SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN”

BÁO CÁO NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

SÁNG KIẾN HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT BÌNH XUYÊN ***

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến:

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN”

Tác giả sáng kiến: Lưu Thị Minh Nguyệt Mã sáng kiến: 31.52.11

Vĩnh Phúc, năm 2019 0

MỤC LỤC 1. Lời giới thiệu .................................................................................................... 2 2. Tên sáng kiến ................................................................................................... 3 3. Tác giả sáng kiến ............................................................................................. 3 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến ........................................................................... 3 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến ........................................................................... 3 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử ........................... 3 7. Mô tả bản chất của sáng kiến ......................................................................... 3 7.1. Về nội dung của sáng kiến ........................................................................ 3 PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ................................................................... 4 I. Kiến thức cơ bản....................................................................................... 4 II. Một số dạng toán cơ bản về viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu .................................................................................................... 9 PHẦN 2: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 17 I. Bài toán sử dụng tính toán thông thường và chức năng giải hệ ............. 17 II. Bài toán sử dụng chức năng vectơ ........................................................ 23 III. Bài toán sử dụng phím chức năng CALC và dấu hai chấm (“:”) ........ 31 IV. Bài toán hình học không gian sử dụng phương pháp tọa độ hóa ........ 43 PHẦN 3: THỰC NGHIỆM ........................................................................ 51 CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT .......................................................................... 58 7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến ...................................................... 58 8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có) .............................................. 58 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến ............................................ 58 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến ...................................................................................................................... 59 10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả ...................................................................... 59 10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân ..................................................... 59 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu ..................................................................................... 60

1

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu “Phương pháp tọa độ trong không gian” là một trong những phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Phần kiến thức này xuất hiện hàng năm trong các cuộc thi Tốt nghiệp THPT và thi Đại học - Cao đẳng trước kia hoặc thi THPT Quốc gia hiện nay. Trong quy chế mới thi THPT Quốc gia từ 2017, môn Toán sẽ chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Với quy chế thi mới, bên cạnh những thuận lợi và hiệu quả mang lại cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học cũng như trong các kì thi, thì giáo viên và học sinh cũng gặp không ít những khó khăn.

Trước đây, giải toán theo phương thức tự luận đòi hỏi rất cao về tư duy suy luận logic, học sinh cần nắm thật chắc kiến thức và trình bày theo các bước cho đúng trình tự mới đạt kết quả cao thì bây giờ thi theo hình thức trắc nghiệm, ngoài những kĩ năng như học và thi tự luận còn yêu cầu thêm nữa đó là phải học kiến thức trải rộng hơn. Ở bài thi trắc nghiệm thường sẽ là những bài yêu cầu giải nhanh và không quá rườm rà, phạm vi kiến thức rộng và bao quát hơn. Nếu như trước kia học sinh giải toán theo phương châm “chậm và chắc” thì với hình thức thi trắc nghiệm khách quan học sinh phải đổi từ “chậm” thành “nhanh”.

Một số câu kiểm tra về kiến thức lí thuyết yêu cầu học sinh phải ghi nhớ nhiều hơn.

Trước mọi sự thay đổi, hay nói cách khác là một cách thức thi mới, thì điều tất yếu là học sinh buộc phải tập làm quen với nó. Trong công việc “Trăm hay không bằng tay quen”, trong giải toán cũng vậy, khi giải nhiều đề thi trắc nghiệm học sinh sẽ tìm được những lỗi mà mình thường gặp phải cũng như nhanh tìm được một phương pháp giải tối ưu cho bài toán.

Một số bài toán khi giải theo phương thức tự luận có thể yêu cầu ở mức độ vận dụng cao nhưng khi ở dạng bài trắc nghiệm thì chúng ta có thể đưa về mức độ thông hiểu hoặc vận dụng thấp bằng cách thử đáp án để loại trừ đáp án không thỏa mãn và chọn đáp án thỏa mãn; hoặc đặc biệt hóa dữ kiện của bài toán để đơn giản hơn rồi so sánh kết quả với các đáp án mà đề bài đã cho để từ đó ta chọn đáp án thỏa mãn,… Khi đó, máy tính Casio là một công cụ hỗ trợ tuyệt vời và hiệu quả cho việc tính toán và thử đáp án.

Giải toán bằng máy tính Casio không có nghĩa là học sinh không phải tư duy. Phương pháp giải toán bằng máy tính Casio dựa trên hai cơ sở phát triển: tư duy thuật toán và lý tuyết cơ bản. Đôi khi chúng ta không giải theo phương thức tự luận truyền thống, nhưng vẫn luôn luôn lấy lý thuyết cơ bản làm nền tảng.

Máy tính không thể thay thế hoàn toàn con người, chúng ta cần thành thạo cả hai cách giải theo phương thức tự luận và sử dụng máy tính casio để đạt kết quả tốt và tiết kiệm thời gian tối đa. Nếu như học sinh vẫn còn một số hạn chế về năng lực trong việc học môn toán có thể bỏ qua cách giải tự luận với một số dạng bài. Tuy nhiên, học sinh vẫn cần phải rèn luyện kiến thức, kĩ năng, giải 2

thành thạo cả hai phương pháp, không sa đà vào việc nghĩ thuật toán bấm máy cho một câu không làm được.

Với mục đích góp phần giúp học sinh hứng thú hơn và học có hiệu quả hơn về chương “Phương pháp tọa độ trong không gian” tôi đã chọn đề tài: Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng máy tính Casio giải toán trắc nghiệm chương “Phương pháp tọa độ trong không gian”. Đề tài sẽ giúp học sinh hệ thống lại một số dạng bài tập cơ bản có thể sử dụng máy tính Casio để giải toán trắc nghiệm về những kiến thức cơ bản của chương như vectơ, mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian. Từ đó góp phần phát triển năng lực tính toán, giải quyết vấn đề và sáng tạo, đồng thời hỗ trợ cho học sinh trong việc học toán nói riêng cũng như các môn khoa học tự nhiên nói chung và trong kì thi THPT Quốc gia.

2. Tên sáng kiến: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” 3. Tác giả sáng kiến: - Họ và tên: Lưu Thị Minh Nguyệt - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Xuyên - Số điện thoại: - E_mail: 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lưu Thị Minh Nguyệt 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Hình học lớp 12 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 20/01/2018 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 7.1. Về nội dung của sáng kiến: Một số dạng toán về tọa độ trong không gian có thể sử dụng máy tính Casio: - Bài toán sử dụng tính toán thông thường và chức năng giải hệ (cộng, trừ, nhân, chia, lấy căn, lũy thừa, giá trị tuyệt đối, giải hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn,…): tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; tính độ dài vectơ, tích vô hướng của hai vectơ; tìm bán kính, diện tích, thể tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

- Bài toán sử dụng chức năng vectơ: tính độ dài vectơ; tính tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ; tính diện tích tam giác, diện tích hình bình hành, thể tích của khối hộp, thể tích tứ diện; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau.

- Bài toán sử dụng phím chức năng CALC và dấu hai chấm (“:”): kiểm tra điểm thuộc đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu; điểm là giao của đường thẳng với đường thẳng, mặt phẳng hoặc mặt cầu; điểm thuộc giao tuyến của hai mặt 3

phẳng; tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng, tọa độ hình chiếu của điểm trên đường thẳng; tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng hoặc qua đường thẳng; điểm thỏa mãn điều kiện cho trước; phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu đi qua một số điểm.

- Bài toán hình học không gian sử dụng phương pháp tọa độ hóa: việc áp dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình không gian giúp cho học sinh giải một số bài toán về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; góc giữa hai đường thẳng; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng; tính thể tích khối đa diện đơn giản hơn rất nhiều so với phương pháp giải thông thường. Tuy nhiên, việc vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình không gian thường áp dụng để giải một số bài toán có mối liên hệ vuông góc và khi việc dựng khoảng cách hoặc góc gặp khó khăn.

PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i, j, k là các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc hệ tọa độ Oxyz.

2 2 2 i = j = k = 1 và i. j = i.k = k. j = 0 .

Chú ý 2. Tọa độ của vectơ

a) Định nghĩa: u = ( x; y;z ) ⇔ u = xi + y j + zk

b) Tính chất Cho a = ( x1; y1;z1 ) , b = ( x 2 ; y 2 ;z 2 ) , k ∈ R

• a ± b = ( x1 ± x 2 ; y1 ± y2 ;z1 ± z 2 )

• ka = k ( x1; y1;z1 ) = ( kx1;k y1;k z1 )

 x1 = x 2

 • a = b ⇔  y1 = y2 z = z  1 2

• 0 = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1)

• a cùng phương b (b ≠ 0) ⇔ a = kb (k ∈ R)

 x1 = kx 2 x y z  ⇔  y1 = ky 2 ⇔ 1 = 1 = 1 , ( x 2 .y 2 .z 2 ≠ 0 ) x 2 y2 z2 z = kz  1 2 4

• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: a.b = x1.x 2 + y1 .y 2 + z1 .z 2

• a ⊥ b ⇔ x1.x 2 + y1 .y 2 + z1 .z 2 = 0 2

• a = x12 + y12 + z12 ; a = x12 + y12 + z12

a.b x .x + y1 .y 2 + z1 .z 2 • cos a,b = = 1 2 , a,b ≠ 0 2 2 2 a.b x1 + y1 + z1

( )

(

)

3. Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa: M = ( x; y;z ) ⇔ OM = ( x; y;z )

(x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ) Chú ý • M ∈ (Oxy)  M(x; y; 0); M ∈ (Oyz)  M(0; y; z); M ∈ (Oxz)  M(x; 0; z) • M ∈ Ox  M(x; 0; 0) ; M ∈ Oy  M(0; y; 0); M ∈ Oz  M(0; 0; z) b) Tính chất: Cho A ( x A ; yA ;z A ) , B ( x B ; y B ;z B )

• AB = ( x B − x A ; y B − y A ;z B − z A ) • AB = (x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 + (z B − z A ) 2 • Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng  x + x B yA + yB z A + z B  ; ; AB: M =  A  2 2 2   • Toạ độ trọng tâm G của tam giác  x + x B + x C y A + y B + yC z A + z B + z C  ; ; ABC: G =  A  3 3 3  

4. Tích có hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa:Cho a = ( x1; y1;z1 ) , b = ( x 2 ; y2 ;z 2 )

 y z z x1 x1 y1  a,b  = a ∧ b =  1 1 ; 1 ;    y z z x 2 2 2 x 2 y2   2 = ( y1z 2 − y 2 z1;z1 x 2 − z 2 x1;x1 y 2 − x 2 y1 )

Chú ý: [a, b] ⊥ a;

[ a, b ] ⊥ b

b) Ứng dụng của tích có hướng 5

• a,b cùng phương ⇔ a,b  = 0

• A, B, C thẳng hàng ⇔  AB,AC  = 0

• Ba vectơ a,b,c đồng phẳng ⇔ a,b  .c = 0

• A, B, C, D đồng phẳng ⇔  AB,AC  .AD = 0

S▱ ABCD =  AB,AD  1 S∆ABC =  AB, AC  • Diện tích tam giác ABC : 2

• Thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′: VABCD =  AB,AD  .AA ' 1 • Thể tích tứ diệnABCD: VABCD = .  AB,AC  .AD 6

2S∆ABC  BA,BC  =

• Đường cao của AH tam giác ABC: AH = BC BC • Diện tích hình bình hành ABCD:

• Đường cao của AH tứ diện ABCD:

1 3.  BC,BD  .BA  BC,BD  .BA 3V   AH = ABCD = 6 =

1 S∆BCD  BC,BD  BC,BD    2 5. Phương trình mặt cầu • Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:

( x − a )2 + ( y − b )2 + ( z − c ) 2 = R 2 2 2 2 • Phương trình x + y + z + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với

A 2 + B2 + C 2 − D > 0 là phương trình mặt cầu tâm I(– A; – B; – C) và bán

kính R = A 2 + B2 + C2 − D .

6. Phương trình mặt phẳng a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: • mp ( α ) có phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0thì ( α ) có một

vectơ pháp tuyến là n = ( A;B;C )

• Mặt phẳng (P) qua điểm M(xo; yo; zo) nhận vectơ n = ( A;B;C ) làm VTPT có phương trình dạng A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0 • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

6

Mặt phẳng qua ba điểm (a, 0, 0), (0, b, 0) và (0, 0, c) với abc ≠ 0 có x y z phương trình + + = 1 a b c b) Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Cho (P): Ax + By + Cz + D = 0; (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 • (P) cắt Q ⇔ A : B : C ≠ A’ : B’: C’ A B C D = = ≠ • (P ) / / (Q ) ⇔ A' B' C' D' • (P ) ≡ (Q ) ⇔

A B C D = = = A' B' C' D'

c) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M(xo; yo; zo) đến mặt phẳng (α):Ax + By + Cz + D = 0 xác định bởi công thức: Ax o + Byo + Cz o + D d(M;(α)) = A 2 + B2 + C 2 d) Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0; (Q):A’x + B’y + C’z + D’ = 0 có vectơ pháp tuyến tương ứng là n, n ' . Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì ta có:

cos ϕ = cos n, n ' =

(

)

| AA '+ BB'+ CC' |

A 2 + B2 + C 2 . A '2 + B'2 + C '2

7. Phương trình đường thẳng a) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Đường thẳng (d) qua M(xo; yo; zo) nhận a = ( a;b;c ) là một vectơ chỉ phương

 x = x o + at  có phương trình tham số là:  y = yo + bt z = z + ct o  Nếu abc ≠ 0 thì (d) có phương trình chính tắc là:

x − x o y − yo z − zo = = a b c

b) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng: d1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương là u1 , d2 đi qua

M2 và có vectơ chỉ phương là u 2

  u1 ,u 2  .M1 M 2 = 0   + (d1) cắt (d2) ⇔ 

  u ,u ≠ 0   1 2  7

+ (d1) chéo (d2) ⇔  u1 ,u 2  .M1 M 2 ≠ 0

  u1 ,u 2  = 0   + (d1) // (d2) ⇔ 

  u1 ,M1M 2  ≠ 0

+ (d1) trùng (d2) ⇔  u1 ,u 2  =  u1 ,M1M 2  = 0 c) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng  x = x o + at  Cho (P):Ax + By + Cz + D = 0 vaø (d) :  y = y o + bt (*)  z = z + ct o  Thay (*) vào (P) ta có phương trình ẩn t.

A(xo + at) + B(yo + bt) + C(zo + ct) + D = 0 (1) + Nếu phương trình (1) có duy nhất nghiệm thì (d) cắt (P) tại một điểm. + Nếu (1) vô nghiệm thì (d) // mp(P). + Nếu (1) có vô số nghiệm thì (d) nằm trong mp(P).

Chú ý: Nếu to là nghiệm của phương trình (1) thì tọa độ giao điểm của (d) và (P) là M ( x o + at o ; y o + bt o ;z o + ct o )

d) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d đi qua Mo có VTCP u :

 u,MM o    d ( M,d ) =

u e) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 (d1 đi qua M1 và có VTCP là u1 , d2 đi qua M2 và có VTCP là u 2 ):

 u1 ,u 2  .M1M 2   d ( d1 ,d 2 ) =

 u1 , u 2   

f) Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 (d1 đi qua M1 và có VTCP là u1 , d2 đi

qua M2 và có VTCP là u 2 ):

u1.u 2

cos ( d1 ,d 2 ) = cos u1 , u 2 = u1 . u 2

g) Góc ϕ giữa đường thẳng d có VTCP u và mặt phẳng (P) có VTPT n :

u.n

sin ϕ = cos u,n = u.n

(

)

( )

8

II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU A. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Kí hiệu: vectơ pháp tuyến của mp(P), mp(α),... tương ứng là n P , n α ,...

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d, ∆ ,... tương ứng là u d , u ∆ ,...

Dạng 1: Phương trình mặt phẳng đi qua M(xo; yo ;zo) và có 1VTPT

n =(A;B;C) là: A ( x − x o ) +B ( y − y o ) +C ( z − z o ) =0

1.1: (P) // (Q) : Ax + By + Cz + D = 0  VTPT n P = n Q = (A;B;C)  (Q) : A ( x − x o ) +B ( y − y o ) +C ( z − z o ) =0 1.2:

(P)

⊥ (d):

 x = x1 + at   y = y1 + bt  z = z + ct  1

VTPT

nP = ud

=(a;

b;

c)

 (P) : a ( x − x o ) +b ( y − y o ) +c ( z − z o ) =0 1.3: (P) là mặt phẳng trung trực của AB  (P) đi qua M là trung điểm của AB và nhận AB làm VTPT Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và có 2 vectơ không

cùng phương u1, u 2 có giá song song hoặc nằm trên (P) (tức là có cặp vectơ

chỉ phương u1, u 2 )

- (P) đi qua A và có 1VTPT là n P =  u1, u 2 

2.1: (P) vuông góc với 2 mặt phẳng(Q) , (R)  n P = [ n Q , n R ]

2.2 : (P) song song với 2 đường thẳng d1, d2  n P =  u d1 ,u d 2 

2.3 : (P) ⊥ (Q),(P) / /d  n P =  n Q ,u d 

2.4 : (P) đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng  n P = [ AB , AC ]

2.5 : (P) đi qua A, B và ⊥ (Q)  n P =[ AB , n Q ]

2.6 : (P) chứa (d) và đi qua A  n P =  AB,u d  với B là 1 điểm bất kì thuộc d

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và ( ∆ )( hoặc // ( ∆ )hoặc ⊥ (Q) )

- Từ (d)  VTCP u d và điểm M ∈ (d) 9

- Từ ( ∆ ) (hoặc mp(Q))  VTCP u ∆ (VTPT n Q ) và tính n = [ u d , u ∆ ]

(hoặc n =  u d , n Q 

- mp (P) đi qua M và có VTPT n Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) //(Q) và d(A;(P))=h - Vì (P) // (Q): Ax + By +Cz + D = 0 nên phương trình mp(P) có dạng Ax + By +Cz + D’=0 (trong đó D’ ≠ D) - Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D’suy ra phương trình mp(P) Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và d(A,(P))=h

- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2>0

- Từ (d)  VTCP u d và điểm M ∈ (d)

- Vì (d) nằm trong (P)  u d . n P =0 (1) - PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 - d(A,(P)) = h (2) - Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được phương trình mp(P).

B. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d qua M(xo; yo ;zo) và có VTCP

u =(a; b; c) + Phương trình tham số của đường thẳng d là:  x = x o + at  d:  y = yo + bt với t ∈ R z = z + ct o  + Nếu a.b.c ≠ 0 thì d có phương trình chính tắc :

1.1: (d) đi qua 2 điểm A, B  u d = AB

x − x o y − yo z − z o = = a b c

1.2: d đi qua M(xo; yo; zo) và (d) // ( ∆ )

x − x o y − yo z − zo = =  ud = u∆  d : a b c 1.3 : d đi qua M(xo; yo ;zo) và

d ⊥ ( P ): Ax + By + Cz + D = 0  u d = n P = ( A;B;C ) x − x o y − yo z − z o d: = = A B C 10

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(xo; yo; zo) và vuông góc với giá của 2 vectơ không cùng phương u1 , u 2

- d có 1VTCP là u =  u1,u 2 

2.1. d ⊥ d1, d ⊥ d 2 d1 / / d 2  u d =  u d1 ,u d 2 

2.2. d / /(P) hoặc d ⊂ (P) , d / /(Q) hoặc d ⊂ (Q) (P) / / (Q)  u d =  n P ,n Q  2.3. d = ( P ) ∩ ( Q ) ,(P):Ax + By + Cz + D = 0 và (Q):A'x + B'y + C'z + D' = 0

- Từ (P) và (Q)  n P , n Q ,  n P , n Q 

(

)

(

)

Ax + By + Cz +D =0 - Xét hệ  . A'x + B' y + C'z + D ' = 0 Chọn một nghiệm (xo; yo ;zo) từ đó  M(xo; yo ;zo) ∈d

- (d) đi qua M và có VTCP u d =[ n P , n Q].

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng hình chiếu của d lên mp(P) Cách 1: - Viết phương trình mp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P) - Hình chiếu cần tìm d' = (P) ∩ (Q) Cách 2: - Tìm A = d ∩ ( P ) ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) ) - Lấy M∈ d và xác định hình chiếu H của M lên (P) - Viết phương trình d' đi qua M, H

Dạng 4: Tọa độ hình chiếu 4.1. Xác định tọa độ H là hình chiếu của của M trên mp(P): - Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với (P) - H = ∆ ∩( P ) 4.2. Xác định tọa độ H là hình chiếu của của M trên ∆ : - Viết phương trình mp(Q) đi qua M và vuông góc với ∆ - H= ∆ ∩ (Q) Chú ý: nếu M’ đối xứng với M qua (P)(hoặc qua ∆ ) thì H là trung điểm MM’ Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2: Cách 1 : - Viết pt mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 11

- Tìm B = (α ) ∩ d 2 - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2: - Gọi M, N là giao diểm của d và d1, d2 ta có M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) ∈ d1 , N ( x0' + a ' t ', y0' + b ' t ', z0' + c ' t ') ∈ d 2

- AM , AN cùng phương suy ra t và t’. Từ đó tìm được tọa độ M, N - d đi qua M, N

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3 - Gọi M, N là giao điểm của d và d2, d3 ta có M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) ∈ d 2 , và N ( x0' + a ' t ', y0' + b ' t ', z0' + c ' t ') ∈ d3

- Cho MN,ud1 cùng phương suy ra t và t’. Từ đó tìm được tọa độ M, N - d đi qua M, N

Dạng 7 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2 Cách 1: - Viết phương trình mp (α ) qua A và vuông góc d1 - Tìm giao điểm B = (α ) ∩ d 2 - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2: - Gọi M là giao của d và d2 ta có M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) ∈ d 2

- d ⊥ d1  AM ⊥ u d1  AM.u d1 = 0  t . Từ đó tìm được tọa độ M - d đi qua M, A

Dạng 8 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song mp (α ) , cắt đường thẳng d' Cách 1: - Viết phương trình mp(P) đi qua A và song song với (α ) - Tìm B = ( P ) ∩ d ' - Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B Cách 2: - Gọi M là giao của d và d’ ta có M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) ∈ d '

- d / /(α )  AM ⊥ n(α )  AM.n(α ) = 0  t . Từ đó tìm được tọa độ M 12

- d đi qua M, A

Dạng 9 : Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước.

- Tìm giao điểm A=d1 ∩ ( P ) và B=d2 ∩ ( P ) - Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B

Dạng 10: Viết phương trình đường vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 : - Gọi M(x o + at, y o + bt, z o + ct) ∈ d1 , N(x 'o + a 't ', y'o + b't ',z'o + c't ') ∈ d 2 là các chân đường vuông góc chung của d1, d2

 MN ⊥ d MN.u  1=0  1    t, t ' .

- Ta có hệ  MN ⊥ d 2 MN.u 2 = 0 - Thay t, t' tìm M, N =>Viết phương trình d đi qua M,N.

Dạng 11: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 .

- (P) có 1VTPT n Gọi A(x o + at, y o + bt, z o + ct) = d ∩ d1 ,

B( xo' + a ' t ', yo' + b ' t ', zo' + c ' t ') = d ∩ d 2 . Tìm tọa độ AB

- Vì d vuông góc với mp(P) nên n và AB cùng phương. Từ đó tìm được t, t’=>A, B - Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, B

Dạng 12: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 .

Cách 1: - Viết phương trình mp (α ) qua A và vuông góc d1 - Tìm giao điểm B = (α ) ∩ d1 - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2: - Gọi B ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) = d ∩ d1

- Tìm tọa độ AB, u1 : vtcp của d1

- Vì d ⊥ d1 nên AB.u1 = 0  t  AB

- d đi qua A và có vtcp AB 13

C. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1 : Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính 1.1. (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R

( S ) :( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2 1.2. (S) có tâm A và đi qua B => (S) có bán kính R=AB 1.3. (S) có đường kính AB => (S) có tâm I là trung điểm AB, bán kính R= IA=AB/2 Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm : - Viết phương trình của (S) dạng x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 (*) - Cho (S) đi qua lần lượt bốn điểm ta được bốn phương trình .

- Giải hệ bốn phương trình tìm được , suy ra bốn ẩn là : a,b,c và d - Thay bốn ẩn tìm được vào (*) ta suy ra phương trình của (S).

Chú ý: Khi viết được phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D ta cũng xác định được tâm I(a; b; c), bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d , diện 4 tích S = 4π R 2 , thể tích V = π R3 của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 3 Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu (S) qua 3 điểm A, B, C và có tâm nằm trên mp(P).

- Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng quát x2 +y2+z2-2ax-2by2cz+d=0 (*) , sau đó cho (S) đi qua ba điểm A,B,C ta được ba phương trình - Thay tọa độ tâm I (a; b; c) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được phương trình thứ tư .Vậy ta có hệ bốn phương trình bậc nhất bốn ẩn a, b, c, d .

- Giải hệ , ta suy ra a,b,c và d . Thay vào phương trình tổng quát ta có phương trình của (S) .

Dạng 4 : Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm là I(a, b, c) và tiếp xúc với một mặt phẳng (P) hoặc đường thẳng d cho trước .

- Tính bán kính của (S): R=d(I ;(P)) ( hoặc R=d(I,d) ) 2 2 2 - ( S ) :( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 Dạng 5: Mặt phẳng(P) cắt mặt cầu (S). Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến.

- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Tính d=d(I; (P)).

14

d <R=> (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) - Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của I trên (P). Ta có H là tâm của đường tròn ( C) - bán kính của đường tròn ( C) : r = R 2 − d 2

Dạng 6: Viết phương trình mp(P) vuông góc với đường thẳng d cho trước ( hoặc song song với một mp(Q) cho trước ) và tiếp xúc với cầu (S).

Xác định tâm I(a; b; c), bán kính R của mặt cầu (S) - (P) góc với d (hoặc //(Q)) thì vuông

n P = u d (= n Q ) = ( A;B;C )  ( P ) : Ax + By + Cz + m = 0 (*) - (P) tiếp xúc với cầu (S) ⇔ d ( I,(P) ) = R ⇔

aA + bB + cC + m

A 2 + B2 + C 2 - Giải (1) ta tìm được ẩn m thay vào (*) ta có mặt phẳng (P)

=R

(1)

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P)//(Q): Ax + By + Cz + D=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D’=0 (trong đó D’ ≠ D).

- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R  tìm được D’ - Từ đó ta có phương trình mp(P) cần tìm Dạng 8: Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S) Cách 1: - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

- Gọi VTPT của mp(P) là n P = (A;B;C) với điều kiện là A2 + B2 + C2>0

- Từ (d)  VTCP u d và điểm M ∈ (d)

- d ⊂ (P)  u d . n P =0 (1) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C  phương trình mp(P).

Cách 2: - Chuyển đường thẳng d sang dạng là giao tuyến của hai mặt phẳng .

- Nếu (P) chứa d thì (P) thuộc chùm mặt phẳng . Viết phương trình chùm mặt phẳng sau đó chuyển về dạng Ax+By+Cz+D=0 - Sử dụng điều kiện : (P) tiếp xúc với (S) thì d(I,(P)) = R , ta sẽ thu được phương trình của mặt phẳng (P) 15

Dạng 9: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I(a; b; c) đồng thời cắt (P) theo một đường tròn xác định( Biết bán kính r, hoặc chu vi, hoặc diện tích) - Tính d=d(I; (P)) - Dựa vào giả thiết cho biết đường tròn (C ) ta tính được r.Bán kính của (S) là

R = d2 + r2 2

2

2

- ( S ) :( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2

Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r (hoặc diện tích, chu vi cho trước).

- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Chu vi đường tròn C = 2π r và diện tích S = π r 2 tính r. d ( I ,( P ) ) = R 2 − r 2 (1) - Vì (P) // (Q): Ax + By + Cz + D=0 nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (trong đó D' ≠ D) - Suy ra d (I,(P)) (2)  Giải hệ (1), (2) tìm được D'  (P).

Dạng 11: Viết phương trình mp(P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Áp dụng công thức, chu vi đường tròn: C = 2π r và diện tích: S = π r 2 tính r.

- Vì d ⊂ (P)  u d . n P =0 (1)

- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2>0, chọn M ( x o ; yo ;z o ) trên đường thẳng d => phương trình mp(P): A ( x − x o ) + B ( y − y o ) + C ( z − z o ) = 0 - Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm được A, B theo C  Phương trình mp(P).

Dạng 12: Viết phương trình mp(P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất (áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm).

- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Bán kính r =

R 2 − d 2 ( I ,( p)) để r min  d(I,(P)) max

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (d) ; K là hình chiếu vuông góc của I lên (P) - Ta có: d(I,(P))= IK ≤ IH ( tính chất đường vuông góc và đường xiên) - Do đó: d(I,(P)) max ⇔ AK = AH ⇔ K ≡ H

- (P) đi qua H và nhận IH làm VTPT 16

PHẦN 2: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO (CASIO fx-570ES, CASIO fx-570ESPLUS, CASIO fx-570VN PLUS, VINACAL 570ES PLUS II) I. Bài toán sử dụng tính toán thông thường và chức năng giải hệ Ví dụ 1: Cho mặt phẳng ( P ) : 2x + 3y + z − 4 = 0 . Tính khoảng cách từ điểm A ( 2;3; −1) đến mặt phẳng (P).

12 .

14 1 C. d ( A, ( P ) ) = .

14

8 .

14 8 D. d ( A, ( P ) ) = .

6

A. d ( A, ( P ) ) =

B. d ( A, ( P ) ) =

Hướng dẫn: 2.2 + 3.3 − 1 − 4 d ( A, ( P ) ) = 22 + 32 + 12 Ấn máy tính: SHIFT

hyp

2

×

2

X2

2

3

+ 3

+

X2

×

3

-

1

+

1

=

-

4

4 14 8 = 7 14 Vậy chọn đáp án B

Kết quả:

Ví dụ 2: Cho a(1;2;3) . Tính độ dài a .

A. 11 .

Hướng dẫn:

B. 12 .

C. 13 .

D. 14 .

a = x 2 + y 2 + z 2 = 12 + 22 + 32

Ấn máy tính: 1

X2

+

2

X2

+

3

X2

=

Kết quả: 14 Vậy chọn đáp án D 17

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho u(1;0;11), v(10;15; −2). Tích

vô hướng của u và v là

A. u.v = 0 B. u.v = 3 C. u.v = −12 D. u.v = ( −165;112;15)

Hướng dẫn:

u.v = x1.x 2 + y1.y 2 + z1.z 2

Ấn máy tính: 1 ×

10

+

0

×

15

11

+

(

×

(-)

2

)

=

Kết quả: -12 Vậy chọn đáp án C

Ví dụ 4. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x − 2y − 2z − 2 = 0 2

2

2

2

2

2

A. (S) : ( x + 1) + ( y − 2) + (z −1) = 3 B. (S) : ( x + 1) + ( y − 2) + (z −1) = 9 2

2

2

2

2

2

C. (S) : ( x + 1) + ( y − 2) + (z + 1) = 3 D. (S) : ( x + 1) + ( y − 2) + (z + 1) = 9 .

Hướng dẫn:

Casio : R = d(I,(P)) =

−1 − 2.2 − 2.1 − 2 12 + (−2)2 + (−2) 2 2

=3

2

2

Phương trình mặt cầu : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9

Vậy chọn đáp án B Ví dụ 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho mặt phẳng (P): 2x+2y+z+2=0 cắt mặt cầu (S): (x − 2) 2 + (y − 3) 2 + (z − 3) 2 = 100 theo giao tuyến là một đường tròn (C).

Tìm diện tích hình tròn (C)?

A. 64π.

B. 16π.

C. 8π.

D. 20π.

Hướng dẫn: (S) có tâm I(2; 3; 3), bán kính R=10 - Casio:

d = d ( I,(P) ) =

2.2 + 3.3 + 3 + 2 22 + 22 + 12

=6 18

Bán kính của (C): r = R 2 − d 2 = 10 2 − 6 2 = 8 Diện tích của (C): S = πr 2 = 64π Vậy chọn đáp án A

Ví dụ 6: Cho điểmI(1; 2; -2), mặt phẳng (P) :2x + 2y + z + 5 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho (P) cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8π 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

A. (S) : ( x − 1) + ( y − 2) + (z + 2) = 25 B. (S) : ( x −1) + ( y − 2) + (z + 2) = 9 C. (S) : ( x −1) + ( y − 2) + (z + 2) = 5 D. (S) : ( x −1) + ( y − 2) + (z + 2) = 16 .

Hướng dẫn: - Đường tròn giao tuyến có bán kính r, ta có 2πr = 8π ⇒ r = 4 - Casio: 2 + 2.2 − 2 + 5 d = d (I,(P)) = =3 4 + 4 +1 R 2 = r 2 + d 2 = 42 + 32 = 25 2

2

2

⇒ (S) : ( x −1) + ( y − 2) + ( z + 2) = 25

Vậy chọn đáp án A Ví dụ 7: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(2; -1; 0), B(1; 1; 1), C(0; 0; 1), D(3; 1; 1) có bán kính bằng: A. 3

B.

7

C. 5

D. 19

Hướng dẫn: - Mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình dạng: x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 - (S) đi qua A, B, C, D nên ta có: + d = −5 (1) 4 + 1 + 0 − 4a + 2b − 0 + d = 0 −4a + 2b 1 + 1 + 1 − 2a − 2b − 2c + d = 0 −2a − 2b − 2c + d = −3 (2)   (I) ⇔   4 + 4 + 9 − 4a − 4b − 6c + d = 0 − 4a − 4b − 6c + d = − 17 (3)   16 + 1 + 4 − 8a − 2b − 4c + d = 0 −8a − 2b − 4c + d = −21 (4)

19

+ d = −5 −4a + 2b −4a + 2b + d = −5 d = 5  2a − 4b − 2c = 2 a = 2 a = 2    ⇔ (II) ⇔  (III) ⇔  − 6b − 6c = −12  b = −1 b = −1 −4a − 4b − 4c = −16 c = 3 c = 3 - Bán kính: R = a 2 + b 2 + c2 − d = 4 + 1 + 9 − 5 = 3 Vậy chọn đáp án A Chú ý: - Với máy tính VINACAL dùng chương trình giải hệ 4 phương trình bậc nhất 4 ẩn (MODE 5, 3) để giải hệ (I) ta có ngay kết quả - Với máy tính fx-570 ES, 570 ES PLUS, 570 VN PLUS, chỉ có chương trình giải hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn (MODE 5, 2), để giải hệ (I) ta giữ nguyên phương trình (1) rồi lần lượt trừ các phương trình (2), (3), (4) cho (1) được hệ (II) sau đó giải hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn a, b, c để được hệ (III) rồi thế vào (1) để tìm d Ví dụ 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng d x −1 y z − 3 = = đi qua A(1; -1; 1) và cắt hai đường thẳng d1 : và 2 1 −1 x y +1 z − 2 d2 : = = 1 −2 1 x = 1 − 6t x = 1 + 6t x = 1 + 6t x = 1 + 6t     A.  y = −1 + t B.  y = −1 + t C.  y = −1 + t D. y = −1 − t     z = 1− 7t z = 1 + 7t z = 1− 7t z = 1− 7t Hướng dẫn: - Giả sử d cắt d1 tại B, cắt d2 tại C ⇒ B(1 + 2t; t;3 − t ), C( t ';−1− 2t ';2 + t ')

⇒ AB = (2t; t + 1;2 − t ), AC = ( t '−1;−2t ';1 + t')

- A, B, C thẳng hàng nên AB, AC cùng phương ⇒ ∃k ∈ R : AB = kAC  3  t = −  2  2t = k(t '− 1) 2t − kt '+ k = 0  1    ⇔  t + 1 = −2kt ' ⇔  t + 2 kt' = −1 (IV) ⇔ kt ' =    4   2 − t = k(1 + t ')  t + kt'+ k = 2 k = 13  4  1 7 1 Khi đó d đi qua A và có VTCPlà AB = −3;− ;  = − (6;1;−7)  2 2 2 20

⇒ chọn đáp án C - Casio: coi hệ (IV) là hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn t, kt’, k và dùng chương trình giải hệ (MODE 5, 2) để giải

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu 1. Cho mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 8 = 0 và điểm M(–2; –4; 5). Tính khoảng cách từ M đến (P) A. 18 B. 6 C. 9 D. 3 Câu 2. Cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 6z + 2 = 0 và (Q): 2x – 3y + 6z + 9 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) 7 2 A. B. C. 2 D. 1 2 7 Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp ( P) : 3x + y − 3z + 6 = 0 2

2

2

và mặt cầu (S) : ( x − 4) + ( y + 5) + (z + 2) = 25 . Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn giao tuyến này có bán kính r bằng:

A. r = 6 B. r = 5 C. r = 6 D. r = 5 Câu 4. Cho (S) là mặt cầu tâm I(2; 1; -1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình: 2x – 2y – z + 3 = 0. Khi đó, bán kính của (S) là: 4 1 C. A. B. 2 D. 3 3 3 Câu 5. Cho hai điểm A(1; 0; -3) và B(3; 2; 1). Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A. x 2 + y 2 + z 2 − 4x − 2y + 2z = 0

B. x 2 + y2 + z 2 − 2x − y + z − 6 = 0

C. x 2 + y 2 + z 2 + 4x − 2y + 2z = 0

D. x 2 + y 2 + z 2 − 4x − 2y + 2z + 6 = 0

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

35π 35π 35 B. 35π C. D. 16π 2 6 Câu 7. Tính bán kính r của đường tròn giao tuyến khi cắt mặt cầu 2 2 (S) : x 2 + ( y − 2) + (z + 1) = 16 bởi mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 3 = 0 A.

A. r = 7 B. r = 15 C. r = 1 Câu 8. Cho mặt phẳng (P): 6x + 3y - 2z – 1 (S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 2 z − 11 = 0 . Mặt phẳng (P) cắt tuyến là đường tròn (C) có bán kính là r. Tìm r.

A. r = 1 B. r = 5 C. r = 3

D. r = 3 = 0 và mặt cầu mặt cầu (S) theo giao D. r = 4 21

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, 2

cho mặt phẳng 2

2

(P) : 3x + y − 3z + 6 = 0 và mặt cầu (S) : ( x − 4) + ( y + 5) + (z + 2) = 25 .

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn giao tuyến này có chu vi bằng:

A. 12π B. 10π C. 2π 6 D. 2π 5 Câu 10. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A(2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x − y + 2z +1 = 0 .

2

2

2

A. (S) : ( x − 2) + ( y −1) + (z −1) = 4 2

2

2

2

2

2

2

2

2

B. (S) : ( x − 2) + ( y −1) + (z − 1) = 9 C. (S) : ( x − 2) + ( y −1) + (z −1) = 3 D. (S) : ( x − 2) + ( y −1) + (z −1) = 5 .

Câu 11. Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và đi qua A(1;0;4) có phương trình A. (x+1)2 + (y+ 2)2 +(z−3)2 =53

B. (x−1)2 + (y− 2)2 +(z+3)2 =53

C. (x+1)2 +(y+2)2 +(z−3)2 =51

D. (x−1)2 +(y−2)2 +(z+3)2 =51  x = 11 + t

Câu 12. Cho ( P ) : 2x + y + 1 = 0 và đường thẳng d :  y = 12 − 2t song song. Tìm  z = 10 − t 

khoảng cách a giữa (P) và d.

44 5 5 3 C. a = 9 5 D. a = .

5 3 Câu 13. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng x +1 y −1 z −1 x −1 y − 2 z +1 d: = = , ∆: = = 2 −1 1 1 1 2 7 7 7 7      x = − 9 + 5t  x = − 9 − 5t  x = 9 + 5t  x = − 9 + 5t     8 8 8 8     A.  y = + 3t B.  y = − + 3t C.  y = − 3t D.  y = + 3t 9 9 9 9     10 10  10  10   = − = − z 7t z = − − 7t z 7t z = − + 7t     9 9 9 9    

A. a = 7 5

B. a =

22

II. Bài toán sử dụng chức năng vectơ Các lệnh liên quan đến vectơ trong máy tính: để thực hiện được phép toán vectơ thì việc nhập dữ liệu cho các vectơ đối với các máy Casio fx-570 ES, 570 ES PLUS không hoàn toàn giống các máy Casio fx-570 VN PLUS, VINACAL. Tuy nhiên, các lệnh thực hiện phép toán vectơ thì vẫn giống nhau. Cụ thể:

STT

Lệnh (đối với các máy fx-570 ES, 570 ES PLUS, 570 VN PLUS, VINACAL)

1

MODE 8

MODE 8

Chuyển sang môi trường vectơ

2

SHIFT 5, 1, 1, 1

MODE 8, 1, 1

Nhập dữ liệu cho vectơ A

3

SHIFT 5, 1, 2, 1

MODE 8, 2, 1

Nhập dữ liệu cho vectơ B

4

SHIFT 5, 1, 3, 1

MODE 8, 3, 1

Nhập dữ liệu cho vectơ C

5

SHIFT 5, 1

Nhập dữ liệu lại cho vectơ A, B, C

6

SHIFT 5, 2

Truy cập dữ liệu các vectơ A, B, C

7

SHIFT 5, 3

Trích xuất vectơ A ra ngoài màn hình → VctA

8

SHIFT 5, 4

Trích xuất vectơ B ra ngoài màn hình → VctB

9

SHIFT 5, 5

Trích xuất vectơ C ra ngoài màn hình → VctC

10

SHIFT 5, 6

Vectơ kết quả phép tính trước

11

SHIFT 5, 7

Tích vô hướng → i

12

SHIFT 5, 3, SHIFT 5, 7, SHIFT 5, 4

Tích vô hướng của vectơ A và vectơ B → VctA i VctB

13

SHIFT 5, 3 × SHIFT 5, 4

Tích có hướng của vectơ A và vectơ B → VctA × VctB

14

SHIFT hyp

Độ dài vectơ, giá trị tuyệt đối của tích vô hướng → Abs

Lệnh (đối với các máy fx-570 VN PLUS, VINACAL)

Chức năng

23

15

SHIFT 5, 1, 1, 1, xB - xA=, yB - yA=, zB - zA=

Nh ập dữ liệu của vectơ AB vào vectơ A

Ví dụ 1: Cho a(3;−1;−2), b(1;2;−1). Tìm tọa độ tích có hướng của hai vectơ

a và b .

A. (-5;-1;-7).

B. (5;1;7).

C. (-5;1;7).

D. (5;-1;7).

Hướng dẫn:

Nhập thông số các vectơ a, b vào vectơ A, B trong máy tính rồi thực hiện phép tính tích có hướng

Bước

Lệnh (fx-570 ES, 570 ES PLUS, 570 VN PLUS, VINACAL)

Lệnh (fx-570 VN PLUS, VINACAL)

1

MODE 8, AC

2

SHIFT 5,1,1,1, 3=,-1=, -2=

MODE 8,1,1, 3=,-1=, -2=

3

SHIFT 5,1,2,1, 1=, 2=, -1=

MODE 8,2,1, 1=, 2=, -1=

4

AC

AC

SHIFT 5,3 × SHIFT 5,4 = → Kết quả a,b  = ( 5;1;7 )

5

Vậy chọn đáp án B Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ

b = ( −1;1;1); c = (1;2; −2 ) . Tính độ dài của vectơ u = a − 2b + 3c A.

122

B. 11

C. 123

a = ( 2; −1;0 ) ;

D. 2 31

Hướng dẫn:

Nhập thông số các vectơ a, b,c vào vectơ A, B, C trong máy tính rồi thực hiện các phép tính

Bước

Lệnh

Kết quả

1

MODE 8

Vào chương trình vectơ

2

AC

3

SHIFT 5, 1, 1, 1, 2=,-1=, 0=

4

SHIFT 5, 1, 2, 1, -1=, 1=, 1=

5

SHIFT 5, 1, 3, 1, 1=, 2=, -2=

Thoát ra ngoài màn hình

a = ( 2; −1;0 ) → VctA

b = (−1;1;1) → VctB

c = (1;2; −2 ) → VctC 24

6

AC

7

SHIFT hyp SHIFT 5,3 − 2 SHIFT

Thoát ra ngoài màn hình

a − 2b + 3c = 11.04536102

5,4 + 3 SHIFT 5,5 ) = → Abs(VctA − 2VctB + 3VctC)

Đối chiếu các đáp án ta thấy 122 ≈ 11.04536102 Vậy chọn đáp án A

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a = ( −1;1;0 ) ;

b = (1;1;0); c = (1;1;1) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. a + b + c = 0 B. a, b,c đồng phẳng

6 C. cos b,c = D. a.b = 1 3

( )

Hướng dẫn:

Nhập thông số các vectơ a, b,c vào vectơ A, B, C trong máy tính rồi thực hiện các phép tính

Bước

Lệnh

Kết quả

1

MODE 8

Vào chương trình vectơ

2

AC

3

SHIFT 5, 1, 1, 1, -1=,1=, 0=

4

SHIFT 5, 1, 2, 1, 1=, 1=, 0=

5

SHIFT 5, 1, 3, 1, 1=, 1=, 1=

Thoát ra ngoài màn hình

a = ( −1;1;0 ) → VctA

b = (1;1;0) → VctB

c = (1;1;1) → VctC

6

AC

7 8

Thoát ra ngoài màn hình

SHIFT 5,3 + SHIFT 5,4 + SHIFT a + b + c = (1;3;1) → loại đáp án A 5,5 = → VctA + VctB + VctC

SHIFT 5,3, SHIFT 5,7, SHIFT 5,4 = a.b = 0 → loại đáp án D

→ VctAiVctB 9

(SHIFT 5,4, SHIFT 5,7, SHIFT 5,5) ÷ Abs ( SHIFT 5,4 ) × Abs ( SHIFT 5,5)

(

−

(6) ÷ 3 =

6 cos b,c − 3

b.c 6 = − =0 3 b.c

( )

)

25

→ (VctBiVctC) ÷ (Abs(VctB) × Abs(VctC)) −

→ chọn đáp án C

(6) ÷ 3

Vậy chọn đáp án C

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hành ABCD với A(1; 1; 0), B(1; 1; 2), D(1; 0; 2). Diện tích của hình bình hành ABCD là A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn:

S =  AB,AD 

Nhập thông số các vectơ AB, AD vào vectơ A, B trong máy tính rồi thực hiện phép tính

Bước

Lệnh

Kết quả

1

MODE 8

Vào chương trình vectơ

2

AC

3

SHIFT 5,1,1,1, 1-1=,1-1=, 2-0=

4

SHIFT 5,1,2,1, 1-1=, 0-1=, 2-0=

Thoát ra ngoài màn hình

AB = (1 − 1;1 − 1;2 − 0 ) → VctA

AD = (1 − 1;0 − 1;2 − 0 ) → VctB

5

AC

6

Abs(SHIFT 5,3 × SHIFT 5,4) =

→ Abs(VctA × VctB)

Thoát ra ngoài màn hình

S =  AB,AD  = 2

Vậy chọn đáp án B Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(1; 3; 2), D(–2; 3; –1). Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 Hướng dẫn:

1 3.  AB,AC  .AD  AB,AC  .AD 3V   DH = ABCD = 6 =

1 S∆ABC  AB,AC  AB,AC     2

Nhập thông số các vectơ AB, AC, AD vào vectơ A, B, C trong máy tính rồi thực hiện phép tính 26

Bước

Lệnh

Kết quả

1

MODE 8

Vào chương trình vectơ

2

AC

3

SHIFT 5,1,1,1, 4-2=, 1-3=, -2-1=

4

SHIFT 5,1,2,1, 1-2=, 3-3=, 2-1=

5

SHIFT 5,1,3,1, -2-2=, 3-3=, -1-1=

Thoát ra ngoài màn hình

AB =(4-2, 1-3, -2-1) → VctA

AC = (1 − 2;3 − 3;2 − 1) → VctB

AC = ( −2 − 2;3 − 3; −1 − 1) → VctC

6

AC

7

Abs((SHIFT 5,3 × SHIFT 5,4)SHIFT 5,7, SHIFT 5,5) ÷Abs SHIFT5,3 × SHIFT5,4 =

(

Thoát ra ngoài màn hình

 AB,AC .AD   =4

 AB,AC  

)

Vậy chọn đáp án B Ví dụ 6: Cho điểm A(–1; 0; 0) và đường thẳng Δ: khoảng cách từ A đến Δ A. 5 B. 2

x −1 y − 2 z +1 . Tính = = 2 −1 2

C. 4

D. 3

Hướng dẫn:

- Đường thẳng Δ đi qua M(1; 2; -1) và có VTCP u = ( 2; −1;2 ) ;

AM = ( 2;2; −1)

 u, AM  - Khoảng cách: d ( M , ∆ ) =   u

- Casio: Nhập thông số các vectơ u, AM vào vectơ A, B trong máy tính rồi thực hiện lệnh Abs(VctA × VctB) ÷ Abs(VctA) =

- Kết quả bằng 3. Vậy chọn đáp án D Ví dụ 7: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1: d2:

x − 3 y +1 z −1 = = 3 −2 −2 A. 1/2 B. 2

C. 3/2

x −1 y − 4 z − 3 , = = 6 2 −1

D. 1

Hướng dẫn: 27

- Đường thẳng d1 đi qua M1(1; 4; 3) và có VTCP u1 = ( 6;2; −1) ; d2 đi qua

M2(3; -1; 1) và có VTCP u 2 = ( 3; −2; −2 ) ; M1M 2 = ( 2; −5; −2 )

 u1 ,u 2  .M1M 2

  - Nhận thấy u1 , u 2 không cùng phương nên: d ( d1 ,d 2 ) =

 u1 ,u 2   

- Casio: Nhập thông số các vectơ u1 , u 2 , M1M 2 vào vectơ A, B, C trong máy tính rồi thực hiện lệnh Abs ( (VctA × VctB)iVctC ) ÷ Abs(VctA × VctB) - Kết quả bằng 1. Vậy chọn đáp án D

 x = 1 + 2t  x = 7 + 3s   Ví dụ 8: Vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 :  y = −2 − 3t ; d 2 :  y = 2 + 2s z = 5 + 4t z = 1 − 2s là: A. Chéo nhau B. Chéo nhau C. Song song D. Cắt nhau Hướng dẫn:

- Đường thẳng d1 đi qua M1(1; -2; 5) và có VTCP u1 = ( 2; −3;4 ) ; d2 đi qua

M2(7; 2; 1) và có VTCP u 2 = ( 3;2;2 ) ; M1M 2 = ( 6;4; −4 )

- Casio: Nhập thông số các vectơ u1 , u 2 , M1M 2 vào vectơ A, B, C trong máy tính rồi thực hiện lệnh (VctA × VctB)iVctC = - Kết quả bằng -104 ≠ 0. Vậy 2 đường thẳng chéo nhau, chọn đáp án B Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x −1 y − 3 z +1 và mặt phẳng (P): x – 2y – z – 3 = 0. Số đo góc a tạo bởi = = 2 −1 1 đường thẳng d và mặt phẳng (P) là: A.a = 60° B.a = 45° C.a = 30° D.a = 90° Hướng dẫn:

- Đường thẳng d có VTCP u = ( 2; −1;1) ; (P) có VTPT n = (1; −2; −1)

u.n

Ta có sin a = cos u,n = u.n

- Casio: Nhập thông số các vectơ u,n vào vectơ A, B trong máy tính rồi thực hiện lệnh Abs(VctAiVctB) ÷ (Abs(VctA) × Abs(VtB)) =

( )

- Kết quả bằng

1 .

2 28

1  a = 30o , chọn đáp án C 2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác BCD có B ( −1;0;3) , C ( 2; −2;0 ) , D ( −3;2;1) . Tính diện tích của tam giác BCD. - Vậy sin a =

23 C. 62 D. 2 61 4 Câu 2. Cho bốn điểm A(1; 0; 1), B(2; 2; 2), C(5; 2; 1), D(4; 3; -2). Tính thể tích của tứ diện ABCD A. 2 B. 4 C. 1 D. 6 Câu 3. Trong hệ trục Oxyz , cho ba điểm A ( −2,1, 0 ) , B ( −3,0, 4 ) , C ( 0, 7,3) . Khi

đó cos AB,BC bằng:

A.

(

A.

B.

26

)

14 3 118

B. −

7 2 3 59

C.

14 57

D. −

14 57

Câu

4.

Xét vị trí tương đối của hai đường x − 3 y −1 z + 4 x − 3 y z −1 thẳng ∆1 : và ∆ 2 : = = = = 1 2 −3 2 4 −6 A. cắt nhau B.song song C. chéo nhau D. trùng nhau Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; -1), B(2; -1; 3) và C(-4; 7; 5). Độ dài đường cao hạ từ A của tam giác ABC là 555 333 555 333 B. C. D. 26 13 13 26 Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y + z + 3 = 0 và (Q): x + y + 2z − 1 = 0 . Góc tạo bởi hai mặt phẳng (P), (Q) có số đo là A. a = 45° B. a = 60° C. a = 30° D. a = 90° x − 2 y z +1 Câu 7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 : = = và 4 −6 −8 x−7 y−2 z d2 : = = .

9 12 −6

A.

35 35 854 854 . . . .

B. C. D. 17 29 17 29 Câu 8.Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1; 1; -6), B(0; 0; -2), C(-5; 1; 2), D’(2; 1; -1). Thể tích khối hộp đã cho bằng A.12 B.19 C. 38 D.42

A.

29

Câu 9. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 1; 1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN

2 2 1 1 B. C. D. 2 4 2 4 Câu 10. Cho hai mặt phẳng ( P ) : x − y + z − 7 = 0, ( Q ) : 3x + 2y − 12z + 5 = 0 .

Phương trình mp(R) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mp nói trên là: A. x + 2y + 3z = 0 B. x + 3y + 2z = 0 A.

C. 2x + 3y + z = 0

D. 3x + 2y + z = 0

Câu 11. Cho A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3). Tìm điểm D thuộc trục Oy để thể tích của tứ diện ABCD bằng 5 A. D ( 0; −7;0 ) , D ( 0;8;0 ) B. D ( 0;7;0 ) , D ( 0; −8;0 ) C. D ( 0; −1;0 ) , D ( 0;2;0 )

D. D ( 0; −5;0 ) , D ( 0;3;0 )

Câu 12. Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 0; -1) và tiếp xúc với đường thẳng x −1 y +1 z d: = = 2 2 −1 2

2

B. ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 4

2

2

D. ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 1

A. ( x − 1) + y 2 + ( z + 1) = 4 C. ( x − 1) + y 2 + ( z + 1) = 1

2

2

2

2

x +2 y−2 z+3 = = . Viết phương 2 3 2 trình mặt cầu tâm A cắt d tại hai điểm B, C sao cho BC = 8

Câu 13. Cho A(0; 0; -2) và đường thẳng d : 2

A. x 2 + y 2 + ( z + 2 ) = 7 2

C. x 2 + y2 + ( z − 2 ) = 25

2

B. x 2 + y 2 + ( z − 2 ) = 7 2

D. x 2 + y 2 + ( z + 2 ) = 25

x = 3 + t x − y −1 z  = = và ∆ 2 : Câu 14. Cho hai đường thẳng ∆1 :  y = t 2 1 2 z = t 

Xác định tọa độ điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆2 bằng 1 A. M ( 4;1;1) , M ( 7;4;4 ) B. M ( 3;0;0 ) , M ( 2; −1; −1)

C. M (1; −2; −2 ) , M ( 0; −3; −3) D. M ( 5;2;2 ) , M ( 2; −1; −1)

Câu 15. Cho a = (1;2;2 ) ,b = ( 0; −1;3) ,c = ( 4; −3; −1) . Xét các mệnh đề

2 10 (I), a = 3; (II), c = 26; (III), b ⊥ c; (I V), a.c = 4; (V), cos a,b = 15 Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng A. 2 B. 5 C.4 D. 3

( )

30

III. Bài toán sử dụng phím chức năng CALC và dấu hai chấm (“:”) Một số bài toán chúng ta sẽ dùng phương pháp thử đáp án để loại đáp án không thỏa mãn và chọn đáp án thỏa mãn ( đối với câu hỏi trắc nghiệm 4 đáp án, thử nhiều nhất là 3 đáp án nếu không thỏa mãn thì chọn đáp án còn lại, nếu thỏa mãn thì dừng và chọn đáp án đó). Khi đó phím chức năng CALC là một công cụ hiệu quả. Cụ thể: • Khi nhập biểu thức f(X,Y,A) vào máy tính rồi ấn CALC, xo=, yo=, zo= ta được kết quả của f(xo, yo, zo) • Khi nhập biểu thức f(X,Y,A) : g(X,Y,A) vào máy tính rồi ấn CALC, xo=, yo=, zo= ta được kết quả của f(xo, yo, zo), ấn tiếp dấu “=” ta được kết quả của g(xo, yo, zo) (Sau này trình bày lời giải ta viết kết quả dưới dạng f(xo, yo, zo) : g(xo, yo, zo) ). Nếu biểu thức được nhập có thêm “: h(X, Y, A)” thì khi ấn tiếp dấu “=” sẽ được kết quả của h(xo, yo, zo) Chú ý: dấu “:” được trích xuất ra màn hình bởi lệnh ALPHA



□

▭

□

( phím chức năng tính tích phân)

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của a để khoảng cách từ điểm M(1; −4;a) đến mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z − 5 = 0 bằng 8?

A. a =18.

B. a = - 6.

 a = −6 C.  . a = 18

a = −18 D.  . a = 18

Hướng dẫn:

d ( M,(P) ) =

1 + 2.(−4) + 2a − 5

• Nhập biểu thức

12 + 22 + 22 1 + 2.(−4) + 2A − 5

vào máy tính casio 12 + 22 + 22 • Ấn CALC, -6 = (chọn A=-6), được kết quả bằng 8 (thỏa mãn) do đó loại đáp án A, D • Ấn CALC, 18 = (chọn A=18), được kết quả bằng 8 (thỏa mãn) do đó loại đáp án B, chọn C

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x-8y+7z-1=0. Gọi C là điểm trên (P) để tam giác ABC đều khi đó tọa độ điểm C là: −2 −2 −1 −1 3 −1 A. C(−3;1;2) B. C( ; ; ) C. C( ; ; ) D. C(1;2; −1) 2 2 2 3 3 3 Hướng dẫn: 31

- Tam giác ABC đều khi BC = AC = AB = (2 − 0) 2 + (0 − 0) 2 + (−1 + 3) 2 = 8 2

2

2

hay ( x C − 2 ) + yC 2 + ( z C + 1) = x C 2 + yC 2 + ( z C + 3) = 8 • Nhập biểu thức sau vào máy tính

( X − 2)

2

2

2

+ Y 2 + ( A + 1) : X 2 + Y 2 + ( A + 3) : 3X − 8Y + 7A − 1

(Yêu cầu đặt ra: 2 biểu thức đầu bằng 8, biểu thức thứ 3 bằng 0) • Ấn CALC, -3=, 1=, 2= được kết quả là 35: 35: -4 (đáp án A không thỏa mãn) • Ấn CALC,-1/2=, 3/2=, -1/2= được kết quả là 35/4: 35/4: -18 (đáp án B không thỏa mãn) • Ấn CALC,-2/3=, -2/3=, -1/3= được kết quả là 8: 8: 0 (đáp án C thỏa mãn) Vậy chọn đáp án C

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục Oxyz , mặt phẳng ( Q ) đi qua ba điểm không thẳng hàng M (2;2;0) , N ( 2;0;3) , P ( 0;3;3) có phương trình: A. 9 x + 6 y + 4 z − 30 = 0

B. 9 x − 6 y + 4 z − 6 = 0

C. −9 x − 6 y − 4 z − 30 = 0

D. −9 x + 6 y − 4 z − 6 = 0

Hướng dẫn: Cách 1: Viết phương trình mp(Q)

• mp(Q) có 1VTPT là  MN,MP   • Nhập thông số các vectơ MN, MP vào các vectơ A và B trong máy tính: MODE 8, 1, 1, 2-2=, 0-2=, 3-0= (nhập vectơ A) MODE 8, 2, 1, 0-2=, 3-2=, 3-0= (nhập vectơ B) • Tính tích có hướng SHIFT5,3 × SHIFT5, 4 = ( nhập lệnh VctA × VctB) • Kết quả:(-9;-6;-4) phương trình mp(MNP): −9( x − 2) − 6( y − 2) − 4(z − 0) = 0 ⇔ 9x + 6y + 4z − 30 = 0 Vậy chọn đáp án A Cách 2: Thử đáp án • Nhập vào máy biểu thức sau (theo thứ tự là biểu thức tương ứng của các đáp án A, B, C, D) 9 X + 6Y + 4 A − 30 : 9 X − 6Y + 4 A − 6 :

−9 X − 6Y − 4 A − 30 : −9 X + 6Y − 4 A − 6 ( Nếu M, N, P thuộc mặt phẳng nào thì biểu thức tương ứng với mp đó có kết quả bằng 0) 32

• Ấn CALC, 2=, 2=, 0= được kết quả là 0: 0: -60: -12 (M không thuộc mặt phẳng thứ 3 và thứ 4 => loại đáp án C, D) • Ấn CALC, 2=, 0=, 3= được kết quả là 0: 24: -60: -36 (N không thuộc mặt phẳng thứ 2, thứ 3 và thứ 4 => loại đáp án B, C, D) Vậy chọn đáp án A

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1) A. (S): x² + y² + z² + 3x + y – z + 6 = 0 B. (S): x² + y² + z² + 3x + y – z – 6 = 0 C. (S): x² + y² + z² + 6x + 2y – 2z + 24 = 0 D. (S): x² + y² + z² + 6x + 2y – 2z – 24 = 0 Hướng dẫn: Dùng chức năng CALC để thử các đáp án, kiểm tra (S) đi qua đồng thời 4 điểm Cách 1: 2 2 2 • Thử đáp án A: Nhập vào máy biểu thức: X + Y + A + 3 X + Y − A + 6 (Yêu cầu kết quả bằng 0) Ấn CALC, 1=, 1=, 0= được kết quả là 12 ( A ∉ ( S) )=> loại đáp án A • Thử đáp án B: Sửa biểu thức ở đáp án A thành: X 2 + Y 2 + A2 + 3 X + Y − A − 6 (Yêu cầu kết quả bằng 0) Ấn CALC, 1=, 1=, 0= được kết quả là 0 ( A ∈ ( S) ) Ấn CALC, 0=, 2=, 1= được kết quả là 0 ( B ∈ ( S) ) Ấn CALC, 1=, 0=, 2= được kết quả là 0 ( C ∈ ( S) )

Ấn CALC, 1=, 1=, 1= được kết quả là 0 ( D ∈ ( S ) ) Vậy chọn đáp án B Cách 2: • Nhập vào máy biểu thức sau (theo thứ tự là biểu thức tương ứng của các đáp án A, B, C)

X 2 + Y 2 + A2 + 3 X + Y − A + 6 : X 2 + Y 2 + A2 + 3 X + Y − A − 6 : X 2 + Y 2 + A2 + 6 X + 2Y − 2 A + 24 ( Nếu A, B, C, D thuộc mặt cầu nào thì biểu thức tương ứng với mặt cầu đó có kết quả bằng 0. Nếu thử cả 4 điểm mà có biểu thức thỏa mãn cả 4 lần đều bằng 0 thì chọn đáp án tương ứng, nếu không có thì loại đáp án A, B, C và chọn D) • Ấn CALC, 1=, 1=, 0= được kết quả là 12: 0: 14 (loại đáp án A, C) • Ấn CALC, 0=, 2=, 1= được kết quả là 12: 0: -17 33

• Ấn CALC, 1=, 0=, 2= được kết quả là 12 :0: 17 • Ấn CALC, 1=, 1=, 1= được kết quả là 12: 0: -15 Vậy cả 4 điểm thỏa mãn biểu thức thứ 2, chọn đáp án B

Ví dụ 5: Tìm tọa độ giao điểm M của d :

x − 3 y +1 z = = 1 −1 2

và

( P ) : 2x − y − z − 7 = 0 .

A. M(0;2;-4)

B. M(3;-1;0)

C. M(6;-4;3)

D. M(1;4;-2)

Hướng dẫn: - M là giao điểm của d và (P) thì tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình của d và (P). Coi M(X;Y;A) • Nhập biểu thức sau vào máy tính X − 3 Y +1 A : : : 2X − Y − A − 7 1 −1 2 (Yêu cầu đặt ra: 3 tỉ số đầu bằng nhau, biểu thức thứ tư bằng 0) • Ấn CALC, 0=, 2=, -4= được kết quả là -3: -3: -2: -5 (đáp án A không thỏa mãn) • Ấn CALC, 3=, -1=, 0= được kết quả là 0: 0: 0: 0 (đáp án B thỏa mãn) Vậy chọn đáp án B Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  x = 1 + 3t ( P ) : 2x − 2y + z − 1 = 0 và đường thẳng d :  y = 2 − t . Tìm các điểm M trên  z =1+ t  đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng 3.

A. M1 ( 4; −1;2 ) ,M 2 ( −2;3;0 ) .

B. M1 ( 4;1;2 ) ,M 2 ( −2; −3;0 ) .

C. M1 ( 4;1;2 ) ,M 2 ( −2;3;0 ) .

D. M1 ( 4; −1;2 ) ,M 2 ( 2;3;0 ) .

Hướng dẫn: - Phương trình d :

x −1 y − 2 z −1 = = −1 3 1

- Khoảng cách từ M(X;Y;A) đến (P) là

2X − 2Y + A − 1 4 + 4 +1

• Nhập biểu thức sau vào máy tính X − 1 Y − 2 A − 1 2X − 2Y + A − 1 : : : 3 1 −1 4 + 4 +1 (Yêu cầu đặt ra: 3 tỉ số đầu bằng nhau, biểu thức thứ tư bằng 3) 34

• Ấn CALC, 4=, -1=, 2= được kết quả là 1: 3: 1: 11/3 => M1(4;-1;2) không thỏa mãn,loại đáp án A, D • Ấn CALC, -2=, -3=, 0= được kết quả là -1: 5:-1: 1/3  M 2 ( −2; −3;0 ) không thỏa mãn  loại đáp án B Vậy chọn đáp án C

Ví dụ7: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x + 2y – 2z + 5 =0 và cách điểm A(2; –1; 4) một đoạn bằng 4 A. x + 2y – 2z + 20 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 4 = 0 B. x + 2y – 2z + 12 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 4 = 0 C. x + 2y – 2z + 20 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 8 = 0 D. x + 2y – 2z + 12 = 0 hoặc x + 2y – 2z + 4 = 0 Hướng dẫn: - (P)//(Q)=> (P): x + 2y – 2z + D = 0 2 + 2.(−1) − 2.4 + D =4 - Khoảng cách: d ( A,(P) ) = 12 + 22 + 22 2 + 2.(−1) − 2.4 + D • Nhập biểu thức sau vào máy tính: 12 + 22 + 22 • Ấn CALC, 20= được kết quả bằng 4 Ấn CALC, -4= được kết quả bằng 4 Vậy đáp án A thỏa mãn 2

2

2

Ví dụ 8: Cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2 ) = 49 . Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S)?

A. 6x + 2 y + 3z = 0 B. 2x + 3y + 6z-5 = 0 C. 6x + 2y + 3z-55 = 0

D. x + 2y + 2z-7 = 0

Hướng dẫn: - (S) có tâm I(1; -3; 2), bán kính R = 7 - mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 tiếp xúc (S) khi d ( I,(P) ) = • Nhập biểu thức sau vào máy tính:

A − 3B + 2C + D A 2 + B2 + C 2

=7

A − 3B + 2C + D A 2 + B2 + C 2

(Yêu cầu kết quả bằng 7) • Ấn CALC, 6=, 2=, 3=, 0= được kết quả là 6/7 => đáp án A không thỏa mãn • Ấn CALC, 2=, 3=, 6=, -5= được kết quả là 0 =>đáp án B không thỏa mãn 35

• Ấn CALC, 6=, 2=, 3=, -55= được kết quả là 7 =>đáp án C thỏa mãn Vậy chọn đáp án C

Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 3), B(3; 2; 1). Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng Oxy. Tìm tọa độ của M để

P = MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất A. (1; 2; 1)

B. (1; 1; 0)

C. (2; 1; 0)

D. (2; 2; 0)

Hướng dẫn: Vì M ∈ (Oxy) nên loại đáp án A

P = MA + MB = OA + OB − 2OM =

( x A + x B − 2x M )

2

2

+ ( y A + y B − 2y M ) + ( z A + z B − 2z M )

2

• Nhập biểu thức sau vào máy tính:

(1 + 3 − 2X )

2

2

+ ( 2 + 2 − 2Y ) + ( 3 + 1 − 2A )

2

• Ấn CALC, 1=, 1=, 0= được kết quả P = 2 6 • Ấn CALC, 2=, 1=, 0= được kết quả P = 2 5 • Ấn CALC, 2=, 2=, 0= được kết quả P = 4 Vậy để P đạt giá trị nhỏ nhất ta chọn đáp án D

Ví dụ 11: Hình chiếu vuông góc của A ( −2;4;3) trên mặt phẳng (P): 2x − 3y + 6z + 19 = 0 có tọa độ.

A. (1; −1;2 )

 20 37 3  B.  − ; ;   7 7 7

 2 37 31  C.  − ; ;   5 5 5

 20 37 3  D.  ; − ;  7 7  7

Hướng dẫn: - Phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P) có dạng: x +2 y−4 z−3 = = 2 6 −3 - H là hình chiếu của A trên (P) khi H = d ∩ (P) • Nhập biểu thức sau vào máy tính X+ 2 Y−4 A−3 : : : 2 X − 3Y + 6 A + 19 2 6 −3 (Yêu cầu đặt ra: 3 tỉ số đầu bằng nhau, biểu thức thứ tư bằng 0) 3 5 −1 • Ấn CALC, 1=, -1=, 2= được kết quả là : : : 36  đáp án A không 2 3 6 thỏa mãn 36

• Ấn CALC, −

20 37 3 −3 −3 −3 =, =, = được kết quả là : : : 0  đáp án B 7 7 7 7 7 7

thỏa mãn Vậychọn đáp án B

Ví dụ 12: 2

2

Cho mặt phẳng

( P ) : 2x + 2y + z − 3 = 0

và mặt cầu (S):

2

x + y + z − 2x - 4y - 4z = 0 . Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn ( C ) . Tâm của đường tròn ( C ) là:  1 8 13   1 8 13  A.  ; ;  B.  − ; ;  9 9 9   9 9 9

 1 8 13  C.  − ; − ;   9 9 9

 1 8 13  D.  − ; − ; −   9 9 9

Hướng dẫn: - (S) có tâm I(1; 2; 2) - Tâm của (C) là hình chiếu của I trên (P) - Phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P): x −1 y − 2 z − 2 = = 2 2 1 - H là tâm của (C) nếu H = d ∩ (P) • Nhập biểu thức sau vào máy tính X −1 Y − 2 A − 2 : : : 2X + 2Y + A − 3 2 2 1 (Yêu cầu đặt ra: 3 tỉ số đầu bằng nhau, biểu thức thứ tư bằng 0) 1 8 13 −4 − 5 − 5 4 • Ấn CALC, =, =, = được kết quả là : : :  đáp án A 9 9 9 9 9 9 9 không thỏa mãn −1 8 13 −5 −5 −5 : : : 0  đáp án B • Ấn CALC, =, =, = được kết quả là 9 9 9 9 9 9 thỏa mãn Vậy chọn đáp án B

Ví dụ 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1) và đường  x = 6 − 4t  thẳng d:  y = −2 − t . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d z = −1 + 2t  A. (2; –3; –1)

B. (2; 3; 1)

C. (2; –3; 1)

D. (–2; 3; 1)

Hướng dẫn: 37

x − 6 y + 2 z +1 = = −4 −1 2 - Phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 1; 1) và vuông góc với d là: −4(x − 1) − (y − 1) + 2(z − 1) = 0

- Phương trình chính tắc của d:

- H là hình chiếu của A trên (P) khi H = d ∩ (P) • Nhập biểu thức sau vào máy tính X − 6 Y + 2 A +1 : : : −4(X− 1) − (Y− 1) + 2(A− 1) −4 −1 2 (Yêu cầu đặt ra: 3 tỉ số đầu bằng nhau, biểu thức thứ tư bằng 0) • Ấn CALC, 2=, -3=, -1= được kết quả là 1:1: 0 : −4  không thỏa mãn, loại đáp án A • Ấn CALC, 2=, 3=, 1= được kết quả là 1: −5 :1: −6  không thỏa mãn, loại đáp án B • Ấn CALC, 2=, -3=, 1= được kết quả là 1:1:1: 0  thỏa mãn, chọn đáp án C

Ví dụ 14. Cho mặt phẳng ( P ) : x − 2y − 3z + 14 = 0 và điểm M (1; −1;1) . Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (P).

A. M ' ( −1;3;7 ) B. M ' (1; −3;7 ) C. M ' ( 2; −3; −2 ) D. M ' ( 2; −1;1) Hướng dẫn: - Đường thẳng d qua M và vuông góc với (P) có phương trình: x −1 y +1 z −1 = = 1 −2 −3 - H là hình chiếu của M trên (P) ta có H là trung điểm của MM’ và x + xM ' y + yM ' z + zM ' H = d ∩ (P), x H = M , yH = M , zH = M 2 2 2 • Nhập biểu thức sau vào máy tính X −1 Y +1 A −1 : : : X − 2 Y − 3A + 14 1 −2 −3 (Yêu cầu đặt ra: 3 tỉ số đầu bằng nhau, biểu thức thứ tư bằng 0) 1 − 1 −1 + 3 1 + 7 • Ấn CALC, =, =, = được kết quả là −1: −1: −1: 0  thỏa 2 2 2 mãn, chọn đáp án A Ví dụ 15. Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) và đuờng thẳng d :

x −1 y + 2 z − 3 Tìm điểm M thuộc d để thể tích tứ diện = = 2 2 −1

MABC bằng 3.

38

 3 3 1  15 9 −11  A. M  − ; − ;  ; M  − ; ;   2 4 2  2 4 2   3 3 1  15 9 11  B. M  − ; − ;  ; M  − ; ;   5 4 2  2 4 2 3 3 1  15 9 11  C. M  ; − ;  ; M  ; ;  2 4 2  2 4 2  3 9 13   15 9 11  D. M  ; − ;  ; M  − ; ; −  5 5 5   2 4 2

Hướng dẫn: - Kiểm tra điểm thuộc d: • Nhập biểu thức sau vào máy tính X −1 Y + 2 A − 3 : : 2 −1 2 (Yêu cầu đặt ra: 3 tỉ số bằng nhau) −3 −3 1 5 5 5 =, =, = được kết quả là − : − : − =>thỏa mãn • Ấn CALC, 2 4 2 4 4 4 −15 9 −11 17 17 17 =, =, = được kết quả là − : − : − =>thỏa Ấn CALC, 2 4 2 4 4 4 mãn −3 −3 1 4 5 5 =, =, = được kết quả là − : − : − => không thỏa • Ấn CALC, 5 4 2 5 4 4 mãn => loại đáp án B 3 3 1 1 5 5 • Ấn CALC, =, − =, = được kết quả là : − : − =>không thỏa 2 4 2 4 4 4 mãn => loại đáp án C 3 9 13 1 1 1 • Ấn CALC, =, − =, = được kết quả là − : − : − => thỏa mãn 5 5 5 5 5 5 Vậy những điểm của đáp án A, D thuộc d

- Kiểm tra thể tích tứ diện MABC: AB = ( 2;1;2 ) , AC = ( −2;2;1)  3 9 13   3 14 13  Với M  ; − ;   AM =  ; − ;  5 5 5  5 5 5  1 VMABC =  AB,AC  .AM 6

• Nhập thông số các vectơ AB, AC, AM vào các vectơ A, B, C trong máy tính: MODE 8, 1, 1, 2=, 1=, 2= MODE 8, 2, 1, -2=, 2=, 1= 39

MODE 8, 3, 1,

3 14 13 =, − =, = 5 5 5

• Nhập lệnh tính thể tích 1 ÷ 6 × Abs ( ( VctA × VctB )iVctC ) Kết quả bằng 5.1 (không thỏa mãn)  loại đáp án D Vậy chọn đáp án A

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : 2 x − 3 y − z − 1 = 0 . Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng (α)?

A. P(3; 1; 3)

B. Q(1; 2; -5)

C. M(-2; 1; -8) D. N(4; 2; 1) x = 1 + t  Câu 2. Điểm M nào sau đây thuộc đường thẳng (∆):  y = 2 − 2t z = 3 + t  A. M(1; –2; 3) B. M(2; 0; 4) C. M(1; 2; – 3) D. M(2; 1; 3) Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; 1; 0) và đường x −1 y z +1 thẳng d: . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho = = 1 −2 1 AM = 6

 M ( 0;2; −2 )  M ( 0;2; −2 )  M ( 5; −8; −5)  M ( 5; −8; −5 ) A.  B.  C.  D.   M (1;0; −1)  M ( −2;6; −4 )  M (1;0; −1)  M ( −2;6; −4 ) Câu 4. Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2) và D(2;2;1). Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ : 3 3 3 3 3 3 A. ( 3;3; −3 ) B.  ; ;  C. ( 3;3;3 ) D.  ; − ;  2 2 2 2 2 2 Câu 5.Cho điểm A(2; 1; 4) và đường thẳng Δ : H của A trên ∆ là: A. H ( 2;3;3)

B. H ( 0; −2;5 )

x −1 y − 2 z −1 . Hình chiếu = = 1 1 2

C. H ( 0;2; −5 )

D. H (1; 2;5 )

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 2)² + (y – x+2 y z−2 1)² + z² = 9 và đường thẳng d: . Tìm tọa độ các giao điểm của = = 2 −1 −1 d và (S) A. (0, –1; 1) và (2; 2; 0) B. (0, 1; 1) và (2; –2; 0) C. (0, –1; 1) và (2; –2; 0) D. (0, 1; –1) và (–2; 2; 0)

40

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x y z +1 d: = = và mặt phẳng (α ) : x − 2y − 2z + 5 = 0 . Tìm điểm A trên d 2 −1 1 sao cho khoảng cách từ A đến (α ) bằng 3.

A. A (0;0;−1)

B. A (−2;1;−2)

C. A (2;−1;0)

D. A (4;−2;1)

Câu 8. Cho điểm A(3; 0; 0), B(0; -6; 0), C(0; 0; 6) và mặt phẳng (P): x +y + z – 4 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác ABC trên (P) A. (2; 1; 3) B. (2; -1; 3) C. (–2; -1; 3) D. (2; -1; -3) Câu 9. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng Oxz và đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3), C(2; 0; –1) A. (S): (x + 3)² + y² + (z + 3)² = 17 B. (S): (x – 3)² + y² + (z – 3)² = 11 C. (S): (x + 3)² + y² + (z + 3)² = 11 D. (S): (x – 3)² + y² + (z – 3)² = 17 Câu 10.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3; –4; 0), B(0; 2; 4), C(4; 2; 1). Tìm tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho AD = BC A. D(3; 0; 0), D(4; 0; 0) B. D(–2; 0; 0), D(8; 0; 0) C. D(0; 0; 0), D(6; 0; 0) D. D(–2; 0; 0), D(8; 0; 0) Câu 11. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm A(1; 2; –3), B(3; 3; – 4), C(0; 4; 0) A. (P): x + y – z – 10 = 0 B. (P): x – y + z + 4 = 0 C. (P): x – y + z – 4 = 0 D. (P): x + y – z – 6 = 0 Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + y – z – 3 = 0 và (Q): x + y + z – 1 = 0. Phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là x y − 2 z +1 x +1 y + 2 z −1 A. d: = = B. d: = = −3 2 1 −2 3 −1 x −1 y + 2 z +1 x y + 2 z −1 C. d: = = D. d: = = 2 1 2 −3 −1 −3 Câu 13. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(1;2;1); B(2;3;4) C(3;5;-2). 5   37   27   7 3 A. I  ;4;1  B. I  ; −7;0  C. I  − ;15;2  D. I  2; ; −  2   2   2   2 2 Câu 14. Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng (P): 2x + y + z + 5 = 0 và đường x −1 y − 3 z − 2 thẳng Δ : = = 3 −1 −3 A. (4; 2; -1) B. (-17; 9; 20) C. (-17; 20; 9) D. (-2; 1; 0) Câu 15. Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng của A(3;-2;-4) qua mặt phẳng (P): 3x – 2y – 3z – 14 = 0 A. A ' ( 0;0; −1) B. A ' (1;0; −1) C. A ' ( −1;1;0 ) .

D. A ' ( −1;0;1) 41

Câu 16. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, xác định điểm A’ đối xứng với điểm A(1; 2; -3) qua mặt phẳng (P): x – 2y + z = 0 ?

A. A’(3; -2; -1) B. A’(2;-1;2) C. A’(2; 0; -2) D. A’(1; -1; 3) Câu 17. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm M(2;0;1) lên đường thẳng x −1 y z − 2 Δ: = = 1 2 1 A. H(2; 2; 3) B. H(0; -2; 1) C. H(-1; -4; 0) D. H (1; 0; 2) Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 1; 2). Tìm điểm N thuộc mặt phẳng Oxy sao cho độ dài đoạn thẳng MN là ngắn nhất A. (1; 1; 0) B. (1; 2; 2) C. (2; 1; 0) D. (2; 2; 0) Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; 0; 3), B(2;0; 1), C(–2; 0; 1). Tìm tọa độ của điểm C thuộc mặt phẳng (P): 3x –8y + 7z – 1 = 0 sao cho ∆ABC đều A. (-3; 1; 2)

B.  − 1 ; 3 ; − 1  

2 2

2

C.  − 2 ; − 2 ; − 1   3

3

3

D. (1; 2; -1)

Câu 20. Cho hai mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 1 = 0 và (Q ) : 2 x − 3 y + z − 2 = 0 .

Hỏi điểm nào sau đây thuộc giao tuyến của (P) và (Q)? 1 1   1 1  A. M  ; − ;1 B. K (1;1;3) C. L  − ; ;1 D. N ( 2;1; −2 ) 5 5   5 5 

42

IV. Bài toán hình học không gian sử dụng phương pháp tọa độ hóa  Căn cứ giả thiết của bài toán ta chọn hệ trục tọa độ phù hợp  Một số trường hợpđặt hệ trục tọa độ Oxyz • Hình chóp có 1 góc là tam diện vuông; lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông hoặc hình chữ nhật z

z

z

z

C J

O

y

B y

O

K

y

O

y

O

B

C

A x

x

x

x

A

B

A

• Hình chóp tam giác đều , hình chóp tứ giác đều, lăng trụ tam giác đều z z

z z

y

y O

O

y

y

H

Q O

O x

x

x

x

• Hình chóp có mặt bên SAB là tam giác đều (hoặc cân ở S) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy: ∆ABC đều ( hoặc cân ở C) (H1); ∆ABC vuông ở C (H2); đáy ABCD là hình vuông hoặc hình chữ nhật (H3) z

z z

S

S S

y

y

x

A A

C

A

x

(H3)

(H2)

(H1)

B

C

y

O

B

O

D

x

B

C

43

• Hình chóp có cạnh bên SA vuông góc với đáy: ∆ABC đều hoặc cân ở C (H4); ∆ABC vuông ở B (H5); đáy ABCD là hình thoi (H6) z z

S

y

z

S

S

y

x

A A

C

A

C

O (H5)

(H4)

B x

D

x

B

C

B

(H6) y

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Gọi I là điểm thuộc cạnh AB sao cho AI=a/3. Tính khoảng cách từ C đến mp(B’DI) A.

3a 14 14

B.

a 14 7

C.

a 14 14

Hướng dẫn: - Xét với a=1 - Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ (O ≡ A ) Ta có A(0; 0; 0), D(0; 1; 0), B’(1; 0; 1), 1  C(1; 1; 0), I  ;0;0  3 

 2  B'D = ( −1;1; −1) ,B'I =  − ;0; −1  3 

D.

2a 14 7

z

A' B'

D' C'

y

A B x

D

I C

Casio:

 1 2 n =  B'D,B'I  =  −1; − ;  3 3  1 2 Phương trình mp(B’DI): − x − (y − 1) + z = 0 3 3 1 2 −1 − (1 − 1) + .0 3 14 3 3 d ( C; ( B'DI ) ) = = 2 2 14  1  2 12 +  −  +    3  3 Vậy chọn đáp án A 44

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, tam giác ABC vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính d(A, (IBC)).

A.

a 5 5

B.

2a 5 5

C.

3a 5 5

D.

4a 5 5

Hướng dẫn: - Xét với a=1 - Chọn hệ trục Bxyz như hình vẽ ( O ≡ B ) Ta có:

z 2

2

AC = A 'C -AA ' = 5 B' 2

2

BC = AC − AB = 2 Khi đó: B(0; 0; 0), A(1; 0; 0), C(0; 2; 0), A’(1; 0; 2), C’(0; 2; 2) M là trung điểm A’C’, A’M//AC

IA ' A 'M 1  = =  IC = −2IA ' IC AC 2 2 2 4  I ; ;  3 3 3

 2 2 4  BC = ( 0;2;0 ) , BI =  ; ;  3 3 3 - Casio:

 8 4 4 n =  BC,BI  =  ;0; −  = ( 2;0; −1) 3 3 3 phương trình mp(IBC): 2x – z = 0

d ( A,(IBC) ) =

2.1 − 0

22 + 12 Vậy chọn đáp án B

=

M

A'

C'

I

B

A x

C

y

2 5 5

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’, BB’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’M và CN. A.

a 5 4

B.

a 5 5

C.

a 3 2

D.

a 3 4

Hướng dẫn: 45

- Xét với a=1 - Gọi H, K lần lượt là trung điểm của B’C’ và BC. Chọn hệ trục Hxyz như hình vẽ ( O ≡ H ) Ta có A 'H =

a 3 3 = 2 2

1   1   H ( 0;0;0 ) ,B'  0; − ;0  ,C'  0; ;0  , 2   2      3 1   1  A '  − ;0;0  ,B  0; − ;1 ,C  0; ;1 2   2   2      3 3 1  1 1 A  − ;0;1 ,M  − ;0;  , N  0; − ;  2  2 2  2   2  3 1 1   1 B'M =  − ; ;  , CN =  0; −1; −  2   2 2 2

B'C = ( 0;1;1)

z

A

C K B

M

y

N

A'

C' H

x

B'

 B'M,CN  .B'C   d ( B'M,CN ) =

 B'M,CN   

- Casio: Nhập dữ liệu của các vectơ B'M,CN, B'C vào các vectơ A, B, C trong máy tính sau đó tính khoảng cách theo lệnh: Abs((VctA × VctB)iVctC) ÷ Abs(VctA × VctB) =

Kết quả: 0.4330127019

Đối chiếu các đáp án ta thấy

3 ≈ 0.4330127019 4

Vậy chọn đáp án D Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Hình chiếu của S trên mặt đáy trùng với tâm O của đáy, AB = a 5, AC = 4a, SO = 2a 2 . Gọi M là trung điểm SC, N là trung điểm AO. Tính thể tích khối chóp S.MND A. 2a 3 2

B. a 3 2

C.

a3 2 2

D. a 3

Hướng dẫn: - Xét với a=1 - Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ 46

Ta có OD = OB = AB2 − OA 2 = 1 Khi đó

(

z

)

S 0;0;2 2 ,A ( 0; −2;0 ) ,

S

C ( 0;2;0 ) , D( −1;0;0),

(

)

M 0;1; 2 , N ( 0; −1;0 )

SM = 0;1; − 2 ,SN = 0; −1; −2 2 ,

SD = −1;0; −2 2

( (

VSMND =

)

(

M

)

A

)

D N O

x

B

C

y

1 SM,SN  .SD  6

- Casio: Nhập dữ liệucủa các vectơ SM,SN,SD vào các vectơ A, B, C trong máy tính sau đó tính thể tích theo lệnh: 1 ÷ 6 × Abs((VctA × VctB)iVctC) =

Kết quả: 0.7071067812

Đối chiếu các đáp án ta thấy

2 ≈ 0.7071067812 2

Vậy chọn đáp án C Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA ⊥ (ABCD) , SA = a 2 , AB = 2a, AD = DC = a. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và AC. A.

2 3

B.

3 3

C.

3 2

D.

Hướng dẫn: - Xét với a=1 - Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ ( O ≡ A ) Ta có

5 5

z S

A(0;0;0),B(0;2;0),C(1;1;0),

(

)

D(1;0;0),S 0;0; 2

SB = 0;2; − 2 , AC = (1;1;0 )

(

A

B

y

)

SB.A C

cos ( SB,A C ) = cos SB,A C = SB . A C

(

)

x

D

C

47

- Casio: Nhập dữ liệu của các vectơ SB, AC vào các vectơ A, B trong máy tính sau đó thực hiện lệnh: Abs(VctAiVctB) ÷ (Abs(VctA) × Abs(VctB)) =

Kết quả: 0.5773502692

Đối chiếu các đáp án ta thấy

3 ≈ 0.5773502692 3

Vậy chọn đáp án B

Ví dụ 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh AB=2a.

Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60o. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AA’ theo a.

A.

2a 21 7

B.

2a 15 5

C.

a 39 13

D.

a 15 5

Hướng dẫn: - Xét với a=1 - Chọn hệ trục Hxyz như hình vẽ ( O ≡ H ) - ABC là tam giác đều cạnh AB=2  CH = 3

'AB = 60o - Góc giữa AA’ và (ABC) là A

z

 A 'H = AH.tan 60 = 3 Ta có:

(

)

(

)

B(1;0;0),C 0; 3;0 , A(−1;0;0),A' 0;0; 3

BC = −1; 3;0 ,AA ' = 1;0; 3 ,AC = 1; 3;0

 AA',BC  .AC   d ( AA',BC ) =

 AA',BC   

(

)

(

)

C'

A'

o

(

B'

)

y

A C H B

x

- Casio: Nhập dữ liệu của các vectơ AA ', BC, AC vào các vectơ A, B, C trong máy tính sau đó tính khoảng cách theo lệnh: Abs((VctA × VctB)iVctC) ÷ Abs(VctA × VctB) =

Kết quả: 1.549193338 Đối chiếu các đáp án ta thấy

2 15 ≈ 1.549193338 5

Vậy chọn đáp án B 48

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=2a, = 60o , SA ⊥ ( ABC ) , SA = a 3 . Gọi M là trung điểm AB. Tính khoảng BAC cách giữa hai đường thẳng SB và CM 2a 87 2a 73 a 87 a 73 B. C. D. 29 29 29 29 Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , góc giữa SB và (ABCD) bằng 60o. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC

A.

a 7 a 21 a 3 a 21 B. C. D. 3 3 7 7 Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác vuông cân ở S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC

A.

a 3 7 3 B. C. a D. a 3 3 3 7 Câu 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là tâm các hình vuông ABCD, ABB’A’, ADD’A’, CDD’C’. Tính thể tích tứ diện MNPQ a3 a3 a3 a3 A. B. C. D. 24 32 48 16 Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SJC)

A. a

a 2 a 3 3a 2 3a 2 B. C. D. 2 4 4 8 Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA ⊥ ( ABCD) , SA = a 2 , AD = 2a, AB = BC = a. Gọi M là hình chiếu của A trên SB. Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) a a a a A. B. C. D. 4 2 3 5 Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, BA=3a, BC=4a, = 30o . Tính khoảng cách từ B đến (SAC) (SBC ) ⊥ ( ABC ) , SB = 2a 3, SBC A.

A.

6a 7 7

B.

a 7 3

C.

a 3 7

D.

3a 7 4 49

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , góc giữa (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SD và BG

2 2 3 2 2 B. C. D. 2 4 7 3 Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, AB=2a, góc giữa cạnh bên SA và đáy bằng 60o. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC). Tính cos ϕ A.

7 7 7 7 C. D. B. 4 8 7 5 Câu 10. Cho lăng trụ đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm CC’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’M 5a 5a 5a 5a A. B. C. D. 6 3 6 3 A.

50

PHẦN 3: THỰC NGHIỆM Hai bài kiểm tra tôi thiết kế nhằm đánh giá mức độ vận dụng phương pháp Casio vào giải toán trắc nghiệm “Tọa độ trong không gian”: 1. Bài kiểm tra số 1: thực hiện sau khi học sinh học về hệ trục tọa độ trong không gian, tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ, phương trình mặt cầu và tích có hướng của hai vectơ 1.1. Ma trận đề kiểm tra số 1: (thời gian làm bài: 15 phút) Cấp độ tư duy Chủ đề/ Chuẩn KTKN

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng

Vận dụng cao

1. Vectơ Biết tính độ dài vectơ, tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai vectơ. Tìm tọa độ vectơ là tổng, hiệu các vectơ, tích vectơ với một số. Tìm tọa độ điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ.

Biết một số ứng dụng của tích có hướng của 2 vectơ

Câu 1

Câu 4

Câu 6

Câu 8

Câu 2

Câu 5

Câu 7

Câu 3 3

2. Phương trình mặt cầu Biết viết phương trình mặt cầu có đường kính AB với 2 điểm A, B cho trước.

Tính bán kính, diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện Cộng

3 (30%)

2

2

1

Câu 9

Câu 10

1

1

3 (30%)

2 (20%)

2 (20%)

Cộng

8 80%

2 20%

10 (100%)

1.2. Đề kiểm tra số 1: Câu 1. Trong không

gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba vectơ a = ( −1;1;0 ) ,b = (1;1;0 ) ,c = (1;1;1) . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. c = 2 B. b = 2 C. a = 2 D. a + b = 2 Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba vectơ

a = ( 5;7;2 ) ,b = ( 3;0;4 ) , c = ( 6; −1;1) . Tìm tọa độ của vectơ u = 5a + 6b − 4c A. (19;39;30 )

B. ( −19;39;30 )

C. (19; −39;30 )

D. (19;39; −30 ) 51

Câu 3. Tính tích vô hướng của hai vectơ u = ( 34; −1;2 ) , v = ( −2;5;20 ) A. -33 B. 103 C. -23 Câu 4. Trong không gian với hệ tọa

A ( 2;1;0 ) , B ( −1;1; −2 ) ,C ( 3;0; −1) . Tính cos BAC

D. 95 độ Oxyz

cho

ba

điểm

39 39 13 2 39 B. D. − C. − 39 39 13 39 Câu 5. Bộ 3 điểm nào sau đây thẳng hàng: M ( 2; −3;5 ) , N ( 4;7; −9 ) ,P ( 3;2;1) , A. −

Q (1; −8;12 ) A. M, N, Q B. M, N, P C. N, P, Q D. M, P, Q Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai vectơ

a = (1;1; −2 ) , b = ( −3;0; −1) và điểm A ( 0;2;1) . Tìm điểm M thỏa mãn

AM = 2a − b A. M ( 5;4; −2 ) B. M ( −5;1;2 ) C. M ( 3; −2;1) D. M (1;4; −2 )

Câu 7.

Trong không gian với hệ tọa độ A ( −3;1; −2 ) ,B (1;1;1) ,C ( −2;2;1) . Tính thể tích của tứ diện OABC

Oxyz

cho

4 8 B. 8 C. 4 D. 3 3 Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (1;0;1) ,B ( 0;2;3) , C ( 2;1;0 ) .

Tính độ dài đường cao hạ từ C của tam giác ABC A.

26 26 B. C. 26 D. 26 2 3 Câu 9.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A ( 6;2; −5) , B ( −4;0;7 ) , C ( 2;1;0 ) . Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A.

A. x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 2y − 2z − 59 = 0 B. x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 2y − 2z + 59 = 0 C. x 2 + y 2 + z 2 + 2x + 2y + 2z − 59 = 0 D. x 2 + y 2 + z 2 + 2x − 2y − 2z − 59 = 0

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (1;0; −3) ,B (1;3; −2 ) , C ( 3;2;1) ,D ( 3; −1;0 ) . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A. 24π

B. 6π

C. 2 6π

D. 8 6π

52

2.Bài kiểm tra số 2: thực hiện sau khi học sinh học về phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng trong không gian 2.1. Ma trận đề kiểm tra số 2: (thời gian làm bài: 45 phút) Cấp độ tư duy Chủ đề/ Chuẩn KTKN

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng

Vận Cộng dụng cao

1. Bài toán sử dụng chức Câu 1 năng tính toán thông Câu 2 thường và giải hệ Biết tính độ dài vectơ, tích 2 vô hướng của hai vectơ, khoảng cách từ điểm đến mp, bán kính đường tròn giao tuyến của mp và mặt cầu, thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Câu 3

Câu 4

Câu 5

1

1

1

2. Bài toán sử dụng chức năng vectơ Biết làm các phép toán về vectơ và một số ứng dụng của tích có hướng của hai vectơ

Câu 6

Câu 9

Câu 12

Câu 7

Câu 10

Câu 13

Câu 8

Câu 11

Câu 14

3

3

3

3. Bài toán sử dụng chức năng CALC và dấu hai chấm “:” Biết kiểm tra điểm thuộc đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu; điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

Câu 15

Câu 18

Câu 20

Câu 16

Câu 19

Câu 21

Câu 17 3

4. Bài toán hình không gian sử dụng phương pháp tọa độ hóa Biết đặt hệ trục Oxyz phù hợpđể đưa bài toán về dạng “tọa độ trong không gian” Cộng

5 20%

9 36%

Câu 23

Câu 22 2

3

1

Câu 24

Câu 25

1

1

9 36%

2 8%

8 (32%)

7 (28%)

7 (28%)

3 (12%)

25 (100%)

53

2.2. Đề kiểm tra số 2: Câu 1. Trong

không gian v ớ i hệ tọa độ Oxyz cho hai vectơ a = ( 2; −1;15) , b = ( −31;1;2 ) . Tính a.b A. -31 B. 25 C. (-17; -469; 33) D. – 448 Câu 2. Cho mặt cầu (S) có tâm I ( 2;1; −1) và tiếp xúc với mp(P): 2x − 2y − z + 3 = 0 . Bán kính của mặt cầu (S) là:

2 2 4 C. D. 9 3 3 Câu 3. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) : 2x + 3y + 3z − 5 = 0 và (Q) : 2x + 3y + 3z − 1 = 0 A. 2

B.

2 22 22 2 B. 4 C. D. 11 11 11 Câu 4.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 2 2 (P) : x − y + 4z − 4 = 0, (S) : x + y + z − 4x − 10z + 4 = 0 . Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng: A.

A. 7 B. 3 C. 2 D. 4 Câu 5.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A ( 5;2; −6 ) ,B ( 5;5;1) , C ( 2; −3; −2 ) , D (1;9;7 ) . Thể tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: 500 π A. 4500π B. 288π C. 972π D. 3 Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai vectơ

a = ( 2; −1;5 ) , b = ( 8;5;2 ) . Tính độ dài của vectơ u = 2a − 3b A. 705 B. 702 C. Câu 7. Trong không gian với

a = ( 2;13; −3) , b = (10;5;12 ) . Tìm vectơ A. (171; −54; −120 )

695 D. 699 hệ tọa độ Oxyz cho hai vectơ

u =  a,b  .

B. ( −120;171; −54 )

C. ( −171; −54; −120 )

D. (171;54;120 )

Câu 8. Tìm góc giữa hai vectơ a = ( −2; −1;2 ) ,b = ( 0;1; −1) A. 135o B. 90o C. 60o Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

a = ( 5;4; −1) , b = ( 2; −5;3) . Tìm tọa độ của vectơ c thỏa mãn

 3 9  A.  − ; − ;2   2 2 

3 9  B.  ; ; −2  2 2 

 3 9  C.  − ; − ;1  4 4 

D. 45o cho hai vectơ

a + 2c = b D. ( −3; −9;4 ) 54

Câu 10. Biết đường thẳng d là giao tuyến của của hai mặt phẳng (P) : 3x + 2y − z − 1 = 0, (Q) : x + 4y − 3z + 2 = 0 . Khi đó d có một VTCP là:

A. u = (1; −4; −5) B. u = ( 0;4;5 ) C. u = ( 2; −4; −5 ) D. u = ( −1; −4;5) Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC: A (1;0;0 ) , B ( 0;0;1) ,C ( 2;1;1) . Diện tích của tam giác ABClà: A.

6 2

B.

6 4

C.

3 2

D.

6

x = t  Câu 12. Mặt cầu có tâm I (1;3;5 ) và tiếp xúc với đường thẳng d :  y = −1 − t có z = 2 − t  phương trình là: 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

A. ( x − 1) + ( y − 3) + ( z − 5 ) = 14 B. ( x − 1) + ( y − 3) + ( z − 5 ) = 49 C. ( x − 1) + ( y − 3) + ( z − 5) = 256 D. ( x − 1) + ( y − 3) + ( z − 5 ) = 7

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD: A ( 0;1;1) , B ( −1;0;2 ) ,C ( −1;1;0 ) ,D ( 2;1; −2 ) . Đường cao hạ từ D của tứ diện ABCD bằng: 5 7 5 5 A. B. C. D. 6 6 6 6 2 6 x y − 3 z +1 x −4 y z−3 Câu 14. Cho hai đường thẳng d1 : = = , d2 : = = . −1 2 3 1 1 2 Khẳng định nào sau đây đúng: A. d1, d2 chéo nhau B. d1 ⊥ d 2 C. d1 / /d 2

D. d1 ,d 2 cắt nhau nhưng không vuông góc

 x = 1 + 2t  Câu 15. Cho đường thẳng ∆ :  y = −2 + t . Điểm nào sau đây nằm trên đường z = 3 − t  thẳng ∆: 3 5 5 1 1 3  1 3 5   A. M  2; − ;  B. M  ; ; −  C. M  −2; ;  D. M  3; − ;  2 2 2 2 2 2  2 2 2   Câu 16. Cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 6z = 0 . Trong ba điểm A ( 0;0;0 ) , B (1;2;3) ,C ( 2; −1; −1) có bao nhiêu điểm thuộc mặt cầu (S)?

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3 55

Câu 17. Cho d :

x − 2 y z +1 = = , (P) : x + 2 y− 3z + 2 = 0 . Tìm giao điểm M của 1 2 −3

d và (P) A. M ( −1;1;1)

B. M ( 5; −1; −3)

C. M ( 2;0; −1)

D. M (1;0;1)

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2; 0; 1) và đường x −1 y z −1 = = . Điểm M thuộc d thỏa mãn MA = 3 là: thẳng d : 2 1 −1 A. M ( 3;1;0 ) B. M ( 5; −1; −1) C. M ( 3; −1;0 ) D. M ( 5;2; −1) Câu 19. Cho ba điểm A ( 0;2;1) ,B ( 3;0;1) ,C (1;0;0 ) . Phương trình mặt phẳng (ABC) là: A. 2x + 3y − 4z − 2 = 0 B. 2x − 3y − 4z + 2 = 0 C. x − 4y + 2z = 0

D. x − 4y + 2z − 8 = 0

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(3; -2; 5) và đường x +8 y−5 z = = . Tọa độ hình chiếu của A trên d là: thẳng d : 4 −2 1 A. ( 4; −1;3) B. ( −4;1; −3) C. ( −4; −1;3) D. ( 4; −1; −3) Câu 21. Cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z − 4 = 0 và điểm M (1; −2; −2 ) . Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (P).

A. M ' ( 3;0; −4 ) B. M ' ( 3;4;8) C. M ' ( 3;0;8 ) D. M ' ( 3;4; −4 ) Câu 22. Cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 6z − 2 = 0 và mặt phẳng (P) : 4x + 3y − 12z + 10 = 0 . Mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với (S) có phương trình là:  4x + 3y − 12z + 78 = 0  4x + 3y − 12z − 78 = 0 A.  B.   4x + 3y − 12z − 26 = 0  4x + 3y − 12z + 26 = 0  4x + 3y − 12z + 78 = 0  4x + 3y − 12z − 78 = 0 C.  D.   4x + 3y − 12z + 26 = 0  4x + 3y − 12z − 26 = 0 Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 5;3; −4 ) , B (1;3;4 ) . Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 8 5 A. C1 ( 3;7;0 ) ;C 2 ( 3; −1;0 )

B. C1 ( −3; −7;0 ) ;C 2 ( −3; −1;0 )

C. C1 ( 3;7;0 ) ;C2 ( 3;1;0 )

D. C1 ( −3; −7;0 ) ;C2 ( 3; −1;0 )

Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a 2 . Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Tính cos ϕ ?

56

3 6 6 3 B. C. D. 4 6 3 8 Câu 25. Cho hình chóp đềuS.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a.

Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, SB A.

A.

a 517 47

B.

20a 47

C.

40a 47

D.

a 557 47

Đề tài trên được tiến hành trên đối tượng là học sinh lớp 12A7 (khối C) và 12A3 (khối A) trường THPT A năm học 2017-2018 với phương pháp dạy lồng ghép trong các giờ bài tập trên lớp và giờ học chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia.

Kết quả ban đầu của việc thực hiện đề tài như sau:

Bài kiểm tra Số 1 Số 2

Lớp

Sĩ số

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

12A3

36

10

27,8%

14

38,9%

12

33,3%

0

0%

12A7

29

3

10,3%

8

27,6%

18

62,1%

0

0%

12A3

36

15

41,7%

16

44,4%

5

13,9%

0

0%

12A7

29

5

17,2%

10

34,5%

14

48,3%

0

0%

Qua hai bài kiểm tra tôi nhận thấy khả năng sử dụng máy tính casio để giải toán trắc nghiệm về tọa độ trong không gian của học sinh có tiến bộ, tốc độ làm bài nhanh hơn, tỉ lệ khá giỏi đạt tương đối cao, kể cả lớp khối C, đáp ứng được yêu cầu thi THPT Quốc gia về phần “Tọa độ trong không gian”. Đề tài chỉ nêu một số dạng bài tập cơ bản nhất có thể sử dụng máy tính Casio về tọa độ trong không gian được tổng hợp trong quá trình giảng dạy của tác giả. Qua đó giúp rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng máy tính casio trong giải toán trắc nghiệm, góp phần phát triển năng lực tính toán, giải quyết vấn đề và sáng tạo, đồng thời hỗ trợ cho các em trong việc học toán cũng như các môn khoa học tự nhiên, đặc biệt là thi THPT Quốc gia.

Do điều kiện thời gian và kinh nghiệm chưa nhiều, bước đầu tôi mới chỉ tổng hợp được một số dạng bài tập cơ bản nhất sử dụng máy tính casio để giải toán trắc nghiệm chương “Phương pháp tọa độ trong không gian”. Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.

57

CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT STT

Viết tắt

Viết đầy đủ

1

VTPT

Vectơ pháp tuyến

2

VTCP

Vectơ chỉ phương

3

mp

4

THPT

Trung học phổ thông

5

KTKN

Kiến thức kĩ năng

6

STT

Mặt phẳng

Số thứ tự

7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến: - Là tài liệu bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên về giải toán trắc nghiệm chương “Phương pháp tọa độ trong không gian”.

- Là tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia.

8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): không 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh được học chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian_ Hình học 12; có một trong các loại máy tính: CASIO fx-570ES, CASIO fx570ESPLUS, CASIO fx-570VN PLUS, VINACAL 570ES PLUS II

58

10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến 10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: Đề tài được áp dụng sẽ góp phần tạo hứng thú học tập và đạt hiệu quả cao hơn cho học sinh về chương “Phương pháp tọa độ trong không gian”, tốc độ làm bài trắc nghiệm về phần này nhanh hơn, đáp ứng được yêu cầu thi THPT Quốc gia về “Tọa độ trong không gian”.

10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: Theo ý kiến của học sinh khi được tham gia đề tài thì các em thấy yêu thích hơn đối với môn Toán, thấy được khi sử dụng máy tính Casio vào giải toán trắc nghiệm về tọa độ trong không gian thì nhiều bài đã được giải nhanh hơn, dễ dàng hơn. Ngoài ra, các em còn liên hệ sang giải một số dạng bài của chương “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” (Hình học 10); với phím chức năng CALC và dấu hai chấm “:”, các em liên hệ sang giải một số dạng bài về nghiệm của phương trình và hệ phương trình, một số dạng bài về hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.

59

11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu: STT

Tên tổ chức/cá nhân

Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

1

Lớp 12A3

Trường THPT Bình Chương III, Hình học lớp 12/ Xuyên Ôn thi THPT Quốc gia

2

Lớp 12A7

Trường THPT Bình Xuyên

Địa chỉ

Bình Xuyên, ngày.....tháng.....năm 2019 Hiệu trưởng

Chương III, Hình học lớp 12/ Ôn thi THPT Quốc gia

Bình Xuyên, ngày 15 tháng 01 năm 2019 Tác giả sáng kiến

Lưu Thị Minh Nguyệt

60