CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN 10 SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC - BÀI TẬP TỰ LUẬN - TRẮC NGHIỆM THEO DẠNG (PHẦN 1) by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN 10 BỘ SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG TÓM TẮT LÝ THUYẾT - BÀI TẬP TỰ LUẬN THEO DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO DẠNG - BẢN GV (1208 TRANG) WORD VERSION | 2023 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

TẬP HỢP

MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC

FI CI A

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

BÀI 1: MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC LÝ THUYẾT.

I =

I. MỆNH ĐỀ Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.

II. PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ

ƠN

Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

• P đúng khi P sai. • P sai khi P đúng.

III. MỆNH ĐỀ KÉO THEO

Kí hiệu mệnh phủ định của mệnh đề P là P ta có

QU Y

Mệnh đề '' Nếu P thì Q '' được gọi là mệnh đề kéo theo, và kí hiệu là P  Q. Mệnh đề P  Q còn được phát biểu là '' P kéo theo Q '' hoặc '' Từ P suy ra Q '' . Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. Như vậy, ta chỉ xét tính đúng sai của mệnh đề P  Q khi P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì

P  Q đúng, nếu Q sai thì P  Q sai.

Các định lí, toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P  Q.

KÈ

Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều kiện cần để có P.

IV. MỆNH ĐỀ ĐẢO – HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG

Mệnh đề Q  P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q.

DẠ

Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

Nếu cả hai mệnh đề P  Q và Q  P đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương. Khi đó ta có kí hiệu P ⇔ Q và đọc là P tương đương Q , hoặc P là điều kiện cần và đủ để Page 1

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP có Q , hoặc P khi và chỉ khi Q. V. KÍ HIỆU ∀ VÀ ∃

∀x ∈ ℝ : x 2 ≥ 0 hay x 2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ.

Kí hiệu ∀ đọc là ''với mọi ''.

Ví dụ: Câu ''Có một số nguyên nhỏ hơn 0 '' là một mệnh đề.

∃n ∈ ℤ : n < 0.

Có thể viết mệnh đề này như sau

FI CI A

Ví dụ: Câu '' Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0 '' là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau

Kí hiệu ∃ đọc là ''có một '' (tồn tại một) hay '' có ít nhất một ''(tồn tại ít nhất một).

 Mệnh đề phủ định của mệnh đề " ∀x ∈ X , P ( x)" là " ∃x ∈ X , P ( x)".

ƠN

Ví dụ: Cho mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 < 0” . Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề trên? Lời giải

Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 < 0” là mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 ≥ 0” .

 Mệnh đề phủ định của mệnh đề " ∃x ∈ X , P ( x )" là " ∀x ∈ X , P ( x)". Ví dụ: Cho mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x 2 − x − 6 = 0” . Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề trên?

QU Y

Lời giải

Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x 2 − x − 6 = 0” là mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x 2 − x − 6 ≠ 0” .

HỆ THỐNG BÀI TẬP.

1 =

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.

II =

KÈ

1.1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới; b) Bạn học trường nào? c) Không được làm việc riêng trong trường học;

DẠ

d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.

Lời giải

Câu a) “Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới.” là mệnh đề là: Câu b) là câu nghi vấn; Câu c) là câu cầu khiến; Page 2

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Câu d) là câu khẳng định chưa xác định được tính đúng sai)

1.2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

10 ; 3

FI CI A

a) π <

b) Phương trình 3x + 7 = 0 có nghiệm; c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0; d) 2022 là hợp số.

Lời giải

10 3

Mệnh đề đúng do π ≈ 3,14 và

10 10 . ≈ 3, 33 nên π < 3 3

b) Phương trình 3x + 7 = 0 có nghiệm.

ƠN

a) π <

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Vì phương trình 3x + 7 = 0 có nghiệm hữu tỉ x =

−7 nên mệnh đề là đúng. 3

d) 2022 là hợp số.

c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0;Do tồn tại số thực 0 để 0 + 0 = 0 nên mệnh đề đúng.

1.3. Cho hai câu sau:

QU Y

Ta có: 2022 = 1011.2 nên 2022 là hợp số hay mệnh đề đã cho là đúng.

P: “Tam giác ABC là tam giác vuông”;

Q: “Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại”. Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P ⇔ Q xét tính đúng sai của mệnh đề này.

Lời giải

KÈ

Mệnh đề tương đương P ⇔ Q : “Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại”.

Mệnh đề P ⇔ Q đúng. Thật vậy:

+ P  Q đúng: Hiển nhiên.

DẠ

+ Mệnh đề Q  P : “Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại thì tam giác ABC là tam giác vuông”. Không giảm tổng quát ta giả sử tam giác ABC có:

 A + B + C = 1800  B + C + B + C = 1800  B + C = 900  A = B + C  Page 3

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Nên tam giác ABC vuông tại A.

P: “Nếu số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 5 thì n chia hết cho 5”;

FI CI A

1.4. Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai chúng.

Do đó mệnh đề Q  P đúng.

Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau”.

Lời giải

Mệnh đề đảo của P: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 5 thì n có chữ số tận cùng là 5 ”. Mệnh đề sai vì số nguyên n cũng có thể có chữ số tận cùng là 0 .

ƠN

Mệnh đề đảo của Q: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật”. Mệnh đề sai (không thỏa mãn dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).

(Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình thangcân)

1.5. Với hai số thực a và b, xét các mệnh đề P :" a 2 < b2 " và Q :"0 < a < b " . a) Hãy phát biểu mệnh đề P  Q .

b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.

QU Y

c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu b.

Lời giải

a) Mệnh đề P  Q : “Nếu a 2 < b2 thì 0 < a < b ”. b) Mệnh đề đảo Q  P : “Nếu 0 < a < b thì a2 < b2 ”.

c) Mệnh đề P  Q sai vì ví dụ có (−3) 2 < 42 nhưng −3 < 0 < 4

KÈ

Mệnh đề Q  P đúng.

1.6. Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó. Q: “ ∃n ∈ℕ , n chia hết cho n+1”.

Lời giải

DẠ

Mệnh đề Q đúng do tồn tại n = 0 ∈ℕ để 0 chia hết cho 0 + 1 .

Mệnh đề phủ định: Q : “ ∀n ∈ ℕ , n không chia hết cho n + 1 ”.

1.7. Dùng kí hiệu ∀, ∃ để viết các mệnh đề sau: P: “Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó”; Q: “ Có một số thực cộng với chính nó bằng 0”. Page 4

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Lời giải Lời giải

Q :" ∃x ∈ ℝ, x + x = 0"

2 =

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

PHƯƠNG PHÁP Để xác định mệnh đề và mệnh đề chứa biến ta cần biết:

ƠN

 Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc sai.

 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH MỀNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

FI CI A

P :" ∀n ∈ ℕ, n 2 ≥ n "

Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai

 Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà

với mỗi giá trị chứa biến thuộc X ta được một mệnh đề.

Bài 1. Các câu sau đây, có bao nhiêu câu là mệnh đề? (1) Ở đây đẹp quá!

QU Y

(2) Phương trình x 2 − 3 x + 1 = 0 vô nghiệm (3) 16 không là số nguyên tố

(4) Hai phương trình x 2 − 4 x + 3 = 0 và x 2 − x + 3 + 1 = 0 có nghiệm chung. (5) Số π có lớn hơn 3 hay không? (6) Italia vô địch Worldcup 2006

(7) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

KÈ

(8) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Lời giải

Câu (1) và (5) không là mệnh đề(vì là câu cảm thán, câu hỏi)

Các câu (3), (4), (6), (8) là những mệnh đề đúng

Câu (2) và (7) là những mệnh đề sai.

DẠ

Bài 2. Cho ba mệnh đề sau, với n là số tự nhiên (1) n + 8 là số chính phương (2) Chữ số tận cùng của n là 4 (3) n − 1 là số chính phương Page 5

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Biết rằng có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. Hãy xác định mệnh đề nào, đúng mệnh đề nào sai?

FI CI A

Ta có số chính phương có các chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 . Vì vậy

Lời giải

- Nhận thấy giữa mệnh đề (1) và (2) có mâu thuẫn. Bởi vì, giả sử 2 mệnh đề này đồng thời là đúng thì n + 8 có chữ số tận cùng là 2 nên không thể là số chính phương. Vậy trong hai mệnh đề này phải có một mệnh đề là đúng và một mệnh đề là sai. - Tương tự, nhận thấy giữa mệnh đề (2) và (3) cũng có mâu thuẫn. Bởi vì, giả sử mệnh đề này đồng thời là đúng thì n − 1 có chữ số tận cùng là 3 nên không thể là số chính phương. Vậy trong ba mệnh đề trên thì mệnh đề (1) và (3) là đúng, còn mệnh đề (2) là sai.

Bài 3. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề, mệnh đề chứa biến, không là mệnh đề? - Hãy cố gắng học thật tốt! - Số B = ( −∞;3) chia hết cho A ∩ B = [ −1;3) . - Số B = { x ∈ ℝ | x 2 + 1 = 0} là số chẵn.

ƠN

- Số A = [1; +∞ ) là số nguyên tố.

Lời giải

- Số 0 chia hết cho 2 .

Có hai mệnh đề là:

- Số ( A ∪ B ) ∩ C = [1; 4 ) là số nguyên tố. Có một mệnh đề chứa biến là:

QU Y

- Số B = { x ∈ ℝ | x 2 + 1 = 0} là số chẵn. Có một câu không là mệnh đề là:

- Hãy cố gắng học thật tốt! Bài 4. Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan và Inđônêxia. Trước khi thi đấu vòng bán kết, ba bạn Dung, Quang, Trung dự đoán như sau:

Dung: Singapor nhì, còn Thái Lan ba.

KÈ

Quang: Việt Nam nhì, còn Thái Lan tư.

Trung: Singapor nhất và Inđônêxia nhì.

Kết quả, mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy?

Lời giải

+ Nếu Singapor nhì thì Singapor nhất là sai do đó Inđônêxia nhì là đúng(mâu thuẫn)

DẠ

+ Như vậy Thái lan thứ ba là đúng suy ra Việt Nam nhì Singapor nhất và Inđônêxia thứ tư

Bài 5:

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào không phải là mệnh đề, giải thích? 1/ Hải Phòng là một thành phố của Việt Nam. 2/ Bạn có đi xem phim không? Page 6

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP 3/ 210 − 1 chia hết cho 11 . 4/ 2763 là hợp số.

5/ x 2 − 3 x + 2 = 0 .

FI CI A

Lời giải Các phát biểu không phải mệnh đề là 2 và 5 Câu 2 là câu hỏi. Câu 5 là mệnh đề chứa biến.

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề, xét tính đúng, sai của mệnh đề đó. (I): “17 là số nguyên tố”

Bài 6:

(II): “Tam giác vuông có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền” (III): “Các em C14 hãy cố gắng học tập thật tốt nhé !”

ƠN

(IV): “Mọi hình thoi đều nội tiếp được đường tròn”

Lời giải

Câu (II) là mệnh đề đúng.

Câu (I) là mệnh đề đúng.

Câu (III) không phải là mệnh đề. Câu (VI) là mệnh đề sai. Cho các câu sau đây:

QU Y

Bài 7:

(I): “Phan-xi-păng là ngọn núi cao nhất Việt Nam”. (II): “ π 2 < 9,86 ”. (III): “Mệt quá!”.

(IV): “Chị ơi, mấy giờ rồi?”.

Hỏi có bao nhiêu câu là mệnh đề?

KÈ

Lời giải

(I), (II) là mệnh đề, (III), (IV) không là mệnh đề.

Bài 8:

Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề đúng

(I): Hãy cố gắng học thật tốt!

DẠ

(II): Số 20 chia hết cho 6 .

(III): Số 5 là số nguyên tố. (IV): Với mọi k ∈ ℕ , 2k là số chẵn.

Lời giải Page 7

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Có hai mệnh đề đúng là (III) và (IV)

Bài 9:

Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến:

a) 2 − 5 < 0 .

FI CI A

b) 4 + x = 3. c) Hãy trả lời câu hỏi này!. d) Paris là thủ đô nước Ý.

Lời giải a) Mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề chứa biến. c) Không phải là mệnh đề, câu mệnh lệnh. d) Mệnh đề sai.

ƠN

Bài 10. Trong các mệnh đề sau, xét tính đúng sai của các mệnh đề sau? a. Điều kiện cần và đủ để x ≥ y là x3 ≥ y 3 .

b. Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 2 và 3 là số tự nhiên đó chia hết cho 12.

c. Điều kiện cần và đủ để a 2 + b 2 = 0 là cả hai số a và b đều bằng 0. d. Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 3 là n 2 chia hết cho 3. Lời giải

a. Đúng

QU Y

b. Sai vì với số tự nhiên n = 6 thì chia hết cho 2 và 3 nhưng 6 không chia hết cho 12. c. Đúng d. Đúng

Bài 11. Tìm tất cả các giá trị thực của x để mệnh đề P : “ 2 x − 1 ≥ 1” là mệnh đề đúng?

Lời giải

KÈ

2 x − 1 ≥ 1 x ≥ 1 Ta có 2 x − 1 ≥ 1 ⇔  . ⇔  2 x − 1 ≤ −1  x ≤ 0 Bài 12. Tìm tất cả các giá trị thực của x để mệnh đề P : “2 x − 1 ≥ 0” là mệnh đề sai? Lời giải

1 2 2 Bài 13. Tìm tất cả các giá trị thực của x để mệnh đề P : “ x + 5 x + 4 = 0” là mệnh đề sai?

DẠ

Mệnh đề P : “2 x − 1 ≥ 0” sai khi và chỉ khi 2 x − 1 < 0 đúng ⇔ x <

Lời giải Mệnh đề P : “ x 2 + 5 x + 4 = 0” là mệnh đề sai khi thay giá trị x vào biểu thức x 2 + 5 x + 4 ta được kết quả khác 0, ta thấy x ≠ −1; x ≠ −4 thỏa mãn.

Page 8

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Bài 14. Xét câu: P ( n ) : “ n là số thự nhiên nhỏ hơn 50 và n chia hết cho 12”. Với giá trị nào của n sau đây thì P ( n ) là mệnh đề đúng. Khi đó số các giá trị của n bằng bao nhiêu?

 DẠNG 2: XÉT TÍNH ĐÚNG SAI CỦA MỘT MỆNH ĐỀ PHƯƠNG PHÁP Để xét tính đúng, sai của một mệnh đề ta cần nhớ nội dung sau:

 Một câu khẳng định đúng là mệnh đề đúng.

FI CI A

Lời giải Các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 0;12;24;36;48.

 Một câu khẳng định sai là mệnh đề sai.  Không có mệnh đề vừa đúng vừa sai.

ƠN

Bài 1. Xét tính đúng, sai của mệnh đề sau: M: “π là một số hữu tỉ”.

N: “Tổng của độ dài hai cạnh một tam giác lớn hơn độ dài cạnh thứ ba”.

Lời giải Mệnh đề M là một mệnh đề sai vì π là số vô tỉ. Mệnh đề N đúng.

Bài 2. Xét tính đúng, sai của mệnh đề sau:

QU Y

A: “Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn”. B: “Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn”. C: “Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ”.

D: “Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ”.

Lời giải

KÈ

A là mệnh đề sai. Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1, 3 là số lẻ. B là mệnh đề sai. Ví dụ: 2.3 = 6 là số chẵn nhưng 3 là số lẻ. C là mệnh đề sai. Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1, 3 là số lẻ. D là mệnh đề đúng.

Bài 3. Xét tính đúng, sai của mệnh đề sau:

DẠ

P: “ −π < −2 ⇔ π 2 < 4. ”.

Q: “ π < 4  π 2 < 16. ”.

Lời giải

Ta có: π 2 < 4 ⇔ π < 2 ⇔ −2 < π < 2. Suy ra P sai. Page 9

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

π < 4  π 2 < 16 . Suy ra Q đúng. Bài 4. Xét tính đúng, sai của mệnh đề sau:

Y: “ 23 < 5  −2 23 > −10. ”.

Lời giải Ta có:

23 < 5 ⇔ 2 23 < 2.5. Suy ra X đúng.

23 < 5  −2 23 > −2.5. Suy ra Y đúng.

P: “Bình phương tất cả các số nguyên đều chia hết cho 2”.

ƠN

Lời giải

Bài 5. Xét tính đúng, sai của mệnh đề sau: M: “Số nguyên tố lớn hơn 2 là số lẻ”. N: “Số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5”.

FI CI A

X: “ 23 < 5 ⇔ 2 23 < 10 ”.

M là mệnh đề đúng. Vì mọi số lớn hơn 2 mà chẵn thì đêuu chia hết cho 2, nên không thể là số nguyên tố. N là mệnh đề đúng.

P là mệnh đề sai. Ví dụ: 32 = 9 nhưng 9 không chia hết cho 2.

Bài 6. Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai: a) P : “Phương trình x 2 + x + 1 = 0 có nghiệm”.

QU Y

b) Q : “Năm 2020 là năm nhuận”. c) R : “ 327 chia hết cho 3 ”.

Lời giải

a) P : “Phương trình x 2 + x + 1 = 0 vô nghiệm”. P là mệnh đề đúng.

b) Q : “Năm 2020 không phải là năm nhuận”. Q là mệnh đề sai.

KÈ

c) R : “ 327 không chia hết cho 3 ”. R là mệnh đề sai.

Bài 7. Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM . Xét hai mệnh đề P : “Tam giác ABC vuông tại A ”;

Q : “Trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC ”

DẠ

a) Phát biểu mệnh đề P  Q và cho biết mệnh đề này đúng hay sai.

b) Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q và cho biết mệnh đề này đúng hay sai.

Lời giải

Page 10

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP a) “Nếu tam giác ABC đã cho vuông tại A thì trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC ”. Mệnh đề này đúng.

b) “Tam giác ABC đã cho vuông tại A nếu và chỉ nếu trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC ”.

FI CI A

Mệnh đề này đúng.

Bài 8. Cho hai mệnh đề P : “ 42 chia hết cho 5 ”; Q : “ 42 chia hết cho 10 ”

Lời giải

Phát biểu mệnh đề P  Q và cho biết mệnh đề này đúng hay sai, tại sao?

“Do 42 chia hết cho 5 nên nó chia hết cho 10 ”. Mệnh đề này đúng vì P là mệnh đề sai.

ƠN

Bài 9. Xét hai mệnh đề

P : “ 7 là số nguyên tố”; Q : “ 6!+ 1 chia hết cho 7 ”

Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách. Cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

Lời giải

“ 7 là số nguyên tố nếu và chỉ nếu 6!+ 1 chia hết cho 7 ”

QU Y

“Điều kiện cần và đủ để 7 là số nguyên tố là 6!+ 1 chia hết cho 7 ” Mệnh đề này đúng vì cả hai mệnh đề P và Q đều đúng.

Bài 10. Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề: “ ∀n ∈ ℕ , n 2 + n + 1 là số nguyên tố”.

Mệnh đề phủ định đó đúng hay sai?

Lời giải

KÈ

Mệnh đề phủ định là: “ ∃n ∈ ℕ , n 2 + n + 1 không phải là số nguyên tố”. Mệnh đề phủ định đúng. Ví dụ với n = 4 thì n 2 + n + 1 = 21 chia hết cho 3 nên là hợp số.

Bài 11. Xét tinh đúng sai của mệnh đề " ∀x ∈ ℕ, x 2 ⋮ 6  x ⋮ 6" . Lời giải

DẠ

 x 2 ⋮ 3  x⋮3 Ta có x 2 ⋮ 6 ⇔  2 ⇔  ⇔ x⋮ 6 .  x ⋮ 2  x⋮ 2 Vậy mệnh đề đúng.

Page 11

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Bài 12. Xét tinh đúng sai của mệnh đề “Với mọi giá trị n thuộc tập hợp số nguyên, n 2 + 1 không chia hết cho 3”.

Với n = 3k ( k ∈ ℕ )  n2 + 1 = 9k 2 + 1 không chia hết cho 3. Với n = 3k + 1( k ∈ ℕ )  n2 + 1 = 9k 2 + 6k + 1 không chia hết cho 3. Với n = 3k + 2 ( k ∈ ℕ )  n2 + 1 = 9k 2 + 12k + 4 không chia hết cho 3. Do đó mệnh đề trên đúng.

FI CI A

Lời giải

Lời giải Với n = 2k ( k ∈ ℕ )  n2 + 1 = 4k 2 + 1 không chia hết cho 4.

Bài 13. Xét tinh đúng sai của mệnh đề “Tồn tại n thuộc tập hợp số nguyên, n 2 + 1 chia hết cho 4”.

ƠN

Với n = 2k + 1( k ∈ ℕ )  n2 + 1 = 4k 2 + 4k + 2 không chia hết cho 4. Vậy mệnh đề trên sai.

Bài 14. Xét tinh đúng sai của mệnh đề “Nếu 2 a − 1 là số nguyên tố thì a là số nguyên tố”. Lời giải

Giả sử 2 a − 1 là số nguyên tố mà a không là số nguyên tố.

QU Y

∃m, n ∈ ℕ Khi đó  sao cho a = m.n . m ≠ 1, n ≠ 1

n −1 n−2 Khi đó 2 a − 1 = 2 m.n − 1 = ( 2 m − 1) ( 2 m ) + ( 2 m ) + ... + 1 .  

Suy ra 2 a − 1 là hợp số (mâu thuẫn). Vậy mệnh đề trên đúng.

KÈ

Bài 15. Xét tinh đúng sai của mệnh đề “Nếu ∀n ∈ ℕ và n 2 ⋮ 5 thì n⋮ 5 ”. Lời giải

Giả sử ∀n ∈ ℕ và n 2 ⋮ 5 mà ta có n không chia hết cho 5.

Vì n không chia hết cho 5 nên n có thể biểu diễn theo một trong các dạng sau: n = 5k ± 1 hoặc n = 5k ± 2 . Với n = 5k ± 1 ta có n 2 = 25k 2 ± 10k + 1 không chia hết cho 5.

DẠ

Với n = 5k ± 2 ta có n 2 = 25k 2 ± 20 k + 4 không chia hết cho 5.

Vậy mệnh đề trên đúng.

Bài 16. Xét tính đúng sai của mệnh đề: “ ∃n ∈ ℕ, n3 + 3n 2 − 4n + 1 chia hết cho 6”. Page 12

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Lời giải

FI CI A

Vì n ( n + 1)( n + 2 ) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên n ( n + 1)( n + 2 ) chia hết cho 6

∀n ∈ ℕ , ta có: n3 + 3n 2 − 4n + 1 = n ( n 2 + 3n + 2 ) − 6n + 1 = n ( n + 1)( n + 2 ) − 6n + 1 .

Lại có −6n chia hết cho 6; 1 không chia hết cho 6. Do đó n ( n + 1)( n + 2 ) − 6n + 1 không chia hết cho 6. Vậy mệnh đề đã cho là sai.

Lời giải Mệnh đề A đúng và (Tex translation failed) là mệnh đề sai.

Bài 17. Xác định tính đúng, sai của mệnh đề A : " ∀x ∈ ℝ, x 2 ≥ 0 " và tìm mệnh đề phủ định của nó.

Bài 18. Viết mệnh đề phủ định của mệnh đề A :′′ ∀x ∈ ℝ, −4 x 2 + 4 x − 1 ≤ 0′′ và xét tính đúng, sai của mệnh

ƠN

đề đó.

Lời giải

A:"∀x ∈ℝ, −4x2 + 4x −1< 0" là mệnh đề sai vì 1 . 2

Ta có

− 4 x 2 + 4 x − 1 < 0 ⇔ − ( 2 x − 1) < 0 ⇔ x ≠

Khi đó mệnh đề phủ định A:"∃x ∈ℝ, −4x + 4x −1 < 0" là mệnh đề đúng.

QU Y

3 2 Bài 19. Xét mệnh đề chứa biến: P ( x) :" x − 3x + 2x = 0" . Có bao nhiêu giá trị của biến

x để mệnh đề

trên là mệnh đề đúng ? 3

Lời giải

Ta có x −3x + 2x = 0 ⇔ x = 0, x =1, x = 2 . Vậy có ba giá trị của x.

PHƯƠNG PHÁP

 DẠNG 3: PHỦ ĐỊNH MỘT MỆNH ĐỀ

KÈ

 Để phủ định một mệnh đề ta thêm hoặc bớt từ “không” hoặc “không phải” trước vị ngữ của mệnh đề đó.

 Ta có thể dùng từ thay thế hoặc đặt lại câu có cùng ý nghĩa. ′′

DẠ

 Mệnh đề phủ định của mệnh đề ''∀x ∈ X , P ( x)′′ là ''∃x ∈ X , P ( x) . ′′

 Mệnh đề phủ định của mệnh đề ''∃x ∈ X , P ( x )′′ là ''∀x ∈ X , P ( x) .  Để phủ định mệnh đề kéo theo P  Q ta hiểu P  Q là “ ∀x ∈ X , P ( x ) ta có Q ( x ) ” nên mệnh đề phủ định là “ ∃x ∈ X , P ( x ) ta có Q ( x ) ” . Page 13

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Phủ định mệnh đề " P " là mệnh đề " không phải P ", kí hiệu P .

 Quan hệ = thành quan hệ

≠

 Quan hệ

thành quan hệ

≥ và ngược lại.

 Quan hệ

thành quan hệ

≤ và ngược lại.

 Tính chất X thành không X và ngược lại.

FI CI A

và ngược lại.

 ∃x ∈ X , P ( x) thành ∀x ∈ X , P ( x ) .  ∀x ∈ X , ∀y ∈Y , P ( x, y ) thành ∃x ∈ X , ∃y ∈ Y , P ( x, y ) .

ƠN

 ∃x ∈ X , ∃y ∈Y , P ( x, y ) thành ∀x ∈ X , ∀y ∈ Y , P ( x, y ) .

 ∀x ∈ X , P ( x) thành ∃x ∈ X , P ( x ) .

Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng.

Bài 1. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau.

P : " Trong tam giác tổng ba góc bằng 1800" Q : " 6 không phải là số nguyên tố"

Lời giải

QU Y

Ta có các mệnh đề phủ định là:

P : "Trong tam giác tổng ba góc không bằng 1800 " Q : " 6 là số nguyên tố"

Bài 2. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau . b) Có một tam giác cân không phải là tam giác đều.

Lời giải

KÈ

a) Mọi hình vuông đều là hình thoi.

Ta có các mệnh đề phủ định là: a) Có ít nhất một hình vuông không phải là hình thoi.

b) Mọi tam giác cân đều là tam giác đều.

DẠ

Bài 3. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau . a) ∀x ∈ ℝ : x 2 ≥ 0 b) ∃n ∈ ℕ : n 2 < n . Lời giải Ta có các mệnh đề phủ định là: a) ∃x ∈ ℝ : x 2 < 0 b) ∀n ∈ ℕ : n 2 ≥ n Bài 4. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau Page 14

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP a) ∃x ∈ ℤ : x 2 + 2 x + 5 = 0

b) ∀x ∈ ℚ : 3 x ≠ x 2 + 2 .

Lời giải

FI CI A

Ta có các mệnh đề phủ định là: a) ∀x ∈ ℤ : x 2 + 2 x + 5 ≠ 0 b) ∃x ∈ ℚ : 3 x = x 2 + 2 Bài 5. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau . P : “Phương trình x 2 + 1 = 0 có nghiệm” Q : “ ∀n ∈ N , 2n + 1 là số lẻ” Lời giải Ta có các mệnh đề phủ định là:

P : “Phương trình x 2 + 1 = 0 vô nghiệm”

Q : “ ∃n ∈ N , 2 n + 1 là số chẵn”

Bài 6. Xét tính đúng sai và nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề “ ∀n ∈ ℕ* , n ( n 2 − 1) là bội số của 3 ”.

Mệnh

đề

“ ∀n ∈ ℕ* , n ( n 2 − 1)

là

b ội

số

của

3”

là

mệnh

đề

đúng

vì

n ( n 2 − 1) = ( n − 1) n ( n + 1)⋮ 3, ∀n ∈ ℕ* .

ƠN

Lời giải

Phủ định của mệnh đề “ ∀n ∈ ℕ* , n ( n 2 − 1) là bội số của 3 ” là mệnh đề “ ∃n ∈ ℕ* , n ( n 2 − 1) không phải là bội số của 3 ”.

QU Y

Bài 7. Xét tính đúng sai và nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề “ ∃x ∈ ℝ : x 2 − 6 x + 5 = 0 ”. Lời giải

x =1 Mệnh đề “ ∃x ∈ ℝ : x 2 − 6 x + 5 = 0 ” là mệnh đề đúng vì x 2 − 6 x + 5 = 0 ⇔   x = 5.

Phủ định của mệnh đề “ ∃x ∈ ℝ : x 2 − 6 x + 5 = 0 ” là mệnh đề “ ∀x ∈ ℝ : x 2 − 6 x + 5 ≠ 0 ”.

KÈ

Bài 8. Xét tính đúng sai và nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề “ ∀x ∈ ℝ , ∃y ∈ ℝ : y = x + 3 ”. Lời giải

Mệnh đề “ ∀x ∈ ℝ , ∃y ∈ ℝ : y = x + 3 ” đúng vì ∀x ∈ ℝ , y = x + 3 ∈ ℝ .

Phủ định của mệnh đề “ ∀x ∈ ℝ , ∃y ∈ ℝ : y = x + 3 ” là mệnh đề “ ∃x ∈ ℝ , ∀y ∈ ℝ : y ≠ x + 3 ”.

DẠ

Bài 9. Phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề “ n chia hết cho 2 và cho 3 thì nó chia hết cho 6 ”. Lời giải

Phủ định của mệnh đề “ n chia hết cho 2 và cho 3 thì nó chia hết cho 6 ” là mệnh đề “Có n chia

hết cho 2 và cho 3 mà không chia hết cho 6 ”. Page 15

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Bài 10. Phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề “Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”.

Lời giải hai tam giác bằng nhau mà diện tích của chúng khác nhau” .

FI CI A

Phủ định của mệnh đề “Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau” là mệnh đề “Có

Bài 11. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó a) ∀n ∈ℕ : n chia hết cho n .

b) ∃x ∈ Q : x 2 = 2 .

c) ∀x ∈ ℝ : x < x + 1.

d) ∃x ∈ R : 3 x = x 2 + 1 .

a) ∃n ∈ N : n không chia hết cho n . Mệnh đề phủ định đúng. b) ∀x ∈ Q : x 2 ≠ 2. Mệnh đề phủ định đúng.

ƠN

c) ∃x ∈ R : x ≥ x + 1. Mệnh đề phủ định sai.

Lời giải

d) ∀x ∈ R : 3 x ≠ x 2 + 1. Mệnh đề phủ định sai.

Bài 12. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mệnh đề:

∃n, n ( n + 1)( n + 2 ) là số không chia hết cho 6 .

QU Y

Lời giải

∀n, n ( n + 1)( n + 2 ) là số chia hết cho 6 .

Mệnh đề này đúng vì ∀n ∈ ℕ, n ( n + 1)( n + 2 ) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, trong đó, luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 2.3 = 6 .

Bài 13. Phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề sau. Cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định a) ∃a ∈ R, ∃b ∈ R , a + b > 1 . 2

KÈ

b) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R, ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 . c) ∃a ∈ R, ∀b ∈ R, a 2 < b

DẠ

d) ∃a , b, c ∈ ℝ mà a + b + c ≠ 0 thì −

a2 + b2 + c2 ≠ ab + bc + ca . 2 Lời giải

a) Phủ định của mệnh đề là ∀a ∈ R , ∀b ∈ R , a + b ≤ 1 .

Mệnh đề phủ định này sai vì với a = 1; b = 1 thì a + b = 2 > 1. Page 16

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP 2

b) Phủ định của mệnh đề là ∃a ∈ R, ∃b ∈ R, ( a + b ) ≠ a 2 + 2ab + b 2 .

Mệnh đề phủ định này sai.

FI CI A

c) Phủ định của mệnh đề là ∀a ∈ R, ∃b ∈ R, a 2 ≥ b . Mệnh đề phủ định này đúng. d) Phủ định của mệnh đề là ∀a , b, c ∈ ℝ mà a + b + c = 0 thì −

a 2 + b2 + c 2 = ab + bc + ca . 2

Mệnh đề phủ định này đúng vì a + b + c = 0 ⇔ ( a + b + c ) = 0 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = 0 a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 2

⇔−

Bài 14. Phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề sau. Cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định

ƠN

P : “ ∃n ∈ ℕ : A = n ( n + 1)( n + 2 )( n + 3) + 1 không là số chính phương".

Lời giải

P : “ ∀n ∈ ℕ : A = n ( n + 1)( n + 2 )( n + 3) + 1 là số chính phương".

(

)(

)

(

)

P đúng vì ∀n ∈ ℕ : A = n ( n + 1)( n + 2 )( n + 3) + 1 = n 2 + 3n n 2 + 3n + 2 + 1 = n 2 + 3n + 1 .

 DẠNG 4: MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO, MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG

QU Y

PHƯƠNG PHÁP 1. Mệnh đề kéo theo

a. ĐN: Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề dạng: “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. - Ký hiệu là: P ⟹ Q.

- Cách xét tính đúng sai của mệnh đề kéo theo P ⟹ Q: Mệnh đề kéo theo P ⟹ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

b. Xét tính đúng, sai của mệnh đề kéo theo:

KÈ

- P ⟹ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. - Phương pháp xét tính đúng sai của mệnh đề P ⟹ Q - Quan sát xem P, Q đúng hay sai

DẠ

- Khi đó P ⟹ Q rơi vào mẫu nào trong 4 mẫu sau 1. Đ ⟹ SSai

2. Đ ⟹ Đ

3. ‫ ⟹ ܁‬Đ

4. ‫ ܁ ⟹ ܁‬Đúng

Đặc biệt: Có hai trường hợp mà chỉ cần nhìn vào một trong hai mệnh đề P hoặc Q ta sẽ biết (P ⟹ Q) luôn đúng: TH1: P sai. TH2: Q đúng. - Chú ý:

തതതതതതതതത ഥ. P ⟹ Q chính là P ∩ Q Page 17

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP 2. Mệnh đề tương đương a. Mệnh đề đảo: Mệnh đề Q⟹P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P⟹Q

b. Mệnh đề tương đương - Điều kiện cần và đủ:

FI CI A

- Nếu cả hai mệnh đề "P ⟹ Q" và "Q ⟹ P" đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương và kí hiệu "P ⟺ Q". - Lúc đó ta nói: P là điều kiện cần và đủ để có Q hay Q là điều kiện cần và đủ để có P. Hoặc P nếu và chỉ nếu Q Hay P khi và chỉ khi Q

- Cách xét tính đúng, sai của mệnh đề tương đương :

Hay Điều kiện cần và đủ để có P là Q.

Mệnh đề P ⇔ Q chỉ đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo P ⟹ Q và Q ⟹ P đều đúng. Nói cách khác mệnh đề P ⇔ Q đúng nếu cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai.

ƠN

Bài 1. Lập mệnh đề P  Q và xét tính đúng sau của nó, với P :"π > 4" và Q :" π 2 > 10" . Lời giải

Ta có mệnh đề P  Q là: “Nếu π > 4 thì π 2 > 10 ”.

Vì P sai (và Q sai) nên mệnh đề P  Q là mệnh đề đúng.

QU Y

= 900 thì ∆ABC là tam giác vuông” và xét tính đúng Bài 2. Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu A sai của nó. Lời giải

Ta có mệnh đề P  Q : “Nếu A = 900 thì ∆ABC là tam giác vuông” Mệnh đề đảo của mệnh đề trên là Q  P : “ Nếu ∆ABC là tam giác vuông thì A = 90° ”. Mệnh đề Q  P là mệnh đề sai, ví dụ trường hợp ∆ABC vuông tại B .

Bài 3. Cho mệnh đề P : "2 < 3", Q : "− 4 < −6" . Lập mệnh đề P  Q và xét tính đúng sai của nó. Lời giải

KÈ

( P  Q ) : “Nếu 2 < 3 thì −4 < −6 ”. Mệnh đề sai.

Bài 4. Giả sử ABC là một tam giác đã cho. Lập mệnh đề P  Q và mệnh đề đảo của nó, rồi xét tính đúng

sai của chúng với P: " Góc A bằng 90° " , Q: " BC 2 = AB 2 + AC 2 " .

Lời giải

DẠ

Với tam giác ABC đã cho, ta có ( P  Q ) : “Nếu góc A bằng 90 o thì BC 2 = AB 2 + AC 2 ” là mệnh đề đúng. (Q  P ) : “Nếu BC 2 = AB 2 + AC 2 thì Aˆ = 90o ” là mệnh đề đúng.

Page 18

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Bài 5. Cho ∆ABC . Xét mệnh đề P : “ ∆ABC là tam giác cân” và mệnh đề Q : “ ∆ABC có hai đường trung tuyến bằng nhau”. Lập mệnh đề P ⇔ Q và xét tính đúng sai của nó.

Lời giải

FI CI A

Ta có mệnh đề P ⇔ Q là: “ ∆ABC là tam giác cân khi và chỉ khi tam giác đó có hai đường trung tuyến bằng nhau”. Vì P  Q và Q  P đều là hai mệnh đề đúng nên mệnh đề P ⇔ Q đúng.

Bài 6. Phát biểu mệnh đề đảo của định lý: “Trong một tam giác cân, các đường cao ứng với các cạnh bên bằng nhau”. Mệnh đề đảo đó đúng hay sai? Tại sao?

Lời giải

Mệnh đề đảo: “Trong tam giác, các đường cao ứng với các cạnh bên bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân”.

Bài 7. Cho mệnh đề chứa biến

P ( n ) : 5n + 3 chia hết cho 3, với n ∈ N ,

ƠN

Mệnh đề đảo trên đúng. (Hs tự chứng minh)

Q ( n ) : n chia hết cho 3, với n ∈ N .

Phát biểu mệnh đề “ ∀n ∈ N , P ( n )  Q ( n ) ” và từ đó phát biểu mệnh đề đảo. Xét tính đúng sai

QU Y

của mệnh đề đảo.

Lời giải

Mệnh đề: “ ∀n ∈ ℕ, 5n + 3 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3” Mệnh đề đảo: “ ∀n ∈ ℕ , n chia hết cho 3 thì 5n + 3 chia hết cho 3”.

Mệnh đề đảo trên đúng. Vì:

KÈ

n chia hết cho 3 suy ra n = 3k , ∀k ∈ ℕ . Khi đó : 5n + 3 = 5.3.k + 3 = 15k + 3, ∀k ∈ ℕ 15k ⋮ 3  15k + 3⋮ 3, ∀k ∈ ℕ.  3⋮ 3

Vậy 5n + 3 chia hết cho 3.

DẠ

Bài 8. Cho hai mệnh đề P và Q: P: ABCD là tứ giác nội tiếp. Q: Tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180o .

Hãy phát biểu mệnh đề P  Q dưới dạng điều kiện cần và đủ. Page 19

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Lời giải Điều kiện cần : “ ABCD là tứ giác nội tiếp là điều kiện cần để tổng số đo hai góc đối nhau bằng

180o ”.

ABCD là tứ giác nội tiếp.” Bài 9. Cho các mệnh đề :

B: “Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình vuông”; C:”15 là số nguyên tố”;

ƠN

D:” 125 là một số nguyên”.

a 3 ”; 2

A: “Nếu ∆ABC đều có cạnh bằng a, đường cao là h thì h =

FI CI A

Điều kiện đủ: “Trong tứ giác ABCD , tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180o là điều kiện đủ đề

Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai: A  B , B  C , A  D . Giải thích.

Lời giải

A  B là mệnh đề sai. Vì A đúng, B sai.

B  C là mệnh đề đúng. Vì B,C đều sai.

QU Y

A  D là mệnh đề sai. Vì A đúng, D sai. Bài 5. Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q và xét tính đúng sai của nó. Giải thích P: “Bất phương trình x 2 − 3 x + 1 > 0 có nghiệm” Q: “Bất phương trình x 2 − 3 x + 1 ≤ 0 vô nghiệm”

Lời giải

KÈ

Mệnh đề P ⇔ Q : “Bất phương trình x 2 − 3 x + 1 > 0 có nghiệm khi chỉ khi bất phương trình x 2 − 3 x + 1 ≤ 0 vô nghiệm”.

Mệnh đề trên sai. Vì bất phương trình x 2 − 3 x + 1 ≤ 0 có nghiệm.

DẠ

Bài 6. Câu sau đây là biểu đạt của mệnh đề nào? “Mấy đời bánh đúc có xương Mấy đời dì ghẻ có thương con chồng.” “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa Page 20

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Bay cao thì nắng bay vừa thì râm.”

Lời giải

Đây là mệnh đề kéo theo. Mệnh đề "P ⟹ Q" biểu hiện bởi chữ “thì”.

FI CI A

Bài 7. Trên một hòn đảo, tôi đã gặp ba người A, B và C, một người là hiệp sĩ, một người khác là kẻ bất

lương và người kia là gián điệp. Người hiệp sĩ luôn nói sự thật, kẻ bất lương luôn luôn nói dối và gián điệp có thể nói dối hoặc nói sự thật. A nói: "Tôi là hiệp sĩ."

C nói: "Tôi là gián điệp." Hỏi ai là gián điệp?

ƠN

Lời giải

B nói, "Tôi là kẻ bất lương."

Do tính đúng sai nên để xác định kết quả nhanh nhất, ta sẽ xét hiệp sĩ và gián điệp. Nếu A nói thật

⟹ B hoặc C là kẻ bất lương.

⟹ A là hiệp sĩ.

Nếu B là kẻ bất lương ⟹ B nói dối ⟹ Mâu thuẫn Nếu C là kẻ bất lương ⟹ C nói dối ⟹ Thỏa mãn

QU Y

Vậy A là hiệp sĩ, C là kẻ bất lương và B là gián điệp cần tìm.

Bài 8. Ba anh em An, Bình, Vinh ngồi làm bài xung quanh một cái bàn được trải khăn mới. Khi phát hiện có vết mực, bà hỏi thì các cháu lần lượt trả lời: An: “Em Vinh không làm đổ mực, đấy là do em Bình.”

Bình: “Em Vinh làm đổ mực, anh An không làm đổ mực”.

KÈ

Vinh: “Theo cháu, Bình không làm đổ mực, còn cháu hôm nay không chuẩn bị bài”. Biết rằng trong 3 em thì có 2 em nói đúng, 1 em nói sai. Hỏi ai làm đổ mực?

Lời giải

Nếu An nói đúng thì Bình là người làm đổ, suy ra Bình nói sai, theo đề bài ta có Vinh nói đúng.

DẠ

Nếu Vinh nói đúng thì Bình không làm đổ mực. Suy ra mâu thuẫn. Nếu Bình nói đúng, Vinh làm đổ mực thì An nói sai. Dẫn đến Vinh nói đúng. Suy ra thỏa mãn.

Vậy Vinh làm đổ mực.

Bài 9. Ếch hay cóc? Page 21

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Trong một đầm lầy ma thuật, có hai loài lưỡng cư biết nói: cóc luôn luôn nói đúng và ếch luôn luôn nói sai.

Bốn loài lưỡng cư, Brian, Chris, LeRoy và Mike sống cùng nhau trong đầm lầy này và chúng đưa ra

FI CI A

những tuyên bố sau: Brian: "Mike và tôi là những loài khác nhau." Chris: "LeRoy là một con ếch." LeRoy: "Chris là một con ếch."

Có bao nhiêu loài lưỡng cư là ếch?

Lời giải Cách 1: Trình bày lời văn:

ƠN

Giả sử Brian là cóc (nói thật)

Mike: "Trong bốn người chúng tôi, ít nhất hai người là cóc."

⟹ Mike là ếch (nói dối)

⟹ Chỉ có 1 con là ếch trong 4 con. Mà Mike đã là ếch ⟹ LeRoy và Chris là đều cóc (nói thật)

Nhưng Chris nói LeRoy là ếch ⟹ mâu thuẫn Vậy Brian nói dối (là Ếch)

QU Y

⟹ Brian và Mike cùng là loài ếch (nói dối)

⟹ Chỉ có 1 con cóc và 3 con còn lại là ếch (*) • •

Nếu Chris là Cóc (nói thật) ⟹ LeRoy là ếch (nói dối) ⟹ Thỏa mãn (*) Nếu LeRoy là Cóc (nói thật) ⟹ Chris là ếch (nói dối) ⟹ Thỏa mãn (*) Vậy có 3 loài lưỡng cư là ếch

Cách 2: Dùng bảng

KÈ

Kí hiệu: Cóc : x

Ếch: o

Chris o x o

LeRoy o o x

DẠ

Brian x o o

Vậy có 3 loài lưỡng cư là ếch.

Page 22

Mike o o o

Mâu thuẫn Thỏa mãn Thỏa mãn

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

Câu 1:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu nào sau đây không là mệnh đề?

2 =

FI CI A

A. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. B. 3 < 1 . C. 4 − 5 = 1. D. Bạn học giỏi quá! Lời giải Chọn D

Câu nào trong các câu sau không phải là mệnh đề?

A. π có phải là một số vô tỷ không?. C.

2 là một số hữu tỷ.

Chọn A Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

A. 12 là số tự nhiên lẻ. C. Các bạn có chăm học không?

B. An học lớp mấy? D. Các bạn hãy làm bài đi! Lời giải

QU Y

Chọn A

Câu 3:

B. 2 + 2 = 5 . 4 D. = 2 . 2 Lời giải

ƠN

Câu 2:

Vì “Bạn học giỏi quá!” là câu cảm thán không có khẳng định đúng hoặc sai.

Câu a) là câu cảm thán không phải là mệnh đề.

Câu 4:

Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Cố lên, sắp đói rồi!

b) Số 15 là số nguyên tố.

c) Tổng các góc của một tam giác là 180°.

KÈ

d) x là số nguyên dương.

A. 3.

B. 2.

C. 4. Lời giải

Chọn B

Câu a) không là mệnh đề.

DẠ

Câu 5:

Câu nào sau đây không là mệnh đề?

A. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. B. 3 < 1 . C. 4 − 5 = 1. D. Bạn học giỏi quá! Page 23

D. 1.

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Lời giải

Câu 6.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là đúng? A. “ Nếu I là trung điểm của AB thì IA = IB”. B. “ Nếu ABCD là hình bình hành thì AC = AB + AD ’’.

C. “ Nếu x > 2 thì x > 2 ”.

FI CI A

Vì “Bạn học giỏi quá!” là câu cảm thán không có khẳng định đúng hoặc sai.

Chọn D

D. “ Nếu m, n là 2 số nguyên dương và cùng chia hết cho 3 thì m 2 + n 2 cũng chia hết cho 3”. Lời giải

Chọn D - Đáp án A sai vì IA = IB thì IAB có thể là tam giác cân tại I. - Đáp án B sai vì AC = AB + AD thì A, B , C , D có thể thẳng hàng.

ƠN

- Đáp án C sai vì x > 2 thì x < −2 hoặc x > 2 - Đáp án D đúng:

Nhận xét: m 2 ( n 2 ) là các số chính phương nên chia cho 3 có thể dư 0 hoặc 1 ( chứng minh bằng cách xét m = 3k , m = 3k + 1, m = 3k + 2 ) Do đó:

Nếu m 2 , n 2 cùng chia 3 dư 1 thì m 2 + n 2 chia 3 dư 2 ( trái giả thiết)

QU Y

Nếu 1 trong 2 số m 2 , n 2 có 1 số chia hết cho 3 và số còn lại chia hết cho 3 dư 1 thì m 2 + n 2 chia 3 dư 1 ( trái giả thiết)

Suy ra m 2 , n 2 cùng chia hết cho 3. Mà 3 là số nguyên tố nên m, n cùng chia hết cho 3

Câu 7. Trong các mệnh đề dưới đây, các mệnh đề nào sai. M: “ ∃r ∈ ℚ, 4r 2 − 1 = 0 ”.

N: “ ∃n ∈ ℕ, n 2 + 1 chia hết cho 8”.

KÈ

X: “ ∀n ∈ ℕ* ,1 + 2 + 3 +…+ n không chia hết cho 11”. Q: “ ∃n ∈ ℤ, n 2 + n + 1 là một số chẵn”.

DẠ

E: “ ∀x ∈ ℤ, A. N, X, Q

2 x3 − 6 x 2 + x − 3 ∈ ℤ ”. 2x2 + 1

B. M, X, Q

C. N, Q, E Lời giải

Chọn A Mệnh đề M đúng, vì với r =

1 ∈ ℚ, 4r 2 − 1 = 0 . 2 Page 24

D. M, Q, E

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Mệnh đề N sai. Ta chứng tỏ mệnh đề phủ định “ ∀n ∈ ℕ, n 2 + 1 không chia hết cho 8” là đúng. + Nếu n chẵn thì n 2 + 1 là một số lẻ nên không chia hết cho 8

số chẵn

FI CI A

+ Nếu n lẻ, n = 2k + 1( k ∈ ℕ ) thì n 2 + 1 = 4k 2 + 4k + 2 = 4k. ( k + 1) + 2 chia 8 dư 2 vì k ( k + 1) là

Mệnh đề X sai. Ta chứng tỏ mệnh đề phủ định “ ∃n ∈ ℕ* ,1 + 2 + 3 +…+ n chia hết cho 11”. Thật vậy, nếu n = 11 ∈ ℕ* thì 1 + 2 +3 +…+ 11 = 66 chia hết cho 11.

Mệnh đề Q sai. Ta chứng minh mệnh đề phủ định “ ∀n ∈ ℤ, n 2 + n + 1 là một số lẻ” là đúng.

+ Nếu n lẻ, n = 2k + 1 thì n 2 + n + 1 = 4k 2 + 6k + 3 là số lẻ.

Câu 8.

2 2 x 3 − 6 x 2 + x − 3 ( 2 x + 1) ( x − 3) = = x − 3∈ ℤ . 2x2 + 1 2x2 +1

ƠN

Mệnh đề E đúng vì ∀x ∈ ℤ,

+ Nếu n chẵn n 2 + n + 1 là một số lẻ,

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

a) ∃n ∈ ℤ : 2 n + 1 là số nguyên. n

c) ∀n ∈ ℤ, ∃m ∈ ℕ : m + n ∈ ℕ . d) ∃x ∈ ℕ :1 − x 2 ≥ 0 . e) ∀n ∈ ℕ, n 2 ⋮ 9  n ⋮ 9 .

B. 2.

QU Y

A. 1.

b) ∀n ∈ ℕ :22 + 1 là số nguyên tố.

Chọn C

C. 3. Lời giải

D. 4.

23 + 1 = 3 là số nguyên.

a) Đúng. Với n = 3 thì

b) Sai. Với n = 5 thì 22 + 1 = 4294967297 = 641.6700417 không phải là số nguyên tố.

c) Đúng. Lấy n bất kỳ thuộc ℤ ta chọn m = n + 1 , khi đó m + n ∈ℕ .

KÈ

d) Đúng. Với x = 0 ∈ℕ ta có 1 − 0 2 > 0 . e) Sai. Với n = 3 thì 32 ⋮ 9 nhưng 3 ⋮/ 9 . Câu 9. Cho các mệnh đề sau: (1) a⋮ 2 và a⋮ 3 ⇔ a⋮ 6 .

(2) a ⋮ 3 ⇔ a⋮ 9 .

DẠ

(3) a ⋮ 2 ⇔ a⋮ 4 . (4) a⋮ 3 và a⋮ 6 thì a⋮18 .

(5) a + b < 0 ⇔ a < 0 và b < 0 . (6) ab = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0 . Page 25

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP (7) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi hai tam giác đó đồng dạng.

(8) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

A. 4.

B. 6.

FI CI A

Có bao nhiêu mệnh đề sai trong các mệnh đề trên?

C. 5. Lời giải

D. 7.

Chọn C (1) đúng.

(3) sai, vì 2⋮ 2 nhưng 2 ⋮ 4 . (4) sai, vì 6⋮ 3 và 6⋮ 6 nhưng 6 ⋮ 18 .

ƠN

(5) sai, ví dụ a = 5, b = -7 có tổng a + b < 0 nhưng a > 0.

(2) sai, ví dụ 6 ⋮ 3 nhưng 6 ⋮/ 9 .

(6) đúng.

(7) sai, 2 tam giác đồng dạng có thể không bằng nhau.

(8) đúng.

Câu 10. Cho ba mệnh đề sau, với n là số tự nhiên: (1) n + 8 là số chính phương (2) Chữ số tận cùng của n là 4

QU Y

(3) n − 1 là số chính phương

Biết rằng có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. Hãy xác định mệnh đề nào, đúng mệnh đề nào sai?

KÈ

Chọn D

A. Mệnh đề (2) và (3) là đúng, còn mệnh đề (1) là sai B. Mệnh đề (1) và (2) là đúng, còn mệnh đề (3) là sai C. Mệnh đề (1) là đúng, còn mệnh đề (2) và (3) là sai. D. Mệnh đề (1) và (3) là đúng, còn mệnh đề (2) là sai. Lời giải Ta có số chính phương có các chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 . Vì vậy

DẠ

Câu 11. Mệnh đề nào sau đây đúng? Page 26

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP B. π 2 > 16. D. 36 ≥ 6. Lời giải

A. π < 3. C.

35 > 6.

Câu 12. Mệnh đề nào sau đây sai? A. 30 chia hết cho 5.

FI CI A

Chọn D Ta có 36 = 6  Chọn D.

B. 30 là bội số của 5.

C. 30 là ước số của 5.

D. 5 là ước số của 30. Lời giải

Chọn C Ta có 30 : 5 = 6 nên A, B, D đúng; C sai.

Câu 13. Mệnh đề nào là sau đây sai? A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau.

ƠN

B. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông .

C. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại . D. Một tam giác là đều khi và chỉ khi nó là tam giác cân và có một góc bằng 60°.

Lời giải

Chọn A Vì hai tam giác đồng dạng thì luôn có các góc bằng nhau nên A sai. Các mệnh đề B, C, D đúng.

QU Y

Câu 14. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác ABCD là hình bình hành. B. Nếu tứ giác ABCD một cặp cạnh đối song song thì tứ giác ABCD là hình bình hành. C. Nếu tứ giác ABCD có một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

D. Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

KÈ

Lời giải

Chọn A Theo định lý đã học suy ra chọn A. Các mệnh đề B, C, D sai.

DẠ

Câu 15. Mệnh đề nào sau đây sai? A. 2 là số nguyên tố. C. 5 là số nguyên tố.

B. 1 là số nguyên tố. D. 6 không phải là số nguyên tố. Lời giải

Chọn B

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Vậy B sai. Page 27

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

B. π < 4 ⇔ π 2 < 16.

23 < 5  2 23 < 2.5.

23 < 5  −2 23 > −2.5.

FI CI A

Lời giải

A. −π < −2 ⇔ π 2 < 4.

Ta có: π < 4 ⇔ π < 2 ⇔ −2 < π < 2. Suy ra A sai. 2

Câu 17. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau. B. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông .

C. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.

D. Một tam giác là đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 60°.

ƠN

Lời giải

Đáp án A sai vì hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau. Hai tam giác đồng dạng bằng nhau khi chúng có cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

Câu 18. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?

A. Nếu số nguyên n có chữ số tận cùng là 5 thì số nguyên n chia hết cho 5. B. Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

QU Y

C. Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau. D. Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Lời giải

Xét mệnh đề đảo của đáp án A: “Nếu số nguyên n chia hết cho 5 thì số nguyên n có chữ số tận cùng là 5 ”. Mệnh đề này sai vì số nguyên n cũng có thể có chữ số tận cùng là 0 .

Xét mệnh đề đảo của đáp án B: “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”. Mệnh đề này đúng.

KÈ

Câu 19. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu số nguyên n có tổng các chữ số bằng 9 thì số tự nhiên n chia hết cho 3. B. Nếu x > y thì x 2 > y 2 .

DẠ

C. Nếu x = y thì t.x = t. y. D. Nếu x > y thì x3 > y 3 . Lời giải

Page 28

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

Xét mệnh đề đảo của đáp án A: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 3 thì số nguyên n có tổng các chữ số bằng 9 ”. Mệnh đề này sai vì tổng các chữ số của n phải chia hết cho 9 thì n mới chia hết cho 9 .

x > y “Nếu x 2 > y 2 thì x > y ” sai vì x 2 > y 2 ⇔ x > y ⇔  . x < − y

FI CI A

Xét mệnh đề đảo của đáp án B:

Xét mệnh đề đảo của đáp án C: “Nếu t.x = t. y thì x = y ” sai với t = 0  x, y ∈ ℝ.

Câu 20. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. " ABC là tam giác đều ⇔ Tam giác ABC cân ".

B. " ABC là tam giác đều ⇔ Tam giác ABC cân và có một góc 60°".

C. " ABC là tam giác đều ⇔ ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau ". D. " ABC là tam giác đều ⇔ Tam giác ABC có hai góc bằng 60°".

ƠN

Lời giải

Mệnh đề kéo théo " ABC là tam giác đều  Tam giác ABC cân " là mệnh đề đúng, nhưng mệnh đề đảo " Tam giác ABC cân  ABC là tam giác đều " là mệnh đề sai.

Do đó, 2 mệnh đề " ABC là tam giác đều" và "Tam giác ABC cân" không phải là 2 mệnh đề tương đương.

Câu 21. Mệnh đề nào sau đây đúng?

QU Y

A. ∀n ∈ ℕ : n ( n + 1) là số chính phương.

B. ∀n ∈ ℕ : n ( n + 1) là số lẻ.

C. ∀n ∈ ℕ : n ( n + 1)( n + 2 ) là số lẻ.

Chọn D

D. ∀n ∈ ℕ : n ( n + 1)( n + 2 ) chia hết cho 6. Lời giải

Ta có n ( n + 1)( n + 2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên n ( n + 1)( n + 2) chia hết cho 3 và chia hết cho 2. Vậy n ( n + 1)( n + 2 ) chia hết cho 6.

KÈ

Câu 22. Tìm mệnh đề đúng

B. ∀x ∈ ℝ : x 2 − 7 x + 15 > 0 .

C. ∃x ∈ ℕ : x3 + 2 x 2 + 8 x + 16 = 0 .

D. ∃n ∈ ℕ : n 2 + 1 chia hết cho 4.

A. ∀n ∈ ℕ, n5 − 3 là bội số của 7.

Lời giải

DẠ

Chọn B 2

7  11  Ta có x 2 − 7 x + 15 =  x −  + > 0, ∀x ∈ ℝ . 2 4 

Vậy mệnh đề B đúng. Page 29

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

A. ∃n ∈ ℕ, n3 − n không chia hết cho 3.

B. ∀x ∈ ℝ, x < 3  x 2 < 9 .

C. ∃k ∈ ℤ, k 2 + k + 1 là một số chẵn.

D. ∀x ∈ ℤ, Lời giải

Chọn D 2 x3 − 6 x2 + x − 3 = x − 3 ∈ ℤ, ∀x ∈ ℤ . 2 x2 + 1

Ta có

FI CI A

2 x3 − 6 x 2 + x − 3 ∈ℤ . 2x2 + 1

Câu 23. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Vậy mệnh đề D đúng.

Câu 24. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

C. ∀n ∈ ℕ, n 2 + 1 không chia hết cho 3.

ƠN

B. ∀x ∈ ℝ, x < 6  x < 6 .

A. ∃x ∈ ℝ, x > x 2 .

D. ∃a ∈ ℚ, a 2 = 7 .

Chọn D

Lời giải

Câu 25. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. ∃x ∈ ℝ, x 2 + 5 = 0 .

B. ∃x ∈ ℝ, x 4 + 5 x 2 + 4 = 0 .

QU Y

C. ∀n ∈ ℕ, n3 − n chia hết cho 3.

Chọn C

D. ∀x ∈ ℤ, x5 > x 2 . Lời giải

Với n ∈ ℕ * thì n3 − n = n ( n − 1)( n + 1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên n 3 − n chia hết cho 3.

Với n = 0 thì n 3 − n = 0 chia hết cho 3.

KÈ

Vậy ∀n ∈ ℕ, n3 − n chia hết cho 3. Câu 26. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Phương trình x 3 + 3 x 2 − x − 3 = 0 có 2 nghiệm nguyên dương.

DẠ

B. ∃x ∈ R : − x 2 + 6 x − 10 > 0 . 1 C. “∀x ∈ ℝ : x 2 − x ≥ − ” . 4 2 x −1 D. Bất phương trình < x có tập nghiệm là R \ {0} . x Lời giải Chọn C

Page 30

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Phương án A sai vì

 x = −1 x + 3 x − x − 3 = 0 ⇔ x ( x − 1) + 3 ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x + 3) = 0 ⇔  x = −3  x = 1 2

Phương án B sai vì − x 2 + 6 x − 10 = − ( x − 3) − 1 < 0 ∀x ∈ ℝ . 2

Phương án C đúng vì x 2 − x +

Phương án D sai vì

1  1 =  x −  ≥ 0 ∀x ∈ ℝ . 4  2

x2 −1 1 < x⇔ <0⇔ x<0 x x

Câu 27. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. 4 + 4 2 + 43 + .... + 499 + 4100 chia hết cho 5. B. ∀n ∈ ℕ : n 2 + 1 không chia hết cho 4 .

ƠN

C. ∃n ∈ N : 2 n − 1 chia hết cho 7 .

FI CI A

D. 13 + 23 + 33 + .... + 1003 không chia hết cho 5050 .

Chọn D Phương án A đúng vì

Lời giải

4 + 42 + 43 + .... + 499 + 4100 = 4.5 + 43.5 + ... + 499.5 = 5 ( 4 + 43 + ... + 499 ) chia hết cho 5.

QU Y

Phương án B đúng vì +) TH1 : n = 2k , k ∈ ℕ

Ta có : n 2 + 1 = 4k 2 + 1 không chia hết cho 4. +) TH1 : n = 2k + 1, k ∈ ℕ

Ta có : n 2 + 1 = 4k 2 + 4 k + 2 không chia hết cho 4. Vậy ∀n ∈ ℕ : n 2 + 1 không chia hết cho 4 là mệnh đề đúng. Phương án C đúng vì với n = 3 thì 2 n − 1 = 7 chia hết cho 7. Phương án D sai vì: 13 + 23 + 33 + .... + 1003 = (13 + 1003 ) + ( 22 + 993 ) + ... + ( 503 + 603 ) chia hết cho 101

KÈ

Lại có 13 + 23 + 33 + .... + 1003 = (13 + 993 ) + ( 22 + 983 ) + ... + ( 403 + 603 ) + 503 + 1003 chia hết cho 50. Vậy 13 + 23 + 33 + .... + 1003 chia hết cho 5050 .

DẠ

Câu 28. Có bao nhiêu số nguyên n để mệnh đề “ 2 n 3 + n 2 + 7 n + 1 chia hết cho 2n − 1 ” là đúng ? A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 5 . Lời giải Chọn C Ta có : 2n3 + n 2 + 7 n + 1 = ( n 2 + n + 4 ) ( 2n − 1) + 5 Page 31

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

Vậy có 4 giá trị nguyên của n .

Câu 29: Cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai A. ∃x ∈ ℚ : 4 x 2 − 1 = 0 .

B. ∃x ∈ ℝ : x > x 2 .

C. ∀n ∈ ℕ : n 2 + 1 không chia hết cho 3.

D. ∀n ∈ ℕ : n 2 > n . Lời giải

Chọn D

FI CI A

 2n − 1 = 1 n = 1  2n − 1 = −1 n = 0 . 2 n 3 + n 2 + 7 n + 1 chia hết cho 2n − 1 ⇔ 5 chia hết cho 2n − 1 ⇔  ⇔  2n − 1 = 5 n = 3    2n − 1 = −5  n = −2

Ta chỉ ra được mệnh đề D chỉ đúng với n < 0 hoặc n > 1 nên mệnh đề D sai.

Câu 30: Cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng ?

ƠN

A. Nếu tứ giác ABCD là hình thang cân thì 2 góc đối bù nhau. B. Nếu a = b thì a.c = b.c . C. Nếu a > b thì a 2 > b 2 .

D. Nếu số nguyên chia hết cho 10 thì chia hết cho 5 và 2.

Lời giải

Chọn D

"Nếu số nguyên chia hết cho 10 thì chia hết cho 5 và 2 " có mệnh đề đảo là "Nếu số nguyên

QU Y

chia hết cho 5 và 2 thì chia hết cho 10 " là một mệnh đề đúng.

Câu 31: Dùng kí hiệu ∃, ∀ để phát biểu mệnh đề "Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó".

Chọn D

1 >n n

B. ∀n ∈ ℚ :

1 >n n

C. ∃n ∈ ℚ : n >

1 n

D. ∃n ∈ ℚ :

Lời giải

A. ∃n ∈ ℝ :

KÈ

Câu 32: Hãy chọn mệnh đề đúng: A. Phương trình:

x2 − 9 = 0 có một nghiệm là . B. ∃x ∈ ℝ : x 2 + x > 0. x−3

D. ∀x ∈ ℝ : 2 x 2 + 6 2 x + 10 > 1.

DẠ

C. ∃x ∈ ℝ : x 2 − x + 2 < 0. Lời giải

Chọn B Đáp án A sai. Do x = 3 không thỏa mãn phương trình. 2

1 7  Đáp án C sai. Ta có x 2 − x + 2 =  x −  + > 0, ∀x ∈ ℝ . 2 4  Page 32

1 > n. n

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Đáp án D sai. Ta có 2 x 2 + 6 2 x + 10 > 1 ⇔

(

)

2 x + 3 > 0 khi và chỉ khi x ≠ −

3 2 . 2

1 Câu 33: Cho mệnh đề A = “∀x ∈ ℝ : x 2 + x ≥ − ” . Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề A và xét 4

FI CI A

tính đúng sai của nó. 1 A. A = “∃x ∈ ℝ : x 2 + x ≥ − ” . Đây là mệnh đề đúng. 4

1 C. A = “∃x ∈ ℝ : x 2 + x < − ” . Đây là mệnh đề đúng. 4 1 D. A = “∃x ∈ ℝ : x 2 + x < − ” . Đây là mệnh đề sai. 4

Lời giải

ƠN

Chọn D

1 B. A = “∃x ∈ ℝ : x 2 + x ≤ − ” . Đây là mệnh đề đúng. 4

1 1 A = “∀x ∈ ℝ : x 2 + x ≥ − ” vậy A = “∃x ∈ ℝ : x 2 + x < − ” . 4 4 2

1 1  ⇔  x +  ≥ 0, x ∈ ℝ là mệnh đề đúng. Vậy mệnh đề A là mệnh đề sai. 4 2 

Ta có x 2 + x ≥ −

QU Y

Câu 34. Phủ định của mệnh đề: “Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau” là: A.“Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau”. B.“Hình thoi có hai đường chéo không vuông góc với nhau”. C.“Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”. D.“Hình thoi là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau”. Lời giải

Chọn B Phủ định của “vuông góc” là “không vuông góc” . Câu 35. Phủ định của mệnh đề: “ ∀n ∈ ℕ : n 2 + 1 không chia hết cho 3” là: A. “ ∀n ∈ ℕ : n 2 + 1 chia hết cho 3”. B. “ ∃n ∈ ℕ : n 2 + 1 không chia hết cho 3”. C. “ ∃n ∈ ℕ : n 2 + 1 chia hết cho 3”. D. “ ∃ n ∈ ℕ : n 2 + 1 không chia hết cho 3”. Lời giải

KÈ

Chọn C Phủ định của ∀ là ∃ Phủ định của “không chia hết” là “chia hết”

DẠ

Câu 36. Phủ định của mệnh đề: “ ∀x ∈ ℝ : x 2 + 1 > 0 ” là: A.“ ∀x ∈ ℝ : x 2 + 1 < 0 ” B. “ ∃x ∈ ℝ : x 2 + 1 ≤ 0 ” C. “ ∃x ∈ ℝ : x 2 + 1 > 0 ” D.“ ∀x ∈ ℝ : x 2 + 1 = 0 ” Lời giải

Chọn B Phủ định của ∀ là ∃ Phủ định của > là ≤

Câu 37. Phủ định của mệnh đề P: “ ∃x ∈ ℕ : x 2 − 3 x + 2 = 0 ” là: Page 33

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP A. P : “ ∃x ∈ ℕ : x 2 − 3 x + 2 ≠ 0 ” C. P : “ ∀x ∈ ℕ : x 2 − 3 x + 2 > 0 ”

B. P : “ ∀x ∈ ℕ : x 2 − 3 x + 2 = 0 ” D. P : “ ∀x ∈ ℕ : x 2 − 3 x + 2 ≠ 0 ” Lời giải

FI CI A

Chọn D Phủ định của ∃ là ∀ Phủ định của = là ≠

Câu 38. Phủ định của mệnh đề: “ ∃x ∈ ℝ : x 2 + x + 1 là số dương” là: A. “ ∀x ∈ ℝ : x 2 + x + 1 là số không dương” B. “ ∀x ∈ ℝ : x 2 + x + 1 là số âm” C. “ ∀x ∈ ℝ : x 2 + x + 1 là số dương” D. “ ∃ x ∈ ℝ : x 2 + x + 1 là số dương” Lời giải

Chọn A Phủ định của ∃ là ∀

C. Có ít nhất một động vật không di chuyển.

ƠN

Phủ định của “số dương” là “số không dương” Câu 39. Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển”. A. Mọi động vật đều không di chuyển. B. Mọi động vật đều đứng yên.

D. Có ít nhất một động vật di chuyển.

Lời giải

Chọn C Phủ định của mệnh đề “Mọi động vật đều di chuyển” là mệnh đề “Có ít nhất một động vật không di chuyển” . Câu 40. Phủ định của mệnh đề " ∃x ∈ ℝ,5 x − 3 x 2 = 1" là

B. " ∀x ∈ ℝ,5 x − 3 x 2 = 1" .

QU Y

A. " ∃x ∈ ℝ, 5 x − 3 x 2 " . C. " ∀ x ∈ ℝ, 5 x − 3 x 2 ≠ 1" .

D. " ∃x ∈ ℝ, 5 x − 3 x 2 ≥ 1" . Lời giải

Chọn C Phủ định của mệnh đề " ∃x ∈ ℝ,5 x − 3 x 2 = 1" là mệnh đề " ∀ x ∈ ℝ, 5 x − 3 x 2 ≠ 1" .

Câu 41. Cho mệnh đề P ( x ) : " ∀x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 > 0" . Mệnh đề phủ định của mệnh đề P ( x ) là: B. " ∀x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 ≤ 0" .

KÈ

A. " ∀x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 < 0" . C. " ∃x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 ≤ 0" .

D. " ∃ x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 > 0" . Lời giải

DẠ

Chọn C Phủ định của mệnh đề " ∀x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 > 0" là mệnh đề " ∃x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 ≤ 0" .

Câu 42. Cho mệnh đề A = “∀x ∈ ℝ : x 2 < x ” . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là phủ định của mệnh đề A ? A. “ ∃x ∈ ℝ : x 2 < x ” B. “ ∃x ∈ ℝ : x 2 ≥ x ” C. “ ∃x ∈ ℝ : x 2 < x ” D. “ ∃x ∈ ℝ : x 2 ≤ x ” Lời giải Page 34

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Chọn B Trong mệnh đề phủ định, ∀ đổi thành ∃ , ∃ đổi thành ∀ .

Phủ định của < là ≥ .

Chọn D Mệnh đề phủ định là phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 vô nghiệm. Đây là mệnh đề sai vì x = 2 là nghiệm của phương trình

FI CI A

Câu 43. Cho mệnh đề “phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho và tính đúng, sai của mệnh đề phủ định là: A. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm. Đây là mệnh đề đúng. B. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm. Đây là mệnh đề sai. C. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 vô nghiệm. Đây là mệnh đề đúng. D. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 vô nghiệm. Đây là mệnh đề sai. Lời giải

Phủ định của < là ≥ .

Chọn B Phủ định của ∀ là ∃ .

ƠN

Câu 44. Cho mệnh đề A = “∀x ∈ ℝ : x 2 < x ” . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là phủ định của mệnh đề A ? A. “ ∃x ∈ ℝ : x 2 < x ” . B. “ ∃x ∈ ℝ : x 2 ≥ x ” . C. “ ∃x ∈ ℝ : x 2 < x ” . D. “ ∃x ∈ ℝ : x 2 ≤ x ” . Lời giải

Câu 45. Cho mệnh đề A : “ ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 < 0 ” Mệnh đề phủ định của A là: B. ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 > 0 .

QU Y

A. ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 > 0 .

D. ∃x ∈ ℝ, x 2 - x + 7 ≥ 0 .

C. Không tồn tại x : x 2 − x + 7 < 0 .

Chọn D

Lời giải

Phủ định của ∀ là ∃ .

Phủ định của < là ≥ .

KÈ

Câu 46. Cho n là số tự nhiên mệnh đề phủ định của mệnh đề nào sau đây đúng? A. P : ” ∃n ∈ ℕ, n ( n + 1) không là số chính phương”. B. Q : ” ∃n ∈ ℕ, n ( n + 1) là số chẵn”.

DẠ

C. R : ” ∀n ∈ ℕ, n ( n + 1)( n + 2 ) là số chẵn”. D. M : ” ∃n ∈ ℕ, n ( n + 1)( n + 2 ) không chia hết cho 6”. Lời giải Chọn D • P : ” ∀n ∈ ℕ, n ( n + 1) là số chính phương”. Page 35

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP +) với n = 1  n ( n + 1) = 2 không phải số chính phương  A sai. •

Q : ” ∀n ∈ ℕ, n ( n + 1) là số lẻ”. R : ” ∃n ∈ ℕ, n ( n + 1)( n + 2 ) là số lẻ”.

FI CI A

•

+) với n = 1  n ( n + 1) = 2 là số chẵn  B sai.

TH1: n chẵn  n ( n + 1)( n + 2 ) chẵn TH2: n lẻ  ( n + 1) chẵn  n ( n + 1)( n + 2 ) chẵn Vậy n ( n + 1)( n + 2 ) chẵn ∀n ∈ ℕ  C sai.

M : ” ∀n ∈ ℕ, n ( n + 1)( n + 2 ) chia hết cho 6”.

•

 P ⋮ 2 (*) +) P ⋮ 6 ⇔   P ⋮ 3 (**) P luôn chẵn  P ⋮ 2

ƠN

(*) Ở trên ta đã chứng minh (**) P ⋮3

TH1: n ⋮ 3  P ⋮ 3

TH2: n chia 3 dư 1  ( n + 2 )⋮ 3  P ⋮ 3 TH3: n chia 3 dư 2  ( n + 1)⋮ 3  P ⋮ 3

 P⋮ 6 .

QU Y

Vậy P ⋮ 3 ∀n ∈ ℕ

Câu 47. Cho mệnh đề: “Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1”. Phát biểu mệnh đề trên bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”.

KÈ

A. a + b < 2 là điều kiện đủ để một trong hai số a và b nhỏ hơn 1. B. Một trong hai số a và b nhỏ hơn 1 là điều kiện đủ để a + b < 2 . C. Từ a + b < 2 suy ra một trong hai số a và b nhỏ hơn 1 D. Tất cả các câu trên đều đúng. Lời giải

DẠ

Chọn A Câu 48. Cho mệnh đề: “Nếu 2 góc ở vị trí so le trong thì hai góc đó bằng nhau”. Trong các mệnh đề sau đây, đâu là mệnh đề đảo của mệnh đề trên? A. Nếu 2 góc bằng nhau thì hai góc đó ở vị trí so le trong. B. Nếu 2 góc không ở vị trí so le trong thì hai góc đó không bằng nhau. C. Nếu 2 góc không bằng nhau thì hai góc đó không ở vị trí so le trong. D. Nếu 2 góc ở vị trí so le trong thì hai góc đó không bằng nhau. Lời giải Page 36

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Chọn A Câu 49. Cho mệnh đề : “Nếu một tứ giác là hình thang cân thì tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau”. Phát biểu mệnh đề trên bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”.

Lời giải Chọn A Câu 50. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là sai?

B. x chia hết cho 6 thì x chia hết cho 2 và 3. C. ABCD là hình bình hành thì AB song song với CD .

ƠN

=C = 90°. D. ABCD là hình chữ nhật thì A = B

A. Tam giác cân có hai cạnh bằng nhau.

FI CI A

A. Điều kiện cần để tứ giác là hình thang cân là tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau. B. Điều kiện cần để tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là tứ giác đó là hình thang cân . C. Tứ giác là hình thang cân kéo theo tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau. D. Cả a, b đều đúng.

Lời giải Chọn C Câu 51. Mệnh đề nào dưới đây sai ?

A. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi ABCD có ba góc vuông. B. Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi ABCD có hai cạnh đối song song và bằng nhau.

QU Y

C. Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường. D. Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi ABCD có bốn góc vuông. Lời giải

Chọn D

Mệnh đề ở đáp án D không phải là một mệnh đề tương đương vì hình chữ nhật vẫn có bốn góc vuông nhưng không phải là hình vuông. Câu 52. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu số nguyên n có chữ số tận cùng là 5 thì số nguyên n chia hết cho 5.

KÈ

B. Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác ABCD là hình bình hành. C. Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau.

DẠ

D. Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Lời giải

Chọn B Đáp án A sai vì số nguyên n chi hết cho 5 thì số nguyên n có chữ số tận cùng là 5 và 0 ; Đáp án C sai vì hai đường chéo bằng nhau không suy ra được tứ giác là hình chữ nhật ; Page 37

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

FI CI A

Câu 53: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu tổng hai số a + b > 2 thì có ít nhất có một số lớn hơn 1. B. Trong một tam giác cân hai đường cao bằng nhau. C. Nếu tứ giác là hình vuông thì hai đường chéo vuông góc với nhau. D. Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. Lời giải

Đáp án D sai vì hai đường chéo vuông góc với nhau không suy ra được tứ giác là hình thoi.

Chọn B

Tam giác có hai đường cao bằng nhau là tam giác cân là mệnh đề đúng.

Câu 54: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. “ ABC là tam giác đều ⇔ ∆ABC cân”. B. “ ABC là tam giác đều ⇔ ∆ABC cân và có 1 góc 60 0 ”. C. “ ABC là tam giác đều ⇔ ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau”. D. “ ABC là tam giác đều ⇔ ∆ABC có hai góc 600 ”. Lời giải

ƠN

Chọn A

Mệnh đề kéo theo “ ABC là tam giác đều  ∆ABC cân” là mệnh đề đúng, nhưng mệnh đề đảo “ ∆ABC cân  ABC là tam giác đều” là mệnh đề sai.

Do đó hai mệnh đề “ ABC là tam giác đều” và “ ∆ABC cân” không phải là hai mệnh đề tương đương.

Câu 55: Cho a ∈ℝ . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a⋮ 2 và a⋮ 3 ⇔ a⋮ 6 . B. a ⋮ 3 ⇔ a⋮ 9 .

D. a⋮ 3 và a⋮ 6 thì a⋮18 . Lời giải

QU Y

C. a ⋮ 2 ⇔ a⋮ 4 . Chọn A

Đáp án B sai vì 3⋮3 nhưng 3 ⋮ 9 .

Đáp án C sai vì 2⋮ 2 nhưng 2 ⋮ 4 .

Đáp án D sai vì 6⋮ 3 và 6⋮ 6 nhưng 6 ⋮ 18 .

DẠ

KÈ

Câu 56: Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi ABCD có ba góc vuông. B. Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi ABCD có hai cạnh đối song song và bằng nhau. C. Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường. D. Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi ABCD có bốn góc vuông. Lời giải Chọn D Mệnh đề ở đáp án D không phải là một mệnh đề tương đương vì hình chữ nhật vẫn có bốn góc vuông nhưng không phải là hình vuông.

Câu 57: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là đúng? Page 38

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP A. Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c . B. Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau.

D. Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5 . Lời giải Chọn C Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3 là mệnh đề đúng.

B. ∃x ∈ ℕ, x 2 chia hết cho 6  x chia hết cho 3 . C. ∀x ∈ ℕ, x 2 chia hết cho 9  x chia hết cho 9 .

ƠN

D. ∃x ∈ ℕ , x chia hết cho 4 và 6  x chia hết cho 12 .

Câu 58: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lí? A. ∃x ∈ ℕ, x 2 chia hết cho 3  x chia hết cho 3 .

FI CI A

C. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9 .

Lời giải Chọn D Định lý sẽ là: ∀x ∈ ℕ , x chia hết cho 4 và 6  x chia hết cho 12 .

Câu 59: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI?

A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. B. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có cặp cạnh tương ứng bằng

QU Y

nhau.

C. Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc bằng tổng của hai góc còn lại. D. Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện bằng 1800.

DẠ

KÈ

Chọn A

Page 39

Lời giải

Câu 1:

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Trong các câu sau đây câu nào không phải là mệnh đề? A. Một năm có 365 ngày. C. Pleiku là thành phố của Gia Lai.

B. Học lớp 10 thật vui. D. 2 + 3 = 6 . Lời giải

III ==

MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

FI CI A

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

Mệnh đề chứa biến P : '' x 2 + 4 x + 4 = 0" trở thành một mệnh đề đúng với. A. x = −2 . B. x = −1 . C. x = 1. D. x = 0 . Lời giải Chọn A 2

Câu 2:

ƠN

Chọn B B. Vì đây là một câu cảm thán, không phải là một khẳng định có tính đúng hoặc sai nên B không phải là mệnh đề.

Ta có x 2 + 4 x + 4 = 0 ⇔ ( x + 2 ) = 0 ⇔ x = −2

Trong các câu dưới đây có bao nhiêu câu là mệnh đề? (I) Số 2018 là số chẵn. (II) Hôm nay bạn có vui không? (III) Quảng Phú là một thị trấn của huyện CưMgar. (IV) Tiết 5 rồi, đói bụng quá! A. 4 . B. 1. C. 2 . Lời giải

D. 3 .

Câu 3:

QU Y

Vậy x = −2 .

Câu 4:

KÈ

Chọn C Ta có câu là mệnh đề: (I) và (III). Cho các câu sau đây:

DẠ

(I): “ Phan-xi-păng là ngọn núi cao nhất Việt Nam”. (II): “ π 2 < 9,86 ”.

(III): “ Mệt quá!”. (IV): “ Chị ơi, mấy giờ rồi?” Hỏi có bao nhiêu câu là mệnh đề? A. 4 B. 3

C. 2 Lời giải

Chọn C Page 1

D. 1

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề?

FI CI A

Câu 5:

Câu (I) là mệnh đề đúng. Câu (II) là mệnh đề sai. Câu (III) là câu cảm thán nên không phải là mệnh đề. Câu (IV) là câu hỏi nên không phải là mệnh đề.

a) Trời rét quá! b) Việt Nam nằm ở khu vực Đông Nam

Á.

c) 10 − 2 + 4 = 4.

A. 1.

B. 2 .

C. 3 . Lời giải

Chọn C Câu b), câu c) và câu d) là mệnh đề.

D. 4 .

d) Năm 2020 là năm nhuận.

Câu 6:

ƠN

Câu a) là câu cảm thán nên không phải là mệnh đề.

Trong các câu sau, có bao nhiêu câu không phải là mệnh đề?

Câu 7:

QU Y

a) Trời nóng quá! b) Việt Nam không nằm ở khu vực Đông Nam Á. c) 10 − 2 − 4 = 4. d) Năm 2019 là năm nhuận. A. 1. B. 2 . C. 3 . Lời giải Chọn A Câu b), câu c) và câu d) là mệnh đề. Câu a) là câu cảm thán nên không phải là mệnh đề.

D. 4 .

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề?

KÈ

A. 3 là số nguyên tố lẻ nhỏ nhất. B. Đề thi hôm nay khó quá! C. Một tam giác cân thì mỗi góc đều bằng 600 phải không? D. Các em hãy cố gắng học tập! Lời giải Chọn A Mệnh đề là những phát biểu có tính chất hoặc đúng hoặc sai, do đó phát biểu:”3 là số nguyên tố lẻ nhỏ nhất” là một mệnh đề đúng. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề?

DẠ

Câu 8:

A. 3 là số nguyên tố lẻ nhỏ nhất. B. Đề thi hôm nay khó quá! C. Một tam giác cân thì mỗi góc đều bằng 600 phải không? D. Các em hãy cố gắng học tập! Lời giải Page 2

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Chọn A Mệnh đề là những phát biểu có tính chất hoặc đúng hoặc sai, do đó phát biểu:”3 là số nguyên tố lẻ nhỏ nhất” là một mệnh đề đúng.

Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề?

FI CI A

Câu 9:

a) 6 x + 1 > 3 . b) Phương trình x 2 + 3 x − 1 = 0 có nghiệm. c) ∀x ∈ ℝ, 5 x > 1 . d) Năm 2018 là năm nhuận. e) Hôm nay thời tiết đẹp quá! A. 4. B. 1.

C. 2. Lời giải

D. 3.

Chọn C Trong các câu trên có các câu là mệnh đề: Phương trình x 2 + 3 x − 1 = 0 có nghiệm. Năm 2018 là năm nhuận. Có hai câu là mệnh đề chứa biến: 6 x + 1 > 3 ; ∀x ∈ ℝ,5 x > 1 .

ƠN

Và một câu là câu cảm thán.

Câu 10: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. Không được làm việc riêng trong giờ học. B. Đi ngủ đi. C. Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới. D. Bạn học trường nào? Lời giải Chọn C

QU Y

Câu 11: Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Hãy đi nhanh lên! b) Hà Nội là thủ đô của Việt Nam. c) 5 + 7 + 4 = 15 . d) x > 3 . A. 4 .

B. 1.

C. 2 . Lời giải

KÈ

Chọn C Câu a) không phải là mệnh đề. Câu d) là mệnh đề chứa biến.

Câu 12: Trong các câu sau câu nào là mệnh đề?

DẠ

A. Hãy đi nhanh lên!. B. Hà nội là thủ đô của Việt Nam. C. Nam ăn cơm chưa?. D. Buồn ngủ quá! Lời giải

Chọn B Đáp án B đúng vì nó là câu khẳng định có tính đúng sai.

Câu 13: Trong các câu sau câu nào là mệnh đề chứa biến? A. 9 là số nguyên tố. Page 3

D. 3 .

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP B. 18 là số chẵn. C. ( x 2 + x )⋮ 3 , x ∈ ℕ .

FI CI A

D. Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau. Lời giải Chọn C Đáp án A là mệnh đề sai. Đáp án B là mệnh đề đúng. Đáp án D là mệnh đề đúng. Đáp án C ta có với x = 0 ta được mệnh đề đúng là 0⋮ 3 . Ta có với x = 1 ta được mệnh đề sai là 2 ⋮ 3 .

Câu 14: Câu nào trong các câu sau không phải là mệnh đề? A. π có phải là một số vô tỷ không? 4 C. 2 là một số hữu tỷ. D. = 2 2

Nên tính đúng sai còn phụ thuộc giá trị của biến. Nó là mệnh đề chứa biến.

B. 2 + 2 = 5 .

ƠN

Lời giải

Chọn A Câu trong đáp án A không phải là mệnh đề. Vì đó là câu hỏi nên không biết tính đúng sai.

Câu 15: Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu là mệnh đề?

QU Y

1/ Hải Phòng là một thành phố của Việt Nam. 2/ Bạn có đi xem phim không? 3/ 210 − 1 chia hết cho 11. 4/ 2763 là hợp số. 5/ x 2 − 3 x + 2 = 0 . A. 2 . B. 4 . C. 3 . Lời giải Chọn C Có 3 câu là mệnh đề vì có tính đúng hoặc sai. Câu 2 là câu hỏi. Câu 5 là mệnh đề chứa biến.

D. 1.

Câu 16: Cho mệnh đề chứa biến P ( x ) :"5 ≤ x 2 ≤ 11" với x là số nguyên tố. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

KÈ

A. P ( 3) .

B. P ( 2 ) .

C. P ( 7 ) .

D. P ( 5) .

Lời giải

Chọn A P ( 3) :"5 ≤ 9 ≤ 11" là mệnh đề đúng.

DẠ

Câu 17: Cho S là mệnh đề “ Nếu tổng các chữ số của một số n chia hết cho 6 thì n chia hết cho 6 ”. Một giá trị của n để khẳng định S sai là: A. 33 . B. 40 . C. 42 . D. 30 . Lời giải Chọn A Page 4

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Ta có: n = 33 có tổng các chữ số bằng 6 thì chia hết cho 6 nhưng số n = 33 không chia hết cho 6.

Câu 19: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

FI CI A

A. Tổng của hai cạnh một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba. B. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân. C. Bạn có chăm học không? D. π là một số hữu tỉ. Lời giải Chọn A

Câu 18: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề đúng?

ƠN

A. Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. B. Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. C. Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. D. Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. Lời giải Chọn D Câu 20: Trong các câu sau, câu nào một là mệnh đề đúng?

Chọn A

QU Y

Ta thấy:

B. 2 là một số tự nhiên lẻ. C. π là một số hữu tỷ. Lời giải

A. Hà nội là thủ đô của Việt Nam. C. 7 là một số tự nhiên chẵn.

- Hà nội là thủ đô của Việt Nam là một mệnh đề đúng. - 2 là một số tự nhiên lẻ là một mệnh đề sai. - 7 là một số tự nhiên chẵn là một mệnh đề sai. - π là một số hữu tỷ là một mệnh đề sai.

Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? B. 4 là một số tự nhiên chẵn. C. π là một số hữu tỷ. Lời giải

KÈ

A. Hà nội là thủ đô của Việt Nam. C. 5 là một số tự nhiên lẻ.

DẠ

Chọn C Ta thấy: - Hà nội là thủ đô của Việt Nam là một mệnh đề đúng. - 4 là một số tự nhiên chẵn là một mệnh đề đúng. - 5 là một số tự nhiên lẻ là một mệnh đề đúng. - π là một số hữu tỷ là một mệnh đề sai.

Câu 22: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của x ? A. 5 x > 2 x .

B. 5 x < 2 x . Page 5

C. 5 x 2 > 2 x 2 .

D. 5 + x > 2 + x .

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Lời giải Chọn D 5 > 2 ⇔ 5 + x > 2 + x điều này đúng với mọi x .

FI CI A

Câu 23: Phát biểu nào sau đây sai? A. 2020 chia hết cho 101. B. 9 là số chính phương. C. 91 là số nguyên tố. D. 5 là ước của 125 . Lời giải Chọn C

A. Số 4 là số nguyên tố. B. 3 ≤ 2 . C. Số 4 không là số chính phương.

D. 3 > 2 . Lời giải

Chọn D

Câu 24: Mệnh đề nào dưới đây đúng?

ƠN

Câu 25: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi. B. Tam giác cân có một góc bằng 600 là tam giác đều. C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông. D. Tam giác có hai đường cao bằng nhau là tam giác cân. Lời giải Chọn C

Câu 26: Cho định lý “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nha”. Mệnh đề nào sau đây đúng?

QU Y

A. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng có diện tích bằng nhau. B. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để diện tích chúng bằng nhau. C. Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện đủ để chúng bằng nhau. D. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích chúng bằng nhau. Lời giải Chọn D Vì các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P  Q. Khi đó, ta nói: P là điều kiện đủ để có Q , Q là điều kiện cần để có P .

Câu 27: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ?

KÈ

A. ∀x ∈ ℝ : x 2 > 0 .

B. ∃n ∈ ℕ : n = n 2 .

C. ∃n ∈ ℕ : n ≤ 2n . Lời giải

Chọn A Ta có x 2 ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ  Đáp án A sai.

DẠ

Câu 28: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Nếu a ≥ b thì a 2 ≥ b 2 . B. Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3 . C. Ngày 28 tháng 3 2020, bệnh COVID -19 đã có thuốc điều trị. D. Nếu một tam giác có một góc bằng 60 thì tam giác đó là đều. Lời giải Chọn B Page 6

D. ∃x ∈ ℝ : x > x 2 .

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

Đáp án C sai vì ngày 28 tháng 3 2020, bệnh COVID -19 chưa có thuốc điều trị. Nếu a chia hết cho 9 thì a = 9k ,9⋮ 3  a ⋮ 3 . Vậy a chia hết cho 3 . Nên đáp án B đúng.

FI CI A

Câu 29: Mệnh đề nào sau đây sai? A. ∃x ∈ ℝ : x > x 2 . B. ∃n ∈ ℕ : n 2 = n . C. ∀n ∈ ℕ thì n ≤ 2n . D. ∀x ∈ ℝ : x 2 > 0 . Lời giải Chọn D

Đáp án A sai do chọn −3 ≥ −4  9 ≥ 16 đây là một mệnh đề sai. Đáp án D sai vì ta có thể chọn tam giác có A = 60 , B = 70, C = 50 không phải tam giác đều.

Mệnh đề D sai với x = 0 .

Câu 30: Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? Có bao nhiêu mệnh đề đúng? (I): Hải Phòng có phải là một thành phố trực thuộc trung ương không? (II): Hai véctơ có độ dài bằng nhau thì bằng nhau. (III): Một tháng có tối đa 5 ngày chủ nhật. (IV): 2019 là một số nguyên tố.

ƠN

(V): Đồ thị của hàm số y = ax 2 ( a ≠ 0 ) là một đường parabol.

(VI): Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có nhiều nhất là 2 nghiệm.

Chọn B

B. Có 5 mệnh đề; 3 mệnh đề đúng. D. Có 6 mệnh đề; 2 mệnh đề đúng. Lời giải

A. Có 5 mệnh đề; 2 mệnh đề đúng. C. Có 5 mệnh đề; 4 mệnh đề đúng.

KÈ

QU Y

(I) là câu hỏi nên không phải là mệnh đề. (II) là mệnh đề sai. (III) là mệnh đề đúng. (IV) là mệnh đề sai vì 2019⋮ 3 . (V) là mệnh đề đúng. (VI) là mệnh đề đúng. Câu 31: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu m , n là các số vô tỉ thì m.n cũng là số vô tỉ. B. Nếu ABC là một tam giác vuông thì đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. C. Với ba véctơ a , b , c đều khác véctơ 0 , nếu a , b cùng ngược hướng với c thì a , b cùng hướng. D. Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0 . Lời giải

DẠ

Chọn A Cho m = 2 , n = 3 2 là các số vô tỉ. Khi đó m.n = 6 là số hữu tỉ.

Câu 32: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu hai số a , b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c . B. Nếu một số nguyên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 2 và 3 . C. Nếu hai số x , y thỏa mãn x + y > 0 thì có ít nhất một trong hai số x , y dương. Page 7

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

FI CI A

Lời giải Chọn B + Ta có 5 + 1 chia hết cho 3 , tuy nhiên 5 và 1 không chia hết cho 3 . Loại A + Nếu một số nguyên chia hết cho 2 và 3 thì nó chia hết cho 6. Chọn B

D. Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có a , c trái dấu thì có hai nghiệm phân biệt.

+ Ta có 1 > 0 , −2 < 0 , tuy nhiên 1 + ( −2 ) = −1 < 0 . Loại C

+ Phương trình x 2 − x = 0 có hai nghiệm phân biệt, tuy nhiên a , c không trái dấu. Loại. D.

ƠN

A. Nếu cả hai số chia hết cho 3 thì tổng hai số đó chia hết cho 3 . B. Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. C. Nếu số đó tận cùng bằng 0 thì nó chia hết cho 5 . D. Nếu một số chia hết cho 5 thì nó có tận cùng bằng 0 . Lời giải Chọn D

Câu 33: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng

Câu 34: Cho hai đa thức P ( x ) và Q ( x ) . Xét các tập hợp A = { x ∈ ℝ P ( x ) = 0} , B = { x ∈ ℝ Q ( x ) = 0}

{

}

và C = x ∈ ℝ  P ( x )  + Q ( x )  = 0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. C = A ∩ B . C = B \ A.

B. C = A ∪ B .

C. C = A \ B .

Lời giải Chọn A

QU Y

 P ( x ) = 0 2 2 ⇔ x ∈ P ( x) ∩ Q ( x) . Vì  P ( x )  + Q ( x )  = 0 ⇔  Q ( x ) = 0

Câu 35: Tìm các mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: x2 −1 x2 −1 A. ∃x ∈ ℝ : = x + 1 .B. ∀x ∈ ℝ : > x +1. x −1 x −1 x2 −1 = x +1. x −1

D. ∃x ∈ ℝ :

C. ∀x ∈ ℝ :

x2 −1 > x + 1. x −1

KÈ

Lời giải

Chọn A

Câu 36: Cho phần tử x thuộc tập B và tâp B là tập con của A . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

DẠ

A. ( x ) ⊂ B ∈ A .

B. ( x ) ∈ B ⊂ A .

C. ( x ) ∈ B ∈ A .

D. ( x ) ⊂ B ⊂ A .

Lời giải

Chọn B

Câu 37: Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? A. Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3 . B. Nếu một tam giác có một góc bằng 60° thì tam giác đó là tam giác đều. Page 8

FI CI A

C. Nếu a ≥ b ≥ 0 thì a 2 ≥ b 2 . D. Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Lời giải Chọn B Tam giác có một góc bằng 60° thì có thể là tam giác vuông hoặc tam giác thường. Câu 38: Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A. ∀x ∈ ℝ, 2 x > x 2 . B. 2018 không là số hữu tỉ. C. Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất. D. Tồn tại hai số chính phương mà tích bằng 36 . Lời giải Chọn A

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

∀x ∈ ℝ, 2 x > x 2 là mệnh đề sai vì với x = −1 thì 2 ( −1) > ( −1) là mệnh đề sai.

ƠN

Câu 39: Tìm mệnh đề sai.

B. ∀n ∈ ℕ : n 2 + 1 không chia hết cho 4 .

A. ∀n ∈ ℕ : n ( n + 1)( n + 2 ) chia hết cho 6 . C. ∃n ∈ ℕ : n 2 + 1 chia hết cho 3 .

D. ∃x ∈ ℝ : x 2 ≤ 0 . Lời giải

Chọn C Mọi số tự nhiên ta luôn biểu diễn được ở một trong ba dạng số sau n = 3k , n = 3k + 1, n = 3k + 2 .

QU Y

Với n = 3k ta có n 2 + 1 = 9k 2 + 1 không chia hết cho 3 ; Với n = 3k + 1 ta có n 2 + 1 = 9k 2 + 6k + 2 không chia hết cho 3 ; Với n = 3k + 2 ta có n 2 + 1 = 9k 2 + 12k + 5 không chia hết cho 3 ; Vậy với mọi n ∈ ℕ thì n 2 + 1 không chia hết cho 3 .

Câu 40: Cho mệnh đề chứa biến P ( x ) : " x3 − 3x 2 + 2 x = 0" . Tìm các giá trị của x để P ( x ) là một mệnh đề đúng.

A. x = 0, x = 1, x = 2 .

B. x = −2, x = −3 .

C. x = −1, x = −2 .

D. x = 4, x = −2, x = 3 .

Lời giải

Chọn A Những giá trị x làm cho P ( x ) là mệnh đề đúng là nghiệm của phương trình x 3 − 3 x 2 + 2 x = 0 .

KÈ

Do đó x = 0, x = 1, x = 2 là các giá trị cần tìm.

Câu 41: Tìm mệnh đề đúng.

DẠ

A. Điều kiện cần và đủ để một số tự nhiên chia hết cho 15 là số đó chia hết cho 5 . B. Điều kiện cần và đủ để tứ giác là hình chữ nhật là nó có hai đường chéo bằng nhau. C. Điều kiện cần để a + b là số hữu tỉ là a và b đều là số hữu tỉ. D. Điều kiện đủ để ít nhất một trong hai số a , b là số dương là a + b > 0 . Lời giải Chọn D Ta có a + b > 0 thì ít nhất một trong hai số a , b là số dương. Đây là mệnh đề đúng nên điều kiện đủ để ít nhất một trong hai số a , b là số dương là a + b > 0 . Page 9

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Câu 42: Mệnh đề nào sau đây đúng. B. ∀x ∈ ℝ : x 2 > 0 .

C. Nếu a ≥ b thì a 2 ≥ b 2 .

D. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9. Lời giải:

FI CI A

A. ∃ n ∈ ℕ : n − 3 ≠ 0 .

Chọn A

A. Nếu hôm nay trời không mưa thì tôi không ở nhà. B. Nếu hôm nay tôi không ở nhà thì trời không mưa. C. Hôm nay trời mưa nhưng tôi không ở nhà. D. Hôm nay tôi ở nhà nhưng trời không mưa. Lời giải Chọn A

A : “Hôm nay trời không mưa”.

ƠN

Xét mệnh đề P : “Nếu hôm nay trời mưa thì tôi ở nhà”. Biết mệnh đề P sai. Đặt A là mệnh đề: “Hôm nay trời mưa”. Đặt B là mệnh đề: “Tôi ở nhà”. Do mệnh để P sai nên ta có A đúng và B sai. Khi đó ta có bảng chân trị sau: Mệnh đề

Câu 43: Biết rằng phát biểu “ Nếu hôm nay trời mưa thì tôi ở nhà’’ là sai. Hỏi phát biểu nào sau đây đúng?

B : “Tôi không ở nhà”. Đáp án A: “Nếu hôm nay trời không mưa thì tôi

Sai

Đúng. Đúng Sai Không phải mệnh đề kéo theo Không phải mệnh đề kéo theo

QU Y

không ở nhà” là A  B Đáp án B: “Nếu hôm nay tôi không ở nhà thì trời không mưa” là B  A Đáp án C: “Hôm nay trời mưa nhưng tôi không ở nhà”. Đáp án D: “Hôm nay tôi ở nhà nhưng trời không mưa”. .

Đúng / Sai

KÈ

Câu 44: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. ∃n ∈ ℕ : 3n < n + 3 .

B. 1 > 2 ⇔ 6 > 7 .

C. 6 < 4  10 > 7 .

D. ∀x ∈ ℝ : ( x − 2 ) < x 2 .

Lời giải

DẠ

Chọn D  Với n = 1 thì 3n = 3; n + 3 = 4 nên đáp án A là đúng.  Ta có mệnh đề P : "1 > 2" và mệnh đề Q :"6 > 7" là mệnh đề sai nên mệnh đề P ⇔ Q hay mệnh đề 1 > 2 ⇔ 6 > 7 là mệnh đề đúng. Đáp án B đúng.  Ta có mệnh đề P :"6 < 4" là mệnh đề sai và mệnh đề Q :"10 > 7" là mệnh đề đúng nên mệnh

đề P  Q hay mệnh đề 6 < 4  10 > 7 là mệnh đề đúng. Đáp án C đúng. Page 10

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP 2

 Với x = −1∈ ℝ thì ( x − 2 ) = 9 ; x 2 = 1 nên mệnh đề ∀x ∈ ℝ : ( x − 2 ) < x 2 là mệnh đề sai.

A. P đúng, Q sai.

B. P đúng, Q đúng. C. P sai, Q đúng. Lời giải

Chọn B

FI CI A

Câu 45: Xét mệnh đề kéo theo P: “Nếu 18 chia hết cho 3 thì tam giác cân có 2 cạnh bằng nhau” và Q: “Nếu 17 là số chẵn thì 25 là số chính phương”. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau D. P sai, Q sai.

Mệnh đề P  Q sai khi P đúng, Q sai. Từ đó ta có hai mệnh đề trên đều đúng.

A. ∃n ∈ ℕ : 3n < n + 3 .

B. 1 > 2 ⇔ 6 > 7 .

C. 6 < 4  10 > 7 .

D. ∀x ∈ ℝ : ( x − 2 ) < x 2 .

Lời giải

ƠN

Chọn D  Với n = 1 thì 3n = 3; n + 3 = 4 nên đáp án A là đúng.

Câu 46: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

 Ta có mệnh đề P :"1 > 2" và mệnh đề Q : "6 > 7" là mệnh đề sai nên mệnh đề P ⇔ Q hay mệnh đề 1 > 2 ⇔ 6 > 7 là mệnh đề đúng. Đáp án B đúng.  Ta có mệnh đề P :"6 < 4" là mệnh đề sai và mệnh đề Q :"10 > 7" là mệnh đề đúng nên mệnh 2

đề P  Q hay mệnh đề 6 < 4  10 > 7 là mệnh đề đúng. Đáp án C đúng. 2

 Với x = −1∈ ℝ thì ( x − 2 ) = 9 ; x 2 = 1 nên mệnh đề ∀x ∈ ℝ : ( x − 2 ) < x 2 là mệnh đề sai. Câu 47: Cho mệnh đề P đúng và mệnh đề Q sai. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

Chọn B

B. P  Q .

QU Y

A. P  Q

C. P  Q . Lời giải

D. P  Q .

Câu 48: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? B. ∃x ∈ ℝ : x 2 < 0 .

C. ∃x ∈ ℕ :2 x 2 − 1 < 0 . D. ∃x ∈ ℕ : x 2 − 2 = 0 . Lời giải

A. ∃x ∈ ℝ : x 2 + 1 = 0 .

KÈ

Chọn C  Ta có: x 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + 1 ≥ 1 với ∀x ∈ ℝ . Vậy loại A.  Ta có: x 2 ≥ 0 với ∀x ∈ ℝ . Vậy loại B.  2 x2 −1 < 0 ⇔ x2 <

1 2 2 , mà x ∈ ℕ  x = 0 . Vậy C đúng. ⇔− <x< 2 2 2

 x 2 − 2 = 0 ⇔ x = ± 2 ( loai ) vì x ∈ ℕ . Vây loại D.

DẠ

Câu 49: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. “ ∃x ∈ ℝ :2 x ≤ x + 2 ”. B. “ ∀x ∈ ℕ : 2 x + 1 là số nguyên tố”. C. “ ∀x ∈ ℕ * : x 2 − 1 là bội số của 3 ”.

D. “ ∃x ∈ ℚ : x 2 = 3 ”. Lời giải

Chọn A Page 11

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Giả sử chọn x = 1 , ta được: 21 < 3 (đúng). Nhưng chọn x = 3 , ta được: 8 < 5 (sai).

Vậy ∃x ∈ ℝ :2 x ≤ x + 2 .

Vậy có hai phát biểu là mệnh đề đúng.

ƠN

FI CI A

Câu 50: Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu là mệnh đề đúng? a) Số 2 là số nguyên tố. b) Số 32018 − 1 chia hết cho 2 . c) Đường chéo của hình bình hành là đường phân giác của góc ở đỉnh nằm trên đường chéo của hình bình hành đó. d) Mọi hình chữ nhật đều có chiều dài lớn hơn chiều rộng. e) Một số chia hết cho 28 thì chia hết cho 8 . A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 3 . Lời giải Chọn A Ta có “Số 2 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng. “Số 32018 − 1 chia hết cho 2 ” là mệnh đề đúng. “Đường chéo của hình bình hành là đường phân giác của góc ở đỉnh nằm trên đường chéo của hình bình hành đó” là mệnh đề sai. “Mọi hình chữ nhật đều có chiều dài lớn hơn chiều rộng” là mệnh đề sai vì trường hợp đặc biệt là hình vuông. “Một số chia hết cho 28 thì chia hết cho 8 ” là mệnh đề sai, vì 28⋮ 28; 28 không chia hết cho 8 . Câu 51: Cho P ⇔ Q là mệnh đề đúng. Khẳng định nào sau đây là sai? B. P ⇔ Q đúng.

QU Y

A. P ⇔ Q sai.

C. Q ⇔ P sai.

D. P ⇔ Q sai.

Lời giải

Chọn D P ⇔ Q đúng suy ra P ⇔ Q đúng. Vậy mệnh đề sai là D .

KÈ

A. 1.

Câu 52: Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 1 ( I ) ∃x ∈ ℤ : x < . ( II ) ∀n ∈ ℕ :2n > 0 . x 2 ( III ) ∃x ∈ ℚ : x − 9 = 0 . ( IV ) ∀n ∈ ℕ :5n 2 + 10 chia hết cho 5 . B. 4 .

C. 2 . Lời giải

D. 3 .

Chọn B

1 là mệnh đề đúng vì ∃x = −2 ∈ ℤ thỏa mãn. x Ta có ( II ) ∀n ∈ ℕ :2n > 0 là mệnh đề đúng vì theo tính chất lũy thừa.

DẠ

Ta có ( I ) ∃x ∈ ℤ : x <

Ta có ( III ) ∃x ∈ ℚ : x 2 − 9 = 0 là mệnh đề đúng vì ∃x = 3 ∈ ℚ . Ta có 5n 2 + 10 = 5 ( n 2 + 2 ) là số chia hết cho 5  mệnh đề ( IV ) là mệnh đề đúng.

Câu 53: Cho n là số tự nhiên. Mệnh đề nào sau đây đúng? Page 12

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP B. “ ∀n ∈ ℕ, n ( n + 1) là số lẻ”.

C. “ ∃n ∈ ℕ, n ( n + 1)( n + 2 ) là số lẻ”.

D. “ ∀n ∈ ℕ, n ( n + 1)( n + 2 ) chia hết cho 6”.

+) với n = 1  n ( n + 1) = 2 là số chẵn  B sai. +) đặt P = n ( n + 1)( n + 2 )

TH1: n chẵn  P chẵn TH2: n lẻ  ( n + 1) chẵn  P chẵn

Vậy P chẵn ∀n ∈ ℕ  C sai.

 P ⋮ 2 (*) +) P ⋮ 6 ⇔   P ⋮ 3 (**) luôn chẵn  P ⋮ 2

TH1: n ⋮ 3  P ⋮ 3 TH2: n chia 3 dư 1  ( n + 2 )⋮ 3  P ⋮ 3

TH3: n chia 3 dư 2  ( n + 1)⋮ 3  P ⋮ 3

ƠN

(*) Ở trên ta đã chứng minh P (**) P ⋮ 3

FI CI A

Lời giải Chọn D +) với n = 1  n ( n + 1) = 2 không phải số chính phương  A sai.

A. “ ∀n ∈ ℕ, n ( n + 1) là số chính phương”.

Vậy P ⋮ 3 ∀n ∈ ℕ  P⋮ 6 .

Câu 54: Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề " ∀x ∈ ℝ : x 2 + x + 2018 > 0" .

QU Y

A. ∀x ∈ ℝ : x 2 + x + 2018 < 0 . C. ∃x ∈ ℝ : x 2 + x + 2018 < 0 .

B. ∀x ∈ ℝ : x 2 + x + 2018 ≤ 0 . D. ∃x ∈ ℝ : x 2 + x + 2018 ≤ 0 . Lời giải

Chọn D Mệnh đề phủ định của mệnh đề " ∀x ∈ ℝ : x 2 + x + 2018 > 0" là mệnh đề ∃x ∈ ℝ : x 2 + x + 2018 ≤ 0 . Câu 55: Mệnh đề phủ định của mệnh đề: “ 2018 là một số chẵn” là:

DẠ

KÈ

A. 2018 không là một số lẻ. B. −2018 không là một số chẵn. C. −2018 là một số lẻ. D. 2018 không là một số chẵn. Lời giải Chọn D Theo mệnh đề phủ định. Câu 56: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển”? A. Có ít nhất một động vật di chuyển. B. Có ít nhất một động vật không di chuyển. C. Mọi động vật đều không di chuyển. D. Mọi động vật đều đứng yên. Lời giải Page 13

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Chọn B Phủ định của “mọi” là “có ít nhất”

Phủ định của “đều di chuyển” là “không di chuyển”.

FI CI A

Do đó mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển” là “Có ít nhất một động vật không di chuyển”.

A. Có ít nhất một động vật di chuyển. B. Có ít nhất một động vật không di chuyển. C. Mọi động vật đều không di chuyển. D. Mọi động vật đều đứng yên. Lời giải Chọn B Phủ định của “mọi” là “có ít nhất” Phủ định của “đều di chuyển” là “không di chuyển”.

Câu 57: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển”?

ƠN

Do đó mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển” là “Có ít nhất một động vật không di chuyển”.

Câu 58: Mệnh đề phủ định của mệnh đề “2018 là số nguyên tố” là

A. 2018 không chia hết cho 9. B. 2018 không chia hết cho 18. C. 2018 không phải là hợp số. D. 2018 không là số nguyên tố. Chọn D Phủ định của mệnh đề là “2018 không là số nguyên tố”. Câu 59: Cho mệnh đề P :" ∀x ∈ ℝ, x 2 + 1 ≥ 2 x " . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề phủ định của mệnh đề

QU Y

A. P : " ∀x ∈ ℝ, x 2 + 1 ≠ 2 x " .

B. P :" ∃x ∈ ℝ, x 2 + 1 ≠ 2 x " .

C. P :" ∃x ∈ ℝ, x 2 + 1 < 2 x " .

D. P :" ∃x ∈ ℝ, x 2 + 1 ≤ 2 x " .

Chọn C

Lời giải

Câu 60: Cho mệnh đề " ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 3 < 0" . Hỏi mệnh đề nào là phủ định của mệnh đề trên B. " ∃x ∈ ℝ, x 2 − x + 3 ≤ 0" .

C. " ∃x ∈ ℝ, x 2 − x + 3 ≥ 0" .

D. " ∃ x ∈ ℝ, x 2 − x + 3 ≥ 0" . Lời giải

KÈ

A. " ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 3 ≥ 0" .

Chọn C

DẠ

Câu 61: Cho mệnh đề " Có một học sinh trong lớp 11A không chấp hành luật giao thông " . Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là : A. Không có học sinh nào trong lớp 11A chấp hành luật giao thông. B. Mọi học sinh trong lớp 11A đều chấp hành luật giao thông. C. Có một học sinh trong lớp 11A chấp hành luật giao thông. D. Mọi học sinh trong lớp 11A không chấp hành luật giao thông. Lời giải Page 14

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

Lời giải Chọn A Câu 63: Cho mệnh đề: " ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 2 > 0" . Mệnh đề phủ định là:

FI CI A

Câu 62: Cho mệnh đề A : " ∀x ∈ ℝ : x 2 − x + 7 < 0" . Mệnh đề phủ định của A là: A. ∃x ∈ ℝ : x 2 − x + 7 ≥ 0 . B. ∀x ∈ ℝ : x 2 − x + 7 ≥ 0 . C. ∀x ∈ ℝ : x 2 − x + 7 > 0 . D. ∃x ∈ ℝ : x 2 − x + 7 > 0 .

B. " ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 2 < 0"

C. " ∃x ∈ ℝ, x 2 − x + 2 < 0"

D. " ∃x ∈ ℝ, x 2 − x + 2 ≤ 0 " Lời giải

A. " ∀x ∈ R, x 2 − x + 2 ≤ 0 "

Chọn D

Chọn B

Câu 64: Cho mệnh đề: " ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 2 > 0" . Mệnh đề phủ định sẽ là:

B. " ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 2 ≤ 0" .

C. " ∃x ∈ ℝ, x 2 − x + 2 < 0" .

D. " ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 2 < 0" .

ƠN

A. " ∃x ∈ ℝ, x 2 − x + 2 ≤ 0" .

Lời giải

Chọn A Ta có phủ định của mệnh đề ban đầu chính là: " ∃x ∈ ℝ, x 2 − x + 2 ≤ 0" . Câu 65: Cho mệnh đề A : “ ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 < 0 ”. Mệnh đề phủ định của A là A. ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 > 0 .

B. ∃x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 > 0 . D. ∃x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 ≥ 0 .

QU Y

C. Không tồn tại x : x 2 − x + 7 < 0 . Chọn D

Lời giải

Chọn D

Câu 66: Xét mệnh đề P : " ∀x ∈ ℝ : x 2 − x + 2 > 0" . Mệnh đề phủ định P của P là A. " ∀x ∈ ℝ : x 2 − x + 2 ≤ 0" . B. " ∃x ∈ ℝ : x 2 − x + 2 < 0" . C. " ∀x ∈ ℝ : x 2 − x + 2 ≠ 0" . D. " ∃x ∈ ℝ : x 2 − x + 2 ≤ 0" . Lời giải

KÈ

Phủ định của mệnh đề P là P :" ∃x ∈ ℝ : x 2 − x + 2 ≤ 0" .

Câu 67: Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề : “ ∀n ∈ ℕ, 2 n ≥ n + 1 “ B. ∀n ∈ ℕ, 2 n < n + 1 . C. ∃n ∈ ℕ, 2n ≤ n + 1 . D. ∀n ∈ ℕ, 2 n ≤ n + 1 . Lời giải

A. ∃n ∈ ℕ, 2n < n + 1 .

DẠ

Chọn A Mệnh đề: “ ∀x ∈ D, P ( x ) ” có mệnh đề phủ định là: “ ∃x ∈ D, P ( x ) ”.

Nên mệnh đề : “ ∀n ∈ ℕ, 2 n ≥ n + 1 “ có mệnh đề phủ định là: “ ∃n ∈ ℕ, 2n < n + 1 ”.

Câu 68: Cho mệnh đề “ ∀x ∈ ℝ, x 2 − x < 0 ”. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho? Page 15

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP A ∀x ∈ ℝ, x 2 − x ≥ 0 .

B. ∃x ∈ ℝ, x 2 − x < 0 . C. ∃x ∈ ℝ, x 2 − x ≥ 0 . D. ∀x ∈ ℝ, x 2 − x > 0 . Lời giải

Câu 69: Mệnh đề nào sau đây có mệnh đề phủ định sai? A. ∃x ∈ ℝ : x 2 + 4 x + 5 = 0 . B. ∀x ∈ ℝ : x 2 ≥ x . C. ∃x ∈ ℚ : x 2 = 3 . D. ∃x ∈ ℝ : x 2 − 3 x + 2 = 0 . Lời giải Chọn D

FI CI A

∃x ∈ ℝ, x 2 − x ≥ 0 là mệnh đề phủ định của mệnh đề ∀x ∈ ℝ, x 2 − x < 0 .

Chọn C

x = 1 Ta có x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇔   mệnh đề ∃x ∈ ℝ : x 2 − 3 x + 2 = 0 là mệnh đề đúng x = 2  mệnh đề phủ định của nó là mệnh đề sai.

Câu 70: Cho mệnh đề " ∀x ∈ ℝ, x 2 + 3 x + 2 > 0" . Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là B. ∃x ∈ ℝ, x 2 + 3 x + 2 ≤ 0 .

ƠN

A. ∀x ∈ ℝ, x 2 + 3 x + 2 < 0 . C. ∀x ∈ ℝ, x 2 + 3 x + 2 ≤ 0 .

D. ∃x ∈ ℝ, x 2 + 3 x + 2 > 0 .

Lời giải

Chọn B

Phủ định của mệnh đề " ∀x ∈ ℝ, p ( x ) " là mệnh đề " ∃x ∈ ℝ, p ( x ) " .

Câu 71: Cho mệnh đề:”Có một học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là:

QU Y

A. ”Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Văn ”. B. ”Mọi học sinh trong lớp 10A đều không thích học môn Toán ”. C. ”Có một học sinh trong lớp 10A thích học môn Toán ”. D. ”Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Toán ”. Lời giải Chọn D P?

Câu 72: Cho mệnh đề P :" ∀x ∈ ℝ , x 2 + 1 ≥ 2 x " . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề phủ định của mệnh đề

B. P : " ∃x ∈ ℝ , x 2 + 1 ≠ 2 x " .

C. P : " ∃x ∈ ℝ , x 2 + 1 < 2 x " .

D. P : " ∃x ∈ ℝ , x 2 + 1 ≤ 2 x " .

KÈ

A. P : " ∀x ∈ ℝ , x 2 + 1 ≠ 2 x " .

Lời giải

Chọn C

DẠ

Câu 73: Cho mệnh đề A : " ∀x ∈ ℝ : x 2 − x + 7 < 0" . Mệnh đề phủ định của mệnh đề A là A. " ∃x ∈ ℝ : x 2 − x + 7 ≥ 0" . C. " ∀x ∈ ℝ : x 2 − x + 7 > 0" .

B. " ∃x ∈ ℝ : x 2 − x + 7 > 0" . D. " ∀x ∈ ℝ : x 2 − x + 7 ≥ 0" . Lời giải

Chọn A Page 16

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

P: “ Tứ giác ABCD là hình thoi” Q: “ Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc”. Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q .

ABCD có hai đường chéo vuông góc thì nó là hình thoi. ABCD là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc. ABCD là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc. ABCD là hình thoi nếu nó có hai đường chéo vuông góc. Lời giải

FI CI A

A. Tứ giác B. Tứ giác C. Tứ giác D. Tứ giác

Câu 74: Cho tứ giác ABCD . Xét hai mệnh đề

Chọn C

A. P  Q .

B. P  Q .

Câu 75: Cho mệnh đề P đúng và mệnh đề Q sai. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? C. P  Q . Lời giải

D. P  Q .

ƠN

Chọn B Vì mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại. Câu 76: Cho P ⇔ Q là mệnh đề đúng. Khẳng đinh nào sau đây sai? B. Q ⇔ P sai.

C. P ⇔ Q sai.

D. P ⇔ Q đúng.

A. P ⇔ Q sai.

Lời giải

Chọn C

P ⇔ Q là mệnh đề đúng nên P, Q cùng đúng hoặc cùng sai  P ⇔ Q đúng.

QU Y

Câu 77: Trong các định lý sau, định lý nào không có định lý đảo? A. Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì nó là hình bình hành có một góc vuông. B. Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì nó là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau. C. Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì nó là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau. D. Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì nó là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau. Lời giải

Chọn C Nếu tứ giác ABCD là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thì nó không là hình bình hành. Nó có thể là hình thang cân.

KÈ

Câu 78: Cho mệnh đề '' P  Q '' . Phát biểu nào sau đây đúng? A. P là điều kiện đủ để có Q. B. P là điều kiện cần và đủ để có Q. C. Nếu P thì Q. D. P là điều kiện cần để có Q. Lời giải

Chọn C

DẠ

Câu 79: Cho định lí “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng có diện tích bằng nhau. B. Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện đủ đê chúng bằng nhau. C. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để diện tích chúng bằng nhau. D. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích chúng bằng nhau. Page 17

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Lời giải Chọn D

Câu 80: Mệnh đề nào sau đây có mệnh đề đảo là mệnh đề đúng?

FI CI A

A. Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c . B. Nếu a > b thì a 2 > b 2 . C. Nếu số nguyên chia hết cho 14 thì chia hết cho cả 7 và 2 . D. Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau. Lời giải Chọn C Ta kiểm tra các phương án: A. Mệnh đề đảo là: “Nếu a + b chia hết cho c thì a và b cùng chia hết cho c ”. Là mệnh đề sai. Thật vậy, với a = 3, b = 5, c = 2 ta có a + b chia hết cho c nhưng a không chia hết cho c . B. Mệnh đề đảo là: “Nếu a 2 > b 2 thì a > b ”. Là mệnh đề sai. Thật vậy, với a = −6, b = 5 ta có a 2 > b 2 nhưng a < b .

ƠN

C. Mệnh đề đảo là: “Nếu số nguyên chia hết cho cả 7 và 2 thì chia hết cho 14 ”. Là mệnh đề đúng. Do 7 và 2 là hai nguyên tố cùng nhau nên một số nguyên nào đó chia hết cho 7 và 2 thì nó cũng chia hết cho 7.2, tức chia hết cho 14. D. Mệnh đề đảo là: “Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau ”. Là mệnh đề sai. Thật vậy, xét tam giác đều ABC có cạnh 2 4 3 và tam giác DEF vuông ở D , DE = 3, DF = 2 . Dễ thấy hai tam giác đã cho có diện tích bằng nhau nhưng rõ ràng chúng không bằng nhau.

Câu 81: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng.

QU Y

A. Nếu x = y thì tx = ty .

B. Nếu x > y thì x3 > y 3 . C. Nếu số nguyên n có tổng các chữ số bằng 9 thì số nguyên n chia hết cho 3 . D. Nếu x > y thì x 2 > y 2 .

Lời giải

Chọn B * A sai khi t = 0 .

* B đúng vì x 3 > y 3 ⇔ ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 ) > 0 ⇔ x > y .

KÈ

* C sai ví dụ như n = 114 . * D sai khi x = −2; y = 1 .

DẠ

Câu 82: Câu “Tồn tại ít nhất một số thực có bình phương không dương” là một mệnh đề. Có thể viết lại mệnh đề đó như sau. A. ∃x ∈ ℝ : x 2 ≤ 0 . B. ∃x ∈ ℝ : x 2 < 0 . C. ∃x ∈ ℝ : x 2 = 0 . D. ∀x ∈ ℝ : x 2 > 0 . Lời giải Chọn A Ta có mệnh đề ∃x ∈ ℝ : x 2 ≤ 0 .

Câu 83: Mệnh đề P ( x ) :" ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 = 0" . Phủ định của mệnh đề P là Page 18

CHUYÊN ĐỀ I – ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP A. ∃x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 > 0 .B. ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 > 0 . C. ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 ≥ 0 .

D. ∃x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 ≠ 0 .

FI CI A

Phủ định của mệnh đề P ( x ) :" ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 = 0" là P : ∃x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 ≠ 0 .

Lời giải Chọn D

Câu 84: Phủ định của mệnh đề " ∃x ∈ Q : 2 x 2 − 5 x + 2 = 0" là A. " ∃x ∈ Q : 2 x 2 − 5 x + 2 > 0" .

B. " ∃x ∈ Q : 2 x 2 − 5 x + 2 ≠ 0" .

C. " ∀x ∈ Q : 2 x 2 − 5 x + 2 ≠ 0" .

D. " ∀x ∈ Q : 2 x 2 − 5 x + 2 = 0" .

Lời giải Chọn C

QU Y

ƠN

Câu 85: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu định lý “Với mọi số tự nhiên chia hết cho 5 thì n 2 − 1 và n 2 + 1 đều không chia hết cho 5 ” A. Với mọi số tự nhiên n , n chia hết cho 5 là điều kiện cần để n 2 − 1 và n 2 + 1 đều không chia hết cho 5 . B. Với mọi số tự nhiên n , điều kiện cần để n chia hết cho 5 là n 2 − 1 và n 2 + 1 đều không chia hết cho 5 . C. Với mọi số tự nhiên n , điều kiện cần để n 2 − 1 và n 2 + 1 đều không chia hết cho 5 là n chia hết cho 5 . D. Với mọi số tự nhiên n , n chia hết cho 5 là điều kiện cần và đủ để n 2 − 1 và n 2 + 1 đều không chia hết cho 5 . Lời giải Chọn B Với mọi số tự nhiên n , điều kiện cần để n chia hết cho 5 là n 2 − 1 và n 2 + 1 đều không chia hết cho 5 .

KÈ

Câu 86: Phát biểu định lý đảo của định lý “ Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. A. Một tam giác là tam giác cân là điều kiện cần và đủ để có tam giác đó có hai góc bằng nhau B. Một tam giác có hai góc bằng nhau khi và chỉ khi là tam giác đó là tam giác cân. C. Một tam giác có hai góc bằng nhau là điều kiện đủ để có tam giác đó là tam giác cân. D. Một tam giác là tam giác cân điều kiện đủ là tam giác đó có hai góc bằng nhau. Lời giải Chọn D

DẠ

Một tam giác là tam giác cân điều kiện đủ là tam giác đó có hai góc bằng nhau.

Page 19

TẬP HỢP

MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC

FI CI A

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

BÀI 2: TẬP HỢP. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP I =

LÝ THUYẾT.

I. KHÁI NIỆM TẬP HỢP 1. Tập hợp và phần tử

Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.

ƠN

Giả sử đã cho tập hợp A.

• Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc là a thuộc A ).

• Để chỉ a không phải là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∉ A (đọc là P không thuộc A ).

2. Cách xác định tập hợp

Một tập hợp có thể được xác định bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.

QU Y

Vậy ta có thể xác định một tập hợp bằng một trong hai cách sau • Liệt kê các phần tử của nó.

• Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.

Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven.

3. Tập hợp rỗng

KÈ

Tập hợp rỗng, kí hiệu là ∅, là tập hợp không chứa phần tử nào. Nếu A không phải là tập hợp rỗng thì A chứa ít nhất một phần tử. A ≠ ∅ ⇔ ∃x : x ∈ A.

II. TẬP HỢP CON VÀ HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU

DẠ

1. Tập hợp con Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con của B và viết A ⊂ B (đọc là A chứa trong B ). Thay cho A ⊂ B ta cũng viết B ⊃ A (đọc là B chứa A hoặc B bao hàm A )

Page 1

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Như vậy A ⊂ B ⇔ ( ∀x : x ∈ A  x ∈ B ) . Nếu A không phải là một tập con của B, ta viết A ⊄ B.

Ta có các tính chất sau

FI CI A

• A ⊂ A với mọi tập hợp A • Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C ( h.4 )

• ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A. 3. Tập hợp bằng nhau

Khi A ⊂ B và B ⊂ A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A = B. Như vậy

A = B ⇔ ( ∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B ) . III. GIAO CỦA HAI TẬP HỢP

ƠN

Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu C = A ∩ B (phần gạch chéo trong hình).

x ∈ A x∈ A∩ B ⇔  x ∈ B IV. HỢP CỦA HAI TẬP HỢP

Vậy A ∩ B = { x | x ∈ A vµ x ∈ B}

Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B

QU Y

Kí hiệu C = A ∪ B (phần gạch chéo trong hình). Vậy A ∪ B = { x | x ∈ A hoÆc x ∈ B}

x ∈ A x∈ A∪ B ⇔  x ∈ B

V. PHẦN BÙ. HIỆU CỦA HAI TẬP HỢP

DẠ

KÈ

Cho B ⊂ A . Tập hợp tất cả các phần tử của mà không phải là phần tử của được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu C A B.

Page 2

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B. Kí hiệu C = A \ B (phần gạch chéo trong hình).

Vậy A \ B = A ∪ B = { x | x ∈ A vµ x ∈ B}

FI CI A

x ∈ A x∈ A \ B ⇔  x ∉ B Khi B ⊂ A thì C A B = A \ B .

VI. CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÃ HỌC 1. Các tập hợp số đã học

a) Tập hợp các số tự nhiên ℕ ℕ = { 0, 1, 2, 3, ...} ;

b) Tập hợp các số nguyên ℤ

ℤ = {..., − 3, − 2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} .

Các số − 1, − 2, − 3, ... là các số nguyên âm.

ƠN

ℕ ∗ = { 1, 2, 3, ...} .

Vậy ℤ gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm.

c) Tập hợp các số hữu tỉ ℚ

Hai phân số

QU Y

Số hữu tỉ biểu diễn được dưới dạng một phân số

a , trong đó a, b ∈ ℤ, b ≠ 0. b

a c và biểu diễn cùng một số hữu tỉ khi và chỉ khi ad = bc. b d

Số hữu tỉ còn biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

d) Tập hợp các số thực ℝ

Tập hợp các số thực gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn. Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ.

DẠ

KÈ

Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.

Page 3

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP 2. Các tập hợp con thường dùng của ℝ Trong toán học ta thường gặp các tập hợp con sau đây của tập hợp các số thực ℝ.

Khoảng

FI CI A

( a; b ) = { x ∈ ℝ | a < x < b} ( a; + ∞ ) = { x ∈ ℝ | a < x} ( − ∞; b ) = { x ∈ ℝ | x < b} . Đoạn

[ a; b] = { x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} .

Nửa khoảng

ƠN

[ a; b ) = { x ∈ ℝ | a ≤ x < b} [ a; b ) = { x ∈ ℝ | a < x ≤ b} [ a; + ∞ ) = { x ∈ ℝ | a ≤ x} ( − ∞; b ] = { x ∈ ℝ | x ≤ b} .

HỆ THỐNG BÀI TẬP.

1 =

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.

II =

QU Y

1.8. Gọi X là tập hợp các quốc gia tiếp giáp với Việt Nam. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X và biểu diễn tâp X bằng biểu đồ Ven.

KÈ

Lời giải

X = {Trung Quốc, Lào, Campuchia}

1.9. Ký hiệu E là tập hợp các quốc gia tại khu vực Đông Nam Á.

a) Nêu ít nhất hai phần tử thuộc tập hợp E .

DẠ

b) Nêu ít nhất hai phần tử không thuộc tập hợp E . c) Liệt kê các phần tử thuộc tập hợp E . Tập hợp E có bao nhiêu phần tử?

Lời giải a) Hai quốc gia thuộc khu vực Đông Nam Á : Lào, Thái Lan. b) Hai quốc gia không thuộc khu vực Đông Nam Á : Trung Quốc, Ấn Độ.

Page 4

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP c) E = {Việt Nam, Lào, Campuchia, Thái lan, Indonesia, Singapore, Đông Timor, Philipin, Myanma, Brunei và Myanma}

1.10. Hãy viết tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử cuả tập hơp :

FI CI A

A = {0;4;8;12;16} . Lời giải Tập hợp A = {4n | n ∈ ℕ, 0 ≤ n ≤ 4} .

1.11. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập hợp rỗng? B = { x ∈ ℤ | x 2 − 6 = 0} .

Lời giải

A = { x ∈ ℝ | x 2 − 6 = 0} ;

ƠN

x = 6 Ta có : x 2 − 6 = 0 ⇔  , hai giá trị này không thuộc tập ℤ .  x = − 6 Vậy B = ∅ .

1.12. Cho X = {a; b} . Các cách viết sau đúng hay sai? Giải thích kết luận đưa ra. C) ∅∈ X .

b) {a} ⊂ X .

a) a ⊂ X .

Lời giải

a) Sai. Vì a là ký hiệu phần tử, viết đúng phải là : a ∈ X b) Đúng.

QU Y

c) Sai. Vì ∅ là 1 tập hợp. không phải là phần tử của X . Viết đúng phải là : ∅ ⊂ X .

1.13. Cho A = {2;5} , B = {5; x} , C = {2; y} .Tìm x và y để A = B = C . Lời giải

Các tập hợp bằng nhau nếu các phần tử của tập này cũng là phần tử của tập kia.

Vậy để cho A = B = C thì x = 2, y = 5 .

{

}

KÈ

1.14. Cho A = { x ∈ ℤ | x < 4} ; B = x ∈ ℤ | ( 5 x − 3x 2 )( x 2 + 2 x − 3) = 0 . a) Liệt kê các phần tử của hai tập hợp A và B .

b) Hãy xác định các tập hợp A ∩ B , A ∪ B và A \ B .

Lời giải

DẠ

a) Ta có : A = {....; −4; −3; −2; −1;0;1; 2;3} . x = 0∈ℤ  5 x − 3x 2 = 0 ⇔  . x = 5 ∉ℤ 3 

Page 5

Số phần tử tập hợp E là : n ( E ) = 11 .

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP  x = 1∈ ℤ  x2 + 2x − 3 = 0 ⇔  .  x = −3 ∈ ℤ

1.15. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số. a) ( −4;1] ∩ [ 0;3) .

b) ( 0; 2] ∪ ( −3;1] .

c) ( −2;1) ∩ ( −∞;1] .

d) ℝ \ ( −∞;3] .

Lời giải

ƠN

a) ( −4;1] ∩ [ 0;3) = [ 0;1] .

QU Y

d) ℝ \ ( −∞;3] = ( 3; +∞ ) .

b) ( 0;2] ∪ ( −3;1] = ( −3; 2] .

c) ( −2;1) ∩ ( −∞;1] = ( −2;1) .

FI CI A

b) Ta có : B ⊂ A nên A ∩ B = B ; A ∪ B = A ; A \ B = {.....; −4; −2; −1; 2;3} .

Khi đó : B = {−3;0;1} .

1.16. Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động 35 người phiên dịch tiếng Anh, 30 người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 16 người phiên dịch được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Hãy trả lời các câu hỏi sau: a) Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?

b) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?

KÈ

c) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?

Lời giải

DẠ

Sơ đồ ven minh họa

a) Số người phiên dịch mà ban tổ chức huy động là : 35 + 30 − 16 = 49 người.

Page 6

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP b) Số người chỉ phiên dịch được tiếng anh là : 35 − 16 = 19 người.

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

FI CI A

2 =

c) Số người chỉ phiên dịch được ttiếng Pháp là : 30 − 16 = 14 người.

 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH MỘT TẬP HỢP PHƯƠNG PHÁP Để xác định một tập hợp, ta có 2 cách sau:

 Chỉ ra tính chất đặc trưng của tập hợp.

{

(

)(

) }

 Liệt kê các phần tử của tập hợp.

ƠN

Bài 1. Viết lại tập hợp A = x ∈ ℝ 2 x 2 − 5 x + 3 x 2 − 4 x + 3 = 0 bằng cách liệt kê các phần tử của nó. Lời giải

(

)(

)

 3   2 

QU Y

Vì x∈ℝ nên A =  1; ;3 .

x = 1  3 2 x 2 − 5x + 3 = 0 2 2 ⇔ x = 2 . Ta có 2 x − 5 x + 3 x − 4 x + 3 = 0 ⇔  2   x − 4 x + 3 = 0 x = 1  x = 3

{

(

)(

) }

Bài 2. Viết lại tập hợp A = x ∈ ℕ 2 x 2 − 5 x + 3 x 2 − 4 x + 3 = 0 bằng cách liệt kê các phần tử của nó. Lời giải

x = 1  3 2 x 2 − 5x + 3 = 0 2 2 ⇔ x = 2 . Ta có 2 x − 5 x + 3 x − 4 x + 3 = 0 ⇔  2   x − 4 x + 3 = 0 x = 1  x = 3

)(

)

KÈ

(

Vì x ∈ ℕ nên A= {1;3} .

DẠ

Bài 3. Viết lại tập hợp A = { x ∈ ℕ x < 5} bằng cách liệt kê các phần tử của nó. Lời giải

Ta có x < 5 và x ∈ ℕ nên x ∈ {0;1;2;3;4} Vậy A= {0;1;2;3;4}

Page 7

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Bài 4. Viết mỗi tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4} bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. Lời giải

A = { x ∈ ℕ x < 5} .

FI CI A

Ta nhận thấy các phần tử của tập hợp A là các số tự nhiên và nhỏ hơn 5. Do đó

Bài 5. Viết mỗi tập hợp A = {9; 36; 81; 144} bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. Lời giải

Ta có 9 = 32 , 36 = 6 2 , 81 = 9 2 , 144 = 12 2 và các số 3, 6, 9,12 đều là bội của 3. Do đó ta viết lại

{

}

tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng là A = (3k ) k ∈ ℕ* , k ≤ 4 .

Bài 6. Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp A gồm các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 25.

Ta có A = {0;3;6;9;12;15;18;21;23} .

ƠN

Lời giải

Bài 7. Liệt kê các phần tử của tập hợp X = { x ∈ ℝ 2 x 2 − 5 x + 3 = 0} . Lời giải

 x = 1∈ ℝ  3  X = 1;  . Ta có 2 x − 5 x + 3 = 0 ⇔  3 x = ∈ ℝ  2  2

QU Y

{

(

)(

)

}

2 2 Bài 8. Viết tập hợp B = x ∈ ℕ 9 − x x − 3x + 2 = 0 dưới dạng liệt kê các phần tử.

Lời giải

 x = −3 ∉ ℕ  x = 3∈ ℕ 9 − x = 0 2 2 ⇔ Ta có ( 9 − x )( x − 3 x + 2 ) = 0 . ⇔  2  x = 1∈ ℕ x − 3 x + 2 = 0   x = 2∈ ℕ

KÈ

Vậy B = {3;1;2} .

{

(

)(

)

}

DẠ

2 2 Bài 9. Viết tập hợp A = x ∈ ℚ 5 − x x − 5x + 6 = 0 dưới dạng liệt kê các phần tử.

Lời giải

5 − x2 = 0 ⇔ Ta có ( 5 − x )( x − 5 x + 6 ) = 0  2 ⇔  x − 5x + 6 = 0 2

Page 8

x = ± 5 ∉ ℚ  . x = 3∈ ℚ x = 2∈ ℚ 

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Vậy A = {2;3} .

FI CI A

Lời giải

 3  Bài 10. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp A =  x ∈ ℕ ∈ ℤ . x−2  

x − 2 =1 x = 3  x − 2 = −1  x = 1 3 Ta có . Vì x∈ℕ nên loại x = −1 . ∈ ℤ ⇔ 3⋮ ( x − 2 ) ⇔  ⇔ x − 2 = 3 x = 5 x−2    x − 2 = −3  x = −1

Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi hóa, 6học sinh giỏi cả Toán và Lý, 5 học sinh giỏi cả Hóa và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 3 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Tính học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A? Lời giải

Theo giả thiết đề bài cho, ta có biểu đồ Ven:

ƠN

Bài 11.

Suy ra A = {1;3;5} . Vậy tổng tất cả các phần tử của tập hợp A là 1 + 3 + 5 = 9 .

Lý

Toán

QU Y

Hóa

KÈ

Dựa vào biểu đồ Ven, ta có học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A là Số học sinh giỏi Toán: 6 + 4 + 3 = 13 .

Số học sinh giỏi Lý: 6 + 5 + 3 = 14 .

Số học sinh giỏi Hóa: 4 + 5 + 3 = 12 .

DẠ

Ta lại có: Số học sinh giỏi cả Toán và Lý: 6. Số học sinh giỏi cả Toán và Hóa: 4. Số học sinh giỏi cả Hóa và Lý: 5.

Page 9

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Và số học sinh giỏi cả Toán, Lý và Hóa là 3. Số học sinh giỏi hơn một môn là 4 + 6 + 5 + 3 = 18 . Cho A = ( 2; +∞) , B = ( m; +∞ ) . Tìm điều kiện cần và đủ của

để B là tập con của A ?

Bài 12.

-∞

B=(m;+∞)

Ta có: B ⊂ A khi và chỉ khi ∀x ∈ B  x ∈ A  m ≥ 2 .

Bài 13.

FI CI A

Lời giải

Xác định số phần tử của tập hợp X = {n ∈ ℕ | n⋮ 4, n < 2017} .

Lời giải

+∞

Tập hợp X gồm các phần tử là những số tự nhiên nhỏ hơn 2017 và chia hết cho 4.

ƠN

Từ 0 đến 2015 có 2016 số tự nhiên, ta thấy cứ 4 số tự nhiên liên tiếp sẽ có duy nhất một số chia hết cho 4 . Suy ra có 504 số tự nhiên chia hết cho 4 từ 0 đến 2015 . Hiển nhiên 2016⋮ 4 . Vậy có tất cả 505 số tự nhiên nhỏ hơn 2017 và chia hết cho 4 .

Bài 14.

Cho hai tập hợp A = [1;3] và B = [ m; m + 1] . Tìm tất cả giá trị của tham số m để B ⊂ A .

Lời giải

m ≥ 1 m ≥ 1 ⇔ Ta có: B ⊂ A ⇔  . Vậy 1 ≤ m ≤ 2 . m + 1 ≤ 3 m ≤ 2

{

}

QU Y

2 Câu 15. Số phần tử của tập hợp A = x ∈ ℤ x − 4 x + 3 + 2 x − 2 = 0

Lời giải

Ta có x − 4 x + 3 ≥ 0 và 2 x − 2 ≥ 0 nên  x2 − 4 x + 3 = 0 x − 4x + 3 + 2x − 2 = 0 ⇔  ⇔ 2 x − 2 = 0

 x = 1   x = 3 ⇔ x = 1 .  x =1 

Vậy tập A có đúng 1 phần tử.

{

}

KÈ

Câu 16. Cho tập hợp D = x ∈ ℝ x + 2 x − 1 = 2 ( x − 3 ) . Hãy viết tập hợp D dưới dạng liệt kê các phần tử.

Lời giải 2

DẠ

Giải phương trình: x + 2 x − 1 = 2 ( x − 3) (1)

Điều kiện: x ≥

1 (*) 2

pt(1) ⇔ 2 x − 1 − 3 = 2 x 2 − 13 x + 15

Page 10

Ta có (2) ⇔ ( 2 x − 3 )

(

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP 2 x − 10 2   ⇔ = ( x − 5 )( 2 x − 3) ⇔ ( x − 5 )  − 2x + 3 = 0 2x −1 + 3  2x −1 + 3  x =5 ⇔ 2  = 2 x − 3 (2)  2 x − 1 + 3

)

2x −1 + 3 = 2

Với t =

−1 + 17 ta có 2

2 x −1 =

 t = −2  −1 − 17 2 Đặt t = 2 x − 1, t ≥ 0 . Phương trình trở thành ( t − 2 ) ( t + 3) = 2 ⇔  t =  2   t = −1 + 17  2 −1 + 17 9 − 17 11 − 17 ⇔ 2x −1 = ⇔ x= . 2 2 4

ƠN

 11 − 17  Vậy E = 5; . 4  

QU Y

 4x + 3  Câu 17. Tính tổng các phần tử của tập hợp A =  x ∈ ℤ ∈ ℤ . x+2   Lời giải x + 2 = 5 x = 3∈ ℤ  x + 2 = −5  x = −7 ∈ ℤ 4x + 3 5 5 Ta có . = 4− ∈ℤ ⇔ ∈ ℤ ⇔ 5⋮ x + 2 ⇔  ⇔ x + 2 = 1  x = −1 ∈ ℤ x+2 x+2 x+2    x + 2 = −1  x = −3 ∈ ℤ Suy ra A = {3; −7; −1; −3} . Vậy tổng các phần tử của tập hợp A là 3 + ( −7 ) + ( −1) + ( −3) = −8 .

{

Câu 18. Liệt kê các phần tử của A = x ∈ ℕ 4 x 2 − 2 x + 3 + 4 > x 2 2 x + 3

Điều kiện: 2 x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥

}

Lời giải

−3 . 2

KÈ

Ta có 4 x 2 − 2 x + 3 + 4 > x 2 2 x + 3 ⇔ ( x 2 + 1)

⇔ 2 x + 3 < 4 ⇔ 2 x + 3 < 16 ⇔ 2 x < 13 ⇔ x <

(

)

2x + 3 − 4 < 0 ⇔ 2x + 3 − 4

13 . 2

Vì x∈ℕ nên x ∈ {0;1; 2;3; 4;5;6} Vậy A = {0;1; 2;3; 4;5;6} .

{

}

DẠ

Câu 19. Liệt kê các phần tử của tập hợp A = x ∈ ℤ x 2 + 3 x − 8 + 2 x 2 + 3 x = 0 . Lời giải Đặt t = x 2 + 3 x ≥ 0 . Phương trình x 2 + 3 x − 8 + 2 x 2 + 3 x = 0 trở thành Page 11

(l )

(n)

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP t = 2 t 2 + 2t − 8 = 0 ⇔  ⇔ t = 2.  t = −4

FI CI A

x =1 . + t = 2 ⇔ x 2 + 3x = 2 ⇔ x 2 + 3x − 4 = 0 ⇔   x = −4 Vậy A = {1; −4} .

DẠNG 2: CÁC PHÉP TOÁN VỀ GIAO, HỢP, HIỆU CỦA HAI TẬP HỢP PHƯƠNG PHÁP

{

}

{

}

Giao của hai tập hợp: A ∩ B = x x ∈ A va x ∈ B . Hợp của hai tập hợp: A ∪ B = x x ∈ A hoac x ∈ B .

{

}

Phần bù: Cho B ⊂ A thì C AB = A \ B .

ƠN

Hiệu cuả hai tập hợp: A \ B = x x ∈ A va x ∉ B .

Bài 1. Cho hai tập hợp A = {1; 2;3;7} , B = {2;4;6;7;8} . Xác định các tập hợp A ∩ B , A ∪ B , A \ B , B \ A. Lời giải

QU Y

Ta có A ∩ B = {2;7} , A ∪ B = {1;2;3; 4;6;7;8} , A \ B = {1;3} , B \ A = {4;6;8} .

Bài 2. Cho tập X = {0 ;1; 2;3; 4 ;5} và tập A = {0; 2; 4} . Xác định phần bù của A trong X . Lời giải

Vì A ⊂ X nên C X A = X \ A = {1; 3;5) .

Lời giải

KÈ

Bài 3. Gọi Bn là tập hợp các bội số của n trong ℕ . Xác định tập hợp B2 ∩ B4 ?

 B = x x = 2k , k ∈ ℕ ∗ = {2; 4; 6;8;10;...} }  2 { Ta có các tập hợp  .  B = x x = 4k , k ∈ ℕ ∗ = {4;8;12;16;...} }  4 {

Do đó B2 ∩ B4 = B4 .

DẠ

Bài 4. Cho A là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình x 2 − 4 x + 3 = 0 ; B là tập hợp các số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 4. Xác định tập hợp A \ B ? Lời giải

Page 12

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP x =1 Ta có x 2 − 7 x + 6 = 0 ⇔  ⇒ A = {1;3}  x = 3

B = {−3; −2; −1;0;1; 2;3} . Do đó A \ B = ∅ .

FI CI A

Bài 5. Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lông, biết rằng có 25 em biết chơi đá cầu, 30 em biết chơi cầu lông, 15 em biết chơi cả hai. Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu? Bao nhiêu em chỉ biết đánh cầu lông? Sĩ số lớp là bao nhiêu?

Lời giải

Dựa vào biểu đồ Ven ta suy ra số học sinh chỉ biết đá cầu là 25 − 15 = 10 .

ƠN

Số học sinh chỉ biết đánh cầu lông là 30 − 15 = 15 . Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A1 là 10 + 15 + 15 = 40 .

Bài 6. Viết lại tập hợp A = {2x + 1 | x ∈ Z và − 2 ≤ x ≤ 4} dưới dạng liệt kê.

Lời giải

 x ∈ Z ⇔ x ∈ { −2, −1, 0,1,2, 3, 4 } . Ta có   −  2 ≤ x ≤ 4

QU Y

Suy ra C = { −3; −1;1; 3; 5; 7; 9 } .

Bài 7. Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lông, biết rằng có 25 em biết chơi đá cầu , 30 em biết chơi cầu lông , 15 em biết chơi cả hai . Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu? bao nhiêu em chỉ biết đánh cầu lông? Sĩ số lớp là bao nhiêu?

KÈ

Lời giải

25 15

Dựa vào biểu đồ ven ta suy ra số học sinh chỉ biết đá cầu là 25 − 15 = 10

DẠ

Số học sinh chỉ biết đánh cầu lông là 30 − 15 = 15

Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A1 là 10 + 15 + 15 = 40 Trong số 220 học sinh khối 10 có 163 bạn biết chơi bóng chuyền, 175 bạn biết chơi bóng bàn còn 24 bạn không biết chơi môn bóng nào cả. Tìm số học sinh biết chơi cả 2 môn bóng.

Bài 8. Cho các tập hợp: Page 13

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP A = { x ∈ R |x < 3 }

B = { x ∈ R |1 < x ≤ 5 }

C = { x ∈ R |− 2 ≤ x ≤ 4 }

a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.

c) Tìm ( B ∪ C ) \ ( A ∩ C ) .

Lời giải a) Ta có: A = ( −∞; 3 )

C =  −2; 4  .

B = ( 1; 5 

b) Suy ra A ∪ B = ( −∞; 5 

Suy ra A ∩ B = ( 1; 3 )

Suy ra ta có ( B ∪ C ) \ ( A ∩ C ) =  3; 5 

ƠN

Suy ra A \ B = ( −∞;1  A ∩ C =  −2; 3 ) và B ∪ C =  −2; 5 

FI CI A

b) Tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B .

m + 3  Bài 9. Cho các tập hợp A = 1 − m; và B = ( −∞;− 3) ∪ [3;+ ∞ ) . 2   Tìm tất cả các số thực m để A ∪ B = ℝ .

Lời giải

Đặt X = Cℝ B  X = [ −3;3) .

QU Y

1 − m ≤ −3  A∪ B = ℝ ⇔ X ⊂ A ⇔ m + 3 ⇔ m ≥ 4.  2 ≥ 3

Bài 10. Cho hai tập hợp E = ( 2;5] và F = [ 2m − 3;2m + 2] . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để A hợp

B là một đoạn có độ dài bằng 5 .

Lời giải

KÈ

Nhận xét: Kí hiệu X là độ dài của khoảng/nửa khoảng/đoạn X , khi đó E = 3 ; F = 5 . * TH1: E ∪ F = F ⇔ E ⊂ F ⇔ 2m − 3 ≤ 2 < 5 ≤ 2m + 2 ⇔

3 5 ≤m≤ . 2 2

* TH2: E ∪ F ≠ F  E ∪ F > F = 5 . Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn TH2.

DẠ

6   Bài 11. Cho khoảng A =  −∞;  và khoảng B = (1 − m;+ ∞ ) . Tìm tất cả các số thực m để A \ B = A . 2−m 

A\ B = A ⇔ A∩ B = ∅ ⇔

Lời giải  m ≤ −1 6 − m 2 + 3m + 4 ≤ 1− m ⇔ ≤0⇔ (*) 2−m 2−m 2 < m ≤ 4

Page 14

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Bài 12. Cho các tập hợp A = ( 2;+ ∞ ) và B =  m 2 − 7;+ ∞ ) với m > 0 . Tìm tất cả các số thực m để A \ B là một khoảng có độ dài bằng 16 .

m2 − 7 > 2 m 2 > 9 ⇔ ⇔ m > 3. Điều kiện để A \ B ≠ ∅ là  m > 0 m > 0

(

)

Khi đó A \ B = 2;m 2 − 7 .

FI CI A

Lời giải

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

Độ dài khoảng A \ B bằng 16 ⇔ m 2 − 7 − 2 = 16  m = 5 (do m > 3 ).

Page 15

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

2 =

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

C. A = ∅ Lời giải

Chọn C Ta có: A = { x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = 0} . Vì phương trình x 2 + x + 1 = 0 vô nghiệm nên A = ∅ .

}

x lµ −íc cña 8 .

{

Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp M = x ∈ N sao cho

A. M = {1;4;16;64} .

B. M = {0;1;4;16;64} .

C. M = {1;2;4;8} .

D. M = {0;1;2;4;8} .

ƠN

Câu 2.

D. A = {∅}

FI CI A

B. A = {0}

A. A = 0

Câu 1. Cho tập hợp A = { x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = 0} .Các phần tử của tập A là:

Lời giải

Chọn A A. Đúng, căn bậc hai của các số trong tập M đều là ước của 8. B. HS hiểu nhầm số 0 là ước của mọi số tự nhiên. C. HS hiểu nhầm x là ước của 8.

D. HS hiểu nhầm x là ước của 8 và 0 là ước của mọi số tự nhiên.

{

(

)(

)

}

2 2 Cho tập hợp A = x ∈ ℝ x –1 x + 2 = 0 . Các phần tử của tập A là:

QU Y

Câu 3.

A. A = {–1;1}

Chọn A

{

C. A = {– 1}

B. A = {– 2;–1;1; 2} D. A = {1} Lời giải

}

KÈ

A = x ∈ ℝ ( x2 –1)( x2 + 2) = 0 .  x2 –1 = 0 x = 1  A = {−1;1} . Ta có ( x –1)( x + 2 ) = 0 ⇔  2 ⇔  x + 2 = 0 ( vn )  x = −1 2

Cho A = { x ∈ ℝ x 2 + 4 > 0} . Tập hợp A viết lại dạng liệt kê là

DẠ

Câu 4.

A. ℝ .

C. [ −2; +∞) .

B. ∅ . Lời giải

Chọn A 2

Ta có: x 2 + 4 > 0 ⇔ x 2 > − 4 ⇔ x ∈ ℝ ( Vì x ≥0, ∀x ∈ℝ).

Page 16

D. [ 2;+∞) .

A. { x ∈ ℝ | 6 x 2 – 7 x + 1 = 0} .

B. { x ∈ ℤ | x < 1} .

C. { x ∈ ℚ | x 2 − 4 x + 2 = 0} .

D. { x ∈ ℝ | x 2 − 4 x + 3 = 0} .

FI CI A

Lời giải Chọn C

x = 2 + 2 2 Ta có x − 4 x + 2 = 0 ⇔  . Vì x ∈ ℚ nên x ∈∅ .  x = 2 − 2 Câu A sai là phương trình có 2 nghiệm hữu tỉ.

{

(

)(

}

)

Câu B sai là bất phương trình có 1 nghiệm nguyên x = 0 . Câu D sai là phương trình có 2 nghiệm là x = 1 và x = 3 .

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Tập hợp nào là tập hợp rỗng, trong các tập hợp sau?

Câu 5.

2 2 Câu 6: Cho tập hợp B = x ∈ R x − 9 x − 3x = 0 . Tập hợp B được viết dưới dạng liệt kê là

B. B = {3; −9;0} .

C. B = {−9;9;0} .

ƠN

A. B = {3;9;1;2} .

D. B = {−3;3;0} .

Lời giải Chọn D

 x = −3 x = 3  . Vậy B = {−3;3;0} . x = 3  x = 0

 x2 − 9 = 0 Ta có  2 ⇔  x − 3x = 0

QU Y

Câu 7: Cho tập hợp H = { x ∈ ℕ x 3 − 9 x = 0} . Tập hợp H là tập con của tập hợp nào dưới đây ? A. A = {−3;0;1;2} .

Chọn D

B. B = {−3;1;2;3} .

C. C = {0;1;2} .

D. D = {−3;0;2;3} .

Lời giải

KÈ

 x=0 Ta có x3 − 9 x = 0 ⇔ x ( x 2 − 9 ) = 0   . Suy ra H = {0;3} (vì x∈ ℕ ).  x = ±3

{

(

)(

)

}

2 3 Câu 8: Tập hợp A = x ∈ ℕ x + x − 2 x + 4x = 0 có bao nhiêu phần tử?

A. 1 .

B. 3.

C. 5. Lời giải

DẠ

Chọn B Ta có ( x 2 + x − 2 )( x3 + 4 x ) = 0 ⇔ x ( x − 1)( x + 2 ) ( x 2 + 4 ) = 0

Page 17

D. 2.

FI CI A

Vì x ∈ ℕ nên loại x = −2 . Suy ra A = {0;1} . Vậy tập hợp A có 2 phần tử.

Câu 9: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng? A. { x ∈ ℝ x 2 + 5 x − 6 = 0} .

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP x = 0 x =1 2  ⇔  x − 1 = 0 ⇔  x = −2 (do x + 4 > 0, ∀x ∈ℝ ).  x + 2 = 0  x = 0

B. { x ∈ ℚ 3 x 2 − 5 x + 2 = 0} .

C. { x ∈ ℤ x 2 + x − 1 = 0} . D. { x ∈ ℝ x 2 + 5 x − 1 = 0} .

Lời giải Chọn C

−1 ± 5 ∉ℤ nên { x ∈ ℤ x 2 + x − 1 = 0} = ∅ . 2 Câu 10: Cho tập hợp P = {n 2 + 1 n ∈ N và −3 < n < 3} . Viết tập hợp P dưới dạng liệt liệt kê các phần

ƠN

Ta có x 2 + x − 1 = 0 ⇔ x =

tử.

A. P = {−3; −2; −1;0;1;2;3} .

D. P = {0;1;4} .

C. P = {1;2;5} .

B. P = {−2; −1;0;1;2} .

Lời giải

QU Y

Chọn C

n = −2 n = −1 −3 < n < 3   n = 0 . Ta có  n ∈ N n = 1  n = 2

KÈ

Suy ra P = {1;2;5} .

Câu 11. Cho tập hợp A = {x ∈ ℕ x là ước chung của 36 và 120} . Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A . A. A = {1; 2;3; 4;6;12} . B. A = {1; 2; 4;6;8;12} . D. A = {2;3;4;6;12} . .

DẠ

C. A = {2;4;6;8;10;12} .

Lời giải

Chọn A

36 = 22.32 Ta có  . 3 120 = 2 .3.5 Page 18

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Do đó A = {1; 2;3; 4;6;12} .

{

}

Câu 12. Số phần tử của tập hợp A = k 2 + 1 k ∈ ℤ, k ≤ 2 là: C. 3.

D. 5.

Lời giải Chọn D

Vì k ∈ ℤ và k ≤ 2 nên k ∈{−2; −1;0;1;2} do đó ( k 2 + 1) ∈ {1; 2;5} .

Câu 13. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào rỗng? A. A = x ∈ ℕ x 2 − 4 = 0 .

{

Vậy A có 3 phần tử.

B. 2.

FI CI A

A. 1.

{

}

B. B = x ∈ ℝ x 2 + 2 x + 3 = 0 .

{

}

D. D = x ∈ ℚ x 2 + x − 12 = 0 .

{

C. C = x ∈ ℝ x 2 − 5 = 0 .

}

ƠN

Lời giải

Chọn B

Xét các đáp án:

x = 2 ∈ ℕ  Đáp án A. Ta có x 2 − 4 = 0 ⇔   A = {2} .  x = −2 ∉ ℕ

QU Y

 Đáp án B. Ta có x 2 + 2 x + 3 = 0 (phương trình vô nghiệm)  B = ∅ .

{

}

 Đáp án C. Ta có x 2 − 5 = 0 ⇔ x = ± 5 ∈ ℝ  C = − 5; 5 . x = 3∈ ℚ  Đáp án D. Ta có x 2 + x − 12 = 0 ⇔   D = {−4;3} .  x = −4 ∈ ℚ

Câu 14. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng? A. A = x ∈ Z x < 1 . B. B = x ∈ Z 6 x 2 − 7 x + 1 = 0 .

{

}

{

}

KÈ

C. C = x ∈ Q x 2 − 4 x + 2 = 0 .

{

}

{

}

D. D = x ∈ ℝ x 2 − 4 x + 3 = 0 . Lời giải

Chọn C

DẠ

Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có x < 1 ⇔ −1 < x < 1  A = {0} .  x = 1∈ ℤ  Đáp án B. Ta có 6 x 2 − 7 x + 1 = 0 ⇔   B = {1} . x = 1 ∉ ℤ 6 

Page 19

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP  Đáp án C. Ta có x 2 − 4 x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ± 2 ∉ ℚ  C = ∅ .

x = 3∈ ℝ  Đáp án D. Ta có x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔   D = {1;3} .  x = 1∈ ℝ

. A. 2

B. 4

FI CI A

Câu 15. Cho hai tập hợp A = {0;2} và B = {0;1; 2;3; 4} . Có bao nhiêu tập hợp X thỏa mãn A ⊂ X ⊂ B C. 6

D. 8

Lời giải Chọn C

Ta có A ⊂ X ⊂ B nên X = A; X = B , X = {0;1; 2} , X = {0;2;3} , X = {0; 2; 4} , X = {0;1; 2;3} ,

X = {0;1; 2; 4} , X = {0; 2;3;4} . Vậy có 8 tập X thỏa đề bài.

A. 3 .

ƠN

Câu 16: Tổng tất cả các phần tử của tập hợp A = { x ∈ ℤ 2 x + 1 < 6} bằng B. 9 .

C. 0 .

D. −3 .

Lời giải

Chọn D.

7 5 Ta có 2 x + 1 ≤ 5 ⇔ −6 < 2 x + 1 < 6 ⇔ −7 < 2 x < 5 ⇔ − < x < . 2 2

QU Y

Vì x ∈ℤ nên x ∈ {−3; − 2; −1; 0;1; 2} . Suy ra A = {−3; −2; −1;0;1; 2} . Vậy tổng tất cả các phần tử của tập hợp A là ( −3 ) + ( −2 ) + ( −1) + 0 + 1 + 2 = −3 .

Câu 17: Cho tập M =

{( x; y ) x, y ∈ ℝ và x

A. 1.

+ y 2 ≤ 0}. Hỏi tập hợp M có bao nhiêu phần tử?

B. 2 .

C. 0 .

D. Vô số.

Chọn A

Lời giải

KÈ

 x 2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ  x 2 + y 2 ≥ 0. Ta có  2  y ≥ 0, ∀x ∈ ℝ Mà x 2 + y 2 ≤ 0 nên chỉ xảy ra khi x 2 + y 2 = 0 ⇔ x = y = 0.

Do đó ta suy ra M = {( 0;0 )} nên tập hợp M có 1 phần tử.

{

(

}

)

DẠ

Câu 18: Cho tập M = x ∈ ℤ x 2 − 4 x + 3 .( x − m ) = 0 . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để tổng tất cả các phần tử của tập M bằng 4?

A. 0.

B. 1.

C. 2 . Lời giải Page 20

D. 3 .

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Chọn D x = 1  x2 − 4 x + 3 = 0 Ta có ( x − 4 x + 3 ) . ( x − m ) = 0 ⇔  ⇔  x = 3 . x − m = 0  x = m

m ≠ 1 Nếu  thì M = {1;3; m} . Khi đó 1 + 3 + m = 4 ⇔ m = 0 . m ≠ 3

FI CI A

m = 1 Nếu  thì M = {1;3} . Khi đó tổng các phần tử bằng 4 (thỏa mãn). m = 3

Vậy có 3 giá trị của tham số m để tổng tất cả các phần tử của tập M bằng 4.

một nghiệm dương. Số phần tử của tập hợp A là

A. 9.

B. 11.

C. 10.

Câu 19: Gọi A là tập hợp các số nguyên m ∈ [ −7;7 ] sao cho phương trình x 2 − mx + m = 0 có ít nhất D. 12.

ƠN

Lời giải Chọn B

TH1: Phương trình x 2 − mx + m = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 ⇔ m < 0 .

Mặt khác do m ∈ [ −7;7 ] và m ∈ ℤ nên m ∈ {−7 ; −6; −5; −4; −3; −2; −1} . ∆ = 0 ⇔ m = 4. TH2: Phương trình x 2 − mx + m = 0 có nghiệm kép dương ⇔  S > 0

QU Y

TH3: Phương trình x 2 − mx + m = 0 có hai nghiệm dương phân biệt 0 ≤ x1 < x2

m ( m − 4 ) > 0 ∆ = m 2 − 4m > 0 ∆ > 0    ⇔ S = m ≥ 0 ⇔ m > 4. ⇔ S ≥ 0 ⇔ S = m ≥ 0 P = m > 0 P = m > 0 P > 0   

Từ các trường hợp trên suy ra A = {−7 ; −6; −5; −4; −3; −2; −1; 4;5;6;7} . Vậy số phần tử của tập hợp A là 11.

KÈ

Câu 20: Cho tập hợp A = A. 7.

{( x ; y ) x

− 25 = y ( y + 6 ) và x, y ∈ ℤ} . Số phần tử của tập hợp A là

B. 5.

C. 4.

D. 6 .

Lời giải

Chọn D 2

DẠ

Ta có x 2 − 25 = y ( y + 6 ) ⇔ x 2 − ( y + 3) = 16 ⇔ ( x + y + 3 )( x − y + 3 ) = 16

Vì x + y + 3 ≥ x − y + 3 và x + y + 3 ≥ 0 nên x − y + 3 ≥ 0 Do đó

( x + y + 3 )( x − y + 3 ) = 16 khi các trường hợp sau xảy ra: Page 21

 x + y + 3 = 4  x = 4  x = ±4 . ⇔ ⇔ TH3:   y = −3  x − y + 3 = 4  y + 3 = 0

Do đó A = {( 5;0 ) ; ( 5; −6 ) ; ( −5;0 ) ; ( −5; −6 ) ; ( 4; −3 ) ; ( −4; −3 )} .

FI CI A

 x = ±5  x + y + 3 = 8  x = 5  x = ±5  ⇔ ⇔ ⇔  y = 0 . TH2:   y + 3 = ±3  x − y + 3 = 2  y + 3 = 3   y = −6 

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP 17   x = 2  x + y + 3 = 16 TH1:  ⇔ loại do x, y ∈ ℤ .  x − y + 3 = 1  y + 3 = 15  2

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

Vậy tập hợp A có 6 phần tử.

Page 22

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Câu 21. Tập hợp nào sau đây chỉ gồm các số vô tỷ? A. ℚ \ ℕ* .

B. ℝ \ ℚ .

C. ℚ \ ℤ .

D. ℝ \ {0} .

Câu 22. Cho tập hợp A ≠ ∅ . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai ?. A. A ∩ ∅ = A .

B. A ∩ A = A .

C. ∅ ∩ ∅ = ∅ Lời giải

D. ∅ ∩ A = ∅ .

Chọn A Ta có A ∩∅ = ∅ . Câu 23. Cho hai tập hợp A = {a; b; c; d ; m} , B = {c; d ; m; k ; l } . Tìm A ∩ B .

FI CI A

Lời giải Chọn B Tập hợp chỉ gồm các số vô tỷ là ℝ \ ℚ .

B. A ∩ B = {a; b; c; d ; m; k ; l } .

C. A ∩ B = {c; d } .

D. A ∩ B = {c; d ; m} .

ƠN

A. A ∩ B = {a; b} .

Lời giải

Do đó A ∩ B = {c; d ; m} .

Chọn D Tập hợp A và tập hợp B có chung các phần tử c, d , m .

A. ( A ∪ B) \ C .

QU Y

Câu 24. Cho A, B , C là ba tập hợp được minh họa như hình vẽ bên. Phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây?

B. ( A ∩ B) \ C .

C. ( A \ C ) ∪ ( A \ B) .

D. A ∩ B ∩ C .

KÈ

Lời giải

Chọn B Sử dụng phép toán giao hai tập hợp để tìm A ∩ B , từ đó suy ra đáp án B. Câu 25. Cho hai tập hợp M , N thỏa mãn M ⊂ N . Mệnh đề nào sau đây đúng?

DẠ

A. M ∩ N = N .

B. M \ N = N .

C. M ∩ N = M . Lời giải

Chọn C Dựa vào biểu đồ Ven.

Page 23

D. M \ N = M .

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Câu 26. Số phần tử của tập hợp A = {2k 2 + 3 / k ∈ Z , k ≤ 3} là: B. 6 .

A. 7 .

C. 5 .

D. 4 .

FI CI A

Câu 27. Tập hợp nào sau đây có đúng hai tập hợp con? A. { x ; ∅} . B. { x} .

Lời giải Chọn D k = {−3; − 2; − 1; 0 ;1; 2;3}  A = {3;5;11; 21} . C. { x ; y ; ∅} .

D. { x ; y} .

Lời giải Chọn B.

có 21 = 2 tập con.

C1: Công thức số tập con của tập hợp có n phần tử là 2n nên suy ra tập { x} có 1 phần tử nên

C2: Liệt kê số tập con ra thì { x} có hai tập con là { x} và {∅} .

ƠN

Câu 28. Cho tập X có biểu diễn trên trục số như hình sau:

A. X là khoảng, X = ( −5; + ∞ ) .

Khẳng định nào sau đây đúng.

B. X là khoảng, X = ( −∞ ; − 5) .

C. X là nửa khoảng, X = ( −∞ ; − 5] .

D. X là nửa khoảng, X = [ −5; +∞ ) .

Lời giải

QU Y

Chọn B Câu 29. Tập hợp [ −3;1) ∪ ( 0;4 ] bằng tập hợp nào sau đây? A. ( 0;1) .

B. [ 0;1] .

C. [ −3;4 ] .

D. [3;0 ] .

Lời giải

Chọn C Ta có: [ −3;1) ∪ ( 0;4 ] = [ −3;4 ] .

{

}

Câu 30. Cho hai tập hợp A = { x ∈ ℕ | x < 20 ; x⋮ 3} và B = x ∈ ℝ | x 2 − 5 x = 0

KÈ

Xác định tập hợp A ∪ B

A. {0;3;6;9;12;15;18} . B. {0;3;5;6;9;12;15;18} . C. {3;6;9;12;15;18} .

D. {3;5;6;9;12;15;18}

DẠ

Lời giải Chọn B Ta có tập hợp A = { x ∈ ℕ | x < 20 ; x ⋮ 3}  A = {0;3; 6;9;12;15;18} .

x = 0 2 Giải phương trình x − 5 x = 0 ⇔  . Do x ∈ ℝ nên B = {0;5} . x = 5 Page 24

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP  A ∪ B = {0 ;3;5; 6;9;12;15;18}

B. 14 .

C. 12 . Lời giải

D. 11 .

FI CI A

để A ∪ B = B . A. 13 .

Câu 31. Cho hai tập hợp A = [ m − 4;1] , B = ( −3;m] khác rỗng. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của m

Chọn B

A ∪ B = B ⇔ A ⊂ B ⇔ −3 < m − 4 ≤ 1 ≤ m ⇔ 1 < m ≤ 5 .

m∈ ℤ  m ∈ {2;3;4;5}  tổng các giá trị nguyên của m là 2 + 3 + 4 + 5 = 14 .

Câu 32. Cho nửa khoảng A = [ −5;3) và đoạn B = [1 − 2m;5 − 2m ] . Tìm tất cả các số thực m để

A∩ B = ∅  m < −1 B.  . m > 5

A. −1 < m ≤ 5 .

 m ≤ −1 C.  . m > 5 Lời giải

ƠN

Chọn C

 m ≤ −1 D.  . m ≥ 5

1 − 2m ≥ 3  m ≤ −1 . A∩ B = ∅ ⇔  ⇔  5 − 2 m < −5 m > 5  m ≤ −1 Vậy giá trị m cần tìm là  . m > 5

Câu 33. Cho nửa khoảng A = ( −∞;− m] và khoảng B = ( 2m − 5;23) . Gọi S là tập hợp các số thực m để A ∪ B = A . Hỏi S là tập con của tập hợp nào sau đây? A. ( −∞;− 23) . B. ( −∞;0] . C. ( −23;+ ∞ ) .

Lời giải

QU Y

Chọn B

D. ∅ .

2m − 5 < 23  m < 14 A∪ B = A ⇔ B ⊂ A ⇔  ⇔ ⇔ m ≤ −23 Suy ra S = ( −∞;− 23] ⊂ ( −∞;0] . − m ≥ 23  m ≤ −23

Câu 34. Cho hai tập hợp A = ( m − 1;8 ) và B = ( 2;+ ∞ ) . Tìm tất cả các giá trị của số thực m để A khác

tập rỗng và A \ B = ∅ . A. m ≥ 3 . B. m = 3 .

C. 3 ≤ m < 9 .

D. 3 < m < 9 .

KÈ

Lời giải

Chọn C Điều kiện: m − 1 < 8 ⇔ m < 9 .

Để A \ B = ∅ khi và chỉ khi A ⊂ B , tức là 2 ≤ m − 1 ⇔ m ≥ 3 .

DẠ

Đối chiếu điều kiện, ta được 3 ≤ m < 9 .

{

}

2 Câu 35. Cho A = x ∈ ℝ mx − 3 = mx − 3 , B = x ∈ ℝ x − 4 = 0 . Tìm m để B \ A = B .

A. −

3 3 ≤m≤ . 2 2

B. m <

3 . 2

Page 25

C. −

3 3 <m< . 2 2

D. m ≥ −

3 . 2

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Lời giải Chọn C

Ta có: x ∈ A ⇔ mx − 3 ≥ 0 .

FI CI A

 x=2 x∈B ⇔  .  x = −2

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

 m=0   m=0   m > 0   3  0<m< 3 2 3 3 >   ⇔ Ta có: B \ A = B ⇔ B ∩ A = ∅ ⇔   m 2 ⇔− <m< . 2 2  3  m < 0 − < m < 0   2   3 < −2   m

Page 26

MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC TẬP HỢP

FI CI A

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

BÀI 2: TẬP HỢP. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

III ==

DẠNG 1. PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP, CÁC XÁC ĐỊNH TẬP HỢP

Ký hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề: “3 là một số tự nhiên”? A. 3 ⊂ ℕ B. 3∈ ℕ C. 3 < ℕ D. 3 ≤ ℕ Lời giải

ƠN

Câu 1:

- Đáp án A sai vì kí hiệu “ ⊂ ” chỉ dùng cho hai tập hợp mà ở đây “3” là một số

Đáp án Câu 2:

- Hai đáp án C và D đều sai vì ta không muốn so sánh một số với tập hợp.

Ký hiệu nào sau đây để chỉ

5 không phải là một số hữu tỉ?

5⊄ℚ

5≠ℚ

5 ∉ℚ

5⊂ℚ

Vì

5 chỉ là một phần tử còn ℚ là một tập hợp nên các đáp án A, B, D đều sai.

Đáp án Câu 3:

QU Y

Lời giải

Cho tập hợp A = { x + 1| x ∈ ℕ, x ≤ 5} . Tập hợp A là: B. A = {0;1;2;3; 4;5;6} C. A = {0;1; 2;3; 4;5}

D. A = {1; 2;3; 4;5;6}

Lời giải

A. A = {1; 2;3; 4;5}

KÈ

Vì x ∈ ℕ, x ≤ 5 nên x ∈ {0;1;2;3; 4;5}  x + 1 = {1; 2;3; 4;5;6} . Đáp án Câu 4:

Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X = { x ∈ ℤ | 2 x 2 − 3x + 1 = 0} .

A. X = {0}

DẠ

B. X = {1}

 1 C. X = 1;   2 Lời giải

 3 D. X = 1;   2

x =1 1 Vì phương trình 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 có nghiệm  nhưng vì x ∈ ℤ nên ∉ ℤ . x = 1 2  2 Page 1

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Vậy X = {1} .

Liệt kê các phần tử của phần tử tập hợp X = { x ∈ ℝ | 2 x 2 − 5 x + 3 = 0} .

A. X = {0}

B. X = {1}

3 C. X =   2 Lời giải

FI CI A

Câu 5:

Đáp án

 3 D. X = 1;   2

x =1  3 ∈ ℝ nên X = 1;  . Vì phương trình 2 x − 5 x + 3 = 0 có nghiệm  3 x =  2  2 Đáp án Câu 6:

Trong các tập sau, tập nào là tập rỗng?

B. { x ∈ ℤ | 6 x 2 − 7 x + 1 = 0}

A. { x ∈ ℤ | x < 1}

D. { x ∈ ℝ : x 2 − 4 x = 3 = 0}

ƠN

C. { x ∈ ℚ : x 2 − 4 x + 2 = 0}

Lời giải Xét các đáp án:

- Đáp án A: x ∈ ℤ, x < 1 ⇔ −1 < x < 1  x = 0 .

QU Y

x =1 - Đáp án B: Giải phương trình: 6 x 2 − 7 x + 1 = 0 ⇔  . Vì x ∈ ℤ  x = 1 . x = 1 6  - Đáp án C: x 2 − 4 x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ± 2 . Vì x ∈ ℚ  Đây là tập rỗng.

Đáp án Câu 7:

Cho tập hợp M = {( x; y ) | x; y ∈ ℕ, x + y = 1} . Hỏi tập M có bao nhiêu phần tử?

B. 1

A. 0

C. 2 Lời giải

D. 3

KÈ

Vì x; y ∈ ℕ nên x, y thuộc vào tập {0;1; 2;...} Vậy cặp ( x; y ) là (1;0 ) , ( 0;1) thỏa mãn x + y = 1  Có 2 cặp hay M có 2 phần tử.

Đáp án

Cho tập hợp A = { x 2 + 1\ x ∈ ℕ, x ≤ 5} . Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.

DẠ

Câu 8:

A. A = {0;1; 2;3; 4;5}

B. A = {1; 2;5;10;17; 26}

C. A = {2;5;10;17; 26}

D. A = {0;1; 4;9;16; 25} Lời giải

Đáp án

B. Page 2

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Ta có A = { x 2 + 1\ x ∈ ℕ, x ≤ 5} .

 x 2 + 1∈ {1; 2;5;10;17; 26} . Câu 9:

Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp: X = { x ∈ ℝ \ x 4 − 6 x 2 + 8 = 0} .

{ D. X = {−

A. X = {2; 4} C. X =

{

B. X = − 2; 2

}

2; 2

} }

2; 2; −2; 2

Lời giải D.

Đáp án

FI CI A

Vì x ∈ ℕ, x ≤ 5 nên x ∈ {0;1; 2;3; 4;5}

Giải phương trình x 4 − 6 x 2 + 8 = 0

ƠN

 x2 = 2 x = ± 2 . ⇔ 2 ⇔  x = ±2 x = 4

Câu 10: Cho tập hợp M = {( x; y ) \ x, y ∈ ℝ, x 2 + y 2 ≤ 0} . Khi đó tập hợp M có bao nhiêu phần tử? B. 1

Đáp án

C. 2 Lời giải

D. Vô số

A. 0 B.

QU Y

 x 2 ≥ 0 Vì  2  y ≥ 0 nên x 2 + y 2 ≤ 0 ⇔ x = y = 0 .

Khi đó tập hợp M có 1 phần tử duy nhất là

{

{( 0; 0 )} . 2

}

A. 0

B. 3

C. 1 Lời giải

D. 2

KÈ

Đáp án

Câu 11: Số phần tử của tập hợp: A = x ∈ ℝ \ ( x 2 + x ) = x 2 − 2 x + 1 là:

Giải phương trình ( x 2 + x ) = x 2 − 2 x + 1 trên ℝ ⇔ ( x 2 + x ) − ( x − 1) = 0

DẠ

⇔ ( x 2 + x − x + 1)( x 2 + x + x − 1) = 0 ⇔ ( x 2 + 1)( x 2 + 2 x − 1) = 0

 x = −1 − 2 ⇔ .  x = −1 + 2 Page 3

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

{

}

Câu 12: Số tập con của tập hợp: A = x ∈ ℝ \ 3 ( x 2 + x ) − 2 x 2 − 2 x = 0 là: B. 8

D. 10

FI CI A

Đáp án

C. 12 Lời giải

A. 16

Giải phương trình 2

3 ( x2 + x ) − 2 ( x2 + x ) = 0

Đặt x 2 + x = t ta có phương trình

2 2 ta có: x 2 + x = 3 3

⇔ 3x 2 + 3x − 2 = 0 ⇔ x =

−3 ± 33 3

V ới t =

ƠN

x = 0 Với t = 0 ta có x 2 + x = 0 ⇔   x = −1

t = 0 3t 2 − 2t = 0 ⇔  2 t =  3

Vậy A có 4 phần tử suy ra số tập con của A là 2 4 = 16 .

{

}

QU Y

Câu 13: Số phần tử của tập hợp: A = x ∈ ℝ \ ( 2 x 2 + x − 4 ) = 4 x 2 − 4 x + 1 là: A. 0

B. 2

Đáp án

Giải phương trình 2

+ x − 4) = 4x2 − 4 x + 1

(2x

KÈ

⇔ ( 2 x 2 + x − 4 ) = ( 2 x − 1)

2 x2 + x − 4 = 2 x − 1 ⇔ 2  2 x + x − 4 = −2 x + 1

DẠ

 x = −1  x = 3 2 x2 − x − 3 = 0 2 ⇔ 2 ⇔ x = 1 . 2 x + 3 x − 5 = 0   5   x = − 2 Page 4

C. 4 Lời giải

D. 3

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Vậy A có 4 phần tử.

{

}

A. X = 0 .

B. X = {0} .

C. X = ∅ .

FI CI A

Lời giải Chọn C Phương trình x 2 + x + 1 = 0 vô nghiệm nên X = ∅ .

Câu 15: Số phần tử của tập hợp A = {k 2 + 1 / k ∈ Z, k ≤ 2} là: B. 2 .

C. 3 . Lời giải

Chọn C

{

}

D. 5 .

A. 1.

D. X = {∅} .

A = k 2 + 1 k ∈ Z, k ≤ 2 . Ta có k ∈ Z, k ≤ 2 ⇔ −2 ≤ k ≤ 2  A = {1; 2;5} .

{

}

{

ƠN

Câu 16: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng: A. x ∈ Z x < 1 .

{

}

B. x ∈ Z 6 x 2 − 7 x + 1 = 0 .

}

{

C. x ∈ Q x 2 − 4 x + 2 = 0 .

}

D. x ∈ ℝ x 2 − 4 x + 3 = 0 .

Lời giải

Chọn C

{

}

A = x ∈ Z x < 1  A = {0} .

{

QU Y

x = 1  B = {1} . B = x ∈ Z 6 x − 7 x + 1 = 0 . Ta có 6 x − 7 x + 1 = 0 ⇔  x = 1 ∉ℤ 6  2

}

x = 2 − 2 ∉ℚ C =∅ C = x ∈ Q x 2 − 4 x + 2 = 0 . Ta có x 2 − 4 x + 2 = 0 ⇔   x = 2 + 2 ∉ ℚ

}

{

x = 1  D = {1;3} . D = x ∈ ℝ x 2 − 4 x + 3 = 0 . Ta có x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔  x = 3

KÈ

{

}

{

}

Câu 17: Cho tập hợp A = x ∈ ℝ ( x 2 –1)( x 2 + 2 ) = 0 . Các phần tử của tập A là: B. A = {– 2; –1;1; 2} C. A = {–1} Lời giải

DẠ

A. A = { –1;1} Chọn A

{

}

A = x ∈ ℝ ( x 2 –1)( x 2 + 2 ) = 0 .

Page 5

Câu 14: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X = x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = 0 :

D. A = {1}

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP  x 2 –1 = 0 x = 1  A = {−1;1} . Ta có ( x – 1)( x + 2 ) = 0 ⇔  2 ⇔  x = −1  x + 2 = 0 ( vn ) 2

} − 5 = 0} .

{ D. D = { x ∈ ℚ x

} + x − 12 = 0} .

B. B = x ∈ ℝ x 2 + 2 x + 3 = 0 . 2

Lời giải Chọn B

{

}

{

A = x ∈ ℕ x 2 − 4 = 0  A = { 2} .

}

B = x ∈ ℝ x 2 + 2 x + 3 = 0  B = ∅.

{

}

{

}

ƠN

C = x ∈ ℝ x 2 − 5 = 0  C = − 5; 5 . D = x ∈ ℚ x 2 + x − 12 = 0  D = {−3; 4} .

FI CI A

{ C. C = { x ∈ ℝ x

A. A = x ∈ ℕ x 2 − 4 = 0 .

Câu 18: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?

Câu 19: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào khác rỗng?

{

}

{

}

B. B = x ∈ ℕ x 2 − 2 = 0 .

{

}

A. A = x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = 0 . C. C = x ∈ ℤ ( x 3 – 3)( x 2 + 1) = 0 .

{

}

D. D = x ∈ ℚ x ( x 2 + 3) = 0 .

Lời giải

QU Y

Chọn B

{

}

A = x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = 0 . Ta có x 2 + x + 1 = 0 ( vn )  A = ∅ .

{

}

B = x ∈ ℕ x 2 − 2 = 0 . Ta có x 2 − 2 = 0 ⇔ x = ± 2 ∉ ℕ  B = ∅

{

}

{

C = x ∈ ℤ ( x 3 – 3)( x 2 + 1) = 0 . Ta có ( x 3 – 3)( x 2 + 1) = 0 ⇔ x = 3 3 ∉ ℤ  C = ∅

}

KÈ

D = x ∈ ℚ x ( x 2 + 3) = 0 . Ta có x ( x 2 + 3) = 0 ⇔ x = 0  D = {0} . DẠNG 2. TẬP HỢP CON, TẬP HỢP BẰNG NHAU Câu 20: Cho hai tập hợp A và B. Hình nào sau đây minh họa A là tập con của B? B.

C. Lời giải

DẠ

Hình C là biểu đồ ven, minh họa cho A ⊂ B vì mọi phần tử của A đều là của

Đáp án

Câu 21: Cho ba tập hợp E, F, G thỏa mãn: E ⊂ F , F ⊂ G và G ⊂ K . Khẳng định nào sau đây đúng? A. G ⊂ F B. K ⊂ G C. E = F = G D. E ⊂ K Page 6

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Lời giải

Đáp án

FI CI A

Dùng biểu đồ minh họa ta thấy E ⊂ K .

Câu 22: Cho tập hợp A = {0;3; 4; 6} . Số tập hợp con gồm hai phần tử của A là: B. 8

C. 10 Lời giải

Mỗi tập con gồm hai phần tử của A là:

D. 6

A. 12

{0;3;} , {0; 4} , {0;6} , {3; 4} , {3;6} , {4;6} . D.

ƠN

Đáp án

Câu 23: Cho tập hợp X = {a; b; c} . Số tập con của X là B. 6

C. 8 Lời giải

D. 12

A. 4

- Số tập con không có phần tử nào là 1 (tập ∅ ) - Số tập con có 1 phần tử là 3: {a} , {b} , {c} .

QU Y

- Số tập con có 2 phần tử là 3: {a; b} , {a; c} , {b; c} .  Số tập con có 3 phần tử là 1: {a; b; c} . Vậy có 1 + 3 + 3 + 1 = 8 tập con.

Đáp án

Nhận xét: Người ta chứng minh được là số tập con (kể cả tập rỗng) của tập hợp n phần tử là 2 n . Áp dụng vào Ví dụ 4 có 23 = 8 tập con.

KÈ

Câu 24: Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào có đúng một tập hợp con? A. ∅ B. { x} C. {∅} Lời giải

Vì tập ∅ có tập hợp con là chính nó.

DẠ

- Đáp án B có 2 tập con là ∅ và { x} .

- Đáp án C có 2 tập con là ∅ và {∅} . - Đáp án D có 4 tập con.

Đáp án

A. Page 7

D. {∅, x}

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Câu 25: Cho tập hợp A = {1; 2} và B = {1; 2;3; 4;5} . Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa mãn: A ⊂ X ⊂ B ? B. 6

C. 7 Lời giải

D. 8

A. 5

FI CI A

X là tập hợp phải luôn có mặt 1 và 2.

Vì vậy ta đi tìm số tập con của tập {3; 4;5} , sau đó cho hai phần tử 1 và 2 vào các tập con nói trên ta được tập X. Vì số tập con của tập {3; 4;5} là 23 = 8 nên có 8 tập X.

Đáp án

X ⊂ B? A. 2

C. 6 Lời giải

D. 8

ƠN

B. 4

Câu 26: Cho tập hợp A = {1; 2;5;7} và B = {1; 2;3} . Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa mãn: X ⊂ A và

X ⊂ A Cách 1: Vì  nên X ⊂ ( A ∩ B ) . X ⊂ B

QU Y

Mà A ∩ B = {1; 2}  Có 22 = 4 tập X.

Cách 2: X là một trong các tập sau: ∅; {1} ;{2} ;{1; 2} . Đáp án

Câu 27: Cho tập hợp A = {1;3} , B = {3; x} , C = { x; y;3} . Để A = B = C thì tất cả các cặp ( x; y ) là: B. (1;1) và (1;3)

C. (1;3)

D. ( 3;1) và ( 3;3)

Lời giải

A. (1;1)

KÈ

x = 1  Ta có: A = B = C ⇔   y = 1  Cặp ( x; y ) là (1;1) ; (1;3) .  y = 3  Đáp án

DẠ

Câu 28: Cho tập hợp A = {1; 2;3; 4} , B = {0; 2; 4} , C = {0;1; 2;3; 4;5} . Quan hệ nào sau đây là đúng? A. B ⊂ A ⊂ C

Đáp án

B. B ⊂ A = C

C. Page 8

A ⊂ C C.  B ⊂ C Lời giải

D. A ∪ B = C

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

Đáp án

FI CI A

Câu 29: Cho tập hợp A có 4 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập con khác rỗng? A. 16 B. 15 C. 12 D. 7 Lời giải

Ta thấy mọi phần tử của A đều thuộc C và mọi phần tử của B đều thuộc C nên Chọn C

Vì số tập con của tập 4 phần tử là 24 = 16  Số tập con khác rỗng là 16 − 1 = 15 .

Câu 30: Số các tập hợp con gồm hai phần tử của tập hợp B = {a; b; c; d ; e; f } là: A. 15

C. 22 Lời giải

D. 25

Đáp án

B. 16

Cách 1:

Số tập con có 2 phần tử trong đó có phần tử a là 5 tập {a; b} , {a; c} , {a; d } , {a; e} , {a, f } .

{b; e} , {b; f } .

Tương tự ta có tất cả 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 tập.

ƠN

Số tập con có 2 phần tử mà luôn có phần tử b nhưng không có phần tử a là 4 tập: {b; c} , {b; d } ,

Câu 31: Số các tập hợp con có 3 phần tử có chứa a, b của tập hợp C = {a; b; c; d ; e; f ; g} là:

Đáp án

B. 6 A.

C. 7 Lời giải

QU Y

A. 5

D. 8

Tập con có 3 phần tử trong đó a, b luôn có mặt. Vậy phần tử thứ 3 sẽ thuộc một trong các phần tử c, d, e, f, g (5 phần tử) nên có 5 tập con.

Câu 32: Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con? A. { x; y} B. { x} C. {∅; x}

M B.

KÈ

Đáp án

Lời giải

Vì tập hợp { x} có hai tập con là ∅ và chính nó.

Câu 33: Cho tập hợp A = {1, 2,3, 4, x, y} . Xét các mệnh đề sau đây:

DẠ

( I ) : “ 3∈ A ”.

( II ) : “ {3, 4} ∈ A ”. ( III ) : “ {a,3, b} ∈ A ”.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng Page 9

D. {∅; x; y}

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP A. I đúng.

B. I , II đúng.

C. II , III đúng.

D. I , III đúng.

Lời giải

3 là một phần tử của tập hợp A .

{3, 4}

là một tập con của tập hợp A . Ký hiệu: {3, 4} ⊂ A .

{a,3, b} là một tập con của tập hợp

A . Ký hiệu: {a,3, b} ⊂ A .

Câu 34: Cho A = {0; 2; 4;6} . Tập A có bao nhiêu tập con có 2 phần tử? B. 6 .

C. 7 . Lời giải

Chọn B

D. 8 .

A. 4 .

FI CI A

Chọn A

ƠN

Có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tính số tập con có 2 phần tử của tập hợp A gồm 4 phần tử là: C42 = 6 Các tập con có 2 phần tử của tập hợp A là: {0; 2} , {0; 4;} , {0; 6} , {2; 4;} , {2; 6} , {4;6} .

Câu 35: Cho tập hợp X = {1; 2;3; 4} . Câu nào sau đây đúng?

là 16 . gồm có 2 phần tử là 8 . chứa số 1 là 6 . gồm có 3 phần tử là 2 . Lời giải

X X X X

QU Y

A. Số tập con của B. Số tập con của C. Số tập con của D. Số tập con của Chọn A

Số tập con của tập hợp X là: 2 4 = 16

Số tập con có 2 phần tử của tập hợp X là: C42 = 6

Số tập con của tập hợp X chứa số 1 là: 8

{1} , {1; 2} , {1;3} , {1; 4} , {1; 2;3} , {1; 2; 4} , {1;3; 4} , {1; 2;3; 4} .

KÈ

Số tập con có 3 phần tử của tập hợp X là: C43 = 4

Câu 36: Số các tập con 2 phần tử của B = {a, b, c, d , e, f } là: B. 16 .

C. 22 . Lời giải

A. 15 .

D. 25 .

DẠ

Chọn A Số các tập con 2 phần tử của B = {a, b, c, d , e, f } là C62 = 15 (sử dụng máy tính bỏ túi).

Câu 37: Số các tập con 3 phần tử có chứa α , π của C = {α , π , ξ , ψ , ρ , η , γ , σ , ω , τ } là: A. 8 .

B. 10 .

C. 12 . Page 10

D. 14 .

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Lời giải

FI CI A

Các tập con 3 phần tử có chứa α , π của C = {α , π , ξ , ψ , ρ , η , γ , σ , ω , τ } là:

{α , π , ξ } , {α , π ,ψ } , {α , π , ρ} , {α , π ,η} , {α , π , γ } , {α , π ,σ } , {α , π , ω} , {α , π ,τ } . Câu 38: Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con? A. { x; y} . B. { x} . C. {∅; x} . Lời giải Chọn B

{ x} có

21 = 2 tập con là { x} và ∅ .

{∅; x}

có 2 2 = 4 tập con.

{∅; x; y}

D. {∅; x; y} .

2 2 = 4 tập con.

ƠN

{ x; y} có

có 23 = 8 tập con.

Câu 39: Cho tập hợp A = {a, b, c, d } . Tập A có mấy tập con? B. 15 .

Chọn A

QU Y

Số tập con của tập A là: 24 = 16 .

C. 12 . Lời giải

A. 16 .

D. 10 .

Câu 40: Khẳng định nào sau đây sai?Các tập A = B với A, B là các tập hợp sau?

{

}

A. A = {1;3}, B = x ∈ ℝ ( x – 1)( x − 3 ) = 0 . B. A = {1;3;5; 7;9}, B = {n ∈ ℕ n = 2 k + 1, k ∈ ℤ, 0 ≤ k ≤ 4} .

{

}

C. A = {−1; 2}, B = x ∈ ℝ x 2 − 2 x − 3 = 0 .

{

}

KÈ

D. A = ∅, B = x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = 0 . Lời giải

Chọn C

{

}

* A = {1; 3} , B = x ∈ ℝ ( x –1)( x − 3) = 0  B = {1;3}  A = B .

DẠ

* A = {1;3;5; 7; 9} , B = {n ∈ ℕ n = 2k + 1, k ∈ ℤ, 0 ≤ k ≤ 4}  B = {1;3;5;7;9}  A = B .

{

}

* A = {−1; 2} , B = x ∈ ℝ x 2 − 2 x − 3 = 0  B = {−1;3}  A ≠ B.

{

}

* A = ∅ , B = x ∈ ℝ x2 + x +1 = 0  B = ∅  A = B .

Page 11

Chọn A

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Dạng 3. Các phép toán trên tập hợp

A. {1}

B. {1;3}

C. {1;3;5}

D. {1;5}

FI CI A

Lời giải

Câu 41: Cho tập hợp X = {1;5} , Y = {1;3;5} . Tập X ∩ Y là tập hợp nào sau đây?

Vì X ∩ Y là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc X và vừa thuộc Y nên Chọn D

Đáp án

Câu 42: Cho tập X = {2; 4;6;9} , Y = {1; 2;3; 4} . Tập nào sau đây bằng tập X \ Y ? A. {1; 2;3;5}

B. {1;3;6;9}

C. {6;9}

D. {1}

Lời giải

Vì X \ Y là tập hợp các phần tử thuộc X mà không thuộc Y nên Chọn C

Đáp án

A. {a; b; c; d }

ƠN

Câu 43: Cho tập hợp X = {a; b} , Y = {a; b; c} . X ∪ Y là tập hợp nào sau đây? B. {a; b}

C. {c}

D. {a; b; c}

Lời giải

Đáp án

Vì X ∪ Y là tập hợp gồm các phần tử thuộc X hoặc thuộc Y nên Chọn D

QU Y

Câu 44: Cho hai tập hợp A và B khác rỗng thỏa mãn: A ⊂ B . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. A \ B = ∅ B. A ∩ B = A C. B \ A = B D. A ∪ B = B Lời giải Vì B \ A gồm các phần tử thuộc B và không thuộc A nên Chọn C

Đáp án

Câu 45: Cho ba tập hợp: F = { x ∈ ℝ | f ( x ) = 0} , G = { x ∈ ℝ | g ( x ) = 0} , H = { x ∈ ℝ | f ( x ) + g ( x ) = 0} .

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

B. H = F ∪ G

KÈ

A. H = F ∩ G

C. H = F \ G Lời giải

D. H = G \ F

 f ( x ) = 0 Vì f ( x ) + g ( x ) = 0 ⇔  mà F ∩ G = { x ∈ ℝ | f ( x ) vµ g ( x ) = 0}  g ( x ) = 0

DẠ

Đáp án

2x   Câu 46: Cho tập hợp A =  x ∈ ℝ | 2 ≥ 1 ; B là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của b để phương x + 1   2 trình x − 2bx + 4 = 0 vô nghiệm. Số phần tử chung của hai tập hợp trên là: A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số Page 12

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Lời giải

Phương trình x 2 − 2bx + 4 = 0 có ∆ ' = b 2 − 4 Phương trình vô nghiệm ⇔ b 2 − 4 < 0 ⇔ b 2 < 4 ⇔ −2 < b < 2 Có b = 1 là phần tử chung duy nhất của hai tập hợp.

Đáp án

A. {1; 2}

B. {1; 2;3; 4}

C. {3; 4} Lời giải

Vì Y ⊂ X nên C X Y = X \ Y = {3; 4}

ƠN

Đáp án

D. ∅

Câu 47: Cho hai tập hợp X = {1; 2;3; 4} , Y = {1; 2} . C X Y là tập hợp sau đây?

2 x1 2 ≥ 1 ⇔ 2 x ≥ x 2 + 1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 ≤ 0 ⇔ ( x − 1) ≤ 0 ⇔ x = 1 2 x +1

FI CI A

Ta có:

Câu 48: Cho A, B, C là ba tập hợp được minh họa bằng biểu đồ ven như hình vẽ. Phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây? A. ( A ∪ B ) \ C B. ( A ∩ B ) \ C C. ( A \ C ) ∪ ( A \ B ) D. ( A ∩ B ) ∪ C Lời giải

QU Y

Vì với mỗi phần tử x thuộc phần gạch sọc

Đáp án

x ∈ A  thì ta thấy:  x ∈ B  x ∈ ( A ∩ B ) \ C . x ∉ C  B.

KÈ

Câu 49: Cho hai tập hợp A = {0; 2} và B = {0;1; 2;3; 4} . Số tập hợp X thỏa mãn A ∪ X = B là: A. 2

B. 3

C. 4 Lời giải

DẠ

Vì A ∪ X = B nên bắt buộc X phải chứa các phần tử {1;3; 4}

và X ⊂ B . Page 13

D. 5

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Vậy X có 3 tập hợp đó là: {1;3; 4} , {1; 2;3; 4} , {0;1; 2;3; 4} .

A. 3

B. 5

FI CI A

Câu 50: Cho hai tập hợp A = {0;1} và B = {0;1; 2;3; 4} . Số tập hợp X thỏa mãn X ⊂ CB A là:

Đáp án

C. 6 Lời giải

D. 8

Ta có CB A = B \ A = {2;3; 4} có 3 phần tử nên số tập con X có 23 = 8 (tập).

Câu 51: Cho tập hợp A. 1

A = {1; 2;3; 4;5}

. Tìm số tập hợp X sao cho B. 2 C. 3 Lời giải

A \ X = {1;3;5}

X \ A = {6;7} và . D. 4

Đáp án

Vì A \ X = {1;3;5} nên X phải chứa hai phần tử 2; 4 và X không chứa các phần tử 1; 3; 5. Mặt

ƠN

khác X \ A = {6;7} vậy X phải chứa 6; 7 và các phần tử khác nếu có phải thuộc A.

X = {2; 4; 6;7} . Đáp án

Vậy

Câu 52: Ký hiệu X là số phần tử của tập hợp X. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau? A. A ∩ B = ∅  A + B = A ∪ B + A ∩ B B. A ∩ B ≠ ∅  A + B = A ∪ B − A ∩ B

C. A ∩ B ≠ ∅  A + B = A ∪ B + A ∩ B

QU Y

D. A ∩ B = ∅  A + B = A ∪ B

Lời giải

KÈ

Đáp án

Kiểm tra các đáp án bằng cách vẽ biểu đồ Ven cho hai trường hợp A ∩ B = ∅ và A ∩ B ≠ ∅

Câu 53: Một lớp học có 25 học sinh giỏi môn Toán, 23 học sinh giỏi môn Lý, 14 học sinh giỏi cả môn Toán và Lý và có 6 học sinh không giỏi môn nào cả. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh? A. 54 B. 40 C. 26 D. 68 Lời giải

DẠ

Gọi T, L lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán và các học sinh giỏi Lý.

Ta có:

T : là số học sinh giỏi Toán

Page 14

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

L : là số học sinh giỏi Lý

T ∩ L : là số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Lý

FI CI A

Khi đó số học sinh của lớp là: T ∪ L + 6 . Mà T ∪ L = T + L − T ∩ L = 25 + 23 − 14 = 34 . Vậy số học sinh của lớp là 34 + 6 = 40 .

Đáp án B

ƠN

Câu 54: Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 25 em học giỏi môn Toán, 23 em học giỏi môn Lý, 20 em học giỏi môn Hóa, 11 em học giỏi cả môn Toán và môn Lý, 8 em học giỏi cả môn Lý và môn Hóa, 9 em học giỏi cả môn Toán và môn Hóa. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn học giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa, biết rằng mỗi học sinh trong lớp học giỏi ít nhất một trong 3 môn Toán, Lý, Hóa? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Lời giải Gọi T, L, H lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi môn Toán, Lý, Hóa.

Khi đó tương tự Ví dụ 13 ta có công thức:

T ∪ L ∪ H = T + L + H − T ∩ L − L ∩ H − H ∩T + T ∩ L ∩ H

⇔ 45 = 25 + 23 + 20 − 11 − 8 − 9 + T ∩ L ∩ H

QU Y

⇔ T ∩L∩H =5

Vậy có 5 học sinh giỏi cả 3 môn.

Đáp án

Câu 55: Cho tập hợp A = {1; 2;3; 4} , B = {0; 2; 4; 6} . Mệnh đề nào sau đây là đúng? B. A ∪ B = {0;1; 2;3; 4;5; 6}

C. A ⊂ B

D. A \ B = {0; 6} Lời giải

KÈ

A. A ∩ B = {2; 4}

Đáp án

Ta thấy A ∩ B = {2; 4} .

DẠ

Câu 56: Ký hiệu H là tập hợp các học sinh của lớp 10A. T là tập hợp các học sinh nam, G là tập hợp các học sinh nữ của lớp 10A. Khẳng định nào sau đây sai? A. T ∪ G = H B. T ∩ G = ∅ C. H \ T = G D. G \ T = ∅ Lời giải Đáp án

D. Page 15

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

Đáp án

FI CI A

Câu 57: Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. A ⊂ B  A ∩ C ⊂ B ∩ C B. A ⊂ B  C \ A ⊂ C \ B C. A ⊂ B  A ∪ C ⊂ B ∪ C D. A ⊂ B, B ⊂ C  A ⊂ C Lời giải

Vì G \ T = G .

Ta có thể dùng biểu đồ Ven ta thấy A ⊂ B  C \ A ⊂ C \ B

A⊂ X ⊂ B? A. 5

B. 6

C. 4 Lời giải

Đáp án

ƠN

Câu 58: Cho tập hợp A = {a; b; c} và B = {a; b; c; d ; e} . Có tất cả bao nhiêu tập hợp X thỏa mãn

Vì A ⊂ X nên X phải chứa 3 phần tử {a; b; c} của

D. 8

A. Mặt khác X ⊂ B

nên X chỉ có thể lấy các phần tử a, b, c, d, e. Vậy X là một trong các tập hợp sau: {a; b; c} , {a; b; c; d } , {a; b; c; e} , {a; b; c; d ; e} .

A. {1;3;5} Đáp án

QU Y

Câu 59: Cho hai tập hợp A = {1; 2;3; 4;5} ; B = {1;3;5;7;9} . Tập nào sau đây bằng tập A ∩ B ? B. {1; 2;3; 4;5}

C. {2; 4;6;8} Lời giải

Vì A ∩ B gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc

D. {1; 2;3; 4;5;7;9}

Câu 60: Cho tập hợp A = {2; 4;6;9} , B = {1; 2;3; 4} . Tập nào sau đây bằng tập A \ B ?

KÈ

A. {1; 2;3;5} Đáp án

B. {1; 2;3; 4;6;9}

C. {6;9}

D. ∅

Lời giải

Vì A \ B = { x | x ∈ A vµ x ∉ B}

DẠ

Câu 61: Cho các tập hợp A = { x ∈ ℝ : x 2 − 7 x + 6 = 0} , B = { x ∈ ℕ : x < 4} . Khi đó: A. A ∪ B = A Đáp án

B. A ∩ B = A ∪ B

C. Page 16

C. A \ B ⊂ A Lời giải

D. B \ A = ∅

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Ta có A = {1; 6} , B = { x ∈ ℕ \ x < 4}

 B = {0;1; 2;3}  A \ B = {6}  A \ B ⊂ A .

Đáp án

FI CI A

Câu 62: Một lớp học có 25 học sinh chơi bóng đá, 23 học sinh chơi bóng bàn, 14 học sinh chơi cả bóng đá và bóng bàn và 6 học sinh không chơi môn nào. Số học sinh chỉ chơi 1 môn thể thao là? A. 48 B. 20 C. 34 D. 28 Lời giải B.

Gọi A là tập hợp các học sinh chơi bóng đá

B là tập hợp các học sinh chơi bóng bàn C là tập hợp các học sinh không chơi môn nào Khi đó số học sinh chỉ chơi bóng đá là

ƠN

A + B − 2 A ∩ B = 25 + 23 − 2.14 = 20

D. ℕ * ∩ ℚ = ℕ* .

Câu 63: Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng: A. ℝ \ ℚ = ℕ . B. ℕ * ∪ ℕ = ℤ . C. ℕ * ∩ ℤ = ℤ . Lời giải Chọn D

D đúng do ℕ * ⊂ ℚ  ℕ * ∩ ℚ = ℕ* .

QU Y

Câu 64: Chọn kết quả sai trong các kết quả sau: A. A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B. B. A ∪ B = A ⇔ A ⊂ B. C. A \ B = A ⇔ A ∩ B = ∅. D. B \ A = B ⇔ A ∩ B = ∅. Lời giải Chọn B

B sai do A ∪ B = A ⇔ A ⊃ B.

Câu 65: Cho X = {7; 2;8; 4;9;12} ; Y = {1;3;7; 4} . Tập nào sau đây bằng tập X ∩ Y ? A. {1; 2;3; 4;8;9;7;12} . B. {2;8;9;12} .

C. {4;7} .

D. {1;3} .

KÈ

Lời giải

Chọn C

X = {7; 2;8; 4;9;12} , Y = {1;3;7; 4}  X ∩ Y = {7; 4} .

DẠ

Câu 66: Cho hai tập hợp A = {2, 4,6,9} và B = {1, 2,3, 4} .Tập hợp A \ B bằng tập nào sau đây? A. A = {1, 2,3,5} .

B. {1;3;6;9} .

C. {6;9} . Lời giải

Chọn C Page 17

D. ∅.

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

A = {0;1; 2;3; 4} , B = {2;3; 4;5;6} .

A. {0;1;5; 6} .

Tập hợp

B. {1; 2} .

( A \ B ) ∪ ( B \ A) bằng? C. {2;3; 4} .

Lời giải Chọn A

A = {0;1; 2;3; 4} , B = {2;3; 4;5;6} . A \ B = {0;1} , B \ A = {5;6}  ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) = {0;1;5; 6}

A. {0} .

B. {0;1} .

C. {1; 2} . Lời giải

D. {1;5} .

ƠN

Chọn B

Câu 68: Cho A = {0;1; 2;3; 4} , B = {2;3; 4;5;6} . Tập hợp A \ B bằng:

D. {5; 6} .

FI CI A

Câu 67: Cho

A = {2, 4, 6,9} , B = {1, 2,3, 4}  A \ B = {6,9} .

A = {0;1; 2;3; 4} , B = {2;3; 4;5;6}  A \ B = {0;1}

Câu 69: Cho A = {0;1; 2;3; 4} , B = {2;3; 4;5;6} . Tập hợp B \ A bằng: B. {0;1} .

C. {2;3; 4} .

D. {5; 6} .

A. {5} .

Lời giải

Chọn D

QU Y

A = {0;1; 2;3; 4} , B = {2;3; 4;5;6}  B \ A = {5;6} .

Câu 70: Cho A = {1;5} ; B = {1;3;5} . Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau A. A ∩ B = {1} . Chọn C

B. A ∩ B = {1;3} .

C. A ∩ B = {1;5} .

D. A ∩ B = {1;3;5} .

Lời giải

A = {1;5} ; B = {1;3;5} . Suy ra A ∩ B = {1;5} .

{

}

{

}

KÈ

Câu 71: Cho A = x ∈ ℕ ( 2 x − x 2 )( 2 x 2 − 3 x − 2 ) = 0 ; B = n ∈ ℕ* 3 < n 2 < 30 . Khi đó tập hợp A ∩ B bằng: A. {2; 4} .

B. {2} .

C. {4;5} .

Lời giải

DẠ

Chọn B

{

}

A = x ∈ ℕ ( 2 x − x 2 )( 2 x 2 − 3 x − 2 ) = 0 ⇔ A = {0; 2}

{

}

B = n ∈ ℕ* 3 < n 2 < 30 ⇔ B = {1; 2;3; 4;5 } Page 18

D. {3} .

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

 A ∩ B = {2} .

Câu 72: Cho tập hợp A = { x ∈ ℝ \ −3 < x < 1} . Tập A là tập nào sau đây? B. [ −3;1]

C. [ −3;1)

D. ( −3;1)

FI CI A

A. {−3;1}

Lời giải

Theo định nghĩa tập hợp con của tập số thực ℝ ở phần trên ta chọn ( −3;1) .

Đáp án

Câu 73: Hình vẽ nào sau đây (phần không bị gạch) minh họa cho tập hợp (1; 4] ? A.

ƠN

C. D.

Lời giải

QU Y

Vì (1; 4] gồm các số thực x mà 1 < x ≤ 4 nên Chọn A

Đáp án

Câu 74: Cho tập hợp X = { x \ x ∈ ℝ,1 ≤ x ≤ 3} thì X được biểu diễn là hình nào sau đây?

KÈ

C. D.

DẠ

Lời giải  x ≥ 1  x ≥ 1  Giải bất phương trình: 1 ≤ x ≤ 3 ⇔  ⇔   x ≤ −1 ⇔ x ∈ [ −3; −1] ∪ [1;3]   x ≤ 3  −3 ≤ x ≤ 3

Đáp án

D. Page 19

DẠNG 3. BIỂU DIỄN TẬP HỢP SỐ

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Câu 75: Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết tập hợp A = { x ∈ ℝ 4 ≤ x ≤ 9} : A. A = [ 4;9] .

B. A = ( 4;9].

C. A = [ 4;9 ) .

D. A = ( 4;9 ) .

Chọn A A = { x ∈ ℝ 4 ≤ x ≤ 9} ⇔ A = [ 4;9] .

DẠNG 4. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ Câu 76: Cho tập hợp A = ( −∞; −1] và tập B = ( −2; +∞ ) . Khi đó A ∪ B là: A. ( −2; +∞ )

B. ( −2; −1]

C. ℝ

D. ∅

Vì A ∪ B = { x ∈ ℝ \ x ∈ A hoac x ∈ B} nên chọn đáp án C.

Đáp án

FI CI A

Lời giải

Câu 77: Cho hai tập hợp A = [ −5;3 ) , B = (1; +∞ ) . Khi đó A ∩ B là tập nào sau đây? B. (1;3]

C. [ −5; +∞ )

ƠN

A. (1;3 )

D. [ −5;1]

Lời giải

Đáp án

QU Y

Ta có thể biểu diễn hai tập hợp A và B, tập A ∩ B là phần không bị gạch ở cả A và B nên x ∈ (1;3) .

Câu 78: Cho A = ( −2;1) , B = [ −3;5] . Khi đó A ∩ B là tập hợp nào sau đây? A. [ −2;1]

B. ( −2;1)

C. ( −2; 5]

D. [ −2; 5]

Lời giải

KÈ

x ∈ A  −2 < x < 1 Vì với x ∈ A ∩ B ⇔  hay  ⇔ −2 < x < 1 x ∈ B  −3 ≤ x ≤ 5

Đáp án

Câu 79: Cho hai tập hợp A = (1;5] ; B = ( 2; 7 ] . Tập hợp A \ B là: B. ( 2;5 )

C. ( −1; 7 ]

DẠ

A. (1; 2]

Lời giải

A \ B = { x ∈ ℝ \ x ∈ A va x ∉ B}  x ∈ (1; 2 ] . Page 20

D. ( −1; 2 )

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Đáp án

Câu 80: Cho tập hợp A = ( 2; +∞ ) . Khi đó CR A là: B. ( 2; +∞ )

C. ( −∞; 2]

D. ( −∞; −2 ]

FI CI A

Lời giải Ta có: C R A = ℝ \ A = ( −∞; 2 ] .

Đáp án

A. [ 2; +∞ )

Câu 81: Cho các số thực a, b, c, d và a < b < c < d . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. ( a; c ) ∩ ( b; d ) = ( b; c ) B. ( a; c ) ∩ ( b; d ) = ( b; c ]

C. ( a; c ) ∩ [b; d ) = [b; c ) D. ( a; c ) ∪ [b; d ) = ( b; c )

Đáp án

ƠN

Lời giải

Câu 82: Cho ba tập hợp A = [ −2; 2 ] , B = [1;5] , C = [ 0;1) . Khi đó tập ( A \ B ) ∩ C là: B. [ 0;1)

C. ( −2;1)

D. [ −2; 5]

A. {0;1}

Lời giải

Ta có: A \ B = [ −2;1)  ( A \ B ) ∩ C = [ 0;1) .

Câu 83: Cho tập hợp

(

) , C B = ( −5; 2 ) ∪ (

QU Y

Đáp án

Cℝ A =  −3; 8

)

A. −3; 3 .

ℝ

)

Cℝ A =  −3; 8 , Cℝ B = ( −5; 2 ) ∪

(

Tập Cℝ ( A ∩ B ) là:

(

B. ∅ .

Chọn C

)

3; 11 .

)

C. −5; 11 .

D. ( −3; 2 ) ∪

Lời giải

) (

3; 11 = −5; 11

)

KÈ

A = ( −∞; − 3) ∪  8; +∞ , B = ( −∞; −5] ∪  11; +∞ .

)

(

)

 A ∩ B = ( −∞; −5] ∪  11; +∞  Cℝ ( A ∩ B ) = −5; 11 .

DẠ

Câu 84: Cho A = [1; 4] ; B = ( 2;6 ) ; C = (1; 2 ) . Tìm A ∩ B ∩ C : A. [ 0; 4] .

B. [5; +∞ ) .

C. ( −∞;1) . Lời giải

Chọn D

A = [1; 4] ; B = ( 2;6 ) ; C = (1; 2 )  A ∩ B = ( 2; 4]  A ∩ B ∩ C = ∅ . Page 21

D. ∅.

(

)

3; 8 .

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

B. 1.

C. 0 Lời giải

D. Không có.

FI CI A

cả hai tập A và B là: A. 0 và 1.

Chọn A A = { x ∈ ℝ x + 3 < 4 + 2 x}  A = ( −1; + ∞ ) . B = { x ∈ ℝ 5 x − 3 < 4 x − 1}  B = ( −∞; 2 ) .

A ∩ B = ( −1; 2 ) ⇔ A ∩ B = { x ∈ ℝ − 1 < x < 2}.  A ∩ B = { x ∈ ℕ − 1 < x < 2} ⇔ A ∩ B = {0;1} .

Câu 85: Cho hai tập A = { x ∈ ℝ x + 3 < 4 + 2 x} , B = { x ∈ ℝ 5 x − 3 < 4 x − 1} . Tất cả các số tự nhiên thuộc

ƠN

A = [ −4;7 ] B = ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) Câu 86: Cho , . Khi đó A ∩ B : A. [ −4; −2 ) ∪ ( 3;7 ]. B. [ −4; −2 ) ∪ ( 3;7 ) . C. ( −∞; 2] ∪ ( 3; +∞ ) .

D. ( −∞; −2 ) ∪ [3; +∞ ) .

Lời giải Chọn A

A = [ −4;7 ] , B = ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) , suy ra A ∩ B = [ −4; − 2 ) ∪ ( 3;7] . A = ( −∞; −2] B = [3; +∞ ) C = ( 0; 4 ) . ( A ∪ B ) ∩ C là: Câu 87: Cho , , Khi đó tập A. [3; 4] . B. ( −∞; −2] ∪ ( 3; +∞ ) . C. [3; 4 ) . D. ( −∞; −2 ) ∪ [3; +∞ ) .

QU Y

Lời giải

Chọn C

A = ( −∞; − 2] , B = [3; + ∞ ) , C = ( 0; 4 ) . Suy ra A ∪ B = ( −∞; −2] ∪ [3; +∞ ) ; ( A ∪ B ) ∩ C = [3; 4 ) .

A = { x ∈ R : x + 2 ≥ 0} B = { x ∈ R : 5 − x ≥ 0} Câu 88: Cho , . Khi đó A ∩ B là: A. [ −2;5] . B. [ −2;6] . C. [ −5; 2] .

D. ( −2; +∞ ) .

KÈ

Lời giải

Chọn A

Ta có A = { x ∈ R : x + 2 ≥ 0}  A = [ −2; + ∞ ) , B = { x ∈ R : 5 − x ≥ 0}  B = ( −∞;5]

DẠ

Vậy  A ∩ B = [ −2;5] .

A = { x ∈ R : x + 2 ≥ 0} , B = { x ∈ R : 5 − x ≥ 0} Câu 89: Cho . Khi đó A \ B là: A. [ −2;5] . B. [ −2;6] . C. ( 5; +∞ ) . Lời giải Page 22

D. ( 2; +∞ ) .

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Chọn C

Ta có A = { x ∈ R : x + 2 ≥ 0}  A = [ −2; + ∞ ) , B = { x ∈ R : 5 − x ≥ 0}  B = ( −∞;5] .

FI CI A

Vậy  A \ B = ( 5; + ∞ ) .

Câu 90: Cho hai tập hợp A = [ −2; 7 ) , B = (1;9 ] . Tìm A ∪ B . A. (1; 7 )

B. [ −2; 9 ]

C. [ −2;1)

D. ( 7; 9 ]

Lời giải B.

Đáp án

Câu 91: Cho hai tập hợp A. [ −5;3]

ƠN

[ −2; 7 ) ∪ (1;9] = [ −2;9]

A = { x ∈ ℝ | −5 ≤ x < 1} B = { x ∈ ℝ | −3 < x ≤ 3} ; . Tìm A ∩ B . B. ( −3;1) C. (1;3] D. [ −5;3 )

QU Y

Đáp án

Lời giải

A = [ −5;1) , B = ( −3;3]  A ∩ B = ( −3;1)

Câu 92: Cho A = ( −1;5] , B = ( 2; 7 ) . Tìm A \ B . B. ( 2; 5]

C. ( −1; 7 )

D. ( −1; 2 )

Lời giải

KÈ

A. ( −1; 2 ] Đáp án

Vì A \ B gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B nên A \ B = ( −1; 2 ] .

DẠ

Câu 93: Cho 3 tập hợp A. {0}

A = ( −∞; 0 ] B = (1; +∞ ) C = [ 0;1) ( A ∪ B ) ∩ C bằng: , , . Khi đó B. ℝ C. {0;1} D. ∅

Lời giải Đáp án

A ∪ B = ( −∞; 0 ] ∪ (1; +∞ ) Page 23

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP  ( A ∪ B ) ∩ C = {0} .

B. [ −4; 2 ) ∪ ( 3; 7 )

C. ( −∞; 2 ] ∪ ( 3; +∞ ) Lời giải

Đáp án

M ∩ N = [ −4; 2 ) ∪ ( 3; 7 ]

Câu 95: Cho hai tập hợp A = [ −2;3] , B = (1; +∞ ) . Khi đó C ℝ ( A ∪ B ) bằng: A. (1;3 )

B. ( −∞;1] ∪ [3; +∞ )

C. [3; +∞ )

Đáp án

D. ( −∞; −2 )

Lời giải

D. ( −∞; −2 ) ∪ [ 3; +∞ )

FI CI A

A. [ −4; −2 ) ∪ ( 3; 7 ]

Câu 94: Cho hai tập hợp M = [ −4; 7 ] và N = ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) . Khi đó M ∩ N bằng:

ƠN

Ta có: A ∪ B = [ −2; +∞ )  Cℝ ( A ∪ B ) = ℝ \ ( A ∪ B )  Cℝ ( A ∪ B ) = ( −∞; −2 )

Câu 97: Cho tập hợp

(

QU Y

Đáp án

Câu 96: Chọn kết quả sai trong các kết quả sau: A. A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B B. A ∪ B = A ⇔ B ⊂ A C. A \ B = A ⇔ A ∩ B = ∅ D. A \ B = A ⇔ A ∩ B ≠ ∅ Lời giải

Cℝ A =  −3; 8

)

A. −5; 11 .

) , C B = ( −5; 2 ) ∪ ( ℝ

B. ( −3; 2 ) ∪

Chọn A

)

KÈ

Cℝ A =  −3; 8 , Cℝ B = ( −5; 2 ) ∪

(

)

3; 11 .

)

(

Tập Cℝ ( A ∩ B ) là:

)

3; 8 . C. −3; 3 .

D. ∅ .

Lời giải

) (

3; 11 = −5; 11

)

A = ( −∞; − 3) ∪  8; +∞ , B = ( −∞; −5] ∪  11; +∞ .

)

(

)

 A ∩ B = ( −∞; −5] ∪  11; +∞  Cℝ ( A ∩ B ) = −5; 11 .

DẠ

Câu 98: Cho 3 tập hợp: A = ( −∞;1] ; B = [ −2; 2] và C = ( 0;5 ) . Tính ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) = ? A. [ −2;1] .

B. ( −2;5) .

C. ( 0;1] . Lời giải

Chọn A A ∩ B = [ −2;1] . Page 24

D. [1; 2] .

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

A ∩ C = ( 0;1] .

( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) = [ −2;1] .

DẠNG 5. CÁC BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ A. m ≤ −1 hoặc m ≥ 0 B. −1 ≤ m ≤ 0 Lời giải

FI CI A

Câu 99: Cho tập hợp A = [ m; m + 2 ] , B [ −1; 2 ] . Tìm điều kiện của m để A ⊂ B . C. 1 ≤ m ≤ 2

D. m < 1 hoặc m > 2

Để A ⊂ B thì −1 ≤ m < m + 2 ≤ 2

Đáp án

 m ≥ −1  m ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤ 0 m + 2 ≤ 2 m ≤ 0

{

}

và B ⊂ A . 0 < m ≤ 3 A.  m = 4

ƠN

Câu 100: Cho tập hợp A = ( 0; +∞ ) và B = x ∈ ℝ \ mx 2 − 4 x + m − 3 = 0 . Tìm m để B có đúng hai tập con

B. m = 4

C. m > 0

D. m = 3

Lời giải

Để B có đúng hai tập con thì B phải có duy nhất một phần tử, và B ⊂ A nên B có một phần tử

+ V ới m ≠ 0 :

QU Y

thuộc A. Tóm lại ta tìm m để phương trình mx 2 − 4 x + m − 3 = 0 (1) có nghiệm duy nhất lớn hơn 0. −3 + Với m = 0 ta có phương trình: −4 x − 3 = 0 ⇔ x = (không thỏa mãn). 4

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất lớn hơn 0 điều kiện cần là:

 m = −1 ∆ ' = 4 − m ( m − 3) = 0 ⇔ −m 2 + 3m + 4 = 0 ⇔  m = 4

+) Với m = −1 ta có phương trình − x 2 − 4 x − 4 = 0

KÈ

Phương trình có nghiệm x = −2 (không thỏa mãn). +) Với m = 4 , ta có phương trình 4 x 2 − 4 x + 1 = 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x =

Đáp Án

1 > 0  m = 4 thỏa mãn. 2

DẠ

Câu 101: Cho hai tập hợp A = [ −2;3] , B = ( m; m + 6 ) . Điều kiện để A ⊂ B là: A. −3 ≤ m ≤ −2

B. −3 < m < −2

Page 25

C. m < −3 Lời giải

D. m ≥ −2

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

m < −2 m < −2 Điều kiện để A ⊂ B là m < −2 < 3 < m + 6 ⇔  ⇔ ⇔ − 3 < m < −2 . m + 6 > 3 m > −3

Câu 102: Cho hai tập hợp X = ( 0;3] và Y = ( a; 4 ) . Tìm tất cả các giá trị của a ≤ 4 để X ∩ Y ≠ ∅ . B. a < 3

C. a < 0

ƠN

Lời giải

D. a > 3

a < 3 A.  a ≥ 4

Đáp án

a ≥ 3 Ta tìm a để X ∩ Y = ∅   ⇔ 3 ≤ a ≤ 4  X ∩ Y ≠ ∅ là a < 3 . a ≤ 4

Câu 103: Cho hai tập hợp A = { x ∈ ℝ \1 ≤ x ≤ 2} ; B = ( −∞; m − 2] ∪ [ m; +∞ ) . Tìm tất cả các giá trị của m m ≥ 4 B.  m ≤ −2  m = 1

m > 4 C.  m < −2  m = 1 Lời giải

KÈ

m ≥ 4 A.   m ≤ −2

QU Y

để A ⊂ B .

Giải bất phương trình: 1 ≤ x ≤ 2 ⇔ x ∈ [ −2; −1] ∪ [1; 2 ]

DẠ

 A = [ −2; −1] ∪ [1; 2 ]

Page 26

D. −2 < m < 4

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

FI CI A

Đáp án

  m ≥ 4 m − 2 ≥ 2  Để A ⊂ B thì: m ≤ −2 ⇔  m ≤ −2   m = 1   −1 ≤ m − 2   m ≤1  B.

4  Câu 104: Cho số thực a < 0 .Điều kiện cần và đủ để ( −∞;9a ) ∩  ; +∞  ≠ ∅ là: a  2 2 3 3 A. − < a < 0. B. − ≤ a < 0. C. − < a < 0. D. − ≤ a < 0. 3 3 4 4 Lời giải

Chọn A

4 4 4 − 9a ² > 0 4 4 − 9a ²  ; +∞  ≠ ∅ ( a < 0 ) ⇔ < 9a ⇔ − 9a < 0 ⇔ <0 ⇔  a a a a  a < 0

ƠN

( −∞;9a ) ∩ 

2 ⇔ − < a < 0. 3

A. 1 ≤ m ≤ 2 C. m ≤ −1 hoặc m ≥ 0

B. −1 ≤ m ≤ 0 D. m < −1 hoặc m > 2 Lời giải

QU Y

: Đáp án

Câu 105: Cho tập hợp A = [ m; m + 2] , B = [ −1; 2 ] với m là tham số. Điều kiện để A ⊂ B là:

A ⊂ B ⇔ −1 ≤ m < m + 2 ≤ 2

 m ≥ −1  m ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤ 0 m + 2 ≤ 2 m ≤ 0

Câu 106: Cho tập hợp A = [ m; m + 2 ] , B = [1;3 ) . Điều kiện để A ∩ B = ∅ là: B. m ≤ −1 hoặc m > 3 D. m ≤ −1 hoặc m ≥ 3 Lời giải

KÈ

A. m < −1 hoặc m > 3 C. m < −1 hoặc m ≥ 3 Đáp án

m ≥ 3 m ≥ 3 A∩ B = ∅ ⇔  ⇔  m + 2 < 1  m < −1

DẠ

Câu 107: Cho hai tập hợp A = [ −3; −1] ∪ [ 2; 4] , B = ( m − 1; m + 2 ) . Tìm m để A ∩ B ≠ ∅ . A. m < 5 và m ≠ 0

B. m > 5

C. 1 ≤ m ≤ 3 Lời giải

Đáp án

A. Page 27

D. m > 0

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

Ta đi tìm m để A ∩ B = ∅

   m ≤ −5  m + 2 ≤ −3   m − 1 ≥ 4 ⇔  m ≥ 5   −1 ≤ m − 1  m = 0   m + 2 ≤ 2

ƠN

 −5 < m < 5  A∩ B ≠ ∅ ⇔  m ≠ 0

 m < 5 hay   m ≠ 0

A = ( −3; −1) ∪ (1; 2 ) B = ( m; +∞ ) C ( −∞; 2 m ) , , . Tìm m để A ∩ B ∩ C ≠ ∅ .

B. m ≥ 0

Câu 108: Cho 3 tập hợp 1 A. < m < 2 2

C. m ≤ −1

KÈ

Đáp án

QU Y

Lời giải

Ta đi tìm m để A ∩ B ∩ C = ∅ - TH1: Nếu 2 m ≤ m ⇔ m ≤ 0 thì B ∩ C = ∅

 A∩ B ∩C = ∅

DẠ

- TH2: Nếu 2 m > m ⇔ m > 0  A∩ B ∩C = ∅

Page 28

D. m ≥ 2

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

FI CI A

 −3   m≤  2  2m ≤ −3   ⇔ m ≥ 2 ⇔ m ≥ 2   1  −1 ≤ m −1 ≤ m ≤    2    2m ≤ 1

1  0<m≤  Vì m > 0 nên 2  m ≥ 2

 A∩ B ∩C ≠ ∅ ⇔

ƠN

1  A ∩ B ∩ C = ∅ ⇔ m ∈  −∞;  ∪ [ 2; +∞ ) 2  1 <m<2 2

Câu 109: Cho hai tập A = [ 0;5] ; B = ( 2 a;3a + 1] , a > −1 . Với giá trị nào của a thì A ∩ B ≠ ∅ 5  a ≥ 2 B.  . a < − 1  3

QU Y

1 5 A. − ≤ a ≤ . 3 2

Chọn D

5  a < 2 C.  . a ≥ − 1  3 Lời giải

1 5 D. − ≤ a < . 3 2

KÈ

 5 5  a ≥ 2   2a ≥ 5 a≥    1 5  2  A∩ B ≠ ∅ ⇔ − ≤ a < 1 Ta tìm A ∩ B = ∅ ⇔  3a + 1 < 0 ⇔   3 2  a > −1   a < − 3  −1 < a < − 1    3 a > −1 Chọn A Câu 110: Cho 2 tập khác rỗng A = ( m − 1; 4] ; B = ( −2; 2m + 2 ) , m ∈ ℝ . Tìm m để A ∩ B ≠ ∅ A. −1 < m < 5 .

B. 1 < m < 5 .

C. −2 < m < 5 . Lời giải

D. m > −3 .

DẠ

Chọn C Đáp án A đúng vì: Với 2 tập khác rỗng A, B ta có điều kiện m − 1 < 4 m < 5 ⇔ ⇔ −2 < m < 5 . Để A ∩ B ≠ ∅ ⇔ m − 1 < 2m + 2 ⇔ m > −3 . So với   2m + 2 > −2  m > −2

kết quả của điều kiện thì −2 < m < 5 . Page 29

FI CI A

4  Câu 111: Cho số thực a < 0 .Điều kiện cần và đủ để ( −∞;9a ) ∩  ; +∞  ≠ ∅ là: a  3 2 2 3 A. − ≤ a < 0. B. − < a < 0. C. − ≤ a < 0. D. − < a < 0. 4 3 3 4 Lời giải

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

Chọn B

4 4 − 9a ² 4 4 4 − 9a ² > 0  <0 ⇔  ; +∞  ≠ ∅ ( a < 0 ) ⇔ < 9a ⇔ − 9a < 0 ⇔ a a a a  a < 0 2 ⇔ − < a < 0. 3

( −∞;9a ) ∩ 

5  a < 2 A.  . a ≥ − 1  3

5  a ≥ 2 C.  . a < − 1  3 Lời giải

1 5 D. − ≤ a < . 3 2

ƠN

1 5 B. − ≤ a ≤ . 3 2

Câu 112: Cho hai tập A = [ 0;5] ; B = ( 2 a;3a + 1] , a > −1 . Với giá trị nào của a thì A ∩ B ≠ ∅ .

Chọn A

Trước hết tìm a để A ∩ B = ∅ . Với a > −1  2a < 3a + 1 .

QU Y

5  a≥  5 ≤ 2 a  2 Ta có A ∩ B = ∅ ⇔  ⇔ . 3a + 1 < 0 a < − 1  3

5  a < 2 Từ đó, kết hợp điều kiện ta có A ∩ B ≠ ∅ ⇔  . a ≥ − 1  3 Câu 113: Cho A = {x ∈ R \ x − m ≤ 25} ; B = {x ∈ R \ x ≥ 2020} . Có bao nhiêu giá trị nguyên m thỏa B. 3988 .

C. 3989 . Lời giải

KÈ

A∩B =∅ A. 3987 . Chọn C

Ta có: A = {x ∈ R \ x − m ≤ 25}  A = [ m − 25; m + 25]

DẠ

B = {x ∈ R \ x ≥ 2020}  B = ( −∞; −2020] ∪ [ 2020; +∞ )

Để A ∩ B = ∅ thì −2020 < m − 25 < m + 25 < 2020 (1)  m − 25 > −2020  m > −1995 Khi đó (1) ⇔  ⇔  −1995 < m < 1995 .  m + 25 < 2020  m < 1995 Page 30

D. 2020.

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Vậy có 3989 giá trị nguyên m thỏa mãn.

B. −1 ≤ m ≤ 2 .

C. −1 < m < 2 . Lời giải

Chọn B Ta có m + 5 − m + 2 = 7 .

m − 2 ≤ 0 Để B ⊂ A ⇔  ⇔ −1 ≤ m ≤ 2 . m + 5 ≥ 4

D. m ≥ 2 .

FI CI A

B ⊂ A. A. m ≤ −1 .

Câu 114: Cho 2 tập hợp A = [ m − 2; m + 5] và B = [ 0; 4] . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

Câu 115: Cho hai tập hợp A = (m; m + 1) và B = [ −1;3] . Tìm tất cả các giá trị của m để A ∩ B = ∅ .

 m ≤ −2 A.  . m ≥ 3

m ≥ 2 C.  .  m ≤ −1 Lời giải

Chọn A

 m + 1 ≤ −1  m ≤ −2 A∩ B = ∅ ⇔  ⇔ . m ≥ 3 m ≥ 3 Vậy chọn đáp ánA.

 m < −2 D.  . m > 3

ƠN

B. −2 ≤ m ≤ 3 .

Câu 116: Tìm m để A ⊂ D , biết A = (−3;7) và D = ( m;3 − 2m) . B. m ≤ −3 .

C. m < 1 . Lời giải

QU Y

A. m = −3 . Chọn B

D. m ≤ −2 .

m ≤ −3  m ≤ −3  m ≤ −3 Ta có: A ⊂ D ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ −3 . 7 ≤ 3 − 2 m  2 m ≤ −4  m ≤ −2

Câu 117: Cho 2 tập hợp khác rỗng A = ( m − 1; 4 ] , B = ( −2; 2 m + 2 ) , với m ∈ ℝ . Tìm m để A ⊂ B . B. m > 1.

C. −1 ≤ m < 5 . Lời giải

KÈ

A. 1 < m < 5 .

D. −2 < m < −1.

Chọn A

DẠ

m − 1 < 4 Với 2 tập hợp khác rỗng A = ( m − 1; 4 ] , B = ( −2; 2 m + 2 ) ta có điều kiện  .  2 m + 2 > −2 m < 5 ⇔ −2 < m < 5 . ⇔  m > −2  m − 1 ≥ −2 A⊂ B ⇔  ⇔ 2m + 2 > 4

 m ≥ −1 ⇔  2m + 2 > 4

 m ≥ −1 ⇔ m > 1.  m > 1

Kết hợp với điều kiện −2 < m < 5  1 < m < 5 . Page 31

Chọn A 14 m+2   m < 3 m − 3 < 4   14 A ∩ B = ∅ ⇔  m − 3 ≥ −1 ⇔  m ≥ 2 ⇔ 2 ≤ m < . 3 m + 2 m ≤ 6   ≤2  4 

ƠN

9  Câu 119: Cho số thực x < 0 . Tìm x để ( −∞;16 x ) ∩  ; +∞  ≠ ∅ . x   −3 −3 −3 A. B. C. < x ≤ 0. ≤ x ≤ 0. ≤ x < 0. 4 4 4 Lời giải

Chọn D

D. 2 ≤ m ≤

14 . 3

FI CI A

m+2  m A∩ B = ∅ Câu 118: Cho A =  m − 3;  , B = ( −∞; −1) ∪ [ 2; +∞ ) . Tìm để 4   14 A. 2 ≤ m < . B. 2 ≤ m ≤ 6 . C. 2 ≤ m < 6 . 3 Lời giải

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

−3 < x < 0. 4

9 ⇔ 16 x 2 < 9 (do x < 0 ) x

⇔ 16 x 2 − 9 < 0

⇔−

3 3 <x< . 4 4

QU Y

Ta có 16 x >

9 9  Để ( −∞;16 x ) ∩  ; +∞  ≠ ∅ thì giá trị của số thực x phải thỏa bất phương trình 16x > . x x 

So điều kiện x < 0 , suy ra

−3 < x < 0. 4

Câu 120: Cho hai tập hợp khác rỗng A = ( m − 1; 4] và B = ( −2; 2m + 2 ) , m ∈ ℝ. Có bao nhiêu giá trị

KÈ

nguyên dương của m để A ∩ B ≠ ∅ ? A. 5 . B. 6 .

C. 4 .

D. 3.

Lời giải

Chọn C

DẠ

m − 1 < 4 m < 5 Ta có A, B là hai tập khác rỗng nên  ⇔ ⇔ −2 < m < 5 (*).  2m + 2 > −2  m > −2

Ta có A ∩ B ≠ ∅ ⇔ m − 1 < 2m + 2 ⇔ m > −3 .

Đối chiếu với điều kiện (*), ta được −2 < m < 5 . Do m ∈ ℤ + nên m ∈ {1; 2;3; 4} . Vậy có 4 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu. Page 32

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP Câu 121: Cho A = ( −∞; m ) , B = ( 0; +∞ ) . Điều kiện cần và đủ để A ∩ B = ∅ là: B. m ≥ 0 .

C. m ≤ 0 . Lời giải

D. m < 0 .

A. m > 0 .

A∩ B = ∅ ⇔ m ≤ 0 .

FI CI A

Chọn C

Câu 122: Cho hai tập hợp khác rỗng A = ( m − 1; 4] và B = ( −2; 2m + 2 ) , m ∈ ℝ . Tìm tất cả các giá trị C. m > −3 . Lời giải

Chọn A

D. −3 < m < 5 .

của m để A ∩ B ≠ ∅ . A. −2 < m < 5 . B. m < −3 .

Điều kiện để hai tập A = ( m − 1; 4] và B = ( −2; 2m + 2 ) khác tập rỗng là

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

m − 1 < 4 m < 5 ⇔ ⇔ − 2 < m < 5 ( *) .   2 m + 2 > −2  m > −2 Khi đó A ∩ B ≠ ∅ ⇔ m − 1 < 2 m + 2 ⇔ m > −3

Page 33

BẤT PHƯƠNG TRÌNH

HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

FI CI A

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

BÀI 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN LÝ THUYẾT.

I =

I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là

ƠN

ax + by ≤ c (1) ( ax + by < c; ax + by ≥ c; ax + by > c )

trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

II. BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình (1)

QU Y

được gọi là miền nghiệm của nó.

Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình ax + by ≤ c như sau (tương tự cho bất phương trình ax + by ≥ c ) - Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , vẽ đường thẳng ∆ : ax + by = c.

- Bước 2. Lấy một điểm M 0 ( x0 ; y0 ) không thuộc ∆ (ta thường lấy gốc tọa độ O ) - Bước 3. Tính ax0 + by0 và so sánh ax0 + by0 với c.

KÈ

- Bước 4. Kết luận

Nếu ax0 + by0 < c thì nửa mặt phẳng bờ ∆ chứa M 0 là miền nghiệm của ax0 + by0 ≤ c. Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ ∆ không chứa M 0 là miền nghiệm của ax0 + by0 ≤ c.

DẠ

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax0 + by0 ≤ c bỏ đi đường thẳng ax + by = c là miền nghiệm

của bất phương trình ax0 + by0 < c.

Page 1

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

2.1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? a) 2 x + 3 y > 6 ; b) 22 x + y ≤ 0 ;c) 2 x 2 − y ≥ 1 . Lời giải

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.

FI CI A

1 =

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là 2 x + 3 y > 6 và 2 2 x + y ≤ 0 ⇔ 4 x + y ≤ 0.

2 Bất phương trình 2 x 2 − y ≥ 1 không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa x .

Lời giải

2.2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ: b) 7 x + 20 y < 0 . a) 3x + 2 y ≥ 300 ; Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2 y ≥ 300 Bước 1: Vẽ đường thẳng d : 3x + 2 y − 300 = 0 .

ƠN

Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ O ( 0; 0 ) và tính 3.0 + 2.0 ≥ 300 (vô lí).

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc toạ độ và kể



QU Y

đường thẳng d .

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 7 x + 20 y < 0

KÈ

Bước 1: Vẽ đường thẳng 7 x + 20 y = 0 . Bước 2: Ta lấy điểm M 0 (1;1) và tính 7.1 + 20.1 < 0 (vô lí). Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm M , không

DẠ

kể đường thẳng d .

Page 2

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Phí cố định (nghìn đồng/ngày)

1500

Thứ Bảy và Chủ nhật

Phí tính theo quãng đường di chuyển (nghìn đồng/kilômét)

ƠN

900

Từ thứ Hai đến thứ Sáu

2.3. Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:

a) Gọi x và y lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x và y sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng. b) Biểu diển miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng toạ độ.

QU Y

Gọi x và y lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần (điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0 ) Số tiền ông An phải trả từ thứ 2 đến thứ 6 là 5.900 + 8 x = 4500 + 8 x (nghìn đồng) Số tiền ông An phải trả hai ngày cuối tuần là 2.1500 + 10 y = 3000 + 10 y (nghìn đồng) Vì đề bài yêu cầu tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng nên ta có ( 4500 + 8 x ) + ( 3000 + 10 y ) ≤ 14000 ⇔ 4 x + 5 y ≤ 3250 (nghìn đồng)

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn này được xác định như sau:

KÈ

Bước 1: Vẽ đường thẳng d : 4 x + 5 y − 3250 = 0 . Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ O ( 0; 0 ) và tính 0 + 2 ⋅ 0 = 0 < 3250 .

DẠ

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc toạ độ, kể đường thẳng d .

Page 3

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Page 4

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

BÀI 4. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Tương tự hệ bất phương trình một ẩn

FI CI A

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

II. BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn ta làm nư sau:

- Trong cùng hệ toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó. - Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.

ƠN

III. ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN THỰC TIỄN Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính.

HỆ THỐNG BÀI TẬP.

1 =

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.

QU Y

II =

2.4. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

x<0 a)   y ≥ 0;

x + y2 < 0 b)   y − x > 1;

x + y + z < 0 c)   y < 0;

−2 x + y < 32 d)  2 4 x + 3 y < 1.

Lời giải

KÈ

−2 x + y < 3 x<0 a)  d)  2  y ≥ 0; 4 x + 3 y < 1. 2.5. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

DẠ

 y − x < −1  a)  x > 0  y < 0; 

x≥0  b)  y ≥ 0 2 x + y ≤ 4;  Lời giải

 y − x < −1  a)  x > 0  y < 0; 

Page 5

x≥0  c)  x + y > 5  x − y < 0. 

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Bước 1: Vẽ đường thẳng ( d1 ) : − x + y = −1

Vì −0 + 0 = 0 > −1 nên tọa độ điểm O ( 0;0 ) không thỏa mãn bất phương trình − x + y < −1

Do đó miền nghiệm của của bất phương trình − x + y < −1 là nửa mặt phẳng bờ d1 Bước 2: Vẽ đường thẳng ( d2 ) : x = 0

ƠN

không chứa gốc tọa độ O không kể đường thẳng d1 .

Vì 1 > 0 nên tọa độ điểm (1;0 ) thỏa bất phương trình x > 0

(1;0 ) không kể bờ Oy .

Do đó miền nghiệm của bất phương trình x > 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm Bước 3: Vẽ đường thẳng ( d3 ) : y = 0

Vì −1 < 0 nên tọa độ điểm ( 0, −1) thỏa bất phương trình y < 0

QU Y

Do đó miền nghiệm của bất phương trình y < 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm

( 0; −1) không kể bờ Ox .

DẠ

KÈ

Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch. x≥0  b)  y ≥ 0 2 x + y ≤ 4; 

Bước 1: Vẽ đường thẳng ( d1 ) : x = 0 Page 6

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Vì 1 > 0 nên tọa độ điểm (1;0 ) thỏa bất phương trình x ≥ 0 Do đó miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy và đường

thẳng x = 0 chứa điểm (1; 0 ) . Vì 1 > 0 nên tọa độ điểm ( 0,1) thỏa bất phương trình y ≥ 0

FI CI A

Bước 2: Vẽ đường thẳng ( d 2 ) : y = 0

Do đó miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox và đường thẳng y = 0 chứa điểm ( 0;1) . Bước 3: Vẽ đường thẳng ( d3 ) : 2 x + y = 4

Vì 2.0 + 0 = 0 < 4 nên tọa độ điểm O ( 0; 0 ) thỏa mãn bất phương trình 2 x + y ≤ 4

Do đó miền nghiệm của của bất phương trình 2 x + y ≤ 4 là nửa mặt phẳng bờ d 3 và

ƠN

đường thẳng 2 x + y = 4 chứa gốc tọa độ O . Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch. 2.6. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó. b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y. c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.

DẠ

KÈ

QU Y

Lời giải a) Gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giả sử gia đình này mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì x và y cần thỏa mãn điều kiện: 0 ≤ x ≤ 1, 6 và 0 ≤ y ≤ 1,1 . Gia đình này cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là 800 x + 600 y ≥ 900 và 200 x + 400 y ≥ 400 Hay 8 x + 6 y ≥ 9 và x + 2 y ≥ 2 Từ các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán, ta có hệ bất phương trình sau:  0 ≤ x ≤ 1, 6  0 ≤ y ≤ 1,1   8 x + 6 y ≥ 9  x + 2 y ≥ 2 Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: ( d1 ) : x = 1, 6

( d 2 ) : y = 1,1 ( d3 ) : 8 x + 6 y = 9 ( d4 ) : x + 2 y = 2 Page 7

ƠN

Miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác ABCD (kể cả biên). b) F = 250 x + 160 y (nghìn đồng)

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

c) F ( x; y ) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.

A ∈ ( d 2 ) ∩ ( d3 )  A ( 0,3;1,1) , ta có F ( 0,3;1,1) = 250.0,3 + 160.0,1 = 91 (nghìn đồng) B ∈ ( d1 ) ∩ ( d 2 )  B (1,6;1,1) , ta có F (1, 6;1,1) = 250.1, 6 + 160.1,1 = 576 (nghìn đồng)

C ∈ ( d1 ) ∩ ( d 4 )  C (1, 6;0, 2 ) , ta có F (1, 6; 0, 2 ) = 250.1, 6 + 160.0, 2 = 432 (nghìn đồng) D ∈ ( d3 ) ∩ ( d 4 )  D ( 0, 6;0, 7 ) , ta có F ( 0, 6;0, 7 ) = 250.0, 6 + 160.0,7 = 262 (nghìn đồng) Vậy gia đình đó cần mua 0,3 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn để chi phí là ít nhất.

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

QU Y

2 =

DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN LIÊN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 2 x + y ≤ 3 . Lời giải

DẠ

KÈ

Câu 1:

Câu 2:

Vẽ đường thẳng ∆ : 2 x + y = 3.

Lấy gốc tọa độ O ( 0;0 ) , ta thấy O ∉ ∆ và có 2.0 + 0 < 3 nên nửa mặt phẳng bờ ∆ chứa gốc tọa độ O là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị tô đậm trong hình). Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình −3 x + y + 2 ≤ 0 . Page 8

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

FI CI A

Lời giải

Ta thấy ( 0 ; 0 ) không là nghiệm của bất phương trình.

Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : −3x + y + 2 = 0.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ ( d ) không chứa điểm ( 0 ; 0 ) . Câu 3:

Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình x + 3 + 2(2 y + 5) < 2(1 − x ) .

QU Y

ƠN

Lời giải

Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành 3 x + 4 y + 11 < 0. Ta vẽ đường thẳng ( d ) : 3x + 4 y + 11 = 0. Ta thấy ( 0 ; 0 ) không là nghiệm của bất phương trình.

(

) (

)

KÈ

Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 1 + 3 x − 1 − 3 y ≥ 2 . Lời giải

DẠ

Câu 4:

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ ( d ) ) không chứa điểm ( 0 ; 0 ) .

Page 9

(

) (

)

Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : 1 + 3 x − 1 − 3 y = 2.

Ta thấy ( 0 ; 0 ) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ ( d ) không chứa điểm ( 0 ; 0 ) .

DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

ƠN

Câu 1:

3 x + y ≤ 6 x + y ≤ 4  Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình  . x ≥ 0  y ≥ 0

QU Y

Lời giải

Vẽ các đường thẳng

KÈ

d1 : 3 x + y = 6 d2 : x + y = 4 d2 : x = 0

d2 : y = 0

( Oy ) ( Ox )

DẠ

Vì điểm M 0 (1;1) có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các

nửa mặt phẳng bờ ( d1 ) , ( d 2 ) , ( d3 ) , ( d 4 ) không chứa điểm M 0 . Miền không bị tô đậm (hình tứ giác OCIA kể cả bốn cạnh AI , IC , CO, OA ) trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho.

Page 10

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

L FI CI A

Câu 2:

x − 3y < 0  Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình  x + 2 y > −3 . y + x < 2  Lời giải Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: ( d1 ) : x − 3 y = 0

ƠN

( d2 ) : x + 2 y = −3 ( d3 ) : x + y = 2

Ta thấy ( −1 ; 0 ) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm ( −1 ; 0) thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

DẠ

QU Y

KÈ

Câu 3:

 0≤ y≤4  x≥0  Tìm trị lớn nhất của biểu thức F ( x; y ) = x + 2 y , với điều kiện  .  x − y −1 ≤ 0  x + 2 y − 10 ≤ 0 Lời giải

Vẽ đường thẳng d1 : x − y − 1 = 0 , đường thẳng d1 qua hai điểm ( 0; − 1) và (1;0 ) . Vẽ đường thẳng d 2 : x + 2 y − 10 = 0 , đường thẳng d 2 qua hai điểm ( 0;5) và ( 2; 4 ) . Vẽ đường thẳng d 3 : y = 4 . Page 11

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Miền nghiệm là ngũ giác ABCOE với A ( 4;3) , B ( 2; 4 ) , C ( 0; 4 ) , E (1;0 ) .

Ta có: F ( 4;3) = 10 , F ( 2; 4 ) = 10 , F ( 0; 4 ) = 8 , F (1;0 ) = 1 , F ( 0;0 ) = 0 . Vậy giá trị lớn nhất của biết thức F ( x; y ) = x + 2 y bằng 10 .

DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN

ƠN

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T ( x , y ) = ax + by với ( x ; y ) nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm S là đa giác. Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với ( x ; y ) là tọa độ của các đỉnh của đa giác. Bước 3: Kết luận:

QU Y

• Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được. • Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.

Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 800 m2. Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu 3.000.000 đồng trên 100 m2 nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4.000.000 đồng trên 100 m2. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá 180 . Lời giải

Câu 1:

Gọi x là số x00 m2 đất trồng đậu, y là số y 00 m2 đất trồng cà. Điều kiện x ≥ 0 , y ≥ 0 .

KÈ

Số tiền thu được là T = 3 x + 4 y triệu đồng.

DẠ

x + y ≤ 8 x + y ≤ 8 20 x + 30 y ≤ 180 2 x + 3 y ≤ 18   Theo bài ra ta có  ⇔  x ≥ 0  x ≥ 0  y ≥ 0  y ≥ 0 Đồ thị:

Page 12

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Dựa đồ thị ta có tọa độ các đỉnh A ( 0; 6 ) , B ( 6; 2 ) , C ( 8;0 ) , O ( 0; 0 ) .

Bạn An kinh doanh hai mặt hàng handmade là vòng tay và vòng đeo cổ. Mỗi vòng tay làm trong 4 giờ, bán được 40 ngàn đồng. Mỗi vòng đeo cổ làm trong 6 giờ, bán được 80 ngàn đồng. Mỗi tuần bạn An bán được không quá 15 vòng tay và 4 vòng đeo cổ. Tính số giờ tối thiểu trong tuần An cần dùng để bán được ít nhất 400 ngàn đồng?

Câu 2:

40 x + 80 y ≥ 400  Theo giả thiết ta có 0 ≤ x ≤ 15 0 ≤ y ≤ 4 

ƠN

Lời giải Gọi x, y ∈ ℕ là số vòng tay và vòng đeo cổ trong tuần An làm được.

Bài toán trở thành tìm nghiệm ( x, y ) để L = 4 x + 6 y nhỏ nhất. Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là tam giác ABC với A ( 0;50 ) , B (10;0 ) , C ( 2; 4 ) kể cả

QU Y

miền trong tam giác đó.

Tình giá trị của biểu thức L = 4 x + 6 y tại tất cả các đỉnh của tam giác ABC ta thấy L nhỏ nhất khi x = 2, y = 4 .

Vậy số giờ tối thiểu trong tuần An cần dung là L = 4.2 + 6.4 = 32 Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm I và II . Mỗi sản phẩm I bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm II bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm I thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm II thì Chiến phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Tính số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng. Lời giải

KÈ

Câu 3:

DẠ

Gọi x , y lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II được sản xuất ra. Điều kiện x , y nguyên

dương.

Page 13

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Miền nghiệm của hệ trên là y 90

C O

FI CI A

3x + 2 y ≤ 180  x + 6 y ≤ 220  Ta có hệ bất phương trình sau:  x > 0  y > 0

Tiền lãi trong một tháng của xưởng là T = 0, 5 x + 0, 4 y (triệu đồng).

Tại A ( 60; 0 ) thì T = 30 triệu đồng.

Tại B ( 40; 30 ) thì T = 32 triệu đồng.

ƠN

Ta thấy T đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm A , B , C . Vì C có tọa độ không nguyên nên loại.

Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32 triệu đồng. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1, 6 kg thịt bò và 1,1

QU Y

Câu 4:

kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi x , y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm x , y để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn? Lời giải

0 ≤ x ≤ 1,6 Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là 160.x + 110. y với x , y thỏa mãn:  . 0 ≤ y ≤ 1,1

KÈ

Số đơn vị protein gia đình có là 0,8.x + 0, 6. y ≥ 0, 9 ⇔ 8 x + 6 y ≥ 9 ( d1 ) . Số đơn vị lipit gia đình có là 0, 2.x + 0, 4. y ≥ 0, 4 ⇔ x + 2 y ≥ 2 ( d 2 ) .

DẠ

0 ≤ x ≤ 1, 6 0 ≤ y ≤ 1,1  sao cho Bài toán trở thành: Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình  8 x + 6 y ≥ 9  x + 2 y ≥ 2 T = 160.x + 110. y nhỏ nhất.

Page 14

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN y

x =1,6

y =1,1

C O

B 1

x x + 2y = 2

8x +6y = 9

FI CI A

Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm A (1,6;1,1) ; B (1, 6;0, 2 ) ; C ( 0,6;0,7 ) ;

D ( 0,3;1,1) .

Nhận xét: T ( A ) = 377 nghìn, T ( B ) = 278 nghìn, T ( C ) = 173 nghìn, T ( D ) = 169 nghìn.

Một hộ nông dân định trồng dứa và củ đậu trên diện tích 8ha . Trên diện tích mỗi ha , nếu trồng dứa thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu ha để thu được nhiều tiền nhất, biết rằng tổng số công không quá 180.

Câu 5:

ƠN

Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì x = 0, 6 và y = 0, 7 .

Lời giải

Gọi x, y lần lượt là số ha trồng dứa và củ đậu.

QU Y

Có 0 ≤ x ≤ 8;0 ≤ y ≤ 8 ; x + y ≤ 8 ; 20 x + 30 y ≤ 180  2 x + 3 y ≤ 18 . Số tiền thu được là T ( x, y ) = 3x + 4 y .

DẠ

KÈ

0 ≤ x ≤ 8 0 ≤ y ≤ 8  Ta có hệ  x + y ≤ 8 2 x + 3 y ≤ 18

Page 15

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

ƠN

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC với A ( 0; 6 ) , B ( 6; 2 ) , C ( 0;8 ) . Khi đó T ( x, y ) đạt cực đại tại một trong các đỉnh của OABC . Có T ( 0, 0 ) = 0; T ( 0; 6 ) = 24; T ( 6; 2 ) = 26; T ( 8; 0 ) = 24 .

Câu 1:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

Bất phương trình 3x – 2 ( y – x + 1) > 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây?

QU Y

3 =

Vậy cần trồng 6 ha dứa và 2 ha củ đậu.

A. x – 2 y – 2 > 0 . Chọn B

B. 5 x – 2 y – 2 > 0 .

C. 5 x – 2 y – 1 > 0 .

D. 4 x – 2 y – 2 > 0 .

Lời giải

3x – 2 ( y – x + 1) > 0 ⇔ 3x − 2 y + 2 x − 2 > 0 ⇔ 5 x − 2 y − 2 > 0 . Cho bất phương trình 3 ( x − 1) + 4 ( y − 2 ) < 5 x − 3 . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định

đúng?

Câu 2:

KÈ

A. Điểm O ( 0; 0 ) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho. B. Điểm B ( −2; 2 ) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho. C. Điểm C ( −4; 2 ) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

DẠ

D. Điểm D ( −5;3) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho. Lời giải

Chọn A Lần lượt thay toạ độ điểm ở mỗi phương án vào bất phương trình đã cho, ta thấy ( x0 ; y0 ) = ( 0;0 ) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Page 16

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Câu 3:

Cho bất phương trình x + 3 + 2 ( 2 y + 5) < 2 (1 − x ) . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

A. Điểm A ( −3; −4 ) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

B. Điểm B ( −2; −5) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho. D. Điểm O ( 0; 0 ) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho. Lời giải

FI CI A

C. Điểm C ( −1; −6 ) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Câu 4:

Chọn D Lần lượt thay toạ độ điểm ở mỗi phương án vào bất phương trình đã cho, ta thấy ( x0 ; y0 ) = ( 0;0 )

Cặp số (1; –1) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. x + y – 3 > 0 .

B. – x – y < 0 .

C. x + 3 y + 1 < 0 .

ƠN

Lời giải

D. – x – 3 y – 1 < 0 .

Chọn C

f ( x, y ) = x + 3 y + 1 . Thay f (1, −1) = 1 − 3 + 1 = −1 < 0 .

Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình –2 ( x – y ) + y > 3 ?

A. ( 4; –4 ) .

B. ( 2;1) .

Câu 5:

C. ( –1; –2) .

D. ( −4; 4 ) .

Lời giải

QU Y

Chọn D

–2 ( x – y ) + y > 3 ⇔ −2 x + y > 3 ⇔ y > 2 x + 3 (*) Thay các đáp án vào bpt (*) để kiểm tra

Câu 6:

Cặp số nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình 5 x − 2 ( y − 1) ≤ 0 ?

C. ( –1;1) .

D. ( –1;0 ) .

Lời giải

KÈ

Chọn B

B. (1;3) .

A. ( 0;1) .

Ta có 5 x − 2 ( y − 1) ≤ 0 ⇔ 5 x − 2 y + 2 ≤ 0 ; ta thay từng đáp án vào bất phương trình, cặp (1;3) không thỏa mãn bất phương trình vì 5.1 − 2.3 + 2 ≤ 0 là sai. Vậy chọn Miền nghiệm của bất phương trình 3 x − 2 y > −6 là

DẠ

Câu 7:

Page 17

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

−2

FI CI A

−2

ƠN

Lời giải

Chọn C

−2

QU Y

KÈ

Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) :3x − 2 y = −6. Ta thấy ( 0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt

phẳng bờ ( d ) chứa điểm ( 0 ; 0) . Miền nghiệm của bất phương trình 3 x + 2 y > 6 là

DẠ

Câu 8:

Page 18

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

−2

FI CI A

−2

ƠN

Lời giải

Chọn A

QU Y

KÈ

Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : 3x + 2 y = 6. Ta thấy ( 0 ; 0) không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ ( d ) ) không chứa điểm ( 0 ; 0) . Miền nghiệm của bất phương trình 3 x − 2 y < − 6 là

DẠ

Câu 9:

Page 19

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

−2

FI CI A

−2

ƠN

Lời giải

Chọn B

QU Y

−2

KÈ

Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) :3x − 2 y = −6. Ta thấy ( 0 ; 0) không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ ( d ) ) không chứa điểm ( 0 ; 0) . Miền nghiệm của bất phương trình 3 x + 2 y > − 6 là

DẠ

Câu 10:

Page 20

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

−2

FI CI A

−2

ƠN

Lời giải

QU Y

Chọn D

−2 x

KÈ

Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : 3x + 2 y = −6. Ta thấy ( 0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ ( d ) ) chứa điểm ( 0 ; 0) .

3x + y ≥ 9  x ≥ y −3  Miền nghiệm của hệ bất phương trình  là phần mặt phẳng chứa điểm nào sau đây? 2 y ≥ 8 − x  y ≤ 6

DẠ

Câu 11:

A. ( 0;0) .

B. (1; 2 ) .

C. ( 2;1) . Lời giải Page 21

D. ( 8;4) .

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Chọn D

A. ( 2;1) .

B. ( 0;0) .

FI CI A

 x y  2 + 3 −1 ≥ 0  3y  ≤ 4 là phần mặt phẳng chứa điểm Câu 12: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2( x − 1) + 2  x≥0    C. (1;1) .

D. ( 3;4) .

Lời giải

Chọn A Nhận xét: chỉ có điểm ( 2;1) thỏa mãn hệ.

Câu 13:

Ta dùng máy tính lần lượt kiểm tra các đáp án để xem đáp án nào thỏa hệ bất phương trình trên.

Trong các cặp số sau, tìm cặp số không là nghiệm của hệ bất phương trình

A. ( 0;0) .

ƠN

 x+ y−2≤0  2 x − 3 y + 2 > 0 B. (1;1) .

C. ( −1;1) .

D. ( −1; −1) .

Lời giải

Chọn C

trên với mọi x.

Câu 14:

QU Y

Ta dùng máy tính lần lượt kiểm tra các đáp án để xem đáp án nào không thỏa hệ bất phương trình

2 x + 3 y − 1 > 0 Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  ?  5x − y + 4 < 0

Chọn C

B. ( −2;4) .

C. ( 0;0) . Lời giải

A. ( −1;4) .

KÈ

Nhận xét: chỉ có điểm ( 0;0) không thỏa mãn hệ.

DẠ

 x y  2 + 3 −1 ≥ 0  3y ≤ 4. Câu 15: Cho hệ bất phương trình 2( x − 1) + 2  x≥0   Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. Điểm A( 2;1) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. B. Điểm O( 0;0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Page 22

D. ( −3;4) .

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN C. Điểm C (1;1) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. D. Điểm D( 3;4) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Lời giải

FI CI A

Chọn A Lần lượt thay toạ độ điểm ở mỗi phương án vào hệ bất phương trình đã cho, ta thấy

( x0 ; y0 ) = ( 2;1) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

2 x − 5 y − 1 > 0   2x + y + 5 > 0 .  x + y +1 < 0  Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Câu 16: Cho hệ bất phương trình

ƠN

A. Điểm O( 0;0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. B. Điểm B (1;0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

C. Điểm C ( 0; −2) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

D. Điểm D ( 0; 2 ) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Lời giải

Chọn C Lần lượt thay toạ độ điểm ở mỗi phương án vào hệ bất phương trình đã cho, ta thấy

QU Y

( x0; y0 ) = ( 0; −2) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Câu 17: Điểm O( 0;0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây? x + 3y − 6 > 0 A.  . 2 x + y + 4 > 0

Chọn C

x + 3y − 6 > 0 B.  . 2 x + y + 4 < 0

x + 3y − 6 < 0 C.  . 2 x + y + 4 > 0 Lời giải

x + 3y − 6 < 0 D.  . 2 x + y + 4 < 0

Thay x = 0; y = 0 vào từng đáp án ta được:

KÈ

x + 3y − 6 > 0  −6 > 0  (loại A. );   2 x + y + 4 > 0 4 > 0 x + 3y − 6 < 0  −6 < 0 (thỏa mãn). Vậy chọn C.    2 x + y + 4 > 0 4 > 0

x + 3y − 6 > 0  −6 > 0  ( Loại B. )  2 x + y + 4 < 0 4 < 0

DẠ

3  2 x − y ≥ 1 (1) 2 Câu 18: Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm S . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 4 x − 3 y ≤ 2 ( 2 )   1  4

 

A.  − ; −1 ∉ S . Page 23

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN B. S =

{( x; y ) | 4x − 3 y = 2} .

C. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d là là đường thẳng 4 x − 3 y = 2 .

FI CI A

D. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d là là đường thẳng 4 x − 3 y = 2 . Lời giải Chọn B Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng: 3 y =1 2

( d1 ) : 2 x −

ƠN

( d2 ) : 4 x − 3 y = 2

QU Y

Thử trực tiếp ta thấy ( 0 ; 0 ) là nghiệm của bất phương trình (2) nhưng không phải là nghiệm của bất phương trình (1). Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình chính là các điểm thuộc đường thẳng ( d ) : 4 x − 3 y = 2.

KÈ

2 x + 3 y < 5 (1)  Câu 19: Cho hệ  3 . Gọi S 1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), S 2 là tập nghiệm của  x + 2 y < 5 (2) bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì A. S 1 ⊂ S 2 . B. S 2 ⊂ S 1 . C. S 2 = S . D. S 1 ≠ S . Lời giải

Chọn A

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

DẠ

( d1 ) : 2 x + 3 y = 5

(d2 ) : x +

3 y=5 2

Page 24

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Ta thấy ( 0 ; 0 ) là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

ƠN

Câu 20: Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D? y

y > 0 A.  . 3 x + 2 y < 6 Chọn A

QU Y

y > 0 B.  . C. 3 x + 2 y < − 6 Lời giải

x > 0 .  3 x + 2 y < 6

x > 0 D.  . 3 x + 2 y > − 6

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng ( d1 ) : y = 0 và đường thẳng

KÈ

( d2 ) :3x + 2 y = 6.

Miền nghiệm gồm phần y nhận giá trị dương.

Lại có ( 0 ; 0 ) thỏa mãn bất phương trình 3 x + 2 y < 6.

DẠ

Câu 21: Miền tam giác ABC kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D?

Page 25

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

B O

OF x ≥ 0  C. 5x − 4 y ≤ 10 . 4x + 5 y ≤ 10  Lời giải

x > 0  D. 5x − 4 y ≤ 10 . 4x + 5 y ≤ 10 

x ≥ 0  B. 4x − 5 y ≤ 10 . 5x + 4 y ≤ 10 

ƠN

y ≥ 0  A. 5x − 4 y ≥ 10 . 5x + 4 y ≤ 10 

5 2

Chọn C

( d1 ) : x = 0 ( d2 ) : 4 x + 5 y = 10 ( d3 ) :5x − 4 y = 10

QU Y

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị gồm các đường thẳng:

Miền nghiệm gần phần mặt phẳng nhận giá trị

x dương (kể cả bờ ( d1 ) ).

KÈ

Lại có ( 0 ; 0) là nghiệm của cả hai bất phương trình 4 x + 5 y ≤ 10 và 5 x − 4 y ≤ 10.

DẠ

x − y ≤ 2 3x + 5 y ≤ 15  Câu 22: Cho hệ bất phương trình  . Mệnh đề nào sau đây là sai? x ≥ 0  y ≥ 0 A. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền

 25 9  ;  , C ( 2;0) và O( 0;0) .  8 8

tứ giác ABCO kể cả các cạnh với A( 0;3) , B 

17 B. Đường thẳng ∆ : x + y = m có giao điểm với tứ giác ABCO kể cả khi −1 ≤ m ≤ . 4

Page 26

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN 17 . 4

C. Giá trị lớn nhất của biểu thức x + y , với

x và y

thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là

D. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x + y , với

x và y

thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0.

Lời giải

FI CI A

Chọn B Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:

( d1 ) : x − y = 2 ( d2 ) :3x + 5y = 15

( d3 ) : x = 0

ƠN

( d4 ) : y = 0

QU Y

F = y−x

Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên.

 y − 2x ≤ 2  Câu 23: Giá trị nhỏ nhất của biết thức trên miền xác định bởi hệ 2 y − x ≥ 4 là.  x+ y ≤5  B. min F = 2 khi x = 0, y = 2 . D. min F = 0 khi x = 0, y = 0 . Lời giải

KÈ

A. min F = 1 khi x = 2, y = 3 . C. min F = 3 khi x = 1, y = 4 . Chọn A

DẠ

 y − 2x ≤ 2  Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình 2 y − x ≥ 4 trên hệ trục tọa độ như dưới đây:  x+ y ≤5 

Page 27

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Nhận thấy biết thức F = y − x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B hoặc C .

Ta có: F ( A) = 4 −1 = 3; F ( B) = 2; F ( C ) = 3 − 2 = 1. Vậy min F = 1 khi x = 2, y = 3 .

ƠN

− 2 x + y ≤ −2  x − 2y ≤ 2  Câu 24: Biểu thức F = y − x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện  tại điểm S ( x; y) có toạ độ  x+ y≤5  x≥0 là

B. ( 3;1) .

C. ( 2;1) .

D. (1;1) .

A. ( 4;1) .

Lời giải

Chọn A

QU Y

Cách 1: Thử máy tínhTa dùng máy tính lần lượt kiểm tra các đáp án để xem đáp án nào thỏa hệ bất phương trình trên loại được đáp án D. Ta lần lượt tính hiệu F = y − x và min F = −3 tại x = 4, y = 1 .

DẠ

KÈ

Cách 2: Tự luận:

 7 8  3 3

2 3

2 3

Tọa độ A ;  , B  ; −  , C ( 4;1) . Giá trị F lần lượt tại toạ độ các điểm B , C , A là −

4 1 , − 3; . Suy ra min F =−3 tại (4;1). 3 3

Page 28

A d1 4

B d2 C

ƠN

d1 : y = 5;

d2 : x + y − 2 = 0 ; d3 : x − y − 2 = 0 ; O x : y = 0; O y : x = 0 .

Vẽ các đường thẳng

FI CI A

 0≤ y≤5  x≥0  Câu 25: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ( x; y ) = x − 2 y , với điều kiện  là x + y − 2 ≥ 0  x − y − 2 ≤ 0 A. −12 . B. −10 . C. −8 . D. −6 . Lời giải Chọn B

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

QU Y

Các đường thẳng trên đôi một cắt nhau tại A( 0;5)

Vì điểm M0 ( 2;1) có toạ độ thoả mãn tất cả các bất pt trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ

d1, d2, d3, Ox, Oy không chứa điểm M 0 . Miền không bị tô đậm là đa giác ABCD kể cả các

cạnh (hình bên) là miền nghiệm của hệ pt đã cho. Kí hiệu F ( A) = F ( xA ; yA ) = xA − 2 yA , ta có

F ( A ) = − 10, F ( B ) = − 4, F (C ) = 2; F ( D ) = − 3 , −10 < −4 < −3 < 2 .

KÈ

Giá trị lớn nhất cần tìm là −10 .

2 x + 3 y − 6 ≤ 0  Câu 26: Biểu thức L = y − x , với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình  x ≥ 0 , đạt giá trị 2 x − 3 y − 1 ≤ 0 

DẠ

lớn nhất là

A. a =

a và đạt giá trị nhỏ nhất là b. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

25 và b = −2 . 8

11 B. a = 2 và b = − . C. a = 3 và b = 0 . 12

Lời giải

Chọn B Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: Page 29

−9 D. a = 3 và b = . 8

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

( d1 ) : 2x + 3 y − 6 = 0

( d2 ) : x = 0

FI CI A

( d3 ) : 2 x − 3 y − 1 = 0

ƠN

Ta thấy ( 0 ; 0) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả ba miền nghiệm của cả ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ (kể cả biên).

1 7 5  ;  , C  0 ; − . 3 4 6 

Vậy ta có a = 2 − 0 = 2, b =

Miền nghiệm là hình tam giác ABC (kể cả biên), với A ( 0 ; 2) , B  5 7 11 − =− . 6 4 12

T = 3x + 2 y .

B. 25 .

DẠ

KÈ

A. 19 .

QU Y

x − y + 2 ≥ 0  Câu 27: Cho các giá trị x, y thỏa mãn điều kiện 2 x − y − 1 ≤ 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3x − y − 2 ≥ 0 

Page 30

C. 14 . Lời giải

D. Không tồn tại.

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Chọn B Miền nghiệm của hệ đã cho là miền trong tam giác ABC (Kể cả đường biên) trong đó A (1;1) ,

FI CI A

B( 2;4) , C ( 3;5) . Giá trị lớn nhất của T = 3 x + 2 y đạt được tại các đỉnh của tam giác ABC .

Do TA = T (1;1) = 3.1+ 2.1 = 5 , TB = T ( 2;4) = 3.2 + 2.4 = 14 và TC = T ( 3;5) = 3.3 + 2.5 = 25 nên

giá trị lớn nhất của T = 3 x + 2 y là 25 đạt được khi x = 3 và y = 5 . Câu 28: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo. ● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu;

● Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu.

A. 5 lít nước cam và 4 lít nước táo. C. 4 lít nước cam và 5 lít nước táo.

ƠN

Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?

B. 6 lít nước cam và 5 lít nước táo. D. 4 lít nước cam và 6 lít nước táo.

Lời giải Chọn C

Giả sử x, y lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội cần pha chế. Suy ra 30 x + 10 y là số gam đường cần dùng;

QU Y

x + y là số lít nước cần dùng;

x + 4 y là số gam hương liệu cần dùng.

KÈ

x ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 y ≥ 0   Theo giả thiết ta có 30 x + 10 y ≤ 210 ⇔ 3x + y ≤ 21 . (* ) x + y ≤ 9 x + y ≤ 9    x + 4 y ≤ 24  x + 4 y ≤ 24 Số điểm thưởng nhận được sẽ là P = 60 x + 80 y . Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P với x, y thỏa mãn (* ) .

DẠ

Câu 29: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm ● Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn; ● Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn. Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?

A. 30 kg loại I và 40 kg loại II.

B. 20 kg loại I và 40 kg loại II. Page 31

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN C. 30 kg loại I và 20 kg loại II.

D. 25 kg loại I và 45 kg loại II.

Chọn B

Khi đó, tổng số nguyên liệu sử dụng: 2 x + 4 y ≤ 200. Tổng số giờ làm việc: 30 x + 15 y ≤ 1200. Lợi nhuận tạo thành: L = 40 x + 30 y (nghìn).

Thực chất của bài toán này là phải tìm x ≥ 0 , y ≥ 0 thoả mãn hệ

FI CI A

Gọi x ≥ 0, y ≥ 0 ( kg ) lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất.

Lời giải

2 x + 4 y ≤ 200 sao cho L = 40 x + 30 y đạt giá trị lớn nhất.  30 x + 15 y ≤ 1200

QU Y

ƠN

Câu 30: Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin A và B đã thu được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả A lẫn B và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B . Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A . Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng. A. 600 đơn vị Vitamin A , 400 đơn vị Vitamin B. B. 600 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin B. C. 500 đơn vị Vitamin A , 500 đơn vị Vitamin B. D. 100 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin B. Lời giải Chọn D

Gọi x ≥ 0, y ≥ 0 lần lượt là số đơn vị vitamin A và B để một người cần dùng trong một ngày.

Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B nên ta có: 400 ≤ x + y ≤ 1000.

KÈ

Hàng ngày, tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên ta có: x ≤ 600, y ≤ 500.

DẠ

Mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên ta có: 0, 5 x ≤ y ≤ 3 x . Số tiền cần dùng mỗi ngày là: T ( x, y ) = 9 x + 7,5 y. Bài toán trở thành: Tìm x ≥ 0, y ≥ 0 thỏa mãn hệ

Page 32

0 ≤ x ≤ 600, 0 ≤ y ≤ 500  để T ( x, y) = 9x + 7,5 y đạt giá trị nhỏ nhất. 400 ≤ x + y ≤ 1000 0,5x ≤ y ≤ 3x 

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

FI CI A

Câu 31: Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B1, đựng cao Sao vàng và đựng "Quy sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau. • Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B1, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm.

Cách thứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là 1000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất? •

ƠN

A. Cắt theo cách một x − 2 < 0 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm. B. Cắt theo cách một 150 tấm, cắt theo cách hai 100 tấm. C. Cắt theo cách một 50 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm. D. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 200 tấm. Lời giải Chọn A

Gọi x ≥ 0, y ≥ 0 lần lượt là số tấm bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai.

KÈ

QU Y

3x + 2 y ≥ 900  Bài toán đưa đến tìm x ≥ 0, y ≥ 0 thoả mãn hệ  x + 3 y ≥ 1000 sao cho L = x + y nhỏ nhất. 6 x + y = 900  Câu 32: Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm A và sản phẩm B trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phẩm A lãi 4 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 1 giờ, máy II trong 2 giờ và máy III trong 3 giờ. Để sản xuất ra một tấn sản phẩm B lãi được 3 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 6 giờ, máy II trong 3 giờ và máy III trong 2 giờ. Biết rằng máy I chỉ hoạt động không quá 36 giờ, máy hai hoạt động không quá 23 giờ và máy III hoạt động không quá 27 giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà máy để tiền lãi được nhiều nhất. A. Sản xuất 9 tấn sản phẩm A và không sản xuất sản phẩm B. B. Sản xuất 7 tấn sản phẩm A và 3 tấn sản phẩm B. 10 49 C. Sản xuất tấn sản phẩm A và tấn sản phẩm B. 3 9 D. Sản xuất 6 tấn sản phẩm B và không sản xuất sản phẩm A. Lời giải Chọn B

DẠ

Gọi x ≥ 0, y ≥ 0 (tấn) là sản lượng cần sản xuất của sản phẩm A và sản phẩm B. Ta có:

x + 6 y là thời gian hoạt động của máy I .

2 x + 3 y là thời gian hoạt động của máy II . 3x + 2 y là thời gian hoạt động của máy III . Page 33

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Số tiền lãi của nhà máy: T = 4 x + 3 y (triệu đồng).

FI CI A

 x + 6 y ≤ 36  Bài toán trở thành: Tìm x ≥ 0, y ≥ 0 thỏa mãn  2 x + 3 y ≤ 23 để T = 4 x + 3 y đạt giá trị lớn 3 x + 2 y ≤ 27 

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

nhất.

Page 34

III ==

BẤT PHƯƠNG TRÌNH

HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

Câu 1:

DẠNG 1. TÌM NGHIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

FI CI A

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình

ax + by ≤ c không được gọi là miền nghiệm của nó.

ƠN

B. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình 2 x − 3 y + 1 < 0 trên hệ trục Oxy là đường thẳng

2x − 3y +1 = 0 .

C. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình

ax + by ≤ c được gọi là miền nghiệm của nó. D. Nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c là tập rỗng. Lời giải Chọn C

Miền nghiệm của bất phương trình − x + 2 + 2 ( y − 2 ) < 2 (1 − x ) là nửa mặt phẳng không chứa

QU Y

Câu 2:

điểm nào trong các điểm sau? A. ( 0;0 ) . B. (1;1) . Chọn C

C. ( 4; 2 ) .

D. (1; −1) .

Lời giải

Ta có: − x + 2 + 2 ( y − 2 ) < 2 (1 − x ) ⇔ − x + 2 + 2 y − 4 < 2 − 2 x ⇔ x + 2 y < 4 .

Miền nghiệm của bất phương trình 3 ( x − 1) + 4 ( y − 2 ) < 5 x − 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm nào

KÈ

Câu 3:

Dễ thấy tại điểm ( 4; 2 ) ta có: 4 + 2.2 = 8 > 4 . trong các điểm sau? A. ( 0;0 ) .

B. ( −4;2 ) .

C. ( −2;2 ) .

D. ( −5;3) .

Lời giải

Chọn A

DẠ

Câu 4:

có:

3 ( x − 1) + 4 ( y − 2 ) < 5 x − 3 ⇔ 3 x − 3 + 4 y − 8 < 5 x − 3 ⇔ 2 x − 4 y + 8 > 0

⇔ x − 2y + 4 > 0

Dễ thấy tại điểm ( 0;0 ) ta có: 0 − 2.0 + 4 = 4 > 0 . Miền nghiệm của bất phương trình x + 3 + 2 ( 2 y + 5 ) < 2 (1 − x ) là nửa mặt phẳng chứa điểm nào trong các điểm sau? Page 1

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN A. ( −3; −4 ) .

B. ( −2; −5) .

C. ( −1; −6 ) .

D. ( 0;0 ) .

Lời giải

Dễ thấy tại điểm ( 0;0 ) ta có: 3.0 + 4.0 + 8 > 0 . Câu 5:

FI CI A

Ta có: x + 3 + 2 ( 2 y + 5 ) < 2 (1 − x ) ⇔ x + 3 + 4 y + 10 < 2 − 2 x ⇔ 3 x + 4 y + 8 < 0 .

Chọn D

Miền nghiệm của bất phương trình 4 ( x − 1) + 5 ( y − 3) > 2 x − 9 là nửa mặt phẳng chứa điểm nào trong các điểm sau? A. ( 0;0 ) .

B. (1;1) .

C. ( −1;1) . Lời giải

Chọn D

D. ( 2;5 ) .

Ta có: 4 ( x − 1) + 5 ( y − 3) > 2 x − 9 ⇔ 4 x − 4 + 5 y − 15 > 2 x − 9 ⇔ 2 x + 5 y − 10 > 0 . Dễ thấy tại điểm ( 2;5 ) ta có: 2.2 + 5.5 − 10 > 0 .

Miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2 ( y + 3) > 4 ( x + 1) − y + 3 là phần mặt phẳng chứa điểm

ƠN

Câu 6:

nào trong các điểm sau? A. ( 3;0 ) . B. ( 3;1) .

C. (1;1) .

D. ( 0;0 ) .

Lời giải ChọnC.

Nhận xét: chỉ có cặp số (1;1) thỏa bất phương trình. Câu 7:

Miền nghiệm của bất phương trình 5 ( x + 2 ) − 9 < 2 x − 2 y + 7 là phần mặt phẳng không chứa

QU Y

điểm nào trong các điểm sau? A. ( −2;1) . B. ( 2;3) . ChọnC.

C. ( 2; −1) .

D. ( 0; 0 ) .

Lời giải

Nhận xét: chỉ có cặp số ( 2;3) không thỏa bất phương trình. Câu 8:

Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình 2 x + y < 1 ?

KÈ

ChọnC.

A. ( −2;1) .

B. ( 3; −7 ) .

C. ( 0;1) .

D. ( 0;0 ) .

Lời giải

Nhận xét: chỉ có cặp số ( 0;1) không thỏa bất phương trình. Câu 9:

Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình x − 4 y + 5 ≥ 0 ?

DẠ

A. ( −5;0 ) .

B. ( −2;1) .

C. (1; −3) .

D. ( 0;0 ) .

Lời giải

ChọnB.

Ta thay cặp số ( −2;1) vào bất phương trình x − 4 y + 5 ≥ 0 được −2 − 4 + 5 ≥ 0 đo dó cặp số

( −2;1)

không là nghiệm của bất phương trình x − 4 y + 5 ≥ 0 .

Câu 10: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? Page 2

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN A. 2 x − 5 y + 3z ≤ 0 .

B. 3x 2 + 2 x − 4 > 0 .

C. 2 x 2 + 5 y > 3 .

D. 2 x + 3 y < 5 .

Lời giải

Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

FI CI A

Chọn D

Câu 11: Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2 x + y − 3 > 0 ?  3 B. M  1;  .  2

A. Q ( −1; −3) .

C. N (1;1) . Lời giải

ƠN

Chọn B

3  D. P  −1;  . 2 

Tập hợp các điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình 2 x + y − 3 > 0 là nửa mặt phẳng bờ là

đường thẳng 2 x + y − 3 = 0 và không chứa gốc tọa độ.

QU Y

 3 Từ đó ta có điểm M  1;  thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2 x + y − 3 > 0 .  2

Câu 12: Miền nghiệm của bất phương trình −3 x + y + 2 ≤ 0 không chứa điểm nào sau đây? A. A (1 ; 2 ) .

B. B ( 2 ; 1) .

 1 C. C 1 ;  .  2 Lời giải

D. D ( 3 ; 1) .

DẠ

KÈ

Chọn A

Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : −3x + y + 2 = 0. Ta thấy ( 0 ; 0 ) không là nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ ( d ) không chứa điểm ( 0 ; 0 ) .

Câu 13: Miền nghiệm của bất phương trình x + 3 + 2(2 y + 5) < 2(1 − x ) không chứa điểm nào sau đây? Page 3

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

2  1 B. B  − ; −  . C. C ( 0 ; − 3) .  11 11  Lời giải

D. D ( −4 ; 0 ) .

A. A ( −1 ; − 2 ) .

FI CI A

Chọn B

Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành 3 x + 4 y + 11 < 0.

ƠN

Ta vẽ đường thẳng ( d ) : 3x + 4 y + 11 = 0.

Ta thấy ( 0 ; 0 ) không là nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa điểm ( 0 ; 0 ) .

Câu 14: Miền nghiệm của bất phương trình 2 x + y > 1 không chứa điểm nào sau đây? A. A (1 ; 1) .

B. B ( 2 ; 2 ) .

C. C ( 3 ; 3) .

D. D ( −1 ; − 1) .

Lời giải

KÈ

QU Y

Chọn D

Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : 2 x + y = 1. Ta thấy ( 0 ; 0 ) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm ( 0 ; 0 ) .

(

) (

)

DẠ

Câu 15: Miền nghiệm của bất phương trình 1 + 3 x − 1 − 3 y ≥ 2 chứa điểm nào sau đây? A. A (1 ; − 1) .

B. B ( −1 ; − 1) .

C. C ( −1 ; 1) . Lời giải

Chọn A Page 4

(

)

D. D − 3 ; 3 .

(

) (

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

)

Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : 1 + 3 x − 1 − 3 y = 2.

Ta thấy ( 0 ; 0 ) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ ( d ) không chứa điểm ( 0 ; 0 ) .

Câu 16: Miền nghiệm của bất phương trình x − 2 + 2 ( y − 1) > 2 x + 4 chứa điểm nào sau đây? B. B (1 ; 5) .

C. C ( 4 ; 3) .

D. D ( 0 ; 4 ) .

ƠN

A. A (1 ; 1) .

Lời giải

QU Y

Chọn B

Đầu tiên ta thu gọn bất phương trình đã cho về thành − x + 2 y − 8 > 0. Vẽ đường thẳng ( d ) : − x + 2 y − 8 = 0.

Ta thấy ( 0 ; 0 ) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

KÈ

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng không chứa điểm ( 0 ; 0 ) .

Câu 17: Miền nghiệm của bất phương trình 2 x − 2 y + 2 − 2 ≤ 0 chứa điểm nào sau đây? B. B (1 ; 0 ) .

C. C Lời giải

A. A (1 ; 1) .

DẠ

Chọn A

Page 5

(

)

2; 2 .

D. D

(

)

2;− 2 .

Ta thấy ( 0 ; 0 ) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : 2 x − 2 y + 2 − 2 = 0.

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ ( d ) chứa điểm ( 0 ; 0 ) .

đúng ? A. (1;1) ∈ S .

B. (1;10 ) ∈ S .

ƠN

Câu 18: Cho bất phương trình 2 x + 4 y < 5 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định C. (1; −1) ∈ S .

D. (1;5) ∈ S .

Lời giải ChọnC.

Ta thấy (1; −1) thỏa mãn hệ phương trình do đó (1; −1) là một cặp nghiệm của hệ phương trình.

Câu 19: Cho bất phương trình x − 2 y + 5 > 0 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định

QU Y

đúng? A. ( 2; 2 ) ∈ S .

B. (1;3) ∈ S .

Chọn A

C. ( −2; 2 ) ∈ S .

D. ( −2; 4 ) ∈ S .

Lời giải

Ta thấy ( 2; 2 ) ∈ S vì 2 − 2.2 + 5 > 0 .

KÈ

Câu 20: Miền nghiệm của bất phương trình 3 x − 2 y > −6 là y

−2

DẠ

Page 6

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

y y

FI CI A

−2

Lời giải

Chọn C

ƠN

Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : 3x − 2 y = −6.

Ta thấy ( 0 ; 0 ) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền

−2

nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ ( d ) chứa điểm ( 0 ; 0 ) .

Câu 21: Miền nghiệm của bất phương trình 3 x + 2 y > 6 là y

QU Y

−2

KÈ Y

−2

DẠ

−2

Lời giải Page 7

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Chọn A y

FI CI A

Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : 3 x + 2 y = 6.

Ta thấy ( 0 ; 0) không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng không chứa điểm ( 0 ; 0) .

ƠN

Câu 22: Miền nghiệm của bất phương trình 3 x + 2 y > − 6 là y

y 3

QU Y

−2 x

−2

KÈ

−2

D. O

Lời giải

DẠ

Chọn D

Page 8

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN y

−2

FI CI A

Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : 3x + 2 y = −6.

Ta thấy ( 0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt

phẳng chứa điểm ( 0 ; 0) .

Câu 23: Cho bất phương trình −2x + 3y + 2 ≤ 0 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?   B.  2 ; 0  ∈ S .  2  

C. (1; −2) ∉ S .

ƠN

A. (1;1) ∈ S .



D. (1;0) ∉ S .

Lời giải

ChọnB.

2   + 3.0 + 2 = 0 . Ta thấy  2 ; 0  ∈ S vì −2.   2  2



Câu 24: Cặp số ( x; y) = ( 2;3) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây? B. x – 3 y + 7 < 0 .

QU Y

A. 4 x > 3 y .

C. 2 x – 3 y – 1 > 0 . Lời giải

D. x – y < 0 .

Chọn D

Ta có 2 − 3 = −1 < 0 nên Chọn D

Câu 25: Cặp số ( x0 ; y0 ) nào là nghiệm của bất phương trình 3 x − 3 y ≥ 4 .

KÈ

A. ( x0 ; y0 ) = ( −2;2) .

B. ( x0 ; y0 ) = ( 5;1) .

C. ( x0 ; y0 ) = ( −4;0) . Lời giải

Chọn B

Thế các cặp số ( x0 ; y0 ) vào bất phương trình:

DẠ

( x0; y0 ) = ( −2;2)  3x − 3y ≥ 4 ⇔ 3( −2) − 3.2 ≥ 4 ( x0 ; y0 ) = ( 5;1)  3 x − 3 y ≥ 4 ⇔ 3.5 − 3.1 ≥ 4 ( x0; y0 ) = ( −4;0)  3x − 3 y ≥ 4 ⇔ 3.( −4) − 3.0 ≥ 4 Page 9

D. ( x0 ; y0 ) = ( 2;1) .

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

( x0 ; y0 ) = ( 2;1)  3 x − 3 y ≥ 4 ⇔ 3.2 − 3.1 ≥ 4 .

DẠNG 2. TÌM MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A. ( 0;0) .

B. (1;1) .

C. ( −1;1) . Lời giải

ChọnC. Ta thay cặp số ( −1;1) vào hệ ta thấy không thỏa mãn.

D. ( −1; −1) .

Câu 27: Câu nào sau đây đúng?.

FI CI A

 x+ y−2≤0 Câu 26: Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình  là 2 x − 3 y + 2 > 0

A. ( 2;1) .

ƠN

 x y  2 + 3 −1 ≥ 0  3y  ≤ 4 là phần mặt phẳng chứa điểm Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2( x − 1) + 2  x≥0    B. ( 0;0) .

C. (1;1) .

D. ( 3;4) .

Lời giải Chọn A

Nhận xét: chỉ có điểm ( 2;1) thỏa mãn hệ.

A. ( −1;4) . ChọnC.

QU Y

2 x + 3 y − 1 > 0 Câu 28: Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  ?  5x − y + 4 < 0 B. ( −2;4) .

C. ( 0;0) .

D. ( −3;4) .

Lời giải

Nhận xét: chỉ có điểm ( 0;0) không thỏa mãn hệ.

KÈ

2 x − 5 y − 1 > 0  Câu 29: Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  2 x + y + 5 > 0 ?  x + y +1 < 0  A. ( 0;0) .

B. (1;0 ) .

C. ( 0; −2) .

D. ( 0;2) .

Lời giải

ChọnC.

Nhận xét: chỉ có điểm ( 0; −2) thỏa mãn hệ.

DẠ

 x− y >0  Câu 30: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x − 3 y + 3 < 0 là phần mặt phẳng chứa điểm  x + y −5 > 0  A. ( 5;3) .

B. ( 0;0) .

C. (1; −1) . Page 10

D. ( −2;2) .

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Lời giải Nhận xét: chỉ có điểm ( 5;3) thỏa mãn hệ.

A. ( 0;0) .

B. (1; 2 ) .

FI CI A

3 x + y ≥ 9 x ≥ y − 3  Câu 31: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  là phần mặt phẳng chứa điểm 2 y ≥ 8 − x  y ≤ 6

Chọn A

C. ( 2;1) .

D. ( 8;4) .

Lời giải

ChọnD. Nhận xét: chỉ có cặp số ( 8;4) thỏa bất phương trình 3 x + y ≥ 9 .

A. (1;1) ∈ S .

B. ( −1; −1) ∈ S .

ƠN

x + y > 0 Câu 32: Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng 2 x + 5 y < 0 định đúng?

 

1 2

C. 1; −  ∈ S .

 1 2  2 5

D.  − ;  ∈ S .

Chọn C Thế đáp án, chỉ có x = 1; y = −

Lời giải

1 thỏa mãn hệ bất phương trình 2

 chọn C

A. ( 2;1) .

QU Y

3x + y ≥ 6 x ≥ y − 3  Câu 33: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  là phần mặt phẳng chứa điểm: 2 y ≥ 8 − x  y ≤ 4 B. ( 6;4) .

C. ( 0;0) .

D. (1;2 ) .

Lời giải

KÈ

Chọn A Nhận xét: Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền mặt phẳng chứa tất cả các điểm có toạ độ thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. Thế x = 6; y = 4 vào từng bất phương trình trong hệ, ta lần lượt có các mệnh đề đúng: 22 ≥ 6; 6 ≥ 1; 8 ≥ 2; 4 ≤ 4 . Vậy ta chọn đáp án

DẠ

Đáp án A có toạ độ không thoả bất phương trình thứ 3. Đáp án C, D có toạ độ không thoả bất phương trình thứ 1 và 3. Câu 34: Miền tam giác ABC kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ bất phương trình dưới đây?

Page 11

x > 0  B. 5x − 4 y ≤ 10 . 4x + 5 y ≤ 10 

x ≥ 0  C. 4x − 5 y ≤ 10 . 5x + 4 y ≤ 10  Lời giải

x ≥ 0  D. 5x − 4 y ≤ 10 . 4x + 5 y ≤ 10 

y ≥ 0  A. 5x − 4 y ≥ 10 . 5x + 4 y ≤ 10 

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Chọn D

ƠN

Cạnh AC có phương trình x = 0 và cạnh AC nằm trong miền nghiệm nên x ≥ 0 là một bất phương trình của hệ.

5  Cạnh AB qua hai điểm  ; 0  và ( 0; 2) nên có phương trình: x + y = 1 ⇔ 4 x + 5 y = 10 . 5 2 2  2

QU Y

x ≥ 0  Vậy hệ bất phương trình cần tìm là 5x − 4 y ≤ 10 . 4x + 5 y ≤ 10  x > 0

Câu 35: Cho hệ bất phương trình 

 x +

3y +1 ≤ 0

có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là

khẳng định đúng?

A. (1; −1) ∈ S .

(

)

(

)

C. − 1; 5 ∉ S .

(

)

D. − 4; 3 ∈ S .

Lời giải

ChọnC.

(

B. 1; − 3 ∈ S .

)

KÈ

Ta thấy − 1; 5 ∉ S vì − 1 < 0 . x > 0

Câu 36: Cho hệ bất phương trình 

có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là

 x + 3 y + 1 > 0

khẳng định đúng?

A. ( −1; 2 ) ∈ S .

DẠ

(

)

(

Lời giải

ChọnD. Ta thấy

(

)

 3 > 0

3; 0 ∈ S vì 

 3 + 3.0 + 1 > 0

)

C. 1; − 3 ∈ S .

2;0 ∉ S .

Page 12

(

)

3; 0 ∈ S .

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

B. ( 2;1) ∈ S .

C. ( 5; −6 ) ∈ S . Lời giải

Chọn D

D. S = ∅ .

FI CI A

A. (1; −2) ∈ S .

x − y > 3  Câu 37: Cho hệ bất phương trình  1 có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là khẳng 1 − 2 x + y > 0 định đúng ?

Vì không có điểm nào thỏa hệ bất phương trình. 3  2 x − y ≥ 1 Câu 38: Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định 2 4 x − 3 y ≤ 2

đúng ?

 1  4

 

A.  − ; −1 ∉ S .

{( x; y ) | 4x − 3 y = 2} .

ƠN

B. S =

C. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d là là đường thẳng 4 x − 3 y = 2 .

D. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d là là đường thẳng 4 x − 3 y = 2 . Lời giải

KÈ

QU Y

Chọn B

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

( d1 ) : 2 x −

3 y =1 2

DẠ

( d2 ) : 4 x − 3 y = 2

Page 13

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Thử trực tiếp ta thấy ( 0 ; 0 ) là nghiệm của phương trình nhưng không phải là nghiệm của phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, tập hợp nghiệm của bất phương trình

chính là các điểm thuộc đường thẳng ( d ) : 4 x − 3 y = 2.

FI CI A

2 x + 3 y < 5 (1)  Câu 39: Cho hệ  3 . Gọi S 1 là tập nghiệm của bất phương trình, S 2 là tập nghiệm của bất  x + 2 y < 5 (2) phương trình và S là tập nghiệm của hệ thì A. S 1 ⊂ S 2 . B. S 2 ⊂ S 1 . C. S 2 = S . D. S 1 ≠ S . Lời giải

( d1 ) : 2 x + 3 y = 5 (d2 ) : x +

3 y=5 2

QU Y

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

ƠN

Chọn B

Ta thấy ( 0 ; 0 ) là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả

hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Say khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

KÈ

Câu 40: Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D? y

DẠ

2 O

Page 14

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

y > 0 B.  . 3 x + 2 y < − 6

x > 0 C.  . 3 x + 2 y < 6 Lời giải

x > 0 D.  . 3 x + 2 y > − 6

y > 0 A.  . 3 x + 2 y < 6

FI CI A

Chọn A Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng ( d1 ) : y = 0 và đường thẳng

( d2 ) :3x + 2 y = 6. Miền nghiệm gồm phần y nhận giá trị dương.

Lại có ( 0 ; 0) thỏa mãn bất phương trình 3 x + 2 y < 6.

x − 2 y < 0  Câu 41: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x + 3 y > −2 chứa điểm nào sau đây? y − x < 3  B. B ( −2 ; 3) .

C. C ( 0 ; −1) .

ƠN

A. A (1 ; 0 ) .

D. D ( −1 ; 0 ) .

Lời giải

Chọn D Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

QU Y

( d1 ) : x − 2 y = 0 ( d2 ) : x + 3y = −2 ( d3 ) : y − x = 3 Ta thấy ( 0 ; 1) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm ( 0 ; 1)

thuộc cả

ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

2 x + 3 y − 6 < 0  Câu 42: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x ≥ 0 chứa điểm nào sau đây? 2 x − 3 y − 1 ≤ 0 

KÈ

A. A(1; 2) .

B. B ( 0 ; 2) .

C. C ( −1 ; 3) . Lời giải

DẠ

Chọn D

Page 15

 

1 3

D. D  0 ; − .

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

ƠN

( d1 ) : 2x + 3 y − 6 = 0 ( d2 ) : x = 0 ( d3 ) : 2x − 3 y −1 = 0 Ta thấy (1; 1) là nghiệm của các ba bất phương trình. Điều này có nghĩa là điểm (1; 1)

thuộc

5 3

cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ. 2 x − 1 ≤ 0 Câu 43: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  chứa điểm nào sau đây?  −3 x + 5 ≤ 0

 

C. C ( −3 ; 1) .

B. B  ; 2  .

A. Không có.

QU Y

Lời giải

DẠ

KÈ

Chọn A

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

( d1 ) : 2x −1 = 0 ( d2 ) : −3x + 5 = 0 Page 16

1  ; 10  . 2 

D. D 

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Ta thấy (1 ; 0 ) là không nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm (1 ; 0 )

A. A( 3 ; 4) .

B. B ( 4 ; 3) .

C. C ( 7 ; 4) . Lời giải

D. D ( 4 ; 4) .

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

ƠN

Chọn C

FI CI A

không thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Vậy không có điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn hệ bất phương trình. 3 − y < 0 Câu 44: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  chứa điểm nào sau đây? 2 x − 3 y + 1 > 0

QU Y

( d1 ) : 3 − y = 0 ( d2 ) : 2 x − 3 y + 1 = 0 Ta thấy ( 6 ; 4) là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm ( 6 ; 4)

thuộc cả

hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ. x − 2 y < 0 Câu 45: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  không chứa điểm nào sau đây?  x + 3 y > −2

C. C ( −3 ; 4) . Lời giải

DẠ

KÈ

Chọn B

B. B (1 ; 0) .

A. A( −1 ; 0) .

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng: Page 17

D. D ( 0 ; 3) .

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

thuộc cả

( d1 ) : x − 2 y = 0 ( d2 ) : x + 3 y = −2 Ta thấy ( 0 ; 1) là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm ( 0 ; 1)

B. B ( 3 ; 0 ) .

C. C (1 ; −1) .

A. A( 2 ; − 2) .

ƠN

FI CI A

hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ phần không thích hợp, phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ. 3x − 2 y − 6 ≥ 0  3y  ≤ 4 không chứa điểm nào sau đây? Câu 46: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2( x − 1) + 2   x ≥ 0

D. D ( 2 ; − 3) .

Lời giải

Chọn C Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

QU Y

( d1 ) : 3x − 2 y − 6 = 0 ( d2 ) : 4x + 3 y −12 = 0 ( d3 ) : x = 0 Ta thấy ( 2 ; − 1) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm ( 2 ; − 1) thuộc

cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

KÈ

x − y > 0  Câu 47: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x − 3 y ≤ −3 không chứa điểm nào sau đây? x + y > 5  A. A ( 3 ; 2 ) .

B. B ( 6 ; 3) .

C. C ( 6 ; 4 ) . Lời giải

DẠ

Chọn A

Page 18

D. D ( 5 ; 4 ) .

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

thuộc cả

ƠN

( d1 ) : x − y = 0 ( d2 ) : x − 3 y = −3 ( d3 ) : x + y = 5 Ta thấy ( 5 ; 3) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm ( 5 ; 3)

ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

QU Y

x − 3y < 0  Câu 48: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x + 2 y > −3 không chứa điểm nào sau đây? y + x < 2 

KÈ

A. A( 0 ; 1) .

B. B ( −1 ; 1) .

C. C ( −3 ; 0 ) .

D. D( −3 ; 1) .

Lời giải

Chọn C Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

DẠ

( d1 ) : x − 3 y = 0 ( d2 ) : x + 2 y = −3 ( d3 ) : x + y = 2 Ta thấy ( −1; 0) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm ( −1; 0) thuộc cả

ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ. Page 19

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

A. min F = 1 khi x = 2 , y = 3 . C. min F = 3 khi x = 1 , y = 4 .

FI CI A

 y − 2x ≤ 2  Câu 49: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = y − x trên miền xác định bởi hệ 2 y − x ≥ 4 là  x+ y ≤5  B. min F = 2 khi x = 0 , y = 2 . D. min F = 0 khi x = 0 , y = 0 . Lời giải Chọn A

QU Y

ƠN

 y − 2x ≤ 2  Miền nghiệm của hệ 2 y − x ≥ 4 là miền trong của tam giác ABC kể cả biên  x+ y ≤5 

Ta thấy F = y − x đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A , B , C .

Tại A( 0; 2) thì F = 2 . Tại B (1; 4) thì F = 3

KÈ

Tại A( 2;3) thì F = 1. Vậy min F = 1 khi x = 2 , y = 3 .

DẠ

 2x + y ≤ 2  Câu 50: Giá trị nhỏ nhất của biết thức F = y − x trên miền xác định bởi hệ  x − y ≤ 2 là 5 x + y ≥ −4  A. min F = −3 khi x = 1, y = − 2 .

B. min F = 0 khi x = 0, y = 0 .

4 2 C. min F = −2 khi x = , y = − . 3

D. min F = 8 khi x = − 2, y = 6 .

Lời giải Page 20

DẠNG 3. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Chọn C

FI CI A

 2x + y ≤ 2  Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình  x − y ≤ 2 trên hệ trục tọa độ như dưới đây: 5 x + y ≥ −4 

 4 2   −1 −7  A ( −2;6 ) , C  ; −  , B  ;  . 3 3  3 3  Ta có: F ( A) = 8; F ( B ) = −2; F ( C ) = −2 . 4 2 Vậy min F = −2 khi x = , y = − . 3

ƠN

Giá trị nhỏ nhất của biết thức F = y − x chỉ đạt được tại các điểm

x − y ≤ 2 3x + 5 y ≤ 15  Câu 51: Cho hệ bất phương trình  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? x ≥ 0  y ≥ 0

QU Y

A. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn miền nghiệm của hệbất phương trình đã cho là miền

 25 9  ;  , C ( 2;0) và O( 0;0) .  8 8

tứ giác ABCO kể cả các cạnh với A( 0;3) , B 

17 B. Đường thẳng ∆ : x + y = m có giao điểm với tứ giác ABCO kể cả khi −1 ≤ m ≤ .

C. Giá trị lớn nhất của biểu thức x + y , với

KÈ

D. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x + y , với

17 . 4

x và y

thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là

x và y

thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0.

Lời giải

DẠ

Chọn B

Page 21

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:

( d1 ) : x − y = 2

ƠN

( d2 ) :3x + 5y = 15 ( d3 ) : x = 0 ( d4 ) : y = 0

Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên.

QU Y

 0≤ y≤4  x≥0  Câu 52: Giá trị lớn nhất của biết thức F ( x; y ) = x + 2 y với điều kiện  là  x − y −1 ≤ 0  x + 2 y − 10 ≤ 0 A. 6. B. 8. C. 10 . D. 12 . Lời giải Chọn C d1 : x − y − 1 = 0

Vẽ đường thẳng

d2 : x + 2 y − 10 = 0

Vẽ đường thẳng

d3 : y = 4

, đường thẳng

DẠ

KÈ

Vẽ đường thẳng

Page 22

qua hai điểm ( 0; − 1) và (1;0 ) . d2

qua hai điểm ( 0;5) và ( 2;4) .

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Miền nghiệm là ngũ giác ABCOE với A( 4;3) , B ( 2;4) , C ( 0;4) , E (1;0) .

Vậy giá trị lớn nhất của biết thức F ( x; y ) = x + 2 y bằng 10 .

FI CI A

 0≤ y≤5  x≥0  Câu 53: Giá trị nhỏ nhất của biết thức F ( x; y ) = x − 2 y với điều kiện  là x + y − 2 ≥ 0   x − y − 2 ≤ 0 A. −10 . B. 12 . C. −8 . D. −6 . Lời giải Chọn A

Ta có: F ( 4;3) = 10 , F ( 2;4 ) = 10 , F ( 0;4) = 8 , F (1;0) = 1, F ( 0;0) = 0 .

QU Y

ƠN

 0≤ y≤5  x≥0  Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình  trên hệ trục tọa độ như dưới đây:. x + y − 2 ≥ 0   x − y − 2 ≤ 0

Nhận thấy biết thức F = y − x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B , C hoặc D . Ta có: F ( A) = 7 − 2 × 5 = −3; F ( B ) = −2 × 5 = −10 .

F ( C ) = −2 × 2 = −4, F ( D) = 2 − 2 × 0 = 2 .

Vậy min F = −10 khi x = 0, y = 5 .

KÈ

 −2 x + y ≤ −2  x − 2y ≤ 2  Câu 54: Biểu thức F = y – x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện  tại điểm S ( x; y) có toạ độ  x+ y ≤5  x≥0 là

DẠ

A. ( 4;1) .

C. ( 2;1) .

B. ( 3;1) .

Lời giải

Chọn A

Page 23

D. (1;1) .

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

FI CI A

 −2 x + y ≤ − 2  x − 2y ≤ 2  Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình  trên hệ trục tọa độ như dưới đây:  x+ y ≤5  x≥0

Nhận thấy biết thức F = y − x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B hoặc C .

ƠN

Chỉ C ( 4;1) có tọa độ nguyên nên thỏa mãn. Vậy min F = −3 khi x = 4, y = 1 .

lớn nhất là

2 x + 3 y − 6 ≤ 0  Câu 55: Biểu thức L = y − x , với x và y thõa mãn hệ bất phương trình  x ≥ 0 , đạt giá trị 2 x − 3 y − 1 ≤ 0 

a và đạt giá trị nhỏ nhất là b. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. a = 25 và b = −2 . 8

B. a = 2 và b = − 11 . C. a = 3 và b = 0 . 12

QU Y

Lời giải

KÈ

Chọn B

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

DẠ

( d1 ) : 2x + 3 y − 6 = 0

( d2 ) : x = 0 ( d3 ) : 2 x − 3 y − 1 = 0 Page 24

D. a = 3 và b = − 9 . 8

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Ta thấy ( 0 ; 0) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả ba

1 7 5  ;  , C  0 ; − . 3 4 6 

Vậy ta có a = 2 − 0 = 2, b =

FI CI A

Miền nghiệm là hình tam giác ABC , với A ( 0 ; 2) , B 

miền nghiệm của cả ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

5 7 11 − =− . 6 4 12

DẠNG 4. ÁP DỤNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN

Câu 56: Trong một cuộc thi pha chế, hai đội A, B được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và

ƠN

210 g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Đội A pha chế được a lít nước cam và b lít nước táo và dành được điểm thưởng cao nhất. Hiệu số a − b là A. 1 . B. 3. C. −1. D. −6 . Lời giải Chọn C

Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế ( x ≥ 0; y ≥ 0) .

Để pha chế x lít nước cam cần 30x g đường, x lít nước và x g hương liệu. Để pha chế y lít nước táo cần 10 y g đường, y lít nước và 4 y g hương liệu.

QU Y

Theo bài ra ta có hệ bất phương trình: 30 x + 10 y ≤ 210 x + y ≤ 9  ( *) .  x y + 4 ≤ 24   x ≥ 0; y ≥ 0

Số điểm đạt được khi pha x lít nước cam và y lít nước táo là M ( x, y ) = 60 x + 80 y . Bài toán trở thành tìm x, y để M ( x, y ) đạt giá trị lớn nhất.

x+y=9

E A

DẠ

x+4y=24 B

KÈ

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ (*) trên mặt phẳng tọa độ như sau:

D≡O

30x + 10y = 210

Page 25

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Miền nghiệm là ngũ giác ABCDE . Tọa độ các điểm: A ( 4;5 ) , B ( 6;3) , C ( 7;0 ) , D ( 0;0 ) , E ( 0;6 ) .

M ( x, y ) sẽ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của miền nghiệm nên thay tọa độ

FI CI A

các điểm vào biểu thức M ( x, y ) ta được:

M ( 4;5) = 640 ; M ( 6;3) = 600 , M ( 7;0 ) = 420 , M ( 0;0 ) = 0 , M ( 0;6 ) = 480 .

Vậy giá trị lớn nhất của M ( x ; y ) bằng 640 khi x = 4; y = 5  a = 4; b = 5  a − b = −1 .

Câu 57: Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 800 m 2 . Nếu trồng đậu trên diện tích 100 m 2 thì cần 20 công làm và thu được 3000000 đồng. Nếu trồng cà thì trên diện tích 100 m 2

cần 30 công làm và thu được 4000000 đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công làm không quá 180 công. Hãy chọn phương án đúng nhất trong các phương án sau: A. Trồng 600 m 2 đậu; 200 m 2 cà. B. Trồng 500 m 2 đậu; 300 m 2 cà.

C. Trồng 400 m 2 đậu; 200 m 2 cà.

D. Trồng 200 m 2 đậu; 600 m 2 cà.

ƠN

Lời giải Chọn A

Giả sử diện tích trồng đậu là x ;suy ra diện tích trồng cà là 8 − x

Ta có thu nhập thu được là S ( x ) = 3 x + 4 ( 8 − x )  .10000 = 10000 ( − x + 32 ) đồng.

Tổng số công là 20 x + 30 ( 8 − x ) = −10 x + 240

QU Y

Theo giả thiết có −10 x + 240 ≤ 180 ⇔ x ≥ 6

Mà hàm số S ( x ) là hàm nghịch biến trên ℝ nên S ( x ) đạt giá trị lớn nhất khi x = 6 . Do đó trồng 600 m 2 đậu, 200 m 2 cà.

Câu 58: Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa ( 1 sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở trên 140 người và trên 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B . Trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất. Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 20 người và 0, 6 tấn hàng. Xe B chở tối đa 10

KÈ

người và 1, 5 tấn hàng.

A. 4 xe A và 5 xe B . B. 5 xe A và 6 xe B . C. 5 xe A và 4 xe B . D. 6 xe A và 4 xe B . Lời giải

DẠ

Chọn D Gọi x là số xe loại A ( 0 ≤ x ≤ 10; x ∈ ℕ ) , y là số xe loại B ( 0 ≤ y ≤ 9; y ∈ ℕ ) . Khi đó tổng chi

phí thuê xe là T = 4 x + 3 y . Xe A chở tối đa 20 người, xe B chở tối đa 10 người nên tổng số người 2 xe chở tối đa được là 20 x + 10 y . Page 26

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Xe A chở được 0, 6 tấn hàng, xe B chở được 1,5 tấn hàng nên tổng lượng hàng 2 xe chở

được là 0, 6 x + 1, 5 y .

ƠN

FI CI A

0 ≤ x ≤ 10 0 ≤ y ≤ 9  Theo giả thiết, ta có  (*)  20 x + 10 y ≥ 140 0, 6 x + 1, 5 y ≥ 9

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác ABCD kể cả miền trong của tứ giác.

Biểu thức T = 4 x + 3 y đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD .

Khi đó Tmin = 32 .

QU Y

x = 5 5  Tại các đỉnh A (10; 2 ) ; B (10;9 ) ; C  ;9  ; D ( 5; 4 ) , ta thấy T đạt giá trị nhỏ nhất tại  . 2  y = 4

Câu 59: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi x, y lần

KÈ

lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính x2 + y 2

A. x2 + y 2 = 1,3 .

B. x 2 + y 2 = 2,6 .

C. x2 + y 2 = 1,09 .

D. x2 + y 2 = 0,58 .

Lời giải

DẠ

Chọn A Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 1,6 ; 0 ≤ y ≤ 1,1 Khi đó số protein có được là 800 x + 600 y và số lipit có được là 200 x + 400 y Vì gia đình đó cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là: 800 x + 600 y ≥ 900 và 200 x + 400 y ≥ 400 Page 27

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN ⇔ 8 x + 6 y ≥ 9 và x + 2 y ≥ 2

FI CI A

0 ≤ x ≤ 1,6 0 ≤ y ≤ 1,1   8 x + 6 y ≥ 9  x + 2 y ≥ 2 Miền nghiệm của hệ trên là miền nghiệm của tứ giác ABCD Chi phí để mua x kg thịt bò và y kg thịt

lợn là T = 160 x + 110 y Biết T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD Tại A: T = 160.0,6 + 110.0,7 = 173

ƠN

Tại B: T = 160.1,6 + 110.0, 2 = 278 Tại C: T = 160.1,6 + 110.1,1 = 377

QU Y

Tại D: T = 160.0,3 + 110.1,1 = 169

Vậy T đạt GTNN khi x = 0,3 ; y = 1,1  x 2 + y 2 = 0,32 + 1,12 = 1,3 .

KÈ

Câu 60: Có hai cái giỏ đựng trứng gồm giỏ A và giỏ B, các quả trứng trong mỗi đều có hai loại là trứng lành và trứng hỏng. Tổng số trứng trong hai giỏ là 20 quả và số trứng trong giỏ A nhiều hơn số trứng trong giỏ B. Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, biết xác suất để lấy được hai quả 55 trứng lành là . Tìm số trứng lành trong giỏ A. 84 A. 6. B. 14. C. 11. D. 10. Lời giải

DẠ

Chọn C Gọi a là số trứng lành, b là số trứng hỏng trong giỏ

Gọi x là số trứng lành, y là số trứng hỏng trong giỏ

Page 28

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

FI CI A

( a.x )⋮ 55  a + b = 14 ( a + b )( x + y )⋮84 a = 11    x + y = 6   Do đó: a + b + x + y = 20 . x = 5   a.x ⋮ 55 2  a + b x + y ≤  a + b + x + y  = 100 ( ) )( )   ( 2  

Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, xác suất để lấy được hai quả trứng lành: a x 55 . = . a + b x + y 84

Suy ra: Giỏ A có 11 quả trứng lành.

ƠN

Câu 61: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, 9 lít nước và 210 gam đường để pha chế nước ngọt loại I và nước ngọt loại II. Để pha chế 1 lít nước ngọt loại I cần 10 gam đường, 1 lít nước và 4 gam hương liệu. Để pha chế 1 lít nước ngọt loại II cần 30 gam đường, 1 lít nước và 1 gam hương liệu. Mỗi lít nước ngọt loại I được 80 điểm thưởng, mỗi lít nước ngọt loại II được 60 điểm thưởng. Hỏi số điểm thưởng cao nhất có thể của mỗi đội trong cuộc thi là bao nhiêu? A. 540 . B. 600 . C. 640 . D. 720 . Lời giải

Chọn C

QU Y

Gọi số lít nước ngọt loại I là x và số lít nước ngọt loại II là y. Khi đó ta có hệ điều kiện về vật 10 x + 30 y ≤ 210  x + 3 y ≤ 210  4 x + y ≤ 24  4 x + y ≤ 24   ⇔ liệu ban đầu mà mỗi đội được cung cấp:  x+ y ≤9   x+ y ≤9   x , y ≥ 0 x, y ≥ 0

Điểm thưởng đạt được: P = 80 x + 60 y

Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P trong miền D được cho bởi hệ điều kiện

độ Oxy

Biến đổi biểu thức P = 80 x + 60 y ⇔ 80 x + 60 y − P = 0 đây là họ đường thẳng Δ trong hệ tọa

DẠ

KÈ

Miền D được xác định trong hình vẽ bên dưới:

Page 29

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

FI CI A

7 6 A

Δ(P)

Giá trị lớn nhất của P ứng với đường thẳng Δ đi qua điểm A(5; 4) , suy ra:

ƠN

80.5 + 60.4 − P = 0 → P = 640 = Pmax .

QU Y

Câu 62: Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm I và II . Mỗi sản phẩm I bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm II bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm I thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm II thì Chiến phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là. A. 32 triệu đồng. B. 35 triệu đồng. C. 14 triệu đồng. D. 30 triệu đồng. Lời giải Chọn A

Gọi x , y lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II được sản xuất ra. Điều kiện x , y nguyên dương.

KÈ

3x + 2 y ≤ 180  x + 6 y ≤ 220  Ta có hệ bất phương trình sau:  x > 0  y > 0 Miền nghiệm của hệ trên là

DẠ

y 90

B C x O

Page 30

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Tiền lãi trong một tháng của xưởng là T = 0,5 x + 0, 4 y .

Tại A ( 60; 0 ) thì T = 30 triệu đồng. Tại B ( 40; 30 ) thì T = 32 triệu đồng. Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32 triệu đồng.

FI CI A

Ta thấy T đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm A , B , C . Vì C có tọa độ không nguyên nên loại.

Câu 63: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1, 6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi x , y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm x , y để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn? A. x = 0,3 và y = 1,1. B. x = 0,3 và y = 0,7 . C. x = 0, 6 và y = 0,7 . D. x = 1, 6 và y = 0, 2 .

ƠN

Lời giải Chọn A

0 ≤ x ≤ 1,6 Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là 160.x + 110. y với x , y thỏa mãn:  . 0 ≤ y ≤ 1,1 Số đơn vị protein gia đình có là 0,8.x + 0, 6. y ≥ 0,9 ⇔ 8 x + 6 y ≥ 9 ( d1 ) .

QU Y

Số đơn vị lipit gia đình có là 0, 2.x + 0, 4. y ≥ 0, 4 ⇔ x + 2 y ≥ 2 ( d2 ) .  0 ≤ x ≤ 1, 6  0 ≤ y ≤ 1,1  Bài toán trở thành: Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình  sao cho 8 x + 6 y ≥ 9  x + 2 y ≥ 2

KÈ

T = 160.x + 110. y nhỏ nhất.

x =1,6

2 D

B 1

DẠ

y =1,1

1 2

x x + 2y = 2

8x +6y = 9

Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm A (1,6;1,1) ; B (1, 6;0, 2 ) ; C ( 0,6;0,7 ) ;

D ( 0,3;1,1) .

Page 31

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Nhận xét: T ( A) = 377 nghìn, T ( B ) = 278 nghìn, T ( C ) = 173 nghìn, T ( D ) = 169 nghìn.

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì x = 0, 6 và y = 0,7 .

Page 32

III

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

FI CI A

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

I =

BÀI 5. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0° ĐẾN 180° .

ƠN

LÝ THUYẾT.

I. ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC (CUNG). 1. Định nghĩa.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy .Với góc α ( 0o ≤ α ≤ 180o ) , ta xác định được duy nhất điểm M , biết M ( x; y ) . trên trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O , sao cho α = xOM

y x (α ≠ 90o ); cot α = (α ≠ 0o ,180o ) x y Các số sin α ,cos α ,tan α ,cot β được gọi là giá trị lượng giác của góc α . Khi đó: sin α = y;

tan α =

QU Y

cos α = x;

Hình 2.1

KÈ

Chú ý:

M(x;y)

 Với 0o ≤ α ≤ 180o ta có 0 ≤ sin α ≤ 1; − 1 ≤ cos α ≤ 1

DẠ

2. Dấu của giá trị lượng giác. Góc α sin α cosα tan α cot α

90o

0o + + + + Page 1

180o + -

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC II. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU sin(180o − α ) = sin α

cos(180o − α ) = − cos α

FI CI A

tan(180o − α ) = − tan α cot(180o − α ) = − cot α

III. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU (BỔ SUNG) sin(90o − α ) = cos α cos(90o − α ) = sin α tan(90o − α ) = cot α

cot(90o − α ) = tan α

IV. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT 300

sin α

1 2

cosα

3 2

tan α

QU Y cot α

450

600

ƠN

900

2 2

3 2

2 2

1 2

Góc α

3 3

V. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN (BỔ SUNG – KẾT QUẢ CỦA BÀI TẬP 3.3/TR37) sin α (α ≠ 90o ) ; cos α cos α cot α = (α ≠ 0o ; 180o ) sin α tan α .cot α = 1 (α ≠ 0o ; 90o ; 180o )

sin 2 α + cos 2 α = 1 1 1 + tan 2 α = (α ≠ 90o ) cos 2 α 1 1 + cot 2 α = (α ≠ 0o ; 180o ) 2 sin α

DẠ

KÈ

tan α =

Page 2

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.

b) sin 2 90° + cos2120° + cos2 0° − tan 2 60° + cot 2135° ; c) cos60°.sin 30° + cos2 30° . 2

FI CI A

a) ( 2sin 30° + cos135° − 3 tan150° )( cos180° − cot 60° ) ;

3.1. Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

Chú ý: sin 2 α = ( sinα ) ; cos2α = ( cosxα ) ; tan 2 α = ( tan α ) ; cot 2 α = ( cot α ) .

Lời giải. a) ( 2sin 30° + cos135° − 3 tan150° )( cos180° − cot 60° )

= ( 2 sin 30° + cos (180° − 45° ) − 3 tan (180° − 30° ) ) ( cos180° − cot 60° )

ƠN

= ( 2sin 30° − cos 45° + 3 tan 30° )( −1 − cot 60° )

=−

(2 −

2+2 3

)(

 1 2 1  1  =  2. − + 3.   −1 −   3  3  2 2

3 +1

2 3

QU Y

b) sin 2 90° + cos2120° + cos2 0° − tan 2 60° + cot 2135° 2

= ( sin 90° ) + ( cos 120° ) + ( cos 0° ) − ( tan 60° ) + ( cot135° ) 2

= 1 + ( cos (180° − 60° ) ) + 1 − 2

= 1 + ( cos 60° ) + 1 −

( 3)

( 3 ) + ( cot (180° − 45°) )

1 2 + ( cot45° ) = . 4

1 1 2 c) cos60°.sin 30° + cos 2 30° = . + ( cos30° ) = 1 . 2 2

KÈ

3.2. Đơn giản biểu thức sau: a) sin100° + sin 80° + cos16° + cos164° .

DẠ

b) 2sin (180° − α ) .cot α + cos (180° − α ) .tan α .cot (180° − α ) với 0° < α < 90° . Lời giải.

a) sin100° + sin 80° + cos16° + cos164°

= sin (180° − 80° ) + sin 80° + cos16° + cos (180° − 16° ) = sin 80° + sin 80° + cos16° − cos16° = 2sin 80°. b) 2sin (180° − α ) .cot α + cos (180° − α ) .tan α .cot (180° − α ) Page 3

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

= 2sin α .cot α + cosα .tan α .cotα = 2sin α .

cos α + cosα = 3cosα . sin α

3.3. Chứng minh các hệ thức sau:

b) 1 + tan 2 α =

1 cos 2α

(α ≠ 90° ) ;

c) 1 + cot 2 α =

1 sin 2 α

( 0° < α < 180°) ;

FI CI A

a) sin 2 α + cos 2α = 1;

Lời giải.

b) 1 + tan 2 α =

1 cos 2α

(α ≠ 90°)

c) 1 + cot 2 α =

sin 2 α sin 2 α + cos 2α 1 = = = VP . 2 2 cos α cos α cos 2α

QU Y

Xét VT = 1 + tan 2 α = 1 +

ƠN

OBC ta có OD2 + OC 2 = 1 ⇔ sin 2 α + cos2 α = 1 .

a) Xét nửa đường tròn tâm O bán kính 1 . Ta có sin α = DO , cosα =OC . Xét tam giác vuông

1 sin 2 α

( 0° < α < 180° )

cos 2α sin 2 α + cos 2α 1 = = = VP . 2 2 sin α sin α sin 2 α

Xét VT = 1 + cot 2 α = 1 +

KÈ

3.4. Cho góc α ( 0° < α < 180° ) thỏa mãn tan α = 3 . Tính giá trị của biểu thức P =

2sin α − 3cosα . 3sin α + 2cosα Lời giải.

DẠ

Ta có tan α = 3  cosα ≠ 0 nên chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho cos α ta được

2sin α − 3cosα 2 tan α − 3 3 = = . 3sin α + 2cosα 3tan α + 2 11

Page 4

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

DẠNG 1: TÍNH CÁC GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc

Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt

Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2 =

Câu 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

ƠN

a) A = a 2 sin 90o + b 2 cos 90o + c 2 cos180o b) B = 3 − sin 2 90o + 2 cos 2 60 o − 3 tan 2 45o

FI CI A

PHƯƠNG PHÁP.

1 =

c) C = sin 2 450 − 2 sin 2 50o + 3cos 2 45o − 2sin 2 40o + 4 tan 55o. tan 35o

Lời giải

a) A = a sin 90 + b cos 90 + c cos180 = a 2 .1 + b 2 .0 + c 2 . ( −1) = a 2 − c 2 . 2

2  2 1 b) B = 3 − sin 90 + 2 cos 60 − 3 tan 45 = 3 − (1) + 2   − 3   = 1 . 2  2  o

QU Y

c) C = sin 2 450 − 2 sin 2 50o + 3cos 2 45o − 2sin 2 40o + 4 tan 55o. tan 35o 2

 2  2 1 3 2 0 2 0 C =   + 3   − 2 sin 50 + cos 40 + 4 = + − 2 + 4 = 4 . 2 2  2   2 

(

)

Câu 2. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = sin 2 3o + sin 2 15o + sin 2 75o + sin 2 87 o

KÈ

b) B = cos 0o + cos 20o + cos 40o + ... + cos160o + cos180o c) C = tan 5o tan10o tan15o...tan 80o tan 85o Lời giải:

DẠ

a) A = ( sin 2 3o + sin 2 87 o ) + ( sin 2 15o + sin 2 75o ) = ( sin 2 3o + cos 2 3o ) + ( sin 2 15o + cos 2 15o ) = 1 + 1 = 2

b) B = ( cos 0o + cos180o ) + ( cos 20o + cos160o ) + ... + ( cos 80o + cos100o ) = ( cos 0o − cos 0o ) + ( cos 20o − cos 20o ) + ... + ( cos80o − cos 80o ) = 0 Page 5

HỆ THỐNG BÀI TẬP.

II ==

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC c) C = ( tan 5o tan 85o )( tan15o tan 75o ) ... ( tan 45o tan 45o )

FI CI A

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

3 = Câu 1:

= ( tan 5o cot 5o )( tan15o cot 5o ) ... ( tan 45o cot 5o ) = 1

Giá trị của cos 60o + sin 30o bằng bao nhiêu? A.

3 2

3 3

D. 1.

Lời giải 1 1 + =1. 2 2

Ta có cos 60o + sin 30o =

Giá trị của tan 30 o + cot 30o bằng bao nhiêu? A.

4 3

ƠN

Câu 2:

Chọn D

1+ 3 3

2 3

D. 2

Lời giải Chọn A tan 30o + cot 30o =

Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

QU Y

Câu 3:

3 4 3 . + 3= 3 3

A. sin 0o + cos 0o = 1

B. sin 90o + cos 90o = 1

C. sin180o + cos180o = −1 Chọn D

D. sin 60o + cos 60o = 1 Lời giải

Câu 4:

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

KÈ

A. cos 60o = sin 30o .

B. cos 60o = sin120o . C. cos 30o = sin120o . D. sin 60o = − cos120o

Lời giải

Chọn B

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.

DẠ

Câu 5:

Đẳng thức nào sau đây sai? A. sin 45o + sin 45o = 2 .

B. sin 30o + cos 60o = 1 .

C. sin 60o + cos150o = 0 .

D. sin120o + cos30o = 0 . Lời giải Page 6

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Chọn D Giá trị cos 45o + sin 45o bằng bao nhiêu? A. 1.

D. 0 .

FI CI A

Câu 6:

Lời giải Chọn B Ta có cos 45o + sin 45o = 2 . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A. sin (180 o − α ) = − cos α .

B. sin (180 o − α ) = − sin α .

C. sin (180o − α ) = sin α .

D. sin (180o − α ) = cos α .

ƠN

Lời giải Chọn C

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. sin 0o + cos 0o = 0 .

B. sin 90 o + cos 90o = 1 .

Câu 8:

Câu 7:

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.

C. sin180 o + cos180 o = −1 .

D. sin 60o + cos 60o =

3 +1 . 2

Chọn A

QU Y

Lời giải

Ta có sin 0 o + cos 0 o = 1 . Câu 9:

Cho α là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

Chọn C

B. cos α > 0 .

C. tan α < 0 .

D. cot α > 0 .

Lời giải

A. sin α < 0 .

KÈ

Góc tù có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ II, có giá trị sin α > 0 , còn cos α , tan α và cot α đều nhỏ hơn 0 . Câu 10: Giá trị của E = sin 36o cos 6 o sin126 o cos 84 o là

1 . 2

Y DẠ

3 . 2

C. 1.

D. −1.

Lời giải Chọn A

(

) (

)

E = sin 36o cos 6o sin 90o + 36o cos 90o − 6o = sin 36o cos 6o − cos 36o sin 6o = sin 30o = Page 7

1 2

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Câu 11: Giá trị của biểu thức A = sin 2 51o + sin 2 55o + sin 2 39o + sin 2 35o là B. 4 .

A. 3 .

C. 1.

D. 2 .

Chọn D

(

) (

FI CI A

Lời giải

) (

)

A = sin 2 51o + sin 2 39 o + sin 2 55o + sin 2 35o = sin 2 51o + cos 2 51o + sin 2 55o + cos 2 55o = 2 .

Câu 12: Giá trị của biểu thức A = tan1o tan 2o tan 3o... tan 88o tan 89o là B. 2 .

A. 0 .

D. 1.

C. 3 . Lời giải

Chọn D

(

)(

) (

)

A = tan1o. tan 89o . tan 2o. tan 88o ... tan 44o.tan 46o .tan 45o = 1 .

2 o 2 o 2 o 2 o 2 o 2 o Câu 13: Tổng sin 2 + sin 4 + sin 6 + ... + sin 84 + sin 86 + sin 88 bằng

A. 21 .

C. 22 .

D. 24 .

ƠN

B. 23 .

Lời giải Chọn C

S = sin 2 2 o + sin 2 4o + sin 2 6o + ... + sin 2 84o + sin 2 86o + sin 2 88o

= ( sin 2 2o + sin 2 88o ) + ( sin 2 4 o + sin 2 86o ) + ... + ( sin 2 44 o + sin 2 46o ) = ( sin 2 2o + cos 2 2o ) + ( sin 2 4o + cos 2 4o ) + ... + ( sin 2 44o + cos 2 44o ) = 22 .

Câu 14: Giá trị của A = tan 5o.tan10 o.tan15o... tan 80o. tan 85o là B. 1.

Chọn B

(

)(

D. −1.

C. 0 .

QU Y

A. 2 .

Lời giải

) (

)

A = tan 5°.tan 85° . tan10°.tan 80° ... tan 40° tan 50° .tan 45° = 1 .

KÈ

Chọn B

Câu 15: Giá trị của B = cos 2 73° + cos 2 87 ° + cos 2 3° + cos 2 17 ° là

(

B. 2 .

C. −2 .

D. 1.

Lời giải

) (

)

B = cos 2 73o + cos 2 17 o + cos 2 87 o + cos 2 3o = cos 2 73o + sin 2 73o + cos 2 87 o + sin 2 87 o = 2

DẠ

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC , KHI BIẾT TRƯỚC MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC.

1 =

PHƯƠNG PHÁP.

Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản

Dựa vào dấu của giá trị lượng giác Page 8

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Câu 1. Cho sin α =

2 =

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

1 với 900 < α < 1800 . Tính cos α và tan α 3

Câu 2. Cho cos α = −

FI CI A

2 và sin α > 0 . Tính sin α và cot α 3

Câu 3. Cho tan γ = − 2 2 tính giá trị lượng giác còn lại.

Lời giải:

Câu 1. Vì 90 0 < α < 1800 nên cos α < 0 mặt khác sin 2 α + cos 2 α = 1 suy ra

cos α = − 1 − sin 2 α = − 1 −

ƠN

1 3 =− 1 2 2 2 2 − 3

sin α = Do đó tan α = cos α

1 2 2 =− 9 3

Câu 2. Vì sin 2 α + cos 2 α = 1 và sin α > 0 , nên sin α = 1 − cos 2 α = 1 −

2 3 =− 2 5 5 3

−

QU Y

cos α = cot α = sin α

Câu 3. Vì tan α = − 2 2 < 0  cos α < 0 mặt khác tan 2 α + 1 =

1 1 1 =− =− 2 tan + 1 8 +1 3

Nên cos α = −

sin α  1 2 2  sin α = tan α .cos α = −2 2.  −  = cos α 3  3

KÈ

Ta có tan α =

DẠ

1 − cos α 1  cot α = = 3 =− sin α 2 2 2 2 3

Câu 4. Cho cos α =

1 cos2 α

3 tan α + 3cot α với 0 0 < α < 90 0 . Tính A = . 4 tan α + cot α

Câu 5. Cho tan α = 2 . Tính B =

sin α − cos α sin α + 3cos3 α + 2 sin α 3

Page 9

4 5 = và 9 3

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải: 1 1 +2 2 α + tan 3 tan α = cos 2 α Câu 4. Ta có A = = = 1 + 2 cos 2 α 1 1 tan 2 α + 1 tan α + tan α cos 2 α 9 17 Suy ra A = 1 + 2. = 16 8 sin α cos α − tan α tan 2 α + 1 − tan 2 α + 1 3 cos α cos3 α Câu 5. B = = sin 3 α 3cos3 α 2 sin α tan 3 α + 3 + 2 tan α tan 2 α + 1 + + cos3 α cos3 α cos3 α Suy ra B =

2 2 + 3 + 2 2 ( 2 + 1)

(

2 −1

3+8 2

Câu 6. Biết sin x + cos x = m

) )

ƠN

a) Tìm sin 4 x − cos 4 x .

FI CI A

2 ( 2 + 1) − ( 2 + 1)

) ( (

(

tan α + 3

b) Chứng minh rằng m ≤ 2 .

Lời giải: 2

a) Ta có ( sin x + cos x ) = sin 2 x + 2 sin x cos x + cos 2 x = 1 + 2 sin x cos x (*) Mặt khác sin x + cos x = m nên m 2 = 1 + 2 sin α cos α hay sin α cos α =

QU Y

Đặt A = sin 4 x − cos 4 x . Ta có

m2 − 1 2

(

)(

)

A = sin 2 x + cos 2 x sin 2 x − cos 2 x = ( sin x + cos x )( sin x − cos x ) 2

 A2 = ( sin x + cos x ) ( sin x − cos x ) = (1 + 2 sin x cos x )(1 − 2 sin x cos x )

 m2 − 1   m2 − 1  3 + 2m2 − m4 3 + 2m 2 − m 4  A2 = 1 + 1 − = = A .V ậ y   2  2  4 2 

b) Ta có 2 sin x cos x ≤ sin 2 x + cos 2 x = 1 2

Kết hợp với (*) suy ra ( sin x + cos x ) ≤ 2  sin x + cos x ≤ 2

Cho cos x =

13 . 4

Câu 1:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

KÈ

3 =

DẠ

1 . Tính biểu thức P = 3sin 2 x + 4 cos 2 x 2 7 11 B. . C. . 4 4 Lời giải

Chọn A 2

13 1 Ta có P = 3sin 2 x + 4 cos 2 x = 3 sin 2 x + cos 2 x + cos 2 x = 3 +   = . 4 2

(

)

Page 10

15 . 4

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Chọn C

Câu 3:

1 11  P = sin 2 α + 3cos2α = ( sin 2 α + cos2α ) + 2cos2α = 1 + 2cos2α = . 3 9

Cho biết tan α =

1 . Tính cot α . 2

A. cot α = 2 .

B. cot α = 2 .

C. cot α = Lời giải

Chọn A

5 . 4

2 π 0<α < 3 và 2 . Tính tan α ? 5 5 B. − . C. . 2 2 Lời giải

Cho biết

cos α = −

1 = 2. tan α

Chọn D

QU Y

Chọn B

KÈ

Ta có cos 2 α = 1 − sin 2 α =

Lời giải

144 12  cos α = ± 169 13

Do α là góc tù nên cos α < 0 , từ đó cos α = −

DẠ

Như vậy 3 sin α + 2 cos α = 3 ⋅

Câu 6:

D. cot α =

D. −

1 . 2

5 . 2

π 1 5 5  tan α < 0 . Ta có: 1 + tan 2 α = ⇔ tan 2 α =  tan α = − . 2 2 cos α 4 2 5 Cho α là góc tù và sin α = . Giá trị của biểu thức 3sin α + 2 cos α là 13 9 9 A. 3 . B. − . C. −3 . D. . 13 13 Do 0 < α <

Câu 5:

1 . 4

ƠN

tan α .cot α = 1  cot α =

Câu 4:

4 . 3

cosα =

1 Biết cos α = . Giá trị đúng của biểu thức P = sin 2 α + 3 cos 2 α là: 3 1 10 11 A. . B. . C. . 3 9 9 Lời giải

FI CI A

Câu 2:

12 13

5 9  12  + 2−  = − . 13 13  13 

Cho biết sin α + cos α = a . Giá trị của sin α .cos α bằng bao nhiêu? A. sin α .cos α = a 2 . B. sin α .cos α = 2a .

C. sin α .cos α =

1 − a2 a2 − 1 . D. sin α .cos α = . 2 2 Page 11

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải Chọn D

a2 − 1 . 2 2 cot α + 3 tan α Cho biết cos α = − . Tính giá trị của biểu thức E = ? 3 2 cot α + tan α 19 19 25 25 A. − . B. . C. . D. − 13 13 13 13 Lời giải Chọn B 3 2 −2 cot α + 3 tan α 1 + 3 tan 2 α 3 ( tan α + 1) − 2 cos 2 α 3 − 2 cos 2 α 19 = = = = = . E= 1 2 cot α + tan α 2 + tan 2 α 1 + cos 2 α 13 1 + (1 + tan 2 α ) +1 2 cos α 2 Cho biết cot α = 5 . Tính giá trị của E = 2 cos α + 5 sin α cos α + 1 ? 2

FI CI A

10 . 26

100 . 26

50 . 26

Câu 8:

ƠN

Câu 7:

a 2 = ( sin α + cos α ) = 1 + 2 sin α cos α  sin α cos α =

101 . 26

Lời giải Chọn D

1  1 101  . E = sin 2 α  2 cot 2 α + 5 cot α + 3 cot 2 α + 5 cot α + 1 = = 2 2 sin α  1 + cot α 26  1 3sin α + 4 cos α Câu 9: Cho cot α = . Giá trị của biểu thức A = là: 3 2 sin α − 5 cos α 15 15 A. − . B. −13 . C. . D. 13 . 13 13 Lời giải Chọn D 3sin α + 4sin α .cot α 3 + 4 cot α A= = = 13 . 2sin α − 5sin α .cot α 2 − 5 cot α 2 cot α − 3 tan α Câu 10: Cho biết cos α = − . Giá trị của biểu thức E = bằng bao nhiêu? 3 2 cot α − tan α 25 11 11 25 A. − . B. − . C. − . D. − . 3 13 3 13 Lời giải Chọn C 3 2 4− 2 2 cot α − 3 tan α 1 − 3 tan 2 α 4 − 3 tan α + 1 cos α = 4 cos α − 3 = − 11 . E= = = = 2 1 2 cot α − tan α 2 − tan α 3 cos 2 α − 1 3 3 − 1 + tan 2 α 3− cos 2 α

)

( (

KÈ

QU Y

(

)

DẠ

Câu 11: Biết sin a + cos a = 2 . Hỏi giá trị của sin 4 a + cos 4 a bằng bao nhiêu? 3 1 A. . B. . C. −1 . D. 0 . 2 2 Lời giải Chọn B

Page 12

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 2

Ta có: sin a + cos a = 2  2 = ( sin a + cos a )  sin a.cos a =

1 . 2

1 1 sin a + cos a = sin a + cos a − 2 sin a cos a = 1 − 2   = . 2 2

(

)

2 2 Câu 12: Cho tan α + cot α = m . Tìm m để tan α + cot α = 7 . A. m = 9 . B. m = 3 . C. m = −3 . Lời giải Chọn D

FI CI A

D. m = ±3 .

7 = tan 2 α + cot 2 α = ( tan α + cot α ) − 2  m 2 = 9 ⇔ m = ±3 .

D. tan α =

o o Câu 13: Cho biết 3cos α − sin α = 1 , 0 < α < 90 Giá trị của tan α bằng 4 3 4 A. tan α = B. tan α = C. tan α = 3 4 5 Lời giải

Chọn A

ƠN

Ta có 3 cos α − sin α = 1 ⇔ 3 cos α = sin α + 1 → 9 cos 2 α = ( sin α + 1)

(

5 4

)

⇔ 9 cos 2 α = sin 2 α + 2 sin α + 1 ⇔ 9 1 − sin 2 α = sin 2 α + 2 sin α + 1

sin α = −1 ⇔ 10 sin α + 2 sin α − 8 = 0 ⇔  . • sin α = −1 : không thỏa mãn vì 0o < α < 90 o sin α = 4 5  2

QU Y

4 3 sin α 4  cos α =  → tan α = = . 5 5 cos α 3

• sin α =

0 0 Câu 14: Cho biết 2 cos α + 2 sin α = 2 , 0 < α < 90 . Tính giá trị của cot α .

A. cot α =

5 4

B. cot α =

3 4

C. cot α =

2 4

D. cot α =

Lời giải

Chọn C

KÈ

Ta có 2 cos α + 2 sin α = 2 ⇔ 2 sin α = 2 − 2 cos α → 2 sin 2 α = ( 2 − 2 cos α )

(

)

⇔ 2sin 2 α = 4 − 8cos α + 4 cos 2 α ⇔ 2 1 − cos 2 α = 4 − 8cos α + 4 cos 2 α cos α = 1 ⇔ 6 cos α − 8cos α + 2 = 0 ⇔  . cos α = 1 3 

DẠ

• cos α = 1 : không thỏa mãn vì 0o < α < 90 o • cos α =

1 2 2 cos α 2  sin α =  → cot α = = . 3 3 sin α 4

Page 13

2 2

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

FI CI A

Chọn B

1 1 1 4 2 → ( cos α + sin α ) = ⇔ 1 + 2 sin α cos α = ⇔ sin α cos α = − . 3 9 9 9

Ta có P = tan 2 α + cot 2 α =

( tan α + cot α )

 sin α cos α  − 2 tan α cot α =  +  −2  cos α sin α 

Ta có cos α + sin α =

1 Câu 15: Cho biết cos α + sin α = . Giá trị của P = tan 2 α + cot 2 α bằng bao nhiêu? 3 5 7 9 11 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 4 4 4 4 Lời giải

 sin 2 α + cos 2 α  1 7    9 =   −2 =   − 2 = −  − 2 = . 4  sin α cos α   4  sin α cos α 

A. P =

15 5

1 5

. Giá trị của P = sin 4 α + cos 4 α bằng bao nhiêu?

B. P =

ƠN

Câu 16: Cho biết sin α − cos α =

17 5

C. P =

19 5

D. P =

21 5

Lời giải

Chọn B 1 5

→ ( sin α − cos α ) =

QU Y

Ta có sin α − cos α =

( sin

α + cos 2 α ) − 2 sin 2 α cos 2 α = 1 − 2 ( sin α cosα ) =

DẠ

KÈ

P = sin 4 α + cos 4 α =

1 2 1 ⇔ 1 − 2 sin α cos α = ⇔ sin α cos α = . 5 5 5

Page 14

17 . 5

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC DẠNG 3: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC, RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ .

2 =

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Câu 1. Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

FI CI A

PHƯƠNG PHÁP.

1 =

1 + cot x tan x + 1 = 1 − cot x tan x − 1

cos x + sin x = tan 3 x + tan 2 x + tan x + 1 cos3 x

ƠN

a) sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2 sin 2 x.cos 2 x

Lời giải

(

= sin 2 x + cos 2 x

)

− 2 sin 2 x cos 2 x

= 1 − 2 sin 2 x cos 2 x

cos x + sin x 1 sin x = + = tan 2 x + 1 + tan x ( tan 2 x + 1) 3 2 cos x cos x cos3 x

1 tan x + 1 t anx = t anx = tan x + 1 1 tan x − 1 tan x − 1 1− tan x tan x 1+

QU Y

1 + cot x b) = 1 − cot x

a) sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + cos 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x − 2 sin 2 x cos 2 x

KÈ

= tan 3 x + tan 2 x + tan x + 1

Câu 2. Cho tam giác ABC . Chứng minh

 cos  

Lời giải:

Y DẠ

B B cos3 2 2 − cos ( A + C ) . tan B = 2 + A+C  sin B  A+C   sin   2   2 

sin 3

Vì A + B + C = 1800 nên B B cos 3 cos 1800 − B 2 2 VT = + − . tan B sin B  1800 − B   1800 − B  cos   sin   2 2     sin 3

(

Page 15

)

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC B B cos3 2 + 2 − − cos B . tan B = sin 2 B + cos 2 B + 1 = 2 = VP = B B sin B 2 2 sin cos 2 2

sin 3

FI CI A

Suy ra điều phải chứng minh.

Câu 3. Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) A = sin(90o − x) + cos(180o − x) + sin 2 x (1 + tan 2 x) − tan 2 x b) B =

1 1 1 . + − 2 sin x 1 + cos x 1 − cos x

b) B =

1 − tan 2 x = 0 2 cos x

1 1 − cos x + 1 + cos x . − 2 sin x (1 − cos x )(1 + cos x )

ƠN

a) A = cos x − cos x + sin 2 x.

Lời giải:

1 2 1 2 . − 2= . − 2 2 sin x 1 − cos x sin x sin 2 x  1  = 2  2 − 1 = 2 cot 2 x  sin x 

Câu 4. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x .

(1 − cos x ) 2

QU Y

P = sin 4 x + 6 cos 2 x + 3cos4 x + cos 4 x + 6sin 2 x + 3sin 4 x

+ 6 cos 2 x + 3 cos 4 x +

Lời giải

(1 − sin x ) 2

= 4 cos 4 x + 4 cos 2 x + 1 + 4sin 4 x + 4sin 2 x + 1 =

= 2 cos 2 x + 1 + 2sin 2 x + 1 = 3

3 =

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?

Câu 1:

KÈ

Vậy P không phụ thuộc vào x .

α = 1. 2 C. sin α 2 + cos α 2 = 1 . D. sin 2 2α + cos 2 2α = 1 .

DẠ

A. sin 2 α + cos α 2 = 1 . B. sin 2 α + cos 2

Lời giải Chọn D Công thức lượng giác cơ bản. Page 16

+ 6 sin 2 x + 3sin 4 x

( 2 cos

)

x +1

( 2sin

)

x +1

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Câu 2:

Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?

A. sin 2 α + cos α 2 = 1 . B. sin 2 α + cos 2

α = 1 . C. sin α 2 + cos α 2 = 1 . D. sin 2 α + cos 2 α = 1 . 2

Chọn D Công thức lượng giác cơ bản.

FI CI A

Lời giải

Câu 3:

Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. sin 2α + cos 2α = 1 . B. sin α 2 + cos α 2 = 1 . C. sin 2 α + cos α 2 = 1 . D. sin 2 α + cos 2 α = 1 . Lời giải Chọn D Công thức lượng giác cơ bản.

Câu 4:

Rút gọn biểu thức sau A = ( tan x + cot x ) − ( tan x − cot x )

A. A = 4 .

B. A = 1 .

C. A = 2 . Lời giải

Chọn A

D. A = 3

Câu 5:

ƠN

A = ( tan 2 x + 2 tan x.cot x + cot 2 x ) − ( tan 2 x − 2 tan x.cot x + cot 2 x ) = 4 .

Đơn giản biểu thức G = (1 − sin 2 x ) cot 2 x + 1 − cot 2 x . B. cos 2 x .

A. sin 2 x .

1 . cos x

D. cos x .

Lời giải

Chọn A G =  1 − sin 2 x − 1 cot 2 x + 1 = − sin 2 x.cot 2 x + 1 = 1 − cos 2 x = sin 2 x . Câu 6:

)

QU Y

(

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. sin 2 α + cos 2 α = 1 .

B. 1 + cot 2 α =

1 ( sin α ≠ 0 ) . sin 2 α D. 1 + tan 2 α =

C. tan α .cot α = −1 ( sin α .cos α ≠ 0 ) .

Rút gọn biểu thức P =

DẠ

A. P =

Câu 8:

sin x cos x . = 1. cos x sin x

KÈ

tan α .cot α = Câu 7:

Lời giải

Chọn C

1 ( cos α ≠ 0 ) . cos 2 α

1 tan x . 2

1 − sin 2 x ta được 2sin x.cos x 1 B. P = cot x . 2

C. P = 2 cot x . Lời giải

Chọn B 1 − sin 2 x cos 2 x cos x 1 P= = = = cot x . 2sin x.cos x 2sin x.cos x 2sin x 2 Đẳng thức nào sau đây là sai? Page 17

D. P = 2 tan x .

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 2

A. ( cos x + sin x ) + ( cos x − sin x ) = 2, ∀x .

B. tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x sin 2 x, ∀x ≠ 90°

C. sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2 sin 2 x cos 2 x, ∀x .

D. sin 6 x − cos6 x = 1 − 3sin 2 x cos 2 x, ∀x

Lời giải Chọn D

Đẳng thức nào sau đây là sai? 1 − cos x sin x = x ≠ 0° , x ≠ 180° . A. sin x 1 + cos x 1 x ≠ 0° , 90° ,180° B. tan x + cot x = sin x cos x 1 − 2 x ≠ 0° , 90° ,180° C. tan 2 x + cot 2 x = 2 sin x cos2 x D. sin 2 2 x + cos 2 2 x = 2 . Lời giải Chọn D sin 2 2 x + cos 2 2 x = 1 .

(

)

(

)

ƠN

(

Câu 9:

FI CI A

sin 6 x − cos 6 x = ( sin 2 x − cos 2 x )(1 − sin 2 x cos 2 x ) .

Câu 10: Biểu thức tan 2 x sin 2 x − tan 2 x + sin 2 x có giá trị bằng A. −1. B. 0 . C. 2 . Lời giải Chọn B

(

)

tan 2 x sin 2 x − tan 2 x + sin 2 x = tan 2 x sin 2 x − 1 + sin 2 x =

D. 1.

sin 2 x − cos 2 x + sin 2 x = 0 . 2 cos x

(

)

QU Y

Câu 11: Biểu thức ( cot a + tan a ) bằng

1 1 − . 2 sin α cos 2 α

Chọn C 2

1 1 + . 2 sin α cos 2 α

D. cot 2 a tan 2 a + 2 .

Lời giải

= cot 2 a + 2cot a.tan a + tan 2 a = ( cot 2 a + 1) + ( tan 2 a + 1) =

( cot a + tan a )

B. cot 2 a + tan 2 a 2 .

sin x ta được 1 + cos x 1 1 B. . C. . cos x sin x Lời giải

1 1 + . 2 sin a cos 2 a

KÈ

Câu 12: Đơn giản biểu thức E = cot x + A. sin x .

D. cos x .

Chọn C

DẠ

E = cot x +

cos x (1 + cos x ) + sin x.sin x sin x cos x sin x = + = 1 + cos x sin x 1 + cos x sin x (1 + cos x )

cos x (1 + cos x ) + (1 − cos 2 x ) sin x (1 + cos x )

cos x (1 + cos x ) + (1 + cos x )(1 − cos x ) sin x (1 + cos x )

Page 18

1 . sin x

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

cot 2 x − cos 2 x sin x.cos x . + cot x cot 2 x B. A = 2 . C. A = 3 . Lời giải

Câu 13: Rút gọn biểu thức sau A =

D. A = 4 .

A. A = 1 .

FI CI A

Chọn A

cot 2 x − cos 2 x sin x.cos x cos 2 x sin x.cos x + = 1 − + = 1 − sin 2 x + sin 2 x = 1 . cot 2 x cot x cot 2 x cot x

Câu 14: Biểu thức f ( x ) = 3 ( sin 4 x + cos 4 x ) − 2 ( sin 6 x + cos 6 x ) có giá trị bằng: B. 2 .

C. −3 . Lời giải

Chọn A  sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2 sin 2 x cos 2 x .  sin 6 x + cos 6 x = 1 − 3sin 2 x cos 2 x .

ƠN

f ( x ) = 3 (1 − 2 sin 2 x cos 2 x ) − 2 (1 − 3sin 2 x cos 2 x ) = 1 .

D. 0 .

A. 1.

Câu 15: Biểu thức: f ( x ) = cos 4 x + cos 2 x sin 2 x + sin 2 x có giá trị bằng B. 2 .

Chọn A

C. −2 . Lời giải

D. −1.

A. 1.

f ( x ) = cos 2 x ( cos 2 x + sin 2 x ) + sin 2 x = cos 2 x + sin 2 x = 1 .

Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 2

B. sin 4 x + cos 4 x = 12 sin 2 x cos 2 x .

QU Y

A. ( sin x cos x ) = 12 sin x cos x .

D. sin 6 x + cos 6 x = 1sin 2 x cos 2 x .

C. ( sin x + cos x ) = 1 + 2sin x cos x . Chọn D

(

) (

sin 6 x + cos 6 x = sin 2 x + cos 2 x

) = ( sin

Lời giải 2

)

(

)

x + cos 2 x − 3 sin 2 x + cos 2 x .sin 2 x.cos 2 x

DẠ

KÈ

= 1 − 3sin 2 x.cos 2 x .

Page 19

III

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

FI CI A

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

ƠN

III ==

BÀI 5. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0° ĐẾN 180° .

DẠNG 1. DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1:

Cho góc α ∈ ( 90°;180° ) . Khẳng định nào sau đây đúng?

B. Tích sin α .cot α mang dấu âm. D. sin α và tan α cùng dấu. Lời giải

A. sin α và cot α cùng dấu. C. Tích sin α .cos α mang dấu dương. Chọn B

QU Y

Với α ∈ ( 90°;180° ) , ta có sin α > 0, cos α < 0 suy ra: tan α < 0, cot α < 0 Vậy sin α .cot α < 0

Cho α là góc tù. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau? A. tan α < 0. B. cot α > 0. C. sin α < 0. Lời giải Chọn C

D. cos α > 0.

Câu 2:

tan α < 0.

Cho 0º < α < 90º . Khẳng định nào sau đây đúng? A. cot ( 90º −α ) = − tan α . B. cos ( 90º −α ) = sin α .

KÈ

Câu 3:

C. sin ( 90º −α ) = − cosα .

D. tan ( 90º −α ) = − cot α . Lời giải

DẠ

Chọn B

Câu 4:

Vì α và ( 90º −α ) là hai cung phụ nhau nên theo tính chất giá trị lượng giác của hai cung phụ nhau ta có đáp án B đúng. Đẳng thức nào sau đây đúng? Page 1

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. tan (180o + a ) = − tan a .

B. cos (180o + a ) = − cos a .

C. sin (180o + a ) = sin a .

D. cot (180o + a ) = − cot a .

Lời giải

Câu 5:

FI CI A

Chọn B Lý thuyết “cung hơn kém 180° ” Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng? A. sin (180° − α ) = − sin α .

B. cos (180° − α ) = cos α

C. tan (180° − α ) = tan α .

D. cot (180° − α ) = − cot α Lời giải

A. sin α = sin β .

B. cos α = − cos β .

C. tan α = − tan β .

Lời giải

Câu 8:

ƠN

Chọn D Mối liên hệ hai cung bù nhau. Cho góc α tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin α < 0 . B. cos α > 0 . C. tan α > 0 . Lời giải Chọn D Hai góc nhọn α và β phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?

Câu 7:

Câu 6:

Chọn D Mối liên hệ hai cung bù nhau. Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?

Chọn D

(

B. tan α = cot β .

QU Y

A. sin α = cos β .

C. cot β =

D. cot α = cot β .

D. cot α < 0 .

1 . cot α

D. cos α = − sin β .

Lời giải

)

cos α = cos 90° − β = sin β .

Câu 9:

Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

3 . 2

B. cos150° =

3 . 2

C. tan150° = −

1 . 3

D. cot150° = 3

Lời giải

A. sin150° = −

KÈ

Chọn C Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Câu 10: Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. sin 90° < sin100° .

B. cos95° > cos100° . C. tan 85° < tan125° . Lời giải

D. cos145° > cos125° .

Chọn B

DẠ

Câu 11: Giá trị của tan 45° + cot135° bằng bao nhiêu? A. 2 .

B. 0 .

C. 3 . Lời giải

Chọn B

tan 45° + cot135° = 1 − 1 = 0

Câu 12: Giá trị của cos30° + sin 60° bằng bao nhiêu? Page 2

D. 1.

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A.

3 . 3

3 . 2

D. 1.

Lời giải

Chọn C

FI CI A

3 3 + = 3. 2 2 Câu 13: Giá trị của cos 60° + sin 30° bằng bao nhiêu? cos 30° + sin 60° =

3 . 2

3 . 3

D. 1

Lời giải Ta có cos 60° + sin 30° =

1 1 + = 1. 2 2

Câu 14: Giá trị của tan 30° + cot 30° bằng bao nhiêu? 4 . 3

1+ 3 . 3

2 . 3

ƠN

Chọn D

D. 2 .

Lời giải Chọn A

QU Y

C. sin180° + cos180° = −1 .

3 4 3 + 3= . 3 3 Câu 15: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. sin 0° + cos 0° = 1. B. sin 90° + cos90° = 1 . tan 30° + cot 30° =

D. sin 60° + cos 60° = 1. Lời giải

Chọn D Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Câu 16: Tính giá trị của biểu thức P = sin 30° cos 60° + sin 60° cos 30° .

Chọn A

B. P = 0 .

C. P = 3 . Lời giải

D. P = − 3 .

A. P = 1 .

KÈ

1 1 3 3 Ta có: P = sin 30° cos 60° + sin 60° cos 30° = . + . = 1. 2 2 2 2

Câu 17: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. cos 60° = sin 30° .

B. cos 60° = sin120° . C. cos30° = sin120° . Lời giải

D. sin 60° = − cos120° .

DẠ

Chọn B Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Câu 18: Đẳng thức nào sau đây sai? A. sin 45° + sin 45° = 2 . C. sin 60° + cos150° = 0 .

B. sin 30° + cos 60° = 1 . D. sin120° + cos 30° = 0 . Lời giải Page 3

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Chọn D Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Câu 19: Cho hai góc nhọn α và β ( α < β ) . Khẳng định nào sau đây là sai? C. tan α + tan β > 0 . Lời giải Chọn B Biểu diễn lên đường tròn.

D. cot α > cot β .

B. sin α < sin β .

FI CI A

A. cos α < cos β .

Câu 20: Cho ∆ABC vuông tại A , góc B bằng 30° . Khẳng định nào sau đây là sai? 1 . 3

A. cos B =

B. sin C =

3 . 2

C. cos C =

1 . 2

Lời giải

3 . 2 Câu 21: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: cos B = cos 30° =

B. sin80° > sin 50° . C. tan 45° < tan 60° . Lời giải

ƠN

A. cos 75° > cos50° . Chọn A Lý thuyết.

1 2

Chọn A

D. sin B =

D. cos30° = sin 60° .

A. cos α =

1 , với 90° < α < 180° . Tính cos α . 3

2 . 3

Chọn D

2 B. cos α = − . 3

QU Y

Câu 22: Cho sin α =

DẠNG 2. CHO BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, TÍNH CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CÒN LẠI

C. cos α =

2 2 . 3

D. cos α = −

Lời giải

1 8 Ta có cos α = 1 − sin α = 1 −   = . 3 9 2

KÈ

Mặt khác 90° < α < 180° nên cos α = −

2 2 . 3

2 Câu 23: Cho biết cos α = − . Tính tan α ? 3 5 . 4

DẠ

5 B. − . 2

5 . 2

Lời giải

Chọn D Do cos α < 0  tan α < 0 . Ta có: 1 + tan 2 α =

1 5 5 ⇔ tan 2 α =  tan α = − . 2 cos α 4 2 Page 4

D. −

5 . 2

2 2 . 3

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1 . Tính cot α . 2

A. cot α = 2 .

B. cot α = 2 .

C. cot α =

1 . 4

Chọn A

tan α .cot α = 1  cot x =

1 = 2. tan x

1 Câu 25: cos α bằng bao nhiêu nếu cot α = − ? 2

5 . 5

5 . 2

C. − Lời giải

Chọn A

1 1 1 1 ⇔ cos 2 α = = = . 2 2 2 cos α 1 + tan α 1 + ( −2 ) 5 5 . 5

Suy ra cos α = ±

1 + tan 2 α =

ƠN

1 Ta có cot α = −  tan α = −2 . 2

1 D. − . 3

5 . 5

A. ±

Câu 26: Nếu tan α = 3 thì cos α bằng bao nhiêu? 10 . 10

Chọn C

1 . 3

QU Y

A. −

10 . 10

Lời giải

1 1 1 1 ⇔ cos 2 α = = = . 2 2 2 cos α 1 + tan α 1 + 3 10

10 . 10

Ta có 1 + tan 2 α =

C. ±

KÈ

Suy ra cos α = ±

5 . Giá trị của biểu thức 3sin α + 2cosα là 13 9 B. 3 . C. − . D. −3 . 13 Lời giải

Câu 27: Cho α là góc tù và sin α = 9 . 13

DẠ

Chọn C Ta có cos 2 α = 1 − sin 2 α =

144 12  cos α = ± 169 13

Page 5

1 . 2

FI CI A

Lời giải

D. cot α =

Câu 24: Cho biết tan α =

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 12 13

Do α là góc tù nên cos α < 0 , từ đó cos α = −

5 9  12  + 2 −  = − . 13 13  13 

FI CI A

Như vậy 3sin α + 2 cos α = 3 ⋅

Câu 28: Biết cot α = − a , a > 0 . Tính cos α a 1 1 a A. cos α = . B. cos α = . C. cos α = − . D. cos α = − . 2 2 2 1+ a 1+ a 1+ a 1 + a2 Lời giải Chọn D

1 −1 ⇔ tan α = . cot α a

Mà ta lại có 1 + tan 2 α =

13 . 4

1+ a

và do a > 0 nên cos α = −

1 + a2

1 . Tính biểu thức P = 3sin 2 x + 4 cos 2 x 2 7 11 B. . C. . 4 4 Lời giải

Chọn A

QU Y

Câu 29: Cho cos x =

Khi đó cos α = −

1 1 a2 2 2 . ⇔ cos α = ⇔ cos α = cos 2 α 1 + tan 2 α 1 + a2

ƠN

Mặt khác, tan α =

Do cot α = − a , a > 0 nên 90 0 < α < 180 0 suy ra cos α < 0 .

15 . 4

 1  13 Ta có P = 3sin x + 4 cos x = 3 sin x + cos x + cos x = 3 +   = . 4 2 2

)

4 5 7 B. . 5

−7 . 5

C. 1 . Lời giải

KÈ

(

α là góc tù và sin α = . Giá trị của biểu thức A = 2sin α − cos α bằng

Câu 30: Cho

Chọn D

DẠ

Ta có: sin α =

4 9 4  cos 2 α = 1 − sin 2 α = 1 −   = . 5 25 5

α là góc tù nên cos α < 0  cos α =

A = 2sin α − cos α =

−3 . 5

2.4 −3 11 − = . 5 5 5 Page 6

11 . 5

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 4 sin α + cos α , với 90° ≤ α ≤ 180° . Tính giá trị của M = 5 cos 3 α 25 175 35 A. M = B. M = . C. M = . 27 27 27 Chọn D 2

Mà 90° ≤ α ≤ 180°  cos α ≤ 0  cos α =

−3 . 5

sin α + cos α −25 . = cos 3 α 27

Từ đó M =

25 . 27

FI CI A

9 4 Ta có cos α = 1 − sin α = 1 −   = . 25 5 2

D. M = −

ƠN

2 cot α + 3 tan α Câu 32: Cho biết cos α = − . Tính giá trị của biểu thức E = ? 3 2cot α + tan α 19 19 25 25 A. − . B. . C. . D. − 13 13 13 13 Lời giải Chọn B 3 2 −2 cot α + 3tan α 1 + 3tan 2 α 3 tan α + 1 − 2 cos 2 α 3 − 2cos 2 α 19 E= = = = = = . 2 1 2cot α + tan α 2 + tan 2 α 1 + cos 13 α 1 + 1 + tan 2 α +1 2 cos α

)

(

)

QU Y

2 Câu 33: Cho biết cot α = 5 . Tính giá trị của E = 2cos α + 5sin α cos α + 1 ? 10 100 50 101 A. . B. . C. . D. . 26 26 26 26 Lời giải Chọn D 1  1 101  E = sin 2 α  2cot 2 α + 5cot α + 2  = 3cot 2 α + 5cot α + 1 = . 2 sin α  1 + cot α 26 

(

)

DẠ

KÈ

1 3sin α + 4 cos α Câu 34: Cho cotα = . Giá trị của biểu thức A = là: 3 2sin α − 5cos α 15 15 A. − . B. −13 . C. . D. 13 . 13 13 Lời giải Chọn D 3sin α + 4sin α .cot α 3 + 4cot α A= = = 13 . 2sin α − 5sin α .cot α 2 − 5cot α 2 cot α − 3tan α Câu 35: Cho biết cos α = − . Giá trị của biểu thức E = bằng bao nhiêu? 3 2cot α − tan α 25 11 11 25 A. − . B. − . C. − . D. − . 3 13 3 13 Lời giải Chọn C Page 7

Câu 31: Cho sin α =

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

cot α − 3 tan α 1 − 3tan α = = 2 cot α − tan α 2 − tan 2 α 3 − (1 + tan 2 α )

1 Câu 36: Biết cos α = . Giá trị đúng của biểu thức P = sin 2 α + 3 cos 2 α là: 3 11 4 1 A. . B. . C. . 9 3 3 Lời giải

Chọn A

10 . 9

1 11  P = sin 2 α + 3cos 2α = ( sin 2 α + cos 2α ) + 2cos 2α = 1 + 2cos 2α = . 3 9

cosα =

3 2 cos2 α = 4cos α − 3 = − 11 . = 1 3cos 2 α − 1 3 3− cos2 α 4−

FI CI A

4 − 3 ( tan 2 α + 1)

DẠNG 3. CHỨNG MINH, RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 37: Đẳng thức nào sau đây là sai? 2

B. tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x sin 2 x, ∀x ≠ 90°

ƠN

A. ( cos x + sin x ) + ( cos x − sin x ) = 2, ∀x . C. sin 4 x + cos4 x = 1 − 2sin 2 x cos2 x, ∀x .

D. sin 6 x − cos6 x = 1 − 3sin 2 x cos 2 x, ∀x

Lời giải Chọn D

sin 6 x − cos 6 x = ( sin 2 x − cos 2 x )(1 − sin 2 x cos 2 x ) .

Câu 38: Đẳng thức nào sau đây là sai? 1 − cos x sin x x ≠ 0° , x ≠ 180° . = A. sin x 1 + cos x 1 x ≠ 0° ,90° ,180° B. tan x + cot x = sin x cos x 1 − 2 x ≠ 0° ,90° ,180° C. tan 2 x + cot 2 x = 2 sin x cos2 x

(

)

QU Y

(

)

D. sin 2 2 x + cos2 2 x = 2 . Chọn D

Lời giải

KÈ

sin 2 2 x + cos2 2 x = 1. Câu 39: Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? α A. sin 2 α + cos α 2 = 1 . B. sin 2 α + cos 2 = 1 . 2 2 2 C. sin α 2 + cos α 2 = 1 . D. sin 2α + cos 2α = 1 . Lời giải

DẠ

Chọn D Công thức lượng giác cơ bản. Câu 40: Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. sin 2 α + cos α 2 = 1 .

B. sin 2 α + cos 2

α 2

= 1 . C. sin α 2 + cos α 2 = 1 . D. sin 2 α + cos 2 α = 1 . Lời giải

Chọn D Page 8

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Công thức lượng giác cơ bản.

cot 2 x − cos 2 x sin x.cos x + cot 2 x cot x B. A = 2 . C. A = 1 . Lời giải

D. A = 3 .

Chọn C

cos 2 x − cos 2 x cot 2 x − cos 2 x sin x.cos x sin 2 x sin x.cos x A= + = + 2 2 cos x cos x cot x cot x 2 sin x sin x 2 2 cos x 1 − sin x = + sin 2 x = 1 − sin 2 x + sin 2 x = 1 . cos2 x

)

(

FI CI A

A. A = 4 .

= cot 2 a + 2cot a.tan a + tan 2 a = ( cot 2 a + 1) + ( tan 2 a + 1) =

D. cot 2 a tan 2 a + 2 .

ƠN

( cot a + tan a ) bằng Câu 42: Biểu thức 1 1 1 1 A. − . B. cot 2 a + tan 2 a 2 . C. + . 2 2 2 sin α cos α sin α cos2 α Lời giải Chọn C

( cot a + tan a )

Câu 43: Rút gọn biểu thức sau A = ( tan x + cot x ) − ( tan x − cot x ) A. A = 4 .

B. A = 1 .

QU Y

Chọn A

1 1 + . 2 sin a cos2 a

C. A = 2 . Lời giải

D. A = 3

A = ( tan 2 x + 2 tan x.cot x + cot 2 x ) − ( tan 2 x − 2 tan x.cot x + cot 2 x ) = 4 .

Câu 44: Đơn giản biểu thức G = (1 − sin 2 x ) cot 2 x + 1 − cot 2 x .

Chọn A

B. cos2 x .

1 . cos x

Lời giải

G =  1 − sin 2 x − 1 cot 2 x + 1 = − sin 2 x.cot 2 x + 1 = 1 − cos 2 x = sin 2 x . sin x Câu 45: Đơn giản biểu thức E = cot x + ta được 1 + cos x 1 1 A. sin x . B. . C. . cos x sin x Lời giải Chọn C cos x (1 + cos x ) + sin x.sin x sin x cos x sin x E = cot x + = + = 1 + cos x sin x 1 + cos x sin x (1 + cos x )

)

D. cos x .

DẠ

KÈ

(

D. cos x .

A. sin 2 x .

(

cos x (1 + cos x ) + 1 − cos 2 x sin x (1 + cos x )

Câu 41: Rút gọn biểu thức sau A =

) = cos x (1 + cos x ) + (1 + cos x )(1 − cos x ) = sin x (1 + cos x )

Page 9

1 . sin x

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Câu 46: Khẳng định nào sau đây là sai?

1 ( sin α ≠ 0 ) . sin 2 α D. 1 + tan 2 α =

C. tan α .cot α = −1 ( sin α .cos α ≠ 0 ) .

1 ( cos α ≠ 0 ) . cos 2 α

Lời giải Chọn C

sin x cos x . = 1. cos x sin x 1 − sin 2 x Câu 47: Rút gọn biểu thức P = ta được 2 sin x.cos x 1 1 A. P = tan x . B. P = cot x . 2 2 tan α .cot α =

Lời giải

ƠN

Chọn B 1 − sin 2 x cos 2 x cos x 1 P= = = = cot x . 2 sin x.cos x 2 sin x.cos x 2 sin x 2

D. P = 2 tan x .

C. P = 2 cot x .

DẠNG 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

( 0° ≤ α ≤ 180° ) nên suy ra

QU Y

Ta có cos α = − cos (180° − α )

Câu 48: Biểu thức A = cos 20° + cos 40° + cos 60° + ... + cos160° + cos180° có giá trị bằng A. 1. B. −1 . C. 2 . D. −2 . Lời giải Chọn B

cos α + cos (180° − α ) = 0 .

Do đó: A = ( cos 20° + cos160 ° ) + ( cos 40° + cos140° ) + ( cos 60° + cos120 ° )

+ ( cos80° + cos100°) + cos180° = cos180° = −1 .

Câu 49: Cho tan α − cot α = 3. Tính giá trị của biểu thức sau: A = tan 2 α + cot 2 α . A. A = 12 . B. A = 11 . C. A = 13 . D. A = 5 .

Chọn B

Lời giải

KÈ

tan α − cot α = 3 ⇔ ( tan α − cot α ) = 9 ⇔ tan 2 α + cot 2 α − 2 tan α .cot α = 9

⇔ tan 2 α + cot 2 α − 2 = 9 ⇔ tan 2 α + cot 2 α = 11 .

DẠ

Câu 50: Giá trị của biểu thức A = tan1° tan 2° tan 3°...tan 88° tan89° là A. 0 . B. 2 . C. 3 . Lời giải Chọn D

D. 1.

A = ( tan1°.tan 89° ) . ( tan 2°.tan 88° ) ... ( tan 44°.tan 46° ) .tan 45° = 1 .

2 ° 2 ° 2 ° 2 ° 2 ° 2 ° Câu 51: Tổng sin 2 + sin 4 + sin 6 + ... + sin 84 + sin 86 + sin 88 bằng A. 21 . B. 23 . C. 22 .

Page 10

B. 1 + cot 2 α =

FI CI A

A. sin 2 α + cos 2 α = 1 .

D. 24 .

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải

S = sin 2 2° + sin 2 4° + sin 2 6° + ... + sin 2 84° + sin 2 86° + sin 2 88° = ( sin 2 2° + sin 2 88° ) + ( sin 2 4° + sin 2 86° ) + ... + ( sin 2 44° + sin 2 46° )

FI CI A

= ( sin 2 2° + cos 2 2° ) + ( sin 2 4° + cos 2 4° ) + ... + ( sin 2 44° + cos 2 44° ) = 22 .

Chọn C

Câu 52: Biết sin a + cos a = 2 . Hỏi giá trị của sin 4 a + cos 4 a bằng bao nhiêu? 3 1 A. . B. . C. −1 . D. 0 . 2 2 Lời giải Chọn B 1 2 Ta có: sin a + cos a = 2  2 = ( sin a + cos a )  sin a.cos a = . 2 2

1 1 sin a + cos a = sin a + cos a − 2 sin a cos a = 1 − 2   = . 2 2 4

(

)

A. 1.

ƠN

Câu 53: Biểu thức f ( x ) = 3 ( sin 4 x + cos 4 x ) − 2 ( sin 6 x + cos 6 x ) có giá trị bằng: B. 2 .

C. −3 . Lời giải

Chọn A 6 6 2 2  sin x + cos x = 1 − 3sin x cos x .

4 4 2 2  sin x + cos x = 1 − 2sin x cos x .

D. 0 .

f ( x ) = 3 (1 − 2 sin 2 x cos 2 x ) − 2 (1 − 3sin 2 x cos 2 x ) = 1 .

Câu 54: Biểu thức: f ( x ) = cos 4 x + cos 2 x sin 2 x + sin 2 x có giá trị bằng B. 2 .

Chọn A

(

QU Y

A. 1.

C. −2 . Lời giải

D. −1.

)

f ( x ) = cos 2 x cos 2 x + sin 2 x + sin 2 x = cos 2 x + sin 2 x = 1 .

Câu 55: Biểu thức tan 2 x sin 2 x − tan 2 x + sin 2 x có giá trị bằng A. −1. B. 0 . C. 2 . Lời giải Chọn B

(

)

KÈ

tan 2 x sin 2 x − tan 2 x + sin 2 x = tan 2 x sin 2 x − 1 + sin 2 x =

D. 1.

sin 2 x − cos 2 x + sin 2 x = 0 . 2 cos x

(

DẠ

Câu 56: Giá trị của A = tan 5°.tan10°.tan15°...tan 80°.tan 85° là A. 2 . B. 1. C. 0 . Lời giải Chọn B

(

)(

) (

)

D. −1.

)

A = tan 5°.tan 85° . tan10°. tan 80° ... tan 40° tan 50° .tan 45° = 1 .

Câu 57: Giá trị của B = cos 2 73° + cos2 87° + cos2 3° + cos 2 17° là A.

B. 2 .

C. −2 . Lời giải

Chọn B Page 11

D. 1.

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC B = ( cos 2 73° + cos 2 17° ) + ( cos 2 87° + cos 2 3° ) = ( cos 2 73° + sin 2 73° ) + ( cos 2 87° + sin 2 87 ° ) = 2 .

7 = tan 2 α + cot 2 α = ( tan α + cot α ) − 2  m2 = 9 ⇔ m = ±3 .

Câu 59: Giá trị của E = sin 36° cos 6° sin126° cos84° là A.

1 . 2

3 . 2

C. 1.

Chọn A

) (

)

D. −1.

Lời giải

(

D. m = ±3 .

FI CI A

Câu 58: Cho tan α + cot α = m . Tìm m để tan 2 α + cot 2 α = 7 . A. m = 9 . B. m = 3 . C. m = −3 . Lời giải Chọn D

E = sin 36° cos 6° sin 90° + 36° cos 90° − 6° = sin 36° cos 6° − cos 36° sin 6° = sin 30° = D. 2 .

ƠN

Câu 60: Giá trị của biểu thức A = sin 2 51° + sin 2 55° + sin 2 39° + sin 2 35° là A. 3 . B. 4 . C. 1. Lời giải Chọn D

1 2

A = ( sin 2 51° + sin 2 39° ) + ( sin 2 55° + sin 2 35° ) = ( sin 2 51° + cos 2 51° ) + ( sin 2 55° + cos 2 55° ) = 2 .

Câu 61: Cho sin x + cos x = m . Tính theo m giá trị của M = sin x.cos x . m2 − 1 m2 + 1 A. m 2 − 1 . B. . C. . 2 2 Lời giải

QU Y

Chọn B 2

D. m 2 + 1 .

sin x + cos x = m  ( sin x + cos x ) = m 2 ⇔ ( sin 2 x + cos 2 x ) + 2sin x.cos x = m 2

⇔ 1 + 2sin x.cos x = m2 ⇔ sin x.cos x =

m2 − 1 . 2

DẠ

KÈ

Vậy M =

m2 − 1 . 2

Page 12

III

FI CI A

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

I =

BÀI 6. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC LÝ THUYẾT.

ƠN

Cho tam giác ABC , BC = a, CA = b, AB = c, S là diện tích tam giác. Giả sử ha , hb , hc lần lượt là độ dài các đường cao đi qua ba đỉnh A, B, C ; ma , mb , mc lần lượt là các đường trung tuyến đi qua ba đỉnh A, B, C . R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nột tiếp của tam giác ABC . Ta có kết quả sau đây:

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A,

1. Định lí côsin

b 2 = c 2 + a 2 − 2ca.cos B ,

*Hệ quả của định lí côsin

b2 + c2 − a2 a2 + c2 − b2 b2 + a 2 − c 2 . , cos B = , cos C = 2bc 2ac 2 ab

QU Y

cos A =

a b c = = = 2 R. sin A sin B sinC

2. Định lí sin trong tam giác: 3. Công thức diện tích:

1 1 1 aha = bhb = chc . 2 2 2

b) S =

1 1 1 bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2

c) S =

abc 4R

KÈ

a) S =

d) S = pr với p =

1 (a + b + c) 2

e) Công thức Hê- Rông S =

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab.cos C.

p ( p − a )( p − b )( p − c )

DẠ

4. Công thức trung tuyến (bổ sung) ma2 =

2(b 2 + c 2 ) − a 2 2(a 2 + c 2 ) − b 2 2(a 2 + b 2 ) − c 2 , mb2 = , mc2 = 4 4 4

Page 1

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.

3.5. Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c = 8. Tính cos A, S , r.

b 2 + c 2 − a 2 52 + 82 − 6 2 53 = = 2bc 2.5.8 80

Nửa chu vi là P =

19  19   19   19  3 399  − 6 − 5 − 8 = 2 2 4  2  2 

p ( p − a )( p − b)( p − c ) =

Do S = p.r  r =

S 3 399 . = p 38

ƠN

a + b + c 6 + 5 + 8 19 = = . Áp dụng công thức Heron ta có: 2 2 2

Ta có cos A =

FI CI A

Lời giải

= 70°. Tính R, b, c. 3.6. Cho tam giác ABC có a = 10, A = 45°, B

Lời giải

Ta có

10 a a = 2R  R = = = 5 2. sin A 2 sin A 2.sin 45°

Áp dụng định lý sin ta có

a b a sin B 10.sin 70° = b= = ≈ 13, 289 sin A sin B sin A sin 45°

QU Y

+C = 180°  C = 180° − = 65°  c = a sin C = 10.sin 65° ≈ 12,82 Vì A+ B A− B sin A sin 45° = 130°, c = 6. 3.7. Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết A = 15°, B

Lời giải

+C = 180°  C = 180° − = 35° Ta có A+ B A− B

KÈ

c sin A 6sin15°  a= = ≈ 2, 71  sin C sin 35° a b c  = =  Áp dụng định lý sin ta có: sin A sin B sin C b = c sin B = 6sin130° ≈ 8, 01  sin C sin 35°

1 1 a.c.sin B = .2,71.6.sin130° ≈ 6, 228 2 2

DẠ

Diện tích của tam giác là: S =

Page 2

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 3.8. Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng

FI CI A

S 70°E với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo. a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Lời giải a) Theo giả thiết ta có: AB = 105 km, BC = 16 km, = 70°, = 160° Góc BAD ABD = 20°  ABC

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

ƠN

Khoảng cách từ A tới đảo tàu neo đậu bằng đoạn AC. Áp dụng định lý côsin ta có: AB 2 + BC 2 − 2 AB.BC.cos B

AC =

= 1052 + 162 − 2.105.16.cos160° = 120,16km

AB 2 + AC 2 − BC 2 = 107°23' . Vậy hướng từ ≈ 0, 999  A ≈ 2°37 '  NAC 2 AB. AC cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là hướng Đông.

QU Y

b) Ta có cos A =

3.9. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten

cao 5 m. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăngten, với các góc tương ứng

KÈ

(H.3.18).

là 50° và 40° so với phương nằm ngang

a) Tính các góc của tam giác ABC. b) Tính chiều cao của tòa nhà.

DẠ

Lời giải = 50° − 40° = 10° , a) Ta có BAC = 40°  = 130° ABC = 90° − BAD ACB = 180° − ABC − BAC

b) Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có

Page 3

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC BC AC BC .sin B 5.sin 40° =  AC = = ≈ 18, 51. sin A sin B sin A sin10°

FI CI A

Vậy chiều cao của tòa nhà là: 11,9 + 7 = 18,9m.

Gọi A, B là hai vị trí ngoài cùng mà ta quan sát khi nhìn

3.10. Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được). Đảo Yến nhìn từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình

Lời giải

Xét tam giác ACD vuông tại D có CD = AC.sin 40° ≈ 11,9

ƠN

từ bãi biển Từ một điểm C trên bãi biển dùng giác kế ta xác định được góc ACB = α .

Lấy điểm D trên bãi biển sao cho A, C , D thẳng hàng và có độ dài đoạn CD = a mét. Ta xác định được ADB = β .

Từ đó áp dụng định lí sin cho hai tam giác BCD và ABC ta xác định được bề rộng AB của hòn đảo.

QU Y

3.11. Để tránh núi, đường giao thông hiện tại

phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19.

Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi,

nối thẳng từ A tới D . Hỏi độ dài đường mới

KÈ

sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

Lời giải

Dựng CE , BF vuông góc với AD .

DẠ

=C = 45° Xét tam giác CDE vuông tại E có D  DE = CD.sin 45° = 6 2 km.

Xét tam giác

ABF vuông tại F

(

= 15° có B

)

 AF = AB.sin15° = 2 6 − 2 2 km. Page 4

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Mặt khác EF = BC = 6 km  AD = DE + EF + FA = 6 + 4 2 + 2 6 ≈ 16,56 km.

FI CI A

Vậy độ dài đường mới sẽ giảm 9, 44km so với đường cũ.

HỆ THỐNG BÀI TẬP.

II ==

DẠNG 1: GIẢI TAM GIÁC {Tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác.}

PHƯƠNG PHÁP.

1 =

2 =

ƠN

+ Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin, các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài.

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Câu 1. Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, A = 1200. Tính độ dài cạnh BC Lời giải

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cosA = 62 + 42 − 2.6.4.cos1200 −1 = 76  BC = 76 = 2 19. 2

QU Y

= 62 + 42 − 2.6.4.

Câu 2. Cho tam giác ABC có a = 7; b = 8; c = 5 . Tính A, S , ha , R. Lời giải + cos A =

b 2 + c 2 − a 2 82 + 52 − 7 2 1 = =  A = 60° . 2bc 2.8.5 2

1 1 + S = b.c.sin A = .8.5.sin 60° = 10 3 . 2 2 1 2 S 2.10 3 20 3 . a.ha  ha = = = 2 a 7 7

+ Ta có: S =

a.b.c a.b.c 7.8.5 7 3 R= = = . 4R 4S 3 4.10 3

KÈ

+ Ta có: S =

DẠ

Câu 3. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là AB = 2 , BC = 5 , CA = 6 . Tính độ dài đường trung tuyến MA , với M là trung điểm của BC . Lời giải Áp dụng công thức tình độ dài trung tuyến ta có: Page 5

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

MA =

AB 2 + AC 2 BC 2 22 + 62 52 55 − = − = . 2 4 2 4 2

Do tam giác ABC vuông tại A có AC = 6 cm , BC = 10 cm nên

AB = BC 2 − AC 2 = 102 − 62 = 8 . 1 AB. AC = 24 . 2

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r =

3 . Tính độ dài đường cao ha của tam giác ABC . 5 Lời giải

ƠN

Câu 5. Cho tam giác ABC có b = 7 , c = 5 , cos A =

2 S ∆ABC 2.24 = = 2. AB + BC + CA 6 + 8 + 10

Diện tích tam giác ABC là S ∆ABC =

FI CI A

Câu 4. Tam giác ABC vuông tại A có AC = 6 cm , BC = 10 cm . Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Lời giải

Ta lại có: cos A =

QU Y

3 Theo định lí hàm cos ta có a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos A = 49 + 25 − 2.7.5. = 32  a = 4 2 . 5

3 4  sin A = . 5 5

1 1 4 Diện tích tam giác ABC là S ∆ABC = bc sin A = .7.5. = 14 . 2 2 5

2S 1 7 2 28 a.ha nên ha = ∆ABC = = 2 a 2 4 2

KÈ

Vì S ∆ABC = Vậy ha =

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

3 =

7 2 . 2

DẠ

Câu 1:

Cho ∆ABC có BC = a , BAC = 120° . Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là A. R =

a 3 . 2

B. R =

a . 2

C. R = Lời giải Page 6

a 3 . 3

D. R = a .

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Theo định lý sin trong tam giác ta có 2 R =

Tam giác ABC có a = 8 , c = 3 , B = 60° . Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu? A. 49 .

C. 7 . Lời giải

97 .

Chọn C

b2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B = 82 + 32 − 2.8.3cos 60° = 49  b = 7 .

Cho ∆ABC có a = 4 , c = 5 , B = 150° . Tính diện tích tam giác ABC . B. S = 10 3 .

A. S = 10 .

C. S = 5 . Lời giải

Diện tích tam giác ABC là S =

D. S = 5 3 .

ƠN

Chọn C

1 = 1 .4.5sin150° = 5 . ac sin B 2 2

Một tam giác có ba cạnh là 52 , 56 , 60 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là

65 . 4

B. 40 .

Câu 4:

61 .

Câu 3:

FI CI A

Câu 2:

1 a a 3 BC . R= . = 2 sin120° 3 sin BAC

Chọn D

C. 32,5 .

D. 65,8 .

Chọn C Ta có: p =

QU Y

Lời giải

52 + 56 + 60 = 84 . 2

Áp dụng hệ thức Hê – rông ta có: S = 84 ( 84 − 52 )( 84 − 56 )( 84 − 60 ) = 1344 .

Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 60° . Biết

KÈ

Câu 5:

abc abc 52.56.60 = 32,5 . R= = 4R 4S 4.1344

Mặt khác S =

CA = 200 ( m ) , CB = 180 ( m ) . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu?

DẠ

A. 228 ( m ) .

B. 20 91 ( m ) .

C. 112 ( m ) . Lời giải

Chọn B

Page 7

D. 168 ( m ) .

AB2 = CA2 + CB2 − 2CA.CB.cos 60° = 36400  AB = 20 91 ( m ) .

Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = 5 , AC = 8 , diện tích bằng 12. Tính độ dài cạnh BC.

A. 2 3 .

B. 4 .

C. 5 . Lời giải

Chọn C

D. 3 2 .

Câu 6:

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

ƠN

1 2S 2.12 3 Ta có: S = . AB. AC.sin A  sin A = = =  A = 36°52′12′′ 2 AB. AC 5.8 5

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2. AB. AC .cos A = 52 + 82 − 2.5.8.cos 36°52′12′′ ≈ 25  BC ≈ 5 .

Tam giác ABC có AB = 4 , AC = 6 và trung tuyến BM = 3 . Tính độ dài cạnh BC .

A. 17 .

B. 2 5 .

C. 4 . Lời giải

QU Y

Chọn B

Câu 7:

B 4

3 6M

D. 8 .

AB 2 + BC 2 AC 2 − 2 4

KÈ

Ta có: BM 2 =

 AC 2  2  BC 2 = 2  BM 2 +  − AB 4  

DẠ

 62  = 2  32 +  − 42 = 20  BC = 2 5 . 4 

Câu 8:

Tam giác ABC có AB = 4 , AC = 10 và đường trung tuyến AM = 6 . Tính độ dài cạnh BC .

A. 2 6 .

B. 5 .

C. 22 . Lời giải Page 8

D. 2 22 .

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Chọn D A

Ta có: AM 2 =

10 6 C

AC 2 + AB 2 BC 2 − 2 4

FI CI A

= 45° , AC = 2 . Tính cạnh AB . Tam giác ABC có A = 75°, B 2 . 2

6 . 2

ƠN

Câu 9:

 AC 2 + AB 2   102 + 42   BC 2 = 4  − AM 2  = 4  − 62  = = 88  BC = 2 22 . 2 2    

6 . 3

Lời giải Chọn B

b c b.sin C AC.sin C 2.sin(180 − 75 − 45 ) =  AB = c = = = = 6. sin B sin C sin B sin B sin 45

Ta có:

QU Y

Câu 10: Tam giác ABC có B = 60° , C = 45° , AB = 3 . Tính cạnh AC . 3 6 . 2

Chọn A

2 6 . 3

Lời giải

b c c.sin B AB.sin B 3.sin 60 3. 6 . =  AC = b = = = = sin B sin C sin C sin C sin 45 2

Ta có:

3 2 . 2

KÈ

= 45° . Tính tỉ số AB . Câu 11: Tam giác ABC có các góc A = 75°, B AC 6 . 3

DẠ

6 . 2

Lời giải

Chọn C Ta có:

b c AB c sin C sin(180° − 75° − 45°) 6 . =  = = = = sin B sin C AC b sin B sin 45° 2

Page 9

D. 1, 2 .

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

c 2 . 2

3c 2 . 8

9c 2 . 8

3c . 2

FI CI A

Lời giải

1 Câu 12: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB = c và cos( A + B) = . 3

Chọn B 1 Ta có cos C = − cos( A + B ) = − . 3 2

2 2  1 Do đó sin C = 1 −  −  = . 3  3 AB AB 3 2c . = 2R  R = = sin C 2sin C 8

2 . 2

ƠN

AB Câu 13: Tam giác ABC có các góc A = 105° , B = 45° . Tính tỉ số . AC

2 . 2

6 . 3

Lời giải.

Chọn A

b c AB c sin C sin(180° − 105° − 45°) 2 . =  = = = = sin B sin C AC b sin B sin 45° 2

QU Y

Ta có:

Câu 14: Tam giác ABC có AB = 4 , AC = 5 , BC = 6 . Tính cos( B + C ) . A.

1 . 8

1 B. − . 4

Chọn C

C. –0,125 .

D. 0, 75.

Lời giải.

Ta có c = AB = 4 , b = AC = 5 , a = BC = 6 . 2

b +c −a 1 cos A = = . 2.b.c 8

KÈ

Tính

1 = −0,125 . 8

Để ý cos( B + C ) = − cos A = −

DẠ

Câu 15: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 2, 3, 4 . Góc bé nhất của tam giác có sin bằng bao nhiêu? A.

15 . 8

7 . 8

1 . 2 Lời giải.

Chọn A Page 10

14 . 8

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Góc bé nhất ứng với cạnh có số đo bé nhất.

15 . 8

FI CI A

Do đó sin A = 1 −  7  8

b2 + c 2 − a 2 7 = . 2.b.c 8

Giả sử a = 2, b = 3, c = 4 . Ta có cos A =

Câu 16: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 3 , 8 , 9 . Góc lớn nhất của tam giác có cosin bằng bao nhiêu? A.

1 . 6

1 B. − . 6

17 . 4

D. −

Lời giải Chọn B Góc lớn nhất tương ứng với cạnh lớn nhất: cos α =

4 . 25

32 + 82 − 92 1 =− . 2.3.8 6

a 13 . 4

a 5 . 4

ƠN

Câu 17: Hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm cạnh BC , F là trung điểm cạnh AE . Tìm độ dài đoạn thẳng DF . a 3 . 2

3a . 4

Lời giải

Chọn A

KÈ

QU Y

F E

D 2

a a 5 Ta có: AE = DE = a 2 +   = 2 2

DẠ

Dùng công thức độ dài trung tuyến:

DF 2 =

DA2 + DE 2 AE 2 − = 2 4

5a 2 a 13 2 2 . 4 − 5a = 13a  DF = 4 2 16 16

a2 +

Câu 18: Tam giác ABC có BC = 12 , CA = 9 , AB = 6 . Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 4 . Tính độ dài đoạn thẳng AM Page 11

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. 2 5 .

B. 3 2 .

C. 20 . Lời giải

D. 19 .

AB 2 + BC 2 − AC 2 62 + 122 − 92 11 = = 2 AB.BC 2.6.12 16

AM = AB 2 + BM 2 − 2 AB.BM .cosB = 62 + 42 − 2.6.4.

11 = 19 . 16

FI CI A

cos B =

Chọn D

Câu 19: Tam giác ABC vuông tại A có AB = AC = a . Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM =

a 17 . 3

a 5 . 3

Độ dài AM bằng bao nhiêu?

2a 2 . 3

Lời giải

2a . 3

ƠN

Chọn B

QU Y

BC = AB 2 + AC 2 = a 2 + a 2 = a 2 BC = AB 2 = a 2  BM =

a 2 3

a 2 a 2 2 a 5 . AM = AB + BM − 2 AB.BM .cos 45 = a +  . =  − 2a. 3 3 2 3   2

KÈ

1 Câu 20: Tam giác ABC có cos ( A + B ) = − , AC = 4 , BC = 5 . Tính cạnh AB 8

46 .

B. 11 .

C. 5 2 . Lời giải

D. 6 .

DẠ

Chọn A 1 1 Vì trong tam giác ABC ta có A + B bù với góc C nên cos ( A + B ) = −  cos C = 8 8

1 AB = AC 2 + BC 2 − 2 AB.BC.cos C = 42 + 52 − 2.4.5. = 6 . 8

Page 12

BC . 3

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

B. 4 22 .

C. 4 15 . Lời giải

D. 2 22 .

Chọn A

FI CI A

A. 2 15 .

Vì trong tam giác ABC ta có B + C bù với góc A nên cos ( B + C ) = −  cos A =

1 5

BC = 5 , AC = 3 và cot C = 2 . Tính cạnh AB

A. 6.

2 .

9 . 5

ƠN

Câu 22: Tam giác ABC có

1 5

1 BC = AB 2 + AC 2 − 2 AB.AC.cosA = 72 + 52 − 2.7.5. = 2 15 . 5

1 Câu 21: Tam giác ABC có AB = 7 , AC = 5 và cos ( B + C ) = − . Tính BC 5

2 10 .

Lời giải

Chọn B

QU Y

Từ giả thiết cot C = 2 , ta suy ra C là góc nhọn 1 1 1 4 2 cot C = 2  tan C =  cos 2 C = = =  cos C = 2 2 2 1 + tan C 5 5  1 1+  −   2 2 2 AB = AC 2 + BC 2 − 2 AB.BC .cos C = 32 + 5 − 2.3. 5. = 2. 5

Câu 23: Tam giác ABC có AB = 3 , AC = 4 và ta n A = − 2 2 . Tính cạnh BC

Chọn C

4 3.

C. Lời giải

33 .

D. 7.

A. 3 2 .

KÈ

Từ giả thiết ta n A = − 2 2 , ta suy ra A là góc tù

tan A = −2 2  cos2 A =

BC =

1 1 1 1 = =  cos A = − 2 2 1 + tan A 1 + (2 2) 9 3

 1 AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC .cosA = 32 + 4 2 − 2.3.4.  −  = 33 .  3

DẠ

Câu 24: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a , cạnh CA = b . Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng: A. 6 0 o .

B. 9 0 o .

C. 150o . Lờigiải Page 13

D. 120o .

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Chọn B Diện tích của tam giác ABC là: S = 1 a.b.sin C

= 90 . S lớn nhất khi sin C lớn nhất, hay sinC =1C

FI CI A

Câu 25: Cho tam giác MPQ vuông tại P . Trên cạnh MQ lấy hai điểm E , F sao cho các góc M PE , E PF ,

bằng nhau. Đặt MP = q , PQ = m , PE = x , PF = y . Trong các hệ thức sau, hệ FPQ

thức nào đúng?

A. ME = EF = FQ .

ME2 = q2 + x2 − xq .

MF2 = q2 + y2 − yq . D. MQ2 = q2 + m2 − 2qm .

Lờigiải Chọn C

E q

x y

ƠN

= EPF = FPQ = MPQ = 30o Từ giả thiết, suy ra MPE

QU Y

Tam giác MPF có

= MPE + EPF = 60o ; MPF

= q 2 + y 2 − 2. y .q. 1 = q 2 + y 2 − yq . MF2 = MP2 + PF2 − 2.MPPF . .cos MPF 2 Câu 26: Tính góc C của tam giác ABC biết a ≠ b và a ( a 2 − c 2 ) = b ( b 2 − c 2 ) .

KÈ

Chọn C

B. C = 120° .

A. C = 150° .

C. C = 60° . Lời giải

D. C = 30° .

3 3 2 Ta có: a ( a 2 − c 2 ) = b ( b 2 − c 2 ) ⇔ a − b − c ( a − b) = 0

(

)

⇔ ( a − b ) a 2 + ab + b 2 − c 2 ( a − b ) = 0

a2 + b2 − c2 1 ⇔ a + ab + b − c = 0  cos C = = − . Do đó: C = 120° . 2ab 2 2

DẠ

1 Câu 27: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB = 12 và cot( A + B ) = . 3

2 10 .

9 10 . 5

C. Page 14

5 10 .

D. 3 2 .

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải Chọn A

3 3 10 . = 10 10

Mà sin 2 C + cos 2 C = 1  sin C =

1 1 nên cot C = − , suy ra 3cos C = − sin C . 3 3

FI CI A

Ta có: cot( A + B ) =

AB AB = 2R  R = = 2 10 . sin C 2 sin C

5 10 . 9

10 . 3

10 . 5

Chọn D 1 1 nên tan C = − . 3 3

Ta có: tan( A + B ) =

Do đó 3sin C = − cos C , mà sin 2 C + cos 2 C = 1  sin C = AB AB = 2R  R = = 5 10 . sin C 2 sin C

1 . 3

5 10 .

ƠN

Lời giải

Câu 28: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB = 10 và tan( A + B ) =

1 10 = . 10 10

QU Y

Câu 29: Tam giác ABC có AB = 4 , AC = 6 , cos B = 1 , cos C = 3 .Tính cạnh BC . A. 7.

B. 5.

Chọn B 2

3 3.

D. 2.

Lời giải.

63 7 2 , sin C = 1 − cos C = . 8 4

KÈ

sin B = 1 − cos B =

cos A = − cos( B + C ) = sin B . sin C − cos B . cos C =

9 . 16

Do đó BC = AB2 + AC2 − 2. AB. AC. cos A = 5 .

DẠ

A=120 và AB = AC = a . Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho Câu 30: Cho tam giác cân ABC có BM =

2 BC . Tính độ dài AM 5

a 3 . 3

11a . 5

C. Page 15

a 7 . 5

a 6 . 4

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải Chọn C

A C

FI CI A

a M

30 B

AB 2 + AC 2 − 2 ABAC cos120 0 =

2a 3  1 a 2 + a 2 − 2 a.a.  −  = a 3  BM = 5  2 2

AM =

BC =

 2a 3  2a 3 3 a 7 . AB + BM − 2 AB.BM .cos 30 = a +  = .  − 2 a. 5 2 5  5  2

ƠN

DẠNG 2: HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC, NHẬN DẠNG TAM GIÁC

PHƯƠNG PHÁP.

1 =

2 =

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

sin A = 2 cos C . Tam giác ABC là tam giác gì? sin B

QU Y

Câu 1. Cho tam giác ABC thỏa

Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin, các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài.

Lời giải 2

a +b −c sin A a = 2 cos C ⇔ = 2 cos C ⇔ a = 2b.cos C ⇔ a = 2b. 2ab sin B b 2 2 2 2 ⇔ a = a +b −c ⇔ b = c

Ta có:

KÈ

Tam giác ABC cân tại A. Câu 2. Chứng minh trong tam giác ABC ta có: ha = 2 R.sin B.sin C

Lời giải

Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có:

Do đó:

b = 2 R  2 R.sin B = b sin B

ha = 2R.sin B.sinC ⇔ha = b.sinC ( đúng)

DẠ

Câu 3. Cho tam giác ABC . Chứng minh S = R.r.( sin A + sin B + sin C ) . Lời giải

b c   a  a+b+c  + +  = r.   = r. p = S ( đpcm).  2 R 2R 2 R   2 

Ta có : VP = R.r. 

 b3 + c 3 − a 3 = a2 Câu 4. Cho tam giác ABC thỏa  b + c − a . Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.  a = 2b.cos C  Page 16

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải

b + c − a3 = a2b + a2c − a 3 b + c − a ( b + c ) ( b2 − bc + c 2 − a 2 ) = 0 2 = a    ⇔ Ta có:  b + c − a ⇔ a2 + b2 − c2 a 2 + b2 − c2 a = 2 b . a = 2b.cos C  a =  2ab  a  3

3 = Câu 1:

b a2 + b2 − c2 c a2 + c2 − b2 a2 + b2 − c2 a2 + c2 − b2 2a2 a . + . = + = = = sin A 2R 2ab 2R 2ac 4aR 4aR 4aR 2R

VT =

FI CI A

1  −bc + 2bc.cosA = 0 cos A =  A = 60° ⇔ 2 ⇔ ⇔ 2   2 b = c b = c b = c Vì tam giác ABC cân có 1 góc bằng 6 0 ° nên tam giác ABC là tam giác đều. Câu 5. Chứng minh trong tam giác ABC ta có: sin B.cos C + sin C.cos B = sin A Lời giải

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

ƠN

b2 + c2 a2 a2 + c2 b2 2 + . B. ma = − . A. m = 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2c + 2b − a a + b c2 2 2 − . C. ma = . D. ma = 4 2 4

2 a

Lời giải

Chọn C

Câu 3:

b2 + c2 a2 2b2 + 2c2 − a2 − = . 2 4 4

Trong tam giác ABC , câu nào sau đây đúng? A. a 2 = b 2 + c 2 + 2 bc .cos A . B. a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc.cos A . C. a 2 = b 2 + c 2 + bc.cos A . D. a 2 = b 2 + c 2 − bc.cos A . Lời giải Chọn B Áp dụng định lí hàm số cos tại đỉnh A ta có: a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc.cos A . 2 2 2 Nếu tam giác ABC có a < b + c thì:

Câu 2:

QU Y

2 Theo công thức đường trung tuyến ta có ma =

KÈ

A là góc tù. A.

A là góc vuông. B.

A là góc nhọn. C.

A là góc nhỏ nhất. D.

Lời giải

Chọn C

DẠ

Ta có a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cos A  cos A =

Câu 4:

b2 + c2 − a2 do a 2 < b 2 + c 2 nên cos A > 0 2bc

Tam giác ABC có ba cạnh thoả mãn điều kiện ( a + b + c)( a + b − c ) = 3ab . Khi đó số đo của

C là A. 120° .

B. 30° .

C. 45° . Lời giải Page 17

D. 60° .

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Chọn D 2

Cho tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là đúng?

2 2 2 2 (a + b + c ) . 3 1 2 2 2 2 2 2 C. ma + mb + mc = ( a + b + c ) . 3 2

4 2 2 2 (a + b + c ) . 3 3 2 2 2 2 2 2 D. ma + mb + mc = ( a + b + c ) . 4

A. ma + mb + mc =

B. ma + mb + mc =

Lời giải Sử dụng công thức trung tuyến, ta có:

Câu 5:

a2 + b2 − c2 ab 1 = =  C = 60° . 2ab 2ab 2

FI CI A

C= Theo hệ quả của định lí hàm cosin: cos

Ta có: ( a + b + c )( a + b − c ) = 3ab ⇔ ( a + b ) − c 2 = 3ab ⇔ a 2 + b 2 − c 2 = ab .

2b2 + 2c 2 − a 2 2c 2 + 2a 2 − b2 2a 2 + 2b2 − c 2 3 2 2 2 m +m +m = + + = (a + b + c ) 4 4 4 4 2 c

Cho tam giác ABC thỏa mãn c = a.cos B . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC là tam giác cân. B. Tam giác ABC là tam giác nhọn. C. Tam giác ABC là tam giác vuông. D. Tam giác ABC là tam giác tù Lời giải

Câu 6:

2 b

ƠN

2 a

a2 + c2 − b2 a2 + c2 − b2 ⇔c = Ta có: c = a.cos B ⇔ c = a. ⇔ c2 + b2 = a2 2ac 2c

Câu 7:

QU Y

Theo định lí pi ta go tam giác ABC vuông tại A . Diện tích S của tam giác sẽ thỏa mãn hệ thức nào trong hai hệ thức sau đây? 2 I. S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) .

2 II. 16S = ( a + b + c )( a + b − c )( a − b + c )( −a + b + c ) .

A. Chỉ I.

B. Chỉ II.

C. Cả I và II. Lời giải

D. Không có.

Chọn C Ta có: I. đúng vì là công thức Hê-rông tính diện tích tam giác.

KÈ

Khi đó: S 2 = a + b + c . a + b − c . a − b + c . − a + b + c 2

⇔ 16S = ( a + b + c )( a + b − c )( a − b + c )( −a + b + c ) . Do đó II. đúng

Câu 8:

Cho tam giác ABC , các đường cao

ha , hb, hc thỏa mãn hệ thức 3ha = 2hb + hc . Tìm hệ thức giữa

DẠ

a , b, c .

Page 18

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. 3 = 2 − 1 . a

B. 3a = 2b + c .

C. 3a = 2b − c .

D. 3 = 2 + 1 . a

Lời giải

3.2 S 2.2 S 2 S 3 2 1 = + ⇔ = + . a b c a b c

Trong tam giác ABC , hệ thức nào sau đây sai?

A. a =

b.sin A . sin B

B. sin C =

c.sin A . a

C. a = 2 R.sin A . Lời giải

Chọn D Theo định lí hàm số sin ta có:

a b c = = = 2R sin A sinB sinC

ƠN

Suy ra:

D. b = R.tan B .

Câu 9:

3ha = 2hb + hc ⇔

FI CI A

S = S△ABC .

Kí hiệu Ta có:

Chọn D

a b b.sin A . = a= sin A sinB sin B a c c.sin A + . =  sin C = sin A sinC a a + = 2 R  a = 2 R.sin A . sin A b b b + = 2 R  = R sin B  = R tan B . sinB 2 2 cosB

C. sin B + sin C =

Chọn B

QU Y

Câu 10: Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b + c = 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. cos B + cos C = 2cos A . B. sin B + sin C = 2 sin A . 1 sin A . 2

D. sin B + cos C = 2sin A . Lời giải

KÈ

a = 2R sin A a b c  = = = 2 R ⇔ b = 2 R sin B . Ta có sin A sin B sin C c = 2 R sin C  Mà b + c = 2a ⇔ 2 R sin B + 2 R sin C = 4 R sin A ⇔ sin B + sin C = 2sin A .

DẠ

Câu 11: Tam giác ABC có A = 120° thì câu nào sau đây đúng? A. a 2 = b 2 + c 2 − 3bc . B. a 2 = b 2 + c 2 + bc . C. a 2 = b 2 + c 2 + 3bc . D. a 2 = b 2 + c 2 − bc . Lời giải Chọn B Áp dụng định lí hàm số cos tại đỉnh A ta có: a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc.cos A .  a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc .c os120 °  a 2 = b 2 + c 2 + bc . Câu 12: Trong tam giác ABC , điều kiện để hai trung tuyến vẽ từ A và B vuông góc với nhau là: Page 19

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. 2 a 2 + 2b 2 = 5c 2 .

B. 3a 2 + 3b 2 = 5c 2 .

C. 2 a 2 + 2b 2 = 3c 2 . Lời giải

D. a 2 + b 2 = 5 c 2 .

Khi đó: c 2 = G A 2 + G B 2 ⇔ c 2 = ⇔ c2 =

4  b2 + c2 a 2 a 2 + c2 b2  − + −   9 2 4 2 4 

4  2 a 2 b2  +  ⇔ 5c 2 = a 2 + b 2 . c + 9 4 4 

2 Câu 13: Trong tam giác ABC , nếu có a = b .c thì :

1 1 1 = − . ha2 hb hc

B. ha = hb .hc .

1 1 1 = + . ha2 hb hc

FI CI A

Chọn D Vì hai trung tuyến vẽ từ A và B vuông góc với nhau nên △ ABG vuông tại G với G là trọng tâm tam giác ABC .

Lời giải Chọn B

1 2 2 = + . ha2 hb hc

1 1 1 2       Ta có: a 2 = b .c ⇔  2 S  =  2 S  .  2 S  ⇔ 2 = . ⇔ ha = hb .hc . ha hb hc  ha   hb   hc  Câu 14: Trong tam giác ABC , nếu có

2ha = hb + hc thì :

2 1 1 . = + sin A sin B sin C

B. 2sin A = sin B + sin C .

ƠN

C. sin A = 2sin B + 2sin C .

2 1 1 . = − sin A sin B sin C

Lời giải

Chọn A Ta có :

QU Y

2S 2S 2S 2 1 1 2 1 1 = + ⇔ = + ⇔ = + a b c a b c 2 R.sin A 2 R.sin B 2 R .sin C 2 1 1 . ⇔ = + sin A sin B sin C

2ha = hb + hc ⇔

Câu 15: Trong tam giác ABC , câu nào sâu đây đúng? B. ma >

b+c . 2

2 Ta có: ma =

Câu 16: Tam giác ABC có các cạnh a, b,

DẠ

b+c . 2

ma = b + c .

Lời giải 2

Vì b − c < a  ( b − c ) < a 2  ma2 <

của góc C . A. 45° .

C. ma <

b2 + c2 a2 ( b + c ) + ( b − c ) − a 2 − = 2 4 4

KÈ

Chọn C

b+c . 2

A. ma =

B. 60° .

(b + c) 4

⇔ ma <

b+c . 2

c thỏa mãn điều kiện ( a + b + c)( a + b − c ) = 3ab . Tính số đo C. 120° . Lời giải

Chọn B Page 20

D. 30° .

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 2

Ta có: ( a + b + c)( a + b − c ) = 3ab ⇔ ( a + b ) − c 2 = 3ab ⇔ a 2 + b2 − c2 = ab .

a 2 + b2 − c 2 1 = 60° . = C 2ab 2

Mà cos C =

FI CI A

Câu 17: Cho tam giác ABC , xét các bất đẳng thức sau: I. a − b < c . II. a < b + c . III. ma + mb + mc < a + b + c .

Lời giải Chọn D Ta có I. và II. đúng vì đây là bất đẳng thức tam giác 2

2 b2 + c 2 a 2 (b + c ) + (b − c ) − a − = . Ta có: m = 4 2 4 2

2 a

Vì b − c < a  ( b − c ) < a  m

(b + c ) < 4

a+c a+c ; mc < . 2 2 Do đó: ma + mb + mc < a + b + c .

⇔ ma <

b+c . 2

Tương tự ta có: mb <

ƠN

2 a

Hỏi khẳng định nào sau đây đúng? A. Chỉ I, II. B. Chỉ II, III. C. Chỉ I, III. D. Cả I, II, III.

Vậy III. Đúng.

QU Y

Câu 18: Tam giác ABC có các cạnh a , b , c thỏa mãn điều kiện b 2 + c 2 − a 2 = 3bc . Tính số đo của góc A . A. 45° . B. 60° . C. 120° . D. 30° . Lời giải Chọn D

Ta có: b 2 + c 2 − a 2 = 3bc ⇔ 2bc cos A = 3bc ⇔ cos A =

KÈ

Mà cos C =

3  A = 30° . 2

a 2 + b2 − c 2 1 = 60° . = C 2ab 2

Câu 19: Tam giác ABC a.cos B = b.cos A . Tam giác ABC là tam giác gì? A. Tam giác vuông. B. Tam giác đều. C. Tám giác vuông cân D. Tam giác cân. Lời giải

DẠ

Chọn D Ta có: a.cos B = b.cos A ⇔ a.

a2 + c2 − b2 b2 + c2 − a2 = b. ⇔ a 2 = b2 ⇔ a = b . 2ac 2bc

Vậy tam giác ABC cân.

Page 21

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

b 3 . 3c

3c . 3b

3c . b

Lời giải Chọn B B

60°

MB AM AM .sin 30° AM . =  MB = = sin 30° sin B sin B 2.sin B

ƠN

Ta có

M 30°

b−c . b+c

FI CI A

Câu 20: Cho tam giác ABC vuông tại A , AC = b , AB = c . Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho góc = 30° Tính tỉ số MB . BAM MC

MC AM AM .sin 60° AM 3 . =  MC = = sin 60° sin C sin C 2.sin C

MB sin C c 3c = = = . MC 3 sin B 3b 3b Câu 21: Mệnh đề nào sau đây sai? A. Nếu a 2 > b 2 + c 2 thì A là góc tù. B. Nếu tam giác ABC có một góc tù thì a 2 > b 2 + c 2 . C. Nếu a 2 < b 2 + c 2 thì A là góc nhọn. D. Nếu a 2 = b 2 + c 2 thì A là góc vuông. Lời giải Chọn B b2 + c2 − a2 . 2bc

Ta có : cos A =

QU Y

Do đó

DẠ

KÈ

Do đó : * a 2 > b 2 + c 2 thì cos A < 0 do đó A là góc tù nên A. đúng. 2 2 2 * a < b + c thì cos A > 0 do đó A là góc nhọn nên C. đúng. 2 2 2 * a = b + c thì cos A = 0 do đó A là góc vuông nên D. đúng. 2 2 2 2 * Nếu tam giác ABC có góc B tù thì b > a + c ; nếu góc C tù thì c > a 2 + b 2 do đó

1 =

DẠNG 3: ỨNG DỤNG THỰC TẾ

PHƯƠNG PHÁP.

Page 22

B. sai.

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin, các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài.

FI CI A

Câu 1:

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2 =

Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30 km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km / h . Hỏi sau 2 giờ

hai tàu cách nhau bao nhiêu km ?

ƠN

Lời giải Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: S1 = 30.2 = 60 km. Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: S2 = 40.2 = 80 km.

Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là: S = S12 + S 2 2 − 2 S1.S2 .cos 600 = 20 13. Từ một đỉnh tháp chiều cao CD = 80 m , người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các

Câu 2:

góc nhìn là 72012' và 34 0 26 ' so với phương nằm ngang. Ba điểm A, B, D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB (chính xác đến hàng đơn vị)? Lời giải CD CD 80  AD = = ≃ 25, 7. 0 AD tan 72 12' tan 72012' CD CD 80 Trong tam giác vuông CDB : tan 340 26' =  BD = = ≃ 116,7. 0 BD tan 34 26' tan 340 26' Suy ra: khoảng cách AB = 116,7 − 25,7 = 91 m.

QU Y

Ta có: Trong tam giác vuông CDA : tan 72012' =

BÀI TẬP TỰ LUẬN TỔNG HỢP.

Cho tam giác ABC có a = 13, b = 8, c = 7 . Tính góc A, suy ra S, ha, R, r, ma.

KÈ

Câu 3:

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A  cos A =

Lời giải 2

b +c −a 1 = −  A = 1200 2bc 2

DẠ

1 1 3 S = bc sin A = 56. = 14 3 2 2 2 1 2 S 28 3 S = a.ha  ha = = 2 a 13

abc abc 7.8.13 13 3 R= = = 4R 4 S 4.14 3 3

S = p.r  r =

2S 2.14 3 = = 3 a + b + c 7 + 8 + 13 Page 23

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

3 . Tính cạnh BC, và độ dài đường cao 5

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và cos A =

Câu 4:

b2 + c2 a2 57 −  ma = 2 4 2

kẻ từ A .

Lời giải Áp dụng định lí côsin ta có

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB.AC .cos A = 42 + 52 − 2.4.5.

Vì sin2 A + cos2 A = 1 nên sin A =

1 − cos2 A =

1 1 Mặt khác S ABC = a.ha = . 17.ha (2) 2 2

1 16 17 . 17.ha = 8 ⇒ ha = 2 17

Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là ha =

16 17 17

0 Cho tam giác ABC có AB = 10, AC = 4 và A = 60 .

QU Y

Câu 5:

a) Tính chu vi của tam giác b) Tính tan C

Lời giải

a) Theo định lí côsin ta có

BC 2 = 102 + 42 − 2.10.4 cos 600 = 76 ⇒ BC ≈ 8, 72

KÈ

Suy ra chu vi tam giác là 2 p ≈ 10 + 4 + 8, 72 = 22, 72 b) (Hình 2.23a)

Y DẠ

9 4 = 25 5

1 1 4 AB.AC .sin A = .4.5. = 8 (1) 2 2 5

Từ (1) và (2) suy ra

3 = 17 Suy ra BC = 5

ƠN

Theo công thức tính diện tích ta có S ABC =

1−

FI CI A

ma 2 =

4 C H

Hình 2.23a

Kẻ đường cao BH ta có Page 24

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

⇒ HC = 5 − 4 = 1

Câu 6:

FI CI A

= − HB = −5 3 BH = AB .sin 60 0 = 5 3 . Vậy tan C = − tan BCH HC

Giải tam giác ABC biết A = 600, B = 400 và c = 14 . Lời giải

Ta có C = 1800 − A − B = 1800 − 600 − 400 = 800

c sin B 14.sin 400 = ⇒ b ≈ 9,1 sin C sin 800

Giải tam giác ABC , biết: = 300 ; b = 4, 5; A

ƠN

Câu 7:

c sin A 14.sin 600 = ⇒ a ≈ 12, 3 sin C sin 800

Theo định lí sin ta có

a =

AH = AB cos 600 = 5

= 750 C

Lời giải Ta có B = 1800 − A − C = 1800 − 300 − 750 = 750 = C suy ra tam giác ABC cận tại A  c = b = 4,5 . Theo định lí sin ta có

Câu 8:

b sin A 4, 5.sin 300 = ⇒ a ≈ 2, 33 . sin B sin 750

QU Y

a =

Cho tam giác ABC cân tại A biết a = 3; B = C = 300 . Tính R, r, cạnh c, b, suy ra S

Lời giải

Áp dụng định lí sin:

KÈ

a a = 2R  R = = sin A 2sin A

3 =1 3 2 2

 b = c = 2 R sin 30 0 = 1

DẠ

1 3 S = b.c sin A = 2 4

Câu 9:

S 3 = (2 − 3) . p 2

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết A = 300 , B = 450 . Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Page 25

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải

Ta có C = 1800 − A − B = 1800 − 300 − 450 = 1050

b = 2R sin B = 2.3.sin 450 = 6.

FI CI A

Theo định lí sin ta có a = 2R sin A = 2.3.sin 300 = 3 ,

2 =3 2 2

c = 2R sin C = 2.3.sin1050 ≈ 5, 796 Theo công thức đường trung tuyến ta có

m =

2 (b 2 + c 2 ) − a 2 4

≈

2 ( 18 + 5, 7962 ) − 9 4

= 23, 547

2 a

1 bc sin A S ABC = pr = bc sin A ⇒ r = 2 2p 0 3 2.5, 796 sin 30 ≈ ≈ 0, 943 3 + 3 2 + 5, 796

ƠN

Theo công thức tính diện tích tam giác ta có

Câu 10: Cho tam giác ABC thỏa mãn sin2 A = sin B.sin C . Chứng minh rằng

b) cos A ≥

a) a 2 = bc

1 2

QU Y

Lời giải a b c a) Áp dụng định lí sin ta có sin A = , sin B = , sin C = 2R 2R 2R 2

a  b c . ⇔ a 2 = bc đpcm Suy ra sin A = sin B.sin C ⇔   =  2R  2R 2R 2

b 2 + c 2 − a 2 b 2 + c 2 − bc 2bc − bc 1 = ≥ = đpcm 2bc 2bc 2bc 2

KÈ

cos A =

b) Áp dụng định lí côsin và câu a) ta có

Câu 11: Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và trung tuyến AM = AB = c chứng minh rằng:

a 2 = 2(b 2 − c 2 )

DẠ

sin2 A = 2(sin2 B − sin2 C ) Lời giải

a) Áp dụng công thức đường trung tuyến Ta có b 2 + c 2 =

a2 a2 + 2AM 2 = + 2c 2 ⇒ a 2 = 2(b 2 − c 2 ) (*) 2 2 Page 26

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC b) Theo định lí sin ta có

a b c = = = 2R sin A sin B sin C

FI CI A

a 2 = 4R 2 sin2 A  ⇒ b 2 = 4R 2 sin2 B  2 2 2 c = 4R sin C Thay vào (*) ta có đpcm

Câu 12: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C Lời giải Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC .

vuông góc với nhau là b 2 + c 2 = 5a 2 .

ƠN

Khi đó hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi tam giác GBC vuông tạ i G 2

2  2  ⇔ GB + GC = BC ⇔  mb  +  mc  = a 2 (*)  3   3  2

2(a 2 + c 2 ) − b 2 2(a 2 + b 2 ) − c 2 , mc2 = 4 4

Suy ra (*) ⇔

4 2 ( m + mc2 ) = a 2 9 b

QU Y

mb2 =

Mặt khác theo công thức đường trung tuyến ta có

2 2 2  2 a 2 + b 2 − c 2  4 2 a + c −b 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇔  +  = a ⇔ 4a + b + c = 9a ⇔ b + c = 5a 9 4 4   

(

)

(

)

Câu 13: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có; a) a = b.cosC + c.cos B

KÈ

b) sin A = sin B cosC + sin C cos B

Lời giải

a) Áp dụng định lí côsin ta có: a 2 + b2 − c2 c2 + a 2 − b2 + c. 2ab 2ca a 2 + b2 − c2 + c2 + a 2 − b2 = = a = VT 2a

DẠ

VP = b.

b) sin A = sin B cosC + sin C cos B ⇔

a b c = .cos C + . cos B 2R 2R 2R

⇔ a = b. cos C + c. cos B Page 27

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Câu 14: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: ha = 2R sin B sin C Lời giải

2S b = 2R sin C a 2R

FI CI A

ha = 2R sin B sin C ⇔

1 ⇔ S = ab sin C (đúng) 2

Câu 15: Tìm tính chất đặc biệt của tam giác ABC biết: 2a cos A = b.cos C + c.cos B Lời giải Yêu cầu bài toán tương đương với:

2(2 R sin A) cos A = (2 R sin B ) cos C + 2 R sin C cos B ⇔ 2sin A.cos A = sin( B + C ) = sin A ⇔ cos A =

1 ( do sin A ≠ 0) ⇔ A = 600 2

ƠN

 (1) a = 2b cosC 3 3 Nhận dạng tam giác ABC biết:  2 a − b − c 3 a =  a −b −c Câu 16: Lời giải Áp dụng định lí cosin ở (1) và thế vào (2)

(1) ⇔ a =

(2)

a 2 + b2 − c2 ⇔b =c a

QU Y

(2) ⇔ a 2 = b 2 + c 2 − bc 1 = 600 ⇔ cos A = ⇔ A 2

KL: Tam giác ABC đều.

Câu 17: Nhận dạng tam giác ABC biết: a.sin A + b sin B + c sin C = ha + hb + hc Lời giải

KÈ

1 1 Áp dụng công thức diện tích ta có S = bc sin A = aha suy ra 2 2

a.sin A + b sin B + c sin C = ha + hb + hc ⇔ a.

2S 2S 2S 2S 2S 2S + b. + c. = + + bc ca ab a b c

⇔ a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca 2

DẠ

⇔ (a − b ) + (b − c ) + (c − a ) = 0

⇔a =b =c Vậy tam giác ABC đều.

Câu 18: Cho tam giác ABC . Chứng minh tam giác ABC cân nếu ha = c.sin A Page 28

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

1 1 Sử dụng công thức S = aha = bc sin A (*) thay ha = c.sin A vào (*) được: 2 2 bha = aha ⇔ a = b suy ra tam giác ABC cân tại C

Lời giải

Page 29

III

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

FI CI A

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI 6. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Câu 1:

Cho tam giác ABC , mệnh đề nào sau đây đúng?

B. a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A .

ƠN

A. a 2 = b2 + c2 + 2bc cos A . C. a 2 = b2 + c2 − 2bc cos C .

D. a 2 = b2 + c2 − 2bc cos B . Lời giải

Chọn B

Theo định lý cosin trong tam giác ABC , ta có a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A . Cho tam giác ABC , có độ dài ba cạnh là BC = a, AC = b, AB = c . Gọi ma là độ dài đường

Câu 2:

III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. == DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TOÁN

trung tuyến kẻ từ đỉnh A , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và S là diện tích tam giác đó. Mệnh đề nào sau đây sai?

b2 + c 2 a 2 − . 2 4 abc C. S = . 4R Chọn B

a b c = = = 2R . sin A sin B sin C Lời giải

Theo định lý hàm số cosin trong tam giác ta có a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos A Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10 , góc C bằng 600 . Độ dài cạnh c là?

Câu 3:

B. a 2 = b2 + c2 + 2bc cos A .

QU Y

A. ma2 =

B. c = 7 2 .

KÈ

A. c = 3 21 .

C. c = 2 11 . Lời giải

D. c = 2 21 .

Chọn D Câu 4:

Ta có: c 2 = a 2 + b2 − 2a.b.cos C = 82 + 102 − 2.8.10.cos 600 = 84  c = 2 21 . Cho ∆ABC có b = 6, c = 8, A = 600 . Độ dài cạnh a là:

DẠ

A. 2 13.

Câu 5:

B. 3 12.

C. 2 37. Lời giải

20.

Chọn A Ta có: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A = 36 + 64 − 2.6.8.cos 600 = 52  a = 2 13 . Cho ∆ABC có B = 600 , a = 8, c = 5. Độ dài cạnh b bằng: A. 7.

B. 129.

C. 49. Page 1

D. 129 .

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải

73 .

217 .

D. 113 .

C. 8 . Lời giải

Chọn A Theo định lý cosin có:

AC 2 = BA2 + BC 2 − 2BA.BC.cos ABC = 73  AC = 73 . Vậy AC = 73 .

0 Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 1 và A = 60 . Tính độ dài cạnh BC.

A. BC = 2.

B. BC = 1.

Câu 7:

FI CI A

Câu 6:

Ta có: b2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B = 82 + 52 − 2.8.5.cos 600 = 49  b = 7 . 0 Cho ∆ABC có AB = 9 ; BC = 8 ; B = 60 . Tính độ dài AC .

Chọn A

C. BC = 3. Lời giải

Chọn C

D. BC = 2.

= 22 + 12 − 2.2.1.

1 = 3. 2

= 600. Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu? Tam giác ABC có a = 8, c = 3, B

A. 49.

Chọn C

C. 7. Lời giải

61.

Ta có: b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos B = 82 + 32 − 2.8.3.cos 600 = 49  b = 7 . = 1500 , BC = 3, AC = 2. Tính cạnh AB ? Tam giác ABC có C

QU Y

Câu 9:

Câu 8:

ƠN

Theo định lý cosin ta có: BC = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos 600

A. 13 .

C. 10 . Lời giải

D. 1 .

Chọn A Theo định lí cosin trong ∆ABC ta có: = 13  AB = 13 . Chọn A AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA.CB.cos C

KÈ

4 Câu 10: Cho a; b;c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC . Biết b = 7 ; c = 5 ; cos A = . Tính độ dài của 5 a.

A. 3 2 .

7 2 . 2

23 . 8

D. 6 .

Lời giải

DẠ

Chọn A Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có: 4 a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A = 7 2 + 52 − 2.7.5. = 18 . 5

Suy ra: a = 18 = 3 2 . = 30° .Gọi A, B là 2 điểm di động lần lượt trên Ox, Oy sao cho AB = 2 . Độ dài lớn Câu 11: Cho xOy nhất của OB bằng bao nhiêu? Page 2

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. 4.

B. 3.

C. 6. Lời giải

D. 2.

FI CI A

Chọn A

Áp dụng định lí cosin: AB 2 = OA2 + OB 2 − 2OA.OB.cos 30° ⇔ 4 = OA2 + OB 2 − 2OA.OB.

thì ∆

(*)

⇔ OA2 − 3.OB.OA + OB 2 − 4 = 0 . Coi phương trình là một phương trình bậc hai ẩn OA . Để tồn tại giá trị lớn nhất của OB ≥ 0 ⇔ ( 3OB ) 2 − 4(OB2 − 4) ≥ 0 ⇔ OB 2 ≤ 16 ⇔ OB ≤ 4 .

Vậy max OB = 4 . Câu 12: Cho a; b;c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng?

B. a 2 + c2 < b2 + 2ac . C. b2 + c 2 > a 2 + 2bc . D. ab + bc > b 2 . Lời giải

ƠN

A. a 2 < ab + ac . Chọn C

A ≤ 2bc  b2 + c 2 ≤ a 2 + 2bc nên mệnh đề C sai. Do b2 + c2 − a 2 = 2bc.cos Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có a < b + c  a 2 < ab + ac ;đáp án A đúng. Tương tự a + c > b  ab + bc > b2 ;mệnh đề D đúng.

Ta có cos A =

QU Y

Ta có: a 2 + c 2 − b2 = 2ac.cos B < 2ac  a 2 + c 2 < b2 + 2ac ;mệnh đề B đúng. Câu 13: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 7 cm, AC = 9 cm. Tính cos A . 2 1 1 2 A. cos A = − . B. cos A = . C. cos A = . D. cos A = . 3 2 3 3 Lời giải Chọn D

AB 2 + AC 2 − BC 2 42 + 92 − 72 2 = = . 2. AB. AC 2.4.9 3

2 2 2 Câu 14: Cho tam giác ABC có a + b − c > 0 . Khi đó:

B. Góc C < 900

C. Góc C = 900

D. Không thể kết luận được gì về góc C. Lời giải

KÈ

A. Góc C > 900

Chọn B

Ta có: cos C =

a 2 + b2 − c 2 . 2ab

Mà: a 2 + b 2 − c 2 > 0 suy ra: cos C > 0  C < 900 .

DẠ

Câu 15: Cho tam giác ABC thoả mãn: b 2 + c 2 − a 2 = 3bc . Khi đó: A. A = 300.

B. A = 450.

C. A = 600. Lời giải

Chọn A Page 3

D. A = 750 .

3 2

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Ta có: cos A =

b2 + c 2 − a 2 3bc 3  A = 300. = = 2bc 2bc 2

B. 600.

C. 450. Lời giải

D. 300.

FI CI A

A. 900 .

Chọn A Ta có: AB = (1;3) , AC = (9; −3) . AB. AC = = 0  BAC = 900. Suy ra: cos BAC AB . AC

B. 1170 49'.

C. 28037 '. Lời giải

Chọn B

D. 580 24'.

Câu 17: Cho tam giác ABC , biết a = 24, b = 13, c = 15. Tính góc A ? A. 33034'.

bằng bao nhiêu? Câu 16: Cho các điểm A(1;1), B(2;4), C (10; −2). Góc BAC

b 2 + c 2 − a 2 132 + 152 − 24 2 7 = = −  A ≃ 117 0 49 '. 2bc 2.13.15 15 Câu 18: Cho tam giác ABC , biết a = 13, b = 14, c = 15. Tính góc B ?

A. 590 49'.

ƠN

Ta có: cos A =

C. 590 29'.

B. 5307 '.

D. 620 22'.

Lời giải Ta có: cos B =

Chọn C

a 2 + c 2 − b 2 132 + 152 − 14 2 33 = =  B ≃ 590 29 '. 2 ac 2.13.15 65

Câu 19: Cho tam giác ABC biết độ dài ba cạnh BC , CA, AB lần lượt là a, b, c và thỏa mãn hệ thức

QU Y

bằng b ( b 2 − a 2 ) = c ( c 2 − a 2 ) với b ≠ c . Khi đó, góc BAC A. 45° .

B. 60° .

Chọn D

C. 90° . Lời giải

D. 120° .

Ta có b ( b 2 − a 2 ) = c ( c 2 − a 2 ) ⇔ b3 − ba 2 = c 3 − ca 2 ⇔ b3 − c 3 − a 2 ( b − c ) = 0 ⇔ ( b − c ) ( b 2 + bc + c 2 − a 2 ) = 0 ⇔ b 2 + c 2 − a 2 = −bc .

b 2 + c 2 − a 2 −bc 1 = 120° . = = −  BAC 2bc 2bc 2 Câu 20: Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức bằng bao nhiêu độ. b ( b 2 − a 2 ) = c ( a 2 − c 2 ) . Khi đó góc BAC

KÈ

= Mặt khác cos BAC

A. 30° .

B. 60° .

C. 90° . Lời giải

D. 45° .

DẠ

Chọn B Theo bài ra, ta có: b ( b 2 − a 2 ) = c ( a 2 − c 2 ) ⇔ b 3 − a 2 b = a 2 c − c 3 = 0 ⇔ b 3 + c 3 − a 2b − a 2 c = 0

Câu 21:

⇔ ( b + c ) ( b 2 − bc + c 2 ) − a 2 ( b + c ) = 0 ⇔ ( b + c ) ( b 2 − bc + c 2 − a 2 ) = 0 ⇔ b 2 − bc + c 2 − a 2 = 0

b2 + c2 − a2 1 = 1  BAC = 60° . = ⇔ cos BAC 2bc 2 2 Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho

⇔ b 2 + c 2 − a 2 = bc ⇔

Page 4

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC MA : MB : MC = 1: 2 : 3 khi đó góc AMB bằng bao nhiêu? A. 135° . B. 90° . C. 150° . Lời giải

D. 120° .

= cos MAC

1 + 4 x 2 − x 2 3x 2 + 1 = 2.1.2 x 4x

1 + 4 x2 − 9 x2 1 − 5x2 = . 4x 4x 2

 3x 2 + 1   1 − 5 x 2  4 2 2 4   +  = 1  9 x + 6 x + 1 + 1 − 10 x + 25 x = 16 .  4x   4x 

 2 5+ 2 2 1 > (l ) x = 17 5 4 2   34 x − 20 x + 2 = 0 ⇔ .  2 5−2 2 x = 17 

FI CI A

= Ta có cos BAM

MB = x ⇔ MA = 2 x ; MC = 3 x với 0 < x < BC = 2 .

ƠN

AM 2 + BM 2 − AB 2 4 x 2 + x 2 − 1 AMB = =  cos 2 AM .BM 2.2 x.x 5 x 2 − 1  25 − 10 2  20 − 8 2 − 2 =  − 1 : = . 17 17 2 4x2   Vậy AMB = 135° .

Câu 22: Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau: b2 + c2 a2 + . 2 4

B. ma2 =

C. ma2 =

a2 + b2 c2 − . 2 4

D. ma2 =

a2 + c2 b2 − . 2 4

2c 2 + 2b 2 − a 2 . 4 Lời giải

QU Y

A. ma2 =

Chọn D

b 2 + c 2 a 2 2b 2 + 2c 2 − a 2 − = . 2 4 4 Câu 23: Tam giác ABC có AB = 9 cm, BC = 15 cm, AC = 12 cm. Khi đó đường trung tuyến AM của

Ta có: ma2 =

B. 9 cm .

C. 7,5 cm .

D. 8 cm .

Lời giải

KÈ

tam giác có độ dài là A. 10 cm .

Chọn C

Ta có AM 2 =

15 AB 2 + AC 2 BC 2 9 2 + 122 152 225  AM = . − = − = 2 2 4 2 4 4

Câu 24: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 5 và độ dài đường trung tuyến BM = 13 . Tính độ dài

DẠ

AC .

A. 11 .

B. 4 .

C. Lời giải

Chọn B

Page 5

9 . 2

D. 10 .

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến;ta có: BA2 + BC 2 AC 2 − ⇔ 2 4

( 13 )

32 + 52 AC 2 − ⇔ AC = 4 . 2 4

BM 2 =

FI CI A

= 30°, AB = 3. Tính độ dài trung tuyến AM ? Câu 25: Cho ∆ABC vuông ở A, biết C B. 4

A. 3

5 2

7 2

ƠN

Lời giải Chọn A

AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM =

= 90° − 30° = 60° . Xét ∆BAC có B

1 BC = BM = MC . 2

= 60° suy ra ∆ABM là tam giác đều. Xét tam giác ABM có BM = AM và B  AM = AB = 3 .

QU Y

Câu 26: Tam giác ABC có a = 6, b = 4 2, c = 2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 3 . Độ dài đoạn AM bằng bao nhiêu? 1 A. 9 . B. 9. C. 3. D. 108 . 2 Lời giải Chọn C Ta có: Trong tam giác ABC có a = 6  BC = 6 mà BM = 3 suy ra M là trung điểm BC .

Suy ra: AM 2 = ma2 =

b2 + c 2 a 2 − = 9  AM = 3 . 2 4

Câu 27: Gọi S = ma2 + mb2 + mc2 là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC . Trong các

KÈ

mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? 3 4

A. S = (a 2 + b 2 + c 2 ) .

B. S = a 2 + b2 + c 2 .

3 2 ( a + b 2 + c 2 ) . D. S = 3(a 2 + b 2 + c 2 ) . 2 Lời giải Chọn A

DẠ

C. S =

Ta có: S = ma2 + mb2 + mc2 =

b 2 + c 2 a 2 a 2 + c 2 b2 a 2 + b2 c 2 3 2 − + − + − = (a + b 2 + c 2 ). 2 4 2 4 2 4 4

= 600 . Tính độ dài đường phân giác trong góc A của tam Câu 28: Cho ∆ABC có AB = 2 ; AC = 3 ; A giác ABC . Page 6

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A.

12 . 5

6 2 . 5

6 3 . 5

6 . 5

Lời giải

Gọi M là chân đường phân giác góc 2

ƠN

Ta có BC = AB + AC − 2 AB. AC.cos A = 7  BC = 7. BM AB 2 Lại có = = . CM AC 3

FI CI A

Chọn C

2 7 . 5 Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABM ta được: Suy ra BM =

6 3 . 5

QU Y

 AM =

AB 2 + BC 2 − AC 2 108 AM 2 = AB 2 + BM 2 − 2 AB.BM .cos ABC = AB 2 + BM 2 − 2 AB.BM . = . 2. AB.BC 25

CÁ CH 2 Gọi M là chân đường phân giác trong của góc A . Vì đoạn thẳng AM chia tam giác ABC thành hai phần nên ta có: 1 = 1 AB. AM .sin BAM + 1 AC . AM .sin MAC S ABC = S ABM + S ACM ⇔ AB. AC .sin BAC 2 2 2 AB. AC.sin 60° ⇔ AM = . ( AB + AC ) .sin 30° 6 3 . 5

KÈ

⇔ AM =

6 3 . 5 DẠNG 2. ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TOÁN Câu 29: Cho tam giác ABC . Tìm công thức sai: a a A. = 2R . B. sin A = . C. b sin B = 2R . sin A 2R Lời giải Chọn C

DẠ

Vậy AM =

Ta có:

a b c = = = 2 R. sin A sin B sin C Page 7

D. sin C =

c sin A . a

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Câu 30: Cho ∆ABC với các cạnh AB = c, AC = b, BC = a . Gọi R, r , S lần lượt là bán kính đường tròn

BC BC = 2R ⇔ R = = sin A 2sin A

3 =1. 3 2. 2

ƠN

Ta có:

FI CI A

ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác ABC . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? abc a A. S = . B. R = . 4R sin A 1 C. S = ab sin C . D. a 2 + b 2 − c 2 = 2 ab cos C . 2 Lời giải Chọn B a = 2R . Theo định lí Sin trong tam giác, ta có sin A = 60° và cạnh BC = 3 . Tính bán kính của đường tròn ngoại Câu 31: Cho tam giác ABC có góc BAC tiếp tam giác ABC . A. R = 4 . B. R = 1 . C. R = 2 . D. R = 3 . Lời giải Chọn B

A. 2 6 .

= 45° . Độ dài cạnh BC Câu 32: Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC = 4 cm , góc A = 60° , B là B. 2 + 2 3 .

Chọn A

C. 2 3 − 2 . Lời giải

3 2 =2 6. 2 2 Câu 33: Cho ∆ABC có AB = 5 ; A = 40° ; B = 60° . Độ dài BC gần nhất với kết quả nào? A. 3, 7 . B. 3, 3 . C. 3, 5 . D. 3,1 . Lời giải Chọn B = 180° − A −B = 180° − 40° − 60° = 80° C 4.

QU Y

BC AC = ⇔ BC = Ta có sin A sin B

BC AB AB 5 =  BC = .sin A = sin 40° ≈ 3,3 . sin A sin C sin C sin 80° Câu 34: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b + c = 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. cos B + cos C = 2cos A. B. sin B + sin C = 2sin A. 1 C. sin B + sin C = sin A . D. sin B + cos C = 2sin A. 2 Lời giải Chọn B Ta có:

DẠ

KÈ

Áp dụng định lý sin:

b+c a b c b c b+c b+c = = = 2R  2 = = ⇔ = ⇔ sin B + sin C = 2sin A. sin A sin B sin C sin A sin B sin C 2sin A sin B + sin C Page 8

0 0 Câu 35: Tam giác ABC có a = 16,8 ; B = 56 13' ; C = 71 . Cạnh c bằng bao nhiêu? A. 29,9. B. 14,1. C. 17,5. D. 19,9. Lời giải Chọn D

Mặt khác

FI CI A

+C = 1800  Ta có: Trong tam giác ABC : A + B A = 1800 − 710 − 56013' = 520 47 ' .

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

a b c a c a.sin C 16,8.sin 710  = c= = ≃ 19,9. = = sin A sin B sin C sin A sin C sin A sin 520 47'

D. 200.

0 0 Câu 36: Tam giác ABC có A = 68 12 ' , B = 34 44 ' , AB = 117. Tính AC ? A. 68. B. 168. C. 118. Lời giải Chọn A

+C = 1800  C = 1800 − 68012 '− 340 44' = 77 0 4 ' . Ta có: Trong tam giác ABC : A + B

Mặt khác

a b c AC AB AB.sin B 117.sin 340 44'  =  AC = = ≃ 68. = = sin A sin B sin C sin B sin C sin C sin 770 4'

ƠN

DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN Câu 37: Chọn công thức đúng trong các đáp án sau: 1 1 1 1 A. S = bc sin A . B. S = ac sin A . C. S = bc sin B . D. S = bc sin B . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 1 1 1 Ta có: S = bc sin A = ac sin B = ab sin C . 2 2 2 = 30° . Diện tích hình thoi ABCD là Câu 38: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a . Góc BAD

a2 3 C. . 2 Lời giải

a2 B. . 2

QU Y

a2 A. . 4 Chọn B

D. a2 .

56 .

48 .

C. 6 . Lời giải

D. 8 .

KÈ

Chọn A

= a.a.sin 30° = 1 a 2 . Ta có S ABCD = AB. AD.sin BAD 2 Câu 39: Tính diện tích tam giác ABC biết AB = 3, BC = 5, CA = 6 .

AB + AC + BC 3 + 5 + 6 = =7. 2 2 Vậy diện tích tam giác ABC là:

Ta có: p =

p ( p − AB )( p − AC )( p − BC ) = 7 ( 7 − 3 )( 7 − 6 )( 7 − 5 ) = 56 .

DẠ

Câu 40: Cho ∆ABC có a = 6, b = 8, c = 10. Diện tích S của tam giác trên là: A. 48.

B. 24.

C. 12. Lời giải

Chọn B Ta có: Nửa chu vi ∆ABC : p =

a+b+c . 2 Page 9

D. 30.

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Áp dụng công thức Hê-rông: S = p ( p − a )( p − b)( p − c ) = 12(12 − 6)(12 − 8)(12 − 10) = 24 .

A. 5 3.

B. 5.

C. 10.

D. 10 3.

Lời giải

FI CI A

Chọn B

Câu 41: Cho ∆ABC có a = 4, c = 5, B = 1500. Diện tích của tam giác là:

1 2

1 2 Câu 42: Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu?

Ta có: S∆ABC = a.c.sin B = .4.5.sin1500 = 5.

A. 84.

C. 42.

84 .

D. 168 .

Lời giải Chọn A a + b + c 13 + 14 + 15 = = 21 . 2 2

Ta có: p =

Suy ra: S = p( p − a)( p − b)( p − c ) = 21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) = 84 .

Câu 43: Cho các điểm A(1; −2), B (−2;3), C (0; 4). Diện tích ∆ABC bằng bao nhiêu? 13 . 2

B. 13.

C. 26.

ƠN

13 . 4

Lời giải

Chọn A Ta có: AB = (−3;5)  AB = 34 , AC = (−1;6)  AC = 37 , BC = (2;1)  BC = 5 . AB + AC + BC 37 + 34 + 5 . = 2 2 13 Suy ra: S = p( p − AB)( p − AC )( p − BC ) = . 2 Câu 44: Cho tam giác ABC có A(1; −1), B(3; −3), C (6;0). Diện tích ∆ABC là

A. 12.

QU Y

Mặt khác p =

B. 6.

C. 6 2. Lời giải

D. 9.

Chọn B Ta có: AB = (2; −2)  AB = 2 2 , AC = (5;1)  AC = 26 , BC = (3;3)  BC = 3 2 .

Mặt khác AB.BC = 0  AB ⊥ BC .

1 2 Câu 45: Cho tam giác ABC có a = 4, b = 6, c = 8 . Khi đó diện tích của tam giác là:

KÈ

Suy ra: S∆ABC = AB.BC = 6.

A. 9 15.

B. 3 15.

C. 105.

2 15. 3

Lời giải

Chọn B

DẠ

Ta có: p =

a +b+c 4+6+8 = = 9. 2 2

Suy ra: S = p ( p − a)( p − b)( p − c ) = 3 15.

Câu 46: Cho tam giác ABC . Biết AB = 2 ; BC = 3 và ABC = 60° . Tính chu vi và diện tích tam giác . ABC

Page 10

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC B. 5 + 7 và

3 3 . 2

3 3 . 2 3 . 2

D. 5 + 19 và

C. 5 7 và

3 . 2

Lời giải A

K C

Chọn B

FI CI A

A. 5 + 7 và

2 2 2 Ta có: AC = AB + BC − 2. AB.BC.c os ABC = 4 + 9 − 2.2.3.c os60° = 13 − 6 = 7 .

Suy ra AC = 7 .

ƠN

Chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC = 2 + 3 + 7 .

1 = 1 .2.3.sin 60° = 3 3 . AB.BC.sin ABC 2 2 2 Câu 47: Tam giác ABC có các trung tuyến ma = 15 , mb = 12 , mc = 9 .Diện tích S của tam giác ABC

bằng A. 72 .

B. 144 .

Chọn A Theo bài toán ta có

Diện tích tam giác ABC là S ∆ABC =

C. 54 . Lời giải 1

D. 108 .

p( p − a)( p − b)( p − c) = 72 .

KÈ

S ABC =

QU Y

 2 b2 + c2 a2 2 ma = 2 − 4 = 15 2b 2 + 2c 2 − a 2 = 900 a = 10  2 2 2  2   2 a +c b 2 2 2 − = 12 ⇔ 2a + 2c − b = 576 ⇔ b = 4 13 mb = 2 4  2a 2 + 2b 2 − c 2 = 324  c = 2 73   2 a 2 + b2 c 2 2 m = − = 9  c 2 4  a+b+c = 5 + 2 13 + 73 , áp dụng công thức He-rong ta có Ta có p = 2 Cách 2: Đặt BC = a, CA = b, AB = c ,

DẠ

Theo định lý trung tuyến có:  4ma2 + a 2 = 2 ( b 2 + c 2 ) −a 2 + 2b 2 + 2c 2 = 900  a 2 = 100  a 2 = 100  a = 10     2   2 2 2 2 2 2 2 2  4mb + b = 2 ( a + c )   2a − b + 2c = 576  b = 208  b = 208  b = 4 13  2 2  2a 2 + 2b 2 − c 2 = 324 c 2 = 291 c 2 = 292  2 2 c = 2 73     4mc + c = 2 ( b + a ) 1 Có S ABC = p ( p − a )( p − b )( p − c ) , p = ( a + b + c ) Suy ra S ABC = 72 2

Page 11

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

7 2 . 2

B. 8 .

C. 8 3

D. 80 3

FI CI A

Lời giải

3 Câu 48: Cho tam giác ∆ ABC có b = 7; c = 5;cos A = . Độ dài đường cao ha của tam giác ∆ ABC là. 5

Chọn A

3 a = b2 + c 2 − 2bc cos A = 72 + 52 − 2.7.5. = 32 = 4 2 5 4  sin A = 2  4  3  16 5 vì . Suy ra  0≤ A ≤ 180 0 nên sin A= sin 2 A = 1 − cos 2 A = 1 −   = 5 25 5 sin A = − 4  5

1 1 4 1 1 7 2 S = bc sin A = .7.5. = 14 mà S = a.ha ⇔ 14 = .4 2.ha ⇔ ha = 2 2 5 2 2 2 Câu 49: Cho tam giác ABC có AB = 2a; AC = 4a và BAC = 120° . Tính diện tích tam giác ABC ? B. S = 2a 2 3 .

Chọn B

C. S = a 2 3 . Lời giải

ƠN

A. S = 8a2 .

2 D. S = 4a .

1 = 1 .2a.4a.sin120° = 2a 2 3 . AB. AC.sin BAC 2 2 Câu 50: Cho tam giác ABC đều cạnh a . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng

a 3 . 2

a 3 . 3

Diện tích của tam giác ABC là S ABC =

a 3 . 4

a 2 . 2

Lời giải

QU Y

Chọn B

2a 3 a 3 = . 3 2 3 Câu 51: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 12 và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Diện tích của tam giác ABC bằng A. 12 . B. 3 . C. 6 . D. 24 . Lời giải Chọn C 12 Theo đề bài tam giác ABC có chu vi bằng 12 nên nửa chu vi là p = ; bán kính đường tròn 2 nội tiếp bằng 1, tức là ta có: r = 1 . Diện tích tam giác ABC là: S = p.r = 6.1 = 6 .

KÈ

Gọi G là trọng tâm ABC . Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = AG =

DẠ

Câu 52: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 2a 4a 8a 6a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A

Page 12

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

I là giao điểm của AH và CK . Lúc đó, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2a 3 = a 3. 2 2 2 2a Do đó: R = AI = AH = a 3 = . 3 3 3

ƠN

Ta có: AH =

Gọi H, K lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC ;

FI CI A

Câu 53: Cho tam giác ABC có BC = 6 , AC = 2 và AB = 3 + 1 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng: B.

C. 2 . Lời giải

D. 2 .

Chọn C

Áp dụng định lý cosin ta có cos A =

b2 + c2 − a 2 1 = suy ra A = 60° . 2bc 2

a = 2. 2sin A Câu 54: Cho tam giác ABC có AB = 3 , AC = 4 , BC = 5 . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 8 4 3 A. 1 . B. . C. . D. . 9 5 4 Lời giải Chọn A Vì AB 2 + AC 2 = BC 2 nên tam giác ABC vuông tại A . 1 AB. AC S 3.4 2 = = 1. Do đó bán kính đường tròn nội tiếp r = = p 1 AB + AC + BC 3+ 4+ 5 ( ) 2 Câu 55: Cho ∆ABC có S = 84, a = 13, b = 14, c = 15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác trên là: A. 8,125. B. 130. C. 8. D. 8,5. Lời giải Chọn A

DẠ

KÈ

QU Y

Áp dụng định lý sin ta có R =

Ta có: S∆ABC =

a.b.c a.b.c 13.14.15 65 ⇔R= = = . 4R 4S 4.84 8

Page 13

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Câu 56: Cho ∆ABC có S = 10 3 , nửa chu vi p = 10 . Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là:

B. 2.

A. 3.

Lời giải Ta có: S = pr  r =

FI CI A

Chọn D S 10 3 = = 3. p 10

Câu 57: Một tam giác có ba cạnh là 26,28,30. Bán kính đường tròn nội tiếp là: A. 16.

B. 8.

C. 4. Lời giải

D. 4 2.

Chọn B a + b + c 26 + 28 + 30 = = 42. 2 2

S = pr  r =

S = p

Ta có: p =

p ( p − a)( p − b)( p − c) 42(42 − 26)(42 − 28)(42 − 30) = = 8. p 42

65 . 8

ƠN

Câu 58: Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60. Bán kính đường tròn ngoại tiếp là: B. 40.

C. 32,5.

65 . 4

11 . 2

Lời giải Ta có: p =

Chọn C a + b + c 52 + 56 + 60 = = 84. 2 2

Suy ra: S = p( p − a)( p − b)( p − c ) = 84(84 − 52)(84 − 56)(84 − 60) = 1344 . abc abc 52.56.60 65 R= = = . 4R 4S 4.1344 2 Câu 59: Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là?

QU Y

Mà S =

A. 6.

B. 8.

Chọn C

13 . 2 Lời giải

13 .. 2 Câu 60: Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu?

KÈ

A. 2.

Ta có: 52 + 122 = 132  R =

B. 2 2.

C. 2 3. Lời giải

D. 3.

Chọn A

5 + 12 + 13 1 = 15 . Mà 52 + 122 = 132  S = .5.12 = 30. 2 2 S Mặt khác S = p.r  r = = 2. p

DẠ

Ta có: p =

Câu 61: Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu? A. 5.

B. 4 2.

C. 5 2. Lời giải

Chọn A Page 14

D. 6 .

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 10 = 5. . 2 Câu 62: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 4, BC = 6 , M là trung điểm của BC , N là điểm trên

Ta có: 62 + 82 = 102  R =

3 5 . 2

C. 5 2 .

5 2 . 2

FI CI A

A. 3 5 .

cạnh CD sao cho ND = 3 NC . Khi đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN bằng

Lời giải

ƠN

Chọn D

Ta có BM = 3, AB = 4  AM = 5

AD = 6, ND = 3  AN = 45

AM + AN + MN 10 + 5 + 45 = 2 2 S AMN =

p ( p − AM )( p − AN )( p − MN ) =

QU Y

MC = 3, NC = 1  MN = 10

15 2

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác AMN là: R =

AM . AN .MN 5 2 = 4 S AMN 2

5 . 2

KÈ

Câu 63: Cho tam giác đều ABC ;gọi D là điểm thỏa mãn DC = 2 BD . Gọi R và r lần lượt là bán kính R đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ADC . Tính tỉ số . r B.

5+7 7 . 9

7+5 5 . 9

Lời giải

DẠ

Chọn D Ta có DC = 2 BD ⇔ DC = −2 DB . Do đó DC = 2 DB .

Page 15

7+5 7 . 9

Gọi S là diện tích của tam giác ACD và E là trung điểm của BC .

a2 3 6 2

 a 3   a  2 2a 7   +   = 6  2  6

 2 2 a2 3 S = S = .  ABC 3 3 4  Đặt AB = a . Suy ra   AD = AE 2 + ED 2 =  

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

 AD + DC + AC 5+ 7 .r = a.r S = 5 + 7 ar.2a 3 7 7 5 + 7 a 4r  2 6 2 H ơ n n ữa  . S = = 3 6.36 R 108 R  S = AD.DC.BC = 2a 7  4R 36 R

(

)

ƠN

(

)

(

)

7 5 + 7 a4r 7 5 + 7 .12 7 5+ 7 a4 R R Hay = ⇔ = ⇔ = . 12 108 R r 108 r 9 DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ Câu 64: Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta

QU Y

xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78o 24' . Biết CA = 250 m, CB = 120 m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu?

A. 266 m.

B. 255 m.

Chọn B

C. 166 m.

D. 298 m.

Lời giải

Ta có: AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CB.CA.cos C = 2502 + 1202 − 2.250.120.cos 78o 24' ≃ 64835  AB ≃ 255. Câu 65: Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc

600 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30 km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km / h . Hỏi sau 2 giờ

hai tàu cách nhau bao nhiêu km ?

KÈ

A. 13.

B. 20 13.

C. 10 13. Lời giải

D. 15.

Chọn B Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: S1 = 30.2 = 60 km. Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: S 2 = 40.2 = 80 km.

Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là: S = S12 + S 2 2 − 2 S1.S2 .cos 600 = 20 13.

DẠ

Câu 66: Từ một đỉnh tháp chiều cao CD = 80 m , người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 72012' và 340 26' . Ba điểm A, B, D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB ? A. 71 m. B. 91 m. C. 79 m. D. 40 m.

Lời giải Chọn B Page 16

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC CD CD 80  AD = = ≃ 25,7. 0 AD tan 72 12' tan 72012' CD CD 80 Trong tam giác vuông CDB : tan 340 26' =  BD = = ≃ 116,7. 0 BD tan 34 26' tan 340 26' Suy ra: khoảng cách AB = 116,7 − 25,7 = 91 m.

FI CI A

Ta có: Trong tam giác vuông CDA : tan 72012' =

Câu 67: Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 56016' . Biết CA = 200 m , CB = 180 m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu?

A. 180 m.

B. 224 m.

C. 112 m.

D. 168 m.

Lời giải Chọn A

ƠN

Ta có: AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CB.CA.cos C = 2002 + 1802 − 2.200.180.cos56016' ≃ 32416  AB ≃ 180. Câu 68: Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ ( AB = 4,3 cm; BC = 3, 7 cm; CA = 7,5 cm). Bán kính của chiếc đĩa này bằng.

A. 5,73 cm.

B. 6,01cm.

C. 5,85cm. Lời giải

D. 4,57cm.

QU Y

Chọn A Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . AB + BC + CA 4,3 + 3, 7 + 7,5 31 Nửa chu vi của tam giác ABC là: p = = = cm. 2 2 4 Diện tích tam giác ABC là: S =

p ( p − AB )( p − BC )( p − CA ) ≈ 5, 2 cm2.

KÈ

AB.BC.CA AB.BC.CA R= ≈ 5, 73 cm. 4R 4S Câu 69: Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất = 630 ; CBD = 480 . Chiều cao sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24m, CAD Mà S =

h của khối tháp gần với giá trị nào sau đây? A. 61,4 m. B. 18,5 m.

C. 60 m. Lời giải

DẠ

Chọn A

Page 17

D. 18 m.

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

= 630  BAD = 1170  ADB = 1800 − 1170 + 480 = 150 Ta có CAD

(

)

AB BD AB.sin BAD  BD = = sin ADB sin BAD sin ADB = CD  CD = BD.sin CBD Tam giác BCD vuông tại C nên có: sin CBD BD 0 AB.sin BAD.sin CBD 24.sin117 .sin 480 = = 61, 4m Vậy CD = sin150 sin ADB

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có:

Page 18

VECTƠ

FI CI A

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

BÀI 7. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU LÝ THUYẾT.

I =

1. KHÁI NIỆM VECTƠ

ƠN

Cho đoạn thẳng AB . Nếu chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B . Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng.

1.1. Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rỏ điểm đầu, điểm cuối.

1.2. Kí hiệu

QU Y

Vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B được kí hiệu là AB , đọc là “vectơ AB ”. Vectơ còn được kí hiệu là a , b , x , y , … khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.

1.3. Độ dài vectơ: Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ AB được kí hiệu là AB , như vậy AB = AB . Độ dài của vectơ a được kí hiệu là a . Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.

KÈ

2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, VECTƠ CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU 2.1. Giá của vectơ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

DẠ

2.2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Hai vectơ cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Page 1

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

2.3. Nhận xét

Ba điểm phân biệt A , B , C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương. 2. 4. Hai vecto bằng nhau: Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Kí hiệu a = b .

3.3. Chú ý

ƠN

Khi cho trước vectơ a và điểm O , thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho OA = a .

3. VECTƠ – KHÔNG

Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ta kí hiệu là 0 .

Ta quy ước vectơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ và có độ dài bằng 0 . Như vậy 0 = AA = BB = ... và MN = 0 ⇔ M ≡ N .

QU Y

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.

KÈ

4.1. Cho ba vectơ a, b, c đều khác vectơ 0 . Những khẳng định nào sau đây là đúng? a) a, b, c đều cùng phương với vectơ 0 . b) Nếu b không cùng hướng với a thì b ngược hướng với a . c) Nếu a và b đều cùng phương với c thì a và b cùng phương. d) Nếu a và b đều cùng hướng với c thì a và b cùng hướng. Lời giải

DẠ

Chọn đáp án câu a, c và d

Page 2

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

FI CI A

4.2. Trong Hình 4.12, hãy chỉ racác vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.

ƠN

+ Các vectơ cùng phương: a, b, c + Cặp vectơ ngược hướng: a và b ; b và c ; + Cặp vectơ bằng nhau: a, c .

Lời giải

4.3. Chứng minh rằng, tứ giác ABCD là hình bình hành khivà chỉ khiBC = AD . Lời giải

QU Y

 AD / / BC + Giả sử tứ giác ABCD là hình bình hành. Ta có   AD = BC AD / / BC nên AD, BC cùng phương và AD = BC . Dựa vào hình vẽ ta thấy hai vectơ AD, BC cùng chiều . Vậy AD = BC .

 AD = BC ⇒ Tứ giác ABCD là + Giả sử AD = BC ⇒ AD, BC cùng hướng và AD = BC ⇒   AD / / BC hình bình hành. 4.4. Chohình vuông ABCD có haiđường chéocắt nhautạiO. Hãy chỉ ratập hợp S chứatất cả các vectơ khác vectơ 0 , có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp { A, B , C , D, O} . Hãy chia tập S thành

KÈ

{

các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau. Lời giải S = AB, AC , AD, AO, BA, BC , BD, BO, CA, CB, CD, CO, DA, DB, DC , DO, OA, OB, OC , OD

}

Các cặp vectơ bằng nhau trong tập S AB, DC , AD , BC , AO, OC , BA, CD , BO, OD , CB, DA , CO, OA , DO , OB

{(

)(

)}

DẠ

4.5. Trên mặt phẳng tọađộ Oxy , hãy vẽ các vectơ OA, MN vớiA (1; 2 ) , M ( 0; −1) , N ( 3;5 ) .

a) Chỉ ra mối liên hệ giữa hai vectơ trên. b) Một vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ v = OA . Hỏi vật thể đó có đi qua N hay không ? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới N? Page 3

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

FI CI A

Lời giải

a) Dựa vào hình vẽ , nhận thấy giá của vectơ OA song song với giá của vectơ MN và độ dài đoạn MN = 3 OA , chiều đi từ O đến A cùng chiều đi từ M đến N.

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.

II =

ƠN

b) Một vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ v = OA . Vật thể gặp N và thời gian gấp 3 lần thời gian đi từ O đến A.

PHƯƠNG PHÁP.

1 =

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH MỘT VECTƠ; PHƯƠNG, HƯỚNG CỦA VECTƠ; ĐỘ DÀI CỦA VECTƠ

QU Y

+ Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo định nghĩa. + Dựa vào các tình chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ.

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2 = Câu 1:

Với hai điểm phân biệt A, B có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối được lấy từ hai điểm trên? Lời giải

Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C? Lời giải

DẠ

Câu 2:

KÈ

Hai vectơ AB và BA .

Page 4

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

Ta có 6 vectơ: AB, BA, BC , CB, CA, AC .

Câu 3:

ƠN

Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm số các vectơ khác vectơ - không, cùng phương với vectơ OB có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác? Lời giải

QU Y

Các vectơ cùng phương với vectơ OB là: BE , EB, DC , CD, FA, AF . Câu 4:

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Tìm số các vectơ bằng OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác? Lời giải

DẠ

Câu 5:

B A

D O E

KÈ

Đó là các vectơ: AB, ED .

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Lấy 8 điểm trên là gốc hoặc ngọn của các vectơ. Tìm số vectơ bằng với vectơ AR Lời giải

Page 5

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

Có 3 vectơ là RD ; BQ ; QC, PO .

Cho tứ giác ABCD . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác? Lời giải Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi 2 điểm phân biệt. Khi có 4 điểm A, B, C , D ta

Câu 6:

Câu 8:

ƠN

Câu 7:

có 4 cách chọn điểm đầu và 3 cách chọn điểm cuối. Nên ta sẽ có 3.4 = 12 cách xác định số vectơ khác 0 thuộc 4 điểm trên. Số vectơ (khác vectơ 0 ) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 7 điểm phân biệt cho trước? Lời giải Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi 2 điểm phân biệt. Khi có 7 điểm ta có 7 cách chọn điểm đầu và 6 cách chọn điểm cuối. Nên ta sẽ có 7.6 = 42 cách xác định số vectơ khác 0 thuộc 7 điểm trên. Trên mặt phẳng cho 6 điểm phân biệt A, B, C , D, E ; F . Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ –

QU Y

không, mà có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho? Lời giải Xét tập X = { A, B, C , D, E ; F } . Với mỗi cách chọn hai phần tử của tập X và sắp xếp theo một thứ tự ta được một vectơ thỏa mãn yêu cầu. Mỗi vectơ thỏa mãn yêu cầu tương ứng cho ta 30 phần tử thuộc tập X . Vậy số các vectơ thỏa mãn yêu cầu bằng 30 .

Cho n điểm phân biệt. Hãy xác định số vectơ khác vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối thuộc n điểm trên?

KÈ

Câu 9:

DẠ

Lời giải Khi có n điểm, ta có n cách chọn điểm đầu và n − 1 cách chọn điểm cuối. Nên ta sẽ có n ( n − 1) cách xác định số vectơ khác 0 thuộc n điểm trên. Câu 10: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Số các vectơ bằng OC có điểm cuối là các đỉnh của lục giác là bao nhiêu? Lời giải

Page 6

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

Đó là các vectơ: AB; ED .

Câu 11: Cho ba điểm M , N , P thẳng hàng, trong đó điểm N nằm giữa hai điểm M và P . Tìm các cặp vectơ cùng hướng? Lời giải

QU Y

ƠN

Các vec tơ cùng hướng là : MN và MP , MN và NP , PM và PN , PN và NM . Câu 12: Cho hình bình hành ABCD . Tìm vectơ khác 0 , cùng phương với vectơ AB và có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của hình bình hành ABCD . Lời giải Các vectơ cùng phương với AB mà thỏa mãn điều kiện đầu Câu là: BA, CD , DC .

DẠ

KÈ

Câu 13: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Tìm số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: Lời giải

D O

Đó là các vectơ: AB, BA, DE , ED, FC , CF , OF , FO . Câu 14: Cho điểm A và véctơ a khác 0 . Tìm điểm M sao cho: Page 7

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

a) AM cùng phương với a . b) AM cùng hướng với a .

FI CI A

Lời giải

ƠN

Gọi ∆ là giá của a . a) Nếu AM cùng phương với a thì đường thẳng AM song song với ∆ . Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và song song với ∆ . Ngược lại, mọi điểm M thuộc đường thẳng m thì AM cùng phương với a . Chú ý rằng nếu A thuộc đường thẳng ∆ thì m trùng với ∆ . b) Lập luận tương tự như trên, ta thấy các điểm M thuộc một nửa đường thẳng gốc A của đường thẳng m . Cụ thể, đó là nửa đường thẳng chưa điểm E sao cho AE và a cùng hướng.

QU Y

Câu 15: Cho tam giác ABC có trực tâm H . Gọi D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng HA = CD và AD = HC . Lời giải

KÈ

chắn nửa đường tròn). Suy ra AH DC. Ta có AH ⊥ BC và DC ⊥ BC (do góc DCB Tương tự ta cũng có CH AD.

Suy ra tứ giác ADCH là hình bình hành. Do đó HA = CD và AD = HC .

DẠ

Câu 16: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC = 4. Tính BC Lời giải vì BC = BC =

AB + AC = 16 + 16 = 4 2

Page 8

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Câu 17: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh 3. Giá trị của AC là bao nhiêu?

FI CI A

Lời giải

Câu 18: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính CB Lời giải

vì CB = CB = a

vì AC = AC = 3 2

ƠN

Câu 19: Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12. Tính GM (với M là trung điểm của BC)

Lời giải

1 1 vì GM = GM = . AM = .6 = 2 3 3

Câu 20: Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 4 và AC = 5. Tìm độ dài vectơ AC .

3 =

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

Cho tứ giác ABCD . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác? A. 4. B. 6. C. 8. D. 12. Lời giải Chọn D

KÈ

Câu 1:

Lời giải

QU Y

vì AC = AC = 5

DẠ

Câu 2:

Xét các vectơ có điểm A là điểm đầu thì có các vectơ thỏa mãn Câu toán là AB, AC , AD  → có 3 vectơ. Tương tự cho các điểm còn lại B, C , D. Cho 5 điểm A, B, C, D, E có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các điểm đã cho? A. 4 B. 20 C. 10 D. 12 Lời giải Chọn A Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tìm các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho bằng với AB ?

Câu 3:

Page 9

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO A. FO , OC , FD

B. FO, AC , ED

C. BO, OC , ED

D. FO , OC , ED

Lời giải

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Số các vectơ khác vectơ - không, cùng phương với OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là A. 4. B. 6. C. 7. D. 9. Lời giải Chọn B Đó là các vectơ: AB, BA, DE , ED , FC , CF .

ƠN

Câu 4:

FI CI A

Chọn D

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Xác định các vectơ cùng phương với MN . A. AC , CA, AP, PA, PC , CP B. NM , BC , CB, PA, AP C. NM , AC , CA, AP, PA, PC , CP D. NM , BC , CA, AM , MA, PN , CP

QU Y

Câu 5:

DẠ

KÈ

Chọn C

Lời giải

Câu 6:

Cho hai vectơ khác vectơ - không, không cùng phương. Có bao nhiêu vectơ khác 0 cùng phương với cả hai vectơ đó? A. 2 . B. 1. C. không có. D. vô số. Page 10

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Lời giải Chọn C

Câu 7:

FI CI A

Giả sử tồn tại một vec-tơ c cùng phương với cả hai véc-tơ a , b . Lúc đó tồn tại các số thực h k và k sao cho c = ha và c = kb . Từ đó suy ra ha = kb ⇔ a = b . h Suy ra hai véc-tơ a và b cùng phương. (mâu thuẫn).  Chọn C Cho hình bình hành ABCD . Số vectơ khác 0 , cùng phương với vectơ AB và có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của hình bình hành ABCD là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải

Chọn C

ƠN

QU Y

Câu 8:

Các vectơ cùng phường với AB mà thỏa mãn điều kiện đầu Câu là: BA, CD , DC . Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Số vectơ khác 0 , có điểm đầu điểm cuối là đỉnh của lục giác hoặc tâm O và cùng phương với vectơ OC là A. 3 . B. 4 . C. 8 . D. 9 . Lời giải Chọn D

E D Các vectơ thỏa mãn là: CO, FO, OF , FC , CF , AB, BA, ED, DE .

Cho tứ giác ABCD . Số các véctơ khác véctơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác là A. 4 . B. 6 . C. 8 . D. 12 . Lời giải

KÈ

Câu 9:

DẠ

Chọn D Từ mỗi đỉnh ta có một điểm đầu và ba đỉnh còn lại là ba điểm cuối, vậy tạo nên ba véctơ. Với bốn đỉnh như vậy ta có tất cả 3.4 = 12 véctơ. Câu 10: Cho tam giác ABC , có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C ? Page 11

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO B. 6 .

C. 4 . Lời giải

D. 9 .

Chọn B

FI CI A

A. 3 .

ƠN

Đó là các vectơ: AB, BA, BC, CB, CA, AC . Câu 11: Cho tứ giác ABCD có AD = BC . Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai? A. Tứ giác ABCD là hình bình hành. B. DA = BC . C. AC = BD . D. AB = DC . Lời giải Chọn C AC và BD là hai đường chéo của tứ giác ABCD nên hai vectơ AC , BD không cùng phương vì vậy không thể bằng nhau. Câu 12: Cho tam giác ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , AC . Hỏi cặp véctơ nào sau đây cùng hướng?

B. MN và CB .

C. MA và MB . Lời giải

Chọn A

D. AN và CA .

A. AB và MB .

QU Y

KÈ

Câu 13: Cho tứ giác ABCD . Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB = CD ? A. ABCD là vuông. B. ABDC là hình bình hành. C. AD và BC có cùng trung điểm. D. AB = CD . Lời giải Chọn B Ta có:

 AB CD ⇒ ABDC  AB = CD

 AB = CD ⇒ 

là hình bình hành.  AB CD ⇒ AB = CD .  AB = CD

 Mặt khác, ABDC là hình bình hành ⇒ 

DẠ

Do đó, điều kiện cần và đủ để AB = CD là ABDC là hình bình hành. Câu 14: Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai?

A. OB = DO .

B. AB = DC .

C. OA = OC . Lời giải

Chọn C Page 12

D. CB = DA .

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

FI CI A

OA và OC là hai vectơ đối nhau. Câu 15: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây: A. 0 cùng hướng với mọi vectơ. C. AA = 0 . D. AB > 0 .

B. 0 cùng phương với mọi vectơ.

Chọn D

Lời giải Mệnh đề AB > 0 là mệnh đề sai, vì khi A ≡ B thì AB = 0 .

Câu 16: Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 4 và AC = 5. Tìm độ dài vectơ BC . B.

C. 9. Lời giải

41.

D. ±3.

ƠN

A. 3.

Chọn A

BC = BC = AC 2 − AB 2 = 52 − 42 = 3

3 . 2

KÈ

QU Y

Câu 17: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4. Tính độ dài của vectơ CA . CA = 5. CA = 25. CA = 7. CA = 7. A. B. C. D. Lời giải Chọn A CA = CA = AB 2 + BC 2 = 5 Câu 18: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 1. Gọi H là trung điểm BC. Tính AH .

B. 1.

C. 2.

Lời giải

Chọn A 3 AH = AH = . 2

DẠ

Câu 19: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Gọi M là trung điểm BC. Khi đó AM bằng:

A. 2a.

B. 2a 3.

C. 4a. Lời giải

Chọn D Page 13

D. a 3.

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Ta có AM = AM =

 2 B. 1 −  a. 2  

a 2 . 2

C. a.

Lời giải Chọn A BD a 2 Ta có OD = OD = . = 2 2 Câu 21: Mệnh đề nào dưới đây đúng?

a2 . 2

FI CI A

AB 2 − BM 2 = (2a ) 2 − a 2 = a 3 Câu 20: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính OD .

ƠN

A. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác 0 thì cùng phương. B. Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướng. C. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương. D. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng hướng. Lời giải Chọn A Câu 22: Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không, có điểm đầu và điểm cuối là A, B hoặc C ? B. 5 .

C. 6 . Lời giải

A. 3 . Chọn C

D. 9 .

Các vectơ thỏa đề gồm AB, AC , BA, BC , CA, CB .

QU Y

Câu 23: Vectơ có điểm đầu là A , điểm cuối là B được kí hiệu là: A. AB . B. AB . C. AB .

D. BA .

Lời giải

Chọn B Câu 24: Cho tam giác ABC . Có thể xác định bao nhiêu vectơ (khác vectơ không) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh A, B, C ?

Chọn B

B. 6 .

C. 4. Lời giải

D. 2.

A. 3 .

Các véc tơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh A, B, C là: AB; AC; BC; BA; CB; CA .

KÈ

Vậy có tất cả 6 véc tơ.

Câu 25: Từ hai điểm phân biệt A, B xác định được bao nhiêu vectơ khác 0 ? A. 3 .

B. 1.

C. 2 . Lời giải

D. 4 .

DẠ

Chọn C Câu 26: Khẳng định nào sau đây đúng? 2 2 A. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu a = b . B. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng phương và cùng độ dài. C. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng độ dài. D. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Page 14

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Lời giải Chọn D

điểm A, B, C , D là A. 10 .

B. 14 .

C. 8 . Lời giải

FI CI A

Theo định nghĩa thì "Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài." Câu 27: Cho bốn điểm A, B, C , D phân biệt. Số véctơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ các

D. 12 .

Chọn D

Chọn một điểm bất kì là điểm đầu, giả sử là A thì lập được 3 véctơ là AB, AC , AD .

Tương tự với mỗi điềm đầu lần lượt là B , C , D thì cũng lập được 3 véctơ. Số véctơ (khác 0 )

có điểm đầu và điểm cuối lấy từ các điểm A, B, C , D là 4.3 = 12 .

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

Câu 28: Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hai véc tơ gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài. B. Hai véc tơ gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài. C. Hai véc tơ gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng. D. Hai véc tơ gọi là đối nhau nếu chúng cùng phương và cùng độ dài. Lời giải Chọn B Theo định nghĩa hai véc tơ đối nhau. Câu 29: Phát biểu nào sau đây đúng? A. Hai vectơ bằng nhau thì có giá trùng nhau hoặc song song. B. Hai vectơ có độ dài không bằng nhau thì không cùng hướng. C. Hai vectơ không bằng nhau thì chúng không cùng hướng. D. Hai vectơ không bằng nhau thì độ dài của chúng không bằng nhau. Lời giải Chọn A Theo định nghĩa hai vectơ bằng nhau thì chúng cùng phương nên có giá trùng nhau hoặc song song. Câu 30: Hai vectơ có cùng độ dài và ngược hướng gọi là A. Hai vectơ cùng hướng. B. Hai vectơ cùng phương. C. Hai vectơ đối nhau. D. Hai vectơ bằng nhau. Lời giải Chọn C Theo định nghĩa hai vectơ đối nhau. Câu 31: Cho tứ diện ABCD . Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD ? A. 12 . B. 4 . C. 10 . D. 8 . Lời giải Chọn A Số vectơ khác vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD là số các chỉnh hợp chập 2 của phần tử  số vectơ là A42 = 12 . Câu 32: Phát biểu nào sau đây sai? A. Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương. Page 15

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

FI CI A

B. Độ dài của vec tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó. C. Hai vec tơ cùng phương thì cùng hướng. D. Vec tơ là đoạn thẳng có hướng. Lời giải Chọn C Hai vec tơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng. Câu 33: Cho 3 điểm M , N , P thẳng hàng trong đó N nằm giữa M và P . khi đó các cặp véc tơ nào sau đây cùng hướng? A. MN và MP . B. MN và PN . C. NM và NP . D. MP và PN . Lời giải Chọn A

Câu 34: Cho ba điểm M , N , P thẳng hàng, trong đó điểm N nằm giữa hai điểm M và P . Khi đó các

C. NM và NP . Lời giải

D. MN và MP .

ƠN

cặp vectơ nào sau đây cùng hướng? A. MP và PN . B. MN và PN .

Chọn D

Cặp vectơ cùng hướng là MN và MP .

DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI VECTƠ BẰNG NHAU

PHƯƠNG PHÁP.

QU Y

1 =

+ Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng có cùng độ dài và cùng hướng hoặc dựa vào nhận xét nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì A B = D C hoặc AD = BC .

Cho hình vuông ABCD tâm O . Hãy liệt kê tất cả các vectơ bằng nhau nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối.

Lời giải

DẠ

Câu 1:

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

KÈ

2 =

Page 16

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

FI CI A

Câu 2:

Các vectơ bằng nhau nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối là: AB = DC , AD = BC , BA = CD , DA = CB , AO = OC , OA = CO , BO = OD , OB = DO . Cho vectơ AB và một điểm C . Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB = CD . Lời giải Nếu C nằm trên đường thẳng AB thì D cũng nằm trên đường thẳng AB .

Nếu C không nằm trên đường thẳng AB thì tứ giác ABDC là hình bình hành. Khi đó D nằm trên đường thẳng đi qua C và song song với đường thẳng AB .

Câu 3:

Do vậy, có vô số điểm D thỏa mãn AB = CD .

Cho tứ giác đều ABCD . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC , CD, DA . Chứng minh MN = QP .

ƠN

Lời giải

Câu 4:

QU Y

 MN //AC PQ//AC  MN //PQ   ;   MN = QP . Ta có   1 1  MN = 2 AC  PQ = 2 AC  MN = PQ Vậy MN = QP . Cho tứ giác ABCD . Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB = CD ?

Ta có:

Lời giải

KÈ

 AB CD ⇒ ABDC là hình bình hành.  AB = CD ⇒    AB = CD

DẠ

 AB CD  Mặt khác, ABDC là hình bình hành ⇒  ⇒ AB = CD .   AB = CD Do đó, điều kiện cần và đủ để AB = CD là ABCD là hình bình hành.

Câu 5:

Cho hai điểm phân biệt A, B . Xác định điều kiện để điểm I là trung điểm AB .

Lời giải Vì I là trung điểm AB nên ta có IA + IB = 0 ⇔ IA = −IB ⇔ IA = BI . Page 17

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

Câu 6:

Cho tam giác ABC . Gọi D, E , F lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA, AB . Chứng minh EF = CD .

FI CI A

Lời giải

Vậy điều kiện để điểm I là trung điểm AB là: IA = BI .

Cho hình bình hành ABCD . Gọi E là điểm đối xứng C của qua D . Chứng minh rằng AE = BD . Lời giải

QU Y

Câu 7:

ƠN

Cách 1: Vì EF là đường trung bình của tam giác ABC nên EF // CD nên 1 EF = CB  EF = CD  EF = CD (1). 2 Mặt khác: EF cùng hướng CD (2). Từ (1) và (2) ta có: EF = CD . Cách 2: Chứng minh EFCD là hình bình hành 1 Dễ chứng minh được EF = BC = CD và EF // CD  EFCD là hình bình hành  EF = CD . 2

KÈ

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: BA = CD (1).

Ta có: E là điểm đối xứng C của qua D nên D là trung điểm cuả CE ⇔ CD = DE (2). Từ (1) và (2) ta có: BA = DE ⇔ ABDE là hình bình hành nên AE = BD . Cho ∆ABC có M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CA . Tìm điểm I sao cho NP = MI . Lời giải

DẠ

Câu 8:

Page 18

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

Vì NP = MI mà NP = MB nên I ≡ B . Câu 9:

Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC , CD, DA . Chứng minh MN = QP; NP = MQ .

ƠN

Lời giải

Ta có MN là đường trung bình tam giác ABC  MN =

1 AC và PQ là đường trung bình 2

1 tam giác DAC  PQ = AC . Do đó MN = PQ  MNPQ là hình bình hành nên suy ra 2 MN = QP; NP = MQ .

QU Y

Câu 10: Cho hình bình hành ABCD . Goi M , N lần lượt là trung điểm của AB, DC . AN và CM lần lượt cắt BD tại E , F . Chứng minh rằng DE = EF = FB

KÈ

Lời giải

DẠ

 AM = CN ⇔ AMCN là hình bình hành. Ta có :   AM / /CN Theo gt ta có : N là trung điểm DC và NE / / CF  NE là đường trung bình của ∆DFC  E là trung điểm của DF  DE = EF (1). Tương tự ta cũng có : F là trung điểm của BE nên EF = FB (2). Từ (1) và (2) ta có: DE = EF = FB .

3 =

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Page 19

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau. B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành. C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều. D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau. Lời giải Chọn D Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tìm các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho bằng với AB ? A. FO, OC , FD . B. FO, AC , ED . C. BO, OC , ED . D. FO, OC , ED .

Câu 2:

FI CI A

Câu 1:

Lời giải

Các vectơ bằng vectơ AB là: FO, OC, ED .

ƠN

Chọn D

Cho ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. AB = BC . B. BA và BC cùng phương. C. AB và AC ngược hướng. D. CA và CB cùng hướng. Lời giải Chọn B Ba điểm A, B, C phân biệt. A, B, C thẳng hàng ⇔ BA, BC cùng phương.

Câu 4:

Cho tam giác đều cạnh 2 a . Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. AB = AC . B. AB = 2a . C. AB = 2a .

QU Y

Câu 3:

D. AB = AB .

Lời giải

Chọn C

KÈ

Cho hình bình hành ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo. Câu nào sau đây là sai? A. AB = CD . B. AD = BC . C. AO = OC . D. OD = BO . Lời giải Chọn A

DẠ

Câu 5:

Vì tam giác đều nên AB = AB = 2a .

Câu 6:

Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB = DC . Cho vectơ AB ≠ 0 và một điểm C . Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB = CD .

Page 20

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO A. 1

B. 2

C. 0 Lời giải

D. Vô số

Chọn D

FI CI A

Chọn câu dưới đây để mệnh đề sau là mệnh đề đúng: Nếu có AB = AC thì A. Tam giác ABC cân. B. Tam giác ABC đều. C. A là trung điểm đoạn BC . D. Điểm B trùng với điểm C . Lời giải Chọn D AB = AC thì A, B, C thẳng hàng và B, C nằm cùng phía so với A . Mà AB = AC nên điểm B

Câu 7:

Chú ý rằng nếu AB = CD thì có duy nhất điểm D.

trùng với điểm C .

Cho tứ giác ABCD . Điều kiện cần và đủ để AB = CD là? A. ABCD là hình vuông. B. ABDC là hình bình hành. C. AD và BC có cùng trung điểm. D. AB = CD . Lời giải Chọn B Ta có  AB CD  AB = CD    ABDC là hình bình hành.  AB = CD

ƠN

Câu 8:

 AB CD  Mặt khác, ABDC là hình bình hành    AB = CD .  AB = CD Câu 9: Cho ∆ABC với điểm M nằm trong tam giác. Gọi A ', B ', C ' lần lượt là trung điểm của BC, CA,

QU Y

AB và N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với M qua A ', B ', C ' . Câu nào sau đây đúng? A. AM = PC và QB = NC B. AC = QN và AM = PC C. AB = CN và AP = QN D. AB ' = BN và MN = BC

Chọn B

Lời giải

KÈ

Ta có AMCP là hình bình hành  AM = PC Lại có AQBM và BMCN là hình bình hành  NC = BM = QA  AQNC là hình bình hành  AC = QN .

Câu 10: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai? A. AB = ED. B. AB = AF . C. OD = BC.

Lời giải

DẠ

Chọn D

Page 21

D. OB = OE.

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

Ta có vì hai vectơ OB, OE ngược hướng nên chúng không bằng nhau.

Câu 11: Cho tam giác ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC . Có bao nhiêu véctơ

ƠN

khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trong các điểm A, B, C , M , N , P bằng véctơ MN (không kể véctơ MN )? A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C

Các véctơ khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trong các điểm A, B , C , M , N , P bằng véctơ MN (không kể véctơ MN ) là: BP và PC

DẠ

KÈ

QU Y

Câu 12: Cho hình thoi ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AD = CB. B. AB = BC. C. AB = AD. D. AB = DC. Lời giải Chọn D Câu 13: Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi A. Chúng cùng phương và có độ dài bằng nhau. B. Giá của chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành. C. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau. D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau. Lời giải Chọn D Câu 14: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai? A. AB = DC . B. OA = CO . C. OB = DO . D. CB = AD . Lời giải Chọn D

Ta có: CB = DA ≠ AD

Câu 15: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Ba vectơ bằng với BA là A. OF , ED, OC . B. OF , DE , CO . C. CA, OF , DE

Page 22

D. OF , DE , OC .

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Lời giải

FI CI A

Chọn B

Ba vectơ bằng BA là OF , DE , CO .

Câu 16: Cho lục giác đều ABCEF tâm O . Số các vectơ bằng OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh B. 3 .

C. 4 . Lời giải

Chọn A

D. 6 .

ƠN

của lục giác là A. 2 .

QU Y

Đó là các vectơ: AB, ED .

Câu 17: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Ba vectơ bằng vectơ BA là: A. OF , ED, OC . B. CA, OF , DE . C. OF , DE, CO .

D. OF , DE , OC .

KÈ

Lời giải Chọn C Giả sử lục giác đều ABCDEF tâm O có hình vẽ như sau

F C

DẠ

Dựa vào hình vẽ và tính chất của lục giác đều ta có các vectơ bằng vectơ BA là OF , DE , CO .

Page 23

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Câu 18: Cho tam giác ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC . Có bao nhiêu véctơ khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trong các điểm A, B, C , M , N , P C. 2 . Lời giải

D. 3

FI CI A

B. 4 .

bằng véctơ MN ? A. 1 .

Chọn C Các véctơ khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trong các điểm A, B, C , M , N , P bằng véctơ MN là: BP và PC Câu 19: Cho hình bình hành tâm O . Hãy chọn phát biểu sai A. O C = O A . B. A B = D C . C. A D = B C . Lời giải Chọn A

D. B O = O D .

ƠN

O A

Hình bình hành ABCD có tâm O nên O là trung điểm AC . Suy ra: O C = − O A . Câu 20: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Số vecto bằng vecto O C có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là A. 6. B. 3. C. 2. D. 4. Lời giải Chọn C

QU Y

Các vecto bằng vecto O C mà điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của lục giác là AB, ED .

DẠ

KÈ

Câu 21: Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O . Gọi D là điểm đối xứng với A qua O ; E là điểm đối xứng với O qua BC . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. O A = H E . B. O H = D E . C. A H = O E . D. B H = C D . Lời giải Chọn B

Page 24

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

FI CI A

O H I C

D E

ƠN

Gọi I là trung điểm của BC . Do E là điểm đối xứng với O qua BC nên I là trung điểm của OE (1). Ta có, CH // D B (cùng vuông góc với AB ) Tương tự, BH // DC (cùng vuông góc với AC )

Từ đó suy ra BHCD là hình bình hành nên I là trung điểm của HD (2). Từ (1) và (2) suy ra, OHED là hình bình hành nên O H = D E .

DẠNG 3: XÁC ĐỊNH ĐIỂM THOẢ ĐẲNG THỨC VECTƠ

PHƯƠNG PHÁP.

QU Y

1 =

Sử dụng: Hai véc tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng độ dài và cùng hướng.

2 =

Cho tam giác ABC . Gọi M , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CA và N là điểm thỏa mãn M P = C N . Hãy xác định vị trí điểm N . Lời giải

KÈ

Câu 1:

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

DẠ

Do M P = C N nên MP = CN và MP, CN cùng hướng.

Page 25

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Vậy N đối xứng với Q qua C . Cho hình thang ABCD với đáy BC = 2 AD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của BC , MC , CD , AB và

E là điểm thỏa mãn BN = QE . Xác định vị trí điểm E . M

FI CI A

Lời giải

Câu 2:

Ta có BN = QE nên BN = Q E và BN , QE cùng hướng.

Cho tam giác ABC có trọng tâm G và N là điểm thỏa mãn A N = G C . Hãy xác định vị trí đi ể m N .

Câu 3:

ƠN

Mà QP = AD + BC = 3 AD = BN , suy ra QP = BN nên E ≡ P.

Lời giải

QU Y

G C

KÈ

Do A N = G C và A , C , G không thẳng hàng nên AGCN là hình bình hành. Vậy N đối xứng với G qua trung điểm M của AC . Cho hình chữ nhật ABCD , N , P lần lượt là trung điểm cạnh AD , AB và điểm M thỏa mãn

Câu 4:

DẠ

AP = N M . Xác định vị trí điểm

M. Lời giải

Page 26

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

FI CI A

Gọi O là tâm hình chữ nhật A B C D  A P = N O .

Câu 5:

Mà AP = N M suy ra NM = NO  M ≡ O . Vậy M là tâm của hình chữ nhật ABCD .

Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M thỏa mãn AO = OM . Xác định vị trí điểm M . Lời giải

ƠN

Câu 6:

QU Y

Ta có AO = OM suy ra AO = OM và AO , OM cùng hướng nên M ≡ C .

Cho A B khác 0 và cho điểm C . Xác định điểm D thỏa AB = AD − AC ?

Lời giải

Ta có AB = AD − AC ⇔ AB = CD ⇔ AB = CD .

Suy ra tập hợp các điểm D là đường tròn tâm C bán kính AB .

M A − M B + M C = 0 ⇔ BA + M C = 0 ⇔ CM = BA .

DẠ

3 =

Cho tam giác ABC . Xác định vị trí của điểm M sao cho M A − M B + M C = 0 Lời giải

KÈ

Câu 7:

Vậy M thỏa mãn CBAM là hình bình hành.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Page 27

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Cho tam giác ABC . Gọi M , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC và N là điểm thỏa mãn M N = BP . Chọn khẳng định đúng. A. N là trung điểm của cạnh MC . B. N là trung điểm của cạnh BP . C. N là trung điểm của cạnh AC . D. N là trung điểm của cạnh PC . Lời giải Chọn C

FI CI A

Câu 1:

ƠN

Vậy N là trung điểm của cạnh AC . Cho tam giác ABC và D là điểm thỏa mãn A B = C D . Khẳng định nào sau đây đúng? A. D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC . B. D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD . C. D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ADBC . D. D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBD . Lời giải Chọn A

QU Y

Câu 2:

 MN = BP . Ta có M , B , P không thẳng hàng nên M N = B P thì   MN // BP MN // BC  1 MN , BP cùng hướng. Mà BP = BC , suy ra  và 1 2 MN = 2 BC

KÈ

DẠ

Câu 3:

Từ đẳng thức vectơ ta suy ra D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC . Cho lục giác đều ABCDEF và O là điểm thỏa mãn A B = F O . Mệnh đề nào sau đây sai? A. O là tâm của lục giác ABCDEF . B. O là trung điểm của đoạn FC . C. EDCO là hình bình hành. D. O là trung điểm của đoạn ED . Lời giải Chọn D

Page 28

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

B O

FI CI A

E là lục giác đều và A B = F O nên

Số mệnh đề đúng? A. 1 .

ƠN

Câu 4:

Do ABCDEF O là trung điểm của đoạn ED là khẳng định sai. Cho bốn điểm A , B , C , D thỏa mãn A B = D C và các mệnh đề. (I) ABCD là hình bình hành. (II) D nằm giữa B và C . (III) C nằm trên đường thẳng đi qua điểm D và song song hoặc trùng với đường thẳng AB . (IV) Bốn điểm A , B , C , D thẳng hàng.

B. 2.

D. 4.

C. 3.

Lời giải

Chọn A Ta có mệnh đề " ABCD là hình bình hành" là sai khi ba điểm A , B , C thẳng hàng. Mệnh đề " D nằm giữa B và C " là sai khi ba điểm A , B , C không thẳng hàng. Mệnh đề "Bốn điểm A , B , C , D thẳng hàng" là sai khi ba điểm A , B , C không thẳng hàng.

QU Y

Câu 5:

Mệnh đề " C nằm trên đường thẳng đi qua điểm D và song song hoặc trùng với đường thẳng AB " là đúng theo định nghĩa hai vectơ bằng nhau. Vậy số mệnh đề đúng là 1. Cho hình thang ABCD với đáy AB = 2CD . Gọi N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh BC

, CD , DA và M là điểm thỏa mãn D C = M B . Khẳng định nào sau đây đúng? A. M là trung điểm của PN . B. M là trung điểm của AN . C. M là trung điểm của AB . D. M là trung điểm của Q N .

DẠ

KÈ

Chọn C

Lời giải

Ta có D C = M B nên DC = MB và DC , MB cùng hướng. Mà AB = 2 DC và AB, DC cùng hướng. Vậy M là trung điểm của AB .

Page 29

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

Cho tam giác ABC . Để điểm M thoả mãn điều kiện M A − M B + M C = 0 thì M phải thỏa mãn mệnh đề nào? A. M là điểm sao cho tứ giác ABMC là hình bình hành. B. M là trọng tâm tam giác ABC . C. M là điểm sao cho tứ giác BAMC là hình bình hành. D. M thuộc trung trực của AB . Lời giải Chọn C

Ta có: M A − M B + M C = 0 ⇔ B A + M C = 0 ⇔ M C = − BA ⇔ M C = AB . Nên tứ giác BAMC là hình bình hành. Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn M A + M B − M C = M D là? A. tập rỗng. B. một đoạn thẳng. C. một đường tròn. Lời giải Chọn A A

D. một đường thẳng.

ƠN

Câu 7:

FI CI A

Câu 6:

 Không có điểm M thỏa mãn. Câu 8:

MA + MB − MC = MD ⇔ MB − MC = MD − MA ⇔ C B = A D sai

Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MB − MC = BM − BA là?

QU Y

A. trung trực đoạn BC . B. đường tròn tâm A, bán kính BC . C. đường thẳng qua A và song song với BC . D. đường thẳng AB . Lời giải Chọn B Ta có MB − MC = BM − BA ⇔ CB = AM  AM = BC Mà A, B , C cố định

Cho hình bình hành ABCD , điểm M thõa mãn 4 A M = A B + A D + A C . Khi đó điểm M là: A. Trung điểm của AD . B. Trung diểm của AC . C. Điểm C . D. Trung điểm của AB . Lời giải Chọn B

DẠ

KÈ

Câu 9:

 Tập hợp điểm M là đường tròn tâm A , bán kính BC .

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: 4 AM = AB + AD + AC ⇔ 4 AM = 2. AC ⇔ AM = 1 . AC 2

 M là trung điểm của AC .

Câu 10: Cho tứ giác ABCD . Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi Page 30

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

A. AB = DC .

B. AB = CD .

C. AC = BD . Lời giải

D. AB = CD .

FI CI A

Chọn A

ƠN

 AB = DC ⇔ AB = DC . ABCD là hình bình hành ⇔   AB cïng h−íng DC Câu 11: Cho tam giác ABC đều cạnh 2 a . Gọi M là trung điểm BC . Khẳng định nào sau đây đúng? a 3 A. AM = a 3 . B. AM = a . C. MB = MC . D. AM = . 2 Lời giải Chọn A 2a. 3 ∆ABC đều cạnh 2a nên AM = AM = =a 3. 2 Câu 12: Cho AB khác 0 và cho điểm C . Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB = CD ? B. 1điểm.

C. 2 điểm. Lời giải

D. Không có điểm nào.

A. Vô số.

Chọn A AB = CD ⇔ AB = CD . Do A, B, C cố định nên có vô số điểm D thỏa mãn. Tập hợp điểm D

QU Y

là đường tròn tâm C bán kính AB . Câu 13: Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai? A. AC = BD . B. BC = DA . C. AD = BC .

DẠ

KÈ

Chọn A

Lời giải

Page 31

D. AB = CD .

VECTƠ

FI CI A

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

BÀI 7. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

Câu 3:

Đáp án D AB = AC  B ≡ C Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, trong đó N nằm giữa hai điểm M và P. Khi đó cặp vectơ nào sau đây cùng hướng? A. MN và MP B. MN và PN C. MP và PN D. NP và NM Lời giải Đáp án A Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C? A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 Lời giải Ta có các vectơ: AB, BA, BC , CB, CA, AC. Đáp án

Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Mệnh đề nào sau đây đúng A. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ a và b B. Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b , đó là vectơ 0 D. Cả A, B, C đều sai Lời giải Vì vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ. Nên có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b , đó là vectơ 0 . Đáp án C. Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với vectơ OB có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 Lời giải

KÈ

Câu 4:

B. tam giác ABC là tam giác đều D. điểm B trùng với điểm C Lời giải

ƠN

Câu 2:

Nếu AB = AC thì: A. tam giác ABC là tam giác cân C. A là trung điểm đoạn BC

Câu 1:

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

QU Y

III ==

DẠ

Câu 5:

Page 99

Các vectơ cùng phương với vectơ OB là: BE , EB, DC, CD, FA, AF .

Đáp án

Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB = CD A. ABCD là hình bình hành B. ACBD là hình bình hành C. AD và BC có cùng trung điểm D. AB = CD và AB / / CD Lời giải Đáp án C Cho hình vuông ABCD, câu nào sau đây là đúng? A. AB = BC B. AB = CD C. AC = BD

Câu 7:

ƠN

Câu 6:

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

D. AD = CB

Câu 8:

Cho vectơ AB và một điểm A. 1 B. 2

Lời giải Đáp án D

C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB = CD . C. 0 D. Vô số Lời giải

QU Y

Đáp án A Câu 9: Cho hình bình hành ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo. Câu nào sau đây là sai? A. AB = CD B. AD = BC C. AO = OC D. OD = BO Lời giải Đáp án A Câu 10: Cho tứ giác đều ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. MN = QP B. QP = MN C. MQ = NP D. MN = AC

DẠ

KÈ

Lời giải

 MN //PQ 1 Ta có  (do cùng song song và bằng AC ). 2  MN = PQ Do đó MNPQ là hình bình hành. Đáp án D. Page 100

FI CI A

Câu 11: Cho ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. AB = BC B. CA và CB cùng hướng C. AB và AC ngược hướng D. BA và BC cùng phương Lời giải Với ba trường hợp lần lượt A, B, C nằm giữa thì ta luôn có BA, BC cùng phương.

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

Lời giải

KÈ

Đáp án D

QU Y

ƠN

Đáp án D. Câu 12: Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác? A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 Lời giải Đáp án D Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi 2 điểm phân biệt. Do đó có 12 cách chọn 2 điểm trong 4 điểm của tứ giác. Câu 13: Cho 5 điểm A, B, C, D, E có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các điểm đã cho: A. 4 B. 20 C. 10 D. 12 Lời giải Đáp án A Câu 14: Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau Lời giải Đáp án D Câu 15: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tìm các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho bằng với AB ? A. FO, OC , FD B. FO, AC , ED C. BO, OC , ED D. FO, OC , ED

Các vectơ bằng vectơ AB là: FO, OC , ED

DẠ

Câu 16: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Xác định các vectơ cùng phương với MN . A. AC , CA, AP, PA, PC , CP B. NM , BC , CB, PA, AP C. NM , AC , CA, AP, PA, PC , CP D. NM , BC , CA, AM , MA, PN , CP Lời giải Đáp án C Page 101

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO Có 3 đường thẳng song song với MN là AC, AP, PC Nên có 7 vectơ NM , AC , CA, AP, PA, PC , CP

Câu 17: Cho ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng. Các vectơ AB, BC cùng hướng khi và

FI CI A

chỉ khi: A. Điểm B thuộc đoạn AC C. Điểm C thuộc đoạn AB

B. Điểm A thuộc đoạn BC D. Điểm A nằm ngoài đoạn BC Lời giải

Đáp án A

Lời giải Đáp án C

Vì tam giác đều nên AB = AB = 2a

Câu 18: Cho tam giác đều cạnh 2a. Đẳng thức nào sau đây là đúng? B. AB = 2a C. AB = 2a D. AB = AB

A. AB = AC

ƠN

Câu 19: Cho tam giác không cân ABC. Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. M là trung điểm của BC. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC nhọn thì AH , OM cùng hướng. B. AH , OM luôn cùng hướng. C. AH , OM cùng phương nhưng ngược hướng. D. AH , OM có cùng giá Lời giải

QU Y

Đáp án A

DẠ

KÈ

Thật vậy khi ∆ABC nhọn thì ta có:  AH ⊥ BC  AH //OM  OM ⊥ BC O, H nằm trong tam giác  AH , OM cùng hướng Câu 20: Cho hình thoi tâm O, cạnh bằng a và A = 60° . Kết luận nào sau đây là đúng? a 3 a 2 A. AO = B. OA = a C. OA = OB D. OA = 2 2 Lời giải Đáp án A

Page 102

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

a 3 a 3  AO = A = 60°  ∆ABC đều  AO = Vì 2 2

ƠN

Câu 21: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC. Biết MP = PN . Chọn câu đúng. A. AC = BD B. AC = BC C. AD = BC D. AD = BD Lời giải Đáp án C

QU Y

1 1 Ta có: MP / / DC , MP = DC , PN / / AB, PN = AB .Mà MP = PN 2 2  AB = DC  ABCD là hình bình hành  AD = BC Câu 22: Cho tam giác ABC với trực tâm H. D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. HA = CD và AD = CH B. HA = CD và DA = HC C. HA = CD và AD = HC D. AD = HC và OB = OD Lời giải Ta có BD là đường kính  OB = DO . AH ⊥ BC, DC ⊥ BC  AH / / DC (1) Ta lại có CH ⊥ AB, DA ⊥ AB  CH / / DA (2)

Từ (1) và (2)  tứ giác HADC là hình bình hành  HA = CD; AD = HC .

Đáp án C. Câu 23: Cho ∆ABC với điểm M nằm trong tam giác. Gọi A ', B ', C ' lần lượt là trung điểm của BC, CA,

KÈ

DẠ

Lời giải Ta có AMCP là hình bình hành  AM = PC Lại có AQBM và BMCN là hình bình hành  NC = BM = QA

 AQNC là hình bình hành  AC = QN . Đáp án B. Câu 24: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là điểm đối xứng với B qua O. Câu nào sau đây đúng? Page 103

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO B. AB = DC C. AD = BC D. AO = AH Lời giải

A. AH = DC

FI CI A

Đáp án A

Mệnh đề đúng là: A. Chỉ (I)

B. (I) và (III)

C. (I), (II), (III) Lời giải

D. Chỉ (III)

QU Y

Đáp án D

ƠN

mệnh đề: (I) AB = AC (II) OB = −OC (III) BO = CO

Ta có thể chỉ ra được ADCH là hình bình hành  AH = DC Câu 25: Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A nằm ngoài ( O ) , kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới ( O ) . Xét

Ta có: OB = OC = R  BO = CO

KÈ

Câu 26: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Lấy 8 điểm trên là gốc hoặc ngọn của các vectơ. Tìm mệnh đề sai? A. Có 2 vectơ bằng PR B. Có 4 vectơ bằng AR C. Có 2 vectơ bằng BO D. Có 5 vectơ bằng OP Lời giải Đáp án D

DẠ

Ta có: PQ = AO = OC AR = RQ = PO = BQ = QC , BO = OD = PR, OP = RA = DR = CQ = QB

Câu 27: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C qua D. Hãy tính độ dài của vectơ MN . a 15 a 5 a 13 a 5 A. MN = B. MN = C. MN = D. MN = 2 3 2 4 Page 104