Bộ 15 đề thi HSG môn Toán lớp 12 (Đa số Hệ không chuyên) - Các SGD - Các năm 2009 2017 - Có lời giải by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 05/12/2013

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 1. (2,5 điểm)

U Y

Câu 4. (3,0 điểm) Cho dãy số ( xn ) được xác định bởi:

TR ẦN

H Ư

x  x 2− y =0  2 − 2 + ln 2− y Câu 3. (2,5 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:  .  y 2 + 15 y − xy + 2 x + 5 = 0 

10 00

xn2−1 x1 = 2 + 3 và xn = với n = 2, 3, … . 2( xn −1 − 3) 1 + 2013 xn . n →+∞ xn

Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( xn ) . Từ đó suy ra giới hạn lim

Í-

Câu 5. (3,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng x + yz + y + zx + z + xy ≥ 1 + xy + yz + zx .

-L

5 2

ÁN

Câu 6. (6,5 điểm). Cho tam giác ABC, có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = .

ÀN

a) Với giả thiết trên, xét trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), gọi D(3; −2) là một điểm thuộc đường thẳng AB. Từ đỉnh A của tam giác ABC kẻ các đường trung tuyến, đường phân giác trong lần lượt có phương trình d1 : 4x + 5 y − 14 = 0 , d 2 : x + y − 3 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC. Biết rằng hoành độ các điểm B, C đều dương.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

10 cho. Không giải phương trình hãy tính tổng S = x110 + x10 2 + x3 .

ẠO

Câu 2. (2,5 điểm) Cho phương trình bậc ba: x3 − 5 x − 3 = 0 . Gọi x1 , x2 , x3 là ba nghiệm của phương trình đã

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x −1 có đồ thị (C) . Tìm những điểm M trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến với x +1 (C) tại M cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại A và B . Biết trọng tâm G của tam giác OAB nằm trên đường thẳng d : 2x + y = 0 (với O là gốc tọa độ). Cho hàm số y =

IỄ N

b) Gọi M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC và a, b, c, ha , hb , hc lần lượt là độ dài các cạnh, độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng: MA.ha + MB.hb + MC.hc ≥

3 abc . 5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐÁP ÁN CÂU



ĐIỂM

x −1 

Gọi M  x0 ; 0  ∈ (C ); x0 ≠ −1 là điểm cần tìm và ∆ là tiếp tuyến với x +1 

( x0 + 1)

x02 − 2 x0 − 1

( x0 + 1)

ẠO

 x 2 − 2x − 1   − x 2 + 2x 0 + 1  0 ∆ cắt Ox tại A  0 ;0  và cắt Oy tại B  0; 0  2  2 ( x0 + 1)    

0,25

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 − x 2 + 2x + 1 x 2 − 2x − 1  0 0 0 ; 0  2   6 3 x + 1 ( ) 0  

Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB ta có G 

0,5

H Ư

Vì G ∈ d mà d: 2x + y = 0 nên

TR ẦN

   − x02 + 2x 0 + 1  x02 − 2x 0 − 1 1 2.  = 0 ⇔ ( x02 − 2x 0 − 1) 1 − = 0 (*) + 2 2  6   3 ( x0 + 1)  ( x0 + 1) 

0,75

Do A, B không trùng với O nên x02 − 2x 0 − 1 ≠ 0 1 = 0 ⇔ x0 = −2; x0 = 0 . ( x0 + 1)2

10 00

(*) ⇒ 1 −

Với x0 = 0 ⇒ y0 = −1 (thỏa điều kiện). Với x0 = −2 ⇒ y0 = 3 (thỏa đk)

Vậy các điểm cần tìm là M 1 ( 0; −1) ; M 2 ( −2;3)

0,5

ÁN

-L

Í-

 x1 + x2 + x3 = 0 Theo định lí Vi-et ta có:  x1.x2 + x2 .x3 + x3 .x1 = −5  x .x .x = 3  1 2 3

(không cần chứng minh) Vì xi ; i = 1, 2,3 là nghiệm của phương trình đã cho nên xi3 = 5 xi + 3 Suy ra: xi5 = xi 2 .xi3 = xi 2 (5 xi + 3) = 5 xi3 + 3xi2 = 5(5 xi + 3) + 3xi2

IỄ N

ÀN

Câu 2: 2,5 điểm

0,5

0,75

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

( x0 + 1)

x0 − 1 x0 + 1

( x − x0 ) +

⇔ y=



U Y

Câu 1: 2,5 điểm

ĐÁP ÁN

2 i

= 3 x + 25 xi + 15 xi8 = xi 3 (3 xi2 + 25 xi + 15) = 134 xi2 + 225 xi + 90 xi10 = xi2 (134 xi2 + 225 xi + 90) = 760 xi2 + 1527 xi + 675

0,75

10 2 2 2 S = x110 + x10 2 + x3 = 760( x1 + x2 + x3 ) + 1527( x1 + x2 + x3 ) + 2025 2

Mặt khác : x12 + x22 + x32 = ( x1 + x2 + x3 ) − 2 ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = 10 Vậy S = 760.10 + 2025 = 9625

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

2 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Câu 3: 2,5 điểm

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x > 0 x < 0 x >0⇔ hoặc  2− y y < 2 y > 2

Điều kiện

0,25

x > 0 ta có phương trình y < 2

1/ Xét trong điều kiện 

(1) ⇔ 2 x + ln x = 2 2− y + ln(2 − y ) (*)

ẠO

Phương trình (*) ⇔ f ( x) = f (2 − y ) ⇔ x = 2 − y

Thay x = 2 − y vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

 y = −1 y + 15 y − (2 − y ) y + 2(2 − y ) + 5 = 0 ⇔ 2 y + 11 y + 9 = 0 ⇔  (thỏa đk) y = − 9 2  2

H Ư

TR ẦN

9 2

Với y = −1 ⇒ x = 3 (thỏa đk). Với y = − ⇒ x =

0,5

13 (thỏa đk) 2

10 00

x < 0 suy ra y − 2 > 0 y > 2

2/ Xét trong điều kiện 

x < 0 thì phương trình (**) y > 2

Ta có (2) ⇔ x( y − 2) = y 2 + 15 y + 5 (**) , với 

0,75

Í-

có VT < 0 và VP > 0 , do đó trong điều kiện này hệ vô nghiệm. 13 9  ;− .  2 2

Đặt yn−1 = xn−1 − 3 ⇔ xn −1 = yn−1 + 3 ⇔ xn = yn + 3 ⇒ y1 = 2 .

IỄ N

ÀN

Câu 4 (3 điểm)

ÁN

-L

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (3; −1); 

Khi đó xn =

2 n −1

2( xn −1 − 3)

⇔ yn +

( 3=

yn −1 + 3 2 yn −1

)

y2 + 3 ⇔ yn = n−1 ; 2 yn −1

2 2 u1 = 2 u = un −1 + 3vn −1 . và  n vn = 2un −1.vn −1 v1 = 1

Xét hai dãy (un ), (vn ) xác định bởi:  Ta chứng minh: yn = + với n = 2 : y 2 =

un vn

0,5

(2)

u2 7 = ⇒ (2) đúng v2 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0.25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Suy ra f (t ) = 2t + ln t đồng biến trên D = (0; +∞)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0,75

U Y

1 f '(t ) = 2t ln 2 + > 0 , ∀t > 0 t

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Xét hàm số f (t ) = 2t + ln t trên tập xác định D = (0; +∞)

0,5

3 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

un2−1 +3 un −1 vn2−1 un2−1 + 3vn2−1 un = = + Giả sử yn−1 = , suy ra yn = u vn −1 vn 2un −1.vn −1 2 n −1 vn −1

n−1

0,5

suy ra un + 3vn = (un −2 + 3vn −2 ) 2 = … = (u1 + 3v1 )2 = (2 + 3)2 và Do đó

(

)

( (

)

) )

2n−1

2n −1

( ) − (2 − 3)

+ 2− 3

2n −1

2n−1

    

0,5

H Ư

(

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

)

ẠO

2n −1 2n−1   1  = + + − u 2 3 2 3  n 2  un  2+ 3    ⇒ = = y 3  n  n−1 n−1 vn v = 1  2 + 3 2 − 2 − 3 2   2+ 3    n 2 3  

(

)

TR ẦN

Từ cách đặt suy ra xn = yn + 3 = 2 3 ( 2 + 3 ) Suy ra

(

1 + 2013.2 3 2 + 3

(

1 + 2013 xn = lim n →+∞ n →+∞ xn

2 3 2+ 3

n →+∞

)

2n−1

0,5

(2 + 3)

)

2n−1

+ 2013.2 3

2 3

= 2013

Í-

Do x, y, z > 0 nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất 1 1 1 1 + + + xyz x y z 1 1 1 1 1 1 Đặt a = ; b = ; c = suy ra x + y + z = 1 ⇔ + + = 1 . x y z a b c 1 1 1 Nhân hai vế của đẳng thức + + = 1 cho abc , ta được: a b c

-L

đẳng thức

1 1 1 1 1 1 + + + + + ≥ yz x zx y xy z

(1)

0,5

IỄ N

ÀN

ÁN

Câu 5 (3 điểm)

= lim

10 00

lim

2n−1

0,75

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(

= 2− 3

2n−1

un − 3vn = (un − 2 − 3vn − 2 ) = … = (u1 − 3v1 )

2n−1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

) )

( (

U Y

u + 3v = u + 3v un = un2−1 + 3vn2−1 n n −1 n −1  n ⇒   3vn = 2 3un −1.vn −1 un − 3vn = un −1 − 3vn −1 

Mặt khác theo cách xác định dãy (un ), (vn ) , ta được:

bc ca ab + + a b c Khi đó (1) ⇔ a + bc + b + ca + c + ab ≥ abc + a + b + c abc =

Mặt khác a + bc ≥ a + a + bc ≥ a +

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

bc , thật vậy a

0,5

bc bc ⇔ a + bc ≥ a + + 2 bc a a 4 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 1 1 ⇔ bc ≥ bc 1 − −  + 2 bc  b c b− c

)

0,75

≥0

ca ab ; c + ab ≥ c + b c

bc ca ab + + a b c ⇔ a + bc + b + ca + c + ab ≥ abc + a + b + c a = b = c Dấu đẳng thức xảy ra khi  1 1 1 ⇔ a = b = c = 3  a + b + c = 1

Tương tự b + ca ≥ b +

(

0,5

3,0

a) Tìm tọa độ các đỉnh B, C Tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

 x + y −3 = 0  x =1 ⇔ ⇒ A (1; 2 )  4x + 5 y − 14 = 0 y = 2 Đường thẳng AB đi qua A (1; 2 ) ; D(3; −2) có phương trình 2x + y − 4 = 0

0,5

TR ẦN

Câu 6 6,5 điểm

1 3

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x= y=z=

ẠO

Do đó bất đẳng thức đã cho được chứng minh và dấu “=”xảy ra khi

Qua D kẻ đường thẳng d3 vuông góc d 2 và cắt d 2 tại H.

10 00

Suy ra d3 : x − y − 5 = 0 . Khi đó tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương x + y − 3 = 0  x=4 ⇔ ⇒ H ( 4; −1) . x − y − 5 = 0  y = −1

0,75

trình 

Gọi E là điểm đối xứng của D qua H, suy ra E ( 5; 0 ) ∈ AC .

-L

Í-

Do đó đường thẳng AC có phương trình: x + 2 y − 5 = 0

ÁN

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và AC. 2.1 + 1.2 5. 5

4 ) = 3 ⇒ sin( BAC 5 5

Theo định lí sin trong tam giác ABC ta có

IỄ N

ÀN

Ta có cos α =

0,5 BC = 2R ⇒ BC = 3 ) sin( BAC

5−c  . 2  

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

U Y

Suy ra a + bc + b + ca + c + ab ≥ a + b + c +

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

⇔ b + c − 2 bc ≥ 0 ⇔

Do B ∈ AB; C ∈ AC nên B(b; 4 − 2b), C  c;

b + c 13 − 4b − c  Gọi I là trung điểm BC, suy ra I  ;  4  2 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

5 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 I ∈ d1 nên  BC = 3

Do 

 b = 0 −4b + c + 3 = 0 c = 4b − 3    c = 4b − 3   c = −3  2 ⇔ ⇔ ⇔ b = 0     2  −4b + c + 3  2  b = 2 (b − 1) = 1    =9 ( b − c ) +   2     b = 2   c = 5

3 .abc 5

3,5

ẠO

a b c a b c = = = 2 R ⇒ sin A = ;sin B = ;sin C = sin A sin B sin C 5 5 5 bc ca ab 1 1 S ∆ABC = bc.sin A = a.ha ⇔ ha = ; hb = ; hc = 2 2 5 5 5 3 MA MB MC MA.ha + MB.hb + MC.hc ≥ abc ⇔ + + ≥ 3. 5 a b c MA MB MC MA.GA MB.GB MC.GC Ta có + + = + + = a b c a.GA b.GB c.GC 3  MA.GA MB.GB MC.GC  =  + +  b.mb c.mc  2  a.ma

TR ẦN

H Ư

0,5

10 00

(với G là trọng tâm; ma , mb , mc là độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC) 1 2

Mặt khác: a.ma = a 2b 2 + 2c 2 − a 2 =

1 2 3

3a 2 ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 )

0,25

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương 3a ; 2b + 2c − a , ta được:

Í-

ÁN

-L

3a 2 + ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 )

ÀN Đ IỄ N

0,75

)

1 1   ≥ 2 3 2 2 2  a.ma 2  a +b +c  1 1 1 1     Tương tự : ≥ 2 3 2 ; ≥ 2 3 2 2 2  2 2  b.mb  a + b + c  c.mc  a +b +c 

Do đó: ama ≤

≥ 3a 2 ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 )

⇔ a + b + c ≥ 3a ( 2b + 2c − a 2

(a 3

+ b2 + c2 ) ⇒

MA MB MC 3 3 + + ≥ 2 ( MA.GA + MB.GB + MC.GC ) a b c a + b 2 + c 2 Ta lại có: MA.GA ≥ MA.GA ; MB.GB ≥ MB.GB ; MA.GA ≥ MC.GC MA MB MC 3 3 MA.GA + MB.GB + MC.GC Suy ra + + ≥ 2 2 2 a b c a +b +c

Suy ra

(

Mà

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Từ định lí sin trong tam giác ABC có

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0,25

b) Chứng minh: MA.ha + MB.hb + MC.hc ≥

U Y

Vì hoành độ của B và C dương nên hai điểm cần tìm là B(2; 0), C (5; 0) .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,5

(1) 0,5 (2) 0,5

6 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

MA.GA + MB.GB + MC.GC = MG + GA GA + MG + GB GB + MG + GC GC

(

)

(

)

(

)

a2 + b2 + c2 4 2 2 2 m m m + + = ( a b c) 9 3 MA MB MC Thay vào (2), ta được: + + ≥ 3. a b c 3 Hay MA.ha + MB.hb + MC.hc ≥ abc . (đccm) 5

= GA2 + GB 2 + GC 2 =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Dấu đẳng thức xảy ra khi dấu đẳng thức (1) và (2) đồng thời xảy ra ⇔ M ≡ G và tam giác ABC đều.

0,5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

7 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20/01/2015

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TR ẦN

 x −1 + x + 1 = y −1 + y +1  Câu 3. (3,0 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:  6  2 xy + x + 6 = 4 y − 1 − x 

Câu 4. (2,0 điểm) Cho dãy số ( xn ), xác định bởi:

10 00

n 1 1 2 x1 = 3 và xn +1 = ( xn + 1) , n = 1, 2,... . Đặt Sn = ∑ . Tìm phần nguyên [ S 2015 ] và lim S n . 2 k =1 xk + 1

x y z + + ≤ 1. 2 2 2 2 2 y z + xyz 2 z x + xyz 2 x y + xyz 2 2

Í-

Chứng minh rằng:

Câu 5. (2,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 2 xyz .

ÁN

-L

Câu 6. (3,5 điểm) Trong mặt phẳng (Oxy), cho tam giác ABC với đường cao AH có phương trình x − 3 3 = 0 ; đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh B, C lần lượt có phương trình d1 : x − 3 y − 2 3 = 0, d 2 : x + 3 y − 4 3 = 0 ; bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh A có tung độ âm.

IỄ N

ÀN

Câu 7. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC, trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A1, B1, C1 sao cho 3 đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại M. Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích tam giác MBC, MCA, MAB và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 2. (3,0 điểm) Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho: 1) Số tự nhiên đó luôn có chữ số 2. 2) Số tự nhiên đó có dạng a1a2 a3a4 a5 thỏa mãn yêu cầu a1 < a2 < a3 và a3 > a4 > a5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

U Y

Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 + x 2 + mx − 1 có đồ thị (Cm) , với m là tham số. 1) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu sao cho hoành độ các điểm cực đại và điểm cực tiểu đều âm. 2) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y = −2 x − 1 cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0; −1), B, C sao cho tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại hai điểm B, C vuông góc với nhau.

S1 S2 + + BC CA

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

S3 ≤ 3R − R ( cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ) AB

1 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN

ĐIỂM

0,75

TR ẦN

H Ư

0,25

0,5

0,25

Í-

10 00

m ≠ −2 1 − 4( m + 2) > 0  −7 − 4 m > 0  ⇔ ⇔ ⇔ (3) 7 < − m m + 2 ≠ 0 m ≠ −2  4 7 Khi m < − và m ≠ −2 thì đường thẳng d cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt 4 A(0; −1), B ( x1 ; y1 ), C ( x2 ; y2 ) ,với x1 , x2 là hai nghiệm của pt(*), suy ra  x1 + x2 = −1   x1 x2 = m + 2

ÁN

-L

+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm B của (Cm) là: y '( x1 ) = 3 x12 + 2 x1 + m = 3 ( x12 + x1 + m + 2 ) − x1 − 2m − 6 = − x1 − 2m − 6

+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm C của (Cm) là: y '( x2 ) = − x2 − 2m − 6

IỄ N

ÀN

Đê tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau thì y '( x1 ) y '( x2 ) = −1

Câu 2 (3,0 điểm)

( − x1 − 2m − 6 )( − x2 − 2m − 6 ) = −1 ⇔ x1 x2 + (2m + 6)( x1 + x2 ) + (2m + 6)2 + 1 = 0 ⇔ m + 2 − (2m + 6) + (4m 2 + 24m + 36) + 1 = 0 ⇔ 4m 2 + 23m + 33 = 0 11 ⇔m=− hoặc m = −3 4 7 Kết hợp với điều kiện (3) ta được m = − , m = −3 4 1) (1,5 điểm) + Trường hợp 1: số cần tìm có dạng 2a2 a3a4 a5 , có A94 (số)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x = 0 ⇔ 2  x + x + m + 2 = 0 (*) + Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0; −1), B, C thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,75

U Y

+ y ' = 3 x 2 + 2 x + m; y ' = 0 ⇔ 3 x 2 + 2 x + m = 0 (1) Để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và điểm cực đại, điểm cực tiểu đều âm thì phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt 1 1 − 3m > 0  1  m < ⇔ m ⇔ 3 ⇔0<m< 3  3 > 0 m > 0 2) (1,5 điểm) + Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (Cm): x3 + x 2 + mx − 1 = −2 x − 1 ⇔ x3 + x 2 + (m + 2) x = 0 ⇔ x ( x 2 + x + m + 2 ) = 0 (2)

1) (1,5 điểm) + Tập xác định: D = ℝ

CÂU Câu 1 (3,0 điểm)

0,5

2 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ Trường hợp 2: số cần tìm có dạng a1a2 a3a4 a5 , ( a1 ≠ 0, a1 ≠ 2) Có 4 cách xếp vị trí cho chữ số 2; có 8 cách chọn chữ số a1 ; số cách chọn các chữ

0,75

số còn lại là A83 Theo quy tắc nhân có 4.8.A83 (số)

0,25

U Y

5 chữ số vào 5 vị trí a1a2 a3a4 a5 .

Vị trí a3 có 1 cách xếp vì a3 lớn nhất

Suy ra có C95 .C42 = 756 (số)

+ Trường hợp 2: Chọn 5 chữ số bất kỳ phải có chữ số 0 có C94 cách, sau đó xếp 5

H Ư

Vị trí a3 có 1 cách xếp vì a3 lớn nhất

chữ số vào 5 vị trí a1a2 a3a4 a5

a4 a5 .

Suy ra có C94 .C32 = 378 (số) Vậy có 756 + 378 = 1134 (số) Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 1 . Từ pt thứ nhất, ta được

x −1 − y −1 =

10 00

0,25

y + 1 − x + 1 (1) vì x = 1 và y = 1 không là nghiệm của hệ pt nên xét x ≠ 1, y ≠ 1 . Khi đó

0,5

x− y = x −1 + y −1

Í-

(1) ⇔

Câu 3 (3,0 điểm)

0,5

TR ẦN

Có C32 cách xếp các chữ số vào 2 vị trí a1a2 , còn 1 cách xếp 2 chữ số vào 2 vị trí

−( x − y ) x +1 + y +1

0,5

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

  1 1 ⇔ ( x − y)  + =0⇔ x= y  x −1 + y −1 x + 1 + y + 1   Thay x = y vào pt thứ hai, ta được 6 2 x 2 + x + 6 = 4 x − 1 − ⇔ x 2 x 2 + x + 6 = 4 x 2 − x − 6 (do x ≥ 1 ) x

(2)

0,75

Đặt t = 2 x 2 + x + 6, t ≥ 0 . Ta có 4 x 2 − x − 6 = 6 x 2 − (2 x 2 + x + 6) = 6 x 2 − t 2  t = −3 x Do đó pt (2) trở thành: xt = 6 x 2 − t 2 ⇔ t 2 + xt − 6 x 2 = 0 ⇔  t = 2 x Kết hợp điều kiện x ≥ 1 và t ≥ 0 suy ra t = 2 x ⇔

2 x 2 − x − 6 = 0 ⇔ ⇔x=2 x ≥ 1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

a4 a5 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0,75

Có C42 cách xếp các chữ số vào 2 vị trí a1a2 , còn 1 cách xếp 2 chữ số vào 2 vị trí

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Vậy có A94 + 4.8. A83 = 13776 (số) 2) (1,5 điểm) + Trường hợp 1: Chọn 5 chữ số bất kỳ không có chữ số 0 có C95 cách, sau đó xếp

0,75

2x + x + 6 = 2x 0,5

Vậy hệ pt có 1 nghiệm (2;2)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1 2 ( xn + 1) , n = 1, 2... 2

1 2 1 ( xn − 2 xn + 1) + xn ⇔ xn +1 − xn = ( xn − 1) 2 ≥ 0, n = 1, 2,... và x1 = 3 > 0 2 2 Suy ra ( xn ) (n = 1, 2,...) là dãy tăng và dương.

0,5

Ơ N

0,25

U Y

Ta chứng minh ( xn ) (n = 1, 2,...) không bị chặn trên. 1 Thật vậy, giả sử lim xn = a ⇒ a > 3 . Khi đó a = (a 2 + 1) ⇔ a = 1 (vô lí). 2 Vậy lim xn = +∞ 1 1 1 1 = − Biến đổi xn +1 = ( xn2 + 1) ⇔ 2 xn+1 − 2 = xn2 − 1 ⇔ 2 xn + 1 xn − 1 xn+1 + 1

xn +1 =

n  1 1 1  1 1 1 1 (*) = ∑ − − = − = xk +1 − 1  x1 − 1 xn +1 − 1 2 xn +1 − 1 k =1 xk + 1 k =1  xk − 1 1 1 1 2 1 + 1) − 1 > ( x12 + 1) − 1 = 4 Suy ra S 2015 = − mà x2016 − 1 = ( x2015 2 x2016 − 1 2 2 1 1 ⇒0< < x2016 − 1 4

0,5

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Do đó S n = ∑

Vậy [ S 2015 ] = 0

0,25

1 1 1 x y z + + , và x = , y = , z = 2 2 2 2 2 y z + xyz 2 z x + xyz 2 x y + xyz a b c 2 2

1 a

10 00

Đặt A =

Câu 5 (2,0 điểm)

TR ẦN

1 1  1 Từ công thức (*) ta có lim S n = lim  − =  2 xn +1 − 1  2

Khi đó A =

1 b

1 c

0,5

2 1 2 1 2 1 + + + 2 2 2 2 bc abc ca abc ab abc bc ca ab = + + 2a + bc 2b + ca 2c + ab Từ cách đặt và giả thiết xy + yz + zx = 2 xyz suy ra a + b + c = 2

ÁN

-L

Í-

2 2

Ta có

ÀN

= a 2 + ab + bc + ca = (a + b)(c + a ) Suy ra

0,5

bc bc bc  1  bc = ≤  +  2a + bc (a + b)(c + a ) 2  a + b c + a 

IỄ N

2a + bc = (a + b + c)a + bc

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ta có xn +1 =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Câu 4 (2,0 điểm)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tương tự, ta được:

ca ca ca  1  ca = ≤  +  2b + ca (b + c)(a + b) 2  b + c a + b  ab ab ab  1  ab = ≤  +  2c + ab (c + a )(b + c) 2  c + a b + c 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

4 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1  bc bc ca ca ab ab  1 + + + + + A≤   = (a + b + c) = 1 2 a+b c+a b+c a+b c+a b+c  2

0,5

0,75

ẠO

1 1 , k2 = − . Suy ra 3 3 hai phân giác tạo với trục hoành hai góc bằng nhau và bằng 300 . Ta thấy hệ số góc của hai phân giác d1, d2 lần lượt là k1 =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Do đó tam giác ABC đều. + Do bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1 nên d ( I , BC ) = 1 0,25

TR ẦN

H Ư

b = 0 ⇔ 1− b = 1 ⇔  b = 2 + TH1: b = 0 suy ra BC ≡ Ox ⇒ B= d1 ∩ Ox hay B (2 3;0) và C= d 2 ∩ Ox ⇒ C (4 3;0) dựa vào điều kiện tam giác ABC đều và tọa độ các điểm B, C, I suy ra đường

0,75

3 AB : y = 3( x − 2 3) ⇔ y = 3 x − 6 ⇒ A(3 3;3) (loại)

10 00

thẳng AB có hệ số góc bằng

+ TH2: b = 2 suy ra BC : y − 2 = 0 ⇒ B= d1 ∩ BC hay B (4 3; 2)

và C= d 2 ∩ BC ⇒ C (2 3; 2) dựa vào điều kiện tam giác ABC đều và tọa độ các điểm B, C, I suy ra đường

3 và đường thẳng CA có hệ số góc bằng − 3

Í-

thẳng AB có hệ số góc bằng

0,75

-L

AB : y − 2 = 3( x − 4 3)

ÁN

⇔ 3x − y − 10 = 0 ⇒ A(3 3; −1) (thỏa) ⇔ 3x + y − 8 = 0

Vậy phương trình các cạnh của tam giác ABC là:

AB : 3x − y − 10 = 0 AC : 3 x + y − 8 = 0 BC : y − 2 = 0

0,5

IỄ N

ÀN

AC : y − 2 = − 3( x − 2 3)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

)

U Y

(

0,5

 x − 3 y − 2 3 = 0  x = 3 3 ⇔ ⇒ I 3 3;1  y = 1  x + 3 y − 4 3 = 0  

+ Tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là nghiệm của hệ pt:

2 3 Vậy A ≥ 1 . Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = hay x = y = z = 3 2 Câu 6 + Vì đường thẳng BC vuông góc với AH: x − 3 3 = 0 nên phương trình BC có (3,5 điểm) dạng y − b = 0 . Suy ra đường thẳng BC song song hoặc trùng với Ox

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Do đó

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

5 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 7 (3,5 điểm)

B1 S3

C1 M

d2 d3

U Y

ẠO

1 1 1 d1 BC , S 2 = d 2CA, S3 = d3 AB . 2 2 2 2S 2 S1 2S = d1 , 2 = d 2 , 3 = d3 Hay BC CA AB

0,5

H Ư

Suy ra S1 =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Gọi d1 , d 2 , d 3 lần lượt là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng BC, CA, AB; a, b, c là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC

TR ẦN

Mặt khác 3R − R ( cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ) = R (1 − cos 2 A) + R (1 − cos 2 B ) + R (1 − cos2 C )

0,5

a2 b2 c2 a 2 + b2 + c 2 = R sin A + R sin B + R sin C = + + = 4R 4R 4R 4R 2

10 00

0,5

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

a 2 + b2 + c 2 Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: d1 + d 2 + d 3 ≤ 2R Ta có S ∆ABC = S ∆MBC + S ∆MAC + S ∆MAB ⇔ S = S1 + S 2 + S3 S1 S 2 S3 d d d ⇔ + + =1 ⇔ 1 + 2 + 3 =1 S S S ha hb hc (với ha , hb , hc lần lượt là đường cao xuất phát từ đỉnh A, B, C và S là diện tích của ∆ABC ) d d d  ⇔ ( ha + hb + hc )  1 + 2 + 3  = ha + hb + hc  ha hb hc  Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai dãy số :

ha , hb , hc và

d3 hb

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 d  d d d  d d Ta được :  ha . 1 + hb . 2 + hc . 3  ≤ ( h a + hb + hc )  1 + 2 + 3   ha hb hc   ha hb hc   ⇔ d1 + d 2 + d3 ≤ ha + hb + hc (1) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :

ha d1

hb d2

hc d3

Trong tam giác ABC, ta có: ha = b sin C ; hb = c.sin A; hc = a.sin B . Suy ra

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

6 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ha + hb + hc = b sin C + c. sin A + a. sin B =

b.c + c.a + a.b 2R

Mặt khác, áp dụng BĐT AM-GM ta được : a 2 + b 2 ≥ 2ab; b 2 + c 2 ≥ 2bc; c 2 + a 2 ≥ 2ac Suy ra : ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2

(3)

a 2 + b2 + c2 2R

Ơ 0,5

U Y

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Vậy ta có BĐT cần chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Lưu ý: Học sinh có cách giải khác, nếu đúng đều cho điểm tối

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

d1 + d 2 + d3 ≤

0,5

Từ (1), (2), (3) ta được

(2)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

7 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2012 – 2013 MÔN: TOÁN Ngày thi 09/10/2012

(Thời gian làm bài 180 phút)

U Y

Câu 1 (5 điểm):

TR ẦN

H Ư

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi P, Q lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABH và ACH. Các đường thẳng AP, AQ lần lượt cắt BC tại D và E. Chứng minh rằng đường thẳng AH, DQ, EP đồng quy tại một điểm.

Câu 3 (6 điểm):

ÁN

-L

Í-

10 00

Cho phương trình (ẩn x, tham số n nguyên dương): 3 x + 2x 2 + 3x 3 + ... + nx n − = 0 4 a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n phương trình có 1 nghiệm dương duy nhất, kí hiệu nghiệm đó là x n . 1 b) Chứng minh rằng lim x n = . 3 Câu 4 (4 điểm):

ÀN

Cho tập Sn = {1; 2; 3;…; n} với n là số nguyên dương lớn hơn 2. Có bao nhiêu cách chia tập Sn thành ba tập con khác rỗng (hợp với nhau bằng Sn và đôi một giao với nhau bằng rỗng) sao cho mỗi tập con không chứa hai số nguyên liên tiếp?

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x 3 = y 2 − 2y + 8  Giải hệ phương trình:  y3 = z 2 − 2z + 8 z 3 = x 2 − 2x + 8  Câu 2 (5 điểm):

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang

IỄ N

HẾT

Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh ............................. Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:.......................................................................... Giám thị 2:..........................................................................

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH

Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2012 – 2013

MÔN: TOÁN

1,0 1,5

1,0 0,5

10 00 A Ó H 2

IỄ N

ÀN

5 điểm

P D

ÁN

-L

Í-

Cách 1:

= ACH BAH

= BAH + HAE = BAH + 1 HAC BAE 2 = ACH + EAC = ACH + 1 HAC BEA 2 = EAB ⇒ tam giác ABE cân tại đỉnh B. ⇒ BEA ⇒ BP là đường trung trực của Mà BP là đường phân giác góc ABE đoạn AE ⇒ PA = PE . = PAH + HAE = 1 (BAH + HAC) = 1 BAC = 450 Mặt khác PAE 2 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1,0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

1,0

TR ẦN

H Ư

5 điểm

Giả sử x = max{x; y; z} ⇒ (y -1) 2 = max{(x -1) 2 ;(y -1) 2 ;(z -1) 2 } y = max{x; y; z} ⇒ x = y ⇒ y = z . Vậy x = y = z. Khi đó ta có phương trình: x 3 = x 2 − 2x + 8 ⇔ x 3 − x 2 + 2x − 8 = 0 ⇔ (x − 2)(x 2 + x + 4) = 0 ⇔x=2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (2; 2; 2).

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x 3 = y 2 − 2y + 8  x 3 = (y − 1) 2 + 7   Ta có:  y3 = z 2 − 2z + 8 ⇔  y3 = (z − 1) 2 + 7 ⇒ x, y, z > 1 z 3 = x 2 − 2x + 8 z 3 = (x − 1) 2 + 7   1

N Điểm

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đáp án

Câu

U Y

(hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Ngày thi 09/10/2012

1,0 1,0

1,0

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇒ ∆PAE vuông cân tại đỉnh P ⇒ EP ⊥ AD . Tương tự: ⇒ DQ ⊥ AE . Vậy AH, DQ, EQ là các đường cao của tam giác ADE suy ra AH, DQ, EP đồng quy.

1,0

Cách 2:

Áp dụng tính chất tia phân giác các góc trong tam giác:

3 4

H Ư

Xét f n ( x ) = x + 2x 2 + 3x 3 + ... + nx n −

a) 2 điểm

⇒ AH, DQ, EP đồng quy (Định lí Ceva)

0,5

f n' ( x ) = 1 + 22 x + 32 x 2 + ... + n 2 .x n −1

TR ẦN

0,5 0,5

Mà f n ( 0 ) < 0; f n (1) > 0

0,5

10 00

Ta có f n' ( x ) > 0 ∀x ∈ R ⇒ f n ( x ) đồng biến, liên tục trên R.

⇒ f n ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc ( 0;1) b) 4 điểm

n −1

Í-

1 1 1 1 3f   = 1 + 2. + 3   + ... + n   3 3  3 3

IỄ N

ÀN

ÁN

(6 điểm)

1 1 1 1 f   = + 2   + ... + ( n − 1)   3 3 3 3

n −1

-L

0,5

−

9 4 n

1 3 + n  − 3 4

n −1

( 3 + 2n ) 1 1 n 3 1 1 ⇒ 2f   = 1 + +   + ... +   − n − = − 3 3 3 2 2.3n 3  3 ( 2n + 3) < 0 ∀n ∈ N* 1 ⇒f =− 4.3n  3 1 1 Suy ra f   < f n ( x n ) suy ra x n > (do f n ( x ) là hàm số đồng 3 3 biến trên R) 1  Với mọi n ∈ N* , theo định lý Lagrange, tồn tại c n ∈  ;x n  sao 3 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

PA HD QE . . =1 PD HE QA

1,5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇒

PA HD EC QE AB AH AC CE CE . . . . . . = = PD DB HE QA BD AB AH AC BD

⇒

U Y

2,0

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

PA AB QE CE HD AH EC AC = , , = , = = PD BD QA AC DB AB HE AH

1,0 0,5

0,5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 1 cho: f n (x n ) − f n ( ) − = f n' (c n )(x n − ) 3 3 1 1 2n + 3 1 1 2n + 3 2n + 3 ⇒ xn − = ' < ⇒ xn − = ' n 3 f n (x n ) 4.3 3 f n (c n ) 4.3n 4.3n

1,0

(vì f n' ( x ) > 1 ∀x ∈ (0; +∞) ) 1 2n + 3 Mà lim = 0 ⇒ lim xn = . n n→+∞ 4.3 n→+∞ 3

TR ẦN

4 điểm

H Ư

⇒ S ( n + 1) + 1 = 2 S ( n ) + 1

1,0

0,5

10 00

Đặt u n = S ( n ) + 1 ⇒ u n +1 = 2u n . Vậy ( u n ) là một cấp số nhân có công bội bằng 2. Mặt khác, ta thấy S ( 3) = 1 vậy nên ta có S ( n ) = 2n −2 − 1, ∀n ≥ 3 .

-----------Hết-----------

1,0

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Vậy số cách chia thỏa mãn yêu cầu bài toán là S ( n ) = 2 n − 2 − 1, ∀n ≥ 3 .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1,5

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Kí hiệu S(n) là số cách chia tập S thành ba tập con khác rỗng sao cho mỗi tập con không chứa hai số nguyên liên tiếp. Các khả năng xảy ra khi chia tập Sn+1 = {1; 2; 3;...; n; n+1}. Khả năng 1: {n+1} không là một trong ba tập con của Sn+1. Ta thực hiện cách chia như sau: Chia Sn thành 3 tập con (thỏa mãn đề bài) và bổ xung phần tử ( n + 1 ) vào một trong hai tập không chứa phần tử n. Do đó số cách chia trong trường hợp này là 2S(n). Khả năng 2: {n+1} không là một trong ba tập con của Sn+1. Khi đó các phần tử Sn phải nằm trong hai tập còn lại. Có thể thấy ngay chỉ có một cách chia thỏa mãn (một tập chứa các số chẵn và một tập chứa các số lẻ). Do đó, số cách chia trong trường hợp này là 1 cách. Vậy ta thu được công thức truy hồi: S ( n + 1) = 2S ( n ) + 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1,0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

SỞ GDĐT NINH BÌNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2012 – 2013 MÔN: TOÁN Ngày thi 10/10/2012 (Thời gian làm bài 180 phút)

x+2 y+2 + = 6 có vô số nghiệm nguyên dương. y x

TR ẦN

Chứng minh rằng phương trình

H Ư

Câu 2 (5 điểm):

Câu 3 ( 5 điểm)

Í-

Câu 4 (5 điểm):

10 00

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao AM, BN. Điểm D trên cung BC không chứa A của đường tròn (O) và khác B, C. Hai đường thẳng DA và BN cắt nhau tại Q, hai đường thẳng DB và AM cắt nhau tại P. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh rằng ba điểm M, N, I thẳng hàng.

-L

Tìm tất cả các hàm số f : ℝ → ℝ thỏa mãn điều kiện:

ÁN

ÀN

f ( x + f ( y) ) = 4x3f ( y) + 6x2 ( f (y)) + 4x ( f (y)) + ( f (y)) + f ( −x ) với mọi x, y ∈ ℝ .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

 x 2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0 Cho các số thực x, y, z, t thoả mãn:  2 2 z + t − 4z − 2t + 1 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = (x – z)(y – t).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Câu 1 (5 điểm):

U Y

Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

IỄ N

HẾT

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH

Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2012 – 2013

MÔN: TOÁN

Ngày thi 10/10/2012

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

0,5

a 2 + b 2 = 4 Đặt a = x - 2, b = y - 1, c = z - 2, d = t - 1, ta có:  2 2 c + d = 4 1

≤ 2(a 2 + c 2 )2(b 2 + d 2 ) = 2 (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 )

TR ẦN

H Ư

P = (x − z)(y − t) = (a − c)(b − d) ≤ (a − c)(b − d)

≤ a 2 + b2 + c2 + d 2 = 8 ⇒ P ≤ 8

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

2 2

1,5

2 2

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

05 điểm

10 00

(a − c)(b − d) ≥ 0 a = −c  a = b = 2 x = 2 + 2 x = 2 −     b = −d  c = d = − 2 y = 1 + 2 y = 1 − ⇔ hoặc   2 2 2 2 ⇔  a = b = − 2 z = 2 − 2 z = 1 + a + c = b + d 2 2    a + b = 4  c = d = 2 t = 1 − 2 t = 1 +  2 2 c + d = 4 Vậy MaxP = 8 .  x 2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0 (x − 2) 2 + (y − 1) 2 = 4 Cách 2:  2 2 ⇔ 2 2 z + t − 4z − 2t + 1 = 0 (z − 2) + (t − 1) = 4

 x = 2 + 2cos α; y = 1 + 2sin α ⇒ ∃α, β ∈ R thỏa mãn:  z = 2 + 2 cos β; y = 1 + 2sin β  sin 2α sin 2β  1 1  + − sin(α + β )  ≤ 4 + + 1 =8 Khi đó: P = (x-z)(y-t) = 4  2  2  2 2  Đẳng thức xảy ra ⇔ sin 2α = sin 2β = − sin(α + β) = 1

0,5 1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

 x 2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0 (x − 2) 2 + (y − 1) 2 = 4 Cách 1:  2 2 ⇔ 2 2 z + t − 4z − 2t + 1 = 0  (z − 2) + (t − 1) = 4

Điểm

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Đáp án

Câu

(hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

2 0,5 0,5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 2 2

0,5

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x+2 y+2 2 2 + = 6 ⇔ x - 2(3y-1)x + y + 2y = 0 (*) y x

⇒ x n + 2 x n + x 2n + 2x n = x 2n +1 + x n +1x n-1 + 2x n +1 ∀n ∈ N*

5 điểm

x n+2 + x n + 2 x + x n + 2 x n +1 + x n −1 + 2 = 6 ⇒ n +2 = ∀n ∈ N* x n +1 x n +1 xn

(1)

0,5 0,5 0,5

10 00

TR ẦN

Với mọi n ∈ N ta có: x n + 2 = 6x n +1 − x n − 2 ⇒ x n + 2 + x n = 6x n +1 − 2 ⇒

0,5 0,5

H Ư

Ta có: {xn} tăng và x n ∈ N*∀n ∈ N* .

 x 0 = 1; x1 = 1  x n + 2 = 6x n +1 − x n − 2 ∀n ∈ N

Xét dãy số {xn} xác định bởi công thức: 

⇒ x n + 2 x n - x 2n +1 - 2x n +1 = x n +1x n-1 - x 2n - 2x n ∀n ∈ N*

⇒ x n + 2 x n - x 2n +1 - 2x n +1 = x 2 x 0 - x12 - 2x1 = 0 ∀n ∈ N ⇒ x n + 2 x n = x 2n +1 + 2x n +1 ∀n ∈ N

0,5

(2)

Í-

Từ (1), (2) suy ra x n , x n + 2 là hai nghiệm của phương trình: 0,5

⇒ x 2n - 2(3x n +1 -1)x n + x n2 +1 + 2x n +1 = 0 ∀n ∈ N

0,5

ÁN

-L

t 2 - 2(3x n +1 -1)t + x 2n +1 + 2x n +1 = 0 ∀n ∈ N

Suy ra ( x n , x n +1 ) là nghiệm của phương trình (*) ∀n ∈ N .

0,5

IỄ N

ÀN

Do đó ta có điều phải chứng minh.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Vậy MaxP = 8 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

hoặc

0,5 2

x = 2 +  y = 1+  z = 2 −  t = 2 −

x = 2 +  y = 1 + ⇔ z = 2 −  t = 2 −

(k, m∈ Z )

U Y

π  α = 4 + kπ ⇔ β = π + 2mπ − (k + 1) π  4

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 5điểm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

U Y

I C

ẠO

AN BM = NH MH

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Gọi H là trực tâm tam giác.

(1)

Tam giác ANH và BMH đồng dạng nên:

H Ư

AN BM = NQ MP

1 1

NQ MH IP . . =1 NH MP IQ

10 00

⇒

NQ MP = NH MH

Từ (1) và (2) suy ra

(2)

TR ẦN

Tam giác ANQ và BMP đồng dạng nên:

⇒ Ba điểm M, I, N thẳng hàng (Định lí Menelaus) 2 3 4 f ( x + f ( y) ) = 4x3f ( y) + 6x2 ( f(y)) + 4x ( f(y)) + ( f(y)) + f ( −x) ∀x,y ∈R (1) + Nhận xét: f ( x ) ≡ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Í-

0,5

-L

+ Xét trường hợp: f ( x ) ≡ 0 . Đặt a = f(0). 4

Thay x = 0 vào (1) ta được f ( f ( y ) ) = ( f ( y ) ) + a, ∀y ∈ ℝ

ÁN

(2)

0,5

Tiếp tục thay x bởi ( −f (x) ) vào (1) ta được

ÀN

IỄ N

5điểm

f ( f ( y) − f(x)) =−4(f(x))3f ( y) + 6(f(x))2 (f(y))2 − 4f(x)(f(y))3 + (f(y))4 − f ( f(x))

∀x,y∈ℝ 4

⇒ f ( f ( y ) − f ( x )) = ( f ( y ) − f ( x )) + f ( f ( x )) − ( f ( x ))

∀x, y ∈ ℝ (3)

Từ (2) và (3) suy ra f ( f ( y ) − f ( x ) ) = ( f ( y ) − f ( x ) ) + a ∀x, y ∈ ℝ (4)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

M B

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 0,5

Giả sử x 0 ∈ ℝ thỏa mãn f ( x 0 ) ≠ 0 . Thay y = x 0 vào (1) ta thu được: 2

f ( x + f ( x0 ) ) − f ( −x) = 4x3f ( x0 ) + 6x2 ( f(x0)) + 4x( f(x0 )) + ( f(x0)) ∀x∈R Vế phải là đa thức bậc ba theo biến x nên nó là hàm số có tập giá trị là ℝ . Vậy nên, vế trái cũng là một hàm số có tập giá trị là ℝ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5 0,5 0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇒ ∀x ∈ ℝ đều tồn tại u, v ∈ ℝ để f ( u ) − f ( v ) = x . Do đó từ (4) suy ra: f ( x ) = f ( f ( u ) − f ( v) ) = ( f ( u ) − f ( v) ) + a = x4 + a, ∀x ∈ℝ

0,5

Thử lại dễ thấy: f ( x ) = x4 + a, ∀x ∈ ℝ (với a là hằng số) thỏa mãn (1)

0,5

Ơ H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

-----------Hết-----------

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Vậy f ( x ) ≡ 0 và f ( x ) = x 4 + a, ∀x ∈ ℝ (với a là hằng số) là các hàm số cần tìm.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Kỳ thi thứ hai - Năm học 2012 – 2013 MÔN: TOÁN Ngày thi 18/12/2012 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

U Y

Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm), đường thẳng d có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m để d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 .

ẠO

1 sin4x + msinx, m là tham số (1). 4

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1. Cho phương trình 2cos2x – mcosx =

a) Giải phương trình (1) khi m = 2.

H Ư

π b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trong đoạn [0, ]. 4

3 x + 3 − 5 − 2 x − x3 + 3 x 2 + 10 x − 26 = 0, x ∈ ℝ .

TR ẦN

2. Giải phương trình Câu 3 (4,0 điểm).

1. Tìm hệ số của x18 trong khai triển của (2 – x2)3n biết n ∈ ℕ* thoả mãn đẳng thức

10 00

C20n + C22n + C24n + ... + C22nn = 512 .

Câu 4 (5,0 điểm).

2. Cho dãy số (un) với un + 1 = a.un + b, n ≥ 1 , a, b là 2 số thực dương cho trước. Với n ≥ 2, tìm un theo u1, a, b và n.

ÁN

-L

Í-

1. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AA’ và B’C’. Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

2. Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AB > 1, các cạnh còn lại có độ dài không lớn hơn 1. Gọi V là thể tích của khối tứ diện. Tìm giá trị lớn nhất của V.

ÀN

Câu 5 (2,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

a2 b2 c2 + + ≥ 1. a + 2b 2 b + 2c 2 c + 2a 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

IỄ N

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Câu 2 (6,0 điểm).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Câu 1 (3,0 điểm).

--------HẾT-------Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh ........................................ Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:...................................................................................................

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:...................................................................................................

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT Kỳ thi thứ hai - Năm học 2012 – 2013 MÔN: TOÁN Ngày thi: 18/12/2012 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH

H Ư

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ PT (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

TR ẦN

∆' = m 2 − m − 2 > 0 ⇔ ⇔ m ∈ (− ∞;−2) ∪ (− 2;−1) ∪ (2;+∞ ) m + 2 ≠ 0

0,5

Khi đó B = (x1; x1 + 4), C = (x2; x2 + 4) với x1, x2 là hai nghiệm của (*).  x + x = −2 m

0,5

10 00

Theo Vi-ét ta có  1 2 1  x1 x 2 = m + 2 (3,0 điểm) ⇒ BC = 2( x − x )2 = 2 ( x + x )2 − 8 x x = 2 2 (m 2 − m − 2) 1 2 1 2 1 2

0,5

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Ta có khoảng cách từ K đến d là h = 2 . Do đó diện tích ∆KBC là: 1 1 2.2 2 (m 2 − m − 2) = 2 m 2 − m − 2 S = .h.BC = 2 2 1 ± 137 S = 8 2 ⇔ 2 m2 − m − 2 = 8 2 ⇔ m = (TM ) . 2 1 ± 137 Vậy m = . 2 1a. (2,5 điểm)

0,5

2cos2x – mcosx =

1 sin4x + msinx 4

⇔ 4cos2x - sin2x.cos2x – 2m(sinx + cosx) = 0 2 - sin2x) – 2m(sinx + cosx) = 0 (6,0 ⇔ cos2x(4 2 2 điểm) ⇔ (cos x – sin x)(4 - sin2x) - 2m(sinx + cosx) = 0 ⇔ (sinx + cosx)[(cosx – sinx)(4 - sin2x) - 2m] = 0 sin x + cosx = 0 (2) ⇔ (cosx − sin x)(4 − sin 2 x) − 2m = 0 (3)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

⇔ 2  x + 2mx + m + 2 = 0 (*)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

1,0

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 π π *Giải (2): sin x + cosx = 0 ⇔ sin  x +  = 0 ⇔ x = − + k π, k ∈ ℤ.  4 4

0,5

*Giải (3): (cosx − sin x)(4 − sin 2 x) − 2m = 0 . Đặt t = cosx - sinx, t ≤ 2 ⇒ sin 2 x = 2sin x cos x = 1− t 2

0,5

PT (3) trở thành: t (3 + t ) − 2m = 0 ⇔ t + 3t − 2m = 0 (4)

U Y

Với t = 1, ta có:

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

TR ẦN

π [0, ] thì PT (3) phải có nghiệm thuộc đoạn [0, ] hay PT (4) có nghiệm thuộc 4

0,5

10 00

đoạn [0, 1]. Ta có: t 3 + 3t − 2m = 0 ⇔ t 3 + 3t = 2m (5). Xét hàm số f(t) = t3 + 3t liên tục trên ℝ có f '(t) = 3t2 + 3 > 0 ∀t ∈ ℝ . Suy ra: min f (t ) = f (0) = 0, m ax f (t ) = f (1) = 4 . [0,1]

0,5

[0,1]

PT (5) có nghiệm trên đoạn [0, 1] ⇔ min f (t ) ≤ 2m ≤ m ax f (t ) ⇔ 0 ≤ 2m ≤ 4 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2.

Í-

[0,1]

0,5

-L

Vậy m ∈ [0, 2] là giá trị cần tìm của m.

ÁN

2. (2,0 điểm)

IỄ N

ÀN

Điều kiện: x ∈  −1;  .  2

PT ⇔

(

) (

3x + 3 − 3 −

3( x − 2)

0,25

)

5 − 2 x −1 − x3 + 3 x 2 + 10 x − 24 = 0

2 ( x − 2)

− ( x − 2)( x 2 − x −12) = 0 3x + 3 + 3 5 − 2x +1   3 2 ⇔ ( x − 2)  + − x 2 + x + 12 = 0  3 x + 3 + 3  5 − 2 x +1 ⇔

0,5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0,5

ẠO

 π π π 2 ⇔ x + = ± + k 2π, k ∈ ℤ cos x − sin x = 1 ⇔ cos  x +  =  4 2 4 4  x = k 2π, k ∈ ℤ  ⇔ π  x = − + k 2π, k ∈ ℤ.  2 Vậy với m = 2, PT đã cho có nghiệm: π π x = − + k π , x = k 2π, x = − + k 2π (k ∈ ℤ). 4 2 1b. (1,5 điểm) π Nghiệm của (2) không thuộc đoạn [0, ] nên để PT đã cho có nghiệm thuộc đoạn

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Với m = 2, PT (4) trở thành: t 3 + 3t − 4 = 0 ⇔ (t −1)(t 2 + t + 4) = 0 ⇔ t = 1

0,5

x = 2  ⇔ 3 2  + − x 2 + x + 12 = 0  3 x + 3 + 3 5 − 2x +1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 5 Xét hàm số f ( x) = −x 2 + x + 12, x ∈ −1;  . Ta có f(x) liên tục trên  2  1 . 2

0,5



U Y

∑C

i 15

H Ư

Từ đó (2 – x2)3n = (2 – x2)15 =

(2)15−i (−1) i x 2i

10 00

TR ẦN

3 i =0 (4,0 ⇒ Hệ số của x18 là số C15i 215−i (−1) i sao cho 2i = 18 ⇔ i = 9. điểm) Vậy hệ số của x18 là: - C159 2 6 = -320.320 2. (2,0 điểm) ∀n ≥ 1, un+1 = aun + b ⇒ un+1 − un = a (un − un−1 ), ∀n ≥ 2. Đặt vn = un+1 − un , n ≥ 1 ⇒ vn = avn−1 , n ≥ 2 ⇒ (vn ) là một cấp số nhân có công bội bằng a. Ta có: ∀n ≥ 1, vn = v1.a n−1 ; v1 = ( a −1)u1 + b . Vậy ta có: ∀n ≥ 2, un = (un − un−1 ) + (un−1 − un−2 ) + ..... + (u2 − u1 ) + u1

0,5 0,5

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Ta có: (1 − 1) = C20n − C21n + C22n − C23n + ... − C22nn −1 + C22nn (2) Cộng từng vế (1) và (2) ta được: 2 2 n = 2 ( C20n + C22n + C24n + ... + C22nn ) ⇒ C20n + C22n + C24n + ... + C22nn = 22 n −1 Theo bài ra ta có: 22 n−1 = 512 ⇔ 2n −1 = 9 ⇔ n = 5

0,25

.Q TP

⇒

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

= v1 ( a n−2 + a n−3 + ...... + 1) + u1 = u1.a n−1 + b( a n−2 + a n−3 + ...... + 1) 1. (3,0 điểm) E Dựng đúng thiết diện Chứng minh EI = IJ = JF. Từ đó suy ra I A B EB EM FA ' 1 FN 1 M = = = . Lại từ đó suy ra = . EB ' EK FB ' 3 FK 2 C J Ta có: d(K, A'B') = (1/2)d(C', A'B'), FB' = (3/2)A'B'. 4 EB 1 Suy ra SKFB’ = (3/4)SA’B’C’. Mặt khác vì = nên A' F B' (5,0 EB ' 3 N K điểm) suy ra d(E, (KFB’)) = (3/2)h (h là chiều cao lăng trụ). C' Do đó VEKFB’ = (3/8)V (V là thể tích lăng trụ) . 1 1 3 1 VEBIM EI EM EB 1 1 1 = . . = . . = nên VEBIM = . V = V . 27 8 72 VEB ' FK EF EK EB ' 3 3 3 27 1 VFA ' JN FJ FA ' FN 1 1 1 1 3 1 = . . = . . = nên VFA’JN = . V = V . VFB ' EK FE FB ' FK 3 3 2 18 18 8 48

0,5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 3 2 5 + − x 2 + x + 12 > 0 ∀x ∈ −1;  .  2  3x + 3 + 3 5 − 2 x +1 Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 2. 1. (2,0 điểm) 2n Ta có: (1 + 1) = C20n + C21n + C22n + C23n + ... + C22nn−1 + C22nn (1)



5 1    33 49  33 Do đó min f ( x) = min  f (−1); f ( ); f ( ) = min 10, ,  = > 0 .  5   2 2  4 4  4 −1;   2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ta có f'(x) = -2x + 1, f'(x) = 0 ⇔ x =

 5 −1;  .  2 

0,5

0,5 0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần. Gọi V1 là thể tích phần chứa điểm B' và V2 là thể tích phần chứa điểm C. Ta có V1 = (3/8 – 1/72 – 1/48)V = (49/144)V nên V2 = (95/144)V. Do đó V1/V2 = 49/95. 2. (2,0 điểm)

0,5

M N

Gọi AH là chiều cao của tứ diện, ta có AH ≤ AM ≤ 1 −

0,75

a2 . 4

1 6

a 6

TR ẦN

1 3

0,25

a2 a2 ; BN ≤ 1 − . 4 4

Ta có AM ≤ 1 −

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Theo giả thiết ∆ACD và ∆BCD có tất cả các cạnh không lớn hơn 1. Đặt CD = a ( 0 < a ≤ 1 ). Gọi AM, BN lần lượt là chiều cao của ∆ACD và ∆BCD .

Thể tích của tứ diện ABCD: V = .S ∆BCD . AH = .BN .CD. AH ≤ (1 −

a2 ) 4

10 00

Xét f (a ) = a (4 − a 2 ) trên (0, 1]. Ta có f(a) liên tục trên (0, 1]. 2 f ' ( a ) = 4 − 3a 2 , f ' (a ) = 0 ⇔ a = ± ∉ (0;1] . 3 0

0,5

f'(a)

Í-

f(a)

-L

Vậy m ax f ( a ) = f (1) = 3 . (0,1]

ÁN

1 khi ∆ACD và ∆BCD là hai tam giác đều cạnh bằng 1, hai 8 mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau. Khi đó tính được 6 > 1. AB = 2

IỄ N

ÀN

Suy ra maxV =

Ta có

a2 2ab 2 2ab 2 2 2/3 a a = − ≥ − = a − ( ab ) (Theo BĐT Cô - si) 2 2 a + 2b a + 2b 3 3 3 ab 4

5 b2 2 c2 2 2/3 2/3 (2,0 Tương tự: ≥ b − ( bc ) , ≥ c − ( ca ) 2 2 b + 2c 3 c + 2a 3 điểm) Khi đó

a2 b2 c2 2 2/3 2/3 2/3 + + ≥ a + b + c − ( ab ) + ( bc ) + ( ca )  2 2 2   a + 2b b + 2c c + 2a 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

U Y

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 2/3 2/3 2/3 = 3 − ( ab ) + ( bc ) + ( ca )  (1)   3 Ta đi chứng minh ( ab )

2/3

+ ( bc )

2/3

+ ( ca )

≤ 3 ⇔ 3 a 2b 2 + 3 b 2 c 2 + 3 c 2 a 2 ≤ 3 (2)

Thật vậy theo Cô - si ta có a + b + ab ≥ 3 3 a 2b 2

Thật vậy theo Cô - si ta có c + b + bc ≥ 3 3 c 2b 2

0,5

a 2b 2 + 3 b 2 c 2 + 3 c 2 a 2

)

≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca

⇔ ( a + b + c ) ≥ 3 ( ab + bc + ca ) ⇔ ab + bc + ca ≤

(

)

a 2b 2 + 3 b 2 c 2 + 3 c 2 a 2 ≤ 2.3 + 3 = 9

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Khi đó ta có: 3

1 2 (a + b + c) = 3 3

⇒ 3 a 2b 2 + 3 b 2 c 2 + 3 c 2 a 2 ≤ 3 . Vậy (2) đúng, thay vào (1) ⇒ ĐPCM. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

-----------Hết-----------

0,5

IỄ N

ÀN

ẠO

( a − b ) + (b − c ) + ( c − a )

U Y

Mặt khác ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(

⇒ 2 ( a + b + c ) + ab + bc + ca ≥ 3

Thật vậy theo Cô - si ta có a + c + ac ≥ 3 3 a 2 c 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI CHỌN HỌC VIÊN GIỎI LỚP 12 BT THPT Năm học 2012 – 2013 MÔN: TOÁN Ngày thi 18/12/2012 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang

Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m, m là tham số (1).

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) luôn đồng biến trên ℝ .

Câu 2 (5,0 điểm). Giải phương trình:

3 − x + x + 2 = 3.

TR ẦN

H Ư

1. cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0.

Câu 3 (4,0 điểm).

10 00

1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể tạo ra bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó các chữ số 1 và 2 luôn đứng cạnh nhau?

2. Cho đường tròn (I) có phương trình x2 + y2 - 4x + 8y + 15 = 0. Viết phương trình

Í-

tiếp tuyến với (I) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1 ; 0).

-L

Câu 4 (4,0 điểm).

ÁN

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên

SA = SB = SC = SD = a.

ÀN

1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 2. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AD và SC. Chứng tỏ rằng

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.

U Y

Câu 1 (5,0 điểm).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

IỄ N

mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.

Câu 5 (2,0 điểm). Giải phương trình 2x2 + 8x + 6 + x2 − 1 = 2x + 2 .

--------HẾT--------

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh ........................................ Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:...................................................................................................

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:...................................................................................................

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

HDC ĐỀ THI HỌC VIÊN GIỎI LỚP 12 BTTHPT Năm học: 2012 – 2013 MÔN: TOÁN Ngày thi: 18/12/2012 (Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

y -∞

0 0 0

2 0

+∞

+ +∞

0,5

-4

c) Đồ thị: Đồ thị cắt Ox tại hai điểm (0, 0) và (3,0).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x -∞ y'

0,5

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

+) Bảng biến thiên:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x → +∞

Í-

x → −∞

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

A) Hướng dẫn chung: 1) Học sinh làm đúng đến đâu thì giám khảo chấm đến đó. Học sinh trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo chấm tương ứng biểu điểm của HDC. 2) Việc chi tiết hóa thang điểm phải đảm bảo không làm sai lệch biểu điểm của HDC và phải được thống nhất trong toàn hội đồng chấm thi. 3) Điểm của bài thi không làm tròn. B) Hướng dẫn cụ thể: Câu Đáp án Điểm 1) 3 điểm Khi m = 0 ta có y = x 3 − 3 x 2 0,5 a) TXĐ: D = ℝ b) Sự biến thiên: +) Chiều biến thiên: • y ' = 3x2 − 6 x = 3x(x − 2) • y ' = 0 ⇔ 3 x ( x − 2) = 0 ⇔ x = 0; x = 2 0,75 y ' < 0 ∀ x ∈ ( 0 ; 2 ) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) y ' > 0 ∀ x ∈ ( − ∞ ; 0 ) ∪ ( 2 ; + ∞ ) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( − ∞ ; 0 ) và ( 2; +∞ ) . +) Cực trị: 1 0,5 (5 điểm) Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = 0, yCĐ = 0. Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 2, yCT = - 4. +) Các giới hạn: 3 2 3 2 0,25 lim ( x − 3 x ) = −∞ ; lim ( x − 3 x ) = +∞

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com y

3 x

3x x 7x x cos + 2 cos cos = 0 2 2 2 2

TR ẦN

cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 ⇔ 2cos x 5x cos cosx = 0 2 2 x 5x ⇔ cos = 0; cos = 0; cos x =0 2 2   x = π + k 2π, k ∈ ℤ  π 2π , k ∈ℤ ⇔ x = + k  5 5  π  x = + k π, k ∈ ℤ 2 

⇔ 4cos

0,5 0,5 0,25 0,5 0,5

10 00

0,5

-L

Vậy PT đã cho có nghiệm: x = π + k 2π; x =

ÁN

2 5 điểm

Í-

1,25

IỄ N

ÀN

2) 2 điểm Đặt U = 3 − x , V =

x + 2 (Điều kiện U ≥ 0; V ≥ 0) ta có hệ:

U + V = 3  2 2 U + V = 5 U = 1 U = 2 hoặc  V = 2 V = 1 U = 1 U = 2 ⇒ x = 2;  ⇒ x = −1  V = 2 V = 1

Vậy PT đã cho có nghiệm là x = 2 ; x = -1 1) 2 điểm Gọi số được lập là: a1a2 a3a4 a5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25 0,5 0,25

Giải hệ ta có : 

3 4 điểm

π π 2π +k ; x = + kπ (k ∈ ℤ) 5 5 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

Vậy với m ∈ (- ∞ ; − 3 ] ∪ [ 3;+∞) thì hàm số luôn đồng biến trên ℝ . 1) 3 điểm

0,25 0,5 https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

.Q TP ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2) 2 điểm + Ta có : y’ = 3x2 – 6x + m2 + Hàm số luôn đồng biến trên ℝ ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ ℝ 3 > 0 a >0 ⇔ ' ⇔ 2 ∆ ≤ 0 9 − 3m ≤ 0 ⇔ m ∈ (- ∞ ; − 3 ] ∪ [ 3;+∞)

U Y

-4

0,5 0,5 0,25 0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= 5 ⇔ 4a 2 − 24ab + 11b 2 = 0 (*)

ẠO

Ta thấy nếu b = 0 thì từ (*) suy ra a = 0, không TMĐK. a 1 11 Nếu b ≠ 0 , đặt t = , từ phương trình (*) ta có: t = hoặc t = . b 2 2 Từ đó tìm được PT tiếp tuyến là: x + 2y + 1 = 0 hoặc 11x + 2y + 11 = 0. 1) 2 điểm

0,5

0,5 0,5

TR ẦN

H Ư

10 00

0,25

A Ó

Í-

-L

(Vẽ hình đúng ý a) Gọi H là giao điểm của AC và BD. Vì S.ABCD là chóp đều nên SH là đường cao của hình chóp. Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông HSA:

ÁN

4 4 điểm

AC 2 a2 a 2 ⇒ SH = = 4 2 2

IỄ N

ÀN

SH2 = SA2 - AH2 = SA2 -

0,25 0,5 0,25

SABCD = a 2 1 3

Áp dụng công thức V = Bh ta có V =

1 a3 2 SH.SABCD = . 6 3

2) 2 điểm Kéo dài MN cắt CB, CD lần lượt tại E và F. PE cắt SB tại Q, PF cắt SD tại R. Thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP) là ngũ giác MNRPQ. Gọi phần thể tích không chứa đỉnh S là V1 , phần thể tích còn lại là V2 .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0,25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

a +b

1,0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2a − 4b + a

0,5

d(K, ∆ ) = R ⇔

0,25

U Y

Xét trường hợp 2 chữ số 1, 2 nằm ở vị trí: a1a2 Trong trường hợp này có: 2.A 35 = 120 số thỏa mãn ĐK đề bài. Tương tự với các trường hợp 2 chữ số 1, 2 nằm ở các vị trí: a2 a3 , a3a 4 , a4 a5 ta nhận được số các số thỏa mãn ĐK là: 4.120 = 480 (số). 2) 2 điểm Đường tròn (I) có tâm là K(2; - 4), bán kính R = 5 Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(-1; 0) có PT dạng: a(x + 1) + by = 0 ⇔ ax + by + a = 0 (a 2 + b 2 ≠ 0) Để ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (I) thì:

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

0,75

0,5 0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com V1 1 = , V là thể tích S.ABCD. V 2 + VQ.BME ) = VP .CEF − 2VR.DFN

Ta phải chứng minh V1 = V2 hay Ta có: V1 = VP .CEF − (VR .DFN (vì VR. DFN = VQ. BME ).

0,5

Ta tính V1 ,VP.CEF , VR.DFN theo V.

H Ư

2 x 2 + 8 x + 6 ≥ 0  x ∈ (−∞; −3] ∪ [−1; +∞)  2  ⇔  x ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞) ⇔ x ∈ [1; +∞) ∪ {−1} ĐK:  x − 1 ≥ 0 2 x + 2 ≥ 0  x ∈ [−1; +∞)  

TR ẦN

+ TH1: x = -1 thỏa mãn PT. Vậy x = -1 là một nghiệm của PT + TH2: Với x ≥ 1 ta xét phương trình: 2x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2 ⇔ ( x + 1)(2 x + 6) + ( x + 1)( x − 1) = 2. ( x + 1)( x + 1)

0,25

2x + 6 + x − 1 = 2 x + 1

10 00

⇔

0,5

⇔ 2x + 6 + x – 1 + 2. (2 x + 6).( x − 1) = 4(x + 1)

⇔ 3x + 5 + 2 (2 x + 6)( x − 1) = 4x + 4 ⇔ 2 (2 x + 6)( x − 1) = x -1

⇔ 2 (2 x + 6)( x − 1) =

( x − 1)( x − 1)

0,25

Í-

Suy ra x – 1 = 0 ⇔ x = 1

-L

Hoặc: 2 2 x + 6 = x − 1 ⇔ 8x + 24 = x - 1 ⇔ x =

−25 (loại) 7

0,25 0,25

IỄ N

ÀN

ÁN

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = -1 và x = 1. -----------Hết-----------

0,25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Suy ra điều phải chứng minh.

0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

9 1 1 V− V= V 16 16 2

ẠO

Từ đó suy ra: V1 = VP.CEF − 2VR.DFN =

0,25

chóp R.DFN).

5 2 điểm

1 1 1 1 1 VR. DFN = S DFN .RJ = . S ABCD . SH = V (RJ là đường cao của hình 3 3 8 4 32

0,25

U Y

chóp P.CEF).

1 1 9 1 9 VP.CEF = SCEF .PK = . S ABCD . SH = V (PK là đường cao của hình 3 3 8 2 16

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán – Lớp 12 Chuyên Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2016

ĐỀ CHÍNH THỨC

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 1. (4,0 điểm)

−x +1 (C) . Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn 2x −1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để k12016 + k 22016 đạt giá trị nhỏ nhất.

x2 + y 2 + 2 z 2 + 2z + 2

−

3 ( x + y )3 ( z + 2)3

thức: F =

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 y + y+9 2 ) ( x − y )( x + x y + y − 2) = 6.ln( b) Giải hệ phương trình:  x + x2 + 9 3  y − 1 + x = xy − 2 Câu 3. (3,0 điểm) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y > 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

10 00

Câu 4. (6,0 điểm) a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P) : 3 x + y + 2 z -14 = 0,

(Q) : x + 2 y - 3 z + 16 = 0 và điểm M ( 6;2;4 ) . Tìm tọa độ điểm E thuộc mặt phẳng (P), F thuộc

b) Với mỗi n ≥ 1, n ∈ ℕ , đặt vn =

un . Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 . un+1 − 2

v1 + v2 + ... + vn < 2016.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

mặt phẳng (Q) sao cho ME + EF + FM = 2 30 . b) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác AMC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh đường thẳng GI vuông góc với đường thẳng CM. Câu 5. (2,0 điểm) u1 = 3  Cho dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện:  un2 2014un u = +  n +1 2016 2016  a) Chứng minh: (un ) là dãy số tăng.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

a) Giải phương trình: x3 + 3x 2 + 7 x + 6 = (3x + 7) 3 3x 2 + 6 x + 2.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Câu 2. (5,0 điểm)

U Y

Cho hàm số y =

------------- Hết ------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đáp án

H Ư

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có k12016 + k22016 ≥ 2( k1k2 )1013 = 2 . Dấu bằng xảy ra khi 2016 1

2.a

2,0

) = 2 tại m=-1

TR ẦN

k1 = k2 ⇔ 2( x1 + x2 ) − 2 = 0 ⇔ m = −1 . Vậy Min( k

2016 2

(2,5 đ)

Phương trình đã cho ⇔ ( x + 1)3 + 4 x + 5 = (3 x + 7) 3 (3 x + 7)( x + 1) − 4 x − 5 .

10 00

Đặt u = x + 1, v = 3 (3 x + 7)( x + 1) − 4 x − 5 . Ta có hệ:

0,5

3 u + 4 x + 5 = (3 x + 7)v ⇒ (u − v)(u 2 + uv + v 2 + 3 x + 7) = 0  3 v 4 x 5 (3 x 7) u + + = + 

3x 2 + 18 x + 31 u u 2 + uv + v 2 + 3x + 7 = ( + v) 2 + > 0, ∀x nên u = v . 2 4

Í-

Vì

0,5

-L

Do đó x + 1 = 3 3x 2 + 6 x + 2 ⇔ x 3 − 3x = 1 (1).

Ta tìm được α =

ÁN

Nếu x ∈ [ −2;2] đặt x = 2cosα (α ∈ [0;π ]) , khi đó (1) trở thành: 8cos3 α − 6cos α = 1 .

π 5π 7π

; ; . 9 9 9

IỄ N

ÀN

Do đó pt (1) nhận x = 2.cos

π 9

1,0

; 2.cos

5π 7π ; 2.cos làm nghiệm. 9 9

Mặt khác phương trình bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm. π 5π 7π Vậy tập nghiệm của pt đã cho là S = {2cos ;2cos ;2cos } 9 9 9

2.b

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

1 1 , k2 = − , k1k2 = 1 2 (2 x1 − 1) (2 x2 − 1) 2

Gọi x1 , x2 là nghiệm của (*), ta có k1 = −

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2,0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 không là nghiệm) 2 Dễ thấy đường thẳng (d ) : y = x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m . x=

−x +1 ⇔ 2 x 2 + 2mx − m − 1 = 0 (*) (vì 2x −1

PT hoành độ giao điểm của (d) và (C) là x + m =

Điểm 4,0 đ

U Y

Câu

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp 12 Chuyên Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2016 -------//-------

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

0,5

2,5 đ

 y + y+9 2 ) (1) ( x − y )( x + x y + y − 2) = 6.ln( Giải hệ phương trình:  x + x2 + 9 3 (2)  y − 1 + x = xy − 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐK: x ≥ 0, xy ≥ 2 Ta có (1) ⇔ x3 − 2 x + 6 ln( x + x 2 + 9) = ( y )3 − 2 y + 6 ln( y + y + 9) (*) Xét hàm f (t ) = t 3 − 2t + 6 ln(t + t 2 + 9), t ∈ ℝ

6 t2 + 9 1,0

1 1 26 29 26 29 t2 + 9 + + + (t 2 + 9) − ] ≥ 3(1+ - )=0 27 3 3 3 t2 + 9 t 2 + 9 27 Suy ra f(t) đồng biến và liên tục trên ℝ .

( x 2 − 1) 2 + 2 3 x 2 − 1 + 4

+1 < 2 <

x3 − 2 + 5

TR ẦN

Nên pt (3) có nghiệm duy nhất x = 3. Vậy hệ pt có nghiệm ( x; y ) = (3;9) .

Áp dụng BĐT Cauchy-Schawrz, ta có

1,0

Ta có

x 2 + 3x + 9

) = 0 (3)

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(ĐK x ≥ 3 2 )

x+3

x3 − 2 + 5

1,5

10 00

1 x 2 + y 2 + 2 z 2 + 2 z + 2 ≥ x 2 + y 2 + ( z + 1) 2 + 1 ≥ ( x + y + z + 2) 2 4 x+ y+ z+2 Áp dụng BĐT AM-GM, ta có ( x + y )( z + 2) ≤ 2 2 32 Do đó F ≤ − x + y + z + 2 3( x + y + z + 2)3

3,0 đ

-L

Í-

Đặt t = x + y + z + 2 ⇒ F ≤

ÁN

Xét hàm g (t ) =

2 32 − t 3t 3

2 32 − , t > 2. t 3t 3

1,5

IỄ N

ÀN

1 Lập BBT suy ra Max g (t ) = g (4) = x>2 12 1 Vậy MaxF= tại x = y = 1, z = 0 12 4.a

3,0 đ

Tìm hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P) và (Q) là A ( 3;1;2 ) , B ( 5;0;7 ) .

Điểm đối xứng của M qua (P) và (Q) là D ( 0;0;0 ) , C ( 4;-2;10 ) Do đó với E ∈ ( P ), F ∈ (Q) thì ME + EF + FM = DE + EF + FC ≥ DC = 2 30 .

Đẳng thức xảy ra khi {E} = CD ∩ ( P ),{F}=CD ∩ (Q) . Tìm được E (

28 −14 70 32 −16 80 ; ; ), F ( ; ; ) . 15 15 15 15 15 15

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

( x 2 − 1) 2 + 2 3 x 2 − 1 + 4

x 2 + 3x + 9

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

+1−

x+3

ẠO

x 2 − 1 + x = x 3 − 2 ⇔ ( x − 3)(

N U Y .Q

y ⇔ y = x2

Thay vào (2) ta được: 3

= 3[

Mà (*) ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇔ x =

Ta có f '(t ) = 3t 2 − 2 +

1,0

1,0 1,0

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

4.b Chọn hệ Oxy sao cho O là trung điểm BC,tia Ox là tia OC, tia Oy là tia OA. Gọi BC=2a, d ( A; BC ) = h

3,0 đ 1,0

a h h2 − a2 3a h ; − ), G ( ; ), I (0; ) 2 2 6 2 2h a a 2 3a h Ta có GI = ( ; ), MC = ( ; − ) ⇒ GI .MC = 0 ⇒ GI ⊥ MC (đpcm) 6 2h 2 2

1,0

Tính được M (

Khi đó B ( -a;0 ) , C ( a;0 ) , A ( 0; h )

U Y

2,0 đ

Dùng quy nạp chứng minh đc un > 2, ∀n ∈ ℕ* . Do đó un +1 > un .

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

-------------------- Hết -------------------

1,0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

1 1 ) < 2016 (đpcm) v1 + v2 + ... + vn = 2016( − u1 − 2 un +1 − 2

ẠO

un 1 1 ) . Do đó = 2016( − un +1 − 1 un − 2 un +1 − 2

Ta có 2016(un +1 − un ) = un (un − 2) ⇔

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy (un ) là dãy tăng (đpcm)

1,0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1,0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013 (Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

2x + 3 có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = −2 x + m . Chứng minh rằng d cắt (C) x+2 tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi k1 , k 2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của

 −1 4

TR ẦN

1  2 3 xy 1 + 9 y + 1 = x +1 − x   x 3 (9 y 2 + 1) + 4( x 2 + 1) x = 10 

)

(

2) Giải hệ phương trình:

π

H Ư

 

1) Giải phương trình: sin 4 x + cos 4 x = 4 2 sin x −

1 1 1 1 1 + + + + ... + 1.0!.2013! 2.1!.2012! 3.2!.2011! 4.3!.2010! 2014.2013!.0!

1) Rút gọn biểu thức:

10 00

Câu III (2,0 điểm)

  . 

ÁN

-L

Í-

5  u1 = 2  n 1 2) Cho dãy số (un) thỏa mãn:  (n ∈ N *) . Tìm lim ∑  k =1 u k u = 1 u 2 − u + 2 n  n +1 2 n

ÀN

Câu IV (3,0 điểm) = 900 , BSC = 1200 . Gọi M, N 1) Cho khối chóp S . ABC có SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a, AS B = SAC lần lượt trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = 2a. Chứng minh tam giác AMN vuông. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB) theo a. 2) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng trên các đoạn AB và CD sao cho

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Câu II (2,0 điểm)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

2) Cho hàm số y =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số y = x 3 + 2mx 2 − 3x (1) và đường thẳng (∆) : y = 2mx − 2 (với m là tham số). Tìm m để đường thẳng (∆ ) và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 17 (với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc toạ độ).

IỄ N

BM = DN. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN.

Câu V (1,0 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn: xyz = 2 2 x8 + y8 y8 + z8 z 8 + x8 Chứng minh rằng: 4 + + ≥8 x + y4 + x2 y2 y4 + z4 + y2 z2 z4 + x4 + z2 x2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

……………..Hết……………….. Họ và tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh: …………………...............

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Chữ ký của giám thị 1:………………………….Chữ ký của giám thị 2:.............................................

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) (Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

Nội dung

1) Cho hàm số y = x 3 + 2mx 2 − 3x (1) và đường thẳng (∆) : y = 2mx − 2 (với m là tham

1,0đ

số). Tìm m để đường thẳng (∆ ) và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A,

Điểm

ẠO

và O là gốc toạ độ).

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và ( ∆ ) là nghiệm phương trình: x3 + 2mx 2 − 3x = 2mx − 2 ⇔ x3 + 2mx 2 − (2m + 3) x + 2 = 0 x = 1 ⇔ ( x − 1)  x 2 + (2m + 1) x − 2  = 0 ⇔  2 .  x + (2m + 1) x − 2 = 0 (2)

0,25

TR ẦN

Vậy (∆ ) và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai

10 00

(2m + 1) 2 + 8 > 0 ⇔ m ≠ 0. nghiệm phân biệt x ≠ 1 ⇔  1 + 2 m + 1 − 2 ≠ 0  Khi đó, ba giao điểm là A(1;2m-2), B( x1; 2mx1 − 2), C( x2 ; 2mx2 − 2) , trong đó x1; x 2

0,25

là nghiệm phương trình (2) nên x1 + x 2 = −2m − 1, x1x 2 = −2

1 2 BC.d . Trong đó d = d(O; ∆ ) = 2 1+4m 2 BC 2 = ( x2 − x1 ) 2 + (2mx2 − 2mx1 ) 2 = ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2  ( 4m 2 + 1)

-L

Í-

Tam giác OBC có diện tích S =

ÁN

2 ⇒ BC = ( 2m + 1) + 8 ( 4m 2 + 1)  

2) Cho hàm số y =

ÀN

Vậy S = 17 ⇔

IỄ N

1,0đ

⇒S=

( 2m + 1)

m = 1 4m 2 + 4m + 9 = 17 ⇔  (TM)  m = −2

0,25 0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 17 (với A là điểm có hoành độ không đổi

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Câu

2x + 3 có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = - 2x + m. Chứng minh x+2

rằng d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi k1 , k 2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để P = (k1 )2013 + (k 2 )2013 đạt giá trị nhỏ nhất.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d:  x ≠ −2 2x + 3 = −2 x + m ⇔  2 x+2 2 x + (6 − m) x + 3 − 2m = 0(*)

luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.

0,25

(x1 x2 + 2 x1 + 2 x 2 + 4 )2

= 4 (k1>0, k2>0)

0,25

1 1 = ⇔ ( x1 + 2) 2 = ( x 2 + 2) 2 2 ( x1 + 2) ( x 2 + 2) 2

H Ư

k1 = k 2 ⇔

Có P = (k1 )2013 + (k 2 )2013 ≥ 2. (k1 k 2 )2013 = 2 2014 , do dó MinP = 22014 đạt được khi

0,25

TR ẦN

do x1 , x 2 phân biệt nên ta có x1 +2 = - x2 - 2 ⇔ x1 + x2 = - 4 ⇔ m = - 2. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.

II1

π 1) Giải phương trình: sin 4 x + cos 4 x = 4 2 sin x −  − 1 (1)



4

10 00

1,0đ

PT(1) ⇔ 2sin2x.cos2x + 2cos22x =4(sinx – cosx) ⇔ (cosx – sinx). [(cos x + sin x)(sin 2 x + cos 2 x) + 2] = 0 π *) cos x − sin x = 0 ⇔ x = + kπ

0,25 0,25

Í-

*) (cosx + sinx)(sin2x + cos2x) + 2 = 0 ⇔ cosx + sin3x + 2 = 0 (2) cos x = −1 ⇔ hệ vô nghiệm. sin 3 x = −1

0,25

ÁN

*) Vì cos x ≥ −1; sin 3x ≥ −1, ∀x nên (2) ⇔ 

2) Giải hệ phương trình:

IỄ N

1,0đ

ÀN

II2

Vậy PT có nghiệm là: x =

+ kπ (k ∈ Z ) 4 1  2 (1) 3xy 1 + 9 y + 1 = x +1 − x   x 3 (9 y 2 + 1) + 4( x 2 + 1). x = 10(2) 

)

(

0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(x1 + 2)2 (x2 + 2)2

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

k1 .k 2 =

1 1 , k2 = , trong đó x1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình (*), ta thấy 2 ( x1 + 1) ( x 2 + 1) 2

ẠO

k1 =

U Y

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Xét phương trình (*), ta có: ∆ > 0, ∀m ∈ R và x = -2 không là nghiệm của (*) nên d

0,25

ĐK: x ≥ 0 NX: x = 0 không TM hệ PT Xét x > 0 PT (1) ⇔ 3 y + 3 y 9 y 2 + 1 =

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x +1 + x x

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇔ 3 y + 3 y (3 y ) + 1 =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 1

0,25

 1    + 1 (3) x  x

Từ (1) và x > 0 ta có: y > 0. Xét hàm số f(t)= t + t. t 2 + 1 , t > 0.

U Y .Q

1 3

G H Ư

1 3

III1

1) Rút gọn biểu thức:

1,0đ

TR ẦN

KL: Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (1; ).

0,25

10 00

1 1 1 1 1 1 + + + + ... + + ... + 1.0!.2013! 2.1!.2012! 3.2!.2011! 4.3!.2010! ( k + 1).k!.(2013 − k )! 2014.2013!.0!

k 2013 C 2013 1 +) Ta có: S = ∑ ⇒ S .2013!= ∑ k = 0 ( k + 1).k!.(2013 − k )! k =0 k + 1

0,25

2013

k C 2013 C k +1 2013! 2014! = = = 2014 k + 1 (k + 1)!.(2013 − k )! 2014.(k + 1)![2014 − (k + 1)]! 2014

+) Ta có:

0,25

-L

Í-

(k =0;1;…;2013)

k +1 C 2014 1 2014 k +) Do đó: S.2013!= ∑ = .∑ C 2014 2014 k =1 k = 0 2014 2013

1 2 2014 − 1 2 2014 − 1 ⇒ S = 2014 2014!

(

)

5  u1 = 2  n 1  2) Cho dãy số (un) thỏa mãn:  (n ∈ N *) . Tìm lim ∑  .  k =1 u k  u = 1 u 2 − u + 2 n  n +1 2 n 1 +) Ta có: u n +1 − u n = (u n2 − 4u n + 4) ≥ 0, ∀n ⇒ Dãy không giảm. 2 Nếu có số M: un ≤ M với mọi n, thì tồn tại limun = L. Vì un ≥ u1 ⇒ L ≥ u1

0,25

IỄ N

III2

ÀN

+) S.2013! =

0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

0,25

Ta có g(1) = 0 Vậy pt g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Thế vào pt(2) ta được PT: x 3 + x 2 + 4( x 2 + 1). x = 10 Đặt g(x)= x 3 + x 2 + 4( x 2 + 1). x − 10 , x > 0. Ta có g’(x) > 0 với x > 0 ⇒ g(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0,+∞)

0,25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 1  1  ⇔ 3y = x  x

PT(3) ⇔ f(3y)= f 

Với x =1 ⇒ y =

>0. Suy ra f(t) luôn đồng biến trên (0,+∞)

t2 +1

t2 +1 +

Ta có: f’(t) = 1 +

1,0đ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

+) Khi đó ta có: L =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

0,25

1 2 L – L + 2 ⇔ L = 2. (Vô lý) 2

⇒ limun = + ∞

Ơ H

0,25

 n 1 1 1 1  ∑ ⇒ = − lim ∑ u1 − 2 u n+1 − 2 k =1 u k  k =1 u k n

+) Do đó:

1 1 1 1 1 1 − = ⇔ = − ( ∀n ∈ N * ) u n − 2 u n u n +1 − 2 u n u n − 2 u n +1 − 2

 1  = =2 u − 2  1

0,25

U Y

⇔

1 1 = u n (u n − 2) 2(u n +1 − 2)

= 900 , BSC = 1200 . 1) Cho khối chóp S . ABC SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a, AS B = SAC

1,5đ

Gọi M, N lần lượt trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = 2a. Chứng minh tam

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

giác AMN vuông. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB) theo a .

Dùng ĐL Cosin tính được:

H Ư

TR ẦN

A C

10 00

MN = 2a 3

0,25

Í-

AM= 2a 2 , AN=2a (Tam giác vuông SAC có SC=2SA nên góc ∠ASC = 600) ⇒ tam 0,25 giác AMN vuông tại A. Gọi H là trung điểm của MN, vì SA = SM = SN và tam giác AMN vuông tại 0,25

-L

A. ⇒ SH ⊥ ( AMN ) ; tính được SH = a.

0,25

ÁN

2 2a 3 Tính được VS . AMN = 3 VS . AMN SM .SN 1 = = ⇒ VS . ABC = 2 2a 3 VS . ABC SB.SC 3

ÀN

0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

IV1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

+) Ta có: u n2 − 2u n + 4 = 2u n +1 ⇔ u n (u n − 2) = 2(u n +1 − 2) ⇔

IỄ N

0,25 3VS . ABC 6a 3 2 = = 2a 2 2 S∆SAB 3a 2) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng trên đoạn AB và

IV2

Vậy d (C ;( SAB )) =

đoạn CD sao cho BM = DN. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

0,25

BM DN = x , với 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ = x . Khi đó ta có: BM = x.BA và DN = x.DC BA DC

0,25

+) Ta có: DN = x.DC ⇔ BN − BD = x( BC − BD) ⇔ BN = x.BC + (1 − x).BD

0,25

a2 a2 a2 − 2 x 2 . − 2 x(1 − x) 2 2 2

U Y

+) MN2 = x 2 a 2 + (1 − x) 2 a 2 + x 2 a 2 + 2 x(1 − x)

Do đó: MN = BN − BM = x.BC + (1 − x).BD − x.BA

= a2 [x 2 + (1 − x) 2 + x 2 + x(1 − x) − x 2 − x(1 − x)] = (2x2 – 2x + 1)a2

TP Đ

a 2 khi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. 2

0,25

H Ư

+) MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng

0,25

ẠO

1 1 max f ( x) = f (0) = f (1) = 1, min f ( x) = f ( ) = 2 2

0,25

TR ẦN

+) MN đạt giá trị lớn nhất bằng a khi M ≡ B, N ≡ D hoặc M ≡ A, N ≡ C. Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn: x.y.z = 2 2

1,0đ

x8 + y8 y8 + z8 z 8 + x8 + + ≥8 x4 + y4 + x2 y2 y4 + z4 + y2 z2 z4 + x4 + z2 x2

Chứng minh rằng:

10 00

a2 + b2 3(a 2 + b 2 ) nên a 2 + b 2 + ab ≤ Dấu“=”có ⇔ a=b 2 2

Í-

Do ab ≤

0,25

+) Đặt a = x2, b = y2, c = z2 , từ giả thiết ta có: a>0, b>0, c>0 và a.b.c = 8

a4 + b4 a4 + b4 a4 + b4 1 ≥ (a 2 + b 2 ) (1). ≥ . Ta s ẽ ch ứ ng minh: 2 2 3 2 3 a + b + ab 3 2 a + b2 a + b2 2 2

-L

+) Ta có:

(

)

(

0,25

)

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

+) Xét hàm số f(x) = 2x2 – 2x + 1 trên đoạn [0;1] ta có:

Do đó ta được:

a4 + b4 1 2 2 ≥ (a 2 + b 2 ) Dấu“=”có ⇔ a =b ⇔ a=b 2 2 a + b + ab 3

+) Áp dụng BĐT trên ta có:

IỄ N

ÀN

Thật vậy: (1) ⇔ 2( a 4 + b 4 ) ≥ (a 2 + b 2 ) 2 ⇔ (a2 – b2)2 ≥ 0 (luôn đúng).

b4 + c4 1 ≥ (b 2 + c 2 ) Dấu“=”có ⇔ b=c 2 2 b + c + bc 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

+) Đặt

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1,5đ

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

0,25

c4 + a4 1 ≥ (c 2 + a 2 ) Dấu“=”có ⇔ c=a 2 2 c + a + ca 3

Cộng các vế các BĐT trên ta được:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a4 + b4 b4 + c4 c4 + a4 2 + + ≥ (a 2 + b 2 + c 2 ) (2) Dấu“=”có ⇔ a=b=c 2 2 2 2 2 2 a + b + ab b + c + bc c + a + ca 3

0,25

2 2 (a + b 2 + c 2 ) ≥ 2.3 a 2 b 2 c 2 = 8 .Dấu“=”có ⇔ a=b=c 3

+) Theo BĐT Cô-si ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Do đó ta có ĐPCM. Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Trường THPT Nguyễn Duy Thì

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

U Y

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1).

2 IB , với I (2, 2) .

G N

H Ư

2. Giải phương trình:

(x, y ∈ ℝ).

sin 2x + 3tan 2x + sin 4 x = 2. tan 2 x − sin 2 x

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2  x − y) (  2x +1 + 2y +1 = 2 1. Giải hệ phương trình:  ( x + y)( x + 2y) + 3x + 2y = 4 

ẠO

Câu 2 (2 điểm):

Câu 3(1 điểm):

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có, điểm C thuộc vào đường

10 00

thẳng có phương trình: x − y + 4 = 0 . Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn AB có phương trình: 3 x − 4 y − 23 = 0 . Tìm tọa độ của B và C , biết điểm B có hoành độ dương.

Câu 4 (2 điểm): Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh

Í-

a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SCD ) và mặt phẳng đáy bằng

-L

600 .

ÁN

1. Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a . 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DB theo a .

1 a2 + b2 + c2 + 1

−

2 ( a + 1 )( b + 1 )( c + 1 )

IỄ N

ÀN

Câu 5(1 điểm) : Cho a, b, c là ba số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ngang lần lượt tại A, B sao cho AB =

2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2x − 3 (1) x−2

Câu 1(3 điểm): Cho hàm số: y =

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TXĐ: D = R \ {2}

0,5

< 0 ∀x ∈ D

H Ư

⇒ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Hàm số không có cực trị. Bảng biến thiên:

+∞

0,25

10 00

+∞

TR ẦN

x -∞ y ’ y 2

0,25

( x − 2)

−1

-∞

0,5

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2) Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0) Đồ thị:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x → 2+

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇒ phương trình đường TCĐ: x = 2

ẠO

lim y = −∞;lim y = +∞

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x →±∞

y/ =

N U Y

⇒ phương trình đường TCN: y = 2

lim y = 2 x → 2−

Điểm 1,5

Lời giải 2x − 3 Cho hàm số: y = . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của x−2 hàm số .

Câu Ý

Trường THPT Nguyễn Duy Thì KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN

Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho AB = 2IB , với I(2;2). 0,55

 2 x0 − 3  Gọi M  x0 ;  ∈ (C ) x − 2 0  

( x0 − 2 )

= −1 ⇔   x0 = 3

ẠO

( x0 − 1)

 ( x − y)  2x +1 + 2y +1 =  2 ( x + y)( x + 2y) + 3x + 2y = 4  2

1,0

(2)

TR ẦN

x, y ∈ℝ

0,25

10 00

1   x ≥ − 2 Đk:  y ≥ − 1  2

(1)

0,25

G N

⇒ có hai phương trình tiếp tuyến: y = −x + 2 ; y = − x + 6 1 Giải hệ phương trình:

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇔

0,25

x + y −1 = 0 Pt(2) ⇔ x 2 + ( 3 y + 3 ) x + 2 y 2 + 2 y − 4 = 0 ⇔   x + 2 y + 4 = 0 (loai )

Í-

( x + y) 2 y +1 =

− 4 xy

ÁN

-L

Pt(1) ⇔ 2 x + 1 +

 ( x + y )2 − 4 xy  ⇔ 2 ( x + y ) + 2 + 2 4 xy + 2 ( x + y ) + 1 =     2  

IỄ N

ÀN

⇔ 8 4xy + 3 = ( 4 xy + 3)( 4xy − 5)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

U Y

0,5 Do AB = 2 IB và tam giác AIB vuông tại I ⇒ IA = IB nên hệ số góc −1 < 0 nên ta có hệ số góc của tiếp tuyến k = 1 hoặc k = -1. vì y / = 2 ( x − 2) tiếp tuyến k = -1. 0,25  x0 = 1 −1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2 x02 − 6 x0 + 6

( x0 − 2 )

PTTT của (C) tại M: y = −

4 xy + 3 = 0 ⇔ 2 ( 4 xy − 5) 4 xy + 3 = 8 (loai) (do 1 = ( x + y ) ≥ 4 xy ⇒ 4 xy − 5 < 0)

1  3  x= x + y = 1 x = −    2  2 Hệ đã cho tương đương:  ∨ 3⇔ xy = − y = 3 y = − 1  4 2 2  

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 1 3  3 1 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm:  − ;  ,  ; −   2 2  2 2 2 sin 2x + 3tan 2x + sin 4x =2 Giải phương trình: tan 2x − sin 2x cos 2 x ≠ 0 Đk:  (*)  tan 2 x − sin 2 x ≠ 0 Pt tương đương: 3 sin 2 x + tan 2 x + sin 4 x = 0 ⇔ 3sin 2 x cos 2 x + sin 2 x + sin 4 x cos 2 x = 0

+ kπ

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5, −7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x − y + 4 = 0 . Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn AB có phương trình: 3 x − 4 y − 23 = 0 . Tìm tọa độ của B và C , biết điểm B có hoành độ dương. Gọi C ( c; c + 4 ) ∈ d1 , M là trung điểm AB, I là giao điểm của AC và d2: 3x – 4y – 23 = 0. Ta có △ AIM đồng dạng △CID  c + 10 c − 10  ⇒ CI = 2 AI ⇒ CI = 2 IA ⇒ I  ;  3   3 c + 10 c − 10 −4 − 23 = 0 ⇔ c = 1 Mà I ∈ d 2 nên ta có: 3 3 3 Vậy C(1;5). 3t − 9   3t − 23   Ta có: M ∈ d 2 ⇒ M  t;  ⇒ B  2t − 5;  4  2     3t + 5   3t − 19  AB =  2t − 10;  , CB =  2t − 6;  2  2    t = 1 1 Do AB.CB = 0 ⇔ 4 ( t − 5 )( t − 3) + ( 3t + 5 )( 3t − 19 ) = 0 ⇔  29 t = 4 5 

1,0

10 00

0,25

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

0,25

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0,25

H Ư

Phương trình có 2 họ nghiệm: x = ±

TR ẦN

+ kπ thỏa mãn (*)

.Q Đ

ẠO

0,25

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

π    x = 2 + kπ cos 2 x = −1  cos 2 x + 1 = 0  π ⇔ ⇔ sin 2 x = 0 ⇔  x = k  2 sin 4 x + sin 2 x = 0  1  cos 2 x = −  x = ± π + kπ  2  3 π

U Y

0,25

⇔ ( cos 2 x + 1)( sin 2 x + sin 4 x ) = 0

Nghiệm x = ±

0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

10 00

0,25

1,0 0,25

ÁN

-L

Í-

0,25 0,25

ÀN

IH BH BH . AD a 5 = ⇔ IH = = AD BD BD 10 1 1 1 a 3 = + ⇒ HK = Xét △ SHI vuông tại H, ta có: 2 2 2 HK HS HI 8 a 3 Vậy d ( BD , SA) = 4 Cho a, b, c là ba số duơng. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

IỄ N

Ta có △ BIH đồng dạng △ BAD ⇒

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

a 3 2 Góc giữa (SCD) và mặt đáy là ∠SMH = 600 SH a = Ta có HM = 0 tan 60 2 2 1 a a 3 a3 3 ⇒ VS . ABCD = . . = 3 2 2 12 2 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DB theo a . Kẻ đường thẳng d đi qua A và d//BD. Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng ∆ đi qua H , ∆ ⊥ d và ∆ cắt d tại J, ∆ cắt BD tại I. trong (SHI) kẻ HK vuông góc với SI tại K. Khi đó: d( BD , SA) = d( I ,( S ,d ) ) = 2d( H ,( S ,d ) ) = 2d( H ,( SBD ) ) = 2 HK SH =

0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD SH ⊥ AB  Ta có:  ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) ( SAB ) ⊥ ( ABCD )

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

 B( −3; −3) (loai )  33 21   ⇒  33 21  ⇒ B ;  B  ;   5 5   5 5  1 Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác 1,0 SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600 . 1. Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a .

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

0,5

1,0

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(t > 1)

f’(t)

ẠO

+∞

1/4

TR ẦN

f(t) 0

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

a + b + c = 3 1  Vậy giá trị lớn nhất của P = khi a = b = c ⇔ a = b = c = 1 4 c = 1 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0,25

t = 4 2 162 + ; f / (t ) = 0 ⇔  4 2 t (t + 2) t = 1(loai )

với t = a + b + c + 1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

f / (t ) = −

2 54 − = f (t ) t ( t + 2 )3

0,25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

( c + 1) +

a +b +c

H Ư

1 1 2 2 2 = ( a + b) + ( c + 1)  ≥ ( a + b + c + 1)   2 2 2 4 3 3  a +1+ b +1+ c +1  a + b + c + 3  ( a + 1)( b + 1)( c + 1) ≤   =  3 3     2 54 Vậy P ≤ − a + b + c + 1 ( a + b + c + 3) 3 2

( a + b) +1 ≥

2 ( a + 1 )( b + 1 )( c + 1 )

a2 + b2 + c2 + 1

−

U Y

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI : TOÁN - Vòng 1 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (2 điểm)

x−2 có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C). Tiếp tuyến x +1 của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M.

ẠO

1. Giải phương trình sin 2012 x + cos 2012 x =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 2 (2 điểm) 1005

2 2  x + x + 1 = y + y − 1 2. Giải hệ phương trình  2 2  x + y − xy = 1 Câu 3 (2 điểm) 9 3  π 1. Chứng minh tan x + sin x ≥ x + ( 3 − π ), ∀x ∈  0;  . Từ đó suy ra trong 2 2  2

TR ẦN

H Ư

10 00

mọi tam giác nhọn ABC ta có tan A + tan B + tan C + sin A + sin B + sin C ≥

9 3 . 2

2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 + 4 − x − 16 − x 2 .

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Câu 4 (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a. 2. M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho = 450 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp MAN S.AMN.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2. Tìm m để hàm số y = 9 x + m x 2 + 9 có cực đại.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

1. Cho hàm số y =

Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh a 2 + ab + 1 b 2 + bc + 1 c 2 + ca + 1 + + ≥ 5( a + b + c) 2 2 2 2 2 2 a + 3ab + c b + 3bc + a c + 3ca + b …………………Hết………………….

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Í-

TH 1. m 2 ≤ 81 ⇔ −9 ≤ m ≤ 9 ⇒ m . x ≤ 9 x < 9 x 2 + 9(∀x ) nên

-L

9 x 2 + 9 + mx

ÁN

y' =

x2 + 9

> 0, ∀x suy ra hàm số đồng biến trên ℝ , không 0,25

có cực trị.

IỄ N

ÀN

TH 2. m > 9 ⇒ ( I ) ⇔ x1 =

y ''( x1 ) =

9m ( x12 + 9) x12 + 9

−27 m 2 − 81

> 0 ⇒ x1 là điểm cực tiểu ⇒ m > 9 loại

TH 3. m < −9 ⇒ ( I ) ⇔ x2 =

0,25

27 m 2 − 81

< 0 ⇒ x2 là điểm cực đại. ( x22 + 9) x22 + 9 Vậy hàm số có cực đại ⇔ m < −9

y ''( x2 ) =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,25

y ' = 0 ⇔ 9 x 2 + 9 + mx = 0 ⇔ 9 x 2 + 9 = −mx ⇔ mx < 0 mx < 0 ⇔ (I)   2 2 2 2 2 81( 9) ( 81) 81.9 x + = m x m − x =  

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Chữ ký của giám thị 1:………………….Chữ ký của giám thị 2:……………………… ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Câu Ý Nội dung Điểm CM tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M I 1 1,00 3 3  a−2 M ∈ (C ) ⇒ M  a; ⇒ y '( a ) = 0,25  , a ≠ −1 . y ' = ( x + 1) 2 (a + 1) 2  a +1  3 a−2 Tiếp tuyến của (C) tại M có pt y = (∆) x a ( − ) + (a + 1) 2 a +1 Tiệm cận đứng ∆1 có phương trình x = −1 0,25 Tiệm cận ngang ∆ 2 có phương trình y = 1 ⇒ I (−1;1) a −5  ∆ ∩ ∆1 = A ⇒ A  −1; 0,25  , ∆ ∩ ∆ 2 = B ⇒ B ( 2a + 1;1) a +1   1 1 a−5 1 6 − 1 . 2a + 2 = . .2 a + 1 = 6 (không S IAB = IA.IB = 2 2 a +1 2 a +1 0,25 phụ thuộc vào a, đpcm) 2 1,00 Tìm m để hàm số y = 9 x + m x 2 + 9 có cực đại mx 9m , y '' = TXĐ: ℝ , y ' = 9 + ( x 2 + 9) x 2 + 9 x2 + 9

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Giải phương trình sin 2012 x + cos 2012 x =

1 21005

Đặt t = sin 2 x, t ∈ [ 0;1] . (1) có dạng: t1006 + (1 − t )1006 =

1,00

(1) 1

1005

(2)

0,25

Xét hàm số f (t ) = t1006 + (1 − t )1006 , t ∈ [ 0;1]

1 2

0,25

H Ư

⇒ x 2 − 2 xy + y 2 = y 2 − 1 + x 2 + 1 − 2 ( y 2 − 1)( x 2 + 1)

TR ẦN

⇔ xy = ( y 2 − 1)( x 2 + 1) ⇒ x 2 y 2 = x 2 y 2 + y 2 − x 2 − 1 ⇔ x 2 − y 2 = −1

 x 2 − y 2 = −1 x = 0 2 ⇒ 2 x − xy = 0 ⇔ Kết hợp với (2) ta được  2  2  y = 2x  x + y − xy = 1

0,25

10 00

x = 0 & (2) ⇒ y 2 = 1 ⇔ y = ±1

1 1 2 ⇔ x=± ⇒ y=± 3 3 3 1 2 Thử lại ta có x = 0, y = 1 và x = ,y= thỏa mãn hệ pt 3 3 Vậy hệ có 2 nghiệm như trên 9 3  π Chứng minh tan x + sin x − x ≥ ( 3 − π ), ∀x ∈  0;  . 1 2 2  2 9  π Xét hàm số f ( x) = tan x + sin x − x trên  0;  2  2

0,25

1,00

f '( x) =

1 9 2cos3 x − 9cos 2 x + 2 (2cos x − 1)(cos 2 x − 4cos x − 2) + cos x − = = cos 2 x 2 2cos 2 x 2cos 2 x

 π Vì x ∈  0;  ⇒ 0 < cosx<1 ⇒ (cos 2 x − 2) − 4cos x < 0 ⇒ f '( x ) cùng  2 dấu với 1 − 2cos x . Bảng biến thiên của f ( x)

IỄ N

ÀN

ÁN

III

-L

Í-

y = 2 x & (2) ⇒ 3 x 2 = 1 ⇔ x 2 =

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ĐK: y ≥ 1 . (1) ⇔ x − y = y 2 − 1 − x 2 + 1

1,00

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

1 1 1 1 f (0) = f (1) = 1, f   = 1005 ⇒ min f (t ) = 1005 Vậy (2) ⇔ t = [0;1] 2 2 2 2 π π 1 hay (1) ⇔ sin 2 x = ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x = + k ( k ∈ Z ) 2 4 2 2  x + x + 1 = y + y 2 − 1 (1) Giải hệ phương trình  2 2 2 (2)  x + y − xy = 1

0,25

f '(t ) = 1006[t 1005 − (1 − t )1005 ] ; f '(t ) = 0 ⇔ t =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

f '( x)

3 0

2 +

f ( x)

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 π Áp dụng: Tam giác ABC nhọn nên A, B, C ∈  0;  ⇒  2 9 3 0,25 tan A + sin A ≥ A + ( 3 − π ) . Tương tự, cộng lại ta được 2 2 9 9 tan A + tan B + tan C + sin A + sin B + sin C ≥ ( A + B + C ) + ( 3 − π ) 2 2 Kết hợp với A + B + C = π ta có đpcm 2 1,00 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 + 4 − x − 16 − x 2

10 00

TXĐ: D = [ −4;4] . Đặt t = x + 4 + 4 − x , t ≥ 0 . Bình phương ta

được t 2 = 8 + 2 ( x + 4)(4 − x) ≥ 8 . Dấu bằng có khi x= ±4 Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có t 2 = 8 + 2 ( x + 4)(4 − x) ≤ 8 + ( x + 4) + (4 − x) = 16 .D bằng có khi x=0

ÁN

-L

Í-

Do t ≥ 0 ⇒ 2 2 ≤ t ≤ 4 t2 − 8 1 = − t 2 + t + 4, t ∈  2 2;4  Khi đó y = f (t ) = t − 2 2 f '(t ) = −t + 1, f '(t ) = 0 ⇔ t = 1 (loại)

f (2 2) = 2 2, f (4) = 0 .

Vậy min y = min f (t ) = 0 khi x=0, max y = max f (t ) = 2 2 khi

 2 2;4   

[ −4;4]

2 2;4   

0,25 0,25 0,25

x= ±4

Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a

1,50

IỄ N

ÀN

[ −4;4]

0,25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

U Y

0,25

ẠO

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x =

3 ( 3 −π) 2 9 3  π Vậy f ( x) = tan x + sin x − x ≥ ( 3 − π ), ∀x ∈  0;  2 2  2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

TR ẦN

H Ư

BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB ' SC ⊥ ( P ) ⇒ SC ⊥ AB ' ⇒ AB ' ⊥ ( SBC ) ⇒ AB ' ⊥ SB Tương tự AD ' ⊥ SD VS . AB ' C ' D ' = VS . AB ' C ' + VS . AD ' C ' (1)

0,25

VS . AD ' C ' SD ' SC ' SD '.SD SC '.SC SA2 SA2 3 3 9 = . = . = . = . = VS . ADC SD SC SD 2 SC 2 SD 2 SC 2 4 5 20

(2)

0,25

10 00

VS . AB ' C ' SB ' SC ' SB '.SB SC '.SC SA2 SA2 3 3 9 = . = . = 2. 2 = . = 4 5 20 VS . ABC SB SC SB 2 SC 2 SB SC

0,25

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

1 1 2 a3 3 Do VS . ABC = VS . ADC = . a .a 3 = 3 2 6 Cộng (1) và (2) theo vế ta được VS . AB ' C ' VS . AD ' C ' 9 9 9 a 3 3 3 3a 3 + 3 = + ⇔ VS . AB ' C ' D ' = . = 10 6 20 a3 3 a 3 20 20 6 6 Tìm max và min của thể tích khối chóp S.AMN 2 ( Hình vẽ trang cuối) 1 VS . AMN = .S AMN .a 3 . Đặt BM = x, DN = y ; x, y ∈ [ 0; a ] 3 Trên tia đối của tia DC lấy điểm P sao cho DP = BM = x = DAP ∆ABM = ∆ADP ⇒ AM = AP, BAM = 450 ⇒ BAM + DAN = 450 ⇒ NAP = DAP + DAN = 450 MAN

1 1 AD.PN = a ( x + y ) (*) 2 2 Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông CMN ta được ⇒ ∆MAN = ∆PAN ⇒ S MAN = S PAN =

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1,50

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0,25 0,25

U Y

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,25 0,25 0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

MN 2 = MC 2 + CN 2 ⇔ ( x + y ) 2 = (a − x) 2 + (a − y ) 2 x 2 + y 2 + 2 xy = a 2 + x 2 − 2ax + a 2 + y 2 − 2ay ⇔ xy + a( x + y ) = a 2 0,25

a 2 − ax ⇔ y= x+a

a 2 + 3ab + c 2

b 2 + bc + 1

b 2 + 3bc + a 2

10 00

a 2 + ab + 1

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

f (0) = f (a ) =

c 2 + ca + 1

c 2 + 3ca + b 2

≥ 5( a + b + c)

x2 ∀x, y > 0 ta có x + y ≥ 2 xy ⇔ x ≥ 2 xy − y ⇔ ≥ 2x − y y 2

a 2 + ab + 1

a 2 + 3ab + c 2

Í-

⇒

-L

1,00 0,25

(a 2 + ab + 1) 2 ≥ 2( a 2 + ab + 1) − (a 2 + 3ab + c 2 ) 2 2 a + 3ab + c

= 2 + a 2 − c 2 − ab ≥ 2( a 2 + b 2 + c 2 ) + a 2 − c 2 −

ÁN

0,25

a 2 + b2 2

0,25

IỄ N

ÀN

5a 2 + 3b 2 + 2c 2 (10)(a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + b 2 + b 2 + b 2 + c 2 + c 2 ) = = 2 20

(a + a + a + a + a + b + b + b + c + c) 2 5a + 3b + 2c = 2 5 2 5 Tương tự, cộng lại ta được a 2 + ab + 1 b 2 + bc + 1 c 2 + ca + 1 + + ≥ 5( a + b + c) a 2 + 3ab + c 2 b 2 + 3bc + a 2 c 2 + 3ca + b 2 1 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 3 ≥

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a2 , f (( 2 − 1)a ) = a 2 ( 2 − 1) 2 a2 ⇒ max f ( x) = , min f ( x ) = a 2 ( 2 − 1) [0;a ] 2 [0;a ]  M ≡ B, N ≡ C a3 3 Vậy max VS . AMN = khi  6 M ≡ C, N ≡ D 3( 2 − 1)a 3 khi MB = ND = a ( 2 − 1) min VS . AMN = 3

0,25

f '( x) = 0 ⇔ x = ( 2 − 1)a .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

a 2 − ax 1 Thế vào (*) ta được S MAN = a( x + ) 2 x+a a  x2 + a2  a x 2 + 2ax − a 2 Đặt f ( x) =  '( ) . ⇒ f x =  2 x + a  2 ( x + a)2

0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B x 450

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

G N

H Ư

b) Giải phương trình: 2 x 2 − 11x + 23 = 4 x + 1

TR ẦN

Câu 3 (2 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (1;4) . Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B(tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB.

10 00

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 9 và điểm A(1; −2) . Đường thẳng ∆ qua A, ∆ cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.

-L

Í-

Câu 4 (3 điểm) a) Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2 .

ÁN

b) Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn:

1 1 1 = 2 + 2 (trong đó AB=c; AC=b; 2 ha b c

đường cao qua A là ha ).

IỄ N

ÀN

Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng: 2 2 2 a − b) + (b − c ) + ( c − a ) ( 2a 2b 2c + + ≥3+ 2 b+c c+a a+b (a + b + c)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

3 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

3 3 3 a) Giải phương trình: (4 x − x + 3) − x =

Câu 2 (2 điểm)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

− x 2 + 8 x − 12 > 10 − 2 x

b) Giải bất phương trình:

U Y

Câu 1 (2 điểm) a) Cho hàm số y = x 2 + 2mx − 3m và hàm số y = −2 x + 3 . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI : TOÁN - Vòng 2 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang)

…………………Hết…………………. Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Chữ ký của giám thị 1:………………….Chữ ký của giám thị 2:……………………… Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Điểm

− x 2 + 8 x − 12 > 10 − 2 x

1,00

TXĐ: − x 2 + 8 x − 12 ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 6

0,25

Nếu 5 < x ≤ 6 thì − x 2 + 8 x − 12 ≥ 0 > 10 − 2 x , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x: 5 < x ≤ 6 10 − 2 x ≥ 0 Nế u 2 ≤ x ≤ 5 ⇒  bất pt đã cho 2 − + 8 − 12 ≥ 0 x x 

10 00

0,25

Í-

⇔ − x 2 + 8 x − 12 > 4 x 2 − 40 x + 100 ⇔ 5 x 2 − 48 x + 112 < 0 ⇔ 4 < x <

28 5

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có: 4 < x ≤ 5 Tập nghiệm của bpt đã cho: (4;6] 3 3 3 3 Giải phương trình: (4 x − x + 3) − x = (1) a 2 2 y 3 − 2 x 3 = 3 ( I ) Khi đó nghiệm Đặt y = 4 x − x + 3 . (1) có dạng:  3 4 x − x + 3 = y của (1) là x ứng với (x;y) là nghiệm của (I) 3 3 2 y 3 − 2 x3 = 3 2 y − 2 x = 3(2) ⇔ (I) ⇔  3 2 2 3 ( x + y )(2 x − 2 xy + 2 y − 1) = 0(3) 2 x + 2 y − ( x + y ) = 0 3 TH1: y = -x kết hợp(2), có nghiệm của (1): x = − 3 4

0,25

1,00

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0,25

TR ẦN

Giải bất phương trình:

0,25

 m > −1 ∆' > 0 ⇔   m < −4 Kết hợp nghiệm, kết luận m < −4

0,25

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

0,25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1,00

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Câu Ý Nội dung 2 Tìm m: y = x + 2mx − 3m và y = −2 x + 3 cắt nhau tại hai điểm 1 a phân biệt và hoành độ dương Yêu cầu bài toán ⇔ PT sau có hai nghiệm dương phân biệt x 2 + 2mx − 3m = −2 x + 3 ⇔ x 2 + 2(m + 1) x − 3m − 3 = 0 ∆ ' > 0  ⇔ −3( m + 1) > 0 −2(m + 1) > 0 

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

U Y

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

0,25

0,25 0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TH2: 2 x 2 − 2 xy + 2 y 2 − 1 = 0; ∆ 'x = 2 − 3 y 2 . Nếu có nghiệm thì

2. 3

y≤

Chứng tỏ TH2 vô nghiệm. KL (1) có 1 nghiệm x = − 3 3 4

Giải phương trình: 2 x − 11x + 23 = 4 x + 1 ĐK: x ≥ −1 . (1) ⇔ 2( x 2 − 6 x + 9) + ( x + 1 − 4 x + 1 + 4) = 0

0,25

1,00

0,25

10 00

TR ẦN

H Ư

x y Giả sử A(a;0); B(0;b), a>0; b>0. PT đường thẳng AB: + = 1 a b 1 4 4 16 Vì AB qua M nên + = 1 ⇒ 1 ≥ 2 ⇒1≥ a b ab ab a = 2 ab 1 4 1 ⇒ ≥ 8;" = " ⇔ = = ⇔  2 a b 2 b = 8

Diện tích tam giác vuông OAB( vuông ở O)là S = 1 OA.OB = 1 ab ≥ 8 . 2

0,25 0,25 0,25

1,0

-L

Í-

Vậy S nhỏ nhất bằng 8 khi d qua A(2;0), B(0;8) b (C): ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 9 ; A(1; −2) . ∆ qua A, ∆ cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.

0,25

IỄ N

ÀN

ÁN

(C) có tâm I(2;-3), bán kính R=3. Có A nằm trong đường tròn(C) vì IA2 = (1 − 2) 2 + ( −2 + 3) 2 = 2 < 9 Kẻ IH vuông góc với MN tại H ta có IH 2 + HN 2 = IN 2 = 9 ⇒ MN 2 = 4 HN 2 = 4(9 − IH 2 )

Mà IH ⊥ AH ⇒ IH ≤ IA = 2 ⇒ MN 2 ≥ 4(9 − 2) = 28 ⇒ MN ≥ 2 7 Vậy MN nhỏ nhất bằng 2 7 khi H trùng A hay MN vuông góc với IA tại A Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi a AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2 Tứ giác lồi ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC ⇔ AB − DC = 0 2 2 2 ⇔ AB − DC = 0 ⇔ AB + DC − 2 AB.DC = 0

(

)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25 0,25 0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

2( x − 3) 2 + ( x + 1 − 2) 2 = 0 (*)  x − 3 = 0 Do a 2 ≥ 0(∀a ) nên pt(*) ⇔   x + 1 − 2 = 0 ⇔ x = 3 . Vậy pt đã cho có 1 nghiệm x=3 M (1;4) . Đg thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A; d cắt trục tung tại a B. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB( x A ; yB > 0 )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,25

U Y

0,25 1,00

2   Tương tự cũng có x ≤ . Khi đó VT (2) ≤ 4  2  = 8 2 < 3 . 3  3 3 3

0,25

1,5 0,25 0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇔ AB 2 + DC 2 − 2 AB.( AC − AD) = 0

0,25

⇔ AB 2 + DC 2 − ( AB 2 + AC 2 − BC 2 ) + ( AB 2 + AD 2 − BD 2 ) = 0 (*) 2 2 2 2 2 2 ( vì a − b = a − 2a.b + b ⇒ 2a.b = a + b − a − b )

0,25 0,25

(

)

(*) ⇔ AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2 (Đpcm) ( Chú ý: nếu chỉ làm được 1 chiều thì cho 0,75 đ) 1 1 1 b Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: 2 = 2 + 2 (1) ha b c Có a.ha = 2S = bc sin A

(1) ⇔ b 2 + c 2 = 4 R 2 ⇔ sin 2 B + sin 2 C = 1 ⇔ 1 − cos 2 B + 1 − cos 2C = 2 ⇔ cos 2 B + cos 2C = 0 ⇔ 2cos( B + C )cos( B − C ) = 0

Ơ H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y .Q

1 a2 4R2 = = ha2 b 2c 2 sin 2 A b 2c 2

0,25

⇒

1,5

ẠO

0,25

0,25 0,25 0,25

TR ẦN

H Ư

π π   B + C = 2 hay A = 2 ⇔ ( 0 < B + C < π ;0 ≤ B − C < π )  B −C = π  2

0,25

Vậy tam giác ABC vuông ở A hoặc có B − C = 2

2a 2b 2c + + ≥ 3+ b+c c+a a+b

2 2 ( a − b) + (b − c ) + ( c − a )

10 00

CMR :

0,25

(a + b + c)

; a, b, c > 0

2a 2b 2c −1+ −1 + −1 = b+c c+a a+b a−b+a−c b−c+b−a c−a+c−b + + b+c c+a a+b

XétM=

1,00

Í-

1 1 1 1 1 1 ) + (b − c)( ) + (c − a)( ) − − − b+c c+a c+a a+b a+b b+c 1 1 1 = ( a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a ) 2 (b + c)(c + a) (c + a)(a + b) (a + b)(b + c) 1 4 4 1 Vì ≥ > = ; 2 2 (b + c )(c + a ) ( a + b + 2c) (2a + 2b + 2c ) ( a + b + c) 2 1 ( a − b) 2 ( a − b) 2 ≥ 0 ⇒ ( a − b) 2 ≥ ;" = " ⇔ a = b (b + c)(c + a ) ( a + b + c) 2 Làm hoàn toàn tương tự với hai biểu thức còn lại 2 2 2 ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) (Đpcm); “=” ⇔ a = b = c Suy ra M ≥ 2 (a + b + c)

0,25

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

= (a − b)(

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Hình vẽ câu 3b:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

GIA LAI

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011

------------------

Môn thi: Toán - Bảng B

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 180 phút

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Ngày thi: 01/12/2010

Câu 2: (4 điểm)

H Ư

Giả sử a, b, c là các số thực thỏa mãn a < 2 ( b + c ) , b < 2 ( c + a ) , c < 2 ( a + b ) . a) Chứng minh rằng nếu phương trình x 2 − ( a + b + c ) x + ab + bc + ca = 0 có nghiệm thì các

4 a 3 + b3 + c3 + 15abc

(

)

( a + b + c )( ab + bc + ca )

< 6.

10 00

b) Chứng minh bất đẳng thức:

TR ẦN

nghiệm đều là số dương.

Câu 3: (4 điểm)

+ 3 x 3 + 3 x 2 + 2 x .P ( x ) = x 4 − x 3 + x − 1 .P ( x + 1) , với mọi x ∈ ℝ .

)

Í-

(

)

-L

Tìm tất cả các đa thức P ( x ) với hệ số thực, thỏa mãn đẳng thức

ÁN

Câu 4: (4,5 điểm)

Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c . Gọi r , R, p, S lần lượt là bán kính đường tròn nội

ÀN

tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nửa chu vi, diện tích của tam giác. Chứng minh rằng:

IỄ N

a) sin A.sin B.sin C =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3mn − 1 là số nguyên dương. mnp + 1

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Tìm tất cả các bộ 3 số nguyên dương ( m, n, p ) sao cho

Câu 1: (3 điểm)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

----------------------------------------------------------------------

S A B C p A B C r , cos .cos .cos = và sin .sin .sin = . 2 2R 2 2 2 4R 2 2 2 4R

b + c − a c + a − b a + b − c 3r + + ≥ . b+c c+a a+b R

Câu 5: (4,5 điểm)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cho tứ diện SABC có các cạnh SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi SM là

đường cao của tam giác BSC và I1 , I 2 lần lượt là các tâm đường tròn nội tiếp tam giác BSM , CSM . Đường thẳng I1I2 cắt SB tại P và SC tại Q . Chứng minh:

a) Tam giác PSQ vuông cân và SP = SM = SQ .

U Y

SAPQ .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

------------------HẾT-----------------

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

b) VSABC ≥ 2.VSAPQ , trong đó VSABC và VSAPQ lần lượt là thể tích của tứ diện SABC và tứ diện

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

GIA LAI

LỚP 12 THPT - NĂM HỌC 2010 - 2011

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ẦN

3mn − 1 = kmnp + k , hay 3mn − kmnp = k + 1 , hay mn =

k +1 .................................0,5 đ 3 − kp

10 00

Vì m, n, p và k là các số nguyên dương, nên mn và k + 1 cũng là số nguyên dương.

Do đó 3 − kp cũng là số nguyên dương...................................................................0,5 đ

-L

Í-

Suy ra ( k , p ) = (1,1) , ( 2,1) , (1, 2 ) ..............................................................................0,5 đ

ÁN

- Nếu ( k , p ) = (1,1) , thì mn = 1 . Do đó ( m, n ) = (1,1) .

- Nếu ( k , p ) = ( 2,1) , thì mn = 3 . Do đó ( m, n ) = ( 3,1) hoặc (1,3 ) .

ÀN

- Nếu ( k , p ) = (1, 2 ) , thì mn = 2 . Do đó ( m, n ) = ( 2,1) hoặc (1, 2 ) ................................0,5 đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G N H Ư

Thế thì, ta có

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

3mn − 1 = k , trong đó k là số nguyên dương........................................0,5 đ mnp + 1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 1: (3 điểm)

Giả sử rằng

U Y

----------------------------------------------------------------------------

Môn: Toán - Bảng B

( m, n, p ) = (1,1,1) , ( 3,1,1) , (1,3,1) , ( 2,1, 2 ) , (1, 2, 2 ) ....................................................0,5 đ

IỄ N

Vậ y

Câu 2: (4 điểm)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a) Từ giả thiết, suy ra rằng a + b + c < 4 ( a + b + c ) , hay a + b + c > 0 ...........................0,5 đ

Bây giờ, không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c .

ab + bc + ca = a ( b + c ) + bc > a ( a − b − c ) + bc (vì 2 ( b + c ) > a )................................0,5 đ

Khi đó, vì a + b + c > 0 nên a > 0 . Ta có

Suy ra ab + bc + ca > 0 ...............................................................................................0,5 đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x1 + x2 = a + b + c > 0 và x1 x2 = ab + bc + ca > 0 .......................................................0,5 đ

TR ẦN

H Ư

Suy ra x1 > 0 và x2 > 0 (đpcm).................................................................................0,5 đ

b) Vì a + b + c > 0 và ab + bc + ca > 0 nên bất đẳng thức đã cho tương đương với −4 a 3 + b 3 + c3 + 6 ( a + b + c )( ab + bc + ca ) − 15abc > 0 ,

Đặt

A = a 3 + b3 + c 3 ,

-L

Í-

C = ab + bc + ca ,

B = a+b+c , D = abc ,

(1)

)

10 00

(

ÁN

M = a2 + b2 + c2 .

a 3 + b3 + c 3 = ( a + b + c ) a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca + 3abc .

(

ÀN

Ta đã biết rằng

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Nếu phương trình x 2 − ( a + b + c ) x + ab + bc + ca = 0 có 2 nghiệm x1 ≥ x2 , thì

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

= ( a − b )( a − c ) ≥ 0 .

)

IỄ N

hay

A = B ( M − C ) + 3D .

(2).........................0,5 đ

- Chứng minh (1):

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta cần chứng minh −4 A + 6 BC − 15 D > 0 . Ta có:

⇔ −4  B ( M − C ) + 3D  + 6 BC − 15 D > 0

−4 A + 6 BC − 15 D > 0

(do (2))

U Y

⇔ −4 BM + 10 BC − 27 D > 0

⇔ 2 B 5C − 2 B 2 − 2C  − 27 D > 0

)

ẠO

(

⇔ 2 B 5C − 2 B 2 + 4C − 27 D > 0

)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(

⇔ 2 B 9C − 2 B 2 − 27 D > 0

)

(

H Ư

⇔ −4 B 3 + 18 BC − 27 D > 0

⇔ 8 B 3 − 12 B 3 + 18 BC − 27 D > 0 ...........................................................................0,5 đ

)

TR ẦN

(

10 00

⇔ 8B 3 − 12 ( a + b + c ) B 2 + 18 B ( ab + bc + ca ) − 27 abc > 0 ⇔ 8 B 3 − 12aB 2 − 12bB 2 − 12cB 2 + 18abB + 18bcB + 18caB − 27 abc > 0 ⇔ 2 B 4 B 2 − 6cB − 6bB + 9bc − 3a 4 B 2 − 6cB − 6bB + 9bc > 0

)

(

)

⇔ ( 2 B − 3a ) 4 B 2 − 6cB − 6bB + 9bc > 0

)

Í-

(

-L

⇔ ( 2 B − 3a )( 2 B − 3b )( 2 B − 3c ) > 0

ÁN

⇔ ( 2b + 2c − a )( 2c + 2a − b )( 2a + 2b − c ) > 0

ÀN

(hiển nhiên, do giả thiết)................................................................................0,5 đ

Đẳng thức đã cho tương đương với

IỄ N

Câu 3: (4 điểm)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇔ 2 B ( 5C − 2M ) − 27 D > 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

⇔ −4 BM + 4 BC − 12 D + 6 BC − 15 D > 0

x ( x + 2 ) x 2 + x + 1 .P ( x ) = x 2 − 1 x 2 − x + 1 .P ( x + 1) , ∀x ∈ ℝ .

(

)

(

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

)(

)

(1)............................0,5 đ

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Với x = −2 : (1) ⇒ P ( −1) = 0 . (1) ⇒ P (1) = 0 ...................................................................................0,5 đ

- Vớ i x = 1 :

Vậy P ( x ) = ( x + 1)( x − 1) .G ( x ) = x 2 − 1 .G ( x ) ..............................................................0,5 đ

)

x ( x + 2 ) x 2 + x + 1 x 2 − 1 .G ( x ) = x 2 − 1 x 2 − x + 1 ( x + 2 ) x.G ( x + 1) , ∀x ∈ ℝ

+ x + 1 .G ( x ) = x 2 − x + 1 .G ( x + 1) , ∀x ∈ ℝ

)

G ( x)

x − x +1

(

G ( x + 1)

x2 + x + 1

)

(2)..............................0,5 đ

N H Ư

G ( x)

( x ≠ ±1) .................................................................................0,5 đ

x2 − x + 1

TR ẦN

Đặt H ( x ) = Ta có

10 00

(2) ⇔ H ( x ) = H ( x + 1) , ∀x ∈ ℝ , x ≠ ±1 .............................................0,5 đ

Vậy H ( x ) = C ( C : hằng số)....................................................................................0,5 đ

Suy ra P ( x ) = C x 2 − 1 x 2 − x + 1 .

)(

(

)

ÁN

-L

Í-

Thử lại, thấy đa thức trên thỏa mãn điều kiện bài toán...........................................0,5 đ

Câu 4: (4,5 điểm)

S . 2R2

Ta có

IỄ N

ÀN

a1) Chứng minh: sin A.sin B.sin C =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

)

⇔

)(

ẠO

(

⇔

)

)(

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Thay vào (1), ta có

U Y

(

abc ( 2 R.sin A )( 2 R.sin B )( 2 R.sin C ) = = 2 R 2 .sin A sin B sin C . 4R 4R

Suy ra điều phải chứng minh..................................................................................0,5 đ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A B C p .cos .cos = . 2 2 2 4R

Thí sinh không cần chứng minh công thức

H Ư

A B C cos cos . 2 2 2

TR ẦN

sin A + sin B + sin C = 4 cos

10 00

A B C p .cos .cos = ................................................................0,5 đ 2 2 2 4R

cos

Suy ra

A B C r .sin .sin = . 2 2 2 4R

-L

Í-

a3) Chứng minh: sin

ÁN

Ta có

IỄ N

ÀN

A B C  A B C  sin A.sin B.sin C = 8.  sin .sin .sin  .  cos .cos .cos  2 2 2  2 2 2  A B C p  .........................................................0,5 đ = 8.  sin .sin .sin  . 2 2 2  4R 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Giám khảo lưu ý:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

A B C 4 cos cos cos 2 2 2

a b c a+b+c = = = ........................................................0,5 đ sin A sin B sin C sin A + sin B + sin C

ẠO

2R =

Theo Định lý hàm số sin, ta có

a2) Chứng minh: cos

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Suy ra

sin

A B C R .sin .sin = .sin A.sin B.sin C 2 2 2 2p =

R S S 1 r 1 . 2 = . = r. = ...................................................0,5 đ 2 p 2R p 4R 4R 4R

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

B −C A B−C B+C − sin cos − cos 2 2 = 2 2 B−C B −C cos cos 2 2

10 00

TR ẦN

cos

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

B C .sin r 2 2 ≥ 2.sin B .sin C = B−C 2 2 2 R.sin A cos 2 2

2.sin

Í-

ÁN

-L

Vậy

b+c−a r ≥ ...................................................................1,0 đ A b+c 2 R.sin 2

ÀN

Tương tự, ta suy ra

IỄ N

 r  1 1 1 b +c − a c + a −b a +b−c + + ≥ + +  b+c c+a a+b 2 R  sin A sin B sin C  2 2 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A B −C A A .cos − 2.sin .cos 2 2 2 2 A B−C 2.cos .cos 2 2

ẠO

2.cos

B+C B −C A A .cos − 2.sin .cos 2 2 2 2 B+C B −C 2.sin .cos 2 2

2.sin

U Y

b + c − a 2 R.sin B + 2 R.sin C − 2 R.sin A sin B + sin C − sin A = = b+c 2 R.sin B + 2 R.sin C sin B + sin C

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

b) Theo Định lý hàm số sin và từ kết quả câu a), ta có

   ................................0,5 đ  

Hơn nữa

1 sin

A 2

1 sin

B 2

1 sin

C 2

≥ 3.

1 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

sin

A B C .sin .sin 2 2 2

≥ 3.

1 = 3.2 = 6 . 1   8

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giám khảo lưu ý:

A B C 1 .sin .sin ≤ . 2 2 2 8

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

b+c −a c +a −b a +b−c r 3r + + ≥ .6 = ..............................................0,5 đ b+c c+a a+b 2R R

10 00

TR ẦN

H Ư

Câu 5: (4,5 điểm)

Q I2 C

E P

I1 M

ÁN

-L

Í-

IỄ N

ÀN

a) - Giả sử MI1 cắt SB tại E, MI 2 cắt SC tại F........................................................0,5 đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Vậy

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

sin

Thí sinh không cần chứng minh công thức

= SMF = 450 và SFE = SME = 450 Tứ giác SEMF nội tiếp ⇒ SEF = SFE = 450 ⇒ ∆ESF vuông cân.................................................................0,5 đ ⇒ SEF Theo tính chất đường phân giác, ta có

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SE SF I1 E I F = và 2 = ........................................................0,5 đ I1M SM I 2 M SM

I1 E I F = 2 . I1M I 2 M

Mà SE = SF , nên

- Ta có

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

∆QSI 2 = ∆MSI 2 (g-c-g) ⇒ SQ = SM ........................................................0,5 đ

TR ẦN

H Ư

Suy ra SP = SM = SQ ................................................................................................0,5 đ

b) Dựng AH ⊥ mp ( BSC ) . Ta có

10 00

VSABC (1/ 3) .S BSC . AH S BSC = = .......................................................................0,5 đ VSAPQ (1 / 3) .S PSQ . AH S PSQ

(1 / 2 ) .SB.SC SB.SC = (1/ 2 ) .SP.SQ SM .SM

= SB.SC.

1 ..............................................0,5 đ SM 2

-L

Í-

ÀN

ÁN

1  SC SB  1 = SB.SC.  2 + + ≥ 2 ....................................................0,5 đ = SC 2  SB SC  SB

IỄ N

Suy ra điều phải chứng minh.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

∆PSI1 = ∆MSI1 (g-c-g) ⇒ SP = SM ,

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Suy ra PQ // EF hay ∆PSQ vuông cân....................................................................0,5 đ

.............................HẾT..............................

CÁCH GIẢI KHÁC, NẾU ĐÚNG, VẪN ĐẠT ĐIỂM TỐI ĐA

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

GIA LAI

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: Toán - Bảng B

Ngày thi: 01/12/2011

U Y

---------------------------------------------------------

Câu 1. (3,0 điểm)

ẠO

4 x3 + (1 − x 2 )3 = 3 x 2 . 1 − x 2 + x .

H Ư

Chứng minh rằng biểu thức sau chia hết cho 250:

Câu 2. (3,0 điểm)

TR ẦN

M = 5 (1 + 5) 2011 − (1 − 5) 2011  − 20110 .

Câu 3. (3,0 điểm)

10 00

Cho x, y là hai số thực thoả mãn x 2 + xy + y 2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = x3 y 3 − 3 x 2 y 2 − 3( x3 y + y 3 x) .

-L

Í-

Câu 4. (4,0 điểm)

ÁN

Cho dãy số (un ) được xác định bởi:

n un−1 + 2009 1 u1 = 0 và un = với n = 2, 3, … Đặt vn = ∑ . −un −1 + 2011 k =1 uk − 2009

vn . n →+∞ n + 2011

b) Tính lim

IỄ N

ÀN

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Giải phương trình sau trên tập số thực:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

------------------

Câu 5. (3,0 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 −2 x3 + x 2 y + 8 = 2 x 2 2 x − x3 + xy 2  2  y + 10 x = 14 + xy.

Câu 6. (4,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi R là bán kính

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

------------------HẾT-----------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

•

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

•

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

PA + PB + PC ≤ 3R .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và P là một điểm bất kỳ thuộc đoạn OH. Chứng minh rằng:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

GIA LAI

LỚP 12 THPT - NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: Toán - Bảng B

Ta được phương trình:

ẠO

4cos3 t + (1 − cos 2 t )3 = 3cos 2 t. 1 − cos 2 t + cos t

0,75

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0,50

(3 điểm)

Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1 . Đặt x = cos t , t ∈ [ 0; π]

⇔ 4cos3 t + sin 3 t = 3cos 2 t.sin t + cos t (vì sin t ≥ 0, ∀x ∈ [ 0; π] )

(1)

H Ư

Vì cos t = 0 không thỏa phương trình (1), nên xét cos t ≠ 0 . Chia 2 vế của phương trình (1) cho cos3 t , ta được phương trình:

TR ẦN

0,75

tan 3 t − tan 2 t − 3tan t + 3 = 0 ⇔ (tan t − 1)(tan 2 t − 3) = 0

0,50

1 1 π π 2π 2 . Suy ra x = ; x= ; x=− ;t= ;t= 2 2 4 3 3 2

0,50

Vì t ∈ [ 0; π] nên t =

10 00

 tan t = 1  π π π ⇔  tan t = 3 ⇔ t = + k π; t = + mπ; t = − + nπ (k , m, n ∈ ℤ) 4 3 3  tan t = − 3 

Câu 2

-L

2010 2011 (1 + x) 2011 = C02011 + C12011x + C 22011 x 2 + ... + C2010 + C2011 2011 x 2011 x

0,75

ÁN

(3 điểm)

Í-

Áp dụng khai triển các nhị thức sau:

2010 2011 2011 (1 − x)2011 = C02011 − C12011x + C 22011 x 2 + ... + C2010 x − C 2011 2011 x

⇒ x  (1 + x)

2011

Thay x =

5 vào (*) ta được

− (1 − x)

2011

 = 2x C 2

(

1 2011

3 2011

x + ... + C

2011 2011

2010

1,0

)

(*)

IỄ N

ÀN

2011 ⇒ (1 + x) 2011 − (1 − x) 2011 = 2 ( C12011x + C32011x 3 + ... + C2011 ) 2011 x

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Câu

ĐIỂM

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ĐÁP ÁN

U Y

CÂU

(Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang)

1 3 2011 5 (1+ 5)2011 − (1− 5)2011  = 2.5 C2011 + C2011 ( 5)2 + ... + C2011 ( 5)2010

(

3 Do đó M = 2.5 C2011

( 5)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

5 + C2011

( 5)

2011 + ... + C2011

( 5)

2010

)

0,75 (**)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 2011 ( 5) 2 + ... + C2011 ( 5)2010 chia hết cho 25, nên vế phải của (**) là số Vì C2010

0,50

nguyên chia hết cho 250, do đó M chia hết cho 250 .

Câu 3

P = x3 y 3 − 3 x 2 y 2 − 3( x3 y + y 3 x) = x3 y 3 − 3 x 2 y 2 − 3 xy ( x 2 + y 2 )

1,0

(2)

Từ (2) ta có: ( x + y ) 2 = 1 + xy ≥ 0 ⇒ xy ≥ −1 .

(3)

TP ẠO

Với mọi x, y ta có ( x + y ) 2 − 4 xy ≥ 0 nên

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Từ giả thiết x 2 + xy + y 2 = 1 ⇔ x 2 + y 2 = 1 − xy

U Y

Đặt t = xy , ta được P = t 3 − 3t

(4)

1 ( x + y ) 2 − 4xy = 1 − 3 xy ≥ 0 ⇔ xy ≤ . 3

1,0

H Ư

Xét hàm số f (t ) = t 3 − 3t , từ (3) và (4) suy ra tập xác định của hàm số là

TR ẦN

 1 D =  −1;  .  3

f '(t ) = 3t 2 − 3; f '(t ) = 0 ⇒ t = −1 ∈ D

10 00

26 1 Ta có f (−1) = 2, f   = − . 27 3

 3 3 26 1 đạt được khi t = ⇔ ( x ; y ) =  ;  hoặc 27 3 3 3  

1,0

Vậy : min P = −

-L

Í-

 3 3 ( x ; y ) =  − ;−  . 3 3  

Câu 4

ÁN

m ax P = 2 đạt được khi t = −1 ⇔ ( x ; y ) = (1; − 1) hoặc ( x ; y ) = (−1;1) .

Ta có un − 1 =

2un −1 − 2 un−1 + 2009 −1 = −un −1 + 2011 −un −1 + 2011

2010(un −1 − 2009) u + 2009 un − 2009 = n −1 − 2009 = −un −1 + 2011 −un −1 + 2011

IỄ N

ÀN

(4 điểm)

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy (un )

Suy ra

un − 1 1  un−1 − 1  =  . un − 2009 1005  un −1 − 2009 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(2,0 điểm)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

= x3 y 3 − 3 xy ( xy + x 2 + y 2 ) = x3 y 3 − 3xy

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(3điểm)

Ta có

1,0

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

un − 1 1 1 yn−1 và y1 = ⇒ yn = 2009 un − 2009 1005

1  1  Khi đó dãy (yn) có số hạng tổng quát là yn =   2009  1005 

n −1

(vì dãy (yn) là một

N H

cấp số nhân). Suy ra n −1

ẠO N

2009.2008(1005) k −1 1 1  1  ⇒ =   k −1 1 − 2009(1005) uk − 2009 2009.2008  1005 

k −1

−

H Ư

uk − 2009 =

Ta có

(2,0 điểm)

TR ẦN

Do đó

1 2008

n −1   1 0  1 1 n 1 1  1   =   ∑  +  +⋯ +    − 2009.2008   1005   1005   1005   2008 k =1 uk − 2009

0,50

  1   1005  1 −    1005    − n = 2009.2008.1004 2008

10 00

-L

Í-

  1 n  1005 1 −    1005   vn n   . Khi đó Suy ra = − n + 2011 2009.2008.1004(n + 2011) 2008(n + 2011)

1,0

ÀN

ÁN

    1 n   1005 1 −     1 vn n     1005   lim = lim  − =−  n →+∞ n + 2011 n →+∞ 2009.2008.1004( n + 2011) 2008( n + 2011) 2008      

IỄ N

Câu 5

(3 điểm)

 −2 x3 + x( xy − y 2 ) + 8 = 2 x 2 . 3 2 x − x3 Hệ đã cho trở thành  2  xy − y = 10 x − 14 −2 x + 10 x − 14 x + 8 = 2 x . 2 x − x ⇔ 2  xy − y = 10 x − 14 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y .Q TP

vn n →+∞ n + 2011

b) Tính lim

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 1  2009   − 2009 2009 (1 − (1005) n −1 ) 1005   un = = n −1 1 − 2009(1005) n−1  1  − 2009    1005 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đặt yn =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

0,50

(5) (6)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta nhận thấy x = 0 không là nghiệm của hệ, xét x ≠ 0 Từ phương trình (5), chia hai vế cho x3 ta được phương trình

0,50

8t 3 − 14t 2 + 10t − 2 = 2 3 2t 2 − 1

⇔ (2t − 1) 2 + 2(2t − 1) = (2t 2 − 1) + 2 3 2t 2 − 1 (*)

)

2t 2 − 1 . Do f(u) đồng biến, suy ra

2t 2 − 1 = 2t − 1 ⇔ 2t 2 − 1 = (2t − 1)3 ⇔ 2t (4t 2 − 7t + 3) = 0

TR ẦN

(

H Ư

Từ (*) ta thấy f (2t − 1) = f

0,50

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Suy ra f(u) đồng biến trên ℝ

10 00

+ với x = 1 , từ (6) suy ra

0,50

t = 1 x = 1 ⇔ 3⇔ x = 4 t = 3  4 

y2 − y − 4 = 0 ⇔ y =

Í-

4 , từ (6) suy ra 3

-L

+ v ới x =

1 + 17 1 − 17 hoặc y = 2 2

1,0

ÁN

2 + 10 2 − 10 hoặc y = 3y − 4 y − 2 = 0 ⇔ y = 3 3 2

ÀN

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm:

IỄ N

Câu 6

(4 điểm)

 1 − 17   1 + 17   4 2 − 10   4 2 + 10  1;  , 1; , ; , ;  2 2 3 3 3        3 Đăt PO = t HO, t ∈ [0;1] . Khi đó: PA = PO + OA = t HO + OA = (1 − t )OA + t HA . PA = PA = (1 − t )OA + t HA ≤ (1 − t ) OA + t HA . Tương tự suy ra:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Xét hàm số f (u ) = u 3 + 2u , u ∈ ℝ . Ta có f '(u ) = 3u 2 + 2 > 0, ∀u ∈ ℝ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 = t , t ≠ 0 . Khi đó ta thu được phương trình: x

U Y

Đặt

10 14 8 2 − 2 + 3 = 23 2 −1 x x x x

−2 +

1,50

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

PA + PB + PC ≤ 3(1 − t ) R + t ( HA + HB + HC ) = = 3(1 − t ) R + 2 Rt (cosA+cos B +cos C)

(*)

Chứng minh được: HA = 2RcosA, HB = 2RcosB, HC = 2RcosC

r (**) và R ≥ 2r (***) nên R

0,50

H N

PA + PB + PC = 3(1 − t ) R + t (2 R + 2r ) ≤ 3(1 − t ) R + t (2 R + R) = 3R .

A B C sin sin 2 2 2

(7)

cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin

U Y

• Dễ dàng chứng minh được

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

B+C B C 2 a = BC = BM + MC = r cot + r cot = B 2 2 sin sin C 2 2

ẠO

∆ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r, (I ; r) tiếp xúc BC tại M thì

10 00

TR ẦN

A r cos A A 2 ⇒ r = ⇔ 4R sin cos = Hay 2R sin A = B C 2 2 sin B sin C R sin sin 2 2 2 2 r cos

A 2

H Ư

r sin

0,50

A B C = 4 sin sin sin 2 2 2

(8)

r (**) được chứng minh. R

Thay (8) vào (7) ta được cos A + cos B + cos C = 1 +

0,50

r S/ p 4S2 4(p − a)(p − b)(p − c) = = = R abc / 4S abcp abc

ÁN

-L

Í-

• Ta lại có

(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) . 2abc

ÀN

Trong∆ABC ta có : a2 ≥ a2 – (b − c)2 = (a + b − c)(a − b + c)

b2 ≥ b2 – (a−c)2 = (b + a − c)(b − a + c)

0,50

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Lại có cos A + cos B + cos C = 1 +

0,50

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

IỄ N

c2 ≥ b2 – (a − b)2 = (c + a − b)(c − a + b)

⇒ a2.b2.c2 ≥ (a + b − c)2(b + c − a)2(c + a − b)2 ⇒ abc ≥ (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b). Vậ y

r 1 ≤ (***) được chứng minh. R 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Lưu ý: Học sinh có cách giải khác, nếu đúng đều cho điểm tối đa theo từng bước.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GD & ĐT GIA LAI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT

ĐỀ CHÍNH THỨC

Năm học: 2008 – 2009

Môn thi: TOÁN

U Y

ĐỀ BÀI:

ẠO Đ

x 2 + 3x + 3 = x2 − x . 2 2x + 2x + 3

H Ư

log 3

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Giải phương trình:

Câu 2: (3 điểm)

TR ẦN

Chứng minh rằng với mọi số nguyên a , b , luôn tìm được số nguyên dương n sao cho số

10 00

f ( n ) = n3 + an 2 + bn + 2009 không phải là số chính phương. Câu 3: (4 điểm)

Cho dãy số ( xn ) ; n = 0,1,2,... ; thoả mãn

a) Tìm lim xn .

ÁN

n→∞

2 xn + 1 , ∀n = 0,1, 2,... xn + 2

-L

Í-

x0 = 2 ; xn+1 =

ÀN

b) Chứng minh rằng: x1 + x2 + ... + x2008 < 2009 .

Câu 4: (4 điểm)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Câu 1: (3 điểm)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

IỄ N

Tìm tất cả các đa thức P ( x ) thoả mãn điều kiện: 2

P ( x 2 + y 2 ) = ( P ( x ) ) + ( P ( y ) ) ; ∀x, y ∈ R .

Câu 5: (6 điểm)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cho tam giác ABC (BC = a , CA = b , AB = c ) nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và ngoại tiếp đường tròn tâm I, bán kính r . 2

a) Đặt d = OI. Chứng minh rằng: d = R − 2 Rr (Hệ thức Euler).

1 0 ab + bc + ca . b) Giả sử rằng AIO=90 . Chứng minh rằng: AI <

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

.............................HẾT.............................

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT Năm học: 2008 – 2009 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC - MÔN TOÁN

(1)

H Ư

u = v − u ⇔ log 3 u − log 3 v = v − u v

TR ẦN

log 3

Phương trình đã cho tương đương với:

Suy ra: v − u = x − x .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

( u > 0; v > 0 ) ..............................................0.5 đ

⇔ log 3 u + u = log 3 v + v

(2)...................................0,5 đ

f ( t ) = log 3 t + t ...................................................................................0,5 đ

Xét hàm số:

1 + 1 > 0 ; ∀t > 0 . t.ln 3

10 00

f '(t ) =

Ta có:

Suy ra hàm số đồng biến khi t > 0 ............................................................................0,5 đ

Í-

Do đó, từ (2) ta có f ( u ) = f ( v ) , suy ra u = v ..........................................................0,5 đ 2

-L

Thay vào (1), ta có: x − x = 0 .

ÀN

ÁN

Vậy phương trình có nghiệm: x = 0 ; x = 1 ..............................................................0,5 đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Đặt: u = x + 3 x + 3 ; v = 2 x + 2 x + 3

Câu 1: (3 điểm)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

...............................................

IỄ N

Câu 2: (3 điểm) Ta cần chứng minh mệnh đề sau:

∀ ( a; b ) ∈ Z 2 , ∃n ∈ N * : f ( n ) không phải là số chính phương.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Nhận xét rằng, mọi số chính phương đều ≡ 0 ( mod 4 ) hoặc ≡ 1( mod 4 ) ..................0,5 đ Giả sử mệnh đề trên là sai, tức là:

∃( a; b ) ∈ Z 2 , ∀n ∈ N * : f ( n ) là số chính phương......................................0,5 đ

là số chính phương. (1)

là số chính phương. (3)

f ( 3) = 9a + 3b + 2036

U Y

f ( 2 ) = 4a + 2b + 2017 là số chính phương. (2)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Từ (2) và (4), ta có:

f ( 4 ) − f ( 2 ) = 12a + 2b + 56 ≡ 2b ( mod 4 ) .

H Ư

Mà theo nhận xét trên, ta có;

TR ẦN

f ( 4 ) − f ( 2 ) ≡ 0 ( mod 4 ) , hoặc ≡ 1( mod 4 ) , hoặc ≡ 3 ( mod 4 ) . Vì 2b là số chẵn nên:

2b ≡ 0 ( mod 4 ) .

(5).................................0,5 đ

10 00

Từ (1) và (3), ta có:

f ( 3) − f (1) = 8a + 2b + 26 ≡ ( 2b + 2 )( mod 4 ) .

Tương tự, vì 2b + 2 là số chẵn nên:

(6)..................................0,5 đ

Í-

2b + 2 ≡ 0 ( mod 4 ) .

-L

Từ (5) và (6) suy ra 2 ≡ 0 ( mod 4 ) , vô lý.

ÀN

ÁN

Ta có điều phải chứng minh......................................................................................0,5 đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

f ( 4 ) = 16a + 4b + 2073 là số chính phương. (4).................................0,5 đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

f (1) = a + b + 2010

Đặc biệt, từ đó ta có:

IỄ N

Câu 3: (4 điểm) Dễ thấy rằng xn > 0 ; ∀n = 0,1, 2,... Nhận xét rằng:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 ( xn + 1) 2 xn + 1 +1 = . xn + 2 xn + 2

xn+1 + 1 =

2 xn + 1 x −1 −1 = n ; xn + 2 xn + 2

U Y

Từ đó ta có công thức truy hồi:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 x −1 1 2 −1 1 xn+1 − 1 1 xn − 1 = . =...= n+1 . 0 = n+1 . = n+2 . 3 x0 + 1 3 2 + 1 3 xn+1 + 1 3 xn + 1

ẠO

Do đó, với mọi n = 0,1,2,... , thì:

H Ư

Suy ra:

TR ẦN

1 xn+1 − 1 = n+2 , xn+1 + 1 3 hay:

10 00

xn − 1 1 = ; ∀n = 0,1, 2,... ……………………………………0,5 đ xn + 1 3n+1

Do đó:

ÁN

-L

Í-

3n+1 + 1 2 xn = n+1 = 1 + n+1 ..................................................................0,5 đ 3 −1 3 −1

a) Vậy: lim xn = 1 ...................................................................................................0,5 đ

IỄ N

ÀN

n→∞

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

xn+1 − 1 1 xn − 1 = . ; ∀n = 0,1, 2,... ………………………...0,5 đ xn+1 + 1 3 xn + 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

xn+1 − 1 =

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

b) Ngoài ra, với mọi n ≥ 1 ta có:

xn = 1 +

2 2 1 1 1 = + = + 3n+1 − 1n+1 3n + 3n−1 + ... + 1 ( 3 − 1) ( 3n + 3n−1 + ... + 1)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

<1+

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 1 < 1 + n ………....................................................................................1 đ n 3 2

Do đó:

< 2008 + 1 = 2009 .

Với điều kiện ở đề bài 2

TR ẦN

H Ư

Câu 4: (4 điểm)

P ( x 2 + y 2 ) = ( P ( x ) ) + ( P ( y ) ) ; ∀x, y ∈ R ,

10 00

ta xét 2 trường hợp sau:

(1)

Í-

Thay vào (1), ta thu được:

a) Với P(x) là đa thức hằng: Giả sử P ( x ) ≡ c .

1 . 2

ÁN

-L

c = 2c 2 ⇔ c = 0 hoặc c =

ÀN

Vậy ta được hai đa thức hằng: P ( x ) ≡ 0 và P ( x ) ≡

1 .............................................1 đ 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Ta có điều phải chứng minh.........................................................................................1 đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 2008

= 2008 + 1 −

U Y

1 1 1 + 2 + ... + 2008 2 2 2

x1 + x2 + ... + x2008 < 2008 +

b) Với P(x) khác đa thức hằng: Giả sử P ( x ) = an x + ... + a1 x + a0 ; an ≠ 0 ; n ≥ 1 .

IỄ N

Khi đó bậc của P ( x ) bằng n . -

Từ (1), thay x = t và y = t , ta nhận được:

P ( 2t 2 ) = 2.( P ( t ) )

⇔

⇔ an ( 2t 2 ) + ... + a0 = 2.( ant n + ... + a0 )

2n.an .t 2 n + ... + a0 = 2.an 2 .t 2 n + ... + 2.a0 2 .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(2)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

So sánh hệ số bậc cao nhất và hệ số tự do trong (2), ta có:

 an = 2n−1 2n.an = 2.an 2  ⇔   1 2 a0 = 2.a0  a0 = 0; a0 = 2 

N Ơ

So sánh hệ số bậc cao nhất và hệ số tự do trong (2), ta có:

ẠO

an = an 2 ⇔ an = 1 .

(5)..........0,5 đ

Từ (3) và (5), suy ra:

TR ẦN

H Ư

n = 1; an = 1   1 ...............................................................0,5 đ = = a 0; a 0  0 2 Vậy, những đa thức có thể thoả mãn điều kiện đề bài là:

1 .....................................................0,5 đ 2

10 00

P ( x ) = x và P ( x ) = x +

1 vào (1), ta được: 2

Í-

+ Thay P ( x ) = x +

+ Dễ thấy đa thức P ( x ) = x thoả mãn điều kiện đề bài.........................................0,5 đ

1 1 = x2 + y 2 + x + y + ⇔ x + y = 0 ; ∀x, y ∈ R . 2 2 Điều này không thoả mãn, chẳng hạn với x = 1 và y = 0 .

ÁN

-L

x2 + y2 +

ÀN

Vậy đa thức P ( x ) = x +

1 không thoả mãn điều kiện đề bài. 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(4)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

⇔ an ( t 2 ) + ... + a0 = ( ant n + ... + a0 ) + a0 2

⇔ an .t 2 n + a0 = an 2 .t 2 n + ... + 2.a0 2 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

P (t 2 ) = ( P (t )) + ( P ( 0))

Từ (1), thay x = t và y = 0 , ta nhận được:

(3)...........0,5 đ

P ( x) ≡ 0 , P ( x) ≡

IỄ N

Kết luận: Có 3 đa thức thoả mãn điều kiện đề bài là:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 và P ( x ) = x ....................................0,5 đ 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 5: (6 điểm)

U Y .Q

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

TR ẦN

H Ư

10 00

a) (3 điểm)

( R − OI )( R + OI ) = IA.IM

IE.IF = IA.IM ⇒

Kéo dài AI cắt (O) tại M. Kẻ đường kính MN của đường tròn (O). Kéo dài OI cắt (O) ở E và F. Dễ thấy:

Í-

⇒ R 2 − d 2 = IA.IM.

-L

1 BAC+BCA MCI=MCB+BCI=MAB+BCI= 2

(

ÁN

Ta có:

(1)...........................0,5 đ

ÀN

1 BAC+BCA MIC=IAC+ICA= 2

(

)

(2) (3)..........................0,5 đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

F B'

⇒ MC = IM................................................................................0,5 đ

IỄ N

Từ (2) và (3) suy ra: MIC=MCI

Hạ IB’ ⊥ AC. Dễ thấy tam giác AB’I đồng dạng với tam giác NCM (g-g).....................................0,5 đ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Suy ra:

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IA MN IA MN ⇒ = = IB' IM IB' MC

⇒ IA.IM = MN.IB’ ⇒ IA.IM = 2Rr . 2

U Y Nếu thí sinh không giải được câu a, mà áp dụng Hệ thức

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Giám khảo lưu ý:

Euler giải được câu b, thì vẫn được điểm tối đa ở câu b.

H Ư

0 2 2 2 2 2 2 Từ giả thiết AIO=90 , suy ra: OI = OA − AI ⇒ d = R − AI

Do đó, bởi kết quả câu a), suy ra:

(5)........................0,5 đ

AI 2 = 2Rr .

TR ẦN

⇒ AI 2 = R 2 − d 2 .

abc ( a + b + c ) r = . 4R 2

S ABC =

10 00

Hơn nữa, ta có:

Suy ra:

-L

Í-

1 a+b+c = abc 2 Rr

(6)........................0,5 đ

ÀN

ÁN

Từ (5) và (6), ta thu được:

1 1 1 1 + + = 2 .........................................................................0,5 đ ab bc ca AI

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

b) (3 điểm)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Từ (1) và (4), suy ra: R − d = 2Rr hay d = R − 2 Rr (đpcm)........................0,5 đ

(4)..........................0,5 đ

IỄ N

Mà ta đã biết bất đẳng thức quen thuộc:

1 1 1 9 + + ≥ ...........................................................0,5 đ ab bc ca ab + bc + ca

Do đó:

1 9 ≥ , AI 2 ab + bc + ca

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

hay:

1 ab + bc + ca ......................................................................0,5 đ 3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

a = b = c ⇔ ABC là tam giác đều ⇔ O trùng với I.

U Y

1 ab + bc + ca (đpcm)..........................................................................0,5 đ 3

TR ẦN

H Ư

Giám khảo lưu ý: Các cách giải khác, nếu đúng, vẫn đạt điểm tối da.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

........................................HẾT......................................

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Vậy: AI <

0 Điều này không xảy ra, do giả thiết AIO=90 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

AI ≤

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

GIA LAI

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán

Câu 1. (2,5 điểm)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

tại M cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại A và B . Biết trọng tâm G của tam giác OAB nằm trên đường

H Ư

thẳng d : 2x + y = 0 (với O là gốc tọa độ). Câu 2. (2,5 điểm)

TR ẦN

Cho phương trình bậc ba: x3 − 5 x − 3 = 0 . Gọi x1 , x2 , x3 là ba nghiệm của phương trình đã cho.

10 00

10 10 10 Không giải phương trình hãy tính tổng S = x1 + x2 + x3 .

-L

Câu 4. (3,0 điểm)

Í-

x  x 2− y =0  2 − 2 + ln 2− y . Câu 3. (2,5 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:   y 2 + 15 y − xy + 2 x + 5 = 0 

ÁN

Cho dãy số ( xn ) được xác định bởi:

xn2−1 với n = 2, 3, … . 2( xn −1 − 3)

ÀN

x1 = 2 + 3 và xn =

1 + 2013 xn . n →+∞ xn

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x −1 có đồ thị (C) . Tìm những điểm M trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến với (C) x +1

ẠO

Cho hàm số y =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Ngày thi: 05/12/2013

(Đề thi gồm 01 trang)

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

IỄ N

Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( xn ) . Từ đó suy ra giới hạn lim

Câu 5. (3,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng

x + yz + y + zx + z + xy ≥ 1 + xy + yz + zx .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 6. (6,5 điểm). Cho tam giác ABC, có bán kính đường tròn ngoại tiếp R =

5 . 2

a) Gọi D (3; −2) là một điểm thuộc đường thẳng AB. Từ đỉnh A của tam giác ABC kẻ các đường

trung tuyến, đường phân giác trong lần lượt có phương trình d1 : 4x + 5 y − 14 = 0 , d 2 : x + y − 3 = 0 . Tìm

U Y

b) Gọi M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC và a, b, c, ha , hb , hc lần lượt là độ dài các cạnh,

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

----------------HẾT-----------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

•

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

•

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3 abc . 5

ẠO

MA.ha + MB.hb + MC.hc ≥

độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC. Biết rằng hoành độ các điểm B, C đều dương.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

GIA LAI

LỚP 12 THPT - NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: Toán

x0 − 1 x0 + 1

0,5

( x0 + 1)

x02 − 2 x0 − 1

( x0 + 1)

0,5

TR ẦN

 x 2 − 2x − 1   − x 2 + 2x 0 + 1  0 ∆ cắt Ox tại A  0 ;0  và cắt Oy tại B  0; 0  2   2 x + 1 ( )   0  

0,25

10 00

 − x 2 + 2x + 1 x 2 − 2x − 1  0 0 Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB ta có G  0 ; 0  2   6 + 3 x 1 ( ) 0  

Vì G ∈ d mà d: 2x + y = 0 nên

ÁN

-L

Í-

   − x 2 + 2x 0 + 1  x02 − 2x 0 − 1 1 2.  0 = 0 ⇔ ( x02 − 2x 0 − 1) 1 − = 0 (*) + 2 2  6 ( x + 1) 3 x + 1 ( )   0   0

IỄ N

ÀN

Do A, B không trùng với O nên x02 − 2x 0 − 1 ≠ 0 (*) ⇒ 1 −

0,75

1 = 0 ⇔ x0 = −2; x0 = 0 . ( x0 + 1)2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇔ y=

( x − x0 ) +

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

( x0 + 1)

ẠO

M. Phương trình ∆ : y =

2,5 điểm

 x −1  Gọi M  x0 ; 0  ∈ (C ); x0 ≠ −1 là điểm cần tìm và ∆ là tiếp tuyến với (C) tại  x0 + 1 

H Ư

Câu 1:

ĐIỂM

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ĐÁP ÁN

U Y

CÂU

(Hướng dẫn chấm này gồm 6 trang)

Với x0 = 0 ⇒ y0 = −1 (thỏa điều kiện). Với x0 = −2 ⇒ y0 = 3 (thỏa đk) Vậy các điểm cần tìm là M 1 ( 0; −1) ; M 2 ( −2;3)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

0,5

(không cần chứng minh)

Vì xi ; i = 1, 2,3 là nghiệm của phương trình đã cho nên xi3 = 5 xi + 3 Suy ra: xi5 = xi 2 .xi3 = xi 2 (5 xi + 3) = 5 xi3 + 3 xi2 = 5(5 xi + 3) + 3 xi2

U Y

0,75

= 3 xi2 + 25 xi + 15

0,75

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

xi10 = xi2 (134 xi2 + 225 xi + 90) = 760 xi2 + 1527 xi + 675

xi8 = xi 3 (3 xi2 + 25 xi + 15) = 134 xi2 + 225 xi + 90

10 2 2 2 S = x110 + x10 2 + x3 = 760( x1 + x2 + x3 ) + 1527( x1 + x2 + x3 ) + 2025 2

Điều kiện

x > 0 x < 0 x >0⇔ hoặc  2− y y < 2 y > 2

0,25

2,5 điểm

TR ẦN

Vậy S = 760.10 + 2025 = 9625

Câu 3:

0,5

H Ư

Mặt khác : x12 + x22 + x32 = ( x1 + x2 + x3 ) − 2 ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = 10

10 00

x > 0 1/ Xét trong điều kiện  ta có phương trình y < 2

(1) ⇔ 2 x + ln x = 2 2− y + ln(2 − y ) (*) 0,75

1 f '(t ) = 2t ln 2 + > 0 , ∀t > 0 t

ÁN

-L

Í-

Xét hàm số f (t ) = 2t + ln t trên tập xác định D = (0; +∞)

Phương trình (*) ⇔ f ( x) = f (2 − y ) ⇔ x = 2 − y

IỄ N

ÀN

Suy ra f (t ) = 2t + ln t đồng biến trên D = (0; +∞)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2,5 điểm

 x1 + x2 + x3 = 0  Theo định lí Vi-et ta có:  x1.x2 + x2 .x3 + x3 .x1 = −5  x .x .x = 3  1 2 3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Câu 2:

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Thay x = 2 − y vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

 y = −1 y + 15 y − (2 − y ) y + 2(2 − y ) + 5 = 0 ⇔ 2 y + 11 y + 9 = 0 ⇔  (thỏa đk) y = − 9 2  2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

9 13 Với y = −1 ⇒ x = 3 (thỏa đk). Với y = − ⇒ x = (thỏa đk) 2 2

0,75

ẠO

0.25

Câu 4

Đặt yn −1 = xn −1 − 3 ⇔ xn −1 = yn −1 + 3 ⇔ xn = yn + 3 ⇒ y1 = 2 .

2( xn −1 − 3)

⇔ yn + 3 =

n −1

+ 3

)

0,5

2 yn −1

⇔ yn =

2 n −1

y +3 ; 2 yn −1

TR ẦN

Khi đó xn =

2 n −1

(3 điểm)

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 13 9  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (3; −1);  ; −  .  2 2

2 2 u1 = 2 un = un −1 + 3vn −1 Xét hai dãy (un ), (vn ) xác định bởi:  . và  vn = 2un −1.vn −1 v1 = 1

B (2)

u2 7 = ⇒ (2) đúng v2 4

0,5

Í-

+ với n = 2 : y 2 =

un vn

10 00

Ta chứng minh: yn =

0,5

2 n −1 2 n −1

u v

ÁN

-L

+3 un −1 un2−1 + 3vn2−1 un = = + Giả sử yn −1 = , suy ra yn = u vn −1 vn 2un −1.vn −1 2 n −1 vn −1

IỄ N

ÀN

Mặt khác theo cách xác định dãy (un ), (vn ) , ta được:

u + 3v = u + 3v n n −1 n −1 un = u + 3v  n ⇒   3vn = 2 3un −1.vn −1 un − 3vn = un −1 − 3vn −1  2 n −1

( (

2 n −1

) )

0,5

suy ra un + 3vn = (un − 2 + 3vn − 2 ) 2 = … = (u1 + 3v1 )2 2

un − 3vn = (un − 2 − 3vn − 2 )2 = … = (u1 − 3v1 )2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

< 0 và VP > 0 , do đó trong điều kiện này hệ vô nghiệm.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

x < 0 thì phương trình (**) có VT Ta có (2) ⇔ x( y − 2) = y 2 + 15 y + 5 (**) , với  y > 2

x < 0 2/ Xét trong điều kiện  suy ra y − 2 > 0 y > 2

n−1

= (2 + 3)2

(

= 2− 3

)

n−1

và

2n−1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do đó

)

(

)

(

)

2n−1

2n −1

( ) − (2 − 3)

+ 2− 3

0,5

2 3

n →+∞

.Q G N

(2 + 3)

= 2013

H Ư

= lim

+ 2013.2 3

2n−1

0,5

(3 điểm)

1 1 1 1 + + + xyz x y z

(1)

0,5

1 1 1 1 1 1 + + + + + ≥ yz x zx y xy z

TR ẦN

Do x, y, z > 0 nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức

10 00

1 1 1 1 1 1 Đặt a = ; b = ; c = suy ra x + y + z = 1 ⇔ + + = 1 . x y z a b c 1 1 1 + + = 1 cho a b c

abc , ta được:

0,75

bc ca ab + + a b c

abc =

ÁN

-L

Í-

Nhân hai vế của đẳng thức

Khi đó (1) ⇔ a + bc + b + ca + c + ab ≥ abc + a + b + c

a + bc ≥ a +

IỄ N

ÀN

Mặt khác

a + bc ≥ a +

bc , thật vậy a

0,5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

)

(

)

2n−1

(

1 + 2013.2 3 2 + 3 1 + 2013 xn = lim 2n−1 n →+∞ n →+∞ xn 2 3 2+ 3 lim

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2n−1

Suy ra

Câu 5

    

2n −1

U Y

Từ cách đặt suy ra xn = yn + 3 = 2 3 2 + 3

) )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

)

( (

(

)

(

2n −1 2n−1   1  u = + + − 2 3 2 3  n 2  un  2+ 3    y 3 ⇒ = =  n  n−1 n−1 vn v = 1  2 + 3 2 − 2 − 3 2   2+ 3    n 2 3  

bc bc ⇔ a + bc ≥ a + + 2 bc a a

 1 1 ⇔ bc ≥ bc 1 − −  + 2 bc  b c

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,75

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇔ b + c − 2 bc ≥ 0 ⇔

b− c

)

≥0

ca ab ; c + ab ≥ c + b c bc ca ab + + a b c

0,5

ẠO

a = b = c  Dấu đẳng thức xảy ra khi  1 1 1 ⇔a=b=c=3  a + b + c = 1

Câu 6

1 3

x= y=z=

a) Tìm tọa độ các đỉnh B, C

3,0

Tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

TR ẦN

6,5 điểm

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Do đó bất đẳng thức đã cho được chứng minh và dấu “=”xảy ra khi

 x + y −3 = 0  x =1 ⇔ ⇒ A (1; 2 )  4x + 5 y − 14 = 0 y = 2

0,5

10 00

Đường thẳng AB đi qua A (1; 2 ) ; D(3; −2) có phương trình 2x + y − 4 = 0

Qua D kẻ đường thẳng d3 vuông góc d 2 và cắt d 2 tại H.

Suy ra d 3 : x − y − 5 = 0 . Khi đó tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

Í-

x + y − 3 = 0  x=4 ⇔ ⇒ H ( 4; −1) .  x − y − 5 = 0  y = −1

ÁN

-L

0,75

Gọi E là điểm đối xứng của D qua H, suy ra E ( 5; 0 ) ∈ AC .

IỄ N

ÀN

Do đó đường thẳng AC có phương trình: x + 2 y − 5 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

⇔ a + bc + b + ca + c + ab ≥ abc + a + b + c

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a + bc + b + ca + c + ab ≥ a + b + c +

b + ca ≥ b +

Suy ra

(

Tương tự

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và AC. Ta có cos α =

2.1 + 1.2 5. 5

4 ) = 3 ⇒ sin( BAC 5 5

Theo định lí sin trong tam giác ABC ta có

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

BC = 2R ⇒ BC = 3 ) sin( BAC

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 5−c  Do B ∈ AB; C ∈ AC nên B (b; 4 − 2b), C  c; . 2   0,5

 b + c 13 − 4b − c  Gọi I là trung điểm BC, suy ra I  ;  4  2 

H Ư

3 .abc 5

TR ẦN

b) Chứng minh: MA.ha + MB.hb + MC.hc ≥

0,25

3,5

Từ định lí sin trong tam giác ABC có

0,5

10 00

a b c a b c = = = 2 R ⇒ sin A = ;sin B = ;sin C = sin A sin B sin C 5 5 5 bc ca ab 1 1 S ∆ABC = bc.sin A = a.ha ⇔ ha = ; hb = ; hc = 2 2 5 5 5

-L

MA MB MC MA.GA MB.GB MC.GC + + = + + = a b c a.GA b.GB c.GC

IỄ N

ÀN

ÁN

Ta có

3 MA MB MC abc ⇔ + + ≥ 3. 5 a b c

Í-

MA.ha + MB.hb + MC.hc ≥

3  MA.GA MB.GB MC.GC  + +   2  a.ma b.mb c.mc 

0,5

(với G là trọng tâm; ma , mb , mc là độ dài các đường trung tuyến của tam giác

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vì hoành độ của B và C dương nên hai điểm cần tìm là B (2; 0), C (5; 0) .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,5

 b = 0 −4b + c + 3 = 0 c = 4b − 3    c = 4b − 3   c = −3  2 ⇔ ⇔  b = 0 ⇔  2  −4b + c + 3  2  b = 2 (b − 1) = 1    =9 ( b − c ) +  b = 2  2        c = 5

U Y

 I ∈ d1 Do  nên  BC = 3

ABC) Mặt khác: a.ma =

1 1 a 2b 2 + 2c 2 − a 2 = 3a 2 ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 2 2 3

0,25

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương 3a 2 ; 2b 2 + 2c 2 − a 2 , ta được:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 3a 2 + ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 )

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

≥ 3a 2 ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 )

0,75

1 1   ≥ 2 3 2 2 2  a.ma  a +b +c 

1 1 1   1   ≥ 2 3 2 ; ≥ 2 3 2 2 2  2 2  b.mb  a + b + c  c.mc  a +b +c 

MA MB MC 3 3 + + ≥ 2 ( MA.GA + MB.GB + MC.GC ) a b c a + b2 + c2 Ta lại có: MA.GA ≥ MA.GA ; MB.GB ≥ MB.GB ; MA.GA ≥ MC.GC

(1)

(

)

(2)

H Ư

Mà MA.GA + MB.GB + MC.GC = MG + GA GA + MG + GB GB + MG + GC GC

(

)

a +b +c 4 ma 2 + mb 2 + mc2 ) = ( 9 3

(

)

0,5

MA MB MC + + ≥ 3. a b c

Thay vào (2), ta được:

10 00

= GA2 + GB 2 + GC 2 =

)

TR ẦN

(

Hay MA.ha + MB.hb + MC.hc ≥

3 abc . (đccm) 5

-L

Í-

Dấu đẳng thức xảy ra khi dấu đẳng thức (1) và (2) đồng thời xảy ra ⇔ M ≡ G và

ÀN

ÁN

tam giác ABC đều.

0,5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MA MB MC 3 3 MA.GA + MB.GB + MC.GC + + ≥ 2 a b c a + b2 + c2

0,5

Suy ra

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Suy ra

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

+ b2 + c2 ) ⇒

(a 3

U Y

Tương tự :

Do đó: ama ≤

⇔ a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3a 2 ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 )

IỄ N

Lưu ý: Học sinh có cách giải khác, nếu đúng đều cho điểm tối đa theo từng bước.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

VĨNH PHÚC

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014

Môn: TOÁN THPT

ĐỀ CHÍNH THỨC

ẠO

Câu 2 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x − 3mx + m (1), m là tham số thực. 4

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a) Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 2,

H Ư

trong đó C (0; −1) .

TR ẦN

Câu 3 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình sau với m là tham số thực

a) Giải hệ khi m = 2 .

b) Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.

10 00

3 x 3 + x 2 y − 3 x 2 − xy = 2m (x, y ∈ ℝ)  2  x + 2 x + y = 6 − m

Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung

-L

Í-

= 300 ; góc giữa mặt phẳng điểm của BC và H là trung điểm của AM . Biết HB = HC = a , HBC và tính cosin của

ÁN

( SHC ) và mặt phẳng ( HBC ) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S .HBC

góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ( SHC ) .

ÀN

Câu 5 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D;

IỄ N

AB = 2 AD, CD = 3 AD . Đường thẳng BD có phương trình x − 2 y + 1 = 0 , đường thẳng AC đi

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3 sin 2 x + 3 + 1 = 2cos 2 x .

Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Ngày thi 25/10/2013

Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

qua điểm M ( 4;2 ) . Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng diện tích ABCD bằng 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2. 2

Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0 ≤ a ≤ b ≤ c và a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 3abc − 2014a − b − c . ………. Hết……….

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

- Họ và tên thí sinh …………………………………Số báo danh………………………….

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

VĨNH PHÚC

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014

Môn: TOÁN THPT

U Y

(Gồm 05 trang) Lưu ý khi chấm bài:

chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.

ẠO

- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.

Đ H Ư

- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.

điểm.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được

- Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.

TR ẦN

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Câu 1. (2,0 điểm)

Nội dung

10 00

(k ∈ ℤ)

ÁN

-L

π   x = − 12 + kπ ⇔  x = − π + kπ  4

0,5

Í-

3 π  ⇔ cos  2 x +  = . 3 2 

0,5

1 3 3 cos 2 x − sin 2 x = . 2 2 2

⇔

0,5

3 sin 2 x + 3 + 1 = 1 + cos 2 x .

Phương trình tương đương:

Điểm

π 12

+ kπ hoặc x = −

π 4

+ kπ (k ∈ ℤ ) .

IỄ N

ÀN

Vậy phương trình có nghiệm là x = −

0,5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 2. (2,0 điểm) Nội dung

Điểm

a) (1,0 điểm). Phương trình hoành độ giao điểm: x3 − 3mx 2 + m 4 = − x + m 4 .

0,25

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

x = 0 ⇔ 2  x − 3mx + 1 = 0 (1)

0,25

Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ 9m 2 − 4 > 0

0,25

2  m > 3 . ⇔ m < − 2  3

0,25

2 2 hoặc m < − . 3 3

U Y

b) (1,0 điểm).

Đồ thị có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m ≠ 0 (*)

ẠO G

Suy ra AC = m 4 + 1 = m 4 + 1 ; C ∈ Oy ⇒ d ( B, AC ) = 2 m .

1 AC.d ( B, AC ) = m ( m 4 + 1) ; S ABC = 2 ⇔ m ( m 4 + 1) = 2 . 2

0,25

H Ư

Do đó S ABC =

0,25

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Các điểm cực trị của đồ thị là A ( 0; m 4 ) ; B ( 2m; m 4 − 4m3 ) .

0,25

TR ẦN

Đặt m = t > 0 ta được t 5 + t − 2 = 0 ⇔ (t − 1)(t 4 + t 3 + t 2 + t + 2) = 0 ⇔ t = 1

0,25

Do đó m = ±1 (thỏa mãn điều kiện (*)). Vậy m = ±1 .

10 00

Câu 3. (2,0 điểm)

Nội dung

a) (1,0 điểm).

Điểm

Í-

3 x 3 + x 2 y − 3 x 2 − xy = 4 ( x 2 − x)(3 x + y ) = 4 Với m=2 ta có hệ  2 ⇔ 2  x + 2 x + y = 4 ( x − x) + (3 x + y ) = 4

-L

0,25

ÁN

ab = 4 Đặt x 2 − x = a;3 x + y = b , ta có hệ:  ⇒ a =b = 2. a + b = 4

0,25

ÀN

 x2 − x = 2 ab = 4 Giải hệ  ta được a = b = 2 . Suy ra  . a + b = 4 3 x + y = 2

0,25

IỄ N

Giải hệ ta được ( x; y ) = (−1;5);(2; −4) . Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y ) = (−1;5);(2; −4) .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ta có y ' = 3 x 2 − 6mx ; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2m .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Vậy các giá trị cần tìm của m là m >

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

0,25

Chú ý: HS có thể làm theo phương pháp thế. b) (1,0 điểm).

– tài liệu file word mới nhất http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi www.facebook.com/daykemquynhonofficial

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

( x 2 − x)(3 x + y ) = 2m Hệ tương đương  2 ( x − x) + (3 x + y ) = 6 − m

0,25 ab = 2m  a + b = 6 − m

N N

 6a − a 2 ab = 2m a (6 − m − a ) = 2m = m (1)  ⇔ ⇔  a+2  a + b = 6 − m b = 6 − m − a  b = 6 − m − a

0,25

1 Với a ≥ − thì f '(a ) = 0 ⇔ a = 2 . 4

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

6a − a 2 1 a 2 + 4a − 12 ; a ≥ − . Ta có f '(a ) = − . a+2 4 (a + 2) 2

ẠO

Xét hàm số f (a ) =

1 Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn a ≥ − . 4

H Ư

Bảng biến thiên: -1

+∞

4 +

f'(a)

TR ẦN

0,25

∞

10 00

f(a)

H Nội dung

Điểm

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Câu 4. (2,0 điểm)

Suy ra giá trị cần tìm của m là: m ≤ 2 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 Đặt x 2 − x = a, a ≥ − ;3 x + y = b , ta có hệ: 4

– tài liệu file word mới nhất http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi www.facebook.com/daykemquynhonofficial

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

U Y

ẠO

H Ư

30°

S HBC =

1 a2 3 HB.HC.sin1200 = . 2 4

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên HC.

TR ẦN

a a 3 ⇒ AK = AH .sin 600 = . 2 4

10 00

Ta có AH = HM = HB sin 300 =

0,5

= 600 ⇒ SA = AK .tan 600 = 3a Góc giữa (SHC) và (ABC) là SKA 4

0,25

1 1 3a a 2 3 3a 3 Vậy VS . HBC = SA.S HBC = . . = . 3 3 4 4 16

-L

Í-

0,25

ÁN

'. Gọi B’ là hình chiếu của B trên (SHC), suy ra góc giữa BC và (SHC) là BCB

Gọi I là hình chiếu của A trên SK ⇒ AI ⊥ ( SHC ) .

ÀN

Ta có BB ' = d ( B, ( SHC )) = 2d ( M , ( SHC )) = 2d ( A, ( SHC )) = 2 AI .

IỄ N

Trong tam giác vuông SAK, ta có AI = ' = Do đó sin BCB

AK . AS AK 2 + AS 2

3a 3a 3 BB ' = = = . 0 BC 4.2 BM 8.HB.cos 30 4

' = 1 − 3 = 13 . Vậy cos BCB 16 4

0,25

3 3a 2 2 3a 3a . = ⇒ BB ' = . 16 a 3 8 4

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

60°

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0,5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,25

– tài liệu file word mới nhất http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi www.facebook.com/daykemquynhonofficial

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 5 (1,0 điểm) Nội dung

Điểm

E 1

0,25

U Y

a +b . 5

⇔ 3a 2 + 8ab − 3b 2 = 0 0,25

TR ẦN

1 Chọn b=1 ta được a = ; a = −3 . 3

a − 2b

H Ư

Góc giữa AC và BD bằng 450 nên cos 450 =

Đường thẳng AC có dạng: a ( x − 4) + b( y − 2) = 0 ⇔ ax + by − 4a − 2b = 0 ( a 2 + b 2 > 0) .

Từ đó suy ra phương trình AC là x + 3 y − 10 = 0 hoặc 3 x − y − 10 = 0 .

BE AB IA AD 3 = = 2⇒ = = . EH CH IE BE 2

( 2 AD + 3 AD ) . AD = 10 ⇔ AD = 2 . Từ đó tìm được =

4 10 AI = . 5

0,25

Ta có S ABCD

10 00

Gọi E = BH ∩ AC , ta có

-L

Í-

4 10  17 11  * Nếu AC : x + 3 y − 10 = 0 , suy ra I  ;  . Gọi A (10 − 3t ; t ) thì từ AI = ta có 5  5 5 2

ÁN

17   11  32 7   29 7  ⇔ t = 3; t = . Suy ra A (1;3) ; A  ;   10 − 3t −  +  t −  = 5  5 5 5  5 5 

Do xA < 2 ⇒ A (1;3) .

IỄ N

ÀN

4 10  21 13  * Nếu AC : 3 x − y − 10 = 0 , suy ra I  ;  . Gọi A ( t;3t − 10 ) thì từ AI = ta có 5  5 5 2

0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

1 1 + tan D + tan C 1 1 Ta có tan AID = tan ( D1 + C1 ) = = 2 3 =1⇒ AID = 450 . 1 − tan D1 tan C1 1 − 1 . 1 2 3

Gọi I = AC ∩ BD , H là hình chiếu của B trên CD.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

13  32 17  21   ⇔ t = 5; t = (không thỏa mãn xA = t < 2 ).  t −  +  3t − 10 −  = 5  5 5 5 

Vậy điểm A cần tìm là A (1;3) .

Chú ý: Nếu HS chỉ tính được cạnh AD = 2 thì cho 0,25 điểm.

– tài liệu file word mới nhất http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi www.facebook.com/daykemquynhonofficial

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 6. (1,0 điểm) Nội dung

Điểm

Ta có a ≤ b ≤ c ⇒ ( a 2 − b 2 )( a 2 − c 2 ) ≥ 0 ⇒ b 2c 2 ≥ a 2 ( b 2 + c 2 − a 2 ) = a 2 ( 3 − 2a 2 )

0,25

≤ 3 ( a 2 + b2 + c 2 ) = 9 ⇒ a + b + c ≤ 3

0,25

U Y

⇒ P ≥ 3abc − 2013a − 3 ≥ 3a 2 3 − 2a 2 − 2013a − 3.

Xét hàm f (a ) = 3a 2 3 − 2a 2 − 2013a − 3; a ∈ [ 0;1] . Ta có

2 3 3

⇒ f '( a ) ≤ 18.

ẠO

0,25

3 3

− 2013 ≤ 4 3 − 2013 < 0 .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 .

TR ẦN

Suy ra f (a ) nghịch biến trên đoạn [ 0;1] . Do đó f (a ) ≥ f (1) = −2013 .

10 00

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng −2013 khi a = b = c = 1 .

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

………. Hết……….

0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Suy ra a (1 − a 2 ) ≤

1  2a 2 + 1 − a 2 + 1 − a 2  4   = 2 3  27

)

1 = .2a 2 (1 − a 2 )(1 − a 2 ) ≤ 2

Ta có a 2 (1 − a

2 2

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

18a (1 − a 2 )  2a  2 2 f '(a ) = 3  2a 3 − 2a − a . − 2013 ≤ 18a (1 − a 2 ) − 2013 .  − 2013 = 2 2 3 − 2a  3 − 2a 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

( a + b + c)

Suy ra bc ≥ a 3 − 2a .

– tài liệu file word mới nhất http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi www.facebook.com/daykemquynhonofficial

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,5 điểm).

biến trên khoảng ( 0;3) .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó đối xứng với nhau qua đường thẳng x + 2 y + 1 = 0 .

cos 2 x − cos3 x − 1 . cos 2 x

H Ư

a) Giải phương trình: cos 2 x − tan 2 x =

Câu 2 (2,0 điểm).

TR ẦN

b) Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải tam giác đều.

Giải phương trình:

10 00

Câu 3 (1,5 điểm).

( x − 2 )( 4 − x ) +

x −1 + x +1 ( x ∈ ℝ) . 2

Câu 4 (2,0 điểm).

x−2 + 4− x =

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = b ( a, b > 0 ) , SA

-L

Í-

vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = 2a . Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh SA sao cho

AM = x với 0 < x < 2a .

ÁN

a) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng ( MBC ) .

ÀN

nhau.

b) Xác định x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = − x 3 + 3mx 2 − 3m − 1 có điểm cực

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 3 x − ( m − 1) x 2 − ( m − 3) x + 8m 2 đồng 3

U Y

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y =

IỄ N

Câu 5 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E, H lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A, I là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Biết điểm D ( −1; − 1) , đường thẳng IG có phương trình 6 x − 3 y − 7 = 0 và điểm E có hoành độ bằng 1. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Câu 6 (1,0 điểm).

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1;9 ] và x ≥ y, x ≥ z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

y z  1 y +  + . 10 y − x 2  y + z z + x 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Họ và tên thí sinh:……….………..…….................…….….….; Số báo danh:……….....……….

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

---------------Hết----------------

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 1 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN - THPT (Hướng dẫn chấm có 05 trang)

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm

I. LƯU Ý CHUNG:

theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.

1 3 x − ( m − 1) x 2 − ( m − 3) x + 8m 2 đồng biến trên khoảng ( 0;3) . 3

2,5

H Ư

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = − x 3 + 3mx 2 − 3m − 1 có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó đối xứng với nhau qua đường thẳng

TXĐ: ℝ

10 00

y ' = x 2 − 2 ( m − 1) x − ( m − 3)

TR ẦN

x + 2y +1 = 0 .

Do phương trình y ' = 0 có nhiều nhất hai nghiệm trên ℝ , nên để hàm số đã cho

0,5

đồng biến trên khoảng ( 0;3) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;3)

x2 + 2x + 3 ≥ m, ∀x ∈ ( 0;3) . 2x + 1

Í-

⇔

ÁN

-L

Xét hàm số g ( x ) =

2x2 + 2x − 4

( 2 x + 1)

x = 1 ; g '( x ) = 0 ⇔   x = −2 ( loai )

0,5

IỄ N

ÀN

g '( x ) =

x2 + 2x + 3 trên khoảng ( 0;3) 2x + 1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

Điểm

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Nội dung trình bày

Câu

II. ĐÁP ÁN:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 2 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

BBT 0

g '( x )

−

g ( x)

18 7

0,5

U Y

Từ BBT, g ( x ) ≥ m, ∀x ∈ ( 0;3) ⇔ m ≤ 2

0,5

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x = 0 . Hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu ⇔ y ' = −3 x 2 + 6mx; y ' = 0 ⇔   x = 2m

H Ư

phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0

Tọa độ hai điểm cực trị A ( 0; − 3m − 1) , B 2m;4m3 − 3m − 1 ⇒ AB 2m;4m3

(

)

(

) và

trung điểm của AB là I m; 2m3 − 3m − 1

)

TR ẦN

(

I ∈ d  AB ⊥ d

0,5

10 00

A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x + 2 y + 1 = 0 ⇔ 

3 4m − 5m − 1 = 0 ⇔ 3 ⇔ m = −1 (thỏa mãn). Vậy, m = −1 . 4m − 4m = 0

Í-

a) Giải phương trình: cos 2 x − tan 2 x =

cos 2 x − cos3 x − 1 . cos 2 x

-L

b) Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh

2,0

ÁN

của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam

giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải tam giác đều.

IỄ N

ÀN

Điều kiện: x ≠

π 2

+ lπ

(l ∈ ℤ)

0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TXĐ: ℝ

ẠO

Vậy, m ≤ 2 thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 0;3) .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Suy ra (1) ⇔ cos 2 x − tan x = 1 − cos x − (1 + tan x )

cos x = −1 ⇔ cos 2 x = − cos x ⇔ 2cos x + cos x − 1 = 0 ⇔  cos x = 1 2 

0,25

+) cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π ( k ∈ ℤ )

0,25

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 3 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

π 1 ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ℤ ) 2 3

Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x = −π + k 2π ,

+ k 2π ( k ∈ ℤ )

Số tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho là: C153 = 455 tam giác.

0,25

x=±

0,25

U Y

Số phần tử của tập M là: M = 455

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đều. Xét một đỉnh A bất kì của đa

15 = 5 tam giác. 3

Số tam giác đều có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác là

đỉnh tam giác cân.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0,25

ẠO

giác cân tại đỉnh A. Như vậy, với mỗi một đỉnh của đa giác có 7 tam giác nhận nó làm

0,25

H Ư

Tuy nhiên, trong các tam giác cân đã xác định ở trên có cả tam giác đều, do mọi tam

TR ẦN

giác đều thì đều cân tại ba đỉnh nên các tam giác đều được đếm ba lần. Suy ra, số tam giác giác cân nhưng không phải tam giác đều có ba đỉnh là ba đỉnh của

đa giác đã cho là: 7.15 − 3.5 = 90 .

90 18 = . 455 91

M: P =

0,25

10 00

Vậy, xác suất để chọn được một tam giác cân nhưng không phải tam giác đều từ tập

( x − 2 )( 4 − x ) +

x−2 + 4− x =

x −1 + x + 1 (1) 2

1,5

Í-

Giải phương trình:

-L

Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 4

ÁN

(1) ⇔ 2 ( x − 2 )( 4 − x ) + 2 (

(

x−2 + 4− x

)

(

0,5

)

x − 2 + 4 − x = x +1+ 2 x +1

2 Xét hàm số: f ( t ) = t + 2t , t > 0 . Có f ' ( t ) = 2t + 2 > 0∀t > 0 ⇒ hàm số đồng

biến trên ( 0; +∞ ) . Suy ra phương trình (1) có dạng

(

)

x−2 + 4− x = f

(

)

x +1 ⇔

⇔2

( x − 2 )( 4 − x ) = x − 1 ⇔ x = 3; x =

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

x − 2 + 4 − x = x +1

IỄ N

ÀN

⇔

)

x − 2 + 4 − x = x −1+ 2 x +1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

giác: Có 7 cặp đỉnh của đa giác đối xứng với nhau qua đường thẳng OA, hay có 7 tam

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

+) cos x =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

11 . Nghiệm tìm được thỏa mãn. 5

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 4 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy phương trình có nghiệm: x = 3; x =

11 5

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = b ( a, b > 0 ) ,

SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = 2a . Lấy điểm M bất kì thuộc

2,0

U Y

b) Xác định x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể

tích bằng nhau.

N H Ư

Do BC / / AD ⇒ mặt phẳng (MBC) cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến MN

10 00

TR ẦN

( N ∈ SD ) và MN / / AD .

0,5

AD ⊥ ( SAB ) ⇒ MN ⊥ ( SAB ) ⇒ MN ⊥ BM . Suy ra thiết diện của hình chóp

S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MBC) là hình thang BCNM vuông tại B và M

b ( 2a − x ) MN SM = ⇒ MN = AD SA 2a

Í-

-L

BM = x 2 + a 2 ,

IỄ N

ÀN

ÁN

Diện tích thiết diện BCNM:

S BCNM

0,5

 b ( 2a − x )  2 2 b +  a +x b ( 4a − x ) a 2 + x 2 2a   = = 2 4a

Kẻ AH ⊥ BM tại H, suy ra AH ⊥ ( BCNM ) , AH =

Do ( BCNM ) ⊥ ( SAB ) ⇒

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

d ( S , ( BCNM ) ) d ( A, ( BCNM ) )

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

a) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng ( MBC ) .

cạnh SA sao cho AM = x với 0 < x < 2a .

ax 2

a + x2 0,5

MS = MA

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 5 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇒ d ( S , ( BCNM ) ) =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a ( 2a − x ) a2 + x2

Thể tích khối chóp S.BCNM:

 x = 3 + 5 a (lo¹i) 2 2 ⇔ x − 6 ax + 4 a = 0 ⇔  x = 3 − 5 a 

(

)

Vậy x = 3 − 5 a .

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E, H lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A, I là giao điểm của đường

H Ư

thẳng AB và đường thẳng CD. Biết điểm D ( −1; − 1) , đường thẳng IG có phương

1,0

TR ẦN

trình 6 x − 3 y − 7 = 0 và điểm E có hoành độ bằng 1. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Í-L

10 00

ÀN

ÁN

I D

Gọi K là trung điểm của BI, suy ra HK / / CD ⇒ A là trung điểm của KI,

HK = DI =

IỄ N

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

) )

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

( (

0,5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

2a 2b b ( 2a − x )( 4a − x ) = 3 6

VS . ABCD = 2VSBCNM ⇔

Để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau:

b ( 2a − x )( 4a − x ) 1 VS . BCNM = d ( S , ( BCNM ) ) .S BCNM = 3 12

AK =

1 IC ; 2

0,5

1 BK ⇒ GK / / AC ⇒ GK ⊥ AB ⇒ GB = GI = GC hay G là tâm đường 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 6 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= 2 IBC = 90o , ID = 1 IC ⇒ DE / / IG . tròn đi qua ba điểm C, I, B. CGI 2

Phương trình đường thẳng DE: 2 x − y + 1 = 0 ⇒ E (1;3)

CE ⊥ IG , suy ra phương trình CE : x + 2 y − 7 = 0 . Tọa độ của G là nghiệm của hệ 7  x=  2 7 0 x + y − =   7 7 3 phương trình  ⇔ ⇒ G  ;  ⇒ C ( 5;1) 3 3 6 x − 3 y − 7 = 0 y = 7  3

ẠO

1,0

y z  1 y +  + . 10 y − x 2  y + z z + x 

H Ư

biểu thức P =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1;9 ] và x ≥ y, x ≥ z . Tìm giá trị nhỏ nhất của

Thật vậy:

TR ẦN

Với a, b dương thỏa mãn ab ≥ 1 ta có bất đẳng thức

1 1 2 ⇔ + ≥ 1 + a 1 + b 1 + ab

(

a− b

1 1 2 . + ≥ 1 + a 1 + b 1 + ab

)(

)

ab − 1 ≥ 0 đúng do ab ≥ 1 .

0,25

10 00

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1 .

0,25

-L

x 1 1 = t ∈ [1;3] . Xét hàm số f ( t ) = + trên đoạn [1;3] . 2 10 − t 1 + t y

ÁN

Đặt

Í-

   1 1 1 1  1 1 Áp dụng bất đẳng thức trên: P = ≥ +  + + x 2 z x x x 10 − 1+ 1 +  10 − 1+  y y z y y 

f '(t ) =

2 2

; f ' ( t ) = 0 ⇔ t 4 − 2t 3 − 24t 2 − 2t + 100 = 0

(10 − t ) (1 + t ) ( t − 2 ) ( t − 24t − 50 ) = 0 ⇔ t = 2 do t

TO ÀN

BBT

− 24t − 50 < 0 ∀t ∈ [1;3] . 0,25

IỄ N

−

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

5 DG = AG ⇒ A (1;1) ⇒ B (1;5 ) . Vậy, A (1;1) , B (1;5 ) và C ( 5;1) . 2

U Y

0,25

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 7 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 +

−

N Ơ

f (t )

5 4

11 18

U Y Đ

ẠO

x = 4 y  z x x = 4 y 1   = = khi và chỉ khi  y z ⇔  .  z 2 y = 2   x  = 1   y

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Suy ra Pmin

1 2

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

---------------Hết----------------

0,25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

f '(t )

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 8 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial