( Toán cao cấp ) Bài tập ánh xạ tuyến tính (tt), chuỗi lũy thừa, chuỗi số và chuỗi đan dấu... by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

TOÁN CAO C Ấ P

BÀI TẬP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH (TT), CHUỖI LŨY THỪA, CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI ĐAN DẤU, KHÔNG GIAN VECTO CÓ LỜI GIẢI (PDF VERSION)

TÀI LIỆU CHUẨN THAM KHẢO 2019 EDITION

Giá chuyển giao $43

PHÁT TRIỂN KÊNH BỞI THS NGUYỄN THANH TÚ ĐƠN VỊ TÀI TRỢ / PHÁT HÀNH / CHIA SẺ HỌC THUẬT : NGUYEN THANH TU GROUP

GMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM MOBI/ZALO 0905779594

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Định nghĩa và tính chất của ánh xạ tuyến tính

Cho A là ma trận cấp m  n trên K. Ánh xạ  : K n  K m xác định bởi   x   Ax.

Bài 04.03.1.001

  x  y   A  x  y   Ax  Ay    x     y 

N H Ư

Vậy  là ánh xạ tuyến tính.



(2 x  y; x  2 y)

Giải: 2

suy ra x  ( x1, x2 ) và y  ( y1, y2 ) với  ;   K . Khi đó,

Với x, y 

có phải là ánh xạ tuyến tính không?

( x; y)

10 00

Kiểm tra ánh xạ

TR ẦN

Bài 04.03.1.002 h:

  ax   A  ax   aAx  a  x  .

-H

h( x  y )  h( x1  y1 , x2  y2 )  (2( x1  y1 )  x2  y2 , x1  y1  2( x2  y2 ))

 (2 x1  x2 , x1  2 x2 )  (2 y1  y2 , y1  2 y2 )  h( x)  h( y )

-L

Khi đó, h( x)   (2 x1  x2 , x1  2 x2 )

ÁN

Vậy ánh xạ h cho bởi công thức trên là ánh xạ tuyến tính. Hơn nữa đây còn là một phép biến đổi tuyến tính, hay toán tử tuyến tính từ không gian vector 2 vào chính nó.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Với mọi x, y  K n và a  K . Ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

Giải:

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Chứng minh rằng  là ánh xạ tuyến tính.

IỄ N

Bài 04.03.1.003

Cho A là ma trận cấp n trên K. Ánh xạ  : M n  K   M n  K  xác định bởi

  X   XA  AX , với X  M n  K . Chứng minh rằng  là ánh xạ tuyến tính Giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Với mọi X , Y  M n  K  , a  K . Ta có:

  X  Y    X  Y  A  A  X  Y   XA  YA  AX  AY

dưới đây có phải là tuyến tính không:

  x, y     x , y  4) f   x, y     0, y  6) f   x, y     2x  y, x  y  8) f   x, y     x , y 

  x, y     2 x, y  3) f   x, y     y, x  5) f   x, y     x, y  1 7) f   x, y     y, y 

H Ư

TR ẦN

Giải:

 x, y    x ', y '  f  x  x ', y  y '   2  x  x ' ,  y  y '

10 00

1) Xét f

2) f

1) f

 x, y   f  x ', y '

 kx, ky    2kx, ky   k  2x, y   kf  x, y 

-H

f  k  x, y    f

  2 x, y    2 x ', y '  f

ÁN

  x, y    x ', y '   f  x  x ', y  y '    x  x ' ,  y  y ' 

2) Xét f

-L

Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính. 2

  x 2 , y    x '2 , y '  f

 x, y   f   x ', y ' 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Y U .Q



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Ánh xạ f 

Bài 04.03.1.004

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Vậy  là ánh xạ tuyến tính.

  aX    aX  A  A  aX   a  XA   a  AX   a  XA  AX   a  X  .

  XA  AX   YA  AY     X    Y 

Vậy ánh xạ đã cho không phải là tuyến tính.

 x, y    x ', y '  f  x  x ', y  y '   y  y ', x  x '   y, x    y ', x '  f

IỄ N

3) Xét f

f  k  x, y    f

 x, y    f  x ', y '

 kx, ky    ky, kx   k  y, x   kf  x, y 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.

 x, y    x ', y '  f  x  x ', y  y '   0, y  y '

N Ơ

 kx, ky    0, ky   k  0, y   kf  x, y 

Y G

H Ư

 x, y    x ', y '  f  x  x ', y  y '   2  x  x '  y  y ', x  x ' y  y '

TR ẦN

  2 x  y, x  y    2 x ' y ', x ' y '  f f  k  x, y    f

 kx, ky    2kx  ky, kx  ky   k  2x  y, x  y   kf  x, y 

10 00

Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính 7) Xét f

 x, y    f  x ', y '

 x, y    x ', y '  f  x  x ', y  y '   y  y ', y  y '  x, y   f  x ', y '

-H

  y, y    y ', y '  f f  k  x, y    f

-L

 kx, ky    ky, ky '  k  y, y '  kf  x, y 

ÁN

Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính 8) Theo đầu bài f

  x, y    

x, 3 y





 

kx , 3 ky  k



x , 3 y  kf  x, y 

ÀN

Do đó xét f  k  x, y    f  kx, ky  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 x, y   f  x ', y '

Vậy ánh xạ đã cho không phải là tuyến tính. 6) Xét f

  x, y  1   x ', y ' 1  f

 x, y    x ', y '  f  x  x ', y  y '   x  x ', y  y ' 1

Đ ẠO

5) Xét f

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

f  k  x, y    f

 x, y   f  x ', y '

  0, y    0, y '  f

4) Xét f

IỄ N

Vậy ánh xạ đã cho không phải là tuyến tính.

Bài 04.03.1.005 Ánh xạ f :



dưới đây có phải là tuyến tính không:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

  x, y, z     0,0  4) f   x, y, z     2 x  y,3 y  4 z 

  x, y , z     x, x  y  z  3) f   x, y, z    1,1

1) f

2) f

Giải

1)Xét

  x, y, z    x ', y ', z '   f   x  x ', y  y ', z  z '    x  x ',  x  x '   y  y '   z  z '    x, x  y  z    x ', x ' y ' z '  f   x, y, z    f   x ', y ', z '   f  k  x, y, z    f   kx, ky, kz     kx, kx  ky  kz    kx, k  x  y  z    k  x, x  y  z   kf   x, y, z  

10 00

Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.

 kx, ky, kz   1,1  kf  x, y, z  trừ khi k  1.

3) Xét f  k  x, y, z    f

 x, y, z  

f  k  x, y, z    f  kx, ky, kz    0,0   kf

-H

Vậy ánh xạ đã cho là không tuyến tính.

ÁN

-L

4) Xét f   x, y, z    x ', y ', z '   f

  2  x  x '   y  y ' ,3  y  y '  4  z  z '  

  2 x  y,3 y  4 z    2 x ' y ',3 y ' 4 z ' 

TO Đ

 x  x ', y  y ', z  z '

 f

  x, y, z    f   x ', y ', z ' 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 x, y, z   f  x ', y ', z '

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

 f

f  k  x, y, z    f  kx, ky, kz    2kx  ky,3ky  4kz 

IỄ N D

H Ư

 x, y, z    x ', y ', z '  f  x  x ', y  y ', z  z '   0,0   0,0   0,0 

TR ẦN

2) Xét f

Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

  k  2 x  y  , k  3 y  4 z    kf

  x, y , z  

Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính. Bài 04.03.1.006

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

 a b   3) f      2a  3b  c  d c d  

 a b   2 2 4) f     a b   c d  

 a b   a b  2) f     det    c d   c d  

H Ư

 a b    a ' b '     a  a '   d  d '  f    f     c d     c ' d ' 

 a b      c d  

10 00

Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.

TR ẦN

 a b     ka kb   f k   f       ka  kd  k  a  d   kf  c d     kc kd  

-H

 a b    kf     trừ khi k  1. c d c d  

a b

-L

k

 a b     ka kb   ka kb b 2 a  f   k 2) Xét f  k        c d  c d     kc kd   kc kd

ÁN

Vậy ánh xạ đã cho không tuyến tính.

 a b    a ' b '    a  a ' b  b '   3) Xét f       f       c d     c ' d '    c  c ' d  d ' 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

 a b    a ' b '    a  a ' b  b '   1) Xét f       f       c d     c ' d '    c  c ' d  d ' 

Giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 a b   1) f     a  d c d  

dưới đây có phải là tuyến tính không:

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ánh xạ f : M2 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 2  a  a '  3  b  b '    c  c '    d  d '    2a  3b  c  d    2a ' 3b ' c ' d ' 

IỄ N

 a b    a ' b '    f   f      c d     c ' d ' 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N Y

Bài 04.03.1.007

H Ư

Ánh xạ f : P2  P2 dưới đây có phải là tuyến tính không:

TR ẦN

1) f  a0  a1 x  a2 x 2   a0   a1  a2  x   2a0  3a1  x 2 2) f  a0  a1 x  a2 x 2   a0  a1  x  1  a2  x  1

3) f  a0  a1 x  a2 x 2   0

10 00

4) f  a0  a1 x  a2 x 2    a0  1  a1 x  a2 x 2

Giải



 a1 x  a2 x 2    b0  b1 x  b2 x 2   f

 a

-L

-H

1) Xét

 a

 b0    a1  b1  x   a2  b2  x 2 

ÁN

 a0  b0    a1  b1    a2  b2   x   2  a0  b0   3  a1  b1   x 2  a0   a1  a2  x   2a 0  3a1  x 2  b0   b1  b2  x   2b0  3b1  x 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Vậy ánh xạ đã cho không tuyến tính.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

 a b    k  a 2  b 2   kf     trừ khi k  1. c d  

http://daykemquynhon.ucoz.com

 a b     ka kb   2 2 2 2 2  f 4) Xét f  k       ka    kb   k  a  b     c d     kc kd   Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 a b      c d  

 a b     ka kb   f k   f      2ka  3kb  kc  kd  k  2a  3b  c  d   kf c d kc kd      Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

ÀN

 f  a0  a1 x  a2 x 2   f  b0  b1 x  b2 x 2 

IỄ N





f k  a0  a1 x  a2 x 2   f  ka0  ka1 x  ka2 x 2   ka0   ka1  ka2  x   2ka0  3ka1  x 2

 k  a0   a1  a2  x   2a0  3a1    kf  a0  a1 x  a2 x 2 

Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính. 2) Xét

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com



 a1 x  a2 x 2    b0  b1 x  b2 x 2   f

 a

  a0  b0    a1  b1  x  1   a2  b2  x  1

 b0    a1  b1  x   a2  b2  x 2 

 a0  a1  x  1  a2  x  1  b0  b1  x  1  b2  x  1 2



N Y

  kf  a  a x  a x  2

 k a0  a1  x  1  a2  x  1

Đ ẠO



Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.

 a

 b0    a1  b1  x   a2  b2  x 2 



 a1 x  a2 x 2    b0  b1 x  b2 x 2   f

H Ư

 a

3) Xét f



TR ẦN

 0  0  0  f  a0  a1 x  a2 x 2   f  b0  b1 x  b2 x 2 



f k  a0  a1 x  a2 x 2   f  ka0  ka1x  ka2 x 2   0  k 0

10 00

 kf  a0  a1 x  a2 x 2 

Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.

-H

4) Xét





-L

f k  a0  a1 x  a2 x 2   f  ka0  ka1 x  ka2 x 2    ka0  1  ka1 x  ka2 x 2

ÁN

 k   a0  1  a1 x  a2 x 2   kf  a0  a1x  a2 x 2  trừ khi k  1 Vậy ánh xạ đã cho không tuyến tính.

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

f k  a0  a1 x  a2 x 2   f  ka0  ka1 x  ka2 x 2   ka0  ka1  x  1  ka2  x  1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



 f  a0  a1 x  a2 x 2   f  b0  b1 x  b2 x 2 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 a

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

ÀN

Bài 04.03.1.008

IỄ N

Cho f :



là ánh xạ biến mỗi điểm của mặt phẳng thành điểm đối xứng của

nó đối với trục y. Hãy tìm công thức cho f và chứng tỏ rằng nó là một toán tử tuyến tính trong

Giải

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Nếu  x, y  

thì điểm đối xứng của nó đơi với trục y là   x, y  . Do đó có ánh

 x, y      x, y 

Ơ H

Gọi Mmn là tập các ma trận cỡ m  n. Cho B là một ma trận cỡ 2x3 hoàn toàn xác

H Ư

định. Chứng minh rằng ánh xạ T : M22  M23 định nghĩa bởi T  A  AB là ánh

TR ẦN

xạ tuyến tính. Giải

Giả sử A M2x2 có cỡ 2 x 2, B  M2x3 có cỡ 2 x 3.

10 00

Vậy A nhân với B được và AB có cỡ 2 x 3.

Ánh xạ T  A  AB là một ánh xạ từ M2x2 tới M2x3

Theo tính chất của phép nhân ma trận và phép nhân ma trận với một số, ta có:

 T  kA    kA  B  k  AB   kT  A

ÁN

-L

A  M2x2 , k 

-H

A, A '  M2x2  T  A  A '   A  A ' B  AB  A ' B  T  A  T  A '

Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính. Bài 04.03.1.010 3

 W là một phép chiếu trực giao các điểm của

lên mặt

IỄ N

Cho ánh xạ T : phẳng xy.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP Đ ẠO

Bài 04.03.1.009

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 kx, ky    kx, ky   k   x, y   kf  x, y  

Vậy ánh xạ đã cho là tuyến tính.

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

f  k  x, y    f

 x, y   f  x ', y '

   x, y     x ', y '  f

 x  x ', y  y '     x  x ' ,  y  y '

Ta xét: f   x, y    x ', y '   f

xạ: f

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

a) Tìm công thức của T. b) Tìm T   2,7, 1 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Giải a) Nếu  x, y, z  là tọa độ của một điểm của không gian xyz thuộc hình chiếu của

nó lên mặt phẳng xy sẽ có tọa độ  x, y,0 .

Vậy có T  x, y, z    x, y,0 

S là một cơ sở trong không gian n chiều V

a) Chứng minh rằng nếu v1, v2 ,..., vr là một họ độc lập tuyến tính trong V thì các

H Ư

vecto tọa độ  v1 S ,  v2 S ,...,  vr S cũng tạo thành một họ độc lập tuyến tính và

TR ẦN

ngược lại.

b) {v1,..., vr } sinh ra V thì { v1  S ,...,  vr  S cũng sinh ra R n và ngược lại.

10 00

Giải

Theo đầu bài ta xét hai tập E  {v1, v2 ,...vr }

vi V

 vi S 

-H

F  { v1 S ,  v2 S ,...,  vr S },

Ta phải chứng minh:

-L

1) Nếu E ĐLTT trong V thì F ĐLTT trong

ÁN

2) Nếu F ĐLTT trong

thì E ĐLTT trong V.

Trước hết ta nêu 2 nhận xét:

ÀN

w   V   wS   0,0,..,0  

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Bài 04.03.1.011

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

T  2,7, 1   2,7,0 

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

b) Áp dụng công thức trên ta có:

(a) (b)

IỄ N

c1  v1  S  ...  cr  vr  S   c1v1  ...  cr vr S , vi  V

Để chứng minh phần 1) ta giả sử E ĐLTT trong V và xét: c1  v1  S  ...  cr  vr  S   0,0,...0 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(c)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Từ đó với nhận xét (b) ta suy ra

 c1v1  ...  cr vr S   0,0,...0 

(d)

(e)

Y TP

(f)

Để chứng minh phần 2) ta giả sử F ĐLTT trong

c1v1  c2v2  ...  cr vr   V

Đ ẠO

Vậy (c)  (f). Điều đó chứng tỏ F ĐLTT và phần 1) chứng minh xong. và xét:

Theo nhận xét (a) ta có:

TR ẦN

(c1v1  c2v2  ...  cr vr ) S    S   0,0,...,0 

H Ư

(g)

Áp dụng nhận xét (b) ta được :

10 00

c1  v1 S  c2  v2  S  ...  cr  vr  S   0,0,...,0 

Nhưng ta đã giả sử F ĐLTT trong

. cho nên đẳng thức trên buộc có (f)

Bài 04.03.1.012

-H

Vậy (g)  (f) nghĩa là E ĐLTT trong V và phần 2) chứng minh xong.

ÁN

-L

Cho f : 3  3 là ánh xạ tuyến tính sao cho f (1,1,2)  (1,2,3), f (2,1,1)  (0,1,1), f (2,2,3)  (0, 1,0) Hãy xác định công thức của f , nghĩa là tìm f ( x1, x2 , x3 ) .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

c1  c2  ...  cr  0

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Nhưng ta đã giả sử E ĐLTT trong V nên phương trình (e) buộc

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

c1v1  c2v2  ....  cr vr   V

Với nhận xét (a) thì (d) cho

ÀN

Giải:

IỄ N

Đặt S  {v1, v2 , v3} và T  {u1, u2 , u3} , trong đó v1  (1,1, 2),

u1  (1, 2,3)

v2  (2,1,1),

u2  (0,1,1)

v3  (2, 2,3), u3  (0, 1,0)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com



xác định bởi f (3, 1)=(2, -4) và f (1, 1) =(0, 2).

10 00

Cho ánh xạ tuyến tính f :

Xác định f ( x1 , x2 ) .

-H

Giải:

Nhận thấy u  (3,1); v  (1,1) là hệ độc lập tuyến tính và là cơ sở của

-L

Khi đó, x  ( x1 , x2 ) 

, giả sử x  u   v . Khi đó,

ÁN

x1  x2      x1  3    x1  3 1 2         x  1 1     2  x2        3x2  x1  2 f ( x)  f (u  v)   f (u )   f (v) (do f là ánh xạ tuyến tính).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Bài 04.03.1.013

TR ẦN

 ( x1  4 x2  2 x3 , 2 x1  4 x2  x3 , x1  x2 )

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 a1u1  a2u2  a3u3

H Ư

f (v)  f ( x1 , x2 , x3 )  a1 f (v1 )  a2 f (v2 )  a3 f (v3 )

Do đó công thức của f là

Đ ẠO

 x1  1   2  2  x   a 1   a 1   a  2 1  2  3   2  x3   2  1   3 Tương đương  x1  a1  2a2  2a3  a1  x1  4 x2  2 x3    x2  a1  a2  2a3   a2  x1  x2  x  2a  a  3a a   x  3x  x 1 2 3 1 2 3  3  3

Vậy, f ( x)  f ( x1 , x2 ) 

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Do S là cơ sở của 3 nên tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f : 3  3 sao cho f (v1 )  u1, f (v2 )  u2 , f (v3 )  u3 . Do S là cơ sở nên tồn tại duy nhất các số a1, a2 , a3  sao cho v  a1v1  a2v2  a3v3 với mọi v  ( x1, x2 , x3 )  3 . Ta có

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

x1  x2 2

 2  3x2  x1  0   4   2  ( x1  x2 , 3x1  5 x2 ) 2    

Bài 04.03.1.014

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Cho ánh xạ tuyến tính f :



www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

và g :



xác định bởi f ( x1, x2 , x3 )  ( x1, x2  x3 ) và g ( x1, x2 , x3 )  ( x1  x2 , x3 )

Hãy xác định các ánh xạ f + g; 3f; 2f – 5g.

lần lượt là A; B.

10 00

 3 5 0  Ma trận của 2 f  5 g đối với cặp cơ sở chính tắc trên: 2 A  5B     0 2 3

cho cơ sở chính tắc {e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1)} , trong

Trong

-H

Bài 04.03.1.015

Suy ra, 2 f  5g   3x1  5x2 ,2 x2  3x3 

-L

3 vectơ v1  (1,1); v2  (2,3); v3  (4,5) . Hãy xác định ánh xạ f :



cho

thỏa tính

ÁN

chất f (ei )  vi , i  1,2,3 . Giải:

Đ IỄ N

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP Đ ẠO

H Ư

TR ẦN

3 0 0 Ma trận 3 f đối với cơ sở chính tắc trên: 3A    0 3 3 Suy ra, 3 f   3x1,3x2  3x3 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 2 1 0  Ma trận của f + g đối với cặp cơ sở chính tắc trên: A  B    0 1 2 Suy ra, f  g  (2 x1  x2 , x2  2 x3 )

Với x  ( x1 , x2 , x3 ) 

1 1 0  1 0 0  và B A  0 0 1    0 1 1  

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ma trận của f và g đối với cơ sở chính tắc trong

Giải:

ta có x  x1e1  x2e2  x3e3 .

là ánh xạ tuyến tính thỏa f (ei )  vi , i  1,2,3 f ( x)  x1 f (e1 )  x2 f (e2 )  x3 f (e3 )  x1v1  x2v2  x3v3

nên

có

 ( x1 , x1 )  (2 x2 ,3x2 )  (4 x3 ,5 x3 )  ( x1  2 x2  4 x3 , x1  3 x2  5 x3 )

Vậy f ( x1, x2 , x3 )  ( x1  2 x2  4 x3 , x1  3x2  5x3 )

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 04.03.1.016

, trong đó

v3  1,0,10 3

H Ư

 x, y, z   c1v1  c2v2  c3v3  c1 1,2,3  c2  2,5,3  c3 1,0,10

TR ẦN

Như vậy c1 , c2 , c3 là nghiệm hệ

c1  2c2  c3  x  2c1  5c2  y 3c  3c  10c  z 2 3  1

10 00

Lấy phương trình cuối trừ đi 10 lần phương trình đầu ta được 7c1  17c2  z  10 x

-H

2c1  5c2  y c1  50 x  17 y  5 z   7c  17c2  z  10 x c2  20 x  7 y  2 z Vậy hệ trên thu về  1

-L

Suy ra c3  9 x  3 y  z

ÁN

T x, y, z    c1T  v1   c2T  v2   c3T  v3  Vì  x, y, z   c1v1  c2v2  c3v3 nên  

 c1 1,0  c2 1,0   c3  0,1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

trong cơ sở S:

Giải: Trước hết ta tìm biểu diễn của  x, y, z  

U .Q

xác định bởi

Đ ẠO

Tính T 1,1,1 trong các cơ sở chính tắc của



ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Tìm công thức biểu diễn ánh xạ tuyến tính T : T  v1   1,0  , T  v2   1,0 , T  v3    0,1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

v2   2,5,3

v1  1,2,3

Xét cơ sở S  {v1, v2 , v3} trong

IỄ N

Nhờ các biểu thức về c1 , c2 , c3 đã tìm ra ta có: T   x, y, z     30 x  10 y  3z, 9 x  3 y  z 

Áp dụng T 1,1,1   30  10  3, 9  3  1  17, 5 Bài 04.03.1.017

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Tìm

ánh

xạ

tuyến

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

T : P2  P2

tính

xác

định

bởi

T 1  1  x, T  x   3  x 2 , T  x 2   4  2 x  3x 2. Tính T  2  2 x  3x 2 

Giải:

Ta có p  P2  p  a0  a1x  a2 x 2

Trong

TR ẦN

Bài 04.03.1.018

cho hai hệ vectơ {u1  (1,1,0); u2  (0,1,1); u3  (1,0,1)}

tính f :



10 00

và {v1  (1,1,1); v2  (0,0,1); v3  (1,2,1)} . Hỏi có tồn tại một phép biến đổi tuyến thỏa f (ui )  vi , i  1,2,3 không? Nếu có hãy xác định công thức

của f

-H

Giải: Hệ vectơ {u1  (1,1,0); u2  (0,1,1); u3  (1,0,1)} độc lập tuyến tính do

-L

1 1 0

ÁN

0 1 1  2  0.

1 0 1

nên suy ra u1 , u2 , u3 là một cơ sở của 3



. Do đó, tồn tại một phép biến đổi

sao cho f (ui )  vi .

IỄ N

tuyến tính từ f :

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

T  2  2 x  3x 2    2  3 2   4.3   2  2.3 x   2  3.3 x 2  8  8 x  7 x 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Áp dụng

Đ ẠO

Do đó T  p    a0  3a1  4a2    a0  2a2  x   a1  3a2  x 2

T  p   a0T 1  a1T  x   a2T  x 2   a0 1  x   a1  3  x 2   a2  4  2 x  3x 2 

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Khi đó

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

đó,

Khi

công thức biểu diễn của phép 1 1 1 1 1   3 f ( x)   x1; x1  x2  x3 ; x1  x2  x3  2 2 2 2 2   2

biến

đổi

tuyến

tính

10 00

TR ẦN

Vậy

Bài 04.03.1.019

Cho f : V  V ' là một ánh xạ tuyến tính và hệ vecto 1 ,  2 ,...., r của V. Chứng

   

 

-H

minh rằng nếu hệ vecto f 1 , f  2 ,...., f  r độc lập tuyến tính trong V’ thì hệ

-L

vecto đã cho cũng độc lập tuyến tính.

ÁN

Giải:

Ta giả sử V và V’ là hai không gian vecto K. Giả sử có x1, x2 ,..., xr K để x11  x2  2  ....xr  r  0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

1 0  1   1  3  f ( x)  1v1  2v2  3v3  1 1  2 0   3  2    1  23  .        1 1  1  1  2  3 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

1  1  2 ( x1  x2  x3 )  1  2  ( x1  x2  x3 ) 2  1  3  2 ( x1  x2  x3 ) 

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

x  1u1  2u2  3u3 .

x  ( x1 , x2 , x3 )  3 , giả sử  x1  1  0 1   1  3   x    1    1     0        1  2  3  2  2  1  x3  0  1  1  2  3  Cho



  f  x    ...  f  x    x f    ...  x f    f  0   0

IỄ N

Lấy ảnh bởi f của hai vế ta được f x11  x2  2  ....xr  r 1

 

  độc lập tuyến tính nên x  x

Nhưng f 1 ,..., f  r

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

 ...  xr  0.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com



www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com



Điều đó cho ta kết luận hệ 1 ,..., r độc lập tuyến tính.

Cho V và V’ là hai không gian vecto trên trường K với số chiều của V’ hữu hạn, f : V  V ' là một toàn cấu. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ tuyến tính

Bài 04.03.1.020

H Ư

TR ẦN

Xét ánh xạ tuyến tính g : V '  V xác định bởi:

 

g : i

g  i   i , i  1,2,..., n.

 

n  n  n f   xi  i    xi f  i   xi  i  x i  i  i

 

-H



 n  f   xi g  i    i 

 n  fg x  fg   xi  i    1 

10 00

Ta có, với mỗi x  x11  x2  2  ...  xn  n V ' :

Vậy fg là ánh xạ đồng nhất trên V’.

 

ÁN

-L

.g có thể không duy nhất vì mỗi f 1  i có thể có nhiều hơn một phần tử.

Ta lấy ví dụ toàn cấu sau đây: f :

1 của . Ta có 1,0,0 ,  0,1,0 ,  0,0,1 đều thuộc

Đ IỄ N

Chẳng hạn: x



 x1, x2 , x3 

Xét cơ sở

 

Với mỗi i, chọn 1  f 1  i , ta có f 1   i , i  1,2,..., n

 x,0,0 ; x

x1  x2  x3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 

f 1  i  0, mọi i  1,..., n

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



Đ ẠO



Giả sử 1 ,...,  n là một cơ sở của V’. Vì f là toàn cấu nên

Giải:

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

g : V '  V sao cho fg là ánh xạ đồng nhất trên V’. Ánh xạ g có duy nhất không?

f 1 1 với rất nhiều phần tử, chẳng hạn f 1 1 , từ đó ta có rất nhiều g sao cho fg  1

 0, x,0 ; x

 0,0, x  ....

Ta chú ý bài toán có thể bỏ giả thiết dimV ' hữu hạn.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 04.03.1.021 Giả sử E  K  X  là không gian vecto đa thức ẩn X trên trường K, và p là một số

tự nhiên. Xét tự đồng cấu f : E  E

f  P   1  pX  P  X 2 P '

TR ẦN

Từ đó f  P   P  pXP  X 2 P '  a0    ai  ai 1  p  1  i  X i  an  n  p  X n1 i 1

nghĩa là

10 00

Giả sử f  P   0 thì ta phải có a0  0, ai   p  1  i  ai1, i=1,2,...,n

a0  a1  ...  an  0  P  0 hay f là đơn ánh.

.f không phải là toàn ánh. Thật vậy ta xét bậc  P   n thì có 2 trường hợp xả ra là

-H

n  p thì bậc  f  P    n hoặc n  p thì bậc  f  P    n  1

-L

Từ đó ta thấy ngay rằng không có một đa thức P nào để bậc của f  P  bằng p  1

ÁN

Vậy f không toàn ánh.

Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

n n n 1   i i 1 i  P  a0   ai X  pXP  pa0 X   pai X   pai 1 X   i 1 i 1 i 1  Ta có  n n n 1  P '  ia X i 1  X 2 P '  ia X i 1   i  1 a X i    i i i 1   i 1 i 1 i 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP Đ ẠO

Giải:

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Trong đó P’ là đạo hàm của đa thức P. Chứng minh f là đơn cấu, nhưng không phải toàn cấu.

Bài 04.03.1.022 3

IỄ N

Cho toán tử tuyến tính f :



xác định bởi f ( x, y, z )  ( x  y  z,2 x  y  3z,4 x  y  5z ) Hãy tìm Kerf và Imf.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

-H

10 00

4 Cho   1 ta được X   1  .    3 Vậy Kerf  {(4 ,  , 3 ) |   } với cơ sở là u1  (4,1, 3) .

-L



ÁN

 2 1 là ánh xạ nhân với ma trận    8 4 

Cho T :

Bài 04.03.1.023

1) Hỏi vecto nào dưới đây  Im T  ?

a) 1, 4

b)  5,0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TR ẦN

H Ư

Để tìm Kerf ta xét hệ phương trình sau: x  y  z  0 x  y  z  0  x  4 x  y  z  0 x  y  z      y   2 x  y  3z  0  3 y  z  0   3 y  z  0  z  3 y 4 x  y  5 z  0 3 y  z  0  z  3   

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Khi đó, Imf = rank(A) = 2, ta chọn hai cột độc lập tuyến tính trong ma trận làm cơ sở của Imf. Khi đó, Im f  (1,0,2),(0,1,1)  { ,  ,2    |  ,   } .

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1 1 1 Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là A   2 1 3    4 1 5 Do các cột của ma trận A là tọa độ của f (ei ) nên thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên cột đối với ma trận A, từ đó suy ra rank(A). 1 1 1 1 0 0  1 0 0      A  2 1 3  2 3 1  0 1 0         4 1 5  4 3 1   2 1 0 

Giải

c)  3,12

IỄ N

2) Vecto nào dưới đây  Ker T  ?

a)  5,10

b)  3,2

c) 1,1

Giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

nào, nên  a, b   Im T  Ở đây:

 2 1  x   3 3  y có nghiệm y tùy ý và c) Hệ  x       2  8 4   y  12 

10 00

Vậy  3,12   Im T 

-L

-H

 2 1   0   8 4      0       thì  ,    Ker T  ; nếu không có đẳng thứuc trên thì 2) Nếu   ,   có ảnh   0,0  nên  ,    Ker T . Ở đây:

ÁN

 2 1  5  0   8 4  10  0       nên  5,10   Ker T  . a) 

ÀN

 2 1  3  4  0  8 4   2   16  0       nên  3,2   Ker T  . b) 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

Vậy  5,0   Im T 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

Đ ẠO N

 2 1  x  5 b) Hệ    y   0 không có nghiệm  8 4     

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy 1, 4   Im T 

 2 1  x   1  1 y a) Hệ     có nghiệm y tùy ý và x     2  8 4   y   4  Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 2 1  x   a  1) Nếu hệ        có nghiệm  x, y  thì  a, b  là ảnh của  x, y  và do  8 4   y   b  đó  a, b   Im T  ; nếu hệ trên vô nghiệm thì  a, b  không phải là ảnh của  x, y 

IỄ N

 2 1  5   1  0   8 4  10    4   0        nên 1,1  Ker T  . c) 

Bài 04.03.1.024

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1) Cho ánh xạ tuyến tính T : P2  P3 xác định bởi T  p  x    xp  x  . Hỏi phần tử

c)1  x

Y .Q

c)3  x 2

Giải:

Đ ẠO

1) Ker T   { p  P2 , T  p   0  P3}

Ở đây T  p   xp vậy nếu xp  0 thì p  Ker T  , nếu xp  0 thì p  Ker T  . p  x 2  xp  x3  0  x 2  Ker T 

b) p  0  xp  x.0  0  0  Ker T 

TR ẦN

H Ư

Ở đây:

10 00

c) p  1  x  xp  x 1  x   0  1  x  Ker T 

2) Im T   {q  P3 | p  P2 , T  p   q}

-L

-H

Vì T  p   xp nên nếu phương trình xp  q có nghiệm p  P2 thì q  Im T  , nếu phương trình này vô nghiệm thì q  Im T . Vậy có:

ÁN

2 x  x 2  Im T  . a) xq  x  x có nghiệm q  1  x  P2 nên

b) xq  1  x không có nghiệm q  P2 nên 1  x  Im T 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

b)1  x

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a) x  x 2

2) Hỏi phần tử nào dưới đây thuộc Im T  :

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

b)0

a) x 2

nào dưới đây thuộc Ker T  :

IỄ N

2 3  x 2  Im T  . c) xq  3  x không có nghiệm q  P2 nên

Bài 04.03.1.025 V là không gian n chiều. Tìm hạng của ánh xạ tuyến tính T : V  V xác định bởi:

a)T  x   x

b)T  x   

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

c)T  x   3x

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Giải: rank T   dim  Im T  

Hạng của ánh xạ tuyến tính được xác định bởi

Vậy, vì V là không gian n chiều nên:

a) T  x   x  rank T   n.

V là một không gian vecto cho T : V  V xác định bởi T  v   3v.

H Ư

a) Tìm Ker(T)

TR ẦN

b) Tìm Im(T) Giải:

10 00

Ta có T  v   3v.

a) Ker T   {v V , T  v    V }  {v V , 3v   V }

-H

Vậy Ker T   { }.

Phương trình 3v   chỉ có nghiệm  .

ÁN

-L

b) Im T   {w V , v V | T  v   w}  {w V , v V | 3v  w} Phương trình 3v  w bao giờ cũng có nghiệm v 

w V . 3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Bài 04.03.1.026

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q Đ ẠO

c) T  x   3x  rank T   n.

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

b) T  x     rank T   0.

ÀN

Vậy Im T   V .

IỄ N

Bài 04.03.1.027

Tìm số chiều của Ker(T) và Im(T) với: a) T :



 2 1 là ánh xạ nhân với ma trận    8 4 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

b) T : V  V xác định bởi T  p  x    xp  x  .

Ơ H Y

  dim  Ker T   2  1  1

do đó

dim  Im T    dim 

  dim  Ker T   3  0  3

Bài 04.03.1.028



có hạng 3

-H

a) T :

Tính dim  Ker T   trong đó:

10 00

Vậy

dim  Ker T    0

TR ẦN

b) Phương trình T  p   0  P3 viết xp  0  P3 có nghiệm duy nhất là p  0  P2 .



ÁN

c) Im của T :

-L

b) T : P4  P3 có hạng 1 3

là

d) T : M2  M2 có hạng 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Do đó

dim  Im T    dim 

H Ư

Vậy

dim  Ker T    1.

Đ ẠO

 x  x  1    x  y  2 x   2   Tức là    

Nên nó chỉ có nghiệm phụ thuộc 1 tham số: x tùy ý, y  2 x.

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Hệ này tương đương với một phương trình 2 x  y  0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

dim  Ker T  

 2 1  x  0   8 4   y   0      ta giả hệ: 

a) Để xét

Giải:

ÀN

Giải:

IỄ N

V và W là 2 không gian hữu hạn chiều T : V  W là một ánh xạ tuyến tính thì dim  Ker T    dim  Im T    dim V  rank T   dim  Im T   và Vậy có

dim  Ker T    dim V   rank T 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

do đó:

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

dim  Ker T    4  3  1.

dim  Ker T    6  3  3

dim  Ker T    5  1  4.

dim  Ker T    5  3  2.

a) Hãy tìm số chiều của không gian nghiệm của Ax   .

không? Lí do.

H Ư

b) Hỏi Ax  b có tương thích với mọi b Giải:

TR ẦN

a) Số chiều của không gian nghiệm của Ax   là 7  4  3. b) Không. Muốn cho Ax  b tương thích mọi b  , phải có Im T  

10 00

rank T   4 nên dim  Im T    4  5 nên Im T   . Bài 04.03.1.030

-L

-H

 1 1 3  T là một ánh xạ ma trận  5 6 4  . Hãy tìm:    7 4 2 

ÁN

a) Số chiều của Im T  và Ker T . b) Một cơ sở cho Im T .

nhưng vì

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

A là ma trận cỡ 5x7 có hạng bằng 4.

Đ ẠO

Bài 04.03.1.029

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

ÀN

c) Một cơ sở cho Ker T .

IỄ N

Giải:

a) Ma trận A có cấp 3, biến đổi sơ cấp theo cột ta được:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

0  1 0 0  1 1 3  1 0  5 6 4    5 11 19 / 3   5 1 0        7 4 2  7 11 19 / 3 7 1 0 

19 14 x3 , x1   x3 . 11 11

-H

Hệ có nghiệm: x3 tùy ý,

x2 

10 00

1 1 3 0  1 1 3 0  1 1 3 0   5 6 4 0    11 19 0    11 19 0        7 4 2 0   11 19 0   0 0 0 

ÁN

-L

 14 19  Ker T   {(x1, x 2 , x3 )}  x3   , ,1   11 11  cho nên một cơ sở của Ker T  là Vậy {(14,19,1)} Bài 04.03.1.031

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TR ẦN

Ta giải nó bằng biến đổi sơ cấp

H Ư

c) Để tìm cơ sở cho Ker T  ta xét hệ thuần nhất: Ax   .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

0 1    1 

1  5 ,   Im T   là hai vecto 7  b) Một cơ sở của

dim  Im T    2  dim  Ker T    3  2  1 Vậy 

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ta thấy chỉ có 2 cột độc lập tuyến tính.

IỄ N

ÀN

 2 0 1  T là một ánh xạ ma trận  4 0 2  . Hãy tìm:    0 0 0 

a) Số chiều của Im T  và Ker T . b) Một cơ sở cho Im T .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

c) Một cơ sở cho Ker T .

a) Ma trận đã cho chỉ có một cột độc lập tuyến tính là cột thứ nhất chẳng hạn, hai cột kia tỉ lệ với nó.

Giải:

Y G

c) Để tìm cơ sở cho Ker T  ta xét hệ thuần nhất: Ax   .

TR ẦN

H Ư

 2 0 1 0  2 0  1 0  4 0 2 0    0 0 0 0       0 0 0 0  0 0 0 0 Ta giải nó bằng biến đổi sơ cấp

Hệ có nghiệm x2 túy ý, x1 tùy ý, x3  2 x1.

10 00

Vậy

Ker T   {( x1, x2 , x3 )  ( x1, x2 ,2 x1 )}

-H

mà ( x1, x2 ,2 x1 )  ( x1,0,2 x1 )  (0, x2 ,0)  x1 (1,0,2)  x2 (0,1,0)

ÁN

-L

Dễ thấy hai vecto 1,0,2  và  0,1,0 là độc lập tuyến tính. Vì đã biết dim  Ker T    2 nên 2 vecto độc lập tuyến tính này là một cơ sở của Ker T  . Bài 04.03.1.032

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

b) Một cơ sở của Im T  là 1,2,0 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

dim  Ker T    3  1  2.

Đ ẠO

Vậy

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

dim  Im T    1

ÀN

4 1 5 2 T là một ánh xạ ma trận A    . Hãy tìm: 1 2 3 0  

IỄ N

a) Số chiều của Im T  và Ker T . b) Một cơ sở cho Im T .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

c) Một cơ sở cho Ker T .



a) Ma trận A thực hiện một ánh xạ tuyến tính từ

Giải:

N Y N H Ư

1 2

0

)

TR ẦN

b) Hai cột đầu của ma trận A độc lập tuyến tính (vì định thức

4 1

Vậy một cơ sở của Im T  là {(4,1), (1,2)}

-H

10 00

c) Để tìm cơ sở cho Ker T  ta xét hệ thuần nhất Ax   . và giải nó bằng biến đổi  4 1 5 2 0  4 1 5 2 0  1 2 3 0 0    7 7  2 0    sơ cấp  2 4 x4 , x1   x3  x4 . 7 7

-L

Hệ có nghiệm x3 , x4 tùy ý,

x2   x3 

ÁN

 4 2   Ker T    x1 , x2 , x3     x3  x4 ,  x3  x4 , x3 , x4   7 7    Vậy

IỄ N

ÀN

4 2    4 2    x3  x4 ,  x3  x4 , x3 , x4     x3 ,  x3 , x3 ,0     x4 , x4 ,0, x4  7 7   7 7  Mà 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

dim  Ker T    4  2  2

Vậy

Đ ẠO

dim  Im T    2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

4 1 1 2   7  0  rank  A  2  Định thức 

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Hạng của các vecto cột của A bằng hạng của A.

 x3  1, 1,1,0  

1 x4  4, 2,0,7  7

Dễ thấy hai vecto  1, 1,1,0 và  4,2,0,7  là độc lập tuyến tính trong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy chúng tạo thành một cơ sở cho Ker T  .

9 0 1  . Hãy tìm: 0 1  1 8

H N Y

H Ư

c) Một cơ sở cho Ker T .



TR ẦN

Giải: a) Ma trận A thực hiện một ánh xạ tuyến tính

-L

-H

2 1 3 1 2  1 3 1 2  0 14 4 5 3  h 2  4 h1 h 2 0 14 4 5       h 3  5 h1 h 3 h 4  h3        5   0  14 4  5 0 0 0 1 h 5  9 h1 h 5 h3 h 2h 4    h5 2h 2 h5   1 0 1  0 0 0 0 0 0 8  0 0  0 28 8 10  0 0

ÁN

1 3 1  4 2 0   5 1 1  0 0 0 9 1 1

10 00

t Các cột độc lập tuyến tính của A là các hàng độc lập tuyến tính của A . Ta áp t dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng của ma trận A

Vậy số cột độc lập tuyến tính là 3.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

b) Một cơ sở cho Im T .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

a) Số chiều của Im T  và Ker T .

1 4 5  3 2 1 T là một ánh xạ ma trận A    1 0 1  2 3 5

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 04.03.1.033

ÀN

dim  Im T    3 5

353 2

IỄ N

Ta có

dim  Ker T    dim 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

0  0    0    1 

 0   14   ,  4     5 

1 3  ,  1   2 Im T   b) Một cơ sở của là  

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

H Ư

TR ẦN

x4  0, x5 tùy ý, x3 tùy ý, x2   x3  2 x5 , x1   x3  x5

Do đó Ker T   {( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )  ( x3  x5 ,  x3  2 x5 , x3 ,0, x5 )}

10 00

Mà ( x3  x5 ,  x3  2 x5 , x3 ,0, x5 )  ( x3 ,  x3 , x3 ,0,0)  ( x5 , 2 x5 ,0,0, x5 )

 x3  1, 1,1,0,0  x5  1, 2,0,0,1

-L

Bài 04.03.1.034

-H

Dễ thấy hai vecto u   1, 1,1,0,0  và v   1, 2,0,0,1 độc lập tuyến tính trong 5 , cho nên chúng tạo thành một cơ sở của Ker T  .

ÁN

Gọi D : P3  P2 là ánh xạ đạo hàm D  p   p '. Hãy mô tả Ker  D . Giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0 0  0  0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

0 9 0 28 0 0 1 0

Hệ này có nghiệm

0  1 5 5 0  0 14 14  0  0 0 0   0  0 0 0

0 9 0 28 0 8 1 10

Đ ẠO

0  1 4 5 0  0 14 14  0  0 4 4   0  0 5 5

0 9 0 1 0 1 1 8

1 4 5  3 2 1   1 0 1  2 3 5

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

c) Để tìm một cơ sở cho Ker T  ta xét hệ thuần nhất Ax   . và giải nó bằng biến đổi sơ cấp:

ÀN

Phương trình D  p   0, p  P3 viết p '  0, p  P3 .

IỄ N

Do đó p  c  const. Vậy Ker  D   {c}, c là đa thức hằng. Bài 04.03.1.035

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Gọi J : P1 

là ánh xạ tích phân J  p    p  x  dx Hãy mô tả Ker  J .

1

Giải:

 pdx  0

1

 x2     a a x dx a x a 1  0 1   0 1 2   2a0  a1. 1 Tích phân bên trái bằng

H Ư

Bài 04.03.1.036 4



10 00

Cho ánh xạ tuyến tính f :

TR ẦN

Vậy chỉ cần điều kiện a0  0 là có J  p   0, do đó Ker  J   {a1x} với a1 x là đa thức bậc một khuyết số hạng hằng.

xác định bởi f ( x, y, z, t )  ( x  2 y  t ,3x  y  z,4 x  3 y  z  t )

b) Tìm Kerf và Imf.

-H

a) Lập ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc.

Giải:

ÁN

-L

c) f có phải là đơn cấu, toàn cấu không?

1 2 0 1  a) Ma trận của f trong cơ sở chính tắc là A   3 1 1 0     4 3 1 1  b) Tìm Kerf: x  2 y  t  0  Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 sau: 3 x  y  z  0 4 x  3 y  z  t  0 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 a1 x  dx  0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Vì p  P1 nên p có dạng p  a0  a1x nên phải có

 a

1

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Phương trình J  p   0, p  P1, viết:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

10 00

TR ẦN

H Ư

 1 0 Với   0,   1 , ta được X 2    3   1 Do đó, Kerf  {(2   , , 5  3 ,  ) |  ,   } có cơ sở gồm hai vectơ sau: u1  (2,1, 5,0); u2  (1,0,3,1) .

Vì dim Imf = rank( f ) = rank(A) = 2, nên ta có thể tìm hai vectơ độc lập tuyến tính. Do f (e3 )  (0,1,1); f (e4 )  (1,0,1) độc lập tuyến tính nên ta có thể chọn { f (e3 ), f (e4 )} làm cơ sở của Imf.

-H

Vậy Im f  (0,1,1);(1,0,1)  {( , ,   ) | ,   } .

-L

c) Do Kerf  {(0,0,0,)} nên f không phải là đơn cấu 3

, nên f không phải là toàn cấu.

ÁN

Vì dim Imf = rank(f ) =2 < 3 = dim

Bài 04.03.1.037

3 Cho toán tử tuyến tính f trên xác định f ( x1, x2 , x3 )  ((a  1) x1  x2  x3 ; x1  (a  1) x2  x3 ; x1  x2  (a  1) x3 )

như

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

2 1 Lần lượt cho   1,   0 ta được X 1     5   0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 x  2   y   x  2 y  t  0 x  2 y  t    với  ,    z   5   3  5 y  z  3t  0  z  5 y  3t  t  

Thực hiện các phép biến đối sơ cấp trên dòng ta đưa hệ phương trình trên về hệ phương trình tương đương sau:

IỄ N

Với a là một số thực nào đó.

a) Tìm a sao cho rank( f ) = 3, rank(f ) <3 b) Khi rank(f ) <3, tìm Kerf và Imf, f có phải đơn cấu, toàn cấu không? Giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

a) Gọi A là ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 . 1 1  a  1 det A  a3  3a 2 . Khi đó, A   1 a 1 1     1 1 a  1

vector

10 00

Bài 04.03.1.038

-H

Trường hợp: a = -3 Sinh viên làm tương tự. Nhận thấy f không phải đơn cấu cũng không phải toàn cấu.

-L

Cho ánh xạ tuyến tính f :



xác định bởi f ( x, y, z )  ( x  y, y  z ) .

ÁN

a. Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của f . b. Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của . f ..

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

hai

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

H Ư

TR ẦN

chọn

có thể Kerf  (   , ,  ) |   ,    , v1  (1,1,0); v2  (1,0,1) làm hai vector cơ sở của Kerf.

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Nếu a = 0 thì rank A = 1 Nếu a = -3 thì rank A = 2 Nếu a  0 và a  3 thì rank A = 3. Do đó, với a = 0 hoặc a = -3 thì rank(f ) < 3 và rank(f ) = 3 trong trường hợp ngược lại. b) Trường hợp a = 0, Ta có dim(Imf ) = 1, có thể chọn vector u = (1, 1, 1) làm cơ sở của Imf. Khi đó, để tìm Kerf ta xét hệ phương trình sau:  x  t1  t2 x  y  z  0    x  y  z  0   y  t1  x  y  z  0    z  t2 

ÀN

Giải:

. Khi

IỄ N

a. Xét cơ sở tự nhiên (3)  {e1  (1,0,0), e2  (0,1,0), e3  (0,0,1)} của đó Im f  f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )  (1,0),(1,1),(0,1) . Ta có

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

0 1 0  1   rank 0 1   2    0 0  1  là {(1,0),(1,1)} .

1 dim Im f  rank 1  0 Một cơ sở của Im f

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

| f ( x, y, z )  (0,0)}

 {( x, y, z ) 

| ( x  y, y  z )  (0,0)}

 {( x, y, z ) 

| x  y  0 và y  z  0}

 {( x, y, z ) 

| y   x và z  x}

10 00

a. Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của f .

b. Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của f

-H

Giải:

a) Một cơ sở của Im f là {(1,0,1),(0,1, 1)} .

ÁN

-L

b. Giả sử ( x, y, z )  Ker f . Khi đó ta có

f ( x, y, z )  ( x  2 y  z, y  z, x  y  2 z )  (0,0,0)

Tương đương x  2 y  z  0  x  3a    y  z  0   y  a x  y  2z  0  za   Vậy Ker f  {(3a, a, a) ∣ a  }  {a(3, 1,1) ∣ a  }  (3, 1,1) .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Cho ánh xạ tuyến tính f : 3  3 xác định bởi f ( x, y, z )  ( x  2 y  z, y  z, x  y  2 z )

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N H Ư

TR ẦN

Bài 04.03.1.039

 {x(1, 1,1) | x  }  (1, 1,1) .

Vậy dim Ker f  1 với là cơ sở {(1, 1,1)} .

Đ ẠO

 {( x,  x, x) | x  }

 {( x, y, z ) 

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ker f

b. Ta có

Do đó dim Ker f  1 với là cơ sở {(3, 1,1)} .

Bài 04.03.1.040

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Cho



là

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

một

ánh

xạ

tuyến

tính

f (e1 )  u1  (1,1,2,2); f (e2)  u2  (2,3,5,6); f ( e3)  u 3  (4,5,9,10)

trong

đó

bởi

B  {e1, e2 , e3 , e4} là cơ sở chính tắc của

cho

Hỏi ánh xạ f có là đơn cấu không? Tại sao?

là ánh xạ tuyến tính xác định bởi

10 00

f (e1 )  u1  (1,1); f (e2 )  u2  (1,2); f (e3 )  u3  (0,0) .

Chứng minh rằng f là một toàn cấu.

-H

Giải: Ta lập ma trận A với các dòng là tọa độ của các vectơ u1, u2 , u3 2

)

ÁN

-L

1 1  rank ( f )  rank (u1 , u2 , u3 )  rank 1 2   2  dim(   0 0  Vậy f là một toàn cấu.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



TR ẦN

Bài 04.03.1.041 3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Vậy f không là đơn cấu.

Cho f :

H Ư

Do đó rank( f ) = rank (u1, u2 , u3 , u4 )  rankA  2  3  dim

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giải: Ta lập ma trận A với các dòng là tọa độ của các vectơ u1, u2 , u3 , u4 , thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta được 1 1 2 2  d2  d2  2 d1 1 1 2 2  1 1 2 2  d3  d3  4 d1 d3  d3  d 2     A  2 3 5 6   0 1 1 2  0 1 1 2         4 5 9 10  0 1 1 2  0 0 0 0 

ÀN

Bài 04.03.1.042

IỄ N

Cho f :



là ánh xạ tuyến tính cho bởi

f (e1 )  u1  (1,1,1); f (e2 )  u2  (1,1,0); f (e3 )  u3  (1,0,0) . Ánh xạ f có phải là

một đẳng cấu không? Giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ta lập ma trận A với các dòng là tọa độ các vectơ  f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ) .

, nên f là một đẳng cấu.

.Q TP

xác định bởi f ( x, y)  (2 x  4 y,3x  6 y ) .

H Ư

Giải:

10 00

TR ẦN

a. Ta có hạt nhân của f được xác định bởi Ker f  {( x, y )  2 | f ( x, y )  (0,0)}  {( x, y )  2 | ( x  y, x  2 y )  (0,0)}  {( x, y )  2 | x  y  0 và x  2 y  0}  {(0, 0)}

Vậy f là đơn cấu. Tập ảnh của f là Im f  f (e1 ), f (e2 )  (1,1),(1, 2) . 2

nên Im f 

. Vậy f là toàn cấu và do đó

-H

Rõ ràng dim Im f  2  dim f là đẳng cấu.

ÁN

-L

b. Ta có hạt nhân của f được xác định bởi

Ker f

 {( x, y ) 

| f ( x, y )  (0,0)}

 {( x, y ) 

| (2 x  4 y,3 x  6 y)  (0,0)}

 {( x, y ) 

| 2 x  4 y  0 vaø 3x  6 y  0}

 {( x, y ) 

| x  2 y  0}

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

b. f :

xác định bởi f ( x, y)  ( x  y, x  2 y) .



a. f :

Đ ẠO

Xác định các ánh xạ tuyến tính nào dưới đây là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.

IỄ N D

Bài 04.03.1.043

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ánh xạ f biến cơ sở chính tắc thành cơ sở của

nên hệ vectơ  f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ) là cơ sở của

1 1 1  Do rankA  rank 1 1 0   3   1 0 0 

 {(2 y, y )}  {(2,1) y}  (2,1)

f Vậy không là đơn Im f  f (e1 ), f (e2 )  (2,3),(4, 6) .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

cấu.

Tập

ảnh

của

là

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

. Vậy f không là toàn cấu và do đó f không là

Rõ ràng dim Im f  1  dim đẳng cấu.

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính.

a) Theo đề bài T :



H Ư

TR ẦN

Giải:

d ) T   x1 , x2 , x3 , x4     x4 , x1 , x3 , x2 , x1  x3 

xác định bởi: T   x1 , x2     x2  x1, x1  3x2 , x1  x2 

T  1,0     0, 1,1,1 ; T   0,1   1,0,3, 1

10 00

do đó:

-H

 0 1  1 0   Vậy ma trận của ánh xạ này là A    1 3    1 1

ÁN

-L

x2     x1   Đó chính là ma trận hệ số của hệ   x1  3 x2   x1  x2 

ÀN

Đ IỄ N



y1 y2 y3 y4

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

c) T   x1 , x2 , x3     0,0,0,0,0 

Đ ẠO

b) T   x1 , x2 , x3 , x4     7 x1  2 x2  x3  x4 , x2  x3 ,  x1 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

a ) T   x1 , x2     x2 ,  x1 , x1  3 x2 , x1  x2 

b) Theo đề bài T :

Tìm ma trận chính tắc của mỗi ánh xạ tuyến tính sau:

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 04.03.1.044

xác định bởi

T   x1 , x2 , x3 , x4     7 x1  2 x2  x3  x4 , x2  x3 ,  x1  do đó: T  1,0,0,0     7,0, 1 , T   0,1,0,0     2,1,0  , T   0,0,1,0     1,1,0  , T   0,0,0,1   1,0,0 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 7 2 1 1 Vậy ma trận của ánh xạ này là A   0 1 1 0    1 0 0 0 

Ơ H N

0 0  0  0 0 



xác định bởi T   x1 , x2 , x3 , x4     x4 , x1 , x3 , x2 , x1  x3 

T  1,0,0,0     0,1,0,0,1 ,

T   0,1,0,0     0,0,0,1,0  ,

10 00

do đó:

d) Theo đề bài T :

TR ẦN

H Ư

0 0  Vậy ma trận của ánh xạ này là ma trận không A  0  0 0

Đ ẠO

T  1,0,0    T   0,1,0    T   0,0,1    0,0,0,0,0 

do đó

T   0,0,1,0     0,0,1,0, 1 , T   0,0,0,1   1,0,0,0,0 

ÁN

-L

-H

0 1  Vậy ma trận cảu ánh xạ này là A  0  0  1

0 1

x4    x1   Đó chính là ma trận hệ số của hệ  x3   x2    x1  x3 

Đ IỄ N D

xác định bởi: T   x1 , x2 , x3     0,0,0,0,0

1 0  0  0 0 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



c) Theo đề bài T :

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

7 x1  2 x2  x3  x4  y1  x2  x3  y2 Đó chính là ma trận hệ số của hệ    x1  y3 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

y2 y3 y4 y5

Bài 04.03.1.045 Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính T : P2  P1 xác định bởi:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

T  a0  a1 x  a2 x 2    a0  a1    2a1  3a2  x

Đối với các cơ sở chính tắc trong P2 , P1.

Giải:

Theo đầu bài T : P2  P1 xác định bởi T  a0  a1 x  a2 x 2    a0  a1    2a1  3a2  x



xác định bởi T   x1 , x2     x1  2 x2 ,  x1,0

H Ư

Cho T :

Bài 04.03.1.046

u1  1,3

u2   2,4

v1  1,1,1

v2   2,2,0 

10 00

trong

TR ẦN

a) Tìm ma trận của T đối với các cơ sở B  {u1, u2} trong

và B '  {v1, v2 , v3}

v3   3,0,0 

Giải: a) Theo đề bài T :

-H

b) Dùng ma trận thu được ở ý a) để tính T  8,3  2



xác định bởi T   x1 , x2     x1  2 x2 ,  x1 ,0 

-L

do đó T  u1   T  1,3    7, 1,0  , T  u2   T   2,3    6,2,0 

ÁN

Ta tính T  u1   B ' và T  u2   B ' đối với T  u1   B ' ta phải có:

 7, 1,0  c1v1  c2v2  c3v3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

 1 1 0 Vậy ma trận của ánh xạ T là   0 2 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

Do đó T 1  1, T  x   1  2 x, T  x 2   3x

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Cơ sở chính tắc của P2 là 1, x, x 2 ; của P1 là 1, x.

IỄ N

ÀN

c1  2c2  3c3  7 c1  0   c1  2c2  1  c2  1 / 2 Như vậy c1 , c2 , c3 là nghiệm hệ:    c1  0 c3  8 / 3 

đối với T  u2   B ' ta phải có:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

 6,2,0  b1v1  b2v2  b3v3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

b1  2b2  3b3  6 b1  0   b1  2b2  2  b2  1 Như vậy b1 , b2 , b3 là nghiệm hệ   b1  0 b3  4 / 3 

Ơ H N Y

TR ẦN

  2  8   19 / 5 Như vậy  ,  là nghiệm hệ   3  4  3    21 / 10

ÁN

-L

-H

10 00

0 0 0    19 / 5    Do đó T   8,3    1 / 2 1   4     21 / 10    B'  8 / 3 4 / 3   22 / 3 Ta suy ra 22 22 T   8,3   0v1  4v2  v3  0 1,1,1  4  2, 2,0    3,0,0   14, 8,0  3 3 Nếu tính trực tiếp theo định nghĩa thì T  8,3   8  2.3, 8,0   14, 8,0 

Bài 04.03.1.047

Cho T : P2  P4 là ánh xạ tuyến tính xác định bởi T  p  x   x2 p  x .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

H Ư

Để tính  8,3  B ta viết 8,3   u1   u2 nghĩa là 8,3   1,3    2,4 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U là:

và B’ trong

b) Với ma trận đó ta có: T   8,3    A  8,3  B B'

Do đó ma trận cảu ánh xạ T đối với cơ sở B trong 0 0   A  1 / 2 1    8 / 3 4 / 3

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

0   0 Vậy có T  u1   B '   1 / 2  , T  u2   B '   1      8 / 3  4 / 3

IỄ N

a) Tìm ma trận của T đối với các cơ sở B  {p1, p2 , p3} trong P2 và các cơ sở chính

tắc B’ trong P4

p1  1  x 2 , p2  1  2 x  3x 2 , p3  4  5 x  x 2

b) Dùng ma trận thu được ở ý a) hãy tính T  3  5 x  2 x 2  Giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

a) Ta có: T  p1   T 1  x 2   x 2 1  x 2   x 2  x 4

T  p2   T 1  2 x  3x 2   x 2 1  2 x  3x 2   x 2  2 x 3  3x 4

Ơ H N

TR ẦN

b) Muốn tính T  3  5 x  2 x 2  nhờ công thức trên trước hết ta phải biểu diễn đa thức 3  5 x  2 x 2 trong cơ sở B của P2 ta có:

10 00

3  5 x  2 x 2   p1   p2   p3   1  x 2    1  2 x  3x 2     4  5 x  x 2 

-H

    4  3   25 / 4   Do đó  ,  ,  là nghiệm của hệ  2  5  5     5 / 4   3    2   1 / 2  

ÁN

-L

 25 / 4  Ta suy ra  3  5 x  2 x 2    5 / 4    B'  1 / 2 

 0    25 / 4   0  Vậy T  3  5 x  2 x 2    A  5 / 4    3 B'    1 / 2   5   2 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

H Ư

Và sau đó T  p1   B '  A p B , p  P2 .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

0 0 0 0  1 4  2 5 3 1 

0 0  Do đó ánh xạ T có ma trận A   T  p1   B ' T  p2  B ' T  p3   B '   1  0 1

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

T  p3   T  4  5x  x 2   x 2  4  5x  x 2   4 x 2  5x 3  x 4

Vì B’ là cơ sở chính tắc của P4 nên ta suy ra T  3  5 x  2 x 2   3x 2  5 x3  2 x 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tính trực tiếp ta được T  3  5 x  2 x 2   x 2  3  5 x  2 x 2   3x 2  5 x 3  2 x 4 trùng với kết quả trên.

v3  1,4, 1,2  ,

w1   0,8,8  ,

w2   7,8,1 ,

w3   6,9,1

v4   6,9,4,2 

H Ư

TR ẦN

Tìm T   v1   , T   v2   , T   v3   , T   v4   c) Tìm T   2,2,0,0  

10 00

Giải: a) Ta có:

ÁN

-L

-H

1  0 3    2  0  1  v1 B     T  v1  B '  Av1 B   1 ; v2 B     T  v2  B '  Av2 B   6 0 0  3  0      0 0     0  0 1   0 0  0 v3 B     T  v3  B '  Av3 B   2 ; v4 B     T  v4  B '  Av4 B  1  1 0   1  7       0  1 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

v2   2,1, 1, 1 ,

v1   0,1,1,1 ,

trong

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

B '  {w1, w2 , w3}

Tìm T  v1  B ' , T  v2  B ' , T  v3  B ' , T  v4  B '

đối với các cơ sở

và

trong



Đ ẠO

B  {v1, v2 , v3 , v4}

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 3 2 1 0  Cho A   1 6 2 1  là ma trận của ánh xạ T :    3 0 7 1 

Bài 04.03.1.048

b) T  v1   3 0,8,8   7,8,1  3 6,9,1  11,5,22  T  v2   2  0,8,8   6  7,8,1   42,32, 10  T  v3    0,8,8   2  7,8,1  7  6,9,1   56,87,27  T  v4    7,8,1   6,9,1   13,17,2 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

c) Để tính T   2,2,0,0   trước hết ta phải biểu diễn  2,2,0,0 trong cơ sở B của 4

. có:  2,2,0,0   c1v1  c2v2  c3v3  c4v4

Ơ H N

TR ẦN

Ta suy ra T  2,2,0,0    0,8,8  7  7,8,1  3 6,9,1   31,37,12 

Bài 04.03.1.049

 ( x1, x2 ,, xn )  (a11x1 

10 00

Cho ánh xạ tuyến tính  : K n  K m xác định bởi

 a1n xn , a21x1 

 a2n xn ,, am1x1 

 amn xn )

Chứng tỏ rằng ma trận biểu diễn của  theo cặp cơ sở tự nhiên (n) và (m) là

-H

-L

( n ), ( m ))

ÁN

 (

 a11 a12 a a22   21    am1 am 2

a1n  a2 n     amn 

Giải: Ta có  (e1 )  (a11 , a21 ,, am1 )  a11e1  a21e2   am1em  (e2 )  (a12 , a22 ,, am 2 )  a12e1  a22e2   am 2em

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

1   1 1  Nên  2,2,0,0   B     T  2,2,0,0   B '  A  2,2,0,0   B   7  0   3   0 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

c1  1  2 c2  1   0 c3  0  0 c4  0

2

Đ ẠO

2c2  c3  6c4   c  c  4c  9c  1 2 3 4 Do đó c1, c2 , c3 , c4 là nghiệm của hệ   c1  c2  c3  4c4 c1  c2  2c3  2c4

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 c1  0,1,1,1  c2  2,1, 1, 2   c3 1,4, 1,2   c4  6,9,4,2 

 (en )  (a1n , a2 n ,, amn )  a1ne1  a2 ne2 

 amnem

Vậy ma trận biểu diễn của  theo cặp cơ sở (n) và (m) là

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

a22 am 2

 (

( n ), ( m ))

H Ư

Bài 04.03.1.050

TR ẦN

Cho ánh xạ tuyến tính  : 3  2 xác định bởi  ( x, y, z )  (3x  2 y  4 z, x  5 y  3z )

a. Tìm ma trận biểu diễn của  theo cặp cơ sở (3) và (2) .

10 00

b. Tìm ma trận biểu diễn của  theo cặp cơ sở S và T , trong đó S  {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} và T  {(1,3),(2,5)}. 3

-H

c. Chứng minh rằng [ (v)]T   ( S ,T )·[v]S với mọi v  Giải:

ÁN

-L

a. Viết lại công thức của  ( x, y, z ) dưới dạng véc tơ cột  x 2 4     3 x  2 y  4 z  3  ( x, y , z )   y  3    x  5 y  3 z  1 5  z 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

a1n   x1  a2 n   x2        amn   xn 

a12

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 a1n xn   a11  a2 n xn   a21       amn xn   am1

Đ ẠO

 a11 x1  a12 x2  a x a x   ( x1 , x2 ,, xn )   21 1 22 2    am1 x1  am 2 x2 

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a1n   a11 a12 a a22 a2 n  21    ( ( n ), ( m))      amn   am1 am 2 Để việc xác định ma trận biểu diễn của  theo cặp cơ sở (n) và (m) được dễ dàng ta thường viết công thức của  ( x1, x2 ,, xn ) dưới dạng véc tơ cột

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

IỄ N

ÀN

Vậy ma trận biểu diễn của  theo cặp cơ sở (3) và (2) là

2 4 3   (3), (2)) 3 1 5 b. Đặt v1  (1,1,1), v2  (1,1,0), v3  (1,0,0) và u1  (1,3), u2  (2,5) . Với mọi

 (

(a, b) 

, ta có (a, b)  (5a  2b)u1  (3a  b)u2 . Do đó

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 (v1 )   (1,1,1)  (1, 1)  7u1  4u2  (v2 )   (1,1,0)  (5, 4)  33u1  19u2  (v3 )   (1,0,0)  (3,1)  13u1  8u2 Vậy ma trận biểu diễn của  theo cặp cơ sở S và T là  7 33 13 8   4 19

N Y

10 00

TR ẦN

H Ư

 c   13a  20b  26c  [v]S   b  c  , [ (v)]T     8a  11b  15c    a  b  Ta có  c   7 33 13     13a  20b  26c   [ (v)] b  c  ( S ,T )·[v]S   T   8a  11b  15c  8    4 19  a  b 

Bài 04.03.1.051



và g :



xác định như sau:

Cho hai ánh xạ tuyến tính f :

-H

f ( x, y, z )  (2 x  y  z, x  2 y  3z ), ( x, y, z ) 

g ( x ', y ')  ( x ' y ', x ' 2 y ', x ' y '), ( x ', y ') 

ÁN

-L

Hãy xác định ma trận của ánh xạ f, g, gf trong cặp cơ sở chính tắc của các không gian tương ứng

Giải: Ma trận của ánh xạ f và g trong cơ sở chính tắc lần lượt là 1 1  2 1 1 và B  1 2  A    1 2 3  1 1 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Do đó

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

c. Với mọi v  (a, b, c)  3 , ta có v  (a, b, c)  cv1  (b  c)v2  (a  b)v3 và  (v)  (3a  2b  4c, a  5b  3c)  (13a  20b  26c)u1  (8a  11b  15c)u2 .

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 ( S ,T )  

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 1 4  Ma trận của ánh xạ tích gf là C  BA   4 5 5  . Do đó, ánh xạ tích h=gf có    3 3 2  dạng sau: h( x, y, z )  ( x  y  4 z,4 x  5 y  5z,3x  3 y  2 z), ( x, y, z)  3

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

N Y xác định như sau:

f ( x, y)  ( x  2 y,2 x  y), ( x, y) 

H Ư

Tìm ma trận của f đối với cơ sở B  {u1  (2,1); u2  (3,2)} Giải:

TR ẦN

1 2 Ma trận của f trong cơ sở chính tắc là A1    2 1

10 00

2 1  2 3 Ma trận đổi cơ sở từ C2 sang B là C   và C 1     3 2  1 2 

Bài 04.03.1.053

-H

 7 10  Vậy ma trận của f trong cơ sở B là A2  C 1 A1C   9  6

-L

Cho toán tử tuyến tính f :



xác định bởi

ÁN

f ( x1, x2 , x3 )  (2 x2  x3 , x1  4 x2 ,3x1 ) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B  {e1  (1,1,1); e2  (1,1,0); e3  (1,0,0)}

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U 

Đ ẠO

Cho toán tử tuyến tính f :

Bài 04.03.1.052

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Toán tử tuyến tính

ÀN

Giải:

IỄ N

0 2 1  Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là: A  1 4 0     3 0 0  C là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở B khi đó,

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H N Y

xác định bởi  ( x, y)  (2 y,3x  y) .

của  theo cơ sở (2) .

H Ư

b. Tìm ma trận  S của  theo cơ sở S  {(1,3),(2,5)} . c. Chứng minh rằng [ (v)]S   S ·[v ]S với mọi v 

TR ẦN

Giải:

-H

10 00

a. Viết lại công thức của  ( x, y) dưới dạng véc tơ cột 2  x   2 y  0  ( x, y )        3x  y  3 1  y  (2)

-L

Vậy ma trận biểu diễn của  theo cơ sở (2) là   b. Đặt u1  (1,3), u2  (2,5) . Với mọi (a, b) 

0  3

2 1

, ta có

ÁN

(a, b)  (5a  2b)u1  (3a  b)u2

 (u1 )   (1,3)  (6,0)  30u1  18u2  (u2 )   (2,5)  (10,1)  48u1  29u2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(2)



a. Tìm ma trận  

Cho toán tử tuyến tính tuyến tính  :

Đ ẠO

Bài 04.03.1.054

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

1 1 1  C  1 1 0    1 0 0  Khi đó, ma trận của f đối với cơ sở B là 0 0 1  0 2 1  1 1 1  0 2 1  B  C 1 AC = 0 1 1 1 4 0  1 1 0   0 3 0        1 1 0  3 0 0  1 0 0  0 0 3

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

IỄ N

 30 48  Vậy ma trận biểu diễn của  theo cơ sở S là  S   29   18

c. Với mọi v  (a, b)  3 , ta có v  (a, b)  (5a  2b)u1  (3a  b)u2 và  (v)  (2b,3a  b)  (6a  12b)u1  (3a  7b)u2 . Do đó

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 5a  2b   6a  12b  [v]S   , [  ( v )]  S   3a  7b   3a  b   

 30 48   5a  2b   6a  12b  Ta có  S ·[v]S     3a  b    3a  7b   [ (v)]S . 18 29     

B  {u1  (1,1,0); u2  (0,1,1); u3  (1,0,1)} và B '  {u1'  (2,1); u2'  (1,1)}

Giải:

1 1 1 Ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc  C3,C2  là A1    1 1 1  1 1 0  Ma trận đổi cơ sở từ C3 sang B là C  0 1 1    1 0 1 

H Ư

TR ẦN

10 00

ÁN

-L

-H

 2 1  1 1 1 Ma trận đổi cơ sở từ C2 sang B’ là C '   và C '     1 2   1 1   Vậy ma trận của f đối với cặp cơ sở (B, B’) là  2 0 2  A2  (C ') 1 A1C     2 0 4 

Bài 04.03.1.056

ÀN

Cho các toán tử tuyến tính  và  có ma trận biểu diễn theo cơ sở S lần lượt

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở (B, B’) biết

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

xác định bởi

f ( x, y, z)  ( x  y  z, x  y  z ), ( x, y, z) 

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



Cho ánh xạ tuyến tính f :

Bài 04.03.1.055

IỄ N

là

 S

2  1  0 4   2 1

3  1 1 1 ,  S   2 0    3 5 1

3 1  2 

· và  · theo cơ sở S . Tìm ma trận biểu diễn của    ,  2 ,3  5 ,

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

http://daykemquynhon.ucoz.com

6 9   5 5  3  3  5 S  3 S  5 S   0 12 3    10 0  6 3 15  15 5 1 24   2   10 12 8    9 2 25 Ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính  · theo cơ sở S là

10 00

TR ẦN

H Ư

15 5  10 

4 1

ÁN

-L

-H

2 3  1 1 3   6  1    · S   S · S  0 4 1 2 0 1   5       2 1 5  3 1 2   15 Ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính  · theo cơ sở S là 1 0 1

3   1 2   1 0 4  2   2 1

3 5 5 1  0 3   5 7 4

17  11  2 

ÀN

 · S   S · S

 1  2   3

5 6  15

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

3 3   3 4 3  1 1 1  2  2 0 1    4 4 1          5 1 2   8 3 1  3 3  5 theo cơ sở S là

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính   2 theo cơ sở S là 2  1   2 S   S  2  S   0 4  2 1 Ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính

6 2  7 

Ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính    theo cơ sở S là 2 3  1 1 3  0  1       S   S   S   0 4 1   2 0 1    2  2 1 5  3 1 2   1

Giải:

IỄ N

Bài 04.03.1.057

Cho  và  là các toán tử tuyến tính trên

xác định bởi  ( x1 , x2 )  ( x2 , x1 ) và

· , · , 2 , 2 .  ( x1, x2 )  ( x1  x2 , x1  x2 ) . Hãy xác định các ánh xạ  Giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

(2)

1 1  . 1 1

( · )( x1, x2 )  ( x1  x2 ,  x1  x2 ), 2 ( x1 , x2 )  ( x1 , x2 ), 2 ( x1, x2 )  (2 x1,2 x2 ) .

Bài 04.03.1.058

TR ẦN

H Ư

1 2  Cho ánh xạ  : M2 ( )  M2 ( ) cho bởi  ( X )   X . 3 4   a. Chứng minh rằng  là một toán tử tuyến tính.

b. Tìm ma trận biểu diễn của  theo cơ sở tự nhiên

10 00

 1 0  0 1  0 0  0 0     E1   , E  , E  , E   2  0 0  3 1 0  4  0 1   0 0         c. Tìm ma trận biểu diễn của  theo cơ sở

-L

-H

 1 2  1 3 2 6   4 11     X1   , X  , X  , X   2 5 7  3 9 13 4 17 25  3 4         

ÁN

Giải:

ÀN

1 2  A  3 4  . Với mọi X ,Y M2 ( ) và  ,   , ta có a. Đặt  ( X   Y )  A( X   Y )   AX   AY   ( X )   (Y )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N Đ ẠO

0 1  1 1 1 1    1 0  1 1 1 1 Vậy ( · )( x1, x2 )  ( x1  x2 , x1  x2 ) . Làm tương tự như trên ta có ·  (2)    (2) ·  (2)   

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ma trận biểu diễn của  · theo cơ sở (2) là

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Ma trận biểu diễn của  theo cơ sở (2) là  

Ma trận biểu diễn của  theo cơ sở (2) là

0 1   1 0  .

  (2)  

IỄ N

Vậy  là một toán tử tuyến tính. b. Theo công thức của ánh xạ tuyến tính  , ta có

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

N Ơ H N Y

10 00

-H

-L

ÁN

10  22  17  37  32  70  61  133

a b  X   M2 ( ) c d   Chú ý rằng với mọi , ta luôn có X  (2a  c  d ) X1  (a  2b  3c  d ) X 2  (2a  3b  d ) X 3  (a  b  c  d ) X 4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2 7   4 15 3 11   23 7   6  20   42 13  11  38  80 25 

1 2  1  3 4  3 1 2  1  ( X 2 )  AX 2    3 4  5 1 2   2  ( X 3 )  AX 3    3 4   9 1 2   4  ( X 4 )  AX 4    3 4  17

 ( X 1 )  AX 1  

TR ẦN

c. Theo công thức của ánh xạ tuyến tính  , ta có

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

là  

0 2 0 1 0 2  0 4 0  3 0 4

Đ ẠO

Vậy ma trận biểu diễn của  theo cơ sở

1 0  3  0

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

0  E1  0 E2  3E3  0 E4 0  1  0 E1  E2  0 E3  3E4 3 0  2 E1  0 E2  4 E3  0 E4 0  2  0 E1  2 E2  0 E3  4 E4 4 

0  1  0  3 1  0  0  0 0 2  0   4 0 0  1  0

 ( E1 )  AE1  

1 2  1  3 4   0 1 2  0  ( E2 )  AE2    3 4   0 1 2  0  ( E3 )  AE3    3 4   1 1 2   0  ( E4 )  AE4    3 4   0

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 7 10   7 X1  4 X 2  6 X 3  4 X 4  15 22  11 17  (X2)    8 X 1  13 X 2  8 X 3  8 X 4   23 37   20 32  (X3)     12 X 1  28 X 2  14 X 3  16 X 4  42 70  38 61  (X4)     23 X 1  53 X 2  26 X 3  30 X 4 80 133

N Ơ H N Y

b) T   x1 , x2     x1 , x2 

c) T   x1 , x2 , x3     x1  2 x2  x3 , x1  5 x2 , x3 

-H

d ) T   x1 , x2 , x3     4 x1 ,7 x2 , 8 x3 

-L

Giải:



ÁN

a) Theo đầu bài T :

xác định bởi T   x1 , x2     2 x1  x2 , x1  x2 

Do đó: T  1,0     2,1 , T   0,1    1,1

ÀN

 2 1 Vậy ma trận của ánh xạ này là A    1 1 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP Đ ẠO

10 00

a ) T   x1 , x2     2 x1  x2 , x1  x2 

Hãy tìm ma trận chính tắc của mỗi toán tử tuyến tính sau:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Bài 04.03.1.059

TR ẦN

H Ư

là  

Vậy ma trận biểu diễn của  theo cơ sở

8 12 23  7  4 13 28 53    6 8 14 26    8 16 30   4

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 ( X1 )  

IỄ N

2x  x  y1 Đó cũng chính là ma trận hệ số của hệ  1 2  x1  x2  y2

b) Theo đầu bài T :



xác định bởi T   x1 , x2     x1 , x2 

Do đó: T  1,0    1,0  , T   0,1    0,1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 0  Vậy ma trận của ánh xạ này là A    0 1 

xác định bởi

G N H Ư

xác định bởi

T   x1 , x2 , x3     4 x1 ,7 x2 , 8 x3 

10 00

Do đó: T  1,0,0     4,0,0  , T   0,1,0     0,7,0  , T   0,0,1    0,0, 8

-H

4 0 0  Vậy ma trận của ánh xạ này là A   0 7 0     0 0 8

ÁN

-L

4 x1  y1  Đó là ma trận hệ số của hệ 7 x2  y2  8 x  y 3 3 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



TR ẦN

d) Theo đầu bài T :

Đ ẠO

1 2 1  Vậy ma trận của ánh xạ này là A  1 5 0    0 0 1 

 x1  2 x2  x3  y1  Đó là ma trận hệ số của hệ  x1  5 x2  y2 x  y 3  3

Do đó: T  1,0,0    1,1,0  , T   0,1,0     2,5,0  , T   0,0,1   1,0,1

T   x1 , x2 , x3     x1  2 x2  x3 , x1  5 x2 , x3 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

c) Theo đầu bài T :

 x  y1 Đó là ma trận đơn vị và cũng là ma trận hệ số của hệ  1  x2  y2

ÀN

Bài 04.03.1.060

Hãy tìm ma trận chính tắc của toán tử tuyến tính T :



biến v   x, y  thành

IỄ N

đối xứng của nó đối với a) Trục x. b) Đường phân giác y  x.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

c) Gốc tọa độ

T  1,0    1,0  ,

Nghĩa là T   2,1    2, 1 đúng như theo định nghĩa của T.

H Ư

T  1,0     0,1 T   0,1   1,0 

TR ẦN

b) Theo đề bài ta có: T   x, y     y, x  do đó

10 00

0 1  Vậy ma trận của nahs xạ này là A    1 0 

 2  0 1   2 1  Do đó T   2,1    A      1    2 B' 1 1 0       

-H

Nghĩa là T   2,1   1,2  đúng như theo định nghĩa của T.

-L

c) Theo đầu bài ta có: T   x, y      x,  y  do đó

T  1,0     1,0  T   0,1    0, 1

ÁN

 1 0  Vậy ma trận của ánh xạ này là A     0 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

 2  1 0   2   2  Do đó T   2,1    A      1    1 B' 1 0  1       

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1 0  Vậy ma trận của ánh xạ này là A    0 1

T   0,1    0, 1

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a) Theo đề bài T   x, y     x,  y  do đó

Giải:

Hãy tính T   2,1  trong mỗi trường hợp

ÀN

 2  1 0   2  2 Do đó T   2,1    A          B' 1   0 1 1   1

IỄ N

Nghĩa là T   2,1    2, 1 đúng như theo định nghĩa. Bài 04.03.1.061

Cho toán tử tuyến tính T :

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú



xác định bởi

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

T   x1 , x2 , x3     x1  x2 , x2  x1 , x1  x3 

a) Hãy tìm ma trận của T đối với cơ sở B  {v1, v2 , v3} với:

v1  1,0,1 , v2   0,1,1 , v3  1,1,0 

Đ ẠO

A   T  v1   B T  v2  B T  v3  B 

Ta có: T  v1   T  1,0,1   1, 1,0 

TR ẦN

T  v3   T  1,1,0     0,0,1

H Ư

T  v2   T   0,1,1    1,1, 1

Bây giờ biểu diễn T  v1  trong cơ sở B.Muốn thế ta viế T  v1   1v1   2v2  3v3

10 00

tức là 1, 1,0  1 1,0,1   2  0,1,1  3 1,1,0 

-L

-H

 1 0 1   1   1  Do đó 1, 2 ,3 là nghiệm hệ 0 1 1   2    1      1 1 0   3   0 

ÁN

Một cách tương tự ta viết

T  v2   1v1   2v2   3v3 T  v3    v1   v2   v3

1 0 1   1   1 là nghiệm hai hệ 0 1 1    2    1 , 1 1 0   3   1

thì  1 , 2 , 3  và  1 ,  2 ,  3 

1 0 1   1  0  0 1 1     0    2   1 1 0   3  1 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

là

a) Ma trận của ánh xạ T trong cơ sở B  {v1, v2 , v3} trong

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

c) Dùng ma trận thu được ở ý a) để tính T   2,0,0  

IỄ N

Ba hệ này có cùng ma trận hệ số, ta giải chúng bằng các phép biến đổi sơ cấp viết trong cùng một ma trận:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H N Y Đ ẠO

H Ư

Sau đó ta có T  w   B  A wB , w 

1  1   1 3 / 2 1 / 2   2  2    1 1 / 2 1 / 2  3  3   0 1 / 2 1 / 2 

TR ẦN

b) Để tính T  2,0,0  trước hết ta phải tính  2,0,0   B ta có:

 2,0,0  c1v1  c2v2  c3v3  c1 1,0,1  c2  0,1,1  c3 1,1,0

10 00

1 0 1  c1   2  c1  1  Vì c1 , c2 , c3 là nghiệm của hệ 0 1 1  c2   0   c2  1  1 1 0  c3  0  c2  1

ÁN

-L

-H

 1  3 Ta suy ra T   2,0,0     A  1   1     B  1  1

Đó là T   2,0,0    , muốn có T   2,0,0   trong cơ sở chính tắc ta phải viết B

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1 A   T  v1   B T  v2   B T  v3   B    2   3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

Ta suy ra

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1 0 0 1 3 / 2 1 / 2      1 0 1 1 / 2 1 / 2   1 0 1 / 2 1 / 2 

1 0 1 1 1 0   1 0 1 1 1 0   1 0 1 1 1 0        0 1 1 1 1 0    1 1 1 1 0    1 1 1 1 0  1 1 0 0 1 1  1 1 1 0 1  2 0 1 1

IỄ N

ÀN

 3 1  0  1   2   1  3 0   1   1    2  nghĩa là T 2,0,0  2, 2,2                1 1  1  0   2 

Tính trực tiếp ta được T   2,0,0     2  0,0  2,2  0   2, 2,2  trùng kq trên. Bài 04.03.1.062

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com



N N

 1 0 a) Ta có:  v1 B    ,  v2     0   1  1 3 1   1  1 3   0  3   , T v  T  v1   B       2 B       2 5  1  5  2 5 0  2      

H Ư

TR ẦN

b) T  v1   11,3  2  1,4   1  2,3  8  3, 5

T  v2   31,3  5 1,4   3  5,9  20    2,29 

10 00

c) Bây giờ tính T 1,1 , trước hết ta tính 1,1  B . Ta có:

1,1   1,3    1,4     ,3  4 

-H

    1   5 / 7 Do đó  ,  là nghiệm hệ   3  4  1    2 / 7

ÁN

-L

 5 / 7 Vậy 1,1  B    do đó  2 / 7 

ÀN

 1 3  1 3  5 / 7   1 / 7  T 1,1  B   1,1  B      2 / 7    20 / 7   2 5  2 5       

Đ IỄ N

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

c) Tìm T  1,1 

http://daykemquynhon.ucoz.com

b) Tìm T  v1  và T  v2  Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

đối

a) Tìm T  v1   B và T  v2   B '

Ta suy ra T 1,1  

 1 3 Cho v1  1,3 , v2   1,4  , A    là ma trận của ánh xạ T :  2 5   với cơ sở B  {v1, v2}

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

1 20 1 1,3   1,4   19, 83 7 7 7

Bài 04.03.1.063

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 3 1 Cho A   2 0 5  là ma trận của ánh xạ T : P2  P2 đối với cơ sở    6 2 4 

B  {v1, v2 , v3} với: v1  3x  3x2 , v2  1  3x  2 x 2 , v3  3  7 x  2 x 2

N Y

10 00

0   3 0  1        1  T  v2   B '  A v2 B  0 ,  v3 B  0  T  v3   B '  Av3 B   5         0   2  1   4 

-H

b) T  v1    3x  3x2   2  1  3x  2 x2   6  3  7 x  2 x2   16  51x  19 x2

T  v2   3  3x  3x 2   2  3  7 x  2 x 2   6  5 x  5 x 2

ÁN

-L

T  v3   1 3 x  3 x 2   5  1  3 x  2 x 2   4  3  7 x  2 x 2   7  40 x  15 x 2

c) Trước hết ta biểu diễn p  1  x2 trong cơ sở B. Ta viết:

ÀN

1  x 2  c1v1  c2v2  c3v3  c1  3x  3x 2   c2  1  3x  2 x 2   c3  3  7 x  2 x 2 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

TR ẦN

a) Ta có:  v1 B

1  1     0  T  v1   B '  A v1 B   2  ,     0  6 

Giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP Đ ẠO

c) Tìm T 1  x 2 

IỄ N D

b) Tìm T  v1  , T  v2  , T  v3 

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a) Tìm T  v1   B ' , T  v2  B ' , T  v3  B '

v2 B

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

  c2  3c3    3c1  3c2  7c3  x   3c1  2c2  2c3  x 2

c2  3c3  1 c1  1    Do đó c1 , c2 , c3 là nghiệm hệ  3c1  3c2  7c3  0  c2  1 3c  2c  2c  1 c  0 2 3  3  1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ta suy ra

sở B  {p1, p2 , p3} dưới đây:

a) p1  1, p2  x, p3  x2

H Ư

b) p1  2, p2  2  3x, p3  2  3x  8x 2

d) Làm lại phần c) đối với ma trận ở b)

TR ẦN

c) Dùng ma trận thu được ở a) để tính D  6  6 x  24 x 2 

10 00

Giải:

a) Ta có D  p1   D 1  1'  0  0  0 x  0 x 2

D  p2   D  x   x '  1  1  0 x  0 x 2

-H

D  p3   D  x 2    x 2  '  2 x  0  2 x  0 x 2

ÁN

-L

0 1 0  Vì B là cơ sở chính tắc của P2 , ta suy ra A  0 0 2    0 0 0 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Cho D : P2  P2 là toán tử đạo hàm D  p   p '. Tìm ma trận của D đối với mỗi cơ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

Bài 04.03.1.064

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

T 1  x 2   2  3x  3x 2   2  1  3x  3x 2   8  3  7 x  2 x 2   22  56 x  14 x 2

 2   1 Vậy có 1  x 2     1 do đó T 1  x 2    A 1  x 2     2      B B B  8  0 

IỄ N

ÀN

b) D  p1   D  2  2'  0  0 p1  0 p2  0 p3 3 3 D  p2   D  2  3 x    2  3 x  '  3   2   p1  0 p2  0 p3 2 2

D  p3   D  2  3x  8 x 2    2  3x  8 x 2   3  16 x

Ta viết: 3  16 x   p1   p2   p3   .2    2  3x     2  3x  8x 2 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H N

10 00

trực tiếp D  6  6 x  24 x 2    6  6 x  24 x 2  '  6  48 x d) Trong câu b) B không phải cơ sở chính tắc của P2 cho nên trước hết ta phải biểu diễn p  6  6 x  24 x2 trong cơ sở B,ta có:

-H

6  6 x  24 x 2   p1   p2   p3   .2    2  3 x     2  3 x  8 x 2 

  2  2   2    3  3  x  8 x 2

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

2  2   2  6   1   Vậy  ,  ,  là nghiệm hệ  3  3  6     1  8  24  gg  3   1 2 Do đó  6  6 x  24 x     1 nên   B  3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Do đó D  6  6 x  24 x 2   6.1  48 x  0 x 2  6  48 x trùng với kết quả tính

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

0 1 0   6   6   D  6  6 x  24 x    0 0 2   6    48  B      0 0 0   24   0  2

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2  2  2  3   23 / 6   Thì thấy  ,  ,  là nghiệm hệ  3  3  16     16 / 3    0 8  0   0   3 / 2   23 / 6  Do đó  D  p1   B  0  ,  D  p2   B   0  ,  D  p3   B   16 / 3       0    0  0  0 3 / 2 23 / 6  Vậy ta suy ra A  0 0 16 / 3   0 0 0  c) Vì trong câu a) B là cơ sở chính tắc của P2 nên

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

0 3 / 2 23 / 6   1  13  D  6  6 x  24 x 2    0 0 16 / 3  1   16   B      0     0 0   3  0 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Ta suy ra

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

D  6  6 x  24 x 2   13 p1  16 p2  13.2  16  2  3x   6  48 x

cũng trùng với kết quả tính đạo hàm trực tiếp.

xác định bởi T   x1, x2     x1  2 x2 ,  x2 

Chú ý rằng B là cơ sở chính tắc.

H Ư

1 2 Do đó ánh xạ của T trong cơ sở B có ma trận A    0 1

TR ẦN

 2 3 Ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ là: P    1 4 

10 00

1  4 3 11  1 2

Ma trận của T trong cơ sở B’ là:

-H

1  4 3 1 2   2 3 1  3 56   11  1 2 0 1 1 4  11  2 3 

-L

A '  P 1 AP 

ÁN

Bài 04.03.1.066

Hãy tìm ma trận của T đối với cơ sở B rồi suy ra ma trận của T đối với cơ sở B’. 2



ÀN

xác định bởi T   x1, x2     x1  7 x2 ,3x1  4 x2 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

Giải:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

B  {u1, u2}, u1  1,0  , u2   0,1; B '  {v1, v2}, v1   2,1 , v2   3,4 

Ta suy ra P 1 



http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Hãy tìm ma trận của T đối với cơ sở B rồi suy ra ma trận của T đối với cơ sở B’.

Bài 04.03.1.065

IỄ N

B  {u1, u2}, u1   2,3 , u2   4, 1 , B '  {v1, v2}, v1  1,3 , v2   1, 1

Giải: B không phải cơ sở chính tắc, nên ta có:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

T  u1   T   2,3    2  7.3,3.2  4.3   23, 6  T  u2   T   4, 1    4  7. 1 ,3.4  4.  1    3,16 

Ta viết biểu diễn của T  u1  , T  u2  trong cơ sở B:

ÁN

-L

-H

1  13 / 14 v1  1u1  a2u2  1,3  1  2,3   2  4, 1    2  3.14  1  5 / 14 v2  1u1   2u2   1, 1  1  2,3    4, 1     2  1 / 14

 Ta được P   1  2

1  1 13 5   2  14  3 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Bây giờ ta tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B:’ P  v1 B v2 B 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00

TR ẦN

Do đó ma trận của ánh xạ T trong cơ sở B là:  1 / 14 61 / 14  1  1 61  A     81 / 14 41 / 14  14  81 41

.Q H Ư

 1 / 14   61 / 14  Vậy T  u1   B   , T  u2   B      81 / 14   41 / 14 

Đ ẠO

2b1  4b2  3 b1  61 / 14   3 b  b  16  1 2 b2  41 / 14

2c1  4c2  23 c1  1 / 14  ,  3 c  c   6 c  81 / 14  1 2  2

Như vậy  c1, c2  và  b1 , b2  là nghiệm của 2 hệ:

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

T  u2    3,16   b1u1  b2u2  b1  2,3  b2  4, 1   2b1  4b2 ,3b1  b2 

T  u1    23, 6   c1u1  c2u2  c1  2,3  c2  4, 1   2c1  4c2 ,3c1  c2 

IỄ N

1  1 5  Do đó P 1    nên ma trận của ánh xạ T trong cơ sở B’ là: 2  3 13 1  1 5  1  1 61  1  5 1  31 9  A '  P 1 AP     2  3 13 14  81 41 14  1 2  75 25

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chú ý: Nếu làm trực tiếp ta có:

T  v1   T  1,3   1  7.3,3  4.3   22, 9 

N Ơ H N Y

1  31 9  2  75 25

TR ẦN

H Ư

Ta suy ra ma trận của ánh xạ T đối với cơ sở B’ là: A '  Bài 04.03.1.067

 là

xác định bởi T   x1 , x2 , x3     x1  2 x2  x3 ,  x2 , x1  7 x3 

cơ

sở

10 00

chuẩn

Hãy tìm ma trận của T đối với cơ sở B rồi suy ra ma trận của T đối với cơ sở B’.

tắc

trong

-H

v1  1,0,0  , v2  1,1,0 , v3  1,1,1

-L

Giải:

ÁN

Vì B là cơ sở chính tắc trong

1 2 1 nên ma trận của ánh xạ T trong cơ sở B là: A  0 1 0    1 0 7 

B '  {v1, v2 , v3}

với

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

 31 / 2   9 / 2 Do đó T  v1   B '   , T v      2 B'    25 / 2   75 / 2   

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1  31 / 2 T  v1   1v1   2v2   22, 9   1 1,3   2  1, 1    2  75 / 2  1  9 / 2 T  v2   1v1   2v2   8,1  1 1,3    1, 1     2  25 / 2

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

T  v2   T   1, 1    1  7. 1 ,3.  1  4.  1    8,1

IỄ N

1 1 1 Ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ là: P  0 1 1   0 0 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

H N Y

 3 là phép chiếu trực giao lên mặt phẳng xy, B là cơ sở chuẩn tắc trong 3 , B '  {v1, v2 , v3} với v1  1,0,0 , v2  1,1,0 , v3  1,1,1 3

H Ư

Giải:

TR ẦN

Một điểm có tọa độ  x, y, z  trong không gian xyz chiếu trực giao lên mặt phẳng xy thành điểm  x, y,0  . Vậy có công thức xác định ánh xạ T:

Với B la cơ sở chính tắc của

10 00

T   x, y, z     x, y,0  thay đổi kí hiệu được T   x1 , x2 , x3     x1 , x2 ,0 

-L

-H

1 0 0  nên ma trận của ánh xạ T trong cơ sở B là: A  0 1 0    0 0 0 

ÁN

1 1 1 Ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ là: P  0 1 1   0 0 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

Hãy tìm ma trận của T đối với cơ sở B rồi suy ra ma trận của T đối với cơ sở B’.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

Bài 04.03.1.068

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

3 1 4 Do đó ma trận của ánh xạ T trong cơ sở B’ là: A '  P 1 AP   1 2 9     1 1 8 

1 1 0  Ma trận nghịch đảo của P là P 1  0 1 1   0 0 1 

IỄ N

1 1 0  Do đó ma trận nghịch đảo của P là: P  0 1 1   0 0 1 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 0 0  Vậy ma trận của ánh xạ T trong cơ sở B’ là: A '  P 1 AP  0 1 1    0 0 0 

Bài 04.03.1.069

Hãy tìm ma trận của T đối với cơ sở B rồi suy ra ma trận của T đối với cơ sở B’.

T  x   5x ,

bởi

Đ ẠO

B  {u1, u2}, u1   2,3, u2   4, 1, B '  {v1, v2}, v1  1,3 , v2   1, 1

H Ư

TR ẦN

5 0  Vậy ma trận của T trong cơ sở B là: A    0 5 

Theo đề bài: T  u1   5u1  0u2 , T  u2   5u2  0u1  5u2

Giải:

Bây giờ ta tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B:’ P  v1 B v2 B 

1  1 13 5 1  1 5  1 và P    2  14  3 1 2  3 13

ÁN

-L

 Ta được P   1  2

-H

10 00

5 0  Vậy ma trận cần tìm là A '  P 1 AP    0 5 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

định

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

xác



ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 04.03.1.070

IỄ N

Hãy tìm ma trận của T đối với cơ sở B rồi suy ra ma trận của T đối với cơ sở B’. T : P1  P1 xác định bởi T  a0  a1 x   a0  a1  x  1 B  { p1, p2}, p1  6  3x, p2  10  2 x, B '  {q1, q2}, q1  2, q2  3  2 x

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Giải: Theo đề bài T  p1   T  6  3x   6  3 x  1  9  3x

T  p2   T 10  2 x   10  2  x  1  12  2 x

Ta có:

-H

10 00

a  2 / 9 q1  ap1  bp2  2  a  6  3 x   b 10  2 x    b  1 / 3 c  7 / 9 q2  cp1  dp2  3  2 x  c  6  3x   d 10  2 x    d  1 / 6

 7 / 9   1 / 6 

 q2 B  

ÁN

-L

 2 / 9  Nên có  q1 B   ,  1 / 3

 2 / 9 7 / 9  1  4 14  1  3 14  1 Do đó P   và P      4 6 4   1 / 3 1 / 6  18  6 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TR ẦN

Bây giờ ta tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’: P   q1 B  q2 B 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

H Ư

 2 / 3 2 / 9  Vậy ma trận của ánh xạ T trong cơ sở B là: A    1 / 2 4 / 3 

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1  2 / 3 T  p1   1 p1   2 p2  9  3x  1  6  3 x    2 10  2 x     2  1 / 2  1  2 / 9 T  p2   1 p1   2 p2  12  2 x  1  6  3 x    2 10  2 x    2  4 / 3

Ta biểu diễn T  p1  , T  p2  trong cơ sở B.

IỄ N

1 1 Do đó ma trận của T đối với cơ sở B’ là: A '  P 1 AP    0 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề Chuỗi số và chuỗi hàm

Vậy bán kính hội tụ là R 

n

  1  2 1        2  

1 2

Bài 03.04.1.002



 n  1

  2n !!  x  2 

n 1

10 00

Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

n0

Lời giải:

-H

an n  1  2n  2 !! n 1 .  lim .  2n  2    Có lim n1  lim n a n  2n !! n n n

ÁN

-L

Vậy bán kính hội tụ là R   Bài 03.04.1.003

ÀN

Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa



  1

 2 n 1   x  n

n 1

n 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q  1 2 1     2 n



Đ ẠO

n

 lim

n 2/3  n1/2

n  n

 lim

n 2/3  n1/2

H Ư

Có lim

TR ẦN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n n

Lời giải:

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

n2



Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

2n n 2   1



Bài 03.04.1.001

IỄ N

Lời giải: Có lim n

an n  2 n 1  lim . 1 an1 n n n  1

Vậy bán kính hội tụ là R  1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 03.04.1.004 

x2n Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa  n n 1 3 .n

Lời giải:

TR ẦN

Lời giải:

1/ n

8.80  8 1

10 00

ln n   8 8  3 n  n n 1 1 8  3ln n 8   lim  lim  Có lim n 2 n 2 n n n an n n n

-H

Bài 03.04.1.006

 n 1  Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa    n2  n  2 

2 n2  3 n 1

Lời giải:

ÁN

-L



n2  lim   an n   n  1 

ÀN

2 n 2  3 n 1 n

IỄ N

n  n

 3    lim 1   n    n 1 

n 1 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3    lim 1   n   n 1

   

2 n 2  3 n 1 n

U .Q

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

n2 xn Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa  n1  31ln n n2 8

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



lim

Bài 03.04.1.005

Đ ẠO

Vậy bán kính hội tụ là R  3

Vậy bán kính hội tụ là R  8.

 x2n 1 Có  n   a n x 2 n ,ta xét: lim  lim3 n n  3  R  3 n  n n a n 1 3 .n n 1 n

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



3 2 n 2  3 n 1 . n 1 n

 e6

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy bán kính hội tụ là R  e6

Bài 03.04.1.007 

an an 1 1  n 1  2:  1   nlim 2  a an 1 n  n  1  n  n 1

n n 1

Do đó chuỗi lũy thừa hội tụ tại x  1

10 00

Vậy miền hội tụ là  1;1

Bài 03.04.1.008

-H

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

n2 n x n 3 n0 



-L

Lời giải:

hội tụ

H Ư



TR ẦN

x2 1 Tại x  1 có 2  2 mặt khác n n

R  1, chuỗi hội tụ với x  1 , phân kì với x  1

Đ ẠO

ÁN

an a n2 n3 n2  n : n 1  3  lim n  3 n  a an 1 3 3 n3 n 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Lời giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

xn  2 n 1 n

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

ÀN

R  3, chuỗi hội tụ khi x  3, phân kì khi x  3.

IỄ N

Tại x  3 có



 a x    n  2 phân kỳ. n

n0

Tại x  3 có

n0



 a x    1  n  2 phân kỳ. n

n0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Miền hội tụ  3;3

Bài 03.04.1.009 

xn Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n0 n  1

Y 

 n  1 phân kỳ.

Khi x  1 có

 1

 n 1

là chuỗi đan dấu hội tụ.

TR ẦN

Khi x  1 có



H Ư

n 1

10 00

Miền hội tụ là [  1; 1). Bài 03.04.1.010



-H

x2n Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa   1  2n ! n0 n

-L

Lời giải:

ÁN

Không thể dùng ngay công thức vì một nửa các hệ số của chuỗi bằng 0: a2 n 1  0.

 1 y n có chuỗi lũy thừa:  n  0  2n ! 

Đặt y  x

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

R  1, chuỗi hội tụ với x  1, phân kỳ với x  1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Đ ẠO

an a 1 1 n2  :   lim n  1 n  a an 1 n  1 n  2 n  1 n 1

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải:

 2  n  1 !  2n  1 2n  2 a  1 :  1 Có n      an 1  2n !  2n !  2  n  1 ! n 1

IỄ N

 lim

n 

an  an 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Miền hội tụ  ;  

*

3n  1

n 1

5

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

 x  2



Bài 03.04.1.011

n 1

n  5 n 31/3 n n1/3  5

H Ư

Nên bán kính hội tụ là R = 5

5



5

 5



3 n0



3n  1

3 n0

 1

3n  1 1

3n  1

1 3n  1

3n1/ 3

( 

1  1) 3

-L

an 

-H

n 1

3n  1

10 00

n 1

Xét x  7 chuỗi (*) trở thành

 5



Xét x  3 chuỗi (*) trở thành

TR ẦN

X   5;5  x  2   5;5  x   3;7 

ÁN

Vậy miền hội tụ là [  3, 7) Bài 03.04.1.012

 n 1

 x  5

phân kỳ do

 *

3n n!

IỄ N

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa



hội tụ theo Leibniz

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

a X

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

chuỗi (*) trở thành

3n  1

 n 5n 3 3n  1

U 1

Ta có:

Đ ẠO

Ta đặt X  x  2, an 



ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải:

Lời giải: 1 Ta đặt X  x  5, an  n chuỗi (*) trở thành 3 n!

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú



a X n 1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

3  n  1! a n  Ta có: n   3  n  1   n an 1 3 n! n 1

Ơ H

Vậy miền hội tụ của chuỗi là

Khi đó X  x  5   ,    x   ,  



H Ư

 a .X n0

(2)

TR ẦN

1  Đặt X  , an  2n thì (1) trở thành x2

Lời giải:

an 2n 1 1 Ta có lim  lim n 1   R  n  a n  2 2 2 n 1

10 00

   1 1 Tại X    2n X n   2n    1n phân kỳ. 2  2  n0 n0 n0 n

-H

   1 n n n n 1 Tại X     2 X   2       1 phân kỳ. 2  2  n0 n0 n0

ÁN

-L

 1 1 Do vậy miền hội tụ của (2) là   ,   2 2

x  0 1 1 1 Ta có:     2 x2 2  x  4

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 x  2

1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U n0





Đ ẠO

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa và tính tổng

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 03.04.1.013

IỄ N

Vậy miền hội tụ của (*) là  , 4   0,    Tính tổng:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Bài 03.04.1.014 

10 00

 n  n Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    x n 1  n  3 

*

lim

Ý 3

1 1  n  an  lim   lim  3  R  e3  n n  n  3 e   n   n  3     n 

IỄ N

ÀN

n 

-L

Ta có:

n n3

ÁN

Xét an 

-H

Lời giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 1 x2   1  2X 1  2 1 x x2

TR ẦN

 S  x 

1 vào (*): x2

Xét (1): Thay X 

 *

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1 a 2  b2 1  2X

1  2X

n 

1  1 1 (Vì X    ,  ) 1  2X  2 2

H Ư

 S  x 



http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

n 

1   2X 

1  2X n 1

Đ ẠO

 S  x   lim Sn  x   lim

n 1

1   2X 

 S  x   1   2X   ....   2X   1

n0



Xét (2) có S  x    2n X n    2X 



www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com



 n  n   n  Tại x  e     x    n 1  n  3  n 1  n  3  3

 e 

3 n



 n     1    n  3 n 1 n

e 

3 n

 lim n an  1  0 n 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy miền hội tụ của chuỗi là D   e3 , e3 

*

 x  2

 n 1  Tìm miền hội tụ của chuỗi    n  0  2n  3  

Bài 03.04.1.015

 n 1  n Ta tìm miền hội tụ của chuỗi    X n  0  2n  3 

H Ư

n 1 1 n 1 có lim n an  lim  R2 n  n  2n  3 2n  3 2

TR ẦN

Xét an 



n  2n  2   n 1  n  Tại X  2 chuỗi (*) thành   1   2    1    2n  3   2n  3  n0 n0 n



10 00

2n  2  1  0 nên chuỗi phân kỳ. n  2n  3

 lim n un  lim

n 

-H

Vậy miền hội tụ theo X là  2, 2 

-L

 miền hội tụ x  2  2  2  2  x  2  2

ÁN

Bài 03.04.1.016

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa



 n  x  2 * n

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Đặt X   x  2  , X  0.

n 1

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải:

IỄ N

Lời giải:

Ta đặt X  x  2, a n  nn chuỗi (*) thành

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú



a X n 1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

1 n



1 n   0  R n

Khi đó X  x  2  0  x  2

Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là {2}

U n 1

 *

 3n

2

 x  1

Đ ẠO

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa



1 Ta đặt X  x  1, an  n chuỗi (*) thành 2  3n

 n 2n  3n

N n

H Ư

n 1

TR ẦN

Ta có:

a X

Lời giải:

n  3n  3

10 00

Suy ra bán kính hội tụ là R  3  X   3, 3 

n 1



2n  3n

  un là chuỗi phân kỳ n 1

-H

Tại X  3 chuỗi (*) trở thành: 

 3

-L

3n n  Vì un  n  1  0  lim un  0 n x  2 3

ÁN

Vậy miền hội tụ là  2, 4 

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 03.04.1.017

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

ÀN

Bài 03.04.1.018 n2 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    n 1  n  1 

n  n 1

*

IỄ N



Lời giải: n2 Đặt an     n 1  n  1  

n  n 1

khi đó (*) trở thành

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú



a x n 1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Đ ẠO G H Ư

Bài 03.04.1.019

n  n 1  Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa     x  2 n 1  3n  2  n

TR ẦN

 *

Lời giải:

10 00

 n 1  Đặt X  x  2, an    chuỗi (*) trở thành 3 n  2  

(**)

n 1 1  R3 3n  2 3

-H

n 

n 1

n 

a X

Xét lim n an  lim



 n n  n 1   3n  3  Tại X  3 ta được     3      1 n 1  3n  2  n 1  3n  2  n

ÁN

-L



Có lim n un  lim n 

n 

3n  3  1  0 nên tại X  3 chuỗi không hội tụ. 3n  2

Ơ H

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 1 .  e.  1  0 e e

 1 1 Vậy miền hội tụ là D    ,   e e



N Y

n 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n 

n n 1 n   1   n1  1        1     1   n  1  e    e n 1  

1   an  lim 1   n   n 1

1 e

 lim

n  n 1

e R

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 1 n2 Tại x       e n 1  n  1 

n 1

n 

1   an  lim 1   n   n 1

Ta có lim

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy miền hội tụ của chuỗi (**) là  3, 3

IỄ N

do đó miền hội tụ của chuỗi (*) là  1, 5 Bài 03.04.1.020

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com



n

 x  1 1 n

 ln n 

n2

 ln n 

 1

G N H Ư (*)

n  ln n  a lim n 1  lim 1  2 n  chuỗi (*) phân kỳ. Từ đó ta có: n  an  n  1  ln  n  1 

-H

ÁN

-L

Vậy miền hội tụ của (2) là  1, 1 nên miền hội tụ của (1) là  2, 0  Bài 03.04.1.021

 n 1 Tìm miền hội tụ của chuỗi    n2  n  1 

n  n 1

 x  1 * n

ÀN



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n2

TR ẦN

n

Tại X  1 ta được chuỗi



10 00

ln n n  ln  n  1

Với lim

1  lim n  1  R  1 n  1 n 1

Lopi tan

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 n

n  ln n  an 1  lim  lim 2 n  n  1 an  n  1  ln  n  1  2ln  n  1 . n 1 2ln n.

Lopi tan

n 

(2)

n2

Đ ẠO

Ta có:

lim

a X

n  ln n 

chuỗi (1) thành



http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đặt X  x  1, an 

Lời giải:

IỄ N

Lời giải:  n 1 Ta đặt X  x  1, an     n 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

n  n 1



chuỗi (*) thành

a X n2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

n 1

2    1    n 1

n 1 n    e2

n2

n  n 1

 n 1    n 1

2 n

n 1

10 00 A

Bài 03.04.1.022



-H

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa



2

 1



n  5 .3

 *

n0

-L

Lời giải:

ÁN

Có R  3  x   3,3 

ÀN

2

IỄ N

n0

 1  3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú







n  5 .3n

Chuỗi phân kỳ vì cùng bản chất với





n 1

2

1 n 5

N Y e2

e 

Đ ẠO

n 1

 e  phân kì.

Vậy miền hội tụ là  1  e2 ,  1  e2 

 n 1 Suy ra chuỗi    n2  n  1  

 n 1 un     n 1

e  2n

H Ư

n  n 1

TR ẦN

 n 1 un     n 1

Xét x  3 (*) trở thành 

 e    u

Ta có:

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



2 n

n  n 1

 n 1 Ta xét tại X  e . chuỗi (*) thành    n2  n  1  

Suy ra bán kính hội tụ là R  e2 .

2   1    n 1

n 1

 1, n  2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 n 1    n 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Ta có:

n  n 1

 n 1     n 1 an

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com



n n 1

1/ 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

2

n 5

 N

n 1



 0 và giảm nên hội tụ theo Leibnitz.

U .Q TP Đ ẠO

Bài 03.04.1.023 n  n3  Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa     x  1 n 1  2 n  1  n

 *



H Ư

Lời giải:

TR ẦN

Có R  2  x  1  2, 2   x   1, 3

  n n  n3   2n  6  Xét x  1 (*) trở thành     2       1   an n 1  2n  1  n 1  2n  1  n 1 n

10 00



 5   5   2n  6    1   1  Mà        2 n  1   2 n  1   2 n  1   n

-H

2 n 1 5

   

5 .n 2 n 1 n    e5/ 2

-L

 an  0 nên chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần.

ÁN

  n  n3   2n  6  2   Xét x  3 (*) trở thành          an n 1  2n  1  n 1  2 n  1  n 1 

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Vậy miền hội tụ là D  (3, 3]

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2 n 5

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)





n  5 .3n

Chuỗi đan dấu với an 

2





n0

Xét x  3 (*) trở thành 

 1  3 n



www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

ÀN

 an  0 nên chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần.

IỄ N

Vậy miền hội tụ là D   1, 3

Bài 03.04.1.024

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com



 2  x  5 * n

n0

Ơ H H Ư

TR ẦN

Lời giải:

1  1 1  x ,  3  3 3

10 00

Có R 



-H

n n n     2n.n 2  9n   1  1  2   1  Xét x   (*) trở thành             2  3n.n 2   3  n 1  9  n  3 n 1 



 n 1

 1

 2n.n2  9n   1  hội tụ nên       hội tụ. 3n.n2   3  n 1  n



ÁN

-L

 2 Do chuỗi     và n 1  9 

n n     2n.n 2  9n   1  1 1 2   Xét x  (*) trở thành          3n.n 2   3  n 1  9  n 2  3 n 1  

Đ IỄ N



1 hội tụ nên  2 n 1 n

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP *

 2n 3n  n Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa   n  2  x n  n 1  3 

Bài 03.04.1.025

2 Do chuỗi    và n 1  9 

Đ ẠO

Vậy chuỗi chỉ hội tụ tại 5

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n  n

1 0 n  2n

 lim

Khi đó bán kính hội tụ R  0

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

n  n

 lim

Có lim

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải:

 2n.n2  9n   1       hội tụ. 3n.n2   3  n 1  

 1 1 Vậy miền hội tụ là D    ,   3 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 03.04.1.026

 x  8 * Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    2n n 1  n !



N Y  *

2 n 1  n  Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa     x  1 n 1  2n  1 

TR ẦN

H Ư

Lời giải: Hiển nhiên với x  0, 1 chuỗi hội tụ. n

 x  1 n 2 an   x  1  2n  1 2

Khi đó

10 00

2n  n  Xét chuỗi (*) có an     x  1 , n   2n  1 

-H

 TH1:  x  1  2 chuỗi hội tụ.  TH2:  x  1  2 chuỗi phân kỳ.

-L

 TH3:  x  1  2

ÁN

  1 2n  n   2n   x  1   1          2 n 1   2n  1   2n  1    2n  1  



Vậy miền hội tụ là D  1  2, 1+ 2

IỄ N

ÀN

2 n 1

   

n 2 n 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Bài 03.04.1.027

Đ ẠO

Vậy miền hội tụ là D   , + 

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải: Dễ dàng nhận thấy bán kính hội tụ R  

  e1/ 2  0



Bài 03.04.1.028

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

n2 n x  3   2 n 1 n 



 x  2 là phân kỳ  U  n  x  4 n 1 



TR ẦN



U

10 00

n 1

là (-4,-2)

Vậy miền hội tụ của Bài 03.04.1.029

-H

n  n 1  Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa     x  1 n 1  2n  1  

-L

Lời giải:

n 1 n ) ( x  1) n 2n  1

ÁN

Có U n  (

IỄ N

Xét

Ơ N Y U

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

là hội tụ  4  x  2

n 1

H Ư

U



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Theo dấu hiệu D’lambe có: 

Đ ẠO

Un  1 (n  3)( x  3) n .n 2 (n3  3n 2 )( x  3)   Un (n  1)2 (n  2)( x  3) n n3  4n 2  5n  2

n2 n2 n , ta xét: lim U  lim ( x  3) n  0 ( x  3) ( x  3) n 2 2 n  n  n n

Nhận thấy

n 1 n  n 1  Un   x 1  x 1  2n  1  2n  1 

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Có U n 

Lời giải:



Theo dấu hiệu cosi ta có U n là hội tụ n 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

n 1 x 1  1 n  2n  1

 lim n U n  1  lim n 

 x  1  2  1  x  2

là (-1,2)

Đ ẠO

x3n Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n n 1 n.4

Mà:

Un 

x n

H Ư

x3n n.4n 3

n .4



1 n

n .4

TR ẦN

Có U n 

Lời giải:



n 1

 x 4 x  3 4

-H



vậy miền hội tụ của

10 00

Theo dấu hiệu cosi ta có U n là hội tụ

U

là ( 3 4, 3 4)

-L

n 1

ÁN

Bài 03.04.1.031

( x  2) 2 n 1 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  2n  1 n0 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 03.04.1.030

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n 1

U



Vậy miền hội tụ của

IỄ N

Lời giải:

Có: U n 

( x  2) 2 n 1 2n  1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

U n  1 ( x  2)2 n  3 (2n  1) (2n  1) 2   Xét Un (2n  3)( x  2) 2 n 1 2n  3 là hội tụ

Un  1  1  x  2  1  3  x  1 x  Un n

U .Q

là  3,  1 .

Bài 03.04.1.032.A745



  1

H Ư

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:

nx n

TR ẦN

n 1

Lời giải: Với an   1 nx n có:

1  n  1 x n 1 an 1  n 1  1  lim  lim  lim  1 x  lim 1      x x n  n n  a n  n  n  n n     1 nx    n 

  1

nx n hội tụ khi x  1 với bán kính hội tụ R  1.

-H

Từ đó, chuỗi

10 00

n 1

n 1



ÁN

-L

Xét tại x  1 được chuỗi 

  1 n  1    1 n 1

 1 n 

n phân kỳ do lim

n 1

n 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n0

U

Vậy miền hội tụ của

Đ ẠO



http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

lim

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n 1

U

Theo dấu hiệu Dalambe ta có



ÀN

Vậy miền hội tụ là D   1, 1

IỄ N

Bài 03.04.1.033.A745 Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:



 n 1

 1 3

Lời giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

xét:

3 1 x n 1 1 x 3 n an 1   n 1 3 lim  lim 3 .  lim  lim x  x n 3 n n  a n  n  n  1  1 / n n  1 n  1  1 x n



 1

n 1

Tại x  1 chuỗi



 n 1

hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.

1   phân kì do     1 3  n 

1 3

TR ẦN

Vậy miền hội tụ là (1, 1] Bài 03.04.1.034.A745



10 00

xn Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:  n 1 2n  1

-H

xn Với an  xét: 2n  1

Lời giải:

ÁN

-L

an 1 x n 1 2n  1  2n  1  lim  lim . n  lim  x x n  a n  2n  1 n  2n  1 x   n 

xn hội tụ khi x  1 , bán kính hội tụ R  1.  2 n  1 n 1

ÀN Đ IỄ N

Tại x  1 chuỗi

Y U .Q

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



Tại x  1 chuỗi

Chuỗi

hội tụ khi x  1 , bán kính hội tụ R  1.

Đ ẠO

n 1



http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Chuỗi

 1

H Ư



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n 1

Với an

 1 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com



1 1 1 1  1  phân kỳ do mà phân kỳ.   2 n  1 2 n  2 n 1 2 n n 1 n 1

Tại x  1 chuỗi



 1

 2n  1 hội tụ theo chuẩn Leibnitz. n 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy miền hội tụ là [  1, 1).

n 1



 1

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:



Bài 03.04.1.035.A745

Y n 1

Tại x  1 chuỗi



n n 1

H Ư

hội tụ theo chuẩn Leibnitz.

TR ẦN



 1

hội tụ (do   2  1 )

Tại x  1 chuỗi



n 1  n  2  2 1 x n 1 an 1  n2 lim  lim .  lim   x  1 x  x 2 n n  a n   n  1  1 x n n   n  1   n

A Ó

Bài 03.04.1.036.A745

10 00

Vậy miền hội tụ là  1, 1



-L

-H

xn Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:  n  0 n!

xn xét: n!

Với an 

ÁN

Lời giải:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

xét:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Đ ẠO

Với an

 1 

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải:

IỄ N

an 1 x n 1 n! x 1 lim  lim . n  lim  x lim  x .0  0  1 n  a n   n  1! x n  n  1 n  n  1 n

Nên bán kính hội tụ là R  

Vậy miền hội tụ là  ,  

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 03.04.1.037.A745 Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:



 nx

n 1

Lời giải:

Y Đ ẠO

Vậy bán kính hội tụ là R  0 và miền hội tụ là D  0

Bài 03.04.1.038.A745 

TR ẦN

H Ư

n2 xn Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:   1 2n n 1 n

Lời giải: n2 x n Với an   1 xét: 2n

10 00

-L

-H

2 2 2 x n  1 x n 1 2n x  n  1 an 1  1  x 1 2 lim  lim .  lim  lim 1   1  x       n  a n  n  2n 1 n 2 x n n  2n 2 n   2 2  2  n 2 n  1 n n x Chuỗi   1 hội tụ khi x  1  x  2 , bán kính hội tụ R  2. n 2 2 n 1

ÁN

Tại x  2 chuỗi



  1

n2  2 

n 1



   1 n2 phân kỳ do lim  1 n 2   n

n 

n 1

Vậy miền hội tụ là  2, 2 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

lim n an  lim n x  , x  0

n 

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Với an  nn x n xét:

IỄ N

Bài 03.04.1.039.A745 

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:

10n x n  n3 n 1

Lời giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

10n x n xét: n3

Ơ H

N U

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 1 1 Vậy miền hội tụ là   ,   10 10 

10 00

Bài 03.04.1.040.A745

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:



 3

n

n 1

xét:

-L

n3/ 2

-H

 3 

Lời giải: Với an

Đ ẠO

hội tụ (do   3  1 )

n 1

H Ư

n

hội tụ theo chuẩn Leibnitz.

n 1



1 chuỗi Tại x  10

TR ẦN



 1

3 x n 1 n3/ 2 an 1   n  lim  lim .  lim  3x   3/ 2 n n  a n   n 1  n  1  3 x n n  n

ÁN

n 1

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



1 Tại x   chuỗi 10



10n x n 1 Chuỗi  3 hội tụ khi 10 x  1  x  , bán kính hội tụ là R  10. n 10 n 1

10 x 10 x an 1 10n 1 x n 1 n3 10 xn3 lim  lim . n n  lim  lim  3  10 x 3 3 3 n  a n  1  n  1 10 x n   n  1 n  1  1 / n  n

3/ 2

 1   3 x lim   n  1  1 / n  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Với an 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

3/ 2

ÀN

 3 x 1  3 x

IỄ N

Chuỗi



 3

n n 1

x n hội tụ khi 3 x  1  x 

1 Tại x  chuỗi 3



 n 1

 1 n3/ 2

1 1 , bán kính hội tụ R  3 3

hội tụ theo chuẩn Leibnitz.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

n n 1

3/ 2

hội tụ do  

3 1 2

 1 1 Vậy miền hội tụ là   ,   3 3

Bài 03.04.1.041.A745

N H Ư

x n  x 1  1 an 1 x n 1 3n n  lim .  lim  lim     x n   n  1 3n 1 x n n  3 n  3 1  1 / n an n  1     3

TR ẦN

n 

xn Với an  n xét: 3 n

lim

Đ ẠO

Lời giải:

xn Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:  n n 1 3 n



Tại x  3 chuỗi



10 00

xn 1 Chuỗi  n hội tụ khi x  1  x  3, bán kính hội tụ là R  3. 3 n 1 3 n 1

 n là dãy phân kỳ.



  1

1 hội tụ. n

n 1

-H

Tại x  3 chuỗi

n 1

ÁN

-L

Vậy miền hội tụ là [  3, 3). Bài 03.04.1.042.A745

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



xn Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:   1 n 4 ln n n2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



1 chuỗi 3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Tại x  

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

ÀN

IỄ N

Lời giải: Với an   1

xn xét: 4n ln n

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

x xn Chuỗi   1 n hội tụ khi  1  x  4, bán kính hội tụ R  4. 4 ln n 4 n2



 ln n2

U .Q phân kỳ.

 xn n 1    1 Tại x  4 chuỗi   1 n hội tụ theo Leibnitz. 4 ln n n  2 ln n n2

H Ư

TR ẦN

Vậy miền hội tụ là (4, 4] Bài 03.04.1.043.A745

x 2 n 1 Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:   1  2n  1! n0 n

10 00



Lời giải:

x 2 n 1 Với an   1 xét:  2n  1!

-H

1 x 2 n  3  2n  1! 1 x 2 an 1   lim  lim .  lim n  a n   2n  3!  1n x 2n 1 n   2n  3 2n  2  n

ÁN

-L

n 1

 2n  3 2n  2 

 x 2 .0  0  1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 phân kỳ nên  n2 n



Đ ẠO



n 

H Y

1 1 Ta có ln n  n, n  2   mà ln n n

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

  1 4      1 xn    Tại x  4 chuỗi   1 n 4 ln n n  2 4n ln n n2 n  2 ln n 

 x 2 lim

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



x x an 1 x n 1 4n ln n ln n L ' hopi tan x lim  lim n 1 . n  lim  .1  n  a n  4 ln  n  1 x 4 n  ln  n  1 4 4 n

IỄ N

x 2 n 1 Nên chuỗi   1 phân kỳ với mọi x.  2n  1! n0 

Vậy bán kính hội tụ R  , miền hội tụ  ,   Bài 03.04.1.044.A745

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:





 x  2

n2  1

n0

xét:

G 

  1

1 hội tụ theo chuẩn Leibnitz. n2  1

n0

Tại x  3 chuỗi



1 hội tụ do  2  n 1 n0



n n0

hội tụ mà

1 1  n2  1 n2

10 00

Vậy miền hội tụ là 1, 3

-H

Bài 03.04.1.045.A745

  1 n0

 x  3

2n  1

-L

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:



ÁN

Lời giải:

Với an   1

 x  3

xét:

2n  1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

Tại x  1 chuỗi

n0

hội tụ khi x  2  1  1  x  3 , bán kính hội tụ R  1.

n2  1

H Ư



TR ẦN

Chuỗi

 x  2



ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

n 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

a  x  2  . n2  1  x  2 lim n2  1  x  2 lim n 1  lim 2 n 2 n  a n  n   n  1  1  n  1  1  x  2  n

n2  1

Với an

 x  2 

Lời giải:

a  x  3 . 2n  1  x  3 lim 2n  1  x  3 lim n 1  lim n  a n  n  2n  3 2n  3  x  3  n n

IỄ N

n 1

Chuỗi



  1 n0

 x  3

2n  1

hội tụ khi x  3  1  2  x  4, bán kính hội tụ R  1.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Tại x  2 chuỗi



www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 2n  1 phân kỳ n0

n0

1 hội tụ theo Leibnitz. 2n  1

  1



Tại x  4 chuỗi

n 1



  1 n 1 

 n 1

1 n

hội tụ theo Leibnitz

phân kì do  

1 1 2

3 x4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ÁN

11 chuỗi 3

Tại x  

1 3

-L

13 chuỗi 3

n 

13 11 x , 3 3

hội tụ khi 3 x  4  1  

bán kính hội tụ R  Tại x  

3  x  4

 3 x  4 lim

10 00

n 1

n n



-H

Chuỗi

3n  x  4 

n 1

3n 1  x  4  an 1 lim  lim n  a n  n 1 n 

xét:

H Ư

Với an 

TR ẦN

3n  x  4 

Lời giải:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n 1



3n  x  4 

Đ ẠO

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:



ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 03.04.1.046.A745

Vậy miền hội tụ là (2, 4]

IỄ N

 13 11  Vậy miền hội tụ là   ,   3  3 Bài 03.04.1.047.A745

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:



n  4  x  1

n 1

  1

 1 n 

n phân kỳ do lim

n 1

n  .

TR ẦN

Vậy miền hội tụ là  5, 3

10 00

Bài 03.04.1.048.A745

n 1



 2x  1

n 1

5n n



Ó -H

xét:

-L

lim n an  lim

n 

 x  2

 x  2 

x2

ÁN

Với an



Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa: Lời giải:

n 

U .Q

 1  5  x  3, bán kính hội tụ R  4.

 0 nên chuỗi hội tụ với mọi x.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



x 1

n 1 x 1  n  n 4 lim

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 x  5 Tại  chuỗi x  3

hội tụ khi

x 1

Đ ẠO

n 1

n  x  1



n  4  x  1



Chuỗi

n 1

H Ư

a  n  1 x  1 lim n 1  lim n  a n  4 n 1 n

http://daykemquynhon.ucoz.com

n n x  1 xét: n  4

Với an 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải:

ÀN

Vậy bán kính hội tụ R  , miền hội tụ là  ,  

IỄ N

Bài 03.04.1.049.A745 Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:



Lời giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com



Tại x  3 chuỗi

1 n

n 1

Tại x  2 chuỗi

phân kì do  





 1

Y U .Q TP

Đ ẠO

hội tụ theo Leibnitz.

n 1

Vậy miền hội tụ là [  2, 3)

Bài 03.04.1.050

1 1 2

-H

 1  x  2 



n 1

Cho chuỗi lũy thừa:



(*)

-L

n 1

n.2n

ÁN

a) Tìm miền hội tụ của chuỗi (*). 

b) Tính tổng của chuỗi

 nx

trong miền hội tụ của nó.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



5 2

bán kính hội tụ R 

5 1 5  x    2  x  3 , 2 2 2

5n n

1 

H Ư

n 1

2x  1

hội tụ khi

TR ẦN



Chuỗi

 2x  1

10 00



n 1

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

n 

2x  1 1  11/ n 5

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2x  1

 lim

n n 1

n 1

2x  1 2 x  1 an 1  5n n lim  lim n 1 .  lim n n  a n  5 n  5 n  1  2 x  1 n

xét:

5n n

Với an

 2 x  1 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

Lời giải: a) Ta có: un  x 

 1  x  2   n 1

n.2n

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

1 x2 x2  C 2 n x

n.2n

n 1





 1

n 1





n 1

TR ẦN

n 1

Ta có: S  x    nx n   nx n 1.x



H Ư

b) Ta tìm được khoảng hội tụ là  1, 1 

. 1

n 1

Vậy miền hội tụ là  4, 0



n 1

n 1



dt    nt

 nt

n 1

S1  t  dt  

x 

n 1

-H



10 00

Đặt S1  x    nx n 1 , lấy tích phân 2 vế trên đoạn 0, x  ta được: n 1

Đạo hàm 2 vế của (**) ta được S1  x  

n 1

1  x 

ÁN

-L



dt   t n 

n 1

 x , x 1 2  Vậy S  x    1  x   1, x  1 

1 (**) 1 t

 1

N Ơ H

n

hội tụ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

. 2 

hội tụ

n 1

n 1



 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



 1



IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Tại x  2  2 ta có chuỗi

.2n

n.2n

n 1



n 1



 1

Tại x  2  2 ta có chuỗi



x2  0  4  x  0 2

Theo tiêu chẩn cauchy nếu hội tụ khi C  0 tức là

n 

n  n

Đ ẠO

Tính lim n un  x   lim

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 03.04.1.051 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của ln 1  x  Lời giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Miền xác định x  1.

1 ở đó đặt f  x   ln 1  x  . 1 x

f ' x  

xn x 2 x3 x 4  x     ....., n 2 3 4

x 1

TR ẦN

n 1

n 1

Bài 03.04.1.052

10 00

Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của tan 1 x.

 f  x 



-H

Đặt f  x   tan 1 x, 

Lời giải:





ÁN

-L

  1 1 n 2n 2 n Có f '  x        x x , x 1 1       1  x2 1    x2  n 0 n 0

2 n 1   x  dt n 2n  n x 2n n x f '  t  dt        1 t  dt    1  t dt    1 0 1 t2 0 0 2n  1 n0 n0  n0  x

ÀN



IỄ N

tan 1 x  tan 1 0    1 n0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP



Do f  0   0 nên có ln 1  x     1

n0

n 1 x  1 t  dt    1   n 1 n0 

n n

Đ ẠO

Khi đó f  x   f  0    



   n f '  t  dt      1 t n  dt 0  n0  x

H Ư



Có

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

  1 1 n n f ' x        x     1 x n 1  x 1    x  n0 n0

x 2 n 1 x3 x5 x 7  x     ...., x  1 2n  1 3 5 7

x 2 n 1 x3 x5 x 7  tan x    1  x     ...., x  1 2n  1 3 5 7 n0 1



Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 03.04.1.053 1 2

1  x 

Biểu diễn chuỗi lũy thừa của hàm

xn  n 1 n

H Ư

Lời giải:

TR ẦN

Có R  1, chuỗi hội tụ với x  1.

 x n 1  n 1 xn 1  x  Đặt f  x    có f '  x    n n 1 x n 1 n 1 n 1 n

dt , x 1 0 1 t

f '  t  dt  

10 00



-H

f  x   f  0   ln 1  x  , x  1

ÁN

-L

 f  x    ln 1  x  , x  1 Bài 03.04.1.055

n x 2

n 1

ÀN

Tính tổng của chuỗi lũy thừa



DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



Tính tổng của chuỗi lũy thừa

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Bài 03.04.1.054



1  x 

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Có

d  1  d   n   n 1  n       x    nx    n  1 x , x  1 dx  1  x  dx  n  0  n 1 n 0

Lời giải:

IỄ N

Lời giải: R  1, chuỗi hội tụ về f  x  , x  1.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com



n 1

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

f  x    n2 x n   x.n2 x n 1  xg  x 

d n 1 d  d    n 1 g  x     n  1 x    n  1 x    n  1 x   x  n  1 x n  dx dx n  0 dx  n  0 n 0 n 0  

TR ẦN

Bài 03.04.1.056 

10 00

xn , x   1, 1 Tính tổng của chuỗi  n 1 n  n  1 n  2 

Lời giải: 

-L

-H

1 1 1  n 1 1 S  x   .   . x n 1 2 n  2  n 1  2 n 1  xn  xn 1  xn      2 n 1 n n 1 n  1 2 n 1 n  2

ÁN

1 1  x n 1 1 1  x n  2   ln 1  x     .  , x   1, 1 \ 0 2 x n 1 n  1 2 x 2 n  0 n  2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x  x2

1  x 

H Ư

Vậy f  x  

1  x 

d  x  1 x  g  x     dx  1  x 2  1  x 3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n0

Đ ẠO



Mặt khác có:   n  1 x n 

1 1  xn 1  xn   ln 1  x     2  2 x n2 n 2x n2 n

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



Với

1 1 1  x2    ln 1  x     ln 1  x   x   2   ln 1  x   x   2 x 2x  2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1  3 1 1 1  S  x       2  ln 1  x    , x   1, 1 \ 0 4 2x  2 x 2x  

0n 0 Với x  0  S  0    n n  1 n  2    n 1

Lời giải:

 n  1  1 x  3 S  x    n  1! n 1 n 1 n 1   x  3 x  3     n ! n 1 n 1  n  1! n n 1  x  3  1   x  3 1   ,  2   x  3 n 1 n! n 1 !    x 3  n 1   n 1

x3

10 00

TR ẦN



H Ư

Miền hội tụ D  , có:

n.0n 1 1  2 n 1  n  1!

-H



-L

Với x  3  S  3  

ÁN

Bài 03.04.1.058



Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối của

  1 n0

2 n 1

x 2 n 1  2n  1!

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

n 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

  n  1!

Tính tổng của chuỗi lũy thừa

n 1

n  x  3



ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 03.04.1.057

IỄ N

Lời giải: Đặt an   1

2 n 1

x x 2 n 1   2n  1!  2n  1!

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

x x a  2n  1!  n  .  0 Ta có: n 1  2 n 1 an  2n  3 ! x  2n  2  2n  3 2n 3

N TP   1

n 1

 x  2

an 

x2

n0

TR ẦN

, x  2

10 00

-L

ÁN

  1

Vậy

n 1

 1  x  x  2  x  1

Với x  1 thì an  1 nên 

x2

 1  x  x  2  x  1

x2 x



an 

 x  2

-H

Đặt an   1

n 1

H Ư

Lời giải:

Có

n0

Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối của



Đ ẠO

Bài 03.04.1.059

 x  2



a n0

phân kỳ.

hội tụ tuyệt đối khi và chỉ khi x  1

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

n0

x 2 n 1 hội tụ tuyệt đối tại mọi x  .  2n  1!

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

  1

2 n 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Hay

Ơ H



n0

hội tụ với mọi x 

a



Vậy

IỄ N

Bài 03.04.1.060.A746 

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi

n  b  x  a n 1

, b0

Lời giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

n n x  a  , b  0 xét: n  b xa  1 xa lim 1      n n b  n b n xa

N Ơ

n 1

xa R  b n n hội tụ khi  1  x  a  b  x  a     n b n 1 b a  b  x  a  b

H Ư



Bài 03.04.1.061.A746

TR ẦN

bn n Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi   x  a , b  0 n  2 ln n

Lời giải:

10 00

b n1  x  a  an1 lim  lim n a n ln  n  1 n

n 1

ln n

bn  x  a 

-H

bn n Với an   x  a  , b  0 xét: ln n

ln n .b x  a  b x  a n ln  n  1

 lim

ln n ln x H 1/ x x 1 H 1  lim  lim  lim  lim  1 n ln  n  1 n ln  x  1 x  1 /  x  1 x  x  1 x 

ÁN

-L

Do lim

 ln n  x  a 

ÀN

n2

IỄ N

1 Tại x  a  chuỗi b

1  R  1  b hội tụ khi b x  a  1  x  a    1 1 b  a  xa  b b



1 phân kỳ do  n 2 ln n

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú



 n phân kỳ mà n2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Vậy miền hội tụ là  a  b, a  b 

Chuỗi

Đ ẠO

n

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n

Tại x  a  b,lim an  lim n   nên chuỗi phân kỳ.

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



Chuỗi

 n  1 x  a a lim n1  lim n a n b n1 n

Với an 

1 1  , n2 ln n n

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

 1





hội tụ theo chuẩn Leibnitz

ln n

n2

 1 1 Vậy miền hội tụ là  a  , a   b b 

Với an  n! 2x  1 xét:

n     lim  n  1 2 x  1   khi  1 n  x  2

H Ư

n 1

TR ẦN

a  n  1! 2x  1 lim n1  lim n n a n n! 2 x  1 n

10 00

1 1  Vậy chuỗi phân kỳ với mọi x  , bán kính hội tụ R  0, miền hội tụ D    2 2

Bài 03.04.1.063.A746



-H

n2 x n Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi  n 1 2.4.6....  2 n 

-L

Lời giải:

ÁN

n2 xn n2 xn nx n   Với an  xét: 2.4.6... 2n  2n n! 2n  n  1!

ÀN Đ IỄ N

n 1

2n  n  1! nx

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

Đ ẠO

Lời giải:

 n  1 x a lim n1  lim n a n 2n1 n! n

 n! 2x  1 n 1

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi

Bài 03.04.1.062.A746

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1 Tại x  a  chuỗi b

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

n 1 x 0 n n 2 2

 lim



n2 x n Vậy chuỗi  hội tụ với mọi x  , n 1 2.4.6....  2 n 

bán kính hội tụ R  , miền hội tụ D   ,  

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 03.04.1.064.A746 Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi



5x  4 n3

n 1



N Y

xét n 1

Đ ẠO

 5 x  4 .1  5 x  4



H Ư

n 1

3 Tại x  chuỗi 5



 n 1

hội tụ do   3  1

n

 1 n3

10 00

Tại x  1 chuỗi

TR ẦN

n 1

5x  4

hội tụ theo Leibnitz.



1  R  4 1  5 hội tụ khi 5 x  4  1  x     5 5 3  x 1  5

-H



Chuỗi

 1 

ÁN

-L

3 Vậy miền hội tụ là  , 5

Bài 03.04.1.065.A746 

ÀN

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi

x2n

 n  ln n 

n2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

a  5 x  4  . n3  lim 5 x  4  n   lim 5 x  4  1  lim n1  lim     3 n n a n  n  1  n 11/ n   n  1  5 x  4  n n

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

5x  4 

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Với an

Lời giải:

IỄ N

Lời giải: Với an 

x2n n  ln n 

xét:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

n  ln n  n  ln n  an1 x 2 n 2 lim  lim .  x 2 lim  x2 2 2 2 n n  a n n x n  n  1 ln  n  1  n  1 ln  n  1

n2

hội tụ.

Đ ẠO

Vậy miền hội tụ là  1, 1

Bài 03.04.1.066.A746 

TR ẦN

H Ư

xn Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi  n 1 1.3.5...  2 n  1

10 00

xn Với an  xét: 1.3.5... 2n  1

Lời giải:

x 1.3.... 2n  1 an1 x n1 lim  lim .  lim  0 1 n a n 1.3...  2n  1 2n  1 n 2n  1 xn n

-H

Vậy bán kính hội tụ R  , miền hội tụ là  ,  

-L

Bài 03.04.1.067.A746



ÁN

n! x n Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi  n 1 1.3.5...  2 n  1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 n  ln n 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



http://daykemquynhon.ucoz.com

Ơ N

Tại x  1  x 2 n  1 chuỗi Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

hội tụ khi x 2  1  x  1, bán kính hội tụ R  1.

n2

 n  ln n 

Chuỗi

x2n



ÀN

Lời giải:

IỄ N

Với an 

n! x n xét: 1.3.5... 2n  1

n  1! x n1 1.3.... 2n  1  n  1 x  1 x an1  lim  lim .  lim n a n 1.3.... 2n  1 2n  1 n 2n  1 n! x n 2 n

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com



1 n! x n Chuỗi  hội tụ khi x  1  x  2, bán kính hội tụ R  2. 2 n 1 1.3.5...  2 n  1

Ơ H N

 n! x n Với k là số nguyên dương, tìm bán kính hội tụ của chuỗi  n 0  kn ! k



 n! x n Với an   kn !

H Ư

Lời giải:

TR ẦN

xét:

 x  1!  kn ! a  n  1 x  lim x lim n1  lim  k n a n   n!  k  n  1! n  kn  k  kn  k  1... kn  2  kn  1 n k

10 00

-L

-H

  n  1  n  1  n  1  x  lim  ....  n  kn  1  kn  2   kn  k     n 1   n 1   n 1   lim  x lim  ...lim    n kn  1 n kn  2     n  kn  k  k

ÁN

1    x 1 x  kk k

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Bài 03.04.1.068.A746

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

Vậy miền hội tụ là  2, 2 

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nên tại biên chuỗi đều phân kỳ. Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1.2.3...n 2n n!2n 2.4.6...2n  Tại x  2, an    1 1.3.4.... 2n  1 1.3.5.... 2n  1 1.3.5... 2n  1

ÀN

Vậy bán kính hội tụ là R  k k

IỄ N

Bài 03.04.1.069.B173

Tìm miền hội tụ và tính tổng của các chuỗi lũy thừa có số hạng tổng quát:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1) un  x    3n  1 x 3n , n  1

4) un  x   chna.x n , a  0

2) un  x    2  3  x , n  0

5) un  x    1

n 1

x n1 , n 1 n

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

n 2  3n  1 x n 3) un  x   . , n0 n3 n!

n 1



x4  x x  1  x3 n 0 3n

x

3 n 1

H Ư



chuỗi cũng là x  1. Ta có:

TR ẦN

Do đó với x  1, ta có:

 x 4  4 x3  x 6 3n   3n  1 x    2 3  1  x n 1   1  x 3 

10 00



2)  2  3  x   2 x    3 x  . Chuỗi n

-H

-L

Nó hội tụ nếu 2 x  1 tức là x 



 2x 

là một cấp số nhân có công bội 2x

n 0

1 1 và có tổng là . Chuỗi 2 1  2x



  3x 

là một

n 0

1 và có tổng là 3 1 1 1 1 . Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là x  . Tổng của nó là  . 1  3x 3 1  2 x 1  3x

ÁN

cấp số nhân có công bội 3 x, nó hội tụ nếu 3x  1, tức là x 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

số nhân công bội x 3 , do đó nó hội tụ với x3  1, tức là x  1. Vậy miền hội tụ của

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

1)  3n  1 x3n là đạo hàm của x3n1. Chuỗi có số hạng tổng quát là x3n1 là một cấp

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải:

IỄ N

 nx n v x   n   n! 1  xn  3) Có un  x    n    vn  x   w n  x  trong đó  n n  3  n!  w  x   1 . x  n n  3 n!

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 xn x n1  x hội tụ x  . và có tổng là xe x . n 1  n  1! n 1  n  1!



Chuỗi  vn  x   

1 x n 3 1 1 x 2 t n . .  t dt. x3 n  3 n! x 3 0 n!



Y U .Q



xn hội tụ x   n ! n 0

và có tổng là e x nên ta được:

Đ ẠO

Vì chuỗi lũy thừa



TR ẦN

1 x 2 e  x  2 x  2   2 3 

 w  x  x n 0

H Ư

Bằng phương pháp tích phân từng phần ta được:

1 x 2  tn 1 x wn  x   3  t  dt  3  t 2et dt , x  0  x 0 n 0 n ! x 0 n 0

10 00

Tóm lại chuỗi lũy thừa đã cho hội tụ x  0 và có tổng là 1  x 2 e  x  2 x  2   2  x3 

xe x 

an1 e   e  lim  lim n a n ena  e na n n 1 a

 n 1a

 ea .

ÁN

-L

-H

4) Có un  x   an x n trong đó an  chna. Ta có:

Do đó R  e a . với x  e  a , ta có:

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1  x 2 tn Do đó:  w n  x   3   t . dt x n 0 0 n! n 0

ÀN

 ena  e na  n 1 un  e a   e na chna  e na    0  chuỗi phân kỳ.   2 2  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ta có: w n  x  

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n 0

IỄ N

Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là  e a , e a  Ta có: un  x  

n n 1 na 1 e  e  na  x n   e a x    e  a x     2 2 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Với x  e a , ta có: ea x  1, e a x  1.

1 1 1 1 ; 2 1  xea 2 1  xe a

N 

  1 n 1

Y U .Q

N TR ẦN

n 1

n 1

1 hội tụ theo Leibnitz. n

10 00

Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là 1  x  1.

Gọi f  x  là tổng của chuỗi lũy thừa với x  1. Ta có: n 1 x x 2 x3 n 1 x    ...   1  ... 2 3 4 n

-H

f  x  1

-L

n x 2 x3 x 4 n 1 x Do đó xf  x   x     ...   1  ...  ln 1  x  2 3 4 n

ln 1  x  x

ÁN

Vậy f  x  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 n phân kỳ

Tại x  1 ta có chuỗi đan dấu

1 . Dễ dàng thấy rằng R  1. n

H Ư

Tại x  1 ta có chuỗi số



n 1

5) un  x   an x n1 , trong đó an   1

Đ ẠO

a a 1 1 1  1 2  x e  e  1  xcha    a  a 2 1  xe 1  xe  2 1  xea 1  xe a  1  x 2  2 xcha

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Vậy tổng của chuỗi đã cho là

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

chúng hội tụ và có tổng là

Chuỗi lũy thừa đã cho là tổng của hai cấp số nhân vô hạn có công bội là ea x, e a x,

Bài 03.04.1.070.B173

IỄ N

Khai triển thành chuỗi lũy thừa ở lân cận điểm x0  0 các hàm số sau:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1) f  x   chx;

2) f  x   x 2e x

3) f  x   sin 2 x;

3) f  x  

5) f  x   ln  x 2  5 x  6  ;

6) f  x    cos  t 2  dt

1 1 x , x0  ln 7) f  x    x 1  x 2 x0

8) f  x   e x cos x

1 x 2  3x  2

TR ẦN

H Ư

n  1  x x2 xn x x2 1 n x  1    ....   ....   1    ...   1  ...  n! n! 2  1! 2!  2  1! 2!  x2 x4 x2n  1    ...   ..., R  . 2! 4!  2n!

10 00

  x x2 xn 2) f  x   x 2e x  x 2 1    ...   ...  n!  1! 2! 

x3 x 4 x n 2  x    ...   ..., R  . 1! 2! n!

-H

1  cos 2 x 2

ÁN

-L

3) f  x   sin 2 x 

2 4 2n  1    2x  2x n 2x  1  1    ...   1  ...   2   2! 4!  2n !    n 1 2 n 2 x 2 23 x 4 x n 1 2    ...   1  ..., R  . 2! 4!  2 n !

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 x e  e x   2

1) f  x   chx=

Đ ẠO

Lời giải:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

4) f  x  

1 1 1   x 2  3x  2 1  x 2  x

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

1  1  x  x 2  ...  x n  ... với x  1. 1 x



x 1 x 1 x  x ln 1         ...     ..., x  2 2 2 2 n 2  2 2

TR ẦN

Mà

H Ư



10 00

x 1 x 1 x  x ln 1         ...     ..., x  3 3 2 3 n 3  3

-H

 1 1 1  Vậy f  x   ln 6    n  n x n , x  2. 3  n 1 n  2 4n x 4 x8 n x  ..., R  . 6) f '  x   cos x  1    ...   1 2! 4!  2 n !

-L

ÁN

Do đó f  x   x 

x5 x9 x 4 n1 n   ...   1  ..., R  . 2!5 4!9  2n ! 4n  1

Ơ H N Y U

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 x  x Do đó: f  x   ln x 2  5 x  6  ln 6  ln 1    ln 1    2  3

Đ ẠO

1  1  1 1    1  2  x  1  3  x 2  ...  1  n1  x n  ..., R 1. 2  2   2   2 

 x  x  5) Ta có: x 2  5x  6  6 1  1    2  3 

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Do đó f  x  

2 n  1 1 1 1 x  x  x  .  1      ...     ... với x  2. 2  x 2 1  x 2  2  2  2  2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Mà

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

ÀN

7) Ta có với x  1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

n x 2 x3 n 1 x   ...   1  ... 2 3 n x 2 x3 xn ln 1  x    x    ...   ... 2 3 n   1 x x3 x5 x 2 n1 ln  ln 1  x   ln 1  x   2  x    ...   ...  1 x 3 5 2n  1  

N Ơ H N Y

Cả hai vế đều liên tục tại x  0, đều có giá trị bằng 2 tại x  0.

1i  x



TR ẦN



e x cos x  R e e

8) Ta có:





 2

cos

n 0



10 00





 

Do đó e x cos x  

-H

ez  

 2 e n



ÁN

-L

n 0

cos



Ta cũng được e x sin x  

Đặt z  1  i  x  2e 4 x. Ta được: i

H Ư

Do đó khai triển trên cũng đúng tại x  0.

n 0

n n x  i 4 n 0 

 2

sin

n n x . 4

n n x , x  . 4

 

sin

n n x , x  . 4

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

  1 1 x x2 x4 x2n f  x   ln  2 1    ...   ...  x 1 x 3 5 2n  1  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

Do đó với x  1, x  0 ta có:

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ln 1  x   x 

Bài 03.04.1.071.B174

IỄ N

Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa có số hạng tổng quát là n2

n 1  un  x   1   1  x n n 

Lời giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

  . Ta có:  

  1n  an  1   .   n  

Ơ H N Y 1 p    . e

Vậy chưa thể kết luận được gì. 

a p 1

2 p 1

x 2 p1

x ,

H Ư

p 1

a

Bây giờ ta xét riêng hai chuỗi lũy thừa

 p  a2 x 2  a4 x 4  ...  a2 p x 2 p  ' p  a1 x  a3 x3  ...  a2 p1x 2 p 1

TR ẦN

Đặt



10 00

a

1 2



1 2 2p

 e e  a2 p x

e



1 2

 ex 

Vậy chuỗi lũy thừa



e

2 p

1 1 x 2 p hội tụ khi ex  1  x  , phân kỳ nếu x  e e

e

 1  1  1 4 p2   0  2 p 8 p 2  p 2     

-H

a2 p  e

 1  4 p 2 1   2p

Dùng công thức khai triển hữu hạn của hàm số ln 1  x  khi x  0, ta được:

p 1

1 2  2 p 1

ÁN



-L

Tương tự ta được: a2 p 1 ~ e e

 a2 p 1 x

ÀN

Vậy chuỗi lũy thừa

2 p 1



a p 1

2 p 1

x ~  e

2 p 1

khi p  .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

a2 p 1

2 p 1

Nếu n  2 p  1,

 1   1    2 p 1

a2 p

Đ ẠO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Nếu n  2 p,

 1  p   1   e.   2 p  

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

  1 un  x   an x n trong đó an  1  n 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

x 2 p 1 hội tụ tuyệt đối nếu x  e, phân kỳ nếu x  e.

IỄ N

Như vậy: 1  Nếu x  , các tổng riêng  p ,  ' p dần tới những giới hạn  ,  ' hữu hạn e khi p  . Nếu gọi sn là tổng riêng thứ n của chuỗi đã cho thì

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

S2 p   p   ' p dần tới    ' khi p  ; S2 p1   p   ' p1 cũng dần tới 

a x

n 1

đã cho hội tụ.



n 1

N H Ư

1) Chứng minh rằng nếu có một số nguyên dương n0 sao cho an  bn , n  n0 thì

TR ẦN

R  R '.

2) Chứng minh rằng nếu an ~ bn khi n   thì R  R '.

10 00

3) Tính bán kính hội tụ của các chuỗi lũy thừa có số hạng tổng quát sau: chn n x ; sh 2 n 1   b)un  x   arccos 1  2  x n ;  n  a)un  x  

c)un  x  





n  1  n n xn





-H

d )un  x   cos  n 2  n  1 x n

ÁN

-L

Lời giải:

1) Nếu x  R ', chuỗi



b x

n 1

hội tụ tuyệt đối. Nhưng vì an  bn , n  n0 ,

nên an x  bn x , do đó chuỗi n



a x n 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



 an xn ,  bn xn có bán kính hội tụ theo thứ tự là R, R’

Cho hai chuỗi lũy thừa

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Đ ẠO

Bài 03.04.1.072.B174

1  Vậy bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là R  . e

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1  Nếu x  , a2 p x 2 p không dần tới 0 khi p  , vậy an không dần tới 0 khi e n  , chuỗi đã cho phân kỳ.

   ' khi p  . Do đó chuỗi lũy thừa

cũng hội tụ tuyệt đối. Suy ra R '  R.

IỄ N

2) Vì an ~ bn khi n  , nên tồn tại số nguyên dương n0 sao cho với n  n0 ta có

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 an  bn  2 an 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Do 1), từ bất đăng thức đầu tiên ta có R '  R, từ bất đẳng thức sau ta có R  R '. Vì vậy R  R '.

N Ơ H Y

H Ư

Đ ẠO

n   1    b) un  x   an x n , trong đó an  arccos 1  2  . Khi  do đó: 1   arccos 1   0  n   2    n   1

TR ẦN

2 1   1  1    1  2    2 arccos 1  2  ~ sin  arccos 1  2    1  cos arccos 1  2   1  1  2    n   n   n    n    1

10 00

2 1 2 2 1 2  1     1 1  2  0  2  ~ .  2   n  2n  n  4n  n  n

 n 1

2 n x bằng 1, n

thừa

-H



Bằng quy tắc D’Alembert, dễ dàng nhận thấy rằng bán kính hội tụ của chuỗi lũy

-L

Vậy bán kính hội tụ của chuỗi đã cho bằng 1.

ÁN

c) un  x   an x n , trong đó:

 n  1  1n ln n  1n ln1 1n   an  n  1  n  n  n  1  e . e  1   n     n

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Vậy R  e.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n

bn1 1  . bn e

lim

2 , ta có: en

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đặt bn 

chn 2en 2 Ta có: . an ~ 2 n  n khi n  . sh 2 n e e

3) a) un  x   an x n trong đó an 

IỄ N

1 ln n 1  1 1 Khi n  , ln n  0  e n  1. Vì ln 1    0 khi n  , nên: n n  n

1  1 ln 1  n  n

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 ~

1  1 1 ln 1   ~ n  n  n2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 Vậy an ~ 2 khi n  , mà bán kính hội tụ của chuỗi n



xn bằng 1.  2 n 1 n

H N



Đ ẠO

2   1 1 2  1 1 1  1 1 1  1 3  1   1 1   2  2  1   2   1    2     2   0    2    1  2 n n  8 n n  2n 8n  n   n n   n n  

H Ư

  3 n 1 3  1  khi n  . Do đó an  cos   n    0    ~  1 2 8n 8n  n  

  1 n 1

n 1

10 00

chuỗi đã cho bằng 1.

3 bằng 1, vậy bán kính hội tụ của 8n

TR ẦN



Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

Bài 03.04.1.073.A751

1 rồi tìm miền hội tụ của chuỗi 1 x

-H

Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x  

Lời giải:

ÁN

-L

  1 1 n n f  x       x     1 x n ,  x  1  x  1 1  x 1    x  n 0 n 0

Vậy bán kính hội tụ R  1, miền hội tụ I   1, 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

Mà:

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



1   2 1 1   2 n  d) un  x   an x , trong đó: an  cos  n  n  1  cos  n 1   2     n n    

Vậy bán kính hội tụ của chuỗi đã cho bằng 1.

Bài 03.04.1.074.A751

IỄ N

Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x  

5 rồi tìm miền hội tụ của 1  4x 2

chuỗi Lời giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

  5  1  2 n  5  5 4 x  5 4n x 2 n .      2 2  1  4x  1  4 x  n 0 n 0

1 1  x 4 2

Chuỗi hội tụ khi 4 x 2  1  x 

H N Y

x 1 x  3 3

H Ư

Chuỗi hội tụ khi

TR ẦN

2 2 1  2   x  f  x        3  x 3  1  x / 3  3 n 0  3 

Lời giải:

10 00

Vậy R  3, I   3, 3

Bài 03.04.1.076.A751

1 rồi tìm miền hội tụ của chuỗi x  10

-L

-H

Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x   Lời giải:

ÁN

 1   x n 1 1 1 f  x          hay x  10 10  1    x / 10   10 n0  10 

  1 n 0

1 n x 10n1

x  1  x  10 10

IỄ N

Chuỗi hội tụ khi



DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q 2 rồi tìm miền hội tụ của chuỗi 3 x

Đ ẠO

Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x  

Bài 03.04.1.075.A751

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1  1 1 Vậy R  , I    ,  2  2 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Có f  x  

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy R  10, I   10, 10  Bài 03.04.1.077.A751

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x  

x rồi tìm miền hội tụ của chuỗi 9  x2

H N Y TP Đ ẠO

2 x2 2  x Chuỗi hội tụ khi     1  1 x  9  x  3 9 3

TR ẦN

H Ư

Vậy R  3, I   3, 3  Bài 03.04.1.078.A751

10 00

Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x   chuỗi

2x  1

rồi tìm miền hội tụ của

Lời giải:

x 2

-H

   1 2 n   f  x  2 x  x  2 x   hay tương đương   1   2 x 2   2x  1 n 0  

-L

ÁN

Chuỗi hội tụ khi 2x 2  1  x 2 

  1

2n x 2 n1

n 0

1 1 x 2 2

1 1   1 , I   ,  2 2 2 

ÀN

Vậy R 



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



2 2n 2 n 1  x  x  x  n x n x           1 n    1 n1 9 n0   3   9 n0 9 9 n 0 

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



   

 x x x 1 1 f  x      2 2 9 x 9 1   x / 3  9 1    x / 32 

Lời giải:

IỄ N

Bài 03.04.1.079.A751 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x  

1 x rồi tìm miền hội tụ của chuỗi 1 x

Lời giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

f  x 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

     1 x  1  n n n 1 n  1  x    1  x x  x  x  1  x  xn         1 x 1 x  n 0 n 0 n 0 n 1 n 1 

 1  2 x n

Cách 3 f  x  

1 x  1  2 3  1  x     1  x  1  x  x  x  ... 1 x 1 x 

  1  x  1  x   2  1  n   1  2    1  2 x  1  2 xn    1 x 1 x 1 x  n 0 n 1

10 00

.Q TP

Bài 03.04.1.080.A751

Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x  

-H

x2 rồi tìm miền hội tụ của a3  x3

Lời giải:

ÁN

-L

 x2 x2 1 x 2   x3  x3n2 f  x  3  .      a  x 3 a 3 1  x 3 / a 3 a 3 n  0  a 3  n  0 a 3 n 3

x3 Chuỗi hội tụ khi 3  1  x3  a 3  x  a a

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Vậy R  1, I   1, 1

chuỗi

TR ẦN

Chuỗi hội tụ khi x  1

H Ư

n 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



 1  2 x  2 x 2  2 x3  ....  1  2 x n

Đ ẠO

 1  x  x 2  x3  ....   x  x 2  x3  x 4  ...

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Cách 2 f  x  

n 1

IỄ N

Vậy R  a , I    a , a  Bài 03.04.1.081.A752 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x   ln  5  x  rồi tìm bán kính hội tụ.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải:

   x n      dx  n0  5  

dx 1 dx 1 f  x   ln  5  x         5 x 5 1 x / 5 5

 1  x n1 xn C   n C n 5 n0 5  n  1 n 1 n5

x     x x 1      2n  1    1 3 2 n 1



TR ẦN

f  x   x 2 tan 1

H Ư

Lời giải:

n 0

6 n 5 x6 n32  n x    1 2n  1 n  0 2n  1

10 00

Chuỗi hội tụ khi x3  1  x  1 nên R  1.

Bài 03.04.1.083.A752

rồi tìm bán kính hội tụ.

ÁN

 1 1 n     4x  1  4 x 1   4 x  n0

Đ IỄ N

1  4 x 

-L

Lời giải: Ta có

-H

Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x  

f  x 

4



1  4 x  x

1  4 x 

   4  nx n

n 1

n 1



   4 

n 1

 n  1 x n

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x   x 2 tan 1  x3  rồi tìm bán kính hội tụ.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q Đ ẠO

Bài 03.04.1.082.A752

Mặt khác

Chuỗi hội tụ khi x / 5  1  x  5 nên R  5.

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Chọn x  0  C  ln 5.

nên:

n 0

 x 4 x  n 1 n n  .   4   n  1 x    1 4n  n  1 x n1  2 4 1  4 x  4 n 0 n 0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Chuỗi hội tụ khi 4 x  1  x 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 1 nên R  . 4 4

Bài 03.04.1.084.A752

 1  n  2  n  1 x n n2   n1 n  n  1 x   2 n 3 n2 2 n 0 

2  x

Do đó,

x3 x3 2 x3   n  2  n  1 n   n  2  n  1 n3  x  f  x    .   x  x   3 2  2  x 3 2 n0 2 n 3 2n  4  2  x  2  x n 0

10 00

x  1  x  2 nên R  2. 2

-H

Với

Bài 03.04.1.085.A752

-L

1 x

Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x  

rồi tìm bán kính hội tụ.

ÁN

1  x 

Lời giải:

Đ IỄ N



1  x 

 1  2 x  3x  ...   nx 2

Do đó, f  x  

n 1

n 1

1 x

1  x 



1  x 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

2  x



H Ư



 d   1 1 d  1  n 1 nx     n1 nx n1    2 n 1 dx   2  x   dx  n1 2 n 1 2  

TR ẦN



Ta có

 1 1 1   x 1 d  1  d   1 n Có        n1 x n    x  2  x 2 1  x / 2  2 n0  2  n0 2 dx  2  x  dx  n0 2n1 

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 x  Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x     rồi tìm bán kính hội tụ. 2 x



   n  1 x n n 0



1  x 



   n  1 x    n  1 x n1 n

n 0

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com



n 0

n 1

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

   n  1 x n   nx n 



n 1

n 0

 1    n  1  n  x n  1    2n  1 x n    2n  1 x n

Vậy R  1.

Lời giải:

1  x 



n 1

n 0



 1  2 x  3x 2  ...   nx n1    n  1 x n

H Ư

Ta có

x2  x

1  x 





10 00

Do đó f  x  

TR ẦN

 d  1  d   2 n     n  1 x      n  1 nx n1 Nên  2  3 dx  1  x   dx  n0 n 1  1  x 

1  x 



x2 2 x 2 .  . 3 2 1  x  2 1  x 3

-H

 n  1 n n1   n  1 n n x2  x   n 1 n 1    n  1 nx    n  1 nx   x  x 2 n1 2 n1 2 2 n 1 n 1

-L

n  n  1 n   n  1 n n  x  x 2 2 n2 n 1

ÁN



   n2  n n n2  n n x x x  x   n2 xn   n2 xn 2 2 n2 n2 n2 n 1 



DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

rồi tìm bán kính hội tụ.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

U 1  x 

x2  x

Đ ẠO

Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x  

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 03.04.1.086.A752

IỄ N

Vậy R  1.

Bài 03.04.1.087.A752 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x  

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x rồi tìm bán kính hội tụ. x  16 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải:

N Ơ H N Y

Bài 03.04.1.088.A752

H Ư

Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x   ln  x 2  4  rồi tìm bán kính hội tụ.

TR ẦN

Lời giải:

10 00

2 n 1  x   x 2 n  2x 2x  1 n x        1 Ta có: f '  x   2       22n1 x  4 4  1    x 2 / 4   2 n 0  4  n 0  

Nên

-H

f  x  

  x 2 n1 x 2 n2 x 2 n2 n n  ln 4    1  1 2 n1 dx  C    1 2 n1  2 2  2n  2   n  1 22 n2 n 0 n 0 n 0 

-L

Chọn x  0  f  0   ln 4  C  ln 4.

ÁN

x2 Chuỗi hội tụ khi   1  x 2  4  x  2. 4

Vậy R  2.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Vậy R  4.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

x2 Chuỗi hội tụ khi   1  x 2  16  x  4 16

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 x   x 2 n x  x x 1 n 1          1 f  x  2   x2n n 2 x  16 16  1    x / 16   16 n0  16  16 n0 16    1 2 n1 n    1 x 16n1 n 0

Bài 03.04.1.089.A752

IỄ N

1 x  Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x   ln   rồi tìm bán kính hội tụ. 1  x   Lời giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

G N H Ư

TR ẦN

Bài 03.04.1.090.A752

Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa của hàm f  x   tan 1  2 x  rồi tìm bán kính hội tụ.

n 0

  1

n 0

4x 

2 n

dx  2 



  1

4n x 2 n dx

n 0

4n x 2 n1   1 22 n1 x 2 n1  2n  1 2n  1 n 0 n

-H

 C  2

 1



dx  2 1  4x2

f  x   tan 1  2 x   2 

10 00

Lời giải:

ÁN

-L

Do chọn x  0  f  0   tan 1 0  0  C  0.

Chuỗi hội tụ khi 4 x 2  1  x 

1 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2 x 2 n1 với R  1. Vậy ta có chuỗi f  x    n 0 2n  1 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP Đ ẠO

1 Chọn x  0  f  0   ln  0  C  0. 1

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

   n      1 x n   x n  dx   1  x  x 2  x 3  ...  1  x  x 2  x 3  ...  dx n 0  n 0    2 x 2 n1 2 4 2n    2  2 x  2 x  ... dx    2 x dx  C   n 0 n 0 2n  1

dx dx dx dx 1 x  f  x   ln       ln 1  x   ln 1  x    1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 

IỄ N

1 Vậy R  . 2

Bài 03.04.1.091.A752 Áp dụng chuỗi lũy thừa tính tích phân chính xác đến 6 chữ số thập phân:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com



0.2

1 dx 1  x5

Lời giải:

H N Y G

Đ ẠO

Do đó, I  

/ 11  1.9x109

TR ẦN

 0.2 

H Ư

Đây là chuỗi Leibnitz, sử dụng hai điều kiện đầu tiên, độ lệch nhiều nhất

Vậy I  0.2   0.2  / 6  0.199989 6

10 00

Bài 03.04.1.092.A752



0.4

ln 1  x 4  dx

-H

Áp dụng chuỗi lũy thừa tính tích phân chính xác đến 6 chữ số thập phân:

Lời giải:

-L

1 1   1  x  x 2  x3  ... 1  x 1 x

x  1 nên lấy tích phân 2 vế được:

ÁN

Ta có

1 dx   1  x  x 2  x 3  ...dx 1 x n  x 2 x3 x 4 n 1 x  x     ...  C    1 C 2 3 4 n n 1

ln 1  x   



Chọn x  0  C  0  ln 1  x     1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

n 1

n 1

xn n

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

  1 x 6 x11  0.2    0.2   ... dx  x    ...  0.2    1  x5 6 11 6 11  0 0.2

0.2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

IỄ N D





x5 n1  1 x dx  C    1  5n  1 n 0 n 0 

1 dx   1  x5

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

  1 1 n 5 n Ta có:      x     1 x5n 5 5 1  x 1    x  n 0 n 0

x 1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

 x4n x 4 n1 n 1 dx  C    1 n n  4n  1 n 1

n 1

n 1

0.4

 0.4  

N Ơ H N

 0.4  

 0.4  

 ...

Đây là chuỗi Leibnitz, vì thế ta áp dụng hai điều kiện đầu tiên, sai lệch nhiều nhất ở  0.4  / 68  2.5x109.

0.4  

 0.4  

 0.002 034.

Vậy

H Ư

 0.4  I

Đ ẠO

TR ẦN

Bài 03.04.1.093.A752

Áp dụng chuỗi lũy thừa tính tích phân chính xác đến 6 chữ số thập phân: 0.1

x arctan  3x  dx

10 00

 Lời giải:

1 x3 x5 x 7 2 4 6 dx   1  x  x  x  ... dx  C  x    1  x2 3 5 7

-H

Có tan x   1

x 2 n1 Chọn x  0  C  tan 0  0 nên: tan x    1 2n  1 n 0 1





ÁN

-L

1



x arctan  3x  dx   x   1

Do đó:



Đ IỄ N D

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 0.4  

 x5 x9 x13 x17  ln 1  x  dx       ...  5 18 39 68 0 4

Do đó, I  

0.4

n 0

 3x 

2 n 1

2n  1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

  1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



  ln 1  x 4  dx  

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 32 n1 x 2 n 2 32 n1 x 2 n3 n  C    1  1  2n  1  2n  1 2n  3 n 0 n 0 

0.1



0.1

 3x3 33 x5 35 x 7 37 x9  1 9 243 2187 x arctan  3x  dx       ...  3    5 7 9 5.7 7.9  1.3 3.5  0 10 5.10 35.10 63.10

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 9 243    0.000 983. 3 5 10 5.10 35.10 7

Y N

34 n3  4 n 3 n 0  4 n  3  .10

H Ư 0

 1



311  0.000 000 16. 11.1011

-H

là

Đây là chuỗi Leibnitz, vì thế ta áp dụng hai điều kiện đầu tiên, sai lệch nhiều nhất

-L

33 37 Vậy I    0.008 969. 3.103 7.107

ÁN

Bài 03.04.1.095.A752 

a) Bắt đầu với chuỗi

 xn tính tổng chuỗi n 0

b) Tìm tổng các chuỗi sau:

i 



 nx

n 1

x  1.

n 1



 nxn , x  1 n 1

IỄ N D

0.3

10 00

33 37 311 =    ... 3.103 7.107 11.1011

TR ẦN

n    0.3 1 x 4 n3   x2 n 4n 2 dx   x   1 x dx     0 1  x4 4 3 n  n 0 n 0   



0.3

Lời giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

x2 dx 1  x4

Đ ẠO



0.3

Áp dụng chuỗi lũy thừa tính tích phân chính xác đến 6 chữ số thập phân:

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 03.04.1.094.A752

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Vậy I 

Đây là chuỗi Leibnitz, vì thế ta áp dụng hai điều kiện đầu tiên, sai lệch nhiều nhất 2187 là  3.5x108. 9 63.10

 ii 



2 n 1

c) Tìm tổng các chuỗi sau: 

 i   n  n  1 x

, x 1

n2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

n2  n  ii   n 2 n2 



n2  iii   n n 1 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải:

x

n2



 n  n  1 x

N Y U .Q

d   n1  d 1 x nx   x 2   dx  n1 dx 1  x 2 

n2

n2

N 1  x 

, x 1

1  x 

2 1 / 2  n2  n  1   n  n  1     4.  3 n 2  2  1  1 / 2  n2 n2 

1  ii  Thay x  vào ý  i  : 2



2 x2

TR ẦN

H Ư

n2  n2  n  n   n   n  4  2  6.  n 2 2 n 1 n 1 n 1 2 

-H

iii  Từ b  ii  và c  ii  ta có:

10 00

x

Bài 03.04.1.096.A753

ÁN

-L

Sử dụng chuỗi số nhân của tan 1 x chứng minh  là tổng một chuỗi vô hạn 

  2 3 n 0

 1

 2n  1 3n

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 n  n  1 x

 n 1/ 2 1  n   2.     2 n 2 2  1  1 / 2  n 1 n 1 

Đ ẠO



1  ii  Thay x  vào ý  i  : 2

c)  i 

  1  x n n 1 nx  x nx  x , x  1.    2  (từ câu a)  2 1  x 1  x n 1 n 1       

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

b)  i 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n 1

 nx

d n d   n d  1  1 1   x   x     1  , x  1. 2  2  dx  n0  dx 1  x  n 0 dx 1  x  1  x  

n 1



ÀN

Lời giải:

IỄ N

Có tan x   1

1 x3 x5 x 7 2 4 6 dx   1  x  x  x  ... dx  C  x    1  x2 3 5 7 

Chọn x  0  C  tan 1 0  0 nên: tan 1 x    1 n 0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x 2 n1 2n  1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

2 n 1 n

1 1 1    1    3  3 2n  1 n 0 n

 6   1  1 (dpcm)    2 3   n n 3 n0  2n  1 3 n 0  2n  1 3

Đ ẠO G N

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

-H

10 00

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2n  1



1

1 / 3 

n  1   tan     1  6  3  n 0 



1 ta có: 3

Chọn x 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề Chuỗi số và chuỗi đan dấu



n n 7

là chuỗi hội tụ( có thể

H Ư

sử dụng tiêu chuẩn tích phân để chứng minh chuỗi này hội tụ ).



Bài 03.04.2.002.B182

n e

2  n

n 1

TR ẦN

Do vậy, chuỗi ban đầu cũng hội tụ.

 2



 0( n ) khi n   (   0 )=>  an  

-H

Ta thấy e

 n

10 00

Lời giải: Để giải bài này, ta không thể dung các tiêu chuẩn so sánh thường để giải được, ta cần biến đổi nó theo một hàm nào đó: n 1

n 1

ao 2 2

-L

Hội tụ nếu hệ số ao  6 . Do đó, theo tiêu chuẩn so sánh I thì chuỗi ban đầu hội tụ. 2n  n 2  n n 1 3  n 

ÁN

Bài 03.04.3.003.B183

Lời giải: ta xét giới hạn sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 1  2 và ta có chuỗi ln n n n

Đ ẠO

Lời giải:Vì ln n >2  n>7 nên

1  ln n n 7 n

Bài 03.04.1.001.B182

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Dạng 1: Sử dụng các tiêu chuẩn so sánh I, tiêu chuẩn so sánh II, tiêu chuẩn D’Alembert, tiêu chuẩn Cauchy và tiêu chuẩn tích phân để xét sự hội tụ của chuỗi số.

IỄ N

 n  (n  1)2 1 n  2   n  2  (n  1) an 1 3 n   3   2 1 2 lim  lim  n 1  n  lim    2  2 x  a x   3  (n  1) 2  n  x   3  n  1 1  n  3 n  3n   2n  n 1

Như vậy , theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu hội tụ.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com



2n n 1 n  1

2n ta đưa n về ẩn x và ta sử dụng tiêu chuẩn tích phân để n 1 2

Lời giải: Ta xét an 

Bài 03.04.4.004.B184 



Chuỗi ban đầu phân kì .

TR ẦN

n 1

H Ư

1 n(n  1)

Bài 03.04.5.005.B182 

1 là phần dư sau số hạng của chuỗi điều hòa  n 1 n  1

nên nó phân kì.



10 00

1 1  . Xét chuỗi n( n  1) n  1

Lời giải: Gặp những hàm kiểu dạng thế này, đơn giản nhất là dựa và tính chất của hàm và so sánh:

-H

Do vậy, chuỗi ban đầu cũng phân kì. 

( n !) 2  n 1 (2 n )!

-L

Bài 03.04.6.006.B183

ÁN

Lời giải: Để làm bài này, ta có thể dùng được 2 cách giải theo 2 tiêu chuẩn D’Alembert và Cauchy



n n 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

Từ kết quả của tích phân trên, ta thấy được tích phân trên phân kì, từ đó chuỗi ứng với tích phân đó cũng sẽ phân kì.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



2x 2x d ( x 2  1) d x  lim d x  lim  ln()  ln 2   A  x 2  1 x   x2  1 x2  1 1 1

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



làm, mục đích là để chứng minh rằng hàm f(x) thu được liên tục đơn điệu giảm trên nửa trục dương:

ÀN

+) Giải theo tiêu chuẩn D’Alembert, ta xét giới hạn sau:

an 1 (n  1) 2 1  lim  1 x  a x  (2n  2)(2n  1) 4 n

IỄ N

lim

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu hội tụ.

+) Giải theo tiêu chuẩn Cauchy, ta xét bất đẳng thức sau:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

n 2 2 e   n n n ( n !) e n n 2       2  2    n !  e   => 1 4 e  2  2n  ((2n)!) n    e  2 n

2 n

e Do vậy, lim an     1 . x  4

H Ư

Lời giải: Để làm những bài chuỗi dạng này, các bạn nên đơn giản hóa biểu thức an của nó hoặc là đem biểu thức an đi so sánh với 1 biểu thức khác. 1 1 (n  1)n 1  1   1 khi n   an  n1  1   . Xét giới hạn: lim 1    => an ~ x  e ne n n n  n n

TR ẦN



1 1  1 Mà chuỗi    có: e n 1 n n 1 ne

10 00

- Là chuỗi điều hòa có n chạy từ 1 đến vô cùng. - Mọi hằng số nhân với chuỗi thì không làm thay đổi tính chất hội tụ của chuỗi.

-L

-H

Do vậy, chuỗi ban đầu phân kì.



ÁN

Bài 03.04.5.008.B185 Chứng minh rằng chuỗi

n2

 (n  1) n 1

hội tụ nhưng chuỗi phân kì.

thỏa mãn điều kiện cần

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

(n  1) n  n n 1 n 1 

Bài 03.04.7.007.B182

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Theo tiêu chuẩn Cauchy, ta cũng thu được chuỗi trên hội tụ.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ÀN

Lời giải: ta xét hàm an

IỄ N

an 

n2 1 ~ an  0 (Vô cùng lớn tương đương)=> lim x  n  (n  1) n n

k  1, 2,3,..., n ta có ak 

k 2 1 1   k n (k  1) k

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1  n   khi n   n

Và do vậy: Sn   ak  n. k 1



n2

 n ln

Bài 03.04.4.009.B184

Do đó chuỗi ban đầu phân kì .

 2



d (ln x) dt = p p ln x t ln 2

hội tụ khi p>1và phân kì khi 0<p  1 .

Nên từ đó, chuỗi hội tụ khi p>1 và phân kì khi 0<p  1.



(n  1)Sin(2n )



Bài 03.04.3.010.T004

n 7  2n 3  3

10 00

n 1

(n  1)Sin(2n )

Lời giải: Xét hàm U n 

. Do hàm Sin(2n ) là hàm tuần hoàn nên giá

n 7  2n 3  3



(n  1)Sin(2n )

-L

n 7  2n3  3

( n  1)

n 7  2n3  3



( n  1) n

7 2

. Mà



n 1

n 1

7 2



là chuỗi hội tụ theo tiêu

ÁN

Un 

-H

trị của nó biến thiên  1,1 .

chuẩn tích phân.

Nên chuỗi ban đầu hội tụ theo tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối. n  2  n 1

n2

Đ IỄ N

Lời giải: Xét

 ln 1  

Bài 03.04.7.011.T006



H Ư



dx  x ln p x

TR ẦN



Xét

tích phân.





DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 , p  2, x  2 . Hàm f(x) thỏa mãn mọi điều kiện của dấu hiệu x ln p n

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Ta đặt: f ( x) 

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải: Đây là dạng tôeng quát không của 1 bài toán chuỗi nào cụ thể, ta có thể thay đổi p bất kì để tạo ra các bài toán khác nhau. Như vậy, để giải được bài này thì ta cần xét các khoảng của p sao cho để chuỗi hội tụ hoặc phân kì.



 3   ln 1  n  2  n  1 ln 1  =    n  2  n 1  n2  n2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

3   ln 1   U n  2  n  1  VCB lim n  lim   30 n  V n  1 n n  2  n 1

hội tụ nên chuỗi trên cũng hội tụ theo.

TR ẦN

H Ư

2 n

n 1

Lời giải: Dựa vào tính chất của chuỗi, ta sử dụng VCB: Sin 2

U .Q x

là chuỗi

 2 n

n 

2 4n

n 2  2   0 nên chuỗi phân kì. Vậy chuỗi ban đầu cũng phân kì.  2 n 1 4n 

   n  2n  3 



n 1

n 1

 Sin 

Bài 03.04.7.013.T006

10 00



Mà

n2





 n Sin

Như vậy, theo tiêu chuẩn so sánh II thì chuỗi trên hội tụ. Bài 03.04.7.012.T006

2

n2



Đ ẠO



1 Là chuỗi hội tụ do ta so sánh với chuỗi n  2  n 1

-H

n 1

n 7  2n 3  3

-L

Lời giải: Ta thấy an 

ÁN

Nên theo VCB: Sin a n ~ a n 

n 1 3

 1 Khi n   thì an  0 

. Mà chuỗi

 n 1

n 1 3

là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn

tích phân nên chuỗi ban đầu cũng hội tụ.

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



Mà chuỗi

 2 Chuỗi có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kì.

Bài 03.04.7.014.T006



 n 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Xét giới hạn:

1 n  2  n 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Vn 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

n  Cos n n5  1

IỄ N

Lời giải: Do hàm Cosn là 1 hàm biến thiên liên tục từ  1,1 khi n   nên ta sử dụng dấu trị tuyệt đối

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

n  Cos n

n 1



n 1 5





. Mà chuỗi

n 1 n5

n 1

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân nên

n 1

n  Sin n



n3  1



Bài 03.04.7.015.T006

chuỗi hội tụ. Vậy chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối.

.Q 

. Mà chuỗi



n 1 n3

n 1

là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân nên

1 n

  1  

H Ư

1 n

TR ẦN

1 Bài 03.04.7.016.T006   2 n 1 n  

chuỗi hội tụ. Vậy chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối.

Lời giải: n     0  2 n  1 . Ta cần chứng minh hàm trên là hàm dương thì

Ó -H

n n

. Xét giới hạn lim n 

1 2 n 

 1 1 2  1    n 1 2t  1   lim 2  lim  ln 2  0 1 n  t 0 1 2 t 1     n n n

-L

Ta chọn hàm Vn 

1 n

=1. Còn lại thì với n  no thì luôn cho ta 2  1  0

n  no sao cho 2

1 n

10 00

mới sử dụng các tiêu chuẩn hội tụ được.



ÁN

V

1 n

Mà chuỗi

hội tụ nên chuỗi ban đầu cũng hội tụ.

n 1



Bài 03.04.7.017.T006 

 2 2 1   VCB Sin( n  1  n  1) Sin ~ =    ~ n  1  n  1 n n n2  n 1  n 1  n2



Mà chuỗi

n  1  n  1)

n2

Đ IỄ N D

Lời giải:

 Sin(

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n 1 3



Đ ẠO

n  Sin n

dụng dấu trị tuyệt đối

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải: Do hàm Sinn là 1 hàm biến thiên liên tục từ  1,1 khi n   nên ta sử

 n2

1 phân kì nên chuỗi ban đầu phân kì. n

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 1n  Bài 03.04.7.018.T006  n  e  1 n2  



Ơ H N Y

n là chuỗi phân kì .Vậy chuỗi ban đầu cũng phân kì. 



Lời giải: Ta xét tích phân



ln x 4

dx đặt

 1



+ 1

-L

u  ln x 1 dv  dx 4 x5 5

1 dx x  4 v 4 x du 

1 

4 ln x x4 lim  0  4 d x = 5  4 x  5 x 1 1 x4 4

-H





4 ln x dx = 4 x x5

ln x



n 1

TR ẦN

ln n



10 00

Bài 03.04.7.019.T006

H Ư

n2

= lim x 

16 16   16 4 x 41

ÁN

 Tích phân trên hội tụ => Chuỗi đã cho cũng hội tự theo tiêu chuẩn tích phân

ln(n  1)

n 1

4 5



IỄ N

Bài 03.04.7.020.T006



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)





Mà chuỗi

 2 chuỗi có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kì

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Đ ẠO

 1n  1 n  e  1   t n Un   lim e  1  lim e  1 L lim et  1  0 Xét giới hạn: lim  lim  n  V n  n  t 0 t 0 1 t n n n

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 1n  Lời giải: Xét U n  n  e  1 ,chọn hàm Vn  n  

Lời giải: tương tự như bài trên , ta cũng xét tích phân

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú



 1

ln( x  1) 4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com







 1

4 ln( x  1) 4 x





4 

dx x ( x  1)

dx =

dx , mà x4 x



dx là tích phân hội tụnên tích phân 4 x

x 1

dx  x ( x  1)



ln( x  1)

 2 n3

2

 2  2  ln 1  ~ 3  3  4n3  4n  4n

TR ẦN

2 n3

 0 hay arctan 2

2 Mà chuỗi  3 là chuỗi hội tụ.Vậy chuỗi ban đầu cũng hội tụ. n 1 4 n 

 n  1  ln n

10 00

Bài 03.04.7.022.T006



n 1

-H

Lời giải: ta thấy n  1  ln n  n  1 n   

 n 1

là chuỗi phân kì ( có mẫu lớn hơn chuỗi điều

n 1

-L

hòa 1 đơn vị ).

1 1 . Mà chuỗi   n  1  ln n n  1

ÁN

Vậy chuỗi ban đầu phân kì. 

1 1 n 1 arcsin  ln n n

Bài 03.04.7.023.T006 

IỄ N

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U 

   2 n3 

Đ ẠO



n 1

Lời giải: Do n   

 n ln 1  arctan

Bài 03.04.7.021.T006

H Ư





Từ đó, chuỗi ban đầu hội tụ.

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

còn lại cũng hội tụ.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Xét tích phân A2 



u  ln( x  1) 1 dv  dx 4 x5

Đặt

1 dx x 1   4 v 4 x du 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải: Xét hàm U n 

VCB 1 1 1 ~ (do n   thì  0 nên ta áp dụng được VCB n  1 1 n arcsin  ln n  ln n n n

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ta có: 

 n 1

là chuỗi phân kì. Nên

n 1

1 1 1 . Mà chuỗi  ln n  1  n   1 n 1  n  ln n n

Ơ N

chuỗi ban đầu cũng phân kì.

1   1  Sin  n n n 1 

1 1  Sin Un t  Sin t t3 1 n n lim  lim  lim  lim 3   0 n  V n  t 0 t 0 6t 1 t3 6 n n n

H Ư

Xét giới hạn

n n 1

1 n

là chuỗi hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh II thì chuỗi ban đầu

Mà chuỗi

cũng hội tụ. 

-H

n !2n Bài 03.04.4.024.T008  n n 1 n

10 00



TR ẦN

 2 chuỗi có cùng 1 tính chất hội tụ hoặc phân kì

an1 (n  1)!2n1 n n (n  1)n !2n.2.n 2 2  lim . n  lim  lim  1 Lời giải: Xét giới hạn: lim n n n n  a n  ( n  1) n 1 n  n  n !2 (n  1) (n  1).n !.2  1 e n 1    n

ÁN

-L

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi này hội tụ.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

1 1 1  Sin . Chọn hàm Vn  n n n n

 

Xét hàm U n 

Lời giải:

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 03.04.7.084.T006

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n   ì

32 n 1 Bài 03.04.4.025.T008  n n 1 4 ln( n  1)

IỄ N

ÀN



Lời giải: Xét giới hạn lim n 

an 1 32 n 3.4n.ln( n  1) 3 2 ln( n 1) 3 2  lim 2 n 1 n 1  lim  1 an n 3 .4 .ln( n  2) n 4ln( n  2) 4

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi này phân kì.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com



Ơ Y

an 1 7 n 1 ((n  1)!)2 n2 n 7 7  lim  lim 2  2  1 2 n  2 n 2 n  e an n (n  1) .7 .(n !) e

Đ ẠO

an 1 22 n 5.5n ln( n  1) 22  lim n 1  1 n  5 .ln( n  2).2 2 n 1 an 5

TR ẦN

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi hội tụ.

H Ư

Lời giải: Xét giới hạn lim n 



n !3n Bài 03.04.4.028.T008  n n 1 n

10 00

an 1 (n  1)!3n 1.n n 3  lim  1 Lời giải: Xét giới hạn lim n  a n  ( n  1) n 1 n !.3n e n

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi hội tụ.

3n 2  2n  1 Bài 03.04.4.029.T008  n n 1 2 (3n  2)

-L

-H



3n 2  2n  1 3n , Chọn hàm Vn  n n 2 (3n  2) 2

ÁN

Lời giải:Đặt U n 

3n 2  2n  1 n VCL U Xét giới hạn: lim n  lim 2 (3n  2)  1  0 n  V n  3n n 2n

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

22 n 1 Bài 03.04.4.027.T008  n n 1 5 ln( n  1) 

 2 chuỗi có cùng tính chất

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuôi hội tụ.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Lời giải: Xét giới hạn: lim n 

7 n (n !) 2 Bài 03.04.4.026.T008  2 n n n 1

Mặt khác: lim n 

bn 1 3(n  1).2n 1  lim n 1   1  chuỗi bn n 2 .3n 2



2 n 1

là chuỗi hội tự theo tiêu

chuẩn D’Alembert , vậy nên theo tính chất bắc cầu thì chuỗi ban đầu cũng hội tụ.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

(2n  1)!! nn n 1 



N G

Đ ẠO

(2n)!! Bài 03.04.4.031.T008  n n 1 n

H Ư

an 1 (2n  2)!!.n n 2(n  1).(2n)!!.n n 2  lim  lim  1 n  1 n n  a n  ( n  1) (2n)!! n (n  1) (n  1).(2n)!! e n

TR ẦN

lim

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu hội tụ.

n ! n Bài 03.04.4.032.T008  n n 1 n

10 00

Lời giải: Xét giới hạn:



-L

-H

an 1 ( n  1)! n 1.n n   lim  lim  lim  1 n n  1 n n  a n  ( n  1) n  .n !. e 1  n 1    n 

ÁN

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu hội tụ.

n n .5n

 2 (n  1) n 1

H N Y

ÀN

Bài 03.04.4.085.T009



DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



Lời giải: Xét giới hạn:

.Q TP

Theo tiêu chuẩn D’Almbert thì chuỗi ban đầu hội tụ.

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

an 1 (2n  3)!!.n n (2n  3)(2n  1)!!.n n 2 2 lim  lim  lim  lim  1 n n  a n  ( n  1) n 1.(2 n  1)!! n  ( n  1) n ( n  1)(2 n  1)!! n  e  1 n 1    n

Lời giải: Xét giới hạn:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Bài 03.04.4.030.T008

IỄ N

Lời giải: Xét giới hạn: n n .5 5 1 5  lim  1 n n n  2( n  1) n  2 2e 1  1   n 

lim n an  lim n 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu sẽ hội tụ.

n ( n  4)

n2 Bài 03.04.4.033.T009    n 1  n  3  



n n .5n

 3 (n  1) n

ÁN

n 1

Lời giải: Xét giới hạn:

 e 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

-H

Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu phân kì.

e

n4 n n  2 lim

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN e

 1  VCB lim ( n  4)ln 1   n2 

n

10 00

e

 n 3  lim ( n  4)ln    n2 

n

n4

n ( n  4)

Lời giải: Xét giới hạn:

-L

 e1  1

H Ư

 n3 Bài 03.04.4.034.T009    n 1  n  2  

Bài 03.04.4.035.T009

N e

Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu hội tụ.

 n3 lim n an  lim   n n n  2  

e

 1  VCB  ( n  4) lim ( n  4)ln 1 lim  n  n 3  n n 3

e

 n 2  lim ( n  4)ln   n  n 3 

n4

Đ ẠO

 n2 lim n an  lim   n n n  3  

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải: Xét giới hạn:

ÀN

n n .5 5 1 5 lim an  lim  lim  1 n n n  n  3( n  1) n  3 3e 1  1   n 

IỄ N

Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu hội tụ.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 2n 2  n  1  Bài 03.04.4.036.T009   3n 2  sin n  n 1  

3 n  ln n



 1  3   2  lim  n  ln   n  1   3     

TP Đ ẠO

2 n  ln n

 3n 2  n  1  Bài 03.04.4.037.T009   4n 2  cos n  n 1   

 3n 2  n  1  lim an  lim   2 n  n   4n  cos n 

ln n 2 n

TR ẦN

H Ư

Lời giải: Xét giới hạn:

 2 n  ln n   3 n  n 1  lim    ln  n   4 n 2  cos n  2

e

n 

e

 2 n  ln n   3  L lim   ln   n   4

n 

10 00

Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu hội tụ.

ÁN

-L

-H

1 ln    n  Bài 03.04.4.086.T010 2 n 1 ( n  2) 

Lời giải: Xét tích phân suy rộng A=  1

1 ln    x  dx ( x  2) 2

e

 1  2 n   3  lim   ln   n  1   4     

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

e

8 2    1 27 3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

e

 3 n  ln n   2  L lim   ln   n  3

n 

Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu hội tụ.

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2  3 n  ln n   2 n  n 1  lim    ln  n  n   3 n 2  sin n 

ln n n

 2n 2  n  1  lim an  lim   2 n  n   3n  sin n 

3

Lời giải: Xét giới hạn:

9 3    1  4  16

IỄ N

ÀN

1 1 1 u  ln   ln     du  dx x 1 x   x dx  Đặt  A=      ( 2) x( x  2) 1 x x  1 1 1 dv  dx v x2 ( x  2) 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 ln      1 1 1 1  x  x2  2 3 lim    0   x ln dx      d   lim ln 1     3     x  x ( x  2) x  2 1  x x2 x( x  2)  x 1  x 1 1

 Tích phân ta xét hội tụ nên theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi cùng hội tụ theo.

 ln x A 3x 2











G N H Ư TR ẦN

Đặt

du 

1  ln x ln 2 1 dx  lim   2 x  3x 3x 2 12 3x



 2



ln 2 1  2 6



ln(n  1)

 (n  3)

-H

Bài 03.04.4.039.T010

10 00

Theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi trên hội tụ.

n2



ÁN

-L

Lời giải: Xét tích phân suy rộng A=  u  ln(x+1) dv 

Đ IỄ N

 1 dx 2 ( x  3)

 ln( x  1) x3

 0



 1





1 dx x 1 1 v x3 du 

Đặt

ln( x  1) dx (n  3) 2

 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1 dx x   1 dv  2 dx 1 v 3x 3x

u  ln x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

.Q 2

ln x dx 3x 2

Đ ẠO



Lời giải: Xét tích phân suy rộng A= 

A

ln n Bài 03.04.4.038.T010  2 n  2 3n

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định





1  ln( x  1) ln 2 1  x  3  dx  lim   ln   x  ( x  1)( x  3) x3 4 2  x  1  1

 ln 2 ln 2  x3 1  lim ln   ln 2   4 x  x  1  2 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi hội tụ. 

n Bài 03.04.2.040.ĐC001  2 n 1 10n  1

Từ đó chuỗi ban đầu cũng phân kì theo TCSS II. 

TR ẦN

n2

n n 1   V1n Với n  2  (n  1)(n  2) (n  1)( n  2) ( n  1)( n  2)

10 00

Lời giải: Xét U n 

n (n  1)(n  2)



Bài 03.04.2.041.ĐC001

-H

1 (n  1)(n  2) 1 V Xét V2 n  . Ta có giới hạn lim 1n  lim  1  0  2 chuỗi có cùng tính n  V n  1 n 2n n 

 1 1  là chuỗi điều hòa nên nó phân kì cũng phân kì (   (n  1)(n  2) n2 n2 n

ÁN

Mà chuỗi

-L

chất hội tụ hoặc phân kì.

theo TCSS II)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

là chuỗi điều hòa nhân với 1 hằng số nên phân kì.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n 1

V

H Ư



nhau. Mà chuỗi

Đ ẠO

n 2 Un lim  lim 10n  1  1  0  2 chuỗi có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kì như n  V x  1 n 10n

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

n 1 , chọn Vn  . Xét giới hạn: 2 10n  1 10n

Lời giải: Xét U n 

IỄ N

ÀN

Vậy theo tiêu chuẩn so sánh I thì chuỗi ban đầu đã cho cũng là chuỗi phân kì.

 1 n   Bài 03.04.2.042.ĐC001   2 n2  n  1  

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 1 n  1 Lời giải: Xét U n   2  Với n  2  Xét hàm Vn  2 . Ta có giới hạn sau: n  n 1  2

 1 n   2  U n 1  lim n  lim   1  0  2 chuỗi cùng tính chất hội tụ hoặc phân kì. n  V n  1 n n2



Ơ H N

N H Ư

1.3.5...(2n  1) . Ta có giới hạn: 22 n (n  1)!

TR ẦN

Lời giải: Xét U n 



Bài 03.04.2.043.ĐC001

10 00

U n 1 1.3.5...(2n  1).22 n (n  1)! 2n  1 1 lim  lim 2 n  2  lim  1 n  U n  2 n  4n n !.1.3.5...(2 n  1) 2 n

Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi trên hội tụ. 

 n 3

n ln n ln  ln n  

-H

Bài 03.04.2.044.ĐC001



 x ln x ln  ln x  

ÁN

-L

Lời giải: Xét tích phân





dx 

 3

d ln  ln x  

1  2 ln  ln x  ln  ln x  

Vậy theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi trên hội tụ.

Đ IỄ N





a

  Cos n 



 3



1 ln(ln 3)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1.3.5...(2n  1) 22 n (n  1)! n2

Đ ẠO

Vậy chuỗi ban đầu hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh II

Bài 03.04.4.045.ĐC002

Y U

là chuỗi hội tụ - ta dễ dàng tính được nó qua tiêu chuẩn tích phân.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n2

n

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



Mà

n 1

a  Lời giải: Đặt U n   Cos  n 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Xét giới hạn sau:

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

lim n2 .

e

a2 2 n2

e

n

 a2 2

1

G N H Ư

n 1

 n)    0 ( điều cận cần và đủ để chuỗi là chuỗi phân kì do lim(1 n 

 1  n 

10 00



Mà

TR ẦN

1 VCB  1n  1 1 1  n Khi n     0  e ~  n  e  1 ~ n   1  1  n n n n   

phân kì )

-H

Vậy nên chuỗi ban đầu phân kì ( cách làm tương đương với cách sử dụng tiêu chuẩn so sánh II , ta chọn hàm dựa vào các tính chất VCB, VCL- tương đương)

ÁN

-L

Bài 03.04.4.087.ĐC002

Lời giải: Đặt U n 



 n (ln n) ( ,   0) n 3

1 . Ta xét các trường hợp sau đây: n (ln n )

1 1   Vn . Mà chuỗi  n (ln n) n phân kì    1 thì chuỗi phân kì. 

IỄ N

 0    1 ,   0 ta có:

   1,   0 U n 



n

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q Đ ẠO

 1n  Lời giải: Đặt U n  n  e  1 .  

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

 1n  Bài 03.04.4.046.ĐC002  n  e  1 n 1   

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi trên hội tụ. Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 a2  lim n2 ln 1 2  VCB n  2n 

 a  lim 1  e 2  Ta được n  2 n   2

a VCB a2 1  0  Cos ~ 1  2 n n 2n

.Khi n   

a  lim n U n  lim  Cos  n  n  n 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

là chuôi điều hòa nên

n 3

1 ta đem so sánh với tích phân suy rộng n(ln n) 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

 3

d (ln x) (ln x)1   (ln x)  1 



 3

 Sự hội tụ, phân kì phụ thuộc vào hằng số  .

 Tích phân hội tụ khi 1    0    1  Chuỗi hội tụ.

Y U .Q

1 1  .Mà chuỗi n (ln n)  n



hội tụ

n 3

n 1

3 4



ÀN

Mặt khác

 n 1

n 1  n 1



n 1  n 1 1 n

1 5 4



2 1

2  lim 2n .n VCL n  1

1 0

là chuỗi hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh II, chuỗi ban đầu

IỄ N

n cũng hội tụ theo.



với n  1

Ó -H



ÁN

lim

-L

Un  lim n  V n  n

3 4

. Từ đó ta xét giới hạn sau:

5 4



10 00

3 4

n 1  n 1

Lời giải: Xét U n 

Xét hàm Vn 

H Ư

n 1  n 1

Bài 03.04.2.047.ĐC001 

TR ẦN



Đ ẠO

nên chuỗi ban đầu cũng hội tụ theo.

 n

   ta thấy n (ln n)  n 

  1 ,   1

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 Tích phân phân kì khi 1    0  0    1  Chuỗi phân kì.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



1 dx  x(ln x) 



www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com



Bài 03.04.2.048.ĐC001

 n2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1  1 n  ln   n  n 1 

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

1  1 n  1  2  ln  ln 1    n  n 1  n  n 1 

n n2

Ơ H U .Q

là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân nên theo tiêu chuẩn

N H Ư



 ln n n2

TR ẦN

Bài 03.04.2.049.ĐC001

so sánh II, chuỗi ban đầu cũng hội tụ.

1 1 1 . n  2 thì n  ln n . Do đó hiển nhiên:  n ln n ln n

10 00

Lời giải: Xét U n 



1 Mà chuỗi  là chuỗi điều hòa nên nó phân kì.Do đó theo tiêu chuẩn so sánh I n2 n

-H

thì chuỗi ban đầu cũng phân kì. 

ÁN

-L

Bài 03.04.2.050.ĐC001

Lời giải: Xét U n 

ln n n n2



ln n . n  2 thì n  n

Đ IỄ N

phân sau đây: A 



 2

n .Do đó hiển nhiên:

1 1  n n

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Mà chuỗi

n n 1 0 . 2 n n

Đ ẠO



1  2  1 2 ln 1  .  U n 1  n 1 lim n  lim n   lim n  lim n  V n  VCB n  VCL n  2 2 n n n n n

ln n ln n   (1) .Ta xét chuỗi n n

.Ta tìm giới hạn sau:

n n

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Lời giải:Xét U n  Xét hàm Vn 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com



ln n . Dựa vào tiêu chuẩn tích phân, ta xét tích n2 n



b  ln 2 x  b  ln 2 b ln 2 2  ln x dx  lim  ln xd(lnx)  lim      lim     . b  b  b  x 2   2 2  2 2

Do đó, tích phân trên phân kì thì chuỗi ứng với tích phân đó cũng phân kì.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Theo tính chất bắc cầu và dựa vào tiêu chuẩn so sánh I cho ý (1)  Chuỗi ban đầu là chuỗi phân kì.

 n2  n  1  tan 2 Bài 03.04.2.051.ĐC001  ln  2 n n2  n n 

(3n  1)! .Xét giới hạn sau: n 2 8n

-L

-H

U n1 (3n  4)!n2 8n (3n  1)!(3n  2)(3n  3)(3n  4) 27n3 lim  lim  lim   1n  1 n  U n  ( n  1) 2 8n 1 (3n  1)! VCL n  (3 n  1)!.8 8 n

ÁN

Chuỗi này phân kì theo tiêu chuẩn D’Alembert. Bài 03.04.2.053.ĐC001



1

  n  ln n 1

1 n   n 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

là chuỗi hội tụ  Chuỗi ban đầu cũng

Lời giải: Đặt U n 



10 00

Bài 03.04.2.052.ĐC001

n2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(3n  1)! n 2 8n n 1 

V

TR ẦN

hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh II.



Như vậy, n  no để Vn  U n .Mà

Đ ẠO

 n2  n  1 1  n n  ln  2 ln 1  2  tan 2  n n  n n2  n n  Un n2  n n  lim  lim  lim  lim 2 0 n  V n  VCB n  VCB n  1 1 n  n n n3 n3

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1  n2  n  1 V  tan .Chọn hàm  n 2 .Xét giới hạn: 2 2  n n  n n  

Lời giải: Đặt U n  ln 



IỄ N

1 1  1 n  1  n  V  ln   Lời giải: Xét U n   ln  . Xét hàm n    n2 n  n  n  1 n 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H

hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh II thì chuỗi ban đầu cũng hội tụ.

1  1 n  Bài 03.04.2.054.ĐC001  2   n 1 n  n 

H Ư



1  1 n  1 Lời giải: Xét hàm U n  2   . n  1 xét Vn  2 .Ta tính giới hạn sau: n n  n 

TR ẦN

10 00

1 1    1 Un n2  n  lim  lim  e  0 . Do đó 2 chuỗi được biểu diễn bởi 2 hàm có cùng n  V n  1 n n2

-H

tính chất hội tụ hoặc phân kì. Mà



n n 1

là chuỗi hội tụ. Theo tiêu chuẩn so sánh II

-L

thì chuỗi ban đầu cũng hội tụ theo. 

ÁN

1  1 Bài 03.04.3.055.ĐC001  n 1   n n 1 5  n2

n 1  1 1 1  1 lim n ln 1  1 1 5  n 5 1  n lim U  lim 1   e  e 0   .Xét n   n  n  5 VCB 5n  n   n n

IỄ N

ÀN

Lời giải: Đặt U n 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n 1

Đ ẠO

n

Mà



1 n2  1  0 .Do đó 2 chuỗi cùng tính chất hội tụ hay phân kì. 1 n2

1 n(n  1)  lim  lim n  1 VCL n n2

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1 1 1   n   1 1  ln   ln 1     Un n n  1 n n  1    lim    lim n n  1  lim Xét giới hạn sau: lim n  V n  n  VCB n  1 1 1 n n2 n2 n2

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu hội tụ.

 n 1  Bài 03.04.3.088.ĐC001    n 1  n  1  

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

( n 1) n

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

( n 1)

e

2   lim ( n 1)ln 1   n 1 

n

e

lim

n

2( n 1) ( n 1)

VCB

VCL

H Ư

1 ln n 1 1 nlim 1  n   2 n 2n lim U n  lim n   lim n  e   1 .Như vậy, theo tiêu  n  n  16 16  4n  3  VCL 16 n chuẩn Cauchy thì chuỗi trên hội tụ.

10 00

3n (n !) 2 Bài 03.04.3.057.ĐC001  n 1 (2 n)!



TR ẦN

-H

3n (n !)2 Lời giải: Đặt U n  .Ta xét giới hạn sau: (2n)! 3n 1  (n  1)! (2n)! U n 1 3(n  1) 2 3n 2 3 lim  lim  lim  lim  1. 2 n  U n   2n  2 !.3n  n ! n (2n  2)(2n  1) VCL n 4n 2 4 n

-L

ÁN

Như vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu hội tụ.

n2  5 Bài 03.04.3.058.ĐC001  n 2 n 1 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Ta xét giới hạn sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

 n  Lời giải: Đặt U n  n    4n  3 

Đ ẠO

n 1



ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 03.04.3.056.ĐC001

 n  n   4n  3 

Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu hội tụ. 

 e2  1

2    lim 1   n   n 1 

( n 1)

. Ta xét giới hạn sau:

 n 1  lim U n  lim   n  n  n  1   n

( n 1) n

 n 1  Lời giải: Xét U n     n 1 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

n2 n2  5 Lời giải: Đặt U n  n . Xét hàm Vn  n .Ta có giới hạn: 2 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

n2  5 n U lim n  lim 2 2  1  0 (1)  2 chuỗi được biểu diễn bởi 2 hàm sẽ có n  V n  n n 2n cùng tính chất hội tụ hay phân kì như nhau. Mà ta lại có:

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

1 n

TR ẦN

H Ư

Lời giải: Bằng trực quan, ta có thể thấy , chuỗi này chưa thể xác định dương hay âm được để sử dụng cái tiêu chuẩn, do vậy ta cần chứng minh xem chuỗi này dương hay âm. ln

10 00

Nhận xét: ta thấy n  1   1  ln  0 . Do vậy chắc chắn

chuỗi âm.

1 n 0 và đây sẽ là 2

-H

Ta có tính chất: nếu ta nhân một số hằng số bất kì vào 1 chuỗi thì tính chất của chuỗi sẽ không đổi.- Dựa vào tính chất đó, ta nhân chuỗi với (-1).Chuỗi trở thành: 1

ÁN

-L

1 1 ln     ln  n n    2 n n2 n 1 n 1 Lúc

này

 1

ln n 2 n 1 n



tiêu

chuẩn

tích

phân

xét

tích

phân:

b b b   ln x b  ln x ln x 1   ln x 1  dx  lim  2 dx  lim    1    1 x 2 dx   lim b  b  b  x2 x x1  x 1  x 1

IỄ N

ÀN A



theo



DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n 1

Đ ẠO



1 n

Bài 03.04.3.059.ĐC002



hội tụ, kết hợp với (1) thì chuỗi ban đầu sẽ hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh II.

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Vn 1 (n  1) 2 .2n 1 lim  lim n 1 2   1 . Nên theo tiêu chuẩn D’Alembert thì cuỗi này n  V n  2 n 2 n

Do đó , tích phân trên hội tụ nên chuỗi ứng với tích phân đó cũng hội tụ.

Vậy chuỗi ban đầu hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com



en n ! Lời giải: Đặt U n  n .Có chứa dấu ‘’ !’’ là dấu hiệu của việc sử dụng tiêu n chuẩn D’Alembert. Ta xét giới hạn sau:

en n ! Bài 03.04.3.089.ĐC002  n n 1 n

H Ư

e n 1 (n  1)! e.e n ( n  1) n ! e.e n n ! en n !   Ta để ý : U n 1  và U n  n có mẫu hơn (n  1) n 1 (n  1) n ( n  1) ( n  1) n n

TR ẦN

kém nhau 1 đơn vị số nên khi khai mẫu thì kết quả của chúng chênh nhau không đáng kể, nhưng với U n 1 thì có số e  2.1783 không phải là con số nhỏ hơn 1 nên nó góp phần làm cho U n 1 tiến tới vô cùng nhanh hơn U n . Do vậy U n 1  U n và theo

10 00

tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi này phân kì. 

7 n ( n !) 2 Bài 03.04.3.060.ĐC001  n2n n 1

-H

7 n (n !)2 .Ta xét giới hạn sau: n2n

-L

Lời giải: Đặt U n 

7 n 1  (n  1)! n 2 n U n 1 7(n  1) 2 n 2 n 7n 2 n 7 lim  lim  lim  lim  1 2 n  U n  n  ( n  1) 2 n ( n  1) 2 n  ( n  1) 2 n e2 (n  1) 2 n  2 .7 n  n ! n

ÁN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

chuẩn D’Alembert thông thường thì đến đây ta chưa có kết luận gì .

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U n 1 en 1 (n  1)!.n n 1  n  lim  lim  lim e   lim e  1 . Do vậy theo tiêu  n n  1 n n  U n  ( n  1) n  .e .n ! n  n  1   1 n 1    n

ÀN

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi trên hội tụ.

IỄ N

Bài 03.04.3.061.ĐC002



 Sin  (2  n 1

3) n 

Lời giải: Đặt U n  Sin  (2  3)n  .Ta xét khai triển nhị thức Niu Ton sau:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

(2  3) n  (2  3) n   Cnk 2n k ( 3) k   Cnk 2n k (  3) k   Cnk 2n k ( 3) k  (  3) k  k 0 k 0 k 0

=0 nếu k lẻ hoặc = m  N nếu k chẵn.

H N

. Ta xét giới hạn sau đây:

-H

2n n 1 2 lim U n  lim  2 lim   1 . Do vậy, theo tiêu chuẩn Cauchy thì n n  n  ( n  1) n n  e 1  1   n 

ÁN

-L

chuỗi trên hội tụ.

ÀN

Đ IỄ N

Lời giải: Đặt U n 

1.3.5...(2n  1) 3n n ! n 1 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

hội tụ và chuỗi ban đầu cũng hội tụ

n 1

10 00

 (n  1)

V

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n n 2n

Bài 03.04.4.063.ĐC002



(n  1)n

có

TR ẦN

theo và hội tụ tuyệt đối.

Lời giải: Đặt U n 

H Ư

hay phân kì của chuỗi ), do vậy chuỗi

n n 2n

n 1

 là 1 hằng số nên không ảnh hưởng đến tính hội tụ 

Bài 03.04.4.062.ĐC002

Đ ẠO

1  1 ( ta coi như 2 3

p 

. Mà chuỗi



V

  n   Sin  ~  Vn n  VCB (2  3) n  (2  3) 

Ta có: U n  (1)

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

      .  0  (1) m Sin   (1) m 1 Sin  n  n   (2  3)   (2  3)  m 1

 U n  Sin  m   (2  3) n   Sin m Cos  (2  3) n   Cos m Sin  (2  3) n 



1.3.5...(2n  1) . Ta xét giới hạn sau đây: 3n n !

U n 1 1.3.5...(2n  1) 3n n ! 2n(2n  1)  lim n 1   lim   1 . n  U n  n  3( n  1) 3 ( n  1)! 1.3.5...(2 n  1) n

lim

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Do vậy nên theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu phân kì. 

 arcsin  e  n

Bài 03.04.4.090.ĐC002

n 1

H Ư

Mà chuỗi

n

là chuỗi điều hòa nên nó phân kì.



TR ẦN

2 1  1n   1n  1 1 1 n  e  1 ~  n  e  1 ~ n. 2  Lời giải: Đặt U n  n  e  1 . Ta thấy: khi . n   VCB n n n    

10 00

n 1

Vậy chuỗi ban đầu cũng phân kì.





-H

Bài 03.04.4.065.ĐC002

1  a 

2 n

, (a  R, 0  a  1)

-L

n 1

ÁN

Lời giải: Đặt U n 

1  a 

2 n

. Ta xét giới hạn sau:

U n 1 (n  1)a (1  a 2 ) n 1  1 1  lim   lim 1    2 n  1 2 2 . n  U n  (1  a ) n  (1  a ) na  n  1 a n

ÀN

b  lim

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 1n  Bài 03.04.4.064.ĐC002  n  e  1 n 1   

Đ ẠO

ban đầu cũng hội tụ.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1 1    hội tụ do p   1 . Vậy nên chuỗi e n 1  e 

n n VCB thì arcsin  e  ~ e



1    .Mà e

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

n Lời giải: Đặt U n  arcsin  e  .Ta thấy n    e n  0 Do vậy theo tinh chất

IỄ N

Ta có hai trường hợp cần xét như sau:

Th1: nếu a  1  b  1  chuỗi phân kì. Th2: nếu a  1  b  1  chuỗi hội tụ.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com



www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 03.04.5.066.A711

n

Lời giải: Ta xét: U n 

1 có a  3 >1 nên chuỗi hội tụ theo định nghĩa của chuỗi. n3

Y 

 n 1 n 1

H Ư

Bài 03.04.15.068.A711

 3n  1 n 1

TR ẦN



là chuỗi có mẫu hơn chuỗi điều hòa 1 đơn vị nên theo tiêu chuẩn so sánh I, chuỗi ban đầu sẽ phân kì.

2n 2n 2  lim  0 . 3n  1 VCL n 3n 3

10 00

Lời giải: Đơn giản ta xét giới hạn sau đây: lim n 

Mà theo điều kiện đủ để chuỗi phân kì là có giới hạn khi n   là khác 0 . Do vậy chuỗi trên phân kì theo điều kiện đủ.

n 1 n 1 3n  1



-H

Bài 03.04.29.070.A711 

ÁN

-L

Lời giải: Cũng đơn giản như bài trên, ta sử dụng điều kiện đủ để chứng minh, xét giới hạn sau:

n 1 n 1 1  lim  lim   0 . Do vậy chuỗi ban đầu phân kì. n  3n  1 n  3n n  3 3

lim

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U 1 1  . Mà chuỗi ln(n  1) n  1

Đ ẠO

Lời giải: ta thấy n   thì ln  n  1  n  1 

n 1

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 03.04.6.067.A711  ln(n  1)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



n 1

k (k  2) 2 k 1 ( k  3) 

IỄ N

Bài 03.04.30.071.A711 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải: Đầu tiên ta để ý , tử và mẫu có cùng bậc 2 với nhau, do vậy ta nên thử bằng điều kiện cần và đủ trước. Ta xét giới hạn sau:

k (k  2) k 2  2k k2 lim  lim 2  lim  lim1  1  0 . k  ( k  3) 2 k  k  6 k  9 VCL n  k 2 n 

1 2 n n    1 2  1 2 1 5 1 2    n  n           3  3   2   n 3 3  n 1  3   3   1  1 1  2 2 2 n 1 n 1  3 3 3 



TR ẦN

H Ư



1  3n Bài 03.04.32.073.A711 Tính tổng của:  n n 1 2

10 00



Lời giải: Để tính được tổng này ,ta làm như sau: n n n n    1 3n    1   3     1  1  3n 3    n  n                  .Do  2n 2  n 1  2   2   n 1  2  n 1 n 1  2 n 1  2 

-H



p  

1    là 1 chuỗi hội tụ do có n 1  2 

ÀN



ÁN

-L

1 chuỗi này là tổng của 2 chuỗi    n 1  2 



3 và chuỗi    n 1  2 

. Trong đó chuỗi

1  1 nên ta hoàn toàn tính được tổng của 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP Đ ẠO G

Lời giải: Để tính được tổng này ,ta làm như sau:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1  2n Bài 03.04.31.072.A711 Tính tổng của:  n 3 n 1 

3 3 chuỗi này. Nhưng đối với chuỗi    là một chuỗi phân kì do p   1 nên 2 n 1  2  chuỗi này không thể tính tổng được. Do đó, chuỗi ban đầu không thể tính tổng được.

IỄ N

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Mà theo điều kiện đủ để chuỗi phân kì là có giới hạn khi n   là khác 0 . Do vậy chuỗi trên phân kì theo điều kiện đủ.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com





n 1

Bài 03.04.33.074.A711



Lời giải: Ta xét tổng sau: S   n 2  2  2  3 2  4 2  ...

n 1

1 n

n 1

n 0



n 1

 n2  1  Bài 03.04.35.076.A711  ln  2n 2  1  n 1  

-H



ÁN

-L

Lời giải: Ta có một tính chất, đó là: nếu ta tìm giới hạn của một hàm loganepe nào đó thì ta có thể đưa hàm loganepe ra ngoài và đưa giới hạn vao phía trong:

  n2  1    n2   n2  1  1 1  lim ln  2   ln  lim  2    ln  lim  2    ln lim   ln  0 n  n  VCL n  2  n  2   2n  1    2n  1     2n  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



   0,3    0,8     0,3 n

10 00

1 0,3 3 32   5  . 1  0,8 1  0,3 7 7



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 (0,3)     0,8   n 1

n 1





S    0,8   n 1

n 1

TR ẦN

Lời giải: Từ chuỗi ban đầu, ta có: 

 (0,3) n  

H Ư

n 1

n 1

 Bài 03.04.34.075.A711 Tính tổng:   0,8 



Đ ẠO

Mà theo điều kiện đủ để chuỗi phân kì là có giới hạn khi n   là khác 0 . Do vậy chuỗi trên phân kì theo điều kiện đủ.

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2  lim 2  lim 20  1  0 . Do vậy ta xét giới hạn: lim n  n  n  n

IỄ N

Mà theo điều kiện đủ để chuỗi phân kì là có giới hạn khi n   là khác 0 . Do vậy chuỗi trên phân kì theo điều kiện đủ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com



2 1   3

n 1

Bài 03.04.36.077.A711 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

10 00

Lời giải: Theo tính chất của chuỗi số hội tụ , ta luôn thấy tính chất: 

sẽ hội tụ nếu p  1n   và chỉ có trường hợp đó thì chuỗi mới hội tụ

-H

n 0

p

 3

 1 . Do vậy chuỗi ban đầu phân kì theo tính

-L

được . Mà ở trong bài tập này p 

ÁN

chất của chuỗi số.



Bài 03.04.38.079.A711 Xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi số:   Cos1

n 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

  Bài 03.04.37.078.A711    n 0  3  

TR ẦN

H Ư

Mà theo điều kiện đủ để chuỗi phân kì là có giới hạn khi n   là khác 0 . Do vậy chuỗi trên phân kì theo điều kiện đủ.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2   0 3

2 1   3 với n   . n 

n 1  1  0 ( do 2  1 nên  2   1 do đó   n  1  0 3 3

 lim

Đ ẠO

lim

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải: Ta có nhìn nhận bài này theo 2 vấn đề tùy vào mỗi người, một là chúng ta quy đồng lên rồi dựa vào điều kiện đủ để khảo sát chuỗi, thứ 2 là chúng ta sẽ khảo sát luôn, ở đây tôi sẽ làm theo cách thứ 2:

Lời giải:  Xét sự hội tụ: do p  Cos1  0,540  1 nên theo tính chất của chuỗi

IỄ N

số thì chuỗi ban đầu hội tụ. 

 Tính tổng chuỗi số:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

A    Cos1  n 1

Cos1  1,175 1  Cos1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com



 arctan n n 1

Nhìn trực quan, ta nhận ra ngay chuỗi này phân kì vì có chuỗi



TR ẦN

H Ư

 2 1  2 và đây là chuỗi điều hòa nên nnó phân kì. Chuỗi trên được cấu thành   n 1 n n 1 n

1  1 , nhưng 5 chuỗi còn lại lại phân kì nên tổng 2 chuỗi chắc chắn phân kì. Do vậy chuỗi ban đầu phân kì.

10 00

bởi 2 chuỗi , 1 chuỗi chắc chắn mang tính chất hội tụ vì có p 



-H

Bài 03.04.41.082.A711Xét sự hội tụ và tính tổng

n 1





1   n(n  1) 



-L

1 1   1  1    Xét sự hội tụ của chuỗi trên :   n n n(n  1)  =  n 1  e n 1 e n 1 n( n  1)

ÁN

Lời giải: 

1

 e



 1 1 1 Xét chuỗi  n     .Chuỗi này có p   1 do vậy chuỗi hội tụ e n 1 e n 1  e 

Đ IỄ N



 n(n  1) có U n 1



1 1 . Khi n   thì U n  n(n  1) n( n  1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n 1

2   n

Lời giải:

3

  5

Bài 03.04.40.081.A711

Đ ẠO



Xét chuỗi

n 

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

 0 Mà theo điều kiện đủ để chuỗi phân kì là có giới hạn khi 2 n   là khác 0 . Do vậy chuỗi trên phân kì theo điều kiện đủ. n 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



lim arctan n  lim

Lời giải: Để làm được bài này, bạn cần am hiểu rõ kiến thức về sự thay đổi của hàm arctan n khi n   . Ta xét giới hạn sau:

Bài 03.04.39.080.A711

1 (VCL) n2



1 Mà chuỗi  2 là chuỗi hội tụ nên chuỗi đang xét cũng hội tụ. n 1 n

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tổng của 2 chuỗi hội tụ chắc chắn là một chuỗi hội tụ nên chuỗi ban đầu hội tụ.  Tính tổng của chuỗi trên:  1 1   1 1  S1  S 2 Ta đặt S    n        n(n  1)  n 1  e  n 1 n(n  1) n 1  e

Ơ H

1 . Ta tính tổng này dựa vào tổng riêng của n số hạng đầu tiên n 1 n( n  1)

Đ ẠO

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    ...   1       ...   1.2 2.3 3.4 n( n  1) 2 2 3 3 4 n n 1

1 1    S2  lim 1   1 . n  n 1  n 1 

TR ẦN

 1

H Ư

của chuỗi: S 2 n 

e 1 1  . 1 e 1 e

10 00

Vậy tổng của chuỗi ban đầu là S  S1  S 2  

en Bài 03.04.42.083.A711  2 n 1 n

ÁN

-L

-H

Lời giải: Ta nhìn nhận vấn đề như sau, bài tập này không thể dụng tiêu chuẩn so sánh I vì với mỗi giá trị của n cho ta 1 hàm so sánh khác. Không dùng được tiêu chuẩn so sánh II vì không có hàm tương đương, cũng như tiêu chuẩn D’Alembert và Cauchy, hay tích phân, đều không xuất hiện dấu hiệu gì cả, đó là lúc ta nghĩ đến xét sự phân kì bằng điều kiện đủ: Ta xét giới hạn sau đây:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



Tính S2  

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

e 1 S   Tính 1    1 e n 1  e 

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com



Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



IỄ N

en L en L en lim 2  lim  lim    0 . Như vậy qua 2 lần L’Hopital ta đã giải n  n n  2 n n  2

quyết bài toán một cách dễ dàng. Vậy chuỗi ban đầu phân kì theo điều kiện đủ. 

Bài 03.04.43.091.A711 Tính tổng của chuỗi sau:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

n n2

2 2 1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải: Ta xét tổng riêng thứ n của chuỗi: n  2 2 1   1 Sn   2      i 1  i 2 i  1 i  2 (i  1)(i  1) i 2  i  1

H N Y

n n 1

H Ư

Bài 03.04.44.092.A711 Tính tổng của chuỗi sau:  ln

TR ẦN

n 1

Lời giải: Ta xét tổng riêng của chuỗi trên:

i 1

i  (ln1  ln 2)  (ln 2  ln 3)  (ln 3  ln 4)  ...  ln n  ln( n  1)  i 1

Sn   ln

10 00



 ln1  ln(n  1)   ln(n  1)

-H

 S  lim  ln(n  1)  

 Chuỗi phân kì và không tồn tại tổng của chuỗi.

n 

ÁN

-L

Chú ý: trong 1 số trường hợp , khi điều kiện đủ cũng không thể chứng minh chuỗi là hội tụ hay phân kì thì ta có thể tính tổng của chuỗi số ra, nếu tổng đó bằng Const thì chuỗi đó hội tụ, nếu tổng đó không xác định thì chuỗi phân kì. 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

3 . 2

Vậy S 

Đ ẠO

1 1 1 1 1 3  1  1    S  lim Sn  lim 1     n  n  2 n 1 n  2 n 1 n  2

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1   1 1  1 1 1 1 1  1  1            ...        3  2 4 3 5  n  3 n 1   n  2 n 

n 1

IỄ N

ÀN

Bài 03.04.45.093.A711 Tính tổng của chuỗi sau:  n(n  3)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải: Ta xét tổng riêng của chuỗi trên: 

 3 1  1 Sn       i 3 i 1 i (i  3) i 1  i

1   (n  1) 2 

 1 1   1  1 1 Sn    Cos 2  Cos  Cos1  Cos  Cos  Cos       ... i (i  1)2   4  4 9 i 1 

10 00



 1 1  1   Cos 2  Cos  Cos1  Cos .  n (n  1)2  (n  1) 2 

-L

-H

 1  S  lim Sn  lim  Cos1  Cos   Cos1  Cos 0  Cos1  1 . n  n  (n  1) 2  

ÁN

Vậy chuỗi hội tụ và có tổng S  Cos1 1 .

1  1n  n 1 e  e   Bài 03.04.47.095.A711 Tính tổng của chuỗi sau:  n 1   

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 Cos

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



n 1

TR ẦN

Lời giải: Ta xét tổng riêng của chuỗi trên:



  Cos n

H Ư

Bài 03.04.46.094.A711 Tính tổng của chuỗi sau:



Đ ẠO

1 1 1  11  1 1 11   S  lim 1    .Vậy S  .  n  6  2 3 n 1 n  2 n  3  6

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1   1 1  1 1   1 1 1 1 1 1 1  1 1  1  1                ...            4  2 5 3 6  4 7  n  3 n   n  2 n  1   n 1 n  2   n n  3  1 1 1 1 1  1     . 2 3 n 1 n  2 n  3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải: Ta xét tổng riêng của chuỗi trên: 1 1 1 1 1 1 1  1i  1 i 1 3 n n 1 n 1 2 2 Sn    e  e   (e  e )  (e  e )  ...  (e  e )  e  e . i 1  

Ơ H N

1 1    1  1 1   1 2 1  2 2   Sn   3         i  1 i  1  2 i 2  i  1 i i  1  i 2 i  i i 2  i   1  1 2 1   1 2 1   1 2 1   1 2 1                      ... 2  1 2 3   2 3 4   3 4 5   4 5 6 



TR ẦN

H Ư



10 00

2 1   1 2 1  1 2 1   1                n  3 n  2 n  1   n  2 n 1 n   n 1 n n  1 

ÁN

-L

-H

1 1 2 1 1 2 1  1 1 1           2  1 2 2 n n n  1  4 2n 2n  2 1  1 1 1 S  lim S n  lim     n  n  4 2n 2n  2  4 

Vậy chuỗi hội tụ và có S 

1 . 4 3n 2  3n  1  ( n 2  n)3 n 1 

Bài 03.04.49.089.A711 Xét sự hội tụ và tính tổng riêng của chuỗi:

IỄ N

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Lời giải: Ta xét tổng riêng của chuỗi trên:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Đ ẠO



ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1   n 1 S  lim Sn  lim  e  e   e  e0  e . Vậy chuỗi hội tụ và có S  e . n  n   

1 Bài 03.04.48.096.A711 Tính tổng của chuỗi sau:  3 n2 n  n



Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải: Ta xét tổng riêng của chuỗi trên:

1 3i 2  3i  1 n  1 1   1 1 1 1  1 Sn   2 3    3   1  3    3  3   ...   3   1 3  3  (i  3)   2   2 3  (n  3)3 i 1 (i  i ) i 1  i  n (n  3) 

Ơ H N Y 1

n 1

Lời giải: Ta kiểm tra một số điều kiện khi xét hàm này:

TR ẦN

H Ư

1  1  0 . Do đó lim ln 1    ln1  0 .Giống với điều kiện khi 1 n  n  n

chuỗi nào đó bất kì hội tụ.

Mặt khác, ta xét trực tiếp tổng riêng của chuỗi:

 1   i 1  S n   ln  1     ln      ln  i  1  ln i  i i   i 1   i 1 i 1   ln 2  ln1   ln 3  ln 2    ln 4  ln 3  ...   ln( n  1)  ln n 

10 00



-H

 ln(n  1)  ln1  ln(n  1)

S  lim S n  lim ln( n  1)   n 

-L

n 

ÁN

Như vậy, chuỗi này rõ ràng phân kì và không xác định tổng của chuỗi.

Nhận xét: Nếu giới hạn của 1 chuỗi số bất kì khi n tiến tới vô cùng bằng không thì ta không kết luận được điều gì cả. Nhưng nếu giới hạn của chuỗi đó khác không thì chuỗi đó chắc chắn là chuỗi phân kì.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



 ln 1  n 

Đ ẠO

Bài 03.04.49.089.A711 Xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP



IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 1  S  lim Sn  lim 1  1 3 n  n  ( n  3)   Vậy chuỗi trên hội tụ và có S  1 .

Với n   thì



Bài 03.04.49.089.A711 Xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

n n 3

1 5  5n3  4n

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 1 1 A B C D E        3 2 2 n  5n  4n n(n  4)(n  1) n(n  2)(n  2)(n  1)(n  1) n  2 n  2 n  1 n  1 n 1 1 1  AB ,C  D  ,E  24 6 4 1 1 1 1 1 1  5      3 n  5n  4n 24(n  2) 24(n  2) 6(n  1) 6(n  1) 4n

1 96

10 00

Vậy chuỗi ban đầu hội tụ và có tổng S 



Dạng 2: Xét sự hội tụ của chuỗi mang dấu bất kì – tiêu chuẩn Leibnitz

-H

Bài 03.04.01.090.T011   1

n2  n 2

n 1

n 2n



ÁN

-L

n Lời giải: Ta xét chuỗi  n .Có giới hạn sau: n 1 2

an 1 ( n  1) 2 n 1 lim  lim    1 .Như vậy chuỗi n  1 n  a n  2 n 2 n



2 n 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 1 3 3 1  1 1 1       24  1 2 3 4  4 24 96

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q n    Sn 

H Ư

1  1 4 6 4 1  4 6 4 1   1      ...          24  1 2 3 4 5   n  2 n 1 n n  1 n  2 

TR ẦN



1   1 4 6 4 1         24 k 1  k  2 k  1 k k  1 k  2 

Sn 

Đ ẠO

Ta xét tổng riêng của chuỗi trên:

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải: Hàm này là hàm có bậc nằm ở mẫu là bậc cao và có thể tách ra được nên ta dùng phương pháp hệ số bất định để tách chuỗi ra:

hội tụ theo tiêu

IỄ N

chuẩn D’Alembert. Vậy chuỗi ban đầu cũng hội tụ. Bài 03.04.01.091.T011



 Sin n

n 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải: Đầu tiên ta đánh giá hàm này như sau:

n   ( sở dĩ như vậy vì hàm SinU là 1 hàm liên tục và biến thiên trong (-1,1), như vậy với mỗi giá trị của n bất kì cho ta Sin n 2  0 . dấu của hàm là mag dấu âm hay dấu dương , do đó không  lim n 

 Vô lí.

n 

 lim  Sin 2 (2n  1)  Cos 2 (2n  1)   0

H Ư

n 





Sin n

n 1

ÁN

-L

-H

10 00

Bài 03.04.01.091.T011

TR ẦN

Vậy chuỗi ban đầu phân kì.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 lim Cos(2n  1)  0

Đ ẠO

n 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

 lim Sin(2n  1)  0  lim Sin(2n  3)  0 n 

n2  0 Thật vậy, theo chứng minh bằng phản chứng ta có: limSin n 

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 Giới hạn của hàm không bằng không khi

2  Hàm Sin n  R với n  R .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Sin n n3

Do hàm Sinu là 1 hàm biến thiên tuần hoàn trong(-1,1)

n 1

1 n3

là mội chuỗi hội tụ nên chuỗi

Tiêu chuẩn Leibnitz: 

 (1) a n

- chuỗi đan dấu.

n 0

H Ư

Tiêu chuẩn Leibnitz sử dụng cho chuỗi có dạng

Đ ẠO

ban đầu hội tụ tuyệt đối.

Nếu ta có đủ hai tính chất sau của hàm an thì chuỗi lúc đó sẽ hội tụ.

TR ẦN

an là hàm giảm – để chứng minh an là hàm giảm thì chứng minh an'  0n  

10 00

an  0 .  Giới hạn của an khi n   thì tiến dần tới ‘’ 0’’ hay: lim n 

( 1) n 1 Bài 03.04.02.092.T011  n 1 2 n  1



-H

Lời giải: Nhận xét: đây là chuỗi đan dấu và có:

1 2  an'   0n   Đây là hàm giảm. 2n  1 (2n  1) 2

an 

lim an  lim

ÁN

-L

n 

1 0 . n  2n  1 

 2n  1 n 1

IỄ N

Từ đó, chuỗi này hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. Mặt khác, chuỗi này

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



n   .Mà chuỗi



Sin n

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Un 

nên ta không thể xác định chuỗi này dương hay âm. Vậy ta cần lấy dấu giá trị tuyệt đối:

Lời giải: Đặt U n 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

là một dạng cũng giống như chuỗi điều hòa, do vậy thì chuỗi này phân kì.

Chuỗi vừa phân kì, vừa hội tụ thì sẽ là chuỗi bán hội tụ.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

n 1

3) n 

k 0

( 3)   C 2 k

k 0

k n

n k

(  3)   Cnk 2n k ( 3) k  (  3) k  k 0 k

Đ ẠO

 U n  Sin  m   (2  3) n   Sin m Cos  (2  3) n   Cos m Sin  (2  3) n 

p 

H Ư

  n   Sin  ~  Vn n  VCB (2  3) n  (2  3) 

1  1 ( ta coi như 2 3

. Mà chuỗi



V n 1

có

TR ẦN

Ta có: U n  (1)

m 1

      .  0  (1) m Sin   (1) m 1 Sin  n  n   (2  3)   (2  3) 

 là 1 hằng số nên không ảnh hưởng đến tính hội tụ 

V

10 00

hay phân kì của chuỗi ), do vậy chuỗi

theo và hội tụ tuyệt đối.

n 1

hội tụ và chuỗi ban đầu cũng hội tụ

-H

Tuy ví dụ này đã nêu ra ở phần trước, nhưng đây là 1 ví dụ điển hình cho 1 chuỗi bất kì không xác định dấu.

ÁN

-L

( 1) n 1 Bài 03.04.02.094.T012  n n 1 

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

=0 nếu k lẻ hoặc = m  N nếu k chẵn. Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ơ H

n k

k n

(2  3)  (2  3)   C 2 n

Lời giải: Đặt U n  Sin  (2  3)n  .Ta xét khai triển nhị thức Niu Ton sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 Sin  (2 

Bài 03.04.01.093.T011

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải: Đây là chuỗi đan dấu có

 2n  1

 an' 

2

10 00

3  2n  1

-L

n 1

 2n  1

là chuỗi hội tụ .

ÁN



-H

1 lim a  lim 0 - n  n n  (2n  1)3 

Theo tiêu chuẩn Leibnitz thì chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối. Bài 03.04.02.096.T011

(1) n 1 n  n 1 6n  5 

IỄ N

 0n   Đây là hàm giảm.

an 

Đây là chuỗi đan dấu có

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 2n  1

Lời giải:

H N U .Q

n 1



(1)n1

H Ư



TR ẦN

Bài 03.04.02.095.T011

Theo tiêu chuẩn Leibnitz thì chuỗi này là chuỗi bán hội tụ.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n 1

1 là chuỗi phân kì. n



ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1 0 n

an  lim - lim n  n  

1 1  an'   0n   Đây là hàm giảm. 3 n 2 n

an 

Đ ẠO

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải: 

n .Ta xét giới hạn sau đây: n 1 6n  5

n 

n n 1  lim   0 . Giới hạn của hàm không tiến đến 0 . n  6n  5 VCL n  6 n 6

lim an  lim

Đây là chuỗi đan dấu có an  

n 1

n 1

3.5.7...(2n  1) 2.5.8...(3n  1)

3.5.7...(2n  3) 2.5.8...(3n  1) (2n  2)(2n  3)   lim  0 1 n  2.5.8...(3n  2) 3.5.7...(2n  1) n 3n(3n  1)(3n  2)

 lim

n 

U n1

3.5.7...(2n  1) . 2.5.8...(3n  1)

10 00

Xét giới hạn sau đây :

lim

n 1

Lời giải: Đây là chuỗi đam dấu có: U n   1

-H

Như vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi trên hội tụ.

ÁN

-L

Mà chuỗi ban đầu là 1 chuỗi đan dấu nên chuỗi ban đầu sẽ hội tụ tuyệt đối.

Bài 03.04.02.098.T013



  1 n 1

n 1

1.4.7...(3n  2) 7.9.11...(2n  5)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

  1

TR ẦN

Bài 03.04.02.097.T013

H Ư



Vậy chuỗi ban đầu phân kì.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

còn nếu n-1 là 1 số lẻ thì giới hạn tiến tới -1/6  Giới hạn tiến theo 2 hướng khác nhau nên không tòn tại giới hạn).

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

( 1) n 1 n Do đó: không nlim ( do nếu n-1 là 1 số chẵn thì giới hạn sẽ tiến tới 1/6,  6n  5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải: Đây là chuỗi đam dấu có: U n   1

n 1

1.4.7...(3n  2) 7.9.11...(2n  5)

n n

H Ư

n 1

TR ẦN

Lời giải: Đây là chuỗi đan dấu có: U n  (1) n 1 Tan Xét giới hạn sau:

 lim

n 

n n

. Xét chuỗi Vn 

(1) n 1 . n n

n n  1 0 VCB 1 n 1 (1) n n

. Hai chuỗi có cùng tính chất hội tụ hoặc

n 

10 00

lim

(1) n 1 Tan

-H

phân kì , mà chuỗi Vn là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz nên chuỗi bài cho

ÁN

-L

cũng hội tụ và hội tụ tuyệt đối. Bài 03.04.02.099.T013



  1 n 1

n 1

2n n!

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Tan

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n 1

  1

Bài 03.04.02.098.T013



Đ ẠO

Do vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi trên là một chuỗi phân kì.

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Un    1 .

n 

1.4.7...(3n  1) 7.9.11...(2n  5) 3n(3n  1)(3n  1)(3n  2)(2n  5)   lim n  7.9.11...(2n  7) 1.4.7...(3n  2) n (2n  6)(2n  5)(2n  7)(3n  2)

 lim

U n1

lim

Xét giới hạn sau đây :

ÀN

2n Lời giải: Đây là chuỗi đan dấu có an  . n!

IỄ N

an 1 n! 2 n 1 22 n 1 L 22 n 1 ln 2  lim  n2  lim  lim    1 Xét giới hạn sau đây: lim n  a n  (n  1)! n  n  1 n  1 2 n 2

.Do vậy chuỗi ban đầu phân kì.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Ơ H

2

1 n2

1 0 . 2

do với n chẵn thì giới hạn tiến tới

1 còn nếu với n lẻ 2

TR ẦN

 n 1  Bài 03.04.02.101.T013   1   n2 n 1 

H Ư

quả khác nhau, như vậy chuỗi ban đầu phân kì.

1 .Mà không tồn tại giới hạn của 1 điểm mà tiến tới 2 kết 2

 n 1  Lời giải: Đây là chuỗi đan dấu, đặt an    .  n2

10 00

 n 1    1 . Do giới hạn bằng 1 nên ta không n2

-L

có kết luận gì cả.

-H

n a  lim Xét giới hạn sau: lim n  n  n 

 n 1 



1 

n

lim n ln  lim n ln 1 lim    n 1  n n  n2   n2  lim  e  e  en n 2  e1  0 Ta xét trực tiếp giới hạn n   VCB n2

ÁN

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n 



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 lim

Đ ẠO

2n  1 2

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

thì giới hạn tiến tới

(1) n n

2n 2  1

Ta xét giới hạn của hàm trên: lim n 

Do vậy không nlim 

2n 2  1

Lời giải: Đây là chuỗi đan dấu có an 

2n 2  1

n 1

  1

Bài 03.04.02.100.T013



www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

ÀN

 n 1  1 1)  e vì với n chẵn thì giới hạn tiến dần tới còn Như vậy không  lim(  n  n2 n

IỄ N

1 với n lẻ thì giới hạn tiến dần tới e .Không tồn tại giơi hạn tiến đến 2 điểm khác nhau trên trục số nên giới hạn của chuỗi này khong tồn tại. Do vậy chuỗi phân kì.



Bài 03.04.02.101.T013

  1 n 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

n 1

ln 2

n 1 n

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2 Lời giải: Đây là chuỗi đan dấu , đặt an  ln

N Ơ H N Y

1 n2  1  0 1 n2

n 1

n 1

ln n n

Lời giải: Đây là chuỗi đan dấu và có

  1

H Ư

Bài 03.04.02.102.T013

TR ẦN



nên chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối.

ln n 1  ln n  an'   0n   Đây là hàm giảm. n n2

an 

lim an  lim

10 00

ln n 0 n  n

n 



-H

ln n là chuỗi phân kì theo tiêu chuẩn tích phân. -  n 1 n

ÁN

-L

Như vậy chuỗi trên bán hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.

Bài 03.04.02.103.T013



 n 1

(n  1)Sin(2n ) 3

n 7  2n 3  3

, R

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Hai chuỗi có cùng tính chất hội tụ hay phân kì. Mà chuỗi ứng với hàm vn là hội tụ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1  n 1 ln 2  1   n  n  lim  lim n  VCB n  1 1 n2 n2

n 

an  lim n  vn

ln 2

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

lim

1 . Ta có giới hạn sau: n2

Xét hàm vn 

n 1 . n

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

(n  1)Sin(2n ) 3

n 7  2n 3  3



.Mà chuỗi

chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân, do đó chuỗi

U

(1) n Bài 03.04.02.104.T013  n 1 n  ln n

cũng hội tụ

TR ẦN

H Ư



1 n 1 ' n an   an   0n   Đây là hàm giảm. 2 n  ln n  n  ln n 

10 00

Vậy chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối.

Lời giải: Đây là chuỗi đan dấu có:

Đ ẠO

n 1

n 1





-H

1 lim a  lim 0 - n  n n n  ln n 

-L

 1 1    là chuỗi phân kì nên chuỗi đang xét phân kì. n 1 n  ln n n 1 n

ÁN

Như vậy chuỗi ban đầu bán hội tụ.

 (1) n 1

n 1

 ln n  ln 1   n  

IỄ N

ÀN

Bài 03.04.02.105.T013



là một

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n 7  2n 3  3

n 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



n 7  2n 3  3

n 1



(n  1)Sin(2n )

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Un 

Nhận xét: khi n   thì hàm Sin(2n ) biến thiên tuần hoàn trong (-1,1) và không xác định dấu nên ta xét hàm theo dấu giá trị tuyệt đối:

Lời giải: Đặt U n 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

ln n 0 n  n



Vậy cho nên chuỗi ban đầu cùng bán hội tụ.

 ln n  n 1 (  1) ln 1   Bài 03.04.02.106.T013  n n 1  

TR ẦN



ln n  0 . Từ đó ta sử dụng hệ thsch VCB ta được n

10 00

Lời giải: Do khi n   thì

ln n .Ta xét chuỗi n

-H

 ln n  ln 1   n  

H Ư

ln n -  là chuỗi phân kì theo tiêu chuẩn tích phân. n 1 n

Đ ẠO

n 

lim an  lim

an 

ln n 1  ln n  an'   0n   Đây là hàm giảm. n n2



 (1) n 1

n 1

ln n ln n có bộ phận an  n n

-L

- Đây là hàm giảm.

ÁN

an  lim - lim n  n 

ln n 0 n



ÀN

ln n n là chuỗi phân kì theo tiêu chuẩn tích phân. n 1



DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n 1

ln n ln n có bộ phận an  n n

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 (1)n1



ln n .Ta xét chuỗi n

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 ln n  ln 1   n  

ln n  0 . Từ đó ta sử dụng hệ thsch VCB ta được n

Lời giải: Do khi n   thì

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

IỄ N

Vậy cho nên chuỗi ban đầu cùng bán hội tụ.

Bài 03.04.02.107.T013



 (1) n 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

n 1

n   1  1   1    2   n  

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

an là hàm giảm.

N Y

n   (1  n4 ) n2  n4 n2 1  Lời giải: Xét bộ phận an   1  4   1  , đây là chuỗi đan 4 n2 n   n   dấu có

TR ẦN

H Ư

an là hàm giảm.

10 00

(1  n 4 ) n  n 4 n 2

lim an  lim

n 

4 n2

n 

n4n  n4n 2

 lim

VCL n 

-H

Theo tiêu chuẩn Leibnitz thì chuỗi ban đầu hội tụ.

ÁN

-L

nn2 (  1)   Bài 03.04.02.108.T013   n  n 1 

4 n2

0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n 1

 (1)

n 1

Đ ẠO

n   1   1  4   1  n     2



Bài 03.04.02.108.T013

Theo tiêu chuẩn Leibnitz thì chuỗi ban đầu hội tụ.

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

n2n  n2n (1  n 2 ) n  n 2 n an  lim  lim 0 - lim n  n  VCL n  n2n n2n

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n   (1  n 2 ) n  n 2 n 1  Lời giải: Xét bộ phận an   1  2   1  , đây là chuỗi đan dấu 2n n n     có

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

n 

U n1 Un

1.3.5...(2n  1) 3.5.8...(3n  1) 2n(2n  1)   lim  0 1 n  3.5.8...(3n  2) 1.3.5...(2n  1) n  3n(3n  1)(3n  2)

10 00

lim

1.3.5...(2n  1) , có giới hạn sau đây: 3.5.8...(3n  1)

n Lời giải: Xét U n  ( 1)

TR ẦN

n 1

1.3.5...(2n  1) 3.5.8...(3n  1)

Bài 03.04.02.109.T013  (1)

H Ư



Đ ẠO

đến  , mà nếu n là một số lẻ thì giới hạn sẽ tiến dần đến   Không thể cùng tồn tại giới hạn của 1 điểm mà tiến tới 2 điểm khác nhau được. Do đó chuỗi này phân kì.

 lim

-H

Chuỗi mang dấu trị tuyệt đối của nó hội tụ nên chuỗi ban đầu mang tính chất hội tụ tuyệt đối.

ÁN

-L

( 1) n  1 Bài 03.04.04.110.CĐ002  n 1 n  ln n 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

vì nếu n là một số chẵn thì ới hạn sẽ tiến dần

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 2 1) n 1   Như vậy không  lim( n   n

2

2 lim n 2 ln 1  lim n 2 . lim 2 n  2 n  n lim an  lim 1    e  e n n  e n    0 . n  n  VCB  n



.Ta có giới hạn sau:

n2  2 Lời giải: Xét bộ phận an     1    n   n

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

(1) n  1 (1) n  1   Vn Lời giải: Xét U n  n  ln n n

Xét chuỗi sau:  (1) n 1   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   1  Vn                ...    2.  2.  2.  ...     n n  2 2 3 3 4 4 5 5 4 6   2  n 1 n 1  



H Ư TR ẦN B 10 00 A Ó -H Ý -L ÁN TO

IỄ N

ÀN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q



n2  a 2 , a  R

Bài 03.04.04.111.CĐ002

 Sin  

Đ ẠO

Như vậy chuỗi này có tổng tiến ra vô hạn nên theo định nghĩa chuỗi này là chuỗi phân kì. Do vậy chuỗi ban đầu cũng là chuỗi phân kì.

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

(Tổng của các con số khi n là chẵn , tổng sẽ tiến dần ra vô hạn )

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 .Ta xét khai triển sau đây: U  Sin  n  a   Sin  n  a  n  n   Sin  n  a     Sin  n  a  n  Cos n  Sin n Cos  n  a  n    1 Sin   n  a  n    0 Cos  n  a  n    2

   a2  (1) Sin   2 2 2  n a n     a2  a2 n n  (1) Khi n   thì U n  (1) Sin  . 2 2 2 VCB n2  a 2  n2  n a n  chuỗi  (1)

n a n 2

n 1

n2  a 2  n2

a

 n 1

(1) n

n2  a 2  n2

có

bộ

phận



10 00

an 

TR ẦN

 a2



Xét

H Ư

Đ ẠO

-H

n a n 2

0

n2  a 2  n

ÁN



-L



an  lim - lim n  n 

- an là hàm giảm.

n 1

là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh II. 

 n 1

n2  a 2  n2

là chuỗi đan dấu hội

ÀN

Do vậy theo tiêu chuẩn Leibnitz thì chuỗi

(1)n

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



 n   a  



Lời giải: Đặt U n  Sin  n  a

IỄ N

tụ tuyệt đối. Mà chuỗi này là chuỗi tương đương của chuỗi ban đầu nên chuỗi ban đầu cũng hội tụ tuyệt đối. 

Bài 03.04.04.112.CĐ002

 n 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(1)n  2Cos na n(ln n)

,aR

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

(1)n  2 Cos na n(ln n)

. Qua trực quan, ta thấychuỗi này có tử

n 3

là hàm giảm.

1 3

1 n(ln n)

Y U .Q

là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân.

Ó -H

là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz và chuỗi hội tụ tuyệt đối

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

U n 3

0 2

n(ln n)



Vậy chuỗi

đây là chuỗi đan dấu có :

 U1n  U 2 n .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

an  lim - lim n  n 



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

n(ln n)



n(ln n)

- an 

2Cos na

n(ln n)



H Ư

n 3

n(ln n)

TR ẦN



(1)n



 Xét chuỗi



n(ln n)

(1)n

Đ ẠO

(1)n  2Cos na

10 00

Un 

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

gồm tổng của hai thành phần, một thành phần là bộ phận xen dấu , một bộ phận thì làm chuỗi biến thiên dương âm bất kì. Do vậy hàm này không xác định dấu ( chứ không phải dạng chuỗi giống như Leibnitz ) . Ta tách thành 2 chuỗi riêng biệt:

Lời giải: Đặt U n 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com



 x(ln x) 3

dx  2  3

d (ln x) (ln x)

1  ln x







N Ơ

- tích phân

1  Tích phân này hội tụ ln 3

là chuỗi hội tụ tuyệt đối.

TR ẦN

n 3

H Ư



U

n(ln n)

dx .

 Chuỗi ứng với tích phân đó hội tụ theo  Chuỗi

n 3

ÁN

-L

-H

10 00

Tổng của hai chuỗi hội tụ tuyệt đối là một chuỗi hội tụ tuyệt đối nên chuỗi ban đầu là chuỗi hội tụ tuyệt đối.

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 x(ln x) 3





DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



tương ứng với chuỗi là:



 Vn n   . Xét tiếp chuỗi

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Ta có:

n(ln n)



n(ln n)

2Cos na

n(ln n )

có a2 n 

n 3

Đ ẠO



 Xét chuỗi

a2 n 

2 Cos na



www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề Không gian vecto

Bài 04.02.1.001.T168

N Đ ẠO

c) p1  2  3x  x 2 và p2  6  9x  3x 2 trong P2

Lời giải:

TR ẦN

H Ư

1 3  1 3 d)A   ,B     trong M2 2 0  2 0    

10 00

c1v1  c2v2  ...  cmvm   (*)

Họ vecto v1 , v2 ,...., vm  của không gian vecto V là ĐLTT nếu phương trình: Đối với các ẩn ci chỉ có nghiệm tầm thường ci  0

-H

Họ trên là phụ thuộc tuyến tính nếu phương trình (*) có nghiệm không tầm thường tức là nghiệm  c1, c2 ,...., cm  với ít nhất một ci  0

-L

a) Xét

ÁN

 u1   u2   0,0    1, 2     3, 6    0,0     3 , 2  6     0,0 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

b)u1   2,3 , u2   5,8 và u3   6,1 trong

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a)u1  1,2  và u2   3, 6  trong

Các tập sau đây là ĐLTT hay PTTT:

IỄ N

  3  0 Do đó  ,  là nghiệm hệ:  2  6  0   3 Hệ phương trình này là một hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường    1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy họ u1, u2  là PTTT. b) Xét

 u1   u2   u3   0,0 

   2,3    5,8     6,1   0,0 

TR ẦN

Vậy hệ đã cho là phụ thuộc tuyến tính. c) Xét

 p1   p2  0  0 x  0 x 2  P2

10 00

   2  3x  x 2     6  9 x  3x 2   0  0 x  0 x 2   2  6    3  9      3   0  0 x  0 x 2

-L

-H

2  6   0  Do đó  ,  là nghiệm hệ 3  9   0   3  0 

ÁN

Ba phương trình trên tương đương với một phương trình cuối:

  3  0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

Đây là một hệ phương trình thuần nhất có số phương trình ít hơn số ẩn nên ta có vô số nghiệm chẳng hạn xem  tùy ý ta tính được  và  theo  . Do đó nó có nghiệm không tầm thường.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Đ ẠO

2  5  6  0 Do đó  ,  là nghiệm hệ  3  8    0

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

  2  5  6 ,3  8      0,0 

ÀN

  3 Nó có nghiệm không tầm thường    1

IỄ N

Vậy họ  p1 , p2  là PTTT. d) Xét

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

0 0  0 0 1 3  1 3   0 0       2 0    0 0   2 0     3  3   0 0         2   2  0  0    0 0 

N Ơ H N Y

TR ẦN

  1 Nó có nghiệm không tầm thường    1

10 00

Vậy họ  A, B đã cho là PTTT. Bài 04.02.1.002.T169

Ó 3

-H

a) 1,2,3 ,  3,6,7  trong

Các tập dưới đây là ĐLTT hay PTTT:

-L

b)  4, 2,6  ,  6, 3,9  trong

ÁN

c)  2, 3,1 ,  3, 1,5 , 1, 4,3 trong

d)  5,4,3 ,  3,3,2  , 8,1,3 trong

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

Bốn phương trình này tương đương phương trình đầu     0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q G

Đ ẠO

    0 3  3  0  Do đó  ,  là nghiệm hệ  2  2   0 0  0   0

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

A B  

Lời giải:

IỄ N

a) Xét

 1, 2,3    3,6,7    0,0,0     3 , 2  6 ,3  7     0,0,0 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

  3  0  Do đó  ,  là nghiệm hệ 2  6   0 3  7   0 

H N Y

  4, 2,6     6, 3,9    0,0,0 

  4  6 , 2  3 ,6  9    0,0,0 

-H

10 00

4  6   0  Do đó  ,  là nghiệm hệ 2  3  0  2  3  0 6  9  0 

-L

  3 Nó có nghiệm không tầm thường     2

ÁN

Vậy họ  4, 2,6  ,  6, 3,9  là PTTT. c) Xét

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO G N

TR ẦN

b) Xét

H Ư

Vậy họ vecto 1,2,3 ,  3,6,7  là ĐLTT trong

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 14  18  4  0

3 7

  0 nên chỉ có nghiệm tầm thường    0

IỄ N D

2 6

Hệ này có định thức  

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2  6  0 Hệ này tương đương hệ hai phương trình cuối  3  7   0

  2, 3,1    3, 1,5   1, 4,3   0,0,0    2  3   , 3    4 ,  5  3    0,0,0 

2  3    0  Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ 3    4  0   5  3  0 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Hệ này có định thức   3 1 4  35  0 1 5 3

H N Y U .Q TP

Vậy hệ đã cho là ĐLTT.

Đ ẠO

d)Xét

  5, 4,3    3,3, 2    8,1,3   0,0,0 

10 00

5 3 8

TR ẦN

5  3  8  0  Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ 4  3    0 3  2  3  0 

H Ư

  5  3  8 , 4  3   ,3  2  3    0,0,0 

Hệ này có định thức   4 3 1  0 3 2 3

-H

Nên hệ có nghiệm không tầm thường.

-L

Vậy họ đã cho là PTTT. Bài 04.02.1.003.T169

ÁN

Các tập dưới đây là ĐLTT hay PTTT:

a)  4, 5,2,6  ,  2, 2,1,3 ,  6, 3,3,9  ,  4, 1,5,6  trong

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

  0  Nên chỉ có nghiệm không tầm thường    0   0 

IỄ N

b) 1,0,0,2,5 ,  0,1,0,3,4  ,  0,0,1,4,7  ,  2, 3,4,11,12 trong

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải: a) Xét

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

  4, 5, 2,6     2, 2,1,3    6, 3,3,9     4, 1,5,6    0,0,0,0    4  2  6  4 , 5  2  3   , 2    3  5 ,6  3b  9  6 

N 3

Nên không có nghiệm tầm thường. Vậy họ vecto đã cho là PTTT.

N Y U .Q TP

10 00

b) Xét:

0

 1,0,0, 2,5    0,1,0,3, 4     0,0,1, 4,7     2, 3, 4,11,12    0,0,0,0,0 

   2 ,   3 ,   4 , 2  3  4  11 ,5  4  7  12    0,0,0,0,0 

-H

Do đó  ,  ,  ,  là nghiệm hệ

ÁN

-L

  2  0   2  0    3  0      3  0    4  0 2  3  4  11  0   4  0  14  0 5  4   7  12  0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

5 2 3 1

Đ ẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

Hệ này có định thức  

H Ư

4  2   6  4  0 5  2   3    0   2    3  5  0 6  3b  9  6  0

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Do đó  ,  ,  ,  là nghiệm hệ

IỄ N

  0   0  Do đó nó có nghiệm duy nhất  là nghiệm tầm thường.   0    0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy hệ đã cho là ĐLTT. Bài 04.02.1.004.T169

Tập nào trong P2 dưới đây là PTTT:

a) 2  x  4 x 2 , 3  6 x  2 x 2 , 1  10 x  4 x 2

Lời giải:

a) Xét:

H Ư

  2  x  4 x 2     3  6 x  2 x 2    1  10 x  4 x 2   0  0 x  0 x 2  P2

TR ẦN

  2  3        6  10  x   4  2   4  x 2  0  0 x  0 x 2

10 00

2  3    0  Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ   6   10  0 4  2   4  0  1

-H

Hệ này có định thức 1 6 10  6  0 4 2 4

ÁN

-L

  0  Nên chỉ có nghiệm tầm thường    0   0 

ÀN

Vậy họ vecto đã cho là ĐLTT.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q Đ ẠO

d ) 1  3x  3x 2 , x  4 x 2 , 5  6 x  3x 2 , 7  2 x  x 2

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

c) 6  x 2 , 1  x  4 x 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

b) 3  x  x 2 , 2  x  5 x 2 , 4  3 x 2

IỄ N

b) Xét:

  3  x  x 2     2  x  5 x 2     4  3x 2   0  0 x  0 x 2   3  2   4       x    5  3  x 2  0  0 x  0 x 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N Y N

Vậy họ vecto đã cho là ĐLTT.

H Ư

c) Xét:

TR ẦN

  6  x 2    1  x  4 x 2   0  0 x  0 x 2   6      x     4  x 2  0  0 x  0 x 2

10 00

 6    0   0 Do đó  ,  là nghiệm hệ  a  4  0 

-L

-H

  0 Hệ này chỉ có nghiệm tầm thường    0

d) Xét:

ÁN

Vậy họ vecto đã cho là ĐLTT.

 1  3x  3x 2     x  4 x 2     5  6 x  3 x 2     7  2 x  x 2   0  0 x  0 x 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q Đ ẠO

  0  Nên chỉ có nghiệm tầm thường    0   0 

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Hệ này có định thức 1 1 0  39  0 1 5 3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

3  2   4  0  Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ     0   5  3  0 

   5  7    3    6  2  x   3  4   3    x 2  0  0 x  0 x 2

IỄ N

Do đó  ,  ,  ,  là nghiệm hệ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Đây là một hệ thuần nhất mà số phương trình ít hơn số ẩn nên có nghiệm không tầm thường.

  5  7  0  3    6  2  0 3  4   3    0 

c) 1,sin x,sin 2 x

d ) cos 2 x,sin 2 x,cos 2 x

e) 1  x  , x 2  2 x,3

f ) 0, x, x 2

H Ư

TR ẦN

Lời giải:

10 00

1  sin 2 x  cos 2 x

a) Ta có:

1 4sin 2 x   2cos 2 x  2 1  2   4sin 2 x   2cos 2 x  0 2

-H

2

ÁN

b) Xét:

-L

Vậy họ đã cho là PTTT.

 x   cos x  0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

b) x,cos x

a) 2, 4sin 2 x,cos 2 x

Đ ẠO

Tập nào trong C  ,   dưới đây là PTTT:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

Bài 04.02.1.005.T169

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Vậy họ vecto đã cho là PTTT.

ÀN

Thay x  0    0

IỄ N

Thay x 

 2



 2

 0  0

Vậy họ đã cho là ĐLTT. c) Xét:

   sin x   sin 2 x  0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H N

 0

Đ ẠO

d) Xét:

 cos 2 x   sin 2 x   cos 2 x  0

   cos 2 x  sin 2 x    sin 2 x   cos 2 x  0

H Ư

     cos 2 x       sin 2 x  0

    0



10 00

Thay x 

TR ẦN

Thay x  0      0

-H

  1  Ta suy ra chẳng hạn    1 thỏa mãn, nên có nghiệm không tầm thường.   1 

Vậy họ đã cho là PTTT

-L

e) Xét:

ÁN

 1  x     x 2  2 x    .3  0 2

   3   2  2   x      x 2  0  0 x  0 x 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Vậy họ đã cho là ĐLTT.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



 0

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Thay x 



Thay x 

Thay x  0    0

IỄ N

  3  0   3  0  Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ 2  2   0       0     0 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

  3  Hệ có nghiệm không tầm thường    3   1 

Vậy họ đã cho là PTTT.

f) Ta thấy

 v1   v2   v3   0,0,0 

Xét

-H

10 00

1 1 1   1  1 1      ,  ,       ,  ,       ,  ,     0,0,0  2 2 2   2  2 2  1 1 1 1 1 1          ,       ,          0,0,0  2 2 2 2 2 2  

ÁN

-L

Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ

1 1       0  2 2  1  1        0 2  2 1  1        0  2 2 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Lời giải:

 1 1  v3    ,  ,    2 2 

TR ẦN

1  1 v2    ,  ,   2  2

H Ư

1 1  v1    ,  ,   2 2 

Tìm  thực làm cho các vecto sau đây phụ thuộc tuyến tính trong

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Bài 04.02.1.006.T169

IỄ N D

.Q Đ ẠO

Vậy họ đã cho là PTTT.

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1.0  0 x  0 x 2  0

Hệ này là một hệ thuần nhất có 3 phương trình phụ thuộc tham số  . Định thức của hệ là

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

1 2

1 2 1 3 1 1 2    3        1 2  1 2 4 4 4

1 2



do đó họ đã cho là ĐLTT.

TR ẦN

H Ư

  1  Nếu  1 thì   0 hệ có nghiệm không tầm thường,     2

10 00

Do đó họ đã cho là PTTT. Bài 04.02.1.007

Cho hệ véctơ 1 , 2 ,..., m ĐLTT trong không gian véctơ V . Chứng minh:

-H

a)Hệ vecto 1  1, 2   2   2 ,..., m  1   2  ...   m cũng ĐLTT

ÁN

-L

b)Hệ vecto:

 1  a111  ...  a1m m  2  a211  ...  a2 m m

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

Đ ẠO

  1  Nếu  1 thì   0 hệ chỉ có nghiệm tầm thường,     2

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Vậy:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN







1 2 1  2

 





www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 m  am11  ...  amm m

IỄ N

ĐLTT khi và chỉ khi det A  0 , trong đó:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

am 2

N Ơ

a22

a1m  ... a2 m     ... amm 

...

a12

 a11 a A   22    am1

Lời giải:

Vậy 1,...., m ĐLTT.

-H

b) Giả sử c1 1  c2 2  ...  cm m  0, c j 

ÁN

-L

  a11c1  a21c2  ...  am1cm 1   a12c1  a22c2  ...  am 2cm  2

  a1mc1  a2 mc2  ...  ammcm  m  0

 a11c1  a21c2  ...  am1cm  0  a c  a c  ...  a c  0  22 2 m2 m   12 1 (*)  a1m c1  a2 mc2  ...  ammcm  0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

0

10 00

0

Suy ngược từ dưới lên, ta có: bm  bm1  ...  b1  0

IỄ N D

0

H Ư

b1  b2  ...  bm 1  bm  b2  ...  bm 1  bm    bm 1  bm  bm 

Đ ẠO

Vì 1,....,m ĐLTT nên ta có:

  b1  ...  bm 1   b2  ...  bm  2  ...  bm m  0

 b11  b2 1   2   ...  bm 1   2  ...   m   0

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a) Giả sử b11  b2 2  ...  bm m  0, bi 

Hệ vecto  1 ,  2 ,...,  m ĐLTT khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính (*) có

nghiệm duy nhất (0, 0, …, 0) khi và chỉ khi ma trận các hệ số của hệ (*) không suy biến hay det A  0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Cho V là không gian vectơ trên R và x, y, z thuộc V. Chứng minh rằng {x,y,z} ĐLTT khi và chỉ khi { x + y, y + z, z + x } cũng ĐLTT.

N Y

10 00

2) Giả sử x  y, y  z, z  x ĐLTT. Ta sẽ chứng minh  x, y, z ĐLTT

1x  2 y  3 z  0

Ta có:

ÁN

-L

-H

               1  2  3  x  y    1  2  3  y  z    1  2  3  z  x  0 2 2 2 2 2 2   2  2  2  1  2  3  2  2  2 0        1  2  3  0 Vì  x  y, y  z, z  x ĐLTT 2 2  2  1  2  3  2  2  2 0 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Vậy x  y, y  z, z  xx  y, y  z, z  x ĐLTT.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

TR ẦN

H Ư

1   3  0   1   2  0 vì  x, y, z ĐLTT     0 3  2

Đ ẠO

 1   3  x  1   2  y   2   3  z  0

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

1) Giả sử x, y, zx, y, z ĐLTT. Ta sẽ chứng minh x  y, y  z, z  xx  y, y  z, z  x ĐLTT. Ta có: 1  x  y    2  y  z    3  z  x   0

Lời giải:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 04.02.1.008

 1   2  3  0 Vậy  x, y, z ĐLTT

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 04.02.1.009.T170 Hãy giải thích tại sao các tập sau không phải là cơ sở của không gian tương ứng.

N Ơ

b) u1   1,3,2  , u2   6,1,1 đối với

a) u1  1,2  , u2   0,3 , u3   2,7  đối với

10 00

a) Số vecto của họ u1 , u2 , u3 là 3 trong khi số chiều của không gian 3

là 2   3

là 3   2

b)Số vecto của họ u1, u2  là 2 trong khi số chiều của không gian

-H

c)Số vecto của họ  p1 ,p2  là 2 trong khi số chiều của không gian P2 là 3   2

ÁN

  5

-L

d)Số vecto của họ  A, B,C,D,E là 5 trong khi số chiều của không gian M 2 là 4

Bài 04.02.1.010.T170

ÀN

b)  4,1 ,  7,8 

c)  0,0  , 1,3

d )  3,9  ,  4, 12 

a )  2,1 ,  3,0 

IỄ N

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

Muốn cho một họ vecto là cơ sở của một không gian hữu hạn chiều thì một điều kiện cần là số vecto của họ phải bằng số chiều của không gian. Do đó nếu một họ vecto có số vecto khác số chiều của không gian thì nó không thể là một cơ sở được.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U N

đối với M 2

Lời giải:

Họ nào dưới đây là cơ sở trong

7 1 E=    2 9

5 1  D , 4 2  

3 0  C  1 7 

Đ ẠO

 6 0 B ,  1 4  

 1 1 A , 2 3  

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

c) p1  1  x  x 2 , p2  x  1 đối với P2

Lời giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

là một cơ sở của

, điều kiện

7 8

 32  7  25  0

0 0 1 3

0

TR ẦN

H Ư

Vậy họ  4,1 ,  7, 8 là một cơ sở

Vậy họ  0,0  , 1,3 không phải là cơ sở 3

4 12

0

10 00

-H

Vậy họ  3,9  ,  4, 12  không phải là cơ sở

-L

Bài 04.02.1.011.T170

ÁN

Họ nào dưới đây là cơ sở trong

a) 1,0,0  ,  2, 2,0  ,  3,3,3 b)  3,1, 4  ,  2,5,6  , 1, 4,8 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Vậy họ  2,1 ,  3,0  là một cơ sở

 3  0

3 0

2 1

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

cần và đủ là nó ĐLTT. Muốn cho một họ gồm n vecto của n là ĐLTT, điều kiện cần và đủ là định thức của ma trận có các hàng hay cột tạo bởi các vecto của họ viết thành hàng hay cột phải khác 0.

Muốn cho một họ gồm n vecto của không gian

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

c)  2, 3,1 ,  4,1,1 ,  0, 7,1

IỄ N

d ) 1,6, 4  ,  2, 4, 1 ,  1, 2,5 

Lời giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 0 0

Ơ H

Vậy họ 1,0,0  ,  2,2,0  ,  3,3,3 là một cơ sở của

a) 2 2 0  6  0 3 3 3

Y G

2 3 1

H Ư

c) 4 1 1  0 0 7 1

TR ẦN

Vậy họ  2, 3,1 ,  4,1,1 ,  0, 7,1 không phải là cơ sở của

10 00

d) 2 4 1  0 1 2 5

-H

Vậy họ 1,6,4  ,  2,4, 1 ,  1,2,5  không phải là cơ sở của

Bài 04.02.1.012.T170

ÁN

-L

Họ nào dưới đây là cơ sở trong P2 :

a) 1  3x  2 x 2 ,1  x  4 x 2 ,1  7 x b) 4  6 x  x 2 , 1  4 x  2 x 2 ,5  2 x  x 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Vậy họ  3,1, 4  ,  2,5,6  , 1,4,8 là một cơ sở của

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

6  26  0

Đ ẠO

b) 2 5 1 4

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

3 1 4

ÀN

c) 1  x  x 2 , x  x 2 , x 2

IỄ N

d )  4  x  3x 2 ,6  5 x  2 x 2 ,8  4 x  x 2

Lời giải: P2 là một không gian 3 chiều. Muốn cho 3 vecto:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

p  a0  a1 x  a2 x 2 q  b0  b1 x  b2 x 2

r  c0  c1 x  c2 x 2

Là một cơ sở của P2 điều kiện cần và đủ là   0 :

Y G

a) 3 1 7  0 2 4 0

H Ư

Vậy họ 1  3x  2 x 2 ,1  x  4 x 2 ,1  7 x không phải là một cơ sở của P2.. 4 1

2 0

1

TR ẦN

b) 6 1

10 00

Vậy họ 4  6 x  x 2 , 1  4 x  2 x 2 ,5  2 x  x 2  không phải là một cơ sở của P2..

-H

c) 1 1 0  1  0 1 1 1

1 0 0

ÁN

-L

Vậy họ 1  x  x 2 , x  x 2 , x 2  là một cơ sở của P2.. 4 6 8

5 4  26  0 2 1

ÀN

d) 1 3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

Đ ẠO

  0 thì họ  p, q, r không phải là cơ sở của P2

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

  0 thì họ  p, q, r là một cơ sở

IỄ N

Vậy họ 4  x  3x 2 ,6  5 x  2 x 2 ,8  4 x  x 2  là một cơ sở của P2.. Bài 04.02.1.013.T170 Chứng minh rằng họ sau đây là cơ sở trong M 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

8   1 0  , 4   1 2  0 1 

3 6   0 1  0 a)   ,  1 0  ,  12 3  6      1 0   0 1  0 0  0 b)   ,  0 0  , 1 0  ,  0 0 0       

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 A   B   C   D  0 (*)

H Ư

Chỉ có nghiệm tầm thường         0

TR ẦN

a) Phương trình (*) viết thành:

3 6   0 1  0 8   1 0  0 0            0 0  3  6  1 0  12  4  1 2           3   6    8  0 0      0 0  3     12     6   4   2     

ÁN

-L

-H

Do đó  ,  ,  ,  là nghiệm hệ

10 00



3    0 6    8  0   3    12    0 6  4  2  0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

tuyến tính tức là nếu phương trình

Đ ẠO

Một họ 4 ma trận cấp hai  A, B, C , D là cơ sở của M 2 nếu  A, B, C , D độc lập

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

M 2 là không gian 4 chiều.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Lời giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1

8

1 12 1

6

N G N

0 0  0 0  0 0  1 0     0 1    0 0       

H Ư

1  0  0 0 

TR ẦN

1 0  0   0 0  0     0    0     



Đ ẠO

b) Phương trình (*) viết:

Ta suy ra         0

Bài 04.02.1.014.T171

10 00

 1 0   0 1   0 0   0 0   Vậy họ    , 0 0  , 1 0  , 0 1   là một cơ sở của M 2 0 0        

ÁN

-L

-H

Xác định số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm các hệ sau: 2 x1  x2  3 x3  0  x  y  z  0 1)  x1  2 x2  0 3 x  2 y  z  0 x  x  0  3  2 3) 2 x  4 y  z  0  x1  3 x2  x3  0 4 x  8 y  3 z  0   2) 2 x1  6 x2  2 x3  0 2 x  y  2 z  0 3 x  9 x  3 x  0 2 3  1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

Vậy họ  A, B, C , D đã cho là một cơ sở của M 2

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Do đó hệ chỉ có nghiệm tầm thường         0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

4

 48  0



Hệ này có định thức

Lời giải: 1) Xét hệ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2 x1  x2  3 x3  0   x1  2 x2  0 x  x  0 3  2

Hệ này có 3 phương trình 3 ẩn với định thức

2 1 3

W   0,0,0   dim  W   0 và W không có cơ sở.

H Ư

2) Xét hệ

TR ẦN

 x1  3 x2  x3  0  2 x1  6 x2  2 x3  0 3x  9 x  3x  0 2 3  1

10 00

Ba phương trình này tương đương một phương trình đầu

x1  3x 2  x3  0

-H

Vậy nghiệm hệ có dạng x2 và x3 tùy ý, x1  3x 2  x3

Do đó W  3x2  x3 , x2 , x3 x2 , x3 tùy ý.

 x2  3,1,0   x3  1,0,1

ÁN

-L

Ta nhận thấy  3x 2  x3 , x2 , x3   3x 2 , x2 ,0    x3,0, x3 

Vậy hai vecto u   3,1,0  và v   1,0,1 sinh ra W.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Vậy hệ đã cho chỉ có nghiệm tầm thường  0,0,0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

0 1 1

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 1 2 0 60

Chúng lại độc lập tuyến tính vì từ

IỄ N

3    0   u   v    3,1,0    1,0,1   0,0,0    0   0 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Nghĩa là từ  u   v   0,0,0       0 Vì u, v sinh ra W và độc lập tuyến tính nên W là không gian hai chiều và u, v là

một cơ sở.

H N 7

4

Vậy hệ chỉ có nghiệm tầm thường x  y  z  0

W   0,0,0   dim  W   0 W không có cơ sở.

-H

Do đó

Bài 04.02.1.015.T171

-L

Xác định số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm các hệ sau:

ÁN

3x1  x2  x3  x4  0 1)  5 x1  x2  x3  x4  0 3x1  x2  2 x3  0  2) 4 x1  5 x3  0  x  3x  4 x  0 2 3  1

2 x1  4 x2  x3  x4  0  x  5x  2 x  0 2 3  1 3) 2 x2  2 x3  x4  0  x  3x  x  0 2 4  1  x1  2 x2  x3  x4  0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1

0 0  0  0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP Đ ẠO 4

0 1 1 1 0   0 1 4 h3 6 h 2  h3   0   h4 4h2h4 0 0 23  0  0 0 23 0 

H Ư

TR ẦN

0 1 1 0  h 2  3h1 h 2 0 1   h 3  3 h1 h 3  0 6 0   h 4  4 h1 h 4  h 5  2 h1 h 5  0 0 4 0 1 0 

10 00

1 1 1  3 2 1   2 4 1   4 8 3  2 1 2

Đây là một hệ thuần nhất có 5 phương trình 3 ẩn. Ta giải nó bằng biến đổi sơ cấp:

IỄ N D

x  y  z  0 3 x  2 y  z  0  2 x  4 y  z  0 4 x  8 y  3z  0   2 x  y  2 z  0

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

3) Xét hệ

Lời giải: 1) Ta có hệ:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

5 1

 8  0

Xét định thức của ma trậ các hệ số của x1 , x2  

3x1  x2  x3  x4  0  5x1  x2  x3  x4  0

TR ẦN

H Ư

1 1   1   1  x    x3 ,  x3  x4 , x3 , x4      x3 ,  x3 , x3 ,0    0,  x4 ,0, x4   4 4  4   4  

 1 1   x3   ,  ,1,0   x4  0, 1,0,1  4 4 

10 00

 1 1  Vậy hai vecto u    ,  ,1,0  , v   0, 1,0,1 sinh ra tập W.  4 4 

-H

Hơn nữa chúng lại ĐLTT vì từ  u   v   0,0,0,0 

-L

1 1     0,      0,  0,   0 4 4

ÁN

Tức là điều kiện  u   v   0,0,0,0 chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi     0 Vậy W có số chiều bằng 2 và nhận u, v làm một cơ sở.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Vậy nghiệm của hệ có dạng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP Đ ẠO

chính x1 , x2 ta được:

1   x1   4 x3  x   1 x  x 3 4  2 4

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Do đó ta xem x3 , x4 là ẩn tự do có thể lấy giá trị tùy ý và giải hệ trên đối với cấc ẩn

IỄ N

ÀN

2) Xét hệ: 3 x1  x2  2 x3  0  4 x1  5 x3  0  x  3x  4 x  0 2 3  1

Đây là một hệ thuần nhất 3 phương trình ba ẩn, có định thức:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 4

5  10  0

1 3 4

do đó hệ chỉ có nghiệm tầm thường  0,0,0   W   0,0,0 

4

0 1 0 5 2 0 0    doi  hang  1 2 2 1 0     3 0 1 0 1  2 2 1 1 0  0 1 5 2  h3 4 h 2  h3 0 2 2 1 3  h4 h2h4 2   0 0 10 3 h 5  3h 2  h 5  0 0 6 1 / 2 0 0 9 2 1

5

0 1 5 2 2 1 0  h 3  h1 h 3 0 2   h 4  h1 h 4  0 8 3 0 1 0   h 5  2 h1 h 5   2 1 1 0  0 3 0 6 4 1 1 0  0 0 1 5 2   0 0 2 2 1  h 4  3 h 3 h 4  5  0 0 10 0   3 9 h 5  h 3 h 5   10 0 0 13 / 10 0 0 0 0 0  0 7 / 10 2

ÁN

-L

-H

10 00

2 1  0  1 1

TR ẦN

Đây là một hệ thuần nhất có 5 phương trình 4 ẩn. Ta giải nó bằng biến đổi sơ cấp: 2 2 2 3 3 0 0  0  0 0 

0 1 0   1 0  1 0 1 0  0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

Đ ẠO

2 x1  4 x2  x3  x4  0  x  5x  2 x  0 2 3  1 2 x2  2 x3  x4  0  x  3x  x  0 2 4  1  x1  2 x2  x3  x4  0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

3) Xét hệ:

 x1  0 x  0  2 Vậy hệ chỉ có nghiệm tầm thường   x3  0  x4  0

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Vậy không gian các nghiệm của hệ đã cho có số chieièu bằng 0 và không có cơ sở.

Do đó W   0,0,0,0   dim  W   0 W không có cơ sở.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 04.02.1.016.T171 Xác định cơ sở của các không gian con của

a) Mặt phẳng 3x  2 y  5 z  0

H N Y 3x  2 y  5z  0

Xem y và z tùy ý ta có:

x

TR ẦN

 5 2  W   x, y, z    y  z, y, z   y,z tùy ý 3 3  

10 00

Vậy

1  2 y  5z  3

H Ư

a) Xét phương trình:

Lời giải:

2   5  y  ,1,0   z   ,0,1 3   3 

-H

5 2  2   5  Ta có:  y  z, y, z    y, y,0     z,0, z   3 3  3   3 

-L

2   5  Vậy hai vecto u   ,1,0  , v    ,0,1 sinh ra W. 3   3 

ÁN

2   5  Chúng ĐLTT vì từ  u   v    ,1,0      ,0,1   0,0,0  3   3  2 5     0,  0,   0 3 3

ÀN

Ta suy ra

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

d) Các vecto có dạng  a, b, c  trong đó b  a  c

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

-  t  

 x  2t  c) Đường thẳng  y  t  z  4t 

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

b) Mặt phẳng x  y  0

IỄ N

Tức là từ  u   v   0,0,0  chỉ suy ra     0 Vậy dim W  2 và u, v là một cơ sở. b) Xét phương trình

x y0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

Ta có tập

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

W   x, y, z  | x  y  0, z tuy` y'

Vậy  x, y, z   W   x, y, z    y, y, z  y và z tùy ý.

Nhưng  x, y, z    y, y, z    y, y,0   0,0, z   y 1,1,0   z  0,0,1

Vậy hai vecto u  1,1,0  , v   0,0,1 sinh ra W.

H Ư

Nhưng  2t , t ,4t   t  2,1,4 

d) Xét tập W   a, b, c  

, b  a  c

TR ẦN

Vậy W là khôn gian một chiều nhận u   2,1,4 làm cơ sở.

10 00

Như vậy  a, b, c   W   a, b, c   a, a  c, c 

Nhưng  a, a  c, c    a, a,0    0, c, c   a 1,1,0   c  0,1,1

-H

Vậy hai vecto u  1,1,0 , v   0,1,1 sinh ra W.

-L

Chúng ĐLTT vì từ  u   v   1,1,0    0,1,1   0,0,0 

ÁN

  0  Ta suy ra     0      0   0 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

W   x, y, z    2t , t ,4t  , t tuy` y'

c) Ta thấy

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Vậy W là không gian 2 chiều nhận u, v làm một cơ sở.

Đ ẠO

Ta suy ra     0 nên u, v ĐLTT

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Hơn nữa từ  u   v   1,1,0     0,0,1   0,0,0 

IỄ N

Vậy dim  W   2 và u, v là một cơ sở.

Bài 04.02.1.017.T172 Xác định số chiều của các không gian con của

a) Các vecto có dạng  a, b, c,0 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

d  a  b b) Các vecto có dạng  a, b, c, d  trong đó  c  a  b

c) Các vecto có dạng  a, b, c, d  trong đó a  b  c  d

Đ ẠO

Vậy 3 vecto

u  1,0,0,0  , v   0,1,0,0  , w   0,0,1,0  sinh ra W.

H Ư

Chúng ĐLTT vì từ  u   v   w   1,0,0,0    0,1,0,0    0,0,1,0    0,0,0,0 

TR ẦN

Ta suy ra       0

, d  a  b, c  a  b

10 00

b) Xét tập W   a, b, c, d  

Vậy dim  W   3 và u, v, w là một cơ sở của nó. 4

Nghĩa là W   a, b, c, d    a, b, a  b, a  b 

-H

Ta nhận thấy

-L

 a, b, a  b, a  b    a,0, a, a    0, b, b, b   a 1,0,1,1  b  0,1, 1,1

ÁN

Vậy hai vecto u  1,0,1,1 , v   0,1, 1,1 sinh ra W. Chúng ĐLTT vì từ

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Ta có:  a, b, c,0   a 1,0,0,0   b  0,1,0,0   c  0,0,1,0 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a) Xét tập W   a, b, c,0  

Lời giải:

ÀN

 u   v   1,0,1,1    0,1, 1,1   0,0,0,0       0

IỄ N

Vậy dim  W   2 và u, v là một cơ sở của nó. c) Xét tập W   a, a, a, a  



Vì  a, a, a, a   a 1,1,1,1 nên vecto u  1,1,1,1 sinh ra W và ĐLTT.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy W là không gian 1 chiều và u  1,1,1,1 là cơ sở.

Bài 04.02.1.018.T172

a0  a1x  a2 x2  a3 x3 ,

Xác định số chiều của không gian con P3 gồm các đa thức:

a0  0

H Ư

Ba vecto này ĐLTT vì:

Thay x  1        0

10 00

Ta suy ra   0

Thay x  1        0

TR ẦN

Giả thiết  p1   p2   p3  0   x   x 2   x3  0

Bây giờ thay x  2  2  8  0

-H

Kết hợp với     0 khi x  1 ta suy ra     0

-L

Vậy từ  p1   p2   p3  0 ta suy ra       0

ÁN

Do đó  p1 , p2 , p3   x, x 2 , x3 là 3 vecto ĐLTT của P3 Chúng tạo nên một không gian con của P3 có số chiều bằng 3 và nhận  x, x 2 , x3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

W sinh ra bởi 3 vecto p1  x, p2  x2 , p3  x3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q Đ ẠO

W   p | p  0  a1 x  a2 x 2  a3 x3  P3

Xét tập

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải:

ÀN

làm 1 cơ sở.

IỄ N

Bài 04.02.1.019.T172 3

sinh bởi các vecto sau:

Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con của

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

a) 1, 1, 2  ,  2,1,3 ,  1,5,0 

1  b)  2, 4,1 ,  3,6, 2  ,  1, 2,   2 

Lời giải:

và chúng tạo thành một cơ sở của

TR ẦN

b) Ta tính hạng của họ 3 vecto đã cho. 2

H Ư

Vậy chúng sinh ra cả không gian

Nên hạng của chúng băng 3, ba vecto đó ĐLTT.

10 00

2  28  0 Ta có định thức 3 6 1 2 1 / 2

Nên hạng của chúng băng 3, ba vecto đó ĐLTT. và chúng tạo thành một cơ sở của

-H

Bài 04.02.1.020.T172

Vậy chúng sinh ra cả không gian

-L

Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con của

ÁN

a) 1,1, 4,3 ,  2,0, 2, 2  ,  2, 1,3, 2 

b)  1,1, 2,0  ,  3,3,6,0  ,  9,0,0,3 c) 1,1,0,0  ,  0,0,1,1 ,  2,0, 2, 2  ,  0, 3,0,3

sinh bởi các vecto sau:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3  10  0

Đ ẠO

Ta có định thức 2 1

1 2

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a) Ta tính hạng của họ 3 vecto đã cho.

d ) 1,0,1, 2  , 1,1,3, 2  ,  2,1,5, 1 , 1, 1,1, 4 

IỄ N

Lời giải: a) Xét hạng của 3 vecto đã cho, ta có:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 1 4 2  1 1 4 3 1 1 4 3 3 h3 h 2  h3  2 0 2 2   h 2  2 h1 h 2 2  0 2 10 4    0 2 10 4    h 3  2 h1 h3      2 1 3 2  0 3 11 8  0 0 4 2 

. Không gian con đó có số chiều bằng 3 và nhận 3 vecto đã cho làm 1 cơ sở.

H Ư

Vậy hạng của chúng bằng 3. Ba vecto đó ĐLTT. Chúng sinh ra không gian con của

0 0

1 1

2

2 2

3 0 3

2

1 1 3 6

60

-L

1 0 0 2 2 2  0 1 1  0 3 6

10 00

0 0 1 1 1  h 4  32 h 3 h 4 0    0 2 2   0 3 0

ÁN

Vậy

0 0 1 1 1 1  h 3  2 h1 h 3 0 0    0 2 2 2   0 3 0 3

-H

1 1 0 0   2 0   0 3

TR ẦN

c) Xét hạng của 4 vecto đã cho, ta có:

Do đó hạng của 4 vecto đã cho bằng 4 bằng số chiều của ĐLTT, chúng sinh ra cả

và lập nên một cơ sở của

. Vậy 4 vecto đó

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Đ ẠO

 1 1 2 0   h1 h1 1 1 2 0  1 1 2 0  3 h3 h 2  h3 h 2  3 h1 h 2  3 3 6 0   2  0 6 0 0    0 6 0 0   h 3  9 h1 h3      9 0 0 3 0 9 18 3 0 0 18 3

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

b) Xét hạng của 3 vecto đã cho, ta có:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Vậy hạng của chúng bằng 3. Ba vecto đó ĐLTT. Chúng sinh ra không gian con của

IỄ N

d) Xét hạng của 4 vecto đã cho, ta có:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H N Y

H Ư

Bốn vecto này sinh ra một không gian con của 4 có số chiều bằng 3 và nhận 3 vecto 1,0,1, 2  ,  0,1,2,0  ,  0,0,1,3 làm cơ sở.

TR ẦN

Bài 04.02.1.021.T172

a) Chứng minh rằng tập các hàm khả vi trên  a, b thỏa mãn f ' 4 f  0

10 00

tạo thành một không gian con của C  a, b b) Tìm số chiều và một cơ sở của nó.

Lời giải:

phân f ' 4 f  0

-H

a) Gọi W là tập các hàm f  C  a, b khả vi trên  a, b và thỏa mãn phương trình vi

ÁN

-L

Rõ ràng W  C  a, b

 f ' 4 f  0 Giả sử f  W , g  W    g ' 4 g  0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP Đ ẠO

Hạng của 4 vecto đã cho bằng 3.

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1 2  2 0  1 3  0 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

0 2  1 0 1 2  0 1 2 0  h2 3 2  hh 322h1h 1 h 3      h 4  h1 h 4 0 1 3 3  5 1    1 4 0 1 0 6  1 0 1 2  1 0 0 1 2 0  0 1 h3 h 2 h3 h 4  2 h 3 h 4      h4 h2h4 0 0 1 3  0 0    0 0 2 6  0 0

1 0 1 1  2 1  1 1

IỄ N

Khi đó  f  g  ' 4  f  g   f ' 4 f  g ' 4 g  0  0  0

 kf  ' 4  kf   k  f ' 4 f   k.0  0

Vậy f  g W , kf W Do đó W là không gian con của C  a, b

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

b) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân f ' 4 f  0 là

f  ce4x , c là hằng số tùy ý

Nghĩa là W   f | f  ce4x , c tuy` y'

Vậy u  ce4x sinh ra W và ĐLTT. Cho nên không gian con W có số chiều bằng 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

-H

10 00

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

và nhận u  ce4x làm cơ sở.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 04.02.1.022.T177 Hãy tìm ma trận tọa độ và vecto tọa độ của w đối với cơ sở S  u1, u2  của

Lời giải:

 3

H Ư

Vậy  w S   3, 7  ,  wS     7 

10 00

5     2  3  1 28 Do đó   4  8  1    3  14

TR ẦN

w   u1   u2    2, 4    3,8   2  3 , 4  8 

b) Ta viết:

5 / 28   5 3 ,  ,  wS     28 14  3 / 14 

-H

Vậy  w S  

 a, b    1,1    0,2   ,  2 

-L

c) Ta có:

ÁN

  a   a   Do đó  ba   2  b     2

IỄ N

Vậy  w  S

Đ ẠO

a) Có  3, 7    3,0    0, 7   3 1,0    7  0,1  3u1  7u2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

w   a, b 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

u2   0, 2 

c )u1  1,1

w  1,1

u2   3,8 

b)u1   2, 4 

w   3, 7 

u2   0,1

a )u1  1,0 

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

trong đó:

 a   ba     a,  , w S   b  a  2    2 

Bài 04.02.1.023.T177

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Hãy tìm ma trận tọa độ và vecto tọa độ của w đối với cơ sở S  u1, u2  của

trong đó:

a) w   2, 1,3 , u1  1,0,0  , u2   2, 2,0  , u3   3,3,3 

b) w   5, 12,3 , u1  1, 2,3 , u2   4,5,6  , u3   7, 8,9 

Y A

   4  7 ,2  5  8 ,3  6  9 

ÁN

-L

-H

  4  7  5   2   Do đó 2  5  8  12     0  w  2u1  u3 3  6  9  3   1  

Vậy  w S   2,0,1 ,  wS

 2    0    1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

5, 12,3   1,2,3    4,5,6    7, 8,9 

10 00

b)Ta có:

Vậy  w S   3, 2,1 ,  wS

 3   2     1

H Ư

  2  3  2   3   2  3  1     2  w  3u1  2u2  u3 Do đó     1 3  3  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

   2  3 ,2  3 ,3 

Đ ẠO

a) Ta có:  2, 1,3   1,0,0     2,2,0     3,3,3

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải:

Bài 04.02.1.024.T177

IỄ N

Hãy tìm vecto tọa độ và ma trận tọa độ của A đối với cơ sở B   A1 , A2 , A3 , A4  của M 2 trong đó:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 2 0  1 1  1 1  0 0  0 0  A , A1   , A2   , A3   , A4         1 3  0 0 0 0  1 0  0 1 

Lời giải:

Ta có:

Ó -H

p  4  3x  x2 , p1  1, p2  x, p3  x 2

-L

của P2 trong đó:

Hãy tìm vecto tọa độ và ma trận tọa độ của đa thức p đối với cơ sở B   p1 , p2 , p3

ÁN

Lời giải:

Ta có:

4  3x  x2  4 p1  3 p2  1 p3

Đ D

IỄ N

Vậy  p  B   4, 3,1 ,  p B

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Bài 04.02.1.025.T177

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP G N H Ư TR ẦN B

10 00

Vậy  A B   1,1, 1,3 ,  AB

 1  1    1    3

Đ ẠO

    2   1    0   1   Do đó     1   1     3  3

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 2 0  1 1  1 1  0 0  0 0                  1 3  0 0 0 0  1 0  0 1                 

 4   3     1

Bài 04.02.1.026.T177

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Trong 2 , 3 xét tích vô hướng Euclid và một cơ sở trực chuẩn. Hãy tìm vecto tọa độ và ma trận tọa độ của w:

N Ơ H N Y





10 2

 2 2

2 7

5 2  2 2   5 2  



Vậy  w S  2 2,5 2 ,  wS  

10 00

w, u1  0

b) Ba vecto u1 , u2 , u3 ở đề bài trực giao và chuẩn hóa: w, u2  2

-H

w, u3  1

-L

Ta có: w  w, u1 u1  w, u2 u2  w, u3 u3  2u2  u3

ÁN

Vậy  w S   0, 2,1 ,  wS

 0   2     1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)





w, u2 

H Ư

2 3



TR ẦN

w, u1 

Đ ẠO

a) Ta có u1 , u2 trực giao và đã chuẩn hóa, có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

Lời giải:

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1   1  1 1  a ) w   3,7  , u1   , ,  , u2     2 2 2  2   2 2 1 2 1 2 1 2 2 b) w   1,0, 2  , u1   ,  ,  , u2   , ,   , u3   , ,   3 3 3 3 3 3 3 3 3

Bài 04.02.1.027.T178

IỄ N

Trong

3 4  4 3 xét tích vô hướng Euclid. Xét S  w1 , w2  , w1   ,   , w2   ,  5 5 5 5

a) Chứng minh S là một cơ sở trực chuẩn của b) Cho u, v 

với  u s  1,1 ,  v s   1, 4  . Hãy tính u, d  u, v  , u, v .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

c) Tìm u và v rồi tính u, d  u, v  , u, v một cách trực tiếp.

Lời giải:

Y U .Q TP

mà

Vậy S  w1 , w2 là một cơ sở trực chuẩn của

Đ ẠO

 4 3 w2        1  5 5

u  w1  w2 v   w1  4w2

Ta suy ra: u

 w1  w2 2

TR ẦN

H Ư

b) Do đó  u  S  1,1 và  v  S   1, 4  có nghĩa là 

11  2  u  2

u  v  4 w1  9 w2 2

10 00

u  v   w1  w2     w1  4w2   2w1  3w2 2

 13;

d  u , v   u  v  13;

-L

u, v  3

-H

u , v  w1  w2 ,  w1  4w2   w1 , w1  3 w1 , w2  4 w2 , w2 ;

3 5

4  4 3  7 5  5 5  5

1 5

ÁN

c) Có: u  w1  w2   ,     ,    ,  

 3 4   16 12   13 16  v  w1  4w2    ,    ,    ,   5 5  5 5   5 5 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

3  4 w1        1 5  5

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

3 4 4 3 w1 , w2  .  .  0 5 5 5 5

a) Ta có:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

50 7 1 u      2 u  2 25  5 5  7 1   13 16   6 17  u  v   ,    ,     ,  5 5  5 5   5 5 

Ơ H

 6   17  u  v        13 5  5 

Y N

trong đó:

H Ư

1  0  2  3 u1    , u2    , v1    , v2    0 1  1   4

TR ẦN

Xét các cơ sở B  u1 , u2  , B '  v1 , v2  của

Bài 04.02.1.028.T178

a) Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’

10 00

b) Hãy tính ma trận tọa độ  wB trong đó w   3, 5 và tính  wB '

c) Tính  wB ' trực tiếp và kiểm tra lại kết quả trên.

-H

d) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B.

-L

Lời giải:

ÁN

a) Ở đây B là cơ sở chính xác.

 2 3  1 4 

Do đó ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ là P  

Đ IỄ N

Mặt khác

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP Đ ẠO

7 13 1 16 u, v  .  .  3 5 5 5 5

b) Ta có

 d  u , v   u  v  13

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 3   5

 w B  

 wB '  P1  wB

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

1  4 3  3  3 / 11  11  1 2   5  13 / 11

N U

 3 / 11   13 / 11

G N

TR ẦN

 wB '  

Vậy

H Ư

3     2  3  3 11 Do đó  ,  là nghiệm hệ     4  5    13  11

Đ ẠO

 3  2  3  5   1     4      

Ta có:

10 00

d) Ở câu b ta đã tìm ra ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B là P 1 

1  4 3 11  1 2 

Ó -H

B '  v1 , v2  , có:

Ta có thể tính trực tiếp ma trận chuyển cơ sở đó bằng cách biểu diễn u1 , u2 theo cơ sở

-L

4   4    11 1   2  3  11       u      1 B' 0 1   4  1 1             11  11

ÁN TO ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

c) Tính  wB ' trực tiếp

3  3   11 0   2  3  11       u      2 B' 1  1   4  2 2           11   11

IỄ N

Mặt khác

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Do đó  wB ' 

1  4 3 11  1 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Vì det  P   11  P 1 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 4 3  11 11  1 Do đó ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B là Q    trùng với P  1 2   11 11 

Đ ẠO

a) Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’

H Ư

c) Tính  wB ' trực tiếp và kiểm tra lại kết quả trên.

b) Hãy tính ma trận tọa độ  wB trong đó w   3, 5 và tính  wB '

TR ẦN

d) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B. Lời giải:

a) Ta có:

ÁN

-L

-H

10 00

13  13    10  1   2  4  10 v1                v1 B     3 2  1    2  2   5   5 1   1   1 2  4     v2              2   v2 B   2     1 2  1    0   0 13 / 10 1 / 2  0   2 / 5

Vậy ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ là P  

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

u1   2,2 , u2   4, 1 , v1  1,3 , v2   1, 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

trong đó:

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Xét các cơ sở B  u1 , u2  , B '  v1 , v2  của

Bài 04.02.1.029.T178

IỄ N

b) Ta có:

17   17       10   3  2  4  10 w               w B     5 2  1    8  8  5  5 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Mặt khác  wB '  P 1  wB

1/ 2   0 1 Với det  P     P 1  5   5  2 / 5 13 / 10

N Y

B 10 00

Ta có thể tính trực tiếp ma trận chuyển cơ sở đó bằng cách biểu diễn u1 , u2 theo cơ sở

B '  v1 , v2  , có:

-L

-H

 2 1   1   0  0       u     1 B'  2 3  1  2          2  

ÁN

Mặt khác

5   5      2  4  1   1  2   u2 B '     1   3    1            13   13   2  2 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

H Ư 1/ 2   0   2 / 5 13 / 10 

d) Ở câu b ta đã tìm ra ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B là P 1  5 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 4    7 

 w B '  

TR ẦN

Vậy

    3   4 do đó  ,  là nghiệm hệ   3    5    7

Đ ẠO

 3 1   1 c) Ta có: w             5 3  1

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1 / 2   17 / 10   4   0 Do đó  wB '  P 1  wB  5    8 / 5  7   2 / 5 13 / 10  

IỄ N

5   0 2  1 Do đó ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B là Q    trùng với P  2  13   2 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 04.02.1.030.T178 hai cơ sở B  u1, u2 , u3, B '  v1, v2 , v3 trong đó:

u1   3,0, 3 , u2   3, 2,1 , u3  1,6, 1

v1   6, 6,0  , v 2   2, 6, 4  , v3   2, 3,7 

Y U .Q

Đ ẠO

c) Tính trực tiếp  wB ' và kiểm tra lại kết quả trên.

b) Tính ma trận tọa độ  wB của w   5,8, 5 và tính  wB '

Lời giải:

H Ư

a) Ta có:

TR ẦN

 6 2 2   3 3 1   6 6 3 P   0 2 6       0 4 7   3 1 1

10 00

Đổi dấu 2 vế và giải bằng phương pháp Gaus-Jordan:

-H

6 2 2 3 3 1 6 2 2 3 3 1   h 2  h1 h 2   6 6 3 0  2  6   0 4 1  3  5  5     0 4 7 3 1 1  0 4 7 3 1 1  1 h1 h 3  h1

ÁN

-L

3 6 2 2 3 3 1 6 2 0 3 1 7 / 3  1 h 2  h 3  h 2     h3 h 2  h3 6   0 4 1 3 5 5    0 4 0 3 6 17 / 3 0 0 6 0 6 4  0 0 6 0 6 4  1

h1 h1

6 0 0 9 / 2 4 1 / 3  61 1 0 0 3 / 4 2/3 1 / 12  1 h1 h 2  h1 h2h2     2 4   0 4 0 3 6 17 / 3   0 1 0 3 / 4 3 / 2 17 / 12  1  h 3 h 3 6 0 0 6 0 0 0 1 0 6 4  1 2 / 3  2/3 1 / 12   3/ 4   Vậy P  3 / 4 3 / 2 17 / 12    0 1 2 / 3 

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a) Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Xét trong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

w  1u1   2u2  3u3

b) Ta viết

thì 1 ,  2 ,3 là nghiệm của

N Ơ H N Y

10 00

 w B '

-H

 19 / 12    43 / 12     4 / 3

TR ẦN

 6 2 2  c1   5 c1  9 / 12       Thì c1 , c2 , c3 là nghiệm hệ 6 6 3 c2  8  c2  43 / 12       0 4 7  c3   5 c3  4 / 3

Bài 04.02.1.031.T178

hai cơ sở B  u1, u2 , u3, B '  v1, v2 , v3 trong đó:

-L

Xét trong

ÁN

u1   2,1,1 , u2   2, 1,1 , u3  1, 2,1 v1   3,1, 5 , v 2  1,1, 3 , v3   1,0, 2 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

w  c1v1  c2v2  c3v3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

c) Tính trực tiếp  wB ' ta viết:

Vậy

Đ ẠO

Từ đó  wB '  P  wB

2/3 1 / 12  31 / 21  19 / 12   3/ 4   3 / 4 3 / 2 17 / 12   4 / 7    43 / 12        0 1 2 / 3   8 / 7   4 / 3

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 3 3 1  1   5 1  31 / 21 31 / 21   0 2 6      8    4 / 7  w   4 / 7   B    2    2      3 1 1  3   5  3  8 / 7 8 / 7 

ÀN

a) Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B.

IỄ N

b) Tính ma trận tọa độ  wB của w   5,8, 5 và tính  wB ' c) Tính trực tiếp  wB ' và kiểm tra lại kết quả trên. Lời giải: Ta có:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 3 1 1 2 2 1  1 1 0  P  1 1 2       5 3 2  1 1 1 

H N Y

Đ ẠO

 3 0 0 9 6 15 / 2  1 1 0 0 3 2 5 / 2  h 1  h 1   3     0 2 0 4 6 1    0 1 0 2 3 1 / 2  1 h2h2 0 0 1 5 1 0 0 1 5 1 6  2 6 

TR ẦN

w  1u1   u2  3u3

b) Ta viết:

10 00

 3 2 5/2  P   2 3 1 / 2     5 1 6 

Vậy

H Ư

1 h1 h 2  h1 2

ÁN

-L

-H

 2 2 1  1   5 1  9  9          thì 1 ,  2 ,3 là nghiệm của 1 1 2  2  8   2  9   wB  9        1 1 1   3   5  3  5  5 Từ đó  wB '  P  wB

 3 2 5 / 2   9   7 / 2    2 3 1 / 2   9    23 / 2        5 1 6   5  6

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 3 1 1 2 2 1  3 1 0 7 3 7    h1 h 3 h1    0 2 1 1 5 5    0 2 0 4 6 1 h 2  h1 h 2 0 0 1 5 1 6  0 0 1 5 1 6  1  h3 2 h 2  h3 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

 3 1 1 2 2 1   1  3 1 1 2 2 1  3 h 2  h1  h 2    3    0 2 1 1 5 5 5    1 1 0 1 1 2    3 h 3  h1  h 3  5 3 2 1 1 1   3  0 4 1 13 13 8 

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giải bằng phương pháp Gauss-Jordan:

IỄ N

c) Tính trực tiếp  wB ' ta viết:

w  c1v1  c2v2  c3v3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ G

Trong P1 xét các cơ sở B   p1 , p2  , B '  q1 , q2 

H Ư

với p1  6  3x, p2  10  2x, q1  2, q2  3  2x a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B.

TR ẦN

b) Tính ma trận tọa độ  p B , p  4  x rồi suy ra  p B '

10 00

c) Tính trực tiếp  p B ' và kiểm tra lại kết quả trên. d) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’.

Lời giải:

6 3 

10  2 3  , q  , q       1 0  2  2  2    

ÁN

-L

 p1     , p2    a)Ta có:

-H

Trong cơ sở chính tắc S  1, x của P1 ta có:

 2 3 6 10 3 / 4 7 / 2  P   P  0 2 3 2  3 / 2 1      

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

Bài 04.02.1.032.T179

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 7 / 2    23 / 2     6 

 wB '

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Vậy

 3 1 1 c1   5 c1  7 / 2   1 0  c2    8  c2  23 / 2 Thì c1 , c2 , c3 là nghiệm hệ 1      5 3 2  c3   5 c3  6

3 / 4 7 / 2  1  3 / 2

IỄ N

Vậy ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B là P  

b) Trong cơ sở chính tắc S  1, x

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 4  đa thức p  4  x có ma trận tọa độ  p      1

Trong cơ sở chính tắc B viết p   p1   p2 thì  ,  là nghiệm hệ

H N Y

2c1  3c2  4 c1  11 / 4  2 c  1  2 c2  1 / 2

10 00

thì c1 , c2 là nghiệm hệ 

 11 / 4   trùng kết quả trên. 1 / 2  

Vậy  p B '  

-H

d) MA trận chuyển cơ sở Q từ B sang B’ là

-L

3/ 4 7/ 2 3/ 2

ÁN

Vì det  P  

Q  P 1  



Q  P 1

9  0 nên: 2

7 / 2 2 / 9 7 / 9 2 1  1 / 3 1 / 6 9 3 / 2 3 / 4

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP TR ẦN

p  c1q1  c2q2

H Ư

c) Tính trực tiếp  p B ' ta viết:

3 / 4 7 / 2   1  11 / 4   1   1  1 / 2  3 / 2

 p B '  P  p B  

Trong cơ sở B’ ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

 1   1

 p B  

Đ ẠO

Vậy

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

6 10    4   1 3 2       1     1      

Bài 04.02.1.033.T179

IỄ N

Gọi V là không gian sinh bởi f1  sin x, f2  cos x a) Chứng minh rằng g1  2sin x  cos x, g2  3cos x tạo thành một cơ sở của V b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B '   g1 , g2  sang B   f1, f 2 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

c) Tính ma trận tọa độ  h B với h  2sin x  5cos x và suy ra  h B '

d) Tính trực tiếp  h B ' và kiểm tra lại kết quả trên.

e) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B.

Lời giải:

Đ ẠO



 và 2

  0  khi x  0  Vậy B   f1, f 2 vừa sinh ra V vừa ĐLTT nên B là một cơ sở của V.

H Ư

Trong cơ sở B ấy các hàm số f1  sin x, f 2  cos x, g1  2sin x  cos x, g2  3cos x có

TR ẦN

1  0 2 0 ma trận tọa độ  f1 B    ,  f 2 B    ,  g1 B    ,  g 2 B    0  1  1  3 

10 00

a) Ta chứng minh g1, g2 cũng sinh ra V và ĐLTT

 2

a  Vì f  V   f B    nên g1, g2 sinh ra V nếu hệ b  0

a 

 

-H

 g1   g 2  f            có nghiệm ,  b 1 3 b

-L

 

ÁN

2  a luôn có nghiệm (vì có định thức bằng 6 khác 0) Hệ này viết thành    3   b 

Vậy B '   g1 , g2  sinh ra V.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 

Từ  f1   f 2   sin x   cos x  0, x ta rút ra   0  khi x 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q



V   f | f  a sin x  b cos x,  a  ,  b 

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Xét không gian sinh bởi f1  sin x, f 2  cos x :

IỄ N

2  0 Bây giờ xét hệ  g1   g 2  0     3  0   0 Hệ này chỉ có nghiệm  , do đó g1, g2 ĐLTT.   0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://daykemquynhonofficial.wordpress.com

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy B '   g1 , g2  cũng là một cơ sở của V.

0   2 0 1 0   1/ 2 b) Ta xét hệ  P P    1 3 0 1   1 / 6 1 / 3

-L

1  0 nên 6

ÁN TO

Q  P 1

-H

e) Ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B là

1 / 3 0   2 0 Q  P 1  6    1 / 6 1 / 2  1 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 1 Vậy  h B '    trùng kết quả trên.  2 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00

 2 0  c1   2  c1  1 1 3 c    5  c  2   2    2

Vì det  P  

Y U

TR ẦN

Viết  h B '  c1 g1  c2 g 2 thì c1 , c2 là nghiệm hệ

H Ư

d) Tính trực tiếp  h B '

0   2   1  1/ 2 Do đó  hB '  P  h B     5   2   1 / 6 1 / 3     

Đ ẠO

 2 c) Ta thấy ngay  hB     5

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

0   1/ 2 Vậy P    là ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B.  1 / 6 1 / 3  

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial