CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ 11 CÓ ĐÁP ÁN
vectorstock.com/20944636
Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG
CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN ĐẠI SỐ 11 CÁC DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC CÓ ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI PDF VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594
CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG- CẤP SỐ NHÂN ĐẠI SỐ 11 Các dạng bài tập chương Dãy số - Cấp số cộng, cấp số nhân Phương pháp quy nạp toán học Dạng 1: Phương pháp quy nạp toán học Trắc nghiệm phương pháp quy nạp toán học Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải
Dãy số Dạng 2: Xác định số hạng của dãy số Trắc nghiệm xác định số hạng của dãy số Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số Trắc nghiệm tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số Cách tìm số hạng thứ n của dãy số cực hay có lời giải Cách tìm công thức của số hạng tổng quát cực hay có lời giải Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải
Cấp số cộng Dạng 4: Phương pháp giải bài tập Cấp số cộng Trắc nghiệm cấp số cộng Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng cực hay có lời giải Cách tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ k của cấp số cộng cực hay
Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay
Cấp số nhân Dạng 5: Phương pháp giải bài tập Cấp số nhân Trắc nghiệm cấp số nhân Dạng 6: Điều kiện để dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân Trắc nghiệm điều kiện để dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân
Bài tập trắc nghiệm 60 bài tập trắc nghiệm Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân có đáp án chi tiết (phần 1)
Phương pháp quy nạp toán học Dạng 1: Phương pháp quy nạp toán học A. Phương pháp giải & Ví dụ Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n)=Q(n) (hoặc P(n) > Q(n)) đúng với n ≥ n0 ,n0 ∈ ¥ ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính P(n0),Q(n0) rồi chứng minh P(n0 )= Q(n0) Bước 2: Giả sử P(k) = Q(k) ; k ≥ n0 ,k ∈ ¥, ta cần chứng minh P(k+1) = Q(k+1). Ví dụ minh họa Bài 1: Chứng mình với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+2+3+...+n= (n(n+1))/2
Đặt P(n) = 1+2+3+...+n : tổng n ssố tự nhiên đầu tiên :
ng minh P(n) = Q(n) n ≥ 1 ,n ∈ ¥. Ta cần chứng Bước 1: Vớii n = 1 ta có P(1) = 1, Q(1) = 1 ⇒ P(1) = Q(1) = 1đúng vớí n = 1. Bước 2: Giả sử P(k0 = Q(k) vvới k ≥ 1 ,k ∈ ¥. tức là:
ng minh P(k+1) = Q(k+1), ttức là: Ta cần chứng
Thật vậy:
Vậy đẳng thức cho đúng úng với m mọi n ≥ 1.
ọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+3+5+⋯+2n-1=n2 Bài 2:Chứng minh với mọi ♦ Vớii n = 1 ta có VT =VP = 1 úng vớ với n = 1. Suy ra đẳng thức cho đúng ♦ Giả sử đẳng thức cho đúng vvới n = k với k ≥ 1 ,k ∈ ¥. tức là: 1+3+5+⋯+2k-1=k2 (1)
ng thứ thức cho đúng với n = k+1, tức là: Ta cần chứng minh đẳng
1+3+5+⋯+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)2 (2) Thật vậy: VT(2) = 1+3+5+⋯+(2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2 =VP(2)
úng với m mọi n = 1. Vậy đẳng thức cho đúng
ng vớí ∀n ≥ 1, ta có bất đẳng thức: Bài 3: Chứng minh rằng ♦ Với n = 1 ta có đẳng thức ức cho tr trở thành :1/2 < 1/√3 ⇒ 2 > √3 đúng. ới n = 1. ⇒ Đẳng thức cho đúng với ♦ Giả sử đẳng thức cho đúng vvới =k ≥ 1 , tức là :
ng thứ thức cho đúng với n = k+1, tức là : Ta phải chứng minh đẳng
Thật vậy, ta có :
Ta chứng minh:
⇔ (2k+1)(2k+3) < (2k+2)2 ⇒ 3 > 1 (luôn đúng)
úng với m mọi số tự nhiên n ≥ 1. Vậy đẳng thức cho đúng
ng pháp quy nạp toán học còn được ứng dụng ng nhiều nhi trong số Chú ý: Vậy Phương học và hình học B. Bài tập vận dụng
ng với m mọi số tự nhiên n ≥ 1 , ta luôn có Bài 1: Chứng minh rằng
Lời giải: Bước 1: Vớii n = 1 ta có: VT = 1 ; VP = 1 ⇒ VT=VP
ớí n = 1. ⇒ Đẳng thức cho đúng vớí ức cho đúng với n = k ≥ 1, tức là Bước 2: Giả sử đẳng thức
ức cho đúng với n = k+1, tức là cần chứng ứng minh Ta sẽ chứng minh đẳng thức
Thật vậy:
⇒ (1) đúng đẳng thứcc cho đúng vvới mọi n ≥ 1.
thức sau: Bài 2: Chứng minh các đẳng th
Lời giải:
ng với m mọi n ≥ 1 ta có bất đẳng thức: Bài 3: Chứng minh rằng |sinnx| ≤ k|sinx| ∀x ∈ I Lời giải: Làm tương tự câu 1. Với ới n=1 đẳng thức cho đúng Gợi ý:
* Với n=1 ta có:VT = |sin1.α|=1.|sinα| =VP nên đẳng thức cho đúng. úng. * Giả sử đẳng thức cho đúng vvới n = k+1, tức là :|sinkα| ≤ k|sinα|| (1)
ng thứ thức cho đúng với n = k+1,tức là : Ta phải chứng minh đẳng α| (2) |sin (k+1)α| ≤ (k+1)|sinα| Thật vậy: |sin (k+1)α|=|sinkα.cosα+cosk α+coskα.sinα| ≤ |sinkα||cosα|+|coskα||sinα| α| ≤ |sinkα|+|sinα| (k+1)|sinα| ≤ k|sinα|+|sinα| ≤ (k+1)|sinα
úng vớ với n=k+1, nên đẳng thức cho cũng đúng với v mọi số Vậy đẳng thức cho đúng nguyên dương n.
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì A(n)=7n+3n-1 luôn chia hết cho 9 Lời giải: * Với n=1 ⇒ A(1)=71+3.1-1=9 ⇒ A(1)chia hết cho 9 * Giả sử A(k)chia hết cho 9 ∀k ≥ 1, ta chứng minh A(k+1)chia hết cho 9 Thật vậy:A(k+1)=7k+1+3(k+1)1=7.7k+21k-7-18k+9 ⇒ A(k+1)=7A(k)-9(2k-1) Vì A(k) chia hết cho 9 và 9(2k-1) chia ết cho 9 nên A(2k+1) chia hết cho 9 Vậy A(n) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n ≥ 1. Bài 5: Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n ≥ 1) bằng (n-2)180º. Lời giải: * Với n = 3 ta có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º * Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k < n, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là. (k-1)180ºvà (n-k-1)180º Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là (k-1+nk-1)180º=(n-2)180º. Suy ra mệnh đề đúng với mọi n ≥ 3.. Trắc nghiệm phương pháp quy nạp toán học Bài 1: Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy. Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra? A. Mạnh thu được 122 mảnh
B. Mạnh thu được 123 mảnh C. Mạnh thu được 120 mảnh D. Mạnh thu được 121 mảnh Hiển thị đáp án Đáp án: D Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh tạo thêm 6 mảnh giấy. Do đó công thức tính số mảnh giấy theo n bước được thực hiện là Sn = 6n + 1. Ta chứng minh tính đúng đắn của công thức trên bằng phương pháp quy nạp theo n. Bước cơ sở. Mạnh cắt mảnh giấy thành 7 mảnh, n =1, S(1) = 6.1+1 =7 Công thức đúng với n = 1 Bước quy nạp: giả sử sau k bước, Mạnh nhận được số mảnh giấy là S(k) = 6k + 1 Sang bước thứ k +1, Mạnh lấy một trong số những mảnh giấy nhận được trong k bước trước và cắt thành 7 mảnh. Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong S(k) mảnh và thay vào đó 7 mảnh được cắt ra. Vậy tổng số mảnh giấy ở bước k + 1 là: S(k =1) = S(k) -1 + 7= S(k) + 6 = 6k + 1 + 1 = 6(k+1) +1 Vậy công thức S(n) đúng với mọi n ∈ N*. Theo công thức trên chỉ có phương án D thoả mãn vì 121 =6.20 + 1 Đáp án D Bài 2: Cho dãy số (un) xác định bởi un = n2 – 4n – 2. Khi đó u10 bằng: A. 48
B. 60
C. 58
D. 10
Hiển thị đáp án Đáp án: C Hướng dẫn giải. u10 = 102 – 4.20 – 2 =58 Đáp án C Bài 3: Cho dãy số un = 1+ (n +3).3n. khi đó công thức truy hồi của dãy là:
A. un+1 = 1 +3un với n ≥ 1 B. un+1 = 1 +3un + 3n+1 với n ≥ 1 C. un+1 = un + 3n+1 - 2 với n ≥ 1 D. un+1 = 3un + 3n+1 - 2 với n ≥ 1 Hiển thị đáp án Đáp án: D Hướng dẫn giải. un+1 = 1+ (n+4).3n+1 = 1 + (n+3).3n+1 + 3n+1 = 1 + 3n.(n+3).3 + 3n+1 = 3[1 + (n+ 3).3n] + 3n+1 – 2 = 3un + 3n+1 -2 Đáp án là D Bài 4: Phép chứng minh sau đây nhận giá trị chân lí là gì? A. Đúng B. Sai C. Không đúng không sai D. Vừa đúng vừa sai Hiển thị đáp án Đáp án: B Phép chứng minh thiếu mất bước cơ sở kiểm tra mệnh đề đúng với n=1 Bài 5: Cho x≠0 và x +1/x là một số nguyên. Khi đó với mọi số nguyên dương n, có kết luận gì về T(n,x) = xn + 1/xn . A. T(n,x) là số vô tỉ B. T(n,x) là số không nguyên C. T(n,x) là số nguyên D. Các kết luận trên đều sai
Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có
Ta sẽ chứng minh T(1,x) là số nguyên
ng phép chứng minh quy nnạp, ta có: Thật vậy, áp dụng Bước cơ sở: T(1,x) là số nguyên. Khẳng định đúng với n=1 Bước quy nạp: Giả sử T(n,x) là số nguyên với mọi n ≥ 1. Ta sẽ chứng minh T(n+1,x) cũng là số nguyên Ta có:
Theo giả thuyết quy nạp, ạp, ta có T(1,x),T(n,x), T(n-1,x) là các số nguyên nên T(n+1,x) là số nguyên
dương n, tổng Sn=n3+11n chia hết cho: Bài 6: Với mọi số nguyên dươ ng n, tổng Sn=n3+11n chia hết cho: Với mọi số nguyên dương A. 6
B. 4
C. 9
D. 12
Hiển thị đáp án Đáp án: A
áp án n = 6 Dễ dàng tìm được đáp
Bài 7: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n > p ( là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. k > p
B. k chia hết cho π
C. k = p
D. k < p
Hiển thị đáp án Đáp án: B Chọn B. Bài 8: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n > p (p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: - Bước 1, kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = p - Bước 2, giả thiết mệnh đề A(n) đúng với số tự nhiên bất kỳ n > p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1 Trong hai bước trên: A. Chỉ có bước 1 đúng. C. Cả hai bước đều đúng.
B. Chỉ có bước 2 đúng. D. Cả hai bước đều sai.
Hiển thị đáp án Đáp án: C Chọn C. Bài 9: Một học sinh chứng minh mệnh đề "8n+1 chia hết cho 7 mọi n ∈ ¥" (*) như sau: - Giả sử đúng với n = k, tức là 8n+1 chia hết cho 7 - Ta có: 8k+1+1=8(8k+1)-7 , kết hợp với giả thiết 8k+1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8k+1+1 chia hết cho 7 Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ ¥ Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Học sinh trên chứng minh đúng. B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp. C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp. D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp. Hiển thị đáp án Đáp án: D Thiếu bước 1 là kiểm tra với n = 1, khi đó ta có 8 +1 = 9 không chi hết cho 7. Chọn D. Bài 10: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng: A. n = 1
B. n = p
C. n > p
D. n ≥ p
Hiển thị đáp án Đáp án: B Chọn B. Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải A. Phương pháp giải Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n ≥ m (m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau: Bước 1: Chứng minh rằng P(n) đúng khi n = m. Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy và k ≥ m. Giả sử P(n) đúng khi n = k, ta sẽ chứng minh P(n) cũng đúng khi n= k + 1. Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên n≥m B. Ví dụ minh họa
ằng vvới mọi số nguyên dương ng n, ta có: 1.4 + 2.7 + ... + Ví dụ 1: Chứng minh rằng 2 n(3n + 1) = n(n + 1) (1) Hướng dẫn giải: + Với n = 1 ta có: Vế trái = 1. 4= 4. Vế phải = 1.(1+ 1)2 = 4. => Vế trái = Vế phải. Vậy ậy (1) đúng với n = 1. + Giả sử (1) đúng vớii n=k; k ∈ N*; tức là ta có: 1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)=k(k+1)2 (2)
ng minh: Ta chứng minh nó cũng đúng vvới n= k+1. Có nghĩa ta phải chứng 1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2 + Thật vậyy do 1.4+ 2.7+ ...+ k. ( 3k+ 1) = k( k+1)2 nên 1.4+2.7+⋯+k( 3k+1)+( k+1).(3k+4)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4) = k( k2+2k+ 1)+ 3k2 + 4k+ 3k+ 4 = k3 + 2k2 + k+3k2 + 7k+ 4 = k3 + 5k2 + 8k+ 4 = (k + 1).(k + 2)2 Do đó (1) đúng với mọi sốố nguyên dương n.
ằng vớ với mọi số nguyên dương n ta có : Ví dụ 2: Chứng ming rằng
Hướng dẫn giải: + Với n = 1:
Vế trái
Vế phải
ậy (1) đúng với n = 1. => Vế trái = Vế phải. Vậy + Giả sử (1) đúng vớii n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:
ng minh (1) đúng vvới n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng ứng minh: * Ta phải chứng
* Thật vậy
úng khi n= k+ 1. Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương ương n. Vậy (1) đúng ng minh rằng r với mọi Ví dụ 3: Với mỗi số nguyên ddương n, gọi un = 9n − 1. Chứng số nguyên dương n thì un luôn chia hết cho 8. Hướng dẫn giải: + Với n = 1 ta có u1 = 91 − 1 = 8 chia hhết cho 8 (đúng). + Giả sử uk = 9k − 1 chia hết cho 8 vvới k ∈ N* Ta cần chứng minh: uk + 1 = 9k + 1 − 1 chia hết cho 8. * Thật vậy, ta có uk+1=9k+1 − 1 = 9.9k − 1 = 9(9k − 1) + 8 = 9uk + 8. Vì 9uk và 8 đều chia hếtt cho 8 => uk+ 1 = 9k + 8 ⋮ 8.
ương n thì un chia hết cho 8. Vậy với mọi số nguyên dương ằng vvới mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta luôn có: 2n + 1 > 2n+ 3 Ví dụ 4: Chứng minh rằng (*) Hướng dẫn giải: + Với n = 2 ta có : 22 + 1 = 8 và 2.2+ 3= 7
=> 8 > 7 nên (*) đúng úng khi n = 2 + Giả sử với n = k; k ≥ 2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k+ 1 > 2k + 3 (1).
ng minh: Ta phải chứng minh (*) đúng vvới n= k + 1, có nghĩa ta phải chứng 2k+2 > 2(k+1)+3
ủa (1) vvới 2 ta được: * Thật vậy, nhân hai vế của 2.2k+1 > 2(2k+3) ⇔ 2k+2 > 4k + 6 > 2(k + 1) + 3
úng). Vậy 2k+2 > 2(k+1)+3 (đúng). ng n ≥ 2 Do đó theo nguyên lí quy nạạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương ằng vớ với mọi số nguyên dương n ta có: Ví dụ 5: Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải: * Với n = 1:
Vế trái của (1) = 1 và vế phả phải của (1) Vậy (1) đúng với n = 1. * Giả sử (1) đúng vớii n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:
ới n= k+ 1. Có ngh nghĩa ta phải chứng minh: Ta chứng minh (1) đúng với
* Thật vậy 12+32+52+⋅⋅⋅+(2k − 1)2+(2k+1)2 =
+ (2k+1)2 (thế (2) vào).
Vậy (1) đúng úng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
ới mọ mọi số nguyên dương n và n ≥ 5 thì 2n > n2 (*) Ví dụ 6: Chứng minh với Hướng dẫn giải: * Với n = 5 ta có: 25 > 52 ( vì 32 > 25) (đúng). Vậy (*) đúng với n = 5. * Giả sử với n= k; k ≥ 5 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k > k2 (1).
ứng minh: 2k+1 > Ta phải chứng minh (*) đúng vvới n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng (k+1)2 ủa (1) vvới 2 ta được: * Thật vậy, nhân hai vế của 2. 2k > 2.k2 ⇔ 2k+1 > k2 + k2 ⇔ 2k+1 > k2 + 2k + 1= (k+1)2 (vì k2 > 2k+ 1 với mọi k ≥ 5) . Vậy (*) đúng với mọi số nguyên ddương n≥5.
ới mọ mọi số nguyên n ta có: Ví dụ 7: Chứng minh với
Hướng dẫn giải: * Với n = 1:
Vế trái củaa (1) = 1. 2= 2, vế ph phải của (1) Suy ra (1) đúng với n= 1. * Giả sử (1) đúng vớii n= k; k∈N*.Có nghĩa là ta có: 1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)=
(2)
ứng minh: *Ta phải chứng minh (1) đúng vvới n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng
1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)+(k+1)(k+2)= Thật vậy: 1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)+(k+1)(k+2)
úng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với v mọi số Vậy (1) đúng nguyên dương n.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 1.2 + 2.5 + 3.8+ ..+ n(3n − 1) = n2(n+1) (1) Hướng dẫn giải: * Với n = 1: Vế trái của (1) = 2, vế phải của (1)= 12.( 1+ 1)= 2. Suy ra (1) đúng với n = 1. * Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có: 1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) = k2(k+1) (2) Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh: 1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) + (k+1)(3k+2) = (k+1)2(k+2) Thật vậy: 1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) + (k + 1)(3k + 2) = k2(k+1) + (k + 1)(3k + 2) = (k + 1)(k2 + 3k + 2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) = (k+1)2(k+2) (đpcm). Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n. Ví dụ 9: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: n3 − n chia hết cho 3 Hướng dẫn giải: Đặt un = n3 − n * Ta có u1 = 13 − 1 = 0 chia hết cho 3 => đúng với n = 1. * Giả sử uk = k3 − k chia hết cho 3. Ta cần chứng minh uk+1 = (k + 1)3 − (k + 1) chia hết cho 3.
* Thật vậy, uk+1 = k3+ 3k2 + 3k + 1 − k − 1 = k3 + 3k2 + 2k ⇔ uk + 1 = (k3 − k) + (3k2 + 3k) = uk +3(k2 + k) Vì uk và 3(k2 + k) đều chia hết cho 3, nên uk+1 cũng chia hết cho 3. Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3. Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 2n3 − 3n2 + n chia hết cho 6. Hướng dẫn giải: * Đặt un = 2n3 − 3n2 + n *Ta có: u1 = 2. 13 − 3 . 12 + 1 = 0 chia hết cho 6 => đúng với n = 1. * Giả sử uk = 2k3 − 3k2+ k chia hết cho 6. Ta cần chứng minh: uk + 1 = 2.(k+1)3 − 3.(k+1)2 + k+1 chia hết cho 6. * Thật vậy ta có: uk+1 = 2.k3+ 6k2 + 6k + 2 − 3k2 − 6k − 3 + k + 1 ⇔ uk + 1 = 2k3 + 3k2 + k = 2k3 − 3k2 + k + 6k2 = uk + 6k2 Vì uk và 6k2 đều chia hết cho 6, nên uk + 1 cũng chia hết cho 6. Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 6. Ví dụ 11: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 13n − 1 chia hết cho 6. Hướng dẫn giải: * Đặt un = 13n − 1 * Với n = 1, ta có u1 = 131 − 1 = 12 chia hết cho 6 => đúng với n = 1. * Giả sử uk = 13k − 1 chia hết cho 6 (với k ∈ N*).
Ta cần chứng minh: uk+1= 13k+1 − 1 ⋮ 6 . * Thật vậy ta có: uk+1 = 13 . 13k − 1 = 13(13k − 1) + 12 = 13.uk + 12
ết cho 6, nên uk + 1 cũng chia hết cho 6. Vì 13uk và 12 đều chia hết ương n thì un chia hết cho 6. Vậy với mọi số nguyên dương ới m mọi số nguyên n và n ≥ 3 thì 3n > n2 + 4n + 5 (*) Ví dụ 12: Chứng minh với Hướng dẫn giải: * Với n = 3 ta có 33 > 32 + 4.3 + 5 ⇔ 27 > 26 (đúng). Vậy (*) đúng với n = 3. * Giả sử với n = k ; k ≥ 3 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 3k > k2 + 4k + 5 (1).
ng minh: Ta phải chứng minh (*) đúng vvới n = k+ 1, có nghĩa ta phải chứng 3k + 1 > (k+1)2 + 4(k+1) + 5
ủa (1) vvới 3 ta được: 3.3k > 3.k2 + 12k + 15 * Thật vậy, nhân hai vế của ⇔ 3k + 1 > (k2 + 2k + 1) + 4(k+1)+ 5 + (2k2 + 6k + 5) (2)
mọi k ≥ 3 (3) Vì (2k2 + 6k + 5) > 0 với mọ Từ (2) và (3) suy ra: 3k+1 > (k2 + 2k + 1) + 4(k + 1) + 5 Hay 3k+1 > (k+1)2 + 4(k+1) + 5 Vậy (*) đúng với mọi sốố nguyên dương n ≥ 3. C. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Chứng minh với mọọi số nguyên dương n ta có:
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..+ n(n+1).(n+2) = Hiển thị đáp án
(1)
*Với n = 1:
Vế trái củaa (1) = 1.2.3= 6, vế phải của Suy ra (1) đúng với n = 1. * Giả sử (1) đúng vớii n = k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:
1.2.3+2.3.4+3.4.5+⋅⋅⋅+k(k+1)(k+2) =
(2)
ng minh: Ta phải chứng minh (1) đúng vvới n = k+1. Có nghĩa ta phải chứng
Thật vậy:
Vậy (1) đúng úng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với v mọi số nguyên dương n. Câu 2: Chứng minh với mọọi số nguyên dương n ≥ 2 ta có:
Hiển thị đáp án *Với n = 2:
Vế trái của
, vế phải của
Suy ra (1) đúng với n = 2. * Giả sử (1) đúng với n= k. Có nghĩa là ta có:
Ta chứng minh (1) đúng vvới n= k + 1. Có nghĩaa ta phải ph chứng minh:
Thậtt có:
vvậy y
ta
Vậy (1) đúng úng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với v mọi số nguyên dương n ≥ 2 . Câu 3: Chứng minh với mọọi số nguyên dương n ta có: Hiển thị đáp án
* Với n = 1: Vế trái của (1) = 1, vế phải củ của (1)= 2√1 = 2. Suy ra (1) đúng với n = 1. * Giả sử (1) đúng vớii n = k; k ≥ 1 Có nghĩa là ta có:
Ta phải chứng minh (1) đúng vvới n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng ng minh:
*Thật vậy:
Vì: ⇔ 2√(k(k+1) (k(k+1) ) + 1 < 2(k+1) ⇔ 2√(k2 + k) < 2k+1 ⇔ 4(k2 + k) < (2k + 1)2
ới mọi mọ số nguyên ⇔ 4k2 + 4k < 4k2 + 4k + 1 ( luôn đúng ) do đó (3) luôn đúng với dương k. Vậy (1) đúng úng khi n = k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với v mọi số nguyên dương n. Câu 4: Chứng minh với mọọi số nguyên dương n ta có:
Hiển thị đáp án
*Với n = 1: Vế trái của
, vế phải của
Suy ra (1) đúng với n = 1.
nghĩa là ta có: *Giả sử (1) đúng vớii n = k. Có ngh
ng minh: Ta phải chứng minh (1) đúng vvới n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng
Thật vậy:
Vậy (1) đúng úng khi n = k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với v mọi số nguyên dương n. Câu 4: Chứng minh với mọọi số nguyên dương n ta có:
Hiển thị đáp án
* Với n = 1: Vế trái của
, vế phải của
.
Suy ra (1) đúng với n = 1. * Giả sử (1) đúng với k; k ∈ N* . Có nghĩa là ta có:
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+ 1. Ta phải chứng minh:
* Thật vậy:
Vậy (1) đúng úng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với v mọi số nguyên dương n. Câu 5: Chứng minh với mọọi số nguyên n thì n3 + 11n chia hếtt cho 6. Hiển thị đáp án + Với n = 1 ta có 13 + 11 . 1 = 12 chia hết cho 6 đúng. +Giả sử với n = k (k ∈ N*) thì k3 + 11k chia hết cho 6.
Ta phải chứng minh với n = k + 1 thì (k+1)3 + 11( k+1) chia hết cho 6. + Thật vậy ta có: (k+1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1+ 11k + 11 = (k3 + 11k) + 3k(k + 1)+ 12 (*) + Do k3 + 11k chia hết cho 6 theo bước 2. k(k + 1)⋮ nên 3k(k+1) ⋮ 6 và 12 ⋮ 6 => (k3 + 11k) + 3k(k + 1) + 12 ⋮ 6 Từ đó suy ra (k + 1)3 + 11(k + 1) ⋮ 6 (đpcm). Câu 6: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3. Hiển thị đáp án * Đặt un = n3 + 3n2 + 5n * Ta có u1 = 13 + 3.12 + 5 . 1 = 9 ⋮ 3. => đúng với n = 1 * Giả sử uk = k3 + 3k2 + 5k ⋮ 3. Ta cần chứng minh uk+1 = (k+1)3 + 3.(k+1)2 + 5(k + 1) ⋮ 3 * Thật vậy, uk + 1 = k3 + 3k2 +3k + 1 + 3k2 + 6k + 3+ 5k + 5 ⇔ uk+1 = (k3 + 3k2 + 5k) + (3k2 + 9k + 9) = uk + 3(k2 + 3k + 3) Vì uk ⋮ 3 và 3( k2 + 3k + 3) ⋮ 3 nên uk+1 ⋮ 3 Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3. Câu 7: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 4n + 15n − 1 chia hết cho 9 Hiển thị đáp án
*Đặt un = 4n + 15n − 1 *Với n = 1, ta có u1 = 41 + 15 . 1 − 1 = 18 chia hết cho 9 =>đúng với n = 1. * Giả sử uk = 4k +15k − 1 chia hết cho 9. Ta cần chứng minh uk + 1 = 4k + 1 + 15(k + 1) − 1 chia hết cho 9. *Thật vậy ta có: uk+1 = 4.4k + 15k+ 14 = 4( 4k + 15k − 1) − 45k + 18 = 4.uk + 9(2 − 5k) Vì 4uk và 9(2 − 5k) đều chia hết cho 9, nên uk+1 cũng chia hết cho 9. Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 9. Câu 8: Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì 4n + 6n + 8 chia hết cho 9 Hiển thị đáp án * Đặt un = 4n + 6n+ 8 * Với n = 1, ta có u1 = 41 + 6 . 1 + 8 = 18 chia hết cho 9 => đúng với n = 1. * Giả sử uk = 4k + 6k + 8 chia hết cho 9. Ta cần chứng minh uk + 1 = 4k + 1 + 6(k+ 1)+ 8 chia hết cho 9. Thật vậy ta có uk+1 = 4. 4k + 6k + 14 = 4. (4k + 6k + 8) − 18k + 18 = 4.uk + 18(1 − k) Vì 4uk và 18(1 − k) đều chia hết cho 9, nên uk+1 cũng chia hết cho 9. Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 9 Câu 9: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 7.22n − 2 + 32n − 1 chia hết cho 5? Hiển thị đáp án
* Đặt un = 7. 22n − 2 +32n − 1 * Với n = 1, ta có u1 = 7. 22 . 1 − 2 + 32 . 1 − 1 = 10 chia hết cho 5 =>đúng với n= 1. * Giả sử uk = 7. 22k − 2 +32k − 1 chia hết cho 5. Ta cần chứng minh uk+1 = 7.22k + 32k + 1 chia hết cho 5. Thật vậy ta có uk+1 = 4.(7.22k−2 + 32k − 1) − 4. 32k − 1 + 32k+1 = 4uk + 5.32k−1
hết cho 5, nên uk+1 cũng chia hết cho 5. Vì 4.uk và 5.32k−1 đềuu chia hế ương n thì un chia hết cho 5. Vậy với mọi số nguyên dương ới mọ mọi n nguyên và n ≥ 4 ta có: 3n − 1 > n(n+ 2) (1) Câu 10: Chứng minh với Hiển thị đáp án * Với n = 4, VT = 34 − 1 = 27 và VP = 4.(4 + 2)= 24 => 27 > 24 nên (1) đúng với n = 4 * Giả sử với k ≥ 4;k ∈ N ta có : 3k−1 > k(k+2). Ta cần chứng minh : 3k > (k + 1)(k + 3) Thật vậy, ta có : 3k = 3.3k−1 > 3k.(k+ 2). Lại có :
úng với mọi k ≥ k. 3k(k+ 2) > (k+1)(k+ 3) ⇔ 2k2 +2k − 4 > 0 bất đẳng thức này đúng đúng). Suy ra 3k > (k + 1)(k+3) (đúng). ng n ≥ 4. Do đó theo nguyên lí quy nạạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương ới mọ mọi số nguyên n và n ≥ 2 ta có : Câu 11: Chứng minh với
Hiển thị đáp án
* Đặt * Với n= 2 ta có => đúng với n= 2. *Giả sử với n = k ≥ 2 ; k ∈ N thì (*) đúng, có nghĩa ta có:
ng minh: *Ta phải chứng minh (*) đúng vvới n=k+ 1, có nghĩa ta phải chứng
*Thật vậy ta có:
*Vậy uk+1 > uk >
(đúng). úng). Vậy (*) đúng với n = k + 1.
ọi số nguyên dương n ≥ 2. *Suy ra (*) đúng với mọi ới mọ mọi số nguyên dương n ta có: nn ≥ (n+1)n − 1 ( 1) Câu 12: Chứng minh với
Hiển thị đáp án * Với n = 1 ta có 11 ≥ (1+1)0 hay 1 ≥ 1 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1. * Giả sử với n = k ; k ∈ N* thì (1) đúng, có nghĩa ta có: kk ≥ (k+1)k − 1 (2).
ng minh: Ta phải chứng minh (1) đúng vvới n= k+ 1, có nghĩa ta phải chứng (k+1)k+1 ≥ (k+2)k
ủa (2) vvới (k+1)k+1 ta được: Thật vậy, nhân hai vế của
Vậy (*) đúng vớii n = k + 1. Do đó (*) đúng với mọi số nguyên dương ương n. Dãy số
ủa dãy số Dạng 2: Xác định số hạng của dụ A. Phương pháp giảii & Ví d trị của hàm số u: ¥* → i; n → u(n) 1. Dãy số là tập hợpp các giá tr ự tăng ddần liên tiếp theo đối số tự nhiên n: Được sắp xếp theo thứ tự
u(1); u(2); u(3); ....u(n);.... ng quát của c dãy số, ♦ Ta kí hiệu u(n) bởi un và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng của dãy số. u1 được gọi là số hạng đầu củ ♦ Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển u1,u2,u3…..un,.... hoặc dạng rút gọn (un). 2. Người ta thường cho dãy số theo các cách:
♦ Cho số hạng tổng ng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài ài số hạng) đứng * Cho hệ thức biểu thị sốố hạ trước nó. Ví dụ minh họa
hạng đầu là: -1, 3, 19, 53. Hãy tìm một quy luật lu của dãy Bài 1: Cho dãy số có 4 số hạ ứ 10 ccủa dãy với quy luật vừa tìm. số trên và viết số hạng thứ Đáp án và hướng dẫn giải Xét dãy (un) có dạng: un=an3+bn2+cn+d
c: a = 1 ; b = 0 ; c = -3 ; d = 1 Giải hệ trên ta tìm được: luật . ⇒ un=n3-3n+1 là mộtt quy luậ Số hạng thứ 10: u10=971. Bài 2: Cho dãy số (un) được xác định bởi
ủa dãy; 1. Viết năm số hạng đầu của
hạng nhận giá trị nguyên. 2. Dãy số có bao nhiêu số hạ Đáp án và hướng dẫn giải
ủa dãy Ta có năm số hạng đầu của
Ta có:
do đó un nguyên khi và chỉ khi khi n+1=5 ⇒ n = 4
Đ đó xảy ra nguyên hay n+1 là ước củaa 5. Điều
Vậy dãy số có duy nhất một ột ssố hạng nguyên là u4=7.
Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi:
ủa dãy; 1. Viết năm số hạng đầu của 2. Chứng minh rằng un=u4; Đáp án và hướng dẫn giải
ủa dãy là: 1. Ta có 5 số hạng đầu của u1=1;u2=2u1+3=5;u3=2u2+3=13;u4=29; u5=61. 2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp * Với n = 1 ⇒ u4=1 ⇒ bài toán đúng với n = 1 * Giả sử uk=2k+1-3 , ta chứng minh u_(k+1)=2k+2-3 Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:
uk+1=2uk+3=2(2k+1-3)=2k+2-3 (đpcm). B. Bài tập vận dụng Bài 1: Cho dãy số (u_n) có số hạng tổng quát
ủa dãy số. 1. Viết năm số hạng đầu của 2. Tìm số hạng thứ 100 và 200 3. Số 167/84 có thuộc dãy số đã cho hay không
hạng là số nguyên. 4. Dãy số có bao nhiêu số hạ Lời giải: 1. Năm số hạng đầu của dãy là: u1=1, u2=5/4, u3=7/5, u4=3/2 ,u5=11/7.
2. 3. Giả sử
Vậy 167/84 là số hạng thứ ứ 250 ccủa dãy số un . 4. Ta có:
⇒ un nguyên khi và chỉ khi 3 chia hhết cho (n+2) ⇒ n = 1
ột ssố hạng là số nguyên. Vậy dãy số có duy nhất một
định bởi: Bài 2: Cho dãy số (u_n) xác đị 1. Viết 7 số hạng đầu tiên củủa dãy 2. Chứng minh rằng: un=5.3n-1-6.2n-1∀n ≥ 1 Lời giải: Bốn số hạng đầu của dãy u3=5u2-6u1=21; u4=5u3-6u2=87; u5=309; u6=1023; u7=3261 .
ương pháp quy nạp 2. Ta chứng minh bằng phươ * u1=5.30-6.20=-1(đúng) * Giả sử uk=5.3(k-1)-6.2(k-1) ∀k ≥ 2 . Khi đó, theo công thứcc truy hhồi ta có: u(k+1)=5uk-6u(k-1)=5.(5.3(k-1)-6.2(k-1) )-6(5.3(k-2)-6.2(k-2) )=5(5.3(k-1)-6(3(k-2) )-6(5.2(k-1)6.2(k-2) )=5.3k-6.2k( đpcm). Bài 3: Cho dãy số (u_n) có số hạng tổng quát: 1. Viết 6 số hạng đầu của dãy số 2. Tính u20 ,u2010 3. Dãy số đã cho có bao nhiêu số hạng là số nguyên. Lời giải: 1. Ta có: u1=2+√5,u2=4+2√2,u3=6+√13,u4=8+2√5,u5=10+√29, u6=12+2√10. 2.
3.
⇔ (k – n) (k + n) = 4 phương ương trình này vô nghiệm Vậy không có số hạng nào của dãy nhận giá trị nguyên.
định bởi: Bài 4: Cho dãy số (u_n) xác đị 1. Tìm 5 số hạng đầu của dãy 2. Chứng minh rằng : un=5.2n-3n-5 ∀n=1,2,3… 3. Tìm số dư của u2010 khi chia cho 3 Lời giải: 1 Ta có: u1=2, u2=9, u3=26, u4=63, u5=140 2. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp 3. Ta có: 5.22010≡1.(-1)2010=1(mod3) Suy ra : u2010≡2(mod 3).
Bài 5: Cho dãy số (un): 1. Chứng minh rằng dãy (vn):vn=un-u(n-1) là dãy không đổi 2. Biểu thị un qua u(n-1) và tìm CTTQ của dãy số (un) Lời giải: 1. Ta có: u(n+2)-u(n+1)=u(n+1)-un ⇒ v(n+2)=u(n+1)=⋯=u2=1 2. Ta có: : un-u(n-1)=1 ⇒ un=u(n-1)+1
Suy ra un=(un-u(n-1))+(u(n-1)-u(n-2))+⋯+(u2-u1)+u1=1+1+⋯+1+u1=n-1+2018=n+2017
ạng ccủa dãy số Trắc nghiệm xác định số hạng Bài 1: Cho dãy số (un). Khi đđó số hạng thứ 5 của dãy un là
A. 10
B. 48
C. 16
D. 6
Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có u2=u1, u3=2u2, u4=3u3, u5=4u4=48. Chọn B Bài 2: Cho dãy số un. Khi đó số hạng u3n của dãy (un) là:
Hiển thị đáp án Đáp án: D
Bài 3: Cho dãy un. Khi đó số hạng u2n của dãy un là:
Hiển thị đáp án Đáp án: C
Bài 4: Cho dãy số (un). Công thức của số hạng tổng quát của dãy số là:
Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có 3n+1 =4.3n – 3.3n-1 ⇒ un=3n. Chọn B Bài 5: Cho dãy số (un). Công thức của số hạng tổng quát của dãy số là:
Hiển thị đáp án Đáp án: B Chọn B. Ta có 2n+1 – (n+1)2n= 4(2n – n.2n-1 )- 4(2n-1 – (n-1)2n-2) → un= 2n – n.2n-1 Bài 6: Cho dãy số (un). Khi đđó số hạng thứ 5 của dãy số là:
A. 11
B. 7
C. 9
D. 10
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có u2=u1+1=2, u3=u2+2=4, u4=u3+3=7, u5=u4+4=11.Chọn A Bài 7: Cho dãy số un=4n+n với mọi n ≥ 1. Khi đó số hạng un+1 của dãy là:
Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có un+1= 4n+1+n+1.Chọọn D Bài 8: Cho dãy số (un). Khi đđó số hạng thứ 10 của dãy số là:
A. 41
B. 51
C. 81
D. 91
Hiển thị đáp án Đáp án: D
ộng có công sai d=10 → u10=u1+9d=91.Chọn D Ta có dãy (un) là cấp số cộng Bài 9: Cho dãy số (un) xác định bởi un = n2 – 4n – 2. Khi đó u10 bằng: A. 48
B. 60
C. 58
D. 10
Hiển thị đáp án Đáp án: C Hướng dẫn giải. u10 = 102 – 4.20 – 2 =58. Chọn C Đáp án C
ủa dãy là: Bài 10: Cho dãy số un = 1+ (n +3).3n. khi đó công thức truy hồi của A. un+1 = 1 +3un với n ≥ 1 B. un+1 = 1 +3un + 3n+1 với n ≥ 1 C. un+1 = un + 3n+1 - 2 với n ≥ 1 D. un+1 =3un + 3n+1 - 2 với n ≥ 1 Hiển thị đáp án Đáp án: D hướng dẫn giải. un+1 = 1+ (n+4).3n+1 = 1 + (n+3).3n+1 + 3n+1 = 1 + 3n.(n+3).3 + 3n+1 = 3[1 + (n+ 3).3n] + 3n+1 – 2 = 3un + 3n+1 -2 Đáp án là D
Bài 11: Cho dãy số (un). Công thức của un+1 theo n là:
Hiển thị đáp án Đáp án: A Hướng dẫn giải. u1 = 1 u2 = 1 + 12 u3 = 1 + 12 + 22 u4 = 1 + 12 + 22 + 32 ...
(có thể chứng minh bằng ng quy nnạp). Đáp án A Bài 12: Cho dãy số (vn). Khi đó v11 bằng:
A. 311 B. 31024 C. 332 D. 322 Hiển thị đáp án Đáp án: B Hướng dẫn giải. v1=3=320 v2=32=321 v3=34=322 v4=38=323 ... vn=32n+1 ⇒ v11=3210=31024 Đáp án là B Bài 13: Cho dãy số (un). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt ợ là những số nào dưới đây?
Hiển thị đáp án Đáp án: B
ng CALC: ta có u1=1/2;u2=1/4;u3=3/26 Dùng MTCT chức năng
Bài 14: Cho dãy số (un). Tìm số hạng u5
A. u5=1/4
B. u5=17/12
C. u5=7/4
D. u5=71/39
Hiển thị đáp án Đáp án: C
ức năng CALC: u5=49/28=7/4 Chọn C. Thế trực tiếp hoặc dùng chứ Bài 15: Cho dãy số (un) biết un=(-1)n.2n Mệnh đề nào sau đây sai? A. u1=-2
B. u2=4
C. u3=-6
D. u4=-8
Hiển thị đáp án Đáp án: D Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: u1=-2.1=-2;u2=(-1)2.2.2=4;u3=(1)3.2.3=6;u4=(-1)4.2.4=8. Chọn D.
u, tính bị chặn của dãy số Dạng 3: Tính đơn điệu, dụ A. Phương pháp giảii & Ví d ảm 1. Dãy số tăng, dãy số giảm ♦ Dãy số (un) gọi làà dãy tăng nếu un < un+1 ∀n ∈ ¥ ♦ Dãy số (un) gọi là dãy giảm nếu un > un+1 ∀n ∈ ¥ 2. Dãy số bị chặn ♦ Dãy số (un) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực sao cho un < M ∀n ∈ ¥.
♦ Dãy số (un) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thựcc sao cho un > m∀n ∈ ¥..
n, tức tứ là tồn tại số ♦ Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, thực dương M sao cho |un | < M ∀n ∈ ¥.. ♦ Để xét tính đơn điệu của dãy số (un) ta xét : kn=(un+1-un) * Nếu kn > 0∀n ∈ ¥ ⇒ dãy (un) tăng * Nếu kn < 0∀n ∈ ¥ ⇒ dãy (un) giảm. Khi un > 0 ∀n ∈ ¥ ta có thể xét * Nếu tn > 1 ⇒ dãy số (un) tăng * Nếu tn < 1 ⇒ dãy số (un) giảm
của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng ng minh bằng b quy ♦ Để xét tính bị chặnn củ nạp. Ví dụ minh họa
ứng minh rằng dãy un là dãy giảm và bị chặn. chặ Bài 1: Cho dãy số (un). Chứ
Đáp án và hướng dẫn giải
Do đó, để chứng minh dãy (un) giảm ta chứng minh un > 1∀n ≥ 1 Thật vậy: Với n = 1 ⇒ u1=2 > 1
Theo nguyên lí quy nạpp ta có un > 1 ∀n ≥ 1 Suy ra un-un-1 < 0 ⇔ un < un-1 ∀n ≥ 2 hay dãy (un) giảm Theo chứng minh trên, ta có: 1 < un < u1=2∀n ≥ 1
ặn. Vậy dãy (un) là dãy bị chặn. ứng minh rằng dãy (un) là dãy tăng và bị chặn ch Bài 2: Cho dãy số (un). Chứ
Đáp án và hướng dẫn giải Ta chứng minh dãy (un) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp * Dễ thấy: u1 < u2 < u3. * Giả sử uk-1 < uk ∀k ≥ 2, ta chứng minh uk+1 > uk.
Vậy (un) là dãy tăng.
ứng minh được un < 4 ∀n , hơn nữa un > 0 Cũng bằng quy nạp ta chứng ặn. Nên dãy (un) là dãy bị chặn. B. Bài tập vận dụng
của các dãy số sau Bài 1: Xét tính tăng giảm củ
Lời giải: 1. Ta có:
nên dãy (un) là dãy tăng 2. Ta có:
Nên dãy (un) giảm. Bài 2: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) , biết:
Lời giải: 1. Ta có:
với mọi n ≥ 1. Suy ra u(n+1) > un ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (un) là dãy tăng. Mặt khác:
ặn. Vậy dãy (un) là dãy bị chặn. 2. Ta có:
3. Ta có: un > 0 ∀n ≥ 1
⇒ u(n+1) < un ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (un) là dãy số giảm. Mặt khác: 0 < un < 1 ⇒ dãy (un) là dãy bị chặn. Bài 3: Cho dãy số (un):
hạng đầu của dãy a) Khi a = 4, hãy tìm 5 số hạ b) Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng. Lời giải: a) Với a = 4 ta có:
Ta có: 5 số hạng đầu của dãy là u1=6; u2=10/3; u3=14/5; u4=18/7; u5=22/9.
ng khi và chỉ khi b) Ta có dãy số un tăng
⇒ -a-4 > 0 ⇒ a < -4 Bài 4: Cho dãy số (un)
a) Viết 6 số hạng đầu của dãy b) Chứng minh un=3(n-1)+1;n=1,2… Lời giải: a) Ta có: u1=2;u2=4;u3=10;u4=28;u5=82;u6=244.
ng minh bằng b cách b) Chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp hoặc chứng sau Ta có: un-1=3(u(n-1)-1)=32 (u(n-2)-1)=⋯=3(n-1) (u1-1) Suy ra: un-1=3(n-1) ⇒ un=1+3(n-1). Bài 5: Cho dãy số un=-5(n-1)+3n+n+2;n=1,2… a) Viết 5 số hạng đầu của dãy b) Chứng minh rằng: un=2u(n-1)+3(n-1)-n. Lời giải: Với mọi n =
Suy ra un < u0-n+1=2012-n Do đó: 2011 – n < un < 2012-n ⇒ [ un ]=2011-n với n = Vì u0=2011 và Nên [u0 ]=2011-0,[u1 ]=2011-1 Vậy [un ]=2011-n,n =
.
u, tính b bị chặn của dãy số Trắc nghiệm tính đơn điệu, úng? Bài 1: Cho dãy số (un) biết un=(-1)n.52n+5 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số (un) bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số (un) bị chặn. D. Dãy số (un) không bị chặn. Hiển thị đáp án Đáp án: D
tăng lên vô hạn (dương ng vô cùng) khi n tăng tă lên vô hạn Nếu n chẵn thì un=52n+5 > 0 tă ặn trên. nên dãy (un) không bị chặn tă lên vô hạn Nếu n lẻ thì un=-52n+5 < 0 giảm xuống vô hạn (âm vô cùng) khi n tăng ặn dưới. nên dãy (un) không bị chặn chặn. Chọn D. Vậy dãy số đã cho không bị ch Bài 2: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn?
Hiển thị đáp án Đáp án: D
ương và ttăng lên vô hạn (dương ng vô cùng) khi n tăng t lên vô Các dãy số n2; n; 2n dương hạn, nên các dãy ươ vô cùng), cũng tăng lên vô hạn (dương suy ra các dãy này không bị ch chặn trên, do đó chúng không bị chặn. ặn. Chọn Ch D.
Bài 3: Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn?
Hiển thị đáp án Đáp án: A
ương và ttăng lên vô hạn (dương ng vô cùng) khi n tăng lên vô Các dãy số n2; n; 3n dương hạn nên các dãy ng vô cùng), suy ra các cũng tăng lên vô hạn (dương dãy này không bị chặn trên, do đó chúng không bị chặn. Chọn A. Bài 4: Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn trên?
Hiển thị đáp án Đáp án: C
Các dãy số n2; 2n; n+1 là các dãy tăng đến vô hạn khi n tăng lên vô hạn nên chúng kiể tra). Chọn không bị chặn trên (có thể dùng chức năng TABLE của MTCT để kiểm C. Bài 5: Cho dãy số (un). Dãy số (un) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?
A. 1/3
B. 1
C.1/2
D. 0
Hiển thị đáp án Đáp án: B
ố 1. Chọn Ch B. Mặt khác: un=5/7 > 1/2 > 0 nên suy ra dãy (un) bị chặn trên bởi số Bài 6: Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng?
Hiển thị đáp án Đáp án: D Vì 2n; n là các dãy dương và ttăng nên 1/2n ; 1/n là các dãy giảm, do đó loại các đáp án A và B. Xét đáp án C:
Chọn D. Bài 7: Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm?
Hiển thị đáp án Đáp án: C un=sin n có thể dương ng hoặc âm phụ thuộc n nên đáp áp án A sai. Hoặc dễ thấy ảm. sin n có dấu thay đổi trên ¥ nên dãy sin n không tăng, không giảm.
ng nên B sai. nên dãy đã cho tăng
là dãy tăng nên suy ra un giảảm. Chọn C. Bài 8: Cho dãy số zn = 1 + (4n – 3).2n A. Dãy zn là dãy tăng B. Dãy zn bị chặn dưới C. Cả A và B đề sai D. Cả A và B đều đúng Hiển thị đáp án Đáp án: B Hướng dẫn giải. un = n2 – 4n + 7 = (n -2)2 + 3 ≥ 3
⇒ (un) bị chặn dưới bởi 3 (un) không bị chặn trên bởi vì n càng lớn thì un càng lớn Đáp án là B Bài 9: Cho dãy số un = n2 – 4n + 7. Kết luận nào đúng? A. Dãy (un) bị chặn trên B. Dãy (un) bị chặn dưới C. Dãy (un) bị chặn D. Các mệnh đề A,B,C đều sai Hiển thị đáp án Đáp án: D Hướng dẫn giải. zn+1 = 1 + (4n+1).2n+1; zn = 1 + (4n-3).2n ⇒ zn+1-zn=2n (4n+5) > 0 ∀n ∈ N* ⇒ (zn) tăng ⇒ zn ≥ z1=3 ∀n ∈ N* Đáp án là D Bài 10: Cho các dãy số sau:
Khẳng định nào dưới đây là đđúng?
ng; (2) là dãy đơn điệu giảm; (3) là dãy đơn điệu tăng;(4) là A. (1) dãy đơn điệu tăng; dãy đơn điệu tăng ng; (2) là dãy đơn điệu giảm; (3) là dãy đơn điệu tăng;(4) là B. (1) dãy đơn điệu tăng; dãy không đơn điệu
ng; (2) là dãy đơn điệu tăng; (3) là dãy không đơn điệu ;(4) C. (1) dãy đơn điệu tăng; là dãy không đơn điệu D. Đáp án khác Hiển thị đáp án Đáp án: C
áp án.chọ án.chọn C Dễ dàng có được đáp Bài 11: Cho dãy số (un). Khi đó khẳng định nào dưới đây đúng?
A. un là dãy đơn điệu tăng B. un là dãy đơn điệu giảm C. un là dãy không đổi D. đáp án khác Hiển thị đáp án Đáp án: C
Bài 12: Cho dãy số (un). Khi đó khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. un là dãy đơn điệu tăng B. un là dãy đơn điệu giảm C. un là dãy không đổi D. đáp án khác Hiển thị đáp án Đáp án: B
Bài 13: Xét dãy (un). Khi đó số α dương lớn nhất thoả mãn un ≥ α ∀n ≥ 1 là:
A. α =1 B. α =2 C. α =1/2 D. α =√2 Hiển thị đáp án Đáp án: B
Bài 14: Xét dãy un với n là các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng ng 100, số s α dương nhỏ nhất thoả mãn un ≤ α là:
A. α =10 B. α =10√2 C. α =11 D. α =20 Hiển thị đáp án Đáp án: D
Bài 15: Cho các dãy số (un), (vn), (xn), (yn) lần lượt xác định bởi:
Trong các dãy số trên có bao nhiêu dãy bị chặn dưới A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hiển thị đáp án Đáp án: D
Cách tìm số hạng thứ n của ủa dãy số cực hay có lời giải A. Phương pháp giải
ức củ của số hạng tổng quát: un = f(n). Khi đó số hạng đứng Cho dãy số bởi công thức thứ k của dãy số là: uk = f(k). B. Ví dụ minh họa
ới un = 2n+ 1. Mệnh đề nào sau đây ây là sai? Ví dụ 1: Cho dãy số (un) vớ A. u3 là số nguyên tố. B. u5 không chia hết cho 5 C. u7 = 15 D. u8 = 18 Hướng dẫn giải: Ta xét các phương án: + Ta có: u3 = 2 . 3 + 1 = 7 là số nguyên tố => A đúng + u5 = 2 . 5 + 1 = 11 là số không chia hhết cho 5. => B đúng
+ u7 = 2 . 7 + 1 = 15 nên C đđúng . + u8 = 2 . 8 + 1 = 17 nên D sai Chọn D.
ới Ví dụ 2: Cho dãy số (un) vớ
.Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn giải: Ta xét các phương án:
+ Ba số hạng đầu tiên của dãy số là: sai.
+ Tổng hai số hạng đầu tiến ến là:
+ Số hạng thứ 10 là
+ ta có:
Chọn B.
=> A
=> B đúng
=> C sai.
Ví dụ 3: Cho dãy số (un ) được xác định bởi u1 = 1 và n ≥ 2. Tìm số hạng thứ 4 của dãy số.
với mọi
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Và Chọn A. Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1; u2 = 2 và un = un−1 + un−2.Số hạng thứ 5 của dãy số là: A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
Hướng dẫn giải: Ta có; u3 = u1 + u2 = 1 + 2 = 3 u4 = u2 + u3 = 2 + 3 = 5 Và u5 = u3 + u4 = 3 + 5 = 8 Chọn C.
Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định bởi 4 của dãy số là:
Hướng dẫn giải:
Ta có: Chọn B. Ví dụ 6: Cho dãy số (un) biếết un = n2 + n − √n. Tính u9 − u4? A. 75 B. 65 C. 69
D. 71
Hướng dẫn giải: + ta có: u9 = 92 + 9 − √99 = 87. Và u4 = 42 + 4 − √4 = 18 => u9 − u4 = 87 − 18 = 69 Chọn C
. Số hạng thứ
Ví dụ 7: Cho dãy số (un) với đây?
h nào sau (a: hằng số). un+1 là số hạng
Hướng dẫn giải:
Ta có: Chọn A.
Ví dụ 8: Cho dãy số (un) với đây là sai?
Hướng dẫn giải: Ta có:
ẳng định đị nào sau ( a : hằng số). Khẳng
Và => C sai Chọn C . Ví
dụ
8: Cho
bởi của dãy số?
Hướng dẫn giải:
Ta có;
dãy
số
(un)
đượcc
xác
định
ố hạng h thứ 100 . Xác định số
=> Số hạng thứ 100 của dãy số là: Chọn D. C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho dãy số (un) được xác định bởi hạng đầu của dãy;
. Viết năm số
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có năm số hạng đầu của ủa dãy
ợc xác định bởi Câu 2: Cho dãy số (un) đượ trị nguyên. bao nhiêu số hạng nhậnn giá tr A. 2 B. 4 C. 1
. Hỏi dãy số có
D. 0
Hiển thị đáp án Đáp án: C
Ta có:
Do đó un nguyên khi và chỉ khi
nguyên hay (n + 1) ∈ Ư (5).
ương suy ra: n + 1= 5 Kết hợp với n nguyên dương ⇔ n= 4
ột số hạng nguyên là u4 = 7 . Vậy dãy số có duy nhất một
Câu 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: hạng đầu của dãy A. 1; 5; 13; 28; 61 B. 1; 5; 13; 29; 61 C. 1; 5; 17; 29; 61 D. 1; 5; 14; 29; 61 Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có 5 số hạng đầu của dãy là: u1 = 1; u2 = 2u1 + 3 = 5; u3 = 2u2 + 3 = 13
. Viết năm số
u4 = 2u3 + 3 = 29 và u5 = 2u4 + 3 = 61 Câu bởi
4: Cho
dãy
số
(un)
xác
định
. Tính u48? A.6
B. 7
C.8
D. 5
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có
Câu 5: Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 = 3 và un+1 = un + 10. Xác định số hạng thứ 50 của dãy số này? A. 465
B.378
C. 493
D. 452
Hiển thị đáp án Đáp án: C *Ta có: u2 = 13; u3 = 23; u4 = 33.
ứ n củ của dãy số là un = 3 + 10(n − 1) . => Dự đoán: số hạng thứ
* Thật vậy ; ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp + với n = 1 ta có u1 = 3 đúng + Giả sử đúng với n = k; tức là uk = 3 + 10(k − 1) . Ta chứng minh đúng với n = k + 1 tức là đi chứng minh: uk+1 = 3 + 10k. Ta có: uk+1 = uk + 10 = 3 + 10(k − 1) + 10 = 3 + 10k => điều phải chứng minh. => Số hạng thứ 50 của dãy số là: u50 = 3 + 10(50 − 1) = 493. Câu 6: Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 = 2 và un+1 = un. 5. Xác định số hạng thứ 30 của dãy số. A. 2 . 515
B. 2 . 529
C. 2 . 530
D. 2 . 520
Hiển thị đáp án Đáp án: B *Ta có: u2 = 10; u3 = 50, u4 = 250.... Dự đoán: un = 2 . 5n − 1 * Ta dùng quy nạp chứng minh un = 2 . 5n − 1 + Với n = 1 ta có: u1 = 2 . 50 = 2 (đúng với n = 1). + Giả sử đúng với n = k, tức là; uk = 2 . 5k − 1 Ta chứng minh đúng với n = k + 1. Tức là ta chứng minh uk+1 = 2.5k Theo giả thiết ta có: uk+1 = 5. uk = 5 . 2 . 5k−1 = 2 . 5k => đúng với n = k + 1 => điều phải chứng minh. * số hạng thứ 30 của dãy số là: u30 = 2 . 529
Câu 7: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1 = √(2 + un). Tìm số hạng thứ 1000 của dãy số đó? A. 2
B. √8
C. √1000
D. √320
Hiển thị đáp án Đáp án: A * Ta có : u2 = 2; u3 = 2; u4 = 2.. Dự đoán: un = 2 với mọi n.
ứng minh un = 2. * Ta dùng quy nạp để chứng + ta có: u1 = 2 nên đúng với n = 1. + Giả sử đúng với mọi sốố nguyên n = k. Tức là: uk =2.
Tức là ta đi chứng minh; uk+1 = 2. Ta chứng minh đúng với n = k + 1. T (2+ uk)= √(2+2) = 2 Thật vậy ta có: uk+1 = √(2+ => đúng với n= k + 1 ( đpcm) * Vậy un = 2 với mọi n nên u1000 = 2.
Câu 8: Cho dãy số (un) xác định bởi hạng thứ 4 của dãy số?
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có số hạng đầu tiên của dãy số là:
. Tìm số
Câu
9: Cho
dãy
ssố
(un)
xác
đinh
. Tính số hạng thứ
bởi: 50 của dãy số.
Hiển thị đáp án Đáp án: C
Ta có:
=>
Số
hạng ạng
th thứ
50
củaa
là:
Cách tìm công thức của sốố hạng ttổng quát cực hay có lời giải Cách tìm công thức của số hạng tổng quát cực hay có lời giải A. Phương pháp giải
dãy
số
• Nếu un có dạng un = a1 + a2 + ... + ak + .. + an thì biến đổi ak thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn un . • Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính u1; u2; ... ). Từ đó dự đoán công thức tính un theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu: un + 1 − un dựa vào đó để tìm công thức tính un theo n. B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 4; 8; 12; 16; 20; 24;... Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. un = 4n B. un = 2n+ 2 C. un = 2n+ 5 D. un = 4n+ 2 Hướng dẫn giải: Ta có: 4 = 4.1 8 = 4.2 12 = 4.3 16 = 4.4 20 = 4.5 24 = 4.6 Suy ra số hạng tổng quát un = 4n. Chọn A . Ví dụ 2: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. un = 7n + 7. B. un = 7n . C. un = 7n + 1. D. un : Không viết được dưới dạng công thức. Hướng dẫn giải: Ta có: 8 = 7 . 1 + 1 15 = 7 . 2 + 1 22 = 7 . 3 + 1 29 = 7 . 4 + 1 36 = 7 . 5 + 1
Suy ra số hạng tổng quát un = 7n + 1. Chọn C.
Ví dụ 3: Cho dãy số có các ssố hạng đầu là: của dãy số này là:
hạ tổng quát .Số hạng
Hướng dẫn giải: Ta có:
Suy ra số hạng tổng ng quát của dãy số là: Chọn B.
ộ quy luật của Ví dụ 4: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: − 1, 3, 19, 53. Hãy tìm một ạng th thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm. dãy số trên và viết số hạng A. u10 = 971 B. u10 = 837 C. u10 = 121 D. u10 = 760 Hướng dẫn giải: Xét dãy (un) có dạng: un = an3 + bn2 + cn + d Theo giả thiết ta có: u1 = − 1; u2 = 3; u3 = 19 và u4 = 53
=> hệ phương trình:
Giải hệ trên ta tìm được: a = 1;b = 0 ; c = −3 và d = 1.
ng quát củ của dãy số là: un = n3 − 3n+ 1 Khi đó; số hạng tổng Số hạng thứ 10: u10 = 971 . Chọn A .
à:0,1; 0,01; 0,001; 0,0001.... Số hạng Ví dụ 5: Cho dãy số có các ssố hạng đầu là:0,1; tổng quát của dãy số này có dạng?
Hướng dẫn giải: Ta thấy:
=> Số hạng thứ n là: Chọn A.
Ví dụ 6: Cho
. Xác định công thức tính un
Hướng dẫn giải: Ta có:
Chọn C. Ví dụ 7: Cho dãy số có các ssố hạng đầu là: − 2; 0; 2; 4; 6...Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? A. un = −2n . B. un = − 2 + n . C. un = − 2(n+ 1) . D.un = − 2 + 2(n − 1) Hướng dẫn giải: Dãy số là dãy số cách đều có kho khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là (−2) nên un = − 2 + 2(n − 1) . chọn D.
Ví dụ 8: Cho dãy số có các ssố hạng đầu là: tổng quát của dãy số này là?
.Số hạng
Hướng dẫn giải:
Ta có;
=> Số hạng thứ n của dãy số là: Chọn C.
ới Ví dụ 9: Cho dãy số (un) vớ số là số hạng nào dưới đây?
Hướng dẫn giải: Ta có:
ng quát un của dãy .Số hạng tổng
Chọn B.
Ví dụ 10: Cho dãy số (un) với un của dãy số là số hạng nào ddưới đây?
hạ tổng quát . Số hạng
A. un = 1 + n B. un = n(n + 1) C. un = 1 + (−1)2n. D. un = n Hướng dẫn giải: * Ta có: un+1 = un + (−1)2n = un + 1 (vì (−1)2n = ((−1)2)n = 1 => u2 = 2 ; u3 = 3; u4 = 4; ... Dễ dàng dự đoán được: un= n. Thật vậy, ta chứng minh được : un = n bằng phương pháp quy nạp như sau: + Với n = 1 => u1 = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.
ọi n = k ( k ∈ N*), ta có uk = k. + Giả sử (*) đúng với mọi ũng đđúng với n = k + 1, tức là uk+1 = k + 1 Ta đi chứng minh (*) cũng định dãy số (un ) ta có: uk+1 = uk + 1= k+ 1 + Thật vậy, từ hệ thứcc xác đị Vậy (*) đúng với mọi n. Chọn D.
Ví dụ 11: Cho dãy số (un) với ạng nào dưới đây? quát un của dãy số là số hạng
. Số hạng tổng
A. un = 2 − n B. không xác định.
với mọi n. C. un = 1 − n. D. un = −n vớ Hướng dẫn giải: + Ta có: u2 = 0; u3 = −1; u4 = −2... Dễ dàng dự đoán được un = 2 − n. + Thật vậy; vớii n = 1 ta có: u1 = 1 ( đúng) Giả sử với mọi n = k ( k ∈ N*) thì uk = 2 − k. Ta chứng minh: uk+1 = 2 − (k+ 1) Theo giả thiết ta có: uk + 1 = uk + (−1)2k + 1 = 2 − k − 1 = 2 − (k+1) => điều phải chứng minh.
Ví dụ 12: Cho dãy số (un) với của dãy số này : A. un = nn−1. B. un = 2n. C. un = 2n+1. D. un = 2n − 1 Hướng dẫn giải: + Ta có:
ố hạng hạ tổng quát .Công thức số
Hay un = 2n (vì u1 = 2) Chọn B. C. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: −1; 1; −1; 1; −1; 1; ...Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng A.un = 1
B. un = − 1
C. un = (−1)n
D. un = (−1)n+1
Hiển thị đáp án Đáp án: C
ạng ccủa dãy như sau: Ta có thể viết lại các số hạng (−1)1; (−1)2; (−1)3; (−1)4; (−1)5; (−1)6
ủa dãy số là un = (−1)n => Số hạng tổng quát của
ới Câu 2: Cho dãy số (un) vớ dãy số là số hạng nào dưới đđây?
ng tổng quát un của . Số hạng
Hiển thị đáp án
Đáp án: C Ta có:
Áp dụng công thức: minh bằng phương ng pháp quy nạp)
Câu 3: Cho dãy số (un) với un của dãy số là số hạng nào ddưới đây?
( chứng
hạ tổng quát . Số hạng
A. un = 2 + (n−1)2. B. un = 2 + n2. C.un = 2 + (n+1)2. D. un = 2 − (n−1)2. Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: un+1 − un = 2n − 1 suy ra: un+1 = un + 2n − 1 Theo đầu bài:
c: 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n − 3) = (n−1)2 (chứng minh bằng b Áp dụng công thức: phương pháp quy nạp) =>un = u1 + (n−1)2 = 2 + (n − 1)2
ới Câu 4: Cho dãy số (un) vớ quát của dãy số này là:
s hạng tổng . Công thức số
áp án Hiển thị đáp Đáp án: C
+ Ta có:
Dự đoán công thức số hạng ạng tổ tổng quát của dãy số là: + Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp:
+ Ta có:
nên đúng với n= 1.
Giả sử đúng với n = k (k ∈ N*); tức là:
Ta chứng minh đúng với n= k+ 1; ttức là chứng minh:
Thật vậy ta có: chứng minh)
( điều phải
Vậy
Câu 5: Cho dãy số (un) với của dãy số này là:
ố hạng hạ tổng quát . Công thức số
Hiển thị đáp án Đáp án: B + Ta có:
Hay
Câu 6: Cho dãy số (un) vớ ới dãy số này là:
tổ quát của . Công thức số hạng tổng
Hiển thị đáp án Đáp án: D + Ta có:
Câu 7: Cho
. Xác định công thứcc tính un
Hiển thị đáp án Đáp án: A + Ta có:
Câu 8: Cho dãy số (un) xác định bởi: số hạng tổng quát của dãy số.
. Tìm công thức tính
A. un = 3 + 5n B. un = 3 + 5.(n+1) C. un = 5.(n−1) D. un = 3 + 5.(n−1) Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có: u2 = u1 + 5 = 8 u3 = u2 + 5 = 13 u4 = u3 + 5 = 18 u5 = u4 + 5 = 23
ự đoán ssố hạng tổng quát un có dạng: un = 3 + 5.(n−1) (*) Từ các số hạng đầu, ta dự n≥2 ứng minh quy nạp để chứng ng minh công thức thứ (*) đúng. + Ta dùng phương pháp chứ 8(đúng). Vậy (*) đúng với n = 2 Với n = 2; u2 = 3+ 5.(2−1) = 8( nghĩa là : uk = 3+ 5(k−1) (1) +Giả sử (*) đúng vớii n = k. Có ngh ứng minh: Ta cần chứng minh (*) đúng vvới n = k+ 1. Có nghĩa là ta phải chứng uk+1 = 3 + 5k Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (1) ta có: uk+1 = uk + 5 = 3 + 5(k − 1) + 5 = 3 + 5k Vậy (*) đúng khi n = k+ 1.
ọi số nguyên dương n. Kết luận (*) đúng với mọi
Câu 9: Dãy số (un) được xác định bằng công thức: số hạng thứ 100 của dãy số A. 24502861
B. 24502501
C. 27202501
D. 24547501
Hiển thị đáp án Đáp án: B + Trước tiên; ta đi tìm công thức tổng quát của dãy số. + Ta có: un+1 = un + n3 => un+1 − un = n3 Từ đó suy ra:
+ Cộng từng vế n đẳng thức ức trên:
chứng minh được: +Bằng phương pháp quy nạp ta ch
Vậy số hạng tổng quát là:
. Tính
=> Số hạng thứ 100 của dãy số là: Câu 10: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1 = 5un. Tính số hạng thứ 20 của dãy số? A. 3. 510
B. 2.519 C. 2 . 520
D. 3 . 520
Hiển thị đáp án Đáp án: B Để tính số hạng thứ 20 của ủa dãy số; ta đi tìm công thức xác định số ố hạng hạ un + Ta có: u2 = 10; u3 = 50; u4 = 250; u5 = 1250; u6 = 6250
ằng phương pháp +Ta dự đoán: un = 2. 5n−1 (1) vvới mọi n ≥ 1. Ta chứng minh bằng quy nạp Với n = 1 ta có: u1 = 2. 50 = 2 ((đúng). Vậy (1) đúng với n = 1. Giả sử (1) đúng vớii n = k (k ∈ N*). Có nghĩa là ta có: uk = 2. 5k−1 Ta phải chứng minh (1) đúng vvới n = k+ 1
ng minh: uk+1 = 2.5k Có nghĩa ta phải chứng Từ hệ thức xác định dãy số (un) và giả thiết quy nạp ta có: uk+1 = 5uk = 2. 5k−1 . 5= 2 . 5k (đpcm). => Số hạng thứ n của dãy số xác định bởi : un = 2. 5n−1 =>Số hạng thứ 20 của dãy số là : u20 = 2.519. Câu 11: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 3 và un+1 = √(1+ un2) với n ∈ N*. Tính số hạng thứ 28 của dãy số ? A. 6
B. 7
C. 8
Hiển thị đáp án
D. 9
Đáp án: A Để tính số hạng thứ 30 của ủa dãy số ta đi tìm công thức xác định số ố hạng hạ thứ n của dãy số> + Ta có:
Ta dự đoán : un = √(n+8) (n+8) (1). Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp :
(1+8) = 3 ((đúng). Vậy (1) đúng với n = 1 . + Với n = 1 có u1 = √(1+8) Giả sử (1) đúng vớii n = k ; k ∈ N* , có nghĩa ta có uk = √(k+8) (2).
ứng minh: Ta cần chứng minh (1) đúng vvới n= k + 1. Có nghĩa là ta phải chứng uk + 1 = √(k+9) Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:
Vậy (1) đúng với n = k + 1.
ng quát củ của dãy số là : un = √(n+8). Kết luận số hạng tổng Số hạng thứ 28 của dãy số là : u28= √(28+8) = 6. Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải A. Phương pháp giải
ng quát cho dưới dạng 1) Nếu số hạng tổng
thì:
thức thu gọn để chặn un. Thu gọn un, dựa vào biểu thứ Ta cũng có thể chặn tổng trên, chặn dưới của nó.
biế được chặn bằng một tổng mà ta có thể biết
một hệ thức truy hồi thì: 2) Nếu dãy số (un) cho bởi mộ ng pháp chứng minh quy Dự đoán chặn trên, chặn dưới rồi chứng minh bằng phương nạp. ơn điệu (nếu có) sau đó giải bất phương trình un+1 − Ta cũng có thể xét tính đơ un dựa vào đó chặn (un). ng quát cho bbởi công thức thì ta dựa vào phương ương pháp đánh giá 3) Nếu số hạng tổng (chú ý n ∈ N*) B. Ví dụ minh họa
ặn củ của các dãy số (un) có Ví dụ 1: Xét tính bị chặn chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới A. Bị chặn B. Không bị chặ Hướng dẫn giải: * Với n∈ N* ta có : Nên dãy số bị chặn dướii bởi 0 + Lại có;
ởi 2. Nên dãy (un) bị chặn trên bở => dãy số (un)bị chặn. Chọn A.
với n ∈ N*
ặn củ của các dãy số (un) biết un = (−1)n Ví dụ 2: Xét tính bị chặn chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới A. Bị chặn B. Không bị chặ Hướng dẫn giải:
Ta có: => − 1 ≤ un ≤ 1 với mọi n nên (un) là dãy số bị chặn. Chọn A.
ặn củ của các dãy số (un) biết un = 4n − 2 Ví dụ 3: Xét tính bị chặn chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới A. Bị chặn B. Không bị chặ Hướng dẫn giải: Ta có n ≥ 1 nên 4n − 2 ≥ 2 => dãy số (un) bị chặn dưới bbởi 2 và dãy (un) không bị chặn trên. Chọn D.
Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi A. Dãy số (un) bị chặn trên. B.Dãy số (un) bị chặn dưới. C. Dãy số tăng. D. Dãy số không bị chặn. Hướng dẫn giải: + Xét hiệu:
. Chọn mệnh đề sai.
Vậy (un) là dãy số tăng. + Ta có: suy ra ∀n ∈ N*; un < 2 nên (un) bị chặn trên. (1) Vì (un) là dãy số tăng nên => (un) bị chặn dưới. (2) Từ (1) và (2) suy ra (un) bị ch chặn. => D sai. Chọn D.
ệnh đề sai. Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định bởi un = 1 + (n − 1) . 2n. Chọn mệnh A. Dãy số tăng.
ủa dãy số là: B. Công thức truy hồi của C. 5 số hạng đầu tiên của dãy số là 1,5,17, 49, 129. D. Dãy số bị chặn trên. Hướng dẫn giải: + Ta có:
=> C đúng
+ Xét hiệu:
Vậy công thức truy hồi: + Ta có: un+1 − un = (n+1). 2n > 0
tăng. Suy ra dãy số (un) là dãy số tă Ta có: un = 1 + (n − 1).2n ≥ 1 với ∀n ≥ 1 => (un) là dãy số bị chặn dưới. => D sai. Chọn D.
Ví dụ 6: Cho dãy số (un) xác định bởi A. Dãy số (un) bị chặn trên ; không bị chặn dưới. B. Dãy số (un) bị chặn dưới ; không bbị chặn trên.
ặn. C.Dãy số (un) không bị chặn. D. Dãy số (un) bị chặn.
ệnh đề đúng. . Chọn mệnh
Hướng dẫn giải: Công thức un được viết lại: Với mọi n ∈ N* ta có : 2n2 + 4 > 0
=> (un) bị chặn trên bởi + Lại có : với mọi n ∈ N* thì : n2 + 1 > 0 và 2n2 + 4 > 0
=>(un) bị chặn dưới bởi 0. Vậy dãy số (un) là bị chặn Chọn D.
Ví dụ 7: Cho dãy số (un) xác định bởi A. Dãy số tăng. B. Dãy số bị chặn trên. C. Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên. D.Dãy số bị chặn. Hướng dẫn giải:
* Ta viết lại:
nh đề sai. . Chọn mệnh
Xét hiệu số:
Vậy dãy số (un) là dãy số tăng. * Ta có:
Suy ra (un) là một dãy số bị ch chặn.
tăng và bị chặn. Kết luận (un) là một dãy số tă Chọn C.
ệ đề sai. Ví dụ 8: Cho dãy số (un) được xác định bởi un = n2 − 4n + 3. Tìm mệnh
ủa dãy số là : A. Công thức truy hồi của B. Dãy số bị chặn dưới.
C. Tổng n số hạng đầu tiên của dãy số là D. Dãy số bị chặn trên. Hướng dẫn giải: * Ta có: u1 = 12 − 4.1 + 3 = 0 Xét hiệu:
Vậy công thức truy hồi: * Ta có: un = n2 − 4n + 4 − 1 = (n − 2)2 − 1 ≥ 1 với ∀n ≥ 1
i, nhưng không bị chặn trên. Vậy dãy số bị chặn dưới, *Ta có:
Chọn D.
Ví dụ 9: Cho dãy số (un) xác định bởi Tìm mệnh đề đúng nhất ? A. Dãy số bị chặn trên ; không bị chặn dưới. B. Dãy số bị chặn dướii ; không bbị chặn trên. C. Dãy số không bị chặn. D. Dãy số bị chặn. Hướng dẫn giải: + Rõ ràng un > 0 với mọi ọi n nên (un) bị chặn dưới bởi 0. + Lại có:
.
Suy ra: => (un) bị chặn trên. Kết luận (un) bị chặn. Chọn D.
Ví dụ 10: Cho dãy số (un) xác định bởi Chọn mệnh đề đúng ? A. Dãy số bị chặn.
ưng không bị chặn dưới. B. Dãy số bị chặn trên nhưng C. Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên. D. Dãy số không bị chặn . Hướng dẫn giải: * Rõ ràng un > 0 với ∀n ∈ N* nên (un) bị chặn dưới bởi 0. * Có
với mọi n. => (un) bị chặn trên bởi 2. Kết luận (un) bị chặn. Chọn A.
. Do đó:
.
Ví dụ 11: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: * Với mọi n ∈ N* ; ta có un > 0. Xét tỉ số
=> un+1 < un nên dãy (un) là dãy số giảm.
giảm nên un ≤ u1 = 2 ∀n * Vì dãy số (un) là dãy số giả Suy ra: 0 < un ≤ 2 ∀n ∈ N* => dãy (un) là dãy bị chặn. Chọn D .
Ví dụ 12: Cho dãy số xn+1 − xn. Khẳng định nào đúng về dãy (yn) A. Tăng,bị chặn B. Giảm,bị chặn
ảm,chặn trên C. Tăng,chặn dưới D. Giảm,ch Hướng dẫn giải: Ta có:
. Xét dãy số yn =
Do đó: Ta chứng minh dãy (yn) tăng. Ta có:
Ta chứng minh dãy (yn) bị ch chặn. Trước hết ta chứng minh: xn ≤ 4(n−1) (1) với n ≥ 2 * Với n = 2, ta có: x2 = 4x1 = 4 nên (1) đúng với n = 2.
v n=k+1 * Giả sử (1) đúng vớii n = k, ttức là: xk ≤ 4(k−1). Ta chứng minh đúng với
Nên (1) đúng vớii n= k+1. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra (1) đúng
Ta có:
ng minh. Vậy bài toán được chứng C. Bài tập trắc nghiệm
ủa dãy số (un): un = 4 − 3n − n2 Câu 1: Xét tính bị chặn của chặn A. Bị chặn B. Không bị chặ ặn dưới C. Bị chặn trên D. Bị chặn Hiển thị đáp án Đáp án: C
Ta có => dãy số (un) bị chặn trên; dãy (un) không bị chặn dưới. Câu 2: Xét tính bị chặn của dãy số (un) biết
chặn A. Bị chặn B. Không bị chặ ặn dưới C. Bị chặn trên D. Bị chặn Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: + Với mọi n ∈ N* ta có 2n > 0 và n2 − n + 1 > 0 nên un > 1 (1) + Áp dụng bất đẳng thứcc Cô- si ta được: n2 + 1 ≥ 2n
=> n2 − n + 1 ≥ n nên => un ≤ 3 (2). Từ (1) và (2) suy ra dãy số (un) là bị chặn.
ủa dãy số (un) biết Câu 3: Xét tính bị chặn của chặn A. Bị chặn B. Không bị chặ ặn dưới C. Bị chặn trên D. Bị chặn Hiển thị đáp án Đáp án: A * Với mọi n nguyên dương ương ta có: * Lại có:
với mọi n ∈ N*
Vậy 0 < un ≤ 2 nên dãy số (un) là dãy số bị chặn. Câu
4: Cho
dãy
số
xác
. Tìm mệnh đề đúng?
bởi A. Dãy số bị chặn trên. C. Dãy số bị chặn.
(un)
B. Dãy số bị chặn dưới.
D. Dãy số không bị chặn.
Hiển thị đáp án Đáp án: C * Với mọi n ∈ N* ta có: un > 0
đinh
=> (un) bị chặn dưới bởi 0. Lại có: Suy ra => (un) bị chặn trên bởi Kết luận (un) bị chặn.
Câu 5: Cho dãy số (un) xác đinh bởi mệnh đề sai? A. Dãy số bị chặn B. Dãy số bị chặn trên; không bị chặn dưới.
i; không bbị chặn trên. C. Dãy số bị chặn dưới; D. Dãy số không bị chặn. Hiển thị đáp án Đáp án: A + Với mọi n ∈ N* ta có un > 0 nên dãy số bị chặn dưới bởi 0. + Lại có: Suy ra:
. Tìm
Nên (un) bị chặn trên. Kết luận (un) bị chặn.
Câu 5: Cho dãy số (un) xác đđinh bởi
. Tìm mệnh đề sai?
A. Với mọi n ∈ N*; un < 15
ăng. B. Dãy số (un) là dãy số tăng. C. Dãy số (un) bị chặn dưới. D. Dãy số (un) bị chặn. Hiển thị đáp án Đáp án: D
ng minh: vvới mọi n ∈ N*; un < 15 * Ta dùng quy nạp chứng úng với n= 1. Ta có u1 = 1 < 15 nên đúng Giả sử đúng với n = k; k ∈ N* tức là có: uk < 15. khi đó Vậy un < 15 với ∀n ∈ N*. (1) * Ta có => dãy số (un) tăng
(do (1))
chặn dưới bởi 1. => un ≥ u1 = 1 nên (un) bị chặ Câu 6: Cho dãy số (un) xác đinh bởi mệnh đề đúng?
ưng không bị chặn dưới. A. Dãy số bị chặn trên nhưng ưng không bị chặn trên. B. Dãy số bị chặm dưới như C. Dãy số bị chặn. D. Dãy số không bị chặn. Hiển thị đáp án Đáp án: C *Với k = 2,3...n ta có
Do đó:
Vế cộng vế suy ra:
. Tìm
=>(un) bị chặn trên bởi 2. * Mặt khác; với ∀n ∈ N* ta có: un > 0 => (un) bị chặn dưới bởi 0. => (un) bị chặn.
Câu 7: Cho dãy số (un) xác đinh bởi trong các mệnh đề sau .
. Tìm mệnh đề đúng
A. Dãy số (un) bị chặn.
ặn . B.Dãy số (un) không bị chặn nhưng không bị chặn dưới. C. Dãy số (un) bị chặn trên nh D. Dãy số (un) bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên. Hiển thị đáp án Đáp án: A
*Với mọi n∈ N* ta có: * Lại có:
Mà:
nên (un) bị chặn ặn dưới bởi 0.
Suy ra: un < 3 với mọi n nên dãy số (un) bị chặn trên bởi 3.
ặn. Kết luận: dãy số (un) bị chặn.
Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết A. Dãy số tăng, bị chặn B. Dãy số giảm, bị chặn C. Dãy số không tăng ng không gi giảm, không bị chặn D. Cả A, B, C đều sai Hiển thị đáp án Đáp án: A
* Ta có: Suy ra un+1 > un ∀n ≥ 1 ⇔ dãy (un) là dãy tăng. * Mặt khác: Với n ≥ 1; thì
với mọi n ≥ 1.
Lại có với n ≥ 1 thì
Suy ra: Vậy dãy (un) là dãy bị chặn. ặn. Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai Hiển thị đáp án Đáp án: B * Ta có:
=> un+1 > un ∀n > 1 => dãy (un) là dãy số tăng. * Lại có:
dãy (un) bị chặn dưới. Câu 10: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn D. Cả A, B, C đều sai Hiển thị đáp án Đáp án: C + Với mọi n ∈ N* ta có : un > 0 . Xét tỉ số :
=> un+1 < un với mọi n.
giảm. => Dãy số (un) là dãy số giả + Mặt khác : √(1 + n + n2) > 1 với ∀n ∈ N*
Vậy 0 < un < 1 nên dãy (un) là dãy bị chặn. Câu
11: Xét
tính
ttăng
giảm
số A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bbị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảảm, chặn trên
và
bị
chặn ặn
của c
dãy
Hiển thị đáp án Đáp án: B *Trước hết bằng quy nạp ạp ta ch chứng minh: 1 < un ≤ 2 Điều này đúng với n = 1.
ức là: 1 < uk ≤ 2. Ta chứng minh đúng với ới n = k+ 1. Giả sử đúng với n = k + 1 tứ Thật vậy ta có: nên ta có đpcm. Mà Vậy dãy (un) là dãy giảm và bị chặn. Câu
12: Xét
tính
ttăng
giảm
và
bị
chặn ặn
của c
số A. Tăng, bị chặn C. Tăng, chặn dưới
B. Giảm, bbị chặn D. Giảm, chặn trên
Hiển thị đáp án Đáp án: A *Trước hết ta chứng ng minh 1 < un < 4
úng với n = 1. Điều này hiển nhiên đúng Giả sử đúng với n = k tức là: 1 < uk < 4. Ta chứng minh đúng vớii n = k + 1 Thật vậy: 1 < uk+1 = uk + √(uk-1) < √4 + √4 = 4
dãy
Vậy dãy (un) là bị chặn. *Ta chứng minh (un) là dãy tăng Ta có: u1 < u2, giả sử un+1 < un, ∀n ≥ k.
Khi đó:
=> dãy (un) là dãy tăng.
ng và bị chặn. Vậy dãy (un) là dãy tăng
Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải Cấp số cộng Dạng 4: Phương pháp giải bài tập Cấp số cộng
dụ A. Phương pháp giảii & Ví d ộng, ta ccần xác định số hạng đầu vàà công sai. Do đó, ta Để xác định một cấp sốố cộng, ết củ của bài toán qua u1 và d. thường biểu diễn giả thiết Cho cấp số cộng (un). Khi đó:
ổng quát ccủa cấp số cộng; un= u1+ (n-1)d: số hạng tổng d: công sai của cấp số cộng
Ví dụ minh họa
tiếp của một cấp số cộng biết tổng của ủa chúng bằng b 20 Bài 1: Tìm bốn số hạng liên ti và tổng các bình phương của chúng bbằng 120. Đáp án và hướng dẫn giải Giả sử bốn số hạng đó là a – 3x, a – x, a + x, a + 3x với công sai là d = 2x. Khi đó, ta có:
Vậy bốn số cần tìm là 2,4,6,8.
Bài 2: Cho cấp số cộng
ủa ccấp số ; 1. Tính số hạng thứ 100 của 2. Tính tổng 15 số hạng đầu ccủa cấp số ; 3. Tính S = u4 + u5 + …+ u30.
Đáp án và hướng dẫn giải Từ giả thiết bài toán, ta có:
ấp số số: u_100=u_1+99d=-295 1. Số hạng thứ 100 của cấp 2. Tổng của 15 số hạng đầu:
3. Ta có:
B. Bài tập vận dụng Bài 1: Cho CSC
1. Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số; 2. Tính S = u1 + u4 + u7 + …+ u2011. Lời giải: Gọi d là công sai củaa CSC, ta có:
1. Ta có công sai d = 3 và số hạng tổng quát : un = u1 + (n-1)d = 3n-2.
m 670 số s hạng với 2. Ta có các số hạng u1, u4, u7,..., u2011 lập thành một CSC gồm công sai d’ = 3d, nên ta có:
ộng (un) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng b 24850. Bài 2: Cho một cấp số cộng Tính
Lời giải: Gọi d là công sai của cấp ấp số đã cho Ta có: S100 = 50(2u1 + 99d) = 24850
Ta có
Bài 3: Cho cấp số cộng (un). Xác định cấp số cộng
Lời giải: Ta có:
Vậy công thức của CSC là : un = u1 + (n-1)d = 70-20n Bài 4: Với CSC ở câu 3. Tính ttổng S = u5 + u7 + …+ u2011 Lời giải:
hạ nên Ta có u5, u7, …, u2011 lập thành CSC với công sai d = và có 1003 số hạng
ố hạng h đầu tiên Bài 5: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 4 và d = -5 Tính tổng 100 số của cấp số cộng. Lời giải:
Dạng 5: Phương pháp giải bài tập Cấp số nhân
dụ A. Phương pháp giảii & Ví d Để xác định một cấp sốố nhân, ta ccần xác định số hạng đầu vàà công bội. Do đó, ta ết củ của bài toán qua u1 và q. thường biểu diễn giả thiết
ấp số nhân: Số hạng tổng quát của cấp un = u1.qn-1, n ≥ 1 .
của cấp số nhân. Trong đó q: công bội củ Tính chất:
Ví dụ minh họa Bài 1: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u1 biết:
Đáp án và hướng dẫn giải Ta có:
Từ đó ta tìm được u1=1,u1=8.
Bài 2: Cho cấp số nhân
ủa ccấp số; 1. Viết năm số hạng đầu của 2. Tính tổng 10 số hạng đầu ccủa cấp số;
ứ bao nhiêu của cấp số ? 3. Số 2/6561 là số hạng thứ Đáp án và hướng dẫn giải
ấp số số. Theo giả thiết ta có: Gọi q là công bội của cấp
ấp ssố là: 1. Năm số hạng đầu của cấp u1=2,u2=2/3,u3=2/9,u4=2/27,u5=2/81.
ủa ccấp số 2. Tổng 10 số hạng đầu của
3. Ta có:
Vậy 2/6561 là số hạng thứ ứ 9 ccủa cấp số. B. Bài tập vận dụng
ng khác không, tìm Bài 1: Cho cấp số nhân (un) có các ssố hạng
u1 biết: Lời giải:
ạng đầ đầu tiên của cấp số nhân, biết Bài 2: Tìm tổng 5 số hạng Lời giải:
Bài 3: Một cấp số nhân dươ ương có 4 số hạng, công bội q bằng ng 1/4 lần lầ số hạng thứ ng đầ đầu bằng 24. Tìm tích các số hạng cấp số ố nhân đó? nhất, tổng của hai số hạng Lời giải: Gọi 4 số lập thành cấp sốố cộ cộng là u1,u2,u3,u4
u1=8,u2=16,u3=32,u4=64. Khi đó tích cần tìm là: 8.6.32.64 = 98304.
cấ số nhân, ba Bài 4: Cho bốn số nguyên biết rằng ba số hạng đầu lập thành một cấp cấp số cộng. Tổng của hai số hạng đầu vàà cuối bằng 14, số hạng sau lập thành một cấ ằng 12. T Tổng của bốn số nguyên đó là? còn tổng hai số ở giữa bằng Lời giải: Gọi 4 số cần tìm là a,b,c,d. Dựa vào giả thiết ta có hệ:
Vậy tổng 4 số nguyên đó là: 2 + 4 + 8 +12 = 26.
hạ thứ 7 gấp Bài 5: Cho cấp số nhân có 7 ssố hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó. Lời giải: Từ giả thiết ta có
Vậy u1=2/9,u2=2/3,u3=2,u4=6,u5=18,u6=54,u7=162. Trắc nghiệm cấp số nhân Bài 1: Cho cấp số cộng ng có 8 ssố hạng. Số hạng đầu bằng 3 và số hạng hạ cuối bằng ng này 24. Tính tổng các số hạng A. 105
B. 27
Hiển thị đáp án Đáp án: C
C. 108
D. 111
Đáp án C Ta có u1 = 3; u8 = 24, n = 8. S8= 8/2(3+24) = 108 Bài 2: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng
Hiển thị đáp án Đáp án: B Đáp án là B. Dãy ở câu b là CSC với công sai d = - 3.
bằ 22. Tổng Bài 3: Cho 4 số lập phương thành ccấp số cộng. Tổng củaa chúng bằng các bình phương củaa chúng bbằng 166. Tổng các lập phương của chúng bằng : A. 22
B. 166
C. 1752
D. 1408
Hiển thị đáp án Đáp án: D Đáp án là D
cộng là u1,u2,u3,u4 Gọi 4 số lập thành cấp sốố cộ
Vậy 4 số đó là 1,4,7,10 hoặc 10,7,4,1 Tổng các lập phương của chúng: 13+43+73+103=1408
độ, cho đồ thị (d) của hàm số y= 4x-5. Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ ương, gọi An là giao điểm của(d) và đường ng thẳng thẳ x=n. Xét Với mỗi số nguyên dương, dãy số (un) với un là tung độ của điểm An. Tính u1+...+u15. A. 405
B. 305
C. 205
D. 105
Hiển thị đáp án Đáp án: A Dễ thấy un = 4n -5 Ta có: un+1 = 4(n + 1) - 5 = 4n - 1 ⇒ un+1=un+4 với n ≥ 1 ⇒ (un) là một cấp số cộng với công sai d = 4
Đáp án là A Bài 5: Tìm x biếtt 1+3 +5+...+x =64 A. 9
B. 11
Hiển thị đáp án Đáp án: C
C. 15
D. 17
Vậy x=un=u1+(n-1)d=1+7.2=15 Đáp án C.
Vậy x=un=u1+(n-1)d=1+7.2=15 Đáp án C. Bài 6: Cho hai cấp số cộng ộng (un): 4,7,10,13,16,...và (vn):1,6,11,16,21,...Hỏi trong mỗi cấp số cộng , có bao nhiêu số hạng ng chung? 100 số hạng đầu tiên củaa mỗ A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có: un = 4+(n-1).3 = 3n+1, 1 ≤ n ≤ 100 vn = 1+ (k-1).5 = 5k -4, 1 ≤ k ≤ 100
ng chung ccủa hai cấp số cộng ta phải có: Để một số là số hạng 3n +1 =5k -4 ⇔ 3n = 5(k-1) ⇒ n⋮5 tức là n = 5t, k =1 + 3t, t ∈ Z Vì 1 ≤ n ≤ 100 nên 1 ≤ t ≤ 20. Có 20 số hạng chung của hai dãy Chọn đáp án B
ột ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu u thang đi tầng 1 lên Bài 7: Mặt sàn tầng một ậc cao 18cm. Độ cao của tầng hai so với ới mặt mặ sân là: tầng 2 gồm 21 bậc, mỗi bậc
A. 4,10m
B. 4,28m
C. 1,89m
D. 1,8m
Hiển thị đáp án Đáp án: B
ặt sàn là h = (0,5+ 0,18n) (m) vớii n = 21. Vậy V ta có độ Độ cao tầng hai so với mặt cao tầng 2 bằng 4,28m Đáp án B Bài 8: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng?
thị đáp án Hiển th Đáp án: B Đáp án B. Ta có un+1-un=2(n+1)-2n=2. Đây là CSC vớii công sai d = 2.
ng 3003 cây theo hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 Bài 9: Người ta trồng thứ 3 có 3 cây,...Vậy có tất cả bao nhiêu hàng? cây, hàng thứ 2 có 2 cây, hàng th A. 75
B. 76
C. 77
D. 78
Hiển thị đáp án Đáp án: C Gọi số hàng cần tìm là n. Ta có các hàng cây lập thành CSC vớii công sai d = 1 và số hạng đầu là 1. Khi đó: 3003 = [2.1 + (n – 1).1].n/2, suy ra n = 77. Đáp án C.
ấp số cộng Bài 10: Công sai của cấp
A. 0
B. -1
C. -2
D. -3
Hiển thị đáp án Đáp án: D
Bài 11: Số hạng đầu tiên của ccấp số cộng dương
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Hiển thị đáp án Đáp án: B
Đáp án B. Bài 12: Xác định số đoo góc nh nhỏ nhất của một tứ giác lồi, biết rằng ng số đo 4 góc lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất. A. 30º
B. 45º
C. 15º
D. 60º
Hiển thị đáp án Đáp án: A Gọi 4 góc đó lập thành cấp số cộng là u1,u2,u3,u4 Ta có:
Đáp án A.
ố cộng ộng có công sai Bài 13: Xen vào giữaa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số lớn hơn 3. Tìm tổng 4 sốố đó. A. 88
B. 92
C. 128
D. 132
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có 40 = u6=4+5d. Vậy d = 7.2 . Ta có u2+u3+u4+u5=4u1+10d=88 Đáp án A.
giếng ở cơ sở A được tính như sau: giá của mét Bài 14: Giá tiềnn công khoan gi ỗi mét sau tăng t khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi ủa mét khoan ngay trước nó. Vậy muốn n khoan 20 mét thì lên 500 đồng so với giá của mất bao nhiêu đồng? A. 200000 đồng B. 255000 đồng C. 285000 đồng D. 315000 đồng Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có giá các mét khoan lập thành một CSC vớii công sai d = 500, số hạng đầu là 8000
Khi đó khoan 20 mét thì mất số đồng là:20/2 [2.8000 + (20 – 1)500] = 255000 đồng. Đáp án B Bài 15: Cho một dãy số có các ssố hạng đầu tiên là 1,8,22,43...Hiệu của hai số ng: 7,14,21,...,7n. Số S 35351 là hạng liên tiếp của dãy số đó llập thành một cấp số cộng: số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho? A. 57 B. 80 C. 101 D. 200 Hiển thị đáp án Đáp án: C Gọi n là số thứ tự củaa 35351 trong dãy số. Ta có 35351 = 1 + 7(1+2+3+…+n- 1). Khi đó 1+2+3+…+ n-1 = 5050. Khi đó n = 101. Đáp án C Dạng 6: Điều kiện để dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân A. Phương pháp giảii & Ví dụ
ng khi và chỉ khi Ba số hạng uk, uk+1, uk+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng
ng khi và chỉ khi Ba số hạng uk, uk+1, uk+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng
Ví dụ minh họa Bài 1: Cho hai số -3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng ng để tất cả các số ng có công sai d = 2 Tìm n. đó tạo thành cấp số cộng
vớ công sai d = Khi xen vào giữa hai số -3 và 23 n số hạng thì ta được mộtt CSC với 2. Nên suy ra CSC trên có n + 2 số hạng và 23 là số hạng thứ n + 2. Khi đó ta có: 23 = -3 + (n + 1)2 ⇒ n = 12.
ng. Tìm x? Bài 2: Cho các số -4, 1, 6, x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Vì dãy số -4, 1, 6, x theo thứ tự lập thành một CSC nên ta có: (x+1)/2=6 ⇔ x=11.
ới đấy thì các số -4, x, -9 theo thứ tự ự đó lập lậ thành một Bài 3: Với giá trị x nào dướ cấp số nhân? Vì dãy số -4, x, -9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có: x2=36 ⇔ x = ±6. B. Bài tập vận dụng Bài 1: Biết các số Tìm n?
ố cộng cộ với n > 3. theo thứ tự lập thành một cấp số
Lời giải: Vì các số
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có:
Vậy n = 7. Bài 2: Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo th thứ tự đó lập thành một cấp c số cộng; c số nhân. đồng thời các số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp 2 2 Tính y +x . Lời giải: Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo th thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; ộ đồng thời các số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Nên ta có:
Khi đó y2+x2= 4 + 36 = 40.
ủa x để ba số 2x – 1, x, 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành Bài 3: Tìm tất cả giá trịị của một cấp số nhân. Lời giải: Vì ba số 2x – 1, x, 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có: (2x-1)(2x+1)=x2 ⇔ 3x2=1 ⇔ x=±1/√3
ố cộng, cộ biết góc Bài 4: Ba góc A, B, C (A < B < C) của tam giác tạo thành cấp số ôi góc bé nhấ nhất. Hiệu số đo độ của góc lớn nhất với ới góc nhỏ nh nhất lớn nhất gấp đôi bằng bao nhiêu? Lời giải:
Vì Ba góc A, B, C (A < B < C) của tam giác tạo thành cấp số ố cộng và góc lớn nhất gấp đôi góc bé nhất nên ta có:
ất và góc nhỏ nhất là: 80º-40º=40º Vậy hiệu giữa góc lớn nhất Bài 5: Với giá trị x, y nào ddưới đây thì các số hạng lần lượt là -2, x, -18, y theo thứ tự đó lập thành cấp sốố nhân? Lời giải:
lập thành cấp số nhân nên: x2=36 ⇔ x=±6. Ta có: -2, x, -18 theo thứ tự lậ ự lậ lập thành cấp số nhân nên: x.y = 182 Ta có: x, -18, y theo thứ tự Nếu x = 6 ⇒ y = 54. Nếu x = - 6 ⇒ y = -54. Trắc nghiệm điều kiện để dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân
thứ liên hệ giữa Bài 1: Cho phương trình: x3 + 3x2 – (24+m)x -26 –n= 0. Tìm hệ thức m phân biệ biệt x1,x2,x3 lập thành một cấp số cộng ng (giả (gi sử phương m và n để 3 nghiệm m phân bi biệt) trình đã cho có 3 nghiệm A. 3m = n B. m = 3n C. m = n D. m + n =0 Hiển thị đáp án Đáp án: C Vì 3 nghiệm phân biệt x1,x2,x3 lập thành một cấp số cộng và dùng hệ thức Viet cho phương trình bậcc 3. Ta có:
Vậy phương trình có 1 nghiệm là 1. Thay vào phương trình ta có: -1 + 3 + (24+m) – 26 – n = 0 ⇔ m = n. Đáp án C.
ố nghiệm lập Bài 2: Tìm m nguyên để phương trình x4-(3m+5) x2+(m+1)2=0 có bốn ng (giả sử phương trình trên đã có bốn nghiệm ệm phân biệt) bi thành một cấp số cộng A. m=1 B. m=5 C. m=3/2 D. m=25/4 Hiển thị đáp án Đáp án: B
x4-(3m+5) x2+(m+1)2=0 (1) Đặt x2=t. Ta có phương trình trên có dạng: t2-(3m+5)t+(m+1)2=0 (2)
ương phân biệt của phương trình (2) và a > b. Giả sử a, b là hai nghiệm dươ Khi đó 4 nghiệm của phương trình (1) sẽ là: -√a,-√b,√b,√a. Vì 4 nghiệm trên theo thứ tự lập thành CSC nên ta có: -√a+√b=-2√b ⇔ a=9b. Theo Viet ta có:
Đáp án B. Bài 3: Tìm x dương để các ssố 2, 8, x, 128 theo thứ tự đó lập thành ành một cấp số nhân. A. x = 14
B. x = 32
C. x = 64
D. x = 68
Hiển thị đáp án Đáp án: B
lập thành một cấp số nhân nên ta có: Vì 8, x, 128 theo thứ tự đó lậ x2=8.128 ⇒ x=±36. Đáp án B. Bài 4: Cho cấp số nhân có các ssố hạng lần lượt là x, 12, y, 192 Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x = 1, y = 144. C. x =3, y = 48
B. x = 2, y = 72 D. x = 4, y = 36
Hiển thị đáp án Đáp án: C Cấp số nhân có các số hạng ạng lầ lần lượt là x, 12, y, 192 nên ta có:
Đáp án C. Bài 5: Cho cấp số cộng (un) có u3 = 15 và d = -2. Tìm un
Hiển thị đáp án Đáp án: A u3 = 15 = u1 – 2.2 ⇒ u1 = 19. Vậy un=-2n+19. Đáp án A.
ương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số Bài 6: Thêm hai số thực dươ ập thành cấp số nhân. Khẳng định nào sau đây đ là đúng? 5,x,y,320 theo thứ tự đó lập
áp án Hiển thị đáp Đáp án: B Bốn số 5, x, y, 320 theo thứ ttự lập thành cấp số nhân nên ta có:
Đáp án B.
ứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập Bài 7: Nếu a,b,c theo thứ thành cấp số cộng? A.2b2,a2,c2
B. -2b, -2a, -2c
C. 2b,a,c
D.2b, 0.5a, -c
Hiển thị đáp án Đáp án: D a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a + c = 2b ⇒ 2b – c = 2.(0.5a). Đáp án D.
ủa m một cấp số nhân là x – 6, x và y .Tìm y, biết rằng công Bài 8: Ba số hạng đầu của bội của cấp số nhân là 6 A. y = 216
B. y = 216/5
C. y = 1296/5
D. y = 12
Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có x = 6(x – 6) ⇔ x = 7.2. Từ đó suy ra y = 6x = 43.2. Đáp án B.
thứ tự lập thành cấp số s cộng thì m Bài 9: Nếu các số 5 + m, 7 + 2m, 17 + m theo th bằng bao nhiêu? A. m = 2
B. m = 3
C. m = 4
D.m = 5
Hiển thị đáp án Đáp án: C
thứ tự lập thành cấp số cộng nên: các số 5 + m, 7 + 2m, 17 + m theo th
5 + m + 17 + m = 2(7 + 2m) ⇔ m = 4. Đáp án C. Bài 10: Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1 đồng thời các số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của q. A. q = 1/3
B. q = 1/9
C. q = -1/3
D. q = -3
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: y = qx, z = x. q2. Vì x, 2y, 3z lập thành CSC nên ta có: x + 3 x. q2=2.2qx ⇔ 1 + 3q2=4q ⇔ q=1(loại) hoặc q = 1/3. Đáp án A. Bài 11: Tìm b > 0 để các số 1/√2,√b,√2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. b = -1
B. b = 1
C. b = 2
D.b = -2
Hiển thị đáp án Đáp án: B 1/√2,√b,√2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên: b=1/√2.√2=1. Đáp án B Bài 12: Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ) là: A. 20º và 70º
B. 45º và 45º
C. 20º và 45º
D. 30º và 60º
Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có 30º , 60º, 90º lập thành 1 CSC với công sai d = 30º
Đáp án D Bài 13: Hai số hạng đầuu của ccủa một cấp số nhân là 2x + 1 và 4x2-1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là: A. 2x - 1
B. 2x + 1
C. 8x3-4x2-2x+1
D.8x3+4x2-2x-1
Hiển thị đáp án Đáp án: C
Vậy công sai của cấp sốố nhân là 2x – 1. Vậy số hạng tiếp theo sẽ là: (4x2-1)(2x-1)=8x3-4x2-2x+1. Đáp án C.
ự đó lập lậ thành một Bài 14: Với giá trị nào của x và y thì các số -7,x,11,y theo thứ tự cấp số cộng? A.x = 1, y = 21
B.x = 2, y = 20
C. x = 3, y = 19
D. x = 4, y = 18
Hiển thị đáp án Đáp án: B Các số -7,x,11,y theo thứ tự đđó lập thành một cấp số cộng nên:
Đáp án B.
thứ tự đó lập thành ành một cấp số Bài 15: Tìm x để ba sốố 1 + x, 9 + x, 33 + x theo th nhân. A. x = 1
B.x = 3
Hiển thị đáp án
C.x = 7
D. x = 3, x = 7
Đáp án: B Ba số 1 + x, 9 + x, 33 + x theo th thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên: (1 + x)(33 + x) = (9+x)2 ⇔ 16x=48 ⇔ x=3 Đáp án B. Bài tập trắc nghiệm 60 bài tập trắc nghiệm Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân có đáp án chi tiết (phần 1) Bài 1: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
Hiển thị đáp án Đáp án: A Đáp án A.
ng 22. Tổng Tổ các bình Bài 2: Cho 4 số lập thành ccấp số cộng. Tổng của chúng bằng ng 166. T Tổng các lập phương của chúng bằng ằng : phương của chúng bằng A. 22
B. 166
C. 1752
D. 1408
Hiển thị đáp án Đáp án: D Đáp án là D
cộng là u1,u2,u3,u4 Gọi 4 số lập thành cấp sốố cộ
Vậy 4 số đó là 1,4,7,10 hoặc 10,7,4,1 Tổng các lập phương của chúng: 13+43+73+103=1408
ứng minh m mệnh đề chứa biến A(n) đúng úng với vớ mọi số tự Bài 3: Dùng quy nạp chứng ự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = nhiên n > p ( là một số tự k. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. k > p
B. k chia hết cho p
C. k = p
D. k < p
Hiển thị đáp án Đáp án: B Chọn B. Bài 4: Cho dãy số (un) xác định bởi un = n2 – 4n – 2. Khi đó u10 bằng: A. 48
B. 60
C. 58
D. 10
Hiển thị đáp án Đáp án: C Hướng dẫn giải. u10 = 102 – 4.20 – 2 =58 Đáp án C Bài 5: Cho dãy số sau. Khi đđó số hạng thứ 5 của dãy un là:
A. 10
B. 48
C. 16
D. 6
Hiển thị đáp án Đáp án: B u1=2,u2=2,u3=4,u4=12 ⇒ u5=4.12=48. Chọn B Bài 6: Cho cấp số nhân (un) có u1 = 5; u2 = 8. Tìm u4 A. 512/25 B. 125/512 C. 625/512 D. 512/125 Hiển thị đáp án Đáp án: A Bài 6:
Đáp án A Bài 7: Cho dãy số sau. Khi đđó số hạng thứ 5 của dãy un là:
A. 10
B. 48
C. 16
D. 6
Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có u2=u1, u3=2u2, u4=3u3, u5=4u4=48.Chọn B
ng toạ độ độ, cho đồ thị (d) của hàm số y= 4x-5. Bài 8: Trong mặt phẳng
ương, gọi An là giao điểm của(d) và đường ng thẳng thẳ x=n. Xét Với mỗi số nguyên dương, dãy số (un) với un là tung độ ccủa điểm An. Tính u1+...+u15. A. 405
B. 305
C. 205
D. 105
Hiển thị đáp án Đáp án: A Dễ thấy un = 4n -5 Ta có: un+1 = 4(n + 1) - 5 = 4n - 1 ⇒ u_(n+1)=un+4 với n ≥ 1 ⇒ (un) là một cấp số cộng vớii công sai d = 4
Đáp án là A
Bài 9: Cho dãy
Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có
với mọi n ≥ 1. Khi đó số hạng u2n của dãy un là:
thức của số hạng tổng quát của dãy số là: Bài 10: Cho dãy số sau. Công th
A. un = 2n2 + 1 B. un = 3n C. un = 2n + 1 Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có 3n+1 =4.3n – 3.3n-1 ⇒ un=3n. Chọn B
thức của số hạng tổng quát của dãy số là Bài 11: Cho dãy số sau. Công th
Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có 2n+1 – (n+1)2n= 4(2n – n.2n-1 )- 4(2n-1 – (n-1)2n-2)→un= 2n – n.2n-1 Chọn B
Bài 12: Cho tam giác ABC cân (AB=AC), có cạnh đáy BC, đường cao AH, cạnh lập thành một cấp số nhân. Hãy tính công bội q của cấp bên AB theo thứ tự số đo lậ số nhân đó.
Hiển th thị đáp án Đáp án: C Theo giả thiếtt AB=AC, BC,AH,AB llập thành cấp số nhân nên ta có hệ:
Từ đó ta có kết quả sau: 2cotC = sinC ⇔ 2cosC =sin2C = 1-cos2C ⇔ cos2C + √2 (0º< C < 90º) 2cosC -1 =0 ⇒ cosC = -1 +√
Do C là góc nhọn nên
ấp số nhân là: Cho nên công bội của cấp
Đáp án C. Bài 13: Cho dãy số (un) biết u1 = (-1)n.52n+5 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số un bị chặn trên và không bị chặn dưới.
B. Dãy số un bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số un bị chặn.
ặn. D. Dãy số un không bị chặn. Hiển thị đáp án Đáp án: D
ng vô cùng) khi n tăng t lên vô Nếu n chẵn thì un = 52n+5 > 0 ttăng lên vô hạn (dương chặn trên. hạn nên dãy un không bị chặ tă lên vô hạn Nếu n lẻ thì un = -52n+5 < 0 giảm xuống vô hạn (âm vô cùng) khi n tăng nên dãy un không bị chặn dưới. chặn. Chọn D. Vậy dãy số đã cho không bị ch Bài 14: Tìm x biếtt 1+3 +5+...+x =64 A. 9
B. 11
C. 15
D. 17
Hiển thị đáp án Đáp án: B
=n2 = 64 ⇒ n=8 Vậy x=un=u1+(n-1)d=1+7.2=15 Đáp án C. Bài 15: Cho dãy số sau. Dãy số bị chặn trên bởi số nào dưới đây?
A. 1/3
B. 1
Hiển thị đáp án Đáp án: B
C.1/2
D.0
Ta có
nên suy ra dãy un bị chặn trên bởi số 1. Chọn B. Bài 16: Cho các dãy số sau:
Khẳng định nào dưới đây là đđúng?
ng; (2) là dãy đơn điệu giảm; (3) là dãy đơn điệu tăng;(4) là A. (1) dãy đơn điệu tăng; dãy đơn điệu tăng B. (1) dãy đơn điệu tăng; ng; (2) là dãy đơn điệu giảm; (3) là dãy đơn điệu tăng;(4) là dãy không đơn điệu
ng; (2) là dãy đơn điệu tăng; (3) là dãy không đơn điệu ;(4) C. (1) dãy đơn điệu tăng; là dãy không đơn điệu D. Đáp án khác Hiển thị đáp án Đáp án: C Dễ dàng có được đáp áp án. Chọ Chọn C Bài 17: Cho các dãy số (un), (vn), (xn), (yn) lần lượt xác định bởi:
Trong các dãy số trên có bao nhiêu dãy bị chặn dưới A. 1
B. 2
Hiển thị đáp án Đáp án: D
C. 3
D. 4
Ta có
nên cả bốn dãy số đều bịị chặ chặn dưới. Chọn D
biết y < 0 và các số x+6y, 5x+2y, 8x+y theo thứ th tự lập Bài 18: Tìm các số (x,y) biế ng thờ thời các số x+ 5/3, y -1, 2x – 3y theo thứ tự đó lập thành thành cấp số cộng đồng một cấp số nhân. A. (3, -1)
B. (-3, -1)
C. (-1,-3)
D. (-1,3)
Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có hệ phương trình:
Từ đó ta suy ra
Thế (1) vào (2) ta được: 8y2+7y-1=0⇒y=-1 hoặc y=1/8 Do y < 0 , ta được y = -1, x = -3 Đáp án B Bài 19: Cho dãy số (un) biết un=(-1)n.2n Mệnh đề nào sau đây sai? A. u1=-2
B. u2=4
C. u3=-6
D. u4=-8
Hiển thị đáp án Đáp án: D Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: u1=-2.1=-2;u2=(-1)2.2.2=4;u3=(1)3.2.3=6;u4=(-1)4.2.4=8. Chọn D. Bài 20: Cho hai cấp số cộng(un): 4,7,10,13,16,...và (vn):1,6,11,16,21,...Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng , có bao nhiêu số hạng chung? A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có: un = 4+(n-1).3 = 3n+1, 1 ≤ n ≤ 100 vn = 1+ (k-1).5 = 5k -4, 1 ≤ k ≤ 100 Để một số là số hạng chung của hai cấp số cộng ta phải có: 3n +1 =5k -4 ⇔3n = 5(k-1)⇒ n⋮5 tức là n = 5t, k =1 + 3t, t ∈ Z Vì 1 ≤ n ≤ 100 nên 1 ≤ t ≤ 20. Có 20 số hạng chung của hai dãy Chọn đáp án B Bài 21: Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1 đồng thời các số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của q. A. q = 1/3
B. q = 1/9
C. q = -1/3
D. q = -3
Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: y = qx, z = x. q2. Vì x, 2y, 3z lập thành CSC nên ta có: x + 3 x. q2=2.2qx ⇔ 1 + 3q2=4q ⇔q=1(loại) hoặc q = 1/3. Đáp án A.
ợ là những số Bài 22: Cho dãy số sau. Ba ssố hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt nào dưới đây?
Hiển thị đáp án Đáp án: B Dùng MTCT chức năng ng CALC: ta có u1=1/2;u2=1/4;u3=3/26
Bài 23: Cho dãy số sau. Tìm số hạng u5
A. u5=1/4
B. u5=17/12
C. u5=7/4
D. u5=71/39
Hiển thị đáp án Đáp án: C Thế trực tiếp hoặc dùng chứ ức năng CALC: u5=49/28=7/4 Chọn C. Bài 24: Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số nhân? A. 1,3,5,7,9 B. -1,-3,1,3,5 C. 1,2,4,16,256 D. 1,2,4,8,16 Hiển thị đáp án
Đáp án: D Đáp án D (CSN với công bội là 2). Bài 25: Nếu các số 5 + m, 7 + 2m, 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu? A. m = 2
B. m = 3
C. m = 4
D.m = 5
Hiển thị đáp án Đáp án: C các số 5 + m, 7 + 2m, 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên: 5 + m + 17 + m = 2(7 + 2m) ⇔ m = 4. Đáp án C. Bài 26: Mặt sàn tầng một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi tầng 1 lên tầng 2 gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm. Độ cao của tầng hai so với mặt sân là: A. 4,10m
B. 4,28m
C. 1,89m
D. 1,8m
Hiển thị đáp án Đáp án: B Độ cao tầng hai so với mặt sàn là h = (0,5+ 0,18n) (m) với n = 21. Vậy ta có độ cao tầng 2 bằng 4,28m Đáp án B Bài 27: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng: A. n = 1
B. n = p
Hiển thị đáp án Đáp án: B Chọn B.
C. n > p
D. n ≥ p
Bài 28: Một học sinh chứng minh mệnh đề "8n+1 chia hết cho 7 mọi n ∈ ¥" như sau: Giả sử (*) đúng với n = k, tức là 8n+1 chia hết cho 7 Ta có: 8(k+1)+1=8(8k+1)-7 , kết hợp với giả thiết 8k+1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8(k+1)+1 chia hết cho 7 Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ ¥ Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Học sinh trên chứng minh đúng. B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp. C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp. D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp. Hiển thị đáp án Đáp án: D Thiếu bước 1 là kiểm tra với n = 1, khi đó ta có 8 +1 = 9 không chi hết cho 7. Chọn D. Bài 29: Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x – 6, x và y .Tìm y, biết rằng công bội của cấp số nhân là 6 A. y = 216
B. y = 216/5
C. y = 1296/5
D. y = 12
Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có x = 6(x – 6) ⇔ x = 7.2. Từ đó suy ra y = 6x = 43.2. Đáp án B. Bài 30: Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số nhân?
thị đáp án Hiển th Đáp án: C Đáp án C vì