CHUYÊN ĐỀ 5 ĐẠO HÀM ĐẦY ĐỦ – ĐS&GT 11 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM ĐS&GT 11

vectorstock.com/21724382

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHUYÊN ĐỀ 5 ĐẠO HÀM ĐẦY ĐỦ – ĐS&GT 11 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Đạo hàm – ĐS&GT 11

ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM. A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm • Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0∈ (a; b): f ( x) − f ( x0 ) ∆y f '( x0 ) = lim = lim (∆x = x – x0, ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0)) x → x0 ∆ x → 0 x − x0 ∆x • Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. 2. Đạo hàm bên trái, bên phải f ( x) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x0 ) f '( x0+ ) = lim+ . f '( x0− ) = lim− . x → x0 x → x0 x − x0 x − x0 Hệ quả :Hàm f ( x ) có đạo hàm tại x0 ⇔ ∃ f ( x0+ ) và f '( x0− ) đồng thời f '( x0+ ) = f '( x0− ) . 3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn • Hàm số f ( x ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ( a ; b ) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( a ; b ) • Hàm số f ( x ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a; b ] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( a ; b ) − + đồng thời tồn tại đạo hàm trái f '(b ) và đạo hàm phải f '(a ) . 4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục • Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm tại x0 thì f ( x ) liên tục tại x0 .

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x0 nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x0 .

B – BÀI TẬP Câu 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại x0 < 1 ? f ( x) − f ( x0 ) f ( x + ∆x ) − f ( x0 ) A. lim . B. lim . x →0 ∆x → 0 x − x0 ∆x f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x ) C. lim . D. lim . x → x0 ∆x → 0 x − x0 ∆x Hướng dẫn giải: Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng. ChọnC. Câu 2. Cho hàm số f ( x ) liên tục tại x0 . Đạo hàm của f ( x ) tại x0 là A. f ( x0 ) . f ( x0 + h) − f ( x0 ) B. . h f ( x0 + h) − f ( x0 ) C. lim (nếu tồn tại giới hạn). h→0 h f ( x0 + h) − f ( x0 − h) D. lim (nếu tồn tại giới hạn). h→0 h Hướng dẫn giải: Chọn C. f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 ) Định nghĩa f ′ ( x0 ) = lim hay f ′ ( x0 ) = lim (nếu tồn tại giới hạn). ∆x → 0 h → 0 h ∆x Trang 1

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x0 là f '( x0 ) . Khẳng định nào sau đây sai? f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) . A. f ′( x0 ) = lim B. f ′( x0 ) = lim . x → x0 ∆x → 0 x − x0 ∆x f ( x + x0 ) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 ) . C. f ′( x0 ) = lim D. f ′( x0 ) = lim . x → x h→0 0 x − x0 h Hướng dẫn giải: Chọn D A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm). B. Đúng vì ∆x = x − x0 ⇒ x = ∆x + x0

∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ⇒ f ′( x0 ) = lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = = ∆x + x0 − x0 ∆x x − x0

C. Đúng vì Đặt h = ∆x = x − x0 ⇒ x = h + x0 , ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ⇒ f ′( x0 ) = lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 ) = = x − x0 h + x0 − x0 h

3 Câu 4. Số gia của hàm số f ( x ) = x ứng với x0 = 2 và ∆x = 1 bằng bao nhiêu?

A. −19 . B. 7 . C. 19 . D. −7 . Hướng dẫn giải: ChọnC. 3 3 Ta có ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = ( x0 + ∆x ) − 2 3 = x0 3 + ( ∆x ) + 3 x0 ∆x ( x0 + ∆x ) − 8 . Với x0 = 2 và ∆x = 1 thì ∆ y = 19 . ∆y Câu 5. Tỉ số của hàm số f ( x ) = 2 x ( x − 1) theo x và ∆x là ∆x 2 B. 4 x + 2 ( ∆x ) − 2. A. 4x + 2∆x + 2. 2

C. 4x + 2∆x − 2.

D. 4 x ∆ x + 2 ( ∆x ) − 2 ∆ x.

Hướng dẫn giải: Chọn C ∆y f ( x ) − f ( x0 ) 2 x ( x − 1) − 2 x0 ( x0 − 1) = = ∆x x − x0 x − x0 =

2 ( x − x0 )( x + x0 ) − 2 ( x − x0 ) x − x0

= 2 x + 2 x0 − 2 = 4 x + 2∆x − 2

x2 ứng với số gia ∆x của đối số x tại x0 = −1 là 2 1 1 1 2 2 2 B. ( ∆x ) − ∆x  . C. ( ∆x ) + ∆x  . D. ( ∆x ) + ∆x.     2 2 2

Câu 6. Số gia của hàm số f ( x ) =

1 2 ( ∆x ) − ∆x. 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Với số gia ∆x của đối số x tại x0 = −1 Ta có

Trang 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11

( −1 + ∆x ) ∆y =

1 1 + ( ∆x ) − 2∆x 1 1 2 − = − = ( ∆x ) − ∆x 2 2 2 2 2 2 Câu 7. Cho hàm số f ( x ) = x − x , đạo hàm của hàm số ứng với số gia ∆x của đối số x tại x0 là A. lim

∆x →0

(( ∆x ) + 2x∆x − ∆x ) . 2

B. lim ( ∆x + 2 x − 1) . ∆x → 0

C. lim ( ∆x + 2 x + 1) .

D. lim

∆x →0

∆x → 0

(( ∆x ) + 2 x∆x + ∆x ) . 2

Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có : 2 ∆y = ( x0 + ∆x ) − ( x0 + ∆x ) − ( x02 − x0 ) 2

= x02 + 2 x0 ∆x + ( ∆x ) − x0 − ∆x − x02 + x0 2

= ( ∆x ) + 2 x0 ∆x − ∆x 2

( ∆x ) + 2 x0 ∆x − ∆x = lim ∆x + 2 x − 1 ∆y = lim ( ) 0 ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x →0 ∆x Vậy f ' ( x ) = lim ( ∆x + 2 x − 1) Nên f ' ( x0 ) = lim ∆x → 0

 x  Câu 8. Cho hàm số f ( x) =  x 0  (I) f ′ ( 0 ) = 1 .

khi x > 0

. Xét hai mệnh đề sau:

khi x = 0

(II) Hàm số không có đạo hàm tại x 0 = 0 . Mệnh đề nào đúng? B.Chỉ (II). C.Cả hai đều sai. A.Chỉ (I). Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi ∆x là số gia của đối số tại 0 sao cho ∆x > 0 . f ( ∆x + 0 ) − f (0) ∆x 1 Ta có f ′ ( 0 ) = lim = lim 2 = lim = +∞ . ∆x → 0 ∆x →0 ∆ x ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x Nên hàm số không có đạo hàm tại 0.  x3 − 2 x 2 + x + 1 − 1  khi x ≠ 1 Câu 9. f ( x) =  tại điểm x0 = 1 . x −1 0 khi x = 1  1 1 1 A. B. C. 3 5 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 f ( x ) − f (1) x3 − 2 x2 + x + 1 − 1 x = lim = lim = lim 2 3 2 x →1 x → 1 x → 1 ( x − 1) x −1 x − 2x + x +1 +1 2 1 Vậy f '(1) = . 2

Trang 3

D. Cả hai đều đúng.

1 4

Đạo hàm – ĐS&GT 11 khi x ≥ 1 2 x + 3  3 2 Câu 10. f ( x ) =  x + 2 x − 7 x + 4 tại x0 = 1 . khi x < 1  x −1  A. 0 B. 4 C. 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có lim+ f ( x) = lim+ ( 2 x + 3) = 5 x →1

D. Đáp án khác

x →1

x + 2x2 − 7x + 4 = lim( x 2 + 3 x − 4) = 0 x →1 x →1 x →1− x −1 Dẫn tới lim+ f ( x ) ≠ lim− f ( x ) ⇒ hàm số không liên tục tại x = 1 nên hàm số không có đạo hàm tại

lim− f ( x ) = lim− x →1

x →1

x0 = 1 . 3 − 4 − x khi x ≠ 0  4 Câu 11. Cho hàm số f ( x) =  . Khi đó f ′ ( 0) là kết quả nào sau đây? 1 khi x = 0  4 1 1 1 A. . B. C. D. Không tồn tại. . . 4 16 32 Hướng dẫn giải: Chọn B 3− 4− x 1 − f ( x ) − f ( 0) 4 4 = lim 2 − 4 − x Ta có lim = lim x →0 x →0 x→0 x−0 x 4x 2− 4− x 2+ 4− x x 1 1 = lim = lim = lim = . x →0 x →0 x →0 16 4x 2 + 4 − x 4x 2 + 4 − x 4 2+ 4− x

(

)(

(

)

(

)

(

)

Câu 12. Cho hàm số f ( x) = x 2 . Khi đó f ′ ( 0 ) là kết quả nào sau đây? A. Không tồn tại. Hướng dẫn giải: Chọn A.

B. 0. C. 1.

D. 2.

∆x f ( ∆x + 0 ) − f (0) = lim . ∆x → 0 ∆x →0 ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x = −1 ≠ lim = 1 nên lim Do lim không tồn tại. − + ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆x →0 ∆x x2 khi x ≤ 2  2 Câu 13. Cho hàm số f ( x) =  x . Để hàm số này có đạo hàm tại x = 2 thì giá khi x > 2 − + bx − 6  2 trị của b là A. b = 3. B. b = 6. C. b = 1. D. b = −6. Hướng dẫn giải: Chọn B

2 Ta có f ( x) = x = x nên f ′ ( 0 ) = lim

Trang 4

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Ta có • f ( 2) = 4 • lim− f ( x ) = lim− x 2 = 4 x→2

x→2

 x2  • lim− f ( x ) = lim−  − + bx − 6  = 2b − 8 x→2 x→2  2  f ( x ) có đạo hàm tại x = 2 khi và chỉ khi f ( x ) liên tục tại x = 2 ⇔ lim− f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ 2b − 8 = 4 ⇔ b = 6. x→2

x→2

2 Câu 14. Số gia của hàm số f ( x ) = x − 4 x + 1 ứng với x và ∆x là

A. ∆x ( ∆x + 2 x − 4) . Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có ∆y = f ( ∆x + x ) − f ( x )

B. 2x + ∆x.

C. ∆x. ( 2x − 4∆x ) .

D. 2x − 4∆x.

= ( ∆x + x ) − 4 ( ∆x + x ) + 1 − ( x 2 − 4 x + 1)

= ∆x 2 + 2∆x.x + x 2 − 4∆x − 4 x + 1 − x 2 + 4 x − 1 = ∆x 2 + 2∆x.x − 4∆x = ∆x ( ∆x + 2 x − 4 ) Câu 15. Xét ba mệnh đề sau: (1) Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm tại điểm x = x0 thì f ( x ) liên tục tại điểm đó. (2) Nếu hàm số f ( x ) liên tục tại điểm x = x0 thì f ( x ) có đạo hàm tại điểm đó. (3) Nếu f ( x ) gián đoạn tại x = x0 thì chắc chắn f ( x ) không có đạo hàm tại điểm đó. Trong ba câu trên: A. Có hai câu đúng và một câu sai. B. Có một câu đúng và hai câu sai. C. Cả ba đều đúng. D. Cả ba đều sai. Hướng dẫn giải: Chọn A (1) Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm tại điểm x = x0 thì f ( x ) liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng. (2) Nếu hàm số f ( x ) liên tục tại điểm x = x0 thì f ( x ) có đạo hàm tại điểm đó. Phản ví dụ Lấy hàm f ( x ) = x ta có D = ℝ nên hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ .

 f ( x ) − f ( 0) x −0 x−0 = lim+ = lim+ =1  xlim + →0 x →0 x − 0 x →0 x − 0 x−0 Nhưng ta có   lim f ( x ) − f ( 0 ) = lim x − 0 = lim − x − 0 = −1  x →0− x → 0− x − 0 x → 0+ x − 0 x−0 Nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0 . Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai. (3) Nếu f ( x ) gián đoạn tại x = x0 thì chắc chắn f ( x ) không có đạo hàm tại điểm đó. Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có f ( x ) không liên tục tại x = x0 thì f ( x ) có đạo hàm tại điểm đó. Vậy (3) là mệnh đề đúng.

Trang 5

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 16. Xét hai câu sau: x liên tục tại x = 0 (1) Hàm số y = x +1 x (2) Hàm số y = có đạo hàm tại x = 0 x +1 Trong hai câu trên: A. Chỉ có (2) đúng. B. Chỉ có (1) đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. Hướng dẫn giải: Chọn B  x x =0 x lim ⇒ lim = f ( 0 ) . Vậy hàm số y = Ta có :  x→0 x + 1 liên tục tại x = 0 x →0 x + 1 x +1  f ( 0) = 0  x x f ( x ) − f ( 0) x + 1 − 0 Ta có : = = (với x ≠ 0 ) x−0 x x ( x + 1)  f ( x ) − f (0) x 1 = lim+ = lim+ =1  xlim + x → 0 x ( x + 1) x →0 x + 1 x−0  →0 Do đó :  x −1  lim f ( x ) − f ( 0 ) = lim = lim− = −1 −  x → 0+ x → 0 x ( x + 1) x →0 x + 1 x−0  Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của

f ( x ) − f (0) khi x → 0 . x−0

khôngcó đạo hàm tại x = 0 x +1 2 Câu 17. Cho hàm số f ( x ) = x + x . Xét hai câu sau:

Vậy hàm số y =

(1). Hàm số trên có đạo hàm tại < nguyenthuongnd 86 @ gmail .com > . (2). Hàm số trên liên tục tại x = 0 . Trong hai câu trên: A. Chỉ có (1) đúng. B. Chỉ có (2) đúng. C. Cả hai đều đúng. Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có +) lim+ f ( x ) = lim+ x 2 + x = 0 . +)

( lim f ( x ) = lim ( x

x →0

x →0−

) − x) = 0 .

+) f ( 0) = 0 . ⇒ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 0 ) . Vậy hàm số liên tục tại x = 0 . x→0

x→0

Mặt khác: f ( x ) − f (0)

x2 + x = lim+ ( x + 1) = 1 . x →0 x →0 x →0 x−0 x 2 f ( x ) − f (0) x −x +) f ′ ( 0 − ) = lim− = lim− = lim− ( x − 1) = −1 . x →0 x →0 x →0 x−0 x

+) f ′ ( 0 + ) = lim+

Trang 6

= lim+

D. Cả hai đều sai.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 ⇒ f ′ ( 0 + ) ≠ f ′ ( 0 − ) . Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 0 .

 x 2 + x khi x ≥ 1 Câu 18. Tìm a , b để hàm số f ( x ) =  có đạo hàm tại x = 1 .  ax + b khi x < 1  a = 23 a = 3  a = 33 A.  B.  C.  b = −1 b = −11 b = −31 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: lim+ f ( x ) = lim( x 2 + x ) = 2 ; lim− f ( x ) = lim− ( ax + b ) = a + b + x →1

x →1

a = 3 D.  b = − 1

x →1

Hàm có đạo hàm tại x = 1 thì hàm liên tục tại x = 1 ⇔ a + b = 2 (1) f ( x ) − f (1) x2 + x − 2 lim+ = lim+ = lim+ ( x + 2) = 3 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 f ( x ) − f (1) ax + b − 2 ax − a = lim− = lim− = a (Do b = 2 − a ) lim x →1− x → 1 x → 1 x −1 x −1 x −1 a = 3 Hàm có đạo hàm tại x = 1 ⇔  . b = − 1  x2 khi x ≤ 1  Câu 19. Cho hàm số f ( x ) =  2 . Với giá trị nào sau đây của a, bthì hàm số có đạo  ax + b khi x > 1  hàm tại x = 1 ? 1 1 1 1 1 1 A. a = 1; b = − . B. a = ; b = . C. a = ; b = − . D. a = 1; b = . 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A 1 Hàm số liên tục tại x = 1 nên Ta có a + b = 2 f ( x ) − f (1) Hàm số có đạo hàm tại x = 1 nên giới hạn 2 bên của bằng nhau và Ta có x −1 f ( x ) − f (1) ax + b − ( a.1 + b ) a ( x − 1) = lim+ = lim+ = lim+ a = a lim+ x →1 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 2 x 1 − f ( x ) − f (1) ( x + 1)( x − 1) = lim ( x + 1) = 1 lim− = lim− 2 2 = lim− x →1 x →1 x →1− x −1 x − 1 x→1 2 ( x − 1) 2 1 2 1  2 khi x ≠ 0  x sin Câu20 . f ( x ) =  tại x = 0 . x 0 khi x = 0 1 A. 0 B. 2 Hướng dẫn giải: Chọn A

Vậy a = 1; b = −

Trang 7

2 3

D. 7

Đạo hàm – ĐS&GT 11 f ( x ) − f (0) 1 = lim x sin = 0 x → 0 x x Vậy f '(0) = 0 .

Ta có: lim x→0

 sin 2 x khi x > 0  Câu 21. f ( x) =  x tại x0 = 0 2 x + x khi x ≤ 0  A. 1 B. 2 Hướng dẫn giải: Chọn A sin 2 x  sin x  = lim+  .sin x  = 0 Ta có lim+ f ( x) = lim+ x →0 x →0 x →0  x x 

C. 3

D. 5

lim f ( x) = lim− ( x + x 2 ) = 0 nên hàm số liên tục tại x = 0

x →0−

x →0

f ( x ) − f (0) sin 2 x = lim+ = 1 và x →0 x→0 x x2 f ( x ) − f (0) x + x2 lim− = lim− =1 x→0 x→0 x x Vậy f '(0) = 1 . lim+

x2 + x + 1 tại x0 = −1 . x A. 2 B. 0 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có hàm số liên tục tại x0 = −1 và Câu 22. f ( x) =

C. 3

D. đáp án khác

2 f ( x) − f ( −1) x + x + x + 1 = x +1 x( x + 1)

Nên lim+ x →−1

lim−

x →−1

f ( x) − f (−1) x2 + 2 x + 1 = lim+ =0 x →−1 x +1 x( x + 1)

f ( x) − f (−1) x2 −1 = lim− =2 x →−1 x( x + 1) x +1

Do đó lim+ x →−1

f ( x ) − f ( −1) f ( x ) − f ( −1) ≠ lim− x →−1 x +1 x +1

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 = −1 .

Nhận xét: Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x = x0 thì phải liên tục tại điểm đó. 2 khi x ≥ 0  x + 1 Câu 23. Tìm a,b để hàm số f ( x ) =  2 có đạo hàm trên ℝ .  2 x + ax + b khi x < 0

A. a = 10, b = 11 Hướng dẫn giải: Chọn C Trang 8

B. a = 0, b = −1

C. a = 0, b = 1

D. a = 20, b = 1

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Ta thấy với x ≠ 0 thì f ( x ) luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên ℝ khi và chỉ khi hàm có

đạo hàm tại x = 0 . Ta có: lim+ f ( x ) = 1; lim− f ( x ) = b ⇒ f ( x ) liên tục tại x = 0 ⇔ b = 1. x→0

x→0

Khi đó: f '(0 + ) = lim+ x →0

f ( x ) − f (0) f ( x ) − f (0) = 0; f '(0 − ) = lim− =a x→0 x x

⇒ f '(0+ ) = f '(0− ) ⇔ a = 0 . Vậy a = 0, b = 1 là những giá trị cần tìm.

Trang 9

Đạo hàm – ĐS&GT 11

CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Quy tắc tính đạo hàm • (C)′ = 0 • (x)′ = 1 • ( x n ) ' = nx n −1 , n ∈ N* 1 ′ •( x) = 2 x 2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số • (u ± v)′ = u′ ± v′ ⇒ (u1 ± u2 ± ... ± un ) ' = u1' ± u2' ± ... ± un' • (uv)′ = u′ v + v′u ⇒ (uvw) ' = u ' vw + uv ' w + uvw '

• (ku)′ = ku′

v′  u ′ u′v − v′u  1 ′ ⇒  =− 2 . •  = 2 v v v v 3. Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số y = f (u ( x )) = f (u ) với u = u ( x ) . Khi đó y 'x = y 'u .u 'x . 4. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản Đạo hàm Hàm hợp (c ) ' = 0 ( x) ' = 1 ( uα ) ' = α uα −1.u ' ( xα ) ' = α xα −1 u' 1 x '= u '= 2 u 2 x u' 1 n n u '= x '= n n −1 n n −1 n u n x

( )

B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀN BẰNG CÔNG THỨC TẠI MỘT ĐIỂM HOẶC BẰNG MTCT Câu 1. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ bởi f ( x ) = 2 x 2 + 1 . Giá trị f ′ ( −1) bằng: A. 2 . Hướng dẫn giải: Chọn C.

Trang 10

B. 6 .

C. −4 .

D. 3 .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Ta có : f ' ( x ) = 4 x ⇒ f ′ ( −1) = −4 .

Câu 2. Cho hàm số f ( x ) = − x 4 + 4 x3 − 3 x 2 + 2 x + 1 xác định trên ℝ . Giá trị f ' ( −1) bằng: A. 4 . B. 14 . C. 15 . 24 . Hướng dẫn giải: Chọn D. ·Ta có: f ' ( x ) = −4 x 3 + 12 x 2 − 6 x + 2 . Nên f ' ( −1) = 24 .

Câu 3. Đạo hàm của hàm số f ( x ) = ( x 2 + 1) tại điểm x = −1 là: A. −32 . Hướng dẫn giải: Chọn C.

B. 30 .

C. −64 .

D. 12 .

3 3 Ta có : y′ = 4 ( x 2 + 1) ( x 2 + 1)′ = 8 x ( x 2 + 1)

⇒ y′ ( −1) = −64 . Câu 4. Với f ( x) =

x2 − 2x + 5 . Thì f ' ( −1) bằng: x −1 B. −3 .

A. 1. C. −5 . Hướng dẫn giải: Chọn D. x2 − 2x + 5 4 4 ⇒ f ' ( −1) = 0 . Ta có: f ( x) = = x −1 + ⇒ f '( x) = 1− 2 x −1 x −1 ( x − 1)

D. 0 .

Câu 5. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ bởi f ( x ) = x 2 . Giá trị f ′ ( 0 ) bằng A. 0 . B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải: Chọn D. x Ta có : f ′ ( x ) = x2 ⇒ f ′ ( x ) không xác định tại x = 0

⇒ f ′ ( 0 ) không có đạo hàm tại x = 0 . Câu 6. Cho hàm số y =

x 4 − x2

1 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn A.

1 B. y ′ ( 0 ) = . 3

A. y ′ ( 0 ) =

4 − x2 − x Ta có : y′ =

(

. y′ ( 0 ) bằng:

4 − x2

C. y′ ( 0 ) = 1 .

−x 4 − x2 = 2

)

(

4 − x2

)

1 . 2 Câu 7. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ bởi f ( x ) = 3 x . Giá trị f ′ ( −8) bằng: ⇒ y′ ( 0 ) =

Trang 11

D. y′ ( 0 ) = 2 .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 1 . 12 Hướng dẫn giải: Chọn A.

B. −

1 . 12

Ta có : y = 3 x ⇒ y 3 = x ⇒ 3 y 2 . y′ = 1 ⇒ y ′ =

⇒ y′ ( −8 ) =

1 . 6

1 1 = 3 y2 3 3 x

( )

1 D. − . 6

1 . 12

Câu 8. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ {1} bởi f ( x ) =

2x . Giá trị của f ′ ( −1) bằng: x −1

1 1 . B. − . C. −2 . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 ( x − 1) − 2 x −2 1 Ta có : f ′ ( x ) = = ⇒ f ′ ( −1) = − . 2 2 2 ( x − 1) ( x − 1)

D. Không tồn tại.

 x2 + 1 −1  ( x ≠ 0 ) . Giá trị f ′ ( 0 ) bằng: Câu 9. Cho hàm số f ( x ) xác định bởi f ( x ) =  x 0 ( x = 0)  1 A. 0 . B. 1. C. . D. Không tồn tại. 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. f ( x ) − f ( 0) x2 + 1 −1 1 1 Ta có : f ′ ( 0 ) = lim = lim = lim = . 2 2 x →0 x → 0 x → 0 x−0 x x +1 +1 2

Câu 10. Cho hàm số y =

x2 + x đạo hàm của hàm số tại x = 1 là: x−2 B. y′ (1) = −5 . C. y′ (1) = −3 .

A. y′ (1) = −4 . Hướng dẫn giải: Chọn B. ( 2 x + 1)( x − 2 ) − ( x 2 + x ) x 2 − 4 x − 2 Ta có : y′ = = 2 2 ( x − 2) ( x − 2)

D. y′ (1) = −2 .

⇒ y′ (1) = −5 . Câu 11. Cho hàm số y = f ( x) = A. y ' ( 0 ) =

1 . 2

. Hướng dẫn giải: Chọn A.

Trang 12

x 4 − x2

. Tính y ' ( 0 ) bằng:

1 B. y ' ( 0 ) = . 3

C. y ' ( 0 ) = 1 .

D. y ' ( 0 ) = 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 2

(

)

4 − x2 +

 x  x '. 4 − x − x. 4 − x 4 − x2 Ta có: y ' = f '( x) =  = =  2 2 2 4−x 4− x  4− x  4 1 ⇒ y '(0) = = . 4 2 x2 + x Câu 12. Cho hàm số y = , đạo hàm của hàm số tại x = 1 là: x−2 B. y ' (1) = −3 . C. y ' (1) = −2 . A. y ' (1) = −4 . '

y ' (1) = −5 . Hướng dẫn giải: Chọn D. x2 + x 6 6 ⇒ y ' (1) = 1 − 6 = −5 . Ta có: y = = x +3+ ⇒ y ' = 1− 2 x−2 x−2 ( x − 2) Câu 13. Cho hàm số f ( x ) = 3 x . Giá trị f ′ ( 8 ) bằng: 1 1 1 . B. . C. - . 6 12 6 Hướng dẫn giải:: Với x > 0  1 ′ 1 −2 1 −2 1 1 f ′ ( x ) =  x 3  = x 3 ⇒ f ′ ( 8 ) = .8 3 = 2−2 = . 3 3 12   3 Đáp án B. Câu 14. Cho hàm số f ( x ) = x − 1 . Đạo hàm của hàm số tại x = 1 là

1 . 2 Hướng dẫn giải: Đáp án D.

B. 1 .

C. 0

D. −

1 . 12

D. Không tồn tại.

1 2 x −1 Câu 15. Cho hàm số y = f ( x ) = 4 x + 1 . Khi đó f ′ ( 2 ) bằng: Ta có f ' ( x ) =

2 1 1 . B. . C. . 3 6 3 Hướng dẫn giải: 2 2 Ta có: y′ = nên f ′ ( 2 ) = . 3 4x +1 Chọn A. 1− x  1 Câu 16. Cho hàm số f ( x) = thì f ′  −  có kết quả nào sau đây? 2x +1  2 A. Không xác định. B. −3. C. 3. Hướng dẫn giải: 1  1 Hàm số không xác định tại x = − nên f ′  −  không xác định 2  2

Trang 13

D. 2.

D. 0.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Chọn A. Câu 17. Cho hàm số f ( x ) = A. 0.

3x 2 + 2 x + 1 2 3x3 + 2 x 2 + 1 1 B. . 2

. Giá trị f ′ ( 0 ) là:

C. Không tồn tại.

D. 1.

Hướng dẫn giải: Chọn B f ′ (0) =

(3x

′ + 2 x + 1)′ .2 3 x3 + 2 x 2 + 1 − ( 3 x 2 + 2 x + 1) . 2 3 x 3 + 2 x 2 + 1

(6x + 2) 2

3x3 + 2 x 2 + 1

3 x3 + 2 x 2 + 1 − ( 3 x 2 + 2 x + 1)

(

f ′ (0) =

)

(

2 3 x3 + 2 x 2 + 1

)

9 x2 + 4 x 3x3 + 2 x 2 + 1 =

9 x 4 + 6 x3 − 9 x2 + 8x + 4

4 ( 3 x3 + 2 x 2 + 1) 3 x3 + 2 x 2 + 1

4 1 = . 8 2

Câu 18. Cho f ( x ) = A. -14 Hướng dẫn giải: Chọn A

1 2 3 + + . Tính f ' ( −1) . x x 2 x3 B. 12

C. 13

D. 10

−α  1  Bước đầu tiên tính đạo hàm sử dụng công thức  α  = α +1 x  x /

1 4 9 1 2 3  f ' ( x ) =  + 2 + 3  = − 2 − 3 − 4 ⇒ f ' (1) = −1 − 4 − 9 = −14 x  x x x x x

Câu 19. Cho f ( x ) = 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn A

1 1 + + x 2 . Tính f ' (1) x x B. 1

C. 2

( )

D. 3

/ x 1 1 1 1 1  + x2  = − 2 − + 2x = − 2 − + 2x Ta có f ' ( x ) =  + x x x 2x x x x  1 1 Vậy f ' (1) = −1 − + 2 = 2 2 5 Câu 20. Cho f ( x ) = x + x3 − 2 x − 3 . Tính f ' (1) + f ' ( −1) + 4 f ( 0 )

A. 4 Hướng dẫn giải: Chọn A

Trang 14

B. 5

C. 6

D. 7

Đạo hàm – ĐS&GT 11 /

Ta có f ' ( x ) = ( x5 + x 3 − 2 x − 3) = 5 x 4 + 3 x 2 − 2

f ' (1) + f ' ( −1) + 4 f ( 0 ) = (5 + 3 − 2) + (5 + 3 − 2) + 4.(−2) = 4 Câu 21. Cho f ( x ) = A.

. Tính f ' ( 0 )

4 − x2

1 4

B. 1

C. 2

D. 3

Hướng dẫn giải: Chọn A 2

(

 x  x' 4− x − x 4− x f '( x) =   = 2 2  4− x  4 − x2 /

(

Vậy f ' ( 0 ) =

)

4 − x2 + =

x2 4 − x2 = 2

(4 − x )

(4 − x ) 2

4 − x2

1 . 4

Câu 22. Đạo hàm của hàm số f ( x) =

−3 x + 4 tại điểm x = −1 là 2x +1

11 1 B. . . 3 5 Hướng dẫn giải: Chọn C −11 −11 ⇒ f ′ ( −1) = = −11 . f ′( x) = 2 1 ( 2 x + 1)

A. −

C. −11.

D. −

x+9 + 4 x tại điểm x = 1 bằng: x+3 25 5 B. C. . . 16 8

11 . 9

Câu 23. Đạo hàm của hàm số f ( x ) = 5 A. − . 8 Hướng dẫn giải: Chọn C −6 2 f ′( x) = + 2 4x ( x + 3) f ′ (1) =

−6

(1 + 3)

9 B. k = . 2

Hướng dẫn giải: Chọn D  1 ′ 1 1 1 Ta có f ′( x) =  k .x 3 + x  = k . . + 3 3 x2 2 x  

Trang 15

11 . 8

2 5 = . 4.1 8

Câu 24. Cho hàm số f ( x ) = k . 3 x + x . Với giá trị nào của k thì f ′(1) = A. k = 1.

C. k = −3.

3 ? 2

D. k = 3.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 3 1 1 3 1 ⇔ k + = ⇔ k =1⇔ k = 3 2 3 2 2 3 1 1 Câu 25. Đạo hàm của hàm số y = − 2 tại điểm x = 0 là kết quả nào sau đây? x x B. 1. C. 2 . D. Không tồn tại. A. 0 . Hướng dẫn giải: Chọn D Tập xác định của hàm số là: D = ( 0; +∞ ) . f ′(1) =

x = 0 ∉ D ⇒ không tồn tại đạo hàm tại x = 0 . Câu 26. Cho hàm số f ( x) = 2 x 3 + 1. Giá trị f ′( −1) bằng: C. −2. A. Câu . B. 3. Hướng dẫn giải: Chọn A Có f ( x) = 2 x 3 + 1 ⇒ f ′( x) = 6 x 2 ⇒ f ′( −1) = 6.(−1) 2 = 6.

D. −6.

Câu 27. Cho hàm số y = 1 − x 2 thì f ′ ( 2 ) là kết quả nào sau đây?

2 . 3 Hướng dẫn giải: Đáp án D A. f ′(2) =

Ta có f ′ ( x ) =

(

1 − x2

B. f ′(2) =

)′ = 2 −12−xx

−2 . 3

C. f ′(2) =

−2 . −3

D. Không tồn tại.

−x

1 − x2

Không tồn tại f ′ ( 2 ) .

Câu 28. Cho hàm số f ( x ) = 1 . 2 Hướng dẫn giải: Đáp án D

2x . Giá trị f ′ (1) là x −1 1 B. − . 2

C. – 2.

D. Không tồn tại.

C. -4.

D. 24.

−2  2 x ′ 2 ( x − 1) − 2 x Ta có f ′ ( x ) =  =  = 2 2  x −1  ( x − 1) ( x − 1)

Suy ra không tồn tại f ′ (1) . 2

Câu 29. Cho hàm số f ( x ) = ( 3 x 2 − 1) . Giá trị f ′ (1) là A. 4. Hướng dẫn giải: Đáp án D

B. 8.

Ta có f ′ ( x ) = 2 ( 3 x 2 − 1)( 3 x 2 − 1)′ = 12 x ( 3 x 2 − 1) ⇒ f ′ (1) = 24

Câu 30. Cho hàm số f ( x ) = 1 . 2 Hướng dẫn giải:

Trang 16

1 . Đạo hàm của f tại x = 2 là x 1 1 B. − . C. . 2 2

D. −

1 . 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Đáp án B 1 1 ⇒ f′ 2 =− 2 x 2 Câu 31. Cho hàm số f ( x) = − x 4 + 4 x 3 − 3 x 2 + 2 x + 1 . Giá trị f ′(1) bằng: A. 14. B. 24. C. 15. Hướng dẫn giải: Ta có f ′( x) = −4 x 3 + 12 x 2 − 6 x + 2 suy ra f ′(1) = 4 Chọn D. f ′( x) = −

Trang 17

( )

D. 4.

Đạo hàm – ĐS&GT 11

DẠNG 2: TÍNH ĐẠO HÀN BẰNG CÔNG THỨC Câu 1. Đạo hàm của hàm số y = 10 là: B. −10. C. 0. A. 10. Hướng dẫn giải: Chọn C Có y = 10 ⇒ y ′ = 0. Câu 2. Cho hàm số f ( x ) = ax + b. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. f ′( x ) = − a. B. f ′( x ) = −b. C. f ′( x ) = a. Hướng dẫn giải: Chọn C Có f ( x) = ax + b ⇒ f ′( x ) = a. 2 Câu 3. Cho f ( x ) = x và x0 ∈ ℝ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. f ′ ( x0 ) = 2 x0 .

D. 10 x.

D. f ′( x ) = b.

B. f ′ ( x0 ) = x0 .

2 C. f ′ ( x0 ) = x0 . Hướng dẫn giải: Chọn A f ( x ) = x2 ⇒ f ′ ( x ) = 2x

D. f ′ ( x0 ) không tồn tại.

Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = x 4 − 3 x 2 + x + 1 là A. y ' = 4 x 3 − 6 x 2 + 1. B. y ' = 4 x3 − 6 x 2 + x. C. y ' = 4 x3 − 3 x 2 + x. D. 3 2 y ' = 4 x − 3 x + 1. Hướng dẫn giải: Đáp án A Áp dụng công thức Câu 5. Đạo hàm của hàm số y = −2 x 4 + 3 x 3 − x + 2 bằng biểu thức nào sau đây? A. −16 x 3 + 9 x − 1. B. −8 x 3 + 27 x 2 − 1. C. −8 x 3 + 9 x 2 − 1. D. −18 x 3 + 9 x 2 − 1. Hướng dẫn giải: Công thức Cx n ′ = Cnx n −1 .

(

)

Chọn C. Câu 6. y = x 4 − 3 x 2 + 2 x − 1 A. y ' = 4 x 3 − 6 x + 3 B. y ' = 4 x 4 − 6 x + 2 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: y ' = 4 x3 − 6 x + 2 Câu7 . y = −

D. y ' = 4 x 3 − 6 x + 2

1 C. y ' = − x 2 + 4 x + 1 3

D. y ' = − x 2 + 4 x + 1

x3 + 2 x2 + x −1 3

A. y ' = −2 x 2 + 4 x + 1 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có y ' = − x 2 + 4 x + 1 Trang 18

C. y ' = 4 x3 − 3 x + 2

B. y ' = −3 x 2 + 4 x + 1

Đạo hàm – ĐS&GT 11 5

Câu 8. Đạo hàm cấp một của hàm số y = (1 − x 3 ) là: 4

A. y′ = 5 (1 − x3 ) . y′ = −5 x 2 (1 − x

3 4

)

B. y′ = −15 x 2 (1 − x 3 ) . C. y′ = −3 (1 − x 3 ) .

Hướng dẫn giải: Chọn B. 4 4 Ta có : y′ = 5 (1 − x 3 ) (1 − x 3 )′ = −15 x 2 (1 − x 3 ) .

Câu 9. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ bởi f ( x ) = ax + b , với a, b là hai số thực đã cho. Chọn câu đúng: A. f ' ( x ) = a . B. f ' ( x ) = −a . C. f ' ( x ) = b . D.

f ' ( x ) = −b . Hướng dẫn giải: Chọn A. Sử dụng các công thức đạo hàm: ( c )′ = 0 với c = const ; x′ = 1 ; ( k .u )′ = k .u ′ với k = const .

( x )′ = n.x n

n −1

với n là số nguyên dương ; ( u + v )′ = u ′ + v′ ;

Ta có f ′ ( x ) = ( ax + b )′ = ax′ + b′ = a .

Câu 10. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ bởi f ( x ) = −2 x 2 + 3x . Hàm số có đạo hàm f ′ ( x ) bằng: A. −4 x − 3 . Hướng dẫn giải: Chọn B.

B. −4 x + 3 .

C. 4 x + 3 .

D. 4 x − 3 .

Sử dụng các công thức đạo hàm: x′ = 1 ; ( k .u )′ = k .u ′ ; ( x n )′ = n.x n −1 ; ( u + v )′ = u ′ + v′ .

f ′ ( x ) = ( −2 x 2 + 3 x )′ = −2 ( x 2 )′ + 3x ' = −4 x + 3 . 2

Câu 11. Đạo hàm của y = ( x5 − 2 x 2 ) là A. y′ = 10 x9 − 28 x 6 + 16 x3 . C. y′ = 10 x9 + 16 x 3 . Hướng dẫn giải: Đáp án A

B. y′ = 10 x9 − 14 x 6 + 16 x 3 . D. y′ = 7 x 6 − 6 x 3 + 16 x.

Ta có y′ = 2. ( x 5 − 2 x 2 )( x 5 − 2 x 2 )′ = 2 ( x5 − 2 x 2 )( 5 x 4 − 4 x ) = 10 x 9 − 28 x 6 + 16 x 3 .

Câu 12. Đạo hàm của hàm số y = (7 x − 5) 4 bằng biểu thức nào sau đây A. 4(7 x − 5)3 . B. −28(7 x − 5)3 . C. 28(7 x − 5)3 . A = y ''+ y = −3sin x − 2 cos x + 3sin x + 2cosx = 0 Hướng dẫn giải: Đáp án C 3 3 Vì y′ = 4 ( 7 x − 5 ) ( 7 x − 5 )′ = 28 ( 7 x − 5 ) .

Câu 13. Cho hàm số f ( x ) = −2 x 2 + 3x . Hàm số có đạo hàm f ′ ( x ) bằng A. 4 x − 3. Hướng dẫn giải: Trang 19

B. −4 x + 3.

C. 4 x + 3.

D. −4 x − 3.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Đáp án B f ( x ) = −2 x 2 + 3x ⇒ f ′ ( x ) = −4 x + 3 Câu 14. Đạo hàm của hàm số y = ( x3 − 2 x 2 )2016 là: A. y′ = 2016( x 3 − 2 x 2 )2015 . B. y′ = 2016( x 3 − 2 x 2 )2015 (3 x 2 − 4 x). C. y′ = 2016( x 3 − 2 x 2 )(3 x 2 − 4 x ). D. y′ = 2016( x3 − 2 x 2 )(3 x 2 − 2 x). Hướng dẫn giải: Chọn B Đặt u = x 3 − 2 x 2 thì y = u 2016 , yu′ = 2016.u 2015 , u x′ = 3 x 2 − 4 x. Theo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có: y x′ = yu′ .u x′ . Vậy: y′ = 2016.( x 3 − 2 x 2 )2015 .(3 x 2 − 4 x). 2

Câu 15. Đạo hàm của y = ( x3 − 2 x 2 ) bằng : A. 6 x 5 − 20 x 4 + 16 x 3 . C. 6 x 5 − 20 x 4 + 4 x 3 . Hướng dẫn giải: Chọn A

B. 6 x 5 + 16 x 3 . D. 6 x 5 − 20 x 4 − 16 x 3 .

Cách 1: Áp dụng công thức ( u n )′ Ta có y′ = 2. ( x3 − 2 x 2 ) . ( x 3 − 2 x 2 )′ = 2 ( x 3 − 2 x 2 ) . ( 3 x 2 − 4 x ) = 6 x 5 − 8 x 4 − 12 x 4 + 16 x 3 = 6 x 5 − 20 x 4 + 16 x 3 Cách 2 : Khai triển hằng đẳng thức : 2

Ta có: y = ( x3 − 2 x 2 ) = x 6 − 4 x5 + 4 x 4 ⇒ y′ = 6 x 5 − 20 x 4 + 16 x 3 Câu 16. Đạo hàm của hàm số y = 3 + x2 3 C. y′ = 3 x5 − 2 + x Hướng dẫn giải: Chọn A 3 1 . y′ = 3 x 5 + 2 + x x A. y′ = 3 x 5 +

1 6 3 x − + 2 x là: 2 x

1 . x 1 . x

3 1 + . 2 x 2 x 3 1 D. y′ = 6 x5 − 2 + . x 2 x B. y′ = 6 x5 +

Câu 17. Đạo hàm của hàm số y = ( 3 x 2 − 1) là y′ bằng. A. 2 ( 3 x 2 − 1) .

B. 6 ( 3 x 2 − 1) .

C. 6 x ( 3 x 2 − 1) .

D. 12 x ( 3 x 2 − 1) .

Hướng dẫn giải:: Chọn D 2 Ta có: y = ( 3 x 2 − 1) ⇒ y′ = 2 ( 3 x 2 − 1)( 3 x 2 − 1)′ = 12 x ( 3 x 2 − 1) .

Câu 18. Đạo hàm của hàm số y = ( x 2 − 2 ) ( 2 x − 1) là: A. y ′ = 4 x. Hướng dẫn giải: Chọn D. Trang 20

B. y′ = 3 x 2 − 6 x + 2.

C. y′ = 2 x 2 − 2 x + 4.

D. y′ = 6 x 2 − 2 x − 4.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 y = ( x 2 − 2 ) ( 2 x − 1) ⇒ y′ = 2 x ( 2 x − 1) + 2 ( x 2 − 2 ) = 6 x 2 − 2 x − 4

Câu 19. Tính đạo hàm của hàm số y = ( x 7 + x )

A. y ' = ( x 7 + x)(7 x 6 + 1) B. y ' = 2( x 7 + x) C. y ' = 2(7 x 6 + 1) D. y ' = 2( x 7 + x)(7 x 6 + 1) Hướng dẫn giải: Đáp án D Câu 20. Tính đạo hàm của hàm số y = ( x 2 + 1)( 5 − 3 x 2 ) A. y ' = − x3 + 4 x B. y ' = − x 3 − 4 x Hướng dẫn giải: Đáp án D Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số y = ( x 3 + 2 x )3 A. y ' = ( x 3 + 2 x)2 (3 x 2 + 2) C. y ' = 3( x 3 + 2 x) 2 + (3 x 2 + 2) Hướng dẫn giải: Chọn D

C. y ' = 12 x3 + 4 x

D. y ' = −12 x3 + 4 x

B. y ' = 2( x3 + 2 x) 2 (3 x 2 + 2) D. y ' = 3( x 3 + 2 x) 2 (3 x 2 + 2)

Ta có: y ' = 3( x3 + 2 x)2 ( x3 + 2 x ) = 3( x 3 + 2 x) 2 (3 x 2 + 2) Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số y = ( x 2 − 1)(3 x 3 + 2 x) A. y ' = x 4 − 3 x 2 − 2 B. y ' = 5 x 4 − 3 x 2 − 2 C. y ' = 15 x 4 − 3 x 2 y ' = 15 x 4 − 3 x 2 − 2 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: y ' = 2 x(3 x 3 + 2 x) + ( x 2 − 1)(9 x 2 + 2) = 15 x 4 − 3x 2 − 2

Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số y = x 2 ( 2 x + 1)( 5 x − 3) A. y ' = 40 x 2 − 3 x 2 − 6 x B. y ' = 40 x3 − 3 x 2 − 6 x y ' = 40 x 3 − 3 x 2 − x Hướng dẫn giải: Chọn B y = 10 x 4 − x 3 − 3 x 2 ⇒ y ' = 40 x3 − 3 x 2 − 6 x Câu 24. Tính đạo hàm của hàm số y = ( x + 2)3 ( x + 3) 2 A. y ' = 3( x 2 + 5 x + 6)3 + 2( x + 3)( x + 2)3 C. y ' = 3( x 2 + 5 x + 6) + 2( x + 3)( x + 2) Hướng dẫn giải: Chọn D y ' = 3( x 2 + 5 x + 6) 2 + 2( x + 3)( x + 2)3 2

Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = ( x 7 + x ) .

Trang 21

C. y ' = 40 x3 + 3 x 2 − 6 x

B. y ' = 2( x 2 + 5 x + 6) 2 + 3( x + 3)( x + 2)3 D. y ' = 3( x 2 + 5 x + 6)2 + 2( x + 3)( x + 2)3

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A. ( x 7 + x )( 7 x 6 + 1)

B. 2 ( 7 x 6 + 1)

C. 2 ( x 7 + x )( x 6 + 1)

2 ( x 7 + x )( 7 x 6 + 1)

Hướng dẫn giải: Chọn D /

Sử dụng công thức ( uα ) = α .uα −1.u ' (với u = x 7 + x ) /

y ' = 2 ( x 7 + x ) . ( x 7 + x ) = 2 ( x 7 + x )( 7 x 6 + 1) 2

Câu 26. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = ( 2 x 3 − 3 x 2 − 6 x + 1) . A. 2 ( 2 x 3 − x 2 + 6 x + 1)( 6 x 2 − 6 x + 6 ) .

B. 2 ( 2 x 3 − 3 x 2 + x + 1)( x 2 − 6 x + 6 ) .

C. 2 ( 2 x 3 − 3 x 2 + 6 x + 1)( x 2 − 6 x + 6 ) .

D. 2 ( 2 x 3 − 3 x 2 + 6 x + 1)( 6 x 2 − 6 x + 6 ) .

Hướng dẫn giải: Chọn D /

Sử dụng công thức ( uα ) với u = 2 x 3 − 3x 2 − 6 x + 1 /

y ' = 2 ( 2 x 3 − 3 x 2 + 6 x + 1)( 2 x 3 − 3 x 2 + 6 x + 1) = 2 ( 2 x 3 − 3 x 2 + 6 x + 1)( 6 x 2 − 6 x + 6 ) . 3

Câu 27. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = (1 − 2 x 2 ) . 2

A. 12 x (1 − 2 x 2 ) .

B. −12 x (1 − 2 x 2 ) .

C. −24 x (1 − 2 x 2 ) .

Hướng dẫn giải: Chọn B /

Sử dụng công thức ( uα ) với u = 1 − 2 x 2 2

y ' = 3 (1 − 2 x 2 ) (1 − 2 x 2 ) = 3 (1 − 2 x 2 ) ( −4 x ) = −12 x (1 − 2 x 2 ) . 32

Câu 28. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = ( x − x 2 ) . 31

A. ( x − x 2 ) . (1 − 2 x ) C. 32 (1 − x 2 )

B. 32 ( x − x 2 )

D. 32 ( x − x 2 ) . (1 − 2 x )

Hướng dẫn giải: Chọn D /

Sử dụng công thức ( uα ) với u = x − x 2 31

y ' = 32 ( x − x 2 ) . ( x − x 2 ) = 32 ( x − x 2 ) . (1 − 2 x ) 4

Câu29 . Tính đạo hàm của hàm số sau: y = ( x 2 + x + 1) . 3

A. 4 ( x 2 + x + 1) .

Trang 22

B. ( x 2 + x + 1) . ( 2 x + 1)

D. 24 x (1 − 2 x 2 ) .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 3

C. ( x 2 + x + 1) .

D. 4 ( x 2 + x + 1) . ( 2 x + 1)

Hướng dẫn giải: Chọn D /

Sử dụng công thức ( uα ) với u = x 2 + x + 1 3

y ' = 4 ( x 2 + x + 1) . ( x 2 + x + 1) = 4 ( x 2 + x + 1) . ( 2 x + 1) 3

Câu 30. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = ( x 2 − x + 1) . ( x 2 + x + 1)

A. y ' = ( x 2 − x + 1) 3 ( 2 x − 1) ( x 2 + x + 1) + 2 ( 2 x + 1) ( x 2 − x + 1)  2

B. y ' = ( x 2 − x + 1) ( x 2 + x + 1) 3 ( 2 x − 1) ( x 2 + x + 1) + ( x 2 − x + 1)  2

C. y ' = ( x 2 − x + 1) ( x 2 + x + 1) 3 ( 2 x − 1) ( x 2 + x + 1) + 2 ( 2 x + 1) ( x 2 − x + 1)  2

D. y ' = ( x 2 − x + 1) ( x 2 + x + 1) 3 ( 2 x − 1) ( x 2 + x + 1) − 2 ( 2 x + 1) ( x 2 − x + 1)  Hướng dẫn giải: Chọn C Đầu tiên sử dụng quy tắc nhân. /

3 2 2 3 y ' = ( x 2 − x + 1)  ( x 2 + x + 1) + ( x 2 + x + 1)  ( x 2 − x + 1) .    

Sau đó sử dụng công thức ( uα ) 2

y ' = 3 ( x 2 − x + 1) ( x 2 − x + 1) ( x 2 + x + 1) + 2 ( x 2 + x + 1)( x 2 + x + 1) ( x 2 − x + 1) 2

y ' = 3 ( x 2 − x + 1) ( 2 x − 1) ( x 2 + x + 1) + 2 ( x 2 + x + 1) ( 2 x + 1) ( x 2 − x + 1)

y ' = ( x 2 − x + 1) ( x 2 + x + 1) 3 ( 2 x − 1) ( x 2 + x + 1) + 2 ( 2 x + 1) ( x 2 − x + 1)  .

Câu 31. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = (1 + 2 x ) ( 2 + 3 x 2 )( 3 − 4 x 3 ) A. y ' = ( 2 + 3 x 2 )( 3 − 4 x 3 ) + (1 + 2 x )( 6 x ) ( 3 − 4 x 3 ) + (1 + 2 x ) ( 2 + 3 x 2 )( −12 x 2 ) B. y ' = 4 ( 2 + 3 x 2 )( 3 − 4 x 3 ) + (1 + 2 x )( 6 x ) ( 3 − 4 x 3 ) + (1 + 2 x ) ( 2 + 3 x 2 )( −12 x 2 ) C. y ' = 2 ( 2 + 3 x 2 )( 3 − 4 x 3 ) + (1 + 2 x )( 6 x ) ( 3 − 4 x 3 ) + (1 − 2 x ) ( 2 + 3x 2 )( −12 x 2 ) D. y ' = 2 ( 2 + 3 x 2 )( 3 − 4 x 3 ) + (1 + 2 x )( 6 x ) ( 3 − 4 x 3 ) + (1 + 2 x ) ( 2 + 3 x 2 )( −12 x 2 ) Hướng dẫn giải: Chọn C /

y ' = (1 + 2 x ) ( 2 + 3 x 2 )( 3 − 4 x3 ) + (1 + 2 x ) ( 2 + 3 x 2 ) ( 3 − 4 x3 ) + (1 + 2 x ) ( 2 + 3 x 2 )( 3 − 4 x 3 ) y ' = 2 ( 2 + 3 x 2 )( 3 − 4 x 3 ) + (1 + 2 x )( 6 x ) ( 3 − 4 x 3 ) + (1 + 2 x ) ( 2 + 3 x 2 )( −12 x 2 ) .

Câu 32. Tính đạo hàm của hàm số sau: y =

Trang 23

ax + b , ac ≠ 0 cx + d

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A.

a c

ad − bc

( cx + d )

ad + bc

( cx + d )

ad − bc ( cx + d )

Hướng dẫn giải: Chọn B

a Ta có y ' =

c d ad − cb = 2 (cx + d ) (cx + d )2

Câu 33. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = A. −

( x + 2)

2x +1 x+2

3 ( x + 2)

( x + 2)

Hướng dẫn giải: Chọn C (2 x + 1) '( x + 2) − ( x + 2) '(2 x + 1) 3 Ta có y ' = = 2 ( x + 2) ( x + 2) 2 3x + 5 Câu 34. Cho hàm số y = . Đạo hàm y′ của hàm số là: −1 + 2 x 13 7 1 A. . B. . C. − . 2 2 (2 x − 1) (2 x − 1) (2 x − 1) 2 Hướng dẫn giải: Chọn C ( 3x + 5)′ . ( 2 x − 1) − ( 3x + 5)( 2 x − 1)′ Ta có y′ = 2 ( 2 x − 1) =

3 ( 2 x − 1) − 2 ( 3 x + 5 )

( 2 x − 1)

( x + 2)

13 . (2 x − 1)2

−13

( 2 x − 1)

 ax + b ′ a.d − b.c Có thể dùng công thức   = 2  cx + d  ( cx + d )

Câu 35. Cho hàm số f ( x ) = A. f ' ( x ) =

( x + 1)

2x −1 xác định ℝ \ {1} . Đạo hàm của hàm số f ( x ) là: x +1 3 1 −1 B. f ' ( x ) = . C. f ' ( x ) = . D. f ' ( x ) = . 2 2 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)

Hướng dẫn giải: Chọn B. '

 ax + b  a.d − b.c ·Sử dụng công thức đạo hàm:  .  = 2  cx + d  ( cx + d ) '

3  2 x − 1  2.1 + 1.1 ·Ta có : f ' ( x ) =  . =  = 2 2  x + 1  ( x + 1) ( x + 1)

Câu 36. Hàm số y =

Trang 24

2x +1 có đạo hàm là: x −1

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A. y ′ = 2 .

B. y′ = −

( x − 1)

C. y′ = −

( x − 1)

D. y′ =

( x − 1)

Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 ( x − 1) − ( 2 x + 1) −3 = . Ta có : y′ = 2 2 ( x − 1) ( x − 1) Câu 37. Cho hàm số f ( x) =

−4 x − 3 . Đạo hàm f ′ ( x ) của hàm số là x+5 23 19 . . B. − C. − 2 ( x + 5) ( x + 5) 2

17 . ( x + 5) 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. −4.5 − 1. ( −3) −17 Ta có f ′ ( x ) = = . 2 2 ( x + 5) ( x + 5)

A. −

2−x là: 3x + 1 5 . B. y′ = 2 ( 3x + 1)

17 . ( x + 5) 2

Câu 38. Đạo hàm của hàm số y = A. y′ =

−7 . 3x + 1

C. y′ =

−7

( 3x + 1)

D. y′ =

5 . 3x + 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. − ( 3x + 1) − 3 ( 2 − x ) 2−x −7 y= ⇒ y′ = = . 2 2 3x + 1 ( 3x + 1) ( 3x + 1) Câu 39. Cho hàm số f ( x) = A.

( x + 1)

2x −1 . Hàm số có đạo hàm f ′ ( x ) bằng: x +1 3 1 B. C. 2 . 2 . ( x + 1) ( x + 1)

−1

( x + 1)

Hướng dẫn giải: Chọn B.

( 2x − 1)′ ( x + 1) − ( 2x − 1)( x + 1)′ = 2 ( x + 1) − ( 2x − 1) = 3 2 2 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 2.1 − 1. ( −1) 3 y′ = = . 2 2 ( x + 1) ( x + 1)

Cách 1: Ta có y′ = Cách 2: Ta có

Câu 40. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = A. −

( 2 x + 5)

3 (2 x + 5) 2

( 2 x + 5)

Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: y ' = −

Trang 25

3 (2 x + 5) 2  (2 x + 5)

=−

12(2 x + 5) 12 =− 4 (2 x + 5) (2 x + 5)3

C. −

6 3

( 2 x + 5)

D. −

( 2 x + 5)

Đạo hàm – ĐS&GT 11

Câu 41. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = A.

x2 − 2x

( x − 1)

x2 − x + 1 x −1

x2 + 2x

( x − 1)

x2 + 2 x

( x + 1)

−2 x − 2

( x − 1)

Hướng dẫn giải: Chọn A. (2 x − 1)( x − 1) − ( x 2 − x + 1) x 2 − 2 x Ta có y ' = = ( x − 1) 2 ( x − 1)2 Câu 42. Tính đạo hàm của hàm số sau: y =

aa ' x 2 + 2ab ' x + bb '− a ' c (a ' x + b ') 2 aa ' x − 2ab ' x + bb '− a ' c C. = (a ' x + b ')2 A. =

ax 2 + bx + c , aa ' ≠ 0 . a'x +b' aa ' x 2 + 2ab ' x + bb '− a ' c B. = (a ' x + b ') 2 aa ' x 2 + 2ab ' x − bb '− a ' c D. = (a ' x + b ') 2

Hướng dẫn giải: Chọn D. (2ax + b)(a ' x + b ') − a '(ax 2 + bx + c) Ta có: y ' = (a ' x + b ')2

aa ' x 2 + 2ab ' x + bb '− a ' c . (a ' x + b ')2 2 − 2 x + x2 x2 −1 2 x2 − 6 x + 2

Câu 43. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = A.

2 x2 + 6 x + 2

− 1)

2x2 − 6x − 2

− 1)

2 x2 − 6 x + 2

− 1)

Hướng dẫn giải: Chọn D. (2 x − 2)( x 2 − 1) − 2 x( x 2 − 2 x + 2) 2 x 2 − 6 x + 2 = Ta có y ' = ( x 2 − 1)2 ( x 2 − 1) 2 Câu 44. Cho hàm số y =

32 x 2 + 80 x + 5 . 4x + 5 Hướng dẫn giải: A.

8x2 + x . Đạo hàm y′ của hàm số là 4x + 5 −32 x 2 + 8 x − 5 32 x 2 + 80 x + 5 . . B. C. (4 x + 5)2 (4 x + 5)2

 ax 2 + bx + c ′ ae.x 2 + 2adx + bd − ec Lưu ý: áp dụng công thức đạo hàm nhanh  .  = (ex + d ) 2  ex + d  Chọn C. x 2 + 3x + 3 Câu 45. Hàm số y = có y′ bằng x+2

Trang 26

16 x + 1 . (4 x + 5) 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11

x2 + 4 x − 3 . x+2 Hướng dẫn giải: Chọn B. A.

x2 + 4 x + 3 . ( x + 2) 2

x2 + 4 x + 3 . x+2

x2 + 4 x + 9 . ( x + 2)2

 ax 2 + bx + c ′ ae.x 2 + 2adx + bd − ec Lưu ý: áp dụng công thức đạo hàm nhanh  .  = (ex + d ) 2  ex + d 

Câu 46. Hàm số A. y′ =

( x − 2) y=

có đạo hàm là:

1− x

− x 2 + 2x

(1 − x )

B. y ′ =

x2 − 2x

(1 − x )

C. y′ = −2 ( x − 2 ) .

D. y′ =

x2 + 2x

(1 − x )

Hướng dẫn giải: Chọn A. 2

Ta có : y′ =

2 ( x − 2 )(1 − x ) − ( x − 2 ) ( −1)

(1 − x )

Câu 47. Cho hàm số y =

3 . ( x − 2)2 Hướng dẫn giải: Đáp án C. A. −1 −

Ta có

(−x y′ =

− x2 + 2x

(1 − x )

− x2 + 2 x − 3 . Đạo hàm y′ của hàm số là biểu thức nào sau đây? x−2 3 3 3 . . . B. 1 + C. −1 + D. 1 − 2 2 ( x − 2) ( x − 2) ( x − 2) 2

+ 2 x − 3)′ ( x − 2 ) − ( − x 2 + 2 x − 3) ( x − 2 )′

( x − 2)

( −2 x + 2 )( x − 2 ) − ( − x 2 + 2 x − 3) .1 − x 2 + 4 x − 1 3 = = = −1 + . 2 2 2 ( x − 2) ( x − 2) ( x − 2) Câu 48. Cho hàm số y =

x2 + 2 x − 3 . Đạo hàm y′ của hàm số là x+2 x2 + 6x + 7 x2 + 4x + 5 B. . C. . ( x + 2) 2 ( x + 2)2

3 . ( x + 2)2 Hướng dẫn giải: Đáp án A. x 2 + 2 x − 3)′ ( x + 2 ) − ( x + 2 )′ ( x 2 + 2 x − 3) ( 2 x + 2 )( x + 2 ) − ( x 2 + 2 x − 3) ( ′ y = = 2 2 ( x + 2) ( x + 2) A. 1+

( 2 x + 2 )( x + 2 ) − ( x 2 + 2 x − 3) x 2 + 4 x + 7 3 = = 1+ . 2 2 2 ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2) Câu 49. Đạo hàm của hàm số y = A. y′ =

Trang 27

2x − 2

( x − 2 x + 5) 2

1 bằng biểu thức nào sau đây x − 2x + 5 −2 x + 2 B. y′ = . 2 2 x − 2 x + 5 ( ) 2

x2 + 8x + 1 . ( x + 2) 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 C. y′ = (2 x − 2)( x 2 − 2 x + 5).

D. y′ =

1 . 2x − 2

Hướng dẫn giải: Đáp án B Vì

− 2 x + 5 )′

(x y′ = − (x

− 2 x + 5)

−2 x + 2

Câu 50. Đạo hàm của y = A.

− ( 4 x + 1)

(2x

+ x + 1)

− 2 x + 5)

1 bằng : 2x + x +1 − ( 4 x − 1) . B. 2 ( 2 x 2 + x + 1) 2

−1

(2x

+ x + 1)

( 4 x + 1)

(2x

+ x + 1)

Hướng dẫn giải: Đáp án A

− ( 2 x 2 + x + 1)′ − ( 4 x + 1) 1 y= 2 ⇒ y′ = = 2 2 2x + x +1 ( 2 x2 + x + 1) ( 2 x2 + x + 1) Câu 51. Cho hàm số f ( x ) = x + 1 − (I) f ′ ( x ) =

x2 − 2x −1

( x − 1)

2 . Xét hai câu sau: x −1

∀x ≠ 1

(II)

f ′ ( x ) > 0 ∀x ≠ 1. Hãy chọn câu đúng: A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đều sai. Hướng dẫn giải: Đáp án B 2 2 x2 − 2x + 3 f ( x) = x +1− ⇒ f ′( x) = 1+ = > 0 ∀x ≠ 1 2 2 x −1 ( x − 1) ( x − 1) Câu 52. Cho hàm số f ( x) =

x2 + x −1 . Xét hai câu sau: x −1

1 , ∀x ≠ 1. ( x − 1) 2 Hãy chọn câu đúng: A. Chỉ ( I ) đúng. C. Cả ( I ); ( II ) đều sai. Hướng dẫn giải: Chọn D  u ′ u ′.v − v′.u Áp dụng công thức   = ta có: v2 v

( I ) : f ′( x ) = 1 −

∀x ≠ 1 , ta có: f ( x) =

Trang 28

D. Cả hai đều đúng.

( II ) : f ′( x) =

x2 − 2 x , ∀x ≠ 1. ( x − 1)2

B. Chỉ ( II ) đúng. D. Cả ( I ); ( II ) đều đúng.

x2 + x −1 ( x 2 + x − 1)′.( x − 1) − ( x − 1)′.( x 2 + x − 1) ⇒ f ′( x) = x −1 ( x − 1) 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 ⇒ f ′( x ) =

(2 x + 1).( x − 1) − 1.( x 2 + x − 1) 2 x 2 − 2 x + x − 1 − x 2 − x + 1 x 2 − 2 x = = ⇒ ( II ) đúng. ( x − 1)2 ( x − 1)2 ( x − 1)2

1 x 2 − 2 x x 2 − 2 x + 1 − 1 ( x − 1) 2 − 1 = = = 1− ⇒ ( I ) đúng. 2 2 2 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1)2 x (1 − 3 x ) Câu 53. Đạo hàm của hàm số y = bằng biểu thức nào sau đây? x +1 −9 x 2 − 4 x + 1 −3 x 2 − 6 x + 1 1 − 6x2 2 . . . A. B. C. D. 1 6 x . − ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 ( x + 1)2 Hướng dẫn giải: Chọn B x (1 − 3 x ) −3x 2 + x  u ′ u ′.v − v′.u = Áp dụng công thức   = Có : , nên: . y = x +1 x +1 v2 v (−3 x 2 + x)′.( x + 1) − ( x + 1)′.(−3 x 2 + x) (−6 x + 1).( x + 1) − 1.(−3 x 2 + x) y′ = = ( x + 1)2 ( x + 1)2 Mặt khác: f ′( x ) =

⇒ y′ =

−6 x 2 − 6 x + x + 1 + 3 x 2 − x −3x 2 − 6 x + 1 = . ( x + 1) 2 ( x + 1)2

Chọn B Câu 54. Cho hàm số y =

−3 x 2 − 13 x − 10 . ( x 2 + 3)2 Hướng dẫn giải: Chọn C A.

−2 x 2 + x − 7 . Đạo hàm y′ của hàm số là: x2 + 3 −x2 + x + 3 −x2 + 2x + 3 . . B. C. ( x 2 + 3) 2 ( x 2 + 3) 2

−7 x 2 − 13x − 10 . ( x 2 + 3)2

 u ′ u ′.v − v′.u . Ta có: Áp dụng công thức   = v2 v (−2 x 2 + x − 7)′.( x 2 + 3) − ( x 2 + 3)′.(−2 x 2 + x − 7) −2 x 2 + x − 7 ′ y= y = ⇒ x2 + 3 ( x 2 + 3)2 ⇒ y′ =

(−4 x + 1).( x 2 + 3) − 2 x.(−2 x 2 + x − 7) −4 x3 − 12 x + x 2 + 3 + 4 x3 − 2 x 2 + 14 x = ( x 2 + 3)2 ( x 2 + 3) 2

⇒ y′ =

− x2 + 2x + 3 . ( x 2 + 3) 2

Câu 55. Cho hàm số y =

2 x 2 + 10 x + 9 . ( x 2 + 3 x + 3)2 Hướng dẫn giải: Chọn B A.

Trang 29

2x + 5 . Đạo hàm y′ của hàm số là: x + 3x + 3 −2 x 2 − 10 x − 9 x2 − 2 x − 9 B. . C. . ( x 2 + 3x + 3) 2 ( x 2 + 3 x + 3)2 2

−2 x 2 − 5 x − 9 . ( x 2 + 3 x + 3)2

Đạo hàm – ĐS&GT 11

Ta có y′ =

( 2 x + 5)′ . ( x 2 + 3x + 3) − ( 2 x + 5 ) ( x 2 + 3x + 3)′

+ 3 x + 3)

2 ( x 2 + 3 x + 3) − ( 2 x + 5 ) . ( 2 x + 3)

+ 3 x + 3)

−2 x 2 − 10 x − 9

( x 2 + 3x + 3)

2 x 2 + 6 x + 6 − 4 x 2 − 6 x − 10 x − 15

+ 3 x + 3)

. 1 bằng biểu thức nào sau đây? x − 2x + 5 −4 x + 4 −2 x + 2 B. 2 C. 2 . . 2 ( x − 2 x + 5) ( x − 2 x + 5)2

Câu 56. Đạo hàm của hàm số y =

−2 x − 2 . ( x − 2 x + 5)2 Hướng dẫn giải: Chọn C −(2 x − 2) −2 x + 2 . y′ = 2 = 2 2 ( x − 2 x + 5) ( x − 2 x + 5) 2 2 Câu 57. Hàm số y = 2 x + 1 + có y′ bằng?. x−2 2 x2 + 8x + 6 2 x2 − 8x + 6 . A. . B. ( x − 2) 2 x−2 Hướng dẫn giải: Chọn C 2 2x 2 − 8x + 6 ′ . Ta có y = 2 − = 2 ( x − 2)2 ( x − 2)

2 x2 − 8x + 6 . ( x − 2)2

1 bằng biểu thức nào sau đây ?. ( x − 1)( x + 3) 2x + 2 1 B. . C. − 2 . 2x + 2 ( x + 2 x − 3) 2

2x + 2 . ( x − 2 x + 5)2

2 x2 + 8x + 6 . x−2

Câu 58. Đạo hàm của hàm số y = A.

1 . ( x + 3) ( x − 1)2 2

−4

+ 2 x − 3)

Hướng dẫn giải: Chọn C

x 2 + 2 x − 3)′ ( 2x + 2 1 1 . ⇒ y′ = − =− Ta có : y = = 2 2 2 2 2 ( x − 1)( x + 3) x + 2 x − 3 2 3 2 3 + − + − x x x x ( ) ( ) Câu 59. Cho hàm số y =

−13 x 2 − 10 x + 1 . ( x 2 − 5 x + 2)2 Hướng dẫn giải: Chọn D 2 x 2 + 3x − 1 . Ta có: y = 2 x − 5x + 2 A.

Trang 30

2 x 2 + 3x − 1 . Đạo hàm y′ của hàm số là. x2 − 5x + 2 −13 x 2 + 5 x + 11 −13 x 2 + 5 x + 1 . B. . C. ( x 2 − 5 x + 2)2 ( x 2 − 5 x + 2)2

−13 x 2 + 10 x + 1 . ( x 2 − 5 x + 2) 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11

(2x y′ =

(6x y′ =

+ 3 x − 1) ( x 2 − 5 x + 2 ) − ( 2 x 3 + 3 x − 1)( x 2 − 5 x + 2 )

( x2 − 5x + 2)

+ 3)( x 2 − 5 x + 2 ) − ( 2 x 3 + 3 x − 1) ( 2 x − 5 )

− 5x + 2)

Câu 60. Hàm số nào sau đây có y ' = 2 x +

−13 x 2 + 10 x + 1 . ( x 2 − 5 x + 2) 2

1 x2

1 2 1 A. y = x 2 − . B. y = 2 − 3 . C. y = x 2 + . x x x Hướng dẫn giải: Đáp án A 1 ′ 1  Vì y′ =  x 2 −  = 2 x + 2 . x x  1 1 Câu 61. Đạo hàm của hàm số y = 3 − 2 bằng biểu thức nào sau đây? x x −3 1 −3 2 −3 2 A. 4 + 3 . B. 4 + 3 . C. 4 − 3 . x x x x x x Hướng dẫn giải: Đáp án A 3x 2 2 x 3 2  1 1 ′ Ta có y′ =  3 − 2  = − 6 + 4 = − 4 + 3 x  x x x x x 1 Câu 62. Hàm số nào sau đây có y ' = 2 x + 2 ? x 3 2 3( x + x) x3 + 5x − 1 x −1 A. y = B. y = C. y = x x3 x Hướng dẫn giải: Đáp án A 1 1 x3 − 1 = x 2 − ⇒ y′ = 2 x + 2 đúng. Kiểm tra đáp án A y = x x x

2   Câu 63. Tính đạo hàm của hàm số y =  x + 2  3x   2  4   A. y ' =  x + 2  1 − 3  3x   3x   2  4   C. y ' =  x + 2  1 + 3  3x   3x   Hướng dẫn giải: Chọn D. 2  4   Ta có: y ' = 2  x + 2   1 − 3  3x   3x  

Trang 31

1 D. y = 2 − . x

3 1 − . x 4 x3

D. y =

2  4   B. y ' = 2  x + 2   1 + 3  3x   3x   2  4   D. y ' = 2  x + 2   1 − 3  3x   3x  

2x2 + x −1 x

Đạo hàm – ĐS&GT 11 5   Câu 64. Tính đạo hàm của hàm số y =  4 x + 2  x   10   5   A. y ' = 3  4 + 3  4 x + 2  x  x   5   C. y ' =  4 x + 2  x   Hướng dẫn giải: Chọn D.

5   10   B. y ' = 3  4 − 3   4 x − 2  x  x  

10   5   D. y ' = 3  4 − 3  4 x + 2  x  x  

5   10   y ' = 3  4 − 3  4 x + 2  x  x  

Câu 65. Cho hàm số y = 3 x3 + 2 x 2 + 1 . Đạo hàm y′ của hàm số là 3x 2 + 2 x

2 3x3 + 2 x 2 + 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 ′ u′ Công thức u = 2 u

3x 2 + 2 x + 1 2 3x3 + 2 x 2 + 1

9 x2 + 4 x

3 x3 + 2 x 2 + 1

9x2 + 4x

2 3x3 + 2 x 2 + 1

( )

Câu 66. Tính đạo hàm của hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 A. y ' =

y'=

3x 2 − 6 x

x3 − 3x 2 + 2 3x 2 − 6 x

B. y ' =

3x 2 + 6 x 2 x3 − 3x 2 + 2

C. y ' =

3x2 − 6 x 2 x3 − 3 x 2 − 2

2 x3 − 3x 2 + 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3x 2 − 6 x y'= 2 x3 − 3x 2 + 2 Câu 67. Đạo hàm của hàm số y = −4 x . A. B. 2 1 − 2 x2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 − x 2 )′ ( 2 y = 1 − 2 x ⇒ y′ = = 2 1 − 2 x2 Câu 68. Cho hàm số f ( x ) = x x 3 x . 2 Hướng dẫn giải:. Chọn A

Trang 32

1 − 2 x 2 là kết quả nào sau đây? 1 2x . . C. 2 1 − 2x 1 − 2 x2

−2 x 1 − 2x2

−2 x

. 1 − 2x2 có đạo hàm f ′ ( x ) bằng.

x . 2x

x . 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 3

3 12 3 x = x. 2 2 Câu 69. Đạo hàm của hàm số y = ( x 3 − 5 ) . x bằng biểu thức nào sau đây? Ta có: f ( x ) = x x = x 2 ⇒ f ′ ( x ) =

7 5 5 . x − 2 2 x Hướng dẫn giải: Chọn A

B. 3 x 2 −

y′ = ( x 3 − 5 )′ x + ( x3 − 5 )

1 2 x

C. 3 x 2 −

5 2 x

75 2 5 . x − 2 2 x

1 7 x3 − 5 7 5 5 ′ x = 3x 2 . x + ( x3 − 5) x − . = = 2 2 x 2 x 2 x

( )

Câu 70. Đạo hàm của hàm số y = x 2 − 4 x 3 là : A.

x − 6 x2

x2 − 4 x3 Hướng dẫn giải: Chọn A x − 6 x2 2 x − 12 x 2 y′ = = . 2 x2 − 4 x3 x 2 − 4 x3

1 2 x 2 − 4 x3

x − 12 x 2 2 x 2 − 4 x3

x − 6 x2 2 x 2 − 4 x3

Câu 71. Đạo hàm của y = 3 x 2 − 2 x + 1 bằng: 3x − 1

3x − 2 x + 1 Hướng dẫn giải: Chọn A Áp dụng công thức

6x − 2 2

3x − 2 x + 1

3x 2 − 1

3x − 2 x + 1

1 2

2 3x − 2 x + 1

( u )′ = 2u′u , ta được:

y = 3 x 2 − 2 x + 1 ⇒ y′ =

(3 x 2 − 2 x + 1)′ 2

2 3x − 2 x + 1

6x − 2 2

2 3x − 2 x + 1

3x − 1

3x 2 − 2 x + 1

Câu 72. Cho hàm số y = 2 x 2 + 5 x − 4 . Đạo hàm y′ của hàm số là: 4x + 5 4x + 5 2x + 5 A. B. C. . . . 2 2 2 2x + 5x − 4 2x + 5x − 4 2 2x2 + 5x − 4 Hướng dẫn giải: Chọn A u' ′ Áp dụng công thức u = , ta được: 2 u (2 x 2 + 5 x − 4)′ 4x + 5 = y = 2 x 2 + 5 x − 4 ⇒ y′ = . 2 2 x2 + 5x − 4 2 2 x2 + 5x − 4

2x + 5

2 x2 + 5x − 4

( )

Câu 73. Tính đạo hàm các hàm số sau y = x x 2 + 1 A.

2x2 + 1

2 x2 + 1 Hướng dẫn giải: Chọn D

Trang 33

x2 + 1 x2 + 1

4x2 + 1 x2 + 1

2x2 + 1 x2 + 1

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Ta có: y ' = x ' x 2 + 1 + x2

= x +1 +

x2 + 1

(

( x 2 + 1) '

)

x2 + 1 ' x = x2 + 1 +

2x2 + 1 x2 + 1

2 x2 + 1

Câu 74. Đạo hàm của hàm số y = x. x 2 − 2 x là A. y′ =

2x − 2

x2 − 2 x 2 x2 − 2 x −1 . y′ = x2 − 2 x Hướng dẫn giải: Đáp án C

B. y′ =

3x 2 − 4 x

y = x. x 2 − 2 x ⇒ y ′ = x 2 − 2 x + x.

x2 − 2 x

C. y′ =

2x − 2

2 x 2 − 3x

x2 − 2 x + x2 − x

x2 − 2 x

2 x 2 − 3x

2 x2 − 2x x2 − 2x x2 − 2 x Câu 75. Cho hàm số f ( x ) xác định trên D = [ 0; +∞ ) cho bởi f ( x ) = x x có đạo hàm là: 1 x. 2 Hướng dẫn giải: Chọn B.

A. f ′ ( x ) =

( u.v ) ' = u '.v + u.v ' ; (

(

B. f ′ ( x ) =

)

x '=

1 2 x

)

3 x. 2

C. f ′ ( x ) =

1 x . 2 x

D. f ′ ( x ) = x +

; x ' = 1.

Ta có f ' ( x ) = x x ' = x '. x + x.

( x)' =

x 2 x

= x+

1 3 x= x. 2 2

Câu 76. Tính đạo hàm của hàm số y = ( x + 1) x + x + 1 . A.

4 x2 − 5x + 3

2 x2 + x + 1 Hướng dẫn giải: Chọn D

Ta có y ' = x 2 + x + 1 + ( x + 1)

4 x2 + 5x − 3

2 x2 + x + 1

4 x2 + 5x + 3 x2 + x + 1

4 x2 + 5x + 3

2x +1

= 2 x2 + x + 1 2 x2 + x + 1 Câu 77. Tính đạo hàm của hàm số y = x 2 + x x + 1 x A. y ' = 2 x + x + 1 − B. y ' = 2 x − x + 1 + 2 x +1 2 x C. y ' = D. y ' = 2 x + x + 1 + 2 x +1 2 Hướng dẫn giải: Chọn D x y ' = 2x + x +1 + 2 x +1

Câu 78. Tính đạo hàm của hàm số y = Trang 34

x 2

a − x2

x x +1 x x +1

4 x2 + 5x + 3 2 x2 + x + 1

x . 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11

A. y ' = −

B. y ' =

( a 2 − x 2 )3 ( a 2 + x 2 )3 Hướng dẫn giải: Chọn D x2 a2 − x2 + a2 a2 − x2 = y'= (a 2 − x 2 ) ( a 2 − x 2 )3 Câu 79. Tính đạo hàm của hàm số y =

3 1 2 x2 x Hướng dẫn giải: Chọn D (x x ) ' 3 1 y'= − =− 3 x 2 x2 x

Câu 80. Tính đạo hàm của hàm số y = A. y ' =

1 − 3x

B. y ' =

(1 − x)3 Hướng dẫn giải: Chọn D 1+ x 1− x − 2 1 − x = 1 − 3x y'= 1− x 2 (1 − x)3

( a 2 − x 2 )3

C. y ' =

1+ x 1− x 1 − 3x

1 x

C. y ' = −

3 (1 − x)3

1 1 − 3x 3 2 (1 − x)3

D. y ' =

C. f ′ ( x ) =

(

−2 1 − x

(

1+ x

)

( ) x (1 + x )

2 1− x

( ) x (1 + x ) 2 (1 − x ) f ′( x) = .

B. f ′ ( x ) =

−2 1 − x

1+ x

Hướng dẫn giải: Chọn B.  1 − x   1 − x ′ 1− x  −2 Ta có : y′ = 2   1 + x   1 + x  = 2  1 + x       1+ x

(

Trang 35

( a 2 − x 2 )3

D. y ' = −

 1− x  Câu 81. Cho hàm số y =   . Đạo hàm của hàm số f ( x ) là: x 1 +  

A. f ′ ( x ) =

D. y ' =

x x 1 B. y ' = − 2 x x

A. y ' =

2a 2

C. y ' =

)

( x )′ = −

2 1− x . 3 x 1+ x

(

)

3 1 2 x2 x

1 − 3x

2 (1 − x)3

Đạo hàm – ĐS&GT 11 2

1   Câu 82. Hàm số f ( x ) =  x −  xác định trên D = ( 0; +∞ ) . Có đạo hàm của f ( x ) là: x  1 1 A. f ' ( x ) = x + − 2 . B. f ' ( x ) = x − 2 . x x 1 1 . C. f ' ( x ) = x − D. f ' ( x ) = 1 − 2 . x x Hướng dẫn giải: Chọn D. ' u' 1 n n −1 Sử dụng công thức đạo hàm hợp: ( u ) ' = n.u .u ' và   = − 2 . u u '

' 2  1  1  1   1  1 1    Ta có: f ' ( x ) =  x − +   = 2.  x − . x −  = 2.  x −   x x x  2 x 2 x x  x      1  1   1   1  1  1 = 2.  x−  1 + x  =  1 − x  1 + x  = 1 − x 2 . 2 x x      3

1   Câu 83. Hàm số f ( x ) =  x −  xác định trên D = ( 0; +∞ ) . Đạo hàm của hàm f ( x ) là: x  3 1 1 1  3 1 1 1  A. f ' ( x ) =  x − . B. f ' ( x ) =  x + − + 2 + + 2  . 2 2 x x x x x x x x x x 3 1 1 1  3 1 C. f ' ( x ) =  − x + . D. f ' ( x ) = x x − 3 x + . + − 2 −  2 x x x x x x x x Hướng dẫn giải: Chọn A. ' u' 1 Sử dụng công thức đạo hàm hợp: ( u n ) ' = n.u n −1.u ' và   = − 2 . u u 2

1   1 1   1  1  1 ·Ta có: f ' ( x ) = 3  x − +  x − 2 +  . 1 +   .  = 3. x  x x   2 x 2x x  2 x  1 1 1  3  1 1  3 = − + 2  x −1 − + 2  =  x − . x x  2 x x x x x 2 x 1 Câu 84. Cho hàm số y = . Đạo hàm y′ của hàm số là biểu thức nào sau đây? x2 + 1 x( x 2 + 1) x x x A. . B. − . C. . D. − . ( x 2 + 1) x 2 + 1 ( x 2 + 1) x 2 + 1 2( x 2 + 1) x 2 + 1 x2 + 1 Hướng dẫn giải: Đáp án B. ′ 2 − ( x 2 + 1)′  1 ′ − x + 1 −x . y′ =  = = =  2 2 x +1 2 x 2 + 1 ( x 2 + 1) x 2 + 1 ( x 2 + 1)  x +1 

(

)

Câu 85. Cho hàm số f ( x ) = x − 1 +

Trang 36

1 . Để tính f ′ , hai học sinh lập luận theo hai cách: x −1

Đạo hàm – ĐS&GT 11 x x−2 . ⇒ f '( x) = x −1 2 ( x − 1) x − 1

(I) f ( x ) =

1 1 x−2 . − = 2 x − 1 2 ( x − 1) x − 1 2 ( x − 1) x − 1 Cách nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II) C. Cả hai đều sai. Hướng dẫn giải: Đáp án D. x 1 x −1 + = . x −1 x −1 x x −1 − x−2  x ′ 2 x −1 = Lại có  nên cả hai đều đúng.  = x −1 2 x − 1 ( x − 1)  x −1  (II) f ( x ) =

D. Cả hai đều đúng.

Câu 86. Cho hàm số y = f ( x ) = (1 − 2 x 2 ) 1 + 2 x 2 . Ta xét hai mệnh đề sau: (I) f ′ ( x ) =

−2 x (1 + 6 x 2 )

1+ 2x Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (II). Hướng dẫn giải: Đáp án D Ta có

(II) f ( x ) . f ′ ( x ) = 2 x (12 x 4 − 4 x 2 − 1)

B. Chỉ (I).

f ′ ( x ) = (1 − 2 x 2 )′ 1 + 2 x 2 + (1 − 2 x 2 ) =

−4 x (1 + 2 x 2 ) + (1 − 2 x 2 ) .2 x 1 + 2x2

(

C. Cả hai đều sai.

1 + 2 x2

)′ = −4 x 1 + 2x

−2 x − 12 x3 1 + 2 x2

+ (1 − 2 x 2 )

D. Cả hai đều đúng.

1 + 2 x2

−2 x (1 + 6 x 2 ) 1 + 2 x2

Suy ra

f ( x ) . f ′ ( x ) = (1 − 2 x

)

1+ 2x .

−2 x (1 + 6 x 2 ) 1 + 2x

= −2 x (1 − 2 x 2 )(1 + 6 x 2 )

= −2 x ( −12 x + 4 x + 1) = 2 x (12 x 4 − 4 x 2 − 1) 4

Câu 87. Đạo hàm của hàm số y = −2 x 7 + x bằng biểu thức nào sau đây? 2 1 . . A. −14 x 6 + 2 x . B. −14 x 6 + C. −14 x 6 + x 2 x Hướng dẫn giải: Đáp án C 1 ′ Ta có y′ = −2 x 7 + x = −14 x 6 + 2 x

(

)

Câu 88. Đạo hàm của hàm số y = A. y′ =

Trang 37

D. −14 x 6 +

( 2 x − 1)

x+2 . 2x −1

2x −1 là x+2 1 5 x+2 B. y ' = . . . 2 2 ( 2 x − 1) 2x −1

1 . x

Đạo hàm – ĐS&GT 11

1 x+2 . C. y ' = . 2 2x −1

1 5 x+2 D. y ' = . . . 2 2 ( x + 2) 2x −1

Hướng dẫn giải: Đáp án D. 1 5 x+2  2 x − 1 ′ 1 . . .  = . 2 2x −1 2x − 1  x + 2  2 ( x + 2) 2 x+2 x Câu 89. Đạo hàm của hàm số y = bằng biểu thức nào sau đây? 1− 2x 1 1 1− 2x A. . B. . C. . 2 −4 x 2 x (1 − 2 x) 2 x (1 − 2 x) 2 Hướng dẫn giải:: Chọn D Ta có 1 ′ x . (1 − 2 x ) − (1 − 2 x )′ . x 2 x . (1 − 2 x ) + 2 x y′ = = 2 2 (1 − 2 x ) (1 − 2 x ) Ta có y′ =

( )

1− 2x + 4x 1 + 2x 2 x = = . 2 2 2 x (1 − 2 x ) (1 − 2 x ) Câu 90. Đạo hàm của hàm số y = A. y′ = C. y′ =

( x + 5)

−

1 . 2x

B. y′ =

−

1 . 2 2x

D. y′ =

( x + 5)

2x − 3 − 2 x là: 5+ x

( x + 5)

−

1 . 2 2x

−

1 . 2x

( x + 5)

Hướng dẫn giải: Chọn A

( 2 x − 3)′ . ( 5 + x ) − ( 2 x − 3) . ( 5 + x )′ − ( 2 x )′ 2 2 2x (5 + x ) 2 ( 5 + x ) − ( 2 x − 3) 2 x 10 + 2 x − 2 x + 3 13 .= = − − = − 2 2 2 2 2x 2x (5 + x ) (5 + x ) (5 + x )

Cách 1:Ta có y′ =

Cách 2:Ta có y′ =

2.5 + 3.1

(5 + x )

−

( 2 x )′ 2 2x

(5 + x )

−

x . 2x

 ax + b ′ a.d − b.c Có thể dùng công thức  .  = 2  cx + d  ( cx + d )

Câu 91. Đạo hàm của hàm số y = ( 2 x − 1) x 2 + x là:

Trang 38

x . 2x

1+ 2x . 2 x (1 − 2 x) 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A. y′ = 2 x 2 + x − C. y′ = 2 x 2 + x +

4 x2 −1 2 x2 + x 4x2 −1 2

2 x +x

B. y′ = 2 x 2 + x +

D. y ′ = 2 x 2 + x +

4x2 −1

. x2 + x 4x2 + 1

2 x2 + x

Hướng dẫn giải: Chọn C

Ta có y′ = ( 2 x − 1)′ . x 2 + x + ( 2 x − 1) . Câu 92. Đạo hàm của hàm số y = A.

x2 + 1 Hướng dẫn giải: Chọn B

y′ =

( x − 1)′ .

x 2 + 1 − ( x − 1)

(

x2 + 1

)

(

Câu 93. Đạo hàm của hàm số y = A. y′ = −

(

x + 1 + x −1

)

x2 + x

x −1 x2 + 1 1+ x ( x 2 + 1)3

x2 + 1

(

′

)′ = 2.

x2 + x +

( 2 x − 1)( 2 x + 1) 2 x2 + x

2 x2 + x

(

)

( x 2 + 1)3

x2 − x + 1 ( x 2 + 1)3

x 2 + 1 − ( x − 1) x2 + 1

2( x + 1)

2 2 x2 + 1 = x + 1 − x + x = 1 + x . 3 ( x 2 + 1)3 x2 + 1

(

)

1 là: x +1 − x −1 B. y′ =

1 . 2 x +1 + 2 x −1

1 1 D. y′ = + . 4 x + 1 4 x −1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C 1 x +1 + x −1 Ta có: y = = 2 x + 1 − x −1 1 1  1 ′ 1 1 ⇒ y′ = x + 1 + x −1 =  + = +  2 2  2 x +1 2 x −1  4 x +1 4

)

1 1 + . x + 1 2 x −1

1 . x −1

1   Câu 94. Cho hàm số f ( x) =  x −  . Hàm số có đạo hàm f ′ ( x ) bằng: x  1 1 1 A. x − . B. 1 + 2 . C. x + − 2 . x x x Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 Ta có f ( x) = x + − 2 . Suy ra f ′ ( x ) = 1 − 2 x x Câu 95. Tính đạo hàm của hàm số y = x 2 + 1 − 1 − x 2

Trang 39

4x2 −1

bằng biểu thức nào sau đây?

C. y′ =

(

= 2 x2 + x +

D. 1 −

1 . x2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A. C.

1 2

x +1 1 x2 +1

+ +

x 1− x 1

1 − x2

x 2

x +1 x x2 + 1

1 − x2 x

1 − x2

. .

Hướng dẫn giải: Đáp án D y'=

(

) (

x +1 −

Câu 96. y = A.

1− x

)

(x =

+ 1)

2 x +1

2 /

(1 − x ) − 2 1− x

x 2

x +1

x 1 − x2

x2 + 1 . x

1   1− 2   x2 + 1  x  x

1   1 − 2  x +1  x  2 x

x2 + 1 x 1

1   1 − 2  x +1  x  2 x 2

Hướng dẫn giải: Đáp án D Sử dụng công thức

( u)

với u =

x2 + 1 x

 x2 + 1  1 1   y'= .  = 1 − 2  2 2 x +1  x  x +1  x  2 2 x x 1

1− x  Câu 97. Tính đạo hàm của hàm số y =   .  1+ x   1− x  1 A. y ' = 2   .  1+ x  1+ x

(

)

 1− x  −1 C. y ' =   .  1+ x  x 1+ x

(

)

 1− x  1 D. y ' = 2   . 1+ x  x 1+ x

)

(

)

(

Hướng dẫn giải: Đáp án B /

Đầu tiên sử dụng công thức ( uα ) với u =

Trang 40

 1− x  −1 B. y ' = 2   . 1+ x  x 1+ x

1− x 1+ x

Đạo hàm – ĐS&GT 11  1− x   1− x  y ' = 2   .    1+ x   1+ x  /

(

1− x  1− x  Tính  =  1+ x   

) (1 + x ) − (1 + x ) (1 − x ) (1 + x ) 2

−1 1 1+ x − (1 − x ) 2 x =2 x = 2 1+ x

(

)

(

−1

)

 1− x  −1 Vậy y ' = 2   1 + x  .   x 1+ x

(

x 1+ x

)

1 x −1

Câu 98. Tính đạo hàm của hàm số y = x − 1 + A.

−1 1 . + x − 1 2 x − 1 ( x − 1)

−1 −1 1 1 . D. . + + 2 x − 1 2 x − 1 ( x − 1) x −1 x − 1 ( x − 1)

1 −1 . + 2 x −1 2 x −1

Hướng dẫn giải: Đáp án D y'=

(

)

/ − x −1 1 1 −1  1  . x −1 +  + = + 2  = 2 x − 1 2 x − 1 ( x − 1)  x −1  2 x −1 x −1

)

(

)

1   Câu 99. Tính đạo hàm của hàm số y =  x −  . x  4

1   1 1   + A. 5  x −    x   2 x 2 x .x  

1   1 1   + B. 5  x −    x  x x .x  

1   1 1   + C.  x −    x   2 x 2 x .x  

1   1 1   + D. 5  x −    x   2 x 2 x .x  

Hướng dẫn giải: Đáp án D /

Bước đầu tiên sử dụng ( uα ) với u = x −

1 x

 1   1  1   1   y ' = 5 x − +  . x −  = 5 x −  . x  x x   2 x    4

Trang 41

  2   

( x) ( x)

Đạo hàm – ĐS&GT 11 4

1   1 1   = 5 x − +    x   2 x 2 x .x   Câu 100. Tính đạo hàm của hàm số y =

1+ x . 1− x

−x . 2 1 − x (1 − x )

3− x . 1 − x (1 − x )

3 . 2 1 − x (1 − x )

3− x . 2 1 − x (1 − x )

Hướng dẫn giải: Đáp án D / (1 + x ) u Sử dụng   được: y ' = v

2 (1 − x ) + (1 + x ) 2 1 − x . (1 − x )

1− x −

(

1− x

)

) (1 + x ) =

1− x −

(1 − x )

2 1− x (1 − x )

. (1 + x )

3− x . 2 1 − x (1 − x )

Câu 101. Tính đạo hàm của hàm số y = x + x + x . A.

 1 . 1 + 2 x + x + x  2 x + x

 1 . 1 + x+ x x + x + x 

 1 . 1 + x + x + x  2 x + x

1   . 1 +  .  2 x  

1   . 1 +  . x   

1   . 1 +  .  2 x  

 1 1   . 1 − . 1 +  . 2 x + x + x  2 x + x  2 x   1

Hướng dẫn giải: Đáp án A Đầu tiên áp dụng

u với u = x + x + x

y'=

2 x+ x+ x

(

x+ x+ x

 1 . 1 + 2 x + x + x  2 x + x 1

) =2

(

1   . 1 +  .  2 x  

Câu 102. Tính đạo hàm của hàm số y = Trang 42

 /  1 . x+ x  1 +    x+ x+ x  2 x+ x 1

4x +1 x2 + 2

(áp dụng u chia v đạo hàm)

)

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A. C.

−x

+ 2) x + 2 2

−x + 8

+ 3) x 2 + 2

x +8

+ 2) x2 + 2 −x + 8

+ 2) x2 + 2

Hướng dẫn giải: Đáp án D

y'=

( 4 x + 1)

x2 + 2 −

( 2

x +2 x2 + 2

x 2 + 2 . ( 4 x + 1)

x2 + 2

4 x2 + 2 −

)

(

)

( 4 x + 1) =

1 x3 2 x −1

C. y ' =

1 x3 x −1

x3 − 3x 2

( x − 1)

2 x3 − 3x 2

( x − 1)

(x +2−

+ 2) x + 2 2

. B. y ' =

. D. y ' =

+ 2)

2 x2 + 2 ( x2 + 2)

4 ( x 2 + 2 ) − x ( 4 x + 1)

. ( 4 x + 1)

−x + 8

+ 2) x2 + 2

x3 (Áp dụng căn bặc hai của u đạo hàm). x −1

Câu 103. Tính đạo hàm của hàm số y = A. y ' =

4. x

1 x3 2 x −1

2 x3 − x 2

( x − 1)

2 x3 − 3 x 2

( x − 1)

Hướng dẫn giải: Đáp án D

y'= 2

x3 x −1

 x3  .   x −1 

 x3  ( x Ta có:   =  x −1  /

Vậy y ' =

1 x3 2 x −1

3 /

) ( x − 1) − ( x − 1) .x ( x − 1)

2 x3 − 3 x 2

( x − 1)

( x − 2) 2 x−2

Trang 43

3 x 2 ( x − 1) − x3

( x − 1)

2 x3 − 3 x 2

( x − 1)

Câu 104. Tính đạo hàm của hàm số y = A.

( x − 2) . x−2

( x − 2)

. C.

3( x − 2) x−2

3( x − 2) 2 x−2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Đáp án D

( u)

Đầu tiên áp dụng 1

y'=

( x − 2)

với u = ( x − 2 )

(

. ( x − 2)

3 /

) =2

( x − 2)

.3. ( x − 2 ) =

(

)

3 ( x − 2) 2 x−2

Câu 105. Tính đạo hàm của hàm số y = 1 + 1 − 2 x . A.

(

−6 1 + 1 − 2 x

)

(

−6 1 + 1 − 2 x 2 1 − 2x

)

1− 2x

(

− 1+ 1− 2x

)

2 1 − 2x

(

− 1+ 1− 2x

)

1− 2x

Hướng dẫn giải: Đáp án D /

Bước đầu tiên áp dụng ( uα ) với u = 1 + 1 − 2 x 2

(

) (

y ' = 3 1 + 1− 2x . 1+ 1 − 2x

)

(

= 3 1 + 1 − 2x

)

(1 − 2 x ) .

x + 2 x2 + 1

( x 2 + 1)

x2 + 1 + 2 x − 1

2 ( x 2 + 1)

(

)

x + x2 + 1

( x 2 + 1)

x + x2 +1

C. y ' =

2 1− 2x

B. y ' =

)

(

2 1− 2x

(

−6 1 + 1 − 2 x

x2 + 1 + 2x −1

Câu 106. Tính đạo hàm của hàm số y = A. y ' =

)

x2 + 1 + 2x −1

x + 2 x2 + 1

D. y ' =

x2 +1 + 2x −1

)

(

2 ( x 2 + 1)

(

Hướng dẫn giải: Chọn D.

x 2

x +1

Ta có: y ' =

+2 =

x2 + 1 + 2 x −1

x + 2 x2 + 1

2 ( x 2 + 1)

x2 Câu 107. Cho hàm số y = f ( x) =  2 x − 1 A. f ′ (1) = 1 . C. Hàm số liên tục tại x0 = 1 . Hướng dẫn giải:: Chọn A Ta có: f (1) = 1 Trang 44

(

)

x2 + 1 + 2 x −1

khi x ≥ 1 khi x < 1

. Hãy chọn câu sai:

B. Hàm số có đạo hàm tại x0 = 1 . 2 x D. f ′( x) =  2

)

x2 +1 + 2x −1

khi x ≥ 1

. khi x < 1

Đạo hàm – ĐS&GT 11

lim f ( x ) = lim+ x 2 = 1 và lim− = lim(2 x − 1) = 1 . −

x →1+

x →1

Vậy hàm số liên tục tại x0 = 1 . C đúng.

f ( x) − f (1) x2 −1 = lim+ = lim+ ( x + 1) = 2 x →1 x →1 x − 1 x →1 x −1 2 ( x − 1) f ( x) − f (1) (2 x − 1) − 1 lim− = lim+ = lim+ =2 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 Vậy hàm số có đạo hàm tại x0 = 1 và ⇒ y′ = −2sin 2 x ⇒ y′′ = −4cos 2 x ⇒ y′′ ( 0 ) = −4

Ta có: lim+

 x 2 + x + 1 khi x ≤ 1 Câu 108. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) =   x − 1 + 3 khi x > 1 2 x khi x < 1  2 x + 1 khi x < 1   A. f '( x) =  1 B. f '( x) =  1  2 x − 1 khi x > 1  − x − 1 khi x > 1    2 x + 1 khi x < 1  2 x + 1 khi x < 1   C. f '( x) =  1 D. f '( x) =  1 khi x > 1  x −1  2 x − 1 khi x > 1   Hướng dẫn giải:: Chọn D Với x < 1 ta có: f '( x ) = 2 x + 1 1 Với x > 1 ta có: f '( x) = 2 x −1 Tại x = 1 ta có: f ( x) − f (1) x2 + x − 2 lim− = lim− =3 x →1 x →1 x −1 x −1 f ( x) − f (1) x −1 = lim+ = +∞ suy ra hàm số không có đạo lim+ x →1 x →1 x −1 x −1 hàm tại x = 1 2 x + 1 khi x < 1  Vậy f '( x) =  1 .  2 x − 1 khi x > 1   x 2 − x + 1 khi x ≤ 1 Câu 109. Tìm a , b để các hàm số sau có đạo hàm trên ℝ . f ( x) =  2  − x + ax + b khi x > 1  a = 13 a = 3  a = 23 a = 3 A.  B.  C.  D.  b = −1 b = −11 b = −21 b = −1 Hướng dẫn giải:: Chọn D Với x ≠ 1 thì hàm số luôn có đạo hàm Do đó hàm số có đạo hàm trên ℝ ⇔ hàm số có đạo hàm tại x = 1 . Ta có lim− f ( x ) = 1; lim+ f ( x ) = a + b − 1 x →1

x →1

Hàm số liên tục trên ℝ ⇔ a + b − 1 = 1 ⇔ a + b = 2

Trang 45

Đạo hàm – ĐS&GT 11 f ( x) − f (1) = 1; x −1 f ( x) − f (1) − x 2 + ax + 1 − a lim+ = lim+ =a−2 x →1 x →1 x −1 x −1 a + b = 2 a = 3 Nên hàm số có đạo hàm trên ℝ thì  . ⇔ a − 2 = 1 b = −1

Khi đó: lim− x →1

 x2 + x + 1 khi x ≥ 0  Câu 110. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) =  x + 1 .  x 2 + ax + b khi x < 0  A. a = 0, b = 11 B. a = 10, b = 11 C. a = 20, b = 21 Hướng dẫn giải:: Chọn D . Tương tự như ý 1. ĐS: a = 0, b = 1 .

Trang 46

D. a = 0, b = 1

Đạo hàm – ĐS&GT 11

DẠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ CÁC BÀI TOÁN GIẢI PT, BPT Câu 1. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − 9 x − 5 . Phương trình y ′ = 0 có nghiệm là: A. {−1; 2} . B. {−1;3} . C. {0; 4} .

D. {1; 2} .

Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có : y′ = 3x 2 − 6 x − 9 y′ = 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x − 9 = 0 ⇔ x = −1; x = 3 . Câu 2. Cho hàm số f ( x ) = k 3 x + x ( k ∈ ℝ ) . Để f ′ (1) = A. k = 1 .

B. k = −3 .

3 thì ta chọn: 2

C. k = 3 .

D. k =

Hướng dẫn giải: Chọn C.

(

Ta có: f ( x ) = k 3 x + x ⇒ f ′ ( x ) = k 3 x + x

Đặt y = 3 x ⇒ y 3 = x ⇒ 3 y 2 y′ = 1 ⇒ y′ =

f ′( x) = k

( x )′ + ( x )′ =

Câu 3. Cho hàm số f ( x ) =

{

}

A. −2 2 .

( x) 3

1 2 x

)′ = k ( x )′ + ( x )′ 3

1 1 = 2 3y 3 3x

( )

.Vậy để f ′ (1) =

3 k 1 3 thì + = ⇒ k = 3 . 2 3 2 2

1 3 x − 2 2 x 2 + 8 x − 1 . Tập hợp những giá trị của x để f ′ ( x ) = 0 là: 3 B. 2; 2 . C. −4 2 . D. 2 2 .

{

}

{

}

{ }

Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có f ′( x ) = x 2 − 4 2 x + 8 f ′( x ) = 0 ⇔ x 2 − 4 2 x + 8 = 0 ⇔ x = 2 2 .

Câu 4. Cho hàm số y = 4 x − x . Nghiệm của phương trình y′ = 0 là

1 1 1 1 . A. x = . B. x = C. x = . D. x = − . 8 8 64 64 Hướng dẫn giải: Chọn C 1 y′ = 4 − 2 x 1 1 1 y′ = 0 ⇔ 4 − = 0 ⇔ 8 x −1 = 0 ⇔ x = ⇒ x = . 8 64 2 x Câu 5. Cho hàm số y = −4 x3 + 4 x . Để y′ ≥ 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây ? A.  − 3; 3  .

Trang 47

 1 1  B.  − ; .  3 3

9 . 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11

(

)

C. −∞; − 3  ∪  3; +∞ .

1   1   D.  −∞; −  ∪  ; +∞  . 3  3  

Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có y = −4 x3 + 4 x ⇒ y′ = −12 x 2 + 4 .

 1 1  Nên y′ ≥ 0 ⇔ −12 x 2 + 4 ≥ 0 ⇔ x ∈  − ; .  3 3 Câu 6. f '( x ) ≥ 0 với f ( x) = 2 x 3 − 3 x 2 + 1 x ≤ 0 A.  B. x ≤ 1 x ≥1 Hướng dẫn giải: Chọn A TXĐ: D = ℝ x ≤ 0 Ta có: f '( x) = 6 x 2 − 6 x , suy ra f '( x) ≥ 0 ⇔  x ≥ 1 Câu 7. f '( x ) < 0 với f ( x) = −2 x 4 + 4 x 2 + 1  −1 < x < 0 A.  x > 1 C. x > 1 Hướng dẫn giải: Chọn A TXĐ: D = ℝ

C. x ≥ 0

D. 0 ≤ x ≤ 1

B. −1 < x < 0 D. x < 0

 −1 < x < 0 Ta có: f '( x) = −8 x 3 + 8 x , suy ra f '( x) < 0 ⇔  x > 1 Câu 8. Cho hàm số y = −3 x3 + 25. Các nghiệm của phương trình y ′ = 0 là. 5 3 A. x = ± . B. x = ± . C. x = 0 . 3 5 Hướng dẫn giải: : Chọn A Ta có: y′ = −9 x 2 + 25 5 y′ = 0 ⇔ −9 x 2 + 25 = 0 ⇔ x = ± . 3 3 Câu 9. Cho hàm số y = 2 x − 3 x 2 − 5 . Các nghiệm của phương trình y ′ = 0 là 5 5 A. x = ±1. B. x = −1 ∨ x = . C. x = − ∨ x = 1. 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. x = 0 y′ = 6 x 2 − 6 x ⇒ y′ = 0 ⇔ 6 x 2 − 6 x = 0 ⇔  . x = 1 Câu 10. Cho hàm số f ( x) =

Trang 48

x2 −1 . Tập nghiệm của phương trình f ′( x ) = 0 là x2 + 1

D. x = ±5 .

D. x = 0 ∨ x = 1.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A. {0} . B. ℝ. C. ℝ \ {0} . Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 x ( x 2 + 1) − 2 x ( x 2 − 1) 4x = 2 ⇒ f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0. f ′( x) = 2 ( x + 1) ( x2 + 1) Câu 11. Cho hàm số f ( x) =  2 A. 0;  .  3 Hướng dẫn giải: Chọn C.

x3 . Tập nghiệm của phương trình f ′( x ) = 0 là x −1  2   3 B.  − ;0  . C. 0;  .  3   2

D. ∅.

 3  D.  − ;0  .  2 

x = 0  x 3 ′ 3x 2 ( x − 1) − x3 2 x3 − 3x 2 3 2 = ⇒ f ′ ( x ) = 0 ⇔ 2 x − 3x = 0 ⇔  Ta có f ′( x) =   = 2 2 x = 3 x − 1 ( x − 1) ( x − 1)   2  3 2 Câu 12. Tìm số f ( x ) = x − 3x + 1. Đạo hàm của hàm số f ( x ) âm khi và chỉ khi. A. 0 < x < 2 . Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: f ′ ( x ) = 3x 2 − 6 x.

B. x < 1.

C. x < 0 hoặc x > 1.

D. x < 0 hoặc x > 2.

f ′ ( x ) < 0 ⇔ 3x 2 − 6 x < 0 ⇔ 0 < x < 2. Câu 13. Cho hàm số y = −2 x + 3 x . Để y ′ > 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây? 1  1  A. ( −∞; +∞ ) . B.  −∞;  . C.  ; +∞  . D. ∅. 9  9  Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 1 1 >0⇔ x > ⇒ x> . y = −2 x + 3 x ⇒ y′ = 3 − ; y′ > 0 ⇔ 3 − 3 9 x x 3

Câu 14. Cho hàm số y = ( 2 x 2 + 1) . Để y ′ ≥ 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây? B. ( −∞;0] .

A. ∅. Hướng dẫn giải: Chọn C. 3

C. [ 0; +∞ ) .

D. ℝ.

y = ( 2 x 2 + 1) ⇒ y ′ = 12 x ( 2 x 2 + 1) ⇒ y′ ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

Câu 15. Cho hàm số y = 4 x 2 + 1 . Để y ′ ≤ 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây? B. ( −∞;0 ) .

A. ∅. Hướng dẫn giải: Chọn D. y = 4 x 2 + 1 ⇒ y′ =

Trang 49

4x 4 x2 + 1

⇒ y′ ≤ 0 ⇔ x ≤ 0

C. ( 0; +∞ ) .

D. ( −∞;0] .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 16. Cho hàm số y = A. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. Tập xác định D = R \ {1} . y′ =

(1 − x )

3 . Để y′ < 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây? 1− x B. 3. C. ∅ . D. ℝ .

> 0∀x ∈ D .

1 − 3x + x 2 Câu 17. Cho hàm số f ( x) = . Tập nghiệm của bất phương trình f ′( x ) > 0 là x −1 A. ℝ \ {1} . B. ∅. C. (1; +∞ ) . D. ℝ. Hướng dẫn giải: Đáp án A

 1 − 3 x + x 2 ′ f ′( x) =    x −1  1 − 3 x + x 2 )′ ( x − 1) − (1 − 3 x + x 2 ) ( x − 1)′ ( = 2 ( x − 1)

( −3 + 2 x )( x − 1) − (1 − 3x + x 2 ) x 2 − 2 x + 2 = = 2 2 ( x − 1) ( x − 1) 2 x − 1) + 1 ( = > 0, ∀x ≠ 1 2 ( x − 1) Câu 18. Cho hàm số y = 3 x 3 + x 2 + 1 . Để y′ ≤ 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây  2   9  A.  − ;0  . B.  − ;0  .  9   2  9 2   C.  −∞; −  ∪ [ 0; +∞ ) . D.  −∞; −  ∪ [ 0; +∞ ) . 2 9   Hướng dẫn giải: Đáp án A y = 3 x 3 + x 2 + 1 ⇒ y′ = 9 x 2 + 2 x

2 y′ ≤ 0 ⇒ − ≤ x ≤ 0 9 Câu 19. Cho hàm số f ( x) = A. ∅. Hướng dẫn giải:

5x − 1 . Tập nghiệm của bất phương trình f ′( x ) < 0 là 2x B. ℝ \{0}. C. ( −∞;0 ) . D. ( 0; +∞ ) .

 ax + b ′ ad − bc Lưu ý: Công thức đạo hàm nhanh   = 2  cx + d  ( cx + d )

f ′( x) < 0 ⇔ Trang 50

2 < 0 : vô nghiệm. (2 x) 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Chọn A. Câu 20. 2 xf '( x ) − f ( x ) ≥ 0 với f ( x) = x + x 2 + 1 1 1 A. x ≥ B. x > 3 3 Hướng dẫn giải: TXĐ: D = ℝ x f ( x) Ta có: f '( x) = 1 + = x2 +1 x2 + 1

C. x <

1 3

D. x ≥

2 3

Mặt khác: f ( x) > x + x 2 = x + x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ Nên 2 xf '( x) − f ( x) ≥ 0 ⇔

2 xf ( x) x2 + 1

− f ( x) ≥ 0

x ≥ 0 1 ⇔ 2 x ≥ x2 + 1 ⇔  2 ⇔ x≥ . 3 3x ≥ 1 Câu 21. f '( x ) > 0 với f ( x) = x + 4 − x 2 . A. −2 ≤ x ≤ 2 Hướng dẫn giải: TXĐ: D = [ −2; 2]

Ta có: f '( x) = 1 −

B. x ≤ 2

x 4− x

C. −2 ≤ x

D. x < 0

⇒ f '( x) > 0 ⇔ 4 − x 2 > x

 −2 ≤ x < 0  −2 ≤ x < 0  ⇔  x ≥ 0 ⇔ ⇔ −2 ≤ x < 2 . 0 ≤ x < 2    4 − x 2 > x 2 

Câu 22. Cho hàm số f ( x) = A. ( −∞;1) \ {−1;0} . Hướng dẫn giải: Chọn A.

x . Tập nghiệm của bất phương trình f ′( x ) > 0 là x +1 B. (1; +∞ ) . C. ( −∞;1) . D. ( −1; +∞ ) .

− x + 1 > 0  x < 1 −x +1   > 0 ⇔ x ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 . f ′( x) > 0 ⇔ 2 2 x .( x + 1)  x ≠ −1  x ≠ −1   x . Tập nghiệm của bất phương trình f ′( x ) ≤ 0 là Câu 23. Cho hàm số f ( x) = 3 x +1   1    1  1 1 A.  −∞; B.  ; +∞  . C.  −∞; 3  . D.  3 ; +∞  . . 2 2   2    2  Hướng dẫn giải: Chọn D. −2 x 3 + 1 ≤ 0 1 −2 x 3 + 1 f ′( x) ≤ 0 ⇔ 3 ≤ 0 ⇔ ⇔ x≥ 3 .  2 ( x + 1) 2  x ≠ −1

Trang 51

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 24. Cho hàm số f ( x) = 2mx − mx3 . Số x = 1 là nghiệm của bất phương trình f ′( x ) ≤ 1 khi và chỉ khi: A. m ≥ 1. B. m ≤ −1. C. −1 ≤ m ≤ 1. D. m ≥ −1. Hướng dẫn giải: Chọn D Có f ( x) = 2mx − mx3 ⇒ f ′( x) = 2m − 3mx 2 . Nên f ′(1) ≤ 1 ⇔ 2m − 3m ≤ 1 ⇔ m ≥ −1. Câu 25. Tìm m để các hàm số y = ( m − 1) x 3 − 3( m + 2) x 2 − 6( m + 2) x + 1 có y ' ≥ 0, ∀x ∈ ℝ A. m ≥ 3 B. m ≥ 1 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: y ' = 3 ( m − 1) x 2 − 2( m + 2) x − 2( m + 2) 

C. m ≥ 4

D. m ≥ 4 2

Do đó y ' ≥ 0 ⇔ ( m − 1) x 2 − 2(m + 2) x − 2( m + 2) ≥ 0 (1) • m = 1 thì (1) ⇔ −6 x − 6 ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 nên m = 1 (loại) a = m − 1 > 0 • m ≠ 1 thì (1) đúng với ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ ' ≤ 0 m > 1 ⇔ ⇔m≥4 (m + 1)(4 − m) ≤ 0 Vậy m ≥ 4 là những giá trị cần tìm. mx3 − mx 2 + (3m − 1) x + 1 có y ' ≤ 0, ∀x ∈ ℝ . 3 B. m ≤ 2 C. m ≤ 0

Câu 26. Tìm m để các hàm số y =

A. m ≤ 2 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: y ' = mx 2 − 2mx + 3m − 1 Nên y ' ≤ 0 ⇔ mx 2 − 2mx + 3m − 1 ≤ 0 (2) • m = 0 thì (1) trở thành: −1 ≤ 0 đúng với ∀x ∈ ℝ a = m < 0 • m ≠ 0 , khi đó (1) đúng với ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ ' ≤ 0 m < 0 m < 0 ⇔ ⇔ ⇔m<0  m(1 − 2m) ≤ 0 1 − 2m ≥ 0 Vậy m ≤ 0 là những giá trị cần tìm.

Trang 52

D. m < 0

Đạo hàm – ĐS&GT 11

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Giới hạn lượng giác sin u ( x) sin x • lim = 1 ; lim = 1 (với lim u ( x) = 0 ) x →0 x → x x → x0 0 x u ( x) 2. Đạo hàm các hàm số lượng giác Đạo hàm (sin x ) ' = cos x (cos x ) ' = − sin x 1 (tan x ) ' = cos 2 x 1 (cot x ) ' = − 2 sin x

Hàm hợp (sin u ) ' = u '.cos u (cos u ) ' = −u 'sin u u' ( tan u ) ' = 2 cos u u' ( cot u ) ' = − 2 sin u

B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM BẰNG CÔNG THỨC HOẶC BẰNG MTCT Câu 1. Hàm số y = f ( x ) = A. 2π .

2 cos (π x ) B.

có f ' ( 3) bằng:

8π . 3

4 3 . 3

Hướng dẫn giải: Chọn D. sin (π x ) 2 −1 . = 2. ( cos (π x ) ) '. = 2.π f '( x) = 2 cos (π x ) cos (π x ) cos 2 (π x ) sin 3π =0. f ' ( 3 ) = 2π . cos 2 3π π  Câu 2. Cho hàm số y = cos 3 x.sin 2 x . Tính y '   bằng: 3 1 π  π  π  A. y '   = −1 . B. y '   = 1 . C. y '   = − . 2 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. y ' = ( cos 3x ) 'sin 2 x + cos 3x ( sin 2 x ) ' = −3sin 3x.sin 2 x + 2cos 3x.cos 2 x .

π π π π π  y '   = −3sin 3 .sin 2 + 2 cos 3 .cos 2 = 1 . 3 3 3 3 3 cos 2 x π  Câu 3. Cho hàm số y = . Tính y '   bằng: 1 − sin x 6

Trang 53

D. 0 .

π  1 D. y '   = . 3 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 π  π  π  A. y '   = 1 . B. y '   = −1 . C. y '   = 3 . 6 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. ( cos 2 x ) '. (1 − sin x ) − cos 2 x (1 − sin x ) ' = −2sin 2 x (1 − sin x ) + cos 2 x.cosx . y'= 2 2 (1 − sin x ) (1 − sin x )

π  D. y '   = − 3 . 6

3 1 1 3 3 3 − + 1 −  + . 2  2 2 2 π  4 = 4  − 3 + 3  = −2 3 + 3 = − 3 . = 2 y '  =   2 1 2 4  6  1  1 −  4  2 π2  Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) = sin x + cos x . Giá trị f '   bằng:  16  −2.

A. 0 .

Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 1 f '( x) = cos x − sin x = cos x − sin x . 2 x 2 x 2 x 2 2     π2  1  cos  π  − sin  π   = 1  2 − 2  = 0 . f '  = 2 2  2  2 4  4    16  π   2. 2    2 4 π  Câu 5. Cho hàm số y = f ( x ) = tan x + cot x . Giá trị f '   bằng: 4 2 A. 2 . B. . C. 0 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 y = tan x + cot x ⇒ y 2 = tan x + cot x ⇒ y '.2 y = − 2 . 2 cos x sin x 1 1 1   ⇒ y'= − 2 .  2 x x cos sin 2 tan x + cot x       π 1 1 1 1    = − f '  = ( 2 − 2) = 0 π π  cos 2  π  sin 2  π   2 2 4 2 tan + cot      4  4  4 4  1 π  Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) = . Giá trị f '   bằng: sin x 2 1 A. 1. B. . C. 0 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn C.

(

Trang 54

2 2

)

1 . 2

D. Không tồn tại.

Đạo hàm – ĐS&GT 11

1 1 − cos x ⇒ y2 = ⇒ y '2y = . sin x sin 2 x sin x

⇒ y'=

1  − cos x  . = 2 y  sin 2 x 

1  − cos x  − sin x cos x = . 2 . 2  sin 2 x  2 sin x sin x

π  π − sin   cos   2    2  = −1 . 0 = 0 . f '  = . 2 π  2 1 2 sin 2   2  5π  π  Câu 7. Xét hàm số y = f ( x ) = 2sin  + x  . Tính giá trị f '   bằng:  6 6  A. −1 . B. 0 . C. 2 . Hướng dẫn giải: Chọn D.  5π  f ' ( x ) = 2 cos  + x.  6  π  f '   = −2 . 6 2π   Câu 8. Cho hàm số y = f ( x ) = tan  x −  . Giá trị f ' ( 0 ) bằng: 3   A. 4 . B. 3 . C. − 3 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 . y'= 2π  2 cos  x −  3   f '(0) = 4 . π 

Câu 9. Cho hàm số y =

cos x π  . Tính y′   bằng: 1 − sin x 6 π  B. y′   = −1 . 6

π  A. y′   = 1 . 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. − sin x (1 − sin x ) + cos 2 x 1 Ta có y′ = . = 2 1 − sin x (1 − sin x )

π  C. y′   = 2 . 6

D. −2 .

D. 3 .

π  D. y′   = −2 . 6

1 π  =2. y′   =  6  1 − sin π 6 Câu 10. Cho hàm số y = f ( x) = A. 1. Trang 55

1 π  . Giá trị f ′   là: 2 sin x

1 . 2

C. 0.

D. Không tồn tại.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn C.  1 ′ y′ =   =−  sin x 

( sin x )′

(

sin x

)

=−

cos x = − tan x sin x

π  π  ⇒ f ′   = tan   = 0 2 2

cos x 4 π  + cot x . Giá trị đúng của f ′   bằng: 3 3sin x 3 3 9 9 8 B. − . C. . D. − . 8 8 9

Câu 11. Cho hàm số y = f ( x) = −

8 . 9 Hướng dẫn giải: Chọn B. A.

1 4 4  cos x 4 ′  ′  ′ y′ = f ′( x) =  − + cot x  =  − cot x. 2 + cot x  =  − cot x.(1 + cot 2 x) + cot x  3 sin x 3 3  3sin x 3      1 1 cot 2 x 1  ′ =  cot 3 x + cot x  = 3cot 2 x. ( cot x )′ − 2 = − 2 − 2 . 3 sin x sin x sin x   π  cot 2   1 9 π  3− =− Suy ra f ′   = − 8 π  π  3 sin 2   sin 2   3 3 cos 2 x π  π  . Biểu thức f   − 3 f ′   bằng Câu 12. Cho hàm số y = f ( x) = 2 1 + sin x 4 4 8 8 A. −3 . B. ⋅ C. 3 . D. − ⋅ 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. −2 cos x sin x (1 + sin 2 x ) − 2 cos x sin x cos 2 x f ′( x) = 2 (1 + sin 2 x ) =

−2 cos x sin x (1 + sin 2 x + cos 2 x )

(1 + sin x ) 2

−4 cos x sin x

(1 + sin x ) 2

 π  −8 ⇒ f ′  = 4 9

π  π  1 8 f   − 3 f ′  = + = 3 . 4 4 3 3

Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) = sin 3 5 x.cos 2 3 ⋅ 6 Hướng dẫn giải: Chọn A.

A. −

Trang 56

B. −

3 ⋅ 4

x π  . Giá trị đúng của f ′   bằng 3 2 3 C. − ⋅ 3

D. −

3 ⋅ 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 f ' ( x ) = 3.5.cos 5 x.sin 2 5 x.cos 2

x x x 2 − sin 3 5 x ⋅ ⋅ sin ⋅ cos 3 3 3 3

3 3 π  =− ⋅ f ′   = 0 − 1. 2.3 6 2 2π   Câu 14. Cho hàm số f ( x ) = tan  x −  . Giá trị f ′ ( 0 ) bằng 3   A. − 3 . B. 4 . C. −3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 ⇒ f ′ ( 0) = = 4 . f ′( x) = 1 2π   cos 2  x −  4 3   cos x Câu 15. Cho hàm số y = f ( x ) = . Chọn kết quả SAI 1 + 2 sin x 5 1 π  π  A. f ′   = − ⋅ B. f ′ ( 0 ) = −2 . C. f ′   = − ⋅ 4 3 6 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. − sin x. (1 + 2sin x ) − cos x.2.cos x − sin x − 2 f '( x) = = 2 2 (1 + 2sin x ) (1 + 2sin x )

D. f ′ (π ) = −2 .

 π  −5 ′  π  −1 ; f ( 0 ) = −2; f ′   = ; f ′ (π ) = −2 . f ′  = 6 8 2 3 2 π  . Khi đó y′   là: Câu 16. Cho hàm số y = cos 3 x 3

3 2 ⋅ 2 Hướng dẫn giải: Chọn D.

B. −

3 2 ⋅ 2

C. 1.

D. 0 .

( cos 3x )′ = 3

2.sin 3 x  π  3 2.sin π =0 . Do đó y '   = 2 cos 3 x cos 3 x cos 2 π 3 π  Câu 17. Cho hàm số y = f ( x ) = sin(π sin x) . Giá trị f ′   bằng: 6 Ta có: y′ = − 2.

π 3

⋅

2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: y ′ = (π .sin x )′.cos(π .sin x ) = π .cos x.cos(π .sin x )

C. −

π 2

⋅

π π 3 3.π π π    1 ⇒ y′   = π .cos .cos  π .sin  = π . .cos  π .  = .cos = 0 6 6 2 2 2 6   2 2 π  Câu 18. Cho hàm số y = f ( x ) = sin x + cos x . Giá trị f ′   bằng  16  Trang 57

D. 0.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A.

B. 0.

Hướng dẫn giải: Chọn B.

2 2

⋅

π2  sin x ⇒ f ′   = 0 2 x 2 x  16  2 Câu 19. Hàm số y = f ( x ) = có f ′ ( 3) bằng cot (π x ) Ta có: f ′ ( x ) =

cos x −

A. 8 .

8π ⋅ 3

4 3 ⋅ 3

D. 2π .

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: f ′ ( x ) = −

2  cot ( π x ) ′ cot 2 (π x )

= 2π

1 + cot 2 (π x ) cot 2 (π x )

⇒ f ′ ( 3) = 2π .

 5π  π  Câu 20. Xét hàm số f ( x) = 2 sin  + x  . Giá trị f ′   bằng 6   6 A. 2 . B. −1 . C. 0 . D. −2 . Hướng dẫn giải: Chọn D.  5π  π  Ta có: f ′ ( x ) = 2 cos  + x  ⇒ f ′   = −2  6  6 π  Câu 21. Cho hàm số y = f ( x ) = tan x + cot x . Giá trị f ′   bằng 4 2 1 A. 2 . B. 0 . C. . D. . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 − 2 ′ 2 tan x cot x + ( ) = cos x sin x ⇒ f ′  π  = 0. Ta có: f ′ ( x ) =   2 tanx + cot x 2 tanx + cot x 4 π  Câu 22. Cho f ( x ) = cos 2 x − sin 2 x . Giá trị f ′   bằng: 4 A. 2 B. 1 C. −2 D. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. π  Ta có: f ( x ) = cos 2 x ⇒ f ′ ( x ) = −2sin 2 x . Do đó f ′   = −2 4 cos x π   π Câu 23. Cho hàm số y = f ( x) = . Giá trị biểu thức f ′   − f ′  −  là 1 − sin x 6  6 4 4 8 8 A. . B. . C. . D. . 3 9 9 3 Hướng dẫn giải: Chọn A.

Trang 58

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Ta có: f ′ ( x ) =

Câu 24. Tính

( cos x )′ (1 − s inx ) − (1 − s inx)′ cos x = 1 ⇒ f ′  π  − f ′  − π  = 4     2 1 − s inx 6  6 3 (1 − s inx ) f ' (1) πx . . Biết rằng : f ( x) = x 2 và ϕ ( x) = 4 x + sin ϕ ' (0) 2

4 f '(1) = ϕ '(0) 8 − π Hướng dẫn giải: ChọnD.

2 f '(1) = ϕ '(0) 8 + π

f '( x) = 2 x ⇒ f '(1) = 2; ϕ '( x) = 4 +

4 f '(1) Suy ra ϕ '(0) = 8 + π .

Trang 59

π 2

cos

πx 2

⇒ ϕ '(0) = 4 +

f '(1) 4 = ϕ '(0) π

π 2

4 f '(1) = ϕ '(0) 8 + π

Đạo hàm – ĐS&GT 11

DẠNG 2: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC Câu 1. Hàm số y = sin x có đạo hàm là: A. y ' = cos x .

B. y ' = − cos x .

C. y ' = − sin x .

D. y ' =

1 . cos x

D. y ' =

1 . sin x

Hướng dẫn giải: Chọn A. Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: ( sin x ) ' = cos x . Câu 2. Hàm số y = cos x có đạo hàm là: A. y ' = sin x .

B. y ' = − sin x .

C. y ' = − cos x .

Hướng dẫn giải: Chọn B. Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: ( cos x ) ' = − sin x . Câu 3. Hàm số y = tan x có đạo hàm là: 1 A. y ' = cot x . B. y ' = . cos 2 x Hướng dẫn giải: Chọn B.

C. y ' =

1 . sin 2 x

Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: ( tan x ) ' =

D. y ' = 1 − tan 2 x .

1 . cos 2 x

Câu 4. Hàm số y = cot x có đạo hàm là: A. y ' = − tan x .

B. y ' = −

1 . cos 2 x

C. y ' = −

1 . sin 2 x

D. y ' = 1 + cot 2 x .

Hướng dẫn giải: Chọn B.

Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: ( cot x ) ' = −

1 . sin 2 x

Câu 5. Chọn mệnh đề ĐÚNG trong các mệnh đề sau? A. Hàm số y = cos x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó. B. Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó. C. Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó. 1 D. Hàm số y = có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó. sin x Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 6. Hàm số y = tan x − cot x có đạo hàm là: 1 4 4 A. y ' = . B. y ' = . C. y ' = . 2 2 cos 2 x sin 2 x cos 2 2 x Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 sin 2 x + cos 2 x 4 y'= + = = . 2 2 2 2 cos x sin x sin x.cos x sin 2 2 x Câu 7. Đạo hàm của hàm số y = 3sin 2 x + cos3x là: Trang 60

D. y ' =

1 . sin 2 2 x

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A. y′ = 3cos 2 x − sin 3x. C. y′ = 6cos 2 x − 3sin 3x. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có y′ = 3.2cos 2 x − 3sin 3x = 6cos 2 x − 3sin 3x . π  Câu 8. Hàm số y = sin  − 3 x  có đạo hàm là: 6  π  π  A. 3cos  − 3x  . B. −3cos  − 3 x  . 6  6  Hướng dẫn giải:

B. y′ = 3cos 2 x + sin 3x. D. y′ = −6cos 2 x + 3sin 3x.

π  C. cos  − 3 x  . 6 

π  D. −3sin  − 3 x  . 6 

Áp dụng bảng công thức đạo hàm của hàm số hợp: ( sin u )′ = u ′.cos u Chọn B. Câu 9. Đạo hàm của y = sin 2 4 x là A. 2sin 8x . B. 8sin 8x . C. sin 8x . D. Hướng dẫn giải: Chọn D. y ′ = 2.4.sin 4 x.cos 4 x = 4 sin 8 x . Câu 10. Hàm số y = 2 cos x 2 có đạo hàm là A. −2 sin x 2 . B. −4 x cos x 2 . C. −2 x sin x 2 . D. Hướng dẫn giải: Chọn D. y′ = −2.2 x.sin x 2 = −4 x sin x 2 .  2π  Câu 11. Cho hàm số y = cos  + 2 x  . Khi đó phương trình y′ = 0 có nghiệm là: 3   π π kπ π A. x = − + k 2π . B. x = + . C. x = − + kπ . D. 3 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn D.  2π  Ta có: y′ = −2.sin  + 2x    3 π kπ  2π  Theo giả thiết y′ = 0 ⇔ sin  + 2x  = 0 ⇔ x = − + (k ∈ ℤ) 3 2  3  1 Câu 12. Hàm số y = cot 3 x − tan 2 x có đạo hàm là 2 −3 1 −3 1 −3 x A. B. C. D. + ⋅ − ⋅ − ⋅ 2 2 2 2 2 sin 3 x cos 2 x sin 3 x cos 2 x sin 3 x cos 2 2 x Hướng dẫn giải: Chọn B. 3 1 2 3 1 Ta có: y′ = − 2 − ⋅ =− 2 − 2 sin 3 x 2 cos 2 x sin 3 x cos 2 2 x Câu 13. Đạo hàm của hàm số y = 2sin 2 x − cos 2 x + x là A. y ′ = 4 sin x + sin 2 x + 1. B. y ′ = 4 sin 2 x + 1. C. y ′ = 1. D. y ′ = 4 sin x − 2 sin 2 x + 1. Trang 61

4sin 8x .

−4 x sin x 2 .

x=−

π 3

kπ . 2

−1 1 − ⋅ 2 sin x cos 2 2 x

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: y ′ = 4 sin x cos x + 2 sin 2 x + 1 = 4 sin 2 x + 1 . Câu 14. Hàm số y = x tan 2 x ó đạo hàm là: 2x 2x 2x x . . . . A. tan 2 x + B. C. tan 2 x + D. tan 2 x + 2 2 2 cos x cos 2 x cos 2 x cos 2 2 x Hướng dẫn giải: ChọnC. ( 2 x )′ = tan 2 x + x. 2 y′ = x′ tan 2 x + x ( tan 2 x )′ = tan 2 x + x . cos 2 2 x cos 2 2 x 1 Câu 15. Hàm số y = cot x 2 có đạo hàm là: 2 −x x −x −x A. B. C. D. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 sin x sin x sin x sin 2 x 2 Hướng dẫn giải: Chọn D 2 ′ x 1 (x ) Ta có: y ′ = − =− 2 2 2 2 2 sin x sin x π x  Câu 16. Cho hàm số y = sin  −  . Khi đó phương trình y ' = 0 có nghiệm là:  3 2 π π π π A. x = + k 2π . B. x = − kπ . C. x = − + k 2π . D. x = − + kπ . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải: π π Chọn C (vì x = − − 2kπ , k ∈ Z ⇔ x = − + 2lπ , l ∈ ℤ ) 3 3 1 1 π x π π x  π x Ta có: y′ = − cos  −  ⇒ y′ = 0 ⇔ − cos  −  = 0 ⇔ − = + kπ 2 3 2 2 3 2 3 2 2     π ⇔ x = − − 2kπ , k ∈ Z 3 1 2 Câu 17. Hàm số y = (1 + tan x ) có đạo hàm là: 2 2 A. y ' = 1 + tan x . B. y ' = (1 + tan x ) . C. y ' = (1 + tan x ) (1 + tan 2 x ) .D. y ' = 1 + tan 2 x . Hướng dẫn giải: Chọn C. Sử dụng công thức đạo hàm hợp: ( u n ) ' = n.u n −1.u ' và đạo hàm của hàm số lượng giác. 1 1 ' Ta có: y ' = .2 (1 + tan x ) . (1 + tan x ) = (1 + tan x ) = (1 + tan x ) (1 + tan 2 x ) . 2 2 cos x 3 Câu 18. Hàm số y = − sin 7 x có đạo hàm là: 2 21 21 21 21 cos 7 x. cos x. A. − cos x. B. − cos 7 x. C. D. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B.

Trang 62

Đạo hàm – ĐS&GT 11

3 21  3 ′ y′ =  − sin 7 x  = − . ( 7 x )′ cos 7 x = − cos 7 x . 2 2  2  Câu 19. Đạo hàm của y = tan 7 x bằng: 7 7 7 A. . B. − . C. − 2 . 2 2 cos 7x cos 7x sin 7x Hướng dẫn giải: Chọn A. 7 Ta có: y ′ = ( tan 7 x )′ = cos 2 7 x Câu 20. Đạo hàm của hàm số f ( x ) = 2sin 2 x + cos 2 x là A. 4cos 2 x + 2sin 2 x . B. 2cos 2 x − 2sin 2 x . C. 4cos 2 x − 2sin 2 x . D. −4cos 2 x − 2sin 2 x . Hướng dẫn giải: Chọn C. f ′ ( x ) = 4 cos 2 x − 2sin 2 x . π  Câu 21. Đạo hàm của hàm số y = sin  − 2 x  là y′ bằng  2 π  A. −2sin 2x . B. − cos  − 2 x  . C. 2sin 2x . 2  Hướng dẫn giải: Chọn A. π  y′ = −2 cos  − 2 x  = −2sin ( 2 x ) .  2 Câu 22. Đạo hàm của hàm số f ( x ) = sin 3 x là

3cos 3 x ⋅ sin 3 x Hướng dẫn giải: Chọn B. 3 cos 3 x f ′( x) = ⋅ ⋅ 2 sin 3 x A.

3cos 3 x ⋅ 2 sin 3 x

1 π  Câu 23. Hàm số y = − sin  − x 2  có đạo hàm là: 2 3  1 π  π  A. x.cos  − x 2  . B. x 2 cos  − x  . 2 3  3  Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 π  π  Ta có: y′ = − . ( −2 x ) .cos  − x 2  = x.cos  − x 2  2 3  3  Câu 24. Đạo hàm của hàm số y = cos ( tan x ) bằng

A. sin ( tan x ) ⋅ C. sin ( tan x ) . Trang 63

1 ⋅ cos 2 x

C. −

1 π  x sin  − x  . 2 3 

D. – sin ( tan x ) .

7x . cos 2 7 x

π  D. cos  − 2 x  . 2 

3cos 3 x ⋅ 2 sin 3 x

B. − sin ( tan x ) ⋅

1 ⋅ cos 2 x

cos 3 x ⋅ 2 sin 3x

1 π  x cos  − x 2  . 2 3 

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 . cos 2 x Câu 25. y = 2 sin ( x 2 + 2 ) y′ = − sin ( tan x ) ⋅

A. y ' = x cos( x 2 + 2) B. y ' = 4 cos( x 2 + 2) y ' = 4 x cos( x 2 + 2) Hướng dẫn giải: y ' = 4 x cos( x 2 + 2) Câu 26. Hàm số y = sin 2 x.cos x có đạo hàm là:

C. y ' = 2 x cos( x 2 + 2)

A. y ' = sinx ( 3cos 2 x − 1) .

B. y ' = sinx ( 3cos 2 x + 1) .

C. y ' = sinx ( cos 2 x + 1) .

D. y ' = sinx ( cos 2 x − 1) .

Hướng dẫn giải: Chọn A. y ' = ( sin 2 x ) '.cos x + sin 2 x. ( cos x ) ' = 2 cos 2 x sin x − sin 3 x = sin x ( 2 cos 2 x − sin 2 x ) = sin x ( 3cos 2 x − 1) . sinx có đạo hàm là: x x cos x + sin x A. y ' = . x2 x sin x + cos x C. y ' = . x2 Hướng dẫn giải: Chọn B. ( sin x ) '.x − sinx .x' = x.cos x − sin x . y'= x2 x2 x Câu 28. y = sin x sin x − cos x sin x − x cos x A. y ' = B. y ' = 2 sin x sin x sin x − x cos x y'= sin 2 x Hướng dẫn giải: sin x − x cos x y'= sin 2 x Câu 29. Hàm số y = x 2 .cos x có đạo hàm là:

Câu 27. Hàm số y =

A. y ' = 2 x.cos x − x 2 sin x . C. y ' = 2 x.sin x − x 2 cos x . Hướng dẫn giải: Chọn A. y ' = ( x 2 ) '.cos x + x 2 . ( cos x ) ' = 2 x.cos x − x 2 .sin x .

x cos x − sin x . x2 x sin x − cos x D. y ' = . x2

B. y ' =

C. y ' =

B. y ' = 2 x.cos x + x 2 sin x . D. y ' = 2 x.sin x + x 2 cos x .

Câu 30. Hàm số y = (1 + sin x )(1 + cos x ) có đạo hàm là: Trang 64

sin x + cos x sin x

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A. y ′ = cos x − sin x + 1 . C. y ′ = cos x − sin x + cos 2 x . Hướng dẫn giải: Chọn C.

B. y ′ = cos x + sin x + cos 2 x . D. y ′ = cos x + sin x + 1 .

1 Ta có: y = (1 + sin x )(1 + cos x ) = 1 + sin x + cos x + sin x.cos x = 1 + sin x + cos x + sin 2 x . 2 Suy ra: y ′ = cos x − sin x + cos 2 x . 1 + sin x Câu 31. Cho hàm số y = . Xét hai kết quả: 1 + cos x ( cos x − sin x )(1 + cos x + sin x ) 1 + cos x + sin x (I) y′ = (II) y′ = 2 2 (1 + cos x ) (1 + cos x ) Kết quả nào đúng? A. Cả hai đều sai. B. Chỉ (II). C. Chỉ (I). D. Cả hai đều đúng. Hướng dẫn giải: ChọnB. cos x(1 + cos x) + s inx(1 + s inx) 1 + s inx + cos x Ta có: y′ = = 2 2 (1 + cos x ) (1 + cos x ) cos 2 x là 3x + 1 −2sin 2 x ( 3 x + 1) − 3cos 2 x A. y ' = . 2 ( 3x + 1)

Câu 32. Đạo hàm của hàm số y =

C. y ' =

− sin 2 x ( 3 x + 1) − 3cos 2 x

( 3x + 1)

B. y ' = D. y ' =

−2sin 2 x ( 3x + 1) − 3cos 2 x . 3x + 1 2sin 2 x ( 3 x + 1) + 3cos 2 x

( 3x + 1)

Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: y′ =

( cos 2 x )′ ( 3x + 1) − ( 3x + 1)′ .cos 2 x ⇒ y ' = −2sin 2 x ( 3x + 1) − 3cos 2 x . 2 2 ( 3x + 1) ( 3x + 1)

sin x − x cos x có đạo hàm bằng cos x + x sin x − x 2 .sin 2 x − x 2 .sin 2 x A. B. (cos x + x sin x)2 (cos x + x sin x)2

Câu 33. Hàm số y =

− x 2 .cos 2 x (cos x + x sin x)2

x      cos x + x sin x  Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có:

( s inx − x cos x )′ ( cos x + x sin x ) − ( cos x + x sin x )′ ( s inx − x cos x ) 2 ( cos x + x sin x ) 2 x sin x ( cos x + x sin x ) − x cos x ( s inx − x cos x )  x  = =   2  cos x + x sin x  ( cos x + x sin x )

y′ =

Trang 65

Đạo hàm – ĐS&GT 11 x . Khi đó nghiệm của phương trình y ' = 0 là: 4 B. 2π + k 4π . C. 2π + kπ .

Câu 34. Cho hàm số y = cot 2 A. π + k 2π . Hướng dẫn giải: Chọn B.

D. π + kπ .

x ′ x x ′ 1 x x  Ta có: y′ =  cot 2  = 2 cot  cot  = cot  1 + cot 2  4 4 4 2 4 4  1 x x x x π Mà: y ' = 0 ⇔ cot  1 + cot 2  ⇔ cot = 0 ⇔ = + kπ ⇔ x = 2π + k 4π , k ∈ ℤ 2 4 4 4 4 2

Câu 35. Cho hàm số y = f ( x ) = 2sin x . Đạo hàm của hàm số y là: A. y ' = 2 cos x .

B. y ' =

1 cos x . x

C. y ' = 2 x .cos

1 . x

Hướng dẫn giải: Chọn B.

y ' = 2.

( x ) '.cos

1 .cos x . x

Câu 36. Hàm số y = 2 sin x − 2 cos x có đạo hàm là: 1 1 1 . A. y ' = B. y ' = − + sin x cos x sin x cos x sin x cos x C. y ' = . D. y ' = − + sin x cos x sin x Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 . y ' = 2 sin x '− 2 cos x ' = 2.cos x. + 2sin x 2 sin x 2 cos x cos x sin x = + sin x cos x x Câu 37. Hàm số y = tan 2 có đạo hàm là: 2 x x sin 2sin 2 . 2. A. y ' = B. y ' = x x cos3 cos3 2 2 x sin  x 2 . C. y ' = D. y ' = tan 3   . x 2 2 cos3 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. x x sin sin x x 1 1 x 1  2 = 2 . y ' =  tan  '.2 tan = 2 tan = . x x x x 2 2 2 2 2 2 3   cos cos cos cos 2 2 2 2

(

Trang 66

) (

)

1 . cos x sin x . cos x

D. y ' =

1 . x .cos x

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 38. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = sin 3 ( 2 x + 1) . A. sin 2 ( 2 x + 1) cos ( 2 x + 1) .

B. 12sin 2 ( 2 x + 1) cos ( 2 x + 1) .

C. 3sin 2 ( 2 x + 1) cos ( 2 x + 1) .

D. 6sin 2 ( 2 x + 1) cos ( 2 x + 1) .

Hướng dẫn giải: Chọn D. /

Bước đầu tiên áp dung công thức ( uα ) với u = sin ( 2 x + 1) /

Vậy y ' = ( sin 3 ( 2 x + 1) ) = 3sin 2 ( 2 x + 1) . ( sin ( 2 x + 1) ) . /

Tính ( sin ( 2 x + 1) ) : Áp dụng ( sin u ) , với u = ( 2 x + 1) /

Ta được: ( sin ( 2 x + 1) ) = cos ( 2 x + 1) . ( 2 x + 1) = 2 cos ( 2 x + 1) .

⇒ y ' = 3.sin 2 ( 2 x + 1) .2 cos ( 2 x + 1) = 6sin 2 ( 2 x + 1) cos ( 2 x + 1) . Câu 39. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = sin 2 + x 2 . A. cos 2 + x 2 . C.

1 .cos 2 + x 2 . 2

2+ x x

2+ x

.cos 2 + x 2 . .cos 2 + x 2 .

Hướng dẫn giải: Chọn D. /

Áp dụng công thức ( sin u ) với u = 2 + x 2

y ' = cos 2 + x 2 .

(

2 + x2

) = cos

2 /

2 + x2

(2 + x ) . 2 2+ x

x 2+ x

.cos 2 + x 2 .

Câu 40. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = sin x + 2 x . A.

cos x + 2 . 2 sin x + 2 x

cos x + 2 . sin x + 2 x

2 . 2 sin x + 2 x

cos x . 2 sin x + 2 x

Hướng dẫn giải: Chọn A. Áp dụng

( u ) , với u = sin x + 2 x

( sin x + 2 x ) y'=

2 sin x + 2 x

cos x + 2 . 2 sin x + 2 x

Câu 41. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = 2sin 2 4 x − 3cos3 5 x . 45 cos 5 x.sin10 x 2 45 C. y ' = 8sin x + cos 5 x.sin10 x 2 Hướng dẫn giải: Chọn D.

A. y ' = sin 8 x +

Trang 67

5 B. y ' = 8sin 8 x + cos 5 x.sin10 x 2 45 D. y ' = 8sin 8 x + cos 5 x.sin10 x 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11

Bước đầu tiên áp dụng ( u + v ) /

y ' = ( 2sin 2 4 x ) − 3 ( cos3 5 x )

Tính ( sin 2 4x ) : Áp dụng ( uα ) , với u = sin 4 x, ta được:

( sin

4 x ) = 2sin 4 x. ( sin 4 x ) = 2sin 4 x.cos 4 x ( 4 x ) = 4sin 8 x. /

Tương tự: ( cos3 5 x ) = 3cos 2 5 x. ( cos 5 x ) = 3cos 2 5 x. ( − sin 5 x ) . ( 5 x )

−15 cos 5 x.sin10 x. 2 45 Kết luận: y ' = 8sin 8 x + cos 5 x.sin10 x 2 = −15 cos 2 5 x.sin 5 x =

Câu 42. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = ( 2 + sin 2 2 x ) . 3

B. y ' = 3sin 4 x ( 2 + sin 2 2 x ) .

C. y ' = s in 4 x ( 2 + sin 2 2 x ) .

D. y ' = 6sin 4 x ( 2 + sin 2 2 x ) .

A. y ' = 6sin 4 x ( 2 + sin 2 2 x ) . 2

Hướng dẫn giải: Chọn D. /

Áp dụng ( uα ) , với u = 2 + sin 2 2 x. 2

y ' = 3 ( 2 + sin 2 2 x ) ( 2 + sin 2 2 x ) = 3 ( 2 + sin 2 2 x ) ( sin 2 2 x ) . /

Tính ( sin 2 2 x ) , áp dụng ( u α ) , với u = sin 2 x.

( sin

2 x ) = 2.sin 2 x ( sin 2 x ) = 2.sin 2 x.cos 2 x ( 2 x ) = 2sin 4 x. 2

⇒ y ' = 6sin 4 x ( 2 + sin 2 2 x ) . Câu 43. Để tính đạo hàm của hàm số y = sin x.cos x , một học sinh tính theo hai cách sau: 1 (I) y′ = cos 2 x − sin 2 x = cos 2 x (II) y = sin 2 x ⇒ y ' = cos 2 x 2 Cách nào ĐÚNG? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Không cách nào. D. Cả hai cách. Hướng dẫn giải: Chọn D. Câu 44. Đạo hàm của y = cos x là cos x − sin x sin x − sin x A. ⋅ B. ⋅ C. ⋅ D. ⋅ 2 cos x 2 cos x 2 cos x cos x Hướng dẫn giải: Chọn B. − sin x Ta có y′ = . 2 cos x Câu 45. Cho hàm số y = sin 2 + x 2 . Đạo hàm y ′ của hàm số là

Trang 68

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A.

2x + 2 2+ x x

cos 2 + x 2 .

B. −

cos 2 + x 2 .

2+ x Hướng dẫn giải: Chọn C.

(

y′ = sin 2 + x 2

)′ = (

′ 2 + x 2 cos 2 + x 2 =

)

x 2+ x

2+ x ( x + 1) 2+ x

cos 2 + x 2 .

cos 2 + x 2 3

Câu 46. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = ( sin x + cos x ) . 2

A. 3 ( sin x + cos x ) ( cos x + sin x ) .

B. 3 ( sin x − c os x ) ( cos x − sin x ) .

D. 3 ( sin x + cos x ) ( cos x − sin x ) .

C. ( sin x + cos x ) ( cos x − sin x ) . Hướng dẫn giải: Chọn D. /

Áp dụng ( uα ) , với u = sin x + cos x 2

y ' = 3 ( sin x + cos x ) . ( sin x + cos x ) = 3 ( sin x + cos x ) ( cos x − sin x ) .

Câu 47. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = sin 3 2 x.cos3 2 x A. sin 2 4 x.cos 4 x.

3 2 sin x.cos x. 2

C. sin 2 x.cos 4 x.

3 2 sin 4 x.cos 4 x. 2

Hướng dẫn giải: Chọn D. 3

/ 1  1 y = sin 2 x.cos 2 x = ( sin 2 x.cos 2 x ) =  sin 4 x  = .sin 3 4 x . Áp dụng ( u α ) , u = sin 4 x. 2  8 1 1 3 / / y ' = .3sin 2 4 x ( sin 4 x ) = .3sin 2 4 x.cos 4 x. ( 4 x ) = sin 2 4 x.cos 4 x. 8 8 2 3

Câu 48. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = ( cos 4 x − sin 4 x ) A. −10 cos 4 2 x. −10 cos 4 2 x.sin 2 x.

B. − cos 4 2 x.sin 2 x.

C. −10 cos 4 2 x.sin x.

Hướng dẫn giải: Chọn D. 5

= ( cos 2 x − sin 2 x )( cos 2 x + sin 2 x )  = ( cos 2 x ) . Áp dụng ( uα ) , với u = cos 2 x /

y ' = 5.cos 4 2 x. ( cos 2 x ) = 5.cos 4 2 x. ( − sin 2 x ) . ( 2 x ) = −10 cos 4 2 x.sin 2 x.

Câu 49. Hàm số y = cot 2 x có đạo hàm là: A. y ' =

Trang 69

1 + cot 2 2 x . cot 2 x

B. y ' =

− (1 + cot 2 2 x ) cot 2 x

Đạo hàm – ĐS&GT 11

1 + tan 2 2 x C. y ' = . cot 2 x Hướng dẫn giải: Chọn B.

D. y ' =

− (1 + tan 2 2 x ) cot 2 x

− (1 + cot 2 2 x ) 1 1 1 = −2. 2 . = . sin 2 x 2 cot 2 x 2 cot 2 x cot 2 x Câu 50. Xét hàm số f ( x ) = 3 cos 2 x . Chọn đáp án sai: y ' = ( cot 2 x ) '

π  A. f   = −1 . 2 π  C. f '   = 1 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn C.

B. f ' ( x ) =

−2sin 2 x 3. 3 cos 2 2 x

D. 3. y 2 . y '+ 2sin 2 x = 0 .

π π  f   = 3 cos 2. = −1 . 2 2 −2sin 2 x

y = 3 cos 2 x ⇒ y 3 = cos 2 x ⇒ y '3 y 2 = −2sin 2 x ⇒ y ' = 3

(

cos 2 x

)

π  f '  = 0 . 2

(

)

−2sin 2 x

cos 2 x . 3

(

cos 2 x

)

+ 2sin 2 x = −2sin 2 x + 2sin 2 x = 0 .

Câu 51. Hàm số y = 2 sin x − 2 cos x có đạo hàm là: 1 1 1 1 . . A. y′ = − B. y′ = + sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x . . C. y′ = − D. y′ = + sin x cos x sin x cos x Hướng dẫn giải: Chọn D. ( sin x )′ − 2 ( cos x )′ = cos x + sin x Ta có y′ = 2 . 2 sin x 2 cos x sin x cos x Câu 52. Đạo hàm của y = cot x là : −1 −1 . . A. B. 2 2 sin x cot x 2sin x cot x Hướng dẫn giải: Chọn B. −1 ′ ( cot x )′ y′ = cot x = = 2 2 cot x 2sin x cot x .

(

1 . 2 cot x

)

Câu 53. Cho hàm số y = f ( x ) = 3 cos 2 x . Hãy chọn khẳng định ĐÚNG.

Trang 70

D. −

sin x . 2 cot x

Đạo hàm – ĐS&GT 11 −2sin 2 x ⋅ 3 3 cos 2 x

π  A. f ′   = −1 . 2

B. f ′ ( x ) =

C. 3 y. y ′ + 2 sin 2 x = 0 .

π  D. f ′   = 0 . 2

Hướng dẫn giải: Chọn D.

( cos 2 x )′

2sin 2 x

π  ⇒ f ′  = 0 . 2 3 cos 2 x 3 cos 2 x 2 Câu 54. Đạo hàm của hàm số y = sin 2 2 x.cos x + là x A. y ′ = 2 sin 2 x.cos x − sin x.sin 2 2 x − 2 x . B. y ′ = 2 sin 2 x.cos x − sin x.sin 2 2 x − 2 x . 1 1 C. y′ = 2sin 4 x.cos x + sin x.sin 2 2 x − D. y′ = 2sin 4 x.cos x − sin x.sin 2 2 x − ⋅ ⋅ x x x x Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có 1 1 y′ = 2sin 2 x.cos 2 x.cos x + sin 2 2 x. ( − sin x ) − = sin 4 x.cos x − sin 2 2 x.sin x − x x x x 2 2 Câu 55. Đạo hàm của hàm số y = tan x − cot x là tan x cot x tan x cot x A. y′ = 2 B. y′ = 2 +2 2 ⋅ −2 2 ⋅ 2 2 cos x sin x cos x sin x tan x cot x C. y ′ = 2 2 + 2 D. y ′ = 2 tan x − 2 cot x. ⋅ sin x cos 2 x Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1  2 tan x 2 cot x  Ta có y′ = 2 tan x. − 2 cot x.  − 2  = + 2 2 2 cos x  sin x  cos x sin x Câu 56. Cho hàm số y = f ( x) − cos 2 x với f ( x ) là hàm liên tục trên ℝ . Trong bốn biểu thức dưới

Ta có: y′ =

=−

đây, biểu thức nào xác định hàm f ( x ) thỏa mãn y ′ = 1 với mọi x ∈ ℝ ? 1 1 A. x + cos 2 x . B. x − cos 2 x . C. x − sin 2 x . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: y′ = f ′ ( x ) − 2.cos x. ( − sin x ) = f ′ ( x ) + 2.cos x.sin x = f ′ ( x ) + sin 2 x

D. x + sin 2 x .

1 ⇒ y′ = 1 ⇔ f ′ ( x ) + sin 2 x = 1 ⇔ f ′ ( x ) = 1 − sin 2 x ⇔ f ( x ) = x + cos 2 x 2 2 Câu 57. Đạo hàm của hàm số y = − bằng: tan (1 − 2 x )

4x sin (1 − 2 x ) Hướng dẫn giải: Chọn D. A.

Trang 71

−4 sin (1 − 2x )

−4 x sin (1 − 2 x ) 2

−4 sin (1 − 2x ) 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11

Ta có: y′ = −2.

− ( tan (1 − 2 x ) )′

tan 2 (1 − 2 x )

1 −4 cos 2 x = = 2⋅ 2 2 tan (1 − 2 x ) sin (1 − 2 x ) −2 ⋅

Câu 58. Cho hàm số y = x tan x . Xét hai đẳng thức sau:

(I) y ′ =

x ( tan 2 x + tan x + 1)

2 x tan x Đẳng thức nào đúng? A. Chỉ ( II ) .

(II) y′ = B. Chỉ ( I ) .

x tan 2 x + tan x + 1 2 x tan x

C. Cả hai đều sai.

D. Cả hai đều đúng.

Hướng dẫn giải: Chọn C.

1 2 cos 2 x = tan x + x. (1 + tan x ) Ta có: y′ = = = 2. x.tan x 2. x.tan x 2. x.tan x 2. x.tan x π π π   Câu 59. Đạo hàm của hàm số y = sin 2  − 2 x  + x − là 2 4   2 π π  π  π A. y′ = −2sin (π − 4 x ) + ⋅ B. y′ = 2 sin  − x  cos  − x  + . 2 2  2  2 π  π  π C. y′ = 2 sin  − x  cos  − x  + x. D. y′ = −2sin (π − 4 x ) . 2  2  2 Hướng dẫn giải: Chọn C. π 1 − cos ( π − 4 x ) π π π  π + x− Ta có: y = sin 2  − 2 x  + x − = 4 2 2 4 2  2 π Suy ra: y′ = −2sin (π − 4 x ) + ⋅ 2 1  Câu 60. Đạo hàm của hàm số y = 2 + tan  x +  là x 

( x.tan x )′

A. y′ =

x′.tan x + x. ( tan x )′

tan x + x.

1  1 + tan 2  x +  x  B. y′ = ⋅ 1  2 2 + tan  x +  x  1  1 + tan 2  x +  1  x   D. y′ = . 1 + 2  . 1  x   2 2 + tan  x +  x 

⋅ 1  2 2 + tan  x +  x  1  1 + tan 2  x +  1  x   C. y′ = . 1 − 2  . 1  x   2 2 + tan  x +  x  Hướng dẫn giải: Chọn C.  1  ′  1 1   2 + tan x + 1 + tan 2  x +  1 + tan 2  x +     ′ x  1 1  x  x     = ⋅ x +  = ⋅ 1 − 2  . Ta có: y′ =  x 1 1  1  x     2 2 + tan  x +  2 2 + tan  x +  2 2 + tan  x +  x x x    Trang 72

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 61. Đạo hàm của hàm số y = cot 2 ( cos x ) + sin x − A. y ' = −2 cot ( cos x )

B. y ' = 2 cot ( cos x )

1 + sin ( cos x )

cos x

2 sin x −

1 .sin x + sin 2 ( cos x )

1 C. y ' = −2 cot ( cos x ) 2 + sin ( cos x )

2 sin x −

sin x −

1 D. y ' = 2 cot ( cos x ) 2 .sin x + sin ( cos x )

là

2 cos x

cos x

2 cos x

sin x −

Hướng dẫn giải: Chọn B.

π ′   sin x-  1 cos x 2 y′ = 2 cot ( cos x ) . ( cot ( cos x ) )′ +  = 2 cot ( cos x ) 2 .sin x + sin ( cos x ) π π 2 sinx − 2 sin x − 2 2 2 Câu 62. Đạo hàm của hàm số y = x tan x + x là 1 2 A. y ' = 2 x tan x + B. . 3 2 x C. y ' = 2 x tan x +

1 x2 . + 2 cos x 2 x

D. y ' = 2 x tan x +

1 x2 . + 2 cos x x

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: y′ = x 2 ′ tanx + ( tanx )′ .x 2 +

( )

′ x ⇒ y ' = 2 x tan x +

( )

Câu 63. Cho hàm số y =cos2x.sin 2

1 x2 . + 2 cos x 2 x

x . Xét hai kết quả sau: 2

x + s inx.cos2x 2 x 1 y ′ = 2 sin 2 x sin 2 + sin x.cos 2 x 2 2 Cách nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Không cách nào. Hướng dẫn giải: ChọnC. x  x ′ x 1 Ta có: y′ = ( cos 2 x )′ .sin 2 +  sin 2  .c os2x =-2sin2x.sin 2 + s inx.cos 2 x. 2  2 2 2 (I) y′ = −2 sin 2 x sin 2

Trang 73

(II)

D. Cả hai đều đúng.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 64. Hàm số y = 1 + sin 2 x . 2 sin 3 x Hướng dẫn giải: Chọn B.

A. −

cos x có đạo hàm bằng: 2 sin 2 x 1 + cos 2 x B. − . 2 sin 3 x

1 + sin 2 x . 2 sin 3 x

1 + cos 2 x . 2sin 3 x

2 2 ′ 3  cos x ′ sin x ( cos x ) − ( sin x ) cos x − sin x − 2 sin x cos x cos x Ta có: y′ =  = =  2 2 sin 4 x 2sin 4 x  2sin x  sin 2 x + 2cos 2 x 1 + cos 2 x =− = − sin 3 x sin 3 x Câu 65. Tính đạo hàm của hàm số sau y = 3x + 2 tan x

5 + 2 tan 2 x

5 − 2 tan 2 x

−5 + 2 tan 2 x

2 3 x + 2 tan x 2 3 x + 2 tan x 2 3 x + 2 tan x Hướng dẫn giải: Chọn A. (3 x + 2 tan x) ' 3 + 2(1 + tan 2 x) 5 + 2 tan 2 x Ta có: y ' = = = 2 3 x + 2 tan x 2 3 x + 2 tan x 2 3 x + 2 tan x Câu 66. Tính đạo hàm của hàm số sau y = sin 2 (3 x + 1) A. 3sin(6 x + 2) B. sin(6 x + 2) C. −3sin(6 x + 2) Hướng dẫn giải: Chọn D. ' Ta có: y ' = 2 sin(3 x + 1).[sin(3 x + 1) ] = 2 sin(3 x + 1).3cos(3x + 1) = 3sin(6 x + 2) .

−5 − 2 tan 2 x

2 3 x + 2 tan x

D. 3cos(6 x + 2)

Câu 67. Tính đạo hàm của hàm số sau y = 3 tan 2 x + cot 2 x A. y ' = C. y ' =

3 tan x(1 + tan 2 x) − (1 + cot 2 2 x) 3 3 tan 2 x + cot 2 x 3 tan x(1 + tan 2 x) + (1 + cot 2 2 x) 3 tan 2 x + cot 2 x

B. y ' = D. y ' =

3 tan x(1 + tan 2 x) − (1 + cot 2 2 x) 2 3 tan 2 x + cot 2 x 3 tan x(1 + tan 2 x) − (1 + cot 2 2 x) 3 tan 2 x + cot 2 x

Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 tan x(1 + tan 2 x) − (1 + cot 2 2 x) y'= 3 tan 2 x + cot 2 x

Câu 68. Tính đạo hàm của hàm số sau y = 3 x3 + cos 4 (2 x − ) 3

3 x 2 + 8cos3 (2 x − ) sin(2 x − ) 4 4 A. y ' = 3 π   3 3  x 3 + cos 4 (2 x − )  3  

Trang 74

3 x 2 − 8cos3 (2 x − ) sin(2 x − ) 4 4 B. y ' = 3 π   4 3  x3 + cos 4 (2 x − )  3  

Đạo hàm – ĐS&GT 11

6 x 2 − 8cos3 (2 x − ) sin(2 x − ) 4 4 C. y ' = 3 π   3 3  x 3 + cos 4 (2 x − )  3   Hướng dẫn giải: Chọn D.

3 x 2 − 8cos3 (2 x − ) sin(2 x − ) 4 4 D. y ' = 3 π   3 3  x 3 + cos 4 (2 x − )  3  

3 x 2 − 8cos3 (2 x − ) sin(2 x − ) 4 4 y'=

π   3  x 3 + cos 4 (2 x − )  3  

Câu 69. Tính đạo hàm của hàm số sau y = cos 2 ( sin 3 x ) A. y ' = − sin(2sin 3 x) sin 2 x cos x C. y ' = −7 sin(2sin 3 x) sin 2 x cos x Hướng dẫn giải: Chọn D. y ' = −3sin(2sin 3 x) sin 2 x cos x

B. y ' = −6sin(2sin 3 x) sin 2 x cos x D. y ' = −3sin(2sin 3 x) sin 2 x cos x

 sin x  Câu 70. Tính đạo hàm của hàm số sau: y =   .  1 + cos x 

sin 2 x

(1 + cos x )

3sin 2 x

(1 + cos x )

2sin 2 x

(1 + cos x )

Hướng dẫn giải: Chọn D. /

Bước đầu tiên ta áp dụng công thức ( uα ) với u =

 sin x  y ' = 3   1 + cos x 

 sin  .   1 + cos x 

sin x 1 + cos x

2  sin x  ( sin x ) (1 + cos x ) − (1 + cos x ) .sin x cos x (1 + cos x ) + sin x = = Tính :   2 2  1 + cos x  (1 + cos x ) (1 + cos x )

cos x + cos 2 x + sin 2 x

(1 + cos x )

1 . 1 + cos x

1 3sin 2 x  sin x  . = Vậy y ' = 3  .  3  1 + cos x  1 + cos x (1 + cos x ) Câu 71. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = sin ( cos 2 x. tan 2 x ) . A. y ' = cos ( cos 2 x. tan 2 x )( sin 2 x tan 2 x + 2 tan x ) B. y ' = cos ( cos 2 x.tan 2 x )( sin 2 x tan 2 x + tan x ) C. y ' = cos ( cos 2 x. tan 2 x )( − sin 2 x tan 2 x + tan x ) Trang 75

3sin 2 x

(1 + cos x )

Đạo hàm – ĐS&GT 11 D. y ' = cos ( cos 2 x. tan 2 x )( − sin 2 x tan 2 x + 2 tan x ) Hướng dẫn giải: Chọn D. / Áp dụng ( sin u ) , với u = cos 2 x tan 2 x /

y ' = cos ( cos 2 x. tan 2 x ) . ( cos 2 x. tan 2 x ) . /

Tính ( cos 2 x.tan 2 x ) , bước đầu sử dụng ( u.v ) , sau đó sử dụng ( u α ) .

( cos

x.tan 2 x ) = ( cos 2 x ) .tan 2 x + ( tan 2 x ) .cos 2 x /

= 2 cos x ( cos x ) tan 2 x + 2 tan x ( tan x ) cos 2 x

= −2sin x cos x tan 2 x + 2 tan x

1 cos 2 x = − sin 2 x tan 2 x + 2 tan x. cos 2 x

Vậy y ' = cos ( cos 2 x. tan 2 x )( − sin 2 x tan 2 x + 2 tan x )

 x +1 Câu 72. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = cos 2   . − 1 x    x +1 .sin   .  x −1  x −1

B. y ' =

 x −1  .sin  2. . x + 1   x −1

D. y ' =

A. y ' = x

(

)

C. y ' = x

(

)

 x +1 .cos  2. . x − 1   x −1

(

)

 x +1 .sin  2. . x − 1   x −1

1 x

(

)

Hướng dẫn giải: Chọn D.  x +1 / Áp dụng ( uα ) , với u = cos   x − 1    /

 x + 1    x + 1   x +1  x +1  x +1 y ' = 2.cos   .  cos    = −2.cos   .sin   .    x − 1    x − 1    x −1   x −1   x −1  /

 x +1  x +1 y ' = − sin  2 .  . x − 1   x − 1   /

 x +1  Tính   = x − 1  

(

)(

x +1 .

) (

)(

x −1 −

(

x −1 .

)

x −1

(

 x +1 .sin  2. . x − 1   x −1

)

Câu 73. Tính đạo hàm của hàm số sau: y =

−1 x

Vậy y ' =

Trang 76

x +1

sin 2 x + cos 2 x . 2sin 2 x − cos 2 x

(

)

x −1

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A.

( 2sin 2 x − cos 2 x )

−6

( sin 2 x − cos 2 x )

( 2sin 2 x − cos x )

−6

( 2sin 2 x − cos 2 x )

Hướng dẫn giải: Chọn D. /

( sin 2 x + cos 2 x ) . ( 2sin 2 x − cos 2 x ) − ( 2sin 2 x − cos 2 x ) . ( sin 2 x + cos 2 x ) y'= 2 ( 2sin 2 x − cos 2 x ) ( 2 cos 2 x − 2sin 2 x )( 2sin 2 x − cos 2 x ) − ( 4 cos 2 x + 2sin 2 x )( sin 2 x + cos 2 x ) y'= 2 ( 2sin 2 x − cos 2 x ) y'=

−6 cos 2 2 x − 6sin 2 2 x

( 2sin 2 x − cos 2 x )

−6

( 2sin 2 x − cos 2 x )

1 1 . = 2 cos x − sin x cos 2 x 2 cos 2 x sin x B. C. . . 2 cos 2 x sin 2 2 x

Câu 74. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = A.

sin 2 x . cos 2 2 x

Hướng dẫn giải: Chọn D. /

1 Áp dụng   . u

y'=

− ( cos 2 x )

( cos 2 x )

sin 2 x. ( 2 x ) 2sin 2 x . = = cos 2 2 x cos 2 2 x

(

Câu 75. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = sin 2 cos ( tan 4 3 x )

)

( )( ) B. y ' = sin ( 2 cos ( tan 3 x ) ) . ( sin ( tan 3 x ) ) .tan 3 x. (1 + tan 3 x ) . C. y ' = sin ( 2 cos ( tan 3 x ) ) . ( sin ( tan 3 x ) ) .4 tan 3x. (1 + tan 3 x ) D. y ' = − sin ( 2 cos ( tan 3 x ) ) . ( sin ( tan 3x ) ) .4 tan 3 x. (1 + tan 3x ) .3

A. y ' = sin 2 cos ( tan 4 3 x ) . sin ( tan 4 3 x ) .4 tan 3 3 x. (1 + tan 3 3 x ) .3 4

Hướng dẫn giải: Chọn D. /

(

Đầu tiên áp dụng ( u α ) , với u = sin cos ( tan 4 3 x ) y ' = 2sin cos ( tan 4 3 x ) . sin cos ( tan 4 3 x )   

(

)

(

)

Sau đó áp dụng ( sin u ) , với u = cos ( tan 4 3 x )

Trang 77

)

2sin 2 x . cos 2 2 x

Đạo hàm – ĐS&GT 11

(

)

(

)(

y ' = 2sin cos ( tan 4 3x ) .cos cos ( tan 4 3x ) . cos ( tan 4 3x )

)

Áp dụng ( cos u ) , với u = tan 4 3 x.

(

)(

)

y ' = − sin 2 cos ( tan 4 3 x ) . sin ( tan 4 3 x ) . ( tan 4 3 x ) . /

Áp dụng ( uα ) , với u = tan 3x

( )( ) y ' = − sin ( 2 cos ( tan 3 x ) ) . ( sin ( tan 3 x ) ) .4 tan 3 x. (1 + tan 3 x ) . ( 3 x ) . y ' = − sin ( 2 cos ( tan 3x ) ) . ( sin ( tan 3 x ) ) .4 tan 3 x. (1 + tan 3 x ) .3 . /

y ' = − sin 2 cos ( tan 4 3 x ) . sin ( tan 4 3 x ) .4 tan 3 3 x. ( tan 3x ) . 4

cos x 4 + cot x 3sin 3 x 3 B. y ' = 3cot 4 x − 1 C. y ' = cot 4 x − 1

Câu 76. Tính đạo hàm của hàm số sau y = −

A. y ' = cot 3 x − 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 4 1 y = − cot x(1 + cot 2 x) + cot x = − cot 3 x + cot x 3 3 3 2 2 2 y ' = cot x (1 + cot x ) − 1 − cot x = cot 4 x − 1 Suy ra

D. y ' = cot 4 x

Câu 77. Tính đạo hàm của hàm số sau y = 2sin 3 2 x + tan 2 3 x + x cos 4 x A. y ' = 12 sin 2 2 x cos 2 x + 6 tan 3 x (1 + 2 tan 2 3 x ) + cos 4 x − 4 x sin 4 x B. y ' = 12 sin 2 2 x cos 2 x + 6 tan 3 x (1 + tan 2 3 x ) + cos 4 x − x sin 4 x C. y ' = 12 sin 2 2 x cos 2 x + tan 3 x (1 − tan 2 3 x ) + cos 4 x − 4 x sin 4 x D. y ' = 12 sin 2 2 x cos 2 x + 6 tan 3x (1 + tan 2 3 x ) + cos 4 x − 4 x sin 4 x Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: y ' = 12 sin 2 2 x cos 2 x + 6 tan 3 x (1 + tan 2 3 x ) + cos 4 x − 4 x sin 4 x x sin 2 x − x cos 3 x 2 x cos 2 x + sin 2 x cos 3 x + 3 x sin 3 x 2 x cos 2 x + sin 2 x cos 3 x + 3 x sin 3 x A. y ' = B. y ' = − + 2 2 x cos 3 x x2 cos 2 3 x 2 x cos 2 x − sin 2 x cos 3 x + 3 x sin 3 x 2 x cos 2 x − sin 2 x cos 3 x + 3 x sin 3 x C. y ' = D. y ' = − + 2 2 x cos 3x x2 cos 2 3 x Hướng dẫn giải: Chọn C.

Câu 78. Tính đạo hàm của hàm số sau y =

 sin 2 x  2 x cos 2 x − sin 2 x  x  cos 3 x + 3 x sin 3 x Ta có:  ,  =  = x2 cos 2 3 x  x   cos 3 x  2 x cos 2 x − sin 2 x cos 3 x + 3 x sin 3 x Nên y ' = . − x2 cos 2 3x

Câu 79. Tính đạo hàm của hàm số sau y = x sin 2 x + x 3 + x 2 + 1 Trang 78

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A. y ' = sin 2 x − 2 x cos 2 x + C. y ' = sin 2 x + 2 x cos 2 x −

3x 2 + 2 x

2 x3 + x 2 + 1 3x 2 + 2 x 2 x3 + x 2 + 1

B. y ' = sin 2 x + 2 x cos 2 x + D. y ' = sin 2 x + 2 x cos 2 x +

3x 2 + 2 x x3 + x2 + 1 3x 2 + 2 x

2 x3 + x2 + 1

Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: y ' = sin 2 x + 2 x cos 2 x +

3x 2 + 2 x

2 x3 + x 2 + 1

Câu 80. Tính đạo hàm của hàm số sau y = 2sin 2 x + x 3 + 1 A. y ' = C. y ' =

2sin 2 x + 3 x 2

2sin 2 x + x3 + 1 sin 2 x + 3 x 2

2sin 2 x + x3 + 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2sin 2 x + 3 x 2 Ta có: y ' = 2 2sin 2 x + x3 + 1

B. y ' = D. y ' =

2sin 2 x + 3 x 2

2 2sin 2 x + x3 + 1 2sin 2 x − 3 x 2 2 2sin 2 x + x 3 + 1

x +1 cot x 2 A. y ' = tan 2 x − 2 x (1 + tan 2 x ) + tan x + ( x + 1)(tan 2 + 1)

Câu 81. Tính đạo hàm của hàm số sau y = x tan 2 x +

B. y ' = tan 2 x + x (1 + tan 2 2 x ) + tan x + ( x + 1)(tan 2 + 1) C. y ' = tan 2 x + 2 x (1 + tan 2 2 x ) + tan x + 2( x + 1)(tan 2 + 1) D. y ' = tan 2 x + 2 x (1 + tan 2 2 x ) + tan x + ( x + 1)(tan 2 + 1) Hướng dẫn giải: Chọn D. ' Ta có: ( x tan 2 x ) = tan 2 x + 2 x (1 + tan 2 2 x ) '

'  x +1  2   = [ ( x + 1) tan x ] = tan x + ( x + 1)(tan + 1)  cot x  Nên y ' = tan 2 x + 2 x (1 + tan 2 2 x ) + tan x + ( x + 1)(tan 2 + 1)

π  Câu 82. Tính đạo hàm của hàm số sau y = sin 3  2 x −  + 1 3  π π π π     3sin 2  2 x −  cos  2 x −  sin 2  2 x −  cos  2 x −  3 3 3 3     A. y ' = B. y ' = π π   2 sin 3  2 x −  + 1 2 sin 3  2 x −  + 1 3 3  

Trang 79

Đạo hàm – ĐS&GT 11 π π π π     sin 2  2 x −  cos  2 x −  3sin 2  2 x −  cos  2 x −  3 3 3 3     C. y ' = D. y ' = π π   sin 3  2 x −  + 1 sin 3  2 x −  + 1 3 3   Hướng dẫn giải: Chọn D. π π   3sin 2  2 x −  cos  2 x −  3 3   Ta có: y ' = . π 3 sin  2 x −  + 1 3  khi x ≥ 0 sin x Câu 83. Chohàm số y = f ( x) =  . Tìm khẳng định SAI? sin ( − x ) khi x < 0 A. Hàm số f không có đạo hàm tại x0 = 0 . B. Hàm số f không liên tục tại x0 = 0 . π  C. f ′   = 0 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn B.  lim+ f ( x) = lim+ sin x = sin 0 = 0 x →0 Ta có:  x →0 f ( x) = lim− sin(− x) = sin 0 = 0  xlim → 0− x →0 ⇒ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = lim f ( x ) = 0 = f (0) x→0

x →0

π  D. f   = 1 . 2

x →0

⇒ Hàm số liên tục tại x0 = 0 1  3  x sin khi x ≠ 0 Câu 84. Tính đạo hàm của hàm số sau f ( x) =  x 0 khi x = 0 1 1  2 khi x ≠ 0  x sin − x cos A. f '( x) =  x x 0 khi x = 0 1 1  2 khi x ≠ 0 3 x sin + x cos C. f '( x) =  x x 0 khi x = 0 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 x ≠ 0 ⇒ f '( x ) = 3 x 2 sin − x cos x x f ( x) − f (0) =0 Với x = 0 ⇒ f '(0) = lim x→0 x 1 1  2 khi x ≠ 0 3 x sin − x cos x x Vậy f '( x) =  . 0 khi x = 0

Trang 80

1 1  2 3 x sin − x cos B. f '( x) =  x x 0 khi x = 0

khi x ≠ 0

1 1  2 khi x ≠ 0 3 x sin − cos D. f '( x) =  x x 0 khi x = 0

Đạo hàm – ĐS&GT 11

VI PHÂN CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT • Tích f '( x0 ).∆x được gọi là vi phân của hàm số y = f ( x) tại điểm x0 (ứng với số gia ∆x ) được kí hiệu là df ( x0 ) = f '( x0 )∆x .

• Nếu hàm số f có đạo hàm f ' thì tích f '( x)∆x được gọi là vi phân hàm số y = f ( x) , kí hiệu là: df ( x) = f '( x)∆x . Đặc biệt: dx = x ' ∆x = ∆x nên ta viết df ( x) = f '( x)dx .

B – BÀI TẬP 2

Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) = ( x − 1) . Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f ( x ) ? A. dy = 2 ( x − 1) dx . C. dy = 2 ( x − 1) . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có dy = f ′ ( x ) dx = 2 ( x − 1) dx .

B. dy = ( x − 1) dx . D. dy = 2 ( x − 1) dx .

Câu 2. Tìm vi phân của các hàm số y = x3 + 2 x 2 A. dy = (3x 2 − 4 x)dx C. dy = (3x 2 + 2 x)dx Hướng dẫn giải: Chọn D. dy = (3x 2 + 4 x)dx

B. dy = (3x 2 + x)dx D. dy = (3x 2 + 4 x)dx

Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số y = 3 x + 2 3 1 A. dy = B. dy = dx dx 3x + 2 2 3x + 2 1 3 C. dy = D. dy = dx dx 3x + 2 2 3x + 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 dy = dx 2 3x + 2 Câu 4. Cho hàm số y = x3 − 9 x 2 + 12 x − 5 . Vi phân của hàm số là: A. dy = ( 3x 2 − 18 x + 12 ) dx .

B. dy = ( −3 x 2 − 18 x + 12 ) dx .

C. dy = − ( 3 x 2 − 18 x + 12 ) dx .

D. dy = ( −3 x 2 + 18 x − 12 ) dx .

Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có dy = ( x3 − 9 x 2 + 12 x − 5 )′ dx = ( 3 x 2 − 18 x + 12 ) dx .

Câu 5. Tìm vi phân của các hàm số y = (3x + 1)10 Trang 81

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A. dy = 10(3x + 1)9 dx

B. dy = 30(3x + 1)10 dx

C. dy = 9(3x + 1)10 dx Hướng dẫn giải: Chọn D. dy = 30(3x + 1)9 dx .

D. dy = 30(3x + 1)9 dx

Câu 6. Tìm vi phân của các hàm số y = sin 2 x + sin 3 x A. dy = ( cos 2 x + 3sin 2 x cos x ) dx

B. dy = ( 2 cos 2 x + 3sin 2 x cos x ) dx

C. dy = ( 2 cos 2 x + sin 2 x cos x ) dx

D. dy = ( cos 2 x + sin 2 x cos x ) dx

Hướng dẫn giải: Chọn B. dy = ( 2 cos 2 x + 3sin 2 x cos x ) dx Câu 7. Tìm vi phân của các hàm số y = tan 2 x A. dy = (1 + tan 2 2 x)dx

B. dy = (1 − tan 2 2 x)dx

C. dy = 2(1 − tan 2 2 x)dx Hướng dẫn giải: Chọn D. dy = 2(1 + tan 2 2 x)dx

D. dy = 2(1 + tan 2 2 x)dx

Câu 8. Tìm vi phân của các hàm số y = 3 x + 1 1 A. dy = dx 3 ( x + 1) 2 2 C. dy = dx 3 ( x + 1)2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 dy = dx 3 3 ( x + 1)2

B. dy = D. dy =

3 3

( x + 1) 2 1

3 3 ( x + 1)2

Câu 9. Xét hàm số y = f ( x ) = 1 + cos 2 2 x . Chọn câu đúng: A. df ( x) =

− sin 4 x 2

B. df ( x) =

dx .

2 1 + cos 2 x cos 2 x C. df ( x) = dx . 1 + cos 2 2 x Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có : dy = f ′ ( x ) dx =

(1 + cos

D. df ( x) =

2 x )′ 2

dx =

−4 cos 2 x.sin 2 x 2

dx =

2 1 + cos 2 x 2 1 + cos 2 x 3 Câu 10. Cho hàm số y = x − 5x + 6 . Vi phân của hàm số là:

− sin 4 x 1 + cos 2 2 x − sin 2 x

2 1 + cos 2 2 x

− sin 4 x 1 + cos 2 2 x

dx .

A. dy = ( 3 x 2 − 5 ) dx .

B. dy = − ( 3 x 2 − 5 ) dx .

C. dy = ( 3 x 2 + 5 ) dx .

D. dy = ( 3 x 2 − 5 ) dx .

Trang 82

dx .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có dy = ( x 3 − 5 x + 6 )′ dx = ( 3 x 2 − 5 ) dx .

Câu 11. Cho hàm số y =

1 A. dy = dx . 4 Hướng dẫn giải: Chọn C.

1 . Vi phân của hàm số là: 3x3 1 1 B. dy = 4 dx . C. dy = − 4 dx . x x

D. dy = x 4dx .

1 3x 2 1  1 ′ = − 4 dx . Ta có dy =  3  dx = . 2 3 x3 x  3x 

( )

Câu 12. Cho hàm số y = A. dy = C. dy =

( x − 1)

3dx

B. dy =

D. dy = −

−3dx

( x − 1)

x+2 . Vi phân của hàm số là: x −1

( x − 1)

Hướng dẫn giải: Chọn C. 3  x + 2 ′ Ta có dy =  dx .  dx = − 2  x −1  ( x − 1)

Câu 13. Cho hàm số y = A. dy = −

x2 + x + 1 . Vi phân của hàm số là: x −1

x2 − 2x − 2 dx . ( x − 1) 2

B. dy =

2x +1 dx . ( x − 1) 2

x2 − 2x − 2 2x +1 d y dx . . D. = d x ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. ( 2 x + 1)( x − 1) − x 2 + x + 1  x 2 + x + 1 ′ x2 − 2 x − 2 dx . = d x d x Ta có dy =  =  2 2 ( x − 1) ( x − 1)  x −1  Câu 14. Cho hàm số y = sin x − 3cos x . Vi phân của hàm số là: C. dy = −

(

A. dy = ( − cos x + 3sin x ) dx .

)

B. dy = ( − cos x − 3sin x ) dx .

C. dy = ( cos x + 3sin x ) dx . D. dy = − ( cos x + 3sin x ) dx . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có dy = ( sin x − 3cos x )′ dx = ( cos x + 3sin x ) dx . Câu 15. Cho hàm số y = sin 2 x . Vi phân của hàm số là: A. dy = – sin 2 x dx . B. dy = sin 2 x dx . C. dy = sin x dx . Trang 83

D. dy = 2cosx dx .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn B.

Ta có dy = d ( sin 2 x ) = ( sin 2 x )′ dx = cos x.2sin xdx = sin 2 xdx . Câu 16. Vi phân của hàm số y = A. dy =

tan x là: x

2 x dx . 4 x x cos 2 x

B. dy =

sin(2 x ) dx . 4 x x cos 2 x

2 x − sin(2 x ) 2 x − sin(2 x ) D. dy = − dx . dx . 2 4 x x cos x 4 x x cos 2 x Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 1 . . x − tan x . 2  tan x ′ 2 x cos x 2 x dx Ta có dy =   dx = x x   C. dy =

1 1 sin x 1  1 x − sin x cos x =  . − . .dx  dx = 2 2 x x .cos 2 x  2 cos x cos x 2 x  x

2 x − sin 2 x .dx 4 x x .cos 2 x Câu 17. Hàm số y = x sin x + cos x có vi phân là: =

A. dy = ( x cos x – sin x ) dx .B. dy = ( x cos x ) dx . C. dy = ( cos x – sin x ) dx .. D. dy = ( x sin x ) dx . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có dy = ( x sin x + cos x )′ dx = ( sin x + x cos x − sin x ) dx = ( x cos x ) dx . Câu 18. Hàm số y = A. dy =

x . Có vi phân là: x +1 2

1 − x2 dx ( x 2 + 1) 2

1 − x2 dx ( x 2 + 1) Hướng dẫn giải: Chọn A. x2 + 1 − 2 x2 1 − x2  x ′ = dx . Ta có dy =  2  dx = ( x 2 + 1) 2 ( x 2 + 1)2  x +1 C. dy =

B. dy =

2x dx ( x + 1)

D. dy =

1 dx ( x + 1) 2

Câu 19. Cho hàm số y = f ( x ) = ( x − 1) . Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho? A. dy = 2 ( x − 1) dx . C. dy = ( x − 1) dx . Hướng dẫn giải: Chọn A Trang 84

B. dy = 2 ( x − 1) . 2

D. dy = ( x − 1) dx .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 2

y = f ( x ) = ( x − 1) ⇒ y′ = 2 ( x − 1) ⇒ dy = 2 ( x − 1) dx 2 Câu 20. Vi phân của hàm số f ( x ) = 3x − x tại điểm x = 2 , ứng với ∆x = 0,1 là:

A. −0, 07 . B. 10 . Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: f ′ ( x ) = 6 x − 1 ⇒ f ′ ( 2 ) = 11

C. 1,1 .

D. −0, 4 .

df ( 2 ) = f ′ ( 2 ) ∆x = 11.0,1 = 1,1 Câu 21. Vi phân của y = cot ( 2017 x ) là: A. dy = −2017sin ( 2017 x ) dx. C. dy = −

2017 dx. cos ( 2017 x ) 2

B. dy =

2017 dx. sin ( 2017 x ) 2

D. dy = −

2017 dx. sin ( 2017 x ) 2

Hướng dẫn giải: Chọn D.

y = cot ( 2017 x ) ⇒ y′ = − Câu 22. Cho hàm số y = A. dy = −

2017 2017 dx ⇒ dy = − 2 sin ( 2017 x ) sin ( 2017 x ) 2

x2 + x + 1 . Vi phân của hàm số là: x −1

x2 − 2x − 2 dx ( x − 1) 2

B. dy =

2x +1 dx ( x − 1) 2

x2 − 2 x − 2 2x +1 d y dx = d x D. ( x − 1)2 ( x − 1)2 Hướng dẫn giải: Chọn D.  x 2 + x + 1 ′ x2 − 2 x − 2 = dy =  d x dx  ( x − 1) 2  x −1  x+3 Câu 23. Cho hàm số y = . Vi phân của hàm số tại x = −3 là: 1− 2x 1 1 A. dy = dx. B. dy = 7dx. C. dy = − dx. 7 7 Hướng dẫn giải: Chọn A 7 1 ⇒ y ′ ( −3 ) = Ta có y′ = 2 7 (1 − 2 x ) C. dy = −

1 Do đó dy = dx 7 Câu 24. Vi phân của y = tan 5 x là : 5x dx. A. dy = cos 2 5 x

Trang 85

B. dy = −

5 dx. sin 2 5 x

D. dy = −7dx.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 5 dx. cos 2 5 x Hướng dẫn giải: Chọn C 5 y = tan 5 x ⇒ y′ = cos 2 5 x 5 dx Do đó dy = cos 2 5 x

C. dy =

D. dy = −

Câu 25. Hàm số y = f ( x) = A. 9.

5 dx. cos 2 5 x

( x − 1)2 . Biểu thức 0, 01. f '(0, 01) là số nào? x B. -9. C. 90.

D. -90.

Hướng dẫn giải: Chọn D. ( x − 1)2 1 1 y = f ( x) = ⇒ y′ = − 2 ⇒ y′ ( 0, 01) = −9000 x x x x Do đó 0, 01. f '(0, 01) = −90 Câu 26. Cho hàm số y = sin(sin x ) .Vi phân của hàm số là: A. dy = cos(sin x ).sin xdx . B. dy = sin(cos x )dx . C. dy = cos(sin x ).cos xdx . D. dy = cos(sin x )dx . Hướng dẫn giải:

Chọn C. Ta có: y ' = (sin x ) '.cos(sin x ) = cos x.cos(sin x ) nên dy = cos x.cos(sin x )dx  x 2 − x khi x ≥ 0 Câu 27. Cho hàm số f ( x ) =  . Kết quả nào dưới đây đúng? khi x < 0 2 x x2 − x = lim+ ( x − 1) = −1 . A. df (0) = −dx . B. f ′ ( 0+ ) = lim+ x →0 x →0 x + 2 − C. f ′ 0 = lim+ x − x = 0 . D. f ′ 0 = lim− 2 x = 0 .

( )

x →0

(

)

( )

x →0

Hướng dẫn giải: Chọn B.

Ta có: f ′ ( 0+ ) = lim+ x →0

x2 − x = lim+ ( x − 1) = −1 ; x →0 x

2x = 2 và hàm số không có vi phân tại x = 0 f ′ ( 0− ) = lim− x →0 x Câu 28. Cho hàm số y = cos 2 2 x . Vi phân của hàm số là: A. dy = 4 cos 2 x sin 2 xdx . B. dy = 2 cos 2 x sin 2 xdx . C. dy = −2 cos 2 x sin 2 xdx . D. dy = −2sin 4 xdx . Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có : dy = d ( cos 2 2 x ) = 2 cos 2 x.(cos 2 x ) 'dx = −4 cos 2 x.sin 2 xdx = −2sin 4 xdx

Trang 86

Đạo hàm – ĐS&GT 11  x 2 + x khi x ≥ 0 Câu 29. Cho hàm số f ( x) =  . Khẳng định nào dưới đây là sai? khi x < 0 x A. f ′ ( 0+ ) = 1 . B. f ′ ( 0− ) = 1 .

D. Hàm số không có vi phân tại x = 0 .

C. df (0) = dx . Hướng dẫn giải: Chọn D.

x x2 + x − = lim+ ( x + 1) = 1 và f ′ ( 0 ) = lim− = 1 và df (0) = dx → x 0 x → 0 x x

Ta có: f ′ ( 0+ ) = lim+ x →0

Câu 30. Cho hàm số y = f ( x ) = 1 + cos 2 2 x . Chọn kết quả đúng: − sin 4 x − sin 4 x dx . dx . A. df ( x) = B. df ( x ) = 2 2 1 + cos 2 x 1 + cos 2 2 x − sin 2 x cos 2 x dx . dx . C. df ( x) = D. df ( x) = 2 1 + cos 2 x 1 + cos 2 2 x Hướng dẫn giải: Chọn B. (1 + cos 2 2 x) ' −2.2 cos 2 x.sin 2 x − sin 4 x dx = dx = dx Ta có : dy = df ( x) = d 1 + cos 2 2 x = 2 2 2 1 + cos 2 x 2 1 + cos 2 x 1 + cos 2 2 x

(

)

Câu 31. Cho hàm số y = tan x . Vi phân của hàm số là: 1 dx . A. dy = B. 2 x cos 2 x 1 dx . C. dy = D. 2 x cos x Hướng dẫn giải: Chọn D.  1  1 .( x ) 'd x = Ta có : dy = d tan x =   2 2 x .cos 2  cos x  2x + 3 Câu 32. Vi phân của hàm số y = là : 2x −1 8 dx . A. dy = − B. 2 ( 2 x − 1)

(

C. dy = −

)

( 2 x − 1)

dx .

dy =

x cos 2 x 1

dx .

2 x cos 2 x

dx .

dy =

( 2 x − 1)

D. dy = −

dx .

( 2 x − 1)

dx .

Hướng dẫn giải: Chọn A. −8  2x + 3  dx Ta có : dy = d  = 2  2 x − 1  (2 x − 1)

1 − x2 . Vi phân của hàm số là: 1 + x2 −4 −4 dx . dx . dx . B. dy = C. dy = 2 2 2 1 + x 1 + x ( )

Câu 33. Cho hàm số y = A. dy =

Trang 87

−4 x

(1 + x

2 2

)

D. dy =

− dx

(1 + x 2 )

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn A.  1 − x2  −4 x Ta có : dy = d  dx = 2  2 2  1 + x  (1 + x ) Câu 34. Cho hàm số f ( x) = cos 2 x . Khi đó sin 2 x sin 2 x dx . dx . A. d  f ( x )  = B. d  f ( x )  = 2 cos 2 x cos 2 x − sin 2 x − sin 2 x C. d  f ( x )  = D. d  f ( x )  = dx . dx . 2 cos 2 x cos 2 x Hướng dẫn giải: Chọn D. − sin 2 x (cos 2 x) ' dx = dx Ta có : df ( x) = d cos 2 x = 2 cos 2 x cos 2 x

(

Trang 88

)

Đạo hàm – ĐS&GT 11

ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT • Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' . Nếu f ' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f '' , tức là: f '' = ( f ') ' .

• Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n − 1 (với n ∈ ℕ, n ≥ 2 ) là f ( n−1) . Nếu f ( n−1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f ( n) , tức là:

f ( n ) = ( f ( n−1) ) ' . Để tính đạo hàm cấp n: • Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n. • Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.

B – BÀI TẬP Câu 1. Hàm số y = A. y′′ = 0 .

x có đạo hàm cấp hai là: x−2 1 B. y ′′ = . 2 ( x − 2)

C. y ′′ = −

( x − 2)

Hướng dẫn giải: Chọn D.  −2 ′ 2 ( x − 2) 4 −2  x ′ ′′ Ta có y′ =  ; y = = =   = 2.  2 2 4 3    x − 2  ( x − 2) ( x − 2) ( x − 2)  ( x − 2) 

(

)

Câu 2. Hàm số y = x 2 + 1

có đạo hàm cấp ba là:

A. y ′′′ = 12 ( x 2 + 1) .

B. y ′′′ = 24 ( x 2 + 1) .

C. y′′′ = 24 ( 5 x 2 + 3) .

D. y′′′ = –12 ( x 2 + 1) .

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có y = x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1 ; y′ = 6 x5 + 12 x3 + 6 x

y′′ = 30 x4 + 36 x2 + 6 ; y ′′′ = 120 x 3 + 72 x = 24 ( 5 x 2 + 3) . Câu 3. Hàm số y = 2 x + 5 có đạo hàm cấp hai bằng: 1 A. y′′ = . B. y ′′ = (2 x + 5) 2 x + 5 1 1 C. y′′ = − .D. y ′′ = − . (2 x + 5) 2 x + 5 2x + 5 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 1 ′ = Ta có y′ = 2 x + 5 = 2 2x + 5 2x + 5

(

Trang 89

)

1 . 2x + 5

D. y′′ =

( x − 2)

Đạo hàm – ĐS&GT 11

( y′′ = −

2x + 5 2x + 5

)′ = − 2

Câu 4. Hàm số y =

2 1 2x + 5 = − . 2x + 5 ( 2 x + 5) 2 x + 5

x2 + x + 1 có đạo hàm cấp 5 bằng: x +1

120 . ( x + 1)6 1 C. y (5) = . ( x + 1) 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 Ta có y = x + . ⇒ y′ = 1 − 2 x +1 ( x + 1)

A. y (5) = −

⇒ y′′ =

⇒ y( ) =

( x + 1)

A. y ( 5) = −

120

( x + 1) 1

( x + 1)

D. y (5)

⇒ y( ) = 4

( x + 1)

⇒ y (5) = −

120 . ( x + 1) 6

x2 + x + 1 có đạo hàm cấp 5 bằng : x +1

Câu 5. Hàm số y =

C. y ( 5) =

−6

120 . ( x + 1) 6 1 . =− ( x + 1)6

B. y (5) =

B. y ( 5) =

120

( x + 1)

D. y (5) = −

( x + 1)

Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 x2 + x + 1 . Ta có: y = = x+ x +1 x +1 1 2 6 24 120 ; y′′ = ; y′′′ = − ; y( 4) = ; y ( 5) = − . ⇒ y′ = 1 − 2 3 4 5 6 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) Câu 6. Hàm số y = x x 2 + 1 có đạo hàm cấp 2 bằng : A. y′′ = − C. y′′ =

2 x3 + 3x

(1 + x ) 2

1 + x2

2 x3 + 3x

(1 + x ) 2

1 + x2

B. y′′ =

2 x2 + 1

D. y′′ = −

1 + x2

2 x2 + 1 1 + x2

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: y′ = x 2 + 1 + x

4 x x 2 + 1 − ( 2 x 2 + 1)

x x2 + 1

2x +1 x2 + 1

; y′′ =

x2 + 1

x 2

x +1 =

Câu 7. Hàm số y = ( 2 x + 5 ) có đạo hàm cấp 3 bằng : 3

A. y ′′′ = 80 ( 2 x + 5 ) . Trang 90

B. y ′′′ = 480 ( 2 x + 5 ) .

2 x3 + 3x

(1 + x ) 2

1 + x2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 2

C. y ′′′ = −480 ( 2 x + 5 ) . D. y ′′′ = −80 ( 2 x + 5 ) . Hướng dẫn giải: Chọn B. 4 3 2 4 Ta có: y′ = 5 ( 2 x + 5 ) ⋅ 2 = 10 ( 2 x + 5 ) ; y′′ = 80 ( 2 x + 5 ) ; y ′′ = 480 ( 2 x + 5 ) . Câu 8. Hàm số y = tan x có đạo hàm cấp 2 bằng : 2sin x 1 1 A. y′′ = − . B. y′′ = . C. y′′ = − . 3 2 cos x cos x cos2 x Hướng dẫn giải: Chọn D. 2cosx ( −sinx ) 2sinx 1 Ta có: y′ = . y ′′ = − = 2 cos x cos 4 x cos 3 x Câu 9. Cho hàm số y = sinx . Chọn câu sai. π  A. y′ = sin  x +  . B. y′′ = sin ( x + π ) . 2  3π   C. y′′′ = sin  x + D. y ( 4 ) = sin ( 2π − x ) . . 2   Hướng dẫn giải: Chọn D. π  π  Ta có: y′ = cosx = sin  + x  ; y′′ = cos  + x  = sin (π + x ) . 2  2  3π 3 π     y′′′ = cos (π + x ) = sin  + x  ; y ( 4 ) = cos  + x  = sin ( 2π + x ) .  2   2  2 −2 x + 3 x Câu 10. Hàm số y = có đạo hàm cấp 2 bằng : 1− x 1 2 −2 A. y′′ = 2 + . B. y′′ = . C. y′′ = . 2 3 3 (1 − x ) (1 − x ) (1 − x )

D. y′′ =

2sin x . cos3 x

(1 − x )

Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: y = 2 x − 1 +

1 1 2 ; y ′′ = . ⇒ y′ = 2 + 2 1− x (1 − x )3 (1 − x )

π   π Câu 11. Hàm số y = f ( x ) = cos  2 x −  . Phương trình f ( 4) ( x ) = −8 có nghiệm x ∈ 0;  là: 3   2 A. x =

π . 2

C. x = 0 và x =

π . 6 π D. x = 0 và x = . 2 B. x = 0 và x =

π 3

Hướng dẫn giải: Chọn A.

π π π π     Ta có: y′ = −2sin  2 x −  . y′′ = −4cos  2 x −  . y′′′ = 8sin  2 x −  . y ( 4) = 16cos  2 x −  3 3 3 3     1 π π   4 Khi đó : f ( ) ( x ) = −8 ⇔ 16cos  2 x −  = −8 ⇔ cos  2 x −  = − 3 2 3   Trang 91

Đạo hàm – ĐS&GT 11

π 2π π    π  2 x − 3 = 3 + k 2π  x = 2 + kπ x∈ 0;  π  2  →x = . ⇔ ⇔ 2  2 x − π = − 2π + k 2π  x = − π + kπ   6 3 3  Câu 12. Cho hàm số y = sin2x . Chọn khẳng định đúng A. 4 y − y′ = 0 .

B. 4 y + y′′ = 0 .

C. y = y′ tan 2 x .

D. y 2 = ( y ′ ) = 4 .

Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: y′ = 2cos2x ; y′′ = −4sin2x . ⇒ 4 y + y′′ = 0 . 1 Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) = − . Xét hai mệnh đề : x 2 6 ( I ) : y′′ = f ′′ ( x ) = 3 . ( II ) : y′′′ = f ′′′ ( x ) = − 4 . x x Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ ( I ) đúng. B. Chỉ ( II ) đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 2 6 Ta có: y′ = 2 ; y′′ = − 3 ; y′′′ = 4 . x x x 2sin x Câu 14. Nếu f ′′ ( x ) = thì f ( x ) bằng cos3 x 1 1 A. . B. − . C. cot x . D. tan x . cos x cos x Hướng dẫn giải: Chọn D.  1 ′ −2cosx ⋅ ( −sinx ) 2sinx = Vì: ( tan x )′′ =  . = 2  cos3 x cos 4 x  cos x  − x2 + x + 2 Câu 15. Cho hàm số y = f ( x ) = . Xét hai mệnh đề : x −1 ( I ) : y′ = f ′ ( x ) = −1 − 2 2 < 0, ∀x ≠ 1 . ( II ) : y′′ = f ′′ ( x ) = 4 2 > 0, ∀x ≠ 1 . ( x − 1) ( x − 1) Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ ( I ) đúng. B. Chỉ ( II ) đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 2 4 − x2 + x + 2 = −x + Ta có: y = f ( x ) = ; y′′ = . ⇒ y ′ = −1 − 2 3 x −1 x −1 ( x − 1) ( x − 1) 3

Câu 16. Cho hàm số f ( x ) = ( x + 1) . Giá trị f ′′ ( 0) bằng A. 3 . B. 6 . C. 12 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 Vì: f ′ ( x ) = 3 ( x + 1) ; f ′′ ( x ) = 6 ( x + 1) ⇒ f ′′ ( 0 ) = 6 . Trang 92

D. 24 .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 π  Câu 17. Cho hàm số f ( x ) = sin 3 x + x 2 . Giá trị f ′′   bằng 2 A. 0 . B. −1 . C. −2 . Hướng dẫn giải: Chọn B.

D. 5 .

π  Vì: f ′ ( x ) = 3sin 2 xcosx + 2 x ; f ′′ ( x ) = 6sinxcos 2 x − 3sin 3 x + 2 ⇒ f ′′   = −1 . 2 3

Câu 18. Cho hàm số f ( x ) = 5 ( x + 1) + 4 ( x + 1) . Tập nghiệm của phương trình f ′′ ( x ) = 0 là A. [ −1;2] . B. ( −∞;0] . C. {−1} . Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 Vì: f ′ ( x ) = 15 ( x + 1) + 4 ; f ′′ ( x ) = 30 ( x + 1) ⇒ f ′′ ( x ) = 0 ⇔ x = −1 . Câu 19. Cho hàm số y =

D. ∅ .

1 . Khi đó : x−3

3 1 3 A. y′′′ (1) = . B. y′′′ (1) = . C. y′′′ (1) = − . 8 8 8 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 2 1 6 ⇒ y′′′ (1) = − . Vì: y′ = − ; y′′ = ; y ′′′ = − 2 3 4 8 ( x − 3) ( x − 3) ( x − 3)

1 D. y′′′ (1) = − . 4

Câu 20. Cho hàm số y = ( ax + b ) với a , b là tham số. Khi đó : A. y (10 ) (1) = 0 . B. y (10) (1) = 10a + b . C. y (10) (1) = 5a . D. y (10 ) (1) = 10a . Hướng dẫn giải: Chọn A. 4 3 2 4 Vì: y ′ = 5a ( ax + b ) ; y ′′ = 20a 2 ( ax + b ) ; y ′′′ = 60 a 3 ( ax + b ) ; y ( ) = 120a 4 ( ax + b ) ; y ( 5) = 120 a 5 ; 10 )

y ( 6 ) = 0 ⇒ y (10 ) = 0 . Do đó y (

(1) = 0

π  Câu 21. Cho hàm số y = sin 2 2x . Tính y ( 4 )   bằng: 6 A. 64 . B. −64 . C. 64 3 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Vì: y′ = 2sin2x ( 2cos2x ) = 2sin4x ; y′′ = 8cos4x ; y′′′ = −32sin4x ; π  y ( 4 ) = −128cos4x ⇒ y ( 4 )   = 64 3 . 6

Câu 22. Cho hàm số y = sin 2 x . Tính y '' A. y '' = − sin 2 x

B. y '' = −4sin x

C. y '' = sin 2 x

D. y '' = −4sin 2 x

Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có y ' = 2cos 2 x ⇒ y '' = −4sin 2 x Trang 93

D. −64 3 .

Đạo hàm – ĐS&GT 11

Câu 23. Cho hàm số y = sin 2 x . Tính y '''( ) , y (4) ( ) 3 4 A. 4 và 16 B. 5 và 17 C. 6 và 18 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có y ''' = −8cos 2 x, y (4) = 16sin 2 x

D. 7 và 19

π π π 2π = 4; y (4) ( ) = 16sin = 16 . Suy ra y '''( ) = −8cos 3 3 4 2 Câu 24. Cho hàm số y = sin 2 x . Tính y ( n )

A. y ( n ) = 2n sin(2 x + n ) 3

B. y ( n ) = 2n sin(2 x + ) 2

C. y ( n ) = 2n sin( x + ) 2 Hướng dẫn giải: Chọn D.

D. y ( n ) = 2n sin(2 x + n ) 2

Ta có y ' = 2sin(2 x + ), y '' = 22 sin(2 x + 2 ) , y ''' = 23 sin(2 x + 3 ) 2 2 2

Bằng quy nạp ta chứng minh y ( n ) = 2n sin(2 x + n ) 2

Với n = 1 ⇒ y ' = 21 sin(2 x + ) đúng 2 Giả sử y ( k ) = 2k sin(2 x + k

π 2

π  ) = 2 k +1 sin  2 x + ( k + 1)  2 2  Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.

suy ra y ( k +1) = ( y ( k ) ) ' = 2k +1 cos(2 x + k

Câu 25. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = A. y ( n ) =

2x +1 x+2

(1) n −1.3.n ! ( x + 2)n +1

(−1)n −1.3.n ! ( x − 2)n +1 Hướng dẫn giải: Chọn D. C. y ( n ) =

3  ( x + 2) 2  3 −3.2 Ta có y ' = , y '' = − = 2 4 ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2)3

(−1) n −1 .3.n ! 3.2.3 (n) . Ta ch ứ ng minh y = y ''' = ( x + 2) n +1 ( x + 2) 4

Trang 94

B. y ( n ) =

(−1)n −1.n ! ( x + 2)n +1

D. y ( n ) =

(−1) n −1 .3.n ! ( x + 2) n +1

Đạo hàm – ĐS&GT 11

• Với n = 1 ⇒ y ' =

• Giả sử y ( k ) =

(−1)0 .3 3 = đúng 2 ( x + 2) ( x + 2) 2

(−1) k −1.3.k ! ( x + 2)k +1 (−1)k −1.3.k !.  ( x + 2) k +1  '

(−1) k .3.(k + 1)! ( x + 2) 2 k + 2 ( x + 2) k + 2 Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. 1 ,a ≠ 0 Câu 26. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = ax + b (2) n .a n .n ! (−1) n .a n .n ! ( n) = A. y ( n ) = B. y (ax + b) n+1 ( x + 1)n +1

⇒ y ( k +1) = ( y ( k ) ) ' = −

(−1) n .n ! (ax + b) n+1 Hướng dẫn giải: Chọn D. −a a 2 .2 −a 3 .2.3 Ta có y ' = , y '' = , y ''' = (ax + b)2 (ax + b)3 (ax + b)4 C. y ( n ) =

Ta chứng minh: y ( n ) =

D. y ( n ) =

(−1) n .a n .n ! (ax + b) n+1

(−1)1.a1.1! a =− đúng 2 (ax + b) (ax + b)2 (−1) k .a k .k ! = (ax + b)k +1

• Với n = 1 ⇒ y ' = • Giả sử y ( k )

(−1)k .a k .k !.  (ax + b) k +1  '

(−1)k +1.a k +1.(k + 1)! (ax + b) 2 k + 2 ( x + 2) k + 2 Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. 2x +1 Câu 27. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 2 x − 5x + 6 n n (2) .7.n ! (1) .5.n ! (−1) n +1.7.n ! (−1) n +1.5.n ! ( n) = − A. y ( n ) = − B. y ( x − 2)n +1 ( x − 3) n+1 ( x − 2) n+1 ( x − 3) n+1

⇒y

( k +1)

=(y

(k )

)' = −

(−1) n .7.n ! (−1)n .5.n ! (−1) n .7.n ! (−1)n .5.n ! ( n) − D. y = − ( x − 2) n ( x − 3) n ( x − 2) n +1 ( x − 3)n +1 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: 2 x + 1 = 7( x − 2) − 5( x − 3) ; x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2)( x − 3) 7 5 − Suy ra y = . x −3 x −2 C. y ( n ) =

 1  Mà    x−2

Trang 95

(n)

( −1) n .1n.n ! ( −1) n .n !  1  = = ,  ( x − 2) n +1 ( x − 2) n +1  x − 2 

(n)

( −1) n .n ! ( x − 3) n +1

Đạo hàm – ĐS&GT 11

(−1) n .7.n ! (−1)n .5.n ! . − ( x − 2) n +1 ( x − 3)n +1 Câu 28. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = cos 2 x π π n   A. y ( n ) = ( −1) cos  2 x + n  B. y ( n ) = 2n cos  2 x +  2 2   π π   C. y ( n ) = 2 n +1 cos  2 x + n  D. y ( n ) = 2n cos  2 x + n  2 2   Hướng dẫn giải: Chọn D. π π   Ta có y ' = 2 cos  2 x +  , y '' = 22 cos  2 x + 2  , 2 2    π  y ''' = 23 cos  2 x + 3  . 2  π  Bằng quy nạp ta chứng minh được y ( n ) = 2 n cos  2 x + n  . 2  Nên y ( n ) =

Câu 29. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 2 x + 1 A. y ( n ) = C. y ( n ) =

(−1)n +1.3.5...(3n − 1)

B. y ( n ) =

(2 x + 1)2 n −1

(−1)n +1.3.5...(2n − 1)

D. y ( n ) =

(2 x + 1) 2 n+1

(−1)n −1.3.5...(2n − 1) (2 x + 1) 2 n−1

(−1)n +1.3.5...(2n − 1) (2 x + 1)2 n −1

Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 3 Ta có y ' = , y '' = − , y ''' = 3 2x +1 (2 x + 1) (2 x + 1)5 Bằng quy nạp ta chứng minh được: y ( n ) =

(−1)n +1.3.5...(2n − 1) (2 x + 1)2 n −1

Câu 30. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = A. y ( n ) =

5.(−1) n .n ! 3.(−1)n .n ! + ( x − 2)n +1 ( x − 1) n+1

5.(−1)n .n ! 3.(−1)n .n ! : ( x − 2) n +1 ( x − 1)n +1 Hướng dẫn giải: Chọn D. 5 3 − Ta có: y = x − 2 x −1 C. y ( n ) =

Bằng quy nạp ta chứng minh được: y ( n ) =

Trang 96

2x +1 x − 3x + 2 2

B. y ( n ) =

5.(−1)n .n ! 3.(−1)n .n ! − ( x + 2) n +1 ( x − 1) n+1

D. y ( n ) =

5.(−1)n .n ! 3.(−1)n .n ! − ( x − 2)n +1 ( x − 1) n+1

5.(−1)n .n ! 3.(−1)n .n ! − . ( x − 2)n +1 ( x − 1) n+1

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 31. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = A. y ( n ) =

x x + 5x + 6 2

(−1) n .3.n ! (−1) n .2.n ! + ( x + 3) n+1 ( x + 2)n +1

B. y ( n ) =

(−1) n .3.n ! (−1)n .2.n ! − ( x + 3)n ( x + 2) n

(−1) n .3.n ! (−1)n .2.n ! (−1) n .3.n ! (−1)n .2.n ! ( n) − D. y = − ( x + 3) n −1 ( x + 2)n −1 ( x + 3) n+1 ( x + 2) n +1 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: x = 3( x + 2) − 2( x + 3) ; x 2 + 5x + 6 = ( x + 2)( x + 3) 3 2 − Suy ra y = . x+3 x+2 C. y ( n ) =

 1  Mà    x+2

(n)

( −1) n .1n.n ! ( −1) n .n !  1  = = ,   ( x + 2) n +1 ( x + 2) n +1  x + 3  (−1) n .3.n ! (−1)n .2.n ! Nên ta có: y ( n ) = − . ( x + 3) n+1 ( x + 2) n +1

(n)

( −1) n .n ! ( x +) n +1

Câu 32. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = cos 2 x

π π   A. y ( n ) = 2 n +1 cos  2 x + n  B. y ( n ) = 2 n −1 cos  2 x + n  2 2   π π   C. y ( n ) = 2n cos  2 x +  D. y ( n ) = 2n cos  2 x + n  2 2   Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có : π π π    y ' = 2 cos  2 x +  , y '' = 22 cos  2 x + 2  , y ''' = 23 cos  2 x + 3  . 2 2 2    π  Bằng quy nạp ta chứng minh được y ( n ) = 2 n cos  2 x + n  . 2 

Trang 97

Đạo hàm – ĐS&GT 11

Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Ý nghĩa vật lí : • Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s = s ( t ) tại thời điểm t0 là

v ( t0 ) = s ' ( t0 ) . • Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q ( t ) tại thời điểm t0 là : I ( t0 ) = Q ' ( t0 ) .

Câu 1. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t 3 − 3t 2 + 5t + 2 , trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là: A. 24m / s 2 . B. 17m / s 2 . C. 14m / s 2 . D. 12m / s 2 . Hướng dẫn giải: Đáp án D Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t . s′ = t 3 − 3t 2 + 5t + 2 ′ = 3t 2 − 6t + 5

(

)

s′′ = 6t − 6 ⇒ s′′ ( 3) = 12

Câu 2. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t 3 − 3t 2 − 9t + 2 ( t tính bằng giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng ? A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 hoặc t = 2 . B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là v = 18 m / s . C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là a = 12 m / s 2 . D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 . Hướng dẫn giải: Đáp án C. Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t . s′ = t 3 − 3t 2 + 5t + 2 ′ = 3t 2 − 6t + 5

(

)

s′′ = 6t − 6 ⇒ s′′ ( 3) = 12

Câu 3. Chochuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t 3 − 3t 2 ( t tính bằng giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng? A. Gia tốc của chuyển động khi t = 4 s là a = 18m / s 2 . B. Gia tốc của chuyển động khi t = 4 s là a = 9m / s 2 . C. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 12m / s . D. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 24m / s . Hướng dẫn giải: Đáp án A s′ = 3t 2 − 6t ⇒ s′′ = 6t − 6 s′′ ( 4 ) = 18

Trang 98

Đạo hàm – ĐS&GT 11

TIẾP TUYẾN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 1. Tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số: Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) và điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M. - Tính đạo hàm f ' ( x ) . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f ' ( x0 ) - phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y = f ' ( x )( x − x0 ) + y0

2. Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước - Gọi ( ∆ ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k. - Giả sử M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Khi đó x0 thỏa mãn: f ' ( x0 ) = k (*) . - Giải (*) tìm x0 . Suy ra y0 = f ( x0 ) . - Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k ( x − x0 ) + y0

3. Tiếp tuyến đi qua điểm Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) và điểm A ( a; b ) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A. - Gọi ( ∆ ) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó ( ∆ ) : y = k ( x − a ) + b (*)  f ( x ) = k ( x − a ) + b (1) - Để ( ∆ ) là tiếp tuyến của (C) ⇔  có nghiệm. ( 2)  f ' ( x ) = k - Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. Chú ý: 1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc (C) là: k = f ' ( x0 )

2. Cho đường thẳng ( d ) : y = kd x + b +) ( ∆ ) / / ( d ) ⇒ k∆ = kd +) ( ∆, d ) = α ⇒ tan α =

+) ( ∆ ) ⊥ ( d ) ⇒ k∆ .kd = −1 ⇔ k∆ = −

k∆ − k d 1 + k∆ .kd

1 kd

+) ( ∆, Ox ) = α ⇒ k∆ = ± tan α

3. Cho hàm số bậc 3: y = ax3 + bx 2 + cx + d , ( a ≠ 0 ) +) Khi a > 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. +) Khi a < 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất.

B – BÀI TẬP DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ: Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) , có đồ thị ( C ) và điểm M 0 ( x0 ; f ( x0 ) ) ∈ (C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M 0 là:

A. y = f ′( x) ( x − x0 ) + y0 . C. y − y0 = f ′( x0 ) ( x − x0 ) . Hướng dẫn giải: Chọn C Trang 99

B. y = f ′( x0 ) ( x − x0 ) . D. y − y0 = f ′( x0 ) x .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 2

Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = ( x + 1) ( x – 2 ) tại điểm có hoành độ x = 2 là A. y = –8 x + 4 . B. y = 9 x + 18 . C. y = –4 x + 4 . D. y = 9 x − 18 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Ta có x0 = 2 ⇒ y0 = 0 . 2

y = ( x + 1) ( x – 2 ) = x 3 − 3 x + 2 ⇒ y′ = 3 x 2 − 3 ⇒ y′ ( 2 ) = 9 .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9 ( x − 2 ) + 0 ⇔ y = 9 x − 18 . 2

Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = x ( 3 – x ) tại điểm có hoành độ x = 2 là A. y = –3 x + 8 . B. y = –3 x + 6 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm.

C. y = 3 x – 8 .

D. y = 3 x – 6 .

Ta có x0 = 2 ⇒ y0 = 2 . 2

y = x ( 3 − x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x ⇒ y′ = 3 x 2 − 12 x + 9 ⇒ y′ ( 2 ) = −3 .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −3 ( x − 2 ) + 2 ⇔ y = −3 x + 8 .

Câu 4. Cho đường cong ( C ) : y = x 2 . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( –1;1) là A. y = –2 x + 1 . Hướng dẫn giải: Chọn C. y = x 2 ⇒ y′ = 2 x . y′ ( −1) = −2 .

B. y = 2 x + 1 .

C. y = –2 x – 1 .

D. y = 2 x –1 .

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = −2 ( x + 1) + 1 ⇔ y = −2 x − 1 .

x2 + x . Phương trình tiếp tuyến tại A (1; –2 ) là x−2 A. y = –4 ( x –1) – 2 . B. y = –5 ( x –1) + 2 . C. y = –5 ( x –1) – 2 .

Câu 5. Cho hàm số y =

D. y = –3 ( x –1) – 2

. Hướng dẫn giải: Chọn C. x2 + x x2 − 4 x − 2 y= ⇒ y′ = , y′ (1) = −5 . 2 x−2 ( x − 2) Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = −5 ( x − 1) − 2 ⇔ y = −5 x + 3 .

Câu 6. Cho hàm số y = A. y = 7 x + 2 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có : y′ = x 2 − 6 x + 7

1 3 x – 3 x 2 + 7 x + 2 . Phương trình tiếp tuyến tại A ( 0; 2 ) là: 3 B. y = 7 x − 2 . C. y = −7 x + 2 . D. y = −7 x − 2 .

Hệ số góc tiếp tuyến y′ ( 0 ) = 7

Trang 100

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Phương trình tiếp tuyến tại A ( 0; 2 ) :

y = 7 ( x − 0) + 2 = 7 x + 2 . Câu 7. Gọi ( P ) là đồ thị của hàm số y = 2 x 2 − x + 3 . Phương trình tiếp tuyến với ( P ) tại điểm mà

( P)

cắt trục tung là:

A. y = − x + 3 . B. y = − x − 3 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có : ( P ) cắt trục tung tại điểm M ( 0;3) . y′ = 4 x − 1 Hệ số góc tiếp tuyến : y′ ( 0 ) = −1

C. y = 4 x − 1 .

D. y = 11x + 3 .

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( P ) tại M ( 0;3) là y = −1( x − 0 ) + 3 = − x + 3 .

Câu 8. Đồ thị ( C ) của hàm số y = phương trình là: A. y = −4 x − 1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có : điểm A ( 0; −1) y′ =

−4

( x − 1)

3x + 1 cắt trục tung tại điểm A . Tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A có x −1

B. y = 4 x − 1 .

C. y = 5 x − 1 .

D. y = −5 x − 1 .

⇒ hệ số góc tiếp tuyến y′ ( 0 ) = −4

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm A ( 0; −1) là :

y = −4 ( x − 0 ) − 1 = −4 x − 1 . Câu 9. Cho hàm số y = trục hoành là: A. y = 2 x − 4 . Hướng dẫn giải: ChọnC.

2x − 4 có đồ thị là (H) . Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với x−3

B. y = 3 x + 1 .

C. y = −2 x + 4 .

D. y = 2 x .

−2 ⇒ y '(2) = −2 ( x − 3) 2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −2( x − 2) hay y = −2 x + 4 . Câu 10. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) = x3 − 2 x 2 + 3x tại điểm có hoành độ x0 = −1 là: A. y = 10 x + 4. B. y = 10 x − 5. C. y = 2 x − 4. D. y = 2 x − 5. Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D = ℝ. Đạo hàm: y′ = 3 x 2 − 4 x + 3. y′ ( −1) = 10; y ( −1) = −6 Giao điểm của (H) với trục hoành là A(2; 0) . Ta có: y ' =

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là ( d ) : y = 10 ( x + 1) − 6 = 10 x + 4.

Trang 101

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 11. Gọi ( H ) là đồ thị hàm số y =

x −1 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( H ) tại các giao điểm x

của ( H ) với hai trục toạ độ là:

 y = x −1 B.  .  y = x +1

A. y = x − 1.

C. y = − x + 1.

D. y = x + 1.

Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D = ℝ \ {0} . 1 . x2 ( H ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là x = 1 và không cắt trục tung.

Đạo hàm: y ′ =

y′ (1) = 1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d : y = x − 1. Câu 12. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( H ) : y = 1 A. y = ( x − 1). B. y = 3 x. 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D = ℝ \ {−2} .

Đạo hàm: y′ =

( x + 2)

x −1 tại giao điểm của ( H ) và trục hoành: x+2

C. y = x − 3.

D. y = 3( x − 1).

1 ( H ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ xo = 1 ⇒ y ′ (1) = ; y (1) = 0 3 1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d : y = ( x − 1) . 3 Câu 13. Gọi ( P ) là đồ thị hàm số y = x 2 − x + 3 . Phương trình tiếp tuyến với ( P ) tại giao điểm của ( P ) và trục tung là A. y = − x + 3. B. y = − x − 3. C. y = x − 3 . D. y = −3 x + 1 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Tập xác định: D = ℝ. Giao điểm của ( P ) và trục tung là M ( 0;3) . Đạo hàm: y ′ = 2 x − 1 ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 0 là −1 .

Phương trình tiếp tuyến tại M ( 0;3) là y = − x + 3 .

4 tại điểm có hoành độ x0 = −1 có phương trình là: x −1 B. y = x + 2 . C. y = x − 1 . D. y = − x − 3 .

Câu 14. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = A. y = − x + 2 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Tập xác định: D = ℝ \ {1} .

Trang 102

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Đạo hàm: y′ = − Tiếp tuyến tại

4 2

( x − 1) M ( −1; −2 )

có hệ số góc là k = −1 .

Phương trình của tiếp tuyến là y = − x − 3 Câu 15. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 4 + 2 x 2 − 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là: A. y = 8 x − 6, y = −8 x − 6. B. y = 8 x − 6, y = −8 x + 6. C. y = 8 x − 8, y = −8 x + 8. D. y = 40 x − 57.

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Tập xác định: D = ℝ. Đạo hàm: y′ = 4 x 3 + 4 x . x = 1 . Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên 2 = x 4 + 2 x 2 − 1 ⇔   x = −1 Tại M (1; 2 ) . Phương trình tiếp tuyến là y = 8 x − 6 . Tại N ( −1; 2 ) . Phương trình tiếp tuyến là y = −8 x − 6 .

Câu 16. Cho đồ thị ( H ) : y =

x+2 và điểm A ∈ ( H ) có tung độ y = 4 . Hãy lập phương trình tiếp x −1

tuyến của ( H ) tại điểm A . A. y = x − 2 . B. y = −3 x − 11 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Tập xác định: D = ℝ \ {1} .

Đạo hàm: y′ = −

( x − 1)

C. y = 3 x + 11 .

D. y = −3 x + 10 .

Tung độ của tiếp tuyến là y = 4 nên 4 =

x+2 ⇔ x = 2. x −1

Tại M ( 2;4 ) . Phương trình tiếp tuyến là y = −3 x + 10 .

Câu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = phương trình là: A. y = x − 1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 x2 − 2 x + 1 Ta có: y ' = . 2 ( 2 x − 1)

x 2 − 3x + 1 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có 2x −1

B. y = x + 1 .

C. y = x .

Giao điểm M của đồ thị với trục tung : x0 = 0 ⇒ y0 = −1 Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : k = y ' ( 0 ) = 1.

Trang 103

D. y = − x .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : y = k ( x − x0 ) + y0 ⇔ y = x − 1.

Câu 18. Cho đường cong (C ) : y =

x2 − x + 1 và điểm A ∈ (C ) có hoành độ x = 3 . Lập phương trình x −1

tiếp tuyến của (C ) tại điểm A . 3 5 3 5 A. y = x + . B. y = 3 x + 5 . C. y = x − . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. x2 − 2 x 7 Ta có: y ' = . Tại điểm A ∈ (C ) có hoành độ: x0 = 3 ⇒ y0 = 2 2 ( x − 1) Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k = y ' ( 3 ) =

D. y =

1 5 x+ . 4 4

3 . 4

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y = k ( x − x0 ) + y0 ⇔ y =

3 5 x+ . 4 4

1 1  tại điểm A  ;1 có phương trình là: 2x 2  B. 2 x − 2 y = −1 . C. 2 x + 2 y = 3 . D. 2 x − 2 y = 1 .

Câu 19. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

A. 2 x + 2 y = −3 . Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 Ta có: y ' = − . Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k = y '   = −1 . 2x 2x 2 Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y = k ( x − x0 ) + y0 ⇔ 2 x + 2 y = 3 .

Câu 20. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) = x3 − 2 x 2 − 2 tại điểm có hoành độ x0 = −2 có phương trình là: A. y = 4 x − 8 . B. y = 20 x + 22 . C. y = 20 x − 22 . D. y = 20 x − 16 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: f ' ( x ) = 3x 2 − 4 x . Tại điểm A có hoành độ x0 = −2 ⇒ y0 = f ( x0 ) = −18 Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k = f ' ( −2 ) = 20 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y = k ( x − x0 ) + y0 ⇔ y = 20 x + 22 .

Câu 21. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y = 3 x − 4 x3 tại điểm có hoành độ x0 = 0 là: A. y = 3 x . B. y = 0 . C. y = 3 x − 2 . D. y = −12 x . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: y ' = 3 − 12 x 2 . Tại điểm A ∈ (C ) có hoành độ: x0 = 0 ⇒ y0 = 0 Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k = y ' ( 0 ) = 3 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y = k ( x − x0 ) + y0 ⇔ y = 3 x . 1 Câu 22. Cho hàm số y = x 3 + x 2 − 2 có đồ thị hàm số ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm 3 có hoành độ là nghiệm của phương trình y " = 0 là

Trang 104

Đạo hàm – ĐS&GT 11 7 3 Hướng dẫn giải: Chọn A.

A. y = − x −

B. y = − x +

7 3

C. y = x −

7 3

D. y =

7 x 3

Ta có y′ = x 2 + 2 x và y ′′ = 2 x + 2 Theo giả thiết x0 là nghiệm của phương trình y ′′( x0 ) = 0 ⇔ 2 x + 2 = 0 ⇔ x0 = −1

4 7  Phương trình tiếp tuyến tại điểm A  −1; −  là: y = − x − 3 3  2x −1 Câu 23. Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số y = với trục tung. Phương trình tiếp tuyến với x−2 đồ thị hàm số trên tại điểm M là: 3 1 x− 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B.

A. y =

3 1 B. y = − x + 4 2

C. y =

3 1 x+ 4 2

3 1 D. y = − x − 2 2

 1 Vì M là giao điểm của đồ thị với trục Oy ⇒ M  0;   2 y′ =

−3 3 ⇒ k = y ′(0) = − 2 ( x − 2) 4

3 1 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M là: y = − x + 4 2 Câu 24. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 có đồ thị ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại giao

điểm của ( C ) với trục tung là: A. y = 3 x + 1 B. y = −8 x + 1 C. y = 8 x + 1 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Giao điểm của ( C ) với trục tung là A(0; 1) ⇒ y ′(0) = 3. Câu 25. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = A. – 2 Hướng dẫn giải: Ta có f ′( −1) = −2. Chọn đáp án A.

B. 0

D. y = 3 x − 1

x4 x2 + − 1 tại điểm có hoành độ x0 = −1 là: 4 2 C. 1 D. 2

1 3 x − 2 x 2 + 3 x + 1 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 3 nghiệm của phương trình y ′′ = 0 có phương trình: 11 1 1 11 A. y = x + . B. y = − x − . C. y = x + . D. y = − x + . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D.

Câu 26. Cho hàm số y =

Trang 105

Đạo hàm – ĐS&GT 11 y′ = x 2 − 4 x + 3 y ′′ = 2 x − 4 = 0 ⇔ x = 2 .

 5 Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ M  2;   3 5 11 ⇔ y = −x + . 3 3 Câu 27. Phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y = x 3 tại điểm M 0 (−1; − 1) là: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = y′(2) ( x − 2 ) +

A. y = 3 x − 2 . B. y = 3 x + 2 . C. y = 3 x + 3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. + y′ = 3 x 2 ⇒ y′( −1) = 3 + PTTT của (C ) tại điểm M 0 (−1; − 1) là y = 3( x + 1) − 1 ⇔ y = 3 x + 2 .

D. y = −3 x + 3 .

Câu 28. Phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y = x 3 tại điểm có hoành độ bằng 1 là: A. y = 3 x + 2 . B. y = 3 x − 2 . C. y = 3 x . D. y = 3 x − 3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. + y′ = 3 x 2 ⇒ y ′(1) = 3 . + x0 = 1 ⇒ y0 = y (1) = 1 . +PTTT của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 1 là: y = 3( x − 1) + 1 ⇔ y = 3 x − 2 . Câu 29. Cho hàm số y = f ( x) =

x 2 11 + , có đồ thị ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M có 8 2

hoành độ x0 = −2 là: 1 1 1 A. y = ( x + 2) + 7 . B. y = − ( x − 2) + 7 . C. y = − ( x + 2) + 6 . D. 2 2 2 1 y = − ( x + 2) − 6 . 2 Hướng dẫn giải: Đáp án C Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình là: y − y0 = f ′ ( x0 )( x − x0 ) f ′( x) =

1 x ⇒ f ′( −2) = − ; y0 = 6 4 2

Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng y = −

1 ( x + 2) + 6 2

x2 + x −1 tại điểm có hoành độ x0 = −1 là: x −1 4 5 4 5 C. y = x − . D. y = x + . 3 4 3 4

Câu 30. Phương trình tiếp tuyến của đường cong f ( x) =

3 5 3 5 B. y = x + . x− . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình là: y − y0 = f ′ ( x0 )( x − x0 )

A. y =

 x 2 + x − 1 ′ x 2 − 2 x 3 1 f ′( x) =  , f ′ ( −1) = ; y ( −1) =  = 2 4 2  x − 1  ( x − 1)

Trang 106

Đạo hàm – ĐS&GT 11 3 5 x+ . 4 4 Câu 31. Cho hàm số y = f ( x) = x 2 + 5 x + 4 , có đồ thị ( C ) . Tại các giao điểm của ( C ) với trục Ox , Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x0 = −1 có dạng y =

tiếp tuyến của ( C ) có phương trình:

A. y = 3 x + 3 và y = −3 x − 12 . C. y = −3 x + 3 và y = 3 x − 12 . Hướng dẫn giải:. Đáp án A. Xét phương trình hoành độ giao điểm.  x = −1 x2 + 5x + 4 = 0 ⇔   x = −4 f ′ ( x) = 2x + 5

B. y = 3 x − 3 và y = −3 x + 12 . D. y = 2 x + 3 và y = −2 x − 12 .

TH1: x0 = −1; y0 = 0;f ′ ( −1) = 3 PTTT có dạng : y = 3 x + 3 TH2: x0 = −4; y0 = 0;f ′ ( −4 ) = −3 PTTT có dạng : y = −3 x − 12

π  Câu 32. Phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f ( x ) = tan  − 3 x  tại điểm có hoành độ 4  x0 =

π 6

là:

A. y = − x +

+6.

6 Hướng dẫn giải: Chọn C −3 ; f ′( x) =  2 π cos  − 3 x  4 

B. y = − x −

π 6

−6.

C. y = −6 x + π − 1 .

D. y = − x −

π 6

+ 6.

; y0 = −1 ; f ′ ( x0 ) = −6 6 Phương trình tiếp tuyến: y = −6 x + π − 1 . x0 =

3  Câu 33. Cho hàm số y = 2x 3 − 3x 2 + 1 có đồ thị ( C ) , tiếp tuyến với ( C ) nhận điểm M 0  ; y0  làm 2   tiếp điểm có phương trình là: 9 9 27 9 23 9 x 31 A. y = x . B. y = x − . C. y = x − . D. y = − . 2 2 4 2 4 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Tập xác định: D = ℝ. 3 Ta có x0 = ⇒ y0 = 1 . 2 Đạo hàm của hàm số y′ = 6 x 2 − 6 x . 9 3  Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M 0  ; y0  là k = . 2 2 

Trang 107

Đạo hàm – ĐS&GT 11 9 23 x− 2 4 Câu 34. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 6 x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biếthoành độ tiếp điểm bằng 1 A. y = 3 x − 6 B. y = 3 x − 7 C. y = 3 x − 4 D. y = 3 x − 5 Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Phương trình của tiếp tuyến là y =

Ta có: y ' = 3 x 2 + 6 x − 6 . Ta có: x0 = 1 ⇒ y0 = −1, y '(1) = 3 Phương trình tiếp tuyến là: y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 = 3( x − 1) − 1 = 3 x − 4

Câu 35. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 6 x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tung độ tiếp điểm bằng 9  y = 18 x + 81  y = x + 81  y = 18 x + 1  y = x + 81    A.  y = −9 x B.  y = 9 x C.  y = −9 x D.  y = −9 x  y = 18 x − 27  y = 9 x − 2  y = 9 x − 7  y = 9 x − 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Ta có: y ' = 3 x 2 + 6 x − 6 . Ta có: y0 = 9 ⇔ x03 + 3 x02 − 6 x0 − 8 = 0 ⇔ x0 = −1, x0 = 2, x0 = −4 . • x0 = −4 ⇒ y '( x0 ) = 18 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 18( x + 4) + 9 = 18 x + 81 • x0 = −1 ⇒ y '( x0 ) = −9 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −9( x + 1) + 9 = −9 x • x0 = 2 ⇒ y '( x0 ) = 18 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 18( x − 2) + 9 = 18 x − 27 .

Câu 36. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biếthoành độ tiếp điểm bằng 0 A. y = −3 x + 12 B. y = −3 x + 11 C. y = −3 x + 1 D. y = −3 x + 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: y ' = 3 x 2 − 3 . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Ta có: x0 = 0 ⇒ y0 = 1, y '( x0 ) = −3 Phương trình tiếp tuyến: y = −3 x + 1 .

Câu 37. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp điểm bằng 3 A. y = 9 x − 1 hay y = 3 B. y = 9 x − 4 hay y = 3 C. y = 9 x − 3 hay y = 3 D. y = 9 x − 13 hay y = 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: y ' = 3 x 2 − 3 . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Ta có: y0 = 3 ⇔ x03 − 3 x0 − 2 = 0 ⇔ x0 = 2, x0 = −1 • x0 = −1 ⇒ y '( x0 ) = 0 . Phương trình tiếp tuyến: y = 3

Trang 108

Đạo hàm – ĐS&GT 11 • x0 = 2 ⇒ y '( x0 ) = 9 . Phương trình tiếp tuyến: y = 9( x − 2) + 3 = 9 x − 13 .

Câu 38. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 2 x 4 − 4 x 2 + 1 biết tung độ tiếp điểm bằng 1 y =1 y =1 y =1 y =1     A.  y = 8 2 x − 5 B.  y = 8 2 x − 15 C.  y = 8 2 x − 1 D.  y = 8 2 x − 10  y = −8 2 x − 5  y = −8 2 x − 15  y = −8 2 x − 1  y = −8 2 x − 10     Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: y ' = 8 x3 − 8 x Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có: y0 = 1 ⇔ 2 x04 − 4 x02 = 0 ⇔ x0 = 0, x0 = ± 2 • x0 = 0 ⇒ y '( x0 ) = 0 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 1 • x0 = 2 ⇒ y '( x0 ) = 8 2 . Phương trình tiếp tuyến

(

)

y = 8 2 x − 2 + 1 = 8 2 x − 15 • x0 = − 2 ⇒ y '( x0 ) = −8 2 . Phương trình tiếp tuyến

(

)

y = −8 2 x + 2 + 1 = −8 2 x − 15 .

Câu 39. Cho hàm số y = x 4 + x 2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biếttung độ tiếp điểm bằng 1 A. y = 2 B. y = 1 C. y = 3 D. y = 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: y ' = 4 x 3 + 2 x . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Ta có y0 = 1 ⇔ x04 + x02 = 0 ⇔ x0 = 0 , y '( x0 ) = 0 Phương trình tiếp tuyến: y = 1 2x + 2 Câu 40. Cho hàm số y = (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tung độ tiếp điểm bằng x −1 −2 .  y = −x + 7  y = −x + 7  y = − x + 27  y = − x + 27 A.  B.  C.  D.   y = − x −1  y = − x − 21  y = − x − 21  y = − x −1 2x + 2 −4 . ∆: y = ( x − x0 ) + 0 2 ( x0 − 1) x0 − 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. −4 Hàm số xác định với mọi x ≠ 1 . Ta có: y ' = ( x − 1) 2 Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng −1 nên ta có 4 − = −1 ⇔ x0 = 3, x0 = −1 ( x0 − 1) 2

Trang 109

Đạo hàm – ĐS&GT 11 • x0 = 2 ⇒ y0 = 4 ⇒ ∆ : y = − x + 7 • x0 = −1 ⇒ y0 = 0 ⇒ ∆ : y = − x − 1 ax + b Câu 41. Cho hàm số y = , có đồ thị là ( C ) . Tìm a, b biết tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại giao điểm x−2 1 của ( C ) và trục Ox có phương trình là y = − x + 2 2 A. a = − 1, b = 1 B. a = − 1, b = 2 C. a = − 1, b = 3 D. a = − 1, b = 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 Giao điểm của tiếp tuyến d : y = − x + 2 với trục Ox là A ( 4;0 ) , hệ số góc của d : k = − và 2 2 4a + b A ( 4;0 ) , ∈ (C ) ⇔ = 0 ⇔ 4a + b = 0 . 2 −2a − b −2a − b Ta có: y ' = ⇒ y ( 4) = 2 ( x − 2) 4 −2 a − b 1 1 1 Theo bài toán thì: k = − ⇔ y '(4) = − ⇔ = − ⇔ 2a + b = 2 2 2 4 2 4a + b = 0 Giải hệ  ta được a = − 1, b = 4 2a + b = 2 Câu 42. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 1 có đồ thị là ( C ) . Giả sử ( d ) là tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có

hoành độ x = 2 , đồng thời ( d ) cắt đồ thị ( C ) tại N, tìm tọa độ N .

A. N (1; −1) B. N ( 2;3) C. N ( −4; −51) Hướng dẫn giải: Chọn C. Tiếp tuyến ( d ) tại điểm M của đồ thị ( C ) có hoành độ x0 = 2 ⇒ y0 = 3

D. N ( 3;19 )

Ta có y '( x ) = 3 x 2 − 3 ⇒ y '( x0 ) = y '(2) = 9 Phương trình tiếp tuyến ( d ) tại điểm M của đồ thị ( C ) là y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇒ y = 9( x − 2) + 3 ⇒ y = 9 x − 15 Xét phương trình x 3 − 3 x + 1 = 9 x − 15 ⇔ x 3 − 12 x + 16 = 0 ⇔ ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x − 8 ) = 0

⇔ x = −4 hoặc x = 2 ( không thỏa ) Vậy N ( −4; −51) là điểm cần tìm Câu 43. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 11x − 1 tại điểm có tung độ bằng 5. A. y = 2 x + 1 ; y = − x + 2 ; y = 2 x − 1 B. y = 2 x + 3 ; y = − x + 7 ; y = 2 x − 2 C. y = 2 x + 1 ; y = − x + 2 ; y = 2 x − 2 D. y = 2 x + 3 ; y = − x + 7 ; y = 2 x − 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: y = 5 ⇔ x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 = 0 ⇔ x = 1; x = 2; x = 3 Phương trình các tiếp tuyến: y = 2 x + 3 ; y = − x + 7 ; y = 2 x − 1 Trang 110

Đạo hàm – ĐS&GT 11 2x + m +1 (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 = 2 x −1 25 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . 2 23 23 23 23      m = −2; m = − 9  m = 2; m = 9  m = −2; m = − 9  m = 2; m = − 9 A.  B.  C.  D.   m = −7; m = − 28  m = −7; m = − 28  m = 7; m = 28  m = −7; m = 28     9 9 9 9 Hướng dẫn giải: Chọn A. −m − 3 Ta có: y ' = ( x − 1) 2 Ta có x0 = 2 ⇒ y0 = m + 5, y '( x0 ) = − m − 3 . Phương trình tiếp tuyến ∆ của (Cm) tại điểm có hoành độ

Câu 44. Cho hàm số y =

x0 = 2 là: y = ( − m − 3)( x − 2) + m + 5 = ( − m − 3) x + 3m + 11 .  3m + 11  • ∆ ∩ Ox = A ⇒ A  ;0  , với m + 3 ≠ 0  m+3  • ∆ ∩ Oy = B ⇒ B ( 0;3m + 11) 1 1 (3m + 11) 2 Suy ra diện tích tam giác OAB là: S = OA.OB = 2 2 m+3

Theo giả thiết bài toán ta suy ra:

1 (3m + 11) 2 25 = 2 m+3 2

9m 2 + 66m + 121 = 25m + 75 ⇔ (3m + 11) 2 = 25 m + 3 ⇔  2 9m + 66m + 121 = −25m − 75 23   m = −2; m = − 9 9m 2 + 41m + 46 = 0 ⇔ 2 ⇔ . 28 m m 9 + 91 + 196 = 0   m = −7; m = −  9

Câu 45. Giả sử tiếp tuyến của ba đồ thị y = f ( x), y = g ( x), y =

f ( x) tại điểm của hoành độ x = 0 g ( x)

bằng nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. 1 1 1 A. f (0) < B. f (0) ≤ C. f (0) > 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. f '(0).g (0) − g '(0) f (0) Theo giả thiết ta có: f '(0) = g '(0) = g 2 (0)  f '(0) = g '(0) 2 1  1 1  2 ⇔  g (0) − f (0) ⇒ f (0) = g (0) − g (0) = −  g (0) −  ≤ 4  2 4 1 = g 2 (0) 

Trang 111

D. f (0) ≥

1 4

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 46. Tìm trên (C) : y = 2 x 3 − 3 x 2 + 1 những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8. A. M ( −1; −4) B. M (−2; −27) C. M (1; 0) D. M (2;5) Hướng dẫn giải: Chọn A. Giả sử M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) ⇒ y0 = 2 x03 − 3 x02 + 1 . Ta có: y′ = 3 x 2 − 6 x . Phương trình tiếp tuyến∆ tại M: y = (6 x02 − 6 x0 )( x − x0 ) + 2 x03 − 3 x02 + 1 .

∆ đi qua P (0;8) ⇔ 8 = −4 x03 + 3 x02 + 1 ⇔ x0 = −1 . Vậy M ( −1; −4) . x Câu 47. Phương trình tiếp tuyến của đường cong f ( x) = tại điểm M ( −1; − 1) là: x+2 A. y = −2 x − 1 . B. y = −2 x + 1 . C. y = 2 x + 1 . D. y = 2 x − 1 . Hướng dẫn giải: Chọn C 2 f ′( x) = 2 ( x + 2) Ta có x0 = −1; y0 = −1; f ′ ( x0 ) = 2 Phương trình tiếp tuyến y = 2 x + 1 . Câu 48. Tiếp tuyến của parabol y = 4 − x 2 tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích của tam giác vuông đó là: 25 5 5 25 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. + y ′ = −2 x ⇒ y ′(1) = −2 . +PTTT tại điểm có tọa độ (1;3) là: y = −2( x − 1) + 3 ⇔ y = −2 x + 5 ( d ) . 5  + Ta có (d ) giao Ox tại A  ;0  , giao Oy tại B (0;5) khi đó (d ) tạo với hai trục tọa độ tam giác 2  vuông OAB vuông tại O . 1 1 5 25 Diện tích tam giác vuông OAB là: S = OA.OB = . .5 = . 2 2 2 4 1 Câu 49. Trên đồ thị của hàm số y = có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa x −1 độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:  1  3 4 3  A. ( 2;1) . B.  4;  . C.  − ; −  . D.  ; −4  . 3 4 7 4       Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 Ta có: y ' = − . Lấy điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) . 2 ( x − 1) Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y = −

( x0 − 1)

Giao với trục hoành: ( ∆ ) ∩ Ox=A ( 2 x0 − 1;0 ) .

Trang 112

. ( x − x0 ) +

1 x0 − 1

(∆) .

Đạo hàm – ĐS&GT 11  2x −1  0 Giao với trục tung: ( ∆ ) ∩ Oy=B  0;   ( x − 1)2  0   2

SOAB

 2x −1  1 3 3  = OA.OB ⇔ 4 =  0  ⇔ x0 = . Vậy M  ; −4  . 2 4 4   x0 − 1 

Câu 50. Cho hàm số y = f ( x) = − x 2 + 5 , có đồ thị ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M có tung độ y0 = −1 với hoành độ x0 < 0 là

(

)

A. y = 2 6 x + 6 − 1 .

B. y = −2 6 ( x + 6 ) − 1 .

C. y = 2 6 ( x − 6 ) + 1 .

D. y = 2 6 x − 6 − 1 .

(

)

Hướng dẫn giải: Chọn A f ′ ( x ) = −2 x Do x0 < 0 nên x0 = − 6 ; f ′ ( x0 ) = 2 6 .

(

)

Phương trình tiếp tuyến: y = 2 6 x + 6 − 1 . 4

Câu 51. Cho hàm số y = x − 8 x + m + 1 (Cm ) . Giả sử rằng tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ x0 = 1 luôn cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm.

( C. A(1; m − 6), B ( −1 ±

) 2)

A. A(1; m − 6), B −1 ± 3; m + 18 ± 3 2; m + 18 ±

( D. A(1; m − 6), B ( −1 ±

) 6)

B. A(1; m − 6), B −1 ± 7; m + 18 ∓ 7 6; m + 18 ∓

Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: y ' = 4 x3 − 16 x Vì x0 = 1 ⇒ y0 = m − 6, y '( x0 ) = −12 . Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 = 1 là: y = −12( x − 1) + m − 6 = −12 x + m + 6 . Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với d x 4 − 8 x 2 + m + 1 = −12 x + m + 6 ⇔ x 4 − 8 x 2 + 12 x − 5 = 0 ⇔ ( x − 1) 2 ( x 2 + 2 x − 5) = 0 ⇔ x = 1, x = −1 ± 6 Vậy d và (Cm) luôn cắt nhau tại ba điểm phân biệt

(

A(1; m − 6), B −1 ± 6; m + 18 ∓ 6

Câu 52. Cho hàm số y =

)

2x + m +1 (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 = 0 x −1

đi qua A(4;3) 16 6 1 16 A. m = − B. m = − C. m = − D. m = − 5 5 5 15 Hướng dẫn giải: Chọn D. −m − 3 Ta có: y ' = ( x − 1) 2 Vì x0 = 0 ⇒ y0 = −m − 1, y '( x0 ) = − m − 3 . Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 = 0 là: Trang 113

Đạo hàm – ĐS&GT 11 y = ( − m − 3) x − m − 1

16 . 5 Câu 53. Cho hàm số y = x 4 + 2 x 2 − 3 . Tìm phương trìnhtiếp tuyếncủa hàm sốcó khoảng cách đến điểm 5 M ( 0; −3) bằng . 65 A. y = 2 x + 1 B. y = 3 x − 2 C. y = 7 x + 6 D. Đáp án khác Hướng dẫn giải: Gọi A ∈ ( C ) ⇒ A ( a; a 4 + 2 a 2 − 3 ) Tiếp tuyến đi qua A khi và chỉ khi: 3 = (− m − 3)4 − m − 1 ⇔ m = −

Ta có: y ' = 4 x3 + 4 x ⇒ y ' ( a ) = 4a 3 + 4a Phương trình tiếp tuyến ( t ) : ( 4a 3 + 4a ) x − y − 3a 4 − 2 a 2 − 3 = 0

d ( M ; (t )) =

5 hay 65

3a 4 + 2a 2

( 4a

+ 4a ) + 1

5 hay 65

5 ( a − 1)( a + 1) (117 a 6 + 193a 4 + 85a 2 + 5 ) = 0

Giải tìm a, sau đó thế vào phương trình (t) suy ra các phương trình tiếp tuyến cần tìm. x4 x2 Câu 54. Cho hàm số y = + + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết 4 2 9 khoảng cách từ điểm A(0;3) đến (d) bằng . 4 5 1 3 3 3 A. y = 2 x + , y = −2 x + B. y = 2 x + , y = −2 x + 4 4 4 14 3 3 3 3 D. y = 2 x + , y = −2 x + C. y = 2 x + , y = −2 x + 4 4 14 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y = y '( x0 )( x − x0 + + y ( x0 ) (trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của (d)với (C)). Phương trình (d): y = ( x03 + x0 )( x − x0 ) +

x04 x02 3 1 + + 2 = ( x03 + x0 ) x − x04 − x02 + 2 4 2 4 2

3 4 1 2 x0 − x0 + 2 = 0. 4 2 3 1 − x04 − x02 − 1 9 9 4 2 d ( A;( d )) = ⇔ = 3 2 4 5 4 5 ( x0 + x0 ) + 1

⇔ ( x03 + x0 ) x − y −

⇔ 3 x04 + 2 x02 + 4 5 = 9 x02 ( x02 + 1) 2 + 1 ⇔ 5(3 x04 + 2 x02 + 4) 2 = 81[ x02 ( x02 + 1) 2 + 1]

Đặt t = x02 , t ≥ 0 . Phương trình (1) trở thành: 5(3t 2 + 2t + 4) 2 = 81[t (t + 1) 2 + 1] ⇔ 5(9t 4 + 4t 2 + 16 + 12t 3 + 24t 2 + 16t ) = 81t 3 + 162t 2 + 81t + 81 ⇔ 45t 4 − 21t 3 − 22t 2 − t − 1 = 0 ⇔ (t − 1)(45t 3 + 24t 2 + 2t + 1) = 0 ⇔ t = 1 ( do t ≥ 0 nên 45t 3 + 24t 2 + 2t + 1 > 0)

Trang 114

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Với t = 1 ,ta có x02 = 1 ⇔ x0 = ±1 . 3 3 Suy ra phương trình tiếp tuyến (d): y = 2 x + , y = −2 x + 4 4 4 2 Câu 55. Cho hàm số y = ax + bx + c (a ≠ 0) , có đồ thị là ( C ) . Tìm a, b, c biết ( C ) có ba điểm cực trị,

điểm cực tiểu của ( C ) có tọa độ là ( 0;3) và tiếp tuyến d của ( C ) tại giao điểm của ( C ) với trục Ox có phương trình là y = −8 3 x + 24 . A. a = −1, b = 2, c = 3 C. a = −1, b = 21, c = 13 Hướng dẫn giải: Chọn A.

B. a = 1, b = 21, c = 3 D. a = −12, b = 22, c = 3

( C ) có ba điểm cực trị, điểm cực tiểu của ( C ) Giao điểm của tiếp tuyến d và trục Ox là B

(

a < 0 , b > 0 có tọa độ là ( 0;3) ⇔  c = 3 3; 0 và hệ số góc của d là −8 3

)

9a + 3b + c = 0  B ∈ (C ) 9a + 3b + c = 0 . ⇔ ⇔ ⇔ 3  6 a + b = −4  y ' 3 = −8 3  4a 3 + 2b 3 = −8 3 c = 3  Giải hệ 9a + 3b + c = 0 ta được a = −1, b = 2, c = 3 ⇒ y = − x 4 + 2 x 2 + 3  6 a + b = −4  2x + 2 Câu 56. Cho hàm số: y = có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C) biếttiếp x −1 tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân. A. y = − x − 1, y = − x + 6 . B. y = − x − 2 y = − x + 7 . D. y = − x − 1, y = − x + 7 . C. y = − x − 1, y = − x + 5 . Hướng dẫn giải: Chọn D. −4 Hàm số đã cho xác định với ∀x ≠ 1 . Ta có: y ' = 2 ( x − 1)

( )

Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y=

−4

( x0 − 1)

( x − x0 ) +

2 x0 + 2 2x + 2 −4 với y ' ( x0 ) = và y0 = 0 2 x0 − 1 x0 − 1 ( x0 − 1)

Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng ±1 . Mặt khác: y ' ( x0 ) < 0 , nên có: y ' ( x0 ) = −1 Tứ c

−4

( x0 − 1)

= −1 ⇔ x0 = −1 hoặc x0 = 3 .

∗ Với x0 = −1 ⇒ y0 = 0 ⇒ ∆ : y = − x − 1 ∗ Với x0 = 3 ⇒ y0 = 4 ⇒ ∆ : y = − x + 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y = − x − 1, y = − x + 7 .

Trang 115

Đạo hàm – ĐS&GT 11 2x + 2 có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C) biếttiếp x −1 tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2 . 4 1 4 2 A. y = − x − , y = 4 x + 14 . B. y = − x − , y = 4 x + 1 . 9 9 9 9 4 1 4 2 C. y = − x − , y = 4 x + 1 . D. y = − x − , y = 4 x + 14 . 9 9 9 9 Hướng dẫn giải: Chọn D. −4 Hàm số đã cho xác định với ∀x ≠ 1 . Ta có: y ' = 2 ( x − 1)

Câu 57. Cho hàm số: y =

Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y=

−4

( x0 − 1)

( x − x0 ) +

2 x0 + 2 2x + 2 −4 với y ' ( x0 ) = và y0 = 0 2 x0 − 1 x0 − 1 ( x0 − 1)

2  Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến trục Oy bằng 2 suy ra x0 = ±2 , hay M  −2;  , M ( 2;6 ) . 3  2 4 2  Phương trình tiếp tuyến tại M  −2;  là: y = − x − 3 9 9  Phương trình tiếp tuyến tại M ( 2;6 ) là: y = 4 x + 14 4 2 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = − x − , y = 4 x + 14 . 9 9 2 x + 2mx + 2m 2 − 1 Câu 58. Tìm m để đồ thị hàm số y = cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các x −1 tiếp tuyếnvới ( Cm ) tại hai điểm này vuông góc với nhau. 2 B. m = −1 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Hàm số đã cho xác định trên ℝ \ {1} .

A. m =

2 C. m = , m = −1 3

D. m = 0

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( Cm ) và trục hoành: x 2 + 2mx + 2m 2 − 1 = 0 ⇔ x 2 + 2mx + 2m 2 − 1 = 0, ( x ≠ 1) (1) x −1 Để ( Cm ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt 2 2  −1 < m < 1 (1 − m )(1 + m ) > 0  ∆ ' = m − 2m + 1 > 0 khác 1 . Tức là ta phải có:  hay  tứ c  ( 2) . 2 1 + 2m + 2m − 1 ≠ 0 m ≠ 0  2m ( m + 1) ≠ 0 Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của (1) . Theo định lý Vi – ét, ta có: x1 + x2 = −2m, x1.x2 = 2m 2 − 1

Giả sử I ( x0 ;0 ) là giao điểm của ( Cm ) và trục hoành. Tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm I có hệ số góc y ' ( x0 ) =

( 2 x0 + 2m )( x0 − 1) − ( x02 + 2mx0 + 2m 2 − 1) 2 x0 + 2m = 2 x0 − 1 ( x0 − 1)

Trang 116

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Như vậy, tiếp tuyến tại A, B lần lượt có hệ số góc là y ' ( x1 ) =

2 x1 + 2m 2 x + 2m , y ' ( x2 ) = 2 . x1 − 1 x2 − 1

Tiếp tuyến tại A, B vuông góc nhau khi và chỉ khi y ' ( x1 ) y ' ( x2 ) = −1 hay

 2 x1 + 2m  2 x2 + 2m  2 2    = −1 ⇔ 5 x1.x2 + ( 4m − 1)( x1 + x2 ) + 4m + 1 = 0 tức 3m + m − 2 = 0 ⇔ m = −1 1 x 1 x − −  1  2  2 2 hoặc m = . Đối chiếu điều kiện chỉ có m = thỏa mãn. 3 3

Trang 117

Đạo hàm – ĐS&GT 11

DẠNG 2: TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC K CHO TRƯỚC Câu 1. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

2 − 3x tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục x −1

hoành bằng :

A. 9 .

1 . 9

C. −9.

1 D. − . 9

Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D = ℝ \ {1} . Đạo hàm: y′ =

( x − 1)

2  Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A  ; 0  . 3  2 Hệ số góc của tiếp tuyến là y′   = 9. 3 x3 Câu 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = + 3 x 2 − 2 có hệ số góc k = −9, có phương trình là : 3 A. y − 16 = −9( x + 3). B. y = −9( x + 3). C. y − 16 = −9( x − 3). D. y + 16 = −9( x + 3). Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D = ℝ. Đạo hàm: y′ = x 2 + 6 x. 2

k = −9 ⇔ y ′ ( xo ) = −9 ⇔ xo2 + 6 xo = −9 ⇔ ( xo + 3) = 0 ⇔ xo = −3 ⇒ yo = 16

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là ( d ) : y = −9 ( x + 3) + 16 ⇔ y − 16 = −9 ( x + 3) .

Câu 3. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = A. −2. B. 2. Hướng dẫn giải: Chọn B. Tập xác định: D = ℝ \ {−1} . Đạo hàm: y′ =

( x + 1)

x −1 tại giao điểm với trục tung bằng : x +1 C. 1. D. −1.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có xo = 0 ⇒ yo′ = 2 . Câu 4. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 có đồ thị ( C ) . Có bao nhiêu tiếp tuyến của ( C ) song song đường thẳng y = 9 x + 10 ? A. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. Tập xác định: D = ℝ. Đạo hàm: y′ = 3x 2 − 6 x.

Trang 118

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Đạo hàm – ĐS&GT 11

 xo = 3 . k = 9 ⇒ 3 xo2 − 6 xo − 9 = 0 ⇔ xo2 − 2 xo − 3 = 0 ⇔   xo = −1 Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 5. Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số y = x 4 + x . Tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường thẳng d : x + 5 y = 0 có phương trình là: A. y = 5 x − 3 . B. y = 3 x − 5 . C. y = 2 x − 3 . D. y = x + 4 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có : y′ = 4 x3 + 1 1 Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = − x nên tiếp tuyến có hệ số góc y′ ( x0 ) = 4 x03 + 1 = 5 5 ⇒ x0 = 1 ( y0 = 2 ) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M (1; 2 ) có dạng

y = 5 ( x − 1) + 2 = 5 x − 3 . x 2 + 3x + 2 . Tìm tọa độ các điểm trên ( C ) mà tiếp tuyến tại đó x −1 với ( C ) vuông góc với đường thẳng có phương trình y = x + 4 .

Câu 6. Gọi ( C ) là đồ thị hàm số y =

A. (1 + 3;5 + 3 3), (1 − 3;5 − 3 3).

B. ( 2; 12 ) .

C. ( 0; 0 ) . Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D = ℝ \ {1} . Đạo hàm:

D. ( −2; 0 ) .

( 2 x + 3)( x − 1) − ( x 2 + 3x + 2 ) x 2 − 2 x − 5 . = y′ = 2 2 ( x − 1) ( x − 1)

Giả sử xo là hoành độ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán ⇒ y′ ( xo ) = −1 ⇒

xo2 − 2 xo − 5

( xo − 1)

= −1 ⇒ xo2 − 2 xo − 5 = − ( xo − 1)

⇔ 2 xo2 − 4 xo − 4 = 0 ⇔ xo2 − 2 xo − 2 = 0

⇔ xo = 1 ± 3 ⇒ y = 5 ± 3 3. Câu 7. Biết tiếp tuyến ( d ) của hàm số y = x3 − 2 x + 2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Phương trình ( d ) là:

18 − 5 3 1 18 + 5 3 , y = −x + . + 9 9 3 3 B. y = x, y = x + 4.

A. y = − x +

18 − 5 3 1 18 + 5 3 , y = −x − . + 9 9 3 3 D. y = x − 2, y = x + 4. Hướng dẫn giải:

C. y = − x +

Trang 119

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Tập xác định: D = ℝ. Chọn C. y′ = 3x 2 − 2. Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình ∆ : x = y.

⇒ ( d ) có hệ số góc là −1. y′ ( xo ) = −1 ⇔ 3 xo2 − 2 = −1 ⇔ xo = ±

1 3

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1 18 − 5 3 1 18 + 5 3 , y = −x − . + (d ) : y = −x + + 9 9 3 3

Câu 8. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tan x tại điểm có hoành độ x = A. k = 1 .

B. k =

1 . 2

C. k =

2 . 2

π 4

D. 2 .

Hướng dẫn giải: Chọn D. y = tan x ⇒ y′ =

1 . cos 2 x

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tan x tại điểm có hoành độ x =

π  là k = y′   = 2 . 4 4

x 1 Câu 9. Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong y = f ( x ) = − sin tại điểm có hoành độ x0 = π là: 2 3 3 3 1 1 A. − . B. . C. − . D. . 12 12 12 12 Hướng dẫn giải: Chọn C x 1 π 1 1 f ′ ( x ) = − cos ⇒ f ′ (π ) = − cos = − 6 3 6 3 12

Câu 10. Cho hàm số y = x 3 – 6 x 2 + 7 x + 5 ( C ) . Tìm trên ( C ) những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm đó bằng −2 ? A. ( –1; –9 ) ; ( 3; –1) . B. (1;7 ) ; ( 3; –1) . C. (1;7 ) ; ( –3; –97 ) . D. (1;7 ) ; ( –1; –9 ) . Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Ta có y′ = 3 x 2 − 12 x + 7 . Hệ

số

góc

của

tiếp

tuyến

bằng

−2 ⇒ y′ ( x0 ) = −2 ⇔ 3 x02 − 12 x0 + 7 = −2

 x0 = 1 ⇒ y0 = 7 ⇔ 3 x02 − 12 x0 + 9 = 0 ⇔  .  x0 = 3 ⇒ y0 = −1 x2 + 3x + 3 Câu 11. Cho hàm số y = , tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng. x+2 d : 3 y – x + 6 = 0 là A. y = –3 x – 3; y = –3 x – 11 . B. y = –3 x – 3; y = –3 x + 11 . Trang 120

Đạo hàm – ĐS&GT 11 C. y = –3 x + 3; y = –3 x – 11 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 d : 3 y – x + 6 = 0 ⇔ y = x − 2 ⇒ kd = . 3 3

D. y = –3 x – 3; y = 3 x – 11 .

Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Ta có y′ =

x2 + 4x + 3

( x + 2)

Tiếp tuyến vuông góc với d ⇒ ktt .kd = −1 ⇔ ktt = −

1 = −3 ⇒ y′ ( x0 ) = −3 kd

3  x0 = −  2 . ⇔ = −3 ⇔ 4 x02 + 16 x0 + 15 = 0 ⇔  2 5 ( x0 + 2 ) x = −  0 2 3 3 3 3  Với x0 = − ⇒ y0 = ⇒ pttt: y = −3  x +  + ⇔ y = −3 x − 3 . 2 2 2 2  5 7 5 7  Với x0 = − ⇒ y0 = − ⇒ pttt: y = −3  x +  − ⇔ y = −3 x − 11 . 2 2 2 2  x02 + 4 x0 + 3

Câu 12. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = ( 2m –1) x 4 – m + vuông góc với đường thẳng d : 2 x – y – 3 = 0 . 3 1 A. . B. . 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. d : 2 x – y – 3 = 0 ⇔ y = 2 x − 3 ⇒ kd = 2 . 5 y = ( 2 m – 1) x 4 – m + ⇒ y ′ = 4 ( 2 m − 1) x 3 . 4

7 . 16

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = ( 2m –1) x 4 – m +

5 tại điểm có hoành độ x = –1 4

9 . 16

5 tại điểm có hoành độ x = –1 là 4

ktt = y ′ ( −1) = 4 ( 2m − 1)( −1) = −4 ( 2 m − 1) .

Ta có ktt .kd = −1 ⇔ −8 ( 2m − 1) = −1 ⇔ m =

9 16

ax + b có đồ thị cắt trục tung tại A ( 0; –1) , tiếp tuyến tại A có hệ số góc x −1 k = −3 . Các giá trị của a , b là A. a = 1 , b = 1 . B. a = 2 , b = 1 . C. a = 1 , b = 2 . D. a = 2 , b = 2 . Hướng dẫn giải: Chọn B. ax + b b A ( 0; –1) ∈ ( C ) : y = ⇒ = −1 ⇔ b = 1 . x −1 −1 −a − b Ta có y′ = . Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là k = y′ ( 0 ) = −a − b = −3 2 ( x − 1)

Câu 13. Cho hàm số y =

⇔ a = 3−b = 2. Trang 121

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 14. Điểm M trên đồ thị hàm số y = x3 – 3 x 2 – 1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là M ( −1; –3) , A. M (1; –3) , k = –3 . B. M (1;3) , k = –3 . C. M (1; –3) , k = 3 . D.

k = –3 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi M ( x0 ; y0 ) . Ta có y′ = 3 x 2 − 6 x . 2

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M là k = y ′ ( x0 ) = 3 x02 − 6 x0 = 3 ( x0 − 1) − 3 ≥ −3 Vậy k bé nhất bằng −3 khi x0 = 1 , y0 = −3 .

Câu 15. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 6 x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp 1 tuyến vuông góc với đường thẳng y = − x + 1 18 A. : y = 18 x + 8 và y = 18 x − 27 . B. : y = 18 x + 8 và y = 18 x − 2 . C. : y = 18 x + 81 và y = 18 x − 2 . D. : y = 18 x + 81 và y = 18 x − 27 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Ta có: y ' = 3 x 2 + 6 x − 6 . 1 x + 1 nên 18 Ta có: y '( x0 ) = 15 ⇔ x02 + 2 x0 − 8 = 0 ⇔ x0 = −4, x0 = 2 Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y = 18 x + 81 và y = 18 x − 27 .

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = −

Câu 16. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 A. y = 9 x − 1 hay y = 9 x + 17 B. y = 9 x − 1 hay y = 9 x + 1 C. y = 9 x − 13 hay y = 9 x + 1 D. y = 9 x − 13 hay y = 9 x + 17 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: y ' = 3 x 2 − 3 . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Ta có: y '( x0 ) = 9 ⇔ 3 x02 − 3 = 9 ⇔ x0 = ±2 • x0 = 2 ⇒ y0 = 3 . Phương trình tiếp tuyến: y = 9( x − 2) + 3 = 9 x − 13 . • x0 = −2 ⇒ y0 = −1 . Phương trình tiếp tuyến: y = 9( x + 2) − 1 = 9 x + 17 .

Câu 17. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với trục Oy. A. y = 2, y = −1 B. y = 3, y = −1 C. y = 3, y = −2 D. x = 3, x = −1 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: y ' = 3 x 2 − 3 . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Vì tiếp tuyến vuông góc với Oy nên ta có: y '( x0 ) = 0

Trang 122

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hay x0 = ±1 . Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y = 3, y = −1 .

Câu 18. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 2 x 4 − 4 x 2 + 1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 48 x − 1 . A. y = 48 x − 9 B. y = 48 x − 7 C. y = 48 x − 10 D. y = 48 x − 79 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: y ' = 8 x3 − 8 x Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 48 x − 1 Nên ta có: y '( x0 ) = 48 ⇔ x03 − x0 − 6 = 0 ⇔ x0 = 2 Suy ra y0 = 17 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 48( x − 2) + 17 = 48 x − 79 .

Câu 19. Cho hàm số y = x 4 + x 2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thng y = 6 x − 1 A. y = 6 x − 2 B. y = 6 x − 7 C. y = 6 x − 8 D. y = 6 x − 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: y ' = 4 x 3 + 2 x . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6 x − 1 nên ta có: y '( x0 ) = 6 ⇔ 4 x03 + 2 x0 = 6 ⇔ x0 = 1 ⇒ y0 = 3 Phương trình tiếp tuyến: y = 6 x − 3 . 2x + 2 Câu 20. Cho hàm số y = (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biếttiếp tuyến song song x −1 với đường thẳng d : y = −4 x + 1 .  y = −4 x + 2  y = −4 x + 21  y = −4 x + 2  y = −4 x + 12 A.  B.  C.  D.   y = −4 x + 14  y = −4 x + 14  y = −4 x + 1  y = −4 x + 14 Hướng dẫn giải: Chọn A. −4 Hàm số xác định với mọi x ≠ 1 . Ta có: y ' = ( x − 1) 2 Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): Vì tiếp tuyến song với đường thẳng d : y = −4 x + 1 nên ta có: −4 = −4 ⇔ x0 = 0, x0 = 2 . y '( x0 ) = −4 ⇔ ( x0 − 1) 2 • x0 = 0 ⇒ y0 = 2 ⇒ ∆ : y = −4 x + 2 • x0 = 2 ⇒ y0 = 6 ⇒ ∆ : y = −4 x + 14 . 2x + 2 Câu 21. Cho hàm số y = (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biếtbiết tiếp tuyến tạo với x −1 hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.  y = − x − 11  y = − x − 11  y = −x −1  y = − x −1 A.  B.  C.  D.   y = −x + 7  y = − x + 17  y = − x + 17  y = −x + 7

Trang 123

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn A.

−4 ( x − 1) 2 Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong hai đường phân giác y = ± x , do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng ±1 hay y '( x0 ) = ±1 . Mà y ' < 0, ∀x ≠ 1 nên ta có −4 y '( x0 ) = −1 ⇔ = −1 ⇔ x0 = −1, x0 = 3 ( x0 − 1) 2 • x0 = −1 ⇒ y0 = 0 ⇒ ∆ : y = − x − 1 • x0 = 3 ⇒ y0 = 4 ⇒ ∆ : y = − x + 7 . 2x +1 Câu 22. Cho hàm số y = (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biếttiếp tuyến vuông góc với x −1 1 đường thẳng y = x + 2 3 A. y = −3 x − 11 hay y = −3 x + 11 B. y = −3 x − 11 hay y = −3 x + 1 C. y = −3 x − 1 hay y = −3 x + 1 D. y = −3 x − 1 hay y = −3 x + 11 Hướng dẫn giải: Chọn D. −3 1 . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm.Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x + 2 Ta có y ' = ( x − 1) 2 3 nên ta có −3 = −3 ⇔ x0 = 0, x0 = 2 y '( x0 ) = −3 ⇔ ( x0 − 1) 2 • x0 = 0 ⇒ y0 = −1 , phương trình tiếp tuyến là: y = −3 x − 1 • x0 = 2 ⇒ y0 = 5 , phương trình tiếp tuyến là: y = −3( x − 2) + 5 = −3 x + 11 . Hàm số xác định với mọi x ≠ 1 . Ta có: y ' =

Câu 23. Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + 8 x + 5 có đồ thị là ( C ) . Khẳng định nào sau đây đúng nhất ? A.Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau B.Luôn có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau C.Hàm số đi qua điểm M (1;17 ) D.Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có y '( x) = 3 x 2 − 4 x + 8 Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị ( C ) vuông góc với nhau. Gọi x1 , x2 tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó. Gọi k1 , k2 lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên ( C ) có hoành độ x1 , x2 . Khi đó k1 , k 2 = −1 ⇒ y ' ( x1 ) . y ' ( x2 ) = −1 ⇒ ( 3 x12 − 4 x1 + 8 )( 3 x2 2 − 4 x2 + 8 ) = −1 (1)

Trang 124

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Tam thức f ( t ) = 3t 2 − 4t + 8 có ∆ ' < 0 nên f ( t ) > 0∀t ∈ R từ đó và từ (1) suy ra mâu thuẫn. Vậy, giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm) x 2 − 3x + 1 Câu 24. Cho hàm số y = và xét các phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 của đồ thị x−2 hàm số là A. y = 2 x –1; y = 2 x – 3 . B. y = 2 x – 5; y = 2 x – 3 . C. y = 2 x –1; y = 2 x – 5 . D. y = 2 x –1; y = 2 x + 5 . Hướng dẫn giải: Chọn A. x2 − 4x + 5 Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Ta có y′ = . 2 ( x − 2) Hệ số góc của tiếp tuyến k = 2 ⇒ y′ ( x0 ) = 2 ⇔

x02 − 4 x0 + 5

( x0 − 2 )

 x0 = 1 = 2 ⇔ x02 − 4 x0 + 3 = 0 ⇔  .  x0 = 3

Với x0 = 1 ⇒ y0 = 1 ⇒ pttt: y = 2 ( x − 1) + 1 ⇔ y = 2 x − 1 . Với x0 = 3 ⇒ y0 = 1 ⇒ pttt: y = 2 ( x − 3) + 1 ⇔ y = 2 x − 5 . Vậy hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2 x –1 , y = 2 x – 5 .

Câu 25. Cho hàm số y = x 2 − 6 x + 5 có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là: A. x = −3. B. y = −4. C. y = 4. D. x = 3. Hướng dẫn giải: Chọn B. Tập xác định: D = ℝ. Đạo hàm: y ′ = 2 x − 6. Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên ta có: y′ ( xo ) = 0 ⇒ 2 xo − 6 = 0 ⇔ xo = 3 ⇒ yo = −4 ⇒ d : y = −4. Câu 26. Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng A. −3 . B. 3 . C. 4 . D. 0 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Tập xác định: D = ℝ. 2 Đạo hàm: y ′ = 3 x 2 − 6 x = 3 ( x − 1) − 3 ≥ −3 . Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng −3 . 4 Câu 27. Cho hàm số y = 2 − có đồ thị ( H ) . Đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng x d : y = − x + 2 và tiếp xúc với ( H ) thì phương trình của ∆ là A. y = x + 4. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Tập xác định: D = ℝ \ {0} . Trang 125

y = x −2 B.  . y = x + 4

y = x −2 C.  . y = x +6

D. Không tồn tại.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 4 x2 Đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d : y = − x + 2 nên ∆ có hệ số góc bằng 1. Ta có phương x = 2 4 trình 1 = 2 ⇔  . x  x = −2 Tại M ( 2;0 ) . Phương trình tiếp tuyến là y = x − 2 .

Đạo hàm: y ′ =

Tại N ( −2; 4 ) . Phương trình tiếp tuyến là y = x + 6 .

Câu 28. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C ) : y = x 3 + 3 x 2 − 8 x + 1 , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng ∆ : y = x + 2017 ? A. y = x + 2018 . B. y = x + 4 . C. y = x − 4 ; y = x + 28 . D. y = x − 2018 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Tập xác định: D = ℝ. Đạo hàm: y′ = 3 x 2 + 6 x − 8 . Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng ∆ : y = x + 2017 nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1. x =1 . Ta có phương trình 1 = 3 x 2 + 6 x − 8 ⇔   x = −3 Tại M (1; −3) . Phương trình tiếp tuyến là y = x − 4 . Tại N ( −3; 25 ) . Phương trình tiếp tuyến là y = x + 28 .

Câu 29. Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến song song với trục hoành của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x + 2 là A. x = 1 và x = −1 . B. x = −3 và x = 3 . C. x = 1 và x = 0 . D. x = 2 và x = −1 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Tập xác định: D = ℝ. Đạo hàm: y′ = 3 x 2 − 3 . x = 1 Tiếp tuyến song song với trục hoành có hệ số góc bằng 0 nên có phương trình 0 = 3 x 2 − 3 ⇔   x = −1 3 2 Câu 30. Cho hàm số y = − x + 3 x − 2 có đồ thị ( C ) . Số tiếp tuyến của ( C ) song song với đường thẳng y = −9 x là: A. 1. B. 3 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: y ' = −3 x 2 + 6 x . Lấy điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) .

C. 4 .

Tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng y = −9 x suy ra y ' ( x0 ) = −9

 x0 = −1 . ⇔ −3 x02 + 6 x0 + 9 = 0 ⇔   x0 = 3 Với x0 = −1 ⇒ y0 = 2 ta có phương trình tiếp tuyến: y = −9 x − 7. Với x0 = 3 ⇒ y0 = −2 ta có phương trình tiếp tuyến: y = −9 x + 25. Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn. Trang 126

D. 2 .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 31. Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( C ) : y = hoành bằng: A. −1 . B. 0 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2x Ta có: y ' = − . Lấy điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) . 2 ( x 2 − 1)

C. 1.

D. 2 .

Tiếp tuyến tại điểm M song song với trục hoành nên y ' ( x0 ) = 0 ⇔ −

Câu 32. Tiếp tuyến của hàm số y = A. 3 Hướng dẫn giải: Ta có: y ′ =

1 song song với trục x −1 2

2 x0

2 0

− 1)

= 0 ⇔ x0 = 0 .

x+8 tại điểm có hoành độ x0 = 3 có hệ số góc bằng x−2

B. −7

C. −10

D. −3

−10 −10 ⇒ k = y′( x0 ) = y′(3) = = −10 2 ( x − 2) (3 − 2) 2

x3 − 2 x 2 + x + 2 . Có hai tiếp tuyến của ( C ) cùng song song với 3 đường thẳng y = −2 x + 5 . Hai tiếp tuyến đó là

Câu 33. Gọi ( C ) là đồ thị hàm số y =

A. y = −2 x + 4 và y = −2 x − 2 2 và y = −2 x + 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn C.

C. y = −2 x +

B. y = −2 x −

4 và y = −2 x − 2 3

C. y = −2 x + 3 và y = −2 x − 1

Ta có y′ = x 2 − 4 x + 1 Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = −2 x + 5 ⇒ k = y ′ = −2

4   x0 = 1 y0 = y (1) =  Suy ra x − 4 x0 + 1 = −2 ⇔ x − 4 x0 + 3 = 0 ⇔  ⇔ 3   x0 = 3  y0 = y (3) = −4 2 0

2 0

Vậy d1 : y = −2 x +

2 và d 2 : y = −2 x + 2 3

Câu 34. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1 6 Hướng dẫn giải: Chọn C.

Trang 127

6 25

x +1 tại điểm A ( −1;0 ) có hệ số góc bằng x−5

C. −

1 6

D. −

6 25

Đạo hàm – ĐS&GT 11

−6 1 . Theo giả thiết: k = y′( −1) = − 2 ( x − 5) 6 2 Câu 35. Cho hàm số y = − x − 4 x + 3 có đồ thị ( P ) . Nếu tiếp tuyến tại điểm M của ( P ) có hệ số góc bằng 8 thì hoành độ điểm M là: Ta có y ′ =

A. 12 Hướng dẫn giải: Chọn B.

B. −6

C. −1

D. 5

Ta có y ′ = −2 x − 4 Gọi tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) . Vì tiếp tuyến tại điểm M của ( P ) có hệ số góc bằng 8 nên y′( x0 ) = 8 ⇔ −2 x0 − 4 = 8 ⇔ x0 = −6

Câu 36. Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 3 có đồ thị ( C ) . Số tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường thẳng y =

A. 1 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B.

1 x + 2017 là: 9 B. 2

C. 3

D. 0

1 x + 2017 có dạng ∆ : y = −9 x + c. 9  − x 3 + 3 x 2 − 3 = −9x + c  − x 3 + 3 x 2 − 3 = −9x + c  có nghiệm ⇔   x = −1 . ∆ là tiếp tuyến của ( C ) ⇔  2  −3x + 6 x = −9  x = 3 

Tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường thẳng y =

Vậy có hai giá trị c thỏa mãn. Câu 37. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f ( x) = − x3 + x + 2 tại điểm M (−2; 8) là: A. 11 . B. −12 C. −11. D. 6. Hướng dẫn giải: Ta có f ′( −2) = −11 Chọn đáp án C. x2 − 2x −1 Câu 38. Cho hàm số f ( x) = có đồ thị ( H ) . Tìm tất cả tọa độ tiếp điểm của đường thẳng x−2 ∆ song song với đường thẳng d : y = 2x − 1 và tiếp xúc với ( H ) .  1 A. M  0;   2 C. M1 ( 2; 3) và M 2 (1; 2 )

B. M ( 2; 3) D. Không tồn tại

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d : y = 2x − 1 có dạng ∆ : y = 2x + c (c ≠ -1). x2 − 2 x − 1 = 2x + c có nghiệm kép ⇔ x 2 + (c − 2) x + 1 − 2c = 0 có nghiệm x−2 2 c + 4c = 0 c = 0 ⇔ kép x ≠ 2 ⇔  c = −4 4 + 2(c − 2) + 1 − 2c ≠ 0 ∆ là tiếp tuyến của ( H ) ⇔

Trang 128

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Vậy có hai giá trị c thỏa mãn nên có hai tiếp tuyến tương ứng với hai tiếp điểm. 1 Câu 39. Cho hàm số y = − x3 − 2 x 2 − 3 x + 1 có đồ thị ( C ) . Trong các tiếp tuyến với ( C ) , tiếp tuyến 3 có hệ số góc lớn nhất bằng bao nhiêu? A. k = 3 B. k = 2 C. k = 1 D. k = 0 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Xét tiếp tuyến với ( C ) tại điểm có hoành độ x0 bất kì trên ( C ) . Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến đó là y ′( x0 ) = − x02 − 4 x0 − 3 = 1 − ( x0 + 2) 2 ≤ 1 ∀x.

Câu 40. Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = sin x + 1 tại điểm có hoành độ 1 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn A.

A. k =

B. k =

3 . 2

1 C. k = − . 2

π 3

D. k = −

là

3 . 2

π  π  1 y ′ = cos x , k = y′   = cos   = . 3 3 2

Câu 41. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = ∆ : 2 x + y − 1 = 0 là A. 2 x + y − 7 = 0 . B. 2 x + y = 0 . Hướng dẫn giải: Chọn A. +Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm ( x0 ≠ 1) .

x +1 song song với đường thẳng x −1

C. −2 x − y + 1 = 0 .

D. 2 x + y + 7 = 0 .

−2 ( x − 1) 2 +Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : y = −2 x + 1 suy ra  x0 = 2 −2 y′( x0 ) = = −2 ⇔  . 2 ( x0 − 1)  x0 = 0

+ y′ =

+ với x0 = 2 ⇒ y0 = 3 , PTTT tại điểm (2;3) là y = −2 ( x − 2 ) + 3 ⇔ 2 x + y − 7 = 0 + với x0 = 0 ⇒ y0 = −1 , PTTT tại điểm (0; − 1) là y = −2 x − 1 ⇔ 2 x + y + 1 = 0 . Câu 42. Phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y = x 3 biết nó vuông góc với đường thẳng ∆ : y = − là: 1 B. y = 27 x ± 3 . x +8 . 27 Hướng dẫn giải: Chọn D. y′ = 3x 2 . +Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm.

A. y = −

+ Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆ : y =

Trang 129

C. y = −

1 x±3. 27

−1 x + 8 suy ra 27

x +8 27

D. y = 27 x ± 54 .

Đạo hàm – ĐS&GT 11

 x0 = 3 y′( x0 ) = 27 ⇔ 3x02 = 27 ⇔  .  x0 = −3 +Với x0 = 3 ⇒ y0 = 27 . PTTT là: y = 27 ( x − 3) + 27 ⇔ y = 27 x − 54 + Với x0 = −3 ⇒ y0 = −27 . PTTT là: y = 27 ( x + 3) − 27 ⇔ y = 27 x + 54 .

Câu 43. Cho hàm số y = 3 x 2 − 2 x + 5 , có đồ thị ( C ) . Tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường thẳng x + 4 y + 1 = 0 là đường thẳng có phương trình: A. y = 4 x + 1 . B. y = 4 x + 2 . C. y = 4 x − 4 . D. y = 4 x − 2 . Hướng dẫn giải: Đáp án C. Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình là: y − y0 = f ′ ( x0 )( x − x0 )

1 1 d : x + 4 y +1 = 0 ⇔ y = − x − 4 4 y′ = 6 x − 2  1 Tiếp tuyến vuông góc với d nên y′ ( x0 ) .  −  = −1 ⇔ y′ ( x0 ) = 4 ⇔ 6 x0 − 2 = 4 ⇔ x0 = 1 ,  4 y (1) = 6 . Phương trình tiếp tuyến có dạng : y = 4 x + 2

π x  Câu 44. Cho đường cong y = cos  +  và điểm M thuộc đường cong. Điểm M nào sau đây có  3 2 1 tiếp tuyến tại điểm đó song song với đường thẳng y = x + 5 ? 2  5π   −5π   −5π   −5π  A. M  ;1 . B. M  C. M  D. M  ; − 1 . ;1 . ; 0 .  3   3   3   3  Hướng dẫn giải:. Chọn đáp án C Hai đường thẳng song song nếu hệ số góc bằng nhau. 1 π x  Tiếp tuyến của đường cong có hệ số góc : y′ ( xM ) = − sin  + M  2 3 2  1 Hệ số góc của đường thẳng k = 2 1 π x π 5π π x  1 π x  Ta có − sin  + M  = ⇔ sin  + M  = −1 ⇔ + M = − + k 2π ⇔ xM = − + k 4π 2 3 2 2 3 3 2  2 3 2  Câu 45. Tìm hệ số góc của cát tuyến MN của đường cong ( C ) : y = x 2 − x + 1 , biết hoành độ M , N theo thứ tự là 1 và 2. 7 A. 3 . B. . C. 2 . D. 1 . 2 Hướng dẫn giải:. Đáp án C. M (1;1) , N ( 2; 3) Phương trình đường thẳng MN là : y = 2 x − 1 . Vậy hệ số góc của cát tuyến là 2

Câu 46. Chohàm số y = x 2 − 2 x + 3 , có đồ thị ( C ) . Tiếp tuyến của ( C ) song song với đường thẳng y = 2 x + 2018 là đường thẳng có phương trình: A. y = 2 x + 1 . B. y = 2 x − 1 .

Trang 130

C. y = 2 x + 4 .

D. y = 2 x − 4 .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải:. Đáp án B. d : y = 2 x + 2018 Tiếp tuyến của ( C ) song song với d ⇔ y′ ( x0 ) = 2 ⇔ 2 x0 − 2 = 2 ⇔ x0 = 2 ; y0 = 3 Vậy PTTT có dạng : y = 2 x − 1 .

Câu 47. Phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y = x 3 biết nó có hệ số góc k = 12 là: A. y = 12 x ± 24 . Hướng dẫn giải:. Đáp án B.

B. y = 12 x ± 16 .

C. y = 12 x ± 4 .

D. y = 12 x ± 8 .

 x0 = 2 ⇒ y0 = 8 y′ = 3 x 2 . Ta có y′ ( x0 ) = 12 ⇔ 3 x0 2 = 12 ⇔   x0 = −2 ⇒ y0 = −8 PPTT có dạng y = 12 x ± 16

Câu 48. Phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y = x 3 biết nó song song với đường thẳng d : y = 1 2 . x± 3 27 Hướng dẫn giải:. Đáp án A

A. y =

B. y =

1 1 x± . 3 3

C. y =

1 1 . x± 3 27

D. y =

1 x − 10 là 3

1 x ± 27 . 3

1 1  x0 = ⇒ y0 =  1 1 3 27 y′ = 3 x 2 . Ta có y′ ( x0 ) = ⇔ 3x0 2 = ⇔  3 3 x = − 1 ⇒ y = − 1 0  0 3 27 1 2 PPTT có dạng y = x ± 3 27 Câu 49. Tìm hệ số góc của cát tuyến MN của đường cong ( C ) : y = f ( x ) = x3 − x , biết hoành độ M , N theo thứ tự là 0 và 3 .

A. 4 .

1 . 2

5 . 4

D. 8.

Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi k là hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong ( C ) . Ta có k =

3 3 ∆y f ( xM ) − f ( xN ) ( 0 − 0 ) − ( 3 − 3) = = =8 ∆x xM − xN 0−3

Câu 50. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = góc với đường thẳng x + 4 y − 1 = 0 . 7 2 A. y = 4 x + ; y = 4 x − 6 3 73 2 C. y = 4 x + ; y = 4 x − 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn B

Trang 131

1 3 1 2 4 x + x − 2 x − , biết tiếp tuyến vuông 3 2 3

73 26 ; y = 4x − 6 3 7 26 D. y = 4 x + ; y = 4 x − 6 3

B. y = 4 x +

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 4 y − 1 = 0 1 1 ⇔ y = − x + ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 4 4 4 ⇒ y ' = 4 ⇔ x 2 + x − 6 = 0 ⇔ x = −3; x = 2 1 73 * x = −3 ⇒ Phương trình tiếp tuyến y = 4( x + 3) + = 4 x + 6 6 2 26 * x = 2 ⇒ Phương trình tiếp tuyến y = 4( x − 2) − = 4 x − 3 3 1 Câu 51. Tìm m để đồ thị : y = mx 3 + ( m − 1) x 2 + ( 3m − 4 ) x + 1 cóđiểm mà tiếp tuyến tại đó vuông 3 góc vớiđường thẳng x − y + 2013 = 0 . 1 1 1 A. m ≤ 1 B. − ≤ m C. − ≤ m ≤ 1 D. − < m < 1 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn C Để tiếp tuyến của đồ thị vuông góc vớiđthẳng x − y + 2012 = 0 khi và chỉ khi y '.1 = −1 hay 1 mx 2 + ( m + 1) x + 3m − 3 = 0 có nghiệm ∀ ∈ ℝ .Đáp số: − ≤ m ≤ 1 . 2 3 Câu 52. Tìm m để đồ thị y = x − 3mx + 2 có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + y + 7 = 0 góc α 1 sao cho cosα = . 26 A. m = 2 B. m = 3 C. m = 1, m = 4 D. Đáp án khác Hướng dẫn giải: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến n1 = ( k ; −1) , d có vec tơ pháp tuyến n2 = (1;1) n1 n2 k −1 1 3 2 Ta có cos α = ⇔ = ⇔ k = hoặc k = 2 2 3 26 n1 n2 2 k +1 Yêu cầu bài toán ⇔ ít nhất một trong hai phương trình y ' = k1 hoặc y ' = k2 có nghiệm x tức 3  2 3 x + 2 (1 − 2m ) x + 2 − m = 2 có nghiêm .  3 x 2 + 2 (1 − 2m ) x + 2 − m = 2 có nghiêm  3 Tìm điều kiện có nghiệm suy ra m. 2x + 2 Câu 53. Cho hàm số: y = có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C) biếttiếp x −1 tuyến có hệ số góc bằng −1 . A. y = − x − 2, y = − x + 7 . B. y = − x − 5, y = − x + 6 . C. y = − x − 1, y = − x + 4 . D. y = − x − 1, y = − x + 7 . Hướng dẫn giải: Chọn D −4 Hàm số đã cho xác định với ∀x ≠ 1 . Ta có: y ' = 2 ( x − 1)

Trang 132

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y=

−4

( x0 − 1)

( x − x0 ) +

2 x0 + 2 2x + 2 −4 và y0 = 0 với y ' ( x0 ) = 2 x0 − 1 x0 − 1 ( x0 − 1)

Tiếp tuyến có hệ số góc bằng −1 −4 Nên có: = −1 ⇔ x0 = 3, x0 = −1 2 ( x − 1)

∗ Với x0 = −1 ⇒ y0 = 0 ⇒ ∆ : y = − x − 1 ∗ Với x0 = 2 ⇒ y0 = 4 ⇒ ∆ : y = − x + 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y = − x − 1, y = − x + 7 . 2x + 2 Câu 54. Cho hàm số: y = có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C) biếttiếp x −1 tuyến song song với đường thẳng d : y = −4 x + 1 . A. y = −4 x + 3, y = −4 x + 4 . B. y = −4 x + 2, y = −4 x + 44 . C. y = −4 x + 2, y = −4 x + 1 . D. y = −4 x + 2, y = −4 x + 14 . Hướng dẫn giải: Chọn D −4 Hàm số đã cho xác định với ∀x ≠ 1 . Ta có: y ' = 2 ( x − 1) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y=

−4

( x0 − 1)

( x − x0 ) +

2 x0 + 2 2x + 2 −4 với y ' ( x0 ) = và y0 = 0 2 x0 − 1 x0 − 1 ( x0 − 1)

Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = −4 x + 1 . −4 Nên có: y ' ( x0 ) = −4 ⇔ = −4 ⇔ x0 = 0 hoặc x0 = 2 2 ( x0 − 1)

∗ Với x0 = 0 ⇒ y0 = 2 ⇒ ∆ : y = −4 x + 2 ∗ Với x0 = 2 ⇒ y0 = 6 ⇒ ∆ : y = −4 x + 14 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y = −4 x + 2, y = −4 x + 14 . 2x Câu 55. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y = , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng x −1 −2 A. y = −2 x + 1, y = −2 x B. y = −2 x + 2, y = −2 x + 4 C. y = −2 x + 9, y = −2 x D. y = −2 x + 8, y = −2 x Hướng dẫn giải: Chọn D 2 ( x − 1) − 2 x −2 Ta có: y ' = = . 2 2 ( x − 1) ( x − 1) Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại ( x0 ; y0 ) bằng y ' ( x0 ) = Theo giải thiết, ta có: y ' ( x0 ) = −2 ⇔

Trang 133

−2

( x0 − 1)

= −2

−2

( x0 − 1)

Đạo hàm – ĐS&GT 11

 x0 − 1 = 1  x0 = 2 ⇒ y0 = 4 2 ⇔ ( x0 − 1) = 1 ⇔  ⇔  x0 − 1 = −1  x0 = 0 ⇒ y0 = 0 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = −2 x + 8, y = −2 x Câu 56. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y =

2x , biết tiếptuyến song song với đường x −1

thẳng ( d ) : x + 2 y = 0

1 7 1 7 A. y = − x + , y = − x + 2 4 2 4 1 2 1 7 C. y = − x + , y = − x − 2 4 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn B 2 ( x − 1) − 2 x −2 = . Ta có: y ' = 2 2 ( x − 1) ( x − 1)

1 27 1 7 B. y = − x + , y = − x − 2 4 2 4 1 27 1 7 D. y = − x + , y = − x + 2 4 2 4

Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại ( x0 ; y0 ) bằng y ' ( x0 ) = Theo giải thiết, ta có:

−2

( x0 − 1)

=−

−2

( x0 − 1)

1 1 2 ⇔ ( x0 − 1) = 2 4

1 27 1 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = − x + , y = − x − 2 4 2 4

Câu 57. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y =

2x , biết tiếptuyến vuông góc với đường x −1

thẳng ( ∆ ) : 9 x − 2 y + 1 = 0 2 2 2 8 A. y = − x + , y = − x + 9 9 9 9 2 1 2 8 C. y = − x + , y = − x + 9 9 9 9 Hướng dẫn giải: Chọn B 2 ( x − 1) − 2 x −2 Ta có: y ' = = . 2 2 ( x − 1) ( x − 1)

2 32 2 8 B. y = − x + , y = − x + 9 9 9 9 2 32 2 4 D. y = − x + , y = − x − 9 9 9 9

Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại ( x0 ; y0 ) bằng y ' ( x0 ) = Theo giải thiết, ta có:

−2

( x0 − 1)

=−

−2

( x0 − 1)

2 1 2 ⇔ ( x0 − 1) = 9 9

2 32 2 8 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = − x + , y = − x + 9 9 9 9

Câu 58. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y = hoành một góc α sao cho cos α = −

Trang 134

2 5

2x , biếttạo với chiều dương của trục x −1

Đạo hàm – ĐS&GT 11 1 3 1 3 B. y = x − x+ 5 4 5 4 Hướng dẫn giải: 2 ( x − 1) − 2 x −2 = . Ta có: y ' = 2 2 ( x − 1) ( x − 1)

A. y =

C. y =

1 13 x+ 5 4

Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại ( x0 ; y0 ) bằng y ' ( x0 ) =

D.Đáp án khác

−2

( x0 − 1)

Tiếp tuyếntạo với chiều dương trục hoành,khi đó tồn tại α ∈ [ 0; π ] để tan α < 0 và tan α =

−2

( x0 − 1)

1 1 1 − 1 = ⇒ tan α = − , nên có: 2 cos α 4 2 1 2 = − ⇔ ( x0 − 1) = 4 2

Ta có: tan 2 α =

−2

( x0 − 1)

Câu 59. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y = vuông góc với IM ( I là giao điểm 2 tiệm cận ) 1 3 1 3 A. y = x + B. y = x − 5 4 5 4 Hướng dẫn giải: 2 ( x − 1) − 2 x −2 Ta có: y ' = . = 2 2 ( x − 1) ( x − 1)

2x , biếttại điểm M thuộc đồ thị và x −1

C. y =

1 13 x+ 5 4

Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại ( x0 ; y0 ) bằng y ' ( x0 ) = k IM =

( x0 − 1)

D.Đáp án khác

−2

( x0 − 1)

, theo bài toán nên có: k IM . y ' ( x0 ) = −1 ⇔ ( x0 − 1) = 4

Câu 60. Cho hàm số y =

x4 x2 + + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với 4 2

đường thẳng : y = 2 x − 2 . 3 1 3 A. y = 2 x + B. y = 2 x + C. y = 2 x − 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A y '( x0 ) = 2 (trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của (t)với (C)).

D. y = 2 x + 1

⇔ x03 + x0 = 2 ⇔ x03 + x0 − 2 = 0 ⇔ x 0 = 1. 11 3 = 2x + 4 4 Câu 61. Cho hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 − 1 có đồ thị là(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x − 48 y + 1 = 0 . A. ∆ : y = −48 x − 81 B. ∆ : y = −48 x + 81 C. ∆ : y = −48 x − 1 D. ∆ : y = −48 x − 8 Hướng dẫn giải: Chọn A

Phương trình (t): y = y '(1)( x − 1) + y (1) = 2( x − 1) +

Trang 135

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Ta có y ' = 8 x 3 − 8 x Gọi M ( x0 ; y0 ) . Tiếp tuyến ∆ tại M có phương trình: y = (8 x03 − 8 x0 )( x − x0 ) + 2 x04 − 4 x02 − 1 .Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x − 48 y + 1 = 0 1 Nên ta có: y '( x0 ). = −1 ⇔ y '( x0 ) = −48 48 x03 − x0 + 6 = 0 ⇔ x0 = −2 ⇒ y0 = 15 . Phương trình ∆ : y = −48( x + 2) + 15 = −48 x − 81 .

Câu 62. Cho (C) là đồ thị của hàm số y =

x3 − x 2 + 2 x + 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông 3

x góc với đường thẳng y = − + 2 . 5 2 A. y = 5x + hoặc y = 5x – 8 3 8 C. y = 5x + hoặc y = 5x – 5 3 Hướng dẫn giải: Chọn D

8 hoặc y = 5x – 9 3 8 D. y = 5x + hoặc y = 5x – 8 3

B. y = 5x +

x Cách 1. Tiếp tuyến (d) của (C) vuông góc với đường thẳng y = − + 2 ,suy ra phương trình (d) có 5 dạng :y = 5x + m.  x3 2  − x + 2 x + 1 = 5 x + m (1) (d) tiếp xúc với (C) ⇔  3 có nghiệm.  x 2 − 2 x + 2 = 5 (2)  Giải hệ trên, (2) ⇔ x = -1 ∨ x = 3. 8 Thay x = - 1 vào (1) ta được m = . 3 Thay x = 3 vào (1) ta được m = - 8. 8 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 5x + hoặc y = 5x – 8. 3 x Cách 2. Tiếp tuyến (d) vuông góc với đường thẳng y = − + 2 suy ra hệ số góc của (d) : k = 5. 5 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C),ta có : k = f '( x0 ) ⇔ 5 = x02 − 2 x0 + 2 ⇔ x0 = −1, x0 = 3 .

8  y = 5( x + 1) + f (1) = 5 x +  Suy ra phương trình (d): 3.   y = 5( x + 3) + f (3) = 5 x − 8

Câu 63. Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + (m − 1) x + 2m có đồ thị là (Cm ) .Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm ) tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường thẳng y = 3 x + 10 . A. m = 2 B. m = 4 C. m = 0 D. Không tồn tại m Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: y ' = 3 x 2 − 4 x + m − 1 . Tiếp tuyến của (Cm ) tại điểm có hoành độ x = 1 có phương trình y = ( m − 2)( x − 1) + 3m − 2 = ( m − 2) x + 2 m

Trang 136

Đạo hàm – ĐS&GT 11 m − 2 = 3 Yêu cầu bài toán ⇔  vô nghiệm. 2m ≠ 10 Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 64. Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + (m − 1) x + 2m có đồ thị là (Cm ) .Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị (Cm ) vuông góc với đường thẳng ∆ : y = 2 x + 1 . 11 A. m = 1 B. m = 2 C. m = 6 Hướng dẫn giải: Chọn C

D. m =

6 11

4 4 7 2 7 7   Ta có: y ' = 3 x − 4 x + m − 1 .Ta có: y ' = 3  x 2 − x +  + m − = 3  x −  + m − ⇒ y ' ≥ m − . 3 9 3 3 3 3   2 7 Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc có giá trị : k = m − . 3 3 7 11   Yêu cầu bài toán ⇔ k .2 = −1 ⇔  m −  .2 = −1 ⇔ m = . 3 6   2x +1 Câu 65. Cho hàm số y = (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy x −1 1 lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 6 4 1 A. y = −3 x + 1, y = −3 x + 1, y = −12 x + 2, y = − x − 3 3 4 2 B. y = −3 x + 1, y = −3 x − 11, y = −12 x − 2, y = − x + 3 3 4 3 C. y = −3 x + 11, y = −3 x − 11, y = −12 x, y = − x − 3 4 4 2 D. y = −3 x + 1, y = −3 x + 11, y = −12 x + 2, y = − x − 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D −3 Ta có y ' = . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng: ( x − 1) 2 2x +1 −3 . y= x − x0 ) + 0 2 ( ( x0 − 1) x0 − 1 2

y = 0  • ∆ ∩ Ox = A :  −3 2 x0 + 1  ( x − 1) 2 ( x − x0 ) + x − 1 = 0  0 0

 2 x 2 + 2 x0 − 1  ;0  . Suy ra A  0 3   x = 0  • ∆ ∩ Oy = B :  3 x0 2 x0 + 1  y = ( x − 1) 2 + x − 1  0 0 Trang 137

Đạo hàm – ĐS&GT 11

 2 x 2 + 2 x0 − 1  Suy ra: B  0; 0  ( x0 − 1) 2   1 1  2 x 2 + 2 x0 − 1  Diện tích tam giác OAB : S = OA.OB =  0  x0 − 1 2 6 

Suy ra SOAB

 2 x 2 + 2 x0 − 1  1 = ⇔ 0  =1 6 x0 − 1  

1   x0 = 0, x0 = − 2  2 x02 + 2 x0 − 1 = x0 − 1  2 x02 + x0 = 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2  2 x0 + 2 x0 − 1 = − x0 + 1  2 x0 + 3 x0 − 2 = 0  x = 1 , x = −2  0 2 0 Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là: 4 2 y = −3 x + 1, y = −3 x + 11, y = −12 x + 2, y = − x − . 3 3 2 x − 2mx + m Câu 66. Cho hàm số y = . Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp x+m tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 7 . Hướng dẫn giải: Chọn C. x 2 − 2mx + m Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ( C ) : y = và trục hoành: x+m  x 2 − 2mx + m = 0 (*) x 2 − 2mx + m . =0⇔ x+m  x ≠ − m x 2 − 2mx + m Đồ thị hàm số y = cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai x+m m < 0 ∨ m > 1 2 ∆  ′= m −m > 0  nghiệm phân biệt khác −m ⇔  2 . ⇔ 1 3m + m ≠ 0 m ≠ − 3 Gọi M ( x0 ; y0 ) là giao điểm của đồ thị ( C ) với trục hoành thì y0 = x02 − 2mx0 + m = 0 và hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại M là:

( 2 x0 − 2m )( x0 − 1) − ( x02 − 2mx0 + m ) 2 x0 − 2m k = y′ ( x0 ) = = . 2 x0 + m ( x0 + m ) Vậy hệ số góc của hai tiếp tuyến với k2 =

(C )

tại hai giao điểm với trục hoành là k1 =

2 x2 − 2m . x2 + m

 2 x − 2m   2 x2 − 2m  Hai tiếp tuyến này vuông góc ⇔ k1.k2 = −1 ⇔  1   = −1  x1 + m   x2 + m  ⇔ 4  x1 x2 − m ( x1 + x2 ) + m 2  = −  x1 x2 + m ( x1 + x2 ) + m 2  (**) . Trang 138

2 x1 − 2m , x1 + m

Đạo hàm – ĐS&GT 11

 x1 x2 = m m = 0 Ta lại có  , do đó (**) ⇔ m 2 − 5m = 0 ⇔  . Nhận m = 5 . m = 5  x1 + x2 = 2m x +1 Câu 67. Cho hàm số y = (C) . Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc ( C ) mà tiếp tuyến tại đó x −1 songsong với nhau: A. 0 . B. 2 . C. 1. D. Vô số. Hướng dẫn giải: Chọn D. −2 Ta có: y ' = . 2 ( x − 1) x +1 có tâm đối xứng I (1;1) . x −1 Lấy điểm tùy ý A ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) .

Đồ thị hàm số y =

Gọi B là điểm đối xứng với A qua I suy ra B ( 2 − x0 ; 2 − y0 ) ∈ ( C ) . Ta có: Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là: k A = y ' ( x0 ) =

−2

( x0 − 1)

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm B là: k B = y ' ( 2 − x0 ) =

−2

(1 − x0 )

Ta thấy k A = k B nên có vô số cặp điểm A, B thuộc ( C ) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau

Câu 68. Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + 2 x có đồ thị (C). Gọi x1 , x2 là hoành độ các điểm M , N trên

( C ) , mà tại đó tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường thẳng 4 . 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: y ' = 3 x 2 − 4 x + 2 .

−4 . 3

1 . 3

y = − x + 2017 . Khi đó x1 + x2 bằng:

D. −1 .

Tiếp tuyến tại M , N của ( C ) vuông góc với đường thẳng y = − x + 2017 . Hoành độ x1 , x2 của các

điểm M , N là nghiệm của phương trình 3 x 2 − 4 x + 1 = 0 . 4 Suy ra x1 + x2 = . 3 Câu 69. Số cặp điểm A, B trên đồ thị hàm số y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 5 , mà tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau là A. 1 Hướng dẫn giải:

B. 0

Chọn B. Ta có y′ = 3 x 2 + 6 x + 3 . Gọi A( x A ; y A ) và B ( xB ; yB ) Tiếp tuyến tại A, B với đồ thị hàm số lần lượt là:

d1 : y = (3 x A2 + 6 x A + 3)( x − x A ) + y A d 2 : y = (3 xB2 + 6 xB + 3)( x − xB ) + yB Trang 139

C. 2 .

D. Vô số

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Theo giả thiết d1 ⊥ d 2 ⇔ k1.k2 = −1 ⇔ (3 x A2 + 6 x A + 3).(3 xB2 + 6 xB + 3) = −1 ⇔ 9( x A2 + 2 x A + 1).( xB2 + 2 xB + 1) = −1 ⇔ 9( x A + 1) 2 .( xB + 1) 2 = −1 ( vô lý)

Suy ra không tồn tại hai điểm A, B

Câu 70. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị ( C ) . Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của ( C ) và có hệ số góc nhỏ nhất: A. y = −3 x + 3 Hướng dẫn giải:

B. y = 0

C. y = −5 x + 10

D. y = −3 x − 3

Chọn A. Gọi M ( x0 ; x03 − 3 x02 + 2) là tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) y ' = 3 x02 − 6 x0

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 Mà k = y '( x0 ) = 3 x02 − 6 x0 = 3( x02 − 2 x0 + 1) − 3 ⇔ 3( x0 − 1) 2 − 3 ≥ −3

Hệ số góc nhỏ nhất khi x0 = 1 ⇒ y0 = y (1) = 0 ; k = −3 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;0 ) có hệ số góc nhỏ nhất là : y = −3 x + 3

Câu 71. Cho hai hàm f ( x) =

và f ( x) =

x2 . Góc giữa hai tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số đã 2

x 2 cho tại giao điểm của chúng là: A. 90° B. 30° . C. 45° . D. 60° . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. 1 1 1 x2  1  Phương trình hoành độ giao điểm = ⇔ = x2 ⇔ x = 1 ⇒ y = ⇒ M  1;  x 2 2 2 x 2  1 2 Ta có f ′(1) = − , g ′(1) = ⇒ f ′(1). g ′(1) = −1 2 2 Câu 72. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + ( m + 1) x − m . Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với Oy . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A vuông góc với đường thẳng y = 2 x − 3 . −3 1 3 1 A. B. C. D. − 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Ta có A(0; − m) ⇒ f ′(0) = m + 1 . Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A vuông góc với đường thẳng 3 y = 2 x − 3 nên 2.( m + 1) = −1 ⇔ m = − . 2

Trang 140

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 73. Cho hàm số y =

( 3m + 1) x − m2 + m có đồ thị là

( Cm ) , m ∈ ℝ và m ≠ 0 .Với giá trị nào của m x+m thì tại giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng x − y − 10 = 0 . 1 1 1 1 A. m = −1 ; m = − B. m = 1 ; m = − C. m = −1 ; m = D. m = 1 ; m = 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm phương trình: ( 3m + 1) x − m2 + m = 0, m ≠ 0 ⇔  x ≠ − m, m ≠ 0  2 x+m ( 3m + 1) x − m + m = 0 1 1    x ≠ −m, m ≠ 0, m ≠ − 3  m ≠ 0, m ≠ − 3  m2 − m  4m 2 4m 2 . . Mà ⇔ ⇔ y ' = ⇒ y ' =    2 2 2 2 ( x + m)   3m + 1   m 2 − m x = m − m  x = m − m ≠ −m + m  3m + 1 3m + 1    3m + 1  2 m −m 1 Tiếp tuyến song song với đường thẳng x − y − 10 = 0 nên y '   = 1 ⇔ m = −1 hoặc m = − 5  3m + 1 

∗ m = −1 giao điểm là A ( −1;0 ) , tiếp tuyến là y = x + 1 . 1 3 3  giao điểm là B  ;0  , tiếp tuyến là y = x − . 5 5 5  Câu 74. Tìm m ∈ ℝ để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của ( Cm ) : y = x3 − 2 x 2 + ( m − 1) x + 2m ∗ m=−

vuông góc với đường thẳng y = − x 10 1 10 A. m = B. m = C. m = D. m = 1 3 3 13 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 2 7 7 7 7 2  2 y ' = 3 x − 4 x + m − 1 = 3  x −  + m − ≥ m − ⇒ y ' ≥ m − ⇒ y ' = m − khi x = .Theo bài toán 3 3 3 3 3 3  7 10  ta có: y ' ( −1) = −1 ⇔  m −  ( −1) = −1 ⇔ m = . 3 3  Câu 75. Xác định m đểhai tiếp tuyến của đồ thị y = − x 4 + 2mx 2 − 2m + 1 tại A (1;0 ) và B ( −1;0 ) hợp với nhau một góc µ sao cho cos µ =

15 . 17

5 7 ,m= . 16 6 15 7 C. m = 0, m = 2, m = , m = . 16 16 Hướng dẫn giải: Dễ thấy, A, B là 2 điểm thuộc đồ thị với ∀m ∈ ℝ .

A. m = 0, m = 2, m =

Tiếp tuyến d1 tại A : ( 4m − 4 ) x − y − 4m + 4 = 0 Tiếp tuyến d 2 tại B : ( −4m + 4 ) x − y − 4m + 4 = 0

Trang 141

15 17 ,m= . 16 16 5 7 D. m = 0, m = 2, m = , m = . 6 6

B. m = 0, m = 2, m =

Đạo hàm – ĐS&GT 11 15 17 ,m= . 16 16 1 3 Câu 76. Tìm m để đồ thị y = mx + ( m − 1) x 2 + ( 4 − 3m ) x + 1 tồn tại đúng 2 điểm có hoành độ 3 dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng x + 2 y − 3 = 0 .  1 1 2  1 1 7 A. m ∈  0;  ∪  ;  B. m ∈  0;  ∪  ;   4 2 3  4 2 3  1 1 8  1 1 2 D. m ∈  0;  ∪  ;  C. m ∈  0;  ∪  ;   2  2 3  2 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Hàm số đã cho xác định trên ℝ . Ta có: y ' = mx 2 + 2 ( m − 1) x + 4 − 3m .

Đáp số: m = 0, m = 2, m =

 1 Từ yêu cầu bái toán dẫn đến phương trình y  −  = −1 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt, tức  2 m ≠ 0  m ≠ 0 m ≠ 1 ∆ ' > 0   2 mx 2 + 2 ( m − 1) x + 2 − 3m = 0 có đúng 2 dương phân biệt ⇔  ⇔ hay 0 < m < 1 S > 0   P > 0 2 0 < m < 3   1 1 2 m ∈  0;  ∪  ;  .  2 2 3

Trang 142

Đạo hàm – ĐS&GT 11

DẠNG 3: TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM x+2 , tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm ( –6;5 ) là x−2 1 7 1 7 A. y = – x – 1 ; y = x + . B. y = – x – 1 ; y = − x + . 4 2 4 2 1 7 1 7 C. y = – x + 1 ; y = − x + . D. y = – x + 1 ; y = − x − . 4 2 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. −4 x+2 . y= ⇒ y′ = 2 x−2 ( x − 2)

Câu 1. Cho hàm số y =

x+2 tại điểm M ( x0 ;y0 ) ∈ ( C ) với x0 ≠ 2 là: x−2 x +2 −4 y = y′ ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y = . x − x0 ) + 0 2 ( x0 − 2 ( x0 − 2 )

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y =

Vì

tiếp

tuyến

đi

qua

điểm

( –6;5)

nên

có

−4

( x0 − 2 )

( −6 − x0 ) +

x0 + 2 x0 − 2

 x0 = 0 ⇔ 4 x02 − 24 x0 = 0 ⇔   x0 = 6 1 7 x+ . 4 2 3x + 4 Câu 2. Tiếp tuyến kẻ từ điểm ( 2;3) tới đồ thị hàm số y = là x −1 A. y = −28 x + 59 ; y = x + 1 . B. y = –24 x + 51 ; y = x + 1 . C. y = −28 x + 59 . D. y = −28 x + 59 ; y = −24 x + 51 . Hướng dẫn giải: Chọn C. 3x + 4 −7 . y= ⇒ y′ = 2 x −1 ( x − 1)

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là: y = – x – 1 và y = –

3x + 4 tại điểm M ( x0 ;y0 ) ∈ ( C ) với x0 ≠ 2 là: x −1 3x + 4 −7 y = y′ ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y = . x − x0 ) + 0 2 ( x0 − 1 ( x0 − 1)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y =

Vì tiếp tuyến đi qua điểm ( 2;3) nên ta có 3 =

−7

( x0 − 1)

( 2 − x0 ) +

3 x0 + 4 3 ⇔ x0 = . 2 x0 − 1

Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là: y = –28 x + 59 .

Câu 3. Cho hàm số y =

A ( −1;0 ) là:

Trang 143

x2 + x + 1 có đồ thị ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm x +1

Đạo hàm – ĐS&GT 11 3 x 4 Hướng dẫn giải: Chọn B.

A. y =

B. y =

3 ( x + 1) 4

C. y = 3 ( x + 1)

D. y = 3 x + 1

Gọi d là phương trình tiếp tuyến của ( C ) có hệ số góc k , Vì A ( −1;0 ) ∈ d suy ra d :

y = k ( x + 1)

 x2 + x + 1 = k ( x + 1) (1)   x +1 d tiếp xúc với ( C ) khi hệ  2 có nghiệm 2 x + x  (2) =k  ( x + 1) 2 Thay ( 2 ) vào (1) ta được x = 1 ⇒ k = y′(1) =

3 . 4

3 ( x + 1) 4 Câu 4. Qua điểm A ( 0; 2 ) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 2 Vậy phương trình tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm A ( −1;0 ) là: y =

A. 2 Hướng dẫn giải: Chọn B.

B. 3

C. 0

D. 1

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho. Vì A(0; 2) ∈ d nên phương trình của d có dạng: y = kx + 2 4 2  x − 2 x + 2 = kx + 2 Vì d tiếp xúc với đồ thị (C ) nên hệ  3 4 x − 4 x = k

(1) (2)

có nghiệm

x = 0 Thay ( 2 ) và (1) ta suy ra được  x = ± 2  3 Chứng tỏ từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( C )

Câu 5. Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 có đồ thị ( C ) . Xét hai mệnh đề: (I) Đường thẳng ∆ : y = 1 là tiếp tuyến với ( C ) tại M ( −1; 1) và tại N (1; 1) (II) Trục hoành là tiếp tuyến với ( C ) tại gốc toạ độ Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Ta có y ′( −1) = y ′( −1) = 0 ⇒ (I) đúng. Ta có y ′(0) = 0 ⇒ (II) đúng.

Trang 144

C. Cả hai đều sai

D. Cả hai đều đúng

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 6. Cho hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x − 1 có đồ thị là ( C ) . Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến ( C ) :

A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Xét đường thẳng kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có dạng ∆ : y = k ( x − 2) = kx-2k . 3 2 3 2 2 x − 12 x + 24x-17=0  x − 6 x + 9x-1=kx − 2k có nghiệm ⇔  2 ∆ là tiếp tuyến của ( C ) ⇔  2 3x − 12x + 9 = k 3x − 12x + 9 = k Phương trình bậc ba có duy nhất một nghiệm tương ứng cho ta một giá trị k . Vậy có một tiếp tuyến. Dễ thấy kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có dạng y = a song song với trục Ox cũng chỉ kẻ được một tiếp tuyến. Câu 7. Đường thẳng y = 3 x + m là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 + 2 khi m bằng A. 1hoặc −1 . B. 4 hoặc 0 . C. 2 hoặc −2 . D. 3 hoặc −3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Đường thẳng y = 3 x + m và đồ thị hàm số y = x 3 + 2 tiếp xúc nhau 3 m = x3 − 3x + 2 m = 0  x + 2 = 3 x + m . ⇔ 2 ⇔ ⇔ m = 4  x = ±1 3 x = 3

Câu 8. Định m để đồ thị hàm số y = x 3 − mx 2 + 1 tiếp xúc với đường thẳng d : y = 5 ? A. m = −3 . B. m = 3 . C. m = −1 . D. m = 2 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Đường thẳng y = x 3 − mx 2 + 1 và đồ thị hàm số y = 5 tiếp xúc nhau  x3 − mx 2 + 1 = 5 (1) có nghiệm. ⇔ 2 3 x − 2mx = 0 (2) x = 0 . (2) ⇔ x(3 x − 2m) = 0 ⇔  2m . x = 3  + Với x = 0 thay vào (1) không thỏa mãn. 2m + Với x = thay vào (1) ta có: m 3 = −27 ⇔ m = −3 . 3 Câu 9. Phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y = x 3 biết nó đi qua điểm M (2; 0) là: A. y = 27 x ± 54 . B. y = 27 x − 9 ∨ y = 27 x − 2 . C. y = 27 x ± 27 . D. y = 0 ∨ y = 27 x − 54 . Hướng dẫn giải: Vậy chọn D. + y ' = 3x 2 . + Gọi A( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. PTTT của (C ) tại A( x0 ; y0 ) là:

y = 3x02 ( x − x0 ) + x03 (d ) . + Vì tiếp tuyến (d ) đí qua M (2; 0) nên ta có phương trình:

Trang 145

Đạo hàm – ĐS&GT 11

 x0 = 0 3 x02 ( 2 − x0 ) + x03 = 0 ⇔  .  x0 = 3 + Với x0 = 0 thay vào (d ) ta có tiếp tuyến y = 0 . + Với x0 = 3 thay vào (d ) ta có tiếp tuyến y = 27 x − 54 . Câu 10. Cho hàm số y = x 2 − 5 x − 8 có đồ thị ( C ) . Khi đường thẳng y = 3 x + m tiếp xúc với ( C ) thì tiếp điểm sẽ có tọa độ là: A. M ( 4;12 ) . B. M ( −4;12 ) . C. M ( −4; − 12 ) . D. M ( 4; − 12 ) . Hướng dẫn giải: Đáp án D. Đường thẳng d : y = 3 x + m tiếp xúc với ( C ) ⇒ d là tiếp tuyến với ( C ) tại M ( x0 ; y0 ) y ′ = 2 x − 5 ⇒ y′ ( x0 ) = 3 ⇔ 2 x0 − 5 = 3 ⇔ x0 = 4 ; y0 = −12 .

x2 − x + 1 , có đồ thị ( C ) . Từ điểm M ( 2; − 1) có thể kẻ đến ( C ) hai tiếp 4 tuyến phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình: A. y = − x + 1 và y = x − 3 . B. y = 2 x − 5 và y = −2 x + 3 . C. y = − x − 1 và y = − x + 3 . D. y = x + 1 và y = − x − 3 . Hướng dẫn giải: Chọn A x2 x Gọi N ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm; y0 = 0 − x0 + 1 ; f ′ ( x0 ) = 0 − 1 4 2 x x2   Phương trình tiếp tuyến tại N là: y =  0 − 1 ( x − x0 ) + 0 − x0 + 1 4  2  x2 x2 x  Mà tiếp tuyến đi qua M ( 2; − 1) ⇒ −1 =  0 − 1 ( 2 − x0 ) + 0 − x0 + 1 ⇔ − 0 + x0 = 0 4 4 2   x0 = 0; y0 = 1; f ′ ( 0 ) = −1 ⇔  x0 = 4; y0 = 1; f ′ ( 4 ) = 1 Phương trình tiếp tuyến : y = − x + 1 và y = x − 3 .

Câu 11. Cho hàm số f ( x ) =

Câu 12. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 6 x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm N (0;1) . 33 33 33 33 A. y = − x + 11 B. y = − x + 12 C. y = − x + 1 D. y = − x + 2 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Ta có: y ' = 3 x 2 + 6 x − 6 . Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = (3 x02 + 6 x0 − 6)( x − x0 ) + x03 + 3 x02 − 6 x0 + 1 Vì tiếp tuyến đi qua N (0;1) nên ta có: 1 = (3 x02 + 6 x0 − 6)( − x0 ) + x03 + 3 x02 − 6 x0 + 1 3 ⇔ 2 x03 + 3 x02 = 0 ⇔ x0 = 0, x0 = − 2

Trang 146

Đạo hàm – ĐS&GT 11 • x0 = 0 ⇒ y '( x0 ) = −6 . Phương trình tiếp tuyến: y = −6 x + 1 . 3 107 33 • x0 = − ⇒ y0 = , y '( x0 ) = − . Phương trình tiếp tuyến 2 8 4 33  3  107 33 y'= − x+ + = − x +1. 4 2 8 4 4 Câu 13. Cho hàm số y = x + x 2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi

qua điểm M ( −1;3) .

A. y = −6 x − 2 B. y = −6 x − 9 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: y ' = 4 x 3 + 2 x . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = ( 4 x03 + 2 x0 ) ( x − x0 ) + x04 + x02 + 1

C. y = −6 x − 3

D. y = −6 x − 8

Vì tiếp tuyến đi qua M ( −1;3) nên ta có: 3 = ( 4 x03 + 2 x0 ) ( −1 − x0 ) + x04 + x02 + 1 ⇔ 3 x04 + 4 x03 + x02 + 2 x0 + 2 = 0 ⇔ ( x0 + 1) 2 (3 x02 − 2 x0 + 2) = 0 ⇔ x0 = −1 ⇒ y0 = 3, y '( x0 ) = −6 Phương trình tiếp tuyến: y = −6 x − 3 . 2x + 2 Câu 14. Cho hàm số y = (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biếttiếp tuyến đi qua điểm x −1 A(4;3)

1 1  y = − 9 x + 9 A.  y = − 1 x + 1  4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D

1 31  y = − 9 x + 9 B.   y = − 1 x + 31  4 4

1 1  y = − 9 x + 9 C.   y = − 1 x + 31  4 4

−4 ( x − 1) 2 Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): 2x + 2 −4 Vì tiếp tuyến đi qua A(4;3) nên ta có: 3 = 4 − x0 ) + 0 2 ( ( x0 − 1) x0 − 1

Hàm số xác định với mọi x ≠ 1 . Ta có: y ' =

⇔ 3( x0 − 1) 2 = 4( x0 − 4) + 2( x02 − 1) ⇔ x02 − 10 x0 − 21 = 0 ⇔ x0 = −3, x0 = 7 8 1 • x0 = 7 ⇒ y0 = , y '( x0 ) = − . Phương trình tiếp tuyến 3 9 1 8 1 31 y = − ( x − 7) + = − x + . 9 3 9 9 1 • x0 = −3 ⇒ y0 = 1, y '( x0 ) = − . Phương trình tiếp tuyến 4 1 1 1 y = − ( x + 3) + 1 = − x + . 4 4 4

Trang 147

1 31  y = − 9 x + 9 D.  y = − 1 x + 1  4 4

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 15. Cho hàm số y =

2x +1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua x −1

A ( −7;5 ) . 3 1 3 29 3 1 3 2 A. y = − x + , y = x + B. y = − x − , y = x + 4 4 16 16 4 2 16 16 3 1 3 9 3 1 3 29 C. y = − x − , y = x + D. y = − x − , y = x + 4 4 16 16 4 4 16 16 Hướng dẫn giải: Chọn D −3 Ta có y ' = . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm.Do tiếp tuyến đi qua A ( −7;5 ) nên ta có: ( x − 1) 2  x0 = −1 2x +1 −3 5= −7 − x0 ) + 0 ⇔ x02 − 4 x0 − 5 = 0 ⇔  2 ( x0 − 1 ( x0 − 1)  x0 = 5 3 1 3 29 Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là: y = − x − , y = x + . 4 4 16 16 2x +1 Câu 16. Viết phương trình tiếp tuyến d củađồ thị ( C ) : y = biết d cách đều 2 điểm A ( 2; 4 ) x +1 và B ( −4; −2 ) .

1 1 1 5 B. y = x + , y = x + 5 , y = x + 4 x + , y = x + 3 , y = x +1 4 4 4 2 1 5 1 5 C. y = x + , y = x + 4 , y = x + 1 D. y = x + , y = x + 5 , y = x + 1 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi M ( x0 ; y ( x0 ) ) , x0 ≠ −1 là tọa độ tiếp điểm của d và ( C )

A. y =

Khi đó d có hệ số góc y ' ( x0 ) = y=

( x0 + 1)

( x − x0 ) + 2 −

( x0 + 1)

và có phương trình là :

1 x0 + 1

Vì d cách đều A, B nên d đi qua trung điểm I ( −1;1) của AB hoặc cùng phương với AB .

TH1: d đi qua trung điểm I ( −1;1) , thì ta luôn có: 1=

( x0 + 1)

( −1 − x0 ) + 2 −

1 , phương trình này có nghiệm x0 = 1 x0 + 1

Với x0 = 1 ta có phương trình tiếp tuyến d : y =

1 5 x+ . 4 4

TH2: d cùng phương với AB , tức là d và AB có cùng hệ số góc, khi đó y ' ( x0 ) = k AB = hay

( x0 + 1)

= 1 ⇔ x0 = −2 hoặc x0 = 0

Với x0 = −2 ta có phương trình tiếp tuyến d : y = x + 5 .

Trang 148

yB − y A =1 xB − x A

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Với x0 = 0 ta có phương trình tiếp tuyến d : y = x + 1 . 1 5 Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y = x + , y = x + 5 , y = x + 1 4 4 Câu 17. Tìm m ∈ ℝ để từ điểm M (1; 2 ) kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị

( Cm ) : y = x3 − 2 x 2 + ( m − 1) x + 2m . 10 100 10 B. m = C. m = , m = 3 , m = −3 ,m = 3 81 81 81 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi N ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) . Phương trình tiếp tuyến ( d ) của A tại N là:

A. m =

D. m =

100 , m = −3 81

y = ( 3 x02 − 4 x0 + m − 1) ( x − x0 ) + x03 − 2 x02 + ( m − 1) x0 + 2 m

M ∈ ( d ) ⇔ 2 x03 + 5 x02 − 4 x0 = 3 − 3m ( ∗) Dễ thấy ( ∗) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y = 3 − 3m và f ( x0 ) = 2 x03 + 5 x02 − 4 x0 . Xét hàm số f ( x0 ) = 2 x03 + 5 x02 − 4 x0 có f ' ( x0 ) = 6 x02 + 10 x0 − 4 1 f ' ( x0 ) = 0 ⇔ x0 = −2 hoặc x0 = . 3 100 Lập bảng biến thiên, suy ra m = , m = −3 81 Câu 18. Cho hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 − 1 có đồ thị là(C).Viết phương trình tiếp tuyến của(C), biết tiếp tuyến đi qua A(1; −3) . 64 1 64 1 A. ∆ : y = −3 hay ∆ : y = − x − B. ∆ : y = −3 hay ∆ : y = − x − 27 81 27 8 64 51 64 51 C. ∆ : y = −3 hay ∆ : y = − x − D. ∆ : y = −3 hay ∆ : y = − x − 27 2 27 81 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có y ' = 8 x 3 − 8 x Gọi M ( x0 ; y0 ) . Tiếp tuyến ∆ tại M có phương trình: y = (8 x03 − 8 x0 )( x − x0 ) + 2 x04 − 4 x02 − 1 .Vì tiếp tuyến ∆ đi qua A(1; −3) nên ta có

−3 = (8 x03 − 8 x0 )(1 − x0 ) + 2 x04 − 4 x02 − 1 ⇔ 3 x04 − 4 x03 − 2 x02 + 4 x0 − 1 = 0 ⇔ ( x0 − 1) 2 ( x0 + 1)(3 x0 − 1) = 0 • x0 = ±1 ⇒ ∆ : y = −3 1 64 51 • x0 = ⇒ ∆ : y = − x− . 3 27 81 Câu 19. Cho hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 − 1 có đồ thị là(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt. A. ∆ : y = −3 B. ∆ : y = 4 C. ∆ : y = 3 D. ∆ : y = −4 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có y ' = 8 x 3 − 8 x

Trang 149

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Gọi M ( x0 ; y0 ) . Tiếp tuyến ∆ tại M có phương trình: y = (8 x03 − 8 x0 )( x − x0 ) + 2 x04 − 4 x02 − 1 .Giả sử ∆ tiếp xúc với (C) tại điểm thứ hai N ( n; 2n 4 − 4n 2 − 1)

Suy ra: ∆ : y = (8n 3 − 8n)( x − n) + 2n 4 − 4n 2 − 1 8 x 3 − 8 x = 8n3 − 8n  x02 + nx0 + n 2 − 1 = 0 Nên ta có:  0 4 0 2 ⇔  4 2 2 2 −6 x0 + 4 x0 − 1 = −6n + 4n − 1 ( x0 + n)(3 x0 + 3n − 2) = 0 2 2  x02 + x0 n + n 2 − 1 = 0  x0 + x0 n + n − 1 = 0 (I) hoặc ⇔  2 (II) ⇔ 2  x0 + n = 0 3 x0 + 3n − 2 = 0

2  2 2  x0 + n = 3  x0 = −n Ta có (I) ⇔  ; (II) ⇔  vô nghiệm. Vậy ∆ : y = −3 . 1 n = ±1 x n =  0 3 x3 Câu 20. Cho (C) là đồ thị của hàm số y = − x 2 + 2 x + 1 .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết 3 tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân (O là gốc tọa độ ). 1 4 4 4 A.y = x + . B.y = x + . C.y = x + . D.y = x - . 3 3 13 3 Hướng dẫn giải: Chọn B Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại O nên nó chỉ có thể vuông cân tại O, khi đó góc giữa tiếp tuyến (D) và trục Ox là 450 ,suy ra hệ số góc của (D) là k D = ±1 Trường hợp k D = 1 ,khi đó phương trình (D) : y = x + a. (a ≠ 0)  x3 2  − x + 2 x + 1 = x + a (3) (D) tiếp xúc (C) ⇔  3 có nghiệm.  x 2 − 2 x + 2 = 1 (4) 

(4) ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1 . Thay x = 1 vaò phương trình (3) ta được a =

4 . 3

4 3 Trường hợp k D = −1 , khi đó phương trình (D): y = - x + a. Vậy trong trường hợp này,phương trình (D): y = x +

 x3 2  − x + 2 x + 1 = − x + a (5) (D) tiếp xúc với (C) ⇔  3 có nghiệm 2  x − 2 x + 2 = −1 (6)  (6) ⇔ x 2 − 2 x + 3 = 0 .P/t này vô nghiệm nên hệ (5), (6) vô nghiệm,suy ra (D) : y = - x + a không tiếp xúc với (C). 4 Vậyphương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x + . 3

Trang 150

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 21. Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + (m − 1) x + 2m có đồ thị là (Cm ) .Tìm m để từ điểm M (1; 2) vẽ đến (Cm ) đúng hai tiếp tuyến.  m = −3 m = 3 m = 3   A. B. C.   m = 10  m = 100  m = 10 81 81 81    Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: y ' = 3 x 2 − 4 x + m − 1 . Gọi A( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến ∆ tại A: y = ( 3 x02 − 4 x0 + m − 1) ( x − x0 ) + x03 − 2 x02 + ( m − 1) x0 + 2m

 m = −3 D.   m = 100 81 

M ∈ ∆ ⇔ 2 = ( 3 x02 − 4 x0 + m − 1) (1 − x0 ) + x03 − 2 x02 + ( m − 1) x0 + 2 m ⇔ 2 x03 + 5 x02 − 4 x0 + 3m − 3 = 0 (*)

Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có đúng hai nghiệm phân biệt(1) Xét hàm số: h(t ) = 2t 3 + 5t 2 − 4t , t ∈ ℝ 1 Ta có: h '(t ) = 6t 2 + 10t − 4 ⇒ h '(t ) = 0 ⇔ t = , t = −2 3 Bảng biến thiên

x y'

1 +∞ 3 + 0 −0 + 12 +∞ −∞ −2

y −∞ −

19 27

3 − 3m = 12  m = −3  Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1) ⇔ là những giá trị cần tìm. ⇔ 3 − 3m = − 19  m = 100 27 81   2x +1 Câu 22. Tìm điểm M trên đồ thị ( C ) : y = sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ : x −1 x + 3 y − 3 = 0 đạt giá trị nhỏ nhất. 1   7 A. M ( −2;1) B. M ( 2;5 ) C. M  −1;  D. M  3;  2   2 Hướng dẫn giải: Chọn A  2m + 1  Gọi M  m;  là tọa độ điểm cần tìm ( m ≠ 1) . m −1    2m + 1  m + 3 −3 1 m 2 + 2m + 6  m −1  Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ là: d = hay d = . m −1 10 12 + 32

Trang 151

Đạo hàm – ĐS&GT 11  m 2 + 2m + 6 khi m < 1  m 2 + 2m + 6  − ( m − 1) Xét hàm số: f ( m ) = = 2 m −1  m + 2m + 6 khi m > 1  m − 1 Ta có: f ' ( m ) = 0 ⇔ m = −2 thỏa m < 1 hoặc m = 4 thỏa m > 1 . Lập bảng biến thiên suy ra min d =

2 khi m = −2 tức M ( −2;1) . 10

1 1 Tiếp tuyến tại M là y = − x + , tiếp tuyến này song song với ∆ . 3 3

Trang 152

Đạo hàm – ĐS&GT 11 ÔN TẬP CHƯƠNG V

Câu 1. Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) = sin x , x ∈ [ 0; 2π ] song song với đường thẳng y = A. 0 .

C. 3 .

B. 1 .

x là: 2

D. 2 .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp ánD

f ′ ( x ) = cos x Do tiếp tuyến song song với y =

Vì x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ x =

x 1 1 π có f ′ ( x0 ) = ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ ℤ 2 2 2 3

π 5π ;x= 3 3

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến. Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x) = cos x −

y=−

1 (x + 1) là : 2

A. y = −

y=−

3  π , x ∈  0;  song song với đường thẳng 2  4

x π + . 2 12

B. y =

x π + . 2 12

C. y = −

x π + . 2 6

x π 3 . + − 2 6 2

Hướng dẫn giải: Chọn đáp ánA

f ′ ( x ) = − sin x

π  x = + k 2π  1 1 1 6 Tiếp tuyến song song với y = − ( x + 1) ⇒ f ′ ( x0 ) = − ⇔ sin x = ⇔  ,k ∈ℤ 2 2 2  x = 5π + k 2π  6  

Vì x ∈  0;

π π x π ⇒ x= ;y=0⇒ y=− +  4 6 2 12

2 Câu 3. Số gia của hàm số y = x + 2 tại điểm x0 = 2 ứng với số gia ∆x = 1 bằng bao nhiêu?

A. 13 .

Trang 153

B. 9 .

C. 5 .

D. 2 .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C

∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f ( 2 + 1) − f ( 2 ) = 5 2 Câu 4. Số gia của hàm số y = x − 1 tại điểm x0 = 2 ứng với số gia ∆x = 0,1 bằng bao nhiêu?

A. −0,01.

B. 0, 41 .

C. 0,99 .

D. 11,1 .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B

∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f ( 2 + 0,1) − f ( 2 ) = 0, 41 3

Câu 5. Đạo hàm của hàm số y = 2 x − (4 x − 3) bằng biểu thức nào sau đây? 2

A. 6 x − 8x − 3 .

B. 6 x − 8 x + 3 .

C. 2(3x − 4 x) .

D. 2(3x − 8x) .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C

y′ = 6 x 2 − 8 x = 2 ( 3x 2 − 4 x ) . 3

Câu 6. Cho hàm số f ( x) = x − x − 3x . Giá trị f ′(−1) bằng bao nhiêu? A. − 2 .

B. −1 .

C. 0 .

D. 2 .

Hướng dẫn giải:

(

)′

Ta có f ′( x) = x3 − x 2 − 3 x = 3 x 2 − 2 x − 3 ⇒ f ′( −1) = 3 ( −1) − 2 ( −1) − 3 = 2 . Chọn đáp ánD. Câu 7. Cho hàm số g ( x ) = 9 x − A. x < 3 .

3 2 x . Đạo hàm của hàm số g ( x ) dương trong trường hợp nào? 2 B. x < 6 .

C. x > 3 .

Hướng dẫn giải:

 

Ta có g ′( x) =  9 x − Chọn đáp ánA.

Trang 154

3 2 ′ x  = 9 − 3 x ⇒ g ′( x) > 0 ⇔ 9 − 3x > 0 ⇔ x < 3 . 2 

D. x < −3 .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 3

Câu 8. Cho hàm số f ( x) = x − 3x + 3 . Đạo hàm của hàm số f ( x ) dương trong trường hợp nào? A. x < 0 ∨ x > 1 .

B. x < 0 ∨ x > 2 .

C. 0 < x < 2 .

D. x < 1.

Hướng dẫn giải:

x < 0 . x > 2

)′

(

Ta có f ′( x) = x 3 − 3 x 2 + 3 = 3 x 2 − 6 x ⇒ f ′( x) > 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x > 0 ⇔  Chọn đáp ánB. Câu 9. Cho hàm số f ( x) =

4 5 x − 6 . Số nghiệm của phương trình f ′( x) = 4 là bao nhiêu? 5

A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. Nhiều hơn 2 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

 x =1 4 5 ′ . x − 6  = 4 x 4 . Suy ra f ′( x ) = 4 ⇔ x 4 = 1 ⇔  5   x = −1

Ta có f ′( x ) =  Chọn đáp ánC. Câu 10.

Cho hàm số f ( x ) =

A. 0.

2 3 x − 1 . Số nghiệm của phương trình f ′( x) = −2 là bao nhiêu? 3 B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải:

 2 3 ′ x − 1 = 2 x 2 . Suy ra f ′( x) = −2 ⇔ x 2 = −1 . Phương trình vô nghiệm. 3 

Ta có f ′( x) =  Chọn đáp ánA.

Câu 11. Cho hàm số f ( x) = x − 2 x . Phương trình f ′( x) = 2 có bao nhiêu nghiệm? A. 0.

B. 1.

C. 2.

Hướng dẫn giải:

′ Ta có f ′( x) = x 4 − 2 x = 4 x 3 − 2 . Suy ra f ′( x) = 2 ⇔ x = 1 ⇔ x = 1 .

(

Chọn đáp ánB.

Trang 155

)

D. 3.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 2 Câu 12. Cho hai hàm số f ( x) = x + 5 ; g ( x) = 9 x −

A. − 4 .

3 2 x . Giá trị của x là bao nhiêu để f ′( x) = g ′( x) ? 2

B. 4.

9 . 5

5 . 9

Hướng dẫn giải:

 f ′ ( x ) = 2 x 9 ⇒ f ′ ( x ) = g ′ ( x ) ⇔ 2 x = 9 − 3x ⇔ x = . 5  g ′ ( x ) = 9 − 3x

Ta có 

Chọn đáp ánC. Câu 13. Hàm số nào sau đây có đạo hàm bằng 2(3x + 1) ? 3

A. 2 x + 2 x .

B. 3x + 2 x + 5 .

C. 3x + x + 5 .

D. (3x + 1) .

C. 3x( x + 1) .

D. 2 x + 3x .

Hướng dẫn giải:

)′

(

Ta có 3 x 2 + 2 x + 5 = 6 x + 2 . Chọn đáp ánB. Câu 14. Hàm số nào sau đây có đạo hàm bằng 3(2 x + 1) ? A.

3 (2 x + 1) 2 . 2

B. 3x + x .

Hướng dẫn giải:

)′

Ta có 3 x ( x + 1) ′ = 3 x 2 + 3 x = 6 x + 3 .

(

Chọn đáp ánC. 3

Câu 15. Cho hàm số f ( x) = 2 x + 3x − 36 x − 1 . Để f ′( x) = 0 thì x có giá trị thuộc tập hợp nào? A. {−3; 2} .

B. {3; − 2} .

C. {−6; 4} .

Hướng dẫn giải:

(

)′

Ta có f ′( x) = 2 x 3 + 3 x 2 − 36 x − 1 = 6 x 2 + 6 x − 36 . Suy ra

 x=2 . f ′( x) = 0 ⇔ 6 x 2 + 6 x − 36 = 0 ⇔ x 2 + x − 6 = 0 ⇔   x = −3 Chọn đáp ánA.

Trang 156

D. {4; − 6} .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 3

Câu 16. Cho hàm số f ( x) = x + 2 x − 7 x + 5 . Để f ′( x) = 0 thì x có giá trị thuộc tập hợp nào?

 7  3

 

7 3

 

A.  − ;1 .

B.  −1;  .

 7  3

 

C.  − ;1 .

7 3

 

D. 1; −  .

Hướng dẫn giải:

 x =1 ′ 2 2 Ta có f ′( x) = ( x + 2 x − 7 x + 5 ) = 3 x + 4 x − 7 . Suy ra f ′( x) = 0 ⇔ 3x + 4 x − 7 = 0 ⇔  . x = − 7 3  3

Chọn đáp ánD. 3

Câu 17. Cho hàm số f ( x) = x + 2 x − 7 x + 3 . Để f ′( x) ≤ 0 thì x có giá trị thuộc tập hợp nào?

 7  3

 

A.  − ;1 .

 

B.  −1;

7 . 3 

 7  3

 

C.  − ;1 .

 7  3

 

D.  − ;1 .

Hướng dẫn giải:

(

)′

Ta có f ′( x) = x3 + 2 x 2 − 7 x + 3 = 3 x 2 + 4 x − 7 . Suy ra f ′( x) ≤ 0 ⇔ 3 x 2 + 4 x − 7 ≤ 0 ⇔ −

7 ≤ x ≤1 3

Chọn đáp ánA. Câu 18. Cho hàm số f ( x ) =

{ }

1 3 x − 2 2 x 2 + 8 x − 1 . Để f ′( x) = 0 thì x có giá trị thuộc tập hợp nào? 3

{

A. 2 2 .

}

B. −2 2 .

{

}

C. 2; 2 .

D. ∅ .

Hướng dẫn giải:

1 3

′ 

Ta có f ′( x) =  x3 − 2 2 x 2 + 8 x − 1 = x 2 − 4 2 x + 8 ⇒ f ′( x) = 0 ⇔ x 2 − 4 2 x + 8 = 0 .

⇔x=2 2 Chọn đáp ánA. Câu 19. Đạo hàm của hàm số y = 2 x 5 −

A. 10x 4 +

2 . x2

Hướng dẫn giải:

Trang 157

2 + 3 bằng biểu thức nào sau đây? x

B. 10x 4 −

2 . x2

C. 10 x 4 +

2 +3. x2

D. 10x +

2 . x2

Đạo hàm – ĐS&GT 11

 

Ta có f ′( x) =  2 x5 −

2 2 ′ + 3  = 10 x 4 + 2 . x x 

Chọn đáp ánA. Câu 20. Đạo hàm của hàm số f ( x ) = 2 x 5 − A. 21.

4 + 5 tại x = −1 bằng số nào sau đây? x

B. 14. C. 10.

D. – 6.

Hướng dẫn giải:

 

Ta có f ′( x) =  2 x5 −

4 4 4 4 ′ + 5  = 10 x 4 + 2 ⇒ f ′( −1) = 10 ( −1) + = 10 + 4 = 14 . 2 x x  ( −1)

Chọn đáp ánB. 2 2 Câu 21. Cho f ( x) = 5x ; g ( x) = 2(8 x − x ) . Bất phương trình f ′(x) > g ′( x) có nghiệm là?

A. x >

8 . 7

B. x >

6 . 7

C. x <

8 . 7

D. x > −

8 . 7

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

Ta có: f ′ ( x ) = 10 x ; g ′ ( x ) = 16 − 4 x . Khi đó f ′(x) > g ′( x ) ⇔ 10 x > 16 − 4 x ⇔ x > Câu 22.

8 . 7

3 2 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = x − 2 x + x − 1 tại điểm có hoành độ x0 = −1 là:

A. y = 8 x + 3 .

B. y = 8 x + 7 .

C. y = 8 x + 8 .

D. y = 8 x + 11 .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

Tọa độ tiếp điểm: x0 = −1 ⇒ y0 = −5 . Tiếp điểm M ( −1; −5 ) . Hệ số góc của tiếp tuyến: y ′ = 3 x 2 − 4 x + 1 ⇒ y′ ( −1) = 8 . Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 = −1 có phương trình: y = 8 ( x + 1) − 5 ⇔ y = 8 x + 3 . 3 2 Câu 23. Tiếp tuyến với đồ thị y = x − x + 1 tại điểm có hoành độ x0 = 1 có phương trình là:

A. y = x .

Trang 158

B. y = 2 x .

C. y = 2 x − 1 .

D. y = x − 2 .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

Tọa độ tiếp điểm: x0 = 1 ⇒ y0 = 1 . Tiếp điểm M (1;1) . Hệ số góc của tiếp tuyến: y ′ = 3 x 2 − 2 x ⇒ y ′ (1) = 1 . Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 = 1 có phương trình: y = ( x − 1) + 1 ⇔ y = x . 3 2 Câu 24. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = 2 x − 3x + 2 tại điểm có hoành độ x0 = 2 là:

A. 18.

B. 14. C. 12.

D. 6.

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C.

Hệ số góc của tiếp tuyến: y ′ = 6 x 2 − 6 x ⇒ y ′ ( 2 ) = 12 . 3 2 Câu 25. Tiếp tuyến với đồ thị y = x − x tại điểm có hoành độ x0 = −2 có phương trình là:

A. y = 16 x + 20 .

B. y = 16 x − 56 .

C. y = 20 x + 14 .

D. y = 20 x + 24 .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

Tọa độ tiếp điểm: x0 = −2 ⇒ y0 = −12 . Tiếp điểm M ( −2; −12 ) . Hệ số góc của tiếp tuyến: y ′ = 3 x 2 − 2 x ⇒ y ′ ( −2 ) = 16 . Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 = −2 có phương trình: y = 16 ( x + 2 ) − 12 ⇔ y = 16 x + 20 . 3

Câu 26. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = 2 x − 3x + 5 tại điểm có hoành độ −2 là: A. 38.

B. 36. C. 12.

D. – 12.

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B.

Hệ số góc của tiếp tuyến: y ′ = 6 x 2 − 6 x ⇒ y ′ ( −2 ) = 36 . 4 3 2 Câu 27. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x + x − 2 x + 1 tại điểm có hoành độ −1 là:

A. 11.

Trang 159

B. 4.

C. 3.

D. – 3.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C.

Hệ số góc của tiếp tuyến: y ′ = 4 x 3 + 3 x 2 − 4 x ⇒ y ′ ( −1) = 3 . 3 2 Câu 28. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x − x + 1 tại điểm có hoành độ x0 = −1 có hệ số góc bằng:

A. 7.

B. 5.

C. 1.

D. – 1.

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B.

Hệ số góc của tiếp tuyến: y ′ = 3 x 2 − 2 x ⇒ y ′ ( −1) = 5 . 4

Câu 29. Cho hàm số f ( x) = x + 2 x − 3 . Với giá trị nào của x thì f ′( x) dương? A. x > 0 .

B. x < 0 .

C. x < −1 .

D. −1 < x < 0 .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

Ta có : f ′ ( x ) = 4 x 3 + 4 x . Khi đó f ′ ( x ) > 0 ⇔ 4 x 3 + 4 x > 0 ⇔ x > 0 . 3

Câu 30. Cho hàm số f ( x) = x − x − x + 5 . Với giá trị nào của x thì f ′( x) âm? A. −1 < x <

1 . 3

1 < x < 1. 3

C. −

1 < x <1. 3

D. −

2 < x < 2. 3

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C.

Ta có : f ′ ( x ) = 3 x 2 − 2 x − 1 . Khi đó f ′ ( x ) < 0 ⇔ 3x 2 − 2 x − 1 < 0 ⇔ −

Câu 31. Cho hàm số f ( x ) = mx −

1 < x < 1. 3

1 3 x . Với giá trị nào của m thì x = −1 là nghiệm của bất phương trình 3

f ′( x) < 2 ? A. m > 3 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B.

Ta có f ′ ( x ) = m − x 2 .

Trang 160

B. m < 3 .

C. m = 3 .

D. m < 1 .

Đạo hàm – ĐS&GT 11

x = −1 là nghiệm của bất phương trình f ′( x) < 2 ⇒ f ′ (1) < 2 ⇔ m − 1 < 2 ⇔ m < 3. 3

Câu 32. Cho hàm số f ( x) = 2mx − mx . Với giá trị nào của m thì x = 1 là nghiệm của bất phương trình

f ′( x) ≥ 1 ? A. m ≤ −1 .

B. m ≥ −1 .

C. −1 ≤ m ≤ 1 .

D. m ≥ 1 .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A

Ta có f ′ ( x ) = 2 m − 3mx 2 .

x = 1 là nghiệm của bất phương trình f ′( x) ≥ 1 ⇒ f ′ (1) ≥ 1 ⇔ − m ≥ 1 ⇔ m ≤ −1. Câu 33. Cho hàm số f ( x) = 2 x −

3 2 x . Đạo hàm của hàm số f ( x ) nhận giá trị dương khi x thuộc tập hợp 2

nào dưới đây?

 

2

 

A.  −∞;  . 3

2 3

B.  −∞;  .



 

8 3

C.  −∞;  .

 

3 2

D.  −∞;  .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B

Ta có f ′ ( x ) = 2 − 3 x. Khi đó, f ′ ( x ) > 0 ⇔ 2 − 3 x > 0 ⇔ x <

Câu 34. Cho hàm số f ( x) =

2 . 3

x2 −1 . Đạo hàm của hàm số f ( x ) nhận giá trị âm khi x thuộc tập hợp nào dưới x2 + 1

đây? A. ( −∞; 0 ) .

B. ( 0; +∞ ) .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A

Ta có f ′ ( x ) =

+ 1)

Khi đó, f ′ ( x ) < 0 ⇔ 4 x < 0 ⇔ x < 0.

Trang 161

C. ( −∞;1] ∪ [1; +∞ ) .

D. [ −1;1] .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 35. Cho hàm số f ( x) =

1 3 x − 3 2 x 2 + 18 x − 2 . Để f ′(x) ≥ 0 thì x có giá trị thuộc tập hợp nào dưới 3

đây?

(

)

A. 3 2; +∞ .

)

B. 3 2; +∞ .



C. ∅ .

D. ℝ .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D

(

Ta có f ′ ( x ) = x 2 − 6 2 x + 18 = x − 3 2 Câu 36. Cho hàm số f ( x ) = A. ( −∞; −3 ) ∪ ( 2; +∞ ) .

)

⇒ f ′ ( x ) ≥ ,∀x ∈ R.

1 3 1 2 x − x − 6 x − 5 . Để f ′(x) < 0 thì x có giá trị thuộc tập hợp nào dưới đây? 3 2 B. ( −3; 2 ) .

C. ( −2;3 ) .

( −∞; −4] ∪ [3; +∞ ) . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C

Ta có f ′ ( x ) < 0 ⇔ x 2 − x − 6 < 0 ⇔ x ∈ ( −2;3 ) . Câu 37. Cho hàm số f ( x) = A. ( −∞; −3] ∪ [ 4; +∞ ) .

1 3 1 2 x + x − 12 x − 1 . Để f ′(x) ≥ 0 thì x có giá trị thuộc tập hợp nào dưới đây? 3 2 B. [ −3; 4 ] .

C. [ −4;3] .

( −∞; −4] ∪ [3; +∞ ) . . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D

f ′(x) ≥ 0 ⇔ x 2 + x − 12 ≥ 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −4 ] ∪ [3; +∞ ) . Câu 38. Cho hàm số f ( x) = 2 x − 3 x 2 . Để f ′(x) < 0 thì x có giá trị thuộc tập hợp nào dưới đây?

 

1 3

A.  −∞;  . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C

Trang 162

 

1 3

B.  0;  .

1 2 3 3

C.  ;  .

1 3

 

D.  ; +∞  .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 2  0< x<  2 x − 3x > 0 2 − 6x  1 2 3 Ta có f ′ ( x ) < 0 ⇔ <0⇔ ⇔ ⇒ x ∈  ; . 2 3 3 2 2 x − 3x 2 − 6 x < 0 x > 1  3 2

x 2 − 5 x bằng biểu thức nào sau đây?

Câu 39. Đạo hàm của hàm số f ( x) = A.

1 2

2 x − 5x

2x − 5

x − 5x

2x − 5 2

2 x − 5x

D. −

2x − 5 x2 − 5x

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C

(x Ta có f ′( x) =

− 5 x )′

2 x − 5x

2x − 5 2 x2 − 5x

Câu 40. Đạo hàm của hàm số f ( x) = 2 − 3 x 2 bằng biểu thức nào sau đây?

2 2 − 3x

−6 x 2

2 2 − 3x

2 − 3x

−3x 2 − 3x 2

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D

2 − 3x )′ ( f ′( x) = 2

2 2 − 3x

−3 x

2 − 3x 2

Câu 41. Đạo hàm của hàm số f ( x) = ( x + 2)( x − 3) bằng biểu thức nào sau đây? A. 2 x + 5 .

B. 2 x − 7 .

C. 2 x − 1 .

D. 2 x − 5 .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C

Ta có f ( x ) = ( x + 2)( x − 3) = x 2 − x − 6 ⇒ f ' ( x ) = 2 x − 1 Câu 42. Đạo hàm của hàm số f ( x) =

A. −

( 2 x − 1)

Trang 163

B. −

2x − 3 bằng biểu thức nào sau đây? 2x −1 8

( 2 x − 1)

C. −

( 2 x − 1)

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D

Ta có f ( x ) =

2x − 3 4 ⇒ f '( x) = 2 2x −1 ( 2 x − 1)

Câu 43. Đạo hàm của hàm số f ( x) =

A. −

( 2 x − 1)

x+4 bằng biểu thức nào sau đây? 2x −1 7

( 2 x − 1)

C. −

( 2 x − 1)

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C

Ta có f ( x) =

−9 x+4 ⇒ f '( x) = 2 2x −1 ( 2 x − 1)

Câu 44. Đạo hàm của hàm số f ( x ) =

A. −

( 2 − 5x )

B. −

x+4 bằng biểu thức nào sau đây? 2 − 5x

( 2 − 5x )

22 2

( 2 − 5x )

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D

Ta có f ( x) =

x+4 22 ⇒ f '( x) = 2 2 − 5x ( 2 − 5x )

Câu 45. Đạo hàm của hàm số f ( x ) =

A. −

( 2 x + 1)

B. −

2 − 3x bằng biểu thức nào sau đây? 2x +1

( 2 x + 1)

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A

Ta có f ( x ) =

2 − 3x −7 ⇒ f '( x) = 2 2x +1 ( 2 x + 1)

Câu 46. Hàm số nào sau đây có đạo hàm luôn dương với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đó?

Trang 164

Đạo hàm – ĐS&GT 11 3x + 2 . 5x + 1

A. y =

B. y =

3x − 2 . 5x + 1

C. y =

−x − 2 . 2x −1

D. y =

−x + 2 . x +1

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B.

3.1 − 5. ( −2 )

Ta có y′ =

( 5 x + 1)

1 > 0∀ ≠ − . 5

Câu 47. Hàm số nào sau đây có đạo hàm luôn âm với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đó?

−x − 2 . x +1

A. y =

B. y =

x−2 . x +1

C. y =

3x − 2 . x −1

D. y =

3x + 2 . x −1

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Ta có y′ =

3. ( −1) − 2. (1)

( x − 1)

Câu 48. Nếu f ( x) = A.

x +1

−5

( x − 1)

< 0∀ ≠ 1.

x 2 + 2 x + 3 thì f '' ( x) = 2x + 2

x + 2x + 3

x −1 . ( x + 2 x + 3) 2

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A x +1

Ta có f ( x) = x 2 + 2 x + 3 ⇒ f ' ( x ) =

Câu 49. Nếu f ( x) =

( 3x + 1)

x + 2x + 3

2− x '' thì f ( x) = 3x + 1 B.

2x −1

( 3 x + 1)

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C

Ta có f ( x) =

Trang 165

2− x −7 ⇒ f '( x) = 3x + 1 ( 3x + 1)2

−7

( 3x + 1)

D. −

( 3x + 1)2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 50. Nếu f ( x) = x 2 cos

A. 2 x cos

1 ' thì f (x ) = x

1 1 − x 2 sin . x x

1 . x

B. − 2 x sin

C. 2 x cos

1 1 + sin . x x

D. sin

1 . x

C. y′ = −

cos 2 x . sin 2 2 x

D. y′ =

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C 1 x

1 x

Ta có f ( x) = x 2 cos ⇒ f ' ( x ) = 2 x cos + sin

Câu 51. Tính đạo hàm của hàm số y =

A. y ′ = −

2 cos 2 x . sin 2 2 x

1 x

1 sin 2 x

B. y′ = −

2 . sin 2 2 x

1 . 2 cos 2 x

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

Ta có y =

( sin 2 x )′ = − 2 cos 2 x 1 ⇒ y′ = − 2 sin 2 x sin 2 2 x ( sin 2 x )

Câu 52. Tính đạo hàm của hàm số y =

cos x x2

sin x . 2x − x sin x + 2 cos x C. y ′ = . x3

− x sin x − 2 cos x x3 2 sin x D. y ′ = − . x3

A. y′ = −

B. y′ =

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B.

( cos x )′ . x 2 − ( x 2 )′ .cos x − sin x.x 2 − 2 x.cos x − x sin x − 2 cos x cos x = = Ta có y = 2 ⇒ y′ = x x4 x4 x3 Câu 53. Nếu k ( x ) = 2 sin 3

6 sin 2 x cos x . x

Hướng dẫn giải:

Trang 166

x thì k ' ( x ) = B. 6sin

x cos x .

3 sin 2 x cos x . x

cos3 x . x

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Chọn đáp án C.

(

k ( x ) = 2sin 3 x ⇒ k ′( x) = 2.3.sin 2 x . sin x = 6.sin 2 x .cos x .

1 2 x

)′ = 6.sin

x .cos x .

3 sin 2 x .cos x x

Câu 54. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x) = x 2 − A. y = − x + 1 .

( x )′

B. y = x − 1 .

1 tại điểm có hoành độ x = −1 là x

C. y = − x + 2 .

D. y = 2 x + 1.

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

Ta có f ( x) = x 2 −

1 1 ⇒ f ′( x) = 2 x + 2 ⇒ f ′(−1) = −1; f ( −1) = 2 x x

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x) = x 2 −

1 tại điểm có hoành độ x = −1 là x

y = −( x + 1) + 2 hay y = − x + 1 . 3

Câu 55. Nếu f ( x ) = ( 5 x + 1)(1 − x ) thì f ′( x) = 2

A. −15 (1 − x ) .

B. 2 (1 − 10 x )(1 − x ) .

C. 5 ( 6 x + 1)(1 − x ) .

D. ( 5 x − 2 )(1 − x ) .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B.

Ta có 3 3 3 ′ f ( x ) = ( 5 x + 1)(1 − x ) ⇒ f ′( x ) = ( 5 x + 1)′ . (1 − x ) + ( 5 x + 1) . (1 − x )   

= 5. (1 − x ) + ( 5 x + 1) .( −3) (1 − x ) = 2 (1 − x ) (1 − 10x) Câu 56. Nếu y = sin

x n thì y ( ) = 2

π 1 x sin  + n  . 2n 2 2 

Hướng dẫn giải:

Trang 167

π x +n . 2 2 

B. sin 

π x +n . 2 2 

C. 2 n sin 

1 x  sin  + nπ  . 2n 2  

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Chọn đáp án A.

1  x nπ  n Chứng minh bằng quy nạp y ( ) = n sin  +  2

 

Với n = 1 ta có y′ =  sin

2

2 

(1)

x ′ 1 x 1 x π   = cos = sin  +  2 2 2 2 2 2

Giả sử (1) đúng với n = k ,

k ∈ ℕ* tức là ta có y( k ) =

1  x kπ  sin  +  k 2 2 2 

(1)

1  x (k + 1)π  k +1 Chứng minh (1) đúng với n = k + 1 tức là cần chứng minh y( ) = k +1 sin  +  2

2



( 2)

Thật vậy, ta có

k + 1)

′

( )

= y(

′ 1 1  1  x kπ    x kπ  =  k sin  +   = k . c os  +  2 2 2 2 2 2    2 

1 1  x kπ π   x (k + 1)π  sin  + +  = k +1 sin  +  k +1 2 2  2 2 2 2 2

2 Câu 57. Phương trình tiếp tuyến của parabol y = x + x + 3 song song với đường thẳng y =

A. y = x − 2 .

B. y = 1 − x .

C. y = 2 − x .

4 − x là : 3

D. y = 3 − x .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. 2

Ta có y = x + x + 3 ⇒ y′ = 2x + 1 2

Giả sử M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với parabol y = x + x + 3 Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y =

4 − x nên y′( x0 ) = −1 ⇔ 2x 0 + 1 = −1 ⇔ x 0 = −1; y(−1) = 3 3

Phương trình tiếp tuyến là y = −1( x + 1) + 3 hay y = 2 − x Câu 58.Tiếp tuyến với đồ thị hàm số f ( x) =

3x + 2 tại điểm có hoành độ x0 = 1 có hệ số góc bằng bao 2x − 3

nhiêu? A. 13 .

Trang 168

B. −1 .

C. −5 .

D. −13 .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.

Ta có f ( x ) =

3x + 2 −13 3 ⇒ f ′( x) = , ∀x ≠ 2 2x − 3 2 ( 2 x − 3)

⇒ k = f ′(1) = −13 Câu 59. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số f ( x) = A. 3

x+5 tại điểm có hoành độ x0 = 3 có hệ số góc bằng bao nhiêu? x−2

B. −3 .

C. −7 .

D. −10 .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C.

Ta có f ( x) =

−7 x+5 ⇒ f ′( x ) = , ∀x ≠ 2 2 x−2 ( x − 2)

⇒ k = f ′(3) = −7 Câu 60. Đạo hàm của hàm số f ( x ) =

A. −3 .

3x + 5 + x tại điểm x = 1 bằng bao nhiêu? x −3

B. 4 .

7 . 2

−1 . 2

11 . 8

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

Ta có f ( x ) =

x ≠ 3 3x + 5 −14 1 với  + x ⇒ f ′( x) = + 2 x −3 ( x − 3) 2 x x ≥ 0

f ′(1) = −3 . Câu 61. Đạo hàm của hàm số f ( x) =

−5 . 8

x−3 + 4 x tại điểm x = 1 bằng bao nhiêu? x+3

5 . 8

25 . 16

Hướng dẫn giải: ax + b ′ ad − bc Cách 1. Áp dụng công thức  và  = 2  cx + d 

Trang 169

( cx + d )

( u )′ = 2u′u .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Ta có: f ′ ( x ) =

( x + 3)

2 6 2 11 . f ′ (1) = + = . 2 4x 4.1 8 (1 + 3)

Cách 2. Sử dụng MTCT: Quy trình bầm phím:

Chọn đáp án D. Câu 62. Đạo hàm của hàm số f ( x ) =

−1 . 2

1 . 2

x −1 + 4 x tại điểm x = 1 bằng bao nhiêu? x +1 C.

3 . 4

3 . 2

Hướng dẫn giải:

ax + b ′ ad − bc Cách 1. Áp dụng công thức  và  = 2  cx + d 

Ta có: f ′ ( x ) =

( x + 1)

( cx + d )

( u )′ = 2u′u .

2 2 2 3 . f ′ (1) = + = . 2 4x 4.1 2 (1 + 1)

Cách 2. Sử dụng MTCT: Quy trình bầm phím:

Chọn đáp án D. Câu 63. Đạo hàm của hàm số f ( x ) = x 4 + x + 2 tại điểm x = 1 bằng bao nhiêu? A.

17 . 2

Hướng dẫn giải:

Trang 170

9 . 2

9 . 4

3 . 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11

( x )′ = 2 1 x .

Cách 1. Áp dụng công thức ( x n )′ = n.x n −1 và Ta có: f ′ ( x ) = 4 x3 +

1 2 x

. f ′ (1) = 4.13 +

1 2 1

9 . 2

Cách 2: Sử dụng MTCT Quy trình bấm phím:

Chọn đáp án B. Câu 64. Đạo hàm của hàm số f ( x ) = x 3 + x − 5 tại điểm x = 1 bằng bao nhiêu? A.

7 2

5 . 2

7 . 4

3 . 2

Hướng dẫn giải: Cách 1. Áp dụng công thức ( x n )′ = n.x n −1 và Ta có: f ′ ( x ) = 3 x 2 +

1 2 x

( x )′ = 2 1 x .

. f ′ (1) = 3.12 +

1 2 1

7 . 2

Cách 2: Sử dụng MTCT Quy trình bấm phím:

Chọn đáp án A. Câu 65. Đạo hàm của hàm số f ( x ) =

A. −

+ 1)

Hướng dẫn giải:

Trang 171

1 bằng biểu thức nào sau đây? x +1 2

+ 1)

C. −

+ 1)

Đạo hàm – ĐS&GT 11 1 ′ −v′ Áp dụng công thức   = 2 . v v  

Ta có: f ′( x) =

− ( x 2 + 1)′

+ 1)

−2 x

+ 1)

Chọn đáp án C.

1 bằng biểu thức nào sau đây? x −1

Câu 66. Đạo hàm của hàm số f ( x) =

2 x2

( x − 1) 2

−2 x

( x − 1) 2

C. −

( x − 1) 2

Hướng dẫn giải: 1 ′ −v′ Áp dụng công thức   = 2 . v v  

Ta có: f ′( x) =

− ( x 2 − 1)′

− 1)

−2 x

− 1)

Chọn đáp án B.

x2 + 1 Câu 67. Đạo hàm của hàm số f ( x) = 2 bằng biểu thức nào sau đây? x −1 A.

4 x2

− 1)

−2

− 1)

Hướng dẫn giải: u ′ u ′.v − v ′.u . Cách 1. Áp dụng công thức   = x v2  

Ta có: f ′( x) =

+ 1)′ ( x 2 − 1) − ( x 2 − 1)′ ( x 2 + 1)

( x − 1) 2

−4 x

( x2 + 1)

Chọn đáp án D.  a x2 + b x + c Cách 2. Áp dụng công thức  1 2 1  a2 x + b2 x + c2

Trang 172

′  = 

a1 b1 a2 b2

x2 + 2

(a x 2

a1 c1 a2 c2

+ b2 x + c2 )

b1 c1 b2 c2 2

−4 x

− 1)

Đạo hàm – ĐS&GT 11 1 0 1 0

Ta có : f ′( x) =

x2 + 2

1 1 1 −1

( x2 − 1)

0 1 0 −1

B. −

2 2

(2 − x )

−4 x

( x2 + 1)

1 bằng biểu thức nào sau đây? 2 − x2

Câu 68. Đạo hàm của hàm số f ( x) =

2x 2 2

(2 − x )

C. −

2 2

(2 − x )

D. −

1 2 2

(2 − x )

Hướng dẫn giải: 1 ′ −v′ Áp dụng công thức   = 2 . v v  

Ta có: f ′( x) =

− ( 2 − x 2 )′ 2 2

(2 − x )

2x 2 2

(2 − x )

Chọn đáp án A. Câu 69. Đạo hàm của hàm số y =

2x 2 2

(2 − x )

1 − x2 bằng biểu thức nào sau đây? 2 − x2

B. −

2x 2 2

(2 − x )

C. −

2 2

(2 − x )

Hướng dẫn giải: u ′ u ′.v − v ′.u Cách 1. Áp dụng công thức   = . x v2  

(1 − x )′ ( 2 − x ) − ( 2 − x )′ (1 − x ) = −2 x (2 − x ) (2 − x ) 2

Ta có: y′ =

2 2

Chọn đáp án B.  a1 x 2 + b1 x + c 2  a2 x + b2 x + c2

Cách 2. Áp dụng công thức 

y′ =

−1 0 −1 0

x2 + 2

Trang 173

−1 1 −1 2

− 1)

0 1 0 2

−2 x

+ 1)

′  = 

a1 b1 a2 b2

x2 + 2

(a x 2

a1 c1 a2 c2

+ b2 x + c2 )

b1 c1 b2 c2 2

1 2 2

(2 − x )

Đạo hàm – ĐS&GT 11 1 bằng biểu thức nào sau đây? x + x −1

Câu 70. Đạo hàm của hàm số y =

−(2 x + 1)

+ x − 1)

−2( x + 1)

+ x − 1)

−(2 x − 1)

+ x − 1)

2(2 x + 1)

+ x − 1)

Hướng dẫn giải: 1 ′ −v′ Áp dụng công thức   = 2 . v v  

Ta có: y′ =

− ( x 2 + x − 1)′

+ x − 1)

=−

( 2 x + 1)

+ x − 1)

Chọn đáp án A. Câu 71. Đạo hàm của hàm số y =

A. −

2(2 x − 1)

+ x − 1)

x2 + x + 1 bằng biểu thức nào sau đây? x2 + x −1

B. −

2(2 x + 2)

+ x − 1)

2(2 x + 1)

C. −

+ x − 1)

Hướng dẫn giải: u ′ u ′.v − v ′.u . Cách 1. Áp dụng công thức   = x v2  

Ta có: y′ =

+ x + 1)′ ( x 2 + x − 1) − ( x 2 + x − 1)′ ( x 2 + x + 1)

( x2 + x − 1)

=−

2 ( 2 x + 1)

( x2 + x − 1)

Chọn đáp án C.  a x2 + b x + c Cách 2. Áp dụng công thức  1 2 1  a2 x + b2 x + c2

Ta có : y′ =

1 1 1 1

x2 + 2

1 1 1 −1

− 1)

1 1 1 −1

Câu 72. Đạo hàm của hàm số y =

Trang 174

′  = 

a1 b1 a2 b2

(a x 2

−2 ( 2 x + 1)

x2 + 2

+ x − 1)

a1 c1 a2 c2

+ b2 x + c2 )

b1 c1 b2 c2 2

x2 + x + 3 bằng biểu thức nào sau đây? x2 + x − 1

2(2 x + 1)

+ x − 1)

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A. −

2(2 x + 1)

+ x − 1)

B. −

4(2 x + 1)

+ x − 1)

4(2 x − 1)

C. −

+ x − 1)

D. −

4(2 x + 4)

+ x − 1)

Hướng dẫn giải: u ′ u ′.v − v ′.u . Cách 1. Áp dụng công thức   = x v2  

(x Ta có: y′ =

+ x + 3)′ ( x 2 + x − 1) − ( x 2 + x − 1)′ ( x 2 + x + 3)

+ x − 1)

=−

4 ( 2 x + 1)

+ x − 1)

Chọn đáp án B.  a1 x 2 + b1 x + c 2  a2 x + b2 x + c2

Cách 2. Áp dụng công thức 

1 1 1 1

Ta có: y′ =

x2 + 2

1 3 1 1

( x 2 + x − 1)

1 3 1 −1

Câu 73. Đạo hàm của hàm số y =

A. −

(4 x − 1)

(2x

+ x + 1)

=−

′  = 

x2 + 2

a1 b1 a2 b2

(a x

4 ( 2 x + 1)

( x2 + x − 1)

a1 c1 a2 c2

b1 c1 b2 c2

+ b2 x + c2 )

1 bằng biểu thức nào sau đây? 2x + x +1 2

4x +1

(2x

+ x + 1)

C. −

(4 x + 1)

(2x

+ x + 1)

−1

(2x

+ x + 1)

Hướng dẫn giải: 1 ′ −v′ Áp dụng công thức   = 2 . v v  

Ta có: y′ =

− ( 2 x 2 + x + 1)′

( 2 x2 + x + 1)

=−

( 4 x + 1)

( 2 x 2 + x + 1)

Chọn đáp án C. Câu 74. Đạo hàm của hàm số y =

A. −

−3(4 x − 1)

( 2x

+ x + 2)

Hướng dẫn giải:

Trang 175

2 x2 + x + 5 bằng biểu thức nào sau đây? 2 x2 + x + 2

−3(4 x + 1)

( 2x

+ x + 2)

−3

( 2x

+ x + 2)

D. −

−(4 x + 1)

( 2x

+ x + 2)

Đạo hàm – ĐS&GT 11 u ′ u ′.v − v ′.u Cách 1. Áp dụng công thức   = . x v2  

(2x Ta có: y′ =

+ x + 5 )′ ( 2 x 2 + x + 2 ) − ( 2 x 2 + x + 2 )′ ( 2 x 2 + x + 5)

(2x

+ x + 2)

−3 ( 4 x + 1)

(2x

+ x + 2)

Chọn đáp án B.  a1 x 2 + b1 x + c 2  a2 x + b2 x + c2

Cách 2. Áp dụng công thức 

Ta có : y′ =

2 1 2 1

x2 + 2

( 2x

2 5 2 2

+ x + 2)

1 5 1 2

=−

′  = 

a1 b1 a2 b2

x2 + 2

(a x

+ x + 2)

+ b2 x + c2 )

3 ( 4 x + 1)

(2x

a1 c1 a2 c2

b1 c1 b2 c2 2

2 2

Câu 75. Đạo hàm của hàm số y = ( x − x ) bằng biểu thức nào sau đây? 5 3 A. 6 x + 4 x .

5 4 3 C. 6 x − 10 x − 4 x .

5 4 B. 6 x − 10 x + 4 x .

5 4 3 D. 6 x − 10 x + 4 x .

Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức ( u n )′ = nu n −1 .u ′ .

(

Ta có: y′ = 2 x3 − x 2

)( x

− x 2 )′ = 2 ( x 3 − x 2 )( 3 x 2 − 2 x ) = 6 x5 − 10 x 4 + 4 x3 .

Chọn đáp án D. 5 2 2 Câu 76. Đạo hàm của hàm số y = ( x − 2 x ) bằng biểu thức nào sau đây? 9

A. 10 x + 16 x .

B. 10 x − 14 x + 16 x .

C. 10 x − 28x + 16 x .

. Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức ( u n )′ = nu n −1 .u ′ .

(

Ta có: y′ = 2 x 5 − 2 x 2

)( x

− 2 x 2 )′ = 2 ( x 5 − 2 x 2 )( 5 x 4 − 4 x ) = 10 x9 − 28x 4 + 16 x3 .

Chọn đáp án C. 3 2 3 Câu 77. Đạo hàm của hàm số y = ( x − x ) bằng biểu thức nào sau đây? 3

2 2

A. 3( x − x ) .

Trang 176

2 2

B. 3( x − x ) (3x − 2 x) .

D. 10 x − 28 x + 8x

Đạo hàm – ĐS&GT 11 3

2 2

C. 3( x − x ) (3x − x) .

D. 3( x − x )(3x − 2 x) .

Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức ( u n )′ = nu n −1 .u ′ .

(

Ta có: y = 3( x 3 − x 2 )2 x3 − x 2

)′ = 3( x

− x2 )2 (3x − 2 x ) .

Chọn đáp án B.

(

3 2 Câu 78. Đạo hàm của hàm số y = x − x + x

( C. 2 ( x

− x2

)

bằng biểu thức nào sau đây?

) ( 3x − 2 x + 1) . + x )( 3 x − 2 x ) .

A. 2 x − x + x

( D. 2 ( x

)( + x )( 3 x

)

B. 2 x 3 − x 2 + x 3 x 2 − 2 x 2 + x .

− x2

− 2 x + 1) .

Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức ( u n )′ = nu n −1 .u ′ .

(

Ta có: y′ = 2 x 3 − x 2 + x

)( x

− x 2 + x )′ = 2 ( x 3 − x 2 + x )( 3 x 2 − 2 x + 1) .

Chọn đáp án D. 2

 2 − 3x  Câu 79. Đạo hàm của hàm số y =   bằng biểu thức nào sau đây?  2x + 1  A.

−14

( 2 x + 1)

2 − 3x . 2x +1

−4

( 2 x + 1)

2 − 3x . 2x +1

( 2 x + 1)

2 − 3x . 2x +1

Hướng dẫn giải: ax + b ′ ad − bc Áp dụng công thức ( u n )′ = nu n −1 .u ′ và  .  = 2  cx + d 

( cx + d )

 2 − 3 x  −14  2 − 3 x   2 − 3 x ′ . . .  = 2 2  2 x + 1  ( 2 x + 1)  2x +1   2x +1 

Ta có: y′ = 2 

Chọn đáp án A. 2

Câu 80. Đạo hàm của hàm số y = (2 x − x + 1) bằng biểu thức nào sau đây? 2 A. (4 x − 1) . 2

2 2 B. 2(2 x − x + 1)(4 x − x) . 2

C. 2(2 x − x + 1) (4 x − 1) .

Trang 177

D. 2(2 x − x + 1)(4 x − 1) .

 2 − 3x  .  2x +1 

D. 2 

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức ( u n )′ = nu n −1 .u ′ .

(

)′

)(

(

)

Ta có: y′ = 2 2 x 2 − x + 1 . 2 x 2 − x + 1 = 2 2 x 2 − x + 1 ( 4 x − 1) . Chọn đáp án D. Câu 81. Đạo hàm của hàm số y = 3 x 2 − 2 x + 12 bằng biểu thức nào sau đây? A.

1 2

2 3 x − 2 x + 12

4x 2

2 3 x − 2 x + 12

3x − 1 2

3 x − 2 x + 12

6x 2

2 3 x − 2 x + 12

Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức

Ta có: y′ =

( 3x

( u )′ = 2u′u .

− 2 x + 12 )′ 2

2 3x − 2 x + 12

3x − 1

3 x − 2 x + 12

Chọn đáp án C. Câu 82. Đạo hàm của hàm số y =

2 x 2 − 4 x3

x 2 − 4 x 3 bằng biểu thức nào sau đây? x − 6x2 x 2 − 4 x3

x − 12 x 2 2 x2 − 4 x3

Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức

Ta có: y′ =

( u )′ = 2u′u .

− 4 x 3 )′

2 x 2 − 4 x3

2 x − 12 x 2

2 x2 − 4 x3

x − 6x2 x 2 − 4 x3

Chọn đáp án B. Câu 83. Cho hàm số y = 2 x + 2 . Biểu thức y(1) + y′(1) có giá trị là bao nhiêu? A.

1 . 2

Hướng dẫn giải:

Trang 178

3 9 . C. . 2 4

5 . 2

x − 2 x2 2 x 2 − 4 x3

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Áp dụng công thức

Ta có: y ' =

( u )′ = 2u′u .

( 2 x + 2 )′ 2 2x + 2

y (1) + y′ (1) = 2.1 + 2 +

x . 2x + 2 1 5 = . 2.1 + 2 2

Chọn đáp án D.

(

)

Câu 84. Cho f ( x ) = x 2 − 3 x + 3 . Biểu thức f ′(1) có giá trị là bao nhiêu? A. 1

B. −1 .

C. − 2 .

Hướng dẫn giải: Cách 1: Áp dụng công thức ( u n )′ = nu n −1 .u ′

(

)′

)(

(

)

Ta có: f ′( x) = 2 x 2 − 3 x + 3 . x 2 − 3 x + 3 = 2 x 2 − 3 x + 3 . ( 2 x − 3 ) .

f ′ (1) = 2 (12 − 3.1 + 3) ( 2.1 − 3) = −2 . Cách 2. Áp dụng MTCT

Quy trình bấm phím: Chọn đáp án C.

(

)

Câu 85. Cho f ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 . Biểu thức f ′(2) có giá trị là bao nhiêu? A. 90

B. 80. C.

40.D. 10.

Hướng dẫn giải: Cách 1: Áp dụng công thức ( u n )′ = nu n −1 .u ′ .

(

)(

)′

(

)

Ta có: f ′( x) = 2 3 x 2 − 4 x + 1 . 3 x 2 − 4 x + 1 y = 2 3 x 2 − 4 x + 1 . ( 6 x − 4 ) .

f ′ ( 2 ) = 2 ( 3.22 − 4.2 + 1) ( 6.2 − 4 ) = 80 . Cách 1: Áp dụng MTCT

Trang 179

D. −12 .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Quy trình bấm phím

Chọn đáp án B.

Câu 86. Đạo hàm của hàm số y = tan 3x bằng biểu thức nào sau đây? A.

3x . cos 2 3 x

3 . cos 2 3x

C. −

3 . cos 2 3x

D. −

3 . sin 2 3x

Hướng dẫn giải:: Áp dụng công thức: ( tan u )′ =

Ta có: ( tan 3 x )′ =

( 3x )′ 2

cos 3 x

u′ . cos 2 u

3 . cos 2 3 x

Chọn đáp ánB. Câu 87. Đạo hàm của hàm số y = tan 2 x tại x = 0 là số nào sau đây? B. 0 .

A. − 2 .

C. 1 .

Hướng dẫn giải:: Cách 1: Phương pháp tự luận Áp dụng công thức: ( tan u )′ =

Ta có: y′ = ( tan 2 x )′ =

u′ . cos 2 u

( 2 x )′ 2

cos 2 x

Chọn đáp ánD. Cách 2: Sử dụng MTCT Chuyển qua chế độ Radian qw4 Quy trình bấm phím

Trang 180

2 2 ⇒ y′ ( 0 ) = =2. 2 2 cos ( 2.0 ) cos 2 x

D. 2 .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 88. Đạo hàm của hàm số y = cos x bằng biểu thức nào sau đây? A.

cos x . 2 cos x

sinx . 2 cos x

C. −

sinx . 2 cos x

D. −

sinx . cos x

D. −

sin2x . 2 cos x

Hướng dẫn giải:: Áp dụng công thức:

Ta có:

(

( u )′ = 2u′u .

− sin x ′ ( cos x )′ = cos x = . 2 cos x 2 cos x

)

Chọn đáp ánC. Câu 89. Đạo hàm của hàm số y = cos 2 x bằng biểu thức nào sau đây? A.

sin2x . 2 cos 2 x

B. −

sin2x . cos 2 x

Hướng dẫn giải:: Áp dụng công thức:

Ta có:

(

( u )′ = 2u′u .

′ ( cos 2 x )′ −2sin 2 x − sin 2 x cos 2 x = = = . 2 cos 2 x 2 cos 2 x cos 2 x

)

Chọn đáp án B. Câu 90. Đạo hàm của hàm số y = sin x bằng biểu thức nào sau đây? A.

cos x . 2 sin x

B. −

cos x . 2 sin x

Hướng dẫn giải:: Áp dụng công thức:

Ta có:

(

( u )′ = 2u′u .

cos x ′ ( sin x )′ sin x = = . 2 sin x 2 sin x

)

Chọn đáp án A.

Trang 181

cos x . sin x

1 . 2 sin x

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 91. Đạo hàm của hàm số y = sin 3 x bằng biểu thức nào sau đây? A.

cos 3x . 2 sin 3x

3cos 3x . 2 sin 3x

C. −

3cos 3x . 2 sin 3 x

− cos 3 x . 2 sin 3x

5 . cos 2 5x

Hướng dẫn giải:: Áp dụng công thức:

Ta có:

(

( u )′ = 2u′u .

3cos 3x ′ ( sin 3x )′ = sin 3x = . 2 sin 3x 2 sin 3x

)

Chọn đáp án B. Câu 92. Đạo hàm của hàm số y = tan 5 x bằng biểu thức nào sau đây? A.

1 . cos 2 5x

−5 . sin 2 5x

−3 . cos 2 5x

Hướng dẫn giải:: Áp dụng công thức: ( tan u )′ =

Ta có: y′ = ( tan 5 x )′ =

u′ . cos 2 u

( 5 x )′ 2

cos 5 x

5 . cos 2 2 x

Chọn đáp án D. Câu 93. Đạo hàm của hàm số y = tan 3x tại x = 0 có giá trị là bao nhiêu? A. −3 .

B. 0 .

C. 3 .

Hướng dẫn giải:: Cách 1: Áp dụng công thức: ( tan u )′ =

Ta có: y′ = ( tan 3 x )′ =

( 3x )′ 2

cos 3 x

Chọn đáp án C. Cách 2: Sử dụng MTCT Chuyển qua chế độ Radian qw4

Trang 182

u′ . cos 2 u

3 3 ⇒ y′ ( 0 ) = =3. 2 2 cos 3 x cos ( 3.0 )

D. Không xác định.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Quy trình bấm phím

Câu 94. Đạo hàm của hàm số y = tan 5x bằng biểu thức nào sau đây? A. 2 tan 5x .

10 sin 5 x . cos3 5 x

−10 sin 5 x . cos 3 5 x

5sin 5 x . cos 3 5 x

Hướng dẫn giải::

( )′ = 2u.u′.

Áp dụng công thức: u 2

Ta có: y ′ = tan 2 5 x ′ = 2 tan 5 x. ( tan 5 x )′ = 2 tan 5 x.

(

)

5 10 tan 5 x 10 sin 5 x . = = 2 cos 5 x cos 2 5 x cos 3 5 x

Chọn đáp án B. Câu 95. Hàm số nào sau đây có đạo hàm y′ = x sin x ? A. x cos x .

B. sin x − x cos x .

C. sin x − cos x .

D. x cos x − sin x .

Hướng dẫn giải::

( x.cos x )′ = x′.cos x + x. ( cos x )′ = cos x − x sin x ⇒

loại đáp án A

( sin x − x cos x )′ = cos x − ( cos x − x sin x ) = x sin x Chọn đáp án B.

π  − 3 x  bằng biểu thức nào sau đây? 3 

Câu 96. Đạo hàm của hàm số y = cos 

π  − 3x  . 3 

A. sin 

π  − 3x  . 3 

B. − sin 

π  − 3x  . 3 

C. −3sin 

Hướng dẫn giải:: Áp dụng công thức: ( cos u )′ = −u ′ sin u



′ π  π ′ π  π  − 3 x   = −  − 3 x  .sin  − 3 x  = 3sin  − 3 x  . 3  3  3  3 

Ta có:  cos 



Chọn đáp án D.

Trang 183

π  − 3x  . 3 

D. 3sin 

Đạo hàm – ĐS&GT 11 π  − 2 x  bằng biểu thức nào sau đây? 2 

Câu 97. Đạo hàm của hàm số y = sin 

π  − 2x  . 2 

A. cos 

π  − 2x  . 2 

B. − cos 

π  − 2x  . 2 

C. −2 cos 

π  − 2x  . 2 

D. 2 cos 

Hướng dẫn giải:: Áp dụng công thức: ( sin u )′ = u ′ cos u

′ π   π ′ π  π  − 2 x   =  − 2 x  .cos  − 2 x  = −2 cos  − 2 x  . 2   2  2  2 



Ta có: sin 



Chọn đáp án C.

(

2 10

(

Câu 98. Đạo hàm của hàm số f ( x) = 3 − x

(

2 A. 10 x 3 − x

2 B. 10 3 − x

)

bằng biểu thức nào sau đây?

(

2 C. 20 x 3 − x

)

(

2 D. −20 x 3 − x

Hướng dẫn giải:: Ta có:  3 − x 2

( 

)

′ = 10 ( 3 − x 2 )9 . ( 3 − x 2 )′ = −20 x ( 3 − x 2 )9 

Chọn đáp án D. Câu 99. Đạo hàm số của hàm số y = 2sin 2 x + cos 2 x bằng biểu thức nào nào sau đây? A. 4cos 2 x − 2sin 2 x . −4 cos 2 x − 2sin 2 x .

B. 4 cos 2 x + 2sin 2 x .

C. 2cos 2 x − 2sin 2 x .

Hướng dẫn giải:: Ta có: ( 2 sin 2 x + cos 2 x )′ = 2 ( sin 2 x )′ + ( cos 2 x )′ = 4 cos 2 x − 2 sin 2 x Chọn đáp án A. Câu 100. Đạo hàm số của hàm số y = sin 3x + 4cos 2 x bằng biểu thức nào nào sau đây? A. cos3x + 4sin 2 x .

B. 3cos 3 x − 4sin 2 x .

C. 3cos 3x − 8sin 2 x .

. Hướng dẫn giải:: Ta có: ( sin 3 x + 4 cos 2 x )′ = ( sin 3 x )′ + 4 ( cos 2 x )′ = 3cos 3 x − 8sin 2 x

Trang 184

D. 3cos 3x + 8sin 2 x

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Chọn đáp án C. Câu 101. Đạo hàm của hàm số y = sin 5 x bằng biểu thức nào sau đây? A.

−5cos 5 x . 2 sin 5 x

5cos 5 x . sin 5 x

cos 5 x . 2 sin 5 x

5cos 5 x . 2 sin 5 x

2sin4x . cos 4 x

Hướng dẫn giải: Chọn D.

Ta có: y′ =

( sin 5x )′ 2 sin 5 x

(5 x)′ cos 5 x 5cos 5 x = . 2 sin 5 x 2 sin 5 x

Câu 102. Đạo hàm của hàm số f ( x ) = cos 4 x bằng biểu thức nào sau đây? A. −

2sin4x . cos 4 x

B. −

2cos4x . cos 4 x

C. −

sin4x . 2 cos 4 x

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Ta có: f ′ ( x ) =

(cos 4 x )′ − sin 4 x.(4 x)′ 4sin 4 x 2sin 4 x . = =− =− 2 cos 4 x 2 cos 4 x 2 cos 4 x 2 cos 4 x π   có giá trị là bao nhiêu? 4

2 2 Câu 103. Cho f ( x) = cos x − sin x . Biểu thức f ′ 

A. −2.

B. 0.

C. 1.

D. 2 .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Ta có: f ′ ( x ) = 2 cos x ( cos x )′ − 2 sin x ( sin x )′

= −2 cos x sin x − 2sin x cos x = −4sin x cos x = −2sin 2 x.

π π π  ⇒ f ′   = −2sin 2 = −2 sin = −2. 4 2 4 π   có giá trị là bao nhiêu? 4

Câu 104. Cho f ( x ) = sin 2 x . Biểu thức f ′  A. 1. Hướng dẫn giải:

Trang 185

B. 0 .

C. −1 .

D. Không xác định.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Chọn đáp án B.

π  ⇒ f ′  = 4

cos 2 x ′ (sin 2 x)′ cos 2 x.(2 x)′ 2 cos 2 x = = = sin 2 x = . 2 sin 2 x 2 sin 2 x 2 sin 2 x sin 2 x

(

Ta có: f ′( x) =

)

cos

sin

2 = 0.

2 3

Câu 105. Đạo hàm số của hàm số y = cos 4 x bằng biểu thức nào nào sau đây? 2 A. 3sin 4 x .

2 B. 3cos 4 x .

2 C. −12 cos 4 x.sin 4 x .

2 D. −3cos 4 x.sin 4 x .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. 2

Ta có: y′ = 3cos 4 x.(cos 4 x)′ = −3cos 4 x sin 4 x(4 x)′ = −12cos 4 x.sin 4 x. 2 Câu 106. Đạo hàm số của hàm số y = sin 3x bằng biểu thức nào nào sau đây?

A. 6sin 6x .

B. 3sin 6x .

C. sin 6x .

D. 2sin 3x .

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Ta có: y′ = 2sin 3x(sin 3x)′ = 2sin 3x cos3x(3x)′ = 6sin 3x cos3x = 3sin 6 x. Câu 107. Đạo hàm số của hàm số f ( x) = sin 3x + cos 2 x bằng biểu thức nào nào sau đây? A. cos 3x + sin 2 x . C. 3cos 3 x − 2sin 2 x . Hướng dẫn giải:

B. cos 3x − sin 2 x . D. −3cos 3x + 2sin 2 x .

Chọn đáp án C. Ta có: f ′( x) = cos 3x(3x)′ − sin 2 x(2 x)′ = 3cos3x − 2sin 2 x. Câu 108. Cho f ( x) = tan 4 x . Giá trị f ′(0) bằng số nào sau đây? A. − 4 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.

Trang 186

B. −1 .

C. 1.

D. 4 .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Ta có: f ′( x ) = ( tan 4 x )′ = 1 + tan 2 4 x (4 x )′ = 4 1 + tan 2 4 x ⇒ f ′(0) = 4.

(

)

(

)

Câu 109. Đạo hàm của hàm số y = cot 2 x bằng biểu thức nào sau đây? A.

−1 . sin 2 2x

−2 . sin 2 2x

−2 . cos 2 2x

2 . cos 2 2x

−4 cos3 2 x . sin 5 2 x

−1 . 2sin x cot x

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Ta có: y′ = −

1 2 (2 x)′ = − 2 . 2 sin 2 x sin 2 x

4 Câu 110. Đạo hàm của hàm số y = cot 2 x bằng biểu thức nào sau đây?

−8 cos3 2 x . sin 5 2 x

−8 cos3 2 x . sin 6 2 x

−8cos 3 2 x . sin 2 2 x

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

1   ′  ( 2x) 2 sin 2 x  

Ta có: y′ = 4 cot 3 2 x.(cot 2 x)′ = 4 cot 3 2 x  −

= −8

cos3 2 x 1 −8cos3 2 x . . = sin 3 2 x sin 2 2 x sin 5 2 x

Câu 111. Đạo hàm của hàm số y = cot x bằng biểu thức nào sau đây? A.

1 . 2 cot x

B. −

sin x . 2 cot x

−1 . sin x cot x 2

Hướng dẫn giải:

Ta có : y′ =

( cot x )′

=−

2 cot x

1 2sin x cot x 2

Chọn đáp án D 6 6 2 2 Câu 112. Cho f ( x) = sin x + cos x và g ( x) = 3sin x.cos x . Tổng f ′ ( x ) + g ′ ( x ) bằng biểu thức nào sau

đây? 5

A. 6(sin x + cos x + sin x.cos x) .

B. 6(sin x − cos x − sin x.cos x) .

C. 6.

D. 0.

Trang 187

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Ta có:

f ' ( x ) = 6sin 5 x.cos x + 6cos5 x.( − sin x ) = 6sin 5 x.cos x − 6cos5 x.sin x

3  3 g ' ( x ) =  .sin 2 2 x  ' = sin 2 x.2.cos 2 x 4  2 Suy ra:

f ' ( x ) + g ' ( x ) = 6.sin x.cos x ( sin 2 x − cos 2 x )( sin 2 x + cos 2 x ) + 6sin x.cos x. ( cos 2 x − sin 2 x ) ⇔ −6sin x.cos x. ( cos 2 x − sin 2 x ) + 6sin x.cos x. ( cos 2 x − sin 2 x ) = 0 Chọn đáp án D Câu 113. Cho f là hàm số liên tục tại x0 . Đạo hàm của f tại x0 là: A. f ( x0 ) .

f ( x0 + h ) − f ( x0 ) . h f ( x0 + h ) − f ( x0 ) C. lim (nếu tồn tại giới hạn) h →0 h f ( x0 + h ) − f ( x0 − h ) D. lim (nếu tồn tại giới hạn). h →0 h

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C theo định nghĩa Câu 114. Cho f là hàm xác định trên ℝ định bởi f ( x ) = x 2 và x0 ∈ ℝ . Chọn câu đúng: A. f ′ ( x0 ) = x0 .

B. f ′ ( x0 ) = x02 .

C. f ′ ( x0 ) = 2 x0 .

f ′ ( x0 ) không tồn tại.

Hướng dẫn giải: Ta có: f ' ( x ) = 2.x ⇒ f ' ( x0 ) = 2.x0 Chọn đáp án C Câu 115. Cho f là hàm xác định trên ( 0; +∞ ) định bởi f ( x ) =

1 . 2

Trang 188

B. −

1 . 2

1 . Đạo hàm của f tại x0 = 2 là: x 1 . 2

D. −

1 . 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Ta có: f ' ( x ) =

−1 ⇒ f' x2

( 2 ) = −21

Chọn đáp án B

x 2 . Giá trị f / ( 0 ) bằng:

Câu 116. Cho hàm f xác định trên ℝ bởi f ( x ) = A. 0

B. 2

C. 1

D. Không tồn tại

Hướng dẫn giải: Ta có: f ' ( x ) =

2x 2 x

x x2

Suy ra f ' ( 0 ) không tồn tại Chọn đáp án D Câu 117. Cho hàm f xác định trên ℝ bởi f ( x ) = 2 x 3 + 1 . Giá trị f A. 6.

B. −6 .

( −1) bằng:

C. − 2 .

D. 3.

Hướng dẫn giải: Ta có: f ' ( x ) = 6 x 2 ⇒ f ' ( −1) = 6 Chọn đáp án A Câu 118. Cho hàm f xác định trên ℝ bởi f ( x ) = A.

1 . 12

B. −

x . Giá trị f / ( −8 ) bằng:

1 . 12

1 . 6

D. −

1 . 6

Hướng dẫn giải:

 13  1 − 23 1 Ta có: f ' ( x ) =  x  ' = .x ⇒ f ' ( −8 ) = 12   3 Chọn đáp án A Câu 119. Cho hàm f xác định trên ℝ \ {1} bởi f ( x ) =

1 . 2

Trang 189

B. −

1 . 2

2x . Giá trị f / ( −1) bằng: x −1 C. − 2 .

D. Không tồn tại.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Ta có: f ' ( x ) =

2 ( x − 1) − 2 x

( x − 1)

−2

( x − 1)

⇒ f ' ( −1) = −

2 1 =− 4 2

Chọn đáp án B

 x2 + 1 −1  khi x ≠ 0 Câu 120. Cho hàm số f xác định trên ℝ bởi f ( x ) =  . Giá trị f / ( 0 ) bằng: x 0 khi x = 0  A. 0.

B. 1.

1 . 2

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải: Ta có: Với x = 0 thì f ( x ) = 0 Khi đó: f ' ( 0 ) = 0 Chọn đáp án A

 x2 + 1 − 1  khi x ≠ 0 Câu 121. Cho hàm số f xác định trên ℝ bởi f ( x ) =  . Giá trị f / ( 0 ) bằng: x 0 khi x = 0  A. 0.

B. 1.

1 . 2

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải:

f ( x ) − f ( 0) x Cho

x2 +1 −1 = x2

1 2

x +1 +1

1 x → 0 ta được f ′ ( 0 ) = nên chọn C. 2

 x 3 − 4 x 2 + 3x khi x ≠ 1  Câu 122. Cho hàm số f xác định trên ℝ \ {2} bởi f ( x ) =  x 2 − 3x + 2 . Giá trị f ′ (1) bằng: 0 khi x = 1  A.

3 . 2

Hướng dẫn giải:

Trang 190

B. 1.

C. 0.

D. Không tồn tại.

Đạo hàm – ĐS&GT 11

f ( x ) − f (1) x ( x − 3) x3 − 4 x 2 + 3x = = 2 x −1 ( x − 1) ( x − 3x + 2 ) ( x − 1)( x − 2 ) Cho

x → 1 ta được lim

f ( x ) − f (1)

x →1

x −1

không tồn tại nên chọn D.

Câu 123. Xét hai mệnh đề: (I) f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0 (II) f liên tục tại x0 thì f có đạo hàm tại x0 Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ mệnh đề (I).

Chỉ mệnh đề (II).

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Hướng dẫn giải: Mệnh đề (II) sai vì

f có thể liên tục mà không có đạo hàm.

Chọn A. Câu 124. Cho hàm f xác định trên ℝ bởi f ( x ) = ax + b với a, b là hai số thực. Chọn câu đúng: A. f ′ ( x ) = a .

B. f ′ ( x ) = −a .

f ′ ( x) = b .

D. f ′ ( x ) = −b .

Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 125. Cho hàm f xác định trên ℝ bởi f ( x ) = −2 x 2 + 3x . Đạo hàm của hàm số này là: A. f ′ ( x ) = −4 x − 3 .

B. f ′ ( x ) = −4 x + 3 .

C. f ′ ( x ) = 4 x + 3 .

D. f ′ ( x ) = 4 x − 3 .

Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 126. Cho hàm f xác định trên [ 0; +∞ ) bởi f ( x ) = x x . Đạo hàm của hàm số này là: A. f ′ ( x ) =

1 x. 2

B. f ′ ( x ) =

3 x. 2

C. f ′ ( x ) =

1 x . 2 x

D. f ′ ( x ) =

Hướng dẫn giải:

Trang 191

x . 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11

f / ( x ) = 1. x + x.

1 2 x

3 x nên chọn B. 2 x ( k ∈ ℝ ) . Để f / (1) =

Câu 127. Cho hàm số f ( x ) = k 3 x +

A. k = 1 .

B. k = −3 .

3 thì ta chọn: 2

C. k = 3 .

D. k =

9 . 2

Hướng dẫn giải:

f / ( x) =

k 3

3 x

1 2 x

⇒ f / (1) =

k 1 3 + = ⇒ k = 3 nên chọn C. 3 2 2



Câu 128. Cho hàm f xác định trên ( 0; +∞ ) cho bởi f ( x ) =  x −



/ A. f ( x ) = x +

1 − 2. x

/ B. f ( x ) = 1 −

1 . x2

1   . Đạo hàm của f là: x

C. f / ( x ) =

x−

1 . x

/ D. f ( x ) = 1 +

1 . x2

Hướng dẫn giải: /

1 1   f ( x ) =  x + − 2  = 1 − 2 nên chọn B. x x   /



Câu 129. Cho hàm f xác định trên ( 0; +∞ ) cho bởi f ( x ) =  x −



A. f / ( x ) = C. f

( x) =

1   . Đạo hàm của f là: x

3 1 1 1  x− − + 2  . 2 x x x x x

B. f / ( x ) =

3 1 1 1  x+ + + 2  . 2 x x x x x

3 1 1 1  − x+ + − 2  . 2 x x x x x

D. f / ( x ) = x x − 3 x +

3 1 . − x x x

Hướng dẫn giải: /

3 1  3 1 1 1   f ( x) =  x x − 3 x + − − + 2  = 2 x −  nên chọn A. x x x x x x x x   /

Câu 130. Cho hai kết quả: /

1 2 3 1 1 1  (I)  − 2 + 3  = − 2 + 3 − 4 ; x  x x x x x

1 1 1 1 1 1  (II)  − 2 + 3  = − 2 + 4 − 6 x  x x x x x

Hãy chọn câu đúng: A. Chỉ (I) đúng.

Trang 192

B. Chỉ (II) đúng.

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải:

1 1 = − n +1 ta được đáp án A. n x nx

Sử dụng công thức

Câu 131. Cho hàm f xác định trên ℝ \ {−1} bởi f ( x ) = A. f / ( x ) = C. f / ( x ) =

( x + 2)

2x −1 . Đạo hàm của f là: x +1

B. f / ( x ) =

D. f / ( x ) =

( x + 2)

−1

( x + 2)

Hướng dẫn giải:

ad − bc  ax + b ′ ta được đáp án B.  = 2 cx + d   ( cx + d )

Sử dụng công thức 

Câu 132. Cho hàm f xác định trên ℝ \ {1} bởi f ( x ) = x + 1 −

(I) f / ( x ) =

x2 − 2x −1

( x − 1)

2 . Xét hai câu sau: x −1

(II) f / ( x ) > 0, ∀x ≠ 1

Hãy chọn câu đúng: A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Hướng dẫn giải: Ta có: f

( x) = 1+

( x − 1)

∀x ≠ 1 ta được đáp án B.

Câu 133. Cho hàm f xác định trên trên ℝ \ {1} bởi f ( x ) =

(I) f / ( x ) = 1 −

( x − 1)

(II) f

( x) =

x2 + x −1 . Xét hai câu sau: x −1

x2 − 2x

( x − 1)

Hãy chọn câu đúng: A. Chỉ (I) đúng. Hướng dẫn giải:

Trang 193

B. Chỉ (II) đúng.

C. Cả hai đều sai.

D. Cả hai đều đúng.

Đạo hàm – ĐS&GT 11

x2 − 2 x

Ta có: f / ( x ) =

( x − 1)

= 1−

( x − 1)

ta được đáp án D.

Câu 134. Cho hàm f xác định trên [1; +∞ ) bởi f ( x ) = A.

1 . 2

x − 1 . Giá trị f / (1) bằng:

B. 0.

C. 1.

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải: Ta có: lim+

f ( x ) − f (1) x −1

x →1

= lim+ x →1

x −1 = lim x − 1 x →1+

1 = +∞ nên ta được đáp án D. x −1

Câu 135. Cho hàm f xác định trên (1; +∞ ) bởi f ( x ) =

x −1 +

1 . Để tính đạo hàm của hàm số này, hai x −1

học sinh lập luận theo hai cách: (I) f ( x ) =

x x−2 ⇒ f / ( x) = 2 ( x − 1) x − 1 x −1

(II) f / ( x ) =

1 1 x−2 − = 2 x − 1 2 ( x − 1) x − 1 2 ( x − 1) x − 1

Cách nào đúng: A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Câu 136. Gọi ( P ) là đồ thị hàm số y = 2 x − x + 3 . Phương trình tiếp tuyến với ( P ) tại giao điểm của ( P ) với trục tung là: A. y = − x + 3 .

B. y = − x − 3 .

C. y = 4 x − 1 .

D. y = 11x + 3 .

Hướng dẫn giải: Ta có: y ′ = 4 x − 1 , giao điểm của ( P ) và Oy là M ( 0; 3 ) , y ′ ( 0 ) = −1 . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y − 3 = − x ⇔ y = − x + 3 nên ta được đáp án A. Câu 137. Gọi ( H ) là đồ thị hàm số y =

x −1 . Phương trình tiếp tuyến với ( H ) tại điểm mà ( H ) cắt hai x

trục tọa độ là: A. y = − x + 1 .

B. y = x − 1 .

C. y = x + 1 .

D. y = x − 1 hoặc y = x + 1 .

Hướng dẫn giải:

Trang 194

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Ta có: y′ =

1 , giao điểm của ( H ) và Ox là M (1; 0 ) , y ′ (1) = 1 . x2

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = x − 1 nên ta được đáp án B. Câu 138. Cho hàm số y = f ( x ) =

x2 − 2 x − 1 có đồ thị ( H ) . Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng x−2

d : y = 2 x − 1 và tiếp xúc với ( H ) thì tọa độ tiếp điểm là: A. M 0 ( 3; 2 ) .

B. M 0 ( 3; 2 ) và M1 (1;2 ) .

C. M 0 ( 2;3) .

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải: Ta có: y / =

x2 − 4 x + 5

( x − 2)

Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d : y = 2 x − 1 suy ra ∆ : y = 2 x + b

( b ≠ −1)

 x2 − 4 x + 5 2 =  2  ( x − 2) có nghiệm. ∆ tiếp xúc với (H) ⇔  x2 − 2x −1   2 x + b = x − 2 Từ phương trình đầu ta suy ra được x = 3 ∨ x = 1 thế vào (H) Ta được đáp án B.

4 có đồ thị (H). Đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng x d : y = − x + 2 và tiếp xúc với (H) thì phương trình của ∆ là:

Câu 139. Cho hàm số y = f ( x ) = 2 −

A. y = x + 4 .

B. y = x + 4 hoặc y = x − 2 .

C. y = x − 2 hoặc y = x + 6 .

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải: Đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d : y = − x + 2 suy ra ∆ : y = x + b

4  1 = x 2 có nghiệm. ∆ tiếp xúc với (H) ⇔  4 x + b = 2 −  x Từ phương trình đầu ta suy ra được x = 2 ∨ x = −2 ⇒ b = −2 ∨ b = 6 Ta được đáp án C.

Trang 195

Đạo hàm – ĐS&GT 11

Câu 140. Đạo hàm của hàm số f ( x) = ( x + 2)( x − 3) bằng biểu thức nào sau đây? A. 2 x + 5 .

B. 2 x − 7 .

C. 2 x − 1 .

D. 2 x − 5 .

Hướng dẫn giải: Ta có: f ( x ) = x 2 − x − 6 ⇒ f ′ ( x ) = 2 x − 1 . Chọn đáp án C Câu 141. Đạo hàm của hàm số f ( x ) =

A. −

( 2 x − 1)

B. −

2x − 3 bằng biểu thức nào sau đây? 2x −1

( 2 x − 1)

C. −

( 2 x − 1)

Hướng dẫn giải: Sử dụng công thức đạo hàm của thương. Hoặc ghi nhớ kết quả: Hàm số y =

Từ đó tính được: f ′ ( x ) =

ad − bc ax + b ( ad − bc ≠ 0; c ≠ 0 ) có đạo hàm là y′ = cx + d ( cx + d )2

( 2 x − 1)2

Chọn đáp án D Câu 142. Đạo hàm của hàm số f ( x) =

A. −

( 2 x − 1)

x+4 bằng biểu thức nào sau đây? 2x −1

( 2 x − 1)

C. −

( 2 x − 1)

Hướng dẫn giải: Ta có: f ′ ( x ) = −

( 2 x − 1)2

Chọn đáp án C Câu 143. Đạo hàm của hàm số f ( x) =

Trang 196

x+4 bằng biểu thức nào sau đây? 2 − 5x

( 2 x − 1)

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A. −

( 2 − 5x )

B. −

( 2 − 5x )

Hướng dẫn giải: Ta có: f ′ ( x ) =

( 2 − 5 x )2

Chọn đáp án D. Câu 144. Đạo hàm của hàm số f ( x) =

A. −

( 2 x + 1)

B. −

2 − 3x bằng biểu thức nào sau đây? 2x +1 4

( 2 x + 1)

Hướng dẫn giải: Ta có: f ′ ( x ) = −

( 2 x + 1)2

Chọn đáp án A. Câu 145. Hàm số nào sau đây có đạo hàm luôn dương với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đó? A. y =

3x + 2 . 5x + 1

B. y =

3x − 2 . 5x + 1

C. y =

−x − 2 . 2x −1

D. y =

−x + 2 . x +1

Hướng dẫn giải: Nhận xét y =

ax + b ad − bc d ⇒ y′ = > 0∀x ≠ − ⇔ ad − bc > 0 . 2 cx + d c ( cx + d )

Ta kiểm tra dấu ad − bc của từng hàm trong từng đáp án. Đáp án A: ad − bc = −7 < 0 (loại). Đáp án B: ad − bc = 13 > 0 (nhận). Chọn đáp án B. Câu 146. Hàm số nào sau đây có đạo hàm luôn âm với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đó? A. y =

−x − 2 . x +1

Hướng dẫn giải:

Trang 197

B. y =

x−2 . x +1

C. y =

2x − 3 . x −1

D. y =

3x + 2 . x −1

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Tương tự câu 446. Đáp án A: ad − bc = 1 > 0 (loại). Đáp án B: ad − bc = 3 > 0 (loại). Đáp án C: ad − bc = 1 > 0 (loại). Chọn đáp án D

x 2 + 2 x + 3 thì f ′′( x) là biểu thức nào sau đây?

Câu 147. Nếu f ( x) =

x +1

)

+ 2x + 3 x + 2x + 3

−2

)

+ 2x + 3 x + 2x + 3

)

+ 2x + 3 x 2 + 2x + 3

x −1 . (x + 2 x + 3) 2

Hướng dẫn giải:

Ta có:

′ x 2 + 2 x + 3) ( f ′( x) = =

2 x2 + 2 x + 3

⇒ f ′′ ( x ) =

x +1 x2 + 2 x + 3

x 2 + 2 x + 3 − ( x + 1) .

( x + 1)′ .

(

x2 + 2 x + 3

)′

( x 2 + 2 x + 3) 2

x + 2x + 3 −

( x + 1)2

2 x2 + 2 x + 3 = . x + 2x + 3 x2 + 2 x + 3 . x2 + 2 x + 3

⇒ f ′′ ( x ) =

(

)

Chọn đáp án B. Câu 148. Nếu f ( x) =

42 2

(3 x + 1)

2− x thì f ′′( x) là biểu thức nào sau đây? 3x + 1

2x − 1 3

(3x + 1)

42 3

(3x + 1)

D. −

Hướng dẫn giải:

Ta có: f ′ ( x ) = −

Chọn đáp án C.

Trang 198

( 3x + 1)

⇒ f ′′ ( x ) = 7.

2 ( 3 x + 1) . ( 3 x + 1)′

( 3x + 1)

( 3x + 1)3

(3 x + 1)3

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 149. Nếu f ( x ) = x 2 cos

A. 2 x cos

1 1 − x 2 sin . x x

1 thì f ′ ( x ) là biểu thức nào dưới đây? x B. − 2 x sin

1 . x

C. 2 x cos

1 1 + sin . x x

D. sin

1 . x

Hướng dẫn giải:

′

( )

Ta có: f ′ ( x ) = x 2 .cos

1 1 ′ 1 1   1 ′   + x 2 .  cos  = 2 x.cos + x 2 .  − sin  .   . x x x x x  

1 1 = 2 x.cos + sin x x Chọn đáp án C. Câu 150. Nếu g ( x ) =

A. −

1 thì g ′ ( x ) là biểu thức nào sau đây? sin 2 x

2 cos 2 x . sin 2 2 x

B. −

2 2

sin 2 x

C. −

cos 2 x . sin 2 2 x

1 . 2 cos 2 x

Hướng dẫn giải:

( sin 2 x )′ = − cos 2 x. ( 2 x )′ = − 2cos 2 x  1 ′ .  =− sin 2 2 x sin 2 2 x sin 2 2 x  sin 2 x 

Ta có: g ′ ( x ) =  Chọn đáp án A.

Câu 151. Nếu h( x ) =

A. −

cos x thì h′ ( x ) là biểu thức nào sau đây? x2

sin x . 2x

− x sin x − 2 cos x . x3

− x sin x + 2 cos x . x3

D. −

Hướng dẫn giải:

Ta có: h′ ( x ) =

( cos x )′ .x 2 − cos x. ( x 2 )′ x

− x 2 sin x − 2 x.cos x

− x sin x − 2 cos x

Chọn đáp án B. Câu 152. Nếu k ( x ) = 2 sin 3

6 x

sin 2 x cos x .

Trang 199

x thì k ′ ( x ) là biểu thức nào sau đây? B. 6 sin

x cos x .

2 sin x x3

Đạo hàm – ĐS&GT 11 C.

3 x

sin 2

x cos x .

cos 3 x

Hướng dẫn giải:

(

Ta có: k ′ ( x ) = 2. sin 3

= 6 sin 2 x .cos x .

)′ = 2.3sin

( x )′ =

(

x . sin x

)′

3 .sin 2 x .cos x . x

Chọn đáp án C. Câu 153. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) = x 2 − A. y = − x + 1.

B. y = x − 1.

1 tại điểm có hoành độ x = −1 là: x

C. y = − x + 2.

D. y = 2 x + 1.

Hướng dẫn giải: Ta có f ′ ( x ) = 2 x +

1 . Hệ số góc của tiếp tuyến là f ′ ( −1) = −1 . x2

Tiếp điểm là M ( −1; 2 ) nên phương trình tiếp tuyến tại M là: y − 2 = −1 ( x + 1) ⇔ y = − x + 1 . Chọn đáp án A. 3

Câu 154. Nếu f ( x ) = ( 5 x + 1)(1 − x ) thì f ′′( x) bằng: 2

A. −15 (1 − x ) .

B. 2 (1 − 10 x )(1 − x ) .

C. 5 ( 6 x + 1)(1 − x ) .

Hướng dẫn giải: 3

f ′( x) = 5 (1 − x ) − 3 ( 5 x + 1)(1 − x )

= (1 − x ) ( 5 − 5 x − 15 x − 3) = 2 (1 − 10 x )(1 − x )

Chọn đáp án B Câu 155. Nếu y = sin

x n thì y ( ) bằng: 2

π 1 x sin  + n  . n 2 2 2

π x + n . 2 2

C. 2 n sin 

Hướng dẫn giải:

Trang 200

π x + n . 2 2 1 x  D. n sin  + nπ  . 2 2 

B. sin 

D. ( 5 x − 2 )(1 − x ) .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 y′ =

1 x 1 x π cos = sin  +  . 2 2 2 2 2

y′′ =

π 1 x π 1 x cos  +  = 2 sin  + 2.  . 2 2 2 2 2 2 2

y′′′ =

π 1 π 1 x x cos  + 3.  = 3 sin  + 3.  . 23 2 2 2 2 2   

…

y(n) =

1 x  sin  + nπ  . n 2 2 

Chọn đáp án D 2

Câu 156. Phương trình tiếp tuyến của parabol y = x + x + 3 song song với đường thẳng y = A. y = x − 2.

B. y = 1 − x.

C. y = 2 − x.

4 − x là : 3

D. y = 3 − x.

Hướng dẫn giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có y ′ ( x0 ) = −1 ⇔ 2 x0 + 1 = −1 ⇔ x0 = −1 . Tọa độ M là M ( −1;3) . Phương trình tiếp tuyến y = − ( x + 1) + 3 ⇔ y = − x + 2 Chọn đáp án C Câu 157. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số f ( x ) =

3x + 2 tại điểm có hoành độ x0 = 1 có hệ số góc bằng bao 2x − 3

nhiêu? A. 13

B. −1 .

C. −5 .

D. −13 .

Hướng dẫn giải:

y′ = −

( 2 x − 3)

Hệ số góc tiếp tuyến tại M là k = y ′ (1) = −13 . Chọn đáp án D Câu 158. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số f ( x ) = nhiêu?

Trang 201

x+5 tại điểm có hoành độ x0 = 3 có hệ số góc bằng bao x−2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A. 3

B. −3 .

C. −7 .

D. −10 .

Hướng dẫn giải:

y′ = −

( x − 2)

Hệ số góc tiếp tuyến tại M là k = y ′ ( 3 ) = −7 . Chọn đáp án C Câu 159. Đạo hàm của hàm số f ( x ) =

A. −3

3x + 5 + x tại điểm x = 1 bằng bao nhiêu? x −3

B. 4 .

7 −1 . D. . 2 2

Hướng dẫn giải:

y′ = −

( x − 3)

1 2 x

. Ta có y ′ (1) = −

14 1 + = −3 4 2

Chọn đáp án A Câu 160. Đạo hàm của hàm số f ( x ) =

−5 8

x−3 + 4 x tại điểm x = 1 bằng bao nhiêu? x+3

5 . 8

25 . 16

Hướng dẫn giải:

y′ =

( x + 3)

1 6 11 ⇒ y′ (1) = + 1 = . 16 8 x

Chọn đáp án D Câu 161. Đạo hàm của hàm số f ( x ) =

−1 2

1 . 2

x −1 + 4 x tại điểm x = 1 bằng bao nhiêu? x +1 C.

Hướng dẫn giải:

y′ =

( x + 1)

Trang 202

1 2 3 ⇒ y′ (1) = + 1 = . 4 2 x

3 . 4

3 . 2

11 . 8

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Chọn đáp án D Câu 162. Đạo hàm của hàm số f ( x ) = x 4 + x + 2 tại điểm x = 1 bằng bao nhiêu? A.

17 2

9 . 2

9 . 4

3 . 2

Hướng dẫn giải:

y′ = 4 x 3 +

1 9 = . 2 2

⇒ y′ (1) = 4 +

2 x

Chọn đáp án B Câu 163. Đạo hàm của hàm số f ( x ) = x 3 + x − 5 tại điểm x = 1 bằng bao nhiêu? A.

7 2

5 . 2

7 . 4

3 . 2

Hướng dẫn giải:

y′ = 3x 2 +

⇒ y′ (1) = 3 +

2 x

1 7 = . 2 2

Chọn đáp án A Câu 164. Đạo hàm của hàm số f ( x ) =

A. −

( x 2 + 1)

1 bằng biểu thức nào sau đây? x +1 2

( x2 + 1)

C. −

( x 2 + 1)

2x 2

( x2 + 1)

Hướng dẫn:

(x f ′ (x ) = − (x

)′ = − 2x + 1) ( x + 1) +1

Chọn đáp án C. Câu 165. Đạo hàm của hàm số f ( x ) =

2 x2

( x 2 − 1)

Hướng dẫn giải:

Trang 203

1 bằng biểu thức nào sau đây? x −1 2

−2 x

( x2 − 1)

C. −

( x 2 − 1)

( x2 − 1)

Đạo hàm – ĐS&GT 11

(x f ′ (x ) = − (x

)′ = − 2x − 1) ( x − 1)

−1

Chọn đáp án B. Câu 166. Đạo hàm của hàm số f ( x ) =

4 x2

− 1)

x2 + 1 bằng biểu thức nào sau đây? x2 −1

− 1)

−2

− 1)

−4 x

− 1)

Hướng dẫn giải:

f ′( x) =

( x 2 + 1)′ . ( x 2 − 1) − ( x 2 − 1)′ . ( x 2 + 1) 2 x. ( x 2 − 1) − 2 x. ( x 2 + 1) −4 x = = 2 2 ( x 2 − 1) ( x 2 − 1) ( x 2 − 1)2

Chọn đáp án D Câu 167. Đạo hàm của hàm số f ( x) =

2x 2 2

(2 − x )

B. −

1 bằng biểu thức nào sau đây? 2 − x2

2x 2 2

(2 − x )

C. −

2 2 2

(2 − x )

D. −

1 2 2

(2 − x )

Hướng dẫn giải:

f ′( x) = −

( 2 − x 2 )′ 2x = 2 ( 2 − x 2 ) ( 2 − x 2 )2

Chọn đáp án A Câu 168. Đạo hàm của hàm số y =

2x 2 2

(2 − x )

1 − x2 bằng biểu thức nào sau đây? 2 − x2

B. −

2x 2 2

(2 − x )

C. −

2 2 2

(2 − x )

Hướng dẫn giải:

y′ =

(1 − x 2 )′ ( 2 − x 2 ) − ( 2 − x 2 )′ (1 − x 2 ) −2 x ( 2 − x 2 ) + 2 x (1 − x 2 ) −2 x = = 2 2 2 2 (2 − x ) (2 − x ) ( 2 − x 2 )2

Chọn đáp án B

Trang 204

1 2 2

(2 − x )

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 169. Đạo hàm của hàm số y =

−(2 x + 1)

+ x − 1)

1 bằng biểu thức nào sau đây? x + x −1 2

−2( x + 1)

+ x − 1)

−(2 x − 1)

+ x − 1)

2(2 x + 1)

+ x − 1)

Hướng dẫn giải:

y′ = −

( x 2 + x − 1)′ 2x +1 =− 2 2 2 ( x + x − 1) ( x + x − 1)2

Chọn đáp án A Câu 170. Đạo hàm của hàm số y =

A. −

2(2 x − 1)

( x + x − 1) 2

B. −

x2 + x + 1 bằng biểu thức nào sau đây? x2 + x −1

2(2 x + 2)

( x + x − 1) 2

C. −

2(2 x + 1)

( x + x − 1) 2

2(2 x + 1)

D. −

( x2 + x − 1)

Hướng dẫn giải:

 x 2 + x − 1 + 2 ′  2 2 ( x 2 + x − 1)′ 2(2 x + 1) ′ ′ y = 2 =−  = 1 + 2  =− 2 2  x + x −1   x + x −1  ( x + x − 1) ( x 2 + x − 1)2 Chọn đáp án C Câu 171. Đạo hàm của hàm số y =

A. −

2(2 x + 1)

+ x − 1)

x2 + x + 3 bằng biểu thức nào sau đây? x2 + x −1

B. −

4(2 x + 1)

+ x − 1)

C. −

4(2 x − 1)

+ x − 1)

4(2 x + 4)

+ x − 1)

Hướng dẫn giải:

 x 2 + x − 1 + 4 ′  4 4 ( x 2 + x − 1)′ 4(2 x + 1) ′ y′ =  2 = 1 + = − =−    2 2  x + x −1   x + x −1  ( x 2 + x − 1) ( x 2 + x − 1)2 Chọn đáp án B Câu 172. Đạo hàm của hàm số y =

A. −

(4 x − 1)

( 2 x + x + 1)

Trang 205

1 bằng biểu thức nào sau đây? 2x + x +1 2

4x +1

( 2 x + x + 1) 2

C. −

(4 x + 1)

( 2 x + x + 1) 2

−1

( 2 x + x + 1) 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải:

y′ = −

( 2 x 2 + x + 1)′ 4x +1 =− 2 2 2 ( 2 x + x + 1) ( x + x − 1)2

Chọn đáp án C Câu 173. Đạo hàm của hàm số y =

A. −

−3(4 x − 1)

( 2x

+ x + 2)

2 x2 + x + 5 bằng biểu thức nào sau đây? 2 x2 + x + 2

−3(4 x + 1)

( 2x

+ x + 2)

−3

( 2x

+ x + 2)

D. −

−(4 x + 1)

( 2x

+ x + 2)

Hướng dẫn giải:

 2 x 2 + x + 2 + 3 ′  3 3 ( 2 x 2 + x + 2 )′ 3(4 x + 1) ′ y′ =  = 1 + = − =−    2 2 2  2x + x + 2   2x + x + 2  ( 2 x2 + x + 2) ( 2 x 2 + x + 2 )2 Chọn đáp án B 3 2 2 Câu 174. Đạo hàm của hàm số y = ( x − x ) bằng biểu thức nào sau đây? 5

A. 6 x + 4 x .

B. 6 x − 10 x + 4 x .

C. 6 x − 10 x − 4 x .

Hướng dẫn giải:

y = ( x3 − x 2 )2 = x6 − 2 x5 + x 4 ⇒ y′ = 6 x5 − 10 x4 + 4 x3 Chọn đáp án D 5

2 2

Câu 175. Đạo hàm của hàm số y = ( x − 2 x ) bằng biểu thức nào sau đây? 9 3 A. 10 x + 16 x .

9 6 3 B. 10 x − 14 x + 16 x .

C. 10 x − 28x + 16 x . Hướng dẫn giải:

D. 10 x − 28 x + 8x .

y = ( x5 − 2 x2 )2 = x10 − 4 x7 + 4 x4 ⇒ y′ = 10 x9 − 28 x6 + 16 x3 Chọn đáp án C 3

2 3

Câu 176. Đạo hàm của hàm số y = ( x − x ) bằng biểu thức nào sau đây? 3 2 2 A. 3( x − x ) . 3

2 2

3 2 2 2 B. 3( x − x ) (3x − 2 x) . 2

C. 3( x − x ) (3x − x) . Hướng dẫn giải:

Trang 206

D. 3( x − x )(3x − 2 x) .

D. 6 x − 10 x + 4 x .

Đạo hàm – ĐS&GT 11

y′ = 3( x3 − x2 )2 ( x3 − x 2 )′ = 3(3x 2 − 2 x)( x3 − x2 )2 Chọn đáp án B

(

3 2 Câu 177. Đạo hàm của hàm số y = x − x + x

( C. 2 ( x

− x2

)

bằng biểu thức nào sau đây?

) ( 3x − 2 x + 1) . + x )( 3x − 2 x ) .

A. 2 x − x + x

( D. 2 ( x

)( + x )( 3 x

)

B. 2 x 3 − x 2 + x 3 x 2 − 2 x 2 + x .

− x2

− 2 x + 1) .

Hướng dẫn giải:

y′ = 2 ( x 3 − x 2 + x ) . ( x3 − x 2 + x )′ = 2(3 x 2 − 2 x + 1) ( x3 − x 2 + x ) Chọn đáp án D 2

 2 − 3x   bằng biểu thức nào sau đây?  2x + 1 

Câu 178. Đạo hàm của hàm số y = 

−14

( 2 x + 1)

2 − 3x . 2x +1

−4

( 2 x + 1)

2 − 3x . 2x +1

( 2 x + 1)

2 − 3x . 2x +1

 2 − 3x  .  2x +1 

D. 2 

Hướng dẫn giải:

14 2 − 3x  2 − 3x   2 − 3x ′  2 − 3x  −3 ( 2 x + 1) − 2 ( 2 − 3x ) y′ = 2  =− . .  = 2 . 2 2 ( 2 x + 1) ( 2 x + 1) 2 x + 1  2x + 1   2x + 1   2x + 1  Chọn đáp án A 2

Câu 179. Đạo hàm của hàm số y = (2 x − x + 1) bằng biểu thức nào sau đây? 2 A. (4 x − 1) . 2

2 2 B. 2(2 x − x + 1)(4 x − x) . 2

C. 2(2 x − x + 1) (4 x − 1) .

D. 2(2 x − x + 1)(4 x − 1) .

Hướng dẫn giải:

y′ = 2(2 x2 − x + 1).(2 x 2 − x + 1)′ = 2(2 x2 − x + 1) ( 4 x − 1) Chọn đáp án D

 

Câu 180. Để tính đạo hàm của y = f ( x ) = cos  x 2 −

A. Xét u : x ֏ u ( x ) = x 2 −

Trang 207

π  , một học sinh lập luận theo 4 bước sau: 4

π ; v : x ֏ v ( u ) = cos u . 4

Đạo hàm – ĐS&GT 11 π   là hàm hợp của hai hàm u và v (theo thứ tự đó). 4  C. Áp dụng công thức f ' ( x ) = v ' ( u ) .u ' ( x ) .

B. Hàm số y = f ( x ) = cos  x 2 −

 

D. f ( x ) = sin u.2 x = 2 x sin  x 2 −

π . 4

Hỏi nếu sai thì sai tại bước nào? Hướng dẫn giải:

 

Sai bước f ( x ) = sin u.2 x = 2 x sin  x 2 −

π ′  , vì ( cos u ) = − sin u.u ′ 4

Chọn D Câu 181. Cho hàm số y = cos 2 x.sin 2

(I) y ' = −2 sin 2 x sin 2

x . Xét hai kết quả sau: 2

x + sin x cos 2 x 2

(II) y ' = 2sin 2 x sin 2

x 1 + sin x cos 2 x 2 2

Hãy chọn kết quả đúng A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Hướng dẫn giải:

 

Ta có  cos 2 x.sin

x ′ x x 1 1 2 x 2 x  = −2sin 2 x.sin + 2sin cos . cos 2 x = −2 sin 2 x.sin + sin x cos x 2 2 2 2 2 2 2

Chọn B Câu 182. Hàm số y = tan 2

x 2 . A. y ' = x cos 2 2 tan

x có đạo hàm là 2

x 2. B. y ' = x cos 2 2

Hướng dẫn giải:

x tan ′ x  x 2 y′ = 2 tan .  tan  = 2  2  cos 2 x 2 Chọn A

Trang 208

2sin

x 2 . C. y ' = x 2cos3 2 sin

D. y ' = tan 3

x . 2

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 183. Hàm số y = cot 2 x có đạo hàm là

A. y ' = C. y ' =

1 + cot 2 2 x

B. y ' =

1 + tan 2 2 x . cot 2 x

D. y ' =

cot 2 x

− (1 + cot 2 2 x ) cot 2 x − (1 + tan 2 2 x ) cot 2 x

Hướng dẫn giải:

y′ =

( cot 2 x )′ 2 cot 2 x

−2 (1 + cot 2 2 x ) 2 cot 2 x

− (1 + cot 2 2 x ) cot 2 x

Chọn B

 π2   bằng:  16 

Câu 184. Cho hàm số y = f ( x ) = sin x + cos x . Giá trị f ' 

A. 0 .

( cos

π . 2

2 2 . π

Hướng dẫn giải:

cos x

f ′( x) =

2 x

−

sin x 2 x

2 x

x − sin x )

π2  2  π π f ′   =  cos − sin  = 0 4 4  16  π  Chọn A Câu 185. Xét hàm số f ( x ) = 3 cos 2 x . Chọn câu sai:

−2 sin 2 x

π  = −1 . 2

B. f ' ( x ) =

π  =1. 2

D. 3 y . y '+ 2sin 2 x = 0 .

A. f 

3 3 cos 2 2 x

C. f ' 

Hướng dẫn giải:

π f   = −1 nên câu A là đúng 2 1

Viết hàm số thành f ( x ) = ( cos 2 x ) 3 ⇒ f ′ ( x ) =

3 y 2 . y '+ 2sin 2 x = 0 nên câu D là đúng Trang 209

2 1 ( cos 2 x )− 3 . ( cos 2 x )′ = −2sin 2 x nên câu B là đúng và 3 3 3 cos 2 2 x

Đạo hàm – ĐS&GT 11  π  −2sin π = 0 ⇒ câu C sai f ′  = 3  2  3 cos π Chọn C Câu 186. Cho hàm số y = f ( x ) = −3 x 4 + 4 x 3 + 5 x 2 − 2 x + 1 . Lấy đạo hàm cấp 1, 2, 3,.. Hỏi đạo hàm đến cấp nào thì ta được kết quả triệt tiêu? B. 3 .

A. 2 .

D. 5 .

C. 4 .

Hướng dẫn giải:

f ( x ) là đa thức bậc 3 ⇒ đạo hàm đến cấp 3 sẽ “hết” x ⇒ đạo hàm cấp 4 kết quả bằng 0 ChọnC Câu 187. Cho hàm số y = f ( x ) = sin x . Hãy chọn câu sai:

 

A. y ' = sin  x +

π . 2

B. y ′′ = sin ( x + π ) .

 

C. y ′′′ = sin  x +

3π  . 2 

y ( 4 ) = sin ( 2π − x ) . Hướng dẫn giải:

π π 3π π π     y′ = cos x = sin  x +  ; y′′ = sin  x + +  = sin ( x + π ) ; y′′′ = sin  x + π +  = sin  x +  2  2  2  2 2

 , 

3π π   y (4) = sin  x + +  = sin ( x + 2π ) = sin x còn sin ( 2π − x ) = sin x ≠ y (4)  2 2 ChọnD

−2 x 2 + 3 x Câu 188. Cho hàm số y = f ( x ) = . Đạo hàm cấp hai của f là 1− x A. y ′′ = 2 +

(1 − x )

B. y ′′ =

(1 − x )

C. y ′′ =

−2

(1 − x )

D. y ′′ =

(1 − x )

Hướng dẫn giải:

−x2 + x + 2 2 = −x + x −1 x −1 2 1 −2 2 ⇒ y ′ = f ′ ( x ) = −1 − < 0, ∀x ≠ 1 ⇒ (I) True y′ = 2 + ; y ′′ = = 2 2 3 ( x − 1) ( x − 1) (1 − x )3 ( x − 1) y = f ( x) =

⇒ y′′ = f ′′ =

Trang 210

( x − 1)

> 0, ∀x > 1 ⇒ (II) False

Đạo hàm – ĐS&GT 11 ChọnB Câu 189. Cho hàm số y = f ( x ) = −

(I) y ′′ =

1 . Xét hai mệnh đề: x

2 ; x3

(II) y ′′′ = −

6 x4

Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Hướng dẫn giải:

y′ =

1 −2 6 , y ′′ = 2 , y ′′′ = 2 2 x x x

ChọnD

 

Câu 190. Xét hàm số y = cos  2 x −

A. x =

π 2

π  π ( 4)  . Phương trình f ( x ) = −8 có nghiệm x ∈  0;  là 3  2

B. x = 0, x =

π . 6

C. x = 0, x =

π . 3

D. x = 0, x =

π . 2

Hướng dẫn giải:

π  f ′ ( x ) = −2sin  2 x −  , 3 

π  f ′′ ( x ) = −4 cos  2 x −  , 3 

π  f ′′′ ( x ) = 8sin  2 x −  , 3 

π  f (4) ( x ) = 16 cos  2 x −  3  π 2π π   2x − = + k 2π x = + kπ   1  3 3 2 (4) PT f ( x ) = −8 ⇔ cos  2 x −  = − ⇔  ⇔ π π 2π 3 2   2x − = − + k 2π  x = − + kπ   6 3 3

π

π  π nên chỉ có giá trị x = thoả mãn   2 2

Mà x ∈  0; ChọnA

Câu 191. Cho hàm số y = sin 2 x . Hãy chọn câu đúng A. 4 y − y′′ = 0 . Hướng dẫn giải:

Trang 211

B. 4 y + y′′ = 0 .

C. y = y′ tan 2 x .

D. y 2 + ( y ′ ) = 4 .

Đạo hàm – ĐS&GT 11

y′ = 2cos 2 x , y′′ = −4sin 2 x Xét 4 y − y′′ = 4sin 2 x + 4sin 2 x ⇒ loại đáp án 4 y − y′′ = 0 Xét 4 y + y′′ = 4sin 2 x − 4sin 2 x = 0 ⇒Chọn đáp án 4 y + y′′ = 0 Xét y ′ tan 2 x = 2 cos 2 x.

sin 2 x = 2 sin 2 x ≠ y ⇒ loại đáp án y = y′ tan 2 x cos 2 x

Xét y 2 + ( y ′ ) = sin 2 2 x + 4 cos 2 2 x ≠ 4 ⇒ loại đáp án y 2 + ( y ′ ) = 4 Chọn đáp ánB Câu 192. Cho hàm số y =

x 2 + 1 . Xét hai quan hệ: 2 (II) y . y′′ = y′

(I) y. y′ = 2 x Quan hệ nào đúng: A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Hướng dẫn giải:

y′ =

x 2

x +1

Xét y. y ′ =

, y ′′ =

( x + 1) x 2 + 1

x 2 + 1.

Xét y 2 . y ′′ = ( x 2 + 1) .

x 2

x +1

= x ⇒ (I) sai 1

( x 2 + 1) x 2 + 1

x2 + 1

≠ y ′ ⇒ (II) sai

Chọn đáp ánD 2

Câu 193. Cho hàm số y = f ( x ) = ( x − 1) . Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số f? A. dy = 2 ( x − 1) dx .

B. dy = ( x − 1) dx .

C. dy = 2 ( x − 1) .

D. dy = ( x − 1) dx .

Hướng dẫn giải:

dy = 2 ( x − 1) dx Chọn đáp ánA

π   = 1 . Hàm số. y = f ( x ) . là 2

Câu 194. Cho hàm số y = f ( x ) được xác định bởi biểu thức y′ = cos x và f  hàm số

Trang 212

Đạo hàm – ĐS&GT 11 A. y = 1 + sin x .

C. y = 1 − cos x .

B. y = cos x .

D. y = sin x .

Hướng dẫn giải:

y′ = cos x ⇒ y = sin x + C ( C : hằng số)

π π  f   = 1 ⇔ sin + C = 1 ⇔ C = 0 . Vậy y = sin x 2 2 Chọn đáp ánD Câu 195. Xét hàm số y = f ( x ) = 1 + cos 2 2 x . Chọn câu đúng:

− sin 4 x

A. df ( x ) =

B. df ( x ) =

dx .

2 1 + cos 2 x cos 2 x C. df ( x ) = dx . 1 + cos 2 2 x

D. df ( x ) =

− sin 4 x 1 + cos 2 2 x − sin 2 x 1 + cos 2 2 x

dx . dx .

Hướng dẫn giải:

y′ =

(1 + cos 2 2 x )′ 2

2 1 + cos 2 x

−2.2.cos 2 x.sin 2 x 2

2 1 + cos 2 x

− sin 4 x 1 + cos 2 2 x

Chọn đáp ánB

π   = 0 thì 4

Câu 196. Cho hàm số y = f ( x ) − cos 2 x với f ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ . Nếu y ' = 1 và f 

f ( x ) là A. x +

π 1 cos 2 x − . 2 4

B. x −

1 cos 2 x . 2

C. x − sin 2 x .

Hướng dẫn giải: Xét y′ = f ′ ( x ) + sin 2 x Nếu y′ = 1 ⇔ f ′ ( x ) = 1 − sin 2 x Do đó f ( x ) = x +

1 cos 2 x + C 2

π 1 π π π 1 π   = 0 ⇔ + cos + C = 0 ⇔ C = − . Vậy f ( x ) = x + cos 2 x − 4 4 2 2 4 2 4

Mà f 

Chọn đáp ánA

Trang 213

D. x + sin 2 x .

Đạo hàm – ĐS&GT 11 sin x sin ( − x )

Câu 197. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và f ( x ) =  A. Hàm số f không liên tục tại x0 = 0 .

( x ≥ 0) . Tìm khẳng định sai ( x < 0)

B. Hàm số f không có đạo hàm tại x0 = 0 .

π  = −1 . 2

π  = 0. 2

D. f ' 

C. f ′ 

Hướng dẫn giải:

sin x

Ta có f ( x ) = 

( x ≥ 0)

− sinx ( x < 0 )

* f ( x ) liên tục tại xo = 0 ⇒ “Hàm số f không liên tục tại x0 = 0 ”: là đúng * f ( x ) không tồn tại đạo hàm tại điểm xo = 0 ⇒ “Hàm số f không có đạo hàm tại x0 = 0 ”: là đúng

π  π  = 0 ⇒ “ f ′   = −1 ” là sai 2 2

* f ′

π  π  = 0 ⇒ “ f '   = 0 ” là đúng 2 2

* f ′

Chọn đáp ánC

π  6

Câu 198. Cho hàm số f ( x ) = sin ( π sin x ) . Giá trị f ' 

A. −

π . 2

π 3 . 2

C. 0 .

π . 2

Hướng dẫn giải:

y′ = cos (π sin x ) . (π sin x )′ = π cos x . cos (π sin x ) 3 π π π  π   f ′   = π cos .cos  π sin  = π . .cos   = 0 2 2 6 6 6  Chọn đáp ánC Câu 199. Cho hàm số f xác định trên D = ℝ \ {1} bởi y = f ( x ) =

(I) y ′ = f ′ ( x ) = −1 −

Trang 214

( x − 1)

< 0, ∀x ≠ 1

− x2 + x + 2 . Xét hai mệnh đề: x −1

(II) y ′′ = f ′′ =

( x − 1)

> 0, ∀x ≠ 1

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Chọn mệnh đề đúng: A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều sai.

D. Cả hai đều đúng.

Hướng dẫn giải:

−x2 + x + 2 2 = −x + x −1 x −1 2 ⇒ y ′ = f ′ ( x ) = −1 − < 0, ∀x ≠ 1 ⇒ (I) True 2 ( x − 1) y = f ( x) =

⇒ y′′ = f ′′ =

( x − 1)

> 0, ∀x > 1 ⇒ (II) False

Chọn đáp ánA Câu 200. Cho hàm số y = f ( x ) =

x2 − x − 2 có đồ thị ( C ) . Xét ba mệnh đề: x−2

(I) ( C ) thu gọn thành đường thẳng y = x + 1 (II) ( C ) thu gọn thành hai đường tiệm cận (III) y ′ = f ′ ( x ) = 1, ∀x ≠ 2 Hãy chọn mệnh đề đúng. A. Chỉ (I) và (II).

B. Chỉ (II) và (III).

C. Chỉ (III) và (I).

Hướng dẫn giải:

x 2 − x − 2 ( x + 1)(x − 2) = = x + 1, ∀x ≠ 2 ⇒ (I) False, (II) True x−2 x−2 y′ = f ′ ( x ) = 1, ∀x ≠ 2 ⇒ (III) True y = f ( x) =

Chọn đáp ánB Câu 201. Cho hàm số y = f ( x ) = 3 1 − x . Xét hai mệnh đề: (I) y′ = f ′ ( x ) =

−1 3 3 (1 − x )

2 ; (II) 3 y ' y + 1 = 0

Hãy chọn mệnh đề đúng. A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). Hướng dẫn giải:

Trang 215

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

D. Cả ba mệnh đề.

Đạo hàm – ĐS&GT 11

y = f ( x ) = 3 1 − x ⇒ y′ = f ′ ( x ) = −1

⇒ 3 y′y 2 + 1 = 3.

−1 3 3 (1 − x )

⇒ (I) True

3 3 (1 − x )

. 3 (1 − x ) + 1 = 0 ⇒ (II) True

Chọn đáp ánC Câu 202. Cho hàm số y = 2sin x . Đạo hàm của y là A. y ′ = 2 cos x .

B. y ′ =

1 x

cos x .

C. y ′ = 2 x cos

1 x

D. y ′ =

x cos x

Hướng dẫn giải:

y = 2sin x ⇒ y′ = 2 cos x .

( x )′ =

1 cos x x

Chọn đáp ánB Câu 203. Cho hàm số y = f ( x ) =

(I) f ′ ( x ) =

−4 cos 2 x sin 3 2 x

1 . Xét hai câu: sin 2 2 x

(II) Hàm số g ( x ) mà g ' ( x ) = f ( x ) thì g ( x ) = −2 cot 2 x

Chọn câu đúng: A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Hướng dẫn giải:

− ( sin 2 2 x )′ −4 cos 2 x 1 y = f ( x) = ⇒ y′ = f ' ( x ) = = ⇒ (I) True sin 2 2 x sin 4 2 x sin 3 2 x g ( x ) = −2 cot 2 x ⇒ g ′ ( x ) =

4 ⇒ (II) False sin 2 2 x

Chọn đáp ánA Câu 204. Cho hàm số f ( x ) = x 2 có đồ thị (P) và hàm số g ( x ) = x 3 có đồ thị (C). Xét hai câu sau: (I) Những điểm khác nhau M ∈ ( P) và N ∈ (C ) sao cho tại những điểm đó, tiếp tuyến song song với nhau là

2 4 3 9

2 8   ∈ (C ) .  3 27 

những điểm có tọa độ M  ;  ∈ ( P ) và N  ; (II) g ′ ( x ) = 3 f ( x )

Trang 216

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Chọn câu đúng. A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Hướng dẫn giải:

2 4 f ( x ) = x2 ⇒ f ′ ( x ) = 2 x ⇒ f ′   =  3 3  ⇒ (I) True  2  4 3 2 g ( x ) = x ⇒ g ′ ( x ) = 3x ⇒ g ′   =  3  3  g ′ ( x ) = 3 x 2 = 3 f ( x ) ⇒ (II) True Chọn đáp ánC Câu 205. Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3 x + 2 có đồ thị (C ) . Tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A ( 0; 2 ) là A. y = 2 x − 3 .

B. y = −2 x + 3 .

C. y = −3x − 2 .

D. y = −3x + 2 .

Hướng dẫn giải:

y = f ( x ) = x3 − 3x + 2; A ( 0; 2 ) V× A∈ ( C ) ⇒ ph-¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) t¹i A y′ = f ′ ( x ) = 3x 2 − 3 ⇒ f ′ ( 0 ) = 3 ⇒ PTTT : y = 3x - 2 Chọn đáp ánD

 

Câu 206. Cho hàm số y = f ( x ) + cos 2 x với f ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ . Nếu y ' = 2 cos  2 x +

f ( x ) bằng: A.

1 sin 2 x . 2

1 2

B. − sin 2 x .

C. sin 2x .

Hướng dẫn giải:

y = f ( x ) + cos 2 x ⇒ y′ = f ′ ( x ) − sin 2x π  Theo gt y ' = 2 cos  2 x +  = cos2x - sin2x ⇒ f ′ ( x ) = cos2x 4  1 ′  sin 2 x  = cos2x ⇒ ATrue 2  Chọn đáp ánA

Trang 217

D. cos 2x .

π  thì 4

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 207. Cho hàm số f ' ( x ) =

1 . sin x

1 . Hàm số f ( x ) bằng: sin 2 x B. −

1 . sin x

C. cot x .

D. − cot x .

Hướng dẫn giải:

 1 ′ − cos x ⇒ A False   = sin 2 x  sin x  1 ′ cos x  ⇒ B False −  = 2  sin x  sin x −1 ( cot x )′ = 2 ⇒ C False sin x 1 ( − cot x )′ = 2 ⇒ D True sin x Chọn đáp ánD Câu 208. Nếu f '' ( x ) =

A. tan x .

2 sin x thì f ( x ) bằng: cos3 x B. cot x .

C. −

1 . cos x

Hướng dẫn giải:

1 2sinx ⇒ ( tan x )′′ = ⇒ A True 2 cos x cos3 x 1 −2 cosx ⇒ B False ( cot x )′ = − 2 ⇒ ( cot x )′′ = sin x cos3 x 1 ′ sinx 1 ′′ cos 2 x + 2sin 2 x   − = ⇒ − ⇒ C False     = 2 cos3 x  cos x  cos x  cos x 

( tan x )′ =

2 2  1 ′ 2sinx  1 ′′ 2 cos x + 6sin x ⇒ ⇒ D False   =  = 2 3 2 cos 4 x  cos x  cos x  cos x 

Chọn đáp ánA

 f ' ( x ) = u ( x ) . Chọn câu đúng. v ' ( x ) = f ( x )

Câu 209. Cho hàm số f ( x ) = cos 2 x . Xét hàm số u , v : 

Trang 218

1 . cos 2 x

Đạo hàm – ĐS&GT 11

u ( x ) = 2cos 2 x  A.  . 1 v ( x ) = − cos 2 x  2

u ( x ) = −2cos 2 x  B.  . 1 v ( x ) = cos 2 x  2

u ( x ) = −2sin 2 x  C.  . 1 v ( x ) = sin 2 x  2

u ( x ) = 2sin 2x  D.  1 v ( x ) = − sin 2x  2

. Hướng dẫn giải: Vì f ( x ) = cos 2 x nên v ( x ) phải là hàm chứa sin 2x , do đó, loại đáp án A, B.

1 2

′ 

Kiểm tra hai đáp án còn lại bằng cách đạo hàm v ( v ) , ta có  sin 2 x  =

1 ( 2 x )′ cos 2 x = cos 2 x . Do đó, 2

Hơn nữa, chúng ta có thể áp dụng công thức đạo hàm ( cos u )′ = −u ′ sin u để kiểm tra ý còn lại, tức là

f ′ ( x ) = − ( 2 x )′ sin 2 x = −2sin 2 x . Chọn đáp ánC Câu 210. Xét hai mệnh đề: (I) f ( x ) =

1 −2sin x 1 sin x ; (II) g ( x ) = ⇒ f '( x) = ⇒ g '( x) = − 2 3 cos x cos x cos x cos 2 x

Mệnh đề nào sai? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều sai.

D. Cả hai đều đúng.

Hướng dẫn giải:

 1 ′ u

Kiểm tra các mệnh đề (I), (II) bằng cách áp dụng các công thức đạo hàm   = −

u′ ′ , ( u n ) = nu ′u n −1 , 2 u

( cos x )′ = − sin x , ta có cos 2 x )′ ( 2 ( cos x )′ cos x 2 ( − sin x ) cos x 2sin x  1 ′ • = − = − =− = ⇒ (I) sai  2 4 4 cos x cos x cos 4 x cos3 x  cos x 

( cos x )′ = − ( − sin x ) = sin x ⇒ (II) sai  1 ′ = −  cos 2 x cos 2 x cos 2 x  cos x 

•

Chọn đáp ánC Câu 211. Xét hai mệnh đề: (I) f ' ( x ) = sin 3 x ⇒ f ( x ) =

Trang 219

1 4 sin x ; 4

(II) g ' ( x ) = sin 3 x cos x ⇒ g ( x ) =

1 4 sin x . 4

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Hướng dẫn giải:

1 4

′ 

• Kiểm tra mệnh đề (I): Ta có  sin 4 x  =

1 ′ 1 sin 4 x ) = .4. ( sin x )′ sin 3 x = cos x.sin 3 x . Do đó (I) sai. ( 4 4

• Kiểm tra mệnh đề (II): Từ ý trên, rõ ràng (II) đúng. Chọn đáp ánB Câu 212. Cho hàm số f ( x ) =

1 − tan x . Để tính f ' ( x ) , ta lập luận theo hai cách: 1 + tan x

1 π  − x  ⇒ f '( x) = π  4  cos 2  − x  4 

(I) f ( x ) = tan 

π  2 cos  x +  π 1 4   (II) f ( x ) = = cot  x +  ⇒ f ′ ( x ) = π π 4      2 sin  x +  sin 2  x +  4 4   Cách nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Hướng dẫn giải:

π  2 sin  − x  cos x − sin x 4  = tan  π − x  . Áp dụng công thức = • Kiểm tra mệnh đề (I): Biến đổi f ( x ) =   cos x + sin x π  4  2 cos  − x  4 

( tan u )′ = u ' tan u , ta có 1 1 π  f ′( x) =  − x . =− π π  4  cos 2  − x  cos 2  − x    4 4     Do đó (I) sai.

Trang 220

Đạo hàm – ĐS&GT 11  

• Kiểm tra mệnh đề (II): Biến đổi f ( x ) = cot  x +

π u' ′  . Áp dụng công thức đạo hàm ( cot u ) = − 2 , ta có 4 sin u

π ′  x+  1 4 . Do đó, (II) sai f ′( x) = −  =− π π 2 2 sin  x +  sin  x +  4 4   Chọn đáp ánD Câu 213. Cho hàm số f ( x ) =

(I) f ' ( x ) =

2 (1 + tan 2 x )

(1 + tan x )

;

tan x − 1 . Xét hai mệnh đề: tan x + 1

π  =1 4

(II) f ' 

Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Hướng dẫn giải:

 u ′ u ' v − uv ' , ta có  = v2 v

• Kiểm tra mệnh đề (I): Áp dụng công thức 

( tan x − 1)′ ( tan x + 1) − ( tan x − 1)( tan x + 1)′ 2 (1 + tan x ) tan 2 x + 1) ( tan x + 1) − ( tan x − 1) (1 + tan 2 x ) ( = 2 (1 + tan x ) tan 2 x + 1) [ tan x + 1 − tan x + 1] 2 (1 + tan 2 x ) ( = = 2 2 (1 + tan x ) (1 + tan x )

f ′( x) =

Do đó (I) đúng.

• Kiểm tra mệnh đề (II): Áp dụng kết quả mệnh đề (I), ta có

π  2 1 + tan 2  4  2 (1 + 1) π  = =1 f '  =  2 2 4  1 + 1) π (  1 + tan  4  Do đó (II) đúng. Chọn đáp ánC

Trang 221

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Câu 214. Cho hàm số y = f ( x ) = sin x − cos x . Khẳng định nào sai?

π =0. 4

π  =0. 2

B. f ' 

A. f 

π 1 . = 4 4 2

C. f ' 

tại. Hướng dẫn giải:

 

Với x ∈  0,

cos x sin x π , ta kiểm tra từng đáp án như sau +  , ta có y ' = 2 2 sin x 2 cos x

π π π   = sin − cos = 4 4 4

•f

π  • f ′  = 4

2 − 2

2 = 0 nên A đúng. 2

2 2 2 + 2 = 1 + 1 = 1 nên C đúng. 4 4 2 2 24 2 24 2 4 2 2. 2. 2 2

• Không tồn tại lim− x→0

f ( x ) − f (0) nên không tồn tại f ′ ( 0 ) nên D đúng. x−0

π  f ( x) − f    2  nên không tồn tại f ′  π  nên B sai. • Không tồn tại lim+   π π 2 x→ x− 2 2 Chọn đáp ánB Câu 215. Cho hàm số f ( x ) =

1 1 . Xét hai phép lập luận: + tan x cot x

(I) f ( x ) = cot x + tan x ⇒ f ' ( x ) =

(II) f ( x ) =

−1 1 −4 cos 2 x + = 2 2 sin x cos x sin 2 2 x

cos x sin x 2 −4 cos 2 x + = ⇒ f '( x) = sin x cos x sin 2 x sin 2 2 x

Phép lập luận nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). Hướng dẫn giải:

• Kiểm tra phép lập luận (I):

Trang 222

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

D. f ' ( 0 ) không tồn

Đạo hàm – ĐS&GT 11

f ′ ( x ) = ( cot x + tan x )′ = ( cot x )′ + ( tan x )′ = −

1 1 sin 2 x − cos 2 x −4 cos 2 x + = = sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 2 x

Do đó, lập luận (I) đúng.

• Kiểm tra phép lập luận (II):

f ( x) =

cos x sin x cos 2 x + sin 2 x 1 2 + = = = 1 sin x cos x sin x cos x sin 2 x sin 2 x 2

f ′( x) = −

2 ( sin 2 x )′ 2

sin 2 x

=−

2 ( 2 x )′ cos 2 x 2

sin 2 x

=−

4 cos 2 x sin 2 2 x

Do đó, lập luận (II) đúng. Chọn đáp ánC

 

Câu 216. Cho hàm số f ( x ) = cot  2 x +

A. f ( 0 ) = −1 .

π  . Hãy chọn câu sai: 4

π =0. 8

B. f 

Hướng dẫn giải:

π ′  + 2 x   2 4 =− Ta có f ′ ( x ) = −  π π   sin 2  2 x +  sin 2  2 x +  4 4   Do đó

π   = 1 nên A sai 4

• f ( 0 ) = cot 

π π   π π  = cot  2. +  = cot = 0 nên B đúng 2 8  8 4

•f

• f ′ (0) = −

2 = −4 nên C đúng 2 π  sin   4

2 π  = −2 nên D đúng =− π π 2 8 sin  2. +   8 4

• f ′

Trang 223

C. f ' ( 0 ) = −4 .

π  = −2 . 8

D. f ' 

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Chọn đáp ánA Câu 217. Tính đạo hàm của hàm số y = f ( x ) = sin 6 x + cos 6 x + 3sin 2 x cos 2 x theo 4 bước sau đây. Biết rằng cách tính cho kết quả sai, hỏi cách tính sai ở bước nào?

(

)

A. y = f ( x ) = sin 6 x + cos 6 x + 3sin 2 x cos 2 x sin 2 x + cos 2 x .

(

)

2 2 B. f ( x ) = sin x + cos x .

C. f ( x ) = 13 = 1 . D. f ' ( x ) = 1 . Hướng dẫn giải: Kiểm tra từng bước, ta có

(

• Bước A đúng vì sin 2 x + cos2 x = 1 nên 3sin 2 x cos 2 x = 3sin 2 x cos 2 x sin 2 x + cos 2 x

)

• Áp dụng hằng đẳng thức ( a + b ) = a 3 + b 3 + 3ab ( a + b ) nên bước B đúng. 2

• Lại áp dụng sin x + cos x = 1 nên bước C đúng. • Sử dụng sai công thức đạo hàm lẽ ra ( c )′ = 0 nên D sai. Chọn đáp án D Câu 218. Xét hàm số y = f ( x ) với 0 < x, y <

π 2 cho bởi: sin y = cos x (1) . Để tính đạo hàm f ' của f , ta 2

lập luận qua hai bước: (I) Lấy vi phân hai vế của (1):

cos ydy = −2 cos x.sin xdx ⇒ y ' =

(II) y ' =

−2sin x cos x 2

1 − sin y

dy −2sin x cos x = dx cos y

−2sin x cos x

(1 − cos x )(1 + cos x ) 2

−2sin x cos x 2

| sin x | 1 + cos x

Hãy chọn bước đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). Hướng dẫn giải:

• Kiểm tra bước (I):

Trang 224

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

−2 cos x 1 + cos 2 x

Đạo hàm – ĐS&GT 11 Áp dụng công thức vi phân dy = f ′ ( x ) dx (với y = f ( x ) ) cho hai vế của (1), ta có

( sin y )′ dy = ( cos 2 x )′ dx ⇔ cos ydy = 2 ( cos x )′ cos xdx ⇔ cos ydy = −2sin x cos xdx ⇒ y' =

dy 2 cos x sin x = cos y dx

Do đó, bước (I) đúng.

• Kiểm tra bước (II): với điều kiện 0 < x, y < Chọn đáp ánC

Trang 225

π 2

từng bước lập luận ở bước (II) dã chặt chẽ.