Bộ đề thi HSG môn Toán lớp 10+11 - Hệ Chuyên & Không Chuyên - Các Trường & SGD - Các năm 2011 2017 by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ X, NĂM 2017

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Bài 2. ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn, không cân nội tiếp đường tròn ( O ) . Các đường

cao AD, BE và CF cắt nhau tại H . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Đường tròn ( J ) ngoại tiếp tam giác

H Ư

AEF cắt đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai là K ( K ≠ A). Đường thẳng AM cắt đường tròn ( J ) tại điểm thứ hai là Q (Q ≠ A). EF cắt AD tại P. Đoạn PM cắt đường tròn ( J ) tại N .

TR ẦN

a) Chứng minh các đường thẳng KF , EQ , BC đồng quy hoặc song song và ba điểm K, P, Q thẳng hàng. b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp

10 00

xúc nhau.

Bài 3. ( 4,0 điểm) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên (a, b, c) sao cho số

(a − b)(b − c)(c − a ) + 2 là một lũy 2

thừa của 20162017 (Một lũy thừa của 20162017 là một số có dạng 20162017 n với n là một số nguyên không

âm).

-L

Í-

Bài 4. ( 4,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn

1 1  b+c c+a a+b  1 + + = 2 + +  . a b c  ab bc ca 

ÁN

Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + 3 ≥ 2(ab + bc + ca ) .

Bài 5. ( 4,0 điểm) Cho một bảng ô vuông kích thước 10 ×10 , trên đó đã điền các số nguyên dương từ 1 đến 100 vào các ô vuông con theo trình tự như hình a. Ở mỗi bước biến đổi, người ta chọn tùy ý ba ô

ÀN

vuông con liên tiếp theo hàng hoặc theo cột hoặc theo một đường chéo của hình vuông kích thước 3 × 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Bài 1. ( 4,0 điểm) Giải phương trình x 2 + 2 2 x + 7 = 2 3 − 2 x + 5( x ∈ ℝ ) .

(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Ngày thi: 15/4/2017

U Y

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ĐỀ CHÍNH THỨC

LỚP: 10

ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC

IỄ N

(xem hình b) rồi thực hiện: Hoặc là giảm số ở ô nằm giữa đi 2 đơn vị đồng thời tăng số ở hai ô liền kề lên 1 đơn vị, hoặc là tăng số ở ô nằm giữa lên 2 đơn vị đồng thời giảm số ở hai ô liền kề đi 1 đơn vị. Giả sử

rằng sau hữu hạn bước biến đổi, tập hợp tất cả các số ghi trên bảng ô vuông vẫn là tập {1; 2; 3; …; 100}. Chứng minh rằng khi đó các số ghi trên bảng theo đúng vị trí như trước khi biến đổi.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

11 12 13 … 19

21 22 23 … 29

… … … … …

…

91 92 93 … 99

100 Hình b- Ba ô vuông con liên tiếp

Hình a – Bảng ô vuông ban đầu

U Y

-------------- HẾT --------------

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

H Ư

LẦN THỨ X, NĂM 2017

TR ẦN

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN HỌC LỚP: 10

(Đáp án gồm 07 trang)

10 00

ĐÁP ÁN

Bài 1: (4,0 điểm) Câu hỏi đề xuất của trường THPT chuyên Trần Phú- Hải Phòng.

Giải phương trình x 2 + 2 2 x + 7 = 2 3 − 2 x + 5 .

ĐÁP ÁN

4,0 đ

Í-

ĐIỂM

7 3 ≤x≤ . 2 2

-L

ÁN

Điều kiện −

Phương trình ban đầu tương đương với phương trình

) (

)

2 x + 7 + 2 3 − 2 x − 2 = x2 −1

ÀN

(6 − 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Họ và tên thí sinh: ................................................................... Số báo danh: …………………

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

…

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

0,5đ

IỄ N

Cách 1 ⇔

4 − 4x 4 − 4x + = x2 −1 3 + 2x + 7 3 − 2x +1

x = 1 ⇔ 4 4  + = − x − 1 (1)  3 + 2 x + 7 3 − 2x +1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

0,5đ 4 4     Phương trình (1) ⇔  − 1 +  − 1 = − x − 3  3 + 2x + 7   3 − 2x +1 

)

−2

(3 +

≥−

)

)(

2x + 7 1 + 2x + 7

)

2 > VP 3

0,5 đ

0,5đ 0,5 đ

TR ẦN

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = −3 . 7 3 Điều kiện − ≤ x ≤ . 2 2

10 00

Với điều kiện trên ta có: x + 5 + 2 2 x + 7 ≥

3 và 2

3 −2 −2 x + 3 + x − 3 ≤ − < 0 . 2

1 1 2 1 + −1 < −1 = − < 0 3 3 x + 5 + 2 2 x + 7 −2 −2 x + 3 + x − 3

0,5đ 0,5đ

ÁN

Cách 2

-L

Í-

Do đó :

0,5 đ

(

0,5đ

) (

)

IỄ N

ÀN

PT ⇔ x + 5 − 2 2 x + 7 + 2 −2 x + 3 + x − 3 − x 2 − 2 x + 3 = 0

⇔

x2 + 2 x − 3 x2 + 2x − 3 + − x2 − 2x + 3 = 0 x + 5 + 2 2 x + 7 −2 −2 x + 3 + x − 3

0,5đ

1,0đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

)(

2x + 7 1+ 2x + 7

−2 x + 3 + 3

( 2)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

)(

−2 x + 3 + 1

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

−2

(3 +

N N

) (

= −1

U Y

Phương trình (2) vô nghiệm vì VT >

Lại có:

0,5đ

)(

= −x − 3

)

 x = −3  −2 ⇔ +  3 + 2x + 7 1 + 2x + 7 

(

−2 x + 3 + 3

)(

−2 x + 3 + 1

) (

ẠO

)(

2x + 7 1+ 2x + 7

(3 +

2x + 6

−2 x − 6

⇔

0,5đ

(Mỗi nhân liên hợp cho 0,5 điểm)

1 1   ⇔ ( x 2 + 2 x − 3)  + − 1 = 0  x + 5 + 2 2 x + 7 −2 −2 x + 3 + x − 3  x = 1 ⇔  x = −3

0,5đ

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = −3 .

0,5đ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 2: (4,0 điểm) Câu hỏi đề xuất của trường THPT chuyên Lam Sơn- Thanh Hóa. Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn, không cân nội tiếp đường tròn ( O ) . Các đường cao AD , BE và

CF cắt nhau tại H . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Đường tròn ( J ) ngoại tiếp tam giác AEF cắt

đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai là K ( K ≠ A) . Đường thẳng AM cắt đường tròn ( J ) tại điểm thứ

a) Chứng minh các đường thẳng KF , EQ và BC đồng quy hoặc song song và ba điểm K, P, Q thẳng

hàng

H Ư

S P F

10 00

TR ẦN

ĐIỂM

ĐÁP ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

tiếp xúc nhau.

-L

Í-

4đ

ÁN

ÀN

Gọi A’ là điểm đối xứng với H qua M, suy ra BHCA’ là hình bình hành.

IỄ N

Cách 1

A ' CA = A ' BA = 900 ⇒ AA ' là đường kính Do đó A ' C BH ; A ' B CH , suy ra

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

hai là Q (Q ≠ A). EF cắt AD tại P . Đoạn PM cắt đường tròn ( J ) tại N .

của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Suy ra A ' K ⊥ AK (1). Dễ thấy AH là đường kính của đường tròn (J), suy ra HK ⊥ AK (2) .

0,5đ

Từ (1) và (2) suy ra K, H, A’ thẳng hàng. Mà H, M, A’ thẳng hàng nên suy ra K, H, M, A’ thẳng hàng. Gọi L là giao điểm của AK và BC. Từ các kết quả trên và giả thiết, suy ra H là trực tâm của tam giác ALM, suy ra

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5đ

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

LH vuông góc với AM, gọi Q ' = LH ∩ AM ⇒ Q ' ∈ ( J ) ⇒ Q ' ≡ Q. suy ra các tứ giác ABDE, ALDQ nội tiếp, suy ra HL.HQ = HA.HD = HB.HE ⇒ LBQE nội tiếp. Ta có: AF . AB = AE. AC = AK . AL = AH . AD = AQ. AM . Suy ra các tứ giác

KLBF, CMQE nội tiếp.

Như vậy: LB là trục đẳng phương của hai đường tròn (LBQE) và (KLBF);

0,5đ

ẠO

KQ là trục đẳng phương của hai đường tròn (J) và (LM)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

PA/( LM ) = PA/( BC ) nên A thuộc trục đẳng phương của (LM) và (BC). Do AD vuông

góc với đường nối tâm hai đường tròn (LM) và (BC) nên AD là trục đẳng phương

0,5đ

H Ư

của hai đường tròn (LM) và (BC). Lại có, P là giao điểm của EF với AD nên suy ra P thuộc KQ.

TR ẦN

Ta có AF . AB = AE. AC = AK . AL = AQ. AM = AF . AB = AH . AD ,

0,5 đ

Qua phép nghịch đảo ψ ( A, AH . AD ) , tâm A phương tích k = AH . AD :

Đường thẳng KF biến thành đường tròn (ABL);

đường thẳng EQ biến thành đường tròn (ACM);

đường thẳng BC biến thành đường tròn (AEF).

10 00

Cách

0,5đ

Ba đường tròn (ABL); (ACM); (AEF) có chung nhau điểm A.

0,5 đ

Do đó trục đẳng phương của ba đường tròn đó đồng qui tại A hoặc trùng nhau.

0,5đ

Í-

Vậy ba đường thẳng KF, EQ và BC song song hoặc đồng quy.

-L

Ta có: AK là trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (J);

ÁN

EF là trục đẳng phương của hai đường tròn (J) và (BFEC);

BC là trục đẳng phương của hai đường tròn (BFEC) và (O), mà AK cắt BC tại L,

IỄ N

ÀN

suy ra AK, EF, BC đồng quy tại L.

0,5đ

Ta có M là tâm của đường tròn (BFEC), suy ra MJ ⊥ EF, kết hợp với JD ⊥ LM .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

EF là trục đẳng phương của hai đường tròn (BC) và (J)

Do đó ba đường thẳng KF, EQ và BC đồng quy hoặc song song.

U Y

EQ là trục đẳng phương của hai đường tròn (J) và (LBQE).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

KF là trục đẳng phương của hai đường tròn (KLBF) và (J);

Suy ra P là trực tâm tam giác JLM. Do đó MP ⊥ JL . Gọi S là giao điểm của JL và MP, ta có tứ giác LDPS nội tiếp, suy ra JS .JL = JP.JD (3)

0,5đ

Xét tứ giác toàn phần AEHFBC, ta có ( A, H , P, D ) = −1 , mà J là trung điểm AH nên theo hệ thức Newton suy ra JH 2 = JP.JD (4). Từ (3) và (4) suy ra

JS .JL = JH 2 = JN 2 , mà NS ⊥ JL suy ra LN vuông góc với JN hay LN là tiếp

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5đ

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

tuyến của (J). Suy ra LN 2 = LK .LA = LB.LC ⇒ LN là tiếp tuyến của đường tròn (BNC) (5). Từ AKM = ADM = 900 ⇒ 4 điểm A, K, D, M cùng thuộc một đường tròn, suy ra

LN 2 = LK .LA = LD.LM ⇒ LN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

MND (6).

H Ư

ĐÁP ÁN

TR ẦN

(Một lũy thừa của 20162017 là một số có dạng 20162017 n với n là một số nguyên không âm).

ĐIỂM 4,0 đ

Giả sử a, b, c là các số nguyên và n là một số nguyên dương sao cho

( a − b)(b − c)(c − a ) + 4 = 2.20162017 n .

10 00

Đặt a − b = − x ; b − c = − y và ta viết lại phương trình trên như sau (1)

xy ( x + y ) + 4 = 2.2016 2017 n

0,5đ

Í-

Nếu n ≥ 1 thì vế phải của (1) chia hết cho 7, vì thế ta có xy ( x + y ) + 4 ≡ 0 (mod 7) .

-L

Gọi u, v ∈ {−3, −2, −1, 0,1, 2,3} thỏa mãn x ≡ u ( mod 7 ) , y ≡ v ( mod 7 )

ÁN

Ta có uv(u + v) + 4 ≡ 0 (mod 7) (2). Từ (2) ta được u ≠ 0, v ≠ 0, u + v ≠ 0 .

0,5đ

IỄ N

ÀN

Giả sử u ≥ v . Khi đó ta xét các trường hợp sau: +) v = −3 ⇒ u ∈ {−3, −2, −1,1, 2} thử thấy không thỏa mãn (2)

+) v = −2 ⇒ u ∈ {−2, −1,1,3} thử thấy không thỏa mãn (2)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

( a − b)(b − c)(c − a ) + 2 là một lũy thừa của 20162017 2

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên ( a, b, c) sao cho số

Bài 3: (4,0 điểm) Câu hỏi đề xuất của trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,5đ

U Y

(đpcm).

Từ (5) và (6) suy ra hai đường tròn (BNC) và (MND) tiếp xúc nhau tại N

0,5đ

+) v = −1 ⇒ u ∈ {−1, 2,3} thử thấy không thỏa mãn (2) +) v = 1 ⇒ u ∈ {1, 2,3} thử thấy không thỏa mãn (2) +) v = 2 ⇒ u ∈ {2,3} thử thấy không thỏa mãn (2)

0,5đ

+) v = 3 ⇒ u ∈ {3} thử thấy không thỏa mãn (2)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Chú ý: ( Hướng khác học sinh có thể làm). Để chứng minh xy ( x + y ) + 4 ≡ 0 (mod 7) không xảy ra ta có thể chứng minh

0,5đ

như sau: từ xy ( x + y ) + 4 ≡ 0 (mod 7) suy ra 3xy ( x + y ) ≡ 2 (mod 7)

hay ( x + y )3 − x 3 − y 3 ≡ 2 (mod 7) (3)

U Y

Từ (3) suy ra một trong các số ( x + y )3 , x3 và y 3 phải có số chia hết cho 7.

0,5đ

Do 7 là số nguyên tố nên một trong các số x + y, x, y phải có số chia hết

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

xy ( x + y ) + 4 ≡ 0 (mod 7) .

Vì vậy, chỉ có thể là n = 0 . Khi đó

0,5đ

H Ư

⇔ xy ( x + y ) = 1.( −2) = ( −2).1 = (−1).2 = 2.( −1)

xy ( x + y ) + 4 = 2 ⇔ xy ( x + y ) = −2

TR ẦN

Xét các trường hợp sau:

 xy = 1 ⇔ x = y = −1 .   x + y = −2

0,5đ

 xy = −1 (không có nghiệm nguyên)  x + y = 2  xy = 2 (vô nghiệm)   x + y = −1

0,5đ

ÁN

-L

Í-

10 00

 xy = −2 x = 2  x = −1 hoặc  . ⇔   x + y = 1  y = −1 y = 2

k ∈ ℤ ) cùng các hoán vị.

0,5đ

IỄ N

ÀN

Vậy bộ ba số thỏa mãn yêu cầu bài toán là (a, b, c) = (k + 2, k + 1, k ) (với

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

cho 7. Suy ra xy ( x + y ) chia hết cho 7 . Đây là một điều mâu thuẫn

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Để ý rằng với mọi số nguyên k , ta có k 3 ≡ −1;0;1 (mod 7) .

Bài 4: (4,0 điểm) Câu hỏi đề xuất của trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn

1 1  b+c c+a a+b  1 + + = 2  + +  . Chứng minh rằng: a b c  ab bc ca 

a 2 + b 2 + c 2 + 3 ≥ 2( ab + bc + ca ) .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

4,0 đ Giả thiết tương đương với

0,5đ

2  1 1 1 ⇔ (a + b + c) + + − =3  a b c abc 

U Y

⇔ ( a + b + c)( ab + bc + ac − 2) = 3abc

0,5đ

H Ư

9 (a + b + c)2 7(ab + bc + ca) − (a 2 + b 2 + c 2 ) ⇔ 3 ≥ (ab + bc + ca) − = 6 6 6

TR ẦN

7( ab + bc + ca ) + 5( a 2 + b 2 + c 2 ) 6

0,5đ

⇔ a 2 + b2 + c 2 + 3 ≥

0,5đ

10 00

Do a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca, ∀a, b, c nên

0,5đ

7(ab + bc + ca ) + 5( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2(ab + bc + ca ) 6

Vậy a 2 + b 2 + c 2 + 3 ≥ 2( ab + bc + ca )

0,5đ

-L

Í-

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 .

ÁN

Bài 5: (4,0 điểm) Câu hỏi đề xuất của trường THPT chuyên Lê Hồng Phong– Nam Định.

Cho một bảng ô vuông kích thước 10 ×10 , trên đó đã điền các số nguyên dương từ 1 đến 100 vào các ô

ÀN

vuông con theo trình tự như hình a. Ở mỗi bước biến đổi, người ta chọn tùy ý ba ô vuông con liên tiếp theo hàng hoặc theo cột hoặc theo một đường chéo của hình vuông kích thước 3 × 3 (xem hình b) rồi thực

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(a + b + c) 2 ⇔ 18 ≥ 9( ab + bc + ca ) − ( a + b + c) 2 9

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Do đó: ab + bc + ac − 2 ≤

( a + b + c )3 9

ẠO

( a + b + c)( ab + bc + ac − 2) = 3abc ≤

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,5 đ

b+c c+a a+b 1 1   1 +1+ +1+ +1 = 2  + +  + 3 a b c  ab bc ca 

IỄ N

hiện: Hoặc là giảm số ở ô nằm giữa đi 2 đơn vị đồng thời tăng số ở hai ô liền kề lên 1 đơn vị, hoặc là tăng số ở ô nằm giữa lên 2 đơn vị đồng thời giảm số ở hai ô liền kề đi 1 đơn vị. Giả sử rằng sau hữu hạn bước, tập hợp tất cả các số ghi trên bảng ô vuông vẫn là tập {1; 2; 3; …; 100}. Chứng minh rằng khi đó các số ghi trên bảng theo đúng vị trí như trước khi biến đổi.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

…

11 12 13 … 19

21 22 23 … 29

… … … … …

…

91 92 93 … 99

100

Hình b- Ba ô vuông con liên tiếp

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

U Y

Hình a – Bảng ô vuông ban đầu

Ta kí hiệu a(ni , j ) là số ghi ở ô vuông con thuộc hàng i, cột j ở ngay sau bước

ẠO

trái sang phải.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

+ Ban đầu (coi là “ngay sau lần biến đối thứ 0”) trên bảng có các số a(0i , j)

được điền vào ô theo quy luật a(0i , j) = 10 ( i − 1) + j với mọi i , j ∈ ℕ * ,

1 ≤ i, j ≤ 10 .

1≤i , j ≤10

H Ư

a(0i , j ) .a(ni , j ) với n ∈ ℕ .

TR ẦN

∑

+ Xét đại lượng Tn =

0,5 đ

∑

Ban đầu khi chưa biến đổi, có T0 =

1≤ i , j ≤10

a(0i , j ) .a(0i , j )

10 00

Xét từ lần biến đổi thứ n sang lần

biến đổi thứ n + 1, bằng cách thử

từng khả năng về chọn bộ ba ô

vuông liền kề (ô ở giữa điền a(ni , j ) ):

Í-

Trường hợp chọn 3 ô vuông liên tiếp như hình vẽ trên ta có

-L

Tn +1 = a(01,1) .a(n1+,11) + ... + a(0i −1, j) .a(ni+−11, j) + a(0i, j) .a(ni,+j1) + a(0i +1, j) .a(ni++11, j) + ...a(010,10 ) .a(n10+1,10)

(

)

(

)

(

)

ÁN

= a(01,1) .a(n1,1) + ... + a(0i −1, j) . a(ni −1, j) ∓ 1 + a(0i, j) . a(ni, j) ± 2 + a(0i +1, j) . a(ni +1, j) ∓ 1 + ...

(

IỄ N

ÀN

+ a(010,10 ) .a(n10 ,10) = Tn ± 2a(0i, j) − a(0i +1, j) − a(0i −1, j)

)

0,5đ

Các trường hợp còn lại,với cách thức biến đổi tương tự, ta thấy giá trị của Tn chỉ “tăng” hoặc “giảm” đi một lượng dạng 2 a(0i , j) − a(0p , m ) − a(0q , r ) với p, m, q, r

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

biến đổi thứ n, ở đó thứ tự hàng i tính từ trên xuống dưới, thứ tự cột j tính từ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

0,5đ

là số nguyên dương thỏa mãn p + q = 2i và m + r = 2 j . Mặt khác: 2a(0i,j) − a(0p,m) − a(0q,r) = 2 10( i −1) + j  − 10( p −1) + m − 10( q −1) + r  = 0, vậy Tn = Tn +1 với mọi n, nghĩa là Tn là một bất biến của quá trình biến đổi.

0,5đ

+ Giả sử sau N bước, tập hợp các số ghi trên bảng đúng bằng {1; 2; 3; …;

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(

0,5đ

)

100} nghĩa là bộ a(N1,1) , a(N1,2 ) ,..., a(N1,10 ) , a(N2,1) ,..., a(N10,10) là một hoán vị của bộ (1; 2; 3; …; 100).

∑ 1≤i , j ≤10

a(0i , j ) .a(Ni , j ) =

∑ 1≤ i , j ≤10

a(0i , j ) .a(0i , j ) .

0,5đ

Ta có TN = TN −1 = ... = T0 nên

H )

Hai dãy này là hoán vị của nhau nên điều đó chỉ xảy ra khi và chỉ khi

theo cùng trật tự tăng giảm.

( a(

)

ẠO

) (

, a(N1,2 ) ,..., a(N1,10 ) , a(N2,1) ,..., a(N10,10) ≡ a(01,1) , a(01,2) ,..., a(01,10 ) , a(02,1) ,..., a(010,10) .

0,5đ

Vậy bảng số lúc này được sắp xếp đúng như trật tự lúc đầu.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

N 1,1)

0,5đ

H Ư

A. LƯU Ý CHUNG

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh

TR ẦN

làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không chấm điểm cho phần đó.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

) (

, a(N1,2 ) ,..., a(N1,10 ) , a(N2,1) ,..., a(N10,10) và a(01,1) , a(01,2 ) ,..., a(01,10 ) , a(02,1) ,..., a(010,10) xếp

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N 1,1)

1≤ i , j ≤10

a(0i , j ) .a(0i , j ) , dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi hai dãy

( a(

∑

1≤i , j ≤10

a(0i , j ) .a(Ni , j ) ≤

U Y

∑

Mặt khác theo bất đẳng thức về dãy sắp xếp ta luôn có

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ SỐ 05 (Đề thi HSG lớp 10, Bạc Liêu, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1. (4 điểm)

Câu 2. (4 điểm)  x −1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 3. (4 điểm)

Giải phương trình: 3x 2 + 8 x − 67 + 8 4 4 x + 4 = 0 . Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:

TR ẦN

a3 b3 c3 + + = 1. a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2

H Ư

Câu 4. (4 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a + b + c .

10 00

Câu 5. (4 điểm)

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn ( C ) có tâm O và bán kính R. Chứng minh:

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

M ∈ ( C ) ⇔ MA2 + MB 2 + MC 2 = 2 BC 2 .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Tìm tất cả các hàm số f ( x ) xác định trên ℝ thỏa mãn f ( x ) + f   = x + 1 , với mọi  x  x ≠ 0, x ≠ 1 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.20102011

U Y

2010

A = ( 20112 − 1)

Hãy tìm tất cả các số để khi thêm vào tích sau ta được một số chia hết cho 2011.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ SỐ 05 Câu 1. 2010

− 20102010  .20102011 + ( 20104021 + 1) − 1 

N H

− 20102010  .20102011 = 2011.E ⋮ 2011 

N = ( 20104021 + 1) = 2011.F ⋮ 2011

Vậy thêm 2011k + 1 (k nguyên) vào thì A chia hết cho 2011.

ẠO

Câu 2.  x −1

 1 

t−2

TR ẦN

, ∀t ≠ 1 (2) Khi đó: (1) ⇔ f   + f (t ) = t −1 1− t  1 x −1 t −1 = ⇒x= 1− t x t  t −1 

 1 

2t − 1 , ∀t ≠ 0, t ≠ 1 (3) t

10 00

Khi đó: (1) ⇔ f  + f  =  t  1− t 

Đặt

Đ G

1 x −1 ⇒x= x 1− t

Đặt t =

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Theo đề bài, ta có: f ( x ) + f   = x + 1 (1)  x 

Cộng vế theo vế phương trình (2) và (3), ta được:

2t − 1 t − 2  1  2f  + , ∀t ≠ 0, t ≠ 1  + ( t + 1) = t t −1 1− t 

-L

Í-

1 1  1  1 ⇔ f −  , ∀t ≠ 0, t ≠ 1  = 2−t + 1− t t  1− t  2 

ÁN

1 1 1  ⇒ f ( x) =  x + +  , ∀t ≠ 0, t ≠ 1 2 x 1− x 

1

1  

ÀN

Thử lại, ta thấy f ( x ) =  x + +  , thỏa mãn điều kiện đề bài. x 1− x 2 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2010

U Y

M = ( 20112 − 1) 

Hay A = M + N − 1 với

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ta có: A = ( 20112 − 1) 

IỄ N

Câu 3.

Điều kiện: x ≥ −1 Đặt t = 4 4 x + 4 ( t ≥ 0 ) ⇒ x =

t 4 − 4 2 t 8 − 8t 4 + 16 ,x = 4 16

Phương trình đã cho trở thành: 3t 8 + 8t 4 + 128t − 1152 = 0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇔ ( t − 2 ) ( 3t 7 + 6t 6 + 12t 5 + 24t 4 + 56t 3 + 112t 2 + 224t + 576 ) = 0 ⇔ t = 2 (vì t ≥ 0 ). 4

4x + 4 = 2 ⇔ x = 3 .

Với t = 2 , ta có

Tương tự, ta có:

ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b3 b+c ≥b− (2) 2 2 b + bc + c 3

Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta được:

⇒ S ≤ 3, S = 3 khi a = b = c = 1 .

10 00

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức S là 3.

TR ẦN

a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3

H Ư

c3 c+a ≥c− (3) 2 2 c + ca + a 3

Câu 5.

BC 2 = 4 R 2 ⇒ 2 BC 2 = 6 R 2 2 sin A

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC, ta có:

Khi đó:

-L

Í-

2 MA2 + MB 2 + MC 2 = 2 BC 2 ⇔ OM + OA + MO + OB

(

) (

2 ⇔ 3MO + 2 MO OA + OB + OC = 3R 2

ÁN

(

)

= 6R2

IỄ N

ÀN

⇔ OM = R (do OA + OB + OC = 0 ) ⇔ M ∈ ( C ) .

) + ( MO + OC )

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a3 a+b ≥a− (1) 2 2 a + ab + b 3

⇒

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

a ( ab + b 2 ) ab ( a + b ) ab ( a + b ) a3 = − =a− 2 ≥a− a 2 2 2 2 2 a + ab + b a + ab + b a + ab + b 3ab

U Y

Ta có:

Câu 4.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ SỐ 04 (Đề thi HSG lớp 10, TP. Đà Nẵng, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1. (1,5 điểm)

U Y

2. Cho các nửa khoảng A = ( a; a + 1] , B = [b; b + 2 ) . Đặt C = A ∪ B . Với điều kiện nào của các

ẠO

( m − 1) x + 2 < m + 1 . x−2

2. Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1. Tìm m để phương trình x 2 − 1 = m 4 − m 2 + 1 có bốn nghiệm phân biệt.

1. Giải phương trình x 2 − 7 x + 8 = 2 x .  7 x + y + 2 x + y = 5

TR ẦN

2. Giải hệ phương trình 

H Ư

Câu 3. (2,5 điểm)

 x − y + 2 x + y = 1

Câu 4. (3,0 điểm)

10 00

= 60° . Các điểm M, N được xác định bởi 1. Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BAC MC = −2 MB và NB = −2 NA . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau.

2. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A ', B ' và C ' . Gọi Sa , Sb , Sc và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB ' C ' , BC ' A ', CA ' B ' và

-L

Câu 5. (1,0 điểm)

Í-

ABC. Chứng minh bất đẳng thức

S a + Sb + S c ≤

3 S . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 2

IỄ N

ÀN

ÁN

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R ( R > 0 , R không đổi). Gọi A và B lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc vưới đường tròn đó. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Câu 2. (2,0 điểm)

số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x x − . 10 − x 10 + x

1. Xác định tính chẵn – lẻ của hàm số y =

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ SỐ 04 Câu 1. 1. Hàm số y có tập xác định D = ( −10;10 ) là tập đối xứng qua điểm x = 0 .

Kiểm tra: ∀x ∈ D, f ( − x ) = f ( x ) ⇒ f chẵn, f không lẻ (vì nó không đồng nhất bằng 0 trên D).

2. C = [b; b + 2 ) ∪ ( a; a + 1] là một đoạn ⇔ b ≤ a < b + 2 ≤ a + 1 ⇔ b + 1 ≤ a < b + 2

U Y

Câu 2. 1. Ta có: m 4 − m2 + 1 > 0

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Từ (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m vì m 4 − m2 + 2 > 0

Từ (2) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0 và 1 − m2 > 0 ⇔ m ∈ ( −1;1) \ {0}

Phương trình có 4 nghiệm phân biệt ⇔ m ∈ ( −1;1) \ {0} và m 4 − m2 + 2 ≠ m 2 − m 4

H Ư

⇔ m ∈ ( −1;1) \ {0} và m 4 − m 2 + 1 ≠ 0 ⇔ m ∈ ( −1;1) \ {0} , kết luận

( m + 1)( x − 2 ) + (1 − m ) x − 2 > 0 ⇔ x − ( m + 2 ) > 0 x−2

TR ẦN

2. Bất phương trình ⇔

x−2

m+2>2

Nếu

m < 0 thì x ∈ ( −∞; m + 2 ) ∪ ( 2; +∞ )

m+2<2

Câu 3. 1. Điều kiện: x ≥ 0

nên

bất bất

trình

nghiệm

đúng

với

mọi

phương

trình

nghiệm

đúng

với

mọi

nên

phương

m > 0 thì x ∈ ( −∞;2 ) ∪ ( m + 2; +∞ )

Nếu

10 00

+) Nếu m = 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ≠ 2

)( x − 1)( x − 1)(

)

x − 1 x x + 8 + x − 6 x − 16 = 0

ÀN

ÁN

( ⇔( ⇔( ⇔

-L

Í-

Phương trình ⇔ x 2 − 1 − 7 x + 7 − 2 − 2 x = 0 ⇔

)( x + 2 )( x −

)

x + 2 x − 2 x + 4+ x −8 = 0

)

x −4 =0

(

)(

)

x −1 x x + x − 6 x − 8 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

 (1) x2 = m4 − m2 + 2 Phương trình ⇔  2 2 4 2 2  x = m − m = m (1 − m ) (2)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Khi đó, C = [b; b + 2 ) ∪ ( a; a + 1] = [b; a + 1] là đoạn có độ dài a − b + 1 .

IỄ N

x =1  x −1 = 0  2 ⇔ ⇔  1 + 17  9 + 17  x − x − 4 = 0  x =  2  = 2    7 x + y ≥ 0 2 x + y ≥ 0

2. Điều kiện 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

u = 7 x + y ≥ 0

2 u 2 − v2 7v 2 − 2u 2 u = 7 x + y ⇒ 2 ⇒x= ;y = 5 5 v = 2 x + y ≥ 0 v = 2 x + y

Đặt 

u + v = 5 ⇔ 2 2 u − v − 7v + 2u + 5v = 5 3u − 8v + 5v − 5 = 0 2

U Y

7 x + y = 9 x = 1 (phù hợp). ⇔ 2 x + y = 4 y = 2 Câu 4. 1. Ta có: MC = −2 MB ⇔ AC − AM = −2 AB − AM ⇔ 3 AM = 2 AB + AC

ẠO

(

)

(

)(

H Ư

Tương tự ta cũng có: 3CN = 2CA + CB Vậy: AM ⊥ CN ⇔ AM .CN = 0 ⇔ 2 AB + AC 2CA + CB = 0

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Do đó hệ phương trình đã cho trở thành 

)

(

)(

5bc = 0 ⇔ 4c 2 − 6b 2 − 5bc = 0 2

⇔ 2c 2 − 3b 2 −

)

TR ẦN

⇔ 2 AB + AC AB − 3 AC = 0 ⇔ 2 AB 2 − 3 AC 2 − 5 AB. AC = 0

AC ' AB ' 1  AC ' AB '  . ≤  +  (Bất đẳng thức Cauchy) AB AC 2  AB AC  Sb 1  BA ' BC '  ≤  +  và S 2  BC BA 

Sa S Sc 1  AC ' BC ' BA ' CA ' CB ' AB '  3 + b + ≤  + + + + +  = (đpcm) S S S 2  AB BA BC CB CA AC  2

ÁN

Do đó:

Sc 1  CB ' CA '  ≤  +  S 2  CA CB 

-L

Í-

Tương tự ta cũng có:

Sa = S

⇒

10 00

2. Ta có các công thức tính diện tích: 2 S a = AC '. AB 'sin A;2 S = AB. AC sin A

IỄ N

ÀN

 AC ' AB '  AB = AC C ' B ' || BC   BA ' BC '  Dấu bằng xảy ra ⇔  = ⇔  A ' C ' || CA  BC BA  B ' A ' || AB   CB ' CA ' =  CA CB 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

u = 3 v = 2

Từ (*) ⇔ v = 2 (nhận) hoặc v = −7 (loại); nên hệ phương trình trên ⇔ 

u = 5 − v u = 5 − v u = 5 − v ⇔ ⇔ ⇔ 2 (*) 2 2 2 −5v − 25v + 70 = 0 v + 5v − 14 = 0 3 ( 5 − v ) − 8v + 5v − 5 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

u + v = 5

Hệ phương trình trở thành: 

⇔ A ', B ', C ' là trung điểm của BC, CA, AB.

Câu 5. Dựa vào tính đối xứng, ta giả sử A ( a;0 ) , B ( 0; b ) với a > 0, b > 0 (*).

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ab ≥ R 2 không đổi (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b ) 2

⇒ SOAB =

1 1 1 1 a 2 + b2 + = (**) ⇒ = 2 2 ⇒ a 2b 2 = R 2 ( a 2 + b 2 ) ≥ 2 R 2 ab a2 b2 R2 R2 ab

Mà

ab . 2

(

) (

U Y

Kết hợp với (*) và (**): dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = R 2

)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Vậy A ± R 2;0 ; B 0; ± R 2 (4 cặp điểm).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

⇒ SOAB =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A- PHẦN ĐỀ

(4 điểm)

Ơ H

x + y = m − 2

U Y

2 2 2  x + y + 2 x + 2 y = −m + 4

(trong đó m là tham số, x và y là ẩn)

a) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm. b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A = xy + 2 ( x + y ) + 2011

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

2. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt đều lớn hơn −3. Câu 2 (1,5 điểm)

 x + y − xy = 1

Giải hệ phương trình  (1 điểm)

TR ẦN

Câu 3

H Ư

2 2  x + 3 + y + 3 = 4

Chứng minh rằng nếu x, y là các số thực dương thì

(1 + x )

(1 + y )

≥

1 1 + xy

10 00

Câu 4 (3,5 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1;2 ) và B ( 4;3) . Tìm tọa độ điểm M

trên trục hoành sao cho AMB = 45° . 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Các đường thẳng AH, BH, CH lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C). Hãy viết phương trình cạnh AC của tam giác ABC; biết rằng

ÁN

-L

Í-

 6 17  D ( 2;1) , E ( 3; 4 ) , F  ;  . 5 5  3. Cho tam giác ABC, có a = BC , b = CA, c = AB . Gọi I, p lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, nửa

chu vi của tam giác ABC. Chứng minh rằng

ÀN

IA2 IB 2 IC 2 + + =2 c ( p − a) a ( p − b) b ( p − c)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1. Cho hệ phương trình 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Câu 1

ĐỀ SỐ 01 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút

IỄ N

B- ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1

ĐỀ SỐ 1 1. a) Đặt S = x + y; P = xy . S = m − 2

S = m − 2 ⇔  2 2 2  S − 2P + 2S = −m + 4 P = m − m − 2

Khi đó hệ phương trình trở thành 

Để hệ có nghiệm thì S 2 ≥ 4 P ⇔ ( m − 2 ) ≥ 4 ( m 2 − m − 2 ) ⇔ m 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) Ta có A = P + 2S + 2011 = m 2 + m + 2005 Lập bảng biến thiên ta được max A = 2011 khi m = 2 ; min A = 2004, 75 khi m = −0,5

201 1

.Q t = 2 t = 3m − 1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2. Đặt t = x 2 ≥ 0 , thay vào phương trình ta được: t 2 − ( 3m + 1) t + 6m − 2 = 0 ⇔ 

H Ư

1  3m − 1 > 0 m > phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi  ⇔ 3 3m − 1 ≠ 2 m ≠ 1

TR ẦN

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm là ± 2; ± 3m − 1

Để các nghiệm đều lớn hơn −3 thì − 3m − 1 > −3 ⇔ 3m − 1 < 3 ⇔ m <

10 3

10 00

 1 10   \ {1} 3 3 

Vậy các giá trị của m là m ∈  ; Câu 2

Điều kiện xy ≥ 0 , đặt t = xy , t ≥ 0

Ta có xy = t 2 và x + y = t + 1 ⇒ x 2 + y 2 + 2t 2 = t 2 + 2t + 1 ⇒ x 2 + y 2 = −t 2 + 2t + 1

-L

Í-

x 2 + 3 + y 2 + 3 = 4 ⇔ x 2 + y 2 + 2 x 2 y 2 + 3 ( x 2 + y 2 ) + 9 = 16

ÁN

⇒ −t 2 + 2t + 1 + 2 t 4 + 3 ( −t 2 + 2t + 1) + 9 = 16

t 2 − 2t + 9 ≥ 0 2 t − 3t + 6t + 12 = t − 2t + 9 ⇔  4 2 2 2  4 ( t − 3t + 6t + 12 ) = ( t − 2t + 9 ) 2

ÀN

IỄ N

⇔ 3t 4 + 4t 3 − 34t 2 + 60t − 33 = 0 ⇔ (1 − t ) ( 3t 3 + 7t 2 − 27t + 33) = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

200 4,75

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

200 7

1 2

−

−2

U Y

Với t ≥ 0 ⇒ 3t 3 + 7t 2 − 27t + 33 ≥ 7t 2 − 27t + 33 > 0 ( a > 0, ∆ < 0 )  xy = 1 ⇒ t =1⇒  ⇒ x = y =1 x + y = 2

Kết luận nghiệm của hệ là ( x; y ) = (1;1)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Câu 3

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cách 1: Do x, y > 0 nên bất đẳng thức đã cho tương đương với

 1 + x )2 + (1 + y ) 2  (1 + xy ) ≥ (1 + x )2 (1 + y )2 ( 

U Y

Dấu bằng xảy ra khi x = y = 1 .

(1 + y )

Từ (1) và (2), ta có

≥

(1 + x )

(1 + y )

10 00

Câu 4

Í-

Giả sử tọa độ của M ( x;0 ) . Khi đó MA = (1 − x;2 ) ; MB = ( 4 − x;3) . Theo giả thiết ta có MA.MB = MA.MB cos 45°

(1 − x )

-L

⇔ (1 − x )( 4 − x ) + 6 =

+ 4.

(4 − x)

ÁN

⇔ x 2 − 5 x + 10 = x 2 − 2 x + 5. x 2 − 8 x + 25.

   1 1 1  1  = ≥ + x y (1 + xy )  1 + 1 +  1 + xy  y x  

Ta có điều phải chứng minh

ẠO

1 (2) y  1 + xy 1 + ( )  x 

Tương tự, ta có

)

H Ư

(

2   x  1 1 2 2  1 +   xy (1)  y   ≥ (1 + x ) ⇒ 1 + x 2 ≥    x ( )     (1 + xy ) 1 +  y  2

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

12 + 

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-x-ki, ta có

+ 9.

2 2

⇔ 2 ( x 2 − 5 x + 10 ) = ( x 2 − 2 x + 5 )( x 2 − 8 x + 25 )

ÀN

(do x 2 − 5 x + 10 > 0 )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

⇔ xy (1 − y ) + ( xy − 1) ≥ 0 , bất đẳng thức này luôn đúng.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇔ ( 2 + 2 x + 2 y + x 2 + y 2 ) (1 + xy ) ≥ (1 + 2 x + x 2 )(1 + 2 y + y 2 )

IỄ N

⇔ x 4 − 10 x3 + 44 x 2 − 110 x + 75 = 0

⇔ ( x − 1)( x − 5 ) ( x 2 − 4 x + 15 ) = 0 ⇔ x = 1; x = 5

Vậy ta có hai điểm cần tìm là M (1;0 ) hoặc M ( 5;0 ) .

2. Gọi A ', B ', C ' lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C. Do tứ giác BCB ' C ' nội tiếp nên

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta lập được phương trình các đường thẳng DE, DF lần lượt là DE : 3 x − y − 5 = 0 ; DF : 3 x + y − 7 = 0 . Do đó phương trình phân giác trong và ngoài của đỉnh D là

= FCA = ABE = FDA ADE ⇒ H nằm trên đường phân giác trong hạ từ D của ∆DEF , tương tự ta cũng chỉ ra được H nằm trên đường phân giác trong hạ từ đỉnh E của ∆DEF . Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp của ∆DEF .

Mặt khác H là giao của d và d ' nên H ( 2;3) .

ẠO

Ta có AC là trung trực của HE nên AC đi qua

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

5 7

trung điểm B '  ;  và có vectơ pháp tuyến là 2 2

TR ẦN

3. Cách 1: Gọi M là tiếp điểm của AC với đường tròn nội tiếp ∆ABC . Khi đó ta có AM = p − a; IM = r . Gọi S là diện tích tam giác ABC, theo công thức Heron ta có S = p ( p − a )( p − b )( p − c )

10 00

Áp dụng định lí Pitago trong ∆AIM ta có 2

S +   p

IA = AM + MI = ( p − a ) + r = ( p − a )

H p

-L

IA2 b = c( p − a) p

ÁN

⇒

( p − a )( p − b )( p − c ) ( p − a ) bc

Í-

= ( p − a) +

Tương tự ta có

IB 2 c IC 2 a = ; = . a ( p − b) p b ( p − c) p

IA2 IB 2 IC 2 a+b+c + + = =2. c ( p − a) a ( p − b) b ( p − c) p

IỄ N

ÀN

Do vậy

H Ư

HE = (1;1) ⇒ AC : x + y − 6 = 0 .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Kiểm tra vị trí tương đối của E, F với hai đường trên ta được phân giác trong kẻ từ đỉnh D là d : x − 2 = 0 . Tương tự ta lập được phương trình phân giác trong kẻ từ đỉnh E là d ' : x − y + 1 = 0 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

3x − y − 5 3x + y − 7 =± ⇔ x − 2 = 0; y − 1 = 0 10 10

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cách 2: Theo tính chất đường phân giác “Giả sử đường phân giác trong của góc A cắt BA ' AB c = = ”, A ' C AC b

cạnh BC tại điểm A ' . Khi đó

ta có:

  b 2  lb . Ta có l = ac 1 −    ”.   a + c  

2 b

H Ư

bc ( p − a ) 2 bc ( p − a ) 2 bcp ( p − a ) ⇒ AI = = b+c 2 p p

Tương tự ta cũng có BI =

; CI =

ab ( p − c ) p

10 00

IA2 IB 2 IC 2 a+b+c + + = =2 c ( p − a) a ( p − b) b ( p − c) p

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Vậy

ca ( p − b )

TR ẦN

⇒ AA ' =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

là Mặt khác theo công thức tính đường phân giác “Cho ∆ABC có đường phân giác trong B

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

(với

AA ' a + b + c 2p = = AI b+c b+c AA ' ( b + c ) a+b+c p= ) ⇒ AI = . 2 a+b+c

Suy

A ' I BA ' CA ' BC a = = = = IA AB AC AB + CA b + c

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ SỐ 02 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ THPT chuyên, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút (4,0 điểm)

N Ơ

 xy 2 + y 3 + 3x − 6 y = 0 2  x + xy − 3 = 0

U Y .Q

2. Giải phương trình 18 x + 16 + 4 2 x 2 + 5 x − 3 = 7 4 x 2 + 2 x − 2 + 7 2 x 2 + 8 x + 6 Câu 2 (1,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình 

a 2012 b 2012 c 2012 + + < 2011 . Chứng minh rằng b 2010 c 2010 a 2010

H Ư

1. Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho

TR ẦN

a n + 3 b n + 3 c n + 3 2011 a n + 2 b n + 2 c n + 2 + + ≤ + + n + n b n +1 c n +1 a n +1 2010 b n c a

Câu 4

10 00

a m+3 bm+3 c m+3 a m+ 2 bm+ 2 c m+ 2 + + ≥ m + m + m . b m +1 c m +1 a m +1 b c a

2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m ta có bất đẳng thức

(2,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn ( O ) ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm T, các đường thẳng TD và EF

-L

Í-

cắt nhau tại điểm S. Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng TB, TC; M là trung điểm của cạnh BC.

ÁN

1. Chứng minh rằng H, M lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp các ∆DEF và ∆XTY . 2. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC. Câu 5 (1,0 điểm) Kí hiệu N chỉ tập hợp các số tự nhiên. Giả sử f : ℕ → ℕ là hàm số thỏa mãn các điều kiện 2

ÀN

f (1) > 0 và f ( m 2 + 2n 2 ) = ( f ( m ) ) + 2 ( f ( n ) ) với mọi m, n ∈ ℕ . Tính các giá trị của f ( 2 ) và

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(2,0 điểm)

Câu 3

ẠO

1 là một số nguyên. mn

1 1 ; ;n + np pm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Tìm tất cả các bộ ba số hữu tỷ dương (m; n; p) sao cho mỗi một trong các số m +

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Câu 1

IỄ N

f ( 2011) .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ SỐ 02 1.

 xy 2 + y 3 + 3x − 6 y = 0  xy 2 + y 3 = 6 y − 3 x ⇔ 2  2  x + xy − 3 = 0  x + xy = 3

U Y

3 ( xy 2 + y 3 ) = ( 6 y − 3x ) ( x 2 + xy ) ⇔ 3 xy 2 + 3 y 3 = 6 x 2 y − 3x 3 + 6 xy 2 − 3 x 2 y

⇔ 3x 3 − 3 xy 2 − 3 x 2 y + 3 y 3 = 0 ⇔ x3 − xy 2 − x 2 y + y 3 = 0

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 3 3  3 3 ;  ;  − ; −  2   2 2  2

Hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ) = 

 x = y ( tm ) ⇔ x ( x2 − y2 ) − y ( x2 − y2 ) = 0 ⇔ ( x − y ) ( x2 − y2 ) = 0 ⇔   x = − y ( l )

Chú ý: Học sinh có thể giải được bài toán tổng quát

TR ẦN

H Ư

 ax 3 + bx 2 y + cxy 2 + dy 3 = mx + ny  2 2  a ' x + b ' xy + c ' y = p

Nhân chéo các vế, ta có phương trình đẳng cấp đối với x và y:

p ( ax3 + bx 2 y + cxy 2 + dy 3 ) = ( mx + ny ) ( a ' x 2 + b ' xy + c ' y 2 )

10 00

Chúng ta có thể biến đổi phương trình trên về phương trình tích (trong trường hợp phương trình đơn giản). Trong trường hợp phức tạp, ta có thể làm như sau

Trường hợp 1: Xét y = 0

Trường hợp 2: Xét y ≠ 0 , chia hai vế cho y 3 và đặt t =

Í-

từ đó tính được x theo y.

x , ta có một phương trình bậc 3 ẩn t, y

ÁN

-L

Tương tự, có thể giải được một số hệ phương trình dạng sau

ÀN

2. Điều kiện x ≥

IỄ N

18 x + 16 + 4 ⇔2

(

 ax 4 + bx 3 y + cx 2 y 2 + dxy 3 + ey 4 = mx + ny  3 2 2 3  a ' x + b ' x y + c ' xy + d ' y = p

1 với điều kiện này phương trình được đưa về dạng 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nhân chéo các vế, ta có:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Câu 1

( x + 3)( 2 x − 1) = 7 ( 2 x + 2 )( 2 x − 1) + 7 ( 2 x + 2 )( x + 3)

)

x + 3 + 2x −1 − 7 2x + 2

(

)

x + 3 + 2x − 1 + 6 ( 2x + 2) = 0

Đặt a = x + 3 + 2 x − 1; b = 2 x + 2 thay vào phương trình trên ta được 2a 2 − 7 ab + 6b 2 = 0 ⇔ ( 2a − 3b )( a − 2b ) = 0 ⇔ 2a = 3b; a = 2b

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+) a = 2b ⇔ x + 3 + 2 x − 1 = 2 2 x + 2 phương trình này vô nghiệm +) 2a = 3b ⇔ 2 x + 3 + 2 2 x − 1 = 3 2 x + 2 giải phương trình này được nghiệm x = 1

u trong đó u, v ∈ ℤ + , ( u , v ) = 1 ta được: v 3

ẠO

u2  u  3 =  + 1 ⇔ abcu 2 v = ( u + v ) (1) 2 v v 

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

abc.

Do ( u , v ) = 1 nên nếu p là một số nguyên tố sao cho p | u 2 v thì hoặc p | u hoặc p | v do đó

Do đó (1) ⇔ abc =

u 2v

3  abc = ( u + v ) ⇔ 2 u v = 1

TR ẦN

(u + v )

H Ư

u + v không chia hết cho p.

Suy ra u = v = 1, abc = 8, mnp = 1 . Từ đó tìm được ( a; b; c ) = (1;1;8 ) , (1; 2;4 ) , ( 2;2; 2 ) và các hoán vị 1 1

 1



10 00

và vì vậy ( m; n; p ) = (1;1;1) ;  ; ; 4  ;  ;1;2  và các hoán vị. 2 2  2 

Câu 3 1. Ta chứng minh rằng bằng phản chứng. Giả sử không tồn tại số tự nhiên n nào thỏa mãn thì với mọi số tự nhiên n ta luôn có

a n + 3 b n + 3 c n + 3 2011 a n + 2 b n + 2 c n + 2 + + > + + n + n b n +1 c n +1 a n +1 2010 b n c a

-L

Í-

Lần lượt cho n = 0,1, 2,..., 2009 và cộng từng vế của 2010 bất đẳng thức ta được a b 2012 c 2012 2011 + + 2010 > 2010. + a 2 + b 2 + c 2 > 2011 2010 2010 b c a 2010

ÁN

2012

Mâu thuẫn với giả thiết nên ta có ĐPCM.

IỄ N

ÀN

2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số

am+ 2 và m số b 2 ta có: m b

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đặt mnp =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Từ đó mnp + 1 = anp = bpm = cmn . Suy ra abc ( mnp ) = ( mnp + 1)

1 1 1 ;b = n + ;c = p + np pm mn

số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a = m +

Giả sử tìm được bộ ba số (m; n; p) trong đó m, n, p là các số hữu tỉ dương sao cho các

U Y

Câu 2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1

2 m+ 2

a m+ 2 a ( ) .b 2 m 2 m + mb 2 ≥ ( m + 2 ) 2 = ( m + 2) a2 2m b b 2 m+ 2

Tương tự ta được 2

bm+ 2 b ( ) .c 2 m 2 m+ 2 mc m + ≥ + 2 = ( m + 2) b2 ( ) m 2m c c

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 m+ 2

cm+2 c ( ) .a 2 m 2 m+ 2 ma m 2 + ≥ + = ( m + 2) c2 ( ) am a2m

a m+3 và a 2 ta được: b m +1

H Đ

H Ư

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

m m+ 3

c m+3 c ( ) .c 2 cm+ 2 2 m +1 + c ≥ m + = m + 1 1 ( ) ( ) a m +1 am a m( m +1)

TR ẦN

 a m +3 b m+3 c m +3   a m+2 bm+2 c m+ 2  a m+ 2 bm+ 2 c m+2 m  m +1 + m +1 + m +1  ≥ m  m + m + m  + m + m + m − a 2 − b 2 − c 2 c a  c a  b c a b  b

Kết hợp với (1) ta có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c .

10 00

Câu 4 1. +) Do các tứ giác BFHD, DHEC và CBFE nội tiếp nên = FBH = FBE = FCE = HCE = HDE FDH

-L

Í-

. Suy ra DH là phân giác của góc EDF Tương tự cũng được EH là phân giác của góc và FH là phân giác của góc EFD . Từ đó DEF H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF.

ÁN

= MCT = BAC ; MB = MC = a +) Do MBT

⇒ d ( M ; BT ) = d ( M ; CT ) =

a.sin A 2

ÀN

+) Ta có

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP ẠO

c m+3 b ( ) .b 2 bm+2 2 m + 1 + b ≥ m + 1 = m + 1 ( ) ( ) m a m +1 c c m( m +1)

a m+3 a ( ) .a 2 a m+ 2 2 m +1 + a ≥ m + 1 = m + 1 ( ) ( ) bm+ bm b m( m +1) m m+3

Tương tự ta có m

U Y

m m+3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho m số

a m+ 2 bm+ 2 c m+2 + m + m ≥ a 2 + b 2 + c 2 (1) bm c a

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được

IỄ N

= HEF + HEM = HAB + HEM MEF + HBM = 90° − B + 90° − C = = HAB A

và ME =

BC a a.sin A = ⇒ d ( M ; EF ) = . 2 2 2 a 2

Do đó d ( M ;TB ) = d ( M ;TC ) = d ( M ; EF ) = .sin A nên M là tâm đường tròn nội tiếp ∆XTY .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= FAC = BAC = CBT = DBT 2. +) Do tứ giác AFDC nội tiếp và TX tiếp xúc với ( O ) nên FDB

DF thì phép vị tự tâm S tỉ số k biến tam giác DEF thành tam giác TYX. Và TX

+) Từ đó, với k =

Suy ra TX || DF Tương tự cũng có TY || DE

U Y

Đặt f ( 2 ) = a . Cho m = n = 0 ⇒ f ( 0 ) = 3 ( f ( 0 ) ) ⇒ f ( 0 ) = 0 .

ẠO

Cho n = 0 ⇒ f ( m 2 ) = ( f ( m ) ) , ∀m ∈ ℕ nên f ( 4 ) = a 2 .

⇒ ( f ( k + 1) ) + 2 ( f ( k − 2 ) ) = ( f ( k − 3) ) + 2 ( f ( k ) )

( f ( 4))

(1)

TR ẦN

Từ (1) cho k = 3 ta có

H Ư

k ≥ 3 ⇒ ( k + 1) + 2 ( k − 2 ) = ( k − 3) + 2k 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Mặt khác với mỗi số tự nhiên 2

Cho m = 1; n = 0 ⇒ f (1) = ( f (1) ) ⇒ f (1) = 1 . Cho m = n = 1 ⇒ f ( 3) = 3 .

+ 2 ( f (1) ) = ( f ( 0 ) ) + 2 ( f ( 3) ) ⇒ a 4 = 16 ⇒ a = 2 ⇒ f ( 2 ) = 2

Theo trên ta chứng minh được f ( n ) = n với n = 0;1; 2;3; 4 . Ta chứng minh bằng quy nạp 2

10 00

f ( n ) = n . Thật vậy, với n ≥ 3 từ đẳng thức (1) ta có: 2

( f ( n + 1) ) + 2 ( f ( n − 2 ) ) = ( f ( n − 3) ) + 2 ( f ( n ) ) ⇒ ( f ( n + 1) ) = ( n − 3) + 2n − 2 ( n − 2 ) = ( n + 1) ⇒ f ( n + 1) = n + 1 2

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Do đó f ( n ) = n, ∀n ∈ ℕ ⇒ f ( 2011) = 2011 .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Câu 5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

do đó biến H (tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF) thành M (tâm đường tròn nội tiếp của tam giác TYX) suy ra S, H, M thẳng hàng.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ SỐ 03 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1.

1. Giải phương trình: 2 ( x − 6 ) = 3 x − 5 − x + 3 .

U Y

Câu 2.

ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 3.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A (1;3) , B ( −5; −3) . Xác định tọa độ điểm M

H Ư

trên đường thẳng d : x − 2 y + 1 = 0 sao cho 2 MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4.

TR ẦN

Tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: cot A + cot C = α cot B . 1 2

1. Xác định góc giữa hai đường trung tuyến AA1 và CC1 của tam giác ABC khi α = .

Câu 5.

1 1 1 + 2 + 2 = 1. 2 a b c

Ba số dương a, b, c thỏa mãn:

10 00

2. Tìm giá trị lớn nhất của góc B khi α = 2 .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Í-

1 2

-L

5a + 2ab + 2b

1 2

5b + 2bc + 2c

1 2

5c + 2ca + 2a 2

IỄ N

ÀN

ÁN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

 x 2 − 4 xy + x + 2 y = 0 4 2 2 2  x − 8 x y + 3 x + 4 y = 0

Giải hệ phương trình: 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2. Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + 2b + 5c = 0 . Chứng minh phương trình ax + bx + c = 0 có nghiệm. 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ SỐ 03 Câu 1. 1. Ta có: 2 ( x − 6 ) = 3 x − 5 − x + 3 (*)

6− x =0 (1)  x + 3 + 3 x − 5 = 4(6 − x) ⇔   x + 3 + 3 x − 5 = 4 (2)

)

Từ (1) ⇔ x = 6 thỏa mãn điều kiện

17 − 3 5 2

H Ư

Nghiệm của phương trình x = 6, x =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

29   x ≤ 5  29 − 5 x ≥ 0 17 − 3 5 ⇔ 3 ( x + 3)( x − 5 ) = 29 − 5 x ⇔  2 ⇔ ⇔x= 2  x − 17 x + 61 = 0  x = 17 ± 3 5  2

TR ẦN

2. Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a + 2b + 5c = 0 . Chứng minh phương trình ax 2 + bx + c = 0 (1) có nghiệm Trường hợp 1: a = 0 suy ra 2b + 5c = 0 phương trình (1) trở thành bx + c = 0 (2)

10 00

+) Nếu b = 0 ⇒ c = 0 : Phương trình (2) có nghiệm (vô định). +) Nếu b ≠ 0 phương trình (2) có nghiệm (duy nhất).

Trường hợp 2: a ≠ 0 . Ta có b = −

a + 5c . 2 2

Í-

∆ = b 2 − 4ac ⇒ 4∆ = 4b 2 − 16ac = ( a + 5c ) − 16ac = a 2 − 6ac + 25c 2 = ( a − 3c ) + 16c 2 ≥ 0

-L

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm  x 2 − 4 xy + x + 2 y = 0 (1) 4 2 2 2  x − 8 x y + 3x + 4 y = 0 (2)

ÁN

Câu 2. Ta có: 

ÀN

2  x 2 − 4 xy + x + 2 y = 0  x + 2 y = 4 xy − x ⇔  4  2 2 2 2 2 2 2  x − 8 x y + 3x + 4 y = 0 ( x + 2 y ) = 12 x y − 3 x

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Từ (2)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(

)

x + 3 + 3 x − 5 = 48 − 8 x

U Y

⇔ (6 − x)

(

Khi đó (*) ⇔ 2 ( 6 − x ) = x + 3 − 3 x − 5 ⇔ 2 ( 6 − x )

Điều kiện x ≥ 5

IỄ N

 x 2 = 2 y = 4 xy − x  x 2 + 2 y = 4 xy − x ⇔ ⇔  2 2 2 2 2 2 ( 4 xy − x ) = 12 x y − 3x  x ( 4 y − 1) = 3 x ( 4 y − 1)

 x 2 + 2 y = 4 xy − x ⇔ 2  x ( 4 y − 1)( 4 y − 4 ) = 0

Trường hợp 1: x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ ( x; y ) = ( 0;0 ) là nghiệm của hệ.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Trường hợp 2: y = 1 ⇒ x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇒ ( x; y ) = (1;1) ∨ ( x; y ) = ( 2;1) 1 4

1 2

Trường hợp 3: y = ⇒ x 2 + = 0 (loại)

Vậy hệ có 3 nghiệm ( 0;0 ) , (1;1) , ( 2;1) .

Gọi I ( x0 ; y0 ) là điểm thỏa mãn 2 IA + IB = 0

ẠO

 x0 = −1 2 (1 − x0 ) = x0 + 5 ⇔ 2 IA = BI ⇔  ⇔ 2 ( 3 − y0 ) = y0 + 3  y0 = 1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy I ( −1;1) . Ta có 2MA + MB = 2 MI + IA + MI + IB = 3MI + 2 IA + IB = 3 MI = 3MI

)

H Ư

(

TR ẦN

Như vậy 2 MA + MB nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất. Suy ra M là hình chiếu của I trên d.

10 00

 x = 2t − 1 . Gọi tọa độ M ( 2t0 − 1; t0 ) y = t

Phương trình tham số của d 

1 5

Suy ra IM = ( 2t0 ; t0 − 1) . Ta có IM .ud = 0 ⇔ 2.2t0 + t0 − 1 = 0 ⇔ t0 = .  −3 1 

Vậy M  ;  .  5 5

Í-

b2 + c 2 − a 2 a2 + c 2 − b2 b2 + a 2 − c 2 ;cot B = ;cot C = 4s 4s 4s

-L

cot A =

Câu 4. 1. Ta có:

ÁN

1 2

Khi α = . Ta có:

ÀN

1 cot A + cot C = cot B 2

IỄ N

⇔

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

U Y

M trên đường thẳng d : x − 2 y + 1 = 0 sao cho 2 MA + MB nhỏ nhất.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (1;3) , B ( −5; −3) . Xác định tọa độ điểm

b2 + c 2 − a 2 a 2 + b 2 − c 2 1 c 2 + a 2 − b2 + = 4s 4s 2 4s

⇔ 5b 2 = a 2 + c 2

Ta có:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

4 2 4  b2 + c 2 a 2  4 4  a 2 + b2 c 2  AA1 =  −  ; CG 2 = CC12 =  −  9 9 2 4  9 9 2 4 a 2 + c 2  4  5b 2 + 4b 2  2 =   = b ⇒ AA1 ⊥ CC1 . 4  9 4 

4 9

Suy ra AG 2 + CG 2 =  b 2 +

AG 2 =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

5a + 2ab + 2b

1 2

5b + 2bc + 2c

TR ẦN

1 2

5c + 2ca + 2a 2

Ta có: 5a 2 + 2ab + 2b 2 = ( 2a + b ) + ( a − b ) ≥ ( 2a + b ) 5a 2 + 2ab + 2b 2

1 1 2 1 ≤  +  2a + b 9  a b 

≤

(1)

2 1 1 1 1 9 9 + = + + ≥ = ) a b a a b a + a + b 2a + b 1 2 1 ≤  +  9b c 5b + 2bc + 2c

Tương tự

-L

5c + 2ca + 2a

ÁN

(2)

Í-

(vì

10 00

Suy ra

H Ư

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=

1 1 1 + 2 + 2 =1 2 a b c

Câu 5. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều.

≤

1 1 2 1  ≤  +  2c + a 9  c a  1 1

(3) 1

1

ÀN

Cộng theo vế của (1), (2) và (3) suy ra P ≤  + +  3 a b c  2

1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 ≥  + +  ⇒  + +  ≤1⇒ + + ≤ 3 2 a b c 3 a b c  3 a b c  a b c

Suy ra P ≤

3 . Dấu = xảy ra khi a = b = c = 3 . 3

IỄ N

Mặt khác

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a 2 + c 2 − b 2 a 2 + c 2 2ac 1 ≤ 60° . = ≥ = . Suy ra B 2ac 4ac 4ac 2

ẠO

Ta có cos B =

b 2 + c 2 − a 2 a 2 + b2 − c 2 c 2 + a 2 − b2 + =2 ⇔ a 2 + c 2 = 2b 2 4s 4s 4s

cot A + cot C = 2cot B ⇔

U Y

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Vậy góc giữa AA1 và CC1 bằng 90°.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012

——————

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

————————————

Giải phương trình:

Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): x 2 − 2 ( m − 1) x − m3 + ( m + 1) = 0 có hai

U Y

( x ∈ ℝ) .

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

thức sau: P = x13 + x23 + x1 x2 ( 3 x1 + 3 x2 + 8 ) .

H Ư

 x 2 + x3 y − xy 2 + xy − y = 1 Giải hệ phương trình:  4 ( x, y ∈ ℝ ) . 2  x + y − xy (2 x − 1) = 1

Câu 2 (1,5 điểm).

TR ẦN

Câu 3 (1,5 điểm).

(

Cho x, y là hai số thực dương thoả mãn điều kiện x + 1 + x 2

10 00

Câu 4 (3,0 điểm). 1.

)

1 + y 2 = 2012 . Tìm giá trị

nhỏ nhất của P = x + y .

)( y +

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng

Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho

Í-

của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng OA + OB + OC = OH và ba điểm O, H, L thẳng hàng.

cot ϕ =

ÁN

-L

= MBC = MCD = MDA = ϕ . Chứng minh đẳng thức sau: MAB AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 , 2 AC.BD.sin α

ÀN

trong đó α là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD. 3.

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 ≤ 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x2 + x + 1 + x2 − x + 1 = 2

Câu 1 (4,0 điểm).

IỄ N

tâm I . Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm

 7 5   13 5  M (1; −5 ) , N  ;  , P  − ;  (M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác ABC). Tìm 2 2  2 2 tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q ( −1; 1) và điểm A có hoành độ dương.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com —Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh……………….

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT KHÔNG CHUYÊN

———————

NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ———————————

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh

I. LƯU Ý CHUNG:

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

Câu Ý

ẠO

Nội dung trình bày 2,0 điểm 2

Điểm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

II. ĐÁP ÁN:

1 3 1 3   Ta có x − x + 1 =  x −  + , x 2 + x + 1 =  x +  + nên phương trình xác định 2 4 2 4  

H Ư

0,5

với mọi x ∈ ℝ . Phương trình đã cho tương đương với

− x + 1 x2 + x + 1 = 4

TR ẦN

x2 − x + 1 + x2 + x + 1 + 2

)(

)

0,5

(

)

 −1 ≤ x ≤ 1 ⇔ 4 2 2 4 x + x +1 = 1− 2x + x

10 00

1 − x 2 ≥ 0 ⇔ 4 2 2  x + x + 1 = 1 − x

⇔ 2 x2 + 2 + 2 x4 + x2 + 1 = 4 ⇔ x4 + x2 + 1 = 1 − x2

0,5

−1 ≤ x ≤ 1 ⇔ ⇔ x = 0 . Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 0. x = 0 2,0 điểm

-L

Í-

0,5

ÁN

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 ≤ 4

m ≥ 2 m m 2 − 4 ≥ 0 ∆ ' ≥ 0  −2 ≤ m ≤ 0  ⇔ ⇔ ⇔   −2 ≤ m ≤ 0 ⇔  2 ≤ m ≤ 3  x1 + x2 ≤ 4 2 ( m − 1) ≤ 4  m ≤ 3

IỄ N

ÀN

(

)

0,5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

Theo định lí Viet ta có x1 + x2 = 2 ( m − 1) , x1 x2 = − m3 + ( m + 1) suy ra 3

0,5

P = ( x1 + x2 ) + 8 x1 x2 = 8 ( m − 1) − 8m3 + 8 ( m + 1) = −16m 2 + 40m Bảng biến thiên

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

-2

0 0

-24

⇔ x = y = 1.

0,25

10 00

 xy = 1

0,25

 x2 − y = 1 * Với ( a; b) = (1; 0) ta có hệ  ⇔ ( x; y ) = (0; −1);(1;0);( −1;0) .  xy = 0

* Với (a; b) = ( −2; −3) ta có hệ

0,25

ÁN

-L

Í-

3 3    x 2 − y = −2 y = − y = − ⇔ ⇔ ⇔ x = −1; y = 3 . x x   xy = −3  x3 + 2 x + 3 = 0 ( x + 1)( x 2 − x + 3) = 0  

1,5 điểm

Đặt t = x + 1 + x 2 thì dễ thấy t > 0 và x = Từ giả thiết ta có y + 1 + y 2 =

IỄ N

ÀN

Kết luận: Hệ có 5 nghiệm ( x; y ) ∈ {(1; 1);(0; − 1);(1; 0);(−1; 0);( −1; 3)} .

Từ (1) và (2) suy ra x + y =

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

t 2 −1 (1) 2t

20122 − t 2 2012 . Từ đây cũng suy ra y = (2) t 2.2012.t

2011  2012  t 2 − 1 20122 − t 2 + = t +  t  2t 2.2012.t 2.2012 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 x2 − y = 0

* Với ( a; b) = (0; 1) ta có hệ 

0,25

TR ẦN

Từ đó tìm ra (a; b) ∈ {(0; 1); (1; 0); (−2; − 3)}

H Ư

3 2 2 a + a − 2a = 0 a ( a + a − 2) = 0 Hệ (*) ⇔  ⇔ 2 2 b = 1 − a b = 1 − a

0,25

a + ab + b = 1 (*)  2 a + b = 1

a = x 2 − y . Hệ trở thành: Đặt  b = xy

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

2 2  x 2 + x 3 y − xy 2 + xy − y = 1 ( x − y ) + xy ( x − y ) + xy = 1 ⇔ 2 Ta có  4 2 2  x + y − xy (2 x − 1) = 1 ( x − y ) + xy = 1

U Y

1,5 điểm

0,5

Từ bảng biến thiên ta được: Pmax = 16 khi m = 2 , Pmin = −144 khi m = −2 .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-144

0,25 0,25

0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Do đó x + y ≥

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2011 2012 2011 2011 . .2 t. = .2 2012 = 2.2012 t 2.2012 2012

0,5

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2012 . Từ (1) và (2) suy ra x = y =

2011 2 2012

1,0 điểm

ẠO

N H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0,5

H Ư

TR ẦN

Kẻ đường kính AD, khi đó tứ giác BHCD là hình bình hành nên trung điểm K của

)

0,5

(

10 00

BC cũng là trung điểm của HD, trong tam giác AHD có OH là đường trung bình nên 2OK = AH ⇔ OB + OC = OH − OA ⇔ OA + OB + OC = OH Ta có OB + OC = 2OK = OM và các đẳng thức tương tự ta được: OM + ON + OP = 2 OA + OB + OC = 2OH

-L

1,0 điểm

ÁN

Í-

⇒ 3OL = 2OH suy ra O, H, L thẳng hàng.

Trước hết ta có các kết quả sau: S ABCD =

AB 2 + MA2 − MB 2 1 AC.BD.sin α ; cot ϕ = 2 4 S MAB

0,5

cot ϕ =

AB 2 + MA2 − MB 2 BC 2 + MB 2 − MC 2 CD 2 + MC 2 − MD 2 = = 4 S MAB 4S MBC 4 S MCD

DA2 + MD 2 − MA2 AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = 4 S MDA 4 ( S MAB + S MBC + S MCD + S MDA )

AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = 4 S ABCD 2 AC.BD.sin α

IỄ N

ÀN

Tương tự ta được:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

0,25

2011 2011 , khi x = y = . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2012 2 2012

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

0,5

1,0 điểm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com A N

0,25

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P nên ta lập

Đ G

5 AB ⊥ KP nên AB có vtpt n AB = KP = − ( 2; −1) . Suy ra phương trình 2

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 3  tiếp tam giác ABC có tọa độ là K  − ; 0  .  2 

TR ẦN

AB : 2 ( x + 1) − 1( y − 1) = 0 ⇔ 2 x − y + 3 = 0 . Do đó tọa độ A, B là nghiệm của hệ

0,25

2 x − y + 3 = 0  y = 2x + 3  x = 1, y = 5 phương trình  2 ⇔ 2 ⇔ 2  x = −4, y = −5  x + y + 3 x − 29 = 0  x + 3x − 4 = 0

10 00

5 Suy ra A (1;5) , B ( −4; −5) . Do AC ⊥ KN nên AC có vtpt là n AC = KN = ( 2;1) 2

0,5

của hệ phương trình:

Suy ra pt AC : 2 ( x − 1) + y − 5 = 0 ⇔ 2 x + y − 7 = 0 . Khi đó tọa độ A, C là nghiệm

-L

Í-

2 x + y − 7 = 0  y = −2 x + 7  x = 1, y = 5 ⇔ 2 ⇔ . Từ đây suy ra C ( 4; −1) .  2 2  x = 4, y = −1  x + y + 3 x − 29 = 0  x − 5x + 4 = 0

IỄ N

ÀN

ÁN

Vậy A (1;5 ) , B ( −4; −5 ) , C ( 4; −1) .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

được phương trình này là: x 2 + y 2 + 3 x − 29 = 0 suy ra tâm K của đường tròn ngoại

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013

—————————

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

U Y

x + y = m − 2 (trong đó m là tham số; x và y là ẩn) Cho hệ phương trình  2 2 2  x + y + 2 x + 2 y = −m + 4

H Ư

Giải phương trình: 18 x + 16 + 4 2 x 2 + 5 x − 3 = 7 4 x 2 + 2 x − 2 + 7 2 x 2 + 8 x + 6

TR ẦN

Câu III (2.0 điểm).

 x 4 − 5 x 2 + 4 < 0 Tìm a để hệ sau có nghiệm:  2  x + (2a + 1)x + a 2 + a − 2 = 0

10 00

Câu IV (1.0 điểm).

1 1 1 + 2 ≥ 2 2 + xy − x − y x y

Chứng minh rằng nếu x, y là các số thực lớn hơn 1 thì:

Câu V (2.0 điểm)

-L

Í-

1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;−3) và B ( 4;3) . Tìm tọa độ điểm M cách

ÁN

đường thẳng x − y + 2 = 0 một khoảng 2 2 sao cho tam giác AMB cân ở M. 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Các đường thẳng AH,

BH, CH lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C). Hãy

ÀN

 6 17  viết phương trình cạnh AC của tam giác ABC; biết rằng D ( 2;1) , E ( 3; 4 ) , F  ;  . 5 5 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu II (1.0 điểm).

ẠO

2) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 xy − ( x + y ) + 2013

1) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Câu I (3.0 điểm).

————————————

IỄ N

Câu VI (1.0 điểm). 1 Xác định hàm số f (x) biết: f ( x ) + 2 f   = x + 1 ; với x ≠ 0  x

-------------Hết-------------

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: …………………

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm).

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM Nội dung

Điểm

Câu I.1 (1.5 điểm)

H Đ

Câu I.2 (1.5 điểm)

-2 2025

TR ẦN

3/2

2013

10 00

2011

0,5

H Ư

Ta có A = 2 P − S + 2013 = 2m 2 − 3m + 2011

0,5

Lập bảng biến thiên ta được max A = 2025 khi m = -2; min A= 2011 khi m = 3/2

0,5

-L

Í-

1 với điều kiện này phương trình được đưa về dạng 2

18 x + 16 + 4

)

(

x + 3 + 2x −1 − 7 2x + 2

(

)

x + 3 + 2 x −1 + 6 ( 2x + 2) = 0

ÀN

⇔2

( x + 3)( 2 x − 1) = 7 ( 2 x + 2 )( 2 x − 1) + 7 ( 2 x + 2 )( x + 3)

ÁN

ĐK x ≥

Câu II. (1.0 điểm)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0,5

ẠO

m = 2 Hệ có nghiệm duy nhất khi  . Thử lại ta thấy cả hai giá trị cùng thoả mãn m = −2

)

(

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y 0,5

Để hệ có nghiệm thì S 2 ≥ 4 P ⇔ ( m − 2 ) ≥ 4 m 2 − m − 2 ⇔ m 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0,5

S = m − 2 S = m − 2 ⇔  2  2 2  S − 2 P + 2 S = −m + 4 P = m − m − 2 2

Đặt S = x + y; P = xy . Khi đó hệ phương trình trở thành

0,25

IỄ N

Đặt a = x + 3 + 2 x − 1; b = 2 x + 2 thay vào phương trình trên ta được

2a 2 − 7 ab + 6b 2 = 0 ⇔ ( 2a − 3b )( a − 2b ) = 0 ⇔ 2a = 3b; a = 2b

+) a = 2b ⇔ x + 3 + 2 x − 1 = 2 2 x + 2 phương trình này vô nghiệm

0,25 0,25

+) 2a = 3b ⇔ 2 x + 3 + 2 2 x − 1 = 3 2 x + 2 giải phương trình này được nghiệm x = 1 . 0,25

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1 .

Câu III. ( 2.0 điểm) 0,5

Để x = a- 1 thoả mãn (*) thì: a(a+1)(a-2)(a-3) < 0 ⇔ a ∈ (− 1;2) ∪ (2;3)

0,5

ẠO

Câu IV. ( 1.0 điểm)

Do x, y >1 nên bất đẳng thức đã cho tương đương với

( x 2 + y 2 )(2 + xy − x − y ) ≥ x 2 y 2

0,25

H Ư

2 x 2 + 2 y 2 + x 3 y + xy 3 − x 3 − xy 2 − x 2 y − y 3 − x 2 y 2 ≥ 0 2

TR ẦN

⇔ ( x − 1)( y − 1)( x − y ) + ( xy − x − y ) ≥ 0 , bất đẳng thức này luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi x = y = 2

Câu V.1. (1.0 điểm)

(l)

10 00

Phương trình đường thẳng trung trực của đoạn AB là: x + 3y – 3 =0

0,5

Đường thẳng chứa M có phương trình dạng x – y +c = 0 (d) ( c khác 2)

0,25

x − y − 2 = 0 Ta có E (0;2 ) thuộc đường thẳng đã cho và d (E ; d ) = 2 2 ⇒  x − y + 6 = 0

Í-

0,25

-L

M lần lượt là giao điểm của l và hai đường thẳng vừa tìm. Vậy toạ độ M là nghiệm hệ:

0,5

ÀN

ÁN

 x − y − 2 = 0   x + 3 y − 3 = 0 Vậy M(9/4;1/4); M(-15/4;9/4)  x − y + 6 = 0   x + 3 y − 3 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Vậy a ∈ (− 4;−3) ∪ (− 1;0 ) ∪ (2;3)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y 0,5

Để x = a+2 đúng với (*) thì: (a+3)(a+4)(a+1)a < 0 ⇔ a ∈ (− 4;−3) ∪ (− 1;0)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x = a − 1 Từ (2):  x = a + 2

Từ (1) : (x +2)(x+1)(x-1)(x-2) <0 (*)

2. (1.0 điểm)

IỄ N

Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C. Do tứ giác BCB’C’ nội

= FCA = tiếp nên FDA ABE = ADE ⇒ H nằm trên đường phân giác trong hạ từ D của tam

giác DEF, tương tự ta cũng chỉ ra được H nằm trên đường phân giác trong hạ từ đỉnh E của 0,25 tam giác DEF. Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta lập được phương trình các đường thẳng DE, DF lần lượt là DE : 3 x − y − 5 = 0; DF : 3 x + y − 7 = 0 . Do đó phương trình phân giác trong và ngoài của 10

=±

3x + y − 7 10

⇔ x − 2 = 0; y − 1 = 0 . Kiểm tra vị trí tương đối của E, F

0,5

với hai đường trên ta được phân giác trong kẻ từ đỉnh D là

U Y

d ' : x − y + 1 = 0 . Mặt khác H là giao của d và d’ nên H ( 2;3)

d : x − 2 = 0 . Tương tự ta lập được phương trình phân giác trong kẻ từ đỉnh E là

G N H Ư

TR ẦN

H A'

0,25

10 00

Câu VI. (1.0 điểm)

-L

Í-

  1 1  f ( x) + 2 f  x  = x + 1  f (x ) + 2 f  x  = x + 1       Theo đề ra ta có hệ:  ⇔  f  1  + 2 f ( x ) = 1 + 1 4 f ( x ) + 2 f  1  = 2 + 2   x   x x  x

2 x +1 2 + 1 ⇔ f ( x) = + ; x khác 0 x 3 3x

0,5

IỄ N

ÀN

⇒ 3 f ( x) = x +

0,5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

5 7 Ta có AC là trung trực của HE nên AC đi qua trung điểm B '  ;  và có vtpt là 2 2 HE = (1;1) ⇒ AC : x + y − 6 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3x − y − 5

đỉnh D là

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII

ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN

TUYÊN QUANG 2017

LỚP 10

Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 29 tháng 7 năm 2017

ẠO

Câu 1 (4,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 − x2 + x2 + x − 1 + 3 1 − x = 1 .

Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC . Gọi (O1 ) là đường tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại

H Ư

A ; (O2 ) là đường tròn đi qua C và tiếp xúc với AB tại A . P là giao điểm thứ hai của (O1 ) và

đường tròn ngoại tiếp tam giác PKL .

TR ẦN

(O2 ) ; K , L theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (O1 ), (O2 ) với đoạn thẳng BC . Gọi ( S ) là a) Chứng minh rằng: AK , AL tiếp xúc với ( S ) .

10 00

b) Gọi Q là giao điểm thứ hai của ( S ) và AP ; E là giao điểm của QK và AB ; F là giao điểm của QL và AC . Chứng minh rằng các điểm A, K , L, S , E , F cùng thuộc một đường tròn.

(Chú ý. Ta kí hiệu ( X ) là đường tròn có tâm X ).

Câu 3 (4,0 điểm) Cho đa thức f ( x) = x 4 + x 3 + mx 2 + nx + p , trong đó m, n, p là các số nguyên

-L

Í-

đôi một phân biệt, khác không, sao cho f (m) = m 4 + m3 và f (n) = n 4 + n3 . Tìm m, n, p .

ÁN

Câu 4 (4,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

ÀN

i) a + b 2 là lũy thừa của một số nguyên tố;

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

U Y

ĐỀ CHÍNH THỨC

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(Đề thi có 01 trang)

ii) a 2 + b chia hết cho a + b 2 .

IỄ N

Câu 5 (4,0 điểm) Cho tập S = {1, 2,3,..., 2025} . Tìm số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho: Với mọi tập con T của S gồm n phần tử, tồn tại hai phần tử phân biệt u , v ∈ T sao cho u + v = 20. -----HẾT-----

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(Hướng dẫn này có 03 trang)

ẠO

Câu 1 (4,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực:

1 − x2 + x2 + x −1 + 3 1 − x = 1 .

Điều kiện xác định:

−1 + 5 ≤ x ≤ 1 (1). 2

H Ư

TR ẦN

Hướng dẫn chấm

(Dựa trên đề đề xuất của THPT chuyên Thái Nguyên)

10 00

u , v, t ≥ 0  Đặt u = 1 − x , v = x + x − 1, t = 1 − x ta được u + v + t = 1 (2).  2 2 3 u + v + t = 1 2

Điểm 4,0 0,5

1,0

Từ (2) suy ra 0 ≤ u , v, t ≤ 1 ⇒ 1 = u 2 + v 2 + t 3 ≤ u + v + t = 1 . Do đó

ÀN

ÁN

-L

Í-

 u = 1 u , v, t ≥ 0    v = t = 0 + + = 1 u v t   v = 1  (2) ⇔ u 2 = u ⇔  .  u = t = 0 v 2 = v    t = 1 3 t = t  u = v = 0

1,0

Thay lại biến x ta được tập nghiệm của phương trình là S = {1}.

1,5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-----

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

MÔN TOÁN 10

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

H N

HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII

Họ và tên thí sinh: ................................................... Số báo danh: .............................

IỄ N

Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC . Gọi (O1 ) là đường tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại A ; (O2 ) là đường tròn đi qua C và tiếp xúc với AB tại A . P là giao điểm thứ hai của (O1 ) và (O2 ) ; K , L theo

thứ tự là giao điểm thứ hai của (O1 ), (O2 ) với đoạn thẳng BC . Gọi ( S ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác PKL .

a) Chứng minh rằng: AK , AL tiếp xúc với ( S ) .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(Bài đề xuất của Tổ ra đề)

4,0

a) Tứ giác ABKP là tứ giác nội tiếp nên ∠ABP = ∠AKP .

U Y .Q

Tứ giác APLC là tứ giác nội tiếp nên ∠PAC = ∠PLK (2).

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Tương tự, ta chứng minh AL là cũng là tiếp tuyến của đường tròn ( S ) .

TR ẦN

H Ư

B L

Í-

10 00

1,0

-L

b) Cách 1. Dễ thấy AKSL là tứ giác nội tiếp. Ta chứng minh tứ giác AEKL là tứ giác nội tiếp. Thật vậy, Ta có ∠BEQ = ∠EAQ + ∠EQA (3).

ÁN

1,0

Tứ giác KPLQ là tứ giác nội tiếp nên ∠KQP = ∠PLK (4). AB là tiếp tuyến với (O2 ) nên ∠EAQ = ∠PLA (5).

ÀN

1,0

Từ (3), (4) và (5) nên ∠BEQ = ∠ALK (đpcm).

IỄ N

Cách 2. Ta có ∠KLQ = ∠KPQ và ∠KPQ = ∠ABK nên ∠ABK = ∠KLQ , suy ra QL AB .

Do đó ∠BEK = ∠KQL . Mà ∠KQL = ∠ALK (do AL là tiếp tuyến với (S)) nên ∠BEK = ∠ALK .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Từ (1) và (2), suy ra AK là tiếp tuyến của đường tròn ( S ) .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1,0

AC là tiếp tuyến của (O1 ) nên ∠ABP = ∠PAC . Suy ra ∠AKP = ∠PAC (1).

Điểm

Hướng dẫn chấm

1,0 1,0

Câu 3 (4,0 điểm) Cho đa thức f ( x) = x 4 + x 3 + mx 2 + nx + p , trong đó m, n, p là các số nguyên đôi một phân biệt, khác không, sao cho f ( m) = m 4 + m3 và f (n) = n 4 + n3 . Tìm m, n, p .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(Bài đề xuất của Tổ ra đề) Điểm

Hướng dẫn chấm Xét đa thức g ( x) = f ( x) − x 4 − x 3 = mx 2 + nx + p . Theo giả thiết g ( m) = g (n) = 0 . Do g ( x) là

H N

Từ đó ta có: mx 2 + nx + p = a ( x − m)( x − n).

U Y

ẠO

ra m = −2 . Từ đó n = 4 và p = 16 . Vậy m = −2, n = 4, p = 16 .

1,5 0,5

Chú ý. Học sinh có thể thay trực tiếp m , n rồi giải hệ phương trình nghiệm nguyên để tìm

H Ư

m, n, p.

i) a + b 2 là lũy thừa của một số nguyên tố; ii) a 2 + b chia hết cho a + b 2 .

TR ẦN

Câu 4 (4 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

10 00

(Bài đề xuất của Tổ ra đề) Điểm

Hướng dẫn chấm

p ∣(b + b) = b(b + 1).

1,0

-L

a2 + b b4 + b 2 = a − b + , suy ra a + b2 a + b2

Í-

Đặt a + b 2 = p m , p nguyên tố và m nguyên dương. Ta viết

4,0

ÁN

Từ (b, b3 + 1) = 1, và b < 1 + b ≤ a + b 2 = p m nên ta suy ra p m ∣b3 + 1 .

Ta có b3 + 1 = (b + 1)(b 2 − b + 1) và (b + 1, b 2 − b + 1) ∣3. 1,5

ÀN

+ Nếu (b + 1, b 2 − b + 1) = 1 thì p m ∣b + 1 hoặc p m ∣b 2 − b + 1. Từ p m = b 2 + a > b 2 − b + 1 nên ta

chỉ có p m | b + 1 và suy ta p m = a + b 2 = b + 1 . Do đó a = b = 1.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Từ đó ta được n = − m( m + n) hay (m + 1) n = − m 2 . Từ đây ta được m + 1∣1 hay m + 1 = ±1 . suy

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1,0

Đồng nhất các hệ số cho ta p = amn , n = − a (m + n) và m = a .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1,0

đa thức bậc 2 nên g ( x) = a ( x − m)( x − n) .

4,0

IỄ N

+ Nếu (b + 1, b 2 − b + 1) = 3 suy ra p = 3.

Xét m = 1, không có (a, b) . 0,5

Xét m = 2, (a, b) = (5, 2). Xét m ≥ 3, khi đó 3∣b + 1 hoặc 3∣b 2 − b + 1 và 3m−1 là ước của phần tử còn lại.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1,0

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Từ b + 1 < b 2 + a + 1 < 3m−1 , vì vậy 3m −1 ∣b 2 − b + 1. Do đó b 2 − b + 1 ≡ 0 (mod 9), mâu thuẫn. Vậy ( a, b) ∈ {(1,1);(5, 2)}.

Câu 5 (4 điểm) Cho tập S = {1, 2,3,..., 2025} . Tìm số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho: Với mọi tập con

T của S gồm n phần tử, tồn tại hai phần tử phân biệt u , v ∈ T sao cho u + v = 20.

(Dựa trên đề đề xuất của THPT Chuyên Bắc Giang)

U Y .Q

4,0

ẠO

T = {1, 2,...,10} ∪ {20,21,..., 2025} .

1,0

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ta thấy, với mọi u , v ∈ T phân biệt thì:

Nếu u , v ∈ {20, 21,..., 2025} thì u + v ≥ 41 > 20. Vậy không có u , v thỏa mãn u + v = 20.

H Ư

Nếu u , v ∈ {1, 2,3,...,10} thì u + v ≤ 19 < 20. Vậy không có u , v thỏa mãn u + v = 20.

u + v = 20. Vì | T |= 2016 nên n ≥ 2017.

1,0

TR ẦN

Nếu u ∈ {1, 2, 3,...,10}, v ∈ {20, 21,..., 2025} thì u + v ≥ 21 > 20. Vậy không có u , v thỏa mãn

Mặt khác, với mọi tập T ⊂ S ,| T |= 2017 , xét 9 cặp số sau (1;19), (2;18),..., (9;11) .

10 00

Nếu một trong các cặp trên thuộc T thì đó là cặp (u; v) thỏa mãn u + v = 20. Nếu không có cặp nào thuộc T thì | T |≤ 2025 − 9 = 2016 , vô lí.

Vậy với mọi tập T ⊂ S ,| T |= 2017 luôn tồn tại u , v ∈ T thỏa mãn u + v = 20 .

Í-

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của n là 2017.

-----Hết-----

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Ghi chú: Thí sinh có thể làm theo nhiều cách khác nhau. Nếu giải đúng thì cho điểm tối đa.

2,0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Giả sử n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề. Xét tập

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Điểm

Hướng dẫn chấm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG TRƯỜNG THPT TÔ HIỆU ĐỀ CHÍNH THỨC 2

U Y

Câu 2 (2,0 điểm)

3x + 1 − x − 1 = 9 − x . 9 b) Giải bất phương trình sau: ≥ x−2 . x−5 −3

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2 x 2 + y 2 − 3 xy + 3 x − 2 y + 1 = 0 Giải hệ phương trình  2 2 4 x − y + x + 4 = 2 x + y + x + 4 y

TR ẦN

H Ư

Câu 4 (2,5 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2). Đường thẳng ∆ là đường phân giác trong của góc A có phương trình 2x + y − 1 = 0 , khoảng cách từ C đến ∆ gấp 3 lần khoảng cách từ B đến ∆ . Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung. b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác định điểm I thỏa mãn hệ

2 2 2 thức: b IB + c IC − 2a IA = 0 . Tìm điểm M sao cho biểu thức ( b MB + c MC − 2a MA ) đạt giá trị lớn nhất. 2

10 00

Câu 5 (2,0 điểm)

a) Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.

E = sin 4 a + 4cos 2 a + cos 4 a + 4sin 2 a

-L

Í-

b) Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB=2KC, L là hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rằng ∠KAB = 2∠KAC . Chứng minh rằng FL vuông góc với AC.

IỄ N

ÀN

ÁN

Câu 6 (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz . Chứng minh rằng:

1 + 1 + x2 1 + 1 + y 2 1 + 1 + z 2 + + ≤ xyz . x y z

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP ẠO

Câu 3 (1,0 điểm)

a) Giải phương trình sau trên ℝ :

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Cho hàm số y = x − 3 x + 2 và hàm số y = − x + m . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau.

Câu 1 (1,5 điểm)

…………………Hết…………………. Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu 1: (1,5 điểm) Câu Nội dung Yêu cầu bài toán ⇒ PT sau có hai nghiệm phân biệt x 2 − 3x + 2 = − x + m hay x 2 − 2 x + 2 − m = 0 (*)có ∆ ' > 0 ⇔ m>1 x + xB = 1; Gọi x A ; x B là 2 nghiệm của (*), I là trung điểm AB ta có x I = A 2 yI = −x I + m = m − 1

0,5

3x + 1 − x − 1 = 9 − x . 9 ≥ x−2 . b) Giải bất phương trình sau: x−5 −3 a) Giải phương trình sau trên ℝ :

0,25

Nội dung

H Ư

Câu

ẠO

Kết hợp ĐK, kết luận m = 2 Câu 2 (2,0 điểm)

0,25 0,25

1 ≤ x ≤ 9 . Ta có 3 x + 1 − x − 1 = 9 − x ⇔ 3x + 1 = x − 1 + 9 − x ⇔ 3x + 1 = 8 + 2 x − 1 9 − x

0,5

TR ẦN

Điều kiện:

Điểm

10 00

7  x ≥ ⇔ 3 2 9 x − 42 x + 49 = 4( x − 1)(9 − x ) 

0,25

7  x ≥ ⇔ 3 2  13x − 82 x + 85 = 0 ⇔ x=5

-L

Í-

0,25

ÁN

x ≠ 2 . ≠ 8 x  9 9 ≥2−x⇔ ≥2−x TH1 : Xét x < 2 ta có : (1) ⇔ 5− x −3 2− x 2 ⇔ ( 2 − x ) ≤ 9 ⇔ −3 ≤ x − 2 ≤ 3 ⇔ −1 ≤ x ≤ 5 Vậy −1 ≤ x < 2 là nghiệm.

ÀN

Điều kiện: x − 5 − 3 ≠ 0 ⇔ 

IỄ N

9 9 ≥ x−2⇔ ≥ x−2 5− x −3 2− x 2 ⇔ − ( x − 2 ) ≥ 9 ( Bpt vô nghiệm)

TH2 : Xét 2 < x < 5 ta có : (1) ⇔

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇔ m − 1 = 1 ⇔ m = 2; m = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,25

U Y

Yêu cầu bài toán ⇔ y I = x I

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Điểm

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

9 9 ≥ x−2⇔ − ( x − 2) ≥ 0 x −8 x−8 9 − ( x − 8 )( x − 2 ) − x 2 + 10 x − 7 ⇔ ≥0⇔ ≥0 x −8 x −8 0,25

(

ẠO

0,25

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 2 2 2 x + y − 3 xy + 3x − 2 y + 1 = 0 Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  2 2 4 x − y + x + 4 = 2 x + y + x + 4 y 3 2 x 2 + y 2 − 3xy + 3x − 2 y + 1 = 0(1) (1,0 điểm)  2 2 4 x − y + x + 4 = 2 x + y + x + 4 y (2) Điều kiện: 2x+y ≥ 0, x+4y ≥ 0. Từ (1) ta được y=x+1 hoặc y=2x+1 *) Với y=x+1, thay vào (2) ta được 3 x 2 − x + 3 = 3 x + 1 + 5 x + 4 2

0,25

10 00

<=> 3( x − x) + ( x + 1 − 3 x + 1) + (x + 2 − 5 x + 4) = 0 <=> ( x 2 − x)(3 +

)=0

0,25

-L

Í-

x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4 x = 0 <=> x 2 − x = 0 <=>  x =1 => ( x; y ) = {(0;1);(1; 2)} *) Với y=2x+1, thay vào (2) ta được 3 − 3x = 4 x + 1 + 9 x + 4

ÁN

<=> 3 x + ( 4 x + 1 − 1) + ( 9 x + 4 − 2) = 0

IỄ N

ÀN

<=> x(3 +

4 9 + )=0 4x +1 +1 9x + 4 + 2

<=> x = 0 Khi đó ta được nghiệm (x;y) là (0;1) Đối chiếu điều kiện bài toán ta được nghiệm (x;y) của hệ đã cho là (0;1) và (1;2)

Câu 4 (2,5 điểm) Câu a)

Nội dung y −1 3 D(B; ∆ )= ; C(0:y0) ; D(C; ∆ )= 0 , theo bài ra ta có 5 5 y0 − 1 9 = ⇔ y 0 = 10; y 0 = −8 5 5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Vậy tập nghiệm của Bpt là : S = [ −1;2 ) ∪ 8;5 + 3 2 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

x ≤ 5 − 3 2 ⇔ 8 < x ≤ 5 + 3 2 Kết hợp với miền x đang xét ta có 8 < x ≤ 5 + 3 2 là nghiệm của Bpt.

⇔ ( x − 8 ) ( x 2 − 10 x + 7 ) ≤ 0

TH3 : Xét 5 < x ≠ 8 ta có : (1) ⇔

Điểm 0,25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C khác phía B đối với ∆ suy ra C(0;-8) Gọi B’(a;b) là điểm đối xứng với B qua ∆ thì B’nằm trên AC. Do BB ' ⊥ u ∆ = (1; −2) nên ta có: a − 2b + 3 = 0 ; Trung điểm I của BB’ phải thuộc ∆ nên có: 2a + b + 2 = 0 Từ đó ta có: a= -7/5; b=4/5 3 Theo định lý Ta - Let suy ra CA = CB ' 2  7 44  A(x; y);CA = ( x; y + 8 ) ;CB ' =  − ;   5 5  −21 26 Từ đó suy ra A( ; ) ;C(0;-8) 10 5

N H

0,25

10 00

ÁN

-L

Í-

Từ đó có ( −2a 2 .IA 2 + b 2 .IB2 + c 2 .IC2 ) = 3b 2 c 2 Mặt khác xMA 2 = x(IA − IM)2 = x(IM 2 + IA 2 − 2IA.IM) Tương tự cho yMB2; zMC2 rồi cộng các đẳng thức đó lại ta có xMA 2 + yMB2 + zMC2 = (x + y + z)IM 2 + xIA 2 + yIB2 + zIC2 Thay số có: −2a 2 MA 2 + b 2 MB2 + c2 MC2 = −a 2 IM 2 + 3b 2c2 ≤ 3b2 c2 Dấu bằng xảy ra khi M trùng I

0,25

IỄ N

ÀN

Câu 5 (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0,25

TR ẦN

Suy ra b 2 .IB + c 2 .IC = b 2 .IH + c 2 .IH = a 2 .IH Kết hợp giả thiết suy ra 2a 2 .IA = a 2 .IH hay 2.IA = IH Do đó điểm I thỏa mãn gt là I thỏa mãn A là trung điểm IH Với x, y, z tùy ý thỏa mãn: x.IA + y.IB + z.IC = 0 (*) bình phương vô hướng 2 vế (*), chú ý rằng 2IA.IB = IA 2 + IB2 − AB2 ta có: (x.IA 2 + y.IB2 + z.IC2 )(x + y + z) = xyc2 + xzb 2 + yza 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

0,25

H Ư

b 2 .BH + c 2 .CH = 0

0,25

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b 2 .BH = c 2 .CH . Do đó:

0,25

Kẻ đường cao AH, ta có b 2 = a.CH;c 2 = a.BH nên

0,25

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

E = sin 4 a + 4 cos 2 a + cos 4 a + 4sin 2 a Ta có E = sin 4 a + 4(1 − sin 2 a ) + cos 4 a + 4(1 − cos 2 a )

⇔ E = (sin 2 a − 2) 2 + (cos 2 a − 2) 2

0.25 0.25 0.5

⇔ E = (2 − sin 2 a ) + (2 − cos 2 a ) = 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C K

Ơ N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

0.25

LC 2 = LA2 + b 2 − 2b.LA.cosα = LA2 + b 2 − 2bc cos 2α .cosα

H Ư

⇒ LA2 − LC 2 = 2bc cos α .cos 2α − b 2 = bc ( cosα + cos3α ) − b 2 = ( bc cos α − b 2 ) + bc cos 3α (**)

0.25 0,25

10 00

TR ẦN

Thay (*) vào (**), ta được: LA2 − LC 2 = bc cos 3α (2) Từ (1) và (2) suy ra: FA2 − FC 2 = LA2 − LC 2 ⇔ 2 FL.CA = 0 ⇔ FL ⊥ CA. Câu 6 (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz . Chứng minh rằng:

1,0

1 + 1 + x2 1 + 1 + y 2 1 + 1 + z 2 + + ≤ xyz (I) x y z

1 1 1 + + = 1 . Ta Có: xy yz zx

Í-

Giả thiết suy ra:

0,25

 1 1 1 1 + 1 + x2 1 + 1 + y2 1 + 1 + z2 + + ≤ 3  + +  ;" = " ⇔ x = y = z x y z x y z

0,25

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

 1 1  1 1  1  2 1 1  1+ x2 1 1 1 1 = 2 + + + =  +   +  ≤  + +  ;" = " ⇔ y = z x x xy yz zx  x y  x z  2  x y z  Viết hai BĐT tương tự rồi cộng lại ta được:

 1 1 1 2 2 Ta sẽ CM: 3  + +  ≤ xyz ⇔ 3 ( xy + yz + zx ) ≤ ( xyz ) = ( x + y + z ) x y z 2

⇔ ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) ≥ 0 Điều này luông đúng Dấu bằng có khi và chỉ khi x=y=z Vậy (I) được CM, dấu bằng có khi và chỉ khi x=y=z= 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

0,25

= α . Khi đó: KAB = 2α ; BAC = 3α . Đặt AB=c, AC=b, BC=a, KAC Áp dụng định lí sin cho tam giác ABK và ACK, ta được: BK AK CK AK = ; = sin 2α sin B sin α sin C sin B Do BK=2CK, nên từ các đẳng thức trên ta có: cosα = (*) sin C Lại có:  b2 + c2 a2  a2 b2 + c2 − a2 FA2 − FC 2 =  − − = = bc.cos A = bc cos 3α (1) 4  4 2  2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0,25

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ X, NĂM 2017

b) Khi a ∈ [ 0;1] . Chứng minh rằng dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC , đường cao AH và trực tâm là điểm K .

H Ư

Đường thẳng BK cắt đường tròn đường kính AC tại D, E ( BD < BE ) . Đường thẳng CK cắt

TR ẦN

đường tròn đường kính AB tại F , G ( CF < CG ) . Đường tròn ngoại tiếp tam giác DHF cắt BC tại điểm P ( P ≠ H ) .

a) Chứng minh rằng các điểm G , H , P, E cùng thuộc một đường tròn.

10 00

b) Chứng minh rằng các đường thẳng BF , CD, PK đồng quy tại một điểm.

Bài 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : ℤ → ℤ thỏa mãn điều kiện sau:

f ( x − f ( y ) ) = f ( f ( x ) ) − f ( y ) − 1 với mọi x, y ∈ ℤ .

Bài 4 (4,0 điểm) Các số a, b, c nguyên, c ≥ 0 và thỏa mãn điều kiện a n + 2n là ước của b n + c với

Í-

mọi số nguyên dương n .

-L

a) Chứng minh rằng c = 0 hoặc c = 1 . b) Khi c = 1 . Chứng minh rằng a và b không đồng thời là các số chính phương.

ÁN

Bài 5 (4,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho bát giác lồi A1 A2 ... A8 thỏa mãn: Có tất cả các

góc bằng nhau, các đỉnh là các điểm nguyên, A1 A2 song song với trục Ox , trên biên của bát giác

ÀN

có đúng 16 điểm nguyên kể cả đỉnh. Gọi n1 , n2 ,..., n8 lần lượt là số điểm nguyên nằm bên trong các

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 . Chứng minh rằng dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 2

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

xn2 với mọi số tự nhiên n . 2 − xn2

Bài 1 (4,0 điểm) Cho số thực a và dãy số ( xn )n ≥ 0 với x0 = a và xn +1 =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(Đề thi gồm 01 trang)

a) Khi a =

U Y

Ngày thi: 15/4/2017

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP: 11 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

IỄ N

cạnh A1 A2 , A2 A3 ,..., A8 A1 (điểm nằm trong cạnh AB là điểm nằm trên cạnh AB và khác hai điểm

A và B , điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ đều nguyên). a) Tính diện tích của bát giác theo n1 , n2 ,..., n8 b) Tìm diện tích lớn nhất của bát giác A1 A2 ... A8 .

-------------- HẾT -------------(Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Họ và tên thí sinh: ................................................................... Số báo danh: …………………

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ X, NĂM 2017

1 . Chứng minh rằng dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 2

TR ẦN

c) Khi a =

xn2 với mọi số tự nhiên n . 2 − xn2

H Ư

Cho số thực a và dãy số ( xn )n ≥ 0 với x0 = a và xn +1 =

Bài 1: (4,0 điểm)_chuyên ĐHSP Hà Nội

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

(Đáp án gồm 06 trang)

d) Khi a ∈ [ 0;1] . Chứng minh rằng dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

ĐÁP ÁN

ĐIỂM 2,0đ

Ta có xn +1 − xn =

10 00

xn ( xn − 1)( xn + 2 ) 2 − xn2

0,5đ

Do đó bằng quy nạp ta được xn ∈ ( 0;1) , ∀n ∈ ℕ

0,5đ 1 2

Í-

Từ đó suy ra dãy ( xn ) giảm và bị chặn nên tồn tại l = lim xn , l < x0 = . xn2 l2 l = ⇔ l 3 + l 2 − 2l = 0 , chuy ể n qua gi ớ i h ạ n ta đượ c 2 − l2 2 − xn2

ÁN

-L

Từ xn +1 =

0,5đ 0,5đ

⇔ l ( l − 1)( l + 2 ) = 0 ⇔ l = 0 . Do đó lim xn = 0 .

IỄ N

ÀN

Với a ∈ {0;1} , ta có xn = a, ∀n ∈ ℕ suy ra lim xn = a . Với a ∈ ( 0;1) , ta có xn +1 − xn =

xn ( xn − 1)( xn + 2 ) 2 − xn2

. Do đó bằng quy nạp ta

2,0đ 0,5đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ĐÁP ÁN

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN LỚP:11

0,5đ

được xn ∈ ( 0;1) , ∀n ∈ ℕ và dãy số ( xn ) giảm. Kết hợp với dãy ( xn ) bị chặn nên tồn tại l = lim xn , l < x0 = a < 1 . Từ xn +1 =

xn2 l2 l = ⇔ l 3 + l 2 − 2l = 0 , chuy ể n qua gi ớ i h ạ n ta đượ c 2 − l2 2 − xn2

0,5đ 0,5đ

⇔ l ( l − 1)( l + 2 ) = 0 ⇔ l = 0 . Do đó lim xn = 0 .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 2: (4,0 điểm)_chuyên Hùng Vương, Phú Thọ Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC , đường cao AH và trực tâm là điểm K . Đường thẳng BK cắt đường tròn đường kính AC tại D, E ( BD < BE ) . Đường thẳng CK cắt đường tròn đường kính AB tại F , G ( CF < CG ) . Đường tròn ngoại tiếp tam giác DHF cắt BC tại điểm

P(P ≠ H ).

c) Chứng minh rằng các điểm G , H , P, E cùng thuộc một đường tròn.

Điểm

ẠO N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

H Ư

2,0đ

TR ẦN

G K

10 00

0,5đ

ÁN

-L

Í-

Ta có ∠AHB = 900 suy ra 5 điểm A, G , B, H , F cùng nằm trên một đường tròn. Do đó tứ giác AGHF nội tiếp ⇒ KG.KF = KA.KH (1). Ta có ∠AHC = 900 suy ra 5 điểm A, E , C , H , D cùng nằm trên một đường tròn. Do đó tứ giác ADHE nội tiếp ⇒ KD.KE = KA.KH (2). Từ (1) và (2) ta được KD.KE = KG.KF suy ra tứ giác GDFE nội tiếp ⇒ ∠GDF + ∠GEF = 1800 (3). Ta có AB là trung trực của GF ⇒ AG = AF , AC là trung trực của DE ⇒ AD = AE ⇒ A là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác GDFE . 1 2

IỄ N

ÀN

Suy ra ∠GEF = ∠GAF = ∠BAF (4).

0,5đ

Tứ giác DHPF nội tiếp nên ∠FDP = ∠FHP , tứ giác ABHF nội tiếp nên ∠FHP = ∠BAF ⇒ ∠FDP = ∠BAF (5). Từ (4) và (5) ta được ∠GEF = ∠FDP (6). Từ (3) và (6) ta được ⇒ ∠GDF + ∠FDP = 1800 ⇒ A, D, P thẳng hàng. Tương tự P, F , E thẳng hàng. Ta có ∠GHP = ∠AHP + ∠AHG = 900 + ∠AHG = 900 + ∠AFG = 900 + 900 − ∠BAF suy ra ∠GHP = 1800 − ∠BAF (7). Từ (4) và (7) suy ra ∠GHP = 1800 − ∠GEP ⇒ tứ giác GHPE nội tiếp.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y .Q

ĐÁP ÁN

Ý a.

d) Chứng minh rằng các đường thẳng BF , CD, PK đồng quy tại một điểm.

0,5đ

0,5đ 2,0đ

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có HP là trục đẳng phương của ( DHPF ) và ( GHPE ) , DF là trục đẳng phương của ( DHPF ) và ( GDFE ) , GE là trục đẳng phương của ( GDFE ) và HP, GE , DF đồng quy tại điểm S .

0,5đ

Tìm tất cả các hàm số f : ℤ → ℤ thỏa mãn điều kiện sau:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ĐÁP ÁN

H Ư

tại số nguyên a sao cho f ( a ) = −1 . Thay y = a ta được

Thay y = f ( x ) ⇒ f ( x − f ( f ( x ) ) ) = f ( f ( x ) ) − f ( f ( x ) ) − 1 = −1 suy ra tồn

TR ẦN

f ( x − f ( a ) ) = f ( f ( x ) ) − f ( a ) − 1 ⇒ f ( x + 1) = f ( f ( x ) ) , ∀x ∈ ℤ (1).

ĐIỂM 4,0đ 0,5đ 0,5đ

Thay x bởi f ( x ) và y bởi x ta được

(

)

(

)

f ( f ( x ) − f ( x)) = f f ( f ( x )) − f ( x ) − 1

0,5đ

10 00

⇒ f ( 0 ) = f f ( f ( x ) ) − f ( x ) − 1, ∀x ∈ ℤ (2).

Từ (1) và (2) ta được

f ( 0 ) = f ( x + 2 ) − f ( x ) − 1, ∀x ∈ ℤ

⇒ f ( x + 2 ) − f ( x ) = f ( 0 ) + 1, ∀x ∈ ℤ (3).

0,5đ

Í-

Từ (3) ta được f ( x + 2 ) − f ( x ) = f ( x + 1) − f ( x − 1) , ∀x ∈ ℤ

-L

⇒ f ( x + 2 ) − f ( x + 1) = f ( x ) − f ( x − 1) , ∀x ∈ ℤ

ÁN

⇒ f ( x ) − f ( x − 1) = f (1) − f ( 0 ) , ∀x ∈ ℤ (4).

Từ (4) và n nguyên dương ta được f ( n ) = f ( 0 ) + n ( f (1) − f ( 0 ) ) (5)

IỄ N

ÀN

Từ (4) và n nguyên dương ta được f ( −n ) = f ( −n + 1) − ( f (1) − f ( 0 ) )

suy ra f ( −n ) = f ( 0 ) − n ( f (1) − f ( 0 ) ) (6).

1,0đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

f ( x − f ( y ) ) = f ( f ( x ) ) − f ( y ) − 1 với mọi x, y ∈ ℤ .

Bài 3 (4,0 điểm)_chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

điểm.

1,0đ

Xét tam giác SEP có EB, GP, SF đồng quy suy ra ( SPBC ) = −1 ⇒ E ( SPBC ) = −1 ⇒ ( GFKC ) = −1 (8). Xét tam giác KBC và kết hợp với (8) ta được BF , CD, PK đồng quy tại một

( GHPE ) suy ra

0,5đ

Từ (5) và (6) suy ra f ( x ) = f ( 0 ) + x ( f (1) − f ( 0 ) ) = cx + d , ∀x ∈ ℤ Thử lại phương trình đã cho ta được f ( x − ( cy + d ) ) = f ( cx + d ) − ( cy + d ) − 1, ∀x, y ∈ ℤ

⇔ c ( x − cy − d ) + d = c ( cx + d ) + d − ( cy + d ) − 1, ∀x, y ∈ ℤ

1,0đ

⇔ cx − c 2 y − cd + d = c 2 x + cd + d − cy − d − 1, ∀x, y ∈ ℤ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 c = 0 c = c 2  c = 0   2   d = −1 ⇔ c = c ⇔  c = 1 ⇔  −cd + d = cd − 1 2cd = d + 1  c = 1     d = 1 Do đó f ( x ) = −1, ∀x ∈ ℤ và f ( x ) = x + 1, ∀x ∈ ℤ .

Ta có b n + c ≡ 0 ( mod a n + 2n ) ⇒ b3n ≡ −c 3 ( mod a n + 2n ) (1)

) (2)

0,5đ

chia hết cho a + 2 suy ra b ≡ −c ( mod a + 2 n

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Theo giả thiết ta được b3 n + c chia hết cho a 3n + 23n = ( a n + 2 n )( a 2 n − a n .2n + 22 n ) suy ra b3 n + c

ĐIỂM 2,0đ 0,5đ

Từ (1) và (2) ta được c3 ≡ c ( mod a n + 2n ) với mọi số nguyên dương n .

0,5đ

H Ư

Suy ra c3 − c chia hết cho a n + 2n với mọi số nguyên dương n . Do đó c = 0 . Kết hợp với c ≥ 0 ta được c ∈ {0;1} . c3 − c = 0 ⇔   c = ±1

TR ẦN

0,5đ

2,0đ

10 00

Khi c = 1 . Giả sử a, b đều là các số chính phương và a = x 2 , b = y 2 ; a, b ∈ ℕ* . Khi đó x 2 n + 2n là ước của y 2 n + 1 với mọi số nguyên dương n . Bây giờ ta xây dựng số nguyên tố p sao cho p x 2 n + 2n nhưng p không

là ước của số y 2 n + 1 . Lấy 2n = p − 1 và lấy p đủ lớn để ( a, p ) = ( b, p ) = 1

Í-

theo định lí Fermat ta được x 2 n + 2n = x p −1 + 2 vậy ta cần chọn số nguyên tố p thỏa mãn

-L

p −1 2

1+ 2

≡ 0 ( mod p ) ⇔ 2

p −1 2

≡ 1+ 2

p −1 2

1,0đ

( mod p ) . Như

≡ −1( mod p ) (1).

IỄ N

ÀN

ÁN

Từ (1) và theo tiêu chuẩn Fermat ta cần chọn số nguyên tố p lẻ sao cho 2 không là số chính phương mod p . Ta có 2

p −1 2   = 1 ⇔ ( −1) 8 = 1 ⇔ p = 8k + 1 hoặc p = 8k + 7 .  p Như vậy để chọn số nguyên tố p lẻ sao cho 2 không là số chính

0,5đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ĐÁP ÁN

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

Bài 4 (4,0 điểm)_chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương

phương mod p ta lấy p ≡ 3 ( mod 8 ) hoặc p ≡ 5 ( mod 8) . Do có vô hạn số nguyên tố dạng 8k + 3 nên chọn p ≡ 3 ( mod 8 ) và p > a, p > b và theo phân tích ở trên ta được x 2 n + 2n ≡ 0 ( mod p ) .

0,5đ

Mặt khác y 2 n + 1 = y p −1 + 1 ≡ 2 ( mod p ) . Do đó 2 ≡ 0 ( mod p ) vô lí. Vậy giả sử ban đầu là sai hay a, b không đồng thời là số chính phương.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 5 (4,0 điểm)_chuyên Thái Bình Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho bát giác lồi A1 A2 ... A8 thỏa mãn: Có tất cả các góc bằng nhau,

nguyên kể cả đỉnh. Gọi n1 , n2 ,..., n8 lần lượt là số điểm nguyên nằm bên trong các cạnh

các đỉnh là các điểm nguyên, A1 A2 song song với trục Ox , trên biên của bát giác có đúng 16 điểm

A1 A2 , A2 A3 ,..., A8 A1 (điểm nằm trong cạnh AB là điểm nằm trên cạnh AB và khác hai điểm A và

U Y

c) Tính diện tích của bát giác theo n1 , n2 ,..., n8

A7 0

TR ẦN

10 00

ẠO

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A6 n5 A5

Điểm

A4 n3

n8 A1

n2 n1

2,0đ

A1 A2

1,0đ

-L

Í-

Ta có n1 + n2 + ... + n8 = 16 − 8 = 8 . Số điểm nguyên trên đoạn thẳng A1 A6 bằng số điểm nguyên trên đoạn thẳng A1 A8 , A8 A7 , A7 A6 và số điểm nguyên trên đoạn thẳng A1 A6 bằng số điểm nguyên trên đoạn thẳng A2 A3 , A3 A4 , A4 A5 suy ra n2 + n3 + n4 = n6 + n7 + n8 . Tương tự n1 + n2 + n8 = n4 + n5 + n6 .

0,5đ

1 1 1 1 2 2 2 2 ( n2 + 1) + ( n4 + 1) + ( n6 + 1) + ( n8 + 1) . 2 2 2 2 Do đó diện tích đa giác là S = S1 − S 2 .

0,5đ

IỄ N

ÀN

ÁN

Diện tích của hình chữ nhật bao đa giác là S1 = ( n2 + n3 + n4 + 3)( n1 + n2 + n8 + 3) Diện tích của bốn tam giác vuông cân ở bốn đỉnh của hình chữ nhật và nằm bên ngoài đa giác là S2 =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ĐÁP ÁN

Ý a.

d) Tìm diện tích lớn nhất của bát giác A1 A2 ... A8 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

B , điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ đều nguyên).

2,0đ 1 2 ( n2 + n4 + n6 + n8 + 4 ) và sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta được 8 2  n1 + n2 + n8 + n2 + n3 + n4 + 6  S1 ≤   suy ra 2  

Ta có S 2 ≥

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5đ

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 2

2 n +n +n +n +n +n +6 1 S ≤ 1 2 8 2 3 4  − ( n2 + n4 + n6 + n8 + 4 ) (1) 2   8 1 Ta có n1 + n2 + n8 + n2 + n3 + n4 = ( 2 ( n1 + n2 + n8 ) + 2 ( n2 + n3 + n4 ) ) 2 1 = ( n1 + n2 + n8 + n4 + n5 + n6 + n2 + n3 + n4 + n6 + n7 + n8 ) 2 1 1 = ( n1 + 2n2 + 2n8 + 2n4 + n5 + 2n6 + n3 + n7 ) = ( 8 + n2 + n4 + n6 + n8 ) (2) 2 2

U Y

Từ (1) và (2) ta được 2

0,5đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0,5đ

H Ư

1 2  x + 20  1 Ta có   − ( x + 4 ) = 31 − ( x − 16 )( x − 8 ) ≤ 31 (do x ∈ [ 0;8] ) 16  4  8 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 8, n2 = n4 = n6 = n8 = 2, n1 = n3 = n5 = n7 = 0 (Như hình vẽ ở trên). Vậy max S = 31 .

TR ẦN

----------Hết----------

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không chấm điểm cho phần đó.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

1  2  2 ( n2 + n4 + n6 + n8 + 8 ) + 6  1 2 2  x + 20  1 S ≤  − ( n2 + n4 + n6 + n8 + 4 ) =   − ( x + 4) , 2  4  8   8   trong đó x = n2 + n4 + n6 + n8 ⇒ x ∈ [ 0;8] .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,5đ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2011-2012

——————

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Dành cho học sinh THPT không chuyên

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (1,5 điểm).

π tan 2 x + tan x 2  sin  x +  . = 2 tan x + 1 2 4 

Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 2 (3,0 điểm).

2 0 2012

2 1 2012

Chứng minh đẳng thức sau: 2 2 2012

2 3 2012

Câu 3 (2,5 điểm). 1.

Chứng minh rằng phương trình 8 x 3 − 6 x − 1 = 0 có ba nghiệm thực phân biệt. Hãy tìm 3

10 00

nghiệm đó. 2.

2011 2012 1006 + ... − ( C2012 . ) + ( C2012 ) = C2012

TR ẦN

(C ) − (C ) + (C ) − (C )

H Ư

suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1.

Cho dãy số ( un ) được xác định bởi: u1 = sin1; un = un −1 +

sin n , với mọi n ∈ ℕ, n ≥ 2 . n2

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a 2 , các cạnh bên

-L

Í-

Câu 4 (3,0 điểm).

Chứng minh rằng dãy số ( un ) xác định như trên là một dãy số bị chặn.

ÁN

bằng nhau và bằng 3a ( a > 0 ). Hãy xác định điểm O sao cho O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo a . Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (SBC). Gọi H là hình

ÀN

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng đường thẳng SB vuông góc với

IỄ N

đường thẳng SC, biết rằng 3.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Giải phương trình:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

————————————

1 1 1 1 = 2+ 2+ . 2 SH SA SB SC 2

Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện AB = CD, BC = AD, AC = BD và một điểm X thay đổi

trong không gian. Tìm vị trí của điểm X sao cho tổng XA + XB + XC + XD đạt giá trị nhỏ nhất.

—Hết—

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh……………….

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT KHÔNG CHUYÊN

———————

NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ———————————

I. LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.

+ kπ (*) 2

0,25

TR ẦN

Phương trình đã cho tương đương với: 2 cos x(tan x + tan x) = sin x + cos x ⇔ 2sin 2 x + 2sin x.cos x = sin x + cos x ⇔ 2sin x(sin x + cos x) = sin x + cos x

⇔ (sin x + cos x)(2sin x − 1) = 0

10 00

+ Với sin x + cos x = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = −

0,25

+ kπ

π 1 5π ⇔ x = + k 2π ; x = + k 2π 2 6 6

+ Với 2sin x − 1 = 0 ⇔ sin x =

0,5

0,25

-L

Í-

Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trình đã cho là:

π 4

+ kπ ; x =

π 6

+ k 2π ; x =

5π + k 2π (k ∈ ℤ) 6

0,25

1 1,5 điểm

ÁN

x=−

Số các số tự nhiên có 5 chữ số là 99999 − 10000 + 1 = 90000

0,5

ÀN

Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là: abcd1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ π

Điều kiện: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

1,5 điểm

Điểm

Nội dung trình bày

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu Ý

ẠO

II. ĐÁP ÁN:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

IỄ N

Ta có abcd1 = 10.abcd + 1 = 3.abcd + 7.abcd + 1 chia hết cho 7 khi và chỉ khi 3.abcd + 1

chia hết cho 7. Đặt 3.abcd + 1 = 7 h ⇔ abcd = 2h +

h −1 là số nguyên khi và chỉ khi 3

0,5

h = 3t + 1 Khi đó ta được: abcd = 7t + 2 ⇒ 1000 ≤ 7t + 2 ≤ 9999

⇔

998 9997 ≤t≤ ⇔ t ∈ {143, 144,..., 1428} suy ra số cách chọn ra t sao cho số abcd1 7 7

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286.

1286 ≈ 0, 015 90000

Vậy xác suất cần tìm là:

2012

0,5

2012

. (1 + x )

2012

2012  2012 k  k  k xk  =  ∑ C2012 ( − x )  ∑ C2012  k =0  k = 0 

ẠO

suy ra hệ số của số hạng chứa x 2012 là

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2012 1 2011 2 2010 3 2009 2012 2012 o C2012 C2012 − C2012 C2012 + C2012 C2012 − C2012 C2012 + ... + C2012 C2012

0,5

U Y

k =0

0 1 2 3 2011 2012 = ( C2012 ) − ( C2012 ) + ( C2012 ) − ( C2012 ) + ... − ( C2012 ) + ( C2012 )

0,5

1 1,5 điểm

TR ẦN

H Ư

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Đặt f ( x ) = 8 x3 − 6 x − 1 ; tập xác định D = ℝ suy ra hàm số liên tục trên ℝ . Ta có  1 f ( −1) = −3, f  −  = 1, f ( 0 ) = −1, f (1) = 1 suy ra  2

0,25

 1 f  −  f ( 0 ) < 0, f ( 0 ) f (1) < 0 . Từ 3 bất đẳng thức này và tính liên  2

0,25

 1 f ( −1) f  −  < 0,  2

10 00

0,5

tục của hàm số suy ra pt f ( x ) = 0 có ba nghiệm phân biệt thuộc ( −1; 1) .

Í-

Đặt x = cos t , t ∈ [ 0; π ] thay vào pt ta được:

π 3

⇔t=±

π 9

2π , kết hợp với t ∈ [ 0; π ] ta 3

ÁN

-L

2 ( 4 cos3 t − 3cos t ) = 1 ⇔ cos 3t = cos

 π 5π 7π  được t ∈  ; ;  . Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm: 9 9 9 

π 9

, x = cos

5π 7π , x = cos . 9 9

2 1,0 điểm Nhận xét. Với mỗi số nguyên dương n ta có:

IỄ N

ÀN

x = cos

0,5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

k 1006 = ∑ C2012 ( − x 2 ) suy ra hệ số của số hạng chứa x 2012 là C2012

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2012

= (1 − x 2 )

2012

+) Ta có (1 − x )

2012

. (1 + x )

+) Ta có (1 − x 2 )

2012

Xét đẳng thức (1 − x )

2 1,5 điểm

1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + 2 < 2 2 1 2 3 n

1 1 1 1 1 1 1 + + ... + = Thật vậy, ta có 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 1 + 1 2 3 1.2 2.3 n n ( n − 1)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 1 1 1 1 1 + − + ... + − = 2 − < 2 suy ra nhận xét được chứng minh. 2 2 3 n −1 n n

Trở lại bài toán, từ công thức truy hồi ta được: un =

1 1 1 + 2 + ... + 2 < 2 với mọi n (theo nhận xét trên) (1) 2 1 2 n

0,25

Ta có un ≤

sin1 sin 2 sin n + 2 + ... + 2 2 1 2 n

1 1,0 điểm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

0,25

TR ẦN

H Ư

O D

Gọi I = AC ∩ BD . Do SA = SB = SC = SD nên các tam giác SAC, SBD cân tại đỉnh S

10 00

nên SI vuông góc với AC, BD suy ra SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Dễ thấy mọi

điểm nằm trên đường thẳng SI cách đều các đỉnh A, B, C, D.

Trong tam giác SIC, dựng trung trực của cạnh SC cắt đường thẳng SI tại O suy ra

0,25

Í-

OS = OA = OB = OC = OD .

-L

Ta có SM .SC = SO.SI ⇒ SO =

9 2a . 8

ÁN

Vậy SO =

0,5

IỄ N

ÀN

2 1,0 điểm

SM .SC 3a.3a 9a 2 9 2a = = = . 8 SI 2 SA2 − IA2 2 9a 2 − a 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(2) suy ra dãy số đã cho bị chặn.

0,25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

1  1 1 Mặt khác un ≥ −  2 + 2 + ... + 2  > −2 với mọi n (theo nhận xét trên) (2). Từ (1) và n  1 2

= 1+1−

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

U Y

BC vuông góc với mặt phẳng (SAH) suy ra BC vuông góc với SK.

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

điểm của đường thẳng qua S, vuông góc với SC. Ta có BC vuông góc với SH và SA nên

1 1 1 = 2+ , kết hợp với giả thiết ta được 2 SH SA SK 2

H Ư

Trong tam giác vuông SAK ta có

Trong tam giác vuông SDC ta có

TR ẦN

1 1 1 = + (1) 2 2 SK SB SC 2

1 1 1 = + (2) 2 2 SK SD SC 2

0,5

0,25

10 00

Từ (1) và (2) ta được SB = SD , từ đó suy ra B ≡ D hay suy ra SB vuông góc với SC.

3 1,0 điểm

ÀN Đ IỄ N D

ÁN

-L

Í-

0,25 N

P C

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Gọi K là giao điểm của đường thẳng AH và BC; trong mặt phẳng (SBC) gọi D là giao

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,25

Gọi G là trọng tâm của tứ diện; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD. Ta có tam giác ACD bằng tam giác BCD nên AN = BN suy ra MN ⊥ AB ,

tương tự ta chứng minh được MN ⊥ CD và đường thẳng PQ vuông góc với cả hai

đường thẳng BC, AD. Từ đó suy GA = GB = GC = GD . Ta có XA + XB + XC + XD =

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

XA.GA + XB.GB + XC.GC + XD.GD GA

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

XA.GA + XB.GB + XC .GC + XD.GD ≥ GA XG. GA + GB + GC + GD + 4.GA2 = = 4GA . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X trùng với GA

)

0,25

(

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

ABCD.

điểm G. Vậy XA + XB + XC + XD nhỏ nhất khi và chỉ khi X là trọng tâm của tứ diện

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI MÔN: TOÁN

(Dành cho học sinh THPT không chuyên)

ĐỀ CHÍNH THỨC

)

Giải phương trình sin 2 x + 3 cos 2 x + 2 + 3 sin x − cos x = 1 + 3 .

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 2.

a) Xét khai triển: (1 + x )(1 + 2 x ) ... (1 + 2013x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a2013 x 2013 . Tính

1 2 (1 + 22 + ... + 20132 ) . 2

H Ư

a2 +

TR ẦN

b) Chọn ngẫu nhiên một số có 4 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để số được chọn không nhỏ hơn 2013.

a) Cho dãy số

un . n2

được xác định như sau: u1 = 1, u2 = 3, un + 2 = 2un +1 − un + 1, n = 1, 2,... Tính

lim

n →+∞

( un )

10 00

Câu 3.

Í-

b) Cho phương trình: m ( x − 1) ( x 3 − 4 x ) + x 3 − 3 x + 1 = 0 ( x là ẩn, m là tham số). Chứng minh với

-L

mọi giá trị thực của m phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt.

ÁN

Câu 4.

a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh mặt phẳng ( A ' BD ) song song với mặt

ÀN

phẳng ( CB ' D ' ) . Tìm điểm M trên đoạn BD và điểm N trên đoạn CD’ sao cho đường thẳng MN

vuông góc với mặt phẳng (A’BD).

b) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các

đoạn thẳng AD, BB’, C’D’. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) với hình lập phương

IỄ N

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(

U Y

Câu 1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

ABCD.A’B’C’D’, tính theo a diện tích thiết diện đó.

Câu 5.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cho a, b, c là các hằng số thực và P ( x ) = ax3 + bx 2 + cx . Tìm tất cả các số a, b, c sao cho

P ( 2 ) = 26 và P ( x ) ≤ 1 với mọi số thực x sao cho x ≤ 1 .

-------------Hết-----------

U Y

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh……………………

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN

(Đáp án có 03 trang)

(Dành cho học sinh THPT không chuyên)

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm

I. LƯU Ý CHUNG:

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

(

)

Ta có sin 2 x + 3 cos 2 x + 2 + 3 sin x − cos x = 1 + 3

(

)

ẠO Đ

( 3 sin x − 1) = 0 3 sin x + 1) = 0

⇔ cos x ( 2sin x − 1) − ( 2sin x − 1)

(

0,5

TR ẦN

⇔ 2sin x.cos x − cos x + 3 (1 − 2sin 2 x ) + 2 + 3 sin x − 3 − 1 = 0

⇔ ( 2sin x − 1) cos x −

Điểm

1(2đ)

Nội dung trình bày

Câu

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

II. ĐÁP ÁN:

10 00

1  sin x =  2 ⇔   3 sin x − cos x = 1

0,5

Í-

π  x = + k 2π  1 6 +) sin x = ⇔  (k ∈ ℤ) 2  x = 5π + k 2π  6 3 sin x − cos x = 1 ⇔

ÁN

-L

0,25

3 1 1 π 1  sin x − cos x = ⇔ sin  x −  = 2 2 2 6 2 

IỄ N

ÀN

 π π π   x − 6 = 6 + k 2π x = + k 2π  ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) 3   x − π = 5π + k 2π  x = π + k 2π  6 6

0,25

0,5

Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm là

x= 2(2đ)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

π 6

+ k 2π , x =

π 5π + k 2π , x = + k 2π , x = π + k 2π ( k ∈ ℤ ) 6 3

2.a (1,0 điểm)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

  2013   Ta có (1 + x )(1 + 2 x ) ... (1 + 2013x ) = 1 +  ∑ k  x +  ∑ i. j  x 2 + A.x3  k =1   1≤i < j ≤ 2013 

1≤ i < j ≤ 2013

1 2 (1 + 2 + ... + 2013) − (12 + 22 + ... + 20132 )  2

0,25

1 1  2013 × 2014  ( 2013 ×1007 ) . ⇒ a2 + (12 + 22 + ... + 20132 ) =   = 2 2 2 2 

0,25

Ta có n ( Ω ) = số cách chọn một số có bốn chữ số đôi một khác nhau = 9.9.8.7

U Y

2.b (1,0 điểm)

A là biến cố chọn ra được một số có bốn chữ số đôi một khác nhau abcd và không nhỏ

0,25

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

hơn 2013. Ta sẽ tính số các số có bốn chữ số đôi một khác nhau abcd và các số này chỉ có

thể xảy ra với

H Ư

suy ra trong trường hợp này có 9.8.7 số thỏa mãn.

a = 1 , b ∈ {0,1,...,9} \ {1} , c ∈ {0;1;...;9} \ {1; b} và d ∈ {0;1;...;9} \ {1; b; c} có 7 cách chọn

0,5

P ( A) =

n ( A ) 7.8.9.8 8 = = n ( Ω ) 9.9.8.7 9

0,25

10 00

3(2,0đ) 3.a (1,0 điểm)

TR ẦN

Từ hai trường hợp trên ta được n ( A ) = 7.8.9.9 − 7.8.9 = 7.8.9.8 . Do đó xác suất cần tìm là:

Ta có un + 2 − un +1 = un +1 − un + 1, n = 1, 2,... suy ra {un + 2 − un +1} lập thành một cấp số cộng có

0,25

công sai bằng 1 nên un + 2 − un +1 = u2 − u1 + n.1 = n + 2 (1)

Từ (1) ta được un − u1 = un − un −1 + un −1 − un − 2 + ... + u2 − u1 = n + n − 1 + ... + 2

Í-

-L

⇒ un = 1 + 2 + ... + n =

0,5

n ( n + 1)

ÁN

n ( n + 1) 1 u 1 un = lim = . Vậy lim n2 = . 2 2 n →+∞ n n →+∞ n n →+∞ 2 2n 2 lim

0,25

ÀN

3.b (1,0 điểm)

IỄ N

Đặt f ( x ) = m ( x − 1) ( x 3 − 4 x ) + x 3 − 3 x + 1 ta được f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ . Ta có f ( −2 ) = −1, f ( 0 ) = 1, f (1) = −1, f ( 2 ) = 3

0,5

Do đó ta được f ( −2 ) f ( 0 ) < 0, f ( 0 ) f (1) < 0, f (1) f ( 2 ) < 0 nên phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm thuộc ( −2;0 ) , ( 0;1) , (1; 2 ) suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

4(3đ)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

i. j =

∑

Suy ra a2 =

0,5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

0,5

4.a (1,5 điểm)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

D M

0,5

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Ta có tứ giác BCD’A’ là hình bình hành nên CD ' BA ' ⇒ CD ' ( BDA ') (1)

0,5

Ta có tứ giác BDD’B’ là hình bình hành nên B ' D ' BD ⇒ B ' D ' ( BDA ' ) (2)

H Ư

Từ (1) và (2) ta được ( A ' BD ) ( CB ' D ' ) .

(

)

(

TR ẦN

Đặt BM = x.BD, CN = y.CD ' . Khi đó MN = MB + BC + CN = − xBD + AD + y.CD ' = x AB − AD + BC + y AA ' − AB = ( x − y ) AB + (1 − x ) AD + y AA '

)

0,25

Do MN vuông góc (A’BD) nên MN ⊥ BD, MN ⊥ BA ' . Từ đó ta được:

10 00

2  = x   MN .BD = 0 2 x − y = 1  1 − x − ( x − y ) = 0 3 ⇔ ⇔ ⇔  x = 2 y y = 1  y − ( x − y ) = 0  MN .BA ' = 0  3

0,25

ÁN

-L

4.b (1,5 điểm)

Í-

2 1 Do đó BM = .BD, CN = .CD ' 3 3

R C

B O

D' A' N

IỄ N

ÀN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Gọi S là trung điểm của AB, khi đó MS BD ⇒ MS ( BDC ' ) và NS C ' D ⇒ NS ( BDC ' ) suy ra ( MNS ) ( BDC ') . Do ( MNS ) BC ' nên (MNS) cắt (BCC’B’) theo giao tuyến qua N

song song với BC’ cắt B’C’ tại Q.

H 0,5

0,5

1 Đặt f (1) = m, f ( −1) = n, f   = p , khi đó m , n , p ≤ 1 và ta có hệ  2

H Ư

5(1đ)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 3 3a 2 3 3a 2 S MSNQPR = 6 SOMS = 6. OM .OS .sin 600 = . Vậy S MSNQPR = 2 4 4

3m + n − 8 p 16 p − 3m + n + 2 ( m − n) + = 9m + n − 16 p ≤ 9 + 1 + 16 = 26 . 3 3

Ta có f ( 2 ) = 8.

0,5

10 00

TR ẦN

3m + n − 8 p   a = 3 a + b + c = m a + b + c = m   m−n   ⇔ b = a − b + c = n ⇔ a − b + c = n 2 a b c a + 2b + 4c = 8 p    + + =p  16 p − 3m + n 8 4 2 c = 6 

0,25

-L

Í-

m = 1 a = 4   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi n = 1 ⇔ b = 0  p = −1 c = −3  

ÁN

Ta có f ( x ) = 4 x3 − 3 x , xét −1 ≤ x ≤ 1 thì tồn tại α : x = cos α

0,25

------------------Hết------------------

IỄ N

ÀN

a = 4  ⇒ f ( x ) = 4 cos α − 3cos α = cos 3α suy ra f ( x ) ≤ 1 với mọi −1 ≤ x ≤ 1 . Vậy b = 0 c = −3  3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a 2 và có tâm là O suy ra: 2

ẠO

MSNQPR cạnh MR =

Do đó thiết diện cắt bởi (MNP) và hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ theo một lục giác đều

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

nên (MNS) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến qua P song song với C’D cắt DD’ tại R.

U Y

B’D’ cắt D’C’ tại P’, do P’ là trung điểm của C’D’ nên P’ trùng với P. Do ( MNS ) C ' D

Do ( MNS ) BD B ' D ' nên (MNS) cắt (A’B’C’D’) theo giao tuyến qua Q song song với

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 11 NĂM HỌC 2012-2013

—————————

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

————————————

2sin 2x.

2. Tìm các nghiệm trong khoảng ( −π; π ) của phương trình:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

π  2sin  3x +  = 1 + 8sin 2x cos 2 2x. 4 

Câu II: (2,0 điểm).

H Ư

1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn và 3 số lẻ ? 2. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5 ≤ k ≤ 2011.

−1 −5 C50 .Ck2011 + C15 .Ck2011 + ... + C55 .Ck2011 = Ck2016 .

TR ẦN

Chứng minh rằng:

1. Cho Pn= 1 −

 2  2   2  1 − .....1 − 2.3  3.4   (n + 1)(n + 2) 

10 00

 

Câu III: (2,0 điểm).

lim Un n→+∞

Gọi Un là số hạng tổng quát của Pn. Tìm

-L

Í-

(x 2 + 2012) 3 1 − 2x − 2012 4x + 1 2. Tìm giới hạn: lim x →0 x

ÁN

Câu IV: (1,0 điểm).

u1 = 11 u n +1 = 10u n + 1 − 9 n, ∀n ∈ N.

IỄ N

ÀN

Cho dãy số (un) xác định bởi : 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1.Giải phương trình: (1 + t anx)cos x + (1 + cot x)sin x =

U Y

Câu I: (2,0 điểm).

Tìm công thức tính un theo n.

Câu V: ( 3,0 điểm). 1. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. M là điểm tùy ý trên cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q. Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Xác định điểm M bên trong tam giác sao

cho MA +

MB + MC nhỏ nhất.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Họ và tên thí sinh:....................................................................Số báo danh:.......................

-------------Hết-------------

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN : TOÁN 11 THPT

----------------------------------------------

Nội dung

Điểm

Câu

2.0

sinx > 0;cos x > 0.

 

H Ư

0.25

π  ≥ 0. 4

(1)

2. (1.0 đ).ĐK: sin  3x +

0.25

π + 2mπ. 4

10 00

KL nghiệm : x =

π + kπ. 4

TR ẦN

Khi đó: (1) ⇔ sin 2x = 1 ⇔ x =

0.25

Í-

0,25

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Khi đó phương trình đã cho tương đương với pt:

sin 2x =

1 2

⇔x=

π + kπ; 12

5π + kπ 12

0.25

Trong khoảng ( −π; π ) ta nhận các giá trị :

π 11π 5π 7π ; x= . ; x=− ; x=− 12 12 12 12

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP ẠO

ĐK: sinx + cos x > 0 dẫn tới

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0.25

sinx + cos x = 2 sin x cos x . (1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

1. (1.0 đ). ĐK: sin x cos x > 0. Khi đó pt trở thành:

0.25

Kết hợp với đk (1) ta nhận được hai giá trị thỏa mãn là:

π ; 12

x=−

7π . 12

0,25

3.0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1. (1.0 đ). TH1: Trong 3 số chẵn đó có mặt số 0. 2

Số các số tìm được là 5.C 4 .C5 .5! = 36000 (số).

0.5

2016

; và

M = (1 + x ) = C50 + C15 x1 + C52 x 2 + C35 x 3 + C54 x 4 + C55 x 5

H Ư

0.25

2011

2011 . = C02011 + C12011x1 + ... + Ck2011x k + ... + C2011 2011x

P = (1 + x )

2016

2016 . = C02016 + C12016 x + ... + Ck2016 x k + ... + C2016 2016 x

TR ẦN

N = (1 + x )

0.25

10 00

Ta có hệ số của x trong P là C 2016 . k

Vì P = M.N , mà số hạng chứa x trong M.N là :

k −1 k−1 −2 k−2 k−3 k−3 k−4 k−4 k−5 k−5 C50.C2011 xk +C15xCk2011 x +C52x2Ck2011 x +C53x3C2011 x +C54x4C2011 x +C55x5C2011 x

Í-

0.25

ÁN

-L

nên

k −1 −5 C50 .Ck2011 + C15 .C2011 + ... + C55 .Ck2011 = Ck2016

0.25

u1 = 11 = 10 + 1 u 2 = 10.11 + 1 − 9 = 102 = 100 + 2

Ta có:

u 3 = 10.102 + 1 − 9.2 = 1003 = 1000 + 3

IỄ N

ÀN

3. (1 điểm)

Dự đoán:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

= (1 + x )

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2011

0.25

ẠO

2. (1.0 đ) Dễ thấy (1 + x ) (1 + x )

36000 + 28800 = 64800 số.

Đ/ số

0.25

Số các số tìm được là C 4 .C5 .6! = 28800 (số).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

TH2: Trong 3 số chẵn đó không có mặt số 0.

0.25

un = 10n + n (1)

0.25

Chứng minh: Ta có:

u1 = 11 = 101 + 1 , công thức (1) đúng với n=1

Giả sử công thức (1) đúng với n=k ta có : uk = 10k + k

0.25

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1). Công thức(1) đúng với n=k+1 Vậy un = 10n + n, ∀n ∈ N.

0.25

III

2.0

H Ư



0.25



1 − 2x − 1 4x + 1 − 1  − 2012 . x x 

10 00

x →0

0.25

Lim x 3 1 − 2x = 0 . x →0

1 − 2x − 1 2` −2x −2 = Lim = Lim =− x →0 x 3 x( 3 (1 − 2x) 2 + 3 1 − 2x + 1) x →0 ( 3 (1 − 2x) 2 + 3 1 − 2x + 1)

Í-

x →0

-L

4x + 1 − 1 4x 4 = Lim = Lim =2 x →0 x( 4x + 1 + 1) x →0 x 4x + 1 + 1

Lim

ÁN

x →0

Vậy L = 0 + 2012

0.5

−2 −16096 − 2012.2 = 3 3

0.25 3.0

1.(2 đ) +) Chứng minh được MNPQ là hình bình hành. 0.5

IỄ N

ÀN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO G

0.25

(n + 3) 1 lim Un = lim = n→+∞ 3(n + 1) 3 n→+∞

Ta có L = Lim  x 3 1 − 2x + 2012

0.25

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(n + 3) 3(n + 1)

2.(1 điểm)

Lim

1.4.2.5.3.6 n(n + 3) .... 2.3.3.4.4.5 (n+2)(n + 1)

⇒ Un= ⇒

Cho k=1,2,3,…,n ta được

Sn =

0.25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2 k(k + 3) = (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)

U Y

Ta có: 1 −

1. (1 đ)

 MN = NP  MP = NQ

+) MNPQ là hình vuông ⇔ 

1.0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇔ M là trung điểm của AB và a = c.

1 2 b . 4

0.5

MA+MB+MC bé nhất khi bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng.

Khi đó góc BMA=1200, góc AMC=1200

0.5

Ta được vị trí của M trong tam giác ABC.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

0.25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Ta có MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0.25

2.(1 đ) Dùng phép quay quanh A với góc quay 600 biến M thành M’; C thành C’

+) Lúc đó SMNPQ =

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII TUYÊN QUANG 2017

ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11 Ngày thi: 29 tháng 7 năm 2017 Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 2 và (n + 1)un +1un = nun2 + 1 với mọi số

b) Tìm số thực c lớn nhất sao cho un ≥ c với mọi số nguyên dương n .

H Ư

≠ 1200 ) , về phía ngoài tam giác ABC Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC và BAC dựng các tam giác đều ABB ', ACC ' . Gọi M , N , P, M ', N ', P ' theo thứ tự lần lượt là trung điểm

TR ẦN

của các đoạn thẳng BC , CA, AB, B ' C ', C ' A, AB ' . Chứng minh rằng: a) Các tam giác MN ' P ', M ' NP là các tam giác đều.

b) MM ', NN ', PP ' đồng quy.

10 00

Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : ℝ → ℝ thoả mãn f ( x) ≤ ( x 2 + y 2 ) f ( y )

với mọi số thực x, y .

Í-

mọi số tự nhiên n .

Câu 4 (4,0 điểm) Cho dãy số nguyên ( xn ) xác định bởi: x0 = 0 , x1 = 1 và xn + 2 = 3 xn+1 − xn với

-L

a) Tìm số dư của x2017 khi chia cho 4.

ÁN

b) Chứng minh rằng xn +100 ≡ xn (mod 101) với mọi số tự nhiên n .

Câu 5 (4,0 điểm) Xét k là số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tại 2017 tập con

ÀN

A1 ,…, A2017 của tập {0,1,…,102017 − 1} (không nhất thiết phân biệt) sao cho mỗi tập có đúng k

phần tử và mỗi phần tử của tập {0,1,…,102017 − 1} đều biểu diễn được dưới dạng x1 + x2 + ⋯ + x2017

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 1 1 + +⋯ + = 2018u2018 − 2. u1 u2 u2017

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a) Chứng minh rằng:

nguyên dương n .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

ĐỀ CHÍNH THỨC

IỄ N

trong đó xi ∈ Ai với i = 1,…, 2017 . Hãy xác định giá trị bé nhất của k . -----HẾT----Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ................................................... Số báo danh: .............................

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII

MÔN TOÁN 11

(Hướng dẫn này có 04 trang)

----dương n .

1 1 1 + +⋯ + = 2018u2018 − 2. u1 u2 u2017

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(Dựa trên đề đề xuất của THPT chuyên Lào Cai)

H Ư

1 = (n + 1)un +1 − nun , ∀n ∈ ℕ* (1). un

TR ẦN

a) Từ giả thiết suy ra un > 0 và Do đó:

Hướng dẫn chấm

1 1 1 + + ... + = (2u2 − u1 ) + ... + (2018u2018 − 2017u2017 ) = 2018u2018 − 2. u1 u2 u2017

4,0 1,0 1,0

b) Ta chứng minh c = 1 .

Điểm

Với n = 1, 2 thì hiển nhiên (2) đúng.

10 00

Trước hết ta chứng minh u n > 1, ∀n ∈ ℕ* (2) bằng quy nạp.

Giả sử (2) đúng với n = k (k ≥ 2) . Khi đó: uk +1 − 1 =

1,0

Í-

k −1 1 k −1 2 1 k ≥2 ≥ ⇒ ≤ , ∀k ≥ 2 (b). uk −1 + 2 k kuk −1 k k uk 2

-L

Mặt khác: uk =

 1 1 (uk − 1)  k −  (a). k +1 uk  

ÁN

 1 1 (uk − 1)  k − k +1 uk  đúng với n = k + 1 . Theo nguyên lí quy nạp thì (2) đúng.

Từ (a), (b) và giả thiết quy nạp ta được uk +1 − 1 =

  > 0 ⇒ uk +1 > 1 . Vậy (2) 

0,5

ÀN

Vậy c ≥ 1.

IỄ N

Từ uk +1 − 1 =

 1 1 (uk − 1)  k − k +1 uk 

 k 1 1 (uk − 1) nên | un − 1|≤ (u1 − 1) = .  > 0 ⇒ uk +1 − 1 < k +1 n n 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

b) Tìm số thực c lớn nhất sao cho un ≥ c với mọi số nguyên dương n .

a) Chứng minh rằng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 2 và ( n + 1)un +1un = nun2 + 1 với mọi số nguyên

0,5

Suy ra lim uk = 1 . Do đó c ≤ 1. Vậy c = 1 (đpcm).

Chú ý. Nếu học sinh chỉ chứng minh được lim uk = 1 mà chưa chứng minh được c ≥ 1 thì cho 1 điểm.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

≠ 1200 ) , về phía ngoài tam giác ABC dựng Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC và BAC các tam giác đều ABB ', ACC ' . Gọi M , N , P, M ', N ', P ' theo thứ tự lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC , CA, AB, B ' C ', C ' A, AB ' . Chứng minh rằng: a) Các tam giác MN ' P ', M ' NP là các tam giác đều.

b) MM ', NN ', PP ' đồng quy.

(Đề xuất của Tổ ra đề)

U Y

4,0

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Cách 1. Xét phép quay véc tơ ngược chiều kim đồng hồ. Ta có 1 1 1 Q 60° ( MN ') = Q 60° ( ( BA ' + CC ')) = ( Q 60° ( BA) + Q 60° (CC ')) = ( BB ' + CA) = MP '. 2 2 2

H Ư

Suy ra tam giác MN ' P ' đều. Tương tự, tam giác M ' NP đều.

2,0

10 00

TR ẦN

-L

Í-

ÁN

Cách 2. Chứng minh các tam giác P ' AN ', P ' PM và MNN ' bằng nhau. Suy ra tam giác

2,0

MN ' P ' đều. Tương tự, tam giác M ' NP đều. b) Vì ∠BAC ≠ 1200 nên các đường thẳng MM ', NN ', PP ' không song song.

IỄ N

ÀN

= = β. Gọi Q là giao điểm của NN ', PP ' . Đặt MPN ANP = α ; APN = MNP

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a) Xét thế hình như hình vẽ (Học sinh chỉ dựa vào thế hình chứng minh thì vẫn cho điểm tối đa)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Điểm

Hướng dẫn chấm

Ta có các điều kiện sau tương đương: 1) MM ', NN ', PP ' đồng quy. 2,0

2) M , M ', Q thẳng hàng. 3) P ( NMM ' Q ) = N ( PMM ' Q ) . 4) P ( NMM ' P ') = N ( PMM ' N ') . 5)

sin M ' PN sin P ' PN sin M ' NP sin N ' NP : = : . sin M ' PM sin P ' PM sin M ' NM sin N ' NM

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 6)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

sin 60° sin(60° + β ) sin 60° sin(60° + α ) . : = : sin(60° + α ) sin(60° + α + β ) sin(60° + β ) sin(60° + α + β )

7) sin(60° + α ) sin(60° + β ) = sin(60° + β ) sin(60° + α ) (luôn đúng). Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : ℝ → ℝ thoả mãn

f ( x) ≤ ( x 2 + y 2 ) f ( y )

với mọi số thực x, y .

U Y

Điểm

1,5

ẠO

Theo giả thiết ta có f ( x) ≤ ( x 2 + y 2 ) f ( y ) với mọi x, y.

1,0

Đổi vai trò x, y được f ( y ) ≤ ( x 2 + y 2 ) f ( x). Do đó f ( y ) ≤ ( x 2 + y 2 ) f ( x) ≤ ( x 2 + y 2 ) f ( y ) .

Mặt khác x = y = 0 ta được f (0) ≤ 0 . Vậy f (0) = 0 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Cho x = 2 thì f ( y ) ≤ (4 + y 2 ) 2 f ( y ) . Suy ra f ( y ) ≥ 0 với mọi y .

H Ư

Cho y = 0 ta được f ( x ) ≤ 0 với mọi x . Vậy f ≡ 0 .

4,0

0,5 1,0

Câu 4 (4,0 điểm) Cho dãy số nguyên ( xn ) xác định bởi: x0 = 0 , x1 = 1 và xn + 2 = 3 xn +1 − xn với mọi số tự

TR ẦN

nhiên n . a) Tìm số dư của x2017 khi chia cho 4.

b) Chứng minh rằng xn +100 ≡ xn (mod 101) với mọi số tự nhiên n .

10 00

(Đề đề xuất của Tổ ra đề) Điểm

Hướng dẫn chấm

4,0 1,0

a) Ta có xn ≡ xn + 3 (mod 4) . Suy ra x2017 ≡ x1 (mod 4) , do đó x2017 ≡ 1 (mod 4) .

Í-

b) Cách 1.

-L

Ta chỉ ra x100 ≡ 0 (mod101) và x101 ≡ 1 (mod101) . Đầu tiên ta có n

ÁN

 3+ 5   3− 5    −  2   2   . xn = 5

1,0

k −1

ÀN

∑ Cnk 3n−k 5 2 .

Khai triển Newton cho ta: 2n xn =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Hướng dẫn chấm

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(Đề xuất của Tổ ra đề)

k = 0, n

IỄ N

2 k

Ta có 452 ≡ 5 (mod101) . Suy ra n

2 xn ≡ n

∑C

k n

n−k

k −1

k = 0, n 2 k

Hay xn ≡

( 3 + 45 ) − ( 3 − 45 ) = 45

≡

48n − (−42)n (mod101) . 45

1,5

24n − ( −21) n (mod101) . 45

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta được: x100 ≡ 0 (mod101) và x101 ≡ 1 (mod101) . Do công thức truy hồi, suy ra xn +100 ≡ xn (mod101) với mọi số tự nhiên n .

0,5

Cách 2. Học sinh có thể xét tìm dãy các số dư của xn modulo 101. Danh sách các số dư của

2,0

[0, 1, 3, 8, 21, 55, 43, 74, 78, 59, 99, 36, 9, 92, 65, 2, 42, 23, 27, 58, 46, 80, 93, 98, 100, 0, 1,

dãy khi chia cho 101 như dưới đây:

3, 8,….]. Sau đó học sinh giải thích do tính truy hồi nên dãy các số dư tuần hoàn. Suy ra đpcm.

Chú ý. Với cách 2, nếu học sinh chỉ tìm một vài số dư mà chưa ra đến số dư lặp (chu kỳ) thì không cho điểm.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

{0,1, …,10 2017 − 1} (không nhất thiết phân biệt) sao cho mỗi tập có đúng k phần tử và mỗi phần tử của

TR ẦN

Hướng dẫn chấm

H Ư

(Đề đề xuất của Tổ ra đề)

xác định giá trị bé nhất của k .

{0,1, …,10 2017 − 1} đều biểu diễn được dưới dạng x1 + ⋯ + x2017 trong đó xi ∈ Ai với i = 1, …, 2017 . Hãy

Ta kí hiệu A1 + ⋯ + A2017 là tập tất cả các số có dạng x1 + ⋯ + x2017 trong đó xi ∈ Ai với mọi

4,0 1,5

i = 1, …, 2017 . Ta có A1 + ⋯ + A2017 = k 2017 . Thành thử k 2017 ≥ 10 2017 hay k ≥ 10 .

Điểm

10 00

Ta chỉ ra 10 chính là giá trị bé nhất có thể của k . Với mọi số nguyên không âm m ta có thể viết

1,5

m = as 10 s + ⋯ + a110 + a0 ,

trong đó s là số tự nhiên và a0 ,…, as ∈ {0,1, …, 9} và as ≠ 0 .

Í-

Với mỗi số m ∈ {0,1, …,102017 − 1} thì s < 2017 vì nếu s ≥ 2017 thì m ≥ as 10 s ≥ 102017 , mâu

-L

thuẫn.

ÁN

Với mỗi j = 1, …, 2017 ta đặt Aj = {10 j −1 t : t = 0, …,9}. Khi đó với mọi m ∈ {0,1,…,102017 − 1} ,

thì m = x1 + ⋯ + x2017 , trong đó x j = 10 j −1 a j −1 , j = 1, 2,..., s + 1 và x j = 0, j = s + 2,..., 2017 .

-----Hết-----

IỄ N

ÀN

Ghi chú: Học sinh có thể làm theo nhiều cách khác nhau. Nếu giải đúng thì cho điểm tối đa.

1,0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Câu 5 (4 điểm) Xét k là số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tại 2017 tập con A1 , …, A2017 của tập

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

1,0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial