Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án) by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN OLYMPIAD PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 30 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa - Năm học 2018 – 2019) ĐỀ BÀI

FF IC IA L

Câu 1 (4,0 điểm).

1 1 a2 + 1 1 1) Tìm giá trị của a thỏa mãn A < . Biết A = . + − 2 3 2 + 2 a 2 − 2 a 1− a 2) Cho số thực x thỏa mãn x 2 − 2019 x + 2 = 0 . Tính giá trị biểu thức P =

Câu 2 (4,0 điểm). 1) Giải phương trình:

x4 + 4 . x2

x + 8 + 6 x −1 + x + 3 − 4 x −1 = 5 . 2















1 1 1 1 2) Giải phương trình: 8  x +  + 4  x 2 + 2  − 4  x 2 + 2   x +  = ( x + 4 )2 . x x x x

Câu 3 (4,0 điểm).

1) Cho đường thẳng (d): y = kx + 3 (k là tham số).

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị

của k.

b) Tìm giá trị của k để khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng (d) bằng 2.

Câu 4 (6,0điểm).

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 y 2 x + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy .

1) Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ

KÈ

tia Ax vuông góc với AB và vẽ tia By vuông góc với AB. Gọi O là trung điểm của đoạn · · thẳng AB và C là một điểm thuộc tia Ax. Vẽ tia Cz sao cho OCz và tia Cz cắt By = OCA

ẠY

tại D ( AC < BD ) . Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E.

a) Kẻ OH vuông góc với CD. Chứng minh OC 2 .HD = OD 2 .HC . b) Kẻ HK vuông góc với AB. Chứng minh

HA2 KA EA . = = HB 2 KB EB

2) Cho AB và AC là hai tiếp tuyến của (O). Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB; AC. Trên đoạn thẳng EF lấy một điểm M bất kỳ. Từ M kẻ tiếp tuyến MT tới (O). Chứng minh rằng: MA = MT.

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Câu 5 (2,0điểm). Ba số thay đổi x, y, z > 1 thỏa mãn điều kiện trị nhỏ nhất của biểu thức M =

x + y + z = xyz .

Hãy tính giá

y−2 z−2 x−2 + 2 + 2 . x2 y z

----------------– Hết –---------------------

FF IC IA L

Câu

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 30 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 (Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa - Năm học 2018 – 2019) Nội dung Điểm 1) Điều kiện: a ≥ 0; a ≠ 1 1 1 a2 + 1 1 − a + 1 + a a2 + 1 Ta có: A = + − = − 2 2 (1 − a ) 1 − a2 2 + 2 a 2 − 2 a 1− a

1 a2 + 1 1 + a − a2 − 1 a − a2 a . − = = = 2 2 2 1− a 1− a 1− a 1− a 1+ a

Ta có: A < 1 ⇔ a < 1 ⇔ a − 1 < 0 ⇔ 2 a − 1 < 0 1+ a

3(1 + a )

1+ a

1,5

1,0

(*)

1 1 (4,0đ) Do a ≥ 0 nên 3(1 + a ) > 0 . Suy ra (*) ⇔ 2a − 1 < 0 ⇔ a < . 2 1 1 Kết hợp a ≥ 0; a ≠ 1, ta có A < ⇔ 0 ≤ a < . 3 2 2) Ta có: x 4 + 4 ( x 2 + 2) 2 − (2 x ) 2 ( x 2 + 2 + 2 x)( x 2 + 2 − 2 x ) (2019 x + 2 x )(2019 x − 2 x ) = = = x2 x2 x2 x2 2 2 2 2019 x − 4 x = = (2019 − 2)(2019 + 2) = 2017.2021 x2

1,5

2 1) pt: x + 8 + 6 x − 1 + x + 3 − 4 x − 1 = 5 (1). ĐKXĐ: (4,0đ) (1) ⇔ ( x − 1 + 3) 2 + ( x − 1 − 2) 2 = 5 ⇔ x − 1 + 3 + x − 1 − 2 = 5 (vì x − 1 + 3 > 0) (2)

x ≥1

0,25 0,5

ẠY

KÈ

+) Nếu x − 1 ≥ 2 ⇔ x ≥ 5 (2) ⇔ x − 1 + 3 + x − 1 − 2 = 5 ⇔ 2 x − 1 = 4 ⇔ x = 5 (chọn) +) Nếu 0 ≤ x − 1 < 2 ⇔ 1 ≤ x < 5 (2) ⇔ x − 1 + 3 + 2 − x − 1 = 5 ⇔ 0 = 0 pt nghiệm đúng ∀ x :1 ≤ x < 5 Vậy nghiệm của pt : 1 ≤ x ≤ 5 2

ĐKXĐ :

x≠0







0,5 0,25

1 1 1 1 2) Giải pt : 8  x +  + 4  x 2 + 2  − 4  x 2 + 2   x +  = ( x + 4 )2 x x x x 

0,5







(*)

2,0 0,5

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” 2 2   (*) ⇔ 8  x + 1  + 4  x 2 + 12   x 2 + 12 −  x + 1   = ( x + 4 )2 x x   x  x    

1,0

1 1  2   ⇔ 8  x +  − 8  x 2 + 2  = ( x + 4 ) ⇔ ( x + 4) 2 = 16 ⇔ x = −8 (chọn) hoặc x x    x = −8

0,5

FF IC IA L

x = 0 (loại) Vậy phương trình có nghiệm :

1a) Điều kiện để (d) đi qua điểm cố định M(x0, y0) với mọi giá trị của k là: xk − y + 3 = 0 ∀k ⇔ x0 k − y0 + 3 = 0 ∀k

x0 = 0

 x = 0 . ⇔ ⇔ 0  − y0 + 3 = 0  y0 = 3

1,0

Vậy (d) đi qua điểm cố định M(0; 3)

1b) Vì (d) luôn đi qua điểm M(0 ;3)

⇒ OM = 3

∀k .

0,25

Gọi N ( x1 ; y1 ) là giao điểm của (d) với trực Ox ⇒ N  − 3 ; 0  ⇒ ON = − 3  k



0,25

1 1 1 1 1 k 5 5 = + ⇔ 2 = 2+ ⇔ k2 = ⇔ k = ± 2 2 2 OH OM ON 2 3 9 4 2 Vậ y k = ± 5 . 2

2) Ta có 2 y 2 x + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy ⇔ 2 y 2 ( x − 1) − x( x − 1) − y ( x − 1) + 1 = 0 (1) +) x = 1 không là nghiệm của (1)

0,5

+) Chia cả hai vế của (1) cho

ta có: 2 y 2 − x − y +

0,5

1 =0 x −1

x = 2  y = 1 x = 0 ⇒  y = 1   nghiệm nguyên ( x; y ) ∈ {(2;1);(0;1)}

1 ∈ ¢ nên x − 1 = ±1 ⇔ x −1

Với x, y ∈ ¢ ⇒

x −1,

KÈ

Vậy phương trình đã cho có

0,25

3 (4,0đ)

Kẻ OH vuông góc với đường thẳng (d). Khi đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MON vuông tại O đường cao OH :

0,5 0,5 y

ẠY

D H

4 (6,0đ)

C Q

P E

· 1a) Ta có ∆AOC = ∆HOC (ch − gn) ⇒ ·AOC = COH ⇒ OC phân giác · AOH · · · Cmtt : OD phân giác HOB kề bù nên COD = 90 0 .Mà ·AOH và HOB

2,0 3

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OCD ta có : OC 2 CH .CD CH = = ⇒ OC 2 .DH = OD 2 .HC 2 OD DH .CD DH

1b) HS chứng minh được: HPOQ là hình chữ nhật. Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông HAB ta có: HA2 AK . AB AK = = HB 2 KB. AB BK

FF IC IA L

(1)

Mặt khác: CA / / HK / / DB ( ⊥ AB ) nên suy ra

2,0

AK HC AC EA (vì HC = AC , HD = DB ) = = = BK HD BD EB HA2 AK EA Từ (1) và (2) suy ra: = = HB 2 BK EB

(2)

E M O

F T

2) Giả sử OA cắt EF tại K. Ta có: MT ⊥ OT ( gt ) . Xét ∆OMT vuông tại T, ta có:

0,5

MT 2 = OM 2 − OT 2 = MK 2 + OK 2 − OT 2

= AK + M K 2 2

1,0

vuông tại K, ta có:

∆ AM K

Xét

Suy ra: MT 2 − AM 2 = OK 2 − OT 2 − AK 2 = (OK 2 − AK 2 ) − OT 2 = (OK − AK )(OK + AK ) − OT 2 = (OK − KH )OA − OT 2 = OH .OA − OC 2

Trong ∆OAC vuông tại C, ta có: OC 2 = OH .OA Do đó MT 2 − MA 2 = 0 ⇔ MT 2 = MA2 ⇔ MT = MA (đpcm).

KÈ

0,5

1 1 1 + + = 1 . Ta biến đổi biểu thức M như sau: xy yz zx ( x − 1) + (y − 1) ( y − 1) + ( z − 1) ( z − 1) + ( x − 1)  1 1 1  M = + + − + +  x2 y2 z2 x y z

ẠY

Từ gt suy ra :

5 (2,0đ)

 1  1 1  1  1  1 1 1  1 = ( x − 1)  2 + 2  + ( y − 1)  2 + 2  + ( z − 1)  2 + 2  −  + +  z  y  z  x y z x x y 2( x − 1) 2( y − 1) 2( z − 1)  1 1 1  1 1 1 ≥ + + − + +  = + + −2 xz xy yz x y z x y z

1

1

 1

2,0

1

Vì  + +  ≥ 3  + +  = 3 ⇒ M ≥ 3 − 2 . x y z  xy yz zx  Dấu " = " xảy ra ⇔ x = y = z = 3 . Vậy min M = 3 − 2 ⇔ x = y = z = (Lưu ý: Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho số điểm tương đương)

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ BÀI Câu 1 (4.0 điểm) 

x   x +3

x +2

FF IC IA L

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 29 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi HSG Toán 9 –H. Đông Sơn - Năm học 2018 – 2019)

x +2



:  1.Cho biểu thức M = 1 −   x − 2 + 3− x + x −5 x + 6 + x 1     a. Rút gọn M b. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên 2. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + abc = 4 . Tính giá trị của biểu thức: A = a (4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a ) + c(4 − a )(4 − b) − abc .

Câu 2 (4.0 điểm) 1.Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2xy2 + x +y +1 = x2 +2y2+xy 2. Giải phương trình : 2 x − 2 − 6 x − 9 = 16 x 2 − 48 x + 35

Câu 3 (4.0 điểm) 1.Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên thì A= ( 10n + 10n-1 +…+ 10 + 1) ( 10n+1+5) +1 là số chính phương nhưng không phải lập phương của một số tự nhiên. y2 1  x2 + =  2 2 2. Tìm các cặp số thực (x;y) thỏa mãn các điều kiện:  ( y + 1) ( x + 1) 2 3xy = x + y + 1. 

ẠY

KÈ

Câu 4 (6.0 điểm) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M, CM cắt AH tại I, OM cắt AB tại J a. Chứng minh hai tam giác MOB và ACH đồng dạng b. Chứng minh I là trung điểm của AH c. Cho BC = 2R và OM = x. Tính AB và AH theo R và x d. Tính giá trị lớn nhất của AH khi x thay đổi Câu 5 (2.0 điểm) Cho các số thực dương x, y thoả mãn điều kiện xy ( x − y) = x + y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x+y ----------------------Hết--------------------5

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 29 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 (Đề thi HSG Toán 9 –H. Đông Sơn - Năm học 2018 – 2019)

. Câu

Điểm

Nội dung

FF IC IA L

1. (3,0 điểm) a. ĐKXĐ: x ≥ 0 ; x ≠ 4; x ≠ 9

0,5

x −2 x +1

1,5

3 x −2 =1 − x +1 x +1 Để M nguyên => x +1∈ Ư(3) ⇔ x + 1∈ {1;3}

b, M=

O N

0,5

0,5 0,25

( Vì x + 1 > 0∀x ∈ ĐKXĐ) => x= 0 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x = 4 ( Không thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x= 0 thì M nhận giá trị nguyên 2. (1,0 điểm)

0,25

A = a (4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a ) + c(4 − a )(4 − b) − abc

Ta có:

a + b + c + abc = 4 ⇔ 4a + 4b + 4c + 4 abc = 16

0,5

⇒ a(4 − b)(4 − c) = a(16 − 4b − 4c + bc) = a (2 a + bc ) 2 = a (2 a + bc ) = 2a + abc

Tương tự:

b(4 − c)(4 − a) = 2b + abc , c(4 − a )(4 − b) = 2c + abc

0,5 0,5

⇒ A = 2(a + b + c) + 3 abc − abc = 2(a + b + c + abc ) = 8

0,5

ẠY

KÈ

1.(2,0 điểm) Ta có 2xy2 +x +y +1 = x2+ 2y2 +xy 2 ⇔ 2y ( x- 1) – x( x-1) – y( x-1) +1 = 0 (1) Nhận thấy x= 1 không phải là nghiệm của phương trình (1) chia cả hai vế cho x-1 ta được

2y2 –x –y +

Vì pt có nghiệm x,y nguyên nên ⇒ x ∈ {0;2}

0,5

1 = 0(2) x −1

1 nguyên nên x-1 ∈ {± 1} x −1

1 2 1 Thay x= 2 vào (2) ta được 2y2 –y – 1=0 => y =1; y = − 2 Vậy (x,y) ∈ {(0;1); (2;1)}

0,75

Thay x= 0 vào (2) ta được 2y2 –y -1 = 0 => y = 1; y = −

0,5 0,25 6

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Câu

Điểm

Nội dung

2.(2,0 điểm) 3 2 2 x − 2 − 6 x − 9 = 16 x 2 − 48 x + 35 7 − 4x ⇔ = (7 − 4 x )(5 − 4 x ) 2x − 2 + 6x − 9

0,25

ĐK: x ≥

FF IC IA L

0,5

  1 ⇔ (7 − 4 x ) + 4x − 5 = 0  2x − 2 + 6x − 9  3 1 Vì x ≥ nên + 4x − 5 > 0 2 2x − 2 + 6x − 9 7 4 7 Vậy pt có nghiệm : x = 4

0,5

Suy ra : 7 − 4 x = 0 ⇒ x = (tm)

10 n+1 − 1 n+1 10 + 5 + 1 9 10 2( n+1) + 4.10 n +1 − 5 + 9 = 9

Ơ H

Vậy A là số chính phương 2 2 2 Mặt khác 33 1 2... 3 34 = 2 . 1666 1 2 3...7 = A

n −1

Do A Μ2 nhưng A không chia hết cho 8 nên A không thể là lập phương của một số tự nhiên 2. (2,0 điểm) Điều kiện: x ≠ −1; y ≠ −1 y2 1  x2 + =  ( y + 1) 2 ( x + 1) 2 2  Theo gt ta có   x . y =1  y + 1 x + 1 4 1  2 u + v2 =  x y  2 Đặt u = ;v= , khi đó :  y +1 x +1 uv = 1  4

KÈ ẠY D

0,5

 10 n+1 + 2   Ta có =  3   2 = 33 1 2... 3 34

)

(

1. (2,0 điểm)

0,25

0,5 0,25 0,25 0,25

0,25

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Nội dung ( u + v )2 = 1 u 2 + v 2 + 2uv = 1 ⇔ 2 ⇔ 2 2 u + v − 2uv = 0 ( u − v ) = 0 1 1 Suy ra u = v = hoặc u = v = − 2 2  y + 1 = 2x 1 Nếu u = v = thì  ⇔ x = y = 1 (thỏa mãn) 2 x + 1 = 2 y  y + 1 = −2 x 1 1 Nếu u = v = thì  ⇔ x = y = − (thỏa mãn) 2 3  x + 1 = −2 y 1 Vậy : x = y = 1; x = y = − 3

Điểm

0,75

FF IC IA L

Câu

2,0

ẠY

KÈ

a. (2,0 điểm) Chứng minh ∆MOB ∼ ∆ACH Ta có MA = MB ( T/c tiếp tuyến) OA = OB = R => OM là trung trực của đoạn AB => OM vuông góc với AB tại J nên OM // AC => MOˆ B = ACˆ H => ∆MOB ∼ ∆ACH (g.g) b.(1,5 điểm) Trong ∆CMB có HI//BM nên ∆MOB ∼ ∆ACH =>

HI CH = (1) BM CB

1,5

HA CH = (2) BM OB

Chia (1) cho (2) theo từng vế ta được

HI OB 1 = = HA CB 2

=> I là trung điểm của AH c.(0,75 điểm) ∆MOB vuông ở B nên OB2 = OJ . OM => OJ = 8

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Câu

Điểm

Nội dung 2

OB R = OM x

 R2  R 2 (x 2 − R 2 ) 2 2 2  = ∆ OJB vuông ở J nên BJ = OB – OJ = R 2 −  => BJ x2  x  R 2 x − R 2 vớ i x > R = x 4R 4 2 2 2 ∆ ABC vuông ở A nên AC = BC – AB = 2 x 2 2R => AC = x

0,75

FF IC IA L

Lại có BC . AH = AB . AC x 2 − R 2 với x > R

AB. AC 2 R 2 = 2 BC x

=> AH =

d.(0,75 điểm) Ta chứng minh: AH ≤ R (3) 2R 2 <=> 2 x

x −R ≤ R

<=> 2R x − R ≤ x 2

0,75

<=> 4R2 ( x2 – R2) ≤ x4 <=> x4 – 4R2 x2 + 4R4 ≥ 0 <=> (x2 – 2R2)2 ≥ 0 với ∀ x > R Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x2 – 2R2 = 0 <=> x = R 2 Vậy AH đạt giá trị lớn nhất bằng R khi x = R 2 (2,0 điểm) Do x, y > 0 và xy ( x − y) = x + y ta suy ra x > y > 0 và xy(x-y)2 = (x+y)2 (1) Đặt a = x+ y; b = xy (a, b > 0 ; a2 ≥ 4b) 2 2 2 2 Ta có: (1) ⇔ b(a − 4b) = a ⇔ a (b − 1) = 4b

Suy ra: b-1 > 0 và b

4b 2 a2 = b −1

0.25 0.25

Lại có: b − 1 = b + 1 + b − 1 = (b − 1) + b − 1 + 2 ≥ 2 (b − 1). b − 1 + 2 = 4 (theo bđt cô si) 2 Do đó: a ≥ 16. Mà a > 0 nên a ≥ 4 ⇒ x + y ≥ 4

KÈ D

ẠY

0.25

2 Dấu “=” xảy ra khi b − 1 = b − 1 ⇔ (b − 1) = 1 ⇔ b = 2

 x = 2 + 2 x + y = 4 Khi đó:  xy = 2 ⇔  (Vì x > y)  y = 2 − 2  Vậy Min (x+y)=4 khi x = 2 + 2 ; y = 2 − 2 .

0.25 0.25 0.25

---------------------------------Hết---------------------9

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 28 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24/10/2017-Năm học 2017 - 2018

FF IC IA L

ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm)

1 1   2x + x − 1 2x x + x − x  − +   : x   1− x 1+ x x 1− x  

Cho biểu thức A = 

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x = 17 − 12 2 c) So sánh A với A . Câu 2: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình : 3x + 6x +12 + 5x −10x + 9 = 3− 4x − 2x . 2 2 2 b) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: 2xy + x + y +1 = x + 2 y + xy. Câu 3: (4,0 điểm) 4

a) Cho a, b, c là 3 số nguyên thỏa mãn: a + b + c = 24102017 .

Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho 5.

b) Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn điều kiện: a + b + c + d = 0 .

Chứng minh rằng: M = (ab − cd )(bc − da)(ca − bd ) là số hữu tỉ. Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng: ∆ AEF

∆ ABC và

(

S AEF = cos 2 Α. S ABC

)

KÈ

2 2 2 b) Chứng minh rằng : SDEF = 1−cos A−cos B−cos C .SABC

c) Nếu

HA HB HC + + = BC AC AB

3 thì khi đó tam giác ABC là tam giác gì?

ẠY

Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác đều ABC; các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho · . BD cắt CE tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính BPE Câu 6: (2,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x 2 + xyz + y 2 + xyz + z 2 + xyz + 9 xyz -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 28 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24/10/2017-Năm học 2017 - 2018

1   2x + x − 1 2x x + x − x   1  1  A= − +   x > 0;x ≠ ;x ≠ 1   :  1 − x 4 x  1+ x x  1− x 

(

)

x −1 1

(

)

: 2 x −1 :

(1 − x )(1 −

) (1 − x )(1 −

x −1

x +x

(

)

Q (

)

1 − 3 − 2 2 + 17 − 12 2 3−2 2

KÈ

)

) )

)

0,5

0.25

0,5

1− x + x x

0,5

(3 − 2 2 )

= 3−2 2 = 3−2 2

(

)

⇒A= x+

0,25

1− x + x 1 = x+ −1 x x 1 1 x+ > 2 với mọi x > 0;x ≠ ;x ≠ 1 4 x

1 −1 > 1 ⇒ A > 1 ⇒ A −1 > 0 ⇒ A x

(

0,25 0,25

)

A −1 > 0

⇒A− A >0⇒A > A

0,25 0,5

15 − 10 2 5 3 − 2 2 = =5 3−2 2 3−2 2

Biến đổi ta được: A = Chứng minh được

ẠY

)

x +x

0,25

Ta có

1,0đ x = 17 − 12 2 = 3 − 2 2 ⇒ x =

(

1− x + x + x 1− x

(

) ( )( ) ( )( ) ( )(

)

(

)

2 x −1

)( )( )(

) ( ( ) (

(

1,0đ

)

(

(4điểm)

FF IC IA L

(

Điểm

 x 2x + x − 1  x − 1 + x  2x + 2 x − x − 1  : +  x 1− x 1− x 1+ x 1+ x 1− x + x     x x +1 2 x −1  2 x −1  x +1 2 x −1  = : + x x −1  1− x 1+ x 1+ x 1− x + x     1  2 x −1  x :  2 x − 1  = +   1 − x 1 − x + x x x − 1    

2,0đ

Câu

. Tóm tắt cách giải

0,25

Ta có: a

VT = =

3 x 2 + 6 x + 12 + 3( x + 1) 2 + 9 +

5 x 4 − 10 x 2 + 9 5( x 2 − 1) 2 + 4 ≥

4 =5

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

2đ

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = −1 V P = 3 − 4 x − 2 x = 5 − 2( x + 1) ≤ 5 2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = −1 ⇒ VT = VP ⇔ x = −1

2xy2 + x + y +1 = x2 + 2y2 + xy

⇔ 2 y ( x − 1) − x(x − 1) − y (x − 1) + 1 = 0 (1) 2

0,5

FF IC IA L

Ta có:

2đ

0,5 0,5

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −1

0,5

0,25

Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT (1). Chia cả 2 vế của phương trình cho x – 1, ta được:

(4 điểm)

2y2 − x − y +

1 =0 x −1

1 nguyên x −1

PT có nghiệm x, y nguyên, suy ra nên x – 1 ∈ {− 1 ;1 } • x – 1 = -1 x=0 • x–1=1 x=2

(2)

1 Thay x = 0 vào PT(2) ta được: 2 y − y − 1 = 0 ⇔ y = 1 ; y = − 2 1 Thay x = 2 vào PT(2) ta được: 2 y 2 − y − 1 = 0 ⇔ y = 1 ; y = − 2 Vậy phương trình đã cho nghiệm nguyên ( x ; y ) ∈ {( 0;1) ; ( 2;1)} .

0,25

0,5

0,25

Ta có a5 - a = a( a4 - 1) = a( a2 - 1)( a2 + 1) = a( a2- 1)( a2 - 4 + 5) = a( a2- 1)( a2 - 4) + 5 a(a2 - 1) 2đ = a(a - 1)(a + 1)(a -2) (a +2) + 5 a( a - 1)( a+ 1) Vì a - 2; a - 1; a; a + 1; a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 5 suy ra (a -2) (a - 1)a( a + 1)( a+ 2) chia hết cho 5 (*) Mặt khác 5a(a - 1)( a+ 1) chia hết cho 5 (**)

(4 điểm)

2đ

0,5 0,25

0,25

0,5

(1) Từ (*) và (**) suy ra a – a chia hết cho 5 5 5 tương tự có b – b chia hết cho 5 (2), c – c chia hết cho 5 (3) Từ (1) (2) (3) suy ra a5 – a + b5 – b + c5 – c chia hết cho 5 Mà a + b+ c = 24102017 chia hết cho 5 Nên a5 + b5 + c5 chia hết cho 5

0,25

Ta có: a + b + c + d = 0 ⇔ ad + bd + cd + d 2 = 0 (vì d ≠ 0)

0,5

KÈ ẠY D

0,25

−ad = d 2 + bd + cd  ⇔ −bd = d 2 + cd + ad −cd = d 2 + ad + bd 

0,25 0,5

0,25

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

M = (ab − cd )(bc − da )(ca − bd ) = (ab + d 2 + ad + bd )(bc + d 2 + bd + cd )(ca + d 2 + cd + ad ) = ( a + d )(b + d )(b + d )(c + d )(a + d )(c + d ) 2

Vì a, b, c, d là các số hữu tỉ nên (a + d )(b + d )(c + d ) hữu tỉ. Vậy M = ( ab − cd )(bc − da)(ca − bd ) là số hữu tỉ

a) Tam giác ABE vuông tại E nên cosA =

Tam giác ACF vuông tại F nên cosA =

AE AB

AF . AC

AE AF Suy ra = ⇒ ∆AEF : ∆ABC (c.g .c) AB AC 2

* Từ ∆AEF : ∆ABC suy ra

ẠY

KÈ

b) Tương tự câu a,

0,5

0,25

là số

0,25

(5điểm)

0,25

[(a + d )(b + d )(c + d )] = (a + d )(b + d )(c + d )

FF IC IA L

S AEF  AE  2 =  = cos A S ABC  AB 

S BDF S = cos 2 B, CDE = cos 2 C. S ABC S ABC

0,5

0,5 0,5 0,5

Từ đó suy ra

S DEF S ABC − S AEF − S BDF − SCDE = = 1 − cos 2 A − cos 2 B − cos 2 C S ABC S ABC

Suy ra S DEF = (1 − cos 2 A − cos 2 B − cos 2 C ) .S ABC

HC CE HC.HB CE.HB S HBC = ⇒ = = AC CF AC. AB CF . AB S ABC HB.HA S HAB HA.HC S HAC Tương tự: ; . Do đó: = = AC.BC S ABC AB.BC S ABC HC.HB HB.HA HA.HC S HBC + S HCA + S HAB + + = =1 AC. AB AC.BC AB.BC S ABC

c) Từ ∆AFC : ∆HEC ⇒

0,25

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

• Ta chứng minh được: (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) (*) Áp dụng (*) ta chứng minh được:

0,25

HA HB HC + + ≥ 3 BC AC AB

0,25

Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC đều. (1 điểm)

0,25

Kẻ EF ⊥ AC tại F, DG ⊥ BC tại G. Theo giả thiết S ADPE = S BPC ⇒ S ACE = S BCD

FF IC IA L

· · Mà AC = BC ⇒ EF = DG và EAF = DCG = 600 Suy ra ∆AEF = ∆CDG ⇒ AE = CG.

0,25

· · Do đó ∆AEC = ∆CDB(c − g − c) ⇒ DBC = ECA

0,25

· · · · · ⇒ BPE = PBC + PCB = PCD + PCB = 60

= x

(

)

x + yz + yz = x

x 2 + xyz + xyz = x

(2 điểm)

Áp dụng BĐT côsi ta có ( x + z )( x + y ) + yz

)

(

x ( x + y + z ) + yz + yz

)

3 1  x + y + x + z y + z  3 1 +  x +  = x+  2  3  2 2  2  3

(Vì x + y + z =1) Chứng minh tương tự:

KÈ

y 2 + xyz + xyz ≤

z 2 + xyz + xyz ≤

ẠY

Mà

0,25

≤

0,25

3 1 y+  2  3 3 1 z+  2  3

1  x+ y+z xyz ≤   = 3 3 3  

Do đó A ≤

0,25

0,5

3 6 5 5 3 = = (1 + x + y + z ) + 2 3 3 3 3

Vậy GTLN của A =

5 3 1 khi x = y = z = 3 3

0,5

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ ĐỀ SỐ: 27 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP. Thanh Hóa -Năm học 2016 - 2017

FF IC IA L

ĐỀ BÀI Bài 1: (5,0 điểm)

 x+2 x 1  x −1 + + . Với x ≥ 0, x ≠ 1. Cho biểu thức: P =  : 2 − + + − x x x x x 1 1 1   a) Rút gọn biểu thức P. 2 b) Tìm x để P = . 7 2 c) So sánh: P và 2P.

Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x, y ∈ Z thỏa mãn: 2 y 2 x + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: 2 1 1 1 1 1 1  + +  = 2 + 2 + 2. b c a b c a 3 3 3 Chứng minh rằng: a + b + c chia hết cho 3.

Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 + 6 x + 9 = 10 x − 20 b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.

ẠY

KÈ

Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF. a) Chứng minh: CM vuông góc với EF. b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng. c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a b c a b c + + < + + a+b b+c c+a b+c c+a a+b

-------------------------------------- Hết --------------------------------------15

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

2đ

x + − 3 + + x x 1 x −1

( )

x + 2 + x ( x − 1) − ( x + x + 1)

(

)

)(

)

x −1 x + x +1

x − 2 x +1

x −1 2

2 x −1

(

)(

x −1 x + x +1

 1  x −1 : 2 x − 1  

x+2

  =  

FF IC IA L

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 27 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP. Thanh Hóa -Năm học 2016 - 2017 . Câu Ý Nội dung Điểm Điều kiện : x ≥ 0, x ≠ 1.  x+2 x 1  x −1 P= + + : 2 x − + + − x 1 x x 1 1 x  

2 x + x +1 Với x ≥ 0, x ≠ 1. Ta có: 2 P= 7 2 2 ⇔ = x + x +1 7

0,5

ẠY

KÈ

⇔ x+ x −6=0 ⇔ ( x − 2)( x + 3) = 0

1,0

x + 3 > 0 nên x − 2 = 0 ⇔ x = 4 (t/m) 2 Vậy P = khi x = 4 7

0,25

Vì x ≥ 0 ⇒ x + x + 1 ≥ 1

0.25

Vì

⇔ 0<

x + x +1 ⇔ 0< P≤2

c 1,0đ

0,5

⇔ x + x +1= 7

b 2,0đ

Bài 1 5,0đ

0,25

≤2

0,25

⇔ P ( P − 2) ≤ 0 ⇔ P2 − 2P ≤ 0 ⇔ P2 ≤ 2P

0,25 16

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

0,25

Dấu “=” xảy ra khi P = 2 ⇔ x = 0 Vậy P2 ≤ 2P 2 y 2 x + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy ⇔ ( x − 1) (2 y 2 − y − x ) = −1

0,5

Vì x, y ∈ Z nên x - 1∈ Ư(-1) = {1; −1}

0,5

0,25

Bài 2 4,0đ

0,25

+) Nếu x – 1 = 1 ⇒ x = 2 Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1 ⇔ y = 1 (t/m) −1 ∉Z (loại) hoặc y = 2 +) Nếu x – 1 = -1 ⇒ x = 0 Khi đó 2y2 - y = 1 ⇔ y = 1 (t/m) −1 ∉Z (loại) hoặc y = 2 x = 2 x = 0 Vậy  ;  y =1 y =1 a) Từ giả thiết 1 1 1 1 1 1 ( + + )2 = 2 + 2 + 2 a b c a b c 1 1 1 ⇔ 2( + + ) = 0 ab bc ca Vì a, b, c ≠ 0 nên a + b + c = 0 ⇒ a + b = −c

A 2đ

FF IC IA L

⇔ 2 y 2 x + x + y + 1 − x 2 − 2 y 2 − xy = 0

ẠY

KÈ

b 2đ

Bài 3 4,0đ

a 2đ

⇒ ( a + b ) = ( −c ) 3

0,5 0,5

⇒ a 3 + b3 + 3ab(a + b) = −c3 ⇒ a 3 + b3 + c3 = 3abc 3 với a, b, c ∈ Z Vậy a 3 + b3 + c3 M Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm. Đkxđ: ∀x ∈ R 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 + 6 x + 9 = 10 x − 20 Vì 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 + 6 x + 9 ≥ 0 với ∀x ⇒ 10x – 20 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 Ta có:

0,5 0,25 0,25

0,25

0,5

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

0,5

4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 + 6 x + 9 = 10 x − 20 ⇔ 2 x + 5 + x + 3 = 10 x − 20 ⇔ 2 x + 5 + x + 3 = 10 x − 20 ⇔ 7 x = 28 ⇔ x = 4(t / m) Vậy phương trình có nghiệm là x = 4 x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. 2 ⇔ ( x + y ) + 7( x + y ) + 10 = − y 2 ⇔ ( x + y + 2)( x + y + 5) = − y 2 ≤ 0

0,5

0,5 0,5 0,5

⇔ −4 ≤ x + y + 1 ≤ −1 * x + y + 1 = - 4 khi x = - 5; y = 0 * x + y + 1 = - 1 khi x = - 2; y = 0 Vậy Amin = - 4 khi x= - 5; y = 0 Amax = - 1 khi x = -2; y = 0

0,25

b 2đ

FF IC IA L

0,5

KÈ

a 2đ

ẠY

Bài 4 6,0 đ

B 2đ

· · · Ta có: ECD = BCF (cùng phụ với ECB ) Chứng minh được: ∆ EDC = ∆ FBC (cạnh góc vuông – góc

nhọn) ⇒ CE = CF ⇒ ∆ ECF cân tại C Mà CM là đường trung tuyến nên CM ⊥ EF

* Vì ∆ EDC = ∆ FBC ⇒ ED = FB ∆ NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: BC2 = NB.BF

1.0

1,0 0,5

0.5 18

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

⇒ a2 = NB.DE (đpcm) * ∆ CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên

EF 2 ∆ AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên

FF IC IA L

CM =

EF 2 ⇒ CM = AM ⇒ M thuộc đường trung trực của AC. Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC ⇒ B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC (đpcm).

0.5

AM =

0.5

Đặt DE = x (x > 0) ⇒ BF = x 1 SACFE = SACF + SAEF = AF ⋅ ( AE + CB ) 2 1 = (AB + BF) ⋅ ( AE + AD ) 2 1 = (a + x).DE 2 1 = (a + x)x 2 1 SACFE = 3.SABCD ⇔ (a + x)x = 3a 2 ⇔ 6a 2 − ax − x 2 = 0 2 ⇔ (2a − x)(3a + x) = 0 Do x > 0; a > 0 ⇒ 3a + x > 0 ⇒ 2a − x = 0 ⇔ x = 2a ⇔ A là trung điểm của DE ⇔ AE = a AN AE Vì AE // BC nên = =1 NB BC ⇒ N là trung điểm của AB. Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD

0.5

ẠY

KÈ

c 2đ

0.25

0,5 0.25

* Vì a, b, c > 0 nên

Bài 5 1,0đ

Tương tự:

a a a+c <1⇒ < . a+b a+b a+b+c

b b+a < ; b+c a+b+c

c c+b < c+a a+b+c 19

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

0,5

b c a + + < 2 (1) a+b b+c c+a

* Ta có:

a a = b+c a (b + c)

Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có:

a + (b + c) ≥ a(b + c) > 0 2 2 1 ⇔ ≤ a+b+c a(b + c ) 2a a 2a a ≤ ⇔ ≤ a+b+c a+b+c b+c a(b + c )

⇔

FF IC IA L

⇒

2c c ≤ a+b+c b+a

a b c + + ≥2 b+c c+a a+b

⇒

2b b ; ≤ a+b+c a+c

Tương tự:

a b c + + > 2 (2) b+c c+a a+b

0,5

⇒

tức là a = b = c (vô lý).

Dấu ‘ =” xảy ra khi a = b +c; b = c + a; c = a +b

Từ (1) (2) ta có đpcm.

ẠY

KÈ

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Với bài 5, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm). 1 x

FF IC IA L

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 26 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 12/01/2017-Năm học 2016 - 2017

1 1 2 1 1 x − y + .( + ): 3 y x + y + 2 xy ( x + y ) x y xy xy

Cho biểu thức: A = ( + ).

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 + 5 ; y = 3 - 5

Câu 2: (3,5 điểm). a) Cho hàm số bậc nhất : y = mx + m – 1(*) (m là tham số) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (*) tạo với các trục tọa độ Oxy một tam giác có diện tích bằng 2.

2 b) Giải phương trình: x − 2 x − x x − 2 x + 4 = 0

Câu 4: (5,0 điểm).

Câu 3: (3,5 điểm). a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x6 + y2 – 2x3y = 320 b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2016 . 2 a + 3b + 3c + 1 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c − 1 + + ≥6 Chứng minh rằng: 2015 + a 2016 + b 2017 + c

KÈ

Cho đường tròn (O;R), đường kính BC. Điểm A thuộc đường tròn đã cho (A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC tại H, lấy điểm M đối xứng với điểm A qua điểm B. Gọi I là trung điểm HC. a) Chứng minh: Tam giác AHM đồng dạng với tam giác CIA. b) Chứng minh: MH vuông góc với IA. c) Gọi K là trọng tâm của tam giác BCM, chứng minh khi điểm A chuyển động trên đường tròn ( O; R) với B, C cố định thì điểm K luôn thuộc một đường tròn cố định.

Câu 5: (2,0 điểm).

ẠY

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính bằng 1 và độ dài các đường cao của tam giác ABC là các số nguyên dương. Chứng minh tam giác ABC đều.

Câu 6. (2,0 điểm). Cho a, b, c, d là các số không âm thỏa mãn a + b + c + d = 1. ( a + b + c)(a + b) abcd -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 26 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 12/01/2017-Năm học 2016 - 2017 . Nội dung

x + y + 2 xy xy( x + 1 xy

( x+

x−

y ) .( x . y )

x−

Vậ y A =

x−

xy xy

2( x +

1 y

xy xy x−

x−

) :

xy xy

0,5đ

xy .( x +

0,5đ

( xy )2

x + y − 2 xy

Mà A2 =

b. b) Với x = 3 + 5 Và y = 3 - 5 ta có : x >y>0, do đó: (2,0đ) xy A= >0 x−

[( 3 + 5 ) .( 3 − 5 ) ] 2

( 3 + 5 ) + ( 3 − 5 ) − 2. 32 − ( 5 )2

42 =8 6 − 2.2

KÈ

Câu 2 Vì (*) là hàm số bậc nhất nên m ≠ 0 (1) a. (2,0đ) Để đồ thị của (*) tạo với các trục tọa độ Oxy một tam giác là m ≠ 1 (2) Gọi A là giao điểm của đường thẳng (*) với trục tung => A(0; m-1) nên độ dài OA = |m-1| Gọi B là giao điểm của (*) với trục hoành => B( ; 0) nên độ dài OB = |

ẠY

0,5đ 1,0đ 0,5đ

Vậ y : A = 8 = 2 2

0,5đ

x+ y

( x+

x + y + 2 xy

Điểm 4,0 đ 0,5đ

FF IC IA L

Câu Câu 1 a) ĐKXĐ : x >0 ; y>0 ; x ≠ y a. (2,0đ) 1 1 1 A = ( + ). +

3,5 đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

OA.OB = 2 = ⇔ OA.OB = 4 ⇔ (m - 1)2 = 4|m|

SABC = 2 ⇔

Với m > 0 => (m - 1)2 = 4m 2 ⇔ m - 2m + 1 = 4m 2 ⇔ m - 6m + 1 = 0 2 ⇔ (m - 3) = 8 ⇔

⇔

0,5đ (Thỏa mãn đk) 22

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

m < 0 => m2 - 2m + 1 = -4m 2 ⇔ m + 2m + 1 = 0 2 ⇔ (m + 1) = 0 (Thỏa mãn đk) ⇔ m=-1 Vậ y m ĐK: x ≥ 0 . b. (1,5đ) Nhận thấy: x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho x ta có: Vớ i

0,5đ

FF IC IA L

0,25đ

2 4 4 2 x2 − 2x − x x − 2 x + 4 = 0 ⇔ x − 2 − x − + = 0 ⇔ (x + ) − ( x + )−2 = 0 x x x x 0,5đ 2 4 4 = t > 0 ⇔ t 2 = x + 4 + ⇔ x + = t 2 − 4 , thay vào ta có: Đặt x + x x x

t = 3 t = −2

⇔ (t − 4) − t − 2 = 0 ⇔ t − t − 6 = 0 ⇔ (t − 3)(t + 2) = 0 ⇔  2

Đối chiếu ĐK của t

x = 4 2 = 3 ⇔ x − 3 x + 2 = 0 ⇔ ( x − 2)( x − 1) = 0 ⇔  x x = 1

⇒t =3⇔ x +

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 hoặc x = 4

Câu 3 Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 <=>(x3 - y)2 + (x3)2 = 320 a. (1,5đ) => (x3)2 ≤ 320 => x < 3 mà x nguyên nên ta có các trường hợp: + Nếu x = 0 thì y không nguyên ( loại) + Nếu x = 1 hoặc x = -1 thì y không nguyên (loại) + Nếu x = 2=> y= - 8 hoặc y = 24 + Nếu x = -2 => y= -24 hoặc y = 8 Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là: (2;-8);(2;24);(-2;- 24);(-2;8) 2 a + 3b + 3c + 1 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c − 1 + + ≥6 2015 + a 2016 + b 2017 + c b + c + 4033 c + a + 4032 a + b + 4031 + + ≥6 ⇔ 2015 + a 2016 + b 2017 + c Đặt 2015 + a = x; 2016 + b = y; 2017 + c = z (x,y,z > 0) b + c + 4033 c + a + 4032 a + b + 4031 + + VT = 2015 + a 2016 + b 2017 + c

KÈ

ẠY

b. (2,0đ)

0,5đ

0,25đ

3,5 đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

Ta có :

0,5đ 0,5đ 0,5đ

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

VT =

y+z z+x x+ y y x x z y z + + = + + + + + x y z x y z x z y

0,5đ

y x z x y z . +2 . +2 . = 6 (Co − si ) x y x z z y Dấu “=” xảy ra khi x = y = z suy ra a = 673, b = 672, c = 671

FF IC IA L

≥2

5,0 đ

Câu 4

A D O

0,5đ 0,5đ

ẠY

KÈ

· a. Vì A thuộc đường tròn đường kính BC nên BAC = 900 (1,5đ) AB AH Xét ∆ vuông BAC và ∆ vuông AHC có = = tan ·ACB AC HC 2AB 2AH AM AH ⇒ = (Vì HC = 2IC) ⇒ = (Vì AM = 2AB) AC 2 IC AC IC AM AH Xét 2 tam giác AHM và CIA ta có ⇒ = AC IC · · A (Cùng phụ HAC · HAM = IC ) ⇒ ∆AHM ∆CIA ( cgc) Gọi giao điểm của MH với AI là D b. · · (1,5đ) ∆CIA ( câu a) ⇒ HMA = IAC ( 2 góc tương ứng) Vì ∆AHM 0 0 · · · · Mà: IAC + DAM = 90 nên HMA + DAM = 90 ⇒· ADM = 900 ⇒ MH ⊥ IA tại D Gọi E là trung điểm của MC. Nối AE cắt BC ở N c. (2,0đ) AN ⇒ N là trọng tâm của tam giác AMC ⇒ =2 NE Vì K là trọng tâm của tam giác MBC BK =2 Nên K là giao điểm của BE và MO và KE AN BK ⇒ = ⇒ NK / / AB (Định lí Ta Lét đảo) (1) NE KE

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

0,5đ

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

BA = BM   ⇒ BE là đường trung bình của tam giác AMC EM = EC  Nên BE//AC mà AC ⊥ AB nên BE ⊥ AB (2) · = 900 (3) Từ (1) và (2) ⇒ NK ⊥ BE tại K ⇒ BKN 1 Vì N là trọng tâm của ∆ AMC nên BN = BC không đổi 3 ⇒ N thuộc BC cố định mà BN không đổi nên N là điểm cố định (4) Từ (3) và (4) ⇒ K luôn thuộc đường tròn đường kính BN cố định.

0,5đ

FF IC IA L

Vì

Câu 5

Đặt BC = a; CA = b; AB = c; SABC = s; Gọi độ dài các đường cao ứng với các cạnh a; b; c lần lượt là x; y; z (với x, y, z là các số nguyên dương); r là bán kính đường tròn nội tiếp

0,5đ 2,0 đ

0,25đ

1 1 1 ax = by = cz 2 2 2 1 1 s = SIAB + SIAC + SIBC = r(a + b + c) = (a + b + c) (do r = 1) 2 2 a+b+c Suy ra: x = > 2 (theo BĐT tam giác). a

0,25đ

Tương tự y > 2; z > 2

0,25đ

∆ABC. Khi đó: SABC =s =

0,25đ 0,25đ

0,5đ

S S S Lại có: ∆IAB + ∆IAc + ∆ICB = 1 s s s 1 1 1 ⇒ + + = 1 Do x, y, z nguyên dương và lớn hơn 2. x y z 2s Giải ra ta có x = y = z = 3 nên a = b = c = . Vậy ∆ABC đều 3

0,25đ

Câu 6

ẠY

KÈ

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm (a + b + c) và d ta có: 1 = (a + b + c) + d ≥ 2. (a + b + c).d ⇒ 1 = a + b + c + d ≥ 4(a + b + c).d ⇒ 1.(a + b + c) ≥ 4(a + b + c)(a + b + c).d (1) => a + b + c ≥ 4(a + b + c)2.d ≥ 0 Lại áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm (a + b) và c ta có:

2,0 đ 0,5đ 0,5đ

(a + b) + c ≥ 2. (a + b).c ⇒ (a+b+c)2 ≥ 4 (a+b).c > 0 (2) Vì (1) và (2 ) cùng chiều và cùng dương nên thay (2) vào (1) ta được: a + b + c ≥ 4 (a + b + c)2.d ≥ 16 (a + b).c.d 2 (a + b + c)(a + b) 16( a + b) 2 .cd 16( a + b) ≥ 64 (3) (Vì Ta có A = ≥ = ab abcd abcd

0,5đ

(a+b)2 ≥ 4ab. Dấu “ = “ xảy ra khi: (1); (2); (3) cùng xảy ra dấu “=” và a +b+c+d=1 0,5đ 25

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” a = b  1 1 1 Suy ra:  a + b = c ⇔ a = b = ;c = ;d = a + b + c = d 8 4 2   a + b + c + d = 1

1 8

1 4

. 1 2

FF IC IA L

Vậy A nhỏ nhất bằng 64 khi a = b = ; c = ; d =

ẠY

KÈ

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 25 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Vĩnh Lộc - Năm học 2016 - 2017

FF IC IA L

ĐỀ BÀI Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức

3x + 9 x − 3 x+ x −2

−

a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b. Tìm x để P < 0

x +1 x +2

x −2

−

x −1

Bài 2: (4,0 điểm) a. Giải phương trình: x 2 − 7 x = 6 x + 5 − 30 .

b. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng ( a + b ) .  +  ≥ 4 a b 1





Bài 3: (4,0 điểm) a. Tìm số tự nhiên n sao cho A= n 2 +n+6 là số chính phương b. Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 = z 2 Chứng minh A = xy chia hết cho 12 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'. a. Chứng minh ∆AC'C : ∆AB'B b. Trên BB' lấy M, trên CC' lấy N sao cho ·AMC = ·ANB = 900 . Chứng minh rằng AM = AN. c. Gọi S, S' lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 −

S' S

Bài 5: (2,0 điểm)

A = 3x + 4 y +

34 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 35

2 8 + 5x 7 y

-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

ẠY

KÈ

Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y ≥

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Cho biểu thức

3x + 9 x − 3 x+ x −2

a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b.Tìm x để P < 0

−

x +1 x +2

−

x −2 x −1

Câu a:(2 điểm) - Tìm được ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 1

0,5

- Ta có

3x + 9 x − 3 x +1 x −2 − − x+ x −2 x +2 x −1

3x + 3 x − 3 ( x + 1)( x − 1) ( x − 2)( x + 2) − − ( x + 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1)

3x + 3 x − 3 − x + 1 − x + 4 ( x + 2)( x − 1)

x+3 x +2 ( x + 2)( x − 1)

( x + 2)( x + 1) = ( x + 2)( x − 1)

0,5

x +1 x −1

0,5

1(4đ)

FF IC IA L

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 25 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Vĩnh Lộc - Năm học 2016 - 2017 . Bài Nội dung cần đạt Điểm

Câu b:( 2 điểm) - Ta có: P < 0 x +1 <0 x −1

0,5

KÈ

⇒

ẠY

⇒ x − 1 < 0(do x + 1 > 0) ⇒ x <1 ⇒ x <1

- Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với 0 ≤ x < 1 thì P < 0.

1,0 0,5

Câu a:(2đ) Giải phương trình: x 2 − 7 x = 6 x + 5 − 30 . - ĐKXĐ x ≥ −5 . - Ta có

0,25

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” x 2 − 7 x = 6 x + 5 − 30 ⇔ x 2 − 8 x + 16 + x + 5 − 6 x + 5 + 9 = 0 ⇔ ( x − 4) + 2

(

)

1,0

x+5 −3 = 0

- Vì ( x − 4 ) ≥ 0; ( x + 5 − 3) ≥ 0 nên 2

(

FF IC IA L

2  ( x − 4 ) = 0  2  x + 5 − 3 = 0  x − 4 = 0 ⇔  x + 5 − 3 = 0 ⇔ x=4

)

0,5

0,25

( a + b ) . 

1 1 + ≥4 a b

2(4đ)

( thỏa mãn ĐKXĐ) - Nghiệm của phương trình đã cho là x=4 Câu b: (2đ) Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng

- Ta có 1 1 a b +  = 2+ + b a a b

( a + b ) . 

- Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương

a b a b + ≥2 . =2 b a b a 1 1 - Do đó ( a + b ) .  +  ≥ 4 a b

0,75

0,5

KÈ

Câu a:(2đ) Tìm số tự nhiên n sao cho A= n 2 + n + 6 là số chính phương - Để A là số chính phương thì A= n 2 +n+6 =a2 ( a ∈ N ) ⇔ 4n 2 + 4n + 24 = 4a 2

- Ta có: n 2 + n + 6 = a2 ⇔ ( 2a ) − ( 2n + 1) = 23 2

⇔ ( 2a + 2n + 1) . ( 2a − 2n − 1) = 23

ẠY

- Vì a,n là các số tự nhiên nên (2a +2n +1) là số tự nhiên và 3(4đ) 2a +2n +1 > 2a – 2n -1. Do đó 2a + 2n + 1 = 23   2 a − 2n − 1 = 1 4a = 24 ⇔ 4n = 20 a = 6 ⇔ n = 5

- Vậ y n = 5

0,25 0,5 0,5 0,25

0,5 29

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

FF IC IA L

Câu b:(2đ) Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 = z 2 Chứng minh A = xy chia hết cho 12 - Xét phép chia của xy cho3 Nếu xy không chia hết cho 3 thì  x ≡ ±1(mod 3)   y ≡ ±1(mod 3)

TH1:  x ≡ ±1(mod 4)   y ≡ ±1(mod 4)

1,0

( Vô lí) Vậy xy chia hết cho 3 (1) - Xét phép chia của xy cho 4 Nếu xy không chia hết cho 4 thì

2  x ≡ 1(mod 3) ⇒ 2  y ≡ 1(mod 3) ⇒ z 2 = x 2 + y 2 ≡ 2(mod 3)

0,5

2  x ≡ 1(mod 4) ⇒ 2  y ≡ 1(mod 4) ⇒ z 2 = x 2 + y 2 ≡ 2(mod 4)

(vô lí ) TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1 hoặc -1. Không mất tính tổng quát giả sử

ẠY

KÈ

 x ≡ ±1(mod 4)   y ≡ 2(mod 4)

 x 2 ≡ 1(mod 8) ⇒ 2  y ≡ 4(mod 8) ⇒ z 2 = x 2 + y 2 ≡ 5(mod 8)

( vô lí) - Vậy xy chia hết cho 4 (2) - Từ (1) và (2) : Vậy xy chia hết cho 12

0,5

4 30

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” A

FF IC IA L

N M

∆ AB’B

Câu a( 2 điểm): Chứng minh ∆ AC’C

- Xét ∆ AC’C và ∆ AB’B có: Góc A chung Góc B = góc C = 900 Suy ra: ∆ AC’C ∆ AB’B Câu b (2 điểm):Chứng minh AM = AN.

2 đi ể m

- Xét ∆AMC vuông tại M đường cao MB' AM 2 = AB '. AC - Xét ∆ANB vuông tại N đường cao NC' AN 2 = AC '. AB

0,5 0,5 0,5 0,5

KÈ

- Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB - Do đó: AM = AN

ẠY

Câu c: ( 2đ) Chứng minh cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 −

S' S

S AB '  2 - Chỉ ra được AB 'C ' =   = cos A S ABC  AB  S - Tương tự BA ' C ' = cos 2 B S ABC SCA ' B ' = cos 2 C S ABC

0,5

- Do đó: 0,5

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = =

S ABC − S A ' B ' C ' S ABC

= 1−

S AB 'C ' + S BA 'C ' + SCA ' B ' S ABC

0,5

S' S 34 . 35

FF IC IA L

Bài 5 (2điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 3x + 4 y + - Ta có: 2 8 + 5x 7 y 1 1 2 5x 8 7 y = x+ y+ + + + 2 2 5x 2 7 y 2 A = 3x + 4 y +

2 8 + 5x 7 y

0,5

2.5 x =2 5 x.2 8.7 x =4 7 x.2 34 1 34 17 - Vì x + y ≥ nên A ≥ . + 2 + 4 = 6 35 2 35 35  2 5x  5x = 2 2   x=  8 7y  5 ⇔ - Dấu "=" xảy ra khi  = 7 y 2 y = 4  7  34 x + y = 35  2  x=  17 - A đạt giá trị nhỏ nhất là 6 khi  5 35 y = 4  7

0,5 0,25

0,5

0,25

KÈ

5(2đ)

2 5x + ≥2 5x 2 8 7x + ≥2 7x 2

- Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được

ẠY

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

a. Cho biểu thức M=

FF IC IA L

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 24 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi HSG Toán 9 –TP. Bắc Giang – Năm học 2016 – 2017) Bài 1: (5 điểm) a a −b b a b − − với a, b > 0 và a ≠ b a−b a+ b b− a

Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết (1 − a )(1 − b ) + 2 ab = 1 b. Tìm các số nguyên a, b thoả mãn

5 4 − + 18 2 = 3 a+b 2 a−b 2

c. Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = 7 ; a + b + c = 23 ; abc = 3

1 1 1 + + ab + c − 6 bc + a − 6 ca + b − 6

Bài 2: (4,5 điểm) 4+ 3 + 4− 3

+ 27 − 10 2

a. Tính giá trị của biểu thức N=

Tính giá trị biểu thức H=

4 + 13

b. Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn ( a 2 + b2 − 2 ) ( a + b ) + (1 − ab)2 = −4ab 2

Chứng minh 1 + ab là số hữu tỉ 2 c. Giải phương trình x − x − 4 = 2 x − 1 (1 − x ) Bài 3: (3,5 điểm) a. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn x5 + y 2 = xy 2 + 1

b. Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh

1 1 1 3 + + ≤ ab + a + 2 bc + b + 2 ca + c + 2 2

Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao cho AM

> R. Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vuông góc với AB, CE

KÈ

vuông góc với AM. Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BC tại N. Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P.

ẠY

a. Chứng minh MNCO là hình thang cân

b. MB cắt CH tại I. Chứng minh KI son song với AB

c. Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH, AE. Chứng minh PG vuông góc với QF

Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 427 + 42016 + 4n là số chính phương

---------------Hết--------------Họ tên thí sinh..........................................................................SBD:................................ 33

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

(1 − a )(1 − b ) + 2 ⇔ ab =

(

ab = 1 ⇔ ab − a − b + 1 + 2 ab = 1

a− b

)

⇔(

ab 2 ) =1⇔ a− b

ab =1 a− b ab >0 a− b

⇒ a > b ⇒ a − b > 0; ab > 0 ⇒

ab ab ⇒ =1⇒ M =1 a− b a− b

0,25

ab = a− b

⇒

0,25

+ Nếu a>b>0

FF IC IA L

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 24 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 (Đề thi HSG Toán 9 –TP. Bắc Giang – Năm học 2016 – 2017) . Câu Nội Dung Điểm Bài 1 4đ a/ ab với a, b>0 và a ≠ b -Rút gọn M= 0,75 1,5đ a− b -Ta có

+ nếu 0<a<b

ab <0 a− b

⇒ a < b ⇒ a − b < 0; ab > 0 ⇒

ab − ab − ab = ⇒ = 1 ⇒ M = −1 a− b a− b a− b

0,25

5 4 − + 18 2 = 3 a+b 2 a−b 2

b/ 1,5đ

⇒

⇔ 5a − 5b 2 − 4a − 4b 2 + 18 2 ( a 2 − 2b2 ) = 3 ( a 2 − 2b2 )

⇔ 5a − 5b 2 − 4a − 4b 2 + 18a 2 2 − 36b 2 2 = 3a 2 − 6b 2 ⇔ 18a

2 − 36b

0,5

2 − 9b 2 = 3a − 6b − a 2

KÈ

⇔ (18a − 36b − 9b ) 2 = 3a 2 − 6b2 − a 2

3a 2 − 6b 2 − a 18a 2 − 36b 2 − 9b 3a 2 − 6b2 − a Vì a, b nguyên nên ∈ Q ⇒ 2 ∈ Q ⇒ Vô lý vì 18a 2 − 36b2 − 9b

ẠY

-Nếu 18a 2 − 36b2 − 9b ≠ 0 ⇒ 2 =

2 là số

vô tỉ -Vây ta có

3  2 2 18a 2 − 36b2 − 9b = 0 3 3a − 6b = b 18a − 36b − 9b = 0 ⇒  2 ⇔ 2 ⇔a= b 2 2 2 2 3a − 6b − a = 0 3a − 6b = a 3 Thay a= b vào 3a 2 − 6b2 − a = 0 t 2 2

0,25

0,75 34

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” 9 4

3 2

a có 3 ⋅ b2 − 6b2 − b = 0 ⇔ 27b2 − 24b2 − 6b = 0 ⇔ 3b(b − 2) = 0 0,25

mà a + b + c = 7 ; a + b + c = 23 nên ab + bc + ca = 13 Ta có a + b + c = 7 ⇒ c − 6 = − a − b + 1 nên ab + c − 6 = ab − a − b + 1 = ( a − 1)( b − 1)

FF IC IA L

c/ 2đ

Ta có b=0 (loại) ; b=2 (thoã mãm) , vậy a=3. Kết luận 2 Ta có ( a + b + c ) = a + b + c + 2 ( ab + bc + ca )

0,75

Tương tự bc + a − 6 = ( b − 1)( c − 1) ; ac + b − 6 = ( a − 1)( c − 1) 1 1 1 + + ab + c − 6 bc + a − 6 ca + b − 6 1 1 1 = + + a −1 b −1 b −1 c −1 a −1 c −1

Vậy H=

(

) (

)(

) (

)(

a −1

abc +

(

)(

b −1

(

)

c −1

)

(

a + b + c −3

) (

a+ b+ c −

)

c −1+ a −1+ b −1

)(

)

ab + bc + ca − 1

)(

1,0

7−3 = −1 3 + 7 − 13 − 1

4,5 đ 0,25

Bài 2 a/ 2( 4 + 3 + 4 − 3 ) + 25 − 10 2 + 2 1,5đ N= 8 + 2 13

2( 4 + 3 + 4 − 3 )

( 4+ 3 + 4− 3)

+ (5 − 2) 2 =

2( 4 + 3 + 4 − 3 ) 4+ 3 + 4− 3

+ 5− 2 = 2 +5− 2 = 5

(GT) ⇒ ( a + b ) − 2(ab + 1)  (a + b) 2 + (1 + ab ) = 0   2

⇔ ( a + b ) − 2(a + b) 2 (1 + ab) + (1 + ab) 2 = 0 4

KÈ

b/ 1,5đ

2( 4 + 3 + 4 − 3 )

(4 + 3) + 2 4 + 3 4 − 3 + (4 + 3)

0,5

+ (5 − 2 ) 2

⇔ (a + b) = 1 + ab ⇔ a + b = 1 + ab ∈ Q;vi:a;b ∈ Q.KL

ẠY

0,5

2 ⇔ ( a + b ) − (1 + ab)  = 0 ⇒ (a + b) 2 -(1 + ab)=0  

c/ 1,5đ

0,5 0,25

0,25 0,5

Điều kiện: x ≥ 1 (*). Ta có:

(

x 2 − x − 4 = 2 x − 1 (1 − x )

⇔ x 2 + 2 x x − 1 + x − 1 − 2( x + x − 1) − 3 = 0

)

(

)

0,5

⇔ x + x −1 − 2 x + x −1 − 3 = 0

Đặt x + x − 1 = y (Điều kiện: y ≥ 1 (**) ), phương trình trở thành y 2 − 2 y − 3 = 0.

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

 y = −1 y 2 − 2 y − 3 = 0 ⇔ ( y + 1)( y − 3) = 0 ⇔  y = 3 +Với y = −1 không thỏa mãn điều kiện (**). + Với y = 3 ta có phương trình:

0,25

FF IC IA L

1 ≤ x ≤ 3 x + x −1 = 3 ⇔ x −1 = 3 − x ⇔  2  x − 1 = 9 − 6x + x 1 ≤ x ≤ 3 1 ≤ x ≤ 3  ⇔ 2 ⇔  x = 2 ⇔ x = 2 x x 7 10 0 − + =    x = 5

0,5

0,25

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Bài 3 a/ Ta có x 5 + y 2 = xy 2 + 1 ⇔ ( x 5 − 1) − ( xy 2 − y 2 ) = 0 1,75đ 4 3 2 2

( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 − y 2 ) = 0

⇔ ( x − 1) ( x + x + x + x + 1) − y

3,5 đ

(2 y )

0,25

Ta có

x −1 = 0 ⇔ 4 3 2 2 x + x + x + x +1 = y -*Nếu x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ta có 1 + y 2 = y 2 + 1 đúng với mọi y nguyên Vậy ngiệm của PT là (1;y∈ Z) *Nêu x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = y 2 ⇒ 4 x 4 + 4 x 3 + 4 x 2 + 4 x + 4 = (2 y )2

− (2 x2 + x ) = 4 x4 + 4 x3 + 4 x2 + 4 x + 4 − 4 x4 − 4 x3 − x2 2

2 8  = 3x + 4 x + 4 = 3  x +  + > 0 3 3 

Vậy ta có (2 x 2 + x )2 < ( 2 y ) * 2

Ta có ( 2 x 2 + x + 2 ) − (2 y )2 = 5 x 2 ≥ 0 , Vậy ta có ( 2 y ) ≥ ( 2 x 2 + x + 2 ) ** Từ * và ** ta có

1đ

(2 x 2 + x ) 2 < ( 2 y ) ≤ ( 2 x 2 + x + 2 ) ⇒ ( 2 y ) = ( 2 x 2 + x + 1) ; = (2 x2 + x + 2)

KÈ

(2 y )

Nếu ( 2 y ) = (2 x 2 + x + 1) 2 ⇔ − x 2 + 2 x + 3 = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 3 = 0

ẠY

 x = −1 ⇔ ( x + 1)( x − 3) = 0 ⇔  x = 3 2 + nếu x = −1 ⇒ y = 1 ⇒ y = ±1

+Nếu x = 3 ⇒ y 2 = 121 ⇒ y = ±11 2 -Nếu ( 2 y ) = (2 x 2 + x + 2) 2 ⇔ −5 x 2 = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y 2 = 1 ⇒ y = ±1 . Kết luận

0,25

Ta có 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) − ( x + y + z ) = ... = ( x − y ) + ( y − z ) + ( x − z ) ≥ 0 2

0,5

b/ 2 2 2 2 1,75đ ⇒ ( x + y + z ) ≤ 3 ( x + y + z ) nên với x,y,z>0 ta có

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” x + y + z ≤ 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) , áp dụng ta có

FF IC IA L

1 1 1 1 1 1   + + ≤ 3 + +  ab + a + 2 bc + b + 2 ca + c + 2  ab + a + 2 bc + b + 2 ca + c + 2  1 11 1 2 -Với x,y>0 ta có x + y ≥ 2 xy ⇒ ( x + y ) ≥ 4 xy ⇒ ≤  +  x+ y 4 x y

0,5

áp dụng ta có

1 1 1 1 = = = ab + a + 2 ab + 1 + a + 1 ab + abc + a + 1 ab( c + 1) + ( a + 1)

1 1 1  1  abc 1  1 c 1  + =  + =  +     4  ab( c + 1) a + 1  4  ab(c + 1) a + 1  4  c + 1 a + 1  1 1 c 1  Vây ta có ≤  +  ab + a + 2 4  c + 1 a + 1  1 1 a 1  1 1 b 1  Tương tự ta có ≤  + ≤  + ;  bc + b + 2 4  a + 1 b + 1  ca + c + 2 4  b + 1 c + 1 

nên

0,5

1 1 1   + + 3   ab + a + 2 bc + b + 2 ca + c + 2 

≤

a b 1 c 1 1 1  3 ≤ 3⋅  + + + + + = 4  c +1 a +1 a +1 b +1 b +1 c +1 2 1 1 1 3 Vậ y + + ≤ dấu “=” có khi a=b=c=1 ab + a + 2 bc + b + 2 ca + c + 2 2

6đ

Bài 4

0,25

C I T

ẠY

KÈ

a/ 2đ

-Ta có ∆ACB nội tiếp đường tròn (vì...) mà AB là đường kính nên ∆ACB vuông tại C ⇒ AC ⊥ BN Ta có MA=MC (.....), OA=OC (....) nên MO là trung trực của AC

0,5

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” · · ⇒ MO ⊥ AC ⇒ MO // NB ⇒ MOA = NBO · · -Ta có OA ⊥ MA (....) ⇒ MAO = NOB = 900 ; xét ∆MAO và ∆NOB có · · · · ; OA = OB = R ⇒ ∆MAO = ∆NOB ⇒ MO = NB MAO = NOB = 900 ; MOA = NBO

0,75

FF IC IA L

c/ 2đ

CH HB HB = = MA AO R -Ta có CH ⊥ AB (gt) ; MA ⊥ AB IH HB HB (...) ⇒ CH // MA ⇒ IH // MA ⇒ = = MA AB 2 R CH HB HB IH 2 IH -Nên ta có ⇒ = = 2⋅ = 2⋅ = ⇒ CH = 2 IH ⇒ IC = IH . 2R MA R MA MA -Chi ra KI là đường trung bình của tam giác ACH ⇒ KI // AB -Chưng minh FQIO là hình bình hành ⇒ QF // IO ⇒ ∆CHB : ∆MAO ⇒

-Chưng minh O là trục tâm tam giác GIP

b/ 2đ

-Ta có MO // NB; MO = NB ⇒ MNBO là hình bình hành.Ta có ∆MAO = ∆NOB (cm trên) nên ta có NO=MA, mà MA=MC (...) nên NO=MC vậy MNBO là hình thang cân · · · · -Xét ∆CHB và ∆MAO có MAO = NOB = 900 ; CBH = MOA ( cm trên)

0,75

⇒ PG ⊥ OI ⇒ PG ⊥ QF

Bài 5

* A = 427 + 42016 + 4n = ( 227 ) (1 + 41989 + 4n −27 )

Vì A và ( 227 ) là số chính phương nên 1 + 41989 + 4n−27 là số chính phương Ta có 1 + 41989 + 4n−27 > 4n −27 = (2n −27 )2 *mà 1 + 41989 + 4n−27 là số chính phương nên ta có

0,5 0,5

0,5 0,75 0,75 0,5 1đ 0,25

0,5

1 + 41989 + 4 n−27 ≥ ( 2n− 27 + 1) ⇔ 2 n −27 ≤ 23977 ⇔ n ≤ 4004 2

Với n=4004 ta có A= A = 427 + 42016 + 44004 = ( 227 + 24004 ) là số chính phương Vậy n=4004 thì A=427+42016+4n là số chính phương

0,25

---------------------------Hết-----------------------

ẠY

KÈ

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 23 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Xuyên Mộc, ngày 10/01/2017-Năm học 2016 - 2017

FF IC IA L

ĐỀ BÀI Bài 1:(3,0 điểm)

1) Chứng minh rằng các số A = 62015 + 1 và B = 62016 − 1 đều là bội của 7. 2) So sánh A =

102016 − 1 102017 − 11

102016 + 1 102017 + 9

và B =

Bài 2: (5,5 điểm)

2 x −9 2 x +1 x +3 + + với x ≥ 0;x ≠ 4;x ≠ 9 . x −5 x +6 x −3 2− x

Rút gọn biểu thức: P =

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2016 x 2 + 2 x + 2016 x2 + 1

3) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x2 + 5y2 = 74

Trên

mặt

phẳng

Bài 3: (3,5 điểm)

Oxy,

cho

đường

thẳng

(d)

có

phương

trình

( m − 4) x + ( m − 3) y = 1 (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến

đường thẳng (d) là lớn nhất.

a b c + + <2 a+b b+c c+a

2) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng : 1 <

KÈ

Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Lấy điểm M bất k ỳ trên nửa đường tròn (M khác A và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O)

ẠY

cắt nhau ở K. Gọi E là giao điểm của AM và OK. 1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.

2) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh: IN = IO. 3) Vẽ MH vuông góc với AB tại H. Gọi F là giao điểm của BK và MH. Chứng minh: EF//AB.

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Bài 5:(2,5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Một điểm P chạy » (P khác A và B). Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ P đến A trên cung nhỏ AB

và từ P đến B không lớn hơn đường kính của đường tròn (O).

FF IC IA L

------- HẾT -----

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 23 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Xuyên Mộc, ngày 10/01/2017-Năm học 2016 - 2017 Bài 1:(3,0 điểm) 1) Chứng minh rằng các số A = 62015 + 1 và B = 62016 − 1 đều là bội của 7.

Ta có: A = 6

2015

− 1M 62 − 1 = 35M 7

10.(102016 − 1) 102017 − 11 + 1 1 = = 1 + 2017 2017 2017 10 − 11 10 − 11 10 − 11

10.(10 2016 + 1) 102017 + 9 + 1 1 = = 1 + 2017 2017 2017 10 + 9 10 + 9 10 + 9

Ta thấy

Và: 10. B =

1.2 (2,0đ)

2017

− 11

Điểm 0,5 0,5

1013

Ta có: 10. A =

Đáp án

+ 1M 6 + 1 = 7M 7

B = 62016 − 1 = ( 62 )

1.1 (1,0đ)

102016 + 1 102017 + 9

và B =

Bài 1

102016 − 1 102017 − 11

2) So sánh A =

2017

(*)

(**)

nên từ (*) và (**) ⇒ 10A > 10B ⇒ A > B.

0,5 0,75

KÈ

( Trong 2 ý đầu, ý nào chứng minh trước đúng cho 0,75; ý sau tương tự cho 0,5đ) Bài 2: (5,5 điểm)

0,75

Rút gọn biểu thức: P =

2 x −9 2 x +1 x +3 + + với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 . x −5 x +6 x −3 2− x

ẠY

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2016 x 2 + 2 x + 2016 x2 + 1

3) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x2 + 5y2 = 74

Bài 2

Đáp án

Điểm

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

2.1 (2,0đ )

2 x − 9 + (2 x + 1)( x − 2) − ( x − 3)( x + 3) ( x − 2)( x − 3)

0,75

x− x −2 ( x − 2)( x + 1) x +1 = = ( x − 2)( x − 3) ( x − 2)( x − 3) x −3

0,5x2 +0,25

2016 x 2 + 2 x + 2016 (2017 x 2 + 2017) − ( x 2 − 2 x + 1) = x2 + 1 x2 + 1 2017( x 2 + 1) ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 = − = 2017 − (*) x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 ( x − 1) 2 Vì 2 ≥ 0 nên từ (*) ⇒ Q ≤ 2017 ⋅ x +1 Q=

( x − 1) = 0 ⇔ x −1 = 0 ⇔ x = 1 x2 + 1 Vậy max Q = 2017 ⇔ x = 1 2

Dấu “=” xảy ra ⇔

0,5

0,25 0,5

2.2 (2,0đ )

FF IC IA L

a) Ta có:

0,25

Cách 1: Ta có : 6x2 + 5y2 = 74 ⇔ 6x2 – 24 = 50 – 5y2 2 2 ⇔ 6(x – 4) = 5(10 – y ) (*) Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4) M5. Mà (6;5) = 1 nên (x2 – 4) M5 Đặt x2 – 4 = 5t ( t ∈ ¥ ) ⇒ x2 = 5t + 4. Thay vào (*) ⇒ y2 = 10 – 6t

4  t > − 5  x 2 > 0  x 2 = 5t + 4 > 0 4 5 Vì  2 ⇒ 2 ⇒ ⇒− <t< 5 3  y > 0  y = 10 − 6t > 0 t < 5  3 ⇒ t = 0 hoặc t = 1 2 ⊕ Khi t = 0 thì y = 10 (loại vì y ∈ ¢ )  x 2 = 9 x = 3 ⊕ Khi t = 1 thì  2 (vì x > 0; y > 0) ⇔  y = 4 y = 2

0,25 0,25 0,25

0,25

0,5

ẠY

KÈ

2.3 (1,5đ ) Cách 2: Ta có : 6x2 + 5y2 = 74 ⇔ 6x2 – 24 = 50 – 5y2 ⇔ 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) (*) Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4) M5. Mà (6;5) = 1 nên (x2 – 4) M5 2 2 ⇒ [(x – 4) +5] M5 ⇔ (x +1) M5 (**). Từ bài ra ⇒ 0 < 6x2 < 74 ⇒ 0 < x2 ≤ 12 . Kết hợp (**) ⇒ x2 = 4 hoặc x2 = 9 2 2 ⊕ Khi x = 4 thì y = 10 (loại vì y ∈ ¢ ) 2 2 ⊕ Khi x = 9 thì y = 4 ⇒ (x = 3 y = 2) (vì x > 0; y > 0) Bài 3: (3,5 điểm) 1)

Trên

mặt

phẳng

Oxy,

cho

đường

thẳng

(d)

có

phương

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

trình

( m − 4) x + ( m − 3) y = 1 (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. 41

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

2) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng : 1 <

Đáp án

Xét pt: ( m − 4 ) x + ( m − 3) y = 1 Ta thấy: ( m − 4) .0 + ( m − 3) .0 = 0 ≠ 1 nên (d) không thể đi qua O(0;0)

Điểm

0,25

FF IC IA L

Bài 3

a b c + + <2 a+b b+c c+a

+ m = 4 ta được y = 1 nên K/c từ (d) đến O bằng y = 1 + m = 3 ta được x = - 1 nên K/c từ (d) đến O bằng x = −1 = 1 + m ≠ 3; m ≠ 4 thì (d) cắt Ox tại A 

0,25x2

1 1    ,0  và cắt Oy tại B  0,   m −3  m−4 

0,25

Kẻ OH vuông góc với (d) tại H; ta có K/c từ O đến (d) là OH. Dựa vào ∆OAB vuông tại O chỉ ra được

3.1 (2,0đ)

Suy ra được: OH ≤ 2

0,5 0,25

1 7 1 1  = (m − 4) 2 + (m − 3)2 = 2  m −  + ≥ 2 2 2 2 OH 

Suy được khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất OH = 2 khi m =

7 2

0,25

(3)

c c c+b < < a+b+c c+a c+a+b

Cộng từng vế (1), (2) và (3), ta có: 1 <

0,5 0,25

(2)

3.2 (1,5đ)

(1)

a a a+c < < a+b+c a+b a+b+c b b b+a < < a+b+c b+c b+c+a

Vì a, b, c là các số dương (gt) nên ta có:

a b c + + <2 a+b b+c c+a

0,5

Lưu ý: HS chứng minh đúng một vế cho 0,75đ

KÈ

Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (M khác A và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O)

ẠY

cắt nhau ở K. Gọi E là giao điểm của AM và OK. 1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

M I

A O

FF IC IA L

Đáp án

Bài 4

Hình vẽ đến câu 1 4.1 (1,75đ) Chứng minh được OK ⊥ AM tại E Dựa vào ∆ OAK vuông tại A chỉ ra được OE.OK = OA2 = R2 không đổi.

4.2

Chứng minh được: OK // BN ( ⊥ AM) Chứng minh được: ∆ AOK = ∆ OBN (g.c.g) ⇒ OK = BN

0,75 0,75

0,25x2 0,5 + 0,25 0,5

(1,75đ) Suy được OBNK là hình bình hành từ đó suy được: IN = IO

Điểm 0,25

Chứng minh được ∆ AOK đồng dạng ∆ HBM 2

Chỉ ra được MB = HB.AB và OA = OE.OK (cma) (2) Từ (1) và (2) suy được HB 2 HB. AB HB AB HB OE = ⇒ = ⇒ = 2 OK .OE OK OE OK AB OK

(3)

4.3 (2,0đ)

HB MB HB 2 MB 2 = ⇒ = (1) ⇒ AO OK AO 2 OK 2

HB FB (4) = AB BK FB OE Từ (3) và (4) suy ra = ⇒ EF // OB //AB (đl Ta let) KB OK

KÈ

Chứng minh được

0,5 0,25

0,5 0,25 0,5

ẠY

Bài 5:(2,5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Một điểm P chạy

» (P khác A và B). Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ P đến A trên cung nhỏ AB

và từ P đến B không lớn hơn đường kính của đường tròn (O).

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” A 13 2 1

Bài 5

FF IC IA L

Đáp án » nên AP < PC. Lấy điểm Q trên PC sao cho PQ Vì ∆ABC đều, P ∈ AB

= PA

0,75

0 5 · = Pµ1 = 600 (chắn cung 120 ) nên ∆APQ đều ∆APQ cân có APQ (2,5đ) ⇒ AP = AQ = PQ

Điểm 0,25

- Chứng minh được ∆APB = ∆AQC (c.g.c) ⇒ PB = QC

nên PC ≤ 2R (đường kính)

1,0

Từ đó ⇒ PA + PB = PQ + QC = PC. Mà PC là 1 dây của (O)

ẠY

KÈ

Chứng tỏ tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B không lớn 0,5 hơn đường kính của đường tròn (O). (đpcm) Chú ý: 1. Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì GK vẫn cho điểm tương đương. 2. Điểm toàn bài không được làm tròn.

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 22 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 25/11/2015-Năm học 2015 - 2016

FF IC IA L

Câu 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức:

ĐỀ BÀI x x − 3 2( x − 3) x +3 A= − + x − 2 x −3 x +1 3 − x

 2( x + y ) = 3xy  b) Tìm x; y; z thỏa mãn  3( y + z ) = 4 yz  4( x + z ) = 5 xz 

a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm x biết A = 8; c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. Câu 2: (3,0 điểm). a) Tìm các giá trị của a, b sao cho đồ thị hàm số y = (a – 3)x + b song song với đường thẳng y = –2x + 1 đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng y = 5x + 5 và y = x – 3.

Câu 3: (4,0 điểm).

a) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + abc = 4 . Tính

giá trị của biểu thức: A = a(4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a ) + c(4 − a )(4 − b) − abc .

b) Giải phương trình nghiệm nguyên: (x + 1)(x 2 + 1) = (2y + 1) 2 .

KÈ

Câu 4: (5,0 điểm). Cho đường tròn (O,R) và một đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Trên d lấy một điểm M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại E. a) Chứng minh ∆BCM đồng dạng với ∆BEO ;

ẠY

b) Chứng minh CM vuông góc với OE; c) Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài dây AB. Câu 5: (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tính số đo góc BMC.

Câu 6. (2,0 điểm). Cho: x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1. Tính A = x2015 + y2015 + z2015

-------------------------------------- Hết --------------------------------------45

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 22 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 25/11/2015-Năm học 2015 - 2016 . Nội dung

( x + 1)( x − 3)

−

2( x − 3) x +1

−

Điểm 4,0 đ 0,5 đ

FF IC IA L

Câu Câu 1 a. ĐKXĐ x ≥ 0, x ≠ 9 (2,0đ) x x −3

x +3 x −3

0,5 đ

x x − 3 − 2( x − 3) 2 − ( x + 3)( x + 1) A= ( x − 3)( x + 1)

x x − 3 − 2 x + 12 x − 18 − x − 4 x − 3 ( x − 3)( x + 1)

x x − 3 x + 8 x − 24 ( x + 8)( x − 3) x+8 = = ( x − 3)( x + 1) ( x − 3)( x + 1) x +1

⇔ x+8 =8 x +8

x +1

b. Với x ≥ 0, x ≠ 9 (1,0đ) x +8 =8 A=8 ⇔

x ( x − 8) = 0

 x =0 ⇔  x − 8 = 0

⇔ x −8 x = 0

x = 0 ⇔ (thỏa mãn đk)  x = 64

Vậy x = 0 hoặc x = 64 thì A = 8. ≥ = =4 x +1 x +1 x +1 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 4 (Thỏa mãn điều kiện)

KÈ

x +1

Vậy GTNN của A = 4

khi x = 4.

Câu 2 Vì đường thẳng (d): y = (a - 3)x + b song song với đường thẳng y = a. (1,5đ) 2x + 1 nên: a - 3 = -2 và b ≠ 1 => a = 1; b ≠ 1 Tìm được giao điểm của đường thẳng y = 5x + 5 và y = x - 3 là M(2;-5) Vì (d): y = -2x + b đi qua M(-2;-5) => b = -9 (thỏa mãn) Vậy a = 1; b = -9.

ẠY D

0,5 đ

0,25 đ

0,5 đ

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: c. (1,0đ) x +8 x + 4 + 4 4 x + 4 4( x + 1) A=

0,5 đ

0,25 đ

⇔

0,5 đ 0,5 đ 3,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

+ Từ hệ đã cho ta thấy nếu một trong ba số x; y; z bằng 0 thì suy ra hai b. (1,5đ) số còn lại bằng 0 vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) là một giá trị cần tìm. 46

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

0,5 đ + Trường hợp xyz ≠ 0:

FF IC IA L

1 1 3  1 17  24 x + y = 2  x = 24  x = 17    2( x + y ) = 3 xy  1 1 1 49 24   1 19 1 1 4  ⇒  = ⇒ y =  3( y + z ) = 4 yz ⇔  + = ⇒ + + = x y z 24  y 24  4( x + z ) = 5 xz y z 3  19   1 13 1 1 5  24  =  + =  z = 13   z 24 z x 4

+ Vậy các cặp số (x; y; z) cần tìm là (x; y; z) = (0; 0; 0) và (x; y; z) = (

24 24 24 ; ; ) 17 19 13

0,25 đ 4,0 đ

Câu 3 a. (2,0đ) A = a(4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a ) + c(4 − a)(4 − b) − abc Ta có:

0,75 đ

a + b + c + abc = 4 ⇔ 4a + 4b + 4c + 4 abc = 16

0,5 đ

⇒ a (4 − b)(4 − c) = a (16 − 4b − 4c + bc)

= a (2 a + bc ) 2 = a (2 a + bc ) = 2a + abc

Tương tự:

b(4 − c)(4 − a ) = 2b + abc , c(4 − a )(4 − b) = 2c + abc

⇒ A = 2( a + b + c) + 3 abc − abc = 2( a + b + c + abc ) = 8

ẠY D

0,5 đ

0,25 đ

Gọi d = ƯCLN (x + 1, x 2 + 1) => d phải là số lẻ (vì 2y + 1 lẻ)

0,25 đ

 x 2 + x Md  2  x + 1Md  x + 1Md x + 1 M d   d mà d lẻ nên d = 1. ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2M 2  x − 1Md  x + 1Md  x + 1Md 

0,5 đ

+ Trước hết, chứng minh (x + 1) và (x 2 + 1) nguyên tố cùng nhau:

KÈ

b. (2,0đ)

0,5 đ

+ Nên muốn (x + 1)(x 2 + 1) là số chính phương Thì (x + 1) và (x 2 + 1) đều phải là số chính phương 2 2  x + 1 = k Đặt:  ⇒ (k + x)(k – x) = 1 ⇒ 2  x + 1 = t

k = 1  k = −1 hoặc   x = 0 x = 0

0,5 đ

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

+ Với x = 0 thì (2y + 1) 2 = 1 ⇒ y = 0 hoặc y = - 1

(Thỏa mãn pt)

0,5 đ

Vậy nghiệm của phương trình là: (x; y) ∈ {(0; 0); (0; − 1)}

5,0 đ A O Q

I B M

FF IC IA L

Câu 4

Gọi Q là giao điểm của AB với OM. a. (2,0đ) Ta có AM//CE (cùng vuông góc với AC) ⇒ ∠BEC = ∠MAB (so le trong) Mà ∠ABC = 90 0 ; ∠AQM = 90 0 và ∠AMO = ∠OMB (Dễ chứng minh). Suy ra ∠AMO = ∠OMB = ∠BCE (cùng phụ với hai góc bằng nhau) ⇒ tan BCE = tan OMB ⇒

BE OB MB OB = = (1) ⇒ BC MB BC BE

0,5 đ 0,5 đ

Lại có ∠MBA = ∠OBC (cùng phụ với góc ABO) Nên ∠MBC = ∠OBE ( cùng = 900 + ∠OBC ) (2)

0,5 đ

Từ (1) và (2) suy ra ∆ MBC ∆ OBE (c.g.c). b. Từ ∆ MBC ∆ OBE ⇒ ∠BCM = ∠BEO (1,5đ) Gọi I và N lần lượt là giao điểm của OE với BC và MC. ∆ NIC (g.g) ⇒ ∠IBE = ∠INC ∆ BIE

KÈ

Mà ∠IBE = 90 0 => ∠INC = 90 0 . Vậy CM ⊥ OE

ẠY

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d. P là giao điểm của AB c. (1,5đ) với OH OQ OP Ta có ∆ OQP ∆ OHM (.g.g) => = OH OM R2 2 2 QO. OM = OP. OH = OA = R ⇒ OP = OH Mà O và d cố định => OH không đổi => OP không đổi

Lại có : AB = 2AQ = 2

0A 2 − OQ 2 mà OQ ≤ OP

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

0,5 đ

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

R4 2R = . OH 2 − R 2 (K.đổi) 2 OH OH Dấu “=” xảy ra ⇔ Q ≡ P ⇔ M ≡ H 2R Vậy GTNN của AB = . OH 2 − R 2 ⇔ M ≡ H OH ⇒ AB ≥ 2 OA 2 − OP 2 = 2 R 2 −

0,5 đ

FF IC IA L

2,0 đ

Câu 5

0,5 đ

(2,0đ) * Vẽ tam giác đều CMN Ta có: BC = AC; CN = CM; 0 ∠ BCN = ∠ ACM (Vì đều có tổng với ∠ MCB bằng 60 ) Do đó ∆ BCN = ∆ ACM (c.g.c) Suy ra BN = BM * Theo giả thiết: AM 2 = BM 2 + CM 2 ⇔ BN 2 = BM 2 + MN 2 ⇔ ∆BMN vuông tại M (Định lý Pitago). · · · ⇒ BMC = BMN + NMC = 900 + 600 = 1500

Câu 6 Từ x + y + z = 1 ⇔ (x + y + z)3 = 1 Mà: x3 + y3 + z3 = 1 ⇒ (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 0 3 ⇔ ( x + y + z ) − z 3 − ( x3 + y 3 ) = 0

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 2,0 đ 0,5 đ

(

)

KÈ

2 ⇔ ( x + y + z − z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) z + z 2  − ( x + y ) x − xy + y 2 = 0 2

⇔ ( x + y ) ( x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2 yz + 2xz+xz + yz + z 2 + z 2 − x 2 + xy − y 2 ) = 0

ẠY

⇔ ( x + y ) ( 3z + 3xy + 3 yz + 3xz ) = 0

0,5 đ

⇔ ( x + y ) 3 ( y + z )( x + z ) = 0

x + y = 0 x = − y ⇔  y + z = 0 ⇔  y = −z    x + z = 0  x = − z * Nếu x = − y ⇒ z = 1 ⇒ A = x 2015 + y 2015 + z 2015 = 1 * Nếu y = − z ⇒ x = 1 ⇒ A = x 2015 + y 2015 + z 2015 = 1

0,5 đ

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

* Nếu x = − z ⇒ y = 1 ⇒ A = x 2015 + y 2015 + z 2015 = 1

ẠY

KÈ

FF IC IA L

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 21 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi HSG Toán 9 –TP. Thanh Hóa -Năm học 2015 – 2016)

FF IC IA L

ĐỀ BÀI Bài 1: (4,0 điểm) Cho P =

x x − 2x − x + 2 x x −3 x −2

x x + 2x − x − 2 x x −3 x + 2

1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1 2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất

x − 3 + 3 + 2x

5 − 3x − x − 1

1. Giải phương trình

Bài 2: (4,0 điểm)

2. Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2

1 1 ; b=y+ x y

1 xy

1. Cho a = x +

Bài 3: (4,0 điểm)

, c = xy +

Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc

2. Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có. 3(x2 -

1 1 ) < 2(x3 - 3 ) 2 x x

Bài 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD. Gọi I, Q, H, P lần lượt là

trung điểm của AB, AC, CD, BD

KÈ

1. Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD, BC hai góc bằng nhau. 2. Về phía ngoài tứ giác ABCD, dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF. Chứng

ẠY

minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng.

Bài 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đường cao AH

dài 36cm. Tính độ dài BD, DC.

Bài 6: (2,0 điểm) Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) =

9 . 4

Hãy tìm GTNN của P = 1 + a 4 + 1 + b 4 -------------------------------Hết-----------------51

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 21 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 (Đề thi HSG Toán 9 –TP. Thanh Hóa -Năm học 2015 – 2016) Tóm tắt cách giải

Câu

Điều kiện x > 0; x ≠ 1; 4 ( x − 2)( x + 1) 2 x −1

x +1

( x + 2)( x − 1)( x + 1)

x +1 x −1

2( x + 1) x −1

x+3 > 0 Theo đ/k x > 0 ⇒ x + 3 > 0 x −1

⇔

0,5

2( x + 1) 2( x + 1) 2x + 2 − x + 1 > 1⇔ - 1 > 0⇔ >0 x −1 x −1 x −1

P > 1⇔

0,5

( x + 2)( x − 1) 2

( x − 2)( x − 1)( x + 1)

0,5

⇒ x–1>0 ⇒ x>1

Điểm

FF IC IA L

Bài

Kết hợp điều kiện x > 0; x ≠ 1; 4

2( x + 1) 4 =2+ Với x > 0; x ≠ 1; 4 x −1 x −1

P nguyên ⇔ x – 1 là ước của 4 P đạt giá trị nguyên lớn nhất ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2

KÈ

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 2

ẠY

Điều kiện x – 3 + 3 + 2 x ≠ 0

0,5 0,5 0,5 0,25

Phương trình tương đương 3x − 5 - x − 1 - 4 2 x + 3 - 4x + 12 = 0 (*)

1 Xét x < -

0,5

Suy ra x > 1; x ≠ 4 thì P > 1

0,5

3 thì (*) 2

⇔ - 3x + 5 + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0 ⇔ 2x = -28

0,25

⇔ x = - 14 (Thỏa mãn đk)

0,25 52

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” 3 2

Xét - ≤ x < 1 Thì (*) ⇔ - 3x + 5 + x – 1 – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0

0,25

Xét 1 ≤ x <

5 Thì (*) 3

FF IC IA L

2 (Thỏa mãn đk) ⇔ x= 7

0,25

⇔ - 3x + 5 – (x -1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0 ⇔ x=

3 (loại) 8

Xét x ≥

5 Thì (*) ⇔ 3x – 5 – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0 3

⇔x=-

2 (Loại) 5

0,25

2 Vậy phương trình có nghiệm x ∈ − 14;  

Ta có x2 + xy + y2 = x2y2

7

0,5  xy = 0

+ Nếu x + y = 0 ⇒ xy(xy + 1) = 0 ⇔   xy = −1

0,5

⇔ (x + y) = xy(xy + 1)

Với xy = 0. Kết hợp với x + y = 0 ⇒ x = y = 0 x = 1  x = −1 hoặc   y = −1 y = 1

0,5

Với xy = -1. Kết hợp với x + y = 0 ⇒ 

KÈ

+ Nếu x + y ≠ 0 ⇒ (x + y)2 là số chính phương

xy(xy + 1) là hai số nguyên liên tiếp khác 0 nên chúng nguyên

0,5

tố cùng nhau. Do đó không thể cùng là số chính phương

ẠY

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (x; y) = (0; 0); (1; -1);

(-1; 1) a 2 = x2 +

1 +2 x2

b2 = y2 +

1 +2 y2

1 53

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

c2 = x2y2 + 3

ab = (x +

0,5

1 +2 x y2 2

1 y y 1 1 x x )(y + ) = xy + + + =c+ + x y xy y x y x

0,5

FF IC IA L

y x + ).c ⇒ abc = (c + y x

0,5

y x + ) y x

= c2 + (xy +

y 1 x )( + ) xy y x

= c2 + x2 + y2 +

0,5

1 1 + 2 2 y x

= c2 + c(

1 1 ) < 2(x3 - 3 ) 2 x x

3(x2 -

⇒ A = a + b + c – abc = 4

= a2 – 2 + b2 – 2 + c2

1 1 1 1 )(x + ) < 2(x - )(x2 + 2 + 1) x x x x

⇔ 3(x +

1 1 1 ) < 2(x2 + 2 + 1) (1) ( Vì x > 1 nên x - > 0) x x x

⇔ (t – 2)(2t + 1) > 0 (2)

Ta có (1) ⇔ 2t2 – 3t – 2 > 0

Vì x > 1 nên (x – 1)2 > 0 ⇔ x2 + 1 > 2x ⇔ x +

KÈ

0,5

1 1 = t thì x2 + 2 = t2 – 2 x x

Đặt x +

⇔ 3(x -

1 > 2 hay t > 2 x

1,0

0,5

ẠY

⇒ (2) đúng. Suy ra điều phải chứng minh

4 54

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

IP = HQ; IP//HQ (Tính chất đường trung bình) và AD = BC

0,5

(GT)

0,5

Có IP = IQ =

FF IC IA L

⇒ IPHQ là h.b.h 1 1 AD = BC nên IPHQ là hình thoi 2 2

Gọi P 1 ; Q 1 là giao điểm của PQ với AD và BC Nhận thấy ∆ HPQ cân đỉnh H

⇒ HPQ = HQP (Góc ở đáy tam giác cân) (1)

0,5

Mà PH // BC ⇒ BQ 1 P = HPQ (So le trong) (2) QH // AD ⇒ AP 1 P = HQP (So le trong) (3)

0,5

Từ (1); (2); (3) Suy ra AP 1 P = BQ 1 P ( đpcm)

m Q

P C H

Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của EF, DF, CE

KÈ

Từ giả thiết ∆ ADE = ∆ BCF và dựa vào tính chất của đường

ẠY

trung bình trong tam giác ta có ∆ HMP = ∆ HNQ (c.c.c)

0,5

Suy ra MHP = NHQ ⇒ MHQ = NHP ⇒ MHN và PHQ có cùng tia phân giác

0,5

Mặt khác dễ có IPHQ và KMHN là các hình thoi.

0,5

Suy ra HK và HI lần lượt là phân giác của MHN và PHQ. Suy ra H, I, K thẳng hàng

0,5

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

FF IC IA L

Đặt BD = x, DC = y. Giả sử x < y. Pitago trong tam giác vuông

AHD ta tính được HD = 27cm. Vẽ tia phân giác của góc ngoài tại A, cắt BC ở E. Ta có AE ⊥ AD nên AD2 = DE.DH. Suy ra AD 2 45 2 = = 75cm DH 27

DE =

0,5

DB EB x 75 − x = = (1) ⇒ DC EC y 75 + y

Theo tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác

Mặt khác x + y = 40 (2)

0,5

Thay y = 40 – x vào (1) và rút gọn được

x2 – 115x + 1500 = 0 ⇔ (x – 15)(x – 100) = 0 Do x < 40 nên x = 15, từ đó y = 25.

0,5

Vậy DB = 15cm, DC = 25cm

0,5

KÈ

Áp dụng Bunhiacopski cho hai dãy a2; 1 và 1; 4 ta có

ẠY

⇒

1+ a4 ≥

(12 + 42)(a4 + 1) ≥ (a2 + 4)2 a2 + 4 17

0,5

(1)

Dấu “=” xảy ra ⇔ a =

1 2

Áp dụng Bunhiacopski cho b2; 1 và 1; 4 ta có 17(b4 + 1) ≥ (b2 + 4)2 ⇒ Dấu “=” xảy ra ⇔ b =

b4 +1 ≥

b2 + 4 17

(2)

0,5

1 2

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Từ (1) và (2) ⇒ P ≥

a2 + b2 + 8 17

(∗ ) 5 9 ⇔ a + b + ab = 4 4

Mặt khác theo giả thiết (1 + a)(1 + b) =

a ≤ a2 +

1 4

b ≤ b2 +

1 4

0,5

a2 + b2 2

3 2 1 5 (a + b 2 ) + ≥ a + b + ab = 2 2 4

17 2

1 +8 2 P≥ = 17

5 1 3 1 - ): = Thay vào ( ∗ ) 4 2 2 2

⇒ a +b ≥(

0,5

Cộng từng vế ba bất đẳng thức ta được

ab ≤

FF IC IA L

Áp dụng Côsi ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

17 1 khi a = b = 2 2

Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương đương ----------------------Hết-----------------

ẠY

KÈ

- Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai không cho điểm

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 20 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thanh Chương -Năm học 2013 - 2014

FF IC IA L

ĐỀ BÀI Bài 1: ( 2.0 điểm) 5 +3

a) Rút gọn biểu thức: A = 5

2 + 3+ 5

3− 5 2 − 3− 5

b) Chứng minh B = a - 5a + 4a chia hết cho 120. c) Tìm số nguyên m để C = m2 + m + 1 là số nguyên. Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình sau: 3 = x +1 4

a) x + 1 + x +

b) x 2 − 5 x + 8 = 2 x − 2 c) (4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 − 2 x + 2 Bài 3: ( 2.5 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức M = 2 x + 5 − x 2 b) Cho x; y là các số thực thỏa mãn x 1 − y 2 + y 1 − x 2 = 1. Tính N = x2 + y2 Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. AD a) Chứng minh: tanB.tanC = HD b) Chứng minh: DH .DA ≤

BC 2 4

c) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.

KÈ

Chứng minh rằng: sin

A a ≤ 2 2 bc

ẠY

Bài 5: (0.5 điểm) Chứng minh rằng trong 2n+1 - 1 số nguyên bất kỳ đều tồn tại 2n số có tổng là một số chẵn. --------------------------------------Hết-----------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 20 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – H. Thanh Chương -Năm học 2013 - 2014

2 + 3+ 5

2 + ( 5 + 1)2

3− 5 2 − 3− 5

2(3 − 5) 2 − ( 5 − 1)2

2( 5 + 3) 2+ 6+2 5

2(3 − 5)

2− 6−2 5

2( 5 + 3) 2(3 − 5) + 5 +3 3− 5

A= 2 2 B = a5 - 5a3 + 4a = a(a4 - 5a2 +4) = a(a4 - a2 - 4a2+4) B = a[a2(a2 - 1) - 4(a2 - 1)] = a(a2 - 1)(a2 - 4) B= (a - 2)(a - 1) a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 120 Để C = m2 + m + 1 là số nguyên thì m2 + m + 1 = k 2 (k ∈ Z )

Bài 1 (2.5 điểm)

2( 5 + 3)

⇔ 4m 2 + 4m + 4 = 4k 2 ⇔ (2m + 1)2 + 3 = 4k 2

(2k )2 − (2m + 1) 2 = 3 ⇔ (2k + 2m + 1)(2k − 2m − 1) = 3 Học sinh tìm được m

= 0; m = -1 −3 , 4

x +1+ x +

3 3 3 1 = x +1 ⇔ x + + x + + = x +1 4 4 4 4

ĐK x ≥

Điểm 0.25

FF IC IA L

Ý Nội dung a 5 +3 A=

0.25 0.25 0.5 0.25 0,25 0,25 0.25 0.25

Bài 2 b

Đặt x 2 + 1 = y ≥ 1 phương trình trở thành (4 x − 1) y = 2 y 2 − 2 x 4xy - y = 2y2 - 2x ⇔ 2y2 - 2x - 4xy + y = 0 ⇔ y(2y +1) - 2x(2y + 1) = 0 ⇔ ( 2y + 1)(y - 2x) = 0 ⇔ y = 2x (vì y = -

ẠY

KÈ

 3 1 3 1 3 1 ⇔  x + +  = x + 1 ⇔ x + + = x + 1 ⇔ x + = x + 4 2 4 2 4 2  −3 −1 −1 Với ≤ x ≤ Pt vô nghiệm; với x ≥ bình phương hai vế HS tìm 4 2 2 2 được x = 2 Đk: x ≥ 2 , x 2 − 5 x + 8 = 2 x − 2 ⇔ x 2 − 6 x + 9 + x − 2 − 2 x − 2 + 1 ( x − 3) 2 + ( x − 2 − 1)2 = 0 ⇔ x = 3

0,5

Bài 3

1/2 loại). ⇔ x 2 + 1 = 2 x ⇔ x =

1 3

Đk: − 5 ≤ x ≤ 5 . *)Ta có M2 = ( 2 x + 5 − x 2 )2 ≤ (2 2 + 12 )( x 2 + 5 − x 2 ) = 25 ⇒ M 2 ≤ 25 ⇒ −5 ≤ M ≤ 5

Nếu M = 5 thì M2 = 25 dấu bằng BĐT xảy ra ⇔

x = 5 − x 2 và 2

x 2 ≤ 5 ⇔ x = 2. Vậy max M = 5 khi x = 2. *) Theo trên thì −5 ≤ M ≤ 5 nhưng giá trị nhỏ nhất của M không bằng

0.25 0.25 0.5 0.25 0.25

0.5

0.5 0,25 59

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

- 5 vì − 5 ≤ x ≤ 5 ⇒ M ≥ −2 5 vậy min M = −2 5 khi x = − 5 ĐK: −1 ≤ x; y ≤ 1 .theo bài ra ta có

0.5

x 1 − y 2 + y 1 − x2 ≤ x 1 − y2 + y 1 − x2

0,25

= x 1 − y2 + y 1 − x2 ≤

x2 + 1 − y2 y 2 + 1 − x2 + =1 2 2

0,25

FF IC IA L

Dấu bằng xảy ra khi: x = 1 − y 2 và y = 1 − x 2 hay x2 = 1- y2 hay x2 + y2 = 1 vậy N = 1

0,25

0.25

A E

G H

Bài 4

AD 2 AD AD ; tanC = ⇒ tanB.tanC = (1) BD DC BD.DC · · Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có DAC vì cùng phụ với = DBH

Ta có tanB =

góc C nên ta có :

AD BD AD 2 AD = = (2) ⇒ AD.DH = DB.DC ⇒ DC DH BD.DC HD AD . Từ (1) và (2) ⇒ tanB.tanC = HD ( DB + DC ) 2 BC 2 Theo câu a. ta có: DH .DA = DB.DC ≤ = 4 4

0.25

0.25 0,25 1.0

ẠY

KÈ

∆ADC : ∆BDH ⇒

0.5

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

M B

FF IC IA L

Gọi Ax là tia phân giác góc A, kẻ BM; CN lần lượt vuông góc với Ax A BM A suy ra BM = c.sin = 2 AB 2 A A Tương tự CN = b.sin do đó BM + CN = (b + c).sin 2 2 Mặt khác ta luôn có: BM + CN ≤ BF + FC = BC = a A a a A Nên (b + c).sin ≤ a ⇒ sin ≤ ≤ 2 2 b + c 2 b.c

0.25

· Ta có sin MAB = sin

Vì có tất cả 2n+1 - 1 = 2(2n - 1) + 1 số nên có ít nhất (2n -1) + 1 = 2n số cùng chẵn hoặc cùng lẻ, suy ra 2n cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

0.5

Bài 5

0.25

ẠY

KÈ

Lưu ý: - Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm bài hình.

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ BÀI  x+2 + Cho biểu thức P = 

Bài 1 (5 điểm).

 x x −1

x x+

x +1

a) Rút gọn P b) Tìm x để P =

2 7

x2 − 4 − x2 + 4 = 0

x −1 2

a) Giải phương trình:

 : 1 − x  1

c) So sánh P2 với 2P. Bài 2 (3 điểm).

FF IC IA L

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 19 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 27/11/2013-Năm học 2013 - 2014

4z − 1

4x − 1

x + y =  b) Tìm x, y , z thỏa mãn điều kiện:  y + z =   z + x =

4y −1

Bài 3 (2 điểm). Cho x và y là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức x 3 + y 3 = 2 xy .

KÈ

Chứng minh rằng 1− xy là một số hữu tỉ. Bài 4 (5 điểm). Cho đường tròn (O,R) đường kính AB. Qua điểm C thuộc đường tròn kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi I, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến đường thẳng d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh: a) CI = CK b) CH2 = AI.BK c) AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính IK. Bài 5 (2 điểm).

ẠY

Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KM. Bài 6 (3 điểm). 2 2 2 2 a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x + xy + y = x y b) Cho 0 < x, y , z ≤ 1 x y z 3 Chứng minh rằng : + + ≤ 1 + y + xz 1 + z + xy 1 + x + yz x + y + z -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

 ( x − 1)( x + x + 1)

x + x +1

x −1

FF IC IA L

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 19 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 27/11/2013-Năm học 2013 - 2014 . Bài Nội dung Điểm Bài 1 (5 đ) a) Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 1 0,5 đ 2,0 đ  1  x −1 x+2 x : P =  + −  =

x + 2 + x ( x − 1) − ( x + x + 1) x − 1 : 2 ( x − 1)( x + x + 1)

x + 2 + x − x − x − x −1 x −1 2 x − 2 x +1 : = . 2 ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) x − 1

O N

2 2 = x −1 x + x + 1 2 ⇔ x+ x −6 = 0 7

( x − 1) 2 . ( x − 1)( x + x + 1) 2 b) P = 2 ⇔ = 7 1,5 đ x + x +1

0,5 đ

⇔ ( x − 2)( x + 3) = 0

⇔ x − 2 = 0 ( vì x + 3 > 0 với x ≥ 0) ⇔ x = 4 (thỏa mãn điều kiện) 2 Vậy với x = 4 thì P = 7

2 c) P = > 0 vì x ≥ 0 1,5 đ x + x +1

x2 − 4 − x2 + 4 = 0

Điều kiện x ≥ 2

x2 − 4 − ( x2 − 4) = 0

Đặt

ẠY

KÈ

Bài 2 a) 1,0 đ

x 2 − 4 = t (t ≥ 0)

t = 1 ⇔ t − t2 = 0 ⇔  t = 0

*t = 0 ⇔

x 2 − 4 = 0 ⇔ x = ±2

*t = 1 ⇔

x2 − 4 = 1 ⇔ x = ± 5

b) Điều kiện: x , y , z ≥ 1 4 2,0 đ

0,5 đ 0,5 đ 0.5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

2 ≤ 2 vì x + x + 1 ≥ 1 x + x +1 Ta có P > 0 và P ≤ 2 nên P.(P - 2) ≤ 0 2 2 ⇒ P - 2P ≤ 0 ⇒ P ≤ 2P

0,5 đ

(Thỏa mãn điều kiện)

0,5 đ (3 đ) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ

Cộng từng vế ta có :

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

2x + 2y + 2z = 4x − 1 + 4y − 1 + 4z − 1

0,5 đ

⇔ 4x + 4y + 4z − 2 4x − 1 − 2 4y − 1 − 2 4z − 1 = 0

) ( 4y − 1 − 1) + ( 4z − 1 − 1) = 0 (*) 4x − 1 − 1) ≥ 0; ( 4y − 1 − 1) ≥ 0; ( 4z − 1 − 1) ≥ 0 2

4x − 1 − 1 + 2

 4x − 1 − 1 = 0  1 Nên (*) xay ra ⇔  4y − 1 − 1 = 0 ⇔ x = y = z = 2  4z − 1 − 1 = 0 

Kết luận : vậy x = y = z =

0,5 đ

FF IC IA L

( Vì ( ⇔

0,5 đ

1 2

0,5 đ

Bài 3 * Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì 1 − xy = 1 là số hữu tỉ (2đ) * Nếu x, y đều khác 0 y3 y y4 y2 x 3 + y 3 = 2 xy ⇒ x + 2 = 2 ⇒ − xy = 2 − 2 x x x x

0,5 đ

y4 y2  y2  ⇒ 1 − xy = 2 − 2 + 1 =  − 1 x x  x 

0,5 đ

 y2  y2 ⇒ 1 − xy =  − 1 = − 1 là số hữu tỉ x  x 

Vậy x và y là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức x 3 + y 3 = 2 xy .

0,5 đ

d K

Bài 4 (5 đ)

thì 1 − xy là một số hữu tỉ

ẠY

KÈ

a) 1,5 đ Nối OC. Vì d là tiếp tuyến của (O) tại C nên OC vuông góc với d Ta có: AI// BK ( vì cùng vuông góc với d) => ABKI là hình thang Do OA= OB =R, OC// AI // BK ( vì cùng vuông góc với d) => CI = CK ( T/c đường trung bình của hình thang)

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

b) 2,0 đ Vì

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

· =· · CAI ACO ( So le trong, AI//CO), · ACO = CAO (∆OAC cân)

· = CAO · ⇒ CAI ⇒ ∆IAC = ∆HAC ( Cạnh huyền - góc nhọn)

FF IC IA L

=> AI = AH. Tương tự: BK = BH. Do ∆ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB nên ∆ABC vuông tại C. => CH2 = HA.HB = AI.BK ( hệ thức lượng trong tam giác vuông) c) 1,5 đ Ta có: ∆IAC = ∆HAC ⇒ CI = CH = CK

0,5 đ

IK ) Mà CH ⊥ AB tại H 2 IK => AB là tiếp tuyến của (C , ) Hay AB là tiếp tuyến của đường tròn 2

0,5 đ

⇒ H ∈ (C ,

0,5 đ

đường kính IK.

Bài 5 (2 đ)

ẠY

KÈ

· · Ta có: BMK ( góc có cạnh tương ứng vuông góc) = HAK Suy ra: ∆BKM ∆HKA (g.g) BK KM = ⇒ BK .KA = KM .KH ⇒ HK KA

AB 2  BK + KA  ≤ = Mặt khác: BK.KA  . ( bất đẳng thức Cosi)  2 4   2

Dấu “=” xảy ra khi BK = KA AB 2 ⇒ KM .KH ≤ . 4 AB 2 Vậy giá trị lớn nhất của tích KM.KH = khi BK = KA, tức K là 4

0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ

0,5 đ 0,25 đ 65

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

trung điểm của cạnh AB.

⇔ ( 2x + 2 y) − (2xy +1)2 = −1 ⇔ ( 2x + 2 y − 2xy −1)( 2x + 2 y + 2xy +1) = −1 2

x = 0  2x + 2 y − 2xy −1 = −1  y = 0  x = 1 2x + 2 y + 2xy +1 = 1 ⇔ ⇔  2x + 2 y − 2xy −1 = 1  y = −1   2x + 2 y + 2xy +1 = −1 x = −1   y = 1

0,5 đ

FF IC IA L

Bài 6 (3 đ) a) Ta có: 1,5 đ x2 + xy + y2 = x2 y2 ⇔ 4x2 + 4xy + 4 y2 − 4x2 y2 = 0

0,5 đ

Vậy phương trình có 3 nghiệm là (x,y) = (0;0); (1;-1);(-1;1) b) Vì 0 < x, y , z ≤ 1 nên (1 − x)(1 − y ) ≥ 0 ⇔ 1 + xy ≥ x + y 1,5 đ ⇔ 1 + z + xy ≥ x + y + z

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

y y ≤ (1) 1 + z + xy x + y + z x x Tương tự ta có ≤ 1 + y + xz x + y + z

(2) ;

z z ≤ 1 + x + xy x + y + z

(3)

0,25 đ

⇔

0,25 đ 0,25 đ

KÈ

Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta được x y z x+ y+z 3 + + ≤ ≤ 1 + y + xz 1 + z + xy 1 + x + yz x + y + z x + y + z Dấu “=” xẩy ra khi x = y = z =1

ẠY

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 18 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ( Đề thi HSG Toán 9 –TP. Thanh Hóa- Ngày 03/12 /2013 - Năm học 2013 – 2014)

Bài 1 ( 5.0 điểm)

a) Rút gọn rồi tính giá trị của P khi a = và b =

b a+ b − ab − a ab

2014 − 2 2013 40 2 + 57 −

2014 + 2 2013

40 2 − 57

a a+2 2 = thì P có giá trị không đổi. b b+4 2

b) Chứng minh rằng nếu

FF IC IA L

ĐỀ BÀI a Cho biểu thức P = + ab + b

Bài 2 ( 4.0 điểm)

a) Tìm giá trị của k để phương trình ẩn x sau có nghiệm âm b) Giải phương trình:

x +1 +

3− x −

k ( x + 2 ) − 3( k − 1 ) =1 x +1

(x + 1)(3 − x) = 2

ẠY

KÈ

Bài 3 ( 4.0 điểm) a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 ( x 2 + 2 x + 3) ( x 2 + 2 x + 9) b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 + 2x + 1 Bài 4 ( 4.0 điểm) Cho tam giác ABC cân ( AB = AC , BAC < 450) . Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho DC < DB. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC lần lượt cắt AC, AB thứ tự tại M, N. Điểm H đối xứng với D qua đường thẳng MN. Gọi giao điểm của các đường thẳng AH và BC là I. a) Tứ giác ANMH là hình gì ? Chứng minh . b) Chứng minh tam giác IAB và tam giác IHC đồng dạng với nhau. Bài 5 ( 3.0 điểm) Cho hình vuông ABCD và điểm M bất kỳ trên cạnh CD. Đường phân giác của BN góc ABM cắt AD tại N. Xác định vị trí của điểm M để tỉ số lớn nhất. MN ---------------Hết-----------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Bài 1 (5.0 điểm) a) + Điều kiện: ab > 0 ; ab + b ≠ 0 ; a+b + Rút gọn : P = b−a

b =

b2 =

)

2013 + 1

)

− 1 = 2012

(

)(

2013 + 1

)

(1,0 đ)

= 3200 < 3249 = 57 2 => 40 2 < 57 , do đó

57 + 40 2 −

57 − 40 2

=> b > 0 nên

( 57 + 40 2 ) + ( 57 − 40 2 ) − 2

( 57 )

(

− 40 2

(1,0 điểm)

=> ab + 4 2 a = ab + 2 2 b => 2a = b

a a+2 2 = b b+4 2

)

b2 = 114 – 2 . 7 = 100 mà b > 0 nên b = 10 2012 + 10 2022 10 Tính P = = = −1 10 − 2012 − 2002 1001 b) + Từ

2013 − 1

(

40 2

2013

(

+ Vì

(

)

(1,5 đ)

2013 − 1

ab − a ≠ 0 ; a ≠ b (0,5 điểm)

(

+ Tính a =

FF IC IA L

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 18 MÔN: TOÁN - LỚP 9 ( Đề thi HSG Toán 9 –TP. Thanh Hóa- Ngày 03/12 /2013 - Năm học 2013 – 2014)

a + 2a 3a = =3 2a − a a Chứng tỏ P có giá trị không đổi.

Thay b = 2a vào P =

(1,0 điểm)

ẠY

KÈ

Bài 2 ( 4.0 điểm) a) + Điều kiện: x ≠ -1 ( 0,25 điểm) + Biến đổi phương trình đã cho ta được x( k – 1) = k – 2 ( 1) ( 0,25 điểm) + Nếu k = 1 thì phương trình ( 1) vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm. (0,25 điểm)

+ Nếu k ≠ 1 thì phương trình ( 1) có nghiệm x = Kết hợp với điều kiện thì x =

k −2 . k −1

( 0,25 điểm)

k −2 là nghiệm của phương trình đã cho khi k ≠ 1,5 k −1

( 0,25 điểm)

Phương trình đã cho có nghiệm âm tức

k −2 < 0, giải ta tìm được 1< k < 2. k −1

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

( 0,25 điểm) ( 0,5 điểm)

+ Vậy giá trị cần tìm của k là 1< k < 2 ; k ≠ 1,5 b) + Điều kiện  3x −+ x1 ≥≥ 00 <=> -1 ≤ x ≤ 3  x +1 +

Khi đó y2 = 4 + 2

3− x

( điều kiện y ≥ 0)

( x + 1)(3 − x )

FF IC IA L

+ Đặt y =

(0,25 điểm)

( 0,5 điểm)

Đáp số: x = -1 ; x = 3

=> 2 ( x + 1)(3 − x ) = y2 - 4 (1) ( điều kiện y2 ≥ 4 ) (0,75 điểm) + Phương trình đã cho trở thành : 2y – (y2 - 4) = 4 <=> y2 - 2y = 0 <=> y( y - 2) = 0 <=> y = 0 ; y = 2 Ta thấy y = 0 không thỏa mãn y2 ≥ 4 - Loại (0,5 điểm) + Thay y = 2 vào (1) 2 ( x + 1)(3 − x ) = 22 - 4 <=> ( x + 1) ( 3 – x) = 0 Ta thấy x = - 1 ; x = 3 thỏa mãn điều kiện.

ẠY

KÈ

Bài 3 ( 4.0 điểm) a) + Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, không mất tính tổng quát giả sử a ≥ b ≥ c > 0 , ta có: a < b + c => 2a < a + b + c = 2 => a < 1 => b < 1 , c < 1 (0,5 điểm) => (1 – a) (1 – b) (1 – c) > 0 => ab + bc + ca > 1 + abc (1) (0,5 điểm) + Mặt khác ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) => 4 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) (2) (0,5 điểm) 2 2 2 + Từ (1) (2) 4 > a + b + c + 2( 1 + abc ) 2 (ĐPCM) (0,5 điểm) => a + b2 + c2 + 2abc < 2 b) + Điều kiện: x ≠ - 1 Đặt x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 = y => y > 0. Khi đó ( y + 2)( y + 8) y 2 + 10 y + 16 16 A= = = y + + 10 (1,0 điểm) y y y 16 + Ta thấy A đạt giá trị nhỏ nhất khi y + đạt giá trị nhỏ nhất. y 16 16 Vì y > 0 => > 0 mà y. = 16 không đổi, y y 16 16 nên y + đạt giá trị nhỏ nhất khi y = . y y Tính được y = 4 (vì y > 0 ) (0,5 điểm) 2 2 + Do đó x + 2x + 1 = 4 => x + 2x - 3 = 0 => ( x + 3) ( x – 1) = 0

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

=> x = - 3 ; x = 1 16 Khi đó min A = 4 + + 10 = 18 4 Đáp số: min A = 18 <=> x = - 3 ; x = 1 A Bài 4 ( 4.0 điểm)

FF IC IA L

(0,5 điểm)

N H K

2 G

2 1

+ Gọi K là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ANDM. Gọi G là giao điểm của DH và MN . Nối NH. + Chứng minh được ANMH là hình thang . + Chứng minh được ANMH là hình thang cân.

( 1,0 điểm) ( 1,0 điểm) ( 1,0 điểm)

+ Vì ANMH là hình thang cân => NAH = MHA Chứng minh được ∆MDC cân tại M => C1 = D1 = B

=> C1 + C2 + NAH = B + H2 + MHA Chứng minh được ∆MCH cân tại M => C2 = H2 + Chứng minh được BAI = HCI . + Xét ∆ IAB và ∆ ICH có I chung , BAI = HCI , nên tam giác IAB đồng dạng với tam giác ICH.

(0,5 điểm) (0,25 điểm)

ẠY

KÈ

Bài 5 ( 3.0 điểm)

( 0,25 điểm)

E M A

F N

+ Kẻ MF ⊥ BN ( F ∈ BN ) , MF cắt AB tại K. Kẻ AE // KM ( E ∈ CD ) . (1,0 điểm) + Chứng minh được ∆ABN =∆DAE ( g.c.g) => BN = AE Chứng minh được AEMK là hình bình hành => AE = KM. => BN = KM (1) (0,5 điểm) + Vì BF vừa là phân giác, vừa là đường cao nên ∆KBM cân tại B 70

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

=> MF =

1 KM 2

=> MF =

1 BN 2

(0,5 điểm)

1 BN BN ≤ MN => ≤ 2 2 MN Dấu bằng xảy ra khi MN = MF <=> N ≡ F mà F là trung điểm của KM, suy ra N là

+ Ta có MF ≤ MN =>

FF IC IA L

trung điểm của AD. MD 1 1 1 => MD = ND => MD = CD ( 0,5 điểm) = ND 2 2 4 MD 1 + Vậy vị trí cần tìm của điểm M là điểm M nằm trên cạnh CD sao cho = , 4 CD BN khi đó tỉ số lớn nhất bằng 2. ( 0,5 điểm) MN

Khi đó chứng minh được

------------------Hết------------------

- Các cách giải khác đúng cho điểm tương đương. - Nếu không vẽ hình hoặc vẽ sai bài 4, bài 5 thì không chấm điểm.

ẠY

KÈ

Lưu ý:

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 17 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Bình Giang - Năm học 2012 - 2013

FF IC IA L

ĐỀ BÀI Câu I (2,0 điểm). Cho biểu thức: A =

x+2 x +1 1 + + với x ≥ 0, x ≠ 1 x x −1 x + x + 1 1 − x

1) Rút gọn A 2) Chứng tỏ rằng: A <

1 3

Câu II (2,0 điểm). 1) Giải phương trình: x − x − 15 = 17

2) Tìm x, y sao cho: 5x − 2 x ( 2 + y ) + y 2 + 1 = 0

Câu III (2,0 điểm).

2 1) Tìm số nguyên x, sao cho : x + x − p = 0 với p là số nguyên tố.

KÈ

m 2 − 2013m + 2012 2) Tìm m để hàm số bậc nhất y = x − 2011 là hàm số m 2 − 2 2m + 3 nghịch biến. Câu IV (3,0 điểm). 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O ; R), gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh AH = 2.IO. · b) Biết BAC = 600 , tính độ dài dây BC theo R.

2) Cho tam giác ABC (góc A = 900), BC = a. Gọi bán kính của đường tròn nội

ẠY

tiếp ∆ABC là r. Chứng minh rằng:

r 2 −1 . ≤ a 2

Câu V (1,0 điểm). Cho x + 3y ≥ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = x 2 + y 2

-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 17 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Bình Giang - Năm học 2012 - 2013

Phần A=

A= A=

x +2

(

)(

)

x −1 x + x +1

x +1 1 − x + x +1 x −1

0.25

x + 2+ x −1− x − x −1

(

)(

)

x −1 x + x +1

0.25

x− x

)( ) x ( x −1) x , v?i x ≥ 0, x ≠ 1 A= = ( x −1)( x + x +1) x + x +1 x −1 x + x +1

1 (1,0 đ)

Điểm

Nội dung

Câu I (2,0 điểm)

(

)

(

x − x − 15 = 17 ⇔ x − 15 − x − 15 − 2 = 0

Đặt t = x − 15 (t ≥ 0) ⇒ t 2 − t − 2 = 0

KÈ

1  t = 2 ( TM§K ) (1,0 đ) ⇔ ( t − 2 )( t + 1) = 0 ⇔ 

ẠY

Câu II (2,0 điểm)

0.25 0.50

1 3  ⇒ x − 1 > 0 và x + x + 1 =  x +  + > 0 2 4  1 1 ⇒ −A >0⇔ A < 3 3 ĐKXĐ: x ≥ 15 2

0.25

x −1 1 1 x −A = − = 3 3 x + x + 1 3(x + x + 1) Do x ≥ 0, x ≠ 1

Xét

2 (1,0 đ)

Câu

FF IC IA L

 t = −1 ( lo¹i ) Với t = 2 ⇒ x − 15 = 2 ⇔ x − 15 = 4 ⇔ x = 19 (TMĐK)

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

ĐKXĐ: x ≥ 0

5x − 2 x ( 2 + y ) + y 2 + 1 = 0 ⇔ 4x − 4 x + 1 + x − 2y x + y 2 = 0

( ) ( x − y ) = 0 (1) Vì ( 2 x − 1) ≥ 0, ( x − y ) ≥ 0 ∀x ≥ 0, y 2 (1,0 đ) ⇒ ( 2 x − 1) + ( x − y ) ≥ 0 . 2

⇔ 2 x −1 +

0.25 0.25

0.25

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” 1  2 x − 1 = 0  x = 4 Để (1) xẩy ra thì  ⇔ (TM) y = 1  x − y = 0  2

0.25

Theo bài ra: p = x 2 + x = x ( x + 1) mà x, x + 1 là số nguyên

FF IC IA L

0.25 liên tiếp nên x ( x + 1) là số chẵn ⇒ p là số chẵn. 1 (1,0 đ) Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2 0.25 ⇒ x + x − 2 = 0 ⇔ ( x + 2 )( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = - 2 (TM) 0.50 2

m 2 − 2013m + 2012 x − 2011 nghịch biến thì m 2 − 2 2m + 3 m 2 − 2013m + 2012 (1). <0 m 2 − 2 2m + 3

Câu III (2,0 điểm)

(

m 2 − 2 2m + 3 = m − 2

)

+ 1 > 0 ∀m

Để hàm số y =

2 (1) ⇔ m − 2013m + 2012 < 0 ⇔ ( m − 1)( m − 2012 ) < 0 (1,0 đ)

0.25

 m − 1 > 0  m > 1   m − 2012 < 0 m < 2012  ⇔ ⇔  m − 1 < 0  m < 1    m − 2012 > 0  m > 2012 ⇒ 1 < m < 2012

0.25

U Q

KÈ

Câu IV 1a (3,0 (1,0 đ) điểm)

ẠY

· · ⇒ ABK = ACK = 900 ⇒ KB ⊥ AB, KC ⊥ AC CH ⊥ AB, BH ⊥ AC (gt) ⇒ BK // CH, CK // BH ⇒ BHCK là hình bình hành

I là trung điểm của BC (gt) ⇒ I là trung điểm của HK O là trung điểm của AK (gt) ⇒ OI là đường trung bình của ∆KAH

1 ⇒ OI = AH ⇒ AH = 2.IO 2

· · 1b OA = OC ⇒ ∆OAC cân tại O ⇒ OAC = OCA · · · (1,0 đ) KOC = OAC + OCA (T/c góc ngoài của tam giác) · · ⇒ KOC = 2.OAC · · Chứng minh tương tự: KOB = 2.OAB

(

0.25

Vì B, C thuộc đường tròn đường kính AK

0.25

)

· · · · · · ⇒ KOC + KOB = 2 OAC + OAB ⇒ BOC = 2.BAC = 1200

0.25

0.25 0.25

0.25 0.25 74

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” · = (1800 − 1200 ) : 2 = 300 OB = OC ⇒ ∆OBC cân tại O ⇒ OCI

Vì I là trung điểm của BC (gt) ⇒ OI ⊥ BC

(

)

0.25

3 Trong ∆OIC $I = 900 : IC = OC.cos300 = R. ⇒ BC = R 3 2

0.25

r 2 −1 ≤ ⇔ 2r ≤ a 2 − a ⇔ 2r + a ≤ a 2 a 2

0.25 0.25

2 C/m được AB + AC = 2r + a (1,0 đ) ⇒ AB + AC ≤ BC 2

FF IC IA L

⇔ ( AB − AC ) ≥ 0 (1)

⇔ AB2 + 2AB.AC + AC2 ≤ 2BC 2 ⇔ AB2 + 2AB.AC + AC2 ≤ 2AB2 + 2AC 2

r 2 −1 , dấu “=” xảy ra khi ∆ABC ≤ a 2

BĐT (1) đúng ⇒

0.25

v/cân tại A.

0.25

Do x + 3y ≥ 1 , đặt x + 3y = 1 + a với a ≥ 0 ⇒ x = 1 + a – 3y, 0.25 thay vào biểu thức C: ⇒ C = 10y 2 − 6ay − 6y + a 2 + 2a + 1

0.50

0.25

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

ẠY

KÈ

Câu V (1,0 điểm)

3 1 1 1   C = 10  y − ( a + 1) + ( a 2 + 2a ) + ≥ . 10 10  10  10 (1,0 đ) 1 ⇒ min C = khi: 10 3  3 3 3 y=     y − ( a + 1) = 0 y = y =  10 ⇔ 10 ⇔  10 ⇔   10 a = 0 a = 0  x + 3y = 1  x = 1  10

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ BÀI Bài 1: (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A =

2 x −9 x + 3 2 x +1 − − x−5 x +6 x − 2 3− x

b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.

FF IC IA L

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 16 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Kim Thành - Năm học 2012 - 2013

Tính f(a) tại a = 3 16 − 8 5 + 3 16 + 8 5

Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012

(1 + y 2 )(1 + z 2 ) (1 + z 2 )(1 + x 2 ) (1 + x 2 )(1 + y 2 ) + y + z (1 + x 2 ) (1 + y 2 ) (1 + z 2 )

Hãy tính giá trị biểu thức: A = x

a) 1 − x + 4 + x = 3

Bài 3: (4,0 điểm) Giải các phương trình sau:

b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương?

b) x 2 + 4 x + 5 = 2 2 x + 3 Bài 4: (3,0 điểm)

a) Tìm x; y thỏa mãn: 2 ( x y − 4 + y x − 4 ) = xy

b) Cho a; b; c là các số thuộc đoạn [ −1; 2] thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng

KÈ

minh rằng: a + b + c ≥ 0 Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H. KC AC 2 + CB 2 − BA2 = KB CB 2 + BA2 − AC 2

b) Giả sử: HK =

1 AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 3

ẠY

a) Chứng minh:

c) Giả sử SABC = 120 cm2 và BÂC = 600. Hãy tính diện tích tam giác ADE?

-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 16 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Kim Thành - Năm học 2012 - 2013

a/ Rút gọn biểu thức A =

2 x −9 x + 3 2 x +1 − − x−5 x +6 x − 2 3− x

ĐKXĐ: x ≠ 4; x ≠ 9

( (

(

2 x −9 x −2

)( x − 2 )( x +1

)(

x −3

)

)= x − 3)

x −2

x + 3 2 x +1 2 x − 9 − x + 9 + 2x − 3 x − 2 + = = x −2 x −3 x −2 x −3

−

(

x +1 x −3

)

(

x −2

)(

x −3

)

b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.

(1 + y 2 )(1 + z 2 ) (1 + z 2 )(1 + x 2 ) (1 + x 2 )(1 + y 2 ) + y + z (1 + x 2 ) (1 + y 2 ) (1 + z 2 )

Hãy tính: A = x

)(

x− x −2

FF IC IA L

Câu 1: (4 điểm)

Gợi ý: xy + yz + xz = 1 ⇔ 1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y)

Tương tự: 1 + y2 = …; 1 + z2 = ….

Câu 2: (3 điểm) a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tính f(a) tại a = 3 16 − 8 5 + 3 16 + 8 5

KÈ

Giải

b/ Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương? a/Từ a= 3 16 − 8 5 + 3 16 + 8 5

(

)(

)

ẠY

3 ⇒ a 3 = 32 + 3 3 16 − 8 5 16 + 8 5  3 16 + 8 5 + 3 16 − 8 5  = 32 − 12a nên a + 12a = 32  

Vậy f(a) = 1 k − n = 1 ⇒n=8 k + n = 17

b/ Giả sử: n2 + 17 = k2 (k ∈ ¥ ) và k > n ⇒ (k – n)(k + n) = 17 ⇔ 

Vậy với n = 8 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 3: (4 điểm) Giải các phương trình sau: a/ 1 − x + 4 + x = 3 77

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

b/ x 2 + 4 x + 5 = 2 2 x + 3 Giải a/ ĐK: −4 ≤ x ≤ 1 Bình phương 2 vế: 1 − x + 4 + x + 2 (1 − x)(4 + x) = 9 ⇔ (1 − x)(4 + x) = 2

FF IC IA L

x = 0 (thỏa mãn) ⇔ 4 − 3 x − x 2 = 4 ⇔ x( x + 3) = 0 ⇔   x = −3

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 0; x = -3 b/ x 2 + 4 x + 5 = 2 2 x + 3 ĐKXĐ: x ≥

) (

(

−3 2

)

⇔ x2 + 2 x + 1 + 2 x + 3 − 2 2 x + 3 + 1 = 0

(

2  x + 1 = 0 2x + 3 −1 = 0 ⇔  ⇒ x = −1  2 x + 3 = 1

)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1 Câu 4: (3 điểm)

a/ Tìm x; y thỏa mãn: 2 ( x y − 4 + y x − 4 ) = xy

⇔ ( x + 1) +

b/ Cho a; b; c là các số thuộc đoạn [ −1; 2] thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng minh rằng: a + b + c ≥ 0

Giải

a/ 2 ( x y − 4 + y x − 4 ) = xy ⇔ x.2. y − 4 + y.2. x − 4 = xy

Xét VP = x.2. y − 4 + y.2. x − 4 theo BĐT cosi: 2 y − 4 ≤

4+ y−4 y 4+ x−4 x = ;2 x − 4 ≤ = 2 2 2 2

vậy VP ≤ xy = VT

 x−4 = 2 Dấu = xảy ra khi:  ⇒ x = y =8

KÈ

 y − 4 = 2

b/ Do a; b; c thuộc đoạn [ −1; 2] nên a + 1 ≥ 0; a – 2 ≤ 0 nên (a + 1)(a – 2) ≤ 0

ẠY

Hay: a2 – a – 2 ≤ 0 ⇒ a2 ≤ a + 2 Tương tự: b2 ≤ b + 2; c2 ≤ c + 2 Ta có: a2 + b2 + c2 ≤ a + b + c + 6 theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = 6 nên: a + b + c ≥ 0 Câu 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H. a/ Chứng minh:

KC AC 2 + CB 2 − BA2 = KB CB 2 + BA2 − AC 2

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” 1 AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 3

b/ Giả sử: HK =

c/ Giả sử SABC = 120 cm2 và BÂC = 600. Hãy tính diện tích tam giác ADE? Giải a/ Sử dụng định lý pytago: AC 2 + CB 2 − BA2 AK 2 + KC 2 + ( BK + CK ) 2 − AB 2 = CB 2 + BA2 − AC 2 ( BK + CK ) 2 + BA2 − ( AK + KC ) 2

2CK 2 + 2 BK .CK 2CK (CK + BK ) CK = = 2 BK 2 + 2 BK .CK 2 BK ( BK + CK ) BK

AK AK b/ Ta có: tanB = ; tanC = BK CK B

KC · Mặt khác ta có: Bµ = HKC mà: tanHKC = KH

1 AK ⇒ tan B. tan C = 3 3

Theo gt: HK =

 Từ (1)(2) ⇒ ( tan B.tan C ) =   KH  

KC KB KB.KC tương tự tanC = (2) ⇒ tan B.tan C = KH KH KH 2

Nên tanB =

AK 2 (1) BK .CK

Nên: tanBtanC =

FF IC IA L

S ABC  AB  =  (3) S ADE  AD 

c/ Ta chứng minh được: ∆ABC và ∆ADE đồng dạng vậy: Mà BÂC = 600 nên ·ABD = 300 ⇒ AB = 2AD(4) S ABC = 4 ⇒ S ADE = 30(cm 2 ) S ADE

Từ (3)(4) ta có:

ẠY

KÈ

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ BÀI  x −2 x + 2  x2 − 2 x + 1 −  . 2  x −1 x + 2 x + 1 

a) Rút gọn A. b) Tìm x để A > 0 . c) Tìm giá trị lớn nhất của A . Câu 2: (6 điểm) a) Giải phương trình: 2 x 2 − 8 x − 3 x 2 − 4 x − 8 = 18 b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + 2 ( x + y )( x − y ) = 45 c) Giải hệ phương trình:  2 2 2

Câu 1: (3 điểm) Cho A = 

FF IC IA L

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 15 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Yên Định, ngày 26/02/2013-Năm học 2012 - 2013

( x − y )( x + y ) = 85

Câu 3 : (4 điểm) a) Cho a + b + c = 0 , tính giá trị của biểu thức:

1 1 1 + 2 + 2 2 2 2 2 b +c −a a +c −b a + b2 − c2 b) Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương. 2

KÈ

Câu 4 : (5 điểm) a) Từ một điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N∈ (O;R)). Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N. Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B, cắt AN tại C. Cho A cố định và AO = a. Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi P di động trên cung nhỏ MN. Tính giá trị không đổi ấy theo a và R. b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 36 (đơn vị diện tích). Trên cạnh BC và cạnh CA lần lượt lấy điểm D và E sao cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE tại I. Tính diện tích tam giác BID. Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1  x 10 y 10  1 16  2 + 2  + ( x + y 16 ) − (1 + x 2 y 2 ) 2 2 y x  4

-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

ẠY

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

A > 0 ⇔ − x ( x − 1) > 0 ⇔ x ( x − 1) < 0

 x > 0 (vì x > x − 1 ) ⇔ ⇔ 0 < x <1  x − 1 < 0 1 1 1 1 1 A = − x ( x − 1) = − x + x − + = −( x − ) 2 + ≤ 4 4 2 4 4 1 ⇒ A≤ 4 1 1 1 Vậy GTLN của A = khi x = ⇔ x = (t / m) 4 2 4

0.25đ

0.75đ

FF IC IA L

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 15 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Yên Định, ngày 26/02/2013-Năm học 2012 - 2013 . Câu ý Đáp án và hướng dẫn chấm Điểm 0.25đ ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 1 a 0.75đ A = − x ( x − 1)

0.25đ

2 x 2 − 8 x − 3 x 2 − 4 x − 8 = 18

⇔ 2( x 2 − 4 x − 8) − 3 x 2 − 4 x − 8 − 2 = 0

0.25đ

Đặt x − 4 x − 8 = y, y ≥ 0 ta được phương trình:

2 y 2 − 3y − 2 = 0 ⇔ 2 y 2 + y − 4 y − 2 = 0

0.5đ

y = 2 ⇔ ( y − 2)( 2 y + 1) = 0 ⇔  y = − 1 2  1 y = − <0 (loại); với y = 2 ta có 2

0.25đ

x 2 − 4 x − 8 = 2 ⇔ x 2 − 4 x − 12 = 0

0.25đ

KÈ

⇔ ( x − 6)( x + 2) = 0 ⇔ x = 6 hoặc x = −2 (thỏa mãn phương trình đã cho) Vậy pt đã cho có 2 nghiệm: x = 6 , x = −2

ẠY

Vì x2 + 2x + 2 = (x+1)2+1 > 0

0.5đ 0.25đ 0.25đ

2 x − 7 < x 2 + 2 x + 2 Nên: |2x-7| < x2 + 2x + 2 <=>  2

0.5đ

x + 9 > 0 <=>  2

0.25đ

<=> x2+4x+4>9 <=> (x+2)2 >9 <=> |x+2| >3

0.25đ

2 x − 7 > − x − 2 x − 2

 x + 4 x − 5 > 0 x + 2 > 3

x > 1

<=>  ⇔  x + 2 < −3  x < −5 Kết luận nghiệm bất phương trình

0.5đ 0.25đ 81

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” ( x + y )( x 2 − y 2 ) = 45 ( x − y )( x + y ) 2 = 45 (1) Biến đổi  ⇔  2 2 2 2 ( x − y )( x + y ) = 85

( x − y )( x + y ) = 85 ( 2)

(dk : abc ≠ 0)

1 1 1 + 2 2 + 2 2 2 2 b +c −a a +c −b a + b2 − c2 1 1 1 = 2 2 + 2 2 + 2 2 2 2 b + c − (b + c) a + c − ( a + c ) a + b − ( a + b) 2 a+b+c 1 1 1 = + + = =0 (voi : abc ≠ 0) −2bc −2ac −2ab −2abc A = n 2 + n + 6 là số chính phương nên A có dạng A = n 2 + n + 6 = k 2 (k ∈ N * ) P=

0.5đ

0.25đ 0.25đ

1đ

0.5đ

 2k + 2n + 1 = 23 ⇔ (2 k + 2 n + 1)(2k − 2 n − 1) = 23 ⇔   2 k − 2n − 1 = 1

0.5đ

⇔ 4n 2 + 4 n + 24 = 4 k 2 ⇔ (2 k ) 2 − (2n + 1) 2 = 23

0.25đ

FF IC IA L

Từ hệ ta có x – y > 0 Nhân hai vế của (1) với 17 và nhân hai vế của (2) với 9 rồi đồng nhất sau khi nhân ta được: 17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2) ⇔ 4x2 + 17xy + 4y2 = 0 Nếu y = 0 thì x = 0 => không thỏa mãn hệ. Nếu y ≠ 0 , chia hai vế của 4x2 + 17xy + 4y2 = 0 cho y2 và đặt t = x/y được: 4t2 +17t + 4 = 0 <=> (t+4)(4t+1) = 0 <=> t = - 4 hoặc t = - 1/4 <=> x = -4y hoặc y = - 4x thay vào hệ phương trình trên được nghiệm của phương trình đã cho là: (x ; y) ∈ {(4;-1);(1;-4)}

0.25đ

(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)

 2 k + 2n + 1 = 23 k = 6 ⇔ ⇔  2 k − 2n − 1 = 1 n = 5

ẠY

KÈ

Vậy với n = 5 thì A là số chính phương C ∆ABC = AB+BC+CA M B = AB+BP+PC+CA P = (AB+BM)+(CN+CA) O A (t/c 2 tt cắt nhau) = AM + AN = 2AM C (t/c 2 tt cắt nhau) N = 2 OA2 − OM 2 = 2 a 2 − R 2 Vì A cố định nên OA=a không đổi vậy khi P di chuyển trên cung nhỏ MN thì chu vi tam giác ABC không đổi. C ∆ABC = 2 a 2 − R 2 Ghi chú: - Không có điểm vẽ hình. - Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không được công nhận (không có điểm).

0.75đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

(Các đường nét đứt được vẽ thêm để gợi ý chứng minh khi chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ khi chứng minh - nếu cần) 1 4 1 = S ∆BIA 2

Trình bày c/m: S ∆BID = S ∆BIC

1 1 => S ∆BID = S ∆BIA = S ∆ABD 8 9 1 Trình bày c/m: S ∆ABD = S ∆ABC 4 1 36 => S ∆BID S ∆ABC = = 1 36 36 B

1.0đ

FF IC IA L

Trình bày c/m: S ∆BIC

0.5đ

I D

0.5đ

Ghi chú: - Không có điểm vẽ hình. - Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không được công nhận (không có điểm). ĐK: x≠0, y≠0 1  x 10 y 10  1 16  + ( x + y 16 ) − (1 + x 2 y 2 ) 2  + 2  y 2 x 2  4  1 3 1  x 10 y 10 =  2 + 2 + 1 + 1 + ( x 16 + y 16 + 1 + 1) − (1 + x 2 y 2 ) 2 − 2 2 y x  4

0.5đ

Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:  1  x 10 y 10  2 + 2 + 1 + 1 ≥ 2 x 2 y 2 2 y x  1 16 ( x + y 16 + 1 + 1) ≥ x 4 y 4 4

0.25đ

0.25đ 3 2

=> Q ≥ 2 x 2 y 2 + x 4 y 4 − 1 − 2 x 2 y 2 − x 4 y 4 − = −

5 2

0.5đ

KÈ

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là Q = – 5/2 khi x2 = y2 = 1

0.5đ

ẠY

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm) 1. Cho biểu thức: P =

15 x − 11

3 x −2

x + 2 x − 3 1− x a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm m để có x thỏa mãn P x + 3 = m .

(

−

2 x +3 x +3

)

2. Cho hàm số: f (x ) = (x 3 + 6 x − 7 )

. Tìm f (a ) với a = 3 3 + 17 + 3 3 − 17 .

2012

FF IC IA L

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 14 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Triệu Sơn, ngày 28/11/2012 - Năm học 2012 - 2013

Câu 2: (4,0 điểm) 1. Giải phương trình: x 2 + 5 x + 9 = (x + 5) x 2 + 9. 2. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức: 2 xy 2 + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy.

Câu 3: (4,0 điểm)

1. Tìm các số thực x sao cho x + 2012 và

13 − 2012 đều là số nguyên. x

2. Cho ba số thực x, y, z thoả mãn xyz = 1 . Chứng minh rằng: 1 x

1 y

1 thì trong ba số x, y, z có duy nhất một số lớn hơn 1. z

Nếu x + y + z > + +

Câu 4: (6,0 điểm) 1. Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC.

KÈ

a) Giả sử BPC = 1350. Chứng minh rằng AP2 = CP2 + 2BP2. b) Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và AB tương ứng tại các điểm M và N. Gọi Q là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng khi P thay đổi trong tam giác ABC, đường thẳng PQ luôn đi qua D.

ẠY

2. Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh AC. Biết rằng độ dài các đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 không lớn hơn 1. Chứng minh rằng SABC ≤

1 3

(SABC là diện tích tam giác ABC).

Câu 5: (2,0 điểm) Với x, y là những số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=

x3 + x3 + 8 y 3

4y3

y 3 + (x + y )

-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

(

x+2 x −3

15 x − 11

)(

x −1

)

x +3

= = =

−

3 x −2

1− x

3 x −2 x −1

(

−

2 x +3 x +3

2 x +3

−

0,75

x +3

) ( ( x − 1)( x + 3)

15 x − 11 − 3 x − 2

)(

x +3 − 2 x +3

15 x − 11 − 3 x − 7 x + 6 − 2 x − x + 3

(

)(

x −1

)

x +3

( x − 1)(2 − 5 x ) = 2 − 5 x . ( x − 1)( x + 3) x + 3 )

2−5 x = m

x +3 = m

(

)(

x −1

)

x +3

5 x = 2−m

2−m x= 5

m≤2

− 5x + 7 x − 2

(

0,75

2−m ≠1 5

Lại có: x ≠ 1

0,25 0,25

m ≠ −3

Vậy m ≤ 2; m ≠ −3

0,5

)

x −1

2−5 x 1 b) Với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có P = (4,0đ) x +3

)(

15 x − 11

Ta có: P =

FF IC IA L

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 14 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Triệu Sơn, ngày 28/11/2012 - Năm học 2012 - 2013 . Câu Nội dung đáp án Điểm 1. a) ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 1. 0,5

2. Ta có: a = 3 3 + 17 + 3 3 − 17 Từ đó: f (a ) = (a 3 + 6a − 7 )

KÈ

2012

(

a 3 = 6 − 6 3 3 + 17 + 3 3 − 17    3 a + 6a − 6 = 0

)

= a 3 + 6a − 6 − 1

2012

= 1.

0,5 0,5

1. Đặt x 2 + 9 = y (với y ≥ 3 ) y = 5 y = x

Khi đó, ta có: y 2 + 5 x = (x + 5) y ⇔ ( y − 5)( y − x ) = 0 ⇔ 

1,25

Từ đó tìm được nghiệm của phương trình là: x = ±4.

0,75

ẠY D

0,5

2. Ta có: 2 xy 2 + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy

⇔ 2 y 2 ( x − 1) − x( x − 1) − y (x − 1) + 1 = 0 (1)

2 Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT (1). Chia cả 2 vế của (4,0đ) phương trình cho x – 1, ta được: 2y2 − x − y +

1 =0 x −1

0,25 0,25

(2) 85

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

PT có nghiệm x, y nguyên, suy ra

• x – 1 = -1 • x–1=1

1 nguyên nên x – 1 thuộc x −1

{−

1 ;1 }

x=0 x=2

0,25

1 2 1 Thay x = 2 vào PT(2) ta được: 2 y 2 − y − 1 = 0 ⇔ y = 1 ; y = − 2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên (x, y ) ∈ {(0,1); (2,1)}

Thay x = 0 vào PT(2) ta được: 2 y 2 − y − 1 = 0 ⇔ y = 1 ; y = −

0,25

FF IC IA L

1. ĐK: x ≠ 0

0,25 0,25

Đặt a = x + 2012 , b =

13 − 2012 x

0,25

Thay x = a − 2012 vào biểu thức b , ta được: − 2012 ⇔ ab − 2025 = (b − a ) 2012 a − 2012 Để a, b ∈ Z thì a = b , do đó ab − 2025 = 0 13

0,5

0,25

Từ đó, suy ra a = b = ±45 ⇒ x = ±45 − 2012 Thử lại với x = ±45 − 2012 thì thấy a, b là số nguyên.

0,25

2. Xét tích:

(x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – xy – yz – zx + x + y + z –1 1

1

= x + y + z -  + +  x y z

1 x

1 y

3 (4,0đ)





0,75

(vì xyz = 1)

1 z

mà x + y + z > + + ⇒ (x –1)(y – 1)(z – 1) >0

0,75

ẠY

KÈ

Nếu cả 3 thừa số: (x –1), (y – 1), (z – 1) đều dương ⇒ xyz > 1 (loại) Nếu cả 3 thừa số: (x –1), (y – 1), (z – 1) đều âm ⇒ (x –1)(y – 1)(z – 1)<0 (loại) Nếu 2 thừa số dương, 1 thừa số âm ⇒ (x –1)(y – 1)(z – 1)<0 (loại) Nên phải có 2 thừa số âm, 1 thừa số dương ⇒ trong 3 số x, y, z có hai số bé hơn 1. Còn một số lớn hơn 1. Vậy trong 3 số x, y, z có duy nhất một số lớn hơn 1. 1.a

(6,0đ)

0,25

Lấy điểm E khác phía với điểm P đối với đường thẳng AB sao cho ∆ BPE vuông cân tại B. Ta có ∆ BPC = ∆ BEA (c.g.c) 0 ⇒ BEA = 135 Do BEP = 450 nên PEA = 900 ∆ AEP vuông tại E. Theo định lí Py –Ta – go ta có: AP2 = AE2 + EP2 = CP2 + 2BP2

0,25 0,25 0,25 0,25

0,75

P B

0,75

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

0,75 1.b. Trước hết ta chứng minh nhận xét sau: Giả sử I là điểm nằm trong hình chữ nhật ABCD. Qua I kẻ các đường thẳng MN, PQ tương ứng song song với AB, AD. Gọi diện tích hình chữ nhật IPBN là S1, diện tích hình chữ nhật IQDM là S2. Ta có S1 = S2 khi và chỉ khi I thuộc đường chéo AC.

0,25

FF IC IA L

0,25

IN IQ NC = = IM IP MA ∆ NIC (c.g.c) => MIA = NIC

IN.IP = IM.IQ =>

Thật vậy: Giả sử I thuộc đường chéo AC. Vì đường chéo của hình chữ nhật chia hình chữ nhật thành hai phần có diện tích bằng nhau nên S1 = S2. Ngược lại, giả sử S1 = S2, suy ra:

S R

0,25 N

L M

0,25

KÈ

Suy ra ∆ MAI Do M, I, N thẳng hàng nên A, I, C thẳng hàng. Trở lại bài toán: Dễ thấy tứ giác NBMQ là hình chữ nhật. Qua P và Q kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình vuông. Do P thuộc đường chéo AM của hình chữ nhật ABMR nên SBLPK = SPIRS (1) P thuộc đường chéo CN của hình chữ nhật NBCH nên SBLPK = SPTHF (2) Từ (1)&(2) suy ra: SPIRT = SPTHF => SFQRS = SQITH. Theo nhận xét trên, suy ra Q thuộc đường chéo PD của hình chữ nhật SPTD, tức PQ qua điểm D.

2. Không mất tính tổng quát, giả sử: 0 ∠ A ≥ ∠ B ≥ ∠ C => Â ≥ 60 0 TH1: 60 0 ≤ Â < 90 Kẻ CH ⊥ AB, BK ⊥ AC.

ẠY

1 CH.AB 2 Mà CH ≤ CC1 ≤ 1, ta có: BB1 1 BK 1 2 AB = ≤ ≤ ≤ = 0 sin A sin A sin A sin 60 3

=> SABC =

0,5

K H B1 C1

0,5 A1

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

0,5 1 2 1 => SABC ≤ .1. = (1) 2 3 3 TH2: Â ≥ 90 0 => AB ≤ BB1 ≤ 1; CH ≤ CC1 ≤ 1. 1 1 1 1 => SABC ≤ .1.1 = < (2). Từ (1)&(2) suy ra SABC ≤ 2 2 3 3

x3 x2 ≥ x3 + 8y3 x2 + 2 y 2 y3

y 3 + (x + y )

≥

FF IC IA L

Ta chứng minh hai bất đẳng thức:

0,25

(1)

y2 x2 + 2y2

0,25

(2)

x3 x4 ≥ 2 x3 + 8y3 x2 + 2y2 ⇔ x 2 + y 2 ≥ 2 xy (đúng với mọi x, y)

BĐT (2) ⇔

y 3 + (x + y )

(

)(

≥

)

y4 2

+ 2y2

)

⇔ x 2 + y 2 x 2 + 3 y 2 ≥ y (x + y )

Do x + 3 y = x + y + 2 y ≥ 2 y (x + y ) 2

0,5

)

5 (2,0đ)

(

Thật vậy BĐT (1) ⇔

0,5

1 2

Nên (x 2 + y 2 )(x 2 + 3 y 2 ) ≥ (x + y )2 .2 y(x + y ) = y(x + y )3 0,25

0,25

Suy ra BĐT (2) luôn đúng. Từ (1) và (2) ta được Q ≥ 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy min P = 1 khi x = y.

ẠY

KÈ

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 13 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 02/12/2011-Năm học 2011 - 2012

Cho biểu thức: P =

x2 − x x + x +1

−

2x + x x

FF IC IA L

ĐỀ BÀI Bài 1: (4,0 điểm)

2( x − 1) x −1

a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

2 x nhận giá trị nguyên. P

c) Tìm x nguyên để biểu thức Q =

Bài 2: (4,0 điểm) 5 4 3 2 a) Tính giá trị của biểu thức B = x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 2009

tại x = 2 − 1 . 2007 + 2007 x 2006 + ... + 2 x + 1 . b) Cho đa thức f(x) = 2008 x Chứng tỏ các giá trị của f(11) và f(7) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Bài 3: (6,0 điểm) a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình xy – 4x = 35 – 5y. b) Cho 3 số x, y, z thoả mãn đồng thời : x 2 + 2 y + 1 = y 2 + 2z + 1 = z 2 + 2x + 1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức: A =

x 2012 + y 2012 + z 2012 .

ẠY

KÈ

d) Giải phương trình: x + 1 + 3 − x − (x + 1)(3 − x ) = 0. Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC, trong đó BC cố định, A di động trên nửa đường tròn sao cho AB < AC. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. a) Giả sử AH = 12 cm, BC = 25cm. Hãy tính độ dài các cạnh AB, AC. b) Gọi M là điểm đối xứng của B qua H. Đường tròn tâm O đường kính MC cắt AC tại D. Chứng minh HD là tiếp tuyến của đường tròn (O). c) Cho BC = 2a, AH phải có độ dài bằng bao nhiêu theo a để diện tích tam giác HDO lớn nhất. Bài 5: (1,5 điểm) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại D, E, F. Gọi H là hình chiếu của D trên EF. Chứng minh góc BHD = góc CHD. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 13 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 02/12/2011-Năm học 2011 - 2012

a) Điều kiện: x > 0; x ≠ 1 P=

x2 − x x + x +1

−

2x + x x

 

2( x − 1)

x −1

1 2

b) P = x − x + 1 =  x −  +

>0⇔

x − 2 x +1 x

2 x

>0⇔

2 1

x − x +1

Từ (1) và (2) Q ∈ Z ⇔

KÈ

−1

2 x

x − x +1

 3 x−  3 2 5 2 ⇔ (x − ) = ⇔  2 4  3  x−  2

ẠY

0,25

2 x 2 x = P x − x +1

)

x −1

Do đó: Q =

0,5

Do 2 x > 0 và x − x + 1 > 0 với mọi x > 0 nên Q > 0 (1) Mặt khác với mọi x > 0 ; x ≠ 1 ta có: x

a 2 đ i ểm

3 3 ≥ 4 4

x −2+

(

1,5

1 1 x − = 0 ⇔ x = ( thoả mãn điều kiện) 2 4

3 khi 4

c) Q =

= x − x +1

Min P =

Bài 2

Điểm 0,25

FF IC IA L

Bài Bài 1 4 đ i ểm

. Nội dung

2 =2 1

1 x

>0⇔

1 x

−1 > 1

(2) 0,5

= 1 ⇔ x − 3 x +1 = 0

 3+ 5  5   x =  =  2 2 ⇔  ⇔  5  x = 3− 5 =− 2  2

 3+ 5  3− 5   ; x=  Vậy x =    2  2    

0,25

2  3+ 5   x =   2      2  3− 5    x =   2   

0,5

Vậy không tìm được giá trị nguyên của x để Q = 2

2 x nguyên P

0,25

Cách 1: Vì x = 2 − 1 nên ( x + 1) = 2 x + 2x – 1 = 0 Thực hiện phép chia ta được: B = ( x2 + 2x – 1)(x3 + 4x – 4) + 17x + 2005 Từ đó B = 17x +2005 = 17( 2 − 1 ) + 2005 = 17 2 + 1988 Cách 2: x2 = ( 2 − 1 )2 = 3 - 2 2 ; x3 = x.x2 = (5 2 - 7)(3 - 2 2 ) = 29 2 - 41

2,0

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

FF IC IA L

Bài 3 a 2 đ i ểm

b 2 đ i ểm

Do đó: B = 29 2 - 41+2(17-12 2 )+3(5 2 -7)+4(3-2 2 )+5( 2 -1) + 2009 = 17 2 +1988 Ta xét: f(11) – f(7) = 2008(112007-72007)+2007(112006-72006) + . . .+2(11-7) Ta có: 112007-72007 là số chẵn 112006-72006 là số chẵn .... 11-7 là số chẵn => 2008(112007-72007)+2007(112006-72006) + . . .+2(11-7) Vậy: f(11) – f(7) là số chẵn => f(11) và f(7) phải cùng tính chẵn lẻ Chú ý: HS có thể xét tổng hai đa thức Phương trình: xy – 4x = 35 – 5y ⇔ xy – 4x + 5y -20 = 15 ⇔ x(y – 4) +5(y – 4) = 15 ⇔ (x + 5)(y – 4) = 15 Vì x,y ∈ N nên x + 5 ≥ 5 và x + 5 là ước của 15 do đó

0,5

1,0 0,5

b 2 đ i ểm

x + 5 = 5 x = 0  x + 5 = 15  x = 10 ⇔ hoặc  ⇔  y − 4 = 3 y = 7 y − 4 = 1 y = 5 x = 0  x = 10 Vậy nghiệm của phương trình là:  hoặc  y = 7 y = 5 x 2 + 2 y + 1 = 0  Từ giả thiết ta có:  y 2 + 2 z + 1 = 0 z 2 + 2x + 1 = 0 

2.0

0,5

x + 1 = 0  y +1 = 0 z + 1 = 0 

Cộng từng vế các đẳng thức ta có: ( x 2 + 2 x + 1 ) +( y 2 + 2 y + 1 ) + ( z 2 + 2 z + 1 ) = 0 (x+1)2 +(y+1)2+(z+1)2 = 0

0,5

KÈ

x = y = z = -1

ẠY

C 2 đ i ểm

Vậy A = x2012+y2012+z2012 = (-1)2012 +(-1)2012 + (-1)2012 = 3 Vậy A= 3 x + 1 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 3 Điều kiện:  3 − x ≥ 0 Đặt y =

0,25

x + 1 + 3 − x ( Điều kiện y > 0)

2 Khi đó: y = 4 + 2

⇔ y2 − 4 = 2

(x + 1)(3 − x )

(x + 1)(3 − x ) ( với

y2 ≥ 4)

Phương trình đã ch trở thành: 2y – (y2 – 4) = 4 y = 0 y = 2 

0,5

y2 – 2y = 0

1,5

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

y = 0 không thoả mãn

 x = −1 thoả mãn điều kiện y = 2 ⇔ 2 (x + 1)(3 − x ) = 0  x = 3

 x = −1 Vậy nghiệm của phương trình là:  x = 3

FF IC IA L

0,25

Baì 4 4,5 đ i ểm

Từ giả thiết: => tam giác ABC vuông tại A AB2 +AC2 = BC2 = 225 AH là đường cao nên AB.AC = BC.AH = 300. Do đó: (AB +AC)2 = AB2 + AC2 + 2AB.AC = 1225 AB+AC = 35 (1) Và (AB – AC)2 = AB2 + AC2 - 2AB.AC = 25 Mà AB < AC nên: AB – AC = -5 (2) Từ (1) và (2) => AB = 15cm; AC= 20 cm Từ giả thiết ta có tam giác DMC vuông tại D. Gọi N là trung điểm của AD nên HN là đường trung bình của hình thang BADM nên HN // AB ⇒ HN ⊥ AB Nên tam giác HAD cân tại H 0 ∠ HAD = ∠ HDA mà ∠ OCD = ∠ ODC; ∠ OCD + ∠ HAC = 90 Nên: ∠ HDA = ∠ ODC = 900 => ∠ HDO = 900 ⇒ HD ⊥ OD tại D nên HD là tiếp tuyến của đường tròn

1.5

ẠY

KÈ

b 1,5

a 1,5

c 1,5

Từ giả thiết ta có: HO =

1.5

BC =a 2

HD2 +DO2 = HO2 = a2 (pi ta go) 1 1 DH 2 + DO 2 a 2 ≤ = Ta có:SHDO = không đổi 2 DH .DO 2 2 4 Dờu “=” xảy ra DH = DO khi tam giác DHO vuông cân tại D khi

1.5 92

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” DH =

HO 2 a 2 a 2 = ⇔ AH = 2 2 2

a 2 thì SHDO lớn nhất 2 Hạ BI ⊥ EF ; CK ⊥ EF ta có BI // HD // CK Bài 5 1,5

Theo định lý ta lét có:

BD IH = DC HK

BF IH = CE HK

(1)

0,5

Theo tính chất tiếp tuyến: BD = BF; CD = CE nên

FF IC IA L

vậy AH =

Mặt khác: ∠ BFI = ∠ AFE = ∠ KEC

⇒ ∆BIH ~ ∆CKE

BF FI BF = = (2) CE KE CE BF IH IF BI = = = Từ (1) và (2) có: CE HK EK CK

Từ đó ta có:

0,5

Cùng với ∠ BIH = ∠ CKH nên ∠ BHI = ∠ CHK Do đó: ∠ BHD = ∠ CHD

0,5

ẠY

KÈ

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Cho các số dương: a; b và x =

2ab . Xét biểu thức P = b2 +1

1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P. 2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.

a+x+ a−x 1 + a + x − a − x 3b

 x 3 − 3x − 2 = 2 − y  3 y − 3y − 2 = 4 − 2z  z 3 − 3z − 2 = 6 − 3x 

Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:

Bài 2 (3,0 điểm)

FF IC IA L

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 12 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Cẩm Thủy - Năm học 2011 - 2012 ĐỀ BÀI Bài 1 ( 3,0 điểm)

Bài 3 ( 3,0 điểm)

Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a =

3+ 5 3− 5 ;b= . 2 2

1. Chứng minh rằng với n ≥ 1, ta có Sn + 2 = (a + b)( an + 1 + bn + 1) – ab(an + bn) 2. Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên. 2

 5 + 1  n  5 − 1  n   −   . 3. Chứng minh Sn – 2 =   2   2  

ẠY

KÈ

Tìm tất cả các số n để Sn – 2 là số chính phương. Bài 4 (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đường tròn (O1) đường kính AE và đường tròn (O2) đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2). 1. Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB. 2. Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD. Bài 5: (4đ): Cho ∆ABC đường thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự . Là E , F , N . a) Chứng minh :

AB AC 2 AM + = AE AF AN

b) Giả sử đường thẳng d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB tại P đường thẳng KM cắt AC tại Q. Chứng minh PQ//BC. Bài 6: (2 điểm) Cho 0 < a, b,c <1. Chứng minh rằng: 2a 3 + 2b3 + 2c 3 < 3 + a 2b + b 2 c + c 2 a -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

b +1

Ta có a + x > a – x ≥ 0 ⇒ a + x − a − x ≠ 0 Từ (1); (2); (3) ⇒ P xác định Rút gọn:

(3)

FF IC IA L

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 12 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Cẩm Thủy - Năm học 2011 - 2012 Câu 1. (3,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm 0,25 1. (2.0 điểm) Ta có: a; b; x > 0 ⇒ a + x > 0 (1) 2 0,25 a (b − 1) Xét a – x = 2 ≥0 (2)

2ab a (b + 1) 2 a ⇒ a + x = (b + 1) 2 = 2 2 b +1 b +1 b +1 2 2ab a ( b − 1) a a - x =a − 2 = 2 ⇒ a − x = b −1 2 b +1 b +1 b +1 a a + b −1 2 ( b + 1) 2 b +1 b +1 + 1 = b +1+ b −1 + 1 ⇒ P= 3b b + 1 − b − 1 3b a a ( b + 1) 2 − b −1 2 +1 b +1 b 2 1 4  Nếu 0 < b < 1 ⇒ P = + = 2b 3b 3b 1 3b 2 + 1  Nếu b ≥ 1 = ⇒ P = b+ 3b 3b

0,25

2. (1.0 điểm) Xét 2 trường hợp:

Ta có: a + x = a +

0,25

ẠY

KÈ

4 4  Nếu 0 < b < 1, a dương tuỳ ý thì P = ⇒ P > 3 3b 1  b 1  2b  Nếu b ≥ 1 , a dương tuỳ ý thì P = b + =  +  + 3b  3 3b  3 b 1 2 Ta có: + ≥ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 3 3b 3 2b 2 ≥ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 Mặt khác: 3 3 2 2 4 Vậy P ≥ + = , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 3 3 3 4 KL: Giá trị nhỏ nhất của P = 3

0,25 0,25 0,25 0,25

Câu 2 (3,0 điểm) Tóm tắt lời giải

Điểm 95

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Biến đổi tương đương hệ ta có  ( x − 2)(x + 1) 2 = 2 − y  2 (y − 2)(y + 1) = 2( 2 − z ) ( z − 2)(z + 1) 2 = 3(2 − x) 

1,00

Câu 3 (3,0 điểm) Tóm tắt lời giải

1. (1,0 điểm) Với n ≥ 1 thì Sn + 2 = an+2 + bn+2 (1) n+1 n+1 n n n+2 n+2 Mặt khác: (a + b)( a +b ) – ab(a +b ) = a + b (2) Từ (1); (2) ta có điều phải chứng minh 2. (1.0 điểm) Ta có: S1 = 3; S2 = 7 Do a + b =3; ab =1 nên theo 1 ta có: với n ≥ 1 thì Sn+2 = 3Sn+1 - Sn Do S1, S2 ∈ Z nên S3∈ Z; do S2, S3 ∈ Z nên S4∈ Z Tiếp tục quá trình trên ta được S5; S6;...; S2008 ∈ Z 3. (1.0 điểm) n

0,50

FF IC IA L

Nhân các vế của 3 phương trình với nhau ta được: (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) ⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) [( x + 1) 2 (y + 1) 2 ( z + 1) 2 + 6] = 0 ⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0 ⇔ x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2 Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho

0,25 0,25 0,25 0,50 0,25

Điểm

0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

 5 1  2   5 1  2  Ta có Sn – 2 =  +   +  −   −2  2 2    2 2   2

0,25

KÈ

n  5 + 1  n   5 − 1  n   5 + 1  5 − 1     +    − 2    =   2  2    2    2      

0,25

ẠY

 5 + 1  n  5 − 1  n    đpcm  − =   2   2   5 +1 5 −1 Đặt a1 = ; b1 = ⇒ a1 + b1 = 5 ; a1b1 = 1 2 2

Xét Un= a1n − b1n Với n ≥ 1 thì Un+2 = (a1 + b1)(a1n+1 - b1n + 1) – a1b1(a1n - b1n) ⇒ Un+2 = 5 Un+1 – Un Ta có U1 = 1 ∈ Z; U2 = 5 ∉ Z; U3 = 4∈ Z; U4 = 3 5 ∉ Z;... Tiếp tục quá trình trên ta được Un nguyên ⇔ n lẻ Vậy Sn – 2 là số chính phương ⇔ n = 2k+1 với k ∈ Z và 0 ≤ k ≤ 1003

0,25

0,25 96

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Câu 4 (5,0 điểm) Điểm

Tóm tắt lời giải

D N I M C S

FF IC IA L

0,25 0.25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25

1. (2,5 điểm) O1M; O2N ⊥ MN ⇒ O1M/ / O2N Do O1; E; O2 thẳng hàng nên ∠ MO1E = ∠ NO2B Các tam giác O1ME; O2NB lần lượt cân tại O1 và O2 nên ta có: ∠ MEO1= ∠ NBO2 (1) Mặt khác ta có: ∠ AME = 900 ⇒ ∠ MAE + ∠ MEO1= 900 (2) 0 0 ⇒ ∠ MAE + ∠ NBO2 = 90 ⇒ ∠ AFB = 90 ⇒ Tứ giác FMEN có 3 góc vuông ⇒ Tứ giác FMEN là hình chữ nhật ⇒ ∠ NME = ∠ FEM (3) (4) Do MN ⊥ MO1 ⇒ ∠ MNE + ∠ EMO1 = 900 Do tam giác O1ME cân tại O1 ⇒ ∠ MEO1 = ∠ EMO1 (5) 0 0 Từ (3); (4); (5) ta có: ∠ FEM + ∠ MEO1= 90 hay ∠ FEO1 = 90 (đpcm)

KÈ

2. (2,5 điểm) Ta có EB = 12 cm ⇒ O1M = 3 cm < O2N = 6 cm ⇒ MN cắt AB tại S với A nằm giữa S và B.

ẠY

Gọi I là trung điểm CD ⇒ CD ⊥ OI ⇒ OI// O1M //O2N ⇒

O1M SO1 = O 2 N SO 2

⇒ SO2 = 2SO1 ⇒ SO1+O1O2 = 2SO1 ⇒ SO1= O1O2 Do O1O2 = 3 + 6 = 9 cm ⇒ SO1= O1O2 = 9 cm ⇒ SO =SO1 + O1O = 15cm

Mặt khác:

OI SO = ⇒ OI = 5 cm O1M SO1

Xét tam giác COI vuông tại I ta có: CI2 + OI2= CO2 ⇒ CI2 + 25 = CO2 Ta có: CO = 9 cm ⇒ CI2 + 25 = 81 ⇒ CI = 56 ⇒ CD = 4 14 cm

0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Câu 5 (2,0 điểm) Điểm

FF IC IA L

E N

⇒

1,0

AB AC AI AS + = + (∗) AE AF AN AN

AB AI AC AS = , = Ta có: AE AN AF AN

( I , S ∈ AM )

a) Kẻ BI , CS // EF

0,5 0,5 0,5

∆BIM = ∆CSM (cgc) ⇒ IM = MS Ta có: Vậy: AI + AS = AI + AI + IM + MS = 2 AM Thay vào (*) ta được (đpcm) Khi d // BC ⇒ EF // BC ⇒ N là trung điểm của EF +Từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt KP tại L A Ta có: ∆NFP = ∆NFL (cgc) ⇒ EP = LF K Do đó : EP LF KF L = = (1) N PB PB KB E F +Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt Q P KM tại H Ta có ∆BMH = ∆CMQ (cgc)

KÈ

⇒ BH = QC

FQ FQ KF Do đó: = = ( 2) QC BH KB

Từ

ẠY

Bài 6: 2 điểm) Do a <1 ⇒ a 2 <1 và b <1 Nên (1 − a 2 ) . (1 − b ) > 0 ⇒ 1 + a 2b − a 2 − b > 0 Mặt khác 0 <a,b <1 ⇒ a 2 > a 3 ; b > b 3

Vậy a 3 + b 3 < 1 + a 2 b ; Tương tự ta có

FP FQ (1) va (2) ⇒ = ⇒ PQ // BC PB QC

0,5

0,5 (đpcm) 0,5 0,5

Hay 1 + a b > a + b 2

(1)

⇒ b + a 2 > a 3 + b3 b3 + c 3 < 1 + b 2c a3 + c3 < 1 + c 2a

⇒ 2a 3 + 2b 3 + 2c 3 < 3 + a 2b + b 2 c + c 2 a

0,5 0,25 0,25 0,5

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết --------------------------------------98

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 – NĂM HỌC 2010-2011 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 11 tháng 01 năm 2011

FF IC IA L

ĐỀ BÀI Câu 1 (2,5 điểm): a/ Tính giá trị của biểu thức: P = 14 + 6 5 + 14 − 6 5

b/ Rỳt gọn biểu thức

ĐỀ SỐ: 11

2 x −9 x + 3 2 x +1 với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 − − x −5 x +6 x − 2 3− x

mx + 4 y = 10 − m  x + my = 4

c/ Cho x = 3 + 2 ; y = 3 − 2 . Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức A = x5 + y5 . Câu 2 (2 điểm): a/ Giải phương trình: 2 x − x + 1 = 4

b/ Tìm m để hệ phương trình 

KÈ

có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x > 0; y > 0. Câu 3 (1 điểm): Cho hàm số y = (a – 1)x + a với a ≠ 1. Tìm a để đồ thị của hàm số trên cắt trục tung tại điểm A, cắt trục hoành tại điểm B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2. Câu 4 (3 điểm): Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến AB và AC vuông góc với nhau (B và C là các tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB và AC lần lượt tại E và F a/ Tính số đo góc EOF ? b/ Biết EF =

5 R , tính diện tích tam giác OEF và diện tích tam giác AEF. 6

ẠY

c/ Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC sao cho EF có độ dài nhỏ nhất. Câu 5 (1,5 điểm): a/ Cho a; b; c là các số nguyên, biết rằng a + b + c chia hết cho 6. Chứng minh a3 + b3 + c3 chia hết cho 6. b/ Chứng minh

x 2 + 4 + x 2 + 2 x + 10 ≥ 26

----------------Hết--------------99

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Ngày thi 11 tháng 01 năm 2011

a/ 14 + 6 5 + 14 − 6 5 =

(3 + 5 )

Điểm

(3 − 5 )

FF IC IA L

Đáp án

Câu

0,5

3+ 5 + 3− 5 = 3+ 5 +3− 5 = 6

0,5

( x + 1)( x − 2) ( x − 2)( x − 3)

x +1 x −3

0,25

0,25 0,25

x− x −2 ( x − 2)( x − 3)

Câu 1 (2,5 đ)

2 x − 9 − ( x + 3)( x − 3) + (2 x + 1)( x − 2) ( x − 2)( x − 3)

2 x −9 x + 3 2 x +1 2 x −9 x + 3 2 x +1 − − = − + x −5 x +6 x − 2 3 − x ( x − 2)( x − 3) x −2 x −3 =

ĐỀ SỐ: 11

c/ Tính được x + y = 6 và xy = 7 Tính được x2 + y2= 22 Và x3 + y3 = 90 Tính được x5 + y5 = (x2 + y2)(x3 + y3) – x2y2(x + y) = 1686 HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến 0,25 đ a/ Đưa được về dạng x + 1 = 2 x − 4 ĐK có nghiệm x ≥ 2 Biến đổi về PT (x – 3)(4x – 5) = 0

KÈ

Tìm được x = 3 (thoả mãn); x =

5 (loại) 4

ẠY

HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến 0,25 đ Câu 2 b/ (2 đ) Từ pt (2) ta có x= 4- my Thay vào (1) => m (4-my) + 4y = 10- m => 4m – m2y + 4y = 10- m <=> (4-m2)y = 10-5m <=> (2-m)(2+m)y =5(2-m) (*) Để hệ pt có nghiệm duy nhất thì pt (*) có nghiệm duy nhất => (2- m)(2+m) ≠ 0 => m ≠ ± 2 => y =

5 8−m ; x= 2+m m+2

Giải điều kiện y > 0 tìm được m > -2 Với m > -2 và x > 0 tìm được m < 8.

0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25

0,25 0,25 100

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Kết luận -2 < m < 8 và m ≠ 2 HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến 0,25 đ a/ Tìm được OA = a; OB =

0,25

a ; 1− a a

FF IC IA L

Câu 3 diện tích của tam giác OAB có diện tích bằng 2 => a 1 − a = 4 (1 đ) Đưa đượcvề PT : a2 = ± 4(1 – a) Tìm được a = 2 và a = 2 2 − 2; a = −2 2 − 2 a/

0,25 0,25

0,25

0,5

1· · => EOF = BOC 2

0,25

1· 1· · · = MOB ; MOF = MOC CM được MOE 2

· · Chứng minh được BOC = 900 => EOF = 450 b/

0,25

Câu 4 5R 2 Tính đượ c di ệ n tích tam giác OEF = (3 đ) 12

0,75

KÈ

1 Chứng minh SOEF = SOBEFC 2 5 => SOBEFC = R 2 6

0,25

ẠY

Ta có SABOC = R2

=> SOEF =

1 2 R 6

0,25

c/ Đặt AE = x vàAF = y Suy ra EF = x + y Chu vi tam giác AEF = 2a. 2

x + y + x 2 + y 2 = 2a

2( x 2 + y 2 ) ≥ ( x + y ) suy ra 2

0,25

2. x 2 + y 2 ≥ x + y

(

)

(

2a = x + y + x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 1 + 2 = EF . 1 + 2

Vậy EF có dộ dài nhỏ nhất bằng

)

2a khi x = y vậy M là chính 1+ 2

0,25 101

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

giữa cung BC 0,25

Câu 5 (1,5 đ) b/Chứng minh được a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a + c) 2 + (b + d )2

Từ đó suy ra

x 2 + 4 + x 2 + 2 x + 10 = x 2 + 22 + ( − x − 1) 2 + 32 ≥ 26

5 2

0,25

0,25 0,25

ẠY

KÈ

Dấu = xảy ra khi x = −

0,25 0,25 0,25

FF IC IA L

a/ Ta có: (a3 + b3 + c3 ) – (a + b + c ) = a(a-1)(a+1) + b(b-1)(b+1) + c(c-1)(c+1) Tích của 3 STN liên tiếp chia hết cho 2 và 3 nên chia hết cho 6 Từ đó suy ra a3 + b3 + c3 chia hết cho 6.

102

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 10

FF IC IA L

ĐỀ BÀI

x ( x − 4 ) +4 2x 2 − 8 a) Tìm các giá trị của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P; 251 ; b) Tìm x biết rằng P = 503 c) Tìm các số nguyên x để P có giá trị là số nguyên.

Bài 1 (4,0 điểm): Cho biểu thức P =

f (12) + f (−8) + 25 10

Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30. Tính M =

Bài 2: (4 điểm) Cho f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d

Bài 3 (4,0 điểm):

a) Cho a, b, c là các số khác 0 và a + b + c = 0. Chứng minh: 2

1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 = + +  ; 2 a b c a b c b) Chứng minh số sau là số hữu tỉ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 + + 2 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 2011 2012 2

Bài 4 ( 6 điểm).

KÈ

Cho hình bình hành ABCD có AC > BD; kẻ CH vuông góc với AD (H ∈ AD); kẻ CK

vuông góc với AB ( K ∈ AB). Chứng minh rằng:

ẠY

a) Hai tam giác KBC và HDC đồng dạng

b) Hai tam giác CKH và BCA đồng dạng

c) AB. AK + AD. AH = AC2

d) HK = AC.sinBAC Câu 5: (2 điểm). Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5

Chứng minh rằng: a2 + b2 ≤ 1 + ab.

-------------------------------------- Hết --------------------------------------103

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9

ĐỀ SỐ: 10

Điểm 0,25

Biểu thức P có nghĩa ⇔ 2(x − 4) ≠ 0 2

⇔ x2 ≠ 4 ⇔ x ≠ ± 2

a) (1,0 điểm)

Khi đó

x 2 - 4x + 4 2( x 2 − 4)

FF IC IA L

Bài 1(4,0)

0,25

( x − 2) x−2 P= = 2 ( x − 2 )( x + 2 ) 2( x + 2) 2

Vậy

Với ĐKXĐ thì

251 503 x−2 251 ⇔ = 2( x + 2) 503 ⇔ 503x − 1006 = 502 x + 1004 (vì x ≠ ±2 ) ⇔ x = 2010

b) (1,5 điểm)

0,25

( Thỏa mãn ĐKXĐ ) Giá trị cần tìm của x là x = 2010

x−2 2( x + 2) x−2 Với x∈ Z, để P∈ Z thì ∈Z 2( x + 2)

0,25

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

Với ĐKXĐ thì P =

0,25

=> x - 2 M2(x + 2) (1) => 2(x - 2) M2(x + 2) => (x - 2) M(x + 2) => (x +2) - 4 M(x + 2) => 4 M(x + 2) => x + 2 ∈ {1;2;4; −1; −2; −4} => x ∈ {−1;0;2; −3; −4; −6} (2) Từ (1) => x - 2 M2 => x chẵn => (x + 2) chẵn =>2(x + 2) M4. Nên từ (1) => x - 2 M4 (3) Từ (2) và (3) => x ∈ {2; −6} . Kết hợp với ĐKXĐ => x = -6 Thử lại khi đó P = 1∈ Z . Vậy x = -6.

ẠY

KÈ

c) (1,5 điểm)

Bài 2: 4 đ Đặt g(x) = f(x) - 10x thì

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25

0,5 đ 104

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

0,5 đ

g(1) = 0; g(2) = 0; g(3) = 0. Vì g(x) là đa thức bậc 4, hệ số của x4 là 1, có các nghiệm là 1; 2; 3. Nên g(x) biểu diễn dưới dạng: g(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - xo) ⇒ f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - xo) + 10x M=

11.10.9.(12 − x0 ) + 120 + 9.10.11(8 + x0 ) − 80 f (12) + f (−8) + 25 = + 25 10 10

⇒ M = 11.9.12 + 9.8.11 + 4 +25 ⇒ M = 2009 2

0,5

1 1 1 1 2 2 2 + +  = 2 + 2 + 2 + c a b c ab bc ca 2( a + b + c ) + abc

0,25

1 1 Ta có  + + a b 1 1 1 = 2 + 2 + 2 a b c 1 1 1 = 2 + 2 + 2 a b c

0,5 đ

(vì a + b + c = 0)

0,5

Bài 3(4đ) a) (1,5 điểm)

1 1 1 1 1 1 Vậy 2 + 2 + 2 =  + +  a b c a b c Xét a = 1; b = k; c = -(k+1) với k ∈ N * . Ta thấy a, b, c là các số khác 0 và a + b + c = 1 + k - (k + 1) = 0 Áp dụng đẳng thức ở câu a) với a, b, c như trên ta được

b) (2,5 điểm)

0,25 0,25

0,25

1 1 1 1 − >0 do > ) k k +1 k k +1

Áp dụng với k lần lượt bằng 2; 3; 4; ... ; 2011 rồi cộng các đẳng thức ta được 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + A = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +...+ 2 + 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 2011 20122 1 1   1 1  1 1  1 1  − = 1+ −  +1+ −  +1+ −  +...+1+   2 3  3 4  4 5  2011 2012 1 1   1 1  1 1  1 1  − = 1+ −  +1+ −  +1+ −  +...+1+   2 3  3 4  4 5  2011 2012

KÈ ẠY D

0,25

1 1 1 1 1 1  1 1 1  + 2+ = + + = + −   2 2 1 k [−(k + 1)] 1 k −(k + 1)   1 k k + 1  1 1 1 1 1 1 1 1 = + − = 1+ − Hay 2 + 2 + 2 1 k [−(k + 1)] 1 k k +1 k k +1 (Vì

1đ

FF IC IA L

Vậy

0,1 đ 0,5 đ

0,25

1   1 1  1 1   1 1  1 − = 2010 +  −  + −  + −  +...+   2 3  3 4  4 5  2011 2012

0,25

1 1 1005 = 2010 + − = 2010 + 2 2012 2012

0,25 105

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

0,25

4045125 2012 Vậy giá trị biểu thức A là số hữu tỉ. =

0,25

K C

B I

FF IC IA L

Bài 4 (3,5 đ):

KC BC = (* ) HC DC

⇒

a/ Xét : ∆ KBC và ∆ HDC có: ∠K = ∠H = 900 ; ∠KBC = ∠CDH (cùng bằng ∠BAD) ⇒ ∆ KBC ∆ HDC (g.g)

từ (*)

⇒

KC BC = (**) HC AB

0,75đ

b/ Xét ∆ CKH và ∆BCA có:

0,75đ

AB AO = ⇒ AB. AK = AC . AO (1) AC AK AD AI ∆AID : ∆AHC ( g .g ) ⇒ = AC AH ⇒ AD. AH = AC . AI (2)

ẠY

⇒

KÈ

mặt khác: ∆ ABM = ∆ DCH (ch- gn) ⇒ ∠ABM = ∠DCH (***) có: ∠MBC = ∠ DCK= 900 (****) từ (***), (****) ⇒ ∠ABC = ∠KCH (*****) từ (**), (*****) ⇒ ∆CKH ∆BCA (c.g.c) c/ (0,75) Kẻ BO, DI ⊥ AC (O,I ∈ AC) có ∆ ABO ∆ ACK (g.g)

∆AOB = ∆CID (ch − gn) ⇒ AO = CI (3)

từ (1),(2),(3) ⇒ AB.AK+ AD.AH = AC.(AI + CI)= AC2 d/ từ ∆ CKH ∆BCA(c.g.c) ⇒

0,75đ

CK KH CK .CA CK = ⇒ KH = = CA. = CA.cosKCB=CA.SinKBC BC CA BC BC

mà: ∠KBC = ∠BAD (đồng vị) ⇒ KH = AC. Sin BAC

106

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Bài 5 (2 đ):

0,25đ 0,25 đ

FF IC IA L

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ

ẠY

KÈ

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

107

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 09

ĐỀ BÀI 

FF IC IA L

Câu 1: (4 điểm) 

x+ y x − y  x + y + 2 xy   : 1 +  Cho biểu thức P =  + 1 − xy  1 + xy    1 − xy

a, Rút gọn P b, Tính giá trị của P với x =

2 2+ 3

c, Tìm giá trị lớn nhất của P

x +1 x + 2 x + 3 x + 4 + = + 2006 2005 2004 2003

b) x − 2 + y + 2005 + z − 2006 = (x + y + z )

Câu2:(3điểm) Giải các phương trình

1 2

KÈ

Câu 3: (6 điểm) 1) Tìm GTNN của biểu thức A = 2x2 + 9y2 –6xy –6x –12y + 2035 2) Chứng minh rằng: a2 + b2 +1 ≥ ab + a + b. Dấu bằng xảy ra khi nào? 3) tìm mọi cặp số nguyên tố (x,y) sao cho x2 – 2y2 = 1 Câu 4: (3 điểm) Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính: 2 0 2 0 a). sin 10 + sin 20 +…+ sin2700+ sin2800 b). cos150. Câu 5:(2,0 điểm) Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD, M và K thứ tự là trung điểm của AH và CD.

a). Gọi I và O thứ tự là trung điểm của AB và IC. Chứng minh rằng: MO =

1 IC 2

ẠY

b). Tính ∠ BMK. Câu 6: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ∠ A = 300 ; ∠ B = 500 cạnh AB = c; AC = b; BC = a. Chứng minh rằng: ab = c2 – b2 -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

108

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9

ĐỀ SỐ: 09

Câu 1: (4 điểm)  



FF IC IA L

 x+ y x− y    : 1 + x + y + 2 xy  Cho P =  +   1 − xy  1 − xy 1 + xy 

a, Rút gọn P (1,5 điểm) Điều kiện để P có nghĩa là: x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; xy ≠ 1 Ta có :

(0,5 đ)

(

)(

(1 −

) : 1 − xy + x + y + 2 xy 1 − xy

2 x (1 + y ) 2 x = (1 + x )(1 + y ) 1 + x

2 x + 2y x 1 − xy (1 + x )( y + 1) 1 − xy

(0,25đ)

(0,25đ) (0,5đ)

2 (1,5 điểm) 2+ 3

b, Tính giá trị của P với x =

2 thoả mãn điều kiện x ≥ 0 2+ 3

(0,25đ)

Ta có: x =

2 2 2− 3 = = 4 – 2 3 = ( 3 - 1)2 2+ 3 2+ 3 2− 3

(0,25đ)

)

)(

(

)

2 x , ta có: x +1

M )

3 −1

(

4 − 2 3 +1

2 3 −1

)( )(

(

) )

2 5 3 +6−5−2 3

( ) 2(3 3 + 1) 2(3 = = 52 − 2 3

(0,25đ)

5−2 3

2 3 −1 5 + 2 3 5−2 3 5+ 2 3

ẠY

(

KÈ

Ta thấy x =

Thay x vào P =

x + y + x y + y x + x − y − x y + y x x + y + xy + 1 : 1 − xy 1 − xy

= =

) ( x − y )(1 − xy )(1 + xy )

x + y 1 + xy +

 x− y x− y    : 1 + x + y + 2 xy  P =  +   1 − xy  1 + xy    1 − xy

(0,25đ)

)

(0,25đ)

25 − 12

)

3 +1 13

(0,25đ)

c, Tìm giá trị lớn nhất của P (1 điểm) Với mọi x ≥ 0, ta có: <=>

( x) − 2 2

(

)

x −1 ≥ 0

(0,25đ)

x +1≥ 0

109

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

<=>

2 x 1+ x

( vì x + 1 > 0)

2 x ≤1 1+ x P≤ 1

(0,25đ)

Vậy giá trị lớn nhất của P =1 <=> ( x − 1) = 0 <=> x −1 = 0 <=> x =1 <=> x=1 Câu 2 a). (1điểm) 2

⇔

Vì

(0,25 đ)

⇔

x +1 x+2 x+3 x+4 +1+ +1 = +1+ +1 2003 2006 2005 2004 x + 2007 x + 2007 x + 2007 x + 2007 + = + 2006 2005 2004 2003 x + 2007 x + 2007 x + 2007 x + 2007 + − − =0 2006 2005 2004 2003 (x + 2007 ) 1 + 1 − 1 − 1  = 0  2006 2005 2004 2003  1 1 1   1 + − −   ≠ 0 nên  2006 2005 2004 2003 

⇔

(0,25đ)

⇔

(0,25 đ) (0,25 đ)

⇔ x + 2007 = 0 => x = - 2007

(

) ( 2

x − 2 −1 +

b). (2điểm) Điều kiện: x ≥ 2; y ≥ - 2005; z ≥ 2006 ⇔ x - 2 x − 2 + y − 2 y + 2005 + z − 2 z − 2006 = 0 ⇔

FF IC IA L

1≥

<=> <=>

(0,25đ)

x+1 ≥2 x

<=>

) ( 2

y + 2005 − 1 +

KÈ

 x − 2 −1 = 0  ⇔ y + 2005 − 1 = 0  z − 2006 − 1 = 0 

)

z − 2006 − 1 = 0

 x=3  ⇔  y = −2004 ( thoả mãn ĐK)  z = 2007 

(0,25 đ) (1,0 đ) (0,75 đ)

ẠY

Vậy: nghiệm của phương trình là x = 3 ; y = - 2004 và z = 2007. Câu 3: (6điểm) 1). Ta có A = 2x2 + 9y2 –6xy –6x –12y + 2035 = (x - 3y + 2)2 +(x - 5)2 + 2006 ≥ 2006 Vì (x - 3y + 2)2 ≥ 0; (x - 5)2 ≥ 0

x − 3y + 2 = 0  x = 5 7 Do đó: A đạt GTNN khi  ⇔ y= 

x−5 = 0

Min A= 2006 khi x= 5, y= 7/3.



(0,25 đ)

(1,0đ) (0,25 đ) (0,5 đ)

(0,25 đ) 110

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

2). Ta có a2 + b2 +1 ≥ ab + a + b ⇔ 2a2 + 2b2 + 2 ≥ 2ab + 2a + 2b 2 2 2 ⇔ (a - b) + (a - 1) + (b - 1) ≥ 0 đúng với mọi a,b Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1

(0,5 đ) (1,0đ) (0,5 đ)

3). Ta có: x2 – 2y2 = 1 x2 –1 = 2y2 Do 2y2 chẵn => (x+1)(x -1) chẵn mà (x+1) và (x -1) cùng tính chẵn lẻ nên (x+1) và (x-1) cùng chẵn = >(x+1)(x - 1) chia hết cho 4 2y2 chia hết cho 4 = > y2 chia hết cho 2 mà y nguyên tố => y = 2 do đó x = 3

FF IC IA L

(0,5 đ) (0,5 đ) (1,0đ)

AB BC

Ta có cos150 =

Câu 4: (3 điểm) a) Ta có sin800 = cos100, sin700 = cos200,… (0,25 đ) 2 0 2 0 2 0 2 0 nên sin 10 + sin 20 +…+ sin 70 + sin 80 = (sin2100 + cos2100) + (sin2200 + cos2200) + (sin2300 + cos2300) + (sin2400 + cos2400) (0,5 đ) = 1+ 1+ 1+ 1 = 4 (0,25 đ) 0 b) Xét ∆ ABC vuông ở A có AC = a , ∠ B = 15

Đường trung trực của BC cắt AB ở I. Tam giác AIC có ∠ AIC = 300 nên IC = 2a. (0,25 đ) IA = a cot300 = a 3 (0,25 đ) Do đó AB = AI + IB = a 3 + 2a = a(2+ 3 ) (0,5 đ) Suy ra: BC2 = AB2+ AC2 = a2(4+4 3 + 3)+a2 (0,25 đ) = 4a2(2+ 3 )

)

C a

(0,25 đ) 2+ 3 2

(0,5 đ)

KÈ

Vậy cos150 =

(

AB a 2+ 3 = = BC 2a 2 + 3

BC = 2a 2 + 3

ẠY

Câu 5: (2,0 điểm) a). BIKC là hình chữ nhật nên O là trung điểm của IC và BK. Xét ∆ IMC vuông.

1 IC. (1,0 đ) 2 1 1 b). ∆ MBK có MO = IC = BK 2 2 0 => ∠ BMK = 90 ( 1,0đ)

Ta có:

I A

B O

MO =

M D

111

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

AD AC AC 2 b 2 = ⇔ AD = = (1) (0,5 đ) AC AB AB c Trong ∆ ABC ta lại có: BC AC ⇔ AD.BC = BD. AC = BD AD ⇔ AD.a =(c – AD).b ⇔ AD.a + AD.b =b.c b.c => AD = (2) (0,5 đ) a+b

500

FF IC IA L

Câu 6: (2,0 điểm) Kẻ phân giác CD của ∠ BCA. Ta có ∆ ADC ∆ ACB nên

300

Từ (1) và (2) ta có:

b.c b2 c b (0,5 đ) = ⇔ = a+b c a+b c 2 2 2 2 ⇔ c = a.b + b => a.b = c – b (0,5 đ)

ẠY

KÈ

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

112

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ BÀI Bài 1: (2 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:

6 + 3+ 2 2 . 3+ 2 2.

B =

( 2008

ĐỀ SỐ: 08

FF IC IA L

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

6 − 3+ 2 2 .

)(

)

− 2014 . 20082 + 4016 − 3 .2009

2005.2007.2010.2011

a. Xác định điểm cố định của đồ thị hàm số?

Bài 2: (1,5 điểm) Cho hàm số: y = mx – 3x + m + 1

b. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo

thành tam giác có diện tích bằng 1(đơn vị diện tích). Bài 3: ( 2,5 điểm)

a. Chứng minh bất đẳng thức: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a + c)2 + (b + d ) 2 . Áp dụng giải phương trình: x 2 + 2 x + 5 + x 2 − 6 x + 10 = 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của Q

x +3

x + 16

b. Cho Q =

Bài 4: ( 1,5 điểm)

Cho tam giác ABC, phân giác trong AD, đường cao CH và trung tuyến BM cắt

nhau tại I. Chứng minh rằng AB.cosA = BC.cosB.

KÈ

Bài 5: ( 2,5 điểm)

· Cho tam giác ABC có ABC = 60 0 ; BC = a ; AB = c (a, c là hai độ dài cho trước). Hình

ẠY

chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình

chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.

-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

113

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9

Câ Ý u a

A = (3 + 2 2)(3 − 2 2) = 9 − (2 2)2 = 1 B=

( 2008

(

)(

)

− 2014 . 20082 + 4016 − 3 .2009

2005.2007.2010.2011 2 x − x − 6 x 2 + 2x − 3 ( x + 1)

)(

)

. Đặt x = 2008, khi đó

0.25 A

⇔ m( x0 + 1) + (1 − 3x0 − y0 ) = 0, ∀m

0.25

0.5

y = (m – 3)x + (m + 1) Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số, ta có: m+1 y0 = mx0 – 3x0 + m+ 1 thỏa mãn với mọi giá a trị của m  x0 + 1 = 0  x0 = −1 ⇔ ⇔ 1 − 3 x0 − y0 = 0  y0 = 4

0.25

2.0

( x − 3)( x − 1)( x + 2 )( x + 3 ) ( x + 2 )( x − 3)( x + 3 )( x − 1)( x + 1) = x + 1 = 2009 ( x − 3 )( x − 1)( x + 2 )( x + 3 )

0.25

B m+1

1.5

m-3

Vậy điểm cố định cần tìm M(-1; 4) Ta có: Đồ thị là đường thẳng cắt hai trục tọa độ khi m – 3

ẠY

KÈ

≠0⇔m≠3 1 m +1 S ∆ ABO = m + 1 = 1 ⇔ (m + 1) 2 = 2 m − 3 2 m−3 b Nếu m> 3 ⇔ m2 +2m +1 = 2m -6 ⇔ m2 = -7 ( loại) Nếu m < 3 ⇔ m2 +2m +1 = 6 – 2m ⇔ m2 + 4m – 5 =0 ⇔ (m – 1)(m + +5) = 0 ⇔ m = 1; m = -5

Ghi chú

0.5

A = 3 + 2 2 . ( 6) 2 − ( 3 + 2 2)2 = 3 + 2 2 . 6 − (3 + 2 2)

Điể m 0.5

FF IC IA L

. Nội dung

ĐỀ SỐ: 08

0.5

Hai vế BĐT không âm nên bình phương hai vế ta có: a2 + b2 +c2 + d2 +2 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2 0.5 2 2 2 2 ⇔ ( a + b )( c + d ) ≥ ac + bd (1) a Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được c/m Nếu ac + bd ≥ 0 (1) ⇔ ( a2 + b2 )(c2 + d2) ≥ a2c2 + b2d2 +2acbd 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ a c + a d + b c + b d ≥ a c + b d +2acbd 2 2 2 2 2 ⇔ a d + b c – 2abcd ≥ 0 ⇔ (ad – bc) ≥ 0 ( luôn đúng)

1.5

114

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Dấu “=” xẩy ra ⇔ ad = bc ⇔

0.5

a c = b d

Áp dụng: xét vế trái VT = ( x + 1)2 + 22 + (3 − x)2 + 12 ≥ ( x + 1 + 3 − x) 2 + (2 + 1) 2

⇔ VT ≥ 16 + 9

0.25

⇔ VT ≥ 5

FF IC IA L

Mà VP = 5, vậy dấu bằng xẩy ra

0.25

x +1 3 − x 5 = ⇔ x + 1 = 6 − 2x ⇔ x = ⇔ 2 1 3 Điều kiện: x ≥ 0

( x − 9) + 25 = x +3+ x +3

0.75

25 −6 x +3

b 25 − 6 ⇔ Q ≥ 10 − 6 = 4 . ≥ 2 ( x + 3).

0.25

Vậy Qmin = 4; Dấu “=” xẩy ra ⇔ x + 3 =

25 ⇔ x = 4 (TM x +3

điều kiện)

x +3

1.0

HB IB (1) = MN IM

0.2 M

I N D

⇒

∆ NIM (g.g)

Ta có ∆ HIB

Hình vẽ chính xác Kẻ MN // AB.

0.5

AB IB · Vì AD là phân giác của BAC = (2) ⇒ AM IM AB HB = (3) AM MN

1 Mà MN = AH (vì MN là đường trung bình của ∆ ACH); AM 2

ẠY

KÈ

Từ (1) và (2) ⇒

0.5

1.5

0.3

1 = AC (vì M là trung điểm của AC) (4) 2 Từ (3) và (4) ⇒

AB HB = ⇔ AB.AH = AC.HB. (*) AC AH

AHC = 900 ⇒ AH = AC.cosA Xét ∆ ACH có · · Xét ∆ BCH có BHC = 900 ⇒ BH = BC.cosB (**)

Từ (*) và (**) ⇒ AB.AC.cosA = AC.BC.cosB 115

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

⇔ AB.cosA = BC.cosB. Vậy AB.cosA = BC.cosB. Hình vẽ Đặt AM = x (0 < x < c) .

0.2

A x

0.2

FF IC IA L

MN AM ax Ta có: ⇔ MN = = BC AB c

0.3

MQ = BM.sin60 0 =

(c - x)

. B

60 0

Suy ra diện tích của MNPQ là: ax ( c - x ) 3 2c

a 3 x (c - x) 2c

+ Ta có bất đẳng thức: 2

a+b a+b ≥ ab ⇔ ab ≤   (a > 0, b > 0) 2  2 

0.25

2.5

0.25 c 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi: x = c - x ⇔ x = .

0.3

0.5

x+ c-x  c2 Áp dụng, ta có: x(c - x) ≤  . =  4  2 

0.5

a 3 c ac 3 ac 3 c . = . Vậy: S max = khi x = hay M là 2c 4 8 8 2

Suy ra: S ≤

trung điểm của cạnh AB

ẠY

KÈ

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

116

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 07

FF IC IA L

ĐỀ BÀI

Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức: Bài 2: (4đ) Cho biểu thức Q =

5 − 3 − 29 − 12 5 = cot 45

x − 4 ( x − 1) + x + 4 ( x − 1)  1  ⋅ 1 −   x −1  x 2 − 4 ( x − 1)

y x −1 + x y − 4 xy

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M =

a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q Bài 3: (3,5đ)

1 1 1 x 2 − yz y 2 − xz thì x + y + z = + + = x (1 − yz ) y (1 − xz ) x y z

Chứng minh rằng nếu

Bài 4: (3,75đ) Cho x ≠ y, yz ≠ 1, xz ≠ 1, x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0

1 S∆ABC 4

S∆MEF <

Bài 5: (2,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ đỉnh M vẽ góc 0 45 sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F. Chứng minh rằng:

-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

ẠY

KÈ

Bài 6: (3,0 đ)) Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB. EF là dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho E thuộc cung AF và EF = R. AF cắt BE tại H. AE cắt BF tại C. CH cắt AB tại I a. Tính góc CIF. b. Chứng minh AE.AC + BF. BC không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn. c. Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó.

117

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 . Nội dung – Yêu cầu 5 − 3 − 29 − 12 5 =

5 − 3−

5 −3

5 − 6−2 5

5−

(

)

5 −1

( x − 1) + 2

x − 4x + 4

)

(

x −1 −1 +

)

x −1 +1 2

⋅

x−2 x −1

x −1 −1 + x −1 + 1 x − 2 ⋅ x−2 x −1

* Nếu 1 < x < 2 ta có:

1− x −1 + x −1 +1 x − 2 ⋅ 2− x x −1 2 Q= 1− x

KÈ

ẠY

* Nếu x > 2 ta có:

0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ

x −1 −1+ x −1 +1 x − 2 ⋅ x−2 x −1 2

0,5đ

x −1

0,25

Với điều kiện x ≥ 1, y ≥ 4 ta có: M=

0,75đ

( x − 2)

x −1 +1 x − 2 ⋅ x −1

(

x −1 + 1 +

( x − 1) − 2

0,25đ 0,5đ 0,5đ

x − 4 ( x − 1) + x + 4 ( x − 1)  1  ⋅ 1 −   x −1  x 2 − 4 ( x − 1)

0,75đ

Q có nghĩa ⇔ x > 1 và x ≠ 2 Q=

1đ

0,5đ

=1 = cot450 2a 2b

)

Điểm

FF IC IA L

Bài 1

ĐỀ SỐ: 07

x −1 + x

y−4 y

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm,

0,25đ 0,75đ 118

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” 1+ x −1 x = 2 2 x −1 1 (vì x dương) ⇒ ≤ x 2 1 1 4+ y−4 y y−4 = 4 ( y − 4) ≤ ⋅ = 2 2 2 4 y−4 1 ⇒ ≤ (vì y dương) y 4

Ta có: x − 1 = 1( x − 1) ≤

0,75đ 0,5đ

y−4 1 1 3 ≤ + = 2 4 4 y 3 Vậy giá trị lớn nhất của M là ⇔ x = 2, y = 8 4

Suy ra: M =

x 2 − yz y 2 − xz = x (1 − yz ) y (1 − xz )

x −1 + x

FF IC IA L

Và:

0,5đ

⇔ ( x 2 − yz ) ( y − xyz ) = ( y 2 − xz ) ( x − xyz )

⇔ x 2 y − x3 yz − y 2 z + xy 2 z 2 − xy 2 + xy 3 z + x 2 z − x 2 yz 2 = 0 2

)+ z(x

−y

) − xyz ( x − y ) = 0

⇔ ( x − y )  xy − xyz ( x + y ) + z ( x + y ) − xyz 2  = 0

⇔ xy − xyz ( x + y ) + z ( x + y ) − xyz 2 = 0

(vì x ≠ y ⇒ x − y ≠ 0 )

2 xy + xz + yz xyz ( x + y ) + xyz = xyz xyz 1 1 1 ⇔ + + = x+ y+z x y z

(vì xyz ≠ 0 )

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

KÈ ẠY D

0,5đ

⇔

0,25đ

⇔ xy + xz + yz = xyz ( x + y ) + xyz

0,5đ

⇔ xy ( x − y ) − xyz ( x − y 2

⇔ ( x 2 y − xy 2 ) − ( x 3 yz − xy 3 z ) + ( x 2 z − y 2 z ) − ( x 2 yz 2 − xy 2 z 2 ) = 0

0,25đ

2,75 M

P E A

Kẻ MP ⊥ AB tại P, MQ ⊥ AC tại Q Kẻ Ex // AC, EC cắt MQ tại K và cắt MF tại N Do ∠ EMF = 450 nên tia ME, MF nằm giữa hai tia MP và MQ ⇒ S∆MEN < S∆MEK =

1 SMPEK 2

119

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” 1 2

và S∆FEN < S∆QEK = SQAEK ( S ∆FEN < S ∆QEK vì có cùng chiều cao nhưng đáy EN bé hơn đáy EK) 1 2

1 2

Suy ra: S∆MEN + S∆FEN < S APMQ ⇔ S∆MEF < S APMQ (*) 1 2 1 S∆MAQ = S∆MAC 2 1 ⇒ S APMQ = S∆ABC (**) 2 1 Từ (*) và (**) ta có: S∆MEF < S∆ABC 4

Mỗi ý đúng cho 1 điểm

3đ

FF IC IA L

Chứng minh được: S∆MAP = S∆MAB

ẠY

KÈ

OB ⊥ BA; OC ⊥ CA ( AB, AC là các tiếp tuyến) OI ⊥ IA (I là trung điểm của dây DE) . ⇒ B, O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO. ∠ICB = ∠IAB ( Cùng chắn cung IB đường tròn đường kính AO) (1) DK // AB (Cùng vuông góc với BO) ⇒ ∠ IDK = ∠IAB (2) Từ (1) và (2) được: ∠ ICB = ∠ IDK ∠ ICB = ∠ IDK hay ∠ ICH = ∠ IDH ⇒ Tứ giác DCIH nội tiếp. ⇒ ∠HID = ∠ HCD ∠ HCD = ∠ BED (Cùng chắn cung DB của (O)) ⇒ ∠HID = ∠ BED ⇒ IH // EB ⇒ IH là đường trung bình của DEK ⇒ H là trung điểm của DK Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC. Giao điểm của OA và M 120

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

FF IC IA L

PQ là I. AB và AC là hai tiếp tuyến nên AB = AC và AO là tia phân giác của ∠ BAC ⇒ ∆ PAQ cân ở A và AO ⊥ PQ Áp dụng Pitago ta có: MK2 = MO2 – R2 ( ∆ MKO vuông tại K) MK2 = (MI2 + OI2) – R2 ( ∆ MOI vuông tại I) MK2 = (MI2 + OI2) – (OP2 – PB2) ( ∆ BOP vuông tại B) MK2 = (MI2 + OI2) – [(OI2 + PI2) – PA2] ( ∆ IOP vuông tại I và PA = PB) MK2 = MI2 + OI2 – OI2 + (PA2 – PI2) MK2 = MI2 + AI2 ( ∆ IAP vuông tại I) MK2 = MA2 ( ∆ IAM vuông tại I) ⇒ MK = MA

ẠY

KÈ

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

121

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 06

Câu 1 (3 đ).

Giải phương trình:

(

)(

1+ x −1

)

1 − x + 1 = 2x

Câu 2 (2 đ). a b c + + =0 b−c c−a a−b

Cho ba số a, b, c thoả mãn:

FF IC IA L

ĐỀ BÀI

1 1 1 1 + + + ..... + 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + ... + 2010 + 2011

Tính tổng S =

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có một số âm và một số dương. Câu 3 (3 đ):

Câu 4 (2 đ): Tìm đa thức bậc ba P(x), biết: P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = 4; P(3) = 1.

Câu 5 (3 đ): Cho ABC có ∠A ≥ ∠B . Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho ∠ HAC = ∠ ABC. Đường phân giác của góc BAH cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẻ ME cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh rằng CF // AE.

ẠY

KÈ

Câu 6 (5 đ): Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là ba điểm trên cạnh BC, CD, DA sao cho MNP là một tam giác đều. a) Chứng minh rằng: CN2 – AP2 = 2DP.BM b) Hãy xác định vị trí của các điểm M, N, P sao cho MNP có diện tích nhỏ nhất. Câu 7 (2 đ):  2

Cho hàm số y = f(x) nghịch biến trong khoảng (0; 1). Biết f   = 0 .  2 

(

)



2

<0 Chứng minh rằng: f 3 − 2 > 0 và f  2 −  3   -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

122

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9

(

)(

)

1 + x − 1 1 − x + 1 = 2x Đk: -1 ≤ x ≤ 1. Đặt u = 1 + x , điều kiện 0 ≤ u ≤ x = u2 – 1 ⇔ 1 – x = 2 – u2

Điểm

1,0 đ

2 , suy ra:

(

FF IC IA L

Câu

. Đáp án

)

Khi đó phương trình có dạng: (u − 1) 2 − u 2 + 1 = 2(u 2 − 1)

[

]

⇔ (u − 1) 2 − u 2 + 1 − 2(u + 1) = 0

1,0 đ

u − 1 = 0 u = 1 u = 1 ⇔ ⇔ ⇔   2 2 2 2  2 − u = 2u + 1 5u + 4u − 1 2 − u = (2u + 1) u = 1  1+ x = 1 x = 0  1   ⇔ ⇔ u = 24 1⇔  5 x=−  1+ x =  25  5 u = −1 (lo¹i) 

1,0 đ

Câu 1 3 điểm

ĐỀ SỐ: 06

24 25 a b c 1 + + = 0 với Nhân hai vế của b−c c−a a−b b−c a b c Ta có: + + = 0 (1) 2 (c − a)(b - c) (a − b)(b - c) (b − c)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0 và x = −

Tương tự, ta có:

1,0 đ

KÈ

a b c + + = 0 (2) 2 (b − c)(c - a) (c − a) (a − b)(c - a) a b c + + = 0 (3) (b − c)(a - b) (c − a)(a - b) (a − b) 2

ẠY

Câu 2 Mặt khác: 2 điểm

b c a c + + + (c − a)(b - c) (a − b)(b - c) (b − c)(c - a) (a − b)(c - a) a b + + =0 (b − c)(a - b) (c − a)(a - b)

Cộng từng vế của (1), (2), (3) ta được:

1,0 đ

a b c + + = 0. 2 2 (b − c) (c − a) (a − b) 2

Từ đẳng thức trên suy ra trong ba số a, b, c có một số âm và một số dương. 123

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Ta có: S n = 1 + 2 + 3 + ..... + n = Thật vậy:

n(n + 1) (*) 2

2.(2 + 1) (luôn đúng) 2 3.(3 + 1) Với n = 3, ta có: S 3 = 1 + 2 + 3 = (luôn đúng) 2

FF IC IA L

Với n = 2, ta có: S 2 = 1 + 2 =

Giả sử (*) đúng với n = k, tức là: S k = 1 + 2 + 3 + ..... + k = Ta chứng minh cho (*) đúng với n = k + 1, tức là: S k +1 = 1 + 2 + 3 + ..... + k + (k + 1) =

(k + 1)(k + 2) 2

Ta có: k(k + 1) + k +1 2 k(k + 1) + 2(k + 1) = 2 (k + 1)(k + 2) = 2

Câu 3 3 điểm

2.3 2

(k + 1)(k + 2) 2

S2 = 1+ 2 =

Vậy S k +1 = 1 + 2 + 3 + ..... + k + (k + 1) = Áp dụng (*), ta có:

3.4 2

1,0 đ

S3 = 1+ 2 + 3 =

1,0 đ

S k +1 = 1 + 2 + 3 + ..... + k + (k + 1)

k(k + 1) 2

............................

KÈ

S 2011 = 1 + 2 + 3 + ..... + 2012 =

1,0 đ

ẠY

Suy ra:

2011.2012 2

124

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

1 1 1 1 + + + ..... + 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3+ 4 1 + 2 + 3 + ... + 2010 + 2011 1 1 1 1 = + + + ..... + 2011.2012 2.3 3.4 4.5 2 2 2 2 1 1 1  1  = 2 + + + ..... +  2011.2012   2.3 3.4 4.5 1 1  1 1 1 1 1 1 = 2 − + − + − + .... + −  2011 2012  2 3 3 4 4 5

FF IC IA L

1005 1  1005 1 . VËy S = = 2 − = 1006  2 2012  1006

Đặt P(x) = b0 + b1x + b2x(x – 1) + b3x(x – 1)(x – 2). Thay x lần lượt bằng 0, 1, 2, 3 vào (1), ta được: 10 = b0. 12 = 10 + b1 ⇔ b1 = 2. 4 = 10 + 2.2 + b2.2.1 ⇔ b2 = -5. Câu 4 1 = 10 + 2.3 – 5.3.2 + b .3.2.1 ⇔ b = 5 . 3 3 2 2 điểm Vậy đa thức cần tìm dạng:

2,0 đ

5 x(x – 1)(x – 2) 2

P(x) = 10 + 2x – 5x(x – 1) +

5 3 25 2 x x + 12x + 10 2 2 Ta có: ∠ CEA = ∠ CAE = ∠ B + ∠ BAE Suy ra: CAE cân tại C ⇒ CA = CE (1)

⇔ P(x) =

KÈ

ẠY

Câu 5 3 điểm

1,0 đ

F Qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt MF ở K, ta có:

1,0 đ 125

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

BE MB MA FA = = = (2) EH KH KH FH

áp dụng tính chất đường phân giác trong (3)

AB AC CE = = AH CH CH FA CE AH EH = ⇔ = Từ (2), (3) và (4) suy ra: FH CH FH CH

CAH

CBA suy ra:

1,0 đ

C 1,5 đ

Suy ra: AE // CF. Giả sử hình vuông ABCD có cạnh bằng a. a) Sử dụng định lý Pi- ta- go, ta có: MN2 = MC2 + CN2. = (a – BM)2 + CN2 = a2 + BM2 + CN2 – 2a.BM MP2 = AB2 + (AP – MB)2 = a2 + BM2 + AP2 – 2AP.BM. D

(4)

FF IC IA L

BE AB = EH AH

ABH,ta được:

P M

Câu 6 5 điểm

ẠY

KÈ

Vì MN = MP nên: a2 + BM2 + CN2 – 2a.BM = a2 + BM2 + AP2 – 2AP.BM. 2 2 ⇔ CN – 2a.BM = AP – 2AP.BM. 2 2 ⇔ CN – AP = 2a.BM – 2AP.BM. 2 2 ⇔ CN – AP = 2(a – AP).BM. 2 2 ⇔ CN – AP = 2DP.BM. b) MNP có diện tích nhỏ nhất khi MP nhỏ nhất ⇔ MP // AB N lµ trung diÓm cña CD  ⇔ a 3 CM = DP =  2 2 3 − 2 ∈ (0; 1); 2 − ∈ (0; 1); 3

)

1,0 đ 1,0 đ

2 ∈ (0; 1) 2

Câu 7 Hàm số y = f(x) là hàm số nghịch biến. 2 điểm  2 2 Vì 3 − 2 < nên f 3 − 2 > f   = 0

(

1,5 đ

1,0 đ 1,0 đ

 2 

126

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Vì

2−

 2 2 2  2  < f  > nên f  2 −   2 =0 3 2 3    

ẠY

KÈ

FF IC IA L

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

127

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 05

ĐỀ BÀI

FF IC IA L

Bài 1: (2 điểm) Tính giá trị của biểu thức : 1 1 1 + +...+ 1+ 2 2+ 3 120 + 121

Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: x + x − 3 = 1 + x( x − 3)

b) Cho biết: x 2 − 6 x + 13 − x 2 − 6 x + 10 = 1 . Tính: x 2 − 6 x + 13 + x 2 − 6 x + 10 Bài 3: (3 điểm) Cho ba số dương a, b, c. Hãy chứng minh: a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b + c c+ a a + b 2 Bài 4: (4 điểm) Cho hàm số: y = mx - 3x + m + 1 c. Xác định điểm cố đinh của hàm số. b. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1

Bài 5: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN = BM. Gọi H là giao điểm của AM và CN, chứng minh: H nằm trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

ẠY

KÈ

Bài 6: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M và N theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB và AC, biết AH2 = 4AM.AN. Tính số đo các góc nhọn của tam giác ABC.

128

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 . Nội dung 1

1 =

+...+

2+ 3

− 1+ 2 ( 2 ) 2 − ( 1) 2

1 120 + 121

− 2+ 3 ( 3) 2 − ( 2 ) 2

+...+

− 120 + 121

( 121) 2 − ( 120 ) 2

− 1+ 2 − 2 + 3 − 120 + 121 + +...+ 1 1 1

= − 1 + 2 − 2 + 3 + ... − 120 + 121 = − 1 + 121 = −1 + 11 = 10

1+ 2

Điểm

FF IC IA L

Bài Câu

Điều kiện: x ≥ 3 Bình phương cả hai vế của phương trình ta có:

x + 2 x( x − 3) + x − 3 = 1 + 2 x( x − 3) + x ( x − 3)

⇔ 2 x − 3 = 1 + x 2 − 3x ⇔ x 2 − 5x + 4 = 0 (x − 1)(x − 4) = 0 ⇔ ⇔ x − 1 = 0 hoặc: x − 4 = 0 ⇔ x=1 (loại) hoặc x=4

Vậy phương trình có nghiệm là x=4 Đặt A= x 2 − 6 x + 13 ; B= x 2 − 6 x + 10 (A ≥ 0, B ≥ 0) Theo bài ra ta có: A - B = 1 và A2 - B2 = (x2 - 6x + 13) - (x2 - 6x + 10) = 3 Mặt khác ta có: A2 - B2 = (A-B)(A+B) suy ra: A+B =3 Vậy: x 2 − 6 x + 13 + x 2 − 6 x + 10 =3

KÈ

ĐỀ SỐ: 05

0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ

0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ

ẠY

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:

a2 b+c a2 b + c a2 b+c + ≥2 . hay + ≥ a (1) b+c 4 b+c 4 b+c 4

0.5đ

Tương tự ta cũng có: b2 a+c + ≥ b (2) a+c 4

;

c2 a+b + ≥ c (3) a+b 4

0.5đ

Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta có:

a2 b+c b2 a+c c2 a+b ≥ a+b+c + + + + + b+c 4 a+c 4 a+b 4

0.5đ 129

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

⇔

a2 b2 c2 a+b+c + + + ≥ a+b+c b+c a+c a+b 2 a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ ( a + b + c) − b+c a+c a+b 2

0.5đ 0.5đ

a2 b2 c2 a+b+c (đpcm) + + ≥ b+c a+c a+b 2

0.5đ

FF IC IA L

⇔

Hàm số: y = (m – 3)x + (m + 1) 0.5đ Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số, ta có: y0 = mx0 – 3x0 + m+ 1 Thỏa mãn với mọi giá trị của m 0.5đ ⇔ m( x0 + 1) + (1 − 3 x0 − y0 ) = 0 , ∀m

0.5đ

 x0 + 1 = 0  x0 = −1 ⇔ ⇔ 1 − 3x0 − y0 = 0  y0 = 4

Hình minh họa:

0.5đ

Vậy điểm cần tìm là M(-1;4)

m+1

KÈ

hoành tại điểm có hoành độ bằng − 1 2 2 ⇔ (m + 1) = 2 m − 3

ẠY

Ta có: S ∆ ABO = m + 1

Đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục tọa độ khi: m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 khi đó: 0.5đ đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng m+1, cắt trục

m +1 m−3

−

m +1 =1 m−3

m +1 m−3

0.5đ 0.5đ 2

Nếu: m> 3 ⇔ m +2m +1 = 2m -6 ⇔ m = -7 ( loại) Nếu: m < 3 ⇔ m2 +2m +1 = 6 - 2m 2 ⇔ m + 4m - 5 =0 ⇔ (m – 1)(m + +5) = 0 ⇔ m = 1; m = -5

0.5đ

130

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Vẽ hình chính xác 0.5đ

FF IC IA L

Xét ∆AMB và ∆ CNB có: AB = CB (cạnh hình vuông) ∧

∧

ABM = CBN = 90 0 và BM = BN (gt)

∧

⇒ BAM = BCN

⇒ ∆AMB = ∆ CNB (c-g-c) Xét ∆AMB và ∆ CMH có:

AMB = CMH (đối đỉnh); BAM = BCN (c/m trên) ∧

∧

0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ

0.5đ

⇒ ABM = CHM ⇒ CHM = 90 0 ⇒ H thuộc đường tròn đường kính AC ⇒ H thuộc đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

0.5đ

ẠY

KÈ

E A N 2 Theo giả thiết ta có AH = 4AM.AN (1) Tam giác AHC vuông ở H; HN ⊥ AC nên AH2 = AN.AC (2) Từ (1) và (2) suy ra AC = 4AM = 4HN (3) Gọi E là trung điểm của AC, ta có:

EH = EA = EC =

AC 2

(4)

0.5đ 0.5đ 0.5đ

∧ ∧ Từ (3) và (4) suy ra HE = 2HN. Mà HNE = 90 0 nên HEN = 30 0 . 0.5đ ∧ 0.5đ 1 ∧ 1 Ta thấy tam giác EHC cân ở E nên ECH = HEN = .30 0 = 15 0 0.5đ 2 2 ∧ ∧ ∧ 0.5đ hay ACB = 15 0 ⇒ ABC = 90 0 − ACB = 90 0 − 15 0 = 75 0 -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

131

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 04

ĐỀ BÀI

Cho biểu thức : A =

15 x − 11 x+2 x −3

3 x −2 1− x

−

FF IC IA L

Bài 1:(3 điểm ) 2 x +3 x +3

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

y −1 x −1 + ( x ≥ 1; y ≥ 1) y x

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =

(2)

1. Rút gọn A 2. Tìm giá trị của A khi x = 4+ 2 3 Bài 2: (3 điểm ) Giải phương trình: a) x + 1 − x − 7 = 12 − x (1) b) x + 1 + 2 x + 1 + 1 + x + 1 − 2.3 x + 1 + 9 = 2 x + 1 − 2 x + 1 + 1 Bài 3:(4 điểm):

Y = x + 2 x −1 + x − 2 x −1

Bài 4:(3 điểm )

2 y =  m −  x + 1 (1);

Cho hai hàm số bậc nhất

3

y = (2 - m)x - 3 (2) .



ẠY

KÈ

Với giá trị nào của m thì: a. Đồ thị của hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng cắt. b. Đồ thị của hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng song song. Bài 5 : ( 2 đểm ) Cho tam giác ABC có AB = 12cm; góc ABC bằng 400; góc ACB bằng 300, đương cao AH, Tính độ dài AH và AC. Bài 6 : ( 4 đểm ) Cho tam giác EFG vuông ở E có EF = 3cm, EG = 4cm. a) Tính FG, góc F, góc G. b) Phân giác của góc E cắt FG tại H. Tính FH, GH. c) Từ H kẻ HM và HN lần lượt vuông góc với EF và EG. Tứ giác EMHN là hình gì? Vì sao? Tính chu vi và diện tích của tứ giác EMHN. (Góc làm tròn đến phút, độ dài đến chữ số thập phân thứ 3) Bài 7:(1 điểm ) Cho x ≥ 1, y ≥ 1. .Chứng minh : x y − 1 + y x − 1 ≤ xy . -------------------------------------- Hết --------------------------------------132

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9

3 x −2

−

x + 2 x − 3 1− x Đ /k : x ≥ 0; x ≠ 1

1. Rút gọn: A =

x +3

15 x − 11

(3 x − 2)( x + 3) (2 x + 3)( x − 1) − ( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 3) −

15 x − 11 − 3 x − 7 x + 6 − 2 x − x + 3 ( x − 1)( x + 3)

7 x − 5x − 2 ( x − 1)(5 x − 2) = ( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 3) 5 x −2 x +3

2,0

(

)

5 1+ 3 − 2 4+ 3

1+ 3

)

=1+ 3

5 3 + 3 17 3 − 3 = 13 4+ 3

1,0

khi đó : A=

4+2 3 =

ta có

Khi x = 4 + 3 thoả mãn điều kiện x ≥ 0; x ≠ 1

1.2

2 x +3

15 x − 11

đi ể m

FF IC IA L

Nội dung

Bài 1.1

ĐỀ SỐ: 04

x + 1 − x − 7 = 12 − x

2.a)

KÈ

Giải: Với điều kiện 7 ≤ x ≤ 12. Ta có: (1) ⇔ x + 1 = 12 − x + x − 7 ⇔ 2 19x − x 2 − 84 = x − 4 ⇔ 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 ⇔ 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0 ⇔ 5x2 – 84x + 352 = 0 Giải: (2) ⇔ x + 1 + 2 x + 1 + 1 + x + 1 − 2.3 x + 1 + 9 = 2 x + 1 − 2 x + 1 + 1 ⇔ x + 1 + 1+ | x + 1 − 3 |= 2.| x + 1 − 1| Đặt y = x + 1 (y ≥ 0) ⇒ phương trình đã cho trở thành:

ẠY

2b)

y + 1+ | y − 3 |= 2 | y − 1|

– Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y ⇔ y = –1 (loại) – Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 ⇔ y = 3 – Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm) Với y = 3 ⇔ x + 1 = 9 ⇔ x = 8 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8

3a)

1,5

1. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta 133

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” 1+ y −1 y = 2 2 xy ⇒ x y −1 ≤ 2 xy y x −1 ≤ 2 x y − 1 + y x − 1 ≤ xy

có: y − 1 = 1.( y − 1) ≤

Do đó :

FF IC IA L

Tương tự :

0,5

x y −1 + y x −1 ≤1 x y − 1 + y x − 1 ≤ xy ⇔ xy x −1 ≤1 x

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1.

)

x − 1 + 1 + ( x − 1 − 1) 2 = ( x − 1 + 1) 2 + (1 − x − 1) 2

= x −1 +1 + 1− x −1

(

Y = x −1+ 2 x −1 +1 + x −1− 2 x −1 +1

3b)

0,5

y −1 + y x −1 = 1 x = 2 Dấu “=” xảy ra ⇔  ⇔  y −1 = 1  y = 2

Do đó :

Áp dụng bđt :|A| + |B| ≥|A + B| ta có : Y = x −1 +1 + x −1 −1 ≥ x −1 +1+ x −1 −1 x −1 +1 + 1− x −1 ≥

1 0,5

x −1 +1 +1− x −1 ≥ 2

Vậy y nhỏ nhất là 2 khi ( x − 1 + 1) (1 − x − 1) ≥ 0 x ≥ 1 ⇔ 1 − ( x − 1) ≥ 0

2  m − 3 ≠ 0  ⇔ 2 − m ≠ 0  2 m − ≠ 2 − m 3 

2 3

Vậy m ≠ ; m ≠ 2; m ≠

Bài 4.b

0,5

ẠY

KÈ

Bài 4.a

⇒1≤ x ≤ 2 . Đồ thị hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng cắt nhau khi 3  m ≠ 2  m ≠ 2  4 m ≠ 3 

1,5

4 thì đồ thị (1) cắt đồ thị (2) 3

b. Đồ thị của hàm số (1) và (2) l hai đường thẳng có tung độ gốc khác nhau (1 ≠ −3 ) do đó chúng song song với nhau khi và chỉ khi

134

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)” 2 2   m − 3 = 0 m ≠ 3   ⇔ m ≠ 2 2 − m ≠ 0   2 4 m = m − = 2 − m 3 3  

4 thì đồ thị (1) song song với đồ thị (2) 3

Xét tam giác vuông HPQ ta có: AH = AB.SinB = 12.Sin400 => AH ≈ 7,713 (cm) AH = AC.SinC => AC =

HA => Sin300

1 G

góc F ≈ 37 => góc G ≈53

EG 3 = => EF 4 0

EF HF 3 = = EG HG 4 HG Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau => = 4 20 6 HG 5 HF 5 => và =2 = =>HG = = => HF = 4 7 7 3 7 7 6 1 Vậy HG = 2 ; HF = 2 7 7

1,5

Do EH là tia phân giác của góc E nên:

HF HG + HF 5 = = 3 3+ 4 7 15 1 =2 7 7

tứ giác EMHN là hình vuông (đường chéo AE của hình bình hành EMHN vừa là phân giác ) * Chu vi của EMHN là : 4HN mà

KÈ

M Theo định nghĩa tỉ số lượng giác ta có

400

EG 2 = EF 2 + EG 2 = 42 + 32 = 5 (cm)

tgF =

300

C Theo định lí pi Ta go ta có :

AC ≈ 15,427 (cm) Vậy AH = 7,713 (cm) và AC =15,427 (cm).

1,5

FF IC IA L

Vậ y m =

6 7

HN = HC.sinG = 2 sin370 ≈ 1,714(cm) 2

1.5 2

* Diện tích EMHN là: HN = 1,741 = 2,939 (cm ) Vậy: Chu vi EMHN là 1,741x4 = 6,857cm; diện tích EMHN là 2,939 cm2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta

ẠY D

1+ y −1 y = 2 2 xy y x −1 ≤ 2

có: y − 1 = 1.( y − 1) ≤

Tương tự :

⇒ x y −1 ≤

xy 2

Do đó : x y − 1 + y x − 1 ≤ xy

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết --------------------------------------135

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 03

Bài 1: (6 điểm) 1) Cho biểu thức: K =

3x + 9 x − 3 x + x −3

−

x +1 x +2

x −2 1− x

a/ Rút Gọn K b/ Tính giá trị của biểu thức K khi x = 24+ 3

FF IC IA L

ĐỀ BÀI

( x ≥ 0; x ≠ 1)

5 − 3 − 29 − 12 5 .

2) Chứng minh rằng số A= n +3n – n - 3 chia hết cho 48 với mọi n lẻ Bài 2: (4đ)

a) Giải phương trình x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2 x − 3 b) Cho a, b, c là 3 số từng đôi một khác nhau và thoả mãn:

a b c + + =0 b-c c-a a-b a b c Chứng minh rằng: + + =0 2 2 (b - c) (c - a) (a - b) 2

Bài 3 (3đ) a)) Cho x, y, z là 3 số thực dương thoả mãn x2 + y2 + z2 = 2. Chứng minh:

2 2 2 x 3 + y3 + z 3 + + ≤ + 3. x 2 + y2 y2 + z2 z2 + x 2 2 xyz

ẠY

KÈ

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 − 2 5 = y ( y + 6 ) Bài 4 (6 điểm). Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B). Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K. a) Chứng minh : 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn b) Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì sao ? c) Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O. Bài 5:( 1 điểm ) Tìm số n nguyên dương thoả mãn: (3+2 2)n + (3-2 2)n =6 -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

136

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 . NỘI DUNG CẦN ĐẠT

1.(4đ) a)(2đ)

a, Với x≥ 0 , x≠ 1 ta có: K= =

3x + 9 x − 3 x+ x −3

x +1

−

3x + 3 x − 3 −

x +2

(

)(

x −2 1− x

) ( ( x + 2)( x − 1) x +1

x −1 −

b)(2đ)

)

x +1

x +2

( x + 2)( x − 1) ( x + 2 )( x + 1) = ( x + 2 )( x − 1)

)(

x −1

b,Ta có :

5- 3- 29-12 5

x = 24+

= 24+

3- (2 5-3)

5- 6-2 5

= 24+ 5- ( 5-1)2 = 25 Thay x = 25 vào A ta có: 25+1 6 3 K= = = 4 2 25-1

Q Bài 2 (4đ)

0,5

M KÈ ẠY D a,(2đ)

0,5

= 24+

2)(2đ)

0,5

x+3 x +2

Bài 1 (6đ)

x −2

ĐIỂ M

FF IC IA L

Bài

ĐỀ SỐ: 03

Ta có A = n +3n - n-3 = (n-1)(n+1)(n+3) Với n =2k+1 thì A=8k(k+1)(k+2) ⇒ A+ 8 (1) Vì k(k+1)(k+2) là ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 ⇒ A + 6 (2) Từ (1) và (2) ⇒ A+ 48

0,5 0,5

0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

a, x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2 x − 3 (1) 0,25 137

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

x 2 − 3x + 2 ≥ 0  ĐK: x + 3 ≥ 0 ⇔x≥2 x 2 + 2x − 3 ≥ 0  (1) ⇔

0,5

0,25

FF IC IA L

(x-1)(x-2) + x+3 = x-2 + (x-1)(x+3)

 x −1 = a ≥ 0  Đặt:  x − 2 = b ≥ 0   x + 3 = c ≥ 0

0,5

⇔ a.b + c = b + a.c

(1)

⇔ a(b - c) - (b - c) = 0

⇔ (a - 1)(b - c) = 0

a = 1 ⇔  b = c

0,5

x − 2 = x + 3 ⇒ x - 2 = x + 3 ⇒ 0x = 5 vô

b(2đ)

Với b = c ⇒ nghiệm

Với a = 1 ⇒ x − 1 = 1 ⇔ x - 1 = 1 ⇔ x = 2 (thoả mãn đk)

0,5

Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 2

b) Từ giả thiết ta có:

a b c ab - b 2 - ac + c 2 = = b-c a-c a-b ( a - b )( a - c )

Nhân 2 vế của đẳng thức với a

KÈ

(b - c)

1 ta có: b-c

ab - b 2 - ac + c2 ( a - b )( a - c )( b - c )

ẠY

Vai trò của a, b, c như nhau, thực hiện hoán vị vòng quanh giữa a, b, c ta có: b

(c - a )

(a - b)

0,5

cb - c 2 - ab + a 2 , ( a - b )( a - c )( b - c ) ac - a 2 - bc + b 2 = ( a - b )( a - c )( b - c )

0,5

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta có a b c + + =0 2 2 (b - c) (c - a) (a - b) 2

138

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Bài 3 (3đ) a) Vì x2 + y2 + z2 = 2 nên: 2 2 2 x 2 + y2 + z 2 x 2 + y2 + z 2 x 2 + y2 + z 2 + + = + + x 2 + y2 y2 + z2 z2 + x 2 x 2 + y2 y2 + z 2 z2 + x 2

FF IC IA L

a(1,5đ)

z2 x2 y2 + + +3 x 2 + y2 y2 + z2 x 2 + z2 z2 z2 Ta có x2 + y2 ≥ 2xy ⇒ 2 2 ≤ , x +y 2xy y2 y2 x2 x2 , 2 2 ≤ Tương tự 2 2 ≤ 2xz y +z 2yz x + z 2 2 2 z x y z2 x2 y2 + + ≤ + + +3 Vậy 2 + 3 x + y2 y2 + z2 x 2 + z2 2xy 2yz 2xz 2 2 2 x 3 + y3 + z3 ⇔ 2 ≤ + + + 3 , đpcm x + y2 y2 + z2 z2 + x 2 2xyz

0,5

Bài 4 (6đ)

b) Từ x 2 − 25 = y ( y + 6) Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 0,5 Khi đó ta thấy: ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ. Ta lại có tích của chúng là số chẵn, vậy 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn . Ta chỉ có cách phân tích -16 ra tích của 2 số chẵn sau đây: - 16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) 0,5 Ta có bảng giá trị sau: 8 -2 5 0

-2 8 -5 0

2 -8 5 -6

-8 2 -5 -6

Vì thế phương trình đã cho có các nghiệm: (x,y) = ( ±5,0 ) ; ( ±5, −6 ) ; ( ±4, −3) .

4 -4 4 -3

-4 4 -4 -3 0,5

ẠY

KÈ

y+3+x y+3-x x y

139

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

FF IC IA L

E K

a) Các tam giác AEB, AMB vuông ( vì AB đường kính) suy ra

a(2đ)

· · BEF = KMF = 900

0,5

hay EC = CM = CK = CF Suy ra 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn tâm C.

0,5

1 2

Gọi C là trung điểm của KF ta có EC = CM = KF

b) Ta có AE vừa là đường cao vừa là phân giác của tam giác AHK nên AH=AK và HE=EK

b(2đ)

0,5

ẠY

KÈ

1 EC là đường trung bình của tam giác HKF nên EC = HF, mà 2 1 EC= = KF nên HF=KF. 2 K là trực tâm của tam giác FAB nên FK ⊥ AB , mà AH ⊥ AB do · · đó AH//KF suy ra KFE = EAH . ∆KEF = ∆HEA suy ra AH = KF Do đó AH = AK = KF = EH và AF ⊥ HK nên tứ giác

0,5

c(2đ)

0,5

0,5 0,5

AHFK là hình thoi.

c) Vì AHFK là hình thoi suy ra HF//AM, mà AM ⊥ BF nên HF ⊥ BF (1) Mặt khác HK là trung trực của AF hay BH là trung trực của AF nên BF=AB=2R (2) Từ (1) và (2) suy ra HF là tiếp tuyến đường tròn (B; 2R) cố định.

0,5 0,5 0,5 0,5

140

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

= (3 +2 2)-1 = (3 + 2 2)

−2

0,25

FF IC IA L

Bài 5 (1đ)

Do 3+2 2 >0, 3 - 2 2 > 0 nên các căn bậc hai có nghĩa Ta thấy : 3+2 2 . 3-2 2 = 1 1 Đặt (3+2 2)n = a ⇒ (3-2 2)n = a Phương trình đã cho tương đương với: 1 a + =6 ⇔ a2- 6a +1=0 có nghiệm a1 = 3-2 2; a2 = 3+2 2 a 1 +Với a1 = 3- 2 2 ⇒ (3+2 2)n = 3 -2 2 = 3+2 2 ⇒ n = -2 (loại )

0,25

+ Với a 2 = 3+2 2 ⇒ (3+2 2)n = 3+2 2 = (3 + 2 2 ) 2 ⇒n=2 Vậy pt có nghiệm nguyên dương n = 2

0,25

ẠY

KÈ

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------

141

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

b. Tính Q khi biết x = 13 − 4 10

Câu 2. (2,0 điểm) Cho hàm số: y = x − 2m − 1 ; với m tham số.

a. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O.

FF IC IA L

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ SỐ: 02 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi HSG Toán 9 –Phòng GD&ĐT Thanh Chương - Năm học 2010 – 2011) ĐỀ BÀI Câu 1. (2,0 điểm) a. Phân tích Q thành nhân tử: Q = x + 5 x − 2 2 x − 2 10

b. Tính theo m tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy.

H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của m để OH =

2 2

b. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Câu 3. (2,5 điểm)

a. Giải phương trình: x − 1 + 2 x − 2 + x + 1 = 5 x − 2

b. Cho a; b là hai số dương thỏa mãn: a 2 + b 2 = 6 . 3(a2 + 6) ≥ (a + b) 2

Chứng minh:

c. Giải phương trình nghiệm nguyên: x 2 + xy − 2008 x − 2009 y − 2010 = 0

Câu 4. (3,5 điểm)

KÈ

Cho đường tròn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc

với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của

ẠY

M trên CD và AB.

· · · · a. Tính sin 2 MBA + sin 2 MAB + sin 2 MCD + sin 2 MDC

b. Chứng minh: OK 2 = AH (2 R − AH )

c. Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.

-----------------------Hết--------------------

142

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Q = x + 5 x − 2 2 x − 2 10 = x

a 1 (2,0đ)

(

x+ 5

)(

x −2 2

)

(

)

x + 5 −2 2

(

FF IC IA L

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 02 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 (Đề thi HSG Toán 9 –Phòng GD&ĐT Thanh Chương - Năm học 2010 – 2011) . Điểm Nội dung cần đạt Câu Ý

)

x+ 5 =

0,5

x = 13 − 4 10 ⇒ x = 8 − 2.2 2. 5 + 5 = (2 2 − 5) 2 = 2 2 − 5

Vậy: Q = ( 2 2 − 5 + 5 )( 2 2 − 5 − 2 2 ) = 2 2.(− 5) = −2 10

y = x − 2m − 1 ; với m tham số

0,25

1 2

−2m − 1 = 0 ⇔ m = −

0,5 0,5

Để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) thì a

0,5

Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B ( 0; −2m − 1)

Ta có: ∆ AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên:

m = 0 1 1 1 1 1 2 = + Hay 2 = 2 + 2 ⇔ 2 = ⇔ 2 2 2 2 OH OA OB x A yB (2m + 1)  m = −1

KÈ

Hoành độ trung điểm I của AB: xI =

Tung độ trung điểm I của AB: yI =

x A + xB 2 m + 1 = 2 2

ẠY

0,5

y A + yB −(2m + 1) = 2 2

Ta có: yI = − xI ⇒ Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là

0,25

đường thẳng y = − x

Điều kiện: x ≥ 2 x −1 + 2 x − 2 + x + 1 = 5 x − 2 ⇔ x − 2 + 2 x − 2 + 1 + x + 1 = 5 x − 2

3 (2,5đ)

0,5

2 (2,0đ)

0,5

A ( 2m + 1;0 )

⇔

(

)

0,2 0,2

x − 2 +1 + x +1− 5 x − 2 = 0 ⇔ x − 2 +1+ x +1− 5 x − 2 = 0

0,3

⇔ x − 2 − 4 x − 2 + 4 = 0 ⇔ ( x − 2 − 2)2 = 0 ⇔ x = 6 > 2

0,3 143

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Vậy nghiệm của pt là: x = 6 Với a; b là hai số dương ta có:

1   1  =  2.a. + b.1 ≤ ( 2a 2 + b 2 )  + 1 (Theo 2 2   

Bunhiacopski)

0,25

⇔ ( a + b) ≤ ( a2 + 6) 2

3 (Vì a 2 + b 2 = 6 ) Hay 2

x 2 + xy − 2008 x − 2009 y − 2010 = 0 ⇔ x 2 + xy + x − 2009 x − 2009 y − 2009 = 1

3(a 2 + 6) ≥ (a + b) 2

0,25 0,5

  x − 2009 = 1   x = 2010     x + y + 1 = 1 ⇔   y = −2010   x − 2009 = −1   x = 2008     x + y + 1 = −1   y = −2010

0,25

⇔ x( x + y + 1) − 2009( x + y + 1) = 1 ⇔ ( x − 2009)( x + y + 1) = 1

0,25

FF IC IA L

( a + b)

0,25

KÈ

4 (3,5đ)

ẠY

Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên: · · · · sin 2 MBA + sin 2 MAB + sin 2 MCD + sin 2 MDC = 2 · 2· 2 · 2· (sin MBA + cos MBA) + (sin MCD + cos MCD) = 1 + 1 = 2 Chứng minh: OK 2 = AH (2 R − AH ) Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH (Vì MK = OH)

0,75

0,5 0,5 0,25 0,25 144

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Mà OH.MH ≤ Vậy P ≤ 4 R 2 .

OH 2 + MH 2 OM 2 R 2 = = (Pitago) 2 2 2

R2 = 2 R 4 . đẳng thức xẩy ra ⇔ MH = OH 2

0,25 0,25

FF IC IA L

R 2 ⇔ OH = 2

ẠY

KÈ

-----------------------Hết--------------------

145

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

FF IC IA L

ĐỀ SỐ: 01

ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm)

1 1   2x + x − 1 2x x + x − x  − +   : x   1− x 1+ x x 1− x 



Cho biểu thức A = 

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x = 17 − 12 2 c) So sánh A với A . Câu 2: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình : 3x + 6x +12 + 5x −10x + 9 = 3− 4x − 2x . 2 2 2 b) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: 2xy + x + y +1 = x + 2 y + xy. Câu 3: (4,0 điểm) 4

a) Cho a, b, c là 3 số nguyên thỏa mãn: a + b + c = 24102017 . Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho 5.

b) Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn điều kiện: a + b + c + d = 0 . Chứng minh rằng: M = ( ab − cd )(bc − da )(ca − bd ) là số hữu tỉ. Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng: ∆ AEF

(

∆ ABC và

S AEF = cos 2 Α. S ABC

)

KÈ

2 2 2 b) Chứng minh rằng : SDEF = 1−cos A−cos B −cos C .SABC

c) Nếu

HA HB HC = + + BC AC AB

3 thì khi đó tam giác ABC là tam giác gì?

ẠY

biểu thức: A =

x 2 + xyz + y 2 + xyz + z 2 + xyz + 9 xyz -----------------------– Hết –------------------------------

146

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Ý

1   2x + x − 1 2x x + x − x   1  1  A= − +   x > 0;x ≠ ;x ≠ 1  0,25  :  1 − x 4 x  1+ x x  1− x 

1 (4 điểm)

FF IC IA L

a 2,0đ

Điểm

Tóm tắt cách giải

(

)

 x 2x + x − 1  x − 1 + x  2x + 2 x − x − 1  : + x 1− x  1− x 1+ x 1+ x 1− x + x     x x +1 2 x −1  2 x −1  x +1 2 x −1  = : +  x x −1 1− x 1+ x 1+ x 1− x + x     1  2 x −1  x = :  2 x − 1  +   x x − 1   1 − x 1 − x + x  

(

)

Ta có

(

)

x −1 1

(

(1 − x )(1 −

) (1 − x )(1 −

x −1

(

x = 17 − 12 2 = 3 − 2 2

(

)

x +x

⇒ x=

)

1 − 3 − 2 2 + 17 − 12 2

)

: 2 x −1 :

(

1− x + x + x 1− x

)

) )

)

) ( )( ) ( )( ) ( )(

(

b 1,0đ

)( )( )(

2 x −1

= =

(

) ( ( ) (

(

Câu

ĐỀ SỐ: 01

3−2 2

)

x +x

)

KÈ ẠY D

⇒A= x+

0.25

0,5

1− x + x x

(3 − 2 2 )

= 3−2 2 = 3−2 2

(

)

0,25 0,5 0,25

15 − 10 2 5 3 − 2 2 = =5 3−2 2 3−2 2

c 1− x + x 1 = x+ −1 1,0đ BiÕn ®æi A = x x Chøng minh ®îc x +

0,5

0,25 0,25

1 1 > 2 víi mäi x > 0;x ≠ ;x ≠ 1 4 x

1 −1 > 1 ⇒ A > 1 ⇒ A −1 > 0 ⇒ A x

(

0,25 0,25

)

A −1 > 0

⇒A− A >0⇒A > A

Ta có: a 2đ

VT = =

3 x 2 + 6 x + 12 + 3( x + 1) 2 + 9 +

5 x 4 − 10 x 2 + 9 5( x 2 − 1) 2 + 4 ≥

4 =5

0,5 147

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = −1 V P = 3 − 4 x − 2 x = 5 − 2( x + 1) ≤ 5 2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = −1

0,5 0,5 0,5

⇒ VT = VP ⇔ x = −1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −1

b 2đ

Ta có:

2xy2 + x + y +1 = x2 + 2y2 + xy

FF IC IA L

2 (4 điểm)

0,25

⇔ 2 y 2 ( x − 1) − x(x − 1) − y (x − 1) + 1 = 0 (1)

Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT (1). Chia cả 2 vế của phương trình cho x – 1, ta được: 2y2 − x − y +

1 =0 x −1

nên x – 1 ∈ {− 1 ;1 } • x – 1 = -1 x=0 • x–1=1 x=2

1 nguyên x −1

PT có nghiệm x, y nguyên, suy ra

(2)

0,25 0,5

0,25 0,25 0,5

1 2 1 2 Thay x = 2 vào PT(2) ta được: 2 y − y − 1 = 0 ⇔ y = 1 ; y = − 2 Vậy phương trình đã cho nghiệm nguyên ( x; y ) ∈ {( 0;1) ; ( 2;1)} .

Ta có a5 - a = a( a4 - 1) = a( a2 - 1)( a2 + 1) = a( a2- 1)( a2 - 4 + 5) = a( a2- 1)( a2 - 4) + 5 a(a2 - 1) =a(a - 1) (a + 1)(a -2) (a +2) + 5 a( a - 1)( a+ 1) Vì a - 2; a - 1; a; a + 1; a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có 1 5 (*) số chia hết cho 5 suy ra (a − 2)(a − 1)a(a + 1)(a + 2)M Mặt khác 5a(a − 1)(a + 1) M5 (**) .

3 (4 điểm)

a 2đ

Thay x = 0 vào PT(2) ta được: 2 y 2 − y − 1 = 0 ⇔ y = 1 ; y = −

Từ (*) và (**) suy ra a − a M5 (1) 5 5 tương tự ta có b − b M5 ( 2 ) ; c − c M5 ( 3 ) 5 5 5 Từ (1) (2) (3) suy ra a − a + b − b + c − c M5 2017 5 5 5 mà a + b + c = 2410 M5 nên a + b + c M5

0,25 0,5 0,25 0,25 0,5

ẠY

KÈ

0,25

b 2đ

Ta có: a + b + c + d = 0 ⇔ ad + bd + cd + d 2 = 0 (vì d ≠ 0)

− ad = d 2 + bd + cd  ⇔ −bd = d 2 + cd + ad −cd = d 2 + ad + bd 

0,5 0,25 0,25

0,25 148

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

M = ( ab − cd )(bc − da)(ca − bd ) = (ab + d 2 + ad + bd )(bc + d 2 + bd + cd )(ca + d 2 + cd + ad )

0,25 0,5

= (a + d )(b + d )(b + d )(c + d )( a + d )(c + d )

[(a + d )(b + d )(c + d )]

= (a + d )(b + d )(c + d )

FF IC IA L

Vì a, b, c, d là các số hữu tỉ nên (a + d )(b + d )(c + d ) là số hữu tỉ. Vậy M = (ab − cd )(bc − da)(ca − bd ) là số hữu tỉ

4 (5điểm)

F H

AE AB AF Tam giác ACF vuông tại F nên cosA = . AC AE AF Suy ra = ⇒ ∆AEF : ∆ABC (c.g .c ) AB AC

a) Tam giác ABE vuông tại E nên cosA =

0,5 0,5 0,5 0,5

S AEF  AE  2 =  = cos A S ABC  AB 

1 1

* Từ ∆AEF : ∆ABC suy ra

ẠY

KÈ

S S b) Tương tự câu a, BDF = cos 2 B, CDE = cos 2 C. S ABC S ABC

0,25

Từ đó suy ra

S DEF S ABC − S AEF − S BDF − SCDE = = 1 − cos 2 A − cos 2 B − cos 2 C S ABC S ABC

Suy ra S DEF = (1 − cos 2 A − cos 2 B − cos 2 C ) .S ABC c)

0,25 Từ

0,25 0,25

HC CE HC.HB CE.HB S HBC = ⇒ = = AC CF AC. AB CF . AB S ABC HB.HA S HAB HA.HC S HAC Tương tự: ; . Do đó: = = AC.BC S ABC AB.BC S ABC HC .HB HB.HA HA.HC S HBC + S HCA + S HAB + + = =1 AC . AB AC .BC AB.BC S ABC ∆AFC : ∆HEC ⇒

• Ta chứng minh được: (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) (*) 149

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Áp dụng (*) ta chứng minh được:

HA HB HC + + ≥ 3 BC AC AB

Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC đều.

FF IC IA L

5 (1 điểm)

0,25

Kẻ EF ⊥ AC tại F, DG ⊥ BC tại G. Theo giả thiết S ADPE = S BPC

⇒ S ACE = S BCD

0,25 0,25 0,25

· · Mà AC = BC ⇒ EF = DG và EAF = DCG = 600 Suy ra ∆AEF = ∆CDG ⇒ AE = CG.

· · Do đó ∆AEC = ∆CDB (c − g − c) ⇒ DBC = ECA · · · · · ⇒ BPE = PBC + PCB = PCD + PCB = 600 x 2 + xyz + xyz = x = x

(

)

x + yz + yz = x

( x + z )( x + y ) + yz

)

(

x( x + y + z ) + yz + yz

)

3 1  x + y + x + z y + z  3 1 +  x +  = x+  2  3  2 2  2  3

0,25 0,25 0,25

≤

(

Áp dụng BĐT côsi ta có

6 (2 điểm)

(Vì x + y + z =1)

Chứng minh tương tự:

3 1 y + xyz + xyz ≤ y+  2  3

0,25 0,5

ẠY

KÈ

z 2 + xyz + xyz ≤

3 1 z+  2  3

0,5

x+ y+z 1 Mà xyz ≤   = 3



Do đó A ≤



3 3

3 6 5 5 3 = = (1 + x + y + z ) + 2 3 3 3 3

Vậy GTLN của A =

5 3 1 khi x = y = z = 3 3

(Lưu ý: Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho số điểm tương đương) ------------------------Hết-------------------

150