35 ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II MÔN TOÁN KHỐI 11, 12 THỜI GIAN 90 PHÚT (ĐỀ GỒM 35 CÂU TN) by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

35 ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II MÔN TOÁN KHỐI 11, 12 (CÓ BẢNG ĐẶC TẢ KĨ THUẬT) THỜI GIAN 90 PHÚT (ĐỀ GỒM 35 CÂU TN) CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

L A

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

I C I

F F

TÀI LIỆU TẬP HUẤN

HƯỚNG DẪN XÂY DỰNG MA TRẬN, ĐẶC TẢ VÀ ĐỀ KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ ĐỊNH KÌ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN PHẨM CHẤT VÀ NĂNG LỰC HỌC SINH

N Ơ

CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Môn:

H N

TOÁN 10 - 11 - 12

Y U Q

DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ CÁN BỘ QUẢN LÝ GIÁO DỤC

M È

Y Ạ D

Hà Nội - 2020

L A

TOÁN KHỐI 11

I C I

CÓ MA TRẬN MINH HỌA

BẢNG ĐẶC TẢ KĨ THUẬT ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ I MÔN: TOÁN LỚP 11 – THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 phút TT

Nội dung kiến thức

1.1.Hàm số lượng giác

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Nhận biết: - Xác định được: Tập xác định, tập giá trị, tính chẵn, lẻ; tính tuần hoàn, chu kì, khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x. - Nhận ra được đồ thị của các hàm số y = sin x, y = cos x, y = tan x và y = cot x. Thông hiểu: - Hiểu khái niệm hàm số lượng giác. - Vẽ được đồ thị các hàm số y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x. Nhận biết: - Biết công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản sin x = m, cos x = m, tan x = m và cot x = m. Thông hiểu: - Giải thành thạo phương trình lượng giác cơ bản.

M È

1.2.Phương trình lượng giác cơ bản

Y Ạ D

F F

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Đơn vị kiến thức

Y U Q

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

H N

N Ơ

Tổng

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

1.3.Một số phương trình lượng giác thường gặp

2.1.Quy tắc đếm

Tổ hợp – Xác suất

Nhận biết: - Biết được dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Thông hiểu: - Giải được phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Vận dụng: - Giải được phương trình a sin x + b cos x = c. - Giải được phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x. Nhận biết: - Biết được quy tắc cộng và quy tắc nhân. Thông hiểu: - Hiểu được quy tắc cộng và quy tắc nhân. Vận dụng cao: - Vận dụng linh hoạt quy tắc cộng và quy tắc nhân. Nhận biết: - Biết được hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và các công thức, tính chất của hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Thông hiểu: - Tính được số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử.. Vận dụng cao: - Vận dụng linh hoạt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

M È

2.2.Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Y Ạ D

L A

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Y U Q

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

I C I

H N

N Ơ

F F

Tổng

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

3.1.Phép biến hình, phép tịnh tiến

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

3.2.Phép đối xứng trục

Nhận biết: - Nhớ định nghĩa phép biến hình. - Nhớ định nghĩa và các tính chất của phép tịnh tiến. - Nhận ra biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Thông hiểu: - Xác định được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác,... qua phép tịnh tiến. Vận dụng: - Viết được phương trình ảnh của đường thẳng hoặc đường tròn qua phép tịnh tiến. Nhận biết: - Nhớ được định nghĩa và các tính chất phép đối xứng trục. - Nhận ra biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua mỗi trục tọa độ. - Nhận ra trục đối xứng của một hình, hình có trục đối xứng trong các trường hợp đơn giản. Thông hiểu: - Xác định được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác,... qua phép đối xứng trục. Vận dụng: - Viết được phương trình ảnh của đường thẳng hoặc đường tròn qua phép đối xứng trục.

M È

Y Ạ D

L A

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Y U Q

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

I C I

N Ơ

F F

H N

Tổng

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

3.3.Phép đối xứng tâm

3.4.Phép quay, khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

Nhận biết: - Nhớ được định nghĩa và các tính chất phép đối xứng tâm. - Nhận ra biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ. - Nhận ra tâm đối xứng của một hình, hình có tâm đối xứng trong các trường hợp đơn giản. Thông hiểu: - Xác định được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác,... qua phép đối xứng tâm. Vận dụng: - Viết được phương trình ảnh của đường thẳng hoặc đường tròn qua phép đối xứng tâm. Nhận biết: - Biết được định nghĩa và các tính chất của phép quay. - Biết được khái niệm về phép dời hình và các tính chất của nó. Thông hiểu: - Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng một tam giác,... qua phép quay. Nhận biết: - Nhớ được định nghĩa, các tính chất phép vị tự và phép đồng dạng. Thông hiểu: - Xác định được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác,... qua phép vị tự.

M È

3.5.Phép vị tự, phép đồng dạng.

Y Ạ D Tổng

Lưu ý:

L A

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Y U Q

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

I C I

N Ơ

F F

O 1

Tổng

H N

L A

- Với câu hỏi ở mức độ nhận biết và thông hiểu thì mỗi câu hỏi cần được ra ở một chỉ báo của mức độ kiến thức, kỹ năng cần kiểm tra, đánh giá tương ứng (1 gạch đầu dòng thuộc mức độ đó). - (1* ): Giáo viên có thể ra 1 câu hỏi cho đề kiểm tra ở cấp độ vận dụng ở đơn vị kiến thức: 3.1 hoặc 3.2 hoặc 3.3

F F

BẢNG ĐẶC TẢ KĨ THUẬT ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ I MÔN: TOÁN LỚP 11 – THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT TT

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

M È

Nhận biết: - Xác định được: Tập xác định; tập giá trị; tính chẵn, lẻ; tính tuần hoàn; chu kì; khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x. - Nhận ra được đồ thị của các hàm số y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x. - Biết công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản sin x = m, cos x = m, tan x = m và cot x = m. - Biêt dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác Thông hiểu: - Hiểu khái niệm hàm số lượng giác. - Vẽ được đồ thị các hàm số y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x. - Giải thành thạo phương trình lượng giác cơ bản. - Giải được phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đơn giản đối với một hàm số lượng giác. Vận dụng:

Y U Q

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

N Ơ

1.1. Hàm số lượng giác; Phương trình Hàm số lượng giác lượng giác cơ bản; và phương trình Một số phương trình lượng giác lượng giác thường gặp.

Y Ạ D

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

I C I

H N

Tổng

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

- Biết sử dụng máy bỏ túi để tìm nghiệm gần đúng của phương trình lượng giác cơ bản. - Giải được phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. - Giải được phương trình a sin x + b cos x = c. - Giải được phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x. Nhận biết: - Biết được quy tắc cộng và quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Thông hiểu: - Tính được số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử trong các bài toán đơn giản. Vận dụng cao: - Tính được số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử, kết hợp linh hoạt qui tắc cộng, qui tắc nhân. Thông hiểu: - Biết khai triển nhị thức Niu - tơn với một số mũ cụ thể. - Tìm được hệ số của x k trong khai triển

I C I

F F

N Ơ

2.1. Quy tắc đếm; Hoán vị; Chỉnh hợp; Tổ hợp. 2

Tổ hợp - Xác suất

M È

2.2. Nhị thức Niu tơn

Y Ạ D

Y U Q

nhị thức

( ax + b )

H N

đơn giản

Vận dụng cao: - Tìm được hệ số của x k trong khai triển nhị thức Niu-tơn thành đa thức.

Tổng

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

I C I

Nhận biết: - Phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố liên quan đến phép thử ngẫu nhiên, biến cố hợp, biến cố giao, biến cố đối, biến cố xung khắc, hai biến cố độc lập, định nghĩa xác suất cổ điển. - Biết được các tính chất: P ( ∅ ) = 0; P ( Ω ) = 1;0 ≤ P ( A ) ≤ 1. 2.3. Phép thử và biến cố; Xác suất của biến cố

Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

M È

3.1. Phương pháp quy nạp; Dãy số

Y Ạ D

F F

N Ơ

- Biết định lí cộng xác suất và định lí nhân xác suất. Thông hiểu: - Xác định được không gian mẫu, biến cố liên quan đến phép thử ngẫu nhiên, tính được xác suất của biến cố trong các tình huống đơn giản. Vận dụng: - Xác định được không gian mẫu, biến cố liên quan đến phép thử ngẫu nhiên và tính được xác suất của biến cố. - Biết dùng máy tính bỏ túi hỗ trợ tính xác suất Nhận biết: - Biết được định nghĩa dãy số, cách cho dãy số, dãy số hữu hạn, vô hạn. - Biết tính tăng, giảm, bị chặn của một dãy số. Thông hiểu: - Chứng minh được tính tăng, giảm, bị chặn của một dãy số đơn giản. - Hiểu được phương pháp quy nạp toán học. Vận dụng: - Chứng minh được tính tăng, giảm, bị

Y U Q

H N

Tổng

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

I C I

chặn của một dãy số. - Biết cách sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh một số mệnh đề.

3.2. Cấp số cộng

3.3. Cấp số nhân

M È

Y Ạ D

Nhận biết: - Biết được định nghĩa, tính chất cấp số cộng, số hạng tổng quát un , tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Vận dụng: - Tìm được các yếu tố còn lại khi cho biết 3 trong 5 yếu tố u1 , un , n, d , S n . Nhận biết: - Biết được khái niệm cấp số nhân, tính chất uk2 = uk −1.uk +1 với k ≥ 2, số hạng tổng quát un , tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Thông hiểu: - Tìm được các yếu tố còn lại khi cho biết 3 trong 5 yếu tố u1 , un , n, q, S n trong các tình huống đơn giản.

F F

N Ơ

Y U Q

H N

Tổng

Nội dung kiến thức

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Đơn vị kiến thức

4.1. Phép biến hình, phép tịnh tiến; Phép đối xứng trục; Phép đối xứng tâm; Phép quay, khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau; Phép vị tự, phép đồng dạng.

M È

Y Ạ D

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

Nhận biết: - Nhớ định nghĩa phép biến hình. - Nhớ định nghĩa và các tính chất của phép tịnh tiến. - Nhận ra biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. - Nhớ được định nghĩa và các tính chất phép đối xứng trục. - Nhận ra biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua mỗi trục tọa độ. - Nhận ra trục đối xứng của một hình, hình có trục đối xứng trong các trường hợp đơn giản. - Nhớ được định nghĩa và các tính chất phép đối xứng tâm. - Nhận ra biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ. - Nhận ra tâm đối xứng của một hình, hình có tâm đối xứng trong các trường hợp đơn giản. - Biết được định nghĩa và các tính chất của phép quay. - Biết được khái niệm về phép dời hình và các tính chất của nó. - Nhớ được định nghĩa, các tính chất phép vị tự và phép đồng dạng. Thông hiểu: - Xác định được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác,... qua phép tịnh tiến, qua phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm. - Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng một tam giác,... qua phép

I C I

F F

N Ơ

Y U Q

H N

Tổng

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

I C I

quay. - Xác định được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác,... qua phép vị tự.

F F

N Ơ

Nhận biết: - Biết được các tính chất được thừa nhận

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

5.1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Y Ạ D

M È

H N

+/ Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước +/ Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó +/ Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng +/ Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một điểm chung khác +/ Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

Y U Q

- Biết được cách xác định mặt phẳng (qua ba điểm không thẳng hàng; qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó; qua hai đường thẳng cắt nhau).

1**

Tổng

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

- Biết được khái niệm hình chóp, hình tứ diện. - Xác định được đỉnh, cạnh bên, cạnh đáy, mặt bên, mặt đáy của hình chóp. Thông hiểu: Xác định được giao tuyến của hai mặt phẳng; giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong các bài toán đơn giản. Biết sử dụng giao tuyến của hai mặt phẳng để nhận ra ba điểm thẳng hàng trong không gian trong các bài toán đơn giản - Vẽ được hình biểu diễn của một số hình không gian thường gặp. Vận dụng: - Xác định được giao tuyến của hai mặt phẳng; giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. - Biết sử dụng giao tuyến của hai mặt phẳng để chứng minh ba điểm thẳng hàng trong không gian. Nhận biết: - Biết khái niệm hai đường thẳng trùng nhau, song song, cắt nhau, chéo nhau trong không gian. - Biết (không chứng minh) định lý: “Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai dường thẳng song song mà cắt nhau thì giao tuyến của chúng song song (hoặc trùng) với một trong hai đường đó”. Thông hiểu: - Xác định được vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong tình huống đơn giản.

I C I

F F

N Ơ

M È

5.2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Y Ạ D

Y U Q

H N

1**

Tổng

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

- Biết cách chứng minh hai đường thẳng song song trong tình huống đơn giản. - Biết áp dụng định lý trên để xác định giao tuyến hai mặt phẳng trong một số trường hợp đơn giản. Vận dụng: - Xác định được vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. - Biết cách chứng minh hai đường thẳng song song. - Biết áp dụng định lý trên để xác định giao tuyến hai mặt phẳng. Nhận biết: - Biết khái niệm và điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng. - Biết (không chính minh) định lý: “Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng ( P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a và cắt ( P) thì cắt theo giao tuyến song song với a ”. Thông hiểu: - Xác định được vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng. - Biết cách vẽ hình biểu diễn một đường thẳng song song với một mặt phẳng; chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng. - Biết dựa vào các định lý trên để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng trong một số trường hợp đơn giản. Vận dụng: - Xác định được vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng. - Chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng.

I C I

F F

N Ơ

5.3. Đường thẳng và mặt phẳng song song

M È

Y Ạ D

Y U Q

H N

1**

Tổng

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Tổng

Nhận biết: - Biết khái niệm và các tính chất của hai mặt phẳng song song. - Biết khái niệm và các tính chất của hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp cụt. - Nhận ra được hình biểu diễn của hình hộp, hình lăng trụ, hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác. - Nhận ra được hình biểu diễn của hình hộp cụt với đáy là tam giác, tứ giác. Thông hiểu: - Chỉ ra được hai mặt phẳng song song trong các trường hợp đơn giản. - Hiểu được Định lý Ta-let trong không gian.

F F

N Ơ

Y U Q

Tổng

I C I

- Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng. - Xác định được thiết diện của mặt phẳng và hình chóp.

5.4. Hai mặt phẳng song song

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

H N

Lưu ý: - Với câu hỏi ở mức độ nhận biết và thông hiểu thì mỗi câu hỏi cần được ra ở một chỉ báo của mức độ kiến thức, kỹ năng cần kiểm tra, đánh giá tương ứng (1 gạch đầu dòng thuộc mức độ đó). - (1* ): Giáo viên có thể ra 1 câu hỏi cho đề kiểm tra ở cấp độ vận dụng ở đơn vị kiến thức: 1.1 hoặc 2.3 hoặc 3.1 hoặc 3.2. - (1**): Giáo viên có thể ra 1 câu hỏi cho đề kiểm tra ở cấp độ vận dụng ở đơn vị kiến thức: 5.1 hoặc 5.2 hoặc 5.3.

M È

BẢNG ĐẶC TẢ KĨ THUẬT ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ II MÔN: TOÁN LỚP 11 – THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

Y Ạ D

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

Tổng

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

L A

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

I C I

Nhận biết: - Nhớ được khái niệm giới hạn của dãy số và một số giới hạn đặc biệt. - Nhớ một số định lí về giới hạn của dãy số (SGK). - Nhớ được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. - Nhớ được định nghĩa dãy số dần tới vô cực. - Biết (không chứng minh) + Nếu lim un = L thì lim un = L. + Nếu lim un = L, un ≥ 0 với mọi n 1

Giới hạn

1.1.Giới hạn của dãy số

+ Định lí về: lim ( un ± vn ) ;

M È

Y Ạ D

un . vn

Y U Q

N Ơ

H N

thì L ≥ 0 và lim un = L .

lim ( un .vn ) ; lim

F F

Thông hiểu: - Tìm được một số giới hạn đơn giản. - Tìm được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. Vận dụng: - Vận dụng các khái niệm các khái niệm giới hạn, các định lí, các giới 1 1 hạn lim = 0; lim = 0; n n lim q n = 0 với q < 1.

O 3

Tổng

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

1.2.Giới hạn của hàm số

M È

1.3.Hàm số liên tục

Y Ạ D

L A

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá Nhận biết: - Nhớ được định nghĩa; một số định lí về giới hạn của hàm số; quy tắc về giới hạn vô cực; mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số (giới hạn một bên, các giới hạn vô định) trong sách giáo khoa cơ bản hiện hành. Thông hiểu: Trong một số trường hợp đơn giản, tính được: - Giới hạn của hàm số tại một điểm. - Giới hạn một bên. - Giới hạn của hàm số tại ±∞. 0 ∞ - Một số giới hạn dạng ; ; ∞ − ∞. 0 ∞ Vận dụng cao: - Vận dụng các định nghĩa, các định lí, các quy tắc về giới hạn vô cực, các 0 ∞ giới hạn dạng ; ; ∞ − ∞ vào 0 ∞ tình huống cụ thể. Nhận biết: - Nhớ được định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm; định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng; Một số định lí về hàm số liên tục trong sách giáo khoa cơ bản hiện hành. Thông hiểu: - Xét tính liên tục tại một điểm của hàm số đơn giản. - Chứng minh một phương trình có nghiệm dựa vào định lí giá trị trung gian trong các tình huống đơn giản.

Y U Q

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

I C I

F F

N Ơ

H N

Tổng

Nội dung kiến thức

Đường thẳng và 2

mặt phẳng song song. Quan hệ

Đơn vị kiến thức

L A

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

I C I

Vận dụng cao: - Vận dụng được các định nghĩa hàm số liên tục, các định lí về hàm số liên tục. Nhận biết: - Nhớ được khái niệm phép chiếu 2.1.Phép chiếu song song song; khái niệm hình biểu diễn song. Hình biểu diễn của của một hình không gian. một hình không gian.

N Ơ

song song.

Vectơ trong không gian. 3

Quan hệ vuông

3.1.Vectơ trong không gian

M È

góc trong không gian.

Y Ạ D

3.2.Hai đường thẳng vuông góc

Nhận biết: - Nhớ được định nghĩa, các phép toán của vectơ trong không gian. - Nhớ được quy tắc hình hộp để cộng vectơ trong không gian; định nghĩa và điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian. Thông hiểu: - Thực hiện được phép cộng, trừ vectơ, nhân vectơ, sự bằng nhau của hai vectơ trong không gian để giải bài tập đơn giản. - Biết cách xét sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ trong không gian. Vận dụng: - Vận dụng được các khái niệm về vectơ trong không gian, các phép toán của vectơ, sự bằng nhau của hai vectơ trong không gian vào tình huống cụ thể. Nhận biết: - Nhớ được định nghĩa góc giữa hai

Y U Q

F F

H N

Tổng

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

M È

Y Ạ D Tổng

Lưu ý:

L A

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá vectơ trong không gian. - Nhớ được định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng. - Nhớ được định nghĩa góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông góc. - Nhớ được điều kiện vuông góc giữa hai đường thẳng. Thông hiểu: - Hiểu được tích vô hướng của hai vectơ. - Xác định được vectơ chỉ phương của đường thẳng; góc giữa hai đường thẳng trong các bài toán đơn giản. - Xác định được góc giữa hai vectơ trong không gian trong các bài toán đơn giản. - Chứng minh được hai đường thẳng vuông góc với nhau trong các bài toán đơn giản. Vận dụng: - Vận dụng được tích vô hướng của hai vectơ. - Xác định được vectơ chỉ phương của đường thẳng; góc giữa hai đường thẳng. - Xác định được góc giữa hai vectơ trong không gian. - Chứng minh được hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Y U Q

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

I C I

Tổng

F F

N Ơ

H N

L A

I C I

BẢNG ĐẶC TẢ KĨ THUẬT ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ II MÔN: TOÁN LỚP 11 – THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT Nội dung kiến TT thức

F F

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Đơn vị kiến thức

Nhận biết: - Biết khái niệm giới hạn của dãy số, một số giới hạn đặc biệt. - Nhớ được một số định lí về giới hạn của dãy số. - Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. - Nhớ được định nghĩa dãy số dần tới vô cực. - Biết (không chứng minh) + Nếu lim un = L thì lim un = L.

Y U Q

N Ơ

H N

+ Nếu lim un = L, un ≥ 0 với mọi n thì

Giới hạn

1.1. Giới hạn của dãy số; Giới hạn của hàm số; Hàm số liên tục.

L ≥ 0 và lim un = L .

+ Định lí về: lim ( un ± vn ) ; lim ( un .vn ) ; un . vn - Nhớ được định nghĩa; một số định lí về giới hạn của hàm số; quy tắc về giới hạn vô cực; mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số (giới hạn một bên, các giới hạn vô định) trong sách giáo khoa cơ bản hiện hành. - Biết định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm; định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng; Một số định lí về hàm số liên tục trong sách giáo khoa cơ bản hiện hành. lim

M È

Y Ạ D

Tổng

Nội dung kiến TT thức

Đơn vị kiến thức

Thông hiểu: - Tìm được một số giới hạn đơn giản. - Tìm được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. Trong một số trường hợp đơn giản, tính được: Giới hạn của hàm số tại một điểm; Giới hạn một bên; Giới hạn của hàm số tại 0 ∞ ±∞; Một số giới hạn dạng ; ; ∞ − ∞. 0 ∞ - Xét tính liên tục tại một điểm của hàm số đơn giản. - Chứng minh một phương trình có nghiệm dựa vào định lí giá trị trung gian trong các các tình huống đơn giản. Vận dụng: - Vận dụng các khái niệm các khái niệm giới hạn, các định lí, các giới hạn 1 1 lim = 0; lim = 0; lim q n = 0 với n n q < 1. - Chứng minh một phương trình có nghiệm dựa vào định lí giá trị trung gian. Vận dụng cao: - Vận dụng các định nghĩa, các định lí, các quy tắc về giới hạn vô cực, các giới hạn 0 ∞ dạng ; ; ∞ − ∞ để tính giới hạn. 0 ∞ - Chứng minh được một phương trình có nghiệm dựa vào định lí về hàm số liên tục.

M È

Y Ạ D

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Y U Q

I C I

F F

H N

N Ơ

Tổng

Nội dung kiến TT thức

Đơn vị kiến thức

2.1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Đạo hàm

Nhận biết: - Biết định nghĩa đạo hàm (tại một điểm, trên một khoảng). - Biết ý nghĩa vật lí và hình học của đạo hàm. Thông hiểu: - Tính được đạo hàm của hàm lũy thừa, hàm đa thức bậc hai, bậc ba theo định nghĩa. - Hiểu được ý nghĩa vật lí và hình học của đạo hàm. Vận dụng: - Lập được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đa thức tại một điểm thuộc đồ thị đó. - Biết tìm vận tốc tức thời của một chuyển động có phương trình S = f ( t ) . Vận dụng cao: - Lập được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị đó. Nhận biết: - Nhớ được đạo hàm của các hàm số y = xn ; y = x. - Biết quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích thương các hàm số; hàm hợp và đạo hàm của hàm hợp. Thông hiểu: - Tính được đạo hàm của số đơn giản. Vận dụng: - Vận dụng được quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích thương các hàm số; hàm hợp và đạo hàm của hàm hợp để tính đạo hàm của hàm số.

M È

2.2. Quy tắc tính đạo hàm

Y Ạ D

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Y U Q

I C I

F F

N Ơ 1

O 1

H N

Tổng

Nội dung kiến TT thức

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Đơn vị kiến thức

I C I

Nhận biết:

sin x = 1. x →0 x - Biết được đạo hàm của hàm số lượng giác. Thông hiểu: sin x - Biết vận dụng lim = 1 trong một số x →0 x 0 giới hạn dạng đơn giản. 0 - Tính được đạo hàm của một số hàm số lượng giác đơn giản. Vận dụng: - Tính được đạo hàm của một số hàm số lượng giác. Thông hiểu: - Hiểu được định nghĩa, cách tính, ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm cấp hai. - Tính được đạo hàm cấp hai của một hàm số. - Tính được gia tốc tức thời của một chuyển động có phương trình s = f ( t ) . - Biết được lim

2.3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

2.4. Đạo hàm cấp hai

Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian.

3.1. Vectơ trong không gian

Y Ạ D

M È

Y U Q

N Ơ

O 3

H N

Nhận biết: - Nhớ được định nghĩa, các phép toán của vectơ trong không gian. - Biết được quy tắc hình hộp để cộng vectơ trong không gian. Định nghĩa và điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian. Vận dụng:

F F

1**

Tổng

Nội dung kiến TT thức

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Đơn vị kiến thức

I C I

- Vận dụng được: phép cộng, trừ; nhân vectơ với một số, tích vô hướng của hai vectơ; sự bằng nhau của hai vectơ trong không gian. - Xét sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ trong không gian.

F F

Nhận biết:

Biết được: -Nhớ được định nghĩa góc giữa hai vectơ trong không gian. - Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng. - Khái niệm góc giữa hai đường thẳng. - Khái niệm và điều kiện hai đường thẳng vuông góc với nhau.

3.2. Hai đường thẳng vuông góc

M È

Y Ạ D

H N

- Nhớ được điều kiện vuông góc giữa hai đường thẳng. Thông hiểu: - Hiểu được tích vô hướng của hai vectơ. - Xác định được vectơ chỉ phương của đường thẳng; góc giữa hai đường thẳng trong các bài toán đơn giản. - Xác định được góc giữa hai vectơ trong không gian trong các bài toán đơn giản. - Chứng minh được hai đường thẳng vuông góc với nhau trong các bài toán đơn giản. Vận dụng: - Vận dụng được tích vô hướng của hai vectơ. - Xác định được vectơ chỉ phương của đường thẳng; góc giữa hai đường thẳng.

Y U Q

N Ơ

1**

Tổng

Nội dung kiến TT thức

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Đơn vị kiến thức

I C I

- Xác định được góc giữa hai vectơ trong không gian. - Chứng minh được hai đường thẳng vuông góc với nhau.

3.3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nhận biết: - Biết được định nghĩa và điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. - Biết được khái niệm phép chiếu vuông góc. - Biết được khái niệm mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng. Thông hiểu: - Biết cách chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng trong một số bài toán đơn giản. Vận dụng: - Xác định được hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng, một tam giác. - Bước đầu vận dụng được định lý ba đường vuông góc. - Xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. - Biết xét mối liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

M È

Y Ạ D

Y U Q

F F

H N

N Ơ 1

O 2

1**

Tổng

Nội dung kiến TT thức

Đơn vị kiến thức

3.4. Hai mặt phẳng vuông góc

Y Ạ D

I C I

Nhận biết: - Biết được định nghĩa góc giữa hai đường mặt phẳng. - Biết được định nghĩa và điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc. - Biết được định nghĩa và tính chất của hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương. - Biết được định nghĩa và tính chất của hình chóp đều và hình chóp cụt đều. Thông hiểu: - Xác định được góc giữa hai mặt phẳng trong một số bài toán đơn giản. - Biết chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong một số bài toán đơn giản. Vận dụng: - Xác định được góc giữa hai mặt phẳng. - Biết chứng minh hai mặt phẳng vuông góc. - Vận dụng được tính chất của lăng trụ đứng, hình hộp, hình chóp đều, chóp cụt đều để giải một số bài tập.

N Ơ

Nhận biết: - Biết định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. - Biết định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. - Biết định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. - Biết định nghĩa khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. - Biết định nghĩa khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Thông hiểu: Trong các bài toán đơn giản:

M È

3.5. Khoảng cách

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Y U Q

F F

O 1

1**

H N

Tổng

Nội dung kiến TT thức

Đơn vị kiến thức

- Xác định được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. - Xác định được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. - Xác định được khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. - Xác định được khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. - Xác định được đường vuông góc của hai đường thẳng chéo nhau. Xác định được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Vận dụng: - Xác định được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. - Xác định được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. - Xác định được khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. - Xác định được khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. - Xác định được đường vuông góc của hai đường thẳng chéo nhau. Xác định được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Tổng

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng cao

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

M È

Y U Q

I C I

Tổng

F F

N Ơ

H N

Lưu ý: - Với câu hỏi ở mức độ nhận biết và thông hiểu thì mỗi câu hỏi cần được ra ở một chỉ báo của mức độ kiến thức, kỹ năng cần kiểm tra, đánh giá tương ứng (1 gạch đầu dòng thuộc mức độ đó). - (1* ): Giáo viên có thể ra 1 câu hỏi cho đề kiểm tra ở cấp độ vận dụng ở đơn vị kiến thức: 1.1 hoặc 2.1 hoặc 2.2 hoặc 2.3. - (1**): Giáo viên có thể ra 1 câu hỏi cho đề kiểm tra ở cấp độ vận dụng ở đơn vị kiến thức: 3.1 hoặc 3.2 hoặc 3.3 hoặc 3.4 hoặc 3.5.

Y Ạ D

L A

TOÁN KHỐI 12

I C I

CÓ MA TRẬN MINH HỌA

BẢNG ĐẶC TẢ KĨ THUẬT ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ I MÔN: Toán 12 – THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 phút TT 1

Nội dung Đơn vị kiến thức kiến thức Ứng dụng 1.1. Sự đồng biến, nghịch đạo hàm để biến của hàm số khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá * Nhận biết: - Biết tính đơn điệu của hàm số. - Biết mối liên hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó. * Thông hiểu: - Hiểu tính đơn điệu của hàm số; mối liên hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó. - Xác định được tính đơn điệu của một hàm số trong một số tình huống cụ thể, đơn giản. * Vận dụng: - Xác định được tính đơn điệu của một hàm số. - Vận dụng được tính đơn điệu của hàm số trong giải toán. * Vận dụng cao: - Vận dụng được tính đơn điệu của hàm số trong giải toán. - Giải được một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu. * Nhận biết: - Biết các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số. - Biết các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số. * Thông hiểu: - Xác định được các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số. - Xác định được điểm cực trị và cực trị của hàm

M È

1.2. Cực trị của hàm số

Y Ạ D

N Ơ

Y U Q

F F

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức

NB 3

TH 2

VD 1

VDC 1

Tổng 7*

H N

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá số trong một số tình huống cụ thể, đơn giản. * Vận dụng: - Tìm được điểm cực trị và cực trị hàm số không phức tạp. - Xác định được điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm xo, …

* Vận dụng cao: - Tìm được điểm cực trị và cực trị hàm số. - Xác định được điều kiện để hàm số có cực trị.

N Ơ

- Giải được một số bài toán liên quan đến cực trị.

1.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

* Nhận biết: - Biết các khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp.

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức

Tổng

VDC

I C I

F F

O 2

7**

H N

* Thông hiểu: - Tính được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng trong các tình huống đơn giản.

Y U Q

* Vận dụng: - Tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập cho trước. - Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vào giải một số bài toán thực tế đơn giản.

* Vận dụng cao: - Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vào giải quyết một số bài toán liên quan: tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm, một số tình huống thực tế … * Nhận biết: - Biết các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị). - Nhớ được dạng đồ thị của các hàm số bậc ba, bậc bốn

M È

1.4. Bảng biến thiên và đồ thị của hàm số

Y Ạ D

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá trùng phương, bậc nhất / bậc nhất. * Thông hiểu: - Hiểu cách khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương, bậc nhất / bậc nhất. - Xác định được dạng được đồ thị của các hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương, bậc nhất / bậc nhất. - Hiểu các thông số, kí hiệu trong bảng biến thiên. * Vận dụng: - Ứng dụng được bảng biến thiên, đồ thị của hàm số vào các bài toán liên quan: Sử dụng đồ thị/bảng biến thiên của hàm số để biện luận số nghiệm của một phương trình; Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số. * Vận dụng cao: - Vận dụng, liên kết kiến thức về bảng biến thiên, đồ thị của hàm số với các đơn vị kiến thức khác vào giải quyết một

N Ơ

Y U Q

số bài toán liên quan.

1.5. Đường tiệm cận

H N

* Nhận biết: - Biết các khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức

Tổng

VDC

I C I

F F

O 3

ngang của đồ thị hàm số.

* Thông hiểu: - Tìm được đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của

M È

đồ thị hàm số.

Khối đa diện

2.1. Khái niệm về khối đa diện. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Y Ạ D

* Nhận biết: - Biết khái niệm khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt, khối đa diện. - Biết khái niệm khối đa diện đều. - Biết 3 loại khối đa diện đều : tứ diện đều, lập phương, bát diện đều. * Thông hiểu: - Hiểu khái niệm khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt, khối đa diện.

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

2.2. Thể tích khối đa diện

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá - Hiểu khái niệm khối đa diện đều. - Hiểu 3 loại khối đa diện đều : tứ diện đều, lập phương, bát diện đều. * Nhận biết: - Biết khái niệm về thể tích khối đa diện. - Biết các công thức tính thể tích các khối lăng trụ và khối chóp. * Thông hiểu: - Tính được thể tích của khối lăng trụ và khối chóp khi cho

N Ơ

chiều cao và diện tích đáy.

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức

Tổng

VDC

F F

I C I 1

* Vận dụng: - Tính được thể tích của khối lăng trụ và khối chóp khi xác định được chiều cao và diện tích đáy.

Tổng

H N

Lưu ý: Với câu hỏi ở mức độ nhận biết và thông hiểu thì mỗi câu hỏi cần được ra ở một chỉ báo của mức độ kiến thức, kỹ năng cần kiểm tra, đánh giá tương ứng (1 gạch đầu dòng thuộc mức độ đó). BẢNG ĐẶC TẢ KĨ THUẬT ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ I MÔN: TOÁN 12 – THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

Y Ạ D

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

M È

Y U Q

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức

Nhận biết

Vận Thông Vận dụng hiểu dụng cao

Tổng

Nội dung kiến thức

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức

Đơn vị kiến thức

Ứng dụng 1.1. Sự đồng biến, đạo hàm để nghịch biến của hàm khảo sát và số vẽ đồ thị của hàm số

1.2. Cực trị của hàm số

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

* Nhận biết: - Biết tính đơn điệu của hàm số. - Biết mối liên hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó. * Thông hiểu: - Hiểu tính đơn điệu của hàm số; mối liên hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó. - Xác định được tính đơn điệu của một hàm số trong một số tình huống cụ thể, đơn giản. * Vận dụng: - Xác định được tính đơn điệu của một hàm số. - Vận dụng được tính đơn điệu của hàm số trong giải toán. * Vận dụng cao: - Vận dụng được tính đơn điệu của hàm số trong giải toán. - Giải được một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu. * Nhận biết: - Biết các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số. - Biết các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số. * Thông hiểu: - Xác định được các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số. - Xác định được điểm cực trị và cực trị của hàm số trong một số tình huống cụ thể, đơn giản. * Vận dụng: - Tìm được điểm cực trị và cực trị hàm số không phức tạp.

M È

Y Ạ D

Nhận biết

N Ơ

Y U Q

I C I

Vận Thông Vận dụng hiểu dụng cao 1 1

F F

H N

Tổng

Nội dung kiến thức

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức

Đơn vị kiến thức

1.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

- Xác định được điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm xo, … * Vận dụng cao: - Tìm được điểm cực trị và cực trị hàm số. - Xác định được điều kiện để hàm số có cực trị. - Giải được một số bài toán liên quan đến cực trị. * Nhận biết: - Biết các khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp. * Thông hiểu: - Tính được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng trong các tình huống đơn giản. * Vận dụng: - Tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập cho trước. - Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vào giải một số bài toán thực tế đơn giản. * Vận dụng cao: - Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vào giải quyết một số bài toán liên quan: tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm, một số tình huống thực tế … * Nhận biết: - Biết các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị). - Nhớ được dạng đồ thị của các hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương, bậc nhất / bậc nhất.

M È

1.4. Bảng biến thiên và đồ thị của hàm số

Y Ạ D

Nhận biết

N Ơ

Y U Q

I C I

Vận Thông Vận dụng hiểu dụng cao

F F

H N

Tổng

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

1.5. Đường tiệm cận

Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

M È

2.1. Lũy thừa. Hàm số lũy thừa

Y Ạ D

Nhận biết

* Thông hiểu: - Hiểu cách khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương, bậc nhất / bậc nhất. - Xác định được dạng được đồ thị của các hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương, bậc nhất / bậc nhất. - Hiểu các thông số, kí hiệu trong bảng biến thiên. * Vận dụng: - Ứng dụng được bảng biến thiên, đồ thị của hàm số vào các bài toán liên quan: Sử dụng đồ thị/bảng biến thiên của hàm số để biện luận số nghiệm của một phương trình; Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số. * Vận dụng cao: - Vận dụng, liên kết kiến thức về bảng biến thiên, đồ thị của hàm số với các đơn vị kiến thức khác vào giải quyết một số bài toán liên quan. * Nhận biết: - Biết các khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. * Thông hiểu: - Tìm được đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. * Nhận biết: - Biết các khái niệm và tính chất lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực; lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số mũ thực của một số thực dương. - Biết khái niệm, tính chất, công thức tính đạo hàm, dạng đồ thị của hàm số lũy thừa.

N Ơ

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức

Y U Q

I C I

Vận Thông Vận dụng hiểu dụng cao

Tổng

F F

H N

Nội dung kiến thức

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức

Đơn vị kiến thức

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Nhận biết

F F

* Thông hiểu: - Tính được giá trị các biểu thức lũy thừa đơn giản.

- Thực hiện được các phép biến đổi đơn giản: đơn giản biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa lũy thừa. - Tính được đạo hàm của các hàm số lũy thừa. - Vẽ được đồ thị các hàm số lũy thừa. 2.2. Lôgarit. Hàm số * Nhận biết: mũ. Hàm số lôgarit - Biết các khái niệm và tính chất của lôgarit. - Biết khái niệm, tính chất, công thức tính đạo hàm, dạng đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit. * Thông hiểu: - Tính được giá trị các biểu thức đơn giản. - Thực hiện được các phép biến đổi đơn giản. - Tính được đạo hàm của các hàm số mũ và hàm số lôgarit. - Vẽ được đồ thị các hàm số mũ, hàm số lôgarit. * Vận dụng: - Áp dụng được tính chất của lôgarit, hàm số mũ, hàm số lôgarit vào các bài toán liên quan: tính giá trị biểu thức, so sánh giá trị biểu thức, bài toán có mô hình thực tế (“lãi kép”, “tăng trưởng”, …), ... * Vận dụng cao: - Vận dụng được tính chất của lôgarit, hàm số mũ, hàm số lôgarit vào giải quyết các bài toán liên quan. 2.3. Phương trình mũ * Nhận biết: và phương trình - Biết công thức nghiệm của phương trình mũ, lôgarit cơ bản. lôgarit * Thông hiểu:

N Ơ

M È

Y Ạ D

Y U Q

I C I

Vận Thông Vận dụng hiểu dụng cao

H N

Tổng

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

Khối đa diện

Nhận biết

- Tìm được tập nghiệm của một số phương trình mũ, lôgarit đơn giản. * Vận dụng: - Giải được các phương trình mũ và lôgarit bằng cách sử dụng các công thức và quy tắc biến đổi. * Vận dụng cao: - Giải được phương trình mũ, phương trình lôgarit. - Vận dụng phương trình mũ, phương trình lôgarit vào giải quyết một số bài toán liên quan. 2.4. Bất phương trình * Nhận biết: mũ và bất phương - Biết công thức nghiệm của bất phương trình mũ, lôgarit cơ trình lôgarit bản. 3.1. Khái niệm về * Nhận biết: khối đa diện. Khối - Biết khái niệm khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt, khối đa diện. đa diện lồi và khối Biết khái niệm khối đa diện đều. đa diện đều - Biết 5 loại khối đa diện đều. * Thông hiểu: - Hiểu khái niệm khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt, khối đa diện. - Hiểu khái niệm khối đa diện đều. 3.2. Thể tích của * Nhận biết: khối đa diện - Biết khái niệm về thể tích khối đa diện. - Biết các công thức tính thể tích các khối lăng trụ và khối chóp. * Thông hiểu: - Tính được thể tích của khối lăng trụ và khối chóp khi cho chiều cao và diện tích đáy.

N Ơ

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức

M È

Y Ạ D

Y U Q

H N

I C I

Vận Thông Vận dụng hiểu dụng cao

Tổng

F F

L A

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu

4.1. Mặt nón, Mặt trụ, mặt cầu

Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá

* Vận dụng: - Tính được thể tích của khối lăng trụ và khối chóp khi xác định được chiều cao và diện tích đáy. * Vận dụng cao: - Tính được thể tích của khối đa diện trong một số bài toán liên quan. * Nhận biết: - Biết khái niệm mặt nón, mặt trụ, mặt cầu. - Biết công thức tính diện tích xung quanh của hình nón, hình trụ; công thức tính diện tích mặt cầu; công thức tính thể tích khối nón, khối trụ và khối cầu. * Thông hiểu: - Tính được các yếu tố của mặt nón, mặt trụ, mặt cầu khi biết các yếu tố khác liên quan. - Tính được diện tích xung quanh của hình nón, hình trụ. - Tính được diện tích mặt cầu. - Tính được thể tích khối cầu, khối nón, khối trụ.

M È

Tổng

Nhận biết

N Ơ

Y U Q

I C I

Vận Thông Vận dụng hiểu dụng cao

F F

H N

Lưu ý: - Với câu hỏi ở mức độ nhận biết và thông hiểu thì mỗi câu hỏi cần được ra ở một chỉ báo của mức độ kiến thức, kỹ năng cần kiểm tra, đánh giá tương ứng (1 gạch đầu dòng thuộc mức độ đó).

Y Ạ D

TT Nội dung

Đơn vị kiến thức

Tổng

BẢNG ĐẶC TẢ KĨ THUẬT ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II MÔN: TOÁN, LỚP 12 – THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 phút Chuẩn kiến thức, kĩ năng

Mức độ nhận thức

kiến thức

cần kiểm tra

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng

I C I

Nhận biết: + Biết định nghĩa nguyên hàm. + Biết bảng các nguyên hàm cơ bản

1.1 Định nghĩa

Thông hiểu: + Tìm được nguyên hàm của hàm số đơn giản

Vận dụng:

Nguyên hàm

+ Vận dụng định nghĩa tìm được nguyên hàm

N Ơ

của một hàm số

Vận dụng cao:

H N

+ Vận dụng linh hoạt, sáng tạo định nghĩa để tìm

được nguyên hàm của một hàm số và liên hệ với các kiến thức khác .

Nhận biết:

Y U Q

+ Biết được một số tính chất cơ bản của nguyên hàm.

Thông hiểu:

M È

+ Tìm được nguyên hàm của hàm số đơn giản

1.2.Tính chất

Y Ạ D

dựa vào tính chất của nguyên hàm.

Vận dụng : + Vận dụng tính chất của nguyên hàm tìm được

nguyên hàm của một hàm số

Vận dụng cao: + Vận dụng linh hoạt, sáng tạo, phối hợp các tính

F F

L A

Vận dụng cao

Tổng

L A

chất của nguyên hàm tìm được nguyên hàm của

I C I

một hàm số

1.3.Các phương pháp tính nguyên hàm

M È

Tích phân

Y Ạ D

N Ơ

2.1. Định nghĩa

Nhận biết: + Nhận ra được công thức tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Thông hiểu: + Tìm được nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp tính nguyên hàm từng phần của hàm số đơn giản. Vận dụng: + Vận dụng phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp tính nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của hàm số Vận dụng cao: + Vận dụng linh hoạt, sáng tạo , phối hợp các phương pháp đổi biến số và phương pháp tính nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của hàm số. Nhận biết: + Biết khái niệm về diện tích hình thang cong. + Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niu- tơn Lai- bơ – nit Thông hiểu: + Tính được tích phân của các hàm số đơn giản bằng định nghĩa. Vận dụng: + Vận dụng định nghĩa để tính tích phân của hàm số. Vận dụng cao: + Vận dụng linh hoạt, sáng tạo định nghĩa để tính được tích phân của một hàm số

Y U Q

F F

H N

2.2.Tính chất

Nhận biết: + Biết được một số tính chất cơ bản của tích phân. Thông hiểu: + Tính được tích phân của hàm số đơn giản dựa vào tính chất của tích phân. Vận dụng : + Vận dụng tính chất của tích phân tính được tích phân của một hàm số Vận dụng cao: + Vận dụng linh hoạt, sáng tạo, phối hợp các tính chất của tích phân tính được tích phân của một hàm số

2.3.Các phương pháp tính tích phân

Y Ạ D

Y U Q

L A

I C I

F F

N Ơ

Thông hiểu: + Tính được tích phân của hàm số đơn giản. bằng phương pháp đổi biến + Tính được tích phân của hàm số đơn giản phương pháp tính tích phân từng phần Vận dụng: + Vận dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân của hàm số + Vận dụng phương pháp tính tích phân từng phần để tính tích phân của hàm số Vận dụng cao: + Phối hợp các phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phân từng phần để tính tích phân của hàm số.

M È

H N

O 3

L A

Mặt tròn xoay

Vận dụng: + Vận dụng các kiến thức mặt cầu giải được các bài toán về vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng, giữa mặt cầu và mặt phẳng , về thiết diện; Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện (khối chóp, khối lăng trụ),... + Vận dụng các kiến thức về mặt nón, mặt trụ giải được các bài toán về thiết diện, mặt trụ ngoại tiếp khối đa diện, mặt nón ngoại tiếp khối chóp,… Vận dụng cao: + Vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức về mặt tròn xoay giải được các bài toán tổng hợp, các bài toán thực tế,…

Mặt tròn xoay

F F 1

N Ơ

Hệ tọa độ trong không gian

4.1. Tọa độ của vectơ và của điểm

Nhận biết : +Biết khái niệm tọa độ của vec tơ và tọa độ của điểm thông qua định nghĩa, + Nhận ra được biểu thức tọa độ của các phép toán vec tơ. Thông hiểu : + Tính được tọa độ của tổng, hiệu hai vec tơ, tích của vec tơ với một số, tính được tích vô hướng của hai vec tơ, độ dài của một vec tơ, góc giữa hai vec tơ. + Tính được khoảng cách giữa hai điểm có tọa độ cho trước. Vận dụng : Vận dụng các phép toán về tọa độ của véc tơ, tọa độ của điểm giải các bài toán tổng hợp như xét tính cùng phương của hai vec tơ, chứng minh 3 điểm thẳng hàng, xác định tọa độ của điểm thỏa mãn điều kiện nào đó,…

M È

Y Ạ D

Y U Q

H N

I C I

O 1

4.2. Phương trình mặt cầu

Nhận biết : + Biết phương trình mặt cầu Thông hiểu : + Xác định được tọa độ tâm và tìm được độ dài bán kính mặt cầu có phương trình cho trước. + Tìm được phương trình mặt cầu nếu biết tâm và bán kính mặt cầu

Phương trình mặt phẳng

-Nhận biết: + Biết khái niệm véc tơ pháp tuyến của mặt 3 phẳng, xác định được vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết phương trình của mặt phẳng đó ; biết dạng phương trình mặt phẳng. nhận biết được điểm thuộc mặt phẳng +Biết điều kiện hai mặt phẳng song song, cắt nhau, vuông góc +Biết công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng -Thông hiểu: +Xác định được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc trùng với mặt phẳng đó. + Tìm được phương trình mặt phẳng trong một số trường hợp đơn giản. +Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng

N Ơ

M È

Y U Q

L A

I C I

F F

H N

Y Ạ D

BẢNG ĐẶC TẢ KĨ THUẬT ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KỲ 2

L A

MÔN: TOÁN 12 – THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT TT

Nội dung kiến thức

Đơn vị kiến thức

1.1 Nguyên hàm

Mức độ kiến thức, kỹ năng cần kiểm tra, đánh giá

-Nhận biết: +Biết khái niệm nguyên hàm, +Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm +Biết bảng các nguyên hàm cơ bản -Thông hiểu: +Hiểu phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản +Tìm được nguyên hàm bằng phương 2 pháp tính nguyên hàm từng phần. +Tìm được nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến. -Vận dụng: Vận dụng phương pháp đổi biến,phương pháp tính nguyên hàm từng phần và một số phép biến đổi đơn giản vào tìm nguyên hàm. -Vận dụng cao: Vận dụng linh hoạt các phép biến đổi phức tạp, kết hợp linh hoạt các phương pháp đổi biến và phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Liên kết được các đơn vị kiến thức khác.

N Ơ

M È

Y Ạ D

Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng của tích phân

Y U Q

H N

-Nhận biết: +Biết khái niệm tích phân, +Biết các tính chất cơ bản của tích phân. +Biết ý nghĩa hình học của tích phân. -Thông hiểu: Hiểu phương pháp tính tích phân của

I C I

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

F F

O 2

Tổng

1.2 Tích phân

một số hàm đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản +Tính được tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần. +Tính được tích phân bằng phương pháp đổi biến. -Vận dụng: Vận dụng phương pháp đổi biến, phương pháp tích phân từng phần và một số phép biến đổi đơn giản vào tính tích phân. -Vận dụng cao: Vận dụng các phép biến đổi phức tạp, kết hợp linh hoạt các phương pháp đổi biến và phương pháp tính tích phân từng phần. Liên kết được các đơn vị kiến thức khác. -Nhận biết: +Biết công thức tính diện tích hình phẳng +Biết công thức tính thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay nhờ tích phân -Thông hiểu: +Tính được diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay nhờ tích phân ở mức độ đơn giản -Vận dụng: Vận dụng được công thức và tính được diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay nhờ tích phân. -Vận dụng cao: Vận dụng linh hoạt việc xây dựng và áp dụng được diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay nhờ tích phân từ các đường giới hạn phức tạp.

M È

1.3 Ứng dụng của tích phân trong hình hoc

Y Ạ D

Y U Q

I C I

F F

N Ơ

H N

L A

+Áp dụng vào giải các bài toán thực tế và bài toán liên quan khác

2.1 Số phức

-Nhận biết: +Biết được các khái niệm về số phức: Dạng đại số; phần thực; phần ảo; mô đun; số phức liên hợp. +Biết biểu diễn hình học của một số phức -Thông hiểu: 4 Hiểu và tìm được phần thực, phần ảo, mô đun, số phức liên hợp của số phức cho trước. +Hiểu cách biểu diễn hình học của số phức -Vận dụng: Vận dụng các khái niệm, tính chất về số phức vào các bài toán liên quan -Vận dụng cao: Vận dụng linh hoạt các khái niệm về số phức vào các bài toán khác:Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, tìm min, max liên quan số phức….. -Nhận biết: Biết được phép cộng, trừ, nhân 2 số phức đơn giản -Thông hiểu: Hiểu và tính tổng, hiệu, nhân 2 hoặc nhiều số phức -Vận dụng: 2 Vận dụng được các phép toán cộng, trừ, nhân số phức -Vận dụng cao: Vận dụng linh hoạt các phép toán cộng,

M È

Y Ạ D

Số phức

2.2 Cộng, trừ và nhân số phức

N Ơ

Y U Q

I C I

F F

H N

2.3 Phép chia số phức

trừ, nhân số phức vào các bài toán khác:Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, tìm min, max liên quan số phức….. -Nhận biết: Biết được phép chia 2 số phức đơn giản -Thông hiểu: Tính được phép chia số phức -Vận dụng: Vận dụng được chia số phức trong các bài toán liên quan số phức -Vận dụng cao: Vận dụng linh hoạt phép chia số phức vào các bài toán khác:Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, tìm min, max liên quan số phức…..

M È

2.4 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Y Ạ D

I C I

F F

N Ơ

H N

-Nhận biết: Biết khái niệm căn bậc 2 của số phức +Biết được dạng phương trình bậc hai ẩn phức với hệ số thực. -Thông hiểu: +Tìm được căn bậc hai của số phức +Hiểu phương pháp giải phương trình bậc hai ẩn phức với hệ số thực, tìm được công thức nghiệm. -Vận dụng: Vận dụng phương pháp giải phương trình bậc hai ẩn phức với hệ số thực vào giải phương trình -Vận dụng cao: Vận dụng linh hoạt cách giải phương trình bậc hai ẩn phức với hệ số thực vào các bài toán khác -Nhận biết: Biết các khái niệm về hệ tọa độ trong

Y U Q

L A

3.1 Hệ tọa độ trong không gian

không gian, tọa độ của một véc tơ, tọa độ của một điểm, biểu thức tọa độ của các phép toán véc tơ, khoảng cách giữa hai điểm +Biết khái niệm và một số ứng dụng của tích véc tơ (tích véc tơ với một số thực, tích vô hướng của hai véc tơ) +Biết phương trình mặt cầu -Thông hiểu: Tính được tọa độ của véc tơ tổng, hiệu của hai véc tơ, tích của véc tơ với một số thực, tính được tích vô hướng của hai véc tơ, tính được góc giữa hai véc tơ, tính được khoảng cách giữa hai điểm +Tìm được tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu có phương trình cho trước -Vận dụng Vận dụng được các phép toán về tọa độ véc tơ, tọa độ của điểm , công thức khoảng cách giữa hai điểm, xét tính cùng phương của hai véc tơ… +Viết phương trình mặt cầu biết một số yếu tố cho trước -Vận dụng cao: Vận dụng linh hoạt các phép toán tọa độ của véc tơ, của điểm vào các bài toán liên quan khác -Nhận biết: Biết khái niệm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng, biết dạng phương trình mặt phẳng, nhận biết được điểm thuộc mặt phẳng +Biết điều kiện hai mặt phẳng song song, cắt nhau, vuông góc +Biết công thức khoảng cách từ một

M È

Y Ạ D

Y U Q

L A

I C I

F F

H N

N Ơ 1

O 1

L A

điểm đến một mặt phẳng

Phương pháp tọa độ trong không gian

3.2 Phương trình mặt phẳng

-Thông hiểu: Hiểu véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng, xác định được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình cho trước +Tìm được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc trùng với mặt phẳng đó +Tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng -Vận dụng: Vận dụng phương pháp viết phương trình mặt phẳng, tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng -Vận dụng cao: Vận dụng linh hoạt phương trình mặt phẳng trong các bài toán liên quan -Nhận biết: Biết khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng, biết dạng phương trình tham số đường thẳng, nhận biết được điểm thuộc đường thẳng

M È

3.3 Phương trình đường thẳng

Y Ạ D

Y U Q

F F

N Ơ

H N

-Thông hiểu Hiểu véc tơ chỉ phương của đường thẳng, xác định được véc tơ chỉ phương 3 của đường thẳng có phương trình cho trước +Tìm được véc tơ chỉ phương của đường thẳng biết đường thẳng vuông góc với giá của hai véc tơ không cùng phương

I C I

L A

+Hiểu điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt nhau, song song, vuông góc -Vận dụng: Vận dụng phương pháp viết phương trình đường thẳng, xét được vị trí tương đối của hai đường thẳng khi biết phương trình -Vận dụng cao: Vận dụng linh hoạt phương trình đường thẳng trong các bài toán liên quan

I C I

F F

N Ơ

Tổng

Một số chú ý khi viết mục tiêu

H N

Khi viết mục tiêu của bài cần quán triệt tinh thần đổi mới về cách viết mục tiêu. - Mục tiêu bài học phải rất cụ thể sao cho có thể đo đạc được, quan sát được, đánh giá được hoặc lượng hoá được. - Mục tiêu phải nêu cụ thể những kiến thức, kĩ năng, thái độ mà học sinh cần đạt được sau mỗi bài học, đặc biệt chỉ rõ mức độ, yêu cầu Chú ý: Tránh viết mục tiêu một cách chung chung rất khó đánh giá như “Nắm được” hoặc “Hiểu được” v.v… Mục tiêu phải chỉ rõ mức độ KT, KN, TĐ mà HS cần đạt được chứ không phải những nhiệm vụ, những điều mà GV cần phải làm. Khụng nhất thiết tỏch riờng KT, KN mà cú thể viết một cõu chung. Sau đây là một số động từ thường được sử dụng khi viết mục tiêu. Mỗi động từ thể hiện mức độ, yêu cầu nhất định. Kiến thức Kĩ năng Thái độ

Mức độ nhận biết Nêu lên được Trình bày được Phát biểu được Kể lại được Liệt kê được Nhận biết được Chỉ ra được Mô tả được …

Y Ạ D

M È

Y U Q

Lập được Viết đươc Tính được/biết tính Vẽ được Đo được/biết đo Thực hiện được Biết cách…. Tổ chức được Thu thập được Biết làm thí nghiệm Phân loại được

Tuân thủ Tán thành/ đồng ý/ủng hộ Phản đối Hướng ứng Chấp nhận Bảo vệ Hợp tác ….

Mức độ thông hiểu Xác định được So sánh được Phân biệt được Phát hiện được Phân tích được Tóm tắt được Đánh giá được …. Mức độ vận dụng Giải thích được Chứng minh được Liên hệ được Vận dụng được Xây dựng được Giải quyết được …

I C I

F F

N Ơ

M È

Y Ạ D

L A

…

Y U Q

H N

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 35 câu TN, 4 câu tự luận)

FI CI A

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n +1 n2 + 1 A. . B. n − 2n 2 . C. . 2n + 1 2n + 3 Câu 2. [NB] Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ? n 2n + 1 1 3 . B. . C.   . A. n+5 n +1 4 2n − 1 Câu 3. [NB] lim 3 bằng n +5 A. 0 . B. −∞ . C. +∞ . n 1+ 5 Câu 4. [NB] lim n n+1 bằng 4 −5

ĐỀ SỐ 1

1 . 2n + 1

2n + 1 . n2 + 1

Câu 6.

[NB] Cho dãy số ( un ) thỏa mãn lim ( un − 3) = 0 . Tìm lim un = 0 A. lim un = 2 . B. lim un = −3 . [NB] Dãy số nào có giới hạn khác 0 1 1 A. un = . B. un = 2 . n n

C. lim un = 0 .

Câu 5.

1 D. − . 5

C. 0 .

B. −∞ .

ƠN

A. +∞ .

D. 2 .

D. lim un = 3 . n

1 C. un = 1 − . n

1 D. un =   . 2 n

Câu 9.

A. 1. B. 0 . 2 [ NB] Tính I = lim ( x − x + 3) .

QU Y

Câu 8.

1 [NB] Cho cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng tổng quát un =   . Tính tổng của cấp số nhân đó 2 1 1 A. 1. B. . C. 2 . D. . 2 4 2 [NB] Có bao nhiêugiá trị của a để giới hạn lim ( x + 3 x + 2 ) = 0

Câu 7.

x →a

C. 2 .

D. 3 .

C. 6 .

D. − 5 .

x →0

A. 0 . B. 3 . 3 Câu 10. [ NB] lim ( x + x + 3) bằng x →−∞

B. +∞ . C. −∞ . 6x + 2 Câu 11. [ NB] Tính N = lim . x →+∞ x + 1 A. 6 . B. 2 . C. 1 . 3x + 2 Câu 12. [ NB] lim− bằng x →3 x − 3 A. −∞ . B. +∞ . C. 2 . lim f x = 5 Câu 13. [NB] Nếu ( ) thì lim 3x − 4 f ( x ) bằng bao nhiêu?

DẠ

KÈ

A. 3 .

Trang 1

x →0

A. − 17 .

D. − 3 .

D. −1 .

D. −3 .

x →0

B. − 1 .

C. 1 .

D. −20 .

Câu 14. [NB] Cho các hàm số y = cos x ( I ) , y = sin x ( II ) và y = tan x ( III ) . Hàm số nào liên tục trên ℝ ? A. ( I ) , ( II ) .

C. ( I ) , ( II ) , ( III ) .

D. ( III ) .

B. ( I ) .

 x −1 khi x ≠ 1  Câu 15. [NB] Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − 1 liên tục tại điểm x0 = 1 . m + 2 khi x = 1  A. m = 3 . B. m = 0 . C. m = 4 . D. m = 1 . Câu 16. [NB] Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau? A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình thoi. Câu 17. [NB] Cho hình hộp ABCD. A′B′C′D′ . Các vec tơ nào sau đây đồng phẳng? A. AB , AD , AA′ . B. BA , BC , B ′D ′ . C. BC , BB ′ , BD ′ . D. DA , A′D , A′C . Câu 18. [NB] Cho tứ diện ABCD có I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đẳng thức nào sau đây là đúng? 1 1 1 1 A. IJ = AD + CB . B. IJ = AC + DB . C. IJ = AD + BC . D. IJ = CA + DB . 2 2 2 2 Câu 19. [NB] Trong không gian cho 3 đường thẳng a; b; c . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Nếu a ⊥ b và c ⊥ b thì a / / c . B. Nếu a / / b và c ⊥ a thì c ⊥ b . a ⊥ c b ⊥ c a ⊥ b C. Nếu và thì . D. Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a ⊥ c . Câu 20. [NB] Trong không gian cho 2 vectơ a và b . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a ⊥ b ⇔ a.b = 0 . B. a ⊥ b ⇔ a.b = 0 . C. a ⊥ b ⇔ a = b . D. a ⊥ b ⇔ a , b = 90 0 .

)

(

)

(

)

( )

(

ƠN

(

FI CI A

2n + n 2 + 5 . Tính lim un . n.4n A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 0 . 1 + 2 + 3 + ... + n Câu 22. [TH] Cho dãy số ( un ) với un = . Khi đó lim ( un + 1) bằng 1010n 2 + 1011 2020 2019 2021 2021 A. . B. . C. . D. . 2021 2020 2020 2022 Câu 23. [TH] Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0 ? 3n 2 + n 2 − n3 + n 2 4 n − 5n 2 2n + 4n 2 A. lim 2 . B. lim . C. . D. . lim lim n +7 n2 − 4 n2 − 4 3n3 + 5 x2 + 2 x − 3 Câu 24. [TH] lim bằng x →−3 x+3 A. 4 . B. 0 . C. −2 . D. −4 .

QU Y

Câu 21. [TH] Cho dãy số ( un ) với un =

KÈ

Câu 25. [TH] Cho hàm số f ( x ) = 2 x 2 − 4 x + 5 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. lim f ( x ) = −∞ . B. lim f ( x) = +∞ . C. lim f ( x ) = 2 . D. lim f ( x ) = −2 . x →−∞

x →−∞

Câu 26. [TH] lim+ x→2

A. −∞ .

x + x −1 bằng x2 − 4 B. 3 .

C. 0 .

D. +∞ .

DẠ

x −8 khi x ≠ 2  Câu 27. [TH] Cho hàm số f ( x ) =  x − 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm   mx + 1 khi x = 2 số liên tục tại x = 2 .

Trang 2

15 13 11 . C. m = . D. m = . 2 2 2 2  x −1 khi x ≠ 1  Câu 28. [TH] Cho hàm số f ( x ) =  x − 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?  khi x = 1 2 A. f (1) không tính được. B. lim f ( x ) = 0 .

17 . 2

x →1

C. f ( x ) gián đoạn tại x = 1 .

Câu 32. Câu 33.

Câu 34.

ƠN

Câu 31.

 x −1 khi x > 1  [TH] Giá trị của tham số a để hàm số f ( x ) =  x − 1 liên tục tại điểm x = 1 là ax − 1 khi x ≤ 1  2 1 1 A. −1. B. − . C. 1. D. . 2 2  x −1 −1 khi 1 ≤ x ≠ 2  [TH] Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − 2 liên tục tại điểm x = 2 .  1− m x=2 khi  3 1 B. 2 . C. 1. D. . A. . 2 2 [TH] Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AD và BC . Khẳng định nào sau đây đúng ? B. GA − GB + GC − GD = 0 . A. GA + GB + GC + GD = 2IJ C. GA + GB + GC + GD = GI − GJ . D. AB + DC = 2IJ . [TH] Cho hình lập phương ABCD. A' B 'C ' D' có cạnh 2a . Tích vô hướng AC. AD' bằng: A. 4a . B. 2a 2 . C. a 2 . D. 4a 2 . [TH] Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' cạnh a . Góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' bằng: A. 30○ . B. 90○ . C. 45○ . D. 60○ . [TH] Cho tứ diện ABCD có AC = 6; BD = 8 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC .

Câu 30.

D. f ( x ) liên tục tại x = 1 .

QU Y

Câu 29.

B. m =

FI CI A

A. m =

Biết AC ⊥ BD. Tính độ dài đoạn thẳng MN .

DẠ

KÈ

A. MN = 10 . B. MN = 7 . C. MN = 10 . D. MN = 5 . Câu 35. [TH] Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC ; AB ⊥ BD . Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của AB, CD . Chọn khẳng định đúng: A. AB ⊥ PQ . B. AB ⊥ CD . C. BD ⊥ AC . D. AC ⊥ PQ . PHẦN II. TỰ LUẬN 1 1 1 + + ... + n 2 2 . Bài 1. [ VD] Tính giới hạn sau: lim n →∞ 1 1 1 + + ... + n 3 3 Bài 2. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , C′D′ . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AP . Bài 3 . Tùy theo giá trị của tham số m , tính giới hạn lim

Trang 3

x →−∞

(

)

8 x3 + 5 x 2 + 1 − 9 x 2 + 3x + 5 + mx .

Chứng minh phương trình

−cos 2 x.sin 2 x + m cos x − 3m + 1 = m luôn có nghiệm với mọi m > 1 . sin 2 x − cos x − 3 HẾT

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

Bài 4.

Trang 4

FI CI A D.

LỜI GIẢI CHI TIẾT PHẦN I. TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n +1 n2 + 1 A. . B. n − 2n 2 . C. . 2n + 1 2n + 3 Lời giải 1 1 0 Ta có lim = lim n = = 0 1 2 2n + 1 2+ n Câu 2. [NB] Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ? n 2n + 1 1 3 A. . B. . C.   . n+5 n +1 4 Lời giải 1 2+ 2n + 1 n = 2 =2 Ta có lim = lim 5 1 n+5 1+ n 2n − 1 Câu 3. [NB] lim 3 bằng n +5 A. 0 . B. −∞ . C. +∞ . Lời giải 2 1 − 3 2 2n − 1 0 Ta có lim 3 = lim n n = = 0 5 n +5 1 1+ 3 n

ĐÁP ÁN PHẦN TRẮC NGHIỆM 2A 3A 4D 5D 6C 7A 8C 9B 10C 11A 12A 13D 14B 15B 17B 18C 19B 20D 21D 22C 23D 24D 25B 26D 27D 28D 29C 30D 32D 33D 34D 35A

1D 16A 31D

2n + 1 . n2 + 1

[NB] lim A. +∞ .

KÈ

DẠ

A. lim un = 2 .

Câu 6.

Trang 5

B. −∞ .

C. 0 .

1 D. − . 5

Lời giải n

1   +1 1 1+ 5 1 5 = =− Ta có lim n n+1 = lim  n 4 −5 −5 5 4   −5 5 [NB] Cho dãy số ( un ) thỏa mãn lim ( un − 3) = 0 . Tìm lim un = 0

Câu 5.

D. 2 .

1 + 5n bằng 4 n − 5n+1

Câu 4.

QU Y

ƠN

1 . 2n + 1

B. lim un = −3 .

C. lim un = 0 . D. lim un = 3 . Lời giải Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số ta có lim ( un − 3) = 0  lim un = 3

[NB] Dãy số nào có giới hạn khác 0

1 . n 1 . n

C. un = 1 −

1 . n2 n 1 D. un =   . 2 Lời giải B. un =

1 1 1 lim = lim 2 = lim   = 0 . n n 2  1 lim 1 −  = 1 ≠ 0 .  n n

1 [NB] Cho cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng tổng quát un =   . Tính tổng của cấp số nhân đó 2 1 1 A. 1. B. . C. 2 . D. . 2 4 Lời giải Gọi công bội của cấp số nhân là q

Câu 7.

ƠN

1 1 1 1 un =    u1 = ; u2 =  q = 2 4 2 2 u Tính tổng của cấp số nhân là S = 1 = 1 1− q

[NB] Có bao nhiêugiá trị của a để giới hạn lim ( x 2 + 3 x + 2 ) = 0

Câu 8.

x →a

B. 0 .

C. 2 . Lời giải  a = −1 lim ( x 2 + 3x + 2 ) = 0 ⇔ a 2 + 3a + 2 = 0 ⇔  . x →a  a = −2 Vậy có hai giá trị của a . [ NB] Tính I = lim ( x 2 − x + 3 ) .

D. 3 .

A. 0 .

D. − 5 .

QU Y

A. 1.

Câu 9.

FI CI A

A. un =

x →0

B. 3 .

C. 6 . Lời giải

Ta có I = lim ( x 2 − x + 3 ) = 0 2 − 0 + 3 = 3 x →0

Câu 10. [ NB] lim ( x 3 + x + 3 ) bằng x →−∞

C. −∞ . Lời giải 1 3  Ta có lim ( x 3 + x + 3) = lim x3 1 + 2 + 3  = −∞ . x →−∞ x →−∞ x   x 1 3  (Vì lim x3 = −∞ và lim 1 + 2 + 3  = 1 > 0 ). x →−∞ x →−∞ x   x 6x + 2 Câu 11. [ NB] Tính N = lim . x →+∞ x + 1 A. 6 . B. 2 . C. 1 . Lời giải

B. +∞ .

D. −3 .

DẠ

KÈ

A. 3 .

Trang 6

D. −1 .

2 6x + 2 x =6 Ta có N = lim = lim x →+∞ x + 1 x →+∞ 1 1+ x 3x + 2 Câu 12. [ NB] lim− bằng x →3 x − 3 A. −∞ . B. +∞ .

FI CI A

C. 2 . Lời giải

D. − 3 .

3x + 2 = −∞ (vì lim− ( 3x + 2 ) = 3.3 + 2 = 11 > 0 và lim− ( x − 3) = 0 ; x − 3 < 0 ). x →3 x →3 x →3 x − 3 Câu 13. [NB] Nếu lim f ( x ) = 5 thì lim 3 x − 4 f ( x )  bằng bao nhiêu? x →0 x →0 A. − 17 . B. − 1 . C. 1 . D. −20 . Lời giải Ta có: lim f ( x ) = 5 nên lim 3 x − 4 f ( x )  = lim(3 x ) − 4 lim f ( x ) = 3.0 − 4.5 = −20 . x →0

x →0

Ta có lim−

x →0

Câu 14. [NB] Cho các hàm số y = cos x ( I ) , y = sin x ( II ) và y = tan x ( III ) . Hàm số nào liên tục trên ℝ ? A. ( I ) , ( II ) .

C. ( I ) , ( II ) , ( III ) .

ƠN

B. ( I ) .

D. ( III ) .

Lời giải Ta có: Hàm số y = cos x có tập xác định là ℝ nên liên tục trên ℝ . Hàm số y = sin x có tập xác định là [ 0; + ∞ ) nên không liên tục trên ℝ .

QU Y

π  Hàm số y = tan x có tập xác định là ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ  nên không liên tục trên ℝ . 2  2  x −1 khi x ≠ 1  Câu 15. [NB] Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − 1 liên tục tại điểm x0 = 1 . m + 2 khi x = 1  A. m = 3 . B. m = 0 . C. m = 4 . D. m = 1 . Lời giải TXĐ: D = ℝ  x0 = 1 ∈ D . Ta có : f (1) = m + 2 .

( x + 1)( x − 1) = lim x + 1 = 2 . x2 − 1 = lim ( ) x →1 x − 1 x →1 x →1 x −1 Hàm số f ( x ) liên tục tại điểm x0 = 1 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f (1)  m + 2 = 2 ⇔ m = 0 .

lim

x →1

DẠ

KÈ

Câu 16. [NB] Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau? A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình thoi. Lời giải Do phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, nên không thể có đáp án A. Câu 17. [NB] Cho hình hộp ABCD. A′B′C′D′ . Các vectơ nào sau đây đồng phẳng? A. AB , AD , AA′ . B. BA , BC , B ′D ′ . C. BC , BB ′ , BD ′ . D. DA , A′D , A′C . Lời giải

Trang 7

(

( (

) )

)

ƠN

(

) )

FI CI A

) )

( (

Ta có BA , BC chứa trong mp ( ABCD ) và B ′D ′ song song với mp ( ABCD ) nên các vectơ BA , BC và B ′D ′ đồng phẳng. Câu 18. [NB] Cho tứ diện ABCD có I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đẳng thức nào sau đây là đúng? 1 1 A. IJ = AD + CB . B. IJ = AC + DB . 2 2 1 1 C. IJ = AD + BC . D. IJ = CA + DB . 2 2 Lời giải Ta có: IJ = IA + AD + DJ . IJ = IB + BC + CJ . Suy ra: 2 IJ = IA + IB + AD + BC + DJ + JC = 0 + AD + BC + 0 = AD + BC . 1 Vậy: IJ = AD + BC . 2 Câu 19. [NB] Trong không gian cho 3 đường thẳng a; b; c . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Nếu a ⊥ b và c ⊥ b thì a / / c . B. Nếu a / / b và c ⊥ a thì c ⊥ b . C. Nếu a ⊥ c và b ⊥ c thì a ⊥ b . D. Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a ⊥ c . Lời giải Cho 2 đường thẳng song song, nếu 1 đường thẳng thứ 3 vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng đó thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại. Vậy: Nếu a / / b và c ⊥ a thì c ⊥ b là khẳng định đúng.

QU Y

Câu 20. [NB] Trong không gian cho 2 vectơ a và b . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a ⊥ b ⇔ a.b = 0 . B. a ⊥ b ⇔ a.b = 0 . C. a ⊥ b ⇔ a = b . D. a ⊥ b ⇔ a , b = 90 0 .

( )

DẠ

KÈ

Lời giải Phương án A sai nếu a = 0 hoặc b = 0 . Phương án B sai vì tích của 2 vec tơ là 1 số. Phương án C sai. Theo định nghĩa, 2 đường thẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90° nên D đúng. 2n + n 2 + 5 Câu 21. [TH] Cho dãy số ( un ) với un = . Tính lim un . n.4n A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải 5 2n + n 2 + 5 2 + 1+ 2 2 2n + n + 5 n = 1  2 + 1+ 5  . n Ta có: un = = =   n n n n.4 n.4 4 4n  n 2  n  5 5  1 Vì lim 2 = 0 nên lim  2 + 1 + 2  = 3 và lim n = 0 . Do đó lim un = 0 . n n  4 

Trang 8

Vậy lim un = 0 .

1 + 2 + 3 + ... + n . Khi đó lim ( un + 1) bằng 1010n 2 + 1011 2020 2019 2021 2021 A. . B. . C. . D. . 2021 2020 2020 2022 Lời giải n n + 1 ( ) 1 + 2 + 3 + ... + n n2 + n Ta có: un = = = . 1010n 2 + 1011 2 (1010n 2 + 1011) 2020n 2 + 2022

4 n − 5n 2 . n2 − 4

D. lim

2n + 4n 2 . 3n 3 + 5

C. lim

ƠN

  n2 + n + 1 lim ( un + 1) = lim  2  2020n + 2022  1   1+   1 2021 n + 1 = +1 = = lim  . 2020 2020  2020 + 2022  n2   2021 Vậy lim ( un + 1) = . 2020 Câu 23. [TH] Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0 ? 3n 2 + n 2 − n3 + n 2 A. lim 2 . B. lim . n +7 n2 − 4

FI CI A

Do đó

Câu 22. [TH] Cho dãy số ( un ) với un =

Lời giải

Ta có:

DẠ

KÈ

QU Y

1 3+ 3n 2 + n n = 3. = lim +) lim 2 7 n +7 1+ 2 n 2 1 −1 + 3 2 − n3 + n 2 n = −∞ . +) lim = lim n 1 4 n2 − 4 − n n3 4 −5 2 4n − 5n +) lim 2 = lim n = −5 . 4 n −4 1− 2 n 2 4 + 2n + 4n 2 n2 n = 0. +) lim = lim 5 3n3 + 5 3+ 3 n 2 2n + 4n Vậy lim = 0. 3n3 + 5

Trang 9

3n 2 + n 4n − 5n 2 2 − n3 + n 2 , , đều có số lim lim n2 + 7 n2 − 4 n2 − 4 mũ của n cao nhất ở tử lớn hơn hoặc bằng số mũ cao nhất ở mẫu nên các giới hạn đó đều khác 0.

Nhận xét: Các dãy số trong các giới hạn lim

x2 + 2 x − 3 Câu 24 . [TH] lim bằng x →−3 x+3 A. 4 . C. −2 .

FI CI A

Lời giải ( x − 1)( x + 3) = lim x − 1 = −4 x + 2x − 3 = lim Ta có lim . ( ) x →−3 x →− 3 x →−3 x+3 x+3 2

B. 0 . D. −4 .

Câu 25. [TH] Cho hàm số f ( x ) = 2 x 2 − 4 x + 5 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. lim f ( x ) = −∞ . B. lim f ( x) = +∞ . x →−∞

x →−∞

C. lim f ( x ) = 2 .

D. lim f ( x ) = −2 .

x →−∞

Hàm số f ( x ) = 2 x − 4 x + 5 xác định trên ℝ .

4 5 4 5  f ( x) = 2 x 2 − 4 x + 5 = x 2  2 − + 2  = x 2 − + 2 . x x  x x  x →−∞

x →−∞

2−

4 5 + = 2 > 0 nên lim 2 x 2 − 4 x + 5 = +∞ . x →−∞ x x2

ƠN

Vì lim x = +∞ và lim 2

Câu 26. [TH] lim+ x→2

x + x −1 bằng: x2 − 4

B. 3 . D. +∞ . Lời giải

A. −∞ . C. 0 .

( ) lim ( x − 4 ) = 0 và x − 4 > 0 khi x → 2

Ta có: lim+ x 2 + x − 1 = 5 > 0 . x →2

x→ 2

Lời giải 2

KÈ

QU Y

x2 + x − 1 = +∞ . x→2 x2 − 4  x3 − 8 khi x ≠ 2  Câu 27. [TH] Cho hàm số f ( x ) =  x − 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm  mx + 1 khi x = 2  số liên tục tại x = 2 . 17 15 13 11 A. m = . B. m = . C. m = . D. m = . 2 2 2 2 Lời giải Ta có: Hàm số f ( x ) xác định trên ℝ . Suy ra lim+

x3 − 8 = lim ( x 2 + 2 x + 4 ) = 12 . x→2 x →2 x − 2 x→2 (có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số)

Ta có f ( 2) = 2m + 1 và lim f ( x ) = lim

Để f ( x ) liên tục tại x = 2 thì lim f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ 2m + 1 = 12 ⇔ m = x →2

11 . 2

DẠ

 x2 −1 khi x ≠ 1  Câu 28. [TH] Cho hàm số f ( x ) =  x − 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 khi x = 1 

Trang 10

A. f (1) không tính được.

B. lim f ( x ) = 0 .

C. f ( x ) gián đoạn tại x = 1 .

D. f ( x ) liên tục tại x = 1 .

x →1

Lời giải

FI CI A

Ta có: Hàm số f ( x ) xác định trên ℝ

x2 −1 = lim ( x + 1) = 2 và f (1) = 2 . x →1 x →1 x − 1 x →1 Suy ra hàm số đã cho liên tục tại x = 1 .  x −1 khi x > 1  Câu 29. [TH] Giá trị của tham số a để hàm số f ( x ) =  x − 1 liên tục tại điểm x = 1 là ax − 1 khi x ≤ 1  2 1 1 A. −1 . B. − . C. 1. D. . 2 2 Lời giải Ta có: Hàm số f ( x ) có tập xác định [ 0; +∞ )

lim f ( x ) = lim

x →1

x −1 = lim x − 1 x →1+

x −1

(

= lim+

1 1 = x +1 2

ƠN

Ta có: lim+ f ( x ) = lim+

)(

x −1

)

x +1

x →1

1 1 1  lim f ( x ) = lim−  ax −  = a − và f (1) = a − x →1  2 2 2 1 1 Hàm số liên tục điểm x = 1 ⇔ a − = ⇔ a = 1. 2 2  x −1 −1 khi 1 ≤ x ≠ 2  Câu 30. [TH] Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − 2 liên tục tại điểm x = 2 .  1− m khi x=2  3 1 A. B. 2 C. 1 D. 2 2 Lời giải Ta có: x −1 −1 x−2 1 1 lim = lim = lim = x→2 x→2 x−2 ( x − 2 ) x − 1 + 1 x→2 x − 1 + 1 2

QU Y

x →1−

(

)

(

)

1 1 = 1− m ⇔ m = x→2 2 2 Câu 31. [TH] Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AD và BC . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. GA + GB + GC + GD = 2IJ B. GA − GB + GC − GD = 0 . C. GA + GB + GC + GD = GI − GJ . D. AB + DC = 2IJ . Lời giải Ta có: → → AB + DC = AI + IJ + JB + DI + IJ + JC = AI + DI + JB + JC + 2IJ = 0 + 0 + 2IJ = 2IJ Câu 32. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A' B 'C ' D ' có cạnh 2a . Tích vô hướng AC. AD' bằng: A. 4a. . B. 2a 2 . C. a 2 . D. 4a 2 .

DẠ

KÈ

Hàm số liên tục tại điểm x = 2 khi và chỉ khi lim f ( x) = f (2) ⇔

Trang 11

(

) (

)

Lời giải Ta có:

B. 90○ .

C. 45○ . Lời giải

D. 60○ .

(

) (

)

ƠN

A. 30○ .

FI CI A

Tam giác ACD ' là tam giác đều cạnh 2 2a nên AC. AD ' = 2a 2.2a 2.cos600 = 4a 2 Câu 33. [TH] Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' cạnh a . Góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' bằng:

′A′D = 60○ (Vì tam giác C′A′D là tam giác đều AC; DA′ = A′C ′; DA′ = C + Có AC A′C ′ nên

cạnh bằng a 2 ). Câu 34. [TH] Cho tứ diện ABCD có AC = 6; BD = 8 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC . Biết AC ⊥ BD. Tính độ dài đoạn thẳng MN . B. MN = 7 .

C. MN = 10 . Lời giải

D. MN = 5 .

KÈ

QU Y

A. MN = 10 .

DẠ

+ Gọi P là trung điểm của CD . Dễ thấy MP AC và NP BD ( Tính chất đường trung bình); mà AC ⊥ BD  MP ⊥ NP hay tam giác MNP vuông tại P . 1 1 + Lại có MP = AC = 3; NP = BD = 4  MN = MP 2 + NP2 = 32 + 42 = 5 . 2 2 Câu 35. [TH] Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC ; AB ⊥ BD . Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của AB, CD . Chọn khẳng định đúng: A. AB ⊥ PQ . B. AB ⊥ CD .

Trang 12

D. AC ⊥ PQ . Lời giải

)

PHẦN II. TỰ LUẬN

( AB.AC + BD.AB ) = 0  AB ⊥ PQ .

(

( AC + BD ) .

ƠN

1  PQ = PA + AC + CQ + Có   PQ = 2  PQ = PB + BD + DQ 1 1 + Vậy PQ. AB = AC + BD . AB = . 2 2 (Vì AB ⊥ AC ; AB ⊥ BD ).

FI CI A

C. BD ⊥ AC .

1 1 + ... + n 2 2 Bài 1. [ VD] Tính giới hạn sau: lim n →∞ 1 1 1 + + ... + n 3 3 Lời giải Tử và mẫu là tổng các số hạng của cấp số nhân nên ta có:

QU Y

1 1−   1 1 2 1 + + ... + n =   1 2 2 1− 2

n +1

  1  n +1  = 2 1 −    .   2  

KÈ

1 1−   n +1 1 1 3  1  3  1 + + ... + n = = 1 −    . 1 3 3 2   3   1− 3 n +1   1  n +1  1 1 1 2 1 −     1 − 1 + + ... + n   2 2 = lim   2   = 4 lim  2  = 4 .  lim n →∞ 1 1 n→∞ 3   1  n +1  3 n→∞  1  n +1 3 1 + + ... + n 1−   1 −  3 3 2   3   3

Y DẠ Trang 13

n +1

1 1 + ... + n 2 2 = 4. Vậy: lim n →∞ 1 1 1 + + ... + n 3 3 3 Bài 2. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , C′D′ . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AP .

FI CI A

(

Lời giải

) (

)

ƠN

, AP = AC, AP . Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a và MN //AC nên: MN 2

a 5 a Vì ∆A′D′P vuông tại D′ nên A′P = A′D′ + D′P = a +   = . 2 2 2

a 5 3a . ∆AA′P vuông tại A′ nên AP = A′A + A′P = a +   = 2  2  2

a2 a 5 . = 4 2 Ta có AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên AC = a 2 Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có: CP 2 = AC 2 + AP 2 − 2 AC. AP.cos CAP = 1  cos CAP 2 = 45° < 90°  CAP

(

QU Y

∆CC′P vuông tại C′ nên CP = CC ′2 + C ′P 2 = a 2 +

)

(

)

= 45° hay MN; AC; AP = CAP AP = 45° . Vậy

KÈ

Bài 3 . Tùy theo giá trị của tham số m , tính giới hạn lim Tính giới hạn lim

x →−∞

(

x →−∞

(

)

8 x3 + 5 x 2 + 1 − 9 x 2 + 3 x + 5 + mx .

Lời giải 3

)

8 x + 5 x + 1 − 9 x + 3 x + 5 + mx .

DẠ

Trang 14

 Nếu m = −5 thì lim

x →−∞

= lim   x →−∞ 

(

8 x3 + 5 x 2 + 1 − 9 x 2 + 3x + 5 − 5 x

) (

8 x3 + 5 x 2 + 1 − 2 x −

9 x 2 + 3 x + −5 + 3 x  

)

3 2 2   3 8 x 3 + 5 x 2 + 1 − (2 x)3 9 x 2 + 3 x − 5 − ( 3x )   = lim  − 2  x →−∞ 3 3 3 2 3 2 2 9 x 2 + 3x − 5 − 3x   8x + 5x + 1 + 2 x ⋅ 8x + 5x + 1 + 4x     3 2 3 2 2   8x + 5x + 1 − 8x 9 x + 3x − 5 − 9 x  = lim  − 2 x →−∞ 3 5  3 8 x3 + 5 x 2 + 1 + 2 x ⋅ 3 8 x3 + 5 x 2 + 1 + 4 x 2  x ⋅ 9 + − 2 − 3x   x x      1  5  2 x 5 + 2  x3−    x  x    = lim  − 2 x →−∞     2  3 5  1 1 1 1  x  3 8 + 5 ⋅ + 3  + 2 3 8 + 5 ⋅ + 3 + 4  − x  9 + x − x 2 + 3   x x  x x       5 3 = + 2+ 4+ 4 3+3 = 1.

)

(

)

(

)

FI CI A

(

Nếu m < −5 thì lim

x →−∞

(

8 x 3 + 5 x 2 + 1 − 9 x 2 + 3 x − 5 + mx

ƠN



= lim  3 8x3 + 5x2 + 1 − 2 x − x →−∞   = +∞ . 

Nếu m > −5 thì lim

x →−∞

(

)(

(

9 x 2 + 3x − 5 + 3x + (m + 5) x  

8 x 3 + 5 x 2 + 1 − 9 x 2 + 3x − 5 + mx

)

= lim  3 8 x3 + 5 x 2 + 1 − 2 x − 9 x 2 + 3 x − 5 + 3x + (m + 5) x   x →−∞   = −∞ . −cos 2 x.sin 2 x + m cos x − 3m + 1 Chứng minh phương trình = m luôn có nghiệm với mọi m > 1 . sin 2 x − cos x − 3 Lời giải cos 2 x.sin 2 x − m cos x + 3m − 1 −cos 4 x + cos 2 x − m cos x + 3m − 1 =m⇔ =m sin 2 x + cos x + 1 −cos 2 x + cos x + 2 Điều kiện: cos x ≠ −1 . Với điều kiện trên ta có Phương trình ⇔ cos 4 x − cos 2 x + m cos x − 3m + 1 = m cos 2 x − cos x − 2

) (

)

QU Y

(

Bài 4.

)

(

)

⇔ cos4 x − ( m + 1) cos2 x + 2m cos x − m + 1 = 0 .

KÈ

Xét hàm số f ( x ) = cos4 x − ( m + 1) cos2 x + 2m cos x − m + 1 là hàm liên tục trên ℝ nên cũng liên

 π π  tục trên  0;  . Mặt khác f   = 1 − m < 0 (vì m > 1 ) và  2 2 f ( 0 ) = 1 − ( m + 1) + 2m − m + 1 = 1 > 0 .

DẠ

π  Suy ra: f ( 0 ) . f   < 0 . 2

 π Do đó phương trình f ( x ) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm x0 ∈  0;  (thỏa mãn điều kiện).  2

Trang 15

Vậy phương trình

−cos 2 x.sin 2 x + m cos x − 3m + 1 = m luôn có nghiệm với mọi m > 1 . sin 2 x − cos x − 3

(đpcm)

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

HẾT.

Trang 16

C. lim Câu 2.

Câu 3.

1 = 0. n

D. lim

[NB] Tính giới hạn lim A.

B. lim qn = 0

2 . 3

[NB] Cho hai dãy số

2n + 1 . 3n + 2 3 B. . 2

1 . 2

D. 0 .

( un ) và ( vn ) có số hạng tổng quát u

Câu 5.

1 . 2

2n − 1 2 − 3n và vn = vớ i n ≥ 1 . n +1 n

ƠN

C. −1 .

Trong ba dãy số đã cho, có bao nhiêu dãy số có giới hạn bằng 0? A. 1. B. 2. C. 0. n

[NB] Hai dãy số ( un ) và ( vn ) cho bởi un = A.

QU Y

Câu 6.

5 . 2

n2 + 1 ; vn = n , với ∀n ≥ 1 . Tính lim ( vn − un ) . [NB] Hai dãy số ( un ) và ( vn ) cho bởi un = n A. 1 . B. 0 . C. −∞ . D. +∞ . n 3n 1 π [NB] Cho ba dãy số: ( un ) ; ( vn ) ; ( wn ) với un = n ; vn =   ; wn = n +1 , với ∀n ≥ 1 . 4 2 3

Câu 4.

( q > 1) .

1 = 0 , vớ i k ∈ ℕ * . k n

Tính lim ( un + vn ) .

A. 5 .

8 . 15

B. + ∞ .

D. 3.

2 4 ; vn = n ∀n ≥ 1 . Tính lim ( un .vn ) . n 5 3 C. 0 .

D. − ∞ .

Câu 7. [NB] Cho hai dãy ( un ) ; ( vn ) biết un = 4n , ∀n ∈ ℕ* , vn = 2.3n + 4n , ∀n ∈ ℕ* . Giới hạn lim bằng

KÈ

1 . 2 x2 + 2 x + 1 Câu 8. [NB] Giới hạn lim bằng x→−1 2 x3 + 2

A. 1 .

A. −∞ .

4 . 3

B. 0 .

1 . 2

D. +∞ .

C. 0 .

D. −∞ .

C. −14 .

D. −6 .

x −3 bằng x→3 5 x − 15 1 −1 A. . B. . 5 5 Câu 10. [ NB] Giới hạn lim ( x 2 + 3 x − 4 ) bằng

1 . 3

DẠ

Câu 9. [NB] Giới hạn lim−

Trang 1

I. TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Phát biểu nào sau đây là sai ? A. lim un = c ( un = c là hằng số ).

FI CI A

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 35 câu TN, 5 câu tự luận)

ĐỀ SỐ 2

x →−2

A. 6 .

B. −2 .

un vn

x2 − x + 1 bằng x →1 x2 − 1 A. −∞ . B. −1 . 2 x − 2x + 3 − x Câu 12. [ TH] Giới hạn lim bằng x →−∞ 2x −1 Câu 11. [ TH] Giới hạn lim+

B. 0 .

D. +∞ .

FI CI A

A. −1 .

C. 1 .

1 D. − . 2

C. −∞ .

ƠN

Câu 13. [NB] Cho lim f ( x ) = −2, lim g ( x ) = 3 . Tính lim  f ( x ) + 2 g ( x )  . x →1 x →1 x →1 A. 4 . B. 8 . C. 1. D. 5 . Câu 14. [NB] Hàm số nào dưới đây liên tục tại x = 1 ? x2 + 1 x−2 x−2 A. y = . B. y = . C. y = x − 2 . D. y = . x −1 x −1 x +1 1 Câu 15. [NB] Số điểm gián đoạn của hàm số y = 4 là x − 3x 2 + 2 A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 . Câu 16. [NB] Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M là trung điểm của BB '

QU Y

Ảnh của đoạn thẳng A ' M qua phép chiếu song song theo phương chiếu A ' A lên mặt phẳng ( ABCD ) là đoạn thẳng

KÈ

A. AM . B. AB . C. A ' B . D. A ' B ' . Câu 17. [NB] Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Ba vectơ AD, A ' C ', DD ' đồng phẳng. B. Ba vectơ AB, BC , DD ' đồng phẳng. C. Ba vectơ AB, AD, AA ' đồng phẳng. D. Ba vectơ B ' C ', AD, DC đồng phẳng. Câu 18. [NB] Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. AB + AD + AA ' = AC ' . B. AB + AD + AA ' = 0 . C. AC ' = A ' C . D. AD + DC + DD ' = DB ' . Câu 19. [NB] Trong không gian cho hai vectơ u và v đều khác vectơ – không. Tìm mệnh đề đúng. A. u.v = u.v.cos (u , v) . B. u.v = u . v . C. u.v = u . v .cos(u , v) . D. u.v = cos (u , v) .

DẠ

Câu 20. [NB] Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Tìm mệnh đề đúng.

Trang 2

FI CI A

L A. 4 .

B. ( AA ', BC ) = ( AC , BC ) . D. ( AA ', BC ) = ( BB ', BC ) .

B. 2 .

1 . 2

A. ( AA ', BC ) = ( BD, BC ) . C. ( AA ', BC ) = ( AB, BC ) . 4 n + 2021 Câu 21. [TH] Tính giới hạn lim . 2n + 1

D. 2021 .

x −>−∞

B. −∞ . x2 − x + 1 . Câu 25. [TH] Tìm giới hạn A = lim x →1 x +1 1 B. . A. −∞ 2 4x +1 −1 Câu 26. [TH] Tính giới hạn K = lim . x →0 x 2 − 3x 2 A. K = 0 . B. K = − . 3 2 x +1 Câu 27. [TH] Cho hàm số f ( x) = 2 .Khi đó x + 5x + 6 đây? A. ( −∞;3 ) . B. ( −4;7 ) .

KÈ

QU Y

A. +∞ .

ƠN

2 4 2n Câu 22. [ TH] Tính tổng S = 1 + + + ... + n + ... 3 9 3 A. S = 3 . B. S = 4 . C. S = 6 . D. S = 5 . n 3 −1 a a = ( a, b ∈ Z và Câu 23. [ TH] Cho lim n là phân số tối giản). Tính giá trị của 2a + b n 2 − 2.3 + 1 b b A. 1. B. 3 . C. −1 . D. 0 . 3 Câu 24. [ TH] Giá trị của giới hạn lim ( x − x + 1) là

C. 0 .

D. 1.

C. 1.

D. +∞ .

C. K =

2 . 3

D. K =

4 . 3

hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng nào sau

C. ( −3; 2 ) .

D. ( −2; +∞ ) .

DẠ

 x −1 − 2 khi x ≠ 5  Câu 28. [TH] Cho hàm số f ( x) =  x − 5 .Để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 5 thì a thuộc a − 1 khi x = 5  khoảng nào dưới đây?  3  1 1  3  A.  1;  . B.  0;  C.  ;1  D.  ; 2  .  2  2 2  2  x+4 Câu 29. [TH] Cho hàm số f ( x) = 2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất? x − x−6 A. Hàm số liên tục trên ( −∞ ; − 2 ) , ( −2;3) và ( 3; + ∞ ) .

Trang 3

B. Hàm số liên tục trên ( −∞ ; − 3) , ( −3; 2 ) và ( 2; + ∞ ) . C. Hàm số liên tục trên [ −4; − 3 ) , ( −3; 2 ) và ( 2; + ∞ ) .

D. Hàm số liên tục trên [ −4; − 2 ) , ( −2;3) và ( 3; + ∞ ) .

FI CI A

Câu 30. [TH] Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên ℝ ? 3 2x − 5 A. y = sin x − 2 tan x . B. y = . C. y = 2 . D. y = 9 − x 2 . cos x − 1 x − x +1 Câu 31. [TH] Cho hình lập phương ABCD . A′B ′C ′D ′ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB, DD ' ?

A. 450 . B. 600 . C. 1200 . D. 900 . Câu 32. [TH] Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc ( IJ , CD ) bằng

C. AB '.CD ' = 0 .

A. 30° . B. 45° . C. 60° . D. 90° . ' ' ' ' Câu 33. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A B C D , có cạnh a . Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

B. AD '.AB ' = a . D. AC ' = a 3 . Câu 34. [ TH] Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có AA′ = a, AB = b, AC = c . Hãy phân tích (biểu diễn) véc tơ BC ′ qua các véc tơ a, b, c .

ƠN

A. AD '.CC ' = −a .

A. BC ′ = − a + b − c . B. BC ′ = − a − b + c . C. BC ′ = a − b + c . D. BC ′ = a + b − c . Câu 35. [ TH] Cho tứ diện ABCD , gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Biết luôn tồn tại số thực k

(

2 1 + ax 2 − bx − 1 =c. x →1 x3 − 3x + 2  x3 + 8 x + m khi x ≠ 1  [VD] Cho hàm số f ( x ) =  x − 1 , với m , n là các tham số thực. Biết rằng hàm n khi x = 1 

[VDC] Tìm a , b , c ∈ ℝ để lim

Câu 3.

. 9n2 + 3n [ VD] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh A’B’ và BC . a) Chứng minh rằng MN ⊥ AC ' . b) Chứng minh rằng AC ' ⊥ ( A ' BD ) .

KÈ

Câu 2.

4n2 − n + 1 − n

QU Y

b. un =

)

thỏa mãn đẳng thức vecto AB + AC + AD = k.AG . Hỏi số thực đó bằng bao nhiêu ? A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 3 . II. TỰ LUẬN Câu 1 [TH] Tính giới hạn của các dãy số sau: a. un = n n + 1 − n .

Câu 4.

số f ( x ) liên tục tại x = 1 , khi đó hãy tính giá trị của biểu thức P = m + n ?

[VD] Chứng minh phương trình ( m 2 + 1) x3 − 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 = 0 có đúng ba nghiệm phân

Câu 5.

DẠ

biệt.

Trang 4

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.

2.A 12.A 22.A 32.C

3.C 13.A 23.D 33.A

BẢNG ĐÁP ÁN 5.B 6.C 7.A 15.B 16.B 17.D 25.B 26.B 27.D 35.D

4.B 14.B 24.A 34.C

[NB] Phát biểu nào sau đây là sai ? A. lim un = c ( un = c là hằng số ). C. lim

8.B 18.A 28.A

B. lim qn = 0

1 = 0. n

D. lim

9.B 19.C 29.D

10.D 20.D 30.C

FI CI A

1.B 11.D 21.B 31.D

I. TRẮC NGHIỆM

( q > 1) .

1 = 0 , vớ i k ∈ ℕ * . k n

[NB] Tính giới hạn lim A.

2 . 3

2n + 1 . 3n + 2 3 B. . 2

1 . 2

D. 0 .

ƠN

Câu 2.

Lời giải Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì lim qn = 0 ( q < 1) .

Câu 3.

[NB] Cho hai dãy số

( un ) và ( vn ) có số hạng tổng quát u

Tính lim ( un + vn ) .

1 . 2

C. −1 .

QU Y

A. 5 .

Lời giải 1 2+ 2n + 1 n = 2. Ta có: lim = lim 2 3 3n + 2 3+ n

Ta có:

2n − 1 2 − 3n và vn = vớ i n ≥ 1 . n +1 n

5 . 2

Lời giải

KÈ

1  n2 −  2n − 1 n lim un = lim = lim  = 2. n +1  1 n 1 +   n 2  n  − 3 2 − 3n n  = −3 . lim vn = lim = lim  n n Theo định lý: Nếu lim un = a ; lim vn = b (với a , b ∈ ℝ ) thì lim ( un + vn ) = a + b . Vậy lim ( un + vn ) = 2 + ( −3) = −1 .

[NB] Hai dãy số ( un ) và ( vn ) cho bởi un =

Câu 4.

DẠ

A. 1 .

Trang 5

B. 0 .

n2 + 1 ; vn = n , với ∀n ≥ 1 . Tính lim ( vn − un ) . n C. −∞ . D. +∞ .

Lời giải



Ta có lim ( vn − un ) = lim  n −



n +1  −1  = lim = 0. n  n 2

Trong ba dãy số đã cho, có bao nhiêu dãy số có giới hạn bằng 0? A. 1. B. 2. C. 0. Lời giải Ta thấy: lim q n = 0 nếu q < 1 ; lim q n = + ∞ nếu q > 1 . Do đó:

1 2

 lim un = lim   = 0 vì 0 <

1 <1 2

π π   = + ∞ vì > 1 3 3  1  3 n  3n 3  lim wn = lim n+1 = lim  .    = 0 vì 0 < < 1 . 4 4  4  4   2n 4n [NB] Hai dãy số ( un ) và ( vn ) cho bởi un = n ; vn = n ∀n ≥ 1 . Tính lim ( un .vn ) . 5 3

 lim vn = lim 

8 . 15

B. + ∞ .

C. 0 .

ƠN

Câu 6.

D. 3.

[NB] Cho ba dãy số: ( un ) ; ( vn ) ; ( wn )

FI CI A

Câu 5.

n 3n 1 π  với un = n ; vn =   ; wn = n +1 , với ∀n ≥ 1 . 4 2 3

D. − ∞ .

Lời giải n

 8 8  = lim   = 0 vì 0 < < 1. 15  15  

2 4 Ta có lim ( un .vn ) = lim  n . n 5 3 n

Câu 7. [NB] Cho hai dãy ( un ) ; ( vn ) biết un = 4n , ∀n ∈ ℕ* , vn = 2.3n + 4n , ∀n ∈ ℕ* . Giới hạn lim bằng

A. 1 .

1 . 2

4 . 3

1 . 3

1 . 2

D. + ∞ .

QU Y

Lời giải u 4 1 Ta có: lim n = lim n = lim = 1. n n vn 2.3 + 4 3 2.   + 1 4 2 x + 2x +1 Câu 8. [NB] Giới hạn lim bằng x→−1 2 x3 + 2 n

B. 0 .

KÈ

A. −∞ .

Lời giải

Ta có: lim

x→−1

x + 2x +1 3

2x + 2

Câu 9. [NB] Giới hạn lim−

DẠ

Trang 6

1 . 5

x→3

( x + 1)2 x →−1 2 ( x + 1) x 2 − x + 1 ( )

= lim

x −3 5 x − 15

= lim

x →−1 2

x +1

( x 2 − x + 1)

= 0.

bằng

−1 . 5

C. 0 . Lời giải

Với x < 3 thì x − 3 = 3 − x .

D. −∞ .

un vn

x−3 − x + 3 −1 = lim− = . x→3 5 x − 15 x→3 5 x − 15 5 2 Câu 10. [ NB] Giới hạn lim ( x + 3 x − 4 ) bằng Ta có: lim−

B. −2 .

C. −14 . Lời giải

D. −6 .

Ta có: lim ( x 2 + 3 x − 4 ) = 4 − 6 − 4 = −6 . x →−2

Câu 11. [ TH] Giới hạn lim+ x →1

A. −∞ .

x2 − x + 1 bằng x2 − 1 B. −1 .

C. 1 . Lời giải 2 2 Vì lim+ ( x − x + 1) = 1 > 0 và lim+ ( x − 1) = 0 ; x2 −1 > 0, ∀x > 1 . x →1

x →1

nên lim+

B. 0 .

C. −∞ .

ƠN

A. −1 .

D. +∞ .

x − x +1 = +∞ . x →1 x2 − 1 x2 − 2x + 3 − x Câu 12. [ TH] Giới hạn lim bằng x →−∞ 2x −1

FI CI A

A. 6 .

x →−2

1 D. − . 2

x →1

B. 8 .

x →1

C. 1. Lời giải Ta có lim  f ( x ) + 2 g ( x )  = lim f ( x ) + 2 lim g ( x ) = −2 + 2.3 = 4 . x →1 x →1 x →1 Câu 14. [NB] Hàm số nào dưới đây liên tục tại x = 1 ? x−2 x−2 A. y = . B. y = . C. y = x − 2 . x −1 x +1 Lời giải

QU Y

A. 4 .

Lời giải 2 3 − 1− + 2 −1 x2 − 2x + 3 − x x x Ta có: lim = lim = −1 . x →−∞ x →−∞ 1 2x −1 2− x Câu 13. [NB] Cho lim f ( x ) = −2, lim g ( x ) = 3 . Tính lim  f ( x ) + 2 g ( x )  . D. 5 .

D. y =

x2 + 1 . x −1

x2 + 1 x−2 và y = có tập xác định là ℝ \ {1} nên loại đáp án A, D. x −1 x −1 Hàm số y = x − 2 có tập xác định là [ 2; +∞ ) mà 1 ∉ [ 2; +∞ ) . Loại đáp án C.

KÈ

Hàm số y =

x−2 có tập xác định là ℝ \ {−1} x +1 nên liên tục trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; + ∞ ) do đó hàm số liên tục tại x = 1 .

Hàm phân thức liên tục trên tập xác định của nó. Hàm số y =

DẠ

Câu 15. [NB] Số điểm gián đoạn của hàm số y =

Trang 7

A. 1 .

B. 4 .

1 là x 4 − 3x2 + 2 C. 2 . Lời giải

 x2 = 1  x = ±1 Ta có x 4 − 3 x 2 + 2 = 0 ⇔  2 . ⇔ x = ± 2 x = 2

D. 3 .

{

}

Khi đó hàm số xác định trên ℝ \ ±1; ± 2 .

FI CI A

Vậy hàm số có bốn điểm gián đoạn. Câu 16. [NB] Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M là trung điểm của BB '

Ảnh của đoạn thẳng A ' M qua phép chiếu song song theo phương chiếu A ' A lên mặt phẳng ( ABCD ) là đoạn thẳng B. AB .

C. A ' B . D. A ' B ' . Lời giải Ảnh của điểm A′ qua phép chiếu song song theo phương chiếu A ' A lên mặt phẳng ( ABCD )

ƠN

A. AM .

là điểm A . Ta có MB // A ' A và MB ∩ ( ABCD ) = { B} nên ảnh của điểm M qua phép chiếu song song

theo phương chiếu A ' A lên mặt phẳng ( ABCD ) là điểm B .

Vậy ảnh của đoạn thẳng A ' M qua phép chiếu song song theo phương chiếu A ' A lên mặt phẳng ( ABCD ) là đoạn thẳng AB .

KÈ

QU Y

Câu 17. [NB] Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Ba vectơ AD, A ' C ', DD ' đồng phẳng. B. Ba vectơ AB, BC , DD ' đồng phẳng. C. Ba vectơ AB, AD, AA ' đồng phẳng. D. Ba vectơ B ' C ', AD, DC đồng phẳng. Lời giải

Ta có B ' C ' // BC  B ' C ' // ( ABCD ) .

DẠ

Vậy mặt phẳng ( ABCD ) chứa hai vectơ AD, DC và song song với vectơ B ' C ' nên ba vectơ B ' C ', AD, DC đồng phẳng. Câu 18. [NB] Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. AB + AD + AA ' = AC ' . B. AB + AD + AA ' = 0 . C. AC ' = A ' C . D. AD + DC + DD ' = DB ' . Lời giải

Trang 8

L FI CI A

Lời giải

Ta có u.v = u . v .cos(u, v) .

Theo quy tắc hình hộp ta có: AB + AD + AA ' = AC ' . Câu 19. [NB] Trong không gian cho hai vectơ u và v đều khác vectơ – không. Tìm mệnh đề đúng. A. u.v = u.v.cos (u , v) . B. u.v = u . v . C. u.v = u . v .cos(u , v) . D. u.v = cos (u , v) .

ƠN

Câu 20. [NB] Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Tìm mệnh đề đúng.

QU Y

A. ( AA ', BC ) = ( BD, BC ) . C. ( AA ', BC ) = ( AB, BC ) .

B. ( AA ', BC ) = ( AC , BC ) . D. ( AA ', BC ) = ( BB ', BC ) . Lời giải

DẠ

KÈ

Do ABCD. A′B′C ′D′ là hình hộp  ABA ' B ' là hình bình hành  AA '/ / BB '  ( AA ', BC ) = ( BB ', BC ) 4 n + 2021 Câu 21. [TH] Tính giới hạn lim . 2n + 1 1 A. 4 . B. 2 . C. . D. 2021 . 2 Lời giải 2021 4+ 4n + 2021 n = 2. Ta có lim = lim 1 2n + 1 2+ n 2 4 2n Câu 22. [ TH] Tính tổng S = 1 + + + ... + n + ... 3 9 3 A. S = 3 . B. S = 4 . C. S = 6 . D. S = 5 . Lời giải

Trang 9

Ta có S là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = 1, q = 2 1− 3

=3 .

FI CI A

S=

2 . 3

3n − 1 a a là phân số tối giản). Tính giá trị của 2a + b = ( a, b ∈ Z và n n 2 − 2.3 + 1 b b A. 1 . B. 3 . C. −1 . D. 0 . Lời giải n 1 1−   3n − 1 −1  3 Ta có lim n . = lim = n n n 2 − 2.3 + 1 2 2 1   −2+  3  3 a = −1   2a + b = 0 . b = 2

Câu 23. [ TH] Cho lim

Câu 24. [ TH] Giá trị của giới hạn lim ( x − x3 + 1) là x −>−∞

C. 0 . Lời giải   1 1  Ta có lim ( x − x 3 + 1) = lim  x 3  −1 + 2 + 3   . x −>−∞ x −>−∞ x x    1 1 Vì lim x 3 = −∞ và lim  −1 + 2 + 3  = −1 < 0 nên x −>−∞ x −>−∞ x x   3 lim ( x − x + 1) = +∞ . x −>−∞

x2 − x + 1 . x →1 x +1 1 B. . 2

QU Y

Câu 25. [TH] Tìm giới hạn A = lim A. −∞

D. 1 .

ƠN

B. −∞ .

A. +∞ .

C. 1 .

D. +∞ .

Lời giải

x − x +1 1 −1 +1 1 = = . x →1 x +1 1+1 2 4x +1 −1 Câu 26. [TH] Tính giới hạn K = lim . x →0 x 2 − 3x 2 2 A. K = 0 . B. K = − . C. K = . 3 3 Lời giải 4x 4x +1 −1 Ta có K = lim = lim = lim 2 x →0 x → 0 x →0 x − 3x x ( x − 3) 4 x + 1 + 1 ( x − 3)

KÈ

Ta có: A = lim

(

DẠ Trang 10

(

)

4x + 1 + 1

4 . 3 =−

2 . 3

Câu 27. [TH] Cho hàm số f ( x) = đây? A. ( −∞;3 ) .

)

D. K =

x +1 .Khi đó hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng nào sau x + 5x + 6 2

B. ( −4;7 ) .

Lời giải  x ≠ −3 Hàm số có nghĩa khi x 2 + 5 x + 6 ≠ 0 ⇔  .  x ≠ −2

C. ( −3; 2 ) .

D. ( −2; +∞ ) .

Vậy theo định lí ta có hàm số f ( x ) =

x2 + 1 liên tục trên khoảng ( −∞; −3) ; ( −3; −2 ) và x2 + 5x + 6

( −2; +∞ ) .

(

)

Để hàm số liên tục tại x = 5 thì lim f ( x) = f ( 5 )  x →5

1 5 = a −1 ⇔ a = . 4 4

5  3 ∈  1;  thì hàm số liên tục tại x = 5 . 4  2

ƠN

Vậy với a =

FI CI A

 x −1 − 2 khi x ≠ 5  Câu 28. [TH] Cho hàm số f ( x) =  x − 5 .Để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 5 thì a thuộc a − 1 khi x = 5  khoảng nào dưới đây? 3 1 1 3 A.  1;  . B.  0;  C.  ;1  D.  ; 2  .  2  2 2  2  Lời giải Tập xác định D = ℝ . x −1 − 2 x −5 1 1 Ta có: lim f ( x) = lim = lim = lim = , f ( 5) = a − 1 . x →5 x →5 x → 5 x → 5 x −5 x −1 + 2 4 ( x − 5) x − 1 + 2

x+4 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất? x − x−6 A. Hàm số liên tục trên ( −∞ ; − 2 ) , ( −2;3) và ( 3; + ∞ ) . 2

Câu 29. [TH] Cho hàm số f ( x) =

B. Hàm số liên tục trên ( −∞ ; − 3) , ( −3; 2 ) và ( 2; + ∞ ) . C. Hàm số liên tục trên [ −4; − 3 ) , ( −3; 2 ) và ( 2; + ∞ ) . D. Hàm số liên tục trên [ −4; − 2 ) , ( −2;3) và ( 3; + ∞ ) .

QU Y

Lời giải Tập xác định của hàm số D = [ −4 ; + ∞ ) \ {−2 ;3} . Hàm số liên tục trên [ −4; − 2 ) , ( −2;3) và ( 3; + ∞ ) .

D. y = 9 − x 2 .

KÈ

Câu 30. [TH] Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên ℝ ? 3 2x − 5 A. y = sin x − 2 tan x . B. y = . C. y = 2 . cos x − 1 x − x +1 Lời giải π  Hàm số y = sin x − 2 tan x có tập xác định là ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ  . 2  3 Hàm số y = có tập xác định là ℝ \ {k 2π , k ∈ ℤ} . cos x − 1 Hàm số y = 9 − x 2 có tập xác định là [ −3;3] .

2x − 5 có tập xác định là ℝ . x − x +1 2x − 5 Do đó hàm y = 2 liên tục trên ℝ . x − x +1 Câu 31. [TH] Cho hình lập phương ABCD . A′B ′C ′D ′ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB, DD ' ? 2

DẠ

Hàm số y =

Trang 11

A. 450 .

B. 600 .

C. 1200 . Lời giải

D. 900 .

L FI CI A

Ta có : AB; DD ' = DC ; DD ' = 900 .

(

) (

)

A. 30° .

B. 45° .

C. 60° . Lời giải

I A

D. 90° .

ƠN

Câu 32. [TH] Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc ( IJ , CD ) bằng

QU Y

Từ giả thiết ta có: IJ // SB (do IJ là đường trung bình của ∆SBC ). Lại có AB / / CD (do ABCD là hình thoi)  ( IJ , CD ) = ( SB, AB ) . = 60°  ( SB, AB ) = SBA = 60°  ( IJ , CD ) = 60° . Mặt khác, ta lại có ∆SAB đều, do đó SBA

Câu 33. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A' B ' C ' D ' , có cạnh a . Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

C. AB '.CD ' = 0 .

DẠ

KÈ

A. AD '.CC ' = −a .

Trang 12

B. AD '.AB ' = a . D. AC ' = a 3 . Lời giải

Ta có: AD '.CC ' = AD '.AA ' = AD ' . AA ' cos450 = a 2 . AD '. AB ' = AD ' . AB ' cos600 = a 2 .

AB '.C D ' = AB '.BA' = 0 .

FI CI A

AC ' = AC ' = AC 2 + CC '2 = AB 2 + BC 2 + CC '2 = a 3 . Câu 34. [ TH] Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có AA′ = a, AB = b, AC = c . Hãy phân tích (biểu diễn) véc tơ BC ′ qua các véc tơ a, b, c . A. BC ′ = − a + b − c . B. BC ′ = − a − b + c . C. BC ′ = a − b + c . D. BC ′ = a + b − c . Lời giải

b C

A c

ƠN

a B'

Vì mặt bên ( BCC ′B′ ) là hình bình hành nên BC ′ = BB ′ + BC = AA′ + AC − AB = a − b + c nên BC ′ = a − b + c .

Câu 35. [ TH] Cho tứ diện ABCD , gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Biết luôn tồn tại số thực k

KÈ

QU Y

thỏa mãn đẳng thức vecto AB + AC + AD = k.AG . Hỏi số thực đó bằng bao nhiêu? A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 3. Lời giải

Ta có AB + AC + AD = 3AG + GB + GC + GD = 3AG . Vì G là trọng tâm ∆BCD nên GB + GC + GD = 0 .

DẠ

Vậy k = 3 . II. TỰ LUẬN Câu 1 [TH] Tính giới hạn của các dãy số sau: c. un = n n + 1 − n .

Trang 13

d. un =

(

)

4n2 − n + 1 − n 9n2 + 3n

Lời giải

a. Ta có:

(

)

n + 1 − n = lim

n = lim n +1 + n

 1  n  1 + + 1 n  

  1 1 1 1 − + − n 4 1   2 4 − + 2 −1 n n 4n 2 − n + 1 − n 2 −1 1 n n  = lim lim un = lim = lim  = = . 3 3 3 3 9n 2 + 3n n 9+ 9+ n n [ VD] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh A’B’ và BC . a) Chứng minh rằng MN ⊥ AC ' . b) Chứng minh rằng AC ' ⊥ ( A ' BD ) .

Lời giải A'

Câu 2.

1 1 = . 2 1 1+ +1 n

FI CI A

b. Ta có

= lim

ƠN

M B'

QU Y

a) Chứng minh rằng MN ⊥ AC ' . Ta có AC ' = AB + AD + AA ' . 1 1 MN = MB ' + B ' B + BN = AB − AA ' + AD . 2 2  1 1  AC '.MN = AB + AD + AA '  AB − AA ' + AD  2 2  1 1 1 1 = AB 2 − AB. AA ' + AB. AD − AD. AA ' + AD 2 + AB. AA ' − AA '2 + AA '. AD 2 2 2 2 1 1 2 Vì AB. AA ' = AB. AD = AD. AA ' = AB. AA ' = AA '. AD = 0 và AB + AD 2 − AA '2 = 0 . 2 2 Suy ra AC '.MN = 0 . Vậy MN ⊥ AC ' . b) Chứng minh rằng AC ' ⊥ ( A ' BD ) .

)

DẠ

KÈ

(

Trang 14

lim un = lim n

 A ' B ⊥ AB '  A ' B ⊥ B 'C '  Ta có   A ' B ⊥ ( AB ' C ')  A ' B ⊥ AC ' (1).  AB ', B ' C ' ⊂ ( AB ' C ' )  AB '∩ B ' C ' = B '  Chứng minh tương tự ta được BD ⊥ AC ' (2).

Từ (1) và (2) suy ra AC ' ⊥ ( A ' BD ) .

2 1 + ax 2 − bx − 1 =c. x →1 x3 − 3x + 2 Lời giải 2 3 Ta có: x − 3 x + 2 = ( x − 1) ( x + 2 ) .

[VDC] Tìm a , b , c ∈ ℝ để lim

FI CI A

Câu 3.

Do đó phương trình 2 1 + ax 2 − bx − 1 = 0  4 (1 + ax 2 ) − ( bx + 1) = 0 phải có nghiệm kép 2

x =1 ⇔ ( 4 a − b 2 ) x 2 − 2bx + 3 = 0 có nghiệm kép x = 1

3 ( x − 1)

  4a − b 2 ≠ 0 4a − b 2 ≠ 0   1   ⇔ ∆′ = b2 − 3 ( 4a − b2 ) = 0 ⇔ a = b2 ⇔ a = b = 3. 3   2 2 ( 4a − b ) . (1) − 2.b.1 + 3 = 0 1 2  3 b − 2b + 3 = 0 2

ƠN

2 2 1 + 3x 2 − 3x − 1 3 1 = lim 2 1 + 3 x2 + 3 x + 1 = lim = 3 1 x →1 x → x → 1 2 x − 3x + 2 ( x − 1) ( x + 2 ) 2 1 + 3x + 3x + 1 ( x + 2 ) 8

Khi đó lim

)

(

1 Suy ra c = . 8

1 Vậy a = b = 3 , c = . 8

 x3 + 8 x + m khi x ≠ 1  [VD] Cho hàm số f ( x ) =  x − 1 , với m , n là các tham số thực. Biết rằng hàm n khi x = 1 

QU Y

Câu 4.

số f ( x ) liên tục tại x = 1 , khi đó hãy tính giá trị của biểu thức P = m + n ? Lời giải Tập xác định D = ℝ . x3 + 8x + m m+9 Với x ≠ 1 ta có f ( x ) = = x2 + x + 9 + . x −1 x −1 f ( x ) liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f (1) (1) x →1

Nếu m + 9 ≠ 0 ⇔ m ≠ −9 thì không tồn tại lim f ( x ) vì lim+ f ( x ) ≠ lim− f ( x ) . x →1

x →1

Do đó m + 9 = 0 ⇔ m = −9 . Suy ra lim f ( x ) = lim ( x + x + 9 ) = 11 . 2

KÈ

x →1

Vậy (1) ⇔ n = 11 suy ra P = m + n = −9 + 11 = 2 .

Câu 5.

[VD] Chứng minh phương trình ( m 2 + 1) x3 − 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt.

DẠ

Lời giải Xét hàm số f ( x ) = ( m + 1) x − 2m x − 4 x + m 2 + 1 . Ta có

Trang 15

f ( −3) = −44m 2 − 14 < 0 f ( 0) = m2 + 1 > 0 f (1) = −2 < 0

f ( 2 ) = m2 + 1 > 0 Do đó f ( −3) f ( 0 ) < 0 , f ( 0 ) f (1) < 0 và f (1) f ( 2 ) < 0 .

Hàm số y = f ( x ) là hàm số đa thức nên liên tục trên ℝ , do đó liên tục trên các đoạn [ −3;0] ,

FI CI A

[ 0;1] và [1; 2] . Từ đó suy ra phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng ( −3;0 ) , ( 0;1) và (1;2) , tức là có ít nhất ba nghiệm phân biệt. Hơn nữa, f ( x ) là đa thức bậc ba nên có tối đa ba nghiệm.

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

Vậy phương trình ( m 2 + 1) x3 − 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt.

Trang 16

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 35 câu TN, 4 câu tự luận)

( −1) =

FI CI A

I. TRẮC NGHIỆM

ĐỀ SỐ 3

1 . Khẳng định nào sau đây là đúng ? n n a a A. lim n = +∞ . B. Không tồn tại lim n . bn bn a a D. lim n = 0 . C. lim n = 1 . bn bn Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với giới hạn còn lại? 3n + 1 1+ n 1− n 1 + 5n A. lim B. lim C. lim D. lim −3n − 3 n −1 n+2 6 − 5n Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? u A. Nếu lim un = a > 0 ; lim vn = 0 và vn < 0, ∀ n thì lim n = −∞ . vn

Cho 2 dãy số (an ), (bn ) với an

Câu 1.

Câu 3.

ƠN

Câu 2.

, bn =

B. lim q n = +∞ ( với q > 1 ).

C. lim n k = +∞ với k là một số nguyên dương. D. lim q n = 0 với q < 1 .

Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Dãy số ( un ) có giới hạn là số a (hay un dần tới a ) khi n → +∞ , nếu lim ( un − a ) = 0 .

Câu 4.

n →+∞

B. Dãy số ( un ) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu u n có thể lớn hơn một số dương tùy

QU Y

ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. Dãy số ( un ) có giới hạn +∞ khi n → +∞ nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. Dãy số ( un ) có giới hạn −∞ khi n → +∞ nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ

Câu 6.

B. lim q n = 0 nếu q > 1 . D. lim q n = +∞ nếu q > 1

Cho 2 dãy số ( un ) và ( vn ) thỏa mãn lim un = 2 , lim vn = 5 . Giá trị của lim

KÈ

Câu 5.

một số hạng nào đó trở đi. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ? 1 A. lim = 0 . n C. lim n k = +∞ với k nguyên dương.

un bằng: vn

5 2 . B. . C. 7 . D. 3 . 2 5 Cho lim ( un ) = 2, lim ( vn ) = −3 . Khi đó giá trị của giới hạn lim ( un .vn ) bằng?

A. Câu 7.

DẠ

Câu 8.

A. 1 . B. −6 . C. 5 . D. −1 Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) có giới hạn hữu hạn khi x dần tới x0 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. lim[ f ( x) − g ( x)] = lim g ( x) − lim f ( x) .

Trang 1

x → x0

B. lim[ f ( x) − g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) . x → x0

x → x0

C. lim[ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) . x → x0

x → x0

D. lim[ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) − lim g ( x) . x → x0

Giới hạn lim f ( x ) = L khi và chỉ khi : x → x0

A. lim+ f ( x) = L .

B. lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L .

C. lim− f ( x) = L .

D. lim+ f ( x) ≠ lim− f ( x).

x → x0

FI CI A

Câu 9.

x → x0

lim f ( x ) = 2 lim g ( x ) = −3 lim  f ( x ) + g ( x )  Câu 10. Cho x →1 , x →1 . Tính x →1  ? A. 5 . B. −5 . C. −1 . D. 1 . Câu 11. Giả sử ta có lim f ( x ) = a và lim g ( x ) = b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? x →+∞

B. lim  f ( x ) .g ( x )  = a. b . x →+∞

A. lim  f ( x ) + g ( x )  = a + b . x →+∞ C. lim

x →+∞

f ( x) g ( x)

a . b

x →+∞

D. lim  f ( x ) − g ( x )  = a − b . x →+∞

1 là xk A. 0 . B. +∞ . C. −∞ . D. −1 . k Câu 13. Với k là số nguyên dương và k là số lẻ, kết quả của giới hạn lim x là

Câu 12. Với k là số nguyên dương , kết quả của giới hạn lim

A. −∞ .

x →−∞

C. +∞ .

khi

x ≠2

khi

x =2

A. 3 . B. − 3 . C. ± 3 . Câu 15. Trong các hàm sau, hàm nào không liên tục trên khoảng (−1;1) :

QU Y

A. f (x ) = x 4 − x 2 + 2 .

D. 1 .

. Giá trị của m để f (x ) liên tục tại x = 2 là:

B. 0 . x 2 − 2x + 1 Câu 14. Cho hàm số f (x ) =  2 m − 2

ƠN

x →−∞

D. ±3.

B. f (x ) = sin x .

1 . D. f (x ) = 2x − 1 . x +1 Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? (Với giả thiết các đoạn thẳng và đường thẳng không song song hoặc trùng với phương chiếu). A. Phép chiếu song song bảo toàn thứ tự ba điểm thẳng hàng. B. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng. C. Hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. D. Hình chiếu song song của đườ ng th ẳng là đường thẳng. Câu 17. Trong không gian cho 3 vectơ u , v, w không đồng phẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Các vectơ u + v, v, w đồng phẳng. B. Các vectơ u + v, − 2u, 2w đồng phẳng. C. Các vectơ u + v, v, 2w không đồng phẳng. D. Các vectơ 2 u + v , − u , − v không đồng phẳng. 1 2 Câu 18. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , M , N là các điểm thỏa MA = − MD , NA ' = − NC . Mệnh 4 3 đề nào sau đây đúng ? A. MN ( AC ' B ) . B. MN ( BC ' D ) . 2

DẠ

KÈ

C. f (x ) =

Trang 2

(

)

Câu 21. Câu 22.

FI CI A

Câu 20.

3 2 . B. S = . 2 3 3 2 2n + n − 4 = L . Khi đó 1 − L2 bằng Câu 23. Biết lim 2 + n + 4n 3 3 A. 1 . B. . 4 5x − 3 lim x→−∞ x2 − 5 . Câu 24. Tính 3 3 A. . B. − . 5 5 2x + 1 lim Câu 25. Tính x → 0+ x bằng A. 2 . B. −∞ .

C. S = 2 .

ƠN

A. S =

Câu 19.

D. MN ( BC ' B ) . Cho tứ diện đều ABCD . Tích vô hướng AB.CD bằng? a2 a2 A. a 2 B. C. 0 D. − 2 2 0 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC = BAD = 60 . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và CD . B. 450 . C. 1200 . D. 90 0 . A. 60 0 . a.n2 + 4n 3 lim = . 8n2 + 3 4 Tìm a để A. a = 6 . B. a = 3 . C. a = 27 . D. a = 9 . 2 a.n + 4n 3 a 3 1 1 1 1 lim = ⇔ = ⇔ a = 6. Tính tổng: S = 1 − + − + ... + + ... 2 n −1 8n + 3 4 8 4 2 4 8 ( −2 )

C. MN ( A ' C ' D ) .

Câu 26. Cho lim

x →−∞

(

QU Y

C. 0 .

D. S =

1 . 4

C. 5 .

D. −5 .

D. 1 .

+∞ .

1 . 2

)

x + ax + 5 + x = 5 . Giá trị của a bằng bao nhiêu ?

A. 6 .

B. 10 . C. −10 . D. − 6 . x −4 khi x ≠ −2  Câu 27. Cho hàm số f ( x) =  x + 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?  −4 khi x = −2  A. Hàm số chỉ liên tục tại điểm x = − 2 và gián đoạn tại các điểm x ≠ −2 . B. Hàm số không liên tục trên ℝ . C. Hàm số liên tục trên ℝ . D. Hàm số không liên tục tại điểm x = − 2 .  x 3 − 27 , x≠3  Câu 28. Cho hàm số: f ( x ) =  x − 3 , tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 27 x=3  I. f ( x ) liên tục tại x = 3 .

KÈ

DẠ

II. f ( x ) gián đoạn tại x = 3 .

III. f ( x ) liên tục trên R .

Trang 3

A. I. và II.

B. I. và III.

C. Chỉ I.

D. II. và III.

FI CI A

 − x2 + x + 2 khi x ≠ 2  Câu 29. Cho hàm số f ( x ) =  x − 2 . Với giá trị nào của m thì hàm số liên tục mx + 2 khi x = 2  tại x0 = 2 . −5 5 A. . B. . C. 2 . D. −2 . 2 2

sao cho

QU Y

ƠN

 2x2 − x − 6 neáu x ≠ 2  Câu 30. Tìm tham số m để hàm số f ( x ) =  x − 2 liên tục trên ℝ . mx + 3 neáu x = 2  B. m = 1 . C. m = 2 . D. m = 4 . A. m = −1 . Câu 31. Cho hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ . Góc giữa hai đường thẳng BA′ và CC ' bằng: B. 450 . C. 600 . D. 900 . A. 300 . Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Góc giữa hai vectơ B ′D ′ và CD bằng A. 90° . B. 30° . C. 45° . D. 60° . Câu 33. Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC = AB = AC = 1 , BC = 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . B. 120° . C. 30° . D. 45° . A. 60° . Câu 34. Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm của hình bình hành ABEF và K là tâm của hình bình hành BCGF . Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. BD, AK , GF đồng phẳng. B. BD, IK , GF đồng phẳng. C. BD, EK , GF đồng phẳng. D. BD, IK , GC đồng phẳng. Câu 35. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD , G là trung điểm của đoạn thẳng IJ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ? A. GA + GB + GC + GD = 0 . B. GA + GB + GC + GD = 2 IJ . C. GA + GB + GC + GD = JI . D. GA + GB + GC + GD = 2 JI . II. TỰ LUẬN 2n − 4n 2 + n Câu 36. Tìm giới hạn: lim . n + n 2 − 2n Câu 37. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Hai điểm M, N lần lượt thuộc BC, CD BM 1 NC 3 = , = . Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, G đồng phẳng. BC 4 ND 2

Câu 38. Tìm giới hạn của B = lim x( x 2 + 2 x − 2 x 2 + x + x) ? x →+∞

DẠ

KÈ

3 Câu 39. Với m > 2 tìm số nghiệm của phương trình x − 2mx2 + 2 = 0 , với m > 2

Trang 4

4.A 14.C 24.D 34.B

Cho 2 dãy số (an ), (bn ) với an

Câu 1.

BẢNG ĐÁP ÁN 5.B 6.B 15.D 16.B 25.C 26.C 35.A

( −1) =

an = +∞ . bn a C. lim n = 1 . bn

9.B 19.C 29.A

10.C 20.D 30.C

1 . Khẳng định nào sau đây là đúng ? n a B. Không tồn tại lim n . bn a D. lim n = 0 . bn Lời giải

, bn =

Chọn B a a n Ta có: n = ( −1) . Do đó không tồn tại lim n . bn bn Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với giới hạn còn lại? 3n + 1 1+ n 1− n 1 + 5n A. lim B. lim C. lim D. lim −3n − 3 n −1 n+2 6 − 5n Lời giải Chọn B 3n + 1 1− n 1 + 5n Vì lim = lim = lim = −1 −3n − 3 n+2 6 − 5n 1+ n Còn lim =1 n −1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? u A. Nếu lim un = a > 0 ; lim vn = 0 và vn < 0, ∀ n thì lim n = −∞ . vn

QU Y

Câu 3.

ƠN

Câu 2.

8.C 18.B 28.B

A. lim

7.B 17.C 27.C

2.B 3.B 12.A 13.A 22.B 23.B 32.C 33.A I. TRẮC NGHIỆM

FI CI A

1.B 11.C 21.A 31.B

B. lim q n = +∞ ( với q > 1 ).

C. lim n k = +∞ với k là một số nguyên dương. D. lim q n = 0 với q < 1 .

KÈ

Câu 4.

Lời giải Chọn B Mệnh đề A đúng theo định lí về giới hạn vô cực. Mệnh đề B chỉ đúng với q thỏa mãn q > 1 còn với q < −1 thì không tồn tại giới hạn dãy số q n . Mệnh đề C và D đúng theo kết quả của giới hạn đặc biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Dãy số ( un ) có giới hạn là số a (hay un dần tới a ) khi n → +∞ , nếu lim ( un − a ) = 0 . n →+∞

DẠ

B. Dãy số ( un ) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. Dãy số ( un ) có giới hạn +∞ khi n → +∞ nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ

Trang 5

một số hạng nào đó trở đi. D. Dãy số ( un ) có giới hạn −∞ khi n → +∞ nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải

5 . 2

2 . 5

C. 7 .

Lời giải u 2 Áp dụng định lí về giới hạn hữu hạn, ta có lim n = . vn 5 Câu 7.

FI CI A

Cho 2 dãy số ( un ) và ( vn ) thỏa mãn lim un = 2 , lim vn = 5 . Giá trị của lim

Câu 6.

un bằng: vn

D. 3 .

Câu 5.

Chọn A Theo định nghĩa giới hạn ta chọn đáp án đúng là A Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ? 1 A. lim = 0 . B. lim q n = 0 nếu q > 1 . n C. lim n k = +∞ với k nguyên dương. D. lim q n = +∞ nếu q > 1 Lời giải Chọn B lim q n = 0 nếu q < 1 .

Cho lim ( un ) = 2, lim ( vn ) = −3 . Khi đó giá trị của giới hạn lim ( un .vn ) bằng?

B. −6 .

C. 5 . Lời giải.

D. −1

ƠN

A. 1.

Chọn B Ta có: lim ( un .vn ) = lim ( un ) .lim ( vn ) = 2. ( −3) = −6 Câu 8.

x → x0

Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) có giới hạn hữu hạn khi x dần tới x0 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. lim[ f ( x) − g ( x)] = lim g ( x) − lim f ( x) . x → x0

x → x0

B. lim[ f ( x) − g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) . x → x0

x → x0

QU Y

C. lim[ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) . x → x0

x → x0

D. lim[ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) − lim g ( x) . x → x0

x → x0

Lời giải và g ( x ) có giới hạn hữu hạn khi x dần tới x0 thì lim[ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) .

Theo định lý nếu x → x0

Câu 9.

f ( x)

x → x0

Giới hạn lim f ( x ) = L khi và chỉ khi :

x → x0

A. lim+ f ( x ) = L .

B. lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L .

C. lim− f ( x ) = L .

D. lim+ f ( x ) ≠ lim− f ( x ).

x → x0

KÈ

x → x0 x → x0

x → x0

Lời giải

Chọn B lim f ( x ) = L khi và chỉ khi lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L x → x0

x → x0

DẠ

lim f ( x ) = 2 lim g ( x ) = −3 lim  f ( x ) + g ( x )  Câu 10. Cho x →1 , x→1 . Tính x →1  ? A. 5 . B. −5 . C. −1 . Lời giải Chọn C Có lim  f ( x ) + g ( x )  = lim f ( x ) + lim g ( x ) = 2 + ( −3) = −1 . Trang 6

x →1

D. 1 .

Câu 11. Giả sử ta có lim f ( x ) = a và lim g ( x ) = b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? x →+∞

A. lim  f ( x ) + g ( x )  = a + b . x →+∞ x →+∞

f ( x) g ( x)

a . b

D. lim  f ( x ) − g ( x )  = a − b . x →+∞ Lời giải

Chọn C 1 là x →−∞ x k C. −∞ . Lời giải

Câu 12. Với k là số nguyên dương , kết quả của giới hạn lim A. 0 .

B. +∞ .

FI CI A

C. lim

B. lim  f ( x ) .g ( x )  = a. b . x →+∞

x →+∞

D. −1 .

Chọn A Câu 13. Với k là số nguyên dương và k là số lẻ, kết quả của giới hạn lim x k là A. −∞ .

B. 0 .

C. +∞ . Lời giải

Chọn A

khi

x ≠2

khi

x =2

B. − 3 .

D. 1 .

. Giá trị của m để f (x ) liên tục tại x = 2 là:

ƠN

x 2 − 2x + 1 Câu 14. Cho hàm số f (x ) =  2 m − 2

x →−∞

C. ± 3 . Lời giải

D. ±3.

x →2

Ta có lim(x − 2x + 1) = 1 . 2

x →2

Chọn C Hàm số liên tục tại x = 2 ⇔ lim f (x ) = f (2) .

m = 3  Vậy m − 2 = 1 ⇔  . m = − 3  Câu 15. Trong các hàm sau, hàm nào không liên tục trên khoảng (−1;1) :

QU Y

A. f (x ) = x 4 − x 2 + 2 . C. f (x ) =

1 . x +1 2

B. f (x ) = sin x . D. f (x ) = 2x − 1 .

DẠ

KÈ

Lời giải Chọn D Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? (Với giả thiết các đoạn thẳng và đường thẳng không song song hoặc trùng với phương chiếu). A. Phép chiếu song song bảo toàn thứ tự ba điểm thẳng hàng. B. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng. C. Hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. D. Hình chiếu song song của đường thẳng là đường thẳng. Lời giải Chọn B Câu 17. Trong không gian cho 3 vectơ u , v, w không đồng phẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Các vectơ u + v, v, w đồng phẳng. B. Các vectơ u + v, − 2u, 2w đồng phẳng.

Trang 7

C. Các vectơ u + v, v, 2w không đồng phẳng. D. Các vectơ 2 u + v , − u , − v không đồng phẳng.

(

)

FI CI A

(

Lời giải Chọn C Vì u, v, w không đồng phẳng nên :  u + v, v, w không đồng phẳng,  u + v, v, 2 w không đồng phẳng. u + v, − 2u, 2w không đồng phẳng.  Các vectơ 2 u + v , − u , − v hiển nhiên là đồng phẳng.

)

C. MN ( A ' C ' D ) .

1 2 Câu 18. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , M , N là các điểm thỏa MA = − MD , NA ' = − NC . Mệnh 4 3 đề nào sau đây đúng ? A. MN ( AC ' B ) . B. MN ( BC ' D ) .

D. MN ( BC ' B ) .

ƠN

Lời giải Chọn B

QU Y

Đặt BA = a, BB ' = b, BC = c thì a, b, c là ba vec tơ không đồng phẳng và BD = BA + AD = BA + BC = a + c BC ' = b + c, BA ' = a + b . 1 1 5 1 Ta có MA = − MD  BA − BM = − BD − BM  BM = BA + BD 4 4 4 4 4 BA + BD 4a + a + c 5a + c .  BM = = = 5 5 5 Tương tự 3a + 3b + 2c −2a + 3b + c 2 3 2 3 BN = , MN = BN − BM = = − a + c + (b + c) = − BD + BC ' 5 5 5 5 5 5 Suy ra MN , DB, BC ' đồng phẳng mà N ∉ ( BC ' D )  MN ( BC ' D ) . Câu 19. Cho tứ diện đều ABCD . Tích vô hướng AB.CD bằng? a2 a2 A. a 2 B. C. 0 D. − 2 2 Lời giải Chọn C

DẠ

KÈ

(

Trang 8

)

(

)

(

)

FI CI A

B AB.CD = CB − CA .CD = CB.CD − CA.CD = CB.CD.cos 600 − CA.CD.cos 600 = 0 .

(

)

ƠN

= BAD = 600 AB = AC = AD và BAC Câu 20. Cho tứ diện ABCD có . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và CD . A. 60 0 . B. 450 . C. 1200 . D. 90 0 . Lời giải Chọn D

QU Y

Ta có: AB.CD = AB. AD − AC = AB. AD − AB. AC = AB . AD cos AB, AD − AB . AC cos AB, AC = AB . AD cos 600 − AB . AC cos 600 Mà AC = AD  AB.CD = 0  AB, CD = 900

(

)

(

)

KÈ

a.n + 4n 3 a 3 = ⇔ = ⇔ a = 6. 2 8n + 3 4 8 4 2 a.n + 4n 3 lim = . a 8n2 + 3 4 Câu 21. Tìm để A. a = 6 . B. a = 3 . lim

C. a = 27 . Lời giải

Chọn A

DẠ

4  4 lim  a +  a+ a.n 2 + 4n n a  n = Ta có: lim = lim = . 2 3 3 8 8n + 3  8 + 2 lim  8 + 2  n n  

Trang 9

D. a = 9 .

a.n 2 + 4n 3 a 3 1 1 1 1 = ⇔ = ⇔ a = 6. Tính tổng: S = 1 − + − + ... + + ... 2 n −1 8n + 3 4 8 4 2 4 8 ( −2 )

A. S =

3 . 2

B. S =

2 . 3

C. S = 2 .

D. S =

FI CI A

Lời giải

1 . 4

ƠN

Chọn B 1 S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1; q = − . 2 u1 1 2 = = . Do đó ta có: S = 1− q  1 3 1−  −   2 3 2 2n + n − 4 = L . Khi đó 1 − L2 bằng Câu 23. Biết lim 2 + n + 4n 3 3 A. 1. B. . C. 0 . 4 Lời giải Chọn B 1 4  n3  2 + − 3  2n 3 + n 2 − 4 n n  2 1 Ta có lim = lim  = = . 3 1 2 + n + 4n  4 2 3 2 n  3 + 2 + 4 n n 

KÈ

QU Y

1 3 1 Suy ra L = . Khi đó 1 − L2 = 1 −   = . 2 4 2 5x − 3 lim x→−∞ x2 − 5 . Câu 24. Tính 3 3 A. . B. − . C. 5 . D. −5 . 5 5 Lời giải Chọn D Ta có: 3 3   3 x 5 −  x5 −  5− 5x − 3 x x  = lim   = lim x = −5 lim = lim  2 x →−∞ x →−∞ x →−∞ x →−∞ 5 5 5 x −5 . x 1− 2 −x 1− 2 − 1− 2 x x x 2x + 1 lim+ Câu 25. Tính x → 0 x bằng A. 2 . B. −∞ . C. +∞ . D. 1 . Lời giải Chọn C 2x + 1 Vì lim ( 2x + 1) = 1 ; x > 0 nên lim = +∞ + + x →0 x →0 x

DẠ

Câu 26. Cho lim

x →−∞

A. 6 .

Chọn C

Trang 10

(

)

x 2 + ax + 5 + x = 5 . Giá trị của a bằng bao nhiêu ? B. 10 .

C. −10 . Lời giải

1 . 2

Câu 22. lim

D. − 6 .

Cách 1: xlim →−∞

(

)

a.x + 5

x 2 + ax + 5 + x = lim

=−

a 2

x + ax + 5 − x a Mà lim x 2 + ax + 5 + x = 5  − = 5 ⇔ a = −10. x →−∞ 2 2 Cách 2: Bấm máy tính như sau x + Ax + 5 + x + CACL + x = −1010 .

)

FI CI A

(

x →−∞

 x2 − 4 khi x ≠ −2  Câu 27. Cho hàm số f ( x) =  x + 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?  −4 khi x = −2  A. Hàm số chỉ liên tục tại điểm x = − 2 và gián đoạn tại các điểm x ≠ −2 . B. Hàm số không liên tục trên ℝ . C. Hàm số liên tục trên ℝ . D. Hàm số không liên tục tại điểm x = − 2 . Lời giải Chọn C x2 − 4 + Với x ≠ −2 : f ( x) = . x+2 Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên hàm số liên tục trên ( −∞; −2), (−2; +∞ ) .

ƠN

x2 − 4 ( x − 2)( x + 2) = lim = lim ( x − 2) = −4 . x →−2 x + 2 x →−2 x →−2 x+2

Hàm số đã cho liên tục tại x = − 2 Vậy hàm số liên tục trên ℝ .  x 3 − 27 ,  Câu 28. Cho hàm số: f ( x ) =  x − 3  27 I. f ( x ) liên tục tại x = 3 .

x≠3

, tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

x=3

QU Y

II. f ( x ) gián đoạn tại x = 3 .

+ Tại x = − 2 : f ( −2) = −4 ; lim

III. f ( x ) liên tục trên R .

B. I. và III.

A. I. và II. Chọn B Ta có:

C. Chỉ I. Lời giải

D. II. và III.

( x − 3) ( x 2 + 3 x + 9 ) x 3 − 27 lim f ( x ) = lim = lim = lim ( x 2 + 3 x + 9 ) = 27 . x →3 x →3 x − 3 x →3 x →3 x−3 f ( 3) = 27 .

KÈ

Ta lại thấy lim f ( x ) = f ( 3) = 27 . x →3

Vậy hàm số liên tục tại x = 3 hay hàm số liên tục trên R .

DẠ

Trang 11

Lời giải

Chọn A TXĐ: D = ℝ

( x − 2 )( − x − 1) = lim − x − 1 = −3 . − x2 + x + 2 = lim ( ) x →2 x →2 x →2 x→2 x−2 x−2 f ( 2 ) = 2m + 2 .

FI CI A

lim f ( x ) = lim

Hàm số liên tục tại x0 = 2 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ −3 = 2m + 2 ⇔ m = x →2

−5 . 2

 2x − x − 6 neáu x ≠ 2  Câu 30. Tìm tham số m để hàm số f ( x ) =  x − 2 liên tục trên ℝ . mx + 3 neáu x = 2  A. m = −1 . B. m = 1 . C. m = 2 . D. m = 4 . Lời giải Chọn C Tập xác định D = ℝ . 2x2 − x − 6 + Nếu x ≠ 2 thì hàm số f ( x ) = liên tục trên các khoảng ( −∞; 2 ) và ( 2; +∞ ) . x−2 + Tại x = 2 : Ta có f ( 2 ) = 2m + 3 .

ƠN

( 2 x + 3)( x − 2 ) = lim 2 x + 3 = 7 2 x2 − x − 6 lim f ( x ) = lim = lim ( ) . x →2 x →2 x → 2 x →2 x−2 x−2 Hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ ⇔ f ( x ) liên tục tại điểm x = 2 ⇔ lim f ( x ) = f ( 2 ) x →2

⇔ 2m + 3 = 7 ⇔ m = 2 .

KÈ

QU Y

Vậy m = 2 . Câu 31. Cho hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ . Góc giữa hai đường thẳng BA′ và CC ' bằng: A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 900 . Lời giải Chọn B

A ' BB ' = 45° . Ta có CC ' //BB '  ( BA′, CC ' ) = ( BA′, BB ') =

DẠ

Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Góc giữa hai vectơ B ′D ′ và CD bằng A. 90° . B. 30° . C. 45° . D. 60° . Lời giải Chọn C

Trang 12

Ta có CD = B′A′  B′D ′, CD = B′D′, B′A′ = A′B′D′ = 45° .

(

) (

)

FI CI A

Câu 33. Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC = AB = AC = 1 , BC = 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . B. 120° . C. 30° . D. 45° . A. 60° . Lời giải Chọn A

ƠN

QU Y

Tam giác ABC vuông tại A vì AB = AC = 1 , BC = 2 . Tam giác SBC vuông tại S vì SB = SC = 1 , BC = 2 . 1 Ta có SC. AB = SC SB − SA = SC.SB − SC.SA = 0 − SC .SB.cos 60° = − . 2 SC. AB 1 Suy ra cos ( SC, AB ) = cos SC , AB = = . SC. AB 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 60° . Câu 34. Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm của hình bình hành ABEF và K là tâm của hình bình hành BCGF . Khẳng định nào dưới đây là đúng?

(

)

(

A. BD, AK , GF đồng phẳng.

KÈ

C. BD, EK , GF đồng phẳng.

DẠ

Chọn B

Trang 13

)

B. BD, IK , GF đồng phẳng.

D. BD, IK , GC đồng phẳng. Lời giải

H E

FI CI A

Vì I , K lần lượt là trung điểm của AF và CF . Suy ra IK là đường trung bình của tam giác AFC  IK // AC  IK // ( ABCD ) .

Mà GF // ( ABCD ) và BD ⊂ ( ABCD ) suy ra ba vectơ BD, IK , GF đồng phẳng.

(

) (

ƠN

Câu 35. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD , G là trung điểm của đoạn thẳng IJ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ? A. GA + GB + GC + GD = 0 . B. GA + GB + GC + GD = 2 IJ . C. GA + GB + GC + GD = JI . D. GA + GB + GC + GD = 2 JI . Lời giải Chọn A Ta có G là trung điểm của đoạn thẳng IJ nên GI + GJ = 0 . Lại có I là trung điểm của cạnh AB nên IA + IB = 0 và J là trung điểm của cạnh CD nên JC + JD = 0 . Từ đó ta có GA + GB + GC + GD = GI + IA + GI + IB + GJ + JC + GJ + JD = 2 GI + GJ + IA + IB + JC + JD = 0 .

) (

)

II. TỰ LUẬN

Ta có:

(

−1

M 1 n

(n − = lim

DẠ

)

(

)(

n + n − 2n

2 1+ 1− n

( 2n − = lim

)(

4n 2 + n 2n + 4n 2 + n 2

2n + 4n + n

) = lim

)

n 2 − 2n n + n 2 − 2n

Lời giải

1 4

lim n − n 2 − 2n



Trang 14

=−

KÈ

2+ 4+

= lim

n + n 2 − 2n

lim 2n − 4n + n



= lim

2n − 4n 2 + n

QU Y

Câu 36. Tìm giới hạn: lim

) = lim n − n + 2n = lim 2

n + n 2 − 2n

n + n − 2n

−n 2n + 4n 2 + n

2n − 4n 2 + n

1 =− . 4 n + n − 2n Câu 37. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Hai điểm M, N lần lượt thuộc BC, CD BM 1 NC 3 = , = . Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, G đồng phẳng. BC 4 ND 2

Lời giải BM 1 =  MC = −3MB  4AM = AC + 3AB (1). Ta có: BC 4 NC 3 =  2NC = −3ND  5AN = 2AC + 3AD (2). ND 2

Cộng vế với vế c ủa (1) vớ i (2), ta được: 4AM + 5AN AB + AC + AD = 3

B M

(3)

FI CI A

sao cho

Suy ra lim

(

)

phẳng. Suy ra bốn điểm A, M, N, G đồng phẳng.

= 2x

x →+∞

x2 + 2x − 2 x2 + x + x =

? Lờigiải 2 x2 + 2 x + 2 x x2 + 2 x − 4 x2 − 4 x x2 + 2x + 2 x2 + x + x

Ta có:

B = lim x( x 2 + 2 x − 2 x 2 + x + x)

ƠN

Câu 38. Tìm giới hạn của

C 1 AB + AC + AD (4). 3 4 5 Thay (3) vào (4) được: AG = AM + AN , từ hệ thức này chứng tỏ ba véc tơ AG, AM, AN đồng 9 9

Vì G trọng tâm ∆BCD nên AG =

x2 + 2x − x −1 x2 + 2x + 2 x2 + x + x −2 x

. ( x 2 + 2 x + 2 x 2 + x + x)( x 2 + 2 x + x + 1) Nên −2 x 2 B = lim x →+∞ ( x 2 + 2 x + 2 x 2 + x + x )( x 2 + 2 x + x + 1) −2 1 = lim =− . x →+∞ 4 2 1 2 1 ( 1 + + 2 1 + + 1)( 1 + + 1 + ) x x x x 3 Câu 39. Với m > 2 tìm số nghiệm của phương trình x − 2mx2 + 2 = 0 , với m > 2 Lời giải Xét hàm số f ( x ) = x 3 − 2mx 2 + 2 là hàm số liên tục trên ℝ Với m > 2 , ta có: f ( −1) = −1 − 2m + 2 = 1 − 2m < 0 (1)

KÈ

QU Y

f ( 0) = 2 > 0 ( 2)

DẠ

f (1) = 1 − 2m + 2 = 3 − 2m < 0 ( 3)

lim f ( x ) = +∞ ( 4 ) .

x →+∞

Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) và ( 4 )  f ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn −1 < x1 < 0 < x2 < 1 < x3 3

2 Do đó suy ra phương trình x − 2mx + 2 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

Trang 15

Trang 16

DẠ M

KÈ QU Y ƠN

FI CI A

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 35 câu TN, 4 câu tự luận)

D. lim vn = a nếu lim ( vn + a ) = 0 .

C. lim vn = 0 nếu lim ( vn − a ) = 0 . Câu 2.

[ NB] Cho lim un = 4 , lim vn = −1 . Khi đó lim ( un − vn ) bằng

Câu 3.

A. 3 . B. −4 . C. −5 . [ NB] Trong các kết quả sau, kết quả nào sai ? Nếu lim un = a và lim vn = b thì

D. 5 .

un a = . vn b C. lim ( un − vn ) = a − b . D. lim ( un .vn ) = a.b [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A. Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn −∞ khi n → +∞ , nếu u n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. B. Ta nói dãy số ( u n ) có giới hạn +∞ khi n → +∞ , nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn +∞ khi n → +∞ , nếu u n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. Ta nói dãy số ( u n ) có giới hạn +∞ khi n → +∞ , nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? n B. lim c = c với c là hằng số. A. lim q = 0, ∀q ∈ R .

QU Y

Câu 5.

ƠN

B. lim

A. lim ( un + vn ) = a + b .

Câu 4.

FI CI A

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A. lim vn = 0 nếu lim ( vn + a ) = 0 . B. lim vn = a nếu lim ( vn − a ) = 0 .

( −1) = 0 . 1 D. lim = 0 với k nguyên dương . k n n [ NB] Trong các kết quả sau, kết quả nào đúng ? C. lim

Câu 6.

A. Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì lim

vn =0. un

B. Nếu lim un = a , lim vn = 0 và vn > 0 với mọi n thì lim

un = +∞ . vn

KÈ

C. Nếu u n ≥ 0 với mọi n và lim un = a thì a ≥ 0 và lim un = a . D. Nếu lim un = +∞ và lim vn = a thì lim un vn = +∞ . Câu 7.

[ NB] Cho lim un = −2 , lim vn = 0 và vn > 0 . Khi đó lim

un bằng vn

B. −∞ . C. 0 . x + 2019 [NB] Tính lim . x →1 x + 2020 2019 2021 2018 A. . B. . C. . 2020 2022 2019 [NB] Cho lim g ( x ) = 3 , lim h ( x ) = 10 . Tính lim  h ( x ) − g ( x )  . x →2 x →2 x →2

D. +∞ .

A. −2 .

DẠ

Câu 8.

Câu 9.

Trang 1

ĐỀ SỐ 4

2020 . 2021

A. 7 .

D. 13 .

x → x0

A. lim  f ( x ) − g ( x )  = L − M . x → x0 C. lim

x → x0

FI CI A

A. 0 . B. −2 . C. 8 . D. −14 . Câu 11. [NB] Cho lim f ( x ) = L; lim g ( x ) = M , với L, M ∈ ℝ . Chọn khẳng định sai.

f ( x) L . = g ( x) M

B. −7 . C. −13 . 3 x − 8 khi x ≥ 2 Câu 10. [NB] Cho hàm số f ( x ) =  2 . Tìm lim− f ( x ) . x →2  x + 2 x khi x < 2

B. lim  f ( x ) .g ( x )  = L.M . x → x0

D. lim  f ( x ) + g ( x )  = L + M . x → x0

Câu 12. [NB] Cho k là một số nguyên dương. Chọn mệnh đề sai.

8 k =0. D. lim 8x = +∞ . x→−∞ x →−∞ x→−∞ x k x→+∞ Câu 13. [NB] Hình vẽ sau là đồ thị của một hàm số y = f ( x ) . Hãy quan sát đồ thị và cho biết k B. lim x = −∞ .

C. lim

2k A. lim x = +∞ .

lim + f ( x ) , lim − f ( x ) , lim f ( x ) , lim f ( x ) lần lượt có giá trị bằng: x →+∞

x →( −1)

x →−∞

QU Y

ƠN

x →( −1)

B. −∞; +∞;1;1 C. 1;1; +∞; −∞ D. +∞; −∞;1;1 . A. 1; +∞; −∞;1 . Câu 14. [NB] Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng K chứa a . Hàm số f ( x ) liên tục tại x = a nếu B. lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = +∞ .

C. lim f ( x ) = f ( a ) .

D. lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = a .

x →a

A. f ( x ) có giới hạn hữu hạn khi x → a .

KÈ

Câu 15. [NB] Hàm số f ( x ) = A. ( −6;1) .

x →a

x→a

x +1 liên tục trên khoảng nào sau đây? x − 5x − 6 B. ( −1; 6 ) . C. ( −1; +∞ ) . 2

D. ( −∞; 6 ) .

Câu 16. [NB] Nếu đường thẳng a cắt mặt phẳng chiếu ( P ) tại điểm A thì hình chiếu của a sẽ là

DẠ

A. Điểm A . B. Trùng với phương chiếu. C. Đường thẳng đi qua A . D. Đường thẳng đi qua A hoặc chính A . Câu 17. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng. B. Nếu trong ba vectơ a , b , c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng. C. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng. Trang 2

FI CI A

D. Nếu trong ba vectơ a , b , c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng. Câu 18. [NB] Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Chọn đẳng thức đúng. A. DB′ = DA + DD′ + DC . B. AC ′ = AC + AB + AD . C. DB = DA + DD′ + DC . D. AC ′ = AB + AB′ + AD . Câu 19. [NB] Cho hai đường thẳng a, b lần lượt có véc tơ chỉ phương là u , v . Mệnh đề nào sau đây sai? A. Nếu a ⊥ b thì u.v = 0 . B. Nếu u.v = 0 thì a ⊥ b . u.v u.v C. cos(a, b) = . D. cos(a, b) = . u.v u.v

ƠN

QU Y

Câu 23. [TH] Giới hạn của dãy số (un ) với un =

(2n3 + 1) (2n + 3)10 2 n 22 + 2

là:

15 . C. 213 . 4  3x 2 2 x3  Câu 24. [TH] Tính giới hạn sau: lim  − 2 . x →+∞ 4 x − 1 2x + 1  

A. 2 .

B. +∞ .

A. −∞ .

Câu 25. [TH] Kết quả của lim− x →−2

−9 . 8

KÈ

Câu 26. [TH] Cho lim

x →−∞

(

1 C. − . 4

3 . 4

C. +∞ .

1 . 8

− x3 + 2 x − 5 bằng: x2 + 2 x B. −∞ .

)

x 2 − ax + 6 + x = 5 với a ∈ℝ . Giá trị của a là:

DẠ

A. 6 B. −10 C. 10 Câu 27. [TH] Hàm số nào được cho dưới đây liên tục trên tập số thực ℝ ? x +1 x −1 x −1 A. y = . B. y = . C. y = 2 . x −1 x +1 x +1

Trang 3

D. 218 .

D. −6 D. y =

x +1 . x2 −1

FI CI A

khi x = −1 3  4 x + x Câu 28. [TH] Hàm số f ( x ) =  2 khi x ≠ −1; x ≠ 0 liên tục tại x + x khi x = 0 1 A. x = 0; x = 1 . B. Mọi điểm x ∈ ℝ . C. Mọi điểm trừ x = −1 . D. Mọi điểm trừ x = 0 . 2 x −4 khi x ≠ 2  Câu 29. [TH] Cho hàm số y = f ( x ) =  x − 2 .  5 khi x = 2  Khẳng định nào sau đây đúng về tính liên tục của hàm số đã cho? A. Hàm số liên tục trên ℝ . B. Hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞;2 ) và ( 2;+ ∞ ) , gián đoạn tại x = 2 .

C. Hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞;4 ) và ( 4;+ ∞ ) , gián đoạn tại x = 4 . D. Hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞;5) và ( 5;+ ∞ ) , gián đoạn tại x = 5 .

QU Y

ƠN

 x 2 − a khi x < 1 Câu 30. [TH] Cho hàm số y = f ( x ) =  . khi x ≥ 1  3 Với giá trị nào của tham số thực a thì hàm số đã cho liên tục trên ℝ ? A. a = −2 . B. a = 1 . C. a = 4 . D. a = 3 . Câu 31. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . M , N lần lượt là trung điểm của AB và BB ' . Góc giữa hai vectơ MN và A ' C ' bằng. A. 0o . B. 60o . C. 90o . D. 30o . Câu 32. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và A' D ' . Góc giữa hai đường thẳng MN và B ' C là. A. 90° . B. 45° . C. 30° . D. 60° . 0 = 90 , AB = DC . Gọi M , N , E , F lần lượt là trung Câu 33. [TH] Cho tứ giác ABCD có ABC = CDA

điểm của AB , CD , AD , BC . Biết AC ⊥ BD . Góc giữa MN và EF bằng A. 900. B. 300. C. 600. D. 450. Câu 34. [TH] Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABFE và K là tâm hình bình hành BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. BD , AK , GF đồng phẳng. B. BD , IK , GF đồng phẳng. C. BD , EK , GF đồng phẳng. D. BD , IK , GC đồng phẳng. Câu 35. [TH] Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB = b , AC = c , AD = d .Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. MP = c + d − b . B. MP = d + b − c . 2 2 1 1 C. MP = c + b − d . D. MP = c + d + b . 2 2 II. PHẦN TỰ LUẬN  1  Câu 1. [VD] Tính lim  9 n − 2.3n − 3n +  2021  

) )

( (

) )

DẠ

KÈ

( (

Câu 2.

Trang 4

[VD] Cho tứ diện ABCD , trên cạnh AB , CD lấy điểm P, Q sao cho AP = 4 PB , CD = 5CQ . Chứng minh AD, BC , PQ đồng phẳng.

[VD] Tính lim x →1

4x − 3 − 3 6x − 5 . x3 − x 2 − x + 1

(

)

(

Câu 4. [VDC] 1. Cho phương trình: x 3 cos 3 x + m ( x cos x − 1)( x cos x + 2 ) = 0 . Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m .

)

FI CI A

Câu 3.

2 3 2 2 2 2. Cho phương trình: m − m + 2021 x − 2m − 2m + 4040 x − 4 x + m − m + 2021 = 0 .

Chứng minh phương trình có 3 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m .

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

---------------------Hết---------------------

Trang 5

2D 17A 32D

3B 18A 33A

4C 19D 34B

5A 20D 35A

6C 21D

7B 22B

8D 23C

9A 24A

10A 25B

11C 26C

12B 27C

13B 28B

15B 30A

FI CI A

LỜI GIẢI I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A. lim vn = 0 nếu lim ( vn + a ) = 0 . B. lim vn = a nếu lim ( vn − a ) = 0 .

14C 29B

1B 16D 31B

D. lim vn = a nếu lim ( vn + a ) = 0 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm giới hạn của dãy số Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số : lim vn = a nếu lim ( vn − a ) = 0 Câu 2.

C. lim vn = 0 nếu lim ( vn − a ) = 0 .

[ NB] Cho lim un = 4 , lim vn = −1 . Khi đó lim ( un − vn ) bằng A. 3 .

C. −5 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lý về giới hạn hữu hạn. Ta có: lim ( un − vn ) = 4 − ( −1) = 5 .

ƠN

A. lim ( un + vn ) = a + b . C. lim ( un − vn ) = a − b .

B. lim

un a = . vn b

D. lim ( un .vn ) = a.b

Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lí về giới hạn hữu hạn u a Theo định lý về giới hạn hữu hạn, ta có: lim n = (nếu b ≠ 0 ). vn b [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A. Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn −∞ khi n → +∞ , nếu u n có thể lớn hơn một số dương bất

QU Y

Câu 4.

D. 5 .

[ NB] Trong các kết quả sau, kết quả nào sai ? Nếu lim un = a và lim vn = b thì

Câu 3.

B. −4 .

kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. B. Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn +∞ khi n → +∞ , nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé

tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn +∞ khi n → +∞ , nếu u n có thể lớn hơn một số dương bất

KÈ

kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn +∞ khi n → +∞ , nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định nghĩa dãy số dẫn tới vô cực. Theo định nghĩa giới hạn vô cực: Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn +∞ khi n → +∞ , nếu u n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? A. lim qn = 0, ∀q ∈ R . B. lim c = c với c là hằng số.

DẠ Câu 5.

Trang 6

( −1) D. lim n

=0 .

Câu 6.

A. Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì lim

Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được một số giới hạn đặc biệt. Ta có lim q n = 0 nếu q < 1 [ NB] Trong các kết quả sau, kết quả nào đúng ?

vn =0. un

B. Nếu lim un = a , lim vn = 0 và vn > 0 với mọi n thì lim

un = +∞ . vn

C. Nếu u n ≥ 0 với mọi n và lim un = a thì a ≥ 0 và lim un = a .

FI CI A

1 C. lim k = 0 với k nguyên dương . n

un =0. vn

un = +∞ . vn

ƠN

Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì lim

D. Nếu lim un = +∞ và lim vn = a thì lim un vn = +∞ . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lý về giới hạn vô cực và giới hạn hữu hạn.

Nếu lim un = a > 0 , lim vn = 0 và vn > 0 với mọi n thì lim Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì lim u n vn = +∞ .

[ NB] Cho lim un = −2 , lim vn = 0 và vn > 0 . Khi đó lim A. ∞ .

B. −∞ .

Câu 7.

un bằng vn

C. 0 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lý về giới hạn vô cực.

D. +∞ .

Câu 8.

[NB] Tính lim x →1

x + 2019 . x + 2020

2019 . 2020

2021 . 2022

2018 . 2019

2020 . 2021

Lời giải Yêu cầu cần đạt: nhận biết được giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. x + 2019 1 + 2019 2020 = = Ta có: lim . x →1 x + 2020 1 + 2020 2021 [NB] Cho lim g ( x ) = 3 , lim h ( x ) = 10 . Tính lim  h ( x ) − g ( x )  .

KÈ

Câu 9.

QU Y

Ta có lim u n = −2 < 0 , lim vn = 0 và vn > 0 nên theo định lý về giới hạn vô cực ta có lim

x →2

A. 7 .

x →2

C. −13 . D. 13 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: nhận biết được hiệu của hai giới hạn (định lý về giới hạn hữu hạn) Có lim  h ( x ) − g ( x )  = lim h ( x ) − lim g ( x ) = 10 − 3 = 7 . x →2

B. −7 .

x →2

DẠ

3 x − 8 khi x ≥ 2 Câu 10. [NB] Cho hàm số f ( x ) =  2 . Tìm lim− f ( x ) . x →2  x + 2 x khi x < 2 A. 0 . B. −2 . C. 8 . Lời giải Trang 7

D. −14 .

un = −∞ . vn

Yêu cầu cần đạt: nhận biết được giới hạn trái của hàm số. Ta có: lim− f ( x ) = lim− x 2 + 2 x = 22 + 2.2 = 8 . x →2

(

)

Câu 11. [NB] Cho lim f ( x ) = L; lim g ( x ) = M , với L, M ∈ ℝ . Chọn khẳng định sai. x → x0

A. lim  f ( x ) − g ( x )  = L − M . x → x0 C. lim

x → x0

B. lim  f ( x ) .g ( x )  = L.M . x → x0

f ( x) L . = g ( x) M

D. lim  f ( x ) + g ( x )  = L + M . x → x0

Lời giải Yêu cầu cần đạt: nắm chắc các quy tắc tính giới hạn Khẳng định C chỉ đúng khi M ≠ 0 . Câu 12. [NB] Cho k là một số nguyên dương. Chọn mệnh đề sai. x→−∞

k B. lim x = −∞ . x →−∞

8 =0. x→−∞ x k

C. lim

k D. lim 8x = +∞ .

2k A. lim x = +∞ .

FI CI A

x → x0

x →2

x→+∞

Lời giải Yêu cầu cần đạt: nắm chắc các giới hạn vô cực và giới hạn 0 k 2m Khi k là số chẵn tức là k có dạng k = 2m thì lim x = lim x = +∞ . x→−∞

x→−∞

ƠN

Câu 13. [NB] Hình vẽ sau là đồ thị của một hàm số y = f ( x ) . Hãy quan sát đồ thị và cho biết

lim + f ( x ) , lim − f ( x ) , lim f ( x ) , lim f ( x ) lần lượt có giá trị bằng: x →+∞

x →( −1)

x →−∞

QU Y

x →( −1)

C. 1;1; +∞; −∞ D. +∞; −∞;1;1 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: nắm chắc kiến thức về giới hạn 1 bên và giới hạn tại vô cực Chọn B Câu 14. [NB] Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng K chứa a . Hàm số f ( x ) liên tục tại x = a nếu

KÈ

A. 1; +∞; −∞;1 .

B. −∞; +∞;1;1

A. f ( x ) có giới hạn hữu hạn khi x → a .

B. lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = +∞ .

C. lim f ( x ) = f ( a ) .

D. lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = a .

x →a

x→a

x →a

x→a

DẠ

Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm; định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng K chứa a . Hàm số f ( x ) liên tục tại x = a nếu

Trang 8

lim f ( x ) = f ( a ) . x →a

FI CI A

x2 + 1 Câu 15. [NB] Hàm số f ( x ) = 2 liên tục trên khoảng nào sau đây? x − 5x − 6 A. ( −6;1) . B. ( −1; 6 ) . C. ( −1; +∞ ) . D. ( −∞; 6 ) . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm; định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng TXĐ : D = ℝ \ {−1; 6} . Hàm số liên tục trên các khoảng: ( −∞; −1) ; ( −1;6 ) ; ( 6; +∞ ) . Vì vậy hàm số liên tục trên khoảng ( −1; 6 ) .

Câu 16. [NB] Nếu đường thẳng a cắt mặt phẳng chiếu ( P ) tại điểm A thì hình chiếu của a sẽ là

B. Trùng với phương chiếu. D. Đường thẳng đi qua A hoặc chính A . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm phép chiếu song song. Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là điểm A . Nếu phương chiếu không song song hoặc không trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là đường thẳng đi qua điểm A . Câu 17. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng. B. Nếu trong ba vectơ a , b , c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng. C. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng. D. Nếu trong ba vectơ a , b , c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng. Lời giải Tác giả: Hồ Hữu Tình Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm ba vectơ trong không gian đồng phẳng Dựa vào khái niệm ba vectơ đồng phẳng. Câu 18. [NB] Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Chọn đẳng thức đúng. A. DB′ = DA + DD′ + DC . B. AC ′ = AC + AB + AD . C. DB = DA + DD′ + DC . D. AC ′ = AB + AB′ + AD . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Chỉ ra được quy tắc hình hộp để cộng vectơ trong không gian B' C' D'

KÈ

QU Y

ƠN

A. Điểm A . C. Đường thẳng đi qua A .

B A

DẠ

D Theo quy tắc hình hộp ta có DB′ = DA + DD′ + DC . Câu 19. [NB] Cho hai đường thẳng a, b lần lượt có véc tơ chỉ phương là u , v . Mệnh đề nào sau đây sai? A. Nếu a ⊥ b thì u.v = 0 . B. Nếu u.v = 0 thì a ⊥ b .

Trang 9

u.v C. cos(a, b) = . u.v

Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết khái niệm tích vô hướng của hai véc tơ trong không gian

u.v D. cos(a, b) = . u.v

FI CI A

u.v Góc giữa 2 đường thẳng trong không gian luôn là góc nhọn hoặc vuông nên cos(a, b) = . u.v

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

Câu 20. [NB] Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại. D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm và điều kiện vuông góc giữa hai đường thẳng Đường thẳng ∆ 1 có véc tơ chỉ phương u1 Đường thẳng ∆ 2 có véc tơ chỉ phương u 2 Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương v  u , u cuøng phöông ∆1 //∆ 2 1 2   v. u2 = 0  d ⊥ ∆ 2   d ⊥ ∆1 v.u1 = 0 5u − 7 Câu 21. [TH] Cho dãy số (un ) có lim un = 7 . Tính giới hạn lim n . 7un − 5 5 14 7 A. 7 . B. . C. . D. . 7 15 11 Lời giải Yêu cầu cần đạt: Tìm được một số giới hạn đơn giản. 5u − 7 5.7 − 7 7 = = . Ta có lim n 7un − 5 7.7 − 5 11 Câu 22 . [TH] Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 1  1 1 1  A= + + + ... + n + ...... 1 + + + + ... + n + ......  . 3 2  3 9 27  2 4 8  4 2 5 A. . B. 1. C. . D. . 3 3 6 Lời giải Yêu cầu cần đat: Học sinh tính được tổng một cấp số nhân lùi vô hạn đơn giản. u Áp dụng công thức cấp số nhân lùi vô hạn: S = 1 ta có: 1− q 1 1 1 1 1 1 Xét S1 = + + + ... + n + ...... = 3 = . 1 3 9 27 3 2 1− 3 1 1 1 1 1 Xét S 2 = 1 + + + + ... + n + ...... = = 2. 1 2 4 8 2 1− 2 Trang 10

1 1 1 1 1 1  1 1 1  Khi đó: A =  + + + ... + n + ...... 1 + + + + ... + n + ......  = S1.S2 = .2 = 1 . 3 2 2  3 9 27  2 4 8  4

là:

15 . C. 213 . 4 Yêu cầu cần đạt: Tìm được một số giới hạn đơn giản. Ta có:

A. 2 .

D. 218 .

lim un = lim

(2n3 +1) (2n + 3)10 2n 22 + 2 4

2n 22 + 2

FI CI A

Câu 23. [TH] Giới hạn của dãy số (un ) với un =

(2n3 + 1) (2n + 3)10

      1 3 2 + 13  .2 + 3  n12 2 + 3  .n10 2 +       n  n n   n  = lim = lim = 213.  2 2 22  2 + 22 n 2 + 22  n  n 

ƠN

 3x 2 2 x3  Câu 24 . [TH] Tính giới hạn sau: lim  − 2 . x →+∞ 4 x − 1 2x + 1  

3 1 C. − . D. . 4 4 Lời giải Yêu cầu cần đat: Học sinh biết cách tính giới hạn đến vô cực 3 x 2 ( 2 x 2 + 1) − 2 x 3 ( 4 x − 1)  3x 2 2 x3  −2 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 − 2  = lim = lim Ta có: lim  x →+∞ 4 x − 1 x →+∞ 4 x − 1 2 x 2 + 1 2 x + 1  x →+∞ ( 4 x − 1) ( 2 x 2 + 1) ( )( )  B. +∞ .

A. −∞ .

QU Y

2 3 2 3   x4  −2 + + 2  x  −2 + + 2  x x  x x   = lim = lim  = −∞ . x →+∞ x →+∞ 1 1 1 1     3 x  4 −  2 + 2   4 −  2 + 2  x  x  x  x    3 −x + 2x − 5 Câu 25. [TH] Kết quả của lim− bằng: x →−2 x2 + 2x

−9 . 8

B. −∞ .

C. +∞ .

1 . 8

KÈ

Lời giải Yêu cầu cần đạt: Học sinh hiểu được giới hạn một bên để từ đó biết được khi nào ra +∞ hay −∞ . − x3 + 2 x − 5 = −∞ Ta có : lim− x →−2 x2 + 2x

 lim ( − x3 + 2 x − 5 ) = −1  x→−2−  Vì  lim− ( x 2 + 2 x ) = 0  x→−2 − 2  x → −2  x < −2  x + 2 x = x ( x + 2 ) > 0 

DẠ

Câu 26. [TH] Cho lim

Trang 11

x →−∞

A. 6

(

)

x 2 − ax + 6 + x = 5 với a ∈ℝ . Giá trị của a là: B. −10

C. 10 Lời giải

D. −6

Yêu cầu cần đạt: Học sinh nhận biết được thế nào là dạng ∞ − ∞ và cách khử dạng vô định đó.

x →−∞

)(

x 2 − ax + 6 − x

x 2 − ax + 6 − x x − ax + 6 − x 2 2

= lim

x 2 − ax + 6 − x 6  x  −a +  x  = lim x →−∞   a 6 − x  1 − + 2 + 1 x x   x →−∞

a = 5 ⇔ a = 10 2

ƠN

Theo đề bài, ta lại có:

6 a x = lim = x →−∞   2 a 6 −  1 − + 2 + 1 x x   −a +

)

x 2 − ax + 6 + x

FI CI A

( Ta có: lim ( x − ax + 6 + x ) = lim 2

KÈ

QU Y

Câu 27. [TH] Hàm số nào được cho dưới đây liên tục trên tập số thực ℝ ? x +1 x −1 x −1 x +1 A. y = . B. y = . C. y = 2 . D. y = 2 . x −1 x +1 x +1 x −1 Lời giải Yêu cầu cần đạt: Xét được tính liên tục của hàm số trên 1 khoảng, trên tập xác định. x +1 Phương án A hàm số y = có tập xác định là ℝ \ {1} nên hàm số gián đoạn tại x = 1 . x −1 x −1 Phương án B hàm số y = có tập xác định là ℝ \ {−1} nên hàm số gián đoạn tại x = −1 . x +1 x +1 Phương án D hàm số y = 2 có tập xác định là ℝ \ {±1} nên hàm số gián đoạn tại x = ±1 . x −1 x −1 Phương án C hàm số y = 2 là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là ℝ nên nó liên tục x +1 trên ℝ . khi x = −1 3  4 x + x Câu 28. [TH] Hàm số f ( x ) =  2 khi x ≠ −1; x ≠ 0 liên tục tại x + x  khi x = 0 1 A. x = 0; x = 1 . B. Mọi điểm x ∈ ℝ . C. Mọi điểm trừ x = −1 . D. Mọi điểm trừ x = 0 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Giải thích được tính liên tục tại một điểm của hàm số. Hàm số y = f ( x ) có TXĐ: D = ℝ

DẠ

Dễ thấy hàm số y = f ( x ) liên tục trên mỗi khoảng ( −∞; −1) , ( −1; 0 ) và ( 0; +∞ ) .

Trang 12

•

Xét tại x = −1, ta có:

x ( x + 1) ( x 2 − x + 1) x4 + x lim f ( x ) = lim 2 = lim = lim ( x 2 − x + 1) = 3 = f ( −1) . x →−1 x →−1 x + x x →−1 x →−1 x ( x + 1)

→ hàm số y = f ( x ) liên tục tại x = −1.

Xét tại x = 0 , ta có:

lim f ( x ) = lim x →0

x →0

x ( x + 1) ( x 2 − x + 1) x4 + x lim = = lim ( x 2 − x + 1) = 1 = f ( 0 ) . 2 x → 0 x →0 x +x x ( x + 1)

FI CI A

→ hàm số y = f ( x ) liên tục tại x = 0 .

•

 x2 − 4 khi x ≠ 2  Câu 29. [TH] Cho hàm số y = f ( x ) =  x − 2 .  5 khi x = 2  Khẳng định nào sau đây đúng về tính liên tục của hàm số đã cho? A. Hàm số liên tục trên ℝ . B. Hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞;2 ) và ( 2; + ∞ ) , gián đoạn tại x = 2 .

C. Hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞;4 ) và ( 4; + ∞ ) , gián đoạn tại x = 4 . D. Hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞;5 ) và ( 5; + ∞ ) , gián đoạn tại x = 5 .

ƠN

Lời giải Yêu cầu cần đạt: Xét được tính liên tục của hàm số trên 1 khoảng, trên tập xác định. x2 − 4 Trên các khoảng ( −∞;2 ) và ( 2; + ∞ ) , hàm số y = là hàm phân thức hữu tỉ xác định nên x−2 liên tục. Xét hàm số tại x = 2 : x2 − 4 ( x + 2 )( x − 2 ) = lim x + 2 = 4 lim f ( x ) = lim = lim ( ) x→2 x→2 x − 2 x →2 x→2 x−2 f ( 2) = 5 Vì lim f ( x ) ≠ f ( 2 ) nên hàm số gián đoạn tại x = 2 . x→2

QU Y

 x 2 − a khi x < 1 Câu 30. [TH] Cho hàm số y = f ( x ) =  . khi x ≥ 1  3 Với giá trị nào của tham số thực a thì hàm số đã cho liên tục trên ℝ ? A. a = −2 . B. a = 1 . C. a = 4 . D. a = 3 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Xét được tính liên tục của hàm số trên 1 khoảng, trên tập xác định. Trên khoảng ( −∞;1) , hàm số y = x 2 − a là hàm đa thức nên liên tục.

Trên khoảng (1; + ∞ ) , hàm số y = 3 là hàm đa thức nên liên tục. Xét hàm số tại x = 1 : lim− f ( x ) = lim− x 2 − a = 1 − a

KÈ

x→1

(

)

lim+ f ( x ) = lim+ ( 3) = 3 x→1

x→1

f (1) = 3

Hàm số liên tục trên ℝ khi hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1) ⇔ a = −2 . x→1

x→1

DẠ

Câu 31. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . M , N lần lượt là trung điểm của AB và BB ' . Góc giữa hai vectơ MN và A ' C ' bằng. A. 0o . B. 60o . C. 90o . D. 30o . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Xác định được góc giữa hai đường thẳng trong không gian Trang 13

)

ƠN

(

FI CI A

L (

 1  1   MN = AB ' ' . 2 Ta có   MN , A ' C ' =  AB ', AC  = CAB 2    A ' C ' = AC  ' = 60° . Tam giác AB ' C là tam giác đều nên CAB Vậy MN , A ' C ' = 60° .

QU Y

Câu 32. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và A' D ' . Góc giữa hai đường thẳng MN và B ' C là. A. 90° . B. 45° . C. 30° . D. 60° . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Xác định được góc giữa hai đường thẳng trong không gian

DẠ

KÈ

Ta có MN //CD '  góc giữa hai đường thẳng MN và B ' C bằng góc giữa hai đường thẳng CD ' và B ' C . Tam giác B ' CD ' là tam giác đều nên suy ra góc giữ hai đường thẳng CD ' và B ' C bằng 60° . Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và B ' C bằng 60° . = 900 , AB = DC . Gọi M , N , E , F lần lượt là trung ABC = CDA Câu 33. [TH] Cho tứ giác ABCD có điểm của AB , CD , AD , BC . Biết AC ⊥ BD . Góc giữa MN và EF bằng A. 900. B. 300. C. 600. D. 450. Lời giải Yêu cầu cần đạt: Sử dụng tích vô hướng

Trang 14

L FI CI A

Ta có:  1 1  MN = 2 AD + BC  MN .EF = AD + BC . AB + DC  4  EF = 1 AB + DC  2 1  MN .EF = AD. AB + AD.DC + BC . AB + BC .DC 4  AB.BC = 0 = 900 Mà  Do ABC = CDA  AD.DC = 0 1  MN .EF = AD. AB + BC.DC 4 1 + BC . DC .cos BCD  MN .EF = AD . AB .cos BAD 4 1 + BC . DC .cos 180 − BAD  MN .EF = AD . AB .cos BAD 4 Do AC ⊥ BD nên dễ chứng minh AB = AD; DC = CB bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông 1 − BC . DC .cos BAD =0  MN .EF = AD . AB .cos BAD 4  MN ⊥ EF . Chọn A. Câu 34. [TH] Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABFE và K là tâm hình bình hành BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. BD , AK , GF đồng phẳng. B. BD , IK , GF đồng phẳng. C. BD , EK , GF đồng phẳng. D. BD , IK , GC đồng phẳng. Lời giải Yêu cầu cần đạt: Giải thích được sự đồng phẳng của ba vectơ cho trước.

)

(

)

(

)(

(

)

( (

(

KÈ Y DẠ

) ) )

QU Y

( (

(

ƠN

(

Trang 15

)

(

( (

))

(

))

L FI CI A OF

) )

KÈ

QU Y

( (

ƠN

 IK //( ABCD )  + Vì GF //( ABCD )  IK , GF , BD đồng phẳng.  BD ⊂ (ABCD)  + Các bộ véctơ ở câu A, C , D không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng. Do đó chúng không thể đồng phẳng. Câu 35. [TH] Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB = b , AC = c , AD = d .Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. MP = c + d − b . B. MP = d + b − c . 2 2 1 1 C. MP = c + b − d . D. MP = c + d + b . 2 2 Lời giải Yêu cầu cần đạt: Thực hiện được phép cộng, trừ vectơ, nhân vectơ, sự bằng nhau của hai vectơ trong không gian

1 Ta có: MP = MC + MD 2 1 1 = AC − AM + AD − AM = c + d − 2 AM 2 2 1 1 = c + d − AB = c + d − b . 2 2 II. PHẦN TỰ LUẬN  1  Câu 1. [VD] Tính lim  9 n − 2.3n − 3n +  2021  

(

DẠ

( (

Trang 16

) (

)

) ( )

)

( (

) )

Lời giải Yêu cầu cần đạt: Vận dụng được các khái niệm giới hạn, định lý, giới hạn đặc biệt vào tình huống cụ thể.  1  1 n n n lim  9 n − 2.3n − 3n +  = lim 9 − 2.3 − 3 + lim 2021  2021  9n − 2.3n − 9n

1 2021

FI CI A

= lim

)

(

9 − 2.3 + 3 −2.3n 1 = lim +   2021 2 3n  1 − n + 1    3   −2 1 = lim + 2021 2 1− n +1 3 1 = −1 + 2021 Câu 2. [VD] Cho tứ diện ABCD , trên cạnh AB , CD lấy điểm P, Q sao cho AP = 4 PB , CD = 5CQ . Chứng minh AD, BC , PQ đồng phẳng. Lời giải AD = AP + PQ + QD (1) BC = BP + PQ + QC  4 BC = 4 BP + 4 PQ + 4QC (2) (1), (2)  AD + 4 BC = 5 PQ (do AP + 4 BP = 0; QD + 4QC = 0 ) 1 4  PQ = AD + BC 5 5  AD, BC , PQ đồng phẳng. n

Câu 3a. [VD] Tính lim x →1

QU Y

ƠN

4x − 3 − 3 6x − 5 . x3 − x 2 − x + 1

Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nắm vững kỹ thuật tính giới hạn hàm số cùng với kỹ năng biến đổi. 4x − 3 − 3 6x − 5 4x − 3 − 3 6x − 5 Ta có lim = lim . 2 x →1 x →1 x3 − x 2 − x + 1 ( x − 1) ( x + 1) Đặt t = x − 1  x = t + 1 . Khi đó x →1

4x − 3 − 3 6x − 5

= lim

KÈ

lim

( x − 1) ( x + 1)

t →0

 4t + 1 − (2t + 1) 3 6t + 1 − (2t + 1)  4t + 1 − 3 6t + 1 lim = −   . t →0  t 2 (t + 2) t 2 (t + 2) t 2 (t + 2)  

4t + 1 − ( 2t + 1) −4 = lim = −1. 2 t → 0 t (t + 2) ( t + 2 )  4t + 1 + ( 2t + 1) 3 6t + 1 − ( 2t + 1) −8t − 12 = lim = −2. * lim 2 t →0 t → 0 2 2 t ( t + 2) ( t + 2 )  3 ( 6t + 1) + ( 2t + 1) 3 6t + 1 + ( 2t + 1)   

* lim

DẠ

t →0

Vậy lim

Trang 17

x →1

4x − 3 − 3 6x − 5 = −1 + 2 = 1 . x3 − x 2 − x + 1

Câu 3b. [ VDC] 1. Cho phương trình: x 3 cos 3 x + m ( x cos x − 1)( x cos x + 2 ) = 0 .

FI CI A

Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nắm vững được tính chất liên tục của hàm số để chứng minh phương có nghiệm. * Xét f ( x ) = x cos x − 1 có tập xác định là ℝ và liên tục trên ℝ . Có f ( 0 ) = −1 < 0 và f ( −π ) = π − 1 > 0 . Vậy ∃x1 ∈ ( −π ; 0 ) : f ( x1 ) = 0 . Tức là x1 cos x1 = 1 * Xét g ( x ) = x cos x + 2 có tập xác định là ℝ và liên tục trên ℝ . Có g ( 0 ) = 2 > 0 và g (π ) = −π + 2 < 0 .

Vậy ∃x2 ∈ ( 0; π ) : g ( x2 ) = 0 . Tức là x2 cos x2 = −2

* Xét F ( x ) = x 3 cos3 x + m ( x cos x − 1)( x cos x + 2 ) có tập xác định là ℝ và liên tục trên ℝ . 3

Có F ( x1 ) = 13 + m.0 = 1 > 0 và F ( x2 ) = ( −2 ) + 0 m = −8 < 0 nên ∃x0 ∈ ( x1 ; x2 ) : F ( x0 ) = 0 . Vậy phương trình F ( x ) = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị m .

)

(

)

ƠN

(

2. Cho phương trình: m − m + 2021 x − 2m − 2m + 4040 x − 4 x + m − m + 2021 = 0 .

(

Chứng minh phương trình có 3 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Vận dụng được định lí giá trị trung gian và kết hợp với tính năng bảng giá trị của máy tính Casio để tìm các khoảng mà phương trình có nghiệm.

)

(

)

2 3 2 2 2 * Xét f ( x) = m − m + 2021 x − 2m − 2m + 4040 x − 4 x + m − m + 2021 có tập xác

định là ℝ và liên tục trên ℝ . Ta có:

QU Y

1  8069  f ( −1) = −2m 2 + 2m − 4035 = −2  m +  − < 0, ∀m 2 2  2

1  8083  f ( 0 ) = m 2 − m + 2021 =  m −  + > 0, ∀m 2 4  f (1) = −2 < 0, ∀m 2

KÈ

1  8083  f ( 2 ) = m 2 − m + 2021 =  m −  + > 0, ∀m 2 4  Do đó: * f ( −1) . f (0) =< 0 nên ∃x1 ∈ ( −1; 0 ) : f ( x1 ) = 0 Suy ra phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc ( −1; 0 ) * f ( 0 ) . f (1) =< 0 nên ∃x2 ∈ ( 0;1) : f ( x2 ) = 0 Suy ra phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc ( 0;1)

* f (1) . f (2) =< 0 nên ∃x3 ∈ (1; 2 ) : f ( x3 ) = 0

DẠ

Suy ra phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2 )

Vì ba khoảng ( −1; 0 ) , ( 0;1) và (1; 2 ) rởi nhau đôi một nên phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất ba

nghiệm trên ℝ .

Trang 18

Mặt khác, vì m 2 − m + 2021 > 0, ∀m nên

f ( x ) là một đa thức bậc ba nên phương trình

Kết luận: Phương trình f ( x ) = 0 luôn có ba nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m .

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

---------------------------Hết---------------------------

f ( x ) = 0 chỉ có tối đa ba nghiệm trên ℝ .

Trang 19

FI CI A

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II- LỚP 11 MÔN TOÁN THỜI GIAN: 90 PHÚT

I. TRẮC NGHIỆM ( 7 ĐIỂM) Câu 1. Cho dãy số ( u n ) thỏa mãn lim ( un − 2021) = 0. Giá trị của lim un bằng

Đặt lim un = a , lim vn = b . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. lim(un .vn ) = lim un + lim vn .

2  D. lim  −1 +  . n 

B. lim(un + vn ) = lim un + lim vn .

C. lim(un − vn ) = lim un − lim vn .

D. lim(un .vn ) = lim un .lim vn .

Chọn khẳng định đúng. A. Dãy số ( un ) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ nếu un lớn hơn một số dương bất kì kể từ một

Câu 4.

Câu 3.

D. 2021 .

ƠN

Câu 2.

A. +∞ . B. 0 . C. −2021 . Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị bằng 1 ? 3n + 1 1− n 1+ n A. lim . B. lim . C. lim . −3n − 3 n+2 n −1

số hạng nào đó trở đi. B. Dãy số ( un ) có giới hạn là +∞ khi n → +∞ nếu un nhỏ hơn một số dương bất kì kể từ một

QU Y

số hạng nào đó trở đi.. C. Dãy số ( un ) có giới hạn là +∞ khi n → +∞ nếu un lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. Dãy số ( un ) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ nếu un nhỏ hơn một số dương bất kì kể từ một

Câu 5.

số hạng nào đó trở đi. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. lim q n = +∞ (với q > 1 ).

B. Nếu lim un = a > 0 , lim vn = 0 và vn > 0 , ∀ n thì lim

un = +∞ . vn

Cho các dãy số ( un ) , ( vn ) và lim un = a, lim vn = +∞ thì lim

B. Nếu lim un = − a thì lim u n = a .

C. Nếu lim un = 0 thì lim u n = 0 .

D. Nếu lim un = +∞ thì lim un = +∞ .

DẠ

Câu 7.

Câu 8.

un bằng vn

A. 1. B. 0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu lim u n = +∞ thì lim un = −∞ .

C. −∞ .

Câu 6.

KÈ

C. lim n k = +∞ với k là một số nguyên dương. D. lim q n = 0 với q < 1 .

Cho lim f ( x ) = 0 , lim g ( x ) = 2021 . Tính lim x→2

x→2

f ( x) (nếu có). g ( x)

D. +∞ .

A. +∞ .

B. Không tồn tại lim x→2

D. 0 .

C. −∞ . lim ( x + 2 x − 1) bằng? 2

x →+∞

A. 0 .

B. 1.

C. +∞ .

D. −∞

lim f ( x ) = 3 lim g ( x ) = −2 lim  2 f ( x ) − 3 g ( x )  Câu 10. Cho x →1 , x →1 . Tính x →1  ? A. 0 . B. 5 . C. 12 . x→0

A. 0 .

là x B. 1.

Câu 12. Kết quả của giới hạn lim ( − x x →−∞

A. 0 .

C. −1 .

D. +∞ .

) là

B. +∞ .

C. −∞ .

Câu 13. Kết quả của giới hạn lim ( x − 2 x − 1) là 2

x→2

ƠN

A. −∞ . B. 0 . C. +∞ . Câu 14. Hàm số nào sau đây không liên tục tại x = 0 ?

x2 + x + 1 x2 + x + 1 x2 + x . . B. f (x ) = . C. f (x ) = x +2 x −1 x Câu 15. Khẳng định nào đúng ? A. Hàm số f (x ) =

x +1 2

D. −1 . D. −1 .

D. f (x ) =

x2 + x . x −1

A. f (x ) =

D. 13 .

Câu 11. Kết quả của giới hạn lim−

FI CI A

Câu 9.

f ( x) . g ( x)

xác định trên ℝ. .

QU Y

x +1 x +1 B. Hàm số f ( x ) = liên tục trên ℝ . x −1 x +1 C. Hàm số f ( x ) = liên tục trên ℝ . x −1

x +1 liên tục trên ℝ . x −1 Câu 16. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thảnh đoạn thẳng. B. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song. C. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của ba điểm đó. D. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng. Câu 17. Cho ba vectơ a , b , c . Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vecto đó đồng phẳng. A. Một trong ba vecto đó bằng 0. B. Có hai trong ba vecto đó cùng phương. C. Có một vecto không cùng hướng với hai vecto còn lại. D. Có hai trong ba vecto đó cùng hướng. 1 2 Câu 18. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , M , N là các điểm thỏa MA = − MD , NA ' = − NC . Mệnh 4 3 đề nào sau đây đúng ? B. MN ( BC ' D ) . A. MN ( AC ' B ) .

DẠ

KÈ

D. Hàm số f ( x ) =

C. MN ( A ' C ' D ) .

D. MN ( BC ' B ) . Câu 19. Cho tứ diện đều ABCD . Tích vô hướng AB.CD bằng? B.

a2 2

C. 0

D. −

a2 2

A. a 2

a.n 2 + 4n 3 Câu 21. Tìm a để lim = . 8n 2 + 3 4 A. a = 6 . B. a = 3 .

C. a = 27 .

D. a = 9 .

a.n + 4n 3 a 3 1 1 1 1 = ⇔ = ⇔ a = 6. Tính tổng: S = 1 − + − + ... + + ... n −1 2 8n + 3 4 8 4 2 4 8 ( −2 )

3 2 . B. S = . 2 3 3 2 2n + n − 4 Câu 23. Biết lim = L . Khi đó 1 − L2 bằng 3 2 + n + 4n 3 B. . A. 1. 4 5x − 3 Câu 24. Tính lim . x →−∞ x2 − 5 3 3 A. . B. − . 5 5 2x + 1 Câu 25. Tính lim bằng + x →0 x B. −∞ . A. 2 .

C. S = 2 .

ƠN

A. S =

Câu 22. lim

FI CI A

0 Câu 20. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC = BAD = 60 . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và CD . A. 600 . B. 450 . C. 1200 . D. 900 .

Câu 26. Cho lim

x →−∞

(

QU Y

C. 0 .

D. S =

1 . 2

1 . 4

C. 5 .

D. −5 .

C. +∞ .

D. 1 .

)

x 2 + ax + 5 + x = 5 . Giá trị của a bằng bao nhiêu ?

A. 6 .

B. 10 .

C. −10 .

D. −6 .

x −9 khi x ≠ −3  Câu 27. Cho hàm số f ( x ) =  x + 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng? − x 2 + 3 khi x = −3 

KÈ

A. Hàm số chỉ liên tục tại điểm x = − 3 và gián đoạn tại các điểm x ≠ − 3 . B. Hàm số không liên tục trên ℝ . C. Hàm số liên tục trên ℝ . D. Hàm số không liên tục tại điểm x = − 3 .

DẠ

 x2 + 3  2 , x≠4 Câu 28. Cho hàm số: f ( x ) =  x − 2 x − 3 , tìm a để f ( x ) liên tục tại x = 4 : a + 5 x=4 

A. a =

19 +5. 5

B. a =

19 −5. 5

C. a = −5 .

D. a = 5 .

trên ℝ . −3 −1 1 . B. m = . C. m = . 2 8 8 Câu 30. Hàm số nào sau đây không liên tục trên ℝ ? 2x −1 B. y = . C. y = 4 x 3 − 3 x + 1 . A. y = 2 x 2 + 1 . x +1 Câu 31. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết SA AB = SA = a , AC = 2a . Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC . A. 30° . B. 60° . C. 90° . Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ (tham khảo hình vẽ).

3 D. m = . 2

FI CI A

A. m =

 x2 − 5x + 6 khi x > 2  Câu 29. Cho hàm số f ( x ) =  4 x + 1 − 3 . Tìm giá trị của tham số m để hàm số liên tục 2mx − 1 khi x ≤ 2 

2x − 5 . x2 + 2 vuông góc với đáy và

D. y =

ƠN

D. 45° .

KÈ

QU Y

Góc giữa hai đường thẳng AC và A′D bằng A. 45° . B. 60° . C. 30° . D. 90° . 0 = BAD = 60 , CAD = 900 . Gọi I và J lần lượt Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và IJ ? A. 120° . B. 90° . C. 60° . D. 45° . Câu 34. Trong không gian, cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Các vectơ AB + AD + AA′, AB + AD, CB − CA đồng phẳng. B. Các vectơ AA′, BB′, CC ′ không đồng phẳng. C. Các vectơ AB + AD, C ′B′ + C ′D′, A′C không đồng phẳng. D. Các vectơ AB′ + AD′, AB + AA′, AD + AA′ đồng phẳng. Câu 35. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ , M là trung điểm của BB′ . Đặt CA = a, CB = b, AA ' = c . Khẳng

DẠ

định nào sau đây đúng? 1 1 1 1 A. AM = a − c + b . B. AM = b + c − a . C. AM = a + c − b . D. AM = b − a + c . 2 2 2 2 II. TỰ LUẬN 1 1 1  2 * Câu 36. Tính giới hạn lim  + + + ... +  , n ∈∞ . (n + 1)( n + 2)   3 6 10

Câu 37. Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm của hình bình hành ABFE và K là tâm của hình υυυρ υυρ υυυρ bình hành BCGF . Chứng minh các vectơ BD, IK , GF đồng phẳng. Câu 38. Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng .Biết rằng mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới là 50cm .Hỏi chiều cao tối đa của mô hình là bao nhiêu?

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

Câu 39. Chứng minh rằng phương trình ( m 2 + 1) x 3 − 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 = 0 luôn có 3 nghiệm.

Câu 1.

3A 13D 23B 33B

4C 14B 24D 34D

7C 17C 27C

8D 18B 28B

9C 19C 29B

10C 20D 30B

2C 12C 22B 32B

FI CI A

1D 11C 21A 31A

Lời giải 5A 6B 15A 16B 25C 26C 35D

Cho dãy số ( un ) thỏa mãn lim ( un − 2021) = 0. Giá trị của lim un bằng

B. 0 .

A. +∞ .

C. −2021 . Lời giải

D. 2021 .

Áp dụng định nghĩa 2 trang 113 sách giáo khoa Đại số và Gải tích 11 ban Cơ bản ta có lim un = 2021 . Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị bằng 1 ? 3n + 1 1− n 1+ n A. lim . B. lim . C. lim . −3n − 3 n+2 n −1

Lời giải 3n + 1 1− n 2  = lim = lim  −1 +  = −1 . −3n − 3 n+2 n 

ƠN

Vì lim

1+ n = 1. n −1 Đặt lim un = a , lim vn = b . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. lim(un .vn ) = lim un + lim vn . C. lim(un − vn ) = lim un − lim vn .

Còn lim

Câu 3.

2  D. lim  −1 +  . n 

Câu 2.

B. lim(un + vn ) = lim un + lim vn .

D. lim(un .vn ) = lim un .lim vn .

Lời giải

QU Y

Câu 4.

Mệnh đề lim(un .vn ) = lim un .lim vn là mệnh đề đúng nên mệnh đề ở câu A sai. Chọn khẳng định đúng. A. Dãy số ( un ) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ nếu un lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi. B. Dãy số ( un ) có giới hạn là +∞ khi n → +∞ nếu un nhỏ hơn một số dương bất kì kể từ một

số hạng nào đó trở đi.. C. Dãy số ( un ) có giới hạn là +∞ khi n → +∞ nếu un lớn hơn một số dương bất kì kể từ một

KÈ

số hạng nào đó trở đi. D. Dãy số ( un ) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ nếu un nhỏ hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải

Dãy số ( un ) có giới hạn là +∞ khi n → +∞ nếu un lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số

DẠ

Câu 5.

hạng nào đó trở đi, do đó chọn C . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. lim q n = +∞ (với q > 1 ).

B. Nếu lim un = a > 0 , lim vn = 0 và vn > 0 , ∀ n thì lim C. lim n k = +∞ với k là một số nguyên dương. D. lim q n = 0 với q < 1 .

un = +∞ . vn

Lời giải Mệnh đề A chỉ đúng với q thỏa mãn q > 1 , với q < −1 thì không tồn tại giới hạn dãy số q n . Mệnh đề B đúng theo định lí về giới hạn vô cực. Cho các dãy số ( un ) , ( vn ) và lim un = a, lim vn = +∞ thì lim

B. 0 .

A. 1.

un bằng vn

C. −∞ .

FI CI A

Câu 6.

Mệnh đề C và D đúng theo kết quả của giới hạn đặc biệt.

D. +∞ .

Lời giải

Dùng định lý giới hạn: cho dãy số ( un ) , ( vn ) và lim un = a, lim vn = +∞ trong đó a hữu hạn thì un =0. vn Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu lim un = +∞ thì lim un = −∞ .

B. Nếu lim un = − a thì lim u n = a .

C. Nếu lim un = 0 thì lim u n = 0 .

D. Nếu lim un = +∞ thì lim un = +∞ .

Câu 7.

lim

ƠN

Lời giải Nếu lim un = +∞ thì lim un = +∞ hoặc lim un = −∞ . Nếu lim un = − a thì lim u n = a thì a > 0 .

Còn lim un = 0 thì lim u n = 0 là mệnh đề đúng.

f ( x) (nếu có). g ( x)

A. +∞ .

B. Không tồn tại lim

x→2

Cho lim f ( x ) = 0 , lim g ( x ) = 2021 . Tính lim x→2

C. −∞ .

Chọn D Ta có: lim x→2

x→2

f ( x) . g ( x)

D. 0 .

QU Y

Câu 8.

Lời giải

f ( x) 0 = =0 g ( x ) 2021

x →+∞

B. 1.

KÈ

A. 0 .

lim ( x 3 + 2 x 2 − 1) bằng?

Câu 9.

C. +∞ . Lời giải.

Chọn C

 2 1 Ta có: lim ( x3 + 2 x 2 − 1) = lim x 3  1 + − 3  x →+∞ x →+∞  x x 

DẠ

 2 1 Vì lim x3 = +∞ và lim 1 + − 3  = 1 > 0 x →+∞ x →+∞  x x   2 1 Suy ra lim x3  1 + − 3  = +∞ x →+∞  x x 

Vậy lim ( x 3 + 2 x 2 − 1) = +∞ x →+∞

Câu 10. Cho

lim f ( x ) = 3 lim g ( x ) = −2 lim  2 f ( x ) − 3 g ( x )  x →1 , x →1 . Tính x →1  ?

D. −∞

A. 0 .

B. 5 .

D. 13 .

C. 12 . Lời giải

x →1

x→0

A. 0 .

x →1

là x B. 1 .

FI CI A

Câu 11. Kết quả của giới hạn lim−

x →1

C. −1 .

D. +∞ .

Lời giải Chọn C = lim−

x →−∞

A. 0 .

B. +∞ .

C. −∞ .

Chọn C Câu 13. Kết quả của giới hạn lim ( x 2 − 2 x − 1) là x→2

B. 0 .

A. −∞ .

ƠN

Lời giải

−x = lim ( −1) = −1 x →0 x x →0 x x → 0− Câu 12. Kết quả của giới hạn lim ( − x 4 ) là lim−

Chọn C Có lim  2 f ( x ) − 3 g ( x )  = lim 2 f ( x ) − lim 3 g ( x ) = 2 lim f ( x ) − 3lim g ( x ) = 2.3 − 3. ( −2 ) = 12 .

C. +∞ .

D. −1 .

Chọn D lim ( x 2 − 2 x − 1) = 22 − 2.2 − 1 = −1 x→2

Lời giải

Câu 14. Hàm số nào sau đây không liên tục tại x = 0 ?

x2 + x + 1 x2 + x + 1 x2 + x . B. f (x ) = . C. f (x ) = . x −1 x x +2

Chọn B

QU Y

A. f (x ) =

D. f (x ) =

x2 + x . x −1

Lời giải

x2 + x + 1 không xác định tại x = 0 nên hàm số không liên tục tại x = 0 . x Câu 15. Khẳng định nào đúng ?

Hàm số f (x ) =

KÈ

A. Hàm số f (x ) =

x +1 2

xác định trên ℝ. .

DẠ

x +1 x +1 B. Hàm số f ( x ) = liên tục trên ℝ . x −1 x +1 C. Hàm số f ( x ) = liên tục trên ℝ . x −1 D. Hàm số f ( x ) =

Chọn A

x +1 liên tục trên ℝ . x −1

Lời giải

x +1

là hàm sơ cấp xác định trên ℝ nên liên tục trên ℝ . x2 +1 Câu 16. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thảnh đoạn thẳng. B. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song. C. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của ba điểm đó. D. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng. Lời giải

FI CI A

Hàm số f (x ) =

Chọn B Tính chất của phép chiếu song song:

Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

ƠN

Suy ra B sai : Chúng có thể trùng nhau.

Câu 17. Cho ba vectơ a , b , c . Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vecto đó đồng phẳng. A. Một trong ba vecto đó bằng 0. B. Có hai trong ba vecto đó cùng phương. C. Có một vecto không cùng hướng với hai vecto còn lại. D. Có hai trong ba vecto đó cùng hướng. Lời giải

Chọn C

QU Y

Nếu hai trong ba vecto đó cùng hướng thì ba vecto đồng phẳng; nếu hai trong ba vecto đó không cùng hướng thì chưa thể kết luận được ba vecto đó đồng phẳng. 1 2 Câu 18. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , M , N là các điểm thỏa MA = − MD , NA ' = − NC . Mệnh 4 3 đề nào sau đây đúng ? A. MN ( AC ' B ) . B. MN ( BC ' D ) .

KÈ

Chọn B

D. MN ( BC ' B ) .

C. MN ( A ' C ' D ) .

Lời giải A

C N

DẠ

Đặt BA = a, BB ' = b, BC = c thì a, b, c là ba vec tơ không đồng phẳng và BD = BA + AD = BA + BC = a + c BC ' = b + c, BA ' = a + b .

1 1 5 1 Ta có MA = − MD  BA − BM = − BD − BM  BM = BA + BD 4 4 4 4 4 BA + BD 4a + a + c 5a + c .  BM = = = 5 5 5

(

)

(

a2 2

C. 0 Lời giải

Chọn C

a2 2

ƠN

D. −

A. a 2

)

FI CI A

Tương tự 3a + 3b + 2c −2a + 3b + c 2 3 2 3 , MN = BN − BM = BN = = − a + c + (b + c) = − BD + BC ' 5 5 5 5 5 5 Suy ra MN , DB, BC ' đồng phẳng mà N ∉ ( BC ' D )  MN ( BC ' D ) . Câu 19. Cho tứ diện đều ABCD . Tích vô hướng AB.CD bằng?

AB.CD = CB − CA .CD = CB.CD − CA.CD = CB.CD.cos 600 − CA.CD.cos 600 = 0 .

)

QU Y

(

0 Câu 20. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC = BAD = 60 . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và CD . A. 600 . B. 450 . C. 1200 . D. 900 .

DẠ

KÈ

Chọn D

Lời giải

Ta có: AB.CD = AB. AD − AC = AB. AD − AB. AC

(

)

= AB . AD cos AB, AD − AB . AC cos AB, AC

(

)

(

)

= AB . AD cos 600 − AB . AC cos 600 Mà AC = AD  AB.CD = 0  AB, CD = 900

(

)

a.n 2 + 4n 3 a 3 = ⇔ = ⇔ a = 6. 2 8n + 3 4 8 4 2 a.n + 4n 3 Câu 21. Tìm a để lim = . 8n 2 + 3 4 A. a = 6 . B. a = 3 .

C. a = 27 . Lời giải

Chọn A

FI CI A

lim

D. a = 9 .

A. S =

3 . 2

B. S =

ƠN

4  4 lim  a +  a+ a.n 2 + 4n n a  n = Ta có: lim = lim = . 2 3 3 8 8n + 3  8 + 2 lim  8 + 2  n n   2 a.n + 4n 3 a 3 1 1 1 1 Câu 22. lim = ⇔ = ⇔ a = 6. Tính tổng: S = 1 − + − + ... + + ... n −1 2 8n + 3 4 8 4 2 4 8 ( −2 ) 2 . 3

C. S = 2 .

D. S =

Lời giải Chọn B

1 S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1; q = − . 2

A. 1. Chọn B

1 2 = .  1 3 1−  −   2

2n3 + n 2 − 4 = L . Khi đó 1 − L2 bằng 2 + n + 4n 3 3 B. . C. 0 . 4 Lời giải

1 . 4

Câu 23. Biết lim

u1 = 1− q

QU Y

Do đó ta có: S =

1 4  n3  2 + − 3  2n + n − 4 n n  2 1 Ta có lim = lim  = = . 3 1 2 + n + 4n  4 2 3 2 n  3 + 2 + 4 n n 

KÈ

DẠ

1 3 1 Suy ra L = . Khi đó 1 − L2 = 1 −   = . 2 4 2 5x − 3 Câu 24. Tính lim . x →−∞ x2 − 5 3 3 A. . B. − . 5 5

Chọn D Ta có:

C. 5 .

Lời giải

D. −5 .

1 . 2

Lời giải Chọn C Vì lim ( 2x + 1) = 1 ; x > 0 nên lim + + x →0

x →−∞

(

)

x 2 + ax + 5 + x = 5 . Giá trị của a bằng bao nhiêu ?

A. 6 .

B. 10 .

C. −10 . Lời giải

Cách 1: xlim →−∞

x →−∞

(

)

x 2 + ax + 5 + x = lim

)

x →−∞

x 2 + ax + 5 + x = 5  −

Cách 2: Bấm máy tính như sau

a.x + 5 2

x + ax + 5 − x

=−

a 2

a = 5 ⇔ a = −10. 2

Mà lim

(

D. −6 .

ƠN

Chọn C

Câu 26. Cho lim

x →0

2x + 1 = +∞ x

10 x 2 + Ax + 5 + x + CACL + x = −10 .

QU Y

 x2 − 9 khi x ≠ −3  Câu 27. Cho hàm số f ( x ) =  x + 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng? − x 2 + 3 khi x = −3 

Chọn C

KÈ

+ Với x ≠ − 3 : f ( x) =

Lời giải

x2 − 9 . x+3

Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên hàm số liên tục trên (−∞; −3), (−3; +∞) . x2 − 9 ( x − 3)( x + 3) = lim = lim ( x − 3) = −6 . x →−3 x + 3 x →−3 x →−3 x+3

+ Tại x = − 3 : f (−3) = −6 ; lim

Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = − 3

DẠ

Vậy hàm số liên tục trên ℝ .  x2 + 3  2 , x≠4 Câu 28. Cho hàm số: f ( x ) =  x − 2 x − 3 , tìm a để f ( x ) liên tục tại x = 4 : a + 5 x=4 

A. a =

19 +5. 5

B. a =

19 −5. 5

C. a = −5 .

FI CI A

3 3   3 x 5 −  x 5 −  5− 5x − 3 x x   x = −5 = lim = lim = lim lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ 5 5 x 2 − 5 x →−∞ x 1 − 5 . − 1− 2 −x 1 − 2 2 x x x 2x + 1 Câu 25. Tính lim bằng x → 0+ x A. 2 . B. −∞ . C. +∞ . D. 1 .

D. a = 5 .

Lời giải Chọn B

x→4

x →4

x2 + 3 42 + 3 19 = = = f ( 4) 2 2 x − 2x − 3 4 − 2.4 − 3 5

19 19 ⇔ a + 5 = f ( 4) = ⇔a= −5 5 5 Vậy a =

FI CI A

lim f ( x ) = lim

Ta có f ( x ) liên tục tại x = 4 thì:

19 − 5 thì hàm số liên tục tại x = 4 . 5

−3 . 2

B. m =

−1 . 8

C. m =

1 . 8

ƠN

A. m =

 x2 − 5x + 6 khi x > 2  Câu 29. Cho hàm số f ( x ) =  4 x + 1 − 3 . Tìm giá trị của tham số m để hàm số liên tục 2mx − 1 khi x ≤ 2  trên ℝ . 3 D. m = . 2

Lời giải Chọn B

Khi x ∈ ( 2; +∞ ) thì f ( x ) =

Tập xác định D = ℝ .

x2 − 5x + 6 là hàm sơ cấp xác định trên ( 2;+∞ ) nên hàm số f ( x ) 4x +1 − 3

liên tục trên ( 2;+∞ ) .

QU Y

Khi x ∈ ( −∞;2 ) thì f ( x ) = 2mx − 1 là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên ( −∞;2 ) . Do đó hàm số liên tục trên ℝ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 2 . Ta có: f ( 2 ) = 4m − 1

lim+ f ( x ) = lim+

x→2

(

)

( x − 2 )( x − 3) 4 x + 1 + 3 ( x − 3) x2 − 5x + 6 = lim+ = lim+ x→2 4 x + 1 − 3 x→2 ( 4x + 1 − 9)

(

4x +1 + 3 4

) = −3 . 2

lim f ( x ) = lim− ( 2mx − 1) = 4m − 1 .

x → 2−

x→2

KÈ

Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi:

−3 −1 ⇔m= . x→2 x →2 2 8 Câu 30. Hàm số nào sau đây không liên tục trên ℝ ? 2x −1 A. y = 2 x 2 + 1 . B. y = . C. y = 4 x 3 − 3 x + 1 . x +1

DẠ

f ( 2 ) = lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) ⇔ 4m − 1 =

D. y =

2x − 5 . x2 + 2

Lời giải

Chọn B

2x −1 có tập xác định là D = ℝ \ {− 1} nên hàm số bị gián đoạn tại điểm x = −1 . Do x +1 2x −1 đó hàm số y = không liên tục trên ℝ . x +1 Hàm số y =

Câu 31. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết SA vuông góc với đáy và AB = SA = a , AC = 2a . Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC . A. 30° . B. 60° . C. 90° . D. 45° .

Lời giải

FI CI A

Chọn A

Tam giác ABC vuông tại B  AD = BC = AC 2 − AB 2 =

( 2a )

− a2 = a 3 .

ƠN

. SD, BC ) = ( SD, AD ) = SDA Ta có BC // AD nên (

SD, BC ) = 300 . Vậy (

SA 3 = 30° . =  SDA AD 3

= Xét tam giác SAD vuông tại A , ta có tan SDA

QU Y

Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ (tham khảo hình vẽ).

KÈ

Góc giữa hai đường thẳng AC và A′D bằng A. 45° . B. 60° .

DẠ

Chọn B

C. 30° .

Lời giải

D. 90° .

′C ′ . Do A′C ′//AC nên ta có: ( AC , A′D ) = ( A′C ′, A′D ) = DA

FI CI A

′C ′ = 60° . Vì A′D = A′C ′ = C ′D  ∆A′C ′D đều  DA = BAD = 600 , CAD = 900 . Gọi I và J lần lượt Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và IJ ? A. 120° . B. 90° . C. 60° . D. 45° . Lời giải Chọn B A

D J

ƠN

Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD . 1 Ta có: I J = IC + ID 2

(

)

= 60° Vì tam giác ABC có AB = AC và BAC Nên tam giác ABC đều. Suy ra: CI ⊥ AB

Tương tự ta có tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB . 1 1 1 Xét IJ . AB = IC + ID . AB = IC. AB + ID. AB = 0 . 2 2 2 Suy ra I J ⊥ AB . Hay góc giữa cặp vectơ AB và IJ bằng 900 . Câu 34. Trong không gian, cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Các vectơ AB + AD + AA′, AB + AD, CB − CA đồng phẳng. B. Các vectơ AA′, BB′, CC ′ không đồng phẳng. C. Các vectơ AB + AD, C ′B′ + C ′D′, A′C không đồng phẳng. D. Các vectơ AB′ + AD′, AB + AA′, AD + AA′ đồng phẳng.

QU Y

)

KÈ

(

DẠ

Chọn D

Lời giải

FI CI A

Xét phương án A. Ta có AB + AD + AA′ = AC ′ , AB + AD = AC , CB − CA = AB . Các vectơ AB, AC , AC ′ không đồng phẳng vì ABCC ′ là tứ diện. Xét phương án B. Ta có AA′, BB′, CC ′ đồng phẳng vì giá của chúng là các đường thẳng song song nhau nên sẽ luôn song song với một mặt phẳng nào đó. Xét phương án C. Ta có AB + AD = AC , C ′B′ + C ′D′ = C ′A′ . Các vectơ AC , C ′A′, A′C có giá là các đường thẳng cùng nằm trên mặt phẳng ( AA′C ′C ) nên chúng đồng phẳng.

định nào sau đây đúng? 1 1 A. AM = a − c + b . B. AM = b + c − a . 2 2

1 1 C. AM = a + c − b . D. AM = b − a + c . 2 2

Lời giải.

QU Y

ƠN

Chọn D

Xét phương án D. Ta có AB + AA′ = AB′ , AD + AA′ = AD′ . Các vectơ AB′, AD′, x = AB′ + AD′ hiển nhiên đồng phẳng. Câu 35. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C′ , M là trung điểm của BB′ . Đặt CA = a, CB = b, AA ' = c . Khẳng

KÈ

1 1 1 1 1 1 1 Ta có: AM = AB + AB′ = AB + AB + AA′ = AC + CB + AA′ = b − a + c . 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1  2 * Câu 36. Tính giới hạn lim  + + + ... +  , n ∈∞ . 3 6 10 ( n + 1)( n + 2)   Lời giải

 1 1 1 1 1 1   2 1 lim  + + + ... + + ... +  = lim  2  + +  (n + 1)(n + 2)  (n + 1)(n + 2)    3 6 10   6 12 20

DẠ

 1 1 1 1 1 1  1 1 1  1  = lim  2.  − + − + − + ... + −   = lim  2.  −  = 1 n + 1 n + 2   2 3 3 4 4 5   2 n + 2  Câu 37. Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm của hình bình hành ABFE và K là tâm của hình υυυρ υυρ υυυρ bình hành BCGF . Chứng minh các vectơ BD, IK , GF đồng phẳng. Lời giải

C B

H E

Vì I , K lần lượt là trung điểm của AF và CF .

FI CI A

Suy ra IK là đường trung bình của tam giác AFC  IK // AC  IK // ( ABCD ) . υυυρ υυρ υυυρ Mà GF // ( ABCD ) và BD ⊂ ( ABCD ) suy ra ba vectơ BD, IK , GF đồng phẳng.

Câu 38. Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng .Biết rằng mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới là 50cm .Hỏi chiều cao tối đa của mô hình là bao nhiêu?

ƠN

Lời giải Gọi bán kính khối cầu dưới cùng là R = 50cm . Gọi R1 , R2 ,..., Rn là các khối cầu nằm ngay trên khối cầu cuối cùng. R R R R R Ta có: R2 = 1 , R3 = 2 = 1 ,..., Rn = n −1 = n 1−1 . 2 2 4 2 2 Gọi hn là chiều cao của mô hình gồm các khối cầu chồng lên nhau.Ta có

QU Y

1 1 1   hn = 2 R1 + 2 R2 + ... + 2 Rn = 2  R1 + R1 + R1 + ... + n −1 R1  2 4 2   1   1 1 =2R1  1 + + + ... + n −1  2   2 4  1  1  1 1 h = lim hn = lim  2R1  1 + + + ... + n −1   = 2 R1 = 4 R1 n →+∞ n →+∞ 1 2   2 4  1− 2 Suy ra h = 4.50 = 200cm = 2m .Vậy chiều cao tối đa của mô hình là 2m . Câu 39. Chứng minh rằng phương trình ( m 2 + 1) x 3 − 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 = 0 luôn có 3 nghiệm.

Lời giải Đặt f ( x ) = ( m 2 + 1) x3 − 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 .

KÈ

+ Hàm số f ( x ) = ( m 2 + 1) x3 − 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 liên tục trên ϒ . + Ta có: f ( x ) = m 2 ( x3 − 2 x 2 + 1) + x3 − 4 x + 1

f ( −3) = −44m 2 − 14 < 0; ∀m

DẠ

f ( 0 ) = m 2 + 1 > 0, ∀m f (1) = −2 f ( 2 ) = m 2 + 1 > 0; ∀m

Vì f ( −3) . f ( 0 ) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng ( −3;0 ) .

Vì f ( 0 ) . f (1) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) .

Vì f (1) . f ( 2 ) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2 ) . Vậy phương trình ( m 2 + 1) x 3 − 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

( −3; 2 ) , mà phương trình đã cho là bậc 3 nên phương trình có đúng 3 nghiệm.

I – TRẮC NGHIỆM Câu 1. Giới hạn nào dưới đây có kết quả bằng 1 ? x2 + 4 x + 3 x 2 + 3x + 2 A. lim . B. lim . x →−1 x →−1 x +1 x +1

x 2 + 3x + 2 . x →−2 x+2

C. lim n +1

Câu 5.

Câu 6.

Câu 4.

x →1

A. 0 . B. −2 . 2 x +1 có giá trị bằng bao nhiêu? lim− x →1 x − 1 A. +∞

Câu 8.

C. 3 .

1 2

D. −1.

D. −

1 2

lim ( x 2 − 2 x + 3) có giá trị bằng bao nhiêu?

QU Y

Câu 7.

B. −∞

ƠN

Câu 3.

x 2 + 3x + 2 . x →−1 1− x

D. lim

( −1) ;... có giá trị bằng bao nhiêu ? 1 1 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ; − ;...; 2 4 2n 2 1 1 A. . B. 1 . C. − . D. − . 3 3 3 2 x +1 có giá trị bằng bao nhiêu ? lim+ x →1 x − 1 B. 2 . C. 1. D. +∞ . A. −∞ . 2018 lim có giá trị bằng bao nhiêu ? n+3 1 1 A. 0 . B. −1 . C. − . D. − . 4 3 lim3x có giá trị bằng bao nhiêu ?

Câu 2.

x →−1

A. 4 B. 0 C. 2 D. 6 Cho phương trình −4 x 3 + 4 x − 1 = 0. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai? A. Phương trình đã cho có đúng một nghiệm trong khoảng ( 0;1) . B. Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. C. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( −2; 0 ) .

lim

(

)

x + 3 − x + 5 có giá trị bằng bao nhiêu?

KÈ

x →+∞

 1 1 D. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng  − ;  .  2 2

Câu 9.

A. +∞ B. 0 4 3x − 2 x + 3 Câu 10. lim 4 có giá tị bằng bao nhiêu? x →+∞ 5 x + 3 x + 1

DẠ

A. 0

Câu 11.

Trang 1

lim

x →−1

B. +∞

x 4 − 4 x 2 + 3x có giá trị là bao nhiêu? x 2 + 16 x − 1

3+ 5

3 5

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 40 câu TN, 02 câu tự luận)

FI CI A

ĐỀ SỐ 9

D. −∞

4 9

3 . 8

x →0

1 . 8

3 . 8

D. +∞ .

x + 1 − x2 + x + 1 có giá trị là bao nhiêu? x

A. −∞ .

1 . 2 dưới đây, dãy nào có giới hạn khác 0 ? B. −1 .

Câu 13. Trong các dãy số ( un )

C. −

1 n2 + 2018 1 . B. un = . C. un = . 3 n − 2019 n n Câu 14. Trong các dãy số ( un ) dưới đây, dãy nào có giới hạn bằng +∞ ? B. un = n 2 + 1 .

Câu 15. Dãy số ( un ) nào sau đây có giới hạn bằng

1 − 2n 2 . 5n + 5

C. un =

1 ? 5

D. un =

n +1 . n

2007 + 2008n . D. un = 2008 − 2007n 2 . n +1

ƠN

9n 2 + 7 n A. un = . n + n2

D. 0 .

A. un =

Câu 12. lim

FI CI A

n 2 − 2n 1 − 2n . D. un = . 2 5n + 5n 5n + 5  x3 − 4 x 2 + 3 khi x ≠ 1  2 x − 1 liên tục tại x = 1 . Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số f ( x ) =   ax + 5 khi x = 1  2 A. a = 5 . B. a = −5 . C. a = 3 . D. a = −3 . Câu 17. Trong các dãy số ( un ) dưới đây, dãy số nào có giới hạn bằng 0 ? B. un =

1 − 2n . 5n + 5n 2

C. un =

QU Y

A. un =

 5 4 B. un =   . A. un =  −  .  3 3 4 x −1 Câu 18. lim có giá trị bằng bao nhiêu ? x →1 x − 1 A. 4 . B. +∞ .

1 C. un =   .  3

 4 D. un =  −  .  3

KÈ

C. 2 . D. −∞ . 2 2 khi x ≤ 2 a x Câu 19. Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số f ( x ) =  liên tục trên ℝ . (1 − a ) x khi x > 2 1 1 1 B. a = . C. a = −1; a = . D. a = 1; a = − . A. a = 1 . 2 2 2 3 3 2 27 n − 4n + 5 có giá trị bằng bao nhiêu? Câu 20. lim n−6 A. −2 . B. −1 . C. 0 . D. 3 . Câu 21. Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) . Khẳng định nào sau đây đúng?

DẠ

A. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( α ) nếu d vuông góc với một đường thẳng a

Trang 2

nằm trong ( α ) .

B. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( α ) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong ( α ) .

C. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( α ) nếu d vuông góc với hai đường thẳng nằm

FI CI A

trong ( α ) .

D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( α ) nếu d vuông góc với một đường thẳng b song song với ( α ) .

Câu 22. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P ) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng

( P)

(Q)

thì a song song với b . B. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (mặt phẳng không vuông góc với đường thẳng) bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho. C. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (mặt phẳng không vuông góc với đường thẳng) bằng góc giữa đường thẳng đó và đường thẳng b với b vuông góc với mặt phẳng đã cho. D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P ) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng thì mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng ( Q ) .

ƠN

Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = a 2 . Gọi α là góc giữa BD và mặt phẳng ( SAD ) . Chọn khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau? B. α = 30 o .

C. cos α =

A. α = 60 o .

3 . 2 2

D. tan α =

15 . 5

KÈ

QU Y

Câu 24. Trong các khẳng định sau, định nào sai? khẳng A. Nếu trong ba vectơ a , b, c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng. B. Nếu trong ba vectơ a , b, c có một vectơ-không thì ba vectơ đó đồng phẳng. C. Nếu giá của ba vectơ a , b, c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng. D. Nếu giá của ba vectơ a , b, c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng. Câu 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A 'B'C 'D' . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB' = AB + AD + AA' . B. BD' = BA + BC + BB' . C. AC' = AB + AC + AA' . D. AC' = AB + AD + A'A . Câu 26. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ có một đường thẳng vuông với một mặt phẳng cho trước. B. Cho hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia. C. Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng ∆ cho trước. D. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ có một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Câu 27. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng ( P ) , trong đó a ⊥ ( P ) . Mệnh đề nào sau đây B. Nếu b //a thì b ⊥ ( P ) .

C. Nếu a ⊥ b thì b // ( P ) .

D. Nếu b ⊥ ( P ) thì b //a .

DẠ

là sai? A. Nếu b // ( P ) thì a ⊥ b .

Câu 28. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

Trang 3

A. Nếu a // ( P ) và b ⊥ a thì b // ( P ) .

B. Nếu a // ( P ) và b ⊥ a thì b ⊥ ( P ) .

FI CI A

D. Nếu a // ( P ) và b ⊥ ( P ) thì a ⊥ b . C. Nếu a ⊥ ( P ) và b ⊥ a thì b // ( P ) . Câu 29. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA′ và B′C ′. 3 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 2 Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) bằng 45°. Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC). Mệnh đề nào sau đây đúng? 30 A. ϕ = 60°. B. ϕ = 45°. C. cos ϕ = . D. tan ϕ = 5. 6 Câu 31. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 2 . Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp S . ABCD với mặt phẳng ( α ) đi qua A và vuông góc với

SC .

a2 2 a2 2 a2 3 . B. S = . C. S = . 3 2 3 Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 tính góc giữa AC và DA1

ƠN

A. S =

D. S =

4a 2 2 . 2

QU Y

B. 120 o . C. 45o . D. 90o . A. 60o . Câu 33. Cho tứ diện ABCD . Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi GA + GB + GC + GD = 0 ”. Khẳng định nào sau đây sai? A. G là trung điểm của đoạn thẳng nối AD và BC . B. GA = GB = GC = GD . C. G là trung điểm của IJ ( I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD ). D. G là trung điểm của đoạn thẳng nối AC và BD . Câu 34. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi AH , AK lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. SC ⊥ ( AHC ) . B. SC ⊥ ( AHD ) .

KÈ

D. SC ⊥ BK . C. SC ⊥ HK . Câu 35. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , SA = SC; SB = SD . Chọn khẳngđịnh đúng. A. AC ⊥ SB . B. BD ⊥ CD . C. SC ⊥ AB . D. AD ⊥ SC . Câu 36. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′. Gọi α là góc giữa AC ′ và ( A′BCD′ ) . Chọn khẳng định

DẠ

đúng trong các khẳng định sau. 3 2 A. cos α = . B. tan α = . C. α = 450 . D. α = 300 . 3 3 Câu 37. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của S lên a 15 mặt đáy là trung điểm H của đoạn AB, biết SH = . Tính góc giữa đường thẳng SC và 2 ( ABCD ) .

Trang 4

A. 450 .

B. 300 .

C. 600 .

D. 750 .

Câu 38. Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC và tam giác SH ⊥ ( ABC ) , H ∈ ( ABC ) . Khẳng định nào sau đây đúng?

ABC

vuông tại

B. Vẽ

) )

( (

) )

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

( (

FI CI A

A. H trùng với trung điểm AC . B. H trùng với trung điểm BC . D. H trùng với trực tâm tam giác ABC . C. H trùng với trọng tâm tam giác ABC . Câu 39. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm AB và CD. Đặt AB = b, AC = c, AD = d . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. MP = c + b − d . B. MP = b + c + d . 2 2 1 1 C. MP = c + d − b . D. MP = d + b − c . 2 2 Câu 40. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại. D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. II – TỰ LUẬN  x3 − 3x 2 + 2 x ( x( x - 2) ≠ 0)   x( x − 2) liên tục trên ℝ ? Câu 1: Tìm a , b để hàm số y =  a khi x = 2 b khi x = 0   Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm BC , cạnh AB = a a) Chứng minh AB ⊥ CD . b) Tính góc giữa AB và DM .

Trang 5

n +1

( −1) ;... có giá trị bằng bao nhiêu ? 1 1 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ; − ;...; 2 4 2n 2 1 1 A. . B. 1 . C. − . D. − . 3 3 3 Lời giải Chọn A. 1 1 Cấp số nhân có công bội q = − và u1 = . 2 2 n  −1  1−   n n 1− q 1 1   −1   2   = . = 1 −    . Vậy S n = u1 1− q 2 1+ 1 3   2   2 1 Vậy tổng là lim S n = . 3 2 x +1 có giá trị bằng bao nhiêu ? lim x →1+ x − 1 A. −∞ . B. 2 . C. 1. D. +∞ . Lời giải Chọn D. x2 + 1 Do lim+ ( x − 1) = 0 và x − 1 > 0 khi x → 1+ ; lim+ ( x 2 + 1) = 2 nên lim+ = +∞ . x →1 x →1 x →1 x − 1 2018 lim có giá trị bằng bao nhiêu ? n+3 1 1 A. 0 . B. −1 . C. − . D. − . 4 3 Lời giải Chọn A. 2018 2018 lim = lim n = 0 . 3 n+3 1+ n lim3 x có giá trị bằng bao nhiêu ?

Câu 5.

KÈ

Câu 4.

QU Y

Câu 3.

ƠN

Câu 2.

x →1

DẠ

A. 0 .

Trang 6

Chọn C. lim 3x = 3.1 = 3 . x →1

B. −2 .

C. 3 . Lời giải

x 2 + 3x + 2 . x →−1 1− x

D. lim

FI CI A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I – TRẮC NGHIỆM Câu 1. Giới hạn nào dưới đây có kết quả bằng 1 ? x2 + 4 x + 3 x 2 + 3x + 2 x 2 + 3x + 2 A. lim . B. lim . C. lim . x →−1 x →−1 x →−2 x +1 x +1 x+2 Lời giải Chọn B. ( x + 1)( x + 2 ) = lim x + 2 = 1. x 2 + 3x + 2 lim = lim ( ) x →−1 x →−1 x →−1 x +1 x +1

D. −1.

lim−

x →1

x2 + 1 có giá trị bằng bao nhiêu? x −1

A. +∞

B. −∞

1 2

D. −

1 2

Lời giải

(

)

FI CI A

Chọn B.

Ta có lim− x 2 + 1 = 2 > 0 và lim− ( x − 1) = 0; x < 1  x − 1 < 0 nên lim− x →1

Câu 7.

x →1

lim ( x − 2 x + 3) có giá trị bằng bao nhiêu? 2

x →−1

A. 4

B. 0

C. 2 Lời giải

x →−1

Câu 8.

x2 + 1 = −∞ x −1

D. 6

Chọn D. 2 lim ( x 2 − 2 x + 3) = ( −1) − 2. ( −1) + 3 = 6

Câu 6.

Cho phương trình −4 x 3 + 4 x − 1 = 0. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai? A. Phương trình đã cho có đúng một nghiệm trong khoảng ( 0;1) .

ƠN

B. Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. C. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( −2; 0 ) .

 1 1 D. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng  − ;  .  2 2 Lời giải Chọn A. Xét hàm số f ( x ) = −4 x3 + 4 x − 1

Hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ

QU Y

1 1 Mà f ( −2 ) = 23; f ( 0 ) = −1; f   = ; f (1) = −1.  2 2 Do f ( −2 ) . f ( 0 ) = −23 < 0 nên phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng

( −2; 0 )

Câu 9.

lim

x →+∞

(

1 1  1 f ( 0 ) . f   = − < 0 nên phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng  0;  2  2  2 1 1 1  f   . f (1) = − < 0 nên phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng  ;1 2 2   2 

)

x + 3 − x + 5 có giá trị bằng bao nhiêu?

KÈ

A. +∞

B. 0

C. 3 + 5 Lời giải

D. −∞

Chọn B. lim

x →+∞

(

)

x + 3 − x + 5 = lim

x →+∞

−2 =0 x+3 + x+5

3x 4 − 2 x + 3 có giá tị bằng bao nhiêu? x →+∞ 5 x 4 + 3 x + 1

DẠ

Câu 10.

Trang 7

lim

A. 0

B. +∞

C. Lời giải

Chọn C.

3 5

4 9

2 3 + 3x − 2 x + 3 x3 x 4 = 3 lim 4 = lim x →+∞ 5 x + 3 x + 1 x →+∞ 3 1 5+ 3 + 4 5 x x

lim

x →−1

x 4 − 4 x 2 + 3x có giá trị là bao nhiêu? x 2 + 16 x − 1 3 . 8

1 . 8

FI CI A

Câu 11.

3−

3 . 8

D. +∞ .

Bài giải

x →−1

Câu 12. lim x →0

x 4 − 4 x 2 + 3x 3 = . 2 x + 16 x − 1 8

x + 1 − x2 + x + 1 có giá trị là bao nhiêu? x

A. −∞ .

B. −1 .

C. −

1 . 2

D. 0 .

ƠN

lim

Chọn A.

Bài giải Chọn A. x + 1 − x2 + x + 1 Ta có lim = lim x →0 x →0 x

(

) (

x + 1 −1 −

)

x2 + x + 1 −1

x   x + 1 −1 x2 + x + 1 − 1  x x2 + x  = lim  − −  = lim  x →0   x →0 x x + 1 − 1 x x 2 + x + 1 + 1 x x       1 x +1   = 1 − 1 = 0. = lim  −  x →0 x2 + x + 1 + 1  2 2  x +1 +1   Câu 13. Trong các dãy số ( un ) dưới đây, dãy nào có giới hạn khác 0 ?

QU Y

(

n2 + 2018 . n3 − 2019

)

(

A. un =

) (

    

B. un =

1 . n

C. un =

1 . n

D. un =

n +1 . n

KÈ

Bài giải Chọn D. n +1 Vì lim = 1. n Câu 14. Trong các dãy số ( un ) dưới đây, dãy nào có giới hạn bằng +∞ ?

DẠ

A. un =

Trang 8

9n 2 + 7 n . n + n2

Chọn B. Vì lim ( n 2 + 1) = +∞ .

B. un = n 2 + 1 .

C. un = Bài giải

2007 + 2008n . D. un = 2008 − 2007n 2 . n +1

1 − 2n 2 . 5n + 5

B. un =

1 − 2n . 5n + 5n 2

C. un =

n 2 − 2n . 5n + 5n 2

Bài giải

Chọn C.

n 2 − 2n Vì lim = lim 5n + 5n 2

 2 n 2 1 −   n = 1. 5  5 n2  + 5  n 

D. un =

1 − 2n . 5n + 5

A. un =

1 ? 5

FI CI A

Câu 15. Dãy số ( un ) nào sau đây có giới hạn bằng

)

(

ƠN

 x3 − 4 x 2 + 3 khi x ≠ 1  2 x 1 − Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số f ( x ) =  liên tục tại x = 1 .  ax + 5 khi x = 1  2 A. a = 5 . B. a = −5 . C. a = 3 . D. a = −3 . Lời giải Chọn B 5 Có f (1) = a + . 2 ( x − 1) x 2 − 3x − 3 x3 − 4 x 2 + 3 x 2 − 3x − 3 5 lim f ( x ) = lim = lim = lim =− 2 x →1 x →1 x → 1 x → 1 x −1 x +1 2 ( x − 1)( x + 1) 5 5 Để hàm số liên tục tại x = 1 thì a + = − ⇔ a = −5. 2 2 Câu 17. Trong các dãy số ( u n ) dưới đây, dãy số nào có giới hạn bằng 0 ?

Chọn C

4 B. un =   . 3

QU Y

 5 A. un =  −  .  3

1 C. un =   .  3 Lời giải

 4 D. un =  −  .  3

1 1 < 1 nên lim   = 0 . 3  3 4 x −1 có giá trị bằng bao nhiêu ? lim x →1 x − 1 B. +∞ . A. 4 .

KÈ

Câu 18.

Có 0 <

C. 2 . Lời giải

D. −∞ .

Chọn A

DẠ

( x − 1)( x + 1) ( x 2 + 1) x4 − 1 = lim = lim ( x + 1) ( x 2 + 1) = 4 . Ta có lim x →1 x − 1 x →1 x →1 x −1 2 2 khi x ≤ 2 a x Câu 19. Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số f ( x ) =  liên tục trên ℝ . (1 − a ) x khi x > 2 1 1 1 A. a = 1 . B. a = . C. a = −1; a = . D. a = 1; a = − . 2 2 2 Lời giải Chọn C Trang 9

−

ℝ nên hàm số liên tục trên

FI CI A

( −∞; 2 ) . Với x ∈ ( 2; +∞ ) ta có f ( x ) = (1 − a ) x là hàm số liên tục trên khoảng ( 2; +∞ ) . Xét lim f ( x ) = lim (1 − a ) x = 2 (1 − a ) . x →2 x →2 lim f ( x ) = lim a 2 x 2 = 4a 2 = f ( 2 ) . x→2 x →2

Ta có TXĐ D = ℝ . Với x ∈ ( −∞; 2 ) ta có f ( x ) = a 2 x 2 là hàm số liên tục trên ℝ nên hàm số liên tục trên khoảng

 a = −1 Để hàm số liên tục trên ℝ ⇔ 4a = 2 (1 − a ) ⇔ 2 a + a − 1 = 0 ⇔  a = 1  2 2

27 n3 − 4n 2 + 5 có giá trị bằng bao nhiêu? n−6 B. −1 . C. 0 . D. 3 . A. −2 . Lời giải Chọn D 1 1 3 27 − 4. + 5. 3 3 27 n3 − 4n 2 + 5 n n = 3. Ta có lim = lim 1 n−6 1 − 6. n Câu 21. Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) . Khẳng định nào sau đây đúng?

ƠN

Câu 20. lim

A. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( α ) nếu d vuông góc với một đường thẳng a nằm trong ( α ) .

B. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( α ) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a

QU Y

nằm trong ( α ) .

C. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( α ) nếu d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ( α ) .

D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( α ) nếu d vuông góc với một đường thẳng b song song với ( α ) .

Lời giải

KÈ

Chọn B. Câu 22. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P ) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng

( P)

DẠ

Trang 10

(Q)

thì mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng ( Q ) . Lời giải

Chọn khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau? B. α = 30 o .

C. cos α =

3 . 2 2

Lời giải

15 . 5

QU Y

ƠN

Chọn D.

D. tan α =

FI CI A

A. α = 60o .

Chọn B. Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = a 2 . Gọi α là góc giữa BD và mặt phẳng ( SAD ) .

Gọi E là trung điểm của AB và F là trung điểm của SA suy ra SE ⊥ ( ABCD ) và

BF ⊥ ( SAD ) . Do đó hình chiếu của BD lên mặt phẳng ( SAD ) dẫn đến góc giữa BD và mặt phẳng ( SAD ) là α = BDF .

Giả sử đáy ABCD có cạnh là x , khi đó CE =

x 5 x 3 và SE = suy ra SC = x 2 mà 2 2

DẠ

KÈ

SC = a 2 do đó x = a . BF BF a 3 2 15 = = ⋅ = Vậy tan BDF = . 2 2 DF 2 a 5 5 BD − BF Câu 24. Trong các khẳng định sau, định nào sai? khẳng A. Nếu trong ba vectơ a, b, c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng. B. Nếu trong ba vectơ a, b, c có một vectơ-không thì ba vectơ đó đồng phẳng. C. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng. D. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng. Lời giải Chọn D. Trang 11

ƠN

FI CI A

Câu 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A 'B'C 'D' . Khẳng định nào sau đây đúng? B. BD' = BA + BC + BB' . A. AB' = AB + AD + AA' . C. AC' = AB + AC + AA' . D. AC' = AB + AD + A'A . Lời giải Chọn B.

KÈ

QU Y

Ta có BD' = BD + BB' = BA + BC + BB' . Câu 26. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ có một đường thẳng vuông với một mặt phẳng cho trước. B. Cho hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia. C. Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng ∆ cho trước. D. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ có một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Lời giải: Chọn D. D sai vì qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

DẠ

Trang 12

P c

là sai? A. Nếu b // ( P ) thì a ⊥ b .

B. Nếu b //a thì b ⊥ ( P ) .

C. Nếu a ⊥ b thì b // ( P ) .

D. Nếu b ⊥ ( P ) thì b //a .

FI CI A

Lời giải: Chọn C. C sai vì b có thể nằm trong mặt phẳng ( P ) .

Câu 27. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng ( P ) , trong đó a ⊥ ( P ) . Mệnh đề nào sau đây

Câu 28. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu a // ( P ) và b ⊥ a thì b // ( P ) .

B. Nếu a // ( P ) và b ⊥ a thì b ⊥ ( P ) .

C. Nếu a ⊥ ( P ) và b ⊥ a thì b // ( P ) .

D. Nếu a // ( P ) và b ⊥ ( P ) thì a ⊥ b .

ƠN

Lời giải: Chọn D. A sai vì b có thể nằm trong ( P ) .

QU Y

B sai vì b có thể nằm trong ( P ).

KÈ

C sai vì b có thể cắt ( P ) hoặc b nằm trong ( P ) . a

a b P

DẠ

D đúng vì a // ( P )  ∃a′ ⊂ ( P ) sao cho a //a′ , b ⊥ ( P )  b ⊥ a′ . Khi đó  a ⊥ b . Câu 29. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA′ và B′C ′.

Trang 13

3 . 4

1 . 4

1 . 2

3 . 2

Lời giải

FI CI A

Chọn B.

ƠN

Ta có AA′ BB′ nên giữa hai đường thẳng AA′ và B′C ′ bằng góc giữa hai đường thẳng BB′ và B′C ′.

BC = AB 2 + AC 2 = 2a = BB′ nên tứ giác BCC ′B′ là hình thoi. Gọi H là trung điểm BC, theo đề ra ta có A′H ⊥ ( ABC )  A′H ⊥ BC , A′H ⊥ AH .

Do đó A′H = AA′2 − AH 2 = 4a 2 − a 2 = a 3.

DẠ

KÈ

QU Y

Lại có: A′H ⊥ A′B′  B′H = A′B′2 + A′H 2 = a 2 + 3a 2 = 2a . 1 ′BH = . Xét tam giác BB′H cân tại B′ ta có ngay cos B 4 1 Vậy cos( AA′, B′C ′) = . 4 Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) bằng 45°. Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC). Mệnh đề nào sau đây đúng? 30 . A. ϕ = 60°. B. ϕ = 45°. C. cos ϕ = D. tan ϕ = 5. 6 Lời giải Chọn C.

Trang 14

L FI CI A OF ƠN

. Suy ra SCA = 45o. Do SA ⊥ ( ABCD) nên góc giữa SC và đáy (ABCD) là SCA , suy ra ϕ = DSO . Lại có BD ⊥ ( SAC ) nên góc giữa SD và (SAC) là DSO

Ta có ∆SAC vuông cân nên SA = AC = a 2.

QU Y

a 2 a 10 = . 2 2 DO a 2 a 10 5 tan ϕ = = : = . SO 2 2 5 1 1 6 5 30 = 1 + tan 2 ϕ = 1 + =  cos ϕ = = . Suy ra cos ϕ 5 5 6 6 (Lưu ý là các giá trị lượng giác của ϕ đều dương do nó là góc nhọn). SO = SA2 + AO 2 = 2a 2 +

Câu 31. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 2 . Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp S . ABCD với mặt phẳng ( α ) đi qua A và vuông góc với

SC . a2 2 . 3

DẠ

KÈ

Chọn A.

A. S =

Trang 15

B. S =

a2 2 . 2 Lời giải

C. S =

a2 3 . 3

D. S =

4a 2 2 . 2

FI CI A

I M

  AM ⊥ SC . AM ⊥ DC ( DC ⊥ ( SAD ) )  Tương tự AN ⊥ SC . Vậy SC ⊥ ( AMN ) hay mặt phẳng ( AMN ) là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đầu bài.

AM ⊥ SD

Ta có

Gọi SO ∩ MN = {I } , AI ∩ SC = { K } . Thiết diện tạo thành là tứ giác AMKN .

ƠN

1 MN . AK . 2 1 1 1 a 2 Xét tam giác vuông SAD có = + ⇔ AM = . 2 2 2 AM AD AS 3 1 Tương tự AK = SC = a . 2 2a 2 2a 3 Mặt khác : SD = a 3 , SA2 = SM .SD  SM = = . 3 a 3 MN SM BD.SM =  MN = Tam giác SMN đồng dạng với tam giác SBD ta có BD SD SD 2a 3 a 2. 3 = 2a 2 .  MN = 3 a 3 1 2a 2 2 a2 2 Vậy S AMKN = = S AMKN = . 2 3 3

QU Y

Ta có MN ⊥ AK vậy S AMKN =

Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 tính góc giữa AC và DA1

KÈ

A. 60o .

DẠ

Chọn A.

Trang 16

B. 120 o .

C. 45o . Lời giải

D. 90o .

B1 C1

FI CI A

A D

QU Y

ƠN

Ta có AC //A1C1 vậy góc giữa AC và DA1 bằng góc giữa A1C1 và DA1 và bằng 60o do tam giác DA1C1 là tam giác đều. Câu 33. Cho tứ diện ABCD . Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi GA + GB + GC + GD = 0 ”. Khẳng định nào sau đây sai? A. G là trung điểm của đoạn thẳng nối AD và BC . B. GA = GB = GC = GD . C. G là trung điểm của IJ ( I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD ). D. G là trung điểm của đoạn thẳng nối AC và BD . Lời giải Chọn B.

KÈ

P G A

Q I

Y DẠ Trang 17

N B

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC ta có 1 0 = GA + GB + GC + GD = GM + GN . 2

(

)

C. SC ⊥ HK .

FI CI A

Vậy A đúng. Tương tự có C, D đúng. Câu 34. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi AH , AK lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. SC ⊥ ( AHC ) . B. SC ⊥ ( AHD ) . D. SC ⊥ BK . Lời giải Chọn C. S

H K

  AK ⊥ SC . AK ⊥ DC ( DC ⊥ ( SAD ) )  Tương tự AH ⊥ SC . Vậy SC ⊥ ( AHK )  SC ⊥ HK . AK ⊥ SD

Ta có

ƠN

QU Y

Câu 35. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , SA = SC; SB = SD . Chọn khẳngđịnh đúng. A. AC ⊥ SB . B. BD ⊥ CD . C. SC ⊥ AB . D. AD ⊥ SC . Lời giải S

KÈ

Chọn A.

DẠ

Trang 18

Do tam giác SAC cân nên SO ⊥ AC mặt khác AC ⊥ BD vậy AC ⊥ ( SBD )  AC ⊥ SB .

C. α = 450 .

D. α = 300 .

Lời giải Chọn A. A'

FI CI A

đúng trong các khẳng định sau. 3 2 A. cos α = . B. tan α = . 3 3

Câu 36. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′. Gọi α là góc giữa AC ′ và ( A′BCD′ ) . Chọn khẳng định

A C

ƠN

Gọi M , N lần lượt là trung điểm A′B, CD′. Suy ra hình chiếu của AC ′ lên mặt phẳng ( A′BCD′ ) là đường thẳng MN . Gọi I = AC ′ ∩ MN . Ta có ( AC ′, ( A′BCD′ ) ) = ( AC ′, MN )

Xét tam giác vuông AMI có

a a2 + a2 + a2 a 3 MI 3 = AIM = = , AI = , cos . 2 2 2 AI 3 Câu 37. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của S lên a 15 mặt đáy là trung điểm H của đoạn AB, biết SH = . Tính góc giữa đường thẳng SC và 2 ( ABCD ) .

QU Y

MI =

A. 450 .

B. 300 .

Chọn C.

C. 600 . Lời giải

D. 750 .

DẠ

KÈ

Trang 19

D a

H B

hcSC / ( ABCD ) = HC.

.  ( SC , ( ABCD ) ) = ( SC , HC ) = SCH

a2 a 5 = . 4 2

FI CI A

Xét tam giác vuông SHC có a 15 . SH 2 = 600  ( SC , ( ABCD ) ) = 600. = = 3  SCH tan SCH = HC a 5 2 Câu 38. Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC và tam giác ABC SH ⊥ ( ABC ) , H ∈ ( ABC ) . Khẳng định nào sau đây đúng?

Xét tam giác vuông BHC có HC = a 2 +

vuông tại

B. Vẽ

) )

( (

) )

QU Y

( (

ƠN

A. H trùng với trung điểm AC . B. H trùng với trung điểm BC . C. H trùng với trọng tâm tam giác ABC . D. H trùng với trực tâm tam giác ABC . Lời giải Chọn A. SA = SB = SC  S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mà tam giác ABC vuông tại B suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AC . Suy ra hình chiếu H của S lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm AC . Câu 39. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm AB và CD. Đặt AB = b, AC = c, AD = d . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. MP = c + b − d . B. MP = b + c + d . 2 2 1 1 C. MP = c + d − b . D. MP = d + b − c . 2 2 Lời giải Chọn C.

P C

DẠ

KÈ

1  MP = MA + AD + DP   2MP = AD + BC = AD + AC − AB = d + c − b  MP = d + c − b . 2  MP = MB + BC + CP Câu 40. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại. D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. Lời giải Chọn D. Trang 20

(

)

Câu 1:

x3 − 3 x 2 + 2 x x( x − 1) = lim =1 x→2 x →2 x →0 x( x − 2) x Hàm số liên tục trên ℝ ⇔ a = 1, b = −1 Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm BC , cạnh AB = a a) Chứng minh AB ⊥ CD . b) Tính góc giữa AB và DM . Lời giải

lim f ( x) = lim

FI CI A

 x3 − 3 x 2 + 2 x ( x( x - 2) ≠ 0)  x( x − 2)  Tìm a, b để hàm số y =  a khi x = 2 liên tục trên ℝ ? b khi x = 0   Lời giải Hàm số liên tục tại x ≠ 0 và x ≠ 2 . x3 − 3 x 2 + 2 x x 2 − 3x + 2 lim f ( x) = lim = lim = −1 x →0 x →0 x→0 x( x − 2) x−2

QU Y

ƠN

Câu 2:

AB.CD = AB.( AD − AC ) = AB. AD AB. AC = a.a.cos600 − a.a.cos600 = 0  AB ⊥ CD MN // AB  AB, DM = MN , DM

(

KÈ Y DẠ Trang 21

)

a 3 a =a:a 3 = 1 , MN =  cos NMD 2 2 4 2 2 3

DM = DN =

) (

II – TỰ LUẬN

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ II Môn: Toán, Lớp 11 Thời gian làm bài: 90 phút, không tính thời gian phát đề

FI CI A

Họ và tên học sinh:…………………………………. Mã số học sinh:…………………………. PHẦN TRẮC NGHIỆM Phát biểu nào sau đây là sai?

B. lim q n = 0 ( q > 1) .

A. lim un = c ( un = c là hằng số ). C. lim

lim3 n bằng A. +∞ .

B. −∞ .

5 C.   .  3

B. L + 9 .

L+9.

C. L + 3 .

Cho dãy số ( u n ) có lim un = 2 . Tính giới hạn lim

3 . 2

5 . 9

L +3.

D. +∞ .

QU Y

C. 13 .

D. −1

Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng 0 ? n

 5 B.   .  2 

A. (1, 01) .

1 C.   .  3

5 D.   .  3

C. 1 .

D. 3 .

Giá trị của lim ( 3 x 2 − 2 x + 1) bằng x →1

KÈ

A. +∞ . Câu 9:

3un − 1 2un + 5

B. 5 .

Câu 8:

−5 D.   .  3 

Cho hai dãy số ( un ) ,( vn ) thỏa mãn lim un = 4 và lim vn = 9. Giá trị của lim ( un .vn ) bằng

A. 36 . Câu 7:

1 B.   . 3

1 A. − . 5

Câu 6:

D. 0

Nếu lim un = L thì lim un + 9 có giá trị là bao nhiêu?

A. Câu 5:

C. 2 .

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? 4 A.   . e

Câu 4:

1 = 0 ( k > 1) . nk

ƠN

Câu 3:

D. lim

Câu 2:

1 = 0. n

Câu 1:

B. 2 .

Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

A. 2 .

lim f ( x ) = 4

x →1+

B. 1 .

và

lim f ( x ) = 4

x →1−

C. 4 .

. Giá trị của

lim f ( x) x →1

bằng

D. 0 .

DẠ

Câu 10: Giả sử ta có lim f ( x ) = a và lim g ( x ) = b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Câu 11:

x →+∞

A. lim  f ( x ) .g ( x )  = a. b . x →+∞

B. lim  f ( x ) − g ( x )  = a − b . x →+∞

f ( x) a = . g ( x) b

D. lim  f ( x ) + g ( x )  = a + b . x →+∞

C. lim

x →+∞

lim x 3 bằng

x →+∞

A. +∞ .

B. −∞ .

Câu 12: Cho hai hàm số

C. 0 .

D. 1 .

f ( x ) , g ( x ) thỏa mãn lim f ( x ) = 2 và lim g ( x ) = −∞. Giá trị của x →1

x →1

lim  f ( x ) .g ( x )  bằng x →1

B. −∞ .

C. 2 .

D. −2 .

FI CI A

A. +∞ .

Câu 13: Cho các giới hạn: lim f ( x ) = 2 ; lim g ( x ) = 3 , giới hạn lim  3 f ( x ) − 4 g ( x )  bằng? x → x0 x → x0 x → x0 B. 2 .

A. 5 .

C. −6 .

D. 3 .

Câu 14: Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm x0 = −1 . B. y =

2x −1 . x +1

C. y =

x . x −1

D. y =

x +1 . x2 + 1

A. y = ( x + 1) ( x 2 + 2 ) .

2x + 3 . Khẳng định nào dưới đây đúng? 2x − 1 1 1  B. Hàm số liên tục trên đoạn  ;1 . A. Hàm số bị gián đoạn tại điểm x0 = . 2 2  1  1 C. Hàm số liên tục trên đoạn  −1;  . D. Hàm số liên tục trên ℝ \   . 2  2

ƠN

Câu 15: Cho hàm số y =

Câu 16: Hình chiếu song song của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau? B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình thoi A. Hình thang. Câu 17: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′. Ta có AB + AD + AA′ bằng A. AC ′ . B. AC . C. AB ′ . D. AD ′ .

QU Y

Câu 18: Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: DA + DB + DC = k DG 1 1 B. k = 2 . C. k = 3 . D. k = . A. k = . 3 2

KÈ

Câu 19: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là? A. Trong không gian, cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai. B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. C. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau. D. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Câu 20: Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Gọi hai vectơ u , v lần lượt là vectơ chỉ

phương của a và b . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. u .v = 0 . B. u .v = 1 . C. u .v = −1 .

DẠ

Câu 21: Giá trị của giới hạn lim A. 2 .

D. u .v = 2

n + 2n 2 bằng n3 + 3n − 1

B. 1.

2 . 3

D. 0 .

Câu 23: Kết quả của giới hạn lim A. −15 . x−2 bằng x+3 2 A. − . 3

C. 6 .

3n − 2.5n +1 bằng 2 n +1 + 5n B. −10 .

C. 10 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 4 .

D. 15 .

lim

x →+∞

cx 2 + a bằng? x →+∞ x 2 + b

Câu 25: Giới hạn lim A. a .

x+3 −2 bằng x −1

1 . 4

B. +∞ .

1 . 2

Câu 27: Cho hàm số f ( x) xác định và liên tục trên ℝ với f ( x) = . A. 2 .

ƠN

x →1

C. c .

Câu 26: lim

B. b .

D. −3 .

Câu 24:

B. 8 .

B. 1 .

của a là A. 10 .

an + 4 trong đó a là số thực. Để dãy số ( un ) có giới hạn bằng 2, giá trị 5n + 3

FI CI A

Câu 22: Cho dãy số ( un ) với un =

a+b . c

D. 1 .

x 2 − 3x + 2 với mọi x ≠ 1 . Tính f (1) x −1

C. 0 .

D. − 1 .

QU Y

 x2 + x − 2 khi x ≠ 1  Câu 28: Cho hàm số f ( x ) =  x − 1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3m khi x = 1  gián đoạn tại x = 1. A. m ≠ 2 .

B. m ≠ 1 .

C. m ≠ 2 .

D. m ≠ 3 .

Câu 29: Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng ( 0;1) 5

B. ( x − 1) − x 7 − 2 = 0 .

C. 3 x 4 − 4 x 2 + 5 = 0 .

D. 3 x 2017 − 8 x + 4 = 0 .

KÈ

A. 2 x 2 − 3 x + 4 = 0 .

 x 2 − 1 khi x ≤ 1 Câu 30: Hàm số f ( x ) =  liên tục tại điểm x0 = 1 khi m nhận giá trị  x + m khi x > 1 A. m = 1 . B. m = 2 . C. m bất kỳ. D. m = −1 .

DẠ

Câu 31: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ với tâm O . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau đây: A. AB + BC + CC ′ = AD ′ + D ′O + OC ′ . B. AB + AA′ = AD + DD ′ . C. AB + BC ′ + CD + D ′A = 0 . D. AC ′ = AB + AD + AA′ . Câu 32: Cho hình lăng trụ ABC .A′B ′C ′ , M là trung điểm của BB ′ . Đặt CA = a , CB = b , AA′ = c . Khẳng định nào sau đây đúng?

1 B. AM = a − c + b . 2 1 D. AM = b − a + c . 2

1 A. AM = b + c − a . 2 1 C. AM = a + c − b . 2

khẳng định đúng? 3 A. cos α = . 8

B. α = 300 .

1 C. cos α = . 3

FI CI A

Câu 33: Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và EG ? A. 90° . B. 60° . C. 45° . D. 120° Câu 34: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a = 4; b = 3; a − b = 4 . Gọi α là góc giữa hai vectơ a, b . Chọn

D. α = 600 .

(

)

ƠN

PHẦN TỰ LUẬN. Bài 1: Tính giới hạn: lim  n + 3 − n − 5 n  .  

Câu 35: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là? A. 120° . B. 60° . C. 90° . D. 30° .

Bài 3: x 2 + ax + b −1 = x →1 2 x2 − 1

a) Cho lim

Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Tính cos ( AB , DM ) ?.

( a ,b ∈ ℝ ) . Tìm tổng S = a 2 + b 2 ?

QU Y

23 x − x − 1 khi x ≠ 1  b) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y =  liên tục trên ℝ . x −1 mx + 1 khi x = 1 

KÈ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ MINH HỌA

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ II - NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: Toán, Lớp 11 Thời gian làm bài: 90 phút, không tính thời gian phát đề

Họ và tên học sinh:…………………………………. Mã số học sinh:………………………….

PHẦN TRẮC NGHIỆM. Phát biểu nào sau đây là sai?

Câu 1:

DẠ

A. lim un = c ( un = c là hằng số ).

C. lim

1 = 0. n

B. lim q n = 0 ( q > 1) . D. lim

1 = 0 ( k > 1) . nk

Lời giải Chọn B Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số thì lim q n = 0 ( q < 1) .

B. −∞ .

C. 2 . Lời giải

D. 0

Chọn A Theo định nghĩa giới hạn vô hạn của dãy số thì lim q n = +∞ ( q > 1) . Câu 3:

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n

4 A.   . e

1 B.   . 3

5 C.   .  3 Lời giải

−5 D.   .  3 

Chọn B

Nếu lim un = L thì lim un + 9 có giá trị là bao nhiêu?

B. L + 9 .

L+9.

C. L + 3 . Lời giải

Theo lí thuyết, lim un + 9 = L + 9 .

Cho dãy số ( un ) có lim un = 2 . Tính giới hạn lim 1 A. − . 5

3 . 2

L +3.

3un − 1 2un + 5

Câu 5:

ƠN

Chọn A

Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số thì lim q n = 0 ( q < 1) .

Câu 4:

lim3 n bằng A. +∞ .

FI CI A

Câu 2:

5 . 9

D. +∞ .

Lời giải

lim Câu 6:

QU Y

Chọn C

3un − 1 3.2 − 1 5 = = . 2un + 5 2.2 + 5 9

Cho hai dãy số ( un ) ,( vn ) thỏa mãn lim un = 4 và lim vn = 9. Giá trị của lim ( un .vn ) bằng

A. 36 .

B. 5 .

C. 13 . Lời giải

D. −1

Câu 7:

KÈ

Chọn A Theo định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số Nếu lim un = a và lim vn = b thì lim ( un .vn ) = a.b . Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng 0 ? n

A. (1, 01) .

 5 B.   .  2 

1 C.   .  3

5 D.   .  3

Lời giải

DẠ

Chọn C

Câu 8:

Ta biết rằng nếu q < 1 thì lim q n = 0 . Giá trị của lim ( 3 x 2 − 2 x + 1) bằng x →1

A. +∞ .

B. 2 .

C. 1 . Lời giải.

D. 3 .

Chọn B lim ( 3 x 2 − 2 x + 1) = 3.12 − 2.1 + 1 = 2 . x →1

x →1

A. 2 .

x →1

B. 1 .

C. 4 .

D. 0 .

Lời giải Chọn C Ta có : lim f ( x ) = L khi và chỉ khi lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L . x → x0

x → x0

Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn lim+ f ( x ) = 4 và lim− f ( x ) = 4 . Giá trị của lim f ( x ) bằng

x → x0

FI CI A

Câu 9:

Câu 10: Giả sử ta có lim f ( x ) = a và lim g ( x ) = b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? x →+∞

x →+∞

B. lim  f ( x ) − g ( x )  = a − b . x →+∞

f ( x) a = . g ( x) b

D. lim  f ( x ) + g ( x )  = a + b . x →+∞

C. lim

x →+∞

ƠN

Lời giải Chọn C Vì có thể b = 0 .

lim x 3 bằng

x →+∞

B. −∞ .

A. +∞ .

Câu 11:

A. lim  f ( x ) .g ( x )  = a. b . x →+∞

C. 0 .

D. 1 .

Lời giải.

Chọn A

k • lim x = +∞ với k là số nguyên dương.

QU Y

x →+∞

Câu 12: Cho hai hàm số

f ( x ) , g ( x ) thỏa mãn lim f ( x ) = 2 và lim g ( x ) = −∞ . Giá trị của x →1

x →1

lim  f ( x ) .g ( x )  bằng x →1

A. +∞ .

B. −∞ .

C. 2 .

D. −2 .

Lời giải

Chọn B Theo qui tắc tìm giới hạn của tích

KÈ

lim f ( x ) = L > 0 và lim g ( x ) = −∞ thì lim  f ( x ) .g ( x )  = −∞ . x → xo x → xo

x → xo

Câu 13: Cho các giới hạn: lim f ( x ) = 2 ; lim g ( x ) = 3 , giới hạn lim  3 f ( x ) − 4 g ( x )  bằng? x → x0 x → x0 x → x0 B. 2 .

C. −6 . Lời giải

A. 5 .

D. 3 .

DẠ

Chọn C Ta có lim 3 f ( x ) − 4 g ( x )  = lim 3 f ( x ) − lim 4 g ( x ) = 3 lim f ( x ) − 4 lim g ( x ) = −6 . x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0

Câu 14: Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm x0 = −1 . A. y = ( x + 1) ( x 2 + 2 ) .

B. y =

2x −1 . x +1

C. y =

x . x −1

D. y =

x +1 . x2 + 1

Lời giải Ta có y =

2x −1 không xác định tại x0 = −1 nên gián đoạn tại x0 = −1 . x +1

FI CI A

2x + 3 . Khẳng định nào dưới đây đúng? 2x − 1 1 A. Hàm số bị gián đoạn tại điểm x0 = . B. Hàm số liên tục trên đoạn 2

Câu 15: Cho hàm số y =

1   2 ;1 . 1 D. Hàm số liên tục trên ℝ \   . 2 

1

C. Hàm số liên tục trên đoạn  −1;  . 2



Lời giải Chọn A Hàm số y =

 

Chọn B

2x + 3 1 1  . có tập xác định D = R \   nên hàm số bị gián đoạn tại điểm x0 = . 2x − 1 2 2

QU Y

ƠN

Câu 16: Hình chiếu song song của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau? A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình thoi Lời giải Chọn A Do phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, nên không thể có đáp án A. Câu 17: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′. Ta có AB + AD + AA′ bằng A. AC ′ . B. AC . C. AB ′ . D. AD ′ .

Lời giải

KÈ

Chọn A Theo qui tắc hình hộp.

DẠ

Câu 18: Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: DA + DB + DC = k DG 1 1 A. k = . B. k = 2 . C. k = 3 . D. k = . 3 2 Lời giải Chọn C Theo tính chất trọng tâm ta có DA + DB + DC = 3DG . Câu 19: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?

phương của a và b . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. u .v = 0 . B. u .v = 1 . C. u .v = −1 . Lời giải

n + 2n 2 bằng n3 + 3n − 1

B. 1.

A. 2 .

ƠN

Chọn A u ⊥ v ⇔ u .v = 0 . Câu 21: Giá trị của giới hạn lim

FI CI A

A. Trong không gian, cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai. B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. C. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau. D. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Lời giải Chọn A Theo định lí. Câu 20: Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Gọi hai vectơ u , v lần lượt là vectơ chỉ

2 . 3

D. u .v = 2

D. 0 .

Lời giải

Chọn D

QU Y

1 2 + 2 n + 2n 2 n n = 0 =0. = lim Ta có lim 3 3 1 n + 3n − 1 1+ 2 − 3 1 n n

Câu 22: Cho dãy số ( un ) với un = trị của a là A. 10 .

an + 4 trong đó a là số thực. Để dãy số ( un ) có giới hạn bằng 2 , giá 5n + 3

B. 8 .

C. 6 .

D. 4 .

Chọn A

Lời giải

KÈ

4 a+ an + 4 a a n Ta có lim un = lim = lim = . Khi đó lim u n = 2 ⇔ = 2 ⇔ a = 10 . 3 5 5n + 3 5 5+ n

Câu 23: Kết quả của giới hạn lim

DẠ

A. −15 .

Chọn B

3n − 2.5n +1 bằng 2 n +1 + 5n B. −10 . C. 10 . Lời giải

D. 15 .

Câu 24:

x−2 bằng x+3 2 A. − . 3

3n − 2.5n +1 2n +1 + 5n

lim

x →+∞

B. 1 .

C. 2 .

FI CI A

Ta có lim

3   − 10 5 = lim   n = −10 . 2 2.   + 1 5

D. −3 .

Lời giải Chọn B

2 1− x−2 x = 1 =1. Chia cả tử và mẫu cho x , ta có lim = lim x →+∞ x + 3 x →+∞ 3 1 1+ x cx 2 + a bằng? x →+∞ x 2 + b

A. a .

ƠN

Câu 25: Giới hạn lim

B. b .

C. c .

a+b . c

Lời giải

Chọn C

a c+ 2 cx 2 + a x = c+0 = c. Ta có lim 2 = lim x →+∞ x + b x →+∞ b 1+ 2 1+ 0 x

x →1

x+3 −2 bằng x −1

QU Y

Câu 26: lim

1 . 4

B. +∞ .

Chọn A

KÈ

x →1

1 . 2

D. 1 .

Lời giải

x+3 −2 x + 3− 4 1 1 = lim = lim = . x →1 x −1 ( x − 1) x + 3 + 2 x →1 x + 3 + 2 4

Ta có: lim

(

)

Câu 27: Cho hàm số f ( x) xác định và liên tục trên ℝ với f ( x) =

DẠ

. A. 2 .

B. 1 .

x 2 − 3x + 2 với mọi x ≠ 1 . Tính f (1) x −1

C. 0 . Lời giải

D. − 1 .

Chọn D Vì f ( x ) liên tục trên ℝ nên suy ra f (1) = lim f ( x ) = lim x →1

x →1

x 2 − 3x + 2 = lim ( x − 2 ) = −1 . x →1 x −1

Hàm số gián đoạn tại x = 1 khi lim f ( x ) ≠ f (1) ⇔ lim x →1

( x − 1)( x + 2 )

x →1

x −1

x2 + x − 2 ≠ 3m x −1

≠ 3m ⇔ lim ( x + 2 ) ≠ 3m ⇔ 3 ≠ 3m ⇔ m ≠ 1 . x →1

Câu 29: Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng ( 0;1) 5

B. ( x − 1) − x 7 − 2 = 0 .

C. 3 x 4 − 4 x 2 + 5 = 0 .

D. 3 x 2017 − 8 x + 4 = 0 . Lời giải

ƠN

A. 2 x 2 − 3 x + 4 = 0 .

⇔ lim

x →1

FI CI A

 x2 + x − 2 khi x ≠ 1  Câu 28: Cho hàm số f ( x ) =  x − 1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3m khi x = 1  gián đoạn tại x = 1. A. m ≠ 2 . B. m ≠ 1 . C. m ≠ 2 . D. m ≠ 3 . Lời giải Chọn B Tập xác định của hàm số là ℝ .

Chọn D Xét hàm số f ( x ) = 3 x 2017 − 8 x + 4 .

Hàm số liên tục trên đoạn [ 0;1] và f ( 0 ) . f (1) = 4. ( −1) = − 4  f ( 0 ) . f (1) < 0 . Vậy phương trình 3 x 2017 − 8 x + 4 = 0 có nghiệm trong khoảng ( 0;1) .

QU Y

 x 2 − 1 khi x ≤ 1 Câu 30: Hàm số f ( x ) =  liên tục tại điểm x0 = 1 khi m nhận giá trị  x + m khi x > 1 A. m = 1 . B. m = 2 . C. m bất kỳ. D. m = −1 . Lời giải Chọn D Ta có lim− f ( x ) = lim− ( x 2 − 1) = 0 ; f (1) = 0 ; lim+ f ( x ) = lim+ ( x + m ) = m + 1 x →1

x →1

Hàm số liên tục tại x0 = 1 ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1) ⇔ m + 1 = 0 ⇔ m = −1 . x →1

x →1

DẠ

KÈ

Ta có : AB + AA′ = AD + DD ′ ⇔ AB = AD .

C' B'

C B

ƠN

Ta phân tích như sau: 1 AM = AB + BM = CB − CA + BB′ 2 1 1 = b − a + AA′ = b − a + c . 2 2

M A

FI CI A

Câu 32: Cho hình lăng trụ ABC .A′B ′C ′ , M là trung điểm của BB ′ . Đặt CA = a , CB = b , AA′ = c . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. AM = b + c − a . B. AM = a − c + b . 2 2 1 1 C. AM = a + c − b . D. AM = b − a + c . 2 2 Lời giải Chọn D

Câu 33: Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và EG ? A. 90° . B. 60° . C. 45° . D. 120° Lời giải Chọn C E

QU Y

D C

Ta có: EG //AC = 45° .  AB, EG = AB, AC = BAC

) (

(

)

KÈ

Câu 34: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a = 4; b = 3; a − b = 4 . Gọi α là góc giữa hai vectơ a, b . Chọn khẳng định đúng? 3 A. cos α = . 8

DẠ

Chọn A Ta có a − b

B. α = 300 .

1 C. cos α = . 3 Lời giải

D. α = 600 .

2 2 9 = a − 2 ab + b ⇔ 2 ab = 4 2 + 32 − 4 2 ⇔ ab = 2 a.b 3 Do đó: cosα = = . a.b 8

(

)

Câu 35: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là?

A. 120° .

B. 60° .

C. 90° . Lời giải

D. 30° .

FI CI A

Chọn C

Gọi I là trung điểm của AB Vì ABC và ABD là các tam giác đều CI ⊥ AB Nên  .  DI ⊥ AB

ƠN

Suy ra AB ⊥ ( CID )  AB ⊥ CD .

PHẦN TỰ LUẬN.

(

n + 3 − n − 5 n . 

)

Bài 1: Tính giới hạn: lim  

Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Tính cos ( AB , DM ) ?. Bài 3:

( a ,b ∈ ℝ ) . Tìm tổng S = a 2 + b 2 ?

QU Y

x 2 + ax + b −1 = x →1 2 x2 − 1

a) Cho lim

23 x − x − 1 khi x ≠ 1  b) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y =  liên tục trên ℝ . x −1 mx + 1 khi x = 1 

(

n + 3 − n − 5 n . 

)

KÈ

Bài 1: Tính giới hạn: lim  

lim  

(

Hướng dẫn.

Lời giải

( n + 3) − ( n − 5 )  n n + 3 − n − 5 n  = lim  = lim  n+3 + n−5

)

8n  3 5 n  1+ + 1−  n n 

DẠ

    8   = +∞ . = lim  n .   3 5    1+ + 1−   n n    

Bài 2:

Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Tính cos ( AB, DM ) ?

Lời giải

L FI CI A

Giả sử cạnh của tứ diện là a . AB.DM AB.DM Ta có cos AB, DM = = a 3 AB . DM a. 2 Mặt khác AB.DM = AB AM − AD = AB. AM − AB. AD = AB. AM .cos 300 − AB. AD.cos 600

)

(

)

a 3 3 1 3a 2 a 2 a 2 . − a.a. = − = . 2 2 2 4 2 4 3 3 . Suy ra cos ( AB, DM ) = . cos AB, DM = 6 6

(

)

Bài 3: x →1

x 2 + ax + b −1 = x2 − 1 2

a) Cho lim

có

ƠN

= a.

(

( a, b ∈ ℝ ) . Tìm tổng

S = a2 + b2 ?

⇔ lim x →1

QU Y

Lời giải Vì hàm số có giới hạn hữu hạn tại x = 1 nên biểu thức tử nhận x = 1 làm nghiệm, hay 1 + a + b = 0 . ( x − 1)( x + 1 + a ) = − 1 . x 2 + ax − 1 − a −1 Áp dụng vào giả thiết, được lim = ⇔ lim 2 x →1 x →1 x −1 2 2 ( x − 1)( x + 1) x +1+ a 1 2+a 1 =− ⇔ = − ⇔ a = −3 . Suy ra b = 2 . x +1 2 2 2

Vậy a 2 + b 2 = 13 .

KÈ

 2 3 x − x −1 khi x ≠ 1  b) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y =  x − 1 liên tục trên ℝ . mx + 1 khi x = 1 

2 2 3 x − x −1 Ta có: lim = lim x →1 x →1 x −1

Lời giải

(

)

x − 1 − ( x − 1) x −1

  2 1 = lim  − 1 = − . x →1 3 2 3 3  x + x +1 

DẠ

Dễ thấy hàm số liên tục khi x ≠ 1 .Hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f (1) ⇔ − x →1

1 4 = m +1 ⇔ m = − . 3 3

4 Vậy hàm số liên tục trên ℝ khi m = − . 3

Câu 1.

Câu 2.

PHẦN TRẮC NGHIỆM (7đ) x + 3 [Mức độ 2] Cho hàm số f ( x ) =   2m bằng A. 3 . B. 2 .

khi x ≠ 3 . Hàm số đã cho liên tục tại x = 3 khi m khi x = 3 C. 6 .

x + x + 2  [Mức độ 2] Cho hàm số f ( x ) =  x + 1 2 x + 3 

D. −3 .

I-

FI CI A

ĐỀ GIỮA HK2 LỚP 11 MÔN TOÁN 11 NĂM HỌC: 2020-2021 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

khi x > −1

. Khẳng định nào sau đây đúng?

khi x ≤ −1

C. Hàm số liên tục trên ℝ . D. Hàm số liên tục tại x0 = −1 . Câu 3.

B. Hàm số không liên tục tại x0 = −1 .

[ Mức độ 2] Cho dãy số ( u n ) với u n = a là A. 4 .

B. 3 .

ƠN

A. Hàm số không liên tục trên khoảng ( −∞; − 1) .

4n 2 + n + 3 . Để ( u n ) có giới hạn bằng 2 thì giá trị của an 2 + 6

C. 2 .

D. 1 .

[ Mức độ 1] lim x + 5 bằng

Câu 5.

A. 3 . B. 1 . C. 0 . D. 4 . [ Mức độ 2]Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' , góc giữa hai đường thẳng A ' B và B ' C là

x →4

A. 30o .

C. 45o .

D. 90o .

[ Mức độ 1] Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn lim+ f ( x ) = 4 và lim− f ( x ) = 4 . Giá trị của lim f ( x ) bằng A. 1 .

x →1

B. 3 . C. 2 . D. 4 . [Mức độ 1]Cho hàm số f ( x ) , g ( x ) thỏa mãn lim f ( x ) = 2 và lim g ( x ) = +∞ . Giá trị của

KÈ

Câu 7.

B. 60 o .

Câu 6.

QU Y

Câu 4.

x →−∞

x → −∞

lim  f ( x ) .g ( x )  bằng

x →−∞

A. +∞ .

DẠ Câu 9.

C. 2 .

1 1 1  1 [Mức độ 2]Cấp số nhận lùi vô hạn 1; − ; ; − ;...;  −  2 4 8  2

Câu 8.

B. −∞ .

D. −2 n−1

;... có tổng là một phân số tối giản

m . Khi đó m.n bằng n A. 0 . B. 5 . C. 6 . D. 2 [Mức độ 1]Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. AB + AD + AA ' = AC . B. AD + AB + AA ' = AB ' .

C. AB + AD + AA ' = AC ' .

D. AB + AD + AA ' = AD ' .

x 2 + x + 10 x 2 + 11x + 30 và = a lim = b . Khi đó S = a + b bằng x →−1 x →−5 x3 + 6 25 − x 2 1 21 B. S = 2 . C. S = . D. S = . 10 10

Câu 10. [Mức độ 1]Cho lim

1 . 5 Câu 11. [Mức độ 1]Cho hai dãy số (un ),(vn ) thỏa mãn lim un = −3,lim vn = 5. Giá trị của lim(3un − vn )

FI CI A

A. S =

bằng A. − 14 . B. 12 . C. 18 . D. 8 . Câu 12. [ Mức độ 1] Trong các dãy số sau, dãy số có giới hạn hữu hạn là n3 + 2 n3 + 2 . B. ( vn ) với v n = . A. ( w n ) với w n = 3 n − 2n + 1 n C. ( h n ) với h n = 3n . D. ( u n ) với u n = n3 + 2n − 3 .

Câu 13. [ Mức độ 1] Trong các dãy số dưới đây, dãy số có giới hạn khác không là A.

(( −0,98) ) . n

((1, 01) ) . n

(( −0,99) ) . n

(( 0,99) ) . n

ƠN

Câu 14. Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC và ASB = ASC = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Góc giữa hai đường thẳng MN và BC là B. 450 . C. 600 . D. 1200 . A. 900 .

Câu 15. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: (I): f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] và f ( a ) . f ( b ) > 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ ( a; b ) sao cho

f (c) = 0 .

(II): f ( x ) liên tục trên nửa khoảng ( a; c ] và trên nửa khoảng [ c; b ) nhưng không liên tục trên khoảng ( a; b ) .

lim x 3 bằng

x →−∞

Câu 17.

QU Y

A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả (I) và (II) đúng. D. Cả (I) và (II) sai. Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. SA + SD = SB + SC . B. SA + SB + SC + SD = 0 . C. SA + SC = SB + SD . D. SA + SB = SC + SD .

KÈ

A. +∞ . B. 1 . C. −∞ . D. 0 . Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc giữa hai đường thẳng MN và CD là A. 45° . B. 90° . C. 30° . D. 60° . Câu 19. Biết lim un = 2 . Mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau là

DẠ

A. lim

un + 2 1 = . 2un + 4 2

Câu 20. Biết hàm số f ( x ) = A. a ≤ −3b .

B. lim

un + 2 2 = . 2u n + 4 7

C. lim

un + 2 3 = . 2u n + 4 8

D. lim

un + 2 1 = . 2un + 4 4

x2 + x + 1 liên tục trên ℝ . Khi đó a , b thỏa mãn hệ thức nào sau đây? x 2 + a + 3b B. a < −3b .

C. a ≥ − 3b .

D. a > −3b .

1 . 2

B. 3 .

C. −∞ .

D. +∞ .

FI CI A

 x2 −1  Câu 21. Giới hạn lim+  2  bằng x →2  2 x − 5x + 2 

Câu 22. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB và CD . Ba véc tơ nào sau đây đồng phẳng A. MN , AC , AD .

B. MN , AC , BD .

C. MN , AC , BC .

Câu 23. Hàm số nào sau đây liên tục trên khoảng ( 0 ; 2 ) ?

x+3 . x2 −1

B. y =

x−2 . ( x − 1)2

C. y =

x+3 . x −1

1 . x2

D. y =

A. y =

D. MN , BC , BD .

Câu 24. Cho hai hàm số f ( x) , g ( x) , biết lim f ( x) = −3 và lim g ( x) = 7 . Giá trị của lim [ f ( x ) + g ( x ) ] x→2

bằng: A. 10 .

B. 4 . x →4

2x +1

( x − 4)

C. −4 .

bằng

x →2

D. −10 .

ƠN

Câu 25. Giới hạn lim

x→2

B. −∞ . C. +∞ . D. 9 . 3 x + 2 khi x < −1 Câu 26. Cho hàm số f ( x ) =  2 . Khẳng định đúng trong các khẳng định sau là  x − 1 khi x ≥ −1 A. f ( x ) liên tục trên ( −∞; −1] . C. f ( x ) liên tục trên [ −1; +∞ ) . Câu 27.

A. 0 .

B. f ( x ) liên tục trên ℝ . D. f ( x ) liên tục tại x = −1 .

QU Y

Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' . Gọi M là trung điểm cạnh BB ' . Đặt CA = a , CB = b , CC ' = c . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. AM = a + b − c. B. AM = −a + b + c. 2 2 1 1 C. AM = a − b + c. D. AM = − a + b + c. 2 2 Câu 28. Cho tứ diện đều ABCD . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa đường thẳng AO và BD bằng

B. 0 .

C. 90 .

D. 60 .

A. 101 .

B. −∞ .

C. 100 .

D. +∞ .

KÈ

A. 30 . Câu 29. lim(4 x 2 + 1) bằng x →5

Câu 30.

Cho 2 dãy số (un ) và (vn ) biết lim un = −5, lim vn = 0 và dấu vn < 0 . Khi đó lim

DẠ

bằng A. −5 . B. 0 . C. +∞ . D. −∞ . Câu 31. Hình biểu diễn của hình chữ nhật trong không gian không thể là hình nào trong các hình sau: A. Hình bình hành. B. Hình thoi. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang. Câu 32. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Khi đó AB.CD bằng

a2 . 2

B. − a 2 .

C. 0 .

D. a 2 .

un vn

Câu 33. Khẳng định đúng trong các khẳng định sau là A. lim q n = +∞ nếu q > 1 .

D. lim q n = +∞ nếu q < 1 .

22 n + 4 Câu 34. lim bằng 3.4n 1 A. . B. 0 . 3 1 Câu 35. Giới hạn lim 2021 bằng n A. −∞ . B. +∞ . IITỰ LUẬN (3Đ)

C. +∞ .

D. 1.

C. 1 .

D. 0 .

42 n + 3.2 n +1 5.16n + 2.4n Cho hai véctơ a , b thỏa a = 4; b = 3; a. b = 10 . Xét hai véctơ x = a − 2b ; y = a − b . Gọi α là góc giữa hai véctơ x , y . Tính cosin của góc α .

Tính giới hạn của dãy số sau lim

Câu 2.

Câu 3.

a) Tính giới hạn của hàm số sau: lim x →1

ƠN

Câu 1.

FI CI A

C. lim q n = +∞ nếu q < 1 .

B. lim q n = +∞ nếu q > 1 .

2 x 2 + 2 − x 2 + 3x x −1

 3− x +9 khi x > 0   b) Cho hàm số f ( x ) =  2 x + 4 − 2 5 x − 1 m 2 khi x ≤ 0  3

DẠ

KÈ

QU Y

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 0 .

LỜI GIẢI CHI TIẾT

4.A 14.A 24.B 34.A

BẢNG ĐÁP ÁN 5.B 6.D 15.D 16.C 25.C 26.C 35.D 1

x + 3 [Mức độ 2] Cho hàm số f ( x ) =   2m bằng A. 3 . B. 2 .

7.A 17.C 27.B 2

khi x ≠ 3 khi x = 3

9.C 19.A 29.A

10.D 20.D 30.C

. Hàm số đã cho liên tục tại x = 3 khi m

C. 6 . Lời giải

Ta có lim f ( x ) = lim ( x + 3) = 6 và f ( 3) = 2m . x →3

8.C 18.D 28.C 3

3.C 13.B 23.D 33.B

FI CI A

Câu 1.

2.B 12.A 22.B 32.C

x →3

D. −3 .

1.A 11.C 21.D 31.D

Hàm số liên tục tại x = 3 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f ( 3) ⇔ 6 = 2m ⇔ m = 3 .

Câu 2.

x + x + 2  [Mức độ 2] Cho hàm số f ( x ) =  x + 1 2 x + 3 

ƠN

x →3

khi x > −1

. Khẳng định nào sau đây đúng?

khi x ≤ −1

A. Hàm số không liên tục trên khoảng ( −∞; − 1) . C. Hàm số liên tục trên ℝ . D. Hàm số liên tục tại x0 = −1 .

B. Hàm số không liên tục tại x0 = −1 .

*Tự luận

QU Y

Lời giải

Khi x > −1 , f ( x ) =

x+ x+2 , hàm số xác định trên ( −1; + ∞ ) nên liên tục trên ( −1; + ∞ ) . x +1

Khi x < −1 , f ( x ) = 2 x + 3 , hàm số xác định trên ( −∞; − 1) nên liên tục trên ( −∞; − 1) . Do vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; + ∞ ) .

Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = −1 : +) lim + f ( x ) = lim + x →( −1)

KÈ

x →( −1)

x2 − ( x + 2) x+ x+2 = lim + x →( −1) x +1 ( x + 1) x − x + 2

= lim + x →( −1)

( x + 1)( x − 2 ) = lim ( x + 1) ( x − x + 2 ) x→( −1)

(

x−2 +

(x −

x+2

)

3 . 2

+) lim − f ( x ) = lim − ( 2 x + 3) = 1 .

DẠ

x →( −1)

Suy ra lim − f ( x ) ≠ lim + f ( x ) do đó không tồn tại lim f ( x ) . x →( −1)

x →( −1)

x→−1

Vậy hàm số cho không liên tục tại x0 = −1 .

*Trắc nghiệm Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; + ∞ ) . Do đó loại phương án A Nếu phương án D đúng, thì phương án C cũng đúng. Do đó loại C, D

Vậy phương án đúng là B

a là A. 4 .

B. 3 .

4n 2 + n + 3 . Để ( u n ) có giới hạn bằng 2 thì giá trị của an 2 + 6

C. 2 . Lời giải

D. 1.

[ Mức độ 2] Cho dãy số ( u n ) với u n =

FI CI A

Câu 3.

4n 2 + n + 3 4n 2 + n + 3 4n2 + n + 3 . Suy ra lim = = +∞ . Nên a ≠ 0 . an 2 + 6 6 6 1 3 4+ + 2 2 4n + n + 3 n n = 4 a =2. = lim Khi đó theo bài ra lim un = 2  2 = lim 2 6 an + 6 a a+ 2 n

Câu 4.

[ Mức độ 1] lim x + 5 bằng x →4

A. 3 .

B. 1.

C. 0 . Lời giải

Với a = 0 thì u n =

D. 4 .

Ta có lim x + 5 = 4 + 5 = 3 .

[ Mức độ 2]Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' , góc giữa hai đường thẳng A ' B và B ' C là A. 30o . B. 60 o . C. 45o . D. 90o . Lời giải

QU Y

Câu 5.

ƠN

x →4

[ Mức độ 1] Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn lim+ f ( x ) = 4 và lim− f ( x ) = 4 . Giá trị của lim f ( x ) x →1

KÈ

Câu 6.

Ta có ( A ' B, B ' C ) = ( D ' C , B ' C ) = B ' CD ' = 60o (vì tam giác B ' CD ' đều).

bằng A. 1.

B. 3 .

x →1

C. 2 . Lời giải

D. 4 .

Do lim+ f ( x ) = 4 và lim− f ( x ) = 4 suy ra lim f ( x ) = 4 x →1

x →1

DẠ

Câu 7.

[Mức độ 1]Cho hàm số f ( x ) , g ( x ) thỏa mãn lim f ( x ) = 2 và lim g ( x ) = +∞ . Giá trị của x →−∞

x → −∞

lim  f ( x ) .g ( x )  bằng

x →−∞

A. +∞ .

B. −∞ .

lim  f ( x ) .g ( x )  = +∞ .

x →−∞

C. 2 . Lời giải

D. −2

;... có tổng là một phân số tối giản

B. 5 .

C. 6 . Lời giải 1 Ta thấy cấp số nhân trên có u1 = 1 ; công bội q = − 2

 1 1  1  1 Suy ra S = 1 +  −  + +  −  + ... +  −   2 4  8  2 Vậy m = 2; n = 3 và m.n = 6 .

+ ... =

u1 2 = 1− q 3

[Mức độ 1]Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Khẳng định nào sau đây là đúng? B. AD + AB + AA ' = AB ' . A. AB + AD + AA ' = AC . C. AB + AD + AA ' = AC ' . D. AB + AD + AA ' = AD ' . Lời giải Theo tính chất hình hộp: AB + AD + AA ' = AC ' .

ƠN

Câu 9.

n −1

D. 2

m . Khi đó m.n bằng n A. 0 .

n −1

FI CI A

Câu 8.

1 1 1  1 [Mức độ 2]Cấp số nhận lùi vô hạn 1; − ; ; − ;...;  −  2 4 8  2

x 2 + x + 10 x 2 + 11x + 30 và = a lim = b . Khi đó S = a + b bằng x →−1 x →−5 x3 + 6 25 − x 2 1 21 B. S = 2 . C. S = . D. S = . 10 10 Lời giải

A. S =

1 . 5

Câu 10. [Mức độ 1]Cho lim

QU Y

Ta có x 2 + x + 10 lim =2→a=2 x →−1 x3 + 6 ( x + 5 )( x + 6 ) = lim x + 6 = 1 → b = 1 x 2 + 11x + 30 lim = lim 2 x →−5 x →−5 ( 5 − x )( 5 + x ) x →−5 5 − x 25 − x 10 10

1 21 = . 10 10 Câu 11. [Mức độ 1]Cho hai dãy số (un ),(vn ) thỏa mãn lim un = −3,lim vn = 5. Giá trị của lim(3un − vn ) bằng A. − 14 .

Nên S = a + b = 2 +

B. 12 .

C. 18 . Lời giải

D. 8 .

KÈ

Theo tính chất giới hạn hữu hạn ta có:

lim(3un − vn ) = lim3un − lim vn = 3.(−3) − 5 = −14 .

DẠ

Câu 12. [ Mức độ 1] Trong các dãy số sau, dãy số có giới hạn hữu hạn là n3 + 2 n3 + 2 A. ( w n ) với w n = 3 . B. ( v n ) với v n = . n − 2n + 1 n C. ( h n ) với h n = 3n . D. ( u n ) với u n = n3 + 2n − 3 . Lời giải

2 1+ 3 n3 + 2 n = lim = 1 . Suy ra ( w n ) có giới hạn hữu hạn. Xét lim w n = lim 3 2 1 n − 2n + 1 1− 2 + 3 n n

Câu 13. [ Mức độ 1] Trong các dãy số dưới đây, dãy số có giới hạn khác không là A.

(( −0,98) ) . n

((1, 01) ) . n

(( −0,99) ) . n

(( 0,99) ) .

Lời giải

FI CI A

Vì1, 01 > 1 nên lim (1, 01) = +∞ . (Các dãy số còn lại đều có q < 1 nên đều có giới hạn bằng 0 ).

Câu 14. Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC và ASB = ASC = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Góc giữa hai đường thẳng MN và BC là A. 900 .

B. 450 .

C. 600 . Lời giải

D. 1200 .

ƠN

Ta có SA = SB = SC và ASB = ASC = 600  ∆SAC = ∆SAB ( c.g .c )  AB = AC  ∆ABC cân tại A

QU Y

 AN ⊥ BC (1) .

SB = SC  ∆BSC cân tại S  SN ⊥ BC ( 2 ) . Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ ( SAN )  BC ⊥ MN  ( MN ; BC ) = 900 .

f (c) = 0 .

(II): f ( x ) liên tục trên nửa khoảng ( a; c ] và trên nửa khoảng [ c; b ) nhưng không liên tục trên

KÈ

khoảng ( a; b ) .

A. Chỉ (I) đúng. C. Cả (I) và (II) đúng.

B. Chỉ (II) đúng. D. Cả (I) và (II) sai. Lời giải

DẠ

Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. SA + SD = SB + SC . B. SA + SB + SC + SD = 0 . C. SA + SC = SB + SD . D. SA + SB = SC + SD . Lời giải

L FI CI A

Vì ABCD là hình bình hành nên BA + DC = 0 Khi đó SA + SC = SB + BA + SD + DC = SB + SD + BA + DC = SB + SD + 0 = SB + SD . Suy ra SA + SC = SB + SD . Vậy C là khẳng định đúng. Câu 17. lim x 3 bằng

) (

x →−∞

A. +∞ .

B. 1. C. −∞ .

D. 0 . Lời giải

ƠN

)

(

 Ta có lim x = −∞ . x →−∞

KÈ

QU Y

Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc giữa hai đường thẳng MN và CD là A. 45° . B. 90° . C. 30 ° . D. 60° . Lời giải

 Từ giả thiết ta có: MN // SB (do MN là đường trung bình của ∆SBC ). Mà CD // AB

DẠ

 ( MN , CD ) = ( SB, AB ) .

 Mặt khác do hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a nên ∆SAB đều, do đó SBA = 60°  ( SB, AB ) = 60°  ( MN , CD ) = 60° .

Câu 19. Biết lim un = 2 . Mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau là

A. lim

un + 2 1 = . 2un + 4 2

B. lim

un + 2 2 = . 2u n + 4 7

C. lim

un + 2 3 = . 2u n + 4 8

D. lim

un + 2 1 = . 2un + 4 4

Do lim un = 2 nên lim

Câu 20. Biết hàm số f ( x ) =

x2 + x + 1 liên tục trên ℝ . Khi đó a , b thỏa mãn hệ thức nào sau đây? x 2 + a + 3b B. a < −3b .

Do hàm số f ( x ) =

C. a ≥ − 3b . Lời giải

D. a > −3b .

A. a ≤ −3b .

un + 2 2+ 2 1 = = . 2un + 4 2.2 + 4 2

FI CI A

Lời giải

x2 + x + 1 liên tục trên ℝ nên phương trình x 2 + a + 3b = 0 vô nghiệm x 2 + a + 3b

1 . 2

 x2 −1  Câu 21. Giới hạn lim+  2  bằng x →2  2 x − 5x + 2 

ƠN

⇔ x 2 = − a − 3b vô nghiệm. Khi đó − a − 3b < 0 ⇔ a > −3b

B. 3 .

C. −∞ .

D. +∞ .

Lời giải

(

)

x →2

QU Y

2 Ta có: lim+ x − 1 = 3 > 0 (1) .

1  lim ( 2 x 2 − 5 x + 2 ) = lim+ 2 ( x − 2 )  x −  = 0 x→2 2 

x → 2+

( 2) .

1  Mà 2 ( x − 2 )  x −  > 0, ∀x > 2 ( 3) . 2 

KÈ

 x2 − 1  Từ (1) , ( 2 ) , ( 3)  lim+  2  = +∞ . x→2  2x − 5x + 2  Câu 22. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB và CD . Ba véc tơ nào sau đây đồng

DẠ

phẳng

A. MN , AC , AD . D. MN , BC , BD .

B. MN , AC , BD . Lời giải

MN , AC , BC .

L FI CI A

Ta có: MN = MA + AC + CN (1) MN = MB + BD + DN ( 2 )

ƠN

Cộng theo vế của (1) và ( 2 ) ta được: 2MN = MA + MB + AC + BD + CN + DN ( 3) Mà M là trung điểm AB nên MA + MB = 0 (4) N là trung điểm CD nên CN + DN = 0 (5) Thay ( 4 ) , ( 5 ) vào ( 3) ta được: 2MN = AC + BD suy ra MN , AC , BD đồng phẳng.

A. y =

x+3 . x2 −1

B. y =

Câu 23. Hàm số nào sau đây liên tục trên khoảng ( 0 ; 2 ) ? x−2 . ( x − 1) 2

C. y =

x+3 . x −1

D. y =

1 . x2

QU Y

Lời giải Ta biết rằng: Hàm phân thức liên tục trên từng khoảng xác định của nó. x+3 Hàm số y = 2 có tập xác định là ℝ \ {±1} nên không liên tục trên ( 0 ; 2 ) . x −1 x+3 x−2 Hàm số y = , y= có tập xác định là ℝ \ {1} nên không liên tục trên ( 0 ; 2 ) . 2 x −1 ( x − 1)

1 có tập xác định là ℝ \ {0} nên liên tục trên từng khoảng ( −∞ ;0 ) và ( 0 ; +∞ ) , do x2 đó hàm số liên tục trên ( 0 ; 2 ) .

Hàm số y =

KÈ

Câu 24. Cho hai hàm số f ( x) , g ( x) , biết lim f ( x) = −3 và lim g ( x) = 7 . Giá trị của lim [ f ( x ) + g ( x )] bằng: A. 10 .

x→2

B. 4 .

x→2

x →2

C. −4 . Lời giải

D. −10 .

B. −∞ . Lời giải

C. +∞ .

Ta có: lim [ f ( x) + g ( x) ] = −3 + 7 = 4 .

x→2

DẠ

Câu 25. Giới hạn lim x →4

2x +1

( x − 4)

bằng

A. 0 .

Ta có: + lim ( 2 x + 1) = 9 > 0 . x→4

D. 9 .

+ lim ( x − 4 ) = 0, ( x − 4 ) > 0 với mọi x ≠ 4 . x→4

x →4

2x +1

( x − 4)

= +∞ .

FI CI A

3 x + 2 khi x < −1 Câu 26. Cho hàm số f ( x ) =  2 . Khẳng định đúng trong các khẳng định sau là  x − 1 khi x ≥ −1 A. f ( x ) liên tục trên ( −∞; −1] .

B. f ( x ) liên tục trên

ℝ. C. f ( x ) liên tục trên [ −1; +∞ ) .

D. f ( x ) liên tục tại

x = −1 .

Lời giải Ta có: 2

+ f ( −1) = ( −1) − 1 = 0 . + lim− f ( x ) = lim− ( 3 x + 2 ) = −1 . x →−1

+ lim+ f ( x ) = lim+ ( x 2 − 1) = 0 . x →−1

x →−1

 f ( −1) = lim+ f ( x ) ≠ lim− f ( x ) . x →−1

x →−1

ƠN

x →−1

Suy ra: lim

 f ( x ) liên tục trên ( −1; +∞ ) .

KÈ

DẠ

Câu 27.

QU Y

Vậy f ( x ) liên tục trên [ −1; +∞ ) .

+ Với x > −1 ta có f ( x ) = x 2 − 1 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ .

L FI CI A OF

ƠN

Ta có : AB = CB − CA = b − a AB ' = AB + AA ' = b − a + c 1 1 1 1 1 Do đó AM = AB + AB ' = b − a + b − a + c = −a + b + c . 2 2 2 2 2 Câu 28. Cho tứ diện đều ABCD . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa đường thẳng AO và BD bằng

B. 0 .

C. 90 . Lời giải

) (

)

D. 60 .

QU Y

A. 30 .

(

Gọi M là trung điểm CD , vì ABCD là tứ diện đều nên ∆ACD, ∆BCD là các tam giác đều.

KÈ

CD ⊥ BM Suy ra   CD ⊥ ( ABM ) CD ⊥ AM Mà AO ⊂ ( ABM )  AO ⊥ CD Do đó góc giữa AO và CD bằng 90 .

Câu 29. lim(4 x 2 + 1) bằng x →5

B. −∞ .

DẠ

A. 101 .

C. 100 . Lời giải

D. +∞ .

Ta thấy : lim(4 x 2 + 1) = 4.25 + 1 = 101

Câu 30.

bằng A. −5 .

x →5

Cho 2 dãy số (un ) và (vn ) biết lim un = −5, lim vn = 0 và dấu vn < 0 . Khi đó lim

B. 0 .

C. +∞ .

D. −∞ .

un vn

Lời giải

un = +∞ vn

FI CI A

Nên lim

un , ta thấy lim un = −5, lim vn = 0 mà dấu vn < 0 vn

Ta thấy : Xét lim

a2 . 2

B. − a 2 .

C. 0 . Lời giải

ƠN

Câu 31. Hình biểu diễn của hình chữ nhật trong không gian không thể là hình nào trong các hình sau: A. Hình bình hành. B. Hình thoi. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang. Lời giải Trong không gian hình biểu diễn của hình chữ nhật phải là một hình bình hành nên hình thang không thể là hình biểu diễn của hình chữ nhật. Câu 32. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Khi đó AB.CD bằng

(

)

QU Y

Ta có

AB.CD = CB − CA CD = CB.CD − CA.CD

1 2 1 2 a − a =0 2 2 Câu 33. Khẳng định đúng trong các khẳng định sau là A. lim q n = +∞ nếu q > 1 . B. lim q n = +∞ nếu q > 1 . = CB.CD.cos 600 − CA.CD.cos 600 =

C. lim q n = +∞ nếu q < 1 .

2 +4 bằng 3.4n 1 A. . 3

KÈ

Câu 34. lim

Lời giải

D. lim q n = +∞ nếu q < 1 .

B. 0 .

C. +∞ .

D. 1.

Lời giải n

DẠ

1 1 + 4.   2n n 2 +4 4 +4 4 = 1 . Ta có lim = lim = lim n n 3.4 3.4 3 3 1 Câu 35. Giới hạn lim 2021 bằng n A. −∞ . B. +∞ . C. 1. Lời giải

D. 0 .

D. a 2 .

Ta có lim

1 n

2021

=0 .

PHẦN TỰ LUẬN 42 n + 3.2 n +1 5.16n + 2.4n Lời giải

Tính giới hạn của dãy số sau lim

FI CI A

Câu 1.

Câu 2.

1 1 + 6.   n +1 n n 2n 4 + 3.2 16 + 6.2 8 = 1 lim = lim = lim n n n n n 5.16 + 2.4 5.16 + 2.4 5 1 5 + 2.   4 Cho hai véctơ a , b thỏa a = 4; b = 3; a. b = 10 . Xét hai véctơ x = a − 2b ; y = a − b . Gọi α là góc giữa hai véctơ x , y . Tính cosin của góc α .

Lời giải 2 2 2 x = a − 2b  x = a − 4a.b + 4 b = 42 − 4.10 + 4.32 = 12 .

có :

ƠN

x =2 3.

Suy

ra :

2 2 2 Ta có : y = a − b  y = a − 2a.b + b = 42 − 2.10 + 32 = 5 . Suy ra : y = 5 . 2 2 a − 3a.b + 2 b a − 2b . a − b x. y 42 − 3.10 + 2.32 2 15 Vậy : cos α = = = = = . x.y 15 2 15 2 15 2 3. 5 a) Tính giới hạn của hàm số sau: lim x →1

2 x 2 + 2 − x 2 + 3x Ta có: lim = lim x →1 x →1 x −1

= lim x →1

2 x 2 + 2 − x 2 − 3x

( x − 1) (

2 x 2 + 2 + x 2 + 3x

)

( x − 1)( x − 2)

( x − 1) (

Vậy lim

2 x + 2 + x + 3x

)

(

2 x 2 + 2 − x 2 + 3x

( x − 1) (

= lim x →1

( x − 1) (

)(

2 x 2 + 2 + x 2 + 3x

)

x 2 − 3x + 2 2 x 2 + 2 + x 2 + 3x

x−2 2

2 x 2 + 2 + x 2 + 3x

2 x + 2 + x + 3x

=−

)

1 4

2 x 2 + 2 − x 2 + 3x 1 =− x −1 4

 3− x + 9 khi x > 0   2x + 4 − 2 b) (0.75 điểm) Cho hàm số f ( x ) =  5 x − 1 m 2 khi x ≤ 0  3

DẠ

x →1

2 x 2 + 2 − x 2 + 3x x −1 Lời giải

KÈ

= lim

)

QU Y

Câu 3.

)(

(

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 0 .

Lời giải TXĐ: D = ℝ .

)

x→0

x →0

( (

)( )(

)(

( 2 x + 4 + 2) = lim − ( 2 x + 4 + 2 ) = − 1 3 2x (3 + x + 9 ) 2 (3 + x + 9 )

−x x→0

x → 0+

1  lim− f ( x ) = lim−  5 x − m 2 x→0 x →0  3 1 f ( 0) = − m2 3 Hàm số liên tục tại x = 0 ⇔ lim f x →0

⇔

1 2  =− m 3 

f ( x ) = lim f ( x ) = f ( 0 ) ( x ) = f ( 0 ) ⇔ xlim →0 x →0 +

m = 1 −1 2 1 m = − ⇔ m2 = 1 ⇔  3 3  m = −1

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

m = 1 Vậy với  thì hàm số liên tục tại x = 0 .  m = −1

−

= lim+

) )

3− x +9 3+ x +9 2x + 4 + 2 3− x +9 = lim+ 2 x + 4 − 2 x →0 2x + 4 − 2 2x + 4 + 2 3 + x + 9

FI CI A

lim+ f ( x ) = lim+

Ta có

FI CI A

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II MÔN TOÁN THỜI GIAN: 90 PHÚT

PHẦN I: ĐỀ BÀI

5 20 5 5 5 3 +1 . B. S = 320 −1 . C. S = 321 −1 . D. S = 1 − 320 . 2 2 2 2 Cho cấp số nhân ( u n ) có u1 = −3 và u6 = −96 . Công bội q của cấp số nhân là A. S =

(

)

(

Câu 3.

B. q = 2 .

)

C. q = 4 .

(

)

D. q = 2 .

Nếu cấp số cộng ( u n ) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức A. un = u1 + nd .

Câu 4.

lim

B. u n = u1 + ( n − 1) d .

n+2 bằng 3n + 1

A. 2. Câu 5.

B. +∞ .

C. u n = u1 + ( n + 1) d .

1 . 3

D. u n = u1 − ( n − 1) d .

3 . 4

QU Y

Nếu cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức A. u n = u1 q n .

B. u n = u1q n −1 .

C. un = u1 + ( n − 1) q . D. u n = u1 + q n −1 .

Cho dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức u n = n 2 + 1 với n ≥ 1 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. ( un ) là dãy giảm.

B. ( un ) là dãy không tăng không giảm.

C. ( un ) là dãy tăng.

D. u1 = 4 .

Câu 6.

(

ƠN

A. q = −2 .

)

Câu 2.

A. PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (35 CÂU, 7 ĐIỂM) Câu 1. Cho cấp số nhân ( u n ) có u1 = 5 và công bội q = 3 . Tổng S = u1 + u2 + u3 + ... + u20 bằng

DẠ

KÈ

Câu 7. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ , (như hình vẽ).

Lấy các điểm D, E , F lần lượt là trung điểm của AA′, BB′, CC ′ và điểm G là trọng tâm tam

giác ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ( DB′F ) ( GEC ) . B. ( DB′F ) ( AEC ) . C. ( DB′F ) ( AEG ) . D. ( DB′F ) ( ABC ) .

Câu 8.

FI CI A

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành, gọi M là trung điểm của SC (như hình vẽ).

ƠN

Giao tuyến của mặt phẳng ( MAD ) và ( SBC ) là

Câu 9.

A. đường thẳng qua M và song song với BC . B. đường thẳng DM . C. đường thẳng AM . D. đường thẳng qua M và song song với CD .

Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −1, u6 = 39 . Công sai d của cấp số cộng là

20 . 3 Câu 10. Cho đường thẳng d và d ' song song với nhau. Các mặt phẳng ( P ) và ( Q ) tương ứng đi qua d và B. d = 10 .

C. d = 6 .

D. d =

QU Y

A. d = 8 .

d ' đồng thời cắt nhau theo giao tuyến a thì : A. Đường thẳng a song song với cả hai đường thẳng d và d ' . B. Đường thẳng a trùng với đường thẳng d . C. Đường thẳng a hoặc song song hoặc trùng với đường thẳng d hoặc d ' .

D. Đường thẳng a song song với đường thẳng d .

KÈ

Câu 11. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân ? A. 1;1;1;1;1. B. 1; 2; 4;8;16 . C. 1;3;5; 7;9 .

D. 1; − 1;1; − 1;1 .

Câu 12. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt ( P ) và

DẠ

( Q ) thì ( P ) và ( Q ) song song với nhau. B. Nếu hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong ( P ) đều song song với mọi đường thẳng nằm trong ( Q ) . C. Nếu hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong ( P ) đều song song với ( Q ) . D. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt ( P ) và ( Q ) thì ( P ) và ( Q ) cắt nhau.

Câu 13. Cho dãy số ( un ) được xác định bởi un = n + 1 với n ∈ ℕ* . Khẳng định nào sau đây là sai? A. ( un ) là dãy số bị chặn dưới. C. 5 số hạng đầu của dãy là: 1; 2 ; 3 ; 5 ; 6 . D. Số hạng u1 = 2 . Câu 14. Cho cấp số nhân ( un ) . Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau A. uk =

uk −1 + uk +1 , k ≥ 2. 2

B. uk = uk −1.uk +1 , k ≥ 2 .

C. uk = uk −1.uk +1 , k ≥ 2 .

D. uk2 = uk −1.uk +1 , k ≥ 2 .

1 . Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho 2

Câu 15. Cho cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = 4 và công bội q = bằng

8 . 3

C. +∞ .

Câu 16. lim ( 2 n − 1) bằng A. −1 . B. −∞ . Câu 17. Cho cấp số nhân 3; a ;75 . Giá trị của a là:

D. 2 .

ƠN

A. 8 .

FI CI A

B. ( un ) là dãy số tăng.

C. 1 .

D. +∞ .

( u1 + un +1 ) n .

( u1 + un ) n . 2

QU Y

B. 125 .

1 C. ± . D. 5 . 5 Câu 18. Cho cấp số cộng ( u n ) . Đặt S n = u1 + u2 + u3 + ... + un . Công thức nào sau đây đúng A. a = ± 15 .

( u1 − un ) n . 2

( u1 + un )( n − 1) . 2

Câu 19. Cho dãy số ( un ) thỏa mãn lim( un +5) = 0 . Giá trị của limun bằng A. −10 .

B. 0 .

x→∞

C. 5 .

D. −5 .

KÈ

A. −∞ .

Câu 20. Cho dãy số ( un ) , ( vn ) thỏa mãn limun =−4 và limvn =+∞ . Giá trị của lim(un.vn ) bằng. B. +∞ .

C. 0 .

D. 2 .

Câu 21. Cho cấp số cộng: 5;3;1; −1; −3 . Công sai của cấp số cộng này là A. 1 .

B. −2 .

C. 4 .

D. 2 .

DẠ

Câu 22. Cho cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 = 2 , công sai d = 4 , số hạng thứ mười của cấp số cộng là A. u10 = 38 .

B. u10 = 34 .

C. u10 = 15 .

D. u10 = 42 .

Câu 23. Cho hình hộp ABCD . A ' B ' C ' D ' . Mặt phẳng ( AB ' D ') song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

L B. ( BCA ') .

C. ( BDA ') .

FI CI A

A. ( BC ' D) .

D. ( A ' C ' C ) .

Câu 24. Cho hình hộp ABCD . A ' B ' C ' D ' . Một mặt phẳng (α ) cắt các cạnh AA ', BB ', CC ', DD ' lần lượt

ƠN

tại M , N , P, Q . Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì ?

QU Y

A. Hình chữ nhật. B. Hình bình hành. C. Hình vuông. D. Hình Thang Cân. Câu 25. Mệnh đề nào sau đây đúng A. Một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại. B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. D. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

KÈ

u1 = 3 với n ≥ 1 . Số hạng thứ ba của dãy số bằng Câu 26. Cho dãy số (u n ) xác định bởi  un +1 = un − 2 A. u3 = 1. B. u3 = 3. C. u3 = 2. D. u3 = −1. Ta có: u2 = u1 − 2 = 3 − 2 = 1; u3 = u 2 − 2 = 1 − 2 = −1. Câu 27. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? A. 1; 1; 1; 1; 1. B. −1; 1; 2 ; 3; 4. C. 1; 2 ; 4 ; 8; 16. D. 1; 3; 6 ; 10 ; 15. Câu 28. Cho hai dãy số (un ) , (vn ) thỏa mãn lim un = −3 , lim vn = 0 và vn > 0, ∀n . Giá trị của lim bằng A. 0 .

DẠ

Câu 29. Cho hai dãy số (un ) , (vn ) A. +∞ .

B. −3 .

C. −∞ .

D. +∞ . u thỏa mãn lim un = 2 , lim vn = −∞ . Giá trị của lim n bằng vn

B. −∞ .

C. 0 .

Câu 30. Cho dãy số (un ) xác định bởi un =

D. −2 .

2 với n ≥ 1 . Khẳng định nào sau đây đúng? n +1

A. Dãy số (un ) là dãy số bị chặn. B. Dãy số (un ) bị chặn trên và không bị chặn dưới.

un vn

C. Dãy số (un ) không bị chặn trên và không bị chặn dưới. D. Dãy số (un ) bị chặn dưới và không bị chặn trên.

2n + 7 n bằng. 10 − 2.7 n 1 1 A. . B. − . C. 0 . D. −1 . 2 2 Câu 32. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Qua một điểm A nằm ngoài đường thẳng a cho trước, có duy nhất một đường thẳng b đi qua A và song song với đường thẳng a . B. Qua một điểm A nằm ngoài đường thẳng a cho trước, có vô số mặt phẳng qua A và song song với đường thẳng a . C. Qua một điểm A nằm ngoài mặt phẳng ( P ) cho trước, có duy nhất một đường thẳng qua A

FI CI A

Câu 31. lim

và song song với mặt phẳng ( P ) .

D. Qua một điểm A nằm ngoài mặt phẳng ( P ) cho trước, có duy nhất một mặt phẳng ( Q ) qua

ƠN

A và song song với ( P ) .

Câu 33. Cho một điểm A nằm ngoài mặt phẳng ( P ) . Qua A có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng song song với ( P ) ?

A. Vô số. B. 1 . C. 2. D. 3. Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD . (α ) là mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng ( SAD ) . Thiết diện của mặt

phẳng (α ) với hình chóp S . ABCD là hình gì?

QU Y

A. Hình ngũ giác. B.Tam giác. C.Hình thang. D.Hình bình hành. Câu 35. Cho dãy số ( un ) có số hạng tổng quát u n được cho bởi công thức u n = 2 n + 1 . Giá trị của u3 là: A. 5 .

B. 3 .

Câu 35. Cho dãy số

( un ) có số hạng tổng quát u

là: A. 5 .

B. 3 .

C. 1. n

D. 7 .

được cho bởi công thức u n = 2 n + 1 . Giá trị của u3 C. 1.

D. 7 .

B. PHẦN II: TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)

(

)

Câu 1.

Tính lim

Câu 2.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, O là giao điểm của AC và BD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, SD .

KÈ

n 2 − 2n + 3 − n .

a) Chứng minh rằng ( OMN ) ( SBC ) . b) Gọi P là trung điểm cạnh AB , Q là điểm bất kì thuộc đoạn ON .

DẠ

Chứng minh PQ ( SBC ) .

Câu 3.

Cho ( un ) là cấp số cộng có u1 = 1 và

1 1 1 1010 + + ... + = . u1u3 u3u5 u2019u2021 6061

Tính công sai của câp số cộng trên. ---------- HẾT ----------

DẠ M

KÈ QU Y ƠN

FI CI A

PHẦN II: ĐÁP ÁN 3.B 13.C 23.A 33.A

4.C 14.D 24.B 34.C

5.B 15.A 25.A 35.D

6.C 16.D 26.D

7.B 17.A 27.A

8.A 18.B 28.C

PHẦN III: GIẢI CHI TIẾT

9.A 19.D 29.C

10.C 20.A 30.A

2.D 12.C 22.A 32.C

FI CI A

1.B 11.C 21.B 31.B

A. PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (35 CÂU, 7 ĐIỂM) Câu 1. Cho cấp số nhân ( u n ) có u1 = 5 và công bội q = 3 . Tổng S = u1 + u2 + u3 + ... + u20 bằng

5 20 3 +1 . 2

(

)

B. S =

5 20 3 −1 . 2

(

)

C. S =

5 21 3 −1 . 2

(

Lời giải Theo công thức S n = u1 + u2 + u3 + ... + un = u1.

(

)

B. q = 2 .

)

C. q = 4 .

A. q = −2 .

5 1 − 320 . 2

1 − qn , ta suy ra 1− q

ƠN

Cho cấp số nhân ( u n )

D. S =

1 − q 20 1 − 320 5 20 = 3 −1 . = 5. 2 1− q 1− 3 có u1 = −3 và u6 = −96 . Công bội q của cấp số nhân là

S = u1 + u2 + u3 + ... + u20 = u1.

Câu 2.

)

A. S =

D. q = 2 .

Lời giải

Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: un = u1. q n−1 , ta có u6 = u1. q 5 .

bởi công thức A. un = u1 + nd .

QU Y

Câu 3.

Vậy −96 = −3. q 5 ⇔ q 5 = 32 ⇔ q = 2. Nếu cấp số cộng ( u n ) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định

B. u n = u1 + ( n − 1) d .

C. u n = u1 + ( n + 1) d .

D. u n = u1 − ( n − 1) d .

Lời giải

Theo công thức số hạng tổng quát ta chọn đáp án u n = u1 + ( n − 1) d . lim

n+2 bằng 3n + 1

KÈ

A. 2.

Câu 4.

B. +∞ .

1 . 3

3 . 4

Lời giải

DẠ

 2 2 n 1 +  1+ n+2 n  = lim n = 1+ 0 = 1 . lim = lim  1 3+0 3 1 3n + 1  3+ n3+  n n 

Câu 5.

Nếu cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức A. u n = u1q n .

B. u n = u1q n −1 .

C. un = u1 + ( n − 1) q . D. u n = u1 + q n −1 .

Lời giải Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ( un ) với số hạng đầu u1 và công bội q là

FI CI A

Câu 6.

u n = u1q n −1 .

Cho dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức u n = n 2 + 1 với n ≥ 1 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. ( un ) là dãy giảm.

B. ( un ) là dãy không tăng không giảm. C. ( un ) là dãy tăng.

Lời giải 2

D. u1 = 4 .

QU Y

Câu 7. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ , (như hình vẽ).

ƠN

Từ giả thiết ta có un +1 − un = ( n + 1) + 1 − n 2 − 1 = 2n + 1 > 0 với mọi n ≥ 1 nên ( un ) là dãy tăng.

Lấy các điểm D, E , F lần lượt là trung điểm của AA′, BB′, CC ′ và điểm G là trọng tâm tam

DẠ

KÈ

giác ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ( DB′F ) ( GEC ) . B. ( DB′F ) ( AEC ) . C. ( DB′F ) ( AEG ) . D. ( DB′F ) ( ABC ) .

Lời giải

1   AD = EB′ = AA′ Ta có:   AEB′D là hình bình hành  AE DB′ . Vì DB′ ⊂ ( DB′F ) 2  AD EB′

FI CI A

 AE ( DB′F ) .

1  CF = EB′ = AA′ Tương tự:   CFB′E là hình bình hành  CE FB′ . Vì FB′ ⊂ ( DB′F ) 2 CF EB′

 CE ( DB′F ) .

 AE ∩ CE = { E} Mà  . Do đó ( AEC ) ( DB′F ) .  AE , CE ⊂ ( AEC )

ƠN

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành, gọi M là trung điểm của SC (như hình vẽ).

QU Y

Câu 8.

Giao tuyến của mặt phẳng ( MAD ) và ( SBC ) là

DẠ

KÈ

A. đường thẳng qua M và song song với BC . B. đường thẳng DM . C. đường thẳng AM . D. đường thẳng qua M và song song với CD . Lời giải

L FI CI A OF

Câu 9.

ƠN

 M ∈ ( MAD ) ∩ ( SBC )   AD ⊂ ( MAD ) Ta có:   ( MAD ) ∩ ( SBC ) = d , d qua M và d AD BC .  BC ⊂ ( SBC )  AD BC  Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −1, u6 = 39 . Công sai d của cấp số cộng là

B. d = 10 .

C. d = 6 .

D. d =

A. d = 8 .

20 . 3

Lời giải u − u 39 − ( −1) Ta có: u6 = u1 + 5d ⇔ d = 6 1 = =8. 5 5 Câu 10. Cho đường thẳng d và d ' song song với nhau. Các mặt phẳng ( P ) và ( Q ) tương ứng đi qua d và

QU Y

Lời giải

KÈ

Đường thẳng a hoặc song song hoặc trùng với đường thẳng d hoặc d ' . Câu 11. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân ? A. 1;1;1;1;1. B. 1; 2; 4;8;16 . C. 1;3;5; 7;9 . D. 1; − 1;1; − 1;1 . Lời giải

Dễ thấy dãy số 1;1;1;1;1 là cấp số nhân với công bội q = 1 .

1; 2; 4;8;16 là cấp số nhân với công bội q = 2 .

DẠ

1; − 1;1; − 1;1 là cấp số nhân với công bội q = −1 . 1;3;5;7;9 không phải là cấp số nhân vì ta có 3 :1 = 3 nhưng 5 : 3 =

5 . 3

Câu 12. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt ( P ) và

( Q ) thì ( P ) và ( Q ) song song với nhau.

B. Nếu hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong ( P ) đều song song với mọi đường thẳng nằm trong ( Q ) .

C. Nếu hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong ( P ) đều

FI CI A

song song với ( Q ) .

D. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt ( P ) và

(Q)

thì ( P ) và ( Q ) cắt nhau.

Lời giải

Câu 13. Cho dãy số ( un ) được xác định bởi un = n + 1 với n ∈ ℕ* . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. ( un ) là dãy số bị chặn dưới. B. ( un ) là dãy số tăng. C. 5 số hạng đầu của dãy là: 1; 2 ; 3 ; 5 ; 6 .

ƠN

D. Số hạng u1 = 2 . Lời giải

Dãy số ( un ) được xác định bởi un = n + 1 với n ∈ ℕ* , suy ra u1 = 2 nên đáp án C là sai.

Câu 14. Cho cấp số nhân ( un ) . Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau

uk −1 + uk +1 , k ≥ 2. 2

A. uk =

C. uk = uk −1.uk +1 , k ≥ 2 .

B. uk = uk −1.uk +1 , k ≥ 2 .

D. uk2 = uk −1.uk +1 , k ≥ 2 .

QU Y

Lời giải

8 . 3

C. +∞ .

D. 2 .

Lời giải

KÈ

A. 8 .

uk = uk −1.q Cho cấp số nhân ( un ) , ta có   uk2 = uk −1.uk +1 , k ≥ 2 . u q u . = k +1  k 1 Câu 15. Cho cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = 4 và công bội q = . Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho 2 bằng

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = 4 và công bội q =

u 1 4 là S = 1 = =8. 1− q 1− 1 2 2

Câu 16. lim ( 2 n − 1) bằng

DẠ

A. −1 .

B. −∞ .

C. 1.

D. +∞ .

Lời giải

lim n = +∞   nên lim ( 2 n − 1) = +∞ . 1   lim  2 − n  = 2 > 0    Câu 17. Cho cấp số nhân 3; a ;75 . Giá trị của a là:  1  Ta có: lim ( 2 n − 1) = lim  n  2 −   . Mà n   

A. a = ± 15 .

1 C. ± . 5

B. 125 .

D. 5 .

FI CI A

Lời giải Do 3; a; 75 là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân nên ta có: 3.75 = a 2 ⇔ 225 = a 2 ⇔ a = ±15 .

Câu 18. Cho cấp số cộng ( u n ) . Đặt S n = u1 + u2 + u3 + ... + un . Công thức nào sau đây đúng A.

( u1 + un +1 ) n .

( u1 + un ) n .

( u1 − un ) n . 2

Do ( u n ) là cấp số cộng nên ta chọn đáp án B.

( u1 + un )( n − 1) . 2

Lời giải

Câu 19. Cho dãy số ( un ) thỏa mãn lim( un + 5) = 0 . Giá trị của lim un bằng x→∞

B. 0 .

C. 5 .

D. −5 .

ƠN

A. −10 .

Lời giải

Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn, lim( un + 5) = 0 ⇔ limun = −5.

A. −∞ .

B. +∞ .

Câu 20. Cho dãy số ( un ) , ( vn ) thỏa mãn limun =−4 và limvn =+∞ . Giá trị của lim(un .vn ) bằng. C. 0 .

D. 2 .

Lời giải

QU Y

Theo định lí về giới hạn, do limun =−4 và limvn =+∞ nên lim(un.vn ) =−∞ .

Câu 21. Cho cấp số cộng: 5;3;1; −1; −3 . Công sai của cấp số cộng này là A. 1.

B. −2 .

C. 4 .

D. 2 .

Lời giải

Ta có u1 = 5; u2 = 3;u3 =1;u4 =−1;u5 =−3, dễ thấy công sai của cấp số cộng bằng −2 .

Câu 22. Cho cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 = 2 , công sai d = 4 , số hạng thứ mười của cấp số cộng

KÈ

là A. u10 = 38 .

B. u10 = 34 .

C. u10 = 15 .

D. u10 = 42 .

Lời giải

Ta có: u10 = u1 + 9d = 2 + 9.4 = 38. Câu 23. Cho hình hộp ABCD . A ' B ' C ' D ' . Mặt phẳng ( AB ' D ') song song với mặt phẳng nào trong các

DẠ

mặt phẳng sau đây?

L B. ( BCA ') .

C. ( BDA ') .

D. ( A ' C ' C ) .

ƠN

Lời giải

FI CI A

A. ( BC ' D) .

Ta có:

BA ' cắt B ' A nên hai mặt phẳng ( BCA ') và ( AB ' D ') cắt nhau. DA ' cắt AD ' nên hai mặt phẳng ( BDA ') và ( AB ' D ') cắt nhau. A ' C ' cắt B ' D ' nên hai mặt phẳng ( A ' C ' C ) và ( AB ' D ') cắt nhau.

QU Y

Vậy ( BC ' D) song song với ( AB ' D ') Câu 24. Cho hình hộp ABCD . A ' B ' C ' D ' . Một mặt phẳng (α ) cắt các cạnh AA ', BB ', CC ', DD ' lần lượt

KÈ

tại M , N , P, Q . Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì ?

DẠ

A. Hình chữ nhật.

B. Hình bình hành.

C. Hình vuông.

Lời giải

D. Hình Thang Cân.

L FI CI A OF

Ta thấy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Câu 25.

ƠN

Mệnh đề nào sau đây đúng A. Một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại. B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. D. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Lời giải

u1 = 3 Câu 26. Cho dãy số (u n ) xác định bởi  với n ≥ 1 . Số hạng thứ ba của dãy số bằng un +1 = un − 2 A. u3 = 1. B. u3 = 3. C. u3 = 2. D. u3 = −1.

QU Y

Lời giải

Ta có: u2 = u1 − 2 = 3 − 2 = 1; u3 = u 2 − 2 = 1 − 2 = −1.

Câu 27. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? A. 1; 1; 1; 1; 1. B. − 1; 1; 2 ; 3; 4.

C. 1; 2 ; 4; 8; 16.

D. 1; 3; 6 ; 10 ; 15.

Lời giải

KÈ

Câu 28. Cho hai dãy số (un ) , (vn ) thỏa mãn lim un = −3 , lim vn = 0 và vn > 0, ∀n . Giá trị của lim B. −3 .

C. −∞ .

D. +∞ .

Lời giải

bằng A. 0 .

DẠ

Theo quy tắc về giới hạn vô cực, vì lim un = −3 , lim vn = 0 và vn > 0, ∀n nên lim

Câu 29. Cho hai dãy số (un ) , (vn ) thỏa mãn lim un = 2 , lim vn = −∞ . Giá trị của lim A. +∞ .

un vn

B. −∞ .

C. 0 . Lời giải

un = −∞ . vn

un bằng vn

D. −2 .

2 với n ≥ 1 . Khẳng định nào sau đây đúng? n +1

FI CI A

Câu 30. Cho dãy số (un ) xác định bởi un = A. Dãy số (un ) là dãy số bị chặn.

B. Dãy số (un ) bị chặn trên và không bị chặn dưới. C. Dãy số (un ) không bị chặn trên và không bị chặn dưới. D. Dãy số (un ) bị chặn dưới và không bị chặn trên.

Với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì n + 1 ≥ 2 nên 0 <

Lời giải

2n + 7 n bằng. 10 − 2.7 n 1 A. . 2

2 ≤ 1 , do đó (un ) là dãy số bị chặn. n +1

Câu 31. lim

1 . 2

C. 0 .

ƠN

B. −

un =0. vn

Theo quy tắc về giới hạn vô cực, vì lim un = 2 , lim vn = −∞ nên lim

D. −1 .

Lời giải n

2   +1 2 +7 1 7 Ta có: lim = lim   n =− n 10 − 2.7 2 1 10.   − 2 7 Câu 32. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Qua một điểm A nằm ngoài đường thẳng a cho trước, có duy nhất một đường thẳng b đi qua A và song song với đường thẳng a . B. Qua một điểm A nằm ngoài đường thẳng a cho trước, có vô số mặt phẳng qua A và song song với đường thẳng a . n

QU Y

C. Qua một điểm A nằm ngoài mặt phẳng ( P ) cho trước, có duy nhất một đường thẳng qua A và song song với mặt phẳng ( P ) .

D. Qua một điểm A nằm ngoài mặt phẳng ( P ) cho trước, có duy nhất một mặt phẳng ( Q ) qua

KÈ

A và song song với ( P ) . Lời giải Vì: Qua một điểm A nằm ngoài mặt phẳng ( P ) cho trước, có vô số đường thẳng qua A và song song với mặt phẳng ( P ) . Chúng đi qua A và nằm trên mặt phẳng ( Q ) qua A và song song với

(P) .

DẠ

Câu 33. Cho một điểm A nằm ngoài mặt phẳng ( P ) . Qua A có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng song song với ( P ) ?

A. Vô số.

B. 1 .

C. 2. Lời giải

D. 3.

Vì: Qua một điểm A nằm ngoài mặt phẳng ( P ) cho trước, có vô số đường thẳng qua A và song song với mặt phẳng ( P ) . Chúng đi qua A và nằm trên mặt phẳng ( Q ) qua A và song song với

(P) .

FI CI A

Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M , N lần lượt là trung điểm của

AB, CD . (α ) là mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng ( SAD ) . Thiết diện của mặt

phẳng (α ) với hình chóp S . ABCD là hình gì?

A. Hình ngũ giác.

B.Tam giác.

C.Hình thang.

ƠN

Lời giải

D.Hình bình hành.

Vì M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên MN song song với AD, BC . Trong ( SCD ) : kẻ NE SD .

Vậy ( MNE ) ( SAD ) hay ( MNE ) là mp

( MNE ) ∩ ( SBC ) = Ex  MN ⊂ ( MNE ) BC ⊂ ( SBC )

   ⇔ Ex MN BC   

QU Y

MN BC

(α ) .

Vậy thiết diện của mp

(α ) với hình chóp S .ABCD là hình thang MNEF .

Câu 35. Cho dãy số ( un ) có số hạng tổng quát u n được cho bởi công thức u n = 2 n + 1 . Giá trị của u3 là: B. 3 .

A. 5 .

C. 1.

D. 7 .

Lời giải

(1,0 điểm). Tính lim

(

)

n 2 − 2n + 3 − n .

Lời giải

Câu 1.

KÈ

Xét n = 3  u3 = 2.3 + 1 = 7 B. PHẦN II: TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)

DẠ

Ta có: lim

(

)

n 2 − 2n + 3 − n = lim

n 2 − 2n + 3 − n 2 n 2 − 2n + 3 + n

= lim

−2n + 3 n 1−

2 3 + +n n n2

3 −2 n = lim = = −1 2 2 3 1− + 2 +1 n n Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, O là giao điểm của AC và BD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, SD .

FI CI A

Câu 2.

−2 +

a) Chứng minh rằng ( OMN ) ( SBC ) .

b) Gọi P là trung điểm cạnh AB , Q là điểm bất kì thuộc đoạn ON . Chứng minh PQ ( SBC ) .

a) Chứng minh ( OMN ) ( SBC ) .

ƠN

Lời giải

QU Y

Do MN là đường trung bình của ∆SAD nên MN AD . Mà AD BC . Suy ra MN BC . Mặt khác BC ⊂ ( SBC ) nên MN ( SBC ) (1) . Do ON là đường trung bình của ∆SDB nên ON / / SB . SB ⊂ ( SBC )  ON ( SBC ) (2)

ON cắt MN và cùng thuộc mặt phẳng ( OMN ) (3) . Từ (1), (2), (3) suy ra ( OMN ) ( SBC ) .

DẠ

KÈ

b) Chứng minh PQ ( SBC ) .

Ta có PO MN (cùng song song với AD ). Do đó ( MNOP ) ≡ (OMN ) . PQ ⊂ (OMN ) và ( OMN ) ( SBC ) nên PQ ( SBC ) .

Câu 3.

Cho ( un ) là cấp số cộng có u1 = 1 và

1 1 1 1010 . + + ... + = u1u3 u3u5 u2019u2021 6061

Tính công sai của câp số cộng trên.

Lời giải

FI CI A

Gọi d là công sai của cấp số cộng. Ta có:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1  + + ... + = −  − + − + ... + =  −  u1u3 u3u5 u2019u2021 2d  u1 u3 u3 u5 u2019 u2021  2d  u1 u2021  1 1 1 1010 Theo bài ra + + ... + = u1u3 u3u5 u2019u2021 6061

1  2020d  1010 1 1 ⇔ = ⇔ 1 + 2020d = 6061 ⇔ d = 3 .  = 2d  1 + 2020d  6061 1 + 2020d 6061

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

⇔

 1010 1 1 1  1010 1 1 1 1 1 1  1010 ⇔ ⇔  − =  − =  − = 2d  u1 u2021  6061 2d  u1 u1 + 2020d  6061 2d  1 1 + 2020d  6061

⇔

FI CI A

ĐỀ THI GIỮA KỲ II – LỚP 11 MÔN TOÁN THỜI GIAN: 90 PHÚT

ĐỀ BÀI

Câu 6. Câu 7. Câu 8. Câu 9.

 1 − 2n  lim   bằng  n  A. −2 . B. 2. C. −1. Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn? A. đồng quy. B. song song. C. thẳng hàng. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Khẳng định nào sau đây sai? A. D′B′ = DB . B. B′C ′ = AD . C. A′C ′ = CA .

QU Y

Câu 5.

Với mọi số nguyên dương n thì 7 n − 1 chia hết cho mấy? A. 6 . B. 7 . C. 5 . Dãy số nào sau đây là cấp số nhân? A. un = n . B. un = 3n + 2 . C. un = 1 + 2n .

Câu 4.

ƠN

PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Câu 1. Hãy chọn câu đúng. A. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi đường nằm trên mặt phẳng kia. B. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau. C. Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì song song với nhau. D. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau. Câu 2. Dãy số nào có giới hạn 0? 1 n A. un = 2 n . B. un = . C. un = . D. un = 2n + 3 . n +1 n +1 Câu 3. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; …. Số 121 là số hạng thứ mấy của dãy? A. 41 . B. 121 . C. 39 . D. 40 . D. 8 . D. un = 3n .

D. 1. D. chéo nhau.

D. AA′ = CC ′ .

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α ) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng ( β ) .

KÈ

Mệnh đề nào sau đây sai? A. (α ) // ( β )  a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.

B. (α ) // ( β )  b // (α ) .

C. (α ) // ( β )  a // b .

DẠ

D. (α ) // ( β )  a // ( β ) .

 2 n + 5n  Câu 10. lim  n bằng n   2.3 + 3.5  2 1 A. . B. . 3 3

1 . 2

5 . 2

1 1 1 1 ; ; ; ;……. Số hạng tổng quát của dãy số này là 3 32 33 34 1 1 1 1 1 A. un = . n +1 . B. un = n . C. un = n −1 . D. un = n +1 . 3 3 3 3 3 Câu 12. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 3 AG = AB + AC + AD . B. AG = AB + AC + AD . C. 2 AG = AB + AC + AD . D. 4 AG = AB + AC + AD . Câu 13.

FI CI A

Câu 11. Cho dãy số có các số hạng đầu:

lim ( −2 x 2 + 1) bằng

x →−1

A. 3. B. −∞ . Câu 14. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? A. 2 ; 4 ;5;8;... . B. 1; 2;3; 4;... .

C. 1.

D. −1.

C. 2 ; 4; 6; 7 ;... .

D. 1;3;5; 6;... .

Câu 15. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20;... . Số hạng thứ 10 của dãy bằng

ƠN

A. 60 . B. 55. C. 50. D. 45 . Câu 16. Dãy số nào sau đây là dãy số giảm? n+4 2n + 1 A. un = . B. un = . C. un = 3n − 4 . D. un = 3n . n +1 n +1 Câu 17. Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau? A. Hình thang. B. hình thoi. C. hình chữ nhật. D. hình bình hành. Câu 18. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có AA′ = a , AB = b , AC = c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ BC ′ qua các vectơ a , b , c .

phẳng sau đây? A. ( BC ′D ) .

QU Y

A. BC ′ = − a + b − c . B. BC ′ = − a − b + c . C. BC ′ = a − b + c . D. BC ′ = a + b − c . 1 Câu 19. lim bằng x →+∞ 1 − x A. −∞ . B. 3 . C. +∞ . D. 0 . Câu 20. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Mặt phẳng ( AB′D′ ) song song với mặt phẳng nào trong các mặt B. ( BCA′ ) .

C. ( BDA′ ) .

D. ( A′C ′C ) .

DẠ

KÈ

Câu 21. Với mọi số nguyên dương n thì 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n bằng (n + 1)(n + 2) n(n + 1) n +1 n(n − 1) A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 1 Câu 22. Cho một cấp số nhân lùi vô hạn, biết q = ; S = 4 . Số hạng đầu bằng 2 1 −1 A. . B. −2 . C. 2 . D. . 2 2 3 Câu 23. lim+ bằng x →1 1 − x A. 0. B. +∞ . C. 3. D. −∞ . Câu 24. Một cấp số cộng gồm 10 số hạng. Biết tổng của số hạng đầu và số hạng cuối là 20. Khi đó, tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ tám bằng A. 23. B. 21. C. 22. D. 20.  1  1 1 Câu 25. Tính lim  + + .... + . ( 2n − 1) (2n + 1)  1.3 3.5

B. un = 3n − 4 .

Câu 27. Cho dãy số ( un ) xác định bởi un = cos A. 2021 .

B. 0 .

1 . 2

D. 1.

C. un = 7 − 3n .

D. un =

2n + 1 . n +1

FI CI A

A. un = 3n .

2 . B. 2. 3 Câu 26. Dãy số nào sau đây bị chặn? A.

nπ . Khi đó, tổng S 2021 = u1 + u2 + ... + u2021 bằng 3 C. 1. D. − 1 .

4n 2 + n + 2 Câu 28. Cho dãy số ( un ) với un = , trong đó a là tham số. Để ( un ) có giới hạn bằng 2 thì an 2 + 5 giá trị của tham số a là? A. −4 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . Câu 29. Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ( a + b + c )( a − b + c ) = a 4 + b 4 + c 4 .

B. ( a + b + c )( a − b + c ) = a 3 + b3 + c3 .

C. ( a + b + c )( a − b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 .

D. ( a + b + c )( a − b + c ) = a + b + c .

ƠN

Câu 30. Viết thêm năm số vào giữa hai số: số 2 và số 20 để được một cấp số cộng. Tổng của năm số đó là: A. 77 . B. 55 . C. 40 . D. 60 . Câu 31. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M , N lần lượt là trung điểm của

AB, CD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α ) đi qua MN và song song với mặt phẳng

( SAD ) . Thiết diện là hình gì?

A. Tứ giác. B. Hình thang. Câu 32. Khẳng định nào sau đây sai?

C. Tam giác.

QU Y

A. 1 + 3 + 5 + 7 +…+ (2n − 1) = n 2 . C. 12 + 32 + 52 +…+ (2n − 1) 2 =

n ( 4n 2 − 1) 3

D. Hình bình hành.

B. 22 + 42 + …+ (2n) 2 = .

2n(n + 1)(2n + 1) . 3

D. 12 + 2 2 + 32 +…+ n 2 =

n(n + 1)(2n + 1) . 3

x4 − a = 4 . Khi đó a bằng x →a x − a A. 4 . B. −1 . C. 1 . D. −4 . Câu 34. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Đặt x = AB ; y = AC ; z = AD

Câu 33. Cho a là một số thực khác 0 thỏa mãn lim

KÈ

Khẳng định nào sau đây đúng ? 1 2 A. AG = x + y + z . B. AG = − x + y + z . 3 3 1 2 C. AG = − x + y + z . D. AG = x + y + z . 3 3 Câu 35. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BB′ và CC ′ ,

(

)

(

)

DẠ

(

)

∆ = mp ( AMN ) ∩ mp ( A′B′C ′ ) . Khẳng định nào dưới đây đúng ?

A. ∆ // AA′.

B. ∆ // BC.

C. ∆ // AB .

D. ∆ // AC .

Câu 37. Cho tứ diện ABCD và M , N là các điểm thay đổi trên các cạnh AB , CD sao cho AM CN = = k > 0 và P là một điểm nằm trên cạnh AC . Tính theo k tỉ số diện tích của tam MB ND giác MNP và diện tích thiết diện của mp ( MNP ) và tứ diện ABCD .

FI CI A

2k k 1 1 . B. . C. . D. . k +1 k +1 k k +1 sin α  π  Câu 38. Cho , cos α , tan α theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Biết rằng  − < α < 0  , khi đó 6  2  cos 2α bằng. A.

3 . 2

B. −

3 . 2

1 . 2

1 D. − . 2

ax − b 9 x 2 + 2 =5. x →−∞ cx + 1 a + 3b D. =5. c

Câu 39. Cho a, b, c là các số thực khác 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c để lim A.

a − 3b = 5. c

a + 3b = −5 . c

B. u2021 = 3 .

C. u2021 = 2 .

PHẦN 2. TỰ LUẬN (2,0 điểm) Bài 1 (1,0 đ). a) Xét tính tăng giảm của dãy số un = 5 − 3n .

ƠN

Câu 40. Cho dãy số ( un ) thỏa mãn u1 = 1; u2 = 2 và un+ 2 A. u2021 = 0 .

a − 3b = −5 . c 1 + un+1 = . Khi đó, số hạng u2021 bằng un

3n + 1 . 2−n Câu 2 (1,0 đ). Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1

QU Y

b) Tính lim

a) Chứng minh mp ( A1BD ) // mp ( CB1 D1 ) . b) Đặt AB = a; AD = b; AA1 = c . Tính A1C theo a; b; c

DẠ

KÈ

 HẾT 

D. u2021 = 1 .

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

2B 17A 32D

3D 18C 33C

4A 19D 34A

5D 20A 35B

6A 21B 36A

7D 22C 37B

BẢNG ĐÁP ÁN 8C 9C 10B 23D 24D 25C 38D 39D 40D

LỜI GIẢI CHI TIẾT

11B 26D

12D 27D

1B 16A 31B

FI CI A

ĐỀ THI GIỮA KỲ II – LỚP 11 MÔN TOÁN THỜI GIAN: 90 PHÚT

13D 28D

14B 29C

15C 30B

QU Y

ƠN

PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Câu 1. Hãy chọn câu đúng. A. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi đường nằm trên mặt phẳng kia. B. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau. C. Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì song song với nhau. D. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau. Lời giải A. Sai bởi vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau. B. Đúng. C. Sai bởi vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau. D. Sai bởi vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau. Câu 2. Dãy số nào có giới hạn 0? 1 n A. un = 2 n . B. un = . C. un = . D. un = 2n + 3 . n +1 n +1 Lời giải

KÈ

A. Sai vì lim2n = +∞ . 1 B. Đúng vì lim = 0. n +1 n C. Sai vì lim = 1. n +1 D. Sai vì lim ( 2n + 3) = +∞ . Cho dãy số có các số hạng đầu là: 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; …. Số 121 là số hạng thứ mấy của dãy? A. 41 . B. 121 . C. 39 . D. 40 . Lời giải Dãy số trên là một cấp số cộng với u1 = 4 và d = 3 .

DẠ

Câu 3.

Câu 4.

Ta có 121 = 4 + 39.3 nên 121 là số hạng thứ 40 của dãy. Với mọi số nguyên dương n thì 7 n − 1 chia hết cho mấy? A. 6 . B. 7 . C. 5 .

D. 8 .

Lời giải Với mọi số nguyên dương n , ta có 7 − 1 = ( 7 − 1) ( 7 n−1 + 7 n− 2 + ... + 1) = 6 ( 7 n −1 + 7 n − 2 + ... + 1)

n +1

Xét đáp án D : un +1 = 3

C. un = 1 + 2n .

Lời giải = 3.3 = 3.un , ∀n . Vậy dãy số có un = 3n là cấp số nhân. n

Xét đáp án A : un = n  u1 = 1; u2 = 2; u3 = 3 

u3 u2 ≠ . Đáp án A sai. u2 u1

C. −1. Lời giải

D. 1.

 1 − 2n  1  Ta có : lim   = lim  − 2  = −2 .  n  n  Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn? A. đồng quy. B. song song. C. thẳng hàng. Lời giải Qua phép chiếu song song, tính chất chéo nhau không được bảo toàn. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Khẳng định nào sau đây sai? A. D′B′ = DB . B. B′C ′ = AD . C. A′C ′ = CA . Lời giải

QU Y

Câu 8.

B. 2.

Câu 7.

 1 − 2n  lim   bằng  n  A. −2 .

u3 u2 ≠ . Đáp án C sai. u2 u1

ƠN

Xét đáp án C : un = 1 + 2n  u1 = 3; u2 = 5; u3 = 9 

u3 u2 ≠ . Đáp án B sai. u2 u1

Xét đáp án B : un = 3n + 2  u1 = 5; u2 = 8; u3 = 11 

Câu 6.

D. un = 3n .

FI CI A

Câu 5.

nên 7 n − 1 chia hết cho 6 . Dãy số nào sau đây là cấp số nhân? A. un = n . B. un = 3n + 2 .

D. chéo nhau.

D. AA′ = CC ′ .

A' D'

KÈ

A B

Vì ABCD. A′B′C ′D′ là hình hộp nên ta có D′B′ = DB , B′C ′ = AD , AA′ = CC ′ và hai vec-tơ A′C ′ , CA đối nhau. Nên phương án A, B, C đúng, phương án C sai. Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α ) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng ( β ) .

DẠ

Câu 9.

Mệnh đề nào sau đây sai? A. (α ) // ( β )  a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.

B. (α ) // ( β )  b // (α ) . C. (α ) // ( β )  a // b .

D. (α ) // ( β )  a // ( β ) . Lời giải

 2 n + 5n  Câu 10. lim  n bằng n   2.3 + 3.5  2 1 A. . B. . 3 3

1 . 2

FI CI A

Đáp án sai: C.

Lời giải

 2  n    2 n  lim   + 1    +1   2 n + 5n  1  5   5   = Ta có: lim  n = lim  = . n n  n  3   3  3  2.3 + 3.5   2.   + 3  lim  2.   + 3  5    5  

5 . 2

1 1 1 1 ; ; ; ;……. Số hạng tổng quát của dãy số này là 3 32 33 34 1 1 1 B. un = n . C. un = n −1 . D. un = n +1 . 3 3 3 Lời giải

Câu 11. Cho dãy số có các số hạng đầu:

ƠN

1 1 A. un = . n +1 . 3 3

n −1

QU Y

1 1 1 1 Ta có u1 = , q = . Số hạng tổng quát của cấp số nhân: un = u1.q n−1 = .   3 3 3 3 Câu 12. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 3 AG = AB + AC + AD . B. AG = AB + AC + AD . C. 2 AG = AB + AC + AD . D. 4 AG = AB + AC + AD . Lời giải Ta có: G là trọng tâm của tứ diện ABCD suy ra GA + GB + GC + GD = 0 AB + AC + AD = AG + GB + AG + GC + AG + GD = 3 AG + GB + GC + GD + AG + GA = 4 AG + GA + GB + GC + GD = 4 AG.

( (

1 . 3n

)

lim ( −2 x 2 + 1) bằng

x →−1

KÈ

A. 3.

Câu 13.

B. −∞ .

C. 1. Lời giải

D. −1.

lim ( −2 x 2 + 1) = −2.( −1) + 1 = −1 .

x →−1

DẠ

Câu 14. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? A. 2; 4;5;8;... . B. 1; 2;3; 4;... .

C. 2; 4; 6; 7 ;... .

D. 1;3;5; 6;... .

Lời giải Dãy số 1; 2;3; 4;... là cấp số có với công sai d = 1 .

Câu 15. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20;... . Số hạng thứ 10 của dãy bằng A. 60 .

B. 55 .

C. 50 . D. 45 . Lời giải Dãy số 5;10;15; 20;... tạo thành cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 5 và công sai d = 5 .

Câu 16. Dãy số nào sau đây là dãy số giảm? n+4 2n + 1 A. un = . B. un = . n +1 n +1

C. un = 3n − 4 .

D. un = 3n .

FI CI A

Lời giải

Ta có un = u1 + ( n − 1) d  u10 = u1 + 9d = 5 + 9.5 = 50 .

n+4 n+5 . Ta có u n +1 = . n +1 n+2 n+5 n+4 −3 Xét hiệu un +1 − un = − = < 0, ∀n ∈ ℕ ∗ . n + 2 n + 1 ( n + 2 )( n + 1) Xét dãy số un =

n+4 là dãy số giảm. n +1 Câu 17. Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau? A. Hình thang. B. hình thoi. C. hình chữ nhật. D. hình bình hành. Lời giải Theo phép chiếu song song thì không thể là hình thang. Câu 18. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có AA′ = a , AB = b , AC = c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ BC ′ qua các vectơ a , b , c .

A. BC ′ = − a + b − c .

ƠN

Suy ra dãy số un =

B. BC ′ = − a − b + c . C. BC ′ = a − b + c . Lời giải

D. BC ′ = a + b − c .

QU Y

DẠ

KÈ

B Ta có BC ′ = BB ′ + B′C ′ . Mà AA′ = BB′ = a ; B′C ′ = BC = AC − AB = c − b . Vậy BC ′ = a − b + c . 1 Câu 19. lim bằng x →+∞ 1 − x A. −∞ . B. 3 . C. +∞ . D. 0 . Lời giải 1 1 lim 1 0 x →+∞ x lim = lim x = = = 0. x →+∞ 1 − x x →+∞ 1 1 − 1 lim − lim1 0 − 1 x →+∞ x x →+∞ x Câu 20. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Mặt phẳng ( AB′D′ ) song song với mặt phẳng nào trong các mặt

phẳng sau đây? A. ( BC ′D ) .

B. ( BCA′ ) .

C. ( BDA′ ) . Lời giải

D. ( A′C ′C ) .

B' C' D'

FI CI A

Ta có: BD //B′D′  BD // ( AB′D′ )

BC ′//AD′  BC ′// ( AB′D′ ) mà BD và BC ′ cắt nhau và cùng nằm trong  ( BC ′D ) // ( AB′D′ ) .

( BC ′D )

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

Câu 21. Với mọi số nguyên dương n thì 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n bằng ( n + 1)( n + 2) n( n + 1) n +1 n( n − 1) A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải n n(n + 1) Do là tổng cấp số cộng với u1 = 1, d = 1 nên S n = [ 2u1 + (n − 1)d ] = . 2 2 1 Câu 22. Cho một cấp số nhân lùi vô hạn, biết q = ; S = 4 . Số hạng đầu bằng 2 1 −1 A. . B. −2 . C. 2 . D. . 2 2 Lời giải u u Áp dụng công thức : S = 1 ⇔ 4 = 1 ⇔ u1 = 2 1 1− q 1− 2 3 Câu 23. lim+ bằng x →1 1 − x A. 0. B. +∞ . C. 3. D. −∞ . Lời giải  lim+ 3 = 3 > 0  x →1 3 Ta có:  lim+ (1 − x ) = 0  lim+ = −∞ . x →1 x →1 1 − x  1 − x < 0 ∀x > 1 Câu 24. Một cấp số cộng gồm 10 số hạng. Biết tổng của số hạng đầu và số hạng cuối là 20. Khi đó, tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ tám bằng A. 23. B. 21. C. 22. D. 20. Lời giải Gọi số hạng tổng quát của cấp số cộng đó là un (1 ≤ n ≤ 10 ) . Ta có: u1 + u10 = 2u1 + 9d = 20 .

u3 + u8 = ( u1 + 2d ) + ( u1 + 7d ) = 2u1 + 9d = 20 .

 1  1 1 Câu 25. Tính lim  + + .... + . ( 2n − 1) (2n + 1)  1.3 3.5

2 . 3

B. 2.

1 . 2

D. 1.

Ta có:

1 1  1 2n n = = 1 − = . 2  2n + 1  2 2 n + 1 2n + 1

FI CI A

1 1 1 1  1 1   1 1   1 1  1   1 + + .... + =  −  +  −  +  −  + ... +  −  1.3 3.5 ( 2n − 1) (2n + 1) 2  1 3   3 5   5 7   2 n − 1 2n + 1  

Lời giải

A. un = 3n .

B. un = 3n − 4 .

 1  n 1 1 1 1 Nên lim  + + .... + = lim = .  = lim 1 2n + 1 2 ( 2n − 1) (2n + 1)  1.3 3.5 2+ n Câu 26. Dãy số nào sau đây bị chặn? C. un = 7 − 3n . Lời giải

D. un =

2n + 1 . n +1

  Ta có: lim ( 3n − 4 ) = +∞   Loại các đáp án A, B, C.  lim ( 7 − 3n ) = −∞   2n + 1 2n + 1 n Xét un = , ta có: . = 1+ n +1 n +1 n +1 n n Dễ thấy n là số tự nhiên và n ≥ 1 nên 0 < < 1 . Suy ra 1 < 1 + < 2 hay 1 < un < 2 . n +1 n +1 2n + 1 Vậy un = là dãy số bị chặn. n +1 nπ Câu 27. Cho dãy số ( un ) xác định bởi un = cos . Khi đó, tổng S 2021 = u1 + u2 + ... + u2021 bằng 3 A. 2021 . B. 0 . C. 1 . D. − 1 . Lời giải Ta có: S6 = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6

QU Y

ƠN

lim ( 3n ) = +∞

2π 3π 4π 5π 6π + cos + cos + cos + cos =0 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 Khi đó: S 2021 = 336 S6 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 0 + − − 1 − + = −1 . 2 2 2 2 2 4n + n + 2 Câu 28: Cho dãy số ( un ) với un = , trong đó a là tham số. Để ( un ) có giới hạn bằng 2 thì an 2 + 5 giá trị của tham số a là? A. −4 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . Lời giải 2 4n + n + 2 + Với a = 0 ta có lim un = lim = +∞ nên không thỏa mãn. 5 + cos

DẠ

KÈ

= cos

1 2  1 1 n2  4 + + 2  4+ + 2 4n + n + 2 n n  = lim n n = 4. + Với a ≠ 0 ta có: lim un = lim = lim  2 5 5 an + 5 a  a+ 2 n2  a + 2  n n   4 Theo giả thuyết ta có: = 2 ⇔ a = 2 . a Câu 29. Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Khẳng định nào sau đây đúng?

FI CI A

A. ( a + b + c )( a − b + c ) = a 4 + b 4 + c 4 .

B. ( a + b + c )( a − b + c ) = a 3 + b3 + c3 .

C. ( a + b + c )( a − b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 .

D. ( a + b + c )( a − b + c ) = a + b + c .

Lời giải Do a, b, c là các số hạng liên tiếp của cấp số nhân nên ac = b 2 .

Ta có ( a + b + c )( a − b + c ) = ( a + c ) − b 2 = a 2 + c 2 + 2ac − b 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

Mặt khác u7 = u1 + 6d  d = 3 .

Do đó u2 = 5, u3 = 8, u4 = 11, u5 = 14, u6 = 17 .

ƠN

Câu 30. Viết thêm năm số vào giữa hai số: số 2 và số 20 để được một cấp số cộng. Tổng của năm số đó là: A. 77 . B. 55 . C. 40 . D. 60 . Lời giải Ta có u1 = 2 và u7 = 20 .

Suy ra tổng năm số là: 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 55 . Cách khác: có thể tính bằng cách

u

=S 6 − u1 =

6 ( 2u1 + 5d )

i =2

− u1 = 55 .

QU Y

Câu 31. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M , N lần lượt là trung điểm của

AB, CD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α ) đi qua MN và song song với mặt phẳng

( SAD ) . Thiết diện là hình gì? A. Tứ giác.

B. Hình thang.

C. Tam giác. Lời giải

KÈ

K H A

DẠ

 M ∈ ( SAB ) ∩ (α )  Ta có (α ) / / ( SAD )  ( SAB ) ∩ (α ) = MK / / SA, K ∈ SB .  ( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA

D. Hình bình hành.

FI CI A

Dễ thấy HK = (α ) ∩ ( SBC ) . Thiết diện là tứ giác MNHK

 N ∈ ( SCD ) ∩ (α )  Tương tự (α ) / / ( SAD )  ( SCD ) ∩ (α ) = NH / / SD, H ∈ SC .  ( SCD ) ∩ ( SAD ) = SD

Ba mặt phẳng ( ABCD ) , ( SBC ) và (α ) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là MN , HK , BC , mà MN / / BC  MN / / HK . Vậy thiết diện là một hình thang. Câu 32. Khẳng định nào sau đây sai?

C. 1 + 3 + 5 +…+ (2n − 1) =

n ( 4n 2 − 1) 3

D. 12 + 2 2 + 32 +…+ n 2 =

Lời giải Đáp án D sai vì với n = 1 thì VT = 1,VP = 2 . x →a

A. 4 .

B. −1 .

lim x→a

n(n + 1)(2n + 1) . 3

D. −4 .

Ta có

x4 − a = 4 . Khi đó a bằng x−a C. 1 . Lời giải

ƠN

Câu 33. Cho a là một số thực khác 0 thỏa mãn lim

2n(n + 1)(2n + 1) . 3

B. 22 + 42 + …+ (2n) 2 =

A. 1 + 3 + 5 + 7 +…+ (2n − 1) = n 2 .

( x − a )( x + a ) ( x 2 + a 2 ) x4 − a = lim = lim ( x + a ) ( x 2 + a 2 )  = 4a 3 x → a x→a x−a x−a

Mà theo giả thiết lim x→a

x4 − a = 4 . Do đó 4a 3 = 4 ⇔ a = 1 x−a

QU Y

Câu 34. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Đặt x = AB ; y = AC ; z = AD Khẳng định nào sau đây đúng ? 1 A. AG = x + y + z . 3 1 C. AG = − x + y + z . 3

(

KÈ Y

(

)

(

DẠ

2 B. AG = − x + y + z . 3 2 D. AG = x + y + z . 3 Lời giải

)

(

)

D G C

Cách 1. Gọi M là trung điểm của CD . Khi đó ta có

2 2 1 AG = AB + BG = AB + BM = AB + . BC + BD 3 3 2 1 = AB + . AC − AB + AD − AB 3 1 = AB + AC + AD 3 1 = x+ y+z 3 Cách 2.( GV Phản biện: Cô Do Thi Thuy Ngoc) Ta có AG = AB + BG (1) AG = AC + CG (2) AG = AD + DG (3)

)

(

)

(

) ( ( ) 1 ⇔ AG = ( AB + AC + AD ) 3

)

ƠN

Cộng từng vế (1), (2) và (3) có: 3 AG = AB + AC + AD + BG + CG + DG ⇔ 3 AG = AB + AC + AD + 0

(

FI CI A

(

1 ⇔ AG = x + y + z 3 Câu 35. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BB′ và CC ′ ,

)

(

∆ = mp ( AMN ) ∩ mp ( A′B′C ′ ) . Khẳng định nào dưới đây đúng ? B. ∆ // BC.

C. ∆ // AB .

D. ∆ // AC.

Lời giải

QU Y

A. ∆ // AA′.

M A'

DẠ

KÈ

Vì M , N lần lượt là trung điểm của BB ' và CC ′ nên MN // B′C ′ (1) Trong mặt phẳng ( ABB′A′ ) , hai đường thẳng AM và A′B′ cắt nhau tại E

Xét hai mặt phẳng mp ( AMN ) , mp ( AB′C ′ ) . Có E là điểm chung thứ nhất(2). MN // B′C ′ ( 3) (c/m trên)

MN ⊂ mp ( AMN ) ; B′C ′ ⊂ mp ( A′B′C ′ )( 4 ) . Từ (2), (3) và (4) suy ra giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng mp ( AMN ) , mp ( A′B′C ′ ) là đường thẳng

FI CI A

đi qua E song song với B′C ′ . Mà BC // B′C ′ nên ∆ // BC.

Câu 36. Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36. Tổng các bình phương của bốn số đó bằng A.1425. B.5329. C.73. D.0. Lời giải Gọi số đầu tiên là a , a là số nguyên dương. Do ba số đầu lập thành cấp số cộng với công sai là d , nên số thứ hai và thứ ba là a + d , a + 2d .

( a + 2d ) a+d

Tổng số hạng đầu và cuối là 37 nên a +

a+d

( a + 2d )

ƠN

Bốn số lần lượt là: a, a + d , a + 2d ,

( a + 2d )

Do ba số sau lập thành cấp số nhân nên số thứ tư là

a+d

2a ( 2a + 2d ) + ( 2a + 4d ) = 74 ( 2a + 2d ) .

= 37 suy ra

(1)

( 36 − 3d )( 36 − 3d + 2d ) + ( 36 − 3d + 4d ) 2

(2)

Tổng hai số hạng giữa là 36 nên a + d + a + 2d = 36 suy ra 2a = 36 − 3d . Thay vào (1) ta được 2

= 74 ( 36 − 3d + 2d )

 ( 36 − 3d )( 36 − d ) + ( 36 + d ) = 74 ( 36 − d )

QU Y

 2d 2 + d − 36 = 0 d = 4  . d = − 9  2 Trường hợp 1: với d = 4 suy ra a = 12 , bốn số hạng là: 12,16, 20, 25 suy ra tổng các bình phương

là 1425.

9 99 suy ra a = không thỏa mãn a là số nguyên dương. 2 4 tứ diện ABCD và M , N là các điểm thay đổi trên các cạnh AB , CD sao cho CN = = k > 0 và P là một điểm nằm trên cạnh AC . Tính theo k tỉ số diện tích của tam ND MNP và diện tích thiết diện của mp ( MNP ) và tứ diện ABCD .

KÈ

Câu 37. Cho AM MB giác

Trường hợp 2: với d = −

2k . k +1

DẠ

AP TH1: =k PC

k . k +1

C. Lời giải

1 . k

1 . k +1

L FI CI A OF

Khi đó MP / / BC nên BC / / ( MNP ) .

ƠN

 N ∈ ( MNP ) ∩ ( BCD )   ( BCD ) ∩ ( MNP ) = NQ / / BC với Q ∈ BD . Ta có  BC / / ( MNP )   BC ⊂ ( BCD ) Vậy thiết diện được tạo thành là hình thang MPNQ .

MP S ∆MNP S ∆MNP MP NQ Ta có = = = S MPNQ S ∆MNP + S ∆MQN MP + NQ MP + 1 NQ

AP ≠k PC

DẠ

KÈ

TH2:

QU Y

MP AM k AM MP BC Mà = = AB = AM + MB = k + 1 = k DN 1 NQ NQ DN BC DC DN + NC k + 1 S k Suy ra ∆MNP = S MPNQ k + 1

Trong ( ABC ) , gọi R = MP ∩ BC ; Trong ( BCD ) , gọi Q = RN ∩ BD ; Nối PN , MQ ta được thiết diện cần tìm là tứ giác MPNQ . Gọi K = MN ∩ PQ .

Ta có

S ∆MNP PK = S MPNQ PQ

AM CN PK = = = k (theo giả thiết) nên AC ; MN , BD lần lượt thuộc ba mặt phẳng song MB ND PQ song với nhau và đường thẳng PQ cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại P, K , Q nên áp dụng định

FI CI A

PK S PK k AM CN PQ PK PK KQ  ∆MNP = = . lí Talet ta có = = =k  = = S MPNQ KQ 1 + k MB ND KQ KQ KQ + PK 1 + PK KQ

sin α  π  , cos α , tan α theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Biết rằng  − < α < 0  , khi đó 6  2  cos 2α bằng.

3 . 2

B. −

3 . 2

1 . 2

Lời giải

Câu 38. Cho

1 D. − . 2

ƠN

Theo giả thiết ta có: sin α sin α sin α cos 2 α = . tan α ⇔ cos 2 α = . ⇔ 6 cos3 α = sin 2 α 6 6 cos α 1 ⇔ 6 cos3 α = 1 − cos 2 α ⇔ 6 cos3 α + cos 2 α − 1 = 0 ⇔ cos α = 2 2

1 1 Lúc đó cos 2α = 2 cos α − 1 = 2.   − 1 = − . 2 2 2

ax − b 9 x 2 + 2 =5. x →−∞ cx + 1 a + 3b D. =5. c

Câu 39. Cho a, b, c là các số thực khác 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c để lim

a − 3b = 5. c

a + 3b = −5 . c

QU Y

ax − b x 9 + cx + 1

Câu 40. Cho dãy số ( un ) thỏa mãn u1 = 1; u2 = 2 và un+ 2 =

A. u2021 = 0 .

DẠ

2 2 a+b 9+ 2 2 x = 5 ⇔ lim x =5 x →−∞ 1 c+ x

a+b 9+0 a + 3b =5 ⇔ = 5. c+0 c

KÈ

⇔

a − 3b = −5 . c

Lời giải

ax − b 9 x 2 + 2 Ta có: lim = 5 ⇔ lim x →−∞ x →−∞ cx + 1

B. u2021 = 3 .

1 + un+1 . Khi đó, số hạng u2021 bằng un

C. u2021 = 2 . Lời giải

1+ 2 1+ 3 1+ 2 = 3; u4 = = 2; u5 = =1 1 2 3 1+1 1+1 1+ 2 1+ 3 1+ 2 u6 = = 1; u7 = = 2; u8 = = 3; u9 = = 2; u10 = = 1; 2 1 1 2 3 Giả sử u5 k +1 = 1; u5 k + 2 = 2; u5 k +3 = 3; u5 k + 4 = 2; u5 k +5 = 1; với k ∈ ℕ .

Ta có u1 = 1; u2 = 2 ; u3 =

D. u2021 = 1 .

u5( k +1)+ 4 =

1 + u5 k + 5 1 + 1 1 + u5 k + 6 1 + 1 1 + u5 k + 7 1 + 2 = = 1; u5( k +1)+ 2 = = = 2; u5( k +1)+ 3 = = = 3; 2 1 1 u5 k + 4 u5 k + 5 u5 k + 6

1 + u5k +8 1 + 3 1 + u5k +9 1 + 2 = = 2; u5( k +1)+5 = = = 1; u5k +7 2 u5 k +8 3

FI CI A

Theo pp quy nạp suy ra u5 n +1 = 1; u5 n + 2 = 2; u5 n +3 = 3; u5 n + 4 = 2; u5 n +5 = 1; với mọi n ∈ ℕ . Do đó u2021 = u5.404 +1 = 1 .

PHẦN 2. TỰ LUẬN (2,0 điểm) Bài 1 (1 đ). a) Xét tính tăng giảm của dãy số un = 5 − 3n Lời giải ∀n ∈ ℕ , un+1 − un = 5 − 3 ( n + 1)  − ( 5 − 3n ) = −3 < 0 .

Vậy ( un ) là dãy số giảm. b) Tính lim

3n + 1 . 2−n

ƠN

Lời giải

1  1 n3+  3+ 3n + 1 n n = 3 = −3 . = lim  = lim Ta có : lim 2 2−n 2  − 1 −1 n  − 1 n n  3n + 1 Vậy lim = −3 . 2−n Câu 2 (1 đ). Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1

QU Y

a) Chứng minh mp ( A1 BD ) // mp ( CB1 D1 ) . b) Đặt AB = a; AD = b; AA1 = c . Tính A1C theo a; b; c

Lời giải

C D

KÈ

B1 A1

DẠ

 A1 B // ( CB1 D1 )  A1 B // CD1 a) Ta có    ( A1 BD ) // ( CB1 D1 )  BD // B1 D1  BD // ( CB1 D1 ) b) Ta có A1C = A1C1 + C1C = A1 B1 + A1 D1 + C1C = AB + AD − AA1 = a + b − c .

 HẾT 

Khi đó u5( k +1)+1 =

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 12 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 35 câu TN, 4 câu tự luận)

FI CI A

I - PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Tìm họ nguyên hàm F ( x ) =  x 3dx .

x4 x4 . B. F ( x ) = + C . C. F ( x ) = x3 + C . D. 3x 2 + C . 4 4 [NB] Khẳng định nào sau đây sai? A. Cho hàm số f ( x ) xác định trên K và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K . Khi đó

A. F ( x ) =

Câu 2.

ĐỀ SỐ 1

 f ' ( x ) dx = f ( x ) + C . C.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k B.

là hằng số khác 0 .

F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K .

D. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x ) .

Câu 5.

ƠN

F ( 2 ) bằng 8 −8 B. . C. 2 . D. −5 . A. . 3 3 [NB] Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) xác định và liên tục trên ℝ . Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định sai? (I)   f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx .

Câu 4.

[NB] Khẳng định nào say đây đúng? 1 A.  cos x dx = sin x . C.  dx = ln x + C . B.  cos x dx = sin x + C . D.  x 2 dx = 2 x + C . x F x [NB] Cho ( ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x2 − x thỏa mãn F ( 0 ) = 2 , giá trị của

QU Y

Câu 3.

  f ( x ) .g ( x )dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx . (III)  k . f ( x ) dx = k  f ( x ) dx với mọi số thực k . (IV)  f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C . (II)

A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 0 . [NB] Cho hàm số f ′ ( x ) = 1 − 2 sin x và f ( 0 ) = 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 6.

B. f ( x ) = x − 2 cos x − 1 .

C. f ( x ) = x + 2 cos x + 2 .

D. f ( x ) = x + 2 cos x − 1 .

KÈ

Câu 7.

A. f ( x ) = x − 2 cos x + 2 .

[NB] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 x + 1) là A. F ( x )

( 2 x + 1) =

+C.

B. F ( x )

( 2 x + 1) =

D. F ( x )

( 2 x + 1) =

DẠ

C. F ( x )

Câu 8.

Trang 1

( 2 x + 1) =

[NB] Cho

 1

A. 21 .

+C .

f ( x ) dx = −3 ;

+C .

+C.

 g ( x )dx = 5 . Khi đó giá trị của biểu thức  3g ( x ) − 2 f ( x )dx là

B. −14 .

C. 10 .

D. −24 .

[NB] Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên [ a ; b ] và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

 a b

f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( a ) − F ( b ) .

 f ( x ) dx = f ( x )

b a

 f ( x ) dx = F ( x ) a b

= f (b) − f ( a ) .

 f ( x ) dx = F ( x ) a

Câu 10. [NB] Tích phân I =  2 xdx . Khẳng định nào sau đây đúng? 0 2

A. I =  2 xdx = 2 0

2 0

B. I =  2 xdx = 4 x

2 0

. C. I =  2 xdx = x

b a

= − F (b ) − F ( a ) .

FI CI A

Câu 9.

= F (b ) − F ( a ) .

. D. I =  2 xdx = x 2 0

sau, khẳng định nào sai ? b

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . B.

  f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx

a b

  f ( x ) .g ( x ) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx . D.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx . [NB] Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ 0;2] . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?



f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

0 2

0 1

1 1

ƠN

Câu 12.

Câu 11. [NB] Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên đoạn [ a;b] và số thực k . Trong các khẳng định

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

0 2

1 0



f ( x ) dx =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx .

 f ( x ) dx =  f ( x ) d x +  f ( x ) d x .

 f ( x ) dx = 0 . a

∫ a b

∫

f ( x ) dx = ∫ f (t ) dt . a

 f ( x ). g ( x ) dx = f ( x ) dx. g ( x ) dx . ∫ ∫  

KÈ

∫

 f ( x )− g ( x ) dx = f ( x ) dx − g ( x ) dx . ∫ ∫  

a b

QU Y

Câu 13. [NB] Cho f ( x ) ; g ( x ) là hai hàm số liên tục trên R và các số thực a , b , c . Mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 14. [NB] Cho

∫ 0

f ( x ) dx = 2 và

∫ g ( x ) dx = 5. Khi đó tích phân ∫ 2 f ( x )− g ( x ) dx 0

bằng.

DẠ

A. −1 . B. −3 . C. 4 . D. −5 . Câu 15. [NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M (1;1;− 2) và N (2;2;1) . Tọa độ vectơ MN là A. (3;3;−1) . B. (−1; 1;− 3) . C. (3;1;1) . D. (1;1;3) . Câu 16. [NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM = 2i + 3k . Tọa độ điểm M là

Trang 2

A. (2;3;0) .

B. (2;0;3) .

C. (0;2;3) .

D. (2;3) .

Câu 17. [NB] Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 25 .Tìm tọa độ tâm C. I (1; 2; −3 ) , R = − 5 . D. I (1; 2;3 ) , R = − 5 .

và bán kính của mặt cầu. A. I (1; 2;3 ) , R = 5 . B. I (1; −2;3) , R = 5 .

FI CI A

Câu 18. [NB] Cho mặt phẳng ( P ) : 3x − 2 z + 2 = 0 . Vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của ( P ) ? A. n = ( 3; −2; 0 ) . B. n = ( 3;0; 2 ) . C. n = ( 3;0; −2 ) . D. n = ( 3; 2;0 ) .

Câu 19. [NB] Trong không gian Oxyz , vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của ( P ) . Biết u = (1; −2;0 ) , v = ( 0; 2; −1) là cặp vectơ chỉ phương của ( P ) . A. n = (1; −2; 0 ) . B. n = ( 2;1; 2 ) . C. n = ( 0;1; 2 ) . D. n = ( 2; −1; 2 ) . Câu 20. [NB] Tìm m để điểm M ( m;1;6 ) thuộc mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + z − 5 = 0. B. m = − 1 .

C. m = 3 .

D. m = 2 . 3 1 Câu 21. [TH] Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = ( e x − 1) thỏa mãn F ( 0 ) = − là 6 1 3x 3 2x 1 3 A. F ( x ) = e − e + 3e x − x . B. F ( x ) = e3 x − e2 x + 3e x − x − 2 . 3 2 3 2 3x 2x x 3x C. F ( x ) = 3e − 6e + 3e . D. F ( x ) = 3e − 6e2 x + 3e x − 2 . Câu 22. [TH] Cho

 4 x.( 5x − 2)

ƠN

A. m = 1 .

dx = A ( 5x − 2 ) + B ( 5x − 2 ) + C với A, B ∈ ℚ và C ∈ ℝ . Giá trị của

biểu thức 50 A + 175B là B. 10 . C. 11 . D. 12 . A. 9 . 2 Câu 23. [TH] Biết hàm số y = f ( x ) có f ′ ( x ) = 6 x + 4 x − 2m − 1 , f (1) = 2 và đồ thị của hàm số

y = f ( x ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −3 . Hàm số f ( x ) là B. 2 x 3 + 2 x 2 − 3 x − 3 . C. 2 x3 − 2 x 2 + x − 3 . 1 Câu 24. [TH] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x( x + ) là x 2 2 3 x x x x 2 x3 + x A. C. ( + ln x) + C . B. + x+C. ( )+C . 2 2 3 6 ln x 3ln 2 x là Câu 25. [TH] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x A. ln 3 x + ln x + C . B. ln 3 x + C . C. ln 3 x + x + C .

QU Y

A. 2 x3 + 2 x 2 + x − 3 .

x 1

KÈ

2 A. ln . 3 3

Câu 27. Cho



Câu 26. [TH] Tích phân

−1

B. ln 6 .

C. ln



4 . 3

B. I = −5 .

DẠ

Câu 28. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và

C. I = −2 .

Trang 3

 4+2 0

A. 1.

B. −7 . x x +1

dx =

D. I = −6 . 3

 ( f ( x ) + 3x ) dx = 17 . Tính  f ( x ) dx . 2

A. −5

D. ln 3 .

 f ( y ) dy .

Câu 29. Cho

D. ln ( ln x ) + C .

f ( t ) dt = −4 . Tính

−1

A. I = −3 .

D. x + C .

1 dx bằng +x

f ( x ) dx = 2 ,

D. 12 x + 4 .

C. −9 .

D. −10 .

a + b ln 2 + c ln 3 với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng 3

B. 2 .

C. 7 .

D. 9 .

π 6

1 (với n ∈ ℕ * ). Tìm n 160 B. 6 . C. 5 .

A. 3 .

D. 4.

 ( x − 3) e dx = a + be x

. Tính a − b

FI CI A

Câu 31. [TH] Cho

Câu 30. [TH] Cho  sin n x.cos x dx =

A. 1 . B. −7 . C. −1 . D. 7 . Câu 32. [TH] Cho A ( 0; 2; −2 ) , B ( −3;1; −1) , C ( 4;3;0 ) , D (1; 2; m) . Tìm m để 4 điểm A, B, C , D đồng phẳng. A. m = −5 . B. m = 5 . C. m = −1 . D. m = 1 . Câu 33. [TH] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m

để phương trình x2 + y 2 + z 2 − 2mx + 2 ( m − 3) y + 2 z + 3m2 + 3 = 0 là phương trình mặt cầu:

Câu 34.

m < −1  m < −7 C.  . D.  . m > 7 m > 1 [TH] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z + m − 1 = 0

A. −1 < m < 7 .

B. −7 < m < 1

( S ) thì tổng các giá trị của tham số

m là:

ƠN

và mặt cầu ( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y − 6 z + 5 = 0 . Để mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu

A. −8 . B. 9 . C. 8 . D. 4 . Câu 35. [TH] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm

A. 2 .

1 . 2

II - PHẦN TỰ LUẬN

A ( −1; 2;3) và chứa trục Oz là ax + by = 0 . Tính tỉ số T = C. −2 .

DẠ Trang 4

π 3

[VDC] Tính tích phân sau I = 

Bài 4.

QU Y

Bài 3.

Bài 2 .

D. 3 .

2 x3 + x 2 .e x + 6 x + 3.e x + 3 dx . x2 + 3 0 ABC = 45° ; ACB = 30° và AC = 2a . Tính thể tích khối tròn xoay [VD] Cho tam giác ABC có nhận được khi quay đường gấp khúc BAC quanh trục BC ? 1 [VDC] Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ {−1;1} và thỏa mãn: f ′ ( x ) = 2 . Biết rằng x −1 1 1 f ( −3) + f ( 3) = 0 và f  −  + f   = 2 . Tính T = f ( −2 ) + f ( 0 ) + f ( 4 ) .  2 2 [VD] Tính S = 

KÈ

Bài 1.

a . b

π 6

4sin 2 x + 1 dx . cos x + 3.sin x

ĐÁP ÁN PHẦN TRẮC NGHIỆM 3B 18C 33B

4A 19B 34C

5B 20A 35A

6D 21B

7C 22A

8A 23A

9D 24B

10D 25B

11C 26C

ĐÁP ÁN CHI TIẾT I - PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Tìm họ nguyên hàm F ( x ) =  x3dx . A. F ( x ) =

x4 . 4

B. F ( x ) =

x4 +C . 4

C. F ( x ) = x3 + C . Lời giải

Chọn B

13D 28D

14A 29A

15D 30D

D. 3x 2 + C .

x4 +C . 4 [NB] Khẳng định nào sau đây sai? A. Cho hàm số f ( x ) xác định trên K và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K . Khi đó

Ta có:

Câu 2.

12A 27D

2D 17A 32D

FI CI A

1B 16B 31D

3  x dx =

 f ' ( x ) dx = f ( x ) + C . C.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k

ƠN

F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K . B.

là hằng số khác 0 .

Câu 3.

D. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x ) . Lời giải Các nguyên hàm có thể có hằng số khác nhau. [NB] Khẳng định nào say đây đúng? A.  cos x dx = sin x .

 x dx = ln x + C . D.  x dx = 2 x + C . C.

B.  cos x dx = sin x + C .

QU Y

Lời giải Theo bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:  cos x dx = sin x + C . Câu 4.

[NB] Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x2 − x thỏa mãn F ( 0 ) = 2 , giá trị của

KÈ

F ( 2 ) bằng 8 A. . 3

−8 . 3

F ( x ) =  f ( x ) dx =  ( x 2 − x ) dx =

C. 2 .

D. −5 .

Lời giải 3

x x − +C. 3 2

F ( 0) = 2  C = 2 .

x3 x 2 − +2. 3 2 23 2 2 8  F ( 2) = − + 2 = . 3 2 3 [NB] Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) xác định và liên tục trên ℝ . Trong các khẳng định sau, có

DẠ

 F ( x) =

Câu 5.

Trang 5

bao nhiêu khẳng định sai?

  f ( x ) + g ( x )dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . (II)   f ( x ) .g ( x ) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx . (III)  k . f ( x ) dx = k  f ( x ) dx với mọi số thực k . (IV)  f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C . B. 2 .

FI CI A

A. 1 .

(I)

C. 3 . Lời giải

D. 0 .

Khẳng định (II) và (III) là sai, vì k ≠ 0 . [NB] Cho hàm số f ′ ( x ) = 1 − 2 sin x và f ( 0 ) = 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. f ( x ) = x − 2 cos x + 2 .

B. f ( x ) = x − 2 cos x − 1 .

C. f ( x ) = x + 2 cos x + 2 .

D. f ( x ) = x + 2 cos x − 1 . Lời giải

Câu 6.

 f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C . Từ đó suy ra f ( x ) =  (1 − 2sin x ) dx =  dx − 2  sin xdx = x + 2 cos x + C .

Ta có

f ( 0 ) = 1 ⇔ 0 + 2.1 + C = 1  C = −1 .

ƠN

Vậy hàm f ( x ) = x + 2 cos x − 1 .

[NB] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 x + 1) là A. F ( x )

( 2 x + 1) =

B. F ( x )

+C.

Câu 7.

C. F ( x )

( 2 x + 1) = 22

D. F ( x )

+C .

( 2 x + 1) =

+C .

( 2 x + 1) = 9

+C.

Lời giải

Ta có:

 ( 2 x + 1)

( 2 x + 1) + C 1 1 ( 2 x + 1) 10 dx =  ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1) = . +C = . 2 2 11 22

QU Y

Vậy F ( x )

( 2 x + 1) =

Câu 8.

[NB] Cho

KÈ

Ta có:

+C . 2

 f ( x ) dx = −3 ;  g ( x )dx = 5 . Khi đó giá trị của biểu thức  3g ( x ) − 2 f ( x )dx là 1

A. 21 .

B. −14 .

C. 10 . Lời giải

D. −24 .

 3g ( x ) − 2 f ( x )dx =  3g ( x ) dx −  2 f ( x ) dx = 3 g ( x ) dx − 2 f ( x ) dx = 3.5 − 2. ( −3) = 21 . 1

Câu 9.

[NB] Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên [ a ; b ] và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

DẠ

Trang 6

 a b

f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( a ) − F ( b ) .

 f ( x ) dx = f ( x )

b a

 f ( x ) dx = F ( x ) a b

= f (b) − f ( a ) .

 f ( x ) dx = F ( x ) a

Lời giải

b a b a

= − F (b ) − F ( a ) . = F (b ) − F ( a ) .

Chọn D; 2

Câu 10. [NB] Tích phân I =  2 xdx . Khẳng định nào sau đây đúng? 0

B. I =  2 xdx = 4 x 2 0 2

0 . 2

C. I =  2 xdx = x 2 0

D. I =  2 xdx = x 2 0

Lời giải b

 f ( x ) dx = F ( x )

Áp dụng định nghĩa tích phân:

b a

= F (b) − F ( a )

2 . 0

Ta có: I =  2 xdx = x 2

2 . 0

2 A. I =  2 xdx = 2 . 0 0

FI CI A

Câu 11. [NB] Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên đoạn [ a ;b] và số thực k . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? b

a b

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx .   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx . a b

ƠN

  f ( x ) .g ( x )  dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx . a b

D.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx .

f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

0 2

0 1

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

0 2

1 0



1 1



QU Y

Lời giải Chọn C; Câu 12. [NB] Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ 0;2] . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? f ( x ) dx =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx .

 f ( x ) dx =  f ( x ) d x +  f ( x ) d x .

Lời giải FB tác giả: Hương Liễu Lương c

KÈ

Áp dụng tính chất  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx, ( a < c < b ) . Ta có:

a 1

a 2

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

Câu 13. [NB] Cho f ( x ) ; g ( x ) là hai hàm số liên tục trên R và các số thực a , b , c . Mệnh đề nào sau

DẠ

đây sai?

Trang 7

 f ( x ) dx = 0 . a

∫ a b

∫

f ( x ) dx = ∫ f (t ) dt .

 f ( x )− g ( x ) dx = f ( x ) dx − g ( x ) dx . ∫ ∫  

a b

 f ( x ). g ( x ) dx = f ( x ) dx. g ( x ) dx . ∫ ∫  

Lời giải Theo tính chất tích phân ta chọn D. 3

∫

B. −3 . 3

∫

∫ 2 f ( x )− g ( x ) dx

A. −1 . Ta có :

g ( x ) dx = 5. Khi đó tích phân C. 4 . Lời giải 3

bằng.

D. −5 .

Câu 14. [NB] Cho

f ( x ) dx = 2 và

FI CI A

2 f ( x )− g ( x ) dx = 2 f ( x ) dx − g ( x ) dx = 2.2 − 5 = −1 . ∫ ∫  

ƠN

Câu 15. [NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M (1;1;− 2) và N (2;2;1) . Tọa độ vectơ MN là A. (3;3;−1) . B. (−1; 1;− 3) . C. (3;1;1) . D. (1;1;3) .

Lời giải Ta có: MN (2 − 1;2 − 1;1 + 2 ) ⇔ MN (1;1;3) . Câu 16. [NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM = 2i + 3k . Tọa độ điểm M là A. (2;3;0) .

B. (2;0;3) .

QU Y

Ta có: OM = xi + y j + zk  M ( x ; y ; z ) . Vậy OM = 2i + 3k  M ( 2;0;3 ) .

C. (0;2;3) .

D. (2;3) .

Lời giải

Câu 17. [NB] Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 25 .Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu. A. I (1; 2;3 ) , R = 5 .

B. I (1; −2;3) , R = 5 .

D. I (1; 2;3 ) , R = −5 . Lời giải Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;3 ) , bán kính R = 5 .

C. I (1; 2; −3 ) , R = − 5 .

KÈ

Câu 18. [NB] Cho mặt phẳng ( P ) : 3x − 2 z + 2 = 0 . Vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của ( P ) ? A. n = ( 3; −2; 0 ) . C. n = ( 3;0; −2 ) .

Vecto pháp tuyến n = ( 3;0; −2 )

B. n = ( 3;0; 2 ) . D. n = ( 3; 2;0 ) .

Lời giải

DẠ

Câu 19. [NB] Trong không gian Oxyz , vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của u = (1; −2;0 ) , v = ( 0; 2; −1) là cặp vectơ chỉ phương của ( P ) . A. n = (1; −2;0 ) . B. n = ( 2;1; 2 ) . Trang 8

( P) .

Biết

D. n = ( 2; −1; 2 ) . Lời giải Ta có ( P ) có một vectơ pháp tuyến là n = u , v  = ( 2;1; 2 ) .

C. n = ( 0;1; 2 ) .

A. m = 1 .

FI CI A

Câu 20. [NB] Tìm m để điểm M ( m;1;6 ) thuộc mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + z − 5 = 0. B. m = −1 .

C. m = 3 . Lời giải Điểm M ( m;1;5) ∈ ( P ) ⇔ m − 2.1 + 6 − 5 = 0 ⇔ m = 1.

D. m = 2 .

Câu 21. [TH] Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = ( e x − 1) thỏa mãn F ( 0 ) = −

1 3 B. F ( x ) = e3 x − e2 x + 3e x − x − 2 . 3 2 3x D. F ( x ) = 3e − 6e2 x + 3e x − 2 .

x 3

x 2

1 3 A. F ( x ) = e3 x − e2 x + 3e x − x . 3 2 3x C. F ( x ) = 3e − 6e2 x + 3e x .

1 là 6

Lời giải + 3e x − 1 dx =  ( e3 x − 3e 2 x + 3e x − 1) dx 

F ( x ) =  ( e − 1) dx =   e − 3 e  1 3x 3 2x x = e − e + 3e − x + C 3 2 1 1 3 1 1 3 1 Mà F ( 0 ) = − ⇔ .e3.0 − .e 2.0 + 3.e1.0 − 0 + C = − ⇔ − + 3 + C = − ⇔ C = −2 . 6 3 2 6 3 2 6 1 3 Nên F ( x ) = e3 x − e2 x + 3e x − x − 2 . 3 2 3

( )

Câu 22. [TH] Cho

 4 x.( 5x − 2)

ƠN

dx = A ( 5x − 2 ) + B ( 5x − 2 ) + C với A, B ∈ ℚ và C ∈ ℝ . Giá trị của

QU Y

biểu thức 50 A + 175B là A. 9 . B. 10 .

C. 11 . Lời giải

D. 12 .

 f ( x ) = 4 x. ( 5 x − 2 )6 . Đặt  8 7  F ( x ) = A ( 5 x − 2 ) + B ( 5 x − 2 ) + C Theo đề bài ta có:

′ 8 7 6 F ′ ( x ) = f ( x )   A ( 5 x − 2 ) + B ( 5 x − 2 ) + C  = 4 x. ( 5 x − 2 )   7 6 6 ⇔ 8.5. A. ( 5 x − 2 ) + 7.5.B. ( 5 x − 2 ) = 4 x. ( 5 x − 2 ) 6

KÈ

⇔  40 A ( 5x − 2 ) + 35B  . ( 5x − 2 ) = 4 x ( 5x − 2 )

⇔ ( 200 Ax − 80 A + 35 B ) . ( 5 x − 2 ) = 4 x ( 5 x − 2 ) .

DẠ

1   A = 50 200 A = 4 Đồng nhất hệ số ta được:  . ⇔ 8 −80 A + 35 B = 0 B =  175 Vậy 50 A + 175 B = 9 . Câu 23. [TH] Biết hàm số y = f ( x ) có f ′ ( x ) = 6 x 2 + 4 x − 2m − 1 , f (1) = 2 và đồ thị của hàm số

Trang 9

y = f ( x ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −3 . Hàm số f ( x ) là A. 2 x3 + 2 x 2 + x − 3 .

B. 2 x 3 + 2 x 2 − 3 x − 3 . C. 2 x3 − 2 x 2 + x − 3 .

D. 12 x + 4 .

Lời giải Ta có: f ( x ) =  f ′ ( x ) dx =  ( 6 x 2 + 4 x − 2m − 1) dx = 2 x 3 + 2 x 2 − ( 2m + 1) x + C .

Câu 25. [TH] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = B. ln 3 x + C .

3ln 2 x là x C. ln 3 x + x + C .

D. ln ( ln x ) + C .

ƠN

A. ln 3 x + ln x + C .

D. x + C .

1 Câu 24. [TH] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x( x + ) là x x2 x2 x3 x 2 x3 + x A. C. ( + ln x) + C . B. + x+C. ( )+C . 2 2 3 6 ln x Lời giải 3 1 x I =  x( x + )dx =  ( x 2 + 1)dx = + x + C . x 3

FI CI A

Vậy f ( x ) = 2 x3 + 2 x2 + x − 3 .

2.13 + 2.12 − 2m − 1 + C = 2 m = −1  f (1) = 2 Theo đề bài, ta có:  ⇔ ⇔ . C = −3  f ( 0 ) = −3 C = −3

Lời giải Xét I =  f ( x ) dx = 3

ln x dx . x

Câu 26. [TH] Tích phân

x

QU Y

2 A. ln . 3

1 dx bằng +x

1 dx . x Khi đó I =  3t 2 dt = t 3 + C = ln 3 x + C .

Đặt t = ln x  dt =

C. ln

B. ln 6 .

4 . 3

D. ln 3 .

Lời giải 2

2 1 1 1 x 4 d x = ( − )d x = ln x − ln x + 1 = ln = ln . ( ) 1 x2 + x 1 x x + 1 1 x +1 1 3 3

 −1

f ( x ) dx = 2 ,

Câu 27. Cho

KÈ

A. I = −3 .



f ( t ) dt = −4 . Tính

−1

 f ( y ) dy . 3

B. I = −5 .

C. I = −2 . Lời giải

D. I = −6

Ta có 5



−1

f ( y ) dy =

 3

−1

−1 3

−1

DẠ

Câu 28. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và

Trang 10

A. −5

f ( y ) dy +  f ( y ) dy = −  f ( y ) dy +  f ( y ) dy = −  f ( x ) dx +  f ( t ) dt = −6 .

 ( f ( x ) + 3x ) dx = 17 . Tính  f ( x ) dx . 2

B. −7 .

−1

C. −9 . Lời giải

D. −10 .

Ta có 3

 ( f ( x ) + 3x ) dx = 17 ⇔  f ( x ) dx +  3x dx = 17 ⇔  f ( x ) dx + 27 = 17 ⇔  f ( x ) dx = −10 . 2

0 3

a Câu 29. Cho  dx = + b ln 2 + c ln 3 với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng 3 0 4 + 2 x +1 A. 1. B. 2 . C. 7 . D. 9 . Lời giải 2 2 Đặt t = x + 1  t = x + 1  x = t − 1  dx = 2tdt . Đổi cận: x = 0  t = 2 ; x = 3  t = 4 . Khi đó:

FI CI A

2 3 2  t3 2  t2 −1 t −t 6  7  2 .2 t d t = d t = t − 2 t + 3 − d t =  − t + 3t − 6 ln t + 2  = − 12 ln 2 + 6 ln 3  1 4 + 2t 1 t + 2 1  t+2 3 1 3

a = 7  Suy ra b = −12  a + b + c = 1 . c = 6  π 6

ƠN

1 (với n ∈ ℕ * ). Tìm n 160 B. 6 . C. 5 . Lời giải

Câu 30. [TH] Cho  sin n x.cos x dx = 0

A. 3 .

6 1 sin n +1 x 6 1 1 Ta có: =  sin n x.cos x dx =  sin n xd ( sin x ) = =   160 0 n +1 0 n +1  2  0 1

Câu 31. [TH] Cho

 ( x − 3) e dx = a + be x

n +1

n=4

. Tính a − b

B. −7 .

QU Y

A. 1 .

D. 4.

C. −1 . Lời giải

D. 7 .

Đặt u = x − 3  du = dx;dv = e x dx  v = e x 1

Ta có:

 ( x − 3 ) e dx = ( x − 3 ) e x

x 1

−  e x dx = −2e + 3 − e x = 4 − 3e .  a = 4; b = −3  a − b = 7 0

Câu 32. [TH] Cho A ( 0; 2; −2 ) , B ( −3;1; −1) , C ( 4;3;0 ) , D (1; 2; m) . Tìm m để 4 điểm A, B, C , D đồng

phẳng. A. m = −5 .

C. m = −1 . Lời giải Ta có: AB = ( −3; −1;1) , AC = ( 4;1; 2 ) , AD = (1;0; m + 2 ) .

D. m = 1 .

KÈ

B. m = 5 .

DẠ

 −1 1 1 −3 −3 −1     AB, AC  =  1 2 , 2 4 , 4 1  = ( −3;10;1)    AB, AC  . AD = m − 1   A, B, C , D đồng phẳng ⇔  AB, AC  . AD = 0 ⇔ m = 1 Câu 33. [TH] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m

Trang 11

để phương trình x2 + y 2 + z 2 − 2mx + 2 ( m − 3) y + 2 z + 3m2 + 3 = 0 là phương trình mặt cầu:

m < −1  m < −7 C.  . D.  . m > 7 m > 1 Lời giải 2 2 2 x + y + z − 2 mx + 2 m − 3 y Phương trình ( ) + 2 z + 3m2 + 3 = 0 có dạng B. −7 < m < 1

FI CI A

x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với a = m, b = − ( m − 3) , c = −1, d = 3m2 + 3 .

A. −1 < m < 7 .

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 2

⇔ m 2 + ( m − 3) + 1 − 3m 2 − 3 > 0 ⇔ −m 2 − 6m + 7 > 0 ⇔ −7 < m < 1 . Câu 34.

[TH] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z + m − 1 = 0 và mặt cầu ( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y − 6 z + 5 = 0 . Để mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu

( S ) thì tổng các giá trị của tham số B. 9 .

C. 8 . Lời giải

D. 4 .

A. −8 .

m là:

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −1;3) và bán kính R = 2 2 + ( −1) + 32 − 5 = 3 .

2.2 + ( −1) − 2.3 + m − 1 3

ƠN

Để mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) thì d ( I , ( P ) ) = R ⇔

 m − 4 = 15  m = 19 ⇔ m − 4 = 15 ⇔  ⇔ .  m − 4 = −15  m = −11 Vậy tổng các giá trị của m là: 19 + ( −11) = 8 .

[TH] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm

Câu 35.

A ( −1; 2;3) và chứa trục Oz là ax + by = 0 . Tính tỉ số T = A. 2 .

1 . 2

a . b

C. −2 .

D. 3 .

QU Y

Lời giải Ta có OA = ( −1; 2;3) và k = ( 0;0;1) là hai vecto có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( P ) nên mặt phẳng ( P ) có một vecto pháp tuyến là n = OA, k  = ( 2;1;0 ) . Vậy mặt phẳng ( P ) đi qua điểm O ( 0;0;0) và có vecto pháp tuyến n = ( 2;1;0 ) nên có phương

KÈ

trình là: 2 x + y = 0 . Vậy T = 2 . II - PHẦN TỰ LUẬN 1 2 x3 + x 2 .e x + 6 x + 3.e x + 3 dx Bài 1. [VD] Tính S =  x2 + 3 0 Lời giải 1 1 3 2 x x 2 x x2 + 3 + ex x2 + 3 + 3 2 x + x .e + 6 x + 3.e + 3 Ta có S =  dx =  dx x2 + 3 x2 + 3 0 0

DẠ

Trang 12

(

) (

(

)

1 dx dx dx =  ( e + 2 x ) dx + 3  2 = ( e x + x2 ) + 3  2 = e + 3 2 . 0 x +3 x +3 x +3 0 0 0 0 x

Xét I = 3  0

dx . x +3 2

dt . cos 2 t

Đổi cận ta có x = 0  t = 0 ; x = 1  t =

π 6

Đặt x = 3 tan t  dx = 3

Vậy S = e +

Bài 2 .

π 6

FI CI A

6 π dx 36 dt π Vậy I = 3  2 = 3 = dt = t 06 = .   2 2 3 0 ( tan t + 1) cos t 0 x +3 6 0

ABC = 45° ; ACB = 30° và AC = 2a . Tính thể tích khối tròn xoay [VD] Cho tam giác ABC có nhận được khi quay đường gấp khúc BAC quanh trục BC ? Lời giải

ƠN

QU Y

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC . Xét tam giác ACH vuông tại H , có AC = 2a , ACB = 30° nên 1 1 3 AH = . AC = .2a = a và HC = . AC = a 3 . 2 2 2 Tam giác ABH vuông tại H , có AH = a , ABC = 45° nên BH = AH = a . Quay đường gấp khúc BAC quanh trục BC thu được khối tròn xoay có hình dạng là hai khối nón đỉnh B và đỉnh C , chung đáy là đường tròn ( H ; HA) .

DẠ

KÈ

Bài 3.

1 1 Xét khối nón ( N1 ) có đỉnh là B , đáy là đường tròn ( H ; HA) có VN1 = π .BH . AH 2 = π a 3 3 3 1 3 3 Xét khối nón ( N2 ) có đỉnh là C , đáy là đường tròn ( H ; HA) có VN 2 = π .CH . AH 2 = πa 3 3 3 +1 3 Vậy thể tích khối tròn xoay nhận được bằng: V = VN1 + VN 2 = πa . 3 1 [VDC] Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ {−1;1} và thỏa mãn: f ′ ( x ) = 2 . Biết rằng x −1 1 1 f ( −3) + f ( 3) = 0 và f  −  + f   = 2 . Tính T = f ( −2 ) + f ( 0 ) + f ( 4 ) .  2 2 Lời giải 1 1  1 1  1 x −1 Ta có: f ( x ) =  2 dx = .  − +C  dx = .ln x −1 2  x −1 x + 1  2 x +1 1 x −1 Với x ∈ ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) : f ( x ) = ln + C1 . 2 x +1 1 −3 − 1 1 3 −1 Mà f ( −3 ) + f ( 3) = 0 ⇔ .ln + C1 + ln + C1 = 0 2 −3 + 1 2 3 +1

Trang 13

Do đó với x ∈ ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) : f ( x ) =

1 x −1 1 1 3 ln  f ( −2 ) = ln 3; f ( 4 ) = ln . 2 x +1 2 2 5

1 x −1 ln + C2 . 2 x +1 1 1 − −1 −1 1 1  1 1 2 2 + C2 + .ln + C2 = 2 Mà f  −  + f   = 2 ⇔ .ln 1 1 2 2  2 2 − +1 +1 2 2 1 1 ⇔ ln 3 + C2 + ln 3 + C2 = 2 ⇔ C2 = 1 . 2 2 1 x −1 Do đó với x ∈ ( −1;1) : f ( x ) = .ln + 1  f ( 0 ) = 1. 2 x +1 1 9 Vậy T = f ( −2 ) + f ( 0 ) + f ( 4 ) = 1 + ln . 2 5

Với x ∈ ( −1;1) : f ( x ) =

[VDC] Tính tích phân sau I =  π

4sin 2 x + 1 dx cos x + 3.sin x

ƠN

Bài 4.

Lời giải Giả sử: 4 sin x + 1 = ( A sin x + B cos x ) cos x + 3 sin x + C ( sin 2 x + cos 2 x )

(

)

(

)

⇔ 4 sin x + 1 = A 3 + C sin x + A + B 3 sin x cos x + ( B + C ) cos 2 x

I =

(

)

π 3

(

dx 3 sin x − cos x dx + 2  = − 3 cos x − sin x π cos x + 3 sin x

(

)

+ J = 2− 3+ J

3 dx dx dx = = π x π   π   x π  π cos x + 3 sin x π sin x + 2sin + cos      +  6 6 6 6   2 12   2 12    x π  π π d  tan  +   3 3 1 dx x π   2 12   =  =  = ln tan  +  π π π x x x 2π        2 12  tan  +  cos 2  +  π6 tan  +  6 2 12 2 12 2 12       1  I = 2 − 3 + ln 3. 2

KÈ

J = 2

DẠ

Trang 14

)

cos x + 3 sin x

=

)(

3 sin x − cos x cos x + 3 sin x + 2

QU Y

A 3 + C = 4 A = 3   Đồng nhất hai vế ta có:  A + B 3 = 0   B = −1 . B + C = 1 C = 2   π

1 1 1 ln 2 + C1 + ln + C1 = 0 ⇔ C1 = 0 . 2 2 2

FI CI A

⇔

π 3

π 6

1 = ln 3 . 2

Trang 15

DẠ M

KÈ QU Y ƠN

FI CI A

I – PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Khẳng định nào sau đây là sai ? A. Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C thì  f ( u ) du = F ( u ) + C. B.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx ( k là hằng số và k ≠ 0 ).

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 12 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 35 câu TN, 4 câu tự luận)

FI CI A

ĐỀ SỐ 2

C. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x ) . D.

  f ( x ) + g ( x )  dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx.

[NB] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x3 + 3 x 2 + 1 là

Câu 3.

x4 B. x 4 + x3 + x + C. + x 3 + x + C. 4 x4 x4 C. D. + 2 x 3 + x 2 + C. + 3 x 3 + 2 x + C. 4 4 [NB] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos x là

Câu 2.

Câu 4.

Câu 5.

B. − cos x + C .

C. −sin x + C . 2 là [NB] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x +1 1 A. ln x + 1 + C . B. 2 ln x + 1 + C . C. ln x + 1 + C . 2

A. cos x + C .

ƠN

D. sin x + C .

D. ln x + C .

[TH] Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = e x + 2 x thỏa mãn F ( 0 ) =

3 . 2 5 1 C. F ( x ) = e x + x 2 + . D. F ( x ) = e x + x 2 + . 2 2 Câu 6. [NB] Xét các hàm số f ( x ) , g ( x ) tùy ý, liên tục trên khoảng K và α là một số thực bất kỳ.

QU Y

A. F ( x ) = 2e x + x 2 −

1 . 2

3 . 2

Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A.  α . f ( x ) dx = α  f ( x ) dx .

B. F ( x ) = e x + x 2 +

 f ( x ) g ( x ) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx . D.   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . B.

  f ( x ) +g ( x )  dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . Câu 7. [TH] Cho  f ( x ) dx = F ( x ) + C , khi đó  f ( −5 x + 1) dx là

1 1 B. − F ( −5 x + 1) + C . C. −5 F ( −5 x + 1) + C . D. F ( x ) + C . 5 5 [NB] Xét f ( x ) là một hàm số tùy ý, F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên đoạn [ a; b] .

Câu 8.

KÈ

A. F ( −5 x + 1) + C .

Mệnh đề nào dưới đây đúng ? b



f ( x ) dx = f ( b ) − f ( a ) .

DẠ

a b

Câu 9.

Trang 1

 f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) . a

a b

 f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) . a

[NB]

 f ( x ) dx = f ( a ) − f ( b ) .

 x dx 1

bằng

1 A. − . 2

3 . 4

C. ln 3 .

D. ln 2 .

(a < b) .

Thể tích khối tròn

FI CI A

hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b

Câu 10. [NB] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức b

A. V = π  f 2 ( x ) dx .

B. V =  f 2 ( x ) dx .



Câu 11. [NB] Biết

D. V = π 2  f 2 ( x ) dx .

f ( x ) dx .

a 2

 f ( x ) dx = 2 và  g ( x ) dx = 6 . Khi đó   f ( x ) − g ( x ) dx bằng

C. V = π

A. −4 . B. 8 . C. 4 . D. −8 . Câu 12. [NB] Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [ a; b ] . Mệnh đề nào dưới đây đúng? b

C.  ( f ( x ) + g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx .

2 . 5

B. 5 . 2

Câu 14. [NB] Biết

 ( f ( x ) + g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx .

 f ( x ) dx = −2 . Tính  5 f ( x ) dx .



C. 10 .

QU Y

A. −

Câu 13. [NB] Biết

B.  ( f ( x ) + g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx .

ƠN

A.  ( f ( x ) + g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx .

f ( x ) dx = 5 và

−1



f ( x ) dx = −3 . Tính

D. −10 .

 f ( x ) dx . −1

A. 2 . B. 1 . C. 8 . D. −8 . Câu 15. [NB] Trong không gian Oxyz , cho u = −i + 2 j − 3k . Tọa độ của u là: A. (1;3;2) .

B. ( −1; 2; −3 ) .

C. ( −1;3;2) .

D. (1; 2;3) .

Câu 16. [NB] Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1; 2; − 3) . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên

KÈ

trục Oy là điểm nào dưới đây? A. Q (0; 2; − 3) . B. P (1; 2; 0) .

C. N (1;0; − 3) . 2

D. M (0; 2;0) . 2

Câu 17: [NB] Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z 2 − 2 x + 4 y + 4 z − 7 = 0 . Tọa độ tâm và bán kính của ( S ) là

A. I (1; − 2; − 2 ) và R = 8 . C. I (1; − 2; − 2 ) và R = 4 .

B. I ( −1; 2; 2 ) và R = 7 . D. I (1; − 2; − 2 ) và R = 2 .

DẠ

Câu 18 . [ NB] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; − 3 ) và B ( 3;1; 0 ) . Phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm A (1; 2; − 3 ) và có véc tơ pháp tuyến AB là

Trang 2

A. 2 x − y + 3z − 4 = 0 .

B. x − 2 y − 4 = 0 .

C. 2 x − y + 3z + 4 = 0 .

D. 2 x − y + 3z + 9 = 0 .

Câu 19. [ NB] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : x + y + 2 z + 2 = 0 . Mặt phẳng nào dưới đây B. ( R ) : x + y − 2 z + 1 = 0 .

C. ( Q ) : x + y − 2 z − 2 = 0 .

D. ( S ) : x + y + 2 z − 1 = 0 .

A(1 ; 0 ; 0), B (0 ; 3 ; 0), C (0 ; 0 ; 2) có

x y z + + = −1 . 1 3 2 x y z + + =1. 1 3 2

Câu 20. [ NB] Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua ba điểm phương trình là x y z A. + + B. = 1. 1 3 −2 x y z C. + + D. = −1 . 1 3 −2 Câu 21. [NB] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2 x

FI CI A

A. ( P ) : x − y + 2 z − 2 = 0 .

song song với mặt phẳng (α ) ?

−1 1 D. sin 2 x + C . sin 2 x + C . 2 2 π  Câu 22 . [ TH] Cho hàm số f ( x) có f ′( x ) = sin 2 x và f (0) = 1 .Khi đó f   bằng 4 1 3 4 A. 1. B. . C. . D. . 2 2 3 Câu 23. [NB] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos x − 2 x là B. − sin 2x + C .

B. − sin x − x 2 + C .

ƠN

A. 2 sin 2x + C .

C. sin x − 2 x 2 + C . D. sin x − x 2 + C . 2 Câu 24. [ NB] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x − 1 + 2 là x 2 2 2 x 2 x 2 x 2 x2 2 A. B. C. − x+ +C . − x− +C. − x + 3 + C . D. − x+ 3 +C . 2 x 2 x 2 3x 2 x Câu 25. [ TH]Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A.  2 x ln ( x − 1) dx = x 2 ln ( x − 1) −  ( x + 1) dx .

QU Y

A. − sin x − 2 + C .

B.  2 x ln ( x − 1) dx = x ln ( x − 1) −  ( x − 1) dx . C.  2 x ln ( x − 1) dx = ( x 2 − 1) ln ( x − 1) +  ( x + 1) dx . D.  2 x ln ( x − 1) dx = ( x 2 − 1) ln ( x − 1) −  ( x + 1) dx .

Câu 26. [NB] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên đoạn [ −1;3] và thỏa mãn 3

f ( −1) = −2, f ( 3 ) = 5 . Giá trị của I =

KÈ

A. I = −7 .

Câu 27. [NB] Biết F ( x) =

 f ′ ( x ) dx

bằng

−1

B. I = 4 .

C. I = 3 .

D. I = 7 .

ln x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng ( 0; + ∞ ) . Giá trị của x

DẠ

1  I =   − 2 f ( x)  dx bằng e  1 1 3 1 A. I = 2 + . B. I = 1 − − e2 . e e e

Câu 28. [TH] Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ có bằng?

Trang 3

C. I =

1 3 − . e2 e

 f ( x )dx = 2 1

và

3 D. I = 1 − . e 5

 f ( x )dx = 6 . Khi đó  f ( x )dx

A. −4 .

B. 1.

C. 8 .

D. 4 . 2

 f ( x )dx = 2

Câu 29. [VD] Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số bậc nhất liên tục trên ℝ . Biết

và

 f ( f ( 2 x − 1) )dx ?

FI CI A



f ( x )dx = 4 . Tính

−1

A. 15 .

B. 0 . 3

Câu 30. [TH] Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và

 1

A. 1.

1 . 2

C. 6 . xf x 2 + 1

(

x +1

D. −15 .

) dx = 2. Tính I =

 2

C. 2 .

f ( x) x

dx.

D. 4 .

Câu 31. [TH] Kết quả của tích phân I =  ( x + 1) e x dx được viết dưới dạng I = ae3 + be với a , b là các 1

ƠN

số hữu tỷ. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a + b = 1 . B. a 2 + b 2 = 8 . C. a − b = 2 . D. ab = −3 . Câu 32. [TH] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; −1) , B ( 2; −1;3) , C ( −2;3;3) . Điểm M ( a; b; c ) thỏa mãn AB = MC . Khi đó P = a 2 + b 2 − c 2 có giá trị bằng

A. 45 . B. 42 . C. 44 . D. 43 . Câu 33. [TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( 2; 4;1) , B ( −8; 2;1) . Phương trình mặt cầu đường kính AB là 2 2 2 2 2 2 A. ( x + 3) + ( y − 3) + ( z − 1) = 26 . B. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z + 1) = 26 . C. ( x + 3) + ( y − 3) + ( z − 1) = 52 .

D. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z + 1) = 52 .

QU Y

Câu 34. [TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2;1;2) và B(−2;5; −4) . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. 2 x + 2 y − 3 z + 9 = 0 . B. 2 x − 2 y + 3 z + 9 = 0 . C. 4 x − 4 y − 6 z + 9 = 0 . D. 2 x − 2 y + 3 z − 9 = 0 . Câu 35. [TH] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , khoảng cách từ điểm M ( −3;3; 4 ) đến mặt phẳng (α ) : 2 x − 2 y − z − 2 = 0 bằng

A. 4 .

B. 6 .

2 . 3

D. 2 .



KÈ

Câu 3.

f ( 3x + 1) dx = 2 . Tính tích phân I =  xf ′ ( x ) dx .

Câu 2.

II – PHẦN TỰ LUẬN Câu 1. [VD] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa f (10 ) = 0 , f ( 4 ) = −1 và

[VD] Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h = 5a , bán kính đáy r = 7a . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và có khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 4a . Tính diện tích của thiết diện đó. [VDC] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên khoảng ( 0; +∞ ) thỏa mãn điều kiện

f ( 2 ) = 5 và x 2 ( 6 − f ′ ( x ) ) = 2 ( x. f ( x ) + 1) , ∀x > 0. Tính f ( 3) .

DẠ

Câu 4.

Trang 4

[VDC] Tính  e 2 x sin 3 xdx .

BẢNG ĐÁP ÁN 3.D 13.D 23.D 33.A

4.B 14.A 24.B 34.B

5.D 15.B 25.D 35.B

6.C 16.D 26.D

7.B 17.C 27.D

8.C 18.D 28.D

9.D 19.D 29.D

10.A 20.D 30.D

LỜI GIẢI CHI TIẾT I – PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Khẳng định nào sau đây là sai ? A. Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C thì  f ( u ) du = F ( u ) + C. B.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx ( k là hằng số và k ≠ 0 ).

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx.

x4 + x3 + x + C. 4 x4 C. + 2 x 3 + x 2 + C. 4

ƠN

Lời giải Các nguyên hàm sai khác nhau hằng số nên C là đáp án sai. [NB] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x3 + 3x 2 + 1 là

Câu 2.

B. x 4 + x3 + x + C .

B. − cos x + C .

C. −sin x + C . D. sin x + C . Lời giải Dựa theo bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp, ta chọn D. 2 [NB] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = là x +1 1 A. ln x + 1 + C . B. 2 ln x + 1 + C . C. ln x + 1 + C . D. ln x + C . 2 Lời giải 2 1 Ta có  dx = 2  dx = 2 ln x + 1 + C . x +1 x +1 3 [TH] Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = e x + 2 x thỏa mãn F ( 0 ) = . 2 1 3 A. F ( x ) = 2e x + x 2 − . B. F ( x ) = e x + x 2 + . 2 2 5 1 C. F ( x ) = e x + x 2 + . D. F ( x ) = e x + x 2 + . 2 2 Lời giải Ta có: F ( x ) =  ( e x + 2 x ) dx = e x + x 2 + C .

KÈ

DẠ

Câu 5.

Trang 5

x4 + 3 x 3 + 2 x + C. 4

Lời giải x4 Ta có:  ( x 3 + 3 x 2 + 1) dx =  x 3 dx +  3 x 2 dx +  dx = + x3 + x + C. 4 [NB] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos x là A. cos x + C .

Câu 4.

QU Y

Câu 3.

C. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x ) . D.

Mà: F ( 0 ) =

3 3 1 nên e 0 + 0 + C = ⇔ C = . 2 2 2

2.A 12.D 22.C 32.C

FI CI A

1.C 11.A 21.D 31.D

1 . 2 [NB] Xét các hàm số f ( x ) , g ( x ) tùy ý, liên tục trên khoảng K và α là một số thực bất kỳ.

Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A.  α . f ( x ) dx = α  f ( x ) dx .

 f ( x ) g ( x ) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx . D.   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . B.

  f ( x ) +g ( x )  dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx .

FI CI A

Câu 6.

Vậy: F ( x ) = e x + x 2 +

Lời giải Phương án  α .f ( x ) dx = α  f ( x ) dx sai khi α = 0 .

 f ( x ) g ( x ) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx sai vì lý thuyết. Phương án   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx sai vì lý thuyết. [TH] Cho  f ( x ) dx = F ( x ) + C , khi đó  f ( −5 x + 1) dx là

Câu 7.

Phương án

1 1 B. − F ( −5 x + 1) + C . C. −5 F ( −5 x + 1) + C . D. F ( x ) + C . 5 5 Lời giải 1 1 1  f ( −5x + 1) dx = − f ( −5x + 1) . 5 .d ( −5x + 1) = − 5  f ( −5x + 1) d ( −5 x + 1) = − 5 F ( −5 x + 1) + C [NB] Xét f ( x ) là một hàm số tùy ý, F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên đoạn [ a; b] .

Câu 8.

ƠN

A. F ( −5 x + 1) + C .

Mệnh đề nào dưới đây đúng ? b



f ( x ) dx = f ( b ) − f ( a ) .

a b

 f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) . a

 f ( x ) dx = f ( a ) − f ( b ) . a b

 f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) . a

Lời giải

 f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) .

QU Y

Theo định nghĩa, ta có

Câu 9.

[NB]

 x dx

bằng

1 A. − . 2 2

3 . 4

C. ln 3 .

D. ln 2 .

Lời giải

2 1 Ta có  dx = ln x = ln 2 − ln1 = ln 2 1 x 1

KÈ

Câu 10. [NB] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b

(a < b) .

Thể tích khối tròn

xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức b

DẠ

A. V = π  f

Trang 6

C. V = π

( x ) dx .

B. V =  f 2 ( x ) dx . a

 f ( x ) dx . a

D. V = π

 f ( x ) dx . 2

Lời giải Theo công thức tính thể tích vật tròn xoay khi quay hình D quanh trục hoành là:

V = π  f 2 ( x ) dx . a

 f ( x ) dx = 2 và  g ( x ) dx = 6 . Khi đó   f ( x ) − g ( x ) dx bằng 1

A. −4 . Ta có:

B. 8 .

C. 4 . Lời giải

D. −8 .

  f ( x ) − g ( x ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx = 2 − 6 = −4 .

FI CI A

Câu 11. [NB] Biết

Câu 12. [NB] Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [ a; b] . Mệnh đề nào dưới đây đúng? a

C.  ( f ( x ) + g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . a

B.  ( f ( x ) + g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx .

A.  ( f ( x ) + g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx .

 ( f ( x ) + g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx . a

ƠN

Lời giải Theo tính chất của tích phân ta có:

 ( f ( x ) + g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx . a

 f ( x ) dx = −2 . Tính  5 f ( x ) dx .

2 A. − . 5

B. 5 .

Câu 13. [NB] Biết

C. 10 .

D. −10 .

Lời giải

Câu 14. [NB] Biết



f ( x ) dx = 5 và

−1

A. 2 .

 2

 f ( x ) dx . −1

C. 8 . Lời giải

D. −8 .

f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = 5 − 3 = 2 .

 −1

f ( x ) dx = −3 . Tính

B. 1 .

Ta có

QU Y

Ta có  5 f ( x ) dx = 5. f ( x ) dx = 5. ( −2 ) = −10 .

−1

KÈ

Câu 15. [NB] Trong không gian Oxyz , cho u = −i + 2 j − 3k . Tọa độ của u là:

A. (1;3;2) .

B. ( −1; 2; −3) .

Ta có: u = −i + 2 j − 3k ⇔ u ( −1; 2; −3 ) .

C. ( −1;3;2) .

D. (1; 2;3) .

Lời giải

DẠ

Câu 16. [NB] Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1; 2; − 3) . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Oy là điểm nào dưới đây? C. N (1;0; − 3) . D. M (0; 2;0) . Lời giải Hình chiếu vuông góc của điểm A (1; 2; − 3) lên trục Oy là điểm M ( 0; 2; 0 ) .

Trang 7

A. Q (0; 2; − 3) .

B. P (1; 2; 0) .

Câu 17: [NB] Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 4 z − 7 = 0 . B. I ( −1; 2; 2 ) và R = 7 .

C. I (1; − 2; − 2 ) và R = 4 .

D. I (1; − 2; − 2 ) và R = 2 .

FI CI A

A. I (1; − 2; − 2 ) và R = 8 .

Tọa độ tâm và bán kính của ( S ) là

Lời giải Phương trình mặt cầu đa cho có dạng: x + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 > d ) 2

 a = 1 , b = −2 , c = −2 , d = −7 . Vậy tâm mặt cầu là I (1; − 2; − 2 ) và bán kính mặt cầu R = 1 + 4 + 4 + 7 = 4 .

Câu 18 . [ NB] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; − 3) và B ( 3;1; 0 ) . Phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm A (1; 2; − 3) và có véc tơ pháp tuyến AB là B. x − 2 y − 4 = 0 . D. 2 x − y + 3z + 9 = 0 . Lời giải

A. 2 x − y + 3z − 4 = 0 . C. 2 x − y + 3z + 4 = 0 . Ta có: AB = ( 2; − 1;3)

ƠN

→ Mặt phẳng (α ) đi qua điểm A (1; 2; − 3) , véc tơ pháp tuyến n = AB = ( 2; − 1;3) có phương

trình là 2 ( x − 1) − 1( y − 2 ) + 3 ( z + 3) = 0 ⇔ 2 x − y + 3z + 9 = 0 .

song song với mặt phẳng (α ) ?

A. ( P ) : x − y + 2 z − 2 = 0 . C. ( Q ) : x + y − 2 z − 2 = 0 .

Câu 19. [ NB] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : x + y + 2 z + 2 = 0 . Mặt phẳng nào dưới đây B. ( R ) : x + y − 2 z + 1 = 0 . D. ( S ) : x + y + 2 z − 1 = 0 .

KÈ

QU Y

Lời giải 1 1 2 2 Vì = = ≠ nên mặt phẳng (α ) song song với mặt phẳng ( S ) . 1 1 2 −1 Câu 20. [ NB] Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua ba điểm A(1 ; 0 ; 0), B (0 ; 3 ; 0), C (0 ; 0 ; 2) có phương trình là x y z x y z A. + + B. + + = −1 . = 1. 1 3 −2 1 3 2 x y z x y z C. + + D. + + = 1 . = −1 . 1 3 −2 1 3 2 Lời giải Phương trình mặt chắn đi qua ba điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C (0 ; 0 ; c ) ( a , b , c ≠ 0 ) là x y z + + =1. a b c

Nên phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1 ; 0 ; 0), B (0 ; 3 ; 0), C (0 ; 0 ; 2) là

x y z + + =1. 1 3 2

DẠ

Câu 21. [NB] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2 x

Trang 8

A. 2 sin 2x + C .

B. − sin 2x + C .

C. Lời giải

−1 sin 2 x + C . 2

1 sin 2 x + C . 2

π 4

Ta có



f ′( x )dx = f (b) − f ( a ) nên

π 1 1 π  4 = sin 2 x d x = − cos2 x = f   − f (0) 0 0 2 2 4

π  3 Mà f (0) = 1 suy ra f   = 4 2 Câu 23. [NB] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos x − 2 x là

A. − sin x − 2 + C .

B. − sin x − x 2 + C . C. sin x − 2 x 2 + C . Lời giải

Ta có: x2 + C = sin x − x 2 + C . 2

D. sin x − x 2 + C .

ƠN

 ( cos x − 2 x )dx = sin x − 2.

FI CI A

π  Câu 22 . [ TH] Cho hàm số f ( x) có f ′( x ) = sin 2 x và f (0) = 1 .Khi đó f   bằng 4 1 3 4 A. 1. B. . C. . D. . 2 2 3 Lời giải

1 Ta có  cos 2 xdx = sin 2 x + C 2

2 là x2 x2 2 x2 2 x2 2 x2 2 A. B. C. − x+ +C . − x− +C. − x + 3 + C . D. − x+ 3 +C . 2 x 2 x 2 3x 2 x Lời giải 2  x2 2 1  Ta có   x − 1 + 2  dx =  xdx −  dx + 2  2 dx = − x− +C . x  x 2 x  Câu 25. [ TH]Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A.  2 x ln ( x − 1) dx = x 2 ln ( x − 1) −  ( x + 1) dx .

QU Y

Câu 24. [ NB] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x − 1 +

Lời giải Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần:  u dv = uv −  v du .

KÈ

dx  u = ln ( x − 1) du =  Đặt:  x −1 . dv = 2 xdx v = x 2 − 1    2 x ln ( x − 1) dx = ( x 2 − 1) ln ( x − 1) −  ( x + 1) dx . Câu 26. [NB] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên đoạn [ −1;3] và thỏa mãn

DẠ

f ( −1) = −2, f ( 3 ) = 5 . Giá trị của I =

Trang 9

A. I = −7 .

 f ′ ( x ) dx

bằng

−1

B. I = 4 .

C. I = 3 . Lời giải

D. I = 7 .

 f ′ ( x ) dx = f (3) − f (−1) = 5 + 2 = 7 −1

ln x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng ( 0; + ∞ ) . Giá trị của x

Câu 27. [NB] Biết F ( x) =

C. I =

FI CI A

1  I =   − 2 f ( x)  dx bằng e  1 1 3 1 A. I = 2 + . B. I = 1 − − e2 . e e e

1 3 − . e2 e

3 D. I = 1 − . e

Lời giải e

1 1 ln x 1  I =   − 2 f ( x) dx =  dx − 2 f ( x)dx = ( e − 1) − 2 x 1 e e e  1  1 1 3 = 1− . e 2

Câu 28. [TH] Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ có

 f ( x )dx = 2 1

Ta có



B. 1. 2

 f ( x )dx = 6 . Khi đó  f ( x )dx 1

C. 8 . Lời giải

f ( x )dx =  f ( x )dx +  f ( x )dx .

và

ƠN

bằng? A. −4 .

D. 4 .

2 5

Vậy

 f ( x )dx = 4 . 2

  f ( x )dx =  f ( x )dx −  f ( x )dx = 6 − 2 = 4 .

QU Y

Câu 29. [VD] Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số bậc nhất liên tục trên ℝ . Biết



 f ( x )dx = 2

f ( x )dx = 4 . Tính

 f ( f ( 2 x − 1) )dx ?

−1

A. 15 .

B. 0 .

C. 6 . D. −15 . Lời giải Ta có y = f ( x ) là hàm số bậc nhất vậy phương trình hàm số y = f ( x ) có dạng: 2

(m ≠ 0) .

f ( x ) = mx + n

1 2  1 f ( x )dx = 2  1 ( mx + n )dx = 2   2 mx + nx  1 = 2 . 3 1   ( 2m + 2 n ) −  m + n  = 2  m + n = 2 . 2 2 

KÈ

Mà

Y DẠ Trang 10

1 2  0 f ( x )dx = 4  0 ( mx + n )dx = 4   2 mx + nx  0 = 4  8m + 4n = 4 . 8m + 4n = 4 m = −2   Vậy  3  f ( x ) = −2 x + 5 . n = 5  2 m + n = 2

và

Khi đó f ( 2 x − 1) = −2 ( 2 x − 1) + 5 = −4 x + 7  f ( f ( 2 x − 1) ) = −2 ( −4 x + 7 ) + 5 = 8 x − 9 .

−1

 (8 x − 9 )dx  ( 4 x

− 9x)

−1

Câu 30. [TH] Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và



−1

= −15 .

xf ( x 2 + 1) 2

x +1

A. 1.

1 . 2

dx = 2. Tính I =  2

C. 2 . Lời giải

dx.

10 10 1 f (t ) 1 f ( x) d = 2  dx = 2 ⇔ I = 4. t 2 2 t 2 2 x

D. 4 .

1 Đặt t = x 2 + 1  dt = 2 xdx  xdx = dt. 2 Đổi cận: x = 1  t = 2, x = 3  t = 10.

Khi đó

f ( x)



f ( f ( 2 x − 1) )dx =

FI CI A

Nên

Câu 31. [TH] Kết quả của tích phân I =  ( x + 1) e x dx được viết dưới dạng I = ae3 + be với a , b là các C. a − b = 2 . Lời giải

D. ab = −3 .

u = x + 1 du = dx .  Đặt  x x dv = e dx v = e 3

ƠN

số hữu tỷ. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a + b = 1 . B. a 2 + b 2 = 8 .

Khi đó I = ( x + 1) e x −  e x dx = ( x + 1) e x − e x = 3e3 − e. 1

a = 3 . Vậy ab = −3. Suy ra  b = −1

QU Y

Câu 32. [TH] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; −1) , B ( 2; −1;3) , C ( −2;3;3) . Điểm M ( a; b; c ) thỏa mãn AB = MC . Khi đó P = a 2 + b 2 − c 2 có giá trị bằng B. 42 .

C. 44 . Lời giải Ta có: AB = (1; −3; 4 ) , MC = ( −2 − a;3 − b;3 − c ) .

A. 45 .

D. 43 .

−2 − a = 1 a = −3   Khi đó AB = MC ⇔ 3 − b = −3 ⇔ b = 6 3 − c = 4  c = −1   2

KÈ

 P = a 2 + b 2 − c 2 = ( −3 ) + 6 2 − ( −1) = 44 .

Câu 33. [TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( 2; 4;1) , B ( −8; 2;1) . Phương trình mặt cầu đường kính AB là 2 2 2 2 2 2 A. ( x + 3) + ( y − 3) + ( z − 1) = 26 . B. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z + 1) = 26 . 2

D. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z + 1) = 52 . Lời giải Gọi I là trung điểm của AB  I ( −3;3;1) là tâm của mặt cầu cần tìm.

DẠ

C. ( x + 3) + ( y − 3) + ( z − 1) = 52 .

Bán kính R = IA =

Trang 11

( 2 + 3) + ( 4 − 3) + (1 − 1)

= 26 .

Phương trình mặt cầu đường kính AB là ( x + 3) + ( y − 3) + ( z − 1) = 26 .

FI CI A

Câu 34. [TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2;1; 2) và B(−2;5; −4) . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. 2 x + 2 y − 3 z + 9 = 0 . B. 2 x − 2 y + 3 z + 9 = 0 . C. 4 x − 4 y − 6 z + 9 = 0 . D. 2 x − 2 y + 3 z − 9 = 0 . Lời giải Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AB  I (0;3; −1) . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I (0;3; −1) và nhận AB = ( −4; 4; − 6) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là −4( x − 0) + 4( y − 3) − 6( z + 1) = 0 hay 2 x − 2 y + 3 z + 9 = 0 . phẳng (α ) : 2 x − 2 y − z − 2 = 0 bằng

A. 4 .

B. 6 .

Ta có: d ( M , (α ) ) =

2. ( −3) − 2.3 − 4 − 2 2

22 + ( −2 ) + ( −1)

= 6.

D. 2 .

ƠN

Lời giải

2 . 3

Câu 35. [TH] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , khoảng cách từ điểm M ( −3;3; 4 ) đến mặt

II - PHẦN TỰ LUẬN Câu 1. [VD] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa f (10 ) = 0 , f ( 4 ) = −1 và



f ( 3x + 1) dx = 2 . Tính tích phân I =  xf ′ ( x ) dx .

QU Y

Lời giải Đặt t = 3x + 1  dt = 3dx . Đổi cận: x = 1  t = 4 ; x = 3  t = 10 . 3 10 10 10 1 Khi đó:  f ( 3x + 1) dx =  f ( t ) dt = 2   f ( t ) dt = 6   f ( x ) dx = 6 . 3 1 4 4 4 10

* Xét tích phân: I =  xf ′ ( x ) dx 4

u = x du = dx  Đặt:  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) 10

Khi đó I = xf ( x ) 4 −  f ( x ) dx = 10. f (10 ) − 4. f ( 4 ) − 6 = −2 .

DẠ

KÈ

Câu 2.

Trang 12

* Vậy I = −2. [VD] Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h = 5a , bán kính đáy r = 7a . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và có khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 4a . Tính diện tích của thiết diện đó. Lời giải

L FI CI A

SI = SO 2 + OI 2 = 25a 2 +

Giả sử thiết diện SAB đi qua đỉnh S cắt đường tròn đáy tại A và B (như hình vẽ). Gọi I là trung điểm của dây cung AB . Từ tâm O của đáy vẽ OK ⊥ SI thì OK ⊥ ( SAB ) . Theo bài ra ta có AO = r = 7a ; SO = h = 5a ; OK = 4a . Trong tam giác vuông SOI ta có: 1 1 1 OS . O K 5a .4a 20 a . = 2+  OI = = = 2 2 2 2 2 2 OK OI OS 3 OS − OK 25a − 16 a

400a 2 25a = . 9 3

ƠN

Xét tam giác vuông OAI ta có: AB = 2 AI = 2 AO 2 − OI 2 = 2 49a 2 −

400a 2 2 a 41 . = 9 3

1 25a 2a 41 25a 2 41 Vậy diện tích của thiết diện SAB là S ∆SAB = . . = . 2 3 3 9 [VDC] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên khoảng ( 0; +∞ ) thỏa mãn điều kiện

Câu 3.

f ( 2 ) = 5 và x 2 ( 6 − f ′ ( x ) ) = 2 ( x. f ( x ) + 1) , ∀x > 0. Tính f ( 3) . Lời giải 2 Từ giả thiết, ta có: x ( 6 − f ′ ( x ) ) = 2 ( xf ( x ) + 1) ⇔ x 2 f ′ ( x ) + 2 x. f ( x ) = 6 x 2 − 2 .

QU Y

Câu 4.

Suy ra  x 2 f ( x ) ′ = 6 x 2 − 2  x 2 f ( x ) =  ( 6 x 2 − 2 ) dx  x 2 f ( x ) = 2 x 3 − 2 x + C 2 8 Lại có f ( 2 ) = 5  C = 8  f ( x ) = 2 x − + 2 . x x 56 Vậy f ( 3 ) = . 9 [VDC] Tính  e 2 x sin 3 xdx .

Lời giải

* Xét I =  e sin 3 xdx

KÈ

du = 2e2 x dx u = e2 x  Đặt   1 dv = sin 3xdx v = − cos 3 x 3  1 2x 2 2x Khi đó I = − e .cos 3 x +  e cos 3xdx 3 3 2x * Xét J =  e cos 3 xdx

DẠ

du1 = 2e 2 x dx u1 = e2 x  Đặt   1 dv1 = cos 3xdx v1 = sin 3 x 3  1 2 1 2 J = e 2 x .sin 3 x −  e 2 x sin 3 xdx = e 2 x .sin 3 x − I 3 3 3 3

(1)

Trang 13

(2)

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

1 21 2  Thay (2) vào (1) ta có: I = − e 2 x .cos 3 x +  e 2 x .sin 3 x − I  3 33 3  2x e Vậy I = . ( 2 sin 3 x − 3cos 3 x ) + C . 13

Trang 14

Câu 1.

[NB] Tìm khẳng định sai A.

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x )dx +  g ( x )dx .

 f ( x ) g ( x ) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx . [NB] Tìm  7 x dx ? C.

A.  7 x dx =

7x +C . ln 7



f ( x ) dx =  f ( x ) d x +  f ( x ) dx, a < c < b .



f ′ ( x ) dx = f ( x ) + c .

B.  7 x dx =

7 x +1 +C. x +1

Câu 2.

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 12 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 50 câu TN, 0 câu tự luận)

FI CI A

ĐỀ SỐ 3

C.  7 x dx = 7 x.ln 7 + C .

D.  7 x dx = 7 x + C .

Câu 4.

1 [NB] Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 − 3x + . x 1 x3 3x 2 1   A.   x 2 − 3 x + dx = x 3 − 3 x 2 + ln x + C . B.   x 2 − 3 x + dx = − + ln x + C . 3 2 x x   1 x3 3x 2 1 1 x3 3x 2   C.   x 2 − 3 x + dx = − D.   x 2 − 3 x + dx = − + 2 +C . − ln x + C . x 3 2 x x 3 2   [NB] Nếu  f ( x ) dx = e x + sin x + C thì f ( x) bằng

Câu 5.

A. e x + sin x . B. e x − sin x . C. e x − cos x . [TH] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 3 x + 2

Câu 6.

 f ( x ) dx = 3 e + C . C.  f ( x ) dx = 3e +C . [TH] Tính  ( x − sin 2 x ) dx

3x+2

QU Y

ƠN

Câu 3.

3x+2

x2 + sin x + C . 2 1 C. x 2 + cos 2 x + C . 2

C. F ( x) = x 2 − 3sin x +

DẠ Trang 1

3x+2

+C .

KÈ

A. F ( x ) = x 2 − 3sin x + 6 +

Câu 8.

 f ( x ) dx = e + C . D.  f ( x ) dx = ( 3 x + 2 ) e B.

x2 + cos 2 x + C . 2 x2 1 D. + cos 2 x + C . 2 2 π  [VD] Biết F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x − 3cos x và F   = 3 . Tìm F ( x ) . 2

Câu 7.

D. e x + cos x .

π2 4

B. F ( x ) = x 2 − 3sin x −

π2 4

D. F ( x) = x 2 − 3sin x + 6 −

[2D3-1-4] Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

π2 4

1 thỏa mãn F ( 0 ) = − ln 2 . e +1 x

Tìm tập nghiệm S của phương trình F ( x ) + ln ( e x + 1) = 3

A. S = {±3} .

B. S = {3} .

C. S = ∅ .

D. S = {−3}



  f ( x ) − g ( x)dx có giá trị là

B. −4 .

C. 2 .

A. −2 . 1

Câu 10. [NB] Tích phân I =  0

A. ln 2 .

 g ( x )dx = −3 . Khi đó

f ( x )dx = 1 và

1 dx có giá trị là x +1 B. ln 2 − 1 .

D. 4 .

C. 1 − ln 2 .

π 4

Câu 11. [NB] Giá trị của tích phân

 2 cos 2 xdx bằng 0

A. − 2 .

B. 2 .

C. −1 .

Câu 12. [NB] Giá trị của tích phân

 ( 3x

− 2 x + 3)dx bằng

B. 8 .

C. 7 .

D. 6 .

π 3

Câu 13. [TH] Giá trị của tích phân

 (1 + tan

x)dx bằng

Câu 14. [TH] Giả sử

3 . 3

ƠN

A. − 3 .

C. 3 .

D. 1.

 2 x − 1 = 2 ln c . Giá trị đúng của c là B. 3 .

C. 8 .

D. 9 .

A. 1. Câu 15. [TH] Biết

D. − ln 2 .

D. 1 .

A. 9 .

FI CI A

[NB] Cho

Câu 9.

 ( 2 x − 4 ) dx = 0 , khi đó b nhận giá trị bằng 0

b = 0 B.  . b = 2 5

b = 1 C.  . b = 2

b = 0 D.  . b = 4

QU Y

b = 1 A.  . b = 4

3 dx = a ln 5 + b ln 2 ( a , b ∈ ℤ ) . Mệnh đề nào sau đây đúng? + 3x 1 A. a + 2b = 0 . B. 2a − b = 0 . C. a − b = 0 . D. a + b = 0 . 4 1 Câu 17. [VD] Biết I =  dx = a + b ln 2 với a, b là số nguyên. Tính S = a + b . 2x +1 − 5 0 A. S = 3 . B. S = −3 . C. S = 5 . D. S = 7 . 2 t −4 Câu 18. [VDC] Một chiếc ôtô chuyển động với vận tốc v(t ) = 2 + (m/ s) . Quãng đường ôtô đó đi t+4 được trong 4 giây đầu tiên là (kết quả làm tròn đến hàng trăm) A. 8, 23m . B. 8,31m . C. 8, 24m . D. 8,32m .

x

KÈ

Câu 16. [VD] Biết rằng

Câu 19. [NB] Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x ) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo công thức: b

DẠ

A. S =  f ( x ) dx .

Trang 2

B. S =  f ( x ) dx .

a 0

C. S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

a 0

D. S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx .

Câu 20. [NB] Hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x 2 , y = 2 x + 3 và hai đường x = 0, x = 2 . Công thức nào sau đây tính diện tích hình phẳng ( H ) ? 2

A. S =  ( x 2 − 2 x − 3) dx . 0 2

0 2

C. S =  x 2 − 2 x + 3 dx .

FI CI A

B. S =  x 2 − 2 x − 3 dx . D. S =  x 2 + 2 x + 3 dx .

Câu 21. [NB] Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox , hai đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) quanh trục Ox . b

A. V = π  f ( x ) dx. a

B. V =  f ( x ) dx.

C. V = π  f 2 ( x ) dx.

[TH] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − x + 3 x và trục hoành là 27 5 4 24 A. . B. . C. . D. . 4 6 9 7 Câu 23. [VD] Tính diện tích S của phần hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol đi qua gốc tọa độ và hai đoạn thẳng AC và BC như hình vẽ sau.

ƠN

Câu 22.

D. V =  f 2 ( x ) dx.

25 20 10 . B. S = . C. S = . D. S = 9. 6 3 3 Câu 24. [VD]Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x ln x, y = 0, x = e quay xung quanh trục Ox π tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng ( be3 − 2 ) . Tìm a và b a A. a = 27; b = 5 . B. a = 26; b = 6 . C. a = 24; b = 5 . D. a = 27; b = 6 Câu 25. [VDC]Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây:

DẠ

KÈ

QU Y

A. S =

Trang 3

Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm. Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng qua trục đối xứng là một Parabol. Tính thể tích V (cm 3 ) của vật thể đã cho

A. V = 72 π .

B. V = 12 .

C. V = 12 π .

D. V = 72 5

FI CI A

Câu 26. [2H3-1-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 3; −2;3 ) và B ( −1; 2;5 ) . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB . A. I ( −2; 2;1) . B. I (1; 0; 4 ) . C. I ( 2; 0;8 ) . D. I ( 2; −2; −1) . Câu 27. [2H3-1-1] Tích vô hướng của hai vectơ a = ( −2; 2;5 ) , b = ( 0;1; 2 ) trong không gian bằng: A. 10 . B. 12 . C. 13 . D. 14 . Câu 28. [2H3-1-2] Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho các véctơ a = (1; 2; −1) , b = ( 0; 4;3) , c = ( −2;1; 4 ) . Gọi u = 2a − 3b + 5c . Tìm toạ độ u . A. ( −8; − 3; 9 ) .

B. ( −9;5;10 ) .

C. ( −8; 21; 27 ) .

D. (12; −13; −31) .

Câu 29. [2H3-1-2] Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với A ( 2; −1; 2 ) , B ( 3;0;1) và tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là G ( −4;1; −1) . Tọa độ đỉnh C là

A. C ( −17; 4; − 6 ) .

B. C (17; − 4;6 ) .

C. C ( −4;17;6 ) .

[VD] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;2;1), B(2; −1;2) . Điểm M trên trục Ox và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là 1 1 3 1  3   1 3 A. M  ; ;  . B. M  ; 0;0  . C. M  ; 0;0  . D. M  0; ;  . 2 2 2 2  2   2 2 Câu 31. [NB] Trong không gian Oxyz cho hai véctơ a = ( −2; − 1;3) , b = ( −1; − 4;5 ) . Tích có hướng của hai véctơ a và b là

ƠN

Câu 30.

D. C ( 4;1;5 ) .

B. (1; 2;3 ) .

C. ( 7; 7; 7 ) .

D. ( 0; 0; 2 ) . Câu 32. [TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ a = ( 3; −1; −2 ) , b = (1; 2; m ) và c = ( 5;1; 7 ) . Giá trị của m để c =  a , b  là A. −1 . B. 0 . C. 1. D. 2 . Câu 33. [TH] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A ( −2;2;1) , B (1;0; 2 ) và C ( −1;2;3) .

QU Y

A. (1; −1; 6 ) .

KÈ

Diện tích tam giác ABC là 5 3 5 A. . B. 3 5 . C. 4 5 . D. . 2 2 Câu 34. [VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;6;2) , B(4;0;6) , C (5;0;4) và D(5;1;3) . Tính thể tích V của tứ diện ABCD . 1 3 2 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 7 3 5 35 Câu 35. [VD] Cho ∆ABC có 3 đỉnh A ( m; 0; 0 ) , B ( 2;1; 2 ) , C ( 0; 2;1) . Để S ∆ABC = thì: 2 A. A. m = 1 . B. m = 2 . C. m = 3 . D. m = 4 . Câu 36. [NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 9 = 0. Mặt cầu có tâm I và bán kính R là:

B. I (1; −2;3) và R = 5 .

C. I (1; −2;3 ) và R = 5 .

D. I ( −1; 2; −3 ) và R = 5 .

DẠ

A. I ( −1; 2; −3) và R = 5 .

Câu 37.

Trang 4

[NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho I (1; 0; −1) ; A ( 2; 2; −3 ) . Mặt cầu (S) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là

B. ( x − 1) + y 2 + ( z + 1) = 3 .

D. ( x − 1) + y 2 + ( z + 1) = 9 .

A. ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 3 . C. ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 9 .

[TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu có đường kính AB với A (1;3; − 4 ) và

Câu 38.

FI CI A

A (1; − 1;0 ) có phương trình là 2

B. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 4 .

D. ( x − 1) + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 4 .

A. ( x − 1) + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 8 . C. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 8 .

Câu 39. [VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; 4; 2 ) và có thể tích

V = 972π . Khi đó phương trình của mặt cầu ( S ) là: 2

B. ( x + 1) + ( y − 4 ) + ( z − 2 ) = 9

D. ( x − 1) + ( y + 4 ) + ( z + 2 ) = 81

A. ( x + 1) + ( y − 4 ) + ( z − 2 ) = 81

C. ( x − 1) + ( y + 4 ) + ( z − 2 ) = 9

Câu 40. [VDC]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu đi qua bốn điểm A ( 6; −2;3 ) , B ( 0;1; 6 ) , C ( 2; 0; −1) và D ( 4;1; 0 ) có phương trình là:

B. x 2 + y 2 + z 2 + 4 x + 4 y − 6 z − 3 = 0 . D. x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y − 6 z − 3 = 0 .

ƠN

A. x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y − 6 z + 3 = 0 . C. x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y + 6 z − 3 = 0 .

Câu 41. [NB]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

( P ) : 2 x − 2 z + z + 2017 = 0 .

Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) ? A. n = ( 1; −2; 2 ) . B. n = ( 1; −1; 4 ) . C. n = ( −2; 2; −1) .

D. n = ( 2; 2; 1) .

Câu 42. [NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng (α ) đi qua điểm A ( 2;1; −1) và có véc tơ pháp tuyến n = ( 2; − 1; 2 ) có phương trình là

QU Y

A. 2 x − y + 2 z − 1 = 0 . B. 2 x − y + 2 z + 3 = 0 . C. 2 x + y − 2 z − 1 = 0 . D. 2 x + 2 y − z + 1 = 0 . Câu 43. [TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; 2; 3 ) và mp ( P ) : 2 x + y + z − 3 = 0 . Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A song song với mặt phẳng ( P ) là

A. x + 2 y + 3z − 7 = 0 .

B. 2 x + y + z + 7 = 0 . C. 2 x + y + z = 0 .

D. 2 x + y + z − 7 = 0 .

Câu 44. [TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 0;1; 2 ) , B ( 2; −2;1) , C ( −2; 0;1) . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là A. 2 x − y + 1 = 0 . B. − y + 2 z − 3 = 0 . C. y + 2 z − 5 = 0 . D. 2 x − y − 1 = 0 .

Câu 45. [TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; 3 ) , B ( 3; 4; 7 ) . Phương trình

KÈ

mặt phẳng trung trực của AB là A. x + y + 2 z − 9 = 0 . B. x + y + 2 z + 9 = 0 .

C. x + y + 2 z = 0 .

D. x + y + 2 z − 15 = 0 .

DẠ

x = 2 − t  Câu 46. [NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d :  y = 3 + t có một véctơ chỉ  z = 2t  phương là A. u = ( 2;1; − 1) . B. u = ( −1;1; 2 ) . C. u = ( 2; 3; 0) . D. u = ( 2; 3; 2 ) . Câu 47. [NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (1; 2; − 3) và có vectơ chỉ phương u = ( 3; − 2;7 ) là

Trang 5

thẳng d đi qua hai điểm A, B là:

 x = 1 + 2t  B.  y = 2 + 3t . z = 4 − t 

x = 2 − t  C.  y = 3 − t .  z = −1 + 5t 

 x = −1 + 2t  D.  y = −1 + 3t . z = 5 − t   x = 2 − 2t  Câu 49. [VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ :  y = 1 + 3t và điểm z = 3 − t  A(1; −2;3) . Phương trình tham số đường thẳng d đi qua điểm A đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng ∆ là:  x = 1 − 5t  x = 1 + 5t  x = 1 + 5t  x = 1 + 5t     A.  y = −2 − 3t . B.  y = −2 + 3t . C.  y = −2 − 3t . D.  y = 2 − 3t .  z = 3 + 2t  z = 3 + 2t  z = 3 + 2t  z = 3 + 2t    

ƠN

x = 2 + t  A.  y = 3 + 2t .  z = −1 + 4t 

FI CI A

 x = 1 + 3t x = 3 + t  x = −3 + 7t  x = 1 + 3t     A.  y = 2 − 2t . B.  y = −2 + 2t . C.  y = 2 − 2t . D.  y = 2 + 2t .  z = −3 + 7t  z = 7 − 3t  z = 1 + 3t  z = 3 + 7t     Câu 48. [TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( 2;3; − 1) , B (1; 2; 4 ) , phương trình đường

Câu 50. [VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x − 2 y −1 z − 2 = = và 1 −1 −1

DẠ

KÈ Trang 6

x = 3 + t  B.  y = 3 − 2t . z = 1− t 

QU Y

x = 2 + t  A.  y = 1 + 2t . z = 2 − t 

x = t  d2 :  y = 3 . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 là  z = −2 + t   x = 2 + 3t  C.  y = 1 − 2t .  z = 2 − 5t 

x = 3 + t  D.  y = 3 . z = 1− t 

3.B 13.C 23.C 33.A 43.D

4.D 14.B 24.A 34.C 44.A

BẢNG ĐÁP ÁN 5.A 6.D 15.D 16.D 25.C 26.B 35.C 36.B 45.D 46.B

7.D 17.B 27.B 37.D 47.A

8.B 18.D 28.A 38.C 48.C

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1.

[NB] Tìm khẳng định sai A.

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x )dx +  g ( x )dx .



D. Lời giải

Chọn C Theo lý thuyết SGK Giải tích 12 Cơ bản [NB] Tìm  7 x dx ? A.  7 x dx =

7x +C . ln 7

 f ′ ( x ) dx = f ( x ) + c .

B.  7 x dx =

7 x +1 +C. x +1

ƠN

Câu 2.

 f ( x ) g ( x ) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx .

10.A 20.B 30.C 40.D 50.A

f ( x ) dx =  f ( x ) d x +  f ( x ) dx, a < c < b .

9.D 19.A 29.D 39.A 49.C

2.A 12.C 22.A 32.A 42.A

FI CI A

1.C 11.D 21.C 31.C 41.C

C.  7 x dx = 7 x.ln 7 + C .

D.  7 x dx = 7 x + C .

Lời giải Ta có  7 x dx =

7x +C . ln 7

1 [NB] Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 − 3x + . x 1 x3 3x 2 1   A.   x 2 − 3 x + dx = x 3 − 3 x 2 + ln x + C . B.   x 2 − 3 x + dx = − + ln x + C . 3 2 x x   1 x3 3x 2 1 1 x3 3x 2   C.   x 2 − 3 x + dx = − D.   x 2 − 3 x + dx = − + 2 +C . − ln x + C . x 3 2 x x 3 2   Lời giải Chọn B 1 x3 3x 2  2 x − 3 x + d x = − + ln x + C .    x 3 2 [NB] Nếu  f ( x ) dx = e x + sin x + C thì f ( x) bằng

KÈ

Câu 4.

QU Y

Câu 3.

Chọn A

A. e x + sin x .

B. e x − sin x .

C. e x − cos x . Lời giải

D. e x + cos x .

Chọn D

Ta có: f ( x ) = ( e x + sin x + C )′ = e x + cos x .

[TH] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e3 x + 2

DẠ

Câu 5.

Trang 7

 f ( x ) dx = 3 e C.  f ( x ) dx = 3e A.

3x+2

+C . +C .

 f ( x ) dx = e + C . D.  f ( x ) dx = ( 3 x + 2 ) e B.

3x+2

+C .

Lời giải Chọn A

Câu 6.

1 3x+2 1 e d ( 3 x + 2 ) = e3 x + 2 + C .  3 3

FI CI A

Ta có  e3 x + 2 dx =

[TH] Tính  ( x − sin 2 x ) dx x2 + sin x + C . 2 1 C. x 2 + cos 2 x + C . 2

x2 + cos 2 x + C . 2 x2 1 D. + cos 2 x + C . 2 2 Lời giải

Chọn D

π  [VD] Biết F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x − 3cos x và F   = 3 . Tìm F ( x ) . 2 2 π π2 A. F ( x) = x 2 − 3sin x + 6 + . B. F ( x) = x 2 − 3sin x − . 4 4 π2 π2 C. F ( x ) = x 2 − 3sin x + . D. F ( x ) = x 2 − 3sin x + 6 − . 4 4 Lời giải Chọn D F ( x ) =  f ( x ) dx =  ( 2 x − 3cos x ) dx = x 2 − 3sin x + C .

ƠN

Câu 7.

x2 1 + cos 2 x + C . 2 2

Ta có  ( x − sin 2 x) dx =  xdx −  sin 2 xdx =

π π π π  . F =3⇔ − 3sin + C = 3 ⇔ C = 6 − 4 2 4 2

[2D3-1-4] Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

QU Y

Câu 8.

1 thỏa mãn F ( 0 ) = − ln 2 . e +1 x

Tìm tập nghiệm S của phương trình F ( x ) + ln ( e x + 1) = 3

A. S = {±3} . Chọn B

B. S = {3} .

C. S = ∅ .

D. S = {−3}

Lời giải

dt = e x dx 1 x  e x + 1 dx . Đặt t = e + 1  e x = t − 1 . 

1 ex dt  1 1 d dx =  x = =  −  dt = ln t − 1 − ln t + C x  x x e +1 t ( t − 1) e ( e + 1)  t −1 t 

KÈ

Ta được: 

= ln

DẠ

Mà: F ( 0 ) = − ln 2  ln

Trang 8

Vậy: F ( x ) = ln

ex . ex +1

t −1 ex + C = ln x +C . t e +1

e0 + C = − ln 2  C = 0 . e0 + 1

[NB] Cho



f ( x )dx = 1 và

A. −2 .

 g ( x )dx = −3 . Khi đó

  f ( x ) − g ( x)dx có giá trị là

B. −4 .

C. 2 . Lời giải

D. 4 .

Chọn D 2

  f ( x ) − g ( x) dx =  f ( x)dx −  g( x)dx = 1 − (−3) = 4 . 1

Câu 10. [NB] Tích phân I =  0

A. ln 2 .

1 dx có giá trị là x +1 B. ln 2 − 1 .

C. 1 − ln 2 . Lời giải

π 4

 2 cos 2 xdx bằng 0

B. 2 .

C. −1 . Lời giải

Chọn D π 4

 2 cos 2 xdx = [sin 2 x]

4 0

= 1− 0 = 1 .

0 2

 ( 3x

− 2 x + 3)dx bằng

QU Y

Câu 12. [NB] Giá trị của tích phân

D. 1.

A. − 2 .

ƠN

Chọn A 1 1 1 I= dx = ( ln x + 1 ) = ln 2 . 0 x +1 0 Câu 11. [NB] Giá trị của tích phân

D. − ln 2 .

FI CI A

Câu 9.

ex + ln ( e x + 1) = 3 ⇔ ln e x = 3 ⇔ x = 3 . ex + 1

A. 9 .

B. 8 .

Chọn C 2

 ( 3x

C. 7 . Lời giải

D. 6 .

− 2 x + 3)dx =  x3 − x 2 + 3x  = 10 − 3 = 7 . 1

Câu 13. [TH] Giá trị của tích phân

 (1 + tan

x)dx bằng

KÈ

A. − 3 .

3 . 3

C. 3 .

D. 1.

Lời giải

Chọn C π

π 1 3 = 3 −0 = 3 . dx = tan x [ ] 2 0 cos x 0

DẠ

2  (1 + tan x)dx =  0

Câu 14. [TH] Giả sử

Trang 9

 2 x − 1 = 2 ln c . Giá trị đúng của c là 1

A. 1.

B. 3 .

C. 8 .

Giảipt: F ( x ) + ln ( e x + 1) = 3 ⇔ ln

D. 9 .

Câu 15. [TH] Biết

 ( 2 x − 4 ) dx = 0 , khi đó b nhận giá trị bằng 0

b = 1 A.  . b = 4

b = 0 B.  . b = 2

b = 1 C.  . b = 2 Lời giải

b = 0 D.  . b = 4

Chọn D b

 ( 2 x − 4 ) dx = 0 ⇔  x 5

Câu 16. [VD] Biết rằng

x 1

A. a + 2b = 0 .

b b = 0 . − 4 x  = 0 ⇔ b 2 − 4b = 0 ⇔  0 b = 4

FI CI A

Lời giải Chọn B 2 2 dx 1 1 1 2 x − 1 = 2  ln(2 x − 1) 1 = 2 [ln 3]  c = 3 .

3 dx = a ln 5 + b ln 2 ( a , b ∈ ℤ ) . Mệnh đề nào sau đây đúng? + 3x B. 2a − b = 0 . C. a − b = 0 . D. a + b = 0 . Lời giải

ƠN

Chọn D 5 5 3 1  1 1 x2 + 3x dx = 1  x − x + 3  dx = ( ln | x | − ln | x + 3 |) 1 = ln 5 − ln 2 . Vậy a = 1, b = −1 . 5

A. S = 3 .

1 dx = a + b ln 2 với a, b là số nguyên. Tính S = a + b . 2x +1 − 5 B. S = −3 . C. S = 5 . D. S = 7 . Lời giải

Câu 17. [VD] Biết I = 

QU Y

Chọn B Đặt t = 2 x + 1  t 2 = 2 x + 1  2tdt = 2dx . x = 0  t = 1 Đổi cận:  . x = 4  t = 3 4 3 3 3 1 t 5   I = dx =  dt =   1 +  dt = ( t + 5 ln t − 5 ) 1 = 2 − 5 ln 2 . t −5 t −5  2x + 1 − 5 0 1 1 Suy ra: a = 2; b = −5  S = a + b = −3 .

t2 − 4 (m/ s) . Quãng đường ôtô đó đi t+4 được trong 4 giây đầu tiên là (kết quả làm tròn đến hàng trăm) A. 8, 23m . B. 8,31m . C. 8, 24m . D. 8,32m . Lời giải Chọn D Gọi S là quãng đường ôtô đi được trong 4 giây đầu tiên

KÈ

Câu 18. [VDC] Một chiếc ôtô chuyển động với vận tốc v(t ) = 2 +

DẠ

4  t2  t2 − 4  12   Ta có: S =  v(t )dt =   2 +  dt =   t − 2 +  dt =  − 2t + 12 ln t + 4  t+4  t+4 2 0 0 0 0 = 12ln 2 ≈ 8,32m . Câu 19. [NB] Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x ) liên tục, trục hoành

Trang 10

và hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo công thức:

A. S =  f ( x ) dx .

B. S =  f ( x ) dx .

C. S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

a 0

D. S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx .

FI CI A

a 0

Lời giải

Chọn A Câu 20. [NB] Hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x 2 , y = 2 x + 3 và hai đường x = 0, x = 2 . Công thức nào sau đây tính diện tích hình phẳng ( H ) ? 2

A. S =  ( x 2 − 2 x − 3) dx .

B. S =  x 2 − 2 x − 3 dx .

0 2

D. S =  x 2 + 2 x + 3 dx .

C. S =  x 2 − 2 x + 3 dx .

Lời giải

Chọn B Áp dụng lý thuyết: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: đường thẳng

được xác định bởi công thức:

− 2 x − 3 dx .

x

Khi đó diện tích hình phẳng H =

x = a, x = b

ƠN

( C2 ) : y = g ( x ) và hai b S =  f ( x ) − g ( x ) dx . a

( C1 ) : y = f ( x ) ,

V =π f

D. V =  f 2 ( x ) dx. a

Lời giải

( x ) dx = π  f 2 ( x ) dx .

[TH] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − x 3 + 3 x 2 và trục hoành là 27 5 4 24 A. . B. . C. . D. . 4 6 9 7 Lời giải Chọn A x = 0 Đặt (C ) : y = − x 3 + 3 x 2 . Phương trình hoành độ giao điểm: − x3 + 3x 2 = 0 ⇔  x = 3

KÈ

Câu 22.

C. V = π  f 2 ( x ) dx.

Chọn C b

B. V =  f ( x ) dx.

QU Y

A. V = π  f ( x ) dx.

 x4 3 3 2 − x + 3 x dx = ( )  − 4 + x3  0 = 274 .    0 0 Câu 23. [VD] Tính diện tích S của phần hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol đi qua gốc tọa độ và hai đoạn thẳng AC và BC như hình vẽ sau.

DẠ

Khi đó: S =  − x 3 + 3x 2 dx =

Trang 11

L 25 . 6

B. S =

20 . 3

C. S =

10 . 3

Lời giải

FI CI A

A. S =

D. S = 9.

Chọn C Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 , y = x + 2, x = 0, x = 2 . 2

 x2 x3  22 23 10  S1 =  ( x + 2 − x ) dx =  + 2 x −  = + 2.2 − = . 3 0 2 3 3  2 0 2

ƠN

Câu 24. [VD]Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x ln x, y = 0, x = e quay xung quanh trục Ox π tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng ( be3 − 2 ) . Tìm a và b a A. a = 27; b = 5 . B. a = 26; b = 6 . C. a = 24; b = 5 . D. a = 27; b = 6 Lời giải Chọn A x > 0 → x =1. Xét phương trình: x ln x = 0 ⇔  x = 1 Áp dụng công thức trên ta có: e

e 1 2 1 1 π 2 V = π  ( x ln x ) dx = x 3 ln 3 x −  x 2 ln xdx = e3 −  e3 +  = ( 5e3 − 2 ) . 1 3 31 3 9 27 3 1

QU Y

Do đó a = 27, b = 5 .

20 . 3 Câu 25. [VDC]Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây:

DẠ

KÈ

Khi đó diện tích hình phẳng phần gạch chéo là S = 2.S1 =

Trang 12

A. V = 72 π .

B. V = 12 .

C. V = 12 π .

D. V = 72 5

FI CI A

Lời giải

2 y + 12 , x = 0, y = −6, y = 0 quanh trục tung. 3 0

Chọn C Thể tích của vật là thể tích khối tròn xoay khi quay hình ( H ) giới hạn bởi các đường

2 y + 12 1  dy = π  y 2 + 4 y  = 12π . 3 3  −6 −6

ƠN

Khi đó V = π 

QU Y

Lời giải Chọn B Tọa độ trung điểm I của đoạn AB với A(3; −2;3) và B ( −1; 2;5) được tính bởi x A + xB   xI = 2 = 1   y + yB = 0  I (1;0; 4 ) .  yI = A 2   z A + zB  zI = 2 = 4 Câu 27. [2H3-1-1] Tích vô hướng của hai vectơ a = ( −2; 2;5 ) , b = ( 0;1; 2 ) trong không gian bằng: B. 12 .

A. 10 .

C. 13 . Lời giải

D. 14 .

KÈ

Chọn B a. b = −2.0 + 2.1 + 5.2 = 12 .

Câu 28. [2H3-1-2] Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho các véctơ a = (1; 2; −1) , b = ( 0; 4;3) , c = ( −2;1; 4 ) . Gọi u = 2a − 3b + 5c . Tìm toạ độ u .

A. ( −8; − 3; 9 ) .

DẠ

Chọn A

Trang 13

B. ( −9;5;10 ) .

C. ( −8; 21; 27 ) . Lời giải

D. (12; −13; −31) .

trọng tâm của tam giác ABC là G ( −4;1; −1) . Tọa độ đỉnh C là

A. C ( −17; 4; − 6 ) .

B. C (17; − 4;6 ) .

C. C ( −4;17;6 ) .

Lời giải Chọn D Ta có: G ( −4;1; −1) là trọng tâm của tam giác ABC

D. C ( 4;1;5 ) .

3. ( −4 ) = 2 + 3 + xC 3 xG = xA + xB + xC  xC = −17    ⇔ 3 yG = y A + yB + yC ⇔ 3.1 = −1A + 0 + yC ⇔  yC = 4 .  3. −1 = 2 + 1 + z  z = −6 3 zG = z A + z B + zC  C C  ( ) Vậy C ( −17; 4; − 6 ) .

FI CI A

 2a = ( 2; 4; −2 )  −3b = ( 0; − 12; −9 )   u = 2a − 3b + 5c = ( −8; − 3;9 ) .  5c = ( −10;5; 20 )  Câu 29. [2H3-1-2] Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với A ( 2; −1; 2 ) , B ( 3;0;1) và tọa độ

ƠN

Câu 30.

M cách đều hai điểm A, B nên MA2 = MB 2 ⇔ (1 − a ) + 22 + 12 = ( 2 − a ) + 22 + 12 . 3 . 2 Câu 31. [NB] Trong không gian Oxyz cho hai véctơ a = ( −2; − 1;3) , b = ( −1; − 4;5 ) . Tích có hướng của hai véctơ a và b là A. (1; −1; 6 ) . B. (1; 2;3 ) . C. ( 7; 7; 7 ) . D. ( 0; 0; 2 ) . Lời giải Chọn C Ta có: a = ( −2; − 1;3) ; b = ( −1; − 4;5 ) . Do đó:  a , b  = ( 7;7;7 ) . Câu 32. [TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ a = ( 3; −1; −2 ) , b = (1; 2; m ) và c = ( 5;1;7 ) . Giá trị của m để c =  a , b  là A. −1 . B. 0 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn A − m + 4 = 5 ⇔ m = −1 . Ta có  a , b  = ( − m + 4, −3m − 2, 7 ) . Để c =  a , b  thì  −3m − 2 = 1

DẠ

KÈ

QU Y

⇔ 2a = 3 ⇔ a =

Câu 33.

Trang 14

[TH] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A ( −2;2;1) , B (1;0; 2 ) và C ( −1;2;3) . Diện tích tam giác ABC là

3 5 . 2

B. 3 5 .

5 D. . 2

C. 4 5 .

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

Lời giải Chọn A Có AB = ( 3; −2;1) ; AC = (1;0;2 ) .  AB, AC  = ( −4; −5;2 ) .   1 1 3 5 2 2 . S ∆ABC = .  AB , AC  = ( −4 ) + ( −5 ) + 2 2 = 2 2 2 3 5 Vậy S ∆ABC = . 2 Câu 34. [VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1; 6; 2) , B(4;0;6) , C (5;0; 4) và D(5;1;3) . Tính thể tích V của tứ diện ABCD . 1 3 2 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 7 3 5 Lời giải Chọn C Ta có: AB = ( 3; −6; 4 ) , AC = ( 4; −6; 2 ) , AD = ( 4; −5;1) . Suy ra  AB, AC  = (12;10;6 )   AB, AC  . AD = 12.4 + 10. ( −5 ) + 6 = 4 . 1 2 Vậy V =  AB, AC  . AD = . 6 3 35 Câu 35. [VD] Cho ∆ABC có 3 đỉnh A ( m; 0; 0 ) , B ( 2;1; 2 ) , C ( 0; 2;1) . Để S ∆ABC = thì: 2 A. A. m = 1 . B. m = 2 . C. m = 3 . D. m = 4 . Lời giải Chọn C 1 Ta có S ABC =  AB, AC  . Do đó ta sẽ đi tìm AB = ( 2 − m;1; 2 ) ; AC = ( − m; 2;1) . 2 Mà  AB, AC  = ( −3; − m − 2; − m + 4 ) . 1 1 35 2 2 Khi đó S ABC =  AB, AC  = . 9 + ( − m − 2 ) + ( − m + 4 ) = . 2 2 2 m = 3 ⇔ 2m 2 − 4m + 29 = 35 ⇔  .  m = −1 Câu 36. [NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 9 = 0. Mặt cầu có tâm I và bán kính R là: A. I ( −1; 2; −3) và R = 5 . C. I (1; −2;3 ) và R = 5 .

B. I (1; −2;3) và R = 5 . D. I ( −1; 2; −3 ) và R = 5 . Lời giải

DẠ

Chọn B Tâm I (1; −2;3) ; R = 1 + 4 + 9 − 9 = 5.

Câu 37.

Trang 15

[NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho I (1; 0; −1) ; A ( 2; 2; −3 ) . Mặt cầu (S) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là

B. ( x − 1) + y 2 + ( z + 1) = 3 .

D. ( x − 1) + y 2 + ( z + 1) = 9 . Lời giải

C. ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 9 .

A. ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 3 .

FI CI A

Chọn D Bán kính mặt cầu R = IA = 1 + 4 + 4 = 3. Câu 38. [TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu có đường kính AB với A (1;3; − 4 ) và

A (1; − 1;0 ) có phương trình là 2

B. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 4 .

D. ( x − 1) + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 4 .

A. ( x − 1) + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 8 . C. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 8 .

Lời giải Chọn C Tâm I là trung điểm của đường kính AB  I (1;1; − 2 ) , bán kính mặt cầu là R = IB = 2 2 nên phương trình mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 8 .

Câu 39. [VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; 4; 2 ) và có thể tích 2

ƠN

V = 972π . Khi đó phương trình của mặt cầu ( S ) là: A. ( x + 1) + ( y − 4 ) + ( z − 2 ) = 81

D. ( x − 1) + ( y + 4 ) + ( z + 2 ) = 81 Lời giải

C. ( x − 1) + ( y + 4 ) + ( z − 2 ) = 9

B. ( x + 1) + ( y − 4 ) + ( z − 2 ) = 9

Chọn A Gọi R > 0 là bán kính mặt cầu ( S ) .

QU Y

4 Ta có V = π R 3 = 972π ⇔ R 3 = 729 ⇔ R = 9 . 3 2 2 2 Suy ra phương trình của mặt cầu ( S ) là ( x + 1) + ( y − 4 ) + ( z − 2 ) = 81 . Câu 40. [VDC]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu đi qua bốn điểm A ( 6; −2;3 ) , B ( 0;1; 6 ) , C ( 2; 0; −1) và D ( 4;1; 0 ) có phương trình là:

A. x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y − 6 z + 3 = 0 . C. x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y + 6 z − 3 = 0 .

B. x 2 + y 2 + z 2 + 4 x + 4 y − 6 z − 3 = 0 . D. x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y − 6 z − 3 = 0 . Lời giải

KÈ

Chọn D Gọi mặt cầu (S ) cần tìm có dạng là x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0 . Vì A, B, C , D ∈ ( S ) nên ta có hệ phương trình: 49 + 6a − 2b + 3c + d = 0 (1)  a = −4 37 + 0.a + b + 6c + d = 0 (2) (1) − (2) : 12 + 6a − 3b − 3c = 0     (2) − (3) : 32 − 2a + b + 7c = 0 ⇔ b = 2  d = −3 .  5 + 2a + 0b − c + d = 0 (3) (3) − (4) : − 12 − 2a − b − c = 0  c = −6  17 + 4a + b + 0c + d = 0 (4)  Vậy ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y − 6 z − 3 = 0 .

DẠ

Câu 41. [NB]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

Trang 16

( P ) : 2 x − 2 z + z + 2017 = 0 .

Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) ? A. n = ( 1; −2; 2 ) . B. n = ( 1; −1; 4 ) . C. n = ( −2; 2; −1) .

D. n = ( 2; 2; 1) .

Lời giải Chọn C Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) là n = ( −2; 2; −1) .

A. 2 x − y + 2 z − 1 = 0 .

FI CI A

Câu 42. [NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng (α ) đi qua điểm A ( 2;1; −1) và có véc tơ pháp tuyến n = ( 2; − 1; 2 ) có phương trình là B. 2 x − y + 2 z + 3 = 0 . C. 2 x + y − 2 z − 1 = 0 . Lời giải

D. 2 x + 2 y − z + 1 = 0 .

Chọn A mặt phẳng (α ) đi qua điểm A ( 2; 1; −1) và có véc tơ pháp tuyến n = ( 2; − 1; 2 ) có phương trình dạng: (α ) : 2( x − 2) −1( y −1) + 2( z + 1) = 0 ⇔ (α ) : 2 x − y + 2 z −1 = 0 .

Câu 43. [TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; 2; 3) và mp ( P ) : 2 x + y + z − 3 = 0 . Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A song song với mặt phẳng ( P ) là

A. x + 2 y + 3z − 7 = 0 .

B. 2 x + y + z + 7 = 0 . C. 2 x + y + z = 0 . Lời giải

D. 2 x + y + z − 7 = 0 .

ƠN

Chọn D Mặt phẳng ( Q ) song song với mp ( P ) nên có phương trình dạng: 2 x + y + z + m = 0 . Mà mp ( Q ) đi qua A (1; 2; 3) nên ta có: 2.1 + 2 + 3 + m = 0 ⇔ m = −7 . Vậy phương trình mặt phẳng ( Q ) là: 2 x + y + z − 7 = 0 .

Câu 44. [TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 0;1; 2 ) , B ( 2; −2;1) , C ( −2; 0;1) .

QU Y

Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là A. 2 x − y + 1 = 0 . B. − y + 2 z − 3 = 0 . C. y + 2 z − 5 = 0 . D. 2 x − y − 1 = 0 . Lời giải Chọn A Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC nhận BC = ( −4;2;0 ) làm véctơ pháp tuyến có phương trình dạng: −4( x − 0) + 2( y − 1) + 0( z − 2) = 0 ⇔ −4 x + 2 y − 2 = 0 ⇔ 2 x − y + 1 = 0 . Vậy phương trình mặt phẳng ( Q ) là: 2 x − y + 1 = 0 .

Câu 45. [TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; 3) , B ( 3; 4; 7 ) . Phương trình D. x + y + 2 z − 15 = 0 .

KÈ

mặt phẳng trung trực của AB là A. x + y + 2 z − 9 = 0 . B. x + y + 2 z + 9 = 0 . C. x + y + 2 z = 0 . Lời giải Chọn D Gọi I là trung điềm của AB  I ( 2; 3; 5) . Ta có: AB = ( 2;2;4 ) .

DẠ

 qua I ( 2;3;5 ) Suy ra: Mp  có phương trình là 2 x + 2 y + 4 z − 30 = 0 ⇔ x + y + 2 z − 15 = 0 . vtpt AB = ( 2; 2; 4 ) x = 2 − t  Câu 46. [NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d :  y = 3 + t có một véctơ chỉ  z = 2t 

Trang 17

phương là

A. u = ( 2;1; − 1) .

B. u = ( −1;1; 2 ) .

C. u = ( 2; 3; 0) .

D. u = ( 2; 3; 2 ) .

Lời giải

qua A ( 2; 3; 0 ) . Đường thẳng d :  VTCP u = ( −1;1; 2 )

FI CI A

Chọn B

Câu 47. [NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (1; 2; − 3) và có vectơ chỉ phương u = ( 3; − 2;7 ) là

x = 3 + t  B.  y = −2 + 2t .  z = 7 − 3t 

 x = −3 + 7t  C.  y = 2 − 2t .  z = 1 + 3t  Lời giải

Chọn A

ƠN

 x = 1 + 3t  Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:  y = 2 − 2t .  z = −3 + 7t 

 x = 1 + 3t  D.  y = 2 + 2t .  z = 3 + 7t 

 x = 1 + 3t  A.  y = 2 − 2t .  z = −3 + 7t 

Câu 48. [TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( 2;3; − 1) , B (1; 2; 4) , phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B là:

 x = 1 + 2t  B.  y = 2 + 3t . z = 4 − t 

x = 2 − t  C.  y = 3 − t .  z = −1 + 5t  Lời giải

x = 2 + t  A.  y = 3 + 2t .  z = −1 + 4t 

 x = −1 + 2t  D.  y = −1 + 3t . z = 5 − t 

QU Y

Chọn C Đường thẳng d đi qua điểm A và nhận AB = ( −1; − 1;5) làm vectơ chỉ phương.

x = 2 − t  Phương trình đường thẳng d là:  y = 3 − t .  z = −1 + 5t 

 x = 2 − 2t  Câu 49. [VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ :  y = 1 + 3t và điểm z = 3 − t 

DẠ

KÈ

A(1; −2;3) . Phương trình tham số đường thẳng d đi qua điểm A đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng ∆ là:  x = 1 − 5t  x = 1 + 5t  x = 1 + 5t  x = 1 + 5t     A.  y = −2 − 3t . B.  y = −2 + 3t . C.  y = −2 − 3t . D.  y = 2 − 3t .  z = 3 + 2t  z = 3 + 2t  z = 3 + 2t  z = 3 + 2t     Lời giải Chọn C Ta có u△ = ( −2;3; −1)

Trang 18

Gọi giao điểm của đường thẳng d và ∆ là B . Vì B thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ B có dạng B ( 2 − 2t0 ;1 + 3t0 ;3 − t0 )  AB = (1 − 2t0 ;3 + 3t0 ; −t0 ) .

Vì d ⊥ ∆  AB ⊥ u△  AB.u△ = 0  −2. (1 − 2t0 ) + 3. ( 3 + 3t0 ) − ( −t0 ) = 0  t0 = −2 .

x = 3 + t  B.  y = 3 − 2t . z = 1− t 

 x = 2 + 3t  C.  y = 1 − 2t .  z = 2 − 5t 

Lời giải

ƠN

Chọn A Gọi d là đường thẳng cần tìm G ọi A = d ∩ d 1 , B = d ∩ d 2 A ∈ d1  A ( 2 + a; 1 − a; 2 − a )

QU Y

B ∈ d 2  B ( b; 3; − 2 + b ) AB = ( −a + b − 2; a + 2; a + b − 4 ) d1 có vectơ chỉ phương a1 = (1; − 1; − 1) d2 có vectơ chỉ phương a2 = (1; 0; 1) d ⊥ d1 a = 0  AB ⊥ a1  AB.a1 = 0 ⇔  ⇔  ⇔  A ( 2; 1; 2 ) ; B ( 3; 3; 1)  b = 3 AB ⊥ a AB . a = 0  d ⊥ d 2  2  2 d đi qua điểm A( 2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương ad = AB = (1; 2; − 1) .

DẠ

KÈ

x = 2 + t  Vậy phương trình của d là  y = 1 + 2t . z = 2 − t 

Trang 19

x = 3 + t  D.  y = 3 . z = 1− t 

x = 2 + t  A.  y = 1 + 2t . z = 2 − t 

FI CI A

 x = 1 + 5t   AB = (5; −3; 2) . Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:  y = −2 − 3t .  z = 3 + 2t  x − 2 y −1 z − 2 = = Câu 50. [VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : và 1 −1 −1 x = t  d2 :  y = 3 . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 là  z = −2 + t 

 ( 3x

+ 1) dx bằng

Câu 1. [NB]

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 12 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 50 câu TN, 0 câu tự luận)

FI CI A

ĐỀ SỐ 4

A. 3x3 + x + C .

B. x3 + x + C .

C. x3 + C .

Câu 2. [NB] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2cos x − sin x là A. 2sin x − cos x + C . C. 2sin x + cos x + C .

B. −2sin x − cos x + C . D. −2sin x + cos x + C .

C. Câu 5. [NB]

+C.

5 1   sin  3x − 3  dx bằng 1 1  cos  3 x −  + C . 3 3  1 1  − cos  3 x −  + C . 3 3  x  ( x + 5 ) dx bằng

(x B.

+ 1)

+C.

+C .

D. ( x 2 + 1) + C .

1  B. − cos  3 x −  + C . 3  1  1 D. − sin  3 x −  + C . 3  3

x 2 5x + +C . 2 ln 5 5x C. 1 + +C . ln 5 1 + 3ln x .ln x Câu 6. [VD]  dx bằng x 2 2 2 A. (1 + 3ln x ) (1 + 3ln x ) − 1 + C .   9

QU Y

2 ( x 2 + 1)

ƠN

+ 1)

Câu 4. [NB]

Câu 3. [TH]  2 x ( x 2 + 1) dx bằng

(x A.

x + x+C. 3

x2 + 5x. ln 5 + C . 2 5x D. x 2 + +C. ln 5

KÈ

 1 + 3ln x 1  B. (1 + 3ln x ) 1 + 3ln x  − +C . 5 3  2  1 + 3ln x 1  C. (1 + 3ln x ) 1 + 3ln x  − +C . 9 5 3  2  1 + 3ln x 1  D. (1 + 3ln x ) 1 + 3ln x  − +C . 3 5 3 

e3 x ( 4 f ( x) + f ′( x) ) = 2 f ( x) Câu 7 : [VDC]. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn  , ∀x ≥ 0 và f (0) = 1 . Tính f ( x) > 0  ln 2

DẠ

Trang 1



f ( x)dx .

A. I =

1 . 12

B. I = −

1 . 12

C. I =

37 . 320

D. I =

7 . 640

Câu 8. [TH]. Biết rằng g ( x) là một nguyên hàm của f ( x ) = ( x + 1) sin x và g (0) = 0 , tính g (π ) . Câu 9. [TH].Tính I =  1

C. I =

 f ( x ) dx = 3 . Khi đó 

−3 . e

f ( x) e

B. e 2

Câu 11. [NB]

B. I = 2 .

 (3x

10 . 3

dx bằng C. 3e 2 .

−2

Câu 12. [NB]

D. I =

− 2 x ) dx bằng

A. 12 . 1

D. 1.

B. 4 .

C. −12 .

 x − 2 dx bằng

−2

A. b − a = 1 .

B. b − a = −1 .

C. b − a = 7 .

Tính I =  f ′ ( x ).ln xdx . 1

Câu 15. [VD] Biết I =

 −3

 1

D. 4ln 2 .

D. b − a = −7 . f ( x) dx = 3 − ln 2 và f ( 2 ) = 3. x

B. I = 2 ln 2 − 3 . C. I = 2 ln 2 + 3 . D. I = 3ln 2 − 4 . x − 2 − 3 x +1 dx = −10 + a ln 2 + b ln 3 + c ln 7 với a , b , c ∈ ℤ . Tính T = a + b + c x+4

QU Y

A. I = 4 ln 2 − 3 .

Câu 14. [TH] Cho hàm số y = f ( x ) sao cho f ′ ( x ) liên tục trên ℝ , 2

3 . e

D. 8 .

B. −4ln 2 . C. ln 2 . 1 − e3 x Câu 13. [TH] Biết rằng  2 x dx = a − eb với a, b ∈ ℤ , hãy tính b − a . x e + e + 1 0 3

ƠN

A. −2ln 2 .

2 . 3

C. π + 2 .

x +1 .dx . 2 x

4 A. I = . 3 Câu 10. [NB] Cho

B. π + 1 .

FI CI A

A. 0 .

. A. T = −4 . B. T = 21 . C. T = 9 . D. T = − 12 . Câu 16: [VD] Giả sử hàm số f ( x) liên tục và dương trên đoạn [ 0;3] thỏa mãn f ( x ). f (3 − x ) = 4 . Tính 3

tích phân I =  0

1 dx . 2 + f ( x)

DẠ

KÈ

3 3 1 A. I = . B. I = . C. I = . 5 4 2 Câu 17: [NB] Cho hàm số f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Trang 2

D. I =

1 . 3

L FI CI A

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x ) và trục Ox được tính theo công thức nào sau đây? 2



f ( x )dx .

1 3

 f ( x )dx −  f ( x )dx . −1

D. −  f ( x )dx +  f ( x )dx .

1 3

−1

ƠN

 f ( x )dx . 1 3

−1

1 3

Câu 18: [TH] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x ) = ( x − 1)( 2 − x ) ( x 2 + 1) và trục

Ox .

117 . 20 x 2 3x Câu 19. [TH] Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol y = + và đường thẳng 2 2 y = x + 1. Ta có 3 11 3 9 A. S = B. S = . C. S = . D. S = . 2 2 4 4 Câu 20. [VDC] Hình vẽ dưới đây là một mảnh vườn hình Elip có bốn đỉnh là I , J , K , L; ABCD, EFGH là các hình chữ nhật; IJ = 10 m, KL= 6 m , AB = 5 m, EH = 3m . Biết rằng kinh phí trồng hoa là 50000 đồng/ m 2 , hãy tính số tiền (làm tròn đến hàng đơn vị) dùng để trồng hoa trên phần gạch sọc. B.

1 . 20

11 . 20

19 . 20

KÈ

QU Y

A. 2869834 đồng. C. 2119834 đồng.

B. 1434917 đồng. D. 684917 đồng.

5000 , trong đó t là thời 1 + 0, 2t gian tính bằng giờ. Quần thể virut Corona P ban đầu (khi t = 0 ) có số lượng là 1000 con. Số lượng virut Corona sau 3 giờ gần với số nào sau đây nhất? A. 16000 . B. 21750 . C. 12750 . D. 11750 .

DẠ

Câu 21.[TH] Một quần thể virut Corona P đang thay đổi với tốc độ P′ ( t ) =

Trang 3

2 , trục hoành, các đường thẳng x = 1, x = 2 x . Biết rằng khối tròn xoay do ( H ) quay quanh trục Ox tạo ra có thể tích là π ln a . Giá trị của a

B. 2 .

D. 8 .

C. 4 .

FI CI A

là A. 6 .

Câu 22. [TH] Cho hình ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

Câu 23. [VD] Cho hình ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x , y = cos x , các đường thẳng x = 0, x = . Biết rằng khối tròn xoay do ( H ) quay quanh trục Ox tạo ra có thể tích là nhiêu số nguyên nằm trong khoảng ( a;10 ) ?

π 4

, hỏi rằng có bao



B. π  x dx .

x dx .

A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9 . Câu 24. [ NB] Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , trục hoành, các đường thẳng x = 1 và x = 4 . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong trên quanh trục Ox bằng C. π  x dx .

D. π  x 2 dx . 1

ƠN

Câu 25. [VDC] Cho a, b là hai số thực dương. Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = ax 2 và đường thẳng y = −bx . Quay ( H ) quanh trục hoành thu được khối có thể tích là V1 , quay ( H ) quanh trục tung thu được khối có thể tích là V2 . Tìm b sao cho V1 = V2 .

B. A = 19 . C. A = 21 . D. A = 29 . m Câu 26: [TH] Vận tốc (tính bằng ) của một hạt chuyển động theo một đường được xác định bởi công s thức v ( t ) = t 3 − 8t 2 + 17t − 10 , trong đó t được tính bằng giây.

A. A = 13 .

QU Y

Tổng quãng đường mà hạt đi được trong khoảng thời gian 1 ≤ t ≤ 5 là bao nhiêu? 71 32 71 38 m. A. B. C. D. m. m. m. 6 3 3 3 Câu 27: [NB] Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x 3 + 1 và F ( 0 ) = 1 . Tính giá trị của

F (1) .

B. 1. C. 2 . D. 3 . 1 f ( x) ℝ \ {2} f (1) = 2020 Câu 28: [VD] Cho hàm số xác định trên thỏa mãn f ′ ( x ) = , , x−2 f ( 3) = 2021 P = f ( 4) − f (0) . Tính . A. P = 4 . B. P = ln 2 . C. P = ln 4041 . D. P = 1 . Câu 29. [NB] Trong không gian Oxyz , cho a = (1; − 2;5 ) , b = ( 0; 2; − 1) . Nếu c = a − 4b thì c có tọa độ là A. (1;0;4) . B. (1;6;1) . C. (1; − 4;6) . D. (1; − 10;9 ) .

KÈ

A. 0 .

Câu 30. [NB] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −2;1;1) , B ( 3; 2; − 1) . Độ dài đoạn thẳng AB bằng

DẠ

A. 30 . B. 10 . C. 22 . D. 2 . Câu 31. [NB] Trong không gian Oxyz , cho u = ( 2; − 3; 4 ) , v = ( −3; − 2; 2 ) khi đó u.v bằng

Trang 4

A. 20 .

B. 8 .

46 .

D. 2 2 .

Câu 32. [TH] Trong không gian Oxyz , cho A (1; 0;6 ) , B ( 0; 2; − 1) , C (1; 4;0 ) . Bán kính mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; 2; − 1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( ABC ) bằng

8 3 8 77 16 77 16 3 . B. . C. . D. . 3 77 77 3 2 2 2 Câu 33. [NB] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 4 . Tìm tọa độ tâm

FI CI A

I và bán kính R của mặt cầu ( S ) . A. I ( −1; 2;1) và R = 2 .

B. I (1; −2; −1) và R = 2 .

C. I ( −1; 2;1) và R = 4 .

D. I (1; −2; −1) và R = 4 .

Câu 34. [NB] Trong không gian Oxyz cho hai điểm A( −2;1; 0) , B (2; − 1; 2) . Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm B và đi qua A là 2 2 2 2 A. ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 2) 2 = 24 . B. ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 2) 2 = 24 . 2

C. ( x + 2 ) + ( y − 1) + z 2 = 24 .

D. ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 2) 2 = 24 .

ƠN

Câu 35. [NB] Trong không gian Oxyz cho hai điểm A( −2;1; 0) , B (2; − 1; 4) . Phương trình mặt cầu ( S ) có đường kính AB là A. x 2 + y 2 + ( z − 2) 2 = 3 . B. x 2 + y 2 + ( z + 2) 2 = 3 . C. x 2 + y 2 + ( z − 2) 2 = 9. D. x 2 + y 2 + ( z + 2) 2 = 9 . Câu 36. [TH] Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a là π a3 6 π a3 6 π a3 3 π a2 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 8 4 8 8 Câu 37. [TH] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm thuộc trục Ox và đi qua hai điểm

A (1;2; −1) và B ( 2;1;3) . Phương trình của ( S ) là 2

A. ( x − 4 ) + y 2 + z 2 = 14.

B. ( x + 4 ) + y 2 + z 2 = 14.

QU Y

C. x 2 + ( y − 4) 2 + z 2 = 14.

D. x 2 + y 2 + ( z − 4) 2 = 14.

Câu 38. [TH] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng

( P ) : 2 x − 2 y + z + 3 = 0 . Phương trình của ( S ) là 2

B. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9.

D. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 4.

A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 16. 2

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 16.

(

Trong

không

Câu 39. [VDC]

gian

cho

A ( a; 0; 0 ) ,

B ( 0; b; 0 ) ,

C ( 0; 0; c ) ,

) ( a > 0 , b > 0 , c > 0 ). Diện tích tam giác ABC bằng

KÈ

D a + a b2 + c2 ; b a 2 + c2 ; c a2 + b2

Oxyz

DẠ

3 . Tìm khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ACD ) khi VA.BCD đạt giá trị lớn nhất. 2 6 2 A. . B. 3 . C. 2 . D. . 2 2 Câu 40. [VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm E (1;1;3) ;F(0;1;0) và mặt phẳng ( P) : x + y + z − 1 = 0. Gọi M (a; b; c) ∈ ( P) sao cho 2ME − 3MF đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

Trang 5

T = 3a + 2b + c. A. 4.

B. 3.

C. 6.

D. 1.

Câu 41. [NB] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;5), B(3;0; − 1) . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. x + y − 3z + 6 = 0 . B. x − y − 3z + 5 = 0 . C. x − y − 3z + 1 = 0 . D. 2 x + y + 2 z + 10 = 0 .

Câu 42. [NB] Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A ( −1;2;4 ) và song song với mặt phẳng A. 4 x + y + z − 5 = 0 . C. 4 x + y − z = 0 .

FI CI A

( P ) : 4 x + y − z + 5 = 0 có phương trình là

B. 4 x + y + z − 2 = 0 . D. 4 x + y − z + 6 = 0 .

Câu 43. [TH] Trong không gian Oxyz , gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua điểm M ( −4;1;2) , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng ( Q ) : x − 3 y + z − 4 = 0 và ( R ) : 2 x − y + 3z + 1 = 0 . Phương trình của ( P ) là A. 8 x − y + 5 z + 23 = 0 . C. 8 x + y − 5 z + 41 = 0 .

B. 4 x + y − 5 z + 25 = 0 . D. 8 x − y − 5 z − 43 = 0 . 2

Câu 44. [TH] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 . Mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với ( S ) tại điểm A (1;3; −1) có phương trình là

B. 2 x + y + 2 z − 7 = 0 . D. 2 x + y − 2 z + 2 = 0 .

ƠN

A. 2 x + y − 2 z − 7 = 0 . C. 2 x − y + z + 10 = 0 .

Câu 45. [TH] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

( P ) :2 x − y + 2 z +1= 0

và hai điểm

A (1;0; − 2 ) , B ( −1; − 1;3) . Mặt phẳng ( Q ) đi qua hai điểm A , B và vuông góc với ( P ) có phương trình dạng ax − by + cz + 5 = 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. a + b + c = 21 . B. a + b + c = 7 . C. a + b + c = − 21 . D. a + b + c = − 7 . Câu 46. [TH] Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 0;1; 2 ) , B ( 2; − 2;1) , C ( − 2;1;0) . Khi đó mặt phẳng ( ABC ) có phương trình là

QU Y

A. x + y − z + 1 = 0 . B. 6 x + y − z − 6 = 0 . C. x − y + z + 6 = 0 . D. x + y − z − 3 = 0 . Câu 47. [VD] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( Q ) song song mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y + z + 17 = 0 2

. Biết mặt phẳng ( Q ) cắt mặt cầu ( S ) : x 2 + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 25 theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r = 3. Khi đó mặt phẳng ( Q ) có phương trình là

A. 2 x − 2 y + z − 7 = 0 . B. 2 x − 2 y + z − 17 = 0 . C. 2 x − 2 y + z + 17 = 0 . D. x − y + 2 z − 7 = 0 . Câu 48. [NB] Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (α ) : y = 0 trùng với mặt phẳng nào dưới đây ? B. ( Oyz ) .

C. ( Oxz ) .

D. x − y = 0 .

KÈ

A. (Oxy ) .

Câu 49. [TH] Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A (1;0; 0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0; 0; 4 ) , M ( 0;0;3) . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ABC ) .

4 21 2 1 3 21 . B. . C. . D. . 21 21 21 21 Câu 50: [VDC] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : z = 0 và hai điểm A ( 2; −1; 0 ) , B ( 4;3; −2 ) .

DẠ

Trang 6

Gọi M ( a ; b; c ) ∈ ( P ) sao cho MA = MB và góc AMB có số đo lớn nhất. Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?

B. a + 2b = −6 .

C. a + b = 0 .

D. a + b =

23 . 5

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

A. c > 0 .

Trang 7

3.A 13.B 23.B 33.A 43.C

BẢNG ĐÁP ÁN 5.A 6.C 15.C 16.C 25.D 26.D 35.C 36.A 45.D 46.A

4.C 14.A 24.B 34.B 44.A

7C 17.D 27.D 37.A 47.A

8.C 18.A 28.D 38.A 48.C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. [NB]

 ( 3x

+ 1) dx bằng

9.C 19.D 29.D 39.A 49.C

10.D 20.C 30.A 40.C 50.D

2.C 12.B 22.C 32.C 42.D

FI CI A

1.B 11.A 21.C 31.B 41.B

A. 3x + x + C .

x D. + x+C. 3

B. x + x + C .

C. x + C . Lời giải

x + x + C = x3 + x + C . 3 Câu 2. [NB] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2cos x − sin x là

 ( 3x

+ 1) dx = 3

Ta có:

B. −2sin x − cos x + C . D. −2sin x + cos x + C . Lời giải Ta có:  ( 2 cos x − sin x ) dx = 2sin x + cos x + C .

ƠN

A. 2sin x − cos x + C . C. 2sin x + cos x + C .

Câu 3. [TH]  2 x ( x 2 + 1) dx bằng 2

+ 1)

(x B.

+C.

+ 1) 4

(x A.

2 ( x 2 + 1)

+C.

+C .

Lời giải

Đặt t = x 2 + 1 , ta được dt =2xdx . 4

t5 +C . 5

QU Y

Khi đó  2 x ( x 2 + 1) dx =  t 4 dt = Thay t = x 2 + 1 , ta được

 2x ( x

KÈ

1  Câu 4. [NB]  sin  3x −  dx bằng 3  1 1  A. cos  3 x −  + C . 3 3  1 1  C. − cos  3 x −  + C . 3 3 

+ 1)

(x dx =

+ 1)

+C .

1  B. − cos  3x −  + C . 3  1  1 D. − sin  3x −  + C . 3  3 Lời giải

1 1 1   Ta có:  sin  3x −  dx = − cos  3x −  + C . 3 3 3   x Câu 5. [NB]  x + 5 dx bằng

(

DẠ

)

x 5 + +C . 2 ln 5 5x C. 1 + +C . ln 5

Trang 8

x2 + 5x. ln 5 + C . 2 5x D. x 2 + +C. ln 5 Lời giải

D. ( x 2 + 1) + C .



Ta có

)

x 2 5x + +C 2 ln 5

1 + 3ln x .ln x dx bằng x



Câu 6. [VD]

(

f ( x ) dx =  x + 5 x dx =

2 2 2 (1 + 3ln x ) (1 + 3ln x ) − 1 + C . 9  1 + 3ln x 1  B. (1 + 3ln x ) 1 + 3ln x  − +C . 5 3  2  1 + 3ln x 1  C. (1 + 3ln x ) 1 + 3ln x  − +C . 9 5 3  2  1 + 3ln x 1  D. (1 + 3ln x ) 1 + 3ln x  − +C . 3 5 3  Lời giải 2 Đặt t = 1 + 3ln x , suy ra t = 1 + 3ln x . 3 t 2 −1 Ta có: 2tdt = dx ; ln x = . x 3 Khi đó 1 + 3ln x .ln x t 2 −1 2 2 2  t5 t3  4 2 d d d x = t ⋅ ⋅ ⋅ t t = t − t t = ( ) 9 5 − 3 +C   3 3 9 x  

ƠN

FI CI A

1 + 3ln x .ln x 2  1 + 3ln x 1  dx = (1 + 3ln x ) 1 + 3ln x  − +C . x 9 5 3 



Hay

e3 x ( 4 f ( x) + f ′( x) ) = 2 f ( x) Câu 7 : [VDC]. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn  , ∀x ≥ 0 và f (0) = 1 . Tính f ( x) > 0  ln 2



f ( x)dx .

A. I =

1 . 12

QU Y

B. I = −

1 . 12

C. I =

37 . 320

D. I =

7 . 640

Lời giải

′ 1 f ′( x) 1 = x ⇔ e2 x . f ( x ) = x . e 2 f ( x) e 1 1 Do đó e 2 x . f ( x) là một nguyên hàm của x , tức e 2 x . f ( x) = − x + C . e e

(

f ( x ) + e2 x .

Ta có: e3 x ( 4 f ( x ) + f ′ ( x ) ) = 2 f ( x) ⇔ 2e 2 x

KÈ

1   2 Thay x = 0 vào ta được C = 2 . Tìm được f ( x) =  2 x − 3 x  . e  e ln 2

 0

f ( x)dx =

ln 2

 0

1   2  2 x − 3 x  dx = e  e

ln 2

 4

  e 0

−

4 1 + 6x 5x e e

37  .  dx = 320 

DẠ

Câu 8. [TH]. Biết rằng g ( x) là một nguyên hàm của f ( x ) = ( x + 1) sin x và g (0) = 0 , tính g (π ) .

Trang 9

A. 0 .

B. π + 1 .

C. π + 2 . Lời giải

D. 1.

)

 ( x + 1) sin xdx =  ( x + 1)( − cos x )′ dx = −( x + 1) cos x +  cosx dx

Ta có

Câu 9. [TH].Tính I =  1

x +1 .dx . 2 x

4 A. I = . 3

B. I = 2 .

C. I =

10 . 3

 x x +1 1  10 1 3  .dx =   I = − x − x = . .dx =  2 2 x 3 1 3 1 2 x 1 4



f ( x ) dx = 3 . Khi đó



f ( x) e

−3 . e

dx bằng

ƠN

Câu 10. [NB] Cho

B. e 2

D. I =

2 . 3

Lời giải 4

FI CI A

Tức g ( x) = −( x + 1) cos x + sin x + 1 . Vậy g (π ) = π + 2 .

= −( x + 1) cos x + sin x + C Lúc này, xét g ( x ) = −( x + 1) cos x + sin x + C với g (0) = 0 ta có C = 1 .

C. 3e 2 .

3 . e

Lời giải



Ta có

f ( x) e

 (3x

Câu 11. [NB]

dx =

1 3 f ( x ) dx = .  e1 e

− 2 x ) dx bằng

−2

B. 4 .

 ( 3x

Ta có

−2 1

Câu 12. [NB]

− 2 x ) dx = ( x 3 − x 2 )

−2

C. −12 . Lời giải

D. 8 .

C. ln 2 . Lời giải

D. 4 ln 2 .

= 12 .

 x − 2 dx bằng

−2

A. −2 ln 2 .

B. −4ln 2 .

1 2 1 −2 x − 2 dx = 2−2 x − 2 dx = 2 ln x − 2 −2 = −4 ln 2 .

Ta có

QU Y

A. 12 .

1 − e3 x b 0 e 2 x + e x + 1 dx = a − e với a, b ∈ ℤ , hãy tính b − a .

KÈ

Câu 13. [TH] Biết rằng

C. b − a = 7 . D. b − a = −7 . Lời giải x 2x x 3 3 3x 1 − e e + e + 1 ( )( ) dx = 3 1 − e x dx = x − e x 3 = 4 − e3 . 1− e d x = Ta có  2 x )0 0 e2 x + e x + 1 0 ( ) ( e + ex +1 0 Suy ra a = 4; b = 3 .

DẠ

A. b − a = 1.

Trang 10

B. b − a = −1 .

Câu 14. [TH] Cho hàm số y = f ( x ) sao cho f ′ ( x ) liên tục trên ℝ ,

 1

f ( x) dx = 3 − ln 2 và f ( 2 ) = 3. x

Tính I =  f ′ ( x ).ln xdx . 1

B. I = 2 ln 2 − 3 .

u = ln x , chọn Đặt  dv = f ′ ( x ) dx

Ta có I =  f ( x ) .ln x  −  1 1

f ( x) dx = f ( 2 ) .ln 2 − 3 + ln 2 = 4 ln 2 − 3 . x

x − 2 − 3 x +1 dx = −10 + a ln 2 + b ln 3 + c ln 7 với a , b , c ∈ ℤ . Tính T = a + b + c x+4



Câu 15. [VD] Biết I =

D. I = 3ln 2 − 4 .

1  du = dx x .  v = f ( x )  2

C. I = 2 ln 2 + 3 . Lời giải

FI CI A

A. I = 4 ln 2 − 3 .

−3

. A. T = −4 . C. T = 9 .

ƠN

B. T = 21 . D. T = − 12 . Lời giải

Đặt f ( x ) = x − 2 − 3 x + 1 .

−1

2x + 5 −4 x − 1 −2 x − 5 −3 x + 4 dx + −1 x + 4 dx + 2 x + 4 dx

QU Y

Từ đó I =

Ta có bảng phá dấu trị tuyệt đối trong biểu thức f ( x ) như sau

−1

3  15  3     I =  2− dx −   4 − dx −   2 − dx x + 4 x + 4 x + 4   −3  −1  2 I = −10 − 6ln 3 + 12ln 2 + 3ln 7 . Vậy ta có a = 12, b = − 6, c = 3  T = 9 .

Câu 16: [VD] Giả sử hàm số f ( x) liên tục và dương trên đoạn [ 0;3] thỏa mãn f ( x ). f (3 − x ) = 4 . Tính 3

1 dx . 2 + f ( x)

KÈ

tích phân I =  0

A. I =

3 . 5

1 . 2

C. I = Lời giải

4  f ( x ) . f ( 3 − x ) = 4 Ta có  .  f (3 − x ) = f ( x)  f ( x ) > 0, ∀x ∈ [ 0;3] 3 1 I = dx 2 + f ( x) 0

Y DẠ Trang 11

B. I =

Đặt t = 3 − x  dt = −dx

3 . 4

D. I =

1 . 3

3 3 3  1 f ( x) + 2 − 2 1  2 1 3 1 3 x = − x = x − d 1 d dx = − I      0 f ( x) + 2  f ( x) + 2 2 0 f ( x) + 2 2 0 2 2 0

ƠN

3 3 3  I = − I  2I =  I = . 2 2 4 3 Vậy I = . 4 Câu 17: [NB] Cho hàm số f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

FI CI A

Đổi cận x = 0  t = 3; x = 3  t = 0 . Thay vào ta được 3 3 3 3 3 f ( x) 1 f ( x) 1 1 1 dx . I = dt =  dx =  dx =  dx =  4 2 0 f ( x) + 2 2 + f (3 − t ) 2 + f (3 − x ) 2 f ( x) + 4 0 0 0 2+ 0 f ( x)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x ) và trục Ox được tính theo công thức nào sau đây? 2



f ( x )dx .

−1 1 3



QU Y

f ( x )dx −  f ( x )dx .

−1

1 3

 f ( x )dx . 1 3

1 3

D. −  f ( x )dx +  f ( x )dx . −1

1 3

f ( x ) dx = −  f ( x )dx +  f ( x )dx .

KÈ



Lời giải Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x ) và trục Ox được tính theo công thức

−1

1 3

Câu 18: [TH] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x ) = ( x − 1)( 2 − x ) ( x 2 + 1) và trục

Ox .

11 . 20

DẠ

Trang 12

1 . 20

C. Lời giải

19 . 20

117 . 20

L FI CI A

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f ( x ) và trục Ox là

( x − 1)( 2 − x ) ( x 2 + 1) = 0 .

Phương trình nêu trên có tập nghiệm là {1; 2} và f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [1; 2] . 2

Do đó, diện tích mà ta cần tính là 2

11 S =  ( x − 1)( 2 − x ) ( x 2 + 1) dx =  ( x − 1)( 2 − x ) ( x 2 + 1)  dx = . 20 1 1

y = x + 1. Ta có 3 A. S = 2

11 . 2

3 C. S = . 4 Lời giải

x 2 3x và đường thẳng + 2 2

9 D. S = . 4

B. S =

ƠN

Câu 19. [TH] Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol y =

QU Y

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là x 2 3x + = x +1 2 2 2 x x ⇔ + −1 = 0 2 2  x = −2 . ⇔  x = 1

KÈ

Cách 1. (Dựa vào đồ thị) 1 1   x2 x   x3 x 2  1 x 2 3x  9 Ta có S = ∫  x + 1− −  dx = ∫ − − + 1 dx = − − + x = .  −2 4 2 2  4   2 2   6 −2 −2 Cách 2. (Không vẽ đồ thị) 1 1  x 2 3x   x2 x   x3 x 2  1 9 9  =− = . Ta có S = ∫  + − x −1 dx = ∫  + −1 dx =  + − x  2   2 4 4 4   2 2  6  −2 −2 −2

DẠ

Câu 20. [VDC] Hình vẽ dưới đây là một mảnh vườn hình Elip có bốn đỉnh là I , J , K , L; ABCD, EFGH là các hình chữ nhật; IJ = 10 m, KL = 6 m , AB = 5 m, EH = 3m . Biết rằng kinh phí trồng hoa là 50000 đồng/ m 2 , hãy tính số tiền (làm tròn đến hàng đơn vị) dùng để trồng hoa trên phần gạch sọc.

Trang 13

L FI CI A

B. 1434917 đồng. D. 684917 đồng. Lời giải

ƠN

A. 2869834 đồng. C. 2119834 đồng.

Gọi Elip đã cho là ( E ) .

Dựng hệ trục Oxy như hình vẽ, khi đó ( E ) có phương trình là Suy ra

x2 y2 + = 1. 25 9

3 25 − x 2 . 5 5 9 − y2 . + Phần phía bên phải trục Oy của ( E ) có phương trình là x = 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( E ) , AD, BC là

QU Y

+ Phần phía trên trục Ox của ( E ) có phương trình là y =

2,5

S1 = 4∫ 0

3 12  25π 25 25 − x 2 dx =  + 5 5  12 8

3   15 3  2  = 5π +  m .  2   

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( E ) , EF , GH là 1,5

S2 = 4∫ 0

5 20  9π 9 3   15 3  2  = 5π +  m . 9 − y 2 dy =  +  3 3  12 8   2 

DẠ

KÈ

Diện tích phần đất trồng hoa (phần gạch sọc) là  15 3  2 S = S1 + S 2 − S PQRS = 2.5π +  −15 m .  2  Vậy số tiền dùng để trồng hoa là : S .50000 đồng, làm tròn đến hàng đơn vị là 2119834 đồng. 5000 Câu 21. [TH] Một quần thể virut Corona P đang thay đổi với tốc độ P′ ( t ) = , trong đó t là thời 1 + 0, 2t gian tính bằng giờ. Quần thể virut Corona P ban đầu (khi t = 0 ) có số lượng là 1000 con. Số lượng virut Corona sau 3 giờ gần với số nào sau đây nhất? A. 16000 . B. 21750 . C. 12750 . D. 11750 .

Trang 14

virut

Corona

vớ i

thời

gian

bất

kỳ

là

FI CI A

Vậy biểu thức tính số lượng P ( t ) = 25000.ln (1 + 0, 2t ) + 1000 .

Lời giải 5 000 1 Ta có P ( t ) =  P′ ( t ) dt =  dt = 5 000. ln (1 + 0, 2t ) + C = 25 000.ln (1 + 0, 2t ) + C . 1 + 0, 2t 0, 2 P ( 0 ) = 1000 ⇔ C = 1000 .

Với t = 3 giờ ta có P ( 3) = 25000.ln (1 + 0, 2.3) + 1000 ≈ 12 750, 09 . Vậy số lượng virut khi t = 3 giờ khoảng 12750 con.

2 , trục hoành, các đường thẳng x = 1, x = 2 x . Biết rằng khối tròn xoay do ( H ) quay quanh trục Ox tạo ra có thể tích là π ln a . Giá trị của a

là A. 6 .

B. 2 .

D. 8 .

C. 4 . Lời giải 2

Thể tích khối tròn xoay nêu trên là V = π  f

( x ) dx =π  1

2 2 dx = 2π ln x 1 = 2π ln 2 = π ln 4 . x

ƠN

Vậy a = 4 .

Câu 22. [TH] Cho hình ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

Câu 23. [VD] Cho hình ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x , y = cos x , các đường thẳng x = 0, x =

. Biết rằng khối tròn xoay do ( H ) quay quanh trục Ox tạo ra có thể tích là

π 4

π , hỏi rằng có bao a

nhiêu số nguyên nằm trong khoảng ( a;10 ) ?

A. 6 .

B. 7 .

C. 8 . Lời giải

D. 9 .

QU Y

 π Do trên đoạn 0;  ta có cos x ≥ sin x nên thể tích của khối đã nêu là  4 π

V = π  cos 2 xdx − π  sin 2 xdx = π  cos2xdx = a

π 2

sin 2 x 04 =

π 2

Trong khoảng ( 2;10 ) có 7 số nguyên.



x dx .

KÈ

Câu 24. [ NB] Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , trục hoành, các đường thẳng x = 1 và x = 4 . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong trên quanh trục Ox bằng 1

B. π  x dx .

C. π  x dx .

D. π  x 2 dx .

Lời giải b

Công thức tính thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox là V = π  f 2 ( x ) dx = π  x dx .

DẠ

Câu 25. [VDC] Cho a, b là hai số thực dương. Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = ax 2 và

Trang 15

đường thẳng y = −bx . Quay ( H ) quanh trục hoành thu được khối có thể tích là V1 , quay ( H )

quanh trục tung thu được khối có thể tích là V2 . Tìm b sao cho V1 = V2 .

A. A = 13 .

C. A = 21 .

B. A = 19 . Lời giải

D. A = 29 .

L FI CI A

+ V1 = π

 ( −bx ) −

dx −π

b a

 ( ax ) −

b2 a

2 2

b a

x3 dx = π b . 3 2

ƠN

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng đã cho là ax 2 = −bx . x = 0  b b2  O Do ax 2 = −bx ⇔  nên các giao đ i ể m là và M − ;  x = − b  a a  a  (Tham khảo hình vẽ kèm theo) Đến đây ta có: 0

x5 −πa . 5 2

−

b a

−

b a

2π b5 (đơn vị thể tích). 15a 3

QU Y

2 a  y2 a y3 a π b4 y  y + V2 = π   − (đơn vị thể tích) = −π 2  dy − π   −  dy = π 3  2 a 3 b 6 a a b   0  0  0 0 5 4 2π b πb 5 Do vậy V1 = V2 ⇔ = ⇔b= . 15a 3 6 a 3 4 m Câu 26: [TH] Vận tốc (tính bằng ) của một hạt chuyển động theo một đường được xác định bởi công s thức v ( t ) = t 3 − 8t 2 + 17t − 10 , trong đó t được tính bằng giây.

Tổng quãng đường mà hạt đi được trong khoảng thời gian 1 ≤ t ≤ 5 là bao nhiêu? 71 32 71 38 m. A. B. C. D. m. m. m. 6 3 3 3 Lời giải Tổng quãng đường mà hạt đi được trong khoảng thời gian 1 ≤ t ≤ 5 là 5

3 2 3 2 3 2  v ( t ) dt =  t − 8t + 17t − 10 dt =  t − 8t + 17t − 10 dt +  t − 8t + 17t − 10 dt 1

KÈ

=  ( t 3 − 8t 2 + 17t − 10 ) dt +  − ( t 3 − 8t 2 + 17t − 10 ) dt

DẠ

8 17 8 17 1  2 1  5 71 =  t 4 − t 3 + t 2 − 10t  −  t 4 − t 3 + t 2 − 10t  = (m). 3 2 3 2 4 1 4 2 6 Câu 27: [NB] Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x 3 + 1 và F ( 0 ) = 1 . Tính giá trị của

Trang 16

F (1) .

A. 0 .

B. 1.

C. 2 . Lời giải

D. 3 .

Ta có:

 f ( x ) dx =  ( 4 x

+ 1) dx = x 4 + x + C .

Xét F ( x ) = x 4 + x + C với F ( 0 ) = 1 ta tìm được C = 1 , tức F ( x ) = x 4 + x + 1 .

f ( 3) = 2021 . Tính P = f ( 4 ) − f ( 0 ) .

C. P = ln 4041 . D. P = 1 . Lời giải 1 ln ( x − 2 ) + C1 khi x > 2 f ′ ( x ) dx =  dx = ln x − 2 + C =  . x−2 ln ( 2 − x ) + C2 khi x < 2

A. P = 4 . Ta có



1 , f (1) = 2020 , x−2

FI CI A

Câu 28: [VD] Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ {2} thỏa mãn f ′ ( x ) =

Vậy F (1) = 3 .

B. P = ln 2 .

ln1 + C1 = 2021 C = 2021 Theo giả thiết: f (1) = 2020 , f ( 3) = 2021    1 . ln1 + C2 = 2020 C2 = 2020 ln ( x − 2 ) + 2021 khi x > 2  f ( x) =  . ln ( 2 − x ) + 2020 khi x < 2

là A. (1;0;4) .

ƠN

Do đó P = f ( 4 ) − f ( 0 ) = ln 2 + 2021 − ln 2 − 2020 = 1 . Câu 29. [NB] Trong không gian Oxyz , cho a = (1; − 2;5 ) , b = ( 0; 2; − 1) . Nếu c = a − 4b thì c có tọa độ

B. (1;6;1) .

D. (1; − 10;9 ) .

Lời giải

Ta có: a = (1; − 2;5 ) ; 4 b = ( 0;8; − 4 ) .

C. (1; − 4;6) .

Vậy tọa độ của vectơ c = a − 4b = (1; − 10;9 ) .

Câu 30. [NB] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −2;1;1) , B ( 3; 2; − 1) . Độ dài đoạn thẳng AB

QU Y

bằng

A. 30 .

B. 10 .

C. 22 . Lời giải

D. 2 .

C. 46 . Lời giải

D. 2 2 .

A. 20 .

Ta có: AB = ( 5;1; − 2 ) . 2 AB = AB = 52 + 12 + ( −2 ) = 30 . Câu 31. [NB] Trong không gian Oxyz , cho u = ( 2; − 3; 4 ) , v = ( −3; − 2; 2 ) khi đó u.v bằng

B. 8 .

KÈ

Ta có: u.v = 2. ( −3) + ( −3) . ( −2 ) + 4.2 = 8 .

Câu 32. [TH] Trong không gian Oxyz , cho A (1; 0;6 ) , B ( 0; 2; − 1) , C (1; 4;0 ) . Bán kính mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; 2; − 1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( ABC ) bằng

8 3 . 3

8 77 . 77

16 77 . 77

DẠ

Lời giải Ta có AB = ( −1; 2; − 7 ) , AC = ( 0; 4; − 6 ) nên  AB , AC  = (16; − 6; − 4 ) .

Trang 17

16 3 . 3

 AB , AC  là vectơ pháp tuyến của ( ABC ) , vì thế n = ( 8; − 3; − 2 ) cũng là vectơ pháp tuyến   của ( ABC ) . 8 ( x − 1) − 3 y − 2 ( z − 6 ) = 0 ⇔ 8 x - 3 y - 2 z + 4 = 0 .

FI CI A

Phương trình của mặt phẳng ( ABC ) là: Gọi r là bán kính của ( S ) , ta có ( S ) tiếp xúc với ( ABC ) ⇔ r = d ( I , ( ABC ) ) . Vậy r =

8. ( 2 ) − 3. ( 2 ) − 2. ( −1) + 4 2

82 + ( −3) + ( −2 )

16 77 . 77 2

Câu 33. [NB] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 4 . Tìm tọa độ tâm

I và bán kính R của mặt cầu ( S ) .

B. I (1; −2; −1) và R = 2 .

C. I ( −1; 2;1) và R = 4 .

D. I (1; −2; −1) và R = 4 .

A. I ( −1; 2;1) và R = 2 .

Lời giải Dựa vào phương trình của ( S ) ta thấy tọa độ tâm I ( −1; 2;1) và R = 2 . tâm B và đi qua A là 2 2 A. ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 2) 2 = 24 . 2

B. ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 2) 2 = 24 .

D. ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 2) 2 = 24 . Lời giải

C. ( x + 2 ) + ( y − 1) + z 2 = 24 .

ƠN

Câu 34. [NB] Trong không gian Oxyz cho hai điểm A( −2;1; 0) , B (2; − 1; 2) . Phương trình mặt cầu ( S ) có

Ta có AB = (4; − 2; 2) nên AB = 24 . Vì ( S ) có tâm B và đi qua điểm A nên bán kính của ( S ) là R = AB . 2

Do đó ( S ) có phương trình là ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 2) 2 = 24 .

QU Y

Câu 35. [NB] Trong không gian Oxyz cho hai điểm A( −2;1; 0) , B (2; − 1; 4) . Phương trình mặt cầu ( S ) có đường kính AB là A. x 2 + y 2 + ( z − 2) 2 = 3 . C. x 2 + y 2 + ( z − 2) 2 = 9.

B. x 2 + y 2 + ( z + 2) 2 = 3 . D. x 2 + y 2 + ( z + 2) 2 = 9 . Lời giải

Do ( S ) có đường kính AB nên nó nhận trung điểm I của AB làm tâm và

AB làm bán kính. 2

KÈ

Ta có: + AB = (4; − 2; 4)  AB = 6 . + I (0; 0; 2) . Vậy ( S ) có phương trình là x 2 + y 2 + ( z − 2) 2 = 9 .

DẠ

Câu 36. [TH] Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a là π a3 6 π a3 6 π a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . 8 4 8 Lời giải

Trang 18

D. V =

π a2 6 . 8

L FI CI A

4 4  a 6  π a3 6 . V = π .ID 3 = π .   = 3 3  4  8

ƠN

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC . Vì ABCD là tứ diện đều nên DH là trục của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC . Mặt phẳng trung trực của cạnh AD cắt DH tại I suy ra ID là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Gọi M là trung điểm cạnh AD ta có ∆DMI ∽ ∆DHA DM DI  = . DH DA DA2 AD 2 a2 a 6 .  ID = = = = 2 2 2 2 DH 2. AD − AH 4 a   2 a2 −    3 Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện A. BCD là

Câu 37. [TH] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm thuộc trục Ox và đi qua hai điểm

A (1;2; −1) và B ( 2;1;3) . Phương trình của ( S ) là 2

A. ( x − 4 ) + y 2 + z 2 = 14.

B. ( x + 4 ) + y 2 + z 2 = 14.

D. x 2 + y 2 + ( z − 4) 2 = 14. Lời giải Gọi I ( a;0;0 ) thuộc trục Ox là tâm của ( S ) .

QU Y

C. x 2 + ( y − 4) 2 + z 2 = 14.

Ta có: IA = IB ⇔ IA2 = IB 2 ⇔ (1 − a ) + 22 + ( −1) 2 = (2 − a) 2 + 12 + 32 ⇔ a = 4. Suy ra I ( 4;0;0 ) và IA2 = 14 .

Vậy phương trình của ( S ) là ( x − 4 ) + y 2 + z 2 = 14.

Câu 38. [TH] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng

KÈ

( P ) : 2 x − 2 y + z + 3 = 0 . Phương trình của ( S ) là 2

A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 16.

D. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 4. Lời giải 2.1 − 2.(−2) + 3 + 3 12 = =4. Ta có d ( I , ( P ) ) = 3 22 + (−2) 2 + 12

DẠ

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 16.

B. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9.

Trang 19

( S ) tiếp xúc với ( P ) ⇔ d ( I , ( P ) ) bằng bán kính của ( S ) . 2 2 2 Vậy phương trình của ( S ) là ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 16.

Trong

không

gian

(

Oxyz

D a + a b2 + c2 ; b a 2 + c2 ; c a2 + b2

cho

A ( a; 0; 0 ) ,

B ( 0; b; 0 ) ,

C ( 0; 0; c ) ,

) ( a > 0 , b > 0 , c > 0 ). Diện tích tam giác ABC bằng

FI CI A

3 . Tìm khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ACD ) khi VA.BCD đạt giá trị lớn nhất. 2 6 2 A. . B. 3 . C. 2 . D. . 2 2 Lời giải AB = (− a; b;0) , AC = (− a; 0; c) , AD = a b 2 + c 2 ; b a 2 + c 2 ; c a 2 + b 2 .

Câu 39. [VDC]

(

)

ƠN

 b 0 0 −a −a b   AB, AC  =  ; ;  = ( bc; ac; ab ) .    0 c c −a −a 0  3 Vì diện tích tam giác ABC bằng nên: 2 3 1 3 1 3 S∆ABC = ⇔  AB, AC  = ⇔ (ab) 2 + (bc ) 2 + (ac) 2 = . 2 2 2 2 2 ⇔ (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 = 3 . Thể tích của tứ diện ABCD là: 1 1 VABCD =  AB, AC  . AD = abc b 2 + c 2 + abc a 2 + c 2 + abc a 2 + b2 6 6 1 = bc a 2b 2 + a 2c 2 + ac a 2b 2 + b 2 c 2 + ab a 2 c 2 + b 2c 2 6

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (bc a 2b 2 + a 2 c 2 + ac a 2b 2 + b 2 c 2 + ab a 2 c 2 + b 2 c 2 ) 2

≤ [(bc)2 + (ac)2 + (ab)2 ](a2b2 + a2c2 + a2b2 + b2c2 + a2c2 + b2c2 )

QU Y

⇔ (bc a 2b 2 + a 2 c 2 + ac a 2b 2 + b 2 c 2 + ab a 2 c 2 + b 2 c 2 ) 2 ≤ 2[(bc ) 2 + ( ac ) 2 + ( ab ) 2 ]2

⇔ (bc a 2b 2 + a 2 c 2 + ac a 2b 2 + b 2 c 2 + ab a 2 c 2 + b 2 c 2 ) 2 ≤ 2.32 ⇔ (bc a 2b 2 + a 2 c 2 + ac a 2b 2 + b 2 c 2 + ab a 2 c 2 + b 2 c 2 ) 2 ≤ 18 ⇔ bc a 2b 2 + a 2 c 2 + ac a 2b 2 + b 2 c 2 + ab a 2 c 2 + b 2 c 2 ≤ 3 2

3 2 2 hay VA.BCD ≤ . 6 2 2 nên max VA.BCD = . Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 . 2 Ta có: AC = ( −1;0;1) , AD = 2; 2; 2 .

KÈ

V A.BCD ≤

)

 0 1 1 −1 −1 ; ; Nên:  AC , AD  =   2 2 2 2 2  1 1 Do đó: S∆ACD =  AC , AD  = 12 = 3 . 2 2 2 3. 3VA. BCD 2 = 6. Vậy d ( B, ( ACD )) = = S∆ACD 2 3

Y DẠ Trang 20

(

0   = − 2; 2 2; − 2 . 2 

(

)

T = 3a + 2b + c. A. 4.

C. 6. Lời giải Gọi I (m; n; p) là điểm thỏa mãn: 2 IE − 3IF = 0. Ta có IE = (1 − m;1 − n;3 − p); IF = (−m;1 − n; − p).

D. 1.

FI CI A

B. 3.

Câu 40. [VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm E (1;1;3) ;F(0;1;0) và mặt phẳng ( P) : x + y + z − 1 = 0. Gọi M (a; b; c) ∈ ( P) sao cho 2ME − 3MF đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

2(1 − m) + 3m = 0 m = −2   2IE − 3IF = 0 ⇔ 2(1 − n) − 3(1 − n) = 0 ⇔ n = 1  I (−2;1; −6). 2(3 − p) + 3 p = 0  p = −6   Ta có 2ME − 3MF = 2( MI + IE ) − 3( MI + IF ) = IM = MI . 2ME − 3MF đạt giá trị nhỏ nhất, M ∈ ( P) ⇔ MI nhỏ nhất, M ∈ ( P) ⇔ M là hình chiếu

ƠN

vuông góc của I trên ( P). Khi đó : MI = ( −2 − a;1 − b; −6 − c ) cùng phương với vectơ pháp tuyến của ( P ) là n = (1;1;1) ; M ∈ ( P )

QU Y

2  a = 3 a − b = −3    11 ⇔ b =  T = 3a + 2b + c = 6. Tọa độ M là nghiệm của hệ b − c = 7 3 a + b + c − 1 = 0   −10  c = 3  Câu 41. [NB] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;5), B(3;0; − 1) . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. x + y − 3z + 6 = 0 . B. x − y − 3z + 5 = 0 . C. x − y − 3z + 1 = 0 . D. 2 x + y + 2 z + 10 = 0 . Lời giải Gọi M là trung điểm AB thì M ( 2;1; 2 ) , AB = ( 2; −2; −6 ) .

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua M nhận AB làm vectơ pháp tuyến, do đó nó có phương trình là 2 ( x − 2) − 2 ( y − 1) − 6 ( z − 2) = 0 ⇔ x − y − 3z + 5 = 0.

Câu 42. [NB] Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A ( −1;2;4 ) và song song với mặt phẳng

( P ) : 4 x + y − z + 5 = 0 có phương trình là

KÈ

A. 4 x + y + z − 5 = 0 . C. 4 x + y − z = 0 .

B. 4 x + y + z − 2 = 0 . D. 4 x + y − z + 6 = 0 . Lời giải

Gọi mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng ( Q ) .

DẠ

Mặt phẳng ( P ) có một vectơ pháp tuyến là n = ( 4;1; −1) . Vì ( Q ) // ( P ) nên n = ( 4;1; −1) cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( Q ) . Mặt phẳng ( Q ) đi qua điểm A ( −1;2;4 ) , có vectơ pháp tuyến n = ( 4;1; −1) nên nó có phương trình là 4 ( x + 1) + 1. ( y − 2 ) − 1. ( z − 4 ) = 0 ⇔ 4 x + y − z + 6 = 0 .

Trang 21

Câu 43. [TH] Trong không gian Oxyz , gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua điểm M ( −4;1;2) , đồng thời vuông là A. 8 x − y + 5 z + 23 = 0 . C. 8 x + y − 5 z + 41 = 0 .

góc với hai mặt phẳng ( Q ) : x − 3 y + z − 4 = 0 và ( R ) : 2 x − y + 3z + 1 = 0 . Phương trình của ( P )

FI CI A

B. 4 x + y − 5 z + 25 = 0 . D. 8 x − y − 5 z − 43 = 0 . Lời giải = (1; −3;1) là một vectơ pháp tuyến của ( Q ) .

Ta có: n( Q ) n( R ) = ( 2; −1;3 ) là một vectơ pháp tuyến của ( R ) . Vì ( P ) ⊥ ( Q ) nên n( P) ⊥ n(Q) , ( P ) ⊥ ( R ) nên n( P) ⊥ n( R) .  n( P ) =  n( Q ) , n( R )  = ( −8; −1;5) một vectơ pháp tuyến của ( P ) . ( P ) đi qua điểm M ( −4;1;2) có vectơ pháp tuyến là n ( P ) = ( −8; −1;5) nên nó có phương trình là

−8 ( x + 4 ) − ( y − 1) + 5 ( z − 2 ) = 0 ⇔ −8 x − y + 5 z − 41 = 0 ⇔ 8 x + y − 5 z + 41 = 0 . 2

ƠN

B. 2 x + y + 2 z − 7 = 0 . D. 2 x + y − 2 z + 2 = 0 . Lời giải

A. 2 x + y − 2 z − 7 = 0 . C. 2 x − y + z + 10 = 0 .

QU Y

( S ) có tâm I ( −1; 2;1) , bán kính R = 3 . Dễ thấy A ∈ ( S ) . Vì ( P ) tiếp xúc với ( S ) tại A nên IA = ( 2;1; −2 ) là một vectơ pháp tuyến của ( P ) . Ta có ( P ) đi qua A (1;3; −1) nhận IA = ( 2;1; −2 ) làm vectơ pháp tuyến nên ( P ) có phương trình là 2 ( x − 1) + 1. ( y − 3) − 2 ( z + 1) = 0 ⇔ 2 x + y − 2 z − 7 = 0 . Câu 45. [TH] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) :2 x − y + 2 z +1 = 0 và hai điểm A (1;0; − 2 ) , B ( −1; − 1;3) . Mặt phẳng ( Q ) đi qua hai điểm A , B và vuông góc với ( P ) có

KÈ

phương trình dạng ax − by + cz + 5 = 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. a + b + c = 21 . B. a + b + c = 7 . C. a + b + c = − 21 . D. a + b + c = − 7 . Lời giải Ta có AB ( −2; − 1;5 ) , ( P ) nhận n( P ) = ( 2; − 1; 2 ) làm vectơ pháp tuyến. Do ( Q ) qua A , B và vuông góc với ( P ) nên ( Q ) nhận  AB , n( P )  = ( 3;14; 4 ) làm vectơ pháp   tuyến, tức ( Q ) có phương trình là 3 ( x −1) +14 y + 4 ( z + 2 ) = 0 ⇔ 3x +14 y + 4 z + 5 = 0 .

 a = 3, b = − 14 , c = 4 . Vậy a + b + c = − 7 .

Câu 46. [TH] Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 0;1; 2 ) , B ( 2; − 2;1) , C ( − 2;1;0) . Khi đó mặt

DẠ

phẳng ( ABC ) có phương trình là

Trang 22

A. x + y − z + 1 = 0 . C. x − y + z + 6 = 0 .

B. 6 x + y − z − 6 = 0 . D. x + y − z − 3 = 0 .

trình là 1( x − 0 ) +1( y −1) − 1( z − 2 ) = 0 ⇔ x + y − z +1 = 0 .

FI CI A

Lời giải Ta có AB = ( 2; − 3; − 1) , AC = ( −2;0; − 2 ) ; Vì  AB , AC  = ( 6;6; − 6 ) nên một vectơ pháp tuyến của ( ABC ) là n = (1;1; − 1) . Ta có ( ABC ) qua A ( 0;1; 2 ) và nhận n = (1;1; − 1) làm vectơ pháp tuyến nên ( ABC ) có phương Câu 47. [VD] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( Q ) song song mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y + z + 17 = 0 2

A. 2 x − 2 y + z − 7 = 0 . C. 2 x − 2 y + z + 17 = 0 .

ƠN

B. 2 x − 2 y + z − 17 = 0 . D. x − y + 2 z − 7 = 0 . Lời giải

QU Y

Vì ( Q ) // ( P ) nên phương trình mặt phẳng ( Q ) có dạng: 2 x − 2 y + z + D = 0 ( D ≠ 17 ) . Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0; 2; −1) , bán kính R = 5 . Trên hình vẽ, ta có tam giác ∆ IHA vuông tại H  IH 2 + r 2 = R 2 2

⇔ d ( I , ( Q ) )  + r 2 = R 2 ⇔ d ( I , ( Q ) ) = 2.0 − 2.2 − 1 + D = 4 ⇔ D − 5 = 12 ⇔  2 22 + ( −2 ) + 12

R 2 − r 2  d ( I , ( Q ) ) = 5 2 − 32 = 4

 D − 5 = 12  D = 17  D − 5 = −12 ⇔  D = −7 (loại D = 17 ).  

Vậy phương trình mặt phẳng ( Q ) là: 2 x − 2 y + z − 7 = 0 .

KÈ

Câu 48. [NB] Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (α ) : y = 0 trùng với mặt phẳng nào dưới đây ? A. (Oxy ) .

B. ( Oyz ) .

C. ( Oxz ) .

D. x − y = 0 .

Lời giải Mặt phẳng (α ) : y = 0 có vectơ pháp tuyến n = ( 0;1;0 ) và đi qua gốc tọa độ nên nó trùng với

mặt phẳng ( Oxz ) .

DẠ

Câu 49. [TH] Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A (1;0; 0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0; 0; 4 ) , M ( 0;0;3) . Tính

Trang 23

khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ABC ) .

4 21 . 21

2 . 21

1 . 21

3 21 . 21

FI CI A

Lời giải x y z Phương trình mặt phẳng ( ABC ) : + + = 1 ⇔ 4 x + 2 y + z − 4 = 0 1 2 4 0+ 0+3−4 1 Khi đó: d ( M , ( ABC ) ) = = . 2 2 2 21 4 + 2 +1 Câu 50: [VDC] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : z = 0 và hai điểm A ( 2; −1; 0 ) , B ( 4;3; −2 ) . Gọi M ( a; b; c ) ∈ ( P ) sao cho MA = MB và góc AMB có số đo lớn nhất. Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?

B. a + 2b = −6 .

C. a + b = 0 .

D. a + b =

A. c > 0 .

23 . 5

Lời giải Vì MA = MB nên M thuộc mặt phẳng trung trực (Q ) của đoạn thẳng AB .

ƠN

Ta có (Q ) đi qua trung điểm I (3;1; −1) của AB và có véctơ pháp tuyến là AB = (2; 4; −2) nên (Q ) có phương trình là 2( x − 3) + 4( y − 1) − 2( z + 1) = 0 ⇔ x + 2 y − z − 6 = 0. Vì M ∈ ( P ) và M ∈ (Q ) nên M thuộc giao tuyến ∆ của ( P ) và (Q ) . ( P ) có véctơ pháp tuyến n( P ) = (0;0;1) , (Q ) có véctơ pháp tuyến n( Q ) = (1; 2; −1) . Khi đó ∆ có véctơ chỉ phương u = [n( P) , n( Q ) ] = (−2;1;0) . Chọn N (2; 2; 0) là một điểm chung của ( P ) và (Q ) . ∆ đi qua N nên có phương trình  x = 2 − 2t   y = 2 + t (t ∈ ℝ) . z = 0  cos AMB =

QU Y

Vì M ∈ ∆ nên M = (2 − 2t ; 2 + t ; 0) . Theo định lý cosin trong tam giác MAB , ta có MA2 + MB 2 − AB 2 2 MA2 − AB 2 AB 2 = = 1 − . 2 MA ⋅ MB 2 MA2 2 MA2

KÈ

AMB nhỏ nhất ⇔ MA2 Vì AB không đổi nên từ biểu thức trên ta có AMB lớn nhất ⇔ cos nhỏ nhất. 2 2 2  3  36 36 2 2 Ta có MA = ( 2t ) + ( t + 3) = 5t + 6t + 9 = 5  t +  + ≥ 5 5  5 3  16 7  Đẳng thức xảy ra ⇔ t = − , khi đó M  ; ; 0  . 5  5 5 

DẠ

Vậy a + b =

Trang 24

23 . 5

I - PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ℝ ? x −1 A. y = x 3 − 3x 2 + 2 . B. y = . C. y = x 4 + 6 x 2 + 3 . x +1 Câu 2. [NB] Số nghiệm của phương trình log 2 ( x 2 − 3) = log 2 2 x là

(x

0 2

(x

− 3x 2 + x + 1) dx .

− 3 x 2 − x + 3 ) dx .

− 3 x 2 + x + 1 dx .

a b

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . a b

  f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx . a

a b

QU Y

C.  cf ( x ) dx = c  f ( x ) dx . a

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx . c

KÈ

[ NB] Khối chóp có diện tích đáy bằng 4 và chiều cao bằng 1. Thể tích khối chóp đã cho bằng 4 3 1 A. . B. . C. 4 . D. . 3 4 3 [ NB] Cho khối nón có chiều cao bằng 3 và bán kính đáy bằng 2 . Thể tích của khối nón đã cho bằng A. 18π . B. 12π . C. 4π . D. 6π . [ NB] Trong không gian Oxyz cho điểm M (1; 2;3) . Hình chiếu vuông góc của điểm M lên trục tung là điểm nào dưới đây? A. M 1 ( 0 ; 2 ; 0 ) . B. M 2 ( −1; 2 ; − 3 ) .

C. M 3 (1; 0;3 ) .

D. M 4 ( 0; 0;3 ) .

[ NB] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x − 2 y − 3 = 0 . Véc tơ nào sau đây không

DẠ

phải véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) . B. n2 = (1; −2;0) . A. n1 = (1; −2; −3) .

[ NB] Tính tích phân A. 3 .

Trang 1

a b

Câu 9.

x

Câu 8.

− 3 x 2 + x + 1) dx .

[NB] Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục trên tập D và a, b ∈ D, c ∈ ℝ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai. A.

Câu 7.

0 2

Câu 4.

(x

ƠN

x = 2 bằng

Câu 6.

D. y = 2 x + 1 .

A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1. 3 2 [NB] Diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x − 3 x + 2 ; y = 1 − x ; x = 0 ;

Câu 3.

Câu 5.

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 12 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 35 câu TN, 3 câu tự luận)

FI CI A

ĐỀ SỐ 5

∫ 0

C. n3 = ( −1;2;0) .

D. n4 = ( 2; −4;0) .

dx 2 x +1 B. 2 .

C. 1.

D. 8 .

Câu 10. [ NB] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 = 0 . Xác định tọa B. I ( −1;3;0) , R = 14 .

C. I (1; −3;0) , R = 10 .

D. I ( −1;3;0) , R = 10 .

FI CI A

A. I (1; −3;0) , R = 14 .

độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ( S ) .

Câu 11. [NB] Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ . Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của hàm f ( x ) trên đoạn [1;2] . Hiệu số F ( 2 ) − F (1) bằng 1

 F ( x ) dx .



f ( x ) dx .

 f ( x ) dx . 1

Câu 12. [NB] Trong không gian Oxyz cho ba điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0; −3;0 ) và C ( 0;0;5 ) . Hãy viết

phương trình mặt phẳng ( ABC ) .

x y z x y z x y z + + =1 + + =1 + + =1 A. 5 −3 2 . B. −3 2 5 . C. 2 5 −3 . 2 x +3 Câu 13. [NB] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e là

x y z + + =1 D. 2 −3 5 .

đường kính AB là 2

C. x2 + ( y − 3) + ( z − 2) = 3 .

D. x2 + ( y − 3) + ( z − 2) = 12 .

Câu 15. [TH] Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

x+4 −2 là x2 + x C. 2 .

B. 0 . D. 1 . log 2 5 + b Câu 16. [TH] Cho log 6 45 = a + với a, b, c là các số nguyên. Giá trị a + b + c bằng log 2 3 + c A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Câu 17. [TH] Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị (C1 ) : y = 2 x và (C 2 ) : y = x 2 − x + 2 . Thể tích khối tròn xoay sinh bởi D quay quanh Ox là 29 1 29 1 π. A. V = . B. V = . C. V = D. V = π . 30 6 30 6

QU Y

A. 3 .

B. ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = 12 .

A. ( x + 1) + ( y − 4) + ( z − 1) = 12 .

ƠN

1 2 x +3 2 3 1 B. e 2 x +3 + C . C. e 2 x +3 + C . D. e 2 x+3 + C . e +C . 2 3 2 3 Câu 14. [TH] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; 3) , B ( −1; 4; 1) . Phương trình mặt cầu có

KÈ

Câu 18. [TH] Tích phân

 x (x 3

+ 1) dx = 5

a a , với là phân số tối giản, a nguyên dương. Tính giá trị b b

biểu thức a + b − 5 A. 2020 . B. 2021 . C. 2022 . D. 2023 . ' ' ' Câu 19. [ TH] Cho khối lăng trụ đứng ABCA B C , đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , mặt phẳng ( A ' BC ) tạo với mặt đáy ( ABC ) góc 60 o . Tính thể tích khối lăng trụ

A. V = 3a 3 .

B. V = 3a 3 3 .

DẠ

Câu 20. [TH] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

Trang 2

x5 x3 − +C . A. 5 3

C. V = a 3 3 .

D. V = a 3 .

ln x + 1.ln x là x

( B.

ln x + 1 5

) −(

ln x + 1 3

)

+C.

(

ln x + 1

)

(

ln x + 1

)

(

ln x + 1

)

(

ln x + 1

)

D. + +C. − +C . 5 3 5 3 Câu 21. [TH] Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a , AD = a . Quay hình chữ nhật đó xung quanh cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB tạo thành hình trụ, diện tích toàn phần của hình trụ đó là A. 6π a 2 . B. 3π a 2 . C. 8π a 2 . D. 5π a 2 . Câu 22. [TH] Trong không gian cho hai mặt phẳng (α ) : ( m − 1) x + ( m − 2 ) y + 3 z − 4 = 0 và

( β ) : 2 x + y + 3 z − 3 = 0 . Giá trị của

FI CI A

C. −

m để hai mặt phẳng trên song song là

A. m = 2 . B. m = 1 . C. m = 3 . D. m = −1 . Câu 23. [TH] Viết phương trình mặt phẳng ( P ) biết ( P ) nhận v = (1;0;1) làm vec tơ chỉ phương và đi qua E (1;2; − 1) , F (1; − 1;1) ?

A. 35° .

B. 45° .

Câu 25. [TH] Tính I = π

C. 145° .

x dx . sin 2 x

A. π 3 .

π 2

D. 135° .

ƠN

2π 3

A. 3 x − 2 y + 3 z + 2 = 0 . B. 3x − 2 y + 3z − 2 = 0 . C. 3x + 2 y + 3z − 2 = 0 . D. 3x − 2 y − 3z − 2 = 0 . Câu 24. [TH] Cho u = ( −1;1;0 ) , v = ( 0; −1; 0 ) . Tính giữa hai vectơ u và v .

π 3

QU Y

. 3 2 3 Câu 26. [ VD] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và đồ thị của hàm số y = f / ( x ) như hình vẽ dưới đây.

1 Tìm m để bất phương trình m + x 2 ≤ f ( x ) + x3 nghiệm đúng với ∀x ∈ ( 0;3) 3

A. m < f ( 0 ) .

B. m ≤ f ( 0) .

C. m ≤ f ( 3) .

D. m < f (1) −

2 . 3

4 x − 3.2 x +1 + 8 ≥ 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên âm? 2 x +1 − 1 A. 2. B. −1 . C. 0. D. 1. Câu 28. [ VD] Người ta muốn sơn một bức tường được tạo thành từ 20 bức tường nhỏ có số đo và hình dạng như hình vẽ bên dưới. Biết mỗi 1 lít sơn được 5 m 2 tường và phần tường phía trên là phần trong của 1 Parabol. Lượng sơn cần dùng gần với giá trị nào dưới đây

DẠ

KÈ

Câu 27. [ TH] Bất phương trình

Trang 3

L FI CI A OF

ƠN

A. 16,12 . B. 16, 9 . C. 11,12 . D. 12,16 . Câu 29. [ VD] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. E, F lần lượt là trung điểm của SB, SD . M là điểm nằm trên SC sao cho 3 SM = 2 MC . Tính tỉ lệ diện tích 2 khối đa diện: SAEMF trên ABCDFME . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 4 5 10 Câu 30. [VD] Cho hàm số F ( x ) = ( a x 2 + bx + c ) .e − x là một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = ( − x 2 + 9 x − 1) .e − x . Tính P = a − b + c 2 .

B. −28 . C. 30 . D. 44 .  x = −3 + 4t x −1 y z −1  Câu 31. [VD] Cho d1 :  y = 3 + 2t = = . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa và d 2 : 2 1 3  z = −2 + 6t 

QU Y

A. 0 .

d1 , song song với d 2 và khoảng cách từ d 2 tới ( P ) là lớn nhất.

A. − x + 2 y + 2 z + 5 = 0 . C. x − 2 y − 2 z + 5 = 0 .

B. x − 2 y − 9 = 0 . D. x − 2 y + 9 = 0 .

Câu 32. [VDC] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A (1;0; 2) , B ( −3; 2;0 ) , C (1; − 2;4) và

( P ) : x + y − z −1 = 0 .

mặt phẳng

Điểm

M ( a ; b ; c ) thuộc mặt phẳng

( P)

sao cho

KÈ

T = MA2 + 2 MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị a + b + c là 3 A. 0 . B. . C. 1 . D. 2 . 4 Câu 33. [VDC] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định trên ℝ là f ′ ( x ) = x ( x 2 − 1) x 2 + 3 . Giả sử a, b là hai số thực thay đổi sao cho a < b ≤ 1 . Giá trị nhỏ nhất của f ( a ) − f ( b ) bằng

3 − 64 33 3 − 64 3 11 3 . B. . C. − . D. − . 15 15 5 5 [ VD] Cho y = x 4 − 2 x3 + x 2 + m . Có bao nhiêu số nguyên m sao cho max y ≤ 100 .

DẠ

Câu 34.

Trang 4

[−1;2]

A. 197 .

B. 196 .

C. 200 .

D. 201 .

[ VD] Cho y = f ( x ) > 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn



g ( x )dx

1011 . 2 II - PHẦN TỰ LUẬN A.

Câu 1.

1009 . 2

a) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

2019 . 2

D. 505 .

x . x +1 2

b) Tính tích phân I =  ( 3 x + 2 ) cos 2 x dx . 0

Câu 2.

g ( x ) = 1 + 2018 f ( t ) dt , g ( x ) = f 2 ( x ) . Tính

FI CI A

Câu 35.

a) [ TH] Trong không gian , viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua bốn điểm

O , A (1; 0;0 ) , B ( 0; − 2;0 ) và C ( 0; 0;3) .

b) [ VD] Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng

( P ) : x + 2 y− 2 z − 2 = 0 ?

Câu 3. [ VD] Tìm m để hàm số y = 2 x 3 − 4 x 2 + 3 ( m + 1) x − m đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 sao cho

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

x1 = 3x2 .

Trang 5

3 D 21 A

4 D 22 C

5 A 23 D

6 C 24 D

BẢNG ĐÁP ÁN TN 8 9 10 11 A B A D 26 27 28 29 B C D B

7 A 25 D

12 D 30 D

13 A 31 D

14 C 32 D

LỜI GIẢI CHI TIẾT I - PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ℝ ? x −1 A. y = x3 − 3x 2 + 2 . B. y = . C. y = x 4 + 6 x 2 + 3 . x +1 Lời giải Ta có hàm số y = 2 x + 1 đồng biến trên ℝ . B. 0 .

Ta có log 2

(

17 C 35 A

18 B 36

D. y = 2 x + 1 .

C. 3 . Lời giải  x2 − 3 = 2x x 2 − 3 = log 2 2 x ⇔  ⇔ x =3. x > 0

D. 1.

)

ƠN

A. 2 .

16 D 34 A

[NB] Số nghiệm của phương trình log 2 ( x 2 − 3) = log 2 2 x là

Câu 2.

15 D 33 B

2 D 20 D

FI CI A

1 D 19 B

[NB] Diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x 3 − 3 x 2 + 2 ; y = 1 − x ; x = 0 ;

Câu 3.

x = 2 bằng 2

3 2  ( x − 3x + x + 1) dx . 0 2

(x

− 3 x 2 − x + 3 ) dx .

− 3 x 2 + x + 1) dx .

− 3 x 2 + x + 1 dx .

0 2

x 0

Lời giải

x

− 3 x 2 + x + 1 dx .

QU Y

Diện tích hình phẳng ( H ) bằng

Câu 4.

[NB] Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục trên tập D và a, b ∈ D, c ∈ ℝ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai. b

a b

  f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx .

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . a b

KÈ

C.  cf ( x ) dx = c  f ( x ) dx . a

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

DẠ

Ta có

Câu 5.

Trang 6

Lời giải

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx sai nếu c

không thuộc tập xác định của hàm số

y = f (x) .

[ NB] Khối chóp có diện tích đáy bằng 4 và chiều cao bằng 1. Thể tích khối chóp đã cho bằng

4 . 3

3 . 4

C. 4 .

1 . 3

Lời giải

Câu 7.

FI CI A

Câu 6.

1 4 Ta có V = B.h = . 3 3 [ NB] Cho khối nón có chiều cao bằng 3 và bán kính đáy bằng 2 . Thể tích của khối nón đã cho bằng A. 18π . B. 12π . C. 4π . D. 6π . Lời giải FB tác giả: Tuân Mã 1 1 Thể tích của khối nón đã cho là V = π R 2 h = π .22.3 = 4π . 3 3 [ NB] Trong không gian Oxyz cho điểm M (1; 2;3) . Hình chiếu vuông góc của điểm M lên

trục tung là điểm nào dưới đây? A. M 1 ( 0 ; 2 ; 0 ) . B. M 2 ( −1; 2 ; − 3 ) .

C. M 3 (1; 0;3 ) . D. M 4 ( 0; 0;3 ) . Lời giải Gọi M 1 là hình chiếu vuông góc của điểm M lên trục tung thì M 1 ( 0 ; 2 ; 0 ) .

[ NB] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x − 2 y − 3 = 0 . Véc tơ nào sau đây không phải véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) . A. n1 = (1; −2; −3) . B. n2 = (1; −2;0) .

ƠN

Câu 8.

Câu 9.

[ NB] Tính tích phân

∫ 0

B. 2 .

Ta có

∫ 0

QU Y

A. 3 .

dx 2 x +1

C. n3 = ( −1;2;0) . D. n4 = ( 2; −4;0) . Lời giải Từ phương trình mặt phẳng ( P ) suy ra n2 , n3 , n4 là véc tơ pháp tuyến của ( P ) .

D. 8 .

C. 1. Lời giải

1 dx 1 − = ∫ (2 x + 1) 2 d (2 x +1) = 2 x + 1 |04 = 2 . 2 x +1 2 0

Câu 10. [ NB] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 = 0 . Xác định tọa

độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ( S ) . B. I ( −1;3;0) , R = 14 .

C. I (1; −3;0) , R = 10 .

D. I ( −1;3;0) , R = 10 .

KÈ

A. I (1; −3;0) , R = 14 .

Lời giải 2

Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −3;0) và bán kính R = 12 + (−3) + 4 = 14 .

Câu 11. [NB] Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ . Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của hàm f ( x )

trên đoạn [1;2] . Hiệu số F ( 2 ) − F (1) bằng

DẠ

Trang 7

 F ( x ) dx . 2

 F ( x ) dx .

 2

Lời giải

f ( x ) dx .

 f ( x ) dx . 1

Ta có:

 f ( x ) dx = F ( x ) 1

2 1

= F ( 2 ) − F (1) .

Câu 12. [NB] Trong không gian Oxyz cho ba điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0; −3;0 ) và C ( 0;0;5 ) . Hãy viết x y z x y z + + =1 + + =1 C. 2 5 −3 . D. 2 −3 5 . Lời giải Áp dụng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình của mặt phẳng x y z ( ABC ) là: + + = 1 . 2 −3 5 Câu 13. [NB] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 2 x +3 là

x y z + + =1 B. −3 2 5 .

1 2 x +3 e +C . 2

2 2 x +3 e +C . 3

3 2 x +3 e +C . 2

x y z + + =1 A. 5 −3 2 .

FI CI A

phương trình mặt phẳng ( ABC ) .

Lời giải

1 2 x+3 e +C . 3

1 2 x +3 e +C . 2 Câu 14. [TH] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; 3) , B ( −1; 4; 1) . Phương trình mặt cầu có

ƠN

Vì  e x dx = e x + C nên theo hệ quả ta có:  e 2 x+3d x =

đường kính AB là 2 2 2 A. ( x + 1) + ( y − 4 ) + ( z − 1) = 12 . 2

2 D. x + ( y − 3) + ( z − 2) = 12 .

2 C. x + ( y − 3) + ( z − 2) = 3 .

Ta có AB =

B. ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = 12 .

Lời giải

( −1 − 1)

+ ( 4 − 2 ) + (1 − 3) = 2 3.

Gọi I là trung điểm của AB khi đó I ( 0; 3; 2) . 1 AB = 3 . 2

QU Y

Bán kính R =

2 Phương trình mặt cầu cần tìm là x + ( y − 3) + ( z − 2) = 3 .

x+4 −2 là x2 + x C. 2 .

Câu 15. [TH] Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. 3 .

B. 0 .

D. 1 .

Lời giải

Tập xác định: D = [ −4; +∞ ) \ {−1;0} .

KÈ

Tại x = 0 , ta có: lim+ và lim− x→0

x→0

x+4 −2 x 1 1 = lim+ = lim+ = 2 x→0 x→0 x +x x ( x + 1) x + 4 + 2 ( x + 1) x + 4 + 2 4

(

)

(

)

x+4 −2 x 1 1 = lim− = lim− = . 2 x →0 x→0 x +x x ( x + 1) x + 4 + 2 ( x + 1) x + 4 + 2 4

(

)

(

)

DẠ

Suy ra x = 0 không phải là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x+4 −2 x+4 −2 = +∞ (hoặc lim − = −∞ ). Tại x = − 1 , ta có: lim + 2 x →( −1) x →( −1) x +x x2 + x Suy ra đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. log 2 5 + b Câu 16. [TH] Cho log 6 45 = a + với a, b, c là các số nguyên. Giá trị a + b + c bằng log 2 3 + c Trang 8

B. 2.

C. 0. D. 1. Lời giải log 2 45 log 2 5 + 2 log 2 3 2 (log 2 3 + 1) + log 2 5 − 2 log 2 5 − 2 = = = 2+ Ta có: log 6 45 = . log 2 6 log 2 3 + 1 log 2 3 +1 log 2 3 +1 Suy ra a = 2; b = −2; c = 1 . Vậy a + b + c = 1 . Câu 17. [ TH] Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị (C1 ) : y = 2 x và (C 2 ) : y = x 2 − x + 2 . Thể tích khối tròn xoay sinh bởi D quay quanh Ox là 29 1 29 1 A. V = . B. V = . C. V = π. D. V = π . 30 6 30 6 Lời giải Hoành độ giao điểm của (C1 ) và (C 2 ) là nghiệm của phương trình: x = 1 2 x = x 2 − x + 2 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔  . x = 2 Trong khoảng (1;2) , hai hàm số cùng dương nên thể tích khối tròn xoay sinh bởi D quay quanh 2

Câu 18. [ TH] Tích phân

 x (x 3

+ 1) dx = 5

biểu thức a + b − 5 A. 2020 .

B. 2021 .

a a , với là phân số tối giản, a nguyên dương. Tính giá trị b b C. 2022 .

29 π. 30

ƠN

Ox là V = π . (x 2 − x + 2) − (2 x )2 dx =

FI CI A

A. 3.

D. 2023 .

Lời giải

Đặt x 2 + 1 = t suy ra : dt = 2 x.dx  x.dx =

1 dt 2

QU Y

x = 0 → t = 1 Đổi cận  . x = 2 → t = 3

3 1 1 1  t7 t6  2005 Suy ra I =  (t − 1).t . .dt = . (t 6 − t 5 )dt =  −  = . 2 2 1 2 7 6 1 21 1 Vậy a = 2005, b = 21  a + b − 5 = 2021 . Câu 19. [ TH] Cho khối lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' , đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , mặt phẳng ( A ' BC ) tạo với mặt đáy ( ABC ) góc 60 o . Tính thể tích khối lăng trụ

KÈ

A. V = 3a 3 .

B. V = 3a 3 3 .

C. V = a 3 3 . Lời giải

DẠ

Tam giác ABC đều nên diện tích đáy là 3 S đ = S ABC = AB 2 . = a2 3 . 4 Gọi M là trung điểm BC thì BC ⊥ ( A ' AM ) nên góc giữa ᇱ ‫ = ܣܯ‬60௢ . Suy hai mặt phẳng ( A ' BC ) và ( ABC ) là góc ‫ܣ‬෣

AA ' = tan 60 o = 3  h = A ' A = AM . 3 = 3a . AM Vậy thể tích khối lăng trụ là V = S đ .h = 3a 3 3 . ra

Trang 9

D. V = a 3 .

ln x + 1.ln x là x

Tính

(

ln x + 1 5



)

(

ln x + 1 3

)

(

Lời giải

ln x + 1 5

ln x + 1.ln x dx . x

Đặt t = ln x + 1  t 2 = lnx +1  2tdt = Khi đó:

+C.

1 dx . x

ln x + 1.ln x dx = 2 t ( t 2 − 1) tdt = 2 ( t 4 − t 2 ) dt x



(

)

(

)

) −( )

−

ln x + 1 3

)

+C.

(

ln x + 1 3

)

+C .

C. −

ln x + 1

( B.

x5 x3 − +C . A. 5 3

FI CI A

Câu 20. [TH] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

ƠN

2 ln x + 1 2 ln x + 1 2t 5 2t 3 = − +C = − +C. 5 3 5 3 Câu 21. [TH] Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a , AD = a . Quay hình chữ nhật đó xung quanh cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB tạo thành hình trụ, diện tích toàn phần của hình trụ đó là A. 6π a 2 . B. 3π a 2 . C. 8π a 2 . D. 5π a 2 . Lời giải Hình trụ tạo thành có chiều cao h = AB = 2a , bán kính đáy r = AD = a . Diện tích toàn phần của hình trụ là S = 2π r 2 + 2π rh = 2π a 2 + 4π a 2 = 6π a 2 . Câu 22. [TH] Trong không gian cho hai mặt phẳng (α ) : ( m − 1) x + ( m − 2 ) y + 3 z − 4 = 0 và

( β ) : 2 x + y + 3 z − 3 = 0 . Giá trị của B. m = 1 .

C. m = 3 . D. m = −1 . Lời giải m − 1 m − 2 3 −4 Hai mặt phẳng trên song song khi = = ≠ ⇔ m = 3. 2 1 3 3 Câu 23. [TH] Viết phương trình mặt phẳng ( P ) biết ( P ) nhận v = (1;0;1) làm vec tơ chỉ phương và đi

QU Y

A. m = 2 .

m để hai mặt phẳng trên song song là

qua E (1;2; − 1) , F (1; − 1;1) ?

B. 3x − 2 y + 3z − 2 = 0 . D. 3x − 2 y − 3z − 2 = 0 . Lời giải ( P ) đi qua E (1;2; −1) , F (1; −1;1) nên nhận EF = ( 0; − 3;2 ) làm một vec tơ chỉ phương. Khi đó ( P ) nhận u = v, EF  = ( 3; − 2; − 3) làm vec tơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng ( P ) qua E (1;2; − 1) và nhận u = ( 3; − 2; − 3 ) làm vec tơ pháp tuyến là:

KÈ

A. 3 x − 2 y + 3 z + 2 = 0 . C. 3x + 2 y + 3z − 2 = 0 .

DẠ

3 ( x − 1) − 2 ( y − 2 ) − 3 ( z + 1) = 0 ⇔ 3x − 2 y − 3z − 2 = 0 . Câu 24. [TH] Cho u = ( −1;1;0 ) , v = ( 0; −1; 0 ) . Tính giữa hai vectơ u và v . A. 35° . B. 45° . C. 145° . D. 135° . Lời giải 2 2 Ta có: u.v = −1.0 + 1. ( −1) + 0.0 = −1 và u . v = ( −1) + 12 + 02 . 02 + ( −1) + 02 = 2 .

Trang 10

u.v 1  u , v = 1350 . Khi đó: cos u , v = = − 2 u.v

( )

A. π 3 .

x dx . sin 2 x

π 2 3

π 3 2

FI CI A

2π

Câu 25. [TH] Tính I = π 3

Lời giải u = x   Đặt  dx . Suy ra du = dx , chọn v = − cot x . dv = sin 2 x Khi đó

I = π

2π

2π 2π 2π 3 1 x 3 3 3 d x = − x cot x + cot x d x = − x cot x + d ( sin x ) π π π 2   sin x π 3 3 3 sin x 3

2π 3

π 3

= ( − x cot x + ln sin x ) π =

ƠN

2π 3

π 3

Câu 26. [ VD] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và đồ thị của hàm số y = f / ( x ) như hình vẽ

QU Y

dưới đây.

1 Tìm m để bất phương trình m + x 2 ≤ f ( x ) + x3 nghiệm đúng với ∀x ∈ ( 0;3) 3 A. m < f ( 0 ) .

B. m ≤ f ( 0) .

C. m ≤ f ( 3) .

D. m < f (1) −

2 . 3

KÈ

Lời giải 1 1 Ta có m + x 2 ≤ f ( x ) + x3 ⇔ m ≤ f ( x ) + x 3 − x 2 3 3 1 3 2 Đặt g ( x ) = f ( x ) + x − x . 3 / / Ta có g ( x ) = f ( x ) + x 2 − 2 x .

g / ( x ) = 0 ⇔ f / ( x ) + x 2 − 2 x = 0 ⇔ f / ( x ) = − x2 + 2 x .

DẠ

Lại có ∀x ∈ ( 0;3)  f / ( x ) > 1; − 3 < − x 2 + 2 x ≤ 1  f / ( x ) > − x 2 + 2 x . Khi đó ta có BBT của

Trang 11

y = g ( x ) như sau

L FI CI A

1 Từ BBT ta có được m ≤ f ( x ) + x3 − x 2 ∀x ∈ ( 0;3) ⇔ m ≤ f ( 0 ) . 3 x 4 − 3.2 x +1 + 8 Câu 27. [ TH] Bất phương trình ≥ 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên âm? 2 x +1 − 1 A. 2. B. −1 . C. 0. D. 1. Lời giải 2

( 2x ) − 6.2x + 8 ≥ 0 . Đặt 2x = t , ( t > 0) 4 x − 3.2 x +1 + 8 ≥ 0 ⇔ Ta có: 2 x +1 − 1 2.2 x − 1

x 2

(2 ) Nên

− 6.2 x + 8

1 <t≤2 Từ bảng xét dấu ta có: f ( t ) ≥ 0 ⇔  2  4 ≤ t

ƠN

t 2 − 6t + 8 , Lập bảng xét dấu của f ( t ) = 2t − 1

DẠ

KÈ

QU Y

≥0 2.2 x − 1  2x ≥ 4  x≥2 ⇔ 1 ⇔ . x  <2 ≤2 −1 < x ≤ 1   2 Vậy bất phương trình không có nghiệm nguyên âm. Câu 28. [ VD] Người ta muốn sơn một bức tường được tạo thành từ 20 bức tường nhỏ có số đo và hình dạng như hình vẽ bên dưới. Biết mỗi 1 lít sơn được 5 m 2 tường và phần tường phía trên là phần trong của 1 Parabol. Lượng sơn cần dùng gần với giá trị nào dưới đây

Trang 12

L FI CI A OF

B. 16,9 .

C. 11,12 . D. 12,16 . Lời giải Bức trường con gồm hai phần, một phần là hình chữ nhật có diện tích là S1 = 1,6. (1, 2 ) = 1,92 m2

ƠN

A. 16,12 .

QU Y

Phần phía trên là phần trong của một Parabol, nên ta sẽ gắn hệ trục tọa độ như sau:

−5 2 5 x + x. 36 3 Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có:

Từ đó ta có phương trình đường cong là: y = 1,2

1,2

5   −5  −5 3 5 2  S 2 =   x 2 + x  dx =  x + x  = 1,12 m 2 36 3 108 6 0    0

Suy ra diện tích 1 bức tường con là: S = S1 + S2 = 3,04 m 2 .

KÈ

Suy ra diện tích cả bức tường to là: Stp = 20. ( 3,04 ) = 60,8 m2

Stp

= 12,16 l . 5 Câu 29. [ VD] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. E, F lần lượt là trung điểm của SB, SD . M là điểm nằm trên SC sao cho 3 SM = 2 MC . Tính tỉ lệ diện tích 2 khối đa diện: SAEMF trên ABCDFME . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 4 5 10 Lời giải

DẠ

Suy ra thể tích sơn cần dùng là: V =

Trang 13

L FI CI A

SM 2 = SC 5 V V SE SM 1 SF SM 1 . = và S . AFM = . = Khi đó: S . AEM = VS . ABC SB SC 5 VS . ADC SD SC 5 Mà S ∆ABC = S ∆ADC  VS . ABC = VS . ADC V V 1 1 Suy ra SAEMF =  SAEMF = . VS . ABCD 5 VABCDFME 4

ƠN

Câu 30. [VD] Cho hàm số

Từ giả thiết 3 SM = 2 MC ta suy ra:

F ( x ) = ( a x 2 + bx + c ) .e − x

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = ( − x 2 + 9 x − 1) .e − x . Tính P = a − b + c 2 . B. −28 .

C. 30 . D. 44 . Lời giải F ( x ) = ( a x 2 + bx + c ) .e − x  F ′ ( x ) = ( 2ax + b ) .e − x − ( a x 2 + bx + c ) .e− x =  − a x 2 + ( 2a − b ) x + b − c  .e − x a = 1  2 2 −x −x F ′ ( x ) = f ( x ) ⇔  − a x + ( 2a − b ) x + b − c  .e = ( − x + 9 x − 1) .e ⇔ b = −7 c = −6 

QU Y

A. 0 .

Vậy P = a − b + c 2 = 1 + 7 + ( −6 ) = 44 .

 x = −3 + 4t x −1 y z −1  = = Câu 31. [VD] Cho d1 :  y = 3 + 2t và d 2 : . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa 2 1 3  z = −2 + 6t  d1 , song song với d 2 và khoảng cách từ d 2 tới ( P ) là lớn nhất.

KÈ

A. − x + 2 y + 2 z + 5 = 0 . C. x − 2 y − 2 z + 5 = 0 .

B. x − 2 y − 9 = 0 . D. x − 2 y + 9 = 0 . Lời giải

Ta có A ( −3;3; − 2 ) ∈ d1  A ∈ ( P ) Vec tơ chỉ phương của d1 là u1 = ( 4; 2;6 ) , vec tơ chỉ phương của d 2 là u = ( 2;1;3) , A ∉ d 2

DẠ

nên d1 // d 2

Trang 14

Gọi H là hình chiếu của A trên d 2 . Do ( P ) // d 2 nên khoảng cách giữa d 2 và ( P ) là khoảng cách giữa H và ( P ) Giả sử I là hình chiếu của H trên ( P ) ta có AH ≥ AI nên HI lớn nhất khi A ≡ I

Vậy mặt phẳng ( P ) cần tìm là mặt phẳng qua A và nhận AH làm vec tơ pháp tuyến

H ∈ d 2  H (1 + 2t ; t ;1 + 3t ) vì H là hình chiếu của A trên d 2 nên AH ⊥ d2  AH .u = 0  2. ( 2t + 4 ) + t − 3 + 3.( 3t + 3) = 0  t = −1  H ( −1; − 1; − 2 ) , AH = ( 2; − 4;0)

FI CI A

Vậy ( P ) : 2. ( x + 3) − 4 ( y − 3) = 0 ⇔ x − 2 y + 9 = 0 .

Câu 32. [VDC] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A (1;0; 2) , B ( −3; 2;0 ) , C (1; − 2;4) và mặt phẳng

( P ) : x + y − z −1 = 0 .

Điểm

M ( a ; b ; c ) thuộc mặt phẳng

( P)

sao cho

T = MA2 + 2 MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị a + b + c là A. 0 .

3 . 4

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải

ƠN

1 3  Gọi I là trung điểm AC và J là trung điểm BI . Suy ra I (1; − 1;3 ) và J  −1; ;  . 2 2  1 1 Khi đó T = MA2 + 2 MB 2 + MC 2 = 2 MB 2 + 2 MI 2 + AC 2 = 4 MJ 2 + BI 2 + AC 2 . 2 2 Do đó T nhỏ nhất khi MJ ngắn nhất. Suy ra M là hình chiếu của J trên mặt phẳng ( P ) .

QU Y

  x = −1+ t  1  Đường thẳng JM đi qua J và vuông góc với mặt phẳng ( P ) có phương trình là  y = + t . 2  3   z = 2 − t  x + y − z −1 = 0 t = 1  x = −1+ t x = 0     1 Tọa độ điểm M tương ứng với x, y , z là nghiệm của hệ:  y = + t ⇔ y = 3 2 2     3 1 z = − t z =   2 2  3 1 Vậy M  0; ;   a + b + c = 2  2 2

Câu 33. [VDC] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định trên ℝ là f ′ ( x ) = x ( x 2 − 1) x 2 + 3 . Giả sử a, b là hai số thực thay đổi sao cho a < b ≤ 1 . Giá trị nhỏ nhất của f ( a ) − f ( b ) bằng

3 − 64 . 15

KÈ

Ta có: y ′ = f ′ ( x ) = x ( x − 1) 2

33 3 − 64 . 15

C. −

3 . 5

D. −

11 3 . 5

Lời giải x + 3 suy ra y = f ( x ) =  x ( x 2 − 1) x 2 + 3dx 2

DẠ

Đặt t = x 2 + 3  t 2 − 3 = x 2  xdx = tdt Suy ra 2 2 2 2 4 2  x ( x − 1) x + 3dx =  ( t − 4 ) t dt =  ( t − 4t )dt =

Trang 15

t5 4 3 − t + C , với C là hằng số. 5 3

+ 3)

x2 + 3

(

−

)

Mặt khác f ' ( x ) = 0 ⇔ x x 2 − 1

4 ( x 2 + 3) x 2 + 3 3

 x=0 x2 + 3 = 0 ⇔  .  x = ±1

Từ đó: f ( x )

(x =

FI CI A

Bảng biến thiên

Dựa và bảng biến thiên, ta có nhận xét: Trên khoảng ( −∞; −1) hàm nghịch biến, do đó với a < b < −1  f ( a ) > f ( b ) nên

ƠN

f ( a ) − f (b) > 0 .

Trên đoạn [ −1;1] , để f ( a ) − f ( b ) đạt GTNN thì f ( a ) đạt GTNN và f ( b ) đạt GTLN.

a = −1 Do đó  , vì a < b ≤ 1. b=0 Suy ra giá trị nhỏ nhất của f ( a ) − f ( b ) = f ( −1) − f ( 0 ) .

 16.2 16.2   9 3 12 3  33 3 − 64 Vậy f ( −1) − f ( 0 ) =  − − = − 3   5 3  15  5

QU Y

[ VD] Cho y = x 4 − 2 x 3 + x 2 + m . Có bao nhiêu số nguyên m sao cho max y ≤ 100 .

Câu 34.

A. 197 .

B. 196 .

[−1;2]

C. 200 .

Lời giải Xét g ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 + m trên [ −1; 2]

g ′ ( x ) = 4 x3 − 6 x 2 + 2 x

DẠ

KÈ

 x =0  g ′ ( x ) = 0 ⇔ 4 x3 − 6 x2 + 2 x = 0 ⇔  x = 1  1 x =  2   1  M = max g ( x ) = max  g ( −1) ; g ( 2 ) ; g ( 0 ) ; g (1) ; g     2  [ −1;2]  1  = max m + 4; m + 4; m; m; m +  = m + 4 16   min g ( x ) = m [ −1;2]

{

}

Suy ra max y = max m + 4; m ≤ 100

Trang 16

[ −1;2]

D. 201 .

2 m ≤ −2   m 2 ≥ ( m + 4 ) Trường hợp 1: m + 4 ≤ m ≤ 100 ⇔  ⇔ ⇔ −100 ≤ m ≤ −2 −100 ≤ m ≤ 100 −100 ≤ m ≤ 100

Câu 35.

FI CI A

 ( m + 4 )2 ≥ m 2 m ≥ −2  Trường hợp 2: m ≤ m + 4 ≤ 100 ⇔  ⇔ ⇔ −2 ≤ m ≤ 96 −100 ≤ m + 4 ≤ 100 −104 ≤ m ≤ 96 Vậy m ∈ {−100;96} nên có 197 giá trị của m . [ VD] Cho y = f ( x ) > 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn x

g ( x ) = 1 + 2018 f ( t ) dt , g ( x ) = f 2 ( x ) . Tính 0



g ( x ) dx

1011 . 2

1009 . 2

2019 . 2

Lời giải

D. 505 .

Ta có g ( x ) = 1 + 2018 f ( t ) dt  g ′ ( x ) = 2018 f ( x ) = 2018 g ( x ) . 0

g′ ( x) g ( x)

= 2018  

g′ ( x) g ( x)

Vì g ( 0 ) = 1 nên 2

(

dx = 2018 dx  2 g ( x )

)

ƠN

Suy ra

)

g ( t ) − 1 = 2018t 1

= 2018 x t0 . 0

1011  1009 2   g ( t ) = 1009t + 1   g ( t )dt =  t +t = 2 .  2 0 0 II - PHẦN TỰ LUẬN x Câu 1. a) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 . x +1

QU Y

Lời giải

dt = xdx . 2 ln ( x 2 + 1) x 1 dt ln t dx =  = +C = +C . Khi đó  2 x +1 2 t 2 2 Đặt t = x 2 + 1  dt = 2 xdx 

Lời giải

π  1 1 1 3 x + 2 1 + cos 2 x d x = 3 x + 2 d x + ( )( ) ( ) ( 3 x + 2 ) cos 2 x dx  = ( I1 + I 2 ) .    20 2 0 0  2

KÈ

b) Tính tích phân I =  ( 3 x + 2 ) cos 2 x dx .

I 2 =  ( 3 x + 2 ) cos 2 x dx . 0

DẠ

du = 3dx u = 3 x + 2  Đặt   . 1 dv = cos 2 x dx v = sin 2 x  2 π

1 3 3 Khi đó I 2 = ( 3x + 2 ) sin 2 x −  sin 2 x dx = 0 + ( cos 2 x ) = 0 . 2 20 4 0 0

Trang 17

FI CI A

3 3  I1 =  ( 3 x + 2 ) dx =  x 2 + 2 x  = π 2 + 2π . 2 0 2 0 13  3 Vậy I =  π 2 + 2π  = π 2 + π . 22  4 Câu 2. a) [ TH] Trong không gian , viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua bốn điểm O , A (1; 0;0 ) , B ( 0; − 2;0 ) và C ( 0; 0;3) . Lời giải Giả sử phương trình mặt cầu có dạng ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 )

Vì mặt cầu ( S ) đi qua O , A (1; 0; 0 ) , B ( 0; − 2;0 ) và C ( 0;0;3) nên thay tọa độ bốn điểm lần

( P ) : x + 2 y− 2 z − 2 = 0 ?

ƠN

lượt vào phương trình ta được d = 0  d = 0 a = 1 1 − 2a + d = 0   2  S : x 2 + y 2 + z 2 − x + 2 y − 3z = 0 . ⇔ ( )   4 + 4b + d = 0 b = −1 9 − 6c + d = 0  3 c =  2 Câu 2. b) [ VD] Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng

Lời giải

QU Y

Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;3) , bán kính R = d ( I , ( P ) ) =

1+ 4 − 6 − 2 12 + 22 + ( −2 )

= 1. 2

Do đó phương phương trình mặt cầu cần tìm là ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 1 .

Câu 3. [ VD] Tìm m để hàm số y = 2 x 3 − 4 x 2 + 3 ( m + 1) x − m đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 sao cho

x1 = 3x2 .

Lời giải

Tập xác định: D = ℝ . Ta có y′ = 6 x 2 − 8 x + 3 ( m + 1) .

y′ = 0 ⇔ 6 x 2 − 8 x + 3 ( m + 1) = 0 ( ∗)

KÈ

Phương trình ( ∗ ) có ∆′ = −18m − 2 . Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình

(∗)

có hai nghiệm phân biệt

1 . 9 Do hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 nên x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ( ∗ ) .

DẠ

∆′ > 0 ⇔ −18m − 2 > 0 ⇔ m < −

Trang 18

4   x1 + x2 = 3 Theo Viet:  (1). x x = m +1  1 2 2 Theo giả thiết: x1 = 3x2 (2).

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

1 4   x = 4 x2 = 3  2 3 m +1 1 1 ⇔ Thế (2) vào (1) ta được:  . Do đó = ⇔ m = − (thỏa mãn). 6 9 3 3x 2 = m + 1 x2 = m + 1 2 2 6 2   1 Vậy m = − là giá trị cần tìm. 3

Trang 19

I - PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1.

100

[ NB] Tìm F ( x ) =  ( 2 x + 1)

100

A. F ( x )

( 2x + 1) =

C. F ( x )

( 2 x + 1) =

200

101

+ C.

B. F ( x )

( 2 x + 1) =

D. F ( x )

( 2 x + 1) =

101

+ C.

101

+ C. 202 [ NB] Hàm số f ( x ) nào dưới đây thoả mãn



102 f ( x ) dx = ln x + 3 + C ?

+ C.

Câu 2.

B. f ( x ) =

A. f ( x ) = ( x + 3) ln ( x + 3) − x .

1 . x+3

Câu 3.

1 . x+2 [ NB] Cho hàm số f ( x ) = 2 x + x + 1 . Tìm

Câu 4.

1 2 1 x + x+C . B.  f ( x ) dx = 2 x + x 2 + x + C . 2 2 1 x 1 2 x C.  f ( x ) dx = 2 + x + x+C. D.  f ( x ) dx = 2 + x 2 + x + C . ln 2 2 [ NB] Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 3x

D. f ( x ) = ln ( ln ( x + 3 ) ) .

 f ( x ) dx .

 f ( x ) dx = x + 1 2

ƠN

C. f ( x ) =

A. −3cos3x +C .

1 1 cos3x + C . D. − cos3 x + C . 3 3 x 2 x 2 x − 3e dx = ax + b.e + c . Khi đó 3a + b bằng ?

B. 3cos3x + C .

(

QU Y

Câu 5 . [TH] Cho các số thực a ; b ; c thỏa mãn  A. 0 .

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 12 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 35 câu TN, 4 câu tự luận)

FI CI A

ĐỀ SỐ 6

)

B. 1 .

C. 2 . D. 3 . x +1 Câu 6 . [TH] F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = thỏa mãn F ( 3 ) = 0 .Tính F ( 4 ) ? x −2 A. F ( 4 ) = 1 + ln8 . B. F ( 4 ) = 1 + ln 4 . C. F ( 4 ) = 1 + ln 6 . D. F ( 4 ) = 1 + ln 2 . Câu 7 . [NB] Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên ℝ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

KÈ

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . B.  3 f ( x ) dx = 3 f ( x ) dx . C.  f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C . D.   f ( x ) .g ( x )  dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx . A.

DẠ

Câu 8 . [NB] Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề đúng? 1 2 3 ( x + 1) dx = ( x + 1) + C  3 (I)

Trang 1

(II)  3 f ( x ) dx = 3 +  f ( x ) dx (III)  ln xdx =

1 +C x

(IV)  sin xdx = cosx + C

B. F ( x ) = x 2 + e x − 2020 .

C. F ( x ) = x2 + e x − 2022 .

D. F ( x ) = x 2 + e x + 2022 .

A. F ( x ) = x 2 + e x + 2020 .

FI CI A

Câu 9.

A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . x [TH] Tìm hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + e biết F ( 0 ) = 2021 .

Câu 10. [TH] Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4sin 2 x là A. F ( x ) = 2 x + sin 2 x + C . B. F ( x ) = 2 x − sin 2 x + C . C. F ( x ) = 2 x + 2sin 2 x + C . D. F ( x ) = 2 x − 2sin 2 x + C . Câu 11. [Mức độ ] Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 x + 1 )

( 2x +1)

là

2022

+C .

B. F ( x ) = 2 ( 2 x + 1 )

2022 2022 2 x ( +1) C. F ( x ) = +C. 4044

D. F ( x ) = ( 2 x + 1 )

Câu 12. [TH] Tìm các họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

2022

+C .

A. F ( x ) =

2021

2020

+C .

sin x . 1 + 3cos x

+C.

nào sau đây là đúng. b

 f ( x ) dx = F ( x )

b a

= F ( a ) − F ( b) .

a b



f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( a ) + F ( b ) .

QU Y

 f ( x )dx = ln 1 + 3 cos x

ƠN

ln 1 + 3 cos x +C. 3 ln 1 + 3 cos x C.  f ( x )dx = 3 ln 1 + 3 cos x + C . D.  f ( x )dx = − +C. 3 Câu 13. [NB] Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên [ a; b ] và F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) . Khẳng định

 f ( x )dx =

 f ( x ) dx = F ( x )

= F (b) − F (a ) .

a b

 f ( x ) dx = F ( x )

b a

= −F ( a ) − F (b ) .

Câu 14. [NB] Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b ] và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) . Tìm khẳng định sai. b

 a b

 f ( x ) dx = −  f ( x ) dx . a

 f ( x ) dx = 0 . a b

f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) .

 f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) . a

KÈ

Câu 15. [NB] Cho các số thực a , b ( a < b ) . Nếu hàm số y = F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số

B.  F ( x ) dx = f ( a ) − f ( b ) .

C.  F ( x ) dx = f ( a ) − f ( b ) .

y = f ( x ) thì b

 f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b) .

a b

DẠ

a b

 f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) . a

Câu 16. [TH] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ℝ , f ( −1) = −2 và f ( 3) = 2 . Tính I =

Trang 2

 f ′ ( x ) dx . −1

A. I = −4 .

B. I = 0 .

C. I = 3 .

D. I = 4 . 3

Câu 17. [NB] Cho f ( x) liên tục trên ℝ có f ( 3) = 5; f (1) = −1 . Giá trị của tích phân I =  ( f ′ ( x ) + 2 ) dx C. −10 .

 f ( x )dx = 2 , tích phân I =   2 f ( x ) − 4dx bằng: 1

A. 0 .

B. 8 .

Câu 19. [NB] Nếu cho

C. −2 .

D. 10 .

 f ( x)dx = 4,  f ( x)dx = −2 thì  f ( x)dx bằng:

A. 8 .

B. 6 .

C. 2 .

D. 4 .

 f ( x)dx = 3 . Giá trị của  [5 f ( x) − 3]dx

Câu 20. [NB] Cho

A. 12 .

B. 10 .

C. 8 . 10

Câu 21. [TH] Cho f ( x) liên tục trên ℝ . Biết

∫

f ( x)dx = 7 và

nhiêu? A. 2 .

Câu 23. [TH] Tích phân

x

C. 8 .

x dx bằng: +3 7 B. ln . 3

QU Y

1 7 A. log . 2 3

D. 12 .

B. 0 . 2

∫ f (x)dx bằng bao

 g ( x ) dx = −1. Giá trị   f ( x ) − 5g ( x ) + x  dx bằng:

A. 12 .

∫

f ( x)dx = −5 thì

C. −2 .

Câu 22. [TH] Cho  f ( x ) dx = 3 và

D. 9 .

B. −12 . 2

ƠN

Câu 18. [NB] Cho

D. 10 .

FI CI A

B. 2 . 2

bằng: A. 6 .

1 3 ln . 2 7

D. 10 .

1 7 ln . 2 3

Câu 24. [TH] Giá trị của tích phân

 xcos xdx là: 0

A. 0 .

B. 2 .

Câu 25. [TH] Cho



f ( x ) dx = 3 . Khi đó



D. −2 .

( x ) dx bằng

C. 1.

KÈ

3 . D. 3 . 2 Câu 26. [NB] Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (1; − 2;3) , B ( −1;5;6 ) . Trọng tâm G của tam giác

A. 6.

B. 3.

OAB có tọa độ là B. G ( 0;1;3 ) .

C. G ( 0;1; −3 ) . D. G ( 0; −1; −3) . Câu 27. [NB] Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a = (1;1;− 2 ) , b = ( −3;0;1) và c = ( 2;3;− 1) . Tọa độ của vectơ u = a − b + c là A. u = ( 6; 4; −4 ) . B. u = ( 2; 4; −4 ) . C. u = ( 6; −2; −4 ) . D. u = ( 6; 4; −2 ) .

DẠ

A. G ( 0; −1;3) .

Câu 28. [TH] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; −2 ) , B ( 4; −1; −5) . Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MB = 2 MA , tọa độ điểm M là Trang 3

A. M ( −2;5;1) .

B. M ( −2;1; −3) .

C. M ( −2; −5;1) .

D. M ( 2;1; −3) .

B. I ( −4;1; 0 ) và R = 2 6 .

C. I ( 4; 0; −1) và R = 17 .

D. I ( 4; − 1; 0 ) và R = 2 6 .

FI CI A

A. I ( −4; 0;1) và R = 17 .

Câu 29. [NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 8 x + 2 y − 7 = 0 . Tọa độ tâm I và bán kính R của ( S ) là

Câu 30. [TH] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu có tâm I ( 2; −3;7) và đi qua điểm M ( −4;0;1) có phương trình là:

A. x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y − 7 z + 19 = 0 .

B. x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + 14 z − 19 = 0 .

C. x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y − 14 z − 19 = 0 .

D. x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + 14 z + 19 = 0 .

Câu 31. [NB] Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A ( 7;0; 0 ) , B ( 0; − 1;0 ) ,

C ( 0;0; 2 ) là

x y z x y z B. + + = 1 . − + = 0. 7 1 2 7 1 2 x y z x y z C. − + = 1 . D. + − = 1 . 7 1 2 7 1 2 Câu 32. [NB] Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm A ( 2; 7; 2 ) và song song

ƠN

với mặt phẳng tọa độ ( Oxz ) là

B. y − 7 = 0 . D. 2 x + 7 y + 2 z = 0 .

A. x − 2 = 0 . C. z − 2 = 0 .

Câu 33. [NB] Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 3 z + 4 = 0 là ? A. n = ( 0; −2; −3) .

B. n = ( 0; −2;3) .

C. n = ( 2;3; 4 ) .

D. n = (1; 2;3) .

QU Y

Câu 34. [TH] Mặt phẳng ( P ) đi qua 3 điểm A (1; 0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0;3) có phương trình là A. 6 x + 3 y + 2 x − 6 = 0 .

B. 6 x + 3 y + 2 x + 6 = 0 . x y z C. x + 2 y + 3 x − 1 = 0 . D. + + = 0 . 1 2 3 Câu 35. [TH] Phương trình mặt phẳng (α ) đi qua hai điểm A ( 2; −1;0 ) , B (1; 2; −3) và vuông góc mặt

phẳng ( β ) : x + y − 2 z − 3 = 0 ?

Câu 1.

B. 3 x + 5 y + 4 z − 1 = 0 . D. 3 x + 5 y + 4 z + 1 = 0 .

KÈ

A. y + z + 1 = 0 . C. y + z − 1 = 0 . II - PHẦN TỰ LUẬN

[VD] Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

( 2 x − 1) e4 x , trục Ox

x = 1 . Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay ( H ) quanh trục Ox .

DẠ

Câu 2.

Trang 4

[VD] Tính tích phân I =

ln15



ln 3

1 e− x

(

)

ex + 1 + ex −1

dx .

và đường thẳng

π 2

 ( 4 cos 2 x + 3sin 2 x ) ln ( cos x + 2sin x ) dx .

Câu 3.

[ VDC] Tính tích phân:

Câu 4.

[ VD] Trong không gian Oxyz cho mp ( Q ) : 2 x + y − 2 z + 1 = 0 và mặt cầu

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 z − 23 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4 .

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 3. C 4. D 5. A 6. A 12. D 13. B 14. A 15. D 21. D 22. D 23. D 24. D 30. C 31. C 32. B 33. D

2. B 11. C 20. D 29. D

1. C 10. B 19. C 28. D

ƠN

FI CI A

song song với ( Q ) và

7. D 16. D 25. A 34. A

LỜI GIẢI.

I - PHẦN TRẮC NGHIỆM 100

QU Y

[ NB] Tìm F ( x ) =  ( 2 x + 1)

Câu 1.

100

A. F ( x ) =

( 2x + 1)

101

B. F ( x ) =

+ C.

200

101

C. F ( x )

( 2 x + 1) =

Câu 2.

 ( ax + b )

dx =

DẠ

A. f ( x ) = ( x + 3) ln ( x + 3) − x .

Trang 5

1 . x+2

102

+ C.

Lời giải n ≠ −1 và a ≠ 0 .

202

[ NB] Hàm số f ( x ) nào dưới đây thoả mãn

C. f ( x ) =

( 2 x + 1) =

n +1

KÈ

Ta có

D. F ( x )

( ax + b ) + C , vớ i a ( n + 1) 101 2 x + 1) ( 100 F ( x ) =  ( 2 x + 1) dx = +C .

Áp dụng công thức

+ C.

101 101

+ C.

202

( 2 x + 1)

 f ( x ) dx = ln x + 3 + C ? B. f ( x ) =

1 . x+3

D. f ( x ) = ln ( ln ( x + 3) ) . Lời giải

8. A 17. D 26. B 35. B

9. A 18. A 27. A

′ ′ = ( x + 3) = 1 .  = ln + 3 + f x x C f x d x = ln x + 3 + C ( ) ( ) ( )  x+3 x+3 x [ NB] Cho hàm số f ( x ) = 2 + x + 1 . Tìm  f ( x ) dx . 1 2 x + x+C . 2 1 x 1 2 f ( x ) dx = 2 + x + x+C. ln 2 2

 f ( x ) dx = x + 1 2



 f ( x ) dx = 2

+ x2 + x + C .

Lời giải 1 x 1 2 Có  f ( x ) dx =  ( 2 x + x + 1) dx = 2 + x + x+C . ln 2 2 [ NB] Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 3x A. −3cos3x +C .

B. 3cos3x + C .

1 2 x + x+C . 2

1 cos3x + C . 3

Lời giải

1 D. − cos3x + C . 3

Câu 4.

FI CI A

Câu 3.

Ta có

cos 3x +C . 3 Câu 5 . [TH] Cho các số thực a ; b ; c thỏa mãn  2 x − 3e x dx = ax 2 + b.e x + c . Khi đó 3a + b bằng ?

∫ sin 3x dx = −

A. 0 .

B. 1 .

)

ƠN

(

C. 2 . D. 3 . Lời giải a = 1 Ta có  2 x − 3e x dx = x 2 − 3.e x + c nên  . Do đó 3a + b = 0 . b = −3 x +1 thỏa mãn F ( 3 ) = 0 .Tính F ( 4 ) ? Câu 6 . [TH] F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x −2 A. F ( 4 ) = 1 + ln8 . B. F ( 4 ) = 1 + ln 4 . C. F ( 4 ) = 1 + ln 6 . D. F ( 4 ) = 1 + ln 2 .

)

(

Lời giải



x +1



QU Y

Ta có

 x − 2 dx =   1 + x − 2 dx 

= x + 3ln | x − 2 | +C . Mà F ( 3) = 0 nên 3 + C = 0 ⇔ C = −3

Vậy F ( x ) = x + 3ln | x − 2 | −3 . Do đó F ( 4 ) = 4 + 3ln 2 = 4 + ln 8 .

Câu 7 . [NB] Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên ℝ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . B.  3 f ( x ) dx = 3 f ( x ) dx . C.  f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C . D.   f ( x ) .g ( x )  dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx .

KÈ

Ta có

  f ( x ) .g ( x )  dx ≠ 

Lời giải f ( x ) dx. g ( x ) dx .

DẠ

Câu 8 . [NB] Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề đúng? 1 2 3 ( x + 1) dx = ( x + 1) + C  3 (I)

Trang 6

(II)  3 f ( x ) dx = 3 +  f ( x ) dx (III)  ln xdx =

1 +C x

(IV)  sin xdx = cosx + C

 ( x + 1) Xét (I):

C. 3 . Lời giải

dx =  ( x + 1) d ( x + 1) = 2

D. 4 .

1 3 ( x + 1) + C 3 nên (I) đúng.

Xét (II):  3 f ( x ) dx = 3 f ( x ) dx nên (II) sai. Xét (III):  ln xdx = x ln x − x + C nên (III) sai. Xét (IV):  sin xdx = − cosx + C nên (IV) sai.

[TH] Tìm hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + e x biết F ( 0 ) = 2021 . A. F ( x ) = x 2 + e x + 2020 .

B. F ( x ) = x 2 + e x − 2020 .

C. F ( x ) = x2 + e x − 2022 .

D. F ( x ) = x 2 + e x + 2022 . Lời giải

Ta có

 ( 2 x + e )dx = x x

Câu 9.

B. 2 .

FI CI A

A. 1 .

+ e x + C.

F ( 0 ) = 2021  1 + C = 2021  C = 2020.

ƠN

Câu 10. [TH] Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4sin 2 x là A. F ( x ) = 2 x + sin 2 x + C . B. F ( x ) = 2 x − sin 2 x + C . C. F ( x ) = 2 x + 2sin 2 x + C . D. F ( x ) = 2 x − 2sin 2 x + C . Lời giải Ta có 4 sin 2 x = 2 − 2 cos 2 x . Do đó  4 sin 2 xdx =  ( 2 − 2 cos 2 x )dx = 2 x − sin 2 x + C . Câu 11. [Mức độ ] Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 x + 1 ) A. F ( x ) =

( 2x +1)

2022

+C .

Ta có

QU Y

2022 2022 ( 2x +1) C. F ( x ) = +C. 4044

 ( 2x + 1)

2021

là

B. F ( x ) = 2 ( 2 x + 1 ) D. F ( x ) = ( 2 x + 1 )

2022

2020

+C .

Lời giải

1 dt. 2 2022 2x +1) 1 2021 t 2022 ( 2021 Khi đó  ( 2 x + 1 ) dx =  t dt = +C = + C. 2 4044 4044 sin x Câu 12. [TH] Tìm các họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = . 1 + 3cos x ln 1 + 3 cos x A.  f ( x )dx = ln 1 + 3 cos x + C . B.  f ( x )dx = +C. 3 ln 1 + 3 cos x C.  f ( x )dx = 3 ln 1 + 3 cos x + C . D.  f ( x )dx = − +C. 3 Lời giải sin x 1 1 1 Ta có  dx = −  d ( 1 + 3cos x ) = − ln 1 + 3cos x + C. 1 + 3cos x 3 1 + 3cos x 3

DẠ

KÈ

Đặt 2 x + 1 = t  dt = 2dx  dx =

Trang 7



f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( a ) − F ( b ) .

 f ( x ) dx = F ( x )



= F (b) − F (a ) .

f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( a ) + F ( b ) .

FI CI A

 f ( x ) dx = F ( x ) a

Lời giải b

Ta có:

 f ( x ) dx = F ( x )

b a

Câu 13. [NB] Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên [ a ; b ] và F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) . Khẳng định nào sau đây là đúng.

= F (b) − F (a ) .

= −F ( a ) − F (b ) .

định sai. b



f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) .

a b

 f ( x ) dx = 0 . a b

 f ( x ) dx = −  f ( x ) dx .

 f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) .

ƠN

Câu 14. [NB] Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b ] và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) . Tìm khẳng

Lời giải b

Ta có:

 f ( x ) dx = F ( x )

b a

= F (b) − F (a ) .

Câu 15. [NB] Cho các số thực a, b ( a < b ) . Nếu hàm số y = F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số

y = f ( x ) thì b

 f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b) .

B.  F ( x ) dx = f ( a ) − f ( b ) .

a b

QU Y

C.  F ( x ) dx = f ( a ) − f ( b ) . a

Ta có:

 f ( x ) dx = F ( x ) a

a b

 f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) . a

Lời giải

= F (b) − F (a ) 3

Câu 16. [TH] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ℝ , f ( −1) = −2 và f ( 3) = 2 . Tính I =

KÈ

A. I = −4 .

B. I = 0 .

Ta có I =

 f ′ ( x ) dx . −1

C. I = 3 . Lời giải

D. I = 4 .

 f ′ ( x ) dx = f ( x ) −1 = f ( 3) − f ( −1) = 2 − ( −2 ) = 4 .

−1

Vậy I = 4 .

DẠ

Câu 17. [NB] Cho f ( x) liên tục trên ℝ có f ( 3) = 5; f (1) = −1 . Giá trị của tích phân I =  ( f ′ ( x ) + 2 ) dx

Trang 8

bằng: A. 6 .

B. 2 .

C. −10 . Lời giải

D. 10 .

1 2

Ta có I =  ( f ′ ( x ) + 2 ) dx =  f ′ ( x ) dx + 2 dx = f ( 3) − f (1) + 4 = 5 + 1 + 4 = 10 . 1

 f ( x )dx = 2 , tích phân I =   2 f ( x ) − 4dx bằng: 1

A. 0 .

B. 8 . 2

C. −2 . Lời giải

D. 10 .

Ta có I =   2 f ( x ) − 4 dx = 2 f ( x )dx − 4 x 1 = 2.2 − 4 ( 2 − 1) = 0 . 1

 f ( x)dx = 4,  f ( x)dx = −2 thì  f ( x)dx bằng: 1

A. 8 .

B. 6 .

C. 2 . Lời giải

D. 4 .

Câu 19. [NB] Nếu cho

Ta có: 7

FI CI A

Câu 18. [NB] Cho

 f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx = 4 − 2 = 2 . 1

ƠN

 f ( x)dx = 3 . Giá trị của  [5 f ( x) − 3]dx

Câu 20. [NB] Cho

B. 10 .

C. 8 . Lời giải

D. 9 .

A. 12 .

 [5 f ( x) − 3]dx = 5 f ( x)dx − 3 dx 2

2 4

QU Y

4 = 5 f ( x)dx − 3x = 5.3 − 3.2 = 9 . 2 2 10

Câu 21. [TH] Cho f ( x) liên tục trên ℝ . Biết

∫ f (x)dx = 7

và

B. −12 .

∫ f (x)dx = −5 thì ∫ f (x)dx bằng bao

nhiêu? A. 2 .

C. −2 . Lời giải

D. 12 .

Ta có: 0

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = −(−5) + 7 = 12. 7

KÈ

Câu 22. [TH] Cho  f ( x ) dx = 3 và 0

A. 12 .

 g ( x ) dx = −1. Giá trị   f ( x ) − 5g ( x ) + x  dx bằng: 0

Y DẠ Trang 9

B. 0 .

Ta có:

C. 8 . Lời giải 2

D. 10 . 2

  f ( x ) − 5g ( x ) + x  dx =  f ( x ) dx − 5 g ( x ) dx +  x dx 0

= 3 − 5. ( −1) +

1 2 ( 2 − 0) = 10 . 2

x

Câu 23. [TH] Tích phân

1 7 A. log . 2 3

x dx bằng: +3 7 B. ln . 3

1 3 ln . 2 7

1 1 1 du = ln u  23u 2

7 3

1 1 1 7 ln 7 − ln 3 = ln . 2 2 2 3

 xcos xdx là: 0

B. 2 .

C. 1. Lời giải

u = x du = dx  Đặt  . dv = cos xdx v = sin x π 0

x cos xdx = ( x sin x ) |π0 −  sin xdx = 0 + cos x |π0 = cos π − cos 0 = −2 . 0

Câu 25. [TH] Cho



f ( x ) dx = 3 . Khi đó

 0

A. 6.

B. 3.

( x ) dx bằng x



Suy ra

D. −2 .

ƠN

A. 0 .

Câu 24. [TH] Giá trị của tích phân

1 7 ln . 2 3

FI CI A

Lời giải 1 Đặt u = x 2 + 3  du = 2 xdx  xdx = du . 2 Đổi cận x = 0  u = 3 ; x = 2  u = 7 , ta có:

3 . 2

Lời giải



( x )dx = 2 x

 ( )( ) f

x = 2  f ( t )dt = 2.3 = 6 .

QU Y

Câu 26. [NB] Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (1; − 2;3) , B ( −1;5;6 ) . Trọng tâm G của tam giác

OAB có tọa độ là A. G ( 0; −1;3) .

B. G ( 0;1;3 ) .

C. G ( 0;1; −3 ) .

D. G ( 0; −1; −3) .

Lời giải

KÈ

0 +1−1   xG = 3 = 0  0−2+5  Ta có:  yG = =1 3  0+ 3+ 6  =3  zG = 3  Vậy G ( 0;1;3 ) .

DẠ

Câu 27. [NB] Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a = (1;1;− 2 ) , b = ( −3;0;1) và c = ( 2;3;− 1) . Tọa độ của vectơ u = a − b + c là A. u = ( 6; 4; −4 ) . B. u = ( 2; 4; −4 ) . C. u = ( 6; −2; −4 ) . D. u = ( 6; 4; −2 ) .

Trang 10

Lời giải

u = a − b + c = ( 6; 4; −4 ) .

Lời giải Gọi M ( x; y; z ) .

Vì điểm M thuộc đoạn AB sao cho MB = 2 MA ⇔ AB = 3 AM 3 = 3 ( x − 1) x = 2   ⇔  −3 = 3 ( y − 2 ) ⇔  y = 1   z = −3   −3 = 3 ( z + 2 ) Vậy M ( 2;1; −3) .

FI CI A

Câu 28. [TH] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; −2 ) , B ( 4; −1; −5) . Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MB = 2 MA , tọa độ điểm M là A. M ( −2;5;1) . B. M ( −2;1; −3) . C. M ( −2; −5;1) . D. M ( 2;1; −3) .

Câu 29. [NB] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 8 x + 2 y − 7 = 0 . Tọa độ tâm I và bán kính R của ( S ) là

B. I ( −4;1; 0 ) và R = 2 6 .

ƠN

A. I ( −4; 0;1) và R = 17 . C. I ( 4; 0; −1) và R = 17 .

D. I ( 4; − 1; 0 ) và R = 2 6 .

Lời giải Mặt cầu ( S ) : x + y + z − 8 x + 2 y − 7 = 0 có tâm I ( 4; − 1;0 ) và bán kính 2

R = 42 + ( −1) + ( 0 ) + 7 = 2 6 .

Câu 30. [TH] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu có tâm I ( 2; −3;7) và đi qua điểm M ( −4;0;1) có phương trình là:

B. x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + 14 z − 19 = 0 .

C. x2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y − 14 z − 19 = 0 . Lời giải Ta có IM = ( −6;3; −6 ) 2 2 Bán kính mặt cầu R = IM = ( −6 ) + 32 + ( −6 ) = 9

D. x2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + 14 z + 19 = 0 .

QU Y

A. x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y − 7 z + 19 = 0 .

Vậy phương trình mặt cầu là x2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y − 14 z − 19 = 0 .

Câu 31. [NB] Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A ( 7;0; 0 ) , B ( 0; − 1;0 ) ,

KÈ

C ( 0;0; 2 ) là

x y z − + = 0. 7 1 2 x y z C. − + = 1 . 7 1 2

x y z + + =1. 7 1 2 x y z D. + − = 1 . 7 1 2

Lời giải

DẠ

Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta được:

Trang 11

x y z x y z + + =1⇔ − + =1 7 ( −1) 2 7 1 2

Câu 32. [NB] Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm A ( 2; 7; 2 ) và song song với mặt phẳng tọa độ ( Oxz ) là

B. y − 7 = 0 . D. 2 x + 7 y + 2 z = 0 .

A. x − 2 = 0 . C. z − 2 = 0 .

FI CI A

Lời giải Vì mặt phẳng (α ) song song với mặt phẳng tọa độ ( Oxz ) nên nhận vectơ đơn vị của trục Oy là j = ( 0;1; 0 ) làm vec tơ pháp tuyến. Vậy phương trình của mặt phẳng (α ) là y − 7 = 0 . Câu 33. [NB] Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 3z + 4 = 0 là ? A. n = ( 0; −2; −3) .

B. n = ( 0; −2;3) .

C. n = ( 2;3; 4 ) .

D. n = (1; 2;3) .

Lời giải Mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 3z + 4 = 0 có một vectơ pháp tuyến là n = (1; 2;3) .

Câu 34. [TH] Mặt phẳng ( P ) đi qua 3 điểm A (1; 0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0;3) có phương trình là B. 6 x + 3 y + 2 x + 6 = 0 . x y z D. + + = 0 . 1 2 3 Lời giải

ƠN

A. 6 x + 3 y + 2 x − 6 = 0 .

C. x + 2 y + 3 x − 1 = 0 .

Mặt phẳng ( P ) đi qua 3 điểm A (1; 0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0;3) có phương trình là x y z + + = 1 ⇔ 6x + 3 y + 2z − 6 = 0 . 1 2 3 Câu 35. [TH] Phương trình mặt phẳng (α ) đi qua hai điểm A ( 2; −1;0 ) , B (1; 2; −3) và vuông góc mặt

A. y + z + 1 = 0 . C. y + z − 1 = 0 .

QU Y

phẳng ( β ) : x + y − 2 z − 3 = 0 ?

B. 3 x + 5 y + 4 z − 1 = 0 . D. 3 x + 5 y + 4 z + 1 = 0 . Lời giải

KÈ

Ta có: AB = ( −1;3; −3) ; Mặt phẳng ( β ) có một VTPT là nβ = (1;1; −2 ) . Khi đó, mp (α ) qua điểm A ( 2; −1;0 ) và có một VTPT là nα =  nβ , AB  = ( 3;5; 4 ) . Vậy mp (α ) có pt là

3 ( x − 2 ) + 5 ( y + 1) + 4 ( z − 0 ) = 0 ⇔ 3 x + 5 y + 4 z − 1 = 0 . II - PHẦN TỰ LUẬN [VD] Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

DẠ Trang 12

( 2 x − 1) e4 x , trục Ox

x = 1 . Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay ( H ) quanh trục Ox . Lời giải 1 Ta có: ( 2 x − 1) e 4 x = 0 ⇔ 2 x − 1 = 0 ⇔ x = . 2 Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay ( H ) quanh trục Ox là:

Câu 1.

và đường thẳng

V =π 1 2

(

( 2 x − 1) e

)

dx = π  ( 2 x − 1) e4 x dx . 1 2

e4 −

π 8

e4 +

π 8

e2 =

(e 8

+ e2 ) .

ln15

Câu 2.



[VD] Tính tích phân I =

ln 3

1 e

−x

(

)

e + 1 + ex −1 x

Lời giải Ta có:



ln 3

ln15

1 e− x

(

)

ex + 1 + ex −1

dx =



ln 3

dx ex + 1 + ex −1

Đặt u = e x + 1 ⇔ u 2 = e x + 1  2udu = e x dx Đổi cận: x = ln 3  u = 2; x = ln15  u = 4

ƠN

ln15

FI CI A

 du = 2dx u = 2 x − 1   Đặt  1 4x . 4x  dv = e dx v = e  4 1 1 1 1 1 4x π 4x  π 4x 4x  V = π ( 2 x − 1) e 1 −  2π . e dx =  ( 2 x − 1) e − e  1 . 4 4 8 4  1 2 2 2

4  2 2u 4  4 2 4 I = du = +  du =  ln u − 1 + ln u + 2  2  u +u −2 3 u − 1) 3 ( u + 2 )  3 3 2 2 2 (

2 4 4 2 4 4 8 4 = ln 3 + ln 6 − ln 4 = ln 3 + ln 2 + ln 3 − ln 2 = 2 ln 3 − ln 2 . 3 3 3 3 3 3 3 3 π

QU Y

Câu 3.

[ VDC] Tính tích phân:

 ( 4 cos 2 x + 3sin 2 x ) ln ( cos x + 2sin x ) dx . 0

Lời giải

π 2

Ta có: I =  ( 4 cos 2 x + 3sin 2 x ) ln ( cos x + 2sin x ) dx 0

=  2 ( cos x + 2sin x )( 2 cos x − sin x ) ln ( cos x + 2sin x ) dx . 0

KÈ

Đặt t = cos x + 2sin x  dt = ( − sin x + 2 cos x ) dx . Với x = 0 thì t = 1 . Với x =

thì t = 2 .

DẠ

Suy ra I =  2t ln tdt =  ln td ( t

Trang 13

) = (t .ln t ) 2

2 1

t2 3 −  tdt = 4ln 2 − = 4 ln 2 − . 21 2 1

[ VD] Trong không gian Oxyz cho mp ( Q ) : 2 x + y − 2 z + 1 = 0 và mặt cầu

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 z − 23 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4 .

song song với ( Q ) và

Câu 4.

I đến mặt phẳng ( P ) là d ( I ;( P) ) = R 2 − r 2 = 3 .

Vì ( P ) / /(Q ) nên ( P ) có dạng 2 x + y − 2 z + m = 0 ( m ≠ 1) .

FI CI A

Lời giải Ta có tâm và bán kính mặt cầu (S) là : I (1; 0;1); R = 5 . Vì ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r = 4 nên khoảng cách từ tâm

m = 3  m = ±9 . 3 Vậy phương trình ( P ) là 2 x + y − 2 z + 9 = 0 hoặc 2 x + y − 2 z − 9 = 0 .

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

Ta có: d ( I ; ( P ) ) =

Trang 14

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k là hằng số khác 0.

FI CI A

Câu 1.

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 12 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 50 câu TN, 0 câu tự luận)

 f ( x ) . g ( x ) d x =  f ( x ) dx .  g ( x ) dx . C.   f ( x ) + g ( x )  dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . D.   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx . B.

Hàm số F ( x ) nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2021x 2020 ? A. F ( x ) = x 2021 .

Câu 3.

B. F ( x ) = x 2020 .

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 8 x .

1 B.  sin 8 x.dx = − cos 8 x + C . 8

A.  sin 8 x.dx = 8 cos8 x + C .

Câu 6.

ƠN

Câu 5.

1 D.  sin 8 x.dx = cos8 x + C . C.  sin 8 x.dx = cos 8 x + C . 8 1  Tính   x 3 − 3 x +  dx kết quả là x  4 x 2 2 x3 1 2 x4 3 2 x3 2 2 A. − x + ln x + C . B. − x + ln x . C. − x + ln x + C .D. − x + ln x . 4 3 3 3 4 2 3 3 1 1 dx = − Biết  + C , với a là số nguyên khác 0 . Tìm a . 2 16 x − 24 x + 9 a ( 4 x − 3) A. 12 . B. 8 . C. 6 . D. 4 . Một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = cos 5 x.cos 3 x là

QU Y

Câu 4.

1  sin 8 x sin 2 x  A. F ( x ) =  + . 2 8 2 

B. F ( x ) = sin 8 x .

11 1   sin 6 x + sin 4 x  . 26 4  Giả sử hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng K và a , b , c là ba số thực bất kì thuộc K . Khẳng

C. F ( x ) = cos 8 x . Câu 7.

C. F ( x ) = 2020 x 2021 . D. F ( x ) = 2020 x 2021 .

Câu 2.

ĐỀ SỐ 7

D. F ( x ) =

định nào sau đây sai?



f ( x ) dx = −  f ( t ) dt .

 f ( x ) dx ≠  f ( t ) dt . a

KÈ

a b

 f ( x ) dx = 0 . a c

 f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx .

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 2 x 3 , trục hoành và hai đường thẳng x = −1; x = 1 là 1 1 A. S = − . B. S = 0 . C. S = . D. S = 1 . 2 2

DẠ

Câu 8.

Câu 9.

Trang 1

Biết F ( x ) = x 3 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên ℝ . Giá trị của

 1 + f ( x ) dx bằng 1

18 . 3

B. 12 .

10 . 3

D. 8 .

Câu 10. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x , y = 0 , x = 0 , x = 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1

B. S =  33 x dx .

C. S = π  33 x dx .

D. S =  3x dx .

FI CI A

Câu 11. Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong OAB ) trong hình vẽ bên.

A. S = π  3x dx .

67π 67 . B. . 3 3 14π 14 C. . D. . 3 3 Câu 12. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 2 và x = 3 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 2 ≤ x ≤ 3 ) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai

A.  e3 x dx .

ƠN

cạnh là x và x 2 − 3 .  6 6 −1   6 6 −1  6 6 −1 6 6 −1 A. V =  B. V =  . D. V = .  π .  π . C. V = 3 2 2 3     Câu 13. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e3 x , y = 0, x = 1 và x = 2 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng

B. π  e3 x dx .

C.  e6 x dx .

D. π  e 6 x dx .

1 Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 3;1; − 2 ) và B ( 2; 4;1) . Vectơ AB có tọa độ là

A. ( −1;3; − 3) .

B. (1; − 3; −3) .

C. (1; − 3;3) .

D. ( −1;3;3) .

QU Y

1 1     Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho M  1; − ; −3  , N  0; − ;1  . Độ dài đoạn thẳng MN bằng 2 2     17 A. 13 . B. . C. 4 . D. 17 . 4 Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho A (1; −2;3) , B ( 2; −4;1) , C ( 2,0, 2 ) , khi đó AB. AC bằng

KÈ

A. −1 . B. −5 . C. 7. D. 4. Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm M ( 2;1; −3) , N (1;0; 2 ) ; P ( 2; −3;5 ) . Tìm một vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng ( MNP ) . A. n (12; 4;8 ) . B. n ( 8;12; 4 ) . C. n ( 3;1; 2 ) . D. n ( 3; 2;1) .

DẠ

Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho A ( 2; −2; −3) , B ( 0; 2;1) . Phương trình mặt trung trực của đoạn thẳng AB là B. − x + 2 y + 2 z + 3 = 0 . A. − x + 2 y + 2 z + 6 = 0 . C. −2 x + 4 y + 4 z − 6 = 0 . D. 2 x − 4 y − 4 z + 3 = 0 .  x = −1 + 2t  Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = −7t , t ∈ ℝ . Một vecto chỉ phương của z = 2 

Trang 2

đường thẳng d là

A. u ( 2; −7;0 ) .

B. u ( −1;0; 2 ) .

C. u ( −1; −7; 2 ) .

D. u (1; −7; 2 ) .

Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho A (1;3; −2 ) , B (1;1;5 ) . Phương trình đường thẳng AB là

Câu 21. Xét tích phân I =

x = 1+ t   y = 3 + t , t ∈ ℝ . D.  z = −2 + 5t 

x = 1   y = 3 − 2t , t ∈ ℝ .  z = −2 + 7t 

 x = 1t  B.  y = −2 + 3t , t ∈ ℝ . C.  z = 1 − 2t 

FI CI A

 x = 1 + 2t  A.  y = 3 + 4t , t ∈ ℝ .  z = −2 + 3t 

sin 2 x

π cosx − 1 dx . Thực hiện phép biến đổi t = cosx , ta có thể đưa I

− 4

π

− 4

2t dt . t −1

2t  t − 1 dt . 2 2

D. − 

sau đây? 1 2t dt . A.  1− t 2

−π 4

về dạng nào

2t dt . t −1

Câu 22. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = xe x thoả mãn F ( 0 ) = 3 . Tính F (1) . A. 4 .

B. 3 .

( x + 1) 2

+C .

1 4 ( x + 1) 2

+C .

D. 0 .

+ 1)

trên ℝ là

ƠN

Câu 23. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

C. 1 . 2x

C. −

( x + 1) 2

+C .

D. −

1 4 ( x + 1) 2

+C.

Câu 24. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x + 3) e x thoả mãn F ( 0 ) = 9 . Tìm F ( x ) . B. F ( x ) = e x ( x + 4 ) + 5 .

A. F ( x ) = e x ( x − 4 ) + 13 . C. F ( x ) = e x ( x − 2 ) + 11 .

D. F ( x ) = e x ( x + 2 ) + 7 .

Câu 25. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = log 2 x trên khoảng ( 0; +∞ ) thoả mãn

F (1) = 0 . Tính F ( 2 ) . 2 . ln 2

B. 2 −

π 3

Câu 26. Biết

3 . ln 2

QU Y

A. 2 −

 ( 24 x + 12 cos x ) dx = a + b π 6

1 . ln 2

C. 2.

D. 3.

C. 6 .

D. −5 .

Câu 28. Tích phân I =

 2 x − 1 dx bằng tích phân nào sau đây?

−1

1 2

DẠ

A. I =

Trang 3

−1 1 2

C. I =

B. I =

 ( 2 x − 1) dx .

1 2

−1

 (1 − 2 x ) dx +  ( 2 x − 1) dx . −1

 ( 2 x − 1) dx +  (1 − 2 x ) dx .

1 2

D. 2 +

2 . ln 2

3 + cπ 2 với a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của

S = a+b+c. A. 0. B. 1. 3 x −1 dx = a − ln b . Tính a + b . Câu 27. Biết I =  x 1 A. −1 . B. 5 .

KÈ

C. 2 −

D. I =

 (1 − 2 x ) dx . −1

FI CI A

Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC biết A (1; −2; −1) , B ( 0;1; 4 ) , C ( 2;0;3) . Tính diện tích tam giác ABC . 110 55 A. . B. 110 . C. . D. 55 . 2 2 Câu 30. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 2mx + 4 y − 6 z − 3m + 17 = 0 là phương trình của mặt cầu. A. m ∈ ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ ) . B. m ∈ ( −4;1) . D. m ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 4; +∞ ) .

C. m ∈ ( −1; 4 ) .

Câu 31. Tìm phương trình mặt cầu ( S ) biết tâm I ( 0;1; −2 ) và mặt cầu này đi qua điểm E ( 2;1; −4 ) . A. x 2 + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 4 .

B. x 2 + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 8 .

D. x 2 + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 8 .

C. x 2 + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 4 .

Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y + z − 1 = 0 và

( Q ) : x + 3 y + z − 5 = 0 . Mặt phẳng đi qua A ( −1;1; 2 )

đồng thời vuông góc với cả ( P ) và ( Q )

có phương trình là A. x − y − 4 z + 10 = 0 .

ƠN

B. x + y + 4 z − 8 = 0 . C. x − y + 4 z − 6 = 0 . D. x + y − 4 z + 8 = 0 . Câu 33. Trong không gian với hệ trục Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A (1;3; −2 ) và vuông góc với x y −1 z +1 có phương trình là = = 2 −1 3 B. 2 x + y − 3 z + 7 = 0 . A. 2 x + y + 3 z + 7 = 0 . C. 2 x − y + 3 z + 7 = 0 . D. 2 x − y + 3 z − 7 = 0 .

đường thẳng ( d ) :

QU Y

Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − z + 2 = 0 và đường x −1 y + 3 z − 3 thẳng d : . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A ( 0; −1; 4 ) , = = 2 1 −2 vuông góc với d và nằm trong ( P ) là:

 x = 5t  A. ∆ :  y = −1 + t .  z = 4 + 5t 

 x = 2t  B. ∆ :  y = t .  z = 4 − 2t 

x = t  C. ∆ :  y = −1 . z = 4 + t 

 x = −t  D. ∆ :  y = −1 + 2t . z = 4 + t 

x = 2 + t  Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = −1 + t và mặt phẳng  z = −1 − t 

( P ) : 2 x + y − 2 z = 0 . Đường thẳng

KÈ

trình là x = 1+ t  A.  y = −2 .  z = −t 

∆ nằm trong ( P ) , cắt d và vuông góc với d có phương

x = 1− t  B.  y = −2 .  z = −t 

x = 1− t  C.  y = −2 + t .  z = −t 

x = 1+ t  D.  y = −2 . z = t 

DẠ

Câu 36. Biết rằng hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln x và thỏa mãn F (1) =

Trang 4

Mệnh đề nào sau đây là đúng ? 4 3 A. F ( x) = x 2 3ln x − 1 + C . 9

(

)

B. F ( x) =

4 32 x ln x − 1 + C . 9

(

)

5 . 9

4 32 x 3ln x − 1 + 1 . 9 2x +1 Câu 37. . Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 trên khoảng x + 2 x3 + x2 1 ( 0; +∞ ) thỏa mãn F (1) = . Giá trị của biểu thức S = F (1) + F ( 2 ) + F ( 3) +…+ F ( 2021) 2 viết dưới dạng hỗn số bằng 1 1 1 1 A. 2021 . B. 2020 . C. 2019 . D. 2020 . 2022 2021 2021 2022 b Câu 38. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = ax + 2 ( a, b ∈ ℝ; x ≠ 0) ; biết F (2) = 2 , F (1) = 3 , x  1  19 F = . 2 8 x2 1 9 x2 1 9 x2 1 1 x2 1 9 A. F ( x) = − + . B. F ( x) = + + . C. F ( x) = + + . D. F ( x) = − − + . 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 3 4 a dx Câu 39. Cho tích phân I =  . Đặt t = 2 x + 1 ta có I =  2 dx , với a , b, c ∈ ℕ và bt + c 0 ( x + 2) 2 x + 1 1 a , c nguyên tố cùng nhau. Tính T = 2a − b + 3c A. 12 . B. 8. C. 10 . D. 14 .

4 32 x ln x − 1 + 1 . 9

(

)

(

D. F ( x) =

)

ƠN

FI CI A

C. F ( x) =

Câu 40. Cho tích phân I =  ln( x + 1)dx = a ln 2 + b ln 3 + c (a , b, c ∈ ℤ ) . Tính giá trị biểu thức 2

QU Y

P = a+b+c B. 2 . C. 3 . D. 4 . A. 1. e 2 ln x + 1 a c a c dx = ln − với a , b , c là các số nguyên dương, biết ; là các phân số Câu 41. Cho  2 b d b d 1 x ( ln x + 2 ) tối giản. Tính giá trị a + b − c − d ? A. 16 . B. 15 . C. 10 . D. 17 . x −1 y −1 z Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ( d ) : = = và mặt phẳng 1 −1 4 ( P ) : x + 2 y − 2 z = 0 . Gọi ( S ) là mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng ( d ) , có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với ( P ) và đi qua điểm A (1; 2;0 ) . Viết phương trình mặt cầu ( S ) . 2

1  5  8  A. ( S ) :  x −  +  y −  +  z −  = 9 . 3  3  3  2

B. ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + z 2 = 1 .

DẠ

KÈ

1  5  8 2 2  C. ( S ) :  x +  +  y −  +  z −  = 9 . D. ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + z 2 = 1 . 3  3  3  Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 0; 0), B (0; −2;3), C (1;1;1). 2 Phương trình mặt phẳng ( P ) chứa A, B sao cho khoảng cách từ C tới ( P ) bằng là 3 A. x + y + z − 1 = 0 hoặc −23 x + 37 y + 17z + 23 = 0 . B. x + y + 2 z − 1 = 0 hoặc −23 x + 3 y + 7 z + 23 = 0. C. x + 2 y + z − 1 = 0 hoặc −13 x + 3 y + 6 z + 13 = 0. D. 2 x + 3 y + z − 1 = 0 hoặc 3 x + y + 7 z − 3 = 0. Câu 44. Trong không gian Oxyz cho điểm M ( 2; 1; 1) . Tồn tại bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và chắn

Trang 5

trên ba trục tọa độ các đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và khác 0.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 Câu 45. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 2;1;3) , B ( 3; 0; 2 ) , C ( 0; −2;1) . Gọi ( P ) là mặt phẳng đi

FI CI A

qua A, B và cách C một khoảng lớn nhất, phương trình của ( P ) là A. 2 x − y + 3z − 12 = 0 . B. 3 x + y + 2z − 13 = 0 . C. 3 x + 2 y + z − 11 = 0 . D. x + y − 3 = 0 .

Câu 46. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thoả mãn f 3 ( x ) + 2 f ( x ) = 1 − x với mọi x ∈ ℝ . Tích 1

a là phân số tối giản. Tính a 2 + b 2 ? b −2 A. 11. B. 41 . C. 305 . D. 65 . Câu 47. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0; 3] .

 f ( x ) dx = b

biết

Biết f ( 3) = 1 và f ( x ) . f ( 3 − x ) = e 2 x 3

Tính tích phân I = 

− 9x

−6 x

, với mọi x ∈ [ 0; 3] .

phân

) f ′ ( x ) dx .

f ( x) 243 243 486 243 A. . B. − . C. − . D. − . 5 10 5 5 Câu 48. Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18 m , chiều rộng chân đế 12 m . Người ta căng hai sợi dây trang trí AB , CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất AB bằng thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số CD

QU Y

ƠN

1 4 1 3 . B. . C. 3 . D. . 5 2 2 1+ 2 2 Câu 49. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A ( −1; 0;1) , B (1; − 2;3) . Điểm M thỏa mãn MA.MB = 1 ,

KÈ

điểm N thuộc mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 2 z + 4 = 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất độ dài MN . A. 2 B. 1 C. 3 D. 5 2 2 2 Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 3 ) + ( z − 5 ) = 9 và tam giác ABC có A ( 5;0; 0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 4;5;0 ) . Gọi M ( a; b; c ) là điểm thuộc ( S ) sao cho thể tích tứ diện

DẠ

MABC đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của a 2 + b 2 + c 2 bằng A. 77. B. 38 . C. 17 . HẾT

Trang 6

D. 55 .

Câu 1.

3.B 13.D 23.D 33 43.A

4.C 14.D 24.D 34.C 44.B

BẢNG ĐÁP ÁN 5.D 6.A 15.D 16.A 25.C 26.B 35.D 36.D 45.C 46.D

7.C 17.D 27.B 37.D 47.D

[NB] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k là hằng số khác 0. B.  f ( x ) .g ( x ) dx =  f ( x ) dx .  g ( x ) dx .

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . D.   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx .

10.D 20.D 30.A 40.D 50.A

[NB] Hàm số F ( x ) nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2021x 2020 ? A. F ( x ) = x 2021 .

B. F ( x ) = x 2020 .

C. F ( x ) = 2020 x 2021 .

D. F ( x ) = 2020 x 2021 .

ƠN

Câu 2.

 f ( x ) . g ( x ) dx = 

9.D 19.A 29.A 39.A 49.B

Mệnh đề

Lời giải f ( x ) dx .  g ( x ) dx là mệnh đề sai.

8.D 18.B 28.C 38.D 48.C

Lời giải Ta có: ( x 2021 )′ = 2021.x 2020 = f ( x )  F ( x ) = x 2021 .

[NB] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 8 x . A.  sin 8 x.dx = 8 cos8 x + C .

QU Y

1 C.  sin 8 x.dx = cos 8 x + C . 8

Câu 3.

1 B.  sin 8 x.dx = − cos 8 x + C . 8

D.  sin 8 x.dx = cos8 x + C .

Lời giải

Theo công thức nguyên hàm mở rộng:  sin ( ax + b ) .dx =

KÈ

Câu 4.

DẠ

Câu 5.

Trang 7

−1 cos ( ax + b ) + C , ta có: a

− cos 8 x +C . 8 1  [NB] Tính   x 3 − 3 x +  dx kết quả là x  4 x 2 2 x3 1 2 A. − x + ln x + C . B. − x + ln x . 4 3 3 3 x4 3 2 x3 2 2 C. − x + ln x + C . D. − x + ln x . 4 2 3 3 Lời giải 4 x 3 2 1  Ta có :   x 3 − 3 x +  dx = − x + ln x + C . x 4 2  1 1 [NB] Biết  dx = − + C , với a là số nguyên khác 0 . Tìm a . 2 16 x − 24 x + 9 a ( 4 x − 3) A. 12 . B. 8 . C. 6 . D. 4 . Lời giải

 sin 8 x.dx =

2.A 12.D 22.A 32.D 42.D

FI CI A

1.B 11.D 21.A 31.D 41.C

Ta có:

Câu 7.

1 1 1 +C . dx =  dx = − 2 4 ( 4 x − 3) − 24 x + 9 ( 4 x − 3)

B. F ( x ) = sin 8 x .

C. F ( x ) = cos8 x .

D. F ( x ) =

FI CI A

1  sin 8 x sin 2 x  A. F ( x ) =  + . 2 8 2 

Vậy a = 4 . [NB] Một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = cos 5 x.cos 3 x là

11 1   sin 6 x + sin 4 x  . 26 4 

Lời giải 1 1  sin 8 x sin 2 x  Ta có:  cos 5 x.cos 3 x.dx =  ( cos 8 x + cos 2 x )dx =  + +C . 2 2 8 2  1  sin 8 x sin 2 x  Vậy F ( x ) =  + . 2 8 2  [NB] Giả sử hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng K và a , b , c là ba số thực bất kì thuộc K .

Câu 6.

 16 x

Khẳng định nào sau đây sai?

a b

 f ( x ) dx = −  f ( t ) dt . 

a c

f ( x ) dx ≠  f ( t ) dt .

 f ( x ) dx = 0 .

ƠN



f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx .



f ( x ) dx =  f ( t ) dt.

[NB] Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 2 x 3 , trục hoành và hai đường thẳng x = −1; x = 1 là 1 1 A. S = − . B. S = 0 . C. S = . D. S = 1 . 2 2 Lời giải 3 3 Ta có 2 x ≤ 0 trên đoạn [ −1;0] và 2 x ≥ 0 trên đoạn [ 0;1] .

QU Y

Câu 8.

Lời giải Do tích phân chỉ phụ thuộc vào f và các cận a , b , c không phụ thuộc vào biến số x hay t nên

Áp dụng công thức S =  f ( x ) dx ta có:

x4 S =  2 x dx =  ( −2 x )dx +  2 x dx = − 2 −1 −1 0 Câu 9.

KÈ

Y DẠ

x4 + =1. 2 0 −1 2

[NB] Biết F ( x ) = x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên ℝ . Giá trị của bằng 18 A. . 3

Trang 8

Ta có:

10 . 3 Lời giải

B. 12 .

 1 + f ( x ) dx = ( x + x ) 1 = 10 − 2 = 8 . 3

 1 + f ( x ) dx

D. 8 .

Câu 10. [NB] Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3 x , y = 0 , x = 0 , x = 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1

B. S =  33 x dx .

C. S = π  33 x dx .

FI CI A

Lời giải 1

S =  3 dx =  3x dx (do 3x > 0, ∀x ∈ [ 0;1] ). x

D. S =  3 x dx .

A. S = π  3 x dx .

67π . 3

67 . 3

14π . 3 Lời giải

ƠN

Câu 11. [NB] Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong OAB ) trong hình vẽ bên.

14 . 3

QU Y

Dựa vào đồ thị, diện tích hình phẳng cần tìm là 1 3 3 1 3 x − 3) ( 8 14 2 2 S =  4 xdx +  ( x − 6 x + 9 ) dx = 2 ( x ) + = 2+ = . 3 3 3 0 1 0 1 14 . 3 Câu 12. [NB] Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 2 và x = 3 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 2 ≤ x ≤ 3 ) thì được

Vậy S =

KÈ

thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và x 2 − 3 .  6 6 −1   6 6 −1  6 6 −1 A. V =  B. V =  .  π .  π . C. V = 2  3   2  Lời giải

D. V =

Diện tích thiết diện là: S ( x) = x. x 2 − 3 . 3

DẠ

Thể tích vật thể là: V =  x. x 2 − 3dx .

Trang 9

2 2

Đặt t = x − 3  t = x 2 − 3  tdt = xdx và x = 2  t = 1; x = 3  t = 6 . 6

V =

2  t dt = 1

t3 6 6 6 −1 . = 31 3

6 6 −1 . 3

Câu 13. [NB] Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e3 x , y = 0, x = 1 và x = 2 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng 1

C.  e6 x dx .

Lời giải Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox là 2

V = π  ( e3 x ) dx = π  e6 x dx. 1

D. π  e 6 x dx .

B. π  e3 x dx .

FI CI A

A.  e3 x dx .

Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 3;1; − 2 ) và B ( 2; 4;1) . Vectơ AB có tọa độ là

A. ( −1;3; − 3) .

B. (1; − 3; −3 ) .

C. (1; − 3;3 ) . Lời giải

Ta có: AB = ( −1;3;3) .

D. ( −1;3;3 ) .

B. −5 .

C. 7. D. 4. Lời giải Ta có: AB = (1; −2; −2 ) , AC = (1; 2; −1)  AB. AC = 1.1 + ( −2 ) .2 + ( −2 ) . ( −1) = −1 .

A. −1 .

ƠN

1 1     Câu 15. [NB] Trong không gian Oxyz , cho M  1; − ; −3  , N  0; − ;1  . Độ dài đoạn thẳng MN bằng 2 2     17 B. . C. 4 . D. 17 . A. 13 . 4 Lời giải 2 2 Ta có: MN = ( −1; 0; 4 )  MN = ( −1) + 0 + 4 2 = 17 . Câu 16. [NB] Trong không gian Oxyz , cho A (1; −2;3) , B ( 2; −4;1) , C ( 2, 0, 2 ) , khi đó AB. AC bằng

QU Y

Câu 17. [NB] Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm M ( 2;1; −3) , N (1;0; 2 ) ; P ( 2; −3;5 ) . Tìm một vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng ( MNP ) . A. n (12; 4;8 ) . B. n ( 8;12; 4 ) . C. n ( 3;1; 2 ) . D. n ( 3; 2;1) . Lời giải Ta có: MN = ( −1; −1;5 ) ; MP = ( 0; −4;8 )   MN , MP  = (12;8; 4 )  n = ( 3; 2;1) .

KÈ

Câu 18. [NB] Trong không gian Oxyz , cho A ( 2; −2; −3) , B ( 0; 2;1) . Phương trình mặt trung trực của đoạn thẳng AB là A. − x + 2 y + 2 z + 6 = 0 . B. − x + 2 y + 2 z + 3 = 0 . C. −2 x + 4 y + 4 z − 6 = 0 . D. 2 x − 4 y − 4 z + 3 = 0 . Lời giải Gọi M là trung điểm AB  M (1;0; −1) ; AB = ( −2; 4; 4 ) Gọi ( P ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . Khi đó ( P ) đi qua M và nhận AB = ( −2; 4; 4 ) làm VTPT  ( P ) : −2( x − 1) + 4 ( y − 0 ) + 4 ( z + 1) = 0 ⇔ −2 x + 4 y + 4 z + 6 = 0

−x + 2 y + 2z + 3 = 0 .

DẠ

 x = −1 + 2t  Câu 19. [NB] Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = −7t , t ∈ ℝ . Một vecto chỉ phương z = 2  của đường thẳng d là Trang 10

B. u ( −1;0; 2 ) .

C. u ( −1; −7; 2 ) . Lời giải Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là u ( 2; −7; 0 ) .

D. u (1; −7; 2 ) .

A. u ( 2; −7;0 ) .

Câu 20. [NB] Trong không gian Oxyz , cho A (1;3; −2 ) , B (1;1;5 ) . Phương trình đường thẳng AB là

 x = 1t x = 1+ t   B.  y = −2 + 3t , t ∈ ℝ . C.  y = 3 + t , t ∈ ℝ . D.  z = 1 − 2t  z = −2 + 5t   Lời giải

x = 1   y = 3 − 2t , t ∈ ℝ .  z = −2 + 7t 

FI CI A

 x = 1 + 2t  A.  y = 3 + 4t , t ∈ ℝ .  z = −2 + 3t  Ta có: AB = ( 0; −2;7 )

Đường thẳng AB đi qua A (1;3; −2 ) và nhận AB = ( 0; −2;7 ) làm vecto chỉ phương có phương

ƠN

x = 1  trình là:  y = 3 − 2t , t ∈ ℝ  z = −2 + 7t  0 sin 2 x dx . Thực hiện phép biến đổi t = cosx , ta có thể đưa I về dạng Câu 21. [TH] Xét tích phân I =  −π cosx − 1 4 0

π

− 4

2t dt . C.  t −1 2

2t dt . t −1

nào sau đây? 1 2t dt . A.  1− t 2

D. −  −π 4

2t dt . t −1

Lời giải

QU Y

Ta có: t = cosx  dt = − sin xdx . −π 2 Khi x = thì t = ; khi x = 0 thì t = 1 . 4 2 0 1 1 sin 2 x 2sin xcosx 2t dx =  dx =  Vậy I =  ( −dt ) = cosx − 1 t −1 −π cosx − 1 2 2 4

 1 − t dt . 2 2

Câu 22. [TH] Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = xe x thoả mãn F ( 0 ) = 3 . Tính F (1) . A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 0 . Lời giải Áp dụng quy tắc nguyên hàm từng phần: F ( x ) =  xe x dx =  xde x = xe x −  e x dx = xe x − e x + C . Do F ( 0 ) = 3 nên C = 4 . Suy ra F ( x ) = xe x − e x + 4 . Tính được F (1) = 4 .

KÈ

Câu 23. [TH] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

( x + 1)

DẠ

Trang 11

Ta có:

+C .

1 4 ( x + 1) 2

+C .

C. −

+ 1)

trên ℝ là

( x + 1) 2

+C .

Lời giải d ( x + 1) 2x 1 f ( x ) dx =  dx =  =− +C . 5 5 4 2 2 2 x + 1 x + 1 4 x + 1 ( ) ( ) ( ) 2



D. −

1 4 ( x + 1) 2

+C.

Câu 24. [TH] Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x + 3) e x thoả mãn F ( 0 ) = 9 . Tìm

F ( x) . D.

FI CI A

C. F ( x ) = e x ( x − 2 ) + 11 .

B. F ( x ) = e x ( x + 4 ) + 5 .

A. F ( x ) = e x ( x − 4 ) + 13 .

F ( x ) = e ( x + 2) + 7 . x

Lời giải Áp dụng nguyên tắc nguyên hàm từng phần: F ( x ) =  ( x + 3 ) e x dx = e x ( x + 3 ) −  e x dx = e x ( x + 3) − e x + C = e x ( x + 2 ) + C . Do F ( 0 ) = 9 nên C = 7 . Suy ra F ( x ) = e x ( x + 2 ) + 7 .

Câu 25. [TH] Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = log 2 x trên khoảng ( 0; +∞ ) thoả mãn A. 2 −

2 . ln 2

B. 2 −

3 . ln 2

C. 2 −

F (1) = 0 . Tính F ( 2 ) .

1 . ln 2

Lời giải Áp dụng nguyên tắc nguyên hàm từng phần:

D. 2 +

2 . ln 2

ƠN

1 x dx = x log 2 x − +C.  ln 2 ln 2 1 x 1 1 Do F (1) = 0 nên C = . Suy ra F ( x ) = x log 2 x − . Tính được F ( 2 ) = 2 − . + ln 2 ln 2 ln 2 ln 2

F ( x ) =  log 2 xdx = x log 2 x −  xd log 2 x = x log 2 x −

π 3

Câu 26. [TH] Biết

 ( 24 x + 12 cos x ) dx = a + b π 6

S = a+b+c. A. 0.

QU Y

B. 1.

π 3

 ( 24 x + 12 cos x ) dx π 6

3 + cπ 2 với a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của

C. 2. Lời giải

= 12  2 xdx + 12  cos xdx = 12 ( x π

D. 3.

)

= −6 + 6 3 + π 2 .

+ 12 ( sin x )

Do đó, ta có a = −6, b = 6, c = 1 , suy ra S = 1 . 3

x −1 dx = a − ln b . Tính a + b . x 1 A. −1 . B. 5 . C. 6 . Lời giải 3 3 3 x −1 1   dx =  1 −  dx = ( x − ln x ) = 2 − ln 3 Ta có I =  1 x x 1 1 Suy ra a = 2; b = 3  a + b = 5 .

DẠ

KÈ

Câu 27. [ TH] Biết I = 

Câu 28. [ TH] Tích phân I =

Trang 12

 2 x − 1 dx bằng tích phân nào sau đây? −1

D. −5 .

 ( 2 x − 1) dx +  (1 − 2 x ) dx . 1 2

C. I =

B. I =

1 2

−1

 (1 − 2 x ) dx +  ( 2 x − 1) dx .

D. I =

1 2

−1

 ( 2 x − 1) dx . −1

 (1 − 2 x ) dx . −1

Lời giải

1  2 x − 1 khi x ≥ 2 Ta có 2 x − 1 =  . 1 − 2 x khi x < 1  2 1 2

Do đó I =

A. I =

FI CI A

1 2

 (1 − 2 x ) dx +  ( 2 x − 1) dx 1 2

−1

C. m ∈ ( −1; 4 ) .

QU Y

ƠN

Câu 29. [ TH] Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC biết A (1; −2; −1) , B ( 0;1; 4 ) , C ( 2;0;3) . Tính diện tích tam giác ABC . 110 55 A. . B. 110 . C. . D. 55 . 2 2 Lời giải Ta có AB = ( −1;3;5 ) , BC = ( 2; −1; −1)   AB, BC  = ( 2;9; −5 ) 1 110 .  S ∆ABC = 4 + 81 + 25 = 2 2 Câu 30. [TH] Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 2mx + 4 y − 6 z − 3m + 17 = 0 là phương trình của mặt cầu. A. m ∈ ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ ) . B. m ∈ ( −4;1) . D. m ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 4; +∞ ) .

Lời giải Ta có a = m; b = −2; c = 3; d = −3m + 17 Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu ⇔ m 2 + 4 + 9 + 3m − 17 > 0 ⇔ m 2 + 3m − 4 > 0 ⇔ m ∈ ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ )

KÈ

Câu 31. [TH] Tìm phương trình mặt cầu ( S ) biết tâm I ( 0;1; −2 ) và mặt cầu này đi qua điểm E ( 2;1; −4 ) . 2 2 A. x 2 + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 4 . 2

B. x 2 + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 8 .

C. x 2 + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 4 .

D. x 2 + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 8 .

DẠ

Lời giải Từ giả thiết suy ra mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0;1; −2 ) và bán kính R = IE = 4 + 0 + 4 = 8

Trang 13

 phương trình mặt cầu ( S ) : x 2 + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 8 .

Câu 32. [TH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y + z − 1 = 0 và

( Q ) : x + 3 y + z − 5 = 0 . Mặt phẳng đi qua A ( −1;1; 2 )

đồng thời vuông góc với cả ( P ) và ( Q )

có phương trình là A. x − y − 4 z + 10 = 0 .

Mặt phẳng (α ) đồng thời vuông góc với cả n =  n1 , n2  = ( −1; −1; 4 )

( P)

và

(Q) ,

FI CI A

B. x + y + 4 z − 8 = 0 . C. x − y + 4 z − 6 = 0 . D. x + y − 4 z + 8 = 0 . Lời giải Gọi mặt phẳng cần tìm là (α ) . Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) , ( Q ) lần lượt là: n1 = ( 2; 2;1) , n2 = (1;3;1) .

suy ra (α ) có một VTPT là

Mặt phẳng (α ) đi qua điểm A ( −1;1; 2 ) suy ra phương trình tổng quát của mp (α ) là :

−1( x + 1) − 1. ( y − 1) + 4 ( z − 2 ) = 0 ⇔ − x − y + 4 z − 8 = 0 ⇔ x + y − 4 z + 8 = 0 .

ƠN

Câu 33. [TH] Trong không gian với hệ trục Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A (1;3; −2 ) và vuông góc với x y −1 z +1 đường thẳng ( d ) : = có phương trình là = 2 −1 3 A. 2 x + y + 3 z + 7 = 0 . B. 2 x + y − 3 z + 7 = 0 . C. 2 x − y + 3 z + 7 = 0 . D. 2 x − y + 3 z − 7 = 0 . Lời giải Gọi (α ) là mặt phẳng cần tìm. Vì (α ) ⊥ ( d )  n (α ) = u ( d ) = ( 2; −1;3) Ta có: (α ) đi qua A (1;3; −2 ) và có véctơ pháp tuyến là n (α ) = ( 2; −1;3) .

Do đó phương trình tổng quát của mặt phẳng (α ) là:

2 ( x − 1) − 1( y − 3) + 3 ( z + 2 ) = 0 hay 2 x − y + 3 z + 7 = 0 .

QU Y

Câu 34. [TH] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − z + 2 = 0 và x −1 y + 3 z − 3 đường thẳng d : . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua = = 2 1 −2 A ( 0; −1; 4 ) , vuông góc với d và nằm trong ( P ) là:

 x = 5t  A. ∆ :  y = −1 + t .  z = 4 + 5t 

 x = 2t  B. ∆ :  y = t .  z = 4 − 2t 

x = t  x = −t   C. ∆ :  y = −1 . D. ∆ :  y = −1 + 2t . z = 4 + t z = 4 + t   Lời giải Ta thấy: A ∈ ( P ) . Mặt phẳng ( P ) có véctơ pháp tuyến n = (1; − 2; − 1) , đường thẳng d có véctơ chỉ phương ud = ( 2;1; − 2 )

DẠ

KÈ

Vì đường thẳng ∆ đi qua A ( 0; −1; 4 ) , vuông góc với d và nằm trong ( P ) nên đường thẳng ∆ có véctơ chỉ phương là u =  n, u d  = ( 5;0;5 ) hay u∆ = (1; 0;1)   x = t  Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng ∆ :  y = −1 . z = 4 + t 

Trang 14

trình là x = 1+ t  A.  y = −2 .  z = −t 

x = 1− t  B.  y = −2 .  z = −t 

x = 1− t  C.  y = −2 + t .  z = −t 

FI CI A

x = 2 + t  Câu 35. [TH] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = −1 + t và mặt phẳng  z = −1 − t  ( P ) : 2 x + y − 2 z = 0 . Đường thẳng ∆ nằm trong ( P ) , cắt d và vuông góc với d có phương x = 1+ t  D.  y = −2 . z = t 

Lời giải Đường thẳng d đi qua M ( 2; −1; −1) và có VTCP : ud = (1;1; −1) . mặt phẳng ( P ) có VTPT : n( P ) = ( 2;1; −2 )

ƠN

 M ∉ ( P ) Nhận thấy   d cắt ( P ) . Ta có d ∩ ( P ) = {A}  A (1; −2; 0 ) . n( P ) .ud ≠ 0 qua A (1; −2;0 ) Phương trình đường ∆  .  u = n  d  ( P ) , ud  = (1; 0;1) x = 1+ t   Phương trình đường ∆ là:  y = −2 . z = t 

Câu 36. [VD] Biết rằng hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln x và thỏa mãn 5 F (1) = . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? 9 4 3 4 3 A. F ( x) = x 2 3ln x − 1 + C . B. F ( x) = x 2 ln x − 1 + C . 9 9 3 4 2 4 32 C. F ( x ) = x ln x − 1 + 1 . D. F ( x ) = x 3ln x − 1 + 1 . 9 9 Lời giải I =  f ( x ) dx =  x ln x.dx .

(

)

(

QU Y

(

)

(

)

1  du = x dx .  v = 2 x x  3 2 4 4 3 x dx = x x ln x − x x + C = x 2 3ln x − 1 + C 3 9 9

KÈ

u = ln x Đặt:  ta có dv = xdx

2 2 x x ln x −  3 3 5 vì F (1) = nên  C = 1 . 9 4 3 Vậy F ( x) = x 2 3ln x − 1 + 1 . 9

DẠ

(

Trang 15

)

Câu 37. [VD]. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

( 0; +∞ ) thỏa mãn F (1) =

(

2x +1 trên khoảng x + 2 x3 + x2 4

1 . Giá trị của biểu thức S = F (1) + F ( 2 ) + F ( 3) +…+ F ( 2021) 2

viết dưới dạng hỗn số bằng 1 1 A. 2021 . B. 2020 . 2022 2021

C. 2019

1 . 2021

D. 2020

1 . 2022

Lời giải

FI CI A

2x +1 2x + 1 Ta có f ( x ) = 4 . = 2 2 3 2 x + 2x + x x ( x + 1)

Đặt t = x ( x + 1) = x 2 + x  dt = ( 2 x + 1) dx .

1 1 1 dt = − + C = − +C . 2 t t x ( x + 1) 1 1 1 Mặt khác, F (1) =  − + C =  C = 1 . 2 2 2 1 Vậy F ( x ) = − +1. x ( x + 1) Suy ra 1 1 1  1  S = F (1) + F ( 2 ) + F ( 3) +…+ F ( 2021) = −  + + + ... +  + 2021 2021.2022   1.2 2.3 3.4

Khi đó F ( x ) =  f ( x ) dx = 

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

1 1  1   1 1 1 1 1  = −  1 − + − + − + ... + −  + 2021 = − 1 −  + 2021 2 2 3 3 4 2021 2022 2022     1 1 . = 2020 + = 2020 2022 2022 b Câu 38. [VD] Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = ax + 2 ( a, b ∈ ℝ; x ≠ 0) ; biết F (2) = 2 , x  1  19 F (1) = 3 , F   = . 2 8 2 x 1 9 x2 1 9 A. F ( x) = − + . B. F ( x) = + + . 2 x 2 2 x 2 2 x 1 1 x2 1 9 C. F ( x ) = + + . D. F ( x ) = − − + . 2 x 2 2 x 2 Lời giải b ax 2 b Xét trên khoảng (0; +∞) . Ta có: F ( x) =  ( ax + 2 )dx = − +C x 2 x b a 19 1 a F (2) = 2a − + C = 2 ; F (1) = − b + C = 3 ; F   = − 2b + C = 2 2 8 2 8 9 Suy ra: a = −1, b = 1, C = 2 x2 1 9 Vậy: F ( x) = − − + 2 x 2 3 4 a dx Câu 39. [VD] Cho tích phân I =  . Đặt t = 2 x + 1 ta có I =  2 dx , với a, b, c ∈ ℕ bt + c 0 ( x + 2) 2 x + 1 1 và a , c nguyên tố cùng nhau. Tính T = 2a − b + 3c A. 12 . B.8. C. 10 . D. 14 . Lời giải Đặt t = 2 x + 1  t 2 = 2 x + 1  2tdt = 2dx  dx = tdt Đổi cận: x = 0  t = 1

Trang 16

x=4t =3 3

2 t dt =  2 dt 2 t +3  1  t −1 + 2t 1   2 

Suy ra: I = 

FI CI A

Vậy: a = 2, b = 1, c = 3 hay T = 2a − b + 3c = 12 3

Câu 40. [VD] Cho tích phân I =  ln( x + 1)dx = a ln 2 + b ln 3 + c (a , b, c ∈ ℤ ) . Tính giá trị biểu thức 2

P = a+b+c A. 1.

B. 2 .

u = ln( x + 1)  du =

Đặt

C. 3 . Lời giải

D. 4 .

1 dx x +1

dv = dx chọn v = x + 1 . 3

Ta có: I =  ln( x + 1)dx =( x + 1) ln( x + 1) 2 −  dx = 8ln 2 − 3ln 3 − 1 . 2

phân số tối giản. Tính giá trị a + b − c − d ? B. 15 . A. 16 .

ƠN

Vậy: P = a + b + c = 8 − 3 − 1 = 4 . e 2 ln x + 1 a c a c dx = ln − với a , b , c là các số nguyên dương, biết ; là các Câu 41. [VD] Cho  2 b d b d 1 x ( ln x + 2 )

C. 10 . Lời giải

D. 17 .

I = 1

2 ln x + 1 x ( ln x + 2 )

dx = 

2 (t − 2) + 1 t2

3 9 1 2 3   dt =   − 2  dt =  2 ln t +  = ln − . t t  t 2 4 2  2

QU Y

dx = dt . x Đổi cận: x = 1  t = 2; x = e  t = 3 . Khi đó:

Đặt t = 2 + ln x  ln x = t − 2 

Vậy a + b + c + d = 9 + 4 − 1 − 2 = 10 .

x −1 y −1 z và mặt phẳng = = 1 −1 4 ( P ) : x + 2 y − 2 z = 0 . Gọi ( S ) là mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng ( d ) , có bán kính nhỏ

Câu 42. [VD] Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng

(d ) :

nhất, tiếp xúc với ( P ) và đi qua điểm A (1; 2;0 ) . Viết phương trình mặt cầu ( S ) . 2

1  5  8  A. ( S ) :  x −  +  y −  +  z −  = 9 . 3  3  3  2

B. ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + z 2 = 1 .

1  5  8  C. ( S ) :  x +  +  y −  +  z −  = 9 . 3  3  3 

KÈ

D. ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + z 2 = 1 .

DẠ

Lời giải Gọi I , R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu ( S ) . Ta có: I ∈ ( d ) .  I (1 + t ;1 − t ; 4t )  AI = ( t ; −t − 1; 4t ) . ( S ) tiếp xúc với ( P ) và A nên ta có:

Trang 17

t = 0  R = 1 R = AI = d ( I ,( P )) ⇔ 18t + 2t + 1 = 1 − 3t ⇔ 9t + 8t = 0 ⇔  . t = − 8  R = 11 9 3  Do mặt cầu ( S ) có bán kính nhỏ nhất nên ta chọn t = 0 , suy ra I (1;1;0 ) , R = 1 . 2

Vậy ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + z 2 = 1 .

b+c a 2 + b2 + c 2

2 3

( P ) : ax + by+ cz − a = 0  d (C;( P)) =

FI CI A

Câu 43. [VD] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 0; 0), B (0; −2;3), C (1;1;1). 2 là Phương trình mặt phẳng ( P ) chứa A, B sao cho khoảng cách từ C tới ( P ) bằng 3 A. x + y + z − 1 = 0 hoặc −23 x + 37 y + 17z + 23 = 0 . B. x + y + 2 z − 1 = 0 hoặc −23 x + 3 y + 7 z + 23 = 0. C. x + 2 y + z − 1 = 0 hoặc −13 x + 3 y + 6 z + 13 = 0. D. 2 x + 3 y + z − 1 = 0 hoặc 3 x + y + 7 z − 3 = 0. Lời giải Giả sử n = ( a; b; c ) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) . Ta có n ⊥ AB = ( −1; −2;3)  − a − 2b + 3c = 0  a = −2b + 3c.

⇔ 3 b + c = 2 b 2 + c 2 + ( −2b + 3c ) ⇔ 17b 2 − 54bc + 37c 2 = 0 .

ƠN

b = c b = c = 1  ⇔ ⇔ 37 b = c c = 17, b = 37 17  TH1: b = c = 1  a = 1  ( P ) : x + y + z − 1 = 0 . TH2: b = 37, c = 17  a = −23  ( P ) : −23 x + 37 y + 17 z + 23 = 0 . Câu 44. [VD] Trong không gian Oxyz cho điểm M ( 2; 1; 1) . Tồn tại bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và

có dạng

QU Y

chắn trên ba trục tọa độ các đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và khác 0. A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 Lời giải Giả sử A ( a; 0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0; 0; c ) với a.b.c ≠ 0 . Khi đó phương trình mặt phẳng ( ABC ) x y z + + =1. a b c

2 1 1 + + = 1 (*) . a b c b = ± a Theo bài ra ta có OA = OB = OC ⇔ a = b = c ⇔  . c = ± a

Vì mặt phẳng đi qua M ( 2; 1; 1) nên

KÈ

b = a 4 x y z Trường hợp 1 :  từ (*)  = 1  a = 4  ( ABC ) : + + = 1 . a 4 4 4 c = a b = a 2 x y z Trường hợp 2 :  từ (*)  = 1  a = 2  ( ABC ) : + − = 1 . a 2 2 2 c = − a

DẠ

b = − a 2 x y z Trường hợp 3 :  từ (*)  = 1  a = 2  ( ABC ) : − + = 1 a 2 2 2 c = a b = − a Trường hợp 4 :  từ (*)  0 = 1 vô nghiệm suy ra không tồn tại mặt phẳng. c = − a Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 45. [VD] Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 2;1;3) , B ( 3; 0; 2 ) , C ( 0; −2;1) . Gọi ( P ) là mặt

Trang 18

phẳng đi qua A, B và cách C một khoảng lớn nhất, phương trình của ( P ) là

A. 2 x − y + 3z − 12 = 0 . B. 3 x + y + 2z − 13 = 0 . C. 3 x + 2 y + z − 11 = 0 . D. x + y − 3 = 0 . Lời giải Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của C lên mặt phẳng ( P ) và đoạn thẳng AB .

Ta có CH = d ( C , ( P ) ) ≤ CK  d ( C , ( P ) ) lớn nhất khi H ≡ K .

FI CI A

Khi đó mặt phẳng ( P ) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Ta có nP =  n( ABC ) , AB  = ( −9; −6; −3)    ( P ) : 3 x + 2 y + z − 11 = 0.

Câu 46. [VDC] Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thoả mãn f 3 ( x ) + 2 f ( x ) = 1 − x với mọi x ∈ ℝ . 1

a là phân số tối giản. Tính a 2 + b 2 ? b −2 A. 11 . B. 41 . C. 305 . Lời giải Đặt t = f ( x ) thì t 3 + 2t = 1 − x , suy ra ( 3t 2 + 2 ) dt = −dx .

 f ( x ) dx = b

biết

Với x = −2 ta có t 3 + 2t − 3 = 0 , suy ra t = 1 . Với x = 1 ta có t 3 + 2t = 0 , suy ra t = 0 . 0

ƠN

D. 65 .

Tích phân

7 3  Ta có  f ( x ) dx = −  t ( 3t + 2 ) dt =  ( 3t + 2t ) dt =  t 4 + t 2  = . 4 0 4 −2 1 0 2 2 Vậy a + b = 49 + 16 = 65 . Câu 47. [VDC] Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0; 3] . 3

Biết f ( 3) = 1 và f ( x ) . f ( 3 − x ) = e 2 x 3

Tính tích phân I = 

243 . 5

− 9 x2 ) f ′ ( x ) f ( x) 243 B. − . 10

−6 x

, với mọi x ∈ [ 0; 3] .

dx .

C. −

QU Y

Theo giả thiết, ta có f ( x ) . f ( 3 − x ) = e

ln  f ( x ) . f ( 3 − x )  = ln e2 x

−6 x

486 . 5

D. −

243 . 5

Lời giải và f ( x ) nhận giá trị dương nên

2 x2 −6 x

⇔ ln f ( x ) + ln f ( 3 − x ) = 2 x 2 − 6 x .

Mặt khác, với x = 0 , ta có f ( 0 ) . f ( 3) = 1 và f ( 3) = 1 nên f ( 0 ) = 1 . Xét I =  0

(2x

− 9 x2 ) f ′ ( x )

f ( x)

u = 2 x − 9 x 2  Đặt  ta có f ′( x) dv = f x dx ( ) 

KÈ

dx , ta có I =  ( 2 x 3 − 9 x 2 ) . 0

f ′( x) dx f ( x)

du = ( 6 x 2 − 18 x ) dx  v = ln f ( x ) 3

Suy ra I = ( 2 x 3 − 9 x 2 ) ln f ( x )  −  ( 6 x 2 − 18 x ) .ln f ( x ) dx = −  ( 6 x 2 − 18 x ) .ln f ( x ) dx (1) . 0

DẠ

Đến đây, đổi biến x = 3 − t  dx = −dt . Khi x = 0 → t = 3 và x = 3 → t = 0 .

Trang 19

Ta có I = −  ( 6t − 18t ) .ln f ( 3 − t )( −dt ) = −  ( 6t 2 − 18t ) .ln f ( 3 − t ) dt 2

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I = −  ( 6 x 2 − 18 x ) .ln f ( 3 − x ) dx ( 2 ) . 0 3

Từ (1) và ( 2 ) ta cộng vế theo vế, ta được 2 I = −  ( 6 x 2 − 18 x ) .  ln f ( x ) + ln f ( 3 − x )  dx 0 3

FI CI A

243 1 . 6 x 2 − 18 x ) . ( 2 x 2 − 6 x ) dx = − (  20 5 Câu 48. [VDC] Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18 m , chiều rộng chân đế 12 m . Người ta căng hai sợi dây trang trí AB , CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và AB mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số bằng CD

1 2

4 . 5

ƠN

Hay I = −

1 3

3 1+ 2 2

Lời giải

KÈ

QU Y

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Phương trình Parabol có dạng y = a.x 2 ( P ) .

( P)

DẠ

Từ hình vẽ ta có:

Trang 20

đi qua điểm có tọa độ ( −6; −18 ) suy ra: −18 = a. ( −6 ) ⇔ a = −

1 1  ( P ) : y = − x2 . 2 2

AB x1 . = CD x2

1 Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng AB : y = − x12 là 2

1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng CD y = − x22 là 2

FI CI A

 1 x3 1   1 2  1  S1 = 2   − x 2 −  − x12   dx = 2  − . + x12 x  = x13 . 2  2   2 3 2 0 3 0 

ƠN

2  1 x3 1   1 2  1  S2 = 2   − x 2 −  − x22   dx = 2  − . + x22 x  = x23 2  2   2 3 2 0 3 0  x 1 Từ giả thiết suy ra S 2 = 2 S1 ⇔ x23 = 2 x13 ⇔ 1 = 3 . x2 2 AB x1 1 Vậy = = 3 . CD x2 2 Câu 49. [VDC] Trong không gian Oxyz cho hai điểm A ( −1; 0;1) , B (1; − 2;3) . Điểm M thỏa mãn MA.MB = 1 , điểm N thuộc mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 2 z + 4 = 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất độ dài MN . B. 1 C. 3 D. 5 A. 2 Lời giải Giả sử M ( x; y; z )  MA = ( x + 1; y; z − 1) , MB = ( x − 1; y + 2; z − 3) . 2 2 MA.MB = 1 ⇔ x 2 − 1 + y 2 + 2 y + z 2 − 4 z + 3 = 1 ⇔ x 2 + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 4 .

Suy ra tập hợp điểm M thuộc mặt cầu ( S ) tâm I ( 0; −1; 2 ) bán kính R = 2 .

Ta có d ( I ; ( P ) ) = 3 > R nên mặt phẳng không cắt mặt cầu.

Gọi H là hình chiếu của I lên mặt phẳng ( P ) , K là giao điểm đoạn IH với mặt cầu ( S ) . Ta dễ dàng chứng minh được MN ≥ KH = IH − R = d ( I ; ( P ) ) − R = 3 − 2 = 1 .

QU Y

Vậy giá trị nhỏ nhất độ dài MN bằng 1 . 2 2 2 Câu 50. [VDC] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z − 5 ) = 9 và tam giác

ABC có A ( 5;0; 0 ) , B ( 0;3; 0 ) , C ( 4;5;0 ) . Gọi M ( a; b; c ) là điểm thuộc ( S ) sao cho thể tích tứ diện MABC đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của a 2 + b 2 + c 2 bằng A. 77. B. 38 . C. 17 . Lời giải Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;3;5) và bán kính R = 3

D. 55 .

Mặt phẳng ( ABC ) có phương trình z = 0 .

Mà d ( I , ( ABC ) ) = 5 > R suy ra mặt phẳng ( ABC ) không cắt mặt cầu ( S ) .

KÈ

1 Thể tích tứ diện MABC là V = d ( M , ( ABC ) ) .S ABC 3 Để V có thể tích lớn nhất thì d ( M , ( ABC ) ) phải lớn nhất

Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc mặt phẳng ( ABC )

DẠ

 M = d ∩ ( S )  d ( M , ( ABC ) ) lớn nhất khi I ∈ d .

Trang 21

x = 2 t = 3  Vậy phương trình đường thẳng d :  y = 3 . Thế vào pt mặt cầu ta tìm được  t = −3 z = 5 + t  Vậy ta có M 1 ( 2;3;8) , M 2 ( 2;3; 2 ) . Nhận thấy d ( M 1 , ( ABC ) ) > d ( M 2 , ( ABC ) ) .

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

Do đó tọa độ M là M ( 2;3;8 ) .

Trang 22

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 12 Thời gian: 60 phút (Đề gồm 40 câu TN, 0 câu tự luận)

ĐỀ SỐ 8

Câu 1.

 x ( x + 1) dx 3

Tính tích phân J =

−1

2 3 1 B. J = − . C. J = . A. J = . 15 70 60 Câu 2. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 52 x ?

FI CI A

D. J = −

1 . 60

25x 52 x 52 x 25x . B. . C. . D. . ln 25 ln 5 2 ln 5 2 ln 5 Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ u = 0; 2; 2 và v = − 2; − 2;0 . Tính góc ϕ giữa hai vectơ u và v . A. ϕ = 120° . B. ϕ = 30° . C. ϕ = 60° . D. ϕ = 150° .

(

)

5 ln x + 4 a a tối giản. Phát biểu nào sau đây là sai? dx = , với a , b ∈ ℕ và phân số x b b

ƠN

Cho I = 

Câu 4.

)

(

B. 2a − 3b = 31 . D. ab = 570 1 Câu 5. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = thỏa mãn F ( −2 ) = 1 . Hỏi F ( 3) bằng x+3 bao nhiêu ? B. F ( 3) = ln 6 + 1 . C. F ( 3) = ln 6 . D. F ( 3) = ln 6 − 1 . A. F ( 3) = − ln 6 + 1. Câu 6.

A. a 2 − ab − 4b 2 = −26 . C. a + b = 52 .

Cho f ( x ) và g ( x ) là các hàm số xác định và liên tục trên ℝ . Mệnh đề nào sau đây sai?

QU Y

A.  2 f ( x )dx = 2 f ( x )dx . B.   f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x )dx +  g ( x )dx . C.   f ( x ) − g ( x ) dx =  f ( x )dx −  g ( x )dx . D.   f ( x ) .g ( x ) dx =  f ( x )dx. g ( x )dx . Câu 7.

Biết hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn f (1) = 17 và

 f ′ ( x )dx = 33 . 1

Tính f ( 4 ) . A. f ( 4) = 11 . Câu 8.

B. f ( 4 ) = 50 .

C. f ( 4 ) = 16 .

D. f ( 4) = 25 .

KÈ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( −3; 2;0 ) và B (1; 2; 4 ) . Viết phương trình

mặt cầu ( S ) đường kính AB . 2

B. ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2) + ( z + 2) = 8 .

D. ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2) + ( z − 2) = 8 .

A. ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 2) = 32 .

C. ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2) + ( z + 2 ) = 32 . Câu 9.

DẠ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây không là phương trình của mặt cầu ?

A. x + y + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z − 8 = 0 . 2

B. 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 − 6 x + 12 y − 24 z + 16 = 0 .

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 . D. 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 4 x + 2 y + 2 z + 4 = 0 .

Trang 1

 f ( x ) dx = x sin x + cos x + C . Tìm f ( x )

A. f ( x ) = x.sin x .

B. f ( x ) = x.sin x − cos x .

C. f ( x ) = x.cos x .

D. f ( x ) = x.cos x + sin x .

Câu 10. Cho

3 . Tìm F ( x ) 2 1 1 B. F ( x ) = e x + x 2 + . A. F ( x ) = e x + 2 x 2 + . 2 2 1 3 C. F ( x ) = 2e x + x 2 − D. F ( x ) = e x + x 2 + . 2 2 Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( P ) : x − 3 y + 2 x − 3 = 0 và mặt phẳng

( Q ) : 2 x − 6 y + m2 z − m − 4 = 0 , với ( P ) và ( Q ) song song nhau .

FI CI A

Cho F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) = e x + 2 x thỏa mãn F ( 0 ) =

m là tham số thực .Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai mặt phẳng

Câu 11.

A. m = 2 ∨ m = −2 . B. m = 2 . D. m = −2 . C. m = 4 ∨ m = −4 Câu 13. Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 3 và công sai d = −2 . Tìm biểu thức số hạng tổng quát của dãy số này. Câu 14.

B. un = 5 − 2n .

C. un = −5 − 2n .

ƠN

A. un = 3n − 5 .

D. un = 1 − 2n .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có các đỉnh A (1; 2; −1) , B ( 2;1;1) và

C ( 0;1; 2 ) . Gọi H ( a; b; c ) là trực tâm của tam giác ABC . Tính a + b + c B. a + b + c = −8 .

Câu 15. Biết rằng hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và A.

 f ( 5 x )dx = 5

Câu 16.

C. a + b + c = 8 .



 f ( 5x )dx = 50 0

A. a + b + c = −4 .

D. a + b + c = 4 . 5

 f ( 5 x )dx . C.  f ( 5 x )dx = 10 D.  f ( 5 x )dx = 2

f ( t ) dt = 10 .Tính

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 2;0;1) , B (1;0; 0 ) , C (1;1;1) và mặt phẳng

Tìm họ nguyên hàm

 x.ln xdx

x 2 .ln x x 2 + +C 2 4

 x.ln xdx = ln x + 1 + C

Câu 17.

QU Y

( P ) : x + y + z − 2 = 0 .Tìm phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng ( P ) . A. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 z − 1 = 0 . B. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 8 y − 10 z − 7 = 0 . C. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 8 y + 10 z − 7 = 0 D. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 z + 1 = 0

 x.ln xdx =

 x.ln xdx = ln x + C 0

x 2 .ln x x 2 − +C. 2 4

KÈ

x −2 dx = a ln 2 + b ln 7 với a, b ∈ ℚ . Tính a + 2b . − 7x + 4 −1 A. a + 2b = −4 . B. a + 2b = −1. C. a + 2b = 0 . D. a + 2b = −3 . Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua 3 điểm

Câu 18.

Biết

 3x

A (1; −2;3) ; B ( −2;1; 5) ; C ( 3;2; −4 ) .

DẠ

A. (α ) : 29 x − 17 y + 18 z − 117 = 0 . B. (α ) : 29 x + 17 y + 18 z − 49 = 0 .

C. (α ) : 29 x + 41 y − 18 z + 107 = 0 . D. (α ) : 29 x − 41 y − 18 z − 57 = 0 .

Trang 2

Câu 20.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm phương trình mặt cầu

(S )

đi qua hai điểm

B. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + x − 2 y − 10 = 0 .

C. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − x + 2 y − 10 = 0 = 0 . Câu 21.

D. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − z − 5 = 0 .

FI CI A

A. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + z − 5 = 0 .

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos4 x.sin x

cos 5 x +C .   5 sin 5 x cos 5 x D.  f ( x )dx = C.  f ( x )dx = +C . +C . 5 5 Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC biết các đỉnh A ( 3;1;2 ) , B (1; −4;2 ) A.

f ( x )dx = cos x +

sin 5 x +C . 5

A ( −1;2; 0 ) ; B ( −2;1;1) và có tâm nằm trên trục Oz .

f ( x )dx = −

và C ( 2;0; −1) . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng ( Oxz ) . Tìm tọa độ điểm H .

A. H ( −2;0; −1) .

B. H ( 0; −1;0 ) .

C. H ( 2;0;1) .

D. H ( 2; −1;1) .

cos 2 x . Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) biết đồ thị hàm sin 2 x cos2 x π  số y = F ( x ) đi qua điểm M  ;0  . 4  A. F ( x ) = cot x − tan x . B. F ( x ) = cot x + tan x + 2 .

Câu 24.

F ( x ) =  f ( x ) dx = 

D. F ( x ) = − cot x − tan x − 2 .

C. F ( x ) = − cot x − tan x + 2 .

ƠN

Câu 23. Cho hàm số f ( x ) =

cos 2 x 1  cos 2 x − sin 2 x  1 d x = dx =   2 −  dx 2 2 2 2 2  sin x cos x sin x cos x  sin x cos x 

= − cot x − tan x + C .

π π π  ;0  nên − cot − tan + C = 0 ⇔ C = 2 . 4 4 4 

Vì đồ thị hàm số y = F ( x ) đi qua điểm M 

QU Y

Câu 25.

−1

Câu 26. Giả sử I =

2 x 2 + 5x − 6 2 2 2 −2 x − 1 dx = a ln 3 + b với a, b ∈ℚ . Tính 4a + b .

A. 4a 2 + b2 = 20 . B. 4a 2 + b2 = 30 . C. 4a 2 + b2 = 65 . D. 4a 2 + b2 = 6 . Câu 27. Cho F1 ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f1 ( x ) = 2 sin 2 x thỏa mãn F1 ( 0 ) = 0 và F2 ( x ) là một

F1 ( x ) = F2 ( x ) .

Câu 28.

KÈ

A. x = kπ , k ∈ ℤ .

nguyên hàm của hàm số f 2 ( x ) = 2 cos2 x thỏa mãn F2 ( 0 ) = 0 . Tìm nghiệm của phương trình

Ta có F1 ( x ) =

B. x = k

 f ( x ) dx =  2sin

π 2

,k ∈ℤ .

C. x =

π 2

+ kπ , k ∈ ℤ . D. x = k 2π , k ∈ ℤ .

1 xdx =  (1 − cos 2 x ) dx = x − sin 2 x + C1 . 2

Vì F1 ( 0 ) = 0 nên C1 = 0 .

DẠ

1 F2 ( x ) =  f ( x ) dx =  2 cos2 xdx =  (1 + cos 2 x ) dx = x + sin 2 x + C2 . 2 Vì F2 ( 0 ) = 0 nên C2 = 0 .

1 1 π Do đó F1 ( x ) = F2 ( x ) ⇔ x − sin 2 x = x + sin 2 x ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x = k . 2 2 2 Trang 3

Câu 29. Cho f ( x ) và g ( x ) là hai hàm số liên tục trên [ −2; 2] . Biết f ( x ) là hàm số lẻ; g ( x ) là hàm số 2

f ( x )dx = 5;  g ( x)dx = 7 . Mệnh đề nào sau đây sai? 0

 f ( x ) dx = 0 . C.  g ( x ) dx = 14 . A.

 D.  B.

−2 2

 f ( x ) + g ( x )  dx = 24 .



FI CI A

chẵn và

 f ( x ) + 2 g ( x )  dx = 28 . Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có đỉnh A trùng với gốc tọa độ, B (1;0;0 ) , D ( 0;1; 0 ) và A′ ( 0; 0;3 ) . Gọi M là trung điểm cạnh CC ′ . Tính thể tích V của khối tứ diện A′BDM . 3 9 A. V = . B. V = . 4 4 9 3 C. V = . D. V = . 2 2 sin 2 x 3 2 Câu 31. Cho I =  e .sin x ⋅ cos xdx . Nếu đổi biến số t = sin x thì kết luận nào sau đây đúng? 1 t e ⋅ (1 + t ) dt . 2

t B. I = 2  e ⋅ (1 + t ) dt .

t C. I = 2  e ⋅ (1 − t ) dt .

Câu 32. Cho



D. I =

5 1 f ( ln x ) . dx = 5. Tính f ( x ) dx . 1 x

B.  f ( x ) dx = ln 5 .

A.  f ( x ) dx = 5 . 1 5

 f ( x ) dx = −5 .

1 . ln 5

QU Y

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; 2;3) và B ( 3; 2;1) . Tìm phương trình mặt phẳng

(α ) đi qua điểm A và cách điểm A. (α ) : x − z + 2 = 0 . C. (α ) : 3 x + 2 y + z − 10 = 0 . Câu 34.

D.  f ( x ) dx =

Câu 33.

1 t e ⋅ (1 − t ) dt . 2

ƠN

A. I =

−2

B một khoảng lớn nhất. B. (α ) : x − z − 2 = 0 .

D. (α ) : x + 2 y + 3z − 14 = 0 .

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A ( 2; 0;0 ) , B ( 0;3;1) , C ( −3; 6; 4 ) . Gọi Q là điểm nằm trên

A. AQ = 29 .

Cho hai hàm số f ( x ) =

KÈ

Câu 35.

đoạn BC sao cho QC = 2QB . Độ dài đoạn AQ là

B. AQ = 5 2 . 2

C. AQ = 5 .

5 x + 3x + 1 và F ( x ) = ax 2 + bx + c 2x − 3

(

)

D. AQ = 21 .

2 x − 3 với x >

3 và a, b, c ∈ ℝ . 2

3 2

  A. P = 14 . B. P = −30 . C. P = 30 . D. P = 15 . Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A ( 2;3;1) , B (1;1;0 ) và điểm M ( a; b;0 ) sao cho P = MA − 2 MB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, tính giá trị của biểu thức a + 2b

DẠ

Tính tích P = abc để F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng  ; +∞  .

A. a + 2b = 2 Câu 37.

Trang 4

B. a + 2b = −2 C. a + 2b = 1 D. a + 2b = −1 5sin x + 3cos x m Cho I =  dx = mx + n ⋅ ln 2sin x + cos x + C với m , n ∈ ℝ . Tính tỉ số . 2sin x + cos x n

m = 5. n

Câu 38.

m 13 m m 5 = . C. = 13 . D. = . n 5 n n 13 liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = cos3 x + cos5 x , ∀x ∈ ℝ . Đặt B.

Cho hàm số f ( x )

π f ( x ) dx = a , tính giá trị biểu thức K = 5a + 8 .

−

6 B. K = . 5

A. K = 14 .

C. K = 20 . 2

Câu 39.

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( 2 ) = 18 và

C. K = 12 .

D. K = 15 . Trong không gian Oxyz , cho hình chóp S . ABCD có các đỉnh B ( 3;0;1) , D (1; 2;7 ) , đáy ABCD là

Câu 40.

12 . 5

 f ( x ) dx = 12 . Tính K =  x ⋅ f ′ ( 2 x ) dx 0

B. K = 3 .

D. K =

A. K = 6 .

FI CI A

hình thoi, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính tổng B + C + D biết phương trình mặt phẳng ( SAC ) có dạng

x + By + Cz + D = 0 . A. B + C + D = 7 .

C. B + C + D = −15 .

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

B. B + C + D = 18 .

Trang 5

D. B + C + D = −14 .

HƯỚNG DẪN GIẢI 0

Câu 1.

Tính tích phân J =

 x ( x + 1) dx 3

3 . 70

C. J =

1 . 60

D. J = −

Lời giải Chọn C 0

2 3 2  x ( x + 3x + 3x + 1)dx =

 (x

−1

+ 3 x 4 + 3 x 3 + x 2 )dx

x x x x  1 =  + 3 + 3 +  |0−1 = . 5 4 3 60  6 Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 52 x ? A.

25x . ln 25

52 x . ln 5

C. Lời giải

52 x . 2 ln 5

 52 x ′  25 x ′ 25x .ln 25 Do  = 2.25 x  =  = ln 5 ln 5 ln 5    

25x . 2 ln 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ u = 0; 2; 2 và v = − 2; − 2; 0 . Tính góc ϕ giữa hai vectơ u và v . A. ϕ = 120° . B. ϕ = 30° . C. ϕ = 60° . D. ϕ = 150° . Lời giải Chọn A −2 1 u.v cos ϕ = = = −  ϕ = 120° 2 u . v 2.2

(

)

(

)

Câu 4.

Cho I =  1

QU Y

Câu 3.

ƠN

Chọn B

Câu 2.

2  x ( x + 1) dx =

1 . 60

FI CI A

B. J = −

−1

2 A. J = . 15

a 5 ln x + 4 a tối giản. Phát biểu nào sau đây là sai? dx = , với a , b ∈ ℕ và phân số x b b

A. a 2 − ab − 4b 2 = −26 . C. a + b = 52 .

B. 2a − 3b = 31 . D. ab = 570 Lời giải

Đặt

Chọn C 5ln x + 4 = t  ln x =

t2 − 4 dx 2tdt  = 5 x 5

KÈ

2t 2 38 dt =  a = 38, b = 15 . Khi đó: a + b = 53  đáp án C sai. 5 15 2 1 Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = thỏa mãn F ( −2 ) = 1 . Hỏi F ( 3) bằng x+3 bao nhiêu ? A. F ( 3) = − ln 6 + 1 . B. F ( 3) = ln 6 + 1 . C. F ( 3) = ln 6 . D. F ( 3) = ln 6 − 1 .

Khi đó: I = 

DẠ

Câu 5.

Trang 6

Lời giải

Chọn B. Ta có F ( x ) = 

1 1 dx =  d ( x + 3 ) = ln x + 3 + C . x+3 x+3

Do F ( −2 ) = 1 nên C = 1 , từ đó F ( 3) = ln 6 + 1 .

Câu 6.

Cho f ( x ) và g ( x ) là các hàm số xác định và liên tục trên ℝ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A.  2 f ( x )dx = 2 f ( x )dx .

FI CI A

B.   f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x )dx +  g ( x )dx . C.   f ( x ) − g ( x ) dx =  f ( x )dx −  g ( x )dx . D.   f ( x ) .g ( x ) dx =  f ( x )dx. g ( x )dx . Lời giải Chọn D.

Câu 7.

Biết hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn f (1) = 17 và

 f ′ ( x )dx = 33 . 1

A. f ( 4 ) = 11 .

B. f ( 4 ) = 50 .

Tính f ( 4 ) .

C. f ( 4 ) = 16 . Lời giải

Chọn B.

 f ′ ( x )dx = f ( x )

4 1

= f ( 4 ) − f (1) = f ( 4 ) − 17 = 33  f ( 4 ) = 50 .

Câu 8.

ƠN

Ta có

D. f ( 4 ) = 25 .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( −3; 2;0 ) và B (1; 2; 4 ) . Viết phương trình mặt cầu ( S ) đường kính AB . 2

C. ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z + 2 ) = 32 .

B. ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z + 2 ) = 8 .

A. ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 2 ) = 32 .

D. ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 2 ) = 8 .

Lời giải

QU Y

Chọn D. Tọa độ trung điểm AB là I ( −1; 2; 2 ) và AB = 32 = 4 2  R = 2 2 . 2

Suy ra ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 2 ) = 8 . Câu 9.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây không là phương trình của mặt cầu ? A. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z − 8 = 0 . B. 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 − 6 x + 12 y − 24 z + 16 = 0 . 2

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 .

D. 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 4 x + 2 y + 2 z + 4 = 0 .

Lời giải

KÈ

Chọn D Ta có: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z − 8 = 0 là phương trình một mặt cầu vì d = −8 < 0 2

( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1)

= 9 là phương trình một mặt cầu 2

3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 − 6 x + 12 y − 24 z + 16 = 0 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z + 4 ) =

47 là 3

phương

trình

một mặt cầu 2

DẠ

1  1 1 2  không là phương 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 4 x + 2 y + 2 z + 4 = 0 ⇔ ( x − 1) +  y +  +  z +  = − 2  2 2  trình một mặt cầu Câu 10. Cho  f ( x ) dx = x sin x + cos x + C . Tìm f ( x )

Trang 7

B. f ( x ) = x.sin x − cos x .

C. f ( x ) = x.cos x .

D. f ( x ) = x.cos x + sin x .

Câu 11.

Cho F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) = e x + 2 x thỏa mãn F ( 0 ) =

1 . 2 1 C. F ( x ) = 2e x + x 2 − 2

3 . Tìm F ( x ) 2

1 . 2 3 D. F ( x ) = e x + x 2 + . 2

A. F ( x ) = e x + 2 x 2 +

B. F ( x ) = e x + x 2 +

Chọn B Ta có F ( x ) =  f ( x ) dx =  ( e x + 2 x ) dx = e x + x 2 + C

Lời giải

3 1 1  C =  F ( x ) = ex + x2 + 2 2 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( P ) : x − 3 y + 2 x − 3 = 0 và mặt phẳng

ƠN

F ( 0 ) = eo + C =

Câu 12.

FI CI A

Lời giải Chọn C ′ Ta có f ( x ) = ( x.sin x + cos x + C ) = s inx + x.cos x − s inx = x.cos x

A. f ( x ) = x.sin x .

( Q ) : 2 x − 6 y + m2 z − m − 4 = 0 , với m là tham số thực .Tìm tất cả các giá trị của tham số hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) song song nhau . B. m = 2 . D. m = −2 .

A. m = 2 ∨ m = −2 . C. m = 4 ∨ m = −4

m để

Lời giải

Chọn A

2 − 6 m 2 −4 ⇔ m 2 = 4 ⇔ m = ±2 = = ≠ 1 −3 2 −3 Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 3 và công sai d = −2 . Tìm biểu thức số hạng tổng quát của dãy số

Câu 13.

này. A. un = 3n − 5 .

Câu 14.

QU Y

Ta có ( P ) ( Q ) ⇔

B. un = 5 − 2 n .

C. u n = −5 − 2 n . Lời giải

D. un = 1 − 2n .

Chọn B Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có các đỉnh A (1; 2; −1) , B ( 2;1;1) và

C ( 0;1; 2 ) . Gọi H ( a; b; c ) là trực tâm của tam giác ABC . Tính a + b + c A. a + b + c = −4 .

B. a + b + c = −8 .

C. a + b + c = 8 . Lời giải

D. a + b + c = 4 .

KÈ

Chọn D Ta có :  AB; AC  = ( −1; −5; 0 ) .

DẠ

Phương trình mặt phẳng ( ABC ) :1( x − 2 ) + 5( y − 1) + 0( z − 1) = 0 ⇔ x + 5 y − 7 = 0 .  AH .BC = 0 ( a − 1) .(−2) + (b − 2).0 + (c + 1).1 = 0   H là trực tâm ⇔  BH . AC = 0 ⇔ ( a − 2 ) .(−1) + (b − 1).(−1) + (c − 1).3 = 0  H ∈ ABC ( ) a + 5b − 7 = 0 

Trang 8

 f ( 5 x )dx = 5



 f ( 5x )dx = 50 0

 f ( 5 x )dx . C.  f ( 5 x )dx = 10 D.  f ( 5 x )dx = 2

f ( t ) dt = 10 .Tính

FI CI A

Câu 15. Biết rằng hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và

2a − c − 3 = 0 a = 2   ⇔  a + b − 3c = 0 ⇔ b = 1 ⇔ a + b + c = 4 .  a + 5b − 7 = 0 c = 1  

Lời giải

Chọn D Đặt t = 5 x  dt = 5dx; đổi cận x = 0  t = 0; x = 5  t = 25 5 1 25 f 5 x dx = f ( t )dt = 2 ( ) 0 5 0 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 2;0;1) , B (1;0; 0 ) , C (1;1;1) và mặt phẳng

Câu 16.

ƠN

( S ) : ( x − 1) Câu 17.

QU Y

( a − 2 )2 + b 2 + ( c − 1) 2 = ( a − 1)2 + b 2 + c 2  IA = IB  2 2 2 2 2   Ta có ⇔  IA = IC ⇔ ( a − 2 ) + b 2 + ( c − 1) = ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1)  I ∈ ( P) a + b + c − 2 = 0   a + c − 2 = 0 a = 1   ⇔ b = 0 ⇔ I (1; 0;1)  R = IA = 1 a − b − 1 = 0 a + b + c − 2 = 0 c = 1   2

+ y 2 + ( z − 1) = 1 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 z + 1 = 0 .

Tìm họ nguyên hàm



 x.ln xdx = ln x + C

KÈ

x 2 .ln x x 2 + +C 2 4

A. x.ln xdx =

 x.ln xdx

 x.ln xdx = ln x + 1 + C

 x.ln xdx =

Lời giải:

Chọn D .

DẠ

1  du = x dx u = ln x  đặt  2 dv = xdx v = x  2 x2 x x2 x2 x .ln xdx = ln x . − dx = .ln x − +C  . 2 2 2 4

Trang 9

x 2 .ln x x 2 − +C. 2 4

Câu 18.

x −2 dx = a ln 2 + b ln 7 với a, b ∈ ℚ . Tính a + 2b . − 7 x + 4 −1 A. a + 2b = −4 . B. a + 2b = −1. C. a + 2b = 0 . Biết

 3x

D. a + 2b = −3 .

Chọn B x −2 x −2 A B = = + 2 3 x − 7 x + 4 ( x − 1)( 3 x − 4 ) x − 1 3 x − 4 Suy ra

( 3 A + B ) x + (−4 A − B) x −2 A B = + = ( x − 1)( 3x − 4 ) x − 1 3x − 4 ( x − 1)( 3x − 4 )

3 A + B = 1 A = 1  Thực hiện đồng nhất ta có  −4 A − B = −2  B = −2 0

FI CI A

Lời giải

Câu 19.

ƠN

x −2 2  2 2 2  1   −1 3x 2 − 7 x + 4dx = −1  x − 1 − 3x − 4 dx =  ln x − 1 − 3 ln 3x − 4  −1 = ln1 − 3 ln 4 − ln 2 + 3 ln 7 −7 2 = ln 2 + ln 7 . Do đó 3 3 −7 2 a= ; b =  a + 2b = −1 . 3 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua 3 điểm A (1; −2;3) ; B ( −2;1; 5) ; C ( 3;2; −4 ) . C. (α ) : 29 x + 41 y − 18 z + 107 = 0 .

B. (α ) : 29 x + 17 y + 18 z − 49 = 0 .

A. (α ) : 29 x − 17 y + 18 z − 117 = 0 .

D. (α ) : 29 x − 41 y − 18 z − 57 = 0 .

Lời giải

Chọn B AB = ( −3;3;2 ) ; AC = ( 2; 4; −7 ) ; AB ∧ AC = ( −29; −17; −18 )

QU Y

Câu 20.

( α ) đi qua 3 điểm A (1; −2;3) ; B ( −2;1;5) ; C ( 3; 2; −4 ) có VTPT n = AB ∧ AC = ( −29; −17; −18) Pttq ( α ) : 29 ( x − 1) + 17 ( y + 2 ) + 18 ( z − 3 ) = 0 ⇔ 29 x + 17 y + 18z − 49 = 0 . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A ( −1;2; 0 ) ; B ( −2;1;1) và có tâm nằm trên trục Oz . A. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + z − 5 = 0 . B. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + x − 2 y − 10 = 0 . C. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − x + 2 y − 10 = 0 = 0 . D. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − z − 5 = 0 . Lời giải

KÈ

Chọn D Gọi I ( 0; 0; c ) là tâm mặt cầu. Mặt

cầu

(S)

đi

qua

hai

A ( −1;2; 0 ) ; B ( −2;1;1) nên

điểm 2

DẠ

IA = IB ⇔ 12 + ( −2 ) + c2 = 22 + ( −1) + ( c − 1) ⇔ c2 + 5 = ( c − 1) + 5 ⇔ c =

Trang 10

21 1 Bán kính mặt cầu R = IA = 1 + ( −2 ) +   = . 2 2 2

21 1  Mặt cầu ( S ) có tâm I  0; 0;  và có bán kính R = 2 2 

1 2

1 21 ( S ) : x + y +  z −  = ⇔ x 2 + y 2 + z 2 − z − 5 = 0 . 2 4  Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos4 x.sin x A. C.



f ( x )dx = cos x +

 f ( x )dx =

sin 5 x +C . 5



sin x +C . 5

Câu 21.

cos 5 x +C . 5 cos 5 x f ( x )dx = +C. 5

f ( x )dx = −

FI CI A

Lời giải Chọn B Đặt t = cos x  dt = − sin xdx t5 − cos5 x 4 f x dx = − t dt = − + C = +C ( )   5 5 Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC biết các đỉnh A ( 3;1;2 ) , B (1; −4;2 ) và C ( 2;0; −1) . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng ( Oxz ) . Tìm tọa độ điểm H .

B. H ( 0; −1;0 ) .

C. H ( 2;0;1) .

ƠN

A. H ( −2;0; −1) .

D. H ( 2; −1;1) .

Lời giải Chọn C Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là G ( 2; −1;1) .

Hình chiếu của G lên ( Oxz ) là H ( 2;0;1) .

QU Y

Câu 23. Cho hàm số f ( x ) =

C. F ( x ) = − cot x − tan x + 2 . Chọn C Câu 24.

F ( x ) =  f ( x ) dx = 

D. F ( x ) = − cot x − tan x − 2 . Lời giải

cos 2 x 1  cos 2 x − sin 2 x  1 d x = dx =   2 −  dx 2 2 2 2 2  sin x cos x sin x cos x  sin x cos x 

Câu 25.

= − cot x − tan x + C .

π π π  ;0  nên − cot − tan + C = 0 ⇔ C = 2 . 4 4 4 

Vì đồ thị hàm số y = F ( x ) đi qua điểm M  −1

2 x 2 + 5x − 6 2 2 2 −2 x − 1 dx = a ln 3 + b với a, b ∈ ℚ . Tính 4a + b .

KÈ

Câu 26. Giả sử I =

A. 4a 2 + b2 = 20 .

C. 4a 2 + b2 = 65 . Lời giải

D. 4a 2 + b2 = 6 .

Chọn A −1 −1 −1 2 x2 + 5x − 6 1  2  2 I= dx =   2 x + 7 +  dx = ( x + 7 x + ln x − 1 ) −2 = ln + 4 , x −1 x −1 3 −2 −2  a = 1, b = 4 .

Y DẠ Trang 11

B. 4a 2 + b2 = 30 .

suy

Câu 27. Cho F1 ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f1 ( x ) = 2 sin 2 x thỏa mãn F1 ( 0 ) = 0 và F2 ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f 2 ( x ) = 2 cos2 x thỏa mãn F2 ( 0 ) = 0 . Tìm nghiệm của phương trình

B. x = k

π 2

C. x =

,k ∈ℤ .

π 2

+ kπ , k ∈ ℤ . D. x = k 2π , k ∈ ℤ .

FI CI A

A. x = kπ , k ∈ ℤ .

F1 ( x ) = F2 ( x ) .

Lời giải Chọn B Câu 28.

Ta có F1 ( x ) =

 f ( x ) dx =  2sin

1 xdx =  (1 − cos 2 x ) dx = x − sin 2 x + C1 . 2

Vì F1 ( 0 ) = 0 nên C1 = 0 .

1 F2 ( x ) =  f ( x ) dx =  2 cos2 xdx =  (1 + cos 2 x ) dx = x + sin 2 x + C2 . 2 Vì F2 ( 0 ) = 0 nên C2 = 0 .

1 1 π Do đó F1 ( x ) = F2 ( x ) ⇔ x − sin 2 x = x + sin 2 x ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x = k . 2 2 2



chẵn và

ƠN

Câu 29. Cho f ( x ) và g ( x ) là hai hàm số liên tục trên [ −2; 2] . Biết f ( x ) là hàm số lẻ; g ( x ) là hàm số 2

f ( x )dx = 5;  g ( x)dx = 7 . Mệnh đề nào sau đây sai? 0

 f ( x ) dx = 0 . C.  g ( x ) dx = 14 .

 D.  B.

−2 2 −2

−2 2

−2

 f ( x ) + g ( x )  dx = 24 .  f ( x ) + 2 g ( x )  dx = 28 .

Lời giải

Chọn B



f ( x ) dx = 0 . Mặt khác

−2



 g ( x ) dx = 2g ( x ) dx = 14 .

QU Y

Ta có

 f ( x ) + g ( x )  dx = 14 Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có đỉnh A trùng với gốc tọa độ, B (1;0;0 ) , D ( 0;1; 0 ) và A′ ( 0; 0;3 ) . Gọi M là trung điểm cạnh CC ′ . Tính thể tích V của khối tứ diện A′BDM . 3 9 A. V = . B. V = . 4 4 9 3 C. V = . D. V = . 2 2 Lời giải Chọn A −2

DẠ

KÈ

Suy ra

Trang 12

D' C'

M A D B

FI CI A

QU Y

ƠN

3  Ta có C (1;1;0 ) , M  1,1,  . 2  1 VA′BDM =  BD, BA′ BM . 6  3 BD ( −1;1;0 ) , BA′ ( −1;0;3) , BM  0;1;  . 2  1 1 9 3 Suy ra VA′BDM =  BD, BA′ BM = . = . 6 6 2 4 sin 2 x 3 Câu 31. Cho I =  e .sin x ⋅ cos xdx . Nếu đổi biến số t = sin 2 x thì kết luận nào sau đây đúng? 1 t A. I =  et ⋅ (1 + t ) dt . B. I = 2  e ⋅ (1 + t ) dt . 2 1 t C. I = 2  e ⋅ (1 − t ) dt . D. I =  e t ⋅ (1 − t ) dt . 2 Lời giải Chọn D 2 2 1 I =  esin x .sin x ⋅ cos3 xdx =  esin x . (1 − sin 2 x ) sin 2 xdx 2 1 Đổi biến số t = sin 2 x . Khi đó dt = sin 2 xdx . Do đó I =  e t ⋅ (1 − t ) dt 2 5 e5 1 Câu 32. Cho e f ( ln x ) . dx = 5. Tính  f ( x ) dx . x 1 5

 f ( x ) dx = 5 . 1 5

1 5

D.  f ( x ) dx =

KÈ

C.  f ( x ) dx = −5 . 1

Lời giải

Chọn A

1 dx . x Khi x = e  t = 1; Khi x = e 2  t = 2 .

DẠ

Đặt t = ln x  dt =

Trang 13

Khi đó 5 = e

 f ( x ) dx = ln 5 .

1 f ( ln x ) . dx =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx . x 1 1

1 . ln 5

Câu 33.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; 2;3) và B ( 3; 2;1) . Tìm phương trình mặt B. (α ) : x − z − 2 = 0 .

C. (α ) : 3 x + 2 y + z − 10 = 0 .

D. (α ) : x + 2 y + 3z − 14 = 0 .

FI CI A

A. (α ) : x − z + 2 = 0 .

Lời giải

Chọn A Gọi H là hình chiếu của B lên (α ) Khi đó: d ( B, (α ) ) = BH ≤ BA (không đổi) Dấu = xảy ra H ≡ A . Lúc đó (α ) đi qua

đ iể m

và

nhận

AB = ( 2;0; −2 ) làm

B. AQ = 5 2 .

C. AQ = 5 . Lời giải

ƠN

Chọn A

Lời giải

QU Y

KÈ

3  F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng  ; +∞  2   3   ⇔ F ′ ( x ) = f ( x ) ∀x ∈  ; +∞  (1) 2   1 Tính F ′ ( x ) = ( 2ax + b ) 2 x − 3 + ( ax 2 + bx + c ) . 2x − 3 2 2 ( 2ax + b )( 2 x − 3) + ax + bx + c = 5ax + ( 3b − 6a ) x − 3b + c . = 2x − 3 2x − 3 2 5ax + ( 3b − 6a ) x + ( −3b + c ) 5 x 2 + 3 x + 1 3  Do đó (1) ⇔ = ∀x ∈  ; +∞  2x − 3 2x − 3 2  3  ⇔ 5ax 2 + ( 3b − 6a ) x + ( −3b + c ) = 5 x 2 + 3 x + 1 ∀x ∈  ; +∞  2  5 a = 5 a = 1     3b − 6a = 3 ⇔ b = 3  P = 30 .  −3b + c = 1 c = 10  

Y DẠ

có

pt:

D. AQ = 21 .

1 Q là điểm nằm trên đoạn BC sao cho QC = 2QB ⇔ BQ = BC  Q ( −1; 4; 2 )  AQ = 29 . 3 2 3 5 x + 3x + 1 Cho hai hàm số f ( x ) = và F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) 2 x − 3 với x > và a, b, c ∈ ℝ 2 2x − 3 3  . Tính tích P = abc để F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng  ; +∞  . 2  A. P = 14 . B. P = −30 . C. P = 30 . D. P = 15 . Chọn C

Trang 14

nên

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A ( 2; 0;0 ) , B ( 0;3;1) , C ( −3; 6; 4 ) . Gọi Q là điểm nằm trên đoạn BC sao cho QC = 2QB . Độ dài đoạn AQ là

A. AQ = 29 .

Câu 35.

vtpt

2 ( x − 1) + 0 ( y − 2 ) − 2 ( z − 3) = 0 ⇔ x − z + 2 = 0 . Câu 34.

phẳng (α ) đi qua điểm A và cách điểm B một khoảng lớn nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A ( 2;3;1) , B (1;1;0 ) và điểm M ( a; b;0 ) sao cho P = MA − 2 MB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, tính giá trị của biểu thức a + 2b

A. a + 2b = 2

B. a + 2b = −2

C. a + 2b = 1 Lời giải

FI CI A

Chọn B

Gọi điểm I thỏa mãn IA − 2 IB = 0  I ( 0; −1; −1) . P = MA − 2 MB = − MI + IA − 2 IB = MI

(

D. a + 2b = −1

Câu 36.

)

P đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ MI nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của lên I mặt phẳng ( Oxy )  M ( 0; −1;0 )  a = 0; b = −1  a + 2b = −2 .

5sin x + 3cos x m dx = mx + n ⋅ ln 2sin x + cos x + C với m , n ∈ ℝ . Tính tỉ số . 2sin x + cos x n m m 13 m m 5 A. = 5. B. = . C. = 13 . D. = . n n 5 n n 13 Lời giải Chọn C 5sin x + 3cos x A ( 2 cos x − sin x ) B Ta có = + + C , ∀x 2 sin x + cos x 2 sin x + cos x 2 sin x + cos x 1 13 Suy ra A = , B = 0 , C = . 5 5 1 13 13 1 Từ đó I = ln 2sin x + cos x + x hay m = , n = . 5 5 5 5 Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = cos3 x + cos5 x , ∀x ∈ ℝ . Đặt Cho I = 

Câu 38.

ƠN

Câu 37.

π 2

−

A. K = 14 . Chọn B π 2

−

π 2

π  f ( x ) + f ( − x ) dx = π ( cos

KÈ

Y DẠ

Lời giải

π 2

2 π 2

−

Trang 15

C. K = 20 .

π f ( x ) dx = π f ( − x ) dx .

−

Từ đó

6 B. K = . 5

Ta có

QU Y

π f ( x ) dx = a , tính giá trị biểu thức K = 5a + 8 .

−

x + cos5 x ) dx

D. K =

12 . 5

−

π (1 + cos x ) cos x ⋅ cosxdx 2

−

π

−

f ( x ) dx =

1 2

π

−

π ( 2 − sin x )(1 − sin x ) d ( sin x ) 2

−

⇔

f ( x ) dx =

1 2

π ( sin

−

x − 3sin 2 x + 2 ) d ( sin x )

⇔

π

−

2 1  sin 5 x 3 3 6 f ( x ) dx =  − sin 3 x + 2sin x  = + = 2 5  −π 5 5 5 2

⇔

FI CI A

⇔ 2  f ( x ) dx =

Câu 39.

Cho hàm số

f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn

f ( 2 ) = 18 và

 f ( x ) dx = 12 .

Tính

A. K = 6 .

B. K = 3 .

Chọn A

D. K = 15 .

1 dt = dx . Đổi cận: x = 0  t = 0 ; x = 1  t = 2 . 2 2

1 1 1 1 x  t ⋅ f ′ ( t ) dt =  x ⋅ f ′ ( x ) dx =  f ( x )  −  f ( x ) dx = f ( 2 ) − 3 = 6 .  40 40 2 4 0 40

Trong không gian Oxyz , cho hình chóp S . ABCD có các đỉnh B ( 3;0;1) , D (1; 2;7 ) , đáy ABCD

QU Y

Câu 40.

C. K = 12 . Lời giải

Xét tích phân K : đặt t = 2 x 

ƠN

K =  x ⋅ f ′ ( 2 x ) dx .

là hình thoi, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính tổng B + C + D biết phương trình mặt phẳng ( SAC ) có dạng x + By + Cz + D = 0 .

A. B + C + D = 7 .

B. B + C + D = 18 .

C. B + C + D = −15 . Lời giải

D. B + C + D = −14 .

Chọn A Do ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD , lại có SA ⊥ BD nên BD ⊥ ( SAC ) . Mặt phẳng ( SAC ) qua trung điểm I ( 2;1; 4 ) của BD , nhận BD = ( −2; 2; 6 ) làm véctơ pháp tuyến nên ( SAC ) : −2 ( x − 2 ) + 2 ( y − 1) + 6 ( z − 4 ) = 0 ⇔ x − y − 3 z + 11 = 0 .

DẠ

KÈ

Do đó B = −1, C = −3 , D = 11 .

Trang 16

Câu 4.

Câu 5.

[2D3.1-1] Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x3 + 3 x + 1 là

1 4 3 2 1 3 x + x + 1 + C . C. x 4 + x 2 + x + C . D. x 4 + 3 x 2 + x + C . 4 2 4 2 1 [2D3.1-2] Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = . Biết F ( −2 ) = 2018. 2x + 3 1 1 A. ln 2 x + 3 + 2018 . B. ln 2 x + 3 − 2018 . C. ln 2 x + 3 + 2018 . D. 2 ln 2 x + 3 + 2018 . 2 2 x x +1 [2D3.1-2] Tính  e .e dx ta được kết quả nào sau đây?

A. e x .e x +1 + C .

A. 3 x 2 + 3 + C .

1 2 x +1 e +C. 2

C. 2e 2 x +1 + C .

D. e x

+C .

f ( x) 1 là một nguyên hàm của hàm số ( m là hằng số khác 0). Tìm 2 x mx nguyên hàm của hàm số f ′ ( x ) ln x.

[2D3.1-3] Cho F ( x ) =

1  2 ln x 1  1  2 ln x 1  B.  f ′ ( x ) ln xdx =  2 + 2  + C . + 2 +C. 2 x x  m x x  1  ln x 1  1  2 ln x 1  C.  f ′ ( x ) ln xdx = −  2 + 2  + C . D.  f ′ ( x ) ln xdx = −  2 − 2  + C . m x m x x  2x  [2D3.1-1] Xét f ( x ) là một hàm số liên tục trên đoạn [ a; b ] và F ( x ) là một nguyên hàm của

Câu 6.

 f ′ ( x ) dx = f ( x ) .

ƠN

Câu 3.

Câu 2.

 f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C .

FI CI A

[2D3.1-1] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là hàm số liên tục trên ℝ . Phát biểu nào sau đây là đúng? A.  f ( x ) dx = f ′ ( x ) + C . B.  f ( x ) dx = f ′ ( x ) .

 f ′ ( x ) ln xdx = − m 

QU Y

Câu 1.

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 12 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 50 câu TN, 0 câu tự luận)

ĐỀ SỐ 9

hàm số f ( x ) trên đoạn [ a; b ] . Mệnh đề nào dưới đây đúng? b



f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) .

a b

 f ( x ) dx = F ( b ) .F ( a ) . a

a b



B.  k .dx = k ( b − a ) , ∀k ∈ ℝ .

a b

DẠ

 f ( x ) dx = F ( a ) + F ( b ) . a

f ( x ) dx = −  f ( x ) dx .

a b

Trang 1

 f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) .

[2D3.1-1] Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây:

KÈ

Câu 7.

C. D.



f ( x ) d x =  f ( x ) d x +  f ( x ) d x v ớ i c ∈ [ a; b ] .

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx .

Câu 8.

[2D3.2-2] Tìm k biết

 ( 2 x + 1) dx = 6 0

B. k = 2 . C. k = 2 , k = −3 . D. k = −1 , k = −6 . 1 a a [2D3.2-2] Biết I =  dx = ln với a, b ∈ ℤ và là phân số tối giản. Tính giá trị của S = a + b b b 2 x ? A. S = −1 . B. S = 5 . C. S = 1 . D. S = −5

A. k = 1 , k = −3 .

Câu 9.

Câu 10. [2D3.2-2] Cho hàm f liên tục trên ℝ thỏa mãn



f ( x ) dx = 10 ,

 b

FI CI A

f ( x ) dx = 8 ,

 f ( x ) dx = 7 . a

Tính I =  f ( x ) dx ta được kết quả là: b

A. I = −5 . B. I = 7 . C. I = 5 . D. I = −7 . Câu 11. [2D3.3-1] Cho hai hàm số y = f ( x) và y = g ( x) liên tục trên đoạn [ a; b] . Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị của các hàm số y = f ( x) , y = g ( x) và hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b) . Diện tích của hình phẳng H được tính theo công thức b

B. S =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx.

ƠN

A. S =   f ( x ) − g ( x ) dx. a

C. S =  f ( x ) − g ( x ) dx.

D. S = π  f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx.

Câu 12. [2D3.3-1] Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b) . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay miền D quanh trục hoành được tính theo công thức b

A. V = π  f ( x ) dx.

B. V = 2π  f 2 ( x ) dx. C. V = π  f 2 ( x ) dx.

D. V = π 2  f ( x ) dx.

QU Y

Câu 13. [2D3.3-1] Cho hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = x , x = 0 , x = 1 và trục hoành. Công thức 2

tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( H ) quanh trục Ox là 1

A. V = π  x 2 dx. 0

B. V = π 2  ( x 2 ) dx. 0

C. V =  ( x 2 ) dx.

D. V = π  ( x 2 ) dx .

Câu 14. [2D3.3-2] Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) . Diện tích S của hình phẳng (phần tô đậm trong hình

KÈ

dưới) là:

DẠ

A. S = ∫ f ( x ) dx .

Trang 2

−2 −2

B. S = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x ) dx . 3

C. S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x) dx . 0

−2 0

0 0

D. S = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx . −2

B. ( 3; −4 ) .

C. ( −3; −4 ) . D. ( −4;3) . Câu 19. [2D4.2-2] Cho hai số phức z = a + bi và z ′ = a ′ + b′i. Điều kiện giữa a, b, a′, b′ để z.z ′ là một số thực là: A. aa′ + bb′ = 0 . B. aa ′ − bb′ = 0 . C. ab′ + a ′b = 0 . D. ab′ − a′b = 0 . Câu 20. [2D4.2-2] Đặt f ( z ) = z + i z . Tính f ( 3 + 4i ) .

ƠN

A. ( 3; 4 ) .

FI CI A

Câu 15. [2D3.3-2] Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 y = + 1, y = 0, x = 1, x = k ( k > 1) quay xung quanh trục Ox . Tìm k để thể tích x  15  V = π  + ln16  .  4  2 A. k = e . B. k = 2e . C. k = 4 . D. k = 8 . Câu 16. [2D4.1-2] Tính mô đun của số phức z = a + 2ai ( a là số thực dương) A. a 5 . B. 5a 2 . C. a 3 . D. a 2 . Câu 17. [2D4.1-2] Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây. A. Số phức z = i 2 là số thuần ảo. B. Số 3 không phải là số phức. C. Số phức z = 3i + 4 có phần thực là 3 và phần ảo là 4 . D. Số phức liên hợp của z = 3i + 4 là z = 4 − 3i . Câu 18. [2D4.1-1] Điểm biểu diễn của số phức z = 3 − 4i trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là:

D. 10 .

A. 2 3 . B. 11. C. 3. Câu 21. [2D4.2-2] Tìm số phức liên hợp của số phức z = i ( 3i + 1) .

C. z = 3 + i. D. z = −3 − i. 2+i Câu 22. [2D4.3-1] Thực hiện phép chia sau z = 3 − 2i 4 7 7 4 4 7 7 4 A. z = + i . B. z = + i . C. z = − i . D. z = − i . 13 13 13 13 13 13 13 13 Câu 23. [2D4.2-2] Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn (1 + i ) z + 2 z = 3 + 2i . Tính P = a + b . A. P =

1 . 2

B. z = −3 + i.

QU Y

A. z = 3 − i.

B. P = 1 .

Câu 24. [2D4.3-1] Điểm biểu diễn số phức z = B. A (1; 4 ) .

( 2 − 3i )( 4 − i ) 3 + 2i

D. P = 2 .

có tọa độ là:

C. A ( −4; −1) .

D. A ( −4;1) .

A. A ( −1; −4 ) .

C. P = −1.

Câu 25. [2D4.2-3] Số phức z thỏa mãn: z − ( 2 + i ) = 10 và z.z = 25 là:

KÈ

A. z = 3 − 4i . B. z = 4 − 3i . C. z = 4 + 3i . D. z = 3 + 4i . Câu 26. [2H3.1-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( x1 ; y1; z1 ) và B ( x2 ; y2 ; z2 ) . Khẳng

DẠ

định nào sau đây đúng? 2 2 2 A. AB = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) . B. AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) . C. AB = ( x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1 ) . D. AB = ( x1 − x2 ; y1 − y2 ; z1 − z2 ) . Câu 27. [2H3.1-1] Cho u = 3i + 2 j − 3k . Tọa độ vectơ u là: A. ( −3; − 2; 3) . B. ( 3; 2; − 3) . C. ( 3; 2; 3) . D. 3i; 2 j; − 3k .

(

)

Câu 28. [2H3.1-1] Cho A (1; 0;0 ) , B ( 0;0;1) , C ( 3;1;1) . Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình

Trang 3

bình hành.

A. D (1;1; 2 ) .

B. D ( 4;1; 0 ) .

C. D ( −1; −1; −2 ) .

D. D ( −3; −1;0 ) .

Câu 29. [2H3.1-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm M ( 2;3; −1) , N ( −1;1;1) , P (1; m − 1; 2 ) . Tìm tất cả các giá trị thực của m để tam giác MNP vuông tại N ?

FI CI A

A. m = 3 . B. m = 2 . C. m = 1 . D. m = 0 . Câu 30. [2H3.1-2] Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C (1; 2; −1) và điểm M ( m; m; m ) , để MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng

A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Câu 31. [2H3.1-2] Tích có hướng của hai vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu  a , b  , được xác định bằng tọa độ A. ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) . B. ( a2b3 + a3b2 ; a3b1 + a1b3 ; a1b2 + a2b1 ) .

( a2b3 − a3b2 ; a3b1 + a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .

( a2b2 − a3b3 ; a3b3 − a1b1; a1b1 − a2b2 ) . cho hai vectơ a = ( 2; −1; 2 ) , b = ( 3; −2;1) Tích có

ƠN

Câu 32. [2H3.1-2] Trong không gian tọa độ Oxyz hướng của hai vectơ a và b là: A.  a, b  = ( 3; 4;1) . B.  a, b  = ( 3; 4; −1) . C.  a, b  = ( −3; 4; −1) . D.  a, b  = ( 3; −4; −1) . Câu 33. [2H3.1-2] Cho u = ( 2; −1;1) , v = ( m;3; −1) , w = (1; 2;1) . Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên

đồng phẳng 3 3 8 8 A. . B. − . C. . D. − . 8 8 3 3 Câu 34. [2H3.1-2] Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A (1;0;0 ) , B ( 0;0;1) , C ( 2;1;1) . Tam giác ABC có diện tích bằng

6 6 1 . . C. D. . 3 2 2 Câu 35. [2H3.1-2] Trong mặt phẳng Oxyz , cho tứ diện ABCD có A ( 2;3;1) , B ( 4;1; −2 ) , C ( 6;3; 7 ) , B.

QU Y

D ( −5; −4; −8 ) . Tính độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện.

6 5 5 4 3 45 . . . B. C. D. . 5 5 3 7 2 2 2 Câu 36. [2H3.1-1] Cho mặt cầu ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 2018 . Xác định tọa độ tâm I của mặt cầu. A.

A. I (1; 2; −3) .

B. I ( −1; −2;3) .

C. I ( 3; −2; −1) .

D. I (1; 2;3) .

Câu 37. [2H3.1-1] Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 3; −1; 2 ) và bán kính R = 4 có phương trình là 2

B. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 2 y − 4 = 0 .

D. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 2 y − 4 z − 2 = 0 .

KÈ

A. ( x + 3) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 16 . 2

C. ( x + 3) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 4 .

Câu 38. [2H3.1-2] Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 4; −1; 2 ) và đi qua điểm A(1; −2; −4) có phương trình là 2

B. ( x − 1) 2 + ( y + 2 ) + ( z + 4 ) = 46 .

D. ( x − 4) 2 + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 46 .

A. ( x − 4)2 + ( y − 1) + ( z − 2 ) = 46 .

C. ( x − 4)2 + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 46 .

DẠ

Câu 39. [2H3.1-2] Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; 2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − 2 z − 2 = 0 có

Trang 4

phương trình là 2 2 2 A. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 3 .

B. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 .

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 3 .

D. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9 .

là A. n = (1; 2;3) .

B. n = (1; −2;3) .

C. n = (1;3; −2 ) .

FI CI A

Câu 40. [2H3.1-2] Cho phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2(m + 2) x + 4my − 2mz + 5m 2 + 9 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu: B. m ≤ −5 hoặc m ≥ 1. A. m < −5 hoặc m > 1. C. −5 ≤ m ≤ 1. D. −5 < m < 1. Câu 41. [2H3.2-1] Cho mặt phẳng ( P) : x − 2 y + 3 z − 1 = 0 . Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P )

D. n = (1; −2; −3) .

Câu 42. [2H3.2-1] Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 3 y + z − 10 = 0 . Trong các điểm sau, điểm nào nằm trên mặt phẳng ( P )

B. ( 2; −2;0 ) .

C. (1; 2;0 ) .

D. ( 2;1; 2 ) .

A. ( 2; 2;0 ) .

Câu 43. [2H3.2-1] Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 3 y + z − 4 = 0 . Tính khoảng cách từ điểm A ( 2;3; −1) đến mặt phẳng ( P ) .

12 8 1 8 . B. d ( A, ( P ) ) = . C. d ( A, ( P ) ) = . D. d ( A, ( P ) ) = . 14 14 14 6 Câu 44. [2H3.2-2] Mặt phẳng qua ba điểm A (1; 0;0 ) , B ( 0; −2;0 ) , C ( 0;0;3) có phương trình.

ƠN

A. d ( A, ( P ) ) =

x y z x y z C. + + = 6. + + = 1. D. 6 x − 3 y + 2 z = 6. 1 −2 3 −1 2 −3 Câu 45. [2H3.2-2] Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z + 1 = 0 và hai điểm

A. x − 2 y + 3 z = 1.

A (1; −2;3) , B ( 3; 2; −1) . Viết Phương trình mặt phẳng ( Q ) qua A , B và vuông góc với mặt phẳng ( P ) .

B. (Q ) : 2 x − 2 y + 3 z − 7 = 0. D. (Q) : x + 2 y + 3 z − 7 = 0. Câu 46. [2H3.3-1] Viết phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm A (1; 2; −1) và nhận vectơ u = (1; 2;3)

QU Y

A. (Q ) : 2 x + 2 y + 3 z − 7 = 0. C. (Q ) : 2 x + 2 y + 3 z − 9 = 0.

làm vectơ chỉ phương. x = 1− t x = 1+ t x = 1+ t x = 1+ t     A. (d )  y = 2 + 2t . B. (d )  y = 2 − 2t . C. (d )  y = 2 + 2t . D. ( d ) :  y = 2 + 2t .  z = −1 + 3t  z = −1 + 3t  z = 1 + 3t  z = −1 + 3t     Câu 47. [2H3.3-1] Viết phương trình đường thẳng đi qua A ( −4; 2; −6 ) và song song với đường thẳng: x y z = = . 2 4 1  x = −4 − 2t  x = 2 − 2t  x = 2 + 2t  x = −4 + 2t     A.  y = 2 − 4t . B.  y = 1 − 4t . C.  y = 1 + 4t . D.  y = −2 + 4t .  z = −6 − t  z = −3 − t  z = −3 + t z = 6 + t     Câu 48. [2H3.3-1] Cho d là đường thẳng qua M (1; −2;3) và vuông góc với mp ( Q ) : 4 x + 3 y − 7 z + 1 = 0

KÈ

DẠ

. Tìm phương trình tham số của d ?  x = 1 + 3t  x = 1 + 4t   A.  y = −2 + 4t . B.  y = −2 + 3t .  z = 3 − 7t  z = 3 − 7t  

Trang 5

 x = 1 + 4t  C.  y = 2 + 3t .  z = 3 − 7t 

 x = 1 − 4t  D.  y = −2 + 3t .  z = 3 − 7t 

Câu 49. [2H3.3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A ( 5;1;3) , B (1;6; 2 ) , x − 5 y −1 z − 3 . = = 6 5 3 x −6 y −5 z −3 C. = = . 5 1 3

x + 5 y +1 z + 3 . = = 6 5 3 x+6 y+5 z +3 D. = = . 5 1 3

FI CI A

C ( 5;0; 4 ) và D ( 4; 0;6 ) . Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A của tứ diện ABCD.

x = 1+ t  Câu 50. [2H3.3-3] Trong không gian Oxyz , cho ( P ) : x + 2 y − z + 1 = 0 và đường thẳng d :  y = 2t .  z = −2 + t  trong mặt phẳng ( P ) . Tìm phương trình đường thẳng ∆ .

 x = 4t ′  B.  y = 2 − 2t ′ .  z = −3 

 x = 4t ′  C.  y = 2 + 2t ′ .  z = −3 

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

 x = 4t ′  A.  y = −2 − 2t ′ .  z = −3 

Đường thẳng d cắt ( P ) tại điểm M , đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với d và nằm

Trang 6

 x = 4t ′  D.  y = 2 + 2t ′ .  z =3 

4 B

5 6 7 8 A A D C

ĐÁP ÁN 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B C C C D C C A D B C D D A A C D

1 2 3 C C A

là đúng? A.  f ( x ) dx = f ′ ( x ) + C .

 f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C .

Lời giải Chọn C. Ta có phát biểu C là đúng. [2D3.1-1] Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x3 + 3 x + 1 là A. 3 x 2 + 3 + C .

1 4 3 2 1 3 x + x + 1 + C . C. x 4 + x 2 + x + C . D. x 4 + 3 x 2 + x + C . 4 2 4 2 Lời giải

Chọn C. 3

+ 3 x + 1) dx =

[2D3.1-2] Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = A.

1 ln 2 x + 3 + 2018 . 2

Chọn A.

1 . Biết F ( −2 ) = 2018. 2x + 3

1 ln 2 x + 3 − 2018 . C. ln 2 x + 3 + 2018 . 2 Lời giải

D. 2 ln 2 x + 3 + 2018 .

1 1 dx = ln 2 x + 3 + C . 2x + 3 2 1 Mà F ( −2 ) = 2018 ⇔ ln 2. ( −2 ) + 3 + C = 2018 ⇔ C = 2018 . 2 1 Vậy F ( x ) = ln 2 x + 3 + 2018 . 2 [2D3.1-2] Tính  e x .e x +1dx ta được kết quả nào sau đây?

Ta có F ( x ) = 

Câu 4.

1 4 3 2 x + x + x+C. 4 2

QU Y

Câu 3.

(x

Ta có

ƠN

Câu 2.

 f ( x ) dx = f ′ ( x ) . D.  f ′ ( x ) dx = f ( x ) . B.

FI CI A

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C B B D B A B D C A A D D B A B B B D A D A B A A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. [2D3.1-1] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là hàm số liên tục trên ℝ . Phát biểu nào sau đây

KÈ

A. e x .e x +1 + C .

1 2 x +1 e +C. 2

C. 2e2 x +1 + C .

D. e x

+C .

Lời giải

Chọn B.

1 dx =  e 2 x +1dx = e 2 x +1 + C. 2 f ( x) 1 [2D3.1-3] Cho F ( x ) = là một nguyên hàm của hàm số ( m là hằng số khác 0). Tìm 2 x mx nguyên hàm của hàm số f ′ ( x ) ln x.

 e .e

x +1

DẠ

Câu 5.

Trang 7

1  2 ln x 1  + 2 +C. x2 x 

 f ′ ( x ) ln xdx = − m 

1  2 ln x 1  + 2 +C. x2 x 

 f ′ ( x ) ln xdx = m 

1  ln x 1  + 2 +C . 2 x 2x 

 f ′ ( x ) ln xdx = − m 

1  2 ln x 1  − 2 +C . x2 x 

 f ′ ( x ) ln xdx = − m 

Lời giải Chọn A.

FI CI A

f ( x )  1 ′ 2 2 =  2  = − 3  f ( x) = − 2 x mx mx  mx  dx  u = ln x du = x .  Đặt  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )  Ta có

f ( x) 1  2 ln x 1  2 ln x 1 dx = − − 2 +C = −  2 + 2 +C . 2 x m x x  mx mx [2D3.1-1] Xét f ( x ) là một hàm số liên tục trên đoạn [ a; b] và F ( x ) là một nguyên hàm của

Câu 6.

 f ′ ( x ) ln xdx = f ( x ) ln x −

Ta được

hàm số f ( x ) trên đoạn [ a; b] . Mệnh đề nào dưới đây đúng? b



f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) .

 f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) . a b

ƠN

a b

 f ( x ) dx = F ( b ) .F ( a ) .

 f ( x ) dx = F ( a ) + F ( b ) . a

Lời giải



Câu 7.

Chọn A. Theo định nghĩa. [2D3.1-1] Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây: a

f ( x ) dx = −  f ( x ) dx .

a b

f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx với c ∈ [ a; b] .

a b

a a

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx .



QU Y

B.  k .dx = k ( b − a ) , ∀k ∈ ℝ .

Lời giải

Câu 8.

KÈ

Chọn D. Theo lí thuyết thì D sai. [2D3.2-2] Tìm k biết A. k = 1 , k = −3 .

 ( 2 x + 1) dx = 6 0

B. k = 2 .

C. k = 2 , k = −3 . Lời giải

Chọn C.

DẠ

Ta có

Trang 8

 ( 2 x + 1) dx = 6 ⇔ ( x 0

k k = 2 + x) = 6 ⇔ k 2 + k − 6 = 0 ⇔  . 0  k = −3

D. k = −1 , k = −6 .

1 a a [2D3.2-2] Biết I =  dx = ln với a, b ∈ ℤ và là phân số tối giản. Tính giá trị của S = a + b x b b 2 ? A. S = −1 . B. S = 5 . C. S = 1 . D. S = −5 Lời giải Chọn B. 3 3 1 3 Ta có I =  dx = ln x 2 = ln 3 − ln 2 = ln . x 2 2 Suy ra a = 3 và b = 2 . Vậy S = 5 . d

Câu 10. [2D3.2-2] Cho hàm f liên tục trên ℝ thỏa mãn



f ( x ) dx = 10 ,

 b

B. I = 7 .

C. I = 5 . Lời giải

D. I = −7 .

Chọn C. c

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx +  f ( x ) dx

ƠN

Ta có:

 f ( x ) dx = 7 .

A. I = −5 .

f ( x ) dx = 8 ,

Tính I =  f ( x ) dx ta được kết quả là:

FI CI A

Câu 9.

⇔ 10 = 7 − I + 8 ⇔ I = 5 . Câu 11. [2D3.3-1] Cho hai hàm số y = f ( x) và y = g ( x) liên tục trên đoạn [a; b] . Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị của các hàm số y = f ( x) , y = g ( x) và hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b) . Diện tích của hình phẳng H được tính theo công thức b

A. S =   f ( x ) − g ( x ) dx. a b

a b

D. S = π  f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx.

QU Y

C. S =  f ( x ) − g ( x ) dx. a

B. S =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx.

Lời giải

Chọn C. Câu 12. [2D3.3-1] Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b) . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay miền D quanh trục hoành được tính theo công thức b

A. V = π  f ( x ) dx.

B. V = 2π  f 2 ( x ) dx. C. V = π  f 2 ( x ) dx.

D. V = π 2  f ( x ) dx.

Lời giải

KÈ

Chọn C. Câu 13. [2D3.3-1] Cho hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = x 2 , x = 0 , x = 1 và trục hoành. Công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( H ) quanh trục Ox là 1

A. V = π  x dx.

DẠ

Trang 9

Chọn D

B. V = π

2 2

(x )

dx.

C. V =  ( x

Lời giải

2 2

)

dx.

D. V = π  ( x 2 ) dx . 0

Theo công thức, thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay ( H ) quanh trục hoành là 1

V = π  ( x 2 ) dx . 0

FI CI A

Câu 14. [2D3.3-2] Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) . Diện tích S của hình phẳng (phần tô đậm trong hình

A. S = ∫ f ( x ) dx .

dưới) là:

B. S = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x ) dx .

−2 −2

−2 0

C. S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x) dx .

0 0

D. S = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx . −2

ƠN

Lời giải

Chọn C Từ hình vẽ, ta có f ( x ) < 0 trên ( −2;0 ) và f ( x ) > 0 trên ( 0;3) . Theo công thức tính diện tích hình phẳng, Ta có



f ( x ) dx =



−2



f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

−2

f ( x ) dx +  f ( x ) dx = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx =

−2

QU Y

Câu 15. [2D3.3-2] Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 y = + 1, y = 0, x = 1, x = k ( k > 1) quay xung quanh trục Ox . Tìm k để thể tích x  15  V = π  + ln16  .  4  2 A. k = e . B. k = 2e . C. k = 4 . D. k = 8 . Lời giải Chọn C Theo công thức, thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng đã cho quanh trục hoành là k

1   1 2   1  V = π   + 1 dx = π   2 + + 1 dx = π  − + 2 ln x + x  = x  x x   x 1 1 1

DẠ

KÈ

 1   1  = π  − + 2 ln k + k  −  − + 2 ln1 + 1    1   k 1   = π  k − + ln k 2  k    15  Theo giả thiết, V = π  + ln16   k = 4 . 6  Câu 16. [2D4.1-2] Tính mô đun của số phức z = a + 2ai ( a là số thực dương) A. a 5 . B. 5a 2 . C. a 3 . Lời giải Chọn A. Trang 10

D. a 2 .

FI CI A

Câu 17. [2D4.1-2] Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây. A. Số phức z = i 2 là số thuần ảo. B. Số 3 không phải là số phức. C. Số phức z = 3i + 4 có phần thực là 3 và phần ảo là 4 . D. Số phức liên hợp của z = 3i + 4 là z = 4 − 3i . Lời giải Chọn D.  z = i 2 = −1 là số thực → A sai.  Số 3 là số phức có phần ảo bằng 0 → B sai.  Số phức z = 3i + 4 có phần thực là 4 và phần ảo là 3 → C sai.  Số phức liên hợp của z = 3i + 4 là z = 4 − 3i → D đúng. Câu 18. [2D4.1-1] Điểm biểu diễn của số phức z = 3 − 4i trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là: A. ( 3; 4 ) . B. ( 3; −4 ) . C. ( −3; −4 ) . D. ( −4;3) .

z = a 2 + ( 2a ) = a 5 .

A. 2 3 . Chọn D

D. 10 .

C. 3. Lời giải

QU Y

B. 11.

ƠN

Lời giải Chọn B. Điểm biểu diễn của số phức z = 3 − 4i trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là ( 3; −4 ) . Câu 19. [2D4.2-2] Cho hai số phức z = a + bi và z ′ = a ′ + b′i. Điều kiện giữa a, b, a′, b′ để z.z ′ là một số thực là: A. aa′ + bb′ = 0 . B. aa ′ − bb′ = 0 . C. ab′ + a ′b = 0 . D. ab′ − a′b = 0 . Lời giải Chọn C Ta có z.z ′ = ( a + bi )( a′ + b′i ) = aa′ − bb′ + ( ab′ + ba′ ) i Để z.z ′ là một số thực thì ab′ + a ′b = 0 . Câu 20. [2D4.2-2] Đặt f ( z ) = z + i z . Tính f ( 3 + 4i ) .

Ta có f ( 3 + 4i ) = 3 − 4i + i 32 + 42 = 3 + i . Nên f ( 3 + 4i ) = 3 + i = 32 + 12 = 10 .

Câu 21. [2D4.2-2] Tìm số phức liên hợp của số phức z = i ( 3i + 1) .

A. z = 3 − i.

B. z = −3 + i.

C. z = 3 + i. Lời giải

D. z = −3 − i.

KÈ

Chọn D Ta có z = i ( 3i + 1) = −3 + i  z = −3 − i. Câu 22. [2D4.3-1] Thực hiện phép chia sau z =

A. z =

4 7 + i . 13 13

B. z =

2+i 3 − 2i

7 4 + i. 13 13

C. z =

4 7 − i. 13 13

D. z =

7 4 − i. 13 13

DẠ

Lời giải Chọn A. Sử dụng MTBT. Câu 23. [2D4.2-2] Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn (1 + i ) z + 2 z = 3 + 2i . Tính P = a + b .

Trang 11

B. P = 1 .

C. P = −1.

Lời giải Chọn C. Ta có (1 + i ) z + 2 z = 3 + 2i ⇔ (1 + i )( a + bi ) + 2 ( a − bi ) = 3 + 2i

Lời giải

D. A ( −4;1) .

1  a = 2 ⇔ ( 3a − b ) + ( a − b ) i = 3 + 2i ⇔  . Vậy P = −1 . b = − 3  2 ( 2 − 3i )( 4 − i ) có tọa độ là: Câu 24. [2D4.3-1] Điểm biểu diễn số phức z = 3 + 2i A. A ( −1; −4 ) . B. A (1; 4 ) . C. A ( −4; −1) .

D. P = 2 .

1 . 2

FI CI A

A. P =

Chọn A. Sử dụng MTBT. Câu 25. [2D4.2-3] Số phức z thỏa mãn: z − ( 2 + i ) = 10 và z.z = 25 là: B. z = 4 − 3i .

Chọn D Với z = a + ib ( a, b ∈ ℝ )  z = a − ib

C. z = 4 + 3i . Lời giải

ƠN

A. z = 3 − 4i .

D. z = 3 + 4i .

QU Y

 z − ( 2 + i ) = 10  a + ib − 2 − i = 10 Ta có  ⇔  z.z = 25 ( a + ib )( a − ib ) = 25 2 2  ( a − 2 ) + i ( b − 1) = 10 ( a − 2 ) + ( b − 1) = 10 ⇔ ⇔ 2 2 2 2 a + b = 25 a + b = 25 2 2 4a + 2b = 20 a + b − 4a − 2b = 5 ⇔ 2 ⇔  2 2 2 a + b = 25 a + b = 25

KÈ

b = 10 − 2a b = 10 − 2a ⇔ 2 ⇔  2 2 2 a + b = 25 a + (10 − 2a ) = 25 b = 10 − 2a  a = 3, b = 4  z = 3 + 4i  ⇔  a = 3 ⇔  a = 5, b = 0  z = 5  a = 5  Câu 26. [2H3.1-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( x1 ; y1 ; z1 ) và B ( x2 ; y2 ; z2 ) . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) . C. AB = ( x2 − x1 ; y2 − y1 ; z2 − z1 ) .

2 2 2 B. AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) . D. AB = ( x1 − x2 ; y1 − y2 ; z1 − z2 ) .

DẠ

Lời giải Chọn C. Ta có AB = ( x2 − x1 ; y2 − y1 ; z2 − z1 ) . Câu 27. [2H3.1-1] Cho u = 3i + 2 j − 3k . Tọa độ vectơ u là:

Trang 12

A. ( −3; − 2; 3) .

B. ( 3; 2; − 3) .

C. ( 3; 2; 3) .

D. 3i; 2 j; − 3k .

(

)

Lời giải

FI CI A

Chọn B Ta có u = 3i + 2 j − 3k  u = ( 3; 2; − 3) . Vậy tọa độ của vectơ u là ( 3; 2; − 3) .

Câu 28. [2H3.1-1] Cho A (1; 0;0 ) , B ( 0;0;1) , C ( 3;1;1) . Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. A. D (1;1; 2 ) .

B. D ( 4;1; 0 ) .

C. D ( −1; −1; −2 ) . Lời giải

D. D ( −3; −1;0 ) .

Chọn B. Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì AD = BC , với AD = ( xD − 1; yD ; z D ) , BC = ( 3;1; 0 )  D ( 4;1;0 ) .

Câu 29. [2H3.1-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm M ( 2;3; −1) , N ( −1;1;1) , P (1; m − 1; 2 ) . Tìm tất cả các giá trị thực của m để tam giác MNP vuông tại N ? B. m = 2 .

C. m = 1 . Lời giải

ƠN

A. m = 3 .

D. m = 0 .

Chọn D. Để tam giác MNP vuông tại N thì NM .NP = 0 , với NM = ( 3; 2; −2 ) , NP = ( 2; m − 2;1)

⇔ 3.2 + 2. ( m − 2 ) − 2.1 = 0 ⇔ m = 0 .

Câu 30. [2H3.1-2] Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C (1; 2; −1) và điểm M ( m; m; m ) , để MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng A. 3.

B. 4.

C. 2. Lời giải

D. 1.

QU Y

Chọn B. Ta có AM = ( m − 2; m − 5; m − 1) , BM = ( m + 2; m + 6; m − 2 ) , CM = ( m − 1; m − 2; m + 1) 2 2 2 2 T = MA2 − MB 2 − MC 2 = AM − BM − CM = −3m 2 + 24m − 20 = −3 ( m − 4 ) + 28 ≤ 28

 Tmax = 28 khi m = 4 .

( a2b3 − a3b2 ; a3b1 + a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .

KÈ

Câu 31. [2H3.1-2] Tích có hướng của hai vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu  a , b  , được xác định bằng tọa độ A. ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) . B. ( a2b3 + a3b2 ; a3b1 + a1b3 ; a1b2 + a2b1 ) . D.

( a2b2 − a3b3 ; a3b3 − a1b1; a1b1 − a2b2 ) .

Lời giải

Chọn A.

DẠ

 a a3 a3 a1 a1 a2  Ta có  a , b  =  2 ; ;  = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .  b2 b3 b3 b1 b1 b2  Câu 32. [2H3.1-2] Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai vectơ a = ( 2; −1; 2 ) , b = ( 3; −2;1) Tích có hướng của hai vectơ a và b là: A.  a, b  = ( 3; 4;1) . B.  a, b  = ( 3; 4; −1) . C.  a, b  = ( −3; 4; −1) . D.  a, b  = ( 3; −4; −1) . Lời giải Chọn B. Trang 13

FI CI A

 −1 2 2 2 2 −1  a, b  =  ; ;  = ( 3; 4; −1) .    −2 1 1 3 3 −2  Câu 33. [2H3.1-2] Cho u = ( 2; −1;1) , v = ( m;3; −1) , w = (1; 2;1) . Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng 3 3 8 8 A. . B. − . C. . D. − . 8 8 3 3 Lời giải Chọn D. Ta có [ u , w] = ( −3; −1;5 ) ; [u , w] .v = −3m − 8 .

giác ABC có diện tích bằng

6 . 3

6 . 2 Lời giải C.

Chọn C. Ta có AB = ( −1; 0;1) , AC = (1;1;1) ,

1 . 2

ƠN

8 Để ba vec tơ đã cho đồng phẳng thì [u , w] .v = 0 ⇔ m = − . 3 Câu 34. [2H3.1-2] Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A (1;0;0 ) , B ( 0;0;1) , C ( 2;1;1) . Tam

 AB, AC  = ( −1; 2; −1)  

1 6  AB, AC  = .  2 2 Câu 35. [2H3.1-2] Trong mặt phẳng Oxyz , cho tứ diện ABCD có A ( 2;3;1) , B ( 4;1; −2 ) , C ( 6;3; 7 ) ,

 S ABC =

D ( −5; −4; −8 ) . Tính độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện. 45 . 7

6 5 . 5

5 . 5 Lời giải C.

QU Y

4 3 . 3

KÈ

Chọn A. Ta có AB = ( 2; −2; −3) , AC = ( 4;0; 6 ) ,  AB, AC  = ( −12;0;8 ) và AD = ( −7; −7; −9 ) . 1 1  VABCD =  AB, AC  . AD = 30 ; S ABC =  AB, AC  = 14 . 6 2 1 Khi đó thể tích khối tứ diện ABCD là V = S ABC .DH , với H là chân đường cao từ D của tứ 3 diện. 3V 45  DH = = . S ABC 7 2

Câu 36. [2H3.1-1] Cho mặt cầu ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 2018 . Xác định tọa độ tâm I của mặt cầu. A. I (1; 2; −3) .

B. I ( −1; −2;3) .

C. I ( 3; −2; −1) .

D. I (1; 2;3) .

Lời giải

DẠ

Chọn A. 2

Mặt cầu ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 2018 có tâm I (1; 2; −3) .

Câu 37. [2H3.1-1] Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 3; −1; 2 ) và bán kính R = 4 có phương trình là

Trang 14

A. ( x + 3) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 16 .

B. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 2 y − 4 = 0 .

C. ( x + 3) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 4 .

D. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 2 y − 4 z − 2 = 0 .

FI CI A

( x − 3) + ( y + 1) + ( z − 2 )

Lời giải Chọn D. Mặt cầu (S) có tâm I ( 3; −1; 2 ) và bán kính R = 4 có phương trình là

= 16

⇔ x2 + y2 + z 2 − 6 x + 2 y − 4 z − 2 = 0 . Câu 38. [2H3.1-2] Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 4; −1; 2 ) và đi qua điểm A(1; −2; −4) có phương trình là 2

B. ( x − 1) 2 + ( y + 2 ) + ( z + 4 ) = 46 .

D. ( x − 4) 2 + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 46 .

C. ( x − 4)2 + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 46 .

Lời giải Chọn D. Bán kính của mặt cầu ( S ) là R = IA = 46 . 2

A. ( x − 4)2 + ( y − 1) + ( z − 2 ) = 46 .

Phương trình của mặt cầu ( S ) là ( x − 4) 2 + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 46 .

ƠN

Câu 39. [2H3.1-2] Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; 2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − 2 z − 2 = 0 có phương trình là 2 2 2 A. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 3 . 2

B. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 .

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 3 .

D. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9 .

−1 − 2.2 − 2.1 − 2 2

12 + ( −2 ) + ( −2 )

QU Y

kính là R = d ( I , ( P ) ) =

Lời giải Chọn B. Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; 2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − 2 z − 2 = 0 nên có bán

= 3.

Phương trình của mặt cầu ( S ) là ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 .

Câu 40. [2H3.1-2] Cho phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2(m + 2) x + 4my − 2mz + 5m 2 + 9 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu: A. m < −5 hoặc m > 1. B. m ≤ −5 hoặc m ≥ 1. C. −5 ≤ m ≤ 1. D. −5 < m < 1. Lời giải Chọn A. Xét phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2(m + 2) x + 4my − 2mz + 5m 2 + 9 = 0 có:

DẠ

KÈ

a = m + 2 , b = − 2 m , c = m , d = 5m 2 + 9 . Phương trình đã ho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi a 2 + b 2 + c 2 − d > 0  m < −5 2 2 . ⇔ ( m + 2 ) + ( −2 m ) + m 2 − ( 5 m 2 + 9 ) = m 2 + 4 m − 5 > 0 ⇔  m > 1 Câu 41. [2H3.2-1] Cho mặt phẳng ( P) : x − 2 y + 3z − 1 = 0 . Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P )

Trang 15

là A. n = (1; 2;3) .

B. n = (1; −2;3) .

C. n = (1;3; −2 ) . Lời giải

Chọn B. Mặt phẳng ( P) : x − 2 y + 3z − 1 = 0 có vectơ pháp tuyến n = (1; −2;3) .

D. n = (1; −2; −3) .

Câu 42. [2H3.2-1] Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 3 y + z − 10 = 0 . Trong các điểm sau, điểm nào nằm trên A. ( 2; 2;0 ) .

B. ( 2; −2;0 ) .

C. (1; 2;0 ) .

D. ( 2;1; 2 ) .

FI CI A

Lời giải Chọn B. Tọa độ điểm ( 2; −2;0 ) nghiệm đúng phương trình mp ( P ) nên chọn B.

mặt phẳng ( P )

Câu 43. [2H3.2-1] Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 3 y + z − 4 = 0 . Tính khoảng cách từ điểm A ( 2;3; −1) đến mặt phẳng ( P ) .

12 . 14

B. d ( A, ( P ) ) =

8 1 . C. d ( A, ( P ) ) = . 14 14 Lời giải

Chọn B. 2 xA + 3 yA + z A − 4

2.2 + 3.3 − 1 − 4

D. d ( A, ( P ) ) =

8 . 6

A. d ( A, ( P ) ) =

8 . 14 14 22 + 32 + 12 Câu 44. [2H3.2-2] Mặt phẳng qua ba điểm A (1; 0;0 ) , B ( 0; −2;0 ) , C ( 0;0;3) có phương trình.

A. x − 2 y + 3 z = 1.

x y z + + = 6. 1 −2 3

ƠN

Ta có: d ( A, ( P ) ) =

x y z + + = 1. −1 2 −3 Lời giải

D. 6 x − 3 y + 2 z = 6.

Chọn D. Vì A ∈ Ox , B ∈ Oy , C ∈ Oz nên phương trình theo đoạn chắn của mp ( ABC ) là: x y z + + = 1 ⇔ 6x − 3 y + 2z − 6 = 0 . 1 −2 3 Câu 45. [2H3.2-2] Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z + 1 = 0 và hai điểm phẳng ( P ) .

QU Y

A (1; −2;3) , B ( 3; 2; −1) . Viết Phương trình mặt phẳng ( Q ) qua A , B và vuông góc với mặt A. (Q ) : 2 x + 2 y + 3 z − 7 = 0. C. (Q ) : 2 x + 2 y + 3 z − 9 = 0.

B. (Q ) : 2 x − 2 y + 3 z − 7 = 0. D. (Q) : x + 2 y + 3 z − 7 = 0. Lời giải

Chọn A. Ta có AB = ( 2; 4; −4 )

Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến n = ( 2;1; −2 )

KÈ

 A, B ∈ ( Q )  vectơ pháp tuyến của mp ( Q ) là  AB, n( P )  = ( −4; −4; −6 ) . Vì  ( P ) ⊥ ( Q ) Khi đó mp ( Q ) đi qua điểm A nhận n(Q ) = ( 2; 2;3) làm vectơ pháp tuyến nên có pt:

2 x + 2 y + 3z − 7 = 0 .

DẠ

Câu 46. [2H3.3-1] Viết phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm A (1; 2; −1) và nhận vectơ u = (1; 2;3)

Trang 16

làm vectơ chỉ phương. x = 1− t  A. (d )  y = 2 + 2t .  z = −1 + 3t 

x = 1+ t x = 1+ t   B. (d )  y = 2 − 2t . C. (d )  y = 2 + 2t .  z = −1 + 3t  z = 1 + 3t   Lời giải

x = 1+ t  D. ( d ) :  y = 2 + 2t .   z = −1 + 3t

Chọn D. Đường thẳng ( d ) đi qua điểm A (1; 2; −1) và nhận vectơ u = (1; 2;3) làm vectơ chỉ phương có

FI CI A

x = 1+ t  phương trình tham số  y = 2 + 2t .   z = −1 + 3t

Câu 47. [2H3.3-1] Viết phương trình đường thẳng đi qua A ( −4; 2; −6 ) và song song với đường thẳng: x y z = = . 2 4 1  x = −4 − 2t  A.  y = 2 − 4t .  z = −6 − t  d:

 x = 2 + 2t  C.  y = 1 + 4t .  z = −3 + t 

 x = −4 + 2t  D.  y = −2 + 4t . z = 6 + t 

 x = 2 − 2t  B.  y = 1 − 4t .  z = −3 − t 

Lời giải Chọn A. Phương trình đường thẳng đi qua A ( −4; 2; −6 ) và song song với đường thẳng d nên nhận

ƠN

 x = −4 − 2t  ud = ( 2; 4;1) làm một vtcp nên ta có phương trình đường thẳng:  y = 2 − 4t .  z = −6 − t  Câu 48. [2H3.3-1] Cho d là đường thẳng qua M (1; −2;3) và vuông góc với mp ( Q ) : 4 x + 3 y − 7 z + 1 = 0

. Tìm phương trình tham số của d ?  x = 1 + 3t  x = 1 + 4t   A.  y = −2 + 4t . B.  y = −2 + 3t .  z = 3 − 7t  z = 3 − 7t  

 x = 1 + 4t  C.  y = 2 + 3t .  z = 3 − 7t 

 x = 1 − 4t  D.  y = −2 + 3t .  z = 3 − 7t 

Lời giải

QU Y

Chọn B. Cho d là đường thẳng qua M (1; −2;3) và vuông góc với mp ( Q ) : 4 x + 3 y − 7 z + 1 = 0 nên nhận

 x = 1 + 4t  nQ = ( 4;3; −7 ) làm một vtcp nên ta có phương trình đường thẳng d :  y = −2 + 3t .  z = 3 − 7t  Câu 49. [2H3.3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A ( 5;1;3) , B (1;6; 2 ) ,

C ( 5;0; 4 ) và D ( 4; 0;6 ) . Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A của tứ diện ABCD. x − 5 y −1 z − 3 . = = 6 5 3 x−6 y −5 z −3 C. = = . 5 1 3

KÈ

x + 5 y +1 z + 3 . = = 6 5 3 x+6 y+5 z +3 D. = = . 5 1 3 Lời giải

DẠ

Chọn A. BC = ( 4; − 6; 2 ) , BD = ( 3; − 6; 4 )   BC , BD  = ( −12; − 10; − 6 ) = −2. ( 6;5;3) . Đường cao kẻ từ đỉnh A của tứ diện ABCD sẽ đi qua điểm A và nhận u = ( 6;5;3) làm véc tơ

Trang 17

chỉ phương, có phương trình là

x − 5 y −1 z − 3 = = . 6 5 3

 x = 4t ′  A.  y = −2 − 2t ′ .  z = −3 

 x = 4t ′  B.  y = 2 − 2t ′ .  z = −3 

 x = 4t ′  C.  y = 2 + 2t ′ .  z = −3  Lời giải

Chọn A.

FI CI A

Đường thẳng d cắt ( P ) tại điểm M , đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với d và nằm

 x = 4t ′  D.  y = 2 + 2t ′ .  z =3 

ƠN

x = 1+ t x = 0  y = 2t  y = −2   Tọa độ của M là nghiệm của hệ   M ( 0; − 2; − 3) .  = − 2 + = − 3 z t z    x + 2 y − z + 1 = 0 t = −1 n( P ) = (1; 2; − 1) và ud = (1; 2;1)   n( P ) ; ud  = ( 4; − 2;0 ) . Đường thẳng ∆ đi qua M và nhận véc tơ u = ( 4; − 2; 0 ) làm véc tơ chỉ phương, có phương trình

DẠ

KÈ

QU Y

 x = 4t ′  là  y = −2 − 2t ′ .  z = −3 

Trang 18

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A.

 0dx = C

(C là hằng số).

x α+1 D. + C (C là hằng số). α +1 Họ nguyên hàm của hàm số f (x ) = ex + x − 2 là

C.  x α dx =

Câu 4:

Câu 5:

(C là hằng số).

B. e x +

( ) ( )

  f x + g x dx =  f x dx +  g x dx .

( )

()

( )

 f (x )dx = 0 . a

( )

D.   f x .g x dx =  f x dx . g x dx .  

( ) ( )

( )

Cho M =

( )

QU Y

 f x dx =  f y dy . B. a

Câu 6:

 dx = x + C

ƠN

Câu 3:

+ C (C là hằng số).

x2 x2 − 2x + C . C. e x + x 2 − 2x + C . D. e 2x + − 2x + C . 2 2 π Họ nguyên hàm của hàm số f (x ) = sin(2x + ) là 7 1 π 1 π 1 π π A. − cos(2x + ) + C . B. cos(2x + ) + C . C. − cos(x − ) + C .D. − cos(2x + ) + C . 2 7 2 7 2 7 7 1 Họ nguyên hàm của hàm số f (x ) = là x +1 1 A. ln(x + 1) + C . B. ln x − 1 + C . C. ln x + 1 + C . D. ln x + 1 + C . 2 Cho f x , g x là hai hàm số liên tục trên ℝ . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. e x +

x2 − x +C . 2

 x dx = ln x

Câu 2:

Câu 1:

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 12 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 50 câu TN, 0 câu tự luận)

FI CI A

ĐỀ SỐ 10

( )

x2 + 2 1 2x 2 dx . Giá trị của M là

A. 2 .

5 . 2

11 . 2

C. 1 .

C. I = 2e + 2 .

D. I = e 2 − 2e .

Tính tích phân I =  2e xdx .

Câu 7:

KÈ

A. I = 2e − 2 .

B. I = 2e .

Câu 8:

Tích phân  2xdx có giá trị là

Câu 9:

A. 3 . B. 1 . C. 4 . D. 2 . Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f x ,

( )

(

)

DẠ

y = g x và hai đường thẳng x = a, x = b a < b . .

Trang 1

A. S =

 f ( x ) − g ( x ) dx . a

B. S =

 ( f ( x ) − g ( x ) ) dx . a

C. S =

( ( )

( ))

f x −g x

( )

D. S = π f x − g x dx .

dx .

( ) ( )

(

)

Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng P , Q vuông góc với

(

FI CI A

trục Ox lần lượt tại x = a , x = b a < b . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có

)

( )

hoành độ x , a ≤ x ≤ b cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S x với y = S x là hàm số liên tục trên a;b  . Thể tích V của thể tích đó được tính theo công thức z

y O

a b

A. V = π  S

( x ) dx

( )

B. V = π  S x dx

( )

C. V =  S x dx

D. V =  S 2 x dx

ƠN

S(x)

( )

Câu 11: Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y = x + 1 ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1 quay xung quanh trục Ox là:

7 7 π. D. V = . 3 3 Câu 12: Hai điểm M và M ' phân biệt và đối xứng nhau qua mặt phẳng (Oxy ) . Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hai điểm M và M ' có cùng tung độ và cao độ. B. Hai điểm M và M ' có cùng hoành độ và cao độ . C. Hai điểm M và M ' có hoành độ đối nhau . D. Hai điểm M và M ' có cùng hoành độ và tung độ. B. V = 7 .

QU Y

A. V = 7 π .

C. V =

(

)

(

)

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM = 1; 5;2 , ON = 3; 7; −4 . Gọi P là điểm đối xứng với M qua N . Tìm tọa độ điểm P . B. P 5;9; −10 . A. P 2;6; −1 .

(

)

(

)

(

)

(

C. P 7;9; −10 .

)

D. P 5;9; −3 .

Câu 14: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1; 0; 0), B (0; 0;1),C (2;1;1) . Tam giác ABC có diện tích bằng

KÈ

1 6 6 . C. . D. . 3 2 2 Câu 15: Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu S có tâm I 2;2; −3 và bán kính R = 3 . A.

Trang 2

( ) A. ( x − 2 ) + (y − 2 ) + ( z + 3 ) = 9 . B. ( x + 2 ) + (y − 2 ) + ( z + 3 ) = 9 . C. ( x − 2 ) + (y − 2 ) + ( z − 3 ) = 9 . D. ( x − 2 ) + (y + 2 ) + ( z + 3 ) = 9 . Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu (S ) có đường kính AB với A (1; 3;1) , B ( −2; 0;1) .

Y DẠ Câu 16:

( )

 1  3 A.  x −  +  y −  + z − 1 2  2 

(

)

 1  3 B.  x +  +  y −  + z − 1 2  2 

9 = . 2

(

)

9 . 2

2   1  3 9 1  3 9 C.  x +  +  y −  + z + 1 = . D.  x +  +  y −  + z − 1 = . 2  2 2 2  2 2   Câu 17: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng Oxz ? B. x = 0 . C. z = 0 . D. y − 1 = 0 . A. y = 0 .

(

)

FI CI A

(

)

Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng qua A 1;2; − 1 có một vectơ pháp tuyến n 2; 0; 0 có phương trình là

)

A. y + z = 0 .

B. y + z − 1 = 0 .

C. x − 1 = 0 .

(

)

(

D. 2x − 1 = 0 .

)

(

Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A 1;2; 3 , B −3; −2; −1 . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là A. x − y − z = 0 . B. x + y + z + 6 = 0 . C. x + y + z − 6 = 0 . D. x + y + z = 0 .

(

) (

)

song với trục Ox có phương trình là A. y − 2z + 2 = 0 . B. x + 2z − 3 = 0 .

(

ƠN

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng chứa hai điểm A 1; 0; 1 , B −1; 2; 2 và song C. 2y − z + 1 = 0 .

)

(

D. x + y − z = 0 .

) (

)

(

Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M 3, −1,2 , N 4, −1, −1 , P 2, 0,2 . Mặt phẳng MNP

có phương trình là A. 3x + 3y − z + 8 = 0 . C. 3x + 3y + z − 8 = 0 .

B. 3x − 2y + z − 8 = 0 . D. 3x + 3y − z − 8 = 0 .

Câu 22: Trong không gian Oxyz , đường thẳng d :

)

(

)

B. 1; −2; 3 .

QU Y

(

A. −1;2; −3 .

)

x −1 y +2 z −3 = = đi qua điểm 3 −4 −5 C. −3; 4;5 . D. 3; −4; −5 .

(

)

(

)

Câu 23: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 3; −1;2 và vuông góc với mặt phẳng

(P ) : x + y − 3z − 5 = 0 có phương trình là x −1 y −1 z + 3 x + 3 y −1 z +2 = = = = . B. d : . 3 −1 2 1 1 −3 x −3 y +1 z −2 x +1 y +1 z −3 C. d : = = . D. d : = = . 1 1 −3 3 −1 2 Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3; −2;1) và mặt phẳng

KÈ

A. d :

( P ) : x + y + 2 z − 5 = 0 . Đường thẳng nào sau đây đi qua

x − 3 y + 2 z −1 . = = 1 1 2 x + 3 y − 2 z +1 C. = = . 1 1 2 x3 Câu 25: Nếu  f x dx = + e x + C thì f x bằng: 3 x4 A. f x = B. f x = 3x 2 + e x . + ex . 3

DẠ

Trang 3

x−3 = 4 x−3 D. = 4

y − 2 z +1 . = −2 −1 y + 2 z −1 = . −2 −1

( )

A và song song với mặt phẳng ( P ) ?

( )

C. f x =

x4 + ex . 12

( )

D. f x = x 2 + e x .

( )

Câu 26: Hàm số F x = e x là một nguyên hàm của hàm số 3

ex C. f x = 2 . 3x

( )

B. f x = 3x .e .

Câu 27: Cho tích phân I =

( )

D. f x = x 3 .e x

π 2



π 2



B. I =

t dt .



C. I =

t dt .

( )



D. I = 2  t dt .

t dt .

là các hàm số có đạo hàm và liên tục trên 0;2 và  

( )

Câu 28: Cho hàm số y = f x , y = g x 2

−1

2 + cos x .sin xdx . Nếu đặt t = 2 + cos x thì kết quả nào sau đây đúng?

A. I =

( )

A. f x = e .

FI CI A

( )

′  g x f ′ x dx = 2 ,  g ′ x f x dx = 3 . Tính tích phân I =  g x f x  dx .

( ) ( )

A. I = 5 .

B. I = 6 .

Câu 29: Nếu C (1; −4;0 ) ,

C. I = −1 .

 f ( x ) dx = 9 thì  f ( x ) dx bằng

D. I = 1 .

(

ƠN

A. 3 . B. 12 . C. 6 . D. −6 . Câu 30: Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30 cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là 1600π cm 2 , chiều dài của trống là 1m . Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt

)

mặt xung quanh của trống là các đường Parabol. Hỏi thể tích của cái trống là bao nhiêu?

parabol

40cm

30cm

A. 425, 2 (lít).

QU Y

. C. 212, 6 (lít).

B. 425162 (lít).

(

)

(

D. 212581 (lít).

)

Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A −1;2; 3 , B 1; 0;2 . Độ dài đoạn thẳng AB bằng A.

B. 9 .

C. 3 .

(

29 .

) (

)

Câu 32: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm M 2; − 3; 5 , N 4;7; − 9 , E 3;2;1

)

(

, F 1; − 8;12 . Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

KÈ

A. M , N , F . B. M , E , F . C. N , E , F . D. M , N , E . Câu 33: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;2; 0 , B −1;1; 3 ,C 0; −2; 5 . Để 4 điểm A, B,C , D

(

) (

)

đồng phẳng thì tọa độ điểm D là A. D −2;5; 0 . B. D 1;2; 3 .

C. D (1; −1;6 ) . D. D ( 0; 0;2 ) . ) Cho A (1; −2; 0 ) , B ( 3; 3;2 ) ,C ( −1;2;2 ) , D ( 3; 3;1) . Thể tích của tứ diện ABCD bằng

(

Câu 34:

)

DẠ

A. 5. B. 4. C. 3. D. 6. Câu 35: Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng α : 16x − 15y − 12z + 75 = 0 .

Trang 4

( )

A. x + y 2 + z 2 = 9 .

B. x 2 + y 2 + z = 9 .

C. x 2 + y 2 + z 2 = −9 .

D. x 2 + y 2 + z 2 = 9 . a

x 2 + 2x + 2 a2 d x = + a + ln 3 . Giá trị của a là 0 x + 1 2 B. a = 1 . C. a = 2 . D. a = 3 .

Câu 36: Xác định số a dương sao cho

(

)

(

FI CI A

A. a = −4 . 1 x 2 + x ex dx = a.e + b ln e + c với a , b , c ∈ ℤ . Tính P = a + 2b − c . Câu 37: Cho  −x x + e 0 A. P = 1 . B. P = −1 . C. P = 0 . D. P = −2 . Câu 38: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v km / h phụ thuộc vào thời gian t h có đồ thị

)

(

)

()

vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I 2;5 và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng

( )

ƠN

thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

32 35 B. km ) . C. 12 (km ) . D. ( ) ( (km ) . 3 3 Xét ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 1 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = a (a > 0 ) . Giá trị của a sao cho thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( H )

Câu 39:

QU Y

A. 15 km .

quanh trục hoành bằng 57π là A. a = 2 . B. a = 3 . C. a = 5 . D. a = 4 . Câu 40: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 0; −1;2 , B 2; −3; 0 , C −2;1;1 , D 0; −1; 3

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

. Gọi L là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức MA.MB = MC .MD = 1 . Biết rằng L là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng

( )

bao nhiêu?

KÈ

11 7 3 5 . B. r = . C. r = . D. r = . 2 2 2 2 Câu 41: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1; −2; 0 , B 3; 3;2 ,C −1;2;2 , D 3; 3;1 . Độ A. r =

DẠ

) ( ) ( dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ( ABC ) là

Trang 5

7 2

(

9 . 7

) (

9 2

9 . 14

)

(

) (

)

Câu 42: Cho hình chóp S .ABCD biết A −2;2;6 , B −3;1; 8 ,C −1; 0;7 , D 1;2; 3 . Gọi H là trung

(

)

27 (đvtt) thì có hai 2

điểm của CD, SH ⊥ ABCD . Để khối chóp S .ABCD có thể tích bằng

)

(

)

(

B. I 1; 0; 3 .

Câu 43: Viết phương trình mặt cầu (S) A 1;2; −4 , B 1; −3;1 , C 2;2; 3 , D 1; 0; 4 .

(

) ( ) ( ) A. ( x − 2 ) + (y − 1) + z = 26 . C. ( x + 2 ) + (y − 1) + z = 26 . 2

)

(

C. I 0;1; 3 .

(

biết:

(S)

)

qua

( ) + (y + 1) D. ( x + 2 ) + (y − 1)

B. x + 2

(

) (

)

D. I −1; 0; −3 .

) (

bốn

điểm

+ z 2 = 26 .

+ 4z 2 = 26 .

)

(

A. I 0; −1; −3 .

FI CI A

điểm S 1, S 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S 2

Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B −1;2; 0 , C 2; − 3;2 . Tập hợp tất cả các

ƠN

điểm M cách đều ba điểm A , B , C là một đường thẳng d . Phương trình tham số của đường thẳng d là x = −8 − 3t x = −8 + 3t x = −8 + 3t x = −8 + 3t     A. y = t . B. y = t . C. y = −t . D. y = t . z = 15 + 7t z = 15 − 7t z = −15 − 7t z = 15 + 7t      π  3π 7 cos x − 4 sin x Câu 45: Hàm số f x = có một nguyên hàm F x thỏa mãn F   = . Giá trị cos x + sin x 8 4 π F   bằng 2 3π − 11ln 2 3π 3π 3π − ln 2 A. . B. . C. . D. . 4 4 8 4 Câu 46: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thoả mãn 3f x + xf ′ x = x 2018 , với  

( )

QU Y

( )

mọi x ∈ 0;1 . Tính I =  f x dx .  

( )

1 . 2018.2021 1 C. I = . 2019.2021

1 . 2019.2020 1 D. I = . 2018.2019 B. I =

A. I =

KÈ

Câu 47: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 , y =

27 x2 ,y= . x 27

26 . 3 x +1 y −1 z Câu 48: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I 2; 3; −1 và cắt đường thẳng ∆ : = = tại 1 −4 1 hai điểm A, B với AB = 16 . A. S = 234 .

B. S = 27 ln 3 .

DẠ

(

Trang 6

( ) + ( y − 3 ) + ( z + 1) C. ( x − 2 ) + (y + 3 ) + ( z + 1)

A. x − 2

C. S =

= 76 . = 76 .

26 . 3

D. S = 27 ln 3 −

)

( ) + (y − 3) + (z − 1) D. ( x + 2 ) + (y − 3 ) + ( z + 1)

B. x − 2

= 76 . = 76 .

= 60° , Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC vuông tại C , ABC

x −3 y −4 z +8 = = , đường thẳng AC nằm 1 1 −4

(

( )

)

AB = 3 2, đường thẳng AB có phương trình

điểm C , giá trị của a + b + c bằng A. 3 . B. 2 .

FI CI A

trên mặt phẳng α : x + z − 1 = 0 . Biết B là điểm có hoành độ dương, gọi a;b;c là tọa độ C. 4 .

D. 7 .

 π liên tục, không âm trên đoạn 0;  , thỏa mãn f 0 = 3 và  2  π f x .f ′ x = cos x . 1 + f 2 x , ∀x ∈ 0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M  2 π π của hàm số f x trên đoạn  ;  . 6 2

( )

()

Câu 50: Cho hàm số f x

( )

5 , M = 3. 2

21 , M = 2 2. 2

B. m =

C. m =

5 , M = 3. 2

D. m = 3 , M = 2 2 .

KÈ

QU Y

ƠN

A. m =

Y DẠ Trang 7

( ) ( )

x2 − x +C . 2

B. e x +

x2 x2 − 2x + C . C. e x + x 2 − 2x + C . D. e 2x + − 2x + C . 2 2 Lời giải

A. e x +

FI CI A

ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1: [2D3.1-1] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 A.  0dx = C (C là hằng số). B.  dx = ln x + C (C là hằng số , x ≠ 0 ). x α+1 x C.  x α dx = D.  dx = x + C (C là hằng số). + C (C là hằng số). α +1 Lời giải Chọn C Vì khẳng định không đúng khi α = −1 . Câu 2: [2D3-1-1] Họ nguyên hàm của hàm số f (x ) = ex + x − 2 là

Chọn B

x2 − 2x + C . 2 π Câu 3: [2D3-1-1] Họ nguyên hàm của hàm số f (x ) = sin(2x + ) là 7 1 π 1 π A. − cos(2x + ) + C . B. cos(2x + ) + C . 2 7 2 7 1 π π C. − cos(x − ) + C . D. − cos(2x + ) + C . 2 7 7 Lời giải Chọn A π 1 π Ta có  f (x )dx =  sin(2x + )dx = − cos(2x + ) + C . 7 2 7 1 Câu 4: [2D3-1-1] Họ nguyên hàm của hàm số f (x ) = là x +1 x x  f (x )dx =  (e + x − 2)dx = e +

A. ln(x + 1) + C . Chọn C

B. ln x − 1 + C .

C. ln x + 1 + C .

Lời giải

1 ln x + 1 + C . 2

 f (x )dx =  x + 1dx = ln x + 1 + C

Ta có

QU Y

ƠN

Ta có

( ) ( )

Câu 5: [2D3.2-1] Cho f x , g x là hai hàm số liên tục trên ℝ . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề

KÈ

( )

 f (x )dx = 0 .

DẠ

Trang 8

()

 f x dx =  f y dy .

  f x + g x dx =  f x dx +  g x dx .

( )

D.   f x .g x dx =  f x dx . g x dx .  

( ) ( )

( )

Lời giải Chọn D Các đáp án A, B ,C là các tính chất của tích phân. Đáp án D không phải là tính chất của tích phân.

x2 + 2 1 2x 2 dx . Giá trị của M là B.

5 . 2

C. 1 .

Lời giải

Chọn C 2

1 1  x 1 x2 + 2 Ta có M =  dx =   + 2  dx =  −  = 1 . 2 2 x   2 x 1 1 2x 1 1

Câu 7: [2D3.2-1] Tích phân I =  2e xdx có giá trị là 0

B. I = 2e .

C. I = 2e + 2 . Lời giải

Chọn A 1

Ta có I =  2e x dx = 2e x = 2e − 2 . 0

ƠN

Câu 8: [2D3.2-1] Tích phân  2xdx có giá trị là 1

B. 1 .

A. 3 .

C. 4 . Lời giải

Chọn A 2

Ta có:  2xdx = x 2 = 3 . 1

D. I = e 2 − 2e .

A. I = 2e − 2 .

11 . 2

A. 2 .

FI CI A

Câu 6: [2D3.2-1] Cho M =

D. 2 .

Câu 9: [2D3.3-1] Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f x , y = g x và hai đường thẳng x = a, x = b a < b .

() b

A. S =

 ( ) b

( )

 ( f ( x ) − g ( x ) ) dx . a b

( )

D. S = π f x − g x dx . a

Lời giải

Chọn A

)

 ( f ( x ) − g ( x ) ) dx . a

(

B. S =

f x − g x dx .

C. S =

QU Y

( )

S =  f ( x) − g ( x) dx.

KÈ

( ) ( )

Câu 10: [2D3.3-1] Trong không gian Oxyz , cho vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng P , Q vuông

(

)

góc với trục Ox lần lượt tại x = a , x = b a < b . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại

(

)

( )

điểm có hoành độ x , a ≤ x ≤ b cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S x với y = S x

DẠ

là hàm số liên tục trên a;b  . Thể tích V của thể tích đó được tính theo công thức

Trang 9

y O b

( )

C. V =  S x dx .

( )

B. V = π  S x dx .

A. V = π  S 2 x dx .

( )

Lời giải b

( )

D. V =  S 2 x dx . a

Chọn C

Theo định nghĩa ta có: V =  S x dx

FI CI A

S(x)

( )

Câu 11: [2D3.3-1] Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y = x + 1 ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1 quay xung quanh trục Ox là

B. V = 7 .

C. V =

Lời giải Chọn C 1

7 π. 3

ƠN

A. V = 7 π .

D. V =

7 . 3

7 π. 3 0 Câu 12: [2H3.1-1] Hai điểm M và M ' phân biệt và đối xứng nhau qua mặt phẳng (Oxy ) . Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hai điểm M và M ' có cùng tung độ và cao độ. B. Hai điểm M và M ' có cùng hoành độ và cao độ. C. Hai điểm M và M ' có hoành độ đối nhau. D. Hai điểm M và M ' có cùng hoành độ và tung độ. Lời giải Chọn D “Hai điểm M và M ' có cùng hoành độ và tung độ” là mệnh đề đúng. Câu 13: [2H3.1-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM = 1;5;2 , ON = 3; 7; −4 . Gọi P

(

)

QU Y

Ta có: V = π  x + 1 dx =

(

)

(

là điểm đối xứng với M qua N . Tìm tọa độ điểm P . A. P 2;6; −1 . B. P 5;9; −10 . C. P 7;9; −10 .

(

)

(

)

(

)

(

)

D. P 5;9; −3 .

KÈ

Lời giải Chọn B Ta có: OM = 1; 5;2  M 1; 5;2 , ON = 3; 7; −4  N 3; 7; −4 .

(

)

(

)

(

)

(

)

DẠ

Vì P là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta suy ra được x = 2x − x = 5 N M  P y = 2 y − y = 9  P 5;9; −10  P N M z = 2z − z = −10 N M  P Câu 14: [2H3-2-1] Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1; 0; 0), B (0; 0;1),C (2;1;1) . Tam giác ABC có diện tích bằng

Trang 10

(

)

6 . 3

C. Lời giải

6 . 2

(

)

FI CI A

)

Chọn C AB = −1; 0;1 , AC = 1;1;1 .

(

1 . 2

1   6 AB , AC = .  2  2 Câu 15: [2H3-4-1] Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu S có tâm I 2;2; −3 và bán kính R = 3 S ∆ABC =

( )

(

. 2

= 9. = 9.

( ) + (y − 2 ) + ( z + 3 ) D. ( x − 2 ) + (y + 2 ) + ( z + 3 ) B. x + 2

( ) + (y − 2 ) + ( z + 3 ) C. ( x − 2 ) + (y − 2 ) + ( z − 3 ) A. x − 2

)

= 9.

Lời giải Chọn A Mặt cầu tâm I 2;2; −3 và bán kính R = 3 , có phương trình: (S): 2

)

( x − 2 ) + (y − 2 ) + ( z + 3 ) Câu 16:

ƠN

(

= 9.

[2H3-4-1] Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu

(

)

(

)

 1  3 A.  x −  +  y −  + z − 1 2  2 

(

)

9 = . 2

 1  3 C.  x +  +  y −  + z + 1 2  2 

)

QU Y

(

A 1; 3;1 , B −2; 0;1 .

(S )

có đường kính AB với

 1  3 B.  x +  +  y −  + z − 1 2  2 

(

)

9 . 2

 1  3 9 D.  x +  +  y −  + z − 1 = . 2  2 2  Lời giải

(

)

Chọn B Ta có: AB = −3; −3; 0  AB = 3 2 .

(

)

 1 3  Gọi I là trung điểm AB  I  − ; ;1  .  2 2 

 1 3  AB 3 2 , có phương trình: Mặt cầu tâm I  − ; ;1  và bán kính R = = 2 2  2 2  2

DẠ

KÈ

2  1  3 9 (S):  x +  +  y −  + z − 1 = . 2  2 2  Câu 17: [2H3-2-1] Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng Oxz ? A. y = 0 . B. x = 0 . C. z = 0 . D. y − 1 = 0 . Lời giải Chọn A Phương trình mặt phẳng Oxz có phương trình là y = 0 .

Trang 11

(

)

(

)

Câu 18: [2H3-2-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng qua A 1;2; − 1 có một vectơ pháp tuyến n 2; 0; 0 có phương trình là

)

B. y + z − 1 = 0 .

C. x − 1 = 0 . Lời giải

D. 2x − 1 = 0 .

Chọn C Phương trình mặt phẳng: 2 x − 1 = 0 ⇔ x − 1 = 0 .

(

)

(

)

(

A. y + z = 0 .

FI CI A

(

)

Câu 19: [2H3-2-1] Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A 1;2; 3 , B −3; −2; −1 . Phương trình mặt

(

phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là A. x − y − z = 0 . B. x + y + z + 6 = 0 . C. x + y + z − 6 = 0 . D. x + y + z = 0 . Lời giải Chọn D Gọi I là trung điểm của AB  I −1; 0;1 . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB qua I −1; 0;1 nhận BA = 4; 4; 4 là

)

(

)

(

)

(

)

ƠN

vectơ pháp tuyến: 4 x + 1 + 4y + 4 z − 1 = 0 ⇔ x + y + z = 0 .

(

)

Câu 20: [2H3-2-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng chứa hai điểm A 1; 0; 1 ,

(

)

B −1; 2; 2 và song song với trục Ox có phương trình là B. x + 2z − 3 = 0 .

Chọn A Gọi P là mặt phẳng cần tìm.

( ) Do ( P ) //Ox

C. 2y − z + 1 = 0 . Lời giải

D. x + y − z = 0 .

A. y − 2z + 2 = 0 .

( )

nên P : by + cz + d = 0 .

QU Y

c + d = 0  2b + c = 0 . Do P chứa các điểm A 1; 0; 1 , B −1; 2; 2 nên  2b + 2c + d = 0 Ta chọn b = 1  c = −2 . Khi đó d = 2 .

(

( )

) (

)

( )

Vậy phương trình P : y − 2z + 2 = 0 .

(

)

(

)

(

)

Câu 21: [2H3-2-1] Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M 3, −1,2 , N 4, −1, −1 , P 2, 0,2 . Mặt

(

)

phẳng MNP có phương trình là

KÈ

A. 3x + 3y − z + 8 = 0 . C. 3x + 3y + z − 8 = 0 .

B. 3x − 2y + z − 8 = 0 . D. 3x + 3y − z − 8 = 0 . Lời giải

Chọn C MN = 1; 0; −3 , MP = −1;1; 0  MN , MP  = 3; 3;1 là một VTPT của mặt phẳng  

DẠ

( ) ( ) ( ) (MNP ) . Suy ra phương trình mặt phẳng (MNP ) : 3 (x − 3 ) + 3 (y + 1) + (z − 2 ) = 0 ⇔ 3x + 3y + z − 8 = 0 .

Câu 22: [2H3-3-1] Trong không gian Oxyz , đường thẳng d :

Trang 12

x −1 y +2 z −3 = = đi qua điểm 3 −4 −5

(

)

(

A. −1;2; −3 .

)

(

B. 1; −2; 3 .

)

(

C. −3; 4;5 .

)

D. 3; −4; −5 .

Lời giải Chọn B

trình:

x − x0 u1

y − y0 u2

z − z0 u3

)

(

)

Suy ra đường thẳng đi qua điểm có tọa độ là 1; −2; 3 .

(

)

FI CI A

(

Đường thẳng đi qua điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 và có vectơ chỉ phương u = u1 ; u2 ; u 3 có phương

)

Câu 23: [2H3-3-1] Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 3; −1;2 và vuông góc với mặt

( )

phẳng P : x + y − 3z − 5 = 0 có phương trình là

x −1 y −1 z + 3 = = . 3 −1 2 x −3 y +1 z −2 C. d : = = . 1 1 −3

x + 3 y −1 z +2 = = . 1 1 −3 x +1 y +1 z −3 D. d : = = . 3 −1 2 Lời giải B. d :

ƠN

Chọn C

A. d :

Đường thẳng d đi qua điểm A 3; −1;2 nhận vectơ pháp tuyến n P = 1;1; −3 là vectơ chỉ

(

)

(

)

x −3 y +1 z −2 = = . 1 1 −3 Câu 24: [2H3.3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3; −2;1) và mặt phẳng

phương nên có phương trình là

( P ) : x + y + 2 z − 5 = 0 . Đường thẳng nào sau đây đi qua x − 3 y + 2 z −1 = = . 1 1 2 x + 3 y − 2 z +1 C. . = = 1 1 2

QU Y

A và song song với mặt phẳng ( P ) ? x − 3 y − 2 z +1 B. = = . 4 −2 −1 x − 3 y + 2 z −1 D. . = = 4 −2 −1 Lời giải

Chọn D Vì d đi qua điểm A ( 3; − 2;1) nên loại B, C. d ⊥ ( P )  n( P ) . ud = 0 nên loại A vì n( P ) = ud .

( )

 f x dx =

Câu 25: [2D3.1-2] Nếu

x4 + ex . 3

( )

B. f x = 3x 2 + e x .

KÈ

A. f x =

x3 + e x + C thì f x bằng 3

( )

C. f x =

Lời giải

x4 + ex . 12

( )

D. f x = x 2 + e x .

Chọn D

x3  x3 Ta có  f x dx = + ex + C  f x =  + ex + C  = x 2 + ex . 3  3 

( )

DẠ

Câu 26: [2D3.1-2] Hàm số F x = e x là một nguyên hàm của hàm số

Trang 13

( )

A. f x = e .

ex B. f x = 3x .e . C. f x = 2 . 3x Lời giải

( )

D. f x = x 3 .e x

−1

Chọn B

( ) f ( x ) = F ( x ) = (e 3

Hàm số F x = e x là nguyên hàm của hàm số /

) = (x ) .e /

= 3x 2 .e x .

π 2



Câu 27: [2D3.2-2] Cho tích phân I =

2 + cos x .sin xdx . Nếu đặt t = 2 + cos x thì kết quả nào sau đây

đúng? A. I =

π 2



B. I =

t dt .



C. I =

t dt .



t dt .

(

2 + cos x .sin xdx = −  2 + cos x d cos x

π 2

(

)

= −  2 + cos x d cos x + 2 = −  t dt = 3

)



 2

t dt .

ƠN

Ta có I =

π 2

D. I = 2  t dt . 3

Lời giải Chọn C π 2

FI CI A

Câu 28: [2D3.2-2] Cho hàm số y = f x , y = g x là các hàm số có đạo hàm và liên tục trên 0;2 và  

( )

( ) ( )

A. I = 5 .

B. I = 6 .

Chọn A 2

′  g x f ′ x dx = 2 ,  g ′ x f x dx = 3 . Tính tích phân I =  g x f x  dx .

C. I = −1 . Lời giải

( ) ( )

D. I = 1 .

′ I =  g x f x  dx =  g ′ x f x + g x .f ′ x dx    

( ) ( )

QU Y

( ) ( )

=  g ′ x f x dx +  g x f ′ x dx = 3 + 2 = 5 . 0

Câu 29: [2D3.2-2] Nếu C (1; −4;0 ) ,

 f ( x ) dx = 9

KÈ

Chọn B

A. 3 .

thì

 f ( x ) dx bằng 2

B. 12 .

C. 6 . Lời giải

D. −6 .

 f (x ) dx =  f ( x ) dx +  f (x ) dx = 12 . 2

DẠ

Câu 30: [2D3.3-2] Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30 cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là 1600π cm 2 , chiều dài của trống là 1m . Biết rằng mặt phẳng

Trang 14

(

)

chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường Parabol. Hỏi thể tích của cái trống là bao nhiêu?

parabol

40cm 30cm

. B. 425162 (lít). C. 212, 6 (lít). Lời giải

A. 425, 2 (lít).

Chọn A Ta có chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

40cm 30cm

D. 212581 (lít).

parabol

FI CI A

ƠN

. Thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là hình tròn. có bán kính r có diện tích là 1600π cm 2 , nên.

r 2 π = 1600π  r = 40cm .

(

)

(

)

Ta có: Parabol có đỉnh I 0; 40 và qua A 50; 30 . Nên có phương trình y = −

1 2 x + 40 . 250

QU Y

Thể tích của trống là.

 1 2  406000 3 V = π  − x + 40  dx = π. cm ≈ 425,2dm 3 = 425,2 (lít). 250 3  −50 

(

) (

)

Câu 31: [2H3.1-2] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A −1;2; 3 , B 1; 0;2 . Độ dài đoạn thẳng AB A.

B. 9 .

bằng

C. 3 . Lời giải

29 .

KÈ

Chọn C Áp dụng công thức về khoảng cách giữa hai điểm ta có: AB =

(1 + 1 ) + ( 0 − 2 ) + ( 2 − 3 )

= 4 + 4 + 1 = 3.

(

) (

)

Câu 32: [2H3.1-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm M 2; − 3;5 , N 4;7; − 9 ,

(

) (

)

DẠ

E 3;2;1 , F 1; − 8;12 . Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

Trang 15

A. M , N , F .

B. M , E , F .

C. N , E , F . Lời giải

Chọn A Ta có: MN = 2;10; − 14 , MF = −1; − 5;7 suy ra MN = −2MF .

(

)

(

)

D. M , N , E .

Vậy M , N , F thẳng hàng. Câu 33: [2H3-2-2] Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;2; 0 , B −1;1; 3 ,C 0; −2; 5 . Để 4 điểm

(

) (

)

(

)

(

A. D −2;5; 0 .

(

)

B. D 1;2; 3 .

)

(

C. D 1; −1;6 .

)

D. D 0; 0;2 .

FI CI A

Lời giải

A, B,C , D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là

Chọn A Lập phương trình (ABC) và thế toạ độ D vào phương trình tìm được. Ta có AB(−2; −1; 3), AC (−1; −4;5)  AB; AC  = (7; 7;7) . Mặt phẳng (ABC) đi qua A 1;2; 0   và có véc tơ pháp tuyến n = (1;1;1) . Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) là : 1(x − 1) + 1(y − 2) + 1(z − 0) = 0 ⇔ x + y + x − 3 = 0 Thay tọa độ điểm D từng đáp án ta có đáp án A. Câu 34: [2H3-2-2] Cho A 1; −2; 0 , B 3; 3;2 ,C −1;2;2 , D 3; 3;1 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng

(

) (

A. 5.

) (

B. 4.

C. 3. Lời giải

)

(

D. 6.

Chọn C Tính AB = 2;5;2 , AC = −2; 4;2 , AD = 2;5;1  AB; AC  = (2; −8;18)   1 V = AB, AC  .AD = 3 .  6  Câu 35: [2H3-4-2] Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng α : 16x − 15y − 12z + 75 = 0 .

)

(

A. x + y 2 + z 2 = 9 .

)

B. x 2 + y 2 + z = 9 .

C. x 2 + y 2 + z 2 = −9 .

D. x 2 + y 2 + z 2 = 9 . Lời giải

QU Y

Chọn D

(

( )

)

ƠN

(

75 = 3. ( ) ( ( ) ) = R ⇔ R = 25 Mặt cầu tâm O ( 0; 0; 0 ) và bán kính R = 3 , có phương trình (S): x Do (S) tiếp xúc với α ⇔ d O, α

Câu 36: [2D3.2-3] Xác định số a dương sao cho

KÈ

Chọn C

B. a = 1 .

A. a = −4 .

+ y2 + z2 = 9 .

x 2 + 2x + 2 a2 d x = + a + ln 3 . Giá trị của a là 0 x + 1 2 C. a = 2 . D. a = 3 . Lời giải a

DẠ

 1 2  x 2 + 2x + 2 1  a2 Ta có  dx =   x + 1 + + a + ln a + 1 .  dx =  x + x + ln x + 1  = x +1 x + 1 2 0 2 0 0 Do a là số dương nên a = 2 . 1 x 2 + x ex dx = a.e + b ln e + c với a , b , c ∈ ℤ . Tính P = a + 2b − c . Câu 37: [2D3.2-3] Cho  x + e −x 0 A. P = 1 . B. P = −1 . C. P = 0 . D. P = −2 . Lời giải Chọn D

Trang 16

(

)

(

)

Ta có: I =



)

+ x ex

x + e −x

dx =



( x + 1) e x e x

xe x + 1

(

dx .

)

Đổi cận: x = 0  t = 1 ; x = 1  t = e + 1 . e +1

Khi đó: I =

 1

t −1 dt = t

e +1



1

  1 − t  dt = (t − ln t ) 1

FI CI A

Đặt t = xex + 1  dt = 1 + x ex dx .

e+1 = e − ln e + 1 . 1

(

)

Suy ra: a = 1 , b = −1 , c = 1 . Vậy: P = a + 2b − c = −2 . Câu 38: [2D3.3-3] Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v km / h phụ thuộc vào thời gian t

(

)

(h ) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I ( 2; 5 ) và trục đối xứng song song với trục

( )

32 km . 3

( )

QU Y

A. 15 km .

ƠN

tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

( )

C. 12 km .

35 km . 3

( )

Lời giải Chọn B Parabol có đỉnh I 2; 5 và đi qua điểm 0;1 có phương trình y = −x 2 + 4x + 1 .

( )

Quãng đường vật đi được trong 1 giờ đầu là: 1  x3 x =1 8 S1 =  −x 2 + 4x + 1 dx =  − + 2x 2 + x  = 0  3 x =0 3

)

(

Quãng đường vật đi được trong 2 giờ sau là S2 = 2.4 = 8

8 32 +8= km . 3 3 Câu 39: [2D3.3-3] Xét H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 1 , trục hoành, trục tung và

KÈ

Vậy trong ba giờ vật đi được quãng đường là S = S1 + S2 =

( )

(

)

đường thẳng x = a a > 0 . Giá trị của a sao cho thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay

DẠ

(H ) quanh trục hoành bằng 57π là

Trang 17

A. a = 2 .

Chọn B

B. a = 3 .

C. a = 5 . Lời giải

D. a = 4 .

L FI CI A

( )

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành là: a

4  4 V = π 2x + 1 dx = 57 π ⇔  x 3 + 2x 2 + x  = 57 ⇔ a 3 + 2a 2 + a − 57 = 0 3 3 0 0 ⇔ a = 3 (thỏa mãn a > 0 ). Vậy a = 3 thỏa yêu cầu bài toán. Câu 40: [2H3.1-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 0; −1;2 , B 2; −3; 0 , C −2;1;1 , 2

)

ƠN

(

( )

)

(

)

(

)

D 0; −1; 3 . Gọi L là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức MA.MB = MC .MD = 1 . Biết rằng L là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

11 . 2

A. r =

B. r =

( )

7 . 2

3 . 2

C. r =

D. r =

( ( (

)

QU Y

Lời giải Chọn A Gọi M x ; y; z là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có AM = x ; y + 1; z − 2 , BM = x − 2; y + 3; z , CM = x + 2; y − 1; z − 1 , DM = x ; y + 1; z − 3 . MA.MB = 1 Từ giả thiết: MA.MB = MC .MD = 1 ⇔  MC .MD = 1

) )

(

)

(

x x − 2 + y + 1 y + 3 + z z − 2 = 1 ⇔ ⇔ x x + 2 + y + 1 y − 1 + z − 1 z − 3 = 1 

) ( ) (

KÈ

( (

)( )(

) ( ) ) ( )(

)

5 . 2

)

2 2 2 x + y + z − 2x + 4y − 2z + 2 = 0  2 2 2 x + y + z + 2x − 4z + 1 = 0

(

)

Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm I 1 1; −2;1 , R1 = 2 và mặt

(

)

DẠ

cầu tâm I 2 −1; 0;2 , R2 = 2 .

Trang 18

Ta có: I 1I 2 = 5 . 2

I I  5 11 Dễ thấy: r = R −  1 2  = 4 − = .  2  4 2  

(

) (

2 1

)

( ) D ( 3; 3;1) . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ( ABC ) là 9

7 2

9 . 7

FI CI A

Câu 41: [2H3-2-3] Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1; −2; 0 , B 3; 3;2 , C −1;2;2 ,

Lời giải Chọn A Tính AB 2; 5;2 , AC −2; 4;2 , AD 2; 5;1 1 V = AB, AC  .AD = 3  6  1 1 V = B.h , với B = S ∆ABC = AB, AC  = 7 2 , h = d D, ABC  3 2 3V 3.3 9 . h = = = B 7 2 7 2

)

(

)

(

)

(

ƠN

( (

(

9 . 14

) (

))

) (

)

Câu 42: [2H3-2-3] Cho hình chóp S .ABCD biết A −2;2;6 , B −3;1; 8 ,C −1; 0;7 , D 1;2; 3 . Gọi H là

(

)

trung điểm của CD, SH ⊥ ABCD . Để khối chóp S .ABCD có thể tích bằng

27 (đvtt) thì có 2

hai điểm S 1, S 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S 2 .

(

)

(

)

B. I 1; 0; 3 .

(

)

(

C. I 0;1; 3 .

)

D. I −1; 0; −3 .

Lời giải

QU Y

A. I 0; −1; −3 .

Chọn C 1 3 3 Ta có AB = −1; −1;2 , AC = 1; −2;1  S ABC = AB, AC  =  2  2 DC = −2; −2; 4 , AB = −1; −1;2  DC = 2.AB  ABCD là hình thang và

(

)

(

)

(

)

9 3 2

S ABCD = 3S ABC =

(

1 SH .SABCD  SH = 3 3 3 Lại có H là trung điểm của CD  H 0;1;5 Gọi S a;b; c  SH = −a;1 − b;5 − c  SH = k AB, AC  = k 3; 3; 3 = 3k ; 3k ; 3k  

KÈ

Vì VS .ABCD =

(

)

(

)

(

Suy ra 3 3 = 9k 2 + 9k 2 + 9k 2  k = ±1 +) Với k = 1  SH = 3; 3; 3  S −3; −2;2 +) Với k = −1  SH = −3; −3; −3  S 3; 4; 8

Y DẠ Trang 19

( )

(

)

(

Suy ra I 0;1; 3

)

(

)

(

)

) (

)

Câu 43: [2H3-4-3] Viết phương trình mặt cầu (S) biết: (S) qua bốn điểm A 1;2; −4 , B 1; −3;1 , C 2;2; 3 , D 1; 0; 4 .

) ( ) ( ) A. ( x − 2 ) + (y − 1) + z = 26 . C. ( x + 2 ) + (y − 1) + z = 26 . 2

(

)

( ) + (y + 1) D. ( x + 2 ) + (y − 1) B. x + 2

Lời giải Chọn C a) Cách 1: Gọi I x ; y; z là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

(

)

(

)

Do đó: I −2;1; 0 và R = IA = 26 . Vậy (S): x + 2

+ 4z 2 = 26 .

x = −2  y = 1 . z = 0 

IA2 = IB 2 IA = IB −y + z = −1  2   2 Theo giả thiết: IA = IC ⇔ IA = IC ⇔ x + 7z = −2 ⇔ IA = ID IA2 = ID 2 y − 4z = 1   

+ z 2 = 26 .

FI CI A

(

) + ( y − 1)

+ z 2 = 26 .

Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 , 2

)

+ b2 + c2 − d > 0 .

ƠN

(

) ( ) Tương tự: B (1; −3;1) ∈ (S ) ⇔ −2a + 6b − 2c + d = −11 (2) C ( 2;2; 3 ) ∈ (S ) ⇔ −4a − 4b − 6c + d = −17 (3) D (1; 0; 4 ) ∈ (S ) ⇔ −2a − 8c + d = −17 (4)

Do A 1;2; −4 ∈ S ⇔ −2a − 4b + 8c + d = −21 (1)

Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a, b, c, d , suy ra phương trình mặt cầu (S): 2

( x + 2 ) + ( y − 1)

+ z 2 = 26 .

(

) (

)

QU Y

Câu 44: [2H3-3-3] Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B −1;2; 0 , C 2; − 3;2 . Tập hợp tất

cả các điểm M cách đều ba điểm A , B , C là một đường thẳng d . Phương trình tham số của đường thẳng d là x = −8 − 3t x = −8 + 3t x = −8 + 3t x = −8 + 3t     A. y = t . B. y = t . C. y = −t . D. y = t . z = 15 + 7t z = 15 − 7t z = −15 − 7t z = 15 + 7t     Lời giải Chọn A Ta có AB = −2;1; − 1 ; BC = 3; − 5;2 . Ta thấy AB và BC không cùng phương nên ba điểm A , B , C không thẳng hàng. M cách đều hai điểm A , B nên điểm M nằm trên mặt trung trực của AB . M cách đều hai điểm B , C nên điểm M nằm trên mặt trung trực của BC . Do đó tập hợp tất cả các điểm M cách đều ba điểm A , B , C là giao tuyến của hai mặt trung trực của AB và BC . Gọi P , Q lần lượt là các mặt phẳng trung trực của AB và BC .

DẠ

KÈ

(

Trang 20

)

(

)

( ) ( )

 3 1 1 1  K  0; ;  là trung điểm AB ; N  ; − ;1  là trung điểm BC .  2 2 2 2 

P đi qua K và nhận AB = −2;1; − 1 làm véctơ pháp tuyến nên

(

( )













)



(P ) : −2x +  y − 23  −  z − 21  = 0 hay (P ) : 2x − y + z + 1 = 0 . 





)

FI CI A

(

( )

 Q đi qua N và nhận BC = 3; − 5;2 làm véctơ pháp tuyến nên 

(Q ) : 3  x − 21  − 5  y + 21  + 2 (z − 1) = 0 hay (Q ) : 3x − 5y + 2z − 6 = 0 . 

   2x − y + z + 1 = 0 Ta có d :  3x − 5y + 2z − 6 = 0 Nên d có véctơ chỉ phương u = AB, BC  = −3;1;7 .  

)

(

)

(

Cho y = 0 ta sẽ tìm được x = −8 , z = 15 nên −8; 0;15 ∈ d .

Chọn A

3π . 4

Lời giải

QU Y

π Giá trị F   bằng 2 3π − 11ln 2 A. . 4

 π  3π 7 cos x − 4 sin x có một nguyên hàm F x thỏa mãn F   = . cos x + sin x 8 4

()

Câu 45: [2D3-1-3] Hàm số f x =

ƠN

x = −8 − 3t  Vậy đường thẳng d có phương trình y = t . z = 15 + 7t 

( )

3π . 8

3π − ln 2 . 4

3 11 sin x + cos x + − sin x + cos x 3 11 − sin x + cos x 2 2 = + . Ta có f x = 2 2 cos x + sin x cos x + sin x  3 11 − sin x + cos x  3 11 − sin x + cos x dx  F x =  f x dx =   + .  dx = x +  . 2 2 cos x + sin x  2 2 cos x + sin x 

(

( )

)

(

)

( )

3 11 1 3 11 x+  d cos x + sin x = x + ln cos x + sin x + C . 2 2 cos x + sin x 2 2  π  3π 3π 11 3π 11  + ln 2 + C =  C = − ln 2 Bài ra F   = 8 8 2 8 4 4

(

)

KÈ

 π  3π 3π 11 +C = − ln 2 . Do đó F   = 4 4 4 2 Câu 46: [2D3.2-4] Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thoả mãn 3f x + xf ′ x = x 2018  

DẠ Trang 21

( )

, với mọi x ∈ 0;1 . Tính I =  f x dx .  

( )

A. I =

1 . 2018.2021

B. I =

1 . 2019.2020

( )

C. I =

1 . 2019.2021

1 . 2018.2019

D. I = Lời giải

( )

FI CI A

Chọn C Cách 1:

( ( ))′ = x

( )

3f x + xf ′ x = x 2018  3x 2 f x + x 3 .f ′ x = x 2020  x 3 f x

1 .x 2021 + c . 2021 1 1 Chọn x 3 f x = .x 2021  f x = .x 2018 . 2021 2021

( )

 x 3 f x =  x 2020dx =

( )

2020

1 2018 1 1 2019 1 Do đó  f x dx =  x dx = . x = . 2021 2021 2019 2021.2019 0 0 0

( )

Cách 2: Từ 3 f x + x .f ′ x = x 2018 . Ta chọn f x là một hàm đa thức bậc 2018 .

( )

2018

2017

x 2017 + .... + a1x + a 0

2018

ƠN

( ) ( ) Đặt f ( x ) = a x +a  3 f ( x ) + x .f ′ ( x ) = ( 3a

)

(

)

(

)

+ 2018a 2018 x 2018 + 3a2017 + 2017a2017 x 2017 + ... + 3a1 + a1 x + 3a1

2021a2018 = 1 1 2018 Đồng nhất hệ số ta được  f x = x . 2021 ai = 0, ∀ i = 0,2017 1

( )

Do đó I =  f x dx = 0

( )

1 x 2019 1 2018 = . x d x 0 2021 2021 2019

= 0

1 . 2019.2021 27 x2 ,y= . x 27 26 D. S = 27 ln 3 − . 3

A. S = 234 . Chọn B

QU Y

Câu 47: [2D3.3-4] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 , y = B. S = 27 ln 3 .

C. S = Lời giải

26 . 3

KÈ

DẠ

Tìm giao điểm giữa các đồ thị:

Trang 22

f(x) = x2 6

h(x) =

27 x

B 2

g(x) =

x2 27

x 9

 x2 y = f x = x 2  27 y = g x =   y = h x =  27 2 O 0;0 :  , A 3;0 :  x . x ; B 9;0 :  y = g x = y = h x = 27 y = f x = x 2  27   x 3 9   27 x 2  26  26  x2  +  27 ln 3 −  = 27 ln 3 . Vậy diện tích S =   x 2 − dx + −  dx =    3  3 27  x 27  0 3

( ) ( )

( )

(

( ) ( )

( )

FI CI A

( ) ( )

( )

)

Câu 48: [2H3-4-4] Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I 2; 3; −1 và cắt đường thẳng

x +1 y −1 z = = tại hai điểm A, B với AB = 16 . 1 −4 1 2

( ) + ( y − 3 ) + ( z + 1) C. ( x − 2 ) + (y + 3 ) + ( z + 1) A. x − 2

( ) + (y − 3) + (z − 1) D. ( x + 2 ) + (y − 3 ) + ( z + 1) B. x − 2

= 76 .

∆:

Lời giải Chọn A

= 76 .

Chọn M −1;1; 0 ∈ ∆  IM = −3; −2;1 . Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là u ∆ = 1; −4;1 . IM , u  ∆  Ta có: IM , u ∆  = 2; 4;14  d I , ∆ = = 2 3.   u∆

(

)

(

)

ƠN

)

( )

(

)

2 2  d I , ∆  + AB = 2 19.   4

( )

Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết: R =

(

Vậy (S): x − 2

) + ( y − 3 ) + ( z + 1)

= 76 .

QU Y

= 60° Câu 49: [2H3-3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC vuông tại C , ABC

, AB = 3 2, đường thẳng AB có phương trình

x −3 y −4 z +8 = = , đường thẳng AC nằm 1 1 −4

(

( )

)

trên mặt phẳng α : x + z − 1 = 0 . Biết B là điểm có hoành độ dương, gọi a;b;c là tọa độ

điểm C , giá trị của a + b + c bằng A. 3 . B. 2 .

C. 4 . Lời giải

D. 7 .

Chọn B Ta có A là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng α . Tọa độ điểm A là nghiệm của

KÈ

( )

x = 1 x − 3 y − 4 z + 8  = =  hệ  1 1 −4 ⇔ y = 2 . Vậy điểm A 1;2; 0 . z = 0 x + z − 1 = 0  

(

)

(

)

DẠ

Điểm B nằm trên đường thẳng AB nên điểm B có tọa độ B 3 + t; 4 + t; − 8 − 4t .

Trang 23

Theo giả thiết thì t + 3 > 0 ⇔ t > −3 .

(

Do AB = 3 2 , ta có t + 2

) + (t + 2 )

(

+ 16 t + 2

)

(

)

= 18  t = −1 nên B 2; 3; − 4 .

3 6 3 2 ; BC = AB.cos 60° = . 2 2

) ( ) (

) ) (

)

(

) (

( (

 a + c = 1  2a + 2b − 8c = 9  2 2 27  a − 1 + b − 2 + c2 =  2

FI CI A

 a + c = 1  2 2 27 Vậy ta có hệ  a − 1 + b − 2 + c 2 = ⇔ 2   a −2 2 + b −3 2 + c +4 2 = 9  2  7 a = 2 7  5 ⇔ b = 3 . Vậy C  ; 3; −  nên a + b + c = 2 . 2 2  5 c = −  2

)

Theo giả thiết thì AC = AB sin 60° =

 π liên tục, không âm trên đoạn  0;  , thỏa mãn f 0 = 3 và  2  π f x .f ′ x = cos x . 1 + f 2 x , ∀x ∈ 0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M  2 π π của hàm số f x trên đoạn  ;  . 6 2

( )

Câu 50: [2D3-1-4] Cho hàm số f x

( )

ƠN

( ) ( )

( )

21 , M =2 2. 2

C. m =

5 , M = 3. 2

D. m = 3 , M = 2 2 .

Lời giải

QU Y

Chọn A

B. m =

A. m =

()

( ) ( )

( )

Từ giả thiết f x .f ′ x = cos x . 1 + f 2 x

( ) ( ) dx = sin x + C 1+ f ( x) 1 + f (x ) Đặt t = 1 + f ( x )  t = 1 + f ( x )  tdt = f ( x ) f ′ ( x ) dx . Thay vào ta được  dt = sin x + C  t = sin x + C  1 + f ( x ) = sin x + C . Do f ( 0 ) = 3  C = 2 . Vậy 1 + f ( x ) = sin x + 2  f ( x ) = sin x + 4 sin x + 3 

f ( x ). f ′ ( x ) 2

= cos x  2

KÈ



f x .f ′ x

Y DẠ

 π  f x = sin2 x + 4 sin x + 3 , vì hàm số f x liên tục, không âm trên đoạn 0;  .  2 π π 1 Ta có ≤ x ≤  ≤ sin x ≤ 1 , xét hàm số g t = t 2 + 4t + 3 có hoành độ đỉnh t = −2 6 2 2 loại.

()

Trang 24

( )

()

 1  21 Suy ra max g t = g 1 = 8 , min g t = g   = . 1  1  2 4   ;1  ;1 2 2 



π π 21 Suy ra max f x = f   = 2 2 , min f x = g   = . π π   π π 2 6 2 ; ;         6 2 6 2

( )







DẠ

KÈ

QU Y

ƠN



( )

FI CI A



()

Trang 25