50 đề thi HSG Toán 8 - Bản word có lời giải chi tiết (122 trang) by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

TÀI LIỆU ÔN THI HSG 2020 MÔN TOÁN

vectorstock.com/10346411

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

50 đề thi HSG Toán 8 - Bản word có lời giải chi tiết (122 trang) WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

§Ò 1 Bµi 1: (3®) Chøng minh rÇng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 Bµi 2: Rót gän biÓu thøc: a) Cho

x2 + x − 6 x 3 − 4 x 2 − 18 x + 9

yz xz xy 1 1 1 + + = 0( x, y, z ≠ 0) . TÝnh 2 + 2 + 2 x y z x y z

Bµi 3:(3®) Cho tam gi¸c ABC . LÊy c¸c ®iÓm D,E theo thø tù thuéc tia ®èi cña c¸c tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gäi O lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD .Qua O vÏ ®−êng th¼ng song song víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, ®−êng th¼mg nµy c¾t AC ë K. Chøng minh r»ng AB = CK. Bµi 4 (1®). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc sau (nÕu cã): M = 4x2 + 4x + 5 §¸p ¸n Bµi 1 : (3®) a) (1,5®) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Râ rµng kÕt qu¶ trªn chia hÕt cho 17. b) (1,5®) ¸p dông h»ng ®¼ng thøc: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) víi mäi n lÏ. Ta cã: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918) = 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hÕt cho 44. Bµi 2 : (3®) a) (1,5®) Ta cã: x2 + x – 6 = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3) = (x+3)(x-2). 3 2 3 x – 4x – 18 x + 9 = x – 7x2 + 3x2 - 21x + 3x + 9 =(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9) =x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3) =(x+3)(x2 –7x +3) =>

(x+3)(x-2) ( x − 2) x2 + x − 6 = Víi ®iÒu kiÖn x ≠ -1 ; x2 -7x + 3 = 2 3 2 2 x − 4 x − 18 x + 9 (x+3)(x -7x +3) x -7x +3

b) (1,5®) V× 1 1 1 1 1 1 + + = 0 ⇒ = − +  x y z z x y 3

1 1  1 1 1 1 1 1 1 1  ⇒ 3 = −  +  ⇒ 3 = −  3 + 3. 2 . + 3 . 2 + 3  z z x y x y y  x y x

≠0

⇒

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 3 + 3 = −3 . .  +  ⇒ 3 + 3 + 3 = 3. 3 x y z x y x y x y z xyz

Do ®ã : xyz(

1 1 1 xyz xyz xyz yz zx xy + 3 + 3 )= 3 ⇔ 3 + 3 + 3 = 3 ⇔ 2 + 2 + 2 = 3 3 x y z x y z x y z

Bµi 3 : (3®) Chøng minh : VÏ h×nh b×nh hµnh ABMC ta cã AB = CM . §Ó chøng minh AB = KC ta cÇn chøng minh KC = CM. ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE cã BC = CE (gt) => tam gi¸c CBE c©n t¹i C

A K

v× gãc C lµ gãc ngoµi => B 1 = E 1

cña

tam

gi¸c

BCE

=B +E ⇒B = 1C mµ AC // BM C 1 1 1 1 2 ⇒B = 1 CBM (ta vÏ) => C 1 = CBM 1 2 . nªn BO lµ tia ph©n gi¸c cña CBM

Hoµn toµn t−¬ng tù ta cã CD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BCM . Trong tam gi¸c BCM, OB, CO, MO ®ång quy t¹i O => MO lµ ph©n tia ph©n gi¸c cña gãc CMB , BMC lµ hai gãc ®èi cña h×nh b×nh hµnh BMCA => MO // víi tia ph©n gi¸c Mµ : BAC cña gãc A theo gt tia ph©n gi¸c cña gãc A cßn song song víi OK => K,O,M th¼ng hµng. = 1 BMC (cmt ); A = M Ta l¹i cã : M 1

=A ⇒M 1 2

mµ

1 (hai gãc ®ång vÞ) A2 = K

=M ⇒ ∆CKM c©n t¹i C => CK = CM. KÕt hîp AB = CM => AB = CK (®pcm) => K 1 1

Bµi 4: (1®) Ta cã M= 4x2 + 4x + 5 =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4 = (2x + 1)2 + 4. V× (2x + 1)2 ≥ 0 =>(2x + 1)2 + 4 ≥ 4 M ≥ 4 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = 4 khi x = -

1 2

------------------------------------------------®Ò 2 C©u 1 . T×m mét sè cã 8 ch÷ sè: a1a 2 .. . a 8 tho· m·n 2 ®iÒu kiÖn a vµ b sau:

a) a1a 2a 3 = ( a 7 a 8 )

b) a 4 a 5a 6 a 7 a 8 = ( a 7 a 8 )

C©u 2 . Chøng minh r»ng: ( xm + xn + 1 ) chia hÕt cho x2 + x + 1. khi vµ chØ khi ( mn – 2) ⋮ 3. ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x7 + x2 + 1. C©u 3 . Gi¶i ph−¬ng tr×nh:  1  1 1   + + ... + 2005.2006.2007   1.2.3 2.3.4 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007).

C©u 4 . Cho h×nh thang ABCD (®¸y lín CD). Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD; çc ®−êng kÎ tõ A vµ B lÇn l−ît song song víi BC vµ AD c¾t çc ®−êng chÐo BD vµ AC t−¬ng øng ë F vµ E. Chøng minh: EF // AB b). AB2 = EF.CD. c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thø tù lµ diÖn tÝch cña çc tam gi¸c OAB; OCD; OAD Vµ OBC Chøng minh: S1 . S2 = S3 . S4 . C©u 5 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45. §¸p ¸n C©u 1 . Ta cã a1a2a3 = (a7a8) (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2). Tõ (1) vµ (2) => 22 ≤ a7 a8 ≤ 31 2

=> ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600. ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 4 . 25 . a4a5a6 do ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn cã 3 kh¶ n¨ng: a) . a7a8 = 24 => a1a2a3 . . . a8 lµ sè 57613824. b) . a7a8 – 1 = 24 => a7a8 = 25 => sè ®ã lµ 62515625 c) . a7a8 = 26 => kh«ng tho¶ m·n c©u 2 . §Æt m = 3k + r víi 0 ≤ r ≤ 2 n = 3t + s víi 0 ≤ s ≤ 2 xm + xn + 1 = x3k+r + x3t+s + 1 = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + 1. = xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1 ta thÊy: ( x 3k – 1) ⋮ ( x2 + x + 1) vµ ( x3t –1 ) ⋮ ( x2 + x + 1) vËy: ( xm + xn + 1) ⋮ ( x2 + x + 1) <=> ( xr + xs + 1) ⋮ ( x2 + x + 1) víi 0 ≤ r ; s ≤ 2 <=> r = 2 vµ s =1 => m = 3k + 2 vµ n = 3t + 1 r = 1 vµ s = 2 m = 3k + 1 vµ n = 3t + 2 <=> mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t) mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t) => (mn – 2) ⋮ 3 §iÒu ph¶i chøng minh. ¸p dông: m = 7; n = 2 => mn – 2 = 12 ⋮ 3.

( x7 + x2 + 1) ⋮ ( x2 + x + 1) ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + 1 C©u 3 . Gi¶i PT: 1 1  1  + .+ … +   x = (1.2 + 2.3 + ⋯ + 2006.2007 ) 2005.2006.2007   1.2.3 2.3.4

Nh©n 2 vÕ víi 6 ta ®−îc: 2 2  2  3 + + ⋯+  x = 2[(1.2(3 − 0) + 2.3(4 −1) + ⋯ + 2006.2007(2008− 2005))] 2005.2006.2007 1`.2.3 2.3.4

1 1 1 1  1  3 − + − +⋯− x 2006.2007   1.2 2.3 2.3 3.4 = 2 (1.2.3 + 2.3.4 −1.2.3 + ⋯ + 2006.2007.2008 − 2005.2006.2007 ) 1 1003.1004.669  1  ⇔ 3 −  x = 2.2006.2007.2008 ⇔ x = 5.100.651  1.2 2006.2007 

C©u 4 .a) Do

AE// BC =>

BF// AD

OE OA = OB OC O F OB = OA OD

A E

O K H F

MÆT kh¸c AB// CD ta l¹i cã D OA OB = OC OD

b).

nªn

OE OF = OB OA

A1B1

=> EF // AB

ABCA1 vµ ABB1D lµ h×nh b×nh hµnh => A1C = DB1 = AB

EF AB = => AB 2 = EF.CD. AB DC 1 1 1 1 c) Ta cã: S1 = AH.OB; S2 = CK.OD; S3 = AH.OD; S4 = OK.OD. 2 2 2 2 1 1 AH .OB AH .OD S1 2 AH S3 2 S1 S3 => ; => S1.S2 = S3.S4 = = = = AH .CK => = 1 1 S4 S2 S4 S 2 CK .OB CK CK .OD 2 2

V× EF // AB // CD nªn

C©u 5. A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45 = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ 4 = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + 4 ≥ 4 Gi¸ trÞ nhá nhÊt A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y=1 x- y- 6 = 0 x=7 --------------------------------------------®Ò 3 C©u 1: a. Rót gän biÓu thøc: A= (2+1)(22+1)(24+1).......( 2256 + 1) + 1 b. NÕu x2=y2 + z2

Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2

x y z + + = 0 (1) vµ a b c

C©u 2: a. Cho

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A=

a b c + + = 2 (2) x y z

x2 y 2 z 2 + + a2 b2 c2

b. Biết a + b + c = 0 TÝnh : B =

ab bc ca + 2 + 2 2 2 2 2 a +b −c b +c −a c + a2 − b2 2

C©u 3: T×m x , biÕt : x·−1 x − 10 x − 19 + + = 3 (1) 2006 1997 1988

C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD, M ∈ ®−¬ng chÐo AC. Gäi E,F theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña M trªn AD, CD. Chøng minh r»ng: a.BM ⊥ EF b. C¸c ®−êng th¼ng BM, EF, CE ®ång quy. C©u 5: Cho a,b, c, lµ c¸c sè d−¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 1 a

1 b

1 c

P= (a+ b+ c) ( + + ). §¸p ¸n C©u 1: a. ( 1,25 ®iÓm) Ta cã: A= (2-1) (2+1) (22+1) ........ + 1 = (22-1)(22+1) ......... (2256+1) = (24-1) (24+ 1) ......... (2256+1) ................ = [(2256)2 –1] + 1 = 2512 b, . ( 1 ®iÓm) Ta cã: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y )2 –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 –16 z2 (*) V× x2=y2 + z2 ⇒ (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2 C©u 2: . ( 1,25 ®iÓm) a. Tõ (1) ⇒ bcx +acy + abz =0 Tõ (2) ⇒

 ab ac bc   abz + acy + bcx  x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2    = 4 + + + 2 + + = 0 ⇒ + 2 + 2 = 4 − 2 2 2 2 2   a b c a b c xyz  xy xz yz   

b. . ( 1,25 ®iÓm) Tõ a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c ⇒ a2 + b2 –c2 = - 2ab T−¬ng tù b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac ⇒B=

ab bc ca 3 + + =− − 2ab − 2bc − 2ca 2

C©u 3: . ( 1,25 ®iÓm)

(1) ⇔

x·−2007 x − 2007 x − 2007 + + =0 2006 1997 1988

⇒ x= 2007 A C©u 4: a. ( 1,25 ®iÓm) Gäi K lµ giao ®iÓm CB víi EM; H lµ giao ®iÓm cña EF vµ BM ⇒ ∆ EMB =∆BKM ( gcg) ⇒ Gãc MFE =KMB ⇒ BH ⊥ EF b. ( 1,25 ®iÓm) ∆ ADF = ∆BAE (cgc) ⇒AF ⊥ BE T−¬ng tù: CE ⊥ BF ⇒ BM; AF; CE lµ c¸c ®−êng cao cña ∆BEF ⇒ ®pcm C©u 5: ( 1,5 ®iÓm) Ta cã: P=1+ MÆt kh¸c

M H

a a b b c c a b a c  b c + + +1+ + + +1 = 3 +  +  +  +  +  +  b c a c a b b a  c a c b x y + ≥ 2 víi mäi x, y d−¬ng. ⇒ P / 3+2+2+2 =9 y x

VËy P min = 9 khi a=b=c. --------------------------------------®Ò 4 Bµi 1 (3®): 1) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + 1 2) Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

x+2 x+4 x+6 x+8 + = + 98 96 94 92

Bµi 2 (2®): T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc P =

2 x 2 + 3x + 3 cã gi¸ trÞ nguyªn 2x −1

Bµi 3 (4®): Cho tam gi¸c ABC ( AB > AC ) 1) KÎ ®−êng cao BM; CN cña tam gi¸c. Chøng minh r»ng: a) ∆ABM ®ång d¹ng ∆ACN b) gãc AMN b»ng gãc ABC 2) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm K sao cho BK = AC. Gäi E lµ trung ®iÓm cña BC; F lµ trung ®iÓm cña AK. Chøng minh r»ng: EF song song víi tia ph©n gi¸c Ax cña gãc BAC. Bµi 4 (1®): T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A=

x 2 − 2 x + 2007 , ( x kh¸c 0) 2007 x 2

§¸p ¸n

Bµi 1 (3®): 1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®) b) a10 + a5 + 1 = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + 1 ) = (a2 + a + 1 )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ 1 ) (1®) 2) x+2 x+4 x+6 x+8 + = + 98 96 94 92 x+2 x+4 x+6 x+8 +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) ⇔( 98 96 94 92 1 1 1 1 + )=0 ⇔ ( x + 100 )( 98 96 94 92 1 1 1 1 V×: + ≠ 0 98 96 94 92

Do ®ã : x + 100 = 0 ⇔ x = -100 VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = -100

(0,5®) (0,25®)

(0,25®)

Bµi 2 (2®): P=

2 x 2 + 3 x + 3 (2 x 2 − x) + (4 x − 2) + 5 5 = = x+2+ 2x − 1 2x − 1 2x − 1

(0,5®)

x nguyªn do ®ã x + 2 cã gi¸ trÞ nguyªn ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn th×

5 ph¶i nguyªn hay 2x - 1 lµ −íc nguyªn cña 5 (0,5®) 2x − 1

* 2x - 1 = 1 => x = 1 * 2x - 1 = -1 => x = 0 * 2x - 1 = 5 => x = 3 * 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,5®) VËy x = {1;0;3;−2} th× P cã gi¸ trÞ nguyªn. Khi ®ã c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña P lµ: x = 1 => P = 8 x = 0 => P = -3 x = 3 => P = 6 x = -2 => P = -1 (0,5®) Bµi 3 (4®): 1) a) chøng minh ∆ ABM ®ång d¹ng ∆ CAN (1®) b) Tõ c©u a suy ra:

AB AM ⇒ ∆ AMN = AC AN

®ång d¹ng ∆ ABC (1,25®) ⇒ ∠ AMN = ∠ ABC ( hai gãc t−¬ng øng) 2) KÎ Cy // AB c¾t tia Ax t¹i H (0,25®)

∠ BAH = ∠ CHA ( so le trong, AB // CH)

mµ ∠ CAH = ∠ BAH ( do Ax lµ tia ph©n gi¸c) (0,5®) Suy ra: ∠ CHA = ∠ CAH nªn ∆ CAH c©n t¹i C do ®ã : CH = CA => CH = BK vµ CH // BK (0,5®) BK = CA VËy tø gi¸c KCHB lµ h×nh b×nh hµnh suy ra: E lµ trung ®iÓm KH Do F lµ trung ®iÓm cña AK nªn EF lµ ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c KHA. Do ®ã EF // AH hay EF // Ax ( ®fcm) (0,5®) Bµi 4 (1®): A=

2007 x 2 − 2 x.2007 + 2007 2 x 2 − 2 x.2007 + 2007 2 2006 x 2 = + 2007 x 2 2007 x 2 2007 x 2

( x − 2007) 2 2006 2006 + ≥ 2007 2007 2007 x 2 2006 khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5®) A min = 2007

-----------------------------------®Ò 5 

x2 6 1   10 − x 2   + + : x − 2 + 3   x+2  x − 4 x 6 − 3x x + 2  

C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Cho biÓu thøc A = 

  

a, T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh . b, Rót gän biÓu thøc A . c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > O C©u 2 ( 1,5 ®iÓm ) .Gi¶i ph¬ng tr×nh sau :

x 2 − 4x + 1 x 2 − 5x + 1 +2=− x +1 2x + 1

C©u 3 ( 3,5 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD. Qua A kÏ hai ®êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau lÇn lît c¾t BC tai P vµ R, c¾t CD t¹i Q vµ S. 1, Chøng minh ∆ AQR vµ ∆ APS lµ c¸c tam gi¸c c©n. 2, QR c¾t PS t¹i H; M, N lµ trung ®iÓm cña QR vµ PS . Chøng minh tø gi¸c AMHN lµ h×nh ch÷ nhËt. 3, Chøng minh P lµ trùc t©m ∆ SQR. 4, MN lµ trung trùc cña AC. 5, Chøng minh bèn ®iÓm M, B, N, D th¼ng hµng. C©u 4 ( 1 ®iÓm): Cho biÓu thøc A =

2 x 2 + 3x + 3 2x + 1

C©u 5 ( 1 ®iÓm) a, Chøng minh r»ng

. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn

x 3 + y 3 + z 3 = (x + y ) − 3 xy.(x + y ) + z 3

1 1 1 + + = 0. x y z

b, Cho

TÝnh A =

yz xz xy + + x2 y2 z 2

§¸p ¸n C©u 1 a,

x # 2 , x # -2 , x # 0 x 2 1  6 + + :  x −4 2− x x + 2 x+ 2 x − 2( x + 2 ) + x − 2 6 = : (x − 2)(x + 2) x + 2

b , A = 

−6 x+2 1 . = (x − 2)(x + 2) 6 2 − x

c, §Ó A > 0 th× C©u 2 . PT ⇔

§KX§ :

1 >0 ⇔ 2−x >0⇔ x < 2 2−x 1 x ≠ −1; x ≠ − 2

x 2 − 4x + 1 x 2 − 5x + 1 x 2 − 3x + 2 x 2 − 3x + 2 +1+ + +1 = 0 ⇔ =0 x +1 2x + 1 x +1 2x + 1

1   1 2 ⇔ (x 2 − 3 x + 2 ) +  = 0 ⇔ (x − 3 x + 2 )(3 x + 2 ) = 0 ⇔ ( x − 1)( x − 2 )(3 x + 2 ) = 0 x + 1 2 x + 1  

⇔ x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3

C¶ 3 gi¸ trÞ trªn ®Òu tháa m·n §KX§ . 2 VËy PT ®· cho cã tËp nghiÖm S = 1;2;−  

3

C©u 3: 1, ∆ ADQ = ∆ ABR v× chóng lµ hai tam gi¸c vu«ng (®Ó ý gãc cã c¹nh vu«ng gãc) vµ DA=BD ( c¹nh h×nh vu«ng). Suy ra AQ=AR, nªn ∆ AQR lµ tam gi¸c vu«ng c©n. Chøng minh tîng tù ta cã: ∆ ARP= ∆ ADS do ®ã AP = AS vµ ∆ APS lµ tam gi¸c c©n t¹i A. 2, AM vµ AN lµ ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c vu«ng c©n AQR vµ APS nªn AN ⊥ SP vµ AM ⊥ RQ. ∠PAN = ∠PAM = 450 nªn gãc MÆt kh¸c : MAN vu«ng. VËy tø gi¸c AHMN cã ba gãc vu«ng, nªn nã lµ h×nh ch÷ nhËt. 3, Theo gi¶ thiÕt: QA ⊥ RS, RC ⊥ SQ nªn QA vµ RC lµ hai ®êng cao cña ∆ SQR. VËy P lµ trùc t©m cña ∆ SQR. 1 2

4, Trong tam gi¸c vu«ng c©n AQR th× MA lµ trung ®iÓm nªn AM = QR.

Trong tam gi¸c vu«ng RCQ th× CM lµ trung tuyÕn nªn CM =

1 QR. 2

⇒ MA = MC, nghÜa lµ M c¸ch ®Òu A vµ C.

Chøng minh t¬ng tù cho tam gi¸c vu«ng c©n ASP vµ tam gi¸c vu«ng SCP, ta cã NA= NC, nghÜa lµ N çch ®Òu A vµ C. Hay MN lµ trungtrùc cña AC 5, V× ABCD lµ h×nh vu«ng nªn B vµ D còng çch ®Òu A vµ C. Nãi çch kh¸c, bèn ®iÓm M, N, B, D cïng çch ®Òu A vµ C nªn chóng ph¶i n»m trªn ®êng trung trùc cña AC, nghÜa lµ chóng th¼ng hµng. C©u 4 . Ta cã §KX§ x ≠ -1/2 A = (x + 1) +

2 2x + 1

v× x ∈ Z nªn ®Ó A nguyªn th×

2 nguyªn 2x + 1

Hay 2x+1 lµ íc cña 2 . VËy : 2x+1 = 2 ⇒ x=1/2 ( lo¹i ) 2x+1 = 1 ⇒ x = 0 2x+1 = -1 ⇒ x = -1 2x +1 = -2 ⇒ x = -3/2 ( lo¹i ) KL : Víi x = 0 , x= -1 th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn C©u 5. a, , Chøng minh x 3 + y 3 + z 3 = (x + y )3 − 3 xy.(x + y ) + z 3 BiÕn ®æi vÕ ph¶i ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh. b, Ta cã a + b + c = 0 th× 3

a 3 + b 3 + c 3 = (a + b ) − 3ab (a + b ) + c 3 = −c 3 − 3ab(− c ) + c 3 = 3abc

(v× a + b + c = 0 nªn a + b = −c ) Theo gi¶ thiÕt khi ®ã A =

1 1 1 1 1 1 3 + + = 0. ⇒ 3 + 3 + 3 = . xyz x y z x y z

 1 yz xz xy xyz xyz xyz 1 1  3 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = xyz 3 + 3 + 3  = xyz × =3 2 xyz x y z x y z y z  x

===================== ®Ò 6 Bµi 1 : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc : 

x2 −1 1   − 2 4 2  x − x + 1 x + 1

M = 

 4 1− x4  x + 1+ x2 

  

a) Rót gän b) T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña M . Bµi 2 : (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn A=

4 x 3 − 3 x 2 + 2 x − 83 x −3

Bµi 3 : 2 ®iÓm Gi¶i ph−¬ng tr×nh : a) x2 - 2005x - 2006 = 0

b) x − 2 + x − 3 + 2 x − 8 = 9 Bµi 4 : (3®) Cho h×nh vu«ng ABCD . Gäi E lµ 1 ®iÓm trªn c¹nh BC . Qua E kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AE . Ax c¾t CD t¹i F . Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K . §−êng th¼ng qua E song song víi AB c¾t AI ë G . Chøng minh : a) AE = AF vµ tø gi¸c EGKF lµ h×nh thoi . b) ∆ AEF ~ ∆ CAF vµ AF2 = FK.FC c) Khi E thay ®æi trªn BC chøng minh : EK = BE + DK vµ chu vi tam gi¸c EKC kh«ng ®æi . Bµi 5 : (1®) Chøng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120 chia hÕt cho 24 §¸p ¸n Bµi 1 : a) M

( x 2 − 1)( x 2 + 1) − x 4 + x 2 − 1 4 x 4 −1− x 4 + x 2 −1 x 2 − 2 2 x +1-x ) = = 2 ( ( x 4 − x 2 + 1)( x 2 + 1) x 2 +1 x +1

b) BiÕn ®æi : M = 1 -

3 3 . M bÐ nhÊt khi 2 lín nhÊt ⇔ x2+1 bÐ nhÊt ⇔ x2 x +1 x +1 2

= 0 ⇔ x = 0 ⇒ M bÐ nhÊt = -2 Bµi 2 : BiÕn ®æi A = 4x2+9x+ 29 +

4 4 ∈ Z ⇔ x-3 lµ −íc cña 4 ⇔ A ∈Z ⇔ x−3 x −3

⇔ x-3 = ± 1 ; ± 2 ; ± 4 ⇔ x = -1; 1; 2; 4 ; 5 ; 7

Bµi 3 : a) Ph©n tÝch vÕ tr¸i b»ng (x-2006)(x+1) = 0 ⇔ (x-2006)(x+1) = 0 ⇒ x1 = -1 ; x2 = 2006 c) XÐt pt víi 4 kho¶ng sau : x< 2 ; 2 ≤ x < 3 ; 3 ≤ x < 4 ; x ≥ 4 Råi suy ra nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ : x = 1 ; x = 5,5 Bµi 4 : a) ∆ ABE = ∆ ADF (c.g.c) ⇒ AE = AF ∆ AEF vu«ng c©n t¹i t¹i A nªn AI ⊥ EF . ∆ IEG = ∆ IEK (g.c.g) ⇒ IG = IK . Tø gi¸c EGFK cã 2 ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®−êng vµ vu«ng gãc nªn h×nh EGFK lµ h×nh thoi . b) Ta cã : KAF = ACF = 450 , gãc F chung ∆ AKI ~ ∆ CAF (g.g) ⇒

AF KF = ⇒ AF 2 = KF .CF CF AF

d) Tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi ⇒ KE = KF = KD+ DF = KD + BE Chu vi tam gi¸c EKC b»ng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Kh«ng ®æi) .

Bµi 5 : BiÕn ®æi : B = n(n-1)(n+1)(n+2) + 8n(n-1)(n+1) -24n3+72n2-144n+120 Suy ra B ⋮ 24 ================================ ®Ò 7 C©u 1: ( 2 ®iÓm ) Cho biÓu thøc: 6x + 1 6 x − 1  x 2 − 36 + . 2 2 2  x − 6 x x + 6 x  12 x + 12

A= 

( Víi x ≠ 0 ; x ≠ ± 6 )

1) Rót gän biÓu thøc A 2) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A víi x=

1 9+4 5

C©u 2: ( 1 ®iÓm ) a) Chøng minh ®¼ng thøc: x2+y2+1 ≥ x.y + x + y b)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau: A=

( víi mäi x ;y)

x−2 x − x2 − x − 2 3

C©u 3: ( 4 ®iÓm ) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD . TRªn ®−êng chÐo BD lÊy ®iÓm P , gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña C qua P . a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh gi? b) Gäi E, F lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M trªn AD , AB . Chøng minh: EF // AC vµ ba ®iÓm E,F,P th¼ng hµng. c)Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P. d) Gi¶ sö CP ⊥ DB vµ CP = 2,4 cm,;

PD 9 = PB 16

TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD. C©u 4 ( 2 ®iÓm ) Cho hai bÊt ph−¬ng tr×nh: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x < 0 (2) T×m m ®Ó hai bÊt ph−¬ng tr×nh trªn cã cïng mét tËp nghiÖm. §¸p ¸n C©u 1 ( 2 ®iÓm ) 1) ( 1 ®iÓm ) §K: x ≠ 0; x ≠ ± 6 )  6x + 1

6 x − 1  ( x + 6)( x − 6)

A=  + . 2  x( x − 6) x( x + 6)  12( x + 1) =

6 x 2 + 36 x + x + 6 + 6 x 2 − 36 x − x + 6 1 . = x 12( x 2 + 1)

12( x 2 + 1) 1 1 . = 2 x 12( x + 1) x

1 x

2) A= =

1 1

= 9+4 5

9+4 5

C©u2: ( 2 ®iÓm ) 1) (1 ®iÓm ) x2+y2+1 ≥ x. y+x+y ⇔ x2+y2+1 - x. y-x-y ≥ 0 ⇔ 2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y≥ 0 ⇔ ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-2y) ≥ 0 ⇔ (x-y)2 + (x-1)2+ ( y- 1)2≥ 0 BÊt ®¼ng thøc lu«n lu«n ®óng. 2) (2 ®iÓm ) (1) ⇔ 3mx-x>1+2m ⇔ (3m-1)x > 1+2m. (*) + XÐt 3m-1 =0 → m=1/3. (*) ⇔ 0x> 1+

2 ⇔ x ∈φ . 3

+ XÐt 3m -1 >0 → m> 1/3. (*) ⇔ x>

1 + 2m 3m − 1

+ XÐt 3m-1 < 0 ⇔ 3m <1 → m < 1/3 (*) ⇔ x <

1 + 2m . 3m − 1

mµ ( 2 ) ⇔ 2x > m ⇔ x > m/2. Hai bÊt ph−¬ng tr×nh cã cïng tËp nghiÖm. 1  1 1   m > 3 m > m > ⇔ ⇔ ⇔ 3 3 1 + 2m = m 3m 2 − 5m − 2 = 0 ( m − 2)( m + 1) = 0   3m − 1 2

⇔ m-2 =0 ⇔ m=2. VËy : m=2. C©u 3: (4 ®iÓm ) a)(1 ®iÓm ) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. → AM //PO → tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang. b) ( 1 ®iÓm ) Do AM// BD → gãc OBA= gãc MAE ( ®ång vÞ ) XÐt tam gi¸c c©n OAB → gãc OBA= gãc OAB Gäi I lµ giao ®iÓm cña MA vµ EF → ∆ AEI c©n ë I → gãc IAE = gãc IEA → gãc FEA = gãc OAB → EF //AC .(1) MÆt kh¸c IP lµ ®−êng trung b×nh cña ∆ MAC → IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra : E,F, P th¼ng hµng. c) (1 ®iÓm ) Do ∆ MAF ∼ ∆ DBA ( g-g) →

MF AD = kh«ng ®æi. FA AB

d) NÕu

PD 9 BD PB = ⇒ = = k → PD= 9k; PB = 16k. PB 16 9 16

Do ®ã CP2=PB. PD → ( 2,4)2=9.16k2 → k=0,2. PD = 9k =1,8 PB = 16 k = 3,2 DB=5 Tõ ®ã ta chøng minh ®−îc BC2= BP. BD=16 Do ®ã : BC = 4 cm CD = 3 cm C©u4 ( 1 ®iÓm ) 1 1 2 3 (x + ) + 2 4 1 3 1 1 VËy Amax ⇔ [ ( x+ ) 2 + ] min ⇔ x+ = 0 → x = 2 4 2 2 4 Amax lµ khi x = -1/2 3

Ta cã A =

x−2 1 = 2 = ( x + x + 1)( x − 2) x + x + 1 2

======================== ®Ò 8 Bµi1( 2.5 ®iÓm) a, Cho a + b +c = 0. Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = 0 b, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b) Bµi 2: ( 1,5 ®iÓm). Cho biÓu thøc: y =

x ; ( x>0) ( x + 2004) 2

T×m x ®Ó biÓu thøc ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã Bµi 3: (2 ,5 ®iÓm) a, T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh: : ( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330. B, Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: x − 6 ≤ 3 Bµi 4: ( 3 ,5 ®iÓm) Cho gãc xoy vµ ®iÓm I n»m trong gãc ®ã. KÎ IC vu«ng gãc víi ox ; ID vu«ng gãc víi oy . BiÕt IC = ID = a. §−êng th¼ng kÎ qua I c¾t â ë A c¾t oy ë b. A, Chøng minh r»ng tÝch AC . DB kh«ng ®æi khi ®−êng th¼ng qua I thay ®æi. B, Chøng minh r»ng C, BiÕt SAOB =

CA OC 2 = DB OB 2

8a 2 . TÝnh CA ; DB theo a. 3

§¸p ¸n

Bµi 1: 3 ®iÓm a, TÝnh: Ta cã: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2) = ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0 ( V× a+ b + c = 0 theo gi¶ thiÕt) VËy:a3 +a2c –abc + b2c + b3 = 0 ( ®pCM) b, 1,5 ®iÓm Ta cã: bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b) = bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b) = -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b) = b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)] = b(a-b). d(a-c) + c(a-c) . d(b-a) = d(a-b)(a-c)(b-c) Bµi 2: 2 §iÓm

§Æt t =

1 2004 y

Bµi to¸n ®−a vÒ t×m x ®Ó t bÐ nhÊt Ta cã t = = Ta thÊy:

( x + 2004) 2 x 2 + 2.2004 x + 2004 2 = 2004 x 2004 x x 2004 +2+ 2004 x

x 2 + 2004 2 +2 2004 x

(1)

Theo bÊt ®¼ng thøc C«si cho 2 sè d−¬ng ta cã:

x2 + 20042 ≥ 2. 2004 .x ⇒

x 2 + 2004 2 ≥2 2004 x

(2)

DÊu “ =” x¶y ra khi x= 2004 Tõ (1) vµ (2) suy ra: t ≥ 4 ⇒ VËy gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña t = 4 khi x =2004. VËy ymax=

1 1 Khi x= 2004 = 2004t 8016

Bµi 3:

2 §iÓm a, Nh©n c¶ 2 vÕ cña ph−¬ng tr×nh víi 2.3.4 ta ®−îc: (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 330.2.3.4 (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11.10.9.8 VÕ tr¸I lµ 4 sè nguyªn liªn tiÕp kh¸c 0 nªn c¸c thõa sè ph¶I cïng dÊu ( + )hoÆc dÊu ( - ). Suy ra ; (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11 . 10 . 9 . 8 (1) Vµ (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = (-11) . (-10) . (-9) .(-8) (2) Tõ ph−¬ng tr×nh (1) ⇒ 12x -1 = 11 ⇔ x = 1 ( tho¶ m·n) Tõ ph−¬ng tr×nh (2) ⇒

12x -1 = - 8 ⇔ x=

−7 12

suy ra x ∉ Z.

VËy x=1 tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh. x−6 < 3 ⇔ -3 < x – 6 < 3 ⇔ 3< x < 9 b, Ta cã

VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ: S = { x ∈ R/ 3 < x < 9}. Bµi 4 : 3 §iÓm Ta cã A chung ; AIC = ABI ( cÆp gãc ®ång vÞ) ∆ IAC ~ ∆ BAO (gg). AC IC = AO BO

Suy ra:

AC AO = IC BO

⇒

(1)

T−¬ng tù:

∆ BID ~ ∆ BAO (gg) OA OB OA ID Suy ra: = = ⇒ ID BD OB BD AC ID Tõ (1) vµ(2) Suy ra: = IC BD

(2)

Hay AC. BD = IC . ID = a2 Suy ra: AC.BD = a2 kh«ng ®æi. b, Nh©n (1) víi (2) ta cã:

AC ID OA OA = . . IC BD OB OB AC OA 2 = BD OB 2

mµ IC = ID ( theo gi¶ thiÕt) suy ra:

C, Theo c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c vu«ng ta cã; SAOB =

1 OA.OB mµ SAOB = 2

Suy ra: OA.OB =

8a 2 3

( gi¶ thiÕt) OA . OB =

⇒

Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) =

16a 2 3

⇒ a2 + a( CA + DB ) + CA . DB =

Mµ CA . DB = a2 ( theo c©u a) ⇒ a(CA +DB) =

16a 2 3

16a 2 - 2a2 3

16a 2 CA.DB = a 2 − 2a 2 2 10 a ⇒ CA + DB + 3 = . VËy:  10a 2 a 3 CA + DB = 3  a Gi¶i hÖ pt vµ DB = 3a ⇒ CA = 3 a HoÆc CA = 3a vµ DB = 3

==================== ®Ò 9 Bµi 1( 2 ®iÓm). Cho biÓu thøc : P =

x2 y2 x2 y2 − − ( x + y )(1 − y ) ( x + y )(1 + x ) ( x + 1)(1 − y )

1.Rót gän P. 2.T×m c¸c cÆp sè (x;y) ∈ Z sao cho gi¸ trÞ cña P = 3. Bµi 2(2 ®iÓm). Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 = x − 5 x + 6 x − 7 x + 12 x − 9 x + 20 x − 11x + 30 8 2

Bµi 3( 2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÎu thøc: M=

2x + 1 x2 + 2

Bµi 4 (3 ®iÓm). Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a. Gäi E; F lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC. M lµ giao ®iÓm cña CE vµ DF. 1.Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF. 2.Chøng minh ∆ MAD c©n. 3.TÝnh diÖn tÝch ∆ MDC theo a. Bµi 5(1 ®iÓm). Chøng minh r»ng :

Cho c¸c sè a; b; c tho¶ m·n : a + b + c = a2 + b2 + c 2 ≥

3 . 2

3 . 4

§¸p ¸n Bµi 1. (2 ®iÓm - mçi c©u 1 ®iÓm) MTC : ( x + y )( x + 1)(1 − y ) 1.

x 2 ( 1 + x ) − y 2 (1 − y ) − x 2 y 2 ( x + y )

( x + y )(1 + x )(1 − y )

P = x − y + xy .Víi x ≠ −1; x ≠ − y; y ≠ 1

2. §Ó P =3

( x + y )(1 + x )(1 − y )( x − y + xy ) ( x + y )(1 + x )(1 − y )

th× gi¸ trÞ biÓu thøc ®−îc x¸c ®Þnh.

⇔ x − y + xy = 3 ⇔ x − y + xy − 1 = 2

⇔ ( x − 1)( y + 1) = 2

C¸c −íc nguyªn cña 2 lµ : ±1; ±2. Suy ra:  x − 1 = −1 x = 0 ⇔   y + 1 = −2  y = −3 x −1 = 1 x = 2 ⇔  y + 1 = 2 y = 1

(lo¹i).

x −1 = 2 x = 3 ⇔  y + 1 = 1 y = 0  x − 1 = −2  x = −1 (lo¹i) ⇔   y + 1 = −1  y = −2

VËy víi (x;y) = (3;0) vµ (x;y) = (0;-3) th× P = 3. Bµi 2.(2 ®iÓm) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh:

x ≠ 2 x ≠ 3  x ≠ 4 x ≠ 5   x ≠ 6

Ta cã : x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 )( x − 3 ) x 2 − 7 x + 12 = ( x − 3 )( x − 4 ) x 2 − 9 x + 20 = ( x − 4 )( x − 5 ) x 2 − 11x + 30 = ( x − 5 )( x − 6 )

Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi : 1

( x − 2 )( x − 3 ) ( x − 3 )( x − 4 ) ( x − 4 )( x − 5 ) ( x − 5 )( x − 6 )

1 8

1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + − = x −3 x −2 x − 4 x −3 x −5 x −4 x −6 x −5 8 4 1 1 1 1 = ⇔ − = ⇔ x −6 x −2 8 ( x − 6 )( x − 2 ) 8 ⇔

⇔ x 2 − 8 x − 20 = 0 ⇔ ( x − 10 )( x + 2 ) = 0  x = 10 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ph−¬ng tr×nh. ⇔  x = −2

Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = 10; x = -2. Bµi 3.(2®iÓm) M=

(

2 2 2x + 1 + x2 + 2 − x2 − 2 x + 2 − x − 2x + 1 = x2 + 2 x2 + 2

(x M=

)

+ 2 − ( x − 1)

x2 + 2

( x − 1) = 1−

)

x2 + 2

( x − 1) nhá nhÊt. M lín nhÊt khi 2 x +2

V× ( x − 1) ≥ 0∀x vµ ( x + 2 )〉 0∀x 2

( x − 1) nhá nhÊt khi x − 1 2 = 0. nªn 2 ( ) x +2

DÊu “=” x¶y ra khi x-1 = 0 ⇔ x = 1 . VËy Mmax = 1 khi x = 1. Bµi 4. . (3iÓm) a. △ BEC =△CFD(c.g.c) ⇒ C 1 = D 1 +D = 900 ⇒ F +C = 900 ⇒△CMF vu«ng t¹i M △CDF vu«ng t¹i C ⇒ F 1 1 1 1

Hay CE ⊥ DF. b.Gäi K lµ giao ®iÓm cña AD víi CE. Ta cã : △ AEK =△ BEC ( g .c.g ) ⇒ BC = AK ⇒ AM lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c MDK vu«ng t¹i M

1 KD = AD ⇒△ AMD c©n t¹i A 2 CD CM c. △CMD ∼△ FCD( g.g ) ⇒ = FD FC ⇒ AM =

S CD   CD  Do ®ã : △CMD =   ⇒ S△CMD =   .S△ FCD S△ FCD  FD   FD  1 2

1 4

Mµ : S△ FCD = CF .CD = CD 2 . VËy : S△CMD =

CD 2 1 . CD 2 . FD 2 4

d 1

Trong △ DCF theo Pitago ta cã : 1 5 1  DF 2 = CD 2 + CF 2 = CD 2 +  BC 2  = CD 2 + CD 2 = .CD 2 . 4 4 2 

Do ®ã : S△ MCD

m 1

1 1 CD 2 1 = . CD 2 = CD 2 = a 2 5 5 5 CD 2 4 4

Bµi 5 (1®iÓm) 2

1 1 1 Ta cã:  a2 −  ≥ 0 ⇔ a2 − a + ≥ 0 ⇔ a2 + ≥ a 2 4 4  1 T−¬ng tù ta còng cã: b2 + ≥ b 4

1 4

; c2 + ≥ c

Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu ta ®−îc: a2 + b2 + c2 +

3 3 3 ≥ a + b + c . V× a + b + c = nªn: a 2 + b2 + c 2 ≥ 2 4 4 1 DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c = . 2

========================= ®Ò 10 C©u 1. (1,5®) Rót gän biÓu thøc : A =

1 1 1 1 + + +……….+ 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5)

C©u 2. (1,5®) T×m c¸c sè a, b, c sao cho : §a thøc x4 + ax + b chia hÕt cho (x2 - 4) C©u 3 . (2®) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc

7 cã gi¸ trÞ nguyªn. x − x +1 2

C©u 4. Cho a,b,c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 < 2 (ab + ac + bc) C©u 5 . Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c , träng t©m G, trùc t©m H, t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ O. Th× H,G,O th¼ng hµng. §¸p ¸n 19

C©u 1. 1 1 1 1 1 1 1 ( - + - +…….+ ) 3 2 5 5 8 3n + 2 3n + 5 1 1 1 n +1 = ( )= 3 2 3n + 5 6n + 10

C©u 2. Chia ®a thøc x4 + ax + b cho x2 – 4 ®−îc ®a thøc d− suy ra a = 0 ; b = - 16. C©u 3.

7 ∈ Z ⇔ x2 –x +1 = U(7)= { +− 1,+− 7 x − x +1 2

}

§−a c¸c ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch. §¸p sè x = {−2,1,3} . C©u 4. Tõ gi¶ thiÕt ⇒ a < b + c ⇒ a2 < ab + ac T−ng tù b2 < ab + bc c2 < ca + cb Céng hai vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®−îc (®pcm) C©u 5. trong tam gi¸c ABC H lµ trùc t©m, G lµ Träng t©m, O lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c. GM 1 = , HAG = OMG AG 2 OM 1 ChØ ra = (B»ng c¸ch vÏ BK nhËn O lµ trung ®iÓm chøng minh CK = AH) AH 2

- ChØ ra ®−îc -

⇒ △ AHG ∼△MOG (c.g.c) ⇒ H,G,O th¼ng hµng. ====================== ®Ò 11

3x 3 − 14 x 2 + 3 x + 36 C©u 1:Cho biÓu thøc: A= 3 3 x − 19 x 2 + 33x − 9 a, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x¸c ®Þnh. b, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0. c, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn. C©u 2: .a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A=

( x + 16)( x + 9) víi x>0. x

.b, Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x+1+: 2x-1+2x =3 C©u3 : Cho tø gi¸c ABCD cã diÖn tÝch S. Gäi K,L,M,N lÇn l−ît lµ çc ®iÓm thuéc çc c¹nh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x. .a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ çc ®iÓm K,L,M,N sao cho tø gi¸c MNKL cã diÖn tÝch mhá nhÊt. .b, Tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh g×? cÇn thªm ®iÒu kiÖn g× th× tø gi¸c MNKL lµ h×nh ch÷ nhËt. 20

C©u 4: T×m d− cña phÐp chia ®a thøc x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1 §¸p ¸n C©u1 (3®) a.(1®) Ta cã A=

( x − 3) 2 (3 x + 4) (0,5®) ( x − 3) 2 (3 x − 1)

VËy biÓu thøc A x¸c ®Þnh khi x≠3,x≠1/3(0,5®) b. Ta cã A=

3x + 4 do ®ã A=0 <=> 3x +4=0 (0,5®) 3x − 1

<=> x=-4/3 tho· m·n ®k(0,25®) VËy víi x=-4/3 th× biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0 (0,25®) c. (1®) Ta cã A=

3x + 4 5 = 1+ 3x − 1 3x − 1

§Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th×

5 ph¶i nguyªn<=> 3x-1 lµ −íc cña 5<=> 3x-1≠±1,±5 3x − 1

=>x=-4/3;0;2/3;2 VËy víi gi¸ trÞ nguyªn cña xlµ 0 vµ 2 th× A cã gi¸ trÞ nguyªn (1®) C©u: 2: (3®) a.(1,5®) Ta cã x 2 + 25 x + 144 144 =x+ +25 (0,5®) x x 144 144 C¸c sè d−¬ng x vµ Cã tÝch kh«ng ®æi nªn tæng nhá nhÊt khi vµ chØ khi x = x x

x=12 (0,5®) VËy Min A =49 <=> x=12(0,5®) b.(1,5®) TH1: nÕu x<-1 th× ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi :-x-1-2x+1+2x=3=>x=-3<1(lµ nghiÖm )(0,5®) TH2: NÕu -1≤x<1/2 th× ta cã x+1-2x+1+2x=3=> x=1>1/2(lo¹i )(0,25®) TH3: NÕu x≥1/2ta cã x+1+2x-1+2x=3=> x=3/5<1/2 (lo¹i)(0,25®) VËy ph−¬ng tr×nh ®· cho x=-3 (0,5®) C©u 3: (3®) C

D N B1 K1 A Gäi S1,,S2, S3, S4 lÇn l−ît lµ diÖn tÝch tam gi¸c AKN,CLM,DMN vµ BKL. KÎ BB1⊥AD; KK1⊥AD ta cã KK1//BB1 => KK1/BB1= AK/AB SANK/SABD= AN.KK1/AD.BB1= AN.AK/AD.AB= x(1-x)=> S1=x(1-x) SABD(0,5®) T−¬ng tù S2= x(1-x) SDBC=> S1,+S2= x(1-x)( SABD+ SDBC)= x(1-x)S (0,25®) T−¬ng tù S3+S4= x(1-x)S S1,+S2+ S3+ S4= x(1-x)2S (0,25®) SMNKL=S-( S1,+S2+ S3+ S4)= 2S x2-2Sx+S=2S(x-1/2)2+1/2S≥1/2S(0,25®) VËy SMNKL ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 1/2S khi x=1/2 khi ®ã M,N,K,L lÇn l−ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh CD,DA,AB,BC (0,25®) b.(1,5®) • tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh b×nh hµnh (1®) • tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh ch÷ nhËt khi BD⊥AC (0,5®) C©u 4: (1®) Gäi Q(x) lµ th−¬ng cña phÐp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 ta cã x99+x55+x11+x+7=( x-1 )( x+1 ).Q(x)+ax+b(*) trong ®ã ax+b lµ d− cña phÐp chia trªn Víi x=1 th×(*)=> 11=a+b Víi x=-1 th×(*)=> 3=-a+b=> a=4,b=7 VËy d− cña phÐp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 lµ 4x+7 ========================== ®Ò 12 Bµi 1: (3®) Cho ph©n thøc : M =

x 5 − 2 x 4 + 2 x 3 − 4 x 2 + 3x + 6 x 2 + 2x − 8

a) T×m tËp x¸c ®Þnh cña M b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó M = 0 c) Rót gän M Bµi 2: (2®) a) T×m 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp biÕt r»ng nÕu céng ba tÝch cña hai trong ba sè Êy ta ®−îc 242. b) T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B. A = n3 + 2n2 - 3n + 2 ; B = n2 -n Bµi 3: (2®) a) Cho 3 sè x,y,z Tho· m·n x.y.z = 1. TÝnh biÓu thøc

1 1 1 + + 1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + zx

b) Cho a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh r»ng:

1 1 1 1 1 1 ≥ + + + + a +b−c b+c−a c + a −b a b c

Bµi 4: (3®) Cho tam gi¸c ABC, ba ®−êng ph©n gi¸c AN, BM, CP c¾t nhau t¹i O. Ba c¹nh AB, BC, CA tØ lÖ víi 4,7,5 a) TÝnh NC biÕt BC = 18 cm b) TÝnh AC biÕt MC - MA = 3cm c) Chøng minh

AP BN CM . . =1 PB NC MA

§¸p ¸n Bµi 1: a) x2+2x-8 = (x-2)(x+4) ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 vµ x ≠ - 4 TX§ = {x / x ∈ Q; x ≠ 2; x ≠ −4} b) x5 - 2x4+2x3- 4x2- 3x+ 6 = (x-2)(x2+ 3)x-1)(x+1) = 0 khi x=2; x= ± 1. x5-2x4+ 2x3-4x2-3x+6 = 0 x2+ 2x- 8 ≠ 0 VËy ®Ó M = 0 th× x = ± 1.

(0,5®) 0,2® 1,0® 0,2®

§Ó M= 0 Th×

c) M =

( x − 2)( x 2 + 3)( x 2 + 1) ( x 2 + 3)( x 2 − 1) = ( x − 2)( x + 4) x+4

0,5® 0,3® 0,3®

Bµi 2: a) Gäi x-1, x, x+1 lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp Ta cã: x(x-1) + x(x+1) + (x-1)(x+1) = 242 (0,2®) Rót gän ®−îc x2 = 81 0,5® Do x lµ sè tù nhiªn nªn x = 9 0,2® Ba sè tù nhiªn ph¶i t×m lµ 8,9,10 0,1® 3 2 2 b) (n +2n - 3n + 2):(n -n) ®−îc th−¬ng n + 3 d− 2 0,3® Muèn chia hÕt ta ph¶i cã 2 ⋮ n(n-1) → 2 ⋮ n 0,2® Ta cã: n 1 -1 2 -2 n-1 0 -2 1 -6 n(n-1) 0 2 2 -3 lo¹i lo¹i 0,3® VËy n = -1; n = 2 0,2® 23

Bµi 3: a) V× xyz = 1 nªn x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0

0,2®

1 z z = = 1 + x + xy z (1 + x + xy) z + xz + 1

0,3®

1 xz xz = = 1 + y + yz (1 + y + yz ) xz xz + 1 + z

0,3®

z xz 1 + + =1 z + xz + 1 xz + 1 + z 1 + z + xz

0,2®

b) a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0

0,2®

1 1 4 víi x,y > 0 + ≥ x y x+ y 1 1 4 2 + ≥ = a + b − c b + c − a 2b b 1 1 2 + ≥ b+c−a c+ a −b c 1 1 2 + ≥ c+ a −b a+b−c a

0,2®

Céng tõng vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc råi chia cho 3 ta ®−îc ®iÒu ph¶i chøng minh. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi vµ chØ khi a = b = c Bµi 4: a) A

0,2®

C N

NB AB = NC AC AB BC AC AB 4 Theo gi¶ thiÕt ta cã = = ⇒ = ⇒ Nªn 4 7 5 AC 5 NB 4 BC 9 5.BC = ⇒ = ⇒ NC = = 10(cm) NC 5 NC 5 9 MC BC b) BM lµ ph©n gi¸c cña B̂ nªn = MA BA

AN lµ ph©n gi¸c cña Â Nªn

AB BC AC BC 7 = = ⇒ = 4 7 5 BA 4 MC 7 MC − MA 3 3.11 Nªn = ⇒ = ⇒ ac = = 11(cm) MA 4 MA + MC 11 3

Theo gi¶ thiÕt ta cã:

c) V× AN,BM,CP lµ 3 ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c ABC

0,3®

0,2® 0,5® 0,3®

0,2® 0,5®

Nªn

BN AB MC BC AP AC = ; = ; = BC AC MA BA PB AB

Do ®ã

0,5®

BN MC AP AB BC AC . . = . . =1 BC MA PB AC AB BC

0,5®

======================== ®Ò 13 C©u 1: ( 2,5 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a/. x2 – x – 6 (1 ®iÓm) 3 2 b/. x – x – 14x + 24 (1,5 ®iÓm) C©u 2: ( 1 ®iÓm) T×m GTNN cña : x2 + x + 1 C©u 3: ( 1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n) ⋮ 120 víi m, n ∈ Z. C©u 4: ( 1,5 ®iÓm) Cho a > b > 0 so s¸nh 2 sè x , y víi : x=

1+ a 1 + a + a2

; y=

1+ b 1 + b + b2

C©u 5: ( 1,5 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x − 1 + x + 2 + x − 3 = 14 C©u 6: ( 2,5 ®iÓm) Trªn c¹nh AB ë phÝa trong h×nh vu«ng ABCD dùng tam gi¸c AFB c©n , ®Ønh F cã gãc ®¸y lµ 150 . Chøng minh tam gi¸c CFD lµ tam gi¸c ®Òu.

§¸p ¸n C©u 1: a/. Ta cã: x – x – 6 = x – 4 – x – 2 = (x - 2)(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3) ( NÕu gi¶i b»ng c¸ch kh¸c cho ®iÓm t−¬ng ®−¬ng ) b/. Ta cã: x = 2 lµ nghiÖm cña f(x) = x3 – x2 – 14x + 24 Do ®ã f(x) ⋮ x – 2, ta cã: f(x) : (x – 2) = x2 + x – 12 VËy x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)( x2 + x – 12) Ta l¹i cã: x = 3 lµ nghiÖm cña x2 + x – 12 Nªn x2 + x – 12 = (x - 3)(x + 4) Nh− vËy: x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)(x - 3)(x + 4) . C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2 + x + 1 (1 ®’) 1 3 3 1 1 Ta cã : x2 + x + 1 = ( x + )2 + ≥ VËy f(x) ®¹t GTNN khi ( x + ) 2 = 0 Tøc x = 2 4 4 2 2 5 3 5 3 3 3 2 2 C©u 3: Ta cã : n – 5n + 4n = n – n – 4n + 4n = n (n - 1) – 4n( n - 1) 2

= n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp trong ®ã cã Ýt nhÊt hai sè lµ béi cña 2 ( trong ®ã mét sè lµ béi cña 4, mét sè lµ béi cña 3, mét sè lµ béi cña 5). VËy tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8,3,5 = 120.

1 1 + a + a2 1 1 1 1 a2 = = 1+ = 1+ = 1+ > 1+ = 1 + a 1 1 1 1 x y 1+ a 1+ a + + a2 a2 a b2 b 1 1 1 1 V× a> b > 0 nªn 2 < 2 vµ < . VËy x < y. a b a b C©u 5: 1/. XÐt kho¶ng x < -2 ,ta cã: -3x + 2 = 14 ⇔ x = - 4. 2/. -2 ≤ x < 1, ta cã : -x + 16 = 14 ⇔ x = 2. (lo¹i) 3/. 1 ≤ x < 3, ta cã : x + 4 = 14 ⇔ x = 10 (lo¹i). 16 4/. x ≥ 3 , ta cã: 3x – 2 = 14 ⇔ x = VËy ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm lµ x = 3 16 4 vµ x = . 3 C©u 6: ( 2,5 ®’) D C

C©u 4: (1,5 ®’). Ta cã x,y > 0 vµ

F F A

F 2

H 150

Dùng tam gi¸c c©n BIC nh− tam gi¸c AFB cã gãc ®¸y 150 . Suy ra : B 2 = 600 (1) . Ta cã △ AFB =△ BIC (theo c¸ch vÏ) nªn: FB = IB (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra : △ FIB ®Òu . §−êng th¼ng CI c¾t FB t¹i H . Ta cã: I 2 = 300 ( gãc ngoµi cña △CIB ). = 900 ( v× B = 600 ) Tam gi¸c ®Òu FIB nªn IH lµ trung trùc cña FB hay CH Suy ra: H 2

lµ ®−êng trung trùc cña △CFB . VËy △CFB c©n t¹i C . Suy ra : CF = CB (3) MÆt kh¸c : △ DFC c©n t¹i F . Do ®ã: FD = FC (4). Tõ (3) vµ (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC). VËy △ DFC ®Òu. Gi¶I b»ng ph−¬ng ph¸p kh¸c ®óng cho ®iÓm t−¬ng ®−¬ng. ============================== ®Ò 14 C©u 1 (2 ®iÓm): Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc f(x) =x4-3x3+3x2 + ax+b chia hÕt cho ®a thøc g(x) =x2+4-3x. 26

C©u 2 (2 ®iÓm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö. (x+y+z)3 –x3-y3-z3. C©u 3 (2 ®iÓm ) : a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x2 +x+1 b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= h(h+1) (h+2) (h+3) C©u 4(2 ®iÓm ) : Chøng minh r»ng nÕu .a2+b2+c2=ab+bc+ac th× a=b=c C©u 5 (2 ®iÓm ) : Trong tam gi¸c ABC lÊy ®iÓm P sao cho PAC = PBC. Tõ P dùng PM vu«ng gãc víi BC. PK vu«ng gãc víi CA. Gäi D lµ trung ®iÓm cña AB. Chøng minh : DK=DM. §¸p ¸n Bµi 1 (2 ®iÓm) Chia f(x) cho g(x) Ta cã : x4-3x2+3x2+ax+b: x2-3x+4. = x2+1 d− (a-3)x + b+4 (1 ®iÓm) f(x): g(x) khi vµ chØ khi sè d− b»ng kh«ng. Tõ ®©y suy ra (1 ®iÓm ). a-3=0 => a=3 b+4=0 => b=-4 Bµi 2 (2 ®iÓm ) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö. (x+y+2)3 –x3-y3-z3 =A Ta cã : (x+y+z)3 –x3-y3-z3 = [(x+y+z)3-x3]-(y3+23). ¸p dông h»ng ®¼ng thøc 6 vµ 7. A= ( x+y+z-x) [(x+x+z)2 + (x+y+z)x + x2) – (x+z)(y2-y2+z2) = (y+z)[x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz+xy+xz+x2+x2-y2+yz-z2]. = (y+z) (3x2+3xy+3xz+3yz). = 3(y+z) [x(x+y)+z((x+y)] = 3(x+y) (y+z) ) (x+z) Bµi 3 : (2 ®iÓm ). a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x2+x+1 3 3 ≥ 4 4 3 1 Gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ khi (x+ )2=0 4 2

(1 ®iÓm)

(1 ®iÓm).

1 2

Ta cã : x2+x+1 = (x+ )2 +

Tøc x = -

1 2

(1 ®iÓm).

b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. A= h(h+1) (h+2) (h+3) Ta cã : A= h(h+1) (h+2) (h+3) = h(h+3) (h+2) (h+1) = (h2+3h) (h2+3h+2) §Æt : 3h+h2 =x A= x(x+2) = x2+2x = x 2+2x+1-1 27

(1 ®iÓm).

= (x+1)2-1 ≥ -1 Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ -1. Bµi 4 (2 ®iÓm ) Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt : a2+b2+c2 = ab+ac+bc. Ta cã : a2+b2+c2 – ab-ac-bc = 0 Suy ra : (a2-2ab+b2) + (b2-2ab+c2) + (a2-2ac+c2)=0 (1 ®iÓm). 2 2 2 (a-b) + (b-c) + (a-c) = 0 §iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi. a-b = b-c = a-c = 0 Tøc lµ : a=b=c (1 ®iÓm). Bµi 5 (2 ®iÓm) C Gäi E lµ trung ®iÓm cña AP F lµ trung ®iÓm cña BP K M 1 2 1 FM = BP =FP 2

Ta cã : KE= AP = EP

P E A

F D

Tø gi¸c DEPF lµ h×nh b×nh hµnh v× DE//BP, DF//AP Do ®ã : ED=FM ; EK =EP=DF Tõ çc tam gi¸c vu«ng APK; BPM ta suy ra. KEP =2KAP ; MEP = 2MBP DEPF lµ h×nh b×nh hµnh nªn DEP= DFP Theo gi¶ thiÕt KAD = MBP nªn KEP = MFP VËy DEK = DPM suy ra ∆ DEK= ∆ MFO (c.g.c) Do ®ã : DK=OM ========================== ®Ò 15 C©u 1: (2®) T×m hai sè biÕt a. HiÖu çc b×nh ph−¬ng cña 2 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp b»ng 36 b. HiÖu çc b×nh ph−¬ng cña 2 sè tù nhiªn lÎ liªn tiÕp b»ng 40 C©u 2: (1,5®) Sè nµo lín h¬n: 2

20062 − 20055  2006 − 2005  hay   20062 + 20052  2006 + 2005 

C©u 3: (1,5 ®) Gi¶i ph−¬ng tr×nh x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 + + + + + +6 = 0 1000 999 998 997 996 995

C©u 4: (1®) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh ax –b> bx+a C©u 5: (2,5®) Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín CD. Qua A vÏ ®−êng th¼ng AK song song víi BC. Qua B vÏ ®−êng th¼ng BI song song víi AD. BI c¾t AC ë F, AK c¾t BD ë E. Chøng minh r»ng: 28

a. EF song song víi AB b. AB2 = CD.EF C©u 6: (1,5®) Cho h×nh thang ABCD (AD//BC) cã hai ®−êng chÐo, c¾t nhau ë O . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABO biÕt diÖn tÝch tam gi¸c BOC lµ 169 cm2 vµ diÖn tÝch tam gi¸c AOD lµ 196 cm2. §¸p ¸n C©u 1: a. Gäi 2 sè ch½n liªn tiÕp lµ x vµ x+2 (x ch½n). Ta cã: (x+2)2 -x2 =36 => x = 8. VËy 2 sè cÇn t×m lµ 8 vµ 10. b. Gäi 2 sè lÎ liªn tiÕp lµ x vµ x+2 (xlÎ) Ta cã (x+2)2 –x2 = 40 => x = 9 VËy 2 sè cÇn t×m lµ 9 vµ 11. C©u 2: Theo tÝnh chÊt cña ph©n thøc ta cã: 2

2006 − 2005 2006 − 2005 20062 − 20052  2006 − 2005  . <   = 2006 + 2005 2006 + 2005 (2006 + 2005) 2  2006 + 2005 

2006 2 − 2005 2 2006 2 − 2005 2 < 2006 2 + 2.2006.2005 + 2005 2 2006 2 + 2005 2

C©u 3: Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi: x +1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 +1+ +1+ + +1+ +1+ +1 = 0 1000 999 998 997 996 995 x + 1001 x + 1001 x + 1001 x + 1001 x + 1001 x + 1001 ⇔ + + + + + =0 1000 999 998 997 996 995 1 1 1 1 1 1 ⇔ ( x + 1001)( + + + + + )=0 1000 999 998 997 996 995 ⇔ x=-1001.

VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x=-1001. a+b a−b a+b * NÕu a<b th× x< a −b

C©u 4: * NÕu a> b th× x>

* NÕu a=b th× 0x> 2b + NghiÖm ®óngvíi mäi x nÕu b<0 + V« nghiÖm nÕu b ≥ 0 C©u 5: AE AB a. ∆AEB vµ ∆KEB ®ång d¹ng (g.g) ⇒ = EK KD AF AB ∆AFB Vµ ∆CFI ®ång d¹ng (g.g) ⇒ = FC CI

B E

F K

Mµ KD = CI = CD – AB ⇒ VËy AF// AB

A£ AF = ⇒ EF // KC EK FC D

OK DE = AB EB KD + AB DE + EB DK + KC BD DC DB ⇒ = ⇒ = ⇒ = (1) AB EB AB EB AB EB DB DI DB AB Do EF// DI ⇒ = ⇒ = (2) EB EF EB EF DC AB Tõ (1) vµ (2) ⇒ = ⇒ AB 2 = DC.EF AB EF

b. ∆AEB Vµ ∆KED ®ång d¹ng, suy ra

B C C©u 6: Theo ®Ò bµi ta ph¶i tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABO, biÕt SBOC = 169 cm2 O SAOD = 196 cm2 Ta nhËn thÊy SABD = SACD (v× cã chung ®¸y AD A vµ ®−êng cao t−¬ng øng b»ng nhau) Suy ra SABO = SCOD Tõ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ta rót ra r»ng: tû sè diÖn tÝch hai tam gi¸c cã chung ®−êng cao b»ng tû sè hai ®¸y t−¬ng øng. Do ®ã:

S ABO AO S AOD = = => SABO.SCOD = SBOC.SAOD S BOC OC S COD

Mµ SABO = SCOD nªn: S2ABO = SAOD . SBOD = 169.196 = 132 .142 => SABO = 13.14 = 182 (cm2) ================ ®Ò 16 C©u 1(2®): T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn. 2x3 + x2 + 2x + 5 A= 2x + 1 C©u 2(2®): Gi¶i ph−¬ng tr×nh x2 - 3|x| - 4 = 0 C©u 3(2®): Trªn 3 c¹nh BC, CA, AB cña tam gi¸c ABC lÊy t−¬ng øng c¸c ®iÓm P, Q, R. Chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó AP; BQ; CR ®ång qui lµ: PB QC RA . . =1 PC QA RB C©u 4(2®): Cho a, b > 0 vµ a+b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = (1+ 1/a )2 + (1+ 1/b)2

C©u 5(2®): Cho hai sè x, y tho· m·n ®iÒu kiÖn 3x + y = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 3x2 + y2 §¸p ¸n C©u 1 A nguyªn ⇔ 2x+ 1 lµ −íc cña 4 ¦(4) = {±1; ±2; ±4} Gi¶i ra x = -1; x= 0 th× A nguyªn. x2 - 3|x| - 4 = 0 C©u 2: ⇔ 3|x| = x2 - 4 ⇔ 3x = ± (x2 - 4) ⇔ x2 - 3x - 4 = 0 hoÆc x2 + 3x - 4 = 0 Gi¶i 2 ph−¬ng t×nh nµy ®−îc S = {-4; 4} C©u 3: (S¸ch ph¸t triÓn to¸n 8) C©u 4: M = 18 khi a = b = … C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc... Ta cã: A = 3x2 + (1-3x)2 = 12(x- 1/4)2 + 1/4 ⇒ A … ¼ VËy Amin = 1/4 khi x = 1/4 ; y = 1/4. ========================= ®Ò 17 Bµi 1. Cho biÓu thøc: A= (

x + 1 x − 1 x 2 − 4 x − 1 x + 2006 − + ). x −1 x +1 x2 − 1 x

a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc x¸c ®Þnh. b) Rót gän biÓu thøc A. c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2: a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

2−x 1− x x −1 = − 2004 2005 2006

b) T×m a, b ®Ó: x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho x2 + x + 1 Bµi 3. Cho h×nh thang ABCD; M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®¸y lín AB. Tõ M kÎ c¸c ®−êng th¼ng song song víi hai ®−êng chÐo AC vµ BD. C¸c ®−êng th¼ng nµy c¾t hai c¹nh BC vµ AD lÇn l−ît t¹i E vµ F. §o¹n EF c¾t AC vµ BD t¹i I vµ J. a) Chøng minh r»ng nÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× H còng lµ trung ®iÓm cña EF. b) Trong tr−êng hîp AB = 2CD, h·y chØ ra vÞ trÝ cña M trªn AB sao cho EJ = JI = IF. Bµi 4. Cho a ≥ 4; ab ≥ 12. Chøng minh r»ng C = a + b ≥ 7

§¸p ¸n Bµi 1:  x ≠ ±1 x ≠ 0

a) §iÒu kiÖn:  b) A = (

( x + 1) 2 − ( x + 1) 2 + x 2 − 4 x − 1 x + 2006 x + 2006 ⋅ = 2 x −1 x x  x = ±1  x = ±2006

c) Ta cã: A nguyªn ⇔ (x + 2006) ⋮ x ⇔ 2006⋮ x ⇔ 

Do x = ± 1 kh«ng tho· m·n ®k. VËy A nguyªn khi x = ± 2006 Bµi 2. 2− x 1− x x −1 = − 2004 2005 2006 2− x 1− x x 2 − x 2004 1 − x 2005 x 2006 +1 = +1− +1 ⇔ + = + − + 2004 2005 2006 2004 2004 2005 2005 2006 2006 2006 − x 2006 − x 2006 − x ⇔ (2006 − x)( 1 − 1 − 1 = 0 = + 2004 2005 2006 2004 2005 2006

a) Ta cã:

⇔ ⇔

⇔ (2006 - x) = 0 ⇒ x = 2006 b) Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc, råi tõ ®ã a = 2 b = 1

ta t×m ®−îc: 

Bµi 3.

FI FP DO a) Ta cã: = = (1) IE PM OB EJ EQ CO = = (2) FJ QM OA

Q P

DO CO = (3) OB OA

Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra

FI EJ = IE FJ

hay FI.FJ = EI.EJ (4)

NÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× tõ (4) ta cã: IJ IJ IJ IJ )( FH + ) = ( EH − )( EH + ) ⇒ FH = EH 2 2 2 2 DO CO 1 FI 1 b) NÕu AB = 2CD th× = = nªn theo (1) ta cã = OB OA 2 IE 2 ( FH −

suy ra: EF = FI + IE = 3FI. T−¬ng tù tõ (2) vµ (3) ta cã EF = 3EJ. Do ®ã: FI = EJ = IJ =

EF kh«ng liªn quan g× ®Õn vÞ trÝ cña M. VËy M tuú ý trªn AB 3 3 4

1 4

Bµi 4. Ta cã: C = a + b = ( a + b) + a ≥ 2

3ab 1 3 ⋅ 12 1 + a≥2 + ⋅4 = 7 4 4 4 4

============================

(§PCM)

®Ò 18 C©u 1: a. T×m sè m, n ®Ó:

1 m n = + x ( x − 1) x − 1 x

b. Rót gän biÓu thøc: M=

1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 a − 5a + 6 a − 7 a + 12 a − 9a + 20 a − 11a + 30 2

C©u 2: a. T×m sè nguyªn d−¬ng n ®Ó n5 +1 chia hÕt cho n3 +1. b. Gi¶i bµi to¸n nÕn n lµ sè nguyªn. C©u 3: Cho tam gi¸c ABC, c¸c ®−êng cao AK vµ BD c¾t nhau t¹i G. VÏ ®−êng trung trùc HE vµ HF cña AC vµ BC. Chøng minh r»ng BG = 2HE vµ AG = 2HF. C©u 4: Trong hai sè sau ®©y sè nµo lín h¬n: a = 1969 + 1971 ; b = 2 1970 §¸p ¸n C©u 1: (3®) a. m =1 (0.75®); n = -1 (0.75®) b.(1.5®) ViÕt mçi ph©n thøc thµnh hiÖu cña hai ph©n thøc (¸p dông c©u a) a

a2 a2 a2

1 1 1 = − − 5a + 6 a − 3 a − 2 1 1 1 = − − 7 a + 12 a − 4 a − 3 1 1 1 = − − 9a + 20 a − 5 a − 4 1 1 1 = − − 11a + 30 a − 6 a − 5

(0.25®) (0.25®) (0.25®) (0.25®)

§æi dÊu ®óng vµ tÝnh ®−îc : M=

1 1 4 − = a − 6 a − 2 ( a − 2).(a − 6)

(0.5®)

C©u 2: (2.5®) a. (1.5®) BiÕn ®æi: n5 + 1 ⋮ n3 + 1 ⇔ n2(n3 + 1) – (n2 –1) ⋮ n3 + 1 ⇔ (n + 1) (n – 1) ⋮ (n + 1)(n2 - n + 1) ⇔ n – 1 ⋮ n2 – n + 1 (v× n + 1 ≠ 0 ) NÕu n = 1 th× ta ®−îc 0 chia hÕt cho 1

(0.5®) (0.25®) (0.25®) (0.25®)

NÕu n > 1 th× n – 1 < n(n – 1) + 1 = n2 – n +1 Do ®ã kh«ng thÓ x¶y ra quan hÖ n – 1 chia hÕt cho n2 – n +1 trªn tËp hîp sè nguyªn d−¬ng VËy gi¸ trÞ duy nhÊt cña n t×m ®−îc lµ 1 (0.25®) b. n – 1 ⋮ n2 – n +1 ⇔ n(n – 1) ⋮ n2 – n + 1 n2 – n ⋮ n 2 – n + 1 ⇔ ⇔ ( n2 – n + 1) – 1 ⋮ n2 – n + 1 1 (0.5®) ⇔ ⋮ n2 – n + 1 Cã hai tr−êng hîp: n2 – n + 1 = 1 ⇔ n(n – 1) = 0 ⇔ n = 0 hoÆc n = 1 C¸c gi¸ trÞ nµy ®Òu tho¶ m·n ®Ò bµi (0.25®) 2 2 n – n + 1 = - 1 ⇔ n – n + 2 = 0 v« nghiÖm VËy n = 0, n = 1 lµ hai sè ph¶i t×m (0.25®) C©u 3: (3®) (H×nh *) LÊy I ®èi xøng víi C qua H, kÎ AI vµ BI, ta cã HE lµ ®−êng trung b×nh cña ∆ACI nªn HE//AI vµ HE = 1/2IA (1) (0.25®) T−¬ng tù trong ∆CBI : HF//IB vµ HF = 1/2IB (2) (0.25®) Tõ BG⊥AC vµ HE⊥AC ⇒ BG//IA (3) (0.25®) T−¬ng tù AK⊥BC vµ HF⊥BC ⇒ AG//IB (4) (0.25®) Tõ (3) vµ (4) ⇒ BIAG lµ h×nh b×nh hµnh (0.25®) Do ®ã BG = IA vµ AG = IB (0.5®) KÕt hîp víi kÕt qu¶ (1) vµ (2) ⇒ BG = 2HE vµ AG = 2HF (0.5®)

C©u 4: Ta cã:

(1.5®) 19702 – 1 < 19702 ⇔ 1969.1971 < 19702 ⇔

2 1969.1971 < 2.1970 (*)

E (0.25®) H

Céng 2.1970 vµo hai vÕ cña (*) ta cã:

B K

2.1970 + 2 1969.1971 < 4.1970

⇔ ( 1969 + 1971) 2 < (2 1970 ) 2

F (0.25®) H×nh * (0.25®)

⇔ 1969 + 1971 < 2 1970

(0.25®)

VËy: 1969 + 1971 < 2 1970

(0.25®)

=============================== ®Ò 19 Bµi 1 (2,5®) Cho biÓu thøc



x2 6 1   10 − x 2   + + : x − 2 + 3   x+2  x − 4 x 6 − 3x x + 2  

A = 

  

a. t×m tËp x¸c ®Þnh A: Rót gän A? b. T×m gi¸ trÞ cña x khi A = 2 c.Víi gi¸ trÞ cña x th× A < 0 d. timg gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn bµi 2 (2,5®) a. Cho P =

x4 + x3 + x + 1 x 4 − x 3 + 2x 2 − x + 1

Rót gän P vµ chøng tá P kh«ng ©m víi mäi gi¸ trÞ cña x b. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 = x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 x + 9 x + 20 x + 11x + 30 8 2

Bµi 3 (1®) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =

27 − 12 x x2 + 9

Bµi 4 (3®) Cho ∆ABC vu«ng t¹i A vµ ®iÓm H di chuyÓn trªn BC. Gäi E, F lÇn l−ît lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AB vµ AC a. CMR: E, A, H th¼ng hµng b. CMR: BEFC lµ h×nh thang, cã thÓ t×m vÞ trÝ cña H ®Ó BEFC trë thµnh mét h×nh thang vu«ng, h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt ®−îc kh«ng. c. x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña H ®Ó tam gi¸c EHF cã diÖn tÝch lín nhÊt? Bµi 5 (1®) Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1 CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1) ≥ 8 §¸p ¸n Bµi 1 (2,5®) sau khi biÕn ®æi ta ®−îc; A=

−6 x+2 × (x − 2)(x + 2) 6

0,5®

a. TX§ = {∀x : x ≠ ±2; x ≠ 0} Rót gän: A =

0,25®

−1 1 = 0,25® x−2 2−x

b. §Ó A = 2 c. §Ó A < 0 th×

⇒ x = 1,5 (tho· m·n ®iÒu kiÖn cña x) 0,5®

1 < 0 ⇒ 2 − x < 0 ⇒ x > 2 (Tho· m·n ®k cña x) 2−x

0,5®

d. §Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× (2 - x) ph¶i lµ −íc cña 2. Mµ ¦ (2) = {− 1;−2;1;2} suy ra x = 0; x = 1; x = 3; x= 4. Nh−ng x = 0 kh«ng tho· m·n §K cña x 0,25® VËy x = 1; x =3.; x=4 0,25® 35

Bµi 2 (2,5®) a. P =

x4 + x3 + x + 1 x 4 − x 3 + 2x 2 − x + 1

1®

Tö: x4 + x3 + x + 1 = (x+1)2(x2- x + 1) 0,25® MÉu: x4 - x3 + 2x2 -x +1 = (x2 + 1)(x2 -x + 1) 0,25® Nªn mÉu sè (x2 + 1)(x2 -x + 1) kh¸c 0. Do ®ã kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn cña x VËy P =

(x + 1)2 (x 2 − x + 1)

) (x

))

− x +1

0,25®

(x + 1)2 v× tö = (x + 1)2 ≥ 0∀x vµ mÉu x2 + 1 >0 víi 2 x

+ 1`

mäi x 0,25® Nªn P ≥ 0∀x b. Gi¶i PT:

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 = x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 x + 9 x + 20 x + 11x + 3 8 2

x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5) x2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6) Trong ®ã

1 1 1 1 = = − ... x + 5 x + 6 (x + 2 )( x + 3) ( x + 2 ) ( x + 3) 2

TX§ = {∀x; x ≠ −2;−3;−4;−5;−6} ph−¬ng tr×nh trë thµnh: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + − = x+2 x+3 x+3 x+4 x+4 x+5 x+5 x+6 8 1 1 1 = − = x+2 x+6 8 = 8( x + 6 − x − 2) = ( x + 2)( x + 6) ⇔ 32 = x 2 + 8 x + 12 ⇒ x 2 + 8 x − 20 = 0 ⇒ x = 2; x = −10

VËy PT ®· cho cã nghiÖm x =2; x = -10 Bµi 3 (1®) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc A=

27 − 12 x x2 + 9

(

) (

)

2 2 x2 − 6 27 − 12 x x − 12 x + 36 − x + 9 = = 2 − 1 ≥ −1 A= 2 x +9 x2 + 9 x +9 2

A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -1 ⇔ ( x − 6 ) = 0 hay x =

(

) (

)

2 4 x 2 + 36 − 4 x 2 + 12 x + 9 2 x + 3) ( 27 − 12 x = = 4− 2 ≤ 4. x2 + 9 x2 + 9 x +9 3 2 ( 2 x + 3) = 0 ⇒ x = − 2

Bµi 4 (3®)

®¹t

GTLN

A = lµ

a.(0,75®) do E ®«ie xøng víi H qua AB nªn AB lµ ®−êng trung trùc cña ®oanh th¼ng EH vËy gãc EAH = gãcIAH (1) gãc FAD = gãcDAH (2) céng (1) vµ (2) ta cã : gãc EAH + gãc FAD = gãcDAH + gãcIAH = 900 theo gi¶ thuyÕt hay gãcEAI + gßcAD + BAC = 900 + 900 = 1800. Do ®ã 3 ®iÓm E, A, F th¼ng hµng b. Tam gi¸c ABC vu«ng ë A nªn gãcABC + ACB = 900 (hai gãc nhän tam gi¸c vu«ng) Mµ gãcEBA = gãcABH (tÝnh chÊt ®èi xøng) gãcCA = gãcHCA (tÝnh chÊt ®èi xøng) suy ra gãc EBA + gãc FCA = 900 haygãc EBA + gãc FCA + gãc ABC + gãc ACB = 1800 suy ra gãc EBC + gãc FBC = 1800 (hai gãc trong cïng phÝa bï nhau) do ®ã BE song song CF. Vậy tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang 0,75® ⌢ ⌢ 0 Muèn BEFC lµ h×nh thang vu«ng th× ph¶i cã gãc AHC = 90 ( E = F = 900 ) vËy H ph¶i lµ ch©n ®−êng cao thuéc c¹nh huyÒn cña tam gi¸c ABC Muèn BEFC lµ h×nh b×nh hµnh th× BE = CF suy ra BM = HC. VËy H ph¶i lµ trung ®iÓm cña BC………….. 0,25® Muèn BEFC lµ h×nh ch÷ nhËt th× BEFC ph¶i cã mét gãc vu«ng suy ra ⌢ ⌢ ( B = C = 450 ) ®iÒu nµy kh«ng x¶y ra v× tam gi¸c ABC kh«ng phaØ lµ tam gi¸c vu«ng c©n…..0,25® c.lÊy H bÊt kú thuéc BC gÇn B h¬n ta cã: S ∆EHF = 2 S▱ AIDH dùng h×nh ch÷ nhËt HPQD b»ng AIHD vËy Stam gi¸c EHF = Stø gi¸c ¶IPQ. Ta cã tam gi¸c HBI = tam gi¸c HMB (g.c.g) suy ra S ∆HBIS = S ∆HMB ⇒ S∆EHF = S▱ ABMQ < S∆ABC víi H gÇn C h¬n ta còng cã:Stø gi¸c ABMQ < Stam gi¸c ABC khi H di chuyÓn trªn BC ta lu«n cã SEHF ≤ S ABC . T¹i vÞ trÝ h lµ trung ®iÓm cña BC th× ta cã SEHF = SABC. Do ®ã khi H lµ trung ®iÓm cña BC th× SEHF lµ lín nhÊt. Bµi 5 (1®) Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1 Chøng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 Do a, b, c lµ c¸c sè d−¬ng nªn ta cã; 2

(a – 1)2 ≥ 0∀a > 0 ⇒ a 2 + 1 ≥ 2a ⇒ a 2 + 2a + 1 ⇒ ( a 2 + 1) ≥ 4a (1) …………0,25® T−¬ng tù (b + 1)2 ≥ 4b (2)………………0,25® (c + 1)2 ≥ 4c (3) …………0,25® Nh©n tõng vÕ cña (1), (2), (3) ta cã: (b + 1)2(a – 1)2(c + 1)2 ≥ 64abc (v× abc = 1) ((b + 1)(a – 1)(c + 1))2 ≥ 64 37

(b + 1)(a – 1)(c + 1) ≥ 8…..0,25® ======================================= ®Ò 20 C©u I :(3®) a) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: A = x3 +8x2 + 19x +12 . B = x3 +6x2 +11x +6 . b) Rót gän ph©n thøc : A x 3 + 8 x 2 + 19 x + 12 . = 3 B x + 6 x 2 + 11x + 6

C©u II : (3®) . 1 ) Cho ph−¬ng tr×nh Èn x. x+a x−2 + = 2. x+2 x−a

a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi a = 4. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho ph−¬ng tr×nh nhËn x = -1 lµm nghiÖm. 2 ) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh sau : 2x2 + 10x +19 > 0. C©u III (3®): Trong h×nh thoi ABCD ng−êi ta lÊy c¸c ®iÓm P vµ Q theo thø tù trªn AB vµ CD sao cho AP = 1/ 3 AB vµ CQ = 1/ 3 CD. Gäi I lµ giao ®iÓm cña PQ vµ AD , K lµ giao ®iÓm cña DP vµ BI , O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. a) Chøng minh AD = AI , cho biÕt nhËn xÐt vÒ tam gi¸c BID vµ vÞ trÝ cña K trªn IB. b) Cho Bvµ D cè ®Þnh t×m quü tÝch cña A vµ I. C©u IV : (1®) .T×m nghiÖm nguyªn d−¬ng cña ph−¬ng tr×nh sau : yx2 +yx +y =1. §¸p ¸n Bµi I : 1) A = (x+1) ( x+3) (x +4) B = (x +1 ) ( x+ 2) ( x + 3) 2)

(1®) (1®)

A ( x + 1)( x + 3)( x + 4) x + 4 = = B ( x + 1)( x + 2)( x + 3) x + 2

Bµi II :1) . Ph−¬ng tr×nh

(1®)

( x + a ) ( x − 2) + =2 ( x + 2) ( x − a )

§iÒu kiÖn: x ≠ -2 vµ x ≠ a. (1) ⇔ x2 – a2+ x2 – 4 = 2x2 + 2(2- a)x – 4a ⇔ – a2 - 4 + 4a = 2(2- a)x = 2(a - 2)x (*) ⇔ - (a - 2)2 a) víi a =4 thay vµo (*) ta cã : 4 =4x ⇒ x=1 b) . Thay x= -1 vµo (*) ta ®−îc. (a – 2 )2 + (a - 2)= 0 ⇔ (a - 2) (a – 2 + 2) = 0

(1)

(1®)

a=2 (1®) ⇒ a=0 2) . Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh : 2x2 + 10x + 19 > 0 (1) BiÕn dæi vÕ tr¸i ta ®−îc. 2x2 + 10x + 19 = 2x2 + 8x +8 + 2x +4 +7 =2(x2 + 4x +4) + 2(x +2) + 7 = 2(x + 2)2 +2(x + 2) + 7 = (x + 3)2 + (x + 2)2 + 6 lu«n lín h¬n 0 víi mäi x Nªn bÊt ph−¬ng tr×nh (1) NghiÖm ®óng víi ∀ x . (1®) Bµi III . AP // DQ XÐt tam gi¸c IDQ cã .

AP =

1 DQ 2

Theo ®Þnh lý Ta LÐt trong tam gi¸c ta cã : (0,75® ) IA AP 1 = = ⇒ 2 IA = ID ⇒ AD = AI ID AQ 2

Tam gi¸c BID lµ tam gi¸c vu«ng t¹i B v× AO ⊥ DB vµ AO lµ ®−êng trung b×nh cña ∆ BID §iÓm K lµ trung ®iÓm cña IB. (Do DK lµ ®−êng trung tuyÕn cña ∆ BID ) . (0,75®) b). Víi B vµ D cè ®Þnh nªn ®o¹n DB cè ®Þnh.Suy ra trung ®iÓm O cè ®Þnh. MÆt kh¸c AC BD , BI DB vµ vai trß cña A vµ C lµ nh− nhau . Nªn quü tÝch cña A lµ ®−êng th¼ng ®i qua O vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm O.Quü tÝch cña ®iÓm I lµ ®−êng th¼ng ®i qua B vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm B. (1®) §¶o: Víi A vµ I ch¹y trªn c¸c ®−êng ®ã vµ AD = AI .Th× AP = ThËt vËy : Do AP // DQ suy ra

1 1 AB vµ CQ = CD. 2 3

IA AP 1 = = ⇒ 2 AP = DQ mµ AB = CD ⇒ §PCM. ID AQ 2

(0,5®) Bµi IV:

y x2 + y x + y = 1 . (1) NÕu ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm th× x ,y > 0. (1) y(x2 + x +1) = 1 y= 1 ⇒ ⇒ y = 1 ,x= 0 x2 + x +1 =1 VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn lµ (x,y) = (0 ,1). (1®) =================================== ®Ò 21

I. §Ò bµi:

1 1 1 + 2 + 2 2 2 2 2 b + c -a c + a - b a + b 2 - c2 Rót gän biÓu thøc A, biÕt a + b + c = 0.

Bµi 1:(2 ®iÓm)

Cho A =

Bµi 2:(3 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 4 1) (x+1) + (x+3)4 = 16 2)

x − 1001 x − 1003 x − 1005 x − 1007 + + + =4 1006 1004 1002 1000

Bµi 3:(2 ®iÓm) a=

Chøng minh r»ng sè: 1 1 1 1 , n ∈ Z+ kh«ng ph¶i lµ mét sè nguyªn. + + + ... + 1.2 2.3 3.4 n.(n+1)

Bµi 4:(3 ®iÓm) Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, N, P, Q lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD vµ DA. a) Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? T¹i sao? b) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó tø gi¸c MNPQ lµ h×nh vu«ng? c) Víi ®iÒu kiÖn c©u b), h·y tÝnh tû sè diÖn tÝch cña hai tø gi¸c ABCD vµ MNPQ. §¸p ¸n Bµi 1:(2 ®iÓm) Ta cã: a + b + c = 0 ⇔ b + c = - a. B×nh ph−¬ng hai vÕ ta cã : (b + c)2 = a2 ⇔ b2 + 2bc + c2 = a2 ⇔ b2 + c2 - a2 = -2bc T−¬ng tù, ta cã: c2 + a2 - b2 = -2ca a2 + b2 - c2 = -2ab 1 1 1 -(a+b+c) = =0 (v× a + b + c = 0) ⇒ A= 2bc 2ca 2ab 2abc VËy A= 0.

0.25 ®iÓm 0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm 0.25 ®iÓm

Bµi 2:(3 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 1) §Æt y = x + 2 ta ®−îc ph−¬ng tr×nh: (y – 1)4 + (y +1)4 = 16 ⇔ 2y4 + 12y2 + 2 = 16 ⇔ y4 + 6y2 -7 = 0 §Æt z = y2 ta ®−îc ph−¬ng tr×nh: z2 + 6z – 7 = 0 cã hai nghiÖm lµ z1 = 1 vµ z2 = -7.

0.5 ®iÓm

• y2 = 1 cã 2 nghiÖm y1 = 1 ; y2 = -1 øng víi x1 = -1 ; x2 = -3. • y2 = -7 kh«ng cã nghiÖm.

0.5 ®iÓm

x − 1001 x − 1003 x − 1005 x − 1007 + + + =4 1006 1004 1002 1000

0.5 ®iÓm

x − 1001 x − 1003 x − 1005 x − 1007 −1+ −1+ −1+ −1 = 0 1006 1004 1002 1000 x − 2007 x − 2007 x − 2007 x − 2007 ⇔ + + + =0 1006 1004 1002 1000

⇔

0.5 ®iÓm

1 1 1   1 ⇔ ( x − 2007)  + + +  = 0 ⇔ ( x − 2007) = 0  1006 1004 1002 1000 

0.5 ®iÓm

1 1 1 1  V×  + + +  ≠ 0 ⇒ x = 2007 1006 1004 1002 1000

0.5 ®iÓm





Bµi 3:(1,5 ®iÓm)

Ta cã:  

1 1  

1

1 

1  

a =  1 −  +  −  +  −  + ... +  −  2 2 3 3 4 n n+1 = 1−



0,5®iÓm

1 n = < 1; n+1 n+1

0.5 ®iÓm

MÆt kh¸c a > 0. Do ®ã a kh«ng nguyªn

0.5 ®iÓm

Bµi 4:(3,5 ®iÓm) VÏ h×nh, viÕt gi¶ thiÕt - kÕt luËn ®óng

0.5 ®iÓm b n

c a p

q d

a) Chøng minh MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh b) MNPQ lµ h×nh vu«ng khi vµ chØ khi AC = BD, AC ⊥ BD c)

SABCD = a ; SMNPQ = a ; ⇒

SABCD =2 SMNPQ

========================= ®Ò 22 Bµi 1 (3 ®iÓm) a. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120 b. Chøng tá ®a thøc A chia hÕt cho 24

1 ®iÓm 1 ®iÓm 0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm

Bµi 2 ( 3 ®iÓm) a. T×m nghiÖm nguyªn tö cña ph−¬ng tr×nh: b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: B = Bµi 3 ( 1 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: P =

x2 + x + 1 x2 + x + 2 7 + = x2 + x + 2 x2 + x + 3 6

x2 víi x # 0 1 + x4

x2 − 5x + 6 x 3 − 3x 2 + 3x − 2

Bµi 4 ( 3 ®iÓm ) Cho Tam gi¸c ABC vu«ng c©n ë A. §iÓm M trªn c¹nh BC. Tõ M kÎ ME vu«ng gãc víi AB, kÎ MF vu«ng gãc víi AC ( E ∈ AB ; F ∈ AC ) a. Chøng minh: FC .BA + CA . B E = AB2 vµ chu vi tø gi¸c MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña M. b. T©m vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt. c. Chøng tá ®−êng th¼ng ®i qua M vu«ng gãc víi EF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh §¸p ¸n Bµi 1: a. A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120 KÕt qu¶ ph©n tÝch A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4) b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4) => A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2) Lµ tÝch cña 4 sè nguyªn liªn tiªp nªn A ⋮ 24 Bµi 2: a.

( 2®iÓm )

(1 ®iÓm )

x + x +1 x + x + 2 7 + = x2 + x + 2 x2 + x + 3 6

T×m ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x1 = 0; x2= -1 (1.5 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc x2 B= víi x # 0 gi¶i vµ t×m ®−îc B max = 1/2 th× x = ± 1 1 + x4

( 1, 5 ®iÓm )

Bµi 3 Rót gän biÓu thøc: P=

(x − 2)(. x − 3) => P = . x − 3 x 2 − 5x + 6 = 3 2 x − 3x + 3x − 2 (x − 2) x 2 − x + 1 x2 − x + 1

(

)

Bµi 4: Gi¶i a. chøng minh ®−îc F C . BA + CA. BE = AB2 (0,5 ®iÓm ) + Chøng minh ®−îc chu vi tø gi¸c MEAF = 2 AB ( kh«ng phô vµo vÞ trÝ cña M ) ( 0,5 ®iÓm ) b. Chøng tá ®−îc M lµ trung ®iÓm BC Th× diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt (1 ®iÓm ) c. Chøng tá ®−îc ®−êng th¼ng

( 1®iÓm )

MH ⊥ EF lu«n ®i qua mét ®iÓm N cè ®Þnh ( 1 ®iÓm )

Đề 23 Câu 1: (4đ) a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6 b, Cho x ∈ Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 ⋮ x4 + x2 + 1 Câu 2: (2đ)

1 1 1 + + = 3 x y z 1 1 1 Tính giá trị của biểu thức P = 2 + 2 + 2 x y z

Cho x,y,z ≠ 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và

Câu 3: (3đ) Tìm x biết a, 3 x + 2 < 5x -4 b,

x + 43 x + 46 x + 49 x + 52 + = + 57 54 51 48

Câu 4: (3đ) a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 ⋮ 9 với mọi n ∈ N* b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=

x y z + + y+z z+x x+ y

Bài 5: (6đ) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H ∈ BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m = AB . 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: Bài 6: (2 đ)

GB HD = . BC AH + HC

Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập phương của một số tự nhiên khác.Tìm số đó. Đề 23 Câu1(4đ)

Cau 2 :(2đ

a,đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1 ⇒ A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2) b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1) =x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) +(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1) dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) ⋮ x4 + x2 + 1 ⇒ A chia hết cho x4 + x2 + 1

1 x

1 y

1 z

Có ( + + )2 = ( 3 )2 = p + 2

Câu 3: (3đ)

1 ) yz

z+ y+x vậyP+2=3 xyz

1đ 1đ

0.75đ 0,75đ

suy ra P = 1

0.5đ

giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4 làm đúng được x> 3 b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung

1đ 0.5đ 1đ

(x+100)(

Câu 4: 3đ

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2( + + 2 xy xz x y z

.1đ 1đ

1 1 1 1 + − − )=0 57 54 51 48

⇒ S = {− 100}

0.5đ

a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8) =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3) Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3 =n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp ) 3(n+1) chia hết cho3 ⇒ B chia hết cho 3 ⇒ A =3B chia hết cho 9 b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c ⇒ x+y+z = −a+b+c a−b+c a+b−c ;y= ; z= 2 2 2 −a+b+c a−b+c a+b−c P= + + = 2a 2b 2c

0.5đ 0,5đ 0,5đ

a+b+c 2

⇒ x=

0.5đ

1 b c a c a b ( −1 + + − 1 + + − 1 + + ) = 2 a a b b c c 1 b a c a b c 3 (−3 + ( + ) + ( + ) + ( + )) ≥ 2 a b a c c b 2 3 Min P = ( Khi và chỉ khi a=b=c 2

Câu 5: (2đ)

1đ

⇔ x=y=z

+ Hai tam giác ADC và BEC có: Góc C chung. CD CA (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) = CE CB

0,25 đ 0,25 đ

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). Suy ra: ∠ BEC= ∠ADC = 135 0 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết). Nên ∠AEB = 45 0 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. 0,25 đ Suy ra: BE = AB 2 = m 2 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ b) 2đ

BM 1 BE 1 AD (do ∆BEC ~ ∆ADC ) = ⋅ = ⋅ BC 2 BC 2 AC mà AD = AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)

Ta có:

nên

BM 1 AD 1 AH 2 BH BH = ⋅ = ⋅ = = BC 2 AC 2 AC AB 2 BE

dạng CBA) Do đó BHM đồng dạng

C) 2đ

(do ABH Đồng

0,5đ

1đ

BEC (c.g.c)

0,5đ suy ra: ∠BHM = ∠BEC = 135 0 ⇒ ∠AHM = 45 0 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC. Suyra:

GB AB , = GC AC

vì ∆ABC ~ ∆DEC nên Do đó:

AB ED AH HD = = = AC DC HC HC

(DE//AH)

GB HD GB HD GB HD = ⇒ = ⇒ = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC

1đ 1đ

Câu 6

Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a2+a+1) 1đ Vì p là số nguyên tố nên: Hoặc : a-1=2 suy ra p=13 ( thoả mãn) 0,5đ 2 Hoặc: a +a+1 =2 điều này không xảy ra vì a >1 Vởy trong các số tự nhiên có dang 2p+1 (p là số nguyên tố) 0,5đ chỉ có 1 số là lập phương của một số tự nhiên khác. Đề 24

Câu 1: (4điểm) x 2 x − 3y + y−2 x−6 1 1 1 3 b. Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c ≠ 0. Chứng minh : 3 + 3 + 3 = a b c abc Câu 2: (3điểm)

a. Cho: 3y-x=6 Tính giá trị biểu thức: A=

a. Tìm x,y,x biết :

x 2 y2 z2 x 2 + y2 + z 2 + + = 2 3 4 5

b.Giải phương trình : 2x(8x-1)2(4x-1)=9

Câu 3: (3điểm) a. Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với a∈ Z b. Chứng minh rằng : x5 – x + 2 không là số chính phương với mọi x∈ Z+

Câu 4: (2điểm) Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức : Câu 5: (6 điểm) cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’ ;BB’;CC’ Có trực tâm H a)tính tổng :

AH ' BH CH + + AA' BB ' CC '

Gọi AI là phân giác của tam giác ABC IM; IN thứ tự là phân giác của các góc AIC; AIB(M ∈ AC;N ∈ AB chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM c)Tam Giác ABC thỏa mãn Điều kiện gì thì biểu thức :

( AB + BC + CA) 2 AA'2 + B' B 2 + C ' C 2

đạt giá trị nhỏ nhất Câu 6(2điểm) Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì (1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bình phương của số hữu tỉ.

……………..Hết…………………….

Đề 24 Bài Bài1 a) 2đ

Nội dung

đ i ểm 0,5đ

3y-x=6 ⇒ x=3y-6 Thay vào ta có A=4

b) 2đ

1,5đ

Vì: (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c ≠ 0.

⇒ ab + ac + bc = 0 ⇒

⇒

ab + ac + bc =0 abc

1 1 1 + + =0 a b c

1đ

1 1 1 Đặt : = x; = y; = z a b c chứng minh bài toánNếu x+y+z=0 thì: 1đ

x3+y3+z3=3xyz ⇒ đpcm Bài 2: a) 1,5đ

x 2 y2 z2 x 2 + y2 + z2 x 2 x 2 y2 y2 z 2 z 2 + + = ⇔ − + − + − =0 2 3 4 5 2 5 3 5 4 5

1đ

3x 2 2 y 2 z 2 ⇔ + + =0⇔x=y=z 0,5đ 10 15 20 .phươngtrình:

b) 1,5đ

2x(8x-1)2(4x-1)=9 ⇔ (64x 2 − 16x + 1)(8x 2 − 2x ) = 9

⇔ (64x 2 − 16x + 1)(64x 2 − 16x ) = 72

0,25đ

đặt :64x2-16x+0,5=k Ta có pt : (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k 2 = 72,25 ⇔ k ± 8,5

0,5đ Với k=8,5 Ta có x=

−1 1 ;x = 4 2

0,25đ

Bài 3 a) 1.5đ

Với k=-8,5 phương trình vô nghiệm

0,25đ

Vậy phương trình có 2nghiệm x=-1/4và x=1/2

0,25đ

có: a5-a=a(a4-1)=a(a2-1)(a2+1)=a(a-1)(a+1)(a2-4+5)

= a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1)

0, 75đ

vì a nguyên nên a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tích 5 số nguyên liên 0,25đ

tiếp nên ⋮30 (2) 5a(a-1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với 5 nên chia hết

0,25đ

cho 30

b) 1.5đ

Từ (1); (2) suy rađpcm

0,25đ

b,Từ bài toán trên ta có: x5-x ⋮5 ⇒ x5-x+2 chia 5 dư 2

0,75đ

⇒ x5-x+2 có tận cùng là 2 hoạc 7 (không có số chính phương nào có tận cùng là 2hoặc 7)

Vậy:

x5-x+2 không thế là số chính phương với mọi x∈ Z +

0,5đ 0,25đ

Câu4 b  c  a   c b 2 1  a2     đặ t A= a + b + c + = ab + + + c +       2đ b ac a 2  bc  ac  ba  bc   

= abc +

a 2 c2 a b2 b c 1 + + 2 + + 2 + 2 + c b b a c a abc

1   a 2 c   c2 b   b2 a   =  abc + + + + + + +  abc   c a 2   b c 2   a b 2   1 x

tacó x+ ≥ 2∀x >0 Nên A ≥ 8 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 câu 5 a)

C’ H

M I

B’

A’

C D

1đ 0,5đ 0,5đ

1 ( BA'+ A' C ). AH + S AHC S AH Ta có : (1) = 2 = AHB 1 A' A S ABC AH .BC 2 BH S AHB + S BHC Tương Tự: = (2) BB ' S ABC S + S AHC CH == CHB (3) CC S ABC +S +S ) 2( S AH ' BH CH Từ (1); (2); (3) ta có: = AHB BHC CHA = 2 + + AA' BB' CC ' S ABC

b) áp d ụng tính chất đường phân giác vào các tam giácABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = suy ra IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC AB. AC . . = . . = . = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI AC . AB c) ⇒ BI . AN .CM = BN .IC. AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx ⇔ -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD - ∆ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 2 2 2 ⇒ AB + AD ≤ (BC+CD) AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 (AB + BC + CA) 2 ≥4 AA'2 + BB'2 + CC'2 (Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB=BC Tức tam giác ABCđều Câu6 2đ

có

1+a =ab+ac+bc+a =(a+c)(a+b) Tương tự 1+b2 =(a+b)(b+c) 1+c2=(b+c)(a+c) 2 ⇒ (1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 ) = [(a + b )(a + c )(b + c )] đpcm

Đề 25 Bài 1: (5 điểm)

1đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ

0,75 đ 0,75 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1đ 0,5đ 0,5đ

 2 1  1  1  x − 1 Cho biểu thức: A =  + 1 + + 1 3    2  : 3 2   x  ( x + 1)  x  x + 2x + 1  x a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị của x để A<1 c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên Bài 2: (3điểm) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Bài 3 (4 điểm): a) Giải phương trình: 1 6y 2 = 2 + 3 y − 10 y + 3 9 y − 1 1 − 3 y 2

b) Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1) Bài 4 (6 điểm): Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM. a/ Tính số đo góc DBK. b/ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng. Bài 5: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6+3x2+1=y3

Đề 25 BÀI Bài 1 a)

NỘI DUNG 

A= 

2x 2

x2 +1 ( x + 1) 2 x 2

 x −1 : 3  x 

ĐKXĐX ∉ {0;1;-1}

 ( x + 1) .x ( x + 1) 2 x 3 A= ( x − 1)( x + 1) 2 x 2 x A= x −1 −1 Tacó:1-A= >0 khi x-1<0 suy ra x<1 x −1 2

Kết hợp với điều kiện xác định ta có:A<1 khi:x<1 và x≠0;-1 c)

A= 1+

1 x −1

1đ 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ

Vì x nguyên nên x-1 nguyên để A là số nguyên thì x-1là ước của 1đ 1 Hoặc x-1=1 suy ra x=2 Hoặc x-1=-1 suy ra x=0 (loai) 0,5đ Vởy x=2 là giá trị cần tìm

Bài 2: Đặt A= abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) vì a2+b2+c2=1 Nếu abc >0 ta có:A=abc+a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+2(a+b+c) +1 A=(a+b+c+1)2+abc ≥ 0 (1) Nếu: abc<0 ta có: A=2(1+a+b+c+ab+ac+bc+abc)-abc Biến đổi được :A=( 1+a)(1+b)(1+c) +(-abc) Vì ì a2+b2+c2=1nên -1 ≤ a; b; c ≤ 1 nên (1+a)(1+b)(1+c) ≥ 0 Và -abc ≥ 0 nên A ≥ 0 (2) Từ 1 và (2) suy ra abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) ≥ 0 −2 1 Bài 3: Biến đổi phương trình về: = (3 y − 1)( y − 3) (3 y − 1)(3 y + 1) a)

0,5đ 0;5đ 0,5đ 0,5đ 0,75đ 0,25đ

1 −1 } 3 3

Đkxđ: y∉ {3; ; b)

0,5đ 0,5đ

⇔ 3y+1=-2y+6 ⇔ y=1(thoả mãn) vậyphương trình có nghiệm duy nhất y=1

Từ giả thiết chỉ ra: 14x2-28x +70 chia hết cho x2+bx+c 2 2 ⇔ (x -2x+5 ) ⋮ (x +bx+c) mà b; c là các số nguyên nên b=-2; c=5 Khi đó P(1) =12-2.1+5 =4

0,5đ 0,5đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ

Bài 4: Chứng minh Tam Giác BEC đồng dạngTam giác DCM theo tỉ số 0,5đ 1/2 E Từ đó chứng minh:CK=ED (1) B A EB=BC (2) 0,5đ 0 ∠BED = ∠BCK =135 (3) từ: (1);(2);(3)suy ra: ∆BED = ∆BCK (cg.c)D ⇔ ∠EBD = ∠CBK

⇒ ∠DBK = 90 0

1đ

G K H

Chứng minh tứ giác DEKM là hinhchữ nhật M Suy ra tam giác CKM vuông cân tại M ⇒ H là trung điểm củaCM AI//DM (cùng vuông góc với DE) HI//DM (T/c đường trung bình) nên A; ;I;H thẳng hàng (1) Các tam giác CIH; CHK vuông cân tại Cvà H nên KH= CI =DI Mà DI//KH nên tứ giác DIKH là hình bình hành Lại có tứ giác DEKM là hình chữ nhật Do đó EM; DK; IH đồng qui tại G là trung điểm của DK vậy: G ∈ IH (2)

0,5đ

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0.5đ 0,25đ

Tử (1); (2) ta có A;I;G;H thẳng hàng Bài 5: Với x≠ 0 ta có 3x4>0; 3x2>0 ta có (x2)3 <y3<(x+1)3 nên phương trình vô nghiệm Với x=0 ta có y3=1 suy ra y=1 Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất(x;y)=(0;1)

0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,25đ 0, 25đ

ĐỀ THI SỐ 26

Câu 1: (4,0 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2;

b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức :

A = (

2+ x 4x2 2− x x2 − 3x ):( ) − 2 − 2− x x − 4 2+ x 2x2 − x3

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.

Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. b)

Cho

x2 y 2 z 2 x y z a b c + + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 . a b c a b c x y z

Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài 1

Điểm

2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0

3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1). a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1).

Bài 2: a ĐKXĐ : 2 − x ≠ 0  2 x ≠ 0 x − 4 ≠ 0   ⇔  x ≠ ±2 2 + x ≠ 0  2 x ≠ 3   x − 3x ≠ 0 2 3 2 x − x ≠ 0 A=(

1,0

2+ x 4x2 2− x x 2 − 3x (2 + x) 2 + 4 x 2 − (2 − x) 2 x 2 (2 − x) − 2 − = = ):( 2 ) . 2 − x x − 4 2 + x 2 x − x3 (2 − x)(2 + x ) x( x − 3)

4 x2 + 8x x(2 − x) = . (2 − x)(2 + x) x − 3

0,5

4 x( x + 2) x(2 − x) 4 x2 = (2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3

0,25

Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ 3 thì A =

4x 2 . x−3

0,25

1,0 Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > 0 ⇔

4x >0 x−3

⇔ x−3> 0 ⇔ x > 3(TMDKXD )

Vậy với x > 3 thì A > 0. c x − 7 = 4 x−7 = 4 ⇔   x − 7 = −4  x = 11(TMDKXD) ⇔  x = 3( KTMDKXD )

Với x = 11 thì A = Bài 3 a

1,0

121 2

0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 2 2 2 ⇔ (9x – 18x + 9) + (y – 6y + 9) + 2(z + 2z + 1) = 0 2 2 2 ⇔ 9(x - 1) + (y - 3) + 2 (z + 1) = 0 (*) Do : ( x − 1)2 ≥ 0;( y − 3) 2 ≥ 0;( z + 1)2 ≥ 0

5,0 2,5 1,0 0,5 0,5

Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).

0,25 0,25 2,5

b Từ : Ta có :

a b c ayz+bxz+ cxy + + =0⇔ =0 x y z xyz ⇔ ayz + bxz + cxy = 0 x y z x y z + + = 1 ⇔ ( + + )2 = 1 a b c a b c 2 2 2 x y z xy xz yz ⇔ 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1 a b c ab ac bc 2 2 2 x y z cxy + bxz + ayz ⇔ 2 + 2 + 2 +2 =1 a b c abc x2 y2 z 2 ⇔ 2 + 2 + 2 = 1( dfcm) a b c

0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25

Bài 4

6,0 H

0,25

F O

E A D

a Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO ( g − c − g ) => BE = DF Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. b = KDC ABC = ADC ⇒ HBC Ta có: Chứng minh : ∆CBH ∼ ∆CDK ( g − g ) ⇒

CH CK = ⇒ CH .CD = CK .CB CB CD

2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5 1,75 0,25

Chứng minh : ∆AFD ∼ ∆AKC ( g − g ) AF AK = ⇒ AD. AK = AF . AC AD AC Chứng minh : ∆CFD ∼ ∆AHC ( g − g ) CF AH ⇒ = CD AC ⇒

0,25 0,25 0,25

Mà : CD = AB ⇒

CF AH = ⇒ AB. AH = CF . AC AB AC

0,5

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).

0,25

ĐỀ SỐ 27 Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: x4 + 4 ( x + 2 )( x + 3)( x + 4 )( x + 5 ) − 24 b. Giải phương trình: x 4 − 30x 2 + 31x − 30 = 0 a b c a2 b2 c2 c. Cho + + = 1 . Chứng minh rằng: + + =0 b+c c+a a+b b+c c+a a+b 2 1   10 − x 2   x Câu2. Cho biểu thức: A = 2 + + :x − 2 + x + 2  x −4 2−x x+2   a. Rút gọn biểu thức A. 1 b. Tính giá trị của A , Biết |x| = . 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD. a. Chứng minh: DE = CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 4. a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: b. Cho a, b d-¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011

1 1 1 + + ≥9 a b c

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Câu

Câu 1 (6 điểm)

Đáp án a. x + 4 = x + 4x + 4 - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) 4

( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)

Điểm

(2 điểm)

= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b. x 4 − 30x 2 + 31x − 30 = 0 <=> ( x2 − x + 1) ( x − 5 )( x + 6 ) = 0 (*)

1 2 3 ) + > 0 ∀x 2 4 (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0 x − 5 = 0 x = 5  ⇔ x + 6 = 0 x = − 6 a b c + + =1 c. Nhân cả 2 vế của: b+c c+a a+b với a + b + c; rút gọn ⇒ đpcm 2 1   10 − x 2   x Biểu thức: A =  2 + + :x − 2 + x + 2  x −4 2−x x+2   −1 a. Rút gọn được kq: A = x−2 1 1 −1 b. x = ⇒ x = hoặc x = 2 2 2 Vì x2 - x + 1 = (x -

Câu 2 (6 điểm)

4 4 hoặc A = 3 5 c. A < 0 ⇔ x > 2 −1 ∈ Z ... ⇒ x ∈ {1;3} x−2

A HV + GT + KL

(2 điểm)

(1.5 điểm)

(1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm)

⇒A=

d. A ∈ Z ⇔

(2 điểm)

(1 điểm) F

Câu 3 (6 điểm)

a. Chứng minh: AE = FM = DF ⇒ ∆AED = ∆DFC ⇒ đpcm b. DE, BF, CM là ba đường cao của ∆EFC ⇒ đpcm c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ⇒ ME + MF = a không đổi ⇒ S AEMF = ME.MF lớn nhất ⇔ ME = MF (AEMF là hình

(2 điểm) (2 điểm) (1 điểm)

vuông) ⇒ M là trung điểm của BD. b c 1  a = 1+ a + a  a c 1 a. Từ: a + b + c = 1 ⇒  = 1 + + b b b a b 1 = + + 1 c c c 

Câu 4: (2 điểm)

1 1 1 a b a c b c + + = 3 + +  +  +  +  +  a b c b a c a c b ≥3+2+2+2=9 1 Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 3 2001 2001 2000 b. (a + b ).(a+ b) - (a + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = 1 (a – 1).(b – 1) = 0 a = 1 hoÆc b = 1 Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i) Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i) VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

(1 điểm)

⇒

(1 điđm)

§Ò thi SỐ 28 C©u 1 : (2 ®iÓm)

Cho

a 3 − 4a 2 − a + 4 a 3 − 7 a 2 + 14a − 8

a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn

C©u 2 : (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph−¬ng cña chóng chia hÕt cho 3. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .

C©u 3 : (2 ®iÓm) a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh :

1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 2

b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng : A=

a b c + + ≥3 b+c−a a+c −b a+b−c

C©u 4 : (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l−ît t¹i D vµ E . Chøng minh : a) BD.CE=

BC 2 4

b) DM,EM lÇn l−ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.

C©u 5 : (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ çc tam gi¸c vu«ng cã sè ®o çc c¹nh lµ çc sè nguyªn d−¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi .

®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái C©u 1 : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4)

0,5

a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4)

0,5

Nªu §KX§ : a ≠ 1; a ≠ 2; a ≠ 4

0,25

a +1 a−2

0,25

Rót gän P= b) (0,5®) P=

a−2+3 3 = 1+ ; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ −íc cña 3, a−2 a−2

mµ ¦(3)= {− 1;1;−3;3}

0,25

Tõ ®ã t×m ®−îc a ∈ {− 1;3;5}

0,25

C©u 2 : (2®) a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 .

0,25

Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) [(a 2 + 2ab + b 2 ) − 3ab]= =(a+b) [(a + b) 2 − 3ab ]

0,5

V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ; Do vËy (a+b) [(a + b) 2 − 3ab ] chia hÕt cho 9 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thÊy (x2+5x)2 ≥ 0 nªn P=(x2+5x)2-36 ≥ -36

0,25 0,5 0,25

Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0 Tõ ®ã ta t×m ®−îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36

0,25

C©u 3 : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;

0,25

§KX§ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7

0,25

Ph−¬ng tr×nh trë thµnh : 1 1 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18

1 1 1 1 1 1 1 − + − + − = x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7 18 1 1 1 − = x + 4 x + 7 18

0,25

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Tõ ®ã t×m ®−îc x=-13; x=2;

0,25

b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 y+z x+z x+ y ;b = ;c = ; 2 2 2 y+z x+z x+ y 1 y x x z y z  Thay vµo ta ®−îc A= + + = ( + ) + ( + ) + ( + )  2x 2y 2z 2 x y z x z y  1 Tõ ®ã suy ra A ≥ (2 + 2 + 2) hay A ≥ 3 2

Tõ ®ã suy ra a=

0,5 0,25 0,25

C©u 4 : (3 ®) a) (1®) Trong tam gi¸c BDM ta cã : Dˆ 1 = 120 0 − Mˆ 1 V× M̂ 2 =600 nªn ta cã

: Mˆ 3 = 120 0 − Mˆ 1

Suy ra Dˆ 1 = Mˆ 3

x E

Chøng minh ∆BMD ∾ ∆CEM (1) Suy ra

BD CM = , tõ ®ã BD.CE=BM.CM BM CE

V× BM=CM=

BC , nªn ta cã 2

BD.CE=

BC 2 4

0,5

2 1

2 3

0,5

b) (1®) Tõ (1) suy ra

BD MD mµ BM=CM nªn ta cã = CM EM

BD MD = BM EM

Chøng minh ∆BMD ∾ ∆MED

0,5

Tõ ®ã suy ra Dˆ 1 = Dˆ 2 , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE Chøng minh t−¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED

0,5

c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK

0,5

TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn.

0,5

C©u 5 : (1®) Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d−¬ng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2)

0,25

Tõ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2

0,25

z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®−îc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4

0,25

Tõ ®ã ta t×m ®−îc c¸c gi¸ trÞ cña x , y , z lµ : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)

ÑEÀ THI SOÁ 29 Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû A = ( a + 1)( a + 3)( a + 5)( a + 7 ) + 15

Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc:

( x − a )( x − 10 ) + 1 60

0,25

phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = x 4 − 3 x3 + ax + b chia heát cho ña thöùc B( x) = x 2 − 3 x + 4 Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy. Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng P=

1 1 1 1 + 2 + 4 + ... + <1 2 2 3 4 1002

Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm Caâu

1 2ñ

Ñaùp aùn A = ( a + 1)( a + 3)( a + 5 )( a + 7 ) + 15

( = (a = (a = (a

)(

0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ

)

= a 2 + 8a + 7 a 2 + 8a + 15 + 15 2

)

(

)

+ 8a + 22 a 2 + 8a + 120 2

) + 8a + 12 )( a = ( a + 2 )( a + 6 ) ( a 2 2ñ

+ 8a + 11 − 1

2 2

) + 8a + 10 )

+ 8a + 10

Giaû söû: ( x − a )( x − 10 ) + 1 = ( x − m )( x − n ) ;(m, n ∈ Z ) 2

⇔ x − ( a + 10 ) x + 10a + 1 = x − ( m + n ) x + mn ⇔

{

m + n = a +10 m.n =10 a +1

Khöû a ta coù : mn = 10( m + n – 10) + 1

0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ

suy ra a = 12 hoaëc a =8

0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ

Ta coù: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 =3 Ñeå A( x)⋮ B( x) thì { ba+−34==00 ⇔ { ba=− 4

0,5 ñ 0,5 ñ

⇔ mn − 10m − 10n + 100 = 1 ⇔ m(n − 10) − 10n + 10) = 1

vì m,n nguyeân ta coù: { mn −−1010==11 v { nm−−1010=−=−11

3 1ñ

Bieåu ñieåm

4 3ñ 0,25 ñ

Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng ; Hy phaân giaùc cuûa goùc AHC maø Hx laø phaân giaùc cuûa goùc AHB laø hai goùc keà buø neân Hx vaø Hy vuoâng goùc vaø AHC AHB = 900 maët khaùc ADH = AEH = 900 Hay DHE Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1) AHB 900 AHD = = = 450 2 2 AHC 900 Do AHE = = = 450 2 2 ⇒ AHD = AHE (2) Hay HA laø phaân giaùc DHE

0,5 ñ

Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng 5 2ñ

0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ

1 1 1 1 + 2 + 4 + ... + 2 2 3 4 1002 1 1 1 1 = + + + ... + 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 < + + + ... + 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 = 1 − + − + ... + − 2 2 3 99 100 1 99 = 1− = <1 100 100

0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ

Bài 1: (4 điểm)

0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ

ĐỀ THI SỐ 30

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.

Bài 2: (2 điểm) 62

Giải phương trình: x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 . 17 19 21 23

Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2 2 ( 2009 − x ) + ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 )

( 2009 − x )

− ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 )

19 . 49

Bài 4: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

2010x + 2680 . x2 + 1

Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, = BFD, BDF = CDE, CED = AEF . AB sao cho: AFE = BAC . a) Chứng minh rằng: BDF b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.

Một lời giải: Bài 1: a)

3 (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = ( x + y + z ) − x 3  −  y3 + z3   

= ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x 2  − ( y + z ) ( y 2 − yz + z 2 )   2

= ( y + z ) ( 3x 2 + 3xy + 3yz + 3zx ) = 3 ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y )  = 3 ( x + y )( y + z )( z + x ) . b)

x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( x 4 − x ) + ( 2010x 2 + 2010x + 2010 ) = x ( x − 1) ( x 2 + x + 1) + 2010 ( x 2 + x + 1) = ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 2010 ) .

Bài 2:

x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 63

⇔

x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 −1+ −2+ −3+ −4=0 17 19 21 23

x − 258 x − 258 x − 258 x − 258 + + + =0 17 19 21 23 1  1 1 1 ⇔ ( x − 258 )  + + +  = 0  17 19 21 23  ⇔ x = 258 Bài 3: 2 2 ( 2009 − x ) + ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) ⇔

( 2009 − x )

− ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 )

19 . 49

ĐKXĐ: x ≠ 2009; x ≠ 2010 . Đặt a = x – 2010 (a ≠ 0), ta có hệ thức: 2 ( a + 1) − ( a + 1) a + a 2 = 19 ⇔ a 2 + a + 1 = 19 2 ( a + 1) + ( a + 1) a + a 2 49 3a 2 + 3a + 1 49 ⇔ 49a 2 + 49a + 49 = 57a 2 + 57a + 19 ⇔ 8a 2 + 8a − 30 = 0 3  a =  2 2 ⇔ ( 2a + 1) − 42 = 0 ⇔ ( 2a − 3)( 2a + 5 ) = 0 ⇔  (thoả ĐK) 5 a = −  2 4023 4015 Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK) 2 2 4023 4015 Vậ y x = và x = là giá trị cần tìm. 2 2 Bài 4: 2010x + 2680 A= x2 + 1 −335x 2 − 335 + 335x 2 + 2010x + 3015 335(x + 3) 2 = = −335 + ≥ −335 x2 + 1 x2 + 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3. C

Bài 5: =A = Fɵ = 90o ) a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân . giác của BAC b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF F Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ nhất ⇔ AD nhỏ nhất ⇔ D là hình chiếu vuông góc của A lên BC. A Bài 6: = BFD = ω, BDF = CDE = α, CED = AEF = β. a) Đặt AFE 64

+ β + ω = 1800 (*) Ta có BAC Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. A + OED + ODF = 90o (1) ⇒ OFD E F ω β o Ta có OFD + ω + OED + β + ODF + α = 270 (2) β o ω O (1) & (2) ⇒ α + β + ω = 180 (**) = α = BDF . (*) & (**) ⇒ BAC

b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: =ω = β, C B ⇒ ∆AEF ∆DBF ∆DEC ∆ABC

5BF 5BF 5BF  BD BA 5     BF = BC = 8 BD = 8 BD = 8 BD = 8     7CE 7CE 7CE  CD CA 7    ⇒ = = ⇒ CD = ⇒ CD = ⇒ CD = 8 8 8  CE CB 8     AE AB 5 7AE = 5AF 7(7 − CE) = 5(5 − BF) 7CE − 5BF = 24 = =  AF AC 7        ⇒ CD − BD = 3 (3) Ta lại có CD + BD = 8 (4) (3) & (4) ⇒ BD = 2,5

Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x − 17 x − 21 x + 1 + + =4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0

ĐỀ SỐ 31

1 1 1 + + = 0. x y z yz xz xy + 2 + 2 Tính giá trị của biểu thức: A = 2 x + 2 yz y + 2xz z + 2 xy

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. (AB + BC + CA) 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA' 2 + BB' 2 + CC' 2

ĐÁP ÁN • Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 b) Tính đúng x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 0 ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 x x x x x ⇔ 2 (2 – 4) – 8(2 – 4) = 0 ⇔ (2 – 8)(2 – 4) = 0 x 3 x 2 x 3 x 2 ⇔ (2 – 2 )(2 –2 ) = 0 ⇔ 2 –2 = 0 hoặc 2 –2 = 0 x 3 x 2 ⇔ 2 = 2 hoặc 2 = 2 ⇔ x = 3; x = 2

( 1 điểm ) ( 1 điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm )

• Bài 2(1,5 điểm): xy + yz + xz 1 1 1 = 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) + + =0⇒ xyz x y z x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) Do đó: A =

yz xz xy + + ( x − y)( x − z) ( y − x )( y − z) (z − x )(z − y)

Tính đúng A = 1 • Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d

( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,5 điểm )

∈ N, 0 ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ 0

(0,25điểm)

2 Ta có: abcd = k v…i k, m ∈ N, 31 < k < m < 100 (a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2 (0,25…i…m)

⇔

abcd = k 2 abcd + 1353 = m 2

(0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 ⇒ m–k = 11 ho…c m–k = 33 m = 67 m = 37 ho…c ⇔ k = 56 k= 4 abcd Kết luận đúng (0,25điểm) 66

(0,25điểm) = 3136

Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) 1 .HA'.BC S HBC 2 HA' = = a) ; S ABC 1 AA' .AA'.BC 2 (0,25điểm) Tương tự:

C’ H

M I

SHAB HC' SHAC HB' = = ; S ABC CC' SABC BB'

B’

A’

C D

(0,25điểm) HA' HB' HC' S HBC SHAB SHAC + + = + + =1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC = . . . . = . =1 (0,5…i…m ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5…i…m ) ⇒ BI.AN.CM = BN.IC.AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD (0,25điểm) - ∆ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 2 2 2 ⇒ AB + AD ≤ (BC+CD) AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 (AB + BC + CA) 2 ≥ 4 (0,25điểm) ⇔ AA'2 + BB'2 + CC'2 Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ ∆ ABC đều Kết luận đúng (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó

ĐỀ SỐ 32 67

Bài 1 (4 điểm)  1 − x3  1 − x2   − x : Cho biểu thức A =   1 − x − x 2 + x 3 với x khác -1 và 1.  1− x  a, Rút gọn biểu thức A. 2 3

b, Tính giá trị của biểu thức A tại x = −1 . c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm) 2

2 2 2 Cho ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) = 4.( a + b + c − ab − ac − bc) .

Chứng minh rằng a = b = c . Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 4 − 2a3 + 3a 2 − 4a + 5 . Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. b, Chứng minh rằng

1 1 2 + = . AB CD MN

c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.

Đáp án Bài 1( 4 điểm ) a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì : A=

0,5đ

1− x − x + x (1 − x)(1 + x) : 1− x (1 + x)(1 − x + x 2 ) − x (1 + x)

0,5đ

(1 − x)(1 + x + x 2 − x) (1 − x)(1 + x) : 1− x (1 + x)(1 − 2 x + x 2 ) 1 = (1 + x 2 ) : (1 − x) 2 = (1 + x )(1 − x)

0,5đ 0,5đ

b, (1 điểm) Tại x = − 1

2 5 = − thì A = 3 3

5 2  5   1 + (− 3 )  − 1 − (− 3 )    

0,25đ

25 5 )(1 + ) 9 3 34 8 272 2 = . = = 10 9 3 27 27

= (1 +

0,5đ

c, (1điểm) Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 + x 2 )(1 − x) < 0 (1) Vì 1 + x 2 > 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 − x < 0 ⇔ x > 1 KL

Bài 2 (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để được 2

0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ

a + b − 2ab + b + c − 2bc + c + a + 2ac = 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac − 4bc Biến đổi để có (a 2 + b 2 − 2ac) + (b 2 + c 2 − 2bc) + (a 2 + c 2 − 2ac) = 0

Biến đổi để có (a − b) + (b − c) + (a − c) = 0 (*) Vì (a − b) 2 ≥ 0 ; (b − c) 2 ≥ 0 ; (a − c) 2 ≥ 0 ; với mọi a, b, c nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a − b) 2 = 0 ; (b − c) 2 = 0 và (a − c) 2 = 0 ; Từ đó suy ra a = b = c 2

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

Bài 3 (3 điểm) Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần tìm là

0,5đ

x (x là số nguyên khác -11) x + 11

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số

x−7 x + 15

0,5đ

(x khác -15) Theo bài ra ta có phương trình

0,5đ

x x + 15 = x + 11 x − 7

Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn) Từ đó tìm được phân số −

1đ 0,5đ

5 6

Bài 4 (2 điểm) Biến đổi để có A= a 2 (a 2 + 2) − 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3 = (a 2 + 2)(a 2 − 2a + 1) + 3 = (a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3 Vì a 2 + 2 > 0 ∀a và (a − 1) 2 ≥ 0∀a nên (a 2 + 2)(a − 1) 2 ≥ 0∀a do đó

0,5đ 0,5đ 0,5đ

(a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3 ≥ 3∀a

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a − 1 = 0 ⇔ a = 1 KL Bài 5 (3 điểm)

0,25đ 0,25đ

a,(1 điểm) Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân b,(2điểm)

0,5đ

4 3 8 3 cm ; BD = 2AD = cm 3 3 1 4 3 AM = BD = cm 2 3 4 3 Tính được NI = AM = cm 3 8 3 1 4 3 DC = BC = cm , MN = DC = cm 3 2 3 8 3 Tính được AI = cm 3

Tính được AD =

0,5đ 0,5đ 0,5đ

Bài 6 (5 điểm) M

a, (1,5 điểm)

0,5đ 0,5đ

0,5đ

OM OD ON OC , = = AB BD AB AC OD OC = Lập luận để có DB AC OM ON ⇒ ⇒ OM = ON = AB AB

Lập luận để có

0,5đ 0,5đ

b, (1,5 điểm) OM DM OM AM = (1), xét ∆ADC để có = (2) AB AD DC AD 1 1 AM + DM AD Từ (1) và (2) ⇒ OM.( + )= = =1 AB CD AD AD 1 1 Chứng minh tương tự ON. ( + ) =1 AB CD 1 1 1 1 2 từ đó có (OM + ON). ( + )=2 ⇒ + = AB CD AB CD MN

Xét ∆ABD để có

0,5đ

0,5đ 0,5đ

b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S S = , = ⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB .S DOC = S BOC .S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC

0,5đ

0,5đ 0,5đ

Chứng minh được S AOD = S BOC ⇒ S AOB .S DOC = ( S AOD ) 2

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009 Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị 0,5đ DT)

ĐỀ SỐ 33 §Ò thi häc sinh giái líp 8 C©u 1: (5®iÓm) a,

T×m sè tù nhiªn n ®Ó: A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè.

b, B =

n 4 + 3n 3 + 2n 2 + 6n − 2 Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn. n2 + 2

D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph−¬ng. Chøng minh r»ng :

c, C©u 2: (5®iÓm)

(n ≥ 2)

a b c + + = 1 biÕt abc=1 ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1

Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c2 c b a + + ≥ + + b2 c2 a2 b a c

C©u 3: (5®iÓm) a,

Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82

b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d−¬ng. C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®−êng chÐo.Qua 0 kÎ ®−êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC. b. Chøng minh:

1 1 2 + = AB CD EF

c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®−êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF.

C©u

Néi dung bµi gi¶i a,

(1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) §Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1 ⇔ n=2 khi ®ã A=5

§iÓm 0,5 0,5

2 n +2 B cã gi¸ trÞ nguyªn ⇔ 2 ⋮ n2+2 n2+2 lµ −íc tù nhiªn cña 2 C©u 1 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n 2 (5®iÓm) HoÆc n +2=2 ⇔ n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn. c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) [(n 2 − 4) + 5] +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 ⋮ 5 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp) Vµ 5 n(n-1)(n+1 ⋮ 5 VËy D chia 5 d− 2 Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i sè chÝnh ph−¬ng VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph−¬ng a, (1®iÓm) B=n2+3n-

b, (2®iÓm)

a b c ac abc c + + = + + 2 ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + 1 ac abc c abc + ac + 1 + + = =1 = 1 + ac + c c + 1 + ac ac + c + 1 abc + ac + 1

b, (2®iÓm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= 2(ab+ac+bc) ⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× C©u 2 a+b+c=0 ⇒ a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) (5®iÓm) MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . V× a+b+c=0 ⇒ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) ⇒ a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 c, (2®iÓm)

¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x2+y2 ≥ 2xy DÊu b»ng khi x=y

a2 b2 a b a + 2 ≥ 2. . = 2. ; 2 b c c b c 2 2 c b c b b + 2 ≥ 2. . = 2. 2 a c a a c

a2 c2 a c c + 2 ≥ 2. . = 2. ; 2 b a b b a

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5

0,5 0,5 0,5 0,5

Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã: a 2 b2 c2 a c b a 2 b2 c2 a c b 2( 2 + 2 + 2 ) ≥ 2( + + ) ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ + + b c a c b a b c a c b a

x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ⇔ ( − 1) + ( − 2) + ( − 3) = 0 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 + + =0 ⇔ 86 84 82 1 1   1 ⇔ (x-300)  + +  = 0 ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 VËy S = {300}  86 84 82 

a, (2®iÓm)

b, (2®iÓm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 ⇔ (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 ⇔ (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 C©u 3 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k2=72,25 (5®iÓm) ⇔ k=… 8,5 Víi k=8,5 tacã ph−¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 ⇔ (2x-1)(4x+1)=0; ⇒ 1 2

x= ; x =

−1 4

1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Víi k=- 8,5 Ta cã ph−¬ng tr×nh: 64x -16x+9=0 ⇔ (8x-1) +8=0 v« nghiÖm. 1 − 1  2 4 

VËy S =  ,

0,5

a,(1®iÓm) V× AB//CD ⇒ S DAB=SA CBA (cïng ®¸y vµ cïng ®−êng cao) ⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB K Hay SAOD = SBOC E I

0,5

N D

0,5

M C

0,5

EO AO = MÆt kh¸c AB//DC C©u 4 DC AC (5®iÓm) ⇒ AB = AO ⇒ AB = AO ⇒ AB = AO ⇒ EO = AB DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC EF AB AB + DC 2 1 1 2 = ⇒ = ⇒ + = ⇒ 2 DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N ∈ DF) +KÎ

b, (2®iÓm) V× EO//DC ⇒

®−êng th¼ng KN lµ ®−êng th¼ng ph¶i dùng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) ⇒ SDEKN=SKFN.

ĐỀ SỐ 34 73

1,0 0,5 1,0 1,0

C©u 1(4.0 ®iÓm) : Cho biÓu thøc A =

3 − 3x x x+4 − 2 + 3 x +1 x − x +1 x +1

a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña A lu«n d−¬ng víi mäi x ≠ - 1 C©u 2(4.0 ®iÓm): Gi¶i ph−¬ng tr×nh: a) x 2 − 3x + 2 + x − 1 = 0 2

1 1 1 1 2 b) 8  x +  + 4  x 2 + 2  − 4  x 2 + 2   x +  = ( x + 4 ) x x x x 













C©u 3(3.0 ®iÓm) : Cho xy ≠ 0 vµ x + y = 1. Chøng minh r»ng:

2 ( xy − 2 ) x y + 3 − 2 2 =0 y −1 x −1 x y + 3 3

C©u 4(3.0 ®iÓm): Chøng minh r»ng: Víi mäi x ∈ Q th× gi¸ trÞ cña ®a thøc : M = ( x + 2 )( x + 4 )( x + 6 )( x + 8) + 16

lµ b×nh ph−¬ng cña mét sè h÷u tØ.

C©u 5 (6.0 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®−êng cao AH (H ∈ BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §−êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 4. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m = AB . 5. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM 6. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh:

GB HD = . BC AH + HC

----------------------------------------------HÕt-------------------------------------------------

H−íng dÉn chÊm to¸n 8 C©u

Néi dung

§iÓm

- Rót gän: A = a

(

)

x x 2 − x + 1 − ( x + 1)( 3 − 3 x ) + x + 4 3 − 3x x x+4 − 2 + 3 = x +1 x − x +1 x +1 ( x + 1) x 2 − x + 1

(

( (

)

) )

2 x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1) x + x + 1 x2 + x + 1 = = = ( x + 1) x 2 − x + 1 ( x + 1) x 2 − x + 1 x 2 − x + 1

(

)

1®iÓm

1 3  x+  + 2  x + x +1  2 4 Víi mäi x ≠ - 1 th× A = 2 = 2 x − x +1  1 3 x−  + 2 4  2

1®iÓm

1 3 1 3 V×  x +  + > 0;  x −  + > 0, ∀x ≠ −1 ⇒ A > 0, ∀x ≠ −1 

2



2

1®iÓm

* Víi x≥ 1 (*) ⇒ x - 1 ≥ 0 ⇒ x − 1 = x − 1 ta cã ph−¬ng tr×nh 2

x2 -3x + 2 + x-1 = 0 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 ( Tho¶

1®iÓm

m·n ®iÒu kiÖn *) a

* Víi x< 1 (**) ⇒ x - 1 ≤ 0 ⇒ x − 1 = 1 − x ta cã ph−¬ng tr×nh x2 -3x + 2 + 1 - x = 0 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ ( x − 1)( x − 3) = 0 + x - 1 = 0 ⇔ x = 1 ( Kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn **) + x - 3 = 0 ⇔ x = 3 ( Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn **)

1®iÓm

VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ : x = 1 0.5®iÓm

* §iÒu kiÖn x ≠ 0 (1) 2 2 1 1  2   2 1   2 1   * pt ⇔ 8  x +  + 4  x + 2   x + 2  −  x +   = ( x + 4 ) x x   x   x    

2 1  2  2 1   2 1   2 1   ⇔ 8  x + 2 + 2  + 4  x + 2   x + 2  −  x +   = ( x + 4 ) x x   x   x     

1®iÓm

⇔ 16 = ( x + 4 ) ⇔ x ( x + 8 ) = 0 ⇔ x = 0 hoÆc x = -8

So s¸nh víi ®iÒu kiÖn (1) , suy ra nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x = - 8

0.5®iÓm

Ta cã y 3 − 1 = ( y − 1) ( y 2 + y + 1) = − x ( y 2 + y + 1) v× xy ≠ 0 ⇒ x, y ≠ 0 ⇒ x, y ≠ 0 3

1®iÓm

⇒ y-1≠ 0 vµ x-1 ≠ 0

⇒

−1 x = 2 y −1 y + y + 1 3

x3 − 1 = ( x − 1) ( x 2 − x + 1) = − y ( x 2 − x + 1) ⇒

⇒

y −1 = x3 − 1 x 2 + x + 1

−1 −1 x y + 3 = 2 + 2 y −1 x −1 y + y + 1 x + x + 1 3

2  x2 + x + 1 + y 2 + y + 1    x + y ) − 2 xy + ( x + y ) + 2 (     =− = − 2  x 2 y 2 + ( x + y ) − 2 xy + xy ( x + y ) + xy + ( x + y ) + 1   ( x 2 + x + 1)( y 2 + y + 1)      2 ( xy − 2 ) 4 − 2 xy x y =− 2 2 ⇒ 3 + 3 − 2 2 =0 x y +3 y −1 x −1 x y + 3

1®iÓm

Ta cã: M = ( x 2 + 10 x + 16 )( x 2 + 10 x + 24 ) + 16

1®iÓm

§Æt a = x2 + 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2

1®iÓm 1®iÓm

M = ( x2 + 10x + 20 )2 ( ®pcm) 5

+ Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc C chung. CD CA = (Hai tam gi¸c vu«ng CDE vµ CAB ®ång d¹ng) CE CB

Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c). = Suy ra: BEC ADC = 1350 (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt). Nªn AEB = 450 do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra: BE = AB 2 = m 2

BM 1 BE 1 AD = ⋅ = ⋅ (do ∆BEC ∼ ∆ADC ) BC 2 BC 2 AC mµ AD = AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH nªn = ⋅ = ⋅ = = (do ∆ABH ∼ ∆CBA ) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE = BEC = 1350 ⇒ AHM = 450 Do ®ã ∆BHM ∼ ∆BEC (c.g.c), suy ra: BHM

1.5®iÓm 1®iÓm

Ta cã:

1.5®iÓm 1®iÓm

Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC. GB AB AB ED AH HD Suy ra: = , mµ = ( ∆ABC ∼ ∆DEC ) = ( ED // AH ) = GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do ®ã: = ⇒ = ⇒ = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC

1®iÓm

ĐỀ SỐ 35 x2 6 1   10 − x 2    − 2 + + + : x   3 x + 2   x − 4 x 6 − 3x x + 2   

Bài 1: Cho bi…u th…c: M = 

a. Rút g…n M b.T×m x nguyªn ®Ó M ®¹t gi¸ lín nhÊt. Bài 2: a. Tìm giá tr… nh… nh…t c…a bi…u th…c sau: A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014 b. Cho các s… x,y,z th…a mãn ……ng th…i: x + y + z = 1: x 2 + y 2 + z 2 = 1 v… x 3 + y 3 + z 3 = 1. Tính t…ng: S = x 2009 + y 2010 + z 2011 Bµi 3: a. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 2

b. Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi nghiÖm lµ sè nguyªn: x( x 2 + x + 1) = 4y( y + 1). Bài 4: Cho tam gi¸c ABC nhän cã c¸c ®−êng cao AD,BE,CF c¾t nhau t¹i H. a. TÝnh tæng:

HD HE HF + + AD BE CF

b. Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC 2 c. Chøng minh: H çch ®Òu ba c¹nh tam gi¸c DEF. d. Trªn çc ®o¹n HB,HC lÊy çc ®iÓm M,N tïy ý sao cho HM = CN. Chøng minh ®−êng trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

H−íng dÉn chÊm m«n to¸n 8 Néi dung

Bµi

 x 6 1   x 6 1  + + = − +  3    x − 4 x 6 − 3 x x + 2   x( x − 2)( x + 2) 3( x − 2) x + 2  x − 2( x + 2) + ( x − 2) = ( x + 2)( x − 2) −6 = ( x + 2)( x − 2) 2

§iÓm

 10 − x 2  ( x + 2)( x − 2) + (10 − x 2 )  x − 2 + = x+2 x + 2   6 = x+2

0,5

0,5 0,5

⇒ M=

−6 x+2 1 = . 2− x ( x − 2)( x + 2) 6

+ NÕu x 〉 2 th× M 〈 0 nªn M kh«ng ®¹t GTLN. + VËy x 〈 2, khi ®ã M cã c¶ Tö vµ MÉu ®Òu lµ sè d−¬ng, nªn M muèn ®¹t GTLN th× MÉu lµ (2 – x) ph¶i lµ GTNN, Mµ (2 – x) lµ sè nguyªn d−¬ng ⇒ 2 – x = 1 ⇒ x = 1. VËy ®Ó M ®¹t GTLN th× gi¸ trÞ nguyªn cña x lµ: 1. A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc) = (b − c )2 − a 2  (b + c) 2 − a 2  = (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a) Ta có: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giác) T−¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) <0 ; (b + c –a ) >0 V…y A< 0 A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 Do (x-y)2 ≥ 0 ; (y - 2)2 ≥ 0 Nên:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 ≥ 2010 D…u ''='' x¶y ra ⇔ x – y = 0 v… y – 2 = 0 ⇔ x = y = 2. V…y GTNN c…a A l… 2010 t¹i x = y =2 Ta có: (x + y + z) 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) k…t h…p các …i…u ki…n …ã cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0 ⇒ M…t trong các th…a s… c…a tích (x + y)(y + z)(z + x) ph…i b…ng 0 Gi… s… (x + y) = 0, k…t h…p v…i …/k : x + y + z = 1 ⇒ z = 1, l¹i k…t h…p v…i …/k : x 2 + y 2 + z 2 = 1 ⇒ x = y = 0. Vậy trong 3 s… x,y,z ph…i có 2 s… b…ng 0 v… 1 s… b…ng 1, S = x 2009 + y 2010 + z 2011 = 1 Nên t…ng S luôn có giá tr… b…ng 1.

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Ph−¬ng tr×nh ®−îc biÕn ®æi thµnh: (Víi §KX§: { x ≠ −4; −5; −6; −7} ) 1 1 1 1 + + = 18 ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 1 1 1 1 1 1 1 − )+( − )+( − )= ⇒( x+4 x+5 x+5 x+6 x+6 x+7 18 1 1 1 ⇒ ⇒ (x + 4)(x +7) = 54 − = x+4 x+7 18 ⇒ (x + 13)(x – 2) = 0 ⇒ x = -13 hoÆc x = 2 (Tháa m+n §KX§) VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: S = {−13; 2}

0,5

+ Ph−¬ng tr×nh ®−îc biÕn ®æi thµnh: (x + 1)(x 2 + 1) = (2y + 1) 2 + Ta chøng minh (x + 1) vµ (x 2 + 1) nguyªn tè cïng nhau ! 78

0,5 0,5 0,5 0,5

0,25

V× nÕu d = UCLN (x+1, x 2 + 1) th× d ph¶i lµ sè lÎ (v× 2y+1 lÎ)  x2 + x⋮ d  x + 1⋮ d   x + 1⋮ d ⇒  2 ⇒  x 2 + 1⋮ d ⇒  ⇒ 2 ⋮ d mµ d lÎ nªn d = 1. x 1 ⋮ d − x 1 ⋮ d +    x + 1⋮ d 

0,25

+ Nªn muèn (x + 1)(x 2 + 1) lµ sè chÝnh ph−¬ng Th× (x+1) vµ (x 2 + 1) ®Òu ph¶i lµ sè chÝnh ph−¬ng  x2 + 1 = k 2

§Æt: 

 x + 1 = t

k = 1 k = −1 hoÆc  ⇒ (k + x)(k – x) = 1 ⇒  x = 0 x = 0

+ Víi x = 0 th× (2y + 1) 2 = 1 ⇒ y = 0 hoÆc y = -1.(Tháa m+n pt) VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: (x;y) = {(0;0),(0; −1)}

0,25 0,25

H M

0,5

HD S ( HBC ) = AD S ( ABC ) HE S ( HCA) HF S ( HAB) T−¬ng tù cã: ; = = BE S ( ABC ) CF S ( ABC ) HD HE HF S ( HBC ) + S ( HCA) + S ( HAB) Nªn + + = AD BE CF S ( ABC ) HD HE HF + + =1 ⇒ AD BE CF Tr−íc hªt chøng minh ∆ BDH ~ ∆ BEC ⇒ BH.BE = BD.BC Vµ ∆ CDH ~ ∆ CFB ⇒ CH.CF = CD.CB. ⇒ BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC 2 (®pcm) Tr−íc hÕt chøng minh: ∆ AEF ~ ∆ ABC ⇒ AEF = ABC = CBA Vµ ∆ CDE ~ ∆ CAB ⇒ CED

Tr−íc hÕt chøng minh:

mµ EB ⊥ AC nªn EB lµ ph©n gi¸c cña gãc DEF. ⇒ AEF = CED

T−¬ng tù: DA, FC lµ ph©n gi¸c cña c¸c gãc EDF vµ DFE. VËy H lµ giao ®iÓm c¸c ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c DEF

0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

nªn H c¸ch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c DEF (®pcm) d

Gäi O lµ giao ®iÓm cña c¸c ®−êng trung trùc cña hai ®o¹n MN vµ = OCN .(1) HC, ta cã ∆ OMH = ∆ ONC (c.c.c) ⇒ OHM = OCH .(2) MÆt kh¸c ta còng cã ∆ OCH c©n t¹i O nªn: OHC = OHB ⇒ HO lµ ph©n gi¸c cña gãc BHC Tõ (1) vµ (2) ta cã: OHC VËy O lµ giao ®iÓm cña trung trùc ®o¹n HC vµ ph©n gi¸c cña gãc BHC nªn O lµ ®iÓm cè ®Þnh. Hay trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh lµ O.

0,5 0,25 0,25 O,25 0,25

ĐỀ SỐ 36 Bài 1: (3,5đ) a, Với giá trị nào của n thì ( n + 5 )( n + 6 )⋮ 6n với n ∈ Ν . b, CMR với n ∈ Ν thì: n5 − n⋮ 30 . c, Tìm số tự nhiên n để phân số

n + 13 tối giản. n−2

Bài 2: (3đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a, 4a 2b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) b, x5 + x + 1 c, ( x + 1)( x + 2 )( x + 3)( x + 4 ) + 1 Bài 3: (3đ) Giải phương trình: a, x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0 1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 4 x + 3 x + 8 x + 15 x + 12 x + 35 9 4 4 c, ( x − 2 ) + ( x − 3) = 1

Bài 4: (3,5đ) a/ Tìm đa thức dư trong phép chia 1 + x + x19 + x20 + x2010 cho 1 – x2 b/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Trong một cái giỏ đựng một số táo. Đầu tiên người ta lấy ra một nửa số táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy thêm ra

1 số táo còn lại và lấy thêm ra 4 quả. 3

Cuối cùng trong giỏ còn lại 12 quả. Hỏi trong giỏ lúc đầu có bao nhiêu quả? Bài 5: (4,5đ) Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C lên các đường thẳng AB, AD. Chứng minh rằng: a, AB.AE + AD.AF = AC2 ∆ ABC. b, ∆ FCE Bài 6: (2,5đ) Dựng hình thoi biết Â = 300 và tổng hai đường chéo bằng 5cm. (Chỉ cần phân tích, nêu cách dựng và dựng hình). **************-The end-************** Bài

Phần

Nội dung Ta có: (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30 80

Điểm 1

= n(n – 1) + 30 + 12n ⋮ 6n n ( n − 1)⋮ 3 n = 3 ∨ n = 3k + 1 ⇔ n ( n + 1) + 30⋮ 6n ⇔  ⇔ 30⋮ 3 n 30 ⇔ n = 1; 3; 6; 10; 15; 30 CMR: với n ∈ Ν thì: n5 − n⋮ 30

Ta có 30 = 2.3.5 n5 − n = n ( n 4 − 1) = ( n − 1) n ( n + 1) ( n 2 + 1)

n – 1; n; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên tích

( n − 1) n ( n + 1)⋮ 6 b

ta chứng minh n5 − n = n ( n 2 − 1)( n 2 + 1)⋮ 5 Lấy n chia cho 5 thì n = 5k hoặc n = 5k ± 1 hoặc n = 5k ±

1,5

2 1, Nếu n = 5k thì n5 − n⋮ 5 2, Nếu n = 5k ± 1 thì n 2 − 1⋮ 5 ⇒ n5 − n⋮ 5 3, Nếu n = 5k ± 2 thì n 2 + 1⋮ 5 ⇒ n5 − n⋮ 5 c

15 n + 13 = 1+ tối giản ⇔ (15; n − 2 ) = 1 n−2 n−2 n ≠ 3k + 2 ⇔ n – 2 ⋮ 3 và n – 2 ⋮ 5 ⇔  n ≠ 3k + 5 4a 2b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 )

= ( 2ab ) − ( a 2 + b 2 − c 2 )

= ( 2ab − a 2 − b 2 + c 2 )( 2ab + a 2 + b 2 − c 2 )

2 2 =  c 2 − ( a − b )  ( a + b ) − c 2     = ( a + b + c )( a + b − c )( c + a − b )( c − a + b )

x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 x + 1 = x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)

( x + 1)( x + 2 )( x + 3)( x + 4 ) + 1 = ( x + 1)( x + 4 )( x + 2 )( x + 3) + 1 c

= ( x 2 + 5 x + 4 )( x 2 + 5 x + 6 ) + 1

= ( x + 5 x + 5 ) − 1 ( x + 5 x + 5 ) + 1 + 1 2

= ( x 2 + 5x + 5) − 1 + 1 = ( x 2 + 5 x + 5)

x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0 ⇔ x 4 + x − 30 ( x 2 − x + 1) = 0

⇔ x ( x 3 + 1) − 30 ( x 2 − x + 1) = 0 ⇔ x ( x + 1) ( x − x + 1) − 30 ( x − x + 1) = 0 2

⇔ ( x 2 − x + 1)( x 2 + x − 30 ) = 0

2   1 3  ⇔ x 2 + x − 30 = 0  vìx 2 − x + 1 =  x −  + > 0    2 4    ⇔ x 2 + 6 x − 5 x − 30 = 0  x = −6 ⇔ ( x + 6 )( x − 5 ) = 0 ⇔  x = 5 Vậy S = {−6;5}

1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 4 x + 3 x + 8 x + 15 x + 12 x + 35 9 1 1 1 1 ⇔ 2 + 2 + 2 = x + 3 x + x + 3 x + 5 x + 3 x + 15 x + 7 x + 5 x + 35 9 1 1 1 1 ⇔ + + = ( x + 1)( x + 3) ( x + 3)( x + 5) ( x + 5)( x + 7 ) 9 2

ĐKXĐ: x ≠ −1; −3; −5; −7 Phương trình trên có thể viết: 1  1 1   1 1   1 1  1 − − −  + +  =  2  x + 1 x + 3   x + 3 x + 5   x + 5 x + 7   9 1 1 1  1 6 1 ⇔  − = = ⇔ 2  x +1 x + 7  9 2 ( x + 1)( x + 7 ) 9

⇔ ( x + 1)( x + 7 ) = 27 ⇔ x 2 + 8 x − 20 = 0 2

⇔ x 2 + 8 x + 16 = 36 ⇔ ( x + 4 ) = 62 x + 4 = 6 x = 2 (TM ĐKXĐ) ⇔ ⇔  x + 4 = −6  x = −10

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 2; x = -10

ĐỀ SỐ 37 Bµi 1 (4 ®iÓm)

 1 − x3  1 − x2   Cho biÓu thøc A =  1 − x − x  : 1 − x − x 2 + x 3 víi x kh¸c -1 vµ 1.   a, Rót gän biÓu thøc A. 2 3

b, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x = −1 . c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A < 0.

Bµi 2 (3 ®iÓm) Cho

(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 4.(a2 + b2 + c2 − ab− ac− bc).

Chøng minh r»ng a = b = c . Bµi 3 (3 ®iÓm) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph−¬ng tr×nh. Mét ph©n sè cã tö sè bÐ h¬n mÉu sè lµ 11. NÕu bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu lªn 4 ®¬n vÞ th× sÏ ®−îc ph©n sè nghÞch ®¶o cña ph©n sè ®· cho. T×m ph©n sè ®ã. 82

Bµi 4 (2 ®iÓm) 4

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = a − 2a + 3a − 4a + 5 . Bµi 5 (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã gãc ABC b»ng 600, ph©n gi¸c BD. Gäi M,N,I theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BD, BC, CD. a, Tø gi¸c AMNI lµ h×nh g×? Chøng minh. b, Cho AB = 4cm. TÝnh c¸c c¹nh cña tø gi¸c AMNI.

Bµi 6 (5 ®iÓm) H×nh thang ABCD (AB // CD) cã hai ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i O. §−êng th¼ng qua O vµ song song víi ®¸y AB c¾t c¸c c¹nh bªn AD, BC theo thø tù ë M vµ N. a, Chøng minh r»ng OM = ON. b, Chøng minh r»ng SABCD.

1 1 2 + = . AB CD MN

c, BiÕt SAOB= 20082 (®¬n vÞ diÖn tÝch); SCOD= 20092 (®¬n vÞ diÖn tÝch). TÝnh

h−íng dÉn chÊm thi häc sinh giái

Bµi 1( 4 ®iÓm ) a, ( 2 ®iÓm ) Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× : A=

0,5®

1− x − x + x (1 − x)(1 + x) : 1− x (1 + x)(1 − x + x 2 ) − x (1 + x)

(1 − x)(1 + x + x 2 − x) (1 − x)(1 + x) : 1− x (1 + x)(1 − 2 x + x 2 ) 1 = (1 + x 2 ) : (1 − x)

0,5®

= (1 + x 2 )(1 − x)

0,5®

KL b, (1 ®iÓm) 2 3

T¹i x = − 1 = −

0,25®

5 5 5 th× A = 1 + (− ) 2  − 1 − (− ) 3 3   3  

25 5 )(1 + ) 9 3 34 8 272 2 = . = = 10 9 3 27 27

0,25®

= (1 +

0,5®

KL c, (1®iÓm) Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× A<0 khi vµ chØ khi (1 + x 2 )(1 − x) < 0 (1) V× 1 + x 2 > 0 víi mäi x nªn (1) x¶y ra khi vµ chØ khi 1 − x < 0 ⇔ x > 1 KL Bµi 2 (3 ®iÓm) BiÕn ®æi ®¼ng thøc ®Ó ®−îc 2

0,25® 0,5® 0,25® 0,5®

a + b − 2ab + b + c − 2bc + c + a + 2ac = 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac − 4bc

BiÕn ®æi ®Ó cã (a 2 + b 2 − 2ac) + (b 2 + c 2 − 2bc) + (a 2 + c 2 − 2ac) = 0

0,5®

0,5® 0,5® 0,5® 0,5®

BiÕn ®æi ®Ó cã (a − b) 2 + (b − c) 2 + (a − c) 2 = 0 (*) V× (a − b) 2 ≥ 0 ; (b − c) 2 ≥ 0 ; (a − c) 2 ≥ 0 ; víi mäi a, b, c nªn (*) x¶y ra khi vµ chØ khi (a − b) 2 = 0 ; (b − c) 2 = 0 vµ (a − c) 2 = 0 ; Tõ ®ã suy ra a = b = c Bµi 3 (3 ®iÓm) Gäi tö sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x th× mÉu sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x+11. Ph©n sè cÇn t×m lµ

0,5®

x (x lµ sè nguyªn kh¸c -11) x + 11

Khi bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu sè 4 ®¬n vÞ ta ®−îc ph©n sè

x−7 x + 15

0,5®

(x kh¸c -15) Theo bµi ra ta cã ph−¬ng tr×nh

x x + 15 = x + 11 x − 7

0,5®

Gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ t×m ®−îc x= -5 (tho¶ m·n) Tõ ®ã t×m ®−îc ph©n sè −

1® 0,5®

5 6

KL Bµi 4 (2 ®iÓm)

0,5®

BiÕn ®æi ®Ó cã A= a 2 (a 2 + 2) − 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3 = (a 2 + 2)(a 2 − 2a + 1) + 3 = (a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3 V× a 2 + 2 > 0 ∀a vµ (a − 1) 2 ≥ 0∀a nªn (a 2 + 2)(a − 1) 2 ≥ 0∀a do ®ã

0,5® 0,5®

( a 2 + 2)( a − 1) 2 + 3 ≥ 3∀a

DÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi a − 1 = 0 ⇔ a = 1 KL Bµi 5 (3 ®iÓm)

0,25® 0,25® B

I D a,(1 ®iÓm) Chøng minh ®−îc tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang Chøng minh ®−îc AN=MI, tõ ®ã suy ra tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang c©n b,(2®iÓm)

4 3 8 3 cm ; BD = 2AD = cm 3 3 1 4 3 AM = BD = cm 2 3 4 3 TÝnh ®−îc NI = AM = cm 3

TÝnh ®−îc AD =

0,5® 0,5® 0,5®

0,5®

8 3 1 4 3 cm , MN = DC = cm 3 2 3 8 3 TÝnh ®−îc AI = cm 3

DC = BC =

0,5®

Bµi 6 (5 ®iÓm) B

A M

a, (1,5 ®iÓm) OM OD ON OC , = = AB BD AB AC OD OC LËp luËn ®Ó cã = DB AC OM ON = ⇒ ⇒ OM = ON AB AB

LËp luËn ®Ó cã

0,5® 0,5® 0,5®

b, (1,5 ®iÓm) OM DM OM AM = = (1), xÐt ∆ADC ®Ó cã (2) AB AD DC AD 1 1 AM + DM AD Tõ (1) vµ (2) ⇒ OM.( + )= = =1 AB CD AD AD 1 1 Chøng minh t−¬ng tù ON. ( + ) =1 AB CD 1 1 2 1 1 + = tõ ®ã cã (OM + ON). ( + )=2 ⇒ AB CD AB CD MN

XÐt ∆ABD ®Ó cã

0,5®

0,5® 0,5®

b, (2 ®iÓm) S AOB OB S BOC OB S S ⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB .S DOC = S BOC .S AOD = , = S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC

0,5®

Chøng minh ®−îc S AOD = S BOC

0,5® 0,5®

⇒ S AOB .S DOC = ( S AOD )

Thay sè ®Ó cã 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009 Do ®ã SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (®¬n vÞ DT)

0,5®

ĐỀ SỐ 38 Bµi 1. ( 2,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 6 6 a) Víi mäi a ∈ Z , nÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho 3 th× a − b chia hÕt cho 9 b) Với mọi n ∈ N thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Bµi 2. ( 2,0 ®iÓm) a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 2

b) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 85

v… x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010 Bµi 3. ( 1,5 ®iÓm) Chứng minh rằng:

Nếu a, b, c là các số dương thoả mãn:

1 1 1 + + ≥ a+b+c a b c

th× ta có bất đẳng thức a + b + c ≥ 3abc Bµi 4. ( 1,5 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2

Bµi 5. ( 3,0 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm cña AC, trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh: a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN.

NC NB = +1 AN AB ĐÁP ÁN

Bµi 1. a) (1,0 ®iÓm) Vì a kh«ng chia hÕt cho 3 nªn a cã d¹ng 3k+1 hoÆc 3k+2 (k ∈ Z ) NÕu a = 3k+1 th× a2 = (3k+1)2 = 9k2+ 6k +1 chia 3 d− 1. NÕu a = 3k+2 th× a2 = (3k+2)2 = 9k2+ 12k + 4 chia 3 d− 1. VËy nªn nÕu a kh«ng chia hÕt cho 3 th× a2 chia 3 d− 1.(1) T−¬ng tù ta còng cã nÕu b kh«ng chia hÕt cho 3 th× b2 chia 3 d− 1.(2) Tõ (1) vµ (2) ta cã a2-b2 ⋮ 3 (3) (0,5 ®) 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta cã a -b = (a -b )[(a ) +a b +(b ) ] = (a -b )[( a ) - 2a b +(b ) +3a2b2] = (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] Theo c/m trªn a2-b2⋮ 3 => (a2-b2)2 ⋮ 3 mµ 3a2b2 ⋮ 3 víi mäi a ∈ Z nªn (a2-b2)2+ 3a2b2 ⋮ 3 (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] ⋮ 3.3 hay a6-b6 ⋮ 9 (0,5 ®) b) (1,0 ®iÓm) Ta cần chứng minh: n5 – n ⋮ 10 * Chứng minh : n5 - n ⋮ 2 (0,25 ®) n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) ⋮ 2 (vì với n ∈ N ta có n(n – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp) * Chứng minh: n5 – n ⋮ 5 n5 - n = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5) = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) ⋮ 5 ( Vì với n ∈ N ta có n(n – 1)(n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) là tích của năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và 5n( n – 1)( n + 1 ) ⋮ 5 với mọi n ∈ N ) (0,5 ®) Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n ⋮ 2.5 tức là n5 – n ⋮ 10 Suy ra n5 và n có chữ số tận cũng giống nhau. (0,25 ®) Bµi 2. a) 1,0 ®iÓm x2+ 9x + 20 = (x+4)(x+5) x2+ 11x + 30 = (x+5)(x+6) x2+ 13x + 42 = (x+6)(x+7) §KX§ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7 1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 2

⇔

1 1 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18

⇒

1 1 1 − = ( x + 4) ( x + 7) 18

=> 18(x+7) – 18(x+4) = (x+4)(x+7) => (x+13)(x-2) = 0

(0,25 ®)

=> x = -13 hoÆc x = 2 ( Tháa m·n §KX§) VËy PT ®· cho cã hai nghiÖm lµ x1=-13; x2=2 b) 1,0 ®iÓm Ta cã x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx ⇔ 2x2 +2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0 ⇔ (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0 x − y = 0  ⇔ y − z = 0 z − x = 0 

(0,5 ®)

⇔ x = y = z ⇔ x2009 = y2009 = z2009

(0,25 ®)

(0,25 ®) (1) (0,25 ®)

Theo bµi ra ta cã x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010 (2) Tõ (1) vµ (2) ta có 3.z2009 = 32010 ⇔ z2009 = 32009 ⇔ z = 3 V…y x = y = z = 3 Bµi 3. Chứng minh rằng: N…u a, b, c l… các s… d……ng tho… mãn:

(0,25 ®) (0,25 ®)

1 1 1 + + ≥ a+b+c a b c

th× ta có b…t ……ng th…c a + b + c ≥ 3abc 1 1 1 bc + ca + ab + + ≥ a+b+c ⇔ ≥ a+b+c a b c abc ⇔ ab + bc + ca ≥ ( a + b + c)abc (*)(v× a,b,c > 0 nªn abc>0) 2 2 2 2 Mµ a + b ≥ 2ab; c + b ≥ 2cb ; a 2 + c 2 ≥ 2ac nªn céng theo vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc nµy ta ®−îc 2(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2(ab + bc + ca) ⇔ a 2 + b2 + c 2 ≥ ab + bc + ca) (1) L¹i cã (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) (**) Tõ (*) vµ(**) ta cã (a + b + c) 2 ≥ 3abc (a + b + c) ⇔ a + b + c ≥ 3abc (V× a,b,c > 0 nªn a + b + c> 0)

Ta cã

Bµi 4. ( 1,0 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1.(1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2 §Æt x = 2a; y = - 5b, ta cã 6a = 3x v× 6a - 5b = 1 nªn (3x+ y)2 =(6a – 5b)2 = 1 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski cho hai sè 3x vµ y ta cã: (3x + y)2 ≤ (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2 ≥ DÊu b»ng xÈy ra <=>

1 1 Hay 4a2 + 25b2 ≥ . 10 10

3 1 = <=> 3y = x <=> - 15 b = 2a <=> 6a = - 45b (2) x y

Tõ (1) vµ (2) => b = −

1 ; 50

3 20

Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm cña AC, trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh: a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN. b)

NC NB = +1 AN AB

a) ∆ ANC vu«ng t¹i N (v× MN =AM = C

1 AC ) 2

CNM + MNA = 1v

BAN + NAC = 1v

N A

Mµ MNA = NAC => CNM = BAN MÆt kh¸c CNM = BNE (®®) =>BNE = BAN

=> ∆ BNE ∞ ∆ BAN

b) Trªn tia ®èi tia MN lÊy ®iÓm F sao cho FM = MN. Tø gi¸c ANCF lµ h×nh ch÷ nhËt (v× cã 2 ®−êng chÐo b»ng nhau vµ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng) => CE // AF => AFB = ENB (®ång vÞ) => ∆ BAN ∞ ∆ BFA => FA BF NC FN + NB NC AB + NB NC NB => = + 1 (§pcm) = => = => = AN BA AN AB AN AB AN AB

C¸ch kh¸c: b) Ta cã: ∆ ACN ∞ ∆ EAN => ∆ BNE

Tõ

∞ ∆ BAN =>

CN AC AN = = AN EA EN

AN BA BE NB (2) va (3) . Tõ (1) vµ (2) => BN = AE = = NE BN BN AB

CN AC CN AB AE + EB EB EB = => = = = 1+ = 1+ ( 4) AN EA AN AE AE AE BN

Tõ (3) vµ (4) =>

(1)

CN NB = 1+ (§pcm) AN AB

§Ề SỐ 39

Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: 1. x 2 + 7 x + 6 2. x 4 + 2008 x 2 + 2007 x + 2008 Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i phư¬ng tr×nh: 1. x2 − 3x + 2 + x − 1 = 0 88

1 1  1  1 2    8  x +  + 4  x2 + 2  − 4  x2 + 2   x +  = ( x + 4) x x  x  x   

Bµi 3: (2®iÓm) (a+b+c)( 1 + 1 + 1 ) ≥ 9 a

1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè dư¬ng ,ta cã:

3. T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc ( x + 2 )( x + 4 )( x + 6 )( x + 8) + 2008 cho ®a thøc x 2 + 10 x + 21 . Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH (H ∈ BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 1. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m = AB . 2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM 3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: GB = HD . BC

Bµi 1 1.

C© Néi dung u

AH + HC

§iÓm 2,0

1.1 (0,75 ®iÓm)

0.5

x 2 + 7 x + 6 = x 2 + x + 6 x + 6 = x ( x + 1) + 6 ( x + 1)

= ( x + 1)( x + 6 )

1.2

0,5

(1,25 ®iÓm) x 4 + 2008 x 2 + 2007 x + 2008 = x 4 + x 2 + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 + 1 2

0,25

= x + x + 1 + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) − x + 2007 ( x + x + 1) 4

0,25

= ( x + x + 1)( x − x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x − x + 2008 ) 2

0,25 2,0

2. 2.1

x 2 − 3x + 2 + x − 1 = 0 (1) 2

+ NÕu x ≥ 1: (1) ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 (tháa m·n ®iÒu kiÖn x ≥ 1). x < 1: (1) + NÕu

0,5

⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ x 2 − x − 3 ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1)( x − 3) = 0 ⇔ x = 1; x = 3 (c¶ hai ®Òu kh«ng bÐ h¬n 1,

nªn bÞ lo¹i) VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ x = 1 .

2.2

0,5

1 1  1  1 2    8  x +  + 4  x 2 + 2  − 4  x 2 + 2   x +  = ( x + 4 ) (2) x x  x  x    §iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x ≠ 0 2 2 1 1  1 1  (2) ⇔ 8  x +  + 4  x 2 + 2   x 2 + 2  −  x +   = ( x + 4 )2 x x   x   x    

0,25

1 1  2 2   ⇔ 8  x +  − 8  x 2 + 2  = ( x + 4 ) ⇔ ( x + 4 ) = 16 x x    ⇔ x = 0 hay x = −8 vµ x ≠ 0 . VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm x = −8

0,5 0,25

2.0 3.1

Ta cã: 1 a

1 1 a a b b c b c a a b a c c b =3 + ( + ) + ( + ) + ( + ) b a c a b c x y Mµ: + ≥ 2 (B§T C«-Si) y x Do ®ã A ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9. VËy A ≥ 9

b c

c a

c b

A= (a + b + c)( + + ) = 1 + + + + 1 + + + + 1

3.2

0,5

Ta cã: P ( x) = ( x + 2 )( x + 4 )( x + 6 )( x + 8 ) + 2008 = ( x 2 + 10 x + 16 )( x 2 + 10 x + 24 ) + 2008

§Æt t = x 2 + 10 x + 21 (t ≠ −3; t ≠ −7) , biÓu thøc P(x) ®îc viÕt l¹i:

0,5

P( x) = ( t − 5)( t + 3) + 2008 = t 2 − 2t + 1993

Do ®ã khi chia t 2 − 2t + 1993 cho t ta cã sè d lµ 1993

0,5

4,0

4.1

+ Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc C chung. CD CA (Hai tam gi¸c vu«ng CDE vµ CAB ®ång d¹ng) = CE CB

Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c). = Suy ra: BEC ADC = 1350 (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt). = 450 do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy Nªn AEB ra: BE = AB 2 = m 2

4.2

4.3

BM 1 BE 1 AD (do ∆BEC ∼ ∆ADC ) = ⋅ = ⋅ BC 2 BC 2 AC mµ AD = AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH nªn = ⋅ = ⋅ = = BC 2 AC 2 AC AB 2 BE ∆ABH ∼ ∆CBA ) ∆BHM ∼ ∆BEC Do ®ã (c.g.c), suy 0 0 = BEC = 135 ⇒ BHM AHM = 45

1,0

0,5

Ta cã:

0,5 (do

0,5

ra: 0,5

Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC. GB AB , mµ = GC AC AB ED AH HD = ( ∆ABC ∼ ∆DEC ) = ( ED // AH ) = AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do ®ã: = ⇒ = ⇒ = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC

Suy

ra:

®Ò SỐ 40 ®Ò bµi: Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc:

2x − 3 2x − 8 3  21 + 2 x − 8 x 2  + − +1 P=  : 2 2 2 4 x − 12 x + 5 13 x − 2 x − 20 2 x − 1 4 x + 4 x − 3   a) Rót gän P 1 2 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. d) T×m x ®Ó P > 0.

b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x

0,5

Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph¬ng tr×nh:

15 x 1   1 − 1 = 1 2 +   a) 2 x + 3x − 4  x + 4 3x − 3  b)

148 − x 169 − x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19

c) x − 2 + 3 = 5 Bµi 3( 2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp ph¬ng tr×nh: Mét ngêi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót. NÕu ngêi Êy t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20 phót. TÝnh kho¶ng çch AB vµ vËn tèc dù ®Þnh ®i cña ngêi ®ã. Bµi 4 (7 ®iÓm): Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm C qua P. a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×? b) Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng minh EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. c) Chøng minh r»ng tØ sè çc c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P. 9 PD = d) Gi¶ sö CP ⊥ BD vµ CP = 2,4 cm, . TÝnh çc c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt PB 16 ABCD. Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z lµ çc sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng:

1 1 2 + ≥ 1+ x2 1+ y2 1 + xy Đ¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm Bµi 1: Ph©n tÝch: 4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) §iÒu kiÖn:

x≠

a) Rót gän P = b)

+) x =

1 2

−3 1 5 7 ;x ≠ ;x ≠ ;x ≠ ;x ≠ 4 2 2 2 4 2 x − 3 2 x − 5 ⇔ x=

0,5® 0,5® 2®

1 −1 hoÆc x = 2 2

1 1 ⇒… P = 2 2 92

−1 2 ⇒ …P = 2 3 2 2x − 3 c) P = = 1+ 2x − 5 x−5 Ta cã: 1 ∈ Z 2 ∈Z VËy P ∈ Z khi x−5 ⇒ x – 5 ∈ ¦(2) Mµ ¦(2) = { -2; -1; 1; 2} x – 5 = -2 ⇒ x = 3 (TM§K) x – 5 = -1 ⇒ x = 4 (KTM§K) x – 5 = 1 ⇒ x = 6 (TM§K) x – 5 = 2 ⇒ x = 7 (TM§K) KL: x ∈ {3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. 2 2x − 3 = 1+ d) P = 2x − 5 x−5 Ta cã: 1 > 0 +) x =

§Ó P > 0 th×

2 >0 ⇒ x–5>0 ⇔ x>5 x−5

Víi x > 5 th× P > 0. Bµi 2:

1®

1® 0,25®

0,5® 0,25

15 x 1   1 1 1 2 − = +   a) 2 x + 3x − 4  x + 4 3x − 3 

⇔

 1 15 x 1  − 1 = 12  +  x + 4 3 ( x − 1)  §K: x ≠ −4; x ≠ 1 ( x + 4 )( x − 1)  

⇔ 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4) … ⇔ 3x.(x + 4) = 0 ⇔ 3x = 0 hoÆc x + 4 = 0 +) 3x = 0 => x = 0 (TM§K) +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTM§K) S = { 0} b)

1®

148 − x 169 − x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19

 148 − x   169 − x   186 − x   199 − x  − 1 + − 2 + − 3 − 4 = 0 ⇔      +  25   23   21   19  1 1 1  1 + + + = 0 ⇔ (123 – x)   25 23 21 19  93

1 1 1  1 + + + > 0  25 23 21 19 

Do 

Nªn 123 – x = 0 => x = 123 S = {123} c)

1®

x−2 +3 =5

Ta cã:

x − 2 ≥ 0∀x

nªn x − 2 + 3 = x PT ®ưîc viÕt dưíi d¹ng:

x−2 +3 > 0

−2 +3

x−2 +3= 5 ⇔

x−2 = 5 – 3

x−2 = 2 ⇔ +) x - 2 = 2 => x = 4 +) x - 2 = -2 => x = 0 S = {0;4} Bµi 3(2 ®) Gäi kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0) VËn tèc dù ®Þnh cña ngêi ® xe g¾n m¸y lµ:

x 3x = (km / h) 1 10 3 3

(3h20’ = 3

1® 0,25®

1 (h) ) 3

0,25®

VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y khi t¨ng lªn 5 km/h lµ:

3x + 5 ( km / h ) 10

0,25®

Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh:

 3x  + 5   .3 = x  10 

0,5®

⇔ x =150 VËy kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ 150 (km) 3.150 = 45 ( km / h ) VËn tèc dù ®Þnh lµ: 10 D Bµi 4(7®) VÏ h×nh, ghi GT, KL ®óng M F I E

A 94

0,5® 0,25® C P

0,5® O

a) Gäi O lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD. PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM. AM//PO 1® ⇒ tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang. b) Do AM //BD nªn gãc OBA = gãc MAE (®ång vÞ) Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th× tam gi¸c AIE c©n ë I nªn gãc IAE = gãc IEA. Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, do ®ã EF//AC (1) 1® MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. 1® MF AD c) ∆MAF ∼ ∆DBA ( g − g ) nªn kh«ng ®æi. (1®) = FA

d) NÕu

PD PB PD 9 = = k ⇒ PD = 9k , PB = 16k th× = 9 16 PB 16

NÕu CP ⊥ BD

th× ∆ CBD ∼ ∆ DCP ( g − g ) ⇒

CP PB = PD CP

1®

do ®ã CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = 5 (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 do ®ã BC = 4 (cm) CD = 3 (cm)

0,5d 0,5® 0,5®

Bµi 5: a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 2010 2011 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm.

1 1 2 + ≥ b) 1+ x2 1+ y2 1 + xy

(1)

1®

 1 1   1 1  ⇔ − + −   ≥0 2 2 + + + + 1 1 1 1 x xy y xy     x ( y − x) y ( x − y) ⇔ + ≥0 2 2 (1 + x ) (1 + xy ) (1 + y ) (1 + xy ) 2

( y − x ) ( xy − 1) ≥ 0 2 ⇔ ( ) 2 2 + + + 1 x 1 y 1 xy ( )( ) ( ) V× x ≥ 1; y ≥ 1 => xy ≥ 1 => xy − 1 ≥ 0 => B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y)

1®

ĐỀ SỐ 41 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A ⋮ B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y ≠ 0 . Chứng minh rằng 2(x − y) x y − 3 + 2 2 =0 y −1 x −1 x y + 3 3

Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x +1 + x + 2 + x + 3 = x + 4 + x + 5 + x + 6

2008 2007 2006 2005 2004 2003

Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh ∆ EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. H−íng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) (0,25đ) b) (0,75đ) Xét

x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 A 10x 2 − 7x − 5 7 = = 5x + 4 + B 2x − 3 2x − 3

(0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)

7 ∈ Z ⇒ 7 ⋮ ( 2x – 3) 2x − 3 Mà Ư(7) = {−1;1; −7;7} ⇒ x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A ⋮ B

Với x ∈ Z thì A ⋮ B khi

(0,25đ) (0,25đ)

4 4 x y − 3 = x 3− x − y3 + y y − 1 x − 1 (y − 1)(x − 1) 4 4 ( x − y ) − (x − y)

c) (1,5đ) Biến đổi

( do x + y = 1 ⇒ y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ) xy(y 2 + y + 1)(x 2 + x + 1) ( x − y )( x + y ) ( x 2 + y2 ) − (x − y) = (0,25đ) xy(x 2 y 2 + y 2 x + y 2 + yx 2 + xy + y + x 2 + x + 1)

( x − y ) (x

+ y 2 − 1) xy  x 2 y 2 + xy(x + y) + x 2 + y 2 + xy + 2 

− x + y 2 − y) xy  x 2 y 2 + (x + y) 2 + 2 

( x − y ) (x

(0,25đ)

= ( x − y )[ x(x 2− 1)2 + y(y − 1) ]

(0,25đ)

xy(x y + 3)

= ( x − y )[ x(−2 y)2 + y(− x)] = ( x − y2) (2−2xy) xy(x y + 3)

−2(x − y) x 2 y2 + 3

(0,25đ)

xy(x y + 3)

Suy ra điều cần chứng minh

(0,25đ)

Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = 0 ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = 0 ⇔ (y + 6)(y - 2) = 0 ⇔ y = - 6; y = 2 * x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x * x2 + x = 2 ⇔ x2 + x - 2 = 0 ⇔ x2 + 2x - x - 2 = 0 ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = 0 ⇔ (x + 2)(x - 1) = 0 ⇔ x = - 2; x = 1 Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1 b) (1,75đ) x +1 + x + 2 + x + 3 = x + 4 + x + 5 + x + 6

(0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)

2008 2007 2006 2005 2004 2003 x +1 x+2 x +3 x+4 x +5 x +6 ⇔( +1) + ( +1) + ( +1) = ( +1) + ( +1) + ( +1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003

⇔

x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003

⇔ ⇔

( x + 2009)(

Do đó :

(0,25đ)

x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + − − − =0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 + + − − − ) = 0 (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003

1 1 1 1 1 1 + + − − − <0 2008 2007 2006 2005 2004 2003

Vì

1 1 1 1 ; ; < < 2008 2005 2007 2004

(0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 ⇔ x = E 2 I

2009 Bài 3: (2 điểm) B a) (1đ) Chứng minh ∆ EDF vuông cân Ta có ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ ∆ EDF cân tại D Mặt khác: ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ Eˆ 1 = Fˆ2 A Mà Eˆ 1 + Eˆ 2 + Fˆ1 = 900 ⇒ Fˆ2 + Eˆ 2 + Fˆ1 = 900 97

1 1 < 2006 2003

O D

900. Vậy ∆ EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông ⇒ CO là trung trực BD

⇒

EDF =

1 2

Mà ∆ EDF vuông cân ⇒ DI = EF 1 2

Tương tự BI = EF ⇒ DI = BI ⇒ I thuộc dường trung trực của DB ⇒ I thuộc đường thẳng CO

Hay O, C, I thẳng hàng

Bài 4: (2 điểm) A a) (1đ) DE có độ dài nhỏ nhất Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ∆ ADE vuông tại A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 = 2(x –

a 2 a a ≥ ) + 4 2 2 2

(0,25đ) (0,25đ)

Ta có DE nhỏ nhất ⇔ DE2 nhỏ nhất ⇔ x = ⇔ BD = AE =

a ⇔ D, E là trung điểm AB, AC 2

a 2

(0,25đ) (0,25đ)

b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 AB AB AB 1 AB 2 AB AB2 = – (AD2 – 2 ≤ .AD + )+ = – (AD – ) + 2 2 4 8 2 4 8 2 2 2 AB AB 3 Vậy SBDEC = SABC – SADE ≥ – = AB2 không đổi 2 8 8

Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ)

(0,25đ)

3 8

Do đó min SBDEC = AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC

Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng: 4 x 2 − 16 A = x x2 + 2

(0,25đ)

5x + 5 2x 2 + 2x

Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh :

x+2 1 2 − = x − 2 x x( x − 2)

b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3

Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét tæ s¶n xuÊt lËp kÕ ho¹ch s¶n xuÊt, mçi ngµy s¶n xuÊt ®îc 50 s¶n phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã s¶n xuÊt ®îc 57 s¶n phÈm. Do ®ã ®· hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy. Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM. a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ?

BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n §¸p ¸n Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm) b) 2x2 – 5x – 7 = 2x2 + 2x – 7x – 7 = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7). (1 ®iÓm) Bµi 2: T×m A (1 ®iÓm) A= x (4 x 2 − 16 x[(2 x) 2 − 4 2 x(2 x − 4)(2 x + 4) x.2( x − 2).2( x + 2) = = = = 4( x − 2) = 4 x − 8 x( x + 2) x ( x + 2) x 2 + 2x x 2 + 2x

Bµi 3: (2 ®iÓm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) ≠ 0 ⇔ 2x ≠ 0 vµ x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 vµ x ≠ -1 b) Rót gän:

(1 ®iÓm)

BiÓu ®iÓm

5x + 5 5( x + 1) 5 (0,5 ®iÓm) = = 2 2 x + 2 x 2 x( x + 1) 2 x 5 5 (0,25 ®iÓm) = 1 ⇔ 5 = 2x ⇔ x = 2x 2 5 5 V× tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña hai tam gi¸c nªn x = 2 2 Bµi 4: a) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x ≠ 0; x ≠ 2

- Gi¶i:

(0,25 ®iÓm)

x(x + 2) - (x - 2) 2 ⇔ x2 + 2x – x +2 = 2; = x( x − 2) x ( x − 2)

1®

⇔ x= 0 (lo¹i) hoÆc x = - 1. VËy S = {− 1}

b) ⇔ x2 – 9 < x2 + 4x + 7 ⇔ x2 – x2 – 4x < 7 + 9 ⇔ - 4x < 16 ⇔ x> - 4 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x > - 4 Bµi 5: – Gäi sè ngµy tæ dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ : x ngµy §iÒu kiÖn: x nguyªn d¬ng vµ x > 1 VËy sè ngµy tæ ®· thùc hiÖn lµ: x- 1 (ngµy) - Sè s¶n phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (s¶n phÈm) - Sè s¶n phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (s¶n phÈm) Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 57 (x-1) - 50x = 13 ⇔ 57x – 57 – 50x = 13 ⇔ 7x = 70 ⇔ x = 10 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) VËy: sè ngµy dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ 10 ngµy. Sè s¶n phÈm ph¶i s¶n xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 . 10 = 500 (s¶n phÈm)

Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung b) ¸p dông pitago trong ∆ vu«ng ABC ta cã : BC =

AB + AC =

v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn ⇒ AH =

BH =

15 + 20 =

0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1® 1® 1®

⇒ ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc. gãc)

1®

1® 625 = 25 (cm)

AB AC BC 15 20 25 = = hay = = HB HA BA HB HA 15

20.05 = 12 (cm) 25

1®

15.15 = 9 (cm) 25

HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm) c) HM = BM – BH = SAHM =

BC 25 − BH = − 9 = 3,5(cm) 2 2

1®

1 1 AH . HM = . 12. 3,5 = 21 (cm2) 2 2

- VÏ ®óng h×nh:

100

1® B

Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x − 17 x − 21 x + 1 =4 + + b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0

ĐỀ SỐ 43

1 1 1 + + = 0. x y z yz xz xy + 2 + 2 Tính giá trị của biểu thức: A = 2 x + 2 yz y + 2xz z + 2 xy

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực HA' HB' HC' + + tâm. a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB + BC + CA) 2 ≥ 4. c) Chứng minh rằng: AA'2 + BB'2 + CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI • Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 b) Tính đúng x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 0 ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 x x x x x ⇔ 2 (2 – 4) – 8(2 – 4) = 0 ⇔ (2 – 8)(2 – 4) = 0 x 3 x 2 x 3 x 2 ⇔ (2 – 2 )(2 –2 ) = 0 ⇔ 2 –2 = 0 hoặc 2 –2 = 0 x 3 x 2 ⇔ 2 = 2 hoặc 2 = 2 ⇔ x = 3; x = 2 • Bài 2(1,5 điểm): xy + yz + xz 1 1 1 = 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy–xz + + =0⇒ xyz x y z

101

( 1 đi ể m ) ( 1 điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm )

( 0,25điểm )

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)

( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)

( 0,25điểm )

Do đó: A =

yz xz xy + + ( x − y)( x − z) ( y − x )( y − z) (z − x )(z − y)

( 0,25điểm

) Tính đúng A = 1

( 0,5 điểm )

• Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d ∈ N, 0 ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ 0

(0,25điểm)

2 Ta có: abcd = k với k, m ∈ N, 31 < k < m < 100 (a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2 (0,25điểm)

⇔

abcd = k 2 abcd + 1353 = m 2

(0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 ⇒ m–k = 11 hoặc m–k = 33 m = 67 m = 37 ho ặ c ⇔ k = 56 k= 4 Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)

(0,25điểm)

• Bài 4 (4 điểm):

Vẽ hình đúng (0,25điểm) 1 .HA'.BC S HBC 2 HA' = = a) S ; 1 AA' ABC .AA'.BC 2 (0,25điểm) Tương tự:

SHAB HC' SHAC HB' = = ; S ABC CC' SABC BB'

C’ H

M I

B’

A’

C D

(0,25điểm)

102

HA' HB' HC' S HBC SHAB SHAC + + = + + =1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC . . = . . = . =1 (0,5điểm ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) ⇒ BI.AN.CM = BN.IC.AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD (0,25điểm) - ∆ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 2 2 2 ⇒ AB + AD ≤ (BC+CD) (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 (AB + BC + CA) 2 ≥4 ⇔ AA'2 + BB'2 + CC'2 (0,25điểm) (Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ ∆ ABC đều)

T×m sè tù nhiªn n ®Ó: A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè.

n 4 + 3n 3 + 2n 2 + 6n − 2 Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn. n2 + 2

D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph−¬ng. Chøng minh r»ng :

(n ≥ 2)

a b c + + = 1 biÕt abc=1 ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1

Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2

103

a2 b2 c2 c b a + + ≥ + + b2 c2 a2 b a c

Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82

1 1 2 + = AB CD EF

c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®−êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF.

C©u

Néi dung bµi gi¶i a,

(1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) §Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1 ⇔ n=2 khi ®ã A=5

2 n +2 B cã gi¸ trÞ nguyªn ⇔ 2 ⋮ n2+2 n2+2 lµ −íc tù nhiªn cña 2 C©u 1 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n (5®iÓm) 2 HoÆc n +2=2 ⇔ n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn. c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) [(n 2 − 4 ) + 5] +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 ⋮ 5 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp) Vµ 5 n(n-1)(n+1 ⋮ 5 VËy D chia 5 d− 2 Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i sè chÝnh ph−¬ng VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph−¬ng a, (1®iÓm) b, (2®iÓm)

B=n2+3n-

a b c ac abc c + + = + + 2 ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + 1 ac abc c abc + ac + 1 = + + = =1 1 + ac + c c + 1 + ac ac + c + 1 abc + ac + 1

104

§iÓm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5

b, (2®iÓm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= 2(ab+ac+bc) ⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× a+b+c=0 ⇒ a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) C©u 2 V× (5®iÓm) MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . a+b+c=0 ⇒ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) ⇒ a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 c, (2®iÓm) x=y

¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x2+y2 ≥ 2xy DÊu b»ng khi

a2 b2 a b a + 2 ≥ 2. . = 2. ; 2 b c c b c 2 2 c b c b b + 2 ≥ 2. . = 2. 2 a c a a c

a2 c2 a c c + 2 ≥ 2. . = 2. ; 2 b a b b a

0.5 0.5 0.5 0.5

0,5 0,5 0,5 0,5

Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã: a 2 b2 c2 a c b 2( 2 + 2 + 2 ) ≥ 2( + + ) b c a c b a 2 2 2 a b c a c b ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ + + b c a c b a x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ⇔ ( − 1) + ( − 2) + ( − 3) = 0 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 =0 + + ⇔ 86 84 82 1 1   1 ⇔ (x-300)  + +  = 0 ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 VËy S = {300}  86 84 82 

a, (2®iÓm)

x= ; x =

−1 4

1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Víi k=- 8,5 Ta cã ph−¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 ⇔ (8x-1)2+8=0 v« nghiÖm. 1 − 1  2 4 

VËy S =  ,

105

c, (1®iÓm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 ⇔ (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 ⇔ (x+1)2-(y+2)2=7 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn d−¬ng Nªn x+y+3>x-y-1>0 ⇒ x+y+3=7 vµ x-y-1=1 ⇒ x=3 ; y=1 Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm d−¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1) A CBA B a,(1®iÓm) V× AB//CD ⇒ S DAB=S (cïng ®¸y vµ cïng ®−êng cao) ⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOBK O E F Hay SAOD = SBOC I N

0,5 0,5

0,5

1,0 0,5

EO AO MÆt kh¸c AB//DC = C©u 4 DC AC (5®iÓm) ⇒ AB = AO ⇒ AB = AO ⇒ AB = AO ⇒ EO = AB DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC EF AB AB + DC 2 1 1 2 ⇒ = ⇒ = ⇒ + = 2 DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N ∈ DF) +KÎ

b, (2®iÓm) V× EO//DC ⇒

®−êng th¼ng KN lµ ®−êng th¼ng ph¶i dùng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) ⇒ SDEKN=SKFN.

a) x2 – xz – 9y2 + 3yz. b) 4x4 + 4x3 – x2 - x. Bµi 2: (2.5®) Cho biÓu thøc.

P=(

3 6x x 2 + 3x 1 + 2 ): ( - 3 ) 2 3 2 x − 3 x − 3x + 9 x − 27 x + 3 x + 9 x + 27 x + 9

a) Rót gän P. b) Víi x > 0 th× P kh«ng nhËn nh÷ng gi¸ trÞ nµo? c) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 3: (1.5®) Gi¶i ph¬ng tr×nh.

a) x3 – 3x2 + 4 = 0  

b) 1 +

1  1  1   1  31 = .1 + 1 + ...1 + 1.3   2.4  3.5   x( x + 2)  16

106

1,0 1,0

Bµi 4: (1®) Gi¶i ph¬ng tr×nh.

Cho 3 sè a, b, c lµ 3 sè d¬ng nhá h¬n 2. Chøng minh r»ng 3 sè a(2 - b); b(2 – c); c(2 – a) kh«ng thÓ ®ång thêi lín h¬n 1.

Bµi 5: (3.5®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, gäi M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn c¹nh AC, tõ C vÏ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi tia BM t¹i H, c¾t tia BA t¹i O. Chøng minh r»ng: a) OA.OB = OC.OH b) OHA cã sè ®o kh«ng ®æi. c) Tæng BM.BH + CM.CA kh«ng ®æi.

= (x2 - 9y2) – (xz - 3yz)

0.25®

= (x - 3y)(x + 3y) – z(x - 3y)

0.25®

= (x - 3y)(x + 3y - z)

0.25®

C©u b: (0.75®)

= x(4x3 + 4x2 – x – 1)

0.25®

= x[4 x 2 (x + 1) − (x + 1)]

0.25®

= x(x + 1)(4x2 - 1) = x(x + 1)(2x - 1)(2x + 1)

0.25®

 x( x + 3) 3   1 6x + 2 − :  2  ( x + 9)( x + 3) x + 9   x − 3 ( x − 3)( x + 9) 

P= 

= = =

x+3 x 2 + 9 − 6x : x 2 + 9 ( x − 3) x 2 + 9

( x + 3 ( x − 3)(x .

x2 + 9

0.25® 0.25®

) + 9)

0.25®

( x − 3) 2

x+3 x −3

0.25®

C©u b: (0.75®)

107

x+3 ⇔ x−3

Px - 3P = x + 3

0.25®

(P – 1)x = 3(P + 1) x= Ta cã: x > 0 ⇔ x =

3(P + 1) P −1

3(P + 1) P +1 >0⇒ >0 P −1 P −1

 P + 1 > 0  P − 1 > 0  P > 1 ⇒ ⇒  P + 1 < 0  P < 1   P − 1 < 0

VËy kh«ng nhËn gi¸ trÞ tõ -1 ®Õn 1.

0.25®

x +3 x −3+6 6 = = 1+ x −3 x−3 x −3

0.25®

P nhËn gi¸ trÞ nguyªn ⇔ x - 30 ∈ ¦ (6) = {± 1;±2;±3;±6} Tõ ®ã t×m ®îc x ∈ {4;2;5;1;6;0;9;−3}

0.25®

KÕt hîp víi §/C x ≠ ±3 ; x ∈ z ta ®îc. x ∈ {4;2;5;1;6;0;9}

0.25®

- §a ®îc vÒ d¹ng tÝch: (x + 1)(x - 2)2 = 0

0.50®

 x =1 ⇒ x = 2

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 1; x = 2 §K: x ∈ N*n

0.25®

2 2 3 2 4 2 ( x + 1) 2 31 . . ... = 1.3 2.4 3.5 x( x + 2) 16 ⇔

2( x + 1) 31 = x+2 16

Tõ ®ã ⇒ t×m ®îc x = 30

0.25® 0.25®

(t/m x ∈ N*)

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 30

0.25®

Bµi 4: (1®) 108

Gi¶ sö a(2 – b) > 1; b.(2 – c) >1; C(2 – a) > 1 ⇒ abc (2 – b)(2 – c)(2 – a) > 1 (1)

0.25®

v× 0 < a < 2 nªn 2 – a > 0. Do a + (2 – a) = 2 kh«ng ®æi, suy ra a(2 – a) lín nhÊt. ⇔ a=2–a ⇔ a=1

T¬ng tù b(2 – b) lín nhÊt ⇔ b = 1 c(2 – c) lín nhÊt ⇔ c = 1 VËy a (2 - a). b(2 – b). c(2 – c) ≤ 1.1.1 = 1

(2)

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c =1

0.25®

Bµi 5: (3.5®)

C K

H M O

C©u a: (1®)

Chøng minh: ∆ B0H ⇒

∆ C0A (g.g)

0.5®

0B 0H = ⇔ 0A.0B = 0C.0H 0C 0 A

0.25®

⇒

(suy ra tõ ∆ B0H

∆ C0A)

0 A 0H = 0C 0 B

0.25®

- Chøng minh ∆ 0HA

∆ 0BC (c.g.c)

0.25®

⇒ OHA = OBC (kh«ng ®æi)

C©u c: (1.25®)

VÏ MK ⊥ BC - ∆ BKM

∆ BHC (g.g) ⇒

BM BK = BC BH

109

⇒ BM.BH = BC.BK ∆ CKM

⇒

(1)

∆ CAB (g.g)

0.5® 0.25®

CM CK = ⇒ CM.CA = BC.CK CB CA

(2)

0.25®

- Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2) ta ®îc: - BM . BH + CM . CA = BC . BK + BC . CK = BC . (BK + CK) = BC2 (kh«ng ®æi) 0.25®

ĐỀ THI SỐ 46

Câu 1: (4,0 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2;

b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức :

A = (

2 + x 4x2 2− x x2 − 3x ):( ) − 2 − 2 − x x − 4 2 + x 2x2 − x3

d) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? e) Tìm giá trị của x để A > 0? f) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.

Câu 3: (5,0 điểm) c) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. d) Cho

x y z a b c x2 y 2 z 2 + + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 . a b c a b c x y z

Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. d) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? e) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

f) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI 110

Nội dung đáp án

Bài 1 a

Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0

3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2 = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1). b

a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1).

Bài 2: a ĐKXĐ : 2 − x ≠ 0  2 x ≠ 0 x − 4 ≠ 0   ⇔  x ≠ ±2 2 + x ≠ 0  2 x ≠ 3   x − 3x ≠ 0 2 3  2 x − x ≠ 0 A=(

1,0

2+ x 4x2 2− x x 2 − 3x (2 + x) 2 + 4 x 2 − (2 − x) 2 x 2 (2 − x) − 2 − = = ):( 2 ) . x( x − 3) 2 − x x − 4 2 + x 2 x − x3 (2 − x)(2 + x )

4 x2 + 8x x(2 − x) = . (2 − x)(2 + x) x − 3

0,5

4 x( x + 2) x(2 − x) 4 x2 = (2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3

0,25

Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ 3 thì A =

4x 2 . x−3

0,25

1,0 Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > 0 ⇔

4x >0 x−3

⇔ x−3> 0 ⇔ x > 3(TMDKXD )

Vậy với x > 3 thì A > 0. c x − 7 = 4 x−7 = 4 ⇔   x − 7 = −4  x = 11(TMDKXD) ⇔  x = 3( KTMDKXD )

Với x = 11 thì A = Bài 3 a

1,0

121 2

0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 2 2 2 ⇔ (9x – 18x + 9) + (y – 6y + 9) + 2(z + 2z + 1) = 0 111

5,0 2,5 1,0

⇔ 9(x - 1) + (y - 3) + 2 (z + 1) = 0 (*) Do : ( x − 1)2 ≥ 0;( y − 3) 2 ≥ 0;( z + 1)2 ≥ 0

0,5 0,5 0,25 0,25 2,5

Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). b Từ : Ta có :

a b c ayz+bxz+cxy + + =0⇔ =0 x y z xyz ⇔ ayz + bxz + cxy = 0 x y z x y z + + = 1 ⇔ ( + + )2 = 1 a b c a b c 2 2 2 x y z xy xz yz ⇔ 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1 a b c ab ac bc 2 2 2 x y z cxy + bxz + ayz ⇔ 2 + 2 + 2 +2 =1 a b c abc x2 y2 z 2 ⇔ 2 + 2 + 2 = 1(dfcm) a b c

0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25

Bài 4

6,0 H

0,25

F O

E A D

a Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO ( g − c − g ) => BE = DF Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. b = KDC Ta có: ABC = ADC ⇒ HBC Chứng minh : ∆CBH ∼ ∆CDK ( g − g )

⇒

CH CK = ⇒ CH .CD = CK .CB CB CD

2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5

1,75 0,25

Chứng minh : ∆AFD ∼ ∆AKC ( g − g ) AF AK = ⇒ AD. AK = AF . AC AD AC Chứng minh : ∆CFD ∼ ∆AHC ( g − g ) ⇒

0,25 0,25 112

⇒

CF AH = CD AC

Mà : CD = AB ⇒

0,25 CF AH = ⇒ AB. AH = CF . AC AB AC

0,5

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).

0,25

ĐỀ THI SỐ 47 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:

a) x2 – 4x + 4 = 25 x − 17 x − 21 x + 1 =4 + + b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0

1 1 1 + + = 0. x y z yz xz xy + 2 + 2 Tính giá trị của biểu thức: A = 2 x + 2 yz y + 2xz z + 2 xy

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực HA' HB' HC' + + AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB + BC + CA) 2 ≥ 4. c) Chứng minh rằng: AA'2 + BB'2 + CC'2

tâm.

a) Tính tổng

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI • Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 b) Tính đúng x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 0 ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 x x x x x ⇔ 2 (2 – 4) – 8(2 – 4) = 0 ⇔ (2 – 8)(2 – 4) = 0 x 3 x 2 x 3 x 2 ⇔ (2 – 2 )(2 –2 ) = 0 ⇔ 2 –2 = 0 hoặc 2 –2 = 0 113

( 1 đi ể m ) ( 1 điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm )

⇔ 2 = 2 hoặc 2 = 2 ⇔ x = 3; x = 2

( 0,25điểm )

• Bài 2(1,5 điểm): xy + yz + xz 1 1 1 = 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy–xz + + =0⇒ xyz x y z x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)

( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)

( 0,25điểm )

Do đó: A =

yz xz xy + + ( x − y)( x − z) ( y − x )( y − z) (z − x )(z − y)

Tính đúng A = 1

( 0,25điểm )

( 0,25điểm ) ( 0,5 điểm )

• Bài 3(1,5 điểm):

Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d ∈ N, 0 ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ 0

(0,25điểm)

2 Ta có: abcd = k với k, m ∈ N, 31 < k < m < 100 (a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2 (0,25điểm)

⇔

abcd = k 2 abcd + 1353 = m 2

(0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 hoặc m+k = 41 ⇒ m–k = 11 m–k = 33 m = 67 hoặc m = 37 ⇔ k = 56 k= 4 Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm) • Bài 4 (4 điểm):

Vẽ hình đúng (0,25điểm) 1 .HA '.BC S HBC 2 HA ' = = a) ; S ABC 1 AA' .AA'.BC 2 (0,25điểm) 114

(0,25điểm)

Tương tự:

SHAB HC' SHAC HB' = = ; S ABC CC' SABC BB'

(0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC + + = + + =1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC . . = . . = . =1 (0,5…i…m ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5…i…m ) ⇒ BI.AN.CM = BN.IC.AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD (0,25điểm) - ∆ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 2 2 2 ⇒ AB + AD ≤ (BC+CD) (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 ( AB + BC + CA ) 2 ≥4 ⇔ AA'2 + BB'2 + CC'2 (0,25điểm) (Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC A ⇔ ∆ ABC đều) C’ H

B’ M

A’

C D

*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó.

ĐỀ THI SỐ 48 115

Bµi 1: (6 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a, 2(x + 5) - x2 - 5x = 0 b,

1 2x − 3 +2= x −1 1− x

c, |x - 4| + |x - 9| = 5 Bµi 2: (4 ®iÓm) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh x +

x −1 x + 1 < − (m − 2) x víi m lµ h»ng sè. m m

Bµi 3: (3 ®iÓm) Hai c¹nh cña mét h×nh b×nh hµnh cã ®é dµi lµ 6cm vµ 8cm. Mét trong c¸c ®−êng cao cã ®é dµi lµ 5cm. TÝnh ®é dµi ®−êng cao thø hai. Bµi 4: (3 ®iÓm) Mét vßi n−íc ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã n−íc. Cïng lóc ®ã mét vßi n−íc kh¸c ch¶y tõ bÓ ra. Mçi giê l−îng n−íc ch¶y ra b»ng n−íc trong bÓ ®¹t tíi

4 l−îng n−íc ch¶y vµo. Sau 5 giê 5

1 dung tÝch bÓ. Hái nÕu bÓ kh«ng cã n−íc mµ chØ më vßi ch¶y 8

vµo th× bao l©u bÓ ®Çy? Bµi 5: (4 ®iÓm) = 2B . Gäi BC = a, AC = b, AB = c. Chøng minh hÖ thøc a2 = Cho tam gi¸c ABC cã A b2 + bc. ĐÁP ÁN Bµi S¬ l−îc lêi gi¶i §iÓm Bµi 1 a, §−a vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch. 1 (6 Gi¶i ®−îc x = -5 hoÆc x = 2 1 ®iÓm) b, §KX§: x ≠ 1. 0,5 Víi x ≠ 1 ta cã

1 3 − 2x +2= ⇔ 1 + 2( x − 1) = 3 − 2 x ⇔ 4 x = 4 ⇔ x = 1 x −1 x −1

Ta thÊy x = 1 kh«ng tháa m·n §KX§. VËy ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. c, NhËn xÐt |x - 4| =

 x − 4 víi x ≥ 4 vµ |x - 9| =   4 − x víi x < 4

 x − 9 víi x ≥ 9  9 − x víi x < 9

- Víi x < 4 ta cã |x - 4| = 4 - x; |x - 9| = 9 - x nªn ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 4 - x + 9 - x = 5 <=> -2x = -8 <=> x = 4 (kh«ng tháa m·n) - Víi 4 ≤ x < 9 ta cã |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = 9 - x nªn ph−¬ng tr×nh cã d¹ng x - 4 + 9 - x = 5 <=> 5 = 5 (lu«n ®óng) - Víi x ≥ 9 ta cã |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = x - 9 nªn ph−¬ng tr×nh cã d¹ng x - 4 + x - 9 = 5 <=> 2x = 18 <=> x =9 (tháa m·n) VËy tËp nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ S = {x | 4 ≤ x ≤ 9}

Bµi 2 (4 ®iÓm)

2 x −1 x + 1 < − ( m − 2) x ⇔ ( m − 1) x < m m m

(1)

1 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

1 0,5

116

- NÕu m < 1 vµ m ≠ 0 th× m - 1 < 0. Khi ®ã (1) ⇔ x > - NÕu m > 1 th× m - 1 > 0. Khi ®ã (1) ⇔ x <

2 m(m − 1)

0,5

- NÕu m = 1 th× m - 1 = 0. Khi ®ã (1) ⇔ 0x < 2 (lu«n ®óng víi mäi x). KÕt luËn: 

- Víi m < 1 vµ m ≠ 0 th× tËp nghiÖm lµ S =  x | x > 

 2  m( m − 1) 

- Víi m = 0 th× biÓu thøc v« nghÜa.   2 - Víi m > 1 th× tËp nghiÖm lµ S =  x | x <  m( m − 1)  

Bµi 3 (3 ®iÓm)

0,5

0,5 0,25 0,5 0,25

- Víi m = 1 th× S = R - VÏ h×nh: B

0,5

Gi¶ sö ABCD lµ h×nh b×nh hµnh cã AB = 8cm, AD = 6cm vµ cã mét ®−êng cao dµi 5cm . V× 5 < 6 vµ 5 < 8 nªn cã thÓ x¶y ra hai tr−êng hîp: AH = 5cm. Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.5 = 6.AK => AK =

8cm

6cm K D

20 (cm) 3

AK = 5cm. Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 6.5 => AH = 15 (cm) 4

VËy ®−êng cao thø hai cã ®é dµi lµ

Bµi 4 (3 ®iÓm)

20 15 cm hoÆc cm 3 4

Gäi thêi gian vßi n−íc ch¶y ®Çy bÓ lµ x(giê). §K: x > 0

0,5

1 Khi ®ã 1 giê vßi ®ã ch¶y ®−îc bÓ x

4 bÓ. 5x 1 4 1 Theo ®Ò bµi ta cã ph−¬ng tr×nh  −  .5 = 8  x 5x 

1 giê vßi kh¸c ch¶y ra l−îng n−íc b»ng

Bµi 5 (4 ®iÓm)

1 0,5

Gi¶i ph−¬ng tr×nh t×m ®−îc x = 8 (TM§K x>0) VËy thêi gian ®Ó vßi ch¶y ®Çy bÓ lµ 8 giê. - VÏ h×nh ®óng

0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,25 0,25

117

0,5 c

0,5 A

0,25 b a

0,25

HÖ thøc a2 = b2 + bc <=> a2 = b (b

+ c) Trªn tia ®èi cña tia AC lÊy ®iÓm E sao cho AE = c, suy ra CE = b + c. =E (do tam gi¸c ABE c©n t¹i A) Khi ®ã ABE = 2E . = ABE +E (gãc ngoµi tam gi¸c) nªn A BAC = 2B . VËy E = ABC . Theo gi¶ thiÕt A

Chøng minh ®−îc ∆ BCE suy ra

∆ ACB (g.g)

BC CE = ⇒ BC 2 = AC.CE AC BC

hay a2 = b (b + c)

ĐỀ THI SỐ 49 Baøi 1: ( 3 ñieåm ) Rút gọn biểu thức A=

x− y 3x + y y − x − 2 i 2 xy + y x − xy x + y

Baøi 2: ( 3 ñieåm ) Giải phương trình 3x x 3x + + =0 x − 2 5 − x ( x − 2 )( x − 5)

Baøi 3: ( 3 ñieåm ) Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị là số nguyên A=

x3 − 3 x 2 − 11x + 8 x−5

118

Baøi 4: ( 3 ñieåm ) Số học sinh tiên tiến của hai khối 7 và 8 là 270 học sinh. Biết rằng

3 số 4

học sinh tiên tiến của khối 7 bằng 60% số học sinh tiên tiến của khối 8. Tính số học sinh tiên tiến của mỗi khối? Baøi 5: ( 4 ñieåm ) Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED. a/ Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao? b/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình chử nhật? c/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi? Baøi 6: ( 4 ñieåm ) Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao bằng 12(m), AC ⊥ BD, BD=15(m). a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Chứng minh 2 Từ đó tính độ dài DE. BD = DE.DH. b/ Tính diện tích hình thang ABCD.

ÑAÙP AÙN VAØ THANG ÑIEÅM CHAÁM Ñaùp aùn

Baøi 1 (3 đ) A = x − y − 3x + y i y − x 2 2 xy + y

Ñieåm

x − xy x + y

* Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ ± y x− y x− y 3x + y y − x 3x + y x − y i i − 2 = + 2 xy + y x − xy x + y y ( x + y ) x ( x − y ) x + y

( x − y ) x + ( 3x + y ) y x− y 3x + y + = y ( x + y) x ( x + y) xy ( x + y )

( x + y) = ( x + y) x 2 − xy + 3 xy + y 2 = xy ( x + y ) xy ( x + y ) xy

2 (3 đ)

3x x 3x + + =0 x − 2 5 − x ( x − 2 )( x − 5 )

* Tập xác định:

0,5

x ≠ 2; x ≠ 5

3x x 3x 3x x 3x + + =0⇔ − + =0 x − 2 5 − x ( x − 2 )( x − 5 ) x − 2 x − 5 ( x − 2 )( x − 5) ⇔ 3 x ( x − 5 ) − x ( x − 2 ) + 3 x = 0 ⇔ 3 x 2 − 15 x − x 2 + 2 x + 3 x = 0  x = 0 ∈ TXÑ ⇔ 2 x 2 − 10 x = 0 ⇔ 2 x ( x − 5) = 0 ⇔   x − 5 = 0 ⇔ x = 5 ∉ TXÑ

119

1 1

Vaäy S = {0} 3 (3 ñ)

0,5

3 x3 − 3 x 2 − 11x + 8 = x2 + 2 x − 1 + x −5 x−5 3 A∈ Ζ ⇔ ∈ Ζ ⇔ x − 5 = ±1; ± 3 x −5 *x − 5 = ±1 ⇔ x ∈ {6; 4} A=

*x − 5 = ±3 ⇔ x ∈ {8; 2}

1 1 0,5 0,5

x ∈ {2; 4; 6;8}

4 (3 ñ) Goïi soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 7 laø x (hoïc sinh) (x > 0) soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 8 laø 270 - x (hoïc sinh) Ta coù phöông trình: 3 60 3 3 .x = 270 − x ) ⇔ .x = ( 270 − x ) ( 4 100 4 5 3 810 − 3 x ⇔ .x = ⇔ 15 x = 3240 − 12 x ⇔ 27 x = 3240 4 5 ⇔ x = 120 ( Nhaän)

Vaäy soá hoïc sinh cuûa khoái 7 laø 120 hoïc sinh, vaø khoái 8 laø 270 – 120 = 150 hoïc sinh.

0,25 0,25

1 1 0,25 0,25

5 (4 ñ)

a/  1 DF   2  ⇒ MN / / PQ; MN = PQ . Vaäy MNPQlaø hình 1 PQ / / DF; PQ = DF   2

MN / / DF; MN =

bình haønh. b/ Giaû söû MNPQ laø hình chöû nhaät thì MP = NQ Maø

120

1 0,5

AC  2  ⇒ AC = AB  AB  NQ = AD = 2 

MP = AF =

Vaäy tam giaùc ABC caân taïi A thì MNPQ laø hình chöû nhaät. ** Hoaëc: MN ⊥ MQ   MN / / BC  ⇒ AE ⊥ BC; ñoàng thôøi EB = EC MQ / / AE  Neân tam giaùc ABC caân taïi A.

c/ Giaû söû MNPQ laø hình thoi thì MN = MQ MN = MQ ⇔

BC AE 1 = ⇔ AE = BC 4 2 2

0,5 1

Vaäy tam giaùc ABC vuoâng taïi A thì MNPQ laø hình thoi. ** Hoaëc:

MP ⊥ NQ ⇔ AC ⊥ AB Vaäy tam giaùc ABC vuoâng taïi A

6 (4 ñ

a/ Keû BH ⊥ DC DH 2 = BD 2 − BH 2 = 152 − 122 = 92

⇒ DH = 9 ( m )

Xeùt tam giaùc BDH vaø tam giaùc EDB = DBE = 1v  BHD   ⇒ ∆BDH # ∆EDB chung BDE  BD DH BD 2 ⇒ = ⇔ DE = = 25 ( m ) DE BD DH

1 1

b/ 1 ( AB + DC ) BH 2 1 1 = ⋅ DE ⋅ BH = ⋅ 25 ⋅12 = 150 ( m ) 2 2

S ABCD =

0,5 0,5 121

122