CÁC BÀI TOÁN DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

Giảng viên hướng dẫn: TS. Vũ Trọng Lưỡng

BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

CÁC BÀI TOÁN DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, ĐẠO HÀM RIÊNG

Thuộc nhóm ngành khoa học: Tự nhiên

Sơn La, tháng 05 năm 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

CÁC BÀI TOÁN DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, ĐẠO HÀM RIÊNG

Thuộc nhóm ngành khoa học: Tự nhiên

Sinh viên thực hiện: Vũ Thị Hồng Nhung

Giới tính: Nữ

Dân tộc: Kinh

Nguyễn Thị My

Giới tính: Nữ

Dân tộc: Kinh

Nguyễn Thị Ngoan

Giới tính: Nữ

Dân tộc: Kinh

Vũ Thị Ngọc Mai

Giới tính: Nữ

Dân tộc: Kinh

Nguyễn Như Quỳnh

Giới tính: Nữ

Dân tộc: Kinh

Lớp: K55 ĐHSP Toán

Khoa: Toán – Lý – Tin

Năm thứ 3/Số năm đào tạo: 4 Ngành học: Sư phạm Toán Sinh viên chịu trách nhiệm chính: Vũ Thị Hồng Nhung Người hướng dẫn: TS. Vũ Trọng Lưỡng

Sơn La, tháng 05 năm 2017

Mục lục

Lời cảm ơn

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân 1

4 11

Một số mô hình toán học trong vật lý, cơ học, kĩ thuật . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1

Định luật thứ hai của Newton về chuyển động . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2

Phương trình chuyển động của hành tinh trong Hệ Mặt Trời . . . . . . 15

1.3

Phương trình vi phân cho các mạch điện . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4

Phương trình phóng xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Một số mô hình toán học trong sinh thái học quần thể . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1

Mô hình quần thể đơn loài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

Mô hình thú mồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3

Mô hình cạnh tranh hai loài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

II Các bài toán dẫn đến phương trình đạo hàm riêng

Phương trình dao động của dây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Phương trình dao động của màng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Sự khuếch tán trong không gian ba chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy T.S Vũ Trọng Lưỡng, người đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình chúng em, giúp đỡ chúng em về tài liệu nghiên cứu cũng như động viên chúng em có nghị lực hoàn thành đề tài này. Trong quá trình làm đề tài, chúng em cũng đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán - Lý - Tin, đặc biệt là các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng KHCN & HTQT, thư viện trường Đại học Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K55 ĐHSP Toán. Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để chúng em hoàn thành đề tài này. Nhân dịp này chúng em xin được bày tỏ lòng biết ơn về những sự giúp đỡ quý báu nói trên.

Sơn La, tháng 9 năm 2016 Nhóm sinh viên thực hiện Vũ Thị Hồng Nhung Nguyễn Thị My Vũ Thị Ngọc Mai Nguyễn Thị Ngoan Nguyễn Như Quỳnh

MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình vi phân và đạo hàm riêng là những nội dung mới mẻ, thú vị nhưng sinh viên thường gặp nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu học tập nội dung này. Đặc biệt việc học tập nghiên cứu các mô hình giải tích dưới dạng phương trình vi phân và đạo hàm riêng của các quá trình hiện tượng vật lí, hóa, sinh, đây là kiến thức mới và được sử dụng nhiều trong giải tích và ứng dụng. Các bài toán về phương trình vi phân và đạo hàm riêng là các bài toán hay có nhiều ứng dụng trong khoa học kĩ thuật và đời sống. Vì vậy, chúng em chọn đề tài nghiên cứu là các bài toán dẫn đến phương trình vi phân và đạo hàm riêng. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Đề tài được thực hiện nhằm củng cố và nâng cao kiến thức về phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. - Tìm hiểu và tổng hợp có hệ thống các bài toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu về các bài toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng trong hóa học, sinh học, vật lí. 4. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức. Trao đổi và thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày với giáo viên hướng dẫn từ đó tổng hợp kiến thức trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua đó thực hiện kế hoạch và hoàn thành đề tài. 6. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI 4

Với mục đích như vậy ngoài phần mở đầu, ký hiệu và kiến thức liên quan đề tài này được chia ra làm hai chương với những nội dung chính như sau: Chương I: Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân. Bao gồm: 1. Một số mô hình toán học trong vật lí, cơ học, kĩ thuật - Định luật thứ hai của Newton về chuyển động. - Phương trình dao động của con lắc. - Phương trình chuyển động của hành tinh trong Hệ Mặt Trời. - Phương trình vi phân cho các mạch điện. - Phương trình phóng xạ. 2. Một số mô hình toán học trong sinh thái học quần thể - Mô hình quần thể đơn loài. - Mô hình thú mồi. - Mô hình cạnh tranh hai loài. Chương II: Các bài toán dẫn đến phương trình đạo hàm riêng. Bao gồm: - Phương trình dao động của dây. - Phương trình dao động của màng. - Phương trình truyền nhiệt. - Phương trình truyền sóng. - Sự khuếch tán trong không gian ba chiều. - Phương trình Laplace.

KÍ HIỆU VÀ KIẾN THỨC LIÊN QUAN KÍ HIỆU Giả sử Ω là một tập mở trong Rn . x ∈ Ω và hàm số u : Ω → R. Khi đó ta kí hiệu: 1.

∂u ( hoặc uxi (x)) là đạo hàm riêng của u theo biến xi tại điểm x. ∂xi

∂ 2u (x) ( hoặc uxj xi (x)) là đạo hàm riêng cấp hai của u theo các biến xj , xi tại điểm x. ∂xj ∂xi

3. Dm u =

∂αu sao cho |α| = α1 + α2 + ... + αn = m là tập hợp tất cả các đạo hàm ∂xα1 1 ...∂xαnn

riêng cấp m của hàm u. Ở đó α = (α1 , ..., αn ) ∈ Nn gọi là đa chỉ số.

4. Khi m = 1 ta kí hiệu ∇ là vectơ gradient.

5. ∆ =

n ∂2 P i=1

∂xi 2

gọi là toán tử Laplace.

6. Ω ⊂ Rn được gọi là một miền nếu Ω là tập mở và là tập liên thông. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn , kí hiệu ∂Ω là biên của Ω. Ta nói Ω thuộc lớp C k nếu tại mỗi điểm x0 ∈ ∂Ω tồn tại một lân cận Ux0 của điểm x0 trong Rn sao cho ∂Ω ∩ Ux0 nằm trên siêu mặt

xi = f (x1 , ..., xi−1 , xi+1 , ..., xn )

Với f ∈ C k (G), G là miền biến thiên của đối số. Ta nói Ω trơn nếu thuộc lớp C k , với mọi k . Ta nói miền Ω trơn từng khúc nếu biên của nó được hợp bởi hữu hạn các mặt cong trơn. Đối với các miền này ta có công thức Ostrogradsky - Gauss sau Z X n ∂ui Ω i=1

∂xi

Z dx =

n X

∂Ω i=1

ui vi ds

Ở đây u = (u1 , u2 , ..., un ) là hàm vectơ từ Ω vào Rn và ui ∈ C 1 (Ω), còn v = (v1 , v2 , ..., vn ) là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của ∂Ω. Trong trường hợp u là hàm vô hướng chúng ta đặt uj = 0, j 6= i và ui = u thì công thức Ostrogradsky - Gauss trở thành công thức Gauss-Green Z

∂u dx = ∂xi

Ω

Z uvi ds ∂Ω

Từ công thức này thay u bởi uv, u, v ∈ C 1 (Ω) ta có công thức tích phân từng phần sau Z

∂v dx = − u Ω ∂xi

∂u v dx + Ω ∂xi

Z uvvi ds ∂Ω

Bây giờ ta xét công thức Ostrogradsky - Gauss trong trường hợp n = 3 khi đó hàm vectơ → − u (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

với P, Q, R ∈ C 1 (Ω), tổng ∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z − − được gọi là divergence của → u , ký hiệu div → u . Đó là một đại lượng vô hướng. Công thức

Ostrogradsky - Gauss được viết dưới dạng vectơ như sau Z Z Z

− div → u dxdydz =

Ω

→ − − u→ n ds

∂Ω

hay Z Z Z

∂P ∂Q ∂R ( + + )dxdydz = ∂x ∂y ∂z

Ω

Z (P cos α + Q cos β + R cos γ)ds ∂Ω

− với → n = (cos α, cos β, cos γ). Công thức Ostrogradsky - Gauss có thể phát biểu như sau − Thông lượng của trường vectơ → u (x, y, z) qua mặt ∂Ω hướng ra ngoài bằng tích phân bội − ba của div → u trên miền Ω

ĐẠO HÀM Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b), x0 ∈ (a; b). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỷ số

f (x) − f (x0 ) khi x −→ x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x0 , kí hiệu là x − x0 7

f 0 (x0 ) hay y 0 (x0 ). Như vậy f 0 (x0 ) = lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

Nếu đặt x − x0 = ∆x∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 )

thì ta có ∆y ∆x→0 ∆x

f 0 (x0 ) = lim

Đại lượng ∆x được gọi là số gia của đối số tại x0 và đại lượng ∆y được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Một phương trình vi phân thường (gọi tắt là phương trình vi phân) là một phương trình chứa ẩn hàm x = x(t) của một biến độc lập t ∈ R và những đạo hàm x, x0 , x”, ... của ẩn hàm. Cấp của một phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn hàm có mặt trong phương trình. Như vậy, một phương trình vi phân cấp n có dạng F (t, x, x0 , ..., xn ) = 0

(0.1)

Ở đó F là hàm đã biết. Phương trình (0.1) gọi là phương trình tuyến tính nếu F là hàm tuyến tính đối với các hàm đối với các biến x, x0 , , ..., xn , trong trường hợp ngược lại, phương trình (0.1) gọi là phi tuyến. Phương trình (0.1) gọi là otonom nếu F không phụ thuộc tường minh vào t, tức là F = F (x, x0 , ..., xn ), và gọi là không otonom nếu F phụ thuộc tường minh vào t. Nói riêng, một phương trình vi phân cấp một có thể viết dưới dạng F (t, x, x0 ) = 0

(0.2)

Hàm x = x(t), t ∈ I, gọi là một nghiệm hiện( còn gọi là nghiệm tường minh) của (0.2) nếu F (t, x(t), x0 (t)) = 0 trong (0.1). Hệ thức ψ(t, x) = 0 gọi là nghiệm ẩn của (0.2) nếu nó xác định 8

một hoặc nhiều hàm x = φ(t) thỏa mãn F (t, φ(t), φ0 (t)) = 0. Mặc dù ta có thể không giải được tường minh x từ hệ thức ψ(t, x) = 0 nhưng ta có thể tính được φ0 (t) = −

ψt nếu ψx 6= 0 ψx

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Giả sử U là một tập mở trong không gian R3

f :U →R M (x, y, z) 7→ f (M ) = f (x, y, z)

là một hàm số xác định trên tập hợp U , M0 = (x0 , y0 , z0 ) ∈ U vì U là một tập hợp mở nên với η > 0 đủ nhỏ, ta có (x0 , y0 , z0 ) ∈ U với mọi x ∈ (x0 − η, x0 + η). Nếu hàm số một biến số g : (x0 − η, x0 + η) → R x 7−→ g(x) = f (x, y0 , z0 )

có đạo hàm tại điểm x0 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của hàm số f theo biến x tại điểm M0 = (x0 , y0 , z0 ) và được kí hiệu là fx0 (M0 ) = fx0 (x0 , y0 , z0 ) hoặc

∂f (x0 , y0 , z0 ) hoặc ∂x

Df (x0 , y0 , z0 )

a) Một phương trình liên hệ giữa các biến độc lập (x1 , x2 , ..., xn ) và các ẩn hàm u1 (x1 , .., xn ), ...un (x1 , và các đạo hàm riêng của các ẩn hàm đó gọi là một phương trình đạo hàm riêng. Ví dụ x

∂f ∂f +y =0 ∂x ∂y

Dạng phương trình tổng quát của phương trình đạo hàm riêng cấp m của các ẩn hàm u1 , ..., uN đối với các biến độc lập x1 , ..xn là F (x, u(x), Du(x), ..., Dm u(x)) = 0, x ∈ Ω, m ∈ N∗

với f là hàm, và u : Ω → R là hàm cần tìm.

(0.3)

b) Các cấp của phương trình (0.3) là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình (0.3). Một phương trình không có mặt các đạo hàm riêng thì không phải là một phương trình đạo hàm riêng. Phương trình đạo hàm riêng cấp một, cấp hai của ẩn hàm u đối với hai biến x, y có dạng ∂u ∂u , )=0 ∂x ∂y

(0.4)

∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u , , , , )=0 ∂x ∂y ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

(0.5)

F (x, y, u, F (x, y, z,

c) Phương trình (0.3) được gọi là tuyến tính nếu nó có dạng X

aα (x)Dα u = f

|α|≤m

Trong đó aα , f là các hàm số đã cho. Phương trình tuyến tính này được gọi là thuần nhất nếu f ≡ 0

Phương trình (0.3) được gọi là nửa tuyến tính nếu nó có dạng X

aα (x)Dα u + a0 (Dm−1 u, ..., Du, u, x) = 0

|α|=m

Phương trình (0.3) được gọi là tựa tuyến tính nếu nó có dạng X

aα (Dm−1 u, ..., Du, u, x)Dα u + a0 (Dm−1 u, ..., Du, u, x) = 0

|α|=m

Phương trình (0.3) được gọi là phi tuyến tính hoàn toàn nếu nó không phụ thuộc tuyến tính vào các đạo hàm bậc cao nhất. d) Hệ (u1 , ..., uN ) được gọi là nghiệm của (0.3) nếu khi thay hệ đó vào (0.3) ta được một đồng nhất thức của các biến độc lập.

Chương I Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân 1

Một số mô hình toán học trong vật lý, cơ học, kĩ thuật Như đã trình bày ở trên, trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, vật lý và khoa học xã hội ta thường

gặp các bài toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm của hàm đó. Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân. Dưới dây là một số bài toán vật lí, cơ học, kĩ thuật, sinh học,... dẫn đến việc nghiên cứu phương trình vi phân.

1.1

Định luật thứ hai của Newton về chuyển động

Định luật Newton mô tả chuyển động của chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng của lực F có dạng F = ma

trong đó a là gia tốc của chất điểm Ta xét một vài trường hợp đơn giản của chuyển động (i) Vật có khối lượng m rơi tự do dưới tác dụng của trọng lực Trong trường hợp này F = mg

Với a=

d2 y dt2

y(t) là chiều cao của vật rơi tại thời điểm t so với mặt đất. Để xác định quy luật chuyển động

ta cần tìm hàm y(t) thỏa mãn phương trình m

d2 y = mg dt2

(1.1)

Nếu tính đến lực cản của không khí và xem rằng lực này tỉ lệ với vận tốc của vật rơi, thì F = ma − k.

dy dt

và phương trình chuyển động có dạng m

d2 y dy = mg − k 2 dt dt

(1.2)

Bây giờ ta đi tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) Để đơn giản ta chọ các hệ số bằng 1,phương trình trở thành : y” + y 0 = 1

(1.3)

y” + y 0 = 0

(1.4)

Xét phương trình thuần nhất

Có phương trình đặc trưng : λ2 + λ = 0

với nghiệm là : λ = 0; λ = −1 Hệ nghiệm cơ bản của (1.4) là 1, e−t Nghiệm riêng : y(t) = A; y 0 = 0; y” = 0 thay vào (1) ta được A = 1 Vậy nghiệm tổng quát của (1.3) là y(t) = C1 + C2 e−x + 1

(ii) Phương trình chuyển động của con lắc đơn Xét dao động của một con lắc đơn. Giả sử con lắc có dộ dài L, khối lượng của trục có thể bỏ qua và khối lượng của con lắc là m 12

Gọi θ là góc tạo bởi con lắc với phương thẳng đứng. Thế năng của con lắc là Wt = mgL(1 − cos θ)

Nếu trục đứng đặt tại gốc tọa độ thì tại góc θ, tọa độ trọng tâm của con lắc là X = (x, y) = (L sin θ, L(cos θ − 1))

Khi đó dx dy dθ dθ dχ = ( , ) = (L cos θ − L sin θ ) dt dt dt dt dt

và do đó động năng của con lắc là

1 dX

1 dx 2 dy 2 1 dθ 2 dθ 2 1 2 2 2 2 2 dθ 2 Wd = m

= m ( ) + ( ) = m L cos θ( ) + L sin θ( ) = mL ( ) . 2 dt

2 dt dt 2 dt dt 2 dt

Do định luật bảo toàn năng lượng của con lắc 1 dθ E = mL2 ( )2 + mgL(1 − cos θ) 2 dt E là hằng số, nên lấy đạo hàm hai vế ta nhận được 0 = mL2 (

dθ d2 θ dθ )( 2 ) + mgL sin θ . dt dt dt

Chia cả hai vế của phương trình cho θ ta nhận được phương trình dao động của con lắc

mg d2 θ =− sin θ. 2 dt L

Khi dao động là dao động nhỏ, tức là khi θ nhỏ, ta có thể xấp xỉ sin θ bởi θ và nhận được phương trình tuyến tính d2 θ mg m =− θ dt L

Đặt w2 =

g , ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng L d2 θ = −w2 θ. dt

Đây là phương trình dao động của một vật dao động điều hòa. 13

Nếu tính cả lực cản của không khí thì từ định luật thứ hai của Newton, ta suy ra phương trình dao động tắt dần của con lắc sẽ là

d2 θ dθ = −k − w2 sin θ. dt dt

(iii) Chuyển động của hệ : Quả cầu và lò xo. Ta treo quả cầu nhỏ khối lượng m vào một lò xo, kéo quả cầu xuống rồi thả ra và khảo sát chúng trong trường hợp hệ có cản và hệ không cản. a) Hệ không có cản Bỏ qua lực cản, lực tổng tác dụng lên hệ bằng F = mg − k(d + y), k là độ cứng của lò xo.

Ở trạng thái cân bằng y = 0, thì các lực cân bằng, suy ra kd = mg . Lực tổng là −ky và phương trình chuyển động có dạng m

d2 y = −ky dt2

(1.5)

Bây giờ ta đi tìm nghiệm của phương trình (1.5). Để đơn giản ta cho các hệ số bằng 1 khi đó ta được phương trình y” + y = 0

Có phương trình đặc trưng là λ2 + 1 = 0

với nghiệm là λ = i, λ = −i

Hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.6) là cos t, sin t Nghiệm tổng quát : y(t) = C1 cos t + C2 sin t 14

(1.6)

b) Hệ có cản Ta có lực cản tỉ lệ với vận tốc

dy dy . Lực tổng là −ky − c (hằng số C được gọi là hệ số dt dt

cản). Từ định luật hai Newton ta viết phương trình chuyển động m

d2 y dy = −ky − c 2 dt dt

(1.7)

Ta sẽ đi tìm nghiệm của (1.8) .Để đơn giản ta cho các hệ số bằng 1 Khi đó ta có phương trình y” + y 0 + y = 0

(1.8)

Xét phương trình đặc trưng λ2 + λ + 1 = 0

có nghiệm là

√ √ 3 1 3 −1 + i; λ = − i λ= 2 2 2 2

Hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.8) là √

−1 t 2

√ 3 −1 x 3 cos t, e 2 sin t 2 2

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.8) y(t) = C1 e

1.2

−1 t 2

√ cos

3 t 2

√ + C2 e

−1 t 2

sin(

3 t) 2

Phương trình chuyển động của hành tinh trong Hệ Mặt Trời

Xét chuyển động của một hành tinh xung quanh Mặt Trời. Giả sử Mặt Trời cố định tại gốc tọa độ trong R3 và hành tinh tương đối nhỏ sao cho lực tác động lên Mặt Trời là không đáng kể. Mặt Trời gây ra một lực tác động lên hành tinh tuân theo định luật hấp dẫn của Newton, tức là Mặt Trời gây ra một lực lên hành tinh ở vị trí x ∈ R3 theo hướng Mặt Trời, có độ lớn là Gms mp /r2 , trong đó ms là khối lượng của Mặt Trời, mp là khối lượng của hành tinh, G là hằng số hấp dẫn, r là khoảng cách giữa Mặt Trời và hành tinh. 15

Áp dụng định luật thứ hai của Newton ta có phương trình vi phân mp

d2 x x = −Gm m s p dt2 |x|3

Để đơn giản, ta có thể đổi đơn vị sao cho các hằng số bằng 1 và nhận được phương trình vi phân x d2 x = F (x) = − 3 2 dt |x|

hay viết dưới dạng hệ cấp một tương đương    dx   =v

dt  dv x    =− 3 dt |x|

(1.9)

Hệ này được gọi là hệ lực xuyên tâm Newton. Chú ý rằng: F (x) là một trường lực xuyên tâm và bảo toàn, do x = gradU (x) |x|3

ở đó thế năng U cho bởi U (x) = −

1 |x|

Bây giờ ta xét một đường cong nghiệm của phương trình này. Momen góc l và năng lượng toàn phần E được coi là những hằng số đối với thời gian vì chúng bằng nhau tại mọi điểm của đường cong. Trường hợp l = 0 tương ứng với chuyển động dọc theo đường thẳng hướng tới hoặc đi khỏi Mặt Trời. Vì vậy ta giả thiết l 6= 0. Đưa vào hệ tọa độ cực (r, θ) dọc theo đường cong nghiệm chúng là những hàm của thời gian (r(t), θ(t)). Vì momem góc l = r2

dθ dθ là hằng số khác không nên dấu của không đổi dt dt

dọc theo mỗi đường cong nghiệm, bởi vậy θ luôn tăng hoặc giảm theo thời gian. Vì vậy ta có thể xem r là hàm của θ dọc theo đường cong nghiệm. Đặt W (t) =

1 , chú ý rằng W cũng là hàm của θ và W = −U . Ta có động năng là r(t)

1 dr 2 dθ K= ( ) + (r )2 . 2 dt dt 16

Do r =

1 , ta có W dr −1 dW dθ dW = 2 = −l dt W dθ dt dθ

Mặt khác, rθ =

l = lW. Thay các biểu thức này vào biểu thức ở trên của động năng K ta r

được K=

dW dθ

! + W2

Bây giờ ta tìm một phương trình vi phân liên hệ giữa W và θ. Chú ý rằng K = E − U = E + W , ta có

dW dθ

+ W2 =

Đạo hàm hai vế theo θ, sau đó chia cho

2 (E + W ). l2

dE 2dW và dùng = 0 (bảo toàn năng lượng), ta dθ dθ

nhận được phương trình d2 W 1 + W = , dθ2 l2

ở đó

1 là hằng số. l2

Chú ý rằng đây chính là phương trình dao động điều hòa với ngoại lực hằng số

1.3

1 . l2

Phương trình vi phân cho các mạch điện

Xét mạch điện gồm một điện trở R, một cuộn cảm L và một tụ điện C mắc nối tiếp. Trong mạch, ta cho một dòng điện chạy qua mỗi nhánh. Gọi iR , iL , iC lần lượt là các dòng điện chạy qua R, L và C . Định luật về dòng cảm của Kirchhoff nói rằng tổng dòng chạy vào một nút bằng tổng dòng chạy ra khỏi nút đó, tức là iR = iL = −iC

Trạng thái của mạch điện được đặc trưng bởi dòng điện i và điện áp qua mỗi nhánh. Kí hiệu các điện áp này lần lượt là VR , VL , VC ta có VR + VL − VC = (V(β) − V(α) + (V(α) − V(γ) − (V(β) − V(γ) ) = 0 17

Điện trở trong nhánh R áp đặt một " quan hệ hàm " trên iR , VR VR = F (iR )

trong đó F ∈ C 1 (R). Tiếp theo, ta xét sự chuyển tiếp theo thời gian của trạng thái vật lí (i(t), V (t)) = (iR (t), iL (t), iC (t), VR (t), VL (t), VC (t)).

Cuộn cảm xác định rằng L

diL (t) = VL (t) dt

trong đó L là một hằng số dương, gọi là độ tự cảm. Mặt khác, tụ điện xác định rằng C

dVC (t) = iC (t) dt

trong đó C là một hằng số dương, gọi là điện dung. Do iR = iL và iC = −iL , ta có L

diL (t) = VL = VC − VR = VC − F (iL ) dt C

dVC (t) = iC = −iL dt

Để đơn giản, ta coi L = 1, C = 1 và nếu kí hiệu x = iL , y = VC , ta có hệ phương trình vi phân của mạch điện    dx   = y − F (x) dt

  dy   = −x dt

hay dạng tương đương d2 x dx + f (x) + x = 0 2 dt dt

ở đó f (x) = F 0 (x). Đây là một dạng của phương trình Liénard. Đặc biệt, nếu f (x) = x3 − x ta có phương trình VanderPol.

1.4

Phương trình phóng xạ

Thực nghiệm chỉ ra rằng các chất phóng xạ, chẳng hạn như uranium, tốc độ phóng xạ tỉ lệ với khối lượng M (t) tại thời điểm đang xét. Ta có thể viết công thức để tính khối lượng này tại bất kì thời điểm nào bằng cách giải phương trình sau dM = −kM dt

Một số mô hình toán học trong sinh thái học quần thể

2.1

Mô hình quần thể đơn loài

Giả sử x(t) là số lượng của một loài tại thời điểm t (chẳng hạn dân số trên Trái Đất, số cá dx (t) chép trong một ao, số nguyên tử của một chất phóng xạ,...). Khi đó dt là tốc độ tăng trưởng x(t)

toàn phần. Tốc độ tăng trưởng này nói chung là một hàm của thời gian và quần thể, tức là dx (t) dt = r(t, x). x(t)

Trong một hệ đóng, tức là không có nhập cư, ta có r(x, t) = g(t, x) − s(t, x),

ở đó g(t, x) là tốc độ sinh và s(t, x) là tốc độ tử. Nếu g và s đã biết, tổng quát hơn là đã biết r, thì x thỏa mãn phương trình tăng trưởng dx = r(t, x)x. dt

Dưới đây, ta xét hai trường hợp đơn giản. a) Phương trình Malthus Ta giả sử tốc độ tăng trưởng là hằng số r(t, x) = a

Khi đó x thỏa mãn phương trình vi phân dx = ax dt

Phương trình này với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 có nghiệm duy nhất là x(t) = x0 ea(t−t0 ) . Từ đây suy ra x(t) → +∞ khi t → +∞ nếu a > 0 ("tăng trưởng không giới hạn") và x(t) → 0 khi t → +∞ nếu a < 0 ("tuyệt chủng").

b) Phương trình logistic Giả thiết tốc độ tăng trưởng hằng số là không thực tế. Do đó, ta giả sử tồn tại một "số dân giới hạn" ξ > 0 sao cho khi x vượt quá giới hạn ξ thì tốc độ tăng trưởng trở nên âm, tức là ta giả sử r(t, x) 6 0

nếu x>ξ

Chẳng hạn, ta có thể lấy r(t, x) = β(ξ − x), β, ξ > 0

Khi đó, phương trình tăng trưởng có dạng dx = αx − βx2 = (α − βx)x, α = βξ dt

Phương trình này được gọi là phương trình tăng trưởng giới hạn hay phương trình logistic.

2.2

Mô hình thú mồi

Xét một quần thể gồm một loài thú và một loài mồi. Kí hiệu x(t) là số lượng loài mồi tại thời điểm t, y(t) là số lượng loài thú tại thời điểm t. Khi đó hệ phương trình tăng trưởng của hai loài có dạng    dx   (t) = r1 (t, x, y)x dt

  dy   (t) = r2 (t, x, y)y. dt

Trong mô hình này ta giả sử mồi là nguồn thức ăn duy nhất của loài thú và loài mồi có nguồn thức ăn vô hạn. Như trong trường hợp mô hình một loài ở trên, ta cũng xét hai trường hợp tăng trưởng không giới hạn và tăng trưởng có giới hạn. a) Mô hình thú- mồi với tốc độ tăng trưởng hằng số Một biểu thức đơn giản cho tốc độ tăng trưởng của loài mồi có dạng r1 (t, x, y) = a − by(a, b > 0)

Điều này có nghĩa là nếu không có loài thú (y = 0) thì loài mồi sẽ tăng trưởng theo tốc độ hằng số a và sự xuất hiện của loài thú làm tỉ lệ này giảm một lượng tỉ lệ thuận với số thú. Ta sử dụng biểu thức tương tự cho tốc độ phát triển của loài thú r2 (t, x, y) = −c + dx(c, d > 0)

Điều này nghĩa là nếu không có con mồi, loài thú sẽ dần bị tuyệt chủng với tốc độ hằng c và sự xuất hiện của con mồi làm giảm tỉ lệ tử một lượng tỉ lệ thuận với số con mồi. Dưới các giả thiết trên, ta nhận được mô hình Lotka-Voltera cổ điển    dx   = ax − bxy dt   dy   = −cy + dxy dt

b) Mô hình thú - mồi với tốc độ tăng trưởng giới hạn Như đã làm với phương trình logistic ở mục 2.1 b), ta sửa đổi mô hình Lotka-Volterra cổ điển bởi " các tác động xã hội", điều này nói riêng ngăn cản sự phát triển không giới hạn của con mồi khi không có con thú. Kết quả ta nhận được hệ    dx   = ax − bxy − ex2 dt

  dy   = −cy + dxy − f y 2 dt

2.3

Mô hình cạnh tranh hai loài

Khi hai loài cùng sống với nhau và cùng chia sẻ một nguồn tài nguyên, chẳng hạn thức ăn, ổ sinh thái hay lãnh thổ, nhiều khi chỉ một loài thắng thế làm cho loài yếu hơn đi đến diệt vong( đây là nguyên lí cạnh tranh loại trừ). Loại này thắng vì nó khai thác nguồn tài nguyên hiệu quả hơn, làm cho loài kia kiếm được ít hơn và không thể tăng trưởng ở tốc độ tối đa. Mô hình sau, do Lotka và Volterra đưa ra và Gause nghiên cứu thêm, mô tả sự cạnh tranh giữa hai loài    dx   = ax − bxy − ex2 dt

  dy   = cy − dxy − f y 2 dt

ở đây x và y là số lượng của hai loài.

Chương II Các bài toán dẫn đến phương trình đạo hàm riêng 1

Phương trình dao động của dây Xét một sợi dây căng thẳng theo trục Ox. Bằng một cách nào đó, ta làm sợi dây dao động

và ta sẽ nghiên cứu quy luật dao động ấy của sợi dây. Ta giả thiết sợi dây rất nhỏ, không cưỡng lại sự uốn và có lực căng T tương đối lớn so với trọng lượng sợi dây, khiến cho ta có thể bỏ qua yếu tố trọng lượng sợi dây nói trên. Ta chỉ xét những dao động ngang của sợi dây, tức là giả thiết khi dao động, các phần tử vật chất của sợi dây chuyển động thẳng góc với trục Ox. Độ lệch của các phần tử vật chất của dây mà ta kí hiệu là M so với vị trí cân bằng của nó được kí hiệu là u. Rõ ràng hàm u phụ thuộc thời gian và hoành độ của điểm M , tức là u = u(x, t)

Xét t = t0 thì đồ thị của đường cong biểu diễn bởi u = u(x, t0 ) = f (x)

rõ ràng cho ta hình dáng của sợi dây tại thời điểm t = t0 . Hơn nữa, ta giả thiết độ lệch u(x, t) của dây và đạo hàm qua đại lượng ux 2 so với đơn vị. 23

∂u rất nhỏ khiến cho ta có thể bỏ ∂x

Hãy lấy một đoạn dây bất kỳ giới hạn bởi hai điểm M1 , M2 với hoành độ x1 , x2 . \ Khi đó, do bỏ qua được đại lượng ux 2 (x, t), độ dài của đoạn dây M 1 M2 bằng l0 =

Zx2 p

1 + ux 2 dx ≈ x2 − x1 = l

\ tức là bằng độ dài đoạn M 1 M2 khi dây còn ở vị trí cân bằng. Nói khác đi, ta coi độ dài của sợi dây không thay đổi khi nó dao động. Như vậy, theo định lí Hooke thì lực căng T của sợi dây cũng không thay đổi, vậy ta coi lực căng T là một hằng số T0 . T = T0

Bây giờ ta hãy thiết lập phương trình dao động của dây, bằng cách dùng nguyên lý D0 Alembert : "Trong chuyển động của đoạn dây, tổng các lực tác động vào đoạn dây, kể cả lực quán tính là bằng không và do đó tổng các hình chiếu của các lực trên một trục bất kì đều bằng không". \ Xét một đoạn dây M 1 M2 bất kì và cho bằng không tổng các hình chiếu của các lực xuống trục u, cụ thể hình chiếu của lực căng, ngoại lực tác động vào dây và lực quán tính. Lực căng hướng theo tiếp tuyến đối với dây tại M1 , M2 và bằng T0 . Gọi α(x) là góc hợp bởi trục Ox với tiếp tuyến tại điểm x thì tổng hình chiếu của các lực căng tại M1 , M2 xuống trục u bằng Y = T0 [sin α(x2 ) − sin α(x1 )].

Nhưng sin α(x) = p

tgα(x) 1 + tg 2 (x)

∂u ∂x

1+(

≈ ∂u 2 ) ∂x

và do đó Y = T0

∂u ∂u ( )x=x2 − ( )x=x1 . ∂x ∂x

Chú ý rằng ∂u ∂u ( )x=x2 − ( )x=x1 = ∂x ∂x

Zx2 x1

∂ 2u dx ∂x2

∂u ∂x

ta được

Zx2 Y = T0

∂ 2u dx. ∂x2

Ta gọi p(x, t) là ngoại lực tác động vào dây, song song với trục u và phân phối trên một đơn vị chiều dài. \ Khi đó, hình chiếu trên trục u của ngoại lực tác dụng lên đoạn M 1 M2 của dây bằng Zx2 P =

p(x, t)dx x1

Gọi ρ(x) là tỉ trọng dài của sợi dây (mật độ phân bố vật chất theo chiều dài). Khi đó lực \ quán tính Z của đoạn M 1 M2 bằng: Zx2 Z=−

ρ(x)

∂ 2u dx ∂t2

\ Như vậy tổng các hình chiếu xuống trục u của các lực tác động vào đoạn M 1 M2 bằng: Z

Y +Z +P = x1

∂ 2u ∂ 2u T0 2 − ρ(x) 2 + p(x, t) dx = 0 ∂x ∂t

Vì x1 , x2 là những trị số bất kỳ, nên từ đó với giả thiết các đại lượng dưới dấu tích phân là liên tục, ta suy ra đại lượng đó phải bằng không, hay là ρ(x)

∂ 2u ∂ 2u = T + p(x, t) 0 ∂t2 ∂x2

(1.1)

Đây là phương trình dao động của dây. Nếu dây đồng chất, tức là ρ = const

thì (1.1) có dạng 2 ∂ 2u 2∂ u = a + f (x, t) ∂t2 ∂x2

(1.2)

với r a=

T0 ρ

(1.3)

1 f (x, t) = p(x, t) ρ

Nếu không có ngoại lực tác động, nghĩa là p(x, t) = 0,

thì (1.2) trở thành 2 ∂ 2u 2 ∂u =a ∂t2 ∂x2

(1.4)

Phương trình (1.1) có vô số nghiệm. Vì vậy, để xác định được nghiệm, cần ấn định thêm các điều kiện phụ nào đấy. Đứng về phương diện vật lý thì điều này rõ ràng. Rõ ràng cùng một sợi dây nhưng tại thời điểm ban đầu t = 0 có hình dạng khác nhau, vận tốc các điểm của dây khác nhau và chế độ ở hai đầu dây khác nhau (gắn chặt hay cho chuyển động theo một quy luật nào đấy) thì dây sẽ dao động khác nhau. Vì vậy để xác định quy luật dao động của sợi dây, cần phải cho hình dáng sợi dây và vận tốc các điểm của nó tại thời điểm ban đầu và chế độ chuyển động tại hai đầu dây. Đứng về phương diện toán, nếu hoành độ của hai đầu dây là x = 0 và x = l thì điều đó tương đương với việc tìm nghiệm của phương trình (1.1) ρ(x)

∂ 2u ∂ 2u = T + p(x, t) 0 ∂t2 ∂x2

thỏa mãn các điều kiện     u(x, 0) = ϕ0 (x)

(1.5)

  ∂u   (x, 0) = ϕ1 (x) ∂t

06x6l

    u(0, t) = µ1 (t)    u(l, t) = µ2 (t) 26

(1.6)

(1.5) được gọi là các điều kiện ban đầu, (1.6) được gọi là các điều kiện biên. Nếu sợi dây dài mà ta chỉ quan tâm khảo sát một khoảng của dây khá xa một đầu, chẳng hạn đầu x = l, khiến cho ảnh hưởng của đầu đó có thể bỏ qua được, thì ta có thể coi như đầu đó ở xa vô hạn và các điều kiện (1.5) và (1.6) sẽ trở thành     u(x, 0) = ϕ0 (x) 0 6 x 6 +∞   ∂u   (x, 0) = ϕ1 (x)

(1.7)

∂t

u(0, t) = µ(t)

(1.8)

Nếu khoảng dây ta xét xa đối với cả hai đầu, thì ta có thể coi như bài toán không có điều kiện biên. Khi đó (1.5) trở thành     u(x, 0) = ϕ0 (x)

− ∞ 6 x 6 +∞

(1.9)

  ∂u   (x, 0) = ϕ1 (x) ∂t

Những điều kiện biên và điều kiện ban đầu còn có thể có nhiều dạng khác với các dạng kể trên. Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.9) (không có điều kiện biên) được gọi là bài toán Cauchy của phương trình (1.1), còn bài toán với điều kiện (1.5), (1.6) được gọi là bài toán hỗn hợp của phương trình (1.1).

Phương trình dao động của màng Xét một màng mỏng, khi cân bằng nằm trong mặt phẳng xOy . Bằng một cách nào đó, ta

làm màng dao động. Ta sẽ nghiên cứu quy luật dao động của màng. Ta giả thiết màng mỏng, không cưỡng lại sự uốn, trọng lượng nhỏ so với lực căng trên mặt, do đó có thể bỏ qua trọng lượng.

Giả thiết màng dao động ngang và độ lệch của điểm M (x, y) trên màng được ký hiệu là u. Rõ ràng u = u(x, y, t)

Hơn nữa, giả thiết dao động của màng là nhỏ và ta bỏ qua bình phương hoặc tích của những đại lượng ∂u ∂u , ∂x ∂y

Xét một mảnh σ bất kỳ của màng, khi nó ở vị trí cân bằng, giới hạn bởi biên tuyến l. Khi màng dao động mảnh σ đó chuyển thành σ 0 giới hạn bởi biên tuyến l0 . Diện tích của màng σ 0 bằng σ0 =

ZZ q

1 + u2x + u2y dxdy ≈

ZZ dxdy = σ σ

(do ta bỏ qua các đại lượng u2x , u2y ) Như vậy, diện tích của màng coi như không đổi khi màng dao động. Từ đó có thể coi suất căng của màng không thay đổi khi màng dao đông. Cũng như khi thiết lập phương trình dao động của dây, ta thiết lập phương trình dao động của màng bằng cách dùng nguyên lý D’Alambert. Ta hãy cho bằng không tổng các hình chiếu xuống trục Ou của các lực gây nên bởi lực căng, ngoại lực và lực quán tính tác động vào mảnh màng σ 0 . Lực căng tác động vào mảnh σ 0 được gây nên bởi phần màng còn lại. Hơn nữa, nó tác động vào biên l0 của σ 0 , thẳng góc với biên l0 ấy, hướng ra phía ngoài đối với σ 0 và tiếp xúc với màng. Hãy xét một điểm M (x, y, u) trên biên l0 và vi phân cùng ds0 tại điểm đó. Gọi T là suất căng của màng thì lực căng tác động vào ds0 sẽ bằng T ds0 .µ0 , − trong đó → µ là vectơ đơn vị thẳng góc với l0 tại M, tiếp xúc với màng, và hướng ra phía ngoài

đối với σ 0 . 28

− Nếu gọi → n là vectơ đơn vị pháp tuyến ngoài của l tại điểm m (hình chiếu của m trên mặt − xOy ) gọi → v là vectơ đơn vị của pháp tuyến hướng lên phía trên của màng tại điểm M và đặt → − − − t =→ v ∧→ n → −

thì rõ ràng t là vectơ tiếp xúc của l0 tại M . Hơn nữa nếu lại đặt → − → − − − − − θ = t ∧→ v = (→ v ∧→ n)∧→ v

(2.1)

− thì θ là vectơ cùng phương và chiều với vectơ → µ nói trên → − → θ //− µ

Ta hãy tính hình chiếu xuống trục Ou của lực gây nên bởi các lực căng tác động vào mảnh − − − µ xuống trục Ou bằng T cos(→ µ,→ u )ds0 và hình σ 0 . Rõ ràng hình chiếu của phần lực căng T ds0 →

chiếu tổng của các lực đó tác động lên toàn bộ mảnh σ 0 bằng Z Y =

− − T cos(→ µ,→ v )ds0

(2.2)

→ −

− − Ta hãy tính cos(→ µ,→ u ). Muốn vậy, ta hãy tính thành phần của vectơ θ .

Ta có

p −ux

1 + u 2 + u 2 ≈ −ux x y

−uy

→ − ≈ −uy v = p

1 + ux 2 + uy 2

p ≈1

1 + ux 2 + uy 2

− −

cos(→ n,→ x)

→ − − − n = cos(→ n,→ y)

Từ công thức tích vectơ kép → − − − − − − − − − − θ = (→ v ∧→ n)∧→ v = (→ v .→ v )→ n − (→ v .→ n )→ v,

dễ thấy

− − − − − − − −

cos(→ n,→ x ) − [ux cos(→ n,→ x ) + uy cos(→ n,→ y )]ux ≈ cos(→ n,→ x)

→ −

− − − − − − − − θ ≈ cos(→ n,→ y − [ux cos(→ n,→ x ) + uy cos(→ n,→ y )]uy ≈ cos(→ n,→ y)

− − − − ux cos(→ n,→ x ) + uy cos(→ n,→ y ).

Như vậy → − − − − − | θ |2 ≈ cos2 (→ n,→ x ) + cos2 (→ n,→ y)=1

tức → − − θ ≈→ µ.

Từ đó − − − − − − cos(→ µ,→ u ) ≈ ux cos(→ n,→ x ) + uy cos(→ n,→ y)

Vậy (2.2) có dạng Z Y ≈

− − − − T [ux cos(→ n,→ x ) + uy cos(→ n,→ y )]ds0 ≈

(2.3)

Z ≈

− − − − T [ux cos(→ n,→ x ) + uy cos(→ n,→ y )]ds =

ZZ [ux dy − uy dx] = T

[uxx + uyy ]dxdy σ

Ở đây uxx , uyy là kí hiệu các đạo hàm

∂ 2u ∂ 2u , . ∂x2 ∂y 2

Giả sử trên màng, tác động một ngoại lực p(x, y, t) song song với trục Ou, phân phối trên một đơn vị diện tích của màng, khi đó ngoại lực tác động vào mảnh σ 0 có hình chiếu xuống trục Ou bằng ZZ P =

p(x, y, t)dxdy

(2.4)

Gọi ρ(x, y) là tỉ trọng của màng (mật độ phân bố vật theo diện tích mặt). Khi đó, lực quán tính của màng σ bằng ZZ Z=−

ρ(x, y) σ

∂ 2u dxdy ∂t2

(2.5)

Từ đó, nguyên lý D’Alambert, từ (2.3), (2.4), (2.5) ta có ∂ 2u −ρ(x, y) 2 + T ∂t

∂ 2u ∂ 2u + ∂x2 ∂y 2

+ p(x, y, t) dxdy = 0

(2.6)

hay vì σ là mảnh bất kỳ của màng và với giả thiết các đại lượng dưới dấu tích phân là liên tục, nên từ (2.6) ta có ∂ 2u ρ(x, y) 2 = T ∂t

∂ 2u ∂ 2u + ∂x2 ∂y 2

+ p(x, y, t)

Phương trình này có thể viết được dưới dạng ∂ 2u = a2 ∂t2

∂ 2u ∂ 2u + ∂x2 ∂y 2

+ f (x, y, t)

(2.7)

với r a=

p T ,f = ρ ρ

Nếu không có ngoại lực, ta có phương trình thuần nhất ∂ 2u = a2 ∂t2

∂ 2u ∂ 2u + ∂x2 ∂y 2

(2.8)

Cũng như đối với việc xét sự dao động của dây, muốn xác định quy luật dao động của màng, cần phải cho thêm các điều kiện phụ, cụ thể như cho độ lệch và vận tốc ban đầu ( khi t = 0) của màng u(x, y, 0) = ϕ0 (x, y)

(2.9)

∂u (x, y, 0) = ϕ1 (x, y) ∂t

(2.10)

và nếu màng hữu hạn thì phải cho chế độ trên biên L của màng u(x, y, t)|(x,y)∈L = µ(x, y, t)

(2.11)

Nhiều quy luật vật lý và cơ học khác cũng đưa đến phương trình tương tự với (1.4)và (2.7). Chẳng hạn, quy luật dao động của một thanh đàn hồi đồng chất cũng biểu diễn bởi phương trình (1.4) trong đó u(x, t) là độ lệch của phần tử dao động của thanh so với vị trí cân bằng, x 31

là hoành độ của phần tử ấy, quy luật dao động nhỏ của chất khí lí tưởng với một số giả thiết vật lý xác định trong hiện tượng truyền âm biểu diễn bởi phương trình ∂ 2u = a2 ∂t2

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(2.12)

trong đó (x, y, z) là tọa độ của phần tử khí, u(x, y, z, t) là độ lệch áp suất khí ở điểm (x, y, z) tại thời điểm t, so với áp suất lúc bình thường tại (x, y, z). Nhưng phương trình (1.4), (2.7), (2.11) thường được gọi là những phương trình truyền sóng. Hệ số a trong các phương trình ấy là vận tốc truyền sóng.

Phương trình truyền nhiệt Giả sử nhiệt độ của vật thể bị chặn Ω trong R3 tại điểm x = (x1 , x2 , x3 ) và tại thời điểm t

được xác định bởi hàm u(x, t) khả vi liên tục đến cấp hai theo x ∈ Ω và cấp một theo t ∈ (0, T ). Nếu các phần của vật thể có nhiệt độ khác nhau, thì bên trong vật thể có sự trao đổi về nhiệt lượng từ phần có nhiệt độ cao hơn sang phần có nhiệt độ thấp hơn. Ta coi Ω là vật thể đẳng hướng, tức là truyền nhiệt theo phương nào cũng như nhau. Lấy Ω1 là một miền tùy ý của Ω với biên ∂Ω1 trơn. Ta xét sự thay đổi nhiệt độ trong Ω1 sau một thời gian từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 bằng hai cách. Theo định luật Newton, sau khoảng thời gian từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 thì nhiệt độ truyền qua mặt ∂Ω1 bằng Zt2 Q1 =

Z dt

ở đó

∂u ds ∂ν

∂Ω1

∂u là đạo hàm theo hướng vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của mặt ∂Ω1 k(x) là ∂ν

hệ số truyền nhiệt trong vật thể tại điểm x. Khi đó nhiệt lượng sinh ra trong vật thể Ω1 trong khoảng thời gian từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 là

Zt2 Q2 =

Z dt

f (x, t)dx Ω1

với f (x, t) là hàm mật độ nguồn nhiệt tại điểm x ở thời điểm t. Mặt khác, sự thay đổi nhiệt của Ω1 sau khoảng thời gian từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 là Z C(x)ρ(x)[u(x, t2 ) − u(x, t1 )]dx

Q3 = Ω1

hay Zt2 Q3 =

Z dt

Cρ

∂u ∂x

Ω1

với ρ(x) là tỉ khối của vật thể và C(x) là nhiệt dung riêng của vật thể tại điểm x. Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có Q1 + Q2 = Q3 , hay Zt2 Z Zt2 Z Zt2 Z dt t1

Cρ

∂u dx = ∂t

Ω1

Zt2

i=1 t1

∂Ω1

Z dt

f (x, t)dx

dt t1

X ∂u k ds = ∂ν

∂u ds + ∂ν

∂Ω1

Theo công thức Ostrogradsky-Gauss Zt2 Z t1

Ω1

∂u ∂ (k )dx ∂xi ∂xi

Ω1

suy ra Zt2

Z dt

X ∂u Cρ dx = ∂t

Zt2

i=1 t1

Ω1

Z dt

∂u ∂ (k )dx + ∂xi ∂xi

Zt2

Z dt

Ω1

f (x, t)dx Ω1

Vì Ω1 , t1 , t2 tùy ý và các hàm dưới dấu tích phân liên tục nên 3

∂u X ∂ ∂u Cρ = (k ) + f (x, t), ∀t ∈ [0, T ), ∀x ∈ Ω ∂t ∂xi ∂xi i=1

Phương trình trên là phương trình truyền nhiệt trong vật thể đẳng hướng không thuần nhất. Nếu vậy thể thuần nhất thì C, ρ, k là hằng số. Khi đó phương trình trở thành ∂u = a2 ∆u + F (x, t), ∀t ∈ [0, T ), ∀x ∈ Ω ∂t

gọi là phương trình truyền nhiệt không thuần nhất (được Fourier thiết lập năm 1822). Khi trong vật thể không có nguồn nhiệt ta có f (x, t) = 0 nghĩa là phương trình truyền nhiệt thuần nhất ∂u = a2 ∆u ∂t 33

Sự khuếch tán trong không gian ba chiều Bài toán khuếch tán dẫn tới một phương trình đạo hàm riêng tương tự như phương trình

dẫn nhiệt. Để phân biệt đại lượng vô hướng và đại lượng vectơ, riêng trong mục này chúng ta sẽ dùng kí hiệu có mũi tên phía trên để chỉ một vectơ. Giả sử C(x, y, z, t) là nồng độ của một chất (khối lượng của chất đó trên một đơn vị thể tích) đang tan ra trong chất lỏng hoặc chất khí, chẳng hạn ô nhiễm trong một cái hồ. Khối lượng chất ô nhiễm trong miền Ω với biên Σ cho bởi Z (4.1)

C(x, y, z, t)dV Ω

Theo định luật bảo toàn khối lượng, tốc độ thay đổi khối lượng trong Ω theo thời gian bằng hiệu của tốc độ của dòng khối lượng đi vào Ω và tốc độ của dòng khối lượng đi ra khỏi Ω, cộng với tốc độ khối lượng chất đó sinh ra do một nguồn trong Ω. Ở đây, ta giả thiết không − − − có nguồn trong Ω. Gọi → q là vectơ thông lượng khối lượng, khi đó → q .→ v là khối lượng trn một

đơn vị diện tích, trên một đơn vị thời gian đi qua biên Σ của Ω theo hướng pháp tuyến ngoài − đơn vị → v . Vậy định luật bảo toàn khối lượng là d dt

Z CdV =

Ω

∂C dV = − ∂t

→ − − q .→ v dS

(4.2)

Ω

Theo định lý Ostrogradski, Z

→ − − q .→ v dS =

− div→ q dV

(4.3)

Ω

Do vậy ta có ∂C − = −div→ q ∂t

(4.4)

− Theo định luật Fick về khuếch tán, liên hệ giữa vectơ thông lượng → q và nồng độ C cho bởi −−→ → − − q = −H gradC + C → v

(4.5)

− trong đó → v là vận tốc của chất lỏng hoặc chất khí, H là hệ số khuếch tán và có thể phụ thuộc

vào C. Kết hợp (5.4) và (5.5) ta nhận được −−→ ∂C − = div(H gradC) − div(C → v) ∂t

(4.6)

−−−→ − ∂C = H∆C − Grad(C → v) ∂t

(4.7)

Nếu H là hằng số thì

− Nếu → v có thể bỏ qua hoặc bằng 0 thì ∂C = H∆C ∂t

(4.8)

là phương trình nhận được trong (5.8) khi Q = 0. Nếu H là không đáng kể thì ta nhận được một phương trình cấp một −−→ ∂C → − +− v .gradC + C div→ v =0 ∂t

(4.9)

Ở trạng thái ổn định (khi t đủ lớn) thì nồng độ C không phụ thuộc vào thời gian t nữa. Lúc đó phương trình (5.6) trở thành −−→ −−→ − ∇.(H gradC) − grad.(C → v)=0

(4.10)

− và nếu → v có thể bỏ qua hay bằng 0 thì ta nhận được −−→

−−→

grad.(H gradC) = 0

(4.11)

Nếu H là hằng số thì đây chính là phương trình Laplace.

Phương trình Laplace Ta thấy rằng phương trình truyền nhiệt trong môi trường đẳng hướng và không có nguồn

nhiệt có dạng ∂u = a2 ∂t

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 35

Giả sử sau một thời gian nào đấy, nhiệt độ trong môi trường ổn định, nghĩa là u(x, y, z, t) không còn phụ thuộc vào thời gian, ta có ∂u =0 ∂t

và khi đó có dạng ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + =0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(5.1)

Phương trình (5.1) được gọi là phương trình Laplace. Để xác định hàm u(x, y, z) của phương trình (5.1) trong miền V giới hạn bởi biên S chỉ cần cho biết giá trị của u(x, y, z) trên biên S , nghĩa là cho điều kiện u|S = ϕ(P )

(5.2)

Bài toán (5.1) và (5.2) được gọi là bài toán Dirichlet. Bài toán tìm nghiệm của phương trình Laplace (6.1) với điều kiện biên

∂u

= ψ(P ) ∂n S

(5.3)

− (→ n -pháp tuyến của S ) được gọi là bài toán Neômann.

Phương trình Laplace (5.1) còn gặp khi nghiên cứu chuyển động dừng của chất lỏng không nén được. Giả sử chuyển động của chất lỏng nói trên là chuyển động không xoáy, hay nói cách khác − đi là một chuyển động thế, thì vận tốc → v (x, y, z) của dòng chảy tại điểm (x, y, z) là một vectơ

thế, nghĩa là tồn tại một thế hàm ϕ(x, y, z) sao cho −−→ → − v (x, y, z) = −gradϕ

(5.4)

Đối với chất lỏng thuần nhất không nén được, người ta chứng minh rằng do phương trình liên tục, ta có − div → v =0 36

hay từ (5.4) ta có −−→ div gradϕ = 0

tức ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 + 2 =0 ∂x2 ∂y ∂z

(5.5)

Vậy thế hàm ϕ(x, y, z) của chuyển động dừng nói trên thỏa mãn phương trình Laplace.

KẾT LUẬN Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng là một trong những kiến thức cơ bản của giải tích toán học. Có nhiều ứng dụng trong vật lí, sinh học, hóa học, nó được coi như là cầu nối giữa lý thuyết và ứng dụng. Trong khả năng và điều kiện cho phép, bước đầu đề tài đã giải quyết được các vấn đề đặt ra, trình bày một số kí hiệu và kiến thức liên quan từ đó nêu ra các bài toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. Hi vọng những vấn đề được trình bày trong đề tài nhận được sự quan tâm từ phía thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa. Đồng thời chúng em cũng hi vọng đề tài nhỏ này sẽ giúp ích được phần nào các bạn sinh viên khoa Toán, trường Đại Học Tây Bắc. Cuối cùng, cũng đã có nhiều cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế chủ quan cũng như khó khăn khách quan nên đề tài chắc chắn không tránh khỏi những khuyết điểm về nội dung cũng như cách trình bày. Chúng em rất mong được sự cảm thông, góp ý của thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài được đầy đủ và hoàn thiện hơn.

Tài liệu tham khảo [1] Cung Thế Anh (2015), Cơ sở lí thuyết phương trình vi phân. NXB Đại Học Sư Phạm. [2] Nguyễn Thừa Hợp (2001), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng. NXB ĐHQG Hà Nội. [3] Vũ Trọng Lưỡng (2013), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng. NXB Đại Học Sư Phạm.