CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ 12

vectorstock.com/17234361

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

CHUYÊN ĐỀ CỰ TRỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN Chủ đề: Cực trị của hàm số 4 dạng bài Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số Trắc nghiệm Tìm cực trị của hàm số Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm Dạng 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm số Trắc nghiệm Biện luận theo m số cực trị của hàm số Dạng 4: Bài toán liên quan đến cực trị của hàm số Trắc nghiệm về cực trị hàm số 100 Bài tập Cực trị hàm số hay nhất có giải chi tiết (mức độ nhận biết - Phần 1) 100 Bài tập Cực trị hàm số hay nhất có giải chi tiết (mức độ nhận biết - Phần 2) 100 Bài tập Cực trị hàm số hay nhất có giải chi tiết (mức độ nhận biết - Phần 3) 120 Bài tập Cực trị hàm số hay nhất có giải chi tiết (mức độ vận dụng - Phần 1) 120 Bài tập Cực trị hàm số hay nhất có giải chi tiết (mức độ vận dụng - Phần 2) 120 Bài tập Cực trị hàm số hay nhất có giải chi tiết (mức độ vận dụng - Phần 3) 120 Bài tập Cực trị hàm số hay nhất có giải chi tiết (mức độ vận dụng - Phần 4)

Chủ đề: Cực trị của hàm số 4 dạng bài Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số. I. Phương pháp giải Quy tắc tìm cực trị của hàm số * Quy tắc 1: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính y'. Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc y' không xác định. Bước 3. Lập bảng biến thiên. Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. * Quy tắc 2: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i = 1; 2; 3... là các nghiệm). Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi) . Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi. II. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0. B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại x = 0 . C. Hàm số đạt cực đại tại x = -2 và cực tiểu tại x = 0 . D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = -2.

Hiển thị đáp án Ta có: y' = 3x2 - 6x = 0 Và y'' = 6x - 6 Suy ra: y''(0) = -6 < 0; y''(2) = 6 > 0

tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2. Do đó: hàm số đạt cực đại tạ Suy ra chọn đáp án B Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

ực trị trị. A. Hàm số có ba điểm cực điểm cực trị. B. Hàm số chỉ có đúng 2 điể C. Hàm số không có cựcc trị.

ột đđiểm cực trị. D. Hàm số chỉ có đúng một Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm:

y' = 4x3 - 4x = 0 Và y''= 12x2 – 4 ⇒ y''(0) = -4 > 0; y''(1) = 8 > 0; y''(-1) = 8 > 0 Suy ra: • Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0

ạ điể điểm x = 1 và x = -1. • Hàm số đạt cực tiểu tại Vậy hàm số đã cho có 3 điểm ccực trị.

Suy ra chọn đáp án A. Ví dụ 3: Gọi M, n lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số sau. Khi đó giá trị của biểu thức M2 – 2n bằng:

A. 8.

B. 7.

C. 9.

D. 6.

Hiển thị đáp án * Ta có đạo hàm:

Suy ra:

* Ta có: ⇒ y''(-3) = -2 < 0; y''(-1) = 2 > 0

tại x = -3 và yCĐ = -3 Suy ra: Hàm số đạt cực đại tạ Hàm số đạt cực tiểu tạii x = - 1 và yCT = 1 ⇒ M2 – 2n = 7 Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Cho hàm số:

m sau là điểm cực trị của đồ thị? Điểm nào trong các điểm A. M(1; 2)

B. N(2; 1)

C. P(-3; 3)

D. Q(-2; 2)

Hiển thị đáp án Tập xác định D = R (vì x2 + 6x + 12 > 0 mọi x). Đạo hàm:

Giải phương trình y' = 0 ⇔ x + 3 = 0 hay x = -3 Qua điểm x = 3, đạo hàm chuyển dấu từ âm sang dương

ểu củ của hàm số. ⇔ x = -3 là điểm cực tiểu ực tr trị của đồ thi hàm số là M(-3; 3) Mà y(-3) = 3 nên điểm cực Suy ra chọn đáp án C. Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm. I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x; m). Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm M(x0; y0) * Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. * Bước 2: Do hàm số đã cho đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của m thỏa mãn. * Chú ý: Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm M(x0; y0) thì y''(x0) < 0

ại đđiểm M(x0; y0) thì y''(x0) > 0 Nếu hàm số đạt cực tiểu tại II. Ví dụ minh họa

trị của tham số m để hàm số y = x3 – mx2 + (2m – 3)x Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá tr - 3 đạt cực đại tại x = 1. A. m = 3

B. m > 3

C. m ≤ 3

D. m < 3

Hiển thị đáp án * Ta có đạo hàm: y' = 3x2 – 2mx + 2m - 3 Để hàm số đạt cực đạii x = 1 thì

Suy ra chọn đáp án B.

tạ x = π/2; x = Ví dụ 2: Hàm số y = a.sin2x + b.cos3x - 2x (0 < x < 2π) đạt cực trịị tại ểu thứ thức P = 3b - 3ab là: π. Khi đó, giá trị của biểu A. 3

B. -1

C. 1

D. -3

Hiển thị đáp án Tập xác định D = R

+ Ta có: y' = 2a.cos2x – 3b.sin3x - 2. Hàm số đạt cực trị tại x = π/2; x = π nên ta có hệ phương trình:

ức P = a + 3b - 3ab = 1. Do đó, giá trị của biểu thức Suy ra chọn đáp án C. Ví dụ 3: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d. Nếu đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là gốc tọa độ và điểm A(-1; -1) thì hàm số có phương trình là: A. y = 2x3 – 3x2. B. y = -2x3 – 3x2. C. y = x3 + 3x2 + 3x. D. y = x3 – 3x - 1. Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c

m cực tr trị là gốc tọa độ ta có: + Đồ thị hàm số có điểm

⇒ Hàm số có dạng: y = ax3 + bx2

m cực tr trị là A(-1; -1) ta có: + Đồ thị hàm số có điểm

Vậy hàm số là: y = -2x3 – 3x2. Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + (m2 - 1).x + 2 với m là tham số. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tạii x = 2 A. m = 2 C. m = 11

B. m = 1 D. m < 2

Hiển thị đáp án Tập xác định: D = R Đạo hàm: y' = 3x2 – 6mx + m2 - 1 và y'' = 6x – 6m

ểu tạ tại x = 2 khi và chỉ khi: Hàm số đã cho đạt cực tiểu

cực tiểu tại x = 2 thì m = 1. Vậy để hàm số đã cho đạt cự Suy ra chọn đáp án B. Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y = x4 – 2(m + 1).x2 - 2m - 1 đạt cực đại tại tạ x = 1. A. m = -1 C. m = 1

B. m = 0

D. không có giá trị

Hiển thị đáp án Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y' = 4x3 - 4(m + 1)x

ực đạ đại tạo x = 1 thì y'(1) = 0 * Để hàm số đã cho đạt cực ⇔ 4 - 4(m + 1) = 0 ⇔ m + 1 = 1 ⇔m=0

* Với m = 0 thì y' = 4x3 – 4x ⇒ y'(1) = 0 và y'' = 12x2 – 4; y''(1) = 8 > 0

ểu tạ tại x = 1. Do đó; hàm số đạt cực tiểu ⇒ m = 1 không thỏa mãn.

thỏa mãn. Vậy không có giá trị nào của m th Suy ra chọn đáp án D.

ng giá trị nào của m thì hàm số sau đạt cực tiểu tại ại x = 1. Ví dụ 6: Với những

A. m = -2 hoặc m = 0

B. m = 0

C. m = -2 hoặc m = 1

D. m = -2

Hiển thị đáp án Điều kiện: x ≠ m * Ta có:

Nên đạo hàm

* Vì hàm số có đạo hàm tại các điểm x ≠ m nên để hàm số đạt cực ực tiểu ti tại x = 1 thì

* Với m = 0 thì y''(1) = 2 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số Suy ra m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* m = -2 ⇒ y''(1) = -2 < 0 nên x = 1 là điểm cực đại của hàm số Suy ra m = -2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy giá trị của m thỏa mãn là m = 0. Suy ra chọn đáp án D.

n theo m số cực trị của hàm số. Dạng 3: Biện luận I. Phương pháp giải

ậc ba * Cực trị của hàm số bậc Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c; ∆'= b2 – 3ac Xét phương trình: 3ax2 + 2bx + c = 0 (*)

hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực Phương trình (1) vô nghiệm ho trị. Vậy hàm số bậcc ba không có ccực trị khi b2 – 3ac ≤ 0

c trị Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 điểm cực ực tr trị khi b2 – 3ac > 0 Vậy hàm số bậc 3 có 2 cực phương * Cực trị của hàm trùng phươ Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị là (C)

phương trình y' = 0 Đạo hàm y' = 4ax3 + 2bx. Xét ph Hay 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) = 0

Để đồ thị hàm số đã cho có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có ặc phương trình (1) nhận x = 0 là nghiệm nghiệm duy nhất x = 0 hoặc

Để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệtt khác 0 hay II. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m - 1)x3 – 3x2 – (m + 1)x + 3m2 – m + 2. Để hàm số có nh m? cực đại, cực tiểu xác định A. m = 1

B. m ≠ 1

C. m > 1

D. m tùy ý.

Hiển thị đáp án * Cách 1: Ta có đạo hàm y' = 3(m - 1)x2 - 6x - m - 1 Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt :

* Cách 2: Áp dụng công thức điềuu kiện để hàm bậc ba có cực đại, cực tiểu

ểu khi Hàm số có cực đại, cực tiểu

Suy ra chọn đáp án B. Ví dụ 2: Điều kiện để hàm số y = ax4 + bx2 + c có 3 điểm cực trị là:

A. ab < 0 C. b = 0

B. ab > 0 D. c = 0

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) Xét y' = 0 hay 2x(2ax2 + b) = 0

Để hàm số đã cho có 3 điểm ccực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Suy ra chọn đáp án A. Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá tr trị thực của m để hàm số y = x3 – 2x2 + (m + 3)x - 1 không có cực trị? A. m ≥ -8/3

B. m > -5/3

C. m ≥ -5/3

D. m ≤ -8/3

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm: y' = 3x2 – 4x + m + 3 Hàm số không có cực trịị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. ⇔ ∆' ≤ 0 ⇔ 4 - 3(m + 3) ≤ 0 ⇔ m ≥ -5/3 Suy ra chọn đáp án C.

ủa tham ssố m để hàm số y = mx4 + (m - 1)x2 + m chỉ có Ví dụ 4: Tìm các giá trị của đúng một cực trị.

Hiển thị đáp án * Trường hợp 1: m = 0 Ta có hàm số y = -x2, hàm số này có 1 cực trị. Vậy m = 0 thỏa mãn. * Trường hợp 2: m ≠ 0 Đạo hàm y' = 4mx3 + 2(m - 1)x Xét phương trình: y' = 0 hay 4mx3 + 2(m - 1)x = 0

ệ x=0. Hàm số có đúng 1 cực trịị khi và chỉ khi (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm

Kết hợp TH1 và TH2 ta có:

thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án C. Ví dụ 5: Tìm m để hàm số sau có ccực trị:

A. -10 < m < 20 C. m < 0

B. m > 0

D. Mọi m

Hiển thị đáp án ở thành y = -x2 + x - 1 * Với m = 0 thì hàm số trở ⇒ y' = -2x + 1 = 0 khi x = 1/2 và y''(1/2) < 0

Do đó hàm số đạt cực đại tại x = 1/2 Vậy m = 0 thỏa mãn bài toán * Với m ≠ 0 ta có: Ta có y' = 0 khi và chỉ khi: mx2 – 2x + 1 – 2m = 0 (*) Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1/m ⇔ 2m2 – m + 1 > 0 (luôn đúng với mọi m) . Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi m. Suy ra chọn đáp án D. Dạng 4: Bài toán liên quan đến cực trị của hàm số. I. Phương pháp giải 1. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d. Ta có đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c • Bài toán: Viết phương trình đi qua hai điểm hai điểm cực trị của hàm số: Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Ta có: y = g(x).y'(x) + r(x) trong đó r(x) là phần dư của phép chia y cho y'. Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: y = r(x). (chú ý: Do x1, x2 là điểm cực trị nên y'(x1) = 0; y'(x2) = 0). Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn hệ thức T. + Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

dụng Viet cho phương trình bậc hai. + Phân tích hệ thức để áp dụ 2. Kỹ năng giảii nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương. Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c có đồ thị là (C). Ta có y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)

m phân biệt biệ ⇔ -b/2a > 0 Đồ thị hàm số (C) có ba điểm ccực trị khi y' = 0 có 3 nghiệm Hàm số có 3 cực trị là: A(0;c)

Độ dài các đoạn thẳng:

CÔNG THỨC TÍNH NHANH kiệ Ba điểm cựcc trị ttạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện STT

Dữ kiện

Tam giác ABC vuông cân tại A

Tam giác ABC đều

Tam giác ABC có góc ∠BAC = α

Tam giác ABC có diện tích S∆ABC = S0

Tam giác ABC có diện tích max (S0)

Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r∆ABC = r0

Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m0

Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n0

Tam giác ABC có cực trị B, C ∈ Ox

Tam giác ABC có 3 góc nhọn

Tam giá ABC có trọng tâm O

Tam giác ABC có trực tâm O

Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R∆ABC = R0

Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp

Tam giác ABC có cạnh BC = k.AB = k.AC

ằng nhau Trục hoành chia ∆ABC thành hai phần có diện tích bằng

Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành

20 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: II. Ví dụ minh họa

trị thực của tham số m để hàm số y = m/3.x3 + 2x2 + Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá tr thỏa mãn xCĐ < xCT. mx + 1 có 2 điểm cực trịị thỏ A. m < 2

B. -2 < m < 0

D. 0 < m < 2

C. -2 < m < 2

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = mx2 + 4x + m

ực trị thỏa mãn xCĐ < xCT Để hàm số có 2 điểm cực

Suy ra chọn đáp án D.

thực của tham số m để hàm số: Ví dụ 2: Tìm tấtt các giá trị th y = 1/3.x3 + (m + 3)x2 + 4(m + 3)x + m3 - m đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn -1 < x1 < x2

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = x + 2(m + 3)x + 4(m + 3) 2

bi x1, Yêu cầu của bài toán trở thành phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2

Suy ra chọn đáp án D. Ví dụ 3: Tìm các giá trị của tham ssố để hàm số: y = 1/3.mx2 - (m - 1)x2 + 3(m 2)x + 1/6 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 1

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = mx - 2(m - 1)x + 3(m - 2) 2

bi x1, Yêu cầu của bài toán trở thành phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x2 thỏa mãn: x1 + 2x2 = 1

Suy ra chọn đáp án B. Ví dụ 4: Tìm các giá trị của ủa tham ssố m để đồ thị hàm số: y = x4 – 2m2x2 + 1 có ba ủa m một tam giác vuông cân. điểm cực trị là ba đỉnh của A. m = - 1

B. m ≠ 0

C. m = 1

D. m = 1 hoặc m = -1

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = 4x3 – 4m2x Ta có: y' = 0 khi 4x(x2 – m2) = 0 * Hàm số có 3 điểm cựcc trị ⇔ m ≠ 0

ủa đồ thị hàm số là: A(0; 1), B(m; 1 - m4), C(-m; 1 - m4) Khi đó 3 điểm cực trị của ng, ta có tam giác ABC cân ttại đỉnh A . * Do tính chất đối xứng, Vậy tam giác ABC chỉ có thể vuông cân tại đỉnh A ⇔ AB− .AC−= 0 ⇔ -m2 + m8 = 0

hoặc m = -1 (thỏa mãn). Kết hợp điều kiệnn ta có: m = 1 ho ng công th thức Lưu ý: có thể sử dụng Suy ra chọn đáp án D. Ví dụ 5: Tìm các giá trị củ của tham số m để đồ thị hàm số: y = x4 – 2mx2 + 2m + m4 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều.

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = 4x – 4mx = 4x(x – m) 3

Xét phương trình y' = 0 hay 4x(x2 – m) = 0 (*)

m phân biệt bi hay m * Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có 3 nghiệm >0.

ủa đồ thị hàm số là: * Khi đó 3 điểm cực trịị của A(0; m4 + 2m), B(-√m; m4 - m2 + 2m), C(√m; m4 - m2 + 2m)

ng, ta có tam giac ABC cân ttại đỉnh A. Do tính chất đối xứng, * Vậy tam giác ABC đều chỉ cần AB = BC

Kết hợp điều kiệnn ta có: m = 3√3 ( thỏa mãn).

ng công th thức: * Lưu ý: có thể sử dụng

Suy ra chọn đáp án C. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d Phương pháp giải 1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là -∞; b là +∞) và điểm x0∈(a;b). Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x≠x_0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0. Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) >f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0. 2.Điều kiện đủ để hàm số có ccực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên K=(x0 - h;x0 + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h >0.

ng (x0 - h;x0) và f'(x) <0 trên (x0;x0 + h) thì x0 là một điểm Nếu f'(x)> 0 trên khoảng cực đại của hàm số f(x).

ng (x0 - h;x0) và f'(x) >0 trên (x0;x0+ h) thì x0 là một điểm Nếu f'(x) < 0 trên khoảng cực tiểu của hàm số f(x). ến thiế thiến Minh họa bằng bảng biến

Chú ý. Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực ực đạ đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại tr cực (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị gọ là điểm cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) đượcc gọi thị hàm số. đại (điểm cực tiểu) của đồ th

tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá Các điểm cực đại và cực tiể đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực ự trị của hàm trị cực tiểu) còn gọi là cực đạ số. 3.Quy tắc tìm cực trị của ủa hàm số Quy tắc 1: Bước 1. Tìm tập xác định ccủa hàm số. Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

ến thiên. Bước 3. Lập bảng biến Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định ccủa hàm số. Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệuxi (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó. Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi ) .

ủa f''(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi. Bước 4. Dựa vào dấu của Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 - 6x + 2. Hướng dẫn Tập xác định D = R. Tính y' = 6x2 - 6. Cho y'= 0 ⇔ 6x2 - 6 = 0 ⇔ x = ±1. Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại ại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại ại x = 1,y = -2. Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x4 - 2x2 + 2. Hướng dẫn Tập xác định D = R.

Tính y' = 4x3 - 4x. Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại ại x = ±1, y = 1 và hàm số đạt cực đại tại ại x = 0, y = 2.

Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y = Hướng dẫn

Tập xác định D = R\{2}. Tính Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho không có cực trị. B. Bài tập vận dụng Bài 1. Tìm cực trị của hàm số y = -x3 + 3x2 - 4 Hiển thị đáp án Tập xác định D = R. Tính y'= -3x2 + 6x.

Cho y'= 0⇔-3x2 + 6x = 0⇔ Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại ại x = 0,y = -4 và hàm số đạt cực đại tạii x = 2,y = 0. Bài 2. Tìm cực trị của hàm số y = -x3 + 3x3 - 3x + 2 Hiển thị đáp án Tập xác định D = R. Tính y' = -3x2 + 6x-3. Cho y'= 0 ⇔ -3x2+ 6x-3 = 0 ⇔ x = 1. Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho không có cực trị. Bài 3. Gọi A,B là hai điểm ccực trị của đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x + 1. Tìm tọa độ A,B và phương trình đường thẳng qua hai điểm đó. Hiển thị đáp án Tập xác định D = R. Tính y' = 6x2 - 6x - 12.

Cho y'= 0 ⇔ Bảng biến thiên

Suy ra tọa độ hai điểm cực ực trị là A(-1;8), B(2;-19).

ng thẳ thẳng AB là 9x + y + 1 = 0. Vậy phương trình đường

c tiểu của Bài 4. Cho hàm số y = x3 - 3x2 có đồ thị (C). Tìm các điểm cực đại, cực ng cách giữ giữa hai điểm cực trị đó. đồ thị (C)và khoảng Hiển thị đáp án Tập xác định D = R. Tính y'= 3x2-6x.

Cho y'= 0 ⇔ Bảng biến thiên

Vậy tọa độ hai điểm ểm ccực trị là A(-1;8),B(2;-19). Khi đó AB =

Bài 5. Tìm cực trị của hàm số y = x4/4 - x2 + 2

Hiển thị đáp án Tập xác định D = R. Tính y'= 2x3-2x.

Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔ Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại ại x = ±1, y = 3/2 và hàm số đạt cực đại tại ại x = 0, y = 2. Bài 6. Tìm cực trị của hàm số y = -x4 + 4x2 - 5 Hiển thị đáp án Tập xác định D = R. Tính y'= -4x3 + 8x.

Cho y'= 0 ⇔ -4x3 + 8x = 0⇔ Bảng biến thiên

ại x = 0, y = -5 và hàm số đạt cực đại tại ại x = ±√2, ± y = -1. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại Bài 7. Tìm cực trị của hàm số y = Hiển thị đáp án Tập xác định D = R\{-1}.

Tính y' =

Cho y' = 0⇔ x2 + 2x - 3 = 0 ⇔ Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại ại x = -3, y = -7 và đạt cực tiểu tạii x = 1, y = 1.

Bài 8. Tìm cực trị của hàm số y = x - 5 + 1/x Hiển thị đáp án Tập xác định D = R\{0}.

Tính

Cho y' = 0⇔x2 - 1 = 0 ⇔ Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại ại x = -1, y = -7 và đạt cực tiểu tạii x = 1, y = -3.

ủa hàm số Trắc nghiệm Tìm cực trị của Câu 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

mấy điểm cực trị? Đồ thị hàm số y = f(x) có mấ A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Hiển thị đáp án Đáp án : A Câu 2: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

ại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0. A. Hàm số đạt cực đại tại ại x = 2 và đạt cực đại x = 0. B. Hàm số đạt cực tiểu tại ại x = -2và cực tiểu tại x = 0. C. Hàm số đạt cực đại tại ại x = 0và cực tiểu tại x = -2. D. Hàm số đạt cực đại tại Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

y' = 3x2 - 6x = 0 ⇔

ực tiểu tiể tại x = 0 Lập bảng biến thiên ta được hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực Câu 3: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

ực trị trị. B. Hàm số chỉ có đúng 2 điểm cực ực trị. trị A. Hàm số có ba điểm cực ực trị. tr C. Hàm số không có cựcc trị. D. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

y' = 4x3 - 4x = 0 ⇔ y(0) = 3; y(1) = y(-1) = 2 nên hàm số có hai cực trị.

ực tiểu tiể của hàm Câu 4: Gọi M, n lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực số

. Khi đđó giá trị của biểu thức M2 - 2n bằng:

A. 8. B. 7. C. 9. D. 6. Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 và yCD = -3 Hàm số đạt cực tiểu tạii x = -1 và yCT = 1

⇒ M2 - 2n = 7 Phương pháp trắc nghiệm: ệm: Bấm máy tính: Bướcc

Bước 2: Giải phương trình bậc hai :

Bước 3: Nhập vào máy tính Caclx = A → C Caclx = B → D Bước 4: Tính C2 - 2D = 7

ây là đúng? đ Câu 5: Cho hàm số y = x3 + 17x2 - 24x + 8 . Kết luận nào sau đây A. xCD = 1. B. xCD = 2/3. Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

y' = 3x2 + 34x - 24 = 0 ⇔

C. xCD = -3.

D. xCD = -12.

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -12 .

úng? Câu 6: Cho hàm số y = 3x4 - 6x2 + 1 . Kết luận nào sau đây là đúng? A. yCD = -2. B. yCD = 1.

C. yCD = -1.

D. yCD = 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

y' = 12x3 - 12x = 0 ⇔ Hàm số đạt cực đại tạii x = 0 và yCD = 1 . Câu 7: Trong các hàm số sau, hàm số nào đạt cực đại tại x = 3/2 ?

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

Hàm số và y' đổi dấu từ "+" sang "-" khi x chạyy qua 3/2 nên hàm số đạt cực đại tại x = 3/2 .

Dùng casio kiểm tra:

thì hàm số đạt cực đại tạii 3/2 .

Câu 8: Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu? A. y = -10x4 - 5x2 + 7. B. y = -17x3 + 2x2 + x + 5.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Hàm số y = -10x4 - 5x2 + 7 có y' = -40x3 - 10x = 0 ⇔ x = 0 và y"(0) = -10 < 0 nên hàm số đạt cực đại tạii x = 0 . Câu 9: Cho hàm số

. Khẳng định nào sau đây là đúng

ực tr trị. B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 . A. Hàm số có hai điểm cực C. Hàm số đạt cực đạii x = 2 . D. Hàm số không có cực trị. Hiển thị đáp án

Đáp án : D Giải thích : TXĐ: D = (-∞;0]∪[2;+∞) .

⇔ x = 1(l) .

ực trị. tr y' không đổi dấu trên các khoảng xác định nên hàm số không có cực Câu 10: Cho hàm số y = x7 - x5 . Khẳng định nào sau đây là đúng

ểm cự cực trị. B. Hàm số có đúng 3 điểm cực ực trị tr . A. Hàm số có đúng 1 điểm đ ểm ccực trị. C. Hàm số có đúng hai điểm

m cực cự trị. D. Hàm số có đúng 4 điểm

Hiển thị đáp án Câu 11: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x+1)(x-2)2 (x-3)3 (x+5)4 . Hỏi hàm số

ực trị trị? y = f(x) có mấy điểm cực A. 2. B. 3. C.4. D. 5. Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : f'(x) đổi dấu khi x chạyy qua -1 và 3 nên hàm số có 2 điểm cực trị.

đ ể x_1,x_2 . Câu 12: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 6x . Hàm số đạt cực trị tạii hai điểm Khi đó giá trị của biểu thức S=x12 + x22 bằng: A. -10. B.-8. C.10. D. 8. Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích : D=R y' = -3x2 + 6x + 6

dấ khi x chạy Phương trình y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và y' đổi dấu trị tại x1,x2. qua x1,x2 nên hàm số đạt cực tr S = x12 + x22 = (x1 + x2 )2 - 2x1 x2 = 8

ệm: Phương pháp trắc nghiệm: Bước

1: Giảii

phương

trình

bậc

hai

: Bước 2: Tính A2 + B2 = 8 Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d Phương pháp giải Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại ạ x0. Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước.

điề kiện này ta Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0) = 0, từ điều tìm được giá trị củaa tham số . ng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trịị ,để xét xem giá Bước 2. Kiểm lại bằng thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không? trị của tham số vừa tìm được có th Ví dụ minh họa

thự Tìm tất cả Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 - 3mx2 +(m2 - 1)x + 2, m là tham số thực. các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.

Hướng dẫn Tập xác định D = R. Tính y'=3x2 - 6mx + m2 - 1; y'' = 6x - 6m. Hàm

số

đã

cho

đạt

cực

tiểu

tạii

⇒ ⇔ m = 1. Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để hàm số y = -x3 + (m+3)x2 - (m2 + 2m)x - 2 đạt cực đại tại x = 2. Hướng dẫn Tập xác định D = R. y' = -3x2 + 2(m + 3)x - (m2 + 2m)

; y'' = -6x + 2(m + 3).

tại x = 2 Hàm số đã cho đạt cực đại tạ

Kết luận : Giá trị m cần tìm là m = 0 ,m = 2. Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 - 2m - 1 đạt cực đại tại x = 1 . Hướng dẫn Tập xác định D = R. Ta có y' = 4x3 -4(m + 1)x.

+ Để hàm số đạt cực đại tại x = 1 cần y'(1) = 0 ⇔ 4 - 4(m + 1) = 0 ⇔ m = 0 + Với m = 0 ⇒ y' = 4x3 - 4x ⇒ y'(1) = 0. + Lại có y'' = 12x2 - 4 ⇒ y''(1) = 8 > 0. ⇒Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ m = 0 không thỏa mãn. Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 1. B. Bài tập vận dụng Bài 1. Cho hàm số: y = 1/3 x3 - mx2 +(m2 - m + 1)x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1 Hiển thị đáp án TXĐ: D = R Ta có: y' = x2 - 2mx + m2 - m + 1, y'' = 2x - 2m Điều kiện cần: y'(1) = 0 ⇔ m2 - 3m + 2 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = 2 Điều kiện đủ: Với m = 1 thì y''(1) = 0 ⇒ hàm số không thể có cực trị. Với m = 2 thì y''(1) = -2 < 0 ⇒ hàm số có cực đại tại x = 1 . Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. Bài 2. Cho hàm số y = 1/3 x3 + (m2 - m + 2) x2 + (3m2 + 1)x + m - 5. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 . Hiển thị đáp án ♦ Tập xác định: D = R ♦ Đạo hàm: y' = x2 + 2(m2 - m + 2)x + 3m2 + 1 Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 ⇒ y'(-2) = 0

Điều kiện đủ: Với m = 1, ta có: y' = x2 + 4x + 4, y' = 0 ⇔ x = -2

thỏa. Lậpp BBT ta suy ra m = 1 không th

Với m = 3, ta có: y' = x2 + 16x + 28, y' = 0 ⇔ Lập BBT ta thấy hàm số đạt ccực tiểu tại x = -2. ♦ Vậy giá trị m cần tìm là m = 3.ρ Bài 3. Cho hàm số y = 1/3 x3 - (m+1) x2 + (m2 + 2m)x + 1 (m là tham số). Tìm tất cả tham số thực m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Hiển thị đáp án Tập xác định D = R. Tính y' = x2 –2(m + 1)x + m2 + 2m; y'' = 2x – 2m - 2. Để 2

hàm

số

đã

cho

đạt

cực

tiểu u

tại tạ

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. Bài 4. Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y = (m-1)x4 - (m2 - 2) x2 + 2016 đạt cực tiểu tại x = -1.

Hiển thị đáp án Tập xác định D = R. Tính y' = 4(m - 1)x3 – 2(m2 - 2)x; y'' = 12(m - 1)x2 – 2m2 + 4.

Để hàm số đã cho đạt ccực đại tại x = -1

⇔

. Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. Bài 5. Tìm giá trị củaa tham số m để hàm số y = x3/3 +(2m - 1)x2 + (m - 9)x + 1 đạt cực tiểu tại x=2. Hiển thị đáp án Ta có : y' = x2 + 2(2m - 1)x + m - 9. Điều kiện cần để hàm số đạt ccực tiểu tại x = 2 là y'(2) = 0 ⇒ 4 + 4(2m - 1) + m - 9 = 0 ⇒ m = 1. Kiểm tra lạii . Ta có y'' = 2x + 2(2m - 1).

Khi m = 1 thì y'' = 2x + 2, suy ra y''(2) = 6 > 0. Do đó hàm số đạt cực ực tiểu ti tại x = 2 ại x = 2 ⇔ m = 1. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại

Bài 6. Tìm giá trị củaa tham ssố m để hàm số y = mx3 + 2(m - 1)x2 - (m + 2)x + m đạt cực tiểu tại x = 1 . Hiển thị đáp án Ta có: y' = 3mx2 + 4(m - 1)x - m - 2,y'' = 6mx + 4(m - 1) Hàm số đạt cực tiểu tạii x = 1 ⇒ y'(1) = 0 ⇔ 6m - 6 = 0 ⇔ m = 1 Khi đó y''(1) = 10m - 4 = 6 > 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Bài 7. Tìm giá trị củaa tham ssố m để hàm số tiểu tại x = 1.

đạt cực

Hiển thị đáp án Ta có: Cách 1: Vì hàm số có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ -m nên để hàm đạt cực c tiểu tại x 2 = 1 thì trước hết y'(1) = 1 - 1/((1 + m) ) = 0 ⇔ m = 0; m = -2.

ỏ yêu cầu bài * m = 0 ⇒ y''(1) = 1 > 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu ⇒m = 0 thỏa toán.

* m = -2 ⇒ y'(1) = -1 < 0 ⇒ x = 1 là điểm cực đại ⇒ m = -2 không thỏa yêu cầu bài toán. Cách 2: Bài toán khẳng định được y''(1) ≠ 0 nên ta có thể trình bày:

Hàm số đạt cực tiểu tạii x = 1 ⇔ Bài

8. Tìm

giá

tr trị

của

tham

số

để

hàm

đạt cực đại tại x = -1.

số Hiển thị đáp án Ta có

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 ⇒ y'(-1) = 0 ⇔ ⇔ m2 - m - 2 = 0 ⇔ m = -1, m = 2. • m = -1 ⇒ y''(-1) = -1 < 0 ⇒ x = -1 là điểm cực đại • m = 2 ⇒ y''(-1) = 2 > 0 ⇒ x = -1 là điểm cực tiểu. Vậy m = -1 là giá trị cần tìm. Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm Câu 1. Với giá trị nào của tham ssố m thì hàm số y = 2(m2 - 3)sinx - 2msin2x + 3m - 1 đạt cực đại tại x = π/3. A. Không tồn tại giá trị m.

B. m = 1.

D. m = -3, m = 1.

C. m = -3

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Tập xác định D = R. Tính y' = 2(m2 - 3)cosx - 4mcos2x; y'' =2(3 - m2 )sinx + 8msin2x.

ực đạ đại tại x = π/3 ta có Để hàm số đã cho đạt cực

Vậy m = -3 là giá trị cần tìm. Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x2 - mx2 + (2m - 3)x - 3 đạt cực đại tại x = 1. A. m = 3. B. m > 3. C. m ≤ 3. D. m < 3. Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : +

Để

hàm

ssố

đạt

cực

đại

1thì

ại x = π/2; x = π. Câu 3. Hàm số y = asin2x + bcos3x - 2x (0 < x < 2π) đạt cực trịị tại ức P = a + 3b - 3ab là: Khi đó, giá trị của biểu thức A. 3. B. -1. C. 1. D. -3.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : TXĐ: D = R + Ta có: y' = 2acos2x - 3bsin3x - 2. Hàm số đạt cực trị tại x = π/2; x = π nên ta có hệ phương trình:

ức P = a + 3b - 3ab = 1. Do đó, giá trị của biểu thức Câu 4. Hàm số y = x3 - 3x2 + mx - 2 đạt cực tiểu tại x = 2 khi? A. m > 0. B. m ≠ 0. C. m = 0. D. m < 0. Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : y' = 3x2 - 6x + m y''= 6x - 6 ) Hàm số đạt cực tiểu tạii x = 2 khi:

Câu 5. Biết đồ thị hàm số y = x3 - 2x2 + ax + b có điểm cực trị là A(1;3). Khi đó giá trị của 4a - b là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Ta có y' = 3x2 - 4x + a

ực tr trị là A(1;3), ta có: Đồ thị hàm số có điểm cực

Khi đó ta có, 4a - b = 1. Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số y = 1/3 x3 + (m2 - m + ực tiể tiểu tại x = -2. 2)x2 + (3m2 + 1)x đạt cực

B. m=3. C.m=1. D.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : y' = x2 + 2(m2 - m + 2)x + 3m2 + 1 y'' = 2x + 2(m2 - m + 2)) Hàm

số

đạt

ccực

tiểu

tạii

-2

khi: Câu 7. Cho hàm số y = 1/3 x3 - (m + 1)x2 + (m2 + 2m)x + 1 (m là tham số). Tìm tất cả tham số thực m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. A. m = 1. B. m = 0.

C. m = 2. D. m = 3.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Tập xác định D = R. Tính y' = x2 – 2(m + 1)x + m2 + 2m; y'' = 2x – 2m - 2. Để

hàm

số

đã

cho

đạt

cực

tiểu

tạii

⇒ Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

thực của tham số m để hàm số y = x4 + (m - 1)x2 + 3 đạt Câu 8. Tất cả các giá trịị thự cực tiểu tại x = 0 là: A. m ≥ 1. B.m ≤ 1 . C.m > 1. Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

D. m < 1.

Tập xác định D = R. Tính y' = 4x3 + 2(m - 1)x; y'' = 12x2 + 2(m - 1). Để

hàm

đã

số

cho

đạt

cực

tiểu

tạii

⇒ Với m = 1, phương trình trở thành y = x4 + 3 đạt cực tiểu tại x = 0 Vậy m ≥ 1 là giá trị cần tìm. Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 1/3 x3 - mx2 + (m + 1)x - 1 đạt cực đại tạii x = -2 ? A. Không tồn tại m.

B.-1 . C.2.

D. 3.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Tập xác định D = R. y' = x2 - 2mx + m + 1 y" = 2x - 2m Hàm

số

đạtt

ccực

đại

tại

-2

khi

: (không tồn tại m). Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = 1/3 x3 - 1/2 (3m+2)x2 + (2m2 + ại x = 3 và x = 5, ta được. 3m + 1)x - 4 đạt cực trịị tại A. m = 0.

B. m = 1.

C. m = 2.

D. m = 3.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Tập xác định D = R. Tính y' = x2 - (3m + 2)x + 2m2 + 3m + 1; y'' = 2x - (3m + 2).

ực trị tại x = 3;x = 5 thì Để hàm số đã cho đạt cực

y'(3) = 0 và y'(5) = 0 nên Thử lại m = 2 thỏa mãn Câu 11. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d. Nếu đồ thị hàm số có hai hai điểm cực trị là gốc tọa độ O và điểm A(2;-4) thì phương trình của hàm số là: A. y = -3x3 + x2. B. y = -3x3 + x.

C. y = x3 - 3x. D. y = x3 - 3x2.

Hiển thị đáp án Đáp án : D

ều kiện kiệ của a: Câu 12. Hàm số y = ax3 - ax2 + 1 có điểm cực tiểu x = 2/3 khi điều A. a = 0.

B. a > 0. C. a = 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Tập xác định D = R. Tính y'= 3ax2 - 2ax; y'' = 6ax - 2a.

D. a < 0.

Để

hàm

số

đã

cho

đạt

cực

tiểu

tạii

2/3

thì

cực trị của hàm số Dạng 3: Biện luận theo m sốố cự dụ A. Phương pháp giảii & Ví d Phương pháp giải

ậc ba 1. Cực trị của hàm số bậc Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0. y' = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; ∆'y' = b2 - 3ac Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị. ¬ Hàm số bậcc 3 không có ccực trị ⇔ b2 - 3ac ≤ 0 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

ực tr trị ⇔ b2 - 3ac > 0 ¬ Hàm số bậc 3 có 2 cực ậc b bốn trùng phương 2. Cực trị của hàm số bậc Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y' = 4ax3 + 2bx; y' = 0 ⇔

nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0. (C)có một điểm cựcc trị y' = 0 có 1 nghi nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0. (C)có ba điểm cực trịị y' = 0 có 3 nghi

Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu. ểu. Hướng dẫn y' = 3x2 + m. Hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y'= 0 có hai nghiệm phân biệt. Vậy m < 0. Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m - 2)x3 - mx - 2. Với giá trị nào củaa m thì hàm số có cực trị? Hướng dẫn Tập xác định D = R. Tính y' = 3(m - 2)x2 - m. Cho y' = 0 ⇔ 3(m - 2)x2 - m = 0 (1). + TH1: Xét m = 2 ⇒ y' = -2 < 0 ∀ x nên hàm số đã cho không có cực trị. + TH2: Xét m ≠ 2

Hàm số có cực trị khi ∆'> '> 0 ⇔ m(m - 2) > 0 ⇔ Vậy m > 2 ∨ m < 0.

nh các giá tr trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx4 - m2 x2 + Ví dụ 3: Xác định 2016 có 3 điểm cực trị? Hướng dẫn Tập xác định D = R. Tính y' = 4mx3 - 2xm2.

Để

hàm

số

có

điểm m

cực cự

trị

khi B. Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm m để hàm số y = mx3 + 3mx2 - (m - 1)x - 1 có cực trị. Hiển thị đáp án TXĐ: D = R Ta có: y' = 3mx2 + 6mx - m + 1. Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm ểm nên x0 là điểm cực trị của hàm số thì đạo hàm tại đó phải bằng 0. Vậy hàm số có cực trịị khi và chỉ khi y' = 0 phải có nghiệm và y' đổi dấu qua nghiệm đó. * Nếu m = 0 ⇒ y' = 1 > 0 ∀ x ∈ R ⇒ hàm số không có cự trị * Nếu m ≠ 0. Khi đó y' là một tam thức bậc hai nên y' = 0 có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm y' = 0 có hai nghiệm phân biệt hay ∆' = 12m2 - 3m > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > 1/4. Vậy, với m < 0 hoặcc m > 1/4 là những giá trị cần tìm.

tr Bài 2: Tìm m để hàm số y = x3 - 3(m - 1)x2 + 3(2m - 4)x + m có cực trị. Hiển thị đáp án Ta có: y' = 3[x2 - 2(m - 1)x + 2m - 4]

y' = 0 có hai nghiệm phân biệt Hàm số có cực trị đúng với mọi m. Vậy hàm số luôn có cực trị với mọi m.

∆' = m2 - 4m + 5 > 0

ủa tham ssố m để hàm số y = x3 + mx2 +(4m + 3)x + 2m - 1 Bài 3: Tìm điều kiện của có hai điểm cực trị. Hiển thị đáp án Tập xác định D = R.

y' = 0 có hai nghiệm Tính y' = 3x2 + 2mx + 4m + 3; Hàm số có hai cực trị thực phân biệt và đổi dấu ∆' > 0 ⇔ m2 - 12m - 9 > 0 (khi đó y' đổi dấu qua nghiệm) ⇔ m ∈(-∞;6-3√5)∪(6+3√5;+∞).

ủa m để hàm số y = x3 - 2mx + 4 không có điểm cực trị. Bài 4: Tìm các giá trị của Hiển thị đáp án nh D = R. * Tập xác định * Tính y' = 3x2 - 2m. * Hàm số không có điểm cực trị khi phương trình y' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x2 = 2m/3 ≤ 0 ⇔ m ≤ 0.

Bài 5: Tìm m để hàm số

có cực trị.

Hiển thị đáp án ại x = 1/2. Suy ra • Với m = 0 ta có y = -x2 + x - 1, ta thấy hàm số đạt cực đại tại m = 0 thỏa yêu cầu bài toán.

• m ≠ 0, ta có: Suy ra y' = 0 ⇔ mx2 - 2x + 1 - 2m = 0 (*)

Hàm số đã cho có cực trịị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

⇔2m2 - m + 1 > 0 đúng

khác 1/m ⇔ với mọi m. Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi m.

Bài 6:Tìm m để hàm số

có cực ự trị.

Hiển thị đáp án Ta có: Hàm số có cực đại, cựcc tiểu nghiệm phân biệt khác -m ⇔

phương trình x2 + 2mx + m2 - 2m + 3 = 0 có hai ⇔ m > 3/2.

Bài 7:Tìm m để hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 có ba cực trị Hiển thị đáp án Ta có y' = 4x3 + 12mx2 + 6(m + 1)x = 2x(2x2 + 6mx + 3(m + 1))

chỉ khi f(x) có hai nghiệm phân biệtt khác 0 Hàm số có ba cực trị khi và ch

ểu mà không có Bài 8:Tìm m để hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 có cực tiểu cực đại.

Hiển thị đáp án Ta có y' = 4x3 + 12mx2 + 6(m + 1)x = 2x(2x2 + 6mx + 3(m + 1))

chỉ khi f(x) có hai nghiệm phân biệtt khác 0 Hàm số có ba cực trị khi và ch

Hàm chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

cự trị và a > hàm số có 1 cực

0 Trắc nghiệm Biện luận n theo m ssố cực trị của hàm số

m cực cự trị thì giá trị Câu 1: Hàm số y = x4 + 2(m - 2)x2 + m2 - 2m + 3 có đúng 1 điểm của m là: A. m ≥ 2. B. m < 2. C. m > 2. D. m = 2. Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

+ Hàm trùng phương ng có 1 điểm cực trị khi ab ≥ 0 ⇔ m - 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ 2. Câu 2: Cho hàm số y = (m - 1)x3 - 3x2 - (m + 1)x + 3m2 - m + 2. Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì: A. m = 1. B. m ≠ 1. C. m > 1. D. m tùy ý. Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

+ khi

Hàm

số

có

ccực

đại, i,

cực cự

tiểu

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của mđể hàm số y = mx4 - (m + 1) x2 + 2m - 1 có 3 điểm cực trị ?

B.m < -1.

C.-1 < m < 0. D. m > -1.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : [Phương pháp tự luận]: y' = 4mx3 - 2(m + 1)x = 0

Hàm số có 3 điểm cực trị [Phương pháp trắcc nghiệm] : Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c có 3 cực trị khi và ức là : ab < 0 chỉ khi a và b trái dấu , tức

Suy ra : Câu 4: Tìm tất cả các giá tr trị thực của m để hàm số y = x3 - 2x2 + (m + 3)x - 1 không có cực trị? A. m ≥ -8/3. B. m > -5/3. C. m ≥ -5/3. D. m ≤ -8/3. Hiển thị đáp án

Đáp án : C Giải thích : [Phương pháp tự luận] y' = 3x2 - 4x + m + 3 Hàm

số

không

có

cực c

trị Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số:: y = 1/3 x3 + mx2 + (m tiểu . + 6)x + m có cực đại và cực ti

A. -2 < m < 3 . B.

D. -2 ≤ m ≤ 3.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : y' = x2 + 2mx + m + 6 Hàm số có cực đại và cực tiể tiểu

y' = 0 có hai nghiệm phân biệt.

thực của tham sốm để hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx Câu 6: Tìm tất các giá trịị thự - 6 có 2 cực trị ? A. m ∈ (-3; 1)\{-2}.

B. m ∈(-3; 1).

C. m ∈ (-∞;-3)∪(1; +∞). D. m ∈[-3; 1]. Hiển thị đáp án Đáp án : A

Giải thích : y' = 3(m + 2)x2 + 6x + m Hàm số có 2 cực trị

y' = 0 có hai nghiệm phân biệt.

ủa tham ssốmđể hàm số y = mx4 + (m - 1)x2 + m chỉ có Câu 7: Tìm các giá trị của đúng một cực trị.

A. 0 < m ≤ 1

D. 0 ≤ m ≤ 1.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Trường hợp 1: m = 0 Ta có hàm số: y = -x2, hàm số này có 1 cực trị. Vậy m = 0 thỏa mãn. Trường hợp 2: m ≠ 0 y' = 4mx3 + 2(m - 1)x

Hàm số có đúng 1 cực trị

Kết hợp TH1 và TH2, ta có:

thỏa mãn.

Câu 8: Tìm các giá trị của tham ssố m để hàm số y = mx4 + (m2 - 4m + 3)x2 + 2m 1 có ba điểm cực trị. A. m ∈(-∞; 0).

B. m ∈(0; 1)∪(3; +∞).

C. m ∈(-∞; 0)∪(1; 3).

D. m ∈(1; 3).

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : y' = 4mx3 + 2(m2 - 4m + 3)x số

Hàm trị

có

ccực

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = 1/3 x3 - mx2 + (2m 1)x - 3 có cực trị. A. m ≠ 1.

B. ∀ m .

C. m ≤ 1. D. m ≥ 1.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Ta có : y' = x2 - 2mx + 2m - 1

Hàm

số

có

cực ực

tr trị

có

nghiệm

phân

biệt

trị thực của tham số m để hàm sốy = mx4 + (m2 Câu 10: Tìm tất cả các giá tr 9)x2 + 10 có 3 điểm cực trị.

B. m < -3 . C. 0 < m ≤ 3. D.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

phươ tức m ≠ Để hàm số có ba cực trị thì trước hết hàm số phải là hàm số trùng phương 0.

Ta có :

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi : y' có 3 nghiệm phân biệt

Vậy các giá trị cần tìm của m là :

trị thực của tham số m để hàm số y = (m+1)x4 - mx2 + Câu 11: Tìm tất cả các giá tr 3/2 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại. A. m < -1. B. -1 ≤ m ≤ 0. C. m > 1. Hiển thị đáp án

D. -1 ≤ m < 0.

Đáp án : B Giải thích : Ta xét hai trường hợpp sau đây:

cự tiểu (x = 0) TH1: m + 1 = 0 ⇔ m = -1. Khi đó y = x2 + 3/2 ⇒ hàm số chỉ có cực mà không có cực đại ⇒ m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. phươ ta có : TH2: m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1. Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương

Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại từ âm sang ddương khi dấu

nghi và đổi y' có đúng một nghiệm x đii qua nghiệm

này Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có -1 ≤ m ≤ 0. Câu 12: Cho hàm số y = (m - 1)x4 - 3mx2 + 5 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu A. m ∈ (-∞; 0]∪[1;+∞). B. m ∈[0; 1]. C. m ∈ (0; 1).

D. m ∈(-∞; 0)∪(1; +∞).

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : [Phương pháp tự luận] y' = 4(m - 1)x3 - 6mx = 0 (*)

ở thành : y' = -6x = 0 hay x = 0 ,y'' = -6 < 0 TH1 : Nếu m = 1 , (*) trở

ực đạ đại tại x = 0 Vậy m = 1 hàm số đạt cực TH2 : Nếu m ≠ 1

Hàm

số

có

ccực

đại

màà

có

cực

tiểu Kết hợp 2 trường hợp : m ∈[0;1] Dạng 4: Bài toán liên quan đếến cực trị của hàm số

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d Phương pháp giải

ậc ba 1. Cực trị của hàm số bậc nghiệm phân biệt . Hàm số có cực trị y' = 0 có hai nghi Nếu hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d(a ≠ 0) có hai điểm cực trị x1,x2 và

ươ trình y = y = g(x).y^' + a.x + b thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương ax + b và giá trị cực trị là củủa hàm số là y1 = a.x1+b; y2 = a.x2 + b Tìm điều kiện cuả tham sốố để hàm số có cực trị thỏa mãn hệ thứcc cho trước - Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

dụng vi-et cho phương trình bậc hai. - Phân tích hệ thức để áp dụ ậc b bốn trùng phương 2. Cực trị của hàm số bậc Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0. (C)có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghi

m cự cực trị thì 3 điểm cực trị là 0; Khi đó hàm số có 3 điểm Tọa

độ

điểm m

cự cực

trị

tương

ứng

của

đồ

thị

ttại

có

hàm

số

là: Nhậnn

xét:

tam

giác

ABC

cân

Tam giác ABC vuông tại hoặc ∆ABC vuông cân tại A ⇔ BC2 = AB2 + AC2

Tam giác ABC đều hoặc ∆ABC đều ⇔ BC2 = AB2

∈Oy

;

Đặc

biệt: t:

Tam

giác

ABC

có

m mộtt

góc

bằng b

120°

tiếp tam giác ABC là Bán kính đường tròn ngoại ti Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là:

Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 - 3(m + 1)x2 + 9x - 2m2 + 1 (C). Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) có cực đại, ccực tiểu tại x1, x2 sao cho |x1 - xc | = 2 Hướng dẫn Ta có y' = 0 ⇔ x2 - 2(m + 1)x + 3 = 0. ĐK có 2 điểm cực trị ∆'' = (m + 1)2 - 3 > 0 Khi đó

Ví dụ 2. Cho hàm số (C). Tìm giá 2 trị của m để đồ thị hàm số (C) có ccực đại, cực tiểu tại x1,x2 sao cho x1 + x22 = 6 Hướng dẫn Ta có y' = x2 - mx + m2 - 3. Đ ĐK có 2 cực trị ∆ = m2 - 4(m2 - 3) = 12 - 3m2 > 0 Khi đó

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá tr trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm àm số y = x4 2mx2 + 2m4 - m có ba điểm ccực trị đều thuộc các trục tọa độ. Hướng dẫn Ta có y' = 4x3 - 4mx = 4x[x2 - m].

cực trị khi và chỉ khi: Hàm số đã cho có ba điểm cự

ủa đồ thị hàm số là: Khi đó ba điểm cực trị của A(0; 2m4 - m), B(-√m; 2m4 - m2 - m), C(√m; 2m4 - m2 - m) Có A

Oy.Khi đó ba điểm ccực trị đều thuộc các trục tọa độ

⇔ yB = 0 = yC ⇔ 2m4 - m2 - m = 0 ⇔ m = 1 B. Bài tập vận dụng

ủa m để hàm số Câu 1:Cho hàm số y = 4x3 + mx2 - 3x + 1. Tìm tất cả các giá trịị của có hai điểm cực trị x1,x2 thỏa x1 = -2x2 Hiển thị đáp án ĐK có 2 cực trị là: ∆' = m2 + 36 > 0 Ta có y' = 12x2 + 2mx - 3. Đ

Câu 2:Cho hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx - 5, m là tham số. Tìm các giá trị của ực ti tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số m để các điểm cực đại, cực dương. Hiển thị đáp án Các điểm cực đại, cực tiểu ểu củ của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương ⇔ PT y' = 3(m + 2)x2 + 6x + m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Câu 3:Cho hàm số y = x3 + (1 - 2m)x2 + (2 - m)x + m + 2 (1). Tìm các giá trị của ời hoành độ của m để đồ thị hàm số (1) có đđiểm cực đại, điểm cực tiểu , đồng thời điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. Hiển thị đáp án y' = 3x2 + 2(1 - 2m)x + 2 - m = g(x) YCBT ⇔ Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2thỏa mãn x1 < x2 < 1.

Câu 4:Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m - 2 (m là tham số)) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các đđiểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. Hiển thị đáp án f'(x) = 3x2 + 6x + m

chỉ khi:f'(x) = 0 có hai nghiệm m phân biệt Hàm số có hai cực trị khi và ch ⇔ ∆ = 9 - 3m > 0 ⇔ m < 3

ủa phương trình f'(x) = 0 ta có Giả sử x1, x2 là nghiệm của g(x1) = 2/3 (m - 3)(x1 + 1); g(x2) = 2/3 (m - 3)(x2 + 1) Hai

của

điểm

cực

trị

của

đồ

thị

hàm

số

nằm m

về

hai

phía

(g(x1). g(x2) < 0 ⇔ (m - 3)2 (x1 + 1)(x2 + 1) < 0⇔(m - 3)2 (x1 x2 + x1 + x2 + 1) < 0 ⇔(x1 x2 + x1 + x2 + 1) < 0 (m < 3) )

Vậy:(x1 x2 + x1 + x2 + 1) < 0 ⇔ m/3 - 1 < 0 ⇔ m < 3

ủa tham ssố m để đồ thị hàm số y = 2x3 + 3(m - 3)x2 + 11 Câu 5:Tìm các giá trị của thời hai điểm cực trị đó và điểmC(0; -1) thẳng hàng 3m có hai điểm cực trị. Đồng th . Hiển thị đáp án y' = 6x2 + 6(m - 3)x

Hàm số có 2 cực trị

m≠3

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A(0; 11 - 3m)

Phương trình đt AB : (3 - m)2 x + y - 11 + 3m = 0 A,B,C thẳng hàng Hay : -1 - 11 + 3m = 0 ⇔ m = 4. Câu 6:Tìm m để hàm số y = x4 - 2m2 x2 + 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân Hiển thị đáp án

y' = 4x(x2 - m2 ) = 0 có 3 nghiệm m phân biệt biệ Hàm số có 3 cực trị m ≠ 0, 4 4 m cực tr trị là A(0, 1);B(-m, 1 - m ), C(m, 1 - m ). Do y là khi đó đồ thị có 3 điểm ⇔ m = ±1

hàm chẵn nên YCBT

ng qua 2 điểm cực Câu 7:Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đường thẳng 3 trị của đồ thị hàm số:: y = x - 3mx + 2 cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại 2 điểm A,B mà diệnn tích tam giác IAB llớn nhất . Hiển thị đáp án y' = 3x2 - 3m

y' = 0 ⇔

Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi : m > 0

Khi đó tọa độ 2 điểm cực ực trị của đồ thị hàm số là: M(√m; -2m√m m + 2)

Phương trình đtt MN : 2mx + y - 2 = 0 ( Học sinh có thể dùng cách lấy y chia cho y')

Ta có : Dấuu khi

bằ bằng

xảy y

Câu 8:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đồ thị hàm số y = 2x3 - 3(m + m cự cực trị A, B sao cho đường thẳng AB vuông góc với 1)x2 + 6mx có hai điểm đường thẳng : y = x + 2.

Hiển thị đáp án Ta có : y = 6x2 - 6(m + 1)x + 6m

y' = 0 ⇔

điểm cực trị là : m ≠ 1 Điều kiện để hàm số có 2 điể Ta có : A(1; 3m - 1) B(m; -m3 + 3m2 ) Hệ số góc đt AB là : k = -(m - 1)2

thẳng y = x + 2 khi và chỉ khi k = -1 ⇔ Đt AB vuông góc với đường th Trắc nghiệm về cực trị hàm số Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m/3 x3 + 2x2 + mx ỏa mãn xCĐ < xCT. + 1 có 2 điểm cực trị thỏa A. m < 2. B.-2 < m < 0. C. -2 < m < 2. D. 0 < m < 2. Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : [Phương pháp tự luận] y' = mx2 + 4x + m

Câu 2: Tìm tất các giá trịị thự thực của tham số m để hàm số y = 1/3 x3 + (m + 3)x2 + ực tr trị tại x1,x2 thỏa mãn -1 < x1 < x2. 4(m + 3)x + m3 - m đạt cực

A. -7/2 < m < -2. B. -3 < m < 1.

D. -7/2 < m < -3.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : y' = x2 + 2(m + 3)x + 4(m + 3) Yêu cầu của bài toán ⇔ y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2.

Câu 3: Tìm các giá trị của ủa tham ssốmđể hàm số: y = 1/3 mx3 - (m - 1)x2 + 3(m 2)x + 1/6 đạt cực trị tại x1,x2_2 thỏa mãn x2 + 2x2 = 1.

6/2. A. 1 - √6/2 < m < 1 + √6/2.

C.m ∈(1 - √6/2; 1 + √6/2) \ {0}. D. m = 2. Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : y' = mx2 - 2(m - 1)x + 3(m - 2)

Yêu cầu của bài toán

y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn:

x1 + 2x2 = 1.

Câu 4: Tìm các giá trị của ủa tham ssốm để đồ thị hàm số: y = x4 -2m2x2 + 1 có ba ủa m một tam giác vuông cân. điểm cực trị là ba đỉnh của A. m = -1. B. m ≠ 0. C. m = 1. D. m = ±1. Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : y' = 4x3 - 4m2 x y' = 0 ⇔ 4x(x2 - m2) = 0) Hàm số có 3 điểm cực trị

m≠0

ủa đồ thị hàm số là : A(0; 1), B(m; 1 - m4 ), C(-m; 1 - m4 ) Khi đó 3 điểm cực trị của

ng, ta có ∆ABC cân tại đỉnh A . Do tính chất đối xứng, Vậy

∆ABC ABC

ch chỉ

có

thể

vuông

cân

tại t

đỉnh

thỏa mãn). Kết hợp điều kiệnn ta có: m = ±1 ( th ng công th thức b3/8a + 1 = 0. Lưu ý: có thể sử dụng ủa tham ssốm để đồ thị hàm số: y = x4 - 2(m + 1)x2 + m2 có Câu 5: Tìm các giá trị của nh củ của một tam giác vuông cân. ba điểm cực trị là ba đỉnh

A. Không tồn tại m.

B. m = 0. C.

D.m = -1.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : y' = 4x3 - 4(m + 1)x y' = 0 ⇔ 4x(x2 - m - 1) = 0 Hàm số có điểm 3 cực trị

m > -1

ủa đồ thị hàm số là : A(0; m2 ), B(-√(m + 1); -2m Khi đó 3 điểm cực trịị của 1),C(√(m + 1);-2m - 1) ng, ta có ∆ABC cân tại đỉnh A . Do tính chất đối xứng, Vậy ∆ABC chỉ có thể vuông cân ttại đỉnh

Kết hợp điều kiện ta có: m = 0 ( thỏa mãn). Lưu ý: Có thể làm theo cách khác: +) Cách 1: Gọi M là trung đđiểm của BC, tìm tọa độ điểm M, ∆ABC vuông tại đỉnh A thì 2AM = BC.

nh lý Pitago BC2 = AB2 + AC2 +) Cách 2: Sử dụng định

+) Cách 3:

ức b3/8a + 1 = 0 +) Hoặc sử dụng công thức ủa tham ssố m để đồ thị hàm số: y = x4 - 2mx2 + 2m + Câu 6: Tìm các giá trị của m4 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều.

A. Không tồn tại m.

C. m = ∛3.

D. m = ±√3.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : y' = 4x3 - 4mx y' = 0 ⇔ 4x(x2 - m) = 0 Hàm số có 3 cực trị

m>0

ủa đồ thị hàm số là : A(0; m4 + 2m),B(-√m; m4 - m2 + Khi đó 3 điểm cực trị của 2m),C(√m; m4 - m2 + 2m) ng, ta có ∆ABC cân tại đỉnh A . Do tính chất đối xứng,

∆ABC

Vậy

u đều

chỉ ch

cần Kết hợp điều kiệnn ta có: m = ∛3 ( thỏa mãn).

ng công th thức b3/8a + 3 = 0 ⇔(-2m)3/8 + 3 = 0 ⇔ m3 = 3 ⇔ m Lưu ý: có thể sử dụng = ∛3 Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 - 3mx2 + (m 1)x + 2có cực đại, cựcc tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương. A. 0 ≤ m ≤ 1. B. m ≥ 1. C. m ≥ 0. D. m > 1. Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Ta có y' = 3x2 - 6mx + m - 1.

ểu khi và chỉ khi PT y' = 0 có hai nghiệm ệm phân biệt bi Hàm số có cực đại, cực tiểu (đ ng với mọi Điều này tương đương ∆' = 9m2 - 3(m - 1) > 0 ⇔ 3m2 - m + 1 > 0 (đú m ). Hai

m điểm

cự cực

dương Vậy các giá trị cần tìm của m là m > 1.

trị

có

hoành ành

độ

àm số y = -x3 + Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm ại O ( với v O là gốc 3mx + 1 có 2 điểm cực trịị A,B sao cho tam giác OAB vuông ttại tọa độ ). A. m = 3/2. B. m = -1/2. C. m = 1.

D. m = 1/2.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Ta có y' = -3x 2 + 3m y' = 0 ⇔ x2 - m = 0(*) Đồ thị hàm số (1) có 2 điể điểm cực trị 0(**)

m phân biệt bi PT (*) có 2 nghiệm

Khi đó 2 điểm cực trị A(-√m; 1 - 2m√m) , B(√m; 1 + 2m√m)

Tam tại thỏa mãn). Vậy m = 1/2.

giác

OAB

vuông (

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 - 3(m + 1)x2 + 12mx - 3m + 4(C) có hai đđiểm cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với ng tâm. điểm C(-1;-9/2) lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng A. m = 1/2. B. m = -2.

C. m = 2. D. m = -1/2.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Ta có y' = 3x2 - 6(m + 1)x + 12m. Hàm số có hai cực trị phân biệt

y' = 0 có hai nghiệm

⇔ (m - 1)2 > 0 ⇔ m ≠ 1 (*). Khi đó hai điểm cực trị là A(2; 9m), B(2m; -4m3 + 12m2 - 3m + 4).

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 2/3 x3 - mx2 - 2(3m2 - 1)x + 2/3 có hai điểm cực trị có hoành độ x1 , x2 sao cho x1 x2 + 2(x1 + x2 ) = 1. A.m = 0. B.m = -2/3.

C. m = 2/3. D.m = -1/2.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Ta có : y' = 2x2 - 2mx - 2(3m2 - 1) = 2(x2 - mx - 3m2 + 1), g(x) = x2 - mx - 3m2 + 1 là tam thức bậc hai có ∆ = 13m2 - 4. Do đó hàm số có hai nghiệm phân biệt g(x) có hai nghiệm điểm cực trị khi và chỉ khi y' có hai nghi phân biệt

⇔∆>0⇔ x1,

x2 là

(1) các

nghiệm

ccủa

g(x)

nên

theo

nh định

lý

Vi-ét,

có Do đó x1 x2 + 2(x1 + x2 ) = 1 ⇔ -3m2 + 2m + 1 = 1 ⇔ -3m2 + 2m = 0

⇔ Đối chiếu với điều kiệnn (1), ta th thấy chỉ m = 2/3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 11: Gọi x1, x2 là hai đđiểm cực trị của hàm số y = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x trị của tham số thực m để : x12 + x22 - x1 x2 = 7 m3 + m . Tìm tất cả các giá tr A. m = ±√2. B. m = ±2. C.m = 0. D. m = ±1. Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : y' = 3x2 - 6mx + 3(m2 - 1)

ực trị vvới moi m Hàm số luôn luôn có cực

Theo định lí Viet : x12 + x22 - x1 x2 = 7 ⇔ (2m)2 - 3(m2 - 1) = 7 ⇔ m = ±2

Cách 2 : y’ = 0 ⇔ x2 - 2mx + (m2 - 1) = 0 ⇔ x12 + x22 - x1 x2 = 7 ⇔ (m + 1)2 + (m - 1)2 - (m - 1)(m + 1) = 7 ⇔ m = ±2.

tr của tham Câu 12: Cho hàm số y = x4 - 2(1 - m2 )x2 + m + 1 . Tìm tất cả các giá trị ực đạ đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị th hàm số lập số thực m để hàm số có cực lớn nhất . thành tam giác có diệnn tích lớ A. m = -1/2. B. m = 1/2.

C. m = 0. D. m =1.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : [Phương pháp tự luận] y' = 4x3 - 4(1 - m2 )x

y' = 0 ⇔ Hàm số có cực đại , cựcc tiểu khi và chỉ khi :|m| < 1 Tọa độ điểm cực trị A(0; m + 1)

ẳng BC : y + m4 - 2m2 - m = 0 Phương trình đường thẳng

d(A, BC) = m4 - 2m2 + 1 , BC = 2√(1 - m2 )

Vậy S đạt giá trị lớn nhất

m = 0.

Khi đó

Vậy S đạt giá trị lớn nhất

m = 0.

100 Bài tập Cực trị hàm số hay nh nhất có giải chi tiết (mức độ nhận n biết biế - Phần 1) Câu 1: Cho hàm số A. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là x = 2. B. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x = 2. C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là (2; 2/3). D. Điểm cực tiều của hàm số là (3; 1/2). Hiển thị đáp án - Tập xác định: D = R.

y' = x2 - 5x + 6; y' = 0 y'' = 2x - 5 và y''= 2x - 5

úng? . Tìm mệnh đề đúng?

Do y''(2) = - 1 < 0 nên x = 2 là điểm cực đại của hàm số.

Vì y''(3) = 1 > 0 nên x = 3 là điểm cực tiểu của hàm số. một điểm cực đại (2; 2/3), một điểm cực c tiểu (3; - Suy ra đồ thị hàm số đã cho có m 1/2) Suy ra chọn đáp án C. Câu 2: Tìm cực trị của hàm số A. x = 5

B. x = 4

C. (4;0)

D. Không có điểểm cực trị

Hiển thị đáp án - Tập xác định: D = R\{5}.

ực tr trị. Suy ra hàm số không có cực Suy ra chọn đáp án D. Câu 3: Hàm số y= -x3 + 3x2 + 1 đạt cực tiểu tại: A. x = 0

B. x = 2

C. Không có cực tiểu

D. Đ Đáp án khác

Hiển thị đáp án - TXĐ: D = R.

Ta có: y' = (-x3 + 3x2 + 1)' = -3x2 + 6x, y' = 0 ⇔ -3x(x - 2) = 0 Do y'' = -6x + 6 và y''(0) = 6 > 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vì y''(2) = -6 < 0 nên x = 2 là điểm cực đại của hàm số.

ng có th thể dùng bảng biến thiên để tìm cực đại, cực c tiểu của Nhận xét: Chúng ta cũng hàm số. - Bảng biến thiên hàm số: y = -x3 + 3x2 + 1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu Suy ra chọn đáp án A. Câu 4: Khẳng định nào sau đđây là sai: A.

có đạt cựcc tiểu ttại – 1.

không có cực trị.

ực tiể tiểu là 0. C. y = x4 + 6x2 + 2 đạt cực dấu trên TXĐ thì hàm không có cực trị. D. Nếu đạo hàm không đổi dấ Hiển thị đáp án Xét phương án

nên hàm số không có cực trị

Suy ra câu A sai. B. có đạo hàm: y'= x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 mọi x nên y là không có cực trị là câu chính xác. C. y' = 4x3 + 12x = 4x(x2 + 3); y' = 0 ⇔ x = 0

y'' = 12x2 + 12; y''(0) = 12 > 0 ⇒ x = 0 là điểm cực tiểu D. Đây là câu lí thuyết. Suy ra chọn đáp án A. Câu 5: Cực trị của hàm số

là:

A. xCD = 0, xCT = 1/3

B. xCD = 3, xCT = -3

C. xCD = 1/3, xCT = 0

D. Không có cực trị.

Hiển thị đáp án - TXĐP: D = R. Ta có:

y' = 3x - 9x2 = 3x(1 - 3x); y' = 0 y'' = 3 - 18x; y''(0) = 3 > 0; y'(1/3) = -3 < 0 ⇒ xCD = 1/3, xCT = 0 Kết luận: hàm số đạt cựcc trị vvới xCD = 1/3, xCT = 0 Suy ra chọn đáp án C.

trị Câu 6: Hàm số y = ax4 + bx2 + c với a ≠ 0 có tối đa bao nhiêu cực trị? A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = 4ax3 + 2bx là hàm bậc ba.

tố đa là 3. Phương trình bậcc 3: y' = 0 có ttối đa 3 nghiệm. Vậy số điểm cực trịị tối Suy ra chọn đáp án C.

bi thiên như Câu 7: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến sau:

Khẳng định nào sau đây ây là khẳng định đúng ?

ực tr trị. A. Hàm số có đúng một cực B. Hàm số có giá trị cựcc tiểu bbằng 1.

nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1. C. Hàm số có giá trị lớnn nhấ ại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1. D. Hàm số đạt cực đại tại Hiển thị đáp án ại x = 0 và đạo hàm đổi dấu từ dương ng sang âm khi x qua + Do hàm số xác định tại ực đạ đại tại x = 0 . x = 0 nên hàm số đạt cực

ại x = 1; y'(1) = 0 và đạo hàm đổi dấu từ ừ âm sang dương + Do hàm số xác định tại đạt cực tiểu tại x = 1 . khi x qua x = 1 nên hàm số đạ Suy ra chọn đáp án D.

bi thiên như Câu 8: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến sau:

Khẳng định nào sau đây ây là khẳng định đúng ?

ực tr trị. A. Hàm số có đúng một cực B. Hàm số có giá trị cực tiểu bbằng 1.

nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1. C. Hàm số có giá trị lớnn nhấ ại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1. D. Hàm số đạt cực đại tại Hiển thị đáp án ại x = 1, y'(1) = 0 và đạo hàm đổi dấu từ ừ âm sang dương + Do hàm số xác định tại khi x đi qua x = 1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; giá trị cực tiểu là y(1) = -1. + Tại x = 0 hàm số không xác định nên x= 0 không là điểm cựcc trị củ hàm số.

lớn nhất; giá trị nhỏ nhất. + Hàm số không có giá trị lớ Suy ra chọn đáp án A. Câu 9: Cho hàm số y = f(x) liên tục tại x0 và có bảng biến thiên

Khi đó hàm số đã cho có:

ột điể điểm cực tiểu. A. Hai điểm cực đại, một

i, không có điểm cực tiểu. B. Một điểm cực đại, điểm cực tiểu. C. Một điểm cực đại, hai điể ột điể điểm cực tiểu. D. Một điểm cực đại, một Hiển thị đáp án + Hàm số không có đạo hàm tại x0 nhưng hàm số vẫn liên tụcc tại x0 thì hàm số vẫn đạt cực trị tại x0. + Trong trường hợp này; hàm số đạt cực đại tại điểm x1 và đạt cực ực tiểu tiể tại x0. Do đó đáp án D đúng. Suy ra chọn đáp án D. Câu 10: Cho hàm số

với m là tham số thực.

có đồ thị (C) và bảng biến thiên sau:

Hàm số

đạt cực trị ít nhất tại một điểm mà điểm đó đ lớn hơn -1? Tìm m sao cho hàm số f(x) đạ

A. m > 2 C. m < -5/2

B. D. m > 5/2

Hiển thị đáp án Ta có: f'(x)= x2 + (4 - m)x + 5 - 2m Xét phương trình: f'(x) = x2 + (4 - m)x + 5 – 2m = 0 ⇒ x2 + 4x + 5 = m(x + 2)

cũng là hoành độ giao điểm của phương trình g(x) = m Ta có nghiệm củaa f'(x) = 0 cũ Khi đó từ bảng biến thiên, để hàm số đạt cực trị tại ít nhất tại 1 điểm mà điểm đó lớn hơn – 1 khi và chỉ khi m > 2. Suy ra chọn đáp án A.

ố điểm điể cực trị của Câu 11: Cho hàm số y = f(x) có f'(x) = x(x-1)2.(x + 1)3, hỏi số hàm số y = f(x). A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án

f'(x) = 0 ⇔ x(x-1)2.(x + 1)3 = 0 Do x = 1 là nghiệm kép nên không là điểm cực trị của hàm số. Do x = 0 là nghiệm đơnn nên là điểm cực trị của hàm số. Do x = -1 là nghiệm bội lẻẻ nên là điểm cực trị của hàm số. Vậy hàm số đã cho có 2 điểm ccực trị. Suy ra chọn đáp án B.

củ hàm số f'(x) Câu 12: Hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) trên khoảng K. Cho đồ thịị của trên khoảng K như sau:

Số điểm cực trị của hàm số f(x) trên K là: A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án ương trình f'(x) = 0 chỉ có một nghiệm đơn ơ (tại x = -1) Dựa vào đồ thị ta thấy phươ và hai nghiệm kép (tạii x = 0 và x = 2). Suy ra f'(x) chỉ đổi dấuu khi qua nghiệm đơn này. Do đó, hàm số f(x) có đúng một cực trị. Suy ra chọn đáp án A.

củ hàm số f'(x) Câu 13: Hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) trên khoảng K. Cho đồ thịị của trên khoảng K như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y= f(x) + 2018 trên K là:

A. 1

B. 2

C. 3

D.4

Hiển thị đáp án ấy phương trình f'(x) = 0 có ba nghiệm đơn (đồ thị hàm số + Dựa vào đồ thị ta thấy ấu khi qua nghiệm nghi y = f'(x) = 0 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt) nên y' đổi dấu đơn này. + Lạii có: y = f(x) + 2018 có y'= f'(x). Do đó suy ra hàm số y= f(x) + 2018 có ba điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án C.

củ hàm số f'(x) Câu 14: Hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) trên khoảng K. Cho đồ thịị của trên khoảng K như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y= f(x) + 2x trên K là: A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hiển thị đáp án Hàm số y= f(x) + 2x có đạo hàm y'= f'(x) + 2 Phương trình y’= 0 ⇔ f'(x) = -2 Số nghiệm của phương trình y' = 0 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f'(x) và đường thẳng y = - 2

ương trình y'= 0 có hai nghiệm và y' không đổi dấu khi Dựa vào đồ thị ta thấy phươ ực trị. tr qua các nghiệm này. Do đó suy ra hàm ssố y = f(x) + 2x không có cực Suy ra chọn đáp án A. Câu 15: Hàm số f(x) có đạ đạo hàm f’(x) trên R. Cho đồ thị của hàm số f’(x) như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y = f(x2) là: A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án Ta có: y = f(x2) nên y'= 2x. f'(x2)

Dấu y':

Do đó suy ra hàm số y= f(x2) có ba điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án C. Câu 16: Hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi đồ thịị hàm số có mấy điểm cực trị:

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Hiển thị đáp án Căn cứ vào sự đi lên đi xuống ccủa đồ thị ta thấy hàm số có 3 điểm m cực cự trị. Suy ra chọn đáp án A. Câu 17: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên R, hàm số y = f(x) đồ thị như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số y = |f(x)| là: A. 3

B. 4

C. 7

D. 0

Hiển thị đáp án Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta suy ra đồ thị hàm số y = |f(x) |.

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra hàm số y = |f(x)| có 7 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án C. Câu 18: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên R, hàm số y = f(x) đồ thị m cự cực trị của hàm số y = f(|x|) là: như hình vẽ sau. Số điểm

A. 0

B. 2

C. 4

D. 5

Hiển thị đáp án Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta suy ra đồ thị hàm số y = f(|x|).

Từ đồ thị hàm số y= f(|x|); suy ra hàm số có 5 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án D. Câu 19: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên R, hàm số y = f(x) có đồ đ ểm ccực trị của hàm số y = |2f(x) – 3| là: thị như hình vẽ sau. Số điểm

A. 3

B. 5

C. 7

D. 9

Hiển thị đáp án Từ đồ thị hàm số y= f(x) ta suy ra đồ thị hàm số y = |2f(x) - 3|

Suy ra đồ thị hàm số y = |2f(x) - 3| có 7 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án C. Câu 20: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên R, hàm số y = f(x) đồ thị như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số y = |[f(x)]2 - 1| là: A. 7 C. 11

B. 9 D. 13

Hiển thị đáp án Đặt u(x) = f2(x) – 1 Đạo hàm: u'(x) = 2f(x).f'(x)

Phương trình u'(x) = 0 có các nghiệm đơn.

Suy ra đồ thị hàm số y = |[f(x)]2 - 1|

Đồ thị hàm số y = |[f(x)]2 - 1| có 13 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án D. Câu 21: Hàm số của m nào dưới đây ? A. m = 0 C. m = -5/4

với m ≠ 0 đạt cực đại tại x = -4/5 với giá trị

B. m = -13/5 D. m = 2/3

Hiển thị đáp án tại x khi y'(x) = 0 và y''(x) < 0 Hàm số đạt giá trị cực đại tạ Ta có: y'(x) = m2.x2 – 2mx và y'' = 2m2x – 2m - Hàm số đạt cực đại tạii x = -4/5 khi

Suy ra chọn đáp án C. Câu 22: Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số y = x3 – 3x + 2 A. yCĐ = 4

B. yCĐ = 1

C. yCĐ = 0

D. yCĐ = -1

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y'= 3x2 – 3 Xét phương trình y' = 0 ⇔ 3x2 – 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1. Ta có y'' = 6x. Do y''(1)= 6 > 0 nên điểm x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số. Do y''(-1)= -6 < 0 nên điểm x = -1 là điểm cực đại của hàm số ⇒ Giá trị cực đại là: yCĐ = y(-1) = 4. Suy ra chọn đáp án A. Câu 23: Cho hàm số A. S = 2 C. S = 2√3

có 2 cực trị x1, x2. Tính S = x1 + x2.

B. S = -2 D. S = -2√3

Hiển thị đáp án TXĐ: D = R\{1}

Vậy S = x1 + x2 = 2. Suy ra chọn đáp án A. Câu 24: Tìm m để hàm số mãn x1.x2 + 2.(x1 + x2) = 1 A. m = 2/√3 B. m = 3/√2 C. m = 2/3 D. Đáp án khác

tr x1, x2 thỏa có 2 cực trị

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = 2x2 – 2mx – 2(3m2 - 1) Xét phương trình y' = 0 ⇔ x2 – mx – 3m2 + 1 = 0

ực trị Để hàm số có 2 điểm cực

⇔ ∆ = b2 - 4ac = 13m2 - 4 > 0

Khi đó: x1.x2 + 2(x1 + x2) = 1 ⇔ -3m2 + 1 + 2m = 1

ện đặ đặt ra. Vậy m = 2/3 thỏa điều kiện Suy ra chọn đáp án C. Câu 25: Cho hàm số y= -x4 + (5m - 1)x2 + 2. Hàm số đã cho có đúng 1 cực trị với giá trị nào của m sau đây ? A. m ≥ 1/5

B. m > 1/5

C. m < 1/5

D. m ≤ 1/5

Hiển thị đáp án

y' = -4x3 + 2(5m - 1)x; y' = 0

ực trị Để hàm số có đúng 1 cực Suy ra chọn đáp án D.

Câu 26: tiểu, cực đại A. 4 ≤ m ≤ 1

, với giá trị nào của m thì hàm số có cực B. -4 ≤ m ≤ 1

C. m < -4 hoặc m > 1

D. m ≤ -4 hoặc m ≥ 1

Hiển thị đáp án Đạo hàm: f'(x) = x2 + 2mx – 3m + 4 Xét phương trình: f'(x) = 0 hay x2 + 2mx – 3m + 4 =0

nghi phân Hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi f'(x) = 0 có 2 nghiệm biệt.

∆' = m2 + 3m - 4 > 0 Suy ra chọn đáp án C. Câu 27: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d với a ≠ 0 có 2 cực trị khi nào ? A. y' = 0 có nghiệm. B. y' = 0 có 2 nghiệm m phân bi biệt.

m trái dấ dấu. C. y' = 0 có 2 nghiệm D. Hàm số luôn có 2 cựcc trị. Hiển thị đáp án Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d với a ≠ 0 có đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c (*)

nghiệ phân biệt. Để hàm số đã cho có hai điểểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có 2 nghiệm Suy ra chọn đáp án B. Câu 28: Cho hàm số

úng? . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có giá trị cựcc tiểu là 0.

ực ti tiểu là -2/3 và -5/48. B. Hàm số có hai giá trịị cực C. Hàm số chỉ có một giá trị cực tiểu. D. Hàm số có giá trị cựcc tiểu là -2/3 và giá trị cực đại là -5/48. Hiển thị đáp án TXĐ: D = R và có đạo hàm y' = 4x3 – 2x2 – 2x = 2x(2x2 – x – 1)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có đáp án B. Suy ra chọn đáp án B.

ực đạ đại của hàm số y = x3 – 3x2 + 4 là: Câu 29: Tọa độ điểm cực A. (2;4) C. (0;- 4)

B. (2; 0) D. (0 ; 4)

Hiển thị đáp án Tập xác định: D= R. Đạo hàm y’= 3x2 – 6x Xét phương trình: y' = 0

; y'' = 6x - 6

Ta có: y''(0) = - 6 < 0 nên điểm cực đại của hàm số là x = 0 và yCĐ = 4. Do y''( 2) = 6 > 0 nên điểm x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số và yCT = 0 . Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là (0; 4) Suy ra chọn đáp án D. Câu 30: Cho hàm số y = x3 – 3x2 +1 (C). Đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 1) và ương trình là vuông góc với đường thẳng đđi qua hai điểm cực trị của (C) có phương A. y = - x C. y = 2x + 3

B. x - 4y + 5 = 0 D. x - 2y + 3 = 0

Hiển thị đáp án Cách 1: TXĐ: D = R. Đạo hàm y'= 3x2 – 6x

Ta có: y = 1/3. (x + 1).y' + (-2x + 1). Suy ra; đường thẳng đii qua 2 điểm cực trị là ∆: y = -2x + 1 Đường thẳng d vuông góc ∆ có dạng d: y = 1/2.x + b Do A(-1;1) ∈ d ⇒ 1 = -1/2 + b ⇒ b = 3/2. Vậy đường thẳng d cần tìm là y = 1/2.x + 3/2 hay d: x – 2y + 3 = 0 Cách 2: Ta có: y'= 3x2 - 6x

Tọa độ hai điểm cực trị: ị: B(0; 1) và C(2; -3)

ẳng BC là: Hệ số góc của đường thẳng ng thẳng ccần tìm kd = 1/2 ⇒ Hệ số góc của đường

điể cực trị nên (Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng tạo bởi hai điểm kBC. kd = -1) ẳng d: y = 1/2.(x + 1) + 1 ⇔ x – 2y + 3 = 0. Phương trình đường thẳng Suy ra chọn đáp án D.

ần lượt là y1; y2. Câu 31: Cho hàm số y = x3 – 3x có giá trị cực đại và cực tiểu lần Khi đó: A. y1 + y2 = 1

B. 2y1 – y2 = 4

C. 2y2 + y1 = 2

D. y1 - y2 = 4

Hiển thị đáp án Ta có: y' = 3x2 - 3 = 0

Do y'' = 6x; y''(1) = 6 > 0 nên điểm x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số Vì y''(-1)= -6 < 0 nên điểm x = -1 là điểm cực đại của hàm số. Suy ra y1 = y(-1) = 2; y2 = y(1) = -2 Vậy y1 – y2 = 4. Suy ra chọn đáp án D. Câu 32: Đồ thị của hàm số y = 3x4 – 4x3 – 6x2 + 12x + 1 đạt cực ực tiểu ti tại M(x1; y1). Tính tổng S = x1 + y1 A. 5

B. - 11

C. 7

D. 6

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = 12x3 – 12x2 – 12x + 12 y' = 0 ⇔ x3 - x2 - x + 1 = 0 ⇔ (x + 1)(x - 1)2 = 0

Lập bảng biến thiên, ta thu được điểm cực tiểu là M(-1; -10) Do đó tổng S = x1 + y1 = -11 Suy ra chọn đáp án B. Câu 33: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0; 4] có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại ại x = 4.

ại x = 1. B. Hàm số đạt cực tiểu tại ại x = 2. C. Hàm số đạt cực đại tại ại x = 3. D. Hàm số đạt cực tiểu tại Hiển thị đáp án Dựa vào đồ thị hàm số như hình vẽ thì hàm số đạt cực tiểu tạii x = 3 và đạt cực đại tại x = 1. Suy ra chọn đáp án D.

nhất có giải chi tiết (mức độ nhận n biết biế - Phần 2) 100 Bài tập Cực trị hàm số hay nh Câu 34: Cho hàm số yCT của hàm số trên. A. –5

B. 2

C. –4

D. -6

Tính tổng giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu

Hiển thị đáp án Tập xác định: D = R\{0}.

Có

Suy ra: yCĐ + yCT = -1 + (-5) = -6 . Suy ra chọn đáp án D.

ạn thẳng th nối hai Câu 35: Cho hàm số y = (x - 1).(x + 2)2. Trung điểm I của đoạn điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây? A. 2x + y + 4 = 0

B. 2x + y - 2 = 0

C. x + 2y + 1 = 0

D. x + y + 1 = 0

Hiển thị đáp án Ta có: y = (x - 1).(x + 2)2 = x3 + 3x2 - 4 Đạo hàm: y' = 3x2 + 6x và y'' = 6x + 6.

àm số chính là Đối với hàm bậcc ba, trung đđiểm của hai điểm cực trị của đồ thị hàm điểm uốn của đồ thị. Do đó, trung điểm I cần tìm có hoành độ xI thỏa mãn: 6xI + 6 = 0 ⇔ xI = - 1. ⇒ yI = -2

ng 2x + y + 4 = 0 Vậy điểm I cần tìm là (-1; -2). Dễ thấy điểm I thuộc đường thẳng Suy ra chọn đáp án A.

Câu 36: Cho hàm số

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại ại x = -3; đạt cực tiểu tại x = 1.

ại x = -3; đạt cực đại tại x = 1. B. Hàm số đạt cực tiểu tại

ại x = -3 và x = 1; đạt cực đại tại x = 0. C. Hàm số đạt cực tiểu tại ại x = -3 và x = 1; đạt cực tiểu tại x = 0. D. Hàm số đạt cực đại tại Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = x4 + 2x3 – 3x2 = x2(x2 + 2x – 3)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và đạt cực cự đại tại x = -3. Suy ra chọn đáp án A.

ủa hàm số y = x + sin2x trên (0; π) là: Câu 37: Giá trị cực đại của

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm y' = 1 + 2cos2x. Xét phương trình y' = 0 ⇔ 1 + 2cos2x = 0 ⇔ cos2x = -1/2

Do x ∈ (0; π) ⇒ x = π/3. Ta có bảng biến thiên

ại x = π/3 và giá trị cực đại của hàm số là Vậy hàm số đạt cực đại tại Suy ra chọn đáp án D.

ực trị tr là (-1; 18) Câu 38: Biết đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực và (3; -16). Tính a + b + c + d ? A. – 2 C. 1

B. -1 D. 2

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = 3ax2 + 2bx + c Xét phương trình: y’ = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (*)

đ ểm ccực trị nên (*) có 2 nghiệm phân biệt. Do đồ thị hàm số có 2 điểm Theo hệ thức Vi- et ta có:

Mà 2 điểm cực trị là (-1; 18) và (3; -16) thuộc đồ thị hàm số nên ta có: -a + b – c + d = 18 (3) và 27a + 9b + 3c + d = -16 ( 4). Giải hệ 4 phương trình (1); (2); (3); (4) ta có:

Suy ra a + b + c + d = 1. Suy ra chọn đáp án C.

ị tham số m Câu 39: Cho hàm số y= -x3 + (m + 1)x2 – (m2 + 2m - 3)x – 4, xác định để đồ thị hàm số y có 2 điểm ccực trị nằm về 2 phía của trục trung: A. m > 3

B. -3 < m < 1

C. -3 ≤ m ≤ 1

ọi giá tr trị m. D. Với mọi

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = -3x2 + 2(m + 1)x – (m2 + 2m - 3) (*)

cực trị nằm về hai phía so với trụcc tung khi và chỉ khi Để đồ thị hàm có hai điểm cự (*) có hai nghiệm trái dấu:

Suy ra chọn đáp án B.

ủa y = x + 1/x là giá trị nào sau đây ? Câu 40: Giá trị cực tiểu của A. - 1

B. 1

C. -2

D. 2

Hiển thị đáp án

Cách 1: Dùng bảng biếnn thiên.

Cách 2: Dùng y''

suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Vậy giá trị cực tiểu là y(1) = 2. Suy ra chọn đáp án D.

Câu 41: Tìm điều kiện của ủa m để hàm số y = 2x4 – 4(m + 5)x2 + m2 – 4 có 3 cực trị: A. m ∈ (-∞; -5)

B. m ∈ (-∞; -5]

C. m ∈ [5; +∞)

D. m ∈ (5; +∞)

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = 8x3 – 8(m + 5)x Xét phương trình y' = 0 ⇔ 8x[x2 – (m + 5)] = 0

Để hàm số đã cho có 3 điểm ccực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m + 5 > 0 hay m > -5. Suy ra chọn đáp án D.

thẳng đi qua 2 điểm cực trị (nếu u có) của củ hàm số y = Câu 42: Phương trình đường th 3 2 -x + 2x là đường thẳng nào ddưới đây:

Hiển thị đáp án 2

Đạo hàm: y' = -3x + 4x. Ta có: Giả sử hàm số đã cho có hai điểm cực trị x1; x2 khi đó đạo hàm tại ạ hai điểm đó bằng 0: y'(x1) = y'(x2) = 0.

ủa hàm số là y = Từ đó, suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trịị của 8x/9 Suy ra chọn đáp án A. Câu 43: Cho hàm số y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Hàm số có cực trị là (0; 1); (1; -1). Khi đó xác định hàm số f(x)? A. f(x) = x3 + 3x + 1 C. f(x) = -x3 + 3x

B. f(x) = x3 - 3x + 1 D. f(x) = 2x3 + 6x + 1

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = 3ax2 + 2bx + c Hàm số có 2 cực trị là (0; 1) và (1; -1) nên ta có hệ phương trình:

Vậy hàm số cần tìm là: y = x3 – 3x2 + 1 Suy ra chọn đáp án B.

Câu 44: Cho y = x.√(9 - x2). Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số?

Hiển thị đáp án

Đạo hàm

Dựa vào bảng biến thiên; đồ thị hàm số đạt cực đại tại Suy ra chọn đáp án A. Câu 45: Giả sử m là số cực ực tr trị của hàm y = ax3 + bx2 + 1 (a ≠ 0). Xét trên khoảng ng bao nhiêu ? (1; +∞), m có thể bằng A. m = 1

B. m = 1 hoặc m = 2

C. m = 0 hoặc m = 2

D. m = 1 hoặc m = 0

Hiển thị đáp án thu khoảng Ta sẽ tính đạo hàm và tìm cực trị của hàm số sau đó xét các cựcc trị thuộc (1; +∞) Đạo hàm: y'= 3ax2 + 2bx = x.(3ax + 2b)

Rõ ràng điểm 0 ∉ (1; +∞) còn -2a/3a có thể ∈ (1; +∞).

hoặc 1 cực trị trên khoảng (1; +∞). Vậy hàm số đã cho có thể có 0 ho Suy ra chọn đáp án D. Câu 46: Cho hàm số Tìm mệnh đề đúng?

Hiển thị đáp án - TXĐ: D = R

- Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận hàm số đạt cực tiểu tai x = 0 và x = 3 Suy ra chọn đáp án C.

Câu 47: Hàm số y = ax3 + ax2 - 4 đạt cực tiểu tại x = -2/3 thì a thỏa mãn điều kiện gì ? A. a > 0

B. a < 0

C. a = 0

D. a ≠ 0

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = 3ax2 + 2ax (*)

ực ti tiểu khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm m phân biệt: bi - Để hàm số có cực đại cực ⇔ ∆' > 0 ⇔ a ≠ 0 (1) - Hàm số có cực trị tại x = -2/3 nên:

- Kết hợpp (1), (2) suy ra a ≠ 0 Suy ra chọn đáp án D.

phương y = -2x4 + 4(2m2 + 1)x2 + 1, giá trị nhỏ nhất của Câu 48: Cho hàm trùng phươ yCĐ là bao nhiêu A. min = 1

B. min = 3

C. min = 0

D. min = 2

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = -8x3 + 8(2m2 + 1)x = -8x.[x2 – (2m2 + 1)].

ương có 3 ccực trị với hệ số a < 0 sẽ có 2 cực đại và 1 cực Nhận xét: Hàm trùng phương trị cực đại: tiểu. Từ đó ta xác định được giá tr yCD = -2(2m2 + 1)2 + 4(2m2 + 1)2 = 2(2m2 + 1)2 + 1

Vì 2m2 + 1 ≥ 1 nên 2(2m2 + 1)2 + 1 ≥ 2 + 1 = 3 Do đó min yCĐ = 3. Dấuu "=" xxảy ra khi m = 0 Suy ra chọn đáp án B. Câu 49: Định m để A. m = 1/4 C. m = 1

đạt cực tiểu tại x = -1

B. m = 1/2

D. Không có giá trị nào thỏa mãn

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y'= x2 + 4mx và y'' = 2x + 4m Để hàm đạt cực tiểu tạii x = -1

thỏa mãn. Vậy không có giá trị nào của m th Suy ra chọn đáp án D. Câu 50: Cho hàm số:

Xác định giá trị m để cực ực đạ đại và cực tiểu nằm trong khoảng (-3;4) A. m ∈ (-2; 5)

B. m ∈ (-2; 5)\{3}

C. m ∈ (-∞; 2)

D. m ∈ (3; 5)

Hiển thị đáp án tiểu; sau đó cho thuộc vào khoảng đề bài yêu cầu. Ta cần tìm cực đại và cực tiể Đạo hàm: y’ = x2 + (m- 1)x + m - 2

ểu khi và chỉ khi: Để hàm có cực đại, cực tiểu ∆ = (m - 1)2 - 4.1.(m - 2) > 0 ⇔ (m - 3)2 > 0 ⇔ m ≠ 3 (1)

ương trình y’ = 0 có 2 nghiệm là: Với điều kiện trên phương

Vì x1 đã thuộc (-3; 4) nên ta chỉ cần định điều kiện để x2 thuộc (-3; 4).

Để x2 thuộc (-3;4) ⇔ -3 < 2 - m < 4 5)\{3}

p (1) ta được m ∈ (-2; kết hợp

Suy ra chọn đáp án B. Câu 51: Đồ thị hàm số A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

có mấy điểm cực tiểu ?

Hiển thị đáp án TXĐ: D = [-3; 3]

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra hàm số không có cực tiểu Suy ra chọn đáp án A.

ng y = x3 + 3x2 – 3x + 1 có 2 điểm cực trịị A và B. Đường Câu 52: Đường thẳng thể là đường nào trong các đường thẳng ẳng dưới đây thẳng song song vớii AB có th A. 4x + y – 2 = 0

B. y = -4x + 3

C. 4x + 2y + 3 = 0

D. y = 1/4.x - 2

Hiển thị đáp án Tính đạo hàm, thực hiệnn phép chia y/y' ta được:

Vậy đường thẳng qua 2 điểm ccực trị là: y = -4x + 2

ng thẳng thẳ y = -4x + Ta thấy đường thẳng đii qua hai điểm cực trị song song với đường 3. Suy ra chọn đáp án B. Câu 53:Hàm số

tìm mệnh đề đúng?

A. Giá trị cực tiểu là 2√3 B. Giá trị cực đại là 2√3 C. Điểm cực tiểu có hoành độ là –2 D. Điểm cực đại có hoành độ là 2 Hiển thị đáp án - TXĐ: D= [-5; 1]

Xét phương trình y’= 0 - Bảng biến thiên

ực đại đạ là 2√3 Dựa vào bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại x = -2 và giá trị cực Suy ra chọn đáp án B. Câu 54: Hàm số y = x3 + mx + 201 có cả cực đại và cực tiểu khi. A. m < 0

B. m > 0

C. m ≥ 0

D. m ≤ 0

Hiển thị đáp án Đạo hàm y = 3x2 + m Hàm số y = x3 + mx + 201 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’ m phân biệt. = 0 có hai nghiệm Vậy m < 0. Suy ra chọn đáp án A. Câu 55: Cho hàm số y = (m - 2)x3 – mx + 10. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực trị? A. 0 < m < 2

B. m < 1

C. m > 2 hoặc m < 0.

D. m > 1

Hiển thị đáp án Tập xác định D = R. Đạo hàm y'= 3(m – 2).x2 – m. Xét phương trình: y' = 0 hay 3(m - 2)x2 – m = 0 (1) .

+ TH1: Xét m = 2 khi đóó y’= -2 < 0 mọi x nên hàm số đã cho không có cực trị. + TH2: Xét m ≠ 2

Hàm số có cực trị khi ∆'' > 0 ⇔ m(m - 2) > 0

ực trị thì m > 2 hoặc m < 0. Vậy để hàm số đã cho có cự Suy ra chọn đáp án C.

nh các giá tr trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx4 – m2x2 + Câu 56: Xác định 1995 có 3 điểm cực trị? A. m < 0 B. m > 0 C. ∀m ∈ R\{0} D. Không tồn tại giá trịị của ủa m. Hiển thị đáp án Tập xác định D = R. Đạo hàm y' = 4mx3 – 2xm2

ực trị khi Để hàm số có 3 điểm cực

Suy ra chọn đáp án B. Câu 57: Cho hàm số

(m là tham số).

Tìm tất cả tham số thựcc m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. A. m = 1

B. m = 0

C. m = 2

D. m = 3

Hiển thị đáp án Tập xác định D = R.

Đạo hàm: y' = x2 – 2(m + 1)x + m2 + 2m và y'' = 2x – 2m - 2

ực tiể tiểu tại x = 2 khi và chỉ khi: Để hàm số đã cho đạt cực

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. Suy ra chọn đáp án B. Câu 58: Với giá trị nào của tham ssố m thì hàm số y = 2(m2 – 3). sinx – 2msin2x + 3m – 1 đạt cực đại tại x = π/3. A. Không tồn tại giá trị m. C. m = - 3

B. m = 1

D. m = - 3; m = 1.

Hiển thị đáp án Tập xác định D = R. Đạo hàm y' = 2(m2 - 3).cosx – 4m.cos2x và y'' = 2(3 - m2).sinx + 8m.sin2x

ực đạ đại tại x = π/3 ta có Để hàm số đã cho đạt cực

Vậy m = - 3 là giá trị cần tìm. Suy ra chọn đáp án C. Câu 59: Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y = (m - 1)x4 – (m2 – 2)x2 + 201 đạt cực tiểu tại x = -1? A. m = - 2 C. m = 2

B. m = 1 D. m = 0

Hiển thị đáp án Tập xác định D= R. Đạo hàm: y' = 4(m - 1)x3 – 2(m2 – 2).x và y'' = 12(m - 1).x2 – 2m2 + 4.

ực đạ đại tại x = - 1 khi và chỉ khi: Để hàm số đã cho đạt cực

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. Suy ra chọn đáp án C. Câu 60: Cho hàm số

chọn phát biểu đúng:

ại x = 3. A. Hàm số đạt cực tiểu tại ại x = 1, x = 5. B. Hàm số đạt cực tiểu tại ại x = 1, x = 3, x = 5 C. Hàm số đạt cực trị tại D. Hàm số không có cựcc trị. Hiển thị đáp án - TXĐ: D = (-∞; 1] ∪ [5; +∞ ∞)

ực trị trị. Vậy hàm số không có cực Suy ra chọn đáp án D. Câu 61: Cho hàm số y = (x + 2)2.(x - 2)2, phát biểu nào sau đây ây là đúng ? A. Đồ thị có 1 cực đại và 2 cực tiểu B. Đồ thị có 1 cực tiểu và 2 cực đại C. Đồ thị có 1 cực đại

D. Đồ thị có 1 cực tiểu Hiển thị đáp án Ta có: y = (x + 2)2.(x - 2)2 = (x2 – 4)2 Hay y = x4 – 8x2 + 16 Đạo hàm: y'= 4x3 – 16x

Do phương trình y' = 0 có 3 nghiệm đơn và hệ số a > 0 nên hàm số đã cho có 1 cực đại và 2 cực tiểu. Suy ra chọn đáp án A. Câu 62: Cho hàm số y = 1/3.x3 + (m - 2)x2 - (2m + 3)x + 100, phát biểu nào sau đây là sai khi nói về đồ thịị hàm số y ?

cực tiểu ∀m. A. Hàm số luôn có cực đại cự cực tiểu ∀m \ {1} . B. Hàm số luôn có cực đại cự cực tiểu m ∈ (1; +∞). C. Hàm số luôn có cực đại cự cực tiểu m ∈ (-∞; 1). D. Hàm số luôn có cực đại cự Hiển thị đáp án Đạo hàm: y'= x2 + 2(m - 2)x – (2m + 3) - Hàm số có cực đại cựcc tiểu khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt: ⇔ ∆' = (m - 2)2 + (2m + 3) = m2 – 2m + 7 = (m + 1)2 + 6 > 0 ∀m. Suy ra phương trình y' = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu. Suy ra chọn đáp án A.

Câu 63: Biết rằng hàm số n + m bằng bao nhiêu ? A. 3

B. 4

C. 1

D. Đáp án khác

ng 11/4 tại x = 1, khi đó đạt cực trị bằng

Hiển thị đáp án - Đạo hàm: y' = x3 - mx

ằng 11/4 ttại x = 1 thì: - Để hàm số đạt cực tiểu bằng

Vậy n + m = 4. Suy ra chọn đáp án B. Câu 64: Cho hàm số y = 4sin2x + 102, hàm số đạt cực tiểu tại ại tập những nh điểm nào sau đây ?

Hiển thị đáp án

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại Suy ra chọn đáp án C.

ực trị tr của hàm số Câu 65: Cho hàm số có đạo hàm f'(x) = x2.(x - 1)2.(2x – 7). Số cực y = f(x) là giá trị nào dưới đđây? A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án - Hàm số đạt cực trị tạii x = x0 nếu đạo hàm tại điểm đó bằng 0 và y' của hàm số đổi dấu khi qua x0. - Xét phương trình

Phương trình y' = 0 có 3 nghiệm nhưng chỉ có x = 3/2 làm y’ đổi dấu. ấu. Vậy hàm số đã cho chỉ có 1 ccực trị. Suy ra chọn đáp án A.

m m để y = sin4x - 2m.cosx đạt cực tiểu tạii x = π/3 ? Câu 66: Xác định điểm

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = 4cos4x + 2m.sinx và y'' = -16sin4x + 2m.cosx

ực ti tiểu tại điểm có x = π/3 - Để hàm số đã cho đạt cực

Suy ra chọn đáp án B.

nhất có giải chi tiết (mức độ nhận n biết biế - Phần 3) 100 Bài tập Cực trị hàm số hay nh củ hàm số: Câu 67: Đường thẳng nào sau đây là đường thẳng đi qua 2 cực trịị của

B. y = 5 - 2x

A. y = 2x - 5 C. y = x + 8

D. y = 3 - x

Hiển thị đáp án Tính nhanh được Suy ra chọn đáp án B.

ểm cực c trị của đồ Câu 68: Cho hàm số y = x3 – 3x + 1995, khoảng cách giữa 2 điểm thị hàm số bằng bao nhiêu? A. 2

B. √10

C. 2√2

D. 2√5

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = 3x2 - 3

- Gọi A, B lần lượt là 2 điểm ccực trị của đồ thị hàm số ta được A(1; -1) và B(-1; 3) - Khoảng cách 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

Suy ra chọn đáp án D.

trị thực của tham số m để hàm số y = m/3.x3 + 2x2 + Câu 69: Tìm tất cả các giá tr thỏa mãn xCĐ < xCT. mx + 1 có 2 điểm cực trịị thỏ A. m < 2.

B. – 2 < m < 0.

C. -2 < m < 2.

D. 0 < m < 2.

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = mx2 + 4x + m

ực trị tr khi và chỉ Xét phương trình y’= mx2 + 4x + m = 0. Để hàm số có 2 điểm cực khi phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt và hệ số a = m > 0

Suy ra chọn đáp án D.

ủa tham ssố m để hàm số y = mx4 + (m2 – 4m + 3).x2 + m Câu 70: Tìm các giá trị của + 10 có ba điểm cực trị. A. m > 0

B. m > 3

C. m < 0 hoặc 1 < m < 3.

D. 1 < m < 3.

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y’ = 4mx3 + 2(m2 – 4m + 3)x

ương y = ax4 + bx2 + c có 3 điểm cực trịị khi và chỉ khi ab Nhận xét: hàm trùng phương < 0. Do đó để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và khi:

Suy ra chọn đáp án C. Câu 71: Hàm số nào sau đây có đúng hai điểm cực trị?

Hiển thị đáp án

Xét hàm số Có TXĐ là D = R\ {-1}. Đạo hàm: Xét phương trình y'= 0

Do y' đổi dấu khi x chạyy qua -2 và 0 nên hàm số đã cho có hai điểm cực cự trị. Suy ra chọn đáp án A.

trị của tham số m để hàm số y = x3 – mx2 + (2m - 3)x Câu 72: Tìm tất cả các giá tr 89 đạt cực đại tại x = 1 A. m < 3

B. m > 3

C. m ≤ 3

D. m ≥ 3

Hiển thị đáp án + Đạo hàm: y' = 3x2 – 2mx + 2m – 3 và y'' = 6x – 2m + Để hàm số đạt cực đạii x = 1 thì:

Suy ra chọn đáp án B.

c trị thì giá Câu 73: Hàm số y = x4 + 2(m - 2)x2 + m2 – 8x + 10 có đúng 1 điểm cực trị của m là: A. m ≥ 2

B. m < 2

C. m > 2

D. m ≤ 2

Hiển thị đáp án + Hàm trùng phương có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi:

ab > 0 ⇔ 1.2(m - 2) ≥ 0 ⇔ m ≥ 2 Suy ra chọn đáp án A. Câu 74: Cho hàm số y = x4 + mx3 – 2x2 – 3mx + 1. Xác định m để hàm số có hai cực tiểu:

Hiển thị đáp án - Đạo hàm: y' = 4x + 3mx – 4x – 3m = (x - 1).[4x2 + (4 + 3m)x + 3m] 3

Xét phương trình:

Để hàm số có hai cực tiểu ểu thì phương trình (1) có 2 nghiệm khác 1.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 75: Cho hàm số y = (m - 2)x3 – mx – 2. Tìm m để đồ thị hàm số không có cực đại và cực tiểu.

A. 0 < m < 2

B. 0 ≤ m ≤ 2

C. -2 ≤ m ≤ 0

D. Không có giá trị m thỏa yêu cầu

Hiển thị đáp án - Đạo hàm y' = 3(m - 2)x2 - m - Hàm số không có cựcc trị khi và chỉ khi phương trình y’=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. ⇒ ∆' = 3m(m - 2) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 Suy ra chọn đáp án B.

ến thiên Câu 76: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên và có bảng biến

ây là khẳng định đúng? Khẳng định nào sau đây ực trị trị. A. Hàm số có đúng 1 cực B. Hàm số có giá trị cựcc tiểu bbằng 1.

nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất là –1. C. Hàm số có giá trị lớnn nhấ D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = –1 Hiển thị đáp án A. sai vì hàm số có 2 cực ực trị (x = 0 cũng là 1 cực trị do hàm số liên tục tại x = 0 và y' đổi dấu qua nó).

ủa hàm số là –1 . B. sai vì giá trị cực tiểu của

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên R, 0 và – 1 chỉ là C. sai vì hàm số không có giá tr ực ti tiểu của hàm. giá trị cực đại và giá trị cực D. đúng Suy ra chọn đáp án D. Câu 77: Hàm số nào sau đây có cực trị? A. y = x3 + 19

B. y = x4 + 3x2 + 10

C. y = 5x + 10

Hiển thị đáp án A. Hàm số y = x3 + 19 có đạạo hàm y' = 3x2

ng biến trên R nên hàm số này không có cực trị. trị Suy ra hàm số này đồng phương nên luôn có cực ực trị . B. Hàm số y = x4 + 3x2 + 10 là hàm trùng ph ng án C và D, đây là hàm số bậc nhất và phân thức ứ hữu tỉ bậc Đối với phương ảng xác định của nhất/bậc nhất. Đây là 2 hàm số luôn đơn điệu trên từng khoảng chúng, do đó 2 hàm số này không có cực trị. Suy ra chọn đáp án B. Câu 78: Hàm số y = a.sin2x + b.cos3x – 2x (0 < x < 2π) đạt cực trịị tại tạ x = π/2; x = ểu thứ thức P = a + 3b - 3ab là: π. Khi đó giá trị của biểu A. 3

B. -1

C. 1

D. -3

Hiển thị đáp án TXĐ: D = R Ta có đạo hàm y' = 2a.cos2x - 3b.sin3x - 2. Hàm số đạt cực trị tại x = π/2; x = π nên ta có hệ phương trình:

ức P = a + 3b – 3ab = 1. Do đó, giá trị của biểu thức Suy ra chọn đáp án C. Câu 79: Hàm số y = x3 – 3x2 + mx - 2 đạt cực tiểu tại x = 2 khi? A. m > 0

B. m ≠ 0

C. m = 0

D. m < 0

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = 3x2 – 6x + m và y'' = 6x - 6 Hàm số đạt cực tiểu tạii x = 2 khi và chỉ khi:

Suy ra chọn đáp án C. Câu 80: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d. Nếu đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là gốc tọa độ và điểm A(-1; -1) thì hàm số có phương trình là: A. y = 2x3 – 3x2.

B. y = -2x3 – 3x2.

C. y = x3 + 3x2 + 3x.

D. y = x3 – 3x - 1.

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = 3ax2 + 2bx + c

m cực tr trị là gốc tọa độ O(0; 0), ta có: + Đồ thị hàm số có điểm

m cực tr trị là A(-1; -1), ta có: + Đồ thị hàm số có điểm

Vậy hàm số cần tìm là: y = -2x3 - 3x2. Suy ra chọn đáp án B. Câu 81: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có đúng 2 cực trị? A. y = x3 - 5x2 + 7

B. y = x4 + 3x2 + 7

D. y = 17x6 + 16x4

Hiển thị đáp án ậc 3 có y' = 3x2 – 10x. Phương trình y' = 0 có hai nghiệm + A. Đây là hàm số bậc phân biệt là x = 0 và x = 10/3. Do đó, hàm số có 2 cực trị. + B. Hàm số y = x4 + 3x2 + 2 có 1 cực trị. + C.

biến trên từng khoảng xác định củaa nó. Hàm số này Do đó, hàm số này đồng bi không có cực trị. + D. Có y' = 102x5 + 64x3. Xét y' = 0 ⇔ x = 0. Do đó hàm số này có đúng 1 cực trị Suy ra chọn đáp án A. Câu 82: Biết đồ thị hàm số y = x3 – 2x2 + ax + b có điểm cực trị là A(1; 3). Khi đó giá trị của a + 2b là: A. 7

B. 6

C. 3.

D. 4

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm: y' = 3x2 – 4x +a

ực tr trị là A(1; 3) ta có: Đồ thị hàm số có điểm cực

Khi đó ta có a + 2b = 7. Suy ra chọn đáp án A.

ực đại và giá trị Câu 83: Cho hàm số y = x3 – 3x2 - 2. Gọi a, b lần lượt là giá trị cực ó. Giá tr trị của a + 2b là: cực tiểu của hàm số đó. A. -6 C. -14

B. 8 D. -10

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = 3x2 – 6x

Ta có: a = y(0) = -2; b = y(2) = -6. Suy ra: a + 2b = -14. Suy ra chọn đáp án C.

trị thực của m để hàm số y = mx4 – (m + 1)x2 + 2m - 1 Câu 84: Tìm tất cả các giá tr có 3 điểm cực trị A. m < -1 hoặc m > 0. C. -1 < m < 0

B. m < -1.

D . m > -1.

Hiển thị đáp án [Phương pháp tự luận]: Đạo hàm y' = 4mx3 – 2(m + 1)x = 0

Hàm số có 3 điểm cực trị:

ệm]: [Phương pháp trắc nghiệm] Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c có 3 cực trị khi và chỉ khi a và b trái dấu hay ab < 0

Suy ra: Suy ra chọn đáp án A. Câu 85: Tìm m để hàm số y = 1/3.x3 + (m2 - m + 2)x2 + (3m2 + 1)x đạt cực tiểu tại x = -2.

A. C. m = 1

B. m = 3 D. m = - 3

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = x2 + 2(m2 – m + 2)x + 3m2 + 1 và y'' = 2x + 2.(m2 – m + 2) Hàm số đạt cực tiểu tạii x = -2 khi:

Suy ra chọn đáp án B.

ủa tham ssố m để hàm số y = mx4 + (m - 1)x2 + m chỉ có Câu 86: Tìm các giá trị của đúng một cực trị.

A. 0 < m < 1

D. 0 ≤ m ≤ 1

Hiển thị đáp án

* Trường hợp 1: Nếuu m = 0 Ta có hàm số y = -x2, hàm số này có 1 cực trị. Vậy m = 0 thỏa mãn. * Trường hợp 2: Nếu m ≠ 0 Đạo hàm: y' = 4mx3 + 2(m - 1)x Hàm số có đúng 1 cực trị

Kết hợp hai trường hợpp ta có:

thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án C.

n tích tam giác có Câu 87: Cho hàm số y = 1/4.x4 - 2x2 + 3 có đồ thị là (C). Diện các đỉnh là các điểm cựcc trị ccủa đồ thị (C) là: A. m = 8

B. m = 16

C. m = 2

D. m = 4

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm y' = x3 – 4x Xét phương trình y' = x3 – 4x = 0 Các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(-2; -1); B(0; 3) và C(2; -1). Các điểm cực trị tạo thành tam giác cân tại B. Có H(0; -1) là trung điểm của AC. Nên Suy ra chọn đáp án A.

trị thực của tham số m để hàm số y = mx4 + (m2 – Câu 88: Tìm tất cả các giá tr 9)x2 + 10 có 3 điểm cực trị. A. 0 < m < 3 hoặc m < - 3 C. 0 < m < 3

B. m < -3

D. -3 < m < 0

Hiển thị đáp án phươ nên m ≠ Để hàm số có ba cực trị thì trước hết hàm số phải là hàm số trùng phương 0. Ta có:

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Vậy các giá trị cần tìm của m là: Suy ra chọn đáp án A. Câu 89: Tìm tất cả các giá tr trị thực của tham số m để hàm số y = (m + 1)x4 – ểu mà không có cực đại. mx2 + 3/2 chỉ có cực tiểu A. m < -1 C. m > 1

B. -1 < m < 0 D. -1 ≤ m ≤ 0

Hiển thị đáp án Ta xét hai trường hợpp sau đây: * Trường hợp 1: nếuu m + 1 = 0 hay m = - 1.

chỉ có cực tiểu (x = 0) mà không có cực đại đạ Khi đó y = x2 + 3/2 hàm số ch ⇒ m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

ph ta có: * TH2: m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1. Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương

ột nghiệm nghi và đổi Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có ccực đại khi y' = 0 có đúng một ng khi x đđi qua nghiệm này dấu từ âm sang dương

Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có -1 ≤ m ≤ 0. Suy ra chọn đáp án D.

trị thực của tham số m để hàm số y = x3 – 3mx2 + (m Câu 90: Tìm tất cả các giá tr 1)x + 2 có cực đại, cựcc tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương. A. 0 ≤ m ≤ 1 C. m > 0

B. m ≥ 1

D. m > 1

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm y' = 3x2 – 6mx + m - 1.

ểu khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân Hàm số có cực đại, cực tiểu biệt (đ với mọi Điều này tương đương ∆' = 9m2 - 3(m - 1) > 0 ⇔ 3m2 - m + 1 > 0 (đúng m). Hai điểm cực trị có hoành độ dương

Vậy các giá trị cần tìm của m là m > 1. Suy ra chọn đáp án D.

Câu 91: Gọi x1, x2 là hai đđiểm cực trị của hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x m3 + m. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để: x12 + x22 - x1x2 = 7 A. m = √2 hoặc m = -√2 C. m = 0

B. m = 2 hoặc m = -2

D. m = 1 hoặc m = -1

Hiển thị đáp án Cách 1: Đạo hàm y' = 3x2 – 6mx + 3(m2 – 1). Xét phương trình y' = 0 có: ∆' = (3m)2 – 3.3(m2 – 1) = 9 > 0

ực tr trị với mọi m ⇒ Hàm số luôn luôn có cực

Theo định lí Viet : x12 + x22 - x1x2 = 7 ⇔ (2m)2 - 3(m2 - 1) = 7 ⇔ m = 2 hoặc m = -2. Cách 2: Xét y'= 0 ⇔ = 0 x2 - 2mx + (m2 - 1) = 0 x12 + x22 - x1x2 = 7 ⇔ (m + 1)2 + (m - 1)2 - (m - 1)(m + 1) = 7 ⇔ m = 2 hoặc m = 2. Suy ra chọn đáp án B. Câu 92: Cho hàm số y = (m - 1)x4 – 3mx2 + 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu

B. 0 ≤ m ≤ 1

C. 0 < m < 1. Hiển thị đáp án

D. m > 1

Ta có: y' = 4(m - 1)x3 – 6mx = 0 (*)

ở thành: y' = -6x = 0 hay x = 0, y''(0) = -6 < 0 * TH1: Nếu m = 1, (*) trở đạt cực đại tại x = 0 . Vậy với m = 1 thì hàm số đạ * TH2 : Nếu m ≠ 1

Hàm số có cực đại mà ko có cực tiểu

Kết hợp 2 trường hợp: m ∈ [0;1]. Suy ra chọn đáp án B.

trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x3 – 3(m Câu 93: Tìm tất cả các giá tr cực trị A, B sao cho đường thẳng ng AB vuông góc với v + 1)x2 + 6mx có hai điểm cự đường thẳng y = x + 19. A. m = -3 hoặc m = 2

B. m = -2 hoặc m = 3

C. m = 0 hoặc m = 2

D. m = 0 hoặc m = - 3

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm: y' = 6x2 – 6(m + 1)x + 6m Xét phương trình Điều kiện để hàm số có 2 đđiểm cực trị là phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt nên

ực tr trị là A(1; 3m - 1) và B(m; -m3 + 3m2) Khi đó tọa độ hai điểm cực ẳng AB là: k = -(m - 1)2 Hệ số góc của đường thẳng

ng AB vuông góc vvới đường thẳng y = x + 19 khi và chỉ khi k = -1 Đường thẳng

Suy ra chọn đáp án C.

tr thực Câu 94: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m- 6. Tìm tất cảả các giá trị ực trị cùng dấu . của m để hàm số có 2 cực

Hiển thị đáp án 2

Ta có: y' = 3x – 12x + 3(m + 2)x Phương trình y' = 0 ⇔ x2 – 4x + (m + 2) = 0 (*)

ực trị khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm m phân biệt: Để hàm số có 2 điểm cực ∆' = 4 - (m + 2) = 2 - m > 0 ⇔ m < 2

c: y = 1/3.y'(x - 2) + (m - 2)(2x + 1) Chia y cho y’ ta được: ng: A(x1; (m - 2).(2x1 + 1)) và B(x2; (m - 2)(2x2 + 1)) Điểm cực trị tương ứng: Có: y1y2 = (m – 2)2.[4x1x2 + 2 (x1 + x2) + 1] Với: nên: y1.y2 = (m - 2)2.(4m + 17) Hai cực trị cùng dấu khi và chỉ khi y1.y2 > 0 ⇔ (m - 2)2.(4m + 17) > 0

Kết hợp điều kiện ta được: Suy ra chọn đáp án D.

Câu 95: Tìm các giá trị của tham ssố m để đồ thị hàm số y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + ực đạ đại và điểm cực tiểu nằm trên đường ng thẳng có phương 6m(1 - 2m)x có điểm cực trình: y = -4x (d) . A. m = 1

B. m = 0 hoặc m = 1

C. m = 0

D. m = 1/2

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = 6x2 + 6(m – 1)x + 6m(1 - 2m) Xét phương trình y' = 0 ⇔ x2 + (m - 1)x + m(1 - 2m)(*)

đại , cực tiểu khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm nghiệ phân biệt: Để hàm số đã cho có cực đạ ⇔ ∆ = (m - 1)2 – 4m(1 - 2m) > 0 ⇔ 9m2 – 6m + 1 > 0 ⇔ m ≠ 1/3

ểm ccực trị là ∆: y = -(9m2 – 6m + 1)x + 2m3 - 3m2 + m Đường thẳng đi qua 2 điểm Để điểm cực đại và cựcc tiểu nnằm trên đường thẳng (d): y = -4x khi và chỉ khi hai đường thẳng d và ∆ trùng nhau:

Suy ra chọn đáp án A.

thực của m để đồ thị hàm số y = 1/3.x3 + (m - 2)x2 + (5m Câu 96: Tìm các giá trị thự tại hai điểm x1, x2 sao cho x1 < 2 < x2 ? + 4)x + 3m + 1 đạt cực trịị tạ A. m < 0

B. m > -1

C. m > 0

D. m < - 1

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm: y' = x2 + 2(m - 2)x + 5m + 4 Xét phương trình y' = 0 hay x2 + 2(m - 2)x + 5m + 4 = 0 (1)

trị khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm m phân biệt bi (2) Để hàm số đã cho có 2 cực tr

Theo hệ thức Vi-et ta có:

Để thỏa mãn điều kiện bài toán, ta cần có: (x2 - 2).(2 - x1) > 0 ⇔ 2(x1 + x2) – x1.x2 - 4 > 0 ⇔ 2.(-2).(m - 2) - (5m + 4) - 4 > 0 ⇔ -4m + 8 – 5m – 4 = - 9m + 4 > 0 Kết hợp với điều kiện (2) ta được m < 0. Suy ra chọn đáp án A. Câu 97: Tìm số nguyên m lớn nhất để hàm số y = 1/3.x3 - (m - 2)x2 + (4m - 8)x + m + 1 đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thỏa mãn x1 < -2 < x2 A. m = 0

B. m = - 1

C. m = 1

D. m = 2

Hiển thị đáp án Đạo hàm y’ = x2 – 2(m - 2)x + 4m – 8 (*)

bi Để hàm số đã cho có hai điểểm cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt

ương trình (*) có hai nghiệm phân biệtt theo hệ thức Vi-et ta Với điều kiện trên phương có:

Để x1 < -2 < x2 khi và chỉ khi x1 + 2 < 0 và x2 + 2 > 0 ⇔ (x1 + 2).(x2 + 2) < 0 ⇔ x1.x2 + 2(x1 + x2) + 4 < 0

⇔ 4m – 8 + 2.2(m - 2) + 4 < 0 ⇔ 8m – 12 < 0 ⇔ m < 3/2

trị m thỏa mãn là m < 3/2. Kết hợp với điều kiệnn (1); các giá tr ất thỏ thỏa mãn là m = 1. Vậy số nguyên m lớn nhất Suy ra chọn đáp án C.

ủa m để đồ thị hàm số sau đạt cực đại và cực tiểu và có Câu 98: Tìm các giá trị của lớn hơn m? hoành độ các điểm cực trịị lớ

A. m < - 2 C. m < 2

B. m > -1 D. m > 2

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = x2 + x + m

ại nh những điểm có hoành độ x> m khi và chỉ khi phương Để hàm số đạt cực trị tại trình y' = 0 Có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn m < x1 < x2

Suy ra chọn đáp án A.

thực của m để đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + mx – 1 có hai Câu 99: Tìm các giá trị thự điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 3 A. m = 1/2

B. m = -3/2

C. m = 3/2

D. m = 1

Hiển thị đáp án

Ta có y' = 3x2 - 6x + m (*)

bi Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt: ⇔ ∆ = (-6)2 – 4.3.m = 36 – 12m > 0 ⇔ m < 3 Với m < 3 thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 theo hệ thúc Viet ta có:

Theo giả thiết x12 + x22 = 3 ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1.x2 = 3 (thỏa mãn điều kiện ). Suy ra chọn đáp án C.

của m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 có 2 điểm Câu 100: Tìm các giá trị củ cực trị A và B sao cho AB = √20 A. m = 1 hoặc m = -1 C. m = 1 hoặc m = 2

B. m = 2 hoặc m = -2 D. m = 3 hoặc m = -3

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm: y'= 3x2 – 6mx

Xét phương trình

m phân biệt biệ ⇔ m ≠ 0 Để hàm số có hai cực trị thì phương trình y’=0 có hai nghiệm Khi đó đồ thị hàm số có hai đđiểm cực trị A(0; 4m3); B(2m; 0) Ta có: Để

⇔ 4m2 + 16m6 = 20 ⇔ m2 = 1 ⇔ m = 1 hoặc m = -1 Suy ra chọn đáp án A.

khoảng cách hai điểm cực trị của đồ thị th hàm số? Câu 101: Cho hàm số sau, tính kho

A. √5

B. 2√5

C. 3√5

D. 5

Hiển thị đáp án Ta có:

Xét phương trình:

Toạ độ 2 điểm cực trị là A (0; -m) và B(2; 4 - m)

ểm cự cực trị là: Khoảng cách giữa 2 điểm

Suy ra chọn đáp án B.

nhất có giải chi tiết (mức độ vận dụng ụng - Phần 1) 120 Bài tập Cực trị hàm số hay nh ng cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y = f'(x). Số S điểm Câu 1: Đường cực trị của hàm số y = f(x) là:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Hiển thị đáp án Ta thấy đồ thị hàm số f'(x) có 4 điểm chung với trục hoành x1, 0, x2, x3 nhưng dấu của f'(x) chỉ đổi dấuu khi x đi qua hai điểm 0 và x3. Bảng biến thiên:

Vậy hàm số y = f(x) có 2 điể điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án A. Câu 2: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(x2 - 3)

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Hiển thị đáp án Ta có g'(x) = 2x. f'(x2 – 3)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên và đđối chiếu với các đáp án suy ra ta chọn ọn B. Chú ý: Dấu của g’(x) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (2; +∞) • x ∈ (2; +∞) → x > 0 (1) • x ∈ (2; +∞) ⇒ x2 > 4 ⇒ x2 - 3 > 1 -theo do thi f'(x)→ f'(x2 - 3) (2) Từ (1) và (2) suy ra g'(x) = 2x.f'(x2 – 3) > 0 trên khoảng (2; +∞) nên g'(x) mang dấu “+”. Nhận thấy các nghiệm m x = 1 ho hoặc x = -1 và x = 0 là các nghiệm m bội bộ lẻ nên g'(x) u; các nghi nghiệm x = 2 hoặc x = -2 là nghiệm bội ội chẵn chẵ (lí do dựa qua nghiệm đổi dấu; ếp xúc vvới trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 nên vào đồ thị ta thấy f'(x) tiếp qua nghiệm không đổi dấu.

ấu của c y = f'(x) Câu 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu như sau

Hỏi hàm số g(x) = f(x2 - 2x) có bao nhiêu điểm cực tiểu ? A. 1

B. 2

C.3

D. 4

Hiển thị đáp án Ta có g'(x) = (2x - 2). f'(x2 – 2x)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án suy ra ta chọn ọn A. Câu 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và f(0) < 0 đồng thời đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f2(x) là A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án Dựa vào đồ thị, ta có:

Bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

ểm cự cực trị. Vậy hàm số g(x) có 3 điểm Suy ra chọn đáp án C.

củ hàm số y = Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thịị của 4 2 m cự cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. x + 2mx = 1 có ba điểm

Hiển thị đáp án Tập xác định: D = R.

y' = 4x3 + 4mx; y' = 0 ⇔ 4x3 + 4mx = 0

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt nghĩa là phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ -m > 0 hay m < 0. (loại đáp án C và D) Vậy tọa độ 3 điểm lần lượt là: A(0; 1), B(-√(-m), 1 - m2), C(√(-m), 1 - m2) Ta có AB→= (-√(-m), -m2); AC AC→= (√(-m), -m2)

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên : AB→ . AC→= 0 ⇔ -√(m2) + m2.m2 = 0 ⇔ -|m| + m4 = 0 ⇔ m + m4 = 0 Nên m = -1 (vì m < 0) Vậy với m = -1 thì hàm số có 3 ccực trị tạo thành mộtt tam giác vuông cân. Suy ra chọn đáp án B. Câu 6: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(x - 2017) - 2018x + 2019 là A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án Ta có: g'(x)= f'(x - 2017) – 2018

Xét phương trình: g'(x) = 0 hay f'(x - 2017) = 2018 Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) suy ra phương trình f'(x - 2017) = 2018 có 1 nghiệm đơn duy nhất. Suy ra hàm số g(x) có 1 điểm ccực trị. Suy ra chọn đáp án A.

Câu 7: Tìm tất cả các giá tr trị thực của tham số m để đồ thị của hàm àm số y = x4 – ạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. 2mx2 có ba điểm cực trịị tạo A. m > 0

B. m < 1

C. 0 < m < 3√4

D. 0 < m < 1

Hiển thị đáp án

Ta có: y' = 4x3 – 4mx = 4m(x2 – m) (*)

+ Để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 .

+ Xét y' = 0

b m2. Các điểm cực trị tạo thành tam giác cân có đáy bằng 2√m, đường cao bằng (như hình minh họa) Ta được S∆ABC = 1/2. AC.BD = √m.m2 Để tam giác có diệnn tích nhỏ hơn 1 thì: √m.m2 < 1 ⇔ m5 < 1 ⇔ 0 < m < 1 Suy ra chọn đáp án D. Câu 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình ớ đây ? vẽ bên dưới. Hỏi hàm số g(x) = f(x) + x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới

A. x = 0

B. x = 1

C. x = 2

D. Không có điểểm cực tiểu.

Hiển thị đáp án + Ta có đạo hàm: g'(x) = f'(x) + 1 Do đó g'(x)= 0 ⇔ f'(x) = -1

ể giữa đồ thị + Suy ra số nghiệm củaa phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm ng thẳ thẳng y = -1. của hàm số f'(x) và đường

Dựa vào đồ thị ta suy ra:

Lập bảng biến thiên cho hàm g(x) ta thấy g(x) đạt cực tiểu tại x = 1. Suy ra chọn đáp án B.

ủa hàm số y = x3 – Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị ccủa 3mx2 + 4m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.

Hiển thị đáp án 2

Đạo hàm y' = 3x – 6mx

Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị A(0, 4m3) và B(2m, 0) S∆ABC = 1/2.OA.OB = 4 ⇔ 1/2. |4m3.2m| = 4 ⇔ 4m4 = 4 ⇔ m = 1 hoặc m = -1. Suy ra chọn đáp án B. Câu 10: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới.

Hàm số g(x) = f(x) - x3/3 + x2 - x + 2 đạt cực đại tại A. x = -1 C. x = 1

B. x = 0 D. x = 2

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm: g'(x) = f'(x) – x2 + 2x - 1 Xét g'(x)= 0 ⇔ f'(x) – x2 + 2x - 1 = 0 ⇔ f'(x) = x2 – 2x + 1 = (x - 1)2

ểm giữa giữ đồ thị của Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm 2 hàm số f'(x) và parapol (P): y = (x - 1)

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại tại x = 1. Suy ra chọn đáp án C. Câu 11: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số g(x) = 2f(x) + x2 đạt cực tiểu tại điểm

A. x = -1 C. x = 1

B. x = 0 D. x = 2

Hiển thị đáp án Ta có g'(x) = 2f'(x) + 2x. Xét phương trình g'(x)=0 hay f'(x) = - x

ểm giữa giữ đồ thị của Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm ẳng y = - x hàm số f'(x) và đường thẳng

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực tiểu tại x = 0 . Suy ra chọn đáp án B. Câu 12: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = x8 + (m - 2)x5 – ểu tạ tại x = 0? (m2 – 4).x4 + 1 đạt cực tiểu A. 3

B. 5

C. 4

D. Vô số.

Hiển thị đáp án

Ta xét các trường hợp sau * Nếu m2 - 4 = 0 ⇒ m = 2 hoặc m = -2 • Khi m= 2 thì y' = 8x7. Suy ra: y' = 0 khi x = 0 là điểm cực tiểu. • Khi m = - 2 thì y'= x3(8x4 – 20).

Suy ra: y' = 0 Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 ( loại) * Nếu m2 - 4 ≠ 0 ⇒ m ≠ 2 hoặc m ≠ -2. Khi đó ta có: y'= 8x7 + 5(m - 2).x4 – 4(m2 – 4).x3 y' = x2[8x5 + 5(m - 2)x2 - 4(m2 - 4)x]

ố cực cự trị của hàm Số cực trị của hàm y = x8 + (m - 2)x5 - (m2 - 4)x4 + 1 bằng số g’(x) với:

ểu thì g''(0) > 0. Khi đó Nếu x = 0 là điểm cực tiểu -4(m2 - 4) > 0 ⇔ m2 - 4 < 0 ⇒ -2 < m < 2 ⇒ m = {-1; 0; 1} Vậy có 4 giá trị nguyên của m là {-1; 0; 1; 2}. Suy ra chọn đáp án C. Câu 13: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình m cực cự trị ? vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm ssố g(x) = f(x) + 3x có bao nhiểu điểm

A. 2

B. 3

C. 4

D. 7

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm g'(x)= f'(x) + 3 Xét phương trình g'(x) = 0 hay f'(x)= - 3

ểm giữa giữ đồ thị của Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm ẳng y = -3. hàm số f'(x) và đường thẳng

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Ta thấy x = -1, x = 0, x = 1 là các nghiệm đơn và x = 2 là nghiệm kép nên đồ thị hàm số g(x) = f(x) + 3x có 3 điểm cực trị tại các điểm x = -1, x = 0 và x = 1. Suy ra chọn đáp án B.

c trị tại x1, Câu 14: Cho hàm số sau. Tìm giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực x2 và thỏa mãn: x1 + 2x2 = 1.

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm: y'= mx2 – 2(m - 1)x + 3(m - 2)

ương đươ đương y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: Yêu cầu của bài toán tương x1 + 2x2 = 1

Câu 15: Cho hàm số bậc ậc bố bốn y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án Ta có:

Bảng xét dấu

Từ đó suy ra hàm số

có 1 điểm cực đại.

Chú ý: Cách xét dấu “-” hay “+” ccủa g'(x) để cho nhanh nhấtt ta lấy lấ một giá trị ang xét rồ rồi thay vào g'(x). x0 thuộc khoảng đang Chẳng hạn với khoảng (-1; -1 + √2) ta chọn

Vì dựa vào đồ thị ta thấy f'(√2) < 0 Suy ra chọn đáp án A. Câu 16: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = e2f(x)+1 + 5f(x) là A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án ệt. + Ta thấy đồ thị của hàm số f'(x) ccắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Suy ra hàm số f(x) có 3 điểm ccực trị. + Ta có: g'(x) = 2f'(x).e2f(x)+1 + f'(x).5f(x).ln5 = f'(x).(2e2f(x)+1 + 5f(x).ln5) + Vì 2e2f(x)+1 + 5f(x).ln5 > 0 với mọi x nên g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 0.

ủa hàm số g(x) bằng số điểm cực trị của hàm số f(x). Suy ra số điểm cực trị của ểm cự cực trị. Vậy hàm số g(x) có 3 điểm Suy ra chọn đáp án C. Câu 17: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới và f'(x) < 0 với mọi x ∈ (-∞; -3,4) ∪ (9; +∞). Đặt g(x) = f(x) - mx + 5. Có bao nhiêu ểm cực c trị ? giá trị nguyên dương của tham ssố m để hàm số g(x) có đúng hai đđiểm

A. 4

B. 7

C. 8

D. 9

Hiển thị đáp án Ta có: g'(x) = f'(x) - m. Xét phương trình: g'(x) = 0 hay f'(x) – m= 0 ⇔ f'(x) = m

úng hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình g'(x) = 0 có Để hàm số g(x) có đúng nghiệm bội lẻ phân biệt) hai nghiệm đơn ( hoặcc nghiệ

Suy ra chọn đáp án C. Câu 18: Tìm tất cả các giá tr trị thực của tham số m để đồ thị hàm àm số y = x4 – thỏa mãn BC = 4? 2mx2 + 1 có ba điểm cựcc trị A(0,1), B, C th A. m = 4 hoặc m = -4. C. m = 4.

B. m = √2.

D. m = √2 hoặc m = -√2.

Hiển thị đáp án Cách 1: + Ta có: y' = 4x3 - 4mx = 4x(x2 - m);

m cực tr trị khi và chỉ khi y' = 0 có ba nghiệm ệm phân biệt bi ⇔ m + Để hàm số có ba điểm >0 m cực tr trị của đồ thị hàm số là: + Suy ra tọa độ các điểm A(0;1), B(√m; 1 - m2) và C(-√m; 1 - m2)

√m = 2 ⇔ m = 4 (thỏa mãn). Để BC = 4 ⇔ 2√m = 4 ⇔ √ ức gi giải nhanh: Cách 2: Áp dụng công thức Điều kiện để có ba cực trị là ab < 0 ⇔ m > 0 Để độ dài BC = m0 khi và chỉ khi: am02 + 2b = 0 ⇔ 1.42 + 2.(-2m) = 0 ⇔ m = 4 Suy ra chọn đáp án C. Câu 19: Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m2 với m là tham số thực. thự Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông. A. m = -1

B. m = 0

C. m = 1

D. m = 2

Hiển thị đáp án Cách 1. * Ta có đạo hàm: y'= 4x3 – 4(m + 1)x = 4x(x2 - m - 1)

* Để hàm số có ba điểm cực ực tr trị khi và chỉ khi y' = 0 có ba nghiệm m phân biệt: bi ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > -1.

ực tr trị của đồ thị hàm số là: Suy ra tọa độ các điểm cực A(0; m2), B(√(m + 1); -2m - 1) và C(-√(m + 1); -2m - 1) Khi đó AB−= (√(m + 1); -2m - 1 - m2) và AC−= (-√(m + 1); -2m - 1 - m2) Để tam giác ABC vuông: AB− .AC−= 0

ức gi giải nhanh: Cách 2. Áp dụng công thức Điều kiện để có ba cực trịị ab < 0 hay m > -1

điều kiện là: 8a + b3 = 0 Để tam giác ABC vuông điề ⇔ 8.1 + [-2(m + 1)]3 = 0 ⇔ m = 0 Suy ra chọn đáp án B.

ực củ của tham số m sao cho đồ thị của hàm àm số y = x4 + Câu 20: Tìm giá trị thực 2mx2 + 1 có ba điểm cựcc trị ttạo thành tam giác vuông cân.

Hiển thị đáp án

Ta có:

* Để hàm số có ba điểm cực ực tr trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm m phân biệt bi khác 0 ⇔ -m > 0 hay m < 0

ực tr trị của đồ thị hàm số là: * Khi đó toạ độ ba điểm cực A(0;1), B(√(-m); -m2 + 1), C(-√(-m); -m2 + 1)

Ta có: AB = AC nên tam giác ABC cân tại A nên điều kiện để tam giác ABC vuông cân là:

Suy ra chọn đáp án B. Câu 21: Cho hàm số y = 3x4 + 2(m - 2018).x2 + 2017 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng 120o. A. m = - 2018 C. m = 2017

B. m = -2017

D. m = 2018

Hiển thị đáp án Cách 1. Ta có: y' = 12x3 + 4(m - 2018)x;

ực trị ⇔ 2018 - m > 0 ⇔ m < 2018. Để hàm số có ba điểm cực ực tr trị của đồ thị hàm số là: A(0; 2017) Khi đó, tọa độ các điểm cực

Do tam giác ABC cân tại A: AB = AC nên ∠BAC = 120o. Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA = AB2 + AB2 – 2.AB.AB.cos120o ⇔ BC2 = 3AB2

⇔ (m - 2018)3 = -1 ⇔ m = 2017 (thỏa mãn)

ức gi giải nhanh: Cách 2. Áp dụng công thức ị: ab < 0 hay m < 2018 Điều kiện để có ba cực trị: Áp dụng công thức giảii nhanh:

cực trị thuộc Oy) (với α = ∠BAC, A là điểm cự Ta được:

⇔ 3[2(m - 2018)]3 = -8.3 ⇔ m = 2017 thỏa mãn. Suy ra chọn đáp án C. Câu 22: Cho hàm số y = 1/4.x4 - (3m + 1)x2 + 2(m + 1) với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ. A. m = -2/3.

B. m = 2/3.

C. m = -2/3.

D. m = 1/3.

Hiển thị đáp án Cách 1. Ta có: y' = x3 - 2(3m + 1)x = x[x2 - 2(3m + 1)]

Để hàm số có ba điểm cực ực trị ⇔ 2(3m + 1) > 0 ⇔ m > -1/3. Khi đó đồ thị hàm số có ba đđiểm cực trị là: A(0; 2(m + 1))

ủa tam giác ABC là : Suy ra tọa độ trọng tâm của

Để G ≡ O ⇔ 2(m + 1) + 2(-9m2 - 4m + 1) = 0

Cách 2. Áp dụng công thức ức gi giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trịị ab < 0 ⇔ m > -1/3. Yêu cầu bài toán: G ≡ O ⇔ b2 - 6ac = 0 ⇔ (3m + 1)2 - 6.1/4.2(m + 1) = 0

Suy ra chọn đáp án D. Câu 23: Cho hàm số y = 9/8.x4 + 3(m - 3)x2 + 4m + 2017 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thịị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều.

A. m = -2 C. m = 3

B. m = 2 D. m = 2017

Hiển thị đáp án Cách 1. Ta có: y' = 9/2.x3 + 6(m - 3)x;

ực trị khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm m phân biệt biệ khác 0. Để hàm số có ba điểm cực ⇔ 4(m - 3) > 0 ⇔ m < 3

ực trị của đồ thị hàm số là: A(0; 4m + 2017) Khi đó tọa độ ba điểm cực

Do tam giác ABC cân tại A nên để tam giác ABC đều thì AB = BC hay AB2 = BC2

Cách 2. Áp dụng công thức ức gi giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trịị ab < 0 hay m < 3

m cự cực trị là tam giác đều khi và chỉ khi: Để tam giác tạo bởi điểm b3 = -24a hay 27(m - 3)3 = -27 ⇔ m = 2 Suy ra chọn đáp án B. Câu 24: Cho hàm số y = x4 – mx2 + m - 2 với m là tham số thực. ực. Tìm giá trị của điểm cực trị tạo thành mộtt tam giác có bán kính đường m để đồ thị hàm số có ba điể tròn nội tiếp bằng 1 A. m = -2

B. m = 1

C. m = 2

D. m = 4

Hiển thị đáp án Cách 1. Ta có: y' = 4x3 - 2mx = 2x(2x2 - m);

Để hàm số có ba điểm cực ực trị khi và chỉ khi m > 0.

ực trị của đồ thị hàm số là: A(0; m - 2) Khi đó tọa độ ba điểm cực

Suy ra:

Ta có:

Đặt Ta được phương trình:

Cách 2. Áp dụng công thức ức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị là ab < 0 hay m > 0. Yêu cầu bài toán:

Suy ra chọn đáp án D.

trị thực của tham số m để hàm số sau có cực cự đại và cực Câu 25: Tìm tất cả các giá tr tiểu.

A. m < 0

B. m = 0

C. m ∈ R

D. m > 0

Hiển thị đáp án Tập xác định: D = R \ {1}.

Đạo hàm Đặt g(x) = x2 – 2x – m + 1

ực tiểu khi và chỉ khi g(x) = 0 có hai nghiệm nghiệ phân biệt Để hàm số có cực đại và cự khác 1.

Suy ra chọn đáp án D. Câu 26: Tìm tất cả các giá tr trị thực của tham số m để hàm số sau đạt đạ cực đại tại x = 2.

A. m = -1 C. m = 1

B. m = -3 D. m = 3

Hiển thị đáp án TXĐ: D = R \ {-m}.

Đạo hàm Hàm số đạt cực đại tạii x = 2

Thử lại với m = -1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 2: không thỏa mãn. Thử lại với m = -3 thì hàm số đạt cực đại tại x = 2: thỏa mãn. Suy ra chọn đáp án B.

u của hàm số y = Câu 27: Gọi xCĐ, xCT lần lượt là điểm cực đại, điểm cực tiểu ]. Mệnh đề nào sau đây là đúng? sin2x- x trên đoạn [0; π]. A. xCD = π/6; xCT = 5π/6 C. xCD = π/6; xCT = π/3

B. xCD = 5π/6; xCT = π/6

D. xCD = π/3; xCT = 2π/3

Hiển thị đáp án ng (0;π). Câu 28: Tìm giá trị cực đại ccủa hàm số y = x + 2cosx trên khoảng

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = 1 - 2sinx và y'' = -2cosx. Xét trên khoảng (0;π), ta có

Do đó:

Vậy giá trị cực đại của hàm số là:

Suy ra chọn đáp án C. Câu 29: Biết rằng trên khoảng (0; 2π) hàm số y = a.sinx + b.cosx + x đạt cực trị tại x = π/3 và x = π. Tính tổng S = a + b A. S = 3

3/3 + 1 B. S = √3/3

C. S = √3 + 1

D. S = √3 - 1

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = a.cosx – b.sinx + 1. Hàm số đạt cực trị tại x = π/3 và x = π

nên

⇒ S = a + b = √3 + 1 Suy ra chọn đáp án C. Câu 30: Hàm số y = (x2 - 4)2(1 - 2x)3 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = 2.2x(x2 - 4)(1 - 2x)3 + (x2 - 4)2.3.(-2).(1 - 2x)2 = (1 - 2x)2(x2 - 4).[4x(1 - 2x) - 6(x2 - 4)] = -2(1 - 2x)2(x2 - 4)(7x2 - 2x - 12)

Phương trình y' = 0 có 4 nghiệm đơn nên hàm số có 4 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B.

nhất có giải chi tiết (mức độ vận dụng ụng - Phần 2) 120 Bài tập Cực trị hàm số hay nh Câu 31: Biết rằng hàm số f(x) có đạo hàm là f'(x) = x.(x - 1)2.(x - 2)3.(x - 3)5. Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểểm cực trị ? A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Hiển thị đáp án Ta có

nghiệm kép tại x = 1 (nghiệm kép thìì y' qua nghiệm không Tuy nhiên lại xuất hiệnn nghiệ đổi dấu) nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B. Câu 32: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Mệnh đề nào sau đây đúng úng ?

ực đạ đại tại điểm x = -1. A. Hàm số y = f(x) đạt cực ực tiể tiểu tại điểm x = 1. B. Hàm số y = f(x) đạt cực ực tiể tiểu tại điểm x = -2. C. Hàm số y = f(x) đạt cực

ực đạ đại tại điểm x = -2. D. Hàm số y = f(x) đạt cực Hiển thị đáp án nhận xét sau: Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x), ta có các nh • f'(x) đổi dấu từ “-” sang “+” khi đi qua điểm x = -2

ực trị và là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x). Suy ra x = - 2 là điểm cực • f'(x) không đổi dấu khi đi qua điểm x = -1, x = 1 Suy ra x = -1, x = 1 không là các điểm cực trị của hàm số y = f(x).

ực ti tiểu tại điểm x = -2 Vậy hàm số đã cho đạt cực Suy ra chọn đáp án C.

d ới Câu 33: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dư

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f(|x + m|) có 5 điểm cực trị ? A. 3

B. 4

C. 5

D. Vô số.

Hiển thị đáp án Từ đồ thị hàm số f'(x) ta thấ thấy f'(x) cắt trục hoành tại 2 điểm m có hoành độ dương (và 1 điểm có hoành độ âm) Suy ra: f(x) có 2 điểm cực trị dương

ểm cự cực trị ( gồm 2 điểm cực trị âm, 2 điểm ểm cực c trị dương ⇒ hàm số f(|x|) có 5 điểm và điểm x = 0).

n sang trái hay sang phải ph Suy ra: f(|x + m|) có 5 điểm ccực trị với mọi m (vì tịnh tiến điểm cực trị của hàm số). không ảnh hưởng đến sốố điể ớ rồi mới tịnh Chú ý: Đồ thị hàm số f(|x + m|) có được bằng cách lấy đối xứng trước tiến. ới lấy đối xứng. Đồ thị hàm số f(|x| + m) có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới Suy ra chọn đáp án D. Câu 34: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dư d ới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f(|x| + m) có 5 điểm cực trị ? A. 2

B. 3

C. 4

D. Vô số.

Hiển thị đáp án Từ đồ thị f'(x) ta có:

Suy ra bảng biến thiên của f(x)

ương (vì khi đó lấy Yêu cầu bài toán trở thành hàm số f(x + m) có 2 điểm cực trị dương ực trị). tr đối xứng qua Oy ta được đồ thị hàm số f(|x| + m) có đúng 5 điểm cực

Từ bảng biến thiên củaa f(x) suy ra f(x + m) luôn có 2 điểm cựcc trị dương ⇔ tịnh phải) phải thỏa mãn tiến f(x) (sang trái hoặcc sang ph • Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị nên m < 1. • Tịnh tiến sang phảii không vượt quá 2 đơn vị nên . Suy ra -2 ≤ m < 1 -m ∈ Z→ m ∈ {-2; -1; 0} Suy ra chọn đáp án B. Câu 35: Với giá trị nào của thì hàm số y = x4 – 2mx2 + 4 có 3 cực trị tr tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất?

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm: y' = 4x - 4mx 2

- Để hàm có 3 cực trị thì m > 0 (1) Gọi A(0;4), B(-√m; -m4 + 4), C(-√m; -m4 + 4) SABC = 1/2.d(A;BC).BC = 1/2.|yB - yA|.|xC - xB| = 1/2.m2.2√m + Ta có: và

Ta tìm min của R:

; BC = 2√m nên:

* Ta có:

Do đó: Dấu “=” xảy ra khi:

Suy ra chọn đáp án B. Câu 36: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1).(x - 1)2.(x - 2) + 1 với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f(x) - x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án Ta có g(x) = f(x) – x nên: g'(x) = f'(x) – 1 = (x + 1).(x - 1)2.(x - 2). g' = 0 ⇔ (x + 1).(x - 1)2.(x - 2) = 0

m kép nên hàm số Ta thấy x = -1 và x = 2 là các nghiệm đơn còn x = 1 là nghiệm g(x) có 2 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B. Câu 37: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x2 - 1).(4 - x) với mọi x∈ R. Hàm số g(x) = f(3 - x) có bao nhiêu điểm cực đại ? A. 0

B. 1

C. 2

D.3

Hiển thị đáp án Ta có: g'(x) = -f'(3 - x) = [(3 - x)2 - 1][4 - (3 - x)] = (2 - x)(4 - x)(x + 1); g'(x) = 0 ⇔ (2 - x)(4 - x)(x + 1) = 0

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) đạt cực đại tại x = 2. Suy ra chọn đáp án B.

Câu 38: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = x2.(x - 1).(x - 4)2 với mọi mọ x ∈ R. Hàm 2 số g(x) = f(x ) có bao nhiêu đđiểm cực trị ? A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Hiển thị đáp án Ta có g(x) = f(x2) nên g'(x) = 2xf'(x2) = 2x5(x2 - 1)(x2 - 4)2 g'(x) = 0 ⇔ 2x5(x2 - 1)(x2 - 4)2 = 0

m bội bộ lẻ) nên hàm Ta thấy x = 1, x = -1(là hai nghiệm đơn) và x = 0 (là các nghiệm số g(x) có 3 điểm cực trị. Tại x = 2 và x = -2 là nghiệm bội chẵn nên hai điểm này không là điểm cực trị của của hàm số. Vậy hàm số g(x) = f(x2) có ba điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B.

ọi x ∈ R. Hàm số Câu 39: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x2 - 2x với mọi 2 g(x) = f(x – 8x) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Hiển thị đáp án Ta có: g'(x) = 2(x - 4).f'(x2 - 8x) = 2(x - 4)[(x2 - 8x)2 - 2(x2 - 8x)]; g'(x) = 0 ⇔ 2(x - 4)[(x2 - 8x)2 - 2(x2 - 8x)] = 0

ặc x = 4 - 3√2, x = 0, x = 8 và x = 4 đều là các nghiệm đơn Ta thấy x = 4 + 3√2 hoặc ểm cự cực trị. nên hàm số g(x) có 5 điểm Suy ra chọn đáp án C. Câu 40: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 3 liên tục trên R và thỏa mãn f(x).f'''(x) = x(x - 1)2(x + 4)3 với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = [f'(x)]2 - 2f(x).f''(x) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1

B. 2

C. 3

D. 6

Hiển thị đáp án Ta có: g'(x) = 2f''(x).f'(x) - 2f'(x).f''(x) - 2f(x).f'''(x) = -2f(x).f'''(x); g'(x) = 0 ⇔ f(x).f'''(x) = 0 ⇔ x(x - 1)2(x + 4)3 = 0

chẵ nên hàm số Ta thấy x = 0 và x = -4 là các nghiệm đơn, x = 1 là nghiệm bộii chẵn ại x = 0 và x = -4. g(x) có 2 điểm cực trị tại Suy ra chọn đáp án B. Câu 41: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên R và thỏa mãn [f'(x)]2 + f(x).f''(x) = 15x4 + 12x với mọi x. Hàm số g(x) = f(x).f'(x) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án Ta có: g'(x) = [f'(x)]2 + f(x).f''(x) = 15x4 + 12x g'(x) = 0 ⇔ 15x4 + 12x = 0

Nhận thấy x = 0 và là các nghiệm bội lẻ nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B.

đạo hàm f'(x) = (x + 1)4.(x - 2)5.(x + 3)3 với mọi x. Số Câu 42: Cho hàm số f(x) có đạ điểm cực trị của hàm số g(x) = f(|x|) là A. 1

B. 3

C. 5

D. 7

Hiển thị đáp án Ta có: f'(x) = 0 ⇔ (x + 1)4(x - 2)5(x + 3)3 = 0

Do f'(x) chỉ đổi dấuu khi x đi qua x = -3 và x = 2.

ểm cự cực trị x = -3 và x = 2 trong đó chỉ có 1 điểm cực trị ⇒ hàm số f(x) có 2 điểm dương ⇒ hàm số f(|x|) có 3 điểm ểm cự cực trị (cụ thể là x = -2, x = 0, x = 2 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|). Suy ra chọn đáp án B. Câu 43: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1).(x - 2)4.(x2 – 4) với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(|x|) là A. 1

B. 3

C. 5

D. 7

Hiển thị đáp án * Ta có: f'(x) = 0 khi (x - 1).(x - 2)4.(x2 - 4) = 0

* Do f'(x) đổi dấu khi x đi qua các điểm điểm x = 1, x = 2 hoặcc x = -2 nên hàm số ng là x = 1 và x = 2. f(x) có 3 điểm cực trị nhưng chỉ có 2 điểm cực trị dương * suy ra: hàm số f(|x|) có 5 đđiểm cực trị (cụ thể là x = 2 hoặc x = -2; x = 1 hoặc x = ng củ của hàm số chẵn f(|x|)). -1; x = 0 do tính đối xứng

Suy ra chọn đáp án C. Câu 44: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x.(x + 2)4.(x2 + 4) với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(|x|) là A. 0

B. 1

C. 3

D. 5

Hiển thị đáp án Ta có f'(x) =0 khi và chỉ khi: x.(x + 2)4.(x2 + 4) = 0

* Do f'(x) chỉ đổi dấuu khi x đđi qua điểm x = 0 ∈ Oy

ểm cự cực trị x = 0 ∈ Oy Nên hàm số f(x) có 1 điểm điểm cực trị (cụ thể là x = 0 do tính đối xứng ứng của c hàm số Suy ra, hàm số f(|x|) có 1 điể chẵn f(|x|). Suy ra chọn đáp án B. Câu 45: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x2.(x + 1).(x2 + 2mx + 5) với mọi ểm cực c trị ? x. Có bao nhiêu số nguyên m > -10 để hàm số g(x) = f(|x|) có 5 đđiểm A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Hiển thị đáp án ng qua trụ trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f(|x|) nên yêu cầu bài Do tính chất đối xứng toán khi và chỉ khi f(x) có 2 đđiểm cực trị dương. (*) Xét:

nghiệm dương phân biệt : Do đó (*) xảyy ra khi (1) có hai nghi

-m > -10, m ∈ Z→ m ∈ {-9; -8; -7; -6; -5; -4; -3}. Suy ra chọn đáp án B. Câu 46: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)2(x2 + m2 - 3m - 4)3(x + 3)5 với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số g(x) = f(|x|) có 3 điểm cực trị ? A. 3

B. 4

C. 5

D.6

Hiển thị đáp án Xét f'(x) = 0

Để hàm số g(x) có ba điểm đ ểm ccực trị khi và chỉ khi hàm số f(x) có 1 điểm cực trị dương. Khi đó, (1) có hai nghiệm trái dấu nên: m2 - 3m - 4 < 0 ⇔ -1 < m < 4 -m ∈ Z→ m ∈ {0; 1; 2; 3} Suy ra chọn đáp án B. Câu 47: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)4.(x - m)5.(x + 3)3 với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-5, 5] để hàm số g(x) = f(|x|) có 3 điểm cực trị ? A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Hiển thị đáp án Xét f'(x) = 0

• Nếu m = -1 thì hàm số f(x) có hai điểm cực trị âm (x = -3, x = -1). Khi đó, hàm số f(|x|) chỉ có 1 cực trị là x = 0. Do đó m = -1 không thỏa yêu cầu đề bài.

ch có 1cực trị • Nếu m = -3 thì hàm số f(x) không có cực trị. Khi đó, hàm số f(|x|) chỉ là x = 0. Do đó m = -3 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Khi thì hàm số f(x) có hai điểm ểm cự cực trị là x = m và x = -3 < 0

ểm cự cực trị thì hàm số f(x) phải có hai điểm m cực cự trị trái dấu Để hàm số f(|x|) có 3 điểm ⇔ m > 0 -m ∈ Z, m ∈ [-5;5]→ m ∈ {1; 2; 3; 4; 5} Suy ra chọn đáp án C. Câu 48: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x2.(x + 1).(x2 + 2mx + 5) với mọi úng 1 điểm điể cực trị ? x. Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g(x) = f(|x|) có đúng A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Hiển thị đáp án Xét f'(x) = 0

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

Trường hợp 1. Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt:

Trường hợp này không có giá trị nguyên âm nào của m thỏa mãn. Trường hợp 2. Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆' = m2 - 5 ≤ 0 ⇔ -√5 ≤ m ≤ √5 -m ∈ Z-→ m ∈ {-2; -1} Suy ra chọn đáp án A. Câu 49: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)2.(x2 – 2x) với mọi x. Có dương của tham số m để hàm số g(x) = f(x2 - 8x + m) có bao nhiêu giá trị nguyên dươ 5 điểm cực trị ? A. 15

B. 16

C. 17

D. 18

Hiển thị đáp án

Xét f'(x) = 0 ⇔ (x - 1)2(x2 - 2x) = 0

Ta có: g'(x) = 2(x - 4).f'(x2 - 8x + m); g'(x) = 0 ⇔ 2(x - 4).f'(x2 - 8x + m) = 0

ươ trình (1), Yêu cầu bài toán trở thành g'(x) = 0 có 5 nghiệm bội lẻ hay mỗi phương m phân bi biệt khác 4. (*) (2) đều có hai nghiệm Xét đồ thị (C) của hàm số y = x2 – 8x và hai đường thẳng d1: y = -m, d2: y= -m + 2 (như hình vẽ). Khi đó (*) xảy ra khi d1, d2 cắt (C) tại bốn điểm phân biệt ⇔ -m > -16 ⇔ m < 16 Vậy có 15 giá trị m nguyên ddương thỏa mãn: {1, 2, 3, .., 15} Suy ra chọn đáp án A. Câu 50: Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị f(x) như hình vẽ bên dưới. cực đại tại Hàm số g(x) = f(x) - x đạt cự

A. x = - 1 C. x = 1

B. x = 0 D. x = 2

Hiển thị đáp án Ta có: g'(x) = f'(x) - 1; g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 1

ểm giữa giữ đồ thị của Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm ẳng y = 1. hàm số f'(x) và đường thẳng

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại tại x = -1 Suy ra chọn đáp án A. Câu 51: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số g(x) = f(cực đại ? x2 + 3x) có bao nhiêu điểm cự

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Hiển thị đáp án Ta có g'(x) = (-2x + 3).f'(x2 + 3x)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có 3 điềm cực đại. Suy ra chọn đáp án A. Câu 54: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Đồ thị của ủa hàm số g(x) = 2 m cự cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ? [f(x)] có bao nhiêu điểm

ểm cự cực tiểu. A. 1 điểm cực đại, 3 điểm ểm cự cực tiểu. B. 2 điểm cực đại, 2 điểm ểm cự cực tiểu. C. 2 điểm cực đại, 2 điểm ểm cự cực tiểu. D. 2 điểm cực đại, 2 điểm Hiển thị đáp án Dựa vào đồ thị ta có:

g'(x) = 2f'(x).f(x); g'(x) = 0 Ta có:

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g(x) có 2 điểm cực đại, 3 điểm ểm cực cự tiểu. Suy ra chọn đáp án C. Câu 55: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g(x) = f[f(x)] có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Hiển thị đáp án Dựa vào đồ thị ta thấyy f(x) đạ đạt cực trị tại x = 0, x = 2. Suy ra

Ta có: g'(x) = f'(x).f'[f(x)];

Dựa vào đồ thị suy ra: • Phương trình (1) có hai nghiệm x = 0 (nghiệm kép) và x = a (a > 2)

nghiệm x = b (b > a) • Phương trình (2) có một nghi Vậy phương trình g'(x) = 0 có 4 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. Suy ra hàm số g(x) = f[f(x)] có 4 đđiểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B. Câu 56: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên của hàm số g(x) = 2f(x) – 3f(x) dưới. Tìm số điểm cực trịị củ

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Hiển thị đáp án Ta có: g'(x) = f'(x)[2f(x).ln2 - 3f(x).ln3]; Dựa vào đồ thị ta thấy:

• có ba nghiệm bội lẻ phân bi biệt (vì đồ thị hàm số y = f(x) có 3 điểm ểm cực cự trị).

ương trình (2) vô nghiệm. • f(x) ≥ -1, ∀x ∈ R nên phươ Vậy hàm số g(x)= 2f(x) – 3f(x) có 3 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B. Câu 57: Để hàm số sau đạt ccực đại tại x = 2 thì m thuộc khoảng nào ?

A. (0; 2)

B. (-4; -2)

C. (-2; 0)

D. (2; 4)

Hiển thị đáp án • Tập xác định: D = R \ {-m}.

• Đạo hàm: • Hàm số đạt cực trị tạii x = 2 thì y'(2) = 0

• Với m = -3

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên m = -3 ta nhận. • Với m = -1

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 nên m = - 1 ta loại. Suy ra chọn đáp án B. Câu 58: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình bên. Đồ thị hàm số h(x) = |2f(x)- 3| có bao nhiêu điểm ccực trị ?

A. 4

B. 5

C. 7

D. 9

Hiển thị đáp án Xét g(x) = 2f(x) + 3 nên g'(x) = 2.f'(x) g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 0

Ta tính được:

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra

điểm cực trị. • Đồ thị hàm số g(x) có 4 điể

• Đồ thị hàm số g(x) cắtt trục Ox ttại 3 điểm phân biệt. Suy ra đồ thị hàm số h(x) = |2f(x) – 3| có 7 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án C. Câu 59: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số g(x) = f(|x cực trị ? - 2|) + 1 có bao nhiêu điểm cự

A. 2

B. 3

C. 5

D. 7

Hiển thị đáp án Đồ thị hàm số g(x) = f(|x - 2|) + 1 được suy ra từ đồ thị hàm số f(x) như sau:

ng qua Oy nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bư b ớc này bỏ Bước 1: Lấy đối xứng qua. Bước 2: Tịnh tiến đồ thịị ở bước 1 sang phải 2 đơn vị. Bước 3: Tịnh tiến đồ thịị ở bước 2 lên trên 1 đơn vị. Vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị nên ta không quan tâm đến ận xét Bước 1 ta thấy số điểm cực trị của ủa đồ thị hàm số bước 2 và bước 3. Từ nhận của đồ thị hàm số f(x) là 3 điểm cực trị. g(x) bằng số điểm cực trịị củ Suy ra chọn đáp án B.

ớ Câu 60: Cho hàm số y = f(x) có bbảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Hỏi hàm số g(x) = f(x2 + 1) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hiển thị đáp án Ta có g(x) = f(x2 + 1) nên g'(x) = 2x.f'(x2 + 1)

ất nghi nghiệm bội lẻ x = 0 nên hàm số g(x) có 1 điểm đ cực trị. Vậy g'(x) = 0 có duy nhất Suy ra chọn đáp án B.

nhất có giải chi tiết (mức độ vận dụng ụng - Phần 3) 120 Bài tập Cực trị hàm số hay nh Câu 61: Cho hàm số y = f(x) có bbảng biến thiên như sau:

Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(3 - x) A. 2

B. 3

C. 5

D. 6

Hiển thị đáp án Ta có g(x) = f(3 - x) nên g'(x) = -f'(3 - x)

• g'(x) = 0 ⇔ f'(3 - x) = 0

• g'(x) không xác định nh khi 3 - x = 1 hay x = 2 Bảng biến thiên

Vậy hàm số g(x) = f(3 - x) có 3 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B. Câu 62: Cho hàm số y = f(x) có bbảng biến thiên như sau:

ực trị tr ? Hỏi đồ thị hàm số g(x) = |f(x – 2017) + 2018| có bao nhiêu điểm cực A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Hiển thị đáp án ằng cách tịnh t tiến Đồ thị hàm số u( x) = f(x - 2017) + 2018 có được từ đồ thị f(x) bằng đồ thị f(x) sang phảii 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị. Suy ra bảng biến thiên của u(x)

ểm cực c trị (tại x Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g(x) = |u(x)| có 3 đđiểm = 0, x = 2016, x = 2020). Suy ra chọn đáp án B. Câu 63: Cho hàm bậcc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất T cả các giá trị thực của tham số m để hàm ssố g(x) = |f(x) + m| có 3 điểm cựcc trị là:

A. m ≤ -1 hoặc m ≥ 3

B. m ≤ -3 hoặc m ≥ 1

C. m = -1 hoặc m = 3

D. 1 ≤ m ≤ 3

Hiển thị đáp án của hàm số |f(x)| bằng A + B với: Nhận xét: Số điểm cực trịị củ • A là số điểm cực trị của hàm f(x). • B là số giao điểm củaa f(x) vvới trục hoành (không tính các điểm trùng với A ở trên) Áp dụng: Vì hàm f(x) đã cho có 2 điểm cực trị nên f(x) + m cũng ng luôn có 2 điểm cực trị.

vớ trục hoành Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) + m với là 1. Để số giao điểm của đồ thịị f(x) + m vvới trục hoành là 1, ta cần

ống dưới tối thiểu 1 đơn vị nên m ≤ -1 • Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống • Hoặc tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên tối thiểu 3 đơn vị nên m ≥ 3 Vậy m ≤ -1 hoặc m ≥ 3 Suy ra chọn đáp án A.

ớ Câu 64: Cho hàm số y = f(x) có bbảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Đồ thị hàm số g(x) = |f(x) – 2m| có 5 điểm cực trị khi A. m ∈ (4; 11) C. m ∈ (2; 11/2)

B. m ∈ [2; 11/2]

D. m = 3

Hiển thị đáp án ng luôn có 2 điểm đ cực trị. Vì hàm số f(x) đã cho có 2 đđiểm cực trị nên f(x) - 2m cũng Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) - 2m với trục hoành là 3. Để số giao điểm của đồ thị f(x) – 2m với trục hoành là 3, ta cần tịnh tị tiến đồ thị đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 11 đơn vị nên: f(x) xuống dưới lớn hơnn 4 đơ

Suy ra chọn đáp án C. Câu 65: Tổng các giá trịị nguyên của tham số m để hàm số sau có 5 điểm cực trị bằng:

A. -2016

B. -496

C. 1952

D. 2016

Hiển thị đáp án * Vẽ đồ thị hàm số f(x) = x3 – 3x2 – 9x - 5 như hình bên dưới

ng luôn có 2 điểm cực * Ta thấy hàm số f(x) có 2 đđiểm cực trị nên f(x) + m/2 cũng trị. Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) + m/2 với v trục hoành là 3.

tị tiến đồ thị Để số giao điểm của đồ thị f(x) + m/2 vvới trục hoành là 3, ta cần tịnh f(x) lên trên nhưng phảii nhỏ hơn 32 đơn vị nên: 0 < m/2 < 32 ⇔ 0 < m < 64 -m ∈ Z→ m ∈ {1; 2; 3;...; 63}

ủa m th thỏa mãn là: Do đó, tổng các giá trị của 1 + 2 + 3 + ... + 63 = [(1 + 63).63]/2 = 2016 Suy ra chọn đáp án D.

ậc bố bốn y = f(x) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới: Câu 66: Cho hàm số bậc

ực trị. tr Tìm tất cả các giá trị củaa m để hàm số g(x) = |f(x) - m| có 5 điểm cực A. -2 < m < 2

C. m ≥ 2

B. m > 2

Hiển thị đáp án + Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x) - m cũng ũ luôn có 3 điểm cực trị. + Do đó yêu cầu bài toán trở thành số giao điểm của đồ thị f(x) – m với trục hoành là 2.

thị f(x)- m với trục hoành là 2, ta cần tịnh tị tiến đồ thị + Để số giao điểm của đồ th f(x) xuống dưới ít nhấtt 2 đơn vị (bằng 2 đơn vị vẫn được vì khi đó điểm cực trị ủa đồ thị với trục hoành nên ta chỉ tính một ột lần) lầ trùng với điểm chung của

⇒ -m ≤ -2 ⇒ m > 2 Suy ra chọn đáp án C. Câu 67: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. i. Có bao nhiêu số nguyên dương của tham sốố m để hàm số g(x) = |f(x + 2018) + m| có 7 điểm cực trị ?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

Hiển thị đáp án * Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x + 2018) + m cũng c luôn tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số ố cực ực trị). tr có 3 điểm cực trị (do phép tị

ố giao điểm của * Do đó yêu cầu bài toán tìm trở thành: Tìm các giá trị của m để số ới trụ trục hoành là 4. đồ thị f(x + 2018) + m với ầ đồng thời: Để số giao điểm của đồ thịị f(x + 2018) + m vvới trục hoành là 4, ta cần ống dưới nhỏ hơn 2 đơn vị nên m > -2 • Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống • Tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên nhỏ hơn 3 đơn vị nên m < 3 Vậy -2 < m < 3 -m ∈ Z+→ m ∈ {1;2} Suy ra chọn đáp án A. Câu 68: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị c trị ? nguyên của tham số m để hàm số g(x) = |f(x + 2018) + m2| có 5 điểm cực

A. 1

B. 2

C. 4

D. 5

Hiển thị đáp án Vì hàm số f(x) đã cho có 3 đđiểm cực trị nên hàm số f(x + 2018) + m2 cũng luôn có ịnh ti tiến không làm ảnh hưởng đến số cực ực trị). trị 3 điểm cực trị (do phép tịnh

ểm của củ đồ thị f(x + Ta đi tìm các giá trị nguyên ddương của tham số m để số giao điểm 2 2018) + m với trục hoành là 2. Để số giao điểm của đồ thịị f(x + 2018) + m2 với trục hoành là 2, ta cần

ống dưới tối thiểu 2 đơn vị ⇒ m2 ≤ -2: vô lý • Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống • Hoặc tịnh tiến đồ thị f(x) lên trên tối thiểu 2 đơn vị nhưng phảii nhỏ hơn 6 đơn vị ⇒ 2 ≤ m2 < 6

Suy ra chọn đáp án B. Câu 69: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-4, 4] để hàm số g(x) = ực tr trị ? |f(x - 1) + m| có 5 điểm cực A. 3

B. 5

C. 6

D. 7

Hiển thị đáp án Vì hàm số f(x) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số f(x - 1) + m cũng luôn có 3 ịnh tiế tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị). ị). điểm cực trị (do phép tịnh Do đó yêu cầu bài toán trở thành: Tìm các giá trị nguyên của m để số giao điểm của đồ thị hàm số f(x - 1) + m với trục hoành là 2. Để số giao điểm của đồ thịị hàm số f(x - 1) + m với trục hoành là 2, ta cần:

ống dưới tối thiểu 2 đơn vị • Tịnh tiến đồ thị f(x) xuống • Hoặc tịnh tiến đồ thị hàm số f(x) lên trên tối thiểu 3 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị ⇒3≤m<6

Vậy Suy ra chọn đáp án B.

trị thực của tham số m để đồ thị hàm àm số y = mx3 – Câu 70: Tìm tất cả các giá tr 3mx2 + 3m - 3 có hai điểm ccực trị A, B sao cho 2AB2 - (OA2 + OB2) = 20 (Trong đó O là gốc tọa độ). A. m = -1

B. m = 1

C. m = -1 hoặc m = -17/11

D. m = 1 hoặc m = -17/11

Hiển thị đáp án Ta có: y' = m(3x2 – 6x) Với mọi m ≠ 0, ta có:

Vậy hàm số luôn có hai điểm ccực trị. Giả sử A(0, 3m - 3), B( 2; -m - 3) . Suy ra: OA2 = (3m - 3)2, OB2 = 4 + (-m - 3)2 = m2 + 6m + 13 và AB2 = 4 + 16m2 Ta có: 2AB2 – (OA2 + OB2) = 20 ⇔ 2.(4 + 16m2) – [(3m - 3)2 + m2 + 6m + 13] = 20 ⇔ 8 + 32m2 – (10m2 - 12m + 22) - 20 = 0 ⇔ 22m2 + 12m - 34 = 0

ỏa mãn là: Vậy có 2 giá trị của m thỏa

Suy ra chọn đáp án D.

c các giá trị Câu 71: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm tất cả thực của tham số m để hàm số g(x) = f(|x| + m) có 5 điểm cực trị.

A. m < -1 C. m > 1

B. m > -1 D. m < 1

Hiển thị đáp án tr Oy làm * Nhận xét: Hàm số g(x)= f(|x| + m) là hàm số chẵn nên đồ thịị nhận trục trục đối xứng . Suy ra: x = 0 là một điểm m cự cực trị của hàm số. * Ta có

với x ≠ 0

Do đó g'(x) = 0 ⇔ f'(|x| + m) = 0

ểm cự cực trị khi và chỉ khi (*) có 4 nghiệm m phân biệt bi khác 0. Để hàm số g(x) có 5 điểm

Suy ra chọn đáp án A. Câu 72: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

ủa tham ssố m để đồ thị hàm số h(x) = |f2(x) + f(x) + m| có Tìm tất cả các giá trị của đúng 3 điểm cực trị B. m ≥ 1/4

A. m > 1/4 C. m < 1

D. m ≤ 1

Hiển thị đáp án Ta có: g(x) = f2(x) + f(x) + m nên g'(x)= f'(x).[2f(x) + 1]

Ta tính được

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g(x) có 3 điểm cực trị. Suy ra đồ thị hàm số h(x) = |f2(x) + f(x) + m|

có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số g(x) nằm hoàn toàn phía trên trục Ox (kể cả tiếp xúc) nên m ≥ 1/4 Suy ra chọn đáp án B. Câu 73: Hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị là -2, -1 và 0. Hàm số g(x) = f(x2 – 2x) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Hiển thị đáp án Từ giả thiết suy ra

Ta có g(x) = f(x2 – 2x) nên g'(x) = 2(x - 1).f'(x2 - 2x)

Vì g'(x) = 0 có hai nghiệm đơn và một nghiệm bội lẻ nên g(x) có 3 điểm cực trị (là x = 0, x = 1, x = 2). Suy ra chọn đáp án A. Câu 74: Cho hàm số f(x) = x3 – (2m - 1)x2 + (2 - m)x + 2 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị củaa m để hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị. A. -2 < m < 5/4

B. -5/4 < m < 2

C. 5/4 < m < 2

D. 5/4 < m ≤ 2

Hiển thị đáp án Ta có f'(x)= 3x2 – 2(2m - 1)x + 2 - m

c trị Hàm số g(x) = f(|x|) có 5 đđiểm cực trị khi và chỉ khi hàm số f(x) có hai cực dương Suy ra phương trình f’(x) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt:

Suy ra chọn đáp án C. Câu 75: Cho hàm số f(x) = mx3 – 3mx2 + (3m - 2)x + 2 - m với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [-10;10] để hàm số g(x) = |f(x)| có 5 điểm cực trị ? A. 7 C. 10

B. 9 D. 11

Hiển thị đáp án Để hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị thì phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt. f(x) = 0 ⇔ (x - 1)(mx2 - 2mx + m - 2) = 0

Do đó để phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1:

⇔ m > 0 -m ∈ Z; m ∈ [-10;10]→ m ∈ {1; 2; 3;...; 10}

Suy ra chọn đáp án C. Câu 76: Cho hàm số bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thịị nhận nh hai điểm ủa đồ thị hàm số A(0;3) và B(2;-1) làm hai đđiểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của 2 2 g(x)= |ax .|x| + bx + c.|x| + d| là: A. 5

B. 7

C. 9

D. 11

Hiển thị đáp án Ta có: g(x)= |ax2.|x| + bx2 + c.|x| + d| = |f(|x|)|

đ ểm ccực trị trong đó có một điểm cực trịị bằng bằ 0 và một * Hàm số f(x) có hai điểm ng khi và chỉ khi hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị (1). điểm cực trị dương điểm cực trị A(0;3) ∈ Oy và điểm cựcc trị B(2; -1) thuộc * Đồ thị hàm số f(x) có điể thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại 3 điểm điể (1 điểm có góc phần tư thứ IV nên đồ th hoành độ âm, 2 điểm có hoành độ dương) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt (2). Suy ra, đồ thị hàm số f(|x|) cắ *Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số g(x) = |f(|x|)| có 7 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B. Câu 78: Cho hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d ∈ R. Hàm số g(x) = |f(x) – 2018| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

Hiển thị đáp án Hàm số g(x)= f(x) - 2018 (là hàm số bậc ba) liên tục trên R. Ta có:

úng 3 nghiệm phân biệt trên R. Suy ra, g(x) = 0 có đúng m phân biệt biệ nên hàm số Khi đó đồ thị hàm số f(x) - 2018 cắt trục hoành tại 3 điểm úng 5 điểm cực trị. g(x) = |f(x) - 2018| có đúng Suy ra chọn đáp án D. Câu 79: Cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c với a, b, c ∈ R. Hàm số g(x) = |f(x)| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

Hiển thị đáp án Hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c (là hàm số bậc ba) liên tục trên R. Ta có:

Nên hàm số f(x) = 0 có đúng 3 nghi nghiệm phân biệt trên R.

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số g(x) = Khi đó đồ thị hàm số f(x) cắ ực trị. |f(x)| có đúng 5 điểm cực Suy ra chọn đáp án D.

Câu 80: Cho hàm số f(x) = x3 + mx2 + nx - 1 với m, n ∈ R. Hàm số g(x) = |f(|x|)| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2

B. 5

C. 9

D. 11

Hiển thị đáp án Ta có:

và lim f(x) = +∞ ⇒∃p > 2 sao cho f(p) > 0 (x → +∞)

biệt c1 ∈ (0;1), c2 ∈ (1;2) và c3 ∈ (2;p) (1) Suy ra f(x) = 0 có ba nghiệm phân bi Suy ra đồ thị hàm số f(x) có hai điểm cực trị x1 ∈ (c1; c2) và x2 ∈ (c2; c3) (2) Từ (1) và (2) suy ra đồ thịị hàm số f(x) có dạng như hình bên dưới

đ cực trị. Từ đó suy ra hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị nên hàm số |f(|x|)| có 11 điểm

Suy ra chọn đáp án D.

điể x1, x2 thỏa Câu 81: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị tại các điểm ng (x1, x2). Đồ thị mãn x1 ∈ (-1;0), x2 ∈ (1;2). Biết hàm số đồng biến trên khoảng hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0 B. a < 0, b < 0, c > 0, d < 0 C. a > 0, b > 0, c > 0, d < 0 D. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0 Hiển thị đáp án Vì hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị tại các điểm x1, x2 và hàm số đồng biến trên khoảng (x1, x2) nên suy ra a < 0.

tại điểm có tung độ âm nên d < 0. Đồ thị hàm số cắt trụcc tung tạ ỏ mãn x1 ∈ (Ta có y' = 3ax2 + 2bx + c. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thỏa 1;0), x2 ∈ (1;2) nên suy ra y' = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 mà a < 0 nên c > 0. Mặt khác x1 ∈ (-1;0), x2 ∈ (1;2) nên x1 + x2 > 0

Vậyy a < 0, b > 0, c > 0, d < 0 Suy ra chọn đáp án A. Câu 82: Cho hàm số y = f(x) = ax4 + bx2 + c biếtt a > 0, c > 2018 và a + b + c < 2018. Số cực trị của hàm số g(x)= |f(x - 2018)| là A. 1

B. 3

C. 5

D. 7

Hiển thị đáp án Đặt h(x) = f(x) – 2018 = ax4 + bx2 + c - 2018 Từ giả thiết

nên đồ thị hàm số h(x) có 3 đđiểm cực trị (1). Ta có:

Suy ra h(1).h(0) < 0 có nghiệm thuộc (0, 1). Do đó, phương trình h(x) =0 có 4 nghiệm phân biệt (2) . Từ (1) và (2) suy ra hàm số g(x) = |f(x) – 2018| có 7 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án D. Câu 83: Cho hàm số f(x) = (m4 + 1).x4 + (-2m+1.m2 – 4).x2 + 4m + 16 với m là tham số thực. Hàm số g(x) = |f(x) - 1| có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3

B. 5

C. 6

D. 7

Hiển thị đáp án Ta có: Suy ra

• f'(x) = 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt vì -(m4 + 1)(2m+1.m2 + 4) < 0 với ớ mọi m.

m do: • f(x) – 1 = 0 vô nghiệm ∆' = (2m.m2 + 2)2 - (m4 + 1).(4m + 15) = 4.2m.m2 + 4 - 15m4 - 4m - 15 = -(2m - m2)2 - 11m4 - 11 > 0

trị. Vậy hàm số đã cho có 3 cực tr Suy ra chọn đáp án A. Câu 84: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a,b) và có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a,b). Biết điểm x ∈ (a,b) thỏa mãn f'(x0) = 0 và f''(x) = (x0 - 2).x + m2 - m ực. Kh Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ? + 2 với m là tham số thực.

ại đđiểm ể x0. A. Hàm số đạt cực tiểu tại ại điể điểm x0. B. Hàm số đạt cực đại tại C. Hàm số đồng biến trên khoảng (a,b). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (a,b). Hiển thị đáp án Xét hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) và đạo hàm cấp hai là f''(x) = (x0 – 2).x + m2 – m +2 Ta có f'(x0) = 0 nên x0 là điểm cực trị của hàm số. Và f''(x0) = (x0 - 2).x0 + m2 – m + 2. ⇒ f''(x0) = x02 - 2x0 + m2 - m + 2

ểu củ của hàm số y = f(x) . Suy ra x0 là điểm cực tiểu Suy ra chọn đáp án A.

ng thẳ thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm àm số y = x3 – Câu 85: Gọi (∆) đường 3x2 – 9x + 1. Tìm m để ba đường thẳng (∆), (d1), (d2) với (d1): 6x + y + 4 = 0, (d2): (m + 1)x - y + m2 - 2 = 0 đồng quy ? A. 0

B. 1

C. 2

D. Đáp án khác

Hiển thị đáp án Xét hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + 1, ta có y' = 3x2 - 6x - 9, ∀x ∈ R

Phương trình:

của đồ thị hàm số là A(3; -26) và B(-1; 6). Như vậy hai điểm cực trịị củ thẳng AB là: (∆): 8x + y + 2 = 0 Suy ra phương trình đường th Tọa độ giao điểm của (∆) và (d1) là:

ng quy nên M ∈ (d2) suy ra: (m + 1).1 + 10 + m2 – 2 = 0 Vì (∆), (d1), (d2) đồng Hay m2 + m + 9 = 0 vô nghiệm .

thỏa mãn điều kiện đầu bài. Vậy không có giá trị nào của m th Suy ra chọn đáp án D.

th của tham Câu 86: Cho hàm số y = 2x3 – 3(m + 1).x2 + 6mx + m3. Tìm giá trị thực số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB = √2 A. m = 0

B. m = 0 hoặc m = 2

C. m = 1

D. m = 2

Hiển thị đáp án Ta có đao hàm: y' = 6x2 – 6(m + 1).x + 6m

ực tr trị khi và chỉ khi m ≠ 1. Để hàm số có hai điểm cực Tọa độ các điểm cực trị là A(1, m3 + 3m - 1) và B(m, 3m2). Suy ra AB2 = (m - 1)2 + (m3 – 3m2 + 3m - 1)2 = (m - 1)2 + (m - 1)6 Theo bài ra ta có: AB2 = 2 ⇔ (m - 1)6 + (m - 1)2 = 0 ⇔ [(m - 1)2]3 - 1 + [(m - 1)2 - 1] = 0

⇔ [(m - 1)2 - 1].[(m - 1)4 + (m - 1)2 + 2] = 0 ⇔ (m - 1)2

Suy ra chọn đáp án B. Câu 87: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m - 2 với m là tham số, có đồ thị là (C). ằm về hai phía đối Xác định tham số m để (C) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm với trục hoành A. m < 2

B. m < 4

C. m < 3

D. m < 1

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = 3x2 + 6x + m có ∆'y' = 9 - 3m. Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt: ∆'y' > 0 ⇔ m = 3. Ta có:

ủa 2 điểm cực trị. Suy ra: y'(x1) = y'(x2) = 0 nên từ (*) suy Gọi x1, x2 là hoành độ của ra:

trục hoành khi: Hai điểm cực trị nằm vềề hai phía tr

Suy ra chọn đáp án A. Câu 88: Cho hàm số y = x4 - 2x2. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm cực c đại của s thực m đồ thị hàm số đã cho và có hhệ số góc m. Tập hợp tất cả các giá trịị tham số ng cách ttừ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số cho đến ∆ là sao cho tổng các khoảng nhỏ nhất A. m = 0

B. m = 1/2

C. m ∈∅

D. m = 1 hoặc m = -1

Hiển thị đáp án + Xét hàm số y = x4 - 2x2. Ta có y' = 4x3 - 4x

+ Suy ra A(0;0), B(1; -1), C(-1; -1) là ba điểm cực trị của đồ thịị hàm số. Đồng m cực đại của đồ thị hàm số. thời điểm A(0,0) là điểm

ẳng ∆ có hệ số góc m và đi qua điểm A là y = mx hay mx + Phương trình đường thẳng -y=0 + Ta có:

khi đó

với Mặt khác 2ab ≥ 0 ⇔ (a + b)2 ≥ a2 + b2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Suy ra chọn đáp án D.

Bi Câu 89: Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c có hai điểm cực trị A(0,2); B(1,m). Biểu 2 2 2 trị lớn nhất khi a + b + c + m bằng thức P = 2(a – m )- b đạt giá tr A. 1

B. 2

C. -1

D. -2

Hiển thị đáp án Xét hàm số y = ax4 + bx2 + c ta có y' = 4ax3 = 2bx

ểm cự cực trị A(0,2) và B(1,m) nên: Đồ thị hàm số có hai điểm

Lấy (1) – 2.(2) ta được: (2a + b)2 – 2(a + b)2 = -2(m - 2)2 hay 2a2 – b2 = -2(m - 2)2 Khi đó: P = 2a2 – b2 – 2m2 = -2(m - 2)2 – 2m2 = - 4 – 4(m - 1)2 ≤ -4 Do đó max P = -4. Dấu “=” xảy ra khi m = 1 .

Vậy ⇒P=a+b+c+m=2 Suy ra chọn đáp án B. Câu 90: Tìm tất cả các giá tr trị thực của tham số m để hàm số y = (m + 1)x4 ểu mà không có cực đại. mx2 + 3/2 chỉ có cực tiểu A. m < -1

B. -1 ≤ m ≤ 0

C. m > 1

D. -1 ≤ m ≤ 0

Hiển thị đáp án Ta xét hai trường hợpp sau đây: * TH1: m + 1 = 0 hay m = -1.

ự đại Khi đó y = x2 + 3/2 ⇒ hàm số chỉ có cực tiểu (x = 0) mà không có cực Do đó m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. * TH2: m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1. Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương ta có:

nghi và đổi Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ y' = 0 có đúng một nghiệm ng khi x đđi qua nghiệm này dấu từ âm sang dương

Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có -1 ≤ m ≤ 0. Suy ra chọn đáp án B. Câu 91: Cho hàm số y = 1/3.x3 - mx2 + (2m - 1)x - 3 (Cm), với m là tham số. Xác ực đại đạ và cực tiểu định tất cả giá trị của m để cho đồ thị hàm số (Cm) có điểm cực ới tr trục trung? nằm cùng một phía đối với A. m ∈ (1/2; +∞)\{1} C. m ≠ 1

B. 0 < m < 2

D. -1/2 < m < 1

Hiển thị đáp án Ta có y' = x2 - 2mx + 2m – 1.

ộ phía đối với Để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một ương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt ệt x1, x2 và cùng trục tung khi và chỉ khi phươ dấu với nhau.

Suy ra chọn đáp án A. Câu 92: Tìm tất cả các giá tr trị thực của tham số a sao cho hàm àm số y = 1/3.x3 1/2.x2 + ax + 1 đạt cực trịị tại x1, x2 thỏa mãn: (x12 + x2 + 2a)(x22 + x1 + 2a) = 9. A. a = 2

B. a = -4

C. a = -3

D. a = -1

Hiển thị đáp án

⇒ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 1 - 2a x13 + x23 = (x1 + x2)[(x1 + x2)2 - 3x1x2] = 1 - 3a Để thỏa yêu cầu bài toán ta phải có: ∆ = 0 và 4a2 + (2x12 + 2x22 + 2x1 + 2x2)a + x12.x22 + x13 + x23 + x1x2 - 9 = 0

Suy ra chọn đáp án B. Câu 93: Cho hàm số y = |x|3 – mx + 5, m là tham số. Hỏi hàm số đã cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Hiển thị đáp án Ta có: y = √(x6) - mx + 5 Suy ra:

và hàm số không có đạo hàm tại x = 0 . * TH1: m = 0.

Ta có: vô nghiệm và hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

ột cự cực trị. Do đó hàm số có đúng một * TH2: m > 0. Ta có: y' = 0 ⇔ 3x5 = m|x|3

Bảng biến thiên

ột cự cực trị. Do đó hàm số có đúng một * TH3: m < 0. Ta có: y' = 0 ⇔ 3x5 = m|x|3

ột cự cực trị. Do đó hàm số có đúng một ợp hàm số có đúng một cực trị với mọii tham số s m. Vậy trong mọi trường hợp Suy ra chọn đáp án B. Câu 94: Tìm tất cả m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 + x2 + mx 1 nằm bên phải trục tung. A. Không tồn tại m C. m < 1/3

B. 0 < m < 1/3

D. m < 0

Hiển thị đáp án * Để hàm số có cực tiểu, ểu, tứ tức hàm số có hai cực trị thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 3x2 + 2x + m = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt. Ta có: ∆' = 1 - 3m > 0 ⇔ m < 1/3

m phân bi biệt xCĐ, xCT là hoành độ hai điểm cực ực trị. tr * Khi đó có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có:

của x3 lớn hơn 0. trong đó xCĐ < xCT vì hệ sốố củ * Để cực tiểu của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung thì phải có: xCT > 0, kết hợp (2) và (3) suy ra (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ xCĐ.xCT = m/3 < 0 ⇔ m < 0 Suy ra chọn đáp án D.

ủa đồ thị hàm số Câu 95: Với giá trị nào của m thì hai điểm cực đại và cực tiểu của y = x3 + 3x2 + mx + m - 2 nằm về hai phía so với trục hoành? A. m > 3

B. m > 2

C. m < 3

D. 2 < m < 3

Hiển thị đáp án Ta có: y' = 3x2 + 6x + m. Hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nên phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Do đó ∆' = 9 - 3m > 0 ⇔ m < 3

ươ ứng. Gọi x1, x2 là điểm cực trịị của hàm số và y1, y2 là các giá trị cực trị tương Ta có: y = x3 + 3x2 + mx + m - 2

Tại 2 điểm cực trị đạo hàm bằng 0 nên y1 = k.(x1 + 1) và y2 = k.(x2 + 1) trong đó k = 2/3.m - 2

Để hai điểm cực trị nằm vềề hai phía so vvới trục hoành: ⇔ y1.y2 ⇔ k2(x1 + 1)(x2 + 1) < 0 ⇔ x1x2 + x1 + x2 + 1 < 0 ⇔ m/3 - 2 + 1 < 0 ⇔ m<3 Vậy m < 3 thỏa mãn bài toán. Suy ra chọn đáp án C.

trị của m để đường thẳng đi qua điểm m cực đại, cực tiểu Câu 96: Tìm tất cả các giá tr 3 của đồ thị hàm số y = x – 3mx + 2 cắt đường tròn tâm I(1; 1), bán kính bằng 1 tại diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn ớn nhất. nh 2 điểm phân biệtt A, B sao cho di

Hiển thị đáp án

Ta có y' = 3x2 – 3m nên y' = 0 khi x2 = m. Đồ thị hàm số y = x3 - 3mx + 2 có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0. Ta có: y = x3 - 3mx + 2 = 1/3.x(3x2 - 3m) - 2mx + 2 = 1/3.xy' - 2mx + 2 Đường thẳng đi qua hai điểm ccực trị của đồ thị hàm số đã cho có phương trình: ∆: y= - 2mx + 2 Ta có: S∆IAB = 1/2.IA.IB.sin AIB = 1/2.sin AIB ≤ 1/2

ớn nh nhất bằng 1/2 khi ∠AIB = 1 ⇔ AI ⊥ BI. Diện tích tam giác IAB lớn m AB ta có: Gọi H là trung điểm

Mà Suy ra:

⇔ 8m2 - 16m + 2 = 0 Suy ra chọn đáp án A. Câu 97: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số: y = 2/3.x3 - mx2 - 2(3m2 - 1)x + 2/3 có hai điểm cực trị có hoành độ x1, x2 sao cho: x1.x2 + 2.(x1 + x2) = 1. A. m = 0 C. m = 2/3

B. m = -2/3 D. m = -1/2

Hiển thị đáp án Ta có: y' = 2x2 - 2mx - 2(3m2 - 1) = 2(x2 – mx - 3m2 + 1)

ực tr trị khi và chỉ khi y' = 0 có hai nghiệm m phân biệt bi nên Để hàm số có hai điểm cực ∆ = 52m2 - 16 = 4(13m2 - 4) > 0

Gọi x1, x2 là các nghiệm của ủa g(x) nên theo định lý Vi-ét ta có:

Do đó: x1x2 + 2(x1 + x2) = 1 ⇔ -3m2 + 2m + 1 = 1

⇔ -3m2 + 2m = 0

thấy chỉ m = 2/3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Đối chiếu với điều kiệnn (1) ta th Suy ra chọn đáp án C.

Câu 98: Cho hàm số y = x4 – 2(1 - m2)x2 + m + 1. Tìm tất cả các giá trị tr của tham ực đạ đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị th hàm số lập số thực để hàm số có cực lớn nhất . thành tam giác có diệnn tích lớ A. m = -1/2 C. m = 0

B. m = 1/2 D. m = 1

Hiển thị đáp án Ta có: y' = 4x3 – 4(1 - m2)x

Hàm số có cực đại, cực tiểu ểu khi và chỉ khi: |m| < 1 Tọa độ điểm cực trị: A(0, m + 1),

ẳng BC: y = -m4 + 2m2 + m hay y + m4 – 2m2 – m = 0 Phương trình đường thẳng

Vậy S đạt giá trị lớn nhất ất khi và chỉ khi m = 0 . Suy ra chọn đáp án C.

trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x3 – 3(m Câu 99: Tìm tất cả các giá tr cực trị A, B sao cho đường thẳng ng AB vuông góc với v + 1)x2 + 6mx có hai điểm cự đường thẳng: y = x + 2

Hiển thị đáp án Ta có: y = 6x - 6(m + 1)x + 6m 2

ể cực trị là phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân Điều kiện để hàm số có 2 đđiểm biệt nên m ≠ 1 Tọa độ hai điểm cực trị là A(1, 3m - 1), B (m, -m3 + 3m2) Đường thẳng AB : qua A(1, 3m - 1), VTCP AB−(m - 1; -m3 + 3m2 - 3m + 1) ⇒ VTPT n− ((m-1)2; 1) Phương trình AB: (m - 1)2x + y = 0 hay y = -(m - 1)2x

ng AB vuông góc vvới đường thẳng y = x + 2 khi và chỉ khi : Để đường thẳng

Suy ra chọn đáp án C.

của tham số m để đồ thị hàm số: y = x4 – 2m2x2 + m4 + 1 Câu 100: Tìm các giá trị củ thời ba điểm cực trị đó cùng với gốcc O tạo tạ thành 1 tứ có ba điểm cực trị . Đồng th giác nội tiếp. A. m = 1 hoặc m = -1 C. Không tồn tại m.

B. m = 1 D. m = -1

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = 4x3 – 4m2x = 4x(x2 – m2) Hàm số có 3 điểm cực trịị khi m ≠ 0 Khi đó 3 điểm cực trị là: A(0, m4 + 1), B(-m; 1), C(m; 1)

ngoại tiếp( nếu có) của tứ giác ABOC. Do tính chất ch đối Gọi I là tâm đường tròn ngo ng tròn ngoại tiếp xứng, ta có: A, O, I thẳng hàng nên AO là đường kính của đường (nếu có) của tứ giác ABOC. Vậy AB ⊥ OB ⇔ AB− .OB−= 0

hoặc m = -1 (thỏa mãn). Kết hợp điều kiệnn m = 1 hoặ Suy ra chọn đáp án A. Câu 101: Với giá trị nào của tham ssố m thì hàm số y = mx4 + (m - 1)x2 + 1029 chỉ có đúng một cực trị?

Hiển thị đáp án * Trường hợp 1: Nếuu m = 0 Ta có hàm số: y = -x2, hàm số này có 1 cực trị. Vậy m = 0 thỏa mãn. * Trường hợp 2: Nếu m ≠ 0 Đạo hàm: y' = 4mx3 + 2(m - 1)x Hàm số có đúng 1 cực trị

Kết hợp TH1 và TH2 ta có:

thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án C. Câu 102: Với giá trị thực ực nào của tham số m thì hàm số y = (m + 2).x3 + 3x2 + mx - 6 có cực trị ? A. m ∈ (-3;1)\{2}

B. m ∈ (-3;1)

C. m ∈ (-∞; -3) ∪ (1; +∞)

D. m ∈ [-3;1]

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = 3(m + 2)x2 + 6x + m * Trường hợp 1: Nếu m = -2 khi đó hàm số trở thành: y = 3x2 – 2x Đạo hàm y' = 6x - 2 và y'' = 6 Ta có y' = 0 ⇔ x = 1/3; y''(1/3) = 0

m cự cực tiểu của hàm số. Nên điểm x = 1/3 là điểm Vậy m = -2 thỏa mãn. * Trường hợp 2. Nếu m ≠ -2 Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt.

⇔ m ∈ (-3; 1)\{-2}

p; các giá tr trị của m thỏa mãn là (-3; 1) . Kết hợp hai trường hợp; Suy ra chọn đáp án B.

ủa tham ssố m để hàm số y = mx4 + (m2 – 4m + 3)x2 + m Câu 103: Các giá trị của 19 có ba điểm cực trị là: A. m ∈ (-∞; 0)

B. m ∈ (-∞ 0) ∪ (3; +∞)

C. m ∈ (-∞ 0) ∪ (1;3)

D. m ∈ (1;3)

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = 4mx3 + 2(m2 – 4m + 3).x ( *)

bi Để hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình ( *) có 3 nghiệm phân biệt

⇔ m ∈ (-∞ 0) ∪ (1;3) (áp dụng công thứcc tính nhanh: Hàm số y = ax4 + bx2 + c có ba cực trị ⇔ ab > 0). Suy ra chọn đáp án C.

trị thực của tham số m để hàm số y = (m + 1).x4 – Câu 104: Tìm tất cả các giá tr ểu mà không có cực đại. mx2 + 100 chỉ có cực tiểu A. m < -1

B. -1 ≤ m ≤ 0

C. m > 1

D. -1 ≤ m < 0

Hiển thị đáp án Ta xét hai trường hợpp sau đây: * TH1: Nếuu m + 1 = 0 hay m = -1. Khi đó y = x2 + 3/2 ⇒ hàm số chỉ có cực tiểu (tại x = 0) mà không có cực đại ⇒ m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. * TH2: m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1. Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương ta có :

ột nghiệm nghi và đổi Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có ccực đại khi y' = 0 có đúng một ng khi x đđi qua nghiệm này dấu từ âm sang dương

Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có -1 ≤ m ≤ 0. Suy ra chọn đáp án B. Câu 105: Giá trị của m để hàm số sau đạt cực đại tại x = 2 là:

A. m = - 1 C. m = 1

B. m = -3 D. m = 3

Hiển thị đáp án Tập xác định D = R\{-m}.

Đạo hàm:

ực đạ đại tại x = 2 ⇒ y'(2) = 0 Để hàm số đã cho đạt cực

* TH1: nếu m= - 1 Khi đó:

Cho Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại ại x = 0; yCĐ = -1 và đạt cực tiểu tạii x = 2; yCT = 3

loại. Suy ra trường hợp này bị loạ * TH2: Nếu m = -3 Khi đó:

Cho Bảng biến thiên

ại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 4. Vậy hàm số đạt cực đại tại Vậy m = -3 thỏa mãn yêu cầầu bài toán Suy ra chọn đáp án B.

của tham số m để đồ thị hàm số: y = x4 – 2m2x2 + 10 có Câu 106: Tìm các giá trị củ nh củ của một tam giác vuông cân. ba điểm cực trị là ba đỉnh A. m = -1 C. m = 1

B. m ≠ 0 D. m = 1 hoặc m = -1

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = 4x3 – 4m2x Xét phương trình y' = 0 ⇔ 4x.(x2 – m2) = 0

ực trị khi và chỉ khi phương trình y’= 0 có 3 nghiệm phân Để hàm số có 3 điểm cực biệt ⇔ m ≠ 0 Khi đó 3 điểm cực trị của ủa đồ thị hàm số là: A(0;1), B(m; 1 - m4), C(-m; 1 - m4)

ng, ta có tam giác ABC cân tại đỉnh A. Do tính chất đối xứng, Vậy tam giác ABC chỉ có thể vuông cân tại đỉnh A

hoặc m = -1 (thỏa mãn). Kết hợp điều kiệnn ta có: m = 1 ho

ng công th thức Lưu ý: có thể sử dụng Suy ra chọn đáp án D.

Câu 107: Tìm tấtt các giá trị thực của tham số m để hàm số: y = 1/3.x3 + (m + 3).x2 + 4(m + 3)x + m2 - 10m đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn -1 < x1 < x2 A. m > -3 C. 1 < m < 4

B. -3 < m < 1 D. -7/2 < m < -3

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = x2 + 2(m + 3) + 4(m + 3) Giả sử phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt, theo hệ thức Vi- et ta có:

ực tr trị tại x1, x2 và thỏa mãn -1 < x1 < x2 khi và chỉ khi Để hàm số đã cho đạt cực phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn -1 < x1 < x2.

Suy ra chọn đáp án D.

của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x3 + 3(m - 3)x2 + Câu 108: Tìm các giá trị củ 11 – 3m có hai điểm cựcc trị. Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểm C(0; -1) thẳng hàng . A. m = 4

B. m = 1

C. m = -3

D. m = 2

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = 6x2 + 6(m - 3)x

Xét phương trình y' = 0 Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi: 3 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A(0; 11 - 3m) và B(3 - m; m3 – 9m2 + 24m – 16) Và AB− (3 - m; (3 - m)3)

ẳng AB là: (3 - m)2 x + y – 11 + 3m = 0 Phương trình đường thẳng ng AB nên ta có: -1 Để ba điểm A, B và C thẳng hàng thì điểm C thuộc đường thẳng – 11 + 3m = 0 ⇔ m = 4. Suy ra chọn đáp án A. Câu 109: Tìm tất cả các giá tr trị thực của tham số m để đồ thị hàm àm số y = x3 – m cực tr trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3mx2 + 3m3 có hai điểm 48. A. m = 2 hoặc m = 0 C. m = -2

B. m = 2

D. m = 2 hoặc m = -2

Hiển thị đáp án Đạo hàm: y' = 3x2 – 6mx = 3x(x - 2m) Xét phương trình

ểm cự cực trị khi và chỉ khi: 2m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0. (1) Đồ thị hàm số có hai điểm ủa đồ thị hàm số là A(0; 3m3) và B(2m; -m3). Khi đó, các điểm cực trịị của Ta có: OA− (0; 3m3) ⇒ OM = 3|m3|. (2) Ta thấy A ∈ Oy ⇒ OA ≡ Oy ⇒ d(B; OA) = d(B; Oy) = 2.|m| (3) Từ (2) và (3) suy ra SOAB = 1/2.OA.d(B;OA) = 3m4 Do đó: SOAB = 48 khi 3m4 = 48 ⇔ m = 2 hoặc m = -2 (thỏa mãn (1) ). Suy ra chọn đáp án D.

củ m để hàm Câu 110: Cho hàm số y = x4 – 2m2x2 – 1 ( C). Có bao nhiêu giá trị của số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân: A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hiển thị đáp án - Có đạo hàm y' = 4x3 - 4m2x = 4x.(x2 – m2) Xét phương trình:

- Để hàm số có ba điểm m cự cực trị thì phương trình y' = 0 phảii có ba nghiệm nghi phân biệt hay phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m ≠ 0 Vậy với m ≠ 0 thì hàm số có 3 ccực trị.

ủa một m tam giác - Tiếo theo, ta tìm m để ba điểm cực trị này tạo thành 3 đỉnh của vuông cân.

(giả sử cân tại ại A). - Vì y là hàm trùng phương nên tam giác ABC cân (gi

- Gọi 3 điểm cực trị là: A(0;-1); B(-m; -1 - m4) và C(m; -1 - m4) AB− (-m; -m4), AC− (m; -m4) - Để ABC vuông cân thì AB vuông góc với AC.

Suy ra chọn đáp án C. Câu 111: Xác định m để hàm số sau có cực đại và cực tiểu nằm m về hai phía của đường thẳng (d): 9x – 7y – 1 = 0 .

A. -3 < m < 9/7 C. m > -3

B. 3/7 < m < 9

D. m > 9

Hiển thị đáp án - TXĐ: D = R\ {1}.

- Tính Phương trình y' = 0 có nghiệệm x = 4; x = -2

m cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số: - Gọi A và B là hai điểm ⇒ A(-2; m – 4); B(4; m + 8) - Để A và B nằm về hai phía ccủa đường thẳng (d) thì: ⇔ (9xA - 7yA - 1).(9xB – 7xB - 1) < 0 ⇔ (9 - 7m).(21 + 7m) > 0 nên -3 < m < 9/7 Suy ra chọn đáp án A. Câu 112: Cho hàm số y = 1/3.mx3 - (m - 1)x2 + 3(m - 2)x + 1/3. Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa x1 + 2x2 = 1.

A. m = 2 hoặc m = -2/3

B. m = -2 hoặc m = 2/3

C. m = 2 hoặc m = 2/3

D. m = -2 hoặc m = -2/3

Hiển thị đáp án Câu 113: Cho hàm số y = x4 – 2(m – 1)x2 + 3. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc bằng 120o.

Hiển thị đáp án phương với đỉnh cân tại điểm có hoành độ bằng 0. Nhận xét: Đây là hàm trùng ph nhỏ hơn 90o. Đề cho tam giác có 1 góc bằng bằ 120o vậy Vậy 2 góc đáy phải có sốố đo nh nh cân. góc đó phải nằm ở đỉnh Cách 1: Làm theo tự luận Đạo hàm y' = 4x3 – 4(m + 1)x = x.[x2 – (m + 1)] Để hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi m + 1 > 0 hay m > -1 (1) Xét phương trình:

- Gọi các điểm cực trị có tọa độ: A(0;3);

ạn BC ⇒ I(0; -(m + 1)2 + 3) - Gọi I là trung điểm đoạn ng 120o suy ra góc B bằng 30o - Góc ở đỉnh cân A bằng ⇒ AI = tan30o.BI =

BI ⇔ 3AI2 = BI2

⇔ 3(m + 1)4 = m + 1 ⇔ 3(m + 1)3 = 1 (do m + 1 > 0 )

giải nhanh Cách 2: Sử dụng công thức gi

Hay 3[-2.(m + 1)]3 = -8 ⇔ 3(m + 1)3 = 1

Suy ra chọn đáp án B.

của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + Câu 114: Tìm các giá trị củ m2 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. A. Không tồn tại m. C. m = 0 hoặc m = -1

B. m = 0 D. m = -1

Hiển thị đáp án * Đạo hàm: y' = 4x3 – 4(m + 1)x Xét phương trình y' = 0 ⇔ 4x(x2 – m – 1) = 0 Hàm số có điểm 3 cực trịị khi và chỉ khi m + 1 > 0 hay m > -1

ủa đồ thị hàm số là: A(0;m2) Khi đó 3 điểm cực trị của

ng, ta có tam giác ABC cân ttại đỉnh A. Do tính chất đối xứng, Vậy tam giác ABC chỉ có thể vuông cân tại đỉnh ⇔ AB− .AC−= 0 ⇔ -(m + 1) + (-m2 – 2m – 1)2 = 0

⇔ m4 + 4m3 + 6m2 + 3m = 0

(thỏa mãn). Kết hợp điều kiệnn ta có: m = 0 (th

Lưu ý: Có thể làm theo cách khác:

m M, tam giác ABC vuông +) Cách 1: Gọi M là trung đđiểm của BC, tìm tọa độ điểm tại đỉnh A thì 2AM = BC. nh lý Pitago BC2 = AB2 + AC2. +) Cách 2: Sử dụng định +) Cách 3: +) Hoặc sử dụng công thức Suy ra chọn đáp án B.

của tham số m để đồ thị hàm số: y = x4 – 2mx2 + 2m + Câu 115: Tìm các giá trị củ m4 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều.

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = 4x – 4mx = 4x.(x – m) 3

Xét phương trình y'= 0 hay 4x.(x2 – m) = 0 Hàm số có 3 cực trị khi m > 0.

ủa đồ thị hàm số là: Khi đó 3 điểm cực trị của A(0;m4 + 2m), B(-√m; m4 - m2 + 2m), B(√m; m4 - m2 + 2m)

ng, ta có tam giác ABC cân ttại đỉnh A . Do tính chất đối xứng, cần AB = BC Vậy tam giác ABC đềuu chỉ cầ

⇔ m + m4 = 4m ⇔ m4 = 3m Kết hợp điều kiệnn ta có: m = 3√3 ( thỏa mãn).

ng công th thức Lưu ý: có thể sử dụng

⇔ m3 = 3 ⇔ m = 3√3 Suy ra chọn đáp án C.

trị thực của tham số m để đồ thị của hàm àm số y = -x3 + Câu 116: Tìm tất cả các giá tr ại O (với (v O là gốc 3mx + 1 có 2 điểm cực trịị A, B sao cho tam giác OAB vuông ttại tọa độ ). A. m = 3/2 C. m = 1

B. m = -1/2 D. m = 1/2

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm y' = -3x2 + 3m. Phương trình y' = 0 ⇔ x2 – m = 0 (*)

đ ểm ccực trị ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 (**) Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm Khi đó 2 điểm cực trị là: A(-√m; 1 - 2m√m), B(√m; 1 + 2m√m) Tam giác OAB vuông tại O ⇒ OA− .OB−= 0 ⇔ 4m3 + m - 1 = 0 ⇔ m = 1/2 (thỏa mãn). Vậy m = 1/2. Suy ra chọn đáp án D.

trị của m để đồ thị hàm số y = x3 – 3(m + 1)x2 + Câu 117: Tìm tất cả các giá tr 12mx – 3m + 4 (C) có hai đđiểm cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với ng tâm. điểm C(-1; -9/2) lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng A. m = -1/2 C. m = 2

B. m = - 2 D. m = 1/2

Hiển thị đáp án Ta có y' = 3x2 – 6(m + 1)x + 12m

m phân biệt biệ Hàm số có hai cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm ⇔ ∆' = 9(m + 1)2 - 36m = 9(m - 1)2 ⇔ m ≠ -1(*). Khi đó hai điểm cực trị là A(2; 9m), B(2m; -4m3 + 12m2 – 3m + 4). Để ∆ABC nhận O làm trọng tâm

Suy ra chọn đáp án A.

tr của tham Câu 118: Cho hàm số y = x4 – 2(1 - m2)x2 + m + 1. Tìm tất cả các giá trị ực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị th hàm số lập số thực m để hàm số có cực lớn nhất. thành tam giác có diệnn tích lớ A. m = -1/2 C. m = 0

B. m = 1/2 D.m = 1

Hiển thị đáp án Đạo hàm y' = 4x3 – 4(1 - m2)x = 4x.[x2 – (1 - m2)] Xét phương trình:

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi: |m| < 1 Tọa độ điểm cực trị A(0; m + 1)

ẳng BC: y + m4 - 2m2 – m = 0 Phương trình đường thẳng

d(A; BC)= m4 – 2m2 + 1,

Vậy S đạt giá trị lớn nhất ⇔ m = 0. Suy ra chọn đáp án C.

trị của tham số thực m để đường thẳng ẳng qua 2 điểm Câu 119: Tìm tất cả các giá tr 3 cực trị của đồ thị hàm số: y = x - 3mx + 2 cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính bằng 1 tại 2 điểm A, B mà diện tích tam giác IAB lớn nhất .

Hiển thị đáp án 2

Đạo hàm y' = 3x – 3m Để hàm số đã cho có hai đđiểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0.

Với m > 0 thì phương trình

ực trị của đồ thị hàm số là: Khi đó tọa độ 2 điểm cực M(√m; -2m√m + 2), N(-√m; 2m√m + 2), MN− (-2√m; 4m√m) Phương trình đường thẳng MN: 2mx + y – 2 = 0:

ắt đường tròn tâm I bán kính R = 1 tạii hai điểm đ A và B Ta có đường thẳng MN cắt nên IA = IB = 1. Diện tích tam giác IAB là: SIAB = 1/2.IA.IB.sin AIB = 1/2. sin AIB ≤ 1/2

Dấu bằng xảy ra khi ∠AIB = 90o. Khi đó; tam giác IAB là tam giác vuông tại I nên ta có:

⇔ 4(4m2 – 4m + 1) = 2(4m2 + 1) ⇔ 8m2 – 16m + 2 = 0

Suy ra chọn đáp án B. Câu 120: Cho hàm số y = 2x3 – 9x2 + 12x + m. Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm ời A, B cùng với gốc tọa độ O không thẳng ẳng hàng. Khi đó cực trị là A, B đồng thời nhất bằng bao nhiêu ? chu vi tam giác OAB nhỏ nhấ A. √10 - √2

B. √10 + √2

C. √10 + √5

D. √8 + √5

Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm: y' = 6x2 - 18x + 12 Xét phương trình:

ểm cực cự trị của đồ Tọa độ hai điểm cực trị là A(1; 5 + m) và B(2; 4 + m) là hai điểm thị hàm số. (2; 4 + m), AB− Khi đó: OA− (1;5 + m), OB− (1; -1) Để ba điểm A; B và O là 3 đỉnh của một tam giác thì hai vecto OA− , OB−không cùng phương:

Chu vi của tam giác OAB là:

Sử dụng tính chất:

Từ đó ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u− , v−cùng hướng

nhỏ nhất bằng (√10 + √2) khi m = -14/3. Vậyy chu vi tam giác OAB nh Suy ra chọn đáp án B.