TÀI LIỆU TOÁN ÔN THI THPTQG
vectorstock.com/13442907
Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM (Bồi dưỡng học sinh lớp 11, lớp 12) WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM -------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Tên chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM -Môn/Nhóm Môn: Toán - Tác giả chuyên đề: ……………………………….. - Chức vụ : Giáo viên Toán - Đơn vị công tác: ………………………….. - Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 11, lớp 12 - Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 10 tiết
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ: 1. Quy tắc cộng: Một công việc A được chia ra k công việc A1 , A2 ,..., Ak để thực hiện, mỗi công việc độc lập nhau. Trong đó: + Công việc A1 có n1 cách thực hiện + Công việc A2 có n2 cách thực hiện ………………………………….. + Công việc Ak có nk cách thực hiện Khi đó số cách thực hiện công việc A là : ( n1 + n2 + ... + nk ) cách. 2. Quy tắc nhân: Một công việc A được thực hiện lần lượt qua k giai đoạn A1 , A2 ,..., Ak , với mỗi cách thực hiện ở giai đoạn này không trùng với bất kỳ cách thực hiện mà ở các giai đoạn còn lại. Trong đó: + Giai đoạn A1 có n1 cách thực hiện + Giai đoạn A2 có n2 cách thực hiện + Giai đoạn A3 có n3 cách thực hiện ………………………………….. + Giai đoạn Ak có nk cách thực hiện Khi đó số cách thực hiện công việc A là : ( n1.n2 .n3 ...nk ) cách. 3. Hoán vị: 3.1. Định nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1) . Mỗi cách sắp xếp có thức tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. 3.2. Định lý: (Số hoán vị của n phần tử) ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nếu ký hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn thì ta có Pn = n ! = 1.2.3... ( n − 1) .n *Chú ý: Quy ước 0! = 1 4. Chỉnh hợp: 4.1. Định nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ gồm k phần tử (1 ≤ k ≤ n ) sắp xếp có thức tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. 4.2. Định lý: (Số chỉnh hợp chập k của n phần tử) - Nếu ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Ank thì ta có Ank = n. ( n − 1) . ( n − 2 ) ... ( n − k + 1)
*Chú ý: - Có thể viết Ank theo cách khác Ank =
n! ( n − k )!
- Nếu k=n thì Ank = Pn - Hai chỉnh hợp khác nhau là hai bộ có ít nhất 1 phần tử khác nhau hoặc các phần tử giống nhau nhưng thứ tự sắp xếp khác nhau. 5. Tổ hợp: 5.1. Định nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử (1 ≤ k ≤ n ) của tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A. 5.2. Định lý: (Số tổ hợp chập k của n phần tử) - Nếu ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk thì ta có Cnk =
n. ( n − 1) . ( n − 2 ) ... ( n − k + 1)
k!
=
n! và quy ước Cn0 = 1 k !( n − k ) !
*Chú ý: - Hai tổ hợp khác nhau là hai tập con có ít nhất 1 phần tử khác nhau .
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------II. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐẶC TRƯNG : 1. Bài toán 1: có sử dụng hoán vị của n phần tử . Chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau: - Tất cả n phần tử đều có mặt. - Mỗi phần tử chỉ xuất hiện 1 lần. - Có sự sắp xếp thứ tự giữa các phần tử. - Khi đó số cách sắp xếp n phần tử là số hoán vị của n phần tử đó. Và có Pn = n! = 1.2.3....( n − 1) .n 2. Bài toán 2: có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử . Chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau: - Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước. - Có sự sắp xếp thứ tự giữa k phần tử đó. - Khi đó số cách chọn k phần tử có sắp xếp thứ tự từ n phần tử là số chỉnh hợp chập k của n phẩn tử đó. Và có Ank =
n! = n ( n − 1) ... ( n − k + 1) ( n − k )!
3. Bài toán 3: có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử . Chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau: - Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước. - Không có sự sắp xếp thứ tự giữa k phần tử đó. - Khi đó số cách chọn k phần tử không có sắp xếp thứ tự từ n phần tử là số tổ hợp chập k của n phẩn tử đó. Và có Cnk =
n! k !( n − k )!
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------III. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM PHƯƠNG ÁN 1. Bài toán đếm có sự sắp xếp Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn học sinh A, B, C, D, E, F, G vào một chiếc ghế dài sao cho a- Bạn D ngồi vào chính giữa 7 bạn ? b- Hai bạn A và G ngồi ở 2 đầu ghế ?
*Phân tích: a/Sau khi sắp xếp vị trí ngồi cho D chúng ta thấy rằng 6 bạn còn lại như 6 phần tử đều có mặt và chỉ xuất hiện 1 lần . Mỗi cách sắp xếp có sự phân biệt thứ tự. Do đó ta sử dụng bài toán 1. b/Tương tự ta thấy: Sau khi sắp xếp vị trí ngồi cho A và G chúng ta thấy rằng 5 bạn còn lại như 5 phần tử đều có mặt và chỉ xuất hiện 1 lần . Mỗi cách sắp xếp có sự phân biệt thứ tự. Do đó ta sử dụng bài toán 1.
*Lời giải: a/Sắp xếp D ngồi vào chính giữa: có 1 cách. Mỗi cách sắp xếp A, B, C, E, F vào 6 chỗ còn lại là một hoán vị của 6 phần tử nên có 6 cách sắp xếp A, B, C, E, F . Vậy có 1 × 6!=720 cách sắp xếp thoả mãn yên cầu bài toán. b/ Sắp xếp 2 bạn A và G vào vị trí : có 2 cách. Sắp xếp các bạn còn lại : có 5! cách. vậy có 2! × 5!=240 cách sắp xếp thoả mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 2:
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn ra 3 tem thư và 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?
*Lời giải : Chọn ra 3 tem thư từ 5 tem => có C53 cách chọn Chọn ra 3 bì thư từ 6 bì thư => có C63 cách chọn Mỗi cách dán 3 tem lên 3 bì thư vừa được chọn ra là một hoán vị của 3 nên có 3! cách dán. Vậy có C53 . C63 .3!=1200 cách làm.
Ví dụ 3: Một thầy giáo có 12 quyển sách khác nhau, trong đó có 5 quyển văn học, 4 quyển âm nhạc và 3 quyển hội hoạ. Ông muốn lấy ra 6 quyển và đem tặng cho 6 học sinh khác nhau. Mỗi em chỉ được một quyển. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những quyển sách văn học và âm nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng?
*Lời giải : Cách 1: Chọn 6 quyển sách bất kỳ từ 5 quyển sách văn học và 4 quyển âm nhạc là một tổ hợp chập 6 của 9 phần tử => có C96 cách chọn Với mỗi cách chọn như vậy sẽ có 6! cách tặng . Vậy số cách tặng là: C96 .6!=60480 cách tặng.
Cách 2: Số cách tặng 6 quyển sách theo yêu cầu bài toán là một chỉnh hợp chập 6 của 9 phần tử . Vậy số cách tặng là: A96 =60480 cách tặng.
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Bài toán đếm không có sắp xếp
Ví dụ 4: Đội thanh niên xung kích của trường X có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho: a/ 4 học sinh này thuộc cả 3 lớp trên. b/ 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
*Phân tích: Số học sinh được chọn từ 12 học sinh không sắp xếp thứ tự gì nên ta có thể sử dụng bài toán 2.
*Lời giải: a/Vì 4 học sinh được chọn cần ở cả 3 lớp nên ta có các trường hợp chia như sau: Học sinh lớp A
Học sinh lớp B
Học sinh lớp C
Số cách chọn tương
ứng 2
1
1
C52 .C41 .C31 = 120 cách
1
2
1
C51.C42 .C31 = 90 cách
1
1
2
C51.C41 .C32 = 60 cách
Vậy có tất cả là 120+90+60=270 cách. b/ Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là C124 = 495 Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có 1 học sinh là 270 cách chọn . Nên số cách chọn 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp phải là : 495-270=225 cách chọn .
Ví dụ 5: (ĐH khối B-2004)
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hổi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình và dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?
*Lời giải : Ta có trường hợp như sau: số câu hỏi dễ số câu hỏi TB
số câu hỏi khó
Số cách lập đề dạng này
2
1
2
C152 .C101 .C52 = 10500 cách
2
2
1
C152 .C102 .C51 = 23625 cách
3
1
1
C153 .C101 .C51 = 22750 cách
Áp dụng quy tắc cộng có tất cả 10500+23625+22750=56875 đề được lập.
Ví dụ 6: (ĐH khối B-2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?
*Lời giải : Số cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất là C31C124 . Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất ta có số cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai là C21C84 . Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và tỉnh thứ hai ta có số cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba là C11C44 . Vậy có tất cả các cách phân công thanh niên tình nguyện về ba tỉnh sẽ là:
C31C124 × C21C84 × C11C44 =207900 cách.
Ví dụ 7 : ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------Một lớp có 30 học sinh gồm 18 nam và 12 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự lớp gồm 5 người: a/ Mọi người đều vui vẻ tham gia. b/ Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau. c/ Cậu An và cô Hà không thể làm việc chung với nhau.
*Lời giải : a/ Vì mọi người đều vui vẻ tham gia nên ta tuỳ ý chọn 5 trong số 30 người vào ban cán sự lớp. Mỗi cách chọn đó là một tổ hợp chập 5 của 30 phần tử . Vậy có tất cả C305 =
30! = 142506 cách chọn . 5!25!
b/ Cách 1: -Nếu cả Tâm và Bình cùng có mặt trong ban cán sự thì ta chỉ việc chọn 3 người trong 3 28 người vào ban cán sự => có C28 cách chọn
-Nếu cả Tâm và Bình cùng không có mặt trong ban cán sự thì ta chọn 5 người trong 5 28 người vào ban cán sự => có C28 cách chọn
Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau là: 3 5 C28 + C28 =101556 cách chọn.
Cách 2: -Chọn 5 người tuỳ ý trong 30 người =>có C305 cách chọn . -Chọn 5 người trong đó có Tâm mà không có Bình =>có C284 cách chọn . -Chọn 5 người trong đó có Bình mà không có Tâm =>có C284 cách chọn . Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau là:
C305 -( C284 + C284 )=101556 cách chọn. c/ Cách 1: 5 -Chọn 5 người trong đó không có An mà không có Hà =>có C28 cách chọn .
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM -------------------------------------------------------------------------------------------------------Chọn 5 người trong đó có An mà không có Hà =>có C284 cách chọn . -Chọn 5 người trong đó có Hà mà không có An =>có C284 cách chọn . Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu An và Hà không thể làm việc chung với nhau là: 5 C28 + C284 + C284 =139230 cách chọn.
Cách 2: -Chọn 5 người tuỳ ý trong 30 người =>có C305 cách chọn . 3 -Chọn 5 người trong đó có cả An và Hà =>có C28 cách chọn .
Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu An và Hà không thể làm việc chung với nhau là: 3 C305 − C28 =139230 cách chọn.
Ví dụ 8: Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra đúng 5 người sao cho: a/ có đúng 2 nam. b/ có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ.
*Lời giải : a/ Chọn bất kỳ 2 nam trong 10 nam => có C102 cách chọn Chọn bất kỳ 3 nữ trong 10 nữ => có C103 cách chọn Vậy số cách chọn 5 người có đúng 2 nam là:
C102 . C103 =5400 cách chọn . b/ Cách 1: - Chọn 5 người trong đó có 2 nam và 3 nữ => có C102 . C103 cách chọn - Chọn 5 người trong đó có 3 nam và 2 nữ => có C103 . C102 cách chọn - Chọn 5 người trong đó có 4 nam và 1 nữ => có C104 . C101 cách chọn ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------Vậy có tất cả số cách chọn 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ là:
C102 . C103 + C103 . C102 + C104 . C101 =12900 cách chọn.
Cách 2: 5 -Chọn 5 người tuỳ ý trong 20 người =>có C20 cách chọn .
-Chọn 5 người trong đó có 1 nam và 4 nữ => có C101 . C104 cách chọn -Chọn 5 người trong đó có 0 nam và 5 nữ => có C105 cách chọn -Chọn 5 người trong đó có 5 nam và 0 nữ => có C105 cách chọn Vậy có tất cả số cách chọn 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ là: 5 C20 -( C101 . C104 + C105 + C105 )=12900 cách chọn.
DẠNG 2: BÀI TOÁN ĐẾM CÓ LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TỰ NHIÊN +Số tự nhiên n = ab trong đó a, b ∈ {0,1, 2,...,9} , a ≠ 0 +Số ab = 10a + b , abc = 100a + 10b + c +Số ab ≠ ba
1. Tính số các số tự nhiên liên quan đến so sánh các số, các chữ số: Ví dụ 9: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và số đó a) Lớn hơn 400? b) Không nhỏ hơn 666? c) Nhỏ hơn 345?
*Lời giải: a/ Gọi số cần tìm là x = abc ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 11 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------Vì x>400 nên a ≥ 4 , suy ra a có 6 cách chọn và bc có A82 cách chọn . Vậy có tất cả 6 × A82 =336 số . b/ Gọi số cần tìm là x = abc Từ x ≥ 666 suy ra a ≥ 6 , ta có các trường hợp sau: *TH1: Với a ∈ {7;8;9} khi đó b,c chọn tuỳ ý. Ta có : a có 3 cách chọn bc có A82 cách chọn
Suy ra có 3 × A82 =168 số. *TH2: Với a=6 khi đó b>6 và c chọn tuỳ ý. Ta có: a có 1 cách chọn b có 3 cách chọn c có 7 cách chọn Suy ra có 1.3.7=21 số. Vậy có tất cả 168+21=189 số thoả mãn yêu cầu bài toán . c/ Vì x<345 nên a ∈ {1;2;3} ta có các TH sau: *TH1: Với a ∈ {1;2} khi đó b,c chọn tuỳ ý. Ta có : a có 2 cách chọn bc có A82 cách chọn
Suy ra có 3 × A82 =112 số. *TH2: Với a=3 khi đó b ∈ {1;2;4} . Xảy ra 2 khả năng: KN1: Nếu b ∈ {1;2} thì c chọn tuỳ ý. Do đó: a có 1 cách chọn b có 2 cách chọn c có 7 cách chọn ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 12 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------Suy ra có 1.2.7=14 số. KN2: Nếu b=4 thì c<5 nên c ∈ {1;2} . Do đó có 2 số cần tìm . Vậy có tất cả 112+14+2=128 số thoả mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 10: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau từng đôi một sao cho trong năm chữ số đó chữ số hàng trăm là lớn nhất?
*Lời giải : Gọi số cần tìm là x = abcde *Gọi P là tập gồm 5 chữ số khác 0. Số cách chọn P là C95 Với mỗi cách chọn P như trên thì: c có 1 cách chọn abde có 4! cách chọn
Do đó với mỗi tập P như trên ta được 4! số x cần tìm. Vậy số x được lập trong trường hợp này là : C95 .4! (số). *Gọi Q là tập chứa chữ số 0 và 4 chữ số khác 0. Số cách chọn Q là C94 Với mỗi cách chọn Qnhư trên thì: c có 1 cách chọn a có 3 cách chọn bde có 3 cách chọn
Do đó với mỗi tập Q như trên ta được 3.3! số x cần tìm. Vậy số x được lập trong trường hợp này là : C94 .3.3! (số). Vạy có tất cả là: C95 .4!+ C94 .3.3! =5292 (số)
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 13 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM -------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Tính số các số tự nhiên liên quan đến tính chia hết: *Dấu hiệu chia hết của số tự nhiên: +dấu hiệu chia hết cho 2 là có chữ số tận cùng là số chẵn:0,2,4,6,8 +dấu hiệu chia hết cho 3 là tồng các chữ số là một số chia hết cho 3 +dấu hiệu chia hết cho 4 là có hai chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 4 +dấu hiệu chia hết cho 5 là có chữ số tận cùng là 0, 5 +dấu hiệu chia hết cho 6 là số chia hết cho cả 2 và 3 +dấu hiệu chia hết cho 9 là tổng các chữ số là một số chia hết cho 9 +dấu hiệu chia hết cho 10 là có chữ số tận cùng là 0 +dấu hiệu chia hết cho 11 là tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tổng các chữ số ở vị trí chẵn bằng 0 +dấu hiệu chia hết cho 25 là có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 25 Ví dụ 11: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau thoả mãn a) số đó là số chẵn? b) số đó chia hết cho 5?
*Lời giải : Gọi số cần tìm là x = abcde, a ≠ 0 . a/ Vì x là số chẵn nên e ∈ {0;2;4;6;8} . +TH1: Với e=0: Khi đó a có 9 cách chọn , bcd có A83 cách chọn . Suy ra có 9. A83 =3024 số. +TH2: Với e ≠ 0 . ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------Khi đó e có 4 cách chọn , a có 8 cách chọn , bcd có A83 cách chọn . Suy ra có 4.8. A83 =10752 số. Vậy có tất cả 3024+10752=13776 số cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán . b/ Vì x chia hết cho 5 nên e ∈ {0;5} . +TH1: Với e=0: Khi đó a có 9 cách chọn, bcd có A83 cách chọn . Suy ra có 9. A83 =3024 số. +TH2: Với e=5: Khi đó a có 8 cách chọn, bcd có A83 cách chọn . Suy ra có 8. A83 =2688 số. Vậy có tất cả 3024+2688=5712 số cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 12: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có thoả mãn a/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 5. b/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 3. c/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9.
*Lời giải : a/ theo dấu hiệu chia hết thì số cần tìm chia hết 5 nên nó có hàng đơn vị là 0 hoặc 5. + nếu chữ số hàng đơn vị là 0 thì cách sắp xếp các chữ số từ 1 đến 5 vào 3 vị trí còn lại có : A53 số dạng này. + nếu chữ số hàng đơn vị là 5 thì có 4 cách sắp xếp chữ số hàng nghìn. Và có A42 cách sắp xếp vào vị trí hàng trăm và hàng chục. Nên ta có : 4. A42 số dạng này. Vậy có tất cả : A53 +4. A42 =96 số. b/ Giả sử số cần tìm có dạng x = abc, a ≠ 0, a ≠ b ≠ c, ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 15 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------Vì x ⋮ 3 nên ( a + b + c )⋮ 3 . Xét các trường hợp sau: * ( a, b, c ) ∈ {( 0,1, 2 ) , ( 0, 4,5) , ( 0, 2, 4 ) , ( 0,1,5)} . Trong TH này có 4 bộ số , mỗi bộ có thể tạo thành (3!-2!) số. Vậy có 4. (3!-2!)=16 số trong TH này * ( a, b, c ) ∈ {(1, 2,3) , ( 2,3, 4 ) , ( 3, 4,5 ) , (1,3,5)} Trong TH này có 4 bộ số , mỗi bộ có thể tạo thành 3! số. Vậy có 4. 3!=24 số trong TH này Vậy có tất cả 16+24=40 số c/ Vì số cần tìm x chia hết cho 9 nên ( a + b + c )⋮ 9 Xét các TH sau: * ( a, b, c ) = ( 0, 4,9 ) ⇒ có 3! -2! =4 số được tạo thành. * ( a, b, c ) = ( 2,3, 4 ) ⇒ có 3! =6 số được tạo thành. * ( a, b, c ) = (1,3,5) ⇒ có 3!=6 số được tạo thành. Vậy có tất cả 4+6+6=16 số cần tìm.
Ví dụ 13: Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có thoả mãn a/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 11. b/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 25. c/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 4.
*Lời giải : Gọi số cần tìm là x = abcd , a, b, c, d ∈ {1,2,...,5} , a ≠ b ≠ c ≠ d
a/ Vì x ⋮11 nên ta có các TH sau: a, c ∈ {1, 4} ⇒ có 2!cách b, d ∈ {1, 4} ⇒ có 2!cách TH1: tương tự do đó b, d ∈ {2, 3} ⇒ có 2!cách
a, c ∈ {2,3} ⇒ có 2!cách
Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------a, c ∈ {2, 4} ⇒ có 2!cách b, d ∈ {2, 4} ⇒ có 2!cách TH2: tương tự do đó b, d ∈ {1,5} ⇒ có 2!cách
a, c ∈ {1, 5} ⇒ có 2!cách
Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số a, c ∈ {3, 4} ⇒ có 2!cách b, d ∈ {3, 4} ⇒ có 2!cách TH3: tương tự do đó b, d ∈ {2, 5} ⇒ có 2!cách
a, c ∈ {2, 5} ⇒ có 2!cách
Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số Vậy có tất cả là 8+8+8=24 số cần tìm. b/Vì x ⋮ 25 nên n có dạng ab25 suy ra a có 3 cách chọn b có 2 cách chọn Vậy có tất cả 3.2=6 số cần tìm. c/ Vì x ⋮ 4 nên n có dạng ab12, ab24, ab32, ab52
Ở mỗi dạng ta có có thể sắp xếp ab để tạo được A32 =6 số. Do đó ta có tất cả là 4.6=24 số cần tìm.
Ví dụ 14 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số chia hết cho 9?.
*Lời giải : Số tự nhiên chia hết cho 9 là số có tổng tất cả các chữ số chia hết cho 9 -Các số có 6 chữ số chia hết cho 9 viết theo thứ tự tăng dần là dãy số : 10008,100017,100026,….,999999
Đây là một cấp số cộng có công sai d=9. -Các số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 se là dãy con của dãy số trên . Nó là cấp số cộng u1 = 100017, u2 = 100035,...., un = 999999 với công sai d=18
Do đó 100017+(n-1)18=999999 =>n=50000 Vậy có tất cả 50000 số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9.
Ví dụ 15: ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 17 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một được lập bằng cách dùng 7 chữ số 1,2,3,4,5,7,9 sao cho hai chữ số chẵn không nằm liền nhau?
*Lời giải: Có 7! số có 7 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho. Bây giờ ta đi tìm số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau. Ta coi hai chữ số nằm liền nhau như một khối thống nhất. Khối thống nhất này cùng với 5 chữ số còn lại sẽ cho ta 6! số. Mỗi lần hoán vị 2 chữ số chẵn trong khối ta sẽ có 2! số mới. Nên có 6!.2! số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau. Vậy có tất cả 7!-6!.2!=3600 số cần tìm.
3.Tính số các số tự nhiên ràng buộc sự có mặt cuả các chữ số: Ví dụ 16: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó a) Nhất thiết phải có mặt chữ số 3? b) Nhất thiết phải có mặt chữ số 2 và 4?
*Lời giải : Gọi số có 5 chữ số là abcde , số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí. a/ Xếp chữ số 3 vào 1 trong 5 vị trí : có 5 cách xếp. Lấy 4 chữ số trong 5 chữ số xếp vào 4 vị trí còn lại: có A54 cách . Vậy có tất cả là 5. A54 =600 số thoả mãn yêu cầu bài toán . b/ Xếp chữ số 2 và 4 vào 2 trong 5 vị trí : có A52 cách xếp. Lấy 3 chữ số trong 4 chữ số xếp vào 3 vị trí còn lại: có A43 cách . Vậy có tất cả là A52 . A43 =480 số thoả mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 17: Cho tập A= {1, 2,3, 4,5,6,7,8} ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 18 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------a/ Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà mỗi số luôn có mặt hai chữ số 1 và 7? b/ Trong các số tìm được ở câu a/ có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 7 đứng kề nhau, chữ số 1 đứng bên trái chữ số 7?
*Lời giải : Một số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ tập A có dạng abcde ( với a, b, c, d , e ∈ A; a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ e .) a/ Ta có:
Có A52 cách chọn chữ số 1 và chữ số 7 vào 5 vị trí . Có A63 cách chọn 3 trong 6 chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại. Do đó số các số tự nhiên cần tìm là :
A52 × A63 =2400 (số) b/Nhận thấy rằng : “ Số cách chọn hai chữ số 1 và 7 đứng cạnh nhau mà chữ số 1 luôn đứng bên trái chữ số 7 trong dãy có 5 vị trí là 4 cách chọn”. Coi cặp số 17 là phần tử kép. Sẽ có 4 cách sắp xếp vị trí cho phần tử kép này. Với mỗi cách sắp xếp này có A63 cách chọn các chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại. Khi đó ta có tất cả là: 4. A63 = 480 số cần tìm
Ví dụ 18: Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một, sao cho trong 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số l ẻ.
*Lời giải: Cách 1: Gọi x = a1a2 a3a4 a5 là số cần tìm. Xét các TH sau: ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 19 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------+Nếu a1 là số chẵn, a1 ∈ {2, 4,6} thì với mỗi cách chọn a1 ta thấy Có C32 cách chọn 2 chữ số chẵn còn lại. Có C42 cách chọn 2 chữ số lẻ. Có 4! hoán vị các chữ số đã chọn. ⇒ có 3.4!. C32 . C42 =1296 số dạng này
+Nếu a1 là số lẻ, a1 ∈ {1,3,5, 7} thì với mỗi cách chọn a1 ta thấy Có C43 cách chọn 3 chữ số chẵn . Có C31 cách chọn 1 chữ số lẻ còn lại. Có 4! hoán vị các chữ số đã chọn. ⇒ có 4.4!. C43 . C31 =1152 số dạng này
Vậy có tất cả 1296+1152=2448 số cần tìm.
Cách 2: Có C43 cách chọn 3 chữ số chẵn Có C42 cách chọn 2 chữ số lẻ Có 5! Hoán vị 5 chữ số đã chọn ⇒ có 5!. C43 . C42 =2880 số có 5 chữ số khác nhau có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.
Trong đó có: C32 cách chọn 2 chữ số chẵn C42 cách chọn 2 chữ số lẻ
Có 4! Hoán vị 4 chữ số đã chọn ⇒ có 4!. C32 . C42 =432 số có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ nhưng bắt đầu chữ số 0.
Vậy có tất cả 2880-432=2448 số cần tìm.
4.Tính số các số tự nhiên có chứa các chữ số lặp lại: Ví dụ 19:
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 20 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số , trong đó chữ số 0 có mặt đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và 2 chữ số còn lại khác nhau ?
*Lời giải : Gọi số có 5 chữ số là abcde , số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí. Chọn 2 vị trí xếp chữ số 0: có C42 cách. Chọn 1 vị trí xếp chữ số 1: có 3 cách. Chọn 2 chữ số trong 8 chữ số (10 chữ số trừ đi 2 chữ số là 0 và 1) xếp vào 2 vị trí còn lại : có A82 cách. Vậy có tất cả C42 .3. A82 =1008 số thoả mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 20: Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số , trong đó chữ số 5 có mặt đúng 3 lần các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần ?
*Lời giải : Gọi x = a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 là số cần tìm. Trong x chữ số 5 có mặt 3 lần nên ta ghi thêm : 0,1,2,3,4,5,5,5
Cách 1: a1 có 7 cách chọn (vì a1 khác 0) a2 có 7 cách chọn a3 có 6 cách chọn a4 có 5 cách chọn a5 có 4 cách chọn a6 có 3 cách chọn a7 có 2 cách chọn a8 có 1 cách chọn
⇒ có 1.2.3.4.5.6.7.7=35280 số
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 21 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------Nhưng trong đó có chứa 3! số giống nhau khi ta giao hoán 3 chữ số chữ số 5 . Vậy số các số cần tìm là
35280 = 5880 số 3!
Cách 2: Chọn 8 chữ số vào 8 vị trí và hoán vị chúng ta được 8! số . Trong đó có 7! Số có chữ số 0 đứng đầu và 3! Số giống nhau khi hoán vị chữ số 5. Vây nên ta có tất cả ⇒ Từ
8!− 7! = 5880 số cần tìm. 3!
đó có bài toán tổng quát: Bài 1: “ Cho n chữ số khác nhau và khác 0, 1 ≤ n ≤ 9 . Hỏi có bao nhiêu số tự
nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được lặp lại k lần ( k>1) còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần” ⇒ Công thức
( n + k − 1)! số cần tìm k!
Bài 2: “ Cho n chữ số khác nhau chứa cả chữ số 0, 1 ≤ n ≤ 9 . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được lặp lại k lần ( k>1) còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần” ⇒ Công thức
( n + k − 1)!− ( n + k − 2 )! số cần tìm k!
5.Bài toán đếm liên quan đến tổng các chữ số và tính tổng các số tự nhiên vừa tìm được: Ví dụ 21: Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ các chữ số trên. Hãy tính tổng tất cả các số vừa tìm
được. *Lời giải : Cách 1: ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 22 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------Mỗi số cần tìm là một hoán vị của 5 phần tử do đó số các số cần tìm là 5!=120 số. Nhận thấy: Có 24 số có dạng n= a1a2 a3a41 Có 24 số có dạng n= a1a2 a3a4 2 Có 24 số có dạng n= a1a2 a3a4 3 Có 24 số có dạng n= a1a2 a3a4 4 Có 24 số có dạng n= a1a2 a3a4 5 ⇒ Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5).120=360
Tương tự : Tổng các chữ số ở hàng chục là (1+2+3+4+5).10.120=3600 Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5)100.120=36000 Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5)1000.120=360000 Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5)10000.120=3600000 Vậy tổng của 120 số n là: 360+3600+36000+360000+3600000=3999960 Cách 2: Trong số 120 số n ta luôn tìm được cặp số n,n’ sao cho tổng của chúng n+n’=66666. chẳng hạn như 12345+54321=66666. Do đó tống tất cả 120 số vùa tìm được là: 66666.
120 =3999960 2
Ví dụ 22: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8?
*Lời giải : ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 23 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------Gọi số cần tìm là abcdef . Theo giả thiết c+d+e=8. Suy ra c, d , e ∈ {1;2;5} hoặc c, d , e ∈ {1;3;4} . +Với c, d , e ∈ {1;2;5} : Ta có 3! Cách chọn cde . Chọn 3 chữ số a,b,f trong 9 - 3=6 chữ số : có A63 cách chọn . Vậy có 3! × A63 =720 số + Với c, d , e ∈ {1;3;4} : Tương tự ta cũng có 720 số.
Vậy có tất cả là 720+720=1440 số thoả mãn yêu cầu bài toán .
DẠNG 3: BÀI TOÁN ĐẾM LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC
Ví dụ 23: Cho n ∈ N , n ≥ 4 a/ Cho một đa giác lồi n cạnh. Hỏi có bao nhiêu đường chéo? b/ Một đa giác lồi có bao nhiêu cạnh để số đường chéo bằng 35?
*Phân tích: Mỗi đoạn thẳng tương ứng với 2 điểm thuộc n điểm , trong đó có cả cạnh và
đường chéo của đa giác.Và ngược lại 2 điểm thuộc n điểm tạo được 1 đoạn thẳng có thể là cạnh hoặc đường chéo của đa giác.
*Lời giải : a/ Đa giác có n cạnh => có n đỉnh. Mỗi đường chéo được tạo thành từ 2 đỉnh trong n đỉnh đó và ngược lại, trừ đi n cạnh của đa giác. n − 1) n ( n! n 2 − 3n −n = −n = (đường chéo) Vậy có tất cả là : C − n = 2!( n − 2 ) ! 2 2 2 n
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 24 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------b/ theo kết quả của phần a. ta có n∈N , n ≥ 4 → n = 10 Cn2 − n = 35 ⇔ n 2 − 3n − 70 = 0 ←
Vậy đa giác lồi có 10 cạnh sẽ có 35 đường chéo.
Ví dụ 24: Cho 2 đường thẳng a, b song song với nhau. Trên đường thẳng a có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng b có 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác có
đỉnh thuộc 25 điểm kể trên? *Phân tích 1: Mỗi tam giác tương ứng với 3 điểm không thẳng hàng thuộc 25 điểm , nếu 3 điểm cùng thuộc một đường thẳng thì không hình thành được tam giác.
Lời giải 1: Chọn 3 điểm bất kỳ trong 25 điểm kể trên ta có: C253 cách chọn . Chọn 3 điểm cùng nằm trên đường thẳng a có : C103 cách chọn . Chọn 3 điểm cùng nằm trên đường thẳng b có : C153 cách chọn . Vậy có tất cả là : C253 - C103 - C153 =1725 tam giác.
*Phân tích 2: Mỗi tam giác tương ứng với 3 điểm không thẳng hàng thuộc 25 điểm, bằng cách chọn 3 điểm không cùng thuộc một đường thằng nào ta có các trường hợp như sau:
Lời giải 2: Tam giác tạo bởi một điểm nằm trên a và hai điểm nằm trên b ta có : C101 C152 tam giác Tam giác tạo bởi hai điểm nằm trên a và một điểm nằm trên b ta có: C102 C151 tam giác Vậy có tất cả số tam giác là: C101 C152 + C102 C151 =1725 tam giác.
Ví dụ 25: Trong mặt phẳng cho 20 đường thẳng phân biệt a1 , a2 ,..., a20 song song với nhau từng đôi một và 30 đường thẳng phân biệt b1 , b2 ,..., b30 cùng vuông góc với các đường
(
)
thẳng ai i = 1, 20 . Tính số hình chữ nhật được tạo nên từ 50 đường thẳng đó?
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 25 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------*Lời giải : Ta thấy cứ bốn đường thẳng gồm 2 đường thẳng ai , a j (1 ≤ i, j ≤ 20, i ≠ j ) và 2 đường thẳng bm , bn (1 ≤ m, n ≤ 30, m ≠ n ) cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật . Ngược lại, mỗi hình chữ nhật đều được tạo thành từ 4 đường thẳng gồm 2 đường thẳng ai , a j và 2 đường thẳng bm , bn . Do đó số hình chữ nhật cần tìm bằng số bộ bốn đường thẳng gồm 2 đường thẳng ai , a j và 2 đường thẳng bm , bn . Có C202 cách chọn đường thẳng ai , a j .
Có C302 cách chọn đường thẳng bm , bn . Vậy có C202 × C302 =82650 hình chữ nhật.
Ví dụ 26: Cho đa giác đều A1 A2 ... A2 n , n ∈ N , n ≥ 2 nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n . Tìm n ?
Lời giải : 3 Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n là C2n .
Ta thấy ứng với hai đừơng chéo đi qua tâm O của đa giác A1 A2 ... A2 n cho tương ứng một hình chữ nhật có đỉnh là 4 điểm trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho tương ứng hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác. Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác là n . Do đó số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n là Cn2 . Theo giả thiết
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 26 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------( 2n )! = 20 n! C23n = 20Cn2 ⇔ 3!( 2n − 3)! 2!( n − 2 )!
2n ( 2n − 1)( 2n − 2 ) 20n ( n − 1) = 6 2 ⇔ n=8 ⇔
Ví dụ 27 : Cho lục giác lồi ABCDEF. a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của lục giác đã cho? b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có canh không phải là cạnh của lục giác?
Lời giải : a/ Nhận thấy rằng cứ 3 đỉnh của hình lục giác thì tạo thành một tam giác và ngược lại một tam giác được tạo thành từ 3 đỉnh của hình lục giác, do đó có : C63 =
6! = 20 tam giác. 3!3!
b/ Số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác gồm 2 loại:
số tam giác chỉ có 1 cạnh của đa giác là C61 số tam giác có 2 cạnh của đa giác là C61.C21 Vậy số tam giác có 1 hoăc 2 cạnh là cạnh của lục giác là:
C61 + C61.C21 =18 tam giác. Vậy có tất cả số tam giác có cạnh không phải là cạnh của lục giác sẽ là : 20-18 =2 tam giác.
*Ví dụ 28: Có thể trả lời câu hỏi như trên với bát giác ABCDEFGH. a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của bát giác ABCDEFGH? b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có cạnh không phải là cạnh của bát giác ABCDEFGH? ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 27 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------Đáp số: a/ có C83 =
8! = 56 tam giác có đỉnh là đỉnh của bát giác. 3!5!
b/ có C81 + C81.C41 = C81.C51 = 40 tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của bát giác. Và có tất cả : 50 – 40 = 10 tam giác có cạnh không phải là cạnh của bát giác .
Từ đó giải quyết bài toán Tổng quát như sau: “ Cho đa giác lồi n cạnh A1 A2 ... An n ∈ N , n > 3 a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác A1 A2 ... An ? b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có cạnh không phải là cạnh của đa giác A1 A2 ... An ? ” Lời giải : a/ Số tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác A1 A2 ... An là số tổ hợp chập 3 của n phần tử Cn3 =
( n − 2 )( n − 1) n n! = 3!( n − 3)! 6
b/ Số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác A1 A2 ... An gồm 2 loại:
số tam giác chỉ có 1 cạnh của đa giác là Cn1 số tam giác có 2 cạnh của đa giác là Cn1 .Cn1−4 Vậy số tam giác có 1 hoăc 2 cạnh là cạnh của đa giác là:
Cn1 + Cn1 .Cn1−4 = n + n ( n − 4 ) = n ( n − 3) = nCn1−3 = Cn1 .Cn1−3 Vậy có tất cả số tam giác có cạnh không phải là cạnh của đa giác sẽ là :
Cn3 − Cn1 .Cn1−3 = =
( n − 2 )( n − 1) n − n 6
( n − 3)
( n − 2 )( n − 1) n − 6n ( n − 3) 6
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 28 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------n ( n 2 − 9n + 20 ) = 6
Ví dụ 29: Cho n điểm phân biệt trong không gian . Trong đó có m điểm đồng phẳng số còn lại không có 4 điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong n
điểm đó. ( n, m ∈ N , n > 4, m > 3) a/ Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau? b/ Hỏi có bao nhiêu tứ diện ?
*Lời giải: a/ Mỗi mặt phẳng chứa 3 điểm trong n điểm kể trên nên số mặt phẳng là tổ hợp chập 3 của n : Cn3 Nhưng trong số đó có m điểm đồng phẳng khi đó m điểm này xác định chỉ 1 mặt phẳng . Số mặt phẳng tạo ra từ m điểm này là Cm3 và ta coi chúng chỉ là một mặt phẳng. Do đó số mặt phẳng cần tìm là: Cn3 - Cm3 +1 (mặt phẳng). b/ Chọn 4 điểm bất kỳ trong n điểm đã cho là tổ hợp chập 4 của n phần tử có: Cn4 Trong đó sẽ có chứa Cm4 không phải là tứ diện. Vì m điểm này đồng phẳng. Vậy có tất cả số tứ diện cần tìm là: Cn4 - Cm4
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 29 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM -------------------------------------------------------------------------------------------------------
V.CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI: 1. Lớp 11A có 40 học sinh , trong đó có 22 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Giao viên chủ nhiệm muốn chọn ra một ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, một bí thư, một lớp phó văn nghệ, một lớp phó lao động. Hỏi có bao nhiêu cách chọn Ban cám sự lớp nếu: a. Ban cán sự lớp được chọn bất kỳ? b. Ban cán sự toàn con trai? c. Lớp trưởng phải là học sinh nam và lớp phó văn nghệ phải là học sinh nữ? 2. Một thầy giáo có 10 quyển sách khác nhau, trong đó có 4 quyển sách Toán,3 quyển sách Lý, 3 quyển sách Hoá. Thầy muốn lấy ra 5 quyển và tặng cho 5 học sinh A,B,C,D,E mỗi em một quyển. Hỏi thầy có bao nhiêu cách tặng nếu: a. Chỉ tặng cho học sinh các quyển sách Toán hoặc Hoá? b. Có ít nhất 1 quyển sách Toán được tặng? c. Sau khi tặng sách xong, mỗi loại còn ít nhất 1 quyển? 3. Một đội Văn nghệ có 18 người gồm 10 nam và 8 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 nhóm đồng ca gồm 6 người, biết rằng: a. Trong nhóm đó toàn là nữ? b. Trong nhóm đó có đúng 2 nam? c. Trong nhóm đó có ít nhất 5 nữ? d. Trong nhóm đó có ít nhất 1 nam? 4. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng 3 chữ số cuối 1 đơn vị? 5. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau sao cho a. Hai chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau? b. Hai chữ số 2 và 3 không đứng cạnh nhau? ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 30 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ? 7. Từ các chữ số 0,1,6,7,8,9 . Hãy tìm tất cả các số chẵn có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 5000? 8. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5. Hãy tìm tất cả các số có 5 chữ số khác nhau sao cho a/ chữ số hàng trăm là 2. b/ Luôn có mặt chữ số 4 và chữ số hàng nghìn là 5. 9. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? 10.
Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ
và chữ số chẵn? 11.
Cho các chữ số 0,1,2,3,4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó
chữ số 4 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần? 12.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có mặt chữ
số 0 nhưng không có mặt chữ số 1? 13.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 9 chữ số đôi một khác nhau biết rằng chữ số 2 có
mặt đúng 2 lần , chữ số 3 có mặt 3 lần và các chữ số khác có mặt không quá 1 lần. 14.
Từ các chữ số 0,1,2,5,6,7,8. Hãy tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau sao
cho a/ không tận cùng bằng 6. b/chia hết cho 5. 15.
Trong mặt phẳng cho n điểm ( n ≥ 4 ), trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng
và trong tất cả các đường thẳng nối 2 điểm bất kỳ, không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc vuông góc. Qua mỗi điểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi 2 trong n-1 điểm còn lại. Hỏi số giao
điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau là bao nhiêu ? 16.
Cho hình vuông ABCD. Trên mõ cạnh lấy 10 điểm phân biệt và không trùng
với đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó chọn từ các điểm kể trên ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 31 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------a. kể cả 4 đỉnh của hình vuông? b.Không tính các đỉnh hình vuông ? 17.
Tìm số giao điểm tối đa của : a. 10 đường thẳng phân biệt? b. 6 đường tròn phân biệt? c. 10 đường thẳng và 6 đường tròn trên?
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 32 ………………………………..
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM ------------------------------------------------------------------------------------------------------V- KẾT QUẢ THỰC HIỆN: Kết quả thử nghiệm cuối học kỳ I năm học 2014- 2015, tôi đã chọn ngẫu nhiên 30 học sinh dự thi khối A,D tôi đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau : Trước khi thực hiện đề tài: Lớp
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
11A1
0
0%
5
16.7%
15
50%
10
33.3%
12A7
0
0%
3
10%
16
53.3%
11
36.7%
Kết quả thử nghiệm sau khi thực hiện đề tài , tôi đã chọn ngẫu nhiên 30 học sinh dự thi khối A,D và đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau : Lớp
Giỏi
11A1
5
16.7%
12
40 %
11
36.7 % 2
6.6%
12A7
1
3.3%
8
26.7%
15
50%
20%
Khá
Trung bình
Yếu
6
Rõ ràng qua 01 năm thực hiện đề tài, kết quả là học sinh có rất nhiều tiến bộ về mảng kiến thức được đề cập ở đề tài này.
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 33 ………………………………..