có một góc bằng 60 thì tam giác đó là đều. Lời giải Chọn B. Nếu a chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của a chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của a cũng chia hết cho 3 . Vậy a chia hết cho 3 . Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề: a. Huế là một thành phố của Việt Nam. b. Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế. c. Hãy trả lời câu hỏi này! d. 5  19  24 . e. 6  81  25 . f. Bạn có rỗi tối nay không? g. x  2  11 . A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C. Các câu a, b, e là mệnh đề. Câu nào trong các câu sau không phải là mệnh đề? A. 3  2  7 .

Câu 6:

B. x 2 +1 > 0 .

C. 2  x 2  0 . Lời giải

D. 4 + x .

Chọn D. Đáp án D chỉ là một biểu thức, không phải khẳng định. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề đúng: A.  là một số hữu tỉ. B. Tổng của hai cạnh một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba. C. Bạn có chăm học không? D. Con thì thấp hơn cha. Lời giải Chọn B. Trang 8/10

Câu 7:

Đáp án B nằm trong bất đẳng thức về độ dài 3 cạnh của một tam giác. Mệnh đề " x  , x 2  3" khẳng định rằng: A. Bình phương của mỗi số thực bằng 3 . B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 3 . C. Chỉ có một số thực có bình phương bằng 3 . D. Nếu x là số thực thì x 2  3 . Lời giải

Câu 8:

Chọn B. Kí hiệu X là tập hợp các cầu thủ x trong đội tuyển bóng rổ, P  x  là mệnh đề chứa biến “ x cao trên 180 cm ”. Mệnh đề " x  X , P( x)" khẳng định rằng:

A. Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên 180 cm . B. Trong số các cầu thủ của đội tuyển bóng rổ có một số cầu thủ cao trên 180 cm . C. Bất cứ ai cao trên 180 cm đều là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ. D. Có một số người cao trên 180 cm là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ. Lời giải Chọn A. Câu 9: Cách phát biểu nào sau đây không thể dùng để phát biểu mệnh đề: A  B . A. Nếu A thì B . B. A kéo theo B . C. A là điều kiện đủ để có B . D. A là điều kiện cần để có B . Lời giải Chọn D. Đáp án D sai vì B mới là điều kiện cần để có A . Câu 10: Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển”. A. Mọi động vật đều không di chuyển. B. Mọi động vật đều đứng yên. C. Có ít nhất một động vật không di chuyển. D. Có ít nhất một động vật di chuyển. Lời giải Chọn C. Phủ định của “mọi” là “có ít nhất” Phủ định của “đều di chuyển” là “không di chuyển”. Câu 11: Phủ định của mệnh đề: “Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn” là mệnh đề nào sau đây: A. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn tuần hoàn. B. Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. C. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. D. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân tuần hoàn. Lời giải Chọn C. Phủ định của “có ít nhất” là “mọi” Phủ định của “tuần hoàn” là “không tuần hoàn”. Câu 12: Cho mệnh đề A : “ x  , x 2  x  7  0 ” Mệnh đề phủ định của A là: A. x  , x 2  x  7  0 .

C. Không tồn tại x : x 2  x  7  0 .

B. x  , x 2  x  7  0 . D. x  , x 2 - x  7  0 .

Lời giải Chọn D. Phủ định của  là  Phủ định của  là  . Trang 9/10

Câu 13: Mệnh đề phủ định của mệnh đề P : " x 2  3 x  1  0" với mọi x là: A. Tồn tại x sao cho x 2  3 x  1  0 .

B. Tồn tại x sao cho x 2  3 x  1  0 .

C. Tồn tại x sao cho x 2  3 x  1  0 .

D. Tồn tại x sao cho x 2  3 x  1  0 . Lời giải

Chọn B. Phủ định của “với mọi” là “tồn tại” Phủ định của  là  . Câu 14: Mệnh đề phủ định của mệnh đề P : “ x : x 2  2 x  5 là số nguyên tố” là : A. x : x 2  2 x  5 không là số nguyên tố. C. x : x 2  2 x  5 là hợp số.

B. x : x 2  2 x  5 là hợp số. D. x : x 2  2 x  5 là số thực. Lời giải

Chọn A. Phủ định của  là  Phủ định của “là số nguyên tố” là “không là số nguyên tố”. Câu 15: Phủ định của mệnh đề " x  ,5 x  3 x 2  1" là: A. " x  ,5 x  3 x 2 " .

B. " x  ,5 x  3 x 2  1" .

C. "  x  ,5 x  3 x 2  1" .

D. " x  ,5 x  3 x 2  1" . Lời giải

Chọn C. Phủ định của  là  Phủ định của  là  . Câu 16: Cho mệnh đề P  x  : " x  , x 2  x  1  0" . Mệnh đề phủ định của mệnh đề P  x  là: A. " x  , x 2  x  1  0" .

B. " x  , x 2  x  1  0" .

C. " x  , x 2  x  1  0" .

D. "  x  , x 2  x  1  0" . Lời giải

Chọn C. Phủ định của  là  Phủ định của  là  . Câu 17: Mệnh đề nào sau là mệnh đề sai? A. n   : n  2n .

B. n   : n 2  n . C. x   : x 2  0 . Lời giải

D. x   : x  x 2 .

Chọn C. Ta có: 0   : 02  0 . Câu 18: Trong các mệnh đề sau tìm mệnh đề đúng? A. x   : x 2  0 .

B. x   : x  3 .

C. x   :  x 2  0 . Lời giải

D. x   : x  x 2 .

Chọn D. Ta có: 0,5   : 0,5  0.52 . Câu 19: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. n  , n 2  1 không chia hết cho 3 . C. x  ,  x  1  x  1 .

B. x  , x  3  x  3 . D. n  , n 2  1 chia hết cho 4 .

2

Lời giải Chọn A. Với mọi số tự nhiên thì có các trường hợp sau: Trang 10/10

n  3k  n 2  1   3k   1 chia 3 dư 1. 2

n  3k  1  n 2  1   3k  1  1  9k 2  6k  2 chia 3 dư 2. 2

n  3k  2  n 2  1   3k  2   1  9k 2  12k  5 chia 3 dư 2. 2

Câu 20: Cho n là số tự nhiên, mệnh đề nào sau đây đúng? A. n, n  n  1 là số chính phương.

B. n, n  n  1 là số lẻ.

C. n, n  n  1 n  2  là số lẻ.

D. n, n  n  1 n  2  là số chia hết cho 6 . Lời giải

Chọn D. n  , n  n  1 n  2  là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, trong đó, luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 2.3  6 . Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.   2   2  4 . C.

B.   4   2  16 .

23  5  2 23  2.5 .

D.

23  5   2 23  2.5 .

Lời giải Chọn A. Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai. Vậy mệnh đề ở đáp án A sai. Câu 22: Cho x là số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. x, x 2  5  x  5  x   5 .

B. x, x 2  5   5  x  5 .

C. x, x 2  5  x   5 .

D. x, x 2  5  x  5  x   5 . Lời giải

Chọn A. Câu 23: Chọn mệnh đề đúng: A. n  * , n 2  1 là bội số của 3 . C. n  , 2n  1 là số nguyên tố.

B. x  , x 2  3 .

D. n  , 2n  n  2 .

Lời giải

Chọn D. 2  , 22  2  2 .

Câu 24: Trong các mệnh đề nào sau đây mệnh đề nào sai? A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau. B. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông. C. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. D. Một tam giác là đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 60 . Lời giải Chọn A. Câu 25: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là đúng? A. Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a  b chia hết cho c . B. Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau. C. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9 . D. Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5 . Lời giải Chọn C. Trang 11/10

Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3 là mệnh đề đúng. Câu 26: Mệnh đề nào sau đây sai? A. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật  tứ giác ABCD có ba góc vuông. B. Tam giác ABC là tam giác đều   A  60 . C. Tam giác ABC cân tại A  AB  AC . D. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O  OA  OB  OC  OD . Lời giải Chọn B. Tam giác ABC có  A  60 chưa đủ để nó là tam giác đều. Câu 27: Tìm mệnh đề đúng: A. Đường tròn có một tâm đối xứng và có một trục đối xứng. B. Hình chữ nhật có hai trục đối xứng. C. Tam giác ABC vuông cân   A  450 . D. Hai tam giác vuông ABC và A ' B ' C ' có diện tích bằng nhau  ABC  A ' B ' C ' . Lời giải Chọn B. Câu 28: Tìm mệnh đề sai: A. 10 chia hết cho 5  Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc nhau. B. Tam giác ABC vuông tại C  AB 2  CA2  CB 2 . C. Hình thang ABCD nội tiếp đường tròn  O   ABCD là hình thang cân. D. 63 chia hết cho 7  Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau. Lời giải Chọn D. Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai. Vậy mệnh đề ở đáp án D sai. Câu 29: Với giá trị thực nào của x mệnh đề chứa biến P  x  : 2 x 2  1  0 là mệnh đề đúng: A. 0 .

B. 5 .

C. 1 .

D.

4 . 5

Lời giải Chọn A. P  0  : 2.02  1  0 . Câu 30: Cho mệnh đề chứa biến P  x  :" x  15  x 2 " với x là số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng: A. P  0  .

B. P  3 .

C. P  4  .

D. P  5  .

Lời giải Chọn D. P  5  :"5  15  52 " . Câu 31: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. A  A . B.   A .

C. A  A .

D. A   A .

Lời giải Chọn A. Giữa hai tập hợp không có quan hệ “thuộc”. Câu 32: Cho biết x là một phần tử của tập hợp A , xét các mệnh đề sau:

 I  : x  A .  II  :  x  A .  III  : x  A .  IV  :  x  A . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng Trang 12/10

A. I và II .

B. I và III .

C. I và IV . Lời giải

D. II và IV .

Chọn C.  II  :  x  A sai do giữa hai tập hợp không có quan hệ “thuộc”.

 III  : x  A

sai do giữa phần tử và tập hợp không có quan hệ “con”.

Câu 33: Các kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “ 7 là một số tự nhiên”. A. 7   . B. 7   . C. 7   . D. 7   . Lời giải Chọn B. Câu 34: Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “ 2 không phải là số hữu tỉ” A.

2  .

B.

2 .

C.

2 .

D.

2 không trùng với  .

Lời giải Chọn C. Câu 35: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? x2 1 x2 1   x   ,  ”. ” là mệnh đề “ 2 2 2x 1 2 2x 1 2 2 B. Phủ định của mệnh đề “ k  , k  k  1 là một số lẻ” là mệnh đề “ k  , k 2  k  1 là một

A. Phủ định của mệnh đề “ x  , số chẵn”.

C. Phủ định của mệnh đề “ n   sao cho n 2  1 chia hết cho 24” là mệnh đề “ n   sao cho n 2  1 không chia hết cho 24”.

D. Phủ định của mệnh đề “ x  , x 3  3 x  1  0 ” là mệnh đề “ x  , x 3  3 x  1  0 ”. Lời giải Chọn B. Phủ định của  là  . Phủ định của số lẻ là số chẵn. Câu 36: Cho mệnh đề A  “x   : x 2  x” . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là phủ định của mệnh đề A ? A. “x   : x 2  x” .

B. “x   : x 2  x” . C. “x   : x 2  x” . D. “x   : x 2  x” . Lời giải

Chọn B. Phủ định của  là  . Phủ định của  là  .

1 Câu 37: Cho mệnh đề A  “x   : x 2  x   ” . Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề A và xét tính 4 đúng sai của nó. 1 A. A  “x   : x 2  x   ” . Đây là mệnh đề đúng. 4 1 B. A  “x   : x 2  x   ” . Đây là mệnh đề đúng. 4 1 C. A  “x   : x 2  x   ” . Đây là mệnh đề đúng. 4 1 D. A  “x   : x 2  x   ” . Đây là mệnh đề sai. 4 Trang 13/10

Lời giải Chọn C. Phủ định của  là  . Phủ định của  là  . Câu 38: Để chứng minh định lý sau đây bằng phương pháp chứng minh phản chứng “Nếu n là số tự nhiên và n 2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”, một học sinh lý luận như sau: (I) Giả sử n chia hết cho 5. (II) Như vậy n  5k , với k là số nguyên. (III) Suy ra n 2  25k 2 . Do đó n 2 chia hết cho 5. (IV) Vậy mệnh đề đã được chứng minh. Lập luận trên: A. Sai từ giai đoạn (I). B. Sai từ giai đoạn (II). C. Sai từ giai đoạn (III). D. Sai từ giai đoạn (IV). Lời giải Chọn A. Mở đầu của chứng minh phải là: “Giả sử n không chia hết cho 5”. Câu 39: Cho mệnh đề chứa biến P  n  : “ n 2  1 chia hết cho 4” với n là số nguyên. Xét xem các mệnh đề P  5  và P  2  đúng hay sai? A. P  5  đúng và P  2  đúng.

B. P  5  sai và P  2  sai.

C. P  5  đúng và P  2  sai.

D. P  5  sai và P  2  đúng. Lời giải

Chọn C. P  5  đúng do 24 4 còn P  2  sai do 3 không chia hết cho 4 . Câu 40: Cho tam giác ABC với H là chân đường cao từ A . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 1 1   A. “ ABC là tam giác vuông ở A  ”. 2 2 AH AB AC 2 B. “ ABC là tam giác vuông ở A  BA2  BH .BC ”. C. “ ABC là tam giác vuông ở A  HA2  HB.HC ”. D. “ ABC là tam giác vuông ở A  BA2  BC 2  AC 2 ”. Lời giải Chọn D. Đáp án đúng phải là: “ ABC là tam giác vuông ở A  BC 2  AB 2  AC 2 ”. Câu 41: Cho mệnh đề “phương trình x 2  4 x  4  0 có nghiệm”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho và tính đúng, sai của mệnh đề phủ định là: A. Phương trình x 2  4 x  4  0 có nghiệm. Đây là mệnh đề đúng. B. Phương trình x 2  4 x  4  0 có nghiệm. Đây là mệnh đề sai. C. Phương trình x 2  4 x  4  0 vô nghiệm. Đây là mệnh đề đúng. D. Phương trình x 2  4 x  4  0 vô nghiệm. Đây là mệnh đề sai. Lời giải Chọn D. Phủ định của có nghiệm là vô nghiệm, phương trình x 2  4 x  4  0 có nghiệm là 2. Câu 42: Cho mệnh đề A  “n   : 3n  1 là số lẻ”, mệnh đề phủ định của mệnh đề A và tính đúng, sai của mệnh đề phủ định là: Trang 14/10

A. A  “n   : 3n  1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề đúng. B. A  “n   : 3n  1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề sai. C. A  “n   : 3n  1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề sai. D. A  “n   : 3n  1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề đúng. Lời giải Chọn B. Phủ định của  là  . Phủ định của “số lẻ” là “số chẵn”. Mặt khác, mệnh đề phủ định sai do 6   : 3.6  1 là số lẻ. Câu 43: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Để tứ giác ABCD là hình bình hành, điều kiện cần và đủ là hai cạnh đối song song và bằng nhau. B. Để x 2  25 điều kiện đủ là x  2 . C. Để tổng a  b của hai số nguyên a, b chia hết cho 13, điều kiện cần và đủ là mỗi số đó chia hết cho 13. D. Để có ít nhất một trong hai số a, b là số dương điều kiện đủ là a  b  0 . Lời giải Chọn C. Tồn tại a  6, b  7 sao cho a  b  1313 nhưng mỗi số không chia hết cho 13. Câu 44: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu tổng hai số a  b  2 thì có ít nhất một số lớn hơn 1. B. Trong một tam giác cân hai đường cao bằng nhau. C. Nếu tứ giác là hình vuông thì hai đường chéo vuông góc với nhau. D. Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. Lời giải Chọn B. “Tam giác có hai đường cao bằng nhau là tam giác cân” là mệnh đề đúng. Câu 45: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lí? A. x  , x 2 chia hết cho 3  x chia hết cho 3 . B. x  , x 2 chia hết cho 6  x chia hết cho 3 .

C. x  , x 2 chia hết cho 9  x chia hết cho 9 .

D. x  , x chia hết cho 4 và 6  x chia hết cho 12 . Lời giải Chọn D. Định lý sẽ là: x  , x chia hết cho 4 và 6  x chia hết cho 12 . Câu 46: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là định lí? A. x  , x  2  x 2  4 . B. x  , x  2  x 2  4 .

C. x  , x 2  4  x  2 . D. Nếu a  b chia hết cho 3 thì a, b đều chia hết cho 3 . Lời giải Chọn B.

Trang 15/10

Chương 1 § 2.

MỆNH ĐỀ TẬP HỢP

TAÄP HÔÏP – CAÙC PHEÙP TOAÙN TREÂN TAÄP HÔÏP 

 Tập hợp  Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.  Có 2 cách xác định tập hợp:  Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc  ; ;    Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.  Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu .  Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau  Tập hợp con: A  B  (x  A  x  B).  A  A , A. B

A A

   A , A .  A  B , B  C  A  C. A  B . Nếu tập hợp có n phần tử  2n tập hợp con. B  A

 Tập hợp bằng nhau: A  B  

 Một số tập hợp con của tập hợp số thực R  Tập hợp con của  :  *        . Trong đó:  : là tập hợp số tự nhiên không có số 0.

 : là tập hợp số nguyên.

 : là tập hợp số tự nhiên.

 : là tập hợp số hữu tỷ.

  ( ; ) : là tập hợp số thực.

 Khoảng:

a ////////// (

 ( a; b)  x   a  x  b :

–

 ( a; )  x   a  x :

–  ////////// (

 ( ; b)  x   x  b :

–

b

 a; b  x  



axb :

  a;    x   a  x : 

 ; b  x  



xb :

) ////////// + ù ////////// ûú

) ////////// ù ////////// úû

–  ////////// éê ë –

 Giao của hai tập hợp: A  B  x x  A và x  B 

+

b

–  ////////// (

 Các phép toán tập hợp

+ +

 Đoạn:  a; b   x   a  x  b : –  ////////// éê ë  Nửa khoảng: a é ////////// –   a; b   x   a  x  b : êë 

) ///////////

+ + +

] ////////// + A

B

 Hợp của hai tập hợp: A  B  x x  A hoặc x  B 

A

 Hiệu của hai tập hợp: A \ B  x x  A và x  B  A

B

B Trang 1/10

 Phần bù: Cho B  A thì C A B  A\B. Câu 1:

Cho tập hợp A  1, 2,3, 4, x, y . Xét các mệnh đề sau đây:

 I  : “ 3 A ”.  II  : “ 3, 4  A ”.  III  : “ a,3, b  A ”. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng A. I đúng. B. I , II đúng.

C. II , III đúng.

D. I , III đúng.

Lời giải Chọn A 3 là một phần tử của tập hợp A .

3, 4 là một tập con của tập hợp A . Ký hiệu: 3, 4  A . a,3, b là một tập con của tập hợp A . Ký hiệu: a,3, b  A . Câu 2:





Cho X  x   2 x 2  5 x  3  0 , khẳng định nào sau đây đúng: A. X  0 .

3 C. X    . 2 Lời giải

B. X  1 .

 3 D. X  1;  .  2

Chọn D

 x  1   3 X  x   2 x  5 x  3  0 . Ta có 2 x  5 x  3  0    X  1;  . 3 x     2  2



Câu 3:



2

2





Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X  x   x 2  x  1  0 : B. X  0 .

A. X  0 .

C. X   .

D. X   .

Lời giải Chọn C Phương trình x 2  x  1  0 vô nghiệm nên X   .

Câu 4:

Số phần tử của tập hợp A  k 2  1/ k  , k  2 là: A. 1 .

C. 3 . Lời giải

B. 2 .

Chọn C



D. 5 .



A  k 2  1 k  , k  2 . Ta có k  , k  2  2  k  2  A  1; 2;5 .

Câu 5:

Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng:





A. x   x  1 .







B. x   6 x 2  7 x  1  0 .





C. x   x 2  4 x  2  0 .



D. x   x 2  4 x  3  0 . Lời giải

Chọn C





A  x   x  1  A  0 . x  1  B  1 . B  x   6 x  7 x  1  0 . Ta có 6 x  7 x  1  0   x  1  6 



2



2

Trang 2/10

x  2  2  C  C  x   x 2  4 x  2  0 . Ta có x 2  4 x  2  0    x  2  2   x  1  D  1;3 . D  x   x 2  4 x  3  0 . Ta có x 2  4 x  3  0   x  3 Câu 6:









Cho A  0; 2; 4;6 . Tập A có bao nhiêu tập con có 2 phần tử? B. 6 .

A. 4 .

C. 7 . Lời giải

D. 8 .

Chọn B Có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tính số tập con có 2 phần tử của tập hợp A gồm 4 phần tử là: C42  6 Các tập con có 2 phần tử của tập hợp A là: 0; 2 , 0; 4; , 0;6 , 2; 4; , 2;6 , 4;6 . Câu 7:

Cho tập hợp X  1; 2;3; 4 . Câu nào sau đây đúng? A. Số tập con của B. Số tập con của C. Số tập con của D. Số tập con của

X X X X

là 16 . gồm có 2 phần tử là 8 . chứa số 1 là 6 . gồm có 3 phần tử là 2 . Lời giải

Chọn A Số tập con của tập hợp X là: 24  16 Số tập con có 2 phần tử của tập hợp X là: C42  6 Số tập con của tập hợp X chứa số 1 là: 8

1 , 1; 2 , 1;3 , 1; 4 , 1; 2;3 , 1; 2; 4 , 1;3; 4 , 1; 2;3; 4 . Số tập con có 3 phần tử của tập hợp X là: C43  4 Câu 8:

Cho A   3; 2  . Tập hợp C A là : A.  ; 3 .

B.  3;   .

C.  2;   .

D.  ; 3   2;   . Lời giải

Chọn D C A   ;   \  3; 2    ;  3   2;    . Câu 9:

Cách viết nào sau đây là đúng: A. a   a; b  . B. a   a; b  .

C. a   a; b  .

D. a   a; b  .

Lời giải Chọn B Ta có: x   a; b   a  x  b nên: +B đúng do a là một tập con của tập hợp  a; b  được ký hiệu: a   a; b  . +A sai do a là một phần tử của tập hợp  a; b  được ký hiệu: a   a; b  . +C sai do a là một tập con của tập hợp  a; b  được ký hiệu: a   a; b  . + D sai do a   a; b  . Câu 10: Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng: Trang 3/10

A.  \    .

B. *     .

C. *     .

D. *    * .

Lời giải Chọn D D đúng do *    *    * .

Câu 11: Gọi Bn là tập hợp các bội số của n trong  . Xác định tập hợp B2  B4 : A. B2 .

B. B4 .

C.  .

D. B3 .

Lời giải Chọn B B2 là tập hợp các bội số của 2 trong  .

B4 là tập hợp các bội số của 4 trong  .

 B2  B4 là tập hợp các bội số của cả 2 và 4 trong  . Do B2  B4  B2  B4  B4 . Câu 12: Cho các tập hợp: M   x   x là bội số của 2 . N   x   x là bội số của 6 . P   x   x là ước số của 2 . Q   x   x là ước số của 6 .

Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M  N . B. Q  P .

C. M  N  N .

D. P  Q  Q .

Lời giải Chọn C  M  0; 2; 4;6;8;10;12;... , N  0;6;12;...  N  M , M  N  N .

 P  1; 2 , Q  1; 2;3;6  P  Q, P  Q  P . Câu 13: Cho hai tập hợp X   n   n là bội số của 4 và 6 . Y  { n   n là bội số của 12 }.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? A. X  Y . B. Y  X .

C. X  Y .

D. n : n  X  n  Y .

Lời giải Chọn C X  0;12; 24;36;... , Y  0;12; 24;36;...  X  Y . Mệnh đề D là sai. Do đó chọn D Câu 14: Chọn kết quả sai trong các kết quả sau: A. A  B  A  A  B. C. A \ B  A  A  B  .

B. A  B  A  B  A. D. A \ B  A  A  B  . Lời giải

Chọn D

D sai do A \ B   x x  A, x  B  A \ B  A ,  A  B   . Câu 15: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: A.      . B.      . C.   *  * .

D.   *  * .

Lời giải Chọn D D sai do   *    *   Câu 16: Chọn kết quả sai trong các kết quả sau: Trang 4/10

A. A  B  A  A  B. B. A  B  A  A  B. C. A \ B  A  A  B  . D. B \ A  B  A  B  . Lời giải Chọn B B sai do A  B  A  A  B. Câu 17: Cho các mệnh đề sau:  I  2;1;3  1; 2;3 .

 II    .  III     . A. Chỉ  I  đúng. C. Chỉ  I  và  III  đúng.

B. Chỉ  I  và  II  đúng. D. Cả  I  ,  II  ,  III  đều đúng. Lời giải

Chọn D  I  đúng do hai tập hợp đã cho có tất cả các phần tử giống nhau.

Câu 18:

 II  đúng do mọi tập hợp đều là tập con của chính nó.  III  đúng vì phần tử  thuộc tập hợp  . Cho X  7; 2;8; 4;9;12 ; Y  1;3;7; 4 . Tập nào sau đây bằng tập A. 1; 2;3; 4;8;9;7;12 . B. 2;8;9;12 . C. 4;7 .

X Y ?

D. 1;3 .

Lời giải Chọn C X  7; 2;8; 4;9;12 , Y  1;3;7; 4  X  Y  7; 4 . Câu 19: Cho hai tập hợp A  2, 4, 6,9 và B  1, 2,3, 4 .Tập hợp A \ B bằng tập nào sau đây? A. A  1, 2,3,5 .

B. 1;3;6;9 .

C. 6;9 .

D. .

Lời giải Chọn C A  2, 4, 6,9 , B  1, 2,3, 4  A \ B  6,9 . Câu 20: Cho A  0;1; 2;3; 4 , B  2;3; 4;5;6 . Tập hợp  A \ B    B \ A  bằng? A. 0;1;5;6 .

B. 1; 2 .

C. 2;3; 4 .

D. 5;6 .

Lời giải Chọn A A  0;1; 2;3; 4 , B  2;3; 4;5;6 .

A \ B  0;1 , B \ A  5;6   A \ B    B \ A   0;1;5;6 Câu 21: Cho A  0;1; 2;3; 4 , B  2;3; 4;5;6 . Tập hợp A \ B bằng: A. 0 .

B. 0;1 .

C. 1; 2 .

D. 1;5 .

Lời giải Chọn B A  0;1; 2;3; 4 , B  2;3; 4;5;6  A \ B  0;1 Câu 22: Cho A  0;1; 2;3; 4 , B  2;3; 4;5;6 . Tập hợp B \ A bằng:

Trang 5/10

A. 5 .

B. 0;1 .

C. 2;3; 4 .

D. 5;6 .

Lời giải Chọn D A  0;1; 2;3; 4 , B  2;3; 4;5;6  B \ A  5;6 . Câu 23: Cho A  1;5 ; B  1;3;5 . Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau A. A  B  1 .

B. A  B  1;3 .

C. A  B  1;5 .

D. A  B  1;3;5 . Lời giải

Chọn C A  1;5 ; B  1;3;5 . Suy ra A  B  1;5 .



Câu 24: Cho tập hợp C A   3; 8 , C B   5; 2  

  C.  5; 11  .





3; 11 . Tập C  A  B  là:

B.  .

A. 3; 3 .

D.  3; 2  





3; 8 . Lời giải

Chọn C C A   3; 8 , C B   5; 2  







 

3; 11  5; 11



A   ;  3   8;  , B   ; 5   11;  .





 

 A  B   ; 5   11;   C  A  B   5; 11 . Câu 25: Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết tập hợp A   x   4  x  9 : A. A   4;9 .

B. A   4;9 .

C. A   4;9  .

D. A   4;9  .

Lời giải Chọn A

A   x   4  x  9  A   4;9 .

Câu 26: Cho A  1; 4 ; B   2;6  ; C  1; 2  . Tìm A  B  C : A.  0; 4 .

B. 5;   .

C.  ;1 .

D. .

Lời giải Chọn D A  1; 4 ; B   2;6  ; C  1; 2   A  B   2; 4  A  B  C   . Câu 27: Cho hai tập A   x   x  3  4  2 x , B   x   5 x  3  4 x  1 . Tất cả các số tự nhiên thuộc cả hai tập A và B là: A. 0 và 1. B. 1. C. 0 Lời giải Chọn A

D. Không có.

A   x   x  3  4  2 x  A   1;    .

B   x   5 x  3  4 x  1  B   ; 2  .

A  B   1; 2   A  B   x    1  x  2.

Trang 6/10

 A  B   x    1  x  2  A  B  0;1 .

4  Câu 28: Cho số thực a  0 .Điều kiện cần và đủ để  ;9a    ;     là: a   2 2 3 3 A.   a  0. B.   a  0. C.   a  0. D.   a  0. 3 3 4 4 Lời giải Chọn A 4 4 4 4  9a ²  4  9a ²  0 0   ;9a    ;      a  0    9a   9a  0  a a a a  a  0 2    a  0. 3 Câu 29: Cho A   4;7  , B   ; 2    3;   . Khi đó A  B :

A.  4; 2    3;7  .

B.  4; 2    3;7  .

C.  ; 2   3;   .

D.  ; 2   3;   . Lời giải

Chọn A A   4;7  , B   ; 2    3;   , suy ra A  B   4;  2    3;7  . Câu 30: Cho A   ; 2 , B  3;   , C   0; 4  . Khi đó tập  A  B   C là: A. 3; 4 .

B.  ; 2   3;   .

C. 3; 4  .

D.  ; 2   3;   . Lời giải

Chọn C A   ;  2 , B  3;    , C   0; 4  . Suy ra

A  B   ; 2  3;   ;  A  B   C  3; 4  . Câu 31: Cho A   x  R : x  2  0 , B   x  R : 5  x  0 . Khi đó A  B là: A.  2;5 .

B.  2;6 .

C.  5; 2 .

D.  2;   .

Lời giải Chọn A Ta có A   x  R : x  2  0  A   2;    , B   x  R : 5  x  0  B   ;5 Vậy  A  B   2;5 . Câu 32: Cho A   x  R : x  2  0 , B   x  R : 5  x  0 . Khi đó A \ B là: A.  2;5 .

B.  2;6 .

C.  5;   .

D.  2;   .

Lời giải Chọn C Ta có A   x  R : x  2  0  A   2;    , B   x  R : 5  x  0  B   ;5 . Vậy  A \ B   5;    .









Câu 33: Cho A  x    2 x  x 2  2 x 2  3 x  2   0 ; B  n  * 3  n 2  30 . Khi đó tập hợp A  B bằng: A. 2; 4 .

B. 2 .

C. 4;5 .

D. 3 . Trang 7/10

Lời giải Chọn B

 B  n  



A  x    2 x  x 2  2 x 2  3 x  2   0  A  0; 2 *



3  n 2  30  B  1; 2;3; 4;5 

 A  B  2 .

Câu 34: Cho A  1; 2;3 . Trong các khẳng định sau, khẳng địng nào sai? A.   A

C. {1; 2}  A

B. 1 A

D. 2  A

Lời giải Chọn D A đúng do tập  là tập con của mọi tập hợp. B đúng do 1 là một phần tử của tập A . C đúng do tập hợp có chứa hai phần tử {1; 2} là tập con của tập A . D sai do số 2 là một phần tử của tập A thì không thể bằng tập A . Câu 35: Cho tậphợp A   x   x là ước chung của 36 và 120 . Các phần tử của tập A là: A. A  {1; 2;3; 4; 6;12} . B. A  {1; 2;3; 4;6; 8;12} . D. A  1; 2;3; 4;6;9;12;18;36 .

C. A  {2;3; 4;6;8;10;12} .

Lời giải Chọn A A1   x   x là ước của 36   A1  1; 2;3; 4;6;9;12;18;36 . A2   x   x là ước của 120   A2  1; 2;3; 4;5;6;8;10;12;15; 20; 24;30; 40;60;120  .

A   x   x là ước chung của 36 và 120 

 A  A1  A2  1; 2;3; 4;6;12 . Câu 36: Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề nào sai? A. A  A B.   A

C. A  A

D. A   A

Lời giải Chọn A A sai do tập A thì không thể là phần tử của tập A (sai ký hiệu). B đúng do tập  là tập con của mọi tập hợp. C đúng do tập A là tập con của chính nó. D đúng do tập hợp có chứa một phần tử  A thì không thể bằng tập A . {Với A là tập hợp}





Câu 37: Cho tập hợp A  x   x 2  x  1  0 .Các phần tử của tập A là: B. A  0

A. A  0

C. A  

D. A  

Lời giải Chọn C





A  x   x 2  x  1  0 . Ta có x 2  x  1  0 vô nghiệm nên A   .





Câu 38: Cho tập hợp A  x    x 2 –1 x 2  2   0 . Các phần tử của tập A là: A. A   –1;1

B. A  {– 2; –1;1; 2} C. A  {–1}

D. A  {1} Trang 8/10

Lời giải Chọn A





A  x    x 2 –1 x 2  2   0 .

 x 2 –1  0 x  1  A  1;1 . Ta có  x –1 x  2   0   2   x  1  x  2  0  vn  2

2





Câu 39: Các phần tử của tậphợp A  x   2 x 2 – 5 x  3  0 là: A. A  0 .

3 C. A    2 Lời giải

B. A  1 .

 3 D. A  1;   2

Chọn D

x  1  3 2 x – 5x  3  0    A  1;  . 3 x   2  2 2





Câu 40: Cho tậphợp A  x   x 4 – 6 x 2  8  0 . Các phần tử của tập A là:

 C. A   A. A 



 D. A   –



B. A  – 2; –2 .

2; 2 .



2; –2 .



2; 2; –2; 2 .

Lời giải Chọn D x   2  x²  2 x4 – 6x2  8  0     x²  4  x  2





 A  2;  2; 2; 2 .

Câu 41: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?

 C. C   x   x

  5  0 .

A. A  x   x 2  4  0 . 2

 D. D   x   x

  x  12  0 .

B. B  x   x 2  2 x  3  0 . 2

Lời giải Chọn B

  B   x   x  2 x  3  0  B  . C   x   x  5  0  C   5; 5. D   x   x  x  12  0  D  3; 4 . A  x   x 2  4  0  A   2 . 2

2

2

Câu 42: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào khác rỗng?





A. A  x   x 2  x  1  0 .







B. B  x   x 2  2  0 .





C. C  x    x3 – 3 x 2  1  0 .



D. D  x   x  x 2  3  0 . Lời giải

Chọn B





A  x   x 2  x  1  0 . Ta có x 2  x  1  0  vn   A   . Trang 9/10





B  x   x 2  2  0 . Ta có x 2  2  0  x   2    B  

  D   x   x  x  3  0 . Ta có x  x  3  0  x  0  D  0 .

C  x    x3 – 3 x 2  1  0 . Ta có  x3 – 3 x 2  1  0  x  3 3    C   2

2

Câu 43: Gọi Bn là tập hợp các số nguyên là bội số của n . Sự liên hệ giữa m và n sao cho

Bn  Bm là:

A. m là bội số của n . B. n là bội số của m . C. m , n nguyên tố cùng nhau. D. m , n đều là số nguyên tố. Lời giải Chọn B Bn là tập hợp các số nguyên là bội số của n

Bn  Bm  x, x  Bn  x  Bm . Vậy n là bội số của m . *Ví dụ: B6  0;6;12;18;... , B3  0;3;6;9;12;15;18;... . Do 6 là bội của 3 nên B6  B3 . Câu 44: Cho hai tập hợp X   x   x  4; x  6 , Y   x   x 12 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. X  Y . C. X  Y .

B. Y  X . D. n : n  X và n  Y . Lời giải

ChọnD

X   x   x  4, x  6  X  0;12; 24;36; 48;60;72;... .

Y   x   x 12  Y  0;12; 24;36; 48;60;72;...  X  Y. Câu 45: Số các tập con 2 phần tử của B  a, b, c, d , e, f  là: A. 15 .

B. 16 .

C. 22 . Lời giải

D. 25 .

Chọn A Số các tập con 2 phần tử của B  a, b, c, d , e, f  là C62  15 (sử dụng máy tính bỏ túi). Câu 46: Số các tập con 3 phần tử có chứa  ,  của C   ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,   là: A. 8 .

B. 10 .

C. 12 . Lời giải

D. 14 .

Chọn A Các tập con 3 phần tử có chứa  ,  của C   ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,   là:

 ,  ,   ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ,  ,  ,   ,  ,  ,   ,  ,  ,  ,  ,  ,  . Câu 47: Trong các tập sau, tập hợp nào có đúng một tập hợp con? A.  . B. a . C.  .

D. a; .

Lời giải Chọn A  có đúng một tập hợp con là 

a

có 21  2 tập con. Trang 10/10

 có 21  2 tập con. a; có 22  4 tập con. Câu 48: Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con? A.  x; y . B.  x . C. ; x .

D. ; x; y .

Lời giải Chọn B  x; y có 22  4 tập con.

Câu 49:

 x có 21  2 tập con là  x và  . ; x có 22  4 tập con. ; x; y có 23  8 tập con. Cho tập hợp A  a, b, c, d  . Tập A A. 16 .

có mấy tập con?

B. 15 .

C. 12 . Lời giải

D. 10 .

Chọn A Số tập con của tập A là: 24  16 . Câu 50: Khẳng định nào sau đây sai?Các tập A  B với A, B là các tập hợp sau?





A. A  {1;3}, B  x    x –1 x  3 =0 . B. A  {1;3;5;7;9}, B  n   n  2k  1, k  , 0  k  4 .





C. A  {1; 2}, B  x   x 2  2 x  3  0 .





D. A  , B  x   x 2  x  1  0 . Lời giải Chọn C





* A  {1; 3} , B  x    x –1 x  3 = 0  B  1;3  A  B . * A  {1;3;5; 7; 9} , B  n   n  2k  1, k  , 0  k  4  B  1;3;5;7;9  A  B .





* A  {1; 2} , B  x   x 2  2 x  3  0  B  1;3  A  B.





* A   , B  x   x2  x  1  0  B    A  B .

Trang 11/10

Chương 1 § 3.

MỆNH ĐỀ TẬP HỢP

SAI SOÁ – SOÁ GAÀN ÑUÙNG 

 Số gần đúng Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng.  Sai số tuyệt đối Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì  a  a  a gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.  Độ chính xác của một số gần đúng Nếu  a  a  a  d thì a  d  a  a  d. Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác d và qui ước viết gọn là a  a  d.  Sai số tương đối Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , kí hiệu a  

a càng nhỏ thì độ chính xác của phép đo đạc hoặc tính toán càng lớn.



Ta thường viết a dưới dạng phần trăm.

a a



 Qui tròn số gần đúng 

Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi số 0.



Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị vào chữ số ở hàng qui tròn.

 Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số qui tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số qui tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng qui tròn. Như vậy, độ chính xác của số qui tròn bằng nửa đơn vị của hàng qui tròn.  Chữ số chắc Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d. Trong số a, một chữ số được gọi là chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.  Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc. Câu 1.

Cho giá trị gần đúng của A. 0, 001 .

Câu 2.

8 là 0, 47 . Sai số tuyệt đối của số 0, 47 là: 17 B. 0, 002 . C. 0, 003 . D. 0, 004 . Lời giải

Chọn A. 8 Ta có  0, 470588235294... nên sai số tuyệt đối của 0, 47 là 17 8   0, 47   0, 47  4, 471  0, 001 . 17 3 Cho giá trị gần đúng của là 0, 429 . Sai số tuyệt đối của số 0, 429 là: 7 A. 0, 0001 . B. 0, 0002 . C. 0, 0004 . D. 0, 0005 . Lời giải Chọn D.

Trang 1/9

3  0, 428571... nên sai số tuyệt đối của 0, 429 là 7 3   0, 429   0, 429  4, 4285  0, 0005 . 7 Qua điều tra dân số kết quả thu được số đân ở tỉnh B là 2.731.425 người với sai số ước lượng không quá 200 người. Các chữ số không đáng tin ở các hàng là: A. Hàng đơn vị. B. Hàng chục. C. Hàng trăm. D. Cả A, B, C. Lời giải Chọn D. 100 1000 Ta có các chữ số đáng tin là các chữ số hàng nghìn trở đi.  50  d  200  500  2 2 Nếu lấy 3,14 làm giá trị gần đúng của  thì sai số là:

Ta có

Câu 3.

Câu 4.

A. 0, 001 .

B. 0, 002 .

C. 0, 003 . Lời giải

D. 0, 004 .

Chọn A. Ta có   3,141592654... nên sai số tuyệt đối của 3,14 là

  3,14    3,14  3,141  0, 001 . Câu 5.

Nếu lấy 3,1416 làm giá trị gần đúng của  thì có số chữ số chắc là: A. 5 .

B. 4 .

C. 3 . Lời giải

D. 2 .

Chọn B. Ta có   3,141592654... nên sai số tuyệt đối của 3,1416 là

  3,1416    3,1416  3,1415  0, 0001 . 0, 001 nên có 4 chữ số chắc. 2 Số gần đúng của a  2,57656 có ba chữ số đáng tin viết dưới dạng chuẩn là:

Mà d  0, 0001  0, 0005  Câu 6.

A. 2,57 .

Câu 7.

B. 2,576 .

C. 2,58 . Lời giải

D. 2,577 .

Chọn A. Vì a có 3 chữ số đáng tin nên dạng chuẩn là 2,57 . Trong số gần đúng a dưới đây có bao nhiêu chữ số chắc a  174325 với  a  17 A. 6 .

B. 5 .

C. 4 . Lời giải

D. 3 .

Chọn C. Ta có  a  17  50  Câu 8.

Trái đất quay một vòng quanh mặt trời là 365 ngày. Kết quả này có độ chính xác là số tuyệt đối là : 1 A. . 4

Câu 9.

100 nên a có 4 chữ số chắc. 2

B.

1 . 365

1 . 1460 Lời giải

C.

1 ngày. Sai 4

D. Đáp án khác.

Chọn A. Độ dài các cạnh của một đám vườn hình chữ nhật là x  7,8m  2cm và y  25, 6m  4cm . Số đo chu vi của đám vườn dưới dạng chuẩn là : A. 66m  12cm . B. 67 m  11cm . C. 66m  11cm . Lời giải Chọn A.

D. 67 m  12cm .

Trang 2/9

Ta có x  7,8m  2cm  7, 78m  x  7,82m và y  25, 6m  4cm  25,56m  y  25, 64m . Do đó chu vi hình chữ nhật là P  2  x  y    66, 68;66,92  P  66,8m  12cm .

1 nên dạng chuẩn của chu vi là 66m  12cm . 2 Câu 10. Độ dài các cạnh của một đám vườn hình chữ nhật là x  7,8m  2cm và y  25, 6m  4cm .

Vì d  12cm  0,12m  0,5 

Cách viết chuẩn của diện tích (sau khi quy tròn) là: A. 199m 2  0,8m 2 .

B. 199m 2  1m 2 .

C. 200m 2  1cm 2 . Lời giải

D. 200m 2  0,9m 2 .

Chọn A. Ta có x  7,8m  2cm  7, 78m  x  7,82m và y  25, 6m  4cm  25,56m  y  25, 64m . Do đó diện tích hình chữ nhật là S  xy và 198,8568  S  200,5048  S  199, 6808  0,824 . Câu 11. Một hình chữ nhật cố các cạnh : x  4, 2m  1cm , y  7 m  2cm . Chu vi của hình chữ nhật và sai số tuyệt đối của giá trị đó. A. 22, 4m và 3cm . B. 22, 4m và 1cm . C. 22, 4m và 2cm . Lời giải Chọn D. Ta có chu vi hình chữ nhật là P  2  x  y   22, 4m  6cm .

D. 22, 4m và 6cm .

Câu 12. Hình chữ nhật có các cạnh : x  2m  1cm , y  5m  2cm . Diện tích hình chữ nhật và sai số tuyệt đối của giá trị đó là: A. 10m 2 và 900cm 2 .

B. 10m 2 và 500cm 2 . C. 10m 2 và 400cm 2 . D. 10m 2 và 1404 cm 2 . Lời giải

Chọn D. Ta có x  2m  1cm  1,98m  x  2, 02m và y  5m  2cm  4,98m  y  5, 02m . Do đó diện tích hình chữ nhật là S  xy và 9,8604  S  10,1404  S  10  0,1404 . Câu 13. Trong bốn lần cân một lượng hóa chất làm thí nghiệm ta thu được các kết quả sau đây với độ chính xác 0, 001g : 5,382g ; 5,384g ; 5,385g ; 5,386g . Sai số tuyệt đối và số chữ số chắc của kết quả là: A. Sai số tuyệt đối là B. Sai số tuyệt đối là C. Sai số tuyệt đối là D. Sai số tuyệt đối là

0, 001g và số chữ số chắc là 3 chữ số. 0, 001g và số chữ số chắc là 4 chữ số. 0, 002g và số chữ số chắc là 3 chữ số. 0, 002g và số chữ số chắc là 4 chữ số. Lời giải

Chọn B. 0, 01 nên có 3 chữ số chắc. 2 Câu 14. Một hình chữ nhật cố diện tích là S  180,57cm 2  0, 6cm 2 . Kết quả gần đúng của S viết dưới

Ta có d  0, 001  0, 005 

dạng chuẩn là: A. 180,58cm 2 .

B. 180,59cm 2 .

C. 0,181cm 2 . Lời giải

D. 181, 01cm 2 .

Chọn B. 10 nên S có 3 chữ số chắc. 2 Câu 15. Đường kính của một đồng hồ cát là 8,52m với độ chính xác đến 1cm . Dùng giá trị gần đúng

Ta có d  0, 6  5 

của  là 3,14 cách viết chuẩn của chu vi (sau khi quy tròn) là : A. 26,6. B. 26,7. C. 26,8. Lời giải Chọn B.

D. Đáp án khác.

Trang 3/9

Gọi d là đường kính thì d  8,52m  1cm  8,51m  d  8,53m . Khi đó chu vi là C   d và 26, 7214  C  26, 7842  C  26, 7528  0, 0314 . 0,1 Ta có 0, 0314  0, 05  nên cách viết chuẩn của chu vi là 26,7. 2 Câu 16. Một hình lập phương có cạnh là 2, 4m  1cm . Cách viết chuẩn của diện tích toàn phần (sau khi quy tròn) là : A. 35m 2  0,3m 2 .

B. 34m 2  0,3m 2 .

C. 34,5m 2  0,3m 2 . Lời giải

D. 34,5m 2  0,1m 2 .

Chọn B. Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương thì a  2, 4m  1cm  2,39m  a  2, 41m . Khi đó diện tích toàn phần của hình lập phương là S  6a 2 nên 34, 2726  S  34,8486 . Do đó S  34,5606m 2  0, 288m 2 . Câu 17. Một vật thể có thể tích V  180,37cm3  0, 05cm3 . Sai số tương đối của gia trị gần đúng ấy là: A. 0, 01% .

B. 0, 03% .

C. 0, 04% . Lời giải

D. 0, 05% .

Chọn B. Sai số tương đối của giá trị gần đúng là   Câu 18. Cho giá trị gần đúng của A. 0,04.

 V



0, 05  0, 03% . 180,37

23 là 3,28. Sai số tuyệt đối của số 3,28 là: 7 0,04 B. . C. 0,06. 7 Lời giải

D. Đáp án khác.

Chọn B. 23 23 0, 04  3,  285714    3, 28  0, 00  571428   Ta có . 7 7 7 Câu 19. Trong các thí nghiệm hằng số C được xác định là 5,73675 với cận trên sai số tuyệt đối là d  0, 00421 . Viết chuẩn giá trị gần đúng của C là: A. 5,74.

B. 5,736.

C. 5,737. Lời giải

D. 5,7368.

Chọn A. Ta có C  0, 00421  5, 73675  C  5, 74096 . Câu 20. Cho số a  1754731 , trong đó chỉ có chữ số hàng trăm trở lên là đáng tin. Hãy viết chuẩn số gần đúng của a . A. 17547.102 . B. 17548.102 . C. 1754.103 . D. 1755.102 . Lời giải Chọn A. Câu 21. Hình chữ nhật có các cạnh: x  2m  1cm, y  5m  2cm . Diện tích hình chữ nhật và sai số tương đối của giá trị đó là: A. 10m 2 và 5 o . B. 10m 2 và 4 o . C. 10m 2 và 9 o . oo oo oo Lời giải Chọn C. Diên tích hình chữ nhật là So  xo . yo  2.5  10m 2 .

D. 10m 2 và 20 o

oo

.

Cận trên của diện tích:  2  0, 01 5  0, 02   10, 0902

Cận dưới của diện tích:  2  0, 01 5  0, 02   9,9102 .  9,9102  S  10, 0902 Trang 4/9

Sai số tuyệt đối của diện tích là: S  S  So  0, 0898

S 0, 0898   9o oo S 10 Câu 22. Hình chữ nhật có các cạnh: x  2m  1cm, y  5m  2cm . Chu vi hình chữ nhật và sai số tương Sai số tương đối của diện tích là:

đối của giá trị đó là: 1 A. 22, 4 và . 2240

B. 22, 4 và

6 . 2240

C. 22, 4 và 6cm .

D. Một đáp số khác.

Lời giải Chọn D. Chu vi hình chữ nhật là: Po  2  xo  yo   2  2  5   20m Câu 23. Một hình chữ nhật có diện tích là S  108,57cm 2  0, 06cm 2 . Số các chữ số chắc của S là: A. 5.

B. 4.

C. 3. Lời giải

D. 2.

Chọn B. Nhắc lại định nghĩa số chắc: Trong cách ghi thập phân của a, ta bảo chữ số k cuả a là chữ số đáng tin (hay chữ số chắc) nếu sai số tuyệt đối ∆a không vượt quá một đơn vị của hàng có chữ số k. + Ta có sai số tuyệt đối bằng 0, 06  0, 01  chữ số 7 là số không chắc, 0, 06  0,1  chữ số 5 là số chắc. + Chữ số k là số chắc thì tất cả các chữ số đứng bên trái k đều là các chữ số chắc  các chữ số 1, 0,8 là các chữ số chắc. Như vậy ta có số các chữ số chắc của S là: 1, 0,8,5. Câu 24. Ký hiệu khoa học của số 0, 000567 là: A. 567.106 .

B. 5, 67.105 .

C. 567.104 .

D. 567.10 3.

Lời giải Chọn B. + Mỗi số thập phân đều viết được dưới dạng  .10n trong đó 1    10, n  Z . Dạng như thế được gọi là kí hiệu khoa học của số đó. + Dựa vào quy ước trên ta thấy chỉ có phương án C là đúng. Câu 25. Khi sử dụng máy tính bỏ túi với 10 chữ số thập phân ta được: đúng của A. 2,80.

8 chính xác đến hàng phần trăm là: B. 2,81. C. 2,82. Lời giải

8  2,828427125 .Giá trị gần D. 2,83.

Chọn D. + Cần lấy chính xác đến hàng phần trăm nên ta phải lấy 2 chữ số thập phân. Vì đứng sau số 2 ở hàng phần trăm là số 8  5 nên theo nguyên lý làm tròn ta được kết quả là 2,83. Câu 26. Viết giá trị gần đúng của 10 đến hàng phần trăm dùng MTBT: A. 3,16. B. 3,17. C. 3,10.

D. 3,162.

Lời giải Chọn A. + Ta có: 10  3,16227766. + Cần lấy chính xác đến hàng phần trăm nên ta phải lấy 2 chữ số thập phân. Vì đứng sau số 6 ở hàng phần trăm là số 2  5 nên theo nguyên lý làm tròn ta được kết quả là 3,16. Câu 27. Độ dài của một cây cầu người ta đo được là 996m  0,5m . Sai số tương đối tối đa trong phép đo là bao nhiêu. Trang 5/9

A. 0, 05%

B. 0,5%

C. 0, 25%

D. 0, 025%

Lời giải Chọn A Ta có độ dài gần đúng của cầu là a  996 với độ chính xác d  0,5 . Vì sai số tuyệt đối  a  d  0,5 nên sai số tương đối  a 

 a d 0,5    0, 05% . a a 996

Vậy sai số tương đối tối đa trong phép đo trên là 0, 05% . Câu 28. Số a được cho bởi số gần đúng a  5, 7824 với sai số tương đối không vượt quá 0,5% . Hãy đánh giá sai số tuyệt đối của a . A. 2,9% B. 2,89%

C. 2,5%

D. 0,5%

Lời giải Chọn B Ta có  a  Câu 29. Cho số x 

a 0,5 suy ra  a   a . a . Do đó  a  .5, 7824  0, 028912  2,89% . a 100

2 và các giá trị gần đúng của x là 0, 28 ; 0, 29 ; 0, 286 ; 0,3 . Hãy xác định sai số 7

tuyệt đối trong từng trường hợp và cho biết giá trị gần đúng nào là tốt nhất. A. 0, 28 B. 0, 29 C. 0, 286 D. 0,3 Lời giải Chọn C Ta có các sai số tuyệt đối là a 

2 7

 0, 28 

1 175

, b 

2 7

 0, 29 

3 700

, c 

2 7

 0, 286 

1 3500

, d 

2 7

 0, 3 

1 70

.

Vì  c   b   a   d nên c  0, 286 là số gần đúng tốt nhất. Câu 30. Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x  23m  0, 01m và chiều rộng là y  15m  0, 01m . Chu vi của ruộng là:

A. P  76m  0, 4m

B. P  76m  0, 04m

C. P  76m  0, 02m

D. P  76m  0, 08m

Lời giải Chọn B Giả sử x  23  a, y  15  b với 0, 01  a, b  0, 01 . Ta có chu vi ruộng là P  2  x  y   2  38  a  b   76  2  a  b  . Vì 0, 01  a, b  0, 01 nên 0, 04  2  a  b   0, 04 . Do đó P  76  2  a  b   0, 04 . Vậy P  76m  0, 04m . Câu 31. Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x  23m  0, 01m và chiều rộng là y  15m  0, 01m . Diện tích của ruộng là:

A. S  345m  0,3801m .

B. S  345m  0,38m .

C. S  345m  0, 03801m .

D. S  345m  0,3801m . Lời giải

Chọn A. Diện tích ruộng là S  x. y   23  a 15  b   345  23b  15a  ab . Vì

0, 01  a, b  0, 01

nên

23b  15a  ab  23.0, 01  15.0, 01  0, 01.0, 01

hay

23b  15a  ab  0,3801 . Trang 6/9

Suy ra S  345  0,3801 . Vậy S  345m  0,3801m . Câu 32. Cho tam giác

ABC

có độ dài ba cạnh đo được như sau

a  12 cm  0, 2 cm ;

b  10, 2 cm  0, 2 cm ; c  8cm  0,1cm . Tính chu vi P của tam giác và đánh giá sai số tuyệt

đối, sai số tương đối của số gần đúng của chu vi qua phép đo. A. 1, 6% B. 1, 7% C. 1, 662%

D. 1, 66%

Lời giải Chọn D Giả sử a  12  d1 , b  10, 2  d 2 , c  8  d3 . Ta có P  a  b  c  d1  d 2  d3  30, 2  d1  d 2  d3 . Theo giả thiết, ta có 0, 2  d1  0, 2;  0, 2  d 2  0, 2;  0,1  d3  0,1 . Suy ra –0,5  d1  d 2  d3  0,5 . Do đó P  30, 2 cm  0,5 cm . Sai số tuyệt đối  P  0,5 . Sai số tương đối  P 

d  1, 66% . P

Câu 33. Viết giá trị gần đúng của số 3 , chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn A. 1, 73;1, 733 B. 1, 7;1, 73 C. 1, 732;1, 7323 D. 1, 73;1, 732 . Lời giải Chọn D Sử dụng máy tính bỏ túi ta có Do đó giá trị gần đúng của giá trị gần đúng của

3  1, 732050808...

3 chính xác đến hàng phần trăm là 1,73;

3 chính xác đến hàng phần nghìn là 1,732.

Câu 34. Viết giá trị gần đúng của số  2 , chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn. A. 9,9 , 9,87 B. 9,87 , 9,870 C. 9,87 , 9,87 D. 9,870 , 9,87 . Lời giải Chọn B. Sử dụng máy tính bỏ túi ta có giá trị của  2 là 9,8696044... Do đó giá trị gần đúng của  2 chính xác đến hàng phần trăm là 9,87; giá trị gần đúng của  2 chính xác đến hàng phần nghìn là 9,870. Câu 35. Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây a  17658  16 . A. 18000

B. 17800

C. 17600 Lời giải

D. 17700 .

Chọn D. Ta có 10  16  100 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng trăm. Do đó ta phải quy tròn số 17638 đến hàng trăm. Vậy số quy tròn là 17700 (hay viết a  17700 ). Câu 36. Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây a  17658  16

a  15,318  0, 056 . A. 15

B. 15,5

C. 15,3

D. 16 .

Lời giải Chọn C.

Trang 7/9

Ta có 0, 01  0, 056  0,1 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần chục. Do đó phải quy tròn số 15,318 đến hàng phần chục. Vậy số quy tròn là 15,3 (hay viết

a  15,3 ). Câu 37. Các nhà khoa học Mỹ đang nghiên cứu liệu một máy bay có thể có tốc độ gấp bảy lần tốc độ ánh sáng. Với máy bay đó trong một năm (giả sử một năm có 365 ngày) nó bay được bao nhiêu ? Biết vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s. Viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học. A. 9,5.109 . B. 9, 4608.109 . C. 9, 461.109 . D. 9, 46080.109 . Lời giải Chọn B. Ta có một năm có 365 ngày, một ngày có 24 giờ, một giờ có 60 phút và một phút có 60 giây. Do đó một năm có : 24.365.60.60  31536000 giây. Vì vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s nên trong vòng một năm nó đi được 31536000.300  9, 4608.109 km. Câu 38. Số dân của một tỉnh là A  1034258  300 (người). Hãy tìm các chữ số chắc. A. 1, 0, 3, 4 , 5 . B. 1, 0, 3, 4 . C. 1, 0, 3, 4 . D. 1, 0, 3 . Lời giải Chọn C. 100 1000 Ta có nên các chữ số 8 (hàng đơn vị), 5 (hàng chục) và 2 ( hàng  50  300  500  2 2 trăm ) đều là các chữ số không chắc. Các chữ số còn lại 1, 0, 3, 4 là chữ số chắc. Do đó cách viết chuẩn của số A là A  1034.103 (người). Câu 39. Đo chiều dài của một con dốc, ta được số đo a  192,55 m , với sai số tương đối không vượt quá 0,3% . Hãy tìm các chữ số chắc của d và nêu cách viết chuẩn giá trị gần đúng của a . A. 193 m . B. 192 m . C. 192, 6 m . D. 190 m . Lời giải Chọn A. Ta có sai số tuyệt đối của số đo chiều dài con dốc là  a  a. a  192,55.0, 2%  0,3851 . Vì 0, 05   a  0,5 . Do đó chữ số chắc của d là 1, 9, 2. Vậy cách viết chuẩn của a là 193 m (quy tròn đến hàng đơn vị). Câu 40. Viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết số người dân tỉnh Lâm Đồng là a  3214056 người với độ chính xác d  100 người. A. 3214.103 . B. 3214000 . C. 3.106 . D. 32.105 . Lời giải Chọn A. 100 1000  50  100   500 nên chữ số hàng trăm (số 0) không là số chắc, còn chữ số 2 2 hàng nghìn (số 4) là chữ số chắc. Vậy chữ số chắc là 1, 2,3, 4 .

Ta có

Cách viết dưới dạng chuẩn là 3214.103 . Câu 41. Tìm số chắc và viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết a  1,3462 sai số tương đối của a bằng 1% . A. 1,3 .

B. 1,34 .

C. 1,35 .

D. 1,346 .

Lời giải Chọn A. Trang 8/9

Ta có  a 

a suy ra  a   a . a  1%.1,3462  0, 013462 . a

Suy ra độ chính xác của số gần đúng a không vượt quá 0, 013462 nên ta có thể xem độ chính xác là d  0, 013462 . 0, 01 0,1  0, 005  0, 013462   0, 05 nên chữ số hàng phần trăm (số 4) không là số 2 2 chắc, còn chữ số hàng phần chục (số 3) là chữ số chắc. Vậy chữ số chắc là 1 và 3 . Cách viết dưới dạng chuẩn là 1,3 .

Ta có

Câu 42. Một hình lập phương có thể tích V  180,57cm3  0, 05cm3 . Xác định các chữ số chắc chắn của

V. A. 1,8 .

B. 1,8, 0 .

C. 1,8, 0,5 .

D. 1,8, 0,5, 7 .

Lời giải Chọn C. 0, 01 0,1 Ta có . Suy ra 1,8, 0,5 là chữ số chắc chắn.  0, 05  2 2 Câu 43. Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn a  467346  12 . A. 46735.10 . B. 47.104 . C. 467.103 . D. 4673.102 . Lời giải Chọn D. 10 100 Ta có  5  12   50 nên chữ số hàng trăm trở đi là chữ số chữ số chắc do đó số gần 2 2 đúng viết dưới dạng chuẩn là 4673.102 . Câu 44. Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn b  2, 4653245  0, 006 . A. 2, 46 .

B. 2, 47 .

C. 2,5 .

D. 2, 465 .

Lời giải Chọn C. 0, 01 0,1 Ta có  0, 005  0, 006   0, 05 nên chữ số hàng phần chục trở đi là chữ số chữ số 2 2 chắc do đó số gần đúng viết dưới dạng chuẩn là 2,5 . Câu 45. Quy tròn số 7216, 4 đến hàng đơn vị, được số 7216 . Sai số tuyệt đối là: A. 0, 2 .

B. 0,3 .

C. 0, 4 .

D. 0, 6 .

Lời giải Chọn C. Quy tròn số 7216, 4 đến hàng đơn vị, được số 7216 . Sai số tuyệt đối là:

7216, 4  7216  0, 4 Câu 46. Quy tròn số 2, 654 đến hàng phần chục, được số 2, 7 . Sai số tuyệt đối là:. A. 0, 05 .

B. 0, 04 .

C. 0, 046 .

D. 0,1 .

Lời giải Chọn C. Quy tròn số 2, 654 đến hàng phần chục, được số 2, 7 . Sai số tuyệt đối là: 2, 7  2, 654  0, 046 . Câu 47. Trong 5 lần đo độ cao một đạp nước, người ta thu được các kết quả sau với độ chính xác 1dm : 15,6m ; 15,8m ; 15,4m ; 15,7m ; 15,9m. Hãy xác định độ cao của đập nước. A.  h '  3dm . B. 16m  3dm . C. 15,5m  1dm . D. 15, 6m  0, 6dm . Trang 9/9

Lời giải Chọn A. Giá trị trung bình là : 15,68m. Vì độ chính xác là 1dm nên ta có h '  15, 7 m . Mà  h '  3dm Nên 15, 7 m  3dm .

Trang 10/9

Chương 2

HÀM SỐ

§ 1. ÑAÏI CÖÔNG VEÀ HAØM SOÁ 

 Định nghĩa Cho D   , D  . Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x  D với một và chỉ một số y  . Trong đó:  x được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: y  f ( x).  D được gọi là tập xác định của hàm số.





 T  y  f ( x) x  D được gọi là tập giá trị của hàm số.

 Cách cho hàm số: cho bằng bảng, biểu đồ, công thức y  f ( x). Tập xác định của hàm y  f ( x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f ( x) có nghĩa.  Chiều biến thiên của hàm số: Giả sử hàm số y  f ( x) có tập xác định là D. Khi đó:  Hàm số y  f ( x) được gọi là đồng biến trên D  x1 , x2  D và x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ).  Hàm số y  f ( x) được gọi là nghịch biến trên D  x1 , x2  D và x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ).

 Tính chẵn lẻ của hàm số Cho hàm số y  f ( x) có tập xác định D.  Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu x  D thì  x  D và f (  x)  f ( x).  Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu x  D thì  x  D và f (  x)   f ( x).  Tính chất của đồ thị hàm số chẵn và hàm số lẻ: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng.

 Đồ thị của hàm số  Đồ thị của hàm số y  f ( x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M  x; f ( x)  trên mặt phẳng toạ độ Oxy với mọi x  D.  Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y  f ( x) là một đường. Khi đó ta nói y  f ( x) là phương trình của đường đó.

Câu 1.

Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y  2 x –1  3 x  2 ? A.  2;6  .

B. 1; 1 .

C.  2; 10  .

D.  0;  4  .

Lời giải Chọn A. Câu 2.

Cho hàm số: y  A. M 1  2;3 .

x 1 . Trong các điểm sau đây, điểm nào thuộc đồ thị hàm số: 2 x  3x  1 2

B. M 2  0; 1 .

C. M 3 12; 12  .

D. M 4 1;0  .

Lời giải Chọn B.

Trang 1/12

Câu 3.

Câu 4.

 2  x  1 , x   ;0   Cho hàm số y   x  1 , x   0; 2 . Tính f  4  , ta được kết quả:  2  x  1 , x   2;5  2 A. . B. 15 . C. 5 . 3 Lời giải Chọn B. x 1 Tập xác định của hàm số y  2 là x  x3 A.  . B.  . C.  \ 1 .

D. 7 .

D.  \ 0;1 .

Lời giải Chọn B. 2

1  11  Ta có: x  x  3   x     0 x   . 2 4  2

Câu 5.

 3 x  Tập xác định của hàm số y   1   x A.  \ 0 .

, x   ;0  , x   0;  

B.  \  0;3 .

là:

C.  \ 0;3 .

D.  .

Lời giải

Câu 6.

Câu 7.

Chọn A. Hàm số không xác định tại x = 0 Chọn A. x 1 Hàm số y  xác định trên  0;1 khi: x  2m  1 1 1 A. m  . B. m  1 . C. m  hoặc m  1 . D. m  2 hoặc m  1 . 2 2 Lời giải Chọn C. Hàm số xác định khi x  2m  1  0  x  2m  1 x 1 Do đó hàm số y  xác định trên  0;1 khi: 2m  1  0 hoặc 2m  1  1 x  2m  1 1 hay m  hoặc m  1 . 2

 x2  2 x là tập hợp nào sau đây? x2  1 B.  \ 1;1 . C.  \ 1 .

Tập xác định của hàm số: f  x   A.  .

D.  \ 1 .

Lời giải Chọn A. Điều kiện: x 2  1  0 (luôn đúng). Vậy tập xác định là D   . Trang 2/12

Câu 8.

Tập hợp nào sau đây là tập xác định của hàm số: y 

3  A.  ;   . 2 

2x  3

3  C.  ;  . 2 

3  B.  ;   . 2 

D.  .

Lời giải Chọn D. Điều kiện: 2 x  3  0 (luôn đúng).

Câu 9.

Vậy tập xác định là D   .  1 khi x  0  Cho hàm số: y   x  1 . Tập xác định của hàm số là:  x  2 khi x  0  A.  2;   .

B.  \ 1 .

D.  x   / x  1 và x  2 .

C.  . Lời giải Chọn C. Với x  0 thì ta có hàm số f  x  

1 luôn xác định. Do đó tập xác định của hàm số x 1

1 là  ;0 . x 1 Với x  0 thì ta có hàm số g  x   x  2 luôn xác định. Do đó tập xác định của hàm số f  x 

g  x   x  2 là  0;   .

Vậy tập xác định là D   ;0   0;     .

Câu 10. Cho hai hàm số f  x  và g  x  cùng đồng biến trên khoảng  a; b  . Có thể kết luận gì về chiều biến thiên của hàm số y  f  x   g  x  trên khoảng  a; b  ? A.Đồng biến.

B.Nghịch biến. C.Không đổi. Lời giải

D.Không kết luận đượC.

Chọn A. Ta có hàm số y  f  x   g  x  đồng biến trên khoảng  a; b  . Câu 11. Trong các hàm số sau, hàm số nào tăng trên khoảng  1;0  ? A. y  x .

B. y 

1 . x

C. y  x .

D. y  x 2 .

Lời giải Chọn A. Ta có hàm số y  x có hệ số a  1  0 nên hàm số đồng biến trên  . Do đó hàm số y  x tăng trên khoảng  1;0  .

Câu 12. Trong các hàm số sau đây: y  x , y  x 2  4 x , y   x 4  2 x 2 có bao nhiêu hàm số chẵn? A.0.

B.1.

C.2.

D.3.

Lời giải Chọn C. Ta có cả ba hàm số đều có tập xác định D   . Do đó x     x   . +) Xét hàm số y  x . Ta có y   x    x  x  y  x  . Do đó đây là hàm chẵn. +) Xét hàm số y  x 2  4 x . Ta có y  1  3  y 1  5 , và y  1  3   y 1  5 .Do đó đây là hàm không chẵn cũng không lẻ. Trang 3/12

+) Xét hàm số y   x 4  2 x 2 . Ta có y   x      x   2   x    x 4  2 x 2  y  x  . Do đó đây 4

2

là hàm chẵn. Câu 13. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ? x x x 1 x A. y   . B. y    1 . C. y   . D. y    2 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A. x Xét hàm số y  f  x    có tập xác định D   . 2 x x Với mọi x  D , ta có  x  D và f   x      f  x  nên y   là hàm số lẻ. 2 2 Câu 14. Xét tính chẵn, lẻ của hai hàm số f  x   x  2 – x  2 , g  x   – x . A. f  x  là hàm số chẵn, g  x  là hàm số chẵn. B. f  x  là hàm số lẻ, g  x  là hàm số chẵn. C. f  x  là hàm số lẻ, g  x  là hàm số lẻ. D. f  x  là hàm số chẵn, g  x  là hàm số lẻ. Lời giải Chọn B Hàm số f  x  và g  x  đều có tập xác định là D   . Xét hàm số f  x  : Với mọi x  D ta có  x  D và

f   x    x  2 –  x  2    x  2    x  2  x  2  x  2    x  2  x  2    f  x  Nên f  x  là hàm số lẻ. Xét hàm số g  x  : Với mọi x  D ta có  x  D và g   x     x   x  g  x  nên g  x  là hàm số chẵn. Câu 15. Xét tính chất chẵn lẻ của hàm số y  2 x3  3 x  1 . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? A. y là hàm số chẵn.

B. y là hàm số lẻ.

C. y là hàm số không có tính chẵn lẻ.

D. y là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. Lời giải

Chọn C Xét hàm số y  2 x3  3 x  1 Với x  1 , ta có: y  1  4  y 1  6 và y  1  4   y 1  6 Nên y là hàm số không có tính chẵn lẻ. Câu 16. Cho hàm số y  3 x 4 – 4 x 2  3 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. y là hàm số chẵn.

B. y là hàm số lẻ.

C. y là hàm số không có tính chẵn lẻ.

D. y là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. Lời giải

Chọn A Xét hàm số y  3 x 4 – 4 x 2  3 có tập xác định D   . Với mọi x  D , ta có  x  D và y   x   3   x  – 4   x   3  3 x 4 – 4 x 2  3 nên 4

2

Trang 4/12

y  3 x 4 – 4 x 2  3 là hàm số chẵn. Câu 17. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số lẻ? A. y  x3  1 .

B. y  x3 – x .

C. y  x3  x .

1 x

D. y  .

Lời giải Chọn A Xét hàm số y  x3  1 . Ta có: với x  2 thì y  2    2   1  7 và  y  2   9  y  2  . 3

Câu 18. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số chẵn? A. y  x  1  1 – x . B. y  x  1  1 – x . C. y  x 2  1  1 – x 2 .

D. y  x 2  1  1 – x 2 . Lời giải

ChọnB Xét hàm số y  x  1  1 – x Với x  1 ta có: y  1  2; y 1  2 nên y (1) ¹ y (-1) . Vậy y  x  1  1 – x không là hàm số chẵn. Câu 19. Cho hàm số: y  A. M 1  2; 3 .

x 1 . Trong các điểm sau đây điểm nào thuộc đồ thị của hàm số ? 2 x  3x  1  1 1  B. M 2  0;  1 . C. M 3  ; D. M 4 1; 0  . . 2 2  2

Lời giải Chọn B Thay x  0 vào hàm số ta thấy y  1 . Vậy M 2  0;  1 thuộc đồ thị hàm số. Câu 20. Cho hàm số: y  f  x   2 x  3 . Tìm x để f  x   3. A. x  3.

B. x  3 hay x  0. C. x  3. Lời giải

D. x  1 .

Chọn B

2 x  3  3 x  3 . f  x  3  2x  3  3     2 x  3  3 x  0 Câu 21. Cho hàm số: y  f  x   x 3  9 x . Kết quả nào sau đây đúng? A. f  0   2; f  3  4.

B. f  2  không xác định; f  3  5.

C. f  1  8 ; f  2  không xác định.

D.Tất cả các câu trên đều đúng. Lời giải

Chọn C Điều kiện xác định: x 3 - 9 x ³ 0 . (do chưa học giải bất phương trình bậc hai nên không giải ra

x  3 điều kiện  ) 3  x  0

f (-1) = (-1) - 9.(-1) = 8 và 23 - 9.2 = -10 < 0 nên f (2) không xác định. 3

Trang 5/12

x  5 x 1 là:  x 1 x  5 B. D   \{1}. C. D   \ {5}.

Câu 22. Tập xác định của hàm số f ( x)  A. D  

D. D   \ {5; 1}.

Lời giải Chọn D

x 1  0 x  1 Điều kiện:  .  x  5  0  x  5 Câu 23. Tập xác định của hàm số f ( x)  x  3 

1 là: 1 x

A. D  1; 3 .

B. D   ;1  3;   .

C. D   ;1   3;  

D. D  . Lời giải

Chọn B

x  3  0 x  3 Điều kiện  . Vậy tập xác định của hàm số là D   ;1  3;   .  1  x  0 x  1 Câu 24. Tập xác định của hàm số y 

3x  4 là: ( x  2) x  4

A. D   \{2}.

B. D   4;   \ 2 .

C. D   4;   \ 2 .

D. D  . Lời giải

Chọn B

x  2  0 x  2 Điều kiện:  . Vậy tập xác định của hàm số là D   4;   \ 2 .  x  4  0  x  4 Câu 25. Tập hợp nào sau đây là tập xác định của hàm số: y = é3 ö A. ê ; +¥÷÷÷. ø ëê 2

2x - 3 ?

æ 3ù C. çç-¥; ú . çè 2 ûú

B. .

ì 3ü D.  \ ï í ï ý. ï 2þ ï ï ï î

Lời giải Chọn B. Hàm số y =

2 x - 3 xác định khi và chỉ khi 2 x - 3 ³ 0 (luôn đúng "x Î  )

Vậy tập xác định của hàm số là  . Câu 26. Hàm số y =

x 4 - 3x 2 + x + 7 -1 có tập xác định là: x 4 - 2 x 2 +1

A. [-2; -1) È (1; 3].

B. (-2; -1] È [1; 3).

C. [-2;3] \ {-1;1}.

D. [-2; -1) È (-1;1) È (1;3]. Lời giải

Chọn D.

Trang 6/12

Hàm số y =

x 4 - 3x 2 + x + 7 -1 xác định khi và chỉ khi x 4 - 2 x 2 +1

ì ïx2 + x + 6 ³ 0 ì ï-2 £ x £ 3 x 4 - 3x 2 + x + 7 -x 2 + x + 6 ï 1 ³ 0 Û ³ 0 Û Ûï . í í 2 4 2 2 ï ï x - 2 x +1 ï î x ¹ ±1 ï ( x 2 -1) î x -1 ¹ 0

 1 x0  Câu 27. Cho hàm số: y   x  1 . Tập xác định của hàm số là tập hợp nào sau đây?  x2 x 0 

A.  2;   .

B.  \ 1 .

D.  x   x  1; x  2 .

C.  . Lời giải Chọn C.

1 xác định khi và chỉ khi x  1  0  x  1 luôn đúng x  0 x 1 Với x  0 , Hàm số y  x  2 xác định khi và chỉ khi x  2  0  x  2 luôn đúng x  0

Với x  0 , Hàm số y 

Câu 28. Hàm số y 

7x 4 x  19 x  12 2

có tập xác định là :

3  A.  ;    4;7  . 4  3  C.  ;    4;7  . 4 

3  B.  ;    4;7  . 4  3  D.  ;    4;7  . 4 

Lời giải Chọn A. Hàm số y 

7x 4 x  9 x  12 2

xác định khi và chỉ khi

ì x£7 ï ï ï ì ïé x ³ 4 7- x ³ 0 æ ï 7- x 3ù ³0Ûï Ûï Û x Î çç-¥; ú È [ 4;7 ]. ê í í 2 ç ï è ê 4 úû 3 4 x 2 -19 x + 12 ï î4 x -19 x + 12 > 0 ï ï ê ï x £ ï 4 ïë îê

Câu 29. Tập xác định của hàm số y  x  3  A. D   \ 3 .

1 là x 3

B. D  3;   .

C. D   3;   .

D. D   ;3 .

Lời giải Chọn C.

1 xác định khi và chỉ khi x 3 1 Câu 30. Tập xác định của hàm số y  x  5  là 13  x Hàm số y  x  3 

A. D  5; 13 .

B. D   5; 13 .

ì ìx ³ 3 x -3 ³ 0 ï ï ï Ûï Û x > 3. í í ï ïx - 3 ¹ 0 ï ïx ¹ 3 î î

C.  5;13 .

D. 5;13 .

Lời giải Chọn D. Hàm số y  x  5 

1 xác định khi và chỉ khi 13  x

ìïï x - 5 ³ 0 ìï x ³ 5 Û ïí Û 5 £ x < 13. í ïîï13 - x > 0 ïîï x < 13 Trang 7/12

Câu 31. Hàm số y 

x2 x 3  x 2 2

có tập xác định là:



 

3;  .



 

7  3;  \   . 4

A. ;  3  C. ;  3 







7  B. ;  3    3;  \   . 4 7  D. ;  3   3;  . 4 







Lời giải Chọn B.

 x 2  3  x  2  0 Hàm số đã cho xác định khi  2  x  3  0 x  3 Ta có x 2  3  0   .  x   3 x  2 2  x  0 7  Xét x  3  x  2  0  x  3  2  x   2 7 x 2   4  x  3   2  x   x  4 7  Do đó tập xác định của hàm số đã cho là D  ;  3    3;  \   . 4 2 x  2x Câu 32. Tập xác định của hàm số y  2 là tập hợp nào sau đây? x 1 2

2



A. .



C.  \ 1 .

B.  \ 1 .

D.  \ 1 .

Lời giải Chọn A. Hàm số đã cho xác định khi x 2  1  0 luôn đúng. Vậy tập xác định của hàm số là D   . 1 Câu 33. Tập xác định của hàm số y  x  1  là x 2 A. D   1;   \ 2 .

B. D   1;   \ 2 .

C. D   1;   \ 2 .

D. D   1;   \ 2 . Lời giải

Chọn B.

x  2  x  2  0 x  2    x  2   Hàm số đã cho xác định khi   x  1  0  x  1  x  1  Vậy tập xác định của hàm số là D   1;   \ 2 . Câu 34. Cho hàm số y = f ( x) = 3x 4 - 4x 2 + 3 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. y  f  x  là hàm số chẵn.

B. y  f  x  là hàm số lẻ.

C. y  f  x  là hàm số không có tính chẵn lẻ.

D. y  f  x  là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.

Lời giải Chọn A. Tập xác định D   .

Trang 8/12

x  D   x  D Ta có  4 2 4 2  f   x   3   x  – 4   x   3  3 x – 4 x  3  f  x  , x  D Do đó hàm số y  f  x  là hàm số chẵn. Câu 35. Cho hai hàm số f  x   x3 – 3 x và g  x    x3  x 2 . Khi đó A. f  x  và g  x  cùng lẻ.

B. f  x  lẻ, g  x  chẵn.

C. f  x  chẵn, g  x  lẻ.

D. f  x  lẻ, g  x  không chẵn không lẻ. Lời giải

Chọn D. Tập xác định D   .

3 Xét hàm số f  x   x – 3 x

x  D   x  D Ta có  3 3  f   x     x  – 3   x    x  3 x   f  x  , x  D Do đó hàm số y  f  x  là hàm số lẻ. 3 2 Xét hàm số g  x    x  x

x  D   x  D Ta có g  1  2   g 1  0  4 2  x  x  1  g  x  , x  D Do đó hàm số y  g  x  là không chẵn, không lẻ. 4 2 Câu 36. Cho hai hàm số f  x   x  2  x  2 và g  x    x  x  1 . Khi đó:

A. f  x  và g  x  cùng chẵn.

B. f  x  và g  x  cùng lẻ.

C. f  x  chẵn, g  x  lẻ.

D. f  x  lẻ, g  x  chẵn. Lời giải

Chọn D. Tập xác định D   . Xét hàm số f  x   x  2  x  2 x  D   x  D Ta có   f   x    x  2   x  2  x  2  x  2   f  x  , x  D Do đó hàm số y  f  x  là hàm số lẻ.

Xét hàm số g  x    x 4  x 2  1

x  D   x  D Ta có  4 2 4 2  g   x      x     x   1   x  x  1  g  x  , x  D Do đó hàm số y  g  x  là hàm số chẵn.

1 và g  x    x 4  x 2  1 . Khi đó: x A. f  x  và g  x  đều là hàm lẻ. B. f  x  và g  x  đều là hàm chẵn.

Câu 37. Cho hai hàm số f  x  

C. f  x  lẻ, g  x  chẵn.

D. f  x  chẵn, g  x  lẻ.

Lời giải Chọn C. Tập xác định của hàm f  x  : D1 =  \ {0} nên x Î D1 Þ -x Î D1

Trang 9/12

1   f  x x Tập xác định của hàm g  x  : D2 =  nên x Î D2 Þ -x Î D2 f x  

g   x      x     x  1   x4  x2 1  g  x  4

2

Vậy f  x  lẻ, g  x  chẵn. Câu 38. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số chẵn. A. y  x  1  1  x .

B. y  x  1  1  x .

C. y  x 2  1  x 2  1 . D. y 

x 1  1 x . x2  4

Lời giải Chọn B. y  f  x  x 1  1 x  f x  x 1  1 x    x 1  1 x    f  x Vậy y  x  1  1  x không là hàm số chẵn. Câu 39. Trong các hàm số sau, hàm số nào tăng trên khoảng  1;0  ? A. y  x .

B. y 

1 . x

C. y  x .

D. y  x 2 .

Lời giải Chọn A. TXĐ: Đặt D   1;0  Xét x1 ; x2  D và x1  x2  x1  x2  0 Khi đó với hàm số y  f  x   x

 f  x1   f  x2   x1  x2  0 Suy ra hàm số y  x tăng trênkhoảng  1;0  .

Cách khác: Hàm số y = x là hàm số bậc nhất có a = 1> 0 nên tăng trên  . Vậy y = x tăng trên khoảng  1;0  .

Câu 40. Câu nào sau đây đúng? A.Hàm số y  a 2 x  b đồng biến khi a  0 và nghịch biến khi a  0 . B.Hàm số y  a 2 x  b đồng biến khi b  0 và nghịch biến khi b  0 . C. Với mọi b , hàm số y  a 2 x  b nghịch biến khi a  0 . D. Hàm số y  a 2 x  b đồng biến khi a  0 và nghịch biến khi b  0 . Lời giải Chọn C. TXĐ: D   Xét x1 ; x2  D và x1  x2  x1  x2  0 Khi đó với hàm số y  f  x   a 2 x  b

 f  x1   f  x2   a 2 ( x2  x1 )  0  a  0.

Vậy hàm số y  a 2 x  b nghịch biến khi a  0 . Cách khác y  a 2 x  b là hàm số bậc nhất khi a  0 khi đó a 2  0 nên hàm số nghịch biến. 1 Câu 41. Xét sự biến thiên của hàm số y  2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x A. Hàm số đồng biến trên  ;0  , nghịch biến trên  0;   . B.Hàm số đồng biến trên  0;   , nghịch biến trên  ;0  . C.Hàm số đồng biến trên  ;1 , nghịch biến trên 1;   . Trang 10/12

D.Hàm số nghịch biến trên  ;0    0;   . Lời giải Chọn A. TXĐ: D   \{0} Xét x1 ; x2  D và x1  x2  x1  x2  0 1 Khi đó với hàm số y  f  x   2 x 1 1  x  x  x  x   f  x1   f  x2   2  2  2 1 2 22 1 x1 x2 x2 .x1 Trên  ;0   f  x1   f  x2  

 x2  x1  x2  x1   0 nên hàmsố đồng biến.

Trên  0;    f  x1   f  x2  

 x2  x1  x2  x1   0 nên hàm số nghịch biến.

x2 2 .x12 x2 2 .x12

4 . Khi đó: x 1 A. f  x  tăng trên khoảng  ; 1 và giảm trên khoảng  1;   .

Câu 42. Cho hàm số f  x  

B. f  x  tăng trên hai khoảng  ; 1 và  1;   . C. f  x  giảm trên khoảng  ; 1 và giảm trên khoảng  1;   . D. f  x  giảm trên hai khoảng  ; 1 và  1;   . Lời giải Chọn C. TXĐ: D   \{  1} . Xét x1 ; x2  D và x1  x2  x1  x2  0 4 Khi đó với hàm số y  f  x   x 1  x2  x1  4 4  f  x1   f  x2     4. x1  1 x2  1  x1  1 x2  1

 x2  x1   0 nên hàm số nghịch biến.  x1  1 x2  1  x2  x1   0 nên hàm số nghịch biến. f  x1   f  x2   4.  x1  1 x2  1

Trên  ; 1  f  x1   f  x2   4. Trên  1;   

x . Chọn khẳng định đúng. x 1 A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. B.Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. C. Hàm số đồng biến trên  ;1 , nghịch biến trên 1;   .

Câu 43. Xét sự biến thiên của hàm số y 

D.Hàm số đồng biến trên  ;1 . Lời giải Chọn A Ta có: y  f  x  

x 1 .  1 x 1 x 1

1 giảm trên  ;1 và 1;    (thiếu chứng minh) nên hàm số đã cho nghịch biến x 1 trên từng khoảng xác định của nó.

Mà y 

Trang 11/12

Câu 44. Cho hàm số y 

16  x 2 . Kết quả nào sau đây đúng? x2

A. f (0)  2; f (1) 

11 . 24 14 D. f (0)  2; f (1)  . 3

15 . 3

B. f (0)  2; f (3)  

C. f  2   1 ; f  2  không xác định. Lời giải Chọn A

15 16  x 2 , ta có: f (0)  2; f (1)  . 3 x2  x  x  1 , x  0 Câu 45. Cho hàm số: f ( x)   . Giá trị f  0  , f  2  , f  2  là 1  , x0  x  1 2 2 1 A. f (0)  0; f (2)  , f (2)  2 . B. f (0)  0; f (2)  , f (2)   . 3 3 3 1 C. f (0)  0; f (2)  1, f (2)   . D. f  0   0; f  2   1; f  2   2 . 3 Lời giải Chọn B 2 1 Ta có: f  0   0 , f  2   (do x  0 ) và f  2    (do x  0 ). 3 3 1 Câu 46. Cho hàm số: f ( x)  x  1  . Tập nào sau đây là tập xác định của hàm số f  x  ? x 3 A. 1;   . B. 1;   . C. 1;3   3;   . D. 1;   \3. Đặt y  f  x  

Lời giải Chọn C

x 1  0 x  1 Hàm số xác định khi   . x  3  0 x  3 Câu 47. Hàm số y  x 2  x  20  6  x có tập xác định là A.  ; 4    5;6 .

B.  ; 4    5;6  .

C.  ;  4  5;6 .

D.  ; 4   5;6  .

Lời giải Chọn C  x 2  x  20  0  x  4  x  5 Hàm số xác định khi   x  6 6  x  0 Do đó tập xác định là  ;  4  5;6 .

Câu 48. Hàm số y 

x3 có tập xác định là: x 2

A.  2;0   2;   .

B.  ; 2    0;   . C.  ; 2    0; 2  .

D.  ;0    2;   .

Lời giải Chọn A

Trang 12/12

Hàm số xác định khi và chỉ khi   x3  0   x  0  x  0       x  2  0 x  2 x3   x  2  x  2  x  2 . 0    3  x  0  2  x  0 x 2 x  0   x  0         x  2  0  x  2  2  x  2     Do đó tập xác định là  2;0   2;   . Câu 49. Xét tính chẵn lẻ của hàm số: y  2 x 3  3 x  1 . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? A. y là hàm số chẵn. C. y là hàm số không có tính chẵn lẻ.

B. y là hàm số lẻ. D. y là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.

Lời giải Chọn C Tập xác định của hàm số y  f ( x)  2 x 3  3 x  1 là  Với x  1 , ta có f  1  2  3  1  4 và f 1  6 ,  f 1  6 Suy ra : f  1  f 1 , f  1   f 1 Do đó y là hàm số không có tính chẵn lẻ. Câu 50. Cho hai hàm số: f ( x)  x  2  x  2 và g  x   x 3  5 x . Khi đó A. f  x  và g  x  đều là hàm số lẻ.

B. f  x  và g  x  đều là hàm số chẵn.

C. f  x  lẻ, g  x  chẵn.

D. f  x  chẵn, g  x  lẻ. Lời giải

Chọn D Xét hàm số f ( x)  x  2  x  2 có tập xác định là 

Với mọi x   , ta có  x   và f   x    x  2   x  2    x  2    x  2  x  2  x  2  f  x  Nên f  x  là hàm số chẵn. Xét hàm số g  x   x 3  5 x có tập xác định là  .

Với mọi x   , ta có  x   và 3 g   x   g  x     x   5   x    x3  5 x    x3  5 x    g  x  Nên g  x  là hàm số lẻ.

Trang 13/12

Chương 2

HÀM SỐ

§ 2. HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT 

Hàm số

TXĐ

Tính chất

Bảng biến thiên x

Hàm số bậc nhất y  ax  b

a  0 : hàm



( a  0)

số đồng biến

số nghịch biến

Hàm số hằng yb



y x 

Đồng biến trên ( ; 0) và nghịch biến (0; ).

 x khi x  0   x khi x  0



y





A(0; b)

B

 b  B  ; 0  a 

y

O



O



x

B y A O

A(0; b)

x

( a  0)

A y  ax  b

Không đổi. Hàm chẵn.



y

x

y

y  ax  b A



Hàm chẵn.

Hàm số

Đồ thị ( a  0)



 a  0 : hàm

Điểm đặc biệt

yb

x

y x

y



y x

O(0; 0)

0



A( 1;1)

 

B(1;1)

A

1

1 O

B 1

x

0  b khi x   ax  b a Đối với hàm số y  ax  b , ( a  0) thì ta có: y  ax  b   ( ax  b) khi x   b  a

Do đó để vẽ hàm số y  ax  b , ta sẽ vẽ hai đường thẳng y  ax  b và y  ax  b , rồi xóa đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành Ox.  Lưu ý: Cho hai đường thẳng d : y  ax  b và d : y  ax  b. Khi đó:  d // d  a  a và b  b.

 d  d  a.a  1.

 d  d  a  a và b  b.

 d  d  a  a.

 Phương trình đường thẳng d qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc k dạng d : y  k.( x  x A )  y A .

Câu 1.

Giá trị nào của k thì hàm số y = (k – 1) x + k – 2 nghịch biến trên tập xác định của hàm số.

A. k < 1 .

B. k > 1 .

C. k < 2 . Lời giải

D. k > 2 .

Chọn A Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi k - 1 < 0 Û k < 1 .

Trang 1/15

Câu 2.

Cho hàm số y = ax + b (a ¹ 0) . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến khi a > 0 .

B. Hàm số đồng biến khi a < 0 .

b C. Hàm số đồng biến khi x > - . a

b D. Hàm số đồng biến khi x < - . a Lời giải

Chọn A Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ¹ 0) đồng biến khi a > 0 . Câu 3.

Đồ thị của hàm số y = -

A.

x + 2 là hình nào? 2

y

y

2

2

O

4

x

.

B.

–4

O

C.

–4

4 x –2

.

y

y O

x

O .

–2

D.

x .

Lời giải Chọn A ìïx = 0 Þ y = 2 Cho ï Þ Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0;2), (4; 0) . í ïïy = 0 Þ x = 4 î Câu 4.

Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào ? y O

1 –2

A. y = x – 2 .

B. y = –x – 2 .

x . C. y = –2x – 2 .

D. y = 2x – 2 .

Lời giải Chọn D

Giả sử hàm số cần tìm có dạng: y = ax + b (a ¹ 0) .

ïì-2 = b ïìa = 2 Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0; -2), (1; 0) nên ta có: ï . Û ïí í ïï0 = a + b ïïb = -2 î î Vậy hàm số cần tìm là y = 2x – 2 . Câu 5.

Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào?

Trang 2/15

y 1 – 1 A. y = x .

B. y = x + 1 .

1

x

C. y = 1 - x .

D. y = x - 1 .

Lời giải Chọn C

Giả sử hàm số cần tìm có dạng: y = a x + b (a ¹ 0) .

ïì1 = b ïìa = -1 Đồ thị hàm số đi qua ba điểm (0;1), (1; 0), (-1; 0) nên ta có: ïí . Û ïí ïï0 = a + b ïïb = 1 î î Vậy hàm số cần tìm là y = 1 - x . Câu 6.

Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào? y 1 – 1 A. y = x .

x

O

C. y = x với x £ 0 . D. y = -x với x < 0 .

B. y = -x .

Lời giải Chọn C

Giả sử hàm số cần tìm có dạng: y = a x + b (a ¹ 0) .

ìï0 = b ìïa = 1 ï Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (-1;1), (0; 0) nên ta có: í . Û ïí ïï1 = a + b ïïb = 0 î î

Suy ra hàm số cần tìm là y = x . Do đồ thị hàm số trong hình vẽ chỉ lấy nhánh bên trái trục tung nên đây chính là đồ thị của hàm số y = x ứng với x £ 0 . Câu 7.

(

) (

)

Với giá trị nào của a và b thì đồ thị hàm số y = ax + b đi qua các điểm A -2; 1 , B 1; - 2

A. a = -2 và b = -1 . B. a = 2 và b = 1 . C. a = 1 và b = 1 . D. a = -1 và b = -1 . Lời giải Chọn D ì ì ï1 = -2a + b ï ïa = -1 . Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A -2; 1 , B 1; - 2 nên ta có: ï Û í í ï ï ï-2 = a + b ïb = -1 î î

(

Câu 8.

) (

)

(

)

( )

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A -1; 2 và B 3; 1 là:

A. y =

x 1 + . 4 4

B. y =

-x 7 + . 4 4

C. y = Lời giải

3x 7 + . 2 2

D. y = -

3x 1 + . 2 2

Chọn B Trang 3/15

Giả sử phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: y = ax + b

(a ¹ 0) .

ì ï 1 ï a =ì ï ï 2 = a + b 4. Đường thẳng đi qua hai điểm A (-1;2) , B (3;1) nên ta có: ïí Ûï í ï ï 1 = 3 a + b 7 ï ï î b= ï ï 4 ï î

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = Câu 9.

-x 7 + . 4 4

Cho hàm số y = x - x . Trên đồ thị của hàm số lấy hai điểm A và B hoành độ lần lượt là -2 và 1 . Phương trình đường thẳng AB là

3x 3 - . 4 4

A. y =

B. y =

4x 4 - . 3 3

C. y = Lời giải

-3x 3 + . 4 4

D. y = -

4x 4 + . 3 3

Chọn A

Do điểm A và điểm B thuộc đồ thị hàm số y = x - x nên ta tìm được A (-2; -4) , B (1; 0) . Giả sử phương trình đường thẳng AB có dạng: y = ax + b

(a ¹ 0) .

Do đường thẳng AB đi qua hai điểm A (-2; -4) , B (1; 0) nên ta có: ì ï 3 ï a= ì ï ï 4 = 2 a + b ï 4 . Ûï í í ï ï 0 = a + b 3 ï ï î b =ï ï 4 ï î

Vậy phương trình đường thẳng AB là: y =

3x 3 - . 4 4

(

)

Câu 10. Đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục hoành tại điểm x = 3 và đi qua điểm M -2; 4 với các giá trị a, b là A. a =

1 ; b = 3. 2

1 C. a = - ; b = -3 . 2

1 B. a = - ; b = 3 . 2

D. a = Lời giải

1 ; b = -3 . 2

Chọn B

ìï ìï3 = b ïa = - 1 ï Û ïí Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A (3; 0), M (-2; 4) nên ta có í . ïï4 = -2a + b ïïb = 3 2 î ïïî Câu 11. Không vẽ đồ thị, hãy cho biết cặp đường thẳng nào sau đây cắt nhau? A. y = 1 x - 1 và y = 2x + 3 .

2

æ 2 ö÷ ç C. y = - 1 x + 1 và y = - çç x - 1÷÷÷ . ççè 2 2 ÷ø

2 B. y = 1 x và y = x -1. 2 2 D. y = 2x - 1 và y = 2x + 7 . Lời giải

Chọn A

Trang 4/15

1

Ta có:

2

¹ 2 suy ra hai đường thẳng cắt nhau.

Câu 12. Cho hai đường thẳng d1 : y = A. d1 và d2 trùng nhau.

1 1 x + 100 và d2 : y = - x + 100 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 B. d1 và d2 cắt nhau và không vuông góc.

C. d1 và d2 song song với nhau.

D. d1 và d2 vuông góc. Lời giải

Chọn B Ta có:

1 æ 1ö 1 1 1 ¹ - suy ra hai đường thẳng cắt nhau. Do . çç- ÷÷÷ = - ¹ -1 nên hai đường 2 çè 2 ÷ø 4 2 2

thẳng không vuông góc. 3 Câu 13. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = x + 2 và y = - x + 3 là 4 æ 4 18 ö æ 4 18 ö æ 4 18 ö æ 4 18 ö A. çç ; ÷÷÷ . B. çç ; - ÷÷÷ . C. çç- ; ÷÷÷ . D. ççç- ; - ÷÷÷ . çè 7 7 ÷ø çè 7 çè 7 7 ÷ø 7 ÷ø 7 ø÷ è 7

Lời giải Chọn A 3 4 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng : x + 2 = - x + 3 Û x = . 4 7

Thế x =

æ 4 18 ö÷ çç ; ÷ . çè 7 7 ÷ø÷

4 18 vào y = x + 2 suy ra y = . Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là 7 7

Câu 14. Các đường thẳng y = -5 (x + 1) ; y = 3x + a ; y = ax + 3 đồng quy với giá trị của a là A. -10 .

B. -11 .

C. -12 . Lời giải

D. -13 .

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đường thẳng y = -5 (x + 1) , y = 3x + a là:

-5x - 5 = 3x + a Û -8x - a = 5 (1) Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đường thẳng y = 3x + a , y = ax + 3 là: ax + 3 = 3x + a Û (a - 3) x = a - 3 Þ x = 1 (a ¹ 3) .

Thế x = 1 vào (1) ta được: -8 - a = 5 Û a = -13 (n ) . Vậy a = -13 .

Câu 15. Một hàm số bậc nhất y = f (x ) , có f (-1) = 2 và f (2) = -3 . Hàm số đó là A. y = -2x + 3 . Chọn C

B. y =

-5x - 1 3

C. y = Lời giải

Giả sử hàm số bậc nhất cần tìm là: y = f (x ) = ax + b

-5x + 1 3

D. y = 2x – 3 .

(a ¹ 0) .

Trang 5/15

ì ï 5 ï a =ì2 = -a + b ï ï ï 3. Ta có: f (-1) = 2 và f (2) = -3 suy ra hệ phương trình: ïí Ûí ï ï 3 = 2 a + b 1 ï ïb = î ï ï 3 ï î -5x + 1 Vậy hàm số cần tìm là: y = . 3 Câu 16. Cho hàm số y = f (x ) = x + 5 . Giá trị của x để f (x ) = 2 là

B. x = -7 .

A. x = -3 .

C. x = -3 hoặc x = -7 . Lời giải

D. x = 7 .

Chọn C

éx + 5 = 2 éx = -3 Ta có: f (x ) = 2 Û x + 5 = 2 Û êê . Û êê êëx + 5 = -2 êëx = -7 Câu 17. Với những giá trị nào của m thì hàm số f (x ) = (m + 1) x + 2 đồng biến trên  ? A. m = 0 .

B. m = 1 .

D. m > -1 .

C. m < 0 . Lời giải

Chọn D

Hàm số f (x ) = (m + 1) x + 2 đồng biến trên  khi m + 1 > 0 Û m > -1 .

Câu 18. Cho hàm số f (x ) = (m - 2) x + 1 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên  ? nghịch biến trên  ? A. Với m ¹ 2 thì hàm số đồng biến trên B. Với m < 2 thì hàm số đồng biến trên C. Với m ¹ 2 thì hàm số đồng biến trên D. Với m > 2 thì hàm số đồng biến trên

, m <2 , m = 2 , m >2 , m <2 Lời giải

thì hàm số nghịch biến trên thì hàm số nghịch biến trên thì hàm số nghịch biến trên thì hàm số nghịch biến trên

. . . .

Chọn D

Hàm số f (x ) = (m - 2) x + 1 đồng biến trên  khi m - 2 > 0 Û m > 2 .

Hàm số f (x ) = (m - 2) x + 1 nghịch biến trên  khi m - 2 < 0 Û m < 2 .

æ1 ö Câu 19. Đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua các điểm A 0; - 1 , B ççç ; 0÷÷÷ . Giá trị của a, b là: è 5 ø÷

(

A. a = 0 ; b = -1 .

)

B. a = 5 ; b = -1 . C. a = 1 ; b = -5 . Lời giải

Chọn B

æ1 ö Đồ thị hàm số đi qua A 0; - 1 , B ççç ; 0÷÷÷ nên ta có: è 5 ÷ø

(

)

D. a = -5 ; b = 1 .

ìï-1 = b ï ïìïa = 5 ïí Û . í ïï0 = 1 a + b ïïb = -1 î ïïî 5

( ) (

)

Câu 20. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm: A 3;1 , B - 2;6 là: A. y = -x + 4 .

B. y = -x + 6 .

C. y = 2x + 2 . Lời giải

Chọn A Giả sử phương trình đường thẳng có dạng: y = ax + b

D. y = x - 4 .

(a ¹ 0) .

ìï1 = 3a + b ìïa = -1 Đường thẳng đi qua hai điểm A 3;1 , B - 2;6 nên ta có: ïí . Û ïí ïï6 = -2a + b ïïb = 4 î î

( ) (

)

Trang 6/15

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = -x + 4 .

( ) (

)

Câu 21. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm: A 5;2 , B - 3;2 là: A. y = 5 .

B. y = -3 .

C. y = 5x + 2 . Lời giải

Chọn D Giả sử phương trình đường thẳng có dạng: y = ax + b

D. y = 2 .

(a ¹ 0) .

ì2 = 5a + b ìa = 0 ï ï Đường thẳng đi qua hai điểm A 5;2 , B - 3;2 nên ta có: ï . Ûï í í ï ï 2 = -3a + b b=2 ï ï î î Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = 2 .

( ) (

)

Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độOxy cho đường thẳng (d ) có phương trình y = kx + k 2 – 3 . Tìm k để đường thẳng (d ) đi qua gốc tọa độ:

A. k = 3

C. k = - 2

B. k = 2

D. k = 3 hoặc k = - 3 . Lời giải

Chọn D

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O (0; 0) nên ta có: 0 = k 2 – 3 Û k = ± 3 .

Câu 23. Phương trình đường thẳng đi qua giao điểm 2 đường thẳng y = 2x + 1 , y = 3x – 4 và song song với đường thẳng y = 2x + 15 là A. y = 2x + 11 - 5 2 .

B. y = x + 5 2 .

C. y = 6x - 5 2 .

D. y = 4x + 2 . Lời giải

Chọn A Đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 15 nên phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = 2x + b (b ¹ 15) .

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y = 2x + 1 , y = 3x – 4 là: 2x + 1 = 3x - 4 Û x = 5 Þ y = 11

Đường thẳng cần tìm đi qua giao điểm (5;11) nên ta có: 11 = 2.5 + b Û b = 11 - 5 2 . Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = 2x + 11 - 5 2 .

Câu 24. Cho hai đường thẳng (d1 ) và (d2 ) lần lượt có phương trình: mx + (m – 1) y – 2 (m + 2) = 0 , 1 thì (d1 ) và (d2 ) 3 B. cắt nhau tại một điểm. D. trùng nhau. Lời giải

3mx - (3m + 1) y – 5m – 4 = 0 . Khi m =

A. song song nhau. C. vuông góc nhau. Chọn A

Trang 7/15

Khi m =

1 1 2 14 1 = 0 Û y = x -7; ta có (d1 ) : x - y – 3 3 3 3 2

(d ) : x - 2y – 2

Ta có:

17 1 17 =0Ûy= x. 3 2 6

1 1 17 = và -7 ¹ suy ra hai đường thẳng song song với nhau. 2 2 6

Câu 25. Phương trình đường thẳng đi qua điểm A (1; -1) và song song với trục Ox là: A. y = 1 .

B. y = -1 .

C. x = 1 .

D. x = -1 .

Lời giải Chọn B

Đường thẳng song song với trục Ox có dạng: y = b (b ¹ 0) .

Đường thẳng đi qua điểm A (1; -1) nên phương trình đường thẳng cần tìm là: y = -1 .

Câu 26. Hàm số y = x + 2 - 4x bằng hàm số nào sau đây?

ì ï-3x A. y = ï í ï5x ï î ìï-3x C. y = ïí ïïî 5x

+ 2 khi x ³ 0 . - 2 khi x < 0 + 2 khi x ³ -2 + 2 khi x < -2

.

ìï-3x + 2 B. y = ïí ïïî 5x - 2 ìï-3x + 2 D. y = ïí ïïî 5x - 2 Lời giải

khi x ³ 2 . khi x < 2 khi x ³ -2

khi x < -2

.

Chọn D

ì ïx + 2 - 4x ï-3x + 2 khi x ³ -2 khi x ³ -2 ì . y = x + 2 - 4x = ï =ï í í ï ï -x - 2 - 4x khi x < -2 -5x - 2 khi x < -2 ï ï î î

Câu 27. Hàm số y = x + 1 + x - 3 được viết lại là ì ï -2x + 2 ï ï ï A. y = í4 ï ï 2x - 1 ï ï î ì ï 2x + 2 ï ï ï C. y = í4 ï ï -2x - 2 ï ï î

khi x £ -1 khi - 1 < x £ 3 . khi x > 3 khi x £ -1 khi - 1 < x £ 3 . khi x > 3

ì ï 2x - 2 ï ï ï B. y = í4 ï ï -2x + 2 ï ï î ì ï -2x + 2 ï ï ï D. y = í4 ï ï 2x - 2 ï ï î Lời giải

khi x £ -1 khi - 1 < x £ 3 . khi x > 3 khi x £ -1 khi - 1 < x £ 3 . khi x > 3

Chọn D

ì-x - 1 - x + 3 khi x £ -1 ì-2x + 2 khi x £ -1 ï ï ï ï ï ï ï4 y = x +1 + x -3 = ï x + 1 x + 3 khi 1 < x £ 3 = khi - 1 < x £ 3 . í í ï ï ï ï x + 1 + x - 3 khi x > 3 2x - 2 khi x > 3 ï ï ï ï î î

Câu 28. Hàm số y = x + x được viết lại là:

ìïx khi x ³ 0 ìï0 khi x ³ 0 A. y = ïí .B. y = ïí . ïï2x khi x < 0 ïï2x khi x < 0 î î

Trang 8/15

ìï2x khi x ³ 0 C. y = ï . í ïï0 khi x < 0 î

ì ï-2x khi x ³ 0 D. y = ï . í ï 0 khi x < 0 ï î Lời giải

Chọn C

ì ï2x khi x ³ 0 . y =x + x =ï í ï 0 khi x < 0 ï î

Câu 29. Cho hàm số y = 2x - 4 . Bảng biến thiên nào sau đây là bảng biến thiên của hàm số đã cho A.

C.

x

y

x

y

-¥ +¥ -¥ +¥

+¥ +¥

2

0

B.

+¥ +¥

0 0

y

-¥ +¥

-4

x

-¥

2 0

x

D.

y

+¥ +¥

0

-¥

+¥

-¥

Lời giải Chọn A

ì ï2x - 4 khi x ³ 2 . y = 2x - 4 = ï í ï2x + 4 khi x < 2 ï î Suy ra hàm số đồng biến khi x ³ 2 , nghịch biến khi x < 2 .

Câu 30. Hàm số y = x + 2 có bảng biến thiên nào sau đây? A.

C.

x

y

x

y

-¥ +¥

-2

-¥

0

+¥

0

2

+¥ +¥

B.

+¥ +¥

D.

x

y

x

y

+¥ +¥

-¥ -¥

+¥

-¥

+¥

-¥

6

Lời giải Chọn C

ìïx + 2 khi x ³ 0 4 . y = x + 2 = ïí ïïî x + 2 khi x < 0 Suy ra hàm số đồng biến khi x ³ 0 , nghịch biến khi x < 0 . Câu 31. Đồ thị sau đây biểu diễn hàm số nào? 2 y

O

5

1

x

5

1

2

A. y = 2x - 2 .

B. y = x - 2 .

C. y = -2x - 2 . 4

D. y = -x – 2 . Trang 9/15

Lời giải Chọn A

Giả sử hàm số cần tìm có dạng: y = ax + b (a ¹ 0) . 8

ìï0 = a + b ìïa = 2 6 ï 1; 0 , 0; 2 Đồ thị hàm số đi qua hai điểm ( ) ( ) nên ta có: íï-2 = b Û ïíïb = -2 . îï îï 4 Vậy hàm số cần tìm là: y = 2x - 2 . Câu 32. Đồ thị sau đây biểu diễn hàm số nào? 2

y

O

5

1

x

5

-1

A. y = x + 1 .

B. y = x - 1 .

2

C. y = -x - 1 .

D. y = -x + 1 .

Lời giải Chọn B

4

Giả sử hàm số cần tìm có dạng: y = ax + b (a ¹ 0) .

ìï0 = a + b ìïa = 1 ï Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (1; 0), (0; -1) nên ta có: ï . Û í í ïï-1 = b ïïb = -1 î î 8 Vậy hàm số cần tìm là: y = x - 1 . 6

Câu 33. Đồ thị sau đây biểu diễn hàm số nào?

A. y = -x + 3 .

B. y = -x - 3 .

C. y = x - 3 . Lời giải

D. y = x + 3 .

Chọn A

Giả sử hàm số cần tìm có dạng: y = ax + b (a ¹ 0) .

ì0 = 3a + b ìa = -1 ï ï Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (3; 0), (0; 3) nên ta có: ï . Ûï í í ï ï 3 =b b=3 ï ï î î Vậy hàm số cần tìm là: y = -x + 3 . ì ï2x Câu 34. Hàm số y = ï í ï x +1 ï î

A.

khi x ³ 1 có đồ thị khi x < 1

B. Trang 10/15

C.

D. Lời giải

Chọn C Đồ thị hàm số là sự kết hợp của đồ thị hai hàm số y = 2x (lấy phần đồ thị ứng với x ³ 1 ) và đồ thị hàm số y = x + 1 (lấy phần đồ thị ứng với x < 1 ).

Câu 35. Đồ thị sau đây biểu diễn hàm số nào?

A. y = x .

B. y = 2x .

C. y =

1 x . 2

D. y = 3 - x .

Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có dạng: y = ax 1 Đồ thị hàm số điqua (2;1) nên 1 = 2a Û a = ± . 2 1 Vậy hàm số cần tìm là: y = x . 2 Câu 36. Đồ thị sau đây biểu diễn hàm số nào?

A. y = x + 1 .

B. y = x - 1 .

C. y = x + 1 .

D. y = x - 1 .

Lời giải Chọn B

Khi x ³ 1 đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm (1; 0), (2;1) nên hàm số cần tìm trong trường hợp này là y = x - 1 .

Trang 11/15

Khi x < 1 đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm (1; 0), (0;1) nên hàm số cần tìm trong trường hợp này là y = -x + 1 .

Vậy hàm số cần tìm là y = x - 1 . Câu 37. Hàm số y = x - 5 có đồ thị nào trong các đồ thị sau đây?

A.

C.

B.

D. Lời giải

Chọn A

ìïx - 5 khi x ³ 5 y = x - 5 = ïí ïïî x + 5 khi x < 5 Suy ra đồ thị hàm số là sự kết hợp giữa đồ thị hàm số y = x - 5 (ứng với phần đồ thị khi x ³ 5 ) và đồ thị hàm số y = -x + 5 (ứng với phần đồ thị khi x < 5 ).

Câu 38. Hàm số y = x + x + 1 có đồ thị là

A.

C.

B.

D. Lời giải

Chọn B

ì ï2x + 1 khi x ³ -1 y = x + x +1 = ï í ï1 khi x < -1 ï î Suy ra đồ thị hàm số là sự kết hợp giữa đồ thị hàm số y = 2x + 1 (ứng với phần đồ thị khi x ³ -1 ) và đồ thị hàm số y = -1 (ứng với phần đồ thị khi x < -1 ). Trang 12/15

Câu 39. Xác định m để hai đường thẳng sau cắt nhau tại một điểm trên trục hoành:

(m - 1) x + my - 5 = 0 ; mx + (2m – 1)y + 7 = 0 . Giá trị m

A. m =

7 . 12

B. m =

1 . 2

C. m = Lời giải

là:

5 . 12

D. m = 4 .

Chọn A Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành suy ra tung độ giao điểm là y = 0 . Từ đây ta có: (m - 1) x - 5 = 0 Û x =

5 (m ¹ 1) m -1

(1)

7 (2) (m ¹ 0) m 5 7 7 = - Û 5m = -7m + 7 Û m = Từ (1) và (2) ta có: (n ) . m -1 m 12 Câu 40. Xét ba đường thẳng sau: 2x – y + 1 = 0 ; x + 2y – 17 = 0 ; x + 2y – 3 = 0 . mx + 7 = 0 Û x = -

A. Ba đường thẳng đồng qui. B. Ba đường thẳng giao nhau tại ba điểm phân biệt. C. Hai đường thẳng song song, đường thẳng còn lại vuông góc với hai đường thẳng song song đó. D. Ba đường thẳng song song nhau. Lời giải Chọn C 1 17 Ta có: 2x – y + 1 = 0 Û y = 2x + 1 ; x + 2y – 17 = 0 Û y = - x + ; 2 2 1 3 x + 2y – 3 = 0 Û y = - x + . 2 2

1 17 1 3 Suy ra đường thẳng y = - x + song song với đường thẳng y = - x + . 2 2 2 2 æ 1ö Ta có: 2. ççç- ÷÷÷ = -1 suy ra đường thẳng y = 2x + 1 vuông góc với hai đường thẳng song è 2 ø÷ 1 17 1 3 song y = - x + và y = - x + . 2 2 2 2 Câu 41. Biết đồ thị hàm số y = kx + x + 2 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 . Giá trị của k

là: A. k = 1 .

B. k = 2 .

C. k = -1 . Lời giải

D. k = -3 .

Chọn D Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 0) . Từ đây, ta có: 0 = k + 1 + 2 Û k = -3 .

Câu 42. Cho hàm số y = x - 1 có đồ thị là đường thẳng  . Đường thẳng  tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng: A.

1 . 2

B. 1

C. 2 Lời giải

D.

3 . 2

Chọn A

Giao điểm của đồ thị hàm số y = x - 1 với trục hoành là điểm A (1; 0) . Trang 13/15

Giao điểm của đồ thị hàm số y = x - 1 với trục tung là điểm B (0; -1) . Đường thẳng  tạo với hai trục tọa độ DOAB vuông tại O . Suy ra

2 1 1 2 1 SOAB = OAOB . = 1 + 02 . 02 + (-1) = (đvdt). 2 2 2 Câu 43. Cho hàm số y = 2x - 3 có đồ thị là đường thẳng  . Đường thẳng  tạo với hai trục tọa độ

một tam giác có diện tích bằng: A.

9 . 2

B.

9 . 4

C. Lời giải

3 . 2

D.

3 . 4

Chọn B

æ3 ö Giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x - 3 với trục hoành là điểm A ççç ; 0÷÷÷ . è 2 ÷ø Giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x - 3 với trục tung là điểm B (0; -3) . Đường thẳng  tạo với hai trục tọa độ DOAB vuông tại O . Suy ra SOAB

1 1 = OAOB . = 2 2

æ 3 ö÷ çç ÷ + 02 . 02 + (-3)2 = 9 çè 2 ÷ø÷ 4 2

Câu 44. Tìm m để đồ thị hàm số y = (m - 1) x + 3m - 2 đi qua điểm A (-2;2) A. m = -2 .

B. m = 1 .

C. m = 2 . Lời giải

(đvdt).

D. m = 0 .

Chọn C

Đồ thị hàm số đi qua điểm A (-2;2) nên ta có: 2 = (m - 1)(-2) + 3m - 2 Û m = 2 .

Câu 45. Xác định đường thẳng y = ax + b , biết hệ số góc bằng -2 và đường thẳng qua A (-3;1) A. y = -2x + 1 .

B. y = 2x + 7 .

C. y = 2x + 2 .

D. y = -2x - 5 .

Lời giải Chọn D Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc bằng -2 suy ra a = -2 .

Đường thẳng đi qua A (-3;1) nên ta có: 1 = (-2). (-3) + b Û b = -5 . Vậy đường thẳng cần tìm là: y = -2x - 5 .

Câu 46. Cho hàm số y = 2x + 4 có đồ thị là đường thẳng  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

B.  cắt trục hoành tại điểm A (2; 0) .

A. Hàm số đồng biến trên  .

C.  cắt trục tung tại điểm B (0; 4) .

D. Hệ số góc của  bằng 2. Lời giải

Chọn B

Ta có: 2.2 + 4 = 8 ¹ 0 Þ (2; 0) Ï D .

y

Câu 47. Cho hàm số y = ax + b có đồ thị là hình bên. b là: A. a = -2 và b = 3 .

3

Giá trị của a và

3 B. a = - và b = 2 . 2 -2

O

x

Trang 14/15

D. a =

C. a = -3 và b = 3 .

3 và b = 3 . 2

Lời giải Chọn D

ìï ïa = 3 ïìï0 = -2a + b Û ïí Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (-2; 0), (0; 3) nên ta có: í 2. ïï3 = b ïïb = 3 î ïïî Câu 48. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên  A. y = x - 2 . B. y = 2 . C. y = -x + 3 . D. y = 2x + 3 . Lời giải Chọn C Hàm số y = -x + 3 có a = -p < 0 nên là hàm số nghịch biến trên  .

Câu 49. Xác định hàm số y = ax + b , biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm M (-1; 3) và N (1;2) 1 5 A. y = - x + . 2 2

C. y =

B. y = x + 4 .

Lời giải

3 9 x+ . 2 2

D. y = -x + 4 .

Chọn A

ì ï 1 ï a =ì3 = -a + b ï ï ï ï 2. Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M (-1; 3) , N (1;2) nên ta có: í Ûí ï ï 2 = a + b 5 ï ï î b= ï ï 2 ï î

1 5 Vậy hàm số cần tìm là: y = - x + . 2 2

Câu 50. Hàm số y = 2x -

y

y

y

1

x

O

1 O

3 có đồ thị là hình nào trong bốn hình sau: 2

1

Hình 1 A. Hình 1.

1

1

x

-1

Hình 2 B. Hình 2. -4

y

O

Hình 3 C. Hình 3. Lời giải

1

O

x

x

-1

Hình 4 -4 D. Hình 4.

Chọn B

Trang 15/15

Cho x = 0 Þ y = Cho y = 0 Þ x =

3 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm 2

3 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm 4

æ ö çç0; - 3 ÷÷ . çè 2 ÷ø÷

æ 3 ö÷ çç ; 0÷ . çè 4 ÷÷ø

Trang 16/15

Chương 2

HÀM SỐ

§ 3. Haøm soá baäc hai 

Hàm số

TXĐ

Tính chất

Bảng biến thiên

Đồ thị y  ax 2 , ( a  0) là 1 Khi a  0 : parabol ( P) có: x  y  ax 2

( a  0)



 Đỉnh O(0; 0).

y

 Trục đối xứng: Oy.

0

  

Đồ thị ( a  0) y ( P) x

O 0

 a  0 : bề lõm quay lên.

y

( a  0)

O

x

Khi a  0 :

 a  0 : bề lõm quay

xuống.

x



0

( P)



0

y  

y ( a  0)

Khi a  0 : Đồ thị y  ax 2  bx  c ,( a  0) là 1 parabol ( P) có: y  ax 2  bx  c ( a  0)



 b   Đỉnh I   ;    2 a 4 a 

 Trục đối xứng: x  

x

y



b 2a

 4a

Khi a  0 :

xuống.

x

O

I



x

 a  0 : bề lõm quay



  

b  2a

 a  0 : bề lõm quay lên.

( P)





b 2a

y

 4a

I x

O





y

( a  0)

( P)

 

Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  ax 2  bx  c , ( a  0)

Vẽ đồ thị hàm y  f  x   ax 2  b x  c , ( a  0)



Bước 1. Vẽ parabol ( P) : y  ax 2  bx  c.



Bước 1. Vẽ parabol ( P) : y  ax 2  bx  c.



Bước 2. Do y  f ( x)  



Bước 2. Do y  f  x  là hàm chẵn nên

 f ( x) khi f ( x)  0  f ( x) khi f ( x)  0

nên đồ thị hàm số y  f ( x) được vẽ như sau:  Giữ nguyên phần ( P) phía trên Ox.  Lấy đối xứng phần ( P) dưới Ox qua Ox.

đồ thị đối xứng nhau qua Oy và vẽ như sau:  Giữ nguyên phần ( P) bên phải Oy.  Lấy đối xứng phần này qua Oy.

Trang 1/13

 Đồ thị y  f ( x) là hợp 2 phần trên.

y

  là hợp 2 phần trên.

 Đồ thị y  f x

y

y  x2  4x

y  x2  2 x  1

4

1

O

2

x

4

Câu 1.

1 O

x

1

Tung độ đỉnh I của parabol  P  : y  2 x 2  4 x  3 là A. 1 .

B. 1 .

C. 5 . Lời giải

D. –5 .

Chọn B

Câu 2.

Câu 3.

 b  Ta có :Tung độ đỉnh I là f     f 1  1 .  2a  3 Hàm số nào sau đây có giá trị nhỏ nhất tại x  ? 4 3 A. y  4 x 2 – 3 x  1 . B. y   x 2  x  1 . C. y  –2 x 2  3 x  1 . 2 Lời giải Chọn D Hàm số đạt GTNN nên loại phương án B và C. b 3  nên loại. Phương án A: Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x   2a 8 Còn lại chọn phương án D. Cho hàm số y  f  x    x 2  4 x  2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

3 D. y  x 2  x  1 . 2

A. y giảm trên  2;    .

B. y giảm trên  ; 2  .

C. y tăng trên  2;    .

D. y tăng trên  ;    . Lời giải

Chọn A Ta có a  1  0 nên hàm số y tăng trên  ; 2  và y giảm trên  2;    nên chọn phương án Câu 4.

A. Hàm số nào sau đây nghịch biến trong khoảng  ;0  ? A. y  2 x 2  1 .

B. y   2 x 2  1 .

2 C. y  2  x  1 .

2 D. y   2  x  1 .

Lời giải Chọn A Hàm số nghịch biến trong khoảng  ;0  nên loại phương án B và D. Phương án A: hàm số y nghịch biến trên  ;0  và y đồng biến trên  0;    nên chọn phương Câu 5.

án A. Cho hàm số: y  x 2  2 x  3 . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? Trang 2/13

A. y tăng trên  0;    .

B. y giảm trên  ; 2  .

C. Đồ thị của y có đỉnh I 1;0  .

D. y tăng trên  2;    . Lời giải

Chọn D Ta có a  1  0 nên hàm số y giảm trên  ;1 và y tăng trên 1;    và có đỉnh I 1; 2  nên chọn phương án D. Vì y tăng trên 1;    nên y tăng trên  2;    . Câu 6.

Bảng biến thiên của hàm số y  2 x 2  4 x  1 là bảng nào sau đây? x –∞ y

2 1

–∞

–∞

A.

x –∞ y

C.

1 3

.

2

x –∞ y +∞

.

+∞ +∞

1

B.

+∞ –∞

–∞

x –∞ y +∞

+∞

1 3

D. Lời giải

. +∞ +∞ .

Chọn C

Câu 7.

 b  b  Ta có a=-2 <0 và Đỉnh của Parabol I   ; f      I 1,3 .  2a  2a   Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào? y 1 x –1 A. y    x  1 . 2

B. y    x  1 .

C. y   x  1 .

2

2

D. y   x  1 . 2

Lời giải Chọn B Ta có: Đỉnh I 1, 0  và nghịch biến  ,1 và 1,   . Câu 8.

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?

y –1

A. y   x 2  2 x .

B. y   x 2  2 x  1 .

1

x

C. y  x 2  2 x .

D. y  x 2  2 x  1 .

Lời giải Chọn B Ta có: Đỉnh I 1, 0  và nghịch biến  ,1 và 1,   . Câu 9.

Parabol y  ax 2  bx  2 đi qua hai điểm M 1;5  và N  2;8  có phương trình là: A. y  x 2  x  2 .

B. y  x 2  2 x  2 . C. y  2 x 2  x  2 . Lời giải

D. y  2 x 2  2 x  2 .

Chọn C

5  a.12  b.1  2 a  2 Ta có: Vì A, B  ( P)   .   2 8  a.  2   b.(2)  2 b  1

Trang 3/13

Câu 10. Parabol y  ax 2  bx  c đi qua A  8;0  và có đỉnh A  6; 12  có phương trình là: A. y  x 2  12 x  96 . C. y  2 x 2  36 x  96 .

B. y  2 x 2  24 x  96 . D. y  3 x 2  36 x  96 . Lời giải

Chọn D

 b 6 12a  b  0   Parabol có đỉnh A  6; 12  nên ta có :  2a 36a  6b  c  12 12  a.62  b.6  c  (1) Parabol đi qua A  8;0  nên ta có : 0  a.82  b.8  c  64a  8b  c  0

(2)

12a  b  0 a  3   Từ (1) và (2) ta có : 36a  6b  c  12  b  36 . 64a  8b  c  0 c  96  

Vậy phương trình parabol cần tìm là : y  3 x 2  36 x  96 . Câu 11. Parabol y  ax 2  bx  c đạt cực tiểu bằng 4 tại x  2 và đi qua A  0;6  có phương trình là: A. y 

1 2 x  2x  6 . 2

B. y  x 2  2 x  6 .

C. y  x 2  6 x  6 .

D. y  x 2  x  4 .

Lời giải Chọn A

b  2  b  4a .(1) 2a 4  a.(2) 2  b.(2)  c 4.a  2b  2 Mặt khác : Vì A, I  ( P)   (2)  2 c  6 6  a.  0   b.(0)  c Ta có: 

1  a   2  1 Kết hợp (1),(2) ta có : b  2 .Vậy  P  : y  x 2  2 x  6 . 2 c  6   2 Câu 12. Parabol y  ax  bx  c đi qua A  0; 1 , B 1; 1 , C  1;1 có phương trình là: A. y  x 2  x  1 .

B. y  x 2  x  1 .

C. y  x 2  x  1 . Lời giải

D. y  x 2  x  1 .

Chọn B 1  a.02  b.0  c a  1  2  Ta có: Vì A, B, C  ( P)  1  a. 1  b.(1)  c  b  1 .  c  1 2 1  a.  1  b.(1)  c  Vậy  P  : y  x 2  x  1 .

Câu 13. Cho M   P  : y  x 2 và A  2;0  . Để AM ngắn nhất thì: A. M 1;1 .

B. M  1;1 .

C. M 1; 1 .

D. M  1; 1 .

Lời giải Chọn A Gọi M   P   M (t , t 2 ) (loại đáp án C, D)

Trang 4/13

Mặt khác: AM 

t  2

2

 t4  2

(thế M từ hai đáp án còn lại vào nhận được với M 1;1 sẽ nhận được AM 

1  2 

2

 14  2 ngắn nhất).

Câu 14. Giao điểm của parabol  P  : y  x 2  5 x  4 với trục hoành: A.  1;0  ;  4;0  .

B.  0; 1 ;  0; 4  .

C.  1;0  ;  0; 4  .

D.  0; 1 ;  4;0  .

Lời giải Chọn A

 x  1 Cho x 2  5 x  4  0   .  x  4 Câu 15. Giao điểm của parabol (P): y  x 2  3 x  2 với đường thẳng y  x  1 là: A. 1;0  ;  3; 2  .

B.  0; 1 ;  2; 3 . C.  1; 2  ;  2;1 .

D.  2;1 ;  0; 1 .

Lời giải Chọn A

x  1 Cho x 2  3 x  2  x  1  x 2  4 x  3  x  1   . x  3 Câu 16. Giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y  x 2  3 x  m cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt?

9 A. m   . 4

9 B. m   . 4

C. m 

9 . 4

D. m 

9 . 4

Lời giải Chọn D Cho x 2  3 x  m  0 (1) Để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 9    0  32  4m  0  9  4m  0  m  . 4 2 Câu 17. Khi tịnh tiến parabol y  2 x sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số: A. y  2  x  3 . 2

B. y  2 x 2  3

C. y  2  x  3 . 2

D. y  2 x 2  3 .

Lời giải Chọn A Đặt t  x  3 ta có y  2t 2  2  x  3 . 2

Câu 18. Cho hàm số y  –3 x 2 – 2 x  5 . Đồ thị hàm số này có thể được suy ra từ đồ thị hàm số y  3 x 2 bằng cách

1 16 đơn vị, rồi lên trên đơn vị. 3 3 1 16 B. Tịnh tiến parabol y  3 x 2 sang phải đơn vị, rồi lên trên đơn vị. 3 3 1 16 C. Tịnh tiến parabol y  3 x 2 sang trái đơn vị, rồi xuống dưới đơn vị. 3 3 1 16 D. Tịnh tiến parabol y  3 x 2 sang phải đơn vị, rồi xuống dưới đơn vị. 3 3 Lời giải Chọn A Ta có A. Tịnh tiến parabol y  3 x 2 sang trái

Trang 5/13

2

2 1 1 1 1  16  y  –3 x – 2 x  5  3( x  x)  5  3( x 2  2.x.   )  5  3  x    3 3 9 9 3 3  Vậy nên ta chọn đáp án A. Câu 19. Nếu hàm số y  ax 2  bx  c có a  0, b  0 và c  0 thì đồ thị của nó có dạng: 2

2

O

y

y

y

y

O

x

A.

B.

O

x

x

C. Lời giải

O

x

D.

Chọn D Vì a  0 Loại đáp án A,B. c  0 chọn đáp án D. Câu 20. Nếu hàm số y  ax 2  bx  c có đồ thị như sau thì dấu các hệ số của nó là: A. a  0; b  0; c  0.

B. a  0; b  0; c  0.

C. a  0; b  0; c  0.

D. a  0; b  0; c  0.

y O

x

Lời giải Chọn B Nhận xét đồ thị hướng lên nên a  0 . Giao với 0 y tại điểm nằm phí dưới trục hoành nên c  0 . Mặt khác Vì a  0 và Đỉnh I nằm bên trái trục hoành nên b  0 . Câu 21. Cho phương trình:  9m 2 – 4  x   n 2 – 9  y   n – 3 3m  2  . Với giá trị nào của m và n thì phương trình đã cho là đường thẳng song song với trục Ox ? 2 2 A. m   ; n  3 B. m   ; n  3 3 3 2 3 C. m  ; n  3 D. m   ; n  2 3 4 Lời giải Chọn C Ta có:  9m 2 – 4  x   n 2 – 9  y   n – 3 3m  2 

Muốn song song với Ox thì có dạng by  c  0 , c  0, b  0 2  m  3 9m 2 – 4  0  2   2 n  3 m  Nên n  9  0   3. (n  3)(3m  2)  0 n  3 n  3   2 m  3  2 Câu 22. Cho hàm số f  x   x – 6 x  1 . Khi đó: A. f  x  tăng trên khoảng B. f  x  giảm trên khoảng

 ;3 và giảm trên khoảng  3;   .  ;3 và tăng trên khoảng  3;   .

C. f  x  luôn tăng. D. f  x  luôn giảm. Lời giải Trang 6/13

Chọn B

b 3 2a Vậy hàm số f  x  giảm trên khoảng Ta có a  1  0 và x  

 ;3

và tăng trên khoảng  3;   .

Câu 23. Cho hàm số y  x 2 – 2 x  3 . Trong các mệnh đề sau đây, tìm mệnh đề đúng? A. y tăng trên khoảng  0;   .

B. y giảm trên khoảng

 ; 2  tăng trên khoảng 1;  

C. Đồ thị của y có đỉnh I 1; 0 

D. y Lời giải

Chọn D

b  1  I (1, 2) 2a Vậy hàm số f  x  giảm trên khoảng  ;1 và tăng trên khoảng 1;   . Ta có a  1  0 và x  

Câu 24. Hàm số y  2 x 2  4 x –1 . Khi đó: A. Hàm số đồng biến trên  ; 2  và nghịch biến trên  2;   B. Hàm số nghịch biến trên  ; 2  và đồng biến trên  2;   C. Hàm số đồng biến trên  ; 1 và nghịch biến trên  1;   D. Hàm số nghịch biến trên  ; 1 và đồng biến trên  1;   Lời giải Chọn D

b  1  I (1, 3) 2a Vậy hàm số f  x  giảm trên khoảng  ; 1 và tăng trên khoảng  1;   . Ta có a  2  0 và x  

Câu 25. Cho hàm số y  f  x   x 2 – 4 x  2 . Khi đó: A. Hàm số tăng trên khoảng C. Hàm số tăng trên khoảng

 ;0   ; 2 

B. Hàm số giảm trên khoảng  5;   D. Hàm số giảm trên khoảng

 ; 2 

Lời giải Chọn D

b  2  I (2, 2) 2a Vậy hàm số f  x  giảm trên khoảng  ; 2  và tăng trên khoảng  2;   . Ta có a  1  0 và x  

Câu 26. Cho hàm số y  f  x   x 2 – 4 x  12 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Hàm số luôn luôn tăng. B. Hàm số luôn luôn giảm. C. Hàm số giảm trên khoảng  ; 2  và tăng trên khoảng  2;   D. Hàm số tăng trên khoảng  ; 2  và giảm trên khoảng  2;   Lời giải Chọn C

b  2  I (2,8) 2a Vậy hàm số f  x  giảm trên khoảng  ; 2  và tăng trên khoảng  2;   . Ta có a  1  0 và x  

Câu 27. Cho hàm số y  f  x    x 2  5 x  1 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

 29  A. y giảm trên khoảng  ;    4 

B. y tăng trên khoảng  ;0  Trang 7/13

5  D. y tăng trên khoảng  ;  . 2  Lời giải

C. y giảm trên khoảng  ;0  Chọn D Ta có a  1  0 và x  

b 5  . 2a 2

5  5  Vậy hàm số f  x  tăng trên khoảng  ;  và giảm trên khoảng  ;   . 2  2  2 Câu 28. Cho parabol  P  : y  3 x  6 x –1 . Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là: A.  P  có đỉnh I 1; 2 

B.  P  có trục đối xứng x  1

C.  P  cắt trục tung tại điểm A  0; 1

D. Cả a, b, c , đều đúng. Lời giải

Chọn D Ta có a  3  0 và x  

b  1  I (1, 2) 2a

x  1 là trục đố xứng. hàm số f  x  tăng trên khoảng

 ;1 và giảm trên khoảng 1;   .

Cắt trục 0 y  x  0  y  1 . Câu 29. Đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây là trục đối xứng của parabol y  2 x 2  5 x  3 ? A. x 

5 . 2

5 B. x   . 2

C. x 

5 . 4

5 D. x   . 4

Lời giải Chọn C Ta có a  2  0 và x   Vậy x 

b 5  . 2a 4

5 là trục đối xứng. 4

Câu 30. Đỉnh của parabol y  x 2  x  m nằm trên đường thẳng y  A. 2.

B. 3 .

C. 5 . Lời giải

3 nếu m bằng 4 D. 1 .

Chọn D 2

b 1 1 1  1   1   1   y       m  m   I  ,m   Ta có: x   2a 2 4 4  2   2   2 3 1 3 Để I  (d ) : y  nên m    m  1 . 4 4 4 2 Câu 31. Parabol y  3 x  2 x  1

 1 2 A. Có đỉnh I   ;  .  3 3 1 2 C. Có đỉnh I  ;  . 3 3

1 2 B. Có đỉnh I  ;   . 3 3 D. Đi qua điểm M  2;9  . Lời giải

Chọn C

Trang 8/13

   b 1 2 Đỉnh parabol I   ;    I  ;  .  2a 4a  3 3 b 1  vào phương trình parabol tìm tung độ đỉnh). (thay hoành độ đỉnh  2a 3 x2 Câu 32. Cho Parabol y  và đường thẳng y  2 x  1 . Khi đó: 4 A. Parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt. B. Parabol cắt đường thẳng tại điểm duy nhất  2; 2  . C. Parabol không cắt đường thẳng. D. Parabol tiếp xúc với đường thẳng có tiếp điểm là  1; 4  . Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường là:

x  4  2 3 x2  2 x 1  x2  8x  4  0   4  x  4  2 3 Vậy parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt. Câu 33. Parabol  P  : y   x 2  6 x  1 . Khi đó A. Có trục đối xứng x  6 và đi qua điểm A  0;1 . B. Có trục đối xứng x  6 và đi qua điểm A 1;6  . C. Có trục đối xứng x  3 và đi qua điểm A  2;9  . D. Có trục đối xứng x  3 và đi qua điểm A  3;9  . Lời giải Chọn C

b 6 x  x3 2a 2 Ta có 22  6.2  1  9  A  2;9    P  . Trục đối xứng x  

Câu 34. Cho parabol  P  : y  ax 2  bx  2 biết rằng parabol đó cắt trục hoành tại x1  1 và x2  2 . Parabol đó là: 1 A. y  x 2  x  2 . 2

B. y   x 2  2 x  2 .

C. y  2 x 2  x  2 .

D. y  x 2  3 x  2 .

Lời giải Chọn D Parabol  P  cắt Ox tại A 1;0  , B  2;0  .

a  b  2 a  1  A   P  a  b  2  0 Khi đó     2a  b  1 b  3  B   P  4a  2b  2  0 Vậy  P  : y  x 2  3 x  2 . Câu 35. Cho parabol  P  : y  ax 2  bx  2 biết rằng parabol đó đi qua hai điểm A 1;5  và B  2;8  . Parabol đó là A. y  x 2  4 x  2 .

B. y   x 2  2 x  2 . C. y  2 x 2  x  2 . Lời giải

D. y  x 2  3 x  2 .

Chọn C

Trang 9/13

a  b  3 a  2  A   P  a  b  2  5 .      B   P  4a  2b  2  8 2a  b  3 b  1 Vậy  P  : y  2 x 2  x  2 . Câu 36. Cho parabol  P  : y  ax 2  bx  1 biết rằng parabol đó đi qua hai điểm A 1; 4  và B  1; 2  . Parabol đó là A. y  x 2  2 x  1 .

B. y  5 x 2  2 x  1 . C. y   x 2  5 x  1 . Lời giải

D. y  2 x 2  x  1 .

Chọn D

 A   P  a  b  1  4 a  b  3 a  2 .     a  b  1 b  1  B   P  a  b  1  2 Vậy  P  : y  2 x 2  x  1 . Câu 37. Biết parabol y  ax 2  bx  c đi qua gốc tọa độ và có đỉnh I  1; 3 . Giá trị a, b, c là A. a  3, b  6, c  0 . C. a  3, b  6, c  0 .

B. a  3, b  6, c  0 . D. a  3, b  6, c  2 . Lời giải

Chọn B Parabol qua gốc tọa độ O  c  0

 b  1 a  3   Parabol có đỉnh I  1; 3   2a . a  b  3 b  6 Câu 38. Biết parabol  P  : y  ax 2  2 x  5 đi qua điểm A  2;1 . Giá trị của a là A. a  5 .

B. a  2 .

C. a  2 . Lời giải

D. a  3 .

Chọn B A  2;1   P   4a  4  5  1  a  2 . Câu 39. Cho hàm số y  f  x   ax 2  bx  c . Biểu thức f  x  3  3 f  x  2   3 f  x  1 có giá trị bằng A. ax 2  bx  c .

B. ax 2  bx  c .

C. ax 2  bx  c . Lời giải

D. ax 2  bx  c .

Chọn D

f  x  3  a  x  3  b  x  3  c  ax 2   6a  b  x  9a  3b  c . 2

f  x  2   a  x  2   b  x  2   c  ax 2   4a  b  x  4a  2b  c . 2

f  x  1  a  x  1  b  x  1  c  ax 2   2a  b  x  a  b  c . 2

 f  x  3  3 f  x  2   3 f  x  1  ax 2  bx  c .

Câu 40. Cho hàm số y  f  x   x 2  4 x . Các giá trị của x để f  x   5 là A. x  1 .

B. x  5 .

C. x  1, x  5 . Lời giải

D. x  1, x  5 .

Chọn C

x  1 . f  x   5  x2  4x  5  x2  4x  5  0    x  5 Câu 41. Bảng biến thiên của hàm số y   x 2  2 x  1 là: Trang 10/13

y

 

x



x

A.

C.

y



2 1 2 1

 

x

B.



y x

D.

 Lời giải

y

 

1

 

0



1 0







Chọn D Parabol y   x 2  2 x  1 có đỉnh I 1;0  mà a  1  0 nên hàm số đồng biến trên  ;1 và nghịch biến trên 1;   . Câu 42.

Bảng biến thiên nào dưới đây là của hàm số y   x 2  2 x  1 là:

y

 

x



x

A.

C.

y

2

 

x

B.

1



1 2



y

x

D.

 Lời giải

y

 

1

 

2

 

2 1





Chọn C Parabol y   x 2  2 x  1 có đỉnh I 1; 2  mà a  1  0 nên hàm số nên đồng biến trên  ;1 và nghịch biến trên 1;   . Câu 43. Bảng biến thiên nào dưới đây là của hàm số y  x 2  2 x  5 ?

y

 

x



x

A.

C.

y

1

 

x

B.

4



1 4

y



x

D.  Lời giải

y

 

2

 

5

 

2 5





Chọn A Parabol y  x 2  2 x  5 có đỉnh I 1; 4  mà a  1  0 nên hàm số nên nghịch biến trên  ;1 và đồng biến trên 1;   . Câu 44. Đồ thị hàm số y  4 x 2  3 x  1 có dạng nào trong các dạng sau đây?

A.

B. Trang 11/13

C.

D. Lời giải

Chọn D Parabol y  4 x 2  3 x  1 bề lõm hướng lên do a  4  0 .

 3 25  Parabol có đỉnh I  ;   . (hoành độ đỉnh nằm bên phải trục tung)  8 16  Parabol cắt Oy tại tại điểm có tung độ bằng 1 . (giao điểm Oy nằm bên dưới trục hoành) Câu 45. Đồ thị hàm số y  9 x 2  6 x  1 có dạng là?

A.

C.

B.

D. Lời giải

Chọn B Parabol y  9 x 2  6 x  1 có bề lõm hướng xuống do a  3  0 .

1  Parabol có đỉnh I  ;0   Ox . 3  Parabol cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 1 . 1 1 Câu 46. Tìm tọa độ giao điểm của hai parabol: y  x 2  x và y  2 x 2  x  là 2 2 1   1 11  1   A.  ; 1 . B.  2;0  ,  2;0  . C. 1;   ,   ;  . 2   5 50  3   Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol:

D.  4;0  , 1;1 .

Trang 12/13

1  x  1  y    1 2 1 5 1 2 x  x  2 x 2  x   x 2  2 x   0   . 1 2 2 2 2  x    y  11  5 50

1   1 11   Vậy giao điểm của hai parabol có tọa độ 1;   và   ;  . 2   5 50   Câu 47. Parabol  P  có phương trình y   x 2 đi qua A, B có hoành độ lần lượt là là gốc tọa độ. Khi đó: A. Tam giác AOB là tam giác nhọn. C. Tam giác AOB là tam giác vuông.

3 và  3 . Cho O

B. Tam giác AOB là tam giác đều. D. Tam giác AOB là tam giác có một góc tù. Lời giải

Chọn B Parabol  P  : y   x 2 đi qua A, B có hoành độ

3 và  3 suy ra A









3;3 và B  3;3 là hai

điểm đối xứng nhau qua Oy. Vậy tam giác AOB cân tại O. Gọi Ilà giao điểm của AB và Oy  IOA vuông tại Inên  tan IAO

IO 3   60 . Vậy AOB là tam giác đều.   3  IAO IA 3

Cách khác :

OA  OB  2 3 , AB 



3 3



2

  3  3  2 3 . Vậy OA  OB  AB nên tam giác AOB 2

là tam giác đều. Câu 48. Parabol y  m 2 x 2 và đường thẳng y  4 x  1 cắt nhau tại hai điểm phân biệt ứng với: A. Mọi giá trị m. C. Mọi m thỏa mãn m  2 và m  0 .

B. Mọi m  2 . D. Mọi m  4 và m  0 . Lời giải

Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của parabol y  m 2 x 2 và đường thẳng y  4 x  1 : m 2 x 2  4 x  1  m 2 x 2  4 x  1  0 1 Parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt  1 có hai nghiệm phân biệt 4  m 2  0    0 2  m  2 .    a  0 m  0 m  0 Câu 49. Tọa độ giao điểm của đường thẳng y   x  3 và parabol y   x 2  4 x  1 là:

1  A.  ; 1 . 3   1; 4  ,  2;5 .

B.  2;0  ,  2;0  .

1   1 11   C. 1;   ,   ;  . 2   5 50  

D.

Lời giải Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm của parabol y   x 2  4 x  1 và đường thẳng y   x  3 :

 x  1  y  4  x 2  4 x  1   x  3  x 2  3x  2  0    x  2  y  5 Vậy giao điểm của parabol và đường thẳng có tọa độ  1; 4  và  2;5  . Trang 13/13

Câu 50. Cho parabol y  x 2  2 x  3 . Hãy chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau: A.  P  có đỉnh I 1; 3 . B. Hàm số y  x 2  2 x  3 tăng trên khoảng

 ;1 và giảm trên khoảng 1;   .

C.  P  cắt Ox tại các điểm A  1;0  , B  3;0  . D. Parabol có trục đối xứng là y  1 . Lời giải Chọn C

   b y  x 2  2 x  3 có đỉnh I   ;    I 1; 4  .  2a 4a  Hàm số có a  1  0 nên giảm trên khoảng  ;1 và tăng trên khoảng 1;   .

 x  1 Parabol cắt Ox: y  0  x 2  2 x  3  0   . Vậy  P  cắt Ox tại các điểm x  3 A  1;0  , B  3;0  .

Trang 14/13

Chương 3

PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§ 1. ñaïi cöông veà phöông trình  KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Khái niệm phương trình một ẩn — Cho hai hàm số y  f ( x) và y  g( x) có tập xác định lần lượt là D f và Dg . Đặt D  D f  Dg . Mệnh đề chứa biến " f ( x)  g( x)" được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn và D gọi tập xác định của phương trình. — Số xo  D gọi là 1 nghiệm của phương trình f ( x)  g( x) nếu " f ( xo )  g( xo )" là 1 mệnh đề đúng.

 Phương trình tương đương — Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng 1 tập nghiệm. Nếu phương trình f1 ( x)  g1 ( x) tương đương với phương trình f2 ( x)  g2 ( x) thì viết f1 ( x)  g1 ( x)  f2 ( x)  g2 ( x). — Định lý 1: Cho phương trình f ( x)  g( x) có tập xác định D và y  h( x) là một hàm số xác định trên D. Khi đó trên miền D , phương trình đã cho tương đương với mỗi phương trình sau: (1) : f ( x)  h( x)  g( x)  h( x).

(2) : f ( x).h( x)  g( x).h( x) với h( x)  0, x  D.

 Phương trình hệ quả — Phương trình f1 ( x)  g1 ( x) có tập nghiệm là S1 được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f2 ( x)  g2 ( x) có tập nghiệm S2 nếu S1  S2 . Khi đó viết: f1 ( x)  g1 ( x)  f2 ( x)  g2 ( x). — Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của 2

2

phương trình đã cho: f ( x)  g( x)   f ( x)    g( x)  .

Lưu ý:  Nếu hai vế của 1 phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương 2 vế của nó, ta được một phương trình tương đương.  Nếu phép biến đổi tương đương dẫn đến phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm tìm được vào phương trình đã cho để phát hiện và loại bỏ nghiệm ngoại lai. Câu 1:

A. D   \ 1 .

Câu 2:

2x 3 5  2 là: x 1 x 1 B. D   \ 1 . C. D   \ 1 .

Tập xác định của phương trình

2

D. D   .

Lời giải. Chọn D. Điều kiện xác định: x 2  1  0 (luôn đúng). Vậy TXĐ: D   . 1 3 4 Tậpxác định của phương trình là:   2 x2 x2 x 4 A.  2;  .

B.  \ 2;2 .

C.  2;   .

D.  .

Lời giải. Chọn B.

x  2  0  x  2 Điều kiện xác định:  .  x  2  0 x  2 Vậy TXĐ:  \ 2;2 . Câu 3:

Tậpxác định của phương trình

x2 1 2   là: x  2 x x( x  2) Trang 1/11

A.  \ 2;0;2 .

B.  2;  .

C.  2;  .

D.  \ 2;0 .

Lời giải. Chọn A.

x  2  0  x  2   Điều kiện xác định:  x  2  0   x  2 . x  0 x  0   Vậy TXĐ:  \ 2;0;2 . Câu 4:

Tậpxác định của phương trình A.  \ 2;2;1 .

x 1 x 1 2x 1 là:   x  2 x  2 x 1

B.  2;  .

C.  2;  .

D.  \ 2; 1 .

Lời giải. Chọn A.

x  2  0  x  2   Điều kiện xác định:  x  2  0   x  2 . x 1  0  x  1   Vậy TXĐ:  \ 2;2;1 . Câu 5:

Tậpxác định của phương trình A.  4;  .

4x 3  5x 9x 1 là:  2  2 x  5 x  6 x  6 x  8 x  7 x  12 2

B.  \ 2;3;4 .

D.  \ 4 .

C.  .

Lời giải. Chọn B.

 x2  5x  6  0 x  2  2  Điều kiện xác định:  x  6 x  8  0   x  3 .  x 2  7 x  12  0 x  4   Vậy TXĐ:  \ 2;3;4 . Câu 6:

Tậpxác định của phương trình 3 x  A.  \ 4 .

5 5 là:  12  x4 x4

B.  4;  .

C.  4;  .

D.  .

Lời giải. Chọn A. Điều kiện xác định: x  4  0  x  4 . Vậy TXĐ:  \ 4 . Câu 7:

Tậpxác định của phương trình A.  3;  .

2x 1 6  5x là:   3  x 2 x  1 3x  2

1 2

B. 3;  .

2 3

C.  \  ;3;  .

1 2

3 2

D.  \  ;3;  .

Lời giải. Chọn C.

 x  3 3  x  0  1   Điều kiện xác định: 2 x  1  0   x  . 2 3 x  2  0   2   x  3 Trang 2/11

1 2

2 3

Vậy TXĐ:  \  ;3;  . Câu 8:

Điều kiện xác định của phương trình

1  x 2  1  0 là: x B. x  0 và x 2  1  0 . D. x  0 và x 2  1  0 .

A. x  0 . C. x  0 . Lời giải. Chọn B.

Câu 9:

 x2 1  0 Điều kiện xác định:  x  0 Điều kiện xác định của phương trình 2 x  1  4 x  1 là: B.  2;  .

A.  3;  .

C. 1;   .

D. 3;   .

Lời giải. Chọn B. 1 . 2 Câu 10: Điều kiệnxác định của phương trình 3 x  2  4  3 x  1 là:

Điều kiện xác định: 2 x  1  0  x 

4 3

 

A.  ;   .

2 4 3 3

2 4 3 3

C.  \  ;  .

B.  ;  .

2 4 D.  ;  . 3 3

Lời giải. Chọn D. 2  x  3 x  2  0   2 4 3  Điều kiện xác định:   x ; . 3 3 4  3x  0 x  4  3 2x 1  2 x  3  5 x  1 là: Câu 11: Tập xác định của phương trình 4  5x

4 5

A. D   \   .

4 4   B. D   ;  . C. D   ;  . 5 5   Lời giải.

4  D. D   ;   . 5 

Chọn C. Điều kiện xác định: 4  5 x  0  x 

4 (luôn đúng). 5

4  Vậy TXĐ: D   ;  . 5  Câu 12: Điều kiện xác định của phương trình x  1  x  2 

A.  3;  .

B.  2;  .

x  3 là:

C. 1;   .

D. 3;   .

Lời giải. Chọn B.

x 1  0 x  1   Điều kiện xác định:  x  2  0   x  2  x  2 . x  3  0 x  3   Câu 13: Hai phương trình được gọi là tương đương khi: A. Có cùng dạng phương trình. B. Có cùng tập xác định. C.Có cùng tập hợp nghiệm. D. Cả A, B, C đều đúng. Trang 3/11

Lời giải. Chọn C. Câu 14: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. 3 x  x  2  x 2  3 x  x 2  x  2 .

B.

x  1  3x  x  1  9 x 2 .

C. 3 x  x  2  x 2  x  2  3x  x 2 . D. Cả A, B, C đều sai. Lời giải. Chọn A. Câu 15: Cho các phương trình f1  x   g1  x  1

f2  x   g2  x   2 f1  x   f 2  x   g1  x   g 2  x   3 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A.  3 tương đương với 1 hoặc  2  . B.  3 là hệ quả của 1 . C.  2  là hệ quả của  3 .

D. Cả A, B, C đều sai. Lời giải.

Chọn D. Câu 16: Chỉ ra khẳng định sai?

x 2  3 2 x  x 2  0. x( x  2) C.  2  x  2. x2 A.

B.

x 3  2  x 3  4.

D. x  2  x  2 . Lời giải.

Chọn D. Vì : x  2  x  2 . Câu 17: Chỉ ra khẳng định sai? A.

B. x  x  2  1  x  2  x  1 .

x 1  2 1 x  x 1  0 .

D. x  2  x  1   x  2    x  1 . 2

C. x  1  x  1 .

2

Lời giải. Chọn B. Vì : x  2  x  2 . Câu 18: Chỉ ra khẳng định sai? A.

x 2  3 2 x  x 2  0.

B.

C. x  2  2 x  1   x  2   (2 x  1) 2 . 2

x 3  2  x 3  4.

D. x 2  1  x  1 .

Lời giải. Chọn C.

x  1 Vì : x  x  2  1  x  2   hệ vô nghiệm. x  2  0





2 Câu 19: Phương trình x  1  x – 1 x  1  0 tương đương với phương trình:

A. x  1  0 . C. x 2  1  0 .

B. x  1  0 . D.  x  1 x  1  0 .

Lời giải. Chọn D. Vì hai phương trình có cùng tập nghiệm T  1 . Câu 20: Phương trình

3 x  1 16 tương đương với phương trình:  x 5 x 5 Trang 4/11

3x  1 16 3 3. x 5 x 5 3x  1 16 C.  2 x   2 x . x 5 x 5

3x  1 16  2 x   2 x . x 5 x 5 3x  1 16 D.  2x   2x . x 5 x 5

A.

B.

Lời giải. Chọn A. Vì hai phương trình có cùng tập nghiệm T  5 . Câu 21: Cho hai phương trình x 2  x  1  0 1 và 1  x  x  1  2  2  . Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là : A. 1 và  2  tương đương. B. Phương trình  2  là phương trình hệ quả của phương trình 1 . C.Phương trình 1 là phương trình hệ quả của phương trình  2  . D. Cả A, B, C đều đúng. Lời giải. Chọn D. Câu 22: Phương trình 3 x  7  x  6 tương đương với phương trình: A.  3 x  7   x  6 . 2

C.  3 x  7    x  6  . 2

2

B.

3x  7  x  6 .

D.

3x  7  x  6 .

Lời giải. Chọn A. 2  3 x  7   x  6 3x  7  x  6   3 x  6  0 9 x 2  43 x  55  0 9 x 2  43 x  55  0   vô nghiệm.  7 3 x  6  0 x  3  2 2 Ta có  3 x  7   x  6  9 x  43 x  55  0 vô nghiệm

Câu 23: Phương trình  x  4   x  2 là phương trình hệ quả của phương trình nào sau đây 2

A. x  4  x  2 . C. x  4  x  2 .

B. D.

x2  x4. x4  x2.

Lời giải. Chọn B. 2 Ta có x  2  x  4   x  4   x  2 . Câu 24: Tập xác định của phương trình

 7  

x2 7x   5 x là: x  4x  3 7  2x 2

 

A. D   2;  \ 3 . 2

7 2

 7  2

B. D   \ 1;3;  . C. D   2;  .

 7  2

D. D   2;  \ 3 .

Lời giải. Chọn D.

x  3 x  1 x  4x  3  0    7   x  2  x   2;  \ 3 . Điều kiện xác định:  x  2  0  2  7  2 x  0 7  x   2 2

Trang 5/11

 7 Vậy TXĐ: D   2;  \ 3 .  2

Câu 25: Điều kiện xác định của phương trình A.  2;  .

x2 

B.  7;   .

x2  5  0 là: 7x C.  2;7  .

D.  2;7  .

Lời giải. Chọn C.

7  x  0 x  7  2 x 7. Điều kiện xác định:   x  2  0 x  2 Câu 26:

1  x  3 là: x 1 B.  3;   \ 1 . C. 1;   .

Điều kiện xác định của phương trình A.  3;   .

2

D.  3;   \ 1 .

Lời giải. Chọn D.

 x2 1  0  x  1  Điều kiện xác định:  .  x  3 x  3  0 Câu 27: Điều kiện xác định của phương trình A. x  1 và x  2 .

1 5  2x  là: x2 x 1

B. x  1 và x  2 .

C. 1  x 

5 . 2

D. 1  x 

5 và x  2 . 2

Lời giải. Chọn D.  x  1 x 1  0 5   1  x   Điều kiện xác định:  x  2  0   x  2 .   2. 5  2 x  0   x  2 5  x   2

Câu 28: Tậpnghiệm của phương trình x 2  2 x  2 x  x 2 là: A. T  0 .

C. T  0 ; 2 .

B. T   .

D. T  2 .

Lời giải. Chọn D.  x 2  2 x  0 x  0 2  Điều kiện xác định:   x  2 x  0 x  2 . 2 2 x  x  0  Thay x  0 và x  2 vào phương trình thỏa mãn.Vậy tập nghiệm: T  0 ; 2 .

x   x là: x B. T   .

Câu 29: Tậpnghiệm của phương trình A. T  0 .

C. T  1 .

D. T  1 .

Lời giải. Chọn D.

x  0  Điều kiện xác định:  x  0 hệ vô nghiệm. x  0  Vậy tập nghiệm: T   .

Trang 6/11

Câu 30: Cho phương trình 2 x 2  x  0 1 . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình 1 ? A. 2 x 



x  0. 1 x

C. 2 x 2  x



2

B. 4 x3  x  0 .

 0.

D. x 2  2 x  1  0 . Lời giải.

Chọn D. Ta có: * 2 x 

x  0  2 x2  x  0 1 x

 x  0  x  0 1 3 * 4x  x  0   2  x   2 4 x  1  0  1 x   2  x  0 * 2x  x  0  2x  x  0   x  1 2  2 * x  2x 1  0  x  1



2



2

2

Câu 31: Phương trình x 2  3 x tương đương với phương trình:

1 1 .  3x  x3 x3

A. x 2  x  2  3 x  x  2 .

B. x 2 

C. x 2 x  3  3 x x  3 .

D. x 2  x 2  1  3 x  x 2  1 .

Lời giải. Chọn D. Vì hai phương trình có cùng tập nghiệm T  0;3 . Câu 32: Khẳng định nào sau đây sai? A.

x  2  1  x  2  1.

B.

C. 3 x  2  x  3  8 x 2  4 x  5  0 .

D.

x  x  1  1  x  1.  x  1

x  3  9  2 x  3 x  12  0 .

Lời giải. Chọn B. Vì phương trình

x  x  1  1có điều kiện xác định là x  1 .  x  1

Câu 33: Khi giải phương trình

3 x 2  1  2 x  1 1 , ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1 : Bình phương hai vế của phương trình 1 ta được:

 2 Bước 2 : Khai triển và rút gọn  2  ta được: 3 x 2  1   2 x  1

2

x 2  4 x  0  x  0 hay x  –4 .

Bước 3 : Khi x  0 , ta có 3 x 2  1  0 . Khi x  4 , ta có 3 x 2  1  0 . Vậy tập nghiệm của phương trình là: 0; –4 . Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? Trang 7/11

A. Đúng. C. Sai ở bước 2 .

B. Sai ở bước 1 . D. Sai ở bước 3 .

Lời giải. Chọn D. Vì phương trình  2  là phương trình hệ quả nên ta cần thay nghiệm x  0 ; x  4 vào phương trình 1 để thử lại. Câu 34: Khi giải phương trình x 2  5  2  x 1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: Bước 1 : Bình phương hai vế của phương trình 1 ta được:

x 2  5  (2  x) 2  2  Bước 2 : Khai triển và rút gọn  2  ta được: 4 x  9 . Bước 3 :  2   x 

9 . 4

Vậy phương trình có một nghiệm là: x 

9 . 4

Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? A. Đúng. B. Sai ở bước 1 . C. Sai ở bước 2 . D. Sai ở bước 3 . Lời giải. Chọn D. Vì phương trình  2  là phương trình hệ quả nên ta cần thay nghiệm x 

1

9 vào phương trình 4

để thử lại.

Câu 35: Khi giải phương trình x  2  2 x  3 1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: Bước 1 : Bình phương hai vế của phương trình 1 ta được:

x 2  4 x  4  4 x 2  12 x  9  2  Bước 2 : Khai triển và rút gọn  2  ta được: 3 x 2  8 x  5  0 . Bước 3 :  2   x  1  x 

5 . 3

5 Bước 4 :Vậy phương trình có nghiệm là: x  1 và x  . 3 Cách giải trên sai từ bước nào? A. Sai ở bước 1 . B. Sai ở bước 2 . C. Sai ở bước 3 . D. Sai ở bước 4 . Lời giải. Chọn D. Vì phương trình  2  là phương trình hệ quả nên ta cần thay nghiệm vào phương trình 1 để

thử lại. Câu 36: Khi giải phương trình Bước 1 : 1  Bước 2 : 

 x  3 x  4   0 1   , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

 x  3 x 2

x 2

 x  4  0  2

 x  3  0  x  4  0 . x 2

Trang 8/11

Bước 3 :  x  3  x  4 . Bước 4 :Vậy phương trình có tập nghiệm là: T  3; 4 . Cách giải trên sai từ bước nào? A. Sai ở bước 1 . C. Sai ở bước 3 .

B. Sai ở bước 2 . D. Sai ở bước 4 . Lời giải.

Chọn B. Vì biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiên.  x  5 x  4   0 1 Câu 37: Khi giải phương trình   , một học sinh tiến hành theo các bước sau: x 3 Bước 1 : 1  Bước 2 : 

 x  5 x 3

 x  4  0  2

 x  5  0  x  4  0 . x 3

Bước 3 :  x  5  x  4 . Bước 4 :Vậy phương trình có tập nghiệm là: T  5; 4 . Cách giải trên sai từ bước nào? A. Sai ở bước 1 . C. Sai ở bước 3 .

B. Sai ở bước 2 . D. Sai ở bước 4 .

Lời giải. Chọn B. Vì biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiên. 1 2x  3 Câu 38: Khi giải phương trình x   1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: x2 x2 Bước 1 : đk: x  2 Bước 2 :với điều kiện trên 1  x  x  2   1    2 x  3  2  Bước 3 :  2   x 2  4 x  4  0  x  2 . Bước 4 :Vậy phương trình có tập nghiệm là: T  2 . Cách giải trên sai từ bước nào? A. Sai ở bước 1 . C. Sai ở bước 3 .

B. Sai ở bước 2 . D. Sai ở bước 4 . Lời giải.

Chọn D. Vì không kiểm tra với điều kiện. Câu 39: Cho phương trình: 2 x 2 – x  0 1 . Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình 1 ? A. 2 x 



x  0. 1 x

C. 2 x 2  x



2

B. 1 4 x3 – x  0 .

+  x  5  0 . 2

D. x 2  2 x  1  0 . Lời giải.

Chọn D. x  0 Vì * 2 x – x  0   . x  1 2  2 * x  2x 1  0  x  1. 2

Trang 9/11

x  x

Câu 40: Phương trìnhsau có bao nhiêu nghiệm B. 1 .

A. 0 .

Lời giải. Chọn B. Ta có: x   x  x  0 . Câu 41: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm x   x B. 1 .

A. 0 .

. C. 2 .

D. vô số.

C. 2 .

D. vô số.

.

Lời giải. Chọn D. Ta có: x   x  x  0 . Câu 42: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm

x2  2 x

B. 1 .

A. 0 .

.

C. 2 .

D. vô số.

Lời giải. Chọn B. Ta có: x  2  2  x  x  2 . Câu 43: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm x  2  2  x

. C. 2 .

B. 1 .

A. 0 .

D. vô số.

Lời giải. Chọn D. Ta có: x  2  2  x  x  2  0  x  2 Câu 44: Phương trình  x 2  10 x  25  0 A. vô nghiệm. C. mọi x đều là nghiệm.

B. vô số nghiệm. D.có nghiệm duy nhất. Lời giải.

Chọn D. Ta có:

 x 2  10 x  25  0   x 2  10 x  25  0   x  5   0  x  5 . 2

Câu 45: Phương trình 2 x  5  2 x  5 có nghiệm là : 5 5 A. x  . B. x   . 2 2 2 2 C. x   . D. x  . 5 5 Lời giải. Chọn B. 5 Ta có: 2 x  5  2 x  5  2 x  5  0  x   . 2 Câu 46: Tập nghiệm của phương trình x  x  3  3  x  3 là A. S   .

C. S  3;   .

B. S  3 .

D. S   .

Lời giải. Chọn B. Ta có: x  x  3  3  x  3  x  3 . Câu 47: Tập nghiệm của phương trình x  x  A. S   .

B. S  1 .

x  1 là

C. S  0 .

D. S   .

Lời giải. Trang 10/11

Chọn A. Ta có: x  x 

x  0 phương trình vô nghiệm.  x  1

x 1  





2 Câu 48: Tập nghiệm của phương trình x  2 x  3 x  2  0 là

B. S  1 .

A. S   .

C. S  2 .

D. S  1;2 .

Lời giải. Chọn C. Ta có:

x  2

x  2  x  2.  x  2 x  2 x  1  x  3x  2  0

x  2( x 2  3 x  2)  0  x  2  

2

Câu 49: Cho phương trình x  1( x  2)  0 1 và x  x  1  1  x  1  2  .

Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là: A. 1 và  2  tương đương. B.  2  là phương trình hệ quả của 1 . C. 1 là phương trình hệ quả của  2  .

D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải. Chọn C.

x  2 .  2  x  1. x  1

Ta có: 1  

Vậy 1 là phương trình hệ quả của  2  . Câu 50: Cho phương trình

x  x 1

2 1 và x 2  x  2  0  2  . x 1

Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là: A. 1 và  2  tương đương. B.  2  là phương trình hệ quả của 1 . C. 1 là phương trình hệ quả của  2  .

D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải. Chọn B. Ta có: 1  x  2 .  2   x  1  x  2 . Vậy  2  là phương trình hệ quả của 1 .

Trang 11/11

Chương 3

PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§ 2. phöông trình baäc nhaát moät aån 

Giải và biện luận phương trình ax  b  0  ax  b Hệ số

Kết luận b (i ) có nghiệm duy nhất x    a

a0

a0

(i)

b0

(i ) vô nghiệm.

b0

(i ) nghiệm đúng với mọi x.

Bài toán tìm tham số trong phương trình bậc nhất ax  b  0

(ii )

 Để phương trình (ii ) có nghiệm duy nhất  a  0. a  0  Để phương trình (ii ) có tập nghiệm là  (vô số nghiệm)    b  0 a  0  Để phương trình (ii ) vô nghiệm    b  0



a  0  Để phương trình (ii) có nghiệm  có nghiệm duy nhất hoặc có tập nghiệm là    a  0   b  0 

 Lưu ý: Có nghiệm là trường hợp ngược lại của vô nghiệm. Do đó, tìm điều kiện để (ii) có nghiệm, thông thường ta tìm điều kiện để (ii) vô nghiệm, rồi lấy kết quả ngược lại.

§ 3. phöông trình baäc hai moät aån 

Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax 2  bx  c  0

(i)

Phương pháp: Bước 1. Biến đổi phương trình về đúng dạng ax 2  bx  c  0. Bước 2. Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:  Trường hợp 1: a  0, ta giải và biện luận ax  b  0.  Trường hợp 2: a  0. Ta lập   b2  4ac. Khi đó:  Nếu   0 thì (i ) có 2 nghiệm phân biệt x1,2   Nếu   0 thì (i ) có 1 nghiệm (kép): x  

b    2a

b  2a

 Nếu   0 thì (i ) vô nghiệm.

Bước 3. Kết luận.

Trang 1/11

Lưu ý: a  0 a  0  Phương trình (i ) có nghiệm    hoặc  b  0    0 a  0 a  0  Phương trình (i ) có nghiệm duy nhất    hoặc  b  0   0

Câu 1.

Câu 2.

Cho phương trình ax  b  0 . Chọn mệnh đề đúng: A. Nếu phương trình có nghiệm thì a khác 0 . B. Nếu phương trình vô nghiệm thì a  0 . C. Nếu phương trình vô nghiệm thì b  0 . D. Nếu phương trình có nghiệm thì b khác 0 . Lời giải Chọn B b Nếu a  0 thì phương trình có nghiệm x   . a Nếu a  0 và b  0 thì phương trình có vô số nghiệm. Nếu a  0 và b  0 thì phương trình có vô nghiệm. Bởi vậy chọn B. Phương trình ax 2  bx  c  0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: a  0 a  0 A. a  0 . B.  hoặc  .   0 b  0

a  0 D.  .   0 Lời giải

C. a  b  0 . Chọn B

a  0 Với a  0 để phương trình có nghiệm duy nhất khi    0 b  0 Với a  0 để phương trình có nghiệm duy nhất khi  . a  0

Câu 3.

Bởi vậy chọn B. Phương trình x 2  2  3 x  2 3  0 :





A. Có 2 nghiệm trái dấu. C. Có 2 nghiệm dương phân biệt.

B. Có 2 nghiệm âm phân biệt. D. Vô nghiệm. Lời giải

Chọn C x  2 Ta có: x 2  2  3 x  2 3  0   . x  3 Bởi vậy chọn C. Phương trình x 2  m  0 có nghiệm khi và chỉ khi: A. m  0 . B. m  0 . C. m  0 . Lời giải Chọn C x 2  m  0  x 2  m Phương trình có nghiệm khi m  0 . Bởi vậy chọn C.



Câu 4.



D. m  0 .

Trang 2/11

Câu 5.

Cho phương trình ax 2  bx  c  0 1 . Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. Nếu P  0 thì 1 có 2 nghiệm trái dấu. B. Nếu P  0 và S  0 thì 1 có 2 nghiệm. C. Nếu P  0 và S  0 và   0 thì 1 có 2 nghiệm âm. D. Nếu P  0 và S  0 và   0 thì 1 có 2 nghiệm dương. Lời giải

Câu 6.

Chọn B Ta xét phương trình x 2  x  1  0 vô nghiệm với P  1  0 , S  1  0 . Bởi vậy chọn B. Cho phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  . Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi : A.   0 và P  0 . C.   0 và P  0 và S  0 .

B.   0 và P  0 và S  0 . D.   0 và S  0 . Lời giải

Chọn C

  0  Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi  S  0 . P  0  Câu 7.

Bởi vậy chọn C. Cho phương trình







khẳng định sau: A. Phương trình vô nghiệm. C. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

Câu 8.

Câu 9.



3  1 x 2  2  5 x  2  3  0 . Hãy chọn khẳng định đúng trong các B. Phương trình có 2 nghiệm dương. D. Phương trình có 2 nghiệm âm. Lời giải

Chọn C Ta có: P  2  3  0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu. Bởi vậy chọn C. Hai số 1  2 và 1  2 là các nghiệm của phương trình: A. x 2 – 2 x –1  0 . B. x 2  2 x –1  0 . C. x 2  2 x  1  0 . Lời giải Chọn A S  2 Ta có:   pt : x 2  Sx  P  0  x 2  2 x  1  0 .  P  1 Bởi vậy chọn A. 2 và 3 là hai nghiệm của phương trình :

 

 3 x 

 

 3 x 

D. x 2 – 2 x  1  0 .

A. x 2 

2  3 x  6  0.

B. x 2 

2  3 x 6 0.

C. x 2

2

D. x 2

2

6  0.

6  0.

Lời giải Chọn B  S  2  3 Ta có:   pt : x 2  Sx  P  0  x 2  2  3 x + 6  0 .  P  6 Bởi vậy chọn B.





Trang 3/11

Câu 10. Phương trình  m 2  m  x  m  3  0 là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi : A. m  0 .

B. m  1 .

C. m  0 hoặc m  1 . D. m  1 và m  0 . Lời giải

Chọn D Phương trình  m 2  m  x  m  3  0 là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi m 2  m  0

m  1 .  m  0 Bởi vậy chọn D. Câu 11. Câu nào sau đây sai ? A. Khi m  2 thì phương trình :  m  2  x  m 2  3m  2  0 vô nghiệm. B. Khi m  1 thì phương trình :  m  1 x  3m  2  0 có nghiệm duy nhất. x m x 3   3 có nghiệm. x2 x D. Khi m  2 và m  0 thì phương trình :  m 2  2m  x  m  3  0 có nghiệm.

C. Khi m  2 thì phương trình :

Lời giải Chọn A Xét đáp án A : Khi m  2 phương trình có dạng 0.x  0  0 có nghiêm vô số nghiệm. Nên chọn A. Câu 12. Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là : 5 A. Phương trình: 3 x  5  0 có nghiệm là x   . 3 B. Phương trình: 0 x  7  0 vô nghiệm. C. Phương trình : 0 x  0  0 có tập nghiệm  . D. Cả a, b, c đều đúng. Lời giải Chọn D 5 Phương trình: 3 x  5  0 có nghiệm là x   . 3 Phương trình: 0 x  7  0 vô nghiệm. Phương trình : 0 x  0  0 có tập nghiệm  . Nên chọn D. Câu 13. Phương trình :  a – 3 x  b  2 vô nghiệm với giá tri a, b là : A. a  3 , b tuỳ ý .

B. a tuỳ ý, b  2 . C. a  3 , b  2 . Lời giải

D. a  3 , b  2 .

Chọn D Ta có:  a – 3 x  b  2   a – 3 x  2  b .

a  3 Phương trình vô nghiệm khi  . b  2 Bởi vậy chọn D. Câu 14. Cho phương trình : x 2  7 x – 260  0 1 . Biết rằng 1 có nghiệm x1  13 . Hỏi x2 bằng bao nhiêu : A. –27 .

B. –20 .

C. 20 . Lời giải

D. 8 .

Chọn B Ta có: x1  x2  7  x2  7  x1  20 . Bởi vậy chọn B. Trang 4/11

Câu 15. Phương trình  m 2 – 4m  3 x  m 2 – 3m  2 có nghiệm duy nhất khi: A. m  1 .

B. m  3 .

C. m  1 và m  3 . Lời giải

D. m  1 và m  3 .

Chọn C Phương trình có nghiệm khi

m

2

m  1 . – 4m  3   0   m  3

Bởi vậy chọn C. Câu 16. Phương trình  m 2 – 2m  x  m 2 – 3m  2 có nghiệm khi: A. m  0 .

B. m  2 .

C. m  0 và m  2 . Lời giải

D. m  0 .

Chọn C

m  0 Phương trình có nghiệm khi m 2 – 2m  0   . m  2 Bởi vậy chọn C. Câu 17. Tìm m để phương trình  m 2 – 4  x  m  m  2  có tập nghiệm là  : A. m  2 .

B. m  2 .

C. m  0 . Lời giải

D. m  2 và m  2 .

Chọn B 2 m  4  0  m  2 . Phương trình có vô số nghiệm khi  m  m  2   0 Bởi vậy chọn B. Câu 18. Phương trình  m 2 – 3m  2  x  m 2  4m  5  0 có tập nghiệm là  khi:

A. m  2 .

B. m  5 .

C. m  1 . Lời giải

D. Không tồn tại m .

Chọn D m 2  3m  2  0  m  . Phương trình có vô số nghiệm khi  2 m  4m  5  0 Bởi vậy chọn D.

Câu 19. Phương trình  m 2 – 5m  6  x  m 2 – 2m vô nghiệm khi: A. m  1 .

B. m  6 .

C. m  2 . Lời giải

D. m  3 .

Chọn D 2 m  5m  6  0  m  3. Phương trình có vô nghiệm khi  2 m  2m  0 Bởi vậy chọn D. 2 Câu 20. Phương trình  m  1 x  1   7 m – 5  x  m vô nghiệm khi:

A. m  2 hoặc m  3 .

B. m  2 .

C. m  1 . Lời giải

D. m  3 .

Chọn A 2 Ta có  m  1 x  1   7 m – 5  x  m   m 2  5m  6   m  1 .

m 2  5m  6  0 m  2  Phương trình có vô nghiệm khi  . m  3 m  1  0 Trang 5/11

Bởi vậy chọn A. Câu 21. Điều kiện để phương trình m( x  m  3)  m( x  2)  6 vô nghiệm là: A. m  2 hoặc m  3 .

B. m  2 và m  3 . C. m  2 hoặc m  3 . D. m  2 hoặc m  3 . Lời giải

Chọn B Ta có m  x  m  3  m  x  2   6  0.x  m 2  5m  6 .

m  2 Phương trình vô nghiệm khi m 2  5m  6  0   . m  3 Bởi vậy chọn B. Câu 22. Phương trình  m –1 x 2 +3 x – 1  0 . Phương trình có nghiệm khi: 5 A. m   . 4

5 B. m   . 4

5 C. m   . 4 Lời giải

D. m 

5 . 4

Chọn A 1 Với m  1 ta được phương trình 3 x  1  0  x  . 3 5 Với m  1 Phương trình có nghiệm khi 32  4  m  1  0  m   . 4 Bởi vậy chọn A. Câu 23. Cho phương trình x 2  2  m  2  x – 2m –1  0 1 . Với giá trị nào của m thì phương trình 1

có nghiệm: A. m  5 hoặc m  1 . C. 5  m  1 .

B. m  5 hoặc m  1 . D. m  1 hoặc m  5 . Lời giải

Chọn A Phương trình có nghiệm khi

 m  2

2

 m  1 .  2m  1  0  m 2  6m  5  0    m  5

Bởi vậy chọn A. Câu 24. Cho phương trình mx 2 – 2  m – 2  x  m – 3  0 . Khẳng định nào sau đây là sai: A. Nếu m  4 thì phương trình vô nghiệm. B. Nếu 0  m  4 thì phương trình có nghiệm: x  C. Nếu m  0 thì phương trình có nghiệm x 

m2 4m m2 4m , x . m m

3 . 4

3 . 4 Lời giải

D. Nếu m  4 thì phương trình có nghiệm kép x  Chọn D

3 . 4 2 Với m  0 ta có    m  2   m  m  3  m  4 .

Với m  0 ta được phương trình 4 x  3  0  x 

Với m  4 phương trình có nghiệm kép x 

1 . 2

Bởi vậy chọn D. Câu 25. Với giá trị nào của m thì phương trình: mx 2  2  m  2  x  m  3  0 có 2 nghiệm phân biệt? Trang 6/11

A. m  4 .

B. m  4 .

C. m  4 và m  0 . Lời giải

D. m  0 .

Chọn C

m  0 m  0 m  0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi  .   2 m  4  0 m  4  m  2   m  m  3  0 Bởi vậy chọn C. Câu 26. Cho phương trình  x  1  x 2  4mx  4   0 .Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi: A. m   .

B. m  0 .

C. m 

3 . 4

3 D. m   . 4

Lời giải Chọn D Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi x 2  4mx  4  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1  4m 2  4  0 3  m . 4 4m  3  0 Bởi vậy chọn D. Câu 27. Cho phương trình  m  1 x 2  6  m  1 x  2m  3  0 1 . Với giá trị nào sau đây của m thì phương trình 1 có nghiệm kép? A. m 

7 . 6

B. m 

6 . 7

6 C. m   . 7 Lời giải

D. m  1 .

Chọn C

m  1 m  1 Phương trình có nghiệm kép khi   2  m  1 7 m  6   0 9  m  1   2m  3 m  1  0 6 m . 7 Bởi vậy chọn C. Câu 28. Với giá trị nào của m thì phương trình 2  x 2  1  x  mx  1 có nghiệm duy nhất: 17 . 8 C. m  2 .

B. m  2 hoặc m 

A. m 

17 . 8

D. m  0 . Lời giải

Chọn B Ta có 2  x 2  1  x  mx  1   m  2  x 2  x  2  0 . Với m  2 phương trình có nghiệm x  2 . m  2 17 Với m  2 phương trình có nghiệm duy nhất khi  m . 8 1  8  m  2   0 Bởi vậy chọn B. Câu 29. Để hai đồ thị y   x 2  2 x  3 và y  x 2  m có hai điểm chung thì:

A. m  3,5 .

B. m  3,5 .

C. m  3,5 .

D. m  3,5 .

Lời giải Chọn D Xét phương trình  x 2  2 x  3  x 2  m  2 x 2  2 x  m  3  0 . 7 Hai đồ thị có hai điểm chung khi 1  2m  6  0  m   . 2 Bởi vậy chọn D. Trang 7/11

Câu 30. Nghiệm của phương trình x 2 – 3 x  5  0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: A. y  x 2 và y  3 x  5 . B. y  x 2 và y  3 x  5 . C. y  x 2 và y  3 x  5 .

D. y  x 2 và y  3 x  5 . Lời giải

Chọn C Ta có: x 2 – 3 x  5  0  x 2  3x  5 . Bởi vậy chọn C. Câu 31. Tìm điều kiện của m để phương trình x 2  4mx  m 2  0 có 2 nghiệm âm phân biệt: A. m  0 . B. m  0 . C. m  0 . D. m  0 . Lời giải Chọn B  4m 2  m 2  0   m 0. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi 4m  0 m 2  0  Bởi vậy chọn B. Câu 32. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình x 2 – 3 x –1  0 . Ta có tổng x12  x22 bằng: A. 8 .

B. 9 .

C. 10 . Lời giải

D. 11 .

Chọn D 2 Ta có: x1  x2  3; x1 x2  1  x12  x22   x1  x2   2 x1 x2  11 . Bởi vậy chọn D. Câu 33. Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình 2 x 2 – 4 x –1  0 . Khi đó, giá trị của T  x1  x2 là: A.

2.

C. 6 . Lời giải

B. 2 .

D. 4.

Chọn C Ta có: x1  x2  2 , x1 x2  

1  x1  x2  2

 x1  x2 

2



 x1  x2 

2

 4 x1 x2  6 .

Bởi vậy chọn C. Câu 34. Nếu biết các nghiệm của phương trình: x 2  px  q  0 là lập phương các nghiệm của phương trình x 2  mx  n  0 . Thế thì: A. p  q  m3 .

B. p  m3  3mn .

C. p  m3  3mn .

D. Một đáp số khác.

Lời giải Chọn C Gọi x1 , x2 là nghiệm của x 2  px  q  0 Gọi x3 , x4 là nghiệm của x 2  mx  n  0 Khi đó x1  x2   p , x3  x4  m , x3 .x4  n . 3 3  x  x3 Theo yêu cầu ta có  1  x1  x2  x33  x43  x1  x2   x3  x4   3 x3 x4  x3  x4  3  x2  x4 3   p  m  3mn  p  m3  3mn . Bởi vậy chọn C. Câu 35. Phương trình : 3  m  4  x  1  2 x  2  m – 3 có nghiệm có nghiệm duy nhất, với giá trị của m

là : A. m 

4 . 3

B. m  

3 . 4

C. m 

10 . 3

D. m 

4 . 3 Trang 8/11

Lời giải Chọn C Ta có: 3  m  4  x  1  2 x  2  m – 3   3m  10  x  2m  7 . Phương trình có nghiệm có nghiệm duy nhất khi 3m  10  0  m  

10 . 3

Bởi vậy chọn C. Câu 36. Tìm m để phương trình :  m 2 – 2   x  1  x  2 vô nghiệm với giá trị của m là : A. m  0 .

B. m  1 .

C. m  2 . Lời giải

D. m   3 .

Chọn D Ta có:  m 2 – 2   x  1  x  2   m 2  3 x  4  m 2 . 2 m  3 m  3  0 Phương trình vô nghiêm khi  .   2 4  m  0  m   3 Bởi vậy chọn D. Câu 37. Để phương trình m 2  x –1  4 x  5m  4 có nghiệm âm, giá trị thích hợp cho tham số m là :

A. m  –4 hay m  –2 . C. m  –2 hay m  2 .

B. – 4  m  –2 hay – 1  m  2 . D. m  –4 hay m  –1 . Lời giải

Chọn B Ta có: m 2  x –1  4 x  5m  4   m 2  4  x  m 2  5m  4 . m 2  4  0   m   4; 2    1; 2  . Phương trình có nghiệm âm khi  m 2  5m  4 0  2  m 4 Bởi vậy chọn B. Câu 38. Điều kiện cho tham số m để phương trình  m  1 x  m  2 có nghiệm âm là :

A. m  1 .

B. m  1 .

Chọn C Phương trình có nghiệm âm khi

C. 1  m  2 . Lời giải

D. m  2 .

m2  0 1 m  2. m 1

Bởi vậy chọn C. Câu 39. Cho phương trình : m3 x  mx  m 2 – m . Để phương trình có vô số nghiệm, giá trị của tham số m là : A. m  0 hay m  1 . B. m  0 hay m  1 . C. m  1 hay m  1 . D. Không có giá trị nào của m. Lời giải Chọn A Ta có: m3 x  mx  m 2 – m   m3  m  x  m 2  m . 3 m  0 m  m  0  phương trình có vô số nghiệm khi  2 . m  m  0 m  1 Bởi vậy chọn A. Câu 40. Cho phương trình bậc hai : x 2 – 2  m  6  x  m 2  0 . Với giá trị nào của m thì phương trình có

nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó ? A. m  –3 , x1  x2  3 . C. m  3 , x1  x2  3 .

B. m  –3 , x1  x2  –3 . D. m  3 , x1  x2  –3 . Trang 9/11

Lời giải Chọn A 2 Ta có:  '   m  6   m 2  12m  36  0  m  3  x1  x2  3 . Bởi vậy chọn A. Câu 41. Cho phương trình bậc hai:  m –1 x 2 – 6  m –1 x  2m – 3  0 . Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép ? 7 6 A. m  . B. m   . 6 7

C. m 

6 . 7

D. m  –1 .

Lời giải Chọn C

m  1  2m  3  9m  9 phương trình có nghiệm kép khi  2  '  9  m  1   m  1 2m  3  0 6 m . 7 Bởi vậy chọn C. Câu 42. Để phương trình m x 2  2  m – 3 x  m – 5  0 vô nghiệm, với giá trị của m là A. m  9 .

B. m  9 .

C. m  9 . Lời giải

D. m  9 và m  0 .

Chọn A Với m  0 phương trình thu được 6 x  5  0 suy ra phương trình này có nghiệm. 2 Với m  0 phương trình vô nghiệm khi  m  3  m  m  5   0  m  9  0  m  9 . Bởi vậy chọn A . Câu 43. Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình : x 2  3 x –10  0 . Giá trị của tổng A.

10 . 3

B. –

3 . 10

3 . 10 Lời giải

C.

D. –

1 1 là :  x1 x2

10 . 3

Chọn C 1 1 x x 3 3 Ta có:   1 2   . x1 x2 x1 x2 10 10 Bởi vậy chọn C. Câu 44. Cho phương trình : x 2 – 2a  x –1 –1  0 . Khi tổng các nghiệm và tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng nhau thì giá trị của tham số a bằng : 1 1 A. a  hay a  1 . B. a  – hay a  –1 . 2 2 3 3 C. a  hay a  2 . D. a  – hay a  –2 . 2 2 Lời giải Chọn A x  1 Ta có: x 2 – 2a  x –1 –1  0   .  x  2a  1 2 Yêu cầu bài toán x1  x2  x12  x2 2  x1  x2   x1  x2   2 x1 x2

a  1 .  2a  4a  4a +2   a  1  2 Bởi vậy chọn A. 2

Trang 10/11

Câu 45. Khi hai phương trình: x 2  ax  1  0 và x 2  x  a  0 có nghiệm chung, thì giá trị thích hợp của tham số a là: A. a  2 . B. a  –2 . C. a  1 . D. a  –1 . Lời giải Chọn B 2 a  1 x  1  x  ax  1  0  a  1 x  a  1   x2  x  a  0   Xét hệ :  2 .  2  x  x  a  0 x  1 a  2  x  x  a  0 Bởi vậy chọn B. Câu 46. Có bao nhiêu giá trị của a để hai phương trình: x 2  ax  1  0 và x 2 – x – a  0 có một nghiệm chung? A. 0 B. vô số C. 3 D. 1 Chọn D 2  a  1  x  1  x  ax  1  0  a  1 x  a  1  0   x2  x  a  0   Ta có:  2 .  2  x – x – a  0  x  1 a  2  x  x  a  0 Bởi vậy chọn D. Câu 47. Nếu a, b, c, d là các số khác 0 , biết c và d là nghiệm của phương trình x 2  ax  b  0 và a, b là nghiệm của phương trình x 2  cx  d  0 . Thế thì a  b  c  d bằng:

A. 2 .

B. 0 .

C.

1  5 . 2

D. 2.

Lời giải Chọn A

c  d  a 1 c và d là nghiệm của phương trình x 2  ax  b  0    2 cd  b a  b  c  3 a, b là nghiệm của phương trình x 2  cx  d  0    4 ab  d  3 ;  4  ; 1  a  b  ab  a  b  ab  0  a  1

 3 ;  4  ;  2    a  b  ab  b   a  b  a  1  b  2  c  1 ,

d  2

 a  b  c  d  2 Bởi vậy chọn A. Câu 48. Cho phương trình x 2  px  q  0 , trong đó p  0 , q  0 . Nếu hiệu các nghiệm của phương trình là 1 . Thế thì p bằng: A.

4q  1 .

B.

4q  1 .

C.  4q  1 .

D. Một đáp số khác.

Lời giải Chọn A

 x1  x2   p Gọi x1 , x2 là nghiệm của x 2  px  q  0 khi đó  .  x1 x2  q Ta có x1  x2 

 x1  x2 

2

 4 x1 x2 

p 2  4q  1  p  4q  1 .

Bởi vậy chọn A. Câu 49. Cho hai phương trình: x 2 – 2mx  1  0 và x 2 – 2 x  m  0 . Có hai giá trị của m để phương trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kiA. Tổng hai giá trị ấy gần nhất với hai số nào dưới đây? A. 0, 2 B. 0 C. 0, 2 D. Một đáp số khác Lời giải Trang 11/11

Chọn B Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình x 2 – 2mx  1  0 khi đó x1  x2  2m . Gọi x3 ; x4 là nghiệm của phương trình x 2 – 2 x  m  0 khi đó x3  x4  2 .

1   x1  x m  1 x x 2 1 1  3 Ta có:  .  x1  x2    x1  x2  3 4  2m    m x3 x4 x3 x4  m  1 x  1  2 x4 Bởi vậy chọn B. Câu 50. Số nguyên k nhỏ nhất sao cho phương trình : 2 x  kx – 4  – x 2  6  0 vô nghiệm là : A. k  –1 .

B. k  1 .

C. k  2 . Lời giải

D. k  4 .

Chọn C Ta có: 2 x  kx – 4  – x 2  6  0   2k  1 x 2  8 x  6  0 .

1  2k  1  0 k   phương trình : 2 x  kx – 4  – x  6  0 vô nghiệm khi  2 16  6  2k  1  0 12k  22  0 1  k   2  . 11 k   6 Bởi vậy chọn C. 2

Trang 12/11

Chương 3

PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§ 4. Moät soá phöông trình quy veà phöông trình baäc nhaát hoaëc phöông trình baäc hai 

Daïng toaùn 1: Phöông trình baäc ba, phöông trình baäc boán ()

Phương trình trùng phương: ax 4  bx 2  c  0, ( a  0) — Đặt t  x 2  0 thì ()  at 2  bt  c  0

()

— Để xác định số nghiệm của (), ta dựa vào số nghiệm của () và dấu của chúng, cụ thể:

() v« nghiÖm  Để () vô nghiệm  () cã nghiÖm kÐp ©m. () cã 2 nghiÖm ©m

() cã nghiÖm kÐp t1  t 2  0   Để () có 1 nghiệm   () cã 1 nghiÖm b»ng 0, nghiÖm cßn l¹ i ©m () cã nghiÖm kÐp d­ ¬ng   Để () có 2 nghiệm phân biệt   () cã 2 nghiÖm tr¸ i dÊu

 Để () có 3 nghiệm  () có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương.  Để () có 4 nghiệm  () có 2 nghiệm dương phân biệt.

Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai 2

e d  Loại 1. ax  bx  cx  dx  e  0 với     0. a b 4

3

2

2

  Phương pháp giải: Chia hai vế cho x 2  0, rồi đặt t  x 



    t 2   x   với x x 

d  b

 Loại 2. ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d)  e với a  c  b  d.   Phương pháp giải: ( x  a)( x  c )   ( x  b)( x  d)   e

  x 2  ( a  c )x  ac    x 2  (b  d)x  bd   e và đặt t  x 2  ( a  c )x.

 Loại 3. ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d)  ex 2 với a.b  c.d.   Phương pháp giải: Đặt t  x 2  ab 

abcd  x thì phương trình 2

 abcd   abcd   t   x t   x   ex 2 (có dạng đẳng cấp) 2 2    

 Loại 4. ( x  a)4  ( x  b)4  c   Phương pháp giải: Đặt x  t 

 Loại 5. x 4  ax 2  bx  c

ab ab  (t  )4  (t  )4  c với    2 2

(1)

  Phương pháp giải: Tạo ra dạng A 2  B2 bằng cách thêm hai vế cho một lượng Trang 1/15

2 k.x 2  k 2 , tức phương trình (1) tương đương: ( x 2 )2  2 kx 2  k 2  (2 k  a)x 2  bx  c  k 2  ( x 2  k )2  (2 k  a)x 2  bx  c  k 2 .

2 k  a  0 k? 2 2  VP  b  4(2 k  a)(c  k )  0

Cần vế phải có dạng bình phương    Loại 6. x 4  ax 3  bx 2  cx  d

(2)

  Phương pháp giải: Tạo A 2  B2 bằng cách thêm ở vế phải 1 biểu thức để tạo ra



a 2



2



dạng bình phương:  x 2  x  k   x 4  ax 3   2 k  







hai vế của phương trình (2) một lượng:  2 k  

2

a2 4

 2 2  x  kax  k . Do đó ta sẽ cộng thêm 

a2  2 2  x  kax  k , thì phương trình 4

  a   a (2)   x 2  x  k    2 k   b  x 2  ( ka  c )x  k 2  d. 2 4     2

 a2 2 k   b  0 4  k? Lúc này cần số k thỏa:  2   ( ka  c )2  4  2 k  a  b  ( k 2  d)  0  VP 4  

 Lưu ý: Với sự hổ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng phương pháp tách nhân tử. Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai, sau đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai. Khi đó bậc bốn được viết lại thành tích của 2 bậc hai. Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner. — Nguyên tắc nhẩm nghiệm:



Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x  1.



Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm x  1.



Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m và thử lại tính đúng sai.

— Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo. Câu 1.

Phương trình A. a ¹ 0 .

b = a có nghiệm duy nhất khi: x +1 B. a = 0 . C. a ¹ 0 và b ¹ 0 . Hướng dẫn giải

D. a = b = 0 .

Chọn C. Điều kiện: x ¹ -1 b = a (1) Û a ( x + 1) = b Û ax = b - a (2) Phương trình x +1 Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Û Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác -1

Câu 2.

ì a¹0 ï ìa ¹ 0 ìa ¹ 0 ï ï ï ï . Ûï Ûï Û íb - a í í ï ï ï b a ¹ a b ¹ 0 ¹ 1 ï ï î î ï ï a î 3 3x Tập nghiệm của phương trình 2 x + là : = x -1 x -1 Trang 2/15

ì 3ü A. S = ï í1; ï ý. ï ï 2ï ï î þ

ì 3ü C. S = ïí ïý . ï ï 2ï ï î þ Hướng dẫn giải

B. S = {1} .

D. S = Æ .

Chọn C. Điều kiện: x ¹ 1

é x = 1 (l ) ê 3 3x 2 Û 2 x ( x -1) + 3 = 3 x Û 2 x - 5 x + 3 = 0 Û ê Phương trình 2 x + . = ê x = 3 (n) x -1 x -1 êë 2 ì ü 3 Vậy S = ïí ïý . ï 2þ ï ï ï î

Câu 3.

Tập nghiệm của phương trình

(m2 + 2) x + 3m x

= 2 trường hợp m ¹ 0 là:

ì 3ï ü ï A. T = í- ý . B. T = Æ . ï ï mï ï î þ C. T =  . D. Cả ba câu trên đều sai. Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện: x ¹ 0 Phương trình thành (m 2 + 2) x + 3m = 2 x Û m 2 x = -3m

Vì m ¹ 0 suy ra x =

-3 . m

Câu 4. Tập hợp nghiệm của phương trình

(m2 + 2) x + 2m x

= 2 (m ¹ 0) là :

ì ï 2ü A. T = í- ï B. T = Æ . C. T = R . ý. ï mþ ï ï ï î Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện: x ¹ 0 (m2 + 2) x + 2m -2 Phương trình = 2 Û m 2 x = -2 m Û x = x m ì ü -2 Vậy S = ïí ïý . ï ïmï ï î þ x-m x-2 = Câu 5. Phương trình có nghiệm duy nhất khi : x +1 x -1 A. m ¹ 0 . B. m ¹ -1 . C. m ¹ 0 và m ¹ -1 . Hướng dẫn giải Chọn C. ìï x ¹ 1 Điều kiện: ïí ïïî x ¹ -1

D. T = R \ {0} .

D. Không có m .

Phương trình (1) thành

x-m x-2 = (1) Û ( x - m)( x -1) = ( x - 2)( x +1) Û x 2 - x - mx + m = x 2 - x - 2 x +1 x -1 Û mx = m + 2 (2)

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Û Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác -1 và 1 Trang 3/15

Câu 6.

ì ï ï ï m¹0 ï ì ìïm ¹ 0 m¹0 ï ï ï ï ïï ìïïm ¹ 0 m + 2 ï ï . Ûï ¹ 1 Û ím + 2 ¹ m Û ï í í2 ¹ 0 (ld ) Û í ïï ïïîm ¹ -1 ï ï m ï ï ïïîm + 2 ¹ -m ïïîm ¹ -1 ï ï m+2 ï ¹ -1 ï ï ï î m x+a Biết phương trình: x - 2 + = a có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là nghiệm nguyên. x -1 Vậy nghiệm đó là : A. -2 . B. -1 . C. 2 . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện: x ¹ 1 Phương trình (1) thành x+a = a Û x 2 - 3 x + 2 + x + a = ax - a Û x 2 - (2 + a ) x + 2a + 2 = 0 x -1 Phương trình (1) có nghiệm duy nhất x-2+

( 2)

Û Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác 1 hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt

có một nghiệm bằng 1

Câu 7.

Câu 8.

éa = 2 + 2 2 ê ìïa 2 - 4a - 4 = 0 ìïa 2 - 4a - 4 > 0 ê ï ï Ûí Èí Û êa = 2 - 2 2 ïïîa + 1 ¹ 0 ïïîa + 1 = 0 ê ê a = -1 êë Với a = 2 + 2 2 phương trình có nghiệm là x = 2 + 2 Với a = 2 - 2 2 phương trình có nghiệm là x = 2 - 2 é x = 0 (n) Với a = -1 phương trình có nghiệm là êê . êë x = 1 (l ) 2mx -1 = 3 (1) . Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm? Cho phương trình: x +1 3 A. m ¹ . B. m ¹ 0 . 2 3 3 1 C. m ¹ và m ¹ 0 . D. m ¹ và m ¹ - . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện: x ¹ -1 2mx -1 = 3 Û 2mx -1 = 3 x + 3 Û (2m - 3) x = 4 (2) Phương trình (1) thành x +1 Phương trình (1) có nghiệm ìï 3 ì ïïm ¹ 2m - 3 ¹ 0 ï ï ï 2 Ûí . Û Phương trình (2) có nghiệm khác -1 Û ïí 4 ï ï 1 ¹ 1 ïïm ¹ ï ï 2m - 3 î ïïî 2 Phương trình ax + b = cx + d tương đương với phương trình :

A. ax + b = cx + d

C. ax + b = cx + d hay ax + b = -(cx + d )

B. ax + b = -(cx + d ) D. ax + b = cx + d

Trang 4/15

Hướng dẫn giải Chọn C. Câu 9.

Tập nghiệm của phương trình: x - 2 = 3 x - 5 (1) là tập hợp nào sau đây ?

ì ï3 7ü A. í ; ï ý. ï ï ï î 2 4ï þ Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có

ì 3 7ü B. ïí- ; ïý . ï ï ï î 2 4ï þ

A. 0 . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có

B. 1 .

ì 7 3ü C. ï í- ; - ï ý. ï ï 2ï ï î 4 þ

ì 7 3ü D. ïí- ; ïý . ï ï ï î 4 2ï þ

é 3 êx = é x - 2 = 3x - 5 é2 x = 3 ê 2 x - 2 = 3x - 5 Û ê Ûê . Ûê êë x - 2 = 5 - 3 x êë 4 x = 7 7 ê êx = êë 4 Câu 10. Phương trình 2 x - 4 + x -1 = 0 có bao nhiêu nghiệm ?

C. 2 .

ì2 x - 4 = 0 ï ïì x = 2 2 x - 4 + x -1 = 0 Û ïí Û ïí (vl ) ï ïïî x = 1 ï î x -1 = 0 Suy ra S = Æ . Câu 11. Phương trình 2 x - 4 - 2 x + 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm ? A. 0 . B. 1 . C. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta

có:

D. Vô số.

D. Vô số.

é2 x - 4 = 2 x - 4 2x - 4 - 2x + 4 = 0 Û 2x - 4 = 2x - 4 Û 2x - 4 ³ 0 Ç ê ê 2 x - 4 = 4 - 2 x (vl ) ë

ïì x ³ 2 Û x³2. Û ïí ïïî x Î  Câu 12. Với giá trị nào của a thì phương trình: 3 x + 2ax = -1 có nghiệm duy nhất: 3 A. a > . 2 Hướng dẫn giải Chọn D.

B. a <

-3 . 2

ì -3 3 ï ü ï C. a ¹ í ; ý . ï ï 2 2ï ï î þ

D. a <

-3 3 Úa> . 2 2

é3 x = -1- 2ax 3 x + 2ax = -1 Û 3 x = -1- 2ax Û -1- 2ax ³ 0 Ç ê Û 2ax £ -1 Ç êë3 x = 1 + 2ax é -3 êa < é(3 + 2a ) x = -1 (2) ê 2 ê ê(3 - 2a ) x = 1 (3) . Giải hệ này ta được Û êê 3 êë êa > êë 2 é -3 êa < ê 2 Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất Û ê . 3 ê êa > êë 2 2 Câu 13. Phương trình: x + 1 = x + m có 1 nghiệm duy nhất khi và chỉ khi : A. m = 0 B. m = 1 . Ta có:

Trang 5/15

C. m = -1 . Hướng dẫn giải Chọn D.

D. Không tồn tại giá trị m thỏa.

ì ï-x 2 + x + 1 khi x ³ 0 x + 1 = x 2 + m Û m = f ( x) = ïí 2 . ï x x + 1 khi x < 0 ï î Biểu diễn đồ thị hàm số f ( x) lên hệ trục tọa độ như hình vẽ bên trên. Dựa vào đồ thị ta suy ra

không tồn tại m để phương trình m = f ( x) có duy nhất 1 nghiệm.

Câu 14. Tập nghiệm của phương trình: x - 2 = 2 x -1 là: A. S = {-1;1} .

Hướng dẫn giải Chọn C.

B. S = {-1} .

C. S = {1} .

D. S = {0} .

é x - 2 = 2 x -1 1 é x = -1 (l ) Ta có x - 2 = 2 x -1 Û 2 x -1 ³ 0 È ê Û x ³ Ç êê êë x - 2 = 1- 2 x 2 êë x = 1 (n) Vậy S = {1} Câu 15. Tập nghiệm của phương trình

x -1 -3 x + 1 = (1) là : 2x - 3 x +1

ì11 + 65 11 + 41 ï ü ï ï A. ïí ; ý. ï ï 14 10 ï ï î þ ì11 + 65 11- 65 ï ü ï ï C. ïí ; ý. ï ï 14 14 ï ï î þ Hướng dẫn giải Chọn C. ìï2 x - 3 ¹ 0 ìïï x ¹ 3 Û ïí Điều kiện: ïí 2 ïï x + 1 ¹ 0 ïï î ïî x ¹ -1

ì11- 65 11- 41 ï ü ï ï B. ï ; í ý. ï ï 14 10 ï ï î þ ì11 + 41 11- 41 ï ü ï ï D. ï ; í ý. ï ï 10 10 ï ï î þ

Phương trình (1) thành: x + 1 ( x -1) = (-3 x + 1)(2 x - 3) TH1: x ³ -1

é ê x = 11 + 65 (n) ê 14 Phương trình thành x 2 -1 = -6 x 2 + 11x - 3 Û 7 x 2 -11x + 2 = 0 Û ê ê ê x = 11- 65 (n) êë 14

TH2: x < -1

Trang 6/15

é ê x = 11 + 41 (l ) ê 10 Phương trình thành -x 2 + 1 = -6 x 2 + 11x - 3 Û 5 x 2 -11x + 4 = 0 Û ê ê ê x = 11- 41 (l ) êë 10

ì11 + 65 11- 65 ï ü ï ï Vậy S = ïí ; ý. ï ï 14 14 ï ï î þ x2 - 4x - 2 = x - 2 là : Câu 16. Tập nghiệm của phương trình x-2 A. S = {2} . B. S = {1} . C. S = {0;1} .

Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện: x > 2 Ta có

éx = 0 x2 - 4x - 2 = x - 2 Û x 2 - 4 x - 2 = x - 2 Û x 2 - 5 x = 0 Û êê x-2 êë x = 5

Vậy S = {5} . Câu 17. Cho

D. S = {5} .

x 2 - 2 (m + 1) x + 6m - 2 x-2

(l ) (n)

= x - 2 (1) . Với m là bao nhiêu thì (1) có nghiệm duy nhất

A. m > 1 . B. m ³ 1 . C. m < 1 . D. m £ 1 . Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện x - 2 > 0 Û x > 2 . (1) Û x 2 -(2m + 3) x + 6m = 0 (2) , phương trình luôn có nghiệm là x = 3 và x = 2m , để phường trình (1) có duy nhất 1 nghiệm thì 2m £ 2 Û m £ 1 .

Câu 18. Với giá trị nào của tham số a thì phương trình: ( x 2 - 5 x + 4) x - a = 0 có hai nghiệm phân biệt A. a < 1 . Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện: x ³ a

B. 1 £ a < 4 .

C. a ³ 4 .

D. Không có a .

éx = 4 é x2 - 5x + 4 = 0 ê Û êx =1 Phương trình thành ê êx-a = 0 ê ë êx = a ë Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Û 1 £ a < 4 . Câu 19. Số nghiệm của phương trình: x - 4 ( x 2 - 3 x + 2) = 0 là: A. 0 . Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện: x ³ 4

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

é x = 4 (n) ê Phương trình thành x - 4 ( x 2 - 3 x + 2) = 0 Û êê x = 1 (l ) Û x = 4 . ê êë x = 2 (l ) Câu 20. Phương trình ( x 2 - 3 x + m)( x -1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi : A. m <

9 . 4

9 B. m £ Ù m ¹ 2 . 4

9 C. m < Ù m ¹ 2 . 4

D. m >

9 . 4 Trang 7/15

Hướng dẫn giải Chọn C.

éx =1 Phương trình ( x 2 - 3 x + m)( x -1) = 0 Û êê 2 êë x - 3 x + m = 0 (2) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

ìï 9 ì ïïm < 9 - 4m > 0 ï ï Ûí Û Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 Û í 4. ïï ï ï î1- 3 + m ¹ 0 ïîm ¹ 2

Câu 21. Cho phương trình: ( x 2 - 2 x + 3) + 2 (3 - m)( x 2 - 2 x + 3) + m 2 - 6m = 0 . Tìm m để phương 2

trình có nghiệm : A. Mọi m. B. m £ 4 . C. m £ -2 . D. m ³ 2 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t = x 2 - 2 x + 3 (t ³ 2) . Ta được phương trình t 2 + 2 (3 - m) t + m 2 - 6m = 0 (1) ,

D/ = m 2 - 6m + 9 - m 2 + 6m = 9 suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm là t1 = m - 6 và

t2 = m .

ém - 6 ³ 2 theo yêu cầu bài toán ta suy ra phương trình (1) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 Û ê êë m ³ 2 Û m³2 x 2 - mx + 2 Câu 22. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình : m 2 - x = có nghiệm dương: 2- x A. 0 < m £ 2 6 - 4 . B. 1 < m < 3 . C. 4 - 2 6 £ m < 1 . D. 2 6 - 4 £ m < 1 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện x < 2 , với điều kiện này thì phương trình đã cho trở thành x 2 + 2 - 2m = 0 Û x 2 = 2m - 2 , phương trình đã cho có nghiệm dương khi và chỉ khi 0 < 2m - 2 < 4 Û 1 < m < 3 . 2 æ x 2 ö÷ 2x2 ç ÷÷ + Câu 23. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình: ç + a = 0 (1) có đúng 4 çè x -1ø÷ x -1 nghiệm. A. 0. B. 1. Hướng dẫn giải Chọn A. x2 Đặt t = x -1 Phương trình (1) thành t 2 + 2t + a = 0 (2)

C. 2.

D. 3 .

Phương trình (1) có đúng 4 nghiệm

Û phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

ìïD > 0 ìï4 - 4a > 0 ï ïï ï Û íS > 0 Û ïí-2 > 0 (vl ) Û a Ï Æ . ïï ï ï ïïî P > 0 ï ï îa > 0 æ æ 1ö 1ö Câu 24. Định m để phương trình : çç x 2 + 2 ÷÷÷ - 2m çç x + ÷÷÷ + 1 + 2m = 0 có nghiệm : çè çè x ø xø

Trang 8/15

3 3 A. - £ m £ . 4 4

B. m ³

3 . 4

3 C. m £ - . 4

é 3 êm ³ ê 2 D. ê . 1 ê êm £ êë 2

Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện x ¹ 0 1 Đặt t = x + suy ra t £ -2 hoặc t ³ 2 . Phương trình đã cho trở thành x 2 t - 2mt -1 + 2m = 0 , phương trình này luôn có hai nghiệm là t1 = 1 ; t2 = 2m -1 . Theo yêu é 3 êm ³ é 2 m -1 ³ 2 ê 2 Ûê cầu bài toán ta suy ra ê . êë 2m -1 £ -2 1 ê êm £ êë 2 æ 4 2ö Câu 25. Định k để phương trình: x 2 + 2 - 4 çç x - ÷÷÷ + k -1 = 0 có đúng hai nghiệm lớn hơn 1: çè x xø A. k < -8 . B. -8 < k < 1 . C. 0 < k < 1 . D. Không tồn tại k . Lời giải Chọn B. 2 æ 4 2 ÷ö 2 2   2 ç Ta có: x + 2 - 4 ç x - ÷÷ + k -1 = 0   x    4  x    k  3  0 1 . ç è x xø x x   2 Đặt t  x  , phương trình trở thành t 2  4t  k  3  0  2  . x Nhận xét : với mỗi nghiệm t của phương trình  2  cho ta hai nghiệm trái dấu của phương trình

1 . Ta có :   4   k  1  1  k . Từ nhận xét trên, phương trình 1 có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 khi và chỉ khi  1  k  0 2 1  2  1  k .1  2  0  8  k  1  12  2  1  k .1  2  0 

 

 

Câu 26. Tìm m để phương trình :  x 2  2 x  4  – 2m  x 2  2 x  4   4m –1  0 có đúng hai nghiệm. 2

A. 3 < m < 4 .

B. m < 2 - 3 Ú m > 2 + 3 . m  2  3 D.  . m  4

C. 2 + 3 < m < 4 .

Lời giải Chọn D. 2 Đặt t  x 2  2 x  4   x  1  3  3 , phương trình trở thành

t 2  2mt  4m  1  0

 2 .

Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm t  3 của phương trình  2  cho ta hai nghiệm của phương trình

1 . Do đó phương trình 1

có đúng hai nghiệm khi phương trình  2  có đúng một nghiệm

t  3.

Trang 9/15

    m 2  4m  1  0  m  2  3 .     2m  3 m  4   2 1.  3  2m.3  4m  1  0

Câu 27. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : x 2 + A. 2,5. Lời giải Chọn D. Ta

B. 3.

có

:

25 x 2

( x + 5)

C. 3,5.

2

= 11 gần nhất với số nào dưới đây?

D. 2,8.

x 2 æç 25 ö÷ x 2 x 2  10 x  50 .  11 x + = 11 Û ÷ = 11  çx + 5 + 2 x + 5 çè x + 5 ÷ø x5 x5 ( x + 5) 25 x 2

2

 x2  x 5 1  x2   x2 x2  x2  11  0   2   10   11     10  x5 x5 x5  x  x5   x  5  11  1  21  1, 79 2 x  x  x  5  0 2   2 .   1  21  x  11x  55  0  vn   2, 79 x   2 Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để 2

phương

2 ( x 2 + 2 x) - (4m - 3)( x 2 + 2 x) + 1- 2m = 0 có đúng 3 nghiệm thuộc [-3;0].

trình:

2

A. 1. B. 2. C. 3. Hướng dẫn giải Chọn . 2 2 Ta có:    4m  3  4.2. 1  2m    4m  1

D. 0.

1  2 x  2x  1  2 2  x  2 x    4m  3   x  2 x   1  2m  0   2  x  2 x  2m  1  2   2  6 x   3; 0  1 2 2  1  x  2 x   0  2  2  6   3; 0 x   2 2  2    x  1  2m . Phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc đoạn  3; 0 khi phương trình 2

 2

2

2

có hai nghiệm thuộc đoạn  3; 0

m  0  2m  0   1 1   3  1  2m  0  m   0  m  . 2 2    3   1  2 m  0  m  2 Không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn. Câu 29. Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm: x 6 + 2003 x3 - 2005 = 0 A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B. Phương trình x 6 + 2003 x3 - 2005 = 0 Trang 10/15

Vì 1.(-2005) < 0 suy ra phương trình có 2 nghiệm trái dấu Suy ra có phương trình có một nghiệm âm.

Câu 30. Cho phương trình ax 4 + bx 2 + c = 0 (1) (a ¹ 0) . Đặt: D = b 2 - 4ac , S =

(1) vô nghiệm khi và chỉ khi :

ìïD ³ 0 ïï B. D < 0 Ú íS < 0 . ïï ïïî P > 0

A. D < 0 . Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt t = x 2 (t ³ 0)

ìD > 0 ï C. ï . í ï S < 0 ï î

-b c , P = . Ta có a a

ìD > 0 ï D. ï . í ï P > 0 ï î

Phương trình (1) thành at 2 + bt + c = 0 (2) Phương trình (1) vô nghiệm

Û phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm cùng âm

ïìïD ³ 0 ï Û D < 0 È íS < 0 . ïï ïïî P > 0

Câu 31. Phương trình x 4 + A. 2. Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có D =

(

(

)

(

)

65 - 3 x 2 + 2 8 + 63 = 0 có bao nhiêu nghiệm ? B. 3.

)

(

2

C. 4.

D. 0.

)

65 - 3 - 4.2. 8 + 63 = 4 - 2 195 - 8 63 < 0

Suy ra phương trình vô nghiệm. Câu 32. Phương trình -x 4 - 2 2 -1 x 2 + 3 - 2 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm ? A. 2. Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt t = x 2 (t ³ 0)

(

)

(

B. 3.

)

C. 4.

D. 0.

( 2 -1) t + (3 - 2 2 ) = 0 (2) Phương trình (2) có a.c = (-1)(3 - 2 2 ) < 0 Phương trình (1) thành -t 2 - 2

Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu

Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 33. Phương trình: 2 x 4 - 2 A. vô nghiệm

(

)

2 + 3 x 2 + 12 = 0

B. Có 2 nghiệm x =

2+ 3+ 5 , x =2

2+ 3+ 5 . 2

C. Có 2 nghiệm x =

2 + 3- 5 , x =2

2 + 3- 5 . 2

Trang 11/15

2+ 3+ 5 , 2

x=

D. Có 4 nghiệm

2 + 3- 5 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Đặt t = x 2 (t ³ 0)

x =-

2+ 3+ 5 , 2

x=

2 + 3- 5 , 2

x =-

Phương trình (1) thành

2.t 2 - 2

(

)

2 + 3 t + 12 = 0 (2)

Ta có D ' = 5 + 2 6 - 2 6 = 5 ì ï ï ï D' = 5> 0 ï ï ï ï ï -2 2 + 3 b =- >0 Ta có ï íï a 2 ï ï ï ï 12 c ï = >0 ï ï a ï î 2 Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

(

)

Vậy Phương trình (1) có 4 nghiệm.

Câu 34. Cho phương trình x 4 + x 2 + m = 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng: 1 A. Phương trình có nghiệm Û m £ . 4 B. Phương trình có nghiệm m £ 0 . C. Phương trình vô nghiệm với mọi m . D. Phương trình có nghiệm duy nhất Û m = -2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt t = x 2 (t ³ 0) Phương trình (1) thành t 2 + t + m = 0 (2) Phương trình (1) vô nghiệm

Û phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm âm

ìïD ³ 0 ìï1- 4m ³ 0 ìï 1 ïï ïï 1 ïïm £ Û m > Èí Û D < 0 È íS < 0 Û 1- 4m < 0 È í-1 < 0 4 Û m>0. ïï ïï 4 ïï ïïî P > 0 ïïîm > 0 ïîm > 0 Phương trình có nghiệm Û m £ 0 .

Câu 35. Phương trình -x 4 + A. 1 nghiệm. Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có

(

)

2 - 3 x 2 = 0 có: B. 2 nghiệm.

C. 3 nghiệm.

D. 4 nghiệm.

é x2 = 0 -x + 2 - 3 x = 0 Û x -x + 2 - 3 = 0 Û êê 2 Û x2 = 0 Û x = 0 . êë x = 2 - 3 (vl ) Câu 36. Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm: x 4 - 2005 x 2 -13 = 0 A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải 4

(

)

2

2

(

2

)

Trang 12/15

Chọn B. Đặt t = x 2 (t ³ 0)

Phương trình (1) thành t 2 - 2005t -13 = 0 (1) Phương trình (2) có a.c = 1.(-13) < 0

Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu

Ruy ra phương trình (1) có một nghiệm âm và một nghiệm dương.

Câu 37. Phương trình : 3 - x + 2 x + 4 = 3 , có nghiệm là : -4 . B. x = -4 . 3 Hướng dẫn giải Chọn D. Trường hợp 1: x < -2

A. x =

C. x =

2 . 3

Phương trình thành 3 - x - 2 x - 4 = 3 Û 3 x = -4 Û x = Trường hợp 2: -2 £ x £ 3 Phương trình thành 3 - x + 2 x + 4 = 3 Û x = -4 (l ) Trường hợp 3: x > 3

Phương trình thành x - 3 + 2 x + 4 = 3 Û 3 x = 2 Û x =

D. Vô nghiệm.

-4 (l ) 3

2 (l ) 3

Vậy S = Æ . Câu 38. Phương trình: 2 x - 4 + x -1 = 0 có bao nhiêu nghiệm ? A. 0 . Hướng dẫn giải Chọn A.

B. 1 .

Trường hợp 2: -2 < x <

5 3

C. 2 .

D. Vô số.

ì2 x - 4 = 0 ï ïì x = 2 2 x - 4 + x -1 = 0 Û ïí Û ïí (vl ) Û x Î Æ ï ï x 1 = 0 x = 1 ï ïî î Câu 39. Cho phương trình: a x + 2 + a x -1 = b . Để phương trình có hai nghiệm khác nhau, hệ thức giữa hai tham số a, b là: A. a > 3b . B. b > 3a . C. a = 3b . D. b = 3a . Hướng dẫn giải Chọn A. Câu 40. Phương trình: x + 2 + 3 x - 5 - 2 x - 7 = 0 , có nghiệm là : é 5ù A. "x Î ê-2; ú . B. x = -3 . C. x = 3 . D. x = 4 . êë 3 úû Hướng dẫn giải Chọn A. Trường hợp 1: x £ -2 Phương trình thành: -x - 2 - 3 x + 5 + 2 x - 7 = 0 Û -2 x = 4 Û x = -2 (n) .

5 Phương trình thành: x + 2 - 3 x + 5 + 2 x - 7 = 0 Û 0 x = 0 (ld ) Suy ra -2 < x < . 3 5 7 Trường hợp 3: £ x £ 3 2 5 Phương trình thành: x + 2 + 3 x - 5 + 2 x - 7 = 0 Û 6 x = 10 Û x = (n) . 3 Trang 13/15

Trường hợp 4: x >

7 2

Phương trình thành: x + 2 + 3 x - 5 - 2 x + 7 = 0 Û 6 x = -4 Û x = é 5ù Vậy S = ê-2; ú . 3 ûú ëê

-2 (l ) . 3

x2 3 x2 3 - 2 x + + - 3 x + 4 = có nghiệm là : Câu 41. Phương trình 2 2 2 4 1 7 13 3 7 11 A. x = , x = , x = . B. x = ; x = , x = . 2 2 3 2 3 3 7 5 13 7 5 13 C. x = , x = , x = . D. x = , x = , x = . 5 4 2 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D. TH 1: x £ 1

é ê x = 5 + 6 (l ) ê x 3 x 3 19 2 - 2 x + + - 3x + 4 = Û x 2 - 5 x + = 0 Û ê Phương trình thành: . ê 2 2 2 4 4 5 6 êx = (l ) êë 2 2

TH 2: 1 < x < 2

Phương trình thành: TH 3: 2 £ x £ 3 Phương trình thành: TH 4: 3 < x < 4 Phương trình thành: TH 4: x ³ 4

2

x2 3 x2 3 7 + 2 x - + - 3 x + 4 = Û x = (n) . 2 2 2 4 4 x2 3 x2 3 25 5 + 2 x - - + 3 x - 4 = Û -x 2 + 5 x - = 0 Û x = ( n) . 2 2 2 4 4 2

x2 3 x2 3 13 - 2 x + - + 3x - 4 = Û x = (n) . 2 2 2 4 4

é ê x = 5 + 6 (l ) 2 2 ê x 3 x 3 19 2 - 2 x + + - 3x + 4 = Û x 2 - 5 x + = 0 Û ê Phương trình thành: . ê 2 2 2 4 4 5 6 êx = (l ) êë 2

Câu 42. Định k để phương trình: x 2 + 2 x - k + x -1 = 0 có đúng ba nghiệm. Các giá trị k tìm được có tổng : A. -5 .

B. -1 .

C. 0 .

Câu 43. Phương trình: x 2 - 6 x + 5 = k 2 x -1 có nghiệm duy nhất. A. k < -1 . Hướng dẫn giải

B. k > 4 .

C. -1 < k < 4 .

D. 4 .

D. k > -1 .

æ x 2 - 2 x + 1 ö÷ x+2 ÷- m = 12 có đúng 4 Câu 44. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: çç 2 çè x + 4 x + 4 ÷÷ø x -1 nghiệm? A. 14 . B. 15 . C. 16 . D. Nhiều hơn 16 nhưng hữu hạn. Hướng dẫn giải

Trang 14/15

3mx + 1 2 x + 5m + 3 . Để phương trình có nghiệm, điều kiện để + x +1 = x +1 x +1 thỏa mãn tham số m là : ém < 0 é 1 ê êm < 1 1 A. 0 < m < . B. ê C. - < m < 0 . D. ê 3. 1. êm > ê 3 3 êë m > 0 3 ëê Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện: x > -1 Phương trình thành 3mx + 1 + x + 1 = 2 x + 5m + 3 Û (3m -1) x = 5m + 1 (2)

Câu 45. Cho phương trình:

Phương trình (1) vô nghiệm Û Phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm

duy nhất nhỏ hơn bằng -1 ì ï3m -1 ¹ 0 ì 3m -1 = 0 ï 1 æ 1 é5m + 1 £ -3m + 1 khi 3m -1 ³ 0ö÷ ï ï ÷÷ Û m = È çççm ¹ Ç ê Ûí Èï í 5m + 1 ê ÷ø ï ï ç 5 m + 1 ³ 3 m + 1 khi 3 m 1 < 0 5 m + 1 ¹ 0 3 3 £ 1 è ï ë î ï ï 3m -1 î æ é 1ö çç ê m £ 0 khi m ³ ÷÷÷ 1 ê 1 ç 1 3 ÷÷ Û m = È çççm ¹ Ç ê ÷÷ Û 0 £ m £ 1÷ 3 ê 3 ç 3 ç ê m ³ 0 khi m < ÷÷÷ çè êë 3ø ém < 0 ê Vậy Phương trình có nghiệm ê 1. êm > êë 3 x +m x-2 + = 2 . Để phương trình vô nghiệm thì: Câu 46. Cho phương trình: x +1 x é 1 ê m = ém = 1 é m = -1 ém = 2 ê 3 A. ê . B. ê . C. ê . D. ê . êë m = 3 êë m = -3 êë m = -2 1 ê êm = êë 2 Hướng dẫn giải Chọn A. ìï x ¹ 0 Điều kiện: ïí ïïî x ¹ -1 Phương trình thành x 2 + mx + x 2 - x - 2 = 2 ( x 2 + x) Û (m - 3) x = 2 (2) . Phương trình (1) vô nghiệm

Û Phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm duy nhất bằng 0 hoặc bằng

-1 .

æ ö é 2 çç ê = 0 (vl )÷÷÷ ìïïm ¹ 3 ém = 3 ç ê m -3 ÷÷ Û m - 3 = 0 È çççm - 3 ¹ 0 Ç ê . Ûê ÷÷ Û m = 3 È íï êë m = 1 2 = 3- m ê 2 çç ÷ ï î = -1 ÷÷÷ ê çè ø êë m - 3

Câu 47. Cho phương trình: A. x = 1 . Hướng dẫn giải Chọn A.

x 2 -1 + x + 1

= 2 . Có nghiệm là: x ( x - 2) B. x = 3 . C. x = 4 .

D. x = 5 .

Trang 15/15

ì ïx ¹ 0 Điều kiện: ï í ï ï îx ¹ 2 Phương trình thành x 2 -1 + x + 1 = 2 x ( x - 2) TH 1: x < -1

é x = 2 (l ) ê Phương trình thành x -1- x -1 = 2 (-x)( x - 2) Û 3 x - 5 x - 2 = 0 Û ê . ê x = -1 (l ) êë 3 2

2

TH 2: -1 £ x £ 0

é x = 0 (l ) Phương trình thành x 2 -1 + x + 1 = -2 x ( x - 2) Û 3 x 2 - 3 x = 0 Û êê . êë x = 1 (l ) TH3: x > 0 é x = 0 (l ) Phương trình thành x 2 -1 + x + 1 = 2 x ( x - 2) Û x 2 - 5 x = 0 Û êê . x = 5 n ( ) êë 2x - m Câu 48. Tìm m để phương trình vô nghiệm: = m -1 ( m là tham số). x-2 A. m = 3 . B. m = 4 . C. m = 3 Ú m = 4 . D. m = 3 Ú m = -4 . Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện: x ¹ 2 Phương trình thành 2 x - m = mx - 2m - x + 2 Û (m - 3) x = m - 2(2)

Phương trình (1) vô nghiệm Û Phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm duy nhất bằng 2 ì m -3 ¹ 0 ï ém = 3 ì ï m 3 = 0 ï ï ï . Ûê Ûí Èím- 2 êë m = 4 ï =2 ï îm - 2 ¹ 0 ï ï ï î m -3 3- 2x - x Câu 49. Phương trình = 5 có các nghiệm là: 3 + 2x + x - 2 1 21 2 22 1 23 3 A. x = - , x = -7 . B. x = - , x = . C. x = - , x = . D. x = - , x = . 8 9 23 9 23 9 23 Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện: 3 + 2 x + x - 2 ¹ 0 Phương trình thành 3 - 2 x - x = 5 3 + 2 x + 5 x -10

-3 2 Phương trình thành 3 - 2 x + x = -15 -10 x + 5 x -10 Û 4 x = -28 Û x = -7 (n) .

TH 1: x <

TH2:

-3 £ x£0 2

Phương trình thành 3 - 2 x + x = 15 + 10 x + 5 x -10 Û 16 x = -2 Û x = TH 3: 0 < x <

1 (n) . 8

3 2

Phương trình thành 3 - 2 x - x = 15 + 10 x + 5 x -10 Û 18 x = -2 Û x = -

1 (l ) . 9

Trang 16/15

TH 4: x ³

3 2

Phương trình thành -3 + 2 x - x = 15 + 10 x + 5 x -10 Û 14 x = -8 Û x = Câu 50. Tập nghiệm T của phương trình: A. T = [3; +¥) .

x -3

=

x-4 B. T = [ 4; +¥) .

x -3 là: x-4 C. (4;+¥) .

4 (l ) . 7

D. T = Æ .

Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện: x > 4 Phương trình thành

é 0 x = 0 (ld ) éx -3 = x -3 x -3 = x -3 Û x -3 ³ 0 Ç ê Û x ³3. Û x ³ 3 Ç êê êë x - 3 = 3 - x ëx = 3 Vậy T = (4; +¥) .

Trang 17/15

Chương 3

PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§ 5. heä phöông trình baäc nhaát nhieàu aån 

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:  Định nghĩa: a1 x  b1 y  c1 (1) với a2 x  b2 y  c2 (2)

Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y là hệ có dạng ( I ) :  a12  b12  0   2 2 a2  b2  0

Cặp số ( xo ; yo ) đồng thời thỏa cả 2 phương trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ.  Công thức nghiệm: Quy tắc Crame. Ký hiệu: D 

a1 a2

b1 c  a1b2  a2 b1 , Dx  1 b2 c2

b1 a  c1b2  c2 b1 , Dy  1 b2 a2

Xét D

Kết quả Hệ có nghiệm duy nhất x 

D0

Dx  0 hoặc Dy  0

D0

c1  a1c2  a2 c1 . c2

Dy Dx , y  D D

Hệ vô nghiệm.

Dx  D y  0

Hệ có vô số nghiệm.

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.  Biểu diễn hình học của tập nghiệm: Nghiệm ( x; y) của hệ ( I ) là tọa độ điểm M( x; y) thuộc cả 2 đường thẳng: (d1 ) : a1 x  b1 y  c1 và (d2 ) : a2 x  b2 y  c2 .

 Hệ ( I ) có nghiệm duy nhất  (d1 ) và (d2 ) cắt nhau.  Hệ ( I ) vô nghiệm  (d1 ) và (d2 ) song song với nhau.  Hệ ( I ) có vô số nghiệm  (d1 ) và (d2 ) trùng nhau. a1 b1  a2 b2

a1 b1 c1   a2 b2 c2

y

y (d2 )

yo O

M

(d1 ) x

xo

Nghiệm duy nhất

(d1 )

a1 b1 c1   a2 b2 c2

y (d2 )

(d2 ) x

O

Vô nghiệm

(d1 )

O

x

Vô số nghiệm

HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN

Trang 1/15

a1 x  b1 y  c1 z  d1  Hệ có dạng: a2 x  b2 y  c2 z  d2  Một nghiệm của hệ là bộ 3 số ( xo ; yo ; zo ) thỏa cả 3 a x  b y  c z  d 3 3 3  3

phương trình của hệ. Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

§ 6. heä phöông trình baäc hai hai aån soá 

HỆ GỒM 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax  by  c 2 2 dx  exy  fy  gx  hy  i

(1) (2)



Dạng tổng quát: 



Phương pháp giải: Từ phương trình bậc nhất (1), rút x theo y (hoặc y theo x) và thế vào phương trình còn lại (2) để giải tìm x (hoặc tìm y). HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các phương trình cũng không thay đổi.  Phương pháp giải: Biến đổi về dạng tổng và tích 2 biến. Đặt S  x  y , P  xy. 

Giải hệ với ẩn S , P với điều kiện có nghiệm ( x; y) là S2  4 P. Tìm nghiệm ( x; y) bằng cách thế vào phương trình X 2  SX  P  0.  Một số biến đổi để đưa về dạng tổng – tích thường gặp: 

x 2  y 2  ( x  y)2  2 xy  S2  2 P.



( x  y )2  ( x  y )2  4 xy  S2  4 P. 4

4

2

2 2

2

2

4

2

 2

x 3  y 3  ( x  y )3  3 xy( x  y )  S3  3SP.



x  y  ( x  y )  2 x y  S  4S P  2 P . 

x 4  y 4  x 2 y 2  ( x 2  xy  y 2 )( x 2  xy  y 2 )          

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia).  Phương pháp giải: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào cũng đưa được về dạng ( x  y). f ( x)  0, tức luôn có x  y. 

 Lưu ý: Đối với hệ đối xứng loại II chứa căn thức, sau khi trừ ta thường liên hợp. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI 

a1 x 2  b1 xy  c1 y 2  d1 Dạng tổng quát:  2 2 a2 x  b2 xy  c2 y  d2



Phương pháp giải: (i )  

2 2 d2 ( a1 x  b1 xy  c1 y )  d1 .d2 2 2 d1 ( a2 x  b2 xy  c2 y )  d1 .d2

(i) (1) (2)

Lấy (1)  (2)  ( a1d2  a2 d1 )  x 2  (b1d2  b2 d1 )  xy  (c1d2  c2 d1 )  y 2  0. Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ x , y.

Trang 2/15

 fm ( x; y)  a với fm ( x; y), fn ( x; y), fk ( x; y) là các biểu thức đẳng cấp bậc  fn ( x; y)  f k ( x; y)

 Lưu ý: Dạng 

m , n, k thỏa mãn m  n  k. Khi đó ta sẽ sử dụng kỹ thuật đồng bậc để giải. Tức biến đổi hệ  a  f ( x; y ) m     fm ( x; y)  fn ( x; y)  a. f k ( x; y) và đây là phương trình đẳng cấp bậc  a  f ( x; y )  a  f ( x; y ) k  n

k.

Câu 1.

 2 x  y  1 Nghiệm của hệ:  là: 3 x  2 y  2

 2  2; 2 2  3 . C.  2  2;3  2 2  .

 2  2; 2 D.  2  2; 2

A.

B.

 2  3 .

2 3 .

Lời giải Chọn C. Ta có : y  1  2 x  x  2 1  2 x  2  x  2  2  y  3  2 2 .



Câu 2.



Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm A. 0.

2 x  3 y  5 4 x  6 y  10

 x; y  : 

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Lời giải Chọn A. Ta có : 4 x  6 y  10  2 x  3 y  5 . Vậy phương trình có vô số nghiệm. Câu 3.

Câu 4.

3 x  4 y  1 Tìm nghiệm của hệ phương trình:  2 x  5 y  3 7  7   17 7   17  17 A.  ;   . B.   ;  . C.   ;   .  23 23   23 23   23 23  Lời giải Chọn A. 1  3x 1  3x 17 7  x  5 1  x  y Ta có : y  . 4 4 23 23 0,3 x  0, 2 y  0,33  0 Tìm nghiệm  x; y  của hệ :  1, 2 x  0, 4 y  0, 6  0 A.  –0, 7;0, 6  .

B.  0, 6; –0, 7  .

C.  0, 7; –0, 6  .

 17 7  D.  ;  .  23 23 

D. Vô nghiệm.

Lời giải Chọn C. Ta có : y  Câu 5.

0,3 x  0,33 0,3 x  0,33  1, 2 x  0, 4  0, 6  0  x  0, 7  y  0, 6 . 0, 2 0, 2

x  2 y  1 Hệ phương trình:  có bao nhiêu nghiệm ? 3 x  6 y  3 A. 0. B. 1. C. 2. Lời giải Chọn D.

D. Vô số nghiệm.

Trang 3/15

1 2 1   3 6 3  Hệ phương trình có vô số nghiệm. 2 x  y  4  Hệ phương trình :  x  2 z  1  2 2 có nghiệm là?  y  z  2 2

Ta có :

Câu 6.



A. 1; 2; 2 2





B. 2;0; 2









C. 1;6; 2 .



D. 1; 2; 2 .

Lời giải Chọn D. Ta có : Thế y  4  2 x vào phương trình y  z  2  2 ta được 2 x  z  2  2

2 x  z  2  2 Giải hệ  ta được x  1; z  2  y  2 . x  2 z  1  2 2  Câu 7.

 x 2  y 2  16 Cho hệ phương trình  . Để giải hệ phương trình này ta dùng cách nào sau đây ? x  y  8 A. Thay y  8  x vào phương trình thứ nhất. B. Đặt S  x  y, P  xy . C. Trừ vế theo vế.

D. Một phương pháp khác. Lời giải

Câu 8.

Chọn A. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai nên ta rút một ẩn từ phương trình bậc nhất thế vào phương trình bậc hai. x  y  9 Hệ phương trình  có nghiệm là :  x. y  90 A. 15;6  ,  6;15  .

B.  –15; –6  ,  –6; –15  .

C. 15; 6  ,  –6; –15  .

D. 15;6  ,  6;15  ,  –15; –6  ,  –6; –15  .

Lời giải Chọn C. Ta có : y  x  9  x  x  9   90  x 2  9 x  90  0  x  15; x  6

x  15  y  6 x  6  y  15 . Câu 9.





 2  1 x  y  2  1 Nghiệm của hệ phương trình  là: 2 x  2  1 y  2 2  1 1   A. 1;   . B.  1;  . C. 1; 2  . 2 2   Lời giải Chọn D.

Ta có : y  2  1 







2 1 x  2x 







2 1

2 1



D. 1; 2  .



2 1 x  2 2

 x  1  y  2 .

3 x  my  1 Câu 10. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm:  mx  3 y  m  4 A. m  3 hay m  3. B. m  3 và m  3. C. m  3. D. m  3. Trang 4/15

Lời giải Chọn B. Ta có : D 

3 m  9  m2 m 3

Phương trình có đúng một nghiệm khi D  0  m  3 . Câu 11.

Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau trùng nhau  d1  :  m 2 –1 x – y  2m  5  0 và

 d 2  : 3x – y  1  0 A. m  2.

B. m  2.

C. m  2 hay m  2. D. Không có giá trị m . Lời giải

Chọn A. Ta có : Hai đường thẳng d1 và d 2 trùng nhau khi

m 2  1 1 2m  5   3 1 1

m 2  1  3 m  2    m  2 . 2m  5  1 m  2 x  y  S Câu 12. Để hệ phương trình :  có nghiệm , điều kiện cần và đủ là :  x. y  P A. S 2 – P  0.

B. S 2 – P  0. C. S 2 – 4 P  0. Lời giải

D. S 2 – 4 P  0.

Chọn D. Ta có : x, y là nghiệm phương trình X 2  SX  P  0 Hệ phương trình có nghiệm khi   S 2  4 P  0 .  x. y  x  y  11 Câu 13. Hệ phương trình  2 2  x y  xy  30 A. có 2 nghiệm  2;3 và 1;5  .

B. có 2 nghiệm  2;1 và  3;5  .

C. có 1 nghiệm là  5;6  .

D. có 4 nghiệm  2;3 ,  3; 2  , 1;5  ,  5;1 . Lời giải

Chọn D. Đặt S  x  y, P  xy

S

2

 4P  0

 S  P  11 Hệ phương trình tương đương   S 11  S   30   S 2  11S  30  0  SP  30  S  5; S  6 Khi S  5 thì P  6 suy ra hệ có nghiệm  2;3 ,  3; 2  Khi S  6 thì P  5 suy ra hệ có nghiệm 1;5  ,  5;1 .

 x2  y 2  1 Câu 14. Hệ phương trình  có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi : y  x  m A. m  2.

B. m   2.

C. m  2 hoặc m   2.

D. m tùy ý.

Lời giải Chọn C. 2 Ta có : x 2   x  m   1  2 x 2  2mx  m 2  1  0 * Hệ phương trình có đúng 1 nghiệm khi phương trình * có đúng 1 nghiệm   '  m2  2 m2  2  0  m   2. Trang 5/15

2  x  y   3  x  y   4 Câu 15. Hệ phương trình :  . Có nghiệm là  x  y   2  x  y   5  1 13  A.  ;  . 2 2 

 1 13   13 1  B.   ;   . C.  ;  .  2 2  2 2 Lời giải

 13 1  D.   ;   .  2 2

Chọn B. Đặt u  x  y, v  x  y

2u  3v  4 Ta có hệ   2  5  2v   3v  4  v  6  u  7 u  2 v  5   x  y  7 1 13   x  x  6  7  x    y   . 2 2 x  y  6  x  1  y  0 Câu 16. Hệ phương trình:  có nghiệm là ? 2 x  y  5 A. x  3; y  2. B. x  2; y  1. C. x  4; y  3.

D. x  4; y  3.

Lời giải Chọn B.

 x 1  5  2x Ta có : x  1  2 x  5  0  5  2 x  0    x  2  y  1 .  x  1  5  2 x mx  3 y  2m  1 Câu 17. Phương trình sau có nghiệm duy nhất với giá trị của m là :   x  (m  2) y  m  3 A. m  1. B. m  3. C. m  1 hoặc m  3. D. m  1 và m  3. Lời giải Chọn D. Ta có : D  m  m  2   3  m 2  2m  3 Phương trình có nghiệm duy nhất khi D  0  m  1 và m  3.

mx   m  4  y  2 Câu 18. Cho hệ phương trình :  . Để hệ này vô nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham m  x  y   1  y số m là : A. m  0 B. m  1 hay m  2. 1 1 C. m  1 hay m  . D. m   hay m  3. 2 2 Lời giải Chọn A. mx   m  4  y  2 Ta có : Hệ trở thành   D  m  m  1  m  m  4   3m mx   m  1 y  1 Hệ vô nghiệm  D  0  m  0 Thử lại thấy m  0 thoả điều kiện.  x2  y 2  6x  2 y  0 Câu 19. Cho hệ phương trình  . Từ hệ phương trình này ta thu được phương trình x  y  8  sau đây ? A. x 2  10 x  24  0. B. x 2  16 x  20  0. C. x 2  x – 4  0. D. Một kết quá khác. Trang 6/15

Lời giải Chọn D. 2 Ta có : y  8  x  x 2   8  x   6 x  2  8  x   0  20 x  48  0 .

 x 2  3 xy  y 2  2 x  3 y  6  0 Câu 20. Hệ phương trình  có nghiệm là : 2 x  y  3 A.  2;1 .

B.  3;3 .

C.  2;1 ,  3;3 .

D. Vô nghiệm.

Lời giải Chọn C. 2 Ta có : y  2 x  3  x 2  3 x  2 x  3   2 x  3  2 x  3  2 x  3  6  0

  x 2  5 x  6  0  x  2; x  3 x  2  y 1 x  3  y  3.

x  y  1 Câu 21. Hệ phương trình  2 có bao nhiêu nghiệm ? 2 x  y  5 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn B. 2 Ta có : y  1  x  x 2  1  x   5  2 x 2  2 x  4  0  x  1; x  2 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm. 2 3  x  y  13  Câu 22. Hệ phương trình  có nghiệm là:  3  2  12  x y 1 1 A. x  ; y   . 2 3

Chọn B. 2 x   Ta có :  3   x

1 1 1 1 B. x  ; y  . C. x   ; y  . 2 3 2 3 Lời giải

D. Hệ vô nghiệm.

3 1  13  x  2 y 1 1  x ,y .  1 2 2 3  3  12  y y

 x  y  10 Câu 23. Hệ phương trình  2 có nghiệm là: 2 x  y  58  x  3 x  7 x  3 x  7 A.  B.  C.  ,  . . . y  7 y  3 y  7 y  3 Lời giải Chọn C. Đặt S  x  y, P  xy  S 2  4 P  0 

D. Một đáp số khác.

 S  10 Ta có :  2  P  21 (nhận). S  2 P  58  Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X 2  10 X  21  0  X  7; X  3 Trang 7/15

Vậy nghiệm của hệ là  7;3 ,  3;7  .

ax  y  a 2 Câu 24. Tìm a để hệ phương trình  vô nghiệm:  x  ay  1 A. a  1. B. a  1 hoặc a  1 . C. a  1. Lời giải Chọn C. Ta có : D  a 2  1 , Dx  a 3  1 , Dy  a  a 2

D. Không có a .

Hệ phương trình vô nghiệm  D  0  a  1 a  1  Dx  Dy  0  Hệ phương trình vô số nghiệm. a  1  Dx  2  Hệ phương trình vô nghiệm.

x  y  z  9  1 1 1 Câu 25. Nghiệm của hệ phương trình :     1 x y z  xy  yz  zx  27 A. 1;1;1 .

B. 1; 2;1 .

C.  2; 2;1 .

D.  3;3;3 .

Lời giải Chọn D. 1 1 1 Ta có :    1  xy  yz  zx  xyz  xyz  27 x y z  x, y, z là nghiệm của phương trình X 3  9 X 2  27 X  27  0  X  3

Vậy hệ phương trình có nghiệm  3;3;3 . Câu 26.

 x  y  xy  5 Hệ phương trình  2 có nghiệm là : 2 x  y  5  A.  2;1 .

B. 1; 2  .

C.  2;1 , 1; 2  .

D. Vô nghiệm.

Lời giải Chọn C. Đặt S  x  y, P  xy  S 2  4 P  0 

S  P  5 Ta có :  2  S 2  2  5  S   5  S 2  2 S  15  0  S  5; S  3 S  2P  5 S  5  P  10 (loại) S  3  P  2 (nhận) Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X 2  3 X  2  0  X  1; X  2 Vậy hệ có nghiệm

 2;1 , 1; 2  .

7   x  y  xy  2 Câu 27. Hệ phương trình  có nghiệm là :  x 2 y  xy 2  5  2

A.  3; 2  ;  2;1 .

B.  0;1 , 1;0  .

C.  0; 2  ,  2;0  .

 1 1  D.  2;  ;  ; 2  .  2 2 

Lời giải Chọn D. Trang 8/15

Đặt S  x  y, P  xy  S 2  4 P  0  7   S  P  2 7 5 5 Ta có :   S , P là nghiệm của phương trình X 2  X   0  X  1; X  2 2 2  SP  5  2 5 Khi S  1; P  (loại) 2 5 5 1 Khi S  ; P  1 thì x, y là nghiệm của phương trình X 2  X  1  0  X  2; X  2 2 2  1 1  Vậy hệ phương trình có nghiệm  2;  ;  ; 2  .  2 2 

 x  y  xy  5 Câu 28. Hệ phương trình  2 có nghiệm là : 2  x  y  xy  7 A.  2;3 hoặc  3; 2  .

B. 1; 2  hoặc  2;1 .

C.  2; 3 hoặc  3; 2  .

D.  1; 2  hoặc  2; 1 . Lời giải

Chọn B. Đặt S  x  y, P  xy  S 2  4 P  0 

S  P  5 Ta có :  2  S 2   5  S   7  S 2  S  12  0  S  3; S  4 S  P  7 Khi S  3  P  2 thì x, y là nghiệm của phương trình X 2  3 X  2  0  X  1; X  2 Khi S  2  P  3 (loại) Vậy hệ có nghiệm là 1; 2  hoặc  2;1 .

 x  y  xy  11 Câu 29. Hệ phương trình  2 có nghiệm là : 2 x  y  3( x  y )  28  A.  3; 2  ,  2;3 .

B.  3; 7  ,  7; 3 .

C.  3; 2  ;  3; 7  .

D.  3; 2  ,  2;3 ,  3; 7  ,  7; 3 . Lời giải

Chọn D. Đặt S  x  y, P  xy  S 2  4 P  0 

 S  P  11 Ta có :  2  S 2  2 11  S   3S  28  S 2  5S  50  0  S  5; S  10 S  2 P  3 S  28  Khi S  5  P  6 thì x, y là nghiệm của phương trình X 2  5 X  6  0  X  2; X  3 Khi S  10  P  21 thì x, y là nghiệm của phương trình

X 2  10 X  21  0  X  3; X  7 Vậy hệ có nghiệm  3; 2  ,  2;3 ,  3; 7  ,  7; 3 .

 x3  3 x  8 y Câu 30. Hệ phương trình  3 có nghiệm là  x; y  với x  0 và y  0 là :  y  3 y  8 x





A.  11;  11 ;



11; 11 .





B. 0; 11 ;



11;0 . Trang 9/15





C.  11;0 .

D.





11;0 .

Lời giải Chọn A.  x3  3 x  8 y Ta có :  3  x3  y 3  5 x  5 y   x  y   x 2  xy  y 2  5   0  y  3 y  8 x

x  y  2 2  x  xy  y  5  0 Khi x  y thì x3  11x  0  x  0; x   11

1  Khi x  xy  y  5  0   x  2  2

2





Vậy hệ có nghiệm  11;  11 ;

2

 3 y   y 2  5  0 (phương trình vô nghiệm)  4



11; 11 .

2  x  5 x  2 y Câu 31. Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác 0 của hệ phương trình:  2  y  5 y  2 x

A.  3;3 .

B.  2; 2  ;  3;1 ;  3;6  .

C. 1;1 ,  2; 2  ,  3;3 .

D.  2; 2  , 1; 2  ,  6;3 Lời giải

Chọn A.  x 2  5 x  2 y Ta có :  2  x 2  y 2  7 x  7 y   x  y  x  y  7   0  y  5 y  2 x Khi x  y thì x 2  3 x  0  x  0; x  3 Khi y  7  x thì x 2  7 x  14  0 (phương trình vô nghiệm). Vậy hệ phương trình có nghiệm  3;3 . 2  x  y  6 Câu 32. Hệ phương trình  2 có bao nhiêu nghiệm ?  y  x  6

A. 6.

B. 4.

C. 2.

D. 0.

Lời giải Chọn C.  x 2  y  6 Ta có :  2  x 2  y 2  y  x  0   x  y  x  y  1  0  y  x  6 Khi x  y thì x 2  x  6  0  x  3; x  2 Khi y  1  x thì x 2  x  7  0 (phương trình vô nghiệm) Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  3; 3 và  2; 2  . 2  x  3 x  y Câu 33. Hệ phương trình  2 có bao nhiêu cặp nghiệm  x; y  ?  y  3 y  x A. 1. B. 2. C. 3. Lời giải Chọn B.

D. 4.

Trang 10/15

2  x  3 x  y Ta có :  2  x 2  y 2  4 x  4 yX   x  y  x  y  1  0  y  3 y  x

Khi x  y thì x 2  2 x  0  x  0; x  2 Khi y  4  x thì x 2  4 x  4  0  x  2 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm  0;0  ,  2; 2  .

x  y  4 Câu 34. Cho hệ phương trình  2 . Khẳng định nào sau đây là đúng ? 2 2 x  y  m A. Hệ phương trình có nghiệm với mọi m . B. Hệ phương trình có nghiệm  m  8 . C. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  m  2. D. Hệ phương trình luôn vô nghiệm. Lời giải Chọn B. x  y  4 16  m 2 2 2 Ta có :  2  4  2P  m  P  2 2 2 x  y  m

 S 2  4 P  16  2 16  m 2   2m 2  16  0  m  8 .

3 x 2  4 xy  2 y 2  17 Câu 35. Cho hệ phương trình :  2 . Hệ thức biểu diễn x theo y rút ra từ hệ phương 2  y  x  16 trình là ? y2 y2 y 3 y3 A. x  hay x  . B. x  hay x  . 2 2 2 2 y 1 y 1 5 3 C. x  hay x  . D. x  y hay x  y 2 2 13 5 Lời giải Chọn . 2 2 3 x  4 xy  2 y  17    3 x 2  4 xy  2 y 2   17  y 2  x 2   65 x 2  64 xy  15 y 2  0 Ta có :  2 2  y  x  16 5 3  13 x  5 y  5 x  3 y   0  x  y hay x  y . 13 5 mx  y  3 Câu 36. Cho hệ phương trình :  .Các giá trị thích hợp của tham số m để hệ phương  x  my  2m  1 trình có nghiệm nguyên là : A. m  0, m  –2.

B. m  1, m  2, m  3.

C. m  0, m  2.

D. m  1, m  –3, m  4. Lời giải

Chọn A. Ta có : D  m 2  1 , Dx  m  1 , Dy  2m 2  m  3 D Dx 1 2m  1  ,y y  D m 1 D m 1 Hệ phương trình có nghiệm nguyên khi m  0; m  2 .

Hệ phương trình có nghiệm x 

Trang 11/15

 x  2 y  3 Câu 37. Các cặp nghiệm  x; y  của hệ phương trình :  là : 7 x  5 y  2  11 23  A. 1;1 hay  ;  .  19 19   11 23  C. 1; 1 hay   ;  .  19 19 

 11 23  B.  1; 1 hay   ;  .  19 19   11 23  D.  1;1 hay  ;  .  19 19 

Lời giải Chọn C.

x  2 y  3 11 19 Khi x, y  0 thì hệ trở thành  (loại)  x   ;y  9 9 7 x  5 y  2  x  2 y  3 19 23 Khi x, y  0 thì hệ trở thành  (loại)  x ,y 9 9 7 x  5 y  2 x  2 y  3 Khi x  0, y  0 thì hệ trở thành   x  1; y  1 (nhận) 7 x  5 y  2  x  2 y  3 11 23  x ;y Khi x  0, y  0 thì hệ trở thành  (nhận) 19 19 7 x  5 y  2  xy  x  y  5 Câu 38. Nghiệm của hệ phương trình :  2 là: 2 x y  y x  6 A. 1; 2  ,  2;1 .

B.  0;1 , 1; 0  .

C.  0; 2  ,  2;0  .

 1 1  D.  2;  ,  ; 2  .  2 2 

Lời giải Chọn A. Đặt S  x  y, P  xy  S 2  4 P  0 

P  S  5 Ta có :   PS  6  S , P là nghiệm của phương trình X 2  5 X  6  0  X  2; X  3 Khi S  2, P  3 (loại) Khi S  3, P  2 thì x, y là nghiệm phương trình X 2  3 X  2  0  X  1; X  2 Vậy nghiệm của hệ là 1; 2  ,  2;1 . 2 2 2 x  y  3 xy  12 Câu 39. Cho hệ phương trình :  . Các cặp nghiệm dương của hệ phương trình là: 2 2 2( x  y )  y  14

A. 1; 2  ,





2; 2 .

B.  2;1 ,





3; 3 .

2  2   C.  ;3  ,  3,  3 3  

 1   2 D.  ;1 ,  ; 3  . 2   3 

Lời giải Chọn A. 2 x 2  y 2  3 xy  12 2 x 2  y 2  3 xy  12 2  xy  2  y  Ta có :   2 2 2 2 x 2( x  y )  y  14 2 x  y  4 xy  14  2x2 

 x2  1 4 4 2  6  12  2 x  6 x  4  0   x  1; x   2  2 x2 x  2

Trang 12/15

Vậy cặp nghiệm dương của hệ phương trình là 1; 2  ,





2; 2 .

 x3  3 x  y 3  3 y Câu 40. Hệ phương trình  6 có bao nhiêu nghiệm ? 6  x  y  27 A. 1. B. 2. C. 3. Lời giải Chọn . Ta có : x3  3 x  y 3  3 y   x  y   x 2  xy  y 2   3  x  y   0

D. 4.

x  y   x  y   x 2  xy  y 2  3  0   2 2  x  xy  y  3  0  27 27  Khi x  y thì hệ có nghiệm   6 ;6 . 2 2   Khi x 2  xy  y 2  3  0  x 2  y 2  3  xy , ta có x 6  y 6  27 2 3   x 2  y 2  x 4  x 2 y 2  y 4   27   3  xy   3  xy   3 x 2 y 2   27  3  xy   27 xy  0    xy  0 (vô lí).  2  xy   9 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm. 2 x  y  1  1 Câu 41. Hệ phương trình  có bao nhiêu cặp nghiệm  x; y  ? 2 y  x  1  1 A. 1. B. Vô nghiệm. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn A. Điều kiện : x, y  1

2 x  y  1  1 Ta có :   2x  2 y  y 1  x 1  0  2  x  y   2 y  x  1  1    x  y 2   

yx y 1  x 1  0

 1 0 y  1  x  1 

1  1  x  x  2  Khi x  y thì 2 x  x  1  1  x  1  1  2 x    x0 2 2 2 4 x  5 x  0  x  1  1  2 x    1 1 3 thì 2 x  2 y   2  x  y  (vô nghiệm vì x, y  1 ) 2 2 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm  0;0  .

Khi

y 1  x 1 

x  y  m 1 Câu 42. Cho hệ phương trình  2 và các mệnh đề : 2 2  x y  y x  2m  m  3 (I) Hệ có vô số nghiệm khi m  1 . 3 (II) Hệ có nghiệm khi m  . 2 (III) Hệ có nghiệm với mọi m . Các mệnh đề nào đúng ? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III) .

D. Chỉ (I) và (III). Trang 13/15

Lời giải Chọn D.

x  y  0 Khi m  1 thì hệ trở thành  2  hệ có vô số nghiệm  ( I ) đúng. 2 x y  y x  0 x  y  m 1 Ta có:  2  xy  m  1  2m 2  m  3  xy  2m  3 2 2  x y  y x  2m  m  3  S 2  4 P   m  1  4  2m  3  m 2  6m  13  0, m đúng. 2

2 xy  y 2  4 x  3 y  2  0 Câu 43. Hệ phương trình  có nghiệm là : 2  xy  3 y  2 x  14 y  16  0 A. x bất kỳ, y  2 ; x  1 , y  3 1 B. x  3, y  2; x  3, y  –1; x  2, y  – . 2 1 C. x  5, y  2; x  1, y  3; x  , y  2. 2 1 D. x  4, y  2; x  3, y  1; x  2, y  . 2 Lời giải Chọn A. 2 xy  y 2  4 x  3 y  2  0 2 xy  y 2  4 x  3 y  2  0 Ta có :    5 y 2  25 y  30  0 2 2  xy  3 y  2 x  14 y  16  0 2 xy  6 y  4 x  28 y  32  0  y  3; y  2

Khi y  3 thì x  1 . Khi y  2 thì x tuỳ ý.

 x  y  2a  1 Câu 44. Cho hệ phương trình  2 . Giá trị thích hợp của tham số a sao cho hệ có 2 2  x  y  a  2a  3 nghiệm  x; y  và tích x. y nhỏ nhất là : A. a  1.

B. a  1.

C. a  2.

D. a  2.

Lời giải Chọn B. Đặt S  x  y, P  xy  S 2  4 P  0 

 S  2a  1 3a 2  6a  2 Ta có :  2 P 2 2  S  2 P  a  2a  3

Hệ phương trình có nghiệm khi S 2  4 P  0   2a  1  2  3a 2  6a  2   0 2

 5a 2  8a  2  0 3 1 3 1 3 2 P   a 2  2a      a  1     2 2 2 2 4 Đẳng thức xảy ra khi a  1 (nhận).  a  b  x   a  b  y  2 Câu 45. Cho hệ phương trình :  3 3 3 3 2 2  a  b  x   a  b  y  2  a  b ) Trang 14/15

Với a  b , a.b  0 , hệ có nghiệm duy nhất bằng : 1 1 ,y . ab a b a b ,y . D. x  a b a b

B. x 

A. x  a  b, y  a – b. C. x 

a b ,y . ab ab

Lời giải Chọn B. Ta có : D   a  b   a 3  b3    a 3  b3   a  b   2ab  a 2  b 2  Dx  2  a 3  b3   2  a 2  b 2   a  b   2ab  a  b  Dy   a  b  2  a 2  b 2   2  a 3  b3   2ab  a  b 

D Dx 1 1  ;y y  . D ab D a b 2 x  y  2  a Câu 46. Cho hệ phương trình :  . Các giá trị thích hợp của tham số a để tổng bình x  2 y  a 1

Hệ có nghiệm x 

phương hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất : 1 A. a  1. B. a  1. C. a  . 2 Lời giải Chọn C. 5a  x   4 x  2 y  4  2a 2 x  y  2  a  5  Ta có :   3 a x  2 y  a  1 x  2 y  a  1   y   5

1 D. a   . 2

2 2 2 10a 2  10a  25 1 1  1  9 9  5  a  9a 2  x  y     2a  2a  5     2 a       25 25 5 5   2  2  10  5  2

2

1 . 2 mx  (m  1) y  3m  Câu 47. Cho hệ phương trình :  x  2my  m  2 . Để hệ phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp x  2 y  4 

Đẳng thức xảy ra khi a 

của tham số m là 5 A. m  . 2

5 B. m   . 2

2 C. m  . 5

2 D. m   . 5

Lời giải Chọn C. Ta có : D  2m 2  m  1 , Dx  5m 2  3m  2 , Dy  m 2  m Hệ phương trình có nghiệm khi D  0  m  1; m  

1 2

D Dx 5m  2 m  ;y y  D 2m  1 D 2m  1 5m  2 2m 2  4 m . Thế vào phương trình x  2 y  4 ta được 2m  1 2m  1 5

Nghiệm của hệ là x 

Trang 15/15

mx  (m  2) y  5 Câu 48. Cho hệ phương trình :  . Để hệ phương trình có nghiệm âm, giá trị cần tìm  x  my  2m  3 của tham số m là : 5 5 A. m  2 hay m  . B. 2  m  . 2 2 5 5 C. m   hay m  2. D.   m  1. 2 2 Lời giải Chọn D. Ta có : D  m 2  m  2 , Dx  2m 2  2m  6 , Dy  2m 2  3m  5 Hệ phương trình có nghiệm khi D  0  m  1; m  2 Hệ có nghiệm x 

2m 2  2m  6 2m 2  3m  5 , y  m2  m  2 m2  m  2

m 2  m  2  0  m  1 5 Hệ phương trình có nghiệm âm khi  2    m 1 2 2m  3m  5  0 m  2 5    m  1 . 2 2 2 2 x  xy  y  0 Câu 49. Cho hệ phương trình :  2 . Các cặp nghiệm  x; y  sao cho x, y đều 2  x  xy  y  3 x  7 y  3  0 là các số nguyên là : A.  2; 2  ,  3; 3 . B.  2; 2  ,  3;3 . C. 1; 1 ,  3; 3 . D.  1;1 ,  4; 4  .

Lời giải Chọn C

x   y Phương trình 1   x  y  2 x  y   0   . 2 x  y x  1 Trường hợp 1: x   y thay vào  2  ta được x 2  4 x  3  0   . Suy ra hệ phương trình x  3 có hai nghiệm là 1; 1 ,  3; 3 . Trường hợp 2: 2x  y thay vào  2  ta được 5 x 2  17 x  3  0 phương trình nay không có nghiệm nguyên. Vậy các cặp nghiệm  x; y  sao cho x, y đều là các số nguyên là 1; 1 và  3; 3 .

 x 2  4 xy  y 2  1 Câu 50. Nếu  x; y  là nghiệm của hệ phương trình:  . Thì xy bằng bao nhiêu ?  y  4 xy  2 A. 4. B. 4. C. 1. D. Không tồn tại giá trị của xy . Lời giải Chọn D.  x  y 2  1  2 xy Ta có : 1  x  4 xy  y  1   . 2  x  y   1  6 xy 2

2

Trang 16/15

 2   y  3xy  4   x  y    x  y   8 xy  4  0 2

2

1  1 3    x  y    x  y    x  y    x  y   2  0   x  y     x  y     0 không có 2  2 2  giá trị của x , y thỏa nên không tồn tại xy . 2

2

Trang 17/15

Chương 4

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

§ 1. BAÁT ÑAÚNG THÖÙC 

Ñieàu kieän

Noäi dung

Cộng hai vế với số bất kì

ab acbc

(1)

một số dương: c  0

a  b  ac  bc

(2a)

một số âm: c  0

a  b  ac  bc

(2b)

Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều

a  b  ac bd  c  d

(3)

Nhân từng vế BĐT khi biết nó dương

a  b  0  ac  bd  c  d  0

(4)

Mũ lẻ

a  b  a2 n1  b2 n1

(5a)

Mũ chẵn

0  a  b  a2 n  b2 n

(5b)

a0

ab a  b

(6a)

a bất kỳ

ab 3 a  3 b

(6b)

Nhân hai vế

Nâng lũy thừa với n  

Lấy căn hai vế

Nếu a, b cùng dấu: ab  0

ab

1 1  a b

(7 a)

Nếu a, b trái dấu: ab  0

ab

1 1  a b

(7 b)

Nghịch đảo

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM – GM) ab  ab . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi a  b. 2 abc 3 a  0; b  0; c  0 thì ta có:  abc . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi a  b  c. 3

 a  0; b  0 thì ta có: 

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPXKI (CAUCHY SCHWARZ) ( a.x  b.y)2  ( a2  b2 )( x 2  y 2 ) x y  Dấu "  " xảy ra khi  , ( a; b  0). 2 2 2 2 a b  a.x  b.y  ( a  b )( x  y )

 x; y; a; b   thì:  

( a.x  b.y  c.z)2  ( a2  b2  c 2 )( x 2  y 2  z 2 )  x; y; z; a; b; c   thì:  2 2 2 2 2 2  a.x  b.y  c.z  ( a  b  c )( x  y  z )

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi  x; y   và a  0, b  0 thì

x y z   ( a; b; c  0). a b c

x y x 2 y 2 ( x  y )2    Dấu "  " xảy ra khi   a b a b ab

 x; y; z   và a  0, b  0, c  0 thì Câu 1.

x y z x 2 y 2 z 2 ( x  y  z )2     Dấu "  "     a b c a b c abc

Cho bất đẳng thức a  b  a  b . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Trang 1/9

A. a  b .

Câu 2.

B. ab  0 .

C. ab  0 . Hướng dẫn giải

D. ab  0 .

Chọn B. Tính chất của bất đẳng thức. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2  3 x với x   là: 9 A.  . 4

3 B.  . 2

C. 0 .

3 D. . 2

Hướng dẫn giải Chọn C. x 2  0  2 Ta có:   x 3 x  0. x  0  Câu 3.

Cho biểu thức f  x   1  x 2 . Kết luận nào sau đây đúng? A.Hàm số f  x  chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. B.Hàm số f  x  chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. C. Hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. D. Hàm số f  x  không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: f  x   0 và f 1  0 ; f  x   1 và f  0   1 . Vậy hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng 0 và giá trị lớn nhấtbằng 1 .

Câu 4.

Cho hàm số f  x  

1 x2  1

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. f  x  có giá trị nhỏ nhất là 0 , giá trị lớn nhất bằng 1 . B. f  x  không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1 . C. f  x  có giá trị nhỏ nhất là 1 , giá trị lớn nhất bằng 2 . D. f  x  không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: 0  f  x   1; x   và f  0   1 . Vậy f  x  không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

bằng 1 . Cho biết hai số a và b có tổng bằng 3 . Khi đó, tích hai số a và b 9 9 A. có giá trị nhỏ nhất là . B. có giá trị lớn nhất là . 4 4 3 C. có giá trị lớn nhất là . D. không có giá trị lớn nhất. 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Vì a và b là hai số bất kì nên không xác định được giá trị lớn nhất của tích ab . Cho ba số a ; b ; c thoả mãn đồng thời: a  b  c  0 ; b  c  a  0 ; c  a  b  0 . Để ba số a ; b ; c là ba cạnh của một tam giác thì cần thêm đều kiện gì ? A. Cần có cả a, b, c  0 . B. Cần có cả a, b, c  0 . C. Chỉ cần một trong ba số a, b, c dương D. Không cần thêm điều kiện gì. Hướng dẫn giải Chọn B. Trong các hình chữ nhật có cùng chi vi thì Trang 2/9

Câu 8.

A. Hình vuông có diện tích nhỏ nhất. B. Hình vuông có diện tích lớn nhất. C. Không xác định được hình có diện tích lớn nhất. D. Cả A, B, C đều sai. Hướng dẫn giải Chọn B. Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Cô si. Tìm mệnh đề đúng? A. a  b  ac  bc . C. a  b và c  d  ac  bd .

1 1  . a b D. a  b  ac  bc,  c  0  .

B. a  b  Hướng dẫn giải

Câu 9.

Câu 10.

Câu 11.

Câu 12.

Câu 13.

Chọn D. Tính chất của bất đẳng thức. Suy luận nào sau đây đúng? a  b  ac  bd . A.  c  d a  b  ac  bd . C.  c  d

a  b a b   . B.  c d c  d a  b  0  ac  bd . D.  c  d  0 Hướng dẫn giải

Chọn D. Tính chất của bất đẳng thức. Trong các tính chất sau, tính chất nào sai? a  b 0  a  b a b  ac bd .   . A.  B.  d c c  d 0  c  d 0  a  b a  b  ac  bd .  ac  bd . C.  D.  0  c  d c  d Hướng dẫn giải Chọn D. Tính chất của bất đẳng thức. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? a  b 1 1  ac  bd . D. Cả A, B, C đều sai. A. a  b   . B. a  b  ac  bc . C.  a b c  d Hướng dẫn giải Chọn D. Tính chất của bất đẳng thức. Mệnh đề nào sau đây sai? a  b a  b  ac bd .  ac  bd . A.  B.  c  d c  d a  b  ac  bd . C.  D. ac  bc  a  b .  c  0  c  d Hướng dẫn giải Chọn B. Tính chất của bất đẳng thức. Cho biểu thức P  a  a với a  0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 1 1 A.Giá trị nhỏ nhất của P là . B.Giá trị lớn nhất của P là . 4 4

Trang 3/9

C.Giá trị lớn nhất của P là

1 . 2

D. P đạt giá trị lớn nhất tại a 

1 . 4

Hướng dẫn giải Chọn B.

 

2

1  1 1 Ta có: P  a  a   a  a    a    . 4  2 4 2 Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số f  x   2 bằng x  5x  9 11 4 11 A. . B. . C. . 4 11 8 Hướng dẫn giải Chọn D. 2

D.

8 . 11

2

5  11 11  Ta có: x  5 x  9   x     ; x   . 2 4 4  2 8 8  . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng Suy ra: f  x   2 . x  5 x  9 11 11 Câu 15. Cho f  x   x  x 2 . Kết luận nào sau đây là đúng? 2

1 A. f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng . 4 1 C. f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng  . 4

1 . 2 1 D. f  x  có giá trị lớn nhất bằng . 4 Hướng dẫn giải

B. f  x  có giá trị lớn nhất bằng

Chọn D. 2

1 1 1  1 1  1 1 f  x   x  x    x 2  x       x    và f    . 4 4 4  2 4  2 4 2

Câu 16. Bất đẳng thức  m  n   4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây? 2

A. n  m  1  m  n  1  0 .

B. m 2  n 2  2mn .

C.  m  n   m  n  0 .

D.  m  n   2mn .

2

2

2

2

Hướng dẫn giải Chọn B. 2  m  n   4mn  m2  2mn  n 2  4mn  m2  n 2  2mn . Câu 17. Với mọi a, b  0 , ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? B. a 2  ab  b 2  0 . C. a 2  ab  b 2  0 . Hướng dẫn giải

A. a  b  0 .

D. a  b  0 .

Chọn C. 2

2

b  b  3b 2  b  3b 2 a  ab  b  a  2a      a     0; b  0 . 2 2 4  2 4 Câu 18. Với hai số x , y dương thoả xy  36 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? 2

2

2

2

A. x  y  2 xy  12 .

B. x  y  2 xy  72 .

C. 4xy  x  y . 2

2

 x y D.    xy  36 .  2 

Hướng dẫn giải Chọn A. Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y . Ta có: x  y  2 xy  2 36  12 . Câu 19. Cho hai số x , y dương thoả x  y  12 , bất đẳng thức nào sau đây đúng?

Trang 4/9

2

 x y B. xy     36 .  2  D. xy  6 . Hướng dẫn giải

A. xy  6 . C. 2xy  x 2  y 2 . Chọn A.

x y 6. 2 Câu 20. Cho x , y là hai số thực bất kỳ thỏavà xy  2 . Giá trị nhỏ nhất của A  x 2  y 2 .

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y . Ta có:

A. 2 .

B. 1 .

xy 

D. 4 .

C. 0 . Hướng dẫn giải

Chọn D. Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x 2 và y 2 . Ta có: A  x2  y 2  2 x2 y 2  2

Câu 21. Cho a  b  0 và x  A. x  y . C. x  y .

 xy 

2

 4 . Đẳng thức xảy ra x  y  2 .

1 a 1 b , y . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 1 a  a 1  b  b2 B. x  y . D. Không so sánh được. Hướng dẫn giải

Chọn B. 1 1 1 1 Ta có:  a  và  b  . y b 1 x a 1 Suy ra:

  1 1 1    a  b  1   x y   a  1 b  1 

Do a  b  0 nên a  1  1 và b  1  1 suy ra:

1

 a  1 b  1

 1  1

1

 a  1 b  1

0.

1 1 1 1 1 1   0   do x  0 và y  0 nên   x  y . x y x y x y Câu 22. Với a, b, c, d  0 . Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề sai? Vậy

a a ac 1  . b b bc a c a ac c  . C.    b d b bd d

A.

B.

a a ac 1  . b b bc

D. Có ít nhất hai trong ba mệnh đề trên là sai.

Hướng dẫn giải Chọn D. a a  c a  b c Ta có:  suy ra A, B đúng.  b b  c b b  c  2

a 2  b2  a  b  Câu 23. Hai số a, b thoả bất đẳng thức   thì 2  2  A. a  b . B. a  b . C. a  b . Hướng dẫn giải Chọn C.

D. a  b .

2

a 2  b2  a  b  2 2 2 2    2a  2b   a  b    a  b   0  a  b . 2  2  a b Câu 24. Cho a, b  0 . Chứng minh   2 . Một học sinh làm như sau: b a Trang 5/9

a b a 2  b2  2   2 1 b a ab II) 1  a 2  b 2  2ab  a 2  b 2  2ab  0  (a  b) 2  0 . a b 2 III) và  a  b   0 đúng a, b  0 nên   2 . b a Cách làm trên : A. Sai từ I). B. Sai từ II). C. Sai ở III). D. Cả I), II), III) đều đúng. Hướng dẫn giải Chọn D. Câu 25. Cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức sau: I)

a b a b c 1 1  2. II)    3 . III)  a  b      4 . b a b c a a b Bất đẳng thức nào đúng? A. Chỉ I) đúng. B. Chỉ II) đúng. C. Chỉ III) đúng. D. Cả ba đều đúng. Hướng dẫn giải Chọn D. a b a b a b c a b c Ta có:   2 .  2   I  đúng;    3 3 . .  3   II  đúng; b a b a b c a b c a a  b  2 ab  1 1  1 1 1    a  b   a  b   4  ( III ) đúng.    2  a b ab  a b a b c 1 1 1 9   2 I  ,    3  II  ,    Câu 26. Cho các bất đẳng thức:  III  (với b a b c a a b c abc a, b, c  0 ). Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng?

I)

A. chỉ I đúng.

B. chỉ II đúng. C. chỉ III đúng. Hướng dẫn giải

D. I , II , III đều đúng.

Chọn D. a b a b a b c a b c Ta có:   2 .  2   I  đúng;    3 3 . .  3   II  đúng; b a b a b c a b c a 1 1 1 1 1 1 1 9     33 1 1 1   III  đúng. abc   a  b  c       9     a b c a b c abc a b c a  b  c  3 3 abc  Câu 27. Cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức: I) a  b  c  3 3 abc

1 1 1 II)  a  b  c       9 a b c

Bất đẳng thức nào đúng: A. Chỉ I) và II) đúng. C. Chỉ I) đúng.

III)  a  b  b  c  c  a   9 .

B. Chỉ I) và III) đúng. D. Cả ba đều đúng. Hướng dẫn giải

Chọn A.  a  b  c  3 3 abc   I  đúng; 

1 1 1 1 1 1 1 9     33 1 1 1   II  đúng; abc   a  b  c       9     a b c a b c abc a b c a  b  c  3 3 abc 

Trang 6/9



a  b  2 ab ; b  c  2 bc ; c  a  2 ca   a  b  b  c  c  a   8abc   III  sai.

Câu 28. Cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức:  a  b  c  2  2  2  I) 1   1   1    8 . II)   b  c    c  a    a  b   64 .  b  c  a  a  b  c  III) a  b  c  abc . Bất đẳng thức nào đúng? A. Chỉ I) đúng. B. Chỉ II) đúng. C. Chỉ I) và II) đúng. D. Cả ba đều đúng. Hướng dẫn giải Chọn C. a a b b c c abc  a  b  c  1  2 ; 1  2 ; 1  2  1   1   1    8  8   I  đúng. b b c c a a bca  b  c  a 

2 bc bc 1 b 1 c   b  c  2 4 2  44 2 . b  2 ; c  2 a a a a a a a 2 ac 2 ab  c  a  44 2 ;  a  b  44 2 . b b c c 2  2  2  Suy ra:   b  c    c  a    a  b   64   II  đúng. a  b  c  Tương tự:

Ta có: 3 3 abc  a  b  c  abc 

3

 abc 

2

 3  abc  3 3   III  sai.

Câu 29. Cho x, y, z  0 và xét ba bất đẳng thức(I) x3  y 3  z 3  3 xyz ; (II)

x y z    3 . Bất đẳng thức nào là đúng? y z x A. Chỉ I đúng. B. Chỉ I và III đúng. C. Chỉ III đúng. Hướng dẫn giải Chọn B.

1 1 1 9    ; (III) x y z x yz

D. Cả ba đều đúng.

x3  y 3  z 3  3 3 x3 y 3 z 3  3 xyz   I  đúng; 1 1 1 1     33 1 1 1 1 1 1 9 xyz       x  y  z   9       II  sai; x y z x y z x y z x yz   3  x  y  z  3 xyz x y z x y z    3 3 . .  3   III  đúng. y z x y z x Câu 30. Cho a, b  0 và ab  a  b . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  b  4 .

B. a  b  4 .

C. a  b  4 . Hướng dẫn giải

D. a  b  4 .

Chọn B. Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: Do đó:

a  b ab  a  b 

2

a  b ab  4

2

.

 a  b   a  b   4  a  b   0   a  b  a  b  4   0 2

4  a  b  4  0 (vì a  b  0 )  a  b  4 . Câu 31. Cho a  b  c  d và x   a  b  c  d  , y   a  c  b  d  , z   a  d  b  c  . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x  y  z .

B. y  x  z .

C. z  x  y . Hướng dẫn giải

D. x  z  y .

Trang 7/9

Chọn A. Ta có: x  y   a  b  c  d    a  c  b  d   a  c  d   b  c  d   a  b  d   c  b  d 

 a  c  b   bd  cd   d  a  b  c   0 . Suy ra: x  y . Tương tự: x  z   a  c  d  b   0  x  z ; y  z   a  b  d  c   0  y  z . Câu 32. Với m , n  0 , bất đẳng thức: mn  m  n   m3  n3 tương đương với bất đẳng thức A.  m  n   m 2  n 2   0 .

B.  m  n   m 2  n 2  mn   0 .

C.  m  n  m  n   0 .

D. Tất cả đều sai.

2

Hướng dẫn giải Chọn C. mn  m  n   m3  n3  m 2 n  m3  mn 2  n3  0

 m2  m  n   n 2  m  n   0   m  n   m  n   0 . 2

Câu 33. Bất đẳng thức: a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  a  b  c  d  e  ,  a , b , c, d tương đương với bất đẳng thức nào sau đây? 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b  c  d  e  A.  a     a     a     a    0 . 2  2  2  2  a  a  a  a  B.  b     c     d     e    0 . 2  2  2  2  a  a  a  a  C.  b     c     d     e    0 . 2  2  2  2  2 2 2 2 D.  a  b    a  c    a  d    a  d   0 .

Hướng dẫn giải Chọn B. a 2  b2  c 2  d 2  e2  a  b  c  d  e  2 2 2  a2  2 a 2 a 2 a    ab  b     ac  c     ad  d     ae  e 2   0  4   4   4   4  2

2

2

2

a  a  a  a   b    c    d    e    0 . 2  2  2  2  Câu 34. Cho x, y  0 . Tìm bất đẳng thức sai?

1 1 4 B.   . x y x y

A.  x  y   4 xy . 2

C.

1 4 .  xy  x  y 2





D.  x  y   2 x 2  y 2 . 2

Hướng dẫn giải Chọn B. 1 1 1 1 4 đẳng thức xảy ra  x  y .  x  y    4    x y x y x y Câu 35. Cho x 2  y 2  1 , gọi S  x  y . Khi đó ta có A. S  2 .

B. S  2 .

C.  2  S  2 . Hướng dẫn giải

D. 1  S  1 .

Chọn C. Ta có: 1  x 2  y 2  2 xy  2 xy  1 . Trang 8/9

Mặt khác: S 2   x  y   x 2  2 xy  y 2  2   2  S  2 . 2

Câu 36. Cho x, y là hai số thực thay đổi sao cho x  y  2 . Gọi m  x 2  y 2 . Khi đó ta có: A. giá trị nhỏ nhất của m là 2 . C. giá trị lớn nhất của m là 2 .

B.giá trị nhỏ nhất của m là 4 . D.giá trị lớn nhất của m là 4 . Hướng dẫn giải

Chọn A. Ta có: x  y  2  y  2  x . Do đó: m  x 2  y 2  x 2   2  x   2 x 2  4 x  4  2  x  1  2  2; x   . 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 2 . Câu 37. Với mỗi x  2 , trong các biểu thức: 2 A. . x

B.

2 . x 1

2

2 2 2 x 1 x , , , , giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất? x x 1 x 1 2 2 2 x C. . D. . x 1 2 Hướng dẫn giải

Chọn B.

2 2 2 x x 1   và  . x 1 x x 1 2 2 x 2 x 2 x 2  x  4  x  2  x  2   x Mặt khác:  .    0; x  2   2 x 1 2 x  1 2  x  1 2  x  1

Ta có:

Câu 38. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   5 B. . 2

A. 2 .

x 2  với x 1 là 2 x 1

C. 2 2 .

D. 3.

Hướng dẫn giải Chọn B.

x 2 x 1 2 1 x 1 2 1 5     2 .   . 2 x 1 2 x 1 2 2 x 1 2 2 5 Vậy hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng . 2 x2 Câu 39. Cho x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số f  x   bằng x Ta có: f  x  

A.

1 2 2

.

2 . 2

B.

2 . 2 Hướng dẫn giải

C.

D.

1 . 2

Chọn A. 2

x2 1 2 1 1 1 1 1 Ta có f  x   0 và  f  x    2   2   2      0  f  x   . x x x 8 2 2  x 4 8 1 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng . 2 2 1 Câu 40. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   2 x  với x  0 là x 1 A. 2 . B. . C. 2 . D. 2 2 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D. 2

Trang 9/9

1 1  2 2 x.  2 2 . x x Vậy hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng 2 2 . Ta có: f  x   2 x 

a b c   . Mệnh đề nào sau đây đúng? bc ca ab 3 4 3 B.  P . C.  P . D.  P . 2 3 2 Hướng dẫn giải

Câu 41. Với a, b, c  0 . Biểu thức P  A. 0  P 

3 . 2

Chọn D. 1 1   1 Ta có: P  3   a  b  c     . bc ca ab 1 1 1 9 1 1 1 9    Áp dụng bất đẳng thức    suy ra: . x y z x yz b  c c  a a  b 2a  b  c

Do đó P  3 

9 3  P  ; đẳng thức xảy ra khi a  b  c . 2 2

Trang 10/9

Chương 4

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

§ 2. BAÁT phöông trình baäc nhaát – baát phöông trình baäc hai 

DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT  Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất là bất phương trình có dạng: ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ³ 0, ax + b £ 0 với a , b Î .  Giải và biện luận bất phương trình dạng: ax + b > 0 æ b è a

b a

(1) ö

·

Nếu a > 0 thì (1) Û ax > -b Û x > - Þ S = ççç- ; +¥÷÷÷÷ ×

·

æ b bö Nếu a < 0 thì (1) Û ax > -b Û x < - Þ S = ççç-¥; - ÷÷÷÷ ×

·

Nếu a = 0 thì (1) Û 0 × x > -b. Khi đó, xét:

è

a

ø

aø

Nếu -b ³ 0 Þ S = Æ.  Nếu -b < 0 Þ S = . Lưu ý: Ta giải tương tự với ax + b < 0, ax + b £ 0, ax + b ³ 0. 

 Dấu của nhị thức bậc nhất: Cho nhị thức bậc nhất f ( x) = ax + b, ( a ¹ 0). -

-¥

x

b a

+¥ f ( x) = ax + b

Trái dấu với a

Cùng dấu với a

0

 Giải hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn: ― Giải từng bất phương trình trong hệ. ― Lấy giao nghiệm. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN  Dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c , ( a ¹ 0) ― Trường hợp 1. D < 0 : x

-¥ +¥

Cùng dấu với a

f ( x)

― Trường hợp 2. D = 0 : x

-¥

xo

+¥

Cùng dấu với a

f ( x)

― Trường hợp 3. D > 0 : x

-¥

0

x1

Cùng dấu với a x2

+¥

Cùng dấu với a

f ( x)

0

Trái dấu với a

0

Cùng dấu với

a

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c , ( a ¹ 0)

Trang 1/18

· ·

Câu 1.

ìïa > 0 ax 2 + bx + c > 0, "x Î  Û ïí × ïïîD < 0 ïìa < 0 ax 2 + bx + c < 0, "x Î  Û ïí × ïïîD < 0

· ·

ìïa > 0 ax 2 + bx + c ³ 0, "x Î  Û ïí × ïïîD £ 0 ïìa < 0 ax 2 + bx + c £ 0, "x Î  Û ïí × ïïîD £ 0

Bất phương trình nào sau đây không tương đương với bất phương trình x  5  0 ? 2 A.  x  1  x  5   0 . B.  x 2  x  5   0 . C.

x  5  x  5  0 .

D.

x  5  x  5  0 .

Lời giải Chọn D x  5  0  x  5 . Tập nghiệm của bất phương trình là T1   5; +  .

x  5  0  x  5  x 5. x  5  x  5  0    x  5  0 x  5 Tập nghiệm của bất phương trình này là T2  5; +  . Câu 2.

Câu 3.

Vì hai bất phương trình này không có cùng tập nghiệm nên chúng không tương đương nhau. Khẳng định nào sau đây đúng? 1 A. x 2  3 x  x  3 . B.  0  x  1 . x x 1 C. 2  0  x  1  0 . D. x  x  x  x  0 . x Lời giải ChọnD Vì a  b  a  c  b  c , c   . Trong trường hợp này c  x . Cho bất phương trình:  I

1 

8  1 1 . Một học sinh giải như sau: 3 x

1 1  II  x  3  III   x  3    . 3 x 8 3  x  8 x  5

Hỏi học sinh này giải sai ở bước nào? A.  I  . B.  II  .

C.  III  .

D.  II  và  III  .

Lời giải ChọnB  I

1 

1 1  . 3 x 8

Đúng vì chia hai vế cho một số dương  8  0  ta được bất thức tương đương cùng chiều.  II 

x  3 1 1 ( chỉ đúng khi : 3  x  0  x  3 ).   3 x 8 3  x  8 Với x  4 thì

4  3 4  3 1 1 1 (đúng).Vậy  II  sai.    1  (sai) nhưng  3 4 8 8 3  4  8 1  8

 III   x  3 x  3 . Đúng vì đây chỉ là bước thu gọn bất phương trình bậc nhất đơn giản.    3  x  8 x  5

Câu 4.

Tập nghiệm của bất phương trình A.  .

x  2006  2006  x là gì?

B.  2006,   .

C.  , 2006  .

D. 2006 .

Lời giải Chọn A Trang 2/18

 x  2006  0  x  2006  x  2006 . Điều kiện :   2006  x  0  x  2006 Thay x  2006 vào bất phương trình, ta được : Vậy bất phương trình vô nghiệm. Câu 5.

Tập nghiệm của bất phương trình

2006  2006  2006  2006  0  0 (sai).

x  x  2  2  x  2 là:

A.  .

B.  ;2  .

C. 2 .

D.  2;  . Lời giải

ChọnC

x  2  x  2.  x  2 Giá trị x  3 thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau đây?

Ta có : Câu 6.

x20

x  x  2  2  x  2   x  2

A.  x  3 x  2   0 .

B.  x  3

2 C. x  1  x  0 .

D.

2

 x  2  0 .

1 2   0. 1 x 3  2x

Lời giải ChọnB 2 Ta có:  x  3  x  2   0  x  2  0  x  2  x   ; 2 và 3   ; 2 . Câu 7.

Bất phương trình 5 x  1  2 x  3 có nghiệm là 5

A. x .

B. x  2 .

C. x   5 . 2

D. x  20 . 23

Lời giải ChọnD 5x 1 

Câu 8.

2x 2x 23 x 20 .  3  5x   3 1  4x 5 5 5 23

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x 2  4 x  0 . A. S   .

B. S  0 .

C. S   0; 4  .

D.  ;0    4;   .

Lời giải ChọnA Vì x 2  4 x  0, x . Câu 9.

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x  x  1  4  x . 2

A. 3;   .

B.  4;10  .

C.  ;5  .

D.  2;  .

Lời giải ChọnD 2 x  x  1  4  x  x  x 2  2 x  1  4  x  x 3  2 x 2  x  4  x  x 3  2 x 2  2 x  4  0   x  2   x 2  2   0  x  2  0  do x 2  2  0, x   x  2 .

 2x 1  x 1   3 Câu 10. Tập nghiệm của hệ bất phương trình  là  4  3x  3  x   2

 

4 5

A.  2;  .

 

4

B.  2;  . 5



 

3 5

C.  2;  .

 

1 3

D.  1;  .

Lời giải Trang 3/18

ChọnA  2x 1 4  x 1   4 2 x  1  3 x  3 5 x  4   3 x     5  x   2;  .     5  4  3x  6  2 x  x  2   4  3x  3  x  x  2   2 Câu 11. Cặp bất phương trình nào sau đây không tương đương A.

x  1  x và  2 x  1 x  1  x  2 x  1 .

C. x  x  2   0 và x  2  0 .

B. 2 x  1  1  1 và 2 x  1  0 . x 3

x 3

D. x  x  2   0 và  x  2   0 .

2

2

Lời giải Chọn D

x  0 x  0  x   2;    \ 0 .  x  2  0  x  2

x2  x  2  0  

x  2 x  0  x  2  x   2;    . Vậy hai bất phương trình này không tương đương. Câu 12. Cặp bất phương trình nào sau đây không tương đương: A. 5 x  1  1  1 và 5 x  1  0 .

B. 5 x  1  1  1 và 5 x  1  0 .

C. x  x  3  0 và x  3  0 .

D. x  x  5   0 và x  5  0 .

x2

x2

x2

2

x2

2

Lời giải Chọn B x  2

x  2  0 1  1 1    5x 1   1  x   ;    \ 2 . x2 x2 5  5 x  1  0 x  

5

1  5 x  1  0  x  1  x   ;   . 5 5  Vậy hai bất phương trình này không tương đương. 2x 1  2 tương đương với mệnh đề nào sau đây: Câu 13. Với điều kiện x  1 , bất phương trình x 1 A. x  1  0 hoặc 4 x  3  0 .

B. 2  2 x  1  2 .

C. 2 x  1  2 . x 1

D. Tất cả các câu trên đều đúng.

x 1

x 1

Lời giải Chọn A  2x 1

 2x 1

 1

 x 1  0  x 1  2  x 1  2  0  x 1  0 2x 1 2 .     4x  3  x 1 0  2x 1  2x 1  4x  3

 x  1

 2

 x  1

20

 x  1

0

 x 1

2 x  3  x  2 tương đương với :

Câu 14. Bất phương trình

A. 2 x  3   x  2  với x  3 . 2

2

2 x  3  0 C.  hoặc  x20

2 x  3   x  2 2 .   x  2  0

B. 2 x  3   x  2  với x  2 . 2

D. Tất cả các câu trên đều đúng. Lời giải

Chọn C Trang 4/18

Ta sử dụng kiến thức sau

Câu 15. Bất phương trình 2 x  A. 2 x  3 .

 A  0   B  0 AB   A  B2    B  0

3 3 tương đương với :  3 2x  4 2x  4 B. x  3 và x  2 . C. x  3 . 2 2

D. Tất cả đều đúng.

Lời giải Chọn D

x  2

2 x  4  0 x  2  3 3 3    2x   3 3  x . 2x  4 2x  4 2 2 x  3 2 x  3 x 



2

2x  3  x  3 . 2 Vậy A, B, C đều đúng. Câu 16. Các giá trị của

x

thoả mãn điều kiện của bất phương trình

A. x  2 .

B. x  3 .

3

x2  x3 

C. x  3 và x  0 . Lời giải

1  2 x  3 là x

D. x  2 và x  0 .

Chọn C

x  3  0  x  3 3 Điều kiện :  ( x  2 có nghĩa x ).  x  0 x  0 3  3x   x  2   5 Câu 17. Hệ bất phương trình  có nghiệm là  6x  3  2x 1   2 A. x  5 .

B. 7  x  5 .

2

10

2

C. x  7 .

D. Vô nghiệm.

10

Lời giải Chọn C 3 7   3 7 3x   x  2 x     3 x  x  2  2 x    7   5 10 .   x 5  5   10 6 x  3 5    x   2x 1 6 x  3  4 x  2 2 x  5    2  2







 x 2 x 3 0 Câu 18. Hệ bất phương trình  có nghiệm là  

A.

 2x 3.

Chọn A



B. 2  x  3 .

3  x  3.

C. 2  x   2 ,



 x  2  x  3  0



D. Vô nghiệm. Lời giải

   x 2 x 3 0  x    2; 3   x    2;    x  2 x  3  0 x   ; 2  3;             

3  .

Trang 5/18

 4x  3 6   2x  5 Câu 19. Hệ bất phương trình  có nghiệm là  x 1  2  x3 

A. 3  x  5 .

B. 5  x  33 .

2

2

8

C. 7  x  3 .

D. 3  x  33 . 8

Lời giải Chọn C  4x  3  4x  3  4 x  3  12 x  30  8 x  33 6 6  0 0 0      2x  5  2x  5   2x  5 2x  5      x 1  2  x 1  2  0  x 1 2x  6  0  x  7  0  x3 x3   x3 x3       5   33   x   ;    ;    2  8     x   7;  3 .  x   7;  3  Câu 20. Bất phương trình x  1  x  1 có nghiệm là A. x   ,   .

B. x  1 .

C. x  1 .

D. x  0 .

Lời giải Chọn A

X  X , X . Câu 21. Bất phương trình x  3  1 có nghiệm là A. 3  x  4 .

B. 2  x  3 .

C. x  2 hoặc x  4 . D. x  3 . Lời giải

Chọn C

x  3  1 x  4 .   x  3  1 x  2 Câu 22. Tập nghiệm của bất phương trình – x 2  6 x  7  0 là

x 3 1  

A.  ; 1   7;   .

B.  7;1 .

C.  1;7  .

D.  ; 7   1;   . Lời giải

Chọn C

 x  1 2 Ta có : – x  6 x  7  0    x  1 x  7   0   . x  7 Bảng xét dấu :

Vậy tập nghiệm của bất phương trình trên là : T   1;7  .  x2  2x  3  0 có nghiệm là 2  x  11x  28  0

Câu 23. Hệ bất phương trình 

A. x  –1 hoặc 3  x  4 hoặc x  7 .

B. x  4 hoặc x  7 . Trang 6/18

C. x  –1 hoặc x  7 .

D. 3  x  4 . Lời giải

Chọn C

 x   ;  1   3;     x  3 x  1  0  x2  2x  3  0      2  x  7  x  4   0  x   ; 4   7;     x  11x  28  0

 x   ;  1   7;    .

Câu 24. Bất phương trình: 3 x  2  x 2  1  0 có tập nghiệm là:

2 3

 

A.  ;   .

2



B.  ;   . 3 

 

2 3

C.  ;  .

D.  .

Lời giải Chọn D 3 x  2  0, x  2   3 x  2  x  1  0, x   . 2  x  1  0, x  Câu 25. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. Bất phương trình bậc nhất một ẩn luôn có nghiệm. B. Bất phương trình ax  b  0 vô nghiệm khi a  0 và b  0 . C. Bất phương trình ax  b  0 có tập nghiệm là  khi a  0 và b  0 . D. Bất phương trình ax  b  0 vô nghiệm khi a  0 . Lời giải Chọn D Vì 0 x   1  0  1  0 ( đúng x ). Câu 26. Giải bất phương trình x  1  x  4  7 . Giá trị nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là A. x  9 .

B. x  8 .

C. x  7 . Lời giải

x

thoả bất

D. x  6 .

Chọn D Xét dấu phá trị tuyệt đối:

TH1. x   ; 1

 x   ; 1  x   ; 1  x   ; 1   x 1  x  4  7    x   ; 2  2 x  3  7  x  2   x  1   x  4   7 . TH2. x   1; 4 

 x   1; 4   x   1; 4   x 1  x  4  7    x  . 5  7  x  1   x  4   7 TH3. x   4;     x   4;     x   4;     x   4;      x 1  x  4  7    x   5;    . 2 x  3  7  x  5  x  1   x  4   7 Trang 7/18

Tổng hợp lại, tập nghiệm của bất phương trình là : T   ; 2    5;    . Câu 27. Bất phương trình x  2  x  1  x  3 có nghiệm là 2

A. x  2 .

C. x  9 .

B. x  1 .

D. 0  x  9 .

2

2

Lời giải Chọn C Xét dấu phá trị tuyệt đối:

TH1. x   ; 2 

 x   ; 2 

 x   ; 2 

  3 x  2  x 1  x    3  3 2   x  2    x  1  x  3  x  



2

2

 x   ; 2     x  3 x     2

. TH2. x   2; 1

 x   2; 1

 x   2; 1

 x   2; 1

   3 x  2  x 1  x    3  3  5 2  x  2    x  1  x  2 x  1  x  x   TH3. x  1;   



2

 x  1;   



2

 x  1;   

  3 x  2  x 1  x    3  3 2  x  2    x  1  x  3  x  

2



2



 x  .

2

 x  1;      9 x   2

9   x  ;   . 2  9 2

 

Tổng hợp lại, tập nghiệm của bất phương trình là : T   ;    . Câu 28.

Bất phương trình

x 2  3x  1  3 có nghiệm là x2  x  1

3 5 3 5 hoặc x  . 2 2 5 3 5 3 C. x  hoặc x  . 2 2 A. x 

3  5 3  5 hoặc x  . 2 2 5  3 5  3 D. x  hoặc x  . 2 2 B. x 

Lời giải Chọn B  x 2  3x  1  x 2  3x  1  2 x 2  6 x  2  3  3  0 0    x 2  3x  1  x2  x  1  x2  x  1  x2  x  1 3   2  2 2 x2  x  1  x  3 x  1  3  x  3x  1  3  0  4x  4  0  x2  x  1  x2  x  1     x2  x  1

Trang 8/18

  3  5  3  5   2  x   x   2  2    0 2     3  5   3  5 1 3  x   ;  ;  x           2   2    2 4      2  x   ;     4  x  1  0 2  1 3   x    2 4  

  3  5   3  5  x   ; ;   .    2   2   Câu 29. Bất phương trình

x2  5x  4  1 có nghiệm là x2  4

A. x  0 hoặc 8  x  5 , x  2 . 5

2 C. x  –2 hoặc 0  x  8 . 5

B. x  8 hoặc 2  x  8 . 5

5 D. 2  x  0 hoặc x  5 . 2

Lời giải Chọn A  5 x  8  x2  5x  4  x2  5x  4  1 1  0 2  x2  4  0   2 2 x  5x  4 x  4 x  4  2 1    2 x2  4  x2  5x  4  x  5x  4  2 x  5x  0  x 2  4  1  x 2  4  1  0  x 2  4

 5 x  8  8    x  2  x  2   0  x   ;  2    5 ; 2       x  2 x  5   5 0 x   2; 0   2;     2   x  2  x  2   8   5   x   ;  2    2; 0   ; 2    2;  . 5   2 mx  2m  0 Câu 30. Cho hệ bất phương trình  2 x  3 3 x . Xét các mệnh đề sau:  1  5  5 (I) Khi m  0 thì hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm. (II) Khi m  0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là  .

2  5  2  (IV)Khi m  0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là  ;   . 5 

(III) Khi m  0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là  ;   .

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng ? A. 1 . B. 0 . C. 2 . Lời giải Chọn D mx  2m  0 mx  2m   Ta có :  2 x  3 . 3x   2  1  x    5 5  5 

D. 3 .

Trang 9/18







mx  2m  x  2   Với m  0 thì   2 2  x   . Vậy (I) đúng. x  x    5 5   mx  2m 0 x  0   Với m  0 thì   2 2  x   . Vậy (II) sai. x x   5 5   mx  2m  x  2 2   Với m  0 thì   2 2  x  . Vậy (III) , (IV) đúng. 5 x x   5 5  

 x  3 4  x   0 vô nghiệm khi  x  m  1

Câu 31. Hệ bất phương trình  A. m  2 .

B. m  2 .

C. m  1 . Lời giải

D. m  0 .

Chọn A

 x  3 4  x   0 3  x  4 .    x  m  1 x  m 1

Hệ bất phương trình vô nghiệm m  1  3  m  2 . Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số A. m  11 .

m

B. m  11 .

3  x  6   3  để hệ bất phương trình  5 x  m có nghiệm. 7   2 C. m  11 . D. m  11 . Lời giải

ChọnA

3  x  6   3 x  5  3 x  15    5x  m  14  m . 5 x  m  14  7 x    5   2

Hệ bất phương trình có nghiệm  14  m  5  14  m  25  m  11 . 5

Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số A. m  4 .

B. m  4 .

m

x  3  0 để hệ bất phương trình  vô nghiệm. m  x  1 C. m  4 . D. m  4 . Lời giải

ChọnD x  3  0 x  3 .   m  x  1  x  m  1 Hệ bất phương trình vô nghiệm  m  1  3  m  4 . 2 2 Câu 34. Cho bất phương trình: m  x  2   m  x  1 (1). Xét các mệnh đề sau:Bất phương trình tương đương với x  2  x  1 (2). (I) Với m  0 , bất phương trình thoả x   . (II) Với mọi giá trị m   thì bất phương trình vô nghiệm. Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (II). B. (I) và (II). C. (I) và (III). D. (I), (II) và (III). Lời giải Chọn A 2 2 +) Với m  0 thì (1) trở thành : 0 .  x  2   0 .  x  1  0  0 ( đúng x   ). Trang 10/18

Vậy (II) đúng ,(III) sai. +) Với m  0 thì (2)  2  1 (sai). Bất phương trình vô nghiệm. Vậy khi m  0 hai bất phương trình (1) và (2) không tương đương. (I) sai. Câu 35. Giá trị nào của m thì phương trình x 2  mx  1  3m  0 có 2 nghiệm trái dấu? A. m  1 .

B. m  1 .

3

C. m  2 .

3

D. m  2 .

Lời giải Chọn A ycbt  a.c  0  1  3m  0  m 

Câu 36. Tìm tham số thực

m

A. m  1 .

2 để phương trình  m  1 x  2  m  2  x  m  3  0 có 2 nghiệm trái dấu?

B. m  2 .

Chọn D ycbt  a.c  0

Câu 37. Các giá trị

1 . 3

C. m  3 . Lời giải

D. 1  m  3 .

  m  1 m  3  0  m  1; 3 .

m làm cho biểu thức f  x   x 2  4 x  m  5 luôn luôn dương là

A. m  9 .

B. m  9 .

C. m  9 . Lời giải

D. m   .

Chọn C

f  x   x2  4x  m  5   x2  4x  4  m  9   x  2   m  9 . 2

Ta có :  x  2   0, x . 2

Để f  x   0, x thì m  9  0  m  9 . 2 Câu 38. Cho f  x   mx  2 x  1 . Xác định

A. m  1 .

B. m  0 .

m

để f  x   0 với mọi x   . C. 1  m  0 . Lời giải

D. m  1 và m  0 .

Chọn A

TH1. m  0 . Khi đó : f  x   2 x  1  0  x   1 . Vậy m  0 không thỏa yêu cầu bài toán. TH2. m  0

2

2 2  2 1 1 1  1 1   f  x   mx  2 x  1  m  x  2. .x      1   m  x     1   .  m m m  m    m   2

2

1  Ta có :  x    0, x . m  m  0 m  0    m  1  0  m  1 thỏa điều kiện). ycbt     m  1 1 1   0 0   m   m  x7  0 Câu 39. Cho hệ bất phương trình  . Xét các mệnh đề sau mx  m  1

 I  : Với m  0 , hệ luôn có nghiệm.  II  : Với 0  m  1 , hệ vô nghiệm.

6 1  III  : Với m  , hệ có nghiệm duy nhất. 6

Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ  I  .

B.  II  và  III  .

C. Chỉ  III  .

D.  I  ,  II  và  III  . Trang 11/18

Lời giải Chọn D  x7  x7  0  Với m  0 thì   m  1 . Hệ này luôn có nghiệm . Vậy (I) đúng. x mx  m  1  m   x7  0 x  7  x  7 . Hệ này có nghiệm duy nhất. Vậy (III) đúng.  Với m  1 thì  1 1 x  7 6 x   1   6 6  x7  x7  0  Với m  0 thì   m 1 . mx  m  1 x    m 

Hệ này vô nghiệm nếu m  1  7  m  1  7  0  1  6m  0  1  6m  0  m  1 . m

m

m

6

 x7  0 x7 Với m  0 thì  . Hệ này vô nghiệm.  mx  m  1 0 x  1 Vậy (II) đúng. Câu 40. Tập nghiệm của bất phương trình

x 1  1 là x2  1  2

A. S   , 2  .

 

B. S    ,   .

 1  2

 

D. S  1;    .

C. S   , 2     ,  

Lời giải Chọn C  x  1  0      x  1  x  2  0 x 1 x 1 x 1  x  2  x2 1  1  0   0   x2 x2 x2  x  1  0    x  1  x  2  0   x2

 x  1    2 x  1  0   1   x  2  x   ;  2     2 ;    x  1    x  1;      3 0   x  2

 1  1    x   ;  2     ;    .  2 

2 Câu 41. Cho phương trình  m  5  x  2  m  1 x  m  0 1 . Với giá trị nào của

m

thì 1 có 2 nghiệm

x1 , x2 thỏa x1  2  x2 . A. m  8 . 3

B. 8  m  5 . 3

C. m  5 .

D. 8  m  5 . 3

Lời giải Chọn B

Trang 12/18

a  0 m  5  0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt    2 3m  1  0    m  1   m  5  .m  0 m  5 1   1    m  5. 3 m  3  TH1. m  5  1  m  3m  1  2 1  x1   m5  I . ycbt   1  m  3 m  1 x   2  2  2 m5 Giải (1) :

1  m  3m  1  2  1  m  3m  1  2m  10 (do m  5  0 )  3m  1  11  3m m5

 11  3m  0   3m  1  0  11  3m  0   2   3m  1  11  3m 

 11 m  11   m  3    3   m   1  m   1   3 3       m  11  m  11   3  3    2  9  m  8   m  5   0   9m  69m  120  0    3

11  m  3   11   m   3 ;    11   8     m ;   .   m  3   3   8 11   m ;   8 3 3   m   ; 5        3  Giải (2) :

1  m  3m  1  2  1  m  3m  1  2m  10  3m  1  3m  11 m5

 3m  11  0   3m  1  0  3m  11  0   2   3m  1   3m  11

 11 m  11   m  3    3   m   1  m   1   3   3       m  11  m  11   3  3    2  9  m  8   m  5   0   9m  69m  120  0    3

11  1  3  m  3   1 11   m   3 ; 3   1 11     m   ;    m  3    3 11   m   ; 5  3   m   8 ; 5       3   

 5 . 

Trang 13/18

 m  5   8  Vậy nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ : m   ;     m   . 3     1  m    ; 5   3   TH2.  1  m  5 3

 1  m  3m  1  2 1  x1   m5  I . ycbt   1  m  3 m  1 x   2  2  2 m5 Giải (1) : 1  m  3m  1  2  1  m  3m  1  2m  10 ( do m  5  0 )  3m  1  3m  11 m5  11 m  11    3  m  3   3m  11  0   m   1 1   m     3  3m  1  0 3       3m  11  0  m  11 11     2   3 m   3 m  1  3 m  11     3     2   9  m  8   m  5   0    9m  69m  120  0   3    1 11  m   3 ; 3      1 11   m   ;    11  1   3 3    m   m    ;5 .  3   3  11    m   ; 5   8  3    m   3 ; 5     . Giải (2) : 1  m  3m  1  2  1  m  3m  1  2m  10  3m  1  11  3m m5  11 m   11   m 3    3  11  3m  0   m   1 1   m     3  3m  1  0 3       11  3m  0  m  11 11     2   3 m   3 m  1  11  3 m     3     2  9  m  8   m  5   0  9m  69m  120  0     3

Trang 14/18

11  m  3   11   m   3 ;    8  11     m   ; +  .    m  3   3   8 11   m ;   3 3   m   8 ; 5        3   1   m  5  3  8   1  Vậy nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ : m    ;5  m   ; 5  .  3  3    8  m   ; +  3  

8 3

 

Tổng hợp lại, m   ; 5  thỏa yêu cầu bài toán. Câu 42. Cho phương trình x 2  2 x  m  0 1 . Với giá trị nào của A. m  0 .

B. m  1 .

m thì 1

có 2 nghiệm

C. 1  m  0 .

x1  x2  2 .

D. m   1 . 4

Lời giải Chọn C





2 x 2  2 x  m  0  x  2 x  1  m  1  0   x  1  m  1  0   x  1  m  1 2

m  1  0 m  1  0   ycbt   x1  1  m  1  2   m  1  1    x2  1  m  1  2  m  1  1 hn   1  m  0 .

2

 0  m 1  1  0  m 1  1

2 Câu 43. Cho phương trình mx  2  m  1 x  m  5  0 1 . Với giá trị nào của

m

thì 1 có 2 nghiệm

x1 , x2 thoả x1  0  x2  2 . A. 5  m  1 .

B. 1  m  5 .

C. m  5 hoặc m  1 . D. m  1 và m  0 . Lời giải

Chọn A m  0 m  0  a  0  3m  1  0 m  1  2   3 ycbt     m  1  m  m  5   0    a . f 0  0   x  0  x  2  m  m  5   0 2  1 a. f  2   0    m  4m  4  m  1  m  5   0 m  5 m  5   m  1 m  1 3 3    5  m  1 . 5  m  0 m  m  5   0   m   ;  1   0;    m  m  1  0

Câu 44. Giá trị của

m

2 làm cho phương trình  m  2  x  2mx  m  3  0 có 2 nghiệm dương phân biệt

là Trang 15/18

A. m  6 và m  2 . C. 2  m  6 hoặc m  3 .

B. m  0 hoặc 2  m  6 . D. m  6 . Lời giải

Chọn C m  2  0 a  0 m  2 m  6  0  2    m   m  2  m  3  0  m   ; 6    2 m     x  x   b  2m  0  0 1 2 m   ; 0    2;    m  2 a m2  m   ;  3   2;    m 3  c m3  0 0   x1.x2   m  2 a m2 

 m   ;  3   2; 6  .

Câu 45. Với giá trị nào của và x1  x2  x1 x2 A. 1  m  2 .

m

2 thì phương trình  m  1 x  2  m  2  x  m  3  0 có hai nghiệm

x1 , x2

1? B. 1  m  3 .

C. m  2 . Lời giải

D. m  3 .

Chọn B    m  2 2   m  1 m  3  0   b 2  m  2 1  0 2  m  2 m  3   x1  x2   a  m  1   2  m  2 m  3    1. ycbt   m  1 m  1   1   x .x  c  m  3 m 1  m 1  1 2 a m 1   x1  x2   x1.x2  1 

3m  7 3m  7 2m  6 1  1  0   0  m  1; 3 . m 1 m 1 m 1

Câu 46. Cho bất phương trình :

1  x  mx  2   0 (*). Xét các mệnh đề sau:  I  Bất phương trình

tương đương với mx  2  0 .

 II  m  0 là điều kiện cần để mọi x  1 là nghiệm của bất phương trình (*).  III  Với m  0 , tập nghiệm của bất phương trình là

2  x  1. m

Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ  I  .

B. Chỉ  III  .

C.  II  và  III  .

D. Cả  I  ,  II  ,  III  .

Lời giải Chọn C   



1  x  0 Ta có : 1  x  mx  2   0   . Vậy (I) sai. mx  2  0 1  x  0 x  1  x  1. Với m  0 thì :   mx  2  0 0 x  2 x  1 1  x  0  Với m  0 thì :   2 . Vậy (II) đúng. mx  2  0 x   m  x  1 2 1  x  0   2  Với m  0 thì :   2   x  1  do m  0   0  1 . m m x   mx  2  0  m  Vậy (III) đúng. Trang 16/18

mx  m  3 .  m  3 x  m  9

Câu 47. Định m để hệ sau có nghiệm duy nhất  A. m  1 .

B. m  2 .

C. m  2 . Lời giải

D. m  1 .

ChọnA 

m3

x mx  m  3   m . TH1. m  3  0  m  3 .Khi đó :   m  3 x  m  9   x  m  9  

m3  m  3 m  3  m  m  9   0 Hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất  m  3  m  9  m  m  3 m m3

m  0 m  m  3  0  9m  9  m  3  m  1 (không thỏa điều kiện m  3 ).  0  m  m  3 9m  9  0 m  1  Vậy m  3 không thỏa yêu cầu bài toán. TH2. m  3  0  m  3 .

mx  m  3 x  2  x  2.   m  3 x  m  9 0 x  12

Khi đó : 

Vậy m  3 không thỏa yêu cầu bài toán. TH3. m  3  0  m  3 . 3  m  0  m3  x mx  m  3   m . Hệ này có vô số nghiệm. Khi đó :    m  3 x  m  9  x  m  9  m3  Vậy 3  m  0 không thỏa yêu cầu bài toán. m0 

mx  m  3 0  3  sai  0 x  3  .Hệ bất phương trình vô nghiệm.   m  3 x  m  9  x  3 3 x  9

Khi đó : 

Vậy m  0 không thỏa yêu cầu bài toán. m0  m3  x  mx  m  3   m . Khi đó :   m  3 x  m  9   m  x   9  m3 

 m  3 m  3  m  m  9   0 Hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất  m  3  m  9  m  m  3 m m3 m  0 m  m  3  0  9m  9  m  3  m  1 (thỏa điều kiện m  0 ).  0  m  m  3 9m  9  0 m  1  Kết luận : m  1 thỏa yêu cầu bài toán. Câu 48. Với giá trị nào của a thì hai bất phương trình sau đây tương đương?

 a  1 x  a  3  0 (1)  a  1 x  a  2  0 (2). Trang 17/18

A. a  1 .

B. a  5 .

C. a  1 . Lời giải

ChọnB TH1. a  1  0  a  1 thì

1  2  0

( đúng x ). Tập nghiệm của bất phương trình

D. 1  a  1 .

T1   .

 2   2 x  1  0  x   1 . Tập nghiệm của bất phương trình T2   

1  ;  .  2 

2

Vậy a  1 không thỏa yêu cầu bài toán. TH2. a  1  0  a  1 thì 1  2 x  4  0  x  2 Tập nghiệm của bất phương trình T2   ; 2  .

 2   3  0 ( úng x ).Tập nghiệm của bất phương trình T2  

.

Vậy a  1 không thỏa yêu cầu bài toán. a  1  0 a  1 TH3.  .  a  1  0 a  1

1   a  1 x  a  3 .  2    a  1 x  a  2 .

Hai bất phương trình tương đương     a  1  0  a  1   a  1  a  1  a  1  a  1  0    a 5  a  3 a  2 a   1  a  1    0    a  5  n     a  1 a  1  a  5  0  a 1 a 1        a  5.    a  1  a  1     a  1 a  1  a  1  0   a  1     a  1  0    a  1  a  5  0   a  5  l   a  3 a  2 a 5    0   a  1 a  1    a  1 a  1  Câu 49. Nghiệm của bất phương trình A. 0  x  1 .

x2 x x

 2 là

B. x 1 , x  2 .

C. x  0 , x  1 . Lời giải

D. 0  x  1 .

ChọnC

x2 x x

2 

x2 x x

20 

x  2  3x x

0

  x  2  x  2  0    x  2  3 x      4 x  2  0  0   x   ;  2    x  x     x   2; 0   1;     x  2  0   x  2     x  2   3x   2 x  2 0  0   x   x

 x   ; 0   1;    .

Trang 18/18

Câu 50. Cho bất phương trình A. x  7 và x  8 .

2 8  . Các nghiệm nguyên nhỏ hơn 13 của bất phương trình là x  13 9 B. x  9 và x  10 . C. x  11 và x  12 . D. x  14 và x  15 . Lời giải

ChọnC Với x  13  x  13  0 thì



2 8 18  8  x  13   2 8 0  0 x  13 9 9  x  13 x  13 9

8 x  86  0  8 x  86  0  x  43 . 9  x  13 4

Vì x   , 43  x  13 nên x  11; 12 . 4

Trang 19/18

Chương 4

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ 3 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT §4. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Nhị thức bậc nhất và dấu của nó. a) Định nghĩa nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất (đối với x ) là biểu thức dạng ax + b , trong đó a và b là hai số cho trước với a ¹ 0 . b x 0 = - được gọi là nghiệm cảu nhị thức bậc nhất f ( x ) = ax + b . a b) Dấu của nhị thức bậc nhất Định lí: Nhị thức bậc nhất f ( x ) = ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số a x nhỏ hơn nghiệm của nó. 2. Một số ứng dụng. a) Giải bất phương trình tích  Dạng P (x ) > 0 (1) (trong đó P ( x ) là tích các nhị thức bậc nhất.)

 Cách giải: Lập bảng xét dấu của P ( x ) . Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).

b) Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu P (x )  Dạng > 0 (2) (trong đó P ( x ), Q ( x ) là tích những nhị thức bậc nhất.) Q(x )

P (x ) . Từ đó suy ra tập nghiệm của (2). Q(x ) Chú ý: 1) Không nên qui đồng và khử mẫu. 2) Rút gọn bớt các nhị thức có lũy thừa bậc chẵn (cần lưu ý trong việc rút gọn để tránh làm mất nghiệm). c) Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ)  Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. é A < -B Chú ý: Với B > 0 ta có A < B Û -B < A < B ; A > B Û êê . êë A > B  Cách giải: Lập bảng xét dấu của

Câu 1.

Cho nhị thức bậc nhất f  x   23 x  20 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. f  x   0 với x   .

5 2

C. f  x   0 với x   .

Câu 2.

20   B. f  x   0 với x   ;  . 23    20  D. f  x   0 với x   ;   23   Hướng dẫn giải

Chọn D. 2x 20 . 5x 1   3  25 x  5  2 x  15  0  x  5 23 Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f  x   x  x  6   5  2 x  10  x  x  8   luôn dương? A.  .

B.  .

C.  ;5  .

D.  5;   .

Hướng dẫn giải Chọn A. Trang 1/14

x  x  6   5  2 x  10  x  x  8    0  0 x  5 vô nghiệm. Vậy x . 1 1 Câu 3. Các giá trị của x thoả mãn điều kiện đa thức f  x    x 1  x2  1 x2 x 1 A. x  2 và x  1 . B. x  1 . C. x  1 . D. x  2 . Hướng dẫn giải Chọn A. x  2  0  x  2  x  2   Điều kiện  x  1  0   x  1   .  x  1 x    x2  1  0   Câu 4.

A.  ; 1 .

2  1 âm? 1 x B.  ; 1  1;   .

C. 1;   .

D.  1;1 .

Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x  

Hướng dẫn giải Chọn B  x  1 x 1 2 2 1 x . 0 1  0  0 1 x 1 x 1 x x  1

Câu 5. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x    x  1 x  3 không âm A.  3,1 .

B.  3,1 .

C.  , 3  1,   . D.  , 3  1,   . Hướng dẫn giải

Chọn B. Ta có  x  1 x  3  0  3  x  1 . Vậy x   3,1 . 4 x  1  3 không dương 3x  1 4  4 1   4  B.   ,   C.  ,   . D.   ,   . 5  5 3   5  Hướng dẫn giải

Câu 6. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x    4 1 A.   ,    5 3

Chọn A. 4 x  1 5x  4 4 1 Ta có 3 0  0 x . 3x  1 3x  1 5 3  4 1 Vậy x    ,   .  5 3 4  2 không dương x3 C.  1,   . D.  , 1 .

Câu 7. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   A.  , 3   1,   . B.  3, 1 .

Hướng dẫn giải Chọn A.  x  3 2x  2 4 Ta có . 0 20 x   1 x3 x3  Vậy x   , 3   1,   .

Câu 8. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   2 x  5  3 không dương A. 1  x  4 .

B. x 

5 . 2

C. x  0 .

D. x  1 .

Hướng dẫn giải Chọn A. Trang 2/14

2 x  5  3 x  4 Ta có 2 x  5  3  0  2 x  5  3    1 x  4 . 2 x  5  3 x  1 Vậy x  1, 4 . Câu 9.

Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức f  x  

x 1

A. S   ;1 .

không dương? x2  4 x  3 B. S   3; 1  1;   .

C. S   ; 3   1;1 .

D. S   3;1 . Hướng dẫn giải

Chọn C. + f  x 

x 1 2

x  4x  3

.

Ta có x  1  0  x  1  x  3 x2  4 x  3  0    x  1 + Xét dấu f  x  :

+ Vậy f  x   0 khi x   ; 3   1;1 . Vậy x   ; 3   1;1 2 x không âm? 2x 1 1  B. S   ;     2;   . 2   1  D. S    ; 2  .  2  Hướng dẫn giải

Câu 10. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x    1  A. S    ; 2  .  2  1  C. S   ;     2;   . 2 

Chọn D. Ta có 2  x  0  x  2 1 2x 1  0  x  2 f x + Xét dấu   :

Trang 3/14

 1  + Vậy f  x   0 khi x    ; 2  .  2  Câu 11. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức f  x   x x 2  1 không âm? A.  ; 1  1;   .

B.  1;0  1;   .





C.  ; 1   0;1 .

D.  1;1 .

Hướng dẫn giải Chọn B.

 x0 Cho x  x  1  0   x  1 .  x  1 Bảng xét dấu 2

Căn cứ bảng xét dấu ta được x   1;0  1;   Câu 12. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   2 x  3  1 không dương? A. 1  x  3 .

B. 1  x  1 . C. 1  x  2 . Hướng dẫn giải

D. 1  x  2 .

Chọn C 2 x  3  1  0  2 x  3  1  1  2 x  3  1  1  x  2 . x 1  4   2 x  7  luôn âm 5 C.  ; 1 . D.  1;   .

Câu 13. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f  x   5 x  A.  .

B.  .

Hướng dẫn giải Chọn C. x 1 5x   4   2 x  7   0  14 x  14  0  x  1 . 5 Vậy x   ; 1 . Câu 14. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f  x   x 2  2 x  3 luôn dương A.  .

C.  ; 1   3;   .

B.  .

D.  1;3 .

Hướng dẫn giải Chọn B. 2 Ta có x 2  2 x  3   x  1  2  2, x   .Vậy x   .

Câu 15. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f  x   x 2  9  6 x luôn dương A.  \ 3 .

C.  3;   .

B.  .

D.  ;3 .

Hướng dẫn giải Chọn A. 2 Ta có x 2  9  6 x  0   x  3  0  x  3 . Vậy x   \ 3 .

Câu 16. Tìm tham số thực m để tồn tại x thỏa f  x   m 2 x  3   mx  4  âm Trang 4/14

A. m  1 .

B. m  0 .

C. m  1 hoặc m  0 . Hướng dẫn giải

D. m   .

Chọn D. m 2 x  3   mx  4   0   m 2  m  x  1 .

m  0 + Xét m 2  m  0   thì bất phương trình đã cho có nghiệm. m  1 + Xét m 2  m  0 thì bất phương trình đã cho luôn có nghiệm Vậy m   thỏa YCBT. 3 3   Câu 17. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f  x   2 x   3  âm 2x  4  2x  4  3 3 A. 2 x  3 . B. x  và x  2 . C. x  . D. Tất cả đều đúng. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B . x  2 3 3     3 Ta có: 2 x  3. 0 2x  4  2x  4   x  2

Câu 18. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f  x   2  x  1  x   3  x  1  2 x  5  luôn dương A. x   .

B. x  3, 24 .

C. x  2,12 . Hướng dẫn giải

D. Vô nghiệm.

Chọn A. Ta có 2  x  1  x   3  x  1  2 x  5   0  x  2  x  8  2  8 (luôn đúng).

Vậy x   . Câu 19. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   5  x  1  x  7  x   x 2  2 x



luôn dương A. Vô nghiệm. C. x  2,5 .

B. x  . D. x  2, 6 . Hướng dẫn giải

Chọn A. Ta có 5  x  1  x  7  x   x 2  2 x  0  5 x  5  7 x  x 2  x 2  2 x  5  0 (vô lý).





Vậy vô nghiệm. Câu 20. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f  x   x 2  6 x  8 không dương. A.  2;3 .

B.  ; 2   4;   . C.  2; 4 .

D. 1; 4 .

Hướng dẫn giải Chọn C. Để f  x  không dương thì x 2  6 x  8  0   x  2  x  4   0 Lập bảng xét dấu f  x  ta thấy để f  x   0  x   2; 4 Câu 21. Số các giá trị nguyên âm của x để đa thức f  x    x  3 x  2  x  4  không âm là A. 0 . C. 2 .

B. 1 . D. 3 . Hướng dẫn giải

Chọn D.  x  3 Ta có  x  3 x  2  x  4   0   x  4   x  2

Trang 5/14



Bảng xét dấu f  x 

Dựa vào bảng xét dấu, để f  x  không ấm thì x   3, 2   4,   . Vậy có 3 số nghiệm nguyên âm x thỏa YCBT.  5 x 13 x   9 2 x  Câu 22. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f  x           luôn âm  5 21 15   25 35  257 5 A. x  0 . B. x  C. x   . D. x  5 . 295 2 Hướng dẫn giải Chọn B. 5 x 13 x  9 2 x  118 514 257 Ta có . x  x       0  105 525 295 5 21 15  25 35  x2 Câu 23. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   không dương x 5 A.  2,5 . B.  2,5  C.  2,5 . D.  2,5  .

Hướng dẫn giải Chọn A. x2 Ta có  0  2  x  5 . Tập x   2,5 . x 5 Câu 24. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   A.  .

C.  1,1 .

B.  .

1 1 luôn âm  x 1 x 1 D. Một đáp số khác.

Hướng dẫn giải Chọn C. 2 1 1 1 1  0  1  x  1 . Ta có  0   x 1 x 1 x 1 x 1  x  1 x  1 Vậy x   1,1 . Câu 25. Các số tự nhiên bé hơn 4 để đa thức f  x   A. 4; 3; 2; 1;0;1; 2;3 . C. 0;1; 2;3 .

2x  23   2 x  16  luôn âm 5 35 B.   x  4 . 8 D. 0;1; 2; 3

Hướng dẫn giải Chọn C. 2x 2x 2x 8 x 35 Ta có  23   2 x  16   0   23  2 x  16   2 x  23  16  7  x 5 5 5 5 8 . Vậy x  0,1, 2,3 .

Trang 6/14

Câu 26. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f  x   x  5 x  2   x  x 2  6  không dương A.  ;1   4;   .

B. 1; 4 .

C. 1; 4  .

D.  0;1   4;  

Hướng dẫn giải Chọn D. x 5x  2  x  x2  6  0  x  x2  5x  4  0

Vậy x   0;1   4;   . Câu 27. Với giá trị nào của m thì không tồn tại giá trị của x để f  x   mx  m  2 x luôn âm A. m  0 . B. m  2 . C. m  2 . D. m   . Hướng dẫn giải Chọn B mx  m  2 x  0   m  2  x  m  0 m  2 bất phương trình trở thành 2  0 bất phương trình vô nghiệm. Câu 28. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f  x   x 2 – 4 x  3 luôn âm

A.  ;1  3;   .

B.  ;1   4;   .

C. 1;3 .

D. 1;3 . Hướng dẫn giải

Chọn C.

Vậy x  1;3 . Câu 29. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f  x   2 x 2  7 x –15 không âm 3  A.  ;    5;   . 2  3  C.  5;  . 2 

3  B.  ; 5   ;   . 2   3  D.   ;5 .  2  Hướng dẫn giải

Chọn A.

Trang 7/14

3  Vậy x   ;    5;   2  Câu 30. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x    x 2  6 x  7 không âm

A.  ; 1   7;  

B.  1;7 

C.  ; 7   1;  

D.  7;1 .

Hướng dẫn giải Chọn B.  x 2  6 x  7  0    x  1 x  7   0  x   1;7 

x 5 luôn dương  x  7  x  2  C. x  –5. Hướng dẫn giải

Câu 31. Tìm số nguyên nhỏ nhất của x để f  x   A. x  –3.

B. x  4.

D. x  –6.

Chọn D

x 5 ( x  7)( x  2) – Suy ra x   7; 2    5;  

– Lập bảng xét dấu f  x   – Vậy x  6

1  2x  Câu 32. Các số tự nhiên bé hơn 6 để đa thức f  x   5 x   12   luôn dương 3  3  A. 2;3; 4;5 . B. 3; 4;5 . C. 0;1; 2;3; 4;5 . D. 3; 4;5;6 .

Hướng dẫn giải Chọn B. 1  2x  2x 1 37 Ta có 5 x   12    0  5 x  .  12   x  3 3 17 3  3  Vậy x  3, 4,5 . 3x  5  x2  1   x  luôn âm 2  3  B. Mọi x đều là nghiệm. D. x  5. Hướng dẫn giải

Câu 33. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   A. Vô nghiệm. C. x  4,11 .

Chọn D. 3x  5  x2  Ta có 1   x   0  9 x  15  6  2 x  4  6 x  x  5 . 2  3  x 1 x  2 Câu 34. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f  x   không âm?  x  2 x 1 1 1    1  A.  2;   . B.  2;   . C.  2;    1;   . D.  ; 2     ;1 . 2 2    2  Hướng dẫn giải Chọn D. Đkxđ: x  2; x  1 . Trang 8/14

 x  1   x  2   0  6 x  3  0 x 1 x  2 YCBT  .  0  x  2 x 1  x  1 x  2   x  1 x  2  2

2

1 . 2  x 1 Cho  x  1 x  2   0   .  x  2 Bảng xét dấu

Cho 6 x  3  0  x 

 1  Căn cứ bảng xét dấu ta được x   ; 2     ;1 .  2  Câu 35. Với giá trị nào của m thì nhị thức bậc nhất f  x   mx  3 luôn âm với mọi x

A. m  0 .

B. m  0 .

C. m  0 . Hướng dẫn giải

D. m  0 .

Chọn A. 3 không thỏa mãn đề bài. m 3 + Nếu m  0 , mx  3  0  x  không thỏa mãn đề bài. m + Nếu m  0 , bpt trở thành 3  0 luôn đúng với mọi x .

+ Nếu m  0 , mx  3  0  x 

1 1  luôn âm. x 3 2 B. x  5 hay x  3 . D. x   .

Câu 36. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   A. x  3 hay x  5 . C. x  3 hay x  5 .

Hướng dẫn giải Chọn A. 5 x 1 1 1 1  0  0  Ta có 0. x 3 2 x 3 2 2.  x  3 Đặt t  x , bpt trở thành

5t 0 . 2  t  3

Cho 5  t  0  t  5 . Cho t  3  0  t  3 . Bảng xét dấu

Trang 9/14

Căn cứ bảng xét dấu ta được x  3 hay x  5 . Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đa thức f  x   m  x  m    x  1 không âm với mọi x   ; m  1 . A. m  1 .

B. m  1 .

C. m  1 . Hướng dẫn giải

D. m  1 .

Chọn C. m  x  m    x  1  0   m  1 x  m 2  1 . 1

+ Xét m  1  x   . (không thỏa) + Xét m  1 thì 1  x  m  1 không thỏa điều kiện nghiệm đã cho. + Xét m  1 thì 1  x  m  1 thỏa điều kiện nghiệm đã cho. Vậy m  1 . Câu 38. Gọi S là tập tất cả các giá trị của x để đa thức f  x   mx  6  2 x  3m luôn âm khi m  2 . Hỏi các tập hợp nào sau đây là phần bù của tập S ? A.  3;   . B. 3;   . C.  ;3 .

D.  ;3 .

Hướng dẫn giải Chọn D. mx  6  2 x  3m  0   2  m  x  6  3m  x  3 (do m  2 ) Vậy S   3;    C S   ;3 .

Câu 39. Tìm các giá trị thực của tham số m đểkhông tồn tại giá trị nào của x sao cho nhị thức f  x   mx  m  2 x luôn âm. A. m  0 .

B. m  2 .

C. m  2 . Hướng dẫn giải

D. m   .

Chọn B. f  x   0  mx  m  2 x  0   m  2  x  m  0 . + Xét m  2 thì f  x   2  0, x   hay f  x   0 vô nghiệm (thỏa mãn).

m (tồn tại nghiệm – loại). m2 m + Xét m  2 thì f  x   0 khi x  (tồn tại nghiệm – loại). m2 Vậy chỉ có m  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 40. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f  x   2 x  1  x luôn dương

+ Xét m  2 thì f  x   0 khi x 

1  A.  ;   1;   . 3 

1  B.  ;1 . 3 

C.  .

D. vô nghiệm.

Hướng dẫn giải Chọn A. 1 thì ta có nhị thức f  x   x  1 để f  x   0 thì x  1 . 2 1 1 + Xét x  thì ta có nhị thức f  x   3 x  1 để f  x   0 thì x  . 2 3 1  Vậy để f  x   0 thì x   ;   1;   3  x4 2 4x Câu 41. Tìm số nguyên lớn nhất của x để đa thức f  x   2 luôn âm   x  9 x  3 3x  x 2 A. x  2 . B. x  1 . C. x  2 . D. x  1 . Hướng dẫn giải Chọn A.

+ Xét x 

Trang 10/14

 x2  9  0 x  3   Điều kiện  x  3  0   x  3 . 3 x  x 2  0 x  0   x4 2 4x x4 2 4x Ta có 2   0 2   2 x  9 x  3 3x  x x  9 x  3 3x  x 2  x  4   2  x  3  4  x  3  0  3x  22  0 .   x  3 x  3  x  3 x  3 Bảng xét dấu

22   Dựa vào bảng xét dấu ta có x   ,     3,3 . 3   Vậy x  2 thỏa YCBT. Câu 42. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất x để nhị thức bậc nhất f  x   x  1  x  4  7 luôn dương

A. x  4 .

B. x  5 .

C. x  6 . Hướng dẫn giải

D. x  7 .

Chọn C. Ta có x  1  x  4  7  0  x  1  x  4  7 * Bảng xét dấu

Trường hợp x  1 , ta có *   x  1  x  4  7  x  4 . So với trường hợp đang xét ta có tập nghiệm S1   , 4  . Trường hợp 1  x  4 , ta có *  x  1  x  4  7  5  7 (vô lý). Do đó, tập nghiệm

S2   .

Trường hợp x  4 , ta có *  x  1  x  4  7  x  5 . So với trường hợp đang xét ta có tập nghiệm S3   5,   . Vậy x  S1  S 2  S3   , 4    5,   . Nên x  6 thỏa YCBT. Câu 43. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f  x   1 A. x  2, x   . 2

x 1

 1 luôn âm x2 1 1 B. 2  x  . C. x   , x  2 . D. Vô nghiệm. 2 2 Hướng dẫn giải

Chọn A. Trang 11/14

x 1 x2

 1 0 

x 1 x2

 1  *

x 1 3 1   0  x  2  0  x  2 . So với trường hợp x2 x2 đang xét ta có tập nghiệm bất phương trình là S1  1,   .

Trường hợp x  1 , ta có * 

Trường hợp x  1 , ta có * 

1 x 1  2 x 1   0. x2 x2

Bảng xét dấu

 1  Dựa vào bảng xét dấu, ta có x   , 2     ,1 .  2   1  Vậy x  S1  S 2   , 2     ,   .  2  Câu 44. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   2 x  1   x  4  luôn dương

B. x  2 hoặc x  2 . C. 1  x  1 .

A. x  2 .

D. Một đáp số khác.

Hướng dẫn giải Chọn B. x  4  0  x  4   x  4   x  4  x  4  0      4  x  2 . 2 x  1   x  4  0  2 x  1  x  4     2  x  1    x  4    x  2   x  2     2  x  1  x  4 x  2     

Vậy x   , 2    2,   .

Câu 45. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f  x   x  2  x  4 không dương A. x  2 .

B. x  6 .

D.  1,  

C. Vô nghiệm.

Hướng dẫn giải Chọn D. x2  6  x  4  1  x  4  x  4  0 x2  1      x  4  Với x  4 , ta có x  2  x  4  0  x4   x  1  x  2  1  2x  2  0   x  4  x  4  x  1 . Không nhận x  4 vậy x   1,   . 16  4x   f  x   x2  x  12  4 Câu 46. Cho các đa thức  tìm các giá trị của x để f  x  luôn âm, và g  x  luôn 1 1 1 g  x      x  2 x 1 x dương A.  2;0  1; 2   2;   . B.  4; 3   0;1  2;2 .



 







Trang 12/14







C. 3; 2   4;   .



D. 4;  2  1;   . Hướng dẫn giải

Chọn A. ĐK: x ¹ -3; x ¹ 1; x ¹ 2; x ¹ 4 .





4 x 2  16  x  4  0 16  4 x  4 x 2  4 x  48 16  4 x   0   0   4  0 2 x  x  12 x3 x 2  x  12  x  4  x  3

x  x  1  x  x  2    x  1 x  2   x  3 1 1 1    0  0 x  x  2  x  1  x  4 x  2 x  1 x

é- 2 < x < 0 x2 - 2 > 0 Û êê x ( x - 2)( x -1) ëê1 < x < 2 Ú x > 2 Vậy x Î - 2;0 È 1; 2 È (2; +¥)

Û

(

) (

)

Câu 47. Tím x để f  x   x  1  x  2  x  1   x  2  x  3 luôn dương A. x  2

B.  1;  

C.  –3; –1   –1; 1  1; 3

D.  –3; –1   –1;1  1;3 Hướng dẫn giải

Chọn C x  1  x  2  x  1   x  2  x  3  0  x  1  2 x  2  x  1  x  3  0 Chọn x  3 thay vào (*) ta thấy (*) thỏa mãn nên chọn đáp án C x2  5x  6 Câu 48. Tìm x để f  x   không âm x 1 A. 1;3 . B. 1; 2  3;   . C.  2;3 .

 *

D.  ;1   2;3 .

Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện xác định: x  1  x  2  x  3  0 x2  5x  6 0 x 1 x 1 Ta có: x  2 ;  x  2  x  3  0   x  3 x 1  0  x  1 Bảng xét dấu:

Vậy x  1; 2  3;   . Câu 49. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x  

2x 1  2 luôn dương x 1 Trang 13/14

A. 1,   .

3  3  B.  ,    3,   . C.  ,1 . 4  4  Hướng dẫn giải

3  D.  ,   \ 1 . 4 

Chọn D.  2x 1  1 2 x  1   x 1  0 2x 1 2x 1 x  1 2   Ta có . 20   3   x 1 2 x  1 4 x  3 x 1 x 1    2 0 4  x  1  x  1 3  Tập x   ,   \ 1 . 4  x 1 x  5 Câu 50. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì biểu thức f  x   không âm  x 1 x 1 A. 1,   B.  , 1  1,3 . C.  3,5    6,16  . D.  6, 4  .

Hướng dẫn giải Chọn B. x 1 x  5 2x  6 Ta có  0  0. x 1 x 1  x  1 x  1 Bảng xét dấu

Vậy x   , 1  1,3 .

Trang 14/14

Chương 4

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHUYÊN ĐỀ 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HÊ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN §3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn. a) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó.  Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng:

ax  by  c  0, ax  by  c  0, ax  by  c  0, ax  by  c  0 trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số. Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 < c gọi là một nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 , Nghiệm của các bất phương trình dạng ax  by  c, ax  by  c, ax  by  c cũng được định nghĩa tương tự.

 Trong mặt phẳng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình. b) Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Định lí : Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng  d  : ax  by  c  0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax  by  c  0 , nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax  by  c  0 . Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 , ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau: Bước 1. Vẽ đường thẳng (d): ax  by  c  0 Bước 2. Xét một điểm M  x0 ; y0  không nằm trên (d).  

Nếu ax0  by0  c  0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 . Nếu ax0  by0  c  0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 .

Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng ax  by  c  0 hoặc ax  by  c  0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ. 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Trang 1/13

Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:  

Câu 1:

Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn lại. Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Câu nào sau đây sai?. Miền nghiệm của bất phương trình  x  2  2  y  2   2 1  x  là nửa mặt phẳng chứa điểm A.  0;0  .

B. 1;1 .

C.  4; 2  .

D. 1; 1 .

Lời giải Chọn C. Ta có:  x  2  2  y  2   2 1  x    x  2  2 y  4  2  2 x  x  2 y  4 . Dễ thấy tại điểm  4; 2  ta có: 4  2.2  8  4 . Câu 2:

Câu nào sau đây đúng?. Miền nghiệm của bất phương trình 3  x  1  4  y  2   5 x  3 là nửa mặt phẳng chứa điểm A.  0;0  .

B.  4; 2  .

C.  2; 2  .

D.  5;3 .

Lời giải Chọn A. Ta

có:

3  x  1  4  y  2   5 x  3  3 x  3  4 y  8  5 x  3  2 x  4 y  8  0

 x  2y  4  0

Dễ thấy tại điểm  0;0  ta có: 0  2.0  4  4  0 . Câu 3:

Câu nào sau đây sai?. Miền nghiệm của bất phương trình x  3  2  2 y  5   2 1  x  là nửa mặt phẳng chứa điểm A.  3; 4  .

B.  2; 5  .

C.  1; 6  .

D.  0;0  .

Lời giải Chọn D. Ta có: x  3  2  2 y  5   2 1  x   x  3  4 y  10  2  2 x  3 x  4 y  8  0 . Dễ thấy tại điểm  0;0  ta có: 3.0  4.0  8  0 (mâu thuẩn). Câu 4:

Câu nào sau đây đúng?. Miền nghiệm của bất phương trình 4  x  1  5  y  3  2 x  9 là nửa mặt phẳng chứa điểm A.  0;0  .

B. 1;1 .

C.  1;1 .

D.  2;5  .

Lời giải Chọn D. Ta có: 4  x  1  5  y  3  2 x  9  4 x  4  5 y  15  2 x  9  2 x  5 y  10  0 . Dễ thấy tại điểm  2;5  ta có: 2.2  5.5  10  0 (đúng). Câu 5:

Câu nào sau đây đúng?. Trang 2/13

 x y  2  3 1  0  3y   4 là phần mặt phẳng chứa điểm Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2( x  1)  2  x0    A.  2;1 .

B.  0;0  .

C. 1;1 .

D.  3; 4  .

Lời giải Chọn A. Nhận xét: chỉ có điểm  2;1 thỏa mãn hệ. Câu 6:

2 x  3 y  1  0 Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  ?  5x  y  4  0 A.  1; 4  .

B.  2; 4  .

C.  0;0  .

D.  3; 4  .

Lời giải ChọnC. Nhận xét : chỉ có điểm  0;0  không thỏa mãn hệ. Câu 7:

2 x  5 y  1  0  Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  2 x  y  5  0 ?  x  y 1  0  A.  0;0  .

B. 1;0  .

C.  0; 2  .

D.  0; 2  .

Lời giải ChọnC. Nhận xét: chỉ có điểm  0; 2  thỏa mãn hệ. Câu 8:

 x y 0  Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x  3 y  3  0 là phần mặt phẳng chứa điểm  x  y 5  0  A.  5;3 .

B.  0;0  .

C. 1; 1 .

D.  2; 2  .

Lời giải Chọn A. Nhận xét: chỉ có điểm  5;3 thỏa mãn hệ.

Câu 9:

3 x  y  9 x  y  3  Miền nghiệm của hệ bất phương trình  là phần mặt phẳng chứa điểm 2 y  8  x  y  6 A.  0;0  .

B. 1; 2  .

C.  2;1 .

D.  8; 4  .

Lời giải ChọnD. Nhận xét: chỉ có cặp số  8; 4  thỏa bất phương trình 3 x  y  9 . Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình 3 x  2  y  3  4  x  1  y  3 là phần mặt phẳng chứa điểm nào? Trang 3/13

A.  3;0  .

B.  3;1 .

C. 1;1 .

D.  0;0  .

Lời giải ChọnC. Nhận xét: chỉ có cặp số 1;1 thỏa bất phương trình. Câu 11: Miền nghiệm của bất phương trình 5  x  2   9  2 x  2 y  7 là phần mặt phẳng không chứa điểm nào? A.  2;1 .

B.  2;3 .

C.  2; 1 .

D.  0;0  .

Lời giải ChọnC. Nhận xét: chỉ có cặp số  2;3 không thỏa bất phương trình. Câu 12: Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình 2 x  y  1 ? A.  2;1 .

B.  3; 7  .

C.  0;1 .

D.  0;0  .

Lời giải ChọnC. Nhận xét: chỉ có cặp số  0;1 không thỏa bất phương trình. Câu 13: Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình x  4 y  5  0 ? A.  5;0  .

B.  2;1 .

C. 1; 3 .

D.  0;0  .

Lời giải ChọnB. Ta thay cặp số  2;1 vào bất phương trình x  4 y  5  0 được 2  4  5  0 (sai) đo dó cặp số

 2;1

không là nghiệm của bất phương trình x  4 y  5  0 .

Câu 14: Miền nghiệm của bất phương trình 3 x  y  2  0 không chứa điểm nào sau đây?  1 A. A 1 ; 2  . B. B  2 ; 1 . C. C 1 ;  . D. D  3 ; 1 .  2 Hướng dẫn giải Chọn A. Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d  : 3 x  y  2  0. Ta thấy  0 ; 0  không là nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ  d  không chứa điểm

 0 ; 0.

Câu 15: Miền nghiệm của bất phương trình x  3  2(2 y  5)  2(1  x) không chứa điểm nào sau đây? 2  1 A. A  1 ;  2  . B. B   ;   .  11 11  C. C  0 ;  3 . D. D  4 ; 0  . Hướng dẫn giải

Trang 4/13

Chọn B. Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành 3 x  4 y  11  0. Ta vẽ đường thẳng  d  : 3 x  4 y  11  0. Ta thấy  0 ; 0  không là nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ  d  ) không chứa điểm  0 ; 0  .

Câu 16: Miền nghiệm của bất phương trình 2 x  y  1 không chứa điểm nào sau đây? A. A 1 ; 1 .

B. B  2 ; 2  .

C. C  3 ; 3 .

D. D  1 ;  1 .

Hướng dẫn giải Chọn D. Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d  : 2 x  y  1. Ta thấy  0 ; 0  không là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng (không kể bờ  d  ) không chứa điểm  0 ; 0  .



 



Câu 17: Miền nghiệm của bất phương trình 1  3 x  1  3 y  2 chứa điểm nào sau đây? A. A 1 ;  1 .

B. B  1 ;  1 .

C. C  1 ; 1 .





D. D  3 ; 3 .

Hướng dẫn giải Chọn A. Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d  : 1  3 x  1  3 y  2.



 



Ta thấy  0 ; 0  không là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ  d  không chứa điểm  0 ; 0  .

Câu 18: Miền nghiệm của bất phương trình x  2  2  y  1  2 x  4 chứa điểm nào sau đây? A. A 1 ; 1 .

B. B 1 ; 5  .

C. C  4 ; 3 .

D. D  0 ; 4  .

Hướng dẫn giải

Trang 5/13

Chọn B. Đầu tiên ta thu gọn bất phương trình đã cho về thành  x  2 y  8  0. Vẽ đường thẳng  d  :  x  2 y  8  0. Ta thấy  0 ; 0  không là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ  d  ) không chứa điểm  0 ; 0  .

Câu 19: Miền nghiệm của bất phương trình 2 x  2 y  2  2  0 chứa điểm nào sau đây? A. A 1 ; 1 .

B. B 1 ; 0  .

C. C





2; 2 .

D. D





2; 2 .

Hướng dẫn giải Chọn A. Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d  : 2 x  2 y  2  2  0. Ta thấy  0 ; 0  là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ  d  chứa điểm  0 ; 0  .

Câu 20: Trong các cặp số sau, cặp nào không là  x y20 nghiệm của hệ bất phương trình  là 2 x  3 y  2  0 A.  0;0  .

B. 1;1 .

C.  1;1 .

D.  1; 1 .

Lời giải ChọnC. Ta thay cặp số  1;1 vào hệ ta thấy không thỏa mãn. Câu 21: Cho bất phương trình 2 x  4 y  5 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. 1;1  S .

B. 1;10   S .

C. 1; 1  S .

D. 1;5   S .

Lời giải ChọnC. Ta thấy 1; 1 thỏa mãn hệ phương trình do đó 1; 1 là một cặp nghiệm của hệ phương trình. Câu 22: Cho bất phương trình x  2 y  5  0 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A.  2; 2   S .

B. 1;3  S .

C.  2; 2   S .

D.  2; 4   S . Trang 6/13

Lời giải Chọn A. Ta thấy  2; 2   S vì 2  2.2  5  0 . Câu 23: Miền nghiệm của bất phương trình 3 x  2 y  6 là y

y 3

3

A.

B. 2

x

2

x

O

O

y y 2

3

x

O

C.

D. 2

O

3

x

Hướng dẫn giải Chọn C. Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d  : 3 x  2 y  6.

y

3

Ta thấy  0 ; 0  là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ  d  chứa điểm  0 ; 0  . Câu 24: Miền nghiệm của bất phương trình 3 x  2 y  6 là

2

O

x

Trang 7/13

y

y 3

3

A.

B. 2

x

2

x

O

O

y y 2

3

x

O

C.

D. 2

O

3

x

Hướng dẫn giải Chọn A. Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d  : 3 x  2 y  6.

y 3

Ta thấy  0 ; 0  không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ  d  ) không chứa điểm  0 ; 0  .

Câu 25: Miền nghiệm của bất phương trình 3 x  2 y  6 là y

x

2 O

y 3

3

A.

B. 2 O

x

2 O

x

Trang 8/13

y y 2

3

x

O

C.

D. 2

O

3

x

Hướng dẫn giải Chọn B. Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d  : 3 x  2 y  6.

y 3

Ta thấy  0 ; 0  không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ  d  ) không chứa điểm  0 ; 0  . Câu 26: Miền nghiệm của bất phương trình 3 x  2 y  6 là y

2 O

x

3

A.

B. x

2 O

y 3

2 O

x

Trang 9/13

y y 2

3

x

O

C.

D. 2

3

x

O

Hướng dẫn giải

y

Chọn D. Trước hết, ta vẽ đường thẳng  d  : 3 x  2 y  6.

2

Ta thấy  0 ; 0  là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy

x

O

miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ  d  ) chứa điểm  0 ; 0  .

3

Câu 27: Cho bất phương trình 2 x  3 y  2  0 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. 1;1  S .

 2  B.  . C. 1; 2   S .  2 ;0   S   Lời giải

D. 1;0   S .

ChọnB.  2  2  3.0  2  0 . Ta thấy  vì 2. ;0  S   2  2   x  y  0 Câu 28: Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng 2 x  5 y  0 định đúng? 1   1 2 A. 1;1  S . B.  1; 1  S . C. 1;    S . D.   ;   S . 2   2 5 Lời giải ChọnC.  1 1  2  0 1  Ta thấy 1;    S vì  . 2  2.1  5.   1   0  2   x  0 Câu 29: Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là x  3 y  1  0   khẳng định đúng?

A. 1; 1  S .





B. 1;  3  S .





C. 1; 5  S .





D. 4; 3  S .

Lời giải ChọnC. Trang 10/13





Ta thấy 1; 5  S vì 1  0 .  x  0 Câu 30: Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là  x  3y 1  0 khẳng định đúng?

A.  1; 2   S .

B.





2;0  S .





C. 1;  3  S .

D.





3;0  S .

Lời giải ChọnD.

 3  0 . 3;0  S vì   3  3.0  1  0 x  y  3  Cho hệ bất phương trình  1 có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là khẳng 1  x  y  0  2

Ta thấy

Câu 31:



định đúng ? A. 1; 2   S .



B.  2;1  S .

C.  5; 6   S .

D. S   .

Hướng dẫn giải Chọn D. Vì không có điểm nào thỏa hệ bất phương trình. 3  2 x  y  1 Câu 32: Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định 2 4 x  3 y  2 đúng ?  1  A.   ; 1  S .  4  B. S   x; y  | 4 x  3  2 . C.Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d là là đường thẳng 4 x  3 y  2 . D.Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d là là đường thẳng 4 x  3 y  2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng: 3  d1  : 2 x  y  1 2  d2  : 4 x  3 y  2 Thử trực tiếp ta thấy  0 ; 0  là nghiệm của phương trình (2) nhưng không phải là nghiệm của phương trình (1). Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, tập hợp nghiệm của bất phương trình chính là các điểm thuộc đường thẳng  d  : 4 x  3 y  2.

Trang 11/13

2 x  3 y  5 (1)  Câu 33: Cho hệ  . Gọi S1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), S 2 là tập nghiệm của 3  x  2 y  5 (2) bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì A. S1  S 2 . B. S 2  S1 . C. S 2  S . D. S1  S . Hướng dẫn giải Chọn B. Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:  d1  : 2 x  3 y  5 3 y5 2 Ta thấy  0 ; 0  là nghiệm của cả hai bất phương

 d2  : x 

trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Say khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Câu 34: Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D ? y 3

2

x

O

y  0 A.  . 3 x  2 y  6

y  0 x  0 B.  . C.  . 3 x  2 y  6 3 x  2 y  6 Hướng dẫn giải

x  0 D.  . 3 x  2 y  6

Chọn A. Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng  d1  : y  0 và đường thẳng

 d 2  : 3x  2 y  6. Miền nghiệm gồm phần y nhận giá trị dương. Lại có  0 ; 0  thỏa mãn bất phương trình 3 x  2 y  6. Câu 35: Miền tam giác ABC kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bết phương trình nào trong bốn bệ A, B, C, D ?

Trang 12/13

A

2

B O

x

5 2

C

y  0  A. 5 x  4 y  10 . 5 x  4 y  10 

x  0  B. 4 x  5 y  10 . 5 x  4 y  10 

x  0  C. 5 x  4 y  10 . 4 x  5 y  10 

x  0  D. 5 x  4 y  10 . 4 x  5 y  10 

Hướng dẫn giải Chọn C. Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị gồm các đường thẳng:  d1  : x  0

 d 2  : 4 x  5 y  10  d3  : 5 x  4 y  10 Miền nghiệm gần phần mặt phẳng nhận giá trị x dương (kể cả bờ  d1  ). Lại có  0 ; 0  là nghiệm của cả hai bất phương trình 4 x  5 y  10 và 5 x  4 y  10.

x  2 y  0  Câu 36: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x  3 y  2 chứa điểm nào sau đây? y  x  3  A. A 1 ; 0  .

B. B  2 ; 3 .

C. C  0 ;  1 .

D. D  1 ; 0  .

Hướng dẫn giải Chọn D. Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:  d1  : x  2 y  0

 d 2  : x  3 y  2  d3  : y  x  3

Trang 13/13

Ta thấy  0 ; 1 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm  0 ; 1 thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ. 2 x  3 y  6  0  Câu 37: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x  0 chứa điểm nào sau đây? 2 x  3 y  1  0  A. A 1 ; 2  .

B. B  0 ; 2  .

C. C  1 ; 3 .

1  D. D  0 ;   . 3 

Hướng dẫn giải Chọn D. Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:  d1  : 2 x  3 y  6  0

 d2  : x  0  d3  : 2 x  3 y  1  0 Ta thấy 1 ; 1 là nghiệm của các ba bất phương trình. Điều này có nghĩa là điểm 1 ; 1 thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ. Câu 38: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2 x  1  0 chứa điểm nào sau đây?  3 x  5  0 5  A.Không có. B. B  ; 2  . 3 

C. C  3 ; 1 .

1  D. D  ; 10  . 2 

Hướng dẫn giải Chọn A. Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:  d1  : 2 x  1  0

 d 2  : 3x  5  0 Ta thấy 1 ; 0  là không nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm 1 ; 0  không thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Vậy không có điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn hệ bất phương trình.

3  y  0 Câu 39: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  chứa điểm nào sau đây? 2 x  3 y  1  0 A. A  3 ; 4  . B. B  4 ; 3 . C. C  7 ; 4  . D. D  4 ; 4  . Hướng dẫn giải Chọn C. Trang 14/13

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:  d1  : 3  y  0

 d2  : 2 x  3 y  1  0 Ta thấy  6 ; 4  là nghiệm

của hai bất phương

trình. Điều đó có nghĩa điểm  6 ; 4  thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

x  2 y  0 Câu 40: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  không chứa điểm nào sau đây?  x  3 y  2 A. A  1 ; 0  .

B. B 1 ; 0  .

C. C  3 ; 4  .

D. D  0 ; 3 .

Hướng dẫn giải Chọn B. Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:  d1  : x  2 y  0

 d 2  : x  3 y  2 Ta thấy  0 ; 1 là

nghiệm của hai bất phương trình.

Điều đó có nghĩa điểm

 0 ; 1

thuộc cả hai miền

nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ phần không thích hợp, phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ. Câu 41: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 3 x  2 y  6  0  3y   4 không chứa điểm nào sau đây? 2( x  1)  2   x  0 A. A  2 ;  2  .

B. B  3 ; 0  .

C. C 1 ;  1 .

D. D  2 ;  3 . Hướng dẫn giải

Chọn C. Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:  d1  : 3x  2 y  6  0

 d 2  : 4 x  3 y  12  0  d3  : x  0 Ta thấy  2 ;  1 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm  2 ;  1

thuộc

cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Trang 15/13

x  y  0  Câu 42: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x  3 y  3 không chứa điểm nào sau đây? x  y  5  A. A  3 ; 2  .

B. B  6 ; 3 .

C. C  6 ; 4  .

D. D  5 ; 4  .

Hướng dẫn giải Chọn A. Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:  d1  : x  y  0

 d 2  : x  3 y  3  d3  : x  y  5 Ta thấy  5 ; 3 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm  5 ; 3 thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ. Câu 43: Miền nghiệm của hệ bất phương trình x  3y  0   x  2 y  3 không chứa điểm nào sau đây? y  x  2  A. A  0 ; 1 .

B. B  1 ; 1 .

C. C  3 ; 0  .

D. D  3 ; 1 .

Hướng dẫn giải Chọn C. Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:  d1  : x  3 y  0

 d 2  : x  2 y  3  d3  : x  y  2 Ta thấy  1 ; 0  là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm  1 ; 0  thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.  y  2x  2  Câu 44: Giá trị nhỏ nhất của biết thức F  y  x trên miền xác định bởi hệ 2 y  x  4 là.  x y 5  A. min F  1 khi x  2, y  3 .

B. min F  2 khi x  0, y  2 .

C. min F  3 khi x  1, y  4 .

D. min F  0 khi x  0, y  0 . Lời giải

Chọn A.

 y  2x  2  Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình 2 y  x  4 trên hệ trục tọa độ như dưới đây:  x y 5  Trang 16/13

Nhận thấy biết thức F  y  x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B hoặc C . Ta có: F  A   4  1  3; F  B   2; F  C   3  2  1 . Vậy min F  1 khi x  2, y  3 .

 2x  y  2  Câu 45: Giá trị nhỏ nhất của biết thức F  y  x trên miền xác định bởi hệ  x  y  2 là 5 x  y  4  A. min F  3 khi x  1, y  2 .

B. min F  0 khi x  0, y  0 .

4 2 C. min F  2 khi x  , y   . 3 3

D. min F  8 khi x  2, y  6 . Lời giải

Chọn C.

 2x  y  2  Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình  x  y  2 trên hệ trục tọa độ như dưới đây: 5 x  y  4 

Giá trị nhỏ nhất của biết thức F  y  x chỉ đạt được tại các điểm

 4 2   1 7  A  2;6  , C  ;   , B  ;  . 3 3  3 3  Ta có: F  A   8; F  B   2; F  C   2 . 4 2 Vậy min F  2 khi x  , y   . 3 3 x  y  2 3 x  5 y  15  Câu 46: Cho hệ bất phương trình  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? x  0   y  0 Trang 17/13

A.Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn miền nghiệm của hệbất phương trình đã cho là miền  25 9  tứ giác ABCO kể cả các cạnh với A  0;3 , B  ;  , C  2;0  và O  0;0  .  8 8 17 B.Đường thẳng  : x  y  m có giao điểm với tứ giác ABCO kể cả khi 1  m  . 4 17 C.Giá trị lớn nhất của biểu thức x  y , với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là . 4 D.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x  y , với x và y thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0. Hướng dẫn giải Chọn B. Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:  d1  : x  y  2

 d 2  : 3x  5 y  15  d3  : x  0  d4  : y  0 Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên. Câu 47: Giá trị lớn nhất của biết thức F  x; y   x  2 y với

 0 y4  x0  điều kiện  là  x  y 1  0  x  2 y  10  0 A. 6 . B. 8 .

C. 10 .

D. 12 .

Lời giải Chọn C. Vẽ đường thẳng d1 : x  y  1  0 , đường thẳng d1 qua hai điểm  0;  1 và 1;0  . Vẽ đường thẳng d 2 : x  2 y  10  0 , đường thẳng d 2 qua hai điểm  0;5  và  2; 4  . Vẽ đường thẳng d3 : y  4 .

Miền nghiệm là ngũ giác ABCOE với A  4;3 , B  2; 4  , C  0; 4  , E 1;0  . Ta có: F  4;3  10 , F  2; 4   10 , F  0; 4   8 , F 1;0   1 , F  0;0   0 . Vậy giá trị lớn nhất của biết thức F  x; y   x  2 y bằng 10 .

Trang 18/13

 0 y5  x0  Câu 48: Giá trị nhỏ nhất của biết thức F  x; y   x  2 y với điều kiện  là x  y  2  0  x  y  2  0 A. 10 .

C. 8 .

B. 12 .

D. 6 .

Lời giải Chọn A.

 0 y5  x0  Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình  trên hệ trục tọa độ như dưới đây:. x  y  2  0   x  y  2  0

Nhận thấy biết thức F  y  x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B, C hoặc D . Ta có: F  A   7  2  5  3; F  B   2  5  10 .

F  C   2  2  4, F  D   2  2  0  2 . Vậy min F  10 khi x  0, y  5 .

2 x  y  2  x  2y  2  Câu 49: Biểu thức F  y – x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện  tại điểm S  x; y  có toạ độ x  y  5   x0 là A.  4;1 . B.  3;1 . C.  2;1 . D. 1;1 . Lời giải Chọn A.

2 x  y  2  x  2y  2  Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình  trên hệ trục tọa độ như dưới đây: x  y  5   x0

Trang 19/13

Nhận thấy biết thức F  y  x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B hoặc C . Chỉ C  4;1 có tọa độ nguyên nên thỏa mãn. Vậy min F  3 khi x  4, y  1 .

2 x  3 y  6  0  Câu 50: Biểu thức L  y  x , với x và y thõa mãn hệ bất phương trình  x  0 , đạt giá trị lớn 2 x  3 y  1  0  nhất là a và đạt giá trị nhỏ nhất là b . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: 25 11 9 A. a  và b  2 . B. a  2 và b   . C. a  3 và b  0 . D. a  3 và b  . 8 12 8 Hướng dẫn giải Chọn B. Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:  d1  : 2 x  3 y  6  0

 d2  : x  0  d3  : 2 x  3 y  1  0 Ta thấy  0 ; 0  là nghiệm

của cả ba bất phương

trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả ba miền nghiệm của cả ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ (kể cả biên). Miền nghiệm là hình tam giác ABC (kể cả biên), 1 7 5  với A  0 ; 2  , B  ;  , C  0 ;   . 3 4 6  5 7 11 Vậy ta có a  2  0  2, b     . 6 4 12

Trang 20/13

Chương 4

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai (đối với x ) là biểu thức dạng ax 2 + bx + c . Trong đó a, b, c là nhứng số cho trước với a ¹ 0. Nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c ; D = b 2 - 4ac và D ' = b '2 - ac theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c .

2. Dấu của tam thức bậc hai Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau f ( x ) = ax 2 + bx + c, (a ¹ 0 )

a.f ( x ) > 0, "x Î 

D<0

ïì b ïü a.f ( x ) > 0, "x Î  \ ïí - ïý ïîï 2a ïþï a.f ( x ) > 0, "x Î ( -¥; x 1 ) È ( x 2 ; +¥ )

D=0 D>0

a.f ( x ) < 0, "x Î ( x 1; x 2 )

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax 2 + bx + c ìïa > 0  ax 2 + bx + c > 0, "x Î R Û ïí ïD ïî < 0 ìïa > 0  ax 2 + bx + c ³ 0, "x Î R Û ïí ïD ïî £ 0 ìïa < 0  ax 2 + bx + c < 0, "x Î R Û ïí ïD ïî < 0 ìïa < 0  ax 2 + bx + c £ 0, "x Î R Û ïí ïD ïî £ 0 Câu 1: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình x 2  8 x  7  0 . Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của S ? A.  ;0 .

B. 8;   .

C.  ; 1 .

D.  6;   .

Hướng dẫn giải Chọn D

x  7 Ta có x 2  8 x  7  0   . x  1 Câu 2:

Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức f  x    x 2  x  6 ? A.

x



2

3



Trang 1/18

f  x





0

0



B.

x f  x





3

2





0

0



C.

x

3



f  x





2



0

0



D.

x

3



f  x





2



0

0



Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 3:

 x  3 Ta có  x 2  x  6  0   x  2 Hệ số a  1  0 Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có đáp án C là đáp án cần tìm. Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức f  x    x 2 + 6 x  9 ? A.

x f  x

x





x f  x

0



0



0

.



B. .



C. .





D.



3



 

3



f  x

0 3



f  x

x

3



.

 Hướng dẫn giải

Câu 4:

Chọn C Tam thức có 1 nghiệm x  3 và hệ số a  1  0 Vậy đáp án cần tìm là C Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức f  x   x 2  12 x  36 ? Trang 2/18

A.

x

6



f  x

x



0

f  x

x



0

x



0

f  x



0



C. .



D. .



6





B. .



6



f  x



6



.



 Hướng dẫn giải

Chọn C Tam thức có một nghiệm x  6, a  1  0 đáp án cần tìm là C Câu 5:

Cho tam thức bậc hai f  x   x 2  bx  3 . Với giá trị nào của b thì tam thức f ( x) có hai nghiệm? A. b   2 3; 2 3  .



  D. b   ; 2 3    2 B. b  2 3; 2 3 .



C. b  ; 2 3    2 3;  .



3;  .

Hướng dẫn giải Chọn A b  2 3 Ta có f  x   x 2  bx  3 có nghiệm khi b 2  12  0   .  b  2 3

Câu 6:

Giá trị nào của m thì phương trình  m  3 x 2   m  3 x   m  1  0 (1) có hai nghiệm phân biệt?

3  A. m   ;    1;   \ 3 . 5   3  C. m    ;   .  5 

 3  B. m    ;1 .  5  D. m   \ 3 . Hướng dẫn giải

Chọn A

m  3  m  3 a  0 5  Ta có 1 có hai nghiệm phân biệt khi   m   .  2 3  '  0 5m  2m  3  0    m  1 Câu 7:

Tìm tập xác định của hàm số y  2 x 2  5 x  2 . Trang 3/18

1  A.  ;  . 2 

B.  2;   .

1  1  C.  ;    2;   . D.  ; 2  . 2  2  Hướng dẫn giải

Chọn C

x  2 Điều kiện 2 x  5 x  2  0   . x  1  2 2

1  Vậy tập xác định của hàm số là  ;    2;   . 2 

Câu 8:

Các giá trị m để tam thức f ( x)  x 2  (m  2) x  8m  1 đổi dấu 2 lần là A. m  0 hoặc m  28 . B. m  0 hoặc m  28 . C. 0  m  28 . Hướng dẫn giải Chọn B

D. m  0 .

để tam thức f ( x)  x 2  (m  2) x  8m  1 đổi dấu 2 lần khi và chỉ khi

 m  28 2 .   0   m  2   4  8m  1  0  m 2  28m  0   m  0 Câu 9:

Tập xác định của hàm số f ( x)  2 x 2  7 x  15 là

3  A.  ;     5;   . 2  3  C.  ;    5;   . 2 

3  B.  ;    5;   . 2  3  D.  ;   5;   . 2  Hướng dẫn giải

Chọn B x  5 Điều kiện 2 x  7 x  15  0   . x   3  2 3  Vậy tập xác định của hàm số là  ;    5;   . 2  2

Câu 10: Dấu của tam thức bậc 2: f ( x)   x 2  5 x  6 được xác định như sau A. f  x   0 với 2  x  3 và f  x   0 với x  2 hoặc x  3 . B. f  x   0 với 3  x  2 và f  x   0 với x  3 hoặc x  2 . C. f  x   0 với 2  x  3 và f  x   0 với x  2 hoặc x  3 . D. f  x   0 với 3  x  2 và f  x   0 với x  3 hoặc x  2 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có bảng xét dấu x   f  x

2 0



3 0





Trang 4/18

Vậy f  x   0 với 2  x  3 và f  x   0 với x  2 hoặc x  3 .

 x 2  4 x  3  0 Câu 11: Tập nghiệm của hệ bất phương trình  2 là  x  6 x  8  0 A.  ;1   3;   .

B.  ;1   4;   . C.  ; 2    3;   . D. 1; 4  . Hướng dẫn giải

Chọn B

 x  1   x  4 x  3  0 x  1  x  3  Ta có:  2 .   x  6 x  8  0 x  4  x  2   x  4  2

 x2  4x  3  0  Câu 12: Hệ bất phương trình 2 x 2  x  10  0 có nghiệm là  2 2 x  5 x  3  0 3 5 A. 1  x  1 hoặc  x  . B. 2  x  1 . 2 2 C. 4  x  3 hoặc 1  x  3 .

D. 1  x  1 hoặc

3 5 x . 2 2

Hướng dẫn giải Chọn A    x  3   x  1  x2  4x  3  0  1  x  1   2 5 Ta có: 2 x  x  10  0  2  x    3 5 .  2  x   2  2 2 2 x  5 x  3  0  x  1   x  3 2  

Câu 13: Xác định m để với mọi x ta có 1  5 A.   m  1 . 3

x2  5x  m  7. 2 x 2  3x  2

5 B. 1  m  . 3

5 C. m   . 3 Hướng dẫn giải

D. m  1 .

Chọn A x2  5x  m Ta có: 1  2  7 có tập nghiệm là  khi hệ sau có tập nghiệm là  (do 2 x  3x  2 2 x 2  3 x  2  0 x   )

1 2 x 2  3 x  2   x 2  5 x  m 13 x 2  26 x  14  m  0 1  có tập nghiệm là   2  2 2  2 3 x  2 x  m  2  0  x  5 x  m  7  2 x  3 x  2 

Ta có 1 có tập nghiệm là  khi  '  0  13  13m  0  m  1 (3) Trang 5/18

 2

có tập nghiệm là  khi  '  0  5  3m  0  m  

5 (4) 3

5 Từ (2) và (4), ta có   m  1 . 3

x 2  4 x  21 ta có x2 1 A. f  x   0 khi 7  x  1 hoặc 1  x  3 .

Câu 14: Khi xét dấu biểu thức f  x  

B. f  x   0 khi x  7 hoặc 1  x  1 hoặc x  3 . C. f  x   0 khi 1  x  0 hoặc x  1 . D. f  x   0 khi x  1 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: x 2  4 x  21  0  x  7; x  3 và x 2  1  0  x  1 . Lập bảng xét dấu ta có

f  x   0 khi x  7 hoặc 1  x  1 hoặc x  3 . Câu 15: Tìm m để  m  1 x 2  mx  m  0, x   ? A. m  1 .

B. m  1 .

4 C. m   . 3 Hướng dẫn giải

D. m 

4 . 3

Chọn C Với m  1 không thỏa mãn.

a  0 Với m  1 ,  m  1 x 2  mx  m  0, x       0

m  1  m  1  0 4 4   m    m   .  2 3 3 3m  4m  0    m  0 Câu 16: Tìm m để f  x   x 2  2  2m  3 x  4m  3  0, x   ? A. m 

3 . 2

B. m 

3 . 4

3 3 m . 4 2 Hướng dẫn giải

C.

D. 1  m  3 .

Chọn D

f  x   x 2  2  2m  3 x  4m  3  0, x      0  4m 2  16m  12  0  1  m  3 . Câu 17: Với giá trị nào của a thì bất phương trình ax 2  x  a  0, x   ? A. a  0 .

B. a  0 .

C. 0  a 

1 . 2

D. a 

1 . 2

Hướng dẫn giải Chọn D

Trang 6/18

 1 a  2  1  4a 2  0   0 1 Để bất phương trình ax 2  x  a  0, x        1 a . 2 a  0 a  0   a   2  a  0

Câu 18: Với giá trị nào của m thì bất phương trình x 2  x  m  0 vô nghiệm? 1 1 A. m  1 . B. m  1 . C. m  . D. m  . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D x 2  x  m  0 vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình   0 1  1  4m  0  m  . x 2  x  m  0, x     4 1  0

Bất phương trình

Câu 19: Cho f ( x)  2 x 2  (m  2) x  m  4 . Tìm m để f ( x) âm với mọi x . A. 14  m  2 . C. 2  m  14 .

B. 14  m  2 . D. m  14 hoặc m  2 . Hướng dẫn giải

Chọn A

  0 2 Ta có f  x   0, x       m  2   8  m  4   0  m 2  12m  28  0 a  0  14  m  2 . 1 1 2   Câu 20: Bất phương trình có nghiệm là x2 x x2

  3  17  3  17  ,   . A.  2, B. x  2, 0, 2 .    0, 2    2 2     C. 2  x  0 . D. 0  x  2 . Hướng dẫn giải Chọn A x  0 Điều kiện  .  x  2 x  x  2    x  2  x  2   2 x  x  2  1 1 2 Với điều kiện trên ta có     0. x2 x x2  x  2 x  x  2



2 x 2  6 x  4 0.  x  2 x  x  2

Ta có bảng xét dấu x 2 

f  x



0

3  17 2



0

0



0

3  17 2

2



0



0





  3  17  3  17  Vậy nghiệm của bất phương trình là  2,  0, 2  ,       .   2 2     Trang 7/18

Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình

3x  1 là x 4 2

A. S   , 4    1,1   4,   .

B. S   , 4  .

C. S   1,1 .

D. S   4,   . Hướng dẫn giải

Chọn A Điều kiện x  2  x 2  3x  4  3x  3x   1  1  0 0   x 2  4  x 2  4 3x 3x x2  4  1    2  1  1  2 x 4 x2  4  3x  1  3x  1  0   x  3x  4  0 2 2  x 2  4  x  4  x  4

 x  4 Lập bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình là  1  x  1  x  4 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S   , 4    1,1   4,   . Câu 22: Tìm giá trị nguyên của k để bất phương trình x 2  2  4k  1 x  15k 2  2k  7  0 nghiệm đúng với mọi x   là A. k  2 .

B. k  3 .

C. k  4 . Hướng dẫn giải

D. k  5 .

Chọn B Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x   thì: a  1  0 2    0   4k  1  15k 2  2k  7  0  2  k  4     0

Vì k   nên k  3 . Câu 23: Có bao nhiêu giá trị m nguyên âm để mọi x  0 đều thoả bất phương trình

x

2

 x  m    x 2  3x  m  ? 2

2

A. 0 .

B. 1 .

D. 3 .

C. 2 . Hướng dẫn giải

Chọn B Ta có  x 2  x  m    x 2  3 x  m    x 2  x  m    x 2  3 x  m   0 2

2

2

2

 4 x  2 x  m  x  1  0 Với m  0 ta có bảng xét dấu m TH1:   1 2 

m 2

x



0

4x

-

0

+

||

+

||

+

-

||

-

0

+

||

+

-

||

-

||

-

0

+

x 1 2x  m

1



Trang 8/18

f  x

-

0

+

0

-

Từ Bảng xét dấu ta thấy để BPT nghiệm đúng với x  0 thì  TH 2: 

0

+

m  1  m  2 2

m 1 2 

m 2

x



0

4x

-

0

+

||

+

||

+

-

||

-

0

+

||

+

-

||

-

||

-

0

+

-

0

+

0

-

0

+

2x  m x 1 f  x

Từ Bảng xét dấu ta thấy để BPT nghiệm đúng với x  0 thì 



1

m  1  m  2 2

Vậy có 1 giá trị

Câu 24: Bất phương trình  x  1  3 x  2  5   0 có nghiệm là

 7  x  2 A.  . 3  x  4 Lời giải Chọn A

 2  x  1 B.  . 1  x  2

0  x  3 C.  . 4  x  5

 3  x  2 D.  .  1  x  1

Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối giải BPT trong từng khoảng ta được nghiệm là A. Cách khác:  x  1  3  x  4  x  1  3  0      x  1  3    x  2  7  x  2 Trường hợp 1:   x  2  5  0 5  x  2  5 7  x  3   3  x  1  3 2  x  4    x  1  3  0  3 x  4   x  2  5   x  3 Trường hợp 2:   x  2  5  0   x  2  5   x  7   Câu 25: Bất phương trình:  x 2  6 x  5  8  2 x có nghiệm là: A. 3  x  5 . B. 2  x  3 . C. 5  x  3 . Hướng dẫn giải Chọn A

D. 3  x  2 .

Ta có  x 2  6 x  5  8  2 x

 1  x  5   x 2  6 x  5  0  1  x  5         x4  8  2x  0   x4     x  4   8  2 x  0  x  4       3  x  25 2 2   x 2  6 x  5   8  2 x   5 x  38 x  69  0    3 Trang 9/18

 3  x  5. Câu 27: Bất phương trình:

2 x  1  3  x có nghiệm là:



 1  A.   ; 4  2 2  .  2 



B. 3; 4  2 2 .





C. 4  2 2;3 .





D. 4  2 2;  .

Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: 2 x  1  3  x  2x 1  0    3 x  0  2 2 x  1   3  x 

 1   x1 x   2 2   1  x3    x  4  2 2.  x3 2   x 2  8 x  8  0  x  4  2 2     x  4  2 2  

 2x2  x  6  0 Câu 28: Nghiệm của hệ bất phương trình:  3 là: 2 x  x  x 1  0 A. –2  x  3 . B. –1  x  3 . C. 1  x  2 hoặc x  –1 . Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có 2 x 2  x  6  0  

D. 1  x  2 .

3  x  2,  I  . 2

 x  1 2 .  II  x 3  x 2  x  1  0   x  1  x 2  1  0   x  1 x  1  0    x 1 Từ  I  và  II  suy ra nghiệm của hệ là S  1; 2  1 . Câu 29: Bất phương trình: x 4  2 x 2  3  x 2  5 có bao nhiêu nghiệm nghiệm nguyên? A. 0. C. 2.

B. 1. D. Nhiều hơn 2 nhưng hữu hạn. Hướng dẫn giải

Chọn A Đặt t  x 2  0 Ta có t 2  2t  3  t  5 .

t  1 Nếu t 2  2t  3  0   thì ta có t 2  3t  2  0  1  t  2 loại t  3  1  33 t  2 loại. 2 2 Nếu t  2t  3  0  1  t  3 thì ta có t  t  8  0    1  33 t   2

Câu 30: Cho bất phương trình: x 2  2 x  x  2  ax  6 . Giá trị dương nhỏ nhất của a để bất phương trình có nghiệm gần nhất với số nào sau đây: A. 0,5. B. 1,6. C. 2,2. Hướng dẫn giải

D. 2,6.

Trang 10/18

Chọn D Trường hợp 1: x   2;   . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành x 2   a  3 x  8  0 8  3  4 2  3  2, 65 x   2;   , dấu "  " xảy ra khi x  2 2 . x Trường hợp 2: x   ; 2  . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành x 2   a  1 x  4  0  a x

4   a  x  x  1 khi x   0; 2    a  x  4  1 khi x   ;0   x

1  2

. Giải 1 ta được a  3 (theo bất đẳng thức cauchy).

4 4  1  a  2 x.  1  5 . x x Vậy giá trị dương nhỏ nhất của a gần với số 2, 6 . Giải  2  : a  x 

Câu 31:

Số nghiệm của phương trình: A. 0.

B. 1.

x  8  2 x  7  2  x  1  x  7 là:

C. 2. Hướng dẫn giải

D. 3.

Chọn B Điều kiện x  7 . Đặt t  x  7 , điều kiện t  0 . Ta có

t 2  1  2t  2  t 2  6  t  t  1  2  t 2  t  6

t 2  t  6  9  6t  t 2  t 3  x7 3  x  2 Nếu t  1 thì ta có 3  t  t 2  t  6   t  3 t 2  t  6  1  2t  t 2 7  t   l  . Nếu t  1 thì ta có 1  t  t 2  t  6   3 t  1

Câu 32: Nghiệm của bất phương trình:  x 2  x  2  2 x 2  1  0 là:

 5  13  A. 1;    2;   . 2  

9  B. 4; 5;   . 2 

 2  2  ;1 . C.  2;   2   2  

 17  D.  ; 5  5;   3 .  5 Hướng dẫn giải

Chọn C

x

2

 x  2

 2  x   2 2    2  2  2 x  1  0 2   2x 1  0   2 ;1 .  2  x   2;  2   2   x  x  2  0   x  2  2  x  1

Câu 33: Bất phương trình A. 1. C. 3.

2x2  x 1  2 x 2  x  1 có bao nhiêu nghiệm nguyên? x 1  2x

B. 2. D. Nhiều hơn 3 nhưng hữu hạn. Trang 11/18

Hướng dẫn giải Chọn B  Nếu x  1 thì



2x2  x 1 2x2  x 1  2 x 2  x  1   2 x 2  x  1 x 1  2x 1 x

2 x 2  x  1  1  x   2 x 2  x  1 1 x

0 

2 x 2  x  1   2 x 2  x  1  2 x3  x 2  x 

x  2 x 2  5 x  1 2 x 3  5 x 2  x 0  0  1 x 1 x

1 x

0

 5  17 x  4 Cho x  0 ; 2 x 2  5 x  1  0   ; x 1  0  x  1  5  17 x   4 5  17 5  17 . 1  x  4 4 Vì là nghiệm nguyên nên có nghiệm là 0; 2

Lập bảng xét dấu ta có: 0  x 



Nếu x  1 thì



2x2  x 1 2x2  x 1  2 x 2  x  1   2 x 2  x  1 x 1  2x 1  3 x

2 x 2  x  1   1  3 x   2 x 2  x  1 1  3 x

0 

2 x 2  x  1   2 x 2  x  1  6 x3  3x 2  3x 

x  6 x 2  x  3 6 x 3  x 2  3 x 0  0  1  3 x 1  3 x

1  3 x

0

 1  73 x  1 12 Cho x  0 ; 6 x 2  x  3  0   ; 3 x  1  0  x   3  1  73 x   12 1  73 1 1  73 .  x  0 x 12 3 12 Vì là nghiệm nguyên nên có nghiệm là 0 (loại) Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên.

Lập bảng xét dấu ta có:

 x2 1  0 Câu 34: Hệ bất phương trình  có nghiệm khi x  m  0 A. m  1 . B. m  1 . C. m  1 . Hướng dẫn giải Chọn C

D. m  1 .

 x2  1  0 1  x  1  Ta có:  . x  m x  m  0   Do đó hệ có nghiệm khi m  1 . Câu 35: Xác định m để phương trình  x  1  x 2  2  m  3 x  4m  12   0 có ba nghiệm phân biệt lớn hơn –1. 7 A. m   . 2

B. 2  m  1 và m  

16 . 9 Trang 12/18

7 16 C.   m  1 và m   . 2 9

7 19 D.   m  3 và m   . 2 6 Hướng dẫn giải

Chọn D

x  1 Ta có  x  1  x 2  2  m  3 x  4m  12   0   2 .  x  2  m  3 x  4m  12  0 * Giải sử phương trình * có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , theo Vi-et ta có  x1  x2  2  m  3 .   x1.x2  4m  12

Để phương trình  x  1  x 2  2  m  3 x  4m  12   0 có ba nghiệm phân biệt lớn hơn –1 . thì phương trình * có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 1 và đều lớn hơn 1 .  m 2  2m  3  0  m  32   4m  12   0      0 m   19 6m  19  0   6  1  2  m  3  4m  12  0    x  1  x  1  0     2  1  x  x  1 2  m  3  2  0  2 1  x 1 x 1  0   1  2  4m  12  2  m  3  1  0 m  1    m  3  7  19  2  m  3 m    . 6  19 m  2 m     6  7 m    2

Câu 36: Phương trình

 m  1 x 2  2  m  1 x  m2  4m  5  0

có đúng hai nghiệm

x1 , x2

thoả

2  x1  x2 . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau A. 2  m  1 .

B. m  1 .

C. 5  m  3 . Hướng dẫn giải

D. 2  m  1 .

Chọn A Để phương trình  m  1 x 2  2  m  1 x  m 2  4m  5  0 có có đúng hai nghiệm x1 , x2 thoả

2  x1  x2 .  m  12   m  1  m 2  4m  5   0     0 m  1   m  1  0   .Theo Vi-et ta có x  x  2  x1  2    x2  2   0 1  2   x1  2  x2  2   0

 2  m  1  x1  x2  m 1 .  2  x .x  m  4m  5  1 2 m 1

Trang 13/18

 m  1  m 2  5m  6   0   2  m  1   m  1   m  3    2  m  1  4  0  2  m  1 .  m  1  m 1 3  m  1  2   m  4m  5  2. 2  m  1  4  0 m  3 m 1  m  1 Câu 37: Nghiệm dương nhỏ nhất của bất phương trình x 2 - 4 x - 5 + 2 x + 9 £ x 2 - x + 5 gần nhất với số nào sau đây A. 2,8 .

B. 3 .

C. 3,5 .

D. 4,5 .

Hướng dẫn giải Chọn D Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối giải BPT trên ta được tập nghiệm là  x  1  vậy nghiệm dương nhỏ nhất là x  4,5 , đáp án D x  9  2 1 1 Câu 38: Tìm m để 4 x  2m    x 2  2 x   m với mọi x ? 2 2 B. m 

A. m  3 . C. m 

3 . 2

3 . 2

D. 2  m  3 Hướng dẫn giải

Chọn C

1 1 1   x 2  2 x   m đúng với mọi x thì  x 2  2 x   m  0, x   2 2 2 1 1 3 Hay  x 2  2 x   m, x    1   m  0  m  . 2 2 2 Ta thấy để 4 x  2m 

Câu 39: Cho bất phương trình: x 2  x  a  x 2  x  a  2 x ( 1). Khi đókhẳng định nào sau đây đúng nhất? 1 . 4 C. ( 1) có nghiệm lớn hơn 1 khi a  0 .

A. (1) có nghiệm khi a 

B. Mọi nghiệm của( 1) đều không âm. D. Tất cả A, B, C đều đúng. Hướng dẫn giải

Chọn D 2

2

1  1  1  1  Ta có x 2  x  a  x 2  x  a  2 x   x     a     x     a    2 x 2  4  2  4 

Do vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nên để BPT có nghiệm thì 2 x  0  x  0 nên B đúng. 1 1 Với a  BPT  2 x 2  2 x  2a  0 vô nghiệm hay BPT có nghiệm khi a  nên A đúng. 4 4 Khi a  0 ta có x 2  x  a  0, x 2  x  a  0 có 4 nghiệm xếp thứ tự x1  x2  x3  x4 Với x  x4 hoặc x  x1 ta có BPT: 2 x 2  2 x  2a  0 Trang 14/18

Có nghiệm x1  x  x2 và x1  x2  1; x1 x2  0 Nên tồn tại nghiệm lớn hơn 1 vậy C đúng Câu 40: Cho bất phương trình: x 2  2 x  m  2mx  3m 2  3m  1  0 . Để bất phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:. 1 1 1 A. 1  m   . B. 1  m  . C.   m  1 . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D

D.

1  m 1. 2

Ta có: x 2  2 x  m  2mx  3m 2  3m  1  0   x  m   2 x  m  2m 2  3m  1  0 2

  x  m  1  2m 2  3m có nghiệm khi và chỉ khi 2m 2  3m  1  2

Câu 42: Tìm a để bất phương trình x 2  4 x  a  x  2  1 có nghiệm? B. Không có a . C. a  4 . Hướng dẫn giải

A. Với mọi a .

1  m 1 2

D. a  4 .

Chọn A Ta có: a  1 x 2  4 x  a  x  2  1   x  2   a x  2  a  4  0 2

  x  2  a x  2  2

2

a  a2 a2 a2  a4  a4  x2    2 4 4 4 

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi Câu 43: Để bất phương trình thỏa điều kiện: A. a  3 .

a2  a  4  0 luôn đúng với a . 4

( x  5)(3  x)  x 2  2 x  a nghiệm đúng x   5;3 , tham số a phải B. a  4 .

C. a  5 . Hướng dẫn giải

D. a  6 .

Chọn C

 x  5 3  x   x 2  2 x  a 

 x 2  2 x  15  x 2  2 x  a

Đặt t   x 2  2 x  15 , ta có bảng biến thiên x 5 1 16 2  x  2 x  15 0

3

0

Suy ra t   0; 4 .Bất phương trình đã cho thành t  t  15  a . 2

Xét hàm f  t   t 2  t  15 với t   0; 4 . Ta có bảng biến thiên t

0

4

5

f t 

15

Trang 15/18

Bất phương trình t 2  t  15  a nghiệm đúng t   0; 4 khi và chỉ khi a  5. Câu 44: Với giá trị nào của m thìphương trình x 2  2m  2 x 2  1  x vô nghiệm? 2 2 2 A. m  . B. m  0 hoặc m  . C. 0  m  . D. m  0 . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B Điều

kiện

2  x 2  2m  0   x  2m  0 .   2 x   ;  1  1;       x  1  0  

Phương

trình

trở

thành

x 2  2m  x  2 x 2  1  x 2  2m  3 x 2  4  2  x 2  1  m 1

với

 2 3   2 3 x   ; 1  1;  . Phương trình đã cho vô nghiệm khi phương trình 1 vô nghiệm 3 3     2 khi m  0 hoặc m  . 3

x 2  3x  4  0  Câu 45: Cho hệ bất phương trình  3 2  x  3 x x  m  6m  0 Để hệ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là: A. 2  m  8 . B. –8  m  2 . C. –2  m  8 . Hướng dẫn giải Chọn C

D. –8  m  –2 .

Ta có x 2  3 x  4  0  1  x  4 . Trường hợp 1:

x   0; 4 , bất phương trình hai trở thành

x 3  3 x 2  m 2  6m  0

 m 2  6m  x 3  3 x 2 , mà x 3  3 x 2  16 x   0; 4 suy ra  m 2  6m  16  2  m  8 .

Trường hợp 2:

x   1;0  , bất phương trình hai trở thành

 m 2  6m  x 3  3 x 2 ,

mà

x3  3 x 2  2 x   1;0 

suy

x 3  3 x 2  m 2  6m  0

ra

 m 2  6m  2

 3  11  m  3  11 . Vậy –2  m  8 thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm. Câu 46:

2  x  5 x  4  0 Hệ bất phương trình:  2 có tập nghiệm biểu diễn trên trục số có độ 2 2  x  (m  3) x  2(m  1)  0

dài bằng 1, với giá trị của m là: A. m  0 . C. m   2 .

B. m  2 . D. Cả A, B, C đều đúng. Hướng dẫn giải

Chọn D 2   x  5x  4  0 Thay m  0 vào ta có  2  x  3 x  2  0  

1  x  4  1  x  2 . A đúng  1  x  2

2   x  5x  4  0 Thay m  2 vào ta có  2    x  5x  6  0 Tương tự C đúng.

1  x  4  2  x  4 . B đúng  2  x  3

Trang 16/18

Câu 47: Để phương trình: x  3 ( x  2)  m  1  0 có đúng một nghiệm, các giá trị của tham số m là: 29 . 4 21 C. m  –1 hoặc m  . 4

21 hoặc m  1 . 4 29 D. m  – hoăc m  1 . 4 Hướng dẫn giải

A. m  1 hoặc m 

B. m  –

Chọn A Ta có x  3  x  2   m  1  0  m  1  x  3  x  2  Xét hàm số y  1  x  3 ( x  2)

 x 2  x  7 khi x  3 Ta có y   2  x  x  5 khi x  3 Bảng biến thiên của y  1  x  3 ( x  2)



x



3

1 2





29 4

y

1

 m  1 Dựa vào bảng trên phương trình có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi   m  29 4  Câu 48:

Phương trình x  2  x  1  m  0 có ba nghiệm phân biệt, giá trị thích hợp của tham số m là: A. 0  m 

9 . 4

B. 1  m  2 .

9  m  0. 4 Hướng dẫn giải

D. –2  m  1 .

C. –

Chọn C Xét x  2  x  1  m  0

1

Với x  2 , ta có: 1   x  2  x  1  m  0  m   x 2  x  2 Với x  2 , ta có: 1    x  2  x  1  m  0  m  x 2  x  2 2   x  x  2 khi x  2 Đặt f  x    2   x  x  2 khi x  2 Bảng biến thiên:

x



1 2

2





f  x

0 9  4



Trang 17/18

Dựa vào bảng biến thiên ta có 

9  m  0. 4

Câu 49: Để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 10 x  2 x 2  8  x 2  5 x  a . Giá trị của tham số a là: B. a  1; 10  .

A. a  1 .

 45  C. a   4;  .  4 Hướng dẫn giải

D. 4  a 

43 . 4

Chọn D Xét phương trình: 10 x  2 x 2  8  x 2  5 x  a

(1)

 a  10 x  2 x 2  8  x 2  5 x

Xét f  x   10 x  2 x 2  8  x 2  5 x 10 x  2 x 2  8   x 2  5 x khi 10 x  2 x 2  8  0   2 2 2  10 x  2 x  8   x  5 x khi 10 x  2 x  8  0 3 x 2  15 x  8 khi 1  x  4   2 khi x  1  x  4   x  5x  8

Bảng biến thiên: x



5 2

1



4





43 4

f  x 4

4

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt  4  a 

43 . 4

Câu 50: Để phương trình sau cónghiệm duy nhất: 2 x 2  3 x  2  5a  8 x  x 2 , Giá trị của tham số a là: A. a  15 .

B. a  –12 .

C. a  

56 . 79

D. a  

49 . 60

Hướng dẫn giải Chọn A

1

Xét phương trình: 2 x 2  3 x  2  5a  8 x  x 2

 5a  f  x 

 2 x 2  3 x  2   8 x  x 2 khi 2 x 2  3 x  2  0  2 2 2 2 x  3 x  2  8 x  x khi 2 x  3 x  2  0

2 2 3 x  5 x  2 khi 2 x  3 x  2  0  2 2  x  11x  2 khi 2 x  3 x  2  0

Bảng biến thiên: x



f  x





5 6



1 2

2

  Trang 18/18



49 12

Dựa vào bảng biến thiên ta có: phương trình (1) có nghiệp duy nhất 5a  

49 49 . a 12 60

Trang 19/18

Chương 6

LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ 1 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian 1 rađian còn viết tắt là 1 rad. Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc. b) Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian: Cung tròn bán kính R có số đo a ( 0 £ a £ 2p ) , có số đo a 0 ( 0 £ a £ 360 ) và có độ dài là l thì: l = Ra =

pa a a .R do đó = 180 p 180

æ 180 ö÷ 0 p rad . Đặc biệt: 1 rad = çç ÷ ,1 = çè p ø÷ 180 2. Góc và cung lượng giác. a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm). b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng. Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou,Ov lần lượt cắt đường v 0

tròn tại U và V . Tia Om cắt đường tròn tại M , tia Om chuyển động theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng chuyển động theo một chiều trên đường tròn.  Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia đầu là Ou , tia cuối là Ov . Kí hiệu (Ou,Ov ) 

+

V M

O -

Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác điểm

U

m u

þ





đầu U , điểm cuối V . Kí hiệu là UV Tia Om quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2p ), quay hai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600 = 7200 (hay 4p ), quay theo chiều âm một phần tư vòng p 25 ta nói nó quay góc -900 (hay - ), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy( vòng) thì nói 2 7 25 50p nó quay góc - .3600 (hay )… 7 7 þ

Ta coi số đo của góc lượng giác (Ou,Ov ) là số đo của cung lượng giác UV

c) Hệ thức Sa-lơ.  Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý ta có:

Sđ (Ou,Ov ) + Sđ (Ov,Ow ) = Sđ (Ou,Ow ) + k 2p ( k Î Z ) Sđ (Ou,Ov ) - Sđ (Ou,Ow ) = Sđ (Ow,Ov ) + k 2p ( k Î Z )

Trang 1/13



Với ba điểm tùy ý U ,V ,W trên đường tròn định hướng ta có :

þ

þ

þ

þ

þ

þ

SđUV + SđVW = SđUW + k 2p ( k Î Z ) SđUV - SđUW = SđWV + k 2p ( k Î Z ) Câu 1:

Góc có số đo 108o đổi ra radian là 3  A. . B. . 5 10

C.

3 . 2

D.

 4

.

Lời giải Chọn A. Cách 1: áp dụng công thức đổi độ ra rad   Cách 2: 3 tương ứng 108o . 5  tương ứng 18o . 10 3 tương ứng 270o . 2  . tương ứng 45o . 4 Câu 2:

Biết một số đo của góc  Ox, Oy   A.  Ox, Oy   C.  Ox, Oy  

3  k . 2



2

n. . 180

3  2001 . Giá trị tổng quát của góc  Ox, Oy  là 2

B.  Ox, Oy     k 2 . D.  Ox, Oy  

 k .

 2

 k 2 .

Lời giải Chọn A. Câu 3:

Góc có số đo A. 240o .

2 đổi sang độ là 5 B. 135o .

C. 72o .

D. 270o .

Lời giải Chọn C. Áp dụng công thức đổi rad sang độ n  Câu 4:

Góc có số đo A. 15o .

 9

đổi sang độ là B. 18o .

Chọn C. Áp dụng công thức đổi rad sang độ n 

Câu 5:

 .180 . 

C. 20o . Lời giải

D. 25o .

 .180 . 

 180o n .  20o. 9  Cho  Ox, Oy   22o30 ' k 360o . Với k bằng bao nhiêu thì  Ox, Oy   1822o30 ' ? A. k .

B. k  3.

C. k  5. Lời giải

D. k  5. Trang 2/13

Chọn D.  Ox, Oy   1822o30 '  22o30 ' 5.360o  k  5 . Câu 6:

Góc có số đo

 24

đổi sang độ là

A. 7 o .

B. 7 o30 ' .

C. 8o .

D. 8o30 ' .

Lời giải Câu 7:

Chọn B. áp dụng công thức đổi rad sang độ n  n

Câu 8:

 .180 . 

 180o .  7,5o  7 o30 '. 24 

Góc có số đo 120o đổi sang rađian là góc  3 A. . B. . 10 2

 C. . 4 Lời giải

D.

2 . 3

Chọn D. 120o. 2 o 120   . 180o 3 Câu 9:

Số đo góc 22o30 đổi sang rađian là:  7 A. . B. . 8 12

 C. . 6 Lời giải

 D. . 5

Chọn A. 22o30.   . 180o 8 o Câu 10: Đổi số đo góc 105 sang rađian bằng 5 7 A. . B. . 12 12 22o30 

Chọn B. 105o. 7 o 105   . 180o 12 Câu 11: Giá trị k để cung   A. k  4.

 2

Chọn D.

9 12 Lời giải

C.

D.

5 . 8

 k 2 thỏa mãn 10    11 là

B. k  6.

D. k  5.

19 21 19 21  k 2   k  k 5. 2 2 2 4 4 Câu 12: Cho hình vuông ABCD có tâm O và một trục  l  đi qua O . Xác định số đo của các góc giữa 10    11  10 



C. k  7. Lời giải

 k .2  11 

tia OA với trục  l  , biết trục  l  đi qua đỉnh A của hình vuông. A. 180o  k 360o .

B. 90o  k 360o .

C. 90o  k 360o . Lời giải

D. k 360o .

Chọn D. Vì trục  l  đi qua đỉnh A và tâm O của hình vuông nên trục  l   OA nên số đo của các góc giữa tia OA với trục  l  bằng 0o  k 360o  k 360o . Trang 3/13

Câu 13: Một đường tròn có bán kính R  A. 10 cm .

10





cm . Tìm độ dài của cung

B. 5cm .

C.

20

2 Lời giải

2

trên đường tròn.

cm .

D.

2 20

cm .

Chọn B. Độ

 . ao

dài .R 

của



cung

 2

rad  90o

trên

đường

tròn

được

tính

bằng

công

thức:

10

 5cm . 180 180  Câu 14: Một đường tròn có bán kính R  10 cm . Độ dài cung 40o trên đường tròn gần bằng: .90.

A. 7 cm .

B. 9 cm .

C. 11cm .

D. 13cm .

Lời giải Chọn A . Độ dài của cung 40o trên đường tròn được tính bằng công thức: Câu 15: Góc 18o có số đo bằng rađian là   A. . B. . 18 10

C.

 360

 . ao 180

.R 

 180

.40.10  7 cm .

D.  .

.

Lời giải Chọn B. Ta có: 1o  Câu 16: Góc



18 A. 18o .

 180

rad  18o  18.

 180

rad 

 10

rad .

có số đo bằng độ là: B. 36o .

D. 12o .

C. 10o . Lời giải

Chọn C. o

o

  180    180  o Ta có: 1rad     rad   .   10 . 18     18   Câu 17: Một đường tròn có bán kính 20 cm . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo gần đúng đến hàng phần trăm). A. 4,19 cm . B. 4,18cm .

C. 95, 49 cm .

 15

(tính

D. 95,50 cm .

Lời giải Chọn B. Độ

 . ao

dài .R 

của

cung

 15

rad  12o

trên

đường

tròn

được

tính

bằng

công

thức:



.12.20  4,18cm . 180 180 Câu 18: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số không âm. B. Số đo của một cung lượng giác luôn không vượt quá 2 . C. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số thực thuộc đoạn [0; 2 ] .

D. Số đo của một cung lượng giác là một số thực. Trang 4/13

Lời giải Chọn C. Câu 19: Chọn điểm A 1;0  làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Tìm điểm 25 . 4 A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I . B. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ II . C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ III . D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ IV . Lời giải Chọn A. þ 25  Theo giả thiết ta có: AM    6 , suy ra điểm M là điểm chính giữa của cung phần 4 4 tư thứ I . Câu 20: Một đường tròn có bán kính 15 cm . Tìm độ dài cung tròn có góc ở tâm bằng 300 là : 5 5 2  A. . B. . C. . D. . 2 3 5 3 Lời giải Chọn B. a Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có l  R  .R nên 180 a  30 5 Ta có l  . .R  .15  180 180 3 Câu 21: Cho đường tròn có bán kính 6 cm . Tìm số đo ( rad ) của cung có độ dài là 3 cm : A. 0,5 . B. 3 . C. 2 . D. 1 . Lời giải Chọn A. a Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có l  R  .R nên 180 l 3 Ta có     0,5 . R 6 3 Câu 22: Góc có số đo  được đổi sang số đo độ là : 16 A. 33o 45' . B. 29o30 ' . C. 33o 45' . D. 32o55' .

cuối M của cung lượng giác có số đo

Lời giải Chọn C. Lời giải o o 3  3 180   135   180  o o Vì 1rad    .  nên     33.75  33 45'. 16  16    4     Câu 23: Số đo radian của góc 30o là :     A. . B. . C. . D. . 6 4 3 16 Lời giải Chọn A.    Vì 1o  rad nên 30o  30.  . 180 180 6 o

Trang 5/13

Câu 24: Số đo độ của góc A. 60o .

 4

là : B. 90o .

C. 30o . Lời giải

D. 45o .

Chọn D. Theo công thức đổi đơn vị độ sang radial ta có số đo độ của góc

 4

là 45o .

o

Câu 25: Số đo radian của góc 270 là : A.  .

B.

3 . 2

C.

3 . 4

D. 

5 . 27

Lời giải Chọn B. Theo công thức đổi đơn vị số đo radian của góc 2700 là

3 . 2

Câu 26: Góc 63o 48' bằng (với   3,1416 ) A. 1,114 rad .

B. 

3 . 3

2.

C.

D. 1,113rad .

Lời giải Chọn A. Theo công thức đổi đơn vị, ta có số đo cung đã cho có số đo bằng

  3,1416 . Câu 27: Cung tròn bán kính bằng 8, 43 cm có số đo 3,85 rad có độ dài là: A. 

2 cm . 21

B. 32, 45 cm .

C.

1 cm . 2

6348 .  1.114 radial, với 180

D. 32,5 cm .

Lời giải Chọn D. Theo công thức tính độ dài cung ta có độ dài cung có số đo 3,85 rad l  R.  8, 43.3,85  32, 4555 cm . Làm tròn kết quả thu được ta có đáp án là D.

là

Câu 28: Xét góc lượng giác  OA; OM    , trong đó M là điểm không làm trên các trục tọa độ Ox và Oy . Khi đó M thuộc góc phần tư nào để sin  và cos cùng dấu

A. I và  II  .

B. I và  III  .

C. I và  IV  .

D.  II  và  III  .

Lời giải Chọn B. Dựa theo định nghĩa các giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác. Câu 29: Cho  là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây đúng? A. sin   0 . B. cos   0 . C. tan   0 . D. cot   0 . Lời giải Chọn C. Vì  là góc tù, nên sin   0 , cos   0  tan   0 Câu 30: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):   

5  25 19 ,  ,   , . Các 6 3 3 6

cung nào có điểm cuối trùng nhau: A.  và  ;  và  . B.  và  ;  và  . C.  ,  ,  . Lời giải Chọn B. 5 7 25  19 7     2 ;     8 ;     2 . 6 6 3 3 6 6

D.  ,  ,  .

Trang 6/13

  và ;  và  là các cặp góc lượng giác có điểm cuối trùng nhau.



 k 2  k    . Để a  19; 27  thì giá trị của k là 3 A. k  2 , k  3 . B. k  3 , k  4 . C. k  4 , k  5 . D. k  5 , k  6 . Lời giải Chọn B. Cách 1: 9 13 17  19; 27  ; k  3  a   19; 27  ; k  4  a   19; 27  ; k 2a 2 2 2 21  19; 27  . k 5 a 2 Cách 2:

Câu 31: Cho a 

19 



3

 k 2

 k     27  k = 3; 4 .

Câu 32: Cho góc lượng giác  OA, OB  có số đo bằng



. Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của một 5 góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác  OA, OB  ? A.

6 . 5

B. 

11 . 5

C.

9 . 5

D.

31 . 5

Lời giải Chọn D. 6  *  . 5 5 11  *    2 . 5 5 9 4 *  . 5 5 31  *   6 . 5 5 Câu 33: Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M thì số đo của  là y B A’ M

A.

3  k . 4

B. 

3  k . 4

A O

x

B’

C.

3  k 2 . 4

D. 

3  k 2 . 4

Lời giải Chọn D. Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M theo chiều dương có số đo là A,C. Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M theo chiều âm có số đo là 

5  k 2 nên loại 4

3 và chỉ có duy nhất 4

một điểm M trên đường tròn lượng giác nên loại B.

Trang 7/13

Câu 34: Cho hình vuông ABCD có tâm O và trục  i  đi qua O . Xác định số đo góc giữa tia OA với trục  i  , biết trục  i  đi qua trung điểm I của cạnh AB. A. 45o  k 360o.

B. 95o  k 360o.

C. 135o  k 360o. Lời giải

D. 155o  k 360o.

Chọn A A

I (i)

B

O D

C

 AOB  90o và OA  OB Tam giác AOB vuông cân tại O  i  đi qua trung điểm của AB nên  i   AB

     i  là đường phân giác của góc  AOB nên OA,  i   45o .





Câu 35: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là A. 30o. B. 40o. C. 50o. D. 60o. Lời giải Chọn C. 360o  5o Một bánh xe có 72 răng nên 1 răng tương ứng 72 o o Khi di chuyển được 10 răng là 10.5  50 . Câu 36: Tìm khẳng định sai: A. Với ba tia Ou , Ov, Ow , ta có: sđ  Ou , Ov   sđ  Ov, Ow   sđ  Ou , Ow   2k , k   . þ

þ

þ

B. Với ba điểm U , V , W trên đường tròn định hướng: sđ UV  sđ VW  sđ UW  2k , k   . C. Với ba tia Ou , Ov, Ox , ta có: sđ  Ou , Ov   sđ  Ox, Ov   sđ  Ox, Ou   2k , k   .

D. Với ba tia Ou , Ov, Ow , ta có: sđ  Ov, Ou   sđ  Ov, Ow   sđ  Ou , Ow   2k , k   . Lời giải Chọn D. Sử dụng hệ thức Sa-lơ về số đo của góc lượng giác thì ba khẳng định ở câu A, B, C đều đúng. Câu 37: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các cung có số đo:   I . . 4 7  II  .  . 4 13 .  III  . 4 5  IV  .  . 4 Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau? Trang 8/13

A. Chỉ  I  và  II  .

B. Chỉ  I  ,  II  và  III  .

C. Chỉ  II  ,  III  và  IV  .

D. Chỉ  I  ,  II  và  IV  . Lời giải

Chọn A. 7  13 5 5 3   2 ;   2 ;    2 . 4 4 4 4 4 4  7 Suy ra chỉ có hai cung và  có điểm cuối trùng nhau. 4 4 Câu 38: Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5 cm (lấy   3,1416 ). A. 22054 cm . B. 22063 cm . C. 22054 mm . D. 22044 cm . Lời giải Chọn A. Lời giải a Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có l  R  .R nên 180 60.180 Trong 3 phút bánh xe quay được  540 vòng, bánh xe lăn được: 20 l  6,5.540.2  6,5.540.2.3,1416  cm   22054  cm  .

Ta có: 

Câu 39: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theo chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ, biết sđ  Ox, OA   30o  k 360o , k   . Khi đó sđ  OA, AC  bằng: A. 120o  k 360o , k   . C. 450  k 3600 , k   .

B. 45o  k 360o , k   . D. 90o  k 360o , k   . Lời giải

Chọn B. Tia AO quay một góc 45 độ theo chiều âm( cùng chiều kim đồng hồ ) sẻ trùng tia AC nên góc sđ  OA, AC   45o  k 360o , k   .

Câu 40: Trong mặt phẳng định hướng cho ba tia Ou , Ov, Ox . Xét các hệ thức sau:

 I  . sđ  Ou, Ov   sđ  Ou, Ox   sđ  Ox, Ov   k 2 , k   .  II  . sđ  Ou, Ov   sđ  Ox, Ov   sđ  Ox, Ou   k 2 , k   .  III  . sđ  Ou, Ov   sđ  Ov, Ox   sđ  Ox, Ou   k 2 , k   .

Hệ thức nào là hệ thức Sa- lơ về số đo các góc: A. Chỉ  I  . B. Chỉ  II  . C. Chỉ  III  .

D. Chỉ  I  và  III  .

Lời giải Chọn A. Hệ thức Sa-lơ: Với ba tia tùy ý Ou , Ov, Ox , ta có sđ  Ou , Ov   sđ  Ov, Ox   sđ  Ou , Ox  + k 2

k   .

Câu 41: Góc lượng giác có số đo  ( rad ) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối với nó có số đo dạng : A.   k180o ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ). B.   k 360o ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ). C.   k 2 ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ). D.   k ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ). Trang 9/13

Lời giải Chọn C. Nếu một góc lượng giác  Ou , Ov  có số đo  radian thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu Ou , tia cuối Ov có số đo   2k , k   , mỗi góc tương ứng với một giá trị của k . Các cung lượng giác tương ứng trên đường tròn định hướng tâm O cũng có tính chất như vậy. Tương tự cho đơn vị độ. 5  Câu 42: Cho hai góc lượng giác có sđ  Ox, Ou     m2 , m   và sđ  Ox, Ov     n 2 , 2 2 n   . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Ou và Ov trùng nhau. B. Ou và Ov đối nhau.  C. Ou và Ov vuông góc. D. Tạo với nhau một góc . 4 Lời giải Chọn A. 5    m2    2  m2     m  1 2 m   . 2 2 2 Vậy n  m  1 do đó Ou và Ov trùng nhau. 63 Câu 43: Nếu góc lượng giác có sđ  Ox, Oz    thì hai tia Ox và Oz 2 A. Trùng nhau. B. Vuông góc. 3 C. Tạo với nhau một góc bằng . D. Đối nhau. 4 Lời giải Chọn B. 63  64  Ta có sđ  Ox, Oz        32 nên hai tia Ox và Oz vuông góc. 2 2 2 2 Câu 44: Cho hai góc lượng giác có sđ  Ox, Ou   45o  m360o , m  

Ta có:sđ  Ox, Ou   

 Ox, Ov   135o  n360o , n   . Ta có hai tia Ou

A. Tạo với nhau góc 45o . C. Đối nhau.

và

sđ

và Ov

B. Trùng nhau. D. Vuông góc. Lời giải

Chọn C.  Ox, Ov   135o  n360o  225o  n360o  45o  180o  n360o  n    .

Vậy, Ta có hai tia Ou và Ov đối nhau Câu 45: Sau khoảng thời gian từ 0 giờ đến 3 giờ thì kim giây đồng hồ sẽ quay được số vòng bằng: A. 12960. B. 32400. C. 324000. D. 64800. Lời giải Chọn B. Từ 0 đến 3 giờ kim giờ quay 9 vòng(tính theo chiều ngược kim đồng hồ) Kim phút quay 9.60  540 vòng Kim giây 540.60  32400 vòng Câu 46: Góc có số đo 120o được đổi sang số đo rad là : 3 2 A. 120 . B. . C.  . D. . 2 3 Lời giải Chọn D. 120 2 . 180o    120o   180 3 Trang 10/13

137  thì góc  Ou, Ov  có số đo dương nhỏ nhất là: 5 B. 27, 4 . C. 1, 4 . D. 0, 4 . Lời giải

Câu 47: Biết góc lượng giác  có số đo là  A. 0, 6 .

Chọn A. 137 Ta có    27, 4 . Vậy góc dương nhỏ nhất là 28  27, 4  0, 6 . 5 Câu 48: Cung nào sau đây có mút trung với B hoặc B A.  



 k 2 .

2 C. a  90o  k 360o.

B.   



 k 2 . 2 D. a  –90o  k180o. Lời giải

Chọn D.  B  180o   B Cung có mút trùng với B hoặc B có chu kì  hoặc 180o . Câu 49: Trên đường tròn định hướng gốc A có bao nhiêu điểm M thỏa mãn 1 1 1 1     6 , với x là số đo của cung AM ? 2 2 2 sin x cos x tan x cot 2 x A. 6 . B. 4 . C. 8 . D. 10 . Lời giải Chọn C. ĐK: sin 2 x  0 1 1 1 1 1 1    6    cot 2 x  tan 2 x  8 2 2 2 2 2 sin x cos x tan x cot x sin x cos 2 x 2 2 2 4 1   8  8   8  sin 2 2 x   cos 4 x  0 . 2 2 2 2 2 sin x cos x sin x.cos x sin 2x 2 Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác ta thấy có 8 điểm cuối M thỏa ycbt. Câu 50: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác nào trong các cung lượng giác có số đo dưới đây có cùng ngọn cung với cung lượng giác có số đo 4200o.  A. 130o . B. 120o . C. 120o . D. . 8 Lời giải Chọn C. Ta có 4200  120  12.360 nên cung có số đo 120o có ngọn cung trùng với ngọn cung có số đo 4200 . Câu 51: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57 cm và kim phút dài 13,34 cm .Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là: A. 2, 77 cm . B. 2,9 cm . C. 2, 76 cm . D. 2,8 cm . Lời giải Chọn A. Trong 30 phút mũi kim giờ chạy trên đường tròn có bán kính 10,57 cm và đi được cung có số đo là

 24

nên độ dài đoạn đường mũi kim giờ đi được là 10,57.

 24

 2, 77 cm .

 k Câu 52: Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thoả mãn sđ  AM   ,k ? 3 3 A. 6. B. 4. C. 3. D. 12. Lời giải Chọn A.

Trang 11/13

 2 3 4 5 ; k  2,  ; k  3,  ; k  4,  ; k  0,  AM  ; k  1,  AM  AM  AM  AM  3 3 3 3 3 7 k  5,  AM  2 ; k  6,  . AM  3 Câu 53: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theo chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ, biết sđ  Ox, OA   300  k 3600 , k   . Khi đó sđ  Ox, BC  bằng: A. 175o  h360o , h   . 5 3 C. sin a  ; cos b  13 5

B. 210o  h360o , h   .

  o o   a   ; 0  b   .D. 210  h360 , h   . 2 2 Lời giải

Chọn D.

sđ  Ox, BC   sđ  Ox, OA   210o  h360o , h   . Câu 54: Xét góc lượng giác phần tư nào ? A. I .



4

, trong đó M là điểm biểu diễn của góc lượng giác. Khi đó M thuộc góc B. II .

C. III . Lời giải

D. IV .

Chọn A.



1 Ta có 4  . Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau. 2 8  Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo . 4 y B

M x

A'

O

A

B'

Câu 55: Cho L, M , N , P lần lượt là các điểm chính giữa các cung AB, BC , CD, DA. Cung  có mút 3 đầu trùng với A và có số đo     k . Mút cuối của  trùng với điểm nào trong các 4 điểm L, M , N , P ? Trang 12/13

A. L hoặc N .

B. M hoặc P.

C. M hoặc N . Lời giải

D. L hoặc P.

Chọn A.

 AB nên  Vì L là điểm chính giữa  AL  4 3  nên  Vì N là điểm chính giữa CD AN  4 3 Ta có  và  AL   AN   AN  4 3 Vậy L hoặc N là mút cuối của     k . 4 Câu 56: Cung  có mút đầu là A và mút cuối trùng với một trong bốn điểm M , N , P, Q . Số đo của  là B.   135o  k .360o. C.  

A.   45o  k .180o.



4

k



4

.

D.  



4

k



2

.

Lời giải Chọn D.

 Số đo cung  AM  450  4   NP   PQ   900   Ta có MN 2 Để mút cuối cùng trùng với một trong bốn điểm M , N , P, Q thì  chu kì của cung  là 2 Vậy số đo cung  



k



. 4 2 Câu 57: Biết OMB và ONB là các tam giác đều. Cung  có mút đầu là A và mút cuối là B hoặc M hoặc N . Tính số đo của  ?      2  2 A.    k . B.     k . C.    k D.    k . . 2 2 6 3 2 3 6 3 Lời giải Chọn C.



1 2   NOB    OMB và ONB là các tam giác đều nên MOB 3 2   M  MB N   BA 3 Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M hoặc N nên 2     2   , AN  AM  MN  AM  AM   AB  BM AB   2 3 3 2 Chu kì của cung  là 3  2 Từ 1 ,  2  ta có    k . 2 3 Câu 58: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theo chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ, biết sđ  Ox, OA   30o  k 360o , k   . Khi đó sđ  Ox, AB  bằng Cung  có mút đầu là A và mút cuối là B nên  

A. 120o  n360o , n   .

B. 60o  n360o , n   .

Trang 13/13

C. 300  n3600 , n   .

D. 60o  n360o , n   . Lời giải

Chọn B. y

B

C A

30.0° O

D

x

  180o   45o  75o   60o .   45o , BOD   75o  BDO Xét tam giác OBD, ta có OBD

Trang 14/13

Chương

6

LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác. a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng và trên đó chọn điểm A làm gốc. t y b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác. B T Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA,OM ) = a gọi là S s H điểm xác định bởi số a (hay bởi cung a , hay bởi góc a ). Điểm M M(x;y) còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung(góc) lượng giác có số đo a . Nhận xét: Ứng với mỗi số thực a có một điểm nằm trên đường tròn A x O K lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số thực. Các số thực có dạng là a + k 2p, k Î Z . d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ gắn với đường tròn lượng giác. Với mỗi góc lượng giác (Ou,Ov ) có

số đo a , xác định điểm M ( x ; y ) trên đường tròn lượng giác sao cho sđ... Khi đó ta định nghĩa cos a = x , sin a = y

tan a =

ö sin a æç p çç a ¹ + k p ÷÷÷ cos a è 2 ø

cos a (a ¹ kp ) sin a Ý nghĩa hình học: Gọi K , H lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox ,Oy . Vẽ trục số At gốc A cùng cot a =

hướng với trục Oy và vẽ trục số Bs gốc B cùng hướng với trục Ox , gọi T , S lần lượt là giao điểm của đường thẳng OM cắt với các trục sô At, Bs . Khi đó ta có: sin a = OH , cos a = OK , tan a = AT , cot a = BS

e) Tính chất:  sin a, cos a xác định với mọi giá trị của a và -1 £ sin a £ 1, - 1 £ cos a £ 1 .  

p + k p , cot a xác định khi a ¹ k p 2 sin a = sin ( a + k 2p ), cos a = cos ( a + k 2p )

tan a được xác định khi a ¹

tan a = tan ( a + k p ), cot a = cot ( a + k p )

f) Dấu của các giá trị lượng giác: Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác. Bảng xét dấu Phần tư I II III IV Giá trị lượng giác + – – + cos + + – – sin + – + – tan Trang 1/12

+

cot

–

+

–

g) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

Góc a

sin a cosa

tan a cot a

0

p 6

p 4

p 3

p 2

2p 3

3p 4

p

3p 2

2p

00

300

450

600

900

1200

1350

1800

2700

3600

0

1 2

2 2

3 2

1

3 2

2 2

0

–1

0

1

3 2

2 2

1 2

0

-

–1

0

1

0

3 3

1

3

||

- 3

–1

0

||

0

||

3

1

3 3

0

-

3 3

–1

||

0

||

1 2

-

2 2

2. Các hệ thức lượng giác cơ bản 1) sin2 a + cos2 a = 1

1 p (a ¹ + k p) 2 2 cos a 1 3) 1 + cot2 a = (a ¹ k p) sin2 a kp 4) tan a.cot a = 1 (a ¹ ) 2 3. Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt. 2) 1 + tan2 a =

Góc đối nhau ( a và -a )

Góc bù nhau( a và p - a )

cos(-a) = cos a

sin(p - a) = sin a

sin(-a) = - sin a

cos(p - a) = - cos a

tan(-a) = - tan a

tan(p - a) = - tan a

cot(-a) = - cot a

cot(p - a) = - cot a

Góc hơn kém p ( a và p + a )

Góc hơn kém

Góc phụ nhau( a và

æp ö sin çç - a ÷÷÷ = cos a çè 2 ø æp ö cos çç - a ÷÷÷ = sin a èç 2 ø

p -a) 2

æp ö tan çç - a ÷÷÷ = cot a çè 2 ø æp ö cot çç - a ÷÷÷ = tan a çè 2 ø p p ( a và + a ) 2 2

sin(p + a) = - sin a

æp ö sin çç + a ÷÷÷ = cos a çè 2 ø

cos(p + a) = - cos a

æp ö cos çç + a ÷÷÷ = - sin a çè 2 ø

Trang 2/12

tan(p + a) = tan a

æp ö tan çç + a ÷÷÷ = - cot a çè 2 ø

cot(p + a) = cot a

æp ö cot çç + a ÷÷÷ = - tan a çè 2 ø

Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo hơn kém p tang côtang, p hơn kém chéo sin". Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối. 2 Câu 1.

Giá trị cot A.

89 là 6

3.

B.  3 .

C.

3 . 3

D. –

3 . 3

Lời giải Chọn B

89        cot    15   cot      cot   3 . 6 6  6   6  Giá trị của tan180 là A. 1 . B. 0 . C. –1 . Lời giải Chọn B Biến đổi tan180  tan  0  180   tan 0  0 .

Biến đổi cot Câu 2.

Câu 3.



 a   . Kết quả đúng là 2 A. sin a  0 , cos a  0 . B. sin a  0 , cos a  0 . C. sin a  0 , cos a  0 .D. sin a  0 , cos a  0 . Lời giải Chọn C

Cho

Vì Câu 4.

D. Không xác định.



2

 a    sin a  0 , cos a  0 .

5 . Kết quả đúng là 2 A. tan a  0 , cot a  0 . C. tan a  0 , cot a  0 .

Cho 2  a 

B. tan a  0 , cot a  0 . D. tan a  0 , cot a  0 . Lời giải

Chọn A

5  tan a  0 , cot a  0 . 2 Đơn giản biểu thức A  1 – sin 2 x  .cot 2 x  1 – cot 2 x  , ta có

Vì 2  a 

Câu 5.

A. A  sin 2 x .

B. A  cos 2 x .

C. A  – sin 2 x . Lời giải

D. A  – cos 2 x .

Chọn A A  1 – sin 2 x  .cot 2 x  1 – cot 2 x   cot 2 x  cos 2 x  1  cot 2 x  sin 2 x . Câu 6.

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ? A. sin 1800 – a   – cos a . C. sin 1800 – a   sin a .

B. sin 1800 – a    sin a .

D. sin 1800 – a   cos a . Lời giải

Trang 3/12

Câu 7.

Chọn C. Theo công thức. Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau   A. sin   x   cos x . 2     C. tan   x   cot x . 2 

  B. sin   x   cos x . 2     D. tan   x   cot x . 2  Lời giải

Chọn D. Câu 8.

Giá trị của biểu thức A  A. 3  3 .

cos 7500  sin 4200 bằng sin  3300   cos  3900 

B. 2  3 3 .

C.

2 3 . 3 1

D.

1 3 . 3

Lời giải Chọn A. cos 300  sin 600 2 3 A   3  3 . 0 0 sin 30  cos 30 1  3         Câu 9. Đơn giản biểu thức A  cos      sin      cos      sin     , ta có : 2  2  2  2  A. A  2sin a . B. A  2 cos a . C. A  sin a – cos a . D. A  0 . Lời giải Chọn A . A  sin   cos   sin   cos   A  2sin  . Câu 10. Giá trị của cot1458 là B. 1 .

A. 1.

C. 0 . Lời giải

D.

5 2 5 .

D.

5 . 2

Chọn D

cot1458  cot  4.360  18   cot18  5  2 5 . Câu 11. Trong các giá trị sau, sin  có thể nhận giá trị nào? A. 0, 7 .

B.

4 . 3

C.  2 . Lời giải

Chọn A. Vì 1  sin   1 . Nên ta chọn A. Câu 12. Trong các công thức sau, công thức nào sai? A. sin 2   cos 2   1 . C. 1  cot 2  

1   k , k    . sin 2 

1        k , k    . 2 cos   2  k    ,k . D. tan   cot   1   2   Lời giải

B. 1  tan 2  

Chọn D

k   ,k  . D sai vì : tan  .cot   1   2   1 Câu 13. Cho biết tan   . Tính cot  2

Trang 4/12

A. cot   2 .

B. cot  

1 . 4

C. cot  

1 . 2

D. cot   2 .

Lời giải Chọn A Ta có : tan  .cot   1  cot  

Câu 14. Cho sin   A.

4 . 5

1 1   2. tan  1 2

3  và     . Giá trị của cos là : 5 2 4 4 B.  . C.  . 5 5 Lời giải

D.

16 . 25

Chọn B. 4  cos    9 16 5   Ta có : sin 2   cos 2   1  cos 2  =1  sin 2  1  . 25 25 cos    4  5  4 Vì      cos   . 2 5 3 cot   2 tan  Câu 15. Cho sin   và 900    1800 . Giá trị của biểu thức E  là : 5 tan   3cot  2 2 4 4 A. . B.  . C. . D.  . 57 57 57 57 Lời giải Chọn B. 4  cos    9 16 5   sin 2   cos 2   1  cos 2  =1  sin 2   1  25 25 cos   4  5 4 3 4 Vì 900    1800  cos   . Vậy tan    và cot    . 5 4 3 4  3   2.    cot   2 tan  3  4   2 . E  3 tan   3cot  57  4   3.    4  3 3sin   cos  Câu 16. Cho tan   2 . Giá trị của A  là : sin   cos  5 7 A. 5 . B. . C. 7 . D. . 3 3 Lời giải Chọn C. 3sin   cos  3 tan   1 A   7. sin   cos  tan   1 Câu 17. Các cặp đẳng thức nào sau đây đồng thời xảy ra?

A. sin   1 và cos   1 . C. sin  

1 1 và cos   . 2 2

B. sin  

3 1 và cos    . 2 2

D. sin   3 và cos   0 . Lời giải Trang 5/12

Chọn B 2

2 3 1  B đúng vì: sin   cos          1.  2   2  4  Câu 18. Cho cos   với 0    . Tính sin  . 5 2 1 1 3 A. sin   . B. sin    . C. sin   . 5 5 5 Lời giải Chọn C 2

2

3 D. sin    . 5

2

3 9 4  sin    . Ta có: sin   1  cos   1     5 25 5  3 Do 0    nên sin   0 . Suy ra, sin   . 2 5 Câu 19. Tính  biết cos   1 2

A.   k C.  



2

k   .

 k 2

2

B.   k 2

k   .

k   .

D.     k 2

k   .

Lời giải Chọn C Ta có: cos   1    Câu 20.

Giá trị của A  cos 2 A. 0 . Chọn C.

2

 k 2

k   .

3 5 7  cos 2  cos 2 bằng 8 8 8 8 B. 1 . C. 2 . Lời giải  cos 2

D. 1 .

 3  3 3    cos 2  cos 2  A  2  cos 2  cos 2  8 8  8 8 8 8      A  2  cos 2  sin 2   2 . 8 8  Câu 21. Cho tam giác ABC. Hãy tìm mệnh đề sai AC B AC B  cos .  sin . A. sin B. cos 2 2 2 2 C. sin  A  B   sin C . D. cos  A  B   cos C . A  cos 2







 cos 2

Lời giải Chọn D .

  Đơn giản biểu thức A  cos      sin     , ta có 2  A. A  cos a  sin a . B. A  2sin a . C. A  sin a – cos a . Lời giải Chọn D.   A  cos      sin     A  sin   sin   0 . 2  sin  2340   cos 2160 Câu 23. Rút gọn biểu thức A  .tan 360 , ta có A bằng 0 0 sin144  cos126 Câu 22.

D. A  0 .

Trang 6/12

B. 2 .

A. 2 .

D. 1 .

C. 1 . Lời giải

Chọn C.  sin 2340  sin1260 2 cos1800.sin 540 0 A .tan 36  A  .tan 360 0 0 0 0 cos 54  cos126 2sin 90 sin  36   A

Câu 24.

1.sin 540 sin 360 .  A  1. 0 1sin  360  cos 36

Biểu thức A. 1 .

 cot 44 B

0

 tan 2260  .cos 4060 cos 3160

 cot 720.cot180 có kết quả rút gọn bằng

B. 1 .

C.

1 . 2

D.

1 . 2

Lời giải Chọn B.  cot 440  tan 460  .cos 460  cot 720.tan 720  B  2 cot 440.cos 460  1  B  2  1  1 . B cos 440 cos 440 12  Câu 25. Cho cos   – và     . Giá trị của sin  và tan  lần lượt là 13 2 5 2 2 5 5 5 5 5 A.  ; . B. ;  . C.  ; . D. ;  . 13 3 3 12 13 12 13 12 Lời giải Chọn D 2



5 25  12   sin   Do     nên sin   0. Từ đó ta có sin   1  cos   1      2 13  13  169 sin  5  tan    . cos  12

Câu 26.

2

2

Biết tan   2 và 180    270 . Giá trị cos   sin  bằng A. 

3 5 . 5

B. 1 – 5 .

C.

3 5 . 2

D.

5 1 . 2

Lời giải Chọn A Do 180    270 nên sin   0 và cos   0 . Từ đó 1 1 1  1  tan 2   5  cos 2    cos    Ta có . 2 cos  5 5 2  1  sin   tan  .cos   2.    5 5 

2 1 3 5 .   5 5 5 Câu 27. Biểu thức D  cos 2 x.cot 2 x  3cos 2 x – cot 2 x  2sin 2 x không phụ thuộc x và bằng A. 2. B. –2 . C. 3. D. –3 . Lời giải Chọn A D  cos 2 x.cot 2 x  3cos 2 x – cot 2 x  2sin 2 x  cos 2 x  2  cot 2 x  cos 2 x  1 Như vậy, cos   sin   

 cos 2 x  2  cot 2 x.sin 2 x  cos 2 x  2  cos 2 x  2 . 1 2 Câu 28. Cho biết cot x  . Giá trị biểu thức A  bằng 2 2 sin x  sin x.cos x  cos 2 x Trang 7/12

A. 6.

B. 8.

C. 10. Lời giải

D. 12.

Chọn C  1 2 2 1   2 2 1  cot x 2   2 4 sin x A      10. 2 2 2 2 1 sin x  sin x.cos x  cos x 1  cot x  cot x 1  cot x  cot x 1   1 2 4 0 0 0 0 sin  328  .sin 958 cos  508  .cos  1022  Câu 29. Biểu thức A  rút gọn bằng:  cot 5720 tan  2120 

A. 1 .

B. 1 .

C. 0 . Lời giải

D. 2 .

Chọn A sin  3280  .sin 9580 cos  5080  .cos  10220  sin 320.sin 580 cos 320.cos 580  A  A  cot 320 tan 320 cot 5720 tan  2120  sin 320.cos 320 cos 320.sin 320    sin 2 320  cos 2 320  1. 0 0 cot 32 tan 32 Câu 30. Biểu thức: 2003   A  cos   26   2sin   7   cos1,5  cos      cos   1,5  .cot   8  có 2   kết quả thu gọn bằng : A.  sin  . B. sin  . C.  cos  . D. cos  . Lời giải Chọn B   A  cos   26   2sin   7   cos 1,5   cos    2003   cos   1,5  .cot   8  2        A  cos   2sin      cos    cos(     cos     .cot  2 2 2   A  cos   2sin   0  sin   sin  .cot   cos   sin   cos   sin  . 4 3    2 . Khi đó : Câu 31. Cho tan    với 5 2 4 5 4 5 A. sin    , cos    . B. sin   , cos   . 41 41 41 41 4 5 4 5 cos   C. sin    . D. sin   , cos    . 41 41 41 41 Lời giải Chọn C 5 1 16 1 1 41 25  cos    1  tan 2    1     cos 2   2 2 2 cos  25 cos  cos  25 41 41 4 25 16  sin    sin 2   1  cos 2   1   41 41 41 5  cos   0  cos    3 41    2   4 . 2  sin   0  sin     41 A

Câu 32. Cho cos150 

2 3 . Giá trị của tan15 bằng : 2 Trang 8/12

A.

32

B.

2 3 2

C. 2  3

D.

2 3 4

Lời giải Chọn C





2 1 4 1   1  2  3  tan150  2  3 . 2 0 cos 15 2 3 0 sin 515 .cos  4750   cot 2220.cot 4080 Câu 33. Biểu thức A  có kết quả rút gọn bằng cot 4150.cot  5050   tan197 0.tan 730

tan 2 150 

A.

1 2 0 sin 25 . 2

B.

1 cos 2 550 . 2

1 cos 2 250 . 2

C.

D.

1 2 0 sin 65 . 2

Lời giải Chọn C .

sin 250.   sin 250   cot 420.tan 420 sin1550.cos1150  cot 420.cot 480 A  A cot 550.tan 550  1 cot 550.cot  1450   tan17 0.cot17 0

 sin 2 250  1 cos 2 250  A . 2 2 2 cos 2 x  1 Câu 34. Đơn giản biểu thức A  ta có sin x  cos x A. A  cos x  sin x . B. A  cos x – sin x . C. A  sin x – cos x . Lời giải Chọn B 2 2 2 2 cos 2 x  1 2 cos x   sin x  cos x  cos 2 x  sin 2 x Ta có A    sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x  cos x  sin x  cos x  sin x   cos x  sin x  sin x  cos x Như vậy, A  cos x – sin x . 2 Câu 35. Biết sin   cos   . Trong các kết quả sau, kết quả nào sai ? 2  A

1 . 4 7 C. sin 4   cos 4   . 8

B. sin   cos   

A. sin  .cos   –

D. A   sin x – cos x .

6 . 2

D. tan 2   cot 2   12 . Lời giải

Chọn D 2 1 1 1 2   sin   cos     1  2sin  cos    sin  cos    2 2 2 4 6  1 6  1  2sin  cos   1  2      sin   cos    2  4 4

Ta có sin   cos     sin   cos  

2

2

 1 7  sin   cos    sin   cos    2sin  cos   1  2      4 8 7 4 4 sin   cos   tan 2   cot 2    8 2  14 2 2 sin  cos   1    4 2 2 Như vậy, tan   cot   12 là kết quả sai. 4

4

2

2

2

2

2

Trang 9/12

Câu 36.

Tính giá trị của biểu thức A  sin 6 x  cos 6 x  3sin 2 x cos 2 x . A. A  –1 . B. A  1 . C. A  4 . Lời giải Chọn B

D. A  –4 .

Ta có A  sin 6 x  cos 6 x  3sin 2 x cos 2 x   sin 2 x    cos 2 x   3sin 2 x cos 2 x 3

3

  sin 2 x  cos 2 x   3 sin 2 x.cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x   3 sin 2 x cos 2 x  1 . 3

1  tan x  A 2

Câu 37.

Biểu thức

1 không phụ thuộc vào x và bằng 4 tan x 4sin x cos 2 x 1 1 B. –1 . C. . D.  . 4 4 Lời giải 2

A. 1 . Chọn B

1  tan x  A 2

Ta có

2

2

4 tan 2 x



2

2 1  tan 2 x   1 1  1       4sin 2 x cos 2 x 4 tan 2 x 4 tan 2 x  cos 2 x  2

1  tan x   1  tan x   1  tan x   1  tan x   2

2

2

2

2

2

2

4 tan 2 x

2



4 tan 2 x  1 . 4 tan 2 x

4 tan 2 x 4 tan 2 x cos 2 x  sin 2 y  cot 2 x.cot 2 y không phụ thuộc vào x, y và bằng Câu 38. Biểu thức B  sin 2 x.sin 2 y A. 2 . B. –2 . C. 1 . D. –1 . Lời giải Chọn D cos 2 x  sin 2 y cos 2 x  sin 2 y cos 2 x.cos 2 y 2 2  cot x.cot y   Ta có B  sin 2 x.sin 2 y sin 2 x sin 2 y sin 2 x.sin 2 y

 Câu 39.

cos 2 x 1  cos 2 y   sin 2 y sin 2 x sin 2 y

2 2 cos 2 x sin 2 y  sin 2 y sin y  cos x  1    1 . sin 2 x sin 2 y 1  cos2 x  sin 2 y

Biểu thức C  2  sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x cos 2 x  –  sin 8 x  cos8 x  có giá trị không đổi và bằng 2

A. 2 .

B. –2 .

C. 1 . Lời giải

D. –1 .

Chọn C

Ta có C  2  sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x cos 2 x  –  sin 8 x  cos8 x  2

2

2 2  2  sin 2 x  cos 2 x   sin 2 x cos 2 x  –  sin 4 x  cos 4 x   2sin 4 x cos 4 x      2

2 2  2 1  sin 2 x cos 2 x  –  sin 2 x  cos 2 x   2 sin 2 x cos 2 x   2sin 4 x cos 4 x  

2

2

 2 1  sin 2 x cos 2 x  – 1  2 sin 2 x cos 2 x   2sin 4 x cos 4 x  2 1  2 sin 2 x cos 2 x  sin 4 x cos 4 x  – 1  4 sin 2 x cos 2 x  4sin 4 x cos 4 x   2sin 4 x cos 4 x 1 Câu 40. Hệ thức nào sai trong bốn hệ thức sau:

.

2

 1  sin a 1  sin a  2 B.     4 tan a . 1  sin a   1  sin a sin  cos  1  cot 2  sin   cos  2 cos     C. . D. . 2 cos   sin  cos   sin  1  cot  1  cos  sin   cos   1 Lời giải tan x  tan y  tan x.tan y . A. cot x  cot y

Trang 10/12

Chọn D A đúng vì VT 

tan x  tan y  tan x.tan y  VP 1 1  tan x tany

B đúng vì

1  sin a   1  sin a   2  2  2sin 2 a  2  4 tan 2 a  VP 1  sin a 1  sin a VT   2 1  sin a 1  sin a 1  sin 2 a cos 2 a  sin 2   cos 2  sin 2   cos 2  1  cot 2     VP . C đúng vì VT  cos 2   sin 2  sin 2   cos 2  1  cot 2  98 Câu 41. Nếu biết 3sin 4 x  2 cos 4 x  thì giá trị biểu thức A  2sin 4 x  3cos 4 x bằng 81 101 601 103 603 105 605 107 607 A. hay . B. hay . C. hay . D. hay . 81 504 81 405 81 504 81 405 Lời giải Chọn D 98 98 Ta có sin 4 x  cos 4 x   A  cos 2 x  A  81 81 1 1  98 1 1 1  98 98   5  sin 4 x  cos 4 x    A  1  sin 2 2 x    A    cos 2 2 x    A  2 5  81 2 2 5  81 81   2

2

2

98  2 98      A     A    81  5 81  

2 98  392  A  5 81  405  13 t  45 98 2 13 2 0  Đặt A   t  t  t  81 5 405 t  1  9 13 607  A +) t  45 405 1 107 . +) t   A  9 81 1 Câu 42. Nếu sin x  cos x  thì 3sin x  2 cos x bằng 2 5 7 5 7 hay . 4 4 2 3 2 3 C. hay . 5 5

A.

5 5 5 5 hay . 7 4 3 2 3 2 D. hay . 5 5 Lời giải

B.

Chọn A 1 1 3 3 2   sin x  cos x     sin x.cos x    sin x.cos x   2 4 4 8  1 7 sin x   1 3 4 Khi đó sin x, cos x là nghiệm của phương trình X 2  X   0   2 8  1 7 sin x   4 1 Ta có sin x  cos x   2  sin x  cos x   1 2 1 7 5 7  3sin x  2 cos x  +) Với sin x  4 4 sin x  cos x 

Trang 11/12

1 7 5 7  3sin x  2 cos x  . 4 4 2b Câu 43. Biết tan x  . Giá trị của biểu thức A  a cos 2 x  2b sin x.cos x  c sin 2 x bằng ac A. –a . B. a . C. –b . D. b . Lời giải Chọn B A  a  2b tan x  c tan 2 x A  a cos 2 x  2b sin x.cos x  c sin 2 x  cos 2 x 2   2b  2  2b  2b  2 2  A 1  tan x   a  2b tan x  c tan x  A 1    a  2b  c    a  c   ac  ac   

+) Với sin x 

 a  c    2b  A 2 a  c

2

 a  c    2b  A 2 a  c

2

2

2

Câu 44.

a  a  c   4b 2  a  c   c 4b 2 2



a  c a  a  c   4b 2 a

2

2



a  c

2





a.  a  c   4b 2 2

a  c

2

  Aa.

sin 4  cos 4  1 sin 8  cos8     thì biểu thức A  bằng a b ab a3 b3 1 1 1 1 A. . B. 2 . C. . D. 3 3 2 3 2 a b a b a  b a  b

Nếu biết

Lời giải Chọn C Đặt cos

2

1  t   t

2



t2 1  b ab

a ab ab ab 2  b 1  t   at 2   at 2  bt 2  2bt  b    a  b  t 2  2bt  b  ab ab ab b 2   a  b  t 2  2b  a  b  t  b 2  0  t  ab b a ;sin 2   Suy ra cos 2   ab ab 8 8 sin  cos  a b 1     . Vậy: 4 4 3 3 3 a b a  b a  b a  b

9     Câu 45. Với mọi , biểu thức : A  cos  + cos      ...  cos     nhận giá trị bằng : 5 5    A. –10 . B. 10 . C. 0 . D. 5 . Lời giải Chọn C 9     A  cos  + cos      ...  cos     5 5     9     4  5     A  cos   cos       ...  cos      cos     5  5  5        9  9 9  7 9      A  2 cos     2 cos     ...  2 cos     cos  cos  cos 10  10 10  10 10  10   

Trang 12/12

9   9 7 5 3    A  2 cos     cos  cos  cos  cos    cos 10   10 10 10 10 10   9    2    9    A  2 cos     2 cos cos  cos   A  2 cos      2 cos cos  .0  0. 10   2 5 2 5 2 10     3 5 7  sin 2  sin 2 Câu 46. Giá trị của biểu thức A  sin 2  sin 2 bằng 8 8 8 8 A. 2 . B. 2 . C. 1 . D. 0 . Lời giải Chọn A  3 5 7 1  cos 1  cos 1  cos 1  cos 4 4  4  4  2  1  cos   cos 3  cos 5  cos 7  A   2 4 4 4 4  2 2 2 2 1  3 3   2   cos  cos  cos  cos   2. 2 4 4 4 4 2sin 25500.cos  1880  1 Câu 47. Giá trị của biểu thức A = bằng :  tan 3680 2 cos 6380  cos 980 A. 1 . B. 2 . C. 1 . D. 0 . Lời giải Chọn D 2sin 25500.cos  1880  1 A  tan 3680 2 cos 6380  cos 980 2sin  300  7.3600  .cos  80  1800  1 2sin 300.cos80 1  A    A  tan 80 2 cos820  sin 80 tan  80  3600  2 cos  820  2.3600   cos  900  80 

1 2sin 300.cos80 1 2sin 300.cos80  A   A  tan 80 2sin 80  sin 80 tan 80 2 cos  900  80   sin 80 1.cos80  cot 80  cot 80  0 . 0 sin 8 Câu 48. Cho tam giác ABC và các mệnh đề : BC A A B C  sin .tan  1  III  cos  A  B – C  – cos 2C  0  I  cos  II  tan 2 2 2 2 Mệnh đề đúng là : A. Chỉ  I  . B.  II  và  III  . C.  I  và  II  . D. Chỉ  III  .  A  cot 80 

Lời giải Chọn C +) Ta có: A  B  C    B  C    A 

BC  A   2 2 2

A  BC   A cos  nên  I  đúng   cos     sin 2  2  2 2 A B  C   +) Tương tự ta có: 2 2 2 A B C A B C C C  C  tan  tan     cot  tan .tan  cot .tan  1 2 2 2 2 2 2 2 2 nên  II  đúng.

 I

+) Ta có

Trang 13/12

A  B  C    2C  cos  A  B  C   cos   2C    cos  2C 

 cos  A  B  C   cos  2C   0 nên  III  sai. Câu 49. Cho cot   3 2 với

 2

    . Khi đó giá trị tan

B. 2 19 .

A. 2 19 .

 2

 cot



C.  19 . Lời giải

2

bằng : D. 19 .

Chọn A 1 1 1  sin     1  cot 2   1  18  19  sin 2   2 sin  19 19 Vì 1       sin   0  sin   2 19 Suy ra tan

 2

 cot

 2



sin 2

 2

sin

 cos 2



cos



 2 

2  2 19 . sin 

2 2 2 tan a  sin 2 a Câu 50. Biểu thức rút gọn của A = bằng : cot 2 a  cos 2 a A. tan 6 a . B. cos 6 a . C. tan 4 a . D. sin 6 a . Lời giải Chọn A  1  sin 2 a   1 2 2 2 2 2 tan a  sin a cos a  tan a.tan a   A   tan 6 a . A 2 2 2 cot a cot a  cos a  1  cos 2  2  1  sin a 

Trang 14/12

Chương 6

LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ 3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian 1 rađian còn viết tắt là 1 rad. Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc. b) Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian: Cung tròn bán kính R có số đo a ( 0 £ a £ 2p ) , có số đo a 0 ( 0 £ a £ 360 ) và có độ dài là l thì: l = Ra =

pa a a .R do đó = 180 p 180

æ 180 ö÷ 0 p rad . Đặc biệt: 1 rad = çç ÷ ,1 = çè p ø÷ 180 2. Góc và cung lượng giác. a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm). b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng. Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou,Ov lần lượt cắt đường v 0

tròn tại U và V . Tia Om cắt đường tròn tại M , tia Om chuyển động theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng chuyển động theo một chiều trên đường tròn.  Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia đầu là Ou , tia cuối là Ov . Kí hiệu (Ou,Ov ) 

+

V M

O -

Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác điểm

U

m u

þ





đầu U , điểm cuối V . Kí hiệu là UV Tia Om quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2p ), quay hai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600 = 7200 (hay 4p ), quay theo chiều âm một phần tư vòng p 25 ta nói nó quay góc -900 (hay - ), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy( vòng) thì nói 2 7 25 50p nó quay góc - .3600 (hay )… 7 7 þ

Ta coi số đo của góc lượng giác (Ou,Ov ) là số đo của cung lượng giác UV

c) Hệ thức Sa-lơ.  Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý ta có:

Sđ (Ou,Ov ) + Sđ (Ov,Ow ) = Sđ (Ou,Ow ) + k 2p ( k Î Z ) Sđ (Ou,Ov ) - Sđ (Ou,Ow ) = Sđ (Ow,Ov ) + k 2p ( k Î Z )

Trang 1/12



Với ba điểm tùy ý U ,V ,W trên đường tròn định hướng ta có :

þ

þ

þ

þ

þ

þ

SđUV + SđVW = SđUW + k 2p ( k Î Z ) SđUV - SđUW = SđWV + k 2p ( k Î Z ) §3. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Công thức cộng:

sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a sin(a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a cos(a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b cos(a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b tan a + tan b tan(a + b) = 1 - tan a. tan b tan a - tan b tan(a - b) = 1 + tan a. tan b

2. Công thức nhân đôi, hạ bậc: a) Công thức nhân đôi. sin 2a = 2 sin a.cos a cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin2 a tan 2a =

b) Công thức hạ bậc.

2 tan a 1 - tan2 a 1 - cos 2a 2 1 + cos 2a 2 cos a = 2 1 cos 2a tan2 a = 1 + cos 2a sin2 a =

3. Công thức biến đổi tích thành tổng.

1é cos(a + b) + cos(a - b) ùû 2ë 1 sin a sin b = - éë cos(a + b) - cos(a - b) ùû 2 1é sin a cos b = ë sin(a + b) + sin(a - b) ùû 2 4. Công thức biển đổi tổng thành tích. cos a cos b =

a +b a -b .cos 2 2 a +b a -b cos a - cos b = - 2 sin .sin 2 2 a +b a -b sin a + sin b = 2 sin .cos 2 2 a +b a -b sin a - sin b = 2 cos .sin 2 2 cos a + cos b = 2 cos

sin(a + b) cos a.cos b sin(a - b) tan a - tan b = cos a.cos b sin(a + b) cot a + cot b = sin a.sin b sin(b - a ) cot a - cot b = sin a.sin b tan a + tan b =

Trang 2/12

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Trong các công thức sau, công thức nào sai? cot 2 x  1 2 tan x A. cot 2 x  . B. tan 2 x  . 2 cot x 1  tan 2 x C. cos 3 x  4 cos3 x  3cos x . D. sin 3 x  3sin x  4sin 3 x Lời giải. Chọn B. 2 tan x Công thức đúng là tan 2 x  . 1  tan 2 x Trong các công thức sau, công thức nào sai? A. cos 2a  cos 2 a – sin 2 a. B. cos 2a  cos 2 a  sin 2 a. C. cos 2a  2 cos 2 a –1. D. cos 2a  1 – 2sin 2 a. Lời giải. Chọn B. Ta có cos 2a  cos 2 a – sin 2 a  2 cos 2 a  1  1  2sin 2 a. Trong các công thức sau, công thức nào đúng? A. cos  a – b   cos a.cos b  sin a.sin b. B. cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b. C. sin  a – b   sin a.cos b  cos a.sin b.

D. sin  a  b   sin a.cos b  cos.sin b. Lời giải.

Chọn C. Ta có: sin  a – b   sin a.cos b  cos a.sin b. Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Trong các công thức sau, công thức nào đúng? tan a  tan b . A. tan  a  b   B. tan  a – b   tan a  tan b. 1  tan a tan b tan a  tan b . C. tan  a  b   D. tan  a  b   tan a  tan b. 1  tan a tan b Lời giải. Chọn B. tan a  tan b . Ta có tan  a  b   1  tan a tan b Trong các công thức sau, công thức nào sai? 1 1 A. cos a cos b  cos  a – b   cos  a  b   . B. sin a sin b  cos  a – b  – cos  a  b   . 2 2 1 1 C. sin a cos b  sin  a – b   sin  a  b   . D. sin a cos b  sin  a  b   cos  a  b   . 2 2 Lời giải. Chọn D. 1 Ta có sin a cos b  sin  a – b   sin  a  b   . 2 Trong các công thức sau, công thức nào sai? ab a b ab a b .cos . .sin . A. cos a  cos b  2 cos B. cos a – cos b  2 sin 2 2 2 2 ab a b ab a b .cos . .sin . C. sin a  sin b  2 sin D. sin a – sin b  2 cos 2 2 2 2 Lời giải. Chọn D. ab a b .sin . Ta có cos a – cos b  2 sin 2 2 Rút gọn biểu thức : sin  a –17  .cos  a  13  – sin  a  13  .cos  a –17  , ta được : Trang 3/12

A. sin 2a.

B. cos 2a.

1 C.  . 2 Lời giải.

D.

1 . 2

Chọn C. Ta có: sin  a –17  .cos  a  13  – sin  a  13  .cos  a –17   sin  a  17    a  13   1  sin  30    . 2

Câu 8.

Giá trị của biểu thức cos A.

6 2 . 4

37 bằng 12 6 2 . B. 4

C. –

6 2 . 4

D.

2 6 . 4

Lời giải. Chọn C.     37         cos  2      cos       cos     cos    cos 12  12  12    12  3 4 6 2         cos .cos  sin .sin    . 4 3 4 3 4  47 Câu 9. Giá trị sin là : 6 3 3 2 . . . A. B. C. 2 2 2 Lời giải. Chọn D. 47  1       sin  sin  8    sin    4.2   sin      . 6 6 2   6   6 37 Câu 10. Giá trị cos là : 3 3 3 1 . . A. B.  C. . 2 2 2 Lời giải. Chọn C. 37  1     cos  cos   12   cos   6.2   cos  . 3 3 2 3  3  29 Câu 11. Giá trị tan là : 4 3 . A. 1. B. –1. C. 3 Lời giải. Chọn A. 29    tan  tan  7    tan  1 . 4 4 4  5 5 Câu 12. Giá trị của các hàm số lượng giác sin , sin lần lượt bằng 4 3 2 3  2 3 2 3 A. , . B. , . C. ,  2 2 2 2 2 2 Lời giải. Chọn D.

1 D.  . 2

1 D.  . 2

D.

D. 

3.

2 3 ,  . 2 2

Trang 4/12

sin

5   2  .  sin       sin   4 4 4 2 

2 3  .     sin 3 2  2 4 6  cos  cos Câu 13. Giá trị đúng của cos bằng : 7 7 7 1 1 1 1 A. . B.  . C. . D.  . 2 2 4 4 Lời giải. Chọn B.  2 4 6  sin  cos  cos  cos  2 4 6 7 7 7 7    cos  cos Ta có cos  7 7 7 sin 7 3 5    3   5    sin  sin     sin  sin     sin   sin    sin    7 7  7  7   7    7  1.    2 2sin 2sin 7 7  7 Câu 14. Giá trị đúng của tan  tan bằng : 24 24 sin

5 2   sin    3 3 

A. 2





6 3 .

B. 2





6 3 .

C. 2





3 2 .

D. 2





3 2 .

Lời giải. Chọn A.



7 3 3   2 6 3 .  7    24 24 cos .cos cos  cos 24 24 3 4 1  2sin 700 có giá trị đúng bằng : Câu 15. Biểu thức A  2sin100 A. 1. B. –1. C. 2. D. –2. Lời giải. Chọn A. 1 1  4sin100.sin 700 2sin 800 2sin100 0 A  2sin 70     1. 2sin100 2sin100 2sin100 2sin100 tan



sin

 tan





Câu 16. Tích số cos10.cos 30.cos 50.cos 70 bằng : 1 1 3 1 . . A. B. . C. D. . 16 8 16 4 Lời giải. Chọn C. 1 cos10.cos 30.cos 50.cos 70  cos10.cos 30.  cos120o  cos 20o  2 3 1 3 3  cos10 cos 30  cos10  .  .     4  2 2  4 4 16  4 5 .cos Câu 17. Tích số cos .cos bằng : 7 7 7 1 1 1 1 A. . B.  . C. . D.  . 8 8 4 4 Trang 5/12

Lời giải. Chọn A.



4 5 cos .cos .cos  7 7 7 8 7  1.   8 8sin 7

sin

2 4 5 2 2 4 4 4 .cos .cos sin .cos .cos sin .cos 7 7 7  7 7 7  7 7    2sin 2sin 4sin 7 7 7

sin

tan 30  tan 40  tan 50  tan 60 bằng : cos 20 4 6 8 . . . B. C. D. 3 3 3 Lời giải.

Câu 18. Giá trị đúng của biểu thức A  A.

2 . 3

Chọn D.

sin 70 sin110  tan 30  tan 40  tan 50  tan 60 cos 30.cos 40 cos 50.cos 60 A  cos 20 cos 20  cos 50  3 cos 40  2 2 1 1      2   cos 30.cos 40 cos 50.cos 60 3 cos 40 cos 50  3 cos 40.cos 50   sin 40  3 cos 40  8cos10 8 sin100    2  .   4 3 cos10  3 3 cos 40  .cos 50  3    cos10  cos 90  2  5 Câu 19. Giá trị của biểu thức A  tan 2  tan 2 bằng : 12 12 A. 14. B. 16. C. 18. D. 10. Lời giải. Chọn A. 2

5      1 A  tan  tan  tan 2  cot 2   tan  tan   2 12 12 12 12  3 4    tan  tan   3 4  2 1  2 3   14 . 2 2 3 2







2





Câu 20. Biểu thức M  cos  –53  .sin  –337   sin 307.sin113 có giá trị bằng : 1 A.  . 2

B.

1 . 2

C. 

3 . 2

D.

3 . 2

Lời giải. Chọn A. M  cos  –53  .sin  –337   sin 307.sin113

 cos  –53  .sin  23 – 360   sin  53  360  .sin  90  23 

Câu 21.

1  cos  –53  .sin 23  sin  53  .cos 23  sin  23  53    sin 30   . 2 cos  288  .cot 72 Kết quả rút gọn của biểu thức A   tan18 là tan  162  .sin108

Trang 6/12

A. 1.

B. –1.

C. 0.

D.

1 . 2

Lời giải. Chọn C. cos  288  .cot 72 cos  72  360  .cot 72 A  tan18   tan18 tan  162  .sin108 tan 18  180  .sin  90  18  cos 2 72 sin 2 18o cos 72.cot 72  tan18    tan18  0  tan18  sin 72.sin18o cos18o.sin18o tan18.cos18 Câu 22. Rút gọn biểu thức : cos 54.cos 4 – cos 36.cos86 , ta được : A. cos 50. B. cos 58. C. sin 50. D. sin 58. Lời giải. Chọn D. Ta có: cos 54.cos 4 – cos 36.cos86  cos 54.cos 4 – sin 54.sin 4  cos 58. Câu 23. Tổng A  tan 9  cot 9  tan15  cot15 – tan 27 – cot 27 bằng : A. 4. B. –4. C. 8. D. –8. Lời giải. Chọn C. A  tan 9  cot 9  tan15  cot15 – tan 27 – cot 27  tan 9  cot 9 – tan 27 – cot 27  tan15  cot15  tan 9  tan 81 – tan 27 – tan 63  tan15  cot15 . Ta có  sin18 sin18 tan 9 – tan 27  tan 81 – tan 63   cos 9.cos 27 cos81.cos 63  cos 9.cos 27  cos81.cos 63  sin18  cos 9.cos 27  sin 9.sin 27   sin18   cos81.cos 63.cos 9.cos 27  cos81.cos 63.cos 9.cos 27  4sin18.cos 36 4sin18   4.  cos 72  cos 90  cos 36  cos 90  cos 72



tan15  cot15 

Vậy A  8 .

sin 2 15  cos 2 15 2   4. sin15.cos15 sin 30

Câu 24. Cho A , B , C là các góc nhọn và tan A  A.

 6

.

B.

 5

.

1 1 1 , tan B  , tan C  . Tổng A  B  C bằng : 2 5 8

C.



4

.

D.



3

.

Lời giải. Chọn C.

tan A  tan B  tan C tan  A  B   tan C  tan  A  B  C    1  tan A.tan B  1 suy ra A  B  C  . tan A  tan B 4 1  tan  A  B  .tan C .tan C 1  tan A.tan B 1 3 Câu 25. Cho hai góc nhọn a và b với tan a  và tan b  . Tính a  b . 7 4    2 . A. . B. . C. . D. 3 4 6 3 Lời giải. Chọn B. tan a  tan b  tan  a  b    1 , suy ra a  b  1  tan a.tan b 4

Trang 7/12

Câu 26. Cho x, y là các góc nhọn, cot x  A.

 4

.

B.

3 . 4

3 1 , cot y  . Tổng x  y bằng : 4 7

C.



3

.

D.  .

Lời giải. Chọn C. Ta có : 4 7 3 tan x  tan y 3 . tan  x  y     1 , suy ra x  y  4 1  tan x.tan y 1  4 .7 3 Câu 27. Cho cot a  15 , giá trị sin 2a có thể nhận giá trị nào dưới đây: 11 13 15 17 . . . . A. B. C. D. 113 113 113 113 Lời giải. Chọn C. 1  2 sin a   1 15  226  226    sin 2a   . cot a  15  2 sin a 113 cos 2 a  225  226 1 1 Câu 28. Cho hai góc nhọn a và b với sin a  , sin b  . Giá trị của sin 2  a  b  là : 3 2 2 2 7 3 3 2 7 3 4 2 7 3 5 2 7 3 . . . . A. B. C. D. 18 18 18 18 Lời giải. Chọn C.     0b 0  a  2  2 2  2  cos b  3  cos a  Ta có  ;  . 3 2 sin a  1 sin b  1   3 2 sin 2  a  b   2sin  a  b  .cos  a  b   2  sin a.cos b  sin b.cos a  cos a.cos b  sin a.sin b 



4 2 7 3 . 18

    Câu 29. Biểu thức A  cos 2 x  cos 2   x   cos 2   x  không phụ thuộc x và bằng : 3  3  3 4 3 2 A. . B. . C. . D. . 4 3 2 3 Lời giải. Chọn C. Ta có : 2

2  3   3  1 1    2  A  cos x  cos   x   cos   x   cos 2 x   cos x  sin x    cos x  sin x  2 2 3  3   2   2  3  . 2  cot 44  tan 226  .cos 406  cot 72.cot18 bằng Câu 30. Giá trị của biểu thức A  cos 316 A. –1. B. 1. C. –2. D. 0. Lời giải. 2

2

Trang 8/12

Chọn B.  cot 44  tan 226  .cos 406  cot 72.cot18 A cos 316  tan 46  tan 180  46   cos  360  46    cot 72.tan 72 cos  360  44  2 tan 46.cos 46 2 tan 46.cos 46 1   1  1. cos 44 sin 46

Câu 31.

Biểu thức A. C.

sin  a  b  bằng biểu thức nào sau đây? (Giả sử biểu thức có nghĩa) sin  a  b 

sin  a  b  sin a  sin b  . sin  a  b  sin a  sin b

sin  a  b  tan a  tan b  . sin  a  b  tan a  tan b

B.

sin  a  b  sin a  sin b  . sin  a  b  sin a  sin b

sin  a  b  cot a  cot b  . sin  a  b  cot a  cot b Lời giải. D.

Chọn C. sin  a  b  sin a cos b  cos a sin b Ta có : (Chia cả tử và mẫu cho cos a cos b )  sin  a  b  sin a cos b  cos a sin b tan a  tan b . tan a  tan b Câu 32. Cho A , B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức SAI. A  B  3C  cos C. A. sin B. cos  A  B – C   – cos 2C. 2 A  B  2C 3C A  B  2C C  cot .  tan . C. tan D. cot 2 2 2 2 Lời giải. Chọn D. Ta có: A  B  3C A  B  3C     sin   C   cos C. A đúng.   C  sin A B C   2 2 2 2  A  B  C    2C  cos  A  B – C   cos   2C    cos 2C. B đúng. 

A  B  2C 3C A  B  2C  3C   3C   tan  tan   . C đúng.     cot 2 2 2 2 2 2 2  A  B  2C C A  B  2C  C  C   cot      tan . D sai.    cot 2 2 2 2 2 2 2 Câu 33. Cho A , B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức SAI. A B C  sin . A. cos B. cos  A  B  2C   – cos C. 2 2 C. sin  A  C   – sin B. D. cos  A  B   – cos C.

Lời giải. Chọn C. Ta có: A B C A B  C  C   cos     sin . A đúng.    cos 2 2 2 2 2 2 2 A  B  2C    C  cos  A  B  2C   cos   C    cos C. B đúng. A  C    B  sin  A  C   sin   B   sin B. C sai. Trang 9/12

A  B    C  cos  A  B   cos   C    cos C. D đúng.

Câu 34. Cho A , B , C là ba góc của một tam giác không vuông. Hệ thức nào sau đây SAI ? B C B C A A. cos cos  sin sin  sin . 2 2 2 2 2 B. tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C. C. cot A  cot B  cot C  cot A.cot B.cot C. A B B C C A D. tan .tan  tan .tan  tan .tan  1. 2 2 2 2 2 2 Lời giải. Chọn C. Ta có : B C B C A B C  A + cos cos  sin sin  cos     cos     sin . A đúng. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C   tan A 1  tan B tan C   tan B  tan C tan B  tan C  tan A   tan  B  C  . B đúng. 1  tan B tan C + cot A  cot B  cot C  cot A.cot B.cot C  cot A  cot B cot C  1  cot B  cot C  tan A  

1 cot B cot C  1   tan A  cot  B  C  . C sai. cot A cot B  cot C A  B C B C A B B C C A + tan .tan  tan .tan  tan .tan  1  tan .  tan  tan   1  tan .tan 2  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B C tan  tan 1 2 2  cot A  tan  B  C  . D đúng.     A B C 2 2 2 tan 1  tan .tan 2 2 2 4  sin   , 0    Câu 35. Biết và   k . Giá trị của biểu thức 5 2 4 cos     3 sin      3 không phụ thuộc vào  và bằng A sin  5 3 5 3 . . . . A. B. C. D. 3 5 3 5 Lời giải. Chọn B. 4 cos       3 sin      0    2 3 5 3  cos   , thay vào biểu thức A  Ta có  .  5 sin  3 sin   4  5     Câu 36. Nếu tan  4 tan thì tan bằng : 2 2 2 3sin  3sin  3cos  3cos  . . . . A. B. C. D. 5  3cos  5  3cos  5  3cos  5  3cos  Lời giải. Chọn A. Ta có: 

Trang 10/12

:



 tan



3 tan



3sin



.cos



2  2  2 2  3sin  .    2 5  3cos  1  tan .tan 1  4 tan 2 1  3sin 2 2 2 2 2 2 2 cos 2  3 sin 4  1 Câu 37. Biểu thức A  có kết quả rút gọn là : 2sin 2 2  3 sin 4  1 cos  4  30  cos  4  30  sin  4  30  sin  4  30  A. B. C. D. . . . . cos  4  30  cos  4  30  sin  4  30  sin  4  30  Lời giải. Chọn C. Ta có : sin  4  30  2 cos 2 2  3 sin 4  1 cos 4  3 sin 4 .  A  sin  4  30  2sin 2 2  3 sin 4  1 3 sin 4  cos 4 Câu 38. Kết quả nào sau đây SAI ? sin 9 sin12  . A. sin 33  cos 60  cos 3. B. sin 48 sin 81 1 1 4   . C. cos 20  2sin 2 55  1  2 sin 65. D. cos 290 3 sin 250 3 Lời giải. Chọn A. sin 9 sin12  Ta có :  sin 9.sin 81  sin12.sin 48  0 sin 48 sin 81 1 1   cos 72  cos 90    cos 36  cos 60   0  2 cos 72  2 cos 36  1  0 2 2 1 5  4 cos 2 36  2 cos 36  1  0 (đúng vì cos 36  ). Suy ra B đúng. 4 Tương tự, ta cũng chứng minh được các biểu thức ở C và D đúng. Biểu thức ở đáp án A sai. Câu 39. Nếu 5sin   3sin   2   thì : tan

 

tan



2



A. tan      2 tan  .

B. tan      3 tan  .

C. tan      4 tan  .

D. tan      5 tan  . Lời giải.

Chọn C. Ta có : 5sin   3sin   2    5sin         3sin       

 5sin     cos   5cos     sin   3sin     cos   3cos     sin 

 2sin     cos   8cos     sin  

sin     sin   tan      4 tan  . 4 cos     cos 

3 3 ; sin a  0 ; sin b  ; cos b  0 . Giá trị của cos  a  b  . bằng : 4 5 3 7 3 7 3 7 3 7 A. 1  B.  1  C. 1  D.  1   .  .  . . 5 4  5 4  5 4  5 4  Lời giải. Chọn A. Ta có :

Câu 40. Cho cos a 

Trang 11/12

3  7 cos a  2 . 4  sin a  1  cos a   4 sin a  0 3  4 sin b  2 5  cos b   1  sin b   .  5 cos b  0

3  4 7 3 3 7 cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b  .     .   1  . 4  5 4 5 5 4  b 1 b   a  3 a  Câu 41. Biết cos  a    và sin  a    0 ; sin   b   và cos   b   0 . Giá trị 2 2 2   2  5 2  cos  a  b  bằng: A.

24 3  7 . 50

B.

7  24 3 . 50

22 3  7 . 50 Lời giải.

C.

D.

7  22 3 . 50

Chọn A. Ta có :   b 1 cos  a  2   2 b b 3      .  sin  a    1  cos 2  a     2 2 2 b       sin a  0   2

 a  3 sin  2  b   5    a  a  4  cos   b   1  sin 2   b   .  2  2  5 cos  a  b      2  cos

ab b b a  a    1 4 3 3 3 34  .  cos  a   cos   b   sin  a   sin   b   .  . 10 2 2 2  2  2    2 5 5 2

ab 24 3  7 1  . 2 50 Câu 42. Rút gọn biểu thức : cos 120 – x   cos 120  x  – cos x ta được kết quả là cos  a  b   2 cos 2

A. 0.

B. – cos x.

C. –2 cos x. Lời giải.

D. sin x – cos x.

Chọn C. 1 3 1 3 sin x  cos x  sin x  cos x cos 120 – x   cos 120  x  – cos x   cos x  2 2 2 2  2 cos x

Câu 43. Cho biểu thức A  sin 2  a  b  – sin 2 a – sin 2 b. Hãy chọn kết quả đúng : A. A  2 cos a.sin b.sin  a  b  .

B. A  2sin a.cos b.cos  a  b  .

C. A  2 cos a.cos b.cos  a  b  .

D. A  2sin a.sin b.cos  a  b  . Lời giải.

Chọn D. Ta có :

A  sin 2  a  b  – sin 2 a – sin 2 b  sin 2  a  b  

1  cos 2a 1  cos 2b  2 2 Trang 12/12

1  cos 2a  cos 2b    cos 2  a  b   cos  a  b  cos  a  b  2  cos  a  b  cos  a  b   cos  a  b    2sin a sin b cos  a  b  .  sin 2  a  b   1 

3 3 Câu 44. Cho sin a  ; cos a  0 ; cos b  ; sin b  0 . Giá trị sin  a  b  bằng : 5 4 1 9 1 9 1 9 1 9 A.   7   . B.   7   . C.  7   . D.  7   . 5 4 5 4 5 4 5 4 Lời giải. Chọn A. Ta có : 3  4 sin a  2 5  cos a   1  sin a   .  5 cos a  0 3  7 cos b  2 . 4  sin b  1  cos b   4 sin b  0 3 3  4 7 1 9 sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b  .     .   7 . 5 4  5 4 5 4 1 1 Câu 45. Cho hai góc nhọn a và b . Biết cos a  , cos b  . Giá trị cos  a  b  .cos  a  b  bằng : 3 4 113 115 117 119 . . . . A.  B.  C.  D.  144 144 144 144 Lời giải. Chọn D. Ta có : 2

2

1 119 1 1 cos  a  b  .cos  a  b    cos 2a  cos 2b   cos 2 a  cos 2 b  1        1   . 2 144 3  4 Câu 46. Xác định hệ thức SAI trong các hệ thức sau : cos  40    . A. cos 40  tan  .sin 40  cos  6 . B. sin15  tan 30.cos15  3 C. cos 2 x – 2 cos a.cos x.cos  a  x   cos 2  a  x   sin 2 a. D. sin 2 x  2sin  a – x  .sin x.cos a  sin 2  a – x   cos 2 a. Lời giải. Chọn D. Ta có : cos 40  tan  .sin 40  cos 40 

cos 40 cos   sin 40 sin  cos  40    sin   . .sin 40  cos  cos  cos 

A đúng. sin15.cos 30  sin 30.cos15 sin 45 6   . B đúng. cos 30 cos 30 3 cos 2 x – 2 cos a.cos x.cos  a  x   cos 2  a  x 

sin15  tan 30.cos15 

 cos 2 x  cos  a  x   2 cos a cos x  cos  a  x    cos 2 x  cos  a  x  cos  a  x 

 cos 2 x 

1  cos 2a  cos 2 x   cos 2 x  cos 2 a  cos 2 x  1  sin 2 a. C đúng. 2 Trang 13/12

sin 2 x  2sin  a – x  .sin x.cos a  sin 2  a – x   sin 2 x  sin  a  x   2sin x cos a  sin  a  x   1  cos 2 x  cos 2a  2  sin 2 x  cos 2 a  sin 2 x  1  sin 2 a . D sai. sin x  sin 2 x  sin 3 x Câu 47. Rút gọn biểu thức A  cos x  cos 2 x  cos 3 x A. A  tan 6 x. B. A  tan 3 x. C. A  tan 2 x. D. A  tan x  tan 2 x  tan 3 x. Lời giải. Chọn C. Ta có : sin x  sin 2 x  sin 3 x 2sin 2 x.cos x  sin 2 x sin 2 x  2 cos x  1 A    tan 2 x. cos x  cos 2 x  cos 3 x 2 cos 2 x.cos x  cos 2 x cos 2 x  2 cos x  1 Câu 48. Biến đổi biểu thức sin a  1 thành tích. a   a   a   a   A. sin a  1  2sin    cos    . B. sin a  1  2 cos    sin    . 2 4 2 4 2 4 2 4

 sin 2 x  sin  a  x  sin  a  x   sin 2 x 

    C. sin a  1  2sin  a   cos  a   . 2 2  

    D. sin a  1  2 cos  a   sin  a   . 2  2  Lời giải.

Chọn D. 2

a a a a  a a a   Ta có sin a  1  2sin cos  sin 2  cos 2   sin  cos   2sin 2    2 2 2 2  2 2 2 4 a    a  a   a    2sin    cos     2sin    cos    . 2 4  4 2 2 4 2 4

Câu 49. Biết      



2 cot  .cot  bằng : A. 2.

Chọn C. Ta có :

    

 2

và cot  , cot  , cot  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tích số B. –2.

, suy ra cot   tan     

C. 3. Lời giải.

D. –3.

tan   tan  cot   cot  2 cot    1  tan  tan  cot  cot   1 cot  cot   1

 cot  cot   3. Câu 50. Cho A , B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau. A. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1  cos A.cos B.cos C. B. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 – cos A.cos B.cos C. C. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1  2 cos A.cos B.cos C. D. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 – 2 cos A.cos B.cos C. Lời giải. Chọn C. Ta có : 1  cos 2 A 1  cos 2 B   cos 2 C cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  2 2 2  1  cos  A  B  cos  A  B   cos C  1  cos C cos  A  B   cos C cos  A  B   1  cos C cos  A  B   cos  A  B    1  2 cos A cos B cos C.

Trang 14/12

Chương 1

VECTO CHUYÊN ĐỀ 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ VECTO §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa vectơ: Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.    x B a Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu : AB     A Vectơ còn được kí hiệu là: a, b, x , y,...  Hình 1.1 Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là 0 2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng. - Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ - Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương - Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.

A

F

B C

D

Hình 1.2

H

E G

    Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên (hình 2) thì hai vectơ AB và CD cùng hướng còn EF và HG ngược hướng. Đặc biệt: vectơ – không cùng hướng với mọi véc tơ. 3. Hai vectơ bằng nhau A   B - Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài véc tơ AB , kí hiệu AB .  Vậy AB = AB . C D Hình 1.3 - Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.   Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD khi đó AB = CD B. BÀI TẬP Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Véctơ là một đoạn thẳng: A. Có hướng. C. Có hai đầu mút.

B. Có hướng dương, hướng âm. D. Thỏa cả ba tính chất trên. Lời giải

Chọn A. Hai véc tơ có cùng độ dài và ngược hướng gọi là: A. Hai véc tơ bằng nhau. B. Hai véc tơ đối nhau. C. Hai véc tơ cùng hướng. D. Hai véc tơ cùng phương. Lời giải Chọn B. Theo định nghĩa hai véc tơ đối nhau. Hai véctơ bằng nhau khi hai véctơ đó có: A. Cùng hướng và có độ dài bằng nhau. B. Song song và có độ dài bằng nhau. C. Cùng phương và có độ dài bằng nhau. D. Thỏa mãn cả ba tính chất trên. Lời giải Trang 1/8

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

Chọn A. Theo định nghĩa hai véctơ bằng nhau. Nếu hai vectơ bằng nhau thì : A. Cùng hướng và cùng độ dài. C. Cùng hướng.

B. Cùng phương. D. Có độ dài bằng nhau. Lời giải

Chọn A. Điền từ thích hợp vào dấu (...) để được mệnh đề đúng. Hai véc tơ ngược hướng thì ... A. Bằng nhau. B. Cùng phương. C. Cùng độ dài. D. Cùng điểm đầu. Lời giải Chọn B. Cho 3 điểm phân biệt A , B , C . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng nhất ?   A. A , B , C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và AC cùng phương.   B. A , B , C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và BC cùng phương.   C. A , B , C thẳng hàng khi và chỉ khi AC và BC cùng phương. D. Cả A, B, C đều đúng. Lời giải Chọn D. Cả 3 ý đều đúng. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ. B. Có ít nhất 2 vectơ cùng phương với mọi vectơ. C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ. D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ. Lời giải Chọn A.  Ta có vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ. Khẳng định nào sau đây đúng ?     A. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu a  b , nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.     B. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu a  b , nếu chúng cùng phương và cùng độ dài.   C. Hai vectơ AB và CD được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành.   D. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng độ dài. Lời giải Chọn A.     Theo định nghĩa: Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu a  b , nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Phát biểu nào sau đây đúng? A. Hai vectơ không bằng nhau thì độ dài của chúng không bằng nhau. B. Hai vectơ không bằng nhau thì chúng không cùng phương. C. Hai vectơ bằng nhau thì có giá trùng nhau hoặc song song nhau. D. Hai vectơ có độ dài không bằng nhau thì không cùng hướng. Lời giải Chọn C. A. sai do hai vectơ không bằng nhau thì có thể hai vecto ngược hướng nhưng độ dài vẫn bằng nhau. Trang 2/8

B. sai do một trong hai vectơ là vectơ không. C. đúng do hai vectơ bằng nhau thì hai vectơ cùng hướng. Câu 10. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba thì cùng phương. 

B. Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba khác 0 thì cùng phương. C. Vectơ–không là vectơ không có giá. D. Điều kiện đủ để 2 vectơ bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau. Lời giải Chọn B. 

Câu 11.

Câu 12.

Câu 13.

Câu 14.

Câu 15.

Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba khác 0 thì cùng phương.   Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Khẳng định nào sau đây đúng ?   A. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ a và b .   B. Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b .    C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b , đó là vectơ 0 . D. Cả A, B, C đều sai. Lời giải Chọn C.   Vì vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ. Nên có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và   b , đó là vectơ 0 .  Cho vectơ a . Mệnh đề nào sau đây đúng ?       A. Có vô số vectơ u mà u  a . B. Có duy nhất một u mà u  a .       C. Có duy nhất một u mà u  a . D. Không có vectơ u nào mà u  a . Lời giải Chọn A.     Cho vectơ a , có vô số vectơ u cùng hướng và cùng độ dài với vectơ a . Nên có vô số vectơ u   mà u  a . Mệnh đề nào sau đây đúng: A. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương.  B. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác 0 thì cùng phương. C. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng hướng. D. Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướng. Lời giải Chọn B.  Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác 0 thì cùng phương. Chọn khẳng định đúng. A. Hai véc tơ cùng phương thì bằng nhau. B. Hai véc tơ ngược hướng thì có độ dài không bằng nhau. C. Hai véc tơ cùng phương và cùng độ dài thì bằng nhau. D. Hai véc tơ cùng hướng và cùng độ dài thì bằng nhau. Lời giải Chọn D. Hai véc tơ cùng hướng và cùng độ dài thì bằng nhau. Cho hình bình hành ABCD . Trong các khẳng định sau hãy tìm khẳng định sai         A. AD  CB . B. AD  CB . C. AB  DC . D. AB  CD . Lời giải Trang 3/8

Chọn A.   Ta có ABCD là hình bình hành. Suy ra AD  BC . Câu 16. Chọn khẳng định đúng. A. Véc tơ là một đường thẳng có hướng. B. Véc tơ là một đoạn thẳng. C. Véc tơ là một đoạn thẳng có hướng. D. Véc tơ là một đoạn thẳng không phân biệt điểm đầu và điểm cuối. Lời giải Chọn C. Véc tơ là một đoạn thẳng có hướng. Câu 17. Cho vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Hãy chọn câu sai A. Được gọi là vectơ suy biến. B. Được gọi là vectơ có phương tùy ý.  C. Được gọi là vectơ không, kí hiệu là 0 . D. Là vectơ có độ dài không xác định. Lời giải Chọn D. Vectơ không có độ dài bằng 0 . Câu 18. Véc tơ có điểm đầu D điểm cuối E được kí hiệu như thế nào là đúng?   A. DE . B. ED . C. DE . D. DE . Lời giải Chọn D. Câu 19. Cho hình vuông ABCD , khẳng định nào sau đây đúng:     A. AC  BD . B. AB  BC .     C. AB  CD . D. AB và AC cùng hướng. Lời giải Chọn B.   Ta có ABCD là hình vuông. Suy ra AB  BC . Câu 20. Cho tam giác ABC có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác vectơ không) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh A , B , C ? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn D.       Ta có các vectơ đó là: AB, AC , BA, BC , CA, CB . Câu 21. Cho tam giác đều ABC . Mệnh đề nào sau đây sai ?     A. AB  BC . B. AC  BC .     C. AB  BC . D. AC không cùng phương BC . Lời giải Chọn A.     Ta có tam giác đều ABC  AB, BC không cùng hướng  AB  BC . Câu 22. Chọn khẳng định đúng A. Hai vec tơ cùng phương thì cùng hướng. B. Hai véc tơ cùng hướng thì cùng phương. C. Hai véc tơ cùng phương thì có giá song song nhau. D. Hai vec tơ cùng hướng thì có giá song song nhau. Lời giải Chọn B. Hai véc tơ cùng hướng thì cùng phương. Trang 4/8

Câu 23. Cho 3 điểm A , B , C không thẳng hàng, M là điểm bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng ?      A. M , MA  MB . B. M , MA  MB  MC .      C. M , MA  MB  MC . D. M , MA  MB . Lời giải Chọn C. Ta có 3 điểm A , B , C không thẳng hàng, M là điểm bất kỳ.       Suy ra MA, MB, MC không cùng phương  M , MA  MB  MC .  Câu 24. Cho hai điểm phân biệt A, B . Số vectơ ( khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ các điểm A, B là: A. 2 . B. 6 . C. 13 . D. 12 . Lời giải Chọn A.    Số vectơ ( khác 0 ) là AB ; BA . Câu 25. Cho tam giác đều ABC , cạnh a . Mệnh đề nào sau đây đúng ?    A. AC  a . B. AC  BC .    C. AB  a . D. AB cùng hướng với BC . Lời giải Chọn C.  Ta có tam giác ABC đều, cạnh a  AB  a . Câu 26. Gọi C là trung điểm của đoạn AB . Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau :     A. CA  CB . B. AB và AC cùng hướng.     C. AB và CB ngược hướng. D. AB  CB . Lời giải Chọn B.   Ta có C là trung điểm của đoạn AB và AC cùng hướng. Câu 27. Chọn khẳng định đúng.     A. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu a  b , nếu chúng cùng phương và cùng độ dài.   B. Hai vectơ AB và CD được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành.   C. Hai vectơ AB và CD được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình vuông.     D. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu a  b , nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Lời giải Chọn D. A sai do hai vectơ cùng hướng. B sai do hai vectơ cùng hướng. C sai do hai vectơ cùng hướng.  Câu 28. Cho tứ giác ABCD . Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C , D ? A. 4 . B. 8 . C. 10 . D. 12 . Lời giải Chọn D. Câu 29. Chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau : Trang 5/8

A. Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng. B. Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. C. Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. D. Cả A, B, C đều đúng. Lời giải Chọn D. Cả 3 ý đều đúng. Câu 30. Cho ba điểm A , B , C phân biệt. Khi đó :   A. Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là AC cùng phương với AB .   B. Điều kiện đủ để A , B , C thẳng hàng là CA cùng phương với AB .   C. Điều kiện cần để A , B , C thẳng hàng là CA cùng phương với AB .   D. Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là AB  AC . Lời giải Chọn A.   Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là AC cùng phương với AB .             Các vectơ đó là: AB, AC , AD, BA, BC , BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC . Câu 31. Cho đoạn thẳng AB , I là trung điểm của AB . Khi đó:     A. BI  AI . B. BI cùng hướng AB .     C. BI  2 IA . D. BI  IA . Lời giải Chọn D.   BI  IA vì I là trung điểm của AB . Câu 32. Cho tam giác đều ABC . Mệnh đề nào sau đây là sai?     A. AC  BC . B. AB  BC .     C. AB  BC . D. AC không cùng phương BC . Lời giải Chọn B. B. sai do hai vectơ không cùng phương.

 Câu 33. Cho hình bình hành ABCD . Các vectơ là vectơ đối của vectơ AD là       A. AD, BC . B. BD, AC . C. DA, CB .

  D. AB, CB .

Lời giải Chọn C.    Vectơ đối của vectơ AD là DA, CB .

 Câu 34. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Ba vectơ bằng vecto BA là:          A. OF , DE , OC . B. CA, OF , DE . C. OF , DE , CO .

   D. OF , ED, OC .

Lời giải Chọn C.     Ba vectơ bằng vecto BA là OF , DE , CO .   Câu 35. Cho tứ giác ABCD . Nếu AB  DC thì ABCD là hình gì? Tìm đáp án sai. A. Hình bình hành. B. Hình vuông. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang. Lời giải Chọn D. Câu 36. Cho lục giác ABCDEF , tâm O . Khẳng định nào sau đây đúng nhất?       A. AB  ED . B. AB  OC . C. AB  FO . D. Cả A,B,C đều đúng. Trang 6/8

Lời giải Chọn D.       Ta có ABCDEF là lục giác, tâm O . Suy ra AB  ED , AB  OC , AB  FO .     Câu 37. Cho AB khác 0 và cho điểm C . Có bao nhiêu điểm D thỏa AB  CD . A. Vô số.

B. 1 điểm.

C. 2 điểm. Lời giải

D. không có điểm nào.

Chọn A.   Có vô số điểm D thỏa AB  CD . Câu 38. Chọn câu sai : A. Mỗi vectơ đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.   B. Độ dài của vectơ a được kí hiệu là a .    C. 0  0, PQ  PQ .  D. AB  AB  BA . Lời giải Chọn C.  Vì PQ  PQ . Câu 39. Cho khẳng định sau   (1). 4 điểm A , B , C , D là 4 đỉnh của hình bình hành thì AB  CD .   (2). 4 điểm A , B , C , D là 4 đỉnh của hình bình hành thì AD  CB .   (3). Nếu AB  CD thì 4 điểm A, B, C , D là 4 đỉnh của hình bình hành.   (4). Nếu AD  CB thì 4 điểm A , B , C , D theo thứ tự đó là 4 đỉnh của hình bình hành. Hỏi có bao nhiêu khẳng định sai? A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B.  Nếu AD  CB thì 4 điểm A , D , B , C theo thứ tự đó là 4 đỉnh của hình bình hành. Câu 40. Câu nào sai trong các câu sau đây:     A. Vectơ đối của a  0 là vectơ ngược hướng với vectơ a và có cùng độ dài với vectơ a .   B. Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0 .     C. Nếu MN là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kì ta luôn có thể viết : MN  OM  ON . D. Hiệu của hai vectơ là tổng của vectơ thứ nhất với vectơ đối của vectơ thứ hai. Lời giải Chọn C.    Nếu MN là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kì ta luôn có thể viết : MN  ON  OM . Câu 41. Cho ba điểm M , N , P thẳng hàng, trong đó điểm N nằm giữa hai điểm M và P . Khi đó các cặp vecto nào sau đây cùng hướng ?         A. MP và PN . B. MN và PN . C. NM và NP . D. MN và MP . Lời giải Chọn D.   MN và MP là hai vectơ cùng hướng.  Câu 42. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Các vectơ đối của vectơ OD là:          A. OA, DO, EF , CB . B. OA, DO, EF , OB, DA . Trang 7/8

     C. OA, DO, EF , CB, DA .

    D. DO, EF , CB, BC . Lời giải

Chọn A.      Các vectơ đối của vectơ OD là: OA, DO, EF , CB . Câu 43. Cho hình bình hành ABGE . Đẳng thức nào sau đây đúng.         A. BA  EG . B. AG  BE . C. GA  BE . D. BA  GE . Lời giải Chọn D.   hình bình hành ABGE  BA  GE .  Câu 44. Số vectơ ( khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 7 điểm phân biệt cho trước là A. 42 . B. 3 . C. 9 . D. 27 . Lời giải Chọn A.  Số vectơ ( khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 7 điểm phân biệt cho trước là 7.6  42 Câu 45. Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC , CD, DA . Trong các khẳng định sau, hãy tìm khẳng định sai?         A. MN  QP . B. MQ  NP . C. PQ  MN . D. MN  AC . Lời giải Chọn D. Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC . Suy ra MN 

 1  1 AC hay MN  AC 2 2

Câu 46. Mệnh đề nào sau đây đúng: A. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương.  B. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác 0 thì cùng phương. C. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng hướng. D. Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướng. Lời giải Chọn B. A. sai do vectơ thứ ba có thể là vectơ không. B. đúng. Câu 47. Cho tam giác đều ABC với đường cao AH . Đẳng thức nào sau đây đúng.        3  A. HB  HC . B. AC  2 HC . C. AH  HC . D. AB  AC . 2 Lời giải Chọn B. A. sai do hai vectơ ngược hướng.   B. đúng vì H là trung điểm AC và AC , HC cùng hướng . Câu 48. Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai.       A. AB  CD . B. BC  DA . C. AC  BD .

  D. AD  BC .

Lời giải Chọn A.   AC  BD sai do ABCD là hình bình hành. Câu 49. Cho hai điểm phân biệt A và B . Điều kiện để điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB là: Trang 8/8

  A. IA   IB .

  B. AI  BI .

C. IA  IB . Lời giải

  D. IA  IB .

Chọn  A.     IA  IB  0  IA   IB . Câu 50. Cho tam giác ABC với trục tâm H . D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là đúng ?         A. HA  CD và AD  CH . B. HA  CD và DA  HC .           C. HA  CD và AD  HC . D. HA  CD và AD  HC và OB  OD . Lời giải Chọn C.   Ta có BD là đường kính  OB  DO . Ta có AH  BC , DC  BC  AH / / DC (1) Ta lại có CH  AB, DA  AB  CH / / DA(2)

    Từ 1 2   tứ giác HADC là hình bình hành  HA  CD; AD  HC .

Trang 9/8

Chương 1

VECTO CHUYÊN ĐỀ 2 TỔNG CỦA HAI VECTO §2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tổng hai vectơ

    a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a ; b . Từ điểm A tùy ý vẽ AB = a rồi từ B      vẽ BC = b khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a ; b .    Kí hiệu AC = a + b (Hình 1.9) B  b) Tính chất :      a   b + Giao hoán : a + b = b + a       a b + Kết hợp : (a + b) + c = a + (b + c)   C A     a +b + Tính chất vectơ – không: a + 0 = a, "a Hình 1.9 2. Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối của một vectơ.   Vectơ đối của vectơ a là vectơ ngược hướng và cúng độ dài với vectơ a  Kí hiệu -a       Như vậy a + -a = 0, "a và AB = -BA

( )

b) Định nghĩa hiệu hai vectơ:         Hiệu của hai vectơ a và b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b . Kí hiệu là a - b = a + -b 3. Các quy tắc:

( )

   Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC    Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC    Quy tắc về hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB -OA = AB Chú ý: Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A1, A2 ,..., An thì     A1A2 + A2A3 + ... + An -1An = A1An Câu 1.

Cho hình bình hành ABCD ,với giao điểm hai đường chéo là I . Khi đó:             A. AB  IA  BI . B. AB  AD  BD . C. AB  CD  0 . D. AB  BD  0 . Lời giải Chọn C.          Ta có: AB  IA  IB , AB  AD  AC , AB  CD  0 .

Câu 2.

Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm của tam giác ABC , với M là trung điểm của BC .                A. MA  MC  0 . B. AG  BG  CG  0 . C. AG  GB  GC  0 . D. GA  GB  GC  0 . Lời giải Chọn C.       AG  GB  GC  AB  GC  0 vì hai vec-tơnày không cùng phương. Trang 1/10

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn AB .        A. OA  OB . B. OA  OB . C. AO  BO . D. OA  OB  0 . Lời giải Chọn D.    Điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn AB là OA  OB  0 . Cho 4 điểm A, B, C , D . Đẳng thức nào sau đây đúng.         A. AB  CD  AC  BD . B. AB  CD  AD  BC .         C. AB  CD  AD  CB . D. AB  CD  DA  BC . Lời giải Chọn C.         AB  CD  AD  DB  CB  BD  AD  CB . Chọn khẳng định đúng :     A. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA  GB  CG  0 .     B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA  GB  GC  0 .     C. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA  AG  GC  0 .    D. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA  GB  GC  0 . Lời giải Chọn B. Chọn khẳng định sai    A. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì IA  BI  0 .    B. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì AI  IB  AB .    C. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì AI  BI  0 .    D. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì IA  IB  0 . Lời giải Chọn A.       IA  BI  BI  IA  BA  0 . Cho các điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng ?             A. AB  BC  CA . B. AB  CB  AC . C. AB  BC  AC . D. AB  CA  BC . Lời giải Chọn B.      AB  AC  CB  CB  AC .   Cho hình bình hành ABCD tâm O . Khi đó OA  BO        A. OC  OB . B. AB . C. OC  DO . D. CD . Lời giải Chọn D.     OA  BO  BA  CD . Cho tam giác ABC , trọng tâm là G . Phát biểu nào là đúng?       A. AB  BC  AC . B. GA  GB  GC  0 .       C. AB  BC  AC . D. GA  GB  GC  0 . Lời giải Chọn D.     GA  GB  GC  0  0 Trang 2/10

Câu 10. Cho các điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng ?          A. AB  CB  CA . B. BA  CA  BC . C. BA  BC  AC . Lời giải Chọn B.      BA  BC  CA  CA  BC   Câu 11. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Khi đó AB  AC  A. a 3 .

B.

a 3 . 2

C. 2a .

   D. AB  BC  CA .

D. a .

Lời giải Chọn A.

Dựng hình bình hành ABCD vàgọi M là trung điểm của BC .    Ta có AB  AC  AD  AD  2 AM  a 3 Câu 12. Gọi B là trung điểm của đoạn thẳng AC . Đẳng thức nào sau đây là đúng?      A. AB  CB  0 . B. BA  BC .      C. Hai véc tơ BA, BC cùng hướng. D. AB  BC  0 . Lời giải Chọn A.

   Do B là trung điểm của đoạn thẳng AC nên AB  CB  0 .   Câu 13. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Khi đó AB  AD bằng: A. a 2 .

B.

a 2 . 2

C. 2a .

D. a .

Lời giải Chọn A.    Ta có: AB  AD  AC  AC  a 2

  Câu 14. Cho hình chữ nhật ABCD biết AB  4a và AD  3a thì độ dài AB  AD = ?

A. 7a .

B. 6a .

C. 2a 3 . Lời giải

D. 5a .

Chọn D.    AB  AD  AC  AC  5a Câu 15. Cho 6 điểm A, B, C , D, E , F . Đẳng thức nào sau đây đúng.               A. AB  CD  FA  BC  EF  DE  0 . B. AB  CD  FA  BC  EF  DE  AF .               C. AB  CD  FA  BC  EF  DE  AE . D. AB  CD  FA  BC  EF  DE  AD . Trang 3/10

Lời giải Chọn A.              AB  CD  FA  BC  EF  DE  AB  BC  CD  DE  EF  FA  0

  Câu 16. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC  12 . Tổng hai vectơ GB  GC có độ dài bằng bao nhiêu ? A. 2 .

B. 4 .

C. 8 . Lời giải

D. 2 3

Chọn B. Dựng hình bình hành GBDC . Gọi M là trung điểm BC .    2 1 1 Khi đó ta có GB  GC  GD  GD  2GM  AM  BC  .12  4 3 3 3 Câu 17. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đẳng thức nào sau đây đúng ?           A. AO  BO  OC  DO  0 . B. AO  BO  CO  DO  0 .           C. AO  OB  CO  DO  0 . D. OA  BO  CO  DO  0 . Lời giải Chọn B.            AO  BO  CO  DO  AO  CO  BO  DO  0  0  0



 



Câu 18. Cho các điểm phân biệt A, B, C , D, E , F . Đẳng thức nào sau đây sai ?             A. AB  CD  EF  AF  ED  BC . B. AB  CD  EF  AF  ED  CB .             C. AE  BF  DC  DF  BE  AC . D. AC  BD  EF  AD  BF  EC . Lời giải Chọn B.            AO  BO  CO  DO  AO  CO  BO  DO  0  0  0      Câu 19. Chỉ ravectơtổng MN  PQ  RN  NP  QR trong các vectơsau:     A. MR . B. MQ . C. MP . D. MN .



 



Lời giải Chọn D.            MN  PQ  RN  NP  QR  MN  NP  PQ  QR  RN  MN

  Câu 20. Cho G là trọng tâm tam giác ABC vuông, cạnh huyền BC  12 . Độ dài vectơ GB  GC bằng: A. 2 . B. 8 . C. 6 . D. 4 . Lời giải Chọn D. Dựng hình bình hành GBDC . Gọi M là trung điểm BC .    2 1 1 Khi đó ta có GB  GC  GD  GD  2GM  AM  BC  .12  4 3 3 3 0 Câu 21. Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh bằng a và góc A .bằng 60 . Kết luận nào sau đây đúng:  a 3  a 2    A. OA  . B. OA  a . C. OA  OB . D. OA  . 2 2 Lời giải Chọn A.

Trang 4/10

 AB 3 a 3 Do tam giác ABC đều nên OA   2 2 Câu 22. Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai ?         A. AB  CD . B. CA  CB  CD . C. AB  CD  0 . Lời giải Chọn A.    AB  DC  CD  Câu 23. Cho 4 điểm A, B, C , O bất kì. Chọn kết quả đúng. AB       A. OA  OB . B. OA  OB . C. B A .

  D. BC  AD .

  D. AO  OB .

Lời giải Chọn A.    AB  AO  OB Câu 24. Cho hình chữ nhật ABCD , gọi O là giao điểm của     A. OA  OB  OC  OD . B.      C. OA  OB  OC  OD  0 . D.

AC và BD , phát biểu nào là đúng?   AC  BD .    AC  DA  AB .

Lời giải Chọn D.     AC  DA  DC  AB . Câu 25. Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của 2 đường chéo. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?           A. IA  IC  0 . B. AB  DC . C. AC  BD . D. AB  AD  AC . Lời giải Chọn C.   AC  BD saivì hai vec-tơ này không cùng phương.   Câu 26. Cho tam giácABC. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC , BC . Hỏi MP  NP bằng vec tơ nào?  A. AM .

 B. PB .

 C. AP . Lời giải

 D. MN .

Chọn C.

   Theo qui tắc hình bình hành ta có MP  NP  AP . Trang 5/10

Câu 27. Cho các điểm phân biệt A, B, C , D . Đẳng thức nào sau đây đúng ?         A. AB  DC  BC  AD . B. AC  DB  CB  DA .         C. AC  BD  CB  AD . D. AB  DA  DC  CB . Lời giải Chọn D.      AB  DA  DB  DC  CB .   Câu 28. Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O . Khi đó: OA  OB  A. a .

B.

2a .

C.

a . 2

D. 2a .

Lời giải Chọn A.

Dựng hình bình hành OAEB và gọi M là giao điểm của AB và OE .    Ta có: OA  OB  OE  OE  2OM  a   Câu 29. Cho hình chữ nhật ABCD biết AB  4a và AD  3a thì độ dài AB  AD  ? A. 7a .

B. 6a .

C. 2a 3 . Lời giải

D. 5a .

Chọn D.    AB  AD  AC  AC  5a .

  Câu 30. Cho tam giác đều ABC cạnh 2a . Khi đó AB  AC =

A. 2a .

B. 2a 3 .

C. 4a .

D. a 3 .

Lời giải Chọn D.

Trang 6/10

   Dựng hình bình hành ABDC tâm E . Ta có AB  AC  AD  AD  2 AE  a 3    Câu 31. Cho 6 điểm A, B, C , D, E , F . Tổng véc tơ : AB  CD  EF bằng       A. AF  CE  DB . B. AE  CB  DF .       C. AD  CF  EB . D. AE  BC  DF . Lời giải Chọn C.             AB  CD  EF  AD  DB  CF  FD  EB  BF  AD  CF  EB .



 

 



Câu 32. Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào dưới đây là đẳng thức sai?        A. OA  OC  OE  0 . B. BC  FE  AD .         C. OA  OB  OC  EB . D. AB  CD  FE  0 . Lời giải Chọn D.

          AB  CD  FE  AB  BO  FE  AO  OD  AD  0 . Câu 33. Cho hình bình hành ABCD . Khẳng định sai            A. AB  BC  AC . B. AB  CD . C. AB  AD  AC . D. AC  CD  AD . Lời giải Chọn B.    AB  DC  CD .   Câu 34. Cho ABC vuông tại A và AB  3 , AC  4 . Véctơ CB  AB có độ dài bằng A. 13 .

B. 2 13 .

C. 2 3 . Lời giải

D.

3.

Chọn B.

Dựng hình bình hành ABCD tâm E .    Ta có CB  AB  DB  DB  2 EB  2 AE 2  BE 2  2 13 . Trang 7/10

Câu 35. Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C , O . Đẳng thức nào sau đây là đúng:             A. OA  CA  OC . B. AB  AC  BC . C. AB  OB  OA . D. OA  OB  AB . Lời giải Chọn A.      OA  OC  CA  CA  OC . Câu 36. Chọn đẳngthức đúng:             A. BC  AB  CA . B. BA  CA  BC . C. OC  AO  CA . D. AB  CB  AC . Lời giải Chọn D.     Câu 37. Cho tam giác ABC . Để điểm M thoả mãn điều kiện MA  BM  MC  0 thì M phải thỏa mãn mệnh đề nào? A. M là điểm sao cho tứ giác ABMC là hình bình hành. B. M là trọng tâm tam giác ABC . C. M là điểm sao cho tứ giác BAMC là hình bình hành. D. M thuộc trung trực của AB . Lời giải Chọn C.          MA  BM  MC  0  MA  BC  0  BC  AM Vậy M là điểm sao cho tứ giác BAMC là hình bình hành.      Câu 38. Cho bốn điểm A, B, C , D phân biệt. Khi đó vectơ u  AD  BA  CB  DC bằng:        A. u  AD . B. u  0 . C. u  CD . D. u  AC . Lời giải Chọn B.           u  AD  BA  CB  DC  AD  DC  CB  BA  0 . Câu 39. Cho hình bình hành ABCD có tâm O . Khẳng định nào sau đây là đúng:             A. AO  BO  BD . B. AO  AC  BO . C. OB  AO  CD . D. AB  CA  DA . Lời giải Chọn D.

    AB  CA  CB  DA .

    Câu 40. Kết quả bài toán tính : AB  CD  DA  BC là    A. D B . B. 2 BD . C. 0 .

 D.  AD .

Lời giải Chọn C.          AB  CD  DA  BC  AB  BC  CD  DA  0 . Câu 41. Chọn kết quảsai          A. BA  AB  0 . B. CA  AC  AB . C. CA  BC  BA . Lời giải

   D. MN  NX  MX .

Trang 8/10

Chọn B.     CA  AC  0  AB .      Câu 42. Vectơ tổng MN  PQ  RN  NP  QR bằng:     A. MN . B. PN . C. MR . D. NP . Lời giải Chọn A.              MN  PQ  RN  NP  QR  MN  NP  PQ  QR  RN  MN  0  MN     Câu 43. Cho ABC . Điểm M thỏa mãn MA  MB  CM  0 thì điểm M là A. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AC và BC làm hai cạnh. B. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và AC làm hai cạnh. C. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và BC làm hai cạnh. D. trọng tâm tam giác ABC . Lời giải Chọn B.        MA  MB  CM  0  MA  MB  MC . Vậy M là đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và AC làm hai cạnh. Câu 44. Cho hình thang ABCD có AB song song với CD . Cho AB  2a; CD  a . Gọi O là trung điểm của AD . Khi đó :   3a     A. OB  OC  a . B. OB  OC  . C. OB  OC  2a . 2 Lời giải Chọn D.

  D. OB  OC  3a .

Dựng hình bình hành OBFC tâm E . Khi đó    OB  OC  OF  OF  2OE  AB  CD  3a . Câu 45. Cho tam giác đều ABC cạnh a , trọng tâm là G . Phát biểu nào là đúng?      A. AB  AC . B. GA  GB  GC .       C. AB  AC  2a . D. AB  AC  3 AB  CA . Lời giải Chọn D.

Trang 9/10

   Dựng hình bình hành ABDC tâm E . Ta có AB  AC  AD  AD  2 AE  a 3    3 AB  CA  3 CB  3CB  3a     Vậy AB  AC  3 AB  CA .

Câu 46. Cho 4 điểm bất kì A, B, C , O . Đẳng thức nào sau đây đúng?          A. OA  OB  AB . B. AB  OB  OA . C. AB  AC  BC . Lời giải Chọn D.      OA  OC  CA  CA  OC .

   D. OA  CA  OC .

  Câu 47. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a , H là trung điểm cạnh BC . Vectơ CH  CH có độ dài là: A. a .

B.

3a . 2

C.

2a 3 . 3

D.

a 7 . 2

Lời giải Chọn A.

     CH  CH  CH  HB  CB  CB  a .

Câu 48. Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C , D . Đẳng thức nào sau đây là đúng:              A. OA  CA  CO . B. BC  CA  AB  0 . C. BA  OB  AO . D. OA  OB  AB . Lời giải Chọn B.       BC  CA  AB  BA  AB  0 .     Câu 49. Cho tam giác ABC . Tập hợp những điểm M sao cho: MA  MB  MC  MB là: A. M nằm trên đường trung trực của BC . B. M nằm trên đường tròn tâm I ,bán kính R  2 AB với I nằm trên cạnh AB sao cho IA  2 IB . C. M nằm trên đường trung trực của IJ với I , J lần lượt là trung điểm của AB và BC .

Trang 10/10

D. M nằm trên đường tròn tâm I , bán kính R  2 AC với I nằm trên cạnh AB sao cho IA  2 IB . Lời giải Chọn C. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và BC . Khi đó:       MA  MB  MC  MB  2 MI  2 MJ  MI  MJ Vậy M nằm trên đường trung trực của IJ .

  Câu 50. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Khi đó AB  AC bằng:

A.

a 5 . 2

B.

a 3 . 2

C.

a 3 . 3

D. a 5 .

Lời giải Chọn D.

Dựng hình bình hành ABEC tâm F .    a2 2 2 2 Ta có: AB  AC  AE  AE  2 AF  2 AB  BF  2 a  a 5. 4

Trang 11/10

Chương 1

VECTO CHUYÊN ĐỀ 3 HIỆU CỦA HAI VECTO §2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tổng hai vectơ

    a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a ; b . Từ điểm A tùy ý vẽ AB = a rồi từ B      vẽ BC = b khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a ; b .    Kí hiệu AC = a + b (Hình 1.9) B  b) Tính chất :      a   b + Giao hoán : a + b = b + a       a b + Kết hợp : (a + b) + c = a + (b + c)   C A     a +b + Tính chất vectơ – không: a + 0 = a, "a Hình 1.9 2. Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối của một vectơ.   Vectơ đối của vectơ a là vectơ ngược hướng và cúng độ dài với vectơ a  Kí hiệu -a       Như vậy a + -a = 0, "a và AB = -BA

( )

b) Định nghĩa hiệu hai vectơ:         Hiệu của hai vectơ a và b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b . Kí hiệu là a - b = a + -b

( )

3. Các quy tắc:

   Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC    Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC    Quy tắc về hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB -OA = AB Chú ý: Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A1, A2 ,..., An thì     A1A2 + A2A3 + ... + An -1An = A1An Câu 1. Cho 4 điểm bất kì A, B, C , O . Đẳng thức nào sau đây đúng?             A. OA  OB  BA . B. AB  OB  OA . C. AB  AC  BC . D. OA  CA  CO . Lời giải ChọnD.    Theo qui tắc 3 điểm ta có: OA  CA  CO . Câu 2. Cho hai điểm phân biệt A, B . Điều kiện để điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB là: 



A. IA  IB .





B. AI  BI .





C. IA   IB . Lời giải

D. IA  IB .

ChọnC.

    Vì IA  IB và IA, IB chiều nên IA   IB . Câu 3.

Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây là đúng?          A. AB  BC  CA . B. AB  CA  CB . C. CA  BA  BC .







D. AB  AC  BC . Trang 1/10

Lời giải ChọnC.

     AB  CA  CA  AB  CB (Qui tắc 3 điểm).

Câu 4. Chọn khẳng định sai:

   A. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì IA  IB  0 .    B. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì AI  BI  AB .    C. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì AI  IB  0 .    D. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì IA  BI  0 . Lời giải ChọnA.     Ta có: IA  IB  BA  0 . Câu 5. Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai ?          A. BD  DC  CB . B. BD  CD  CB . C. BD  BC  BA . Lời giải ChọnA.     DC  CB  DB  BD . Câu 6. Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C , D . Đẳng thức nào sau đây là đúng: 







A. OA  CA  CO .    C. BA  OB  OA .















D. AC  AB  AD .



B. BC  AC  AB  0 .    D. OA  OB  BA . Lời giải

ChọnB.          Ta có: BC  AC  AB  AB  BC  AC  AC  AC  0 .   Câu 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O . Khi đó: OA  BO  A. a .

B. 2a .

a . 2 Lời giải

D. 2a .

C.

ChọnA.

     Ta có: OA  BO  CO  OB  CB  a . Câu 8. Cho tam giác ABC , khẳng định nào sau là đúng?          A. AB  AC  BC . B. AB  BC  AC . C. AB  AC  BC . Lời giải ChọnB.    Ta có: AB  BC  AC (qui tắc 3 điểm).

 



D. AB  BC  AC .



 

Câu 9. Cho ba vectơ a, b và c đều khác vectơ – không. Trong đó hai vectơ a, b cùng hướng, hai vectơ

  a , c đối nhau. Khẳng định nào sau đây đúng ?   A.Hai vectơ b và c cùng hướng.   C.Hai vectơ b và c đối nhau.









B.Hai vectơ b và c ngược hướng. D.Hai vectơ b và c bằng nhau. Trang 2/10

Lời giải ChọnB.

. Câu 10. Cho các điểm phân biệt A, B, C , D, E , F . Đẳng thức nào sau đây sai ?             A. AB  CD  EF  AF  ED  BC . B. AB  CD  EF  AF  ED  CB .             C. AE  BF  DC  DF  BE  AC . D. AC  BD  EF  AD  BF  EC . Lời giải ChọnA.       Ta có: AB  CD  EF  AF  ED  BC         AB  AF  CD  BC  EF  ED  0       FB  DF  CD  CB  0      DB  CD  CB  0

    CB  CB  0 (vô lý).

  Câu 11. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC  12 . Vectơ GB  CG có độ dài bằng bao nhiêu?

A. 2 .

B. 4 .

C. 8 . Lời giải

D. 2 3 .

ChọnB.

     2  Ta có: GB  CG  GB  GC  2GE  GE 3   2  2 BC BC  GB  CG  GE  .   4. 3 3 2 3 Câu 12. Cho tam giác đều ABC cạnh a , trọng tâm là G . Phát biểu nào là đúng?      A. AB  AC . B. GA  GB  GC .       C. AB  AC  2a . D. AB  AC  3 AB  AC .

Lời giải ChọnD.

Trang 3/10

   a 3 AB  AC  2 AH  2  a 3. 2    3 AB  AC  3 CB  a 3 .     Vậy: AB  AC  3 AB  AC

     a Câu 13. Cho , b  0 , a, b đối nhau. Mệnh đề dưới đây sai là:     a , b a A. ngược hướng. B. , b cùng độ dài.      a , b a C. cùng hướng. D.  b  0 . Lời giải ChọnC.

   a, b đối nhaunên chúng có cùng độ dài, ngược hướng và có tổng bằng 0 . Câu 14. Cho hình chữ nhật ABCD , gọi O là giao điểm của AC và BD , phát biểu nào là đúng? 







A. OA  OB  OC  OD .      C. OA  OB  OC  OD  0 .





B. AC  BD .    D. AC  AD  AB . Lời giải

ChọnC.

    Ta có: OA là vectơ đối của OC , OB là vectơ đối của OD      Vậy: OA  OB  OC  OD  0    Câu 15. Cho hình vuông ABCD cạnh a , độ dài vectơ AB  AC  BD bằng: A. a . B. 3a . C. a 2 . Lời giải ChọnA.       Ta có: AB  AC  BD  CB  BD  CD    AB  AC  BD  CD  a .

D. 2a 2 .





Câu 16. Cho hình chữ nhật ABCD có AB  a, AD  a 3 . Độ dài của vectơ CB  CD là: A. a

3.

B. 2a .

C.

a 2 . 3

D. 3a .

Lời giải ChọnB.    Ta có: CB  CD  DB  DB  AB 2  AD 2  2a . 



Câu 17. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Khi đó OA  OB       A. OC  OB . B. AB . C. OC  OD . Lời giải ChọnD.



D. CD .

Trang 4/10

    Ta có: OA  OB  BA  CD . Câu 18. Cho các điểm phân biệt A, B, C , D . Đẳng thức nào sau đây đúng ?         A. AB  CD  BC  DA . B. AC  BD  CB  AD .         C. AC  DB  CB  DA . D. AB  AD  DC  BC . Lời giải ChọnD.         Ta có: AB  AD  DB, DC  BC  DC  CB  DB . 







Vậy: AB  AD  DC  BC .   Câu 19. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi G là trọng tâm. Khi đó giá trị AB  GC là: A. a .

B.

3

2a 3 . 3

C. 2a .

D.

3

a 3 . 3

Lời giải ChọnB.





















Ta có: AB  GC  AH  HB  CG  AC  CB  CG  AG  CB

   a 3 2a 3  2 GH  HB  2 GB  2.  . 3 3      Câu 20. Chỉ ra vectơ tổng MN  QP  RN  PN  QR trong các vectơ sau:    A. MR . B. MQ . C. MP .

 D. MN .

Lời giải ChọnD.       Ta có: MN  NP  PQ  QR  RN  MN . Câu 21. Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý. Đẳng thức nào sau đây đúng ?         A. MA  MB  MC  MD . B. MA  MD  MC  MB .         C. AM  MB  CM  MD . D. MA  MC  MB  MD . Lời giải ChọnD.     Ta có: MA  MC  MB  MD       MA  MC  MB  MD  0       MA  MB  MC  MD  0     BA  DC  0. (đúng). Câu 22. Cho các điểm phân biệt A, B, C , D . Đẳng thức nào sau đây đúng? 







A. AC  BD  BC  DA .     C. AC  BD  CB  AD .









B. AC  BD  CB  DA .     D. AC  BD  BC  AD . Trang 5/10

Lời giải ChọnD.         Ta có: AC  BD  AD  DC  BC  CD  AD  BC . Câu 23. Cho tam giác ABC có M , N , D lần lượt là trung điểm của AB, AC , BC . Khi đó, các vectơ đối  của vectơ DN là:

  

  

A. AM , MB, ND .

B. MA, MB, ND .

 

  

C. MB, AM .

D. AM , BM , ND .

Lời giải ChọnA.



  

Nhìn hình ta thấy vectơ đối của vectơ DN là: AM , MB, ND . Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có tâm O . Khẳng định nào sau đây là sai:          A. AO  BO  BC . B. AO  DC  OB . C. AO  BO  DC . Lời giải ChọnB.



























Ta có: AO  DC  AO  AB  OB . Câu 25. Cho các điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. AB  BC  AC .



D. AO  BO  CD .





B. AB  CB  CA .







C. AB  BC  CA . Lời giải



D. AB  CA  CB .

ChọnB.    Ta có: AB  CB  CA (qui tắc 3 điểm).

  Câu 26. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a , H là trung điểm cạnh BC . Vectơ CH  HC có độ dài là:

A. a .

B.

3a . 2

2a 3 . 3 Lời giải C.

D.

a 7 . 2

ChọnA.

     Ta có: CH  HC  CH  CH  CB . Độ dài là BC  a . Trang 6/10











Câu 27. Cho bốn điểm A, B, C , D phân biệt. Khi đó vectơ u  AD  CD  CB  DB là:         A. u  0 . B. u  AD . C. u  CD . D. u  AC . Lời giải ChọnB.             u  AD  CD  CB  DB  AD  DC  CB  BD  AC  CD  AD . Câu 28. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai? 





A. AB  BC  AC .







B. CA  AB  BC .

ChọnB.     Ta có: CA  AB  CB  BC . Câu 29. Cho A, B, C phân biệt, mệnh đề dưới đây đúng là: 





A. AB  AC  BC .







B. CA  BA  BC .

ChọnC.      Ta có: AB  CA  CA  AB  CB . Câu 30. Chọn kết quả sai:    A. BA  AB  0 .    C. CA  AC  AB . ChọnC.      Ta có : CA  AC  CC  0  AB .    Câu 31. Kết quả bài toán tính : AB  CD  AD là:  A. CB .

 2 B. BD .



















C. BA  AC  BC . Lời giải

C. AB  CA  CB . Lời giải













D. AB  AC  CB .

D. AC  BC  CA .

B. CA  CB  BA .    D. MN  NX  MX . Lời giải

  D. AD .

 C. 0 .

Lời giải ChọnA.    Ta có: AB  CD  AD        AB  AD  CD  DB  CD  CB . Câu 32. Cho hình bình hành ABCD có tâm O . Khẳng định nào sau đây là đúng:             A. AO  BO  BD . B. AO  AC  BO . C. AO  BO  CD . D. AB  AC  DA . Lời giải ChọnD.     Ta có: AB  AC  CB  DA .      Câu 33. Cho bốn điểm A, B, C , D phân biệt. Khi đó vectơ u  AD  CD  CB  AB bằng: 



A. u  AD .





B. u  0 .



C. u  CD . Lời giải





D. u  AC .

ChọnB.             Ta có: u  AD  CD  CB  AB  AD  AB  CB  CD  BD  DB  0 .

   

Câu 34. Cho ABC . Điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  0 thì điểm M là: A. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AC và BC làm hai cạnh. B. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và AC làm hai cạnh. C. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và BC làm hai cạnh. D. Trọng tâm tam giác ABC . Lời giải ChọnA.          Ta có: MA  MB  MC  0  MA  CB  0  MA  BC . Trang 7/10

Vậy M là đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AC và BC làm hai cạnh. Câu 35. Chọn đẳng thức đúng:             A. BC  AB  CA . B. BA  CA  BC . C. OC  OA  CA . D. AB  CB  AC . Lời giải ChọnD.    Ta có: AB  CB  AC (qui tắc 3 điểm). Câu 36. Cho 3 điểm A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng. 





A. AB  CB  CA .













B. BC  AB  AC . C. AC  CB  BA . Lời giải

ChọnA.    Ta có: AB  CB  CA (qui tắc 3 điểm). Câu 37. Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C , O . Đẳng thức nào sau đây là đúng: 





A. OA  CA  CO .













B. AB  AC  BC . C. AB  OB  OA . Lời giải













D. AB  CA  CB .

D. OA  OB  BA .

ChọnA.    Ta có: OA  CA  CO (qui tắc 3 điểm). Câu 38. Cho hình bình hành ABCD ,với giao điểm hai đường chéo là I . Khi đó:             A. AB  AI  BI . B. AB  DA  BD . C. AB  DC  0 . D. AB  DB  0 . Lời giải ChọnC.      Ta có: AB  DC  AB  AB  0 . Câu 39. Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm của tam giác ABC , với M là trung điểm của BC .        A. MA  CM  0 . B. AG  GB  GC  0 .         C. GB  GC  GA  0 . D. GA  GB  GC  0 . Lời giải ChọnC.     Điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm của tam giác ABC là GA  GB  GC  0 nên đáp án là C.   Câu 40. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Khi đó AB  CA  A. a 3 .

B.

a 3 . 2

C. 2a .

D. a .

Lời giải ChọnA. Gọi I là trung điểm BC .      a 3 a 3. Ta có: AB  CA  AB  AC  2 AM  2. 2

 

Câu 41. Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Giá trị | AB  CA | bằng bao nhiêu? A. 2a .

B. a .

C. a

3.

D.

a 3 . 2

Lời giải ChọnC.

Trang 8/10

Gọi M là trung điểm của BC .      a 3 a 3. Ta có: AB  CA  AB  AC  2 AM  2. 2 Câu 42. Gọi B là trung điểm của đoạn thẳng AC . Đẳng thức nào sau đây là đúng?    A. AB  BC  0 .   B. BA  BC .   C. Hai véc tơ BA, BC cùng hướng.    D. AB  CB  0 . Lời giải ChọnA.      Ta có: AB  BC  AB  CB  0 . Câu 43. Cho 4 điểm A, B, C , D . Đẳng thức nào sau đây đúng?         A. AB  DC  AC  DB . B. AB  CD  AD  BC .         C. AB  DC  AD  CB . D. AB  CD  DA  CB . Lời giải ChọnC.        Ta có: AB  DC  AD  DB  CD  AD  CB. Câu 44. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đẳng thức nào sau đây đúng ?           A. AO  BO  CO  DO  0 . B. AO  BO  CO  DO  0 .           C. AO  OB  CO  OD  0 . D. OA  OB  CO  DO  0 . Lời giải ChọnB.          Ta có: AO  BO  CO  DO  AO  CO  BO  DO  0 .     Do AO, CO đối nhau, BO, DO đối nhau.

Câu 45. Cho tam giác ABC , trọng tâm là G . Phát biểu nào là đúng?       A. AB  CB  AC . B. GA  GB  GC  0 .       C. AB  CB  AC . D. GA  BG  CG  0 . Lời giải ChọnD.        Ta có: GA  BG  CG  GA  GB  GC  0  0 . 







Câu 46. Cho tam giác ABC . Để điểm M thoả mãn điều kiện MA  MB  MC  0 thì M phải thỏa mãn mệnh đề nào? A. M là điểm sao cho tứ giác ABMC là hình bình hành. B. M là trọng tâm tam giác ABC . C. M là điểm sao cho tứ giác BAMC là hình bình hành. Trang 9/10

D. M thuộc trung trực của AB . Lời giải ChọnC.          Ta có: MA  MB  MC  0  BA  MC  0  MC  AB. Vậy: M là điểm sao cho tứ giác BAMC là hình bình hành. Câu 47. Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của 2 đường chéo. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?           A. IA  CI  0 B. AB  DC C. AC  BD D. AB  DA  AC Lời giải ChọnC.     Ta có: AC , BD không cùng phương và độ lớn nên AC  BD .

     

Câu 48. Cho ba lực F1  MA, F2  MB, F3  MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên.

 

Cho biết cường độ của F1 , F2 đều bằng 100N và

A. 50 2 N .

  AMB  600 . Khi đó cường độ lực của F3 là:

B. 50 3 N .

C. 25 3 N .

D. 100 3 N .

Lời giải ChọnD. Gọi I là trung điểm của AB. Vì MAB là tam giác đều nên MI  MA. Vậy MC  2 MI  100 3 N  Vậy: F3 có cường độ 100 3 N .



 

 

3  50 3. 2



Câu 49. Cho ba lực F 1  MA, F 2  MB, F 3  MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng

 

yên. Cho biết cường độ của F 1 , F 2 đều bằng 50N và góc

A. 100 3 N .

B. 25 3 N .

  AMB  600 . Khi đó cường độ lực của F3 là:

C. 50 3 N .

D. 50 2 N .

Lời giải Chọn C. Gọi I là trung điểm của AB. Vì MAB là tam giác đều nên MI  MA.

3  25 3. 2

Vậy MC  2 MI  50 3 N  Vậy: F3 có cường độ 50 3 N . Trang 10/10

Câu 50. Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào dưới đây là đẳng thức sai?        A. OA  OC  EO  0 . B. BC  EF  AD .         C. OA  OB  EB  OC . D. AB  CD  EF  0 . Lời giải Chọn B.

          Ta có: AB  CD  EF  AB  BO  OA  AO  OA  2 AO  0 .

Trang 11/10

Chương 1

VECTO

CHUYÊN ĐỀ 4 TÍCH CỦA HAI VECTO VỚI MỘT SỐ §3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT   1. Định nghĩa: Tích của vectơ a với số thực k ¹ 0 là một vectơ, kí hiệu là ka , cùng hướng với cùng    hướng với a nếu k > 0 , ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k a     Quy ước: 0a = 0 và k 0 = 0 2. Tính chất :        i) (k + m )a = ka + ma ii) k (a ± b) = ka ± kb ék = 0      iii) k (ma ) = (km )a iv) ka = 0 Û êê  a = 0 êë     v) 1a = a, (-1)a = -a 3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương        b cùng phương a ( a ¹ 0 ) khi và chỉ khi có số k thỏa b = ka

   Điều kiện cần và đủ để A, B,C thẳng hàng là có số k sao cho AB = kAC 4. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.       Cho a không cùng phương b . Với mọi vectơ x luôn được biểu diễn x = ma + nb với m , n là các số thực duy nhất. Câu 1:

Câu 2:

Chọn phát biểu sai?

  A. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB  k BC , k  0 .   B. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AC  k BC , k  0 .   C. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB  k AC , k  0 .   D. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB = k AC . Lời giải Chọn D.

  Ta có ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi  k  , k  0 sao cho AB = k AC .  Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G . Khi đó GA   2  2  1  A. 2GM . B. GM . C.  AM . D. AM . 3 3 2 Lời giải Chọn C. A

G B

M

C

Trang 1/15

2 AM 3    2  Mặtkhác GA và AM ngược hướng GA   AM . 3 Cho tam giác ABC có trọng tâm G và trung tuyến AM . Khẳng định nào sau đây là sai:        A. GA  2GM  0 . B. OA  OB  OC  3OG , với mọi điểm O .       C. GA  GB  GC  0 . D. AM  2 MG . Lời giải Chọn D.

Ta có GA 

Câu 3:

A

G B

C

M

Ta có AM  3MG   Mặtkhác AM và MG ngược hướng    AM  3MG .

Câu 4:

   Cho hình bình hành ABCD . Tổng các vectơ AB  AC  AD là     A. AC . B. 2 AC . C. 3 AC . D. 5 AC . Lời giải Chọn B.        Do hình bình hành ABCD . Ta có AB  AC  AD  AB  AD  AC  2 AC .   Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN  3MP . Điểm P được xác định đúng trong hình vẽnào sau đây:



Câu 5:

A. Hình 1.

Câu 6: