Bài tập trắc nghiệm tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng có lời giải chi tiết by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

TÀI LIỆU, CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN LỚP 10

vectorstock.com/9715669

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

Bài tập trắc nghiệm tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng có lời giải chi tiết PDF VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/HoaHocQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Câu 1: Nếu tan   3 thì cos  bằng bao nhiêu? 10 . 10

A. 

10 . 10

C. 

10 . 10

1 . 3

Lời giải Chọn A Ta có 1  tan 2  

1 1 1 1  cos 2     . 2 2 2 cos  1  tan  1  3 10

Suy ra cos   

10 . 10

1 Câu 2: cos  bằng bao nhiêu nếu cot    ? 2 5 . 5

A. 

B. 

5 . 2

C. 

5 . 5

1 D.  . 3

Lời giải Chọn A

1 Ta có cot     tan   2. 2 1  tan 2  

1 1 1 1  cos 2     . 2 2 2 cos  1  tan  1   2  5

Suy ra cos   

5 . 5

1 Câu 3: Biết cos   . Giá trị đúng của biểu thức P  sin 2   3cos 2  là: 3 A.

1 . 3

10 . 9

11 . 9

4 . 3

Lời giải Chọn C

cos  

1 11  P  sin 2   3cos 2    sin 2   cos 2    2 cos 2   1  2 cos 2   . 3 9

Câu 4: Cho  và  là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. sin   sin .

B. cos   cos .

C. tan    tan .

D. cot   cot .

Lời giải Chọn D Dựa vào giá trị lượng giác của các góc bù nhau dễ thấy phương án A, B, C đúng và D sai. Câu 5: Cho  là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? Trang 1

A. sin   0.

B. cos   0.

C. tan   0.

D. cot   0.

Lời giải Chọn C Góc tù có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ II, có giá trị sin   0, còn cos , tan  và cot  đều nhỏ hơn 0. Câu 6: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây A. cos 350  cos100.

B. sin 600  sin 800.

C. tan 450  tan 600.

D. cos 450  sin 450

Lời giải Chọn A Dễ thấy B, C là các bất đẳng thức đúng.

Câu 7: Giá trị cos 450  sin 450 bằng bao nhiêu? A. 1.

D. 0.

Lời giải Chọn B Ta có cos 450  sin 450  2. Câu 8: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A. sin 1800      cos .

B. sin 1800      sin .

C. sin 1800     sin .

D. sin 1800     cos . Lời giải

Chọn C Câu 9: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. sin 00  cos 00  0.

B. sin 900  cos 900  1.

C. sin1800  cos1800  1.

D. sin 600  cos 600 

3 1 . 2

Lời giải Trang 2

Chọn A Ta có sin 00  cos 00  1. Câu 46: Tính giá trị biểu thức: sin 300 cos 600  sin 600 cos 300. A. 1.

B. 0.

D.  3.

Lời giải Chọn A 1 1 3 3 sin 300 cos 600  sin 600 cos 300  .  .  1. 2 2 2 2

Câu 48: Tính giá trị biểu thức: cos 300 cos 600  sin 300 sin 600. A.

3 . 2

C. 1.

D. 0.

Lời giải Chọn D cos 300 cos 600  sin 300 sin 600 

3 1 1 3 .  .  0. 2 2 2 2

BẢNG ĐÁP ÁN 1-A

2-A

3-C

4-D

5-C

6-A

7-B

8-C

9-A

46-A

48-D

Trang 3

Câu 1: Cho hai góc  và  với     1800 , tìm giá trị của biểu thức: cos  cos   sin  sin  . A. 0.

C. 1.

B. 1.

D. 2.

Lời giải Chọn C

cos  cos   sin  sin   cos      cos1800  1. Câu 2: Cho tam giác ABC. Hãy tính sin A.cos  B  C   cos A.sin  B  C  . A. 0.

C. 1.

B. 1.

D. 2.

Lời giải Chọn A sin A.cos  B  C   cos A.sin  B  C   sin A.cos 1800  A   cos A.sin 1800  A  .

  sin A.cos A  cos A.sin A  0. Câu 3: Cho tam giác ABC. Hãy tính cos A cos  B  C   sin A sin  B  C  . A. 0.

C. 1.

B. 1.

D. 2.

Lời giải Chọn C

cos A cos  B  C   sin A sin  B  C   cos  A  B  C   cos1800  1. Câu 4: Tam giác ABC vuông ở A và có góc B  500. Hệ thức nào sau đây là sai?     A. AB, BC  1300. B. BC , AC  400.

    C.  AB, CB   50 .

    D.  AB, CB   120 .

Lời giải Chọn D

      Phương án A: AB, BC   BA, BC  1800  BA, BC  1800  500  1300.

            Phương án B:  BC , AC    CB, CA    CB, CA   BCA  90  50  40 .       Phương án C:  AB, CB     BA,  BC    BA, BC   ABC  50 .       Phương án D:  AC , CB    CA, CB   180   CA, CB   180  40  140 . 0

Trang 4

1 Câu 5: Cho cos x  . Tính biểu thức P  3sin 2 x  4 cos 2 x . 2 A.

13 . 4

7 . 4

11 . 4

15 . 4

Lời giải Chọn A 2

 1  13 Ta có P  3sin   4 cos   3(sin x  cos x)  cos x  3     4 2 2

1 Câu 6: Cho sin   . Tính giá trị của biểu thức P  3sin 2   cos 2  . 3 A. P 

25 . 9

B. P 

9 . 25

C. P 

11 . 9

D. P 

9 . 11

Lời giải Chọn C 2

11 1 Ta có P  3sin   cos   3sin   1  sin    2sin   1  2    1  . 9 3 2

Câu 7: Cho  là góc tù và sin   B. 

A. 3.

5 . Giá trị của biểu thức 3sin   2 cos  là 13

9 . 13

C. 3.

9 . 13

Lời giải Chọn B Ta có cos 2   1  sin 2  

144 12  cos    169 13

Do  là góc tù nên cos   0, từ đó cos    Như vậy 3sin   2 cos   3.

12 13

5 9  12   2     . 13 13  13 

Câu 8: Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng? A. sin1500  

3 . 2

B. cos1500 

3 . 2

C. tan1500  

1 . 3

D. cot1500  3.

Lời giải Chọn C Dựa vào giá trị lượng giác của các cung bù nhau. Dễ thấy phương án đúng là C. 1 3 , Ta có sin1500  sin 300  , cos1500   cos 300   2 2

Trang 5

tan1500   tan 300  

1 và cot1500   cot 300   3. 3

Câu 9: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? A. cos 450  sin 450.

B. cos 450  sin1350.

C. cos 300  sin1200.

D. sin 600  cos1200.

Lời giải Chọn D Phương án A đúng (giá trị lượng giác góc đặc biệt) nên B cũng đúng. Phương án C đúng vì cos 300  sin 600  sin1200. Phương án D sai. Câu 10: Cho hai góc nhọn  và  trong đó    . Khẳng định nào sau đây là sai? A. cos   cos  .

B. sin   sin  .

C.     900  cos   sin  .

D. tan   tan   0. Lời giải

Chọn A

 và  là góc nhọn nên có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ nhất, có các giá trị lượng giác đều dương nên tan   tan   0;    nên sin   sin  , C đúng theo tính chất 2 góc phụ nhau.

Phương án B, C, D đều đúng và A sai. Câu 11: Tam giác ABC vuông ở A có góc B  300. Khẳng định nào sau đây là sai? A. cos B 

1 . 3

B. sin C 

3 . 2

1 C. cos C  . 2

1 D. sin B  . 2

Lời giải Chọn A Dễ thấy A sai do cos B  cos 300 

3 . 2

Câu 12: Tam giác đều ABC có đường cao AH . Khẳng định nào sau đây là đúng? Trang 6

A. sin BAH 

3 . 2

B. cos BAH 

1 . 3

C. sin ABC 

3 . 2

1 D. sin AHC  . 2

Lời giải Chọn C Tam giác ABC là tam giác đều nên có các góc bằng 600 nên dễ thấy C đúng vì sin ABC  sin 600 

3 . 2

Câu 13: Tam giác ABC vuông ở A và có góc B  500. Hệ thức nào sau đây là sai?         A. AB, BC  1300. B. BC , AC  400. C. AB, CB  500. D. AC , CB  1200.

















Lời giải Chọn D Từ giả thiết đề bài, ta có thể nhận xét thấy các góc liên quan được tạo ra từ các véctơ trên chỉ có thể là:

500 , 400 ,1300 ,1400. Vậy nên phương án D là phương án sai. Câu 14: Trong các hệ thức sau, hệ thức nào không đúng? A.  sin   cos    1  2sin  cos  .

B.  sin   cos    1  2sin  cos  .

C. cos 4   sin 4   cos 2   sin 2  .

D. cos 4   sin 4   1.

Lời giải Chọn A Sử dụng máy tính bỏ túi thử với  

 6

ta có cos 4

 6

 sin 4



5  . 6 8

Câu 15: Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP. Góc nào sau đây bằng 1200 ?         A. MN , NP . B. MO, ON . C. MN , OP . D. MN , MP .

















Lời giải Chọn A

      Câu 37: Cho tam giác ABC. Tìm tổng AB, BC  BC , CA  CA, AB .



A. 1800.

 

B. 3600.

 



C. 2700.

D. 1200.

Lời giải Chọn B       Ta có AB, BC  BC , CA  CA, AB  1800  B  1800  C  1800  A.



 



 5400   A  B  C   5400  1800  3600.

      Câu 38: Cho tam giác ABC. Tìm AB, BC  BC , CA  AB, AC .



 



Trang 7

A. 1800.

B. 900.

C. 2700.

D. 1200.

Lời giải Chọn A       Ta có AB, BC  BC , CA  AB, AC  1800  B  1800  C  A.



 



 3600   A  B  C   3600  1800  1800.

    Câu 39: Cho tam giác ABC vuông ở A . Tìm tổng AB, BC  BC , CA .



A. 1800.

B. 3600.

 



C. 2700.

D. 2400.

Lời giải Chọn C Vì tam giác ABC vuông ở A nên B  C  900.     Ta có AB, BC  BC , CA  1800  B  1800  C.



 



 3600   B  C   3600  900  2700.

    Câu 40: Cho tam giác ABC với A  600 , tìm tổng AB, BC  BC , CA .



A. 1200.

B. 3600.

 



C. 2700.

D. 2400.

Lời giải Chọn C Vì tam giác ABC có A  600 nên B  C  1200.     Ta có AB, BC  BC , CA  1800  B  1800  C.



 



 3600   B  C   3600  1200  2400.

  Câu 42: Tam giác ABC vuông ở A và BC  2 AC. Tính cosin của góc AC , CB



1 . 2

1 B.  . 2

3 . 2



D. 

3 . 2

Lời giải Chọn B Vì tam giác ABC vuông ở A nên cos C 

AB 1  . BC 2

  1 Ta có: cos AC , CB  cos 1800  C    cos C   . 2





Trang 8

  Câu 43: Tam giác ABC vuông ở A và BC  2 AC. Tính cosin của góc AB, BC



1 . 2

1 B.  . 2

3 . 2



D. 

3 . 2

Lời giải Chọn D Vì tam giác ABC vuông ở A và BC  2 AC nên AB 

3 BC. 2

  AB 3  . Ta có: cos AB, BC  cos 1800  B    cos B   BC 2       Câu 44: Cho tam giác đều ABC. Tính giá trị biểu thức cos AB, AC  cos BA, BC  cos CB, CA .







3 3 . 2

3 . 2





3 C.  . 2



D. 





3 . 2

Lời giải Chọn B Vì tam giác ABC đều nên ta có A  B  C  600.       Ta có: cos AB, AC  cos BA, BC  cos CB, CA  cos A  cos B  cos C.









 cos 600  cos 600  cos 600 





1 1 1 3    . 2 2 2 2

      Câu 45: Cho tam giác đều ABC. Tính giá trị biểu thức cos AB, BC  cos BC , CA  cos CA, AB .



3 3 . 2

3 . 2

3 C.  . 2







D. 





3 3 . 2

Lời giải Chọn C Vì tam giác ABC đều nên ta có A  B  C  600.       Ta có: cos AB, BC  cos BC , CA  cos CA, AB .













 cos 1800  A   cos 1800  B   cos 1800  C  .

Trang 9

1 1 1 3  cos1200  cos1200  cos1200       . 2 2 2 2 Câu 47: Tính giá trị biểu thức: sin 300 cos150  sin1500 cos1650 A. 1.

B. 0.

1 . 2

3 D.  . 4

Lời giải Chọn B sin 300 cos150  sin1500 cos1650  sin 300 cos150  sin 1800  300  cos 1800  150  .

sin 300 cos150  sin 300 cos150  0. Câu 49: Cho hai góc  và  với     900. Tìm giá trị của biểu thức sin  cos   sin  cos  A. 0.

C. 1.

B. 1.

D. 2.

Lời giải Chọn B

sin  cos   sin  cos   sin      sin 900  1. Câu 50: Cho hai góc  và  với     900 , tìm giá trị của biểu thức cos  cos   sin  sin  A. 0.

C. 1.

B. 1.

D. 2.

Lời giải Chọn A

cos  cos   sin  sin   cos      sin 900  0. BẢNG ĐÁP ÁN 1-C

2-A

3-C

4-D

5-A

6-C

7-B

8-C

9-D

10-A

11-A

12-C

13-D

14-A

15-A

37-B

38-A

39-C

40-D

42-B

43-D

44-B

45-C

47-B

49-B

50-A

Trang 10

Câu 1: Tam giác ABC có góc A bằng 1000 và có trực tâm H . Tìm tổng:       HA, HB  HB, HC  HC , HA



 

A. 3600.



B. 1800.

C. 800.

D. 1600.

Lời giải Chọn D

 

 HA, HB    HB, HC    HC, HA  2  HB, HC   2GHE. Xét tứ giác HGAE có G  E  900  GHE  1800  A  800.         Vậy HA, HB  HB, HC  HC , HA  2 HB, HC  2GHE  1600.



 



BẢNG ĐÁP ÁN 1-D

Trang 11

   Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy cho a  1;3 , b   2;1 . Tích vô hướng của hai véctơ a.b là: A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải Chọn A    a  1;3 , b   2;1  a.b  1.  2   3.1  1.

  Câu 2: Cho hình vuông MNPQ có I , J lần lượt là trung điểm của PQ, MN . Tính tích vô hướng QI .NJ .  2       PQ A. PQ.PI . B. PQ.PN . C. PM .PQ. D.  . 4 Lời giải Chọn D    1    1   1  2 Ta có: QI .NJ    PQ  .  PQ    PQ . 4  2  2 

  Câu 3: Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 4. Khi đó, tính AB. AC ta được: B. 8.

A. 8.

C. 6.

D. 6.

Lời giải Chọn A   1 1 Ta có: AB. AC  AB. AC cos BAC  AB 2 .cos 600  AB 2  42  8. 2 2      2 Câu 4: Cho u và v là 2 vectơ khác 0. Khi đó u  v bằng:



 2 2 A. u  v .

 2 2  B. u  v  2u.v.



  2  C. u  v  2u.v.





 2 2  D. u  v  2u.v.

Lời giải Chọn D   Ta có u  v





2   2  u  2vu  v .

    2 Câu 5: u và v là 2 vectơ đều khác 0. Khi đó u  v bằng:  2 2  A. u  v  2u.v.

    B. u 2  v 2  2u.v

 2 2 C. u  v .

   D. u.v u  v .





Lời giải Chọn B   2 2   2 Ta có u  v  u  2vu  v .

       Câu 6: Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hai vectơ u  2i  j và v  3i  2 j. Tính u.v ta được: A. 6.

B. 2.

C. 4.

D. 4 . Trang 12

Lời giải Chọn C        Ta có u  2i  j   2; 1 và v  3i  2 j   3; 2  nên u.v  6  2  4.  Câu 7: Trong hình dưới đây, u.v bằng:

A. 13.

B. 0.

C. 13.

D. 13 2.

Lời giải Chọn B    Ta có u   3; 2  , v   2;3 nên u.v  0.

 1 3   3 1   Câu 8: Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hai vectơ u   ; ;   . Lúc đó u.v v bằng:  và v   2 2 2   2     2 2 A. 2v. B. 0. C. u . D. u.v u .

 

Lời giải Chọn B

   3 3   0 nên (u.v).v  0 Ta có u.v  4 4

  Câu 9: Cho tam giác ABC có A  600 , AB  5, AC  8. Tính BC. AC. A. 20.

B. 44.

C. 64.

D. 60.

Lời giải Chọn B        1 Ta có BC.AC  AC  AB AC  AC2  AB.AC  64  5.8.  44 2





Câu 10: Cho ABC là tam giác đều. Mệnh đề nào sau đây đúng?       A. AB. AC  . B. AB. AC   AC. AB.

Trang 13

    D. AB. AC  BA.BC.

      C. AB. AC BC  AB AC.BC .









Lời giải Chọn A

  Theo định nghĩa tích vô hướng hai vectơ ta có AB. AC  AB. AC.cos 600  .    Câu 11: Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0. Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng?    A. a.b  a . b .

 B. a.b  0.

 C. a.b  1.

   D. a.b   a . b .

Lời giải Chọn A      Ta có a.b  a . b .cos 00  a . b .   Câu 12: Cho các vectơ a  1; 2  , b   2; 6  . Khi đó góc giữa chúng là

A. 450.

B. 600.

C. 300.

D. 1350.

Lời giải Chọn A

     a.b 1.  2    2  6  1 Ta cos cos a, b      . Suy ra a, b  450. 1  4. 4  36 2 a.b

 

    Câu 13: Cho OM   2; 1 , ON   3; 1 . Tính góc OM , ON .



B. 

A. 1350.

2 . 2



C. 1350.

2 . 2

Lời giải Chọn A

    OM .ON Ta có cos OM , ON     OM . ON





2.3   1 1

 2    1 2

. 32   1



2 . 2

  Như vậy OM , ON  1350.





Trang 14

    Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy cho hai véctơ a và b biết a  1; 2  , b   1; 3 . Tính góc giữa hai   véctơ a và b . A. 450.

B. 600.

C. 300.

D. 1350.

Lời giải Chọn A

   1.  1   2  3 a.b 2 Ta có cos a, b      . 2 2 2 2 2 a.b 1   2  .  1   3

 

  Như vậy a, b  450.

 

  Câu 15: Trong mặt phẳng Oxy, cho a   2;1 và b   3; 2  . Tích vô hướng của hai véctơ đã cho là

B. 4.

A. 4.

C. 0.

D. 1.

Lời giải Chọn A    Với a   2;1 và b   3; 2  ta có a.b  2.3  1.  2   4.   Câu 16: Góc giữa hai véctơ u   3; 4  và v   8; 6  là A. 300.

B. 600.

C. 900.

D. 450.

Lời giải Chọn C  Ta có u.v  3.  8    4  .  6   0

 Như vậy u.v  900.

 

    Câu 17: Cho các véctơ u   2;1 , v  1; 2  . Tích vô hướng của u và v là  A. 0. B. 0. C. 2.

D. 5.

Lời giải Chọn A  Ta có u.v   2  .1  1.2  0.

  Câu 18: Góc giữa hai véctơ u   2; 2  và v  1;0  là

A. 450.

B. 900.

C. 1350.

D. 1500.

Lời giải Chọn C

   u.v Ta có cos u , v     u.v

 

 2  .1  2.0 2  2   22 . 12  02



2 . 2

Trang 15

  Như vậy u , v  1350.

 

 2 Câu 19: Cho hai điểm A 1; 2  và B  3; 4  . Giá trị của AB là: B. 4 2.

A. 4.

C. 6 2.

D. 8.

Lời giải Chọn D  2  Ta có AB   2; 2  nên AB  4  4  8.     Câu 20: Cho hai véctơ a   4;3 và b  1;7  . Góc giữa hai véctơ a và b là A. 900.

B. 600.

C. 450.

D. 300.

Lời giải Chọn C

     a.b 4  21 2 Ta có cos a, b       a, b  450. 2 16  9. 1  49 a.b

 

Câu 21: Cho hai điểm M  1; 2  và N  3; 4  . Khoảng cách giữa hai điểm M và N là A. 4.

B. 6.

C. 3 6.

D. 2 13.

Lời giải Chọn D  Ta có MN   4;6   AB  16  36  52  2 13. Câu 22: Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?    2  A. a.b  a b . B. a  a . C.

2  a  a.

  D. a   a .

Lời giải Chọn B

  Câu 23: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Khi đó, AB. AC bằng A. a 2 .

B. a 2 2.

2 2 a . 2

1 2 a . 2

m2 . 2

Lời giải Chọn A   AB. AC  a.a 2.cos 450  a 2 .

  Câu 24: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng m . Khi đó AB. AC bằng A. 2m 2 .

B. m 2

3 . 2

C. 

m2 . 2

Lời giải Trang 16

Chọn D   1 AB. AC  m.m.cos 600  .m 2 . 2

   Câu 25: Tích vô hướng của hai véctơ a và b cùng khác 0 là số âm khi     A. a và b cùng chiều. B. a và b cùng phương.     C. 00  a, b  900. D. 900  a, b  1800.

 

Lời giải Chọn D       a, b  0  cos a, b  0  900  a, b  1800.

 

  Câu 26: Chọn kết quả đúng a  b







 2 2 A. a  b . 2 2  C. a  b  2a.b

B. a 2  b 2 .

   D. a 2  b 2  2a.b cos a, b .

 

Lời giải Chọn D   2    a  b  a 2  b 2  2a.b cos a, b .





 

    Câu 27: Điều kiện của a và b sao cho a  b



  A. a và b đối nhau.   C. a và b bằng nhau.



 0 là

  B. a và b ngược hướng.   D. a và b cùng hướng. Lời giải

Chọn C   2      a  b  0  a  b  0  a  b.





  Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A  3; 1 , B  2;10  . Tích vô hướng OA.OB bằng bao nhiêu? A. 4.

B. 4.

C. 16.

D. 0.

Lời giải Chọn A     Ta có: OA   3; 1 ; OB   2;10  . Suy ra OA.OB  6  10  4.

  Câu 29: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A  3; 1 , B  2;10  , C  4; 2  . Tích vô hướng AB. AC bằng bao nhiêu? Trang 17

A. 40.

B. 12.

D. 26.

C. 26. Lời giải

Chọn B     Ta có: AB   1;11 ; AC  1; 1 . Suy ra AB. AC  1  11  12. Câu 30: Cho hai điểm A  0;1 và B  3;0  . Khoảng cách giữa hai điểm A và B là: A. 3.

B. 4.

D. 10.

Lời giải Chọn D Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm, ta có: AB  32   1  10. 2

    Câu 31: Trong mặt phẳng Oxy , nếu a   1;1 , b  2;0  thì cosin của góc giữa a và b là: A.

1 . 2

B. 

2 . 2

C. 

1 2 2

1 . 2

Lời giải Chọn B

   a.b 2 cos a, b      . 2 a.b

 

       Câu 32: Trong mặt phẳng Oxy , cho a  4i  6 j và b  3i  7 j. Tính a.b ta được kết quả đúng là: A. 3.

B. 30.

C. 30.

D. 43.

Lời giải Chọn B    a   4;6  , b   3; 7   a.b  30. Câu 33: Trọng tâm G của tam giác ABC với A  4;7  , B  2;5  , C  1; 3 có tọa độ là: A.  1; 4  .

B.  2;6  .

C.  1; 2  .

D.  1;3 .

Lời giải Chọn D 4  2  1   1  xG  3  G  1;3 .  7  5  3 y  3  G 3

Câu 34: Cho A  6;10  , B 12, 2  . Tính AB . A. 10.

B. 2 97.

C. 2 65.

D. 6 5. Trang 18

Lời giải Chọn B

AB 

 xB  x A    y B  y A  2



12  6    2  10  2

 388  2 97.

Câu 35: Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn nối hai điểm A  3;7  và B  6;1 . 9  A.  ;3  . 2 

 3  B.   ; 4  .  2 

3  D.  ; 4  . 2 

C.  3;6  . Lời giải

Chọn B x A  xB 3  6 3   xM  2  2   2  3   M   ; 4 .   2   y  y A  yB  7  1  4 M  2 2

BẢNG ĐÁP ÁN 1-A

2-D

3-A

4-D

5-B

6-C

7-B

8-B

9-B

10-A

11-A

12-A

13-A

14-A

15-A

16-C

17-A

18-C

19-D

20-C

21-D

22-B

23-A

24-D

25-D

26-D

27-C

28-A

29-B

30-D

31-B

32-B

33-D

34-B

35-B

Trang 19

  Câu 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  2, AD  1. Tính góc giữa hai vec tơ AC và BD . A. 890.

B. 920.

C. 1090.

D. 910.

Lời giải Chọn C          Ta có: AC.BD  AC. AD  AB  AC. AD  AC. AB





 AC. AD.cos CAD  AC. AB.cos BAC AD AB  AC. AB.  AD 2  AB 2  1  2  1. AC AC       Ta lại có: AC.BD  AC.BD.cos AC , BD  1  3. 3.cos AC , BD  AC. AD.









  1  cos AC , BD   3    AC , BD  1090 28'









  Câu 2: Cho đoạn thẳng AB  4, AC  3, AB. AC  k . Hỏi có mấy điểm C để k  8? A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 0.

Lời giải Chọn C       Ta có: AB. AC  8  AB. AC.cos AB, AC  8  4.3.cos AB, AC  8









  2  cos AB, AC  . 3





Có hai điểm C thỏa YCBT.

  Câu 3: Cho đoạn thẳng AB  4, AC  3, AB. AC  k . Hỏi có mấy điểm C để k  12? A. 2.

B. 0.

C. 1.

D. 3.

Lời giải Chọn C     Ta có: AB. AC  12  AB. AC.cos AB, AC  12





     4.3.cos AB, AC  12  cos AB, AC  1.









Có một điểm C thỏa YCBT.

  Câu 4: Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Biểu thức AB  HC



A. AB 2  HC 2 .

B.  AB  HC  . 2



C. AC 2  AH 2 .

bằng biểu thức nào sau đây? D. AC 2  2 AH 2 .

Lời giải Chọn A Trang 20

  Ta có: AB  HC





 2    2  AB  2 AB.HC  HC  AB 2  HC 2 .

Câu 5: Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì mệnh đề nào sau đây đúng?   3 AB 2 . B. AB. AC  2   D. AB. AC  0.

  1 A. AB. AC  AB 2 . 2   1 C. AB. AC  AB 2 . 4

Lời giải Chọn A   1 Ta có: AB. AC  AB. AC.cos BAC  AB 2 .cos 600  AB 2 . 2

  3 Câu 6: Trong hình dưới đây, cho AB  2; AH  . Khi đó, tính AB. AC ta được: 2

A. 3.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Lời giải Chọn B     3  2 3 Ta có: AB. AC  AB. AH  AB  .22  3. 4 4   Câu 7: Trong hình vẽ dưới đây, tính 2 ED.FG, ta được:

A. 8.

B. 12.

C. 6.

D. 8.

Lời giải Chọn B

      2 Ta có: 2 ED.FG  2.DE.DL  2.2.i.3.i  12i  12.   Câu 8: Cho hình vuông ABCD tâm O , cạnh a. Tính BO.BC ta được: Trang 21

B. a 2 .

A. a 2 .

3 2 a . 2

a2 . 2

Lời giải Chọn D          1 Ta có: BO.BC  BA  AO .BC  BA.BC  AO.BC  CA.CB.cos BCA 2





1 CB 1 a2 2  .CA.CB.  CB  . 2 CA 2 2    Câu 9: Cho u và v là 2 vectơ đều khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?     2   2     A. u.v  0  u  v  u  v . B. u.v  0  u  v .

          C. u.v  0   u  v  .  u  v   0

      D. u.v  0  u  v . u  2v  0







Lời giải Chọn A

  Ta có: u  v



 

  u  v  2

2   2  2   2  u  2uv  v  u  2uv  v

 2 2  2 2    u  v  u  v u.v  0 (luôn đúng)



  Ta lại có: u  v





 

  u  v  2

2   2  2   2   u  2uv  v  u  2uv  v  4uv  0.

Câu 10: Cho tam giác ABC có H là trực tâm; A ', B ' lần lượt là chân đường cao xuất phát từ các điểm

A, B. Gọi D, M , N , P lần lượt là trung điểm của AH , BC , CA, AB. Đẳng thức nào sau đây là đúng?         A. NM .ND  A ' M . A ' D. B. NM .ND  PD.PC.         C. NM .ND  DP.DM . D. NM .ND  DA '.DB '. Lời giải Chọn A

CH  AB Ta có   CH  MN .  MN / / AB   Mà DN / / CH  DN  MN  NM .ND  0. Trang 22

  Mặt khác. A 'D  A 'M  A 'D.A 'M  0     Do đó, NM .ND  A ' M . A ' D.    Câu 11: Cho 2 vectơ u   4;5  và v   3; a  . Tính a để u.v  0 A. a 

12 . 5

B. a  

12 . 5

C. a 

5 . 12

D. a  

5 . 12

Lời giải Chọn B  12 u.v  12  5a  a   . 5

  Câu 12: Cho 2 điểm A và B có AB  4cm. Tập hợp những điểm M sao cho MA.MB  0 là: A. Đường thẳng vuông góc với AB.

B. Đường tròn đường kính AB.

C. Đoạn thẳng vuông góc với AB.

D. Kết quả khác. Lời giải

Chọn B   MA.MB  0 nên MA và MB vuông góc hay điểm M nằm trên đường tròn đường kính AB. Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB  3, AC  5. Vẽ đường cao AH . Tích vô hướng   HB.HC bằng: A.

B.  34.

34.

C. 

225 . 34

Lời giải Chọn C Ta có AB 2  BH .BC  BH  AC 2  CH .BC  CH 

AB 2 BC

AC 2 BC

  AB 2 . AC 2 225 nên HB.HC  HB.HC.cos1800   HB.HC    . 2 BC 34   Câu 14: Cho tam giác ABC có AB  c, BC  a. CA = b. Tính AB.BC theo a, b, c.

1 2 2 b  c  a2 .  2

1 2 a  b2  c2  .  2

1 2 a  b2  c2  .  2

1 2 2 b  c  a2 .  2

Lời giải Chọn D     Ta có AB.BC   BA.BC   2   CA2  BA  BC  BA2  BC 2  2 BA.BC nên





Trang 23

    CA2  BA2  BC 2 1 2 2 AB.BC   BA.BC    b  c  a2 . 2 2

Câu 15: Cho 2 điểm A, B và O là trung điểm của AB, OA  a. Tập hợp những điểm M mà   MA.MB  a 2 là đường tròn tâm O , có bán kính bằng: A. a.

C. a 2.

B. 2a.

D. 2a 2.

Lời giải Chọn C           MA.MB  MO  OA MO  OB  MO  OA MO  OA  MO 2  OA2  a 2





 





Do đó MO 2  OA2  a 2  2a 2 nên MO  a 2.

  Câu 16: Cho đoạn thẳng AB  a cố định. Tập hợp những điểm M mà AM . AB  a 2 là: A. Đường tròn tâm A, bán kính a.

B. Đường tròn tâm B, bán kính a.

C. Đường thẳng vuông góc với AB tại A.

D. Đường thẳng vuông góc với AB tại B. Lời giải

Chọn D          AM . AB  a 2  AB  BM AB  a 2  a 2  BM . AB  a 2  BM . AB  0





Do đó điểm M nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại B. Câu 17: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, có AB  AC  a. Mệnh đề nào sau đây sai?      2     A. AB  AB 2 . B. AB. AC  0. C. CB.CA  a 2 . D. AB. AC  AB . AC . Lời giải Chọn D Ta có tam giác ABC vuông cân đỉnh A . Suy ra: AB  AC , AB  AC  a và B  C  450.  2     Suy ra:  AB  AB 2 , AB. AC  0, AB  AC  a.

     CB.CA  ACB . CA cos C  a.a 2 cos 450  a 2 . Suy ra: Các mệnh đề A, B, C là các mệnh đề đúng, mệnh đề D là mệnh đề sai. Câu 18: Cho 3 điểm D, E , F theo thứ tự bất kỳ trên trục xOx '. Mệnh đề nào sau đây đúng?         A. DE.DF  DE.DF . B. DE.DF  DE.DF . C. DE.DF   DE.DF . D. DE.DF   DE.DF . Lời giải Chọn B

Trang 24

      Ta có: DE.DF  DE . DF .cos DE , DF .





 Gọi e là vectơ đơn vị trên trục xOx '. Ta có hai trường hợp sau: + E , F nằm cùng phía so với D. Khi đó:     DE.DF  DE . DF .cos 00  DE.DF  DE.DF . + E , F không cùng phía so với D. Khi đó:     DE.DF  DE . DF .cos1800   DE.DF  DE.DF . Suy ra: Các mệnh đề A, C, D là các mệnh đề sai, mệnh đề B là mệnh đề đúng. Câu 19: Cho tam giác đều ABC cạnh a  2. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?       A. AB. AC BC  2 BC. B. BC.CA  2.

     C.  AB  BC  . AC  4.

   D. AB  BC .BA  4.





Lời giải Chọn C Ta có tam giác ABC đều. Suy ra: A  B  C  600.       Suy ra:  AB. AC  2.2.cos 600  2  AB. AC BC  2 BC.



   BC.CA  2.2.cos1200  2.     2  AB  BC . AC  AC  4.





 

     AC  BC .BA  BA





 

 4.

Suy ra các mệnh đề A, B, D là các mệnh đề đúng, mệnh đề C là mệnh đề sai. Câu 20: Cho hình vuông ABCD tâm O . Câu nào sau đây sai?         1   A. OA.OB  0. B. OA.OC  OA.CA. C. AB. AC  AC.DC. 2

    D. AB. AC  AC. AD.

Lời giải Chọn B Ta có hình vuông ABCD tâm O .   Suy ra:  OA.OB  0 (Do OA  OB ).

Trang 25

    1   1    OA.OC  OA.   CA    OA.CA. 2  2         AB. AC  AC.DC (Do AB  DC ).      AB. AC  AC. AB.cos 450  AC. AD.cos 450  AC. AD.

Suy ra các mệnh đề A, C, D là các mệnh đề đúng, mệnh đề B là mệnh đề sai. Câu 21: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Câu nào sau đây sai?        A. DA.CB  a 2 . B. AB.CD  a 2 . C. AB  BC . AC  a 2 .





    D. AB. AD  CB.CD  0.

Lời giải Chọn C Ta có hình vuông ABCD cạnh a.   Suy ra:  DA.CB  DA.Cb.cos 00  a 2 .    AB.CD  AB.CD.cos1800  a 2 .     2 2  AB  BC . AC  AC  a 2  2a 2 .



  



     AB. AD  CB.CD  0 (Do AB  AD, CB  CD ). Suy ra các mệnh đề A, B, D là các mệnh đề đúng, mệnh đề C là mệnh đề sai. Câu 22: Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB  4a, đáy nhỏ CD  2a, đường cao AD  3a; I là trung điểm của AD. Câu nào sau đây sai?     A. AB.DC  8a 2 . B. AD.CD  0.

  C. AD. AB  0.

  D. DA.DB  0.

Lời giải Chọn D

  Ta có  AB.DC  AB.DC.cos 00  4a.2a.1  8a 2 .    AD.CD  0 (Do AD  DC ).    AD. AB  0 (Do AD  AB ).    DA.DB  0 (Do DA, DB không vuông góc với nhau). Suy ra: Các câu A, B, C là các câu đúng, câu D là câu sai.    Câu 23: Trong mặt phẳng O, i, j cho ba điểm A  3;6  , B  x; 2  , C  2; y  . Tính OA.BC :



  A. OA.BC  3 x  6 y  12.   C. OA.BC  3 x  6 y  12.



  B. OA.BC  3 x  6 y  18.   D. OA.BC  0. Lời giải

Chọn B Trang 26

  Ta có OA   3;6  , BC   2  x; y  2  .   Suy ra: OA.BC  3.  2  x   6  y  2   3 x  6 y  18.

Suy ra: Đáp án B là đáp án đúng.  Câu 24: Trong mặt phẳng O, i, j cho ba điểm A  3;6  , B  x; 2  , C  2; y  . Tìm x để OA vuông góc với





AB. A. x  19.

B. x  19.

C. x  12.

D. x  18.

Lời giải Chọn A   Ta có OA   3;6  , AB   x  3; 8  .   Khi đó: OA  AB  OA. AB  0  3.  x  3  6  8   0  x  19. Suy ra: Đáp án A là đáp án đúng. Câu 25: Trong mặt phẳng

  OA.OC  12. A. y  3.



 O, i , j



cho ba điểm A  3;6  , B  x; 2  , C  2; y  . Tìm y biết rằng

B. y  2.

C. y  1.

D. Một số khác.

Lời giải Chọn D   Ta có: OA   3;6  , OC   2; y  .   Khi đó: OA.OC  12  3.2  6 y  12  y  1. Suy ra: Đáp án D là đáp án đúng.

  Câu 26: Trong tam giác ABC có AB  10, AC  12 góc BAC  1200. Khi đó, AB. AC bằng: A. 30.

B. 60.

C. 60.

D. Một số khác.

Lời giải Chọn C   Ta có: AB. AC  AB. AC.cos BAC  10.12.cos1200  60. Suy ra: Đáp án C là đáp án đúng.

  Câu 27: Nếu trong mặt phẳng Oxy, cho A 1;1 , B  x;5  , C  2; x  thì AB. AC bằng: A. 5 x  5.

B. 2 x  2.

C. 10.

D. Một số khác.

Lời giải Chọn A   Ta có: AB   x  1; 4  , AC  1, x  1 . Trang 27

  Khi đó: AB. AC   x  1 .1  4  x  1  5 x  5.

Suy ra: Đáp án A là đáp án đúng. Câu 28: Trong mặt phẳng Oxy, cho A 1; 2  , B  4;1 , C  5; 4  . Tính BAC ? A. 600.

B. 450.

C. 900.

D. Một số khác.

Lời giải Chọn B   Ta có: AB   3; 1 , AC   4; 2  .

    3.4   1 .2 AB, AC 2  . Khi đó: cos BAC  cos AB, AC     2 2 2 2 2 AB , AC 3   1 . 4  2





Suy ra BAC  450. Suy ra đáp án B là đáp án đúng. Câu 29: Cho tam giác đều ABC cạnh a, với các đường cao AH , BK ; vẽ HI  AC.

Khẳng định nào sau đây đúng?     A. BA.BC  2 BA.BH .     2 C. AC  AB .BC  BC .





 

    B. CB.CA  4CB.CI . D. Cả ba câu trên. Lời giải

Chọn D Ta có ABC là tam giác đều cạnh a có AH , BK lần lượt là hai đường cao. Suy ra: H , K lần lượt là trung điểm của BC , AC.   Suy ra: BC  2 BH .       Khi đó: BA.BC  BA.2 BH  2 BA.BH . Ta có:

BK  AC    HI / /BK HI  AC 

Suy ra: I là trung điểm của KC. Trang 28

  Suy ra: CA  4CI  CA  4CI .       Khi đó: CB.CA  CB.4CI  4CB.CI .       2 Ta có: AC  AB .BC  BC.BC  BC .





 

Suy ra: Cả 3 câu A, B, C là các mệnh đề đúng. Câu 30: Cho tam giác đều ABC cạnh a, với các đường cao AH , BK ; vẽ HI  AC.

Khẳng định nào sau đây đúng?   a 2 A. AB. AC  . 2    C. AB  AC .BC  a 2 .





  a 2 B. CB.CK  . 8

D. Cả ba câu trên. Lời giải

Chọn A Ta có ABC là tam giác đều cạnh a có AH , BK lần lượt là hai đường cao. Suy ra: H , K lần lượt là trung điểm của BC , AB và A  B  C  600. Khi đó:   a2  AB. AC  AB. AC.cos BAC  a.a.cos 600  . 2    1  1   1 a2 a2 0  CB.CK  CB. CA  CB.CA  CA.CB.cos C  .cos 60  . 2 2 2 2 4       AB  AC .BC  2 AH .BC  0 (Do AH  BC ).





Suy ra cả 3 câu B, C, D là sai, Câu A đúng. Câu 31: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Mệnh đề nào sau đây sai?     A. AB. AD  0. B. AB. AC  a 2 .       C. AB.CD  a 2 . D. AB  CD  BC . AD  a 2 .





Lời giải Chọn C Trang 29

Ta có ABCD là hình vuông cạnh a. Suy ra: AB  AD, BAC  450 , AC  a 2. Khi đó:    AB. AD  0 (Do AB  AD ).    AB. AC  AB. AC.cos BAC  a.a 2 cos 450  a 2 .          AB  CD  BC . AD  AB  BC  CD . AD    2  2  AD. AD  AD  AD  AD 2  a 2 .









 

Suy ra: Cả 3 mệnh đề A, B, D là đúng, mệnh đề C sai.        Câu 32: Trong mặt phẳng O; i; j cho 2 vectơ a  3i  6 j và b  8i  4 j. Kết luận nào sau đây sai?

 A. a.b  0.





  B. a  b.

  C. a . b  0.

 D. a.b  0.

Lời giải Chọn C         Ta có a  3i  6 j  a   3;6  và b  8i  4 j  b   8; 4  . Khi đó:     a.b  3.8  6.  4   0. Suy ra: a  b.

  a.b  0  0.

  2  a . b  32  62 . 82   4   60. Suy ra cả 3 mệnh đề A, B, D là đúng, mệnh đề C sai. Câu 33: Cho tam giác đều ABC cạnh a  2. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?       A. AB. AC BC  2 BC. B. BC.CA  2.

     C.  AB  BC  . AC  4.

   D. AC  BC .BA  4.





Lời giải Chọn C

Trang 30

     1  Phương án A: AB. AC BC  AB. AC.cos 600.BC  2.2. BC  2 BC. 2     Phương án B: BC.CA  CB.CA  CB.CA.cos 600  2.        Phương án C: AB  BC . AC  AB. AC  BC. AC  2  2  0.





         Phương án D:  AC  BC  .BA  AC.BA  BC.BA  2   2   4.

Câu 34: Cho hình vuông ABCD tâm O. Câu nào sau đây sai?     1   A. OA.OB  0. B. OA.OC   OA.CA. 2         C. AB. AC  AB.DC. D. AB. AC  AC. AD. Lời giải Chọn C

  Phương án A: OA.OB  OA.OB.cos 900  0.   1 1   Phương án B: OA.OC  OA.OC.cos1800   OA.CA.cos 00   OA.CA. 2 2      Phương án C: AB. AC  AB. AC.cos 450  AB.DC   AB 2 .     Phương án D: AB. AC  AB. AC.cos 450  AD. AC.cos 450  AC. AD.

Câu 35: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Câu nào sau đây sai?     A. DA.CB  a 2 . B. AB.CD  a 2 .        C. AB  BC . AC  a 2 . D. AB. AD  CB.CD  0.





Lời giải Chọn B

  Phương án A: DA.CB  DA.CB.cos 00  a 2 .   Phương án B: AB.CD  AB.CD.cos1800  a 2 .      Phương án C: AB  BC . AC  AC. AC  a 2 .





    Phương án D: AB. AD  CB.CD  AB. AD.cos 900  CB.CD.cos 900  0. Trang 31

  Câu 36: Trong tam giác có AB  10, AC  12, góc BAC  1200. Khi đó, AB. AC bằng: A. 30.

C. 60.

B. 60.

D. 30.

Lời giải Chọn C

  Ta có AB. AC  AB. AC.cos BAC  10.12.cos1200  60. Câu 37: Trong mặt phẳng Oxy cho A 1; 2  , B  4;1 , C  5; 4  . Tính BAC ? A. 600.

B. 450.

C. 900.

D. 1200.

Lời giải Chọn B   Ta có AB   3; 1 , AC   4; 2  .   3.4   1 .2 AB. AC 2 Mà cos BAC      . Suy ra BAC  450. 2 9  1 16  4 AB . AC

       Câu 38: Trong mặt phẳng O; i; j cho 2 vectơ a  3i  6 j và b  8i  4 j. Kết luận nào sau đây sai?

 A. a.b  0.





  B. a  b.

  C. a . b  0.

 D. a.b  0.

Lời giải Chọn C   Ta có a   3;6  , b   8; 4  .  Phương án A: a.b  3.8  6.  4   0.    Phương án B: Vì a.b  0 nên a  b.   Phương án C: a . b  9  36. 64  16  45. 80  0.

 Phương án D: a.b  3.8  6.  4   0.

    Câu 39: Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M mà CM .CB  CA.CB là A. Đường tròn đường kính AB. B. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC. Trang 32

C. Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC. D. Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB. Lời giải Chọn B             Ta có CM .CB  CA.CB  CA  AM CB  CA.CB  AM .CB  0. Suy ra tập hợp các điểm M là đường





thẳng đi qua điểm A và vuông góc với BC.

   2 Câu 40: Cho hai điểm B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM .CB  CM thuộc A. Đường tròn đường kính BC.

B. Đường tròn  B, BC  .

C. Đường tròn  C , CB  .

D. Một đường khác không phải đường tròn. Lời giải

Chọn A    2         Ta có CM .CB  CM  CM CB  CM  0  CM .MB  0  MC.MB  0 . Vậy tập hợp các điểm M





thuộc đường tròn đường kính BC. Câu 41: Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A  2; 4  , B 1; 2  , C  6; 2  . Tam giác ABC là tam giác gì? A. Vuông cân tại A.

B. Cân tại A.

C. Đều.

D. Vuông tại A.

Lời giải Chọn D Ta có AB  1  4  5, AC  16  4  2 5 và BC  25  0  5 . Vì BC 2  AB 2  AC 2 nên tam giác ABC vuông tại A.      Câu 42: Cho các véctơ a  1; 3 , b   2;5  . Tính tích vô hướng của a a  2b .



A. 16.

B. 26.

C. 36.



D. 16.

Lời giải Chọn D 2    2 Ta có a  1; 3 , b   2;5  suy ra a  12   3  10 và a.b  1.2   3 .5  13

   2  Như vậy a a  2b  a  2ab  10  2  13  16.





Câu 43: Cho hai điểm A  3; 2  , B  4;3 . Tìm điểm M thuộc trục Ox và có hoành độ dương để tam giác MAB vuông tại M .

A. M  7;0  .

B. M  5;0  .

C. M  3;0  .

D. M  9;0  .

Lời giải Chọn C Trang 33

M  Ox  M  a;0  (theo giả thiết thì a  0 )   Ta có AM   a  3; 2  , BM   a  4; 3   Tam giác ABM vuông tại M  AM .BM   a  3 a  4    2  3  0

a  3 (nhận a  3 )  a2  a  6  0    a  2 Như vậy M  3;0  .

  Câu 44: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC  a 2. Tính CA.CB.   A. CA.CB  a 2 .

  B. CA.CB  a.

  a 2 . C. CA.CB  2

  D. CA.CB  a 2.

Lời giải Chọn A

   CA, CB  ACB  450  Tam giác ABC vuông cân tại A   BC a  AC  2    Như vậy CA.CB  CA.CB.cos ACB  a.a 2.cos 450  a 2 .





Câu 45: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A  5;5  , B  3;1 , C 1; 3 . Diện tích tam giác ABC . A. S  24.

B. S  2.

C. S  2 2.

D. S  12.

Lời giải Chọn A    Ta có AB   8; 4  , AC   4; 8  , BC   4; 4  Suy ra AB  AC  4 5, BC  4 2 Gọi H là trung điểm cạnh BC thì BH  2 2 và AH  AB 2  BH 2  6 2. Như vậy S ABC 

1 1 AH .BC  .6 2.4 2  24. 2 2

  Câu 46: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB. AD. Trang 34

A. 0.

B. a.

a2 . 2

D. a 2 .

Lời giải Chọn A

  Ta có ABCD là hình vuông nên AB  AD  AB. AD  0. Câu 47: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A 1; 1 , B  5; 3 , C  0;1 . Tính chu vi tam giác

ABC . A. 5 3  3 5.

B. 5 2  3 3.

C. 5 3  41.

D. 3 5  41.

Lời giải Chọn D    Ta có AB   4; 2  , AC   1; 2  , BC   5; 4  . Chu vi tam giác ABC là

AB  AC  BC  42   2   2

 1

 22 

 5

 42  3 5  41.

Câu 48: Cặp véctơ nào sau đây vuông góc với nhau?   A. a   2; 1 và b   3; 4  . B.   C. a   2; 3 và b   6; 4  . D.

  a   3; 4  và b   3; 4  .   a   7; 3 và b   3; 7  .

Lời giải Chọn D  A. a.b  2.  3   1 .4  0.  C. a.b  2.  6    3 .4  0.

 B. a.b  3.  3   4  .4  0.  D. a.b  7.3  (3).(7)  0

  Như vậy ở phương án D ta có a  b.

  Câu 49: Trong mặt phẳng Oxy, cho a   2; 1 , b   3; 4  . Khẳng định nào sau đây là sai?  A. Tích vô hướng của hai véctơ đã cho là 10. B. Độ lớn của véctơ a là 5.  C. Độ lớn của véctơ b là 5. D. Góc giữa hai véctơ là 900.

Trang 35

Lời giải Chọn D  Ta có a.b  2.  3   1 .4  10  0. Từ đó góc giữa hai véctơ không là 900. Câu 50: Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A  0; 2  , B 1;5  , C  8; 4  , D  7; 3 . Chọn khẳng định đúng. A. Ba điểm A, B, C thẳng hàng.

B. Ba điểm A, C , D thẳng hàng.

C. Tam giác ABC là tam giác đều.

D. Tứ giác ABCD là hình vuông. Lời giải

Chọn D     Ta có AB  1;7  , BC   7; 1 , CD   1; 7  , DA   7;1   Như vậy AB  BC  CD  DA  5 2 và AB  BC nên ABCD là hình vuông.  11 7  Câu 51: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A  2;3 , I  ;  . B là điểm đối xứng với A qua I . Giả  2 2

sử C là điểm có tọa độ  5; y  . Giá trị của y để tam giác ABC là tam giác vuông tại C là A. y  0, y  7.

B. y  0, y  5.

C. y  5, y  7.

D. y  5.

Lời giải Chọn A

Do I là trung điểm của đoạn AB nên B  9; 4    Ta có AC   3; y  3 và BC   4; y  4    Tam giác ABC vuông tại C  AC.BC  0  3.  4    y  3 y  4   0

 y 2  7 y  0  y  0  y  7.    Câu 52: Cho a và b là hai véctơ cùng hướng và đều khác véctơ 0. Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng.    A. a.b  a . b .

 B. a.b  0.

 C. a.b  1.

   D. a.b   a . b .

Lời giải Chọn A Trang 36

Hai véctơ cùng hướng có có góc giữa chúng là 00. Do đó ta có      a.b  a . b .cos 00  a . b . Câu 53: Cho tam giác ABC vuông tại A. Khẳng định nào sau đây là sai?         A. AB. AC  BA.BC. B. AC.CB  AC.BC.         C. AB.BC  CA.CB. D. AC.BC  BC. AB. Lời giải Chọn D Tam giác ABC vuông tại A nên có hai góc B và C là hai góc nhọn.        cos B  0 và cos C  0 nên AB. AC  0, BA.BC  0 và CA.CB  0 Từ đó nhận thấy Phương án A, B, C đúng và D sai. Câu 54: Tam giác ABC có A   1;1 , B  1;3 và C  1; 1 . Trong các phát biểu sau đây, hãy chọn phát biểu đúng: A. ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

B. ABC là tam giác có ba góc đều nhọn.

C. ABC là tam giác cân tại B  BA  BC  .

D. ABC là tam giác vuông cân tại A. Lời giải

Chọn D  Ta có AB   2; 2   AB  4  4  8  BC   0; 4   BC  0  16  4  AC   2; 2   AC  4  4  8 Dễ thấy ABC là tam giác vuông cân tại A. Câu 55: Cho tam giác ABC có A  10;5  , B   3; 2  và C   6; 5  . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. ABC là tam giác đều.

B. ABC là tam giác vuông cân tại B.

C. ABC là tam giác vuông cân tại A.

D. ABC là tam giác có góc tù tại A. Lời giải

Chọn B  Ta có AB   7;3  AB  49  9  58  BC   3; 7   BC  9  49  58  AC   4;10   AC  16  100  116 Dễ thấy ABC là tam giác vuông cân tại B. Câu 56: Cho M , N , P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai? Trang 37

       A. MN NP  PQ  MN .NP  MN .PQ.

    B. MP.MN   MN .MP.

    C. MN .PQ  PQ.MN .

    D. MN  PQ MN  PQ  MN 2  PQ 2 .











Lời giải Chọn B

      MP.MN   MN .MP  MN .MP  0.   MN  MP, MN , MP  300.

Ta có



Đẳng thức này sai, ví dụ trong trường hợp



  Câu 57: Trong mặt phẳng tọa độ, cho a   3; 4  , b   4; 3 . Kết luận nào sau đây là sai?       A. a.b  0. B. a  b. C. a.b  0. D. a . b  0.

Lời giải Chọn D   Ta có a . b  25.

  Câu 58: Trong mặt phẳng tọa độ, cho a   9;3 . Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ a ?     A. v 1; 3 . B. v  2; 6  . C. v 1;3 . D. v  1;3 . Lời giải Chọn C    Ta có a.v  18 nên v 1;3 không vuông góc với a. Câu 59: Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A  1;1 , B  0; 2  , C  3;1 , D  0; 2  . Khẳng định nào sau đây sai? A. AB / / DC.

B. AC  BD

C. AD  BC.

D. AD / / BC.

Lời giải Chọn D     Ta có AB  1;1 , DC   3;3 và DC   3;3  3 AB  AB / / DC.   AC   4;0   AC  4  AC  BD  4    BD   0; 4   BD  4   AD  1; 3  AD  10  AD  BC    BC   3; 1  BC  10

  Câu 60: Tam giác ABC vuông ở A, AB  c, AC  b. Tính tích vô hướng BA.BC A. b 2  c 2 .

B. b 2  c 2 .

C. b 2 .

D. c 2 .

Lời giải Trang 38

Chọn D

  Tam giác ABC vuông ở A nên ta có BA. AC  0.          Ta có BA.BC  BA BA  AC  BA.BA  BA.AC  c 2  0  c 2





  Câu 61: Tam giác ABC vuông ở A, AB  c, AC  b. Tính tích vô hướng AC.CB A. b 2  c 2 .

B. b 2  c 2 .

C. b 2 .

D. c 2 .

Lời giải Chọn C Ta có       2 AC.CB  AC AB  AC   AC  b 2 .





      Câu 62: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính AB.BC  BC.CA  CA. AB A.

3a 2 . 2

B. 

3a 2 . 2

a2 3 . 2

D. 

a2 3 . 2

Lời giải Chọn B Ta có       AB.BC  BC.CA  CA. AB  AB.BC.cos1200  BC.CA.cos1200  CA. AB.cos1200 2  1   1   1  3a  a.a.    a.a.    a.a.    . 2  2   2   2       Câu 63: Cho biết a.b  1200 ; a  3; b  5. Độ dài của véctơ a  b bằng

 

A. 19.

B. 7.

C. 4.

D. 2.

Lời giải Chọn A Ta có



  a b



2   2  2 2      1   a  2ab  b  a  b  2 a . b .cos a; b  9  25  2.3.5.    19  2 

 

Trang 39

  Suy ra: a  b  19.           Câu 64: Cho tam giác ABC biết: AB  3e1  4e2 ; BC  e1  5e2 ; e1  e2  1 và e1  e2 . Độ dài cạnh AC bằng   A. 4e1  e2 .

  C. 4e1  e2 .

B. 5.

D. 17.

Lời giải Chọn D Ta có           2   AC  AB  BC  3e1  4e2  e1  5e2  4e1  e2  AC  4e1  e2



 AC  17.



 16  1  17.

   Câu 65: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Khi đó, AC. CD  CA bằng



A. 1.



C. 3a 2 .

B. 3a 2 .

D. 2a 2 .

Lời giải Chọn C       2 AC. CD  CA  AC.CD  AC  a 2.a.cos1350  2a 2  a 2  2a 2  3a 2 .





  Câu 66: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Khi đó: AE. AB bằng A. 2a 2 .

3a 2 .

5a 2 .

D. 5a 2 .

Lời giải Chọn A             AE. AB  AD  DE . AB  AD  2 DC . AB  AD. AB  2 DC. AB  0  2a 2  2a 2 .









  Câu 67: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng m. Khi đó AB.BC bằng 2

A. m .

3 . B. m 2 2

m2 C.  . 2

m2 D. . 2

Lời giải Chọn C   1 AB.BC  m.m.cos1200  .m 2 . 2         Câu 68: Cho hai véctơ a và b khác 0. Xác định góc giữa hai véctơ a và b khi a.b  a . b A. 1800.

B. 00.

C. 900.

D. 450.

Lời giải Chọn B Trang 40

       a.b  a . b  cos a; b  1  a; b  00.

 

        Câu 69: Cho hai véctơ a và b khác 0. Xác định góc giữa hai véctơ a và b nếu a.b   a . b A. 1800.

B. 00.

C. 900.

D. 450.

Lời giải Chọn A        a.b   a . b  cos a; b  1  a; b  1800.

 

Câu 70: Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng    OA  OB . AB  0 là





A. Tam giác OAB đều.

B. Tam giác OAB cân tại O.

C. Tam giác OAB vuông tại O.

D. Tam giác OAB vuông cân tại O. Lời giải

Chọn B Gọi I là trung điểm của AB (1) Ta có:        OA  OB . AB  0  2OI . AB  0  OI  AB (2)





Từ (1) và (2) suy ra tam giác OAB cân tại O.   Câu 71: Cho hai véctơ a và b . Đẳng thức nào sau đây là sai?       1 A. a.b  a . b .cos a, b . B. a.b  2  1  2  2  1 C. a.b  D. a.b  a b  a b . 2 4

 





   a  b



2 2  2 a  b  a b . 2



 2  a b .

Lời giải Chọn C Ta có   2 2    1  2  2 1  2 2 1  a  b  a  b   a  b  2a.b  a  b  2a.b   .4.a.b  2a.b  a.b.  2 2 2 



 





Câu 72: Tam giác ABC có A  600 , AC  10, BC  6 . Tính cạnh BC A. 76.

B. 2 19.

D. 6 2.

C. 14. Lời giải

Chọn B Ta có: BC  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos 600  102  62  2.10.6.

1  2 19. 2

Trang 41

Câu 73: Tam giác ABC có A  1200 , AC  10, BC  6 . Tính cạnh BC A. 76.

B. 2 19.

D. 6 2.

C. 14. Lời giải

Chọn C

 1 Ta có: BC  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos1200  102  62  2.10.6.     14.  2 Câu 74: Tam giác ABC có B  300 , BC  3, AB  3 . Tính cạnh AC A.

B. 3.

C. 1,5.

D. 1, 7.

Lời giải Chọn A 2

Ta có: AC  AB 2  BC 2  2 AB.BC.cos 300  32  3  2.3. 3.

3  3. 2

Câu 75: Tam giác ABC có C  300 , AC  2, BC  3 . Tính cạnh AB A. 10.

B. 10.

D. 1.

Lời giải Chọn D 2

Ta có: AB  AC 2  BC 2  2 AC.BC.cos 300  22  3  2.2. 3.

3  1. 2

Câu 76: Tam giác ABC có C  1500 , BC  3, AC  2. Tính cạnh AB A. 13.

B. 10.

D. 1.

Lời giải Chọn A  2 3 Ta có: AB  AC 2  BC 2  2 AC.BC.cos1500  22  3  2.2. 3.     13.  2 

Câu 77: Tam giác ABC có B  1350 , BC  3, AB  2. Tính cạnh AC A. 5.

C. 17.

D. 2, 25.

Lời giải Chọn C  2 2 Ta có: AC  AB 2  BC 2  2 AB.BC.cos1350  32  2  2.3. 2.     17.  2 

Trang 42

Câu 78: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A 1; 2  , B  3;1 . Tìm toạ độ điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC vuông tại A. A.  5;0  .

B.  0;6  .

C.  3;1 .

D.  0; 6  .

Lời giải Chọn B Vì C  Oy  C  0; y  .

  Tam giác ABC vuông tại A  AB. AC  0 *   AB   4; 1 ; AC   1; y  2  .

*  4  y  2  0  y  6. Vậy C  0;6  . Câu 79: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A  2; 4  , B  8; 4  . Tìm toạ độ điểm C trên Ox (khác điểm O ) sao cho tam giác ABC vuông tại C. A. 1;0  .

B.  3;0  .

C.  1;0  .

D.  6;0  .

Lời giải Chọn D Vì C  Ox  C  x;0  x  0  .

  Tam giác ABC vuông tại C  AC.BC  0 *   AC   x  2; 4  ; BC   x  8; 4 

*   x  2  x  8  16  0  x  6; x  0.

Vậy C  0;6  . (loại x  0 ).

Câu 80: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A 1; 2  , B  6; 3 . Tính diện tích tam giác OAB. A. 8.

B. 7,5.

C. 3 3.

D. 5 2.

Lời giải Chọn B

  Nhận xét: OA.OB  0  tam giác OAB vuông tại O. 1 1 15 Diện tích tam giác: S  OA.OB  5.3 5  . 2 2 2

Câu 81: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A  2; 5  , B 10; 4  . Tính diện tích tam giác OAB. A. 29.

B. 58.

C. 14,5.

29.

Lời giải Chọn A

  Nhận xét: OA.OB  0  tam giác OAB vuông tại O. Trang 43

1 Diện tích tam giác: S  OA.OB  29. 2

Câu 82: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A  5;0  , B  0;10  , C  8; 4  . Tính diện tích tam giác

ABC. A. 50.

B. 25.

D. 5 2.

C. 10. Lời giải

Chọn B

  Nhận xét: AC.BC  0  tam giác ABC vuông tại C. Diện tích tam giác: S 

1 1 AC.BC  25. 100  25. 2 2

Câu 83: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A  1;1 , B  2; 4  , C  6;0  . Khi đó tam giác ABC là tam giác: A. Có ba góc nhọn.

B. Có một góc vuông.

C. Có một góc tù.

D. Đều.

Lời giải Chọn B Ta có AB  32  32  18; BC  42   4   32; AC  7 2   1  50 2

Khi đó, AB 2  BC 2  AC 2 nên tam giác ABC vuông tại B. BẢNG ĐÁP ÁN 1-C

2-C

3-C

4-A

5-A

6-B

7-B

8-D

9-A

10-A

11-B

12-B

13-C

14-D

15-C

16-D

17-D

18-B

19-C

20-B

21-C

22-D

23-B

24-A

25-D

26-C

27-A

28-B

29-D

30-A

31-C

32-C

33-C

34-C

35-B

36-C

37-B

38-C

39-B

40-A

41-D

42-D

43-C

44-A

45-A

46-A

47-D

48-D

49-D

50-D

51-A

52-A

53-D

54-D

55-B

56-B

57-D

58-C

59-D

60-D

61-C

62-B

63-A

64-D

65-C

66-A

67-C

68-B

69-A

70-B

71-C

72-B

73-C

74-A

75-D

76-A

77-C

78-B

79-D

80-B

81-A

82-B

83-B

Chuyên đề 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG   Câu 84: Cho hai điểm A  3; 1 , B  2;10  . Tích vô hướng AO.OB bằng bao nhiêu? Trang 44

A. 4.

B. 4.

C. 16.

D. 0.

Lời giải Chọn A     AO   3;1 ; OB   2;10  nên AO.OB  3.2  1.10  4.

  Câu 85: Trong mp tọa độ Oxy , cho 3 điểm A  3; 1 , B  2;10  , C  4; 2  . Tích vô hướng AB. AC bằng bao nhiêu? A. 26. -

B. 40.

C. 26.

D. 40.

Lời giải Chọn D     Ta có AB   1;11 , AC   7;3 nên AB. AC   1 .  7   11.3  40. Câu 86: Trong mp tọa độ Oxy , cho 2 điểm A 1; 2  , B  3;1 . Tìm tọa độ điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC vuông tại A ? A.  3;1 .

B.  5;0  .

C.  0;6  .

D.  0; 6  .

Lời giải Chọn C

  Ta có C  Oy nên C  0; c  và AB   4; 1 ; AC   1; c  2    Do tam giác ABC vuông tại A nên AB. AC  0   4  .  1   1 c  2   0  c  6

Vậy C  0;6  . Câu 87: Trong mp tọa độ Oxy , cho 2 điểm A  2; 4  , B  8; 4  . Tìm tọa độ điểm C trên Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C ? A.  0;0  và  6;0  .

B.  3;0  .

C. 1;0  .

D.  1;0  .

Lời giải Chọn A

  Ta có C  Ox nên C  c;0  và CA   2  c; 4  ; CB   8  c; 4    Do tam giác ABC vuông tại C nên CA.CB  0   2  c  .  8  c   4.4  0

c  6  c 2  6c  0   . c  0

     Câu 88: Trong mp Oxy , cho 2 vectơ a   3; 2  , b   1; 7  . Tìm tọa độ vectơ c biết c.a  9, c.b  20.     A. c   1; 3 . B. c   1;3 . C. c  1; 3 . D. c  1;3 . Lời giải Trang 45

Chọn B   3 x  3 y  9  x  1  Gọi c  x; y  . Ta có    c   1;3 .  x  7 y  20 y  3

Câu 89: Trong mp Oxy , cho A 1;3 , B  2; 4  , C  5;3 , trọng tâm của ABC có tọa độ là:  10  A.  2;  .  3

 8 10  B.  ;   . 3 3 

C.  2;5  .

 4 10  D.  ;  . 3 3 

Lời giải Chọn D 1 2  5 4    xG  3 3 . Tọa độ trọng tâm G   y  3  4  3  10  G 3 3 9  Câu 90: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A  1; 2  , B  ;3  . Tìm tọa độ điểm C trên trục Ox sao 2 

cho tam giác ABC vuông tại C và C có tọa độ nguyên. A.  3;0  .

B.  3;0  .

C.  0;3 .

D.  0; 3 .

Lời giải Chọn A    9  Gọi C  x;0   Ox. Ta có AC   x  1; 2  , BC   x  ; 3  . 2  

x3   2 ABC vuông tại C  AC.BC  0  2 x  7 x  3  0   x  1  2

C có tọa độ nguyên  C  3;0  .  Câu 91: Cho a   3; 4  . Mệnh đề nào sau đây sai?  A. a   3; 4  .

 B. a  5.

 C. 0.a  0.

 D. 2 a  10.

Lời giải Chọn C  0.a  0. Câu 92: Cho ba điểm A 1; 3 , B  4;5  , C  2; 3 . Xét các mệnh đề sau:  I. AB   3;8  . II. A ' là trung điểm của BC thì A '  6; 2  .

Trang 46

7 1 III. Tam giác ABC có trọng tâm G  ;   .  3 3

Hỏi mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I và II.

B. Chỉ II và III.

C. Chỉ I và III.

D. Cả I, II, III.

Lời giải Chọn C

A 1; 3 , B  4;5  , C  2; 3 . Tọa độ trung điểm A ' của BC là A '  3;1 : II sai. Mà các câu A, B, D đều chọn II đúng nên loại. Câu 93: Cho A 1;5  , B  2; 4  , G  3;3 . Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì tọa độ của C là: A.  3;1 .

B.  5;7  .

C. 10;0  .

D.  10;0  .

Lời giải Chọn C

1  2  xC  9  x A  xB  xC  3 xG  x  10   C .  5  4  yC  9  y A  yB  yC  3 yG  yC  0 Câu 94: Cho hai điểm A  5;7  , B  3;1 . Tính khoảng cách từ gốc O đến trung điểm M của đoạn AB A. 4 2.

B. 10.

C. 5.

D. 2 10.

Lời giải Chọn A 53   xM  2  4  OM  16  16  4 2.   y  7 1  4  M 2

Câu 95: Tìm x để khoảng cách giữa hai điểm A  6; 1 và B  x;9  bằng 12. A. 6  4 10.

B. 6  4 5.

C. 6  2 7.

D. 6  2 11.

Lời giải Chọn D

AB 

 x  6

 102  12  x 2  12 x  36  100  144

 x 2  12 x  8  0  x  6  2 11. Câu 96: Cho ABC có A 1;3 , B  4; 1 , C  2; 3 . Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là  1 1 A.   ;   .  2 2

1 1 B.  ;   . 2 2

 1 3 C.   ;  .  2 2

 1 1 D.   ;  .  2 2

Lời giải Trang 47

Chọn B

I  x; y  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi:   x  12   y  32   x  4 2   y  12  IA2  IB 2   2 2 2 2 2 2  IA  IC  x  1   y  3   x  2    y  3

 1  6 x  8 y  7  0  x  2 1 1    I  ;  . 2 2  6 x  12 y  3  0 y   1  2 

Câu 7: Cho ABC với A  5;6  , B  3; 2  , C  0; 4  . Chân đường phân giác trong góc A có tọa độ: 5 2 B.  ;   . 2 3

A.  5; 2  .

5 2 C.  ;   . 3 3

 5 2 D.   ;   .  3 3

Lời giải Chọn C

AB 

 3  5   2  6  2

 4 5; AC 

 MB  MC

 0  5   4  6  2

 5 5.

4  3  .0  5 5  xM  4 3  1 AB 4  5 2 5     M  ;  . 4 AC 5  3 3 2  .  4  2 y  5   M 4 3 1  5 

Câu 98: Cho tam giác ABC với A 1; 2  , B  2; 3 , C  3;0  . Tìm giao điểm của đường phân giác ngoài của góc A và đường thẳng BC : A.  1;6  .

B. 1;6  .

C.  1; 6  .

D. 1; 6  .

Lời giải Chọn D

AB 

 2  1   3  2  2

 2; AC 

 3  1   0  2  2

 2 2.

3  2.2   xE  1  EC AC 1 2    2  E 1; 6  . EB AB  y  0  2.  3  6  E 1 2

Câu 99: Cho tam giác ABC , biết A  4;3 , B  7;6  , C  2;11 . Gọi E là chân đường phân giác góc ngoài B trên cạnh AC. Tọa độ điểm E là:

Trang 48

A. E  9;7  .

B. E  9; 7  .

C. E  7; 9  .

D. E  7;9  .

Lời giải Chọn C  Ta có: BA   3; 3  BA  9  9  3 2.  BC   5;5   BC  25  25  5 2. E là điểm chia đoạn AC theo tỉ số k 

AB 3 2 3   . AC 5 2 5

3 3 14  x  x 4  .2 A C  5  5  5 7  xE  3 3 2  1 1  5 5 5  E  7; 9  . Tọa độ E :  3 3 18  y  y 3  .11  y  A 5 C  5  5  9  E 3 3 2 1 1  5 5 5 

Câu 100: Cho tam giác ABC có A  6;1 , B  3;5  , G  1;1 là trọng tâm của tam giác ABC . Đỉnh C của tam giác có tọa độ là. A. C  6; 3 .

B. C  6;3 .

C. C  6; 3 .

D. C  3;6  .

Lời giải Chọn C

 x  x  x  3 xG  x  3 xG  x A  xB  x  6 Ta có:  A B C  C  C  C  6; 3 .  yC  3  y A  yB  yC  3 yG  yC  3 yG  y A  yB Câu 101: Cho 3 điểm A  1; 4  , B  5;6  , C  6;3 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Bốn điểm A, B, C và D 1;0  nằm trên một đường tròn. B. Tứ giác ABCE với E  0;1 là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn. C. Bốn điểm A, B, C và F  1;0  nằm trên một đường tròn. D. Tứ giác ABCG với G  0; 1 là tứ giác nội tiếp. Lời giải Chọn B Gọi I  x; y  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có:

Trang 49

 5  2 2 2 2 x    x  1  y  4  x  5  y  6  AI  BI          3 x  y  11  2.     2 2 2 2 2 2  BI  CI  x  5    y  6    x  6    y  3  x  3 y  8 y  7   2 2

7 5 2 5 7  5   I  ;  . Khi đó R  IA  IB  IC  1     4    . 2 2 2 2  2  Lần lượt tính ID, IF và IG rồi so sánh với R. Câu 102: Trong mặt phẳng (Oxy ) , cho A  1;3 , B  3; 2  , C  4;1 . Xét các mệnh đề sau: I. AB 

 3  1   2  3 2

 29.

II. AC 2  29; BC 2  58. III. ABC là tam giác vuông cân. Hỏi mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I.

B. Chỉ II.

C. Chỉ III.

D. Cả I, II, III.

Lời giải Chọn D I. Đúng. II. AC 2   4  1  1  3  29; BC 2   4  3  1  2   58  II đúng. 2

III. Ta có: AB  AC  29; BC 2  AB 2  AC 2  ABC vuông cân tại A. Câu 103: Trong mặt phẳng Oxy cho A  4; 2  , B 1; 5  . Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.  38 21  A. I   ;   .  11 11 

5  B. I  ; 2  . 3 

 38 21  C. I  ;  .  11 11 

1 7 D. I  ;  . 3 3

Lời giải Chọn C Gọi I  x; y  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Ta có:  38  2 2 x  2 2    OI  AI  x  y   x  4   y  2  2x  y  5   38 21  11    I ;  2  2 2 2 2 2  11 11  OI  BI  x  y   x  1   y  5   x  5 y  13  y  21   11 2

Câu 104: Tập hợp những điểm M  x; y  cách đều hai điểm A  3;1 , B  1; 5  là đường thẳng có phương trình: A. 2 x  3 y  4  0.

B. 2 x  3 y  4  0.

C. 2x  3y  4  0

D. 2 x  3 y  4  0.

Lời giải Trang 50

Chọn B Ta có: AM 

BM 

 x  3   y  1 2

 x  1   y  5 2

 x 2  y 2  6 x  2 y  10

 x 2  y 2  2 x  10 y  26

M cách đều hai điểm A và B khi MA  MA  MA2  MB 2

 x 2  y 2  6 x  2 y  10  x 2  y 2  2 x  10 y  26  8 x  12 y  16  0  2 x  3 y  4  0

BẢNG ĐÁP ÁN 84-A

85-D

86-C

87-A

88-B

89-D

90-A

95-D

96-B

97-C

98-D

99-C

100-C

91-C

92-C

93-C

94-A

101-B

102-D

103-C

104-B

Trang 51

  Câu 1: Cho hình vuông ABCD có I là trung điểm của AD. Tính cos AC ; BI .



1 . 3

1 . 10

1 . 5



D. 

2 . 10

Lời giải Chọn D Gọi AB  a Ta có AC  AB 2  BC 2  a 2            Khi đó, AC.BI  AC. BA  BD  AC.BA  AC.BD   AC. AB





  AC. AB.cos BAC  a.a 2.cos 450  a 2 BI  AB 2  AI 2  a 2 

a2 a 5  4 2

      a 5 AC.BI  AC.BI .cos AC.BI  a 2  a 2. .cos AC.BI 2   2  cos AC.BI   . 10









Câu 2: Cho tam giác vuông ABH vuông tại H có BH  2; AB  3. Hình chiếu của H lên AB là K .   Tính tích vô hướng BK .BH . A. 4.

4 . 3

3 . 4

16 . 9

Lời giải Chọn D Ta có: AH  AB 2  HB 2  9  4  5 HB.HA 2 5  AB 3       2   BK .BH  BH  HK .BH  BH  HK .BH HK . AB  HB.HA  HK 





 22  HK .HB.cos BHK  4  HK .HB.

HK  4  HK 2 HB

  20 16  BK .BH  4   . 9 9

Trang 52

Câu 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên các cạnh AB, BC , CD, DA lần lượt lấy các điểm   M , N , P, Q sao cho AM  BN  CP  DQ  x  0  x  a  . Tích tích vô hướng PN .PQ. A. AB 2 .

B. AC 2 .

D. AD 2 .

C. 0. Lời giải

Chọn C               Ta có: PN .PQ  PD  DQ PC  CN  PD.PC  PD.CN  DQ.PC  DQ.CN







        a  x x  2 a  x x  2  DP.PC  DQ.CN   DP.PC  NB.CN   . .DC  . .CB  0 a a a a

Câu 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên các cạnh AB, BC , CD, DA lần lượt lấy các điểm

M , N , P, Q sao cho AM  BN  CP  DQ  x  0  x  a  . Tính diện tích tứ giác MNPQ ta được: A. 2 x 2  2ax  a 2 .

B. 2 x 2  2ax  a 2 .

C. 2 x 2  ax  a 2 .

D. x 2  2ax  a 2 .

Lời giải Chọn B               Ta có: PN .PQ  PD  DQ PC  CN  PD.PC  PD.CN  DQ.PC  DQ.CN







        a  x x  2 a  x x  2  DP.PC  DQ.CN   DP.PC  NB.CN   . .DC  . .CB  0 a a a a   Suy ra PN  PQ

Dễ dàng chứng minh được QM  MN  NP  PQ Suy ra MNPQ là hình vuông Có MQ  AM 2  AQ 2  x 2   a  x   2 x 2  2ax  a 2 2

Vậy S MNPQ  MQ 2  2 x 2  2ax  a 2 . Câu 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên các cạnh AB, BC , CD, DA lần lượt lấy các điểm   M , N , P, Q sao cho AM  BN  CP  DQ  x  0  x  a  . Tích tích vô hướng PN .PM ta được: A. x 2   x  a  . 2

B. x 2   a  2 x  . 2

C. x 2   a  x  . 2

D. x 2   2a  x  . 2

Lời giải Chọn C          Ta có: PM .PN  PQ  QM PN  PQ.PN  QM .PN





   2 2 QM .PN  QM  x 2   a  x  .

Trang 53

Câu 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên các cạnh AB, BC , CD, DA lần lượt lấy các điểm   a 2 M , N , P, Q sao cho AM  BN  CP  DQ  x  0  x  a  . Nếu PM .DC  thì giá trị của x bằng: 2

a . 4

a . 2

3a . 4

D. a.

Lời giải Chọn C   a 2    a 2     a 2 PM .DC   PQ  PN .DC   PQ.DC  PN .DC  2 2 2





    a 2 a  x  2 x  2 a 2 2 x  a  2 a 2 PD.DC  PC.DC   DC  DC   DC  2 a a 2 a 2  2ax  a 2 

a2 3  x  a. 2 4

Câu 7: Cho tam giác ABC có H là

trực tâm. Gọi các điểm E , F lần lượt là trung điểm của

HA, HB, HC ; M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB; A ', B ', C ' lần lượt là chân đường cao xuất phát từ A, B, C ; Đường tròn đường kính NE đi qua: A. M và A.

B. N và B.

C. P và C.

D. M , N , P.

Lời giải Chọn D

Đây chính là bài toán đường tròn Ơle, 9 điểm đã cho nằm trên đường tròn đường kính NE Gọi I là trung điểm OH . Tứ giác HDOM là hình bình hành nên I là trung điểm DM . Tam giác DA ' M vuông tại A ' nên

D, A ', M nằm trên đường tròn tâm I đường kính DM . Tứ giác AOMD cũng là hình bình hành nên DM  AO  R Do đó D, A ', M thuộc đường tròn  I ,  .  2

Trang 54

 R Chứng minh tương tự ta có 9 điểm trên cùng nằm trên đường tròn  I ,  .  2

Câu 8: Cho tam giác ABC có AB  c, CA  b, BC  a, BAC   . Vẽ đường phân giác AD của góc

A  D  BC  . Tính AD. A.

bc 2 1  cos   . bc

bc 1  cos  . bc

bc cos  . bc

 b  c  cos  . bc

Lời giải Chọn A

   c   b AB  c AC Theo tính chất đường phân giác BD  DC  AD  b bc

Do đó

  2  2   b AB  c AC    1 2 2 2 2 AD  AD  BD   b c  c b  2 bc AB. AC   2 bc   b  c 





b  c 

b 2 c 2  c 2b 2  2b 2 c 2 cos    2 

Vậy AD 



2b 2 c 2 1  cos  

b  c 

bc 2 1  cos   . bc

Câu 9: Cho ABC là tam giác đều. Mệnh đề nào sau đây sai?       A. AB. AC  . B. AB. AC  AC. AB.           C. AB. AC BC  AB AC.BC . D. AB. AC  BA.BC.









Lời giải Chọn C Ta có tam giác ABC đều. Suy ra: AB  AC  BC và A  B  C  600. Suy ra:

      AB. AC  AB. AC  AB. AC.cos 600   , AB. AC  0, AB  AC  a. 2     + AB. AC  AC. AB (Tích vô hướng của hai vectơ có tính chất giao hoán).      AB. AC BC  k .BC    BC và AB không cùng phương. +      mà   AB AC.BC  AB.l  l. AB         Suy ra: k .BC  l. AB hay: AB. AC BC  AB AC.BC .













Trang 55

    + AB. AC  AB. AC.cos 600  BA.BC.cos 600  BA.BC. Suy ra: Các mệnh đề A, B, D là các mệnh đề đúng, mệnh đề C là mệnh đề sai. Câu 10: Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB  4a, đáy nhỏ CD  2a, đường cao AD  3a; I là   trung điểm của AD. Tính DA.BC bằng: A. 9a 2 .

B. 15a 2 .

C. 0.

D. Không tính được.

Lời giải Chọn A

Gọi E là trung điểm của cạnh AB. Suy ra: ADCE là hình chữ nhật. Xét AEC là tam giác vuông tại E , ta có: tan C 

AE 2a 2 2    tan 1800  C    tan C   và C là góc nhọn. CE 3a 3 3

 cos 1800  C   

1  1  tan 1800  C  2

1  2 1     3



3 . 13

     3  2 Suy ra: DA.BC  CE.BC  CE.BC.cos 1800  C   3a.a 13.     9a .  13      + AB. AD  CB.CD  0 (Do AB  AD, CB  CD ). Suy ra đáp án A là đáp án đúng.       AD Cách 2: DA.BC  DA.ED   DA.DE   AE.DE.cos ADE  3a.DE.  9a 2 . DE Câu 11: Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB  4a, đáy nhỏ CD  2a, đường cao AD  3a; I là    trung điểm của AD. Tích IA.IC . AC bằng:



3a 2 . 2

B. 



3a 2 . 2

C. 0.

D. 9a 2 .

Lời giải Chọn C Sử dụng một số tính chất của hình học phẳng ta chứng minh được IE  AC.    Ta có: IA  IB  2IE (Do E là trung điểm của AB) Trang 56

     Suy ra: IA.IC . AC  2 IE. AC  0.





Suy ra: Đáp án C là đáp án đúng.

    Câu 12: Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M mà CM .CB  CA.CB là: A. Đường tròn đường kính AB. B. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC. C. Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC. D. Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB. Lời giải Chọn B          Ta có: CM .CB  CA.CB  CB CM  CA  0  CB. AM  0  CB  AM .





    Suy ra: Tập hợp những điểm M thỏa CM .CB  CA.CB là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.    2 Câu 13: Cho ba điểm B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM .CB  CM là: A. Đường tròn đường kính BC.

B. Đường tròn  B; BC  .

C. Đường tròn  C ; CB  .

D. Một đường khác. Lời giải

Chọn A    2      Ta có: CM .CB  CM  CM . CB  CM  0  CM .MB  0  CM  MB





   2 Do đó quĩ tích các điểm M thỏa mãn CM .CB  CM là đường tròn đường kính BC. Câu 14: Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB  4a, đáy nhỏ CD  2a, đường cao AD  3a; I là   trung điểm của AD. Tích DA.BC bằng: A. 9a 2 .

B. 15a 2 .

C. 0.

D. 9a 2 .

Lời giải Chọn A

      CI Ta có DA.BC  CI .BC  CI .CB  CI .CB.cos BCI  CI .CB.  CI 2  9a 2 . BC

Trang 57

Câu 15: Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB  4a, đáy nhỏ CD  2a, đường cao AD  3a; I là trung điểm của AD. Câu nào sau đây sai?     A. AB.DC  8a 2 . B. AD.CD  0.

  C. AD. AB  0.

  D. DA.DB  0.

Lời giải Chọn D

  Phương án A: AB.DC  AB.DC.cos 00  AB.DC  8a 2 .     Phương án B: AD.CD  DA.DC  DA.DC.cos 900  0.   Phương án C: AD. AB  AD. AB.cos 900  0.   AD Phương án D: DA.DB  DA.DB.cos ADB  DA.DB.  AD 2  9a 2 . DB

Câu 16: Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB  4a, đáy nhỏ CD  2a, đường cao AD  3a; I là    trung điểm của AB. Tích IA.IB ID bằng:



3a 2 . 2

B. 



3a 2 . 2

C. 0.

D. 9a 2 .

Lời giải Chọn C

       Ta có IA  IB ID  0.ID  0 (vì IA, IB là hai vectơ đối nhau).





Câu 17: Cho tam giác đều ABC cạnh a, với các đường cao AH , BK vẽ HI  AC. Câu nào sau đây sai?         A. BA.BC  2 BA.BH . B. CB.CA  4CB.CI .          C. AC  AB BC  2 BA.BC. D. CA.CB  4 KC.CH .





Lời giải Chọn D Trang 58

   1    a 2   Phương án A: BA.BC  BA.BC.cos 600  , 2 BA.BH  2.BA. BC  BA.BC . 2 2       Phương án B: CB.CA  CB.4CI  4CB.CI .

Phương án C:            AC  AB BC  AC.BC  AB.BC  CA.CB  BA.BC





   CA.CB.cos 600  BA.BC.cos 600  2 BA.BC         Phương án D: CA.CB  2CK .2CH  4CK .CH  4 KC.CH . Câu 18: Cho tam giác đều ABC cạnh a, với các đường cao AH , BK vẽ HI  AC. Câu nào sau đây đúng?   a 2 A. AB. AC  . 2

  a 2 B. CB.CK  . 8

   C. AB  AC BC  a 2 .





  a 2 D. CB.CK  . 2

Lời giải Chọn A

  a2 Phương án A: AB. AC  AB. AC.cos 600  . . 2    1  1 a2 0 Phương án B: CB.CK  CB. .CA  CB.CA.cos 60  . 2 2 4

Trang 59

Phương án C:



           a2 a2 AB  AC BC  AB.BC  AC.BC   BA.BC  CA.CB     0. 2 2



   1  1 a 2 a 2 Phương án D: CB.CK  CB. .CA  .  . 2 2 2 4

Câu 19: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Mệnh đề nào sau đây sai?     A. AB. AD  0. B. AB. AC  a 2 .       C. AB.CD  a 2 . D. AB  CD  BC AD  a 2 .





Lời giải Chọn C

  Phương án A: AB. AD  AB. AD.cos 900  0. .   1 Phương án B: AB. AC  AB. AC.cos 450  a.a 2.  a2. 2   Phương án C: AB.CD  AB.CD.cos1800  a 2 .         2 Phương án D: AB  CD  BC AD  AB  BD AD  AD  a 2 .









Câu 20: Cho tam giác ABC có BC  a; CA  b; AB  c. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy tính giá trị   AM .BC. A.

a 2 . 2

c2  b2 . 2

c2  b2  a 2 . 3

c2  b2  a 2 . 2

Lời giải Chọn A Ta có   1    1     AM .BC  AB  AC .BC  AB.BC  AC.BC . 2 2











1 c.a.cos 1800  B   b.a.cos 1800  C      c.a.cos B  b.a.cos C   2

Trang 60

 a 2  c2  b2 a 2  b2  c2  1 2 2    c.a.  ab.    .2a  a . 2ac 2ab 2  

   Câu 21: Tam giác ABC có BC  a; CA  b; AB  c. Tính AB  AC .BC



A. a 2 .

c2  b2 . 2



c2  b2  a 2 . 3

c2  b2  a 2 . 2

Lời giải Chọn A        AB  AC .BC  AB.BC  AC.BC  c.a.cos 1800  B   b.a.cos 1800  C  











1  c.a.cos B  b.a.cos C  2

1 a 2  c2  b2 a 2  b2  c2  1 2 1 2    c.a.  ab.    .2a   .a . 2 2ac 2ab 4 2       Câu 22: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Khi đó AB  AC . BC  BD  BA bằng



B. 3a 2 .

A. 2 2a.



C. 0.



D. 2a 2 .

Lời giải Chọn D                  AB  AC . BC  BD  BA  AB.BC  AB.BD  AB.BA  AC.BC  AC.BD  AC.BA







 0  a.a 2.cos1350  a 2  a.a 2.cos 450  0  a.a 2.cos1350  2.a 2 .      2  Câu 23: Cho hai véctơ a và b khác 0. Xác định góc giữa hai véctơ a và b nếu hai véctơ a  3b và 5     a  b vuông góc với nhau và a  b  1 A. 900.

B. 1800.

C. 600.

D. 450.

Lời giải Chọn B 2 2  13   13  2     a.b   a  3b  . a  b  0   a.b  3a.b  3  0  5 5 5 5 5        a.b  1  1.1.cos a; b  1  a; b  1800.





 

Câu 24: Tam giác ABC có sin C  A.

27.

B. 3 2.

7 , AC  3, BC  6 và góc C nhọn. Tính cạnh AB. 4

C. 27.

D. 8.

Lời giải Trang 61

Chọn B 2

 7 3 Ta có: cos C  1  sin C  1     4  4  2

AB  AC 2  BC 2  2 AC.BC.cos C  32  62  2.3.6.

3  3 2. 4

Câu 25: Cho hai điểm A  3;1 và B  5;5  . Tìm điểm M trên trục y ' Oy sao cho MB  MA lớn nhất. A. M  0; 5  .

B. M  0;5  .

C. M  0;3 .

D. M  0; 6  .

Lời giải Chọn A

Lấy M  0; y   y ' Oy, với y bất kì. Ta có: MB  MA  AB;

x A .xB   3 5   15  0. Vậy A, B nằm cùng bên đối với y ' Oy. Do đó MB  MA lớn nhất khi MB  MA  AB, khi đó M , A, B thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn AB.   MB   5;5  y  ; MA   3;1  y  . Vậy 5 1  y   3  5  y   0  y  5. Do đó M  0; 5  . Câu 26: Cho tam giác ABC , biết A  x A ; y A  , B  xb ; yB  , C  xC ; yC  . Để chứng minh công thức tính diện tích S ABC 

1  xB  xA  yC  y A    xC  xA  yB  y A  một học sinh làm như sau: 2

 Bước 1: AB   xB  x A  yB  y A    x1 ; y1   AB  x12  y12  AC   xC  x A  yC  y A    x2 ; y2   AC  x22  y22

  cos BAC  cos AB, AC 





x1 x2  y1 y2 x12  y12 . x22  y22 Trang 62

Bước 2: Do sin BAC  0, nên:

 x1 x2  y1 y2 sin BAC  1  cos 2 BAC  1    x2  y 2 . x2  y 2 1 2 2  1 Bước 3: Do đó S ABC   S ABC 

    

x1 y2  x2 y1 x12  y12 . x22  y22

1 1 AB. AC.sin BAC  x1 y2  x2 y1 2 2

1  xB  xA  yC  y A    xC  xA  yB  y A  2

Bài làm trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai từ bước nào ? A. Bài giải đúng.

B. Sai từ bước 1.

C. Sai từ bước 2.

D. Sai từ bước 3.

Lời giải Chọn A Bài giải đúng. Câu 27: Cho tam giác ABC có A  2; 3 , B  4;1 . Đỉnh C luôn có tung độ không đổi bằng 2. Hoành độ thích hợp của đỉnh C để tam giác ABC có diện tích bằng 17 đơn vị diện tích là A. x  5 hoặc x  12.

B. x  5 hoặc x  12.

C. x  3 hoặc x  14.

D. x  3 hoặc x  14. Lời giải

Chọn C Áp dụng công thức S ABC  Ta được: S ABC 

1  xB  xA  yC  y A    xC  xA  yB  y A  2

1  x  2  .4  30  2 x  11 2

Theo đề S ABC  17  2 x  11  17  x  3 hoặc x  14 Câu 28: (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho MA : MB : MC  1: 2 : 3. Khi đó góc AMB bằng bao nhiêu?

A. 1350.

B. 900.

C. 1500.

D. 1200.

Lời giải Chọn A





Giả sử T  f 2 2  2 f 1 ; MB  x  MA  2 x; MC  3 x với 0  x  BC  2 Ta có cos BAM  cos MAC 

1  4 x 2  x 2 3x 2  1  2.1.2 x 4x

1  4 x2  9 x2 1  5x2  . 4x 4x

Trang 63

Có 

14 f  x   e x  2 x. 3

(1) 2

 3x 2  1   1  5 x 2  4 2 2 4      1  9 x  6 x  1  1  10 x  25 x  16.  4x   4x   2 5 2 2 1  l  x  17 5 4 2   34 x  20 x  2  0  .  2 52 2 x  17  AM 2  BM 2  AB 2 4 x 2  x 2  1  cos AMB   2 AM .BM 2.2 x.x



5 x 2  1  25  10 2  20  8 2  2    1 :  . 4x2 17 17 2  

Vậy AMB  1350. BẢNG ĐÁP ÁN 1-D

2-D

3-C

4-B

5-C

6-C

7-D

8-A

9-C

10-A

11-C

12-B

13-A

14-A

15-D

16-C

17-D

18-A

19-C

20-A

21-A

22-D

23-B

24-B

25-A

26-A

27-C

28-A

Câu 1: Tính diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là 5,12,13. A. 60.

B. 30.

C. 34.

D. 7 5.

Lời giải Chọn B Nửa chu vi của tam giác là: p 

5  12  13  15 2

Diện tích của tam giác là: S

p  p  5  p  12  p  13  15 15  5 15  12 15  13  30.

3, 2 và 1.

Câu 2: Tính diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là A.

3 . 2

6 . 2

2 . 2

Lời giải Chọn D Trang 64

3  2 1 2

Nửa chu vi của tam giác là: p  Diện tích tam giác là: S 



p p 3

 p  2   p  1 

2 . 2

Câu 3: Tính diện tích tam giác có ba cạnh là 9,10,11. A. 50 3.

C. 30 2.

B. 44.

D. 42.

Lời giải Chọn C Nửa chu vi của tam giác là: p  Diện tích: S 

9  10  11  15 2

p  p  9  p  10  p  11  30 2.

Câu 4: Tính diện tích tam giác ABC có ba cạnh là 13,14,15. A. 84.

D. 16 24.

C. 168.

6411.

Lời giải Chọn A Nửa chu vi: p 

13  14  15  21. 2

Diện tích: S 

p  p  13 p  14  p  15   84.

Câu 5: Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM có độ dài: A.

b2  c2  a 2 .

1 2b 2  2c 2  a 2 . 2

3a 2  2b 2  2c 2 .

2b 2  2c 2  a 2 .

Lời giải Chọn B Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến AM  2

2  b2  c2   a 2 4

Câu 6: Trong tam giác ABC , câu nào sau đây đúng? A. a 2  b 2  c 2  2bc.cos A.

B. a 2  b 2  c 2  2bc.cos A.

C. a 2  b 2  c 2  bc.cos A.

D. a 2  b 2  c 2  bc.cos A. Lời giải

Chọn B Áp dụng định lí hàm số cos tại đỉnh A ta có: a 2  b 2  c 2  2bc.cos A. BẢNG ĐÁP ÁN 1-B

2-D

3-C

4-A

5-B

6-B Trang 65

Câu 1: Tam giác ABC có AC  3 3, AB  3, BC  6. Tính số đo góc B. A. 600.

B. 450.

C. 300.

D. 1200.

Lời giải Chọn A Ta có: cos B 

AB  BC  AC  2. AB.BC 2

 

32  62  3 3 2.3.6



1  B  600. 2

Câu 2: Tam giác ABC có BC  5 5, AC  5 2, AB  5. Tính A A. 600.

B. 450.

C. 300.

D. 1200.

Lời giải Chọn A







5 2  52  5 5 AB 2  AC 2  BC 2 Ta có: cos A   2. AB. AC 2.5 2.5





2  A  1350. 2

Câu 3: Tam giác ABC có các góc A  750 , B  450. Tính tỉ số A.

6 . 3

AB . AC

6 . 2

D. 1, 2.

Lời giải Chọn C 0 0 0 b c AB c sin C sin 180  75  45  6 Ta có:       . 0 sin B sin C AC b sin B sin 45 2

Câu 4: Tam giác ABC có các góc B  300 , C  450 , AB  3. Tính cạnh AC. A.

3 6 . 2

3 2 . 2

2 6 . 3

Lời giải Chọn B b c c.sin B AB.sin B 3.sin 300 3. 2   AC  b     . Ta có: sin B sin C sin C sin C sin 450 2

Câu 5: Tam giác ABC có các góc B  600 , C  450 , AB  3. Tính cạnh AC. A.

3 6 . 2

3 2 . 2

Lời giải Chọn A

Trang 66

b c c.sin B AB.sin B 3.sin 600 3. 6   AC  b     . sin B sin C sin C sin C sin 450 2

Ta có:

Câu 6: Tam giác ABC có A  1050 , B  450 , AC  10. Tính cạnh AB. A. 10 2.

B. 5 6.

5 6 . 2

D. 5 2.

Lời giải Chọn D b c b.sin C AC.sin C 10.sin 300   AB  c     5 2. sin B sin C sin B sin B sin 450

Ta có:

Câu 7: Tam giác ABC có A  750 , B  450 , AC  2. Tính cạnh AB. 2 . 2

6 . 2

6 . 3

Lời giải Chọn B 0 0 0 b c b.sin C AC.sin C 2.sin 180  75  45  Ta có:   AB  c     6. sin B sin C sin B sin B sin 450

Câu 8: Tam giác ABC có tổng hai góc B và C bằng 1350 và độ dài cạnh BC bằng a. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. A.

a 2 . 2

B. a 2.

a 3 . 2

D. a 3.

Lời giải Chọn A Ta có A  1800  1350  450. BC BC a a 2  2R  R    . 0 sin A 2sin A 2sin 45 2

Câu 9: Tam giác ABC có AB  9, BC  10, CA  11. Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm

AM . Tính độ dài BN . B. 4 2.

A. 6.

C. 5.

34.

Lời giải Chọn D AB 2  AC 2 BC 2 Ta có AM    76. 2 4 2

BN 2 

BA2  BM 2 AM 2   34. 2 4

Trang 67

Câu 10: Tam giác ABC có AB  5, BC  8, CA  6. Gọi G là trọng tâm tam giác. Độ dài đoạn thẳng

CG bằng bao nhiêu? A.

5 7 . 2

5 7 . 3

5 7 . 6

13 . 3

Lời giải Chọn B CB 2  AC 2 AB 2 175 Gọi M là trung điểm AB, ta có CM    . 2 4 4 2

2 2 175 5 7 CG  CM   . 3 3 4 3

Câu 11: Tam giác ABC có AB  5, BC  8, CA  6. Gọi G là trọng tâm tam giác. Độ dài đoạn thẳng

AG bằng bao nhiêu? A.

58 . 3

58 . 2

7 2 . 3

7 2 . 2

Lời giải Chọn A AB 2  AC 2 BC 2 29 Gọi M là trung điểm BC , ta có AM    . 2 4 2 2

AG 

2 2 29 58 AM   . 3 3 2 3

Câu 12: Tam giác ABC có AB  5, BC  8, CA  6. Gọi G là trọng tâm tam giác. Độ dài đoạn thẳng

BG bằng bao nhiêu? A. 4.

B. 6.

142 . 3

142 . 2

Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm AC , ta có BM 2  BG 

AB 2  BC 2 AC 2 71   . 2 4 2

2 2 71 142 BM   . 3 3 2 3

Câu 13: Tam giác ABC có AB  5, AC  9 và đường trung tuyến AM  6. Tính độ dài cạnh BC. A. 2 17.

B. 17.

C. 129.

D. 22.

Lời giải Chọn A Trang 68

Ta có: AM 2 

AC 2  AB 2 BC 2  2 4

 AC 2  AB 2   9 2  52   BC 2  4   AM 2   4   62   68  BC  2 17. 2    2  Câu 14: Tam giác ABC có AB  4, AC  10 và đường trung tuyến AM  6. Tính độ dài cạnh BC. A. 2 6.

B. 5.

22.

D. 2 22.

Lời giải Chọn D

Ta có: AM 2 

AC 2  AB 2 BC 2  2 4

 AC 2  AB 2   102  42   BC 2  4   AM 2   4   62   88  BC  2 22. 2 2     Câu 15: Tam giác ABC có AB  4, AC  6 và đường trung tuyến BM  3. Tính độ dài cạnh BC. A. 17.

B. 2 5.

C. 4.

D. 8.

Lời giải Chọn B

Ta có: BM 2 

AB 2  BC 2 AC 2  2 4

Trang 69

 AC 2  2  BC 2  2  BM 2    AB 4    2 62  2  2  3    4  20  BC  2 5. 4  Câu 16: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 5,12,13. Tính độ dài đường cao ứng với cạnh lớn nhất. A.

60 . 13

120 . 13

30 . 13

D. 12.

Lời giải Chọn A Đặt a  5, b  12, c  13. Ta có: Nửa chu vi của tam giác là: p 

5  12  13  15 2

Diện tích của tam giác là: S

p  p  5  p  12  p  13  15 15  5 15  12 15  13  30.

Đường cao ứng với cạnh lớn nhất là: hc 

2 S 2.30 60   . c 13 13

Câu 17: Tam giác ABC có AB  12, AC  13, A  300. Tính diện tích tam giác ABC. A. 39.

B. 78.

C. 39 3.

D. 78 3.

Lời giải Chọn A 1 1 Diện tích ABC là: S  . AB. AC.sin A  .12.13.sin 300  39. 2 2

Câu 18: Tam giác ABC có AB  1, AC  3, A  600. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC . A.

21 . 3

5 . 2

Lời giải Chọn B Ta có: BC 2  AC 2  AB 2  2. AC. AB.cos A  32  1  2.3.cos 600  7  BC  7 Ta lại có:

BC BC 7 21  2R  R    . 0 sin A 2.sin A 2.sin 60 3

Câu 19: Tam giác ABC có góc B tù, AB  3, AC  4 và có diện tích bằng 3 3. Góc A có số đo bằng bao nhiêu? A. 300.

B. 600.

C. 450.

D. 1200. Trang 70

Lời giải Chọn B 1 2S 2.3 3 3   Ta có: S  . AB. AC.sin A  sin A  2 AB. AC 3.4 2

Vì góc B tù nên A là góc nhọn.

 A  600. Câu 20: Tam giác ABC có AB  10, AC  24, diện tích bằng 120. Tính độ dài đường trung tuyến AM . A. 13.

B. 7 3.

D. 11 2.

C. 26. Lời giải

Chọn A 1 2S 2.120 Ta có: S  . AB. AC.sin A  sin A    1  A  900. 2 AB. AC 10.24

 ABC vuông tại A  AM 

1 1 1 BC  AB 2  AC 2  102  242  13. 2 2 2

Câu 21: Tam giác ABC có góc A nhọn, AB  5, AC  8, diện tích bằng 12. Tính độ dài cạnh BC. A. 2 3.

B. 4.

D. 3 2.

C. 5. Lời giải

Chọn C 1 2S 2.12 3 Ta có: S  . AB. AC.sin A  sin A     A  36052 '12". 2 AB. AC 5.8 5

BC 2  AB 2  AC 2  2. AB. AC.cos A  52  82  2.5.cos 36052 '12"  25  BC  5. Câu 22: Tam giác có ba cạnh lần lượt là A.

6 . 6

3, 2 và 1. Tính độ dài đường cao ứng với cạnh lớn nhất.

6 . 3

3 . 2

Lời giải Chọn B Nửa chu vi của tam giác là: p  Diện tích của tam giác là: S 

3  2 1 . 2



p p 3

 p  2   p  1 

2 . 2

Đặt a  3, b  2, c  1.

2S  Đường cao ứng với cạnh lớn nhất là: ha  a

2 2  6. 3 3 Trang 71

Câu 23: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 1, 2, 5. Tính độ dài đường cao ứng với cạnh lớn nhất. A.

2 5 . 5

2 5 . 3

C. 1, 4.

D. 1,3.

Lời giải Chọn A Nửa chu vi của tam giác là: p 

1 2  5 . 2

Diện tích của tam giác là: S 

p  p  1 p  2  p  5  1.





Đặt a  1, b  2, c  5. Đường cao ứng với cạnh lớn nhất là: hc 

2 S 2.1 2 5   . c 5 5

Câu 24: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 5, 6, 7. Tính độ dài đường cao ứng với cạnh có độ dài bằng 6. A.

B. 2 6.

C. 5.

5 3 . 2

Lời giải Chọn B Nửa chu vi của tam giác là: p 

567  9. 2

Diện tích của tam giác là: S 

p  p  5  p  6  p  7   6 6.

Đặt a  5, b  6, c  7. Độ dài đường cao ứng với cạnh có độ dài bằng 6 là: hb 

2 S 2.6 6   2 6. b 6

Câu 25: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 7,8,9. Tính độ dài đường cao ứng với cạnh có độ dài bằng 8. A. 4 3.

B. 2 2.

3 5 . 2

D. 3 5.

Lời giải Chọn D Nửa chu vi của tam giác là: p 

789  12. 2

Diện tích của tam giác là: S 

p  p  7  p  8  p  9   12 5.

Đặt a  7, b  8, c  9. Độ dài đường cao ứng với cạnh có độ dài bằng 8 là: hb 

2 S 2.12 5   3 5. b 8

Trang 72

Câu 26: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 21, 22, 23. Tính độ dài đường cao ứng với cạnh có độ dài bằng 22. A.

4 11 . 7

B. 27.

C. 3 10.

D. 6 10.

Lời giải Chọn D Nửa chu vi của tam giác là: p 

21  22  23  33. 2

Diện tích của tam giác là: S 

p  p  21 p  22  p  23  66 10.

Đặt a  21, b  22, c  23. Độ dài đường cao ứng với cạnh có độ dài bằng 22 là: hb 

2 S 2.66 10   6 10. b 22

Câu 27: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 9,10,11. Tính đường cao lớn nhất của tam giác. A.

60 2 . 9

B. 3 2.

70.

D. 4 3.

Lời giải Chọn A Nửa chu vi: p 

9  10  11  15. 2

Diện tích: S 

p  p  9  p  10  p  11  30 2.

Đặt a  21, b  22, c  23. Đường cao lớn nhất ứng với cạnh nhỏ nhất. Nên ta có hmax 

2 S 2.30 2 60 2   . a 9 9

Câu 28: Tam giác có ba cạnh 13,14,15. Tính độ dài đường cao ứng với cạnh có độ dài bằng 14. A. 10.

B. 12.

C. 1.

D. 15.

Lời giải Chọn B Diện tích: S 

p  p  13 p  14  p  15   84.

Đường cao cần tìm: h 

2.S  12. 14

Câu 29: Cho tam giác với ba cạnh a  13, b  14, c  15. Tính đường cao hc . 1 A. 10 . 5

1 B. 11 . 5

3 C. 5 . 5

D. 12. Trang 73

Lời giải Chọn B Diện tích: S 

p  p  13 p  14  p  15   84.

Đường cao cần tìm: hc 

2.S 56 1   11 . 15 5 5

Câu 30: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh lần lượt là 5,12,13. B. 5 2.

A. 11.

C. 6.

D. 6,5.

Lời giải Chọn D Nhận xét: Đây là tam giác vuông với cạnh huyền là 13. Nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác R 

13 . 2

Câu 31: Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có ba cạnh lần lượt là A.

1 2  3 . 2

1 2  3 . 2

2 . 1 2  3

3, 2 và 1. D.

1 2  3 . 2

Lời giải Chọn A Ta có: p 

1 2  3 2 S . 2 2

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác r 

S 1 2  3  0.34  . p 2

Câu 32: Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có ba cạnh lần lượt là 5,12,13. A.

B. 2.

C. 2 2.

Lời giải Chọn B Nhận xét: Đây là tam giác vuông với cạnh huyền là 13. 1 Diện tích tam giác: S  .5.12  30. 2

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: r 

S 30   2. p 15

Câu 33: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có ba cạnh lần lượt là 13,14,15. A. 8.

33 . 4

1 C. 8 . 8

D. 6 2.

Lời giải Trang 74

Chọn C Sử dụng công thức Hê-rông tính được diện tích tam giác: S  84. Bán kính: R 

13.14.15 65 1  8 . 4.S 8 8

Câu 34: Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC có ba cạnh lần lượt là 13,14,15. A. 2.

B. 4.

D. 3.

Lời giải Chọn B Diện tích: S  Bán kính: r 

p  p  13 p  14  p  15   84.

S 84   4. p 21

Câu 35: Cho tam giác ABC có diện tích S . Nếu tăng độ dài mỗi cạnh BC và AC lên hai lần đồng thời giữ nguyên độ lớn của góc C thì diện tích của tam giác mới được tạo nên là: A. 2 S .

B. 3S .

C. 4 S .

D. 5S .

Lời giải Chọn C 1 BC. AC.sin C 2

Ta có S 

1 1  Khi BC , AC tăng 2 lần, ta có S1  .2 BC.2 AC.sin C  4  BC. AC.sin C   4 S . 2 2 

Câu 36: Cho tam giác ABC có BC  6, CA  4, AB  5. Mệnh đề nào sau đây sai?   1 A. cos AB, AC  . 8   1 C. cos BA, CA   . 8









  1 B. cos BA, AC   . 8   3 D. cos BA, BC  . 4









Lời giải Chọn C     b2  c2  a 2 1 Ta có cos BA, CA  cos AB, AC  cos A   . 2bc 8









Câu 37: Tam giác ABC có A  1200 thì câu nào sau đây đúng? A. a 2  b 2  c 2  3bc.

B. a 2  b 2  c 2  bc.

C. a 2  b 2  c 2  3bc.

D. a 2  b 2  c 2  bc. Lời giải

Chọn B Áp dụng định lý hàm số cos tại đỉnh A ta có: a 2  b 2  c 2  2bc.cos A. Trang 75

 a 2  b 2  c 2  2bc.cos1200  a 2  b 2  c 2  bc. Câu 38: Trong tam giác ABC , hệ thức nào sau đây sai? A. a 

b.sin A . sin B

B. sin C 

c.sin A . a

C. a  2 R.sin A.

D. b  R.tan B.

Lời giải Chọn D Theo định lý hàm số sin ta có:

a b c    2R sin A sin B sin C

Suy ra: 

a b b.sin A  a . sin A sin B sin B



a c c.sin A   sin C  . sin A sin C a



a  2 R  a  2 R.sin A. sin A



b b b  2 R   R sin B   R tan B. sin B 2 2 cos B

Câu 39: Tam giác ABC có a  8, b  7, c  5. Diện tích của tam giác là: A. 5 3.

B. 8 3.

C. 10 3.

D. 12 3.

Lời giải Chọn C Ta có: p 

a bc 875   10. 2 2

Áp dụng: S 

p  p  a  p  b  p  c   10 3.

Câu 40: Tính diện tích tam giác ABC biết A  600 , b  10, c  20. A. 50 3.

B. 50.

C. 50 2.

D. 50 5.

Lời giải Chọn A 1 1 Áp dụng công thức: S  .bc.sin A  .10.20.sin 600  50 3. 2 2

Câu 41: Cho tam giác ABC , các đường cao ha , hb , hc thỏa mãn hệ thức 3ha  2hb  hc . Tìm hệ thức giữa

a, b, c. A.

3 2 1   . a b c

B. 3a  2b  c.

C. 3a  2b  c.

3 2 1   . a b c

Lời giải Trang 76

Chọn D Kí hiệu S  S ABC . Ta có: 3ha  2hb  hc 

3.2 S 2.2 S 2 S 3 2 1      . a b c a b c

Câu 42: Cho tam giác ABC có a  2, b  6, c  3  1. Góc  là: A. 1150.

B. 750.

C. 600.

D. 53032 '.

Lời giải Chọn C Ta có: cos B 

a 2  c2  b2 1   B  600. 2ac 2

Câu 43: Cho tam giác ABC có a  2, b  6, c  3  1. Tính góc A. A. 300.

B. 450.

C. 680.

D. 750.

Lời giải Chọn B Ta có: cos A 

b2  c2  a 2 2   A  450. 2ac 2

Câu 44: Cho tam giác ABC có a  2, b  6, c  3  1. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp. A.

2 . 2

2 . 3

Lời giải Chọn A b2  c2  a 2 2 a 2   A  450. Do đó: R  Ta có: cos A    2. 2bc 2 2sin A 2.sin 450

Câu 45: Diện tích S của tam giác sẽ thỏa mãn hệ thức nào trong hai hệ thức sau đây? I. S 2  p  p  a  p  b  p  c  . II. 16 S 2   a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c  . A. Chỉ I.

B. Chỉ II.

C. Cả I và II.

D. Không có.

Lời giải Chọn C Ta có: I đúng vì công thức Hê-rông tính diện tích tam giác. Khi đó: S 2 

a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c . . . 2 2 2 2

 16 S 2   a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c  . Do đó II đúng. Trang 77

Câu 46: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB  AC  30cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G . Diện tích tam giác GFC là: A. 50cm 2 .

B. 50 2cm 2 .

C. 75cm 2 .

D. 15 105cm 2 .

Lời giải Chọn C 1 1 1 Nối AG cắt BC tại H ta có: S GFC  .S AGC  S AHC  S ABC 2 3 6 1 1 Mà S ABC  .30.30  450cm 2 nên S GFC  .450  75cm 2 . 2 6

Câu 47: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  5cm, BC  13cm. Gọi góc ABC   và ACB   . Hãy chọn kết luận đúng khi so sánh  và  . A.    .

B.    .

C.    .

D.    .

Lời giải Chọn B Ta có: AC  BC 2  AC 2  12  AB suy ra    . Câu 48: Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Nếu b 2  c 2  a 2  0 thì góc A nhọn.

B. Nếu b 2  c 2  a 2  0 thì góc A tù.

C. Nếu b 2  c 2  a 2  0 thì góc A nhọn.

D. Nếu b 2  c 2  a 2  0 thì góc A vuông. Lời giải

Chọn A Áp dụng định lí cô sin ta có: a 2  b 2  c 2  2bc cos A  2bc cos A  b 2  c 2  a 2 . Suy ra: Nếu b 2  c 2  a 2  0  cos A  0 nên A nhọn. Câu 49: Đường tròn tâm O có bán kính R  15cm. Gọi P là một điểm cách tâm O một khoảng

PO  9cm. Dây cung đi qua P và vuông góc với PO có độ dài là: A. 22cm.

B. 23cm.

C. 24cm.

D. 25cm.

Lời giải Chọn C Gọi độ dài dây cung phải tìm là l. Khi đó: l  2 R 2  PO 2  24. Câu 50: Cho tam giác ABC có AB  8cm, AC  18cm có diện tích bằng 64 cm2. Giá trị sin A là: A.

3 . 2

3 . 8

4 . 5

8 . 9

Lời giải Trang 78

Chọn D Ta có: S 

1 2S 8 AB. AC.sin A  sin A   . 2 AB. AC 9

Câu 51: Cho tam giác ABC có AB  4cm, BC  7cm, CA  9cm. Giá trị cos A là: A.

2 . 3

1 . 3

2 C.  . 3

1 . 2

Lời giải Chọn A Ta có: BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos A  cos A 

AB 2  AC 2  BC 2 2  . 2 AB. AC 3

Câu 52: Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó tỉ số A. 1  2.

2 2 . 2

R bằng: r

2 1 . 2

1 2 . 2

Lời giải Chọn A Giả sử AB  AC  a  BC  a 2  R  Mặt khác S  pr  Suy ra

a 2 . 2

AB. AC 2a  a 2 a2 a  r r 2 2 2 2 2

R  1  2. r

Câu 53: Tam giác ABC có AB  9cm, AC  12cm và BC  15cm. Khi đó đường trung tuyến AM của tam giác có độ dài là: A. 8cm.

B. 10cm.

C. 9cm.

D. 7,5cm.

Lời giải Chọn D Cách 1: Ta có AM 

AB 2  AC 2 BC 2 92  122 152     7,5. 2 4 2 4

Cách 2: Tam giác ABC vuông tại A nên AM 

BC  7,5. 2

Câu 54: Tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c và có diện tích S . Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng: Trang 79

A. 2 S .

B. 3S .

C. 4 S .

D. 6 S .

Lời giải Chọn D Ta có S 

1 BC. AC.sin C. 2

Ta có S 2 

1 2 BC.3 AC.sin C  6 S . 2

Câu 55: Cho tam giác DEF có DE  DF  10cm và EF  12cm. Gọi I là trung điểm của cạnh EF . Đoạn thẳng DI có độ dài là: B. 7cm.

A. 6,5cm.

C. 8cm.

D. 4cm.

Lời giải Chọn C Cách 1: Ta có DI 

DE 2  DF 2 EF 2 102  102 122     8. 2 4 2 4

Cách 2: Tam giác DIE vuông tại I nên Di  DE 2  EI 2  102  62  8. Câu 16: Cho tam giác ABC có AB  5, AC  8, A  600. Kết quả nào trong các kết quả sau là độ dài cạnh

BC ? B. 7.

A. 129.

C. 49.

69.

Lời giải Chọn C Ta có: BC  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos A  52  82  2.5.8.

1  49  7. 2

Câu 17: Tam giác ABC có a  14, b  18, c  20. Kết quả nào sau đây là gần đúng nhất? A. B  42050 '.

B. B  60056 '.

C. B  1190 04 '.

D. B  900.

Lời giải Chọn B Ta có: cos B 

a 2  c 2  b 2 142  202  182 17   . 2ac 2.14.20 35

Suy ra: B  60056 '. Câu 18: Nếu tam giác MNP có MP  5, PN  8 và MPN  1200 thì độ dài cạnh MN (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) là: A. 11, 4.

B. 12, 4.

C. 7, 0.

D. 12, 0.

Lời giải Chọn A Trang 80

Áp dụng định lí Cô – sin cho tam giác MNP ta có:

MN 2  MP 2  NP 2  2.MP.NP.cos MPN  52  82  2.5.8.cos1200  129. Suy ra: MN  11, 4. Câu 20: Tam giác ABC có BC  10, A  300. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu? A. 5.

B. 10.

10 . 3

D. 10 3.

Lời giải Chọn B Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , ta có: BC BC 10  2R  R    10. sin A 2.sin A 2.sin 300

Câu 21: Tam giác với ba cạnh là 5,12 và 13 có diện tích bằng bao nhiêu? B. 20 2.

A. 30.

C. 10 3.

D. 20.

Lời giải Chọn A Nửa chu vi của tam giác trên là: p 

5  12  13  15. 2

Vậy diện tích của tam giác là: S 

p  p  5  p  12  p  13  30 (đvdt).

Câu 22: Tam giác có ba cạnh là 6,10,8. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu? A.

B. 4.

C. 2.

D. 1.

Lời giải Chọn C Gọi p, r lần lượt là nữa chi vi và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đã cho, ta có: p

6  8  10  12. 2

Diện tích tam giác là: S  Suy ra r 

p  p  6  p  8  p  10   24 (đvdt).

S 24   2. p 12

Câu 23: Tam giác ABC có B  600 , C  450 , AB  5. Hỏi cạnh AC bằng bao nhiêu? A. 5 3.

B. 5 2.

5 6 . 2

D. 10.

Lời giải Trang 81

Chọn C Áp dụng định lí Sin cho tam giác ABC ta có: AB AC AB.sin B 5 6   AC   . sin C sin B sin C 2

Câu 24: Tam giác ABC có AB  2cm, AC  1cm, A  600. Khi đó độ dài cạnh BC là: A. 1 cm.

B. 2 cm.

3 cm.

5 cm.

Lời giải Chọn C Áp dụng định lí Cô – sin cho tam giác ABC ta có:

BC 2  AB 2  AC 2  2. AB. AC.cos A  12  22  2.1.2.cos 600  3. Suy ra: BC  3  cm  . Câu 25: Tam giác ABC có a  5cm, b  3cm, c  5cm. Khi đó số đo của góc BAC là: A. A  450.

B. A  300.

C. A  600.

D. A  900.

Lời giải Chọn C Ta có cos BAC 

b 2  c 2  a 2 32  52  52 3   . 2bc 2.3.5 10

Suy ra: BAC  72032 '  A  600. Câu 26: Tam giác ABC có AB  8cm, BC  10cm, CA  6cm. Đường trung tuyến AM của tam giác đó có độ dài bằng: A. 4 cm.

B. 5 cm.

C. 6 cm.

D. 7 cm.

Lời giải Chọn B Ta có: AM  2

2  AB 2  AC 2   BC 2 4



2  62  82   102 4

 25

Vậy AM  5  cm  . Câu 27: Tam giác ABC vuông tại A có AB  6cm, BC  10cm . Đường tròn nội tiếp tam giác đó có bán kính r bằng: A. 1 cm.

2 cm.

C. 2 cm.

D. 3 cm.

Lời giải Chọn C Ta có AC  BC 2  AB 2  8  cm  . Trang 82

Diện tích tam giác ABC là: S  Nửa chu vi p  Suy ra r 

1 AB. AC  24  cm 2  2

6  8  10  12 2

S 24   2  cm  . p 12

Câu 28: Tam giác ABC có a  3 cm, b  2 cm, c  1 cm. Đường trung tuyến ma có độ dài là: A. 1 cm.

B. 1,5 cm.

3 cm. 2

D. 2,5 cm.

Lời giải Chọn C 2 b  c   a 2

Ta có: ma2  Vậy ma 







 12 

 3



3 4

3  cm  . 2

Câu 29: Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R  4cm có diện tích là: A. 13 cm 2 .

B. 13 2 cm 2 .

C. 12 3 cm 2 .

D. 15 cm 2 .

Lời giải Chọn C Gọi a là độ dài cạnh và S là diện tích của tam giác, ta có: a 2 3 a.a.a S  aR 34 3 4 4R

4 3 . Vậy diện tích tam giác đã cho là: S  2

 12 3  cm 2  .

Câu 30: Tam giác ABC vuông cân tại A có AB  a. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính r bằng: A.

a . 2

a . 2 2

a . 3

Lời giải Chọn C Ta có: BC  AC 2  AB 2  a 2; p 

aaa 2 2 2  a. 2 2

1 a2 Diện tích tam giác ABC là S  AB. AC  2 2

Trang 83

Suy ra r 

S a  . p 2 2

Câu 32: Hình bình hành ABCD có AB  a, BC  a 2 và BAD  450. Khi đó hình bình hành có diện tích bằng B. a 2 2.

A. 2a 2 .

C. a 2 .

D. a 2 3.

Lời giải Chọn C

Gọi BH là đường cao của hình bình hành ABCD. Tam giác BHA vuông tại H , góc BAH  BAC  450 , BH  AB.sin 450  Diện tích hình bình hành ABCD là: S  BH . AD 

a 2 . 2

a 2 .a 2  a 2 . 2

Câu 33: Tam giác ABC vuông cân tại A có AB  AC  a. Đường trung tuyến BM có độ dài là: B. a 2.

A. 1,5a.

C. a 3.

a 5 . 2

Lời giải Chọn D

Ta có: BC  AC 2  AB 2  a 2

BM 2 

2  AB 2  BC 2   AC 2 4



2  a 2  2a 2   a 2 4



5a 2 4

Trang 84

 BM 

a 5 . 2

Câu 34: Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Khi đó bán kính R bằng: A.

a 3 . 2

a 2 . 3

a 3 . 3

a 3 . 4

Lời giải Chọn C Gọi S là diện tích của tam giác đều cạnh a thì ta có: a 2 3 a.a.a a 3 S  R . 4 4R 3

Câu 35: Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a bằng: A.

a 3 . 4

a 2 . 5

a 3 . 6

a 5 . 7

Lời giải Chọn C Ta có: p 

a  a  a 3a  2 2

Gọi S , r lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đều cạnh a thì ta có: S  p.r 

a2 3 a 2 3 3a a 3 r :  . 4 4 2 6

BẢNG ĐÁP ÁN 1-A

2-A

3-C

4-B

5-A

6-D

7-B

8-A

9-D

10-B

11-A

12-C

13-A

14-D

15-B

16-A

17-A

18-B

19-B

20-A

21-C

22-B

23-A

24-B

25-D

26-D

27-A

28-B

29-B

30-D

31-A

32-B

33-C

34-B

35-C

36-C

37-B

38-D

39-C

40-A

41-D

42-C

43-B

44-A

45-C

46-C

47-B

48-A

49-C

50-D

51-A

52-A

53-D

54-D

55-C

16-C

17-B

18-A

20-B

21-A

22-C

23-C

24-C

25-C

26-B

27-C

28-C

29-C

30-C

32-C

33-D

34-C

35-C

Câu 1: Nếu tam giác ABC có a 2  b 2  c 2 thì: A. A là góc nhọn.

B. A là góc tù.

C. A là góc vuông.

D. A là góc nhỏ nhất. Trang 85

Lời giải Chọn B Ta có: cos A 

b2  c2  a 2 . Vì a 2  b 2  c 2  cos A  0. Do đó A nhọn. 2bc

Câu 2: Tính góc C của tam giác ABC biết a  b và a  a 2  c 2   b  b 2  c 2  . A. C  1500.

B. C  1200.

C. C  600.

D. C  300.

Lời giải Chọn C Ta có: a  a 2  c 2   b  b 2  c 2   a 3  b3  c 2  a  b   0   a  b   a 2  ab  b 2   c 2  a  b   0  a 2  ab  b 2  c 2  0  cos C 

a 2  b2  c2 1   . Do đó: C  1200. 2ab 2

Câu 3: Cho tam giác ABC , xét các bất đẳng thức sau: I. a  b  c. II. a  b  c. III. ma  mb  mc  a  b  c. Hỏi khẳng định nào sau đây đúng? A. Chỉ I, II.

B. Chỉ II, I.

C. Chỉ I, III.

D. Cả I, II, III.

Lời giải Chọn D Ta có I. và II. Đúng vì đây là bất đẳng thức tam giác 2 b2  c2 a 2  b  c    b  c   a Ta có: ma    . 2 4 4 2

2 a

b  c  

Vì b  c  a   b  c   a  m 2

Tương tự ta có: mb 

 ma 

bc . 2

ac ac ; mc  . 2 2

Do đó: ma  mb  mc  a  b  c. Vậy III. đúng. Câu 4: Mệnh đề nào sau đây sai? A. Nếu a 2  b 2  c 2 thì A là góc tù. B. Nếu tam giác ABC có một góc tù thì a 2  b 2  c 2 . C. Nếu a 2  b 2  c 2 thì A là góc nhọn. Trang 86

D. Nếu a 2  b 2  c 2 thì A là góc vuông. Lời giải Chọn B Ta có: cos A 

b2  c2  a 2 . 2bc

Do đó:

* a 2  b 2  c 2 thì cos A  0 do đó A là góc tù nên A. đúng. * a 2  b 2  c 2 thì cos A  0 do đó A là góc nhọn nên C. đúng. * a 2  b 2  c 2 thì cos A  0 do đó A là góc vuông nên D. đúng. * Nếu tam giác ABC có góc B tù thì b 2  a 2  c 2 ; nếu góc C tù thì c 2  a 2  b 2 do đó B.sai. Câu 5: Trong tam giác ABC , câu nào sau đây đúng? A. ma 

bc . 2

B. ma 

bc . 2

C. ma 

bc . 2

D. ma  b  c.

Lời giải Chọn C 2 b2  c2 a 2  b  c    b  c   a Ta có: m    2 4 4 2

2 a

b  c  

2 a

Vì b  c  a   b  c   a  m 2

 ma 

bc . 2

Câu 6: Trong tam giác ABC , nếu có 2ha  hb  hc thì: A.

2 1 1   . sin A sin B sin C

C. sin A  2sin B  2sin C.

B. 2sin A  sin B  sin C. D.

2 1 1   . sin A sin B sin C

Lời giải Chọn A Ta có: 2ha  hb  hc  2. 

2S 2S 2S 2 1 1 2 1 1         a b c a b c 2 R.sin A 2 R.sin B 2 R.sin C

2 1 1   . sin A sin B sin C

Câu 7: Trong tam giác ABC , nếu có a 2  b.c thì: A.

1 1 1   . 2 ha hb hc

B. ha2  hb .hc .

1 1 1   . 2 ha hb hc

1 2 2   . 2 ha hb hc

Lời giải Trang 87

Chọn B 2

 2S   2S   2S  1 1 1 2 Ta có: a  b.c      .   2  .  ha  hb .hc . h h h h h h a b c  a   b  c  2

Câu 8: Trong tam giác ABC , điều kiện để hai trung tuyến vẽ từ A và B vuông góc với nhau là: A. 2a 2  2b 2  5c 2 .

B. 3a 2  3b 2  5c 2 .

C. 2a 2  2b 2  3c 2 .

D. a 2  b 2  5c 2 .

Lời giải Chọn D Vì hai trung tuyến vẽ từ A và B vuông góc với nhau nên ABG vuông tại G với G là trọng tâm tam giác ABC.

4  b2  c2 a 2 a 2  c2 b2  Khi đó: c  GA  GB  c       9 2 4 2 4 2

4 a 2 b2   c 2   c 2     5c 2  a 2  b 2 . 9 4 4 Câu 9: Cho góc xOy  300. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB  1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng: A. 1,5.

C. 2 2.

D. 2.

Lời giải Chọn D Xét tam giác OAB có

AB  2  2 R  R  1. Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB . sin O

Vậy OB lớn nhất khi OB là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Khi đó OB  2. Câu 19: Cho tam giác MPQ vuông tại P. Trên cạnh MQ lấy hai điểm E , F sao cho các góc

MPE , EPF , FPQ bằng nhau. Đặt MP  q, PQ  m, PE  y. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng? A. ME  EF  FQ.

B. ME 2  q 2  x 2  xq.

C. MF 2  q 2  y 2  yq.

D. MQ 2  q 2  m 2  2qm.

Lời giải Chọn C

Trang 88

Từ giả thiết, suy ra MPE  EPF  FPQ 

MPQ  300. 3

Tam giác MPF có MPE  EPF  600 ; 1 MF 2  MP 2  PF 2  2.MP.PF .cos MPF  q 2  y 2  2. y.q.  q 2  y 2  y.q. 2

Câu 31: Tam giác ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện:  a  b  c  a  b  c   3ab. Khi đó số đo của góc C là: A. 1200.

B. 300.

C. 450.

D. 600.

Lời giải Chọn D Trong tam giác ABC ta luôn có: c 2  a 2  b 2  2ab.cos C. Hệ thức  a  b  c  a  b  c   3ab   a  b   c 2  3ab  c 2  a 2  b 2  ab 2

Suy ra: 2.cos C  1  cos C 

1  C  600. 2

Câu 36: Cho tam giác ABC có cạnh BC  a, cạnh CA  b. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc

C bằng: A. 600.

B. 900.

C. 1500.

D. 1200.

Lời giải Chọn B Diện tích của tam giác ABC là: S 

1 a.b.sin C 2

S lớn nhất khi sin C lớn nhất, hay sin C  1  C  900. Câu 10: Tam giác ABC có AB  3, AC  4 và tan A  2 2. Tính cạnh BC. A.

33.

C. 3 2.

B. 17.

D. 4 2.

Lời giải Chọn B Từ giả thiết tan A  2 2  0, ta suy ra A là góc nhọn

tan A  2 2  cos 2 A 

1 1  2 1  tan A 1  2 2







1 1  cos A  9 3

1 BC  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos A  32  42  2.3.4.  17. 3

Câu 11: Tam giác ABC có AB  3, AC  4 và tan A  2 2. Tính cạnh BC. A. 3 2.

B. 4 3.

D. 7. Trang 89

Lời giải Chọn C Từ giả thiết tan A  2 2  0 ta suy ra A là góc tù

tan A  2 2  cos 2 A 

1 1  2 1  tan A 1  2 2







1 1  cos A   9 3

 1 BC  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos A  32  42  2.3.4.     33.  3 Câu 12: Tam giác ABC có BC  5, AC  3 và cot C  2. Tính cạnh AB. A.

26.

21.

9 . 5

D. 2 10.

Lời giải Chọn B Từ giả thiết cot C  2, ta suy ra C là góc tù

1 1 cot C  2  tan C    cos 2 C   2 1  tan 2 C

1  1 1     2



4 2  cos C   5 5

2  2  AB  AC 2  BC 2  2 AC.BC.cos C  32  5  2.3. 5.     21. 5 

Câu 13: Tam giác ABC có BC  5, AC  3 và cot C  2. Tính cạnh AB. A. 6.

9 . 5

D. 2 10.

Lời giải Chọn B Từ giả thiết cot C  2, ta suy ra C là góc nhọn

cot C  2  tan C 

1 1  cos 2 C   2 1  tan 2 C

1  1 1     2



4 2  cos C  5 5

2  2  AB  AC 2  BC 2  2 AC.BC.cos C  32  5  2.3. 5.    2.  5

1 Câu 14: Tam giác ABC có AB  7, AC  5 và cos  B  C    . Tính BC. 5

A. 2 15.

B. 4 22.

C. 4 15.

D. 2 22.

Lời giải Chọn A Trang 90

1 1 Vì trong tam giác ABC ta có B  C bù với góc A nên cos  B  C     cos A  . 5 5

1 BC  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos A  7 2  52  2.7.5.  2 15. 5 1 Câu 15: Tam giác ABC có cos  A  B    , AC  4, BC  5. Tính cạnh AB. 8

C. 5 2.

B. 11.

46.

D. 6.

Lời giải Chọn D 1 1 Vì trong tam giác ABC ta có A  B bù với góc C nên cos  A  B     cos C  . 8 8

1 AB  AC 2  BC 2  2 AB.BC.cos C  42  52  2.4.5.  6. 8

Câu 16: Tam giác ABC vuông tại A có AB  AC  a. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM 

BC . Độ dài AM bằng bao nhiêu? 3

a 17 . 3

a 5 . 3

2a 2 . 3

2a . 3

Lời giải Chọn B

BC  AB 2  AC 2  a 2  a 2  a 2 BC  AB 2  a 2  BM 

a 2 3 2

a 2 a 2 2 a 5 AM  AB  BM  2 AB.BM .cos 45  a   .  .   2a. 3 2 3  3  2

Câu 17: Tam giác ABC có BC  12, CA  9, AB  6. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM  4. Tính độ dài đoạn thẳng AM . Trang 91

B. 3 2.

A. 2 5.

20.

D. 19.

Lời giải Chọn D AB 2  BC 2  AC 2 62  122  92 11 cos B    2 AB.BC 2.6.12 16

AM  AB 2  BM 2  2 AB.BM .cos B  62  42  2.6.4.

11  19. 6

Câu 18: Hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh BC , F là trung điểm cạnh AE. Tìm độ dài đoạn thẳng DF . A.

a 13 . 4

a 5 . 4

a 3 . 2

3a . 4

Lời giải Chọn A

a 5 a Ta có: AE  DE  a     2 2 2

Dùng công thức độ dài trung tuyến: 2

DF 2 

DA  DE AE   2 4 2

5a 2 2 4  5a  13a  DF  a 13 . 2 16 16 4

a2 

Câu 19: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 3,8,9. Góc lớn nhất của tam giác có cosin bằng bao nhiêu? A.

1 . 6

1 B.  . 6

17 . 4

D. 

4 . 25

Lời giải Chọn B Góc lớn nhất tương ứng với cạnh lớn nhất: cos  

32  82  92 1  . 2.3.8 6

Trang 92

Câu 20: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 2,3, 4. Góc bé nhất của tam giác có sin bằng bao nhiêu? A.

15 . 8

7 . 8

1 . 2

14 . 8

Lời giải Chọn A Góc bé nhất ứng với cạnh có số đo bé nhất: b2  c2  a 2 7 Giả sử a  2, b  3, c  4. Ta có cos A   . 2.b.c 8 2

15 7 Do đó sin A  1     . 8 8 Câu 21: Tam giác ABC có AB  4, AC  5, BC  6. Tính cos  B  C  . A.

1 . 8

1 B.  . 4

C. 0,125.

D. 0, 75.

Lời giải Chọn C Ta có c  AB  4, b  AC  5, c  BC  6. Tính cos A 

b2  c2  a 2 1  . 2.b.c 8

1 Để ý cos  B  C    cos A    0,125. 8

Câu 22: Tam giác ABC có các góc A  1050 , B  450. Tính tỷ số A.

2 . 2

AB . AC

2 . 2

6 . 3

Lời giải Chọn A Ta có:

0 0 0 b c AB c sin C sin 180  105  45  2       . 0 sin B sin C AC b sin B sin 45 2

1 Câu 23: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB  c và cos  A  B   . 3

c 2 . 2

3c 2 . 8

9c 2 . 8

3c . 2

Lời giải Chọn B

Trang 93

1 Ta có cosC   cos  A  B    . 3 2

2 2  1 Do đó sin C  1      . 3  3 AB AB 3 2c  2R  R   . sin C 2sin C 8

Câu 24: Tìm chu vi tam giác ABC , biết rằng AB  6 và 2sin A  3sin B  4sin C. A. 26.

B. 13.

C. 5 26.

D. 10 6.

Lời giải Chọn A Vì 2sin A  3sin B  4sin C nên ta có: 2a  3b  4c  24 (do c  AB  6 ). Do đó: a  12, b  8, c  6. Chu vi tam giác ABC bằng 26. Câu 25: Tam giác ABC có BC  10 và A. 12.

sin A sin B sin C   . Tìm chu vi của tam giác đó. 5 4 3

B. 36.

C. 24.

D. 22.

Lời giải Chọn C Vì

sin A sin B sin C a b c   , nên    b  8, c  6 (do a  BC  10 ). 5 4 3 5 4 3

Chu vi tam giác ABC bằng 24. Câu 26: Hình bình hành có hai cạnh là 5 và 9, một đường chéo bằng 11. Tìm độ dài đường chéo còn lại. A. 9,5.

B. 4 6.

91.

D. 3 10.

Lời giải Chọn C

Gọi hình bình hành là ABCD, AD  5, AB  9. Gọi  là góc đối diện với đường chéo có độ dài 11. Ta có: cos  

52  92  112 1  2.5.9 6

Trang 94

  là góc tù    BAD  BD  11  AC 2  AD 2  DC 2  2. AD.DC.cos ADC  AD 2  DC 2  2. AD.DC.cos BAD (vì BAD và ADC bù nhau  cos ADC   cos BAD )  1  AC 2  52  92  2.5.9.     91  AC  91.  6

Câu 27: Hình bình hành có hai cạnh là 3 và 5, một đường chéo bằng 5. Tìm độ dài đường chéo còn lại. A.

C. 8.

B. 2 13.

D. 8 3.

Lời giải Chọn A

Gọi hình bình hành là ABCD, AD  3, AB  5. Gọi  là góc đối diện với đường chéo có độ dài 5. Ta có: cos  

32  52  52 3  2.3.5 10

  là góc nhọn    ADC  AC  5  BD 2  AD 2  AB 2  2. AD. AB.cos BAD  AD 2  AB 2  2. AD. AB.cos ADC (vì BAD và ADC bù nhau  cos BAD   cos ADC )  BD 2  32  52  2.3.5.

3  43  AC  43. 10

Câu 28: Hình bình hành có một cạnh là 5 hai đường chéo là 6 và 8. Tính độ dài cạnh kề với cạnh có độ dài bằng 5. A. 3.

B. 1.

C. 5 6.

D. 5.

Lời giải Chọn D

Trang 95

Gọi hình bình hành là ABCD. Ta có: 32  42  25  52

 AC  BD  ABCD là hình thoi  AB  AD  5. Câu 29: Hình bình hành có một cạnh là 4 hai đường chéo là 6 và 8. Tính độ dài cạnh kề với cạnh có độ dài bằng 4. A.

B. 6.

34.

42.

D. 5.

Lời giải Chọn A

Gọi hình bình hành là ABCD. Gọi E là giao điểm hai đường chéo. Giả sử AD  4. Xét ADE. Ta có: cos ADE 

AD 2  DE 2  AE 2 42  42  32 23   2. AD.DE 2.4.4 32

Xét ABD. Ta có: AB 2  AD 2  BD 2  2. AD.BD.cos ADB  42  82  2.4.8.

23  34  AB  34. 32

Câu 30: Cho tam giác vuông, trong đó có một góc bằng trung bình cộng của hai góc còn lại. Cạnh lớn nhất của tam giác đó bằng a. Tính diện tích tam giác. A.

a2 2 . 4

a2 3 . 8

a2 3 . 4

a2 6 . 10

Lời giải Chọn B Trang 96

Gọi tam giác thỏa đề là ABC (với A  B  C ). Đề cho tam giác vuông nên ta suy ra A  900. Ta có: A  B  C  1800 , mà theo đề: A  C  2 B, suy ra B  600. a Ta tính: AB  BC.cos 600  . 2

Diện tích tam giác: S 

1 a2 3 AB.BC.sin B  . 2 8

Câu 31: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R, AB  R, AC  R 3. Tính góc A nếu biết B là góc tù. A. 300.

B. 450.

C. 600.

D. 900.

Lời giải Chọn A Góc B là góc tù nên A, C là góc nhọn. Ta có:

AB R 1  2R   2 R  sin C   C  300. (vì C nhọn) sin C sin C 2

Tương tự:

AC R 3 3  2R   2 R  sin B   B  1200. (do B tù). sin B sin B 2

Suy ra: A  1800   300  1200   300. Câu 32: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R, AB  R, AC  R 2. Tính góc A biết A là góc tù. A. 1350.

B. 1050.

C. 1200.

D. 1500.

Lời giải Chọn A Góc A tù, suy ra B, C đều là góc nhọn. Ta có:

AB R 1  2R   2 R  sin C   C  300. (vì C nhọn) sin C sin C 2

Tương tự:

AC R 2 2  2R   2 R  sin B   B  450. (do B nhọn). sin B sin B 2

Suy ra: A  1800   300  450   1050. Câu 33: (Toán học Tuổi Trẻ - Tháng 12 – 2017) Cho tam giác ABC vuông cân tại A và điểm M trong tam giác sao cho MA  1, MB  2, MC  2. Tính góc AMC. A. 1350.

B. 1200.

C. 1600.

D. 1500.

Lời giải Trang 97

Chọn A

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có:

 AB 2  5  4.cos AMB  AB 2  AM 2  BM 2  2 AM .BM .cos AMB   2 2 2 2  BC  BM  CM  2 BM .CM .cos BMC   2 AB  6  4 2.cos BMC  2  2 2 2  AC  CM  AM  2CM . AM .cos CMA  AB  3  2 2.cos CMA  AB 2  5  4.cos AMB  1  2.cos AMB  2.cos CMA  0   2 AB 2  6  4 2.cos BMC    cos CMA  cos BMC  2  AB  3  2 2.cos CMA Chú ý AMB  BMC  CMA  3600 và thử từng đáp án ta thấy AMC  1350 thỏa mãn đề bài. BẢNG ĐÁP ÁN 1-A

2-B

3-D

4-B

5-C

6-A

7-B

8-D

9-D

19-C

31-D

36-B

10-B

11-C

12-B

13-B

14-A

15-D

16-B

17-D

18-A

19-B

20-A

21-C

22-A

23-B

24-A

25-C

26-C

27-A

28-D

29-A

30-B

31-A

32-B

33-A

Câu 1: Cho tam giác cân ABC có A  1200 và AB  AC  a. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho BM 

2 BC . Tính độ dài AM . 5

a 3 . 3

11a . 5

a 7 . 5

a 6 . 4

Lời giải Trang 98

Chọn C

 1 BC  AB 2  AC 2  2 ABAC cos1200  a 2  a 2  2a.a.     a 3  2  BM 

2a 3 5 2

 2a 3  2a 3 3 a 7 AM  AB  BM  2 AB.BM cos 30  a   .  .   2a. 5 5 2 5   2

1 3 Câu 2: Tam giác ABC có AB  4, AC  6, cos B  , cos C  . Tính cạnh BC. 8 4

A. 7.

B. 5.

C. 3 3.

D. 2.

Lời giải Chọn B sin B  1  cos 2 B 

63 7 ,sin C  1  cos 2 C  . 8 4

cos A   cos  B  C   sin B.sin C  cos B.cos C 

9 . 16

Do đó BC  AB 2  AC 2  2. AB. AC.cos A  5. Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC  b, AB  c. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho góc

BAM  300. Tính tỉ số A.

b 3 . 3c

MB . MC

3c . 3b

3c . b

bc . bc

Lời giải Chọn B

Trang 99

Ta có

MB AM AM .sin 300 AM   MB   . 0 sin 30 sin B sin B 2.sin B

MC AM AM .sin 600 AM 3   MC   . sin 600 sin C sin C 2.sin C

Do đó

MB sin C c 3c    . MC 3 sin B 3b 3b

1 Câu 4: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB  10 và tan  A  B   . 3

5 10 . 9

10 . 3

10 . 5

D. 5 10.

Lời giải Chọn D Ta có: tan  A  B  

1 1 nên tan C   . 3 3

Do đó 3sin C   cos C , mà sin 2 C  cos 2 C  1  sin C 

1 10  . 10 10

AB AB  2R  R   5 10. sin C 2sin C 1 Câu 5: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB  12 và cot  A  B   . 3

A. 2 10.

9 10 . 5

C. 5 10.

D. 3 2.

Lời giải Chọn A Ta có: cot  A  B  

1 1 nên cot C   , suy ra 3cos C   sin C. 3 3

Mà sin 2 C  cos 2 C  1  sin C 

3 3 10  . 10 10 Trang 100

AB AB  2R  R   2 10. sin C 2sin C

Câu 6: Cho góc xOy  300. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB  2. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng: A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Lời giải Chọn C Đặt OA  x, OB  y  x, y  0  Áp dụng công thức định lý hàm số cosin cho tam giác OAB ta có:

x 2  y 2  2 xy cos 300  22  x 2  y 2  3 xy  4  0 * Tìm điều kiện để tồn tại x, ta coi phương trình trên là phương trình ẩn x, tham số y. Khi đó, phương trình (*) có nghiệm

0





3 y  4  y 2  4   0  4  y  4. 2

Do đó max y  4. BẢNG ĐÁP ÁN 1-C

2-B

3-B

4-D

5-A

6-C

Trang 101