Chủ đề 10. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ Trong việc chứng minh bất đẳng thức hay tìm cực trị của một biểu thức, vận dụng phương pháp dồn biến để khảo sát hàm số là một chủ đề rất được nhiều bạn học sinh tham gia các kỳ thi chọn HSG và kỳ thi TSĐH, THPT – Quốc Gia quan tâm. Để có thể dồn một biểu thức nhiều biến về một biến chúng ta có nhiều kỹ thuật, tuy nhiên trong nội dung của chủ đề chúng tôi chỉ giới thiệu một số kỹ thuật quan trọng, thường gặp và sắp xếp theo sự phổ biến của các kỹ thuật đó gồm: - Vận dụng các bất đẳng thức kinh điển. - Kết hợp kỹ thuật đổi biến số. - Kết hợp kỹ thuật sắp thứ tự các biến. - Phương pháp tiếp tuyến. - Khảo sát hàm nhiều biến. - Kết hợp với việc sử dụng bổ đề. - Vận dụng kỹ thuật dồn biến cổ điển 1.
Dồn biến nhờ vận dụng kỹ thuật sử dụng các bất đẳng thức kinh điển. toán 1 . Cho các Bài a, b, c ∈ ( 0;1) : abc = (1 − a )(1 − b)(1 − c ) . Chứng a2 + b2 + c2 ≥
số minh
thực rằng
3 . 4
Phân tích. Khai triển đẳng thức ở giả thiết cho ta: 2
a2 + b2 + c2 = ( a + b + c − 1 ) + 1 − 4 abc 3
Để ý là : abc AM≤−GM
a+b+ c . Từ đó ta quy việc giải bài toán bất đẳng thức 3
về bài toán khảo sát hàm số theo biến t = a + b + c, t ∈ ( 0;3 ) . Lời giải. Ta có abc = 1 − ( a + b + c ) + ab + bc + ca − abc ⇔ 1 − ( a + b + c ) + ab + bc + ca = 2abc ⇔ 1 − ( a + b + c) +
( a + b + c)
2
(
− a2 + b2 + c2 2
) = 2abc
2
2
⇔ a2 + b2 + c2 = ( a + b + c − 1) + 1 − 4 abc ≥ ( a + b + c − 1) + 1 −
Đặt t = a + b + c ⇒ t ∈ ( 0;3 ) . Xét hàm số F ( t ) = − 4 9
4 3 ( a + b + c) 27
4 3 2 t + t − 2t + 2 27
3 2. t = 3
Ta có F ' ( t ) = − t2 + 2t − 2 = 0 ⇒
t=
3 3 Lập bảng biến thiên ta có: Min F ( t ) = F =
2 4 3 1 Vậy a2 + b2 + c2 ≥ . Dấu " = " xảy ra khi a = b = c = . 4 2
Bài toán
2.
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xz + 2 xy + yz = 4 z2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=
Lời giải. Ta có
x y 3 z + + 2 y + z 2x + z 2 x + y + z
2