BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN, SỰ TIẾP XÚC (HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM) ĐẶNG VIỆT ĐÔNG TRƯỜNG THPT NHO QUAN A by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN, SỰ TIẾP XÚC (HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM) ĐẶNG VIỆT ĐÔNG TRƯỜNG THPT NHO QUAN A WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN, SỰ TIẾP XÚC DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN (KHÔNG THAM SỐ) Câu 1:

2x −1 có đồ thị là (C). Gọi M ( x0 ; y0 ) (với x0 > 1 ) là điểm thuộc (C), biết tiếp 2x − 2 tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho S∆OIB = 8S∆OIA (trong đó O là gốc tọa độ, I là giao điểm hai tiệm cận). Tính S = x0 − 4 y0 . 7 13 A. S = −2. B. S = . C. S = . D. S = 2. 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A

Cho hàm số y =

= OIB ) (Vì OIA 1 = 8 1 OI .IA.sin OIA ⇔ IB = 8 IA ⇔ IA = 1 . OI .IB.sin OIB 2 2 IB 8 5  x =3⇒ y =  1 −2 1 4 . =− ⇔ Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = ⇒ y′ = 2 8 8 ( 2x − 2)  x = −1 ⇒ y = 3  4 5 Với x = 3, y = ⇒ S = x − 4 y = 3 − 5 = −2 . 4 Cho hàm số y = x 3 − 2018 x có đồ thị là (C ) . M1 ( x1; y1 ) ∈ (C ) có hoành độ bằng 1 . Tiếp tuyến

Ta có S ∆OIB = 8S ∆OIA ⇔

Câu 2:

của (C ) tại M1 ( x1; y1 ) cắt (C ) tại M 2 ( x2 ; y2 ) khác M 1 . Tiếp tuyến của (C ) tại M 2 ( x2 ; y2 ) cắt

(C ) tại M 3 ( x3; y3 ) khác M 2 …Tiếp tuyến của (C ) tại M n−1 cắt (C ) tại M n ( xn ; yn ) khác M n−1 . Tính

y2018 ? x2018

A. 22017 − 2018 .

B. 42017 − 2018 .

2017

C. (−2)

− 2018 .

2017

D. (−4)

− 2018

. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: y′ = 3x 2 − 2018 . Phương trình tiếp tuyến ∆ k với ( C ) tại M k ( xk ; yk ) : y = ( 3 xk2 − 2018 ) ( x − xk ) + xk3 − 2018 xk .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương

trình

hoành

giao

độ

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm của

điểm

(C )

và

∆k

là:

 x = xk 2 . x 3 − 2018 x = ( 3xk2 − 2018 ) ( x − xk ) + xk3 − 2018 xk ⇔ ( x − xk ) ( x + 2 xk ) = 0 ⇔   x = −2 xk Khi đó, ta có: ( xn ) là cấp số nhân với công bội q = −2 , x1 = 1 ⇒ x2018 = ( −2 )

Suy ra

2017

3 y2018 x2018 − 2018 x2018 2 = x2018 − 2018 = 42017 − 2018 . = x2018 x2018

Nhận xét: Xét hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( C ) . Tiếp

tuyến

vớ i

∆ 3 1

(C )

tại

điểm

M 1 ( x1 ; y1 )

có

phương

trình

và

(C ) :

2 1

y = y′ ( x1 )( x − x1 ) + ax + bx + cx1 + d Phương

trình

hoành

giao

độ

điểm

của

∆

ax 3 + bx 2 + cx + d = y′ ( x1 )( x − x1 ) + ax13 + bx12 + cx1 + d ⇔ a ( x − x1 ) ( x − x2 ) = 0 (1) . Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x1 + x2 = −

b b ⇒ x2 = − − 2 x1 . a a

b − 2 x1 . a Cho hàm số y = − x3 + 3x 2 − 2 . Tìm trên đường thẳng ( d ) : y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị. 5  m < −1 ∨ m > A. M ( m; 2 ) ∈ d với  B. M ( m; 2 ) ∈ d với m < −7 . 3. m ≠ 2 Vậy tiếp tuyến ∆ với ( C ) tại điểm M 1 ( x1 ; y1 ) cắt ( C ) tại điểm M 2 ( x2 ; y2 ) thì x2 = −

Câu 3:

4   m < −3 ∨ m > C. M ( m; 2 ) ∈ d với  3. m ≠ 2

1  m < −2 ∨ m > D. M ( m; 2 ) ∈ d với  3. m ≠ 2 Hướng dẫn giải

Chọn A Gọi M ( m; 2) ∈ ( d ) . Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M có dạng: y = k ( x − m ) + 2 . ∆ là tiếp tuyến của ( C ) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm x : 3 2 −  x + 3 x − 2 = k ( x − m) + 2 (1) (*) .  2 (2) −3 x + 6 x = k Thay (2) và (1) ta được: 2 x3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx − 4 = 0

⇔ ( x − 2)  2 x 2 − (3m − 1) x + 2  = 0 ⇔ x = 2 hoặc f ( x) = 2 x 2 − (3m − 1) x + 2 = 0 ( 3) . Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) ⇔ hệ (*) có nghiệm x phân biệt đồng thời ( 2 ) có

3 giá trị k khác nhau ⇔ ( 3) có hai nghiệm phân biệt khác 2 và có giá trị x thỏa phương trình 5  ∆ > 0  m < −1 ∨ m > ⇔ ( 2) có 3 giá trị k khác nhau ⇔  3.  f (2) ≠ 0 m ≠ 2 5  m < −1 ∨ m > Vậy M ( m; 2 ) ∈ d với  3 có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với ( C ) . m ≠ 2

Trang 2

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

2x − 1 có đồ thị là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) , biết khoảng cách x −1 từ tâm đối xứng I đến tiếp tuyến tạo lớn nhất. 1 13 1 3 1 13 1 5 A. y = − x + và y = − x + . B. y = − x + và y = − x + . 4 4 4 4 4 4 4 4 1 3 1 5 1 1 D. y = − x + 1 và y = − x + 5 . C. y = − x + và y = − x + . 4 4 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M

Câu 4:

Cho hàm số y =

Câu 5:

2x − 1 −1 ( x − x0 ) + 0 . 2 x0 − 1 ( x0 − 1) Gọi H là hình chiếu của I lên ∆ . Ta có d( I , ∆ ) = IH 1 1 1 2 1 = 2+ 2≥ = Trong tam giác vuông IAB ta có: 2 IA.IB 2 IH IA IB Suy ra IH ≤ 2 . Đẳng thức xảy ra ⇔ IA = IB . 1 13 1 5 Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: y = − x + và y = − x + . 4 4 4 4 4 2 Cho hàm số y = x − 2 x + 3 , có đồ thị là ( C ) . Tìm trên đồ thị ( C ) điểm B mà tiếp tuyến với y=

( C ) tại điểm đó song song với tiếp tuyến với ( C ) tại điểm A (1; 2 ) . A. B ( 2;3) . B. B (1; 2 ) . C. B ( 0;3 ) .

D. B ( −1;3) .

Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A (1; 2 ) là y = 3 . Do đó B ( 0;3 ) . Câu 6:

2x − 3 tại M cắt các đường tiệm cận tại hai điểm phân x−2 biệt A , B . Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I là giao điểm hai tiệm cận.  5  5 A. M  4;  M ( 3; 3 ) B. M ( 1;1) M  4;   3  3 Gọi ( d ) là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y =

C. M ( 1;1) M ( 3; 3 )

 5 D. M ( 1;1) M  −1;  3  Hướng dẫn giải

Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ y0 =

2 x0 − 3 1 và y '0 = − 2 x0 − 2 ( x0 − 2 )

Phương trình tiếp tuyến ( d ) của ( C ) tại M : y =

−1

− 2)

(x − x ) + 0

2 x0 − 3 x0 − 2

 2x − 2  A  2; 0  , B ( 2 x0 − 2; 2 ) .  x0 − 2  Dễ thấy M là trung điểm AB và I ( 2; 2 ) là giao điểm hai đường tiệm cận.

( d ) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt

Trang 3

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2     2 x0 − 3   2 2 1 2  ≥ 2π S = πIM = π ( x0 − 2 ) +  − 2   = π  ( x0 − 2 ) + 2    x0 − 2   ( x0 − 2 )     x = 1 ⇒ y0 = 1 2 1 ⇔ 0 Dấu đẳng thức xảy ra khi ( x0 − 2 ) = 2 ( x − 2 )  x0 = 3 ⇒ y0 = 3 0

Vậy M ( 1;1) M ( 3; 3 ) thỏa mãn bài toán.

Bài toán có thể mở rộng : Tìm những điểm trên ( C ) có hoành độ x > 2 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.  2x − 2  HD: theo trên ta có : A  2; 0  , B ( 2 x0 − 2; 2 ) ⇒ IA , IB .Chu vi tam giác AIB là  x0 − 2 

P = IA + IB + AB = IA + IB + IA2 + IB2 ≥ 2 IA.IB + 2.IA.IB Đẳng thức xảy ra khi IA = IB Nếu trường hợp tam giác AIB không vuông thì P = IA + IB + AB , để tính AB ta cần đến định lý hàm số cosin AB 2 = IA 2 + IB2 − 2 IA.IB cos IA , IB .

(

)

(

P = IA + IB + AB2 ≥ 2 IA.IB + IA 2 + IB2 − 2 IA.IB cos IA , IB

(

)

P ≥ 2 IA.IB + 2 IA.IB − 2 IA.IB cos IA , IB . Đẳng thức xảy ra khi IA = IB .

Câu 7:

(2; 4) .

Cho hàm số y = x3 − 3x + 2 . Tìm trên đường thẳng d : y = 4 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với ( C ) .  2  A. ( −1; 4) ;  − ; 4  ; (2; 4) .  3  D. ( − 1; 4) ; ( 7; 4 ) ; (2; 4) .

B. ( −1; 4) ; ( 7; 4 ) ; (9; 4) . C. ( −2; 4) ; ( −5; 4 ) ;

Hướng dẫn giải Chọn A Gọi M ( m; 4 ) ∈ d . Phương trình đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m ) + 4 . ∆ là tiếp tuyến của ( C ) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm x :

 x3 − 3x + 2 = k ( x − m) + 4 (1) (*) .  2 (2) 3x − 3 = k Thay ( 2 ) vào (1) ta được: ( x + 1)  2 x 2 − (3m + 2) x + 3m + 2  = 0 ( 3) .

⇔ x = −1 hoặc 2 x 2 − (3m + 2) x + 3m + 2 = 0 ( 4 ) . Theo bài toán ⇔ (*) có nghiệm x , đồng thời ( 2 ) có 2 giá trị k khác nhau, tức là phương trình

( 3)

có nghiệm x phân biệt thỏa mãn 2 giá trị k khác nhau.

+ TH1: ( 4 ) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng −1 ⇔ m = −1 . + TH2: ( 4 ) có nghiệm kép khác −1 ⇔ m = −

2 hoặc m = 2 . 3

 2  Vậy các điểm cần tìm là: ( −1; 4) ;  − ; 4  ; (2; 4) .  3 

Trang 4

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 8:

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

Cho hàm số: y = x 4 − 2 x 2 có đồ thị là ( C ) . Tìm những điểm M trên trục Oy để từ M kẻ được 4 tiếp tuyến đến ( C ) .

1 A. M ( 0; m ) với 0 < m < . 3 2 C. M ( 0; m ) với 0 < m < . 3

1 B. M ( 0; m ) với −1 < m < . 3 D. M ( 0; m ) với 0 < m < 1 . Hướng dẫn giải

Chọn A M ∈ Oy ⇒ M ( 0; m ) ; B ∈ ( C ) ⇒ B ( x0 ; y0 ) . Phương trình tiếp tuyến ( T ) của ( C ) tại B là y − ( x04 − 2 x02 ) = ( 4 x03 − 4 x0 ) ( x − x0 ) .

(T ) đi qua

M ( 0; m ) nên m − ( x04 − 2 x02 ) = ( 4 x04 − 4 x0 ) ( − x0 ) ⇔ 3 x04 − 2 x02 + m = 0 (*) .

Do hệ số góc của tiếp tuyến là k = 4 x03 − 4 x0 nên hai giá trị khác nhau của x0 cho hai giá trị khác nhau của k nên cho hai tiếp tuyến khác nhau. Vậy từ M ( 0; m ) kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) khi và chỉ khi phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt. Đặt X = x02 ta có phương trình 3 X 2 − 2 X + m = 0 (**) Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (**) có 2 nghiệm phân biệt

 ∆ , = 1 − 3m > 0  m 1  ⇔ P = > 0 ⇔0<m< 3 3  2   S = 3 > 0 Vậy từ những điểm M ( 0; m ) với 0 < m <

1 kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) của hàm số đã 3

cho.

Câu 9:

2x có đồ thị ( C ) và điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ( x0 ≠ 0 ) . Biết rằng khoảng cách x+2 từ I ( −2; 2 ) đến tiếp tuyến của ( C ) tại M là lớn nhất, mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số y =

A. 2 x0 + y0 = −4 .

B. 2 x0 + y0 = 2 . C. 2 x0 + y0 = −2 . Hướng dẫn giải

D. 2 x0 + y0 = 0 .

Chọn A Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M có dạng d : y = y′ ( x0 ) . ( x − x0 ) + y0 . 2 x0 Ta có M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ y0 = x0 + 2 4 4 Lại có y′ = . ⇒ y ′ ( x0 ) = 2 2 ( x + 2) ( x0 + 2 ) Do đó d : y =

4 2

. ( x − x0 ) +

2 x0 x0 + 2

( x0 + 2 ) 2 2 ⇒ d : y ( x0 + 2 ) = 4 x − 4 x0 + 2 x0 ( x0 + 2 ) ⇒ d : 4 x − ( x0 + 2 ) y + 2 x02 = 0

Trang 5

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2

⇒ d ( I; d ) =

−8 − 2 ( x0 + 2 ) + 2 x02 42 + ( x0 + 2 )

−16 − 8 x0

( x0 + 2 ) + 16

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm 8

( x0 + 2 )

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 16 16 2 2 ≥ 2 ( x0 + 2 ) . = 8 > 0 ⇒ d ( I; d ) ≤ 1. ( x0 + 2 ) + 2 2 ( x0 + 2 ) ( x0 + 2 ) 2

Dấu “ = ” xảy ra ⇔ ( x0 + 2 ) =

( x0 + 2 )

 x0 = 0 2 ⇔ ( x0 + 2 ) = 4 ⇔   x0 = −4

Bài ra x0 ≠ 0 nên x0 = −4 ⇒ y0 = 4 ⇒ 2 x0 + y0 = −4 . 1 Câu 10: Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 − 2 x 2 + 3 x − 5 3 B.Có hệ số góc bằng −1 . A.Song song với trục hoành. C.Song song với đường thẳng x = 1 . D.Có hệ số góc dương. Hướng dẫn giải Chọn A x = 1 . Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là ( 3; −5 ) . Ta có y′ = x 2 − 4 x + 3 , y′ = 0 ⇔  x = 3 Suy ra tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực tiểu có phương trình là y = −5 . Chú ý: Gọi x0 là điểm cực trị của hàm số. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực trị của đồ thị hàm số có hệ số góc là k = y′ ( x0 ) = 0 nên tiếp tuyến luôn song song (hoặc trùng) với trục hoành. 2x Câu 11: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . Giả sử tồn tại phương trình tiếp tuyến của ( C ) , biết x+2 khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến lớn nhất, thì hoành độ tiếp điểm lúc này là: A. x0 = 1, x0 = −3 . B. x0 = 0, x0 = −3 . C. x0 = 1, x0 = −4 . D. x0 = 0, x0 = −4 . Hướng dẫn giải Chọn D Hàm số xác định với mọi x ≠ −2 . 4 Ta có: y ' = ( x + 2)2 Gọi M ( x0 ; y 0 ) ∈ (C ) . Tiếp tuyến ∆ của ( C ) tại M có phương trình

2 x0 2 x02 4 4 ( x − x ) + = x + 0 x0 + 2 ( x0 + 2)2 ( x0 + 2)2 ( x0 + 2)2 Ta có tâm đối xứng I ( −2; 2) y=

Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến ∆ : d=

8 x0 + 2 ( x0 + 2)4 + 16

2 x02 4 x − y + = 0: ( x0 + 2)2 ( x0 + 2)2

t , với t = ( x0 + 2)2 ≥ 0 t + 16 2

t t 1 ≤ = ⇒d≤2 2 16 t + 16 2 16t Đẳng thức xảy ra khi t 2 = 16 ⇔ t = 4 ⇔ ( x0 + 2)2 = 4 ⇔ x0 = 0, x0 = −4 .

Trang 6

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 12: Cho hàm số y =

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

1 3 x − 2 x 2 + 3 x có đồ thị là ( C ) . Tìm phương trình các đường thẳng đi qua 3

4 4 điểm A  ;  và tiếp xúc với đồ thị ( C ) của hàm số. 9 3   ∆ : y = x  ∆ : y = 3x   4 4 A.  ∆ : y = x . B.  ∆ : y = x + 1   3 3   5 8 5 128 ∆ : y = − x + ∆ : y = − x + 9 81 9 81     ∆ : y = x  ∆ : y = 3x   4 4 C.  ∆ : y = D.  ∆ : y =   3 3   5 1 5 128 ∆ : y = − x + ∆ : y = − x + 9 81 9 81   Hướng dẫn giải Chọn D  4 4 Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A với hệ số góc k có dạng: y = k  x −  + 9 3  ∆ tiếp xúc với ( C ) tại điểm có hoành độ x khi hệ phương trình

1 3 4 4  2 (1)  x − 2 x + 3x = k  x −  + 9 3 có nghiệm x 3   x2 − 4 x + 3 = k (2) 

Thế (2) vào (1), được:

1 3 4 4  x − 2 x 2 + 3 x = ( x 2 − 4 x + 3)  x −  + ⇔ x(3 x 2 − 11x + 8) = 0 3 9 3 

(2)   x = 0 ⇒ k = 3 ⇒ ∆ : y = 3x  (2) 4 ⇔ x = 1⇒ k = 0 ⇒ ∆ : y =  3 ( 2)  8 5 5 128 x = ⇒ k = − ⇒ ∆ : y = − x + 3 9 9 81  2x − 1 Câu 13: Cho hàm số y = có đồ thị là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) , biết tiếp tuyến x −1 tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 1 3 1 5 1 1 A. y = − x + và y = − x + . B. y = − x + 3 và y = − x + 1 . 4 4 4 4 4 4 1 13 1 1 13 1 5 C. y = − x + và y = − x + 1 . D. y = − x + và y = − x + . 4 4 4 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi M ( x0 ; y 0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M

Trang 7

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A y=

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

2x − 1 −1 ( x − x0 ) + 0 . 2 x0 − 1 ( x0 − 1)

Tiếp tuyến ∆ cắt tiệm cận đứng tại A(1;

2 x0 ), cắt đường tiệm cận ngang tại B(2 x0 − 1; 2) . x0 − 1

Tâm đối xứng I (1; 2) 2 Suy ra IA = , IB = 2 x0 − 1 ⇒ IA.IB = 4 x0 − 1 Chu vi tam giác IAB : p = AB + IA + IB = IA 2 + IB 2 + IA + IB Mặt khác: IA 2 + IB 2 ≥ 2 IA.IB = 8; IA + IB ≥ 2 IA.IB = 4 Nên p ≥ 2 2 + 4 . Đẳng thức xảy ra ⇔ IA = IB

⇔ ( x0 − 1)2 = 4 ⇔ x0 = 3, x0 = −1 .

1 13 1 5 Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: y = − x + và y = − x + . 4 4 4 4 Câu 14: Cho hàm số : y = x 4 − 2 x 2 có đồ thị là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ. 6 6 A. ( t1 ) : y = 0; ( t2 ) : y = − B. x; ( t 3 ) : y = x. 9 9 4 6 4 6 x; ( t 3 ) : y = x. ( t1 ) : y = 0; ( t2 ) : y = − 7 7 4 4 C. ( t1 ) : y = 0; ( t2 ) : y = − x; ( t3 ) : y = x . D. 9 9 4 6 4 6 x; ( t 3 ) : y = x. ( t1 ) : y = 0; ( t2 ) : y = − 9 9 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi A ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) .Phương trình tiếp tuyến ( t ) của ( C ) tại A là: y − ( x04 − 2 x02 ) = ( 4 x03 − 4 x0 ) ( x − x0 ) . ( t ) đi qua O ( 0;0 ) nên

6 3 Thay các giá trị của x0 vào phương trình của ( t ) ta được 3 tiếp tuyến của ( C ) kẻ từ O ( 0; 0 ) là: − ( x04 − 2 x02 ) = ( 4 x04 − 4 x0 ) ( − x0 ) ⇔ 3 x04 − 2 x02 = 0 ⇔ x0 = 0, x0 = ±

4 6 4 6 x; ( t3 ) : y = x. 9 9 Câu 15: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) = x x tại điểm có hoành độ bằng 2 .

( t1 ) : y = 0; ( t2 ) : y = −

A. y = ( 4 ln 2 ) x − 8ln 2 + 4 . C. y = 2 x .

B. y = 4 (1 + ln 2 ) x − 8ln 2 − 4 . D. y = 4 x − 4 . Hướng dẫn giải

Chọn B Hàm số y = f ( x ) = x x xác định trên khoảng ( 0; +∞ ) . Ta có y = f ( x ) = x x ⇒ ln f ( x ) = ln x x ⇒ ln f ( x ) = x ln x . Lấy đạo hàm hai vế, ta có

Trang 8

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

f ′( x) = 1 + ln x ⇒ f ′ ( x ) = f ( x )(1 + ln x ) f ( x)

⇒ f ′ ( x ) = x x (1 + ln x ) ⇒ f ′ ( 2 ) = 2 2 (1 + ln 2 ) = 4 (1 + ln 2 ) . Ta có f ( 2 ) = 22 = 4 . Vậy, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng 2 là y = f ′ ( 2 )( x − 2 ) + f ( 2 ) hay y = 4 (1 + ln 2 ) x − 8ln 2 − 4 . x+2 có đồ thị ( C ) . Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của ( C ) . Tiếp x−2 tuyến của ( C ) cắt hai đường tiệm cận của ( C ) tại hai điểm A , B . Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng A. 4π . B. 4 2π . C. 8π . D. 2π . Hướngdẫngiải Chọn B

Câu 16: Cho hàm số y =

Tập xác định: D = ℝ \ {2} ; y′ =

−4

( x − 2)

lim y = +∞ ⇒ tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 ; lim y = 1 ⇒ tiệm cận ngang là đường

x → 2+

x →±∞

thẳng y = 1 , suy ra I ( 2;1) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) có dạng: d : y =

−4

( x0 − 2 )

( x − x0 ) +

x0 + 2 x0 − 2

 x +1  Tiếp tuyến của ( C ) cắt hai đường tiệm cận của ( C ) tại hai điểm A , B nên A  2; 0 ,  x0 − 2  B ( 2 x0 − 2;1) . Do tam giác IAB vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R =

AB . 2

Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là: P = AB.π Chu vi bé nhất khi AB nhỏ nhất 2

  8   8  8  2 2 Ta có AB =  4 − 2 x0 ;  ; AB = 4 ( 2 − x0 ) +   = 4 ( x0 − 2 ) +   x0 − 2    x0 − 2   x0 − 2  ≥ 2 4.64 = 4 2

Vậy Pmin = 4 2.π .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

2x + 2 có đồ thị là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) , biết tiếp tuyến x −1 tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. A. ∆ : y = −x − 3 và ∆ : y = − x + 2 . B. ∆ : y = −x − 1 và ∆ : y = −x + 17 . D. ∆ : y = −x − 21 và ∆ : y = − x + 7 . C. ∆ : y = −x − 1 và ∆ : y = − x + 7 . Hướng dẫn giải Chọn C Hàm số xác định với mọi x ≠ 1 . −4 Ta có: y ' = ( x − 1)2 Tiệm cận đứng: x = 1 ; tiệm cận ngang: y = 2 ; tâm đối xứng I (1; 2)

Câu 17: Cho hàm số y =

Gọi M ( x0 ; y 0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của ( C ) : 2x + 2 −4 ( x − x0 ) + 0 . 2 x0 − 1 ( x0 − 1) Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại x = 1  2x + 6   A: 2 x0 + 2 ⇒ A  1; 0 −4   x0 − 1   y = ( x − 1)2 (1 − x0 ) + x − 1 0 0 

∆:y=

Tiếp tuyến cắt tiệm ngang tại y = 2  B: 2 x0 + 2 ⇒ B(2 x0 − 1; 2) −4 2 = ( x − 1)2 ( x − x0 ) + x − 1 0 0  Suy ra: IA =

8 ; IB = 2 x0 − 1 ⇒ IA.IB = 16 x0 − 1

Chu vi tam giác IAB : P = IA + IB + AB = IA + IB + IA 2 + IB 2 Mà IA + IB ≥ 2 IA.IB = 8; IA 2 + IB 2 ≥ 2 IA.IB = 32 Nên P ≥ 8 + 32 = 8 + 4 2

Đẳng thức xảy ra ⇔ IA = IB ⇔ ( x0 − 1)2 = 4 ⇔ x0 = 3, x0 = −1 Vậy ta có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán: ∆ : y = −x − 1 và ∆ : y = − x + 7 . Câu 18: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 1 có đồ thị là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với ( C ) tại hai điểm phân biệt.

A. y = −2 .

B. y = −4 .

C. y = −2x . Hướng dẫn giải

D. y = −2 x + 1 .

Chọn A Ta có y ' = 4 x 3 − 4 x Gọi A( x0 ; y 0 ) ∈ (C ) . Tiếp tuyến của ( C ) tại A có phương trình

∆ : y = (4 x03 − 4 x0 )( x − x0 ) + y0 Giả sử ∆ là tiếp tuyến tiếp xúc với ( C ) tại hai điểm phân biệt M ( m ; m 4 − 2 m 2 − 1) và N ( n; n 4 − 2 n 2 − 1) với m ≠ n . Ta có phương trình ∆ : y = y '(m)( x − m) + y( m)

Trang 10

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

∆ : y = y '(n)( x − n) + y(n)  4 n3 − 4 n = 4 m 3 − 4 m  y '( m) = y '(n) Suy ra  ⇔ 4 2 4 2  −3m + 2 m − 1 = −3n + 2 n − 1 − m.y '( m) + y( m) = −n.y '(n) + y(n)

n2 + mn + n2 − 1 = 0 ( n − m)(n2 + mn + n2 ) − (n − m) = 0 ⇔ ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2  3( n − m )( n + m ) − 2( n − m ) = 0 (n + m)  3(n + m ) − 2  = 0 (*) 2 Từ (*) ta có: m + n = 0 hoặc n2 + m2 = . 3 2 • m + n = 0 ⇒ m = −n ⇒ n = 1 ⇔ n = ±1  1 mn =  2  3 • m 2 + n2 = ⇒  vô nghiệm. 3  4 2 ( m + n) =  3 Vậy y = −2 là tiếp tuyến cần tìm. Câu 19: Cho hàm số: y = x 4 − 2 x 2 có đồ thị là ( C ) . Tìm những điểm N trên đường thẳng ( d ) : y = 3 để từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến ( C ) .

A. N ( n;3) , n > 2 .

B. N ( n;3) , n < 13 .

C. N ( n;3) , n > 3 .

D. N ( n;3) , n > 3 .

Hướng dẫn giải Chọn C N ∈ ( d ) : y = 3 ⇒ N ( n;3) ; I ∈ ( C ) ⇒ I ( x0 ; y0 ) . Phương trình tiếp tuyến ( ∆ ) của ( C ) tại I là: y − ( x04 − 2 x02 ) = ( 4 x03 − 4 x0 ) ( x − x0 ) .

( ∆ ) đi qua

N ( n;3) nên 3 − ( x04 − 2 x02 ) = ( 4 x04 − 4 x0 ) ( n − x0 ) ⇔ 3 x04 − 4nx02 − 2 x02 + 4nx0 + 3 = 0

⇔ 3 ( x04 + 1) − 4n ( x03 − x0 ) − 2 x02 = 0 (*)

Do x0 = 0 không phải là nghiệm của (*) .

  1 1 Phương trình (*) ⇔ 3  x02 − 2  − 4n  x0 −  − 2 = 0 (**) x0  x0    1 Đặt t = x0 − ⇔ x02 − tx0 − 1 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi t . x0 Ta có phương trình (**) ⇔ 3t 2 − 4nt + 4 = 0 (***) Do hệ số góc của tiếp tuyến là k = 4 x03 − 4 x0 nên hai giá trị khác nhau của x0 cho hai giá trị khác nhau của k nên cho hai tiếp tuyến khác nhau. Vậy từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) khi và chỉ khi phương trình ( *) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (**) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (***) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 4 n 2 − 12 > 0 ⇔ n 2 − 3 > 0 ⇔ n > 3 . Vậy từ những điểm N trên

đường thẳng y = 3 với n > 3 kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) của hàm số đã cho.

2 x −1 có đồ thị ( C ) . Biết khoảng cách từ I ( −1; 2 ) đến tiếp tuyến của ( C ) tại x +1 M là lớn nhấtthì tung độ của điểm M nằm ở góc phần tư thứ hai, gần giá trị nào nhất? A. 2e . B. e . C. 4e . D. 3e .

Câu 20: Cho hàm số y =

Trang 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

Hướng dẫn giải Chọn B Phương pháp tự luận 3 Ta có y ′ = . 2 ( x + 1)

 2x −1  Gọi M  x0 ; 0  ∈ ( C ) , ( x0 ≠ −1) . Phương trình tiếp tuyến tại M là x0 + 1   2 x −1 3 y= ( x − x0 ) + 0 ⇔ 3 x − ( x0 + 1) 2 y + 2 x02 − 2 x0 − 1 = 0 . 2 ( x0 + 1) x0 + 1 6 x0 + 1 6 6 = ≤ = 6.  d ( I , ∆) = 9 9 + ( x0 + 1) 4 2 2 9 + ( x0 + 1) ( x0 + 1) 2 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi

 x0 = −1 + 3 ⇒ y0 = 2 − 3 ( L ) 9 2 2  ( 1) 1 3 = x + ⇔ x + = ⇔ . ( ) 0 0 ( x0 + 1) 2  x0 = −1 − 3 ⇒ y0 = 2 + 3 ( N ) Tung độ này gần với giá trị e nhất trong các đáp án. Phương pháp trắc nghiệm Ta có IM ⊥ ∆ ⇒ cx0 + d = ± ad − bc ⇒ x0 + 1 = ± 2 + 1  x0 = −1 + 3 ⇒ y = 2 − 3 ( L ) ⇔ .  x0 = −1 − 3 ⇒ y = 2 + 3 ( N ) Câu 21: Cho hàm số y = − x3 + 3x − 2 có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại giao điểm của ( C ) với trục tung.

A. y = 2 x + 1 .

B. y = −2 x + 1 . C. y = −3 x − 2 . Hướng dẫn giải

D. y = 3 x − 2 .

Chọn D ( C ) ∩ Oy = A ( 0; −2 ) ; y′ ( 0 ) = 3 . Ta có: A ( 0; −2 ) y = 3 ( x − 0 ) − 2 = 3x − 2 Tiếp tuyến tại có dạng: . 2x − 3 Câu 22: Cho hàm số y = có đồ thị là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc ( C ) x−2 biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A , B sao cho côsin góc ABI

, với I ( 2; 2 ) . 17 1 3 1 7 A. y = − x − ; y = − x + . 4 2 4 2 1 3 1 7 C. y = − x + ; y = − x + . 4 2 4 2

bằng

1 3 1 7 B. y = − x + ; y = − x − . 4 2 4 2 1 3 1 7 D. y = − x − ; y = − x − . 4 2 4 2 Hướng dẫn giải

Chọn C

 2x − 3  I ( 2; 2 ) , gọi M  x0 ; 0  ∈ (C ) , x0 ≠ 2 x0 − 2   Trang 12

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M : y = −

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

2x − 3 1 ( x − x0 ) + 0 2 x0 − 2 ( x0 − 2)

 2x − 2  Giao điểm của ∆ với các tiệm cận: A  2; 0  , B(2 x0 − 2; 2) .  x0 − 2  = 1 = IA ⇔ IB2 = 16.IA2 ⇔ ( x − 2)4 = 16 ⇔ x = 0 hoặc = 4 nên tan ABI Do cos ABI 0 0 4 IB 17 x0 = 4

1 3  3 Tại M  0;  phương trình tiếp tuyến: y = − x + .  2 4 2 1 7  5 Tại M  4;  phương trình tiếp tuyến: y = − x + . 4 2  3 4x − 3 Câu 23: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = cùng với 2 tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích 2x +1 bằng: B. 6 . C. 7 . D. 5 . A. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm nằm trên đồ thị hàm số , x0 ≠ − . 2 10 y′ = 2 ( 2 x + 1) Phương trình tiếp tuyến tại M : y = f ′( x0 ) ( x − x0 ) + y0 ⇒ y =

( 2 x0 + 1)

( x − x0 ) +

4 x0 − 3 2 x0 + 1

1 Tiệm cận đứng: x = − , tiệm cận ngang: y = 2 2

1 2  1 4x − 8  10  1  4 x − 3 4 x0 − 8 ⇒ yA = − − x0  + 0 = . Vậy A  − ; 0  2  ( 2 x0 + 1)  2  2 x0 + 1 2 x0 + 1  2 2 x0 + 1 

Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng ⇒ xA = −

Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang ⇒ yB = 2 4x − 3 10 1  4x +1  ⇒2= x − x0 ) + 0 ⇒ xB = 2 x0 + . Vậy B  0 ; 2  2 ( B 2 2 x0 + 1  2  ( 2 x0 + 1)  1  Giao điểm 2 tiệm cận là I  − ; 2   2   10  10 Ta có: IA =  0; −  ⇒ IA = 2 x0 + 1  2 x0 + 1  IB = ( 2 x0 + 1; 0 ) ⇒ IB = 2 x0 + 1

Tam giác IAB vuông tại I nên S IAB =

1 1 10 IA.IB = . 2 x0 + 1 = 5 . 2 2 2 x0 + 1

Trang 13

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

x+2 có đồ thị ( C ) . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm I của hai tiệm cận của x +1 đồ thị ( C ) đến một tiếp tuyến tùy ý của đồ thị ( C ) . Khi đó giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là A. 2 2 . B. 2 . C. 3 . D. 3 3 . Hướng dẫn giải Chọn B −1 Ta có I ( −1;1) . y ' = . 2 ( x + 1)

Câu 24: Cho hàm số y =

 x +2 −1 Giả sử M  x0 ; 0 .  là một điểm thuộc ( C ) , x0 ≠ −1 . Suy ra: y ' ( x0 ) = 2 x0 + 1  ( x0 + 1)  Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là: x0 + 2 x0 2 + 4 x0 + 2 −1 x y= x − x + ⇔ + y − = 0. ( ) 0 2 2 2 x0 + 1 ( x0 + 1) ( x0 + 1) ( x0 + 1) 2

⇔ x + y ( x0 + 1) − ( x0 2 + 4 x0 + 2 ) = 0 ( d ) . 2

Suy ra: d( I ;d ) =

−1 + ( x0 + 1) − ( x0 2 + 4 x0 + 2 ) 1 + ( x0 + 1)

−2 ( x0 + 1) 1 + ( x0 + 1)

2 x0 + 1

1 + ( x0 + 1)

Theo bất đẳng thức Cô-si: 1 + ( x0 + 1) ≥ 2 1. ( x0 + 1) = 2 ( x0 + 1) . 4

Dấu đẳng thức xảy ra khi: 1 = ( x0 + 1) ⇔ x0 = 0 . Suy ra: d( I ;d ) ≤

2 x0 + 1 2 ( x0 + 1)

= 2 . Vậy max d ( I ;d ) = 2 khi x0 = 0; y0 = 2 .

2x − 3 có đồ thị ( C ) . Một tiếp tuyến của ( C ) cắt hai tiệm cận của ( C ) tại hai x−2 điểm A , B và AB = 2 2 . Hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 1 A. − 2 . B. −2 . C. − . D. −1 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D −1 Ta có y′ = Đường tiệm cận đứng là x = 2 ; đường tiệm cận ngang là y = 2 . 2 ( x − 2)

Câu 25: Cho hàm số y =

1   Gọi M  x0 ; 2 +  ∈ (C ) . x−2 

Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M có phương trình d : y = −

( x0 − 2 )

( x − x0 ) + 2 +

1 . x0 − 2

 2  Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với đường tiệm cận đứng thì A  2; 2 + . x0 − 2   Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến với đường tiệm cận ngang thì. B ( 2 x0 − 2; 2 ) . 2

 2   x0 = 3 2 Theo đề bài ta có AB = 2 2 nên ( 2 x0 − 4 ) +  .  = 8 ⇔ ( x0 − 2 ) = 1 ⇔   x0 = 1  x0 − 2  2

Trang 14

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

Với x0 = 3 thì y ′ ( 3 ) = −1 . Với x0 = 1 thì y′ (1) = −1 . Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là k = −1 . Câu 26: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 3 , có đồ thị là ( C ) . Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà qua

đó ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị ( C ) . B. M ( 0; 2 ) , M ( 3; 2 ) .

A. M ( 0; 2 ) , M (1; 2 ) . C. M ( 5; 2 ) , M (1; 2 ) .

D.Không tồn tại. Hướng dẫn giải

Chọn D Gọi M ( m; 2 ) là điểm thuộc đường thẳng y = 2 . Phương trình đường thẳng đi qua M ( m; 2 ) có hệ số góc là k và ( d ) : y = k ( x − m ) + 2 .

 x04 − 2 x02 + 3 = k ( x0 − m ) + 2 (1) có nghiệm x0 ( d ) tiếp xúc ( C ) tại điểm có hoành độ x0 khi hệ  3 4 x0 − 4 x0 = k ( 2 ) Suy ra phương trình: ( x02 − 1)( 3 x02 − 4ax0 + 1) = 0 ( ∗) có nghiệm x0 . Qua M kẻ được 4 tiếp tuyến đến ( C ) khi phương trình ( ∗) có 4 nghiệm phân biệt và phương trình ( 2 ) có 4 giá trị k khác nhau. Dễ thấy x02 − 1 = 0 ⇒ k ( −1) = k (1) , do đó không thể tồn tại 4 giá trị k khác nhau để thỏa bài toán. Tóm lại, không có tọa độ M thỏa bài toán. Câu 27: Trong 3 đường thẳng ( d1 ) : y = 7 x − 9 , ( d 2 ) : y = 5 x + 29 , ( d3 ) : y = −5 x − 5 có bao nhiêu đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 3x 2 − 2 x − 4 . B. 2 . C. 3 . A. 1 . Hướng dẫn giải Chọn B + Xét ( d1 ) : y = 7 x − 9 .

( d1 )

D. 0 .

là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ phương trình sau có nghiệm

 x = 1   3 2 3 2  x = −5  x + 3 x − 2 x − 4 = 7 x − 9  x + 3 x − 9 x + 5 = 0 ⇔ x = 1. ⇔ ⇔ 2  2 3 x + 6 x − 2 = 7 3 x + 6 x − 9 = 0  x = 1   x = −3  Vậy ( d1 ) là tiếp tuyến của đồ thị. + Xét ( d 2 ) : y = 5 x + 29 .

( d2 )

là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ phương trình sau có nghiệm

x = 3    x = −3 + 30  x 3 + 3 x 2 − 2 x − 4 = 5 x + 29  x 3 + 3 x 2 − 7 x − 33 = 0  ⇔ ⇔ x ∈∅ . ⇔ 2   2 3 3 x + 6 x − 2 = 5 3 x + 6 x − 7 = 0    x = −3 − 30   3 Vậy ( d 2 ) không là tiếp tuyến của đồ thị.

Trang 15

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

+ Xét ( d3 ) : y = −5 x − 5 .

( d3 )

là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ phương trình sau có nghiệm

 x 3 + 3 x 2 − 2 x − 4 = −5 x − 5  x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 = 0  x = −1 ⇔ x = −1 . ⇔ ⇔  2  2 3 x + 6 x − 2 = −5 3 x + 6 x + 3 = 0  x = −1 Vậy ( d 3 ) là tiếp tuyến của đồ thị.

Câu 28: Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y = − x 4 + 4 x 2 − 3 đi qua điểm cực tiểu của đồ thị.

5 16 59 16 5 16 59 B. y = −9 ; y = − x− ;y = x− . x− ;y= x− . 9 9 9 9 3 3 3 3 3 3 3 16 59 16 59 16 59 16 59 x− x− . x− ;y = x− . C. y = −3 ; y = − ;y= D. y = −3 ; y = − 9 9 9 9 3 3 3 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C Điểm cực tiểu của ( C ) là A ( 0; −3 ) . A. y = −3 ; y = −

Phương trình tiếp tuyến d của ( C ) có dạng : y = y '( x0 )( x − x 0 ) + y( x0 ) ( trong đó x 0 là hoành độ tiếp điểm của d với ( C ) )

y = ( −4 x03 + 8 x0 )( x − x0 ) − x04 + 4 x02 − 3 = ( −4 x03 + 8 x0 )x + 3x04 − 4 x02 − 3 A(0; −3) ∈ d ⇔ −3 = 3x04 − 4 x02 − 3 ⇔ 3x04 − 4 x02 = 0 ⇔ x0 = 0 hoặc x0 = ±

2 3

Với x0 = 0 thì phương trình d: y = −3 Với x0 = −

2 3

thì phương trình d: y = −

x−

59 9

3 3 2 16 59 x− Với x0 = thì phương trình d: y = 9 3 3 3 16 59 16 59 x− x− . Vậy, tiếp tuyến cần tìm là: y = −3 , y = − ,y= 9 9 3 3 3 3 Câu 29: Cho hàm số y = x 3 + ax2 + bx + c , c < 0 có đồ thị ( C ) cắt Oy ở A và có đúng hai điểm chung với trục Ox là M và N . Tiếp tuyển với đồ thị tại M đi qua A . Tìm a; b; c để S AMN = 1 . A. a = 4, b = 5, c = −2 . B. a = 4, b = 5, c = 2 . C. a = −4, b = 6, c = −2 . D. a = −4, b = 5, c = −2 . Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử ( C ) cắt Ox tại M ( m; 0) và N ( n; 0) cắt Oy tại A(0; c ) Tiếp tuyến tại M có phương trình: y = (3m2 + 2am + b)( x − m) . Tiếp tuyến đi qua A nên ta có: 3m3 + 2am2 + bm + c = 0 a ⇔ 2m3 + am2 = 0 ⇔ m = − (do m3 + am2 + bm + c = 0 ) 2 Mà ( C ) cắt Ox tại hai điểm nên ( C ) tiếp xúc với Ox . Nếu M là tiếp điểm thì suy ra Ox đi qua A vô lí nên ta có ( C ) tiếp xúc với Ox tại N . Do đó: y = x 3 + ax2 + bx + c = ( x − n)2 ( x − m)

Trang 16

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

 a a m = − 2 , n = − 4 m + 2n = − a   Suy ra 2 mn + n2 = b ⇔ a3 = 32c (1). mn2 = −c 5a 2 = 16b    Mặt khác S∆AMN = 1 ⇔ −c n − m = 2 ⇔ −c a = 8

a 3 = 32c  • a > 0 ta có: ac = −8 vô nghiệm. 5a 2 = 16b  a 3 = 32c  ⇔ a = −4, b = 5, c = −2 . • a < 0 ta có: ac = 8 5a 2 = 16b  2x2 Câu 30: Cho hàm số y = có đồ thị là ( C ) . Tìm trên đường thẳng y = x những điểm mà từ đó có x+2 thể kẻ được 2 tiếp tuyến đến ( C ) , đồng thời 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. A. m = −6 ± 23 .

B. m = −5 ± 23 . C. m = −5 ± 3 . Hướng dẫn giải

D. m = −5 ± 53 .

Chọn B Đường thẳng ( d ) đi qua điểm M ( m; m ) có hệ số góc là k , phương trình có dạng:

y = k ( x − m) + m .  2 x02 = k ( x0 − m ) + m   x0 + 2 có nghiệm x0 , từ đây ( d ) tiếp xúc ( C ) tại điểm có hoành độ x0 khi hệ:  2  2 x0 + 8 x0 = k  ( x + 2 )2  0 ta tìm được m = −5 ± 23 . x2 − x + 1 Câu 31: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) xuất phát từ x −1 M (−1;3) . A. y = 3 ; y = −3x . B. y = 13 ; y = −3x . C. y = 3 ; y = −3x + 1 . D. y = 3x − 1 ; y = −3x . Hướng dẫn giải Chọn A x2 − 2x ′ Ta có y = . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với ( C ) ( x − 1) 2 x 2 − 2 x0 x02 − x0 + 1 d:y= 0 ( x − x ) + 0 ( x0 − 1)2 x0 − 1

Cách1: M ∈ d ⇔ 3 =

x02 − 2 x0 x02 − x0 + 1 ( − 1 − x ) + 0 ( x0 − 1) 2 x0 − 1

⇔ 3( x0 − 1) 2 = ( x02 − 2 x0 )( − x0 − 1) + ( x0 − 1)( x02 − x0 + 1)

Trang 17

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường ờng THPT N Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng ng Dụng D Đạo Hàm

1 2 • Với x0 = 2 ⇒ Phương trình ình ti tiếp tuyến y = 3 . 1 • Với x0 = ⇒ Phương trình ình tiếp ti tuyến y = −3x . 2 d có dạng: Cách2: Gọi d là đường thẳng ẳng đi qua M (−1;3) , có hệ số góc k , khi đó phương ương trình tr y = k ( x + 1) + 3 . ⇔ 2 x02 − 5 x0 + 2 = 0 ⇔ x0 = 2, x0 =

x0 : d tiếp xúc đồ thị ( C ) tại ạ điể điểm có hoành độ x0 khi hệ phương trình ình sau có nghiệm nghi  x02 − x0 + 1 = k ( x0 + 1) + 3 (1)   x0 − 1  2  x0 − 2 x0 = k (2)  ( x0 − 1) 2 x 2 − x0 + 1 x02 − 2 x0 Thế ( 2) vào (1) ta được: 0 = ( x0 + 1) + 3 x0 − 1 ( x0 − 1) 2 1 ⇔ 2 x02 − 5 x0 + 2 = 0 ⇔ x0 = 2, x0 = . 2 • Với x0 = 2 ⇒ k = 0 ⇒ Phươ Phương trình tiếp tuyến y = 3 . 1 • Với x0 = ⇒ k = −3 ⇒ Phương Ph trình tiếp tuyến y = −3x . 2 2x − 1 Câu 32: Cho hàm số y = có đồ đ thị ( C ) . Gọi M ( x0 ; y0 ) (với x0 > 1 ) là điểm ểm thuộc thu ( C ) , biết tiếp 2x − 2 tuyến của ( C ) tại M cắt ắt ti tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt ợt tại tạ A và B sao cho

S∆OIB = 8S∆OIA (trong đó O là gốc tọa độ, I là giao điểm hai tiệm m cận). cậ Tính giá trị của S = x0 + 4 y0 . 23 17 A. S = . B. S = 2 . C. S = 8 . D. S = . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có y′ =

−2

( 2x − 2)

, TCĐ: x = 1 ( d1 ) , TCN: y = 1 ( d 2 ) , I (1;1) .

Phương trình tiếp tuyến ∆ tạại điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng y =

−2

( 2 x0 − 2 )

( x − x0 ) +

2 x0 − 1 2 x0 − 2

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

  x  1  A = ∆ ∩ d1 ⇒ A 1; 0  , B = ∆ ∩ d 2 ⇒ B ( 2 x0 − 1;1) . IB = ( 2 x0 − 2;0 ) , IA =  0; .  x0 − 1   x0 − 1  1 1 1 2 S∆OIB = 8S∆OIA ⇔ .1.IB = 8. .1.IA ⇔ IB = 8IA ⇔ 2 x0 − 2 = 8 ⇔ ( x0 − 1) = 4 ⇔ x0 = 3 x0 − 1 2 2 5 5 (do x0 > 1 ) ⇒ y0 = ⇒ S = x0 + 4 y0 = 3 + 4. = 8 . 4 4 2 x Câu 33: Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số y = . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với 2− x 4 đường thẳng y = x + 1 . 3 3 9 3 1 3 9 3 1 A. ( d ) : y = x − , y = x − . B. ( d ) : y = − x − , y = − x − . 4 2 4 2 4 2 4 2 3 7 3 1 3 3 C. ( d ) : y = − x − , y = − x − . D. ( d ) : y = − x, y = − x − 1 . 4 2 4 2 4 4 Hướng dẫn giải Chọn B 4 Tiếp tuyến ( d ) của ( C ) vuông góc đường thẳng y = x + 1 suy ra phương trình ( d ) có dạng : 3 3 y = − x+m. 4  x02 3 = − x0 + m  4 2 − x có nghiệm x0 ( d ) tiếp xúc ( C ) tại điểm có hoành độ x0 khi hệ  2 0  − x0 + 4 x0 = − 3  (2 − x0 )2 4 ⇒

− x02 + 4 x0 3 3 9 3 1 = − ⇔ x0 = 6 ∨ x0 = −2 ⇒ ( d ) : y = − x − , y = − x − . 2 (2 − x0 ) 4 4 2 4 2

Câu 34: Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số y = x 4 − 1 và d là một tiếp tuyến của ( C ) , d cắt hai trục tọa độ tại A và B . Viết phương trình tiếp tuyến d khi tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất ( O là gốc tọa độ). 4 8 4 7 x− . x− . A. y = ± 4 B. y = ± 4 5 5 12 5 4 8 4 8 C. y = ± x− . D. y = ± x− . 4 4 5 5 125 15 Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình tiếp tuyến d có dạng : y = 4 x03 ( x − x0 ) + x04 − 1 = 4 x03 x − 3x04 − 1 trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của d với ( C ) .  3x4 + 1  A là giao điểm của d với trục Ox ⇒ A  0 3 ; 0   4x  0   B là giao điểm của ( C ) với trục Oy ⇒ B(0; −3 x04 − 1) .

Diện tích của tam giác vuông OAB :

Trang 19

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

4 2 4 2 1 1 1 (3 x0 + 1) 1 (3 x0 + 1) S = OA.OB = x A y B = = 3 2 2 2 8 4 x03 x 0

4 0

1 (3x + 1) . Xét trường hợp x 0 > 0 , khi đó S = . 8 x03 Xét hàm số f ( x0 ) =

f '( x0 ) =

(3x04 + 1)2

, x0 ∈ (0; +∞) .

x03

2(3x04 + 1)12 x03 .x03 − (3x04 + 1)2 .3x02 x06

3(3x04 + 1)(5x04 − 1)

x04

1 1 ⇔ x0 = (do x0 > 0) 4 5 5 Bảng biến thiên của f ( x0 ) f '( x0 ) = 0 ⇔ x04 =

∞ +∞

f'(x0 )

f(x0 )

Từ bảng biến thiên suy ra min f ( x0 ) = Suy ra minS =

8 4

5 5

⇔ x0 =

1 4

64 4

5 5

đạt được khi và chỉ khi x0 =

1 4

Khi đó phương trình của (d) là y =

8 x− . 4 5 125

Vì trục Oy là trục đối xứng của ( C ) nên trong trường hợp x0 < 0 , phương trình của d là

y=−

8 x− . 4 5 125

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = ±

4 4

125

x−

8 . 5

2x + x 2 + 4 x − 2 , gọi đồ thị của hàm số là ( C ) . Gọi M là một điểm thuộc 3 ( C ) có khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M

Câu 35: Cho hàm số y = −

không trùng với gốc tọa độ O . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M . A. y = −12 .

B. y = −8 .

C. y = −9 . Hướng dẫn giải

Chọn B  xM2  xM2  M ∈ (C )  yM =  yM = 2 − xM ⇔  ⇔ 2 − xM   d ( M , Ox) = 2d ( M , Oy ) y =2 x  y = ±2 x M  M M  M

D. y = −64 .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

4    yM = 2 xM xM2 xM =  y 2 x = y = x 0 =    M   M M 3 M (*)  ⇔ ∨ 2 − xM ⇔  xM2 ⇔  2 x 2 = y 0 = 3 x − 4 x = 0  M M  M  y = 2x  M 2− x y = 8  M M  M  M 3  4 8 Vì M không trùng với gốc tọa độ O nên chỉ nhận M  ;  .  3 3 Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M là y = 8x − 8 .   y M = −2 x M xM2  y M = −2 x M  xM = 4  yM =  (do M ≠ O ). ⇔ (*)  2 − xM ⇔  xM2 ⇔  2  y M = −8  xM − 4 xM = 0  y = −2 x  − 2 xM = 2 − x  M  M M Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M là y = −8 . x4 − 2 x 2 + 4 , có đồ thị là ( C ) . Gọi ( d ) là tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M có 4 hoành độ x = a .Tìm a để ( d ) cắt lại ( C ) tại hai điểm E, F khác M và trung điểm I của

Câu 36: Cho hàm số y =

đoạn EF nằm trên parabol ( P′) : y = − x 2 + 4 . A. a = 0 . B. a = −1 . C. a = 2 . Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình tiếp tuyến ( d ) :

D. a = 1 .

a4 a4 3a 4 − 2a 2 + 4 = ( a 3 − 4a)( x − a ) + − 2a 2 + 4 = ( a 3 − 4a ) x − + 2a 2 + 4 . 4 4 4 Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và ( d ) : y = y′( a )( x − a ) +

x4 3a 4 − 2 x 2 + 4 = ( a 3 − 4a ) x − + 2a 2 + 4 ⇔ x 4 − 8 x 2 − 4(a 3 − 4a ) x + 3a 4 − 8a 2 = 0 4 4 x = a ⇔ ( x − a) 2 ( x 2 + 2ax + 3a 2 − 8) = 0 ⇔  2 2  x + 2ax + 3a − 8 = 0 (3) ( d ) cắt ( C ) tại hai điểm E, F khác M ⇔ Phương trình ( 3) có hai nghiệm phân biệt khác a

 −2 < a < 2 2 2 ∆ ' = a − 3a + 8 > 0  ⇔ 2 ⇔ 2 . (*) 6a − 8 ≠ 0 a ≠ ± 3  Tọa độ trung điểm I của đoạn EF : x E + xF  = −a  xI = − a  xI =  2 ⇔  7a 4 4 3 a y = − + 6a 2 + 4 3 2  y = (a − 4a)(−a) −  I + 2a + 4 (do I ∈ (d ))  4 I  4 a = 0 7a 4 a2 2 2 2 2 I ∈ (P) : y = − x + 4 ⇔ − + 6a + 4 = −a + 4 ⇔ 7 a (1 − ) = 0 ⇔  . 4 4  a = ±2 So với điều kiện (*) nhận a = 0 . Câu 37: Gọi S là tập hợp các điểm thuộc đường thẳng y = 2 mà qua mỗi điểm thuộc S đều kẻ được hai x2 đồng thời hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. x −1 Tính tổng hoành độ T của tất cả các điểm thuộc S .

tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số y =

Trang 21

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. T = 2.

B. T = 3 .

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

C. T = −1 . Hướng dẫn giải

D. T = 2 3 .

Chọn A x2 1 y= = x +1+ x −1 x −1 Gọi điểm A ( a; 2 ) ∈ ( d ) : y = 2 . Đường thẳng đi qua A có dạng y = k ( x − a ) + 2

 x2  x −1 = k ( x − a ) + 2  2 Điều kiện tiếp xúc:  2 ⇒ (1 − a ) k 2 − 4k − 4 = 0 x − 2 x  =k  ( x − 1) 2 a = 3 −4 Để 2 tiếp tuyến vuông góc nhau ⇒ = −1 ⇒  2 (1 − a )  a = −1 Vậy tổng hai hoành độ là: 2 . x2 − x + 1 Câu 38: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) đi qua giao điểm x −1 hai đường tiệm cận của ( C ) .

A.Không tồn tại.

B. y = 3x − 2 .

C. y = 4 x − 3 . Hướng dẫn giải

D. y = 2 x − 1 .

Chọn A

x2 − 2x . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với ( C ) ( x − 1) 2 x 2 − 2 x0 x02 − x0 + 1 . d:y= 0 ( x − x ) + 0 ( x0 − 1) 2 x0 − 1 Đồ thị có hai tiệm cận x = 1 và y = x , suy ra giao điểm của hai tiệm cận là I (1;1) . x 2 − 2 x0 x02 − x0 + 1 Cách1: I ∈ d ⇔ 1 = 0 (1 − x ) + 0 ( x0 − 1) 2 x0 − 1 2 2 ⇔ x0 − 1 = − x0 + 2 x0 + x0 − x0 + 1 ⇔ 2 = 0 vô nghiệm. Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I . Cách2: Gọi ( d ) là đường thẳng đi qua I , có hệ số góc k ⇒ d : y = k ( x − 1) + 1 . Ta có y′ =

 x02 − x0 + 1 = k ( x0 − 1) + 1   x0 − 1 có nghiệm x0 ( d ) tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ x0 khi hệ  2 x − 2 x  0 0 =k  ( x0 − 1)2 x 2 − x0 + 1 x02 − 2 x0 Thế k vào phương trình thứ hai ta được: 0 = +1 x0 − 1 x0 − 1 ⇔ x02 − x0 + 1 = x02 − 2 x0 + x0 − 1 (phương trình vô nghiệm). Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I . 2 x3 Câu 39: Cho hàm số y = − + x 2 + 4 x − 2 , gọi đồ thị của hàm số là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến 3 của ( C ) đi qua điểm A ( 2; −2 ) .

Trang 22

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

3 5 A. y = − x − . 4 2

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

3 1 3 1 B. y = − x − . C. y = − x + . 4 2 4 2 Hướng dẫn giải

3 7 D. y = − x − . 4 2

Chọn B Phương trình tiếp tuyến ( d ) của ( C ) đi qua A ( 2; −2 ) có dạng: y = k ( x − 2 ) − 2 .

 x02 = k ( x0 − 2) − 2 (1)   2 − x0 ( d ) tiếp xúc ( C ) tại điểm có hoành độ x0 khi hệ  2 có nghiệm x0 .  − x0 + 4 x0 = k  (2 − x0 ) 2 x2 − x 2 + 4 x0 3 1 ⇒ 0 = 0 ( x0 − 2) − 2 ⇔ x0 = −2 ⇒ y = − x − . 2 2 − x0 (2 − x0 ) 4 2 x2 − x + 1 có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) , biết tiếp tuyến x −1 song song với đường thẳng ∆ : 3x − 4 y + 1 = 0 . 3 3 3 3 3 5 B. y = x − 3 ; y = x + . A. y = x − ; y = x + 1 . 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 5 D. y = x − ; y = x + . C. y = x − 9 ; y = x + 7 . 4 4 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D x2 − 2x Ta có y′ = . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với ( C ) ( x − 1) 2

Câu 40: Cho hàm số y =

d:y=

x02 − 2 x0 x02 − x0 + 1 ( x − x ) + 0 ( x0 − 1) 2 x0 − 1

Vì d song song với đường thẳng ∆ : y =

3 1 x + , nên ta có: 4 4

x02 − 2 x0 3 = ⇔ x02 − 2 x0 − 3 = 0 ⇔ x0 = −1, x0 = 3 . 2 ( x0 − 1) 4 3 3 • x0 = −1 phương trình tiếp tuyến: y = x − . 4 4 3 5 • x0 = 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y = x + . 4 4 2x +1 Câu 41: – 2017] Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . Tiếp tuyến với đồ thị ( C ) tại M ( 2;5) cắt hai x −1 đường tiệm cận tại E và F . Khi đó độ dài EF bằng.

A. 2 13 .

B. 10 .

C. 2 10 . Hướng dẫn giải

D. 13 .

Chọn C Tiệm cận đứng của đồ thị ( C ) là: x = 1 . Tiệm cận ngang của đồ thị ( C ) là: y = 1 . Ta có y ′ =

−3

( x − 1)

Trang 23

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

Tiếp tuyến với ( C ) tại M ( 2;5) là: y = y ′ ( 2 )( x − 2 ) + 5 ⇔ y =

−3

( 2 − 1)

( x − 2) + 5

⇔ y = −3x + 11 . Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng suy ra E (1;8) . Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang suy ra F ( 3; 2) . 2

Vậy EF = ( 3 − 1) + ( 2 − 8 ) = 40 = 2 10 . x −1 Câu 42: Cho hàm số y = . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ 2x − 3 I đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng 1 A. d = 5 . B. d = 1 . C. d = 2 . D. d = . 2 Hướng dẫn giải Chọn D 3 1 Tọa độ giao điểm I =  ;  . 2 2  x −1  Gọi tọa độ tiếp điểm là  x0 ; 0  . Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị hàm số tại  2 x0 + 3   x −1  điểm  x0 ; 0  là:  2 x0 + 3  x −1 1 2 y=− x − x0 ) + 0 ⇔ x + ( 2 x0 − 3) y − 2 x02 + 4 x0 − 3 = 0 . 2 ( 2 x0 − 3 ( 2 x0 − 3) Khi đó: d ( I , ∆ ) =

3 1 2 + ( 2 x0 − 3) − 2 x02 + 4 x0 − 3 2 2 1 + ( 2 x0 − 3)

−2 x0 + 3 1 + ( 2 x0 − 3)

≤

2 x0 − 3 2 ( 2 x0 − 3)

1 2

(Theo bất đẳng thức Cô si)

 2 x0 − 3 = 1  x0 = 2 2 ⇔ Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ( 2 x0 − 3) = 1 ⇔  .  2 x0 − 3 = −1  x0 = 1 1 Vậy max d ( I , ∆ ) = . 2 x+2 Câu 43: Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết tiếp tuyến vuông góc với đường x −1 1 thẳng y = x − 5 và tiếp điểm có hoành độ dương. 3 A. y = −3 x − 2 . B. y = −3 x + 10 . C. y = −3 x + 2 . D. y = −3 x + 6 . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0 > 0 ) . 1 x − 5 nên ta có: y ′ ( x0 ) = −3 3  x0 = 0 (loaï i) 2 ⇔ x0 = 2 ⇒ y0 = 4 . = −3 ⇔ ( x0 − 1) = 1 ⇔ x0 2 − 2 x0 = 0 ⇔   x0 = 2

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ⇔

−3

( x0 − 1)

Trang 24

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = −3 ( x − 2 ) + 4 = −3x + 10 .

Câu 44: Cho hàm số y =

x −1 có đồ thị là ( C ) . Gọi điểm M ( x0 ; y0 ) với x0 > −1 là điểm thuộc 2 ( x + 1)

( C ) , biết tiếp tuyến của (C ) tại điểm

M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt

A, B và tam giác OAB có trọng tâm G nằm trên đường thẳng d : 4 x + y = 0 . Hỏi giá trị của x0 + 2 y0 bằng bao nhiêu? 5 5 7 7 A. . B. − . C. − . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C  x −1  Gọi M  x0 ; 0 ∈ C với x0 ≠ −1 là điểm cần tìm.  2 ( x + 1)  ( ) 0   Gọi ∆ tiếp tuyến của ( C ) tại M ta có phương trình. ∆ : y = f '( x0 )( x − x0 ) +

x0 − 1 x −1 1 . = ( x − x0 ) + 0 2 2( x0 + 1) ( x0 + 1) 2( x0 + 1)

 x 2 − 2 x0 − 1   x 2 − 2 x0 − 1  ;0  và B = ∆ ∩ Oy ⇒ B  0; 0 Gọi A = ∆ ∩ Ox ⇒ A  − 0 . 2  2    2( x0 + 1)  Khi đó ∆ tạo với hai trục tọa độ ∆OAB có trọng tâm là  x 2 − 2 x0 − 1 x02 − 2 x0 − 1  G− 0 ; . 6 6( x0 + 1) 2  

x02 − 2 x0 − 1 x02 − 2 x0 − 1 + =0 Do G thuộc đường thẳng 4 x + y = 0 ⇒ −4. 6 6( x0 + 1)2 1 ⇔4= (vì A, B không trùng O nên x02 − 2 x0 − 1 ≠ 0 ) 2 x + 1 ( 0 ) 1 1    x0 + 1 = 2  x0 = − 2 . ⇔ ⇔ x + 1 = − 1 x = − 3 0  0 2 2  1 7  1 3 ⇒ M  − ; −  ⇒ x0 + 2 y0 = − . 2  2 2 2 1 Câu 45: Điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị của hàm số y = sao cho tiếp tuyến tại M cùng với các trục x −1 tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Giá trị của 4x0 + y0 bằng A. −1 . B. −7 . C. 7 . D. 1. Lời giải Chọn D 1 - Ta có : y′ = − ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) của đồ thị hàm số là 2 ( x − 1)

Vì x0 > −1 nên chỉ chọn x0 = −

y=−

( x0 − 1)

( x − x0 ) +

1 1 , với x0 ≠ 1 và y0 = . x0 − 1 x0 − 1

- Gọi A , B là giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ, ta có:

Trang 25

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

 2x −1  0 A = ( 2 x0 − 1; 0 ) , B =  0; .  ( x − 1) 2  0   2

- Khi đó: S△OAB

2 x0 − 1 ( 2 x0 − 1) = 4 1 = 2 ⇔ OA.OB = 2 ⇔ 2 x0 − 1 . =4 ⇔ 2 2 2 ( x0 − 1) ( x0 − 1)

 2 x0 − 1 = 2 ( x0 − 1) 3 ⇔ x0 = ⇒ y0 = −4 . ⇔ 4  2 x0 − 1 = −2 ( x0 − 1) Vậy 4 x0 + y0 = −1 .

Câu 46: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên khoảng K và có đồ thị là đường cong ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( a; f ( a ) ) , ( a ∈ K ) .

A. y = f ( a )( x − a ) + f ′ ( a ) .

B. y = f ′ ( a )( x − a ) − f ( a ) .

C. y = f ′ ( a )( x − a ) + f ( a ) .

D. y = f ′ ( a )( x + a ) + f ( a ) .

Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( a; f ( a ) ) có dạng

y − f ( a ) = f ′ ( a )( x − a ) ⇔ y = f ′ ( a )( x − a ) + f ( a ) .

2x − 1 có đồ thị là ( C ) . Tìm điểm M thuộc ( C ) sao cho tiếp tuyến của ( C ) tại x −1 M vuông góc với IM , I là tâm đối xứng của ( C ) . A. y = −x + 1, y = −x + 4 . B. y = −x + 3, y = −x + 5 . C. y = −x + 1, y = −x + 3 . D. y = −x + 1, y = −x + 5 . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M

Câu 47: Cho hàm số y =

2x − 1 −1 ( x − x0 ) + 0 . 2 x0 − 1 ( x0 − 1)  1 −1  Đường thẳng ∆ có VTCP u =  1; , IM = ( x0 − 1; ).  ( x − 1)2  x0 − 1 0   1 IM ⊥ ∆ ⇔ x0 − 1 − = 0 ⇔ x0 = 0, x0 = 2 . ( x0 − 1)3 Từ đó ta tìm được tiếp tuyến: y = −x + 1, y = −x + 5 . x+2 Câu 48: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại giao điểm của x +1 đồ thị ( C ) với trục tung là y=

A. y = x − 2 .

B. y = − x − 2 .

C. y = − x + 2 . Hướng dẫn giải

D. y = − x + 1 .

Chọn C Gọi M ( a; b ) là giao điểm của đồ thị ( C ) với trục tung. a+2 và M ∈ Oy ⇒ a = 0 ⇒ b = 2 ⇒ M ( 0;2 ) . a +1 Phương trình cần tìm có dạng d : y = y′ ( 0 ) .( x − 0 ) + 2 . Ta có M ∈ ( C ) ⇒ b =

Trang 26

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lại có y′ =

−1

( x + 1)2

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

⇒ y ′ ( 0 ) = −1 ⇒ d : y = − x + 2 .

Câu 49: Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn [ f (1 + 2 x )]2 = x − [ f (1 − x )]3 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ bằng 1. 6 1 8 1 8 1 6 A. y = − x + . B. y = x − . C. y = − x + . D. y = − x − . 7 7 7 7 7 7 7 Hướng dẫn giải Chọn D Từ giả thiết [ f (1 + 2 x ) ]2 = x − [ f (1 − x ) ]3 , đặt f (1) = a và f ′ (1) = b . a = 0 Ta cho x = 0 ⇒ a 2 = − a 3 ⇒  .  a = −1 2

Đạo hàm 2 vế ta được 4 f (1 + 2 x ) . f ′ (1 + 2 x ) = 1 + 3  f (1 − x )  f ′ (1 − x ) . Cho x = 0 ta có 4ab = 1 + 3a 2b . Xét a = 0 thay vào 4ab = 1 + 3a 2b vô lý.

1 Xét a = −1 thay vào −4b = 1 + 3b ⇔ b = − . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là 7 1 1 6 y = − ( x − 1) − 1 = − x − . 7 7 7 Câu 50: Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + x + 1 . A. y = x + 1 B. y = −2 x + 1 C. y = − x + 1 D. y = 2 x + 1 Hướng dẫn giải Chọn A y′ = 3 x 2 + 1 . Dựa vào các đáp án, ta xét đường thẳng d có dạng y = kx + 1 .  x 3 + x + 1 = kx + 1 (1) d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ⇔ hệ phương trình  2 có nghiệm. ( 2) 3 x + 1 = k Thay (1) vào ( 2) ta được: x 3 + x + 1 = x ( 3 x 2 + 1) + 1 ⇔ 2 x 3 = 0 ⇔ x = 0 ⇒ k = 1 . Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là y = x + 1 . 2x − 3 Câu 51: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . Biết rằng tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ của ( C ) luôn x−2 cắt hai tiệm cận của ( C ) tại A và B . Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB là

A. 2 .

B. 2 .

C. 2 2 . Hướng dẫn giải

D. 4 .

Chọn C 1 1   Lấy điểm M  m; 2 + .  ∈ ( C ) với m ≠ 2 . Ta có y ' ( m ) = − 2 m−2  ( m − 2) Tiếp tuyến tại M có phương trình d : y = −

( m − 2)

( x − m) + 2 +

1 . m−2

2   Giao điểm của d với tiệm cận đứng là A  2; 2 + . m−2  Giao điểm của d với tiệm cận ngang là B ( 2m − 2;2 ) .

Trang 27

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

  1 2 2 Ta có AB 2 = 4 ( m − 2 ) + ≥ 8 , suy ra AB ≥ 2 2 . Dấu “=” xảy ra khi ( m − 2 ) = 1 , 2  ( m − 2 )   nghĩa là m = 3 hoặc m = −1 . Câu 52: Gọi d là tiếp tuyến tại điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x 4 − 3 x 2 + 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. d có hệ số góc dương B. d song song với đường thẳng y = 3 D. d có hệ số góc âm C. d song song với đường thẳng x = 3 Hướng dẫn giải Chọn B x = 0 3 4 2 3 y = x − 3x + 2 ⇒ y ' = 4 x − 6 x , y ' = 4 x − 6 x ⇔  . x = ± 6  2 Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là: A (0;2 ) . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 4 − 3 x 2 + 2 có hệ số góc: k = y ' ( 0 ) = 0 . Vậy phương trình tiếp tuyến d là: y = 2 . Suy ra d song song với đường thẳng y = 3 .

Câu 53: Cho hàm số y = x 4 + 2 x 2 + 1 có đồ thị ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại M (1; 4 ) là: A. y = x + 3 . B. y = 8x + 4 . C. y = −8x +12 . D. y = 8x − 4 . Hướng dẫn giải Chọn D Tập xác định D = ℝ . Ta có: y′ = 4 x3 + 4 x , ∀x ∈ ℝ . Do x0 = 1 ⇒ y′ ( x0 ) = y ′ (1) = 8 . Nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại M (1; 4 ) là:

y = 8 ( x −1) + 4 = 8x − 4 . Câu 54: Cho hàm số y = − x 3 + 3 x + 2 có đồ thị là ( C ) . Đồ thị ( C ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng? A. 3 .

B. −1 .

C. 1 . Hướng dẫn giải

D. 2 .

Chọn B 3  − x + 3 x + 2 = 0 Xét hệ phương trình :  ⇔ x = −1 2  −3 x + 3 = 0 Vậy ( C ) tiếp xúc với Ox tại điểm có hoành độ x = −1 .

Câu 55: Gọi M là giao điểm của trục tung với đồ thị hàm số ( C ) : y = x 2 + x + 1 . Tiếp tuyến của ( C ) tại M có phương trình là 1 1 A. y = x + 1 . B. y = − x + 1 . C. y = − x + 1 . D. y = x + 1 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 2x +1 Ta có y ′ = . 2 x2 + x + 1

Trang 28

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

1  ′  y ( 0) = x0 = 0 ⇒  2  y0 = 1 Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( 0;1) có dạng

1 1 ( x − 0) + 1 ⇔ y = x + 1. 2 2 x−2 Câu 56: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . Phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số ( C ) tạo với x +1 hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị ( C ) đến ∆ bằng? y=

A. 3 .

B. 2 6 .

C. 2 3 . Hướng dẫn giải

D. 6 .

Chọn D Phương pháp tự luận  x −2 Gọi M  x0 ; 0  ∈ ( C ) , ( x0 ≠ −1) , I ( −1;1) . Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng x0 + 1   x −2 3 ∆: y = ( x − x0 ) + 0 . 2 x0 + 1 ( x0 + 1)

 x −5 Giao điểm của ∆ với tiệm cận đứng là A  −1; 0 . x0 + 1   Giao điểm của ∆ với tiệm cận ngang là B ( 2 x0 + 1;1) . Ta có IA =

6 , IB = 2 x0 + 1 ⇒ IA.IB = 12 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ IAB là x0 + 1

S IAB = pr , suy ra S IA.IB IA.IB IA.IB r = IAB = = ≤ =2 3− 6. 2 2 p IA + IB + AB IA + IB + IA + IB 2 IA.IB + 2.IA.IB  x = − 1 + 3 ⇒ y0 = 1 − 3 2 Suy ra rmax = 2 3 − 6 ⇔ IA = IB ⇔ x0 − 1 = 3 ⇔  M .  xM = −1 − 3 ⇒ y0 = 1 + 3  IM 3; − 3 ⇒ IM = 6 .

(

)

Phương pháp trắc nghiệm  IA = IB ⇒ ∆ IAB vuông cân tại I ⇒ IM ⊥ ∆ .  x = −1 + 3 ⇒ y M = 1 − 3  cxM + d = ± ad − bc ⇒ xM + 1 = ± 1 + 2 ⇔  M  xM = −1 − 3 ⇒ yM = 1 + 3 ⇒ IM = 6 . x −1 và d1 , d 2 là hai tiếp tuyến của ( C ) song song với nhau. Khoảng cách 2x lớn nhất giữa d1 và d 2 là

Câu 57: Cho đồ thị ( C ) : y = A. 3 .

B. 2 3 .

C. 2 . Hướng dẫn giải

D. 2 2 .

Chọn C

Trang 29

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

x −1 1 , y ′ ( x ) = 2 ∀x ≠ 0 . 2x 2x d1 , d 2 là hai tiếp tuyến của ( C ) song song với nhau lần lượt có các hoành độ tiếp điểm là

Do ( C ) : y =

x1 , x2 ( x1 ≠ x2 ) , nên ta có y′ ( x1 ) = y′ ( x2 ) ⇔

 x1 = x2 1 1 ⇒ x1 = − x2 . = 2 ⇒ 2 2 x1 2 x2  x1 = − x2

 x −1   x +1 Gọi M  x1 ; 1  ; N  − x1; 1  . 2 x1  2 x1     x −1  1 x −1 1 x −1 PTTT d1 tại M  x1 ; 1  : y = 2 ( x − x1 ) + 1 ⇔ 2 ( x − x1 ) − y + 1 = 0. 2 x1  2 x1 2 x1 2 x1 2 x1  2 x1 4 = . Khi đó d( d1 , d2 ) = d( N ;d1 ) = 1 1 2 +1 4 x1 + 2 4 x14 x1 Áp dụng BĐT Cô-Si ta có 4 x12 +

1 1 ≥ 2 4 x12 . 2 = 4 ⇒ d( d1 ; d2 ) = 2 x1 x1

4 4 x12 +

1 x12

≤

4 = 2. 2 2

Câu 58: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn  f ( 2 x + 1)  +  f (1 − x )  = x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 1. A. y =

1 5 x− . 7 7

1 6 1 6 B. y = − x + . C. y = x − . 7 7 7 7 Hướng dẫn giải

1 8 D. y = − x + . 7 7

Chọn D  f (1) = 0 2 3 2 3 Từ  f ( 2 x + 1)  +  f (1 − x )  = x (*), cho x = 0 ta có  f (1)  +  f (1)  = 0 ⇔   f (1) = −1 2

Đạo hàm hai vế của (*) ta được 4. f ( 2 x + 1) . f ′ ( 2 x + 1) − 3  f (1 − x )  . f ′ (1 − x ) = 1 . 2

Cho x = 0 ta được 4 f (1) . f ′ (1) − 3.  f (1)  . f ′ (1) = 1 ⇔ f (1) . f ′ (1) .  4 − 3 f (1)  = 1 (**). Nếu f (1) = 0 thì (**) vô lý, do đó f (1) = −1 , khi đó (**) trở thành 1 7 1 1 8 Phương trình tiếp tuyến y = − ( x − 1) + 1 ⇔ y = − x + . 7 7 7 3 y = x − 4 x + 1 Câu 59: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình là: A. y = 8 x + 15 . B. y = 8 x − 15 . C. y = −8 x + 17 . D. y = 8 x − 16 . Hướng dẫn giải Chọn B Đạo hàm: y′ = 3 x 2 − 4 . Suy ra: y′ ( 2 ) = 8 . Ta có: y ( 2 ) = 1 .

− f ′ (1) .[ 4 + 3] = 1 ⇔ f ′ (1) = −

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 8 ( x − 2 ) + 1 ⇔ y = 8 x − 15 .

Trang 30

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

1 4 3  3 x − 3x2 + ( C ) . Tìm phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A  0;  và tiếp 2 2  2 xúc với đồ thị ( C ) .

Câu 60: Cho hàm số y =

 3 ∆ : y = 2  3 A.  ∆ : y = −2 2 x +  2  3 ∆ : y = 2 2x + 2   3 ∆ : y = 2 x + 1  1 C.  ∆ : y = −2 x +  2  1 ∆ : y = 2x + 2 

 3 ∆ : y = 2 x  3 B.  ∆ : y = − 2 x +  2  3 ∆ : y = 2x + 2   3 ∆ : y = 2  3 D.  ∆ : y = − 2 x +  2  3 ∆ : y = 2x + 2  Hướng dẫn giải

Chọn A Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có hệ số góc k có đạng: y = kx +

3 . 2

∆ tiếp xúc với ( C ) tại điểm có hoành độ x khi hệ phương trình :

1 4 3 3 2 (1)  x − 3x + = kx + có nghiệm x 2 2 2 2 x3 − 6 x = k (2)  1 3 3 Thế (2) vào (1), ta có: x4 − 3x 2 + = (2 x3 − 6 x)x + ⇔ x 2 ( x 2 − 2) = 0 2 2 2 (2)  3 x = 0 ⇒ k = 0 ⇒ ∆ : y = 2  (2) 3 ⇔  x = 2 ⇒ k = −2 2 ⇒ ∆ : y = −2 2 x + . 2  ( 2)  x = − 2 ⇒ k = 2 2 ⇒ ∆ : y = 2 2x + 3  2

(

)

Câu 61: Viết phương trình tiếp tuyến d tiếp xúc với đồ thị ( H ) : y = x 2 − 1 điểm phân biệt. A. y = 0 .

B. y = 2 x + 1 .

của hàm số tại đúng 2

C. y = 1 . Hướng dẫn giải

D. y = 2 x .

Chọn A Phương trình của đường thẳng ( d ) đi qua M có hệ số góc k : y = kx + m .

(

)

Giả sử d là đường thẳng tiếp xúc với ( H ) tại điểm M m; ( m 2 − 1) . Khi đó đường thẳng d có

(

)

(

)

phương trình: y = 2m m 2 − 1 ( x − m ) + m 2 − 1 .

Đường thẳng d tiếp xúc với ( H ) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi hệ phương trình:

Trang 31

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

( x 2 − 1)2 = 2m ( m 2 − 1) ( x − m ) + ( m 2 − 1)2  có đúng một nghiệm khác m  2 2 2 x ( x − 1) = 2m ( m − 1) ( x − m )  x ( x 2 + mx + m 2 ) − m3 − 2 x  = 0    tứ c h ệ  có đúng một nghiệm khác m 2 2 ( x − m ) ( x + mx + m − 1) = 0 3  x = − m hay  2 có nghiệm x = 1, m = − 1 hoặc x = − 1, m = 1 . 2  x + mx + m − 1 = 0 Vậy y = 0 thỏa đề bài. Câu 62: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 − 9 x + 1 có đồ thị là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : y = −x + 1 một góc α thỏa cos α =

1 9± B. y = −  x −  9 1 9± D. y = −  x −  9 Hướng dẫn giải

A.Đáp án khác. 1 9 ± 321  C. y = −  x −  + 7 . 9  9 

41 321   + 34 . 9  321   + 9 . 9 

Chọn A Ta có: y ' = 3( x 2 − 2 x − 3) . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M : y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 Hay kx − y + b = 0 , Với k = y '( x0 ) Theo bài ra ta có: cos α =

k −1 k 2 + 1. 2

5 41

1 ⇔ 41( k − 1) 2 = 50( k 2 + 1) ⇔ 9 k 2 + 82 k + 9 = 0 ⇔ k = −9, k = − . 9 2 • k = −9 ⇔ x0 − 2 x0 = 0 ⇔ x0 = 0, x0 = 2 Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y = −9x + 1 và y = −9 x − 3

1 9 ± 321 ⇔ 27 x02 − 54 x0 − 80 = 0 ⇔ x0 = 9 9 1 9 ± 321  Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến là: y = −  x −  + y( x0 ) . 9  9  Câu 63: Cho hàm số: y = −4 x3 + 3x + 2 , có đồ thị là ( C ) . Tìm những điểm trên đường thẳng y = 3 để từ • k=−

đó có thể vẽ được ba đường thẳng tiếp xúc với đồ thị ( C ) .

1 < m ≠ 2. 3 1 1 C. m < −2 hoặc < m ≠ . 3 2

A. m < −1 hoặc

1 1 <m≠ . 3 2 1 D. m < −3 hoặc 1 < m ≠ . 2 Hướng dẫn giải B. m < −1 hoặc

Chọn B

Trang 32

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

Giả sử M ( m;3) là điểm cần tìm và d là đường thẳng qua M có hệ số góc là k , phương trình có dạng: y = k ( x − m ) + 3 .

Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị ( C ) tại điểm N ( x0 ; y0 ) khi hệ:

−4 x03 + 3x0 + 2 = k ( x0 − m ) + 3  có nghiệm x0 , từ hệ suy ra  ′ 3 ′ ( −4 x0 + 3x0 + 2 ) =  k ( x0 − m ) + 3 ( 2 x0 − 1)  4 x02 − 2 ( 3m − 1) x0 − 3m + 1 = 0 (1) có nghiệm x0 . Qua M kẻ được 3 đường thẳng tiếp xúc với ( C ) khi và chỉ khi phương trình (1) có 3 nghiệm

x0 , tức phương trình 4 x02 − 2 ( 3m − 1) x0 − 3m + 1 = 0 ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt khác

1 hay 2

1 1 <m≠ . 3 2 3 2x Câu 64: Cho hàm số y = − + x 2 + 4 x − 2 , gọi đồ thị của hàm số là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến 3 của ( C ) đi qua điểm A ( 2;9 ) .

m < −1 hoặc

A. y = − x + 2 .

B. y = −8 x + 5 . C. y = x + 25 . Hướng dẫn giải

D. y = −8 x + 25 .

Chọn D Phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm A ( 2;9 ) có hệ số góc k là y = k ( x − 2) + 9 .

 2 x03 + x02 + 4 x0 − 2 = k ( x0 − 2) + 9 (1) − ( d ) tiếp xúc với ( C ) tại điểm có hoành độ x0 khi hệ  3 −2 x 2 + 2 x + 4 = k (2) 0 0  có nghiệm x0 . 2 x03 + x02 + 4 x0 − 2 = ( −2 x02 + 2 x0 + 4)( x0 − 2) + 9 3 ⇔ 4 x03 − 15 x02 + 12 x0 − 9 = 0 ⇔ x0 = 3 .

Thay ( 2 ) vào (1) ta được: −

Thay x0 = 3 vào ( 2 ) ta được k = −8 . Vậy phương trình tiếp tuyến ( d ) là y = −8 x + 25 . 2 x3 + x 2 + 4 x − 2 , gọi đồ thị của hàm số là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến 3 của ( C ) có hệ số góc lớn nhất.

Câu 65: Cho hàm số y = −

A. y = 5 x −

25 . 12

B. y =

9 25 7 5 x− . C. y = x + . 4 12 2 12 Hướng dẫn giải

D. y =

9 25 x− . 2 12

Chọn C Gọi ( d ) là tiếp tuyến cần tìm phương trình và x0 là hoành độ tiếp điểm của ( d ) với ( C ) thì hệ 2

9 1 9  1 9 −  x0 −  ≤ ; k = ⇔ x0 = . 2  2 2 2 2 9 1 Vậy max k = đạt được khi và chỉ khi x0 = . 2 2 số góc của ( d ) : k = y '( x0 ) = −2 x02 + 2 x0 + 4 =

Trang 33

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

9 1 25 1 9 Suy ra phương trình tiếp tuyến ( d ) : y =  x −  + y   = x − . 2 2 2 2 12   3 2 Câu 66: Cho hàm số y = x − 3x + 6 x + 5 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất có phương trình là A. y = 3x + 3 . B. y = 3x + 12 . C. y = 3x + 6 . D. y = 3x + 9 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 Ta có: y′ = 3x 2 − 6 x + 6 = 3 ( x − 1) + 3 ≥ 3 . Dấu " = " xảy ra khi x = 1 ⇒ y = 9 .

Do đó, tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc nhỏ nhất bằng 3 và là tiếp tuyến tại điểm M (1;9 ) . Phương trình tiếp tuyến là: y = 3 ( x − 1) + 9 ⇔ y = 3x + 6 .

x −1 . Gọi M là giao điểm của ( C ) với trục tung. x +1 Tiếp tuyến của ( C ) tại M có phương trình là A. y = −2 x − 1 . B. y = 2 x + 1. C. y = 2 x − 1 . D. y = x − 2 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 Ta có M ( 0; − 1) , y′ = ⇒ y′ ( 0 ) = 2 . 2 ( x + 1)

Câu 67: Cho đường cong ( C ) có phương trình y =

Tiếp tuyến của ( C ) tại M có phương trình là: y = 2 x − 1 .

DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN (CÓ THAM SỐ) Câu 68: Tìm m để ( Cm ) : y = A. m∈{0;4;6} .

x3 1 − ( m + 2) x2 + 2mx +1 tiếp xúc với đường thẳng y = 1 . 3 2  2   2   2  B. m ∈ 0; ;6 . C. m ∈ 0; ;2 . D. m ∈ 4; ;6 .  3   3   3  Hướng dẫn giải

Chọn B

( Cm )

tiếp xúc đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ

x0 khi hệ sau có nghiệm x0

 x03 1 2  − (m + 2) x0 + 2mx0 +1 = 1 (a) 3 2  x2 − (m + 2) x + 2m = 0 (b) 0  0 Ta có:

(b) ⇔ x0 = 2 ∨ x0 = m. 2 m= . 3

Thay

x0 = 2 vào ( a ) ta được:

Thay

x0 = m vào ( a ) ta được: −

( Cm )

m3 + m2 = 0 ⇔ m = 0 ∨ m = 6 . 6  2  tiếp xúc đường thẳng y = 1 ⇔ m ∈ 0; ;6 .  3 

Câu 69: Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = 2 x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y =

2x − 3 . x −1

Trang 34

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. m ≠ ±2 .

B. m = ±2 2 .

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

C. m ≠ 2 2 .

D. m = ±

Hướng dẫn giải

2 +1. 2

Chọn B Đường thẳng y = 2 x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = sau có nghiệm:  1  2 x − 3 ′ 2= ( 2 x + m )′ =  2    ( x − 1)  x − 1  ⇔  . 2x − 3  m = 2 x − 3 − 2 x 2 x + m = x − 1  x −1 2

Ta có (1) ⇔ ( x − 1) =

2x − 3 khi và chỉ khi hệ phương trình x −1

(1) ( 2)

1 2 ⇔ x=± +1. 2 2

2 + 1 thay vào ( 2 ) ta được m = −2 2 . 2 2 V ớ i x = − + 1 thay vào ( 2 ) ta được m = 2 2 . 2 Do đó, giá trị cần tìm của m là : m = ±2 2 . x4 Câu 70: Cho hàm số y = − 2 x 2 + 4 , có đồ thị là ( C ) . Tìm tham số m để đồ thị ( C ) tiếp xúc với 4 parabol ( P ) : y = x 2 + m .

V ớ i x =

A. m = 4; m = 2 .

B. m = 4; m = 20 . C. m = 124; m = 2 . Hướng dẫn giải

D. m = 14; m = 20 .

Chọn B ( C ) tiếp xúc ( P ) : y = x 2 + m tại điểm có hoành độ x0 khi hệ sau có nghiệm x0 :

 x04 2 2  x = 0  x0 = 6  − 2 x0 + 4 = x0 + m ⇔ 0 ∨ . 4 m m = 4 = 20   3   x0 − 4 x0 = 2 x0 Câu 71: Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3 , với m là tham số; gọi ( C ) là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị ( C ) luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Xác định hệ số góc k của đường thẳng d .

A. k = −3 .

B. k = 3 .

1 3

C. k = − .

Hướng dẫn giải Chọn A Tập xác định D = ℝ . Ta có y′ = 3 x 2 − 6mx + 3 ( m 2 − 1) và y′′ = 6 x − 6m .

1 3

D. k = .

Khi đó y′ = 0 ⇔ 3 x 2 − 6mx + 3 ( m 2 − 1) = 0 . ∆′ = 9m 2 − 9 ( m 2 − 1) = 9 nên hàm số luôn có hai điểm cực trị x =

3m + 3 = m + 1 và 3

3m − 3 = m −1 . 3

Trang 35

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

y′′ ( m − 1) = 6 ( m − 1) − 6m = − 6 < 0 ⇒ x = m − 1 là điểm cực đại của hàm số ⇒ A ( m − 1; − 3m + 2 ) là điểm cực đại của đồ thị ( C ) .

 xA = m − 1 ⇒ y A = −3xA − 1 Ta có   y A = −3m + 2 ⇒ A luôn thuộc đường thẳng d có phương trình y = −3x − 1. Do đó hệ số góc k của đường thẳng d là − 3 . Câu 72: Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + ( m − 1) x + 2m ( Cm ) . Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để từ điểm M (1; 2 ) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với ( Cm ) . Tổng tất cả các phần tử của tập S là? : A.

4 3

81 109

3 4 Hướng dẫn giải

217 81

Chọn D Ta có: y ′ = 3x 2 − 4 x + ( m − 1) . Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M (1; 2 ) là: y = kx − k + 2 . Điều kiện tiếp xúc của ( Cm ) và tiếp tuyến là:  x3 − 2 x 2 + ( m − 1) x + 2m = kx − k + 2  2 3 x − 4 x + ( m − 1) = k Thay ( 2) vào (1) ta có:

(1) ( 2)

x3 − 2 x 2 + ( m − 1) x + 2m = 3x 3 − 4 x 2 + ( m − 1) x − 3x 2 + 4 x − ( m − 1) + 2 . ⇔ 2 x 3 − 5 x 2 + 4 x − 3 ( m − 1) = 0 (*) . Để qua M (1; 2 ) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với ( Cm ) thì phương trình (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt.  y = 2 x3 − 5 x 2 + 4 x (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị   y = 3 ( m − 1) Xét y = 2 x3 − 5 x 2 + 4 x : y ′ = 6 x 2 − 10 x + 4 . x = 1 ′ y =0⇔ 2. x = 3  Bảng biến thiên:

4  3 ( m − 1) = 1 m = 3 Dựa vào bảng biến thiên: để (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt thì:  ⇔ 3 ( m − 1) = 28  m = 109  27  81

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

 4 109  Do đó: S =  ; .  3 81 

Vậy tổng các phần tử của S là:

217 . 81

2x − 3 có đồ thị ( C ) . Tìm trên ( C ) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M x−2 của ( C ) cắt hai tiệm cận của ( C ) tại A,B sao cho AB ngắn nhất.

Câu 73: Cho hàm số y =

5 5 A. M(4; ) hoặc M( −1; ) . 2 3 5 C. M (3; 3) hoặc M( −1; ) . 3

B. M (3; 3) hoặc M (1; 1) .

5 D. M( −1; ) hoặc M (1;1) . 3 Hướng dẫn giải

Chọn B  1  1 Lấy điểm M  m; 2 +  ∈ ( C ) . Ta có: y′ ( m) = − m−2 ( m − 2)2  1 1 ( x − m) + 2 + Tiếp tuyến ( d ) tại M có phương trình: y = − 2 m−2 ( m − 2)  2  Giao điểm của ( d ) với tiệm cận đứng là: A  2; 2 +  m−2  Giao điểm của ( d ) với tiệm cận ngang là: B(2m – 2; 2)

 1  Ta có: AB2 = 4 ( m − 2)2 +  ≥ 8 . Đẳng thức xảy ra khi m = 1 hoặc m = 3 . ( m − 2)2   Vậy, điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3; 3) hoặc M (1; 1) . Câu 74: Cho hàm số y = x3 + 3x2 có đồ thị ( C ) và điểm M ( m;0 ) sao cho từ M vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) , trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng.  1  A. m ∈  − ; 0  .  2 

 1 B. m ∈  0;  .  2

1  C. m ∈  −1; −  . 2  Hướng dẫn giải

1  D. m ∈  ;1  . 2 

Chọn B Ta có y′ = 3x 2 + 6 x . Gọi A ( a; a 3 + 3a 2 ) thuộc đồ thị hàm số. Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại A là: y = ( 3a 2 + 6 a ) ( x − a ) + a 3 + 3a 2 .

M ( m;0 ) ∈ d ⇔ ( 3a 2 + 6a ) ( m − a ) + a 3 + 3a 2 = 0 ⇔ 2a3 − 3 ( m − 1) a 2 − 6ma = 0 a = 0 . ⇔ 2  2a − 3 ( m − 1) a − 6 m = 0 (1) Khi a = 0 ta có phương trình tiếp tuyến y = 0 . Đối với đồ thị hàm số không có tiếp tuyến nào vuông góc với y = 0 nên yêu cầu bài toán tương đươngphương trình (1) có hai nghiệm a1 và a2 khác 0 thỏa y′ ( a1 ) . y′ ( a2 ) = −1

(

)(

)

⇔ 3a12 + 6 a1 3a22 + 6 a2 = −1 ⇔ 9 a1.a2  a1 .a2 + 2 ( a1 + a2 ) + 4  + 1 = 0 ⇔ 9 ( −3m )  −3m + 3 ( m − 1) + 4  + 1 = 0 ⇔ −27m + 1 = 0 ⇔ m =

1 . 27 Trang 37

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

1 vào (1) thử lại có 2 nghiệm phân biệt khác 0 . 27 −x + 1 Câu 75: Cho hàm số y = có đồ thị là ( C ) , đường thẳng d : y = x + m . Với mọi m ta luôn có d 2x − 1 cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt A, B . Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với ( C ) tại Thay m =

A, B . Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất. A. m = −5 . B. m = −1 . C. m = −2 . Hướng dẫn giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( C ) là

D. m = 3 .

1  −x + 1 x ≠ 2 = x + m⇔ . 2x − 1  g ( x ) = 2 x 2 + 2mx − m − 1 = 0 (*)  −m − 1 Theo định lí Viet ta có x1 + x2 = −m; x1 x2 = . Giả sử A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) . 2 −1 Ta có y′ = , nên tiếp tuyến của ( C ) tại A và B có hệ số góc lần lượt là 2 ( 2 x − 1) k1 = −

( 2 x1 − 1)

và k 2 = −

k1 + k2 = −

( 2 x2 − 1)

. V ậy

1 1 4( x12 + x22 ) − 4( x1 + x2 ) + 2 − = − 2 (2 x1 − 1)2 (2 x2 − 1)2 [ 4 x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + 1] 2

= − ( 4m2 + 8m + 6 ) = −4 ( m + 1) − 2 ≤ −2 Dấu "=" xảy ra ⇔ m = −1 . Vậy k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất bằng −2 khi m = −1 . Câu 76: Cho hàm số ( Cm ) : y = x 3 − 2 x 2 + ( m − 1) x + 2m , với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để từ điểm M (1; 2 ) có thể vẽ đến ( Cm ) đúng hai tiếp tuyến. 4 109 . A. < m < 3 81 4 109 C. m = hoặc m = . 3 81

109 . 81 4 D. m < . 3 Hướng dẫn giải

B. m >

Chọn C Ta có: y′ = 3x 2 − 4 x + m − 1 . Giả sử A ( a ; a 3 − 2 a 2 + ( m − 1) a + 2m ) là tiếp điểm của tiếp tuyến. Phương trình tiếp tuyến tại A là: y = ( 3a 2 − 4 a + m − 1) ( x − a ) + a 3 − 2a 2 + ( m − 1) a + 2m . Do tiếp tuyến qua M (1; 2 ) nên: 2 = ( 3a 2 − 4a + m − 1) (1 − a ) + a 3 − 2a 2 + ( m − 1) a + 2m

⇔ −2a 3 + 5a 2 − 4a + 3m − 3 = 0 (*). Để từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị ( Cm ) thì (*) có đúng hai nghiệm. a = 1 Xét hàm số g ( a ) = −2a + 5a − 4a + 3m − 3 , g ′ ( a ) = −6a + 10a − 4 , g ′ ( a ) = 0 ⇔  . a = 2 3  3

Trang 38

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Do đó yCT = 3m −

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

109 , yCĐ = 3m − 4 . 27

4  m = 3  yCT = 0 Để (*) có đúng hai nghiệm thì  . ⇔  yCĐ = 0  m = 109  81 Câu 77: Tìm tham số m để đồ thị ( Cm ) của hàm số y = x3 − 4mx 2 + 7mx − 3m tiếp xúc với parabol

( P ) : y = x2 − x + 1. 1   A. m ∈  2; − ;1 . 4  

1 3     B. m ∈ 5; − ; 78 . C. m ∈  2; − ;1 . 4 4     Hướng dẫn giải

D. m ∈ {2; −7;1} .

Chọn A ( Cm ) tiếp xúc với ( P ) tại điểm có hoành độ x0 khi hệ

 x03 − 4mx02 + 7 mx0 − 3m = x02 − x0 + 1 (1) ( A) có nghiệm x0 .  2 3 x0 − 8mx0 + 7 m = 2 x0 − 1 Giải hệ ( A ) , (1) ⇔ x03 − (4 m + 1) x02 + (7 m + 1) x0 − 3m − 1 = 0  x0 = 1 . ⇔ ( x0 − 1)( x02 − 4mx0 + 3m + 1) = 0 ⇔  2  x0 − 4mx0 + 3m + 1 = 0  x02 − 4mx0 + 3m + 1 = 0  x0 = 1 Vậy ( A) ⇔  2 . ∨ 2 3 x0 − 2(4m + 1) x0 + 7 m + 1 = 0 (2) 3 x0 − 2(4m + 1) x0 + 7 m + 1 = 0 (2) Thay x0 = 1 vào ( 2 ) ta được m = 2 .

3 x02 − 2(4m + 1) x0 + 7 m + 1 = 0 (2) 3 x02 − 2(4m + 1) x0 + 7 m + 1 = 0 (2) ⇔ 2 Hệ  2  x0 − 4mx0 + 3m + 1 = 0 (3) 3 x0 − 12mx0 + 9m + 3 = 0 (4) Trừ hai phương trình ( 2 ) và ( 4 ) ,vế với vế ta được: 4mx0 − 2 x0 − 2m − 2 = 0 ⇔ ( 2m − 1) x0 = m + 1 ( 5 ) 1 3 m +1 thì ( 5 ) trở thành 0 = (sai), do đó ( 5 ) ⇔ x0 = . 2 2 2m − 1 m +1 Thay x0 = vào phương trình ( 3 ) ,ta được: 2m − 1 2 1  m +1   m +1  3 2   − 4m   + 3m + 1 = 0 ⇔ 4m − 11m + 5m + 2 = 0 ⇔ m = 2 ∨ m = − ∨ m = 1 . 4  2m − 1   2m − 1  1   Vậy các giá trị m cần tìm là m ∈  2; − ;1 . 4   2mx + 3 Câu 78: Cho hàm số y = . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của ( C ) . Tìm m để tiếp tuyến tại x−m một diểm bất kì của ( C ) cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho ∆IAB có diện tích S = 22 . Khi m =

A. m = ±5 .

B. m = ±6 .

C. m = ±7 . Hướng dẫn giải

D. m = ±4 .

Chọn D (C) có tiệm cận đứng x = m , tiệm cận ngang y = 2m .

Trang 39

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

2mx0 + 3   Giao điểm 2 tiệm cận là I ( m; 2 m) và M  x0 ;  ∈ (C ) . x0 − m   2 mx0 + 3 2m2 + 3 . Phương trình tiếp tuyến ∆ của ( C ) tại M : y = ( x − x0 ) + 2 x0 − m ( x 0 − m)  2 mx0 + 2 m 2 + 6  ∆ cắt TCĐ tại A  m;  , cắt TCN tại B(2 x0 − m ; 2 m ) . x0 − m  

Ta có: IA =

1 4m2 + 6 ; IB = 2 x0 − m ⇒ SIAB = IA.IB = 4m2 + 6 = 22 ⇔ m = ±4 . 2 x0 + m

1 Câu 79: Cho hàm số y = mx 3 + ( m − 1) x 2 + (4 − 3m) x + 1 có đồ thị là ( Cm ) . Tìm các giá trị m sao cho 3 trên đồ thị ( Cm ) tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với

đường thẳng ( d ) : x + 2 y − 3 = 0 .  1 1 2 A. m ∈  0;  ∪  ;  .  2 2 3  1 1 8 C. m ∈  0;  ∪  ;  .  2  2 3

 1 1 5 B. m ∈  0;  ∪  ;  .  2  2 3  1 1 2 D. m ∈  0;  ∪  ;  .  3  2 3 Hướng dẫn giải

Chọn A 1 3 Ta có: y′ = mx 2 + 2(m − 1) x + 4 − 3m ; d : y = − x + . 2 2 Theo yêu cầu bài toán ⇔ phương trình y ′ = 2 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt

⇔ mx 2 + 2(m − 1) x + 2 − 3m = 0 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt m ≠ 0  1  ∆ ′ > 0 0 < m <  2 ⇔ ⇔ . 1 2 S > 0   <m<  2  P > 0 3  1 1 2 Vậy, với m ∈  0;  ∪  ;  thỏa mãn bài toán.  2 2 3 Câu 80: Đường thẳng x + y = 2m là tiếp tuyến của đường cong y = − x3 + 2 x + 4 khi m bằng A. 1 hoặc 3 . B. −1 hoặc 3 . C. −3 hoặc −1 . D. −3 hoặc 1 . Hướng dẫn giải Chọn A Đường thẳng x + y = 2m là tiếp tuyến của đường cong y = − x3 + 2 x + 4 khi và chỉ khi hệ  − x 3 + 2 x + 4 = 2m − x phương trình  có nghiệm. 2  −3 x + 2 = −1  x = 1 3 m = 3   − x + 2 x + 4 = 2 m − x Ta có  . ⇔  x = −1 ⇒ 2  −3 x + 2 = −1 m = 1  3  − x + 2 x + 4 = 2m − x

Trang 40

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

x+b ( ab ≠ −2 ) . Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị ax − 2 hàm số tại điểm A (1; − 2 ) song song với đường thẳng d : 3x + y − 4 = 0 . Khi đó giá trị của

Câu 81: Cho hàm số y =

a − 3b bằng A.5.

B.4.

C. −1 . Hướngdẫngiải

D.-2.

Chọn D Ta có y′ =

−2 − ab

( ax − 2 )

⇒ y′ (1) =

−2 − ab

( a − 2)

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 3 x + y − 4 = 0 nên: y′ (1) = −3 ⇔ Mặt khác A (1; − 2 ) thuộc đồ thị hàm số nên −2 = Khi đó ta có

−2 − ab

( a − 2)

−2 − ab

( a − 2)

= −3 .

1+ b ⇔ b = −2a + 3 . a−2

= −3 ⇔ −2 − a ( −2a + 3) = −3a 2 + 12a − 12 , a ≠ 2 .

 a = 2 ( loai ) ⇔ 5a 2 − 15a + 10 = 0 ⇔  . a = 1 Với a = 1 ⇒ b = 1 ⇒ a − 3b = −2 . Câu 82: Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + ( m − 1) x + 2m có đồ thị là ( Cm ) . Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc

nhỏ nhất của đồ thị ( Cm ) vuông góc với đường thẳng ∆ : y = 3 x + 2018 .

A. m = 2 .

1 B. m = − . 3

C. m = Hướng dẫn giải

7 . 3

D. m = 1 .

Chọn A 2

2  7 7  2 Ta có y′ = 3x 2 − 4 x + m − 1 =  x 3 −  + m − 3 ≥ m − 3 , dấu " = " xảy ra ⇔ x = 3 . 3  7 Tiếp tuyến d của ( Cm ) có hệ số góc nhỏ nhất là m − . 3 7  Bài ra d ⊥ ∆ nên  m −  .3 = −1 ⇔ m = 2 . 3  Vậy m = 2 . Câu 83: Gọi ( Cm ) là đồ thị của hàm số y = x 4 − (m + 1) x 2 + 4m . Tìm tham số m để ( Cm ) tiếp xúc với đường thẳng ( d ) : y = 3 tại hai điểm phân biệt. m = 2 A.  .  m = 13

m = 1 B.  .  m = 13

m = 1 C.  . m = 3 Hướng dẫn giải

m = 1 D.  .  m = 16

Chọn B 4 2  x0 − (m + 1) x0 + 4m = 3 (1) tiếp xúc với ( d ) tại điểm có hoành độ x0 khi hệ  3 ( A) có 4 x0 − 2(m + 1) x0 = 0 (2) nghiệm x0 . m +1 Giải hệ ( A ) , (2) ⇔ x0 = 0 hoặc x02 = . 2

( Cm )

Trang 41

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

3 . 4 2 2 m +1  m + 1  (m + 1) Thay x02 = vào (1) ta được  − + 4m = 3  2 2  2  ⇔ m 2 − 14m + 13 = 0 ⇔ m = 1 ∨ m = 13. 3 3 Khi m = thì ( Cm ) tiếp xúc với ( d ) tại chỉ một điểm ( 0;3) nên m = không thỏa mãn yêu 4 4 cầu của bài toán. Khi m = 1 thì x02 = 1 ⇔ x0 = ±1 , suy ra ( Cm ) tiếp xúc với ( d ) tại hai điểm ( ±1;3 ). Thay x0 = 0 vào (1) ta được m =

(

)

Khi m = 13 thì x02 = 7 ⇔ x0 = ± 7 ,suy ra ( Cm ) tiếp xúc với ( d ) tại hai điểm ± 7;3 . Vậy các giá trị m cần tìm là m = 1; m = 13 . x2 − x + 1 tiếp xúc với parabol y = x 2 + m . x −1 B. m = 0 . C. m = −1 . Hướng dẫn giải

Câu 84: Tìm m để đồ thị hàm số y = A. m = −2 .

D. m = 3 .

Chọn C Hai đường cong đã cho tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 khi hệ phương trình:

 x02 − x0 + 1 = x02 + m (1)   x0 − 1 có nghiệm x0 .  2  x0 − 2 x0 = 2 x (2) 0  ( x0 − 1)2 Ta có: (2) ⇔ x0 (2 x02 − 5 x0 + 4) = 0 ⇔ x = 0 thay vào (1) ta được m = −1 . Vậy m = −1 là giá trị cần tìm. Câu 85: Cho đồ thị ( C ) : y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 10 và điểm A ( m; − 10 ) . Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m để có đúng 2 tiếp tuyến của ( C ) qua A . Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng

A. 3 .

B. 5 .

19 . 4 Hướng dẫn giải C.

5 D. . 2

Chọn C Gọi d là đường thẳng qua A ( m; − 10 ) có hệ số góc k . Suy ra d : y = k ( x − m ) − 10 .

d là tiếp tuyến của ( C ) khi hệ phương trình sau có nghiệm  x3 − 3 x 2 − 9 x + 10 = k ( x − m ) − 10 (1)  2 3 x − 6 x − 9 = k Thế k vào (1), ta được 2 x 3 − ( 3m + 3) x 2 + 6mx + 9m − 20 = 0 (*).

Để có đúng 2 tiếp tuyến của ( C ) qua A thì phương trình (*) có 2 nghiệm. Suy ra đồ thị hàm số f ( x ) = 2 x3 − ( 3m + 3) x 2 + 6mx + 9m − 20 có 2 cực trị, trong đó có 1 cực trị thuộc trục hoành. Ta có f ′ ( x ) = 6 x 2 − 2 ( 3m + 3) x + 6m .

Trang 42

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

 x = 1 ⇒ f (1) = 12m − 21 . f ′( x) = 0 ⇒  3 2  x = m ⇒ f ( m ) = −m + 3m + 9m − 20  7 m = 4  12m − 21 = 0 Khi đó  3 ⇔ m = 4 . 2  −m + 3m + 9m − 20 = 0   m = −1 ± 21  2  7 7 −1 + 21 −1 − 21 19 −1 ± 21  Vậy S =  ; 4; = . +  . Suy ra T = + 4 + 4 2 2 4 2  4  Câu 86: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng d : y = mx − m − 3 cắt đồ thị ( C ) : y = 2 x3 − 3 x 2 − 2 tại ba điểm phân biệt A , B , I (1; −3) mà tiếp tuyến với ( C ) tại A và tại B vuông góc với nhau. Tính tổng các phần tử của S . B. 1. C. 2 . D. −1 . A. 5 . Hướng dẫn giải Chọn D Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và ( d ) : 2 x 3 − 3 x 2 − 2 = mx − m − 3 ⇔ ( x − 1) ( 2 x 2 − x − m − 1) = 0 (*)

Để đường thẳng ( d ) cắt đồ thị ( C ) tại ba điểm phân biệt thì phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt ⇔ 2 x 2 − x − m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 . −9  ∆ > 0 m > ⇔ 2 ⇔ 8 . 2.1 − 1 − m − 1 ≠ 0  m ≠ 0 Do tiếp tuyến với ( C ) tại A và tại B vuông góc với nhau nên k1.k2 = −1 . Với k1 là hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) tại A , k2 là hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) tại B . Ta có y′ = 6 x 2 − 6 x ⇒ k1 = ( 6 x12 − 6 x1 ) ; ⇒ k2 = ( 6 x22 − 6 x2 ) . 2

Do k1.k2 = −1 nên ( 6 x12 − 6 x1 )( 6 x22 − 6 x2 ) = −1 ⇔ 36 ( x1 x2 ) − 36 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 36 x1 x2 + 1 = 0 .

1   x1 + x2 = 2 Theo định lý vi-et ta có  x x = − m +1  1 2 2 2

 m +1   m +1 1  m +1 khi đó ta có ⇔ 36  −  − 36  −  + 36  −  +1 = 0 2  2 2 2      −3 + 5 m = − 3 + 5 −3 − 5 6 . Vậy S = ⇔ 9m 2 + 9m + 1 = 0 ⇔  + = −1 . 6 6  −3 − 5 m = 6  Câu 87: Tìm tham số m để đồ thị ( C ) : y = − x 3 + 2(m + 1) x 2 − 5mx + 2m của hàm số tiếp xúc với trục hoành. 4 4 4    A. m ∈ 0;1; 2;  . B. m ∈ {0;1; 2} . C. m ∈ 1; 2;  . D. m ∈ 0;1;  . 3 3 3   

Trang 43

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

Hướng dẫn giải Chọn A 3 2 −  x0 + 2(m + 1) x0 − 5mx0 + 2m = 0 ( C ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ x0 khi hệ  2 −3 x0 + 4(m + 1) x0 − 5m = 0 ( A) có nghiệm x0 .

Giải hệ ( A) .

( x0 − 2)( x02 − 2mx0 + m) = 0  x0 = 2 ( A) ⇔  2 ⇔ 2 3 x0 − 4(m + 1) x0 + 5m = 0 3 x0 − 4(m + 1) x0 + 5m = 0 (1) 2 4  x0 − 2mx0 + m = 0 Hoặc  2 . Thay x0 = 2 vào (1) ta được m = . 3 3 x0 − 4(m + 1) x0 + 5m = 0  x02 − 2mx0 + m = 0 (2) 3 x02 − 6mx0 + 3m = 0 (3) Hệ  2 ⇔ 2 3 x0 − 4(m + 1) x0 + 5m = 0 3 x0 − 4(m + 1) x0 + 5m = 0 (1) Trừ hai phương trình (1) và ( 3 ) , vế với vế ta được: (m − 2) x0 = − m ⇔ x0 = − Thay x0 = −

m . m−2

m2 2m 2 m + +m=0 vào (1) , ta được: m−2 (m − 2)2 m − 2

4 ⇔ m3 − 3m2 + 2m = 0 ⇔ m = 0 ∨ m = 1 ∨ m = 2 .Vậy m ∈ 0;1; 2;  .

3  Câu 88: Cho hàm số y = x − 3x + 3mx + 1 − m . Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị tiếp xúc với Ox A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 Hướng dẫn giải Chọn B Vì hàm số đã cho là hàm số bậc ba nên đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành khi phương x3 − 3x 2 + 1 trình x3 − 3x 2 + 3mx + 1 − m = 0 có hai nghiệm phân biệt = m có hai nghiệm phân biệt 1 − 3x 1 ( x = không thỏa mãn phương trình) 3 −6 x 3 + 12 x 2 − 6 x + 3 x3 − 3x 2 + 1 ′ Đặt f ( x ) = , f ( x) = , f ′ ( x ) = 0 có đúng 1 nghiệm x0 ≈ 1,565 2 1 − 3x (1 − 3x ) 3

Bảng biến thiên

x -∞ f'(x)

1/3 +

+ +∞

f(x)

-∞

x0 0 -

+∞

f(x0) -∞

Dựa vào bảng biến thiên, chỉ có 1 giá trị của m thỏa mãn bài toán.

-∞

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

x+2 có đồ thị là ( C ) và điểm A ( 0; m ) . Xác định m để từ A kẻ được 2 tiếp x −1 tuyến đến ( C ) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox .

Câu 89: Cho hàm số y =

m ≠ 1 A.  .  m > −1

m ≠ 1  B.  2. m > −  3

m ≠ 1  C.  1. m > −  3

m ≠ 1  D.  2. m > −  5

Hướng dẫn giải Chọn B Cách1: Gọi điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) . Tiếp tuyến ∆ tại M của ( C ) có phương trình: x +2 −3 . ( x − x0 ) + 0 2 ( x0 − 1) x0 − 1 3 x0 x +2 A∈ ∆ ⇔ m = + 0 ⇔ m ( x0 − 1) 2 = 3 x0 + ( x0 + 2)( x0 − 1) = 0 (với x0 ≠ 1 ) 2 ( x0 − 1) x0 − 1 y=

⇔ ( m − 1) x02 − 2( m + 2) x0 + m + 2 = 0 (*).

Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho ( a + 2)(b + 2) ab + 2(a + b) + 4 = < 0 hay là: ( a − 1)(b − 1) ab − ( a + b) + 1

 ∆ ' = 3( m + 2) > 0 m ≠ 1   m − 1 ≠ 0 ⇔   2.  −3m − 2 < 0  m > − 3 

m ≠ 1  Vậy  2 là những giá trị cần tìm.  m > − 3 Cách2: Đường thẳng d đi qua A , hệ số góc k có phương trình: y = kx + m .  x0 + 2  x − 1 = kx0 + m  d tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x0 khi hệ  0 có nghiệm x0 . − 3  =k  ( x0 − 1) 2 Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được: −3 x0 x0 + 2 = + m ⇔ ( m − 1) x02 − 2(m + 2) x0 + m + 2 = 0 (*). x0 − 1 ( x0 − 1) 2 Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1  ∆ ' = 3( m + 2) > 0  m > −2  ⇔ m ≠ 1 ⇔ (i ) m ≠ 1  m − 1 − 2( m + 2) + m + 2 ≠ 0  Khi đó tọa độ hai tiếp điểm là: M 1 ( x1 ; y1 ), M 2 ( x2 ; y2 ) với x1 , x2 là nghiệm của (*) và x +2 x +2 . y1 = 1 ; y2 = 2 x1 − 1 x2 − 1 x x + 2( x1 + x2 ) + 4 Để M 1 , M 2 nằm về hai phía Ox thì y1. y2 < 0 ⇔ 1 2 < 0 (1) x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 2( m + 2) m+2 9m + 6 2 Áp dụng định lí Viet: x1 + x2 = ; x1 x2 = ⇒ (1) ⇔ <0⇔m>− . m −1 m −1 −3 3

Trang 45

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

2  m > − Kết hợp với ( i ) ta có  3 là những giá trị cần tìm.  m ≠ 1 Câu 90: Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có đồ thị ( C ) , tiếp tuyến của ( C ) có hệ số góc đạt giá trị bé nhất khi nào?

b b B. a > 0 và hoành độ tiếp điểm bằng 3a 3a b b C. a < 0 và hoành độ tiếp điểm bằng D. a < 0 và hoành độ tiếp điểm bằng − 3a 3a Hướng dẫn giải Chọn A Tiếp tuyến của ( C ) có hệ số góc y′ = 3ax 2 + 2bx + c ⇒ y′′ = 6ax + 2b . A. a > 0 và hoành độ tiếp điểm bằng −

Tiếp tuyến của ( C ) có hệ số góc đạt giá trị bé nhất khi 3a > 0 và hoành độ tiếp điểm là nghiệm

b . 3a là đồ thị của hàm số y = x 4 − 3 ( m + 1) .x 2 + 3m + 2 , m là tham số. Tìm các giá trị

của phương trình y′′ = 0 ⇔ a > 0 và hoành độ tiếp điểm bằng −

Câu 91: Gọi ( Cm )

dương của tham số m để ( Cm ) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt và tiếp tuyến của ( Cm ) tại giao điểm có hoành độ lớn nhất hợp với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 24 . 2 1 A. m = . B. m = 7 . C. m = 1 . D. m = . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của ( Cm ) và trục hoành là x 4 − 3 ( m + 1) .x 2 + 3m + 2 = 0 (1)

Đặt t = x 2 ,t ≥ 0 . Phương trình (1) trở thành : t 2 − 3 ( m + 1) .t + 3m + 2 = 0 (2)

( Cm )

cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt . Vì (2) luôn có hai nghiệm là t = 1, t = 3m + 2 với mọi m và vì m > 0 (giả thiết) nên ta có 1 < 3m + 2 , suy ra với mọi tham số m > 0 , ( Cm ) cắt Ox tại 4 diểm phân biệt và nếu gọi A là giao điểm có hoành độ lớn nhất thì hoành độ A là x A = 3m + 2 . Gọi f(x) = x 4 − 3 ( m + 1) .x 2 + 3m + 2 , phương trình tiếp tuyến d của ( Cm ) tại A là

y = f '( xA )( x − xA ) + f ( xA ) = [4 xA3 − 6( m + 1)xA ]( x − xA ) ( vì f ( x A ) = 0 )

= [4(3m + 2) 3m + 2 − 6( m + 1) 3m + 2]( x − 3m + 2)

(

= ( 6m + 2 ) 3m + 2 x − 3m + 2)

) (

)

Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến d với trục Oy thì B 0 ; ( 6m + 2 )( 3m + 2 ) . Tam giác mà tiếp tuyến d tạo với hai trục toạ độ là tam giác vuông OAB (vuông tại O ) , theo giả thiết ta có : SOAB = 24 ⇔ OA.OB = 48 ⇔ x A y B = 48

⇔ 3m + 2(6m + 2)(3m + 2) = 48 (3). Gọi f ( m ) = 3m + 2(6m + 2)(3m + 2) = 3m + 2(18m2 + 22m + 4)

Trang 46

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

f ′( m) =

3 2 3m + 2

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

(18m2 + 22m + 4) + (36m + 22) 3m + 2 > 0 với mọi m > 0 .

2 Suy ra hàm số f ( m ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) và vì f   = 24 , do đó phương trình (3) chỉ có 3 2 một nghiệm là m = trên ( 0; +∞ ) . 3 x Câu 92: Cho đồ thị ( C ) : y = + x 2 + x + 1 . Gọi M ( 0; m ) là điểm nằm trên trục tung mà từ đó kẻ được 2 ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) . Biết tập hợp các giá trị của m là nửa khoảng ( a; b ] . Giá trị của a + b bằng 1 B. − . 2

A. 1 .

1 C. . 2 Hướng dẫn giải

D. −1 .

Chọn C 1 2x +1 + 2 2 x2 + x + 1 - Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M ( 0; m ) và có hệ số góc là k ⇒ ∆ : y = kx + m - Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: x 2  2 + x + x + 1 = kx + m  1 2x +1 k = + 2 2 x2 + x + 1 

- Ta có: y ′ =

x x 2 x2 + x x+2 + x2 + x + 1 = + +m ⇔ = m (1) . 2 2 2 x2 + x + 1 2 x2 + x + 1 Hệ phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm. ⇒

- Xét hàm số: f ( x ) = có f ′ ( x ) =

x+2

2 x2 + x + 1 −3x

4 ( x 2 + x + 1) x 2 + x + 1

trên ℝ ,

⇒ f ′( x) = 0 ⇔ x = 0 .

BBT:

1  1  Dựa vào BBT ta thấy: phương trình (1) có nghiệm − < m ≤ 1 hay m ∈  − ;1 2  2  1  1 a = − ⇒ 2 . Vậy a + b = . 2 b = 1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

Câu 93: Đường thẳng y = m tiếp xúc với đồ thị ( C ) : y = −2 x 4 + 4 x 2 − 1 tại hai điểm phân biệt. Tìm tung độ tiếp điểm. B. −1 . C. 0 . D. 3 . A. 1 . Hướng dẫn giải Chọn A Để đường thẳng y = m tiếp xúc với đường cong ( C ) : y = −2 x 4 + 4 x 2 − 1 khi hệ sau có nghiệm. −2 x 4 + 4 x 2 − 1 = m (1)  3 ( 2) −8 x + 8 x = 0 x = 0 ( 2 ) ⇔  x = 1  x = −1 Với x = 0 thay vào (1) ta được m = −1 . Với x = 1 thay vào (1) ta được m = 1 . Với x = −1 thay vào (1) ta được m = 1 . Do đó đường thẳng y = m tiếp xúc với đồ thị ( C ) : y = −2 x 4 + 4 x 2 − 1 tại hai điểm phân biệt khi

m = 1 . Hay tung độ tiếp điểm bằng 1. Câu 94: Cho hàm số y = x 3 + 3mx 2 + ( m + 1) x + 1 có đồ thị ( C ) . Biết rằng khi m = m0 thì tiếp tuyến với đồ thị ( C ) tại điểm có hoành độ bằng x0 = −1 đi qua A (1;3) . Khẳng định nào sâu đây đúng? A. 0 < m0 < 1

B. 1 < m0 < 2

C. −2 < m0 < −1 Hướng dẫn giải

D. −1 < m0 < 0

Chọn A Ta có: y′ = 3x 2 + 6mx + m + 1 .

Với x0 = −1 thì y0 = 2m − 1 , gọi B ( −1; 2m − 1) ⇒ AB = ( −2; 2m − 4 ) . Tiếp tuyến tại B đi qua A nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = −m + 2 . Mặt khác: hệ số góc của tiếp tuyến là k = y′ ( x0 ) . 2

Do đó ta có: 3 ( x0 ) + 6 m0 x0 + m0 + 1 = − m0 + 2 1 . 2 Câu 95: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 − (m + 3)x 2 + (3m + 2)x − 2m tiếp xúc với trục Ox . A. m = −2 ; m = −1 . B. m = −2 ; m = 1 . C. m = 2 ; m = 1 . D. m = 2 ; m = 1 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có y = ( x − 2 )  x 2 − (1 − m ) x + m  .

⇔ 3 − 6m0 + m0 + 1 = −m0 + 2 ⇔ −4m0 = −2 ⇔ m0 =

y = 0 Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox ⇔ Hệ phương trình sau có nghiệm   y′ = 0

Trang 48

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

  x − 2 = 0  2   x − (1 + m ) x + m = 0 ( x − 2 )  x 2 − (1 + m ) x + m  = 0   ⇔  ⇔   x 2 − (1 + m ) x + m = 0 2  x − 1 + m x + m + x − 2 2 x − 1 − m = 0 ( ) ( )( )   1 + m  x = 2   x = 2  x = 2    m = 1 m = 2 ⇔  ⇔  1+ m  x = 1  x = 2    m = 1  (1 + m )2 − 4m = 0  Vậy m = 2 hoặc m = 1 đồ thị hàm số tiếp xúc Ox lần lượt tại các điểm A(2; 0) , B(1; 0) . * Tổng quát: Đồ thị hàm số bậc ba có điểm chung với trục Ox tại điểm A ( a;0 ) và tiếp xúc với

Ox thì ta có cách giải tổng quát: + Phân tích y = ( x − a ) Ax 2 + Bx + C + Đồ thị hàm số tiếp xúc Ox ⇔ Phương trình Ax 2 + Bx + C = 0 có nghiệm kép hoặc nhận x = a làm nghiệm. Câu 96: Gọi S là tập các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2 x 2 + m − 2 có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox . Tìm tổng các phần tử của S . A. −2 . B. 5 . C. −5 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M ( x0 ; x04 − 2 x02 + m − 2 ) là tiếp điểm.

(

)

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có dạng: k = 4 x03 − 4 x0 .

 x0 = 0 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với trục Ox thì k = 0 ⇔  x0 = 1 .  x0 = −1 Tại A ( 0; m − 2 ) thì phương trình tiếp tuyến là ( d1 ) : y = m − 2 . Tại B (1; m − 3) thì phương trình tiếp tuyến là ( d 2 ) : y = m − 3 . Tại C ( −1; m − 3) thì phương trình tiếp tuyến là ( d3 ) : y = m − 3 .

m − 2 = 0 m = 2 Theo đề, chỉ có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox nên:  ⇔ . m − 3 = 0 m = 3 Vậy S = {2;3} do đó ta chọn phương án. B. Câu 97: Gọi ( Cm ) là đồ thị của hàm số y = 2 x3 − 3(m + 1) x 2 + mx + m + 1 và ( d ) là tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm có hoành độ x = −1 . Tìm m để ( d ) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng

8 . 3

Trang 49

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

5  m = 0 ∨ m = 3 A.  . −19 ± 73   m = 6 5  m = 0 ∨ m = − 3  . −9 ± 73   m = 6

5  m = 0 ∨ m = − 3 B.  . −9 ± 3   m = 6

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

5  m = 0 ∨ m = − 3 C.  . −19 ± 73   m = 6

Hướng dẫn giải Chọn C Ta có y′ = 6 x 2 − 6(m + 1) x + m , suy ra phương trình tiếp tuyến ( d ) là:

y = y '(−1)( x + 1) + y (−1) = (12 + 7m )( x + 1) − 3m − 4 ⇔ y = (12 + 7m ) x + 4m + 8 .  4m + 8  Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của ( d ) với trục Ox và Oy thì P  − ; 0  , Q ( 0; 4m + 8) .  12 + 7 m  8m2 + 32 + 32m 1 1 4m + 8 Diện tích ∆OPQ : S = OP.OQ = − 4m + 8 = . 2 2 12 + 7m 12 + 7m

8 8 ⇔ 8m 2 + 32m + 32 = 12 + 7m 3 3 5  8  2  2 5 m = 0 ∨ m = − 3 8m + 32m + 32 = 3 (12 + 7m) m m 0 + = ⇔ ⇔ ⇔ 3 8 −19 ± 73  8m 2 + 32m + 32 = − (12 + 7m) 3m2 + 19m + 24 = 0 m=    3 6  x+2 Câu 98: Cho hàm số y = có đồ thị là ( C ) . Cho điểm A(0; a ) . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến x −1 tới đồ thị ( C ) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành. S=

1 A. − < a ≠ 1 . 3

2 B. − < a ≠ 2 . 3

C. −1 < a ≠ 1 .

D. −

2 < a ≠ 1. 3

Hướng dẫn giải Chọn D Phương trình đường thẳng ( d ) đi qua A(0; a ) và có hệ số góc k : y = kx + a .

x+2  x − 1 = kx + a có nghiệm x . ( d ) tiếp xúc ( C ) tại điểm có hoành độ x khi hệ:   k = −3 2 ( x − 1) 

⇒ (1 − a) x 2 + 2(a + 2) x − (a + 2) = 0 (1) có nghiệm x ≠ 1 . Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 a ≠ 1 a ≠ 1 ⇔ ⇔ ( 2) a > −2 ∆′ = 3a + 6 > 0 2(a + 2) a+2 3 3 Khi đó ta có: x1 + x2 = , x1 x2 = và y1 = 1 + , y2 = 1 + a −1 a −1 x1 − 1 x2 − 1

Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì y1. y2 < 0 Trang 50

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

3  3  2 x .x + 2( x1 + x2 ) + 4  ⇔ 1 + . 1 + <0 ⇔ 1 2 < 0 ⇔ 3a + 2 > 0 ⇔ a > −   3 x1.x2 − ( x1 + x2 ) + 1  x1 − 1   x2 − 1  2 Đối chiếu với điều kiện ( 2) ta được: − < a ≠ 1 . 3 1 3 Câu 99: Cho hàm số y = mx + ( m − 1) x 2 + (4 − 3m) x + 1 có đồ thị là ( Cm ) . Tìm các giá trị m sao cho 3 trên đồ thị ( Cm ) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với

đường thẳng ( d ) : x + 2 y − 3 = 0 . A. m < 12 hoặc m > C. m < 1 hoặc m >

2 . 3

B. m < 0 hoặc m > 1 .

1 . 3

D. m < 0 hoặc m > Hướng dẫn giải

2 . 3

Chọn D

1 − ⇒ tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 . Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì: 2 2 y ' = 2 ⇔ mx + 2(m − 1) x + (4 − 3m) = 2 ⇔ mx 2 + 2(m − 1) x + 2 − 3m = 0 ( ∗)

( d ) có hệ số góc

Theo bài toán, phương trình ( ∗ ) có đúng một nghiệm âm. Nếu m = 0 thì ( ∗ ) ⇔ −2 x = −2 ⇔ x = 1 (không thỏa) Nếu m ≠ 0 thì dễ thấy phương trình ( ∗ ) có 2 nghiệm là x = 1 hay x =

2 − 3m . m

2 − 3m 2 < 0 ⇔ m < 0 hoặc m > . m 3 là đồ thị của hàm số y = 2 x3 − 3(m + 1) x 2 + mx + m + 1 và ( d ) là tiếp tuyến của ( Cm )

Do đó để ( ∗ ) có một nghiệm âm thì

Câu 100: Gọi ( Cm )

tại điểm có hoành độ x = −1 . Tìm m để ( d ) đi qua điểm A ( 0;8 ) .

A. m = 3 .

B. m = 0 .

C. m = 1 . Hướng dẫn giải

D. m = 2 .

Chọn B Ta có y′ = 6 x 2 − 6(m + 1) x + m , suy ra phương trình tiếp tuyến ( d ) là:

y = y '(−1)( x + 1) + y (−1) = (12 + 7m )( x + 1) − 3m − 4 ⇔ y = (12 + 7m ) x + 4m + 8 .

A(0;8) ∈ (d ) ⇔ 8 = 4m + 8 ⇔ m = 0 . x2 − x + m với m ≠ 0 cắt trục hoành tại 2 điểm phân x −1 biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại 2 điểm A, B vuông góc với nhau. 4 1 1 1 A. m = − . B. m = − . C. m = − . D. m = . 7 5 3 5 Hướng dẫn giải Chọn B 2x +1 Hàm số cắt trục hoành thại hai điểm phân biệt A, B có hệ số góc là k = . x +1 x2 + 2 x − m −1 Ta có: y′ = , đặt g ( x ) = x 2 + 2 x − m − 1 . 2 ( x + 1)

Câu 101: Tìm tham số m để đồ thị hàm số ( Cm ) : y =

Theo bài toán, g ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác −1 . Trang 51

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

1 Theo đề, tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau tức k A .k B = −1 , tìm được m = − . 5 x+3 Câu 102: Cho hàm số y = , có đồ thị là ( C ) . Tìm trên đường thẳng d : y = 2x + 1 các điểm từ đó kẻ x −1 được duy nhất một tiếp tuyến tới ( C ) .

 M (4; 9)  M ( −1; −1) A.  .  M (2; 5)   M (1; 3)

 M (0;1)  M (0;1)   M ( −1; −1) M ( −1; −1) B.  . C.  .  M (3; 7)  M (2; 5)    M ( −2; −3)  M (1; 3) Hướng dẫn giải

 M(5;11)  M( −1; −1) D.  .  M(7;15)   M(1; 3)

Chọn C Gọi M( m; 2 m + 1) ∈ d . Phương trình đường thẳng ∆qua M có hệ số góc k có dạng: y = k( x − m) + 2m + 1 Phương trình hoành độ giao điểm của ∆ và (C): k( x − m) + 2m + 1 =

x+3 x −1

⇔ kx 2 − [( m + 1)k − 2 m] x + [ mk − (2 m + 4)] = 0 (*) ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ (*) có nghiệm kép  k ≠ 0 ⇔ 2 ∆ = [( m + 1) k − 2 m] − 4 k [ mk − (2 m + 4)] = 0  k ≠ 0 ⇔ 2 2 2 2  g( k ) = ( m − 1) k − 4( m − m − 4) k + 4 m = 0 Qua M( m; 2 m + 1) ∈ d kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

 ∆′ = −32( m 2 − m − 2) > 0; g(0) = 4 m2 = 0  ⇔ g( k) = 0 có đúng 1 nghiệm k ≠ 0 ⇔  ∆′ = −32( m 2 − m − 2) > 0; g(0) = 4 m2 = 0  1  m − 1 = 0 ⇒ 16 k + 4 = 0 ⇒ k = −  4  m = 0 ⇒ M(0;1)  m = −1 ⇒ M( −1; −1)  ⇔ .  m = 2 ⇒ M(2; 5)   m = 1 ⇒ M(1; 3) Câu 103: Cho hàm số y = f ( x ) = − x 3 + 6 x 2 + 2 có đồ thị ( C ) và điểm M ( m; 2 ) . Gọi S là tập các giá trị thực của m để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến với đồ thị ( C ) . Tổng các phần tử của S là

12 3

20 3

19 3 Hướng dẫn giải

23 3

Chọn B Ta có: f ′ ( x ) = −3 x 2 + 12 x . Phương trình tiếp tuyến tại M ( x o ; yo ) có dạng: ( ∆ ) : y = f ′ ( xo )( x − xo ) + f ( xo ) . Do tiếp tuyến qua M ( m; 2 ) nên ta có: 2 = ( −3 xo2 + 12 xo ) ( m − xo ) + ( − xo3 + 6 xo2 + 2 ) ⇔ 2 xo3 − ( 3m + 6 ) xo2 + 12mxo = 0 (1)

Trang 52

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

 xo = 0 ⇔ 2  2 xo − ( 3m + 6 ) xo + 12m = 0 ( 2 ) Để kẻ được đúng hai tiếp tuyến từ M thì phương trình (1) có 2 nghiệm.

Trường hợp 1: Phương trình ( 2) có nghiệm kép khác 0 . m = 6 ( 3m + 6 )2 − 4.2.12m = 0 9m 2 − 60m + 36 = 0 ⇔ Ta có:  2 ⇔ 2. m = m ≠ 0  2.0 − ( 3m + 6 ) .0 + 12m ≠ 0 3  Trường hợp 2: Phương trình ( 2) có hai nghiệm phân biệt và có một nghiệm bằng 0 . 2 9m2 − 60m + 36 > 0 ( 3m + 6 ) − 4.2.12m > 0 ⇔ Ta có:  ⇔ m =0. m = 0 m = 0

 2  Vậy các giá trị thỏa yêu cầu bài toán là 0; ; 6  .  3  2 20 Do đó, tổng các giá trị bằng 0 + + 6 = . 3 3 Câu 104: Cho đồ thị ( C ) : y = x3 − 3x 2 . Có bao nhiêu số nguyên b ∈ ( −10;10 ) để có đúng một tiếp tuyến

của ( C ) đi qua điểm B ( 0; b ) ? A. 16 .

B. 2 .

C. 9 . Hướng dẫn giải

D. 17 .

Chọn D Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) có dạng: y = ( 3 x02 − 6 x0 ) ( x − x0 ) + x03 − 3 x02 .

Tiếp tuyến đi qua điểm B ( 0; b ) khi và chỉ khi: b = ( 3 x02 − 6 x0 ) ( 0 − x0 ) + x03 − 3 x02 ⇔ −2 x03 + 3x02 = b (*)

Xét hàm số f ( x0 ) = −2 x03 + 3x02 .

 x0 = 0 Ta có f ′ ( x0 ) = −6 x02 + 6 x0 ; f ′ ( x0 ) = 0 ⇔  .  x0 = 1 Ta có bảng biến thiên:

Để có đúng một tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm B ( 0; b ) điều kiện là phương trình (*) có đúng

một nghiệm x0 . Từ bảng biến thiên, ta có điều kiện của b là b ∈ ( −∞; 0 ) ∪ (1; +∞ ) . Do đó, các số nguyên b ∈ ( −10;10 ) để có đúng một tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm B ( 0; b ) là

{−9; −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9} . Hay có 17

giá trị nguyên của b ∈ ( −10;10 ) .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

Câu 105: Tìm m để đồ thị hai đồ thị hàm số (C1 ) : y = mx 3 + (1 − 2m ) x 2 + 2 mx và (C2 ) : y = 3mx 3 + 3(1 − 2m ) x + 4m − 2 tiếp xúc với nhau.

1 3± 6 A. m = , m = . 2 12 5 3± 6 C. m = , m = . 2 12

1 8± 6 B. m = , m = . 2 12 1 3± 6 D. m = , m = . 2 2 Hướng dẫn giải

Chọn A (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 khi hệ phương trình sau có nghiệm x0 :

mx03 + (1 − 2m) x02 + 2mx0 = 3mx03 + 3(1 − 2m) x0 + 4m − 2  2 2 3mx0 + 2(1 − 2m) x0 + 2m = 9mx0 + 3(1 − 2m) 2mx03 − (1 − 2m) x02 + (3 − 8m) x0 + 4m − 2 = 0 (1) ⇔ có nghiệm x0 2 (2) 6mx0 − 2(1 − 2m) x0 + 3 − 8m = 0  x0 = 1 . Ta có: (1) ⇔ ( x0 − 1)(2 mx02 − (1 − 4 m ) x0 − 4m + 2) = 0 ⇔  2  2mx0 − (1 − 4m) x0 − 4m + 2 = 0 1 • Với x0 = 1 thay vào ( 2) , ta có: m = . 2 • Với 2mx02 − (1 − 4m ) x0 − 4 m + 2 = 0 (*) ta có :  x0 = 1 (2) ⇔ 4mx − x0 + 1 − 4m = 0 ⇔  ( m ≠ 0 vì m = 0 hệ vô nghiệm)  x0 = 1 − 4m  4m 1 − 4m (1 − 4m) 2 (1 − 4m) 2 vào (*) ta được: Thay x0 = − + 2 − 4m = 0 4m 8m 4m 3± 6 ⇔ 48m 2 − 24 m + 1 = 0 ⇔ m = 12 1 3± 6 Vậy m = , m = là những giá trị cần tìm. 2 12 2x + m Câu 106: Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số y = , m là tham số khác – 4 và ( d ) là một tiếp tuyến của x−2 ( C ) . Tìm m để (d) tạo với hai đường tiệm cận của ( C ) một tam giác có diện tích bằng 2. 2 0

 m = −6 A.  .  m = −5

m = 3 . B.  m = 5 

 m = −3 . C.  m = 6  Hướng dẫn giải

m = −3 D.  . m = −5

Chọn D Hai đường tiệm cận đứng và ngang của ( C ) có phương trình lần lượt là x = 2, y = 2 ,suy ra giao điểm của chúng là I ( 2; 2 ) . Tịnh tiến OI . Hệ trục Oxy ⇒ Hệ trục IXY .

 x = X + xI = X + 2 Công thức chuyển hệ tọa độ :   y = Y + yI = Y + 2 Đối với hệ trục IXY .

Trang 54

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

Hai đường tiệm cận đứng và ngang của ( C ) có phương trình lần lượt là X = 0 ,

Y = 0.

2( X + 2) + m 4+m ⇒ Y = F( X ) = . X+2−2 X Gọi X 0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với ( C ) thì phương trình d là

( C ) có phương trình là Y + 2 =

Y=−

m+4 m+4 m+4 2m + 8 ( X − X0 ) + =− X+ . 2 2 X0 X0 X0 X0

 2m + 8  Gọi A là giao điểm của ( C ) với đường tiệm cận đứng của nó thì A  0;  X0   Gọi B là giao điểm của ( C ) với đường tiệm cận ngang của nó thì B ( 2 X 0 ;0 )

Diện tích tam giác vuông IAB do ( d ) tạo với hai đường tiệm cận là S=

1 1 1 2m + 8 IA.IB = YA X B = 2 X0 = 2 m + 8 . 2 2 2 X0

 2m + 8 = 2  m = −3 S = 2 ⇔ 2m + 8 = 2 ⇔  ⇔ .  2m + 8 = −2  m = −5 2x +1 Câu 107: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để x +1 đường thẳng ( d ) : y = x + m cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với ( C ) tại 1 1 A và B lần lượt có hệ số góc là k1 , k2 thoả mãn + + 2 ( k1 + k 2 ) = 2018k12018 k 22018 . Tổng các k1 k 2 giá trị của tất cả các phần tử của S bằng A. 6 B. 3 C. 0 D. 2018 Hướng dẫn giải Chọn A 2x +1 Hoành độ giao điểm của ( d ) và ( C ) là nghiệm của phương trình = x+m x +1 ⇔ g ( x ) = x 2 + ( m − 1) x + m − 1 = 0, x ≠ −1 (*) Để ( d ) cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt  ∆ > 0 khác −1 thì:  ⇔ m ∈ ( −∞;1) ∪ ( 5; +∞ )  g ( −1) ≠ 0 Khi đó, gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (*) thì: A ( x1; x1 + m ) , B ( x2 ; x2 + m )

x1 + x2 = 1 − m x1 x2 = m − 1 Ta có: k1 = f ' ( x1 ) =

( x1 + 1)

, k2 = f ' ( x2 ) =

( x2 + 1)

Suy ra: k1k2 =

( x1 + 1)

Theo bài ra:

( x2 + 1)

1 2

( x1 + 1) ( x2 + 1)

( x1 x2 + x1 + x2 + 1)

( m − 1 − m + 1 + 1)

 1  1 1 2018 + + 2 ( k1 + k2 ) = 2018k12018 k22018 ⇔ ( k1 + k2 )  + 2  = 2018 ( k1k2 ) k1 k2  k1k2  Trang 55

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

⇔ 3 ( k1 + k2 ) = 2018  1  1 ⇔ 3 + = 2018 2 2   ( x1 + 1) ( x2 + 1)  2

⇔3

( x1 + 1) + ( x2 + 1) 2 2 ( x1 + 1) ( x2 + 1)

⇔3

= 2018

x12 + x22 + 2 ( x1 + x2 ) + 2 2

= 2018

( x1 x2 + x1 + x2 + 1) 2 ⇔ 3 ( x1 + x2 ) + 2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + 2  = 2018   2

⇒ 3 ( m − 1) − 12 ( m − 1) − 2012 = 0  9− m = ⇔  9+ m = 

24180 3 24180 3

Kết hợp điều kiện cho ta hai giá trị của m thoả mãn bài ra: m =

9 − 24180 9 + 24180 , m= 3 3

Do đó tổng của các giá trị của tất cả các phần tử của S bằng 6. x +1 Câu 108: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) và đường thẳng d : y = −2 x + m − 1 ( m là tham số thực). x+2 Gọi k1 , k2 là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của d và ( C ) . Khi đó k1.k2 bằng

A. 2 .

B. 3 .

C. 4 . Hướng dẫn giải

1 D. . 4

Chọn C Ta có y =

x +1 1 . ⇒ y′ = 2 x+2 ( x + 2)

Hoành độ giao điểm của d và ( C ) là nghiệm của phương trình:

x +1 = −2 x + m − 1 ⇔ 2 x 2 + ( 6 − m ) x + 3 − m = 0 . (1) ( luôn có hai nghiệm phân biệt). x+2 1   x1 + x2 = 2 ( m − 6 ) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1) thì  .  x x = 1 ( 3 − 2m )  1 2 2 1 1 Khi đó hệ số góc k1 = y′ ( x1 ) = , k2 = y′ ( x2 ) = . 2 2 ( x1 + 2 ) ( x2 + 2 ) Nên k1.k 2 =

=4. 2 3   − m + m − 6 + 4 2  Câu 109: Tìm tất cả các điểm trên Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị ( x1 + 2 )( x2 + 2 ) 

hàm số y = x + 4 x 2 + 2 x + 1 .

Trang 56

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. M ( 0; m ) với −1 < m ≤ 5 .

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

B. M ( 0; m ) với −2 < m ≤ 1 .

1 C. M ( 0; m ) với − < m ≤ 5 . 2

1 D. M ( 0; m ) với − < m ≤ 1 . 2 Hướng dẫn giải

Chọn D Xét M (0; m) ∈ Oy . Đường thẳng d đi qua M , hệ số góc k có phương trình: y = kx + m .

 x + 4 x 2 + 2 x + 1 = kx + m 0 0 0  0 d tiếp xúc đồ thị ( C ) tại điểm có hoành độ x0 khi hệ  có nghiệm 4 x0 + 1 1 + = k  4 x02 + 2 x0 + 1  x0 . Thay k vào phương trình thứ nhất ta được: 4 x02 + x0 x0 + 4 x02 + 2 x0 + 1 = x0 + + m ⇔ 4 x02 + 2 x0 + 1 = 4 x02 + x0 + m 4 x02 + 2 x0 + 1 2 4 x0 + 2 x0 + 1 x0 + 1 ⇔m= = f ( x0 ) (*) 2 4 x0 + 2 x0 + 1 Để từ M kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị ⇔ (*) có ít nhất một nghiệm. −3 x0 Xét hàm số f ( x0 ) , ta có: f ′( x0 ) = ⇒ f '( x0 ) = 0 ⇔ x0 = 0 ( 4 x02 + 2 x0 + 1)3 1 1 Mặt khác: lim f ( x0 ) = ; lim f ( x0 ) = − . x →+∞ 2 x →−∞ 2 Bảng biến thiên: −∞ 0 +∞ x0

f ′( x0 )

+0− 1

f ( x0 )

−

1 1 2 2

1 < m ≤1. 2 1 Vậy M ( 0; m ) với − < m ≤ 1 là những điểm cần tìm. 2 3 Câu 110: Cho hàm số y = − x + 3x 2 − 2 có đồ thị ( C ) và điểm A ( m; 2 ) . Tìm tập hợp S là tập tất cả các (*) có nghiệm ⇔ −

giá trị thực của m để có ba tiếp tuyến của ( C ) đi qua A . 5  A. S = ( −∞; −1) ∪  ;3  ∪ ( 3; +∞ ) . 3  5  C. S = ( −∞; −2 ) ∪  ; 2  ∪ ( 2; +∞ ) . 3 

4  B. S = ( −∞; −1) ∪  ; 2  ∪ ( 2; +∞ ) . 3  5  D. S = ( −∞; −1) ∪  ; 2  ∪ ( 2; +∞ ) . 3  Hướng dẫn giải

Chọn D * Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M ( x0 ; y0 ) là: y = ( −3 x0 2 + 6 x0 ) ( x − x0 ) − x0 3 + 3 x0 2 − 2 .

* Để tiếp tuyến đi qua A ( m; 2 ) điều kiện là: 2 = ( −3 x02 + 6 x0 ) ( m − x0 ) − x03 + 3 x02 − 2 Trang 57

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

 x0 = 2 ⇔ ( 3 x02 − 6 x0 ) m = 2 x03 − 3 x02 − 4 (1) ⇔  2  2 x0 + (1 − 3m ) x0 + 2 = 0 ( 2 ) Để có ba tiếp tuyến của ( C ) đi qua A điều kiện là phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt ⇔

∆ = 9m2 − 6m − 15 > 0 phương trình ( 2) có 2 nghiệm phân biệt đều khác 2 ⇔  m ≠ 2 5  ⇔ m ∈ S = ( −∞; −1) ∪  ; 2  ∪ ( 2; +∞ ) . 3  2x Câu 111: Cho hàm số y = có đồ thị là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) , để khoảng x+2 cách từ tâm đối xứng của đồ thị ( C ) đến tiếp tuyến là lớn nhất. A. y = x và y = x + 9 . C. y = x và y = x + 8 .

B. y = 3x và y = x + 8 . D. y = 2 x và y = x + 8 . Hướng dẫn giải

Chọn C Tiếp tuyến ( d ) của đồ thị ( C ) tại điểm M có hoành độ a ≠ −2 thuộc ( C ) có phương trình:

4 2a ( x − a) + ⇔ 4 x − ( a + 2)2 y + 2a 2 = 0 2 a+2 ( a + 2)

Tâm đối xứng của ( C ) là I ( −2; 2 ) . d( I , d) =

8 a+2 16 + ( a + 2)

≤

8 a+2 2.4.( a + 2)

8 a+2 2 2 a+2

=2 2

d( I , d) lớn nhất khi ( a + 2)2 = 4 ⇔ a = −4 hoặc a = 0 . Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến y = x và y = x + 8 .

2x + 1 . Tìm trên hai nhánh của đồ thị ( C ) , các điểm M , N sao cho các tiếp x −1 tuyến tại M và N cắt hai đường tiệm cận tại 4 điểm lập thành một hình thang.  7  1  1 A. M  3;  , N  −1;  . B. M ( 2; 5 ) , N  −1;  . 2 2  2  

Câu 112: Cho hàm số y =

C.Với mọi M , N .

D. M ( 2; 5 ) , N ( 0; −1) . Hướng dẫn giải

Chọn C Gọi M ( m ; y M ), N ( n; y N ) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của ( C ) . Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A , B . Tiếp tuyến tại N cắt hai tiệm cận tại C , D . Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: y = y′( m).( x − m) + y M  2m + 4   2n + 4  ⇒ A  1;  , B(2 m − 1; 2) . Tương tự: C  1;  , D(2n − 1; 2) .  m−1   n−1  −3 Hai đường thẳng AD và BC đều có hệ số góc: k = nên AD // BC . ( m − 1)(n − 1)

Vậy mọi điểm M , N thuộc 2 nhánh của ( C ) đều thoả mãn bài toán.

Trang 58

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

x−2 Câu 113: Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số y = . M ( 0; m) là một điểm thuộc trục Oy . Tìm tất cả các giá 2x −1

trị nào của m để luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của ( C ) đi qua M và tiếp điểm của tiếp tuyến này với ( C ) có hoành độ dương.

A. m ≥ 0 .

B. m < 0 .

C. m ≤ 0 . Hướng dẫn giải

D. m > 0 .

Chọn C Phương trình của đường thẳng ( d ) đi qua M có hệ số góc k : y = kx + m .  x0 − 2  2 x − 1 = kx0 + m (1) có nghiệm x0 . ( d ) tiếp xúc ( C ) tại điểm có hoành độ x0 khi hệ sau  0 3  = k (2)  (2 x0 − 1) 2 x −2 3 x0 2 Thay ( 2) vào (1) ta được: 0 = + m ⇔ ( x0 − 2 )( 2 x0 − 1) = 3 x + m ( 2 x0 − 1) ( 3) 2 2 x0 − 1 (2 x0 − 1) 1 Do x0 = không phải là nghiệm của ( 3) nên (1) ⇔ (4m − 2) x02 − 4(m − 2) x0 + m − 2 = 0 ( 4) . 2 Yêu cầu của bài toán ⇔ Phương trình ( 4) có ít nhất một nghiệm dương với mọi m ≤ 0 . Vì m ≤ 0 nên 4m − 2 < 0 suy ra ( 4 ) có nghiệm ⇔ ∆′ = 4(m − 2) 2 − (4m − 2)(m − 2) ≥ 0 ⇔ m − 2 ≤ 0

. Bất đẳng thức này đúng với mọi m ≤ 0 . Khi đó gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ( 4) .

4(m − 2)   x1 + x2 = 4m − 2 > 0 ⇒ x1 > 0, x2 > 0 . Ta có ∀m ≤ 0,  x x = m − 2 > 0  1 2 4m − 2 Vậy, với mọi m ≤ 0 luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của ( C ) đi qua M và hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với ( C ) là số dương. 2x +1 có đồ thị ( C ) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để x +1 đường thẳng ( d ) : y = x + m cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với ( C ) tại

Câu 114: Cho hàm số y =

A và B lần lượt có hệ số góc là k1 , k2 thoả mãn

giá trị của tất cả các phần tử của S bằng A. 6 B. 3

1 1 + + 2 ( k1 + k 2 ) = 2018k12018 k 22018 . Tổng các k1 k 2

C. 0 Hướng dẫn giải

D. 2018

Chọn A Hoành độ giao điểm của ( d ) và ( C ) là nghiệm của phương trình

⇔ g ( x ) = x 2 + ( m − 1) x + m − 1 = 0, x ≠ −1

2x +1 = x+m x +1

( *)

Để ( d ) cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt  ∆ > 0 khác −1 thì:  ⇔ m ∈ ( −∞;1) ∪ ( 5; +∞ )  g ( −1) ≠ 0 Khi đó, gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (*) thì: A ( x1 ; x1 + m ) , B ( x2 ; x2 + m )

Trang 59

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

x1 + x2 = 1 − m x1 x2 = m − 1 Ta có: k1 = f ' ( x1 ) =

( x1 + 1)

, k2 = f ' ( x2 ) =

( x2 + 1)

Suy ra: k1k2 =

( x1 + 1)

( x2 + 1)

1 2

( x1 + 1) ( x2 + 1)

( x1 x2 + x1 + x2 + 1)

( m − 1 − m + 1 + 1)

 1  1 1 2018 + + 2 ( k1 + k2 ) = 2018k12018 k22018 ⇔ ( k1 + k2 )  + 2  = 2018 ( k1k2 ) k1 k2  k1k2  ⇔ 3 ( k1 + k2 ) = 2018

Theo bài ra:

 1  1 ⇔ 3 + = 2018 2 2   ( x1 + 1) ( x2 + 1)  2

⇔3 ⇔3

( x1 + 1) + ( x2 + 1) 2 2 ( x1 + 1) ( x2 + 1)

= 2018

x12 + x22 + 2 ( x1 + x2 ) + 2 2

= 2018

( x1 x2 + x1 + x2 + 1) 2 ⇔ 3 ( x1 + x2 ) + 2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + 2  = 2018   2

⇒ 3 ( m − 1) − 12 ( m − 1) − 2012 = 0  9− m = ⇔  9+ m = 

24180 3 24180 3

Kết hợp điều kiện cho ta hai giá trị của m thoả mãn bài ra: m =

9 − 24180 9 + 24180 , m= 3 3

Do đó tổng của các giá trị của tất cả các phần tử của S bằng 6. x+2 Câu 115: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) và điểm A ( 0; a ) . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của x −1 a trong đoạn [ −2018; 2018] để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến đến ( C ) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành? A. 2017 . B. 2020 . C. 2018 . D. 2019 . Hướng dẫn giải Chọn C Đường thẳng d đi qua điểm A ( 0; a ) , hệ số góc k có phương trình: y = kx + a . x+2 = kx + a  Để d là tiếp tuyến của ( C ) thì hệ phương trình  x −−13 có nghiệm. = k  2  ( x − 1) x + 2 −3 x Suy ra phương trình: = + a ⇔ ( a − 1) x 2 − 2 ( a + 2 ) x + a + 2 = 0 với x ≠ 1 . (1) x −1 x −1 Do từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến ( C ) nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Trang 60

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

a ≠ 1  ⇔  ∆′ = 3 ( a + 2 ) > 0 ⇔ a > −2 . ( 2 ) a ≠1 a − 1 − 2 ( a + 2 ) + a + 2 ≠ 0

{

 x +2  x2 + 2  Khi đó toạ độ hai tiếp điểm là M  x1 ; 1  và N  x2 ;  với x1 , x2 là nghiệm của (1) do x2 − 1   x1 − 1   2 ( a + 2) a+2 đó x1 + x2 = , x1 x2 = . a −1 a −1 Hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành khi x x + 2 ( x1 + x2 ) + 4 9a + 6 2 x1 + 2 x2 + 2 <0 ⇔ <0⇔a>− . . <0 ⇔ 1 2 x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 −3 3 x1 − 1 x2 − 1 2  Kết hợp điều kiện ( 2) suy ra  a > − 3 nên trên đoạn [ −2018; 2018] số giá trị nguyên của a thỏa  a ≠ 1 yêu cầu bài toán là 2018 . Câu 116: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị y = x 3 − mx + m − 1 tại điểm M có hoành độ x = −1 cắt đường tròn ( C ) có phương trình ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = 4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

B. m = 8 .

A. m = 6 .

C. m = 2 . Hướng dẫn giải

D. m = 3 .

Chọn C Ta có: y′ = 3x2 − m ⇒ y′(−1) = 3 − m ; y(−1) = 2m − 2 . ( C ) có tâm I(2; 3),R = 2 . Phương trình đường thẳng d tại M( −1; 2 m − 2) : y = (3 − m)x + m + 1 ⇔ (3 − m)x − y + m + 1 = 0

d( I , d) =

4−m (3 − m)2 + 1

1 + (3 − m) (3 − m)2 + 1

≤

2. (3 − m)2 + 1 (3 − m)2 + 1

= 2<R

Dấu "=" xảy ra ⇔ m = 2 . Dó đó d( I , d) đạt lớn nhất ⇔ m = 2 Tiếp tuyến d cắt ( C ) tại 2 điểm A, B sao cho AB ngắn nhất ⇔ d( I , d) đạt lớn nhất⇔ m = 2 , suy ra d : y = x + 3 .

Trang 61