CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 10 - 6 CHUYÊN ĐỀ ĐS-GT PHÂN DẠNG CHI TIẾT - CHUYÊN SƯ PHẠM HN by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 10

vectorstock.com/10212081

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 10 6 CHUYÊN ĐỀ ĐS-GT PHÂN DẠNG CHI TIẾT - CHUYÊN SƯ PHẠM HN WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

TOÁN 10 BÀI 1

MỆNH ĐỀ

MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI ................................................................................................................................................................ 1 Bài tập tự luận......................................................................................................................................................................... 1 Bài tập trắc nghiệm ................................................................................................................................................................ 2 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ..................................................................................................................................... 8 Bài tập tự luận......................................................................................................................................................................... 8 Bài tập trắc nghiệm .............................................................................................................................................................. 10

PHẦN A. CÂU HỎI

Câu 2.

Câu 3.

5 là 1 số vô tỷ

c) 4x + 3 < 2x – 1 e) Hà nội là thủ đô của nước Việt Nam

Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó. a) 1637 chia hết cho 5 b) −235 ≤ 0 c) π < 3,15 d)

3 là một số nguyên 2

Câu 9.

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó. a) ∀x ∈ ℝ : x 2 ≥ 0 b) ∃x ∈ ℤ : x 2 + 2 x + 5 = 0 2 c) ∃n ∈ ℕ : n < n d) ∀x ∈ ℚ : 3x ≠ x 2 + 2

Câu 10. Lập mệnh đề phủ của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó. a) Mọi hình vuông đều là hình thoi b) Có một tam giác cân không phải là tam giác đều Bài tập trắc nghiệm Câu 11. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. Hôm nay là thứ mấy? C. An học lớp mấy?

B. Các bạn hãy học đi! D. Việt Nam là một nước thuộc Châu Á.

Câu 12. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. 10 là số chính phương C. x2 − x = 0

B. a + b = c D. 2 n + 1 chia hết cho 3

A. A = “8 chia hết cho 2”, A sai, A đúng. B = " 3 ≤ 1" , B sai, B đúng.

Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến? Nếu là mệnh đề thì chỉ tính đúng, sai của mệnh đề đó. a) 3 + 4 = 5 b) d) Hôm nay trời mưa !

Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó. b) ∃n ∈ ℤ : n < n 2 a) ∀x ∈ ℝ : x 2 ≤ 0

Câu 13. Cho mệnh đề: A = “8 không chia hết cho 2”; B = “ 3 > 1 ”. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Bài tập tự luận Câu 1.

Câu 8.

e) 2 là số nguyên tố nhỏ nhất

Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề sau và xét tính đúng sai mệnh đề đảo. a) Nếu một số chia hết cho 6 thì số đó chia hết cho 3 b) Nếu hình thoi ABCD thì hai đường chéo vuông góc với nhau c) Nếu một số chia hết cho 2 thì số đó là số chẵn d) Nếu AB = BC = CA thì ABC là tam giác đều

Câu 4.

Cho số thực x. Xét mệnh đề P: “x là một số nguyên”, Q: “x + 2 là một số nguyên”. Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và mệnh đề đảo của nó. Xét tính đúng sai của cả hai mệnh đề này

Câu 5.

Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ” a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại. b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại.

Câu 6.

Cho tam giác ABC và tứ giác giác ABCD. Phát biểu một điều kiện cần và đủ để: a) ABC là tam giác đều b) ABCD là một hình chữ nhật

Câu 7.

Dùng kí hiệu ∀ và ∃ để viết các mệnh đề sau: a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó. b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chình nó c) Có một số hữu tỷ nhỏ hơn nghịch đảo của nó d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nó

B. A = “2 không chia hết cho 8”, A sai, A sai. B = " 3 ≥ 1" , B đúng, B đúng. C. A = “8 chia hết cho 2”, A sai, A đúng. B = “ 3 ≤ 1 ”, B đúng, B sai. D. A = “8 chia hết cho 2”, A sai, A đúng. B = " 3 = 1" , B đúng, B sai. Câu 14. Cho 4 mệnh đề sau: A = “ 2 < 3 ”; B = “ −6 < −9 ”; C = “ 3 = 1,7 ”; D = “ π = 3,14 ”. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. A ⇒ B = “Nếu 2 < 3 thì −6 < −9 ”. C ⇒ D = " Nếu π = 3,14 thì B. A ⇒ B = " Nếu −6 < −9 thì 2 < 3 ”.

C ⇒ D = " Nếu

C. A ⇒ B = " Nếu −6 < −9 thì 2 < 3 ”.

C ⇒ D = " Nếu π = 3,14 thì

D. A ⇒ B = " Nếu 2 < 3 thì −6 < −9 ”.

C ⇒ D = " Nếu

3 = 1,7 ”.

3 = 1,7 thì π = 3,14 ”.

3 = 1,7 ”.

3 = 1,7 thì π = 3,14 ”.

Câu 15. Giả sử ABC là một tam giác đã cho. Lập mệnh đề P ⇔ Q và xét tính đúng sai của mệnh đề này. P = “Góc A bằng 90°”; Q = “ BC 2 = AB 2 + AC 2 ”. A. P ⇔ Q = “ A = 90° khi và chỉ khi BC 2 + AB 2 + AC 2 ” là mệnh đề đúng B. P ⇔ Q = “Nếu A = 90° thì BC 2 = AB 2 + AC 2 ” là mệnh đề đúng C. P ⇔ Q = “ BC 2 = AB 2 + AC 2 thì góc A bằng 90°” là mệnh đề sai D. P ⇔ Q = “Góc A bằng 90° khi và chỉ khi BC 2 = AB 2 + AC 2 ” là mệnh đề đúng. Câu 16. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: P = “ ∃x ∈ ℝ : x 2 = −4 ”; Q = “ ∀x ∈ ℝ : x 2 + x + 1 ≠ 0 ”; R = “ ∀x ∈ ℝ : x2 > 0 ”. A. P sai, Q sai, R đúng B. P sai, Q đúng, R đúng C. P đúng, Q đúng, R sai D. P sai, Q đúng, R sai Câu 17. Mệnh đề phủ định của mệnh đề:

P = “ ∀x ∈ ℝ : x + 0 = x ”; Q = “ ∃x ∈ ℝ : x.x = 1 ” là: A. P = “ ∃x ∈ ℝ : x + 0 ≠ x ”, Q = “ ∀x ∈ ℝ : x.x ≠ 1 ”.

Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. P ( 0 ) B. P ( 5 )

B. P = “ ∀x ∈ ℝ : x + 0 ≠ x ”, Q = “ ∀x ∈ ℝ : x.x ≠ 1 ”.

Câu 28. Với mọi n ∈ ℕ mệnh đề nào sau đây là đúng A. n ( n + 1)( n + 2 )⋮ 6

C. P = “ ∃x ∈ ℝ : x + 0 = x ”, Q = “ ∀x ∈ ℝ : x.x ≠ 1 ”.

C. n ( n + 1) là số lẻ

D. P = “ ∃x ∈ ℝ : x + 0 = x ”, Q = “ ∀x ∈ ℝ : x.x = 1 ”.

C. P ( 3 )

D. P ( 4 )

B. n ( n + 1) là số chính phương D. n2 > 0

Câu 18. Mệnh đề “ ∃x ∈ ℝ : x 2 = 4 ” khẳng định rằng: A. Bình phương của mỗi số thực bằng 4 B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 4 C. Chỉ có một số thực bình phương bằng 4 D. Nếu x là một số thực x 2 = 4

Câu 19. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P = “ ∀x ∈ ℕ : x 2 + x − 1 > 0 ” là: B. P = “ ∀x ∈ ℕ; x 2 + x − 1 > 0 “ A. P = “ ∃x ∈ ℕ; x 2 + x − 1 > 0 ”

Câu 30. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề: a. Huế là một thành phố của Việt Nam. b. Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế. c. Hãy trả lời câu hỏi này! d. 5 + 19 − 24 . e. 6 + 81 = 25 . f. Bạn có rỗi tối nay không? g. x + 2 = 11 . A. 1 . B. 2 . C. 3 .

D. 4 .

Câu 31. Câu nào trong các câu sau không phải là mệnh đề? B. x 2 +1 > 0 . C. −2 − x2 < 0 . A. 3 + 2 = 7 .

D. 4 + x .

C. P = “ ∃x ∈ ℕ; x 2 + x − 1 ≤ 0 ”

D. P = “ ∀x ∈ ℕ; x 2 + x − 1 < 0 ”

Câu 20. Trong các câu sau câu nào không phải là một mệnh đề? A. 1 + 2 = 2 B. 2 < 1 C. 3 − 2 2 = 0

D. x > 2

Câu 21. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Một số chia hết cho 2 và chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 6 B. Hai tam giác bằng nhau thì hai trung tuyến tương ứng bằng nhau C. Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau D. Hai tam giác cân có một góc 60° nếu và chỉ nếu hai tam giác đó có hai góc bằng nhau và mỗi góc bằng 60° Câu 22. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Phương trình x2 + bx + c = 0 có nghiệm ⇔ b2 − 4c ≥ 0 a > b B.  ⇔a>c b > c +C = 90° C. ∆ABC vuông tại A ⇔ B D. n2 chẵn ⇔ n chẵn Câu 23. Phủ định của mệnh đề: “ ∀x ∈ ℝ : x 2 + 1 > 0 ” là: A. ∀x ∈ ℝ : x 2 + 1 < 0 B. ∃x ∈ ℝ : x2 + 1 ≤ 0 C. ∃x ∈ ℝ : x 2 + 1 > 0

D. ∀x ∈ ℝ : x 2 + 1 = 0

Câu 24. Phủ định của mệnh đề: “ ∀x ∈ ℕ : x − 5x + 4 = 0 ” là: B. “ ∀x ∈ ℕ : x 2 − 5 x + 4 = 0 ” A. “ ∀x ∈ ℕ : x 2 − 5 x + 4 ≠ 0 ” C. “ ∀x ∈ ℕ : x 2 − 5 x + 4 > 0 ” D. “ ∀x ∈ ℕ : x 2 − 5 x + 4 < 0 ” 2

Câu 25. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau B. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để diện tích của chúng bằng nhau C. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng có diện tích bằng nhau D. Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng bằng nhau Câu 26. Ký hiệu a ⋮ P = “số a chia hết cho số P”. Mệnh đề nào sau đây sai? A. ∀n ∈ ℕ : n⋮ 3 và n ⋮ 2 ⇒ n ⋮ 6 B. ∀n ∈ ℕ : n ⋮ 6 ⇒ n ⋮ 3 hoặc n⋮ 2 C. ∀n ∈ ℕ : n⋮ 6 ⇒ n⋮ 3 và n⋮ 2 D. ∀n ∈ ℕ : n ⋮ 6 ⇒ n ⋮ 3 và n⋮ 2 Câu 27. Cho mệnh đề chứa biến: P ( x ) = " x + 15 ≤ x 2 ∀x ∈ ℝ " .

Câu 32. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề đúng: A. π là một số hữu tỉ. B. Tổng của hai cạnh một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba. C. Bạn có chăm học không? D. Con thì thấp hơn cha. Câu 33. Mệnh đề " ∃x ∈ ℝ, x 2 = 3" khẳng định rằng: A. Bình phương của mỗi số thực bằng 3 . B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 3 . C. Chỉ có một số thực có bình phương bằng 3 . D. Nếu x là số thực thì x 2 = 3 . Câu 34. Kí hiệu X là tập hợp các cầu thủ x trong đội tuyển bóng rổ, P ( x ) là mệnh đề chứa biến “ x cao

trên 180 cm ”. Mệnh đề "∀x ∈ X , P( x)" khẳng định rằng: A. Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên 180 cm . B. Trong số các cầu thủ của đội tuyển bóng rổ có một số cầu thủ cao trên 180 cm . C. Bất cứ ai cao trên 180 cm đều là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ. D. Có một số người cao trên 180 cm là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ. Câu 35. Cách phát biểu nào sau đây không thể dùng để phát biểu mệnh đề: A ⇒ B . A. Nếu A thì B . B. A kéo theo B . C. A là điều kiện đủ để có B . D. A là điều kiện cần để có B . Câu 36. Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển”. A. Mọi động vật đều không di chuyển. B. Mọi động vật đều đứng yên. C. Có ít nhất một động vật không di chuyển. D. Có ít nhất một động vật di chuyển.

Câu 37. Phủ định của mệnh đề: “Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn” là mệnh đề nào sau đây: A. Mọi số vô t ỷ đều là số thập phân vô hạn tuần hoàn. B. Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. C. Mọi số vô t ỷ đều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. D. Mọi số vô t ỷ đều là số thập phân tuần hoàn. Câu 38. Cho mệnh đề A : “ ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 < 0 ” Mệnh đề phủ định của A là: A. ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 > 0 . B. ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 > 0 . C. Không tồn tại x : x 2 − x + 7 < 0 .

D. ∃x ∈ ℝ, x 2 - x + 7 ≥ 0 . 2

Câu 39. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P : " x + 3x + 1 > 0" với mọi x là: A. Tồn tại x sao cho x 2 + 3x + 1 > 0 . B. Tồn tại x sao cho x 2 + 3x + 1 ≤ 0 . C. Tồn tại x sao cho x 2 + 3x + 1 = 0 . D. Tồn tại x sao cho x 2 + 3x + 1 < 0 . Câu 40. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P : “ ∃x : x 2 + 2 x + 5 là số nguyên tố” là : B. ∃x : x 2 + 2 x + 5 là hợp số. A. ∀x : x 2 + 2 x + 5 không là số nguyên tố. C. ∀x : x 2 + 2 x + 5 là hợp số. D. ∃x : x 2 + 2 x + 5 là số thực. Câu 41. Phủ định của mệnh đề " ∃x ∈ ℝ,5 x − 3 x 2 = 1" là: A. " ∃x ∈ ℝ,5 x − 3 x 2 " . B. " ∀x ∈ ℝ,5 x − 3x 2 = 1" . C. " ∀ x ∈ ℝ,5 x − 3x 2 ≠ 1" . D. " ∃x ∈ ℝ,5 x − 3 x 2 ≥ 1" . Câu 42. Cho mệnh đề P ( x ) : " ∀x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 > 0" . Mệnh đề phủ định của mệnh đề P ( x ) là: A. " ∀x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 < 0" .

B. " ∀x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 ≤ 0" .

C. " ∃x ∈ ℝ, x + x + 1 ≤ 0" .

D. " ∃ x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 > 0" .

Câu 43. Mệnh đề nào sau là mệnh đề sai? B. ∃n ∈ ℕ : n2 = n . A. ∀n ∈ ℕ : n ≤ 2 n .

C. ∀x ∈ ℝ : x 2 > 0 .

D. ∃x ∈ ℝ : x > x2 .

Câu 44. Trong các mệnh đề sau tìm mệnh đề đúng? A. ∀x ∈ ℝ : x 2 > 0 . B. ∀x ∈ ℕ : x ⋮ 3 .

C. ∀x ∈ ℝ : − x 2 < 0 .

D. ∃x ∈ ℝ : x > x 2 .

Câu 45. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. ∀n ∈ ℕ, n 2 + 1 không chia hết cho 3 . 2

C. ∀x ∈ ℝ, ( x − 1) ≠ x − 1 .

Câu 47. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. −π < −2 ⇔ π 2 < 4 . C.

23 < 5 ⇒ 2 23 < 2.5 .

B. ∀x ∈ ℝ, x < 3 ⇔ x < 3 . D. ∃n ∈ ℕ, n 2 + 1 chia hết cho 4 .

D. ∀n, n ( n + 1)( n + 2) là số chia hết cho 6 . B. π < 4 ⇔ π < 16 . 2

23 < 5 ⇒ − 2 23 > −2.5 .

Câu 48. Cho x là số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ∀x, x 2 > 5 ⇒ x > 5 ∨ x < − 5 . B. ∀x, x 2 > 5 ⇒ − 5 < x < 5 . C. ∀x, x > 5 ⇒ x > ± 5 . 2

Câu 49. Chọn mệnh đề đúng:

B. ∃x ∈ ℚ, x 2 = 3 . D. ∃n ∈ N, 2n ≥ n + 2 .

Câu 50. Trong các mệnh đề nào sau đây mệnh đề nào sai? A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau. B. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông. C. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. D. Một tam giác là đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 60 . Câu 51. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là đúng? A. Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c . B. Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau. C. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9 . D. Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5 . Câu 52. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật ⇒ tứ giác ABCD có ba góc vuông. B. Tam giác ABC là tam giác đều ⇔ A = 60° . C. Tam giác ABC cân tại A ⇒ AB = AC . D. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O ⇒ OA = OB = OC = OD . Câu 53. Tìm mệnh đề đúng: A. Đường tròn có một tâm đối xứng và có một trục đối xứng. B. Hình chữ nhật có hai trục đối xứng. C. Tam giác ABC vuông cân ⇔ A = 450 . D. Hai tam giác vuông ABC và A ' B ' C ' có diện tích bằng nhau ⇔ ∆ABC = ∆A ' B ' C ' . Câu 54. Tìm mệnh đề sai: A. 10 chia hết cho 5 ⇔ Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc nhau. B. Tam giác ABC vuông tại C ⇔ AB 2 = CA2 + CB 2 . C. Hình thang ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) ⇔ ABCD là hình thang cân. D. 63 chia hết cho 7 ⇒ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau. Câu 55. Với giá trị thực nào của x mệnh đề chứa biến P ( x ) : 2 x 2 − 1 < 0 là mệnh đề đúng:

Câu 46. Cho n là số tự nhiên, mệnh đề nào sau đây đúng? A. ∀n, n ( n + 1) là số chính phương. B. ∀n, n ( n + 1) là số lẻ. C. ∃n, n ( n + 1)( n + 2 ) là số lẻ.

A. ∀n ∈ N* , n 2 − 1 là bội số của 3 . C. ∀n ∈ N, 2n + 1 là số nguyên tố.

D. ∀x, x > 5 ⇒ x ≥ 5 ∨ x ≤ − 5 . 2

A. 0 .

B. 5 .

C. 1 .

4 . 5

Câu 56. Cho mệnh đề chứa biến P ( x ) : " x + 15 ≤ x2 " với x là số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng: A. P ( 0 ) .

B. P ( 3) .

Câu 57. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? B. ∅ ⊂ A . A. A ∈ A .

C. P ( 4 ) .

D. P ( 5 ) .

C. A ⊂ A .

D. A ⊂ { A} .

Câu 58. Cho biết x là một phần tử của tập hợp A , xét các mệnh đề sau: ( I ) : x ∈ A . ( II ) : { x} ∈ A . ( III ) : x ⊂ A . ( IV ) : { x} ⊂ A . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng A. I và II . B. I và III . C. I và IV .

D. II và IV .

Câu 59. Các kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “ 7 là một số tự nhiên”. B. 7 ∈ ℕ . C. 7 < ℕ . D. 7 ≤ ℕ . A. 7 ⊂ ℕ .

C. “ ABC là tam giác vuông ở A ⇔ HA2 = HB.HC ”. D. “ ABC là tam giác vuông ở A ⇔ BA2 = BC 2 + AC 2 ”.

Câu 60. Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “ 2 không phải là số hữu tỉ” A. 2 ≠ ℚ . B. 2 ⊄ ℚ . C.

2 ∉ℚ .

2 không trùng với ℚ .

Câu 61. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? x2 x2 1 1 A. Phủ định của mệnh đề “ ∀x ∈ ℝ, 2 < ” là mệnh đề “ ∃x ∈ ℝ, 2 > ”. 2x +1 2 2x +1 2 B. Phủ định của mệnh đề “ ∀k ∈ ℤ, k 2 + k + 1 là một số lẻ” là mệnh đề “ ∃k ∈ ℤ, k 2 + k + 1 là một số chẵn”. C. Phủ định của mệnh đề “ ∀n ∈ ℕ sao cho n2 − 1 chia hết cho 24” là mệnh đề “ ∀n ∈ ℕ sao cho n2 − 1 không chia hết cho 24”. D. Phủ định của mệnh đề “ ∀x ∈ ℚ, x 3 − 3 x + 1 > 0 ” là mệnh đề “ ∀x ∈ ℚ, x 3 − 3 x + 1 ≤ 0 ”.

Câu 67. Cho mệnh đề “phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho và tính đúng, sai của mệnh đề phủ định là: A. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm. Đây là mệnh đề đúng. B. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm. Đây là mệnh đề sai. C. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 vô nghiệm. Đây là mệnh đề đúng. D. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 vô nghiệm. Đây là mệnh đề sai. Câu 68. Cho mệnh đề A = “∃n ∈ ℕ : 3n + 1là số lẻ”, mệnh đề phủ định của mệnh đề A và tính đúng, sai của mệnh đề phủ định là: A. A = “∀n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề đúng. B. A = “∀n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề sai.

Câu 62. Cho mệnh đề A = “∀x ∈ ℝ : x 2 < x” . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là phủ định của mệnh đề A ? A. “∃x ∈ ℝ : x 2 < x” . B. “∃x ∈ ℝ : x 2 ≥ x” . C. “∃x ∈ ℝ : x 2 < x” . D. “∃x ∈ ℝ : x 2 ≤ x” .

1 Câu 63. Cho mệnh đề A = “∀x ∈ ℝ : x 2 + x ≥ − ” . Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề A và xét tính 4 đúng sai của nó. 1 A. A = “∃x ∈ ℝ : x 2 + x ≥ − ” . Đây là mệnh đề đúng. 4 1 B. A = “∃x ∈ ℝ : x 2 + x ≤ − ” . Đây là mệnh đề đúng. 4 1 C. A = “∃x ∈ ℝ : x 2 + x < − ” . Đây là mệnh đề đúng. 4 1 D. A = “∃x ∈ ℝ : x 2 + x > − ” . Đây là mệnh đề sai. 4 Câu 64. Để chứng minh định lý sau đây bằng phương pháp chứng minh phản chứng “Nếu n là số tự nhiên và n 2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”, một học sinh lý luận như sau: (I) Giả sử n chia hết cho 5. (II) Như vậ y n = 5k , với k là số nguyên. (III) Suy ra n2 = 25k 2 . Do đó n 2 chia hết cho 5. (IV) Vậy mệnh đề đã được chứng minh. Lập luận trên: A. Sai từ giai đoạn (I). B. Sai từ giai đoạn (II). C. Sai từ giai đoạn (III). D. Sai từ giai đoạn (IV). Câu 65. Cho mệnh đề chứa biến P ( n ) : “n 2 − 1 chia hết cho 4” với n là số nguyên. Xét xem các mệnh đề

C. A = “∃n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề sai. D. A = “∃n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề đúng. Câu 69. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Để tứ giác ABCD là hình bình hành, điều kiện cần và đủ là hai cạnh đối song song và bằng nhau. B. Để x 2 = 25 điều kiện đủ là x = 2 . C. Để tổng a + b của hai số nguyên a, b chia hết cho 13, điều kiện cần và đủ là mỗi số đó chia hết cho 13. D. Để có ít nhất một trong hai số a, b là số dương điều kiện đủ là a + b > 0 . Câu 70. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu tổng hai số a + b > 2 thì có ít nhất một số lớn hơn 1. B. Trong một tam giác cân hai đường cao bằng nhau. C. Nếu tứ giác là hình vuông thì hai đường chéo vuông góc với nhau. D. Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. Câu 71. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lí? A. ∃x ∈ ℕ, x 2 chia hết cho 3 ⇒ x chia hết cho 3 . B. ∃x ∈ ℕ, x 2 chia hết cho 6 ⇒ x chia hết cho 3 . C. ∀x ∈ ℕ, x 2 chia hết cho 9 ⇒ x chia hết cho 9 . D. ∃x ∈ ℕ, x chia hết cho 4 và 6 ⇒ x chia hết cho 12 . Câu 72. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là định lí? A. ∀x ∈ ℝ, x > −2 ⇒ x 2 > 4 . B. ∀x ∈ ℝ, x > 2 ⇒ x 2 > 4 . C. ∀x ∈ ℝ, x 2 > 4 ⇒ x > 2 . D. Nếu a + b chia hết cho 3 thì a, b đều chia hết cho 3 .

P ( 5 ) và P ( 2 ) đúng hay sai? A. P ( 5 ) đúng và P ( 2 ) đúng.

B. P ( 5 ) sai và P ( 2 ) sai.

C. P ( 5) đúng và P ( 2 ) sai.

D. P ( 5) sai và P ( 2 ) đúng.

Câu 66. Cho tam giác ABC với H là chân đường cao từ A . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 1 1 = + A. “ ABC là tam giác vuông ở A ⇔ ”. AH 2 AB 2 AC 2 2 B. “ ABC là tam giác vuông ở A ⇔ BA = BH .BC ”.

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Bài tập tự luận Câu 1.

Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến? Nếu là mệnh đề thì chỉ tính đúng, sai của mệnh đề đó.

a) 3 + 4 = 5 b) d) Hôm nay trời mưa ! a) Là mệnh đề. Sai d) Không phải là mệnh đề

5 là 1 số vô tỷ

c) 4x + 3 < 2x – 1 e) Hà nội là thủ đô của nước Việt Nam Lời giải b) Là mệnh đề. Đúng c) Là mệnh đề chứa biến e) Là mệnh đề. Đúng

Câu 2. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó. a) 1637 chia hết cho 5 b) −235 ≤ 0 c) π < 3,15

3 d) là một số nguyên 2

e) 2 là số nguyên tố nhỏ nhất Lời giải

a) Mệnh đề sai. 1637 không chia hết cho 5 c) Đúng. π ≥ 3,15

b) Sai. −235 > 0

3 d) Sai. không phải là 1 số nguyên 2

e) Đúng. 2 không phải là số nguyên tố nhỏ nhất Câu 3. Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề sau và xét tính đúng sai mệnh đề đảo. a) Nếu một số chia hết cho 6 thì số đó chia hết cho 3 b) Nếu hình thoi ABCD thì hai đường chéo vuông góc với nhau c) Nếu một số chia hết cho 2 thì số đó là số chẵn d) Nếu AB = BC = CA thì ABC là tam giác đều Lời giải

a) Nếu một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 6. Sai b) Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác đó là hình thoi. Sai c) Nếu một số là chẵn thì số đó chia hết cho 2. Đúng d) Nếu ABC là tam giác đều thì AB = BC = CA. Đúng Câu 4.

Cho số thực x. Xét mệnh đề P: “x là một số nguyên”, Q: “x + 2 là một số nguyên”. Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và mệnh đề đảo của nó. Xét tính đúng sai của cả hai mệnh đề này Lời giải

a) P ⇒ Q: “Nếu x là một số nguyên thì x + 2 là một số nguyên”. Đúng Q ⇒ P: “Nếu x + 2 là một số nguyên thì x là một số nguyên”. Đúng Câu 5. Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ” a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại. b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại. Lời giải

a) Điều kiện cần và đủ để một hình bình hành là hình thoi là hai đường chéo của nó vuông góc với nhau. b) Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9 Câu 6. Cho tam giác ABC và tứ giác giác ABCD. Phát biểu một điều kiện cần và đủ để: a) ABC là tam giác đều b) ABCD là một hình chữ nhật Lời giải

a) Tam giác ABC đều khi và chỉ khi có 3 cạnh bằng nhau b) ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi ABCD là hình bình hành và có 1 góc vuông Câu 7.

Dùng kí hiệu ∀ và ∃ để viết các mệnh đề sau:

a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó. b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chình nó c) Có một số hữu tỷ nhỏ hơn nghịch đảo của nó d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nó Lời giải a) ∃n ∈ ℤ : n ⋮/ n

1 c) ∃∈ ℚ : x < x

b) ∀x ∈ ℝ : x + 0 = x d) ∀n ∈ ℕ : n > − n

Câu 8. Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó. a) ∀x ∈ ℝ : x 2 ≤ 0 b) ∃n ∈ ℤ : n < n 2 Lời giải

a) Bình phương của mọi số thực đều nhỏ hơn bằng bằng 0. Sai b) Tồn tại một số nguyên n nhỏ hơn bình phương của nó. Đúng Câu 9. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó. a) ∀x ∈ ℝ : x 2 ≥ 0 b) ∃x ∈ ℤ : x 2 + 2x + 5 = 0 d) ∀x ∈ ℚ : 3x ≠ x2 + 2 c) ∃n ∈ ℕ : n 2 < n Lời giải

a) ∃x ∈ ℝ : x 2 < 0 . Sai c) ∀n ∈ ℕ : n 2 ≥ n . Sai

b) ∀x ∈ ℤ : x 2 + 2x + 5 ≠ 0 . Đúng 2 d) ∃x ∈ ℚ : 3x = x + 2 . Đúng

Câu 10. Lập mệnh đề phủ của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó. a) Mọi hình vuông đều là hình thoi b) Có một tam giác cân không phải là tam giác đều Lời giải

a) Có ít nhất một hình vuông không phải là hình thoi.Sai b) Mọi tam giác cân đều là tam giác đều Bài tập trắc nghiệm Câu 11. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. Hôm nay là thứ mấy? C. An học lớp mấy?

B. Các bạn hãy học đi! D. Việt Nam là một nước thuộc Châu Á. Lời giải Các đáp án A, B, C không phải là một mệnh đề vì ta không biết tính đúng sai của các câu này. Đáp án D.

Câu 12. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. 10 là số chính phương C. x2 − x = 0

B. a + b = c D. 2 n + 1 chia hết cho 3 Lời giải Các đáp án B, C, D không phải là mệnh đề mà là mệnh đề chứa biến. Đáp án A.

Câu 13. Cho mệnh đề: A = “8 không chia hết cho 2”; B = “ 3 > 1 ”. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. A = “8 chia hết cho 2”, A sai, A đúng. B = " 3 ≤ 1" , B sai, B đúng. B. A = “2 không chia hết cho 8”, A sai, A sai. B = " 3 ≥ 1" , B đúng, B đúng.

Lời giải

C. A = “8 chia hết cho 2”, A sai, A đúng. B = “ 3 ≤ 1 ”, B đúng, B sai. D. A = “8 chia hết cho 2”, A sai, A đúng. B = " 3 = 1" , B đúng, B sai. Lời giải - Đáp án A sai và đã khẳng định B đúng, B sai. - Đáp án B sai vì: A = “2 không chia hết cho 8”. Đây không phải là mệnh đề phủ định của mệnh đề A = “8 không chia hết cho 2”. - Đáp án D sai vì B = " 3 = 1" không phải là mệnh đề phủ định của B = " 3 > 1" . Đáp án C. Câu 14. Cho 4 mệnh đề sau: A = “ 2 < 3 ”; B = “ −6 < −9 ”; C = “ 3 = 1, 7 ”; D = “ π = 3,14 ”. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. A ⇒ B = “Nếu 2 < 3 thì −6 < −9 ”. C ⇒ D = " Nếu π = 3,14 thì B. A ⇒ B = " Nếu −6 < −9 thì 2 < 3 ”.

C ⇒ D = " Nếu

C. A ⇒ B = " Nếu −6 < −9 thì 2 < 3 ”.

C ⇒ D = " Nếu π = 3,14 thì

D. A ⇒ B = " Nếu 2 < 3 thì −6 < −9 ”.

C ⇒ D = " Nếu Lời giải

3 = 1, 7 ”.

3 = 1,7 thì π = 3,14 ”. 3 = 1,7 ”.

3 = 1,7 thì π = 3,14 ”.

Đáp án D. Câu 15. Giả sử ABC là một tam giác đã cho. Lập mệnh đề P ⇔ Q và xét tính đúng sai của mệnh đề này. P = “Góc A bằng 90°”; Q = “ BC 2 = AB 2 + AC 2 ”. A. P ⇔ Q = “ A = 90° khi và chỉ khi BC 2 + AB 2 + AC 2 ” là mệnh đề đúng B. P ⇔ Q = “Nếu A = 90° thì BC 2 = AB 2 + AC 2 ” là mệnh đề đúng C. P ⇔ Q = “ BC 2 = AB 2 + AC 2 thì góc A bằng 90°” là mệnh đề sai D. P ⇔ Q = “Góc A bằng 90° khi và chỉ khi BC 2 = AB 2 + AC 2 ” là mệnh đề đúng. Lời giải Đáp án này đúng vì theo định lý Pitago thuận và đảo. Đáp án D. Câu 16. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: P = “ ∃x ∈ ℝ : x 2 = −4 ”; Q = “ ∀x ∈ ℝ : x 2 + x + 1 ≠ 0 ”; R = “ ∀x ∈ ℝ : x2 > 0 ”. A. P sai, Q sai, R đúng B. P sai, Q đúng, R đúng C. P đúng, Q đúng, R sai D. P sai, Q đúng, R sai Lời giải - Mệnh đề P sai vì không có số thực nào bình phương bằng −4 - Mệnh đề Q đúng vì phương trình x 2 + x + 1 = 0 vô nghiệm - Mệnh đề R sai vì có giá trị x = 0 để 02 = 0 Đáp án D. Câu 17. Mệnh đề phủ định của mệnh đề: P = “ ∀x ∈ ℝ : x + 0 = x ”; Q = “ ∃x ∈ ℝ : x.x = 1 ” là: A. P = “ ∃x ∈ ℝ : x + 0 ≠ x ”, Q = “ ∀x ∈ ℝ : x.x ≠ 1 ”. B. P = “ ∀x ∈ ℝ : x + 0 ≠ x ”, Q = “ ∀x ∈ ℝ : x.x ≠ 1 ”. C. P = “ ∃x ∈ ℝ : x + 0 = x ”, Q = “ ∀x ∈ ℝ : x.x ≠ 1 ”. D. P = “ ∃x ∈ ℝ : x + 0 = x ”, Q = “ ∀x ∈ ℝ : x.x = 1 ”.

Vì theo định nghĩa: P = “ ∃x ∈ X : P ( x ) ” ⇒ P = “ ∀x ∈ X : P ( x ) ”; Q = “ ∀x ∈ X : P ( x ) ” ⇒ Q = “ ∃x ∈ X : P ( x ) . Đáp án A. Câu 18. Mệnh đề “ ∃x ∈ ℝ : x 2 = 4 ” khẳng định rằng: A. Bình phương của mỗi số thực bằng 4 B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 4 C. Chỉ có một số thực bình phương bằng 4 D. Nếu x là một số thực x 2 = 4 Lời giải Đáp án B Câu 19. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P = “ ∀x ∈ ℕ : x 2 + x − 1 > 0 ” là: A. P = “ ∃x ∈ ℕ; x 2 + x − 1 > 0 ” B. P = “ ∀x ∈ ℕ; x 2 + x − 1 > 0 “ C. P = “ ∃x ∈ ℕ; x 2 + x − 1 ≤ 0 ”

D. P = “ ∀x ∈ ℕ; x 2 + x − 1 < 0 ” Lời giải

Vì P = “ ∀x ∈ X : P ( x ) ” thì P = “ ∃x ∈ X : P ( x ) ”. Đáp án C. Câu 20. Trong các câu sau câu nào không phải là một mệnh đề? A. 1 + 2 = 2 B. 2 < 1 C. 3 − 2 2 = 0 D. x > 2 Lời giải Đáp án D. Vì x > 2 là mệnh đề chứa biến. Mệnh đề A ⇒ B được hiểu như thế nào? A. A khi và chỉ khi B B. B suy ra A C. A là điều kiện cần để có B D. A là điều kiện đủ để có B Lời giải Đáp án D. Vì A ⇒ B thì A là điều kiện đủ để có B và B là điều kiện cần để có A. Câu 21. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Một số chia hết cho 2 và chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 6 B. Hai tam giác bằng nhau thì hai trung tuyến tương ứng bằng nhau C. Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau D. Hai tam giác cân có một góc 60° nếu và chỉ nếu hai tam giác đó có hai góc bằng nhau và mỗi góc bằng 60° Lời giải Đáp án C. Vì hai tam giác có diện tích bằng nhau chưa chắc đã bằng nhau. Câu 22. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Phương trình x2 + bx + c = 0 có nghiệm ⇔ b2 − 4c ≥ 0 a > b B.  ⇔a>c b > c +C = 90° C. ∆ABC vuông tại A ⇔ B D. n2 chẵn ⇔ n chẵn

Lời giải

Lời giải Đáp án A. Vì tích của 3 số tự nhiên lien tiếp chia hết cho 6.

Đáp án B. Vì điều ngược lại không đúng: a > b a>c⇒ b > c Chẳng hạn a = 4; c = 2; b = 1 4 > 1 thì 4 > 2 ⇒  vô lý. 1 > 2 Câu 23. Phủ định của mệnh đề: “ ∀x ∈ ℝ : x 2 + 1 > 0 ” là: A. ∀x ∈ ℝ : x 2 + 1 < 0 B. ∃x ∈ ℝ : x2 + 1 ≤ 0 C. ∃x ∈ ℝ : x 2 + 1 > 0 Lời giải Đáp án B. Vì x 2 + 1 > 0 là x2 + 1 ≤ 0

D. ∀x ∈ ℝ : x 2 + 1 = 0

Câu 24. Phủ định của mệnh đề: “ ∀x ∈ ℕ : x 2 − 5x + 4 = 0 ” là: A. “ ∀x ∈ ℕ : x 2 − 5 x + 4 ≠ 0 ” B. “ ∀x ∈ ℕ : x 2 − 5 x + 4 = 0 ” C. “ ∀x ∈ ℕ : x 2 − 5 x + 4 > 0 ” D. “ ∀x ∈ ℕ : x 2 − 5 x + 4 < 0 ” Lời giải Đáp án A. Vì: x 2 − 5 x + 4 = 0 là x 2 − 5 x + 4 ≠ 0 Câu 25. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau B. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để diện tích của chúng bằng nhau C. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng có diện tích bằng nhau D. Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng bằng nhau Lời giải Đáp án A. Vì hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác đó có diện tích bằng nhau. Câu 26. Ký hiệu a ⋮ P = “số a chia hết cho số P”. Mệnh đề nào sau đây sai? A. ∀n ∈ ℕ : n⋮ 3 và n ⋮ 2 ⇒ n ⋮ 6 B. ∀n ∈ ℕ : n ⋮ 6 ⇒ n ⋮ 3 hoặc n ⋮ 2 C. ∀n ∈ ℕ : n⋮ 6 ⇒ n⋮ 3 và n⋮ 2 D. ∀n ∈ ℕ : n ⋮ 6 ⇒ n ⋮ 3 và n ⋮ 2 Lời giải Đáp án D. Vì n⋮ 6 thì n⋮ 3 hoặc n ⋮ 2 . Chẳng hạn 3⋮ 6 ⇒ 3⋮ 3 và 3⋮ 2 là sai vì 3⋮ 3 . Câu 27. Cho mệnh đề chứa biến: P ( x ) = " x + 15 ≤ x 2 ∀x ∈ ℝ " .

Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. P ( 0 ) B. P ( 5 )

C. P ( 3 ) Lời giải

D. P ( 4 )

Đáp án B. Vì thay lần lượt các giá trị x bằng 0; 5; 3; 4 vào P ( x ) thấy x = 5 cho mệnh đề đúng. Câu 28. Với mọi n ∈ ℕ mệnh đề nào sau đây là đúng A. n ( n + 1)( n + 2 )⋮ 6 C. n ( n + 1) là số lẻ

B. n ( n + 1) là số chính phương D. n2 > 0

Câu 29. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Nếu a ≥ b thì a2 ≥ b2 . B. Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3 . C. Nếu em chăm chỉ thì em thành công. D. Nếu một tam giác có một góc bằng 60 thì tam giác đó là đều. Lời giải Chọn B. Nếu a chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của a chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của a cũng chia hết cho 3 . Vậy a chia hết cho 3 . Câu 30. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề: a. Huế là một thành phố của Việt Nam. b. Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế. c. Hãy trả lời câu hỏi này! d. 5 + 19 − 24 . e. 6 + 81 = 25 . f. Bạn có rỗi tối nay không? g. x + 2 = 11 . A. 1 . B. 2 . C. 3 . Lời giải Chọn C. Các câu a, b, e là mệnh đề. Câu 31. Câu nào trong các câu sau không phải là mệnh đề? A. 3 + 2 = 7 . B. x 2 +1 > 0 . C. −2 − x2 < 0 . Lời giải Chọn D. Đáp án D chỉ là một biểu thức, không phải khẳng định.

D. 4 .

D. 4 + x .

Câu 32. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề đúng: A. π là một số hữu tỉ. B. Tổng của hai cạnh một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba. C. Bạn có chăm học không? D. Con thì thấp hơn cha. Lời giải Chọn B. Đáp án B nằm trong bất đẳng thức về độ dài 3 cạnh của một tam giác. Câu 33. Mệnh đề " ∃x ∈ ℝ, x 2 = 3" khẳng định rằng: A. Bình phương của mỗi số thực bằng 3 . B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 3 . C. Chỉ có một số thực có bình phương bằng 3 . D. Nếu x là số thực thì x 2 = 3 . Lời giải Chọn B. Câu 34. Kí hiệu X là tập hợp các cầu thủ x trong đội tuyển bóng rổ, P ( x ) là mệnh đề chứa biến “ x cao

trên 180 cm ”. Mệnh đề "∀x ∈ X , P( x)" khẳng định rằng: A. Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên 180 cm .

B. Trong số các cầu thủ của đội tuyển bóng rổ có một số cầu thủ cao trên 180 cm . C. Bất cứ ai cao trên 180 cm đều là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ. D. Có một số người cao trên 180 cm là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ. Lời giải Chọn A. Câu 35. Cách phát biểu nào sau đây không thể dùng để phát biểu mệnh đề: A ⇒ B . A. Nếu A thì B . B. A kéo theo B . C. A là điều kiện đủ để có B . D. A là điều kiện cần để có B . Lời giải Chọn D. Đáp án D sai vì B mới là điều kiện cần để có A . Câu 36. Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển”. A. Mọi động vật đều không di chuyển. B. Mọi động vật đều đứng yên. C. Có ít nhất một động vật không di chuyển. D. Có ít nhất một động vật di chuyển. Lời giải Chọn C. Phủ định của “mọi” là “có ít nhất” Phủ định của “đều di chuyển” là “không di chuyển”. Câu 37. Phủ định của mệnh đề: “Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn” là mệnh đề nào sau đây: A. Mọi số vô t ỷ đều là số thập phân vô hạn tuần hoàn. B. Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. C. Mọi số vô t ỷ đều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. D. Mọi số vô t ỷ đều là số thập phân tuần hoàn. Lời giải Chọn C. Phủ định của “có ít nhất” là “mọi” Phủ định của “tuần hoàn” là “không tuần hoàn”. Câu 38. Cho mệnh đề A : “ ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 < 0 ” Mệnh đề phủ định của A là: A. ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 > 0 . C. Không tồn tại x : x − x + 7 < 0 . 2

B. ∀x ∈ ℝ, x 2 − x + 7 > 0 . D. ∃x ∈ ℝ, x 2 - x + 7 ≥ 0 . Lời giải

Chọn D. Phủ định của ∀ là ∃ Phủ định của < là ≥ . Câu 39. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P : " x 2 + 3x + 1 > 0" với mọi x là: A. Tồn tại x sao cho x 2 + 3x + 1 > 0 . B. Tồn tại x sao cho x 2 + 3x + 1 ≤ 0 . 2 C. Tồn tại x sao cho x + 3x + 1 = 0 . D. Tồn tại x sao cho x 2 + 3x + 1 < 0 . Lời giải Chọn B. Phủ định của “với mọi” là “tồn tại” Phủ định của > là ≤ . Câu 40. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P : “ ∃x : x 2 + 2 x + 5 là số nguyên tố” là : A. ∀x : x 2 + 2 x + 5 không là số nguyên tố. B. ∃x : x 2 + 2 x + 5 là hợp số. 2 C. ∀x : x + 2 x + 5 là hợp số. D. ∃x : x 2 + 2 x + 5 là số thực. Lời giải

Chọn A. Phủ định của ∃ là ∀ Phủ định của “là số nguyên tố” là “không là số nguyên tố”. Câu 41. Phủ định của mệnh đề " ∃x ∈ ℝ,5 x − 3 x 2 = 1" là: A. " ∃x ∈ ℝ,5 x − 3 x 2 " . B. " ∀x ∈ ℝ,5 x − 3x 2 = 1" . 2 C. " ∀ x ∈ ℝ,5 x − 3x ≠ 1" . D. " ∃x ∈ ℝ,5 x − 3 x 2 ≥ 1" . Lời giải Chọn C. Phủ định của ∃ là ∀ Phủ định của = là ≠ . Câu 42. Cho mệnh đề P ( x ) : " ∀x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 > 0" . Mệnh đề phủ định của mệnh đề P ( x ) là: A. " ∀x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 < 0" .

B. " ∀x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 ≤ 0" .

C. " ∃x ∈ ℝ, x + x + 1 ≤ 0" .

D. " ∃ x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 > 0" . Lời giải

Chọn C. Phủ định của ∀ là ∃ Phủ định của > là ≤ . Câu 43. Mệnh đề nào sau là mệnh đề sai? A. ∀n ∈ ℕ : n ≤ 2 n . B. ∃n ∈ ℕ : n2 = n .

C. ∀x ∈ ℝ : x 2 > 0 . Lời giải

D. ∃x ∈ ℝ : x > x2 .

C. ∀x ∈ ℝ : − x 2 < 0 . Lời giải

D. ∃x ∈ ℝ : x > x 2 .

Chọn C. Ta có: ∃0 ∈ ℝ : 02 = 0 . Câu 44. Trong các mệnh đề sau tìm mệnh đề đúng? A. ∀x ∈ ℝ : x 2 > 0 . B. ∀x ∈ ℕ : x ⋮ 3 . Chọn D. Ta có: ∃0, 5 ∈ ℝ : 0,5 < 0.52 . Câu 45. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. ∀n ∈ ℕ, n 2 + 1 không chia hết cho 3 . 2

C. ∀x ∈ ℝ, ( x − 1) ≠ x − 1 .

B. ∀x ∈ ℝ, x < 3 ⇔ x < 3 . D. ∃n ∈ ℕ, n 2 + 1 chia hết cho 4 . Lời giải

Chọn A. Với mọi số tự nhiên thì có các trường hợp sau: 2

n = 3k ⇒ n2 + 1 = ( 3k ) + 1 chia 3 dư 1. 2

n = 3k + 1 ⇒ n2 + 1 = ( 3k + 1) + 1 = 9k 2 + 6k + 2 chia 3 dư 2. 2

n = 3k + 2 ⇒ n + 1 = ( 3k + 2 ) + 1 = 9k 2 + 12k + 5 chia 3 dư 2. 2

Câu 46. Cho n là số tự nhiên, mệnh đề nào sau đây đúng? A. ∀n, n ( n + 1) là số chính phương. B. ∀n, n ( n + 1) là số lẻ. C. ∃n, n ( n + 1)( n + 2 ) là số lẻ.

D. ∀n, n ( n + 1)( n + 2 ) là số chia hết cho 6 . Lời giải

Chọn D.

∀n ∈ ℕ, n ( n + 1)( n + 2 ) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, trong đó, luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 2.3 = 6 . Câu 47. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. −π < −2 ⇔ π 2 < 4 . C.

23 < 5 ⇒ 2 23 < 2.5 .

B. π < 4 ⇔ π 2 < 16 . D. 23 < 5 ⇒ − 2 23 > −2.5 . Lời giải

Chọn A. Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai. Vậy mệnh đề ở đáp án A sai. Câu 48. Cho x là số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ∀x, x 2 > 5 ⇒ x > 5 ∨ x < − 5 . B. ∀x, x 2 > 5 ⇒ − 5 < x < 5 . C. ∀x, x 2 > 5 ⇒ x > ± 5 .

D. ∀x, x 2 > 5 ⇒ x ≥ 5 ∨ x ≤ − 5 . Lời giải

Chọn A. Câu 49. Chọn mệnh đề đúng: A. ∀n ∈ N* , n 2 − 1 là bội số của 3 . C. ∀n ∈ N, 2n + 1 là số nguyên tố.

B. ∃x ∈ ℚ, x 2 = 3 . D. ∃n ∈ N, 2n ≥ n + 2 . Lời giải

Chọn D. ∃2 ∈ N, 22 ≥ 2 + 2 . Câu 50. Trong các mệnh đề nào sau đây mệnh đề nào sai? A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau. B. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông. C. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. D. Một tam giác là đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 60 . Lời giải Chọn A. Câu 51. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là đúng? A. Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c . B. Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau. C. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9 . D. Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5 . Lời giải Chọn C. Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3 là mệnh đề đúng. Câu 52. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật ⇒ tứ giác ABCD có ba góc vuông. B. Tam giác ABC là tam giác đều ⇔ A = 60° . C. Tam giác ABC cân tại A ⇒ AB = AC . D. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O ⇒ OA = OB = OC = OD . Lời giải Chọn B. Tam giác ABC có A = 60° chưa đủ để nó là tam giác đều.

Câu 53. Tìm mệnh đề đúng: A. Đường tròn có một tâm đối xứng và có một trục đối xứng. B. Hình chữ nhật có hai trục đối xứng. C. Tam giác ABC vuông cân ⇔ A = 450 . D. Hai tam giác vuông ABC và A ' B ' C ' có diện tích bằng nhau ⇔ ∆ABC = ∆A ' B ' C ' . Lời giải Chọn B. Câu 54. Tìm mệnh đề sai: A. 10 chia hết cho 5 ⇔ Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc nhau. B. Tam giác ABC vuông tại C ⇔ AB 2 = CA2 + CB 2 . C. Hình thang ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) ⇔ ABCD là hình thang cân. D. 63 chia hết cho 7 ⇒ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau. Lời giải Chọn D. Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai. Vậy mệnh đề ở đáp án D sai. Câu 55. Với giá trị thực nào của x mệnh đề chứa biến P ( x ) : 2 x 2 − 1 < 0 là mệnh đề đúng: A. 0 .

B. 5 .

C. 1 .

4 . 5

Lời giải Chọn A. P ( 0 ) : 2.02 − 1 < 0 . Câu 56. Cho mệnh đề chứa biến P ( x ) : " x + 15 ≤ x2 " với x là số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng: A. P ( 0 ) .

B. P ( 3) .

C. P ( 4 ) . Lời giải

D. P ( 5 ) .

C. A ⊂ A . Lời giải

D. A ⊂ { A} .

Chọn D. P ( 5 ) :"5 + 15 ≤ 52 " . Câu 57. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. A ∈ A . B. ∅ ⊂ A . Chọn A. Giữa hai tập hợp không có quan hệ “thuộc”. Câu 58. Cho biết x là một phần tử của tập hợp A , xét các mệnh đề sau: ( I ) : x ∈ A . ( II ) : { x} ∈ A . ( III ) : x ⊂ A . ( IV ) : { x} ⊂ A . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng A. I và II . B. I và III . C. I và IV . Lời giải Chọn C. ( II ) : { x} ∈ A sai do giữa hai tập hợp không có quan hệ “thuộc”.

( III ) : x ⊂ A

D. II và IV .

sai do giữa phần tử và tập hợp không có quan hệ “con”.

Câu 59. Các kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “ 7 là một số tự nhiên”. A. 7 ⊂ ℕ . B. 7 ∈ ℕ . C. 7 < ℕ . D. 7 ≤ ℕ . Lời giải

Chọn B. Câu 60. Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “ 2 không phải là số hữu tỉ” A. 2 ≠ ℚ . B. 2 ⊄ ℚ . C.

2 ∉ℚ .

D. 2 không trùng với ℚ . Lời giải

Chọn C. Câu 61. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? x2 x2 1 1 A. Phủ định của mệnh đề “ ∀x ∈ ℝ, 2 < ” là mệnh đề “ ∃x ∈ ℝ, 2 > ”. 2x +1 2 2x +1 2 B. Phủ định của mệnh đề “ ∀k ∈ ℤ, k 2 + k + 1 là một số lẻ” là mệnh đề “ ∃k ∈ ℤ, k 2 + k + 1 là một số chẵn”. C. Phủ định của mệnh đề “ ∀n ∈ ℕ sao cho n2 − 1 chia hết cho 24” là mệnh đề “ ∀n ∈ ℕ sao cho n2 −1 không chia hết cho 24”. D. Phủ định của mệnh đề “ ∀x ∈ ℚ, x 3 − 3 x + 1 > 0 ” là mệnh đề “ ∀x ∈ ℚ, x 3 − 3 x + 1 ≤ 0 ”. Lời giải Chọn B. Phủ định của ∀ là ∃ . Phủ định của số lẻ là số chẵn. Câu 62. Cho mệnh đề A = “∀x ∈ ℝ : x 2 < x” . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là phủ định của mệnh đề A ? A. “∃x ∈ ℝ : x 2 < x” . B. “∃x ∈ ℝ : x 2 ≥ x” . C. “∃x ∈ ℝ : x 2 < x” . D. “∃x ∈ ℝ : x 2 ≤ x” . Lời giải Chọn B. Phủ định của ∀ là ∃ . Phủ định của < là ≥ .

1 Câu 63. Cho mệnh đề A = “∀x ∈ ℝ : x 2 + x ≥ − ” . Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề A và xét tính 4 đúng sai của nó. 1 A. A = “∃x ∈ ℝ : x 2 + x ≥ − ” . Đây là mệnh đề đúng. 4 1 2 B. A = “∃x ∈ ℝ : x + x ≤ − ” . Đây là mệnh đề đúng. 4 1 2 C. A = “∃x ∈ ℝ : x + x < − ” . Đây là mệnh đề sai . 4 1 2 D. A = “∃x ∈ ℝ : x + x > − ” . Đây là mệnh đề sai. 4 Lời giải Chọn C. Phủ định của ∀ là ∃ . Phủ định của ≥ là < . Câu 64. Để chứng minh định lý sau đây bằng phương pháp chứng minh phản chứng “Nếu n là số tự nhiên và n 2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”, một học sinh lý luận như sau: (I) Giả sử n chia hết cho 5. (II) Như vậ y n = 5k , với k là số nguyên.

(III) Suy ra n2 = 25k 2 . Do đó n 2 chia hết cho 5. (IV) Vậy mệnh đề đã được chứng minh. Lập luận trên: A. Sai từ giai đoạn (I). B. Sai từ giai đoạn (II). C. Sai từ giai đoạn (III). D. Sai từ giai đoạn (IV). Lời giải Chọn A. Mở đầu của chứng minh phải là: “Giả sử n không chia hết cho 5”. Câu 65. Cho mệnh đề chứa biến P ( n ) : “ n 2 − 1 chia hết cho 4” với n là số nguyên. Xét xem các mệnh đề

P ( 5 ) và P ( 2 ) đúng hay sai? A. P ( 5) đúng và P ( 2 ) đúng. C. P ( 5 ) đúng và P ( 2 ) sai.

B. P ( 5) sai và P ( 2 ) sai. D. P ( 5 ) sai và P ( 2 ) đúng. Lời giải

Chọn C. P ( 5 ) đúng do 24⋮ 4 còn P ( 2 ) sai do 3 không chia hết cho 4 . Câu 66. Cho tam giác ABC với H là chân đường cao từ A . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 1 1 = + A. “ ABC là tam giác vuông ở A ⇔ ”. AH 2 AB 2 AC 2 2 B. “ ABC là tam giác vuông ở A ⇔ BA = BH .BC ”. C. “ ABC là tam giác vuông ở A ⇔ HA2 = HB.HC ”. D. “ ABC là tam giác vuông ở A ⇔ BA2 = BC 2 + AC 2 ”. Lời giải Chọn D. Đáp án đúng phải là: “ ABC là tam giác vuông ở A ⇔ BC 2 = AB 2 + AC 2 ”. Câu 67. Cho mệnh đề “phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho và tính đúng, sai của mệnh đề phủ định là: A. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm. Đây là mệnh đề đúng. B. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm. Đây là mệnh đề sai. C. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 vô nghiệm. Đây là mệnh đề đúng. D. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 vô nghiệm. Đây là mệnh đề sai. Lời giải Chọn D. Phủ định của có nghiệm là vô nghiệm, phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm là 2. Câu 68. Cho mệnh đề A = “∃n ∈ ℕ : 3n + 1là số lẻ”, mệnh đề phủ định của mệnh đề A và tính đúng, sai của mệnh đề phủ định là: A. A = “∀n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề đúng. B. A = “∀n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề sai. C. A = “∃n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề sai. D. A = “∃n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề đúng. Lời giải Chọn B. Phủ định của ∃ là ∀ .

Phủ định của “số lẻ” là “số chẵn”. Mặt khác, mệnh đề phủ định sai do ∃6 ∈ ℕ : 3.6 + 1 là số lẻ. Câu 69. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Để tứ giác ABCD là hình bình hành, điều kiện cần và đủ là hai cạnh đối song song và bằng nhau. B. Để x 2 = 25 điều kiện đủ là x = 2 . C. Để tổng a + b của hai số nguyên a, b chia hết cho 13, điều kiện cần và đủ là mỗi số đó chia hết cho 13. D. Để có ít nhất một trong hai số a, b là số dương điều kiện đủ là a + b > 0 . Lời giải Chọn C. Tồn tại a = 6, b = 7 sao cho a + b = 13⋮13 nhưng mỗi số không chia hết cho 13. Câu 70. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu tổng hai số a + b > 2 thì có ít nhất một số lớn hơn 1. B. Trong một tam giác cân hai đường cao bằng nhau. C. Nếu tứ giác là hình vuông thì hai đường chéo vuông góc với nhau. D. Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. Lời giải Chọn B. “Tam giác có hai đường cao bằng nhau là tam giác cân” là mệnh đề đúng. Câu 71. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lí? A. ∃x ∈ ℕ, x 2 chia hết cho 3 ⇒ x chia hết cho 3 . B. ∃x ∈ ℕ, x 2 chia hết cho 6 ⇒ x chia hết cho 3 . C. ∀x ∈ ℕ, x 2 chia hết cho 9 ⇒ x chia hết cho 9 . D. ∃x ∈ ℕ, x chia hết cho 4 và 6 ⇒ x chia hết cho 12 . Lời giải Chọn D. Định lý sẽ là: ∀x ∈ ℕ, x chia hết cho 4 và 6 ⇒ x chia hết cho 12 . Câu 72. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là định lí? A. ∀x ∈ ℝ, x > −2 ⇒ x 2 > 4 . B. ∀x ∈ ℝ, x > 2 ⇒ x 2 > 4 . C. ∀x ∈ ℝ, x 2 > 4 ⇒ x > 2 . D. Nếu a + b chia hết cho 3 thì a, b đều chia hết cho 3 . Lời giải Chọn B.

TOÁN 10 BÀI 2

A. 0

TẬP HỢP, CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

{

Dạng 1. Phần tử của tập hợp, các xác định tập hợp

A. 16

Câu 2.

Ký hiệu nào sau đây để chỉ

5 không phải là một số hữu tỉ?

5⊄ℚ

5≠ℚ

D. 10

{

C. 4

D. 3

A. 0

5⊂ℚ

D. A = {1; 2;3; 4;5;6}

A. X = 0 .

Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X = { x ∈ ℤ | 2 x − 3 x + 1 = 0} .  1 C. X = 1;   2

{

C. { x ∈ ℚ : x − 4 x + 2 = 0}

D. { x ∈ ℝ : x 2 − 4 x = 3 = 0}

{

{ C. C = { x ∈ ℝ x

B. 1

D. 3

Câu 8.

Cho tập hợp A = { x + 1 \ x ∈ ℕ, x ≤ 5} . Hãy liệt kê các phần tử của tập

} − 5 = 0} .

{ D. D = { x ∈ ℚ x

} + x − 12 = 0} .

B. B = x ∈ ℝ x 2 + 2 x + 3 = 0 .

{

}

{

A. A = x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = 0 .

{

}

B. B = x ∈ ℕ x 2 − 2 = 0 .

}

{

C. C = x ∈ ℤ ( x – 3)( x + 1) = 0 .

}

D. D = x ∈ ℚ x ( x + 3) = 0 . 2

Dạng 2. Tập hợp con, tập hợp bằng nhau Câu 20. Cho hai tập hợp A và B. Hình nào sau đây minh họa A là tập con của B?

Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp: X = { x ∈ ℝ \ x 4 − 6 x 2 + 8 = 0} .

{

B. X = − 2; 2

}

C. X =

{

}

{

}

2; 2 D. X = − 2; 2; −2; 2

Câu 10. Cho tập hợp M = {( x; y ) \ x, y ∈ ℝ, x + y ≤ 0} . Khi đó tập hợp M có bao nhiêu phần tử? 2

B. 1

C. 2

Câu 11. Số phần tử của tập hợp: 2

D. A = {1}

Câu 19. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào khác rỗng?

D. A = {0;1; 4;9;16; 25}

B. A = {– 2; –1;1; 2} C. A = {–1}

A. A = x ∈ ℕ x 2 − 4 = 0 .

A. 0

C. A = {2;5;10;17; 26}

}

Câu 18. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?

Cho tập hợp M = {( x; y ) | x; y ∈ ℕ, x + y = 1} . Hỏi tập M có bao nhiêu phần tử?

B. A = {1; 2;5;10;17; 26}

Câu 17. Cho tập hợp A = x ∈ ℝ ( x 2 –1)( x 2 + 2 ) = 0 . Các phần tử của tập A là:

A. A = {0;1; 2;3; 4;5}

} − 4 x + 3 = 0} .

B. x ∈ Z 6 x 2 − 7 x + 1 = 0 .

}

A. A = {–1;1} B. { x ∈ ℤ | 6 x − 7 x + 1 = 0}

D. 5 .

{ D. {x ∈ ℝ x

}

{

A. { x ∈ ℤ | x < 1}

{

D. X = {∅} .

C. 3 .

C. x ∈ Q x − 4 x + 2 = 0 .

Trong các tập sau, tập nào là tập rỗng?

A. 0

B. 2 .

A. x ∈ Z x < 1 .

 3 D. X = 1;   2

C. 2

C. X = ∅ .

Câu 16. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng:

 3 D. X = 1;   2

3 C. X =   2

B. X = {0} .

A. 1.

Liệt kê các phần tử của phần tử tập hợp X = { x ∈ ℝ | 2 x 2 − 5 x + 3 = 0} .

A. X = {2; 4}

}

Câu 15. Số phần tử của tập hợp A = {k 2 + 1/ k ∈ Z, k ≤ 2} là:

B. X = {1}

B. 2

{

B. A = {0;1; 2;3; 4;5;6}

B. X = {1}

}

A = x ∈ ℝ \ ( 2 x 2 + x − 4 ) = 4 x 2 − 4 x + 1 là:

hợp A.

Câu 9.

C. 12

Câu 14. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X = x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = 0 :

C. A = {0;1; 2;3; 4;5}

Câu 7.

5 ∉ℚ

A. A = {1; 2;3; 4;5}

A. X = {0} Câu 6.

B. 8

Câu 13. Số phần tử của tập hợp:

Cho tập hợp A = { x + 1| x ∈ ℕ, x ≤ 5} . Tập hợp A là:

A. X = {0} Câu 5.

D. 2

}

A = x ∈ ℝ \ 3 ( x 2 + x ) − 2 x 2 − 2 x = 0 là:

Ký hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề: “3 là một số tự nhiên”? A. 3 ⊂ ℕ B. 3 ∈ ℕ C. 3 < ℕ D. 3 ≤ ℕ

Câu 4.

C. 1

Câu 12. Số tập con của tập hợp:

PHẦN A. CÂU HỎI

Câu 1.

Câu 3.

B. 3

D. Vô số

Câu 21. Cho ba tập hợp E, F, G thỏa mãn: E ⊂ F , F ⊂ G và G ⊂ K . Khẳng định nào sau đây đúng? A. G ⊂ F

B. K ⊂ G

C. E = F = G

D. E ⊂ K

Câu 22. Cho tập hợp A = {0;3; 4;6} . Số tập hợp con gồm hai phần tử của A là: A. 12

B. 8

C. 10

D. 6

C. 8

D. 12

Câu 23. Cho tập hợp X = {a; b; c} . Số tập con của X là:

}

A = x ∈ ℝ \ ( x 2 + x ) = x 2 − 2 x + 1 là:

A. 4 1

B. 6 2

Câu 24. Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào có đúng một tập hợp con? A. ∅

B. { x}

C. {∅}

Câu 36. Số các tập con 2 phần tử của B = {a, b, c, d , e, f } là: D. {∅, x}

Câu 25. Cho tập hợp A = {1; 2} và B = {1; 2;3; 4;5} . Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa mãn: A ⊂ X ⊂ B ? A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Câu 26. Cho tập hợp A = {1; 2;5;7} và B = {1; 2;3} . Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa mãn: X ⊂ A và

A. 15 .

B. 16 .

B. 4

C. 6

D. 8

Câu 27. Cho tập hợp A = {1;3} , B = {3; x} , C = { x; y;3} . Để A = B = C thì tất cả các cặp ( x; y ) là: A. (1;1)

B. (1;1) và (1;3)

C. (1;3)

D. ( 3;1) và ( 3;3)

Câu 28. Cho tập hợp A = {1;2;3; 4} , B = {0; 2; 4} , C = {0;1; 2;3; 4;5} . Quan hệ nào sau đây là đúng? A. B ⊂ A ⊂ C

A ⊂ C C.  B ⊂ C

B. B ⊂ A = C

D. A ∪ B = C

A. 8 .

B. 10 .

C. 12 .

B. { x} .

C. {∅; x} .

A. 16 .

B. 15 .

C. 12 .

{

}

A. A = {1;3}, B = x ∈ ℝ ( x –1)( x − 3) = 0 . B. A = {1;3;5; 7;9}, B = {n ∈ ℕ n = 2k + 1, k ∈ ℤ, 0 ≤ k ≤ 4} .

{

}

C. A = {−1; 2}, B = x ∈ ℝ x 2 − 2 x − 3 = 0 .

Dạng 3. Các phép toán trên tập hợp D. 25

Câu 31. Số các tập hợp con có 3 phần tử có chứa a, b của tập hợp C = {a; b; c; d ; e; f ; g} là: A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

B. { x}

C. {∅; x}

{

}

Câu 41. Cho tập hợp X = {1;5} , Y = {1;3;5} . Tập X ∩ Y là tập hợp nào sau đây? A. {1}

B. {1;3}

C. {1;3;5}

D. {1;5}

Câu 42. Cho tập X = {2; 4;6;9} , Y = {1; 2;3; 4} . Tập nào sau đây bằng tập X \ Y ?

Câu 32. Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con? A. { x; y}

D. 10 .

Câu 40. Khẳng định nào sau đây sai?Các tập A = B với A, B là các tập hợp sau?

Câu 30. Số các tập hợp con gồm hai phần tử của tập hợp B = {a; b; c; d ; e; f } là: C. 22

D. {∅; x; y} .

Câu 39. Cho tập hợp A = {a, b, c, d } . Tập A có mấy tập con?

D. A = ∅, B = x ∈ ℝ x + x + 1 = 0 .

B. 16

D. 14 .

Câu 38. Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con?

Câu 29. Cho tập hợp A có 4 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập con khác rỗng? A. 16 B. 15 C. 12 D. 7

A. 15

D. 25 .

Câu 37. Số các tập con 3 phần tử có chứa α , π của C = {α , π , ξ , ψ , ρ , η , γ , σ , ω, τ } là:

A. { x; y} .

X ⊂ B? A. 2

C. 22 .

D. {∅; x; y}

A. {1; 2;3;5}

B. {1;3;6;9}

C. {6;9}

D. {1}

Câu 43. Cho tập hợp X = {a; b} , Y = {a; b; c} . X ∪ Y là tập hợp nào sau đây?

Câu 33. Cho tập hợp A = {1, 2,3, 4, x, y} . Xét các mệnh đề sau đây:

A. {a; b; c; d }

( I ) : “ 3 ∈ A ”.

B. {a; b}

C. {c}

D. {a; b; c}

( II ) : “ {3, 4} ∈ A ”.

Câu 44. Cho hai tập hợp A và B khác rỗng thỏa mãn: A ⊂ B . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. A \ B = ∅ B. A ∩ B = A C. B \ A = B D. A ∪ B = B

( III ) : “ {a,3, b} ∈ A ”.

Câu 45. Cho ba tập hợp:

F = { x ∈ ℝ | f ( x ) = 0} , G = { x ∈ ℝ | g ( x ) = 0} , H = { x ∈ ℝ | f ( x ) + g ( x ) = 0} .

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng A. I đúng.

B. I , II đúng.

C. II , III đúng.

D. I , III đúng.

A. H = F ∩ G

Câu 34. Cho A = {0; 2; 4;6} . Tập A có bao nhiêu tập con có 2 phần tử? A. 4 .

B. 6 .

C. 7 .

Câu 35. Cho tập hợp X = {1;2;3; 4} . Câu nào sau đây đúng? A. Số tập con của B. Số tập con của C. Số tập con của D. Số tập con của

X X X X

là 16 . gồm có 2 phần tử là 8 . chứa số 1 là 6 . gồm có 3 phần tử là 2 .

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

D. 8 .

B. H = F ∪ G

C. H = F \ G

D. H = G \ F

2x   Câu 46. Cho tập hợp A =  x ∈ ℝ | 2 ≥ 1 ; B là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của b để phương x +1  

trình x 2 − 2bx + 4 = 0 vô nghiệm. Số phần tử chung của hai tập hợp trên là: A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số Câu 47. Cho hai tập hợp X = {1; 2;3; 4} , Y = {1; 2} . C X Y là tập hợp sau đây? A. {1; 2}

B. {1; 2;3; 4}

C. {3; 4} 4

D. ∅

Câu 48. Cho A, B, C là ba tập hợp được minh họa bằng biểu đồ ven như hình vẽ. Phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây? A. ( A ∪ B ) \ C

B. ( A ∩ B ) \ C

C. ( A \ C ) ∪ ( A \ B )

B. 3

C. 4

Câu 51. Cho tập hợp A. 1 Câu 52.

B. 5

C. 6

A = {1; 2;3; 4;5}

. Tìm số tập hợp X sao cho B. 2 C. 3

A \ X = {1;3;5}

A. A ∪ B = A

D. B \ A = ∅

Câu 64. Chọn kết quả sai trong các kết quả sau: A. A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B. C. A \ B = A ⇔ A ∩ B = ∅.

D. ℕ* ∩ ℚ = ℕ* .

B. A ∪ B = A ⇔ A ⊂ B. D. B \ A = B ⇔ A ∩ B = ∅.

Câu 65. Cho X = {7; 2;8; 4;9;12} ; Y = {1;3;7;4} . Tập nào sau đây bằng tập X ∩ Y ? A. {1; 2;3; 4;8;9;7;12} . B. {2;8;9;12} .

D. A ∩ B = ∅ ⇒ A + B = A ∪ B Câu 53. Một lớp học có 25 học sinh giỏi môn Toán, 23 học sinh giỏi môn Lý, 14 học sinh giỏi cả môn Toán và Lý và có 6 học sinh không giỏi môn nào cả. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh? A. 54 B. 40 C. 26 D. 68 Câu 54. Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 25 em học giỏi môn Toán, 23 em học giỏi môn Lý, 20 em học giỏi môn Hóa, 11 em học giỏi cả môn Toán và môn Lý, 8 em học giỏi cả môn Lý và môn Hóa, 9 em học giỏi cả môn Toán và môn Hóa. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn học giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa, biết rằng mỗi học sinh trong lớp học giỏi ít nhất một trong 3 môn Toán, Lý, Hóa? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

A. A ∩ B = {2; 4}

B. A ∪ B = {0;1; 2;3; 4;5;6}

C. A ⊂ B

D. A \ B = {0;6}

A. A = {1, 2,3,5} . Câu 67. Cho

B. {1;3;6;9} .

A = {0;1; 2;3; 4} , B = {2;3; 4;5;6} .

A. {0;1;5;6} .

C. {6;9} .

Tập hợp

B. {1;2} .

D. ∅.

( A \ B ) ∪ ( B \ A) bằng? C. {2;3; 4} .

D. {5;6} .

Câu 68. Cho A = {0;1; 2;3; 4} , B = {2;3; 4;5;6} . Tập hợp A \ B bằng: A. {0} .

B. {0;1} .

C. {1;2} .

D. {1;5} .

Câu 69. Cho A = {0;1; 2;3; 4} , B = {2;3; 4;5;6} . Tập hợp B \ A bằng: A. {5} .

B. {0;1} .

A. A ∩ B = {1} .

C. {2;3; 4} .

D. {5;6} .

{

Câu 59. Cho hai tập hợp A = {1; 2;3; 4;5} ; B = {1;3;5;7;9} . Tập nào sau đây bằng tập A ∩ B ? D. {1; 2;3; 4;5;7;9}

C. A ∩ B = {1;5} .

}

{

D. A ∩ B = {1;3;5} .

}

bằng: A. {2; 4} .

B. {2} .

C. {4;5} .

D. {3} .

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 58. Cho tập hợp A = {a; b; c} và B = {a; b; c; d ; e} . Có tất cả bao nhiêu tập hợp X thỏa mãn D. 8

B. A ∩ B = {1;3} .

Câu 71. Cho A = x ∈ ℕ ( 2 x − x 2 )( 2 x 2 − 3 x − 2 ) = 0 ; B = n ∈ ℕ* 3 < n 2 < 30 . Khi đó tập hợp A ∩ B

Câu 57. Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C B. A ⊂ B ⇒ C \ A ⊂ C \ B C. A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C D. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C

C. {2; 4;6;8}

D. {1;3} .

Câu 70. Cho A = {1;5} ; B = {1;3;5} . Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau

Câu 56. Ký hiệu H là tập hợp các học sinh của lớp 10A. T là tập hợp các học sinh nam, G là tập hợp các học sinh nữ của lớp 10A. Khẳng định nào sau đây sai? A. T ∪ G = H B. T ∩ G = ∅ C. H \ T = G D. G \ T = ∅

C. 4

C. {4;7} .

Câu 66. Cho hai tập hợp A = {2, 4,6,9} và B = {1, 2,3, 4} .Tập hợp A \ B bằng tập nào sau đây?

Câu 55. Cho tập hợp A = {1; 2;3; 4} , B = {0; 2; 4;6} . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

C. A \ B ⊂ A

Câu 63. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng: A. ℝ \ ℚ = ℕ . B. ℕ* ∪ ℕ = ℤ . C. ℕ * ∩ ℤ = ℤ .

C. A ∩ B ≠ ∅ ⇒ A + B = A ∪ B + A ∩ B

B. {1; 2;3; 4;5}

B. A ∩ B = A ∪ B

X \ A = {6;7} và . D. 4

B. A ∩ B ≠ ∅ ⇒ A + B = A ∪ B − A ∩ B

A. {1;3;5}

D. ∅

D. 8

A. A ∩ B = ∅ ⇒ A + B = A ∪ B + A ∩ B

B. 6

C. {6;9}

Câu 62. Một lớp học có 25 học sinh chơi bóng đá, 23 học sinh chơi bóng bàn, 14 học sinh chơi cả bóng đá và bóng bàn và 6 học sinh không chơi môn nào. Số học sinh chỉ chơi 1 môn thể thao là? A. 48 B. 20 C. 34 D. 28

Ký hiệu X là số phần tử của tập hợp X. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?

A⊂ X ⊂ B? A. 5

B. {1; 2;3; 4;6;9}

Câu 61. Cho các tập hợp A = { x ∈ ℝ : x 2 − 7 x + 6 = 0} , B = { x ∈ ℕ : x < 4} . Khi đó:

D. 5

Câu 50. Cho hai tập hợp A = {0;1} và B = {0;1; 2;3; 4} . Số tập hợp X thỏa mãn X ⊂ CB A là: A. 3

A. {1; 2;3;5}

D. ( A ∩ B ) ∪ C

Câu 49. Cho hai tập hợp A = {0; 2} và B = {0;1; 2;3; 4} . Số tập hợp X thỏa mãn A ∪ X = B là: A. 2

Câu 60. Cho tập hợp A = {2; 4;6;9} , B = {1; 2;3; 4} . Tập nào sau đây bằng tập A \ B ?

Câu 1.

Dạng 1. Phần tử của tập hợp, các xác định tập hợp - Đáp án A sai vì kí hiệu “ ⊂ ” chỉ dùng cho hai tập hợp mà ở đây “3” là một số - Hai đáp án C và D đều sai vì ta không muốn so sánh một số với tập hợp. Đáp án

B. 6

Câu 2.

Vì

Đáp án Câu 3.

Vì x ∈ ℕ, x ≤ 5 nên x ∈ {0;1; 2;3; 4;5} ⇒ x + 1 = {1; 2;3; 4;5;6} . Đáp án

Câu 4.

nên x 2 + y 2 ≤ 0 ⇔ x = y = 0 . Khi đó tập hợp M có 1 phần tử duy nhất là Câu 11.

Đáp án

{( 0;0 )} .

D. 2

Giải phương trình ( x 2 + x ) = x 2 − 2 x + 1 trên ℝ ⇔ ( x 2 + x ) − ( x − 1) = 0

x = 1  3 Vì phương trình 2 x 2 − 5 x + 3 = 0 có nghiệm  ∈ ℝ nên X = 1;  . x = 3  2 2  Đáp án

Đáp án  x ≥ 0 Vì  2  y ≥ 0

x = 1 1 Vì phương trình 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 có nghiệm  nhưng vì x ∈ ℤ nên ∉ ℤ . x = 1 2  2

Đáp án

Câu 6.

Câu 10.

Vậy X = {1} .

Câu 5.

 x2 = 2 x = ± 2 . ⇔ 2 ⇔ = x 4  x = ±2 

5 chỉ là một phần tử còn ℚ là một tập hợp nên các đáp án A, B, D đều sai.

⇔ ( x 2 + x − x + 1)( x 2 + x + x − 1) = 0 ⇔ ( x 2 + 1)( x 2 + 2 x − 1) = 0

 x = −1 − 2 . ⇔  x = −1 + 2

Xét các đáp án: - Đáp án A: x ∈ ℤ, x < 1 ⇔ −1 < x < 1 ⇒ x = 0 . x = 1 - Đáp án B: Giải phương trình: 6 x 2 − 7 x + 1 = 0 ⇔  . Vì x ∈ ℤ ⇒ x = 1 . x = 1 6 

Câu 12.

Đáp án

Giải phương trình 2

3( x2 + x) − 2 ( x2 + x ) = 0

- Đáp án C: x − 4 x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ± 2 . Vì x ∈ ℚ ⇒ Đây là tập rỗng. 2

Đáp án Câu 7.

Đặt x 2 + x = t ta có phương trình

t = 0 3t 2 − 2t = 0 ⇔  2 t =  3

Vì x; y ∈ ℕ nên x, y thuộc vào tập {0;1; 2;...} Vậy cặp ( x; y ) là (1;0 ) , ( 0;1) thỏa mãn x + y = 1 ⇒ Có 2 cặp hay M có 2 phần tử.

Câu 8.

Đáp án

x = 0 Với t = 0 ta có x 2 + x = 0 ⇔   x = −1

Với t =

Vì x ∈ ℕ, x ≤ 5 nên x ∈ {0;1; 2;3; 4;5}

⇔ 3 x 2 + 3x − 2 = 0 ⇔ x =

⇒ x 2 + 1 ∈ {1; 2;5;10;17;26} . Câu 9.

2 2 ta có: x 2 + x = 3 3

Ta có A = { x 2 + 1 \ x ∈ ℕ, x ≤ 5} .

Đáp án

−3 ± 33 3

Vậy A có 4 phần tử suy ra số tập con của A là 2 4 = 16 .

Câu 13.

Giải phương trình x 4 − 6 x 2 + 8 = 0

Đáp án

Giải phương trình

(2x 7

+ x − 4) = 4x2 − 4x + 1 8

⇔ ( 2 x 2 + x − 4 ) = ( 2 x − 1)

{

2 x2 + x − 4 = 2 x − 1 ⇔ 2  2 x + x − 4 = −2 x + 1

Câu 19.

Chọn B

{

}

{

}

B = x ∈ ℕ x 2 − 2 = 0 . Ta có x 2 − 2 = 0 ⇔ x = ± 2 ∉ ℕ ⇒ B = ∅

{

}

C = x ∈ ℤ ( x3 – 3)( x 2 + 1) = 0 . Ta có ( x 3 – 3)( x 2 + 1) = 0 ⇔ x = 3 3 ∉ ℤ ⇒ C = ∅

{

}

D = x ∈ ℚ x ( x 2 + 3) = 0 . Ta có x ( x 2 + 3) = 0 ⇔ x = 0 ⇒ D = {0} .

Chọn C Phương trình x 2 + x + 1 = 0 vô nghiệm nên X = ∅ .

Câu 20.

Chọn C

{

Dạng 2. Tập hợp con, tập hợp bằng nhau Hình C là biểu đồ ven, minh họa cho A ⊂ B vì mọi phần tử của A đều là của B.

Đáp án

}

A = k + 1 k ∈ Z, k ≤ 2 . Ta có k ∈ Z, k ≤ 2 ⇔ −2 ≤ k ≤ 2 ⇒ A = {1; 2;5} .

Câu 16.

}

A = x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = 0 . Ta có x 2 + x + 1 = 0 ( vn ) ⇒ A = ∅ .

Vậy A có 4 phần tử.

Câu 15.

}

D = x ∈ ℚ x 2 + x − 12 = 0 ⇒ D = {−3; 4} .

 x = −1  x = 3 2x2 − x − 3 = 0 2 . ⇔ 2 ⇔  x = 1 2 x + 3 x − 5 = 0   5   x = − 2

Câu 14.

{

}

C = x ∈ ℝ x 2 − 5 = 0 ⇒ C = − 5; 5 .

Câu 21.

Dùng biểu đồ minh họa ta thấy E ⊂ K .

Chọn C

{

}

A = x ∈ Z x < 1 ⇒ A = {0} .

x = 1 ⇒ B = {1} . B = x ∈ Z 6 x 2 − 7 x + 1 = 0 . Ta có 6 x 2 − 7 x + 1 = 0 ⇔  x = 1 ∉ℤ 6 

{

}

Đáp án Câu 22.

x = 2 − 2 ∉ ℚ ⇒C =∅ C = x ∈ Q x 2 − 4 x + 2 = 0 . Ta có x 2 − 4 x + 2 = 0 ⇔   x = 2 + 2 ∉ ℚ

{

{0;3;} , {0; 4} , {0;6} , {3; 4} ,{3;6} , {4;6} .

}

Đáp án D. Câu 23.

- Số tập con không có phần tử nào là 1 (tập ∅ ) - Số tập con có 1 phần tử là 3: {a} , {b} , {c} .

Chọn A

{

- Số tập con có 2 phần tử là 3: {a; b} , {a; c} , {b; c} .

}

A = x ∈ ℝ ( x 2 –1)( x 2 + 2 ) = 0 .

⇒ Số tập con có 3 phần tử là 1: {a; b; c} . Vậy có 1 + 3 + 3 + 1 = 8 tập con.

 x2 – 1 = 0 x = 1 Ta có ( x –1)( x + 2 ) = 0 ⇔  2 ⇒ A = {−1;1} . ⇔  x = −1  x + 2 = 0 ( vn )

Đáp án

Chọn B

Nhận xét: Người ta chứng minh được là số tập con (kể cả tập rỗng) của tập hợp n phần tử là 2 n . Áp dụng vào Ví dụ 4 có 23 = 8 tập con.

Câu 18.

Mỗi tập con gồm hai phần tử của A là:

}

x =1 ⇒ D = {1;3} . D = x ∈ ℝ x − 4 x + 3 = 0 . Ta có x − 4 x + 3 = 0 ⇔  x = 3 Câu 17.

{

}

A = x ∈ ℕ x 2 − 4 = 0 ⇒ A = { 2} .

{

Câu 24.

Vì tập ∅ có tập hợp con là chính nó. - Đáp án B có 2 tập con là ∅ và { x} .

}

B = x ∈ ℝ x 2 + 2 x + 3 = 0 ⇒ B = ∅. 9

Câu 31.

- Đáp án C có 2 tập con là ∅ và {∅} .

Câu 25.

Tập con có 3 phần tử trong đó a, b luôn có mặt.

- Đáp án D có 4 tập con.

Đáp án

Vậy phần tử thứ 3 sẽ thuộc một trong các phần tử c, d, e, f, g (5 phần tử) nên có 5 tập con.

A. Câu 32.

X là tập hợp phải luôn có mặt 1 và 2.

Vì tập hợp { x} có hai tập con là ∅ và chính nó.

Vì vậy ta đi tìm số tập con của tập {3; 4;5} , sau đó cho hai phần tử 1 và 2 vào các tập con nói

Câu 33.

trên ta được tập X.

Đáp án

Chọn A

Vì số tập con của tập {3; 4;5} là 23 = 8 nên có 8 tập X.

3 là một phần tử của tập hợp A .

Đáp án

{3, 4}

là một tập con của tập hợp A . Ký hiệu: {3, 4} ⊂ A .

{a,3, b} là một tập con của tập hợp Câu 34.

Câu 26.

X ⊂ A Cách 1: Vì  nên X ⊂ ( A ∩ B ) . X ⊂ B

Các tập con có 2 phần tử của tập hợp A là: {0; 2} , {0; 4;} , {0;6} , {2; 4;} , {2;6} , {4;6} .

Mà A ∩ B = {1; 2} ⇒ Có 2 = 4 tập X.

Câu 28.

Câu 35.

Số tập con của tập hợp X là: 2 4 = 16

Đáp án

Số tập con có 2 phần tử của tập hợp X là: C42 = 6

x = 1  Ta có: A = B = C ⇔   y = 1 ⇒ Cặp ( x; y ) là (1;1) ; (1;3) .  y = 3  Đáp án

Đáp án

Số tập con của tập hợp X chứa số 1 là: 8

{1} , {1; 2} ,{1;3} , {1; 4} , {1;2;3} , {1; 2; 4} , {1;3; 4} , {1; 2;3; 4} . Số tập con có 3 phần tử của tập hợp X là: C43 = 4 Câu 36.

Câu 37.

Chọn A

Các tập con 3 phần tử có chứa α , π của C = {α , π , ξ , ψ , ρ , η , γ , σ , ω, τ } là:

Vì số tập con của tập 4 phần tử là 2 = 16 ⇒ Số tập con khác rỗng là 16 − 1 = 15 . Đáp án

Chọn A

Số các tập con 2 phần tử của B = {a, b, c, d , e, f } là C62 = 15 (sử dụng máy tính bỏ túi).

Câu 30.

Chọn A

Cách 2: X là một trong các tập sau: ∅; {1} ; {2} ;{1; 2} .

Ta thấy mọi phần tử của A đều thuộc C và mọi phần tử của B đều thuộc C nên chọn Câu 29.

Chọn B

Có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tính số tập con có 2 phần tử của tập hợp A gồm 4 phần tử là: C42 = 6

Câu 27.

A . Ký hiệu: {a,3, b} ⊂ A .

{α , π , ξ } , {α , π ,ψ } , {α , π , ρ} , {α , π ,η} , {α , π , γ } , {α , π ,σ } , {α , π , ω} , {α , π ,τ } .

Cách 1:

Câu 38.

Số tập con có 2 phần tử trong đó có phần tử a là 5 tập {a; b} , {a; c} , {a; d } , {a; e} , {a, f } . Số tập con có 2 phần tử mà luôn có phần tử b nhưng không có phần tử a là 4 tập: {b; c} , {b; d } ,

{b; e} , {b; f } . Tương tự ta có tất cả 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 tập. 11

Chọn B

{ x; y} có

2 2 = 4 tập con.

{ x} có

21 = 2 tập con là { x} và ∅ .

{∅; x}

có 2 2 = 4 tập con. 12

{∅; x; y} Câu 39.

có 23 = 8 tập con.

Chọn A

Số tập con của tập A là: 24 = 16 . Câu 40.

x ∈ A  thì ta thấy:  x ∈ B ⇒ x ∈ ( A ∩ B ) \ C . x ∉C 

Chọn C

{

}

* A = {1; 3} , B = x ∈ ℝ ( x –1)( x − 3) =0 ⇒ B = {1;3} ⇒ A = B .

* A = {1;3;5; 7; 9} , B = {n ∈ ℕ n = 2k + 1, k ∈ ℤ, 0 ≤ k ≤ 4} ⇒ B = {1;3;5;7;9} ⇒ A = B .

{

Câu 49.

}

* A = {−1; 2} , B = x ∈ ℝ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ B = {−1;3} ⇒ A ≠ B.

{

Đáp án

Vì A ∪ X = B nên bắt buộc X phải chứa các phần tử {1;3; 4}

}

* A = ∅ , B = x ∈ ℝ x2 + x + 1 = 0 ⇒ B = ∅ ⇒ A = B .

Câu 41.

Dạng 3. Các phép toán trên tập hợp Vì X ∩ Y là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc X và vừa thuộc Y nên chọn Đáp án

Câu 42.

Câu 43.

Đáp án Câu 50.

Câu 51.

Ta có CB A = B \ A = {2;3; 4} có 3 phần tử nên số tập con X có 23 = 8 (tập). Đáp án

Vì A \ X = {1;3;5} nên X phải chứa hai phần tử 2; 4 và X không chứa các phần tử 1; 3; 5. Mặt khác X \ A = {6;7} vậ y X phải chứa 6; 7 và các phần tử khác nếu có phải thuộc A.

 f ( x ) = 0 Vì f ( x ) + g ( x ) = 0 ⇔  mà F ∩ G = { x ∈ ℝ | f ( x ) vµ g ( x ) = 0}  g ( x ) = 0 Đáp án

Câu 46.

Vậy X có 3 tập hợp đó là: {1;3; 4} , {1; 2;3; 4} , {0;1;2;3; 4} .

Vì B \ A gồm các phần tử thuộc B và không thuộc A nên chọn C. Đáp án

Câu 45.

và X ⊂ B . C.

Vì X ∪ Y là tập hợp gồm các phần tử thuộc X hoặc thuộc Y nên chọn D. Đáp án

Câu 44.

Vì X \ Y là tập hợp các phần tử thuộc X mà không thuộc Y nên chọn Đáp án

X = {2; 4;6;7} . Đáp án Câu 52.

Kiểm tra các đáp án bằng cách vẽ biểu đồ Ven cho hai trường hợp A ∩ B = ∅ và A ∩ B ≠ ∅

2 x1 2 Ta có: 2 ≥ 1 ⇔ 2 x ≥ x 2 + 1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 ≤ 0 ⇔ ( x − 1) ≤ 0 ⇔ x = 1 x +1

Phương trình x 2 − 2bx + 4 = 0 có ∆ ' = b 2 − 4 Phương trình vô nghiệm ⇔ b 2 − 4 < 0 ⇔ b 2 < 4 ⇔ −2 < b < 2 Có b = 1 là phần tử chung duy nhất của hai tập hợp. Đáp án Câu 47.

Câu 48.

Đáp án Câu 53.

Gọi T, L lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán và các học sinh giỏi Lý. Ta có:

Vì Y ⊂ X nên CX Y = X \ Y = {3; 4}

T : là số học sinh giỏi Toán

Đáp án

L : là số học sinh giỏi Lý

Vì với mỗi phần tử x thuộc phần gạch sọc 13

Vậy

T ∩ L : là số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Lý 14

Câu 61.

Khi đó số học sinh của lớp là: T ∪ L + 6 .

Mà T ∪ L = T + L − T ∩ L = 25 + 23 − 14 = 34 .

Ta có A = {1; 6} , B = { x ∈ ℕ \ x < 4}

Vậy số học sinh của lớp là 34 + 6 = 40 .

⇒ B = {0;1; 2;3} ⇒ A \ B = {6} ⇒ A \ B ⊂ A .

Đáp án B Câu 54.

Đáp án

Câu 62.

Đáp án

Gọi T, L, H lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi môn Toán, Lý, Hóa.

Gọi A là tập hợp các học sinh chơi bóng đá

Khi đó tương tự Ví dụ 13 ta có công thức:

B là tập hợp các học sinh chơi bóng bàn

T ∪ L ∪ H = T + L + H − T ∩ L − L ∩ H − H ∩T + T ∩ L ∩ H

C là tập hợp các học sinh không chơi môn nào Khi đó số học sinh chỉ chơi bóng đá là

⇔ 45 = 25 + 23 + 20 − 11 − 8 − 9 + T ∩ L ∩ H

A + B − 2 A ∩ B = 25 + 23 − 2.14 = 20

⇔ T ∩L∩H =5

Câu 63.

D đúng do ℕ* ⊂ ℚ ⇒ ℕ* ∩ ℚ = ℕ* .

Vậy có 5 học sinh giỏi cả 3 môn.

Câu 55.

Đáp án

Câu 64.

Đáp án

Câu 65.

Đáp án

Chọn C

X = {7; 2;8; 4;9;12} , Y = {1;3;7;4} ⇒ X ∩ Y = {7; 4} .

Vì G \ T = G . Câu 57.

Chọn B

B sai do A ∪ B = A ⇔ A ⊃ B.

Ta thấy A ∩ B = {2; 4} . Câu 56.

Chọn D

Câu 66.

Chọn C

A = {2, 4, 6,9} , B = {1, 2,3, 4} ⇒ A \ B = {6,9} .

Ta có thể dùng biểu đồ Ven ta thấy A ⊂ B ⇒ C \ A ⊂ C \ B

Câu 67.

Chọn A

A = {0;1; 2;3; 4} , B = {2;3; 4;5;6} . A \ B = {0;1} , B \ A = {5;6} ⇒ ( A \ B ) ∪ ( B \ A) = {0;1;5;6} Câu 68. Câu 58.

Đáp án

A = {0;1; 2;3; 4} , B = {2;3; 4;5;6} ⇒ A \ B = {0;1}

Vì A ⊂ X nên X phải chứa 3 phần tử {a; b; c} của A. Mặt khác X ⊂ B nên X chỉ có thể lấ y các phần tử a, b, c, d, e. Vậy X là một trong các tập hợp sau: {a; b; c} ,{a; b; c; d } , {a; b; c; e} , {a; b; c; d ; e} . Câu 59.

Đáp án

Câu 69.

Câu 70.

Chọn C

A = {1;5} ; B = {1;3;5} . Suy ra A ∩ B = {1;5} .

B. Câu 71.

Chọn D

A = {0;1; 2;3; 4} , B = {2;3; 4;5;6} ⇒ B \ A = {5;6} .

Vì A ∩ B gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc Câu 60.

Chọn B

{

}

A = x ∈ ℕ ( 2 x − x 2 )( 2 x 2 − 3x − 2 ) = 0 ⇔ A = {0; 2}

Vì A \ B = { x | x ∈ A vµ x ∉ B} 15

{

}

B = n ∈ ℕ* 3 < n 2 < 30 ⇔ B = {1; 2;3; 4;5 }

⇒ A ∩ B = {2} .

Toán 10 Bài 3

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ

A. A = [ 4;9] .

B. A = ( 4;9] .

C. A = [ 4;9 ) .

D. A = ( 4;9 ) .

Dạng 2. Các phép toán trên tập hợp số

Mục lục Phần A. Câu hỏi ......................................................................................................................................................1

Câu 5.

Dạng 1. Biểu diễn tập hợp số....................................................................................................................................1 Dạng 2. Các phép toán trên tập hợp số .....................................................................................................................2

Câu 6.

Câu 7.

Dạng 1. Biểu diễn tập hợp số....................................................................................................................................4

Câu 8.

B. (1; 3]

Câu 9.

Câu 1.

B. ( −2;1)

Câu 2.

B. [ −3;1]

B. ( 2;5 )

C. ( −2;5]

D. [ −2;5]

C. ( −1; 7 ]

D. ( −1; 2 )

C. ( −∞; 2]

D. ( −∞; −2]

Cho tập hợp A = ( 2; +∞ ) . Khi đó CR A là: B. ( 2; +∞ )

C. [ −3;1)

D. ( −3;1)

Hình vẽ nào sau đây (phần không bị gạch) minh họa cho tập hợp (1; 4] ?

C. ( a; c ) ∩ [b; d ) = [b; c )

A. {0;1}

B. [ 0;1)

Câu 12. Cho tập hợp

(

B. C. D. Cho tập hợp X = { x \ x ∈ ℝ,1 ≤ x ≤ 3} thì X được biểu diễn là hình nào sau đây? A. B. C. D. Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết tập hợp A = { x ∈ ℝ 4 ≤ x ≤ 9} :

D. ( a; c ) ∪ [b; d ) = ( b; c )

Câu 11. Cho ba tập hợp A = [ −2; 2 ] , B = [1;5] , C = [ 0;1) . Khi đó tập ( A \ B ) ∩ C là:

)

A. −3; 3 .

Câu 4.

D. [ −5;1]

Câu 10. Cho các số thực a, b, c, d và a < b < c < d . Khẳng định nào sau đây là đúng? B. ( a; c ) ∩ ( b; d ) = ( b; c ] A. ( a; c ) ∩ ( b; d ) = ( b; c )

Câu 3.

C. [ −5; +∞ )

Cho hai tập hợp A = (1;5] ; B = ( 2; 7 ] . Tập hợp A \ B là:

A. [ 2; +∞ )

Cho tập hợp A = { x ∈ ℝ \ −3 < x < 1} . Tập A là tập nào sau đây? A. {−3;1}

D. ∅

Cho A = ( −2;1) , B = [ −3;5] . Khi đó A ∩ B là tập hợp nào sau đây?

A. (1; 2]

Phần A. Câu hỏi Dạng 1. Biểu diễn tập hợp số

C. ℝ

Cho hai tập hợp A = [ −5;3 ) , B = (1; +∞ ) . Khi đó A ∩ B là tập nào sau đây?

A. [ −2;1]

Dạng 2. Các phép toán trên tập hợp số .....................................................................................................................5 Dạng 3. Các bài toán tìm điều kiện của tham số.......................................................................................................6

B. ( −2; −1]

A. (1;3)

Dạng 3. Các bài toán tìm điều kiện của tham số.......................................................................................................3 Phần B. Lời giải tham khảo ...................................................................................................................................4

Cho tập hợp A = ( −∞; −1] và tập B = ( −2; +∞ ) . Khi đó A ∪ B là: A. ( −2; +∞ )

Cℝ A =  −3; 8

) , C B = ( −5; 2) ∪ (

B. ∅ .

ℝ

D. [ −2;5]

C. ( −2;1)

)

3; 11 .

Tập Cℝ ( A ∩ B ) là:

(

)

C. −5; 11 .

D. ( −3; 2 ) ∪

(

)

3; 8 .

A = [1; 4] ; B = ( 2;6 ) ; C = (1; 2 ) . Câu 13. Cho Tìm A ∩ B ∩ C : A. [ 0; 4] . B. [5; +∞ ) . C. ( −∞;1) .

D. ∅.

A = { x ∈ ℝ x + 3 < 4 + 2 x} B = { x ∈ ℝ 5 x − 3 < 4 x − 1} , . Câu 14. Cho hai tập Tất cả các số tự nhiên thuộc cả hai tập A và B là: B. 1. C. 0 A. 0 và 1.

D. Không có.

A = [ −4;7] B = ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) Câu 15. Cho , . Khi đó A ∩ B : A. [ −4; −2 ) ∪ ( 3;7] . B. [ −4; −2 ) ∪ ( 3;7 ) . C. ( −∞; 2] ∪ ( 3; +∞ ) .

D. ( −∞; −2 ) ∪ [3; +∞ ) .

A = ( −∞; −2] B = [ 3; +∞ ) C = ( 0; 4 ) . A ∪ B) ∩ C Câu 16. Cho , , Khi đó tập ( là: A. [3; 4] . B. ( −∞; −2] ∪ ( 3; +∞ ) . C. [3;4 ) . D. ( −∞; −2 ) ∪ [3; +∞ ) .

A = { x ∈ R : x + 2 ≥ 0} B = { x ∈ R : 5 − x ≥ 0} Câu 17. Cho , . Khi đó A ∩ B là: B. [ −2;6] . C. [ −5; 2] . A. [ −2;5] .

D. ( −2; +∞ ) .

A = { x ∈ R : x + 2 ≥ 0} , B = { x ∈ R : 5 − x ≥ 0} Câu 18. Cho . Khi đó A \ B là: A. [ −2;5] . B. [ −2;6] . C. ( 5; +∞ ) .

D. ( 2; +∞ ) .

Câu 19. Cho hai tập hợp A = [ −2; 7 ) , B = (1;9 ] . Tìm A ∪ B . A. (1; 7 )

B. [ −2;9 ]

C. [ −2;1)

m ≥ 4 B.  m ≤ −2   m = 1

m ≥ 4 A.   m ≤ −2

D. ( 7; 9 ]

Câu 20. Cho hai tập hợp A = { x ∈ ℝ | −5 ≤ x < 1} ; B = { x ∈ ℝ | −3 < x ≤ 3} . Tìm A ∩ B . A. [ −5;3]

B. ( −3;1)

C. (1; 3]

D. [ −5;3 )

C. ( −1; 7 )

D. ( −1; 2 )

Câu 21. Cho A = ( −1;5] , B = ( 2; 7 ) . Tìm A \ B . A. ( −1; 2 ]

B. ( 2;5]

Câu 22. Cho 3 tập hợp A = ( −∞; 0 ] , B = (1; +∞ ) , C = [0;1) . Khi đó ( A ∪ B ) ∩ C bằng: A. {0}

B. ℝ

C. {0;1}

A. [ −4; −2 ) ∪ ( 3; 7 ]

B. [ −4; 2 ) ∪ ( 3; 7 )

C. ( −∞; 2] ∪ ( 3; +∞ )

D. ( −∞; −2 ) ∪ [3; +∞ )

Câu 24. Cho hai tập hợp A = [ −2;3] , B = (1; +∞ ) . Khi đó Cℝ ( A ∪ B ) bằng: A. (1;3)

B. ( −∞;1] ∪ [ 3; +∞ )

C. [3; +∞ )

Câu 25. Chọn kết quả sai trong các kết quả sau: A. A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B C. A \ B = A ⇔ A ∩ B = ∅

)

(

)

B. ( −3; 2 ) ∪

(

Câu 34. Cho tập hợp A = [ m; m + 2] , B = [ −1; 2 ] với m là tham số. Điều kiện để A ⊂ B là: A. 1 ≤ m ≤ 2 C. m ≤ −1 hoặc m ≥ 0 A. m < −1 hoặc m > 3 C. m < −1 hoặc m ≥ 3

(

)

D. ∅ .

B. ( −2;5 ) .

C. ( 0;1] .

1 <m<2 2

1 5 A. − ≤ a ≤ . 3 2

D. [1; 2 ] .

Dạng 3. Các bài toán tìm điều kiện của tham số

B. −1 ≤ m ≤ 0

C. 1 ≤ m ≤ 2

{

D. m < 1 hoặc m > 2

}

Câu 29. Cho tập hợp A = ( 0; +∞ ) và B = x ∈ ℝ \ mx 2 − 4 x + m − 3 = 0 . Tìm m để B có đúng hai tập con và B ⊂ A . 0 < m ≤ 3 A.  m = 4

B. m = 4

C. m > 0

D. m = 3

A. −1 < m < 5 .

B. −3 < m < −2

C. m < −3

D. m ≥ −2

Câu 31. Cho hai tập hợp X = ( 0;3] và Y = ( a; 4 ) . Tìm tất cả các giá trị của a ≤ 4 để X ∩ Y ≠ ∅ .

a < 3 A.  a ≥ 4

B. a < 3

C. a < 0

B. m ≥ 0

C. m ≤ −1

D. m ≥ 2

5  a ≥ 2 B.  . a < − 1  3

5  a < 2 C.  . a ≥ − 1  3

1 5 D. − ≤ a < . 3 2

Câu 1. Câu 2.

D. a > 3

Câu 32. Cho hai tập hợp A = { x ∈ ℝ \1 ≤ x ≤ 2} ; B = ( −∞; m − 2] ∪ [ m; +∞ ) . Tìm tất cả các giá trị của m

B. 1 < m < 5 .

C. −2 < m < 5 .

D. m > −3 .

4  Câu 40. Cho số thực a < 0 .Điều kiện cần và đủ để ( −∞;9a ) ∩  ; +∞  ≠ ∅ là: a  3 2 2 3 A. − ≤ a < 0. B. − < a < 0. C. − ≤ a < 0. D. − < a < 0. 4 3 3 4

Câu 30. Cho hai tập hợp A = [ −2;3] , B = ( m; m + 6 ) . Điều kiện để A ⊂ B là: A. −3 ≤ m ≤ −2

D. m > 0

Câu 39. Cho 2 tập khác rỗng A = ( m − 1; 4] ; B = ( −2; 2m + 2 ) , m ∈ ℝ . Tìm m để A ∩ B ≠ ∅

Câu 28. Cho tập hợp A = [ m; m + 2 ] , B [ −1; 2 ] . Tìm điều kiện của m để A ⊂ B . A. m ≤ −1 hoặc m ≥ 0

C. 1 ≤ m ≤ 3

Câu 38. Cho hai tập A = [ 0;5] ; B = ( 2a;3a + 1] , a > −1 . Với giá trị nào của a thì A ∩ B ≠ ∅

Câu 27. Cho 3 tập hợp: A = ( −∞;1] ; B = [ −2; 2] và C = ( 0;5 ) . Tính ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) = ? A. [ −2;1] .

B. m > 5

Câu 37. Cho 3 tập hợp A = ( −3; −1) ∪ (1; 2 ) , B = ( m; +∞ ) , C ( −∞; 2 m ) . Tìm m để A ∩ B ∩ C ≠ ∅ .

)

B. m ≤ −1 hoặc m > 3 D. m ≤ −1 hoặc m ≥ 3

Câu 36. Cho hai tập hợp A = [ −3; −1] ∪ [ 2; 4] , B = ( m − 1; m + 2 ) . Tìm m để A ∩ B ≠ ∅ .

3; 11 . Tập Cℝ ( A ∩ B ) là:

3; 8 . C. −3; 3 .

B. −1 ≤ m ≤ 0 D. m < −1 hoặc m > 2

Câu 35. Cho tập hợp A = [ m; m + 2 ] , B = [1;3 ) . Điều kiện để A ∩ B = ∅ là:

A. m < 5 và m ≠ 0

B. A ∪ B = A ⇔ B ⊂ A D. A \ B = A ⇔ A ∩ B ≠ ∅

Câu 26. Cho tập hợp Cℝ A =  −3; 8 , Cℝ B = ( −5; 2 ) ∪ A. −5; 11 .

D. ( −∞; −2 )

D. −2 < m < 4

4  Câu 33. Cho số thực a < 0 .Điều kiện cần và đủ để ( −∞;9a ) ∩  ; +∞  ≠ ∅ là: a  2 2 3 3 A. − < a < 0. B. − ≤ a < 0. C. − < a < 0. D. − ≤ a < 0. 3 3 4 4

D. ∅

Câu 23. Cho hai tập hợp M = [ −4; 7 ] và N = ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) . Khi đó M ∩ N bằng:

m > 4 C.  m < −2   m = 1

Phần B. Lời giải tham khảo Dạng 1. Biểu diễn tập hợp số Theo định nghĩa tập hợp con của tập số thực ℝ ở phần trên ta chọn ( −3;1) . Đáp án D. Vì (1; 4] gồm các số thực x mà 1 < x ≤ 4 nên chọn A. Đáp án

Câu 3.

để A ⊂ B . Câu 4.

 x ≥ 1  x ≥ 1  Giải bất phương trình: 1 ≤ x ≤ 3 ⇔  ⇔   x ≤ −1 ⇔ x ∈ [ −3; −1] ∪ [1;3]  −3 ≤ x ≤ 3  x ≤ 3  Đáp án D. Chọn A A = { x ∈ ℝ 4 ≤ x ≤ 9} ⇔ A = [ 4;9] .

Ta có A = { x ∈ R : x + 2 ≥ 0} ⇒ A = [ −2; + ∞ ) , B = { x ∈ R : 5 − x ≥ 0} ⇒ B = ( −∞;5]

Dạng 2. Các phép toán trên tập hợp số Câu 5.

Vì A ∪ B = { x ∈ ℝ \ x ∈ A hoac x ∈ B} nên chọn đáp án C. Đáp án C.

Vậy ⇒ A ∩ B = [ −2;5] . Câu 18. Chọn C Ta có A = { x ∈ R : x + 2 ≥ 0} ⇒ A = [ −2; + ∞ ) , B = { x ∈ R : 5 − x ≥ 0} ⇒ B = ( −∞;5] . Vậy ⇒ A \ B = ( 5; + ∞ ) . Câu 19.

Câu 7.

Câu 8. Câu 9.

Câu 6. Ta có thể biểu diễn hai tập hợp A và B, tập A ∩ B là phần không bị gạch ở cả A và B nên x ∈ (1;3) . Đáp án A. x ∈ A  −2 < x < 1 Vì với x ∈ A ∩ B ⇔  hay  ⇔ −2 < x < 1  −3 ≤ x ≤ 5 x ∈ B Đáp án B.

A \ B = { x ∈ ℝ \ x ∈ A va x ∉ B} ⇒ x ∈ (1; 2 ] . Đáp án A. Ta có: C R A = ℝ \ A = ( −∞; 2 ] .

Đáp án

[ −2; 7 ) ∪ (1;9] = [ −2;9] Câu 20.

) (

)

⇒ ( A ∪ B ) ∩ C = {0} .

Câu 23.

Đáp án A. M ∩ N = [ −4; 2 ) ∪ ( 3; 7 ] Câu 24. Đáp án D. Ta có: A ∪ B = [ −2; +∞ )

)

(

⇒ Cℝ ( A ∪ B ) = ℝ \ ( A ∪ B )

)

⇒ A ∩ B = ( −∞; −5] ∪  11; +∞ ⇒ Cℝ ( A ∩ B ) = −5; 11 . Câu 13. Câu 14.

Chọn D A = [1; 4] ; B = ( 2;6 ) ; C = (1; 2 ) ⇒ A ∩ B = ( 2; 4] ⇒ A ∩ B ∩ C = ∅ . Chọn A A = { x ∈ ℝ x + 3 < 4 + 2 x} ⇒ A = ( −1; + ∞ ) . B = { x ∈ ℝ 5 x − 3 < 4 x − 1} ⇒ B = ( −∞; 2 ) .

A ∩ B = ( −1; 2 ) ⇔ A ∩ B = { x ∈ ℝ − 1 < x < 2}. ⇒ A ∩ B = { x ∈ ℕ − 1 < x < 2} ⇔ A ∩ B = {0;1} .

Câu 15. Câu 16.

Câu 17.

Chọn A A = [ −4;7] , B = ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) , suy ra A ∩ B = [ −4; − 2 ) ∪ ( 3;7] . Chọn C A = ( −∞; − 2] , B = [ 3; + ∞ ) , C = ( 0; 4 ) . Suy ra

A ∪ B = ( −∞; −2] ∪ [ 3; +∞ ) ; ( A ∪ B ) ∩ C = [ 3; 4 ) . Chọn A

Đáp án A. Vì A \ B gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B nên A \ B = ( −1; 2 ] . A. Câu 22. Đáp án A ∪ B = ( −∞; 0 ] ∪ (1; +∞ )

A = ( −∞; − 3) ∪  8; +∞ , B = ( −∞; −5] ∪  11; +∞ .

)

Đáp án

A = [ −5;1) , B = ( −3;3] ⇒ A ∩ B = ( −3;1)

Câu 10. Đáp án A. Câu 11. Ta có: A \ B = [ −2;1) ⇒ ( A \ B ) ∩ C = [ 0;1) . Đáp án B. Câu 12. Chọn C Cℝ A =  −3; 8 , Cℝ B = ( −5; 2 ) ∪ 3; 11 = −5; 11

(

Câu 21.

)

Đáp án

⇒ Cℝ ( A ∪ B ) = ( −∞; −2 ) Đáp án D. Chọn A Cℝ A =  −3; 8 , Cℝ B = ( −5; 2 ) ∪ 3; 11 = −5; 11 A = ( −∞; − 3) ∪  8; +∞ , B = ( −∞; −5] ∪  11; +∞ . ⇒ A ∩ B = ( −∞; −5] ∪  11; +∞ ⇒ Cℝ ( A ∩ B ) = −5; 11 . Câu 27. Chọn A A ∩ B = [ −2;1] .

Câu 25. Câu 26.

)

(

) (

)

A ∩ C = ( 0;1] . ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) = [ −2;1] . Câu 28.

Dạng 3. Các bài toán tìm điều kiện của tham số Để A ⊂ B thì −1 ≤ m < m + 2 ≤ 2  m ≥ −1  m ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤ 0 m + 2 ≤ 2 m ≤ 0 Đáp án B.

(

)

Câu 29.

Để B có đúng hai tập con thì B phải có duy nhất một phần tử, và B ⊂ A nên B có một phần tử thuộc A. Tóm lại ta tìm m để phương trình mx 2 − 4 x + m − 3 = 0 (1) có nghiệm duy nhất lớn hơn 0. −3 + Với m = 0 ta có phương trình: −4 x − 3 = 0 ⇔ x = (không thỏa mãn). 4 + Với m ≠ 0 : Phương trình (1) có nghiệm duy nhất lớn hơn 0 điều kiện cần là:  m = −1 ∆ ' = 4 − m ( m − 3) = 0 ⇔ −m 2 + 3m + 4 = 0 ⇔  m = 4 +) Với m = −1 ta có phương trình − x 2 − 4 x − 4 = 0 Phương trình có nghiệm x = −2 (không thỏa mãn). +) Với m = 4 , ta có phương trình 4 x 2 − 4 x + 1 = 0 1 Phương trình có nghiệm duy nhất x = > 0 ⇒ m = 4 thỏa mãn. 2 Đáp Án B.

Câu 30.  m < −2  m < −2 Điều kiện để A ⊂ B là m < −2 < 3 < m + 6 ⇔  ⇔ ⇔ −3 < m < −2 . m + 6 > 3   m > −3

Câu 31. a ≥ 3 Ta tìm a để X ∩ Y = ∅ ⇒  ⇔ 3 ≤ a ≤ 4 ⇒ X ∩ Y ≠ ∅ là a < 3 . a ≤ 4 Đáp án B.

( −∞;9a ) ∩ 

a

4 4 4 − 9a ² 4 − 9a ² > 0  ; +∞  ≠ ∅ ( a < 0 ) ⇔ < 9a ⇔ − 9a < 0 ⇔ <0 ⇔ a a a  a < 0

2 ⇔ − < a < 0. 3 Câu 34. : Đáp án B. A ⊂ B ⇔ −1 ≤ m < m + 2 ≤ 2  m ≥ −1  m ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤ 0 + ≤ m 2 2  m ≤ 0 Câu 35. Đáp án C. m ≥ 3 m ≥ 3 A∩ B = ∅ ⇔  ⇔  m + 2 < 1  m < −1 A. Câu 36. Đáp án

Ta đi tìm m để A ∩ B = ∅    m ≤ −5  m + 2 ≤ −3 ⇒  m − 1 ≥ 4 ⇔  m ≥ 5   −1 ≤ m − 1  m = 0  m + 2 ≤ 2   −5 < m < 5 ⇒ A∩ B ≠ ∅ ⇔  m ≠ 0  m < 5 hay  m ≠ 0 Câu 37. Đáp án A.

Câu 32. Giải bất phương trình: 1 ≤ x ≤ 2 ⇔ x ∈ [ −2; −1] ∪ [1; 2] ⇒ A = [ −2; −1] ∪ [1; 2 ]

  m ≥ 4 m − 2 ≥ 2 Để A ⊂ B thì:  m ≤ −2 ⇔  m ≤ −2    −1 ≤ m − 2  m = 1  m ≤ 1  Đáp án B. Câu 33. Chọn A

Ta đi tìm m để A ∩ B ∩ C = ∅ - TH1: Nếu 2m ≤ m ⇔ m ≤ 0 thì B ∩ C = ∅ ⇒ A∩ B ∩C = ∅ - TH2: Nếu 2m > m ⇔ m > 0 ⇒ A∩ B ∩C = ∅

 −3   m ≤ 2  2 m ≤ −3  ⇔ m ≥ 2 ⇔  m ≥ 2   1  −1 ≤ m  −1 ≤ m ≤   2m ≤ 1 2   1  0<m≤ Vì m > 0 nên  2  m ≥ 2

1  A ∩ B ∩ C = ∅ ⇔ m ∈  −∞;  ∪ [ 2; +∞ ) 2  1 ⇒ A∩ B ∩C ≠ ∅ ⇔ < m < 2 2 Câu 38. Chọn D  5 5  a ≥ 2   2a ≥ 5 a ≥ 2   1 5  Ta tìm A ∩ B = ∅ ⇔  3a + 1 < 0 ⇔   1⇒ ⇒ A∩ B ≠ ∅ ⇔ − ≤ a < 3 2  a > −1   a < − 3  −1 < a < − 1   3  a > −1 chọn A. Câu 39. Chọn C Đáp án A đúng vì: Với 2 tập khác rỗng A, B ta có điều kiện m − 1 < 4 m < 5 ⇔ ⇔ −2 < m < 5 . Để A ∩ B ≠ ∅ ⇔ m − 1 < 2m + 2 ⇔ m > −3 . So với   2 m + 2 > −2 m > −2 kết quả của điều kiện thì −2 < m < 5 . Câu 40. Chọn B 4 4 − 9a ² 4 − 9a ² > 0 4 4 <0 ⇔ ( −∞;9a ) ∩  ; +∞  ≠ ∅ ( a < 0) ⇔ < 9a ⇔ − 9a < 0 ⇔ a a a a  a < 0 2 ⇔ − < a < 0. 3

TOÁN 10

Câu 11. Độ cao của một ngọn núi đo được là h = 2373,5m với sai số tương đối mắc phải là 0,5‰ . Hãy viết h dưới dạng chuẩn. A. 2373 m B. 2370 m C. 2373,5 m D. 2374 m

SỐ GẦN ĐÚNG, SAI SỐ

BÀI 4 PHẦN A. CÂU HỎI Câu 1.

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi AL và CI tương ứng là đường cao của các tam giác ADB và BCD. Cho biết DL = LI = IB = 1 . Diện tích của hình chữ nhật ABCD (chính xác đến hàng phần trăm) là: A. 4,24 B. 2,242 C. 4,2 D. 4,2426

Câu 2.

Biết số gần đúng a = 37975421 có độ chính xác d = 150 . Hãy xác định các chữ số đáng tin của a. A. 3, 7, 9 B. 3, 7, 9, 7 C. 3, 7, 9, 7, 5 D. 3, 7, 9, 7, 5, 4

Câu 3.

Biết số gần đúng a = 7975421 có độ chính xác d = 150 . Hãy ước lượng sai số tương đối của a. B. δ a ≤ 0, 000039 C. δ a ≥ 0, 0000039 D. δ a < 0, 000039 A. δ a ≤ 0, 0000099

Câu 4.

Biết số gần đúng a = 173, 4592 có sai số tương đối không vượt quá tuyệt đối của a và viết a dưới dạng chuẩn. A. ∆ a ≤ 0,17; a = 173, 4 C. ∆ a ≤ 0, 4592; a = 173, 5

Câu 5.

Câu 6.

Câu 8.

Câu 9.

B. ∆ a ≤ 0, 017; a = 173, 5 D. ∆ a ≤ 0, 017; a = 173, 4

Tính chu vi của hình chữ nhật có các cạnh là x = 3, 456 ± 0,01 (m) và y = 12, 732 ± 0, 015 (m) và ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải. A. L = 32,376 ± 0, 025; ∆ L ≤ 0, 05 B. L = 32,376 ± 0, 05; ∆ L ≤ 0, 025 C. L = 32,376 ± 0,5; ∆ L ≤ 0,5 D. L = 32,376 ± 0, 05; ∆ L ≤ 0, 05 Tính diện tích S của hình chữ nhật có các cạnh là x = 3, 456 ± 0,01 (m) và y = 12, 732 ± 0, 015 (m) và ước lượng sai số tuyệt đối mắc phải. A. S = 44, 002 ( m2 ); ∆ S ≤ 0,176 B. S = 44, 002 ( m2 ); ∆ S ≤ 0, 0015 C. S = 44, 002 ( m2 ); ∆ S ≤ 0, 025

Câu 7.

1 , hãy ước lượng sai số 10000

D. S = 44, 002 ( m2 ); ∆ S < 0, 0025

355 Xấp xỉ số π bởi số . Hãy đánh giá sai số tuyệt đối biết: 3,14159265 < π < 3,14159266 . 113 −7 A. ∆ a ≤ 2,8.10 B. ∆ a ≤ 28.10−7 C. ∆a ≤ 1.10−7 D. ∆ a ≤ 2,8.10−6

Câu 12. Trong một phòng thí nghiệm, hằng số c được xác định gần đúng là 3,54965 với độ chính xác d = 0,00321 . Dựa vào d, hãy xác định chữ số chắc chắn của c. A. 3; 5; 4 B. 3; 5; 4; 9 C. 3; 5; 4; 9; 6 D. 3; 5; 4; 9; 6; 5 Câu 13. Cho giá trị gần đúng của A. 0, 001 . Câu 14. Cho giá trị gần đúng của A. 0, 0001 .

8 là 0, 47 . Sai số tuyệt đối của số 0, 47 là: 17 B. 0,002 . C. 0, 003 . D. 0,004 . 3 là 0, 429 . Sai số tuyệt đối của số 0, 429 là: 7 B. 0,0002 . C. 0, 0004 . D. 0, 0005 .

Câu 15. Qua điều tra dân số kết quả thu được số đân ở tỉnh B là 2.731.425 người với sai số ước lượng không quá 200 người. Các chữ số không đáng tin ở các hàng là: A. Hàng đơn vị. B. Hàng chục. C. Hàng trăm. D. Cả A, B, C. Câu 16. Nếu lấ y 3,14 làm giá trị gần đúng của π thì sai số là: A. 0, 001 . B. 0,002 . C. 0, 003 .

D. 0,004 .

Câu 17. Nếu lấ y 3,1416 làm giá trị gần đúng của π thì có số chữ số chắc là: A. 5 . B. 4 . C. 3 .

D. 2 .

Câu 18. Số gần đúng của a = 2,57656 có ba chữ số đáng tin viết dưới dạng chuẩn là: A. 2,57 . B. 2,576 . C. 2,58 . D. 2,577 . Câu 19. Trong số gần đúng a dưới đây có bao nhiêu chữ số chắc a = 174325 với ∆ a = 17 A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Câu 20. Trái đất quay một vòng quanh mặt trời là 365 ngày. Kết quả này có độ chính xác là số tuyệt đối là: 1 A. . 4

1 . 365

1 . 1460

1 ngày. Sai 4

D. Đáp án khác.

Độ cao của một ngọn núi đo được là h = 1372,5 m. Với sai số tương đối mắc phải là 0,5‰ . Hãy xác định sai số tuyệt đối của kết quả đo trên và viết h dưới dạng chuẩn. B. ∆ h = 0, 68626; h = 1372 ( m ) A. ∆ h = 0, 68625; h = 1373 ( m )

Câu 21. Độ dài các cạnh của một đám vườn hình chữ nhật là x = 7,8m ± 2cm và y = 25, 6 m ± 4cm . Số đo chu vi của đám vườn dưới dạng chuẩn là: A. 66m ± 12cm . B. 67m ± 11cm . C. 66m ± 11cm . D. 67m ± 12cm .

C. ∆ h = 0, 68625; h = 1372 ( m )

Câu 22. Độ dài các cạnh của một đám vườn hình chữ nhật là x = 7,8m ± 2cm và y = 25, 6m ± 4cm . Cách viết chuẩn của diện tích (sau khi quy tròn) là: A. 199m2 ± 0,8m2 . B. 199m 2 ± 1m 2 . C. 200m 2 ± 1cm 2 . D. 200m2 ± 0,9m2 .

D. ∆ h = 0, 68626; h = 1373 ( m )

Kết quả đo chiều dài một cây cầu có độ chính xác là 0,75m với dụng cụ đo đảm bảo sai số tương đối không vượt quá 1,5‰ . Tính độ dài gần đúng của cầu. A. 500,1m B. 499,9m C. 500 m D. 501 m

Câu 10. Theo thống kê, dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người. Giả sử sai số tuyệt đối của thống kê này không vượt quá 10000 người, hãy viết số trên dưới dạng chuẩn và ước lượng sai số tương đối của số liệu thống kê trên. A. a = 797.105 , δ a = 0,0001254 B. a = 797.104 , δ a = 0, 000012 C. a = 797.106 , δ a = 0,001254

D. a = 797.105 , δ a < 0, 00012

Câu 23. Một hình chữ nhật cố các cạnh: x = 4, 2 m ± 1cm , y = 7 m ± 2cm . Chu vi của hình chữ nhật và sai số tuyệt đối của giá trị đó. A. 22, 4m và 3cm . B. 22, 4m và 1cm . C. 22, 4m và 2cm . D. 22, 4m và 6cm . Câu 24. Hình chữ nhật có các cạnh: x = 2m ± 1cm , y = 5m ± 2cm . Diện tích hình chữ nhật và sai số tuyệt đối của giá trị đó là: A. 10m 2 và 900cm 2 . B. 10m 2 và 500cm 2 . C. 10m 2 và 400cm 2 . D. 10m 2 và 1404 cm2 .

Câu 25. Trong bốn lần cân một lượng hóa chất làm thí nghiệm ta thu được các kết quả sau đây với độ chính xác 0,001g : 5,382g ; 5,384g ; 5,385g ; 5, 386g . Sai số tuyệt đối và số chữ số chắc của kết quả là: A. Sai số tuyệt đối là B. Sai số tuyệt đối là C. Sai số tuyệt đối là D. Sai số tuyệt đối là

0,001g và số chữ số chắc là 3 chữ số. 0,001g và số chữ số chắc là 4 chữ số. 0, 002g và số chữ số chắc là 3 chữ số. 0, 002g và số chữ số chắc là 4 chữ số.

Câu 27. Đường kính của một đồng hồ cát là 8,52m với độ chính xác đến 1cm . Dùng giá trị gần đúng của π là 3,14 cách viết chuẩn của chu vi (sau khi quy tròn) là: A. 26,6. B. 26,7. C. 26,8. D. Đáp án khác. Câu 28. Một hình lập phương có cạnh là 2, 4m ± 1cm . Cách viết chuẩn của diện tích toàn phần (sau khi quy tròn) là: A. 35m2 ± 0,3m2 . B. 34m2 ± 0,3m2 . C. 34,5m2 ± 0,3m2 . D. 34,5m2 ± 0,1m2 . Câu 29. Một vật thể có thể tích V = 180,37cm3 ± 0,05cm3 . Sai số tương đối của gia trị gần đúng ấy là: A. 0, 01% . B. 0, 03% . C. 0, 04% . D. 0, 05% .

A. 0,04.

23 là 3,28. Sai số tuyệt đối của số 3,28 là: 7 0,04 B. . C. 0,06. 7

D. Đáp án khác.

Câu 31. Trong các thí nghiệm hằng số C được xác định là 5,73675 với cận trên sai số tuyệt đối là d = 0, 00421 . Viết chuẩn giá trị gần đúng của C là: A. 5,74. B. 5,736. C. 5,737. D. 5,7368. Câu 32. Cho số a = 1754731 , trong đó chỉ có chữ số hàng trăm trở lên là đáng tin. Hãy viết chuẩn số gần đúng của a . A. 17547.10 2 . B. 17548.10 2 . C. 1754.103 . D. 1755.10 2 . Câu 33. Hình chữ nhật có các cạnh: x = 2m ± 1cm, y = 5m ± 2cm . Diện tích hình chữ nhật và sai số tương đối của giá trị đó là: A. 10m 2 và 5 o . B. 10m 2 và 4 o . C. 10 m 2 và 9 o . D. 10 m 2 và 20 o . oo oo oo oo Câu 34. Hình chữ nhật có các cạnh: x = 2m ± 1cm, y = 5m ± 2cm . Chu vi hình chữ nhật và sai số tương đối của giá trị đó là: 1 6 A. 22, 4 và . B. 22, 4 và . C. 22, 4 và 6cm . D. Một đáp số khác. 2240 2240 Câu 35. Một hình chữ nhật có diện tích là S = 108,57cm2 ± 0,06cm2 . Số các chữ số chắc của S là: A. 5. B. 4. C. 3. D. 2. Câu 36. Ký hiệu khoa học của số −0, 000567 là: A. −567.10 −6 .

B. −5,67.10−5 .

C. −567.10 −4 .

đúng của A. 2,80.

8 chính xác đến hàng phần trăm là: B. 2,81. C. 2,82.

Câu 38. Viết giá trị gần đúng của 10 đến hàng phần trăm (dùng MTBT): A. 3,16. B. 3,17. C. 3,10.

Câu 26. Một hình chữ nhật cố diện tích là S = 180,57cm2 ± 0, 6cm2 . Kết quả gần đúng của S viết dưới dạng chuẩn là: A. 180,58cm2 . B. 180,59cm2 . C. 0,181cm2 . D. 181,01cm2 .

Câu 30. Cho giá trị gần đúng của

Câu 37. Khi sử dụng máy tính bỏ túi với 10 chữ số thập phân ta được:

D. −567.10 −3.

8 = 2,828427125 .Giá trị gần D. 2,83. D. 3,162.

Câu 39. Độ dài của một cây cầu người ta đo được là 996m ± 0,5m . Sai số tương đối tối đa trong phép đo là bao nhiêu. A. 0, 05% B. 0,5% C. 0, 25% D. 0, 025% Câu 40. Số a được cho bởi số gần đúng a = 5, 7824 với sai số tương đối không vượt quá 0,5% . Hãy đánh giá sai số tuyệt đối của a . A. 2, 9% B. 2,89% Câu 41. Cho số x =

C. 2, 5%

D. 0,5%

2 và các giá trị gần đúng của x là 0, 28 ; 0, 29 ; 0, 286 ; 0,3 . Hãy xác định sai số 7

tuyệt đối trong từng trường hợp và cho biết giá trị gần đúng nào là tốt nhất. A. 0, 28 B. 0, 29 C. 0, 286 D. 0, 3

Câu 42. Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23m ± 0, 01m và chiều rộng là y = 15m ± 0, 01m . Chu vi của ruộng là: A. P = 76m ± 0, 4m B. P = 76m ± 0, 04m C. P = 76m ± 0, 02m D. P = 76m ± 0, 08m Câu 43. Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23m ± 0, 01m và chiều rộng là y = 15m ± 0, 01m . Diện tích của ruộng là: A. S = 345m ± 0,3801m .B. S = 345m ± 0,38m . C. S = 345m ± 0, 03801m . D. S = 345m ± 0,3801m . Câu 44. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh đo được như sau a = 12 cm ± 0, 2 cm ; b = 10, 2 cm ± 0, 2 cm ; c = 8 cm ± 0,1cm . Tính chu vi P của tam giác và đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của số gần đúng của chu vi qua phép đo. A. 1, 6% B. 1, 7% C. 1, 662% D. 1, 66% Câu 45. Viết giá trị gần đúng của số 3 , chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn A. 1, 73;1, 733 B. 1, 7;1, 73 C. 1, 732;1, 7323 D. 1, 73;1, 732 . Câu 46. Viết giá trị gần đúng của số π 2 , chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn. A. 9, 9 , 9,87 B. 9,87 , 9,870 C. 9,87 , 9,87 D. 9,870 , 9,87 . Câu 47. Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây a = 17658 ± 16 . A. 18000 B. 17800 C. 17600 D. 17700 . Câu 48. Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây a = 17658 ± 16

a = 15, 318 ± 0, 056 . A. 15

B. 15,5

C. 15,3

D. 16 .

Câu 49. Các nhà khoa học Mỹ đang nghiên cứu liệu một máy bay có thể có tốc độ gấp bảy lần tốc độ ánh sáng. Với máy bay đó trong một năm (giả sử một năm có 365 ngày) nó bay được bao nhiêu? Biết vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s. Viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học. A. 9,5.109 . B. 9, 4608.109 . C. 9, 461.109 . D. 9, 46080.109 .

Câu 50. Số dân của một tỉnh là A = 1034258 ± 300 (người). Hãy tìm các chữ số chắc. A. 1, 0, 3, 4, 5. B. 1, 0, 3, 4. C. 1, 0, 3, 4. D. 1, 0, 3.

Câu 2.

Câu 51. Đo chiều dài của một con dốc, ta được số đo a = 192,55 m , với sai số tương đối không vượt quá 0,3% . Hãy tìm các chữ số chắc của d và nêu cách viết chuẩn giá trị gần đúng của a . A. 193 m . B. 192 m . C. 192, 6 m . D. 190 m . Câu 52. Viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết số người dân tỉnh Lâm Đồng là a = 3214056 người với độ chính xác d = 100 người. A. 3214.103 . B. 3214000 . C. 3.106 . D. 32.105 . Câu 53. Tìm số chắc và viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết a = 1,3462 sai số tương đối của a bằng 1% . A. 1,3 . B. 1,34 . C. 1,35 . D. 1, 346 . Câu 54. Một hình lập phương có thể tích V = 180,57cm3 ± 0,05cm3 . Xác định các chữ số chắc chắn của V. A. 1,8 . B. 1,8, 0 . C. 1,8, 0,5 . D. 1,8, 0,5, 7 . Câu 55. Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn a = 467346 ± 12 . A. 46735.10 . B. 47.10 4 . C. 467.103 .

D. 4673.10 .

Câu 56. Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn b = 2, 4653245 ± 0, 006 . A. 2, 46 . B. 2, 47 . C. 2, 5 .

D. 2, 465 .

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Sai số tuyệt đối ∆ L ≤ 2 ( 0, 01 + 0, 015 ) = 0, 05

Câu 6.

Câu 57. Quy tròn số 7216, 4 đến hàng đơn vị, được số 7216 . Sai số tuyệt đối là: A. 0, 2 . B. 0,3 . C. 0, 4 . D. 0, 6 . Câu 58. Quy tròn số 2,654 đến hàng phần chục, được số 2, 7 . Sai số tuyệt đối là:. A. 0, 05 . B. 0, 04 . C. 0,046 . D. 0,1 .

Câu 7.

Câu 59. Trong 5 lần đo độ cao một đạp nước, người ta thu được các kết quả sau với độ chính xác 1dm: 15,6m; 15,8m; 15,4m; 15,7m; 15,9m. Hãy xác định độ cao của đập nước. A. ∆h ' = 3dm . B. 16m ± 3dm . C. 15,5m ± 1dm . D. 15, 6m ± 0, 6 dm . PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu 1.

Đáp án

3 2 = 3.1, 41421356... ≈ 4, 24264... ≈ 4, 24 Vì sai số tuyệt đối đến hàng trăm nên các chữ số hàng nghìn trở lên của a là đáng tin. Vậy các chữ số đáng tin của a là 3, 7, 9, 7, 5. Đáp án C. Theo Ví dụ 1 ta có các chữ số đáng tin của a là 3, 7, 9, 7, 5 ⇒ Cách viết chuẩn của a = 37975.103 150 Sai số tương đối thỏa mãn: δ a ≤ = 0, 0000039 (tức là không vượt quá 0,0000039 ). 37975421 1 ∆ = 0,017 Từ công thức δ a = a , ta có ∆ a ≤ 173, 4592. a 10000 Vậy chữ số đáng tin là 1, 7, 3, 4. Dạng chuẩn của a là a = 173,5 . Đáp án B. Chu vi L = 2 ( x + y ) = 2 ( 3, 456 + 12, 732 ) = 32,376 (m)

Câu 8.

Vậy L = 32,376 ± 0,05 (m). Đáp án D. Diện tích S = xy = 3, 456.12,732 = 44,002 ( m2 ) 0, 01 0, 015 Sai số tương đối δ S không vượt quá: + = 0, 004 3, 456 12, 732 Sai số tuyệt đối ∆ S không vượt quá: S .δ S = 44, 002.0, 004 ≈ 0,176 . Đáp án A. Đáp án A. Ta có (sử dụng máy tính bỏ túi) 355 ≈ 3,14159292... < 3,1415929293 113 Do vậ y 355 − π < 3,14159293 − 3,14159265 0< 113 ≈ 0,00000028

Vậy sai số tuyệt đối nhỏ hơn 2,8.10−7 . Đáp án A. ∆ Theo công thức δ h = h ta có: h

0,5 = 0,68625 1000 Và h viết dưới dạng chuẩn là h = 1373 (m) Câu 9. Đáp án C. Độ dài h của cây cầu là: 0, 75 .1000 = 500 (m) d≈ 1,5 Câu 10. Đáp án A. Vì các chữ số đáng tin là 7; 9; 7. Dạng chuẩn của số đã cho là 797.105 (Bảy mươi chín triệu bảy trăm nghìn người). Sai số tương đối mắc phải là: ∆ h = h.δ h = 1372.5.

Ta có: AL2 = BL.LD = 2 do đó AL = 2 . Lại có BD = 3 Suy ra diện tích của hình chữ nhật là:

10000 ∆a = = 0,0001254 a 79715675 Đáp án B. ∆h , ta có: δh = h 0,5 ∆h = h.δ h = 2373,5. = 1,18675 1000 h viết dưới dạng chuẩn là h = 2370 m. Đáp án A. Ta có: 0, 00321 < 0, 005 nên chữ số 4 (hàng phần trăm) là chữ số chắc chắn, do đó c có 3 chữ số chắc chắn là 3; 5; 4. Chọn A. 8 Ta có = 0, 470588235294... nên sai số tuyệt đối của 0, 47 là 17 8 ∆ = 0, 47 − < 0, 47 − 4, 471 = 0,001 . 17 Chọn D. 3 Ta có = 0, 428571... nên sai số tuyệt đối của 0, 429 là 7 3 ∆ = 0, 429 − < 0, 429 − 4, 4285 = 0,0005 . 7 Chọn D. 100 1000 Ta có các chữ số đáng tin là các chữ số hàng nghìn trở đi. = 50 < d = 200 < 500 = 2 2 Chọn A. Ta có π = 3,141592654... nên sai số tuyệt đối của 3,14 là

δa =

Câu 11.

Câu 12.

Câu 13.

Câu 14.

Câu 15.

Câu 16.

Câu 17.

∆ = 3,14 − π < 3,14 − 3,141 = 0, 001 . B. Chọn Ta có π = 3,141592654... nên sai số tuyệt đối của 3,1416 là ∆ = 3,1416 − π < 3,1416 − 3,1415 = 0, 0001 . Mà d = 0, 0001 < 0, 0005 =

0, 001 nên có 4 chữ số chắc. 2

A. Chọn Vì a có 3 chữ số đáng tin nên dạng chuẩn là 2,57 . Câu 19. Chọn C. 100 Ta có ∆ a = 17 < 50 = nên a có 4 chữ số chắc. 2 Câu 20. Chọn A. Câu 21. Chọn A. Ta có x = 7,8m ± 2cm ⇒ 7, 78m ≤ x ≤ 7,82m và y = 25, 6 m ± 4cm ⇒ 25,56 m ≤ y ≤ 25, 64 m . Câu 18.

Do đó chu vi hình chữ nhật là P = 2 ( x + y ) ∈ [66, 68;66,92] ⇒ P = 66,8m ± 12cm . Vì d = 12cm = 0,12m < 0,5 = Câu 22.

1 nên dạng chuẩn của chu vi là 66m ± 12cm . 2

Chọn A. Ta có x = 7,8m ± 2cm ⇒ 7, 78m ≤ x ≤ 7,82m và y = 25, 6 m ± 4cm ⇒ 25,56 m ≤ y ≤ 25, 64 m .

Câu 23. Câu 24.

Câu 25.

Câu 26.

Câu 27.

Câu 28.

Do đó diện tích hình chữ nhật là S = xy và 198,8568 ≤ S ≤ 200,5048 ⇒ S = 199, 6808 ± 0,824 . Chọn D. Ta có chu vi hình chữ nhật là P = 2 ( x + y ) = 22, 4m ± 6cm . Chọn D. Ta có x = 2m ± 1cm ⇒ 1,98m ≤ x ≤ 2, 02m và y = 5m ± 2cm ⇒ 4,98m ≤ y ≤ 5, 02m . Do đó diện tích hình chữ nhật là S = xy và 9,8604 ≤ S ≤ 10,1404 ⇒ S = 10 ± 0,1404 . Chọn B. 0, 01 Ta có d = 0, 001 < 0, 005 = nên có 3 chữ số chắc. 2 Chọn B. 10 Ta có d = 0, 6 < 5 = nên S có 3 chữ số chắc. 2 Chọn B. Gọi d là đường kính thì d = 8,52m ± 1cm ⇒ 8,51m ≤ d ≤ 8,53m . Khi đó chu vi là C = π d và 26, 7214 ≤ C ≤ 26, 7842 ⇒ C = 26, 7528 ± 0, 0314 . 0,1 Ta có 0, 0314 < 0, 05 = nên cách viết chuẩn của chu vi là 26,7. 2 Chọn B. Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương thì a = 2, 4m ± 1cm ⇒ 2,39m ≤ a ≤ 2, 41m . Khi đó diện tích toàn phần của hình lập phương là S = 6a 2 nên 34, 2726 ≤ S ≤ 34,8486 .

Do đó S = 34,5606m2 ± 0, 288m2 . Câu 29. Chọn B. Sai số tương đối của giá trị gần đúng là δ = Câu 30.

∆ 0, 05 = ≈ 0, 03% . V 180, 37

Chọn

B. 23 23 0, 04 = 3, ( 285714 ) ⇒ − 3, 28 = 0, 00 ( 571428 ) = Ta có . 7 7 7 Câu 31. Chọn A. Ta có C − 0, 00421 ≤ 5, 73675 ⇒ C ≈ 5, 74096 . Câu 32. Chọn A. Câu 33. Chọn C. Diên tích hình chữ nhật là So = xo . yo = 2.5 = 10m2 .

Cận trên của diện tích: ( 2 + 0, 01)( 5 + 0, 02 ) = 10, 0902 Cận dưới của diện tích: ( 2 − 0, 01)( 5 − 0, 02 ) = 9,9102 . ⇒ 9, 9102 ≤ S ≤ 10, 0902 Sai số tuyệt đối của diện tích là: ∆S = S − So ≤ 0, 0898 Sai số tương đối của diện tích là: Câu 34.

∆S 0, 0898 = ≈ 9o oo S 10

Chọn D. Chu vi hình chữ nhật là: Po = 2 ( xo + yo ) = 2 ( 2 + 5) = 20m Câu 35. Chọn B. Nhắc lại định nghĩa số chắc: Trong cách ghi thập phân của a, ta bảo chữ số k cuả a là chữ số đáng tin (hay chữ số chắc) nếu sai số tuyệt đối ∆a không vượt quá một đơn vị của hàng có chữ số k.

Câu 36.

Câu 37.

Câu 38.

Câu 39.

Câu 40.

Câu 41.

+ Ta có sai số tuyệt đối bằng 0, 06 > 0, 01 ⇒ chữ số 7 là số không chắc, 0, 06 < 0,1 ⇒ chữ số 5 là số chắc. + Chữ số k là số chắc thì tất cả các chữ số đứng bên trái k đều là các chữ số chắc ⇒ các chữ số 1, 0,8 là các chữ số chắc. Như vậy ta có số các chữ số chắc của S là: 1, 0,8, 5. Chọn B. + Mỗi số thập phân đều viết được dưới dạng α .10 n trong đó 1 ≤ α < 10, n ∈ Z . Dạng như thế được gọi là kí hiệu khoa học của số đó. + Dựa vào quy ước trên ta thấy chỉ có phương án C là đúng. Chọn D. + Cần lấy chính xác đến hàng phần trăm nên ta phải lấ y 2 chữ số thập phân. Vì đứng sau số 2 ở hàng phần trăm là số 8 > 5 nên theo nguyên lý làm tròn ta được kết quả là 2,83. Chọn A. + Ta có: 10 = 3,16227766. + Cần lấy chính xác đến hàng phần trăm nên ta phải lấ y 2 chữ số thập phân. Vì đứng sau số 6 ở hàng phần trăm là số 2 < 5 nên theo nguyên lý làm tròn ta được kết quả là 3,16. Chọn A Ta có độ dài gần đúng của cầu là a = 996 với độ chính xác d = 0,5 . ∆ d 0, 5 ≈ 0, 05% . Vì sai số tuyệt đối ∆a ≤ d = 0,5 nên sai số tương đối δ a = a ≤ = a a 996 Vậy sai số tương đối tối đa trong phép đo trên là 0, 05% . Chọn B ∆ 0,5 Ta có δ a = a suy ra ∆ a = δ a . a . Do đó ∆ a ≤ .5, 7824 = 0, 028912 ≈ 2,89% . a 100 Chọn C Ta có các sai số tuyệt đối là ∆a =

Câu 42.

2 7

− 0, 28 =

1 175

, ∆b =

2 7

− 0, 29 =

3 700

, ∆c =

2 7

− 0, 286 =

1 3500

, ∆d =

2 7

− 0, 3 =

1 70

Sai số tuyệt đối ∆ P ≤ 0,5 . Sai số tương đối δ P ≤ Câu 45.

Câu 46.

Câu 47.

Câu 48.

Câu 49.

Câu 51.

Do đó P − 76 = 2 ( a + b ) ≤ 0, 04 . Vậy P = 76m ± 0, 04m . Chọn A. Diện tích ruộng là S = x. y = ( 23 + a )(15 + b ) = 345 + 23b + 15a + ab . Vì

−0, 01 ≤ a, b ≤ 0, 01

nên

23b + 15a + ab ≤ 23.0, 01 + 15.0,01 + 0,01.0,01

23b + 15a + ab ≤ 0,3801. Suy ra S − 345 ≤ 0,3801 . Vậy S = 345m ± 0,3801m . Câu 44. Chọn D Giả sử a = 12 + d1 , b = 10, 2 + d2 , c = 8 + d3 . Ta có P = a + b + c + d1 + d2 + d3 = 30, 2 + d1 + d2 + d3 .

hay

3 = 1,732050808...

3 chính xác đến hàng phần trăm là 1,73; 3 chính xác đến hàng phần nghìn là 1,732.

Vì ∆c < ∆b < ∆a < ∆ d nên c = 0, 286 là số gần đúng tốt nhất. Chọn B Giả sử x = 23 + a, y = 15 + b với −0, 01 ≤ a, b ≤ 0, 01 . Ta có chu vi ruộng là P = 2 ( x + y ) = 2 ( 38 + a + b ) = 76 + 2 ( a + b ) .

Chọn D Sử dụng máy tính bỏ túi ta có

d ≈ 1, 66% . P

Do đó giá trị gần đúng của

Câu 50.

Vì −0, 01 ≤ a, b ≤ 0, 01 nên −0, 04 ≤ 2 ( a + b ) ≤ 0, 04 .

Câu 43.

Theo giả thiết, ta có −0, 2 ≤ d1 ≤ 0, 2; − 0, 2 ≤ d2 ≤ 0, 2; − 0,1 ≤ d3 ≤ 0,1 . Suy ra –0,5 ≤ d1 + d 2 + d3 ≤ 0,5 . Do đó P = 30, 2 cm ± 0,5 cm .

giá trị gần đúng của Chọn B. Sử dụng máy tính bỏ túi ta có giá trị của π 2 là 9,8696044. Do đó giá trị gần đúng của π 2 chính xác đến hàng phần trăm là 9,87; giá trị gần đúng của π 2 chính xác đến hàng phần nghìn là 9,870. Chọn D. Ta có 10 < 16 < 100 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng trăm. Do đó ta phải quy tròn số 17638 đến hàng trăm. Vậ y số quy tròn là 17700 (hay viết a ≈ 17700 ). Chọn C. Ta có 0, 01 < 0, 056 < 0,1 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần chục. Do đó phải quy tròn số 15,318 đến hàng phần chục. Vậy số quy tròn là 15,3 (hay viết a ≈ 15,3 ). Chọn B. Ta có một năm có 365 ngày, một ngày có 24 giờ, một giờ có 60 phút và một phút có 60 giây. Do đó một năm có: 24.365.60.60 = 31536000 giây. Vì vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s nên trong vòng một năm nó đi được 31536000.300 = 9, 4608.109 km. Chọn C. 100 1000 Ta có nên các chữ số 8 (hàng đơn vị), 5 (hàng chục) và 2 ( hàng = 50 < 300 < 500 = 2 2 trăm ) đều là các chữ số không chắc. Các chữ số còn lại 1, 0, 3, 4 là chữ số chắc. Do đó cách viết chuẩn của số A là A ≈ 1034.103 (người). Chọn A. Ta có sai số tuyệt đối của số đo chiều dài con dốc là ∆a = a.δ a ≤ 192,55.0, 2% = 0,3851 .

Vì 0,05 < ∆a < 0,5 . Do đó chữ số chắc của d là 1, 9, 2. Vậy cách viết chuẩn của a là 193 m (quy tròn đến hàng đơn vị). Câu 52. Chọn A. 100 1000 Ta có = 50 < 100 < = 500 nên chữ số hàng trăm (số 0) không là số chắc, còn chữ số 2 2 hàng nghìn (số 4) là chữ số chắc. Vậy chữ số chắc là 1, 2,3, 4 . Cách viết dưới dạng chuẩn là 3214.103 . Câu 53. Chọn A. ∆a Ta có δ a = suy ra ∆ a = δ a . a = 1%.1,3462 = 0,013462 . a Suy ra độ chính xác của số gần đúng a không vượt quá 0, 013462 nên ta có thể xem độ chính xác là d = 0, 013462 .

0, 01 0,1 = 0, 005 < 0, 013462 < = 0, 05 nên chữ số hàng phần trăm (số 4) không là số chắc, 2 2 còn chữ số hàng phần chục (số 3) là chữ số chắc. Vậy chữ số chắc là 1 và 3 . Cách viết dưới dạng chuẩn là 1,3 . Chọn C. 0, 01 0,1 Ta có . Suy ra 1,8, 0,5 là chữ số chắc chắn. ≤ 0, 05 ≤ 2 2 Chọn D. 10 100 Ta có = 5 < 12 < = 50 nên chữ số hàng trăm trở đi là chữ số chữ số chắc do đó số gần đúng 2 2 viết dưới dạng chuẩn là 4673.10 2 . Chọn C. 0, 01 0,1 Ta có = 0, 005 < 0, 006 < = 0, 05 nên chữ số hàng phần chục trở đi là chữ số chữ số chắc 2 2 do đó số gần đúng viết dưới dạng chuẩn là 2, 5 . Chọn C. Quy tròn số 7216, 4 đến hàng đơn vị, được số 7216 . Sai số tuyệt đối là: Ta có

Câu 54.

Câu 55.

Câu 56.

Câu 57.

7216, 4 − 7216 = 0, 4 Chọn C. Quy tròn số 2,654 đến hàng phần chục, được số 2, 7 . Sai số tuyệt đối là: 2,7 − 2,654 = 0,046 . Câu 59. Chọn A. Giá trị trung bình là: 15,68m. Vì độ chính xác là 1dm nên ta có h ' = 15, 7 m . Mà ∆h ' = 3dm Nên 15, 7 m ± 3dm . Câu 58.

TOÁN 10

ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ

0D2-1

Dạng 5. Một số bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số ..........................................................................................48 Dạng 6. Xác định biểu thức của hàm số .....................................................................................................................49

MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI .....................................................................................................................................................2

PHẦN A. CÂU HỎI

Dạng 1. Tập xác định của hàm số .................................................................................................................................2 Dạng 1.1 Hàm số phân thức .....................................................................................................................................2

Dạng 1. Tập xác định của hàm số Dạng 1.1 Hàm số phân thức

Dạng 1.2 Hàm số chứa căn thức ...............................................................................................................................3 Dạng 1.3 Tìm tập xác định của hàm số có điều kiện ................................................................................................5 Dạng 2. Tính chẵn, lẻ của hàm số.................................................................................................................................8

Câu 1.

(Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2018-2019) Tập xác định của hàm số y = x4 − 2018x2 − 2019 là A. ( −1; + ∞ ) . B. ( −∞; 0 ) . C. ( 0; + ∞ ) . D. ( −∞; + ∞ ) .

Câu 2.

(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Tập xác định của hàm số y =

Dạng 2.1 Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số cho trước ............................................................................................8 Dạng 2.2 Xác định tính chẵn, lẻ thông qua tính chất của đồ thị hàm số .................................................................11 Dạng 2.3 Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số có điều kiện cho trước ......................................................................12 Dạng 3. Sự biến thiên của hàm số ..............................................................................................................................12 Dạng 3.1 Xác định sự biến thiên của hàm số cho trước .........................................................................................12 Dạng 3.2 Xác định sự biến thiên thông qua đồ thị của hàm số...............................................................................13

A. ( −∞;3) . Câu 5.

Dạng 1.1 Hàm số phân thức ...................................................................................................................................22

Câu 6.

Dạng 2. Tính chẵn, lẻ của hàm số...............................................................................................................................31

Câu 7.

Dạng 2.3 Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số có điều kiện cho trước ......................................................................37

Câu 8.

A. D = ℝ \ {−1;6}

Dạng 3.1 Xác định sự biến thiên của hàm số cho trước .........................................................................................39

Dạng 4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .................................................................................................42

Câu 9.

C. ℝ \ {3} .

D. ℝ .

3x − 1 là 2x − 2 B. D = [1; +∞ ) .

C. D = (1; +∞ ) .

D. D = R \ {1} .

5 là x2 − 1 B. ℝ \ {−1;1} .

C. ℝ \ {1} .

D. ℝ .

x + 5 x −1 + là x −1 x + 5 B. D = ℝ \ {1}. C. D = ℝ \ {−5}.

D. D = ℝ \ {−5; 1}.

3− x là x2 − 5x − 6 B. D = ℝ \ {1; −6}

D. D = {1; −6}

Tập xác định của hàm số y =

Dạng 3. Sự biến thiên của hàm số ..............................................................................................................................39

Dạng 3.2 Xác định sự biến thiên thông qua đồ thị của hàm số...............................................................................41

Tìm tập xác định D của hàm số y =

Dạng 4.1 Biến đổi sử dụng tập giá trị của hàm số ..................................................................................................42

A. D = ℝ \ {2}

Dạng 4.2 Phân tích hằng đẳng thức ........................................................................................................................43

C. D = ℝ \ {−1; 2}

Dạng 4.3 Áp dụng bất đẳng thức cô-si, Bu-nhi-a-cốp-xki ......................................................................................43

là

Tập xác định của hàm số f ( x) =

A. D = ℝ .

Dạng 2.2 Xác định tính chẵn, lẻ thông qua tính chất của đồ thị hàm số .................................................................36

Tập xác định của hàm số y =

A. ℝ \ {−1} .

Dạng 1.3 Tìm tập xác định của hàm số có điều kiện ..............................................................................................26

x+2

( x − 3) B. ( 3; + ∞ ) .

Tập xác định D của hàm số y =

A. D = ℝ .

Dạng 1. Tập xác định của hàm số ...............................................................................................................................22

Dạng 2.1 Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số cho trước ..........................................................................................31

Tập xác định của hàm số y =

Dạng 6. Xác định biểu thức của hàm số .....................................................................................................................19

Dạng 1.2 Hàm số chứa căn thức .............................................................................................................................23

Câu 4.

Dạng 5. Một số bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số ..........................................................................................17

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ..........................................................................................................................22

(Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Tập xác định của hàm số x −3 y= là 2x − 2 A. ℝ \ {1} . B. ℝ \ {3} . C. ℝ \ {2} . D. (1; +∞) .

Dạng 4.1 Biến đổi sử dụng tập giá trị của hàm số ..................................................................................................15

Dạng 4.3 Áp dụng bất đẳng thức cô-si, Bu-nhi-a-cốp-xki ......................................................................................16

Câu 3.

Dạng 4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .................................................................................................15

Dạng 4.2 Phân tích hằng đẳng thức ........................................................................................................................16

x +1 là: x −1 D. (1; +∞ ) .

C. D = {−1;6}

x +1

( x + 1) ( x 2 − 4 ) D = ℝ \ {±2} D = ℝ \ {−1; ±2}

Câu 10. Tập xác định D của hàm số y = 3 x − 1 là

A. D = ( 0; +∞ ) .

B. D = [ 0; +∞ ) .

1  C. D =  ; +∞  . 3 

1  D. D =  ; +∞  . 3 

Dạng 1.2 Hàm số chứa căn thức

C. y =

D. y = x 2 − 2 x − 1 − 3 .

Câu 22. Tìm tập xác định của hàm số y = x − 1 − A. [1;5] \ {2} .

Câu 11. (THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Tập xác định của hàm số y = 8 − 2 x − x là A. ( −∞; 4] .

3x . x2 − 4

B. [ 4; +∞ ) .

C. [ 0;4] .

D. [ 0; +∞ ) .

B. ( −∞;5] .

Câu 23. Tập xác định D của hàm số y =

Câu 12. Tập xác định của hàm số y = 4 − x + x − 2 là B. D = [ 2; 4]

A. D = ( −4; +∞ ) \ {2} .

B. D = [ −4; +∞ ) \ {2} .

D. D = ( −∞; 2 ) ∪ ( 4; +∞ )

C. D = ∅ .

D. D = ℝ \ {2} .

D. [ −6; +∞ ) .

3  A. D =  −4;  . 2  3  C. D =  −∞;  . 2 

Câu 14. Tìm tập xác định của hàm số y = x + 1 + x + 2 + x + 3 . A. [ −1; + ∞ ) .

B. [ −2; + ∞ ) .

C. [ −3; + ∞ ) .

D. [ 0; + ∞ ) .

Câu 15. Tập xác định D của hàm số y = x + 2 + 4 3 − x là A. D = ( −2;3) .

B. D = [ −3; +∞ ) .

C. D = ( −∞;3] .

Câu 16. Tập xác định của hàm số y = 2 x − 3 − 3 2 − x là 3  A. ∅ . B.  ; 2  . C. [2; +∞) . 2  Câu 17. Tập xác định của hàm số y = 2 x − 7 x + 3 − 3 −2 x + 9 x − 4 là 1  1  A.  ; 4 . B. [3; +∞ ) . C. [3; 4] ∪   . 2  2 2

D. D = [ −2;3] .

3  D.  ; 2  . 2 

1 + 9 − x là 2x − 5 5  5  B. D =  ;9  . C. D =  ;9  . 2  2 

5  D. D =  ;9  . 2 

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Tìm tập xác định D của hàm số x +1 y= . ( x − 3) 2 x − 1 1 A. D =  − ; +∞  \ {3} . B. D = ℝ .  2 

3  B. D =  −4;  . 2  3  D. D = [ −4; −1) ∪  −1;  . 2 

A. D = (1; 3] .

1 là x −1 B. D = ( −∞;1) ∪ [3; +∞ ) .

C. D = [1;3] .

D. D = ∅ .

Câu 25. Tập xác định của hàm số f ( x ) = 3 − x +

Câu 26. Tìm tập xác định D của hàm số y = 6 − x +

1 1 C. D =  ; +∞  \ {3} . D. D =  ; +∞  \ {3} . 2  2 

Câu 21. Hàm số nào sau đây có tập xác định là R ? 2 x A. y = 2 . B. y = x 2 − x 2 + 1 − 3 . x +4

A. D = ( −∞;6] \ {2} .

D. [3; 4] .

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Tìm tập xác định D của hàm số 6x y= 4 − 3x 4  3 4  2 3  4  A. D =  −∞;  . B. D =  ;  . C. D =  ;  . D. D =  ; +∞  . 3  2 3  3 4  3 

5  A. D =  ;9 . 2 

x+4 là 3 − 2x

( x + 1)

Câu 19. Tập xác định của hàm số y =

Câu 20.

3x + 4 là x+4

C. D = {2; 4}

Câu 24. Tập xác định D của hàm số y =

D. [1; +∞ ) \ {2;5} .

( x − 2)

A. D = ( 2; 4 )

Câu 13. Tập xác định của hàm số y = 1 + 2 x + 6 + x là: 1   1   1  A. −6; −  . B.  − ; +∞  . C. − ; +∞  . 2   2   2 

Câu 18.

3x − 1 . ( x 2 − 4) 5 − x C. [1;5) \ {2} .

B. ℝ \ {2} .

4 . 5 x − 10 C. D = [ 6; +∞ ) .

D. D = ( −∞;6] .

1 . Tập nào sau đây là tập xác định của hàm số f ( x ) ? x −3 B. [1; +∞ ) . C. [1;3) ∪ ( 3; +∞ ) . D. (1; +∞ ) \ {3} .

Câu 27. Cho hàm số f ( x ) = x − 1 + A. (1; +∞ ) .

 −3x + 8 + x khi x < 2 là Câu 28. Tập xác định của hàm số y = f ( x ) =   x + 7 + 1 khi x ≥ 2 8  A. ℝ . B. ℝ \ {2} . C.  −∞;  . 3 

D. [ −7; +∞ ) .

1 là 2x − 2 3 3   C. D =  −∞ ;  \ {1} . D. D =  −∞ ;  . 2 2  

Câu 29. (HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Tập xác định D của hàm số y = ( 2 x − 1) 3 − 2 x + 1 3 A. D =  ;  . 2 2

Câu 30.

 1 3 B. D =  ;  \ {1} .  2 2

(HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Tập xác định của hàm số y = A. D = [ −2 ; + ∞ ) \ {−1} . B. D = R \ {−1} . C. D = [ −2; + ∞ ) .

D. D = (1; + ∞ ) .

3 x + 2 −1

là

Câu 31.

(ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Tìm tập xác định của hàm số 1 . y = x2 − 2 x + 25 − x 2 A. D = ( −5;0] ∪ [ 2;5 ) .

x2 − 7 x + 8 có tập xác định D = ℝ \ {a; b} ; a ≠ b. Tính giá trị biểu thức x 2 − 3x + 1 Q = a 3 + b3 − 4ab. A. Q = 11 . B. Q = 14 . C. Q = −14 . D. Q = 10 .

Câu 39. Hàm số y =

B. D = ( −∞;0] ∪ [ 2; +∞ ) . A. m ≤ −4 .

D. D = [ −5;0] ∪ [ 2;5] . Câu 32. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Tập xác định của hàm số x +1 là y= 2 ( x − 5x + 6) 4 − x A. [ −1; 4 ) \ {2;3} .

B. [ −1; 4 ) . x là: x 2 − 3x + 2 B. D = ℝ \ {1; 2}

C. ( −1; 4] \ {2;3} .

D. ( −1; 4 ) \ {2;3} .

C. D = ℝ \ {1; 2}

D. D = ( 0; +∞ )

B. D = [1; +∞ ) \ {2}

C. D = ( −∞;1]

D. D = [1; +∞ )

 3 3 C. D = − ;  .  4 4

Câu 36.

Câu 44. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f ( x) = x 2 − 3mx + 4 có tập xác định là D = ℝ . 4 4 4 4 A. m < . B. m ≤ . C. m > . D. m ≥ . 3 3 3 3 Câu 45. Tìm m để hàm số y = ( x − 2 ) 3 x − m − 1 xác định trên tập (1; +∞ ) ?

C. ( −∞;3] .

D. ℝ \ {−1} .

C. m > 2 .

Câu 46. Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y =

D. m ≥ 2 .

x − 2m + 3 3x − 1 xác định trên + x−m −x + m + 5

khoảng ( 0;1) là

A. m ∈ [ −3;0] ∪ [ 0;1] .

 3 B. m ∈ 1;  .  2

C. m ∈ [ −3;0] .

 3 D. m ∈ [ −4; 0] ∪ 1;  .  2

Câu 47. Gọi tập xác định của các hàm số f ( x) = 5 + x + 5 − x ; g ( x) =

3x + 4 lần lượt là D1; D2 . Hãy x+4

tìm D1 ∩ D2 , D1 ∪ D2 .

Câu 38. Giả sử D = ( a; b ) là tập xác định của hàm số y = B. S = 5 .

B. m ≤ 2 .

A. m < 2 .

Dạng 1.3 Tìm tập xác định của hàm số có điều kiện

A. S = 7 .

Câu 43. Biết hàm số y = f ( x ) có tập xác định là đoạn [ −1;0] . Tìm tập xác định D của hàm số

D. D = ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ )

x − 3 − x là x x +1

B. ( −∞;3) \ {−1} .

+ x − m có tập xác định khác tập rỗng là −x − 2x + 3 C. ( −∞;1) . D. ( −∞;1] .

C. D = [ −1;1]

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Tìm tập xác định D của hàm số 3x − 2 + 6 x . y= 4 − 3x 2 4 3 4 2 3 4 A. D =  ;  . B. D =  ;  . C. D =  ;  . D. D =  −∞;  . 3 3 3  2 3  3 4  

A. ( −∞;3] \ {−1} .

B. ( −3; + ∞ ) .

B. D = [ 0;1]

 3 3 B. D = [ −2; +∞ ) \ − ;  .  4 4  3 3 D. D = ℝ \  − ;  .  4 4

Câu 37. Tập xác định của hàm số y =

Câu 42. Tập tất cả các giá trị m để hàm số y =

A. D = [ −1;0]

x3 Câu 35. Tập xác định của hàm số y = x + 2 + 4 x −3

A. D = [ −2; +∞ ) .

A. a + b = −8 .

y = f ( − x2 ) .

Câu 34. Tìm tập xác định D của hàm số:  2x − 3 khi x ≤ 0  . y = f ( x) =  x − 2  1 − x khi x > 0  A. D = ℝ \ {2}

3x + 5 − 4 là ( a; b ] với a , b là các số thực. Tính tổng a + b . x −1 B. a + b = −10 . C. a + b = 8 . D. a + b = 10 .

Câu 41. Tập xác định của hàm số y =

A. ( −∞; 3) .

Câu 33. Tập xác định của hàm số y = A. D = [ 0; +∞ )

2x + 1 xác định trên ℝ . x2 − 2 x − 3 − m B. m < −4 . C. m > 0 . D. m < 4 .

Câu 40. Với giá trị nào của m thì hàm số y =

C. D = ( −5;5 ) .

x+3 2

− x + 3x − 2 C. S = 4 .

. Tính S = a 2 + b2 .

A. D1 ∩ D2 = ( −4;5] , D1 ∪ D2 = [ −5; +∞ ) .

B. D1 ∩ D2 = ( −4;5 ) , D1 ∪ D2 = [ −5; +∞ ) .

C. D1 ∩ D2 = ( −4;5] , D1 ∪ D2 = ( −5; +∞ ) .

D. D1 ∩ D2 = [ −4;5] , D1 ∪ D2 = [ −5; +∞ ) .

D. S = 3 . Câu 48. Tìm m để hàm số y =

x 2 +1 có tập xác định là ℝ . x 2 + 2x − m + 1

A. m ≥ 1 .

B. m < 0 .

C. m > 2 .

D. m ≤ 3

x +1 Câu 49. Cho hàm số y = 2 . Tập các giá trị của m để hàm số xác định trên x − 2 ( m + 1) x + m 2 + 2 m

[0;1) là T = ( −∞; a ) ∪ [b; c ) ∪ [ d ; +∞ ) . Tính A. P = −2 .

B. P = −1 .

C. P = 2 .

D. P = 1.

Câu 52. Tập hợp tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = x − 2m + 1 xác định với mọi x ∈ [1;3] là: C. (−∞;2] .

D. (−∞;1] .

Câu 53. Tập xác định của hàm số y = x + 2 x − 1 + 5 − x 2 − 2 4 − x 2 có dạng a;b  . Tính a + b. A. 3 . B. −1 . C. 0 . D. −3 .

1 có tập xác định D = [ 0;5 ) . 5− x C. m ≤ −2 . D. m = 2 .

Câu 54. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = x − m + 2 + A. m ≥ 0 .

B. m ≥ 2 .

Câu 55. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = 1 A. −1 ≤ m ≤ . 3

B. m ≥ −1 .

m +1 có tập xác định D = ℝ . 3x2 − 2 x + m 1 1 C. m > . D. m ≥ . 3 3

Câu 56. Tìm điều kiện của m để hàm số y = x 2 − x + m có tập xác định D = ℝ 1 1 1 1 A. m ≥ . B. m > . C. m > − . D. m ≤ . 4 4 4 4

x+9 Câu 57. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = xác định trên đoạn [3;5]. x − 2m − 1 A. m ≤ 1 hoặc m ≥ 2 . B. m > 3 hoặc m < 0 . C. m > 4 hoặc m < 1 . D. m > 2 hoặc m < 1 . Câu 58. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thuộc tập xác định của hàm số y = A. 3 Câu 59. Cho hàm số f ( x ) =

B. 1

2x − 3 x − 2 −1

C. 2

2+ x

x 3− x D. 4

có tập xác định là D1 và hàm số g ( x ) =

xác định là D2 . Tìm điều kiện của tham số m để D2 ⊂ D1 . A. m < 2 . B. m ≤ 2 . C. m > 2 .

Câu 60. Tìm m để hàm số y =

C. m ∈ [ −3;0] ∪ [ 0;1] .

 3 D. m ∈ [ −4;0] ∪ 1;  .  2

Câu 61. Cho hàm số f ( x ) = x + 2m − 1 + 4 − 2m − trị của tổng a + b bằng A. 2 . B. 3 .

Câu 62.

Câu 51. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = x − m + 1 + 2 x − m xác định với ∀x > 0 . A. m ≥ 1 . B. m ≤ 0 . C. m > 0 . D. m < 1 . B. {1} .

B. m ∈ [ −3;0] .

P = a+b+c+d .

x+m+2 Câu 50. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y = xác định trên ( −1; 2 ) . x−m  m ≤ −1  m ≤ −1  m < −1 A.  . B.  . C.  . D. −1 < m < 2 . m ≥ 2 m ≥ 2 m > 2

A. {2} .

 3 A. m ∈ 1;  .  2

+ 2x +1 ?

2x − m − 2x có tập x +5

D. m ≥ 2 .

2 x − 2m + 3 x−2 xác định trên khoảng ( 0;1) . + 3( x − m ) −x + m + 5

x xác định với mọi x ∈ [ 0; 2] khi m ∈ [ a; b] . Giá 2

C. 4 .

(Hàm số-VDC) Tìm m để hàm số y = −2 x + 3m + 2 +

D. 5 .

x +1 xác định trên khoảng 2 x + 4m − 8

( −∞; −2) . A. m ∈ [ −2; 4] .

B. m ∈ [ −2;3) .

C. m ∈ ( −2;3] .

D. m ∈ [ −2;3] .

Câu 63. Tập xác định của hàm số nào dưới đây chứa nhiều số nguyên dương nhất? 2− x A. y = 3 − x B. y = x+2 C. y = 4 − 9 x 2

D. y =

1 27 − x3

Câu 64. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để tập xác định của hàm số 2 y= + 7m + 1 − 2 x chứa đoạn [ −1;1] ? x − 2m A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số Câu 65. Cho hàm số y = x + 1 + m − 2 x với m ≥ −2 . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để tập xác định của hàm số có độ dài bằng 1? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Dạng 2. Tính chẵn, lẻ của hàm số Dạng 2.1 Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số cho trước

Câu 66.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Cho hàm số y = x 2 . Chọn mệnh đề đúng. A. Hàm số trên là hàm chẵn. B. Hàm số trên vừa chẵn vừa lẻ. D. Hàm số trên không chẵn không lẻ. C. Hàm số trên là hàm số lẻ.

Câu 67. (HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ? x2 − x 4 A. y = 3x 2 − x . B. y = . C. y = . D. y = x . x −1 x Câu 68. Hàm số y = x 4 − x 2 + 3 là A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. C. hàm số lẻ.

B. hàm số không chẵn, không lẻ. D. hàm số chẵn.

Câu 69. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ? A. g ( x ) = x .

B. k ( x ) = x 2 + x .

C. h ( x ) = x +

1 . x

D. f ( x ) = x 2 + 1 − 2 .

Câu 70. Cho hàm số y = f ( x ) = 3x 4 − 4 x 2 + 3 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. y = f ( x ) là hàm số chẵn.

B. y = f ( x ) là hàm số lẻ.

C. y = f ( x ) là hàm số không có tính chẵn lẻ.

D. y = f ( x ) là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.

Câu 71. Cho các hàm số (I) y = 3 x + 2 (II) y = x 2 + 5 x + 2018 (III) y = 5 x3 − 3 x 2 + x + 1 (IV) y = x 4 − x 2 + 1 Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số chẵn? A. 0 B. 1 C. 2

B. F ( x ) và G ( x ) là các hàm số lẻ trên D. D. 3

D. y = 2 x 2 + x .

B. Cả f(x) và g ( x ) là hàm chẵn.

C. Cả f ( x ) và g ( x ) là hàm lẻ

D. f ( x ) là hàm lẻ; g ( x ) là hàm chẵn.

Câu 75. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn? A. y = 2 − x + 2 + x . B. y = x + 2 + x − 2 . D. y = x 4 + x + 1 .

Câu 76. Nêu tính chẵn, lẻ của hai hàm số f ( x ) = x + 2 − x − 2 , g ( x ) = − x ? B. f ( x ) là hàm số lẻ, g ( x ) là hàm số chẵn. C. f ( x ) là hàm số lẻ, g ( x ) là hàm số lẻ. D. f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm số lẻ. Câu 77. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số chẵn? A. y = x + 1 + 1 – x . B. y = x + 1 − 1 – x . C. y = x 2 + 1 + 1 – x 2 . D. y = x 2 + 1 − 1 – x 2 . Câu 78. Cho hai hàm số f ( x ) = x + 2 − x − 2 , g ( x ) = − x . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm số chẵn. B. f ( x ) là hàm số lẻ, g ( x ) là hàm số chẵn. D. f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm số lẻ.

1+ x + 1− x và g ( x ) = x 3 − 4 x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x A. f ( x ) là hàm số chẵn và g ( x ) là hàm số lẻ.

B. f ( x ) và g ( x ) là hàm số chẵn. C. f ( x ) và g ( x ) là hàm số lẻ. D. f ( x ) là hàm số lẻ và g ( x ) là hàm số chẵn.

D. 4

−1 khi x < 0  Câu 82. Hàm số y = f ( x ) = 0 khi x = 0 là hàm số 1 khi x > 0  A. chẵn B. lẻ C. vừa chẵn vừa lẻ D. không chẵn không lẻ Câu 83. Có bao nhiêu hàm số xác định trên ℝ vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ? A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số Câu 84. Hàm số f ( x ) = − x + x + 2 − x − 2 là A. hàm số chẵn B. hàm số lẻ C. hàm số không chẵn, không lẻ D. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ

A. f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm số chẵn.

Câu 79. Cho hai hàm số f ( x ) =

x +2 x +2 ; (IV): y = . x2 x −2 Trong 4 hàm số trên, có bao nhiêu hàm số chẵn? A. 1 B. 2 C. 3 (III): y =

A. f ( x ) là hàm chẵn; g ( x ) là hàm lẻ.

C. f ( x ) là hàm số lẻ, g ( x ) là hàm số lẻ.

C. F ( x ) là hàm số chẵn và G ( x ) là hàm số lẻ trên D. Câu 81. Cho 4 hàm số sau: (I): y = x ( x − 2 ) (II): y = 2 x 2 − 5 x ;

Câu 74. Cho hàm số f ( x ) = x x 2 + 3; g ( x ) = x + 3 + x − 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

C. y = x + 2 − x − 2 .

y = f ( x ) xác định trên tập đối xứng. Trên D, xét các hàm số

1 1 F ( x ) =  f ( x ) + f ( − x )  và G ( x ) =  f ( x ) − f ( − x )  . Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 2 A. F ( x ) và G ( x ) là các hàm số chẵn trên D.

Câu 72. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? x 1 A. y = x 2 + . B. y = 4 . x x − 2x2 +1 2018 2018 1 D. y = ( 2 x − 1) + ( 2 x + 1) . C. y = 3 . 4x Câu 73. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y = x3 − 2 x . B. y = 3x 4 + x 2 + 5 . C. y = x +1 .

Câu 80. Cho hàm số

Câu 85. Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số chẵn: y = 20 − x 2 ; y = −7 x 4 + 2 x + 1 ;

x 4 + 10 ; y = x+2 + x−2 ; y = x A. 3 . B. 1. y=

x4 − x + x4 + x ? x +4 C. 4 .

Câu 86. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ? x3 A. f ( x ) = 2 . B. f ( x ) = x 2 − x . x +1

C. f ( x ) = x 3 + x + 1 .

D. 2 .

D. f ( x ) =

x . x +1

− x 3 − 6 khi x ≤ −2  Câu 87. (THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Cho hàm số f ( x ) =  x khi − 2 < x < 2.  3 x − 6 khi x ≥ 2  Khẳng định nào sau đây đúng? A. Đồ thị hàm số f ( x ) đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

B. Đồ thị của hàm số f ( x ) đối xứng qua trục hoành. C. f ( x ) là hàm số lẻ. D. f ( x ) là hàm số chẵn

Câu 88. Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số chẵn: y = 20 − x 2 , y = −7 x 4 + 2 x + 1 , 4

B. y = x 2 .

C. y = x 4 + 3 x 2 − 1 .

D. y = x .

Dạng 2.3 Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số có điều kiện cho trước

x + 10 x −x+ x +x , y = x+2 + x−2 , y = ? x +4 x A. 3 . B. 1. C. 4 . Dạng 2.2 Xác định tính chẵn, lẻ thông qua tính chất của đồ thị hàm số

A. y = x3 + x .

D. 2 .

Câu 89. Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định là [ −5;5] và đồ thị của nó được biểu diễn bởi hình dưới đây.

Câu 93. Biết rằng khi m = m0 thì hàm số f ( x) = x3 + (m2 − 1) x 2 + 2 x + m − 1 là hàm số lẻ. Mệnh đề nào sau đây đúng?  −1   1 1  B. m ∈  0;  . C. m ∈ [ 3; +∞ ) . D. m ∈  ;3  . A. m ∈  ; 0  . 2   2 2  Câu 94. Tìm m để đồ thị hàm số y = −2 x 3 + ( m 2 − 3m + 2 ) x 2 + ( m + 5 ) x + m − 2 nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. A. m = 1.

B. m = −1.

C. m = 2.

D. m = 0.

(

)

Câu 95. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = 2 x + 2 m − 4 x + ( 4 + m ) x + 3m − 6 là 3

một hàm số lẻ A. m = −2 .

B. m = 2 .

Câu 96. Cho hàm số f ( x ) = ( m + 3m − 4 ) x 2

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2; 2 ) . B. Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −5; −2 ) và ( 2;5) . D. Hàm số chẵn.

Câu 90. Các hình dưới đây là đồ thị của các hàm số cùng có tập xác định là ℝ . Trong các đồ thị đó, đâu là đồ thị của một hàm số chẵn?

C. m = −4 . 2017

D. m = ±2 .

+ m − 7 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số

m để hàm số f là hàm số lẻ trên ℝ . Tính tổng các phần tử của S . A. 0 .

B. −3 .

D. 2 7 .

Câu 97. Tìm điều kiện của m để hàm số y = x 4 − m ( m − 1) x3 + x 2 + mx + m 2 là hàm số chẵn. A. m = 0 . B. m = 1 hoặc m = 0 . C. không tồn tại m. D. 0 < m < 1 . Câu 98. Biết rằng khi m = m0 thì hàm số f ( x ) = x 3 + ( m 2 − 1) x 2 + 2 x + m − 1 là hàm số lẻ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. m0 ∈[3: +∞) .

 1  B. m0 ∈  − ;0 .  2 

1  C. m0 ∈  ;3  . 2 

 1 D. m0 ∈  0;   2

x4 + 2x2 +1 5 5 ; y = x . x 3 ; y = 2 x − 1 + x; y = x 3 − x x tồn tại a hàm số chẵn, b hàm số lẻ. Tính 5a + 6b . B. 28 . C. 23 . D. 20 . A. 27 .

Câu 99. Trong các hàm số y = x 4 + 6 x 2 + 10; y =

m 2018 + x + (m2 − 2) 2018 − x có đồ thị là (Cm ) ( m là tham số). (m2 − 1) x Số giá trị của m để đồ thị (Cm ) nhận trục Oy làm trục đối xứng là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 100. Cho hàm số y = f ( x ) =

Dạng 3. Sự biến thiên của hàm số Dạng 3.1 Xác định sự biến thiên của hàm số cho trước

Câu 91. Cho hàm số y = f ( x ) = x − 2018 + x + 2018 . Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số y = f ( x ) có tập xác định là R . B. Đồ thị hàm số y = f ( x ) nhận trục tung làm trục đối xứng. C. Hàm số y = f ( x ) là hàm số chẵn. D. Đồ thị hàm số y = f ( x ) nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Câu 92. Đồ thị hàm số nào sau đây có tâm đối xứng?

Câu 101. Chọn khẳng định đúng? A. Hàm số y = f ( x) được gọi là nghịch biến trên K nếu ∀x1 ; x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) . B. Hàm số y = f ( x) được gọi là đồng biến trên K nếu ∀x1 ; x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) . C. Hàm số y = f ( x) được gọi là đồng biến trên K nếu ∀x1 ; x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) . D. Hàm số y = f ( x) được gọi là đồng biến trên K nếu ∀x1 ; x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) . Câu 102. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm đồng biến trên ℝ ? A. y = 1 − 2 x B. y = 3 x + 2 C. y = x 2 + 2 x − 1

D. y = −2 ( 2 x − 3) .

Câu 103. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên ℝ ? A. y = x .

B. y = −2 x .

C. y = 2 x .

D. y =

1 x 2

3 trên khoảng ( 0; +∞ ) . Khẳng định nào sau đây đúng? x A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

Câu 104. Xét sự biến thiên của hàm số f ( x ) =

B. Hàm số vừa đồng biến, vừa nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞ ) . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) . Câu 110. (Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định là [ −3;3] và có đồ thị được biểu diễn bởi hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) . D. Hàm số không đồng biến, không nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ ) . 2x +1 nghịch biến trên khoảng x −1  1  A. ( −∞; 2 ) . B.  − ; +∞  .  2 

Câu 105. Hàm số y =

3  C.  −1;  . 2 

D. (1; +∞ ) . A. Hàm số y = f ( x ) + 2018 đồng biến trên các khoảng ( −3; −1) và (1;3) .

Câu 106. Hàm số y = f ( x ) = x 4 − 2 x 2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. ( −1;0 )

B. ( −1;1)

C. ( 0;1)

D. (1; +∞ )

Câu 107. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ( −1;1) ?

C. Hàm số y = f ( x ) + 2018 nghịch biến trên các khoảng ( −2; −1) và ( 0;1) . D. Hàm số y = f ( x ) + 2018 nghịch biến trên khoảng ( −3; −2 ) .

B. y = x A. y = 1 − x x +1 C. y = D. y = − x3 + 3x x Dạng 3.2 Xác định sự biến thiên thông qua đồ thị của hàm số 2

B. Hàm số y = f ( x ) + 2018 đồng biến trên các khoảng ( −2;1) và (1;3) .

Câu 111. Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới.

Câu 108. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào dưới đây? A. ( −∞; 0 ) B. (1; +∞ ) C. ( −2; 2 )

Câu 109. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.

D. ( 0;1)

Khẳng định nào sau đây ây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;3) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;3) .

Câu 112. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( −∞; +∞ ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3;0 ) Chọn đáp án sai. A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;3)

Câu 113. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

2 x − 1 khi x ≥ 1  Câu 117. Cho hàm số y = 1 khi 0 < x < 1 . Giá trị lớn nhất của hàm số trên [ −2;2] là: 1 − 2 x khi x ≤ 0  A. 2. B. 4. C. 5. D. 7.

Câu 118. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1 + x + 1 − x . Tìm M + m. A. M + m = 2 + 2 B. M + m = 2 C. M + m = 4 D. M + m = 4 + 2

Đặt h ( x ) = 5 x − f ( x ) . Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. h ( 3) < h (1) < h ( 2 )

B. h (1) < h ( 2 ) < h ( 3)

C. h ( 2 ) < h (1) < h ( 3)

D. h ( 3) < h ( 2 ) < h (1)

Câu 114. Hàm số f ( x ) có tập xác định ℝ và có đồ thị như hình vẽ

Câu 119. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x2 − 8x + 7 . Tìm M − m . x2 + 1

A. M − m = 8 B. M − m = 9 C. M − m = 10 D. M − m = 11 Dạng 4.2 Phân tích hằng đẳng thức Câu 120. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 2 x + 2 bằng A. −2 B. −1 C. 0 Câu 121. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x + ( x − 3) .

Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Đồ thị hàm số cắt trục hoành theo một dây cung có độ dài bằng 2 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;5) .

A. 0

(

) (

2019 < f

9 2

−9 2

3 2

Câu 122. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = f ( x ) = x − x − 2 .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;3) . D. f

D. 1

A. m = 0 B. m = 2 7 3 C. m = D. m = 4 4 Dạng 4.3 Áp dụng bất đẳng thức cô-si, Bu-nhi-a-cốp-xki

)

2017 .

Dạng 4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Dạng 4.1 Biến đổi sử dụng tập giá trị của hàm số Câu 115. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên đoạn [ −2;3] có đồ thị được cho như trong hình dưới đây:

Câu 123. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y =

1 2 C. m 2 + M 2 = 1 A. m 2 + M 2 =

2x . Tính m 2 + M 2 . x2 +1

B. m 2 + M 2 = 2 D. m 2 + M 2 = 4

Câu 124. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ( x = 3)( 5 − x ) với

−3 ≤ x ≤ 5 . Tìm M + 2m . A. M + 2m = 8 B. M + 2m = 16 C. M + 2m = 24 D. M + 2m = 32 Câu 125. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của f ( x ) trên đoạn [ −2;3] . Tính M + m . A. M + m = 0

B. M + m = 1

C. M + m = 2

D. M + m = 3

Câu 116. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x − 2 − 3 x − 1 trên đoạn [ 0;2] là A. 1.

B. −1 .

C. 2 .

A. [ m] = 0

B. [ m] = 1

C. [ m] = 2

D. [ m] = 3

2 với x > 1 . Tìm [ m ] . x −1

Câu 126. Cho hàm số f ( x ) = x + 1 − x 2 . D. −3 .

a) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m thỏa mãn f ( x ) ≤ m với mọi x ∈ [ −1;1] .

A. m ≥ 2 C. m = 2

A. M ( 0; −1)

B. m < 0 D. m < 2

C. M ( 2;0 )

D. M (1;1)

Câu 135. Đường cong trong hình nào dưới đây không phải là đồ thị của một hàm số dạng y = f ( x ) ?

Câu 127. Trong các hàm số sau, hàm số nào có tập giá trị là đoạn [ 0; 2] ? A. f ( x ) =

B. M ( 2;1)

4x x2 +1

B. g ( x ) = x + 2 − x 2 C. h ( x ) =

x2 + 2 x2 + 1

D. k ( x ) = 4 x − x 2 Câu 128. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y =

3x + 1 2

. Biết M =

x +3

Tìm a + b . A. a + b = 87 C. a + b = 89

a với a, b ∈ ℕ* và b nhỏ nhất. b

(

x+2

( x + 2)

)

x+2 C. y = x ( x + 1) + 2 − x 2

B. a + b = 88 D. a + b = 90

Dạng 5. Một số bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số Câu 130. Trong các điểm sau đây điểm nào thuộc đồ thị của hàm số? 1 −1  B. M 2 ( 0; − 1) . C. M 3  ; A. M1 ( 2; 3) . . 2 2  C. ( −2; −12 ) .

D. y =

x2 ( x + 2)

Câu 137. Đường cong trong hình sau đây là đồ thị hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A. y = x 3 + 3x 2 − 3 B. y = − x 2 + 2 x + 3 C. y = x 4 + 2 x 2 − 3 D. y = − x 4 − 2 x 2 + 3

D. M 4 (1; 0) .

Câu 131. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2 . Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số đã cho? B. (1;1) .

A. y = B. y =

Câu 129. Người ta cần xây một chiếc bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích 500 3 bằng m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để 3 xây bể là 500.000 đồng/m2 lòng bể. Khi đó, kích thước của bể nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất là: 5 A. Chiều dài 20m, chiều rộng 10m, chiều cao m. 6 10 B. Chiều dài 10m, chiều rộng 5m, chiều cao m. 3 10 C. Chiều dài 30m, chiều rộng 15m, chiều cao m. 27 D. Một đáp án khác.

A. ( −2;0 ) .

Câu 136. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị trùng với đồ thị hàm số y = x + 2 ?

D. (1; −1) .

Câu 138. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 3 . Có bao nhiêu điểm trên đồ thị hàm số có tung độ bằng 1? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 139. Đường cong nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = f ( x ) = x 2 − 2 x ?

2 x + 3 khi x ≤ 2 Câu 132. Đồ thị hàm số y = f ( x ) =  2 đi qua điểm có tọa độ nào sau đây ?  x − 3 khi x > 2 A. ( 0; −3 ) B. ( 3;6 ) C. ( 2;5) D. ( 2;1)  2 x + 1 khi x ≤ 2 Câu 133. Đồ thị của hàm số y = f ( x ) =  đi qua điểm nào sau đây?  −3 khi x > 2 A. ( 0; −3) B. ( 3;7 ) C. ( 2; −3) D. ( 0;1)

Câu 134. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số y =

x−2 ? x ( x − 1)

Câu 140. Có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số y = x + x ? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Dạng 6. Xác định biểu thức của hàm số Câu 141. Cho hàm số y = f ( x) = −5 x . Khẳng định nào sau đây là sai? A. f (−1) = 5 .

B. f (−2) = 10 .

1 C. f   = −1 .  5 

D. f (2) = 10 .

2 x − 2 − 3  khi x ≥ 2 Câu 142. Cho hàm số f ( x ) =  . Tính P = f ( 2 ) + f ( −2 ) . x −1 x2 + 2 khi x < 2  7 A. P = 3 . B. P = 2 . C. P = . D. P = 6 . 3  x 2 − 3 x khi x ≥ 0 Câu 143. Cho hàm số y = f ( x ) =  . Tính giá trị S = f ( 2 ) .  − x + 1 khi x < 0 A. S = −1 . B. S = 1 . C. S = 2 .

D. S = −2 .

Câu 144. Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 . Kết quả sai là A. f (1) = 0 .

B. f ( 2 ) = 0 .

C. f ( 3) = 0 .

D. f ( −4 ) = −24 .

 x  x + 1 , x ≥ 0 Câu 145. Cho hàm số: f ( x ) =  . Giá trị f ( 0 ) , f ( 2 ) , f ( −2 ) là  1 ,x <0  x − 1 2 2 1 A. f ( 0 ) = 0; f ( 2 ) = , f ( −2 ) = 2 . B. f ( 0 ) = 0; f ( 2 ) = , f ( −2 ) = − . 3 3 3 1 C. f ( 0 ) = 0; f ( 2 ) = 1, f ( −2 ) = − . D. f ( 0 ) = 0; f ( 2 ) = 1, f ( −2 ) = 2 . 3 Câu 146. (Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Cho hàm số: 1 − x khi − 2 < x ≤ 1  y = f ( x ) =  x − 1 khi 1 < x ≤ 2 5 − x 2 khi 2 < x ≤ 5  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: B. f ( 3) = −2 . C. f ( 3) = −4 . D. f ( 3) = −1 . A. f ( 3) = 2 . 3 ( x − 2 ) Câu 147. Cho hàm số f ( x ) =  2  x − 4

khi − 1 ≤ x < 2 khi

x≥2

. Tính giá trị f ( 3) .

A. Không xác định.

B. f ( 3) = 5 hoặc f ( 3) = 3 .

C. f ( 3) = 5 .

D. f ( 3) = 3 .

 2x + 3  x + 1 Câu 148. (THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Cho hàm số f ( x ) =  3  2 + 3x  x − 2 Ta có kết quả nào sau đây đúng? 1 7 A. f ( −1) = ; f ( 2 ) = . B. f ( 0 ) = 2; f ( −3) = 7 . 3 3 11 C. f ( −1) : không xác định; f ( −3) = − . D. f ( −1) = 8; f ( 3) = 0 . 24

khi x ≥ 0 .

khi − 2 ≤ x < 0

−2 x + 1 khi x ≤ −3 Câu 149. Cho hàm số f ( x ) =  x + 7 . Biết f ( x0 ) = 5 thì x0 là khi x > −3  2 A. −2 . B. 3 . C. 0 .

D. 1.

 −2 ( x − 2 ) neá u − 1 ≤ x < 1 Câu 150. Cho hàm số y =  . Tính f ( −1) . 2  x − 1 neá u x ≥ 1 A. −6 . B. 6 . C. 5 .

D. −5 .

neá u − 1 ≤ x ≤ 1

 2 ( x − 3) Câu 151. Cho hàm số f ( x ) =  2  x − 1 A. 8 và 0. B. 0 và 8.

neá u x ≥ 1

; giá trị của f ( −1) ; f

C. −8 và 3.

( 10 ) lần lượt là

D. 3 và −8 .

 2 khi x ∈ ( −∞;0 )  x −1  Câu 152. Cho hàm số f ( x ) =  x + 1 khi x ∈ [ 0; 2] . Tính f ( 4 ) .  x 2 − 1 khi x ∈ ( 2;5]   A. Không tính được.

2 3

B. f (4) = .

C. f ( 4 ) = 15 .

D. f ( 4 ) = 5 .

2 x + 2 − 3 khi x ≥ 2  Câu 153. (THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Cho hàm số f ( x ) =  . Khi x −1  x2 + 1 x khi < 2  đó, f ( −2) + f ( 2) bằng A. 6 .

B. 4 .

5 . 3

Câu 154. Hàm số f ( x ) có tập xác định ℝ và có đồ thị như hình vẽ

8 . 3

Câu 159. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. f (1,5 ) < 0 < f ( 2,5 )

Tnh giá trị biểu thức f A. −2018 .

(

) (

2018 + f − 2018

B. f (1,5 ) < 0, f ( 2,5) < 0

)

B. 0 .

C. 2018 .

C. f (1,5 ) > 0, f ( 2,5 ) > 0

D. 4036 .

Câu 155. Hàm số f ( x ) có tập xác định ℝ và có đồ thị như hình vẽ

D. f (1,5 ) > 0 > f ( 2,5 ) Câu 160. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và hàm số g ( x ) xác định trên ℝ \ {36} . Biết

x . Tính g ( f (1) ) . x−7 3 B. g ( f (1) ) = 4 −47 D. g ( f (1) ) = 4

f ( 2 x − 5) = x 2 + 3x − 2 và g ( 5 x + 1) = −3 4 47 C. g ( f (1) ) = 4

A. g ( f (1) ) =

1 1  Câu 161. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ thỏa mãn f  x +  = x 3 + 3 ∀x ≠ 0 . Tính f ( 3) . x x  B. f ( 3) = 18 A. f ( 3) = 36

Mệnh đề nào sau đây sai? A. f ( −1) = f (1) = 1 . B. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng. C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;5 ) .

C. f ( 3) = 29

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −6; − 1) .

Câu 156. (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019)

Cho hàm số y =

D. f ( 3) = 25

 3x − 2  Câu 162. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {3} thỏa mãn f   = x + 2 ∀x ≠ 1 . Tính  x −1  f ( 2 ) + f ( 4) .

2016 + 9 x − 2016 − 9 x . Tính giá trị của biểu thức: x

A. f ( 2 ) + f ( 4 ) = 6

B. f ( 2 ) + f ( 4 ) = 2

C. f ( 2 ) + f ( 4 ) = −6

D. f ( 2 ) + f ( 4 ) = −2

S = f ( 220) + f ( −221) + f ( 222) + f ( −223) + f ( −220) + f ( 221) + f ( −222) + f ( 223) + f ( 224) A. 24 7 .

24 7 . 223

6 7 . 55

3 7 . 28

Câu 157. Cho hai hàm số f ( x ) = x 2 + 5 và g ( x ) = x 3 + 2 x 2 + 1 . Tính tổng các hệ số của hàm số

f ( g ( x)) . A. 18

B. 19

C. 20

D. 21

Câu 158. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ thỏa mãn ∀x ∈ ℝ : f ( x − 1) = x 2 + 3x − 2 . Tìm biểu

thức f ( x ) . A. f ( x ) = x 2 + 5 x + 2

B. f ( x ) = x 2 + 5 x − 2

C. f ( x ) = x + x − 2

D. f ( x ) = x 2 + x + 2

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng 1. Tập xác định của hàm số Dạng 1.1 Hàm số phân thức Câu 1. Chọn D Hàm số là hàm đa thức nên xác định với mọi số thực x . Câu 2.

Chọn C

Câu 3.

Điều kiện xác định: x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 x +1 là D = ℝ \ {1} Vậy tập xác định của hàm số y = x −1 Chọn A

Câu 4.

Điều kiện xác định : 2 x − 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 Nên tập xác định của hàm số là : D = ℝ \ {1} . Chọn C Điều kiện: x − 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3.

Câu 14.

TXĐ: ℝ \ {3} . Câu 5.

Chọn D

Hàm số y = Câu 6.

Chọn B

3x − 1 xác định khi x ≠ 1 . Vậy D = R \ {1} . 2x − 2

x ≠ 1 Hàm số đã cho xác định khi x 2 − 1 ≠ 0 ⇔  .  x ≠ −1 Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {−1;1} . Câu 7.

Câu 16.

Chọn D

 x −1 ≠ 0 x ≠ 1 ⇔ Điều kiện:  . x + 5 ≠ 0   x ≠ −5 Vậy tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ {1; −5} . Câu 8.

Câu 15.

Câu 17.

Chọn A

 x ≠ −1 Điều kiện x 2 − 5 x − 6 ≠ 0 ⇒  . x ≠ 6 Vậy D = ℝ \ {−1;6} . Câu 9.

x +1 ≠ 0  x ≠ −1 Điều kiện xác định:  2 ⇔ . Vậy D = ℝ \ {−1; ±2} . x − 4 ≠ 0  x ≠ ±2  Đáp án D. 1 Lưu ý: Nếu rút gọn y = 2 rồi khẳng định D = ℝ \ {±2} là sai. Vì với x = −1 thì biểu thức x −4 x +1 ban đầu không xác định. ( x + 1) ( x 2 − 4 )

Dạng 1.2 Hàm số chứa căn thức Câu 10. Chọn C 1 Hàm số y = 3 x − 1 xác định ⇔ 3 x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ . 3 1  Vậy: D =  ; +∞  . 3  Câu 11. Chọn A Điều kiện xác định của hàm số là 8 − 2 x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4 , nên tập xác định là ( −∞; 4] .

Câu 12.

Chọn B

4 − x ≥ 0 x ≤ 4 Điều kiện:  suy ra TXĐ: D = [ 2; 4] . ⇔ x − 2 ≥ 0  x ≥ 2 Câu 13. Chọn C 1  1 + 2 x ≥ 0 1 x ≥ − Hàm số đã cho xác định khi  ⇔ 2 ⇔ x≥− . 2 6 + x ≥ 0  x ≥ −6

Câu 18.

 1  Vậy tập xác định của hàm số là D = − ; +∞  .  2  Chọn A x +1 ≥ 0  x ≥ −1    x + 2 ≥ 0 ⇔  x ≥ −2 ⇔ x ≥ −1 x + 3 ≥ 0  x ≥ −3   Chọn D x + 2 ≥ 0  x ≥ −2 ⇔ ⇒ x ∈ [ −2;3] . Để hàm số y = x + 2 + 4 3 − x xác định thì  3 − x ≥ 0  x ≤ 3 Chọn D 3  2 x − 3 ≥ 0 x ≥ 3  Điều kiện  ⇔ 2 ⇔ x ∈  ; 2 . 2  2 − x ≥ 0  x ≤ 2 Chọn C 1  x ≤ ∨ x ≥ 3 3 ≤ x ≤ 4 2 2 x − 7 x + 3 ≥ 0  2 Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi  . ⇔ ⇔ 2 x = 1  −2 x + 9 x − 4 ≥ 0 1 ≤ x ≤ 4  2  2 1  Vậy tập xác định của hàm số là: D = [ 3; 4 ] ∪   . 2

Chọn A Điều kiện xác định: 4 − 3x > 0 ⇔ x <

Câu 19.

Chọn A

4 . 3

x ≤ 9 9 − x ≥ 0 5  Điều kiện xác định:  ⇔ 5 ⇔ < x ≤ 9. 2 2 x − 5 > 0  x > 2 5  Tập xác định: D =  ;9 . 2  Câu 20. Chọn C x ≠ 3 x − 3 ≠ 0  ⇔ Điều kiện xác định:  1. 2 x − 1 > 0  x >  2 1 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: D =  ; +∞  \ {3} . 2  Câu 21. Chọn B 2 x y= 2 có tập xác định là ( 0; + ∞ ) . x +4 3x có tập xác định là R \ {−2; 2} . y= 2 x −4 2 y = x − 2 x − 1 − 3 có tập xác định là [1; + ∞ ) . Câu 22. Chọn C

x −1 ≥ 0  Điều kiện xác định ( x 2 − 4) 5 − x ≠ 0 ⇔ x ∈ [1; 5) \ {2} . 5 − x ≥ 0 

Câu 23.

Vậy TXĐ: D = [ −1; 4 ) \ {2;3} .

Câu 33.

Chọn A

Hàm số y =

x − 2 ≠ 0 x ≠ 2 3x + 4 xác định khi và chỉ khi  ⇔ . x+4 x + 4 > 0  x > −4

( x − 2)

Câu 34.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ( −4; +∞ ) \ {2} . Câu 24.

Chọn D

  x ≥ −4 x + 4 ≥ 0 x+4  3   Để hàm số y = xác định thì:  x + 1 ≠ 0 ⇔  x ≠ −1 ⇒ x ∈ [ −4; −1) ∪  −1;  . 2  ( x + 1) 3 − 2 x 3 − 2 x > 0  3  x <  2 Câu 25. Chọn A 3 − x ≥ 0 x ≤ 3 Hàm số xác định khi  ⇔1< x ≤ 3. ⇔ x − 1 > 0  x > 1 Vậy tập xác định của hàm số là D = (1; 3] .

Câu 26.

Chọn A

6 − x ≥ 0 x ≤ 6 ⇔ ĐKXĐ:  . Vậy tập xác định của hàm số là D = ( −∞;6] \ {2} . x 5 − 10 ≠ 0  x ≠ 2 Câu 27.

Chọn C

x −1 ≥ 0 Tập xác định là  ⇔ 1 ≤ x ≠ 3. x ≠ 3 Câu 28. Chọn A Câu 29. Chọn C

3  3 − 2 x ≥ 0 x ≤ ⇔ Điều kiện xác định của hàm số trên là  2. 2 x − 2 ≠ 0  x ≠ 1 3  Vậy tập xác định: D =  −∞ ;  \ {1} . 2  Câu 30. Chọn A x + 2 ≥ 0  x ≥ −2 Hàm số xác định khi  . ⇔  x + 2 ≠ 1  x ≠ −1 Câu 31. Chọn A 2 x ≤ 0 ∨ x ≥ 2  −5 < x ≤ 0  x − 2 x ≥ 0 Hàm số đã cho xác định ⇔  . ⇔ ⇔ 2 x − 5 < < 5 25 − x > 0  2 ≤ x < 5 Vậy tập xác định của hàm số là: D = ( −5;0] ∪ [ 2;5 ) .

Câu 32.

Chọn A

 x ≥ −1 x +1 ≥ 0 x ≠ 2   ĐK:  x 2 − 5 x + 6 ≠ 0 ⇔  ⇔ x ∈ [ −1; 4 ) \ {2;3} . 4 − x > 0 x ≠ 3   x < 4

Câu 35.

x ≥ 0 x ≥ 0  Điều kiện xác định  2 ⇔ x ≠ 1 .  x − 3x + 2 ≠ 0  x ≠ 2 Vậy D = ℝ + \ {1; 2} . Đáp án C. Đáp án C. Với x ≤ 0 thì x − 2 ≠ 0 nên hàm số xác định với mọi x ≤ 0 . Với x > 0 : Hàm số xác định khi 1 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 . Vậy D = ( −∞;0] ∪ ( 0;1] = ( −∞;1] . Chọn B

  x ≥ −2   x + 2 ≥ 0 3   3 3 Điều kiện xác dịnh của hàm số  ⇔  x ≠ − ⇒ D = [ −2; +∞ ) \  − ;  . 4  4 4 4 x − 3 ≠ 0  3  x ≠  4 Câu 36. Lời giải Chọn C 2   x ≥ 3 3 x − 2 ≥ 0 2 4 Điều kiện xác định:  ⇔ ⇔ ≤x< 4 3 3 4 − 3 x > 0 x <  3 2 4  Vậy tập xác định của hàm số là D =  ;  . 3 3  Câu 37. Chọn A x ≤ 3 3 − x ≥ 0 Điều kiện  . ⇔  x ≠ −1  x x + 1 ≠ 0 Dạng 1.3 Tìm tập xác định của hàm số có điều kiện

Câu 38.

Chọn B Hàm số xác định khi − x 2 + 3x − 2 > 0 ⇔ 1 < x < 2 TXĐ: D = (1; 2 ) nên a = 1; b = 2 ⇒ S = a 2 + b2 = 5 Câu 39. Chọn B x2 − 7 x + 8 Hàm số y = 2 xác định khi: x 2 − 3 x + 1 ≠ 0 . x − 3x + 1 Gọi a, b là 2 nghiệm của phương trình x 2 − 3 x + 1 = 0 . a + b = 3 Theo Vi-et có  . a.b = 1 Có Q = a 3 + b3 − 4ab = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) − 4ab = 27 − 3.3 − 4 = 14 Vậy Q = 14 . Câu 40. Chọn B 3

Hàm số y =

2x + 1 xác định trên ℝ khi phương trình x 2 − 2 x − 3 − m = 0 vô nghiệm x2 − 2 x − 3 − m

Câu 41.

Hay ∆ ′ = m + 4 < 0 ⇔ m < −4 . Chọn D

3x + 5 3x + 5 − 4 ( x − 1) −x + 9 −4 = = . x −1 x −1 x −1 Điều kiện xác định của hàm số: − x + 9 ≥ 0  x ≤ 9 (TM )   x −1 ≠ 0 x − 1 > 0 −x + 9     x > 1 ⇔ ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔1< x ≤ 9 .  −x + 9 − x + 9 ≤ 0  x ≥ 9 x −1  x − 1 ≥ 0   ( L)   x − 1 < 0   x < 1 TXĐ: D = (1; 9] . Vậy a = 1, b = 9 ⇒ a + b = 10. Câu 42. Chọn C − x 2 − 2 x + 3 > 0  −3 < x < 1 ⇔ Hàm số xác định khi và chỉ khi  x − m ≥ 0 x ≥ m  Để hàm số có tập xác định khác tập rỗng thì m < 1 Câu 43. Đáp án C. Điều kiện xác định của hàm số y = f ( − x 2 ) là: −1 ≤ − x 2 ≤ 0 Ta có y =

⇔ 0 ≤ x 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 Vậy D = [ −1;1] . Câu 44. Chọn B Điều kiện: x 2 − 3mx + 4 ≥ 0 . YCBT ⇔ x 2 − 3mx + 4 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ .

5 + x ≥ 0 +/ Điều kiện xác định của hàm số f ( x) = 5 + x + 5 − x là  ⇔ −5 ≤ x ≤ 5 5 − x ≥ 0 Suy ra tập xác định của f ( x) = 5 + x + 5 − x là D1 = [ −5;5] +/ Điều kiện xác định của hàm số g ( x) = Suy ra tập xác định của g ( x) =

3x + 4 x+4

là x + 4 > 0 ⇔ x > −4

là D2 = ( −4; +∞ )

Vậy D1 ∩ D2 = ( −4;5] ; D1 ∪ D2 = [ −5; +∞ )

Câu 48.

Chọn B Hàm số có tập xác định ℝ khi x 2 + 2 x − m + 1 ≠ 0, ∀x ⇔ ∆ = 1 + m − 1 < 0 ⇔ m < 0 . Câu 49. Chọn A x ≠ m Hàm số xác định khi x 2 − 2 ( m + 1) x + m2 + 2m ≠ 0 ⇔  . x ≠ m + 2 Do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {m + 2; m} . Vậy để hàm số xác định trên [ 0;1) điều kiện là:

−∆ −9m 2 + 16 4 ≥0⇔ ≥ 0 ⇔ m2 ≤   . 4a 4 3 Câu 45. Chọn B m +1 m +1  ĐK: x ≥ ; +∞  . ⇒D= 3  3  m +1 m +1  Để hàm số xác định trên (1; +∞ ) thì (1; +∞ ) ⊂  ; +∞  ⇔ ≤ 1 ⇔ m +1 ≤ 3 ⇒ m ≤ 2 . 3 3  

Câu 46.

 3 Suy ra m ∈ [ −4; 0] ∪ 1;  .  2 Câu 47. Chọn A

Chọn D  x − 2m + 3 ≥ 0  x ≥ 2m − 3   Điều kiện xác định của hàm số là:  x − m ≠ 0 ⇔ x ≠ m . − x + m + 5 > 0 x < m + 5   TH1. 2m − 3 ≥ m + 5 ⇔ m ≥ 8 ⇒ tập xác định của hàm số là: D = ∅ ⇒ m ≥ 8 loại. TH2. 2m − 3 < m + 5 ⇔ m < 8 ⇒ TXĐ của hàm số là: D = [ 2m − 3; m + 5 ) \ {m} .

Để hàm số xác định trên khoảng ( 0;1) thì ( 0;1) ⊂ D .   3  m ≤ 2 m − 3 ≤ 0 2  −4 ≤ m ≤ 0     . ⇒  m + 5 ≥ 1 ⇔  m ≥ −4 ⇒  1 ≤ m ≤ 3  m≤0  m≤0  2     m ≥ 1   m ≥ 1

m + 2 < 0  m < −2 m; m + 2 ∉ [ 0;1) ⇔  m ≥ 1 ⇔  m ≥ 1 .  m < 0 < 1 ≤ m + 2  −1 ≤ m < 0 Câu 50.

Chọn B Hàm số xác định khi x − m ≠ 0 ⇔ x ≠ m .

 m ≤ −1 Do đó hàm số xác định trên ( −1; 2 ) ⇔ m ∈ ( −1; 2 ) ⇔  . m ≥ 2 Câu 51. Chọn B x ≥ m −1 x − m +1 ≥ 0  Điều kiện  ⇔ m . 2 x − m ≥ 0  x ≥ 2 m − 1 ≤ 0  Hàm số xác định với ∀x > 0 ⇔  m ⇔ m ≤ 0.  2 ≤ 0 Câu 52.

Chọn D Hàm số xác định khi x − 2m + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 m − 1 . Hàm số xác định với mọi x ∈ [1;3] thì 2m − 1 ≤ 1 ⇔ m ≤ 1 . Câu 53. Chọn A

Ta có y =

(

)

x −1 +1 +

(

)

4 − x2 −1

x −1 + 1 +

4 − x2 −1 .

x − 1 ≥ 0 x ≥ 1 a = 1      Do đó hàm số đã cho xác định ⇔  ⇔ ⇔1≤x ≤2 ⇔ .  2    − ≤ x ≤ 2 2 4 − x ≥ 0   b = 2     Do đó a + b = 3. Chọn A Câu 54. Chọn D

x − m + 2 ≥ 0 x ≥ m − 2 ⇔ Điều kiện xác định của hàm số đã cho là  5 − x > 0 x < 5 Hàm số có tập xác định D = [ 0;5 ) ⇔ m − 2 = 0 ⇔ m = 2. Câu 55.

m +1 có tập xác định D = ℝ 3x2 − 2 x + m

x − 2m + 3 3x − 1 + xác định trên khoảng ( 0;1) x−m −x + m + 5  3 m ≤  2m − 3 ≤ 0 2    3  ⇔ ( 0;1) ⊂ D ⇔ m + 5 ≥ 1 ⇔ m ≥ −4 ⇔ m ∈ [ −4;0] ∪ 1;  .  2 m ∉ 0;1  m ≥1 ( )     m ≤ 0

*Hàm số y =

 m ≥ −1  m + 1 ≥ 0 m ≥ −1  m ≥ −1 1  ⇔ 2 ⇔ ⇔ ⇔ 1 ⇔m> . 3 3x − 2 x + m ≠ 0, ∀x ∈ ℝ ∆ ' < 0 1 − 3m < 0  m > 3 Chọn A

Hàm số y = x 2 − x + m có tập xác định D = ℝ . 1  a > 0 ( Ñ do a = 1) ⇔ x 2 − x + m ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇔m≥ . 4 ∆ ≤ ∆ = − 0, 1 4 m  1 Vậy m ≥ thỏa yêu cầu bài. 4 Câu 57. Chọn D Điều kiện xác định của hàm số là x − 2m − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2m + 1  2m + 1 < 3 m < 1 Yêu cầu bài toán ⇔ 2m + 1 ∉ [3;5] ⇔  . ⇔  2m + 1 > 5 m > 2 Câu 58. Chọn C.  1 x ≥ − 2 2 x + 1 ≥ 0  1    − ≤ x < 3 Tập xác định: 3 − x > 0 ⇔  x < 3 ⇔  2 . x ≠ 0 x ≠ 0 x ≠ 0    

Do x nguyên nên x ∈ {1;2} . Câu 59.

Chọn A

Xét f ( x ) =

2x − 3 x − 2 −1

 x − 2 >1 x > 3 ĐKXĐ: x − 2 − 1 > 0 ⇔ x − 2 > 1 ⇔  ⇔ ⇒ D1 = ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞ ) x 2 1 − < −   x <1

Xét g ( x ) =

2x − m − 2x x +5

Ta thấy x + 5 > 0 với ∀x ∈ ℝ . ĐKXĐ: m − 2 x ≥ 0 ⇔ x ≤

m m  ⇒ D2 =  −∞;  2 2 

m <1⇔ m < 2 . 2 Vậy với m < 2 thì D2 ⊂ D1 . Câu 60. Chọn D

Để D2 ⊂ D1 thì

2 x − 2m + 3 x−2 . + 3( x − m ) −x + m + 5

 x − 2m + 3 ≥ 0  x ≥ 2m − 3   * x ∈ D ⇔  x − m =/ 0 ⇔  x =/ m . − x + m + 5 > 0 x < m + 5  

Chọn C

Hàm số y =

Câu 56.

*Gọi D là tập xác định của hàm số y =

Câu 61.

Chọn A

 x ≥ 1 − 2m   x ≤ 8 − 4m 1 3 1 3 Hàm số xác định trên [0; 2] nên 1 − 2 m ≤ 0 ≤ 2 ≤ 8 − 4m ⇔ ≤ m ≤ ⇒ m ∈  ;  2 2 2 2 ⇒ a +b = 2 Câu 62. Chọn D Tập xác định của hàm số là tập hợp các giá trị của x thỏa mãn điều kiện: 3m + 2   −2 x + 3m + 2 ≥ 0 x ≤ ⇔ 2 .   2 x + 4m − 8 ≠ 0  x ≠ 4 − 2m

Hàm số f ( x) = x + 2m − 1 + 4 − 2m −

x xác định khi: 2

 3m + 2 ≥ −2  m ≥ −2  Để hàm số xác định trên khoảng ( −∞; −2 ) cần có:  2 ⇒ m ∈ [ −2;3] . ⇔ m ≤ 3 4 − 2m ≥ −2 Câu 63. Đáp án A. Với A: Điều kiện xác định: 3− x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3. Vậy D = ( −∞;3] , chứa 3 số nguyên dương là 1; 2;3 . x + 2 ≠ 0  Với B: Điều kiện xác định:  2 − x ⇔ −2 < x ≤ 2 .  x + 2 ≥ 0 Vậy D = ( −2; 2] , chứa 2 số nguyên dương là 1; 2. Với C: Điều kiện xác định: 4 −2 2 4 − 9 x 2 ≥ 0 ⇔ x2 ≤ ⇔ ≤x≤ . 9 3 3  −2 2  Vậy D =  ;  không chứa số nguyên dương nào.  3 3 Với D: Điều kiện xác định:  27 − x 3 ≠ 0  ⇔ 27 − x3 > 0  1 ≥0  3  27 − x ⇔ x 3 < 27 ⇔ x < 3

Tập xác định D = ℝ . ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D Ta có  4 2 4 2  f ( − x ) = 3 ( − x ) – 4 ( − x ) + 3 = 3x – 4 x + 3 = f ( x ) , ∀x ∈ D

Vậy D = ( −∞;3) , chứa 2 số nguyên dương là 1; 2.

Câu 64.

Đáp án A. Hàm số xác định khi và chỉ khi:  x ≠ 2m  x − 2m ≠ 0  ⇔  7m + 1 . 7 m + 1 − 2 x ≥ 0  x ≤  2 Để tập xác định của hàm số chứa đoạn [ −1;1] thì ta phải có

 7m + 1  2 ≥ 1  m ≥ 1/ 7 1     2m > 1 ⇔   m > 1 / 2 ⇔ m > . 2      m < −1/ 2   2m < −1 Vậy không có giá trị nguyên âm nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 65. Đáp án A. Điều kiện xác định của hàm số:  x ≥ −1 x +1 ≥ 0 m  ⇔  m ⇔ −1 ≤ x ≤ 2 m − 2 x ≥ 0  x ≤  2 m (do m ≥ −2 nên ≥ −1 ). 2 m  m Vậy D =  −1;  . Độ dài của D bằng 1 khi và chỉ khi − ( −1) = 1 ⇔ m = 0 . 2 2  Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dạng 2. Tính chẵn, lẻ của hàm số Dạng 2.1 Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số cho trước Câu 66. Chọn A Đặt f ( x) = x 2 Tập xác định D = ℝ Ta có ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D ∀x ∈ D, f (− x) = (− x)2 = x2 = f ( x) Vậy hàm số đã cho là hàm chẵn. Chọn đáp án A Câu 67. Chọn C 4 Xét hàm số y = . x TXĐ: D = ℝ \ {0} là tập đối xứng.

4 4 ; f ( − x ) = − . Suy ra − f ( x ) = f ( − x ) . x x 4 Kết luận hàm số y = là hàm số lẻ. x Câu 68. Chọn D Đặt f ( x ) = x4 − x 2 + 3 . Tập xác định D = ℝ . Ta có ∀x ∈ ℝ ⇒ − x ∈ ℝ . 4 2 f ( − x ) = ( − x ) − ( − x ) + 3 = x 4 − x2 + 3 = f ( x ) . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Câu 69. Chọn C Câu 70. Chọn A Ta có f ( x ) =

Do đó hàm số y = f ( x ) là hàm số chẵn. (I), (II) và (III) là các hàm không chẵn, không lẻ, chỉ có (IV) là hàm chẵn. Do đó B là đáp án đúng. Đáp án B. Câu 72. Chọn D

Câu 71.

Đặt y = f ( x ) = ( 2 x − 1)

2018

+ ( 2 x + 1)

2018

Tập xác định của hàm số y = f ( x ) là D = ℝ . Ta có ∀x ∈ ℝ ⇒ − x ∈ ℝ. . Lại có: f ( − x ) = ( 2 ( − x ) − 1)

2018

+ ( 2 ( − x ) + 1)

2018

= ( 2 x + 1)

2018

+ ( 2 x − 1)

2018

= f ( x) .

Vậy hàm số y = f ( x ) là số chẵn.

Câu 73.

Chọn B Ta thấy hàm số y = 3x 4 + x 2 + 5 có tập xác định D = ℝ , 4

4 2 f (− x ) = 3 (− x ) + (− x ) + 5 = 3 x 4 + x 2 + 5 = f ( x ) . Vậy hàm số y = 3x + x + 5 là hàm số chẵn. Câu 74. Chọn D

Xét f ( x ) = x x2 + 3 có TXĐ: D = ℝ Ta thấy ∀x ∈ ℝ thì − x ∈ ℝ và f ( − x ) = ( − x )

(−x)

+ 3 = − x x2 + 3 = − f ( x )

Vậy nên f ( x ) là hàm lẻ. Xét g ( x ) = x + 3 + x − 3 có TXĐ: D = ℝ . Ta thấy ∀x ∈ ℝ thì − x ∈ ℝ và g ( − x ) = − x + 3 + − x − 3 = − ( x − 3) + − ( x + 3) = x − 3 + x + 3 = g ( x )

Vậy nên g ( x ) là hàm chẵn.

Câu 75.

Chọn A

Hàm số y = 2 − x + 2 + x có tập xác định là D = [ −2; 2] . Suy ra: ∀x ∈ D thì − x ∈ D . Ta có: f ( − x ) = 2 − ( − x ) + 2 + ( − x ) = 2 + x + 2 − x = f ( x) . Vậy hàm số y = 2 − x + 2 + x là hàm số chẵn.

Hàm số y = x + 2 + x − 2 có tập xác định là D = [ 2; + ∞ ) . Ta có: 2 ∈ D nhưng −2 ∉ D nên hàm số trên không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

Hàm số y = x + 2 − x − 2 có tập xác định là D = ℝ . Suy ra: ∀x ∈ D thì − x ∈ D . Ta có: f ( − x ) = − x + 2 − − x − 2 = x − 2 − x + 2 = − f ( x ) . Vậy hàm số y = x + 2 − x − 2 là hàm số lẻ.

Hàm số y = x 4 + x + 1 có tập xác định là D = ℝ . Suy ra: ∀x ∈ D thì − x ∈ D .

Ta có: f (1) = 3 và f ( −1) ≠ 1 . Do f (1) ≠ f ( −1) và f (1) ≠ − f ( −1) nên hàm số trên không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ. Câu 76. Chọn B  Xét f ( x ) có TXĐ: D = ℝ .

1 1  f ( − x ) + f ( x )  =  f ( x ) + f ( − x )  = F ( x ) 2 2 Vậy F ( x ) là hàm số chẵn trên D.

Ta có ∀x ∈ D : F ( − x ) =

1 1  f ( − x ) − f ( x )  = −  f ( x ) − f ( − x )  = −G ( x ) 2 2 Vậy G ( x ) là hàm số lẻ trên D.

Lại có ∀x ∈ D : G ( − x ) =

∀ x ∈D ⇒ −x ∈ D .

f ( −x) = −x + 2 − −x − 2 = − ( x + 2 − x − 2 ) = − f ( x) . Nên f ( x ) là hàm số lẻ.

Câu 81.

 Xét g ( x ) có TXĐ: D = ℝ . ∀ x ∈D ⇒ −x ∈ D .

g ( −x) = − −x = − x = g ( x) .

x +2 có tập xác định ℝ \ {0} là tập đối xứng. x2 x +2 Hàm số y = có tập xác định ℝ \ {±2} là tập đối xứng. x −2 Hàm số y =

Nên g ( x ) là hàm số chẵn.

Câu 77.

Chọn B Xét hàm số y = x + 1 + 1 – x

Với x = 1 ta có: y ( −1) = −2; y (1) = 2 nên y (1) ≠ y ( −1) . Vậy y = x + 1 + 1 – x không là hàm số chẵn. Câu 78. Chọn B  Xét f ( x ) có TXĐ. D = ℝ . ∀ x ∈D ⇒ −x ∈ D .

f ( −x) = −x + 2 − −x − 2 = − ( x + 2 − x − 2 ) = − f ( x) . Nên f ( x ) là hàm số lẻ.

 Xét g ( x ) có TXĐ. D = ℝ .

nên dễ dàng suy ra các hàm số y = 2 x 2 − 5 x , y =

x +2 x +2 và y = là các hàm số chẵn, còn x2 x −2

hàm số y = x ( x − 2 ) là hàm số lẻ.

Câu 82.

Đáp án B. Tập xác định: D = ( −∞;0 ) ∪ {0} ∪ ( 0; +∞ ) = ℝ là tập đối xứng.

+ Khi x > 0 thì − x < 0 ⇒ f ( − x ) = −1 = − f ( x ) .

g ( −x) = − −x = − x = g ( x) . Nên g ( x ) là hàm số chẵn.

+ Khi x = 0 thì f ( −0 ) = f ( 0 ) = 0 = − f ( 0 ) .

Chọn D 1+ x + 1− x có x Tập xác định: D = [ −1;1] \ {0} .

Xét hàm số f ( x ) =

Ta có: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D và f ( − x ) =

Mặt khác dễ thấy các hàm số y = x 2 và y = x là các hàm số chẵn, hàm số y = x là hàm số lẻ

+ Khi x < 0 thì − x > 0 ⇒ f ( −x) = 1 = − f ( x) .

∀ x ∈D ⇒ −x ∈ D .

Câu 79.

Đáp án C. Đáp án C. Các hàm số: y = x ( x − 2 ) và y = 2 x 2 − 5 x đều có tập xác định là ℝ .

Suy ra với mọi x ∈ ℝ thì

1− x + 1+ x = − f ( x ) . Vậy nên;hàm số −x

1+ x + 1− x là hàm số lẻ. x Xét hàm số có Tập xác định: D = ℝ .

f ( x) =

f ( −x) = − f ( x) . Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. Câu 83. Đáp án B. Giả sử f ( x ) là hàm số xác định trên ℝ vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ.  f ( − x ) = f ( x ) Khi đó ta có ∀x ∈ ℝ :   f ( − x ) = − f ( x ) ⇒ 2 f ( x) = 0 ⇒ f ( x) = 0 .

Ta có: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D và g ( − x ) = ( − x ) − 4 − x = x3 − 4 x = g ( x ) . Vậy nên;hàm số

Vậy f ( x ) = 0∀x ∈ ℝ .

g ( x ) = x 3 − 4 x là hàm số chẵn.

Ngược lại nếu f ( x ) = 0 ∀x ∈ ℝ thì dễ thấy f ( x ) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ.

Câu 80. B. F ( x ) và G ( x ) là các hàm số lẻ trên D. C. F ( x ) là hàm số chẵn và G ( x ) là hàm số lẻ trên D. D. F ( x ) là hàm số lẻ và G ( x ) là hàm số chẵn trên D. F ( x ) và G ( x ) đều xác định trên tập đối xứng

Vậy f ( x ) = 0 ∀x ∈ ℝ là hàm số duy nhất xác định trên ℝ vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ. Câu 84. Đáp án B. Tập xác định D = ℝ là tập đối xứng. Ta có ∀x ∈ ℝ : f ( −x) = − ( −x) + −x + 2 − −x − 2

+ Hàm số f ( x ) = x3 + x + 1 có TXĐ D = ℝ nên ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D và

= x+ x−2 − x+2 = − (−x + x + 2 − x − 2 ) = − f ( x) .

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. Cách khác: Dựa vào các nhận xét đã nêu trong phần B- Các dạng bài tập điển hình, ta có các hàm số h ( x ) = − x và g ( x ) = x + 2 − x − 2 là các hàm số lẻ. Do đó hàm số

f ( x ) = − x + x + 2 − x − 2 là một hàm số lẻ. Câu 85.

Chọn C + Xét hàm số y = f ( x) = 20 − x 2 TXĐ : D =  −2 5; 2 5  ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D

Với x ∈ ( −∞; −2 ) ⇒ − x ∈ ( 2; +∞ ) ; f ( − x ) = ( − x ) − 6 = − x3 − 6 = f ( x ) và ngược lại Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn. Câu 88. Chọn C

f ( − x ) = 20 − ( − x ) 2 = 20 − x 2 = f ( x ) Vậy hàm số chẵn + Xét hàm số y = f ( x) = −7 x 4 + 2 x + 1

2 Xét y = 20 − x có tập xác định D = −2 5; 2 5  ,

TXĐ : D = ℝ ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D

f ( − x ) = 20 − ( − x ) = 20 − x 2 = f ( x )

f ( − x ) = −7 ( − x ) + 2 − x + 1 = −7 x 4 + 2 x + 1 = f ( x ) Vậy hàm số chẵn

+ Xét hàm số y = f ( x) =

x 4 + 10 x

f ( − x) =

(−x)

Xét

+ 10

=−

+ Xét hàm số y = f ( x) =

Nên y =

(−x) − (−x ) + (− x) + (−x ) −x + 4

x4 − x + x4 + x x +4 4

x4 + x + x4 − x = f ( x) x +4

Vậy hàm số chẵn Câu 86. Chọn A

x3 có TXĐ D = ℝ nên ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D và f ( − x ) = − f ( x ) nên hàm x +1 2

số lẻ. + Hàm số f ( x ) = x 2 − x có TXĐ D = ℝ nên ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D và f ( − x ) = f ( x ) nên hàm số chẵn.

có tập xác định D = ( −∞; −1] ∪ [1; + ∞ ) ∪ {0} .

(−x) − (−x) + ( −x)

−x + 4 Vậy có 4 hàm số chẵn.

TXĐ : D = ( −∞; −1] ∪ [1; +∞) ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D 4

Xét f (−x) =

x −x+ x +x x +4

( − x ) + 10 = − f x x 4 + 10 f ( −x) = ( ) −x x có tập xác định D = ℝ \ {0} , .

x 4 + 10 là hàm số lẻ. x y = x+2 + x−2 f ( −x) = −x + 2 + −x − 2 = f ( x) Xét có tập xác định D = ℝ , . Nên y = x + 2 + x − 2 là hàm số chẵn.

x 4 + 10 = − f ( x) x

f ( − x) = − x + 2 + − x − 2 = x − 2 + x + 2 = f ( x) Vậy hàm số chẵn

+ Hàm số f ( x ) =

y = −7 x 4 + 2 x + 1 f − x = −7 ( − x ) + 2 − x + 1 = f ( x ) Xét có tập xác định D = ℝ , ( ) 4 Nên y = −7 x + 2 x + 1 là hàm số chẵn. y=

−x Vậy hàm số lẻ + Xét hàm số y = f ( x ) = x + 2 + x − 2 TXĐ : D = ℝ ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D

f (− x) =

Nên y = 20 − x 2 là hàm số chẵn.

TXĐ : D = ℝ \ {0} ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D 4

 f ( − x ) ≠ f ( x ) f ( − x ) = − x3 − x + 1 ⇒  nên hàm số không chẵn không lẻ.  f ( − x ) ≠ − f ( x ) x + Hàm số f ( x ) = có TXĐ D = ℝ \ {−1} . Ta có x = 1∈ D nhưng − x = −1∉ D nên hàm số x +1 không chẵn không lẻ. Câu 87. Chọn D Hàm số có tập xác định D = ℝ. Với x ∈ ( −2; 2 ) ta có f ( − x ) = − x = x = f ( x )

−x

= f ( x ) nên y =

x4 − x + x4 + x là hàm số chẵn. x +4

Dạng 2.2 Xác định tính chẵn, lẻ thông qua tính chất của đồ thị hàm số Câu 89. Chọn D Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng. Câu 90. Quan sát các đồ thị, ta thấy chỉ có đồ thị ở hình D là đối xứng qua trục Oy, do đó nó là đồ thị của một hàm số chẵn. Đáp án D. Câu 91. Chọn D Tập xác định của hàm số là ℝ , ∀x ∈ ℝ thì − x ∈ ℝ ta có: f ( − x ) = − x − 2018 + − x + 2018 = x + 2018 + x − 2018 = f ( x ) Hàm số đã cho là hàm số chẵn, đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. Do vậy các phương án A, B, C đều đúng. Đáp án D sai. Câu 92. Chọn A

Hàm y = x 4 − m ( m − 1) x3 + x 2 + mx + m 2 có tập xác định là R nên hàm số chẵn khi:

+ Ba hàm số: y = x 2 ; y = x 4 + 3x 2 − 1 ; y = x đều là hàm số chẵn trên ℝ nên đồ thị của chúng nhận trục Oy làm trục đối xứng, đồ thị không có tâm đối xứng. + Hàm số: y = x 3 + x có: 3  f ( x) = x + x ⇒ f ( − x) = − f ( x ) ⇒ y = x3 + x là hàm số lẻ trên ℝ .  3 3  f (− x) = ( − x) + ( − x) = −( x + x ) Nên đồ thị hàm số y = x3 + x nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng. Dạng 2.3 Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số có điều kiện cho trước Câu 93. Chọn D Tập xác định: D = ℝ . Hàm số y = f ( x ) là hàm số lẻ khi ∀x ∈ ℝ ⇒ − x ∈ ℝ và f ( − x ) = − f ( x ) .

Ta có: ∀x ∈ ℝ ⇒ − x ∈ ℝ . ∀x ∈ ℝ , ta xét: f ( x) = x 3 + ( m 2 − 1) x 2 + 2 x + m − 1 ; f ( − x ) = − x3 + ( m 2 − 1) x 2 − 2 x + m − 1 . Do ∀x ∈ ℝ , f ( − x ) = f ( x ) ⇔ x 3 + (m 2 − 1) x 2 + 2 x + m − 1 = x 3 − (m 2 − 1) x 2 + 2 x − (m − 1) .

m − 1 = 0 1  Khi đó:  ⇔ m = 1. Ta có: 1∈  ;3  . 2  m − 1 = 0 Câu 94. Chọn C Để đồ thị hàm số đã cho nhận gộc tọa độ O làm tâm đối xứng thì hàm số đó phải là hàm số lẻ  m = 1  m 2 − 3m + 2 = 0  ⇒ ⇔   m = 2 ⇒ m = 2 . m = 2  m − 2 = 0  Thử lại m = 2 hàm số có dạng y = −2 x3 + 7 x . 2

Tập xác định D = ℝ : ∀x ∈ ℝ ⇒ − x ∈ ℝ . y ( − x ) = −2 ( − x )3 + 7 ( − x ) = 2 x3 − 7 x = − −2 x3 + 7 x = − y ( x ) .

(

)

⇔ −2 x 3 + 2 m2 − 4 x 2 − ( 4 + m ) x + 3m − 6 = − 2 x 3 + 2 m2 − 4 x 2 + ( 4 + m ) x + 3m − 6 , ∀x ∈ ℝ  

)

(

)

⇔ 2 m2 − 4 x 2 + ( 3m − 6 ) = 0, ∀x ∈ ℝ

(

Câu 96.

)

Chọn A Tập xác định: D = ℝ . Suy ra: ∀x ∈ D thì − x ∈ D .

⇒ ( m 2 + 3m − 4 ) x 2017 + m 2 − 7 = ( m 2 + 3m − 4 ) x 2017 − m 2 + 7

Chọn A

Câu 99.

Vậy m0 = 1 . Chọn C Xét y = f ( x ) = x 4 + 6 x 2 + 10 TXĐ: D = ℝ là tập đối xứng Ta có: ∀x ∈ D thì − x ∈ D và f ( − x ) =

( −x)

(

+ 6 ( − x ) + 10 = x 4 + 6 x 2 + 10 = f ( x )

Suy ra f là hàm số chẵn. x4 + 2x2 +1 x TXĐ: D = ℝ \ {0} là tập đối xứng Xét y = g ( x ) =

Ta có: ∀x ∈ D thì − x ∈ D và g ( − x ) =

(−x)

+ 2 ( −x) +1 x4 + 2 x 2 + 1 =− = −g ( x) −x x

Xét y = h ( x ) = x .x3 TXĐ: D = ℝ 5 3 5 Ta có: ∀x ∈ D thì − x ∈ D và h ( − x ) = − x . ( − x ) = − x .x3 = −h ( x ) Suy ra h là hàm số lẻ. Xét y = u ( x ) = 2 x − 1 + x 1  TXĐ: D =  ; +∞  không là tập đối xứng 2  Ta có: ∀x ∈ D thì − x ∈D Suy ra u là hàm số không chẵn, không lẻ. 5 Xét y = v ( x ) = x 3 − x TXĐ: D = ℝ \ {0} là tập đối xứng 3

Để f là hàm số lẻ thì ∀x ∈ D , f ( x ) = − f ( − x ) .

Câu 97.

m 2 − 1 = −m 2 + 1 ⇔ m = 1 . m − 1 = −m + 1

Ta có: ∀x ∈ D thì − x ∈ D và v ( − x ) = ( − x ) −

Ta có: f ( − x ) = − ( m 2 + 3m − 4 ) x 2017 + m 2 − 7 .

⇒ m 2 = 7 ⇒ m = ± 7 . Vậy tổng các phần tử của S là

{

TXĐ: D = ℝ Có ∀x ∈ ℝ ⇒ − x ∈ ℝ Hàm số y = f ( x ) là hàm số lẻ ⇔ f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ ℝ

(

− x 3 + ( m 2 − 1) x 2 − 2 x + m − 1 = − x 3 − ( m 2 − 1) x 2 − 2 x − m + 1 , ∀x ∈ D . Điều này xảy ra khi

Suy ra g là hàm số lẻ.

Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ hay đồ thị hàm số đã cho nhận gộc tọa độ O làm tâm đối xứng. Câu 95. Chọn B y = f ( x ) = 2 x 3 + 2 m2 − 4 x 2 + ( 4 + m ) x + 3m − 6 .

(

−m ( m − 1) = 0 ⇔ m = 0.  m = 0 Vậy m = 0 . Câu 98. Chọn C Hàm số có tập xác định là D = ℝ do đó ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D . Theo đề bài, ta có f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ D nghĩa là

)

7 + − 7 = 0.

Suy ra v là hàm số lẻ. Do đó a = 1; b = 3 Vậy 5a + 6b = 23 . Câu 100. Chọn B m ≠ 1 ĐK : m2 − 1 ≠ 0 ⇒  . m ≠ −1

 5 5 = −  x 3 +  = −v ( x ) x −x  

Vì đồ thị (Cm ) nhận trục Oy làm trục đối xứng nên hàm số f ( x ) là hàm số chẵn, suy ra

* Xét hàm số y = 1 − x 2 :

f ( x) = f ( −x) . Ta có : f ( − x ) =

Câu 107. Đáp án

m 2018 − x + (m 2 − 2) 2018 + x ( 2 − m = (m2 − 1) ( − x )

)

2018 + x − m 2018 − x

− 1) x

Tập xác định D = [ −1;1] ;

2 m = 1  2 − m = m Đồng nhất, ta được :  2 . ⇒ m2 + m − 2 = 0 ⇒   m = −2  m − 2 = − m Kết hợp điều kiện, suy ra m = −2 thỏa mãn.

∀x1 , x2 ∈ ( −1;1) , x1 ≠ x2 : y ( x2 ) − y ( x1 ) x2 − x1

1 − x22 − 1 − x12 x2 − x1

x12 − x22

( x2 − x1 ) ( 1 − x22 + − ( x1 + x2 ) =

1 − x12

Dạng 3. Sự biến thiên của hàm số Dạng 3.1 Xác định sự biến thiên của hàm số cho trước Câu 101. Chọn D Lí thuyết định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến Câu 102. Chọn B. y = 3 x + 2 đồng biến trên ℝ vì có hệ số góc a = 3 > 0 .

1 − x22 + 1 − x12 Do đó với x1 , x2 < 0 ta có

Câu 103. Chọn B Hàm số y = ax + b với a ≠ 0 nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a < 0 . Câu 104. Chọn A ∀x1, x2 ∈ ( 0; +∞ ) : x1 ≠ x2

với x1 , x2 > 0 ta có

f ( x2 ) − f ( x1 ) 3 3 −3 ( x2 − x1 ) 3 f ( x2 ) − f ( x1 ) = − = ⇒ =− <0 x2 x1 x2 x1 x2 − x1 x2 x1 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

Câu 105. Chọn D Tập xác định: D = ℝ \ {1} .  Lấy x1 ; x2 ∈ ( −∞;1) sao cho x1 < x2 . Xét y1 − y2 =

3 ( x2 − x1 ) 2 x1 + 1 2 x2 + 1 2 x1 x2 − 2 x1 + x2 − 1 − 2 x2 x1 + 2 x2 − x1 + 1 − = = x1 − 1 x2 − 1 ( x1 − 1)( x2 − 1) ( x1 − 1)( x2 − 1)

Với x1 ; x2 ∈ ( −∞;1) và x1 < x2 , ta có x2 − x1 > 0 ; x1 − 1 < 0 ; x2 − 1 < 0 ⇒ y1 − y2 > 0 ⇔ y1 > y2 Do đó hàm số nghịch biến trên ( −∞;1)

Xét y1 − y2 =

3 ( x2 − x1 ) 2 x1 + 1 2 x2 + 1 2 x1 x2 − 2 x1 + x2 − 1 − 2 x2 x1 + 2 x2 − x1 + 1 − = = x1 − 1 x2 − 1 ( x1 − 1)( x2 − 1) ( x1 − 1)( x2 − 1)

Với x1 ; x2 ∈ (1; +∞ ) và x1 < x2 , ta có x2 − x1 > 0 ; x1 − 1 > 0 ; x2 − 1 > 0 ⇒ y1 − y2 > 0 ⇔ y1 > y2 Do đó hàm số nghịch biến trên (1; +∞ ) . Câu 106. Tập xác định: D = ℝ . Cách 1: ∀x1 , x2 ∈ ℝ, x1 ≠ x2 ta có f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1

4 2

− x14 ) − 2 ( x22 − x12 ) x2 − x1

y ( x2 ) − y ( x1 ) > 0; x2 − x1 y ( x2 ) − y ( x1 ) < 0. x2 − x1

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) và nghịch biến trên khoảng ( 0;1) , tức là hàm số không đồng biến trên khoảng ( −1;1) . * Xét hàm số y = x 2 : Tập xác định D = ℝ ; ∀x1 , x2 ∈ ℝ, x1 ≠ x2 : y ( x2 ) − y ( x1 ) x22 − x12 = = x2 + x1 . x2 − x1 x2 − x1 Do đó với x1 , x2 < 0 ta có y ( x2 ) − y ( x1 ) <0; x2 − x1 với x1 , x2 > 0 ta có

 Lấy x1 ; x2 ∈ (1; +∞ ) sao cho x1 < x2 .

)

y ( x2 ) − y ( x1 ) > 0. x2 − x1

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; 0 ) và đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) , tức là hàm số không đồng biến trên khoảng ( −1;1) . x +1 : x Tập xác định D = ℝ \ {0} .

* Xét hàm số y =

∀x1 , x2 ∈ ℝ \ {0} , x1 ≠ x2 : =

2 2

− x12 )( x22 + x12 ) − 2 ( x22 − x12 ) x2 − x1

y ( x2 ) − y ( x1 ) =

x2 + 1 x1 + 1 x1 − x2 − = x2 x1 x1 x2

Ta thấy với x1 , x2 ∈ ( 0;1) thì x1 + x2 > 0 và 0 < x12 , x22 < 1

y ( x2 ) − y ( x1 ) −1 . = x2 − x1 x1 x2 Do đó với x1 , x2 < 0 và với x1 , x2 > 0

⇒ x12 + x22 < 2 ⇒ x12 + x22 − 2 < 0 , do đó ( x2 + x1 ) ( x22 + x12 − 2 ) < 0 .

ta đều có

= ( x2 + x1 ) ( x22 + x12 − 2 ) .

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .

⇒

y ( x2 ) − y ( x1 ) <0. x2 − x1

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; 0 ) ( 0; +∞ ) , tức là hàm số không đồng biến trên

Mặt khác hàm số y = 5 x đồng biến trên ( −∞; +∞ ) .

khoảng ( −1;1) .

Do đó hàm số h ( x ) = 5 x − f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0; 4 ) .

* Do đó đáp án đúng là D. Thật vậy xét hàm số y = − x3 + 3x ta có Tập xác định D = ℝ ; ∀x1 , x2 ∈ ℝ, x1 ≠ x2 : y ( x2 ) − y ( x1 ) x2 − x1

x13 − x23 + 3 ( x2 − x1 ) x2 − x1

= 3 − ( x12 + x1 x2 + x22 )

Với x1 < 1, x2 < 1 ta có

x < 1, x < 1, x1 x2 < 1 ⇒ x1 x2 < 1 , 2 1

2 2

2 1

2 2

do đó x + x1 x2 + x < 3 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) . Cách 2: Sử dụng chức năng TABLE của máy tính cầm tay như đã giới thiệu trong Bài tập 17 ở phần B - Các dạng bài tập điển hình. Độc giả hãy tự thực hiện để kiểm chứng kết quả như trong cách 1 đã nêu ở trên. Dạng 3.2 Xác định sự biến thiên thông qua đồ thị của hàm số Câu 108. Ta thấy trong khoảng ( 0;1) , mũi tên có chiều đi xuống. Do đó hàm số nghịch biến trong khoảng ( 0;1) . Đáp án D. Câu 109. Chọn C Từ đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số nghịch biến trong các khoảng: ( −∞; −1) và ( 0;1) . Hàm số đồng biến trong các khoảng: ( −1;0 ) và (1; +∞ ) . Câu 110. Chọn A Gọi ( C ) : y = f ( x ) , ( C ′ ) y = f ( x ) + 2018 . Khi tịnh tiến đồ thị ( C ) theo phương song song trục

tung lên phía trên 2018 đơn vị thì được đồ thị ( C′ ) . Nên tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( x ) , y = f ( x ) + 2018 trong từng khoảng tương ứng không thay đổi. Dựa vào đồ thị ta thấy: Hàm số y = f ( x ) + 2018 đồng biến trên các khoảng ( −3; −1) và (1;3) (đúng). Hàm số y = f ( x ) + 2018 đồng biến trên các khoảng ( −2;1) và (1;3) (sai). Hàm số y = f ( x ) + 2018 nghịch biến trên các khoảng ( −2; −1) và ( 0;1) (sai). Hàm số y = f ( x ) + 2018 nghịch biến trên khoảng ( −3; −2 ) (sai). Câu 111. Chọn C Trên khoảng ( 0; 2 ) , đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến. Câu 112. Đáp án C. Quan sát trên đồ thị ta thấy đồ thị hàm số đi lên trên khoảng ( −1;0 ) . Vậy hàm số đồng biến

trên khoảng ( −1;0 ) . Câu 113. Quan sát trên bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 4 ) , suy ra

hàm số y = − f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0; 4 ) .

Suy ra h (1) < h ( 2 ) < h ( 3) . Đáp án B. Câu 114. Chọn A Nhìn vào đồ thị hàm số ta có: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm M (1;0 ) , N ( 3;0 ) ⇒ MN = 2 ⇒ A đúng. Trên khoảng ( 0; 2 ) đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) và trên khoảng ( 2;5 ) đồ thị hàm số đi lên nên hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;5) ⇒ B sai. Trên khoảng ( 0; 2 ) đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) và trên khoảng ( 2;3) đồ thị hàm số đi lên nên hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;3) ⇒ C sai. Ta có:

2019, 2017 ∈( 2; + ∞ ) và trên khoảng ( 2; + ∞ ) hàm số đồng biến nên

 2019 > 2017  ⇒ D sai.   f 2019 > f 2017

(

)

(

)

Dạng 4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Dạng 4.1 Biến đổi sử dụng tập giá trị của hàm số Câu 115. Quan sát trên đồ thị ta thấy M = 3 (ứng với x = 3 ), m = −2 (ứng với x = −2 ). Vậy M + m = 1 . Đáp án B. Câu 116. Chọn A Có x ∈ [ 0; 2] ⇒ x − 2 = 2 − x ⇒ y = 2 − x − 3 x − 1 = 1 + (1 − x ) − x − 1 − 2 x − 1 . Do x − 1 ≥ 0 ⇒ −2 x − 1 ≤ 0 và (1 − x ) − x − 1 ≤ 0 nên y ≤ 1.  x − 1 = 0 Dấu " = " xảy ra khi  ⇔ x = 1. 1 − x = x − 1 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = x − 2 − 3 x − 1 trên đoạn [ 0; 2] là 1. Câu 117. Chọn C Trên [1;2] hàm số y = 2 x − 1 đồng biến nên giá trị lớn nhất bằng y ( 2) = 3 .

Trên ( 0;1) hàm số y = 1 nên giá trị lớn nhất bằng y = 1 . Trên [ −2;0] hàm số y = 1 − 2 x nghịch biến nên giá trị lớn nhất bằng y ( −2 ) = 5 . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [ −2;2] là y ( −2) = 5 . Câu 118. Đáp án A. Điều kiện xác định: D = [ −1;1] .

Dễ thấy y ≥ 0, ∀x ∈ [ −1;1] . Ta có y 2 = 2 + 2 1 − x 2 nên suy ra: 2 ≤ y2 ≤ 4 ⇒ 2 ≤ y ≤ 2 . y = 2 ⇔ 1 − x 2 = 0 ⇔ x = ±1 ;

y = 2 ⇔ 1 − x2 = 1 ⇔ x = 0 . Vậy m = 2 và M = 2 . Do đó M + m = 2 + 2 . Câu 119. Đáp án C.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có ∀x ∈ ℝ : 2x 2x x2 +1 ≥ 2 x ⇒ 2 ≤ 1 ⇒ −1 ≤ 2 ≤ 1; x +1 x +1 2x 2x = −1 ⇔ x = −1; 2 =1 ⇔ x = 1. x2 + 1 x +1 Vậy m = min y = −1; M = max y = 1 ⇒ m2 + M 2 = 2 .

Gọi y0 là một giá trị bất kì thuộc tập giá trị của hàm số đã cho. Khi đó phải tồn tại một giá trị x sao cho x2 − 8x + 7 y0 = x2 + 1 ⇔ ( y0 − 1) x 2 + 8 x + y0 − 7 = 0 (*).

3 . 4 + Nếu y0 ≠ 1 thì (*) có nghiệm khi và chỉ khi:

ℝ

+ Nếu y0 = 1 thì x0 =

∆ ' = − y02 + 8 y0 + 9 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ y0 ≤ 9 . Kết hợp hai trường hợp ta có:

−1 ≤ y0 ≤ 9 .

+ Nếu y0 ≠ 0 thì (*) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ' = 1 − y02 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ y0 ≤ 1 .

Ta thấy y0 = −1 ⇒ x = 2 ; −1 . y0 = 9 ⇒ x = 2 Vậy m = min y = −1; M = max y = 9 ℝ

Kết hợp hai trường hợp ta có −1 ≤ y0 ≤ 1; y0 = −1 ⇒ x = −1; y0 = 1 ⇒ x = 1 . Vậy m = min y = −1; M = max y = 1 ⇒ m2 + M 2 = 2 . ℝ

ℝ

Đáp án B. Câu 124. Đáp án B. Với −3 ≤ x ≤ 5 thì x + 3 ≥ 0;5 − x ≥ 0 , suy ra y = ( x + 3)( 5 − x ) ≥ 0 . Với x = −3 hoặc x = 5 thì y = 0 . Vậ y m = 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x + 3 và 5 − x ta có:

ℝ

⇒ M − m = 10 . Dạng 4.2 Phân tích hằng đẳng thức Câu 120. Chọn B TXĐ: [ −2, +∞ )

Ta có y = x − 2 x + 2 = x + 2 − 2 x + 2 + 1 − 1 =

Cách 2: (Sử dụng tập giá trị của hàm số) Gọi y0 là một giá trị bất kì thuộc tập giá trị của hàm số đã cho. Khi đó phải tồn tại một giá trị x 2x sao cho y0 = 2 ⇔ y0 x 2 − 2 x + y0 = 0 (*). Ta coi (*) là phương trình ẩn x, tham số y0 . x +1 + Nếu y0 = 0 thì x = 0 .

(

)

( x + 3)( 5 − x ) ≤

x + 2 − 1 − 1 ≥ −1 ⇒ ymin = −1 khi x = −1

Câu 121. Tập xác định D = ℝ .

( x + 3 + 5 − x) 4

= 16 .

Dấu bằng xảy ra khi

x + 3 = 5 − x ⇔ x = 1.

9 9 3 9 9   + ∀x ∈ ℝ : f ( x ) = 2 x 2 − 6 x + 9 = 2  x 2 − 3 x +  + = 2  x −  + ≥ . 4 2 2 2 2   9 3 + f ( x) = ⇔ x = . 2 2 9 Vậy min f ( x ) = . ℝ 2 Đáp án B. Câu 122. Đáp án C. Tập xác định: D = [ 2; +∞ )

Ta có ∀x ∈ [ 2; +∞ ) :

Vậy M = 16 . Do đó M + 2m = 16 . Hoặc có thể giải như sau: y = − x 2 + 2 x + 15 = − x 2 + 2 x − 1 + 16 2

= 16 − ( x − 1) ≤ 16 y = 16 ⇔ x = 1 . Vậy M = 16 . Câu 125. Đáp án D. 2 2 Ta có y = x + = x −1+ +1. x −1 x −1 Với x > 1 thì x − 1 > 0 .

y = f ( x) = x − x − 2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có x − 1 +

= ( x − 2) − x − 2 + 2

2 x −1 2 ⇔ ( x − 1) = 2 ⇒ x = 1 + 2 y = 2 2 + 1 khi x − 1 =

1 7 7  = x−2 −  + ≥ . 2 4 4  1 9 =0⇔ x= . 2 4 7 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là bằng . 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2 ≥ 2 2 . Suy ra y ≥ 2 2 + 1 . x −1

x−2 −

Dạng 4.3 Áp dụng bất đẳng thức cô-si, Bu-nhi-a-cốp-xki Câu 123. Tập xác định D = ℝ . Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức)

Vậ y m = 2 2 + 1 ⇒ [ m ] = 3 .

Câu 126. b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m thỏa mãn f ( x ) > m với mọi x ∈ [ −1;1] .

A. m ≤ − 2 B. m < − 2 C. m ≤ −1 D. m < −1 Đáp án A. Tập xác định: D = [ −1;1] . a) Đáp án A.

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

(

x + 1− x

)

≤ (1 + 1 2

)( x

+1− x

)=2

Suy ra f ( x ) ≤ 2 . Dấu bằng xảy ra khi x = 1 − x2 ⇒ x =

2 . 2

Vậy max f ( x ) = 2 . [ −1;1]

f ( x ) ≤ m với mọi x ∈ [ −1;1] khi và chỉ khi m ≥ max f ( x ) ⇒ m ≥ 2 . [ −1;1]

b) Đáp án D. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = −1 . Vậy min f ( x ) = −1 . [ −1;1]

f ( x ) > m với mọi x ∈ [ −1;1] khi và chỉ khi m < min f ( x ) ⇔ m < −1 . [ −1;1]

4x : x2 +1 Tập xác định D = ℝ . Ta có ∀x ∈ ℝ : x 2 + 1 ≥ 2 x .

4x 4x ≤ 2 ⇒ −2 ≤ 2 ≤2. x2 + 1 x +1 f ( x ) = −2 ⇔ x = −1 ;

Suy ra

Tập xác định D = [ 0; 4] . Ta có ∀x ∈ [ 0; 4] : 0 ≤ 4 x − x2 = 4 − ( x − 2) ≤ 4 .

Suy ra 0 ≤ k ( x ) ≤ 2 .

k ( x ) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4 ; k ( x) = 2 ⇔ x = 2 . Câu 128. Đáp án

f ( x) = 1 ⇔ x = 1. * Với g ( x ) = x + 2 − x 2 : Tập xác định D =  − 2; 2  . Ta có x ≥ − 2; 2 − x 2 ≥ 0 . Suy ra x + 2 − x 2 ≥ − 2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = − 2 . Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có

)

≤ (1 + 1) ( x 2 + 2 − x 2 ) = 4

Suy ra g ( x ) ≤ 2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x ≥ 0 x = 2 − x2 ⇔  2 ⇔ x = 1. 2 x = 2 − x Vậ y − 2 ≤ g ( x ) ≤ 2 . Vậy g ( x ) có tập giá trị là đoạn  − 2; 2  . x2 + 2 * Với h ( x ) = : x2 + 1 Tập xác định D = ℝ .

A. 2

1 2 1    Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: ( 3x + 1) =  3.x + . 3  ≤  9 +  ( x 2 + 3) . 3 3    Suy ra 3x + 1 ≤

3x + 1

28 2 x +3 3

28 84 . = 3 3 x +3 Dấu bằng xảy ra khi 3 x = ⇔ x = 9. 1 3 3 ⇒

Vậy f ( x ) có tập giá trị là đoạn [ −2; 2] .

(

* Với k ( x ) = 4 x − x 2 :

Vậy k ( x ) có tập giá trị là đoạn [ 0;2]

* Với f ( x ) =

g 2 ( x ) = x + 2 − x2

1 = x2 + 1 + ≥ 2. x2 + 1 x2 + 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 1 x2 + 1 = ⇔ x2 +1 = 1 ⇔ x = 0 x2 + 1 Vậy h ( x ) có tập giá trị là nửa khoảng [ 2; +∞ ) .

Ta có ∀x ∈ [ −1;1] : x ≥ −1 và 1 − x 2 ≥ 0 nên x + 1 − x 2 ≥ −1 .

Câu 127. Đáp án

x2 + 2

Ta có

≤

84 , tức là 3 a = 84, b = 3 ⇒ a + b = 87 . Lưu ý: Với kĩ thuật tương tự, các bạn dễ dàng tìm được giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của ax + b các hàm số có dạng f ( x ) = . 2 cx ( ) + d2

Vậ y M =

Câu 129. Đáp án B. Gọi x là chiều rồng của bể chứa nước (đơn vị: m, điều kiện: x > 0 ). Khi đó chiều dài của bể chứa nước là 2x và chiều cao của bể chứa nước là Diện tích cần xây dựng là: 250 500 . S = x.2 x + 2 .2 ( x + 2 x ) = 2 x 2 + 3x x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 250 250 S = 2x2 + + x x 250 250 2 ≥ 33 2x . . = 30 x x

500 250 . = 3.x.2 x 3 x 2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 250 2 x2 = ⇔ x = 5 (TMĐK). x Vậy kích thước của bể nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất là chiều dài 10m, chiều rộng 5m, chiều cao thước của bể nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất là chiều dài 10 10m, chiều rộng 5m, chiều cao m. 3

Dạng 5. Một số bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số Câu 130. Chọn B Thay x = 0 vào hàm số ta thấy y = −1 . Vậy M 2 ( 0; −1) thuộc đồ thị hàm số. Câu 131. Chọn C Thay tọa độ điểm vào hàm số ta thấy chỉ có điểm ( −2;0 ) thỏa mãn. Câu 132. Chọn B Thay tọa độ điểm ( 0; −3 ) vào hàm số ta được : f ( 0 ) = 3 ≠ −3 nên loại đáp án A Thay tọa độ điểm ( 3; 6 ) vào hàm số ta được : f ( 3) = 9 − 3 = 6 , thỏa mãn nên chọn đáp án B Câu 133. Với x = 0 < 2 thì y = f ( 0 ) = 2.0 + 1 = 1 . Vậy đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm ( 0;1) . Đáp án D. Câu 134. Với x = 2 thì y = 0 . Vậy điểm M ( 2;0 ) thuộc đồ thị hàm số đã cho. Đáp án C. Câu 135. Đường cong trong hình D không phải là đồ thị của một hàm số dạng y = f ( x ) vì mỗi giá trị

x > 0 ứng với hai giá trị phân biệt của y.

Đáp án D. Câu 136. Đáp án C. Tập xác định của hàm số y = x + 2 là ℝ Tập xác định của hàm số y = x ( x + 1) + 2 − x 2 là ℝ . Mặt khác ta có y = x ( x + 1) + 2 − x 2 = x + 2 . Vậy đồ thị của hàm số y = x ( x + 1) + 2 − x 2 trùng với đồ thị của hàm số y = x + 2 . Các hàm số còn lại mặc dù sau khi rút gon đều có dạng y = x + 2 nhưng có tập xác định không phải là ℝ nên đồ thị không trùng với đồ thị hàm số y = x + 2 . Thật vậy, hàm số y =

(

là ℝ \ {−2} ; hàm số y =

x+2 x

)

có tập xác định là [ −2; +∞ ) ; hàm số y =

( x + 2) x2

( x + 2) x+2

có tập xác định

có tập xác định là ℝ \ {0} .

Câu 137. Đáp án D. Đường cong trong hình vẽ đối xứng qua trục Oy nên là đồ thị của một hàm số chẵn. Mặt khác đường cong đi qua điểm ( 0;3) . Do đó nó là đồ thị của hàm số y = − x 4 − 2 x 2 + 3 . 48

Câu 138. Đáp án D. y = 1 ⇒ x 3 − 3x 2 + 3 = 1 ⇔ x3 − 3x 2 + 2 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 2 ) = 0

f ( −4 ) = −210 . Câu 145. Chọn B

Ta có: f ( 0 ) =

x = 1  x −1 = 0 . ⇔ 2 ⇔  x − 2x − 2 = 0  x = 1± 3 Vậy có 3 điểm nào trên đồ thị hàm số có tung độ bằng 1. Câu 139. Đáp án A. Tập xác định D = ℝ là tập đối xứng. Ta có ∀x ∈ ℝ : 2 f (−x) = (−x) − 2 −x

= x2 − 2 x = f ( x ) Vậy hàm số y = f ( x ) = x 2 − 2 là hàm số chẵn. Do đó đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy. Trong bốn đường cong đã cho chỉ có đường cong trong hình A là đối xứng qua Oy. Vậy A là đáp án đúng. Câu 140. Đáp án B. Điều kiện xác định:  x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.   x + x ≥ 0

Đặt

x + x = n, n ∈ ℕ . Suy ra:

x + x = n 2 ⇔ 4 x + 4 x + 1 − 4n 2 = 1

( ⇔ (2

)

⇔ 2 x + 1 − ( 2n ) = 1

)(

2 x + 1 − 2n = 1 ⇔ 2 x + 1 + 2n = 1 (do 2 x + 1 + 2n > 0 ) ⇒ 4 x = 0 ⇔ x = 0. Với x = 0 thì y = 0 . Vậy có duy nhất một điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số, đó là điểm

Xét x ≥ 2 hàm số f ( x ) = x 2 − 4 ;nên f ( 3) = 32 − 4 = 5 . Câu 148. Chọn A 3

Ta có: f ( −1) =

2 + 3. ( −1) −1 − 2

1 . 3

2.2 + 3 7 = . 2 +1 3 Câu 149. Chọn B Với x ≤ −3 ta có: −2 x + 1 = 5 ⇔ x = −2 (loại). f ( 2) =

Với x > −3 ta có:

x+7 = 5 ⇔ x = 3 (nhận). 2

Vậy x0 = 3 . Câu 150. Chọn A Vì f ( −1) = −2 ( −1 − 2 ) = −6 nên chọn A. Câu 151. Chọn C  f ( −1) = 2 ( −1 − 3) = −8  Ta có  . 2 10 − 1 = 3  f 10 = Câu 152. Chọn C Ta thấy f ( x ) = x 2 − 1 khi x ∈ ( 2;5] ⇒ f (4) = 42 − 1 = 15

)

Câu 153. Chọn A Ta có: f ( 2 ) =

2 2+2 −3 2 = 1 , f ( −2 ) = ( −2 ) + 1 = 5 2 −1

Suy ra: f ( −2) + f ( 2) = 6 .

Câu 154. Chọn B Dựa vào hình dáng của đồ thị ta thấy rằng hàm số đối xứng qua O(0;0) nên là hàm số lẻ.

có tọa độ ( 0; 0 ) .

Suy ra f ( − x ) = − f ( x ) ⇒ f ( − x ) + f ( x ) = 0

Dạng 6. Xác định biểu thức của hàm số Câu 141. Chọn C 1 Ta có y = f ( x) = −5 x ≥ 0 ∀x ∈ ℝ nên f   = −1 là mệnh đề sai.  5 

Câu 142. Chọn A

Ta có: f ( 2 ) + f ( −2 ) =

Câu 146. Chọn C Với x = 3 , ta có f ( x ) = 5 − x 2 . Do đó: f ( 3) = 5 − 32 = −4 . Câu 147. Chọn C

(

)

x + 1 − 2n 2 x + 1 + 2 n = 1

0 2 2 1 1 = 0, f ( 2 ) = = , f ( −2 ) = =− . −2 − 1 0 +1 2 +1 3 3

2 2− 2 −3 2 + ( −2 ) + 2 ⇒ P = 3 . 2 −1

Câu 143. Chọn D 2 Vì x = 2 > 0 nên S = f ( 2 ) = 2 − 3.2 = −2 . Câu 144. Chọn D

Vì vậy f

(

) (

)

2018 + f − 2018 = 0 .

Câu 155. Chọn B Nhìn đồ thị ta có: f ( −1) = f (1) = 1⇒ A đúng. Đồ thị không có tâm đối xứng nên B sai. Trên khoảng (1;5 ) đồ thị hàm số đi lên nên hàm số đồng bi ến trên khoảng (1;5 ) ⇒ C đúng. Trên khoảng ( −6; − 1) đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( −6; − 1) ⇒ D đúng. 50

Câu 156. Chọn D

3x − 2 =t x −1 t−2 3t − 8 . ⇒x= ⇒ x+2= t −3 t −3 Do đó ta có 3t − 8 3x − 8 . f (t ) = ⇒ f ( x) = t −3 x−3 Vậy f ( 2 ) + f ( 4 ) = 6 .

Cách 1: Đặt

 −2016 2016  Tập xác định D =  ; \ {0} . 9   9

∀x ∈ D , ta có − x ∈ D và 2016 − 9 x − 2016 + 9 x 2016 + 9 x − 2016 − 9 x =− = − f ( x) . −x x

f ( − x) =

Do đó f ( x ) là hàm số lẻ, và f ( x ) + f (− x) = 0 .

S = f ( 220 ) + f ( −221) + f ( 222 ) + f ( −223) + f ( −220 ) + f ( 221) + f ( −222 ) + f ( 223) + f ( 224 ) = f ( 220 ) + f ( −220 ) + f ( −221) + f ( 221) + f ( 222 ) + f ( −222 ) + f ( −223) + f ( 223) + f ( 224 ) = f ( 224 ) =

3 7 . 28

Cách 2: 3x − 2 = 2 ⇔ x = 0 ⇒ f ( 2) = 2 ; x −1 3x − 2 = 4 ⇔ x = 2 ⇒ f ( 2) = 4 . x −1 Vậy f ( 2 ) + f ( 4 ) = 6 .

Câu 157. Cách 1: f ( g ( x ) ) = ( x3 + 2 x 2 + 1) + 5 = x 6 + 4 x 5 + 4 x 4 + 2 x 3 + 4 x 2 + 6 . Vậy tổng các hệ số của f ( g ( x ) ) là 1 + 4 + 4 + 2 + 4 + 6 = 21 .

Cách 2: Áp dụng kết quả: “Cho đa thức P ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 . Khi đó tổng các hệ số của P ( x ) là P (1) ”, ta có tổng các hệ số của f ( g ( x ) ) là f ( g (1) ) mà g (1) = 4 nên

f ( g (1) ) = 42 + 5 = 21 . Đáp án D. 2 Câu 158. Ta có ∀x ∈ ℝ : f ( x − 1) = x 2 + 3 x − 2 = ( x − 1) + 5 ( x − 1) + 2 . Do đó f ( x ) = x 2 + 5 x + 2 . Đáp án A. Câu 159. Đáp án D. Quan sát trên đồ thị ta thấy f ( x ) > 0∀x ∈ (1; 2 ) và f ( x ) < 0 ∀x ∈ ( 2;3) . Do đó f (1,5) > 0 > f ( 2,5) . Câu 160. Đáp án A. Ta có 2 x − 5 = 1 ⇔ x = 3 . Vậy f (1) = 32 + 3.3 − 2 = 16 . Lại có 5 x + 1 = 16 ⇔ x = 3 . 3 −3 Vậy g ( f (1) ) = . = 3−7 4 Câu 161. Đáp án B. 1 1  Ta có f  x +  = x3 + 3 x x  3

1 1   =  x +  − 3 x +  . x x   Do đó f ( x ) = x3 − 3x . Vậy f ( 3) = 33 − 3.3 = 18 .

Câu 162. Đáp án

TOÁN 10

HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

0D2-2

PHẦN A. CÂU HỎI Dạng 1. Chiều biến thiên của hàm số bậc nhất

MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI..................................................................................................................................................... 2

Dạng 1.1 Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Dạng 1. Chiều biến thiên của hàm số bậc nhất................................................................................................................. 2 Dạng 1.1 Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số ................................................................................................. 2

Câu 1.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Cho hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) . Mệnh đề nào sau đây đúng? b b A. Hàm số đồng biến khi x < − . B. Hàm số đồng biến khi x > − . a a C. Hàm số đồng biến khi a < 0 . D. Hàm số đồng biến khi a > 0 .

Câu 2.

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên ℝ A. y = π x − 2 . B. y = 2 . C. y = −π x + 3 .

Dạng 1.2 Định m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R......................................................................................... 2 Dạng 2. Vị trí tương đối, sự tương giao giữa các đường thẳng, điểm cố định của họ đường thẳng ................................ 4 Dạng 2.1 Vị trí tương đối ............................................................................................................................................. 4 Dạng 2.2 Sự tương giao................................................................................................................................................ 5 Dạng 2.3 Điểm cố định của họ đường thẳng ................................................................................................................ 6 Dạng 3. Đồ thị hàm số bậc nhất ....................................................................................................................................... 6

Câu 3.

Khẳng định nào về hàm số y = 3 x + 5 là sai?

Dạng 3.1 Đồ thị hàm số y = ax + b ............................................................................................................................ 6

C. Đồ thị hàm số cắt Oy tại ( 0;5) .

Dạng 4. Xác định hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước................................................................................................ 10 Dạng 4.0 Xác định điều kiện để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất........................................................................... 10

 5  B. Đồ thị hàm số cắt Ox tại  − ;0  .  3  D. Hàm số nghịch biến trên ℝ .

A. Hàm số đồng biến trên ℝ .

Dạng 3.2 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ....................................................................................................... 8

Câu 4.

Cho hàm số f ( x ) = 4 − 3x . Khẳng định nào sau đây đúng ?

Dạng 4.1 Đi qua 2 điểm cho trước ............................................................................................................................. 11

Dạng 4.2 Liên quan đến diện tích, khoảng cách......................................................................................................... 12

C. Hàm số nghịch biến trên ℝ .

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .......................................................................................................................... 13 Dạng 1. Chiều biến thiên của hàm số bậc nhất............................................................................................................... 13

Câu 5.

Dạng 1.1 Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số ............................................................................................... 13 Dạng 1.2 Định m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R....................................................................................... 14 Dạng 2. Vị trí tương đối, sự tương giao giữa các đường thẳng, điểm cố định của họ đường thẳng .............................. 15 Dạng 2.1 Vị trí tương đối ........................................................................................................................................... 15

4  B. Hàm số đồng biến trên  −∞;  . 3  3  D. Hàm số nghịch biến trên  ; +∞  . 4 

A. Hàm số đồng biến trên ℝ .

Dạng 4.2 Đi qua 1 điểm cho trước và song song (vuông góc, cắt, đối xứng…) với một đường thăng khác ............. 12

Câu 6.

D. y = 2 x + 3 .

Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ ?

(

)

A. y = 2018 .

B. y = m2 + 1 x − 3 .

C. y = −3 x + 2 .

1   1 D. y =  − x +5.  2003 2002 

Cho các hàm số sau:

2x + 5 x 1 3+ x − ;y = − . 3 2 2 5 Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số đồng biến trên ℝ ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

(

Dạng 2.2 Sự tương giao.............................................................................................................................................. 18

)

y = 2 x + 3; y = 1 − 0,3x; y = 1 − 2 ( x − 1) + 1; y =

Dạng 2.3 Điểm cố định của họ đường thẳng .............................................................................................................. 19 Dạng 3. Đồ thị hàm số bậc nhất ..................................................................................................................................... 19 Dạng 3.1 Đồ thị hàm số y = ax + b .......................................................................................................................... 19

Dạng 1.2 Định m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

Dạng 3.2 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ..................................................................................................... 21 Dạng 4. Xác định hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước................................................................................................ 23

Câu 7.

(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Tìm m hàm số y = mx + 1 − x đồng biến trên ℝ ? A. m ≥ 0. B. m > 0. C. m ≥ 1. D. m > 1.

Câu 8.

Có bao nhiêu số tự nhiên m để đường thẳng d : y = ( 2019 − m ) x + 2018 đồng biến trên ℝ ?

Câu 9.

Với giá trị nào của m thì hàm số y = ( m − 2 ) x + 5m đồng biến trên R:

Dạng 4.0 Xác định điều kiện để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất........................................................................... 23 Dạng 4.1 Đi qua 2 điểm cho trước ............................................................................................................................. 24

A. 2017 .

Dạng 4.2 Đi qua 1 điểm cho trước và song song (vuông góc, cắt, đối xứng…) với một đường thăng khác ............. 25 Dạng 4.3 Liên quan đến diện tích, khoảng cách......................................................................................................... 26 1

B. 2018 .

C. 2019 .

D. 2020 .

A. m < 2 .

B. m > 2 .

C. m ≠ 2 .

D. m = 2

Dạng 2. Vị trí tương đối, sự tương giao giữa các đường thẳng, điểm cố định của họ đường thẳng

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y = ( 2m − 1) x + m − 3 đồng biến trên ℝ ? A. m <

1 . 2

B. m >

1 . 2

C. m < 3 .

Dạng 2.1 Vị trí tương đối

D. m > 3 .

Câu 24. Cho các đường thẳng sau:

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = ( 2 − m ) x + 5m đồng biến trên ℝ . A. m > 2 . B. m = 2 . C. m ≠ 2 . D. m < 2 . Câu 12. Giá trị nào của k thì hàm số y = ( k –1) x + k – 2 nghịch biến trên tập xác định của hàm số. A. k < 1 . B. k < 2 . C. k > 1 . D. k > 2 . Câu 13. Tìm m để hàm số y = ( 3 − m ) x + 2 nghịch biến trên ℝ . A. m > 0 . B. m = 3 . C. m > 3 .

D. m < 3 .

Câu 25. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng y = −3 x + 2 và y = ( m 2 − 4 ) x − 2m song song

Câu 14. Hàm số y = ( m − 1) x − 2 − m đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) khi A. 1 < m ≤ 2 .

B. m ≤ 2 .

C. m < 1 .

với nhau? D. m > 1.

Câu 15. Cho hàm số y = ( m + 2 ) x + 2 − m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên ℝ? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Câu 16. Hàm số f ( x ) = ax − 1 − a đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi A. 0 < a < 1 . B. a < 1 . C. 0 < a ≤ 1 . B. m < 1 .

C. m > 1.

D. m ≤ 1 .

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (1 − m 2 ) x + 3m − 1 đồng biến trên ℝ .  m ≤ −1 A.  .  m ≥1

 m < −1 B.  .  m >1

C. −1 < m < 1 .

D. −1 ≤ m ≤ 1 .

Câu 19. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = ( m − 1) . ( − x ) + 2m đồng biến trên R . A. m > 1 .

B. m ≥ 1 .

C. m < 1 .

Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

f ( x ) = ( m + 1) x + m − 2 đồng biến trên ℝ ? A. 7 . B. 5 .

D. m ≤ 1 . thuộc đoạn

C. 4 .

[ −3;3]

để hàm số

D. 3 .

Câu 21. Hàm số y = ( m − 1) x − 2018 − m đồng biến trên khoảng ( −∞ ; + ∞ ) khi A. m < 1 .

B. m ≤ 2 .

C. 1 < m ≤ 2018 .

D. m > 1 .

Câu 22. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để hàm số y = ( 2m + 5 ) x − m2 + 2017 đồng biến trên ℝ ? A. m = −3 B. m = −2 C. 0 D. m = 1 Câu 23. Hàm số y = A. m ≥

5 3

5 − 3x (m là tham số) nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi: 5 − 3m 5 5 5 B. m > C. m ≤ D. m < 3 3 3

A. m = ±1

B. m = −1

(

C. m = ±

39 3

D. m = 1

)

Câu 26. Cho hai đường thẳng ( d ) : y = m2 − 3m x + 3 và ( d ') : y = −2 x + m + 1 . Có bao nhiêu giá trị của

tham số m để hai đường thẳng song song với nhau? A. 0 B. 1 C. 2

D. Vô số

Câu 27. Cho các đường thẳng sau đây:

D. a > 0 .

Câu 17. Hàm số f ( x ) = ( m − 1) x + m + 2 ( với m là tham số thực) nghịch biến trên R khi và chỉ khi A. m ≥ 1 .

1 2 −1 x + 1; y = x + 3; y = x+2; 2 2 2  2  1 x − 3  . y = 2 x − 2; y = x − 1 và y = −  2 2   Trong các đường thẳng trên, có bao nhiêu cặp đường thẳng song song? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 y=

x ; 2 y + x = 6 ; 2 x − y = 1 và y = 0,5 x + 1 2 Trong các đường thẳng trên, có bao nhiêu cặp đường thẳng song song? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3 y − 6 x + 1 = 0; y = −0,5 x − 4; y = 3 +

Câu 28. Không vẽ đồ thị, hãy cho biết cặp đường thẳng nào sau đây cắt nhau? A. y = 1 x − 1 và y = 2x + 3 .

2 x − 1. B. y = 1 x và y = 2 2

   2 C. y = − 1 x + 1 và y = −  x − 1 .  2 2 

D. y = 2x − 1 và y = 2x + 7 .

Câu 29. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba đường thẳng ( d1 ) : 3 x − 4 y + 7 = 0 , ( d 2 ) : 5 x + y + 4 = 0 và

( d3 ) : mx + (1 − m ) y + 3 = 0 . Để ba đường thẳng này đồng quy thì giá trị của tham số m A. m = 2 .

B. m = −2 .

C. m = 0,5 .

là

D. m = −0,5 .

Câu 30. Biết ba đường thẳng d1 : y = 2 x − 1 , d 2 : y = 8 − x , d3 : y = ( 3 − 2m ) x + 2 đồng quy. Giá trị của m bằng 3 1 A. m = − . B. m = 1 . C. m = . D. m = −1 . 2 2 Câu 31. Các đường thẳng y = −5 ( x + 1) ; y = 3 x + a ; y = ax + 3 đồng quy với giá trị của a là A. −11 . B. −10 . C. −12 . D. −13 . Câu 32. Các đường thẳng y = −5 (x + 1) ; y = 3x + a ; y = ax + 3 đồng quy với giá trị của a là A. −10 .

B. −11 .

C. −12 . 4

D. −13 .

Câu 33. Xác định m để ba đường thẳng A. m = −1 . Câu 34. Các đường thẳng x = A. Câu 35.

3 . 4

và đồng quy y = 1 − 2 x, y = x − 8 y = ( 3 + 2m ) x − 5 1 3 B. m = . C. m = 1 . D. m = − 2 2

1 1 y + a và y = x + b cắt nhau tại điểm (1; 2) . Giá trị của a + b là: 4 4 9 B. 1. C. 2 . D. . 4

(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hai đường thẳng d : y = mx − 3 và ∆ : y + x = m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành. A. m = 3 .

B. m = ± 3 .

C. m = 3 .

D. m = − 3 .

Câu 36. Cho ba đường thẳng d : y = x + 2m , d ′ : y = 3x + 2 và d ′′ : y = −mx + 2 ( m là tham số). Tìm m để ba đường thẳng đó phân biệt và đồng quy? A. m = 1 . B. m = 1 hoặc m = −3 . C. m ≠ 3 . D. m = −3 . 1 Câu 37. Cho hai hàm số y = 2 x + 1 và y = x + 1 . Đồ thị của hai hàm số này sẽ 2 A. Song song với nhau. B. Cắt nhau. D. Vuông góc với nhau. C. Trùng nhau.

Câu 45. Biết rằng với mọi giá trị thực của tham số m , các đường thẳng d m : y = (m − 2) x + 2m − 3 cùng đi qua một điểm cố định là I (a; b ) . Tính giá trị của biểu thức: S = a + b A. S = −3 . B. S = −1 . C. S = 1 . D. S = 3 . Dạng 2.3 Điểm cố định của họ đường thẳng Câu 46. Cho đường thẳng ( d ) : y = ( m − 1) x + 2m − 3 , trong đó m là tham số. Gọi M là điểm cố định mà

(d )

luôn đi qua với mọi m. Tính OM.

A. OM = 5

B. OM = 2

C. OM = 1

D. OM = 10

Câu 47. Gọi M ( a; b ) là điểm sao cho đường thẳng y = 2mx + 1 − m luôn đi qua, dù m lấy bất cứ giá trị nào. Tìm 2a + b . A. 2a + b = 0 B. 2a + b = 1 C. 2a + b = 2 D. 2a + b = 3

Dạng 3. Đồ thị hàm số bậc nhất Dạng 3.1 Đồ thị hàm số y = ax + b Câu 48. Đồ thị sau đây biểu diễn hàm số nào?

2x + m 5 , y = x + và y = 4 x − 2 đồng quy. Câu 38. Cho số nguyên dương m. Biết ba đường thẳng y = 3 2 Tìm số ước nguyên dương của m. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Dạng 2.2 Sự tương giao A. f ( x ) = − x + 1 . Câu 39. Cho đường thẳng ( d ) : y = ax + b . Tìm 4a + b , biết ( d ) cắt đường thẳng y = 2 x + 5 tại điểm có

B. f ( x ) = − x − 1 .

C. f ( x ) = x + 1 .

D. f ( x ) = x − 1 .

C. y = 2 x − 2 .

D. y = x − 3 .

Câu 49. Đồ thị dưới đây biểu diễn hàm số nào?

hoành độ bằng −2 và cắt đường thẳng y = −3x + 4 tại điểm có tung độ bằng −2 . −7 7 −5 5 A. 4a + b = B. 4a + b = C. 4a + b = D. 4a + b = 2 2 2 2 Câu 40. Cho hai đường thẳng ( d ) : y = x + 1 và ( d ' ) : y = − x + 3 cắt nhau tại C và cắt Ox theo thứ tự các điểm A và B. Tính diện tích S của tam giác ABC. A. S = 8 B. S = 6 C. S = 4 D. S = 2 Câu 41. Cho hàm số f ( x ) = ax + b . Xác định a + b , biết f ( x − 1) = − x + 3, ∀x ∈ ℝ . A. a + b = 3 B. a + b = 2 C. a + b = 1 D. a + b = 0 Câu 42. Đồ thị hàm số y = 3 − 4 x cắt trục hoành tại điểm nào sau đây 4   3 A. A  ;0  . B. A ( 0;3 ) . C. A  0;  . 3   4

3  D. A  ;0  . 4 

Câu 43. Đồ thị hàm số y = 3 x + 2 cắt hai trục Ox , Oy lần lượt tại A và B . Tính diện tích tam giác OAB . 2 1 3 4 A. SOAB = . B. SOAB = . C. SOAB = . D. SOAB = . 3 2 2 3

A. y = −2 x − 2 .

B. y = x − 2 .

Câu 50. Đường thẳng y = 3 x − 2 không đi qua điểm nào sau đây? A. Q (1;1) .

B. N ( −2; −4 ) .

C. P ( 0; −2 ) .

Câu 51. Hàm số nào trong 4 phương án liệt kê ở A,B,C,D có đồ thị như hình trên:

Câu 44. Đồ thị hàm số y = 2 x + 4 cắt các trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại A, B . Diện tích S của tam giác OAB (với O là gốc tọa độ) là A. S = 8 B. S = 2 C. S = 4 D. S = 12 5

D. M ( −1; −5) .

A. y = x + 1 .

B. y = − x + 2 .

C. y = 2 x + 1 .

D. y = − x + 1 .

Câu 52. Hàm số y = 2 x − 1 có đồ thị là hình nào trong các hình sau? y

-2

A. y = 2 x − 2 . x

O −1

−1

Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 A. Hình 2 B. Hình 4.

O −1

Câu 57.

C. Hình 3.

B. y = −2 x + 2 .

C. y = − x − 2 .

D. y = x − 1 .

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Đường thẳng trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

D. Hình 1.

x Câu 53. Đồ thị của hàm số y = − + 2 là hình nào? 2 y

–4

x –2

Câu 54. Đồ thị hàm số nào song song với trục hoành? A. y = 4 x − 1 . B. y = 5 − 2 x . Câu 55.

Câu 58.

–4

4 –2

A. y = 3 − 3 x .

. y

C. y = −2 .

. D. x = 2 .

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Đồ thị trong hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

B. y = 3 − 2 x .

C. y = − 5 x + 3 .

D. y = x + 3 .

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Cho hàm số y = 2 x + 1 , điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số? A. (1; 0 ) B. ( −3;5 ) . C. ( − 2; − 3 ) . D. ( − 1;1) .

Câu 59. (THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Hàm số nào trong bốn phương án liệt kê ở A, B, C, D có đồ thị như hình bên A. y = − x + 2 . B. y = 2 x + 1 . C. y = x + 1 . D. y = − x + 1 . Câu 60. Cho hàm số y = 2 x − 3 có đồ thị là đường thẳng ( d ) . Xét các phát biểu sau

( I ) : Hàm số y = 2 x − 3 đồng biến trên R . ( II ) : Đường thẳng ( d ) song song với đồ thị hàm số 2 x + y − 3 = 0 . ( III ) : Đường thẳng ( d ) cắt trục Ox tại A ( 0; −3) . Số các phát biểu đúng là A. 2 . B. 0 .

C. 3 .

D. 1 .

Dạng 3.2 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối A. y = − x + 1 .

B. y = 2 x + 1 .

C. y = x + 1 .

Câu 56. Đồ thị sau đây biểu diễn hàm số nào?

D. y = − x + 2 .

Câu 61. Đường gấp khúc trong hình vẽ là dạng đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê trong các phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Tìm hàm số y = f ( x ) có đồ thị trùng với đường đi của tia sáng nói trên.  x khi x ≤ 0 A. y = f ( x ) =   2 x khi x > 0  − x khi x ≤ 0 C. y = f ( x ) =   −2 x khi x > 0 A. y = x − 1 .

B. y = − x + 1 .

C. y = − x − 1 .

D. y = 1 − x . Câu 67. Cho hàm số f ( x ) = 2 ( m − 2 ) x +

Câu 62. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?

 x khi x > 0 B. y = f ( x ) =   2 x khi x ≤ 0  − x khi x > 0 D. y = f ( x ) =   −2 x khi x ≤ 0 m x−3

x−3 f ( x ) > 0 với mọi x thuộc đoạn [1; 2 ] ? A. 0 B. 1

C. 2

D. 3

Câu 68. Cho hàm số  −2 x − 3 khi x ≤ −1  2 x + 1 khi − 1 ≤ x ≤ 0  f ( x) =  .  − x + 1 khi 0 < x ≤ 1  x − 1 khi x > 1 Xét các khẳng định sau: (I) max f ( x ) = 1

 x − 2, khi x ≥ 1  x + 2, khi x ≥ 1 A. y =  . B. y =  .  − x, khi x < 1  x, khi x < 1  x − 2, khi x ≥ 1  x, khi x ≥ 1 C. y =  . D. y =  .  − x, khi x < 1 − x, khi x < 1 Câu 63. Đồ thị bên là đồ thị của hàm số nào?

. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để

ℝ

(II) min f ( x ) = −1 ℝ

(III) max f ( x ) = 1

(IV) min f ( x ) = 0

[ −1;0] [0;1]

Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng? A. 1 B. 2 C. 3

x O A. y = x + 1 .

B. y = 2 x + 1 .

1 C. y = 2 x + 1 .

D. y = x + 1

Câu 64. Hàm số y = − x − 3 + 2 x + 1 + x + 1 đồng biến trong khoảng nào dưới đây? A. ( −∞; +∞ )

B. ( −3; +∞ )

C. ( −1; +∞ )

 1  D.  − ; +∞   2 

Câu 65. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 x − 1 − 2 x + 2 = m có hai nghiệm phân biệt. A. m ∈ ( 6; +∞ ) B. m ∈ ( −4; +∞ ) C. m ∈ ( −1; +∞ ) D. m ∈ (1; +∞ ) Câu 66. Một tia sáng chiếu xiên một góc 45° đến điểm O trên bề mặt của một chất lỏng thì bị khúc xạ như hình dưới đây. Ta lập hệ tọa độ Oxy như thể hiện trên hình vẽ.

D. 4

Câu 69. Cho hàm số f ( x ) = − x + x + 2 − x − 2 . Biết S = ( −∞; a ) ∪ ( b; c ) (với a < b < c ) là tập hợp tất cả các giá trị của x mà tại đó hàm số có giá trị dương. Tìm a + b + c . A. a + b + c = 0 B. a + b + c = −2 C. a + b + c = 2 D. a + b + c = 4 Dạng 4. Xác định hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 4.0 Xác định điều kiện để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất Câu 70. Hàm số f ( x ) = ( m − 1) x + 2m + 2 là hàm số bậc nhất khi khi nào? A. m ≠ −1 .

B. m > 1 .

C. m ≠ 1 .

D. m ≠ 0 .

Câu 71. Với giá trị nào của m thì hàm số y = ( 2 − m ) x + 5m là hàm số bậc nhất A. m < 2 .

B. m > 2 .

C. m ≠ 2 .

D. m = 2

Câu 72. Tìm một hoặc nhiều giá trị của tham số m để các hàm số sau đây là hàm bậc nhất: m −1 a) y = 4 − m ( x − 17 ) . b) y = 2 x − 2006,17 . m +9 Hãy chọn câu trả lời đúng. A. a ) m = 6; b) m = 7 . B. a ) m = −14; b) m = 17 . C. a ) m = 6; b ) m = 27 . D. a ) m = −5; b) m = 1 .

Dạng 4.1 Đi qua 2 điểm cho trước Câu 73.

A. x + y − 3 = 0 .

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Một hàm số bậc nhất

y = f ( x ) có

f ( −1) = 2; f ( 2 ) = −3 . Hàm số đó là: A. y = −2 x + 3 .

B. f ( x ) =

−5 x + 1 . 3

C. y = 2 x − 3 .

D. f ( x ) =

−5 x − 1 . 3

Câu 74. (THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Với giá trị nào của a, b thì đồ thị hàm số y = ax + b đi qua các điểm A( −2;1), B (1; −2) ? A. a = 2 và b = 1 . B. a = −1 và b = −1 . C. a = −2 và b = −1 . D. a = 1 và b = 1 . Câu 75.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Biết đồ thị của hàm số y = ax + b qua hai điểm A ( 0; − 3) , B ( −1; − 5) . Giá trị của a, b bằng bao nhiêu? A. a = 2; b = −3 .

B. a = −2; b = 3 .

C. a = 2; b = 3 .

D. a = 1; b = −4 .

Câu 76. Cho hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua hai điểm A(1;1) , B (−2; −5) . Tìm a , b . A. a = −2; b = 1 B. a = 1, b = −2 C. a = 2, b = −1 D. a = −1, b = 2 Câu 77. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A ( 3;1) , B ( −2; 6 ) là A. y = x − 4 .

B. y = 2 x + 2 .

C. y = − x + 4 .

D. y = − x + 6 .

C. x − y − 3 = 0 .

D. x − y + 3 = 0

Dạng 4.2 Đi qua 1 điểm cho trước và song song (vuông góc, cắt, đối xứng…) với một đường thăng khác

Câu 84. Đường thẳng đi qua điểm A (1; 2 ) và song song với đường thẳng y = −2 x + 3 có phương trình là A. y = −2 x − 4 .

B. y = −2 x + 4 .

C. y = −2 x + 5 .

D. y = 2 x .

Câu 85. Tìm a và b biết rằng đường thẳng y = ax + b đi qua M (1; −1) và song song với đường thẳng y = 2x + 3 .

a = −1 A.  . b = 2

a = 2 B.  .  b = −3

a = 2 C.  . b = 4

a = 2 D.  . b = 3

Câu 86. Biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm M (1; 4 ) và có hệ số góc bằng −3 . Tích P = ab ? A. P = 13 .

B. P = 21 .

C. P = 4 .

D. P = −21 .

(

)

Câu 87. Đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục hoành tại điểm x = 3 và đi qua điểm M −2; 4 với các giá trị a,b là

1 ; b = 3. 2 1 C. a = − ; b = − 3 . 2 A. a =

Câu 78. Cho hàm số y = ax + b có đồ thị là hình bên. Giá trị của a và b là.

B. x + y + 3 = 0 .

1 B. a = − ; b = 3 . 2 1 D. a = ; b = −3 . 2

Câu 88. Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = ( m 2 − 3 ) x + 3m + 1 song song với đường thẳng y = x − 5 .

A. m = ±2 .

B. m = ± 2 .

C. m = −2 .

D. m = 2 .

Câu 89. Tìm biểu thức xác định hàm số y = f ( x ) , biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng đối xứng với

A. a = −2 và b = 3 .

B. a =

−3 và b = 2 . 2

C. a = −3 và b = 3 .

D. a =

3 và b = 3 . 2

Câu 79. Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm M ( −1,3) và N (1; 2 ) 1 5 A. y = − x + . 2 2

B. y = x + 4 .

C. y =

3 9 x+ . 2 2

Câu 80. Tìm m để đồ thị hàm số y = (m − 1) x + 3 m − 2 đi qua điểm A( −2; 2) B. m = 1 . C. m = 2 . A. m = −2 .

D. y = − x + 4 .

D. m = 0 .

Câu 81. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm: A ( −100; 2 ) và B ( 4; 2 ) là A. y = −3 x + 1 .

2 C. y = − x . 3

B. y = 2 .

Câu 82. Đồ thị hàm số nào sau đây đi qua 2 điểm A ( −1; 2 ) và B ( 0; −1) ? A. y = x + 1 . B. y = x − 1 . C. y = 3 x − 1 Câu 83. Đường thẳng đi qua 2 điểm A (1; 2 ) và B ( 2;1) có phương trình là: 11

D. y = − x + 4 .

đường thẳng y = 0,5 x − 2 qua trục tung. −1 x−2 A. y = f ( x ) = 2 x − 4 B. y = f ( x ) = 2 1 C. y = f ( x ) = x − 2 D. y = f ( x ) = 2 x + 4 2 1 Câu 90. Đường thẳng đi qua điểm M ( 2; − 1) và vuông góc với đường thẳng y = − x + 5 có phương trình 3 là A. y = 3 x − 7 . B. y = 3 x + 5 . C. y = −3 x − 7 . D. y = −3 x + 5 .

Câu 91. Cho hàm số y = x − x . Trên đồ thị của hàm số lấy hai điểm A và B hoành độ lần lượt là −2 và 1. Phương trình đường thẳng AB là? 3x 3 3x 3 − . A. y = B. y = − + . 4 4 4 4

C. y =

4x 4 − . 3 3

D. y = −

4x 4 + . 3 3

Dạng 4.3 Liên quan đến diện tích, khoảng cách D. y = −3 x − 1 . Câu 92. Cho hai đường thẳng d1 : y = mx − 4 và d 2 : y = − mx − 4 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để tam giác tạo thành bởi d1 , d 2 và trục hoành có diện tích lớn hơn hoặc bằng 8 ? 12

A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Câu 93. Tìm t ất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx + m − 1 tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2 . A. m ∈ {−1} . B. m ∈ −1;3 ± 2 2 . C. m ∈ 3 ± 2 2 . D. m ∈ {−1;1} .

{

}

{

(

}

Câu 94. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2m +1 cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 12,5 bằng B. 1. C. 3 . D. − 5 . A. 5 . Câu 95.

Câu 5. Câu 6.

(

Câu 98. Tìm phương trình đường thẳng d : y = ax + b . Biết đường thẳng d đi qua điểm I (1;3) và tạo với hai tia Ox , Oy một tam giác có diện tích bằng 6 ?

(

A. y = −3 x + 6 .

(

)

B. y = 9 − 72 x + 72 − 6 .

)

C. y = 9 + 72 x − 72 − 6 .

D. y = 3 x + 6 .

Câu 99. Cho đường thẳng d : y = ax + b đi qua điểm I ( 3;1) , cắt hai tia Ox , Oy và cách gốc tọa độ một khoảng bằng 2 2 . Tính giá trị của biểu thức P = 2a + b 2 . A. P = 16 . B. P = 14 . C. P = 23 .

D. P = 19 .

Câu 100. Đường thẳng d : y = ax + b đi qua điểm I (1;3) , cắt hai tia Ox , Oy và cách gốc tọa độ một khoảng bằng 5 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. a2 + b2 = 9 . B. a 2 + b2 = 1 . C. a2 + b2 = 3 .

D. a2 + b2 = 7 .

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

)

x 5 1 2x + 5 x Hàm số y = − ⇔ y = + có hệ số góc a = > 0 nên đồng biến trên ℝ . 3 2 6 6 6 1 3+ x −1 Hàm số y = − có hệ số góc a = < 0 nên nghịch biến trên ℝ . 2 5 5 Vậy có tất cả 2 hàm số đồng biến trên ℝ . Đáp án B.

Câu 96. Đường thẳng d : y = ( m − 3) x − 2m + 1 cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho tam giác D. 2 .

Hàm số y = 2 x + 3 có hệ số góc a = 2 > 0 nên đồng biến trên ℝ . Hàm số y = 1 − 0,3x có hệ số góc a = −0,3 < 0 nên nghịch biến trên ℝ . Hàm số y = 1 − 2 ( x − 1) + 1 có hệ số góc a = 1 − 2 < 0 nên nghịch biến trên ℝ .

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Đường thẳng d : y = ( m − 3) x − 2m + 1 cắt hai trục

Câu 97. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2m + 1 tạo với hệ trục tọa độ 25 . Oxy tam giác có diện tích bằng 2 A. 5 . B. −1. C. 3 . D. 1.

)

Ta thấy m2 + 1 ≥ 1 > 0 ∀m nên hàm số y = m2 + 1 x − 3 đồng biến trên ℝ .

toạ độ tại hai điểm A và B sao cho ∆OAB cân. Khi đó, số giá trị của tham số m thoả mãn là: A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 .

OAB cân. Khi đó, số giá trị của m thỏa mãn là A. 1. B. 0 . C. 3 .

Ta thấy hàm số f ( x ) = 4 − 3x là hàm số bậc nhất có hệ số a = −3 < 0 nên hàm số nghịch biến trên ℝ. Chọn B

Dạng 1.2 Định m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R Chọn D Ta có: y = mx + 1 − x = ( m − 1) x + 1 . Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ m − 1 > 0 ⇔ m > 1 Câu 8. Chọn C Để hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi 2019 − m > 0 ⇔ m < 2019 . Vậy có 2019 số tự nhiên thỏa mãn. Câu 9. Chọn B Câu 10. Chọn B 1 Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi 2m − 1 > 0 ⇔ m > . 2 Câu 11. Chọn D Ta có: y = ( 2 − m ) x + 5m đồng biến trên ℝ .

Câu 7.

⇔ 2−m > 0 ⇔ m < 2. Chọn A Ta có hàm số bậc nhất nghịch biến trên tập xác định ⇔ k − 1 < 0 ⇔ k < 1 Câu 13. Chọn C Hàm số y = ( 3 − m ) x + 2 có dạng hàm số bậc nhất. Câu 12.

Câu 14.

Để hàm số nghịch biến trên ℝ thì 3 − m < 0 ⇔ m > 3 . Chọn A Điều kiện xác định của hàm số là 2 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 (*) . Hàm số y = ( m − 1) x − 2 − m có dạng hàm số bậc nhất.

Dạng 1. Chiều biến thiên của hàm số bậc nhất

Dạng 1.1 Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Câu 1. Chọn D Hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) đồng biến trên R khi và chỉ khi a > 0 . Câu 2. Chọn C Chỉ hàm số y = −π x + 3 có hệ số góc âm nên nghịch biến trên ℝ . Câu 3. Chọn D Hàm số y = 3 x + 5 có hệ số góc a = 3 > 0 nên đồng biến trên ℝ , suy ra đáp án D sai. Câu 4. Chọn C 13

Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ m − 1 > 0 ⇔ m > 1 . Kết hợp với điều kiện (*) chọn A. Câu 15. Chọn C

m + 2 > 0 Hàm số có dạng y = ax + b , nên để hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi  2 − m ≥ 0 m > −2 ⇔ . Mặt khác do m ∈ ℤ nên m∈ {−1; 0; 1; 2} . Vậy có 4 giá trị nguyên của m . m ≤ 2 Câu 16. Chọn C a > 0 a > 0 Để hàm số đồng biến trên ℝ khi  ⇔ ⇔ 0 < a ≤ 1. 1 − a ≥ 0 a ≤ 1 14

Câu 17.

Chọn B Hàm số f ( x ) nghịch biến trên R khi và chỉ khi m − 1 < 0 ⇔ m < 1 .

Câu 18.

Chọn C Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ 1 − m 2 > 0 ⇔ m 2 < 1 ⇔ −1 < m < 1 . Câu 19. Chọn C Tập xác định: D = ℝ . Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi − ( m − 1) > 0 ⇔ m < 1 . Câu 20.

Chọn C Để hàm số f ( x ) = ( m + 1) x + m − 2 đồng biến thì m + 1 > 0 ⇔ m > −1 . Theo giả thiết m ∈ ℤ và m ∈ [ −3;3] nên m ∈ {0;1; 2;3} .

Câu 21.

Câu 22.

Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn. Chọn C Hàm số y = ( m − 1) x − 2018 − m đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi

m − 1 > 0 m > 1 ⇔ ⇔ 1 < m ≤ 2018 .  − m ≥ 2018 0   m ≤ 2018 Chọn B. 5 Hàm số y = ( 2m + 5 ) x − m 2 + 2017 đồng biến trên ℝ ⇔ 2m + 5 > 0 ⇔ m > − . 2 Suy ra giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m thỏa mãn là m = −2 .

Câu 23.

5 − 3x −3 có hệ số góc a = . Hàm số nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi 5 − 3m 5 − 3m −3 5 < 0 ⇔ 5 − 3m > 0 ⇔ m < . D là đáp án đúng. 5 − 3m 3 5 5 5 − 3x Cách 2: Rõ ràng m phải khác . Với m = 1 < , hàm số có dạng y = có hệ số góc 3 3 2 −3 a= < 0 nên nghịch biến trên ℝ . Từ đó suy ra đáp án đúng là D. 2 Đáp án D. Cách 1: Hàm số y =

 m 2 − 3m = − 2  m 2 − 3m + 2 = 0 ⇔ ⇔ m =1.  3 ≠ m + 1 m ≠ 2 Vậy có 1 giá trị của tham số m để hai đường thẳng song song với nhau. Đáp án B. Câu 27. Đáp án D. 1 3 y 6 x +1 = 0 ⇔ y = 2x − ; − Ta có: 3 −1 2y + x = 6 ⇔ y = x + 3 ; 2 2x − y = 1 ⇔ y = 2x −1. Do đó có 3 cặp đường thẳng song song, đó là: 3 y − 6 x + 1 = 0 và 2 x − y = 1; y = −0,5x − 4 và 2 y + x = 6 ; 2 y = 3 + và y = 0,5 x + 1 . x Câu 28. Chọn A 1 Ta có: ≠ 2 suy ra hai đường thẳng cắt nhau. 2 Câu 29. Chọn A *) Gọi A = d1 ∩ d 2 . Ta dễ dàng tìm được A ( −1;1) .

Câu 26.

( d1 ) , ( d2 ) và ( d3 ) đồng quy ⇒ ( d3 ) qua

 y = 2x −1  x = 3 ⇔ . Suy ra A ( 3;5) .  y = 8− x y = 5 Để d1 , d 2 , d3 đồng quy thì A ( 3;5 ) ∈ d3 :( 3 − 2m ) .3 + 2 = 5 ⇔ m = 1 . Câu 31.

 2  2 −1 x + 2 ⇔ y = 2 x + 2; y = −  x − 3  ⇔ y = x +3. Câu 24. Ta có: y = 2 2 2   Từ đó ta thấy có 2 cặp đường thẳng song song, đó là: 1 1 2 x − 1; y = x + 2 và y = 2 x − 2 . y= x + 1 và y = 2 2 2 Đáp án C. Câu 25. Chọn D.

 m 2 − 4 = −3 Hai đường thẳng y = −3 x + 2 và y = ( m 2 − 4 ) x − 2m song song với nhau ⇔  −2m ≠ 2  m = ±1 ⇔ ⇔ m =1.  m ≠ −1 15

A ⇔ −m + 1 − m + 3 = 0 ⇔ m = 2 .

*)Thử lại: Với m = 2 thì ( d1 ) : 3x − 4 y + 7 = 0 , ( d 2 ) : 5 x + y + 4 = 0 , ( d 3 ) : 2 x − y + 3 = 0 Vì ( d1 ) , ( d 2 ) và ( d3 ) là ba đường thẳng phân biệt cùng đi qua điểm A(-1;1) nên ba đường thẳng này đồng quy. Vậy m = 2 thỏa đề bài. Câu 30. Chọn B Giả sử A = d1 ∩ d 2 , khi đó tọa độ A là nghiệm hệ phương trình:

Dạng 2. Vị trí tương đối, sự tương giao giữa các đường thẳng, điểm cố định của họ đường thẳng

Dạng 2.1 Vị trí tương đối

( d ) / / ( d ' ) khi và chỉ khi

Chọn D Gọi d1 : y = −5x − 5 , d2 : y = 3x + a , d3 : y = ax + 3 ( a ≠ 3) . Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và d 2 : −5 x − 5 = 3 x + a ⇔ x =

−a − 5 . 8

 −a − 5 5a − 15  ; Giao điểm của d1 và d 2 là A  . 8   8 Câu 32. Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đường thẳng y = −5 (x + 1) , y = 3x + a là : −5x − 5 = 3x + a ⇔ −8x − a = 5 (1) Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đường thẳng y = 3x + a , y = ax + 3 là: ax + 3 = 3x + a ⇔ (a − 3) x = a − 3 ⇒ x = 1 (a ≠ 3) . 16

Thế x = 1 vào (1) ta được: −8 − a = 5 ⇔ a = −13 (n ) . Vậy a = −13 .

Câu 33.

Câu 34.

Câu 35.

Câu 36.

Câu 37.

Câu 38.

Chọn D  y = 1 − 2x x = 3 3  Điều kiện đồng quy là hệ sau có nghiệm  y = x − 8 ⇔ ⇒m=− 2  y = −5  y = 3 + 2m x − 5 ( )  Chọn D  1 1 = + a 1 1 Các đường thẳng x = y + a và y = x + b cắt nhau tại điểm (1; 2) ⇔  2 4 4 2 = 1 + b  4 9 ⇒ a+b = . 4 Chọn B Trục hoành có phương trình: y = 0 .  y + x = m x = m ⇔ Xét hệ phương trình:  . y = 0 y = 0 Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi: 0 = m2 − 3 ⇔ m2 = 3 ⇔ m = ± 3 . Chọn A − m ≠ 1  m ≠ −1 Ba đường thẳng trên phân biệt và cắt nhau khi và chỉ khi  ⇔ . m − ≠ 3   m ≠ −3 Phương trình hoành độ giao điểm của d và d ′ là: x + 2m = 3 x + 2 ⇔ 2 x = 2m − 2 ⇔ x = m − 1 ⇒ y = 3m − 1. Ba đường thẳng trên đồng quy khi và chỉ khi đường thẳng d ′′ đi qua điểm có tọa độ là ( m − 1;3m − 1) ⇔ 3m − 1 = −3 ( m − 1) + 2 ⇔ 6m = 6 ⇔ m = 1 (thỏa mãn điều kiện). Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. Chọn B Đồ thị hàm số y = 2 x + 1 là đường thẳng có hệ số góc a = 2 . 1 1 Đồ thị hàm số y = x + 1 là đường thẳng có hệ số góc a ' = . 2 2 a ≠ a ' 1 Do  nên đồ thị hai hàm số y = 2 x + 1 và y = x + 1 cắt nhau. 2 a.a ' = 1 5 Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y = x + và 2 5 3 y = 4 x − 2 : x + = 4 x − 2 . Giải phương trình tìm được x = . 2 2 3  Suy ra ba đường thẳng đã cho đồng quy tại điểm I  ; 4  . 2  3 2. + m 2x + m 3  Đường thẳng y = đi qua điểm I  ; 4  ⇔ 2 = 4 ⇔ m = 9. 3 3 2  Vậy m có 3 ước nguyên dương. Đáp án D.

Dạng 2.2 Sự tương giao Câu 39. x = −2 ⇒ y = 1 ⇒ ( d ) đi qua điểm A ( −2;1) ; y = −2 ⇒ −3 x + 4 = −2 ⇒ x = 2 ⇒ ( d ) đi qua điểm B ( 2; −2 ) .

−3  a = 4  −2a + b = 1 −7 Từ đó ta có hệ  ⇔ ⇒ 4a + b = . 2  2a + b = −2 b = −1  2 Đáp án A.

Câu 40. Phương trình hoành độ giao điểm của ( d ) và ( d ') : x + 1 = − x + 3 ⇔ x = 1 . Với x = 1 thì y = 1 + 1 = 2 . Ta có C = (1; 2 ) . Dễ thấy A = ( −1; 0 ) và B = ( 3; 0 ) . Diện tích tam giác ABC là S =

Câu 41.

Đáp án C. Đáp án C. Cách 1: f ( x − 1) = − x + 3 ⇔ a ( x − 1) + b = − x + 3 ⇔ ax − a + b = − x + 3  a = −1  a = −1 ⇔ ⇔  −a + b = 3 b = 2 Vậy a + b = 1 . Cách 2: f ( x − 1) = − x + 3 ⇔ f ( x − 1) = − ( x − 1) + 2

Suy ra f ( x ) = − x + 2 . Vậy a = −1; b = 2 ⇒ a + b = 1 .

Câu 42. Chọn D Đồ thị hàm số cắt trục hoành: y = 0 ⇔ 3 − 4 x = 0 ⇔ x = Câu 43.

3 3  . Điểm A  ;0  . 4 4 

Chọn A 2 2 Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là: A  − ; 0  . Do đó OA = 3  3  Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là: B ( 0; 2 ) . Do đó OB = 2 Diện tích tam giác OAB là:

Câu 44. 17

1 1 AB.CH = .4.2 = 4 . 2 2

Chọn

1 1 2 2 OA.OB = . .2 = . 2 2 3 3

C. 18

Ta có A = ( −2; 0 ) và B = ( 0; 4 ) . 1 1 Vậy S∆OAB = OA.OB = .2.4 = 4 . 2 2

Dạng 2.3 Điểm cố định của họ đường thẳng Câu 45. Chọn B Ta có phương trình của đường thẳng đã cho: d m : y = ( m − 2) x + 2m − 3 = ( x + 2)m − 2 x − 3 Vì các đường thẳng dm luôn đi qua điểm I nên ta tìm x để m bị triệt tiêu ⇒ I ( −2; 1) ⇒ S = −1 ⇒ Chọn B Câu 46. Cách 1: Giả sử M = ( x0 ; y0 ) ; ( d ) luôn đi qua M với mọi m khi và chỉ khi:

Chọn D Từ đồ thị hàm số nhận thấy hàm số là nghịch biến và đi qua điểm (0;1) nên có dạng y = − x + 1 . Câu 52. Chọn D Hàm số y = 2 x − 1 có hệ số a = 2 > 0 nên hình 3, hình 4 không thỏa mãn. Trong hình 2 ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa (1;0 ) mà điểm (1;0 ) không thuộc đồ thị

y0 = ( m − 1) x0 + 2m − 3 ∀m ⇔ ( x0 + 2 ) m = y0 + x0 + 3 ∀m

 x0 + 2 = 0  x0 = −2 . ⇔ ⇔  y0 + x0 + 3 = 0  y0 = −1

Vậy M = ( −2; −1) ⇒ OM =

( −2 )

Câu 53. 2

+ ( −1) = 5 .

Cách 2: ( d ) : y = ( m − 1) x + 2 m − 3 ⇔ y = m ( x + 2 ) − x − 3 .

Câu 54.

Ta thấy với x = −2 thì y = −1 ∀m . Vậy M = ( −2; −1) ⇒ OM =

Câu 47.

( −2 )

+ ( −1) = 5 .

Đáp án C. Ta có y = 2mx + 1 − m ⇔ y = m ( 2 x − 1) + 1 . Ta thấy với x =

Câu 56.

1 thì y = 1 ∀m . 2

1  Vậy M =  ;1 . 2  1 Do đó a = ; b = 1 ⇒ 2a + b = 2 . 2

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm ( 0; −2 ) nên b = −2. Do đó đáp án B và D sai.

Dạng 3.1 Đồ thị hàm số y = ax + b Câu 48. Chọn D x = 1 ⇒ f (1) = 0; x = 0 ⇒ f (0) = −1 Chọn C Gọi d là đường thẳng có đồ thị như hình vẽ trên. Dựa vào đồ thị thấy d đi qua (1; 0 ) ; ( 0, −2 ) . Nên d có phương trình là: y = 2 x − 2 .

Câu 50.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;0 ) nên đáp án C sai, A đúng. Chọn B  b=3  b=3  3 ⇔ Đường thẳng y = ax + b đi qua M ( 0;3) và N  ; 0  nên  3 . a + b = 0 2  a = −2  2 Vậy đường thẳng cần tìm là y = 3 − 2 x . Câu 58. Chọn C Xét A: thay x = 1 ta được y=3. Nên A sai. Xét B: Thay x = −3 ta được y = − 5 . Nên B sai. Xét C: Thay x = −2 ta được y = − 3 . Nên C đúng. Xét D: Thay x = −1 ta được y = −1 . Nên D sai. Câu 59. Câu 57.

Dạng 3. Đồ thị hàm số bậc nhất

Câu 49.

Câu 55.

hàm số y = 2 x − 1 , nên ta loại hình 2. Vậy chọn hình 1. Chọn A x = 0 ⇒ y = 2 ⇒ Đồ thị hàm số đi qua hai điểm ( 0;2 ) , ( 4;0) . Cho  y = 0 ⇒ x = 4 Chọn C y = −2 là hàm hằng, đồ thị có tính chất song song với trục hoành. Chọn A Dựa vào đồ thị, ta thấy rằng: * Đây là đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b với a < 0 ( loại đáp án B, C ). * Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên chỉ có đồ thị hàm số y = − x + 1 thỏa mãn. Chọn A Đồ thị của hàm số đã cho có dạng y = ax + b ( a ≠ 0 ) .

Chọn B A. y (1) = 3.1 − 2 = 1 ⇒ đường thẳng y = 3 x − 2 đi qua Q (1;1) . B. y ( −2 ) = 3. ( −2 ) − 2 = −8 ≠ −4 ⇒ đường thẳng y = 3 x − 2 không đi qua N ( −2; −4 ) . C. y (1) = 3.0 − 2 = −2 ⇒ đường thẳng y = 3 x − 2 đi qua P ( 0; −2 ) . D. y ( −1) = 3. ( −1) − 2 = −5 ⇒ đường thẳng y = 3 x − 2 đi qua M ( −1; −5) .

Câu 51. 19

 x + 3 khi x ≥ −3  x + 1 khi x ≥ −1  2 x + 1 khi x ≥ −1 / 2 x+3 =  ; x +1 =  ; 2x + 1 =  − x − 3 khi x < −3 − x − 1 khi x < −1 −2 x − 1 khi x < −1/ 2 Từ đó ta có bảng sau: −1 x −3 −∞ +∞ −1 2 x+3 −x − 3 x+3 x+3 x+3

Chọn D Gọi d : y = ax + b

Đồ thị hàm số cắt các trục tọa độ lần lượt tại A(0;1) và B (1; 0)  A (0;1) ∈ d    b = 1 b = 1  ⇔ ⇔ ⇒ d : y = −x + 1 .       a b + = 0 B 1;0 ∈ d ( )    a = −1   Câu 60. Chọn D

- Hàm số y = 2 x − 3 có hệ số a = 2 > 0 nên hàm số đồng biến trên R ⇒ ( I ) đúng.

 3   y = 2x − 3 x = ⇔ - Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình  2 ⇒ ( d ) cắt đồ thị 2 x + y − 3 = 0  y = 0  3  hàm số 2 x + y − 3 = 0 tại điểm  ; 0  ⇒ ( II ) sai. 2  - Giao Ox : cho y = 0 ⇔ 2 x − 3 = 0 ⇔ x =

x +1

−x −1

x +1

2x +1 y

−2 x − 1

2x +1

−4 x − 5

−2 x + 1

4x + 5

 1  Từ bảng trên suy ra hàm số đã cho đồng biến trong khoảng  − ; +∞  .  2  Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay (chức năng TABLE) để tìm khoảng đồng biến của hàm số (xem lại Bài 1 - Đại cương về hàm số). Đáp án D. Câu 65. Đáp án B. Ta có bảng sau:

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số:

3 3  ⇒ giao Ox tại điểm  ;0  ⇒ ( III ) sai. 2 2 

Vậy số các phát biểu đúng là 1.

Dạng 3.2 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu 61. Chọn D Đồ thị hàm số đi qua các điểm ( 0;1) và (1;0 ) nên chỉ có hàm số y = 1 − x thỏa mãn. Câu 62. Chọn C Bảng biến thiên: x y

∞ ∞

+∞ +∞

Câu 63.

Câu 64.

Chọn B Đồ thị nhận trục Oy là trục đối xứng nên hàm số tương ứng là hàm chẵn nên loại phương án C, D. Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;3) . Thay vào B thấy thỏa mãn nên chọn B. Ta có y = − x − 3 + 2 x + 1 + x + 1 = x + 3 + 2 x + 1 + x + 1 . Lại có:

Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m ∈ ( −4; +∞ ) .

Câu 66.

Đáp án C. Nửa đường đi của tia sáng nằm phía trên trục hoành (ứng với x ≤ 0 ) đi qua gốc tọa độ và điểm ( −1;1) nên có phương trình y = − x . Nửa đường đi của tia sáng nằm phía dưới trục hoành (ứng với x ≥ 0 ) đi qua gốc tọa độ và điểm (1; −2 ) nên có phương trình y = −2 x . Vậy hàm số y = f ( x ) có đồ thị trùng với đường đi của tia sáng đã cho là

 − x khi x ≤ 0 y = f ( x) =  .  −2 x khi x > 0 Câu 67. Đáp án A. Với x ∈ [1; 2 ] thì x − 3 < 0 ⇒ x − 3 = − ( x − 3) .

Do đó f ( x ) = 2 ( m − 2 ) x − m .

Đặt h ( x ) = 2 ( m − 2 ) x − m . Ta cần tìm m sao cho h ( x ) > 0 với mọi x ∈ [1; 2 ] (1).

Gọi A (1; h (1) ) và B ( 2; h ( 2 ) ) là hai điểm thuộc đồ thị của hàm số y = h ( x ) . Khi đó đồ thị hàm số y = h ( x ) là đường thẳng AB. Do đó điều kiện (1) có nghĩa là đoạn thẳng AB nằm hoàn toàn phía trên trục hoành. Điều này xảy ra khi và chỉ khi cả hai đầu mút A, B của đoạn thẳng đều nằm h (1) = m − 4 > 0 phía trên trục hoành, có nghĩa là  . h ( 2 ) = 3m − 8 > 0

Điều kiện hàm số bậc nhất là 2 − m ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 Câu 72.

Giải hệ tìm được m > 4 . Vậy không có giá trị nguyên âm nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B Ta cần có: a) 4 − m > 0 ⇔ m < 4 . m −1 b) 2 ≠ 0 ⇔ m ≠1 m +9

Dạng 4.1 Đi qua 2 điểm cho trước Câu 73. Câu 74. Câu 68.

Chọn B Chọn B

−2a + b = 1 a = −1 ⇔ Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( −2;1), B (1; −2) nên ta có:  . a + b = −2 b = −1 Vậy a = −1 và b = −1 là giá trị cần tìm. Câu 75. Chọn A Vì đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A ( 0; − 3) , B ( −1; − 5) nên ta có:

Đáp án C. Ta có bảng biến thiên của hàm số:

a.0 + b = −3 a = 2 ⇔ .  a. ( −1) + b = −5 b = −3 Từ đó suy ra: min f ( x ) = −1 , max f ( x ) = 1 và min f ( x ) = 0 , còn giá trị lớn nhất của hàm số trên ℝ thì ℝ

[ −1;0]

Câu 76.

Chọn C. d : y = ax + b  A (1;1) ∈ d  a + b = 1 a = 2    ⇔ ⇔ .       a b − 2 + = − 5 B − 2; − 5 ∈ d ( )    b = −1  

Câu 77.

Chọn C Giả sử phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A ( 3;1) , B ( −2; 6 ) là: y = ax + b .

[0;1]

không tồn tại. Vậy có 3 khẳng định đúng. Câu 69. Đáp án A. Ta có bảng sau: − x − 4 khi x < −2  Vậy f ( x ) =  x khi − 2 ≤ x < 2 . − x + 4 khi x ≥ 2  Từ đó ta có đồ thị của hàm số:

a = −1 1 = a.3 + b Khi đó:  . ⇔ 6 = a . − 2 + b ( ) b = 4  Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = − x + 4 . Câu 78. Chọn D Từ đồ thị hàm số nhận thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0;3) nên b = 3 Mặt khác hàm số đồng biến nên a > 0 . 3 Vậy hàm số có đồ thị trên có a = và b = 3 . 2 Câu 79. Chọn A 1 5 Dễ kiểm tra được cả hai điểm đã cho thuộc đường thẳng y = − x + . 2 2 Câu 80. Chọn C Điểm A(−2; 2) thuộc đồ thị hàm số nên 2 = (m − 1)(−2) + 3m − 2 ⇔ m = 2 .

Suy ra S = ( −∞; −4 ) ∪ ( 0; 4 ) . Vậy a = −4, b = 0, c = 4 . Do đó a + b + c = 0 . Dạng 4. Xác định hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Câu 81.

Chọn B Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B là y = 2 .

Câu 82.

Chọn D Gọi đường thẳng đi qua hai điểm A ( −1; 2 ) và B ( 0; −1) có dạng: y = ax + b ( d ) .

Dạng 4.0 Xác định điều kiện để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất Câu 70.

Chọn C Hàm số f ( x ) = ( m − 1) x + 2m + 2 là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 . Câu 71. Chọn C 23

Áp dụng kết quả “Đường thẳng đi qua hai điểm A ( a; 0 ) và B ( 0; b ) , trong đó a, b là các số thực

Do A ( −1; 2 ) và B ( 0; −1) thuộc đường thẳng ( d ) nên a , b là nghiệm của hệ phương trình:  2 = −a + b  a = −3 ⇔ .   −1 = b b = −1 Vậy đồ thị hàm số đi qua hai điểm A ( −1; 2 ) và B ( 0; −1) là y = −3 x − 1 .

Câu 83.

x y + = 1 ”, ta có phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng a b x y y = 0,5x − 2 qua trục tung là: + =1 −4 −2 −1 ⇔ x + 2 y = −4 ⇔ y = x − 2 . 2 −1 x−2. Vậy y = f ( x ) = 2 Cách 2: Gọi d là đường thẳng y = 0, 2 x − 2 và d ' là đường thẳng đối xứng với d qua trục tung. Ta có nếu M ( x; 0,5 x − 2 ) ∈ d thì M ' ( − x; 0,5 x − 2 ) ∈ d ' .

khác 0, có phương trình là

Chọn A Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng ( d ) : y = ax + b

a + b = 2 a = −1 ⇔ → ( d ) : y = −x + 3 Vì ( d ) đi qua A (1; 2 ) , B ( 2;1) ⇒  2 a + b = 1  b = 3 Dạng 4.2 Đi qua 1 điểm cho trước và song song (vuông góc, cắt, đối xứng…) với một đường thăng khác Câu 84. Chọn B d song song với đường thẳng y = −2 x + 3 ⇒ d : y = −2 x + b d đi qua A (1; 2 ) ⇒ 2 = −2.1 + b ⇒ b = 4

Câu 85.

Câu 86.

Vậy d : y = −2 x + 4 . Chọn B ( d ) y = ax + b , ( ∆ ) y = 2 x + 3 .

−1   M ' = ( − x;0,5 x − 2 ) =  − x; ( − x ) − 2  2   −1 Vậy d ' : y = x−2. 2 Câu 90.

Chọn A Giả sử đường thẳng có phương trình y = ax + b .

a = 2 . Có ( d )∥( ∆ ) ⇔  b ≠ 3 Có M (1; −1) ∈ ( d ) ⇒ −1 = a + b , có a = 2 . Suy ra b = −3 (nhận).

1  1 Vì đường thẳng y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = − x + 5 nên ta có a  −  = −1 3  3 ⇔ a = 3 , (1) .

a = 2 Vậy  . b = −3

Mặt khác ta có đồ thị đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M ( 2; −1) nên ta có 2a + b = −1 , ( 2 ) .

Chọn D. Vì y = ax + b có hệ số góc bằng −3 nên a = −3 . Mà y = ax + b đi qua M (1; 4 ) nên y = −3 x + b ⇔ 4 = −3.1 + b ⇔ b = 7 .

Do đó P = a.b = −3.7 = −21. Câu 87. Chọn B

a = 3 a = 3 Từ (1) và ( 2 ) ta có  ⇔ . 2a + b = −1 b = − 7 Vậy đường thẳng có dạng y = 3 x − 7 . Câu 91. Chọn C Khi x = −2 ⇒ y = −2 − −2 = −4 ⇒ A ( −2; −4 ) . Khi x = 1 ⇒ y = 1 − 1 = 0 ⇒ B (1; 0 ) .

  1 3 = b   a = − . Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A (3; 0), M (−2; 4) nên ta có  ⇔ 2   4 = − 2 a + b   b=3     Câu 88. Chọn D Đường thẳng y = ( m 2 − 3 ) x + 3m + 1 song song với đường thẳng y = x − 5 khi và chỉ khi   m = −2 m 2 − 3 = 1 m2 = 4  ⇔ ⇔   m = 2 ⇔ m = 2 .  3m + 1 ≠ −5 3m ≠ −6  m ≠ −2  Câu 89. Đáp án B. Cách 1: Đường thẳng y = 0,5 x − 2 đi qua hai điểm là A ( 4; 0 ) và và B ( 0; −2 ) .

Điểm đối xứng với A, B qua trục tung lần lượt là A ' ( −4; 0 ) và B ' ( 0; −2 ) .

Phương trình đường thẳng AB có dạng: y = ax + b . A ( −2; −4 ) ∈ AB ⇒ −4 = −2a + b ⇒ b = 2a − 4

4 −4 ⇒b= 3 3 4x 4 − . Vậy phương trình đường thẳng AB là: y = 3 3 B (1; 0 ) ∈ AB ⇒ 0 = a + b ⇔ 0 = 3a − 4 ⇔ a =

Dạng 4.3 Liên quan đến diện tích, khoảng cách Câu 92. Chọn D Ta thấy rằng d1 và d 2 luôn cắt nhau tại điểm A ( 0; − 4 ) nằm trên trục tung. Nếu m = 0 thì d 1 và d 2 là hai đường thẳng trùng nhau nên d1 , d 2 và trục Ox không tạo thành tam giác (không thỏa mãn ycbt). 4   4  Do đó m ≠ 0 , giả sử d 1 cắt Ox tại B  ; 0  , d 2 cắt Ox tại C  − ; 0  . m   m  Tam giác tạo thành bởi d1 , d 2 và trục hoành là tam giác ABC . 26

1 1 8 16 Diện tích tam giác tạo thành là: S ∆ABC = OA.BC = .4. xB − xC = 2. . = 2 2 m m

Ta có S∆ABC ≥ 8 ⇔

 −2 ≤ m ≤ 2 16  m ≤ 2 . ≥8⇔  ⇔ m m ≠ 0  m ≠ 0

Do đó các giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán thuộc tập hợp S = {−2; − 1;1; 2} . Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 93. Chọn B  1− m  Gọi đường thẳng ∆ : y = mx + m − 1 ; ∆ ∩ Ox = A  ;0  , m ≠ 0 ; ∆ ∩ Oy = B ( 0; m − 1) .  m 

1   2m − 1 = 0 m= . ⇔ ⇔ 2   m −3 =1  m = 4, m = 2 1 Nhận xét: Với m = thì A ≡ B ≡ O ( 0; 0 ) nên không thỏa mãn. 2 Vậy m = 4, m = 2 . Vậy m = 4, m = 2 . Vậy m = 4, m = 2 . Câu 97. Chọn D Gọi. A , B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 2m + 1 với trục hoành và trục tung

OA =

1 1 ( m − 1) 1− m 2 . , OB = m − 1 ; S△OAB = OAOB ⇔ = 2 ⇔ ( m − 1) − 4 m = 0 (*) 2 m m 2

m = 3 + 2 2 TH1: m > 0 thì (*) ⇔ m − 6m + 1 = 0 ⇔   m = 3 − 2 2 2 TH2: m < 0 thì (*) ⇔ m + 2m + 1 = 0 ⇔ m = −1 ( n ) . 2

Câu 94.

m = 3 2 1 . 2m − 1 1 − 2m = 12,5 ⇔ 2m − 1 = 25 ⇔  2  m = −2

+) Vậy 3 + ( −2 ) = 1 .

Câu 95.

Chọn D Do tam giác OAB vuông tại O nên điều kiện cần để là ∆OAB cân là OA = OB , khi đó đường thẳng d tạo với trục ox góc 450 hoặc góc 1350 , suy ra hệ số góc của d là ±1 m − 3 = 1 m = 4 ⇔ ⇔ m − 3 = − 1  m = 2 Với m = 4 có d : y = x − 7 , cắt Ox , Oy tại A ( 7;0 ) , B ( 7;0 ) thoả mãn. Với m = 2 có d : y = − x − 3 , cắt Ox, Oy tại A ( −3;0 ) , B ( 0; −3) thoả mãn.

Câu 96.

Chọn D A = d ∩ Ox nên tọa độ A là nghiệm của hệ: 2m − 1   y = ( m − 3) x − 2m + 1  x =  2m − 1  ; 0 . ⇔ m − 3 nên A    m−3   y = 0  y = 0 B = d ∩ Oy nên tọa độ B là nghiệm của hệ:

 y = ( m − 3) x − 2m + 1  x = 0 ⇔ nên B ( 0; −2m + 1) .   y = −2m + 1  x = 0 Ta có OA = OB ⇔

 1  2m − 1 = −2m + 1 ⇔ 2m − 1  − 1 = 0  m−3 m − 3  

Theo giả thiết thì tam giác có diện tích bằng

( n) . ( n)

Vậy m = −1; m = 3 ± 2 2 sẽ thỏa yêu cầu bài toán. Chọn B +) Đồ thị hàm số cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại điểm có tọa độ là A ( 2m − 1; 0 ) , B ( 0;1 − 2m ) +) Diện tích tam giác OAB : S =

Suy ra A ( 2m − 1; 0 ) ; B ( 0;1 − 2m ) .

25 là tam giác OAB vuông tại O . 2

1 25 Do đó. SOAB = .OA.OB = 2 2 ⇔ OA.OB = 25 ⇔ 2m − 1 . 1 − 2m = 25 ⇔ 2m − 1 . 2m − 1 = 25

2m − 1 = 5 m = 3 2 ⇔ . ⇔ ( 2 m − 1) = 25 ⇔   2 m − 1 = −5  m = −2

Câu 98.

Chọn A. Do đường thẳng d đi qua điểm I (1;3) nên a + b = 3 ⇒ a = 3 − b .  b  Giao điểm của d và các tia Ox , Oy lần lượt là M  − ;0  và N ( 0; b )  a  a < 0  b  Vì M  − ;0  và N ( 0; b ) theo thứ tự thuộc các tia Ox , Oy nên có điều kiện   a  b > 3 1 1 b b2 2 2 . Mà S∆OMN = 6 ⇔ b = 12 a ⇔ b = 12 3 − b Do đó: S∆OMN = .OM .ON = . . b = 2 2 a 2a

b = 6 , a=-3 (nhaän) b 2 = 36 − 12b  ⇔ b = −6 + 72(loaïi) . ⇔ 2 b = −36 + 12b b = −6 − 72(loaïi)  ⇒ d : y = −3x + 6 . Câu 99. Chọn B Đường thẳng d : y = ax + b đi qua điểm I (1;3) ⇔ 1 = 3a + b. (1) Vì đường thẳng d : y = ax + b cắt hai tia Ox , Oy và cách gốc tọa độ một khoảng bằng a < 0, b > 0 .  b  Ta có d ∩ Ox = A  − ;0  ; d ∩ Oy = B ( 0; b ) .  a  b b Suy ra OA = − = − và OB = b = b (do A, B thuộc hai tia Ox , Oy nên a < 0, b > 0 ). a a Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng d . Xét tam giác AOB vuông tại O , có đường cao OH nên ta có 28

5 nên

1 1 1 1 a2 1 = + ⇔ = 2 + 2 ⇔ b 2 = 8a 2 + 8. ( 2 ) OH 2 OA2 OB 2 8 b b Từ (1) suy ra b = 1 − 3a . Thay vào ( 2 ) , ta được

 a = −1 . = 8a 2 + 8 ⇔ a 2 − 6a − 7 = 0 ⇔  a = 7 ( L) Với a = −1 , suy ra b = 4 . Vậy P = 2. ( −1) + 4 2 = 14 Câu 100. Chọn A

(1 − 3a )

→3 = a + b. (1) Đường thẳng d : y = ax + b đi qua điểm I (1;3)  b Ta có d ∩ Ox = A  − ; 0  ; d ∩ Oy = B ( 0; b ) .  a  b b Suy ra OA = − = − và OB = b = b (do A, B thuộc hai tia Ox , Oy ). a a Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng d . Xét tam giác AOB vuông tại O , có đường cao OH nên ta có

1 1 1 1 a2 1 = + ⇔ = 2 + 2 ⇔ b 2 = 5a 2 + 5. ( 2) OH 2 OA2 OB 2 5 b b

Từ (1) suy ra b = 3 − a . Thay vào ( 2) , ta được

 a = −2 = 5a 2 + 5 ⇔ 4 a 2 + 6 a − 4 = 0 ⇔  a = 1  2 1 5 b b Với a = , suy ra b = . Suy ra OA = − = − = −5 < 0 : Loại. 2 2 a a Với a = −2 , suy ra b = 5 . Vậy đường thẳng cần tìm là d : y = −2 x + 5 .

(3 − a)

TOÁN 10

HÀM SỐ BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

0D2-3

Dạng 3.4 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ................................................................................................. 34 Dạng 4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.................................................................................................................... 34 Dạng 4.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cho trước .................................................................... 34

MỤC LỤC

Dạng 4.2 Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước ...................................................................................................... 36

Dạng 5. Sự tương giao giữa parabol với đồ thị các hàm số khác ............................................................................... 40 Dạng 5.1 Sự tương giao đồ thị của các hàm số tường minh số liệu ....................................................................... 40 Dạng 5.2 Biện luận tương giao đồ thị theo tham số m ........................................................................................... 41 Dạng 5.3 Bài toán tương giao đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ................................................................. 45 Dạng 6. Một số câu hỏi thực tế liên quan đến hàm số bậc hai ................................................................................... 56

Dạng 2.1 Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng của đồ thị hàm số ............................................................................ 3 Dạng 2.2 Khi biết tọa độ đỉnh và điểm đi qua .......................................................................................................... 4 Dạng 2.3 Khi biết các điểm đi qua ........................................................................................................................... 5

PHẦN A. CÂU HỎI

Dạng 3. Đọc đồ thị, bảng biến thiên của hàm số bậc hai.............................................................................................. 5

Dạng 1. Chiều biến thiên của hàm số bậc hai

Dạng 3.1 Xác định hình dáng của đồ thị, bảng biến thiên khi biết hàm số .............................................................. 5 Dạng 3.2 Xác định dấu hệ số của hàm số khi biết đồ thị của nó .............................................................................. 7

Dạng 1.1 Xác định chiều biến thiên thiên của hàm số cho trước

Dạng 3.3 Xác định hàm số khi biết đồ thị của nó..................................................................................................... 9 Dạng 3.4 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ................................................................................................. 12

Câu 1.

Hàm số y = ax 2 + bx + c , (a > 0) đồng biến trong khoảng nào sau đậy? b  ∆   b   ∆   B.  − ; + ∞  . C.  − ; + ∞  . D.  −∞; −  . A.  −∞; −  . 2a  4a    2a   4a  

Câu 2.

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho hàm số y = − x 2 + 4 x + 1 . Khẳng định nào sau đây sai? A. Trên khoảng ( −∞;1) hàm số đồng biến.

Dạng 4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.................................................................................................................... 13 Dạng 4.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cho trước .................................................................... 13 Dạng 4.2 Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước ...................................................................................................... 14 Dạng 5. Sự tương giao giữa parabol với đồ thị các hàm số khác ............................................................................... 15 Dạng 5.1 Sự tương giao đồ thị của các hàm số tường minh số liệu ....................................................................... 15

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; +∞ ) và đồng biến trên khoảng ( −∞; 2 ) .

Dạng 5.2 Biện luận tương giao đồ thị theo tham số m ........................................................................................... 16

C. Trên khoảng ( 3; +∞ ) hàm số nghịch biến.

Dạng 5.3 Bài toán tương giao đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ................................................................. 18

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 4; +∞ ) và đồng biến trên khoảng ( −∞; 4 ) .

Dạng 6. Một số câu hỏi thực tế liên quan đến hàm số bậc hai ................................................................................... 22 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ...................................................................................................................... 24

Câu 3.

Hàm số y = 4 x − x 2 có sự biến thiên trong khoảng (2;+∞) là A. tăng. B. giảm. C. vừa tăng vừa giảm. D. không tăng không giảm.

Câu 4.

2 Hàm số y = x − 4x +11 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. (−2; +∞) B. (−∞; +∞) C. (2; +∞) D. (−∞;2)

Câu 5.

Khoảng đồng biến của hàm số y = x 2 − 4 x + 3 là A. ( −∞ ; −2 ) . B. ( −∞; 2 ) . C. ( −2; +∞ ) .

D. ( 2; +∞ ) .

Khoảng nghịch biến của hàm số y = x 2 − 4 x + 3 là A. ( −∞; −4 ) . B. ( −∞; −4 ) . C. ( −∞; 2 ) .

D. ( −2; +∞ ) .

Dạng 1. Chiều biến thiên của hàm số bậc hai............................................................................................................. 24 Dạng 1.1 Xác định chiều biến thiên thiên của hàm số cho trước ........................................................................... 24 Dạng 1.2 Xác định m thỏa mãn điều kiện cho trước .............................................................................................. 26 Dạng 2. Xác định hàm số bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước ............................................................................... 27 Dạng 2.1 Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng của đồ thị hàm số .......................................................................... 27 Dạng 2.2 Khi biết tọa độ đỉnh và điểm đi qua ........................................................................................................ 27 Dạng 2.3 Khi biết các điểm đi qua ......................................................................................................................... 29

Câu 6.

Dạng 3. Đọc đồ thị, bảng biến thiên của hàm số bậc hai............................................................................................ 30 Dạng 3.1 Xác định hình dáng của đồ thị, bảng biến thiên khi biết hàm số ............................................................ 30 Dạng 3.2 Xác định dấu hệ số của hàm số khi biết đồ thị của nó ............................................................................ 31 Dạng 3.3 Xác định hàm số khi biết đồ thị của nó................................................................................................... 32 1

Câu 7.

Cho hàm số y = − x 2 + 4 x + 3. Chọn khẳng định đúng. A. Hàm số đồng biến trên ℝ . B. Hàm số nghịch biến trên ℝ . C. Hàm số đồng biến trên ( 2; +∞ ) . D. Hàm số nghịch biến trên ( 2; +∞ ) . 2

Câu 8.

Hàm số f ( x ) = x 2 − 2 x + 3 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; +∞ ) .

Câu 9.

B. ( −2; +∞ ) .

C. ( −∞ ;1) .

D. ( 3; +∞ ) .

Hàm số y = 2 x 2 − 4 x + 1 đồng biến trên khoảng nào? A. ( −∞; −1) . B. ( −∞;1) . C. ( −1; +∞ ) .

D. (1; +∞ ) .

Câu 10. Hàm số y = −3x2 + x − 2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? 1 1    1  A.  ; +∞  . B.  −∞; −  . C.  − ; +∞  . 6 6    6 

Câu 19. Cho hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) có đồ thị ( P ) , đỉnh của ( P ) được xác định bởi công thức nào? ∆  ∆ ∆   b  b b ∆   b A. I  − ; − B. I  − ; − C. I  ; D. I  − ; − . . . . 4a  4a  2a   2a  a  a 4a   2a Câu 20.

là đỉnh của ( P ) ?

1  D.  −∞;  . 6 

Câu 11. Cho hàm số y = − x 2 + 6 x − 1 . Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( −∞;3) B. ( 3; +∞ ) C. ( −∞;6 ) D. ( 6; +∞ ) Câu 12. Cho hàm số y = x 2 − 3mx + m 2 + 1 (1) , m là tham số. Khi m = 1 hàm số đồng biến trên khoảng nào? 3 1  1   3  A.  −∞;  . B.  ; +∞  . C.  −∞;  . D.  ; +∞  . 2 4  4   2 

1 2 3 3

A. I ( 0;1) .

C. 2

Câu 22.

B. y = 2 x 2 + 4 x + 1 .

Câu 15. Hàm số y = − x + 2 ( m − 1) x + 3 nghịch biến trên (1; +∞ ) khi giá trị m thỏa mãn: C. m ≤ 2 .

D. 0 < m ≤ 2

Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = − x + 2 m + 1 x − 3 nghịch biến trên ( 2; +∞ ) . 2

 m < −3 D.  .  m >1

C. −3 ≤ m ≤ 1 .

B. −3 < m < 1 .

Câu 17. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x + (m −1) x + 2m −1 đồng biến trên khoảng (−2; +∞) . Khi đó tập hợp (−10;10) ∩ S là tập nào? 2

A. (−10;5) .

B. [5;10) .

2 3

C. y = x 2 + 4 x − 5 .

D. y = − x 2 − 4 x + 3 .

Câu 23. Xác định các hệ số a và b để Parabol ( P ) : y = ax 2 + 4 x − b có đỉnh I ( −1; −5 ) . a = 3 A.  . b = −2 Câu 24.

a = 3 B.  . b = 2

C. (5;10) .

D. (−10;5] .

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị dương của tham số m để hàm số f ( x ) = mx − 4 x − m 2 luôn nghịch biến

a = 2 C.  . b = 3

a = 2 D.  . b = −3

(HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Biết hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có đồ thị là một đường Parabol đi qua điểm A ( −1;0 ) và có đỉnh I (1; 2 ) . Tính a + b + c . A. 3 .

 m ≤ −3 A.  .  m ≥1

1 3

D. I  ; −  .

(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Điểm I ( −2;1) là đỉnh của Parabol nào sau đây? A. y = x 2 + 4 x + 5 .

D. 3

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của b để hàm số y = x 2 + 2(b + 6) x + 4 đồng biến trên khoảng ( 6; +∞ ) . A. b ≥ 0 . B. b = − 12 . C. b ≥ − 12 . D. b ≥ − 9 . B. m > 0 .

C. I  − ;  .

Dạng 2.2 Khi biết tọa độ đỉnh và điểm đi qua

Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = x 2 − 2 ( m + 1) x − 3 đồng biến

A. m ≤ 0 .

 1 2  3 3

B. I  ;  .

Câu 21. Trục đối xứng của đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c , (a ≠ 0) là đường thẳng nào dưới đây? b c ∆ A. x = − . B. x = − . C. x = − . D. Không có. 2a 2a 4a

Dạng 1.2 Xác định m thỏa mãn điều kiện cho trước

trên khoảng ( 4; 2018 ) ? A. 0 B. 1

2 (THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Cho parabol ( P ) : y = 3x − 2x + 1 . Điểm nào sau đây

3 . 2

C. 2 .

1 . 2

Câu 25. Biết đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c , ( a , b, c ∈ ℝ; a ≠ 0 ) đi qua điểm A ( 2;1) và có đỉnh I (1; − 1) . Tính giá trị biểu thức T = a3 + b2 − 2c . A. T = 22 . B. T = 9 .

C. T = 6 .

D. T = 1 .

Câu 26. Cho hàm số y = ax + bx + c (a ≠ 0) có đồ thị (P). Biết đồ thị của hàm số có đỉnh I (1;1) và đi qua điểm A(2;3) . Tính tổng S = a 2 + b2 + c 2 A. 3 . B. 4.

C. 29 .

D. 1 .

Câu 27. Cho Parabol ( P ) : y = x 2 + mx + n ( m, n tham số). Xác định m, n để ( P ) nhận đỉnh I ( 2; − 1) . A. m = 4, n = −3 .

B. m = 4, n = 3 .

C. m = −4, n = −3 .

D. m = −4, n = 3 .

trên ( −1; 2 ) .

A. m ≤ 1 .

B. − 2 ≤ m ≤ 1 .

C. 0 < m ≤ 1 .

Dạng 2. Xác định hàm số bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 2.1 Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng của đồ thị hàm số

D. 0 < m < 1 .

Câu 28. Cho Parabol (P): y = ax + bx + c có đỉnh I (2;0) và (P) cắt trục Oy tại điểm M (0; −1) . Khi đó Parabol (P) có hàm số là 1 1 A. ( P ) : y = − x 2 − 3 x − 1 . B. ( P ) : y = − x 2 − x − 1 . 4 4 1 2 1 C. ( P ) : y = − x + x − 1 . D. ( P ) : y = − x 2 + 2 x − 1 4 4 2

Câu 29. Gọi S là tập các giá trị m ≠ 0 để parabol ( P ) : y = mx 2 + 2mx + m 2 + 2m có đỉnh nằm trên đường thẳng y = x + 7 . Tính tổng các giá trị của tập S A. − 1 . B. 1. C. 2 .

Câu 30.

D. − 2 . A.

3 1 (Hàm bậc 2-VDT) Xác định hàm số y = ax 2 + bx + c (1) biết đồ thị của nó có đỉnh I  ;  và  2 4  cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. A. y = −x 2 + 3x + 2 . B. y = −x 2 − 3x − 2 . C. y = x 2 − 3 x + 2 . D. y = −x 2 + 3 x − 2 .

5 1 Câu 31. Hàm số bậc hai nào sau đây có đồ thị là parabol có đỉnh là S  ;  và đi qua A(1;−4) ? 2 2 A. y = − x 2 + 5 x − 8 .

B. y = −2 x 2 + 10 x − 12 .C. y = x 2 − 5 x .

Câu 39. Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số y = x − 2 x − 3 2

1 D. y = −2 x 2 + 5 x + . 2

Câu 32. Cho parabol ( P ) có phương trình y = ax 2 + bx + c . Tìm a + b + c , biết ( P ) đi qua điểm A ( 0;3 )

O 1 x

và có đỉnh I ( −1; 2 ) .

A. a + b + c = 6

B. a + b + c = 5

C. a + b + c = 4

D. a + b + c = 3

O 1

Dạng 2.3 Khi biết các điểm đi qua A. Hình 1.

A. y =

1 2 x + 2x + 6 . 2

B. y = x 2 + 2 x + 6 .

C. y = x 2 + 6 x + 6 .

D. y = x 2 + x + 4 .

Câu 40.

O 1

x Hình 3

Hình 2

Câu 33. Parabol y = ax + bx + c đạt cực tiểu bằng 4 tại x = −2 và đi qua A( 0;6) có phương trình là

B. Hình 2 .

C. Hình 3 .

Hình 4

D. Hình 4 .

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Bảng biến thi của hàm số y = −2 x 4 + 4 x + 1 là bảng nào sau đây?

A 0; −1) B (1; −1) C ( −1;1) Câu 34. Parabol y = ax 2 + bx + c đi qua ( , , có phương trình là 2 A. y = x − x + 1 . B. y = x 2 − x − 1 . C. y = x 2 + x − 1 . D. y = x 2 + x + 1 . 2 Câu 35. Parabol y = ax + bx + 2 đi qua hai điểm M (1;5) và N (−2;8) có phương trình là 2 A. y = x + x + 2 .

2 B. y = 2x + x + 2 .

2 C. y = 2x + 2x + 2

Câu 36. Cho ( P) : y = x 2 + bx + 1 đi qua điểm A ( −1;3 ) . Khi đó A. b = −1. B. b = 1. C. b = 3.

2 D. y = x + 2x

D. b = −2.

Câu 37. Cho parabol ( P ) : y = ax + bx + c đi qua ba điểm A (1; 4 ) , B ( −1; −4 ) và C ( −2; −11) . Tọa độ đỉnh 2

Câu 41. Bảng biến thiên của hàm số y = − x + 2 x − 1 là: 2

của ( P ) là:

A. ( −2; −11)

B. ( 2;5 )

C. (1; 4 )

D. ( 3; 6 )

Dạng 3. Đọc đồ thị, bảng biến thiên của hàm số bậc hai

Dạng 3.1 Xác định hình dáng của đồ thị, bảng biến thiên khi biết hàm số Câu 38.

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Bảng biến thiên của hàm số y = −2 x 2 + 4 x + 1 là bảng nào sau đây?

Câu 42. Bảng biến thiên nào dưới đây là của hàm số y = − x 2 + 2 x + 2 ?

y x O

. B.

A. a > 0, b < 0, c < 0 . C.

Dạng 3.2 Xác định dấu hệ số của hàm số khi biết đồ thị của nó

` B. a > 0, b < 0, c > 0 . C. a > 0, b > 0, c > 0 . D. a < 0, b < 0, c < 0 .

Câu 48. Cho hàm số y = ax 2 + bx + c, ( a ≠ 0 ) có bảng biến thiên trên nửa khoảng [ 0; +∞ ) như hình vẽ dưới đây:

Câu 43. Đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c , (a ≠ 0) có hệ số a là A. B. C. D.

a > 0. a < 0. a = 1. a = 2.

Xác định dấu của a , b , c . A. a < 0, b < 0, c > 0 . B. a < 0, b > 0, c > 0 .

Câu 44. Cho parabol y = ax 2 + bx + c có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. a < 0, b > 0, c < 0 B. a < 0, b < 0, c < 0 C. a < 0, b > 0, c > 0 D. a < 0, b < 0, c > 0

C. a < 0, b > 0, c > 0 .

D. a < 0, b > 0, c < 0 .

Câu 49. Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thị là parabol trong hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng? 2

A. a > 0; b > 0; c > 0 . B. a > 0; b < 0; c > 0 . C. a > 0; b < 0; c < 0 . D. a > 0; b > 0; c < 0 . Câu 50. Cho hàm số y = ax 2 + bx + c có đồ thị như hình bên. y

Câu 45. Nếu hàm số y = ax 2 + bx + c có a > 0, b > 0 và c < 0 thì đồ thị hàm số của nó có dạng

. D.

Câu 46. Cho hàm số y = ax + bx + c, ( a > 0, b < 0, c > 0 ) thì đồ thị (P) của hàm số là hình nào trong các hình sau: 2

−1 O 3 x Khẳng định nào sau đây đúng? A. a > 0 , b > 0 , c > 0 . B. a > 0 , b < 0 , c < 0 .C. a < 0 , b < 0 , c > 0 . c > 0.

D. a < 0 , b > 0 ,

Câu 51. Cho hàm số y = ax 2 + bx + c có đồ thị như bên. y

x O

A. Hình (4).

B. Hình (2).

C. Hình (3).

D. Hình (1)

Câu 47. Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thị như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng? 2

Khẳng định nào sau đây ây đúng? A. a > 0, b < 0, c < 0. . B. a > 0, b < 0, c > 0. . C. a > 0, b > 0, c < 0. . D. a < 0, b < 0, c > 0. 7

Câu 52. Cho hàm số y = ax2 + bx + c . Có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi mệnh đề nào đúng?

A. y = − x 2 + 4 x − 3 .

B. y = − x 2 − 4 x − 3 .

C. y = −2 x 2 − x − 3 .

D. y = x 2 − 4 x − 3 .

C. y = − x 2 .

D. y =

C. y = x 2 + 2 x − 1 .

D. y = x 2 − 2 x + 2 .

C. y = − x 2 + 4 x .

D. y = − x 2 − 4 x .

Câu 57. Đồ thị hàm số sau biểu diễn đồ thị hàm số nào? A. a < 0, b > 0, c < 0 . Câu 53.

B. a < 0, b < 0, c > 0 .

C. a < 0, b < 0, c < 0 .

D. a > 0, b > 0, c < 0 .

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Cho đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. y = 2 x 2 .

B. y = x 2 .

1 2 x . 2

Câu 58. Bảng biến thiên sau là của hàm số nào ? A. a > 0, b = 0, c > 0 .

B. a > 0, b > 0, c > 0 .

C. a > 0, b < 0, c > 0 .

D. a < 0, b > 0, c > 0 .

Câu 54. Cho hàm số y = ax + bx + c có a < 0; b < 0; c > 0 thì đồ thị ( P ) của hàm số là hình nào trong các hình dưới đây 2

A. y = 2 x 2 − 4 x + 4 .

B. y = −3x 2 + 6 x − 1 .

Câu 59. Bảng biến thiên sau là của hàm số nào?

A. y = x 2 − 4 x .

B. y = x 2 + 4 x .

Câu 60. Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào trong các phương án A;B;C;D sau đây? A. hình ( 4) .

B. hình ( 3) .

C. hình ( 2) .

D. hình (1) .

Câu 55. Cho hàm số y = ax 2 + bx + c có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. B. C. D.

y = x2 + 2 x − 1. y = x2 + 2x − 2 . y = 2x2 − 4x − 2 . y = x2 − 2 x − 1 .

Câu 61. Cho parabol y = ax2 + bx + c có đồ thị như hình sau

A. a > 0, b > 0, c > 0 .

B. a > 0, b > 0, c < 0 .

C. a > 0, b < 0, c < 0 .

Dạng 3.3 Xác định hàm số khi bi biết đồ thị của nó Câu 56. Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ bên dưới? 9

D. a > 0, b < 0, c > 0 .

Phương trình của parabol này là A. y = − x 2 + x − 1 . B. y = 2 x 2 + 4 x − 1. C. y = x 2 − 2 x − 1 . D. y = 2 x 2 − 4 x − 1 . 10

Câu 62. Cho parabol y = ax 2 + bx + c có đồ thị như hình sau:

Câu 67. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây?

Phương trình của parabol này là A. y = − x 2 + x − 1. B. y = 2 x 2 + 4 x − 1. C. y = x 2 − 2 x − 1. D. y = 2 x 2 − 4 x − 1.

-1

-3

Câu 63. Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của hàm số bậc hai nào? y

A. y = − x 2 + 4 x . Câu 68.

B. y = − x 2 + 4 x − 9 .

C. y = x 2 − 4 x − 1 .

D. y = x 2 − 4 x − 5 .

(HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Bảng biến thiên sau đây là bảng biến thiên của hàm số nào?

A. y = x 2 − 3 x + 1 .

x 1 C. y = − x 2 + 3 x − 1 .

O B. y = 2 x 2 − 3 x + 1 .

D. y = −2 x 2 + 3 x − 1 . A. y = x 2 + 4 x .

Câu 64. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol như hình vẽ.

B. y = − x 2 − 4 x − 8 .

C. y = − x 2 − 4 x + 8 .

Dạng 3.4 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu 69. Cho đồ thị hàm số y = −x 2 + 4 x − 3 có đồ thị như hình vẽ sau

Hỏi parabol có phương trình nào trong các phương trình dưới đây? A. y = x 2 + 3x − 1 . B. y = x 2 − 3x − 1 . C. y = − x 2 − 3x − 1 .

D. y = − x 2 + 3x + 1 .

Câu 65. Cho parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c, ( a ≠ 0 ) có đồ thị như hình bên. Khi đó 2a + b + 2c có giá trị là

Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = −x 2 + 4 x − 3

-1

3 x

-4

A. − 9 . Câu 66.

B. 9 .

C. − 6 .

D. 6 .

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên dưới

A. y = − x 2 + 2 x − 3 .

B. y = − x 2 + 4 x − 3 . 11

C. y = x 2 − 4 x + 3 .

D. y = x 2 − 2 x − 3 . 12

D. y = − x 2 − 4 x .

A. Hình 2

B. Hình 4

C. Hình 1

D. Hình 3

Câu 70. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên? y 2

1 −4

−3

−2

x 1

−1

B. 0

Câu 78. Giá trị lớn nhất của hàm số y =

−5

4 5

11 8

1 3

D. −20

4 11

2 bằng: x2 − 5x + 9

11 4

8 11

Câu 79. Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = x 2 − 4 x + 3 trên miền [ −1; 4 ] là

−1

A. −1 .

−2

B. 2 .

Câu 80. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 2 x là: A. 1 B. 0

C. 7 .

D. 8 .

C. − 1

D. − 2

−3

A. y = x 2 − 3 x − 3 .

B. y = − x 2 + 5 x − 3 .

C. y = − x 2 − 3 x − 3 . D. y = − x 2 + 5 x − 3 .

Câu 81. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 + 4 x + 3 là: A. − 1 B. 1 C. 4

Dạng 4.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cho trước

A. −14 .

Câu 71. Cho hàm số y = x 2 − 2 x + 4 có đồ thị ( P ) . Tìm mệnh đề sai. A. ( P ) có đỉnh I (1; 3 ) . B. min y = 4, ∀x ∈ [ 0;3] . C. ( P ) có trục đối xứng x = 1 .

D. 13 . D. x = 1 .

Câu 74. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 x 2 + x − 3 là B. − 2 .

C. Hàm số y = −3 x 2 + x + 2 D. Hàm số y = −3 x 2 + x + 2

−21 . 8

−25 . 8

25 có giá trị lớn nhất bằng 12 25 có giá trị nhỏ nhất bằng 12 25 có giá trị lớn nhất bằng 3 25 có giá trị nhỏ nhất bằng . 3

B. 25

4 5

Câu 77. Giá trị lớn nhất của hàm số y = −3 x 2 + 2 x + 1 trên đoạn [1;3] là: 13

Câu 83. Tìm giá trị thực của tham số m ≠ 0 để hàm số y = mx 2 − 2mx − 3m − 2 có giá trị nhỏ nhất bằng −10 trên ℝ . A. m = 1. B. m = 2. C. m = −2. D. m = −1. Câu 84. Hàm số y = − x 2 + 2 x + m − 4 đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [ −1; 2 ] bằng 3 khi m thuộc A. ( −∞;5 ) .

B. [ 7;8 ) .

C. ( 5;7 ) .

D. ( 9;11) .

Câu 85. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 2mx + 5 bằng 1 khi giá trị của tham số m là B. m = 4 . C. m = ±2 . D. m ∈ ∅ . A. m = ±4 . Câu 86.

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Giá trị của tham số m để hàm số y = x 2 − 2mx + m 2 − 3m − 2 có giá trị nhỏ nhất bằng −10 trên ℝ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 3   5   3 A. m ∈ [ −1; 0 ) . B. m ∈  ;5  . C. m ∈  − ; −1 . D. m ∈  0;  . 2   2   2

Câu 87. Tìm m để hàm số y = x 2 − 2 x + 2m + 3 có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 2; 5 ] bằng −3 . A. m = 0 . B. m = −9 . C. m = 1 . D. m = −3 . Câu 88.

Câu 76. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 5 x 2 + 2 x + 1 trên đoạn [ −2; 2 ] là: A. 17

D. − 9 .

Câu 75. Khẳng định nào dưới đây đúng?

B. Hàm số y = −3 x 2 + x + 2

C. −4 .

Dạng 4.2 Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước

Câu 73. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 + 2 x + 3 đạt được tại A. x = −2 . B. x = −1 . C. x = 0 .

A. Hàm số y = −3 x 2 + x + 2

B. −13 .

D. max y = 7, ∀x ∈ [ 0;3] .

Câu 72. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 − 4 x + 1 . A. −3 . B. 1. C. 3 .

A. − 3 .

D. 3

 x 2 − 2 x − 8 khi x ≤ 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Câu 82. Cho hàm số y =  khi x > 2  2 x − 12 của hàm số khi x ∈ [ − 1; 4 ] . Tính M + m .

Dạng 4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

16 5

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Tìm m để hàm số y = x 2 − 2 x + 2m + 3 có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 2; 5 ] bằng −3 . A. m = −3 .

B. m = −9 .

C. m = 1 .

D. m = 0 .

Câu 89. Tìm số các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x 2 + ( 2 m + 1) x + m 2 − 1 trên đoạn [ 0;1] là bằng 1. A. 0 B. 1

C. 2 14

D. 3

1  Câu 90. Cho hàm số f ( x ) = x 2 − 2  m +  x + m . Đặt m = min f ( x ) và M = max f ( x ) . Gọi S là tập x∈[ −1;1] x∈[ −1;1] m  hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho M − m = 8 . Tính tổng bình phương các phần tử thuộc S. A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

Câu 100. Tọa độ giao điểm của đường thẳng

Câu 91. Cho hàm số y = 2 x 2 − 3 ( m + 1) x + m 2 + 3m − 2 , m là tham số. Giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số là lớn nhất thuộc khoảng nào sau đây? A. m ∈ (1; 4 ) . B. m ∈ ( 3;9 ) . C. m ∈ ( −5;1) . D. m ∈ ( −2; 2 ) .

Câu 102. Gọi A ( a; b ) và B ( c; d ) là tọa độ giao điểm của ( P ) : y = 2 x − x 2 và ∆ : y = 3x − 6 . Giá trị của b + d bằng. A. 7. B. − 7 . C. 15. D. −15 .

Câu 92. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để giá trị nhỏ nhất y = f ( x ) = 4 x 2 − 4ax + a 2 − 3x + 2 trên đoạn [ 0; 2 ] là bằng 3.

Câu 103. Cho parabol

(

{

}

)

{

A. −1; 4 + 7 .

của hàm số

}

B. 4 + 7 .

C. {−1} .

{

}

D. 1; 4 − 7 .

Câu 93. Cho hàm số y = 2 x 2 − 3 ( m + 1) x + m 2 + 3m − 2 , m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số là lớn nhất. A. m = −2 B. m = 1 C. m = 3 D. m = 5 Câu 94. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) = 4 x 2 − 4mx + m 2 − 2m trên đoạn [ −2;0 ] bằng 3 . Tính tổng T các phần tử của S . A. T = 3 .

B. T =

1 . 2

C. T =

9 . 2

3 D. T = − . 2

)

(

Câu 95. Cho hàm số y = x 2 − m + m2 − 4 x + 4m + 2 m2 − 4 ( m ≠ 0 ) . Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [ 0 ;1] lần lượt là y1; y2 . Số giá trị của m để y1 − y2 = 8 là

A. 0 .

B. 1.

Câu 96. Giả sử hàm số y = − x + 2 x + 4 2

biểu thức K = a 2 + b 2 . A. K = 145 .

C. 4 .

( 3 − x )( x + 1) + 3

D. 2 .

A. ( −2;6 ) và ( −4;8) .

và parabol y = x 2 − 7 x + 12 là d : y = −x + 4 B. ( 2; 2 ) và ( 4;8) . C. ( 2; −2 ) và ( 4;0 ) . D. ( 2; 2 ) và ( 4;0 ) .

Câu 101. Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 1 − x với ( P ) : y = x 2 − 2 x + 1 là A. x = 0; x = 1. B. x = 1. C. x = 0; x = 2. D. x = 0.

(P)

có phương trình y = f ( x ) thỏa mãn f ( x − 1) = x 2 − 5 x + 5 ∀x ∈ ℝ . Số giao

điểm của ( P ) và trục hoành là: A. 0 B. 1

C. 2

A. AB = 4 2

B. AB = 2 26

C. AB = 4 10

D. AB = 2 10

Dạng 5.2 Biện luận tương giao đồ thị theo tham số m Câu 105. Giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = x 2 + 3x + m cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt? 9 9 9 9 A. m < − . B. m > − . C. m > . D. m < . 4 4 4 4 Câu 106. Hàm số y = x 2 + 2 x − 1 có đồ thị như hình bên. Tìm các giá trị m để phương trình x2 + 2 x + m = 0 vô nghiệm. y

có tập giá trị W =  a; b  . Hãy tính giá trị của 2

B. K = 144 .

C. K = 143 .

D. 169 .

-2

Dạng 5. Sự tương giao giữa parabol với đồ thị các hàm số khác

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Giao điểm của parabol (P ) : y = x 2 − 3 x + 2 với đường thẳng y = x − 1 là: A. (1; 0 ) ; ( 3;2 ) . B. ( 0; −1) ; ( −2; −3 ) . C. ( −1;2 ) ; ( 2;1) . D. ( 2;1) ; ( 0; −1) .

Câu 98. Tọa độ giao điểm của ( P ) : y = x 2 − 4 x với đường thẳng d : y = − x − 2 là A. M ( 0; − 2 ) , N ( 2; − 4 ) .

B. M ( −1; − 1) , N ( −2; 0 ) .

C. M ( − 3;1) , N ( 3; − 5 ) .

D. M (1; − 3 ) , N ( 2; − 4 ) .

Câu 99. Cho hàm số y = 2 x − 3x + 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?. A. Đồ thị hàm số không cắt trục tung. B. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại gốc tọa độ. C. Đồ thị hàm số không có trục đối xứng. D. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 . 2

-1

-1 -2

Dạng 5.1 Sự tương giao đồ thị của các hàm số tường minh số liệu Câu 97.

D. 3

Câu 104. Cho hai parabol có phương trình y = x 2 + x + 1 và y = 2 x 2 − x − 2 . Biết hai parabol cắt nhau tại hai điểm A và B ( xA < xB ). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

A. m < −2 .

B. m < −1 .

C. m < 1 .

Câu 107. Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng

D. m > 1 .

[ −10; −4 )

để đường thẳng

d : y = − ( m + 1) x + m + 2 cắt parabol ( P ) : y = x 2 + x − 2 tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một

phía đối với trục tung? A. 6 B. 5

C. 7

D. 8

Câu 108. Cho parabol ( P ) : y = x 2 − mx và đường thẳng ( d ) : y = ( m + 2 ) x + 1 , trong đó m là tham số. Khi parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt M, N, tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN là: A. một parabol B. một đường thẳng C. một đoạn thẳng D. một điểm

Câu 109. Cho hàm số y = x 2 + 3x có đồ thị ( P ) . Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đường

Dạng 5.3 Bài toán tương giao đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

thẳng d : y = x + m cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm I của đoạn AB nằm trên đường thẳng d ′ : y = 2 x + 3 . Tổng bình phương các phần tử của S là A. 6 . B. 4 . C. 2 . D. 1.

Câu 110. Cho hàm số y = x 2 − 3mx + m 2 + 1 (1) , m là tham số và đường thẳng

(d )

có phương trình

y = mx + m2 . Tính giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng ( d ) tại 2 điểm

x1 − x2 = 1 .

phân biệt có hoành độ x1 , x2 thoả mãn

A. m =

3 . 4

3 B. m = − . 4

C. m = 1 .

4 . 3

D. 9 .

Câu 112. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đường thẳng y = mx − 3 không có điểm chung với Parabol

y = x 2 + 1? A. 6 .

C. a + b = 2

D. a + b = −2 2

x − 4 x + 4 = m có 6 nghiệm

phân biệt là khoảng ( a; b ) . Tính a + b .

A. a + b = 6

B. a + b = 4

C. a + b = 1

D. a + b = 2

Câu 122. Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị ( C ) (như hình vẽ). Có bao nhiêu giá trị nguyên

biệt A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; x2 ) thỏa mãn 2 x + 2 x = 3 x1 x2 + 7 là

C. −6 .

B. a + b = −1

2 2

B. 10 .

y = x 2 − 4 x + 3 tại bốn điểm phân biệt. Tìm a + b . Câu 121. Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x

Câu 111. (Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Cho hàm số y = 2 x − 3 x − 5 (1). Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 4 x + m tại hai điểm phân A. −10 .

Câu 120. Biết S = ( a; b ) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số A. a + b = 1

D. m =

2 1

Câu 119. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x 2 − 2 x + 1 − m = 0 có bốn nghiệm phân biệt? A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

của tham số m để phương tr trình ình f 2 ( x ) + ( m − 2 ) f ( x ) + m − 3 = 0 có 6 nghiệm phân biệt? y

B. 9 .

C. 7 .

D. 8 .

Câu 113. Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng y = mx + 3 − 2m cắt parabol y = x 2 − 3 x − 5 tại 2 điểm phân biệt có hoành độ trái dấu. A. m < −3 . B. −3 < m < 4 . C. m < 4 . D. m ≤ 4 . 2 2 Câu 114. Tìm m để Parabol ( P ) : y = x − 2 ( m + 1) x + m − 3 cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành

độ x1 , x2 sao cho x1.x2 = 1. A. m = 2 . B. Không tồn tại m .

C. m = −2 .

D. m = ±2 .

1 2

A. 1.

B. 3 .

O C. 4 .

D. 2 .

Câu 123. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho hàm số f ( x ) = ax 2 + bx + c có đồ thị như hình vẽ. Với những giá trị nào của tham số m thì phương trình f ( x ) = m có đúng 4 nghiệm phân biệt.

Câu 115. Cho parabol ( P ) : y = x 2 + 2 x − 5 và đường thẳng d : y = 2mx + 2 − 3m . Tìm tất cả các giá trị m để ( P ) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm về phía bên phải của trục tung. 7 7 A. 1 < m < . B. m > 1 . C. m > . D. m < 1 3 3 Câu 116. Gọi T là tổng tất cả các giá trị của tham số m để parabol ( P ) : y = x 2 − 4 x + m cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn OA = 3OB . Tính T . 3 A. T = −9 . B. T = . C. T = − 15 . 2

A. 0 < m < 1 .

B. −1 < m < 0 .

C. m = −1 ; m = 3 .

D. m > 3 .

Câu 124. Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị như hình vẽ. 2

D. T = 3 .

Câu 117. Tìm m để Parabol ( P ) : y = x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 − 3 cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho x1.x2 = 1. A. m = 2 . B. Không tồn tại m .

C. m = −2 .

D. m = ±2 .

Câu 118. Cho parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c . Tìm a − b + c , biết rằng đường thẳng y = −2,5 có một điểm chung duy nhất với ( P ) và đường thẳng y = 2 cắt ( P ) tại hai điểm có hoành độ là − 1 và 5.

A. a − b − c = −2

B. a − b − c = 2

C. a − b − c = 1

D. a − b − c = −1

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ax 2 − bx + c = m có đúng 4 nghiệm phân biệt. A. 0 < m < 1 . C. m = 1 .

B. m = 0 . D. không có giá trị của m. 18

Câu 125. Cho hàm số f ( x ) = ax 2 + bx + c có đồ thị như hình vẽ. Hỏi với những giá trị nào của tham số

thực m thì phương trình f ( x ) +1 = m có đúng 3 nghiệm phân biệt y O

A. −1 < m < 0 .

−1

A. m = 4 .

B. m > 0 .

B. m > 3 .

C. m = −1, m = 3 .

D. 0 < m < 1 .

Câu 132. Cho đồ thị hàm số f ( x ) = ax + bx + c như hình bên. Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong 2

C. m > − 1 .

Câu 126. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để parabol

( P) : y = x

D. m = 2 . 2

đoạn [ 0; 2018] để phương trình ax2 + b | x | +c − m = 0 có hai nghiệm phân biệt?

− 2 x − 1 cắt đường thẳng

y O

y = m − 3 tại 4 điểm phân biệt. A. −2 < m < −1 . B. 1 < m < 2 .

−1

C. −2 ≤ m ≤ −1 .

D. 1 ≤ m ≤ 2 .

−1

Câu 127. Với giá trị nào của m thì phương trình m = x 2 − 5 x + 4 có 3 nghiệm thực phân biệt. −3

A. m ≤

9 . 4

B. m ≥

9 . 4

9 C. m = . 4

D. m = 0 .

A. 2016 .

B. 2015 .

C. 2018 .

D. 2017 .

Câu 133. Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c có bảng biến thiên như sau: 2

Câu 128. (Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường

y = m + 1 trên cùng một hệ trục tọa độ tại 4 điểm phân biệt là? Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( 2017 x − 2018) − 2 = m có đúng ba nghiệm. A. m = 1 .

B. m = 3 .

C. m = 2 .

D. không tồn tại m .

Câu 134. Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m để phương trình f (−x ) + m − 2019 = 0 có duy nhất một nghiệm.

A. −3 < m < 0 .

B. 0 < m < 3 .

C. 1 < m < 4 .

D. −1 < m < 2 .

Câu 129. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x 2 − 9 x cắt đường thẳng y = m tại 4 điểm phân biệt. 81 81 A. m < −3 . B. m > − . C. − < m < 0 . D. m > 0 . 4 4 Câu 130. (THPT NÔNG CỐNG - THANH HÓA LẦN 1_2018-2019) Cho phương trình x 2 − 2 x − 2 x − m + 1 = 0 . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm thực? A. 4 . B. 1 . C. 3 . D. 2 .

A. m = 2015 .

B. m = 2016 .

C. m = 2017 .

x 2 − 4 x − m = 0 có 4 nghiệm phân biệt?

2 Câu 131. Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c đồ thị như hình đưới đây. Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để phương trình f ( x ) = m có đúng 4 nghiệm phân biệt.

D. m = 2019 .

Câu 135. Cho đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 2 như hình vẽ dưới đây. Tìm m để phương trình

Đặt f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 ;gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( x ) = m có 8 nghiệm phân biệt. Số phần tử của S bằng

A. 0 .

B. 1.

C. 2 .

D. 4 .

Câu 140. Cho parabol ( P ) : y = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) có đồ thị như hình bên. Tìm các giá trị m để phương 2

A. −4 < m < 0

B. −2 < m < 2

C. 0 < m < 4

D. −2 ≤ m ≤ 2

trình ax 2 + bx + c = m có bốn nghiệm phân biệt. y

Câu 136. Cho hàm số y = f ( x ) = ax 2 + bx + c có đồ thị ( C ) (như hình vẽ):

4 3

2 1 −3 −2 −1 O

−1

−2 −3

A. −1 < m < 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 ( x ) + ( m − 2 ) f ( x ) + m − 3 = 0 có 6 nghiệm phân biệt? A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

C. 8 .

Câu 138. Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng

D. 7 .

( 0; 2017 ]

để phương trình

x − 4 x −5 − m = 0 có hai nghiệm phân biệt? A. 2016 .

B. 2008 .

C. 2009 .

Câu 139. Cho hàm số y = x 2 − 4 x + 3 có đồ thị như hình vẽ dưới đây

D. −1 ≤ m ≤ 3 .

Dạng 6. Một số câu hỏi thực tế liên quan đến hàm số bậc hai

Câu 142. Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên; h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó đạt độ cao 6m. Hỏi sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi được đá lên (tính chính xác đến hàng phần trăm? A. 2,56 giây B. 2,57 giây C. 2,58 giây D. 2,59 giây

Phương trình f 2 ( x ) + f ( x ) − 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm? B. 6 .

C. 0 ≤ m ≤ 3 .

Câu 141. Một chiếc ăng - ten chảo parabol có chiều cao h = 0,5m và đường kính miệng d = 4m . Mặt cắt m qua trục là một parabol dạng y = ax 2 . Biết a = , trong đó m, n là các số nguyên dương nguyên n tố cùng nhau. Tính m − n . B. m − n = −7 C. m − n = 31 D. m − n = −31 A. m − n = 7

Câu 137. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

A. 2 .

B. 0 < m < 3 .

D. 2017 .

Câu 143. Khi một quả bóng được đá lên nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất. Biết quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng tọa độ Oth có phương trình h = at 2 + bt + c (a < 0) , trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên, h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1, 2 m và sau 1 giây thì nó đạt độ cao 8,5m , sau 2 giây nó đạt độ cao 6 m . Tính tổng a + b + c . A. a + b + c = 18,3 . B. a + b + c = 6,1 . C. a + b + c = 8,5 . D. a + b + c =−15,9 . Câu 144. Một của hàng buôn giày nhập một đôi với giá là 40 đôla. Cửa hàng ước tính rằng nếu đôi giày được bán với giá x đôla thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua (120 − x ) đôi. Hỏi của hàng bán một đôi giày giá bao nhiêu thì thu được nhiều lãi nhất? A. 80 USD. B. 160 USD. C. 40 USD. D. 240 USD. Câu 145. Một quả bóng cầu thủ sút lên rồi rơi xuống theo quỹ đạo là parabol. Biết rằng ban đầu quả bóng được sút lên từ độ cao 1 m sau đó 1 giây nó đạt độ cao 10 m và 3,5 giây nó ở độ cao 6,25 m . Hỏi độ cao cao nhất mà quả bóng đạt được là bao nhiêu mét? B. 12 m . C. 13 m . D. 14 m . A. 11 m .

Câu 146. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Một chiếc cổng hình parabol có chiều rộng 12 m và chiều cao 8 m như hình vẽ. Giả sử một chiếc xe tải có chiều ngang 6 m đi vào vị trí chính giữa cổng. Hỏi chiều cao h của xe tải thỏa mãn điều kiện gì để có thể đi vào cổng mà không chạm tường?

A. 175,6 m.

A. 0 < h < 6 .

B. 0 < h ≤ 6 .

C. 0 < h < 7 .

D. 0 < h ≤ 7 .

Câu 147. Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi bằng 16 , hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu? A. 64.

B. 4.

C. 16.

B. 197,5 m.

C. 210 m.

D. 8.

Câu 148. Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng parabol là 4m còn kích thước cửa ở giữa là 3m x 4m. Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm A và B . (xem hình vẽ bên dưới)

. B.

.C.

B. 8,5m.

C. 7,5m.

Dạng 1. Chiều biến thiên của hàm số bậc hai

D. 8m.

1 Câu 149. Một chiếc cổng hình parabol dạng y = − x 2 có chiều rộng d = 8m . Hãy tính chiều cao h của 2 cổng (xem hình minh họa bên cạnh).

Dạng 1.1 Xác định chiều biến thiên thiên của hàm số cho trước Câu 1. Chọn B a > 0. Bảng biến thiên

Câu 2.

Chọn D b =2 2a Bảng biến thiên của hàm số:

Đỉnh của parabol: xI = − A. h = 9 m .

B. h = 7m .

C. h = 8m .

D. h = 5m .

Câu 150. Cổng Arch tại thành phố St.Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43 m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10 m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng).

Câu 3.

.D.

Câu 152. Cô Tình có 60m lưới muốn rào một mảng vườn hình chữ nhật để trồng rau, biết rằng một cạnh là tường, cô Tình chỉ cần rào 3 cạnh còn lại của hình chữ nhật để làm vườn. Em hãy tính hộ diện tích lớn nhất mà cô Tình có thể rào được? A. 400m2 . B. 450m2 . C. 350m 2 . D. 425m2 . PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

A. 5m.

D. 185,6 m.

Câu 151. Rót chất A vào một ống nghiệm, rồi đổ thêm chất B vào. Khi nồng độ chất B đạt đến một giá trị nhất định thì chất A mới tác dụng với chất B . Khi phản ứng xảy ra, nồng độ cả hai chất đều giảm đến khi chất B được tiêu thụ hoàn hoàn. Đồ thị nồng độ mol theo thời gian nào sau đây thể hiện quá trình của phản ứng?

Dựa vào bảng biến thiên suy ra khẳng định D sai. Chọn B Bảng biến thiên 24

3 1 Đỉnh I  ; −  . 2 4 Bảng biến thiên: Câu 4.

Chọn C Ta có bảng biến thiên:

3  Hàm số đồng biến trên  ; +∞  . 2  Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞) Câu 5.

Chọn D

 b  Hàm số y = x 2 − 4 x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến trên khoảng  − ; +∞  .  2a  Vì vậy hàm số đồng biến trên ( 2; +∞ ) . Câu 6.

Chọn C

b   Hàm số y = x 2 − 4 x + 3 có hệ số a = 1 > 0 nên đồng biến trên khoảng  −∞; −  . 2a   Câu 7. Câu 8.

Câu 13.

Dạng 1.2 Xác định m thỏa mãn điều kiện cho trước −b Hàm số có a = 1 > 0, = m + 1 nên đồng biến trên khoảng ( m + 1; +∞ ) . 2a Do đó để hàm số đồng biến trên khoảng ( 4; 2018 ) thì ta phải có

( 4; 2018 ) ⊂ ( m + 1; +∞ ) ⇔ m + 1 ≤ 4 ⇔ m ≤ 3 . Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1, 2, 3. Đáp án D. Câu 14. Chọn C Hàm số y = f ( x) = x 2 + 2(b + 6) x + 4 là hàm số bậc hai có hệ sô a = 1 > 0 , −

Vì vậy hàm số đồng biến trên ( −∞; 2 ) . Chọn D Do a = −1 nên hàm số đồng biến trên ( −∞; 2 ) nghịch biến trên ( 2; +∞ ) . Chọn A Ta có hàm số ( P ) : y = f ( x ) = x 2 − 2 x + 3 là hàm số bậc hai có hệ số a = 1 ;nên ( P ) có bề lõm

b = −b − 6 2a

nên có bảng biến thiên

hướng lên. Hoành độ đỉnh của parabol xI = Câu 9.

Chọn D Hàm số bậc hai có a = 2 > 0; −

Câu 10.

−b = 1 . Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) . 2a

b = 1 nên hàm số đồng biến trên (1; +∞ ) . 2a

Chọn A ( P ) : y = f ( x ) = −3x 2 + x − 2 , TXĐ: D = ℝ . 1 Có a = −3 , đỉnh S có hoành độ x = . 6

1  Nên hàm số y = f ( x ) nghịch biến trong khoảng  ; +∞  . 6  −b −6 = = 3 . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;3) . Câu 11. Ta có a = −1 < 0, 2a 2. ( −1) Đáp án A. Câu 12. Chọn D Khi m = 1 , hàm số trở thành y = x 2 − 3 x + 2 Tập xác định: D = ℝ . 25

Từ bảng biến thiên ta có: Hàm số đồng biến trên ( 6; +∞ ) thì ⇔ ( 6; +∞ ) ⊂ ( −b − 6; +∞ ) ⇔ −b − 6 ≤ 6 ⇔ b ≥ −12. . Câu 15.

Chọn C Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường x = m − 1 . Đồ thị hàm số đã cho có hệ số x2 âm nên sẽ đồng biến trên ( −∞; m − 1) và nghịch biến trên ( m − 1; +∞ ) . Theo đề, cần: m − 1 ≤ 1 ⇔ m ≤ 2 . Câu 16. Chọn C b Hàm số y = − x 2 + 2 m + 1 x − 3 có a = −1 < 0; − = m + 1 nên hàm số nghịch biến trên 2a ( m + 1 ; +∞) . Để hàm số nghịch biến trên ( 2; +∞ ) thì ( 2; +∞ ) ⊂ ( m + 1 ; +∞ ) ⇔ m + 1 ≤ 2 ⇔ −2 ≤ m + 1 ≤ 2 ⇔ −3 ≤ m ≤ 1 .

Câu 17.

Chọn B Gọi ( P ) là đồ thị của y = f ( x) = x 2 + ( m −1) x + 2m −1 .

y = f ( x ) là hàm số bậc hai có hệ số a = 1 . 26

1− m . 2 1− m  Nên hàm số đồng biến trên khoảng  ; +∞ .  2  1− m Do đó để hàm số trên khoảng (−2; +∞) khi ≤ −2 ⇔ m ≥ 5 . 2 Suy ra tập S = [5; +∞) . Khi đó (−10;10) ∩ S = [5;10) . Câu 18. Chọn C 2  - Với m > 0 , ta có hàm số f ( x ) = mx 2 − 4 x − m 2 nghịch biến trên  −∞;  , suy ra hàm nghịch m  2 2  biến trên ( −1; 2 ) khi ( −1; 2 ) ⊂  −∞;  ⇔ 2 ≤ ⇔ 0 < m ≤ 1 . m m  Gọi I là đỉnh của ( P ) , có xI =

Dạng 2. Xác định hàm số bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng 2.1 Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng của đồ thị hàm số Câu 19.

Chọn A Đỉnh của parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c

Câu 20.

( a ≠ 0)

∆   b là điểm I  − ; − . 4a   2a

Chọn B 2

2 Hoành độ đỉnh của ( P) : y = 3x − 2x + 1 là x = −

b 1 1 2 1 = ⇒ y = 3  − 2. + 1 = . 2a 3 3 3 3

1 2 3 3

Vậy I  ;  . Câu 21. Câu 22.

Chọn A Chọn A

1 3 Vậy hàm bậc hai cần tìm là y = − x 2 + x + 2 2 Câu 25. Chọn A Đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c đi qua điểm A ( 2;1) và có đỉnh I (1; − 1) nên có hệ phương trình

4a + 2b + c = 1 4a + 2b + c = 1 c = 1 c = 1  b     =1 ⇔ b = −2a ⇔ b = −2a ⇔ b = −4 . −  2a a + b + c = −1 −a + c = −1 a = 2    a + b + c = −1 Câu 26.

  a +b + c =1  a +b + c =1 a=2    4a + 2b + c = 3 ⇔ 4a + 2b + c = 3 ⇔ b = −4    b  2a + b = 0  c=3  − =1 2a  Nên S = a 2 + b2 + c 2 =29 Câu 27. Chọn D Parabol ( P ) : y = x 2 + mx + n nhận I ( 2; − 1) là đỉnh, khi đó ta có

4 + 2m + n = −1 2m + n = −5 n = 3  ⇔ ⇔ .  m m = −4 m = −4 − 2 = 2 Vậy m = −4, n = 3 . Câu 28. Chọn C  b b2  Parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c  → đỉnh I  − ; c −  4a   2a  b − 2a = 2 b = −4a ⇔ 2 Theo bài ra, ta có (P) có đỉnh I ( 2; 0 ) ⇒  (1) 2 b b = 4ac c − =0   4a Lại có (P) cắt Oy tại điểm M ( 0; −1) suy ra y ( 0 ) = −1 ⇔ c = −1 ( 2 )

b = − 2 . Từ đó loại câu B. 2a Thay hoành độ xI = − 2 vào phương trình Parabol ở các câu A, C, D, ta thấy chỉ có câu A thỏa

Hoành độ đỉnh là xI = − điều kiện y I = 1 .

Dạng 2.2 Khi biết tọa độ đỉnh và điểm đi qua Chọn C 4 Ta có: xI = −1 ⇒ − = −1 ⇒ a = 2. 2a Hơn nữa I ∈ ( P ) nên −5 = a − 4 − b ⇒ b = 3. Câu 24. Chọn C

Câu 23.

 b = 1 a − b + c = 0 0 − + = a b c    b 1    = 1 . với a ≠ 0 ⇔  b = −2a Theo giả thiết ta có hệ: − ⇔ a = − 2  2a a + b + c = 2   3 a + b + c = 2  c =  2 27

Vậy T = a3 + b2 − 2c = 22 . Chọn C Vì đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) có đỉnh I (1;1) và đi qua điểm A(2;3) nên ta có hệ:

b = −4a b = −4a 1    a = − Từ (1), (2) suy ra b 2 = − a ⇔ b 2 = b ⇔  (vì b = 0 ⇒ a = 0 loại) 4 c = −1 c = −1 b = 1; c = −1   Câu 29.

Chọn A

∆  b Khi m ≠ 0 thì ( P ) : y = mx 2 + 2mx + m 2 + 2m có đỉnh là I  − ; −  ⇒ I −1; m2 + m  2a 4a  Vì đỉnh nằm trên đường thẳng y = x + 7 nên m = 2 2 m + m = −1 + 7 ⇔ m2 + m − 6 = 0 ⇔  (TM ) m = −3 Vậy tổng các giá trị của tập S : 2 + ( −3) = −1 .

(

)

Câu 30.

Chọn D

Vậy ( P) : y = x − x −1. Chọn B Parabol y = ax2 + bx + 2 đi qua hai điểm M (1;5) và N (−2;8) nên ta có hệ phương trình: 2

3 1 . Do đồ thị của nó có đỉnh I  ;  và cắt trụ hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 nên ta có  2 4  −b 3   =   2a 2 3a + b = 0    a = −1    9 3 1    a + b + c = ⇔ a + b + c = ⇔ 9 6 4 1   b = 3 4  2 4       4a + 2b + c = 0 c = −2    4a + 2b + c = 0      2

Vậy y = −x + 3 x − 2 Chọn B Hàm số bậc hai cần tìm có phương trình: y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0 ) 5 1 Hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có đỉnh là S  ;  và đi qua A(1;−4) 2 2  −b 5  −b 5  2a = 2 b = −5a  2a = 2   a = −2  2  −25a 2 + 4a ( 4a − 4 ) 1  b c 1 4a 1 −∆ − +    ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ b = 10 4a 2 4a 2  4a 2   c = −12   a + b + c = −4  a + b + c = −4 c = 4a − 4      Câu 32. ( P ) đi qua điểm A ( 0;3 ) ⇒ c = 3 . Câu 31.

 −b b = 2a a = 1  = −1 ⇔ ⇔ ⇒ a +b+ c = 6. có đỉnh I ( −1; 2 ) ⇒  2a a 2 a 1 − = −  b = 2 a − b + 3 = 2 Đáp án A.

Câu 35.

5 = a.12 + b.1 + 2 a + b = 3 a = 1 ⇔ ⇔ . Vậy hàm số cần tìm là y = 2x2 + x + 2.  2 a b 4 − 2 = 6  b = 2 8 = a.(−2) + b.( −2) + 2 Câu 36. Chọn A Thay tọa độ A ( −1;3 ) vào ( P) : y = x 2 + bx + 1. 2

Ta được: 3 = ( −1) − b + 1 ⇔ b = −1 . Câu 37.

Dạng 2.3 Khi biết các điểm đi qua Chọn A b = −2 ⇒ b = 4a .(1) Ta có: − 2a 2 4 = a.(−2) + b.(−2) + c 4.a − 2b = −2 Mặt khác : Vì A, I ∈ ( P) ⇔  (2) ⇒ 2 c = 6 6 = a. ( 0 ) + b.(0) + c 1  a = 2  1 Kết hợp (1),(2) ta có : b = 2 . Vậy ( P ) : y = x 2 + 2 x + 6 . 2 c = 6   Câu 34. Chọn B  −1 = a.02 + b.0 + c a = 1  2  Ta có: Vì A, B, C ∈ ( P) ⇔  −1 = a. (1) + b.(1) + c ⇒ b = −1 .   c = −1 2 1 = a. ( −1) + b.(−1) + c  29

đi qua ba điểm A (1; 4 ) , B ( −1; −4 ) và C ( −2; −11) suy ra

a + b + c = 4  a = −1   ⇔ b = 4 ⇒ ( P ) : y = − x 2 + 4 x + 1 .  a − b + c = −4 4 a − 2b + c = −11 c = 1   −b Hoành độ của đỉnh của ( P ) là x = = 2 . Suy ra tung độ của đỉnh của ( P ) là 2a 2 y = −2 + 4.2 + 1 = 5 . Đáp án B.

Dạng 3. Đọc đồ thị, bảng biến thiên của hàm số bậc hai Câu 38.

Dạng 3.1 Xác định hình dáng của đồ thị, bảng biến thiên khi biết hàm số Chọn B Hàm số y = −2 x 2 + 4 x + 1 có đỉnh I (1;3 ) , hệ số a = −2 < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng

( −∞;1) , nghịch biến trên khoảng (1; +∞ ) .

(P)

Câu 33.

( P ) : y = ax 2 + bx + c

Câu 39.

Chọn D Dựa vào đồ thị có: ( P ) : y = f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 ;có a = 1 > 0 ;nên ( P ) có bề lõm hướng lên (loại hình 2 ).

( P)

có đỉnh I có xI = 1 (loại hình 1 và 3 ).

Vậy ( P ) : y = f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 có đồ thị là hình 4 . Câu 40. Chọn C Hàm số y = −2 x 4 + 4 x + 1 có hệ số a = − 2 < 0 nên bề lõm quay lên trên vì vậy ta loại đáp án B, D. Hàm số có tọa độ đỉnh I (1;3) nên ta loại đáp án A. Vậy bảng biến thiên của hàm số y = −2 x 4 + 4 x + 1 là bảng C. Câu 41. Chọn A y = − x2 + 2 x − 1 Có a = − 1 < 0 , nên loại C và D. Tọa độ đỉnh I (1;0 ) , nên nhận A. Câu 42.

Chọn C y ' = −2 x + 2 y' = 0 ⇔ x =1 Hàm số đồng biến trên ( −∞; 1) ; nghịch biến trên (1; + ∞ ) .

Câu 43. Câu 44.

Câu 45.

Câu 46.

Câu 47. Câu 48.

Dạng 3.2 Xác định dấu hệ số của hàm số khi biết đồ thị của nó Chọn B Bề lõm hướng xuống a < 0. Đáp án C. Parabol quay bề lõm xuống dưới ⇒ a < 0 . Parabol cắt Oy tại điểm có tung độ dương ⇒ c > 0 . b −b Đỉnh của parabol có hoành độ dương ⇒ > 0 ⇒ < 0 mà a < 0 nên suy ra b > 0 . 2a a Chọn C Do a > 0 nên Parabol quay bề lõm lên trên, suy ra loại phương án A, D . Mặt khác do b a > 0, b > 0 nên đỉnh Parabol có hoành độ x = − < 0 nên loại phương án B . Vậy chọn C . 2a (Nhận xét: Với các đáp án này thừa dữ kiện c < 0 ) Chọn C Vì c > 0 nên đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm phía trên trục hoành. Mặt khác a > 0, b < 0 nê hai hệ số này trái dấu, trục đối xứng sẽ phía phải trục tung. Do đó, hình (3) là đáp án cần tìm. Chọn A Parabol có bề lõm quay lên ⇒ a > 0 loại D. Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c < 0 loại B, C. Chọn A. Chọn D Dựa vào bảng biến thiên ta có: Parabol ( P ) có bề lõm quay xuống dưới; hoành độ đỉnh dương;

a < 0 a < 0  −b   cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 1 nên  > 0 ⇒ b > 0 .  2a c < 0  c = −1 < 0 Câu 49. Chọn D Vì Parabol hướng bề lõm lên trên nên a > 0 . Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm ( 0; c ) ở dưới Ox ⇒ c < 0 . Hoành độ đỉnh Parabol là − Câu 50.

b < 0 , mà a > 0 ⇒ b > 0 . 2a

Chọn D Dựa vào đồ thị, nhận thấy: * Đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm quay xuống dưới nên a < 0 . * Đồ thị cắt trục tung tại tung độ bằng c nên c > 0 . * Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x1 = −1 và x2 = 3 nên x1 , x2 là hai nghiệm của b phương trình ax 2 + bx + c = 0 mà theo Vi-et x1 + x2 = − = 2 ⇔ b = −2 a ⇒ b > 0 . a * Vậy a < 0 , b > 0 , c > 0 . Câu 51. Chọn A Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ ( = c ) âm nên c < 0 . Suy ra loại B,. D.

Câu 52.

 −b  Đồ thị hướng bề lõm lên trên nên a > 0 , hoành độ đỉnh  =  dương nên  2a  −b > 0, a > 0 ⇒ b < 0 . 2a Chọn A 31

Nhận xét: +) Parabol có bề lõm quay xuống dưới nên a < 0 . +) Parabol cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng 0 và tung độ âm nên thay x = 0 vào y = ax2 + bx + c suy ra c < 0 . b > 0 mà a < 0 nên b > 0 . +) Parabol có trục đối xứng nằm bên phải trục tung nên x = − 2a Vậy a < 0, b > 0, c < 0 . Câu 53. Chọn C Từ dáng đồ thị ta có a > 0 . Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương nên c > 0 . b Hoành độ đỉnh − > 0 mà a > 0 suy ra b < 0 . 2a Câu 54. Chọn C Vì a < 0 nên đồ thị có bề lõm hướng xuống dưới ⇒ loại hình (1), hình (3). −b a < 0; b < 0 ⇒ < 0 nên trục đối xứng của ( P ) nằm bên trái trục tung. Vậy hình (2) thỏa mãn 2a nên chọn đáp án C. Câu 55. Chọn B Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm nằm phía dưới trục Ox nên C < 0 Đồ thị có bề lõm hướng lên do đó a > 0 −b <0 ⇒ b> 0 . Tọa độ đỉnh nằm ở góc phần tư thứ III nên 2a Dạng 3.3 Xác định hàm số khi biết đồ thị của nó Chọn A Đồ thị có bề lõm quay xuống dưới nên a < 0 . Loại phương án Trục đối xứng: x = 2 do đó chọn A. Câu 57. Chọn B Đồ thị có hệ số a > 0 nên loại C . Đồ thị đi qua điêm (1;1) nên loại A và loại D . Câu 56.

Câu 58.

Chọn A. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy a > 0 . Loại B. b Tọa độ đỉnh I (1; 2 ) ⇒ − = 1 > 0 . Suy ra b < 0 . Loại. C . 2a Thay x = 1 ⇒ y = 2 . Loại D . Câu 59. Chọn A Từ bảng biến thiên suy ra hệ số a > 0 . Loại C, D Toạ độ đỉnh I = ( 2; −4 ) loại B Câu 60. Chọn D Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −1 nên loại B và C b = 1 nên ta loại A và chọn Hoành độ của đỉnh là xI = − D. 2a Câu 61. Chọn D Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm ( 0 ; − 1) nên c = −1 .

 b =1  2a + b = 0 a = 2 − ⇔ ⇔ Tọa độ đỉnh I (1 ; − 3) , ta có phương trình:  2a . a b + = − 2  b = −4  2 a.1 + b.1 − 1 = −3 Vậy parabol cần tìm là: y = 2 x2 − 4 x − 1 . Câu 62. Chọn D Do đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng − 1 nên suy ra c = −1 (1)  −b −△  Đồ thị có tọa độ đỉnh I  ;  ≡ I (1; −3) nên ta có:  2a 4a   −b =1 b = −2a b = −2a b = −2a  2a ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2 (2)  −∆ ∆ = 12 a b − 4ac − 12a = 0  4a − 4ac − 12a = 0  = −3   4a c = −1 a = 2   ⇔ b = −4 . Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình b = −2a 4a 2 − 8a = 0 c = −1  

Câu 69.

Dạng 3.4 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Chọn D. Đồ thị hàm số y = f ( x) gồm hai phần Phần 1: ứng với y ≥ 0 của đồ thị y = f ( x ) .

Phần 2: lấy đối xứng phần y < 0 của đồ thị y = f ( x ) qua trục Ox . Câu 70. Chọn B Quan sát đồ thị ta loại A. và D. Phần đồ thị bên phải trục tung là phần đồ thị  5 13  ( P ) của hàm số y = − x2 + 5 x − 3 với x > 0 , tọa độ đỉnh của ( P ) là  ;  , trục đối xứng là 2 4  x = 2,5 . Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của ( P ) qua trục tung Oy . Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số y = − x 2 + 5 x − 3 . Dạng 4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Câu 71.

Dạng 4.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cho trước Chọn B y

Ta được parabol có phương trình là y = 2 x 2 − 4 x − 1. Câu 63. Chọn B Dựa vào hình vẽ ta có hàm số bậc hai có hệ số a > 0 nên ta loại đáp án C, D. Mặt khác đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (1; 0 ) , mà điểm (1; 0 ) thuộc đồ thị hàm

(P)

x = 1

7 6

I(1; 3)

số y = 2 x 2 − 3 x + 1 và không thuộc đồ thị hàm số y = x 2 − 3 x + 1 nên ta chọn B. Câu 64. Chọn D Đồ thị hàm số là parabol có bề lõm quay xuống nên hệ số a < 0 . Loại đáp án A, B. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên loại đáp án C. Câu 65. Chọn C Parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c , ( a ≠ 0 ) đi qua các điểm A ( −1; 0 ) , B (1; − 4 ) , C ( 3; 0 ) nên có hệ a − b + c = 0 a = 1   phương trình:  a + b + c = −4 ⇔ b = −2 . 9a + 3b + c = 0 c = −3   Khi đó: 2a + b + 2c = 2.1 − 2 + 2 ( −3 ) = −6 .

Câu 66.

Chọn B Đồ thị trên là của hàm số bậc hai với hệ số a < 0 và có tọa độ đỉnh là I ( 2;1) . Vậy đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số y = − x 2 + 4 x − 3 .

Câu 67.

Chọn C

Dựa vào đồ thị của hàm số y = x 2 − 2 x + 4 : ( P ) , ta nhận thấy:

( P)

có đỉnh I (1; 3 ) nên A đúng.

min y = 3, ∀x ∈ [ 0; 3] , đạt được khi x = 1 nên B sai.

( P)

có trục đối xứng x = 1 nên C đúng.

max y = 7, ∀x ∈ [ 0;3] , đạt được khi x = 3 nên D đúng.

Câu 72.

Chọn A. 2 y = x 2 − 4 x + 1 = ( x − 2 ) − 3 ≥ −3 .

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = 2 . Vậy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là −3 tại x = 2 . Câu 73. Chọn B Ta có: y = x 2 + 2 x + 3 = ( x + 1)2 + 2 ≥ 2, ∀x ∈ ℝ Dấu bằng xảy ra khi x = −1 nên chọn đáp án B.

Câu 74.

Parabol cần tìm phải có hệ số a > 0 và đồ thị hàm số phải đi qua đi ểm ( 2; −5 ) . Đáp án C thỏa mãn. Câu 68. Chọn B Dựa vào BBT ta thấy: Parabol có bề lõm quay lên trên nên hệ số a < 0 ⇒ Loại A. Parabol có đỉnh I ( −2; −4) nên thay x = −2; y = −4 vào các đáp án B, C, D. Nhận thấy chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Chọn A y = 2 x 2 + x − 3 = 2( x +

1 25 −25 )− ≥ 4 8 8

−25 −1 −25 nên giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 x 2 + x − 3 là . khi x = 8 4 8 2 Ta có ∆ = 1 − 4. ( −3) .2 = 25

Câu 75.

Vì a = −3 < 0 nên hàm số có giá trị lớn nhất là: 33

−∆ 25 . = 4a 12

Đáp án A. −b −1 −∆ 4 Câu 76. Ta có = ∈ [ −2; 2] , a = 5 > 0 . Do đó min f ( x ) = min f ( x ) = = . ℝ [ −2;2] 2a 5 4a 5 Để dễ hiểu hơn, ta quan sát bảng biến thiên của hàm số 1 x − −∞ 2 +∞ −2 5 +∞ +∞ y 4 5

Suy ra x 2 + 4 x + 3 ≥ 3 ∀x . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 3. Câu 82. Chọn B BBT

Lưu ý: max f ( x ) = max { f ( −2 ) , f ( 2 )} = max {17, 25} = 25 . [−2;2]

Câu 77.

b 1 1  = và a = −3 < 0 . Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  ; +∞  . Mà 2a 3 3  1  [1;3] ⊂  ; +∞  . Do đó trên đoạn [1;3] hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm x = 1 , tức là 3  max f ( x ) = f (1) = 0 .

Dựa vào BBT ta có M = −4, m = −9 . Vậy M + m = −4 + ( −9 ) = −13 .

Ta có −

[1;3]

Đáp án Câu 78. Đáp án

B. D.

11 > 0. 4 2 8 2 = . Suy ra hàm số y = 2 có giá trị lớn nhất là 11 11 x − 5x + 9 4 Câu 79. Chọn C Xét trên miền [ −1; 4 ] thì hàm số có bảng biến thiên là Hàm số y = x 2 − 5 x + 9 có giá trị nhỏ nhất là

Dạng 4.2 Tìm m thỏa mãn đi đ ều kiện cho trước Chọn B b 2m Ta có x = − = = 1 , suy ra y = −4m − 2 . 2a 2m Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −10 khi và chỉ khi m > 0 m >0⇔m>0 ⇔ ⇔ m = 2. 2  −4m − 2 = −10 Câu 84. Chọn C Xét hàm số y = − x 2 + 2 x + m − 4 trên đoạn [ −1; 2 ] . Câu 83.

Câu 85.

Hàm số đạt GTLN trên đoạn [ −1; 2 ] bằng 3 khi và chỉ khi m − 3 = 3 ⇔ m = 6 . Chọn C Hàm số y = x 2 + 2mx + 5 có a = 1 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi x = −

Từ bảng biến thiên suy ra: Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 8 và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −1 nên tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là 8 + ( −1) = 7 .

Câu 80.

Đáp án C. Cách 1: Đặt t = x , t ≥ 0 .

b . 2a

 b  Theo đề bài ta có y  −  = 1 ⇔ y ( −m ) = 1 ⇔ m2 − 2m2 + 5 = 1 ⇔ m 2 = 4 ⇔ m = ±2 .  2a  Câu 86. Chọn B 2

Hàm số f ( t ) = t 2 − 2t đạt giá trị nhỏ nhất bằng − 1 khi t = 1 > 0 .

Ta có y = x 2 − 2mx + m 2 − 3m − 2 = ( x − m ) − 3m − 2 ≥ −3m − 2 ∀x ∈ ℝ .

Vậy hàm số y = x 2 − 2 x đạt giá trị nhỏ nhất bằng − 1 khi x = 1 ⇔ x = ±1 . Cách 2: Ta có

Đẳng thức xảy ra khi x = m . Vậy min y = −3m − 2 . ℝ

Yêu cầu bài toán ⇔ −3m − 2 = −10 ⇔ m =

y = x 2 − 2 x = ( x − 1) − 1 ≥ −1 ∀x ; y = −1 ⇔ x = 1 ⇔ x = ±1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là − 1 . Câu 81. Đáp án D. Ta có x 2 ≥ 0 ∀x, x ≥ 0 ∀x . 35

Câu 87.

8 . 3

Chọn D Ta có hàm số y = x 2 − 2 x + 2m + 3 có hệ số a = 1 > 0, b = −2 , trục đối xứng là đường thẳng b x=− = 1 nên có bảng biến thiên 2a 36

{

}

Vậy m ∈ −2; − 2 .

Câu 90.

Đáp án

Đồ thị hàm số là một parabol quay bề lõm lên trên và có đỉnh có hoành độ x0 = m + Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên đoạn [ 2; 5 ] suy ra giá trị nhỏ nhất trên

Câu 88.

đoạn [ 2; 5 ] bằng f ( 2 ) . Theo giả thiết f ( 2 ) = −3 ⇔ 2m + 3 = −3 ⇔ m = −3 . Chọn A Vì y = x 2 − 2 x + 2m + 3 có a = 1 > 0 nên hàm số đồng biến trong khoảng (1; +∞ ) . Như vậy trên đoạn

[ 2;5]

hàm số đồng biến. Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

[ 2; 5]

y ( 2 ) = 2m + 3 .

1 1 =m+ m m

1 = 2. m Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = ±1 Vậy x0 ∉ [ −1;1] .

≥2 m.

Ta thấy nếu x0 < −1 thì

y ( 2 ) = −3 ⇔ 2 m + 3 = − 3 ⇔ m = − 3 .

Câu 89.

là

Ta có x0 = m0 +

1 . m

Đáp án

C. b − ( 2m + 1) = ; ∆ = 4m + 5 . Ta có − 2a 2 Vì a > 0 nên đồ thị hàm số là một parabol quay bề lõm lên trên và có điểm thấp nhất là đỉnh  −b −∆  I ; .  2a 4a  Từ đó ta xét các trường hợp sau: * Trường hợp 1: − ( 2m + 1) −b ∈ ( 0;1) ⇔ 0 < <1 2a 2 −3 −1 (1). ⇔ <m< 2 2 −∆ − ( 4m + 5 ) = . Khi đó min f ( x ) = [0;1] 4a 4 − ( 4m + 5 ) =1 Vậy ta phải có 4 −9 (không thỏa mãn (1)). ⇔m= 4 * Trường hợp 2: − ( 2m + 1) −b −1 ≤0⇔ ≤0⇔m≥ (2). 2a 2 2 2 Khi đó min f ( x ) = f ( 0 ) = m − 1 . [0;1]

Ta phải có m2 − 1 = 1 ⇔ m = ± 2 . Chỉ có m = − 2 thỏa mãn ( 2 ) . * Trường hợp 3: − ( 2m + 1) −b −3 ≥1 ⇔ ≥1 ⇔ m ≤ (3). 2a 2 2 2 Khi đó min f ( x ) = f (1) = m + 2m + 1 .

m = min f ( x ) = f ( −1) , x∈[ −1;1]

M = max f ( x ) = f (1) . x∈[ −1;1]

Ngược lại nếu x0 > 1 thì m = min f ( x ) = f (1) , x∈[ −1;1]

M = max f ( x ) = f ( −1) . x∈[ −1;1]

Vậy M − m = 8 ⇔ f (1) − f ( −1) = 8 1 1  ⇔ 4 m +  = 8 ⇔ m + = 2 m m  ⇔ m = ±1 . Vậy S = {−1;1} . Do đó tổng bình phương các phần tử thuộc S bằng 2. Câu 91. Chọn A Hàm số đã cho là hàm số bậc hai (biến x ) và có hệ số a = 2 > 0 nên giá trị nhỏ nhất của hàm số ∆ −m2 + 6m − 25 1 3 25 = là − . Đặt f ( m) = − m 2 + m − . 4a 8 8 4 8 1 f (m) là hàm số bậc hai (biến m ) có hệ số a = − < 0 nên đạt giá trị lớn nhất tại 8 3 b 4 m=− = = 3 ∈ (1; 4 ) . 2a 1 4  4a + 3 23 − 24a  ; Câu 92. Ta có: tọa độ đỉnh I   16   8 BBT:

[0;1]

Ta phải có m2 + 2m + 1 = 1 ⇔ m = 0 hoặc m = −2 . Chỉ có m = −2 thỏa mãn ( 3 ) . 37

+ Nếu

m ≤ −7  y1 − y2 = 8 ⇔ −m − 7 = m2 − 4 ⇔  53 ⇔ m ∈∅ . m = − 14

4a + 3 13 ≥2 ⇔a≥ 8 4

 a = 4 + 7 ( TM ) min y = f ( 2 ) = a 2 − 8a + 12 = 3 ⇔ a 2 − 8a + 9 = 0 ⇔  x∈[ 0;2]  a = 4 − 7 ( Loai ) 4a + 3 −3 + Nếu ≤0 ⇔a≤ 8 4  a = 1( Loai ) min y = f ( 0 ) = a 2 + 2 = 3 ⇔ a 2 = 1 ⇔  x∈[0;2 ]  a = −1( TM ) 23 − 24a 4a + 3 13 −25 =3⇔ a = + Nếu 0 < , loại. < 2 ⇒ 0 < a < : min y = 16 8 4 x∈[0;2] 24

{

- Xét m ≥ 2 ta có −

y1 = y ( 0 ) = 4m + 2 m 2 − 4 ; y2 = y (1) = m 2 − 4 + 3m + 1

2 ≤ m ≤ 9 85  y1 − y2 = 8 ⇔ m2 − 4 = 9 − m ⇔  85 ⇔ m = . 18 m =  18 Câu 96.

}

Vậy các giá trị cần tìm của a là: a ∈ 4 + 7; −1 .

Câu 93.

Chọn C Hàm số bậc hai với hệ số a = 2 > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại x = −

2 b m+ m −4 m b = ≥ = 1 ; khi đó 0;1 đều nằm bên trái − suy ra 2a 2 2 2a

Vậy chỉ có duy nhất một giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn B - Hàm số đã cho xác định ⇔ ( 3 − x )( x + 1) ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 3 . Vậy TXĐ: D = [ −1; 3] .

b 3 ( m + 1) = và 2a 4

- Đặt t =

( 3 − x )( x + 1) , với t ∈ [ 0; 2] .

⇒ t 2 = ( 3 − x )( x + 1)

 3 ( m + 1)  1 1 2 3 25 ymin = y  = − (m − 3) 2 − 2 ≤ −2 . =− m + m− 4 8 4 8 8   Dấu bằng xảy ra khi m = 3 . Câu 94. Chọn A m  Ta có đỉnh I  ; − 2m  . 2  m Do m > 0 nên > 0 . Khi đó đỉnh I ∉ [ −2; 0 ] . 2

⇔ t 2 = − x2 + 2 x + 3 . Khi đó hàm số đã cho trở thành: f ( t ) = t 2 + 4t , với t ∈ [ 0; 2] . Ta có đỉnh I của Parabol ( P ) của hàm số f ( t ) = t 2 + 4t có hoành độ: t I =

−b −4 = = −2 . 2 a 2.1

Khi đó f ( −2 ) = ( −2 ) + 4. ( −2 ) = −4 . Hay I ( −2; −4 ) . - Ta lập BBT hàm số f ( t ) = t 2 + 4t , với t ∈ [ 0; 2] .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −2; 0 ] là y ( 0 ) = 3 tại x = 0 . - Từ BBT ta suy ra tập giá trị của hàm số đã cho là W =  0;12  . Khi đó K = 02 + 122 = 144 .

 m1 = 3 ⇔ m 2 − 2m − 3 = 0 ⇔  ⇒ S = {3} .  m2 = −1 < 0

Dạng 5. Sự tương giao giữa parabol với đồ thị các hàm số khác

Câu 95. Hướng dẫn giải: Chọn

m ≥ 2 . Điều kiện của m là m 2 − 4 ≥ 0 ⇔   m ≤ −2 - Xét m ≤ −2 ta có −

2 b m+ m −4 b = < 0 . Khi đó các số 0;1 đều nằm bên phải − nên 2a 2 2a

y2 = y ( 0 ) = 4m + 2 m 2 − 4 ; y1 = y (1) = m 2 − 4 + 3m + 1 . 39

Dạng 5.1 Sự tương giao đồ thị của các hàm số tường minh số liệu Câu 97. Lờigiải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm:

x = 1 . x 2 − 3x + 2 = x − 1 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔  x = 3 x = 1 ⇒ y = x −1 = 0 40

x = 3 ⇒ y = x −1 = 2 Hai giao điểm là: (1; 0 ) ; ( 3; 2 ) .

Câu 98.

Ycbt ⇒ m > 1 . Câu 107. Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( P ) : x 2 + x − 2 = − ( m + 1) x + m + 2 ⇔ x 2 + ( m + 2 ) x − m − 4 = 0 (*) .

Chọn D Hoành độ giao điểm của ( P ) và d là nghiệm của phương trình:

x =1 . x2 − 4 x = − x − 2 ⇔ x2 − 3x + 2 = 0 ⇔  x = 2 Vậy tọa độ giao điểm của ( P ) và d là M (1; − 3) , N ( 2; − 4 ) . Câu 99. Chọn D Parabol đã cho có hệ số c = 1 nên sẽ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 .

Câu 100. Chọn

x = 2 ⇒ y = 2 Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 7 x + 12 = − x + 4 ⇔ x 2 − 6 x + 8 = 0 ⇔  . x = 4 ⇒ y = 0 Câu 101. Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm x = 0 . 1 − x = x2 − 2x + 1 ⇔ x2 − x = 0 ⇔  x = 1 Câu 102. Chọn D x = 2 ⇒ y = 0 Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x − x 2 = 3x − 6 ⇔ x 2 + x − 6 = 0 ⇔   x = −3 ⇒ y = −15 b + d = − 15 2

Câu 103. Ta có f ( x − 1) = x 2 − 5 x + 5 = ( x − 1) − 3 ( x − 1) + 1 . Suy ra f ( x ) = x 2 − 3 x + 1 . 2

Phương trình x − 3x + 1 = 0 có ∆ = 3 − 4.1.1 = 5 > 0 nên có hai nghiệm phân biệt. Vậy ( P ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Đáp án C. Câu 104. Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol:  x = −1 . 2 x 2 − x − 2 = x2 + x + 1 ⇔ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔  x = 3

x = −1 ⇒ y = 1; x = 3 ⇒ y = 13 , do đó hai giao điểm là A ( −1;1) và B ( 3;13) . Từ đó AB =

Đáp án

( 3 + 1)

+ (13 − 1) = 4 10 .

d cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung khi và chỉ khi ( *) có hai nghiệm phân biệt cùng đấu  m 2 + 8m + 20 > 0 ∆ > 0 ⇔ ⇔ ⇔ m < −4 . P > 0  −m − 4 > 0 Vậy có 6 giá trị m nguyên trong nửa khoảng [ −10; −4 ) thỏa mãn ycbt. Đáp án A. Câu 108. Đáp án A. Phương trình hoành độ giao điểm của ( P ) và ( d ) : x 2 − mx = ( m + 2 ) x + 1 ⇔ x 2 − 2 ( m + 1) x − 1 = 0 (*).

(*) có a, c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Do đó ( P ) và ( d ) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m. Khi đó xM , xN là hai nghiệm phân biệt của (*). Theo Viet ta có xM + x N = 2 ( m + 1) . xM + x N = m +1. 2 Suy ra y I = ( m + 2 )( m + 1) + 1

Ta có xI =

= ( m + 1) + ( m + 1) + 1 = xI2 + xI + 1 . Vậy I luôn thuộc parabol y = x 2 + x + 1 với mọi m. Chú ý: Cho hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) . Trung điểm của đoạn thẳng AB là

 x + x y + yB  I A B ; A . 2   2 Câu 109. Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( P ) là: x 2 + 3x = x + m2 ⇔ x 2 + 2 x − m2 = 0 (1). Đề d cắt ( P ) tại 2 điểm phân biệt ∆′ > 0 ⇔ 1 + m 2 > 0, ∀m ∈ ℝ .

(

) (

Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của phương trình (1), khi đó A x1; x1 + m2 , B x2 ; x2 + m2

)

 x + x x + x + 2m  ⇒ I 1 2; 1 2  2  2  2

Dạng 5.2 Biện luận tương giao đồ thị theo tham số m Câu 105. Chọn D Cho x 2 + 3x + m = 0 (1) Để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 9 ⇔ ∆ > 0 ⇔ 32 − 4m > 0 ⇔ 9 − 4m > 0 ⇔ m < . 4 Câu 106. Chọn D x 2 + 2 x + m = 0 ⇔ x 2 + 2 x − 1 = − m − 1 ( *) Số nghiệm của phương trình ( *) chính là số giao điểm của parabol y = x 2 + 2 x + 1 và đường thẳng y = −m − 1 . 41

(

)

Theo Vi ét ta có x1 + x2 = −2; x1.x2 = − m 2 nên I −1; m 2 − 1 . Vì I thuộc d ′ nên m2 − 1 = 1 ⇔ m2 = 2 ⇔ m = ± 2 . Câu 110. Chọn A Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng ( d ) là nghiệm của phương trình

x2 − 3mx + m2 + 1 = mx + m2 ⇔ x 2 − 4mx + 1 = 0 (*) . Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng ( d ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn

x1 − x2 = 1 khi phương trình

( *)

có hai nghiệm phân biệt không âm thỏa mãn

x1 + x2 − 2 x1x2 = 1 . 42

 ∆′ > 0  Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt không âm ⇔  S ≥ 0 (**) . P ≥ 0   1 m < − 2 4m 2 − 1 > 0   x + x = 4m 1  Theo định lí Vi–et ta có:  1 2 , suy ra (**) ⇔  4m ≥ 0 ⇔  1 ⇔m> . m > 2  x1 x2 = 1    2 1 ≥ 0  m ≥ 0 3 Lại có, x1 + x2 − 2 x1 x2 = 1 ⇔ 4m − 2 = 1 ⇔ m = (thỏa mãn điều kiện). 4 3 Vậy m = . 4 Câu 111. Chọn A Xét phương trình hoành độ giao đi ểm: 2 x 2 − 3x − 5 = 4 x + m ⇔ 2 x 2 − 7 x − 5 − m = 0 (*) 2

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆ = ( −7 ) − 4.2 ( −m − 5) > 0 ⇔ 8m + 89 > 0 ⇔ m > −

89 . 8

7   x1 + x2 = 2 Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của (*) nên theo Vi-et ta có:  .  x .x = −5 − m 1 2  2 2

2 7  −5 − m  2 x12 + 2 x22 = 3 x1 x2 + 7 ⇔ 2 ( x1 + x2 ) − 7 x1 x2 − 7 = 0 ⇔ 2   − 7.  −7 = 0  2  2  89 ⇔ 70 + 7 m = 0 ⇔ m = −10 (thỏa mãn đk m > − ). 8 Vậy m = −10 là giá trị cần tìm. Câu 112. Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 + 1 = mx − 3 ⇔ x 2 − mx + 4 = 0 (*) Đường thẳng y = mx − 3 không có điểm chung với Parabol y = x 2 + 1 ⇔ Phương trình (*) vô

nghiệm ⇔ ∆ < 0 ⇔ m2 −16 < 0 ⇔ −4 < m < 4 . Vì m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {−3; − 2; − 1; 0;1; 2;3} . Câu 113. Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 3x − 5 = mx + 3 − 2m ⇔ x 2 − ( m + 3 ) x + 2m − 8 = 0 ( *) . Đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 ⇔ 2 m − 8 < 0 ⇔ m < 4 .

Câu 114. Chọn A. 2 2 Phương trình hoành độ giao điểm của ( P ) với trục hoành: x − 2 ( m + 1) x + m − 3 = 0 (1) . Parabol ( P ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho x1.x2 = 1 ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x1.x2 = 1

2 2 ∆′ = ( m + 1) − ( m − 3) > 0 m > −2 ⇔ ⇔ ⇔ m = 2. m = ±2 m2 − 3 = 1 Câu 115. Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của ( P ) và d là

x 2 + 2 x − 5 = 2mx + 2 − 3m ⇔ x 2 + 2 (1 − m ) x − 7 + 3m = 0

( *) ( P ) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm về phía bên phải của trục tung khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt   ∆′ > 0 (1 − m )2 + 7 − 3m > 0  m 2 − 5m + 8 > 0  m > 1  7   −b   ⇔  > 0 ⇔  −2 (1 − m ) > 0 ⇔ 1 − m < 0 ⇔ 7 ⇔m> . a 3 m >   −7 + 3m > 0 3m − 7 > 0  3   c   a > 0 7 Vậy m > . 3 Câu 116. Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục Ox là: x 2 − 4 x + m = 0 (1) . (P) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn OA = 3OB ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 = 3 x2

∆' > 0 4 − m > 0 m < 4    ⇔   x1 = 3 x2 ⇔   x1 = 3 x2 ⇔  x1 = 3x2 .   x = −3x   x = −3x  x = −3x 2 2 2  1  1  1 x + x = 4 Mặt khác, theo định lý Viet cho phương trình (1) thì:  1 2 .  x1.x2 = m Với x1 = 3x2 ⇒ x1 = 3 , x2 = 1 ⇒ m = 3 thỏa mãn. Với x1 = −3x2 ⇒ x1 = 6 , x2 = −2 ⇒ m = −12 thỏa mãn. Có hai giá trị của m là m = 3 và m = −12 . Vậy T = −9 . Chọn đáp án A.

Câu 117. Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của ( P ) với trục hoành: x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 − 3 = 0 (1) .

Parabol ( P ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho x1.x2 = 1

⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x1.x2 = 1  ∆′ = ( m + 1)2 − ( m 2 − 3) > 0 m > −2 ⇔ ⇔ ⇔ m = 2. 2 m = ±2  m − 3 = 1 Câu 118. Đáp án D. Vì đường thẳng y = −2,5 có một điểm chung duy nhất với ( P ) và đường thẳng y = 2 cắt ( P )

tại hai điểm có hoành độ là − 1 và 5 nên suy ra tọa độ đỉnh của ( P ) là:

 −1 + 5  ; 2,5  = ( 2; 2,5 ) .   2  44

Vậy ( P ) đi qua ba điểm ( 2; 2,5 ) , ( −1; 2 ) và ( 5; 2 ) . Từ đó ta có hệ 1  a = 10 a − b + c = 2  −4   . 25a + 5b + c = 2 ⇔ b = 10 4a + 2b + c = 2,5    15 c = 10  Vậy a − b − c = −1 .

Từ đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 : - Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 ; - Bước 2: Giữ nguyên phần nằm trên trục Ox của đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 ; - Bước 3: Lấy đối xứng phần nằm dưới trục Ox của đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 .

Dạng 5.3 Bài toán tương giao đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu 119. Cách 1: x 2 − 2 x + 1 − m = 0 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = m (*) . Số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x + 1 và đường thẳng y = m . Dễ thấy hàm số y = x 2 − 2 x + 1 là một hàm số chẵn, do đó có đồ thị đối xứng qua trục Oy. Mặt khác ta có y = x 2 − 2 x + 1 = x 2 − 2 x + 1 với x ≥ 0 .

Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m < 1 . Vậy S = ( 0;1) . Suy ra a + b = 1 .

Đáp án Câu 121. Đáp án

Từ đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x + 1 như sau: - Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x + 1 ;

Ta có x

A. C.

x2 − 4 x + 4 = m

- Bước 2: Xóa phần nằm bên trái trục tung (ứng với x < 0 ) của đồ thị hàm số y = x − 2 x + 1 ; - Bước 3: Lấy đối xứng phần nằm bên phải trục tung (ứng với x ≥ 0 ) của đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x + 1 qua trục tung.

( x − 2) = m ⇔ x ( x − 2) = m Phương trình x ( x − 2 ) = m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x ( x − 2) và đường thẳng y = m . Vẽ đồ thị hàm số y = x ( x − 2) : ⇔ x

- Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x ( x − 2 ) .

Quan sát trên đồ thị ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x + 1 tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m < 1 . Suy ra không có giá trị nguyên nào của m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt. Cách 2: Đặt t = x , t ≥ 0 . Phương trình đã cho trở thành t 2 − 2t + 1 − m = 0 (**). Ta thấy với t = 0 thì x = 0 , với t > 0 thì x = ± t . Do đó để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì (**) phải có hai nghiệm dương phân 1 − (1 − m ) > 0 ∆ ' > 0  m > 0  biệt ⇔  S > 0 ⇔  2 > 0 ⇔ ⇔ 0 < m < 1. m < 1 P > 0 1 − m > 0   Do đó không có giá trị nguyên nào của m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt. Đáp án A.  x 2 − 4 x + 3 khi x 2 − 4 x + 3 ≥ 0 Câu 120. Ta có y = x 2 − 4 x + 3 =  . 2 2  − ( x − 4 x + 3) khi x − 4 x + 3 < 0 45

- Bước 2: Từ đồ thị hàm số y = x ( x − 2 ) suy ra đồ thị hàm số y = x ( x − 2 ) .

- Bước 3: Từ đồ thị hàm số y = x ( x − 2 ) suy ra đồ thị hàm số y = x ( x − 2) . 46

Đồ thị (C1 ) của hàm số y = ax 2 − bx + c = a (−x ) + b (−x ) + c đối xứng với đồ thị (C) của hàm Quan sát đồ thị ta thấy phương trình x

x 2 − 4 x + 4 = m có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Từ đó suy ra đồ thị (C2 ) của hàm số y = ax 2 − bx + c gồm phần đồ thị (C1 ) ở phía trên Ox (kể

m ∈ ( 0;1) .

Vậy a + b = 1 . Câu 122. Chọn B Từ đồ thị ( C ) suy ra đồ thị ( C ') của hàm số y = f ( x ) gồm 2 phần: Phần 1 giữ nguyên phần

(C )

số f ( x ) = ax 2 + bx + c qua trục tung.

bên phải trục Oy ; phần 2 lấy đối xứng phần 1 qua trục Oy .

cả các điểm thuộc Ox ) và phần đối xứng qua Ox của phần (C1 ) nằm phía dưới trục hoành (như hình vẽ). Dựa vào đồ thị suy rađường thẳng y = m cắt đồ thị (C2 ) tại 4 điểm phân bi ệt khi 0 < m < 1 , hay phương trình ax 2 − bx + c = m có đúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m < 1 . Không có số nguyên m nào thuộc khoảng (0;1) . Câu 125. Chọn A Đồ thị hàm số cắt Oy tại (0; 3) ⇒ c = 3

 f ( x ) = −1 (1) Ta có: f 2 ( x ) + ( m − 2 ) f ( x ) + m − 3 = 0 ⇔  .  f ( x ) = 3 − m ( 2 ) Từ đồ thị ( C ') ⇒ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

−b   =2 Đồ thị hàm số nhận (2; −1) làm đỉnh nên ta có   2a   4a + 2b + c = −1    b = −4a a = 1 ⇒ ⇔       4a + 2b = −4 b = −4

Vậy để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình ( 2 ) có 4 nghiệm phân biệt,

Ta có f ( x ) +1 = m ⇔ y = f ( x ) = m −1

khác hai 2 nghiệm của phương trình (1) (*) .

Ta có đồ thị hàm y = f ( x ) (C ) như hình vẽ.

Từ đồ thị ( C ') , ta có (* ) ⇔ −1 < 3 − m < 3 ⇔ 0 < m < 4 .

Do đó có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 123. Chọn A Số nghiệm của phương trình f ( x ) = m là số giao điểm của đồ thị y = f ( x ) và đường thẳng

3 2

y = m . Ta có đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ dưới đây.

-2

-1

Số nghiệm của phương trình f ( x ) +1 = m là số giao điểm của đồ thị hàm số (C ) với đường Do đó phương trình f ( x ) = m có đúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m < 1 .

thẳng y = m −1 ⇔ m − 1 = 3 ⇔ m = 4 Câu 126. Chọn B

Câu 124. Chọn D

Hàm số y = x 2 − 2 | x | −1 có đồ thị được suy ra từ đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x − 1 bằng cách bỏ phần đồ thị phía trái trục tung và lấy thêm phần đối xứng của phần phía phải trục tung qua trục tung (như hình vẽ) Đồ thị hàm số y = x 2 − 2 | x | −1 cắt đường thẳng y = m − 3 tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi −2 < m − 3 < −1 ⇔ 1 < m < 2 . Câu 127. Chọn C  x 2 − 5 x + 4 khi x 2 − 5 x + 4 ≥ 0 Ta có: y = x 2 − 5 x + 4 =  2 (C) 2 −( x − 5 x + 4) khi x − 5 x + 4 < 0 Giữ nguyên đồ thị ( P ) ứng với y ≥ 0 ta được đồ thị (C1 ) Lấy đối xứng phần đồ thị (P) ứng với y < 0 ta được đồ thị (C2 ) Vậy (C ) = (C1 ) ∪ (C2 )

Đặt t = x , t ≥ 0 .

(1) ⇒ t 2 − 9t − m = 0 (2) Đồ thị hàm số y = x 2 − 9 x cắt đường thẳng y = m tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt ∆ > 0 81 + 4m > 0 81   ⇔  S > 0 ⇔ 9 > 0 ⇔ − < m < 0. 4 P > 0  −m > 0   Cách 2: Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 9 x

y=m 2

x -2

-1

. Câu 129. Chọn C Cách 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 9 x = m ⇔ x 2 − 9 x − m = 0 (1)

-1

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm nếu có của đồ thị hàm số y = x 2 − 5 x + 4

(C )

và đường thẳng y = m (d) Yêu cầu bài ra ⇔ (d) cắt (P) tại 3 điểm phân biệt -d là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành Từ đồ thị hàm số ta suy ra (d) cắt (P) tại 3 điểm phân biệt khi m =

Câu 128. Chọn D

9 4

Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , ta suy ra cách vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) như sau:

Dựa vào đồ thị suy ra đồ thị hàm số y = x 2 − 9 x cắt đường thẳng y = m tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi −

Câu 130. Chọn C

81 <m<0. 4

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 4

( x − 1)2 = 2 ( x − m ) 2 pt ⇔ ( x − 1) = 2 x − m ⇔  . ( x − 1)2 = −2 ( x − m )  − x 2 + 4 x − 1 = 2m ⇔ 2 .  x + 1 = 2m

điểm phân biệt ⇔ 0 < m + 1 < 3 ⇔ −1 < m < 2 .

Vẽ đồ thị hàm số y = − x 2 + 4 x − 1 và y = x 2 + 1 trên cùng 1 hệ trục tọa độ:

-Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f ( x ) ở phía trên trục hoành. -Lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục hoành qua trục hoành. -Xóa phần đồ thị phía dưới trục hoành.

y 3 2 1

O 1

1  m = 2  2m = 1   Từ đồ thị suy ra để phương trình có 3 nghiệm thì  2m = 2 ⇔  m = 1 .   2m = 3 3 m = 2  Câu 131. Chọn D 2 Từ đồ thị hàm số f ( x ) = ax + bx + c ta suy ra đồ thị hàm y = f ( x ) = ax 2 + bx + c .

Từ ( C1 ) suy ra ( C2 ) như sau: - Giữ nguyên phần đồ thị ( C1 ) phía trên trục hoành. - Lấy đối xứng phần đồ thị ( C1 ) phía dưới trục hoành qua trục hoành.

y (C1):y=ax2+bx+c d: y=m 1 Om

x -1

(C):y=ax2+bx+c

Phương trình f ( x ) = m có đúng 4 nghiệm phân biệt ⇔ Đđường thẳng d: y = m cắt đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c tại 4 điểm phân biệt ⇔ 0 < m < 1 .

Câu 132. Chọn A Gọi ( C ) : y = ax 2 + bx + c ; ( C1 ) : y = ax2 + b x + c; ( C2 ) : y = ax 2 + b x + c Từ ( C ) suy ra ( C1 ) như sau: - Giữ nguyên phần đồ thị của ( C ) bên phải trục tung. - Lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) bên phải trục tung qua trục tung.

Ta có phương trình ax 2 + b | x | +c − m = 0 ⇔ ax 2 + b | x | +c = m (*) Khi đó số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm giữa ( C2 ) và đường thẳng y = m . m = 0 Vì vậy đề phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔  . m > 3 m ∈ ℤ m ∈ ℤ ⇒ ⇒ m ∈ {0; 4;5;6;...; 2018} . Mà  ∈ m 0; 2018 [ ] m = 0 ∨ m ∈ ( 3; 2018]  Vậy có 2016 giá trị của m . . Câu 133. Chọn B Dựa vào BBT ta thấy hàm số f ( x ) = ax 2 + bx + c đạt GTNN bằng −1 tại x = 2 và có hệ số a > 0 . 2

Ta biểu diễn được: f ( x ) = a ( x − 2 ) − 1 = ax 2 − 4ax + 4a − 1 2

Do đó f ( 2017 x − 2018 ) = a ( 2017 x − 2020 ) − 1 ⇒ f ( 2017 x − 2018) − 2 = a ( 2017 x − 2020) − 3 . Vậy GTNN của y = f ( 2017 x − 2018 ) − 2 bằng − 3 tại x = BBT của hàm số y = f ( 2017 x − 2018) − 2 có dạng:

2020 . 2017

Số nghiệm của phương trình f ( 2017 x − 2018 ) − 2 = m chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

+) Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x )

y = f ( 2017 x − 2018) − 2 và đường thẳng y = m . Dựa vào BBT ta thấy phương trình f ( 2017 x − 2018 ) − 2 = m có đúng ba nghiệm khi m = 3 .

Câu 134. Chọn C 2 Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số f ( x ) = ax + bx + c đạt GTLN bằng 2 tại x = 1 và có hệ số 2

a < 0 .Ta biểu diễn được: f ( x ) = a ( x − 1) + 2 = ax − 2ax + a + 2 2

⇒ f ( − x ) = a ( x + 1) + 2 . Vậy GTLN của y = f ( − x ) bằng 2 tại x = − 1 . (vì hệ số a < 0 ). Số nghiệm của phương trình f ( − x ) + m − 2019 = 0 ⇔ f ( − x ) = 2019 − m chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( − x ) và đường thẳng y = 2019 − m Do đó phương trình có nghiệm duy nhất khi 2019 − m = max f ( x ) ⇔ 2019 − m = 2 ⇔ m = 2017 . Câu 135. Chọn A. x − 4 x − m = 0 (1) ⇔ x − 4 x = m ⇔ x − 4 x + 2 = m + 2 2

( 2)

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ ( 2 ) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ đồ thị hàm số 2

y = x −4 x +2

cắt đường thẳng

y = m + 2 tại 4

điểm phân biệt ⇔ −2 < m + 2 < 2

⇔ −4 < m < 0 . Câu 136. Chọn C * Vẽ đồ thị hàm số ( C ') của hàm số y = f ( x ) : Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nằm phía bên phải

trục Oy , bỏ đi phần đồ thị ( C ) bên trái trục Oy và lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) phía bên phải trục

Oy qua trục Oy .

 f ( x ) = 1 (1) f 2 ( x )+ f ( x )−2 = 0 ⇔   f ( x ) = −2 ( 2 ) Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = 1, từ đồ

thị hàm số y = f ( x ) ta suy ra (1) có 2 nghiệm phân biệt. Số nghiệm của ( 2 ) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = −2 , từ

đồ thị hàm số y = f ( x ) ta suy ra ( 2 ) có 4 nghiệm phân biệt (khác 2 nghiệm của (1) ). Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt. Câu 138. Chọn B PT: x 2 − 4 x −5 − m = 0 ⇔ x 2 − 4 x −5 = m (1) . Số nghiệm phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x − 5 ( P ) và đường thẳng y = m (cùng phương Ox ). Xét hàm số y = x 2 − 4 x − 5 ( P1 ) có đồ thị như hình 1.

Xét hàm số y = x 2 − 4 x − 5 ( P2 ) là hàm số chẵn nên có đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. Mà y = x 2 − 4 x − 5 = x 2 − 4 x − 5 nếu x ≥ 0 . Suy ra đồ thị hàm số ( P2 ) gồm hai phần:  f ( x ) = −1 * Ta có f 2 ( x ) + ( m − 2 ) f ( x ) + m − 3 = 0 ⇔  .  f ( x ) = 3 − m * Từ đồ thị ( C ') , ta có:

- Phương trình f ( x ) = −1 có hai nghiệm là x = 2, x = −2 . - Yêu cầu bài toán ⇔ phương trình f ( x ) = 3 − m có bốn nghiệm phân biệt khác ±2 suy ra

Đường thẳng d : y = 3 − m cắt đồ thị ( C ') tại bốn điểm phân biệt khác A, B

⇔ −1 < 3 − m < 3 ⇔ 0 < m < 4 . Suy ra m ∈ {1, 2, 3} . Câu 137. Chọn B 53

 Phần 1: Giữ nguyên đồ thị hàm số ( P1 ) phần bên phải Oy .  Phần 2 : Lấy đối xứng phần 1 qua trục Oy . Ta được đồ thị ( P2 ) như hình 2.  x 2 − 4 x − 5 ( y ≥ 0) Xét hàm số y = x 2 − 4 x − 5 ( P ) , ta có: y =  . 2  − ( x − 4 x − 5 ) ( y < 0 ) Suy ra đồ thị hàm số ( P ) gồm hai phần:

 Phần 1: Giữ nguyên đồ thị hàm số ( P2 ) phần trên Ox .  Phần 2 : Lấy đối xứng đồ thị hàm số ( P2 ) phần dưới Ox qua trục Ox . Ta được đồ thị ( P ) như hình 3. 54

m > 9 Quan sát đồ thị hàm số ( P ) ta có: Để x 2 − 4 x −5 = m (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔  . m = 0 m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {10;11;12;...; 2017} . Mà  m ∈ ( 0; 2017 ] Câu 139. Chọn A Số nghiệm của phương trình f ( x ) = m chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = g ( x) = f ( x)

và đường thẳng y = m .

Xét ( P2 ) : y = f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 ;có y = f ( x ) là hàm số chẵn;nên ( P2 ) nhận trục Oy làm trục

đối xứng. Từ đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 ( P1 ) ;ta vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) = x 2 − 4 x + 3

 b =2 b = −4a − ⇔ Quan sát đồ thị ta có đỉnh của parabol là I ( 2; 3 ) nên  2a . 4a + 2b + c = 3 3 = 4a + 2b + c

b = −4a a = −1 Mặt khác ( P ) cắt trục tung tại ( 0; −1) nên c = − 1 . Suy ra  . ⇔ 4a + 2b = 4 b = 4

( P ) : y = − x 2 + 4 x − 1 suy ra hàm số y = − x 2 + 4 x − 1 có đồ thị là là phần đồ thị phía trên trục hoành của ( P ) và phần có được do lấy đối xứng phần phía dưới trục hoành của ( P ) , như hình vẽ sau: y

( P2 ) như sau:

4 3

+) Giữ nguyên phần đồ thị ( P1 ) bên phải trục Oy . +) Lấy đối xứng phần đồ thị ( P1 ) bên phải trục Oy qua trục Oy .

2 1

(Bỏ phần đồ thị ( P1 ) bên trái trục Oy )

−3 −2 −1 O

−1

−2 −3

y=m

Phương trình ax 2 + bx + c = m hay − x 2 + 4 x − 1 = m có bốn nghiệm phân biệt khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số hàm số y = − x 2 + 4 x − 1 tại bốn điểm phân biệt.

Suy ra 0 < m < 3 .

Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 ( P2 ) ta vẽ đồ thị hàm số y = g ( x ) = x 2 − 4 x + 3 ( P3 ) như sau +) Giữ nguyên phần đồ thị ( P2 ) nằm trên trục Ox . +) Lấy đối xứng phần đồ thị ( P2 ) nằm trên trục Ox qua trục Ox . (Bỏ phần đồ thị ( P2 ) nằm phía dưới trục Ox )

Dạng 6. Một số câu hỏi thực tế liên quan đến hàm số bậc hai Câu 141. Đáp án B.  1 Từ giả thiết suy ra parabol y = ax 2 đi qua điểm I  2;  .  2

1 1 = a.2 2 ⇔ a = . 2 8 Vậy m − n = 1 − 8 = −7 . Câu 142. Đáp án C. Gọi phương trình của parabol quỹ đạo là h = at 2 + bt + c . Từ giả thiết suy ra parabol đi qua các điểm ( 0;1; 2 ) , (1;8; 5 ) và ( 2; 6 ) .

Từ đó ta có

Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = x 2 − 4 x + 3 ( P3 ) ta có phương trình f ( x ) = m có 8 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m < 1 . Vậy không có giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán. Câu 140. Chọn B 55

c = 1 a = −3   ⇔ b = 12 .  a + b + c = 10 12, 25a + 3,5b + c = 6, 25 c = 1   Suy ra phương trình parabol là y = −3x 2 + 12 x + 1 . Parabol có đỉnh I (2;13) . Khi đó quả bóng đạt vị trí cao nhất tại đỉnh tức h = 13 m . Câu 146. Chọn D

Từ đó ta có c = 1, 2  a = −4,9   a + b + c = 8,5 ⇔ b = 12, 2 . 4a + 2b + c = 6 c = 1, 2   Vậy phương trình của parabol quỹ đạo là h = −4, 9t 2 + 12, 2t + 1, 2 . Giải phương trình h = 0 ⇔ −4,9t 2 + 12, 2t + 1, 2 = 0 ta tìm được một nghiệm dương là t ≈ 2,58 . Câu 143. Chọn C 49  a = − 10 c = 1, 2  61   Từ giả thiết của bài toán ta có hệ phương trình a + b + c = 8,5 ⇔ b = 5 4a + 2b + c = 6   c = 1, 2   17 . ⇒ a +b+c = 2

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Parabol có phương trình dạng y = ax 2 + bx . Vì chiếc cổng hình parabol có chiều rộng 12 m và chiều cao, theo hình vẽ ta có parabol đi qua các điểm (12; 0 ) và ( 6;8 ) , suy ra:

2  a = − 9 144a + 12b = 0 ⇔ .  36a + 6b = 8 b = 8  3 2 8 Suy ra parabol có phương trình y = − x 2 + . 9 3 Do chiếc xe tải có chiều ngang 6 m đi vào vị trí chính giữa cổng nên xe sẽ chạm tường tại điểm A ( 3; 6 ) khi đó chiều cao của xe là 6.

Câu 144. Chọn A. Gọi y là số tiền lãi của cửa hàng bán giày. 2

Ta có y = (120 − x )( x − 40 ) = − x 2 + 160 x − 4800 = − ( x − 80 ) + 1600 ≤ 1600 .

Vậy điều kiện để xe tải có thể đi vào cổng mà không chạm tường là 0 < h < 6 .

Dấu " = " xảy ra ⇔ x = 80 . Vậy cửa hàng lãi nhiều nhất khi bán đôi giày với giá 80 USD. Câu 145. Chọn C

Câu 147. Chọn C Gọi x là chiều dài của hình chữ nhật.

Khi đó chiều rộng là 8 − x .

Diện tích hình chữ nhật là x ( 8 − x ) .

Lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai f ( x ) = − x 2 + 8 x trên khoảng ( 0;8 ) ta được

C 6

max f ( x ) = f ( 4 ) = 16 . ( 0;8)

Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng 16 khi chiều dài bằng chiều rộng bằng 4 .

Câu 148. Chọn D

A x O

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol nên phương trình có dạng y = ax + bx + c Theo bài ra gắn vào hệ tọa độ và sẽ tương ứng các điểm A , B , C nên ta có

Khi phản ứng xảy ra, nồng độ hai chất đều giảm đến khi chất B được tiêu thụ hoàn toàn. Điều này chứng tỏ sau khi kết thúc phản ứng thì chất B được tiêu thụ hết và chất A có thể còn dư (hoặc cũng có thể hết), kể từ khi ngừng phản ứng thì nồng độ chất A trong ống nghiệm không thay đổi nữa, nên đồ thị nồng độ chất A sau phản ứng phải là đồ thị của một hàm số hằng ( 3) . Từ sự phân tích trên ta thấy chỉ có đồ thị của đáp án B. phù hợp. Câu 152. Chọn B y

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, chiếc cổng là 1 phần của parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c với a<0.

Do parabol ( P ) đối xứng qua trục tung nên có trục đối xứng x = 0 ⇒ −

b =0 ⇔b =0. 2a

Chiều cao của cổng parabol là 4m nên G ( 0; 4 ) ⇒ c = 4 . ⇒ ( P ) : y = ax 2 + 4

1 Lại có, kích thước cửa ở giữa là 3m x 4m nên E ( 2;3 ) , F ( −2;3 ) ⇒ 3 = 4a = 4 ⇔ a = − . 4 1 2 Vậy ( P ) : y = − x + 4 . 4 x = 4 1 2 nên A ( −4; 0 ) , B ( 4; 0 ) hay AB = 8 (m). Ta có − x + 4 = 0 ⇔  4  x = −4 Câu 149. Chọn C ( P ) : y = − 12 x 2 , có d = 8 . Suy ra d2 = 4 . 1 Thay x = 4 vào y = − x 2 . Suy ra y = − 8 . Suy ra h = 8 ( cm ) . 2 Câu 150. Chọn D Gắn hệ toạ độ Oxy sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB, tia AB là chiều dương của trục hoành (hình vẽ). Parabol có phương trình y = ax 2 + c , đi qua các điểm: B ( 81;0 )

Gọi hai cạnh của hình chữ nhật có độ dài là x, y (như hình vẽ); 0 < x, y < 60 . Ta có 2 x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2 x . 1 1  2 x + 60 − 2 x  Diện tích hình chữ nhật là S = xy = x ( 60 − 2 x ) = .2 x ( 60 − 2 x ) ≤   = 450 . 2 2 x 

( )

Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là 450 m2 , đạt được khi x = 15, y = 30 .

và M ( −71; 43) nên ta có hệ

812 a + c = 0 812.43 ⇒c= 2 ≈ 185.6  2 8 1 − 712 71 a + c = 43 Suy ra chiều cao của cổng là c ≈ 185,6 m. Câu 151. Chọn B Theo giả thiết ta có: Từ khi bắt đầu rót chất B thì đã có chất A trong ống nghiệm, nên nồng độ chất A ban đầu lớn hơn chất B . Tức là ban đầu, đồ thị nồng độ chất A nằm “phía trên” đồ thị nồng độ chất B (1) . Khi chất B đạt đến một giá trị nhất định thì hai chất mới phản ứng với nhau. Điều này chứng tỏ có một khoảng thời gian từ khi rót chất B đến khi bắt đầu phản ứng xảy ra thì nồng độ chất A là một hằng số. Tức trong khoảng thời gian đó đồ thị nồng độ chất A là đồ thị của một hàm số hằng ( 2) .

TOÁN 10

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

A. x ≤ −2 và x ≥ 2 .

0D3-1

Câu 9.

Câu 10.

B. x ≥ 1 và x ≠ 2 . C. x > 2 . x+5 Điều kiện xác định của phương trình = 1 là x−2 x > − 5   x ≥ −5 A. x ≥ −5. B.  C.  . . x ≠ 2  x ≠ 2 Điều kiện xác định của phương trình A. [ 2;7) .

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 5

B. ( 2; +∞ ) .

Dạng 1. Tìm điều kiện của phương trình.......................................................................................................................... 5 Dạng 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả ............................................................................................... 7

Câu 11.

Câu 1.

x ≥ 0 A.  x ≠ 2

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

C. D = ℝ \ {−4} .

D. D = ℝ \ {−2} .

C. D = ℝ \ {1; −4} .

D. D = ℝ \ {−4} .

Điều kiện xác định của phương trình x + 2 x + 1 = 1 − x là 1 1 1 A. − < x < 1 . B. − ≤ x ≤ 1 . C. x ≥ − . 2 2 2

D. x ≤ 1.

Điều kiện xác định của phương trình

Cho phương trình

x − 2 = 8 − x là C. x ≥ 2 .

x−2 +

B. [ 2; +∞ ) . x3 − 1 + x + 1 =

1 x2 − 4 1

D. x ∈ ℝ \ {±1} .

D. x ≥ 2

x −1 = 0. x −4 x ≤ 0 C.   x ≠ −4

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =

D. x ≤ 0

mx xác định trên ( 0;1) . x − m + 2 −1

3  A. m ∈ ( −∞; −1] ∪ {2} . B. m ∈  −∞;  ∪ {2} . 2  C. m ∈ ( −∞;1] ∪ {2} . D. m ∈ ( −∞;1] ∪ {3} . Câu 15.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( m 2 − m ) x + 2 = −mx + x + 2m nghiệm đúng với ∀x ∈ R . A. m = 2 .

B. m = −2 .

C. m = 1 .

D. m = −1 .

(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Điều kiện xác định của phương trình x − 1 + x − 2 = x − 3 là: A. x ≥ 2 . B. x > 3 . C. x ≥ 1. D. x ≥ 3 . Điều kiện xác định của phương trình A. x ∈ [ 2;8] . B. x ≤ 8 .

C. x ≥ 0

x ≥ 0 B.  x ≠ 4

A. x ≥ 0 Câu 14.

x2 −1 Tập xác định của hàm số y = 2 là x + 3x − 4 A. D = ℝ. B. D = ℝ \ {−1; 4} .

A. ℝ \ {3} . Câu 8.

3x − 1 là −4 − 2 x B. D = ℝ \ {2} .

Tập xác định của hàm số y = A. D = ℝ \ {4} .

Câu 3.

Câu 13. Tìm điều kiện xác định của phương trình: D. D = ℝ .

D. [ 7; +∞ ) .

x2 + 1 = 3x . x−2

B. x ≠ 2

Điều kiện xác định của phương trình A. D = ℝ \ {±1} .

Câu 2.

2x 3 là −5 = 2 x2 + 1 x +1 B. D = ℝ \ {−1} . C. D = ℝ \ {1} .

x2 + 5 =0? 7− x C. [ 2;7] .

x+4 2 = là: x2 −1 3− x B. x ∈ [ −4;3) \ {±1} . C. x ∈ ( −∞;3) .

Câu 12. Tìm điều kiện của phương trình sau: Dạng 1. Tìm điều kiện của phương trình

D. x > 2.

Điều kiện xác định của phương trình A. x ∈ ( −4; + ∞ ) .

PHẦN A. CÂU HỎI

x−2 +

D. x ≥ 2 .

D. x < 8 .

6 = 4 là tập nào sau đây? x −3 C. ℝ . D. [ 2; +∞ ) \ {3} .

Câu 16. Tìm m để phương trình m ≤ 1 A.  m ≥ 3

Câu 17. Cho phương trình: A. 1 < m ≤ 2

x −1 = 0 xác định trên x−m+2 m > 1 B.  C. m ≥ 3

[ −1;1) . m < 1  m ≥ 3

D. 1 < m ≤ 3

1 = 0 . Tìm m để phương trình xác định trên ( 0;1] . x−m+2 B. 1 ≤ m ≤ 2 C. 1 ≤ m < 2 D. 1 < m < 2

− x + 2m − 1 −

Câu 18. Cho parabol y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình

. Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho. 2

f ( x ) = 3 có điều kiện xác định là:

B. Các phương trình bậc 3 một ẩn đều có 3 nghiệm thực. C. Các phương trình bậc 2 một ẩn đều có 2 nghiệm thực. D. Định lý Vi-ét không áp dụng cho phương trình bậc 2 có nghiệm kép. Câu 24.

x ≠ 1 A.  x ≠ 4

(ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Phương trình 4 x +

nhiêu nghiệm? A. 2 .

x ≤ 1 B.  x ≥ 4

C. 1 ≤ x ≤ 4

D. ∀x ∈ ℝ

Câu 25.

Câu 19. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ khẳng định nào sau đây là đúng?

B. 1.

C. 3 .

Câu 27.

D. 0 .

Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 −3x = 0 ? 1 1 A. x 2 x − 3 = 3x x − 3. B. x 2 + = 3x + . x −3 x −3 C. x2 + x2 +1 = 3x + x2 +1. .

Câu 26.

3 3 = − x2 + có bao x +3 x +3

D. x 2 + x − 2 = 3 x + x − 2. .

Cho phương trình f ( x) = g ( x) xác định với mọi x > 0 . Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào không tương đương với phương trình đã cho? f ( x ) g ( x) A. x 2 + 2 x + 3. f ( x) = x 2 + 2 x + 3.g ( x) . B. . = −x −x C. k . f ( x) = k .g ( x) , với mọi số thực k ≠ 0 D. ( x 2 + 1). f ( x) = ( x 2 + 1).g ( x) . (THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Cho phương trình f ( x ) = 0 có tập nghiệm S1 = {m ; 2 m − 1} và phương trình g ( x ) = 0 có tập nghiệm S2 = 1; 2  . Tìm tất cả các giá trị m để phương trình g ( x ) = 0 là phương trình hệ quả của phương trình f ( x ) = 0 .

A. Phương trình

f ( x ) = 0 xác định trên khoảng ( −1; 4 ) .

B. Phương trình

f ( x ) = 0 xác định trên đoạn [ 2; 4] .

C. Phương trình D. Phương trình

1 f ( x)

A. 1 < m <

= 0 xác định trên khoảng ( −1; 2 ) .

C. A.

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Trong các phương trình sau, phương trình nào tương với phương trình x −1 = 0 ? A. x + 2 = 0 . B. x + 1 = 0 . C. 2 x − 2 = 0 . D. ( x − 1)( x + 2 ) = 0 .

Câu 23.

Cho phương trình: x 2 + x = 0 (1) . Phương trình nào tương đương với phương trình (1) ? D. x = 0

Xét trên tập số thực, khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hai phương trình x 2 + 1 = 0 và x + 1 = − 3 là hai phương trình tương đương. 3

B. x 2 + 1 = 0 ⇔

x −1 = 2 x −1 ⇔ x −1 = 0 2

Câu 21.

C. x 2 + ( x + 1) 2 = 0 .

D. 1 ≤ m ≤

3 . 2

D. x 2 − 4 x + 4 = 0

x2 − 3 = 1

C. x − 2 = x + 1 ⇔ ( x − 2 ) = ( x + 1)

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Hai phương trình được gọi là tương đương khi A. Có cùng tập xác định. B. Có số nghiệm bằng nhau. C. Có cùng dạng phương trình. D. Có cùng tập hợp nghiệm.

B. x + 1 = 0 .

C. m∈∅. .

Câu 29. Khẳng định nào sau đây là sai?

xác định trên khoảng ( 0; 4 ) .

Câu 20.

A. x ( x + 1) = 0 .

B. 1 ≤ m ≤ 2 .

Câu 28. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: x 2 − 4 = 0 ? A. ( 2 + x ) ( − x 2 + 2 x + 1) = 0 B. ( x − 2 ) ( x 2 + 3 x + 2 ) = 0

Dạng 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả

Câu 22.

3 . 2

x −1 =0 x −1

D. x 2 = 1 ⇔ x = 1

Câu 30. Cho phương trình 2 x 2 − x = 0 . Trong các phương trình sau đây phương trình nào không phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho: x A. 2 x − B. 4 x 3 − x = 0 =0 1− x 2

C. ( 2 x 2 − x ) + ( x − 5 ) = 0 2

D. 2 x 3 + x 2 − x = 0

Câu 31. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. 2 x + x − 3 = 1 + x − 3 và 2 x = 1 B. C.

x x +1 = 0 và x = 0 x +1

x + 1 = 2 − x và x + 1 = ( 2 − x )

D. x + x − 2 = 1 + x − 2 và x = 1 4

Câu 32. Hai phương trình nào sau đây không tương đương với nhau: A. x − 1 = x và ( 2 x + 1) x − 1 = x ( 2 x + 1) B. C. D. Câu 33.

( x + 1)( 2 − x ) = 0 2x 2

và

( x + 1) x + 1 x2 ( x − 2) = 0

Câu 8.

và 1 + x . 2 − x = 0

2x = x2 x +1

và x . x − 2 = 0

Câu 9.

Phép biến đổi nào sau đây là phép biến đổi tương đương?

A. x + x − 2 = x + x − 2 ⇔ x = x . 2

2− x = x ⇔ 2− x = x . 2

C. x + x − 2 = x + x − 2 ⇔ x = x .

Câu 34. Xác định m để hai phương trình sau tương đương: x 2 + x + 2 = 0 (1) và x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 + m − 2 = 0 (2) A. m < −3

D. x + x + 3 = x + x + 3 ⇔ x = x .

B. m ≤ −3

C. m ≤ −6

Câu 10.

Câu 11.

D. m ≥ −6

Câu 35. Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 2 x 2 + mx − 2 = 0 và 2 x 3 + ( m + 4 ) x 2 + 2 ( m − 1) x − 4 = 0 (2) A. m = 2

B. m = 3

C. m = −2

D. m = −3

Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hai phương trình sau tương đương: mx 2 − 2 ( m − 1) x + m − 2 = 0 (1) và ( m − 2 ) x 2 − 3x + m2 − 15 = 0 (2) A. m = −5

B. m = −5; m = 4

C. m = 4

D. m = 5

Câu 12.

Câu 13.

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 1. Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6. Câu 7.

Dạng 1. Tìm điều kiện của phương trình Chọn D Do x 2 + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ nên điều kiện xác định của phương trình là D = ℝ . Chọn D Điều kiện xác định: −4 − 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ −2 . Tập xác định: D = ℝ \ {−2} .

Chọn C

x ≠ 1 Điều kiện xác định x2 + 3x − 4 ≠ 0 ⇔  . Vậy D = ℝ \ {−4;1} .  x ≠ −4 Chọn B 1  2 x + 1 ≥ 0 x ≥ − 1 ⇔ Điều kiện xác định của phương trình là  2 ⇒ − ≤ x ≤1. 2 1 − x ≥ 0  x ≤ 1 Chọn D PT có nghĩa khi:  x −1 ≥ 0 x ≥ 1    x − 2 ≥ 0 ⇔  x ≥ 2 ⇔ x ≥ 3 . Vậy điều kiện xác định của pt trên là: x ≥ 3 . x − 3 ≥ 0 x ≥ 3   Chọn C ĐK: x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 Chọn D

Câu 14.

x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 Điều kiện xác định của phương trình:  ⇔ x − 3 ≠ 0 x ≠ 3 Chọn C  x3 − 1 ≥ 0  Điều kiện xác định của phương trình  x + 1 ≥ 0 ⇔ x > 2.  x2 − 4 > 0  Chọn C x + 5 ≥ 0  x ≥ −5 Điều kiện của phương trình là  ⇔ x − 2 ≠ 0 x ≠ 2 Chọn A x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 Điều kiện xác định của phương trình đã cho là:  ⇔ ⇔ 2≤ x <7. 7 − x < 0 x < 7 Chọn B x + 4 ≥ 0  x ≥ −4 −4 ≤ x < 3   Phương trình đã cho xác định khi  x 2 − 1 ≠ 0 ⇔  x ≠ ±1 ⇔  .  x ≠ ±1 3 − x > 0 x < 3   x ≠ 2 Để phương trình có nghĩa ta phải có:  . x ≥ 0 Đáp án A. x ≥ 0 x ≥ 0  x ≥ 0  x ≥ 0 Điều kiện:  . ⇔ ⇔ ⇔  x ≠ ±4 x ≠ 4  x − 4 ≠ 0  x ≠ 4

Đáp án Chọn C

x ≥ m − 2  x − m + 2 ≥ 0 Điều kiện xác định của hàm số là:  . ⇔  x ≠ m −1  x − m + 2 − 1 ≠ 0

Tập xác định của hàm số là D = [ m − 2; m − 1) ∪ ( m − 1; +∞ ) .

( 0;1) ⊂ [ m − 2; m − 1) Để hàm số xác định trên ( 0;1) thì ( 0;1) ⊂ D ⇒  . ( 0;1) ⊂ ( m − 1; +∞ ) m − 2 ≤ 0 m = 2  ⇔ m − 1 ≥ 1 ⇔  ⇒ m∈ ( −∞;1] ∪ {2} . m ≤ 1 m − 1 ≤ 0 Câu 15. Chọn C ( m2 − m ) x + 2 = −mx + x + 2m ⇔ ( m2 − 1) x = 2m − 2 (1).

m2 − 1 = 0  m = ±1 ⇔ ⇒ m = 1. Phương trình (1) nghiệm đúng với ∀x ∈ R ⇔  2 m − 2 = 0 m = 1  Câu 16. Phương trình xác định khi: x ≠ m − 2 . Khi đó để phương trình xác định trên [ −1;1) thì:  m − 2 < −1  m < 1 m − 2 ∉ [ −1;1) ⇔  ⇔ m − 2 ≥ 1 m ≥ 3

Đáp án 5

C. 6

Câu 17.

Điều kiện xác định của phương trình là: − x + 2m − 1 ≥ 0  x ≤ 2m − 1 ⇔ ⇔ m − 2 < x ≤ 2m − 1  x − m + 2 > 0 x > m − 2 Hay phương trình xác định trên ( m − 2; 2m − 1] do đó điều kiện để phương trình xác định trên

( 0;1] là: ( 0;1] ⊂ ( m − 2; 2m − 1] m ≤ 2 ⇔ m − 2 ≤ 0 < 1 ≤ 2m − 1 ⇔  hay 1 ≤ m ≤ 2 . m ≥ 1 Đáp án B. Câu 18. Điều kiện: f ( x ) ≥ 0 nhìn đồ thị ta thấy: 1 ≤ x ≤ 4 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành hay hàm cho f ( x ) ≥ 0 .

Câu 19.

Đáp án C. Nhìn đồ thị ta thấy f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −1; 2 ) Đáp án C.

f ( x ) g ( x) không là biến đổi trương = −x −x đương do làm thay đổi TXĐ của phương trình nên hai phương trình này không tương đương. Câu 27. Chọn D Gọi S1 , S 2 lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình f ( x ) = 0 và g ( x ) = 0 .

Biến đổi từ phương trình f ( x) = g ( x) sang phương trình

Ta nói phương trình g ( x ) = 0 là phương trình hệ quả của phương trình f ( x ) = 0 khi S1 ⊂ S 2 .

1 ≤ m ≤ 2 1 ≤ m ≤ 2 3  Khi đó ta có  ⇔ 3 ⇔ 1≤ m ≤ . 1 ≤ 2 − 1 ≤ 2 m 2  1 ≤ m ≤ 2 Câu 28. Ta có phương trình: x 2 − 4 = 0 ⇔ x = ±2 do đó tập nghiệm của phương trình đã cho là: S0 = {−2; 2} . Xét các đáp án: - Đáp án A: Giải phương trình: ( 2 + x ) ( − x 2 + 2 x + 1) = 0

 x = −2 x + 2 = 0 ⇔ 2 ⇔ − x + 2 x + 1 = 0  x = 1± 2

Dạng 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Chọn D Theo định nghĩa sách giáo khoa 10 thì hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. Câu 21. Chọn C Hai phương trình x −1 = 0 và 2 x − 2 = 0 tương đương nhau vì có cùng tập nghiệm là S = {1} .

x = 2 - Đáp án B: Giải phương trình: ( x − 2 ) ( x 2 + 3 x + 2 ) = 0 ⇔  x = −1  x = −2

Câu 22.

Do đó tập nghiệm của phương trình là: S2 = {−2; −1; 2} ≠ S0 .

Câu 20.

Câu 23. Câu 24.

Câu 25.

Câu 26.

{

Chọn A x = 0 (1) ⇔ x 2 + x = 0 ⇔   x = −1 x = 0 Ý A: x ( x + 1) = 0 ⇔  x = 1 Chọn A Ở đáp án A, Dễ thấy hai phương trình đều vô nghiệm nên chúng là hai phương trình tương đương. Chọn B Điều kiện xác định: x > −3 . Với điều kiện trên, ta có: x = 0 3 3 = − x2 + ⇔ 4x = − x2 ⇒  4x + x+3 x+3  x = −4 So sánh điều kiện, ta có x = 0 là nghiệm của phương trình. Chọn C Phương trình x 2 −3x = 0 có hai nghiệm x = 0; x = 3 Phương trình đáp án A không nhận x = 0 là nghiệm do không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình Phương trình đáp án B không nhận x = 3 là nghiệm do không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình Phương trình đáp án D không nhận x = 0 là nghiệm do không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình Chọn B f ( x ) g ( x) xác định khi x < 0 và f ( x) , g ( x) có nghĩa. = −x −x 7

}

Do đó tập nghiệm của phương trình là: S1 = −2;1 − 2;1 + 2 ≠ S0

- Đáp án C: Giải phương trình: x 2 − 3 = 1 ⇔ x 2 − 3 = 1 ⇔ x = ±2 Do đó tập nghiệm S3 = S0 nên chọn đáp án C. - Đáp án D: Có S4 = {2} ≠ S0 .

Đáp án C. Chọn đáp án D vì x 2 = 1 ⇔ x = ±1 Còn các khẳng định khác đều đúng. Đáp án D. x = 0  1 ⇒ Tập nghiệm S0 = 0;  Câu 30. Giải phương trình 2 x 2 − x = 0 ⇔  x = 1  2  2 Ta xét các đáp án: x ≠ 1 x = 0  1 − x ≠ 0 x  x = 0 - Đáp án A: 2 x − =0⇔ ⇔  ⇒ x = 1 1− x 2 x (1 − x ) − x = 0  x = 1  2   2  1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S1 = 0;  ⊃ S0  2 Vậy phương trình ở đáp án A là phương trình hệ quả của phương trình đã cho. x = 0   −1 1  - Đáp án B: 4 x 3 − x = 0 ⇔  1 ⇒ S2 = 0; ;  ⇒ S 2 ⊃ S0  2 2  x = ± 2 Vậy phương trình ở đáp án B là phương trình hệ quả của phương trình đã cho. Câu 29.

2 2 x 2 − x = 0 2 x 2 − x = 0 2 ⇔ - Đáp án C: ( 2 x 2 − x ) + ( x − 5) = 0 ⇔  vô nghiệm x − 5 = 0 x = 5 ⇒ S3 = ∅ ⇒ S 2 ⊄ S 0 Vậy phương trình ở đáp án C không là phương trình hệ quả của phương trình đã cho. 1  - Đáp án D: Giải phương trình ta có: S4 =  −1;0;  ⊃ S0 2  Đáp án C.

Câu 31.

* Xét phương án A: x − 2 ≥ 0  x 2 − 2 ≥ 0  x+ x −2 = x + x −2 ⇔  ⇔ ⇔ x ∈∅  x = 0 2  x = x  x = 1  2

 x = −2 2 2−x = x ⇔  x = 1 2 phương trình không có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi không tương đương. * Xét phương án C: x ≥ 2  x − 2 ≥ 0 2 2  x+ x−2 = x + x−2 ⇔ x = x ⇔  ⇔  x = 0 ⇔ x ∈ ∅ 2  x = x  x = 1  x = 0 2 x=x ⇔ x = 1 2 phương trình không có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi không tương đương. * Xét phương án D:  x 2 + 3 ≥ 0 x = 0 2 2 2 2 x+ x +3 = x + x +3 ⇔ x = x ⇔  ⇔ 2 x =1  x = x

+ Phương trình x + 1 = ( 2 − x ) ⇔ x 2 − 5 x + 3 = 0 ⇔ x =

Do đó phương trình x + x − 2 = 1 + x − 2 và x = 1 không phải là hai phương trình tương đương. Đáp án B. Câu 32. Ta xét các đáp án: - Đáp án A: Điều kiện của hai phương trình là x ≥ 1 Khi đó 2 x + 1 > 0 nên ta có thể chia 2 vế của phương trình thứ hai cho 2 x + 1 nên hai phương trình tương đương. - Đáp án B: Hai phương trình có cùng tập nghiệm là {−1; 2} nên tương đương. - Đáp án C: Điều kiện của hai phương trình là x ≠ −1 nên ta có thể nhận phương trình thứ nhất với x + 1 ≠ 0 ta được phương trình thứ hai. Vậy hai phương trình tương đương. x = 0 - Đáp án D: Phương trình x 2 ( x − 2 ) = 0 có 2 nghiệm x = 2 và x = 0 thỏa mãn điều kiện  . x ≥ 2 Còn phương trình x . x − 2 = 0 chỉ có nghiệm x = 2 vì x = 0 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 2 . Vậy hai phương trình không cùng tập nghiệm nên không tương đương. Đáp án D. Câu 33. Chọn D 9

x = 0 2 x=x ⇔ x = 1 2 phương trình không có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi không tương đương. * Xét phương án B: x ≥ 0  x ≥ 0  2− x = x ⇔  ⇔   x = −2 ⇔ x = 1 2 2 − x = x  x = 1 

Xét các đáp án: x ≥ 3 - Đáp án A: + Phương trình 2 x + x − 3 = 1 + x − 3 ⇔  ⇔ x∈∅ 2 x = 1 1 + Phương trình 2 x = 1 ⇔ x = 2 Do đó cặp phương trình ở đáp án A không tương đương vì không cùng tập nghiệm. x +1 ≥ 0 x x +1 - Đáp án B: + Phương trình =0⇔ ⇔ x=0 x +1 x = 0 + Phương trình x = 0 Vậy chọn đáp án B. 2  x + 1 = ( 2 − x ) - Đáp án C: + Phương trình x + 1 = 2 − x ⇔   2 − x ≥ 0 x ≤ 2   x2 − 5x + 3 = 0 5 − 13  ⇔ ⇔ 5 ± 13 ⇔ x = 2 x ≤ 2 x =  2 5 ± 13 2 Do đó hai phương trình trong đáp án C không tương đương. x − 2 ≥ 0 - Đáp án D: x + x − 2 = 1 + x − 2 ⇔  ⇒ Tập nghiệm rỗng. x = 1

x = 0 2 x=x ⇔ x = 1 2 phương trình có cùng tập nghiệm nên phép biến đổi là tương đương. Câu 34. Dễ thấy phương trình (1) vô nghiệm. Để hai phương trình tương đương thì phương trình (2) cũng phải vô nghiệm, tức là: 2

∆ ' = ( m + 1) − ( m2 + m − 2 ) < 0 ⇔ m + 3 < 0 ⇔ m < −3 . Đáp án

 x = −2 Ta có: Phương trình (2) ⇔ ( x + 2 ) ( 2 x 2 + mx − 2 ) = 0 ⇔  2  2 x + mx − 2 = 0 Do hai phương trình tương đương nên x = −2 cũng là nghiệm của phương trình (1), thay vào ta có m = 3 . Khi m = 3 hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm nên tương đương. Đáp án B. x =1 Câu 36. Phương trình (1) ⇔ ( x − 1)( mx − m + 2 ) = 0 ⇔   mx − m + 2 = 0 Do 2 phương trình tương đương nên x = 1 cũng phải là nghiệm của (2) nên thay x = 1 vào phương trình (2) ta có:

Câu 35.

m = 4 m − 2 − 3 + m 2 − 15 = 0 ⇔ m 2 + m − 20 = 0 ⇔   m = −5 + Với m = 4 : x =1  1 Phương trình (1) trở thành: 4 x 2 − 6 x + 2 = 0 ⇔  ⇒ S1 = 1;  x = 1  2  2 x = 1  1 Phương trình (2) trở thành 2 x 2 − 3x + 1 = 0 ⇔  ⇒ S 2 = 1;  = S1 x = 1  2  2 Vậy hai phương trình tương đương. + Với m = −5 : 7  x= 7  Phương trình (1) trở thành: −5 x 2 + 12 x − 7 = 0 ⇔  5 ⇒ T1 =  ;1  5  x = 1 −10  x=  −10  Phương trình (2) trở thành: −7 x 2 − 3x + 10 = 0 ⇔  ;1 7 ⇒ T2 =    7  x =1 Vậy T1 ≠ T2 ⇒ Hai phương trình không tương đương. Vậy m = 4 thỏa mãn đề bài. Đáp án C.

TOÁN 10

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI

0D3-2

PHẦN A. CÂU HỎI

MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 2

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI DẠNG 1.1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .......................................................... 2 DẠNG 1.1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ................................................................................................................ 2

Câu 1.

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU .......................................................................................................... 3

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Phương trình x − 1 = 2 có nghiệm là: A. x = 1 .

DẠNG 1.2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ......................................................................................................................... 3

Câu 2.

B. x = 3 .

C. x = 3; x = −1 .

Cho phương trình 3 x − 1 = 2 x − 5 (1) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI CĂN ................................................................................................... 4

A. Phương trình (1) vô nghiệm.

DẠNG 4. ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ET GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI ....................................................... 7

B. Phương trình (1) có đúng một nghiệm.

DẠNG 5. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ ..................................................................... 7

C. Phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt. D. Phương trình (1) có vô số nghiệm.

DẠNG 5.1 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ n NGHIỆM .................................................................... 7 DẠNG 5.1.1 ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT............................................................. 7

Câu 3.

DẠNG 5.1.2 ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI................................................................. 8 DẠNG 5.1.3 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI................................................................... 9

Câu 4.

Câu 5. Câu 6.

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ........................................................ 15

B. x0 ∈ ( 0; 2 ) .

DẠNG 1.2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ....................................................................................................................... 17

C. 2 .

D. Vô số.

 

2 3

 2  3

B. S = 0; −  .

C. S = −  .

D. S = ∅ .

Phương trình 3 − x = 2 x − 5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính x1 + x2 A. −

DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI CĂN ................................................................................................. 19

D. x0 ∈ ( 3; 4 ) .

Phương trình x + 1 = 2 x + 1 có tập nghiệm là A. S = {0} .

Câu 7.

D. Vô số.

C. x0 ∈ ( 4; 6 ) .

B. 1.

DẠNG 1.1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT .............................................................................................................. 15

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU ........................................................................................................ 18

C. 2 .

Phương trình 2 x − 4 + x − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0.

DẠNG 5.2 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA MÃN YÊU CẦU CHO TRƯỚC .... 13

B. 1.

Giả sử x0 là một nghiệm lớn nhất của phương trình 3 x − 4 = 6 . Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG? A. x0 ∈ ( −1; 0 ) .

DẠNG 5.1.5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN ...................................................................................................... 10

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 15

Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm x = − x ? A. 0 .

DẠNG 5.1.4 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MẪU ...................................................................................................... 10

DẠNG 5.1.6 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO .......................................................................................................... 12

D. x = 2 .

14 . 3

B. −

28 . 3

7 . 3

14 . 3

Câu 8.

(HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình | 5x + 4 |= x + 4 . 4 4 A. . B. 0 . C. − . D. 4 . 3 3

Câu 9.

DẠNG 5.1.2 ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI............................................................... 29

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Tập nghiệm của phương trình x − 2 = 2 x − 1 là:

DẠNG 5.1.3 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI................................................................. 31

A. S = {1} .

DẠNG 4. ĐỊNH LÍ VI-ET VÀ ỨNG DỤNG ................................................................................................................ 28 DẠNG 5. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ ................................................................... 28 DẠNG 5.1 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ n NGHIỆM .................................................................. 28 DẠNG 5.1.1 ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT........................................................... 28

DẠNG 5.1.4 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MẪU ...................................................................................................... 34

Câu 10.

B. S = {−1} .

C. S = {−1;1} .

D. S = {0} .

Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình 3 x − 2 = x − 4 sao cho a < b . Tính M = 3a + 2b .

DẠNG 5.1.5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN ...................................................................................................... 35

A. M = 5 .

DẠNG 5.1.6 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO .......................................................................................................... 41 DẠNG 5.2 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA MÃN YÊU CẦU CHO TRƯỚC .... 44

Câu 11.

B. M = 0 .

C. M = −5 .

Phương trình 3 x − 2 = x có bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 3. B. 0. C. 2. 2

D. M =

D. 1.

5 . 2

Câu 12.

A. 0 . B. 2 . DẠNG 1.2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Câu 13.

2 3 . 3

C. 1.

D. −

2 3 . 3

3 . 2

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình x 2 − 2x − 1 = x 2 − 2 bằng:

A. Câu 16.

D. 1.

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 x2 − 3x − 2 = x + 2 .

A. Câu 15.

C. 3 .

1 . 2

3 . 2

3 D. − . 2

C. 1 .

Phương trình x 2 + 2 x − 8 = x − 2 có số nghiệm là:

A. 0 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 1.

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU x −1 4 Câu 17. Số nghiệm của phương trình là = x − 2 x2 − 4 A. 0 . B. 2 . C. 3 .

Câu 18.

Biết phương trình

a tối giản. Tính T = 2 a − b + 3c . c A. T = 5 . B. T = −1 . Câu 19.

C. T = 1 .

D. T = −5 .

B. 0 .

C. − 1 .

5 D. − . 2

A. 2. Câu 21.

B. 3.

x − 2x + 2 1 1 + = 2+ là x −1 x−2 x−2 C. 1.

Câu 25.

Tổng các nghiệm (nếu có) của phương trình: A. 6 . B. 1 .

Câu 26.

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Cho phương trình Khi đó a thuộc tập: 1  A.  ;3  . 3 

 1 1 B.  − ;  .  2 2

1  C.  ;1 . 3 

Số nghiệm của phương trình 3x − 2 = x là B. 1. A. 2 .

x 2 − 3x − 2 = − x có nghiệm a . x −3 D. ∅ .

2 x − 1 = x − 2 bằng: C. 5 .

C. 3 .

Câu 27.

Nghiệm của phương trình 5 x + 6 = x − 6 bằng A. 15 . B. 6 . C. 2 và 15 .

Câu 28.

Tập nghiệm của phương trình

D. 2 . D. 0 . D. 2 .

4 x + 7 = 2 x − 1 là

 2 − 10 2 + 10   2 + 10  ; A.   . B.  . 2 2  2     2 − 10  C.  D. Một phương án khác. .  2  Câu 29.

Phương trình A. 3 .

Câu 30.

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Số nghiệm của phương

Câu 31. Câu 32.

D. 0.

D. S = {6} .

Tìm số giao điểm giữa đồ thị hàm số y = 3x − 4 và đường thẳng y = x − 3 . A. 2 giao điểm. B. 4 giao điểm. C. 3 giao điểm. D. 1 giao điểm.

− x 2 + 4 x = 2 x − 2 có bao nhiêu nghiệm? B. 0 . C. 2 .

trình x 2 − 2 x + 5 = x 2 − 2 x + 3 là A. 2 . B. 3 .

Số nghiệm của phương trình

Tập nghiệm S của phương trình 2 x − 3 = x − 3 là A. S = ∅ . B. S = {2} . C. S = {6; 2} .

Câu 24.

1 1 Tích tất cả các nghiệm của phương trình 2 − = 1 là x + x + 2 x2 + x − 2

A. 1. Câu 20.

Câu 23.

D. 1.

a+ b x −1 4 có một nghiệm là , với a , b , c nguyên dương và = −3 + 2x − 3 x +1 c

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Một xe hơi khởi hành từ Krông Năng đi đến Nha Trang cách nhau 175 km. Khi về xe tăng vận tốc trung bình hơn vận tốc trung bình lúc đi là 20 km/giờ. Biết rằng thời gian dùng để đi và về là 6 giờ, vận tốc trung bình lúc đi là: B. 45 km/giờ. C. 55 km/giờ. D. 50 km/giờ. A. 60 km/giờ. DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI CĂN

(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Tổng các nghiệm của phương trình sau x − 2 = 3 x 2 − x − 2 là: A. 0 .

Câu 14.

Câu 22.

Số nghiệm của phương trình x 2 − 1 = x − 2 là

Câu 33. Câu 34. Câu 35.

C. 1.

Tích các nghiệm của phương trình A. 3 . B. −3 . Phương trình A. x = 1 .

D. 1 .

D. 0 .

x + x + 1 = x + x − 1 là C. − 1 .

D. 0 .

2 x + 3 x − 5 = x + 1 có nghiệm: B. x = 2 . C. x = 3 .

D. x = 4 .

Số nghiệm của phương trình 3 x − 9 x + 7 = x − 2 là A. 3 . B. 1. C. 0 .

D. 2 .

Số nghiệm của phương trình x + 3 = 3 x − 1. là A. 0 . B. 1. C. 2 . Phương trình: A. 0 . C. 1.

x 2 − x − 12 = 7 − x có bao nhiêu nghiệm? B. 2 . D. Vô Số. 4

D. 3 .

Câu 51.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Tìm tập hợp nghiệm của phương trình 3 − x = x + 2 +1. A. {2} . B. {1; −2} . C. {−1; 2} . D. {−1} .

Câu 52.

Tổng các bình phương các nghiệm của phương trình ( x − 1)( x − 3) + 3 x − 4 x + 5 − 2 = 0 là: A. 17 . B. 4 . C. 16 . D. 8 .

(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Số nghiệm nguyên của phương trình sau x + 3 − 2 x − 1 = 1 là: A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3 .

Câu 53.

Số nghiệm của phương trình 3x + 1 − 2 − x = 1 là A. 3 . B. 0 . C. 1.

D. 2 .

Câu 39.

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình x 2 + 5 x + 2 + 2 x 2 + 5 x + 10 = 0 là: A. 5 . B. 13 . C. 10 . D. 25 .

Câu 54.

Số nghiệm của phương trình x 2 + 2 x + 2 x x + 3 = 6 1 − x + 7 là A. 0 . B. 1. C. 2 .

D. 3 .

Câu 40.

Tập nghiệm của phương trình

Câu 36.

(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Số nghiệm của phương trình sau x − 2 x 2 − 3 x + 1 = 1 là: A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .

Câu 37.

Số nghiệm của phương trình x 2 − 3 x + 86 −19 x 2 − 3 x + 16 = 0 là. A. 4 . B. 1 . C. 3 .

Câu 38.

A. S = ∅. Câu 41.

B. 4 .

(

Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: x − 4 x + 3

B. 1 .

Câu 50.

A. 1. D. 2

Câu 57.

D. {-1;2}.

Câu 58.

C. 1; 2  .

Phương trình A. 1.

B. 0 .

x − 2 + x − x + 1 = 2 x − 1 + x − 2 có số nghiệm là: B. 3 . C. 2 .

Với bài toán: Giải phương trình Bước 1. Điều kiện: −4 ≤ x ≤ 4 .

8 − t2 . 2 2 t = 0 8−t Bước 2. Ta được phương trình t + = 4 ⇔ t 2 − 2t = 0 ⇔  . 2 t = 2

D. {-1; 2} .

Bước 3. Với t = 0 ta có 16 − x 2 = 4 ⇔ 16 − x 2 = 16 ⇔ x = 0 . Vậy phương trình có tập nghiệm S = 0; −2 3; 2 3 .

{

− 6 x ) 17 − x = x − 6 x có bao nhiêu nghiệm phân biệt? 2

B. 1.

C. 3.

D. 4.

C. 3 .

D. 0 .

Câu 59.

Tập nghiệm của phương trình

3 − x = x + 2 là 1  1  B. S = −2;  . C. S =   . 2  2

Nghiệm của phương trình 2 x − 1 = 3 − x là 3 2 4 A. x = . B. x = . C. x = . 4 3 3 Số nghiệm của phương trình x x − 2 = 2 − x là A. 3 . B. 0 . C. 1 . 5

}

Hãy chọn phương án đúng. A. Lời giải trên sai ở bước 2. C. Lời giải trên sai ở bước 1.

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Số nghiệm của phương trình ( x − 2) 2x + 7 = x2 − 4 bằng: B. 2 .

D. 0 .

4 + x − 4 − x + 16 − x = 4 . Một học sinh giải như sau:

Với t = 2 ta có 16 − x 2 = 2 ⇔ 16 − x 2 = 4 ⇔ x = ±2 3 .

Đặt t = 4 + x − 4 − x ⇒ t 2 = 8 − 2 16 − x 2 ⇒ 16 − x 2 =

D. S = {1; 2;3} .

)

B. {-1; 1; 2} .

x − 1 + 3 x − 3 = x 2 − 1 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính giá trị biểu thức

( x1 − 1) . ( x2 − 1) .

x − 2 ( x − 4 x + 3 ) = 0 là

C. S = {1;3} .

Biết phương trình

(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Phương trình

A. S = ∅ . Câu 49.

Câu 56.

x−2 =0

C. [1; 2 ].

B. S = {2} .

(

A. 1. Câu 48.

)

2 x + 1 − x = 0 có tất cả

Tập nghiệm của phương trình x 2 − x − 2 . x − 1 = 0 là

A. 2. Câu 47.

(

Tập nghiệm của phương trình

A. {1; 2} . Câu 46.

x −1

D. 2 .

C. 0 .

B. {-1;1;2}.

A. S = {2;3} . Câu 45.

)

D. S = {1;2}. 2

Tập nghiệm của phương trình ( x 2 − x − 2 ) . x − 1 = 0 là

A. {1; 2}. Câu 44.

C. 3. 2

Câu 55. Phương trình x + 4 x + 3 = ( x + 1) 8 x + 5 + 6 x + 2 có một nghiệm dạng x = a + b với a, b > 0 . Khi đó: a + b = A. 7. B. 5. C. 4. D. 6. 2

C. S = {2}.

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Phương trình

A. 3 . Câu 43.

x − 2 ( x 2 − 3x + 2 ) = 0 là

B. S = {1}.

bao nhiêu nghiệm? A. 1 .

Câu 42.

D. 2 .

Giải phương trình trên tập số thực:

A. x = 1 .

 1 D. S = −  .  2 Câu 60.

3 D. x = . 2

B. x = 4 .

Số nghiệm của phương trình

A. 1. Câu 61.

B. Lời giải trên đúng hoàn toàn. D. Lời giải trên sai ở bước 3.

5x − 4 x2 − x = 2. x −1 x = 1 C.  . x = 4

− 3x + 2 ) x − 3 x −1

B. 2 .

D. x ∈ ∅ .

C. 3 .

(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Số nghiệm của phương trình

D. 2 . 6

D. 0 .

2−x +

2− x = 0 là x −3

A. 3 . Câu 62.

B. 2 .

C. 1.

D. 0 .

A. m0 ∈∅ .

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Số nghiệm nguyên của phương trình

Câu 72.

x ( x + 5 ) = 2 3 x 2 + 5 x − 2 − 2 là A. 0 . Câu 63.

Câu 65.

C. 2 .

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Phương trình nghiệm α , β . Khi đó tổng α + β thuộc đoạn nào sau đây ? A. [2;5].

Câu 64.

B. 1.

B. [−1;1].

D. 3 2

x + 481 − 3 4 x 2 + 481 = 10 có hai

C. [−10; −6].

D. [ −5; −1].

(Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Phương trình: 2 x + 5 x − 1 = 7 x − 1 có nghiệm là a ± b thì 2 a − b bằng A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. 2

Câu 74.

)

B. m = −1 .

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Giải phương trình: x = x −

1 1 ta được + 1− x x

DẠNG 4. ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ET GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI

(

C. m = −2 .

D. m = −3 .

)

Phương trình m − 4 x = 3m + 6 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

A. m ≠ ±2; m ≠ −3 . Câu 75.

D. m0 ∈ ( −1;1) .

(HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 2 − 1 x + m2 + 2m − 3 = 0 vô nghiệm?

C. m0 ∈ [ 0;1] .

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Với m bằng bao nhiêu phương trình mx + m − 1 = 0 vô nghiệm? A. m = 0 và m = 1 . B. m = 1 . C. m = 0 . D. m = −1 .

A. m = 1 .

a+ b một nghiệm x = , a, b, c ∈ ℕ, b < 20 . Tính giá trị biểu thức P = a3 + 2b2 + 5c . c A. P = 61 . B. P = 109 . C. P = 29 . D. P = 73 .

Câu 66.

Câu 73.

B. m0 ∈ ( −2; 0 ) .

B. m ≠ −2 .

C. m ≠ 2 .

D. m ≠ ±2 .

Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( m − 1) x − 2 = 0 . B. m = −1 . C. m = 0 .

A. m = 1 .

D. m ≠ 1 .

Câu 76.

Phương trình m x + 2 = x + 2m có tập nghiệm S = ℝ khi và chỉ khi: A. m ≠ ± 1 . B. m = ± 1 . C. m = − 1 .

Câu 77.

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −5;10 ] để phương trình ( m + 1) x = − x + m − 1 có nghiệm duy nhất.

Tổng các phần tử trong S bằng A. 42 . B. 39 . C. 48 . DẠNG 5.1.2 ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

D. m = 1 .

D. 15 .

Cho phương trình: x 2 − 3x + 2 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 . Biết rằng x1 = 1 . Hỏi x2 bằng bao nhiêu? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0 .

Câu 78.

Câu 67.

(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2 − 3x − 9 = 0 . Chọn đáp án đúng. A. x1 x2 + x1 + x2 = 6 . B. x1 x2 ( x1 + x2 ) = 27 . C. x1 x2 = 9 . D. x1 + x2 = 3 .

Câu 79.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 x 2 − ( m − 2 ) x + m − 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt. A. m > 6 . B. m < 6 . C. m ≠ 6 . D. ∀m .

Câu 68.

Phương trình −2 x 2 + 3 x − 1 = 0 có tổng hai nghiệm bằng 1 3 A. không tồn tại B. − . C. . 2 4

Câu 80.

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x 2 − x + m − 2 = 0 có nghiệm là 9 9 9 9 A. m < . B. m ≥ . C. m > . D. m ≤ . 4 4 4 4

Câu 81.

Cho phương trình bậc hai: x 2 − 2 ( m + 1) x + 2 m 2 − m + 8 = 0 , với m là tham số. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. Phương trình luôn vô nghiệm với mọi m ∈ ℝ . B. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ∈ ℝ . C. Phương trình có duy nhất một nghiệm với mọi m ∈ ℝ . D. Tồn tại một giá trị m để phương trình có nghiệm kép.

3 D. . 2

Câu 69.

Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình x2 − 2 x − 13 = 0 A. −22 . B. 4 . C. 30. D. 28 .

Câu 70.

Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình 4 x 2 − 7 x − 1 = 0 . Khi đó giá trị biểu thức M = x12 + x22 là 41 41 57 81 A. . B. . C. . D. . 16 64 16 64

Câu 82.

Gọi m0 là giá trị của tham số m để phương trình ( m + 2 ) x − ( x + 1) = 0 vô nghiệm. Khẳng định nào sau đây là đúng? 7

(THI

HK1

LỚP

THPT

VIỆT

TRÌ

2018

D. m ≥

2019)

4 5

Cho

( m − 3) x 2 − 2 ( m − 3) x + 1 − m = 0 (1) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số trình (1) vô nghiệm?

DẠNG 5. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ DẠNG 5.1 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ n NGHIỆM DẠNG 5.1.1 ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Câu 71.

Phương trình x 2 − 3x + m + 1 = 0 ( ẩn x ) có nghiệm khi và chỉ khi 5 5 −5 A. m ≠ B. m ≤ C. m = 4 4 4

A. 1. Câu 83.

B. 2 .

C. 0 .

Phương trình mx 2 − (2m + 3) x + m − 4 = 0 vô nghiệm khi:

D. 3 .

phương trình m để phương

A. m > Câu 84.

Câu 85.

9 . 28

B. m < −

9 . 28

C. m ≥ 0 .

D. m ≤ 0 .

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Tìm m để phương trình mx 2 − 2 ( m + 1) x + m + 1 = 0 vô nghiệm. m ≤1 A. m < −1 . B.  . C. m = 0 và m < −1 . D. m = 0 và m > −1 . m ≥ 0

A. −1 < m ≤ 3 Câu 95.

B. −1 < m < 3 .

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 − 2 x + 3x − x 2 = m có nghiệm

A. m ∈ ( −∞; 0] ∪ [2; +∞ ) .B. m ∈ [0; +∞ ) . Câu 96.

m > 3 D.   m < −1 .

C. −1 ≤ m ≤ 3 .

C. m ∈ ℝ .

D. m ∈ [ 0; 2 ] .

Hàm số y = x 2 + 4 x − 1 có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m

để phương trình − x 2 − 4 x + 1 = m có 4 nghiệm phân biệt.

Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình x − ( m + 3 ) x + 2 m + 2 = 0 có đúng một 2

nghiệm thuộc ( −∞;3] là

A. ( −∞; 2 ] ∪ {1} . Câu 86.

C. {1} ∪ [ 2; +∞ ) .

D. [ 2; +∞ ) .

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x − 2 x − 3 − m = 0 có nghiệm x ∈ [ 0; 4 ] .

A. m ∈ ( −∞;5 ] . Câu 87.

B. {1} ∪ ( 2; +∞ ) .

B. m ∈ [ −4; −3] .

C. m ∈ [ −4; 5] .

D. m ∈ [3; +∞ )

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x 2 − 4 x + 6 + 3m = 0 có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [1;5] ?

2 2 A. −1 ≤ m ≤ − . . B. −1 ≤ m < − . . 3 3 11 11 2 C. − ≤ m ≤ − . . D. − ≤ m ≤ −1. 3 3 3 DẠNG 5.1.3 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Câu 88.

Câu 92.

B. m ∈ [ 0; +∞ ) .

C. m ∈ ( −∞; 0 ) .

D. m ∈ ( −∞; +∞ ) .

m = 2 , phương trình đã cho có tập nghiệm là R . m = −2 , phương trình đã cho vô nghiệm. m ≠ ±2 , phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. m = −2 , phương trình có nghiệm duy nhất.

B. 4 .

C. 2 .

Câu 98.

C. 3 .

D. 1. D. 5 .

2 (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Phương trình x − 4 x + 3 − m = 0 (*) có bốn nghiệm phân biệt khi.

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Phương trình

2mx − 1 = 3 có nghiệm duy nhất x +1

khi

A. m ≠ 0 .

Câu 99.

Số giá trị nguyên của m để phương trình x 2 − 4 = m + 1 có bốn nghiệm phân biệt là:

B. 2 .

(Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Tìm giá trị của tham số m ( m∈ ℝ ) để phương

B. m ≠

3 . 2

C. m ≠ 0 và m ≠

3 . 2

D. m ≠

−1 3 và m ≠ . Lời 2 2

giải

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x 2 − 6 x + 5 = m có 8 nghiệm phân biệt?

A. 4 . Câu 94.

D. − 2 < m < 2 .

Điều kiện cần và đủ để phương trình x + 1 + x − 2 − x − 3 = m ( với m là tham số thực) có hai nghiệm phân biệt là: A. m > 2 . B. m > 1 . C. m > −1 . D. m > −2 . A. 3 .

Câu 93.

C. m = −2 .

D. 0 .

1 1  − ( m2 + m + 2 )  x +  + m3 + 2m + 2 = 0 có nghiệm thực. x2 x  A. 0 ≤ m ≤ 2 . B. m ≥ 2 . C. ∀m ∈ ℝ . D. m ≤−2 .

2 Cho phương trình m x − 6 = 4 x − 3m . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Khi B. Khi C. Khi D. Khi Câu 91.

B. m = 2 .

C. 4 .

trình x 2 +

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 x − 5m = 2 x − 3m có nghiệm.

A. m ∈ ( 0; +∞ ) . Câu 90.

Câu 97.

Phương trình ( m 2 − 4 ) x + 2 = 2018 vô nghiệm khi và chỉ khi

A. m = ±2 . Câu 89.

A. 3 . B. Vô số. DẠNG 5.1.4 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MẪU

Gọi S là tập các giá trị của m để phương trình phương của tổng các phần tử của tập S . 121 49 A. B. . . 9 9

Câu 100. Có bao nhiêu giá trị tham số a để phương trình A. 4 .

B. 5 . 2

2 x − 3m x + 2 + = 3 vô nghiệm. Tính bình x−2 x −1

65 . 9

16 . 9

x +1 x = vô nghiệm? x − a +1 x + a + 2 C. 2 . D. 3 .

3x + 2 x + 1 có tập giá trị S = [ a; b ] . Tính giá trị biểu thức a 2 + b2 + ab x 2 − 2x + 3 A. 35 . B. 25 . C. 45 . D. 55 . DẠNG 5.1.5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Câu 101. Hàm số y =

Câu 102. Cho phương trình A. m > 4 .

2 x 2 − 6 x + m = x − 1 . Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất B. 4 < m < 5 . C. 3 < m < 4 . D. m < 4 .

Câu 103. Tìm m để phương trình 2x − x − 2 m = x − 2 có nghiệm. Đáp số nào sau đây đúng? 25 25 A. m ≥ − . B. m ≥ 3 . C. m ≥ 0 . D. m ≥ − . 4 8 2

Câu 104. (HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Tìm m để phương trình 2 x 2 − 2 x − 2 m = x − 2 có nghiệm. A. m ≤ 1 . B. m ∈ (1; +∞ ) . C. m > 2 . D. m ≥ 2 . Câu 105. Với mọi giá trị dương của m phương trình A. 2. B. 1. Câu 106. Cho phương trình cho vô nghiệm.  1 15  A. m ∈  − ;  .  3 4

x2 − m2 = x − m luôn có số nghiệm là C. 3.

D. 0.

x − 8 x + m = 2 x − 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình đã

 1 15  B. m ∈  − ;  .  3 4

15   C. m ∈  −∞;  . 4 

Câu 107. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình phân biệt là S = ( a; b ] . Khi đó giá trị P = a.b là A.

1 . 3

1 . 6

1  D. m ∈  −∞; −  . 3 

x 2 + 2 x + 2 m = 2 x + 1 có hai nghiệm

1 . 8

(1)

B. 2.

C. 1.

B. 2019 .

Câu 115. Tìm m để phương trình

(

C. 2018 .

)

D. 2021 .

5m2 − 2m − 2 + m − 1 ( x + 1) + x 2 − x − 3 = 0 có ít nhất một nghiệm

thuộc khoảng ( −1; 0 ) , ta được điều kiện m ∉ [ a ; b ] . Giá trị của biểu thức P = a 2 + 2b bằng

A. P = 10 . Câu 116. Cho phương trình

B. P = 12 . x − 1 + 5 − x + 3.

C. P = 20 .

D. P = 15 .

( x − 1)( 5 − x ) = m . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số m để phương trình trên có nghiệm? A. 6 . B. 8 . DẠNG 5.1.6 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

C. 7 .

D. Vô số.

Câu 117. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: x 4 − 2( m − 1) x 2 + 4m − 8 = 0 có 4 nghiệm phân biệt. A. m > 2 và m ≠ 3 . B. m > 2 . C. m > 1 và m ≠ 3 . D. m > 3 . Câu 118. (HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị nguyên thuộc [ −2019; 2019 ] của tham D. 4041 .

Câu 119. Số giá trị nguyên không dương của tham số m để phương trình x − 4 x 2 − 6 − m3 = 0 có đúng 2 nghiệm phân biệt là A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 2018 . 4

có nghiệm thì

m ∈ [ a; b ] . Giá trị a 2 + b2 bằng

A. 4.

có nghiệm là A. 2020 .

số m để phương trình x 4 − 2mx3 + x 2 − 2mx + 1 = 0 có nghiệm. A. 2019 . B. 3039 . C. 4038 .

2 . 3

Câu 108. Cho phương trình − x 2 + 4 x − 3 = 2m + 3x − x 2 (1) . Để phương trình

x 2 + ( 2 − m ) x + 4 = 4 x3 + 4 x

D. 3.

2 Câu 109. Số các giá trị nguyên của m để phương trình x − 2 x − m − 1 = 2x − 1 có hai nghiệm phân biệt là A. 0 . B. 3 . C. 1 . D. 2 .

Câu 110. Cho phương trình: 2 − x + 2 + x + 2 4 − x 2 + m = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm? B. 5 . C. vô số. D. 10 . A. 4 . Câu 111. Tìm tất cả giá trị m để phương trình 3 x − 1 − m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 có nghiệm là 1 1 1 1 A. m < − . B. − < m ≤ 1 . C. − ≤ m < 1 . D. − < m < 1 . 3 3 3 3

Câu 120. Số các giá trị nguyên âm của m để phương trình x 4 + 2 x3 + 3x 2 + 2 x − m = 0 có nghiệm là A. 0 . B. 1 . C. 2018 . D. 2019 . Câu 121. (Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm dương: x 4 + 2 x 3 + ( m − 1) x 2 + 2 x + 1 = 0 (1) A. m ≤ −5 . B. m ≤ 5 . C. m ≤ −4 . D. m ≤ 4 . 2

Câu 122. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ( x 2 − 4 x ) − 3 ( x − 2 ) + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt? A. 30.

B. vô số.

C. 28.

D. 0.

Câu 123. Cho hàm số f ( x ) = ax 2 + bx + c có đồ thị như hình bên. y

m 2018 + x + (m − 2) 2018 − x có đồ thị là (Cm ) , ( m là tham số). Số (m2 − 1) x giá trị của m để đồ thị (Cm ) nhận trục Oy làm trục đối xứng là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 112. Cho hàm số y = f ( x) =

Câu 113. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình A. m ∈ ( −∞; −1) .

2 ( x − m) − x − m

x +3 C. m ∈ [ −1; +∞ ) .

B. m ∈ ( −1; +∞ ) .

= 0 có nghiệm.

Hỏi với những giá trị nào của tham số m thì phương trình f ( x ) − 1 = m có đúng 3 nghiệm phân

D. m ∈ R .

biệt? A. m = 3.

B. − 2 < m < 3.

C. m = 2 .

Câu 114. Số các giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −2018; 2018] để phương trình: 11

1 2

-1

D. m > 3. .

Câu 124. Tìm

tất

cả

giá

trị

thực

của

tham

số

để

phương

trình

( x2 + 2 x + 4 ) − 2m ( x 2 + 2 x + 4 ) + 4m − 1 = 0 (1) có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

{

}

(

A. m ∈ ( 4; + ∞ ) ∪ 2 + 3 . C. m ∈ ( 3; 4 ) .

) (

)

B. m ∈ −∞; 2 − 3 ∪ 2 + 3; + ∞ .

Câu 125. Biết phương trình x − 3mx + m + 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 , x4 . Tính 2

M = x1 + x2 + x3 + x4 + x1.x2 .x3.x4 được kết quả là: A. M = m2 + 1.

B. M = −3m.

C. M = 3m.

D. M = −m2 − 1.

Câu 126. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x( x + 1)( x + 2)( x + 3) = m có 4 nghiệm phân biệt? A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. DẠNG 5.2 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA MÃN YÊU CẦU CHO TRƯỚC Câu 127. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình nghiệm trái dấu? A. m > 1

B. m > 0

( m −1) x2 − ( m2 + 1) x − 3 = 0

C. m < 0

có hai

D. m < 1

Câu 128. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2 − 2 x + m − 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu. A. m ≤ 2 . B. m < 1 . C. m ≤ 1 . D. m < 2 . Câu 129. Phương trình ( m + 1) x 2 − 2( m − 1) x + m − 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi nào? A. −1 < m < 3 . B. −1 < m < 2 . C. −2 < m < 1 . D. 1 < m < 2 . Câu 130. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ( m − 2 ) x 2 − 2 ( m − 1) x + m − 7 = 0 có hai nghiệm trái dấu. m ≥ 7 m > 7 A.  . B. 2 ≤ m ≤ 7 . C. 2 < m < 7 . D.  . m < 2 m < 2 Câu 131. Phương trình x 2 − 2mx + m2 − 3m + 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi A. m ∈ (1; 2 ) B. m ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; + ∞ )

2  C. m ∈  ; + ∞  3 

D. m < 0 .

C. m ∈ ( 6; +∞ ) .

D. m ∈ ( −2;1) .

Câu 136. Giá trị của m làm cho phương trình ( m − 2 ) x 2 − 2mx + m + 3 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt là B. m < 6 và m ≠ 2 . C. 2 < m < 6 hoặc m < −3 . D. m < 0 hoặc A. m > 6. 2< m < 6. Câu 137. Tìm m để phương trình ( m − 1) x 2 − 2 mx + 3m − 2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. A. m < 0;1 < m < 2 .

B. 1 < m < 2 .

C. m > 2 .

D. m <

Câu 138. Phương trình x2 − 6 x + m − 2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt khi A. 2 < m < 11 . B. 0 < m < 11 . C. 2 < m < 11 .

1 . 2

D. 2 ≤ m ≤ 11 .

(

)

Câu 139. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình ( m + 2) x − 2 m − 1 mx + m − 1 = 0 có hai 2

nghiệm phân biệt và là hai số đối nhau? A. 0 . B. 1 .

C. 3 .

D. 2 .

Câu 140. Cho phương trình x 2 − 2 ( m − 2 ) x + m 2 + m + 6 = 0 . Tìm tất cả giá trị m để phương trình có hai nghiệm đối nhau? A. Không có giá trị m. B. m < −3 hoặc m > 2 . C. −3 < m < 2 . D. m = 2 . Câu 141. Có bao nhiêu giá trị m sao cho phương trình x 2 + 2 mx + 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 − x1 x2 + x22 = 4 ? A. 2. B. 0.

C. 4.

D. 1.

Câu 142. Giả sử x1 , x 2 là nghiệm của phương trình x 2 − ( m + 2 ) x + m 2 + 1 = 0 . Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức P = 4 ( x1 + x 2 ) − x1 x 2 bằng 95 . 9

B. 11 .

C. 7 .

−1 . 9

(

)

Câu 143. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ( m + 2) x 2 − 2 m2 − 1 mx + m − 1 = 0

Câu 132. Phương trình ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi: 2

∆ > 0  B.  P > 0 . S > 0 

∆ > 0  C.  P > 0 . S < 0 

Câu 133. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Giá trị nào của mx 2 − 2 ( m − 1) x + m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt dương? A. m < 1 và m ≠ 0 .

5  A. m ∈  ;1 ∪ ( 6; +∞ ) . B. m ∈ ( −2;6 ) . 9 

2  D. m ∈  ; + ∞  3 

∆ > 0 A.  . P > 0

m < 0 C.  . 3 < m < 4

B. m > 4 .

Câu 135. Phương trình x 2 + 2 ( m + 1) x + 9 m − 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi

D. m ∈ ℝ . 4

A. 3 < m < 4 .

 m < −1 C.  . 0 < m < 1

B. 0 < m < 1 .

∆ > 0 . D.  S < 0

làm cho phương trình

D. m < 0 .

Câu 134. Với giá trị nào của m thì phương trình mx 2 − 2 ( m − 2) x + m − 3 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt? 13

có hai nghiệm phân biệt và là hai số đối nhau? A. 0. B. 1. C. 3.

D. 2.

Câu 144. Gọi m1 ; m2 là hai giá trị khác nhau của m để phương trình x − 3x + m2 − 3m + 4 = 0 có hai 2

nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho x1 = 2 x2 . Tính m1 + m2 + m1m2 . A. 4 . B. 3 . C. 5 .

D. 6 .

Câu 145. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình x 2 + 2 ( m − 1) x + 3m − 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu x1 , x2 và thỏa mãn

A. 1.

1 1 ? −3 = x1 x2

B. 2 .

C. 0 .

D. 3 .

Câu 146. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho phương trình x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 + 2 = 0 , với m là tham số. Giá trị m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 sao cho A = 2 ( x12 + x2 2 ) + 16 − 3 x1 x2 biểu thức đạt giá trị lớn nhất là một phân số tối giản có dạng a ( a, b ∈ ℤ, b > 0 ) . Khi đó 2a − 3b bằng : b A. − 6 . B. − 4 .

C. −5 .

∀ x < 0 luôn thỏa mãn phương trình. Câu 4.

D. − 7 .

Câu 147. Cho phương trình x 2 + 2(m + 1) x + 2m + 3 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1 và x2 . Phương trình nào dưới đây có hai nghiệm là −3x1 và −3x 2 ?

A. t 2 + 6( m + 1) x + 9 ( 2m + 3) = 0 .

Câu 5.

B. t 2 − 6(m + 1) x + 9 ( 2m + 3) = 0 .

Chọn D Ta có:

10  x = 3 3 x − 4 = 6 ⇔ 3x − 4 = 6 ⇔  3 x − 4 = −6 x = − 2  3 10 Suy ra x0 = . 3 Chọn A Bảng khử giá trị tuyệt đối

C. t 2 + 6( m + 1) x + 6 ( 2m + 3) = 0 . D. t 2 − 6(m + 1) x + 6 ( 2m + 3) = 0 . Câu 148. Cho phương trình: (m − 1) x 2 − 2(m + 2) x + m + 1 = 0 , với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân bi ệt x1 , x2 sao cho A = x1 + x2 − x1 x2 là số một nguyên? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Câu 149. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm thực của phương trình x 2 − mx + m − 1 = 0 ( m là tham số). Tìm giá trị 2 x1 x2 + 3 nhỏ nhất của biểu thức P = 2 . x1 + x22 + 2 ( x1 x2 + 1) A. Pmin

1 =− . 2

B. Pmin = −2 .

C. Pmin = 0 .

Trường hợp 3: x > 2 (1) ⇔ ( 2 x − 4 ) + ( x − 1) = 0 ⇔ x = Câu 6.

Chọn A

Câu 7.

1  x ≥ − 2 2 x + 1 ≥ 0   x + 1 = 2x + 1 ⇔  x + 1 = 2x + 1 ⇔  x = 0 ⇔ x = 0 .   x + 1 = −2 x − 1   2   x = − 3  Chọn D

D. Pmin = 1 .

Câu 150. Tìm m để phương trình x2 − mx + m2 − 3 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng 2 . A. m = 2 . B. m = ± 3 . C. m = ± 2 .

5 > 1 loại. 3 Trường hợp 2: 1 < x ≤ 2 (1) ⇔ − ( 2 x − 4 ) + ( x − 1) = 0 ⇔ x = 3 ∉ (1; 2 ] loại. Trường hợp 1: x ≤ 1 (1) ⇔ − ( 2 x − 4 ) − ( x − 1) = 0 ⇔ x =

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 3.

Chọn D 15

Phương trình 3 − x = 2 x − 5 ⇔ ( 3 − x ) = ( 2 x − 5) ⇔ ( x − 2 )( −3x + 8) = 0

D. không có giá trị nào của m .

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TR Ị TUYỆT ĐỐI DẠNG 1.1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Câu 1. Chọn C  x −1 = 2 x = 3 ⇔ Ta có: x − 1 = 2 ⇔  .  x − 1 = −2  x = −1 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 3; x = −1 . Câu 2. Chọn A 1 Với x ≥ : (1) ⇔ 3 x − 1 = 2 x − 5 ⇔ x = − 4 (loại). 3 1 6 Với x < : (1) ⇔ 1 − 3 x = 2 x − 5 ⇔ x = (loại). 3 5 Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

5 < 2 loại. 3

Câu 8.

 x1 = 2 14 ⇔ ⇒ x1 + x2 = .  x2 = 8 3 3  Chọn C Trường hợp 1: 5 x + 4 = x + 4 ⇔ x = 0 ( thỏa mãn ) Trường hợp 2: 5 x + 4 = −( x + 4) ⇔ 6 x + 8 = 0 ⇔ x = −

Câu 9.

4 (Thỏa mãn ) 3

x = 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm  x = − 4 3  Chọn A 1  2 x − 1 ≥ 0 x ≥ 2   ⇔ x = 1. Ta có x − 2 = 2 x − 1 ⇔   x − 2 = 2 x − 1 ⇔  x = −1   x − 2 = −2 x + 1     x = 1 16

Câu 10.

Chọn B

⇒ S = 0 + (1 + 3) + (1 − 3) + 1 = 3 .

 x = −1 3 x − 2 = x − 4 3x − 2 = x − 4 ⇔  ⇔ 3 x = 3 x − 2 = − ( x − 4 )  2 3 Vậy a = −1, b = . Do đó M = 3a + 2b = 0 2 Câu 11. Chọn D Ta có:

Câu 15.

1  x=  x2 − 2 x − 1 = x2 − 2 2 Ta có x 2 − 2 x − 1 = x 2 − 2 ⇔  2 ⇔ 2  2  x − 2x − 1 = −x + 2  2 x − 2 x − 3 = 0

(*) (**)

Phương trình (**) có tổng hai nghiệm là 1 , phương trình (*) có nghiệm là x =

 2  x =1 3 x − 2 = x  x ≥ 3    3x − 2 = x ⇔  ⇔ 1 x =  2  2 − 3 x = x x <  2    3   Câu 12.

Chọn B

Vậy số nghiệm nguyên của phương trình là 1. Chọn A  x − 2 ≥ 0  x ≥ 2 x ≥ 2 x2 −1 = x − 2 ⇔  2 ⇔ 2 2 2 ⇔  2 2 ( x − x + 1)( x + x − 3) = 0 x + x − 3 = 0 ( x − 1) = ( x − 2 ) x ≥ 2    x = 13 − 1 ⇔  Vô nghiệm. 2   − 13 − 1  x = 2   (Giải thích: Phương trình x 2 − x + 1 = 0 vô nghiệm).

DẠNG 1.2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Câu 13. Chọn A x − 2 = 3x2 − x − 2 .

nghiệm của phương trình đã cho là Câu 16.

1 nên tổng các 2

3 . 2

Chọn D x ≥ 2   x − 2 ≥ 0 Ta có x 2 + 2 x − 8 = x − 2 ⇔  2 ⇔  x2 + 2x − 8 = x − 2 ( x + 2 x − 8 ) = ± ( x − 2 )  2  x + 2x − 8 = − x + 2  x ≥ 2 x ≥ 2  2   x = 2, x = −3  x + x − 6 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ x = 2. x ≥ 2 x≥2    2   x = 2, x = −5   x + 3 x − 10 = 0

Câu 17.

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Chọn D x ≠ 2 Điều kiện xác định:  . Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với phương  x ≠ −2

 x = −3 ( x − 1)( x + 2) 4 = 2 ⇔ ( x − 1)( x + 2) = 4 ⇔ x 2 + x − 6 = 0 ⇔  x2 − 4 x −4 x = 2 So sánh điều kiện xác định, PT có 1 nghiệm x = − 3 . Câu 18. Chọn B 3  x ≠ Điều kiện xác định:  2  x ≠ −1 x −1 4 Khi đó, phương trình = −3 + ⇔ x 2 − 1 = −3 ( 2 x − 3 )( x + 1) + 4 ( 2 x − 3 ) 2x − 3 x +1  11 + 65 x = 14 ⇔ 7 x 2 − 11x + 2 = 0 ⇔   11 − 65 x =  14 trình

x − 2 ≥ 0  x ≥ 2   2 2 x − 2 = 3 x − x − 2 2 3   3 x − 2 x = 0 ⇔ ⇔ ⇔x=± . 3 x−2≤ 0 x≤2     2 2  − x + 2 = 3x − x − 2  3 x − 4 = 0 Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 0 . Câu 14. Chọn C 2

2 x 2 − 3x − 2 = x + 2 ⇔ ( 2 x 2 − 3 x − 2 ) = ( x + 2 )

⇔ 4 x 4 + 9 x 2 + 4 − 12 x3 − 8x 2 + 12 x = x 2 + 4 x + 4 ⇔ 4 x4 − 12 x3 + 8x = 0 ⇔ x ( 4 x3 − 12 x 2 + 8) = 0

⇔ 4 x ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 2 ) = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm x =

x = 0  x = 1− 3 ⇔  x = 1+ 3  x = 1

Câu 19.

11 + 65 11 − 65 và x = . Từ đó suy ra a = 11 , b = 65 , 14 14

c = 14 . Vậy T = −1 . Chọn B 2 x ≠ 1  x + x + 2 ≠ 0 ⇔ Điều kiện:  2 .  x + x − 2 ≠ 0  x ≠ −2 18

Đặt t = x 2 + x với t ≠ ±2

Số giao điểm giữa đồ thị hàm số y = 3x − 4 và đường thẳng y = x − 3 là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: x−3≥ 0  x≥3 x≥3    3x − 4 = x − 3 ⇔  ⇔ 2 2 2 ⇔  2 3x − 4 = x − 6 x + 9  x − 9 x + 13 = 0  3x − 4 = ( x − 3) x≥3     x = 9 − 29 9 + 29 ⇔x= . ⇔  2  2    x = 9 + 29   2 Vậy đồ thị hàm số y = 3x − 4 và đường thẳng y = x − 3 có 1 giao điểm chung.

1 1 − = 1 ⇒ t − 2 − ( t + 2 ) = ( t + 2 )( t − 2 ) ⇔ t 2 = 0 ⇔ t = 0 . t+2 t−2 x = 0 Khi đó: x 2 + x = 0 ⇔  ( Thỏa mãn đk). Vậy tích các nghiệm là 0 .  x = −1 Câu 20. Chọn D x ≠ 1 Điều kiện xác định  . x ≠ 2 Phương trình trở thành:

x2 − 2x + 2 1 1 + = 2+ x −1 x−2 x−2 x2 − 2 x + 2 ⇔ =2 x −1

(

)

Câu 25.

⇔ x2 − 4x + 4 = 0

⇔ x = 2 (loại) Vậy số nghiệm của phương trình bằng 0. Câu 21. Chọn B

ĐK x ≠ 3 .

 3 + 13 ≈ 3,3 x = x 2 − 3x − 2 2 2 2 = − x ⇔ x − 3x − 2 = − x ( x − 3) ⇔ 2 x − 6 x − 2 = 0 ⇔  . 3 − 13 x−3 x = ≈ −0,3  2 3 − 13  1 1  ⇒x= ∈− ;  . 2  2 2 Câu 22. Chọn D Gọi x km/giờ là vận tốc trung bình lúc đi ( x > 0) 175 Khi đó thời gian lúc đi là giờ x 175 Thời gian lúc về là x + 20  x = 50  175 175 Theo đề bài ta có + = 6 ⇔ 6 x2 − 230 x − 3500 = 0 ⇔  35 x = − x x + 20  3 Vậy vận tốc trung bình lúc đi là 50 km/giờ. DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI CĂN Chọn D x > 3 x > 3  x − 3 > 0 2x − 3 = x − 3 ⇔  ⇔ 2 2 ⇔  2 2 x − 3 = x − 6 x + 9 2 x − 3 = ( x − 3)   x − 8 x + 12 = 0 x > 3  ⇔  x = 6 ⇔ x = 6 .  x = 2  Câu 24. Chọn D

Câu 23.

Chọn C +) Với điều kiện x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 ta có phương trình đã cho tương đương với phương  x = 1( L) trình: 2 x − 1 = ( x − 2) 2 ⇔ x 2 − 6 x + 5 = 0 ⇔  .  x = 5(t / m) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5 . Câu 26. Chọn A x ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0 x = 1  Ta có 3x − 2 = x ⇔  ⇔ 2 ⇔  x = 2 ⇔  2 x = 2 3 x − 2 = x  x − 3x + 2 = 0   x =1  Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm. Câu 27. Chọn A  x ≥ 6 x −6 ≥ 0 x≥6 5x + 6 = x − 6 ⇔ ⇔ 2 ⇔ x = 2 ⇔ x = 15 . 5 x + 6 = x2 −12 x + 36 x − 17 x + 30 = 0  x = 15  Vây phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 15 .

{

Câu 28.

Câu 29.

{

Chọn B

Ta có

1  1   x ≥ 2 2 x − 1 ≥ 0 x ≥ 4x + 7 = 2x −1 ⇔  2 ⇔ 2 ⇔  4 x 2 − 8 x − 6 = 0  x = 2 ± 10 4 x + 7 = ( 2 x − 1)   2

⇔ x=

2 + 10 2 + 10 . V ậy x = . 2 2

Chọn D

x ≥ 1   2 x − 2 ≥ 0 x ≥ 1  x = 2 ( n ) . −x + 4x = 2x − 2 ⇔  2 ⇔  2 ⇔  2  − x + 4 x = ( 2 x − 2 ) 5 x − 12 x + 4 = 0  x = 2 l ( )   5 Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình. Câu 30. Chọn C Ta có: x 2 − 2 x + 5 > 0, ∀x ∈ ℝ 2

Đặt t = x 2 − 2 x + 5 , ta có phương trình trở thành t = t − 2 t≥2  t ≥ 2 t≥2   t =t−2⇔  ⇔ ⇔ 2  t = 1 ⇒ t = 4 . 2 t − 5t + 4 = 0   t = ( t − 2 )  t = 4

Vậy phương trình có nghiệm là x =

Khi đó 4 = x − 2 x + 5 ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 thỏa mãn. 2

x ≤ 7 x ≤ 7 7 − x ≥ 0  x2 − x − 12 = 7 − x ⇔  2 ⇔ . 61 2 ⇔ 13 x = 61  x = ( tm )  x − x − 12 = ( 7 − x )  13

Ta có:

Câu 36.

Suy ra phương trình đã cho có một nghiệm. Câu 31. Chọn B Ta có: x 2 + x + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ

Chọn B

61 . 13

x − 2 x 2 − 3x + 1 = 1 .

x2 + x + 1 = x2 + x − 1 ⇔ x 2 + x + 1 − x 2 + x + 1 − 2 = 0 ⇔

(

)

x ≥ 1  x − 1 ≥ 0 ⇔ 2 x 2 − 3x + 1 = x − 1 ⇔  2 ⇔ x =1 2 ⇔  2  2 x − 3 x + 1 = ( x − 1) x − x = 0 Vậy số nghiệm của phương trình là 1.

x2 + x + 1 − x 2 + x + 1 − 2 = 0

 x + x + 1 = −1 ( vn ) ⇔  x 2 + x + 1 = 2 (1)  2

Câu 32.

Câu 37.

(1) ⇔ x 2 + x + 1 = 2 ⇔ x 2 + x − 3 = 0 −3 Do đó: x1.x2 = = −3 . 1 Lời giải Chọn B Ta có :

Câu 33.

Chọn

Phương trình x 2 − 3 x + 86 −19 x 2 − 3 x + 16 = 0 ⇔ x 2 − 3 x + 16 −19 x 2 − 3 x + 16 + 70 = 0 (*)

 x + 1 ≥ 0  x ≥ −1 2 x 2 + 3x − 5 = x + 1 ⇔  2 ⇔ x = 2. 2 ⇔  2 2 x + 3x − 5 = ( x + 1) x + x − 6 = 0

Chọn C  x − 2 ≥ 0 3x 2 − 9 x + 7 = x − 2 ⇔  2 2 3 x − 9 x + 7 = ( x − 2 )

x ≥ 2  x − 2 ≥ 0  x =1 ⇔   ⇔ x ∈∅. ⇔ 2 2 x − 5 x + 3 = 0  x = 3   2 Vậy phương trình vô nghiệm. Câu 34. Chọn B Điều kiện xác định: ∀x ∈ ℝ 3x − 1 ≥ 0 x2 + 3 = 3x − 1 ⇔  2 2  x + 3 = ( 3 x − 1)

t = 14 ( n) Đặt t = x 2 − 3 x + 16 , t ≥ 0 . Khi đó (*) ⇒ t 2 −19t + 70 = 0 ⇔  t = 5 ( n)  x = 15 Với t = 14 ⇒ x 2 − 3 x + 16 = 14 ⇔ x 2 − 3x −180 = 0 ⇔  .  x = −12  x = 3+ 3 5  2 2 2 Với t = 5 ⇒ x − 3x +16 = 5 ⇔ x − 3x − 9 = 0 ⇔  .  − 3 3 5 x = 2  Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Câu 38. Chọn B Ta có ( x − 1)( x − 3) + 3 x2 − 4 x + 5 − 2 = 0 ⇔ x2 − 4 x + 5 + 3 x2 − 4 x + 5 − 4 = 0 ⇔ x2 − 4 x + 5 = 1 ⇔ x2 − 4 x + 5 = 1 ⇔ x2 − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2 . Câu 39. Chọn B Điều kiện xác định x 2 + 5x + 10 ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ . Khi đó phương trình ⇔ x 2 + 5 x + 10 + 2 x 2 + 5 x + 10 − 8 = 0

 x 2 + 5 x + 10 = 2  x = −3 ⇔ . ⇔ x 2 + 5 x + 10 = 2 ⇔ x 2 + 5 x + 6 = 0 ⇔  1  x 2 + 5 x + 10 = −4  x2 = −2 Vậy x12 + x22 = 2 2 + 32 = 13 .

1  x ≥ 3 1   x ≥ ⇔ ⇔  x = 1 ⇔ x = 1 3 8 x 2 − 6 x − 2 = 0  1   x = − 4  Kết luận. Câu 35. Chọn C

Câu 40.

Chọn C

Ta có

Câu 41. 21

x ≥ 2 x − 2 ≥ 0    x = 2 ⇔  ⇔ x = 2. x − 2 x − 3x + 2 = 0 ⇔   x − 2 = 0   2  x = 1  x − 3 x + 2 = 0   x = 2 

(

)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}. Chọn D 22

x2 − 1 ≥ 0 +) Điều kiện  ⇔ x ≥1. 2 x + 1 ≥ 0  x 2 − 1 = 0 (1)  x2 −1 = 0 +) x 2 − 1 2 x + 1 − x = 0 ⇔  ⇔  2 x + 1 = x ( 2 )  2 x + 1 − x = 0

(

   x = 0(TM )   x 2 − 6 x = 0    x = 0    x = 6( L) ⇔ 17 − x 2 ≥ 0 ⇔   ⇔ x ≤ 17  x = ±4   2  17 − x = 1  2 17 − x = 1 Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

)

 x = 1( n ) Giải (1) : x 2 − 1 = 0 ⇔   x = −1( l )

Câu 47. Lời giải Chọn B

 x = 1+ 2 (n) 2 x + 1 = x ⇒ 2 x + 1 = x 2 ( do x ≥ 1) ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔   x = 1 − 2 ( l )

Giải ( 2 ) :

7 + ) Điều kiện: 2 x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ − . 2 ( x − 2) 2 x + 7 = x2 − 4 ⇔ ( x − 2 ) 2 x + 7 = ( x − 2 )( x + 2 )

Vậy số nghiệm của phương trình là 2.

x − 2 = 0 ⇔ ( x − 2 )  2 x + 7 − ( x + 2 ) = 0 ⇔  .  2x + 7 = x + 2 + ) x − 2 = 0 ⇔ x = 2 ( thỏa mãn ).  x ≥ −2  x + 2 ≥ 0 +) 2 x + 7 = x + 2 ⇔  . 2 ⇔  2  2 x + 7 = ( x + 2 )  x + 2x − 3 = 0  x ≥ −2  ⇔   x = 1 ⇔ x = 1 ( thỏa mãn ).   x = −3 

Câu 42. Lời Giải

Chọn D Điều kiện: x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 ( x 2 − 4 x + 3) x − 2 = 0  x = 1(l ) .  x2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ ⇔  x = 3( n )  x − 2 = 0  x = 2( n ) Câu 43. Chọn A ĐKXĐ: x ≥ 1.

 x = −1  x2 − x − 2 = 0 Biến đổi: ( x 2 − x − 2 ) . x − 1 = 0 ⇔  ⇔  x = 2  x −1 = 0  x = 1. Đối chiếu điều kiện ta được x = 1, x = 2 Câu 44. Chọn A Điều kiện x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 . Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với x − 2 = 0 x = 2 . So với điều kiện chỉ có x = 2 , x = 3 thỏa. ⇔  2 x − 4 x + 3 = 0  x = 1, x = 3 

x = 2 . Vậy phương trình có hai nghiệm  x = 1

Câu 48.

3 − x ≥ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3 . Điều kiện:  x + 2 ≥ 0 Phương trình tương đương: 3 − x = x + 2 ⇔ 1 = 2 x ⇔ x =

Thay các nghiệm x vào phương trình thấy x =

Chọn A Điều kiện: x ≥ 1 .

 x = −1  x2 − x − 2 = 0  x − x − 2 . x −1 = 0 ⇔  ⇔ x = 2  x − 1 = 0  x = 1 So sánh điều kiện kết luận phương trình có nghiệm x = 1; x = 2 .

(

Câu 46.

)

Chọn C

− 6 x ) 17 − x 2 = x 2 − 6 x ⇔ ( x 2 − 6 x )

(

Câu 50.

4 là nghiệm. 3

Chọn C Phương trình x x − 2 = 2 − x chỉ xác định khi x = 2 . Thử lại, ta thấy là nghiệm phương trình. Vậy phương trình chỉ có 1 nghiệm. Câu 51. Chọn D Đk: − 2 ≤ x ≤ 3 3 − x = x + 2 + 1 ⇔ 3 − x = x + 3 + 2 x + 2 ⇔ 3 − x − x − 3 = 2 x + 2 ⇔ −2 x = 2 x + 2

)

17 − x 2 − 1 = 0

1 (thỏa mãn điều kiện). 2

1  Vậy phương trình có tập nghiệm S =   . 2 Câu 49. Chọn C

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2;3} .

Câu 45.

Chọn C

x ≤ 0 x ≤ 0  ⇔ 2 ⇔   x = −1 = + 2 x x   x = 2  Câu 52. Chọn C x + 3 − 2 x −1 = 1 x + 3 ≥ 0 1 Điều kiện  ⇔ x≥ . 2 2 x − 1 ≥ 0

1 x 2 + 4 x + 3 = ( x + 1) 8 x + 5 + 6 x + 2 ( điều kiện: x ≥ − ) 3 ⇔ ( x + 1) [ 8x + 5 − ( x + 2)] +  6 x + 2 − ( x + 1)

( x + 1) ( − x 2 + 4 x + 1) − x2 + 4x + 1 + =0 8x + 5 + ( x + 2 ) 6x − 2 + x +1 x +1 1   ⇔ ( − x 2 + 4 x + 1)  + =0 6x − 2 + x +1   8x + 5 + ( x + 2) ⇔

Khi đó phương trình ⇔ x + 3 = 1 + 2 x − 1  − x + 3 ≥ 0 ⇔ x + 3 = 1 + 2 2 x −1 + 2 x −1 ⇔ 2 2x −1 = − x + 3 ⇔  2  4 ( 2 x − 1) = ( − x + 3) x ≤ 3 ⇔ x = 1. ⇔ 2  x − 14 x + 13 = 0 Vậy số nghiệm nguyên của phương trình là 1. Câu 53. Chọn C 1  3 x + 1 ≥ 0  x ≥ − 1 - Điều kiện:  ⇔ 3 ⇔ − ≤ x ≤ 2. 3 2− x ≥ 0  x ≤ 2 2

- PT ⇔ 3x + 1 = 1 + 2 − x ⇔  3x + 1 = 1 + 2 − x  ⇔ 3x + 1 = 1 + 2 2 − x + 2 − x 1   2 x − 1 ≥ 0 x ≥ ⇔ 2 2 − x = 4x − 2 ⇔ 2 − x = 2x −1 ⇔  2 2 ⇔  2 − x = ( 2 x − 1) 2 − x = 4 x2 − 4 x + 1 

1  x ≥ 2 1   x ≥ ⇔ 2   x = 1 ⇔ x = 1 (thỏa mãn điều kiện). 2 4 x − 3x − 1 = 0   1   x = − 4  Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 1 . Câu 54. Chọn B Điều kiện −3 ≤ x ≤ 1 .

(

Phương trình x 2 + 2 x + 2 x x + 3 = 6 1 − x + 7 ⇔ x + x + 3

)

⇔ 1 − x = 0 (do 1 − x + 1 +

1− x > 0, ∀x ∈ [ −3;1] ) 2+ x+3

⇔ x = 1 (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 1 .

Câu 55.

Chọn A 25

(

)

x − 2 + x2 − x + 1 = 2 x − 1 + x − 2 ⇔ x 2 − x + 1 = 2 x − 1 1  2 x − 1 ≥ 0 x ≥ ⇔ 2 ⇔ ⇔ x = 1(ktm) 2  2 3 x2 − 3x = 0  x − x + 1 = ( 2 x − 1)  Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Câu 58. Chọn D

Khi đó

8 − t2 thì bản chất của 2 lời giải trên là đưa về phương trình hệ quả. Do đó cần thử lại nghiệm ở bước 3. Câu 59. Chọn D 5x − 4 x 2 − x Giải phương trình trên tập số thực: = 2. x −1 5  5 x − 4 x 2 ≥ 0 0 ≤ x ≤ Điều kiện xác định của phương trình:  ⇔ 4 (* ) . x −1 ≠ 0  x ≠ 1 Ở bước 1, khi đặt t = 4 + x − 4 − x ⇒ t 2 = 8 − 2 16 − x 2 ⇒ 16 − x 2 =

) = (3 +

x + x + 3 = 3 + 1− x ⇔ ⇔ 1− x + 1− x + 2 − x + 3  x + x + 3 = − 3 + 1 − x VN   1− x  ⇔ 1 − x  1 − x + 1 + =0 2 x + 3  + 

(

− x 2 + 4 x + 1 = 0  x +1 1 ⇔ ⇔ x = 2 + 5 + = 0 ( VN ) x = 2− 5   ( ) 6x − 2 + x +1  8x + 5 + x + 2 Câu 56. Chọn B  x ≥ 1 . x − 1 + 3x − 3 = x 2 − 1 ⇔   x − 1 x + 1 − 1 − 3 = 0 x ≥ 1 x ≥ 1 x = 1   . ⇔  x −1 = 0 ⇔  x = 1 ⇒   x = 3 + 2 3  x = 3 + 2 3 x + 1 = 1 + 3    Suy ra ( x1 − 1) . ( x2 − 1) = 0 . Câu 57. Chọn D Điều kiện: x ≥ 2 .

1− x

)

Từ phương trình:

5x − 4 x 2 − x = 2 ⇒ 5 x − 4 x 2 − x = 2 ( x − 1) x −1

2  2 2   x ≥ 3 x =1 x ≥ x ≥  ⇔ 3 3 ⇔ ⇔ . ⇔ 5 x − 4 x = 3x − 2 ⇔  x =1 x = 4 5 x − 4 x 2 = 9 x2 − 12 x + 4 13x 2 − 17 x + 4 = 0       x = 4 So sánh với điều kiện (*) thì x = 1 , x = 4 đều không thỏa mãn điều kiện phương trình ban đầu. Vậy phương trình vô nghiệm. 2

Câu 60.

Chọn A Điều kiện x ≥ 3 .

1 1 1 1 1 1 + 1 − ⇔ x − 1 − = x − ⇔ x2 + 1 − − 2 x2 − x = x − x x x x x x  1+ 5 (tm) x = 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ x − x − 2 x − x + 1 = 0 ⇔ x − x −1 = 0 ⇔ x − x = 1 ⇔ x − x −1 = 0 ⇔   1− 5 (l ) x =  2

Xét x ≥ 1 x = x −

x = 1  x 2 − 3x + 2 = 0 Khi đó pt ⇔  ⇔  x = 2 . Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình có nghiệm duy  x − 3 = 0  x = 3 nhất x = 3 . Câu 61. Chọn D 2 − x ≥ 0 x ≤ 2 Điều kiện:  ⇔ . x − 3 > 0 x > 3 Hệ bất phương trình vô nghiệm. Suy ra phương trình ban đầu vô nghiệm.

Câu 62.

Chọn C

Đặt t = 3 x 2 + 5 x − 2 ta được phương trình: t 3 + 2 = 2t − 2 ⇔ t 3 − 2t + 4 = 0 ⇔ t = −2  x = −2 Với t = −2 ⇒ 3 x 2 + 5 x − 2 = −2 ⇔ x 2 + 5 x + 6 = 0 ⇔   x = −3 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên. Câu 63. Chọn B Đặt t = 4 x 2 + 481, t ≥ 4 481 . Phương trình đã cho trở thành : t = 5 t 2 − 3t − 10 = 0 ⇔  .Đối chiếu điều kiện, loại t = −2 . t = − 2

Với t = 5 ⇒ 4 x2 + 481 = 5 ⇔ x 2 = 144 ⇔ x = ±12 ⇒ α = 12, β = −12 Do đó : α + β = 0 ∈ [−1;1] . Chọn B. Câu 64. Chọn A Điều kiện xác định x ≥ 1 . Ta có 2 x 2 + 5 x − 1 = 7 x 3 − 1 ⇔ 2 ( x 2 + x + 1) + 3 ( x − 1) = 7

( x − 1) ( x 2 + x + 1) (1)

Với x = 1 ta thấy không thỏa mãn (1) nên không phải là nghiệm. Với x ≠ 1 ta có:

(1)

⇔ 2 ( x 2 + x + 1) + 3 ( x − 1) = 7

( x − 1) ( x 2 + x + 1)

⇔ 2

x2 + x + 1 x2 + x + 1 −7 +3=0 x −1 x −1

 x2 + x + 1 1  x2 + x + 1 1 =  =   4 x 2 + 3x + 5 = 0 x −1 2 x −1 4 ⇔  ⇔  2 ⇔  2 ⇔ x = 4± 6.  2  x + x +1  x − 8 x + 10 = 0  x + x +1 = 3  x − 1 = 9 x −1  Suy ra a = 4 và b = 6 . Do đó, 2 a − b = 2.4 − 6 = 2 . Câu 65. Lờigiải Chọn A 1   ( x − 1)( x + 1) x− ≥ ≥0  −1 ≤ x < 0   x x Điều kiện  ⇔ ⇔ x ≥1 1 − 1 ≥ 0  x −1 ≥ 0  x  x −1 ≤ x < 0 ⇒ x < x −

(

)

a = 1, b = 5, c = 2 ⇒ P = a 3 + 2b 2 + 5c = 61

DẠNG 4. ĐỊNH LÍ VI-ET VÀ ỨNG DỤNG Chọn A b Theo định lí Viet x1 + x2 = − ⇔ x1 + x2 = 3 ⇒ x2 = 2 . a Câu 67. Chọn D −3   S = x1 + x2 = − 1 = 3 Theo Viét, ta có:  .  P = x x = −9 = −9 1 2  1 Vậy x1 + x2 = 3 . Câu 68. Chọn D Phương trình thỏa mãn a + b + c = 0 nên luôn có 2 nghiệm 3 3 Theo định lý viet ta có tổng hai nghiệm bằng − = −2 2 Câu 69. Chọn C Ta có ∆ ' = 1 + 13 = 14 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x + x = 2 Áp dụng định lý viet ta có  1 2  x1.x2 = −13 Câu 66.

x 21 + x 22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1.x2 = 22 − 2. ( −13) = 4 + 26 = 30 Câu 70. Chọn C 7  2  x1 + x2 = 4 2 7  1  57 Theo định lí Vi-ét ta có:  ; M = x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1.x2 =   − 2  −  = .  4  4  16  x .x = − 1  1 2 4 DẠNG 5. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ DẠNG 5.1 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ n NGHIỆM DẠNG 5.1.1 ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Câu 71. Chọn B ( m + 2 ) x − ( x + 1) = 0 ⇔ ( m + 1) x − 1 = 0

Câu 72.

Phương trình vô nghiệm ⇔ m + 1 = 0 ⇔ m = −1 . Chọn C

1 1 + 1− x x 27

Trường hợp 1: m = 3 . Phương trình (1) trở thành: −2 = 0 (vô lý). Vậy m = 3 phương trình (1) vô nghiệm.

m = 0 m = 0 ⇔ ⇔m=0 Để phương trình mx + m − 1 = 0 vô nghiệm: ⇔  m − 1 ≠ 0 0 − 1 ≠ 0

Trường hợp 1: m ≠ 3 . Phương trình (1) là phương trình bậc hai.

Câu 73.

Chọn B

Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi ∆′ = ( m − 3) − ( m − 3)(1 − m ) < 0

m = 1  m − 1 = 0 ⇔  m = −1 Phương trình ( m2 − 1) x + m2 + 2m − 3 = 0 vô nghiệm ⇔  2 m + 2m − 3 ≠ 0  2  m + 2m − 3 ≠ 0 Câu 74. Chọn D Phương trình ( m2 − 4 ) x = 3m + 6 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m2 − 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2 2

Khi đó nghiệm duy nhất của phương trình bằng x =

⇔ ( m − 3)( m − 3 − 1 + m ) < 0 ⇔ ( m − 3 )( 2m − 4 ) < 0 ⇔ 2 < m < 3 . Vì m ∈ ℤ nên trường hợp này

không có m thỏa mãn. Vậy có 1 số nguyên m = 3 thỏa mãn phương trình (1) vô nghiệm. Câu 83. Chọn B Xét trường hợp m = 0 . Khi đó PT đã cho có dạng −3x − 4 = 0 ⇔ x = −

3m + 6 3 = m2 − 4 m − 2

cầu bài toán). Xét trường hợp m ≠ 0 :

Câu 75.

Chọn D ax + b = 0 có nghiệm khi a ≠ 0 ⇔ m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 . Câu 76. Chọn D Phương trình đã cho tương đương với phương trình (m2 − 1) x = 2(m − 1)

PT vô nghiệm ⇔ ∆ = (2m + 3) 2 − 4m ( m − 4 ) < 0 ⇔ 28m + 9 < 0 ⇔ m < −

Câu 84.

m 2 − 1 = 0 ⇒ phương trình có tập nghiệm S = ℝ ⇔  ⇔ m = 1 ⇒ Chọn D m − 1 = 0 ⇔ m = −1 . Câu 77. Chọn A Ta có ( m + 1) x = − x + m − 1 ⇔ ( m + 2 ) x = m − 1

Do đó, phương trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc ( −∞;3] khi và chỉ khi

DẠNG 5.1.2 ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Câu 78. Chọn B Phương trình x 2 − 3x + m + 1 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 ⇔ 9 − 4 ( m + 1) ≥ 0 ⇔ m ≤

Chọn C Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆ > 0 2 ⇔ ( m − 2) − 8 ( m − 4) > 0 ⇔ ( m − 6) > 0

Câu 81.

⇔m≠6 Chọn D x 2 − x + m − 2 = 0 (1) ;có a = 1 ≠ 0 ; ∆ = 1 − 4 ( m − 2 ) = 9 − 4m .

9 9 . Vậy m ≤ . 4 4

Chọn A 2

2 3  19  Ta có ∆′ = ( m + 1) − 2m2 − m + 8 = −m 2 + 3m − 7 = −  m −  − < 0 với mọi m ∈ ℝ . 2 4  Suy ra phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m ∈ ℝ . Câu 82. Chọn A

(

)

m + 1 = 2 m = 1 m + 1 > 3 ⇔  m > 2 .   Vậy tập hợp các giá trị của tham số m là {1} ∪ ( 2; +∞ ) . Câu 86. Chọn C Cách 1: Phương trình có nghiệm khi ∆ ′ = 4 + m ≥ 0 ⇔ m ≥ −4 (1) . 0 ≤ x1 ≤ 4 Để phương trình có nghiệm x ∈ [ 0; 4 ] thì  0 ≤ x2 ≤ 4   4 + m ≤ 1  0 ≤ 1 − 4 + m ≤ 4   4 + m ≥ −3  4 + m ≤ 1  m ≤ −3 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ 5. 0 ≤ 1 + 4 + m ≤ 4   4 + m ≥ −1  4 + m ≤ 3  m ≤ 5    4 + m ≤ 3

có nghiệm khi ∆ ≥ 0 ⇔ 9 − 4m ≥ 0 ⇔ m ≤

5 . 4

Khi đó, phương trình có nghiệm x1 = 1 − 4 + m , x2 = 1 + 4 + m .

⇔ m 2 − 12 m + 36 > 0

(1)

1 ⇒ Loại m = 0 . 2

TH2: m ≠ 0 . Ta có ∆′ = ( m + 1) − m ( m + 1) = m + 1 Để phương trình cho vô nghiệm ⇔ ∆′ < 0 ⇔ m + 1 < 0 ⇔ m < −1 (thỏa mãn m ≠ 0 ). Kết luận: m < −1 . Câu 85. Chọn B  x = 2 ∈ ( −∞;3] Ta có x 2 − ( m + 3) x + 2m + 2 = 0 ⇔  . x = m +1

( −5 ) + ( −4 ) + ( −3) + ( −1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 42 .

Câu 80.

9 28

Chọn A TH1: m = 0 Phương trình cho trở thành: −2 x + 1 = 0 ⇔ x =

Phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ −2 . Vì m nguyên, thuộc đoạn [ −5;10 ] và m ≠ 2 nên tổng các giá trị của m trong S là:

Câu 79.

4 (Không thoả mãn yêu 3

So với điều kiện (1) , m ∈ [ −4; 5] thì phương trình đã cho có nghiệm x ∈ [ 0; 4 ] .

Cách 2: Phương trình đã cho tương đương m = x 2 − 2 x − 3 . Đặt y = f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 . 30

Ta có đồ thị hàm số y = f ( x ) như sau: 5

− 1

− 4

Dựa vào đồ thị. Để phương trình y = f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 = m có nghiệm x ∈ [ 0; 4] thì −4 ≤ m ≤ 5 Câu 87.

3( m + 2) với mọi giá trị của tham số m nên m2 + 4 phương trình đã cho cũng luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m . Do đó phương án B sai. Cách 2. (Trắc nghiệm) Trong bốn phương án nên trên ta thấy có phương án B và D có kết luận trái ngược nhau, nên phương án sai phải nằm một trong hai phương án này. Thay m = −2 vào phương trình ta được 4 x − 6 = 4 x + 6 4x − 6 = 4x + 6 ⇔  ⇔ x =0.  4 x − 6 = −4 x − 6 Do đó với m = −2 phương trình có nghiệm nên phương án sai là B. Câu 91. Chọn C  − x − 1 − x + 2 + x − 3 , x ≤ −1 x +1− x + 2 + x − 3 , −1 < x ≤ 2  f ( x) = x +1 + x − 2 − x − 3 =  x +1+ x − 2 + x − 3 , 2 < x ≤ 3  x + 1 + x − 2 − x + 3 , x > 3 − x − 2 , x ≤ −1 x , −1 < x ≤ 2  = 3 x − 4 , 2< x≤3   x + 2 , x > 3 Số nghiệm phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) với đường thẳng Vì phương trình ( 2 ) luôn có nghiệm duy nhất x =

Hướng dẫn giải. Chọn B Pt: x 2 − 4 x + 6 + 3m = 0 ⇔ x 2 − 4 x + 6 = −3m. Xét hàm f ( x ) = x 2 − 4 x + 6 trên đoạn [1;5] :

y = m . Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x )

Ghi chú: Đây là parabol nên học sinh lớp 10 lập bảng được mà không cần tới đạo hàm. 2 Để phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn [1;5] thì: 2 < −3m ≤ 3 ⇔ −1 ≤ m < − . 3 DẠNG 5.1.3 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TR Ị TUYỆT ĐỐI Câu 88. Chọn A Phương trình vô nghiệm ⇔ m 2 − 4 = 0 ⇔ m = ±2 . Câu 89. Chọn B 2 x − 5m = 2 x − 3m (1) Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là 2 x − 3m ≥ 0 (2) Với điều kiện (2), ta có: (3)  2 x − 5m = 2 x − 3m  2m = 0 ⇔ (1) ⇒  2 x − 5 m = − 2 x + 3 m x = 2 m (4)   Phương trình (3) có nghiệm x ∈ ℝ ⇔ m = 0 . Kết hợp điều kiện (2), suy ra 2 x − 3.0 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 . Nghiệm của phương trình (4) là nghiệm của phương trình (1) ⇔ 2 x − 3m ≥ 0 ⇔ 2.2m − 3m ≥ 0 ⇔ m≥0. Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m ∈ [ 0; +∞ ) . Câu 90. Chọn B Cách 1. ( m 2 − 4 ) x = 3 ( 2 − m ) (1)  m 2 x − 6 = 4 x − 3m ⇔ m 2 x − 6 = 4 x − 3m ⇔  2 . 2 ( m + 4 ) x = 3 ( m + 2 ) ( 2)  m x − 6 = 3m − 4 x  Tập nghiệm của phương trình đã cho là hợp của hai tập nghiệm các phương trình (1) , ( 2 ) .

-∞

-1

+∞ +∞

+∞

y=f(x) -1

Câu 92.

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m > −1 . Chọn A Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = x2 − 6 x + 5 .

Đồ thị hàm số y = x 2 − 6 x + 5 là hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng. Bao gồm đồ thị

hàm số y = x 2 − 6 x + 5 ở phía bên phải trục Oy và phần lấy đối xứng của nó qua trục Oy . Đồ thị hàm số y = x 2 − 6 x + 5 bao gồm đồ thị hàm số y = x 2 − 6 x + 5 ở phía bên trên trục Ox

và lấy đối xứng phần bên dưới trục Ox qua trục Ox như hình vẽ bên dưới.

Dựa vào đồ thị ta có đường thẳng y = m luôn cắt đồ thị vói ∀m ∈ ℝ Vậy phương trìn x 2 − 2 x + 3 x − x 2 = m có nghiệm với ∀m ∈ ℝ Để phương trình x 2 − 6 x + 5 = m có 8 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y = m và đồ thị hàm

Câu 96.

số y = x − 6 x + 5 cắt nhau tại 8 điểm 0 < m < 4 . Mà m ∈ Z nên m ∈ {1; 2;3} . 2

Khi đó số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số f ( x ) = − x 2 − 4 x + 1 và đường

Vậy có 3 giá trị nguyên của m để phương trình x 2 − 6 x + 5 = m có 8 nghiệm phân biệt.

Câu 93.

Chọn C Ta có − x 2 − 4 x + 1 = m ⇔ x 2 + 4 x − 1 = m (1).

thẳng y = m . Dựa vào bảng biến thiên của y = x 2 + 4 x − 1 ta suy ra bảng biến thiên của hàm

Chọn C

 m ≥ −1  m ≥ −1  2  2 Ta có: x − 4 = m + 1 (*) ⇔   x − 4 = m + 1 ⇔   x − m − 5 = 0 (1)   x 2 − 4 = −m − 1   x 2 + m − 3 = 0 2 ( )    Để phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt thì các phương trình (1);(2) đều có hai nghiệm phân biệt và các nghiệm của phương trình (1) đều không là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại. m ≥ −1  m ≥ −1 m + 5 > 0  m > −5   ⇔ ⇔ −1 < m < 3 . Khi đó m phải thỏa mãn các điều kiện sau:  − m + 3 > 0 m < 3 2 2  x − m − 5 ≠ x + m − 3 m ≠ −1

 2    x + 4 x − 1khi x ∈ −∞; − 2 − 5  ∪  −2 + 5; + ∞ . f ( x ) = x2 + 4 x −1 =  2 − ( x + 4 x − 1) khi x ∈ −2 − 5; −2 + 5  Do đó, ta có bảng biết thiên như sau:

(

Do m ∈ ℤ nên m ∈ {0;1; 2} . Vậy có 3 giá trị nguyên của m thoả mãn yêu cầu bài toán. Lời giải Chọn B 2 Đặt x = t ( t ≥ 0) . Khi đó phương trình trình (*) trở thành t − 4t + 3 − m = 0 (1) .

DẠNG 5.1.4 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MẪU

Để (*) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm dương phân biệt.

Câu 97.

Chọn C 1 1 ( t ≤ −2; t ≥ 2 ) ⇒ x2 + 2 = t 2 − 2 x x Phương trình trở thành: t 2 − ( m 2 + m + 2 ) t + m3 + 2m = 0 ⇔ ( t − m ) ( t − m 2 − 2 ) = 0

Đặt t = x +

t = m ⇒ ⇒ Phương trình luôn có nghiệm x . 2 t = m + 2 ≥ 2 Câu 98. Chọn D Đk: x ≠ −1 Phương trình đã cho ⇔ 2 mx −1 = 3 ( x + 1) ⇔ (2m − 3) x = 4. Trường hợp 1: m =

)

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m < 5 nên có 4 giá trị nguyên của tham số m .

Câu 94.

 ∆′ > 0 1 + m > 0  ⇔ t1 + t2 = 4 > 0 ⇔  ⇔ −1 < m < 3 . m < 3 t .t = 3 − m > 0 1 2 Câu 95. Chọn C  x ≥ 2 x khi   Xét y = x 2 − 2 x + 3x − x 2 =  có đồ thị như hình vẽ bên dưới x ≤ 0 −2 x 2 + 5 x khi 0 < x < 2 

)

3 ⇒ 0 x = 4 (Vô lí). 2 34

Trường hợp 2: m ≠

4 3 ⇒x= . 2 2m − 3

4 4 −1 là nghiệm của phương trình đã cho thì ≠ −1 ⇔ m ≠ . 2m − 3 2m − 3 2 −1 3 Do đó m ≠ và m ≠ . Vậy chọn D. 2 2 Câu 99. Chọn C x ≠ 1 ĐKXĐ:   x ≠ 2. 2 x − 3m x + 2 Khi đó, biến đổi: + = 3 ⇔ (3m − 7) x = 3m − 10(*). x−2 x −1 7 + Nếu m = thì PT vô nghiệm. 3 7 + Nếu m ≠ : 3 -) Ta thấy x = 1 không thỏa mãn (*). 4 -) Thay x = 2 vào (*) ta được m = (TM ). 3

Để x =

65 7 4 Tính   +   = . 9  3  3 Câu 100. Chọn A x ≠ a −1 . Điều kiện   x ≠ −a − 2 x +1 x = ⇒ ( x + 1)( x + a + 2 ) = x ( x − a + 1) ⇔ 2 ( a + 1) x + a + 2 = 0 . Khi đó, x − a +1 x + a + 2 Phương trình đã cho vô nghiệm khi  a = 0    2a 2 + a = 0 1 2 ( a + 1)( a − 1) + a + 2 = 0  2 ( a + 1)( −a − 2 ) + a + 2 = 0 ⇔ ( a + 2 )( −1 − 2a ) = 0 ⇔  a = − 2 .    a = −2  a + 1 = 0  a = −1   a = −1   a + 2 ≠ 0

Vậy có 4 giá trị của tham số a để phương trình vô nghiệm. Câu 101. Chọn A 3x 2 + 2 x + 1 x 2 − 2 x + 3 ≠ 0, ∀x y = 2 ⇔ ( y − 3) x 2 − 2 ( y + 1) x + 3 y − 1 = 0 x − 2x + 3 Nếu y = 3 phương trình có nghiệm x = 1 . 2

Nếu y ≠ 3 để phương trình ẩn x có nghiêm ⇔ ∆′ = ( y + 1) − ( y − 3 )( 3 y + 1) ≥ 0 ⇔ y 2 + 2 y + 1 − ( 3 y 2 − y − 9 y + 3) ≥ 0 ⇔ y 2 − 6 y + 1 ≤ 0 ⇔ 3 − 2 2 ≤ y ≤ 3 − 2 2

(

. ⇒ a = 3 − 2 2, b = 3 + 2 2 ⇒ a 2 + b 2 + ab = 3 − 2 3

 x ≥ 1  x ≥ 1 . 2x2 − 6x + m = x − 1 ⇔  2 2 ⇔  2  x − 4 x − 1 = − m (1) 2 x − 6 x + m = ( x − 1) Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ (1) có nghiệm duy nhất x ≥ 1 .

Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của đường thẳng y = −m và đồ thị hàm số

f ( x ) = x 2 − 4 x − 1.

−m = −5 m = 5 ⇔ Dựa vào bảng biến thiên ta có:  . −m > −4 m < 4 Câu 103. Chọn B

x ≥ 2 2 x 2 − x − 2m = x − 2 ⇔  2 .  x + 3x − 4 = 2m Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x 2 + 3x − 4 với đường thẳng y = m trên tập [ 2; +∞ ) . Ta có đồ thị sau

Dựa vào đồ thị suy ra phương ương trình có nghiệm khi 2m ≥ 6 ⇔ m ≥ 3 . Câu 104. Chọn D  x − 2 ≥ 0  x ≥ 2 . 2 x 2 − 2 x − 2m = x − 2 ⇔  2 2 ⇔  2  x + 2 x − 4 = 2m (*) 2 x − 2 x − 2m = ( x − 2 ) Xét hàm số f ( x ) = x 2 + 2 x − 4 , ( x ≥ 2 ) BBT:

) + (3 + 2 3 ) + ( 3 − 2 3 )(3 + 2 3 ) = 35 .

DẠNG 5.1.5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Câu 102. Chọn D

Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm x ≥ 2 ⇔ 2m ≥ 4 ⇔ m ≥ 2 . Câu 105. Chọn B Với mọi giá trị dương của m x ≥ m x ≥ m x ≥ m ⇔ ⇔ ⇔ x = m. Ta có x 2 − m2 = x − m ⇔  2 2 2 2 x = m  x − m = ( x − m) 2 xm = 2m Vậy phương trình luôn có 1 nghiệm x = m . Câu 106. Chọn C 1  2 x − 1 ≥ 0 x ≥ Phương trình đã cho ⇔  2 2 ( *) 2 ⇔  m = 3x2 + 4 x + 1  x − 8 x + m = ( 2 x − 1)  Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi (*) vô nghiệm. Ta có bảng biến thiên của hàm số y = 3 x 2 + 4 x + 1 như sau

Câu 108. Chọn C 2 1 ≤ x ≤ 3 − x + 4 x − 3 ≥ 0 − x 2 + 4 x − 3 = 2m + 3 x − x 2 ⇔  2 ⇔ 2  x = 2m + 3  − x + 4 x − 3 = 2m + 3 x − x

Ta có:

Để phương trình (1) có nghiệm thì: 1 ≤ 2m + 3 ≤ 3 ⇔ −1 ≤ m ≤ 0 ⇒ m ∈ [ −1;0] ⇒ a 2 + b 2 = 1. . Câu 109. Chọn D 1  2x −1 ≥ 0  x≥  Phương trình tương đương:  2 ⇔ 2 x − 2x − m −1 = 2x −1  x 2 − 4 x − m = 0

x2 − 2 x − m − 1 = 2 x − 1 có hai nghiệm phân biệt ⇔ x 2 − 4 x − m = 0 có hai     4+m >0 ∆′ > 0  1   nghiệm phân biệt thỏa x2 > x1 ≥ ⇔  4>0 ⇔ x1 + x2 > 1 2   1 1 1  1   x1 x2 − ( x1 + x2 ) + ≥ 0   x1 −   x2 −  ≥ 0  2 4 2  2  Để phương trình

4+m>0  7  ⇔ −4 < m ≤ − . ⇔ 1 1 4  − m − 2 .4 + 4 ≥ 0

15 Từ BBT suy ra pt vô nghiệm khi và chỉ khi m < . 4 Câu 107. Chọn C 1  2 x + 1 ≥ 0 x ≥ − 2 x + 2 x + 2m = 2 x + 1 ⇔  2 . 2 ⇔   x + 2 x + 2m = ( 2 x + 1) 3 x 2 + 2 x + 1 − 2m = 0 (*)  2

1  1  1 Đặt t = x + ;phương trình (*) trở thành: 3  t −  + 2  t −  + 1 − 2m = 0 2  2  2 3 2 ⇔ 3t − t + − 2 m = 0 (**) 4 Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 1 − ≤ x1 < x2 khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa 0 ≤ t1 < t2 . Điều 2  ∆ = −1 2 − 4.3.  3 − 2m  > 0 ( )    4  1    m > 3 1 3 −1  ⇔ kiện:  S = − > 0 ⇔ <m≤ . 3 3 8 m ≤ 3   3  8 − 2m  4 P = ≥ 0  3  1 3 1  1 3 Vậy S =  ;  . Ta có: . = . 3 8 8  3 8 37

Câu 110. Chọn B Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2 Đặt t = 2 − x + 2 + x ⇒ t 2 = 4 + 2 Lại có:

(

2− x + 2+ x

)

( 2 − x )( 2 + x ) ≥ 4 ⇒ t ≥ 2

≤ ( 2 − x + 2 + x ) (12 + 12 ) ⇒ t ≤ 2 2

Khi đó phương trình đã cho chuyển về: t + t 2 − 4 + m = 0 ⇔ t 2 + t − 4 = −m (1) Yêu cầu bài toán ⇔ tìm m để phương trình (1) có nghiệm t ∈  2; 2 2 

⇔ đồ thị hàm số f ( t ) = t 2 + t − 4 cắt đường thẳng y = − m trong đoạn  2; 2 2  (*) Bảng biến thiên của f ( t ) = t 2 + t − 4 trên  2; 2 2 

Từ BBT ta có (*) ⇔ 2 ≤ m ≤ 4 + 2 2 Mà m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {2;3; 4;5;6}

Câu 111. Chọn C ĐK: x ≥ 1 .

3 x − 1 − m x + 1 = 2 4 x2 −1 ⇔ m =

3 x −1 2 4 x2 − 1 x −1 x −1 − . =3 − 24 x +1 x +1 x +1 x +1 38

x −1 2 2 x −1 x −1 = 1− ≤ 1, ∀x ≥ 1 nên 0 ≤ < 1) mà 0 < , ( 0 ≤ t < 1) , (vì x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 2 Ta được m = 3t − 2t = f ( t ) , ( 0 ≤ t < 1) Đặt t =

Xét hàm số y = t 2 − 4t + 2 có đồ thị như hình vẽ

1 f ′ ( t ) = 6t − 2 , f ′ ( t ) = 0 ⇔ t = . 3 Bảng biến thiên:

Dựa vào đồ thị hàm số, để phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 suy ra m ≥ −2 . Suy ra số các giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −2018; 2018] để phương trình có nghiệm là 2021.

1 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm ⇔ − ≤ m < 1 . 3 Câu 112. Chọn B Tập xác định: D = [ −2018; 2018 ] \ {0} , m ≠ ±1

Câu 115. Chọn D Xét hàm số f ( x ) =

Đồ thị hàm số y = f ( x ) nhận trục Oy làm trục đối xứng khi f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈ D ⇔

(

m 2018 − x + m2 − 2

(

)

2018 + x

)

− m −1 x

(

⇔ 2 − m2

)

(

)

2018 − x , ∀x ∈ D

⇔ 2 − m2 = m

Câu 114. Chọn D ĐK: x ≥ 0 Ta có x 2 + ( 2 − m ) x + 4 = 4 x 3 + 4 x

⇔ x + 4 + ( 2 − m) x = 4

f ( −1) = −1 < 0 , f ( 0 ) = 5m2 − 2m − 2 + m − 4 .

4 − m < 0 m > 4  2 m > 4   5m − 2m − 2 ≥ 0 ⇔ ⇔  m ≤ 4 ⇔  m < −3 ∨ 3 < m ≤ 4 4−m ≥0  4m 2 + 6m − 18 > 0    2   5m 2 − 2m − 2 > m 2 − 8m + 16 3 . 2 3  Do đó m ∉  −3;  hay P = a 2 + 2b = 12 . 2  Câu 116. Chọn C Tập xác định: D = [1;5] .

⇔ m < −3 ∨ m >

Đặt u = x − 1 + 5 − x , ta có u 2 =

+ 4 ) x (1)

Với x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Với x ≠ 0 phương trình (1) trở thành x2 + 4 x2 + 4 ⇔ + (2 − m) = 4 (2) x x

x2 + 4 ,t ≥ 2 x Phương trình (2) trở thành: t 2 − 4t + 2 − m = 0 . ⇔ t 2 − 4t + 2 = m (*) Để phương trình dã cho có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 . Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm y = t 2 − 4t + 2 và đường thẳng y=m 39

(

Ta lại có: u = 1. x − 1 + 1. 5 − x

)

(

x −1 + 5 − x

2 Bunhiacopxki

≤

)

= 4+2

( x − 1)( 5 − x ) ≥ 4 ;nên u ≥ 2.

) ( x − 1 + 5 − x ) = 8, nên u ≤ 2

Vậy với x ∈ [1 ; 5] thì u ∈  2 ; 2 2  . Mặt khác u 2 =

Đặt t =

f ( 0 ) = 5m2 − 2m − 2 + m − 4 > 0 ⇔ 5m2 − 2m − 2 > 4 − m .

 m = 1( l ) ⇔ . Vậy m = −2 .  m = −2 Câu 113. Chọn B Điều kiện: x > −3 . 2 ( x − m) − x − m Với x > −3 ;phương trình = 0 ⇔ 2 ( x − m ) − x − m = 0 ⇔ x = 3m . x+3 Để phương trình có nghiệm thì 3m > −3 ⇔ m > −1 ⇔ m ∈ ( −1; +∞ ) .

)

5m 2 − 2m − 2 + m − 1 ( x + 1) + x 2 − x − 3 liên tục trên ℝ .

Để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( −1;0 ) thì

m 2018 + x + (m2 − 2) 2018 − x , ∀x ∈ D (m2 − 1) x

2018 + x − m 2018 − x = m 2018 + x + m 2 − 2

(

x −1 + 5 − x

)

= 4+2

Khi đó ta thu được phương trình: u +

( x − 1)( 5 − x ) ⇔ ( x − 1)( 5 − x ) =

3 2 (u − 4 ) = m ⇔ 32 u 2 + u − 6 = m . 2

3 Xét hàm số f ( u ) = u 2 + u − 6 trên đoạn  2 ; 2 2  . 2 Ta có bảng biến thiên như sau:

u2 − 4 . 2

Phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương. Trường hợp phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

−6 − m3 < 0 ⇔ m3 > −6 ⇔ m > 3 −6 . Các số nguyên không dương thỏa mãn trường hợp này là m ∈ {−1;0} . Trường hợp phương trình (*) có nghiệm kép dương khi và chỉ khi ∆′ = 10 + m3 = 0  ⇔ m = 3 −10 ∉ ℤ .  b t1 = t 2 = − 2a = 2 > 0  Như thế, không có giá trị m nguyên thỏa mãn trường hợp này. Vậy có tất cả 2 giá trị nguyên không dương của tham số m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm.

Dựa vào bảng biến thiên ta có yêu cầu bài toán tương đương 2 ≤ m ≤ 6 + 2 2. Vì m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {2;3; 4;5;6;7;8} . DẠNG 5.1.6 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Câu 117. Chọn A Đặt t = x 2 , t ≥ 0 ; phương trình trở thành: t 2 − 2(m − 1)t + 4m − 8 = 0 . x 4 − 2(m − 1) x 2 + 4m − 8 = 0 có 4 nghiệm phân biệt. ⇔ t 2 − 2( m − 1)t + 4m − 8 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt. ∆ ' > 0  ⇔ S > 0 P > 0 

Câu 120. Lờigiải Chọn A Ta có x 4 + 2 x3 + 3x 2 + 2 x − m = 0 2

⇔ ( x2 + x) + 2 ( x2 + x ) − m = 0

1 4 Phương trình trở thành: t 2 + 2t − m = 0 . ⇔ t 2 + 2t = m (*)

Đặt t = ( x 2 + x ) , t ≥ −

 m 2 − 6m + 9 > 0 m ≠ 3  ⇔ m − 1 > 0 ⇔ m > 2 4 m − 8 > 0 

Câu 118. Chọn C Nhận xét: x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho x 2 , ta được: 1  2 1    x + x 2  − 2m  x + x  + 1 = 0     1 1 Đặt t = x + ⇒| t |≥ 2; x 2 + 2 = t 2 − 2 x x Phương trình trở thành: t 2 − 2mt − 1 = 0(*) Ta có ∆′ = m 2 + 1 > 0, ∀m ⇒

1 Để phương trình dã cho có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng − . 4 Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm y = t 2 + 2t và đường thẳng y = m Xét hàm số y = t 2 + 2t có đồ thị như hình vẽ

Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt t1 = m − m2 + 1 < t2 = m + m2 + 1

t > −2 (1) Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi  1 (2) t2 < 2  m+2≥0 3 (1) ⇔ −2 < m − m2 + 1 ⇔ m + 2 > m2 + 1 ⇔  ⇔m>− 2 2 4 (m + 2) > m + 1

 2−m ≥ 0 3 (2) ⇔ m + m2 + 1 < 2 ⇔ 2 − m > m2 + 1 ⇔  ⇔m< 2 2 4 (m − 2) > m + 1 3 3 Vậy với m thỏa mãn: − < m < thì phương trình vô nghiệm 4 4 3 3   Suy ra tập tất cả các giá trị m để hệ có nghiệm là:  −∞; −  ∪  ; +∞  4 4   Câu 119. Chọn C Đặt t = x 2 , t ≥ 0 , phương trình đã cho trở thành t 2 − 4t − 6 − m3 = 0 (*) . 41

Dựa vào đồ thị hàm số, để phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn 1 1 suy ra m ≥ − . 4 16 Vậy không có giá trị nguyên âm của m để phương trình đã cho có nghiệm. Câu 121. Chọn A Ta có x = 0 không là nghiệm của phương trình đã cho. 1 2 Chia hai vế của phương trình (1) cho x2 ta được phương trình x 2 + 2 + 2 x + + (m − 1) = 0 (2) x x hoặc bằng −

1 1 1 1  Đặt t = x + , với x > 0 suy ra t ≥ 2 x. = 2 , t 2 =  x +  = x 2 + 2 + 2 . x x x x  Phương trình (2) trở thành t 2 + 2t − 3 = −m (3) với t ≥ 2 . 42

Xét hàm số f (t ) = t 2 + 2t − 3 trên [ 2; +∞ ) . Ta có bảng biến thiên:

Ta có f ′ ( t ) = 1 −

Phương trình (1) có nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm t ≥ 2 ⇔ đường thẳng y = −m cắt đồ thị hàm y = f (t ) trên [ 2; +∞ ) . Dựa vào bảng biến thiên, ta có yêu cầu bài toán thỏa mãn khi − m ≥ 5 ⇔ m ≤ −5. Vậy với mọi giá trị m ≤ −5 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 122. Chọn A 2

Ta có ( x 2 − 4 x ) − 3 ( x − 2 ) + m = 0 ⇔ x 2 ( x − 4) 2 − 3( x − 2) 2 + m = 0 (1) . 2

a − 2 = x − 4 Đặt a = x − 2 ⇒  x = a + 2 2

Khi đó (1) có dạng: ( a + 2 ) ( a − 2 ) − 3a 2 + m = 0 ⇔ a 4 − 11a 2 + 16 + m = 0 (2) 2

t = 2 + 3 2 . , f ′ (t ) = 0 ⇔ ( t − 2 ) = 3 ⇔  t = 2 − 3

Với mỗi t > 3 phương trình (1) có hai nghiệm x , vậy đề phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt ⇔ phương trình ( 2 ) có đúng 1 nghiệm t .  2m > 8 m > 4 Dựa vào BBT ta được: ⇔  . ⇔  2m = 4 + 2 3 m = 2 + 3 Câu 125. Chọn A Đặt t = x2 , t ≥ 0. Phương trình trở thành: t 2 − 3mt + m2 + 1 = 0(*). Do phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt nên pt(*) có hai nghiệm phân biệt dương. Không mất tính tổng quát giả sử pt(*) có hai nghiệm t1; t2 khi đó phương trình đã cho có 4 nghiệm là x1 = − t1 ; x2 = t1 ; x3 = − t2 ; x4 = t2 . Theo giả thiết thì:

(

)

(

)

Câu 126. Chọn D Ta có: pt đã cho ⇔ ( x 2 + 3 x + 2)( x 2 + 3x) = m (1) . 2

3 9 9  Đặt t = x 2 + 3 x , t = x 2 + 3x =  x +  − ≥ − . 2 4 4  Khi đó pt (1) ⇔ (t + 2)t = m ⇔ t 2 + 2t − m = 0 (2) . Pt (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt (2) có 2 nghiệm phân biệt t1 , t2 > −

9 4

*)Xét (2): ∆ ' = m + 1 > 0 ⇔ m > −1. Khi m>-1, (2) có 2 nghiệm phân biệt t1 = −1 − 1 + m , t2 = −1 + 1 + m (t1 < t2 ).

Pt (2) có 2 nghiệm phân biệt t1 , t2 > − f ( x ) − 1 = m ⇔ f ( x ) = m + 1 . Từ đồ thị ta thấy phương trình này có đúng 3 nghiệm khi và chỉ

m > −1  m > −1 9 9   ⇔ 9⇔ 5 ⇔ −1 < m < 4 16 t1 = −1 − 1 + m > − 4  1 + m < 4

m∈ℤ ⇒ m = 0 .

khi m + 1 = 3 ⇔ m = 2 . Câu 124. Chọn A 2 Đặt t = x 2 + 2 x + 4 = ( x + 1) + 3 ≥ 3 . 2

Phương trình ⇔ t 2 − 2 mt + 4m − 1 = 0 ⇔ 2m ( t − 2 ) = t 2 − 1 ⇔ 2m = Xét hàm số f ( t ) =

)

M = x1 + x2 + x3 + x4 + x1.x2 .x3 .x4 = − t1 + t1 + − t2 + t2 + − t1 . t1 . − t2 . t2 = t1.t 2 = m 2 + 1

(

Đặt t = a ≥ 0 khi đó (2) ⇔ t − 11t + 16 + m = 0 (*) Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm dương phân biệt 112 − 4(16 + m) > 0  ⇔ −16 < m < 14, 25 ⇔  S = 11 > 0  P = 16 + m > 0  mà m nguyên nên suy ra có 30 giá trị m thỏa mãn. Câu 123. Chọn C Đồ thị y = f ( x ) là 2

(t − 2)

t 2 −1 trên [3; + ∞ ) . t−2

t −1 ( 2) . t−2

DẠNG 5.2 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA MÃN YÊU CẦU CHO TRƯỚC Câu 127. Chọn A Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: −3 ( m − 1) < 0 ⇔ m − 1 > 0 ⇔ m > 1

Câu 128. Chọn B 43

Xét phương trình x 2 − 2 x + m − 1 = 0 (1) . Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi: ac < 0 ⇔ 1. ( m − 1) < 0 ⇔ m < 1 . Câu 129. Chọn B Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0 ⇔ ( m + 1)( m − 2) < 0 ⇔ −1 < m < 2 . Câu 130. Chọn C Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 ⇔ ( m − 2 )( m − 7 ) < 0 ⇔ 2 < m < 7 . Câu 131. Chọn A. Pt x 2 − 2mx + m 2 − 3m + 2 = 0 có 2 nghiệm trái dấu khi m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2 . Nên chon đáp án A. Câu 132. Chọn C Câu 133. Chọn D m ≠ 0  ∆′ > 0  2 Ta có mx − 2 ( m − 1) x + m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt dương ⇔  S > 0  P > 0

m ≠ 0  2 m ≠ 0 ( m − 1) − m ( m − 1) > 0 m − 1 < 0   2 m 1 − ) >0 ⇔ ( ⇔ ⇔ m < 0.  m m < 0 ∨ m > 1  m −1 m < 0 ∨ m > 1  >0  m Câu 134. Chọn C Phương trình mx 2 − 2 ( m − 2) x + m − 3 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi: m ≠ 0    2    (m − 2) − m (m − 3) > 0 m ≠ 0     2 ( m − 2) −m + 4 > 0  ⇔ ⇔ m ∈ (−∞;0) ∪ (3; 4)   >0   m ∈ (−∞;0) ∪ (2; +∞)   m     m−3   m ∈ (−∞;0) ∪ (3; +∞)  >0     m Câu 135. Chọn A

∆′ > 0  Phương trình x 2 + 2 ( m + 1) x + 9m − 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi S < 0 P > 0   m > 6   ( m + 1)2 − ( 9m − 5 ) > 0 m2 − 7 m + 6 > 0 m < 1 m > 6     . ⇔  −2 ( m + 1) < 0 ⇔  m > −1 ⇔ m > −1 ⇔  5  < m <1 9 m − 5 > 0   5 5 9 m > m >  9 9   5  Vậy m ∈  ;1 ∪ ( 6; +∞) . 9  Câu 136. Chọn A 45

Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì:   m−2 ≠ 0 m≠2   2  m − (m − 2)(m + 3) > 0  m>6   m + 3    m < −3 >0 ⇔  ⇔ m>6  m− 2    m>2 2m    >0    m>2 m− 2    m<0   . Câu 137. Chọn B Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi   m ≠ 1 m ≠ 1  1 < m < 2   2 2  m − 1 ≠ 0 2 m − m − 1 3 m − 2 > 0 ( )( )   −2m + 5m − 2 > 0  ∆ ′ > 0  2m   2m  m < 0 ⇔ ⇔ ⇔  ⇔1< m < 2.  >0 >0 S > 0  m −1  m −1  m > 1  P > 0  3m − 2  3m − 2  2 >0 >0    m < m − 1   m −1 3    m > 1

Câu 138. Chọn A. ĐK: phương trình có hai nghiệm dương phân biệt là:  ∆ / > 0 ∆ / = 9 − m + 2 > 0 m < 11  b    > 0 ⇔ S = 6 > 0 ⇔ 6 > 0 ⇔ 2 < m < 11 S = − a  P = m − 2 > 0 m > 2   c  P = > 0  a Vậy đáp án là

Câu 139. Chọn D Phương trình có hai nghiệm phân biệt và là hai số đối nhau     m + ≠ 2 0   m ≠ −2  m = −1   m m + 2 − 1 < 0 ⇔ ( )( )   −2 < m < 1 ⇔   m=0   2 m = ±1  2 ( m − 1) m    = 0  m + 2   m = 0

Câu 140. Chọn A Phương trình x 2 − 2 ( m − 2 ) x + m2 + m + 6 = 0 có hai nghiệm đối nhau ⇔ phương trình có hai

m2 + m + 6 < 0 ⇔ m ∈ ∅. nghiệm trái dấu x1 , x2 và x1 + x2 = 0 ⇔  m − 2 = 0 Câu 141. Chọn B 46

Do đó (*) tương đương với : 1 1 1 1 8 − 3 = − ⇔ + = 3 ⇔ x1 + x2 = 3x1 x2 ⇔ −2m + 2 = 9m − 6 ⇔ m = (Không thỏa mãn đk) x1 x2 x1 x2 11 Vậy không có giá trị nào của tham số m thỏa mãn đề bài. Câu 146. Chọn B 1 2  x1 + x2 = 2 ( m + 1) Ta có : ∆ ' = ( m + 1) − m2 + 2 = 2m − 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ . Theo Viét ta có :  2 2  x1 x2 = m + 2

m > 2 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆′ = m 2 − 4 > 0 ⇔  .  m < −2 Khi đó theo Vi-et ta có: x1 + x2 = −2m; x1 x2 = 4 . 2

Ta có: x12 − x1 x2 + x22 = 4 ⇔ ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 = 4 .Thế vi-et ta được: 2

4 m − 12 = 4 ⇔ m = 4 ⇔ m = ± 2 (Loại). Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 142. Chọn A Phương trình bậc hai x 2 − ( m + 2 ) x + m 2 + 1 = 0 có nghiệm x1 , x 2 ⇔ ∆ = ( m + 2 ) − 4 ( m 2 + 1) ≥ 0 ⇔ −3m2 + 4m ≥ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2

(

)

A = 2 ( x12 + x2 2 ) + 16 − 3x1 x2 = 2 ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 + 16 − 3x1 x2 2

4 . 3

= 2 ( 2 ( m + 1) ) − 4 ( m 2 + 2 ) + 16 − 3 ( m 2 + 2 ) = 4m 2 + 16m + 16 − 3 ( m 2 + 2 )

 x1 + x 2 = m + 2 2  x1 .x 2 = m + 1

= 4 ( m + 2 ) − 3 ( m2 + 2 ) = −3m2 − 6 + 2 ( m + 2 ) = −3m2 + 2m − 2 2

Áp dụng hệ thức Viet ta có: 

Xét f ( m ) = −3m2 + 2m − 2 . Với m ≥

Khi đó, P = 4 ( x 1 + x 2 ) − x1 x 2 = 4 ( m + 2 ) − ( m2 + 1) = −m2 + 4m + 7  4

 4

7 1 1  Ta có hàm số f ( m ) nghịch biến  ; +∞  Do đó MaxA = f   = − 1  2 4  2  x∈ ;+∞  2

Xét P = −m 2 + 4m + 7 ∀m ∈ 0;  . Có P′ = −2m + 4 ≥ 0 ∀m ∈ 0;   3  3 4

 4



Hàm số f ( m ) luôn đồng biến trên 0;  ⇒ max f ( m ) = f   = .  4  3 9  3 0;   3

1 , không thỏa yêu cầu đề bài. 4 Nếu m ≠ −2 , phương trình có hai nghiệm phân biệt là hai số đối nhau khi 2 ( m 2 − 1) S = x1 + x2 = 0 ⇔ = 0 ⇔ m = ±1 . m+2 Thử lại với m = 1 ta có pt 3x 2 = 0 ⇔ x = 0 ( l ) Nếu m = −2 phương trình có dạng: 12 x − 3 = 0 ⇔ x =

 x1 + x2 = −2(m + 1) t1 + t2 = −3( x1 + x2 ) = 6(m + 1) ⇒   x1 x2 = 2m + 3 t1t2 = (−3x1 ) ( −3x2 ) = 9 x1 x2 = 9 ( 2m + 3) Nên −3x1 và −3x 2 là nghiệm của phương trình t 2 − 6(m + 1) x + 9 ( 2m + 3) = 0 .

Câu 148. Chọn C Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 m ≠ 1 ( m + 2 )2 − ( m − 1)( m + 1) > 0  ⇔ ⇔ 5. m ≠ 1  m > − 4

Với m = −1 ta có pt x 2 − 2 = 0 ⇔ x = ± 2 ( n ) Câu 144. Chọn C Vì phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 = 2 x2 và từ định lí Vi-et ta suy ra:

3 = x1 + x2 = 3x2 ⇒ x2 = 1 . m1 = 1 Thay x2 = 1 vào phương trình ta được: 1 − 3 + m2 − 3m + 4 = 0 ⇔ m2 − 3m + 2 = 0 ⇔  m2 = 2 Ta có ∆ = 9 − 4m 2 + 12 m − 16 = −4m 2 + 12 m − 7 ;nên hai giá trị m1 = 1; m2 = 2 đều thỏa mãn điều kiện ∆ > 0 để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Do đó: m1 + m2 + m1m2 = 5 . Câu 145. Chọn C

 x1 + x2 = −2m + 2 +) Theo định lí Vi-et ta có:  .  x1 x2 = 3m − 2 x > 0 1 1 > 0 (*) ⇒  1 . +) Theo đề bài có : − 3 = x1 x2 .  x2 < 0 47



a 1 Vậy = ta chọn đáp án B. b 2 Câu 147. Chọn B Khi phương trình x 2 + 2(m + 1) x + 2m + 3 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2 , theo Vi-et ta có

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 95/9. Câu 143. Chọn B

+) Phương trình x 2 + 2 ( m − 1) x + 3m − 2 = 0 có hai nghiệm trái ⇔ a.c < 0 ⇔ 3m − 2 < 0 ⇔ m <

1 2

2 . 3

2 ( m + 2) m + 1 m + 3 4 . − = = 1− m −1 m −1 m −1 m −1 m − 1 = 1 m = 2  m − 1 = −1 m = 0 A ∈ ℤ ⇔  m − 1 = 4 ⇔  m = 4 m − 1 = −4 m = −3( L ) m − 1 = 2 m = 3  m − 1 = −2  m = −1 Vậy tập các giá trị nguyên m thỏa yêu cầu bài toán là: {−1; 0; 2;3; 4} Câu 149. Chọn A 2 x1 x2 + 3 2 x1 x2 + 3 2 x1 x2 + 3 Ta biến đổi: P = 2 . = = x1 + x22 + 2 ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 + 2 x1 x2 + 2 ( x1 + x2 )2 + 2 Khi đó A = x1 + x2 − x1 x2 =

Áp dụng định lý VI – ÉT: P =

2 ( m − 1) + 3

m2 + 2

2m + 1 . m2 + 2

( m 2 + 4m + 4 ) − ( m 2 + 2 ) = ( m + 2 )2 − 1 ≥ − 1 . 2m + 1 4m + 2 = = 2 2 m + 2 2 ( m + 2) 2 2 ( m2 + 2 ) 2 ( m2 + 2 ) 2

1 Vậy giá trị nhỏ nhất là Pmin = − . 2 Câu 150. Chọn D Ta có phương trình x 2 − mx + m2 − 3 = 0 ( ∗) .

Yêu cầu bài toán ⇔ phương trình ( ∗ ) có hai nghiệm dương x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 = 4 .

∆ ≥ 0 S = x1 + x2 = m  +) Phương trình có hai nghiệm dương ⇔  P > 0 ( ∗) với  . 2  P = x1.x2 = m − 3 S > 0  −2 ≤ m ≤ 2 2 −3m + 12 ≥ 0    m < − 3 ⇔  ⇔ 3 < m ≤ 2 ( a) . ( ∗) ⇔ m 2 − 3 > 0   m > 3 m > 0  m > 0  +) x12 + x22 = 4 ⇔ S 2 − 2 P = 4 ⇔ m 2 − 2 ( m 2 − 3) = 4 ⇔ m = ± 2 (loại vì so với điều kiện ( a ) ). Vậy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán.

TOÁN 10

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

0D3-3

PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN DẠNG 1.1 BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 1.

DẠNG 1.2 XÁC ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN................................................... 3

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào? y

DẠNG 2. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN .......................................................... 4

DẠNG 2.1 KHÔNG CHỨA THAM SỐ ...................................................................................................................... 4

-2

DẠNG 2.2 CHỨA THAM SỐ ..................................................................................................................................... 5 DẠNG 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN ......................................................................................... 8 DẠNG 3.1 KHÔNG CHỨA THAM SỐ ...................................................................................................................... 8 DẠNG 3.2 CHỨA THAM SỐ ................................................................................................................................... 10 DẠNG 4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ....................................................................................................... 11

A. x − y – 2 = 0 . Câu 2.

B. x + y + 2 = 0 .

C. 2 x + y + 2 = 0 .

D. 2 x − y – 2 = 0 .

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào? y

DẠNG 4.1 KHÔNG CHỨA THAM SỐ .................................................................................................................... 11

DẠNG 4.2 CHỨA THAM SỐ ................................................................................................................................... 12 DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ .................................................................................................................................. 12 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 15

-2

A. 3 x − 2 y + 6 = 0 .

DẠNG 1.1 BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN........................................ 15

DẠNG 1. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ............................................................... 15

B. 3 x + 2 y + 6 = 0 .

C. −3 x − 2 y + 6 = 0 .

D. 3 x − 2 y + 3 = 0 .

DẠNG 1.2 XÁC ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN................................................. 15 DẠNG 2. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ........................................................ 16

Câu 3.

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào? y

DẠNG 2.1 KHÔNG CHỨA THAM SỐ .................................................................................................................... 16 DẠNG 2.2 CHỨA THAM SỐ ................................................................................................................................... 18 0 -1

DẠNG 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN ....................................................................................... 25

DẠNG 3.1 KHÔNG CHỨA THAM SỐ .................................................................................................................... 25 DẠNG 3.2 CHỨA THAM SỐ ................................................................................................................................... 28 DẠNG 4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ....................................................................................................... 29 DẠNG 4.1 KHÔNG CHỨA THAM SỐ .................................................................................................................... 29

A. x − 2 y – 2 = 0 . Câu 4.

B. x + 2 y − 2 = 0 .

C. 2 x + y − 2 = 0 .

D. 2 x − y – 2 = 0 .

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

DẠNG 4.2 CHỨA THAM SỐ ................................................................................................................................... 32

DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ .................................................................................................................................. 35 2 1 01 -1

A. 3 x + 2 y + 7 = 0 . 1

B. 3 x + 2 y − 7 = 0 . 2

C. −3 x + 2 y − 7 = 0 .

D. 3 x − 2 y − 7 = 0 .

Câu 5.

Câu 13. Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình x + y = −2 ? A. ( −1; − 1) . B. ( −2;0 ) . C. ( − 3;1) . D. ( 0; 2 ) .

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào? y

Câu 14. Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình

-2 0 -1

A. ( − 1;1) .

 1 C.  0;  .  4

B. (1;1) .

-3

A. x + 2 y = 4 . Câu 6.

B. x + 2 y = −4 .

C. − x + 2 y = 4 .

D. x − 2 y = 4 .

Cho các hình sau: y

y x

1 O

-1

Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Trong các hình trên, hình nào biểu diễn tập nghiệm của phương trình 4 x − 2 y − 3 = 0 ? A. Hình 1. B. Hình 3. C. Hình 2. D. Hình 4. DẠNG 1.2 XÁC ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

B. ( x ; y ) = (1; − 2 ) .

C. ( x ; y ) = ( 3; − 2 ) .

Cặp số nào sau đây là một nghiệm của phương trình 3x − 2 y − 6 = 0 ?  3 A. 1;  . B. ( −2; − 6 ) . C. ( 3; − 2 ) .  2

D. ( −1 − x0 ;1 + 2 x0 ) .

Câu 16. Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình x − 2 y + 3 = 0 ? A. ( 2 a − 3; a ) . B. ( 2a − 2; a + 1) . C. ( −5 − 2a; a − 1) .

D. ( −1 − 2a;1 + a ) .

x y 5 Câu 17. Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình − + = 0 ? 2 3 6 A. ( 2b + 1;3b − 1) . B. ( 2b − 1;3b + 1) . C. ( 2b − 1; − 3b + 1) .

D. ( −2b − 1;3b − 1) .

Câu 18. Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình 3x + y − 4 = 0 ? A. ( t ; 4 − 3t ) . B. ( t + 1;1 − 3t ) . C. ( −t ; − 4 + 3t ) . D. ( 2t ; 4 − 6t ) . DẠNG 2. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN DẠNG 2.1 KHÔNG CHỨA THAM SỐ

Câu 19.

D. ( x ; y ) = (1; 2 ) . Câu 20. D. ( 2; 6 ) .

Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình −2 x + 5 y − 3 = 0 ?  5  −3  A.  0;  . B. (1;1) . C.  ;0  . D. ( 6; 3) .  3  2 

Câu 10. Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình x + 2 y − 3 = 0 ?  −3  A.  0;  . B. (1;1) . C. ( 5;1) .  2  Câu 11. Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình A. ( 0;3) .

B. ( 2;3) .

x y − −1 = 0 ? 2 3 C. ( 2;0 ) .

Câu 12. Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình −4 x + 5 y = −2 ?  −1 1  1 1  −1 −1  A.  ;  . B.  ;  . C.  ;  .  4 5  4 5  4 5  3

D. ( 3; − 3) .

x − 2 y = 0 (HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Hệ phương trình  có nghiệm là 2 x + y = 5 x = 2 x = 1  x = −2 x = 0 A.  . B.  . C.  . D.  . y =1 y = 2  y = −1 y = 0 5x − 4 y = 3 Hệ phương trình  có nghiệm là 7 x − 9 y = 8

 5 19  ; .  17 17 

A.  Câu 21.

Câu 22.

D. ( −2; − 3 ) . Câu 23.

 1 −1  D.  ;  . 4 5 

 −1  D.  ; 0  .  3 

Câu 15. Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình 2 x + y − 1 = 0 ? A. ( x0 ;1 − 2 x0 ) . B. ( x0 + 1; − 2 x0 ) . C. ( −2 − x0 ; 2 x0 + 3 ) .

Cặp số ( x ; y ) nào dưới đây là nghiệm của phương trình 2 x − y − 4 = 0 ? A. ( x ; y ) = ( 2;1) .

−3x 1 + 2y = ? 2 2

 5  7

B.  − ; −

19  . 17 

 5 19  ;−  .  17 17 

C.  −

 5 19  ;−  .  17 17 

D. 

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Nghiệm của hệ phương trình  3x − 4 y = 2 là   −5 x + 3 y = 4 B. (2; −2) . C. (−2; −2) . D. (2; 2) . A. (−2; 2) . 2 x − y + 3 = 0 Tìm nghiệm của hệ phương trình  . − x + 4 y = 2  10 1   10 1  B. ( x; y ) = ( 2;1) . C. ( x; y ) =  − ;  . D. ( x; y ) = ( −2; −1) . A. ( x; y ) =  ;  .  7 7  7 7 2 x − y + 3 = 0 (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019)Tìm nghiệm của hệ phương trình  . − x + 4 y = 2

 10 1  A. ( x; y ) =  ;  .  7 7

Câu 24.

Câu 25.

Câu 26.

 10 1  C. ( x; y ) =  − ;  . D. ( x; y ) = ( −2; −1) .  7 7

B. ( x; y ) = ( 2;1) .

2 x + 3 y = 5 Giải hệ phương trình   4 x − 6 y = −2 A. ( x; y ) = (1; 2 ) . B. ( x; y ) = ( 2;1) .

C. ( x; y ) = (1;1) .

3x − 5 y = 2 Nghiệm của hệ phương trình  là 4 x + 2 y = 7  1   3 1 1 3 B.  − ; −  . C.  ;  . A.  − ; 2  .  3   2 2 2 2 x + y − 3 = 0 là Nghiệm của hệ phương trình:  2 x − y − 3 = 0 A. ( 2;1) . B. (1; 2 ) . C. ( −2; −1) .

D. ( x; y ) = ( −1; −1) . Câu 33. 3 1 D.  ;  . 2 2

D. ( −1; −2 ) .

2 3  4 x + 3 y = 16 Câu 27. Gọi ( x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình:  . Tính 2 x02 + y03  5 x − 3 y = 11  2 5 A. 8 B. 15 C. 3503 D. 3439

D. x = −4; y = 3.

x 2 x + y = 7 Câu 29. Gọi ( x0 ; y0 ) là cặp nghiệm của hệ:  . Tính 0 . x y 3 − 2 = 7 y0  x0 −3 x0 x0 1 = = 3. = . A. . B. C. y0 y0 y0 3 2

x D. 0 = 1 . y0

Câu 31.

A. ( x; y ) = ( 3;11) .

B. ( x; y ) = ( −3;1) .

C. ( x; y ) = (13;1) .

( m + 1) x + y = 2m + 2 Cho hệ phương trình  . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m để hệ  x + ( m + 1) y = m + 2 phương trình có nghiệm nguyên duy nhất. Tổng các phần tử của S là A. −4 . B. −2 . C. 0 . D. 2 .

 mx + y = m Câu 34. cho hệ phương trình  , m là tham số. Hệ có nghiệm duy nhất khi  x + my = m A. m ≠ 1. B. m ≠ −1. C. m ≠ ±1. D. m ≠ 0. 3x − my = 1 Câu 35. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm:   −mx + 3 y = m − 4 A. m ≠ 3 hay m ≠ −3. B. m ≠ 3 và m ≠ −3. C. m ≠ 3. D. m ≠ −3.

Câu 36. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau cắtnhau

( d1 ) : ( m 2 –1) x – y + 2m + 5 = 0 và ( d2 ) : 3x – y + 1 = 0

2 . 15

D. ( x; y ) = ( 3;1) .

B. m = 2.

C. m = 2 hay m = −2. D. m ≠ ±2.

2 x − y = 1 Câu 37. Cho hệ phương trình  , m là tham số. Hệ có nghiệm duy nhất khi mx + y = m + 1 A. m = 2. B. m = −2. C. m ≠ −2 D. m ≠ ±2. x + 2 y = 3 Câu 38. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình  có nghiệm  mx + y = 1 − m 1 1 1 A. m < . B. m = . C. m ≠ . 2 2 2

Câu 39.

1  4 x − 2 + y = 5  (THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Nghiệm của hệ phương trình  là:  5 − 2 =3  x − 2 y

DẠNG 2.2 CHỨA THAM SỐ

2 x + 3 y + 4 = 0  Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình 3 x + y − 1 = 0 có duy nhất một nghiệm  2mx + 5 y − m = 0 10 10 A. m = 10 . B. m = −10 . C. m = − . D. m = . 3 3

A. m = −2.

 x − 1 + y = 0 Câu 28. Hệ phương trình:  có nghiệm là? 2 x − y = 5 A. x = −3; y = 2. B. x = 2; y = −1. C. x = 4; y = −3.

6 5 x + y = 3  Câu 30. Biết hệ phương trình  có 1 nghiệm ( x; y ) . Hiệu y − x là  9 − 10 = 1  x y 2 A. −2. B. − . C. 2. 15

Câu 32.

mx − y = 2m vô nghiệm khi giá trị m bằng Hệ phương trình  4 x − my = m + 6 A. m = 2 . B. m = −2 . C. m = 1.

1 D. m > . 2

D. m = −1 .

x + 3 y = m  Câu 40. Gọi m0 là giá trị của m để hệ phương trình  2 có vô số nghiệm. Khi đó: mx + y = m − 9 1   1 1   1  A. m0 ∈  −1; −  . B. m0 ∈  0;  . C. m0 ∈  ; 2  . D. m0 ∈  − ;0  . 2   2 2   2   mx + y = m Câu 41. cho hệ phương trình  , m là tham số. Hệ vô nghiệm khi  x + my = m A. m = 0. B. m = 1. C. m = −1.

D. với mọi m ∈ ℝ.

mx + ( m + 4 ) y = 2 Câu 42. Cho hệ phương trình:  . Để hệ này vô nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số m ( x + y ) = 1 − y m là: 1 1 A. m = 0 B. m = 1 hay m = 2. C. m = −1 hay m = . D. m = − hay m = 3. 2 2  ax + y = a 2 Câu 43. Tìm a để hệ phương trình  vô nghiệm:  x + ay = 1 A. a = 1. B. a = 1 hoặc a = −1 . C. a = −1.

Câu 51.

Câu 52.

D. Không có a .



( d1 ) : ( m 2 –1) x – y + 2m + 5 = 0 và ( d2 ) : 3x – y + 1 = 0 B. m = 2.

C. m = 2 hay m = −2. D. m ≠ ±2.

 2 m2 x + 3 ( m − 1) y = 3 Câu 45. Tìm m để hệ vô số nghiệm    m x + y) − y = 2    ( 1 1 1 A. m = 2 và m = . B. m = 3 và m = . C. m ≠ 1, m ≠ 3 2 2

D. m ∈ ∅ .

 mx + 3 y = m − 1 Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ  vô số nghiệm ?  2 x + ( m − 1) y = 3 A. m = −2. B. m ≠ 3 và m ≠ −2 C. m = −2, m = 4 D. m = 3.

Câu 47.

mx − 2 y = 1 Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm 2 x + y = 2 A. m ≠ 4 . B. m ≠ −2 . C. m ≠ 2 .

D. m ≠ −4 .

mx − (m + 1) y = 3m  Câu 48. Cho hệ phương trình:  x − 2my = m + 2 . Biết hệ phương trình có nghiệm khi tham số x + 2 y = 4  m = m0 . Giá trị m0 thuộc khoảng nào sau đây? A. m0 ∈ ( 2; 4 ) . Câu 49.

C. m0 ∈ [ −1; 2].

D. m0 ∈ ( −2; −1) .

mx + y = 3 , m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham Cho hệ phương trình:   x + my = 2m + 1 số m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) với x; y là các số nguyên? A. 3 .

Câu 50.

B. m0 ∈ ( −4; −2].

B. 1.

C. 2 .

D. 1.

mx − ( m + 1) y = 3m  Cho hệ phương trình:  x − 2my = m + 2 . Biết hệ phương trình có nghiệm khi tham số m = m0 x + 2 y = 4  .Giá trị m0 thuộc khoảng nào sau đây? A. m0 ∈ ( 2;4 ) .

B. m0 ∈ [ −4; − 2] .

C. m0 ∈ [ −1; 2 ] .

mx + y = 3 Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình  có nghiệm duy nhất ( x0 ; y0 )  x + my = 2m + 1 thỏa mãn x02 + y02 = 10 . 4 A. m ∈ 0; − 

Câu 44. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau song song với nhau A. m = −2.

(m + 1) x − y = m + 2 có nghiệm là Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hệ phương trình  mx − (m + 1) y = −2 (2; y0 ) . Tổng các phần tử của tập S bằng A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

D. m0 ∈ ( −2; − 1) .

Câu 53.

3

B. m =

4 3

C. m = 0

4  D. m ∈  ;0  3 

2 x − y = 2 − a . Gọi a0 là giá trị của tham số a để tổng bình phương hai Cho hệ phương trình:  x + 2 y = a + 1 nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. a0 ∈ ( −10; 0 ) B. ( 5;8 ) C. a0 ∈ ( 0;5 ) D. [8;12 ]

 mx + y = 3 Câu 54. Cho hệ phương trình:  . Các giá trị thích hợp của tham số m để hệ phương trình  x + my = 2m + 1 có nghiệm nguyên là: A. m = 0, m = –2. B. m = 1, m = 2, m = 3. C. m = 0, m = 2. D. m = 1, m = –3, m = 4. 2 x − y = 2 − a Câu 55. Cho hệ phương trình:  . Các giá trị thích hợp của tham số a để tổng bình phương x + 2 y = a +1 hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất ? 1 1 A. a = 1. B. a = −1. C. a = . D. a = − . 2 2

mx − y = 2m  Câu 56. Cho hệ phương trình:    4 x − my = m + 6

 2m + 3 m  A. m ≠ 2 và m ≠ −2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y) =  ;−   2 + m 2m + 1 B. m = 2 hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ) = (t ; 2t − 4) , t ∈ R . C. m = −2 hệ phương trình vô nghiệm. D. Cả A, B, C đều đúng. DẠNG 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN DẠNG 3.1 KHÔNG CHỨA THAM SỐ  x − y − z = −1  Câu 57. Hệ phương trình  7 y − z = 5 có nghiệm là:  2z = 4  A. (2;1;2). B. (−2; −1; −2). C. (−2; −1;2).

x + y + z = 3  Câu 58. Hệ phương trình 2 x − y + 2 z = −3 có nghiệm là:  x − 3 y − 3z = −5  8

D. (2; −1; −2).

A. (1; 3;–1)

B. (1; 3;–2)

C. (1; 2; –1)

 x + 2 y − 3z = 1  Câu 59. Hệ phương trình  x − 3 y = −1 có nghiệm là  y − 3 z = −2  A. (2;1;1). B. (-2;1;1). C. (2;-1;1).

D. (1; –3; –1)

D. (2;1;-1).

3 x + y − 3z = 1  Câu 60. Gọi ( x0 ; yo ; z0 ) là nghiệm của hệ phương trình  x − y + 2 z = 2 . Tính giá trị của biểu thức − x + 2 y + 2 z = 3  2 2 2 P = x0 + y0 + z0 . A. P = 2. B. P = 14. C. P = 3. D. P = 1. x + 2 y = 1  Câu 61. Hệ phương trình  y + 2 z = 2 có nghiệm là ( x0 ; y0 ; z 0 ) thì giá trị của biểu thức z + 2x = 3  F = 2 x0 + y0 + 3z 0 là: A. 4 B. 5 C. 2 D. 6

Câu 62. Gọi

( x; y ; z )

 −3 x + 2 y − z = −2  là nghiệm của hệ phương trình 5 x − 3 y + 2 z = 10 . Tính giá trị của biểu thức  2 x − 2 y − 3 z = −9 

M = x+ y+z. A. -1 Câu 63. Gọi

( x0 ; yo ; z0 )

P = x0 y0 z0 . A. P = −40.

B. 35

D. 21

 x + y + z = 11  là nghiệm của hệ phương trình 2 x − y + z = 5 . Tính giá trị của biểu thức 3x + 2 y + z = 24  B. P = 40.

 2 2 x − 1 +   Câu 64. Nghiệm của hệ phương trình  2 x − 1 −   4 2 x − 1 +  A. (1;0;0). B. (1;1;1).

Câu 65.

C. 15

C. P = 1200.

D. P = −1200.

1 − 2 z +1 = 3 x− y

D. (1;0; −1).

2 x − y + z = −3  có 1 nghiệm là Hệ phương trình  x + y + z = 3  2 x − 2 y + z = −2  A. ( x; y; z ) = ( −8; −1;12). B. ( x; y; z ) = (8,1, −12). C. ( x; y; z ) = (−4, −1,8). D. ( x; y; z ) = (−4, −1, −6).

Tính giá trị biểu thức

3 D. T = − . 2

x + y + z = 3  Gọi ( x0 ; y0 ; z0 ) là nghiệm của hệ phương trình 2 x − y + z = −3 . Tính x0 + 2 y0 + z0 .  2 x − 2 y + z = −2  A. 0 .

Câu 68.

( x0 ; y0 ; z0 ) .

B. −4 .

C. 2 .

D. 4 .

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho ba số thực x, y,z thỏa mãn đồng thời các biểu thức x + 2 y + 3z − 10 = 0;3x + y + 2 z − 13 = 0;2 x + 3 y + z − 13 = 0 . Tính T = 2 ( x + y + z ) A. T=12.

B. -12.

C. T=-6.

D. T=6.

Câu 69.

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Bộ ( x; y; z ) = ( 2; −1;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây? 2 x − y − z = 1  x + 3 y − 2 z = −3 3x − y − z = 1  x + y + z = −2     A. 2 x − y + z = 6 . B. 2 x + 6 y − 4 z = −6 . C.  x + y + z = 2 . D.  2 x − y + z = 6 . x + 2 y = 5 x − y − z = 0 5 x − 2 y − 3 z = 9 10 x − 4 y − z = 2     DẠNG 3.2 CHỨA THAM SỐ

mx + ny + pz = 6  Cho ( x ; y ; z ) là nghiệm của hệ phương trình 2mx − 3ny + pz = −1  mx + 7ny − 10 pz = −15 (trong đó m ; n ; p là các tham số). Tính tổng S = m + n + p biết hệ có nghiệm ( x ; y ; z ) = (1; 2;3) .

Câu 70.

B. 1.

C. 2 .

D. 3 .

 x + y + ( m + 1) z = 2 (1)  Câu 71. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ 3 x + 4 y + 2 z = m + 1 (2) vô số nghiệm? 2 x + 3 y − z = 1 (3)  A. m = 2 . B. m = −3 C. m = 1 D. m ≠ 2

+ z + 1 = −1 là:

C. (1;0;1).

Câu 67.

A. 0 .

3 − 4 z +1 = 1 x− y x− y

1  x + 2 y + 2z = 2  Câu 66. Giải hệ phương trình − y + z = −3 ta được nghiệm 10 z = −5   T = x0 − y0 + z0 . 11 13 3 A. T = . B. T = − . C. T = . 2 2 2

(1)  x + y − z =1  Câu 72. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ 2 x + 3 y + mz = 3 (2) vô nghiệm?  x + my + 3z = 2 (3)  A. m = 2 . B. m = −3 C. m = 1 D. m ≠ 2, m ≠ −3  mx + y = 1  Câu 73. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ  my + z = 1 có nghiệm duy nhất?  x + mz = 1  A. m ≠ 1. B. m = 1 C. m = −1 D. m ≠ −1 10

DẠNG 4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO DẠNG 4.1 KHÔNG CHỨA THAM SỐ   x 2 + xy + y 2 = 3 Câu 74. Số nghiệm của hệ phương trình  là   x + xy + y = −1  A. 3 . B. 1 . C. 2 .

Câu 75.

Câu 77.

B. 0 .

C. −1 .

Câu 80.

Câu 81.

D. 4 .

 y + 2 x = 4 xy y Biết hệ phương trình  có nghiệm ( x0 ; y0 ) với x0 ≠ 0 . Tỉ số 0 bằng x0 2 y − x = 3xy 1 A. 2 . B. . C. −1. D. 1. 2

(1) . ( 2) D. 5 .

3  x − 2019 y = x Hệ phương trình  3 có số nghiệm là:  y − 2019 x = y A. 4 . B. 6 . C. 1.

D. 3 .

x + y = 1 Hệ phương trình:  2 có số nghiệm là: x − 2x + 2 y + 2 = 0 A. 1 B. 2 C. 4

D. 0 .

2  x − xy = 2 có nghiệm là ( x0 ; y0 ) thỏa mãn x0 > 1 . Tổng S = x0 + y0 Hệ phương trình  2 2  2 x + xy − y = 9 bằng B. 5 . C. 1. D. 3 . A. 4 .

 x + y − xy = 3 (HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Giả sử ( x; y ) là nghiệm của hệ   x + 1 + y + 1 = 4

Câu 82. Tính x − 2 y A. 2 .

B. −3 .

C. 1.

 2 x 2 − y 2 = 1 Câu 83. Hệ phương trình  2 có bao nhiêu nghiệm thực? 2  x + 5 y = 2 A. 1. B. 2. C. 8. 11

Câu 85.

D. 1.

 x + y + x − y = 4 Gọi ( x; y ) là nghiệm dương của hệ phương trình  . Tổng x + y bằng. 2 2  x + y = 128 B. 8 . C. 16 . D. 0 . A. 12 .

 x 2 − y = y 2 − x Câu 78. Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực:  2  x − 6 y = 7 A. 2 . B. 3 . C. 4 .

Câu 79.

Câu 84.

x + y − 3 = 0 (THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho hệ phương trình  có  xy − 2 x + 2 = 0 nghiệm là ( x1; y1 ) và ( x2 ; y2 ) . Tính x1 + x2 .

A. 2 . Câu 76.

DẠNG 4.2 CHỨA THAM SỐ

Câu 86.

Câu 87.

x + y = 2 Cho hệ phương trình  2 , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ 2 2  x y + xy = 2m trên có nghiệm. A. m ∈ [ −1;1] . B. m ∈ [1; + ∞ ) . C. m ∈ [ −1; 2] . D. m ∈ ( −∞; − 1] . (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Tìm a để biểu thức F = xy + 2( x + y ) đạt giá trị nhỏ nhất, biết x + y = a ( x; y ) là nghiệm của hệ phương trình  2 . 2 2 x + y = 6 − a A. a = 0 . B. a = 3 . C. a = −1 . D. a = −2 .

 x 2 + y 2 − xy + x + y = 8 Gọi ( x1; y1 ) ; ( x2 ; y2 ) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình  . Tính  xy + 3( x + y ) = 1 x1 − x2 . A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. 6 x 4 − ( x3 − x) y 2 − ( y + 12) x 2 = −6 . Biết hệ có 2 nghiệm là:  4 2 2 2 2 5 x − ( x − 1) . y − 11x = −5

Cho hệ phương trình

(x1; y1 ) , (x 2 ; y 2 ). Đặt S = y1 + y2 . Khi đó S bằng: A. 0 B. 1 C. 2

Câu 88.

Câu 89.

Câu 90.

x + y = 2 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:  2 có nghiệm: 2 2  x y + xy = 4m − 2m  1  1   1 A.  −1;  . B.  − ;1 . C. 0;  . D. [1; +∞ )  2  2   2  x + xy + y = m + 2 Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hệ phương trình  2 có nghiệm duy nhất ? 2  x y + xy = m + 1 A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 .  x3 − y 3 − x 2 y + xy 2 + x − y = 0 (1) Cho hệ phương trình  . Gọi nghiệm dương của hệ 2 2 (2)  2 x + y + 9 + 2 y − x + 1 = x + 4 a c a c  phương trình là  ;  trong đó là các phân số tối giản. Khi đó biểu thức ; b d b d 

P = ( a − b) A. 0 . Câu 91.

D. 3

2018

+ (c − d )

2019

bằng

B. 2 .

C. 1.

D. −1.

D. −2 .

(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho các số thực x, y , z x − y + z = 3 x+ y−2 thỏa mãn điều kiện  2 . Hỏi biểu thức P = có thể nhận bao nhiêu giá trị 2 2 z+2 x y z + + = 5  nguyên? A. 3 . B. 1. C. 4 . D. 2 .

D. 4.

DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ 12

Câu 92. Hai vật chuyển động trên một đường tròn có đường kính 20m, xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau.Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau.Tính vận tốc của mỗi vật. B. 3π ( m / s); π (m / s). A. 3π ( m / s);2π (m / s). C. 3π ( m / s); 4π (m / s).

D. 3π ( m / s);

π 2

(m / s).

Câu 93. Một công ty có 85 xe chở khách gồm 2 loại, xe chở được 4 khách và xe chở được 7 khách. Dùng tất cả số xe đó, tối đa công ty chở một lần được 445 khách. Hỏi công ty đó có mấy xe mỗi loại? A. 35 xe 4 chỗ và 50 xe 7 chỗ. B. 55 xe 4 chỗ và 30 xe 7 chỗ. C. 30 xe 4 chỗ và 55 xe 7 chỗ. D. 50 xe 4 chỗ và 35 xe 7 chỗ. Câu 94. Trong một kỳ thi, hai trường A,B có tổng cộng 350 học sinh dự thi. Kết quả là hai trường có tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% học sinh dự thi trúng tuyển. Số học sinh dự thi của trường A và B lần lượt là A. 200;100. B. 200;150. C. 150;100. D. 150;120. Câu 95. Có hai loại quặng sắt. quặng loại A chứa 60% sắt, quặng loại B chứa 50% sắt. người ta trộn một 8 sắt. Nếu lấy tăng hơn lượng quặng loại A với một lượng quặng loại B thì được hỗn hợp chứa 15 lúc đầu là 10 tấn quặng loại A và lấy giảm hơn lúc đầu là 10 tấn quặng loại B thì được hỗn hợp 17 quặng chứa sắt. Khối lượng (tấn) quặngA và quặng B ban đầu lần lượt là 30 A. 10;15. B. 10;20. C. 10;14. D. 10;12. Câu 96. Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích) và một dung dịch khác chứa 55% axit nitơric.Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại 2 để được 100lít dung dịch 50% axit nitơric? A. 20 lít dung dịch loại 1 và 80 lít dung dịch loại 2 B. 80 lít dung dịch loại 1 và 20 lít dung dịch loại 2. C. 30 lít dung dịch loại 1 và 70 lít dung dịch loại 2. D. 70 lít dung dịch loại 1 và 30 lít dung dịch loại 2. Câu 97. Tìm vận tốc và chiều dài của 1 đoàn tàu hoả biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây. Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây. A. Vận tốc của tàu là 21m/s và chiều dài đoàn tàu là 147m. B. Vận tốc của tàu là 23 m/s và chiều dài đoàn tàu là 145 m. C. Vận tốc của tàu là 21 m/s và chiều dài đoàn tàu là 145 m. D. Vận tốc của tàu là 23 m/s và chiều dài đoàn tàu là 147 m. Câu 98. Có ba lớp học sinh 10 A, 10 B , 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh? A. 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em B. 10A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có40 em. C. 10A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em. D. 10A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em. Câu 99. Một khách sạn có 102 phòng gồm 3 loại: phòng 3 người, phòng 2 người và phòng 1 người. Nếu đầy khách tất cả các phòng thì khách sạn đón được 211 khách. Còn nếu cải tạo lại các phòng bằng cách: sửa các phòng 2 người thành 3 người, còn phòng 3 người sửa lại thành phòng 2 người và giữ nguyên các phòng 1 người thì tối đa một lần có thể đón đến 224 khách. 13

Vậy số phòng từng loại hiện nay của khách sạn là A. 25 phòng 3 người, 32 phòng 2 người, 45 phòng 1 người. B. 32 phòng 3 người, 45 phòng 2 người, 25 phòng 1 người. C. 25 phòng 3 người, 45 phòng 2 người, 32 phòng 1 người. D. 45 phòng 3 người, 32 phòng 2 người, 25 phòng 1 người.

Câu 100. Ba cô Lan, Hương và Thúy cùng thêu một loại áo giống nhau. Số áo của Lan thêu trong 1 giờ ít hơn tổng số áo của Hương và Thúy thêu trong 1 giờ là 5 áo. Tổng số áo của Lan thêu trong 4 giờ và Hương thêu trong 3 giờ nhiều hơn số áo của Thúy thêu trong 5 giờ là 30 áo. Số áo của Lan thêu trong 2 giờ cộng với số áo của Hương thêu trong 5 giờ và số áo của Thúy thêu trong 3 giờ tất cả được 76 áo. Hỏi trong 1 giờ mỗi cô thêu được mấy áo? A. Lan thêu được 9 áo, Hương thêu được 8 áo, Thúy thêu được 6 áo B. Lan thêu được 8 áo, Hương thêu được được 9 áo, Thúy thêu được 6 áo C. Lan thêu được 6 áo, Hương thêu được được 8 áo, Thúy thêu được 9 áo D. Lan thêu được 6 áo, Hương thêu được được 9 áo, Thúy thêu được 8 áo. Câu 101. Một số có ba chữ số. Nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 17 và dư 7. Nếu đổi hai chữ số hàng chục và hàng trăm cho nhau thì được số mới mà chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 54 và dư 8. Nếu đổi hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số mới này cho nhau thì được một số mà chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 15 và dư là 14. Vậy số đã cho ban đầu là: A. 172. B. 296. C. 124. D. 587. Câu 102. Có 12 người ăn 12 cái bánh. Mỗi người đàn ông ăn 2 chiếc, mỗi người đàn bà ăn 1/2 chiếc và mỗi em bé ăn 1/4 chiếc. Hỏi có bao nhiêu người đàn ông, đàn bà và trẻ em? A. 5 đàn ông, 1 đàn bà, 6 trẻ em. B. 5 đàn ông, 6 đàn bà, 1 trẻ em. C. 6 đàn ông, 1 đàn bà, 5 trẻ em. D. 6 đàn ông, 5 đàn bà, 1 trẻ em. Câu 103. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Một khách hàng vào cửa hàng bách hóa mua một đồng hồ treo tường, một đôi giày và một máy tính bỏ túi. Đồng hồ và đôi giày giá 420.000 đ; máy tính bỏ túi và đồng hồ giá 570.000 đ; máy tính bỏ túi và đôi giày giá 750.000 đ. Hỏi mỗi thứ giá bao nhiêu? A. Đồng hồ giá 170.000 đ, máy tính bỏ túi giá 400.000 đ và đôi giày giá 300.000 đ. B. Đồng hồ giá 120.000 đ, máy tính bỏ túi giá 400.000 đ và đôi giày giá 350.000 đ. C. Đồng hồ giá 140.000 đ, máy tính bỏ túi giá 450.000 đ và đôi giày giá 320.000 đ. D. Đồng hồ giá 120.000 đ, máy tính bỏ túi giá 450.000 đ và đôi giày giá 300.000 đ. Câu 104. Hiện nay tuổi của mẹ gấp 7 lần tuổi con. Sau 2 năm nữa tuổi của mẹ gấp 5 lần tuổi con. Hỏi mẹ sinh con lúc đó mẹ bao nhiêu tuổi? A. 26 . B. 28 . C. 24 . D. 22 . Câu 105. Một đoàn xe chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện. Đoàn xe có 57 chiếc gồm 3 loại: loại chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe chở 7,5 tấn. Nếu dùng tất cả xe loại 7,5 tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do loại xe 5 tấn bở ba chuyến và loại xe 3 tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại? A. 20 xe loại chở 3 tấn, 19 xe loại chở 5 tấn và 18 xe loại 7,5 tấn. B. 18 xe loại chở 3 tấn, 19 xe loại chở 5 tấn và 20 xe loại 7,5 tấn. C. 19 xe loại chở 3 tấn, 20 xe loại chở 5 tấn và 18 xe loại 7,5 tấn. D. 20 xe loại chở 3 tấn, 18 xe loại chở 5 tấn và 19 xe loại 7,5 tấn. Câu 106. Hai bạn Vân và Lan đi mua trái cây.Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17800 đồng. Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18000 đồng. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt và mỗi quả cam là bao nhiêu? A. Quýt 1400 đồng; cam 800 đồng. B. Quýt 700 đồng; cam 200 đồng. C. Quýt 800 đồng; cam 1400 đồng. D. Quýt 600 đồng; cam 800 đồng.

Câu 107. Cho hai người A và B xuất phát cùng một lúc ngược chiều từ thành phố M và N. Khi họ gặp nhau, người ta nhận thấy A đã đi nhiều hơn B là 6km. Nếu mỗi người tiếp tục đi theo hướng cũ với cùng vận tốc ban đầu thì A sẽ đến N sau 4,5 giờ, còn B đến M sau 8 giờ tính từ thời điểm họ gặp nhau. Gọi v A , vB lần lượt là vận tốc của người A và người B . Tính tổng v A + vB . A. 8. B. 7. C. 10. D. 9.

Câu 9.

Lời giải Chọn A. Lấy các cặp số lần lượt thay vào phương trình, cặp số nào không thỏa mãn thì đó không phải là nghiệm của phương trình.

Câu 10. Lời giải Chọn B.

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 11.

DẠNG 1. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN DẠNG 1.1 BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 1.

Lời giải Chọn C.

Câu 12. Lời giải

Lời giải Chọn D. Gải sử đường thẳng có phương trình y = ax + b . Đường thẳng đi qua 2 điểm (1;0), (0; −2) nên tọa a + b = 0 a = 2 độ 2 điểm này thỏa mãn phương trình. Từ đó ta có hệ  ⇔ b = −2  b = −2 Vậy đường thẳng có phương trình: y = 2 x − 2 ⇔ 2 x − y − 2 = 0 Ta chọn đáp án D. Câu 2.

Chọn D.

Câu 13. Lời giải Chọn D.

Câu 14. Lời giải Chọn A.

Câu 15. Lời giải

Lời giải Chọn A. Gải sử đường thẳng có phương trình y = ax + b . Đường thẳng đi qua 2 điểm (−2; 0), (0;3) nên tọa 3  −2a + b = 0 a = độ 2 điểm này thỏa mãn phương trình. Từ đó ta có hệ  ⇔ 2 b = 3 b = 3 3 Vậy đường thẳng có phương trình: y = x + 3 ⇔ 3x − 2 y + 6 = 0 2 Ta chọn đáp án A. Câu 3. Lời giải Chọn A.

Câu 4. Lời giải Chọn B.

Câu 5. Lời giải Chọn B.

Câu 6.

Câu 7.

Lời giải Chọn C. DẠNG 1.2 XÁC ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Chọn B Dễ thấy 2.1 − ( −2 ) − 4 = 0 nên cặp số ( x ; y ) = (1; − 2 ) là nghiệm của phương trình 2 x − y − 4 = 0 .

Câu 8. Lời giải Chọn B. Lấy các cặp số lần lượt thay vào phương trình, cặp số nào thỏa mãn thì đó là nghiệm của phương trình. 15

Chọn A.

Câu 16. Lời giải Chọn A.

Câu 17. Lời giải Chọn B.

Câu 18. Lời giải Chọn C. DẠNG 2. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN DẠNG 2.1 KHÔNG CHỨA THAM SỐ Câu 19. Chọn A x − 2 y = 0 x = 2 x = 2 y x = 2 y x = 2 y ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ .  2 x + y = 5 2.2 y + y = 5 5 y = 5 y =1 y =1 Nhận xét: Loại bài này bấm máy tính bỏ túi cho nhanh. Câu 20. Chọn C 5  5   x = − 17  x = − 17 45 x − 36 y = 27 17 x = −5 5 x − 4 y = 3 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔      . 7 x − 9 y = 8 28 x − 36 y = 32 28x − 36 y = 32  y = − 19  28.  − 5  − 36 y = 32    17  17 Câu 21. Lờigiải Chọn C  3x − 4y = 2  x = −2 Ta có  ⇔ .  −5x + 3y = 4  y = −2 Câu 22. Chọn C 16

−10   x = 7 2 x − y + 3 = 0  2 x − y = −3 . Ta có:  ⇔ ⇔ − x + 4 y = 2 − x + 4 y = 2 y = 1  7  10 1  Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) =  − ;   7 7

Câu 23.

1   a = 3 6a + 5b = 3 12a + 10b = 6 21a = 7 .Suy ra ⇔ ⇔ ⇔  9a − 10b = 1 9a − 10b = 1 9a − 10b = 1 b = 1  5 Vậy y − x = 2 . Câu 31. Chọn D

x ≠ 2 Điều kiện  . y ≠ 0

Chọn C −10   x = 7 2 x − y + 3 = 0  2 x − y = −3 Ta có:  ⇔ ⇔ . − x + 4 y = 2 − x + 4 y = 2 y = 1  7

 10 1  Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) =  − ;   7 7 Câu 24. Chọn B 2 x + 3 y = 5 x = 1 ⇔ .  4 x − 6 y = − 2  y =1

Câu 25.

Chọn D

1  y=  26 y = 13 3x − 5 y = 2 12 x − 20 y = 8   2 ⇔ ⇔ ⇔ .    2 + 5y  3 4 x + 2 y = 7 12 x + 6 y = 21  x = x = 3   2 Lưu ý: Bài này có thể dùng Casio để tìm nghiệm. Câu 26. Chọn A x + y − 3 = 0 x + y − 3 = 0 x = 2 . ⇔ ⇔  −6= 0 2 x − y − 3 = 0 3 x y =1

1  4  1 x − 2 + y = 5 x − 2 =1 x = 3   ⇔ ⇔ Ta có:  (TM ) . y =1  5 − 2 =3 1 =1  x − 2 y  y Vậy nghiệm HPT là ( x; y ) = ( 3;1) . DẠNG 2.2 CHỨA THAM SỐ Câu 32. Chọn A 2 x + 3 y + 4 = 0 x = 1   ⇔ y = 2 ⇒ m = 10 . 3 x + y − 1 = 0   2mx + 5 y − m = 0 2m.2 + 5.2 − m = 0 Vậy m = 10 . Câu 33. Chọn A Ta có m +1 1 D= = m 2 + 2m = m ( m + 2 ) . 1 m +1 Dx = Dy =

Câu 27. Lời giải

x = 8 . Do đó đáp án đúng làC.  y = 15

2m + 2

m+2

m +1

m + 1 2m + 2 1

m+2

= 2m 2 + 3m = m ( 2m + 3) . = m 2 + m = m ( m + 1) .

m ≠ 0 Đề hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì D ≠ 0 ⇔ m ( m + 2 ) ≠ 0 ⇔  .  m ≠ −2 Khi đó hệ phương trình có nghiệm Dx 2m + 3 1   x = D = m + 2 = 2 − m + 2 .   y = Dy = m + 1 = 1 − 1 D m+2 m+2  m + 2 = 1  m = −1 1 ⇔ . Để hệ phương trình có nghiệm nguyên thì nguyên ⇔  m+2  m + 2 = −1  m = −3

Đáp án sai : Giải hệ PT ta được 

Câu 28. Chọn B. Từ phương trình 2, rút y theo x, rồi thay vào phương trình 1. x −1 = 5 − 2x Ta có : x − 1 + 2 x − 5 = 0 ⇔ 5 − 2 x ≥ 0 ∩  ⇔ x = 2 ⇒ y = −1 . Chọn B.  x − 1 = −5 + 2 x Câu 29. Chọn B 2 x + y = 7 x = 3 ⇔  3 x − 2 y = 7 y =1 Câu 30. Chọn C Điều kiện x ≠ 0, y ≠ 0 . 1 1 Đặt a = , y = ta có hệ phương trình x y

1 1  x = 3 x = 3 1 1 ⇔  y = 5  =  y 5

Do đó S = {−1; −3} . Vậy Tổng các phần tử của S là −4 .

Câu 34. Lời giải Chọn C. Cách 1: Ta có: D = m2 − 1 . Hệ có nghiệm duy nhất khi D ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1. 18

Cách 2:

D = 1 − 2m.

m 1 Hệ có nghiệm duy nhất khi ≠ ⇔ m ≠ ±1. 1 m Câu 35. Chọn B. Cách 1: 3 −m Ta có : D = = 9 − m2 −m 3 Phương trình có đúng một nghiệm khi D ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3 . Cách 2: 3 −m Hệ có nghiệm duy nhất khi ≠ ⇔ m ≠ ±3. −m 3 Câu 36. Chọn D. Cách 1: ( m 2 − 1) x − y = −2 m − 5 Để hai đường thẳng cắt nhau thì hệ phương trình  có nghiệm duy nhất 3 x − y = −1 2

⇔ D ≠ 0 ⇔ −m + 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2. Cách 2: Ta có : Hai đường thẳng d1 và d 2 cắt nhau khi

Câu 37.

Chọn Cách 1:

Dx = m + 1; Dy = −4m + 1. 3 1 1 Xét D = 0 ⇔ m = , khi đó Dx = ≠ 0 ⇒ hệ vô nghiệm. m = − không thỏa mãn. 2 2 2 Cách 2: 1 Bấm máy tính, thử với m = hệ vô nghiệm, các giá trị khác của m hệ có nghiệm. 2

Câu 39.

Chọn B Ta có D =

m −1 4 −m

= 4 − m 2 ; Dx =

Câu 40.

m+6

= m 2 − 2m

Để hệ phương trình vô số nghiệm thì D = Dx = Dy = 0 1 3

1 Thay m = vào hệ phương trình ta có: 3 Vậy m =

1 1 1     x + 3 y = 3  x + 3 y = 3  x + 3 y = 3 ⇔ ⇔  1 x + y = 1 − 2 1 x + y = 1 x + 3y = 1 3 9 9 3  3  3 

1 hệ phương trình vô số nghiệm. 3

Câu 41. Lời giải Chọn

Hệ (2) có: D2 = −2 + m; D2 x = 3m + 2; D2 y = −3m − 2.

Khi m = −2 ⇒ Dx = −4 ≠ 0 hệ phương trình vô nghiệm Chọn B 1 3 Ta có D = = 1 − 3m . m 1

Ta có D = 0 ⇔ 1 − 3m = 0 ⇔ m =

(1) co nghiem duy nhat  (2) VN Hệ ban đầu có nghiệm duy nhất khi:  giải ta được m = 2. (1) VN  (2) co nghiem duy nhat Vậy m = 2 thì hệ có nghiệm duy nhất. Cách 2: - Thử thấy m = 2 thì hệ có nghiệm duy nhất ⇒ loại D, A phù hợp. B. - Kiểm tra thấy m = −2 thì hệ có vô số nghiệm ⇒ loại - Kiểm tra đáp án C. Ta thử lấy m tùy. VD lấy m = 1 hoặc m = 0 ,… thấy hai hệ (1) và (2) đều có nghiệm duy nhất và khác nhau, nên hệ ban đầu có 2 nghiệm ⇒ loại C. Vậy m = 2 thì hệ có nghiệm duy nhất. Câu 38. Lời giải Chọn C. Cách 1:

= −2 m 2 + m + 6 ; Dy =

Xét D = 0 ⇔ 4 − m 2 = 0 ⇔ m = ±2 Khi m = 2 ⇒ Dx = D y = 0 hệ phương trình có vô số nghiệm

m 2 − 1 −1 ≠ ⇔ m 2 ≠ 4 ⇔ m ≠ ±2. −1 3

x ≥ 0  (1)  2 x − y = 1  mx + y = m + 1 Hệ tương đương  x < 0   −2 x − y = 1 (2)   mx + y = m + 1 Tập nghiệm của hệ ban đầu là tập hợp hai tập nghiệm của hai hệ (1) và (2). Hệ (1) có: D1 = 2 + m; D1x = m; D1 y = 1.

−1

m+6 −m

C. Cách 1:

2 m − 1 = 0 ⇔ m = −1. Hệ vô nghiệm khi  2 m − m ≠ 0 Vậy m = −1 thì hệ vô nghiệm. Cách 2: m 1 m Hệ vô nghiệm khi: = ≠ ⇔ m = −1. 1 m m Vậy m = −1 thì hệ vô nghiệm. Cách 3: Dùng máy tính thử các đáp án, thấy đáp án C đúng. Vậy m = −1 thì hệ vô nghiệm.

Câu 42. Lời giải Chọn

A. Cách 1:

mx + ( m + 4 ) y = 2 Ta có: Hệ tương đương  mx + ( m + 1) y = 1 D = m ( m + 1) − m ( m + 4 ) = −3m

Dx = m − 2; Dy = −2m. Xét D = 0 ⇔ m = 0, khi đó Dx = −2 ≠ 0 ⇒ hệ vô nghiệm. Vậy m = 0 hệ vô nghiệm. Cách 2: mx + ( m + 4 ) y = 2 Ta có: Hệ trở thành  ⇒ D = m ( m + 1) − m ( m + 4 ) = −3m mx + ( m + 1) y = 1 Hệ vô nghiệm ⇒ D = 0 ⇒ m = 0 Thử lại thấy m = 0 thoả điều kiện. Vậy m = 0 hệ vô nghiệm.

Câu 43. Lời giải Chọn

C. Cách 1: D = a 2 − 1. Dx = a3 − 1; Dy = a − a 2 . Xét D = 0 ⇔ a = ±1. a = 1 khi đó Dx = Dy = 0 ⇒ hệ vô số nghiệm. a = 1 không thỏa mãn.

a = −1 khi đó Dx = −2 ≠ 0 ⇒ hệ vô nghiệm. a = −1 thỏa mãn. Vậy a = −1 thì hệ vô nghiệm. Cách 2: Bấm máy tính thử kết quả, thấy a = −1 thì hệ vô nghiệm. Câu 44. Chọn C. Cách 1: ( m 2 − 1) x − y = −2 m − 5 Để hai đường thẳng song song với nhau thì hệ phương trình  vô nghiệm. 3 x − y = −1

2m 2 x + 3 ( m − 1) y = 3 Hệ phương trình tương đương với  mx + ( m − 2 ) y = 2 2 2m 3( m − 1) 3 Ta có hệ vô số nghiệm khi: = = m m−2 2  3( m − 1) 3 3   m − 2 = 2 m = ⇔ 4  2  2m = 3  m = 0  m 2 Không có giá trị nào để hệ vô số nghiệm Câu 46. Chọn A. m m −1 3 = = Ta có hệ vô số nghiệm khi: 2 m −1 3 3 m =  2 m − 1 ⇔ ⇔ m = −2  3 = m −1 3  m − 1

Câu 47.

Chọn D mx − 2 y = 1 (1)  2 x + y = 2 (2) Từ pt (2) ⇔ y = 2 − 2 x . Thế vào pt (1) ta được: mx − 2(2 − 2 x) = 1 ⇔ (m + 4) x = 5 (3) ⇒ m ≠ −4 thì pt (3) có nghiệm duy nhất ⇒ Hệ đã cho có nghiệm duy nhất. Câu 48. Chọn C mx − (m + 1) y = 3m (1)  Xét hệ  x − 2my = m + 2 ( 2 ) ,   x + 2 y = 4 ( 3)

⇔ D = 0; Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0.

Trừ theo vế hai phương trình ( 2 ) và ( 3) ta được: 2 ( m + 1) y = 2 − m ( 4 )

Có D = −m2 + 4; Dx = 2m + 4; Dy = m2 + 6m + 16.

Nếu m = −1 thì ( 4 ) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.

D = 0 ⇔ −m2 + 4 = 0 ⇔ m = ±2. - m = 2 thì Dx = 8 ≠ 0 ⇒ hệ vô nghiệm. m = 2 thỏa mãn. - m = −2 thì Dx = 0; Dy ≠ 0 ⇒ hệ vô nghiệm. m = −2 thỏa mãn. Vậy m = ±2 thì hai đường thẳng song song với nhau. Cách 2: m 2 − 1 −1 −2m − 5 Hai đường thẳng d1 và d 2 song song khi = ≠ ⇔ m = ±2. −1 −1 3 Vậy m = ±2 thì hai đường thẳng song song với nhau. Câu 45. Lời giải Chọn D. Cách 1: Giải theo tự luận

Nếu m ≠ −1 thì ( 4 ) ⇔ y =

2−m 5m + 2 , thay vào ( 3) được x = . 2 ( m + 1) m +1

Thế các giá trị x, y tìm được vào (1) ta được phương trình: m.

5m + 2 2−m − ( m + 1) . = 3m m +1 2 ( m + 1)

⇔ 2m ( 5m + 2 ) − ( m + 1)( 2 − m ) = 6m ( m + 1) m = 1 ⇔ 5m 2 − 3m − 2 = 0 ⇔  m = − 2 5  2 Suy ra m0 = 1 hoặc m0 = − thuộc [ −1; 2] . 5 Câu 49. Chọn B 22

1  x=  y = 3 − mx mx + y = 3  y = 3 − mx   m +1 . ⇔ ⇔ ⇔     1− m 2m + 3  x + my = 2m + 1  x + m ( 3 − mx ) = 2m + 1  x = 2  y = 1− m   m +1 1   x0 = m + 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:  .  y = 2m + 3 0 m +1  m = 0 2 2 (TM ) . Nên: x0 2 + y02 = 10 ⇔ 1 + ( 2m + 3) = 10. ( m + 1) ⇔ 6m2 + 8m = 0 ⇔   m = −4 3 

Ta có: D = m2 − 1 = (m − 1)(m + 1) ; Dx = m − 1 ; D y = 2m 2 + m − 3 = (m − 1)(2 m + 3) . Với m = 1 ( không thỏa mãn yêu cầu bài toán m nguyên âm ). Với m = −1 ta có D = 0 , Dx = −2 ≠ 0 nên hệ vô nghiệm. 1 1    x = m + 1  x = m + 1 Với m ≠ ±1 , hệ có nghiệm duy nhất:  . ⇔   y = 2m + 3 y = 2 + 1  m +1 m +1   m + 1 = −1 m = −2 1 ⇔  x ∈ ℤ ; y ∈ ℤ khi và chỉ khi . Vì m nguyên âm nên chỉ có ∈ℤ ⇔  m +1 m + 1 = 1 m = 0 giá trị m = −2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án B. Câu 50. Chọn C mx − ( m + 1) y = 3m , (1)  Hệ phương trình  x − 2my = m + 2 , ( 2 )   x + 2 y = 4 , ( 3) ( 3m + 1) y = m , ( 4 ) Từ ( 3) ⇒ x = 4 − 2 y thay vào (1) , ( 2 ) ta được  ( 2m + 2 ) y = 2 − m , ( 5) 1 1 +) m = − : ( 4 ) vô nghiệm ⇒ m = − loại. 3 3 +) m = −1:( 5) vô nghiệm ⇒ m = −1 loại.

1  m = 1 m 2−m m ≠ − . +)  = ⇔ 5m 2 − 3m − 2 = 0 ⇔  3 hệ phương trình có nghiệm ⇔ m = − 2 3m + 1 2m + 2 m ≠ −1 5 

Câu 53.

Chọn

5−a   x = 5 2 x − y = 2 − a  4 x − 2 y = 4 − 2a ⇔ Ta có :  ⇔ x + 2 y = a +1 x + 2 y = a + 1  y = 3a  5 2 2 2 10a 2 − 10a + 25 1 1  1  9 9  5 − a  9a ⇒ x2 + y 2 =  = = ( 2a 2 − 2a + 5) =   2a − + ≥  +  25 25 5 5   2  2  10  5  1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = . 2

Câu 54. Lời giải A. Cách 1: Ta có : D = m2 − 1 , Dx = m − 1 , Dy = 2m 2 + m − 3

Chọn Câu 51.

Chọn B Ta có: 2

D = − ( m + 1) + m = −m 2 − m − 1 ≠ 0, ∀m ∈ ℝ Dx = − ( m + 1)( m + 2 ) − 2 = −m 2 − 3m − 4 Dy = −2 ( m + 1) − m ( m + 2 ) = −m 2 − 4m − 2

 Dx m 2 + 3m + 4  x = D = m 2 + m + 1 Suy ra với mọi giá trị của m thì hệ có nghiệm duy nhất:  2  y = D y = m + 4m + 2  D m2 + m + 1  m = −1 m 2 + 3m + 4 Để (2; y0 ) là nghiệm của hệ thì = 2 ⇔ m2 − m − 2 = 0 ⇔  m2 + m + 1 m = 2 Câu 52.

Vậy S = {−1; 2} Chọn A. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi m 2 − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1 . Khi đó

1   1 2m + 3   1 ; ;2 + D ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1 thì hệ có nghiệm   , phân tích ta được   m +1   m +1 m +1   m +1 Hệ phương trình có nghiệm nguyên khi m + 1 là ước của 1 ⇒ m = 0; m = −2 , thỏa mãn m ≠ ±1. Vậy m = 0; m = −2 thì hệ có nghiệm nguyên. Cách 2: Sử dụng máy tính, thử các đáp án ⇒ chọn A. C. Câu 55. Chọn 5−a  x= 2 x − y = 2 − a  4 x − 2 y = 4 − 2a  5 Ta có :  ⇒ ⇒ x + 2 y = a +1 x + 2 y = a + 1  y = 3a  5 2 2 2 2 5 − a 9 a 10 a − 10 a + 25 1 1  1  9 9   ⇒ x2 + y 2 =  = = 2a 2 − 2a + 5 =   2a − + ≥  +  25 25 5 5   2  2  10  5  1 Đẳng thức xảy ra khi a = . 2 Câu 56.

(

)

Lời giải ChọnD. Cách 1: Giải theo tự luận m −1 Ta có D = = 4 − m 2 = ( 2 − m)( 2 + m) 4 −m Dx =

2m −1 = −2m2 + m + 6 = (2 − m)(2 m + 3) m + 6 −m

Dy =

m 2m = m 2 − 2 m = m ( m − 2) 4 m+6

x + y + z = 3  x + z = 0 4 x = 4  Từ phương trình cuối ta có x = 1, thay vào phương trình hai tính được z = −1. thay đồng thời x, z vào phương trình đầu thì y = 3. Vậy nghiệm của hệ là (1;3; − 1).

Cách 2:Rút ẩn từ một phương trình thay vào hai phương trình còn lại.

Từ phương trình đầu ta rút được z = 3 − x − y, đem thay vào hai phương trình còn lại ta được hệ: z = 3 − x − y  2 x − y + 2 z = −3  x − 3 y − 3 z = −5 

  m≠2  Với D ≠ 0 ⇔  : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất    m ≠ −2  D D   2m + 3 m  ;−  (x; y) =  x ; y  =  2 m + 1  D D   2 + m

z = 3 − x − y  Thế phương trình đầu vào hai phương trình sau ta có hệ −3 y = −9 4 x = 4  Từ hai phương trình cuối dễ tính được x = 1, y = 3. Thay vào phương trình đầu được z = −1. Vậy nghiệm của hệ là (1;3; − 1).

 Với D=0 ⇔ m = ±2 : + Khi m = 2 ta có D = Dx = Dy = 0 nên hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của phương

trình 2 x − y = 4 ⇔ y = 2 x − 4 . Do đó hệ phương trình có nghiệm là (x ; y ) = (t ; 2t − 4) , t ∈ R . + Khi m = −2 ta có D = 0, Dx ≠ 0 nên hệ phương trình vô nghiệm Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm Cách 3: (Giải theo Casio nếu có). DẠNG 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN DẠNG 3.1 KHÔNG CHỨA THAM SỐ Câu 57. Lời giải Chọn A. Giải tự luận:

Giải trắc nghiệm:

Bấm máy tính ⇒ Chọn

Lời giải Chọn Câu 60. Lời giải Chọn C. giải được ( x0 ; yo ; z0 ) = (1;1;1) thay vào P được kết quả P = 3. Câu 61.

Chọn B. Câu 62. Lời giải

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x; y; z ) = (2;1;2)

Chọn B. Câu 63.

Giải trắc nghiệm:

Lời giải

Chọn B.

Câu 58. Lời giải Chọn

Lời giải

Từ phương trình cuối suy ra z = 2. thay giá trị này của z vào phương trình thứ hai, ta được y = 1. Cuối cùng, thay các giá trị của y và z vừa tìm được vào phương trình đầu ta tìm được x = 2 .

Bấm máy tính ⇒ Chọn

Câu 59.

Câu 64. Lời giải Chọn

Giải tự luận: Cách 1: Cộng phương trình thứ nhất và thứ hai theo vế, ta được hệ phương trình sau: x + y + z = 3  3x + 3z = 0  x − 3 y − 3 z = −5 

A. 1  x ≥ 2  Điều kiện:  x > y . Đặt  z ≥ −1  

a = 2 x − 1  1  . Hệ trở thành b = x− y   c = z + 1

Nhân hai vế phương trình đầu với 3, xong đem cộngtheo vế với phương trình cuối, ta được hệ 25

2a + 3b − 4c = 1  a − 3b + c = −1 . 4a + b − 2c = 3 

a = 1  Giải hệ ta được b = 1 ⇔ c = 1 

Câu 65.

Câu 66.

Câu 69.

Chọn A Sử dụng máy tính ta được kết quả. DẠNG 3.2 CHỨA THAM SỐ Câu 70. Chọn D mx + ny + pz = 6  Hệ phương trình 2mx − 3ny + pz = −1  mx + 7ny − 10 pz = −15  m + 2n + 3 p = 6 m = 1   2m − 6n + 3 p = −1 ⇔ n = 1 p =1 m + 14n − 30 p = −15   Vậy S = m + n + p = 1 + 1 + 1 = 3 . Câu 71. Chọn A.

 2 x −1 = 1  x = 1  1  = 1 ⇔  y = 0 thỏa mãn điều kiện.   x− y z = 0    z +1 = 1

Vậy hệ có nghiệm (1;0; 0). Chọn A 2 x − y + z = −3  x = −8   ⇔  y = −1 x + y + z = 3 2 x − 2 y + z = −2  z = 12   Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình là ( x; y; z ) = ( −8; −1;12 )

Chọn B

−1 1 1 5 −7    1   x + 2 y + 2z = 2  x + 2. 2 + 2. 2 = 2 x = 2 x + 2 y + 2z = 2     1 5 5    ⇔  − y − = −3 ⇔ y = ⇔ y = .  − y + z = −3 2 2 2 10 z = −5    1 1 1      z = − 2 z = − 2 z = − 2    13  −7 5 1  Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x, y, z ) =  ; ; −  , suy ra T = − . 2  2 2 2 Câu 67. Chọn C x + y + z = 3 (1)  Ta có 2 x − y + z = −3 ( 2 )  2 x − 2 y + z = −2 ( 3)

có nghiệm

( x ; y ; z ) = (1; 2;3)

nên ta có

Lời giải Cách 1:Giải bằng phương pháp tự luận Từ (3) suy ra z = 2 x + 3 y − 1 . Thế vào hai PT (1) và (2) ta được  x + y + (m + 1)(2 x + 3 y − 1) = 2 (2m + 3) x + (3m + 4) y = m + 3 ⇔  3 x + 4 y + 2(2 x + 3 y − 1) = m + 1  7 x + 10 y = m + 3 Ta có: 2m + 3 3m + 4 D= = 2 − m; 7 10 m + 3 3m + 4 Dx = = 3( m + 3)(2 − m) ; m+3 10 Dy =

Lấy ( 2 ) − ( 3) ta được y = −1 .

2m + 3 m + 3 m+3

= −2(m + 3)(2 − m) .

Hệ phương trình có vô số nghiệm ⇔ D = Dx = Dy = 0 ⇔ m = 2

Lấy 2. (1) − ( 2 ) ta được 3 y + z = 9 .

Cách 2:Giải bằng phương pháp trắc nghiệm: Lấy lần lượt các giá trị của m ở 3 đáp án A, B, C thay vào hệ và sử dụng MTCT để giải. Chọn đáp án A.

Vì y = −1 nên z = 12 . Do đó x = −8 ;suy ra ( x0 ; y0 ; z0 ) = ( −8; − 1;12 ) .

Câu 72.

Vậy x0 + 2 y0 + z0 = −8 − 2 + 12 = 2 .

Chọn

Cách khác: Sử dụng máy tính;tìm nghiệm ( x0 ; y0 ; z0 ) . Câu 68. Chọn A Cách 1:  x + 2 y + 3z − 10 = 0 x = 3   Ta có hệ phương trình: 3 x + y + 2 z − 13 = 0 ⇔  y = 2  2 x + 3 y + z − 13 = 0  z =1   Khi đó: Tính T = 2 ( x + y + z ) = 2 ( 3 + 2 + 1) = 12 . Cách 2:  x + 2 y + 3z − 10 = 0  Ta có: 3x + y + 2 z − 13 = 0 ⇔ ( x + 2 y + 3 z ) + ( 3x + y + 2 z ) + ( 2 x + 3 y + z ) = 6 ( x + y + z ) = 36  2 x + 3 y + z − 13 = 0 

Lời giải Cách 1:Giải bằng phương pháp tự luận Từ (1) suy ra z = x + y − 1 . Thay vào (2) và (3) ta được 2 x + 3 y + m( x + y − 1) = 3 (m + 2) x + (m + 3) y = m + 3 ⇔   x + my + 3( x + y − 1) = 2  4 x + (m + 3) y = 5 Ta có: m+2 m+3 m+3 m+3 m+2 m+3 D= = ( m + 3)( m − 2), Dx = = (m + 3)(m − 2), Dy = = m−2 4 m+3 5 m+3 4 5 Hệ vô nghiệm khi D = 0, Dx ≠ 0 hoặc D = 0, Dy ≠ 0

m = 2 Với D=0 ⇔  : m = −3

⇔ 2 ( x + y + z ) = 12 . 27

+ Khi m = 2 ta có D = Dx = Dy = 0 nên hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của phương trình

−4 4x + 5 y = 5 ⇔ y = x + 1. 5 Do đó hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ) = ( 5t; −4t + 1) , t ∈ ℝ . + Khi m = −3 ta có D = 0, Dy ≠ 0 nên hệ phương trình vô nghiệm Chọn đáp án B. Cách 2:Giải bằng phương pháp trắc nghiệm: Lấy lần lượt các giá trị của m ở 3 đáp án A, B, C thay vào hệ và sử dụng MTCT để giải. Chọn đáp án B.

Câu 73. Chọn

Lời giải Cách 1:Giải bằng phương pháp tự luận Từ (2) suy ra z = 1 − my . Thay vào (3) ta được  mx + y = 1  2 x − m y = 1− m m 1 Hệ có nghiệm duy nhất khi ≠ ⇔ m ≠ −1 1 −m2 Chọn đáp án D. Cách 2:Giải bằng phương pháp trắc nghiệm: Lấy lần lượt các giá trị của m ở 3 đáp án B, C thay vào hệ và sử dụng MTCT để giải. Chọn đáp án B. DẠNG 4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO DẠNG 4.1 KHÔNG CHỨA THAM SỐ Câu 74. Chọn B  ( x + y )2 − xy = 3 Hệ phương trình ⇔  .    ( x + y ) + xy = −1 Đặt S = x + y, P = x. y ( S 2 ≥ 4P)

 P = S 2 − 3  P = S 2 − 3 S 2 − P = 3       ⇔ 2 ⇔  S = 1 Ta được hệ mới  S + P = −1      S + S − 2 = 0      S = −2 Với S = 1 ⇒ P = − 2 (loại)     x = −2 − y  x + y = −2  y = −1 Với S = − 2 ⇒ P = 1 ⇒  . ⇔ ⇔   2     x = −1 x . y 1 = x + 2 x + 1 = 0       Câu 75.

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (−1; −1) . Chọn D

  x = −1  y = 3− x x + y − 3 = 0  y = 3 − x y = 4 ⇔ ⇔ 2 ⇔ ⇒ x1 + x2 = 1   x = 2  x ( 3 − x ) − 2 x + 2 = 0  xy − 2 x + 2 = 0 x − x − 2 = 0    y = 1 Câu 76. Chọn C ĐK: x ≥ y > 0 29

x ≤ 8 x2 − y2 = 8 − x ⇔  2  y = 16 x − 64

Ta có: x + y + x − y = 4 ⇔

x = 8 Thay y 2 = 16 x − 64 vào PT x 2 + y 2 = 128 ta được PT: x 2 + 16 x − 192 = 0 ⇔  .  x = −24 x = 8 Suy ra PT có nghiệm  . Vậy x + y = 16 y = 8 Câu 77. Chọn A 3 y + 6 x = 12 xy  y + 2 x = 4 xy (1) ⇔ ⇒ 3 y + 6 x = 8 y − 4 x ⇔ 10 x − 5 y = 0 ⇔ y = 2 x .  8 y − 4 x = 12 xy  2 y − x = 3xy  x = 0 ( loai ) Thay vào (1) ta được: 2 x + 2 x = 4 x.2 x ⇔ 4 x 2 − 2 x = 0 ⇔  ⇒ y = 1. x = 1  2 1  Hệ phương trình có nghiệm là  ;1  . 2  y0 1 = = 2. Vậy tỉ số x0 1 2 Câu 78. Chọn C x = y Từ phương trình (1) : x 2 − y = y 2 − x ⇔ x 2 − y 2 + x − y = 0 ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = 0 ⇔  .  y = −x −1  x = −1 Với x = y thay vào phương trình ( 2 ) ta được: x 2 − 6 x − 7 = 0 ⇔  . x = 7 Hệ phương trình có hai nghiệm là: ( −1; −1) , ( 7;7 ) .

Với y = − x − 1 thay vào phương trình ( 2) ta được:  x = −3 + 10 x 2 − 6 ( − x − 1) = 7 ⇔ x 2 + 6 x − 1 = 0 ⇔  .  x = −3 − 10 Với x = −3 + 10 ⇒ y = 2 − 10 . Với x = −3 − 10 ⇒ y = 2 + 10 . Vậy hệ phương trình có tất cả các nghiệm là:

( Câu 79.

( −1; −1) , ( 7;7 ) ,

( −3 +

)

−3 − 10;2 + 10 .

Chọn D Trừ hai phương trình theo vế ta được: x3 − 2019 y − y 3 + 2019 x = x − y 2  1  3  ⇔ ( x − y ) x 2 + xy + y 2 + 2018 = 0 ⇔ ( x − y )   x + y  + 2018 + y 2  = 0 ⇔ x = y vì biểu   2 4   

(

1  thức  x + 2 

)

3  y  + 2018 + y 2 > 0, ∀x, y . 4 

⇒ y=0 x = 0  Với y = x ta được: x − 2020 x = 0 ⇔ x x − 2020 = 0 ⇔  x = 2020 ⇒ y = 2020 .   x = − 2020 ⇒ y = − 2020 3

(

)

10;2 − 10 ,

Câu 80.

Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm. Chọn A  x + y = 1 (1)  2  x − 2 x + 2 y + 2 = 0 ( 2 ) Ta có: (1) ⇔ y = 1 − x Thế vào phương trình ( 2 ) ;ta được : x 2 − 2 x + 2 (1 − x ) + 2 = 0 ⇔ x2 − 4 x + 4 = 0 ⇔x=2 Với x = 2 ⇒ y = −1 Hệ có 1 nghiệm : ( x; y ) = ( 2; −1)

Câu 81.

Chọn D 2 (1)  x (1 − t ) = 2 . Đặt y = tx thay vào hệ ta được  2 2 x + t − t = 2 9 (2) ( ) 

t = 5 2 + t − t2 9 = ⇔ 2t 2 − 11t + 5 = 0 ⇔  1 . t = 1− t 2  2 + Với t = 5 thay vào (1) ta được −4 x 2 = 2 (phương trình vô nghiệm). x = 2 >1 1 + Với t = thay vào (1) ta được x 2 = 4 ⇔  . 2  x = −2 < 1 Vậy x0 = 2 ⇒ y0 = 1 ⇒ S = x0 + y0 = 3 . Chọn B

Do t = 1 không thỏa mãn (1) nên suy ra

Câu 82.

 xy ≥ 0  . Điều kiện:  x ≥ −1 .  y ≥ −1 

 x + y − xy = 3  x + y − xy = 3 ⇔ .  x y + 1 + + 1 = 4   x + y + 2 x + y + xy + 1 = 14 a = x + y Đặt  ( a ≥ −2, b ≥ 0 ) ta được hệ phương trình: b = xy

DẠNG 4.2 CHỨA THAM SỐ Câu 84. Chọn A x + y = 2 x + y = 2  x + y = 2 . ⇔ ⇔  2 2 2 2 2  x y + xy = 2m  xy = m  xy ( x + y ) = 2m Khi đó x, y là nghiệm của phương trình t 2 − 2t + m 2 = 0 (1). Hệ trên có nghiệm khi phương trình (1) có nghiệm ⇔ 1 − m2 ≥ 0 ⇔ m ∈ [ −1;1] . Câu 85. Chọn C  x + y = a x + y = a x + y = a Ta có:  2 ⇔ ⇔ 2 2 2 2 2 x + y = 6 − a  xy = a − 3 ( x + y ) − 2 xy = 6 − a Điều kiện tồn tại x , y : ( x + y ) ≥ 4 xy ⇔ a 2 ≥ 4 ( a 2 − 3 ) ⇔ a 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ a ≤ 2. 2

Khi đó: F = a 2 + 2a − 3 = ( a + 1) − 4 ≥ −4 ⇒ min F = −4 ⇔ a = −1(t / m ) Do đó chọn đáp án C Câu 86. Chọn A 2  x 2 + y 2 − xy + x + y = 8 ( x + y ) − 3xy + x + y = 8 Ta có  ⇔  xy + 3( x + y ) = 1  xy + 3( x + y ) = 1

x + y = S 2 ; S ≥ 4 P , hệ đã cho trở thành Đặt   xy = P  a − b = 3  2  a + 2 a + b + 1 = 14

14 − a ≥ 0 2 ⇒ a + 2 a + ( a − 3) + 1 = 14 ⇔ 2 a 2 − 5a + 10 = 14 − a ⇔  2 2 4 ( a − 5a + 10 ) = (14 − a )  a ≤ 14  a ≤ 14  a = 6 a ≥−2 ⇔ 2 ⇔  ⇔ a = 6 ⇒ b = 3. 3a + 8a − 156 = 0   a = − 26   3 a = 6  x + y = 6 x + y = 6 . ⇒ ⇔  b = 3  xy = 3  xy = 9 31

x = 3 . x , y là nghiệm của phương trình: X 2 − 6 X + 9 = 0 ⇔ X = 3 ⇒  y = 3 Vậy x − 2 y = −3 . Câu 83. Chọn D  2 7 x = 2 2  2 x − y = 1  11 . Vậy phương trình đã cho có 4 bộ nghiệm x; y là Có  2 ⇔ ( ) 2  x + 5 y = 2  y2 = 3  11  7 3   7 3   7 3   7 3  ; ; ;− ;−   ,  −  ;   ;  −  . 11 11 11 11 11 11 11 11        

S = 1 (N )   S 2 + S − 3P = 8  S 2 + S − 3 (1 − 3S ) = 8  S 2 + 10S − 11 = 0   P = −2 ⇔ ⇔ ⇔      S = −11  P = 1 − 3S 3S + P = 1  P = 1 − 3S  ( L)   P = 34

t = 1 Với S = 1; P = −2 ta có x; y là nghiệm của phương trình t 2 + t − 2 = 0 ⇔  t = −2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; −2 ) ; ( −2;1) ⇒ x1 − x2 = 1 − (−2) = −2 − 1 = 3 , chọn A. Câu 87. Chọn D 2 2 2 4 3 2 2 6 x − ( x − x ) y − ( y + 12) x = −6 6( x − 1) = xy  y ( x − 1) + x  Ta có  4 ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 x − ( x − 1) . y − 11x = −5 5( x − 1) = y ( x − 1) + x Dễ thấy x = 0 hoặc y = 0 đều không là nghiệm của hệ phương trình. 32

 6( x 2 − 1) 2 x 2 − 1 1 = +  2 2 x y  x y Với x ≠ 0; y ≠ 0 ta có: Hệ ⇔  2 2 2 2  5( x − 1) = ( x − 1) + 1  x 2 y 2 x2 y2

x2 −1 1 ; v = ( ĐK: u ≠ 0; v ≠ 0 do x = ±1 không là nghiệm của hệ). x y 6u 2 v 2 = u + v 6u 2 v 2 = u + v 6u 2 v 2 = u + v Khi đó hệ trở thành:  2 2 ⇔ 2 2 ⇔ 2 2 2 2 2 4 4 5u v = (u + v ) − 2uv 5u v = 36u v − 2uv 5u v = u + v Đặt u =

3  6u 2 v 2 = u + v u + v = 2 6u 2 v 2 = u + v  2 2 ⇔ ⇔ ( 2uv − 1) ( 36u v + 9uv + 2 ) = 0 ⇔  3 3 5uv = 36u v − 2  uv = 1 > 0; ∀u , v   2  1   1   Giải hệ được ( u; v ) ∈  1;  ;  ;1  . Khi đó y1 = 2; y2 = 1 S = ⇒ S = y1 + y2 = 3.  2   2   Câu 88. Chọn B x + y = 2 x + y = 2 ⇔  2 2 2 2  x y + xy = 4m − 2m  xy = 2m − m 1 Hệ có nghiệm khi và chỉ khi 4 ≥ 4 ( 2m 2 − m ) ⇔ 2m 2 − m − 1 ≤ 0 ⇔ − ≤ m ≤ 1 2 Câu 89. Chọn D Điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi: x0 = y0 .  m = 1 2 3 2  x + 2 x = m + 2  2 x0 − x0 − 2 x + 1 = 0  Khi đó  0 3 0 ⇔ 3 ⇒  m = −3 . 2 x0 − 1 = m 2 x0 = m + 1  3 m = −  4 Điều kiện đủ: x + y = 1 (VN )   x + y + xy = 3  xy = 2 +) Với m = 1 hệ phương trình  ⇔ ⇔ x = y = 1. x + y = 2  xy ( x + y ) = 2    xy = 1   x = −1  x + y = 1  y = 2   x = 2 xy 2 = −  x + y + xy = −1  +) Với m = −3 hệ phương trình  ⇔ ⇔  .   x + y = −2   y = −1  xy ( x + y ) = −2     xy = 1   x = y = −1

x + y = 1  5    xy = 1 x + y + xy =  1 3 4  4 ⇔  ⇔x= y= . +) Với m = − hệ phương trình   1 2 4 1   xy ( x + y ) = x + y =  4 4 (VN )    xy = 1  3 Vậy với m = 1; m = − thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 4 Câu 90. Chọn B Điều kiện xác định: 2 x 2 + y + 9 ≥ 0 ; 2 y 2 − x + 1 ≥ 0 . Ta có (1) ⇔ ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) − xy ( x − y ) + x − y = 0

⇔ ( x − y )( x 2 + y 2 + 1) = 0 ⇔ x = y (Do x 2 + y 2 + 1 > 0 ∀x, y ). Thế x = y vào (2) ta được 2

Đặt 2 x + x + 9 = u ; 2 x − x + 1 = v thì u + v = x + 4 (Do u , v ≥ 0 nên x > −4 ). Mặt khác u 2 − v 2 = 2( x + 4) = 2(u + v) . u + v = 0 Suy ra (u + v)(u − v − 2) = 0 ⇔  u − v = 2 Với u + v = 0 . Suy ra x + 4 = 0 ⇔ x = −4 ⇒ (3) vô nghiệm. u + v = x + 4 ⇒ 2u = x + 6 Với u − v = 2 ta có  u − v = 2

Khi đó ta được phương trình 2 2 x 2 + x + 9 = x + 6 ⇔ 4(2 x 2 + x + 9) = ( x + 6)2 x = 0 . ⇔ 7 x 2 − 8 x = 0 ⇔ x(7 x − 8) = 0 ⇔  x = 8 7  8 8 Với x = 0 ⇒ y = 0 ; x = ⇒ y = . 7 7

  8 8  Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là ( x; y ) = ( 0; 0 ) ,  ;   .  7 7   Do đó a = 8; b = 7; c = 8; d = 7 ⇒ P = 2 Câu 91. Chọn D Để biết biểu thức P có thể nhận bao nhiêu giá trị nguyên với x, y , z thỏa điều kiện của đề bài, ta cần đi tìm tập giá trị của P . 2

Ta có: x 2 + y 2 + z 2 = 5 ⇔ 5 − z 2 = x 2 + y 2 ⇔ 5 − z 2 =

( x + y) + ( x − y) 2

Lại có: x − y + z = 3 ⇔ x − y = 3 − z . 2

Do đó: 5 − z 2 = Khi đó: P =

2 x 2 + x + 9 + 2 x 2 − x + 1 = x + 4 (3)

( x + y ) + (3 − z ) 2

2 2

⇔ ( x + y ) = −3 z 2 + 6 z + 1 .

x+ y−2 ⇔ ( z + 2 ) P + 2 = x + y với z ≠ −2 z+2 34

 x = 10 (thỏa mãn). Giải hệ trên ta được:   y = 20 Vậy khối lượng quặng A và B đem trộn ban đầu lần lượt là 10 tấn và 20 tấn.

⇔ ( zP + 2 P + 2 ) = ( x + y ) ⇔ ( zP + 2 P + 2 ) = − 3 z 2 + 6 z + 1

⇔ ( P + 3 ) z + 2 ( 2 P + 2 P − 3 ) z + 4 P + 8 P + 3 = 0 (1) 2

Phương trình (1) có nghiệm z khi và chỉ khi ∆ ' ≥ 0

Câu 96. Lời giải Chọn A. Gọi x, y theo thứ tự là số lít dung dịch loại 1 và 2 ( x, y > 0). 30 55 Lượng axit nitơric chứa trong dung dịch loại 1là x và loại 2 là y. 100 100  x + y = 100  Ta có hệ phương trình:  30 55 100 x + 100 y = 50 Giải hệ này ta được: x = 20; y = 80.

36 Hay 2 P + 2 P − 3 − P + 3 4 P + 8P + 3 ≥ 0 ⇔ 23P + 36 P ≤ 0 ⇔ − ≤ P ≤ 0 23 Vậy trên tập giá trị của P ta nhận thấy P nhận được hai giá trị nguyên là − 1 ; 0 .

(

) (

)(

)

DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ Câu 92. Lời giải Chọn A. Gọi vận tốc của Vật I là x (m / s ) . ( x > 0) . Gọi vận tốc của Vật II là y (m / s ). ( y > 0; y < x) . - Sau 20 s hai vật chuyển động được quãng đường là 20x, 20y ( m ). Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau do đó ta có phương trình: 20 x − 20 y = 20π . - Sau 4 s hai vật chuyển động được quãng đường là 4x, 4y ( m ). Vì nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau do đó ta có phương trình: 4 x + 4 y = 20π . 20 x − 20 y = 20π Từ hai phương trình trên ta có hệ phương trình:  4 x + 4 y = 20π  x = 3π Giải hệ PT ta được:  ; Vậy vận tốc của hai vật là: 3π (m / s ) và 2π (m / s ) .  y = 2π Câu 93. Chọn D. Gọi số xe loại 4 chỗ là x , số xe loại 7 chỗ là y. ( x, y ∈ ℕ)  x + y = 85 Theo bài ra ta có hệ PT  4 x + 7 y = 445

 x = 50 Giải hệ ta được:   y = 35 Vậy có 50 xe loại 4 chỗ và 35 xe loại 7 chỗ. Câu 94. Chọn B. Gọi số thí sinh tham dự của trường A và trường B lần lượt là x, y ( x, y ∈ ℕ*; x, y < 350 ) . Ta có hệ  x + y = 350  x = 200  phương trình  97 ⇔ 96 x + y = 338  y = 150 100 100 Vậy số học sinh dự thi của trường A là 200, trường B là 150 học sinh. Câu 95. Chọn B. Gọi khối lượng quặng đem trộn lúc đầu quặng loại A là x (tấn), quặng loại B là y (tấn), x > 0, y > 10 . 50 8  60 100 x + 100 y = 15 ( x + y ) Ta có hệ phương trình:   60 ( x + 10 ) + 50 ( y − 10 ) = 17 ( x + 10 + y − 10 ) 100 100 30

Câu 97. Lời giải Chọn A. Gọi x ( m / s ) là vận tốc của đoàn tàu khi vào sân ga ( x > 0) Gọi y ( m) là chiều dài của đoàn tàu ( y > 0) - Tàu chạy ngang văn phòng ga mất 7 giây nghĩa là với vận tốc x ( m / s ) , tàu chạy quãng đường y ( m) mất 7 giây. Ta có phương trình: y = 7 x. - Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga mất 25 giây nghĩa là với vận tốc x ( m / s ) tàu chạy quãng đường ( y + 378) ( m) mất 25giây. Ta có phương trình: y + 378 = 25 x. 7 x − y = 0 - Từ hai phương trình trên ta được hệ phương trình:   25 x − y = 378 - Giải hệ ta được: x = 21; y = 147 (thỏa mãn) Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21( m / s ) và chiều dài của đoàn tàu là 147 m. Câu 98. Lời giải Chọn A. Gọi số học sinh của lớp 10 A, 10 B, 10C lần lượt là x, y , z. Điều kiện: x, y, z nguyên dương.

 x + y + z = 128  Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình 3x + 2 y + 6 z = 476. 4 x + 5 y = 375  Giải hệ ta được x = 40, y = 43, z = 45. ⇒ Chọn A.

Câu 99. Lời giải Chọn D. Gọi số phòng 3 người, 2 người, 1 người ban đầu lần lượt là x, y , z. Điều kiện: x, y , z nguyên dương.

 x + y + z = 102  Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình 3x + 2 y + z = 221 2 x + 3 y + z = 224  Giải hệ ta được x = 32, y = 45, z = 25 ⇒ số phòng từng loại sau khi sửa là: 45 phòng 3 người, 32 phòng 2 người, 25 phòng 1 người. Câu 100. Lời giải Chọn A. Gọi số áo thêu trong một giời của Lan, Hương và Thúy lần lượt là x, y , z. Điều kiện: x, y , z nguyên dương.

x = y + z − 5  x − y − z = −5   Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình 4 x + 3 y = 5 z + 30 ⇔ 4 x + 3 y − 5 z = 30 3x + 5 y + 3 z = 76 3 x + 5 y + 3z = 76   Giải hệ ta được x = 9, y = 8, z = 6 Vậy số áo của Lan, Hương và Thúy thêu được trong một giờ lần lượt là x = 9, y = 8, z = 6 Câu 101. Lời giải Chọn

Gọi số có ba chữ số cần tìm có dạng xyz Điều kiện: x > 0; y, z ≥ 0; x, y, z ∈ ℕ. - Số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 17 và dư 5 nên ta có phương trình: 100 x + 10 y + z 7 = 17 + ⇔ 83x − 7 y − 16 z = 7. x+ y+z x+ y+ z - Tương tự ta có phương trình: −44 x + 46 y − 53 z = 8 và 85 x − 14 y − 5 z = 14.

83 x − 7 y − 16 z = 7  Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình −44 x + 46 y − 53 z = 8 85 x − 14 y − 5 z = 14  Giải hệ ta được x = 2, y = 9, z = 6 Câu 102. Lời giải Chọn A. Gọi số đàn ông, đàn bà và trẻ em lần lượt là x, y , z. Điều kiện: x, y , z nguyên dương và nhỏ hơn 12. Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình  x + y + z = 12 2 x + 2 y + 2 z = 24 (1)  ⇔  y z 2 x + + = 12 8 x + 2 y + z = 48 (2)  2 4 Lấy (2) trừ (1) theo vế ta được: 6 x − z = 24 ⇔ z = 6 x − 24. Do 0 < z < 12 ⇔ 0 < 6 x − 24 < 12 ⇔ 4 < x < 6 ⇒ x = 5. Thay x vào hệ trên ta tính được y = 1; z = 6. Vậy có 5 đàn ông, 1 đàn bà và 6 trẻ em. Câu 103. Chọn D Gọi giá của đồng hồ, máy tính bỏ túi và đôi giá lần lượt là x, y, z . 37

 x + z = 420.000  x = 120.000   Khi đó ta có hệ phương trình  x + y = 570.000 . Giải hệ này ta được  y = 450.000  y + z = 750.000  z = 300.000   Câu 104. Chọn B Gọi x ( x ∈ ℕ *) là tuổi mẹ hiện nay, y ( y ∈ ℕ *) là tuổi con hiện nay.  x = 7 y x − 7 y = 0  x = 28 Theo đề bài ta có:  (thỏa điều kiện). ⇔ ⇔ x y + 2 = 5 + 2 x y − 5 = 8 ( )   y = 4 Vậy mẹ sinh con năm 28 − 4 = 24 tuổi. Câu 105. Chọn A Gọi x, y, z lần lượt là số xe loại chở 3 tấn, loại chở 5 tấn loại 7,5 tấn.  x + y + z = 57  x = 20   Ta có hệ 3x + 5 y + 7, 5 z = 290 ⇔  y = 19 . 3.(7,5).z = 3.5. y + 2.3.x  z = 18   Câu 106. Chọn C Gọi giá tiền mỗi quả quýt là: x (đồng; x > 0) và giá tiền mỗi quả cam là: y (đồng; y > 0) 10 x + 7 y = 17800  x = 800 (TM) ⇔ Theo bài ra;ta có hệ phương trình:   y = 1400 (TM) 12 x + 6 y = 18000 Vậy;giá tiền mỗi quả quýt là 800 đồng và giá tiền mỗi quả cam là 1400 đồng. Câu 107. Chọn B

Gọi P là điểm mà hai người A và B gặp nhau. Gọi đoạn MP = x là quãng đường A đi được, NP = y là quảng đường B đi được. Khi họ gặp nhau, người ta nhận thấy A đã đi nhiều hơn B 6km có nghĩa là đoạn MP dài hơn NP là 6km và thời gian đi của hai người cho đến lúc gặp nhau là bằng nhau. Ta có hệ x − y = 6  y (1) x v = v B  A Nếu mỗi người tiếp tục đi theo hướng cũ với cùng vận tốc ban đầu thì A sẽ đến N sau 4,5 giờ, còn B đến M sau 8 giờ tính từ thời điểm họ gặp nhau nên ta có hệ: y  v = 4, 5  y = 4,5v A  A ⇔ (2)   x = 8vB  x =8  vB Thế (2) vào (1) ta có hệ: 8vB − 4,5vA = 6  vB = 3  8vB − 4,5vA = 6 ⇔  8vB 4,5v A ⇔  = 8 = 4,5 v v  vA = 4 v  B A vB  S Vậy v A + vB = 7 . 38

TOÁN 10

Câu 7.

BẤT ĐẲNG THỨC

0D4-1

Cho a là số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. x ≥ a ⇔ −a ≤ x ≤ a . B. x ≤ a ⇔ x ≤ a . C. x > a ⇔ x > a .

Contents PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1

Câu 8.

Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a ? A. 6a > 3a . B. 3a > 6a . C. 6 − 3a > 3 − 6a .

Câu 9.

(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho 4 số a, b, c, d khác 0 thỏa mãn a < b và c < d . Kết quả nào sau đây đúng nhất? 1 1 A. < . B. ac < bd . C. a − d < b − c . D. a − c < b − d . b a

DẠNG 1. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ......................................................................................................... 1 DẠNG 2. BẤT ĐẲNG THỨC COSI và ỨNG DỤNG.................................................................................................... 2 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 7 DẠNG 1. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ......................................................................................................... 7 DẠNG 2. BẤT ĐẲNG THỨC COSI và ỨNG DỤNG.................................................................................................... 8

 x ≤ −a D. x ≥ a ⇔  . x ≥ a

Câu 10.

D. 6 + a > 3 + a .

Cho a, b là các số thực bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 1 1 B. a > b > 0 ⇒ < . C. a > b ⇔ a 3 > b 3 . D. a > b ⇔ a 2 > b 2 . a b

A. a > b ⇔ a − b > 0 . PHẦN A. CÂU HỎI

Câu 11.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? a b+d . c > d c > d a > b a > b ⇒ ac > bd . D.  C.  ⇒ a+c >b+d . c > d c > d 

Câu 12.

Cho a > b khẳng định nào sau đây là đúng? B. A. 2a < 2b .

DẠNG 1. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Câu 1.

Cho các bất đẳng thức a > b và c > d . Bất đẳng thức nào sau đây đúng A. a − c > b − d .

Câu 2.

B. a + c > b + d .

C. ac > bd .

Tìm mệnh đề đúng. A. a < b ⇔ ac < bc .

a < b B.  ⇒ a−c <b−d . c < d 0 < a < b D.  ⇒ ac < bd . 0 < c < d

Câu 6.

B. a > b . 2

C. 2 a > 2b .

x +1 ≥0. x2

Suy luận nào sau đây đúng? a > b > 0 ⇒ ac > bd . A.  c > d > 0

a > b ⇒ a −c > b−d . B.  c > d

a > b ⇒ ac > bd . C.  c > d

a > b a b ⇒ > . D.  c d c > d 1

D. a + b ≥ 2 ab , ( a ≥ 0, b ≥ 0 ) .

Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 0 < x < 1 x < 1 x < 1 x < 1 x A.  C.  D.  ⇒ xy < 1 . B.  ⇒ xy < 1 . ⇒ <1. ⇒ x − y <1. y < 1 y < 1 y < 1 y    y <1 2

Câu 16.

Khẳng định nào sau đây đúng? C.

D. ac > cb, ∀c ∈ ℝ .

Câu 15. Phát biểu nào sau đây là đúng?

1 1 D. < . a b

A. x + x ≥ x ⇔ x ≥ 0 . B. x2 ≤ 3x ⇔ x ≤ 3 .

C. −a < −b.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. a + b ≤ a + b . B. x < a ⇔ −a < x < a, ( a > 0 ) . C. a > b ⇔ ac > bc, ( ∀c ∈ ℝ ) .

Nếu a + 2c > b + 2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. −3a > −3b .

Câu 5.

Câu 13.

Câu 14.

Trong các tính chất sau, tính chất nào sai? 0 < a < b a b A.  ⇒ < . d c 0 < c < d

a < b C.  ⇒ a+c<b+d . c < d Câu 4.

a b > . c d

B. a bc . a < b ⇔ ac < bd . D.  c < d

C. a < b ⇔ a + c < b + c . Câu 3.

1 < 0 ⇔ x ≤ 1. x

A. ( x + y ) ≥ x 2 + y 2 .

B. x + y > 0 thì x > 0 hoặc y > 0 .

C. x ≥ y ⇒ x 2 ≥ y 2 .

D. x + y > 0 thì x. y > 0 .

Cho a > b > 0. Mệnh đề nào dưới đây sai? a b 1 1 < A. . B. < . a +1 b + 1 a b

a 2 − 1 b2 − 1 > . a b

D. a 2 > b2 .

DẠNG 2. BẤT ĐẲNG THỨC COSI và ỨNG DỤNG

Câu 17.

Câu 18.

Bất đẳng thức Côsi cho hai số a, b không âm có dạng nào trong các dạng được cho dưới đây? a+b a −b a+b a+b ≥ 2 ab . ≥ ab . ≥ 2 ab . ≥ 2 a+b . A. B. C. D. 2 2 2 2 Cho ba số không âm a, b, c . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a + b + c ≥ 3 3 abc .

B. abc ≥ 3 3 a + b + c . C. a + b + c ≥ 3 abc . D. a + b + c ≥ 4 3 abc . 2

Câu 19.

Cho hai số thực a và b thỏa mãn a + b = 4 . Khẳng định nào sau đây đúng? B. Tích a.b không có giá trị lớn nhất. A. Tích a.b có giá trị nhỏ nhất là 2 . C. Tích a.b có giá trị lớn nhất là 4 . D. Tích a.b có giá trị lớn nhất là 2 .

Câu 20. Mệnh đề nào sau đây sai? a ≥ x ⇒ a +b ≥ x+ y . A.  b ≥ y

1 ≥ 2 ∀a > 0 . a 1 1 D. a > b ⇒ < ∀a, b ≠ 0 . a b

A. 4 .

B. 24 .

Câu 24.

16 , x > 0 bằng x C. 8 .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = 2 x +

A. 4 3 .

Câu 32.

3 với x > 0 là x C. 2 6 .

A. 9 . Câu 26. Hàm số y =

Câu 27.

2a . Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi a . a2 +1 B. P > 1 . C. P < −1 . D. P ≤ 1 .

Cho a là số thực bất kì, P = A. P > −1.

Câu 28.

x 1 với x > 1 . + 4 x −1

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = A.

Câu 29.

D. 7 .

7 . 4

(Độ

B. 1. Cấn 3

(

Vĩnh 3

Phúc-lần

)

1 . 4

1-2018-2019)

(

Giá

D. trị

nhỏ

5 . 4

nhất

của

hàm

số

2017 . 2018

B. 3 .

B. 2 .

C. 3 . 3

2018 . 2017

C. 1 .

D. 2019 .

x , với x > 1 . Giá trị nhỏ nhất x −1

D. 0 .

Câu 35.

Cho các số thực a , b thỏa mãn ab > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a 2 b 2 2a 2b P= 2 + 2 − − −1 . b a b a A. 3 . B. −1. C. 1. D. −3 .

Câu 36.

(Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho x, y là các số thực thay đổi nhưng luôn thỏa 1 3 mãn ( x + 2 y ) + 8 xy ≥ 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 8 x 4 + ( y 4 − 2 xy ) bằng 2 1 A. − . B. −4 . C. 0 . D. −2 . 16

Câu 37.

Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x + y.

 10 + 3 15 x =  2 A. max P = 9 − 3 15 đạt được khi  .  y = 8 + 3 15  2  10 − 3 15 x =  2 B. max P = 9 + 3 15 đạt được khi  .  y = 8 − 3 15  2

y = x + 2 1 + x + 1 + x + 2 1 − x + 1 là A. 1.

1 . 2

x − 2017 là x − 2018

)

Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Cho biểu thức f ( x ) =

D. 10 .

C. 141.

2 . 2

Câu 34.

4 9 a + với 0 < x < 1 , đạt giá trị nhỏ nhất tại x = ( a , b nguyên dương, phân số x 1− x b

a tối giản). Khi đó a + b bằng b A. 4 . B. 139 .

x−2 bằng x 2 C. . 2

D. 3.

Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 6 − 2 x + 3 + 2 x . A. M không tồn tại; m = 3 . B. M = 3 ; m = 0 . C. M = 3 2 ; m = 3 . D. M = 3 2 ; m = 0 .

D. 0 .

4 x − 3x + 9 ; x ≠ 0 là x2 B. −3 . C. 12 .

C. 2 2 .

Câu 33.

Câu 25. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

5 . 2

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

của biểu thức là A. 2 .

D. 2 3 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x − 2 + 4 − x . A. 2 . B. 2 . C. 2 − 2 .

1 . 2 2

A. 2 .

D. 12 .

x 2 với x > 1 là + 2 x −1

Cho x ≥ 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) =

D. ( I ) , ( II ) , ( III ) đúng.

Câu 22. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 +

Câu 23.

Câu 31.

Cho các mệnh đề sau a b a b c 1 1 1 9 + ≥ 2 ( I ) ; + + ≥ 3 ( II ) ; + + ≥ ( III ) b a b c a a b c a +b+c Với mọi giá trị của a , b , c dương ta có A. ( I ) đúng và ( II ) , ( III ) sai. B. ( II ) đúng và ( I ) , ( III ) sai.

C. ( III ) đúng và ( I ) , ( II ) sai.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =

A. 2 .

B. a +

C. a + b ≥ 2 ab ∀a, b ≥ 0 . Câu 21.

Câu 30.

D. 0 . 4

 10 + 3 15 x =  2 C. max P = 9 + 3 15 đạt được khi  .  y = 8 + 3 15  2  10 + 3 15 x =  2 D. max P = 3 + 15 đạt được khi  .  y = 8 + 3 15  2

Câu 38.

Câu 40.

Câu 41.

Câu 43.

Câu 47.

C. 9 − 3 5 .

Cho các số thực a , b , c > 0 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =

10 . 3

5 . 2

3 a +b+c abc + là 3 a +b+c abc

4 . 3

3 . 2

2 3

Cho a, b, c, d là các số thực thay đổi thỏa mãn a 2 + b 2 = 2 và c 2 + d 2 + 25 = 6c + 8d . Tìm giá trị

Câu 45.

B. 25 + 5 2 .

C. 25 − 5 2 .

a 2 + b 2 + c 2 = 3.

Biểu

thức

1 + 8a 3

1 + 8b3

1 + 8c 3

có giá trị nhỏ nhất bằng

3 . 2

C. 3 .

2 . 3

C. min Q = 42 .

D. min Q = 14 .

Câu 49.

(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho a , b, c > 0 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a  b  c   E =  1 +  1 +  1 +  thuộc khoảng nào dưới đây?  2b  2c  2a   7  17 7  A. 1; 2 2 . B.  3;  . C. (1;3) . D.  ;  .  2  5 2

(

Câu 50.

)

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: 1 1 1 là: + + 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z A. 2. B. 1.

1 1 1 + + = 4 . Giá trị lớn nhất của biểu thức x y z

Câu 51.

C. 4.

D. 3.

Cho các số thực dương a, b, c, m, n, p thỏa mãn các điều kiện 2.

4a + 4b + 3c ≥ 42 . Đặt S = A. 42 < S ≤ 7.62018 .

2(2a) m

2018

2(2b) n

2018

B. S > 62018 .

2017

m + 2. 2017 n + 3. 2017 p ≤ 7 và

2018

3c p

thì khẳng định đúng là:

C. 7 ≤ S ≤ 7.62018 .

D. 4 ≤ S ≤ 42 .

a b c Câu 52. Với a, b, c > 0 . Biểu thức P = . Mệnh đề nào sau đây đúng? + + b+c c+a a+b 3 4 3 3 A. 0 < P ≤ . B. < P . C. ≤ P . D. ≤ P . 2 2 3 2

Câu 53.

Cho các số dương x , y , z thỏa mãn xyz = 1 . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức

D. 25 + 10 .

2 2 2 Cho 0 < x < y ≤ z ≤ 1 và 3 x + 2 y + z ≤ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = 3 x + 2 y + z . 8 10 . A. 3. B. 4. C. . D. 3 3

kiện

Cho 4 số nguyên không âm a, b, c, d thỏa a 2 + 2b 2 + 3c 2 + 4d 2 = 36 và 2a 2 + b 2 − 2d 2 = 6 . Tìm

lớn nhất của biểu thức P = 3c + 4d − ( ac + bd ) .

A. 25 + 4 2 .

điều

mãn

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho ba số thực dương x , y , z . Biểu thức 1 x y z có giá trị nhỏ nhất bằng: P = ( x2 + y2 + z 2 ) + + + 2 yz zx xy 5 11 9 A. . B. 9 . C. . D. . 2 2 2

D. 3 .

1 2 3 1 1 + ≥ 2 . Tìm giá trị lớn Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a > 1, b > , c > và + 2 3 a 2b + 1 3c + 2 nhất của biểu thức P = ( a − 1)( 2b − 1)( 3c − 1) B.

thỏa

a , b, c

Câu 48.

D. 9 + 3 15 .

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 4 9 P= + + ? a b c A. 63. B. 36. C. 35. D. 34.

3 . 4

thực

giá trị nhỏ nhất của Q = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 . A. min Q = 30 . B. min Q = 32 .

Cho x, y , z là các số thực dương thỏa mãn x(3 − xy − xz ) + y + 6 z ≤ 5xz ( y + z ) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3x + y + 6 z là A. 3 6 . B. 9 . C. 30 . D. 6 2 .

A. Câu 44.

B. 9 + 3 3 .

số

A. 1.

(THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Cho hai số thực x ≠ 0 , y ≠ 0 thay đổi và thỏa 1 1 mãn điều kiện ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . Giá trị lớn nhất của biểu thức M = 3 + 3 là x y A. 9. B. 16. C. 18. D. 1.

A. 2 . Câu 42.

Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y. Giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x + y bằng

A. 9 + 3 5 . Câu 39.

Cho

Câu 46.

1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 + + là xy yz zx

A. 3 3 3 . Câu 54.

B. 3 3 .

33 3 . 2

3 3 . 2

(Đề thi thử Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk lần 2) Cho phương trình x4 + ax3 + bx 2 + cx + 1 = 0 có nghiệm. Giá trị nhỏ nhất P = a 2 + b2 + c2 bằng

4 . 3

B. 4 .

C. 2 .

8 . 3

Câu 55. Người ta dùng 100 m rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh để có thể rào được? A. 1350 m2 . B. 1250 m 2 . C. 625 m 2 . D. 1150 m2 . Câu 56. Câu 57.

Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 300 m, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng A. 22500m2 . B. 900m 2 . C. 5625m 2 . D. 1200m 2 .

(NGÔ GIA TỰ_VĨNH PHÚC_LẦN 1_1819) Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48m 2 , hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là

A. 16 3 . Câu 58.

C. 16 .

D. 20 .

(ĐỀ THI HỌC KÌ I LỚP 12 - QUANG TRUNG - ĐỐNG ĐA - HÀ NỘI) Một miếng bìa hình tam giác đều ABC , cạnh bằng 16. Học sinh Minh cắt một hình chữ nhật MNPQ từ miếng bìa trên để làm biển trông xe cho lớp trong buổi ngoại khóa ( với M , N thuộc cạnh BC ; P , Q lần lượt thuộc cạnh AC và AB . Diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất bằng bao nhiêu? A. 16 3 .

Câu 59.

B. 20 3 .

B. 8 3 .

C. 32 3 .

D. 34 3 .

Một miếng giấy hình tam giác vuông ABC (vuông tại A ) có diện tích S , có M là trung điểm BC . Cắt miếng giấy theo hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng qua M cắt cạnh AB tại E , đường thẳng qua M cắt cạnh AC tại F . Khi đó miếng giấy tam giác MEF có diện tích nhỏ nhất bằng bao nhiêu? S 3S 3S S A. . B. . C. . D. . 3 5 8 4 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 1.

Câu 2. Câu 3.

Câu 4. Câu 5. Câu 6.

Câu 7. Câu 8. Câu 9.

DẠNG 1. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Chọn B. a > b ⇔ a+c >b+d . Theo tính chất bất đẳng thức,  c > d Chọn C. Ta có: a b + 2c ⇔ a > b ⇔ 2a > 2b . Chọn A. Chọn A. a > b > 0 ⇒ ac > bd đúng theo tính chất nhân hai bất đẳng thức dương cùng chiều.  c > d > 0 Chọn D. Chọn D. Ta có 6 + a > 3 + a ⇔ 6 + a − 3 − a > 0 ⇔ 3 > 0 với mọi số thực a nên Chọn D. Chọn C 7

a −5 nhưng ( −2 ) = 4 < 25 = ( −5 ) . Câu 11. Chọn D. Khi cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều nên ta có a > b ⇒ a+c >b+d .  c > d Câu 12. Chọn C Câu A sai ví dụ 2 > 0 ⇒ 2.2 > 2.0 Câu B sai với a = 3, b = 2, c = −2 . Câu C đúng vì −a < −b ⇔ a > b. Câu D sai khi c ≤ 0. Câu 13. Chọn C Các mệnh đề A, B đều đúng theo tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Mệnh đề D đúng theo bất đẳng thức Cô- Si cho 2 số không âm a và b . Mệnh đề C sai khi c < 0 (vì khi nhân 2 vế của một bất đẳng thức với một số âm thì ta được bất đẳng thức mới đổi chiều bất đẳng thức đã cho). Câu 14. Chọn A. 0 < x < 1 Với  ⇒ xy < x < 1 ⇒ A đúng. y <1  x = −3 < 1 x Chọn  ⇒ xy = = 3 > 1 ⇒ B, C sai. y  y = −1 < 1  x = −1 < 1 Chọn  ⇒ x − y = 2 > 1 ⇒ D sai.  y = −3 < 1 Câu 15. Chọn B. Nếu x + y > 0 thì ít nhất một trong hai số x , y phải dương. x ≤ 0 ⇒ x + y ≤ 0 mâu thuẫn. Thật vậy nếu  y ≤ 0 Câu 16. Chọn A. a b > a > b > 0 ⇔ a +1 > b +1 > 1 ⇔ . a +1 b +1 DẠNG 2. BẤT ĐẲNG THỨC COSI và ỨNG DỤNG Chọn C Chọn A a+b+c 3 ≥ abc ⇔ a + b + c ≥ 3 3 abc . Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 3 Câu 19. Chọn C

Câu 17. Câu 18.

Với mọi số thực a và b ta luôn có: a.b ≤

⇔ a = b = 2. Vậy tích a.b lớn nhất bằng 4 . Câu 20. Chọn D. 8

(a + b) 4

⇔ a.b ≤ 4. Dấu “=” xảy ra

Theo tính chất của bất đẳng thức và bất đẳng thức Côsi thì A, B, C luôn đúng. 1 1 Ta có nếu b < a < 0 ⇒ < là sai. a b Câu 21. Chọn D. Với mọi a , b , c dương ta luôn có: a b a b a b + ≥ 2 . ⇔ + ≥ 2 , dấu bằng xảy ra khi a = b . Vậy ( I ) đúng. b a b a b a a b c a b c a b c + + ≥ 3 3 . . ⇔ + + ≥ 3 , dấu bằng xảy ra khi a = b = c . Vậy ( II ) đúng. b c a b c a b c a

( a + b + c ) .

1 1 1 3 1 1 1 1 9 + +  ≥ 3 abc .3 3 =9 ⇒ + + ≥ , dấu bằng xảy ra khi abc a b c a +b+c a b c a = b = c . Vậy ( III ) đúng. Câu 22. Chọn D. 16 8 8 Côsi 8 8 Ta có: P = x 2 + = x 2 + + ≥ 3 3 x 2 . . = 12 . Vậy Pmin = 12 . x x x x x Câu 23. Chọn C. 3 Theo bất đẳng thức Côsi ta có 2 x + ≥ 2 6 suy ra giá trị nhỏ nhất của f ( x ) bằng 2 6 . x Câu 24. Chọn B. A = x − 2 + 4 − x có tập xác định D = [ 2; 4] . Ta có: A2 = 2 + 2

Câu 25.

Chọn

( x − 2 )( 4 − x ) ≥ 2 ⇒ A ≥

Với x > 1 ⇔ x − 1 > 0 x 1 1  1  x −1 P= + = + + x − 1  4 4 x − 1  4 Áp dụng Bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương

x −1 x −1 1 1 + ≥ 2. . 4 x −1 4 x −1 x −1 1 ⇔ + ≥1 4 x −1 x −1 1 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi = ⇔ ( x − 1) = 4 ⇔ x = 3 (vì x > 1 ) 4 x −1 5 Do đó P ≥ 4 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng (khi x = 3 ). 4 Câu 29. Chọn B Hàm số xác định khi: x3 + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1.

(

)(

Câu 28.

)

Câu 30. Hướng dẫn giải Chọn

x x −1 x −1 2 2 2 1 1 5 . + = + + ≥2 + = . x −1 2 2 x −1 2 2 x −1 2 2 x ≥ 1  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x − 1 2 ⇔ x = 3.  2 = x − 1 5 Vậy hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ nhất bằng . 2 Ta có: f ( x ) =

Câu 31.

Hướng dẫn giải Chọn

A. 2

2 x−2 1 2 1 1 2 1 1 1 Ta có f ( x ) ≥ 0 và  f ( x )  = 2 = − 2 = − 2  −  ≤ ⇒ 0 ≤ f ( x ) ≤ . = x x x 8 4 2 2  x 4 8

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng

Câu 32.

Hay P ≤ 1. Chọn D

2 đạt được khi x = 4. 4

Chọn A Tập xác định của hàm số D = ( 2018; +∞ ) .

Do x + 1 + 1 > 0 ∀x ≥ −1 nên − x + 1 + 1 ≥ 0 ⇔ x3 + 1 ≤ 1 ⇔ x ≤ 0 Với x = 0 ta có: y ( 0) = 2 ⇒ min y = 2 tại x = 0 .

2a . a2 +1

)

x3 + 1 − 1 .

Với a là số thực bất kì, ta có: ( a − 1) ≥ 0 ⇔ a 2 − 2a + 1 ≥ 0

⇔ a 2 + 1 ≥ 2a ⇔ 1 ≥

) (

x3 + 1 + 1 +

x 3 + 1 + 1 1 − x3 + 1 ≥ 0

Xét hàm số y =

( 2 + 3) = 25 4 9 22 32 ≥ + = + x 1− x x 1− x x +1− x 2 a Suy ra ymin = 25 khi x = = ⇒ a + b = 7 . 5 b Câu 27. Chọn D.

) (

(

x3 + 1 + 1 + 1 − x3 + 1 ≥ 2 ∀x ≥ −1 .

Dấu “=” xảy ra khi:

Từ đó y =

)

(

y = x 3 + 2 1 + x3 + 1 + x 3 + 2 1 − x 3 + 1 =

2 , dấu bằng xảy ra khi x = 2 hoặc x = 4 .

9 4 x 4 − 3x 2 + 9 = 4x2 + 2 − 3 . x x2 9 9 Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có 4x 2 + 2 ≥ 2 4 x 2 . 2 = 12 ⇒ y ≥ 9 . x x 9 3 4 x 4 − 3x 2 + 9 6 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y = là 9 khi 4x 2 = 2 ⇔ x 2 = ⇔ x = ± . x2 x 2 2 Câu 26. Chọn D. a 2 ( a + a + ... + an )2 a2 a 2 Theo BĐT CAUCHY – SCHAWARS: 1 + 2 + ... + n ≥ 1 2 , trong đó các số b1 b2 bn b1 + b2 + ... + bn bi > 0 Vì 0 < x < 1 nên x > 0 và 1 − x > 0

x −1 1 có , 4 x −1

Ta có y =

16 x 4 = y 4  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 8 xy = 1 ( *) .  3 ( x + 2 y ) + 8 xy ≥ 2

x − 2017 x − 2018 + 1 1 . = = x − 2018 + x − 2018 x − 2018 x − 2018

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

x − 2018 +

1 ≥ 2. x − 2018

1   x = 4 1 Dễ thấy  là một nghiệm của (*) nên min P = − . 1 16 y =  2 Câu 37. Chọn C Điều kiện: x ≥ −1, y ≥ −2.

1 ⇔ x − 2018 = 1 ⇔ x = 2019 . x − 2018 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi và chỉ khi x = 2019 . Câu 33. Chọn C  3  Tập xác định của hàm số D =  − ;3 .  2   3  Ta thấy y > 0 ∀x ∈  − ;3 .  2  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Có y 2 = 9 + 2

x − 2018 =

Ta có: x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y ⇔ ( x + y)2 = 9

( 6 − 2 x )( 3 + 2 x ) ≥ 9 ∀x ∈  −

3   3  ;3 . Suy ra y ≥ 3 ; ∀x ∈  − ;3 .  2   2 

( 6 − 2 x )( 3 + 2 x ) ≤ ( 6 − 2 x ) + ( 3 + 2 x ) = 9 với

Vậy Min f ( x ) = 2 khi

x 1 = x −1 + ≥2 x −1 x −1 1 x −1 = ⇔ x = 2. x −1

x − 1.

≤ 9.2. ( x + y + 3) ( theo bất đẳng thức Bunhia – Côpxki)

 10 + 3 15 x =  x + y = 9 + 3 15  2 ⇔ ( t /m ) . Dấu “=” xảy ra khi  x + 1 = y + 2 8 + 3 15   y =  2

 3  ∀x ∈  − ;3 .  2 

 10 + 3 15 x =  2 Vậy max P = 9 + 3 15 đạt được khi  .  y = 8 + 3 15  2 Câu 38. Chọn D Điều kiện: x ≥ −1, y ≥ −2.

Với x > 1 , ta có f ( x ) =

⇔ ( x + y ) − 18( x + y ) − 54 ≤ 0

 2   

Chọn

)

⇒ x + y ≤ 9 + 3 15 ⇒ P ≤ 9 + 3 15.

 3   3  Suy ra y 2 ≤ 18, ∀x ∈  − ;3 ⇒ y ≤ 3 2, ∀x ∈  − ;3 .  2   2  3 Dấu bằng xảy ra khi 6 − 2 x = 3 + 2 x ⇔ x = . Vậy Max y = 3 2 . 4  3  x∈ − ;3

Câu 34.

x +1 + y + 2

3  x=− Dấu bằng xảy ra khi  2 . Vậy Min y = 3 .   3  x∈ − ;3 x = 3  2  Theo BĐT Cô Si ta có 2

(

1 = 2. x −1

Ta có: x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y

⇒ ( x + y )2 = 9

(

x +1 + y + 2

)

≤ 9.2. ( x + y + 3) ( theo bất đẳng thức Bunhia – Côpxki)

⇔ ( x + y ) − 18( x + y ) − 54 ≤ 0 ⇒ x + y ≤ 9 + 3 15 ⇒ P ≤ 9 + 3 15.

Câu 35.

Chọn D 2

 10 + 3 15 x =  x + y = 9 + 3 15  2 ⇔ ( t /m ) . Dấu “=” xảy ra khi  x + 1 = y + 2  y = 8 + 3 15   2

 a 2 2a   b2 2b  a 2 b 2 2a 2b a  b  Ta có P = 2 + 2 − − −1 =  2 − + 1  +  2 − + 1  − 3 =  − 1  +  − 1  − 3 ≥ −3 . b a b a b b a a b  a       a  = 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  b ⇔ a = b ≠ 0. b =1  a Vậy min P = −3 khi a = b ≠ 0 . Câu 36. Chọn A

 10 + 3 15 x =  2 Vậy max P = 9 + 3 15 đạt được khi  .  y = 8 + 3 15  2

Ta có P = 8 x 4 +

1 4 1 1 1 2  y − xy ≥ 4 ( xy ) − xy =  2 xy −  − ≥ − 2 4  16 16 

Câu 39.

Chọn B

Ta có xy ( x + y ) = x 2 + y 2 − xy ⇒

xy ( x + y ) x 2 + y 2 − xy = x2 y 2 x2 y 2 2

⇒

1 1 1 1 1 1 1 3 + = + − = +  − . x y x 2 y 2 xy  x y  xy

Đặt a =

1 1 1 + ,b= x y xy

≥ 4b ) ⇒ a = a 2 − 3b ⇒ b =

a2 − a . 3

1 1 3 1 1 a2 − a Biến đổi M =  +  −  +  = a 3 − 3ab = a3 − 3a. = a2 . 3  x y  xy  x y  Ta có

Tương tự 2 ≥2 y+2

a2 − a a2 =b≤ ⇒ 3a 2 ≥ 4a 2 − 4a ⇔ a 2 − 4a ≤ 0 ⇔ 0 ≤ a ≤ 4 ⇒ M = a 2 ≤ 16. 3 4

Dấu " = " xảy ra ⇔ x = y = Câu 40.

Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) ta có P + 36(a + b+ c) ≥ 72 ⇒ P ≥ 36 . Dấu bằng xảy ra khi 1 4 9 1 1 1 và chỉ khi = 36a; = 36b; = 36c và a+b+c=1 hay a = ; b = ; c = . a b c 6 3 2 Câu 43. Chọn A 1 2 3 + + ≥ 2 , với Đặt x = a − 1, y = 2b − 1, z = 3c − 1 . Khi đó bài toán trở thành “ Cho x +1 y + 2 z + 3 x, y , z dương. Tìm giá trị lớn nhất của P = xyz ”. Ta có 1 2 3 y z yz . (1) ≥ 1− +1− = + ≥2 x +1 y+2 z+3 y+2 z+3 ( y + 2 )( z + 3)

1 ⇒ M max = 16. 2

3 ≥2 z+3

( 2)

( 3) ( x + 1)( y + 2 ) Nhân cả hai vế của (1) , ( 2 ) , ( 3) ta được:

Chọn A Ta có: x(3 − xy − xz ) + y + 6 z ≤ 5 xz ( y + z )

⇔ 3x + y+ 6z ≤ x 2 y + x2 z + 5xz( y + z) ⇔ 3x + y+ 6z ≤ x( y + z )( x + 5z )

8xyz

≥

( x + 1)( y + 2)( z + 3) ( x + 1)( y + 2)( z + 3)

Chọn B Áp dụng BĐT Cauchy ta được: 3 3 1 a+b+c a +b+c abc abc  8 a + b + c T= 3 + =  . 3 + + . a + b + c a + b + c  9 3 abc 9 abc abc  1 a + b + c 3 abc 8 2 8 10 . . . + .3 = + = 9 3 abc a + b + c 9 3 3 3 Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b = c . ≥2

Câu 42. Lờigiải Chọn B Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số thực dương ta có: 1 + 36 a ≥ 12 (1) a 4 + 36b ≥ 24 (2) b 9 + 36c ≥ 36 (3) c 13

3 ⇔ xyz ≤ . 4

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P = ( a − 1)( 2b − 1)( 3c − 1) là

 3x + y + 5 z  ⇒ 2 P ≤ 2 x( y + z )( x + 5 z ) ≤   3   3 P ⇔ 2P ≤ ⇔ P 2 ≥ 54 ⇔ P ≥ 3 6 27 2 x = y + z = x + 5 z 6 9 6 6 ⇔x= ,y= ,z = Dấu " = " xảy ra khi  2 10 10 3 x + y + 6 z = 3 6  Câu 41.

( x + 1)( z + 3)

Câu 44.

3 . 4

Chọn B c = 3 2 2 Theo đề ra ta có: c 2 + d 2 + 25 = 6c + 8d ⇔ ( c − 3) + ( d − 4 ) = 0 ⇔  . d = 4 Do vậy P = 25 − ( 3a + 4b ) . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxcopski ta có: 3a + 4b ≤

+ 4 2 )( a 2 + b 2 )

a 2 +b2 = 2

= 5 2  → −5 2 ≤ 3a + 4b ≤ 5 2

→ 25 + 5 2 ≥ 25 − ( 3a + 4b ) ≥ 25 − 5 2 Hay 5 2 ≥ − ( 3a + 4b ) ≥ −5 2   → 25 + 5 2 ≥ P ≥ 25 − 5 2 . Vậy max P = 25 + 5 2 . Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi  4 3 2  2 a + b 2 = 2 a 2 + b2 = 2 b= a<0 a = −     3 5 ⇔ ⇔ ⇔ 3 4    4 16 = < 0 b = a < 0 2 2 4   a + a = 2 b = − 2 3 a b    9 5 Câu 45. Ta có 2 2 1 10 10    S = 3x 2 + 2 y 2 + z 2 = 2  y − x +  ( y − 1) +  z − x +  ( z − 1) +  x +  ( 3x + 2 y + z − 4 ) + ≤ 3 3 3 3 3    Chọn A Câu 46. 2

Chứng minh được: với a, b, c > 0 ta có: Dấu “=” xảy ra khi

x2 y 2 z2 ( x + y + z ) + + ≥ (1). a b c a+b+c

x y z = = . a b c 14

Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si cho hai số không âm ta có: (1 + 2a ) + 1 − 2a + 4a2 = 1 + 2a 2 . 1 + 8a3 = (1 + 2a ) 1 − 2a + 4a 2 ≤ 2 1 1 ⇒ ≥ . 2 1 + 8a 3 1 + 2a Tương tự ta được: 9 1 1 1 1 1 1 (theo (1)). ≥ + + ≥ P= + + 2 2 2 2 3 3 3 + + + 1 2 a 1 2 b 1 2 c 3 + 2 a ( + b2 + c2 ) 1 + 8a 1 + 8b 1 + 8c

(

)

x y x y 2 . + ≥ 2. = (1) yz xz yz xz z

)

x z x z 2 . = (2) + ≥ 2. yz xy yz xy y z y z y 2 . = (3) + ≥ 2. xy zx xy zx x Cộng các về của (1), (2) và (3) ta được

⇒ P ≥1.  1 + 2a 2 = 1 − 2a + 4a 2  2 2 1 + 2b = 1 − 2b + 4b  2 2 Dấu “=” xảy ra ⇔ 1 + 2c = 1 − 2c + 4c ⇔ a = b = c =1.  1 1 1  = = 2 2 2 1 + 2a 1 + 2b 1 + 2c a 2 + b 2 + c 2 = 3; a, b, c > 0  Vậy min P = 1 ⇔ a = b = c = 1. Câu 47. Chọn D Từ 2a 2 + b 2 − 2d 2 = 6 (*) suy ra b là số chẵn. Mặt khác do a 2 + 2b 2 + 3c 2 + 4d 2 = 36 (**), ta được 2b 2 ≤ 36 . Do đó b ∈ {0, 2, 4} . Xét b = 4 . Từ (*) ta có d 2 − a 2 = 5 ⇒ d 2 ≥ 5 và từ (**) ta có d 2 ≤ 9 . Do đó d = 3 ⇒ a = b = c = 0 ( loại vì không thỏa (*)).  a − d = 1 a = 1 Xét b = 2 . Từ (*) ta có a 2 − d 2 = 1 ⇒ ( a − d )( a + d ) = 1 ⇒  . Thay vào (*) ta ⇒  a + d = 1 d = 0 a = 1 b = 2  giải được  . Vậy Q = 12 + 22 + 32 + 02 = 14 . c = 3 d = 0 Xét b = 0 . Từ (*) và 0 ≤ a − d ≤ a + d , ta có: a − d = 1 a = 2 a 2 − d 2 = 3 ⇒ ( a − d )( a + d ) = 3 ⇒  ⇒ . a + d = 3 d = 1 a = 2 b = 0  Thay vào (*) ta giải được  2 28 (mâu thuẫn vì c ∈ ℕ ). c = 3   d = 1 D. Kết luận Q = 14 . Chọn Câu 48. Chọn D x y z Vì x, y , z là các số thực dương suy ra , , là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta yz zx xy có:

x y z 1 1 1 + + ≥ + + yz zx xy x y z

Áp dụng BĐT Cô – si ta có: x2 1 x2 1 1 1 3 + + ≥ 3. 3 . . = (4) 2 2x 2x 2 2x 2x 2

y2 1 y2 1 1 1 3 . . + + ≥ 3. 3 = (5) 2 2y 2y 2 2y 2y 2 z2 1 z2 1 1 3 1 + + ≥ 3. 3 . . = (6) 2 2z 2z 2 2z 2z 2 Cộng các vế của (4), (5) và (6) ta được Suy ra P ≥ Câu 49.

1 2 1 1 1 9 ( x + y2 + z2 ) + + + ≥ x y z 2 2

9 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z 2

Chọn B a  b  c   1 1 a  1 1 b   1 1 c   E = 1 + 1 +  1 +  =  + +  + +   + +   2b  2c   2a   2 2 2b  2 2 2c   2 2 2a  1 1 a 1 1 b 1 1 c 27 ≥ 3 3 . . .3 3 . . .3 3 . . = . 2 2 2b 2 2 2c 2 2 2a 8 Dấu = xảy ra ⇔ a = b = c . 27 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức E bằng . 8 Câu 50. Chọn B Áp dụng hệ quả của BĐT Côsi ta có: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ≤  + +  (1). ( 2 x + y + z )  + +  = ( x + x + y + z )  + + +  ≥ 16 ⇔ + + 2 16 x y z x x y z x y z     x y z 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ≤  + +  ( 2) ; ≤  + +  ( 3) Tương tự ta có : x + 2 y + z 16  x y z  x + y + 2 z 16  x y z  Cộng các BĐT (1),(2),(3) vế theo vế ta có: 1 1 1 11 1 1 F= + + ≤  + +  = 1. 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z 4  x y z  3 Vậy Fmax = 1 đạt được khi x = y = z = . 4 Câu 51. Chọn B + Theo bài ra 6 số a, b, c, m, n, p > 0 , áp dụng BĐT Cauchy cho 2018 số dương, gồm 2017 số 6 2018. 2017 m và 1 số là

(2a) 2018 ta được: m 16

2017 (2 a ) 2018 (2a) 2018 ≥ 2018. 2018 62018. 2017 m = 2018.62017.2a . m m 2.(2a )2018 ⇒ 2.2017.62018. 2017 m + ≥ 2018.62017.4a m 2.(2a) 2018 ⇒ ≥ 2018.62017.4a − 2017.62018.2. 2017 m (1) m + Chứng minh tương tự ta có: 2.(2b) 2018 ≥ 2018.62017.4b − 2017.62018.2. 2017 n (2) n 3. c2018 ≥ 2018.62017.3c − 2017.62018.3. 2017 p (3) p Cộng 3 BĐT (1), (2), (3) theo vế ta có: S ≥ 2018.62017 (4a + 4b + 3c) − 2017.62018 (2.2017 m + 2.2017 m + 3.2017 p )

(

2017.62018. 2017 m +

)

Theo bài ra: 2. 2017 m + 2. 2017 n + 3. 2017 p ≤ 7 và 4a + 4b + 3c ≥ 42 nên ta có: S ≥ 2018.62017.42 − 2017.62018.7 = 7.62018 > 62018 ⇒ Chọn B.

 2 1   x + 2  Cô-si 4 1 x  2 2 2 2 ⇒ a +b +c ≥  ≥ 3 . Dấu “ = ” xảy ra khi x = x 2 ⇔ x = ±1 . 1 2 x + 2 +1 x Câu 55. Chọn B. Đặt cạnh của hình chữ nhật lần lượt là x , y ( x , y > 0 ; y là cạnh của bức tường). Ta có: 2 x + y = 100 . (1) . 2

y   x+ 2  1 y 1 2 2 Diện tích hình chữ nhật là S = xy = 2.x. ≤ 2.   = ( 2 x + y ) = (100 ) = 1250 . 2 8  2  8   y 2 Vậy S max = 1250 m . Đạt được khi x = ⇔ y = 2 x ⇒ x = 25m ; y = 50 m . 2 Câu 56. Chọn C Giả sử hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là a, b ( 0 < a, b < 150 ) , đơn vị: m. Cosi

Từ giả thiết, ta có a + b = 150. Diện tích hình chữ nhật là S = a.b . Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có a+b a.b ≤ ⇔ a.b ≤ 75 ⇔ ab ≤ 5625 ⇔ S ≤ 5625 . 2 a = b ⇔ a = b = 75. Dấu bằng xảy ra  a + b = 150

Câu 52. Hướng dẫn giải Chọn

a 1 1    b   c   1 Ta có: P + 3 =  + 1 +  + 1 +  + 1 = ( a + b + c )  + + . b+c  c+a  a+b  b+c c+ a a +b  9 Áp dụng bất đẳng thức : ∀x, y, z > 0 ⇒ 1 + 1 + 1 ≥ ; đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z x+ y+z x = y = z. 1 1 1 9 + + ≥ Ta được , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. b + c c + a a + b 2 ( a + b + c)

9 3 Do đó P + 3 ≥ ⇒ P ≥ ; đẳng thức xảy ra khi a = b = c . 2 2 Câu 53. Chọn B.

1 + x3 + y 3 ≥ Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: 1 + x + y ≥ 3xy ⇒ xy 3

Tương tự, ta có:

1 + y3 + z3 ≥ 3x , yz

Hay max S = 5625 m2 .

Câu 57.

Khi đó chu vi hình chữ nhật P = 2. ( a + b ) ≥ 2.2 ab = 16 3 .

Câu 58.

Chọn C A

3 = 3z . xy

1 + z 3 + x3 ≥ 3y . zx

Suy ra: P ≥ 3x + 3 y + 3z ≥ 3 3 3

xyz = 3 3 .

Vậy min P = 3 3 . Chọn A Kiểm tra x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế cho x2 ≠ 0 ta được 1 c 1 c x4 + ax3 + bx2 + cx + 1 = 0 ⇔ x 2 + 2 + ax + b + = 0 ⇔ x 2 + 2 = −ax − b − x x x x 2 2 Bunhiacopxki 1 c   2 1    2 2 2  2 ⇒  x + 2  =  ax + + b  ≤ a + b + c  x + x 2 + 1 x   x  

(

)

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 1 .

Câu 54.

Chọn A Gọi hai cạnh của hình chữ nhật lần lượt là a , b với a.b = 48 .

Đặt BM = x ⇒ MN = 16 − 2 x với 0 < x < 8 . ∆QBM vuông tại M ⇒ QM = BM .tan 60° = x 3 . 2

8− x + x  SMNPQ = MN .MQ = (16 − 2 x ) x 3 = 2 3 ( 8 − x ) x ≤ 2 3.   2   ⇒ S MNPQ ≤ 32 3 . Vậy tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất bằng 32 3 khi x = 4 .

Câu 59.

Chọn D

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AC , AB . Khi đó ta luôn có ME ≥ MK , MF ≥ MH . 1 1 Vì tam giác MEF vuông tại M nên S ∆MEF = ME .MF ≥ .MH .MK . 2 2 1 1 Do M là trung điểm BC nên MK = AC , MH = AB 2 2 1 1 1 1 S Vì vậy S ∆MEF ≥ .MH .MK = . AB. AC = . 2 2 2 2 4

TOÁN 10

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

A. [ −2; +∞ ) .

0D4-2

Câu 7.

B. [ −3; +∞ ) .

C. [ −3; +∞ ) \ {0} .

1 > 2 x là Điều kiện của bất phương trình x+2 A. x > −2 . B. x ≠ 2 .

D. [ −2; +∞ ) \ {0} .

DẠNG 5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ .................................................... 6

C. x ≠ −2 . 12 x x−2 x + 2 ≠ 0 x + 2 > 0 x + 2 ≠ 0 A.  . B.  . C.  . x x − 2 ≥ 0 − 2 ≠ 0   x − 2 > 0 Giá trị x = 3 thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây? x2 − x + 1 A. B. 2 x − 1 > x 2 . C. x 2 − x 2 + 1 < 6 . ≥ x + 1. x −1

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 8

DẠNG 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Contents PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1

Câu 8.

DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH ....................................................................... 1 DẠNG 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG............................................... 2 DẠNG 3. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN .......... 3

Câu 9.

DẠNG 4. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN .......... 5

DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH ....................................................................... 8 DẠNG 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG............................................... 9

Câu 10.

DẠNG 3. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN ........ 10 DẠNG 4. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN ........ 13 DẠNG 5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ .................................................. 14

Tìm điều kiện của bất phương trình

D. x < −2 .

x+2 >

x + 2 ≥ 0 D.  . x − 2 ≠ 0 D. 2 x 2 − 5x + 2 < 0 .

Khẳng định nào sau đây sai? x ≥ 3 x −3 A. x 2 ≥ 3x ⇔  . B. ≥ 0 ⇔ x−3≥ 0. x−4 x ≤ 0

C. x + x ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ . D. x 2 < 1 ⇔ x < 1 . Câu 11. Bất phương trình nào sau đây không tương đương với bất phương trình x + 5 ≥ 0 ? A. − x 2 ( x + 5 ) ≤ 0 . B. x + 5 ( x + 5 ) ≥ 0 . 2

Câu 12.

PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

1 3 > có điều kiện xác định là x −1 x + 2 A. x ≠ −1; x ≠ 2 . B. x ≠ −1; x ≠ −2 . C. x ≠ 1; x ≠ −2 . 2x 1 Điều kiện xác định của bất phương trình − ≥ 1 là x +1 − 3 2−x x ≠ 2 x < 2 A. x ≤ 2 . B.  . C.  .  x ≠ −4  x ≠ −4 1 > x + 2 là Điều kiện của bất phương trình 2 x −4 A. x ≠ ±2 . B. x ≠ 2 . C. x > 2 . 2x − 3 > x +1. Tìm điều kiện của bất phương trình 2x + 3 3 3 2 x x ≠ − ≠ A. . B. . C. x ≠ − . 2 2 3 2x − 3 Tìm điều kiện của bất phương trình < x−2. 6 − 3x A. x < 2 . B. x > 2 . C. x ≤ 2 . 1 Tập xác định của bất phương trình 3 x + 2 + x + 3 + > 2 x − 3 là x Bất phương trình

D. x ≠ 1; x ≠ 2 .

Câu 13.

D. x < 2 . Câu 14. D. x > 0 .

D. x ≠

2 . 3

D. x ≥ 2 .

Câu 15.

C. ( x − 1) ( x + 5) ≥ 0 . D. x + 5 ( x − 5 ) ≥ 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 A. x2 ≤ 3x ⇔ x ≤ 3 . B. < 0 ⇔ x ≤ 1 . x x +1 C. 2 ≥ 0 ⇔ x + 1 ≥ 0 . D. x + x ≥ x ⇔ x ≥ 0 . x 8 > 1 (1) . Một học sinh giải như sau: Cho bất phương trình: 3− x ( I) 1 ( III)  x ≠ 3 1 ( II)  x ≠ 3 ⇔ . > ⇔ (1) ⇔ x 3 − < 8 3− x 8  x > 5 Hỏi học sinh này giải sai ở bước nào? A. ( I ) . B. ( II ) . C. ( III ) . D. ( II ) và ( III ) . Cặp bất phương trình nào sau đây không tương đương 1 1 A. x − 1 ≥ x và ( 2 x + 1) x − 1 ≥ x ( 2 x + 1) . B. 2 x − 1 + < và 2 x − 1 < 0 . x −3 x −3 2 2 C. x ( x + 2 ) < 0 và x + 2 < 0 . D. x ( x + 2 ) > 0 và ( x + 2 ) > 0 . Cặp bất phương trình nào sau đây không tương đương: 1 1 1 1 < > A. 5 x − 1 + và 5 x − 1 < 0 . B. 5 x − 1 + và 5 x − 1 > 0 . x−2 x−2 x−2 x−2 2 2 C. x ( x + 3) < 0 và x + 3 < 0 . D. x ( x + 5 ) ≥ 0 và x + 5 ≥ 0 .

Câu 16. Với điều kiện x ≠ 1 , bất phương trình A. x − 1 > 0 hoặc

4x − 3 < 0. x −1

2 x −1 > 2 tương đương với mệnh đề nào sau đây: x −1 2x −1 < 2. B. −2 < x −1 2

2x −1 > ±2 . x −1 Câu 17. Bất phương trình C.

A. 3 .

D. Tất cả các câu trên đều đúng.

B. 2 .

C. Vô số.

D. 4 .

Câu 31.

2 x + 3 ≥ x − 2 tương đương với: 3 2 A. 2 x + 3 ≤ ( x + 2 ) với x ≥ . B. 2 x + 3 ≥ ( x + 2 ) với x ≥ 2 . 2 2 x + 3 ≥ ( x − 2 )2 2 x + 3 ≥ 0 C.  hoặc  . D. Tất cả các câu trên đều đúng. x−2 > 0   x−2≤0 3 3 Câu 18. Bất phương trình 2 x + < 3+ tương đương với: 2x − 4 2x − 4 3 3 A. 2 x < 3 . B. x < và x ≠ 2 . C. x < . D. Tất cả đều đúng. 2 2 2

Bất phương trình x 2 − 2 x + 5 + x − 1 ≤ 2 có bao nhiêu nghiệm? A. 1 nghiệm. B. vô nghiệm. C. vô số nghiệm. Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình x − 1 < 1 là A. ( −∞ ; 2 ) . B. [1; 2 ) . C. ( 0; 2 ) .

Câu 33.

D. (1; 2 ) .

2x − 5 x − 3 Bất phương trình > có tập nghiệm là 3 2 A. ( 2; +∞ ) .

Câu 34.

D. 2 nghiệm.

B. ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) .

Tập nghiệm của bất phương trình

(

C. (1; +∞ ) .

)

3x − 2 − 1

1  D.  ; +∞  . 4 

x 2 + 1 < 0 là

Câu 19.

Tập nghiệm của bất phương trình: x2 + 9 > 6 x là A. ( 3; +∞ ) . B. ℝ \ {3} . C. ℝ .

D. ( – ∞;3 ) .

Câu 20.

Bất phương trình −3 x + 9 ≥ 0 có tập nghiệm là A. [3; + ∞ ) . B. ( −∞;3] . C. ( 3; + ∞ ) .

D. ( −∞; − 3 ) .

 3 2  A. 1;  B. [1; +∞ ) C.  ;1 D. [ 2;3]  2 3  Câu 35. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Số nguyên dương x nhỏ nhất thỏa mãn 1 x − x −1 < là 100 A. 2499 . B. 2500 . C. 2501 . D. 2502 . Câu 36. Tập nghiệm của bất phương trình x − 2017 > 2017 − x là A. [ 2017, +∞ ) . B. ( −∞, 2017 ) . C. {2017} . D. ∅ .

Câu 21.

Tập nghiệm của bất phương trình 2 − 3 x < x + 6 . A. ( −1; +∞ ) . B. ( −∞; −1) . C. ( −∞;1) .

D. (1; +∞ ) .

Câu 37.

Tập nghiệm của bất phương trình

Câu 39.

Tập nghiệm của bất phương trình

DẠNG 3. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Câu 22.

Câu 23.

Câu 24.

Câu 25. Câu 26. Câu 27. Câu 28.

Cho f ( x ) = 2 x − 4 , khẳng định nào sau đây là đúng?

A. f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( 2; +∞ ) .

B. f ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −2 )

C. f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −2; +∞ ) .

D. f ( x ) = 0 ⇔ x = −2 .

2x + 3 có nghiệm là Bất phương trình 5 x − 1 > 5 5 A. x < 2 . B. x > − . C. ∀x . 2 Tập nghiệm của bất phương trình 2 x − 1 > 0 là 1 1    1  A.  −∞; −  . B.  −∞;  . C.  − ; + ∞  . 2 2    2  Nghiệm của bất phương trình 2 x − 10 ≥ 0 là A. x ≥ 5 . B. x = 5 . C. x > 5 . Tìm tập nghiệm S của bất phương trình −4 x + 16 ≤ 0 ? A. S = [ 4; + ∞ ) . B. S = ( 4; + ∞ ) . C. S = ( −∞; 4] . Số nào dưới đây là nghiệm của bất phương trình 2 x + 1 < 3 ? A. x = 2 . B. x = 3 . C. x = 0 . Cho f ( x ) = 2 x + 1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai

1 1 A. f ( x ) > 0; ∀x > − . B. f ( x ) > 0; ∀x < . C. f ( x ) > 0; ∀x > 2 . 2 2 Câu 29. Bất phương trình −3 x + 6 ≤ 0 có tập nghiệm là: A. [ 2; + ∞ ) . B. ( −∞; 2] . C. ( 2; + ∞ ) . Câu 30.

Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Bất phương trình 3

D. x >

20 . 23

1  D.  ; + ∞  . 2  D. x ≥ 8 . D. S = ( −∞; − 4 ] . D. x = 1 . D. f ( x ) > 0; ∀x > 0 . D. ( −∞; − 2 ) .

2 x 2 − 3x + 4 > 2 là x2 + 3 3   3 23   3 23 23 3 23  ; + ; + ∞  . A.  − B.  −∞; −  .  ∪  + 4 4 4 4 4 4 4 4       2  2   C.  − ; + ∞  . D.  −∞; −  . 3  3   Câu 38. Tập nghiệm của bất phương trình 3 − 2 x + 2 − x < x + 2 − x là A. (1; 2 ) . B. (1; 2] . C. ( −∞;1) . D. (1; +∞ ) .

A. ( 3; + ∞ ) .

x −1 > 1 là x −3

B. ℝ .

C. ( −∞ ;3) ∪ ( 3; + ∞ ) . D. ( −∞ ; 3) .

x −3 ≤ 4x −1 . Câu 40. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x − 5 8 8   4  A. S =  ; +∞  . B.  −∞;  . C. S =  ; +∞  . 11 11   11 

2  D.  −∞;  . 11 

Câu 41.

Tập nghiệm của bất phương trình x 2 + 2 ≤ x − 1 . 1  A. S = ∅ . B. S =  −∞; −  . C. [1; +∞ ) . 2  1 1 Câu 42. Tập nghiệm của bất phương trình x − 1 + 5 − x + > là x −3 x −3 A. S = [1;5] . B. S = (1;5 ) \ {3} . C. S = ( 3;5] .

3 ≥ 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên? x 4

1  D.  ; +∞  . 2 

D. S = [1;5] \ {3} .

DẠNG 4. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Câu 43.

(THPT NÔNG CỐNG - THANH HÓA LẦN 1_2018-2019) Tìm tập nghiệm của hệ bất 3 x + 1 ≥ 2 x + 7 phương trình:  .  4 x + 3 > 2 x + 19 A. [ 6; +∞ ) .

Câu 44.

Câu 45.

B. [8; +∞ ) .

C. ( 6; +∞ ) .

x + 3 < 4 + 2x Tập nghiệm của bất phương trình  là 5 x − 3 < 4 x − 1 A. ( −∞; −1) . B. ( −4; −1) . C. ( −∞; 2 ) .

D. (8; +∞ ) .

D. ( −1; 2 ) .

B. ∅ .

C. [ 7;8] .

DẠNG 5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

Câu 53. Bất phương trình ( m − 1) x > 3 vô nghiệm khi A. m ≠ 1. B. m < 1. C. m = 1. Câu 54. Bất phương trình m2 − 3m x + m < 2 − 2 x vô nghiệm khi

(

D. m > 1.

)

B. m ≠ 2.

C. m = 1, m = 2.

(

D. ( −∞;1) .

D. m ∈ ℝ.

)

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 57. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình mx − 2 ≤ x − m vô nghiệm. A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 58. Bất phương trình m2 + 9 x + 3 ≥ m (1 − 6 x ) nghiệm đúng với mọi x khi

(

)

A. m ≠ 3. B. m = 3. C. m ≠ −3. D. m = −3. Câu 59. Bất phương trình 4m2 ( 2 x − 1) ≥ 4m2 + 5m + 9 x − 12m nghiệm đúng với mọi x khi

(

8  D.  ;8  . 3 

2x −1  3 < − x + 1 Tập nghiệm của hệ bất phương trình  là  4 − 3x < 3 − x  2 4 3   4   1 A.  −2;  . B. −2;  . C.  −2;  . D. −1;  . 5 5   5   3 5 x − 2 < 4 x + 5 Câu 49. Tổng tất cả các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình  2 bằng 2  x < ( x + 2 ) A. 21 . B. 28 . C. 27 . D. 29 .  4x + 5  6 < x − 3 Câu 50. Tập nghiệm của hệ bất phương trình  là 2 x + 3 > 7 x − 4  3 23   23   A.  ;13  . B. ( −∞;13 ) . C. (13; − ∞ ) . D.  −∞;  . 2 2    2 − x > 0 Câu 51. Tập nghiệm của hệ bất phương trình  là 2 x + 1 > x − 2 Câu 48.

2 x − 3 < 3 x − 5 D.  . 2 x − 3 > 1

A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 56. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình m2 − m x + m < 6 x − 2 vô nghiệm. Tổng các phần tử trong S bằng:

Câu 46.

A. [ 7; +∞ ) .

D. ( −3; + ∞ ) .

Câu 55. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình m2 − m x < m vô nghiệm.

D. S = ( −∞; −2 ) ∪ ( 4; +∞ ) .

3x + 2 > 2 x + 3 Tập nghiệm của hệ bất phương trình  là 1 − x > 0 1  A.  ;1 . B. ∅. C. (1; +∞ ) . 5   2 x − 1 ≥ 3 ( x − 3)  2 − x Câu 47. Hệ bất phương trình sau  có tập nghiệm là < x−3  2  x − 3 ≥ 2

A. ( −3; 2 ) . B. ( −∞; 3) . C. ( 2; + ∞ ) . Giá trị x = −2 là nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây? 2 x − 3 < 1 2 x − 5 < 3 x 2 x − 4 > 3 A.  B.  C.  . . . 4 x − 1 > 0 3 + 4 x > −6 1 + 2 x < 5

A. m ≠ 1.

4 − x ≥ 0 Tập nghiệm của hệ bất phương trình  là x + 2 ≥ 0 A. S = ( −∞; −2 ] ∪ [ 4; +∞ ) . B. S = [ −2; 4] . C. S = [ 2; 4] .

Câu 52.

)

9 9 A. m = −1. B. m = . C. m = 1. D. m = − . 4 4 Câu 60. Bất phương trình m 2 ( x − 1) ≥ 9 x + 3m nghiệm đúng với mọi x khi A. m = 1. B. m = −3. C. m = ∅. D. m = −1. Câu 61. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình ( x + m ) m + x > 3 x + 4 có tập nghiệm là ( − m − 2; +∞ ) .

A. m = 2. B. m ≠ 2. C. m > 2. D. m < 2. Câu 62. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình m ( x − m ) ≥ x − 1 có tập nghiệm là

( −∞; m + 1] . A. m = 1. B. m > 1. C. m < 1. D. m ≥ 1. Câu 63. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m ( x − 1) < 2 x − 3 có nghiệm. A. m ≠ 2 . B. m > 2 . C. m = 2 . D. m < 2 . Câu 64. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m ( x − 1) < 3 − x có nghiệm. A. m ≠ 1 . B. m = 1 . C. m ∈ ℝ . D. m ≠ 3 . Câu 65. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m2 + m − 6 x ≥ m + 1 có nghiệm.

(

)

A. m ≠ 2 . B. m ≠ 2 và m ≠ 3 . C. m ∈ ℝ . D. m ≠ 3 . Câu 66. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m2 x − 1 < mx + m có nghiệm. A. m = 1. B. m = 0 . C. m = 0; m = 1. D. m ∈ ℝ . Câu 67. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình mx + 6 < 2 x + 3m với m < 2 . Hỏi tập hợp nào sau đây là phần bù của tập S ? A. ( 3; +∞ ) . B. [3; +∞ ) . C. ( −∞;3 ) . D. ( −∞;3] . 6

Câu 68. Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình m ( 2 x − 1) ≥ 2 x + 1 có tập nghiệm là [1; +∞ ) . A. m = 3 B. m = 1 C. m = −1 D. m = −2. Câu 69. Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 x − m < 3 ( x − 1) có tập nghiệm là ( 4; +∞ ) . A. m ≠ 1. B. m = 1. C. m = −1. D. m > 1. Câu 70. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình mx + 4 > 0 nghiệm đúng với mọi x < 8 . 1  1 1  A. m ∈ − ;  . B. m ∈  −∞;  . 2  2 2   1   1   1 D. m ∈  − ;0  ∪  0;  . C. m ∈  − ; +∞  .  2   2   2 Câu 71. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình m 2 ( x − 2 ) − mx + x + 5 < 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −2018; 2 ] .

7 7 7 A. m < . B. m = . C. m > . D. m ∈ ℝ . 2 2 2 Câu 72. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình m 2 ( x − 2 ) + m + x ≥ 0 có nghiệm x ∈ [ −1; 2] .

A. m ≥ −2 . B. m = −2 . C. m ≥ −1 . 2 x − 1 > 0 Câu 73. Hệ bất phương trình  có nghiệm khi và chỉ khi: x − m < 2 3 3 3 A. m < − . B. m ≤ − . C. m > − . 2 2 2 3 ( x − 6 ) < −3  Câu 74. Hệ bất phương trình  5 x + m có nghiệm khi và chỉ khi: >7   2 A. m > −11. B. m ≥ −11. C. m < −11. x2 −1 ≤ 0 Câu 75. Hệ bất phương trình  có nghiệm khi và chỉ khi: x − m > 0 A. m > 1. B. m = 1. C. m < 1.  x − 2 ≥ 0 Câu 76. Hệ bất phương trình  2 có nghiệm khi và chỉ khi: ( m + 1) x < 4 A. m > 1. B. m < 1. C. m < −1.  m ( mx − 1) < 2 Câu 77. Hệ bất phương trình  có nghiệm khi và chỉ khi: m ( mx − 2 ) ≥ 2m + 1

1 A. m < . 3

1 B. 0 ≠ m < . 3

C. m ≠ 0.

D. m ≤ −2 .

3 D. m ≥ − . 2

5 A. m = . 2

3 3 5 B. m = . C. m = ; m = . 4 4 2 3 x + 4 > x + 9 vô nghiệm khi và chỉ khi: Câu 83. Hệ bất phương trình  1 − 2 x ≤ m − 3 x + 1 5 5 5 A. m > . B. m ≥ . C. m < . 2 2 2 2 x + 7 ≥ 8 x + 1 Câu 84. Hệ bất phương trình  vô nghiệm khi và chỉ khi: m + 5 < 2 x A. m > −3. B. m ≥ −3. C. m < −3. ( x − 3)2 ≥ x 2 + 7 x + 1 Câu 85. Hệ bất phương trình  vô nghiệm khi và chỉ khi: 2m ≤ 8 + 5 x

D. m ≤ −11.

D. m ≠ 1.

D. −1 < m < 1.

72 . 13

D. m = −1.

5 D. m ≤ . 2

D. m ≤ −3.

72 . C. m < 1 D. m < 1 13 3 x + 5 ≥ x − 1  2 2 Câu 86. Hệ bất phương trình ( x + 2 ) ≤ ( x − 1) + 9 vô nghiệm khi và chỉ khi:   mx + 1 > ( m − 2 ) x + m A. m >

B. m ≥

A. m = 3

B. m ≥ 3. C. m < 3. 2 ( x − 3) < 5 ( x − 4 ) Câu 87. Hệ bất phương trình  vô nghiệm khi và chỉ khi: mx + 1 ≤ x − 1 A. m > 1. B. m ≥ 1. C. m < 1. PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

D. m < 0.

2 x − 1 ≥ 3 Câu 78. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình  có nghiệm duy nhất. x − m ≤ 0 A. m > 2 . B. m = 2 . C. m ≤ 2 . D. m = 1. . m2 x ≥ 6 − x Câu 79. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình  có nghiệm duy nhất. 3 x − 1 ≤ x + 5 A. m = 1 . B. m = −1 . C. m = ±1 . D. m ≥ 1 . 7

( x − 3) ≥ x 2 + 7 x + 1 Câu 80. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình  có 2m ≤ 8 + 5 x nghiệm duy nhất. 72 72 72 72 A. m = . B. m > . C. m < . D. m ≥ . 13 13 13 13 mx ≤ m − 3 Câu 81. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình  có nghiệm duy nhất. ( m + 3) x ≥ m − 9 A. m = 1. B. m = −2. C. m = 2. D. m = −1. 2m ( x + 1) ≥ x + 3 Câu 82. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình  có nghiệm duy nhất. 4mx + 3 ≥ 4 x

Câu 1.

Câu 2.

DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH Chọn C x −1 ≠ 0 x ≠ 1 ⇔ Điều kiện của bất phương trình là:  . x + 2 ≠ 0  x ≠ −2 Chọn C  x ≠ −4  x ≠ −4  x + 1 − 3 ≠ 0  Điều kiện xác định của BPT:  . ⇔ x ≠ 2 ⇔  x < 2 2 − x > 0 x < 2  8

D. m ≤ 3.

D. m ≤ 1.

Câu 3.

Chọn A. Điều kiện: x2 − 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±2 . Chọn A. 3 Điều kiện: 2 x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ − . 2 Chọn A. Điều kiện: 6 − 3 x > 0 ⇔ x < 2 . Chọn C. x + 3 ≥ 0  x ≥ −3 Điều kiện xác định:  ⇔ . x ≠ 0 x ≠ 0

Câu 4.

Câu 5. Câu 6.

Vậy tập xác định của bất phương trình là [ −3; +∞ ) \ {0} . Chọn C. Điều kiện: x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ −2 . Chọn D. x + 2 ≥ 0 . Điều kiện:  x − 2 ≠ 0 Chọn C Thay x = 3 vào các bất phương trình: 7 32 − 3 + 1 ≥ 3 + 1 ⇔ ≥ 4 (không thỏa) 3 −1 2 2.3 − 1 > 32 ⇔ 5 > 9 (không thỏa)

Câu 7. Câu 8.

Câu 9.

32 − 32 + 1 < 6 ⇔ 9 − 10 < 6 ⇔ 3 < 10 ⇔ 9 < 10 (thỏa mãn) 2.32 − 5.3 + 2 < 0 ⇔ 5 < 0 (không thỏa)

Vậy x = 3 thuộc tập nghiệm bất phương trình: x 2 − x 2 + 1 < 6.

Câu 10.

DẠNG 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG Chọn B x −3 x−3 ≥ 0 ⇔ x − 3 ≥ 0 là khẳng định sai vì tập nghiệm của ≥ 0 là [3; +∞ ) \ {4} còn tập x−4 x−4 nghiệm của x − 3 ≥ 0 là [3; +∞ ) .

Câu 11.

Chọn D. Ta có x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ −5 . Ta xét các bất phương trình:  − x 2 ( x + 5 ) ≤ 0 ⇔ x ≥ −5 . 

x + 5 ( x + 5 ) ≥ 0 ⇔ x ≥ −5 . 2

 ( x − 1) ( x + 5) ≥ 0 ⇔ x ≥ −5 .  x + 5 ( x − 5) ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 . Câu 12. ChọnD Vì a ≥ b ⇔ a − c ≥ b − c , ∀c ∈ ℝ . Trong trường hợp này c = x . Câu 13. ChọnB ( I) 1 1 > . (1) ⇔ 3− x 8 Đúng vì chia hai vế cho một số dương ( 8 > 0 ) ta được bất thức tương đương cùng chiều.

1 1 ( II)  x ≠ 3 ( chỉ đúng khi: 3 − x > 0 ⇔ x < 3 ). > ⇔ 3− x 8 3 − x < 8 4 ≠ 3 4 ≠ 3 1 1 1 Với x = 4 thì > ⇔ −1 > (sai) nhưng  (đúng).Vậy ( II ) sai. ⇔ 3 − 4 < 8 3− 4 8 8   −1 < 8 ( III )  x ≠ 3 x ≠ 3 . Đúng vì đây chỉ là bước thu gọn bất phương trình bậc nhất đơn giản. ⇔  x 3 − < 8  x > 5 Câu 14. Chọn D x ≠ 0 x ≠ 0 ⇔ x2 ( x + 2) > 0 ⇔  ⇔ x ∈ ( −2; + ∞ ) \ {0} . x + 2 > 0   x > −2 x + 2 x > 0 ⇔ x > −2 ⇔ x ∈ ( −2; + ∞ ) . Vậy hai bất phương trình này không tương đương. Câu 15. Chọn B x ≠ 2 x − 2 ≠ 0 1 1  1  ⇔ 5x − 1 + > ⇔ 1 ⇔ x ∈  ; + ∞  \ {2} . x 5 x−2 x−2 >   5 x − 1 > 0  5

1 1  ⇔ x ∈  ; +∞  . 5 5  Vậy hai bất phương trình này không tương đương. Câu 16. Chọn A  2x −1  2x −1  1  x −1 > 0  x −1 > 2  x −1 − 2 > 0  x −1 > 0 2 x −1 >2⇔ ⇔  4x − 3 ⇔ ⇔ .  x −1 <0  2 x − 1 < −2  2x −1 + 2 < 0  4x − 3 < 0 x − 1   x − 1  x − 1  x − 1 Câu 17. Chọn C  A ≥ 0  B ≤ 0 Ta sử dụng kiến thức sau A ≥ B ⇔   A ≥ B2    B > 0 Câu 18. Chọn D x ≠ 2 2 x − 4 ≠ 0 x ≠ 2 3 3 3  2x + < 3+ ⇔ ⇔ ⇔ 3 ⇔ x< . 2x − 4 2x − 4 2 x < 2 x < 3 2 x < 3  2 3 2x < 3 ⇔ x < . 2 Vậy A, B, C đều đúng. 5x − 1 > 0 ⇔ x >

DẠNG 3. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Câu 19. Chọn B. 2

x 2 + 9 > 6 x ⇔ ( x − 3) > 0 ⇔ x ≠ 3 . Câu 20. Chọn B. Ta có: −3 x + 9 ≥ 0 ⇔ −3 x ≥ −9 ⇔ x ≤ 3 . Vậy: Bất phương trình −3 x + 9 ≥ 0 có tập nghiệm là ( −∞;3] . Câu 21. Chọn A. 10

Câu 22.

Ta có 2 − 3 x < x + 6 ⇔ 4 x > −4 ⇔ x > −1 . Chọn A. Ta có f ( x ) > 0 ⇔ 2 x − 4 > 0 ⇔ x > 2 ⇒ A đúng.

Câu 33.

f ( x ) < 0 ⇔ 2 x − 4 < 0 ⇔ x < −2 ⇒ B sai.

Câu 24.

Câu 25. Câu 26.

Câu 27. Câu 28.

Câu 29. Ta có Câu 30.

f ( x ) = 0 ⇔ 2 x − 4 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ D sai. Chọn D. 2x 23 20 x>4 ⇔x> . 5x − 1 > +3 ⇔ 5 5 23 Chọn D. 1 Ta có 2 x − 1 > 0 ⇔ x > . 2 1  Tập nghiệm của bất phương trình là  ; + ∞  . 2  Chọn A. Ta có 2 x − 10 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 . Vậy nghiệm của bất phương trình 2 x − 10 ≥ 0 là x ≥ 5 . Chọn A. Ta có −4 x + 16 ≤ 0 ⇔ −4 x ≤ −16 ⇔ x ≥ 4 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình −4 x + 16 ≤ 0 là S = [ 4; + ∞ ) . Chọn C. Thay x = 0 vào bất phương trình ta được: 2.0 + 1 < 3 mệnh đề đúng. Chọn B. 1 1 Ta có f ( x ) > 0 ⇔ 2 x + 1 > 0 ⇔ x > − .Vậy f ( x ) > 0; ∀x < là sai. 2 2 Chọn A −3 x + 6 ≤ 0 ⇔ x ≥ 2 . Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = [ 2; + ∞ ) .

Chọn

3 ≥ 1 ⇔ x ≤ 3 . Tập nghiệm của bất phương trình là S1 = ( 0;3] . x 3 + Nếu x < 0 thì ≥ 1 ⇔ x ≥ 3 . Tập nghiệm của bất phương trình là S 2 = ∅ . x Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = S1 ∪ S2 = ( 0;3] . + Nếu x > 0 thì

Câu 31.

Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là 3 . Chọn A x 2 − 2 x + 5 + x − 1 ≤ 2 (1) . Điều kiện xác định: x ≥ 1 .

Bất phương trình

Ta có: Với x ≥ 1 thì

x2 − 2 x + 5 =

( x − 1)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (1; +∞ ) . Chọn C 2 Điều kiện x ≥ . 3

Câu 34.

f ( x ) > 0 ⇔ 2 x − 4 > 0 ⇔ x > 2 ⇒ C sai

Câu 23.

Bất phương trình (*) có tập nghiệm là S = [1; 2 ) . ChọnC Bất phương trình đã cho ⇔ 2 ( 2 x − 5 ) > 3 ( x − 3) ⇔ 4 x − 10 > 3 x − 9 ⇔ x > 1 .

+ 4 ≥ 2 ; x − 1 ≥ 0 ⇒ VT (1) ≥ 2, ∀x ≥ 1 .

Do đó (1) ⇔ x − 2 x + 5 + x − 1 = 2 ⇔ x = 1 . Vậy bất phương trình có 1 nghiệm. Câu 32. Chọn B x ≥ 1 Ta có: x − 1 < 1 (*) ⇔  ⇔1≤ x < 2 .  x −1 < 1 2

Ta có

(

x 2 + 1 > 0, ∀x nên

)

3x − 2 − 1

x 2 + 1 < 0 ⇔ 3 x − 2 − 1 < 0 ⇔ 3x − 2 < 1 ⇔ 3x − 2 < 1 ⇔ x < 1

Kết hợp điều kiện ta được

Câu 35.

2 ≤ x <1 3

Điều kiện: x ≥ 1 . Ta có: 2

1  9999  ⇔ 100 x < 100 x − 1 + 1 ⇔ 200 x − 1 > 9999 ⇔ x >   + 1 ≈ 2500,5 100  200  Vậy x = 2501 . Câu 36. Chọn D.  x ≥ 2017 Điều kiện xác định:  ⇔ x = 2017 .  x ≤ 2017 Thử x = 2017 vào bất phương trình không thỏa mãn. Vậy bất phương trình vô nghiệm. Câu 37. Chọn D. Do x 2 + 3 > 0 ∀x ∈ ℝ nên bất phương trình đã cho tương đương với x − x −1 <

2 2 x 2 − 3x + 4 > 2 ⇔ 2 x 2 − 3 x + 4 > 2 x 2 + 3 ⇔ 3x < −2 ⇔ x < − . x2 + 3 3 Câu 38. Chọn B. Điều kiện xác định: x ≤ 2 . Bất phương trình tương đương x > 1 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (1; 2] .

(

)

Câu 39.

Chọn A. Điều kiện: x − 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3 . x −1 x −1 x − 3 2 >1⇔ − >0 ⇔ > 0 ⇔ x −3 > 0 ⇔ x > 3 . Ta có: x −3 x −3 x −3 x −3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ( 3; + ∞ ) . Câu 40. Chọn A. x −3 8 ≤ 4 x − 1 ⇔ 10 x − x + 3 ≤ 20 x − 5 ⇔ 11x ≥ 8 ⇔ x ≥ . Ta có 2 x − 5 11 Câu 41. Chọn A. x ≥ 1 x −1 ≥ 0 x ≥ 1  Ta có x 2 + 2 ≤ x − 1 ⇔  2 ⇔ ⇔ 1. 2  2 x ≤ −1 x + 2 ≤ x − 2x +1  x ≤ − 2 Vậy bất phương trình vô nghiệm. Câu 42. Chọn D.  x − 1 + 5 − x > 0 1 ≤ x ≤ 5 1 1 x −1 + 5 − x + > ⇔ ⇔ . x −3 x −3  x − 3 ≠ 0 x ≠ 3 12

DẠNG 4. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Câu 43. Chọn D 3 x + 1 ≥ 2 x + 7 x ≥ 6 x ≥ 6 Ta có  ⇔ ⇔ ⇔ x > 8. + > + > 4 x 3 2 x 19 2 x 16   x > 8 Câu 44. Chọn D x + 3 < 4 + 2x  x > −1 ⇔ ⇔ −1 < x < 2 .  5 x − 3 < 4 x − 1  x < 2 Câu 45. Chọn B x ≤ 4 Hệ phương trình ⇔  ⇔ −2 ≤ x ≤ 4 .  x ≥ −2

Câu 46.

2 − x > 0 x < 2 Ta có:  ⇔ ⇔ −3 < x < 2 2 x + 1 > x − 2  x > −3 Câu 52. Chọn A. x < 2 2 x − 3 < 1 9  9   Ta có  ⇔ 9 ⇔ − < x < 2 ⇒ Tập nghiệm S =  − ; 2  . 4  4  3 + 4 x > −6  x > − 4 2 x − 3 < 1  9  Do −2 ∈  − ; 2  nên x = −2 là nghiệm của hệ phương trình  .  2  3 + 4 x > −6

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = [ −2; 4] .

DẠNG 5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Câu 53. Rõ ràng nếu m ≠ 1 bất phương trình luôn có nghiệm. Xét m = 1 bất phương trình trở thành 0 x > 3 : vô nghiệm. Chọn C.

Chọn B

Câu 54.

(

m ≠1 Rõ ràng nếu m 2 − 3m + 2 ≠ 0 ⇔  bất phương trình luôn có nghiệm. m ≠ 2

3 x + 2 > 2 x + 3  x > 1 Ta có:  ⇔ vô nghiệm. 1 − x > 0 x < 1 Vậy tập nghiệm bất phương trình trên là S = ∅. Chọn C.  2 x − 1 ≥ 3 ( x − 3) x ≤ 8 2 x − 1 ≥ 3x − 9 − x ≥ −8   8    2 − x < x−3 ⇔  2 − x < 2 x − 6 ⇔ −3 x < −8 ⇔  x > ⇔ 7 ≤ x ≤ 8 .  3  x − 3 ≥ 4 x ≥ 7  2    x ≥ 7  x − 3 ≥ 2 Câu 48. Chọn A. 4  2 x − 1 < −3x + 3  x < 4 ⇔ Hệ bất phương trình ⇔  5 ⇔ −2 < x < . 4 − 3 x < 6 − 2 x 5   x > −2

Câu 47.

4  Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là  −2;  . 5   Câu 49. Chọn A. x < 7 x < 7 x < 7 5 x − 2 < 4 x + 5 ⇔ ⇔ . ⇔ 2  2 2 2 −4 x < 4  x > −1  x < ( x + 2 )  x < x + 4x + 4 Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là S = ( −1; 7 ) . Suy ra các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 . Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình là 21 . Câu 50. Chọn A. 4x + 5 4x + 5 23  23  < x − 3 ⇔ 2 x − 23 > 0 ⇔ x > . Tập nghiệm của < x − 3 là S1 =  ; + ∞  . 6 2 6  2  7x − 4 7x − 4 2x + 3 > là S 2 = ( −∞;13 ) . ⇔ x − 13 < 0 ⇔ x < 13 . Tập nghiệm của 2 x + 3 > 3 3  23  Hệ có tập nghiệm S = S1 ∩ S2 =  ;13  .  2  Câu 51. Chọn A. 13

)

Bất phương trình tương đương với m2 − 3m + 2 x < 2 − m .

Với m = 1 bất phương trình trở thành 0 x < 1 : vô nghiệm. Với m = 2 bất phương trình trở thành 0 x < 0 : vô nghiệm.

Chọn

m ≠ 1 Rõ ràng nếu m 2 − m ≠ 0 ⇔  bất phương trình luôn có nghiệm. m ≠ 0 Với m = 1 bất phương trình trở thành 0 x < 1 : nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ . Với m = 0 bất phương trình trở thành 0 x < 0 : vô nghiệm. B.

Câu 56.

Bất phương trình tương đương với m2 − m − 6 x < −2 − m .

Câu 55.

(

)

 m ≠ −2 bất phương trình luôn có nghiệm. Rõ ràng nếu m 2 − m − 6 ≠ 0 ⇔   m≠3 Với m = −2 bất phương trình trở thành 0 x < 0 : vô nghiệm. Với m = 3 bất phương trình trở thành 0 x < −5 : vô nghiệm. Suy ra S = {−2;3}  → −2 + 3 = 1. Chọn B.

Câu 57.

Bất phương trình tương đương với ( m − 1) x ≤ 2 − m.

Rõ ràng nếu m ≠ 1 bất phương trình luôn có nghiệm. Xét m = 1 bất phương trình trở thành 0 x ≤ 1 : nghiệm đúng với mọi x . Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. 2

Câu 58.

Bất phương trình tương đương với ( m + 3) x ≥ m − 3 .

Chọn

Câu 59.

Bất phương trình tương đương với 4m2 − 5m − 9 x ≥ 4m2 − 12m .

Với m = −3 bất phương trình trở thành 0 x ≥ −6 : nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ .

(

)

m ≠ −1  Dễ dàng thấy nếu 4m 2 − 5m − 9 ≠ 0 ⇔  9 thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng  m ≠ 4 với mọi x ∈ ℝ . 14

Với m = −1 bất phương trình trở thành 0 x ≥ 16 : vô nghiệm. 9 27 Với m = bất phương trình trở thành 0 x ≥ − : nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ . 4 4 9 Vậy giá trị cần tìm là m = . Chọn B. 4 Câu 60. Bất phương trình tương đương với m2 − 9 x ≥ m2 + 3m.

(

)

Câu 67.

Với m < 2 , bất phương trình tương đương với x > Suy ra phần bù của S là ( −∞;3] . Chọn

Câu 68.

● Vô nghiệm ( S = ∅ ) hoặc có tập nghiệm là S = ℝ thì chỉ xét riêng a = 0. ● Có tập nghiệm là một tập con của ℝ thì chỉ xét a > 0 hoặc a < 0. Bất phương trình viết lại ( m − 2 ) x > 4 − m 2 . Xét m − 2 > 0 ↔ m > 2 , bất phương trình 4 − m2 ⇔x> = −m − 2 → S = ( − m − 2; +∞ ) . Chọn C. m−2 Câu 62. Bất phương trình viết lại ( m − 1) x ≥ m 2 − 1 .

Bất phương trình tương đương với ( 2m − 2 ) x ≥ m + 1.

m +1 = 1 ⇔ m = 3 : thỏa mãn m > 1 . 2m − 2 m +1 m +1    → S =  −∞; : không • Với m < 1 , bất phương trình tương đương với x ≤ 2m − 2 2m − 2   thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy m = 3 là giá trị cần tìm. Chọn A. Câu 69. Bất phương trình tương đương với 2 x − m < 3 x − 3 ⇔ x > 3 − m. Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = ( 3 − m; +∞ ) Do đó yêu cầu bài toán ⇔

Để bất phương trình trên có tập nghiệm là ( 4; +∞ ) thì 3 − m = 4 ⇔ m = −1. Chọn 2

m −1 = m + 1  → S = [ m + 1; +∞ ) . m −1 m2 − 1 Xét m − 1 < 0 ↔ m < 1 , bất phương trình ⇔ x ≤ = m + 1  → S = ( −∞; m + 1] . m −1 Xét m − 1 > 0 ↔ m > 1 , bất phương trình ⇔ x ≥

Câu 70.

• TH1: m > 0 , bất phương trình ⇔ mx > −4 ⇔ x > − Yêu cầu bài toán ⇔ ( −8;8 ) ⊂ S ⇔ −

● Rõ ràng m − 2 ≠ 0 ↔ m ≠ 2 thì bất phương trình có nghiệm. ● Xét m − 2 = 0 ↔ m = 2 , bất phương trình trở thành 0 x < −1 (vô lí). Vậy bất phương trình có nghiệm khi m ≠ 2 . Chọn A. Câu 64. Bất phương trình viết lại ( m + 1) x < m + 3 .

Suy ra 0 < m ≤

● Rõ ràng m + 1 ≠ 0 thì bất phương trình có nghiệm. ● Xét m + 1 = 0 ↔ m = −1 , bất phương trình trở thành 0 x < 2 (luôn đúng với mọi x ). Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi m . Chọn C.

m = 2  → 0 x ≥ 3  →S = ∅ . ● Xét m2 + m − 6 = 0 ↔  m 3 0 x 2 →S = ℝ = −  → ≥ −   Hợp hai trường hợp, ta được bất phương trình có nghiệm khi m ≠ 2 . Chọn Câu 66.

(

)

Yêu cầu bài toán ⇔ ( −8;8 ) ⊂ S ⇔ −

4 1 ≥8⇔ m≥− . m 2

1 ≤ m < 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 1 1 Kết hợp các trường hợp ta được − ≤ m ≤ là giá trị cần tìm. Chọn A. 2 2 Cách 2. Yêu cầu bài toán tương đương với f ( x ) = mx + 4 > 0, ∀x ∈ ( −8;8 ) ⇔ đồ thị của hàm số y = f ( x ) trên khoảng ( −8;8 ) nằm phía trên trục hoành ⇔ hai đầu mút của đoạn thẳng đó đều nằm phía trên trục hoành

● Rõ ràng m2 − m ≠ 0 thì bất phương trình có nghiệm.

4 1 ≤ −8 ⇔ m ≤ . m 2

Suy ra −

Bất phương trình viết lại m2 − m x < m + 1 .

m = 0  → 0 x < 1  →S = ℝ . ● Xét m2 − m = 0 ↔  → 0 x < 2  →S = ℝ m = 1  Hợp hai trường hợp, ta được bất phương trình có nghiệm với mọi m ∈ ℝ . Chọn

4  4   → S =  − ; +∞  . m  m 

1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 • TH2: m = 0 , bất phương trình trở thành 0.x + 4 > 0 : đúng với mọi x. Do đó m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4 4  → S =  −∞; −  . • TH3: m < 0 , bất phương trình ⇔ mx > −4 ⇔ x < −  m m 

● Rõ ràng m + m − 6 ≠ 0 thì bất phương trình có nghiệm.

Cách 1. Ta có x < 8 ⇔ −8 < x < 8 ⇔ x ∈ ( −8;8 ) .

Chọn C. Câu 63. Bất phương trình viết lại ( m − 2 ) x < m − 3 .

Câu 65.

3m − 6 = 3  → S = ( 3; +∞ ) m−2

• Với m = 1 , bất phương trình trở thành 0 x ≥ 2 : vô nghiệm. Do đó m = 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. m +1  m +1   →S =  ; +∞  . • Với m > 1 , bất phương trình tương đương với x ≥ 2m − 2  2m − 2 

Dễ dàng thấy nếu m − 9 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3 thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng ∀x ∈ ℝ Với m = 3 bất phương trình trở thành 0 x > 18 : vô nghiệm Với m = −3 bất phương trình trở thành 0 x ≥ 0 : nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ. Vậy giá trị cần tìm là m = −3. Chọn B. Câu 61. Để ý rằng, bất phương trình ax + b > 0 (hoặc < 0, ≥ 0, ≤ 0 )

Bất phương trình tương đương với ( m − 2 ) x < 3m − 6.

D. 16

1  m≤  f ( −8 ) ≥ 0  −8m + 4 ≥ 0  2 ⇔−1 ≤m≤ 1 . ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 8m + 4 ≥ 0  f ( 8) ≥ 0 m ≥ − 1  2

Câu 71.

Cách 1. Bất phương trình ⇔ ( m 2 − m + 1) x < 2m2 − 5  →x <

Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi S1 ∩ S2 ≠ ∅ ← → Giải bất phương trình

Chọn

2m 2 − 5 m2 − m + 1

(

)

(

)

Cách 2. Ta có m2 − m + 1 x < 2m2 − 5 ⇔ m2 − m + 1 x − 2m2 + 5 < 0 .

(

)

Hàm số bậc nhất y = m − m + 1 x − 2m + 5 có hệ số m2 − m + 1 > 0 nên đồng biến.

(

)

Do đó yêu cầu bài toán ⇔ y ( 2 ) < 0 ⇔ m2 − m + 1 .2 − 2m2 + 5 < 0 ⇔ m >

Câu 72.

Bất phương trình ⇔ ( m 2 + 1) x ≥ 2m 2 − m  →x ≥

7 . 2

2m 2 − m m2 + 1

 2m 2 − m   →S =  2 ; +∞  .  m +1   2m − m  2m − m Yêu cầu bài toán ⇔ [ −1; 2 ] ∩  2 ; +∞  ≠ ∅ ← → 2 ≤ 2 ↔ m ≥ −2. Chọn m +1  m +1  1  Câu 73. Bất phương trình 2 x − 1 > 0 có tập nghiệm S1 =  ; +∞  . 2  2

Bất phương trình x − m < 2 có tập nghiệm S 2 = ( −∞; m + 2 ) .

1 3 ⇔ m > − . Chọn C. 2 2 Bất phương trình 3 ( x − 6 ) < −3 có tập nghiệm S1 = ( −∞;5 ) .

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi S1 ∩ S 2 ≠ ∅ ⇔ m + 2 >

5x + m  14 − m  ; +∞  . > 7 có tập nghiệm S2 =  2  5  14 − m Hệ có nghiệm khi và chỉ khi S1 ∩ S 2 ≠ ∅ ⇔ < 5 ⇔ m > −11. Chọn A. 5 2 Câu 75. Bất phương trình x − 1 ≤ 0 có tập nghiệm S1 = [ −1;1] . Bất phương trình

Bất phương trình x − m > 0 có tập nghiệm S 2 = ( m; +∞ ) . Hệ có nghiệm ⇔ S1 ∩ S2 ≠ ∅ ⇔ m < 1 . Chọn

Câu 76.

Bất phương trình x − 2 ≥⇔ x ≥ 2 có tập nghiệm S1 = [ 2; +∞ ) .

(

)

Bất phương trình m 2 + 1 x < 4 ⇔ x <

 m2 x < m + 2 Hệ bất phương trình tương đương với  2 . m x ≥ 4 m + 1 0 x < 2 • Với m = 0 , ta có hệ bất phương trình trở thành  : hệ bất phương trình vô nghiệm.  0x ≥ 1 m+2   x < m 2 • Với m ≠ 0 , ta có hệ bất phương trình tương đương với  .  x ≥ 4m + 1  m2 m + 2 4m + 1 1 > ⇔m< . Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m2 m2 3 1 Vậy 0 ≠ m < là giá trị cần tìm. Chọn B. 3 Câu 78. Bất phương trình 2 x − 1 ≥ 3 ↔ x ≥ 2  → S1 = [ 2; +∞ ) .

Bất phương trình x − m ≤ 0 ↔ x ≤ m  → S 2 = ( −∞; m ] .

Câu 74.

4 > 2 ⇔ 4 > 2 ( m2 + 1) ⇔ 2 > 2m2 ⇔ m2 < 1 ⇔ −1 < m < 1 . m2 + 1

Câu 77.

1 3  2m 2 − 5   2  → S =  −∞; 2  (vì m − m + 1 =  m −  + > 0, ∀m ∈ ℝ ) 2 4 m − m +1    2m 2 − 5  2m 2 − 5 7 Yêu cầu bài toán ⇔ [ −2018; 2] ⊂  −∞; 2 ↔ m > . Chọn ↔2< 2 m − m +1  m − m +1 2 

4 >2 m2 + 1

4 (do m2 + 1 > 0 ). m2 + 1

4   Suy ra S2 =  −∞; 2  . m +1   17

Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ S1 ∩ S 2 là tập hợp có đúng một phần tử ⇔ 2 = m. Chọn B. Câu 79.

(

)

Bất phương trình m2 x ≥ 6 − x ↔ m2 + 1 x ≥ 6 ↔ x ≥

6 m2 + 1

 6   → S1 =  2 ; +∞  .  m +1  Bất phương trình 3 x − 1 ≤ x + 5 ↔ x ≤ 3  → S 2 = ( −∞;3] . Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ S1 ∩ S 2 là tập hợp có đúng một phần tử 6 ⇔ 2 = 3 ⇔ m2 = 1 ⇔ m = ±1. Chọn C. m +1 8 2 Câu 80. Bất phương trình ( x − 3) ≥ x 2 + 7 x + 1 ↔ x 2 − 6 x + 9 ≥ x 2 + 7 x + 1 ↔ x ≤ 13 8   → S1 =  −∞;  . 13  

2m − 8  2m − 8  ; +∞  .  → S2 =  5  5  Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ S1 ∩ S 2 là tập hợp có đúng một phần tử 8 2m − 8 72 ⇔ = ⇔ m = . Chọn A. 13 5 13 m −3 m −9 = ⇔ m = 1. Câu 81. Giả sử hệ có nghiệm duy nhất thì m m+3 Bất phương trình 2m ≤ 8 + 5 x ⇔ x ≥

 x ≤ −2 Thử lại với m = 1 , hệ bất phương trình trở thành  ⇔ x = −2 .  x ≥ −2 Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Câu 82.

( 2m − 1) x ≥ 3 − 2m Hệ bất phương trình tương đương với  . ( 4m − 4 ) x ≥ −3 Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì 3 − 2m −3 3 5 = ⇔ 8m2 − 26m + 15 = 0 ⇔ m = hoặc m = . 2m − 1 4m − 4 4 2 Thử lại  3



m −1  m −1   → S3 =  ; +∞  . 2  2  m −1 Để hệ bất phương trình vô nghiệm ⇔ ( S1 ∩ S 2 ) ∩ S3 = ∅ ⇔ ≥ 1 ⇔ m ≥ 3. 2

↔ 1 > −2 x + m ↔ 2 x > m − 1 ↔ x >

Chọn B. Câu 87. Bất phương trình

2 ( x − 3) < 5 ( x − 4 ) ↔ x >

Bất phương trình mx + 1 ≤ x − 1 ↔ ( m − 1) x ≤ −2 . (*) • Với m = 1 , khi đó (*) trở thành 0 x ≤ −2 : vô nghiệm  → hệ vô nghiệm.

x ≥ 3 3  −1 x ≥ 3 − • Với m = , hệ trở thành  2  ⇔ x = 3 : thỏa mãn. 2⇔ 4 x ≤ 3  

 → trong trường hợp này ta chọn m = 1 . −2 −2    → S2 =  −∞; • Với m > 1 , ta có (*) ↔ x ≤ m −1 m − 1 

− x ≥ −3

4 x ≥ −2 5 1 • Với m = , hệ trở thành  ⇔ x ≥ − : không thỏa mãn. 2 2  6 x ≥ −3

 → hệ bất phương trình vô nghiệm ⇔ S1 ∩ S2 = ∅ ⇔

3 Vậy m = là giá trị cần tìm. Chọn B. 4 Câu 83.

Bất phương trình 3x + 4 > x + 9 ↔ 2 x > 5 ↔ x >

⇔

5 5   → S1 =  ; +∞  . 2 2 

5 Để hệ bất phương trình vô nghiệm ⇔ S1 ∩ S2 = ∅ ⇔ m ≤ . Chọn D. 2 → S1 = ( −∞;1] . Câu 84. Bất phương trình 2 x + 7 ≥ 8 x + 1 ↔ −6 x ≥ −6 ↔ x ≤ 1 

Câu 85.

14 ( m − 1) −6 4 ≤ ⇔ −6 ≤ 14 ( m − 1) ⇔ m ≥ (do với m > 1 → m − 1 > 0 ). 3 ( m − 1) 3 ( m − 1) 7

Khi đó S1 ∩ S 2 luôn luôn khác rỗng nên m < 1 không thỏa mãn. Vậy m ≥ 1 thì hệ bất phương trình vô nghiệm.

Chọn

Bất phương trình ( x − 3) ≥ x 2 + 7 x + 1 ↔ x 2 − 6 x + 9 ≥ x 2 + 7 x + 1

↔ −6 x + 9 ≥ 7 x + 1 ↔ 8 ≥ 13x ↔ x ≤

8 8   → S1 =  −∞;  . 13 13  

Bất phương trình m ≤ 3. .

Để hệ bất phương trình vô nghiệm ⇔ S1 ∩ S2 = ∅ ⇔

8 2m − 8 72 < ⇔m> . 13 5 13

Chọn A. Câu 86. Bất phương trình 3 x + 5 ≥ x − 1 ↔ 2 x ≥ −6 ↔ x ≥ −3  → S1 = [ −3; +∞ ) . 2

Bất phương trình ( x + 2 ) ≤ ( x − 1) + 9 ↔ x 2 + 4 x + 4 ≤ x2 − 2 x + 1 + 9 ↔ 4 x + 4 ≤ −2 x + 1 + 9 ↔ 6 x ≤ 6 ↔ x ≤ 1  → S 2 = ( −∞;1] .

Suy ra S1 ∩ S 2 = [ −3;1] . Bất phương trình mx + 1 > ( m − 2 ) x + m ↔ mx + 1 > mx − 2 x + m 19

−2 14 ≤ m −1 3

 → trong trường hợp này ta chọn m > 1 . −2  −2  ; +∞  .  → S2 =  • Với m < 1 , ta có (*) ↔ x ≥ m −1  m −1 

Bất phương trình 1 − 2 x ≤ m − 3 x + 1 ↔ x ≤ m  → S 2 = ( −∞; m ] .

m+5  m+5  ; +∞  .  → S2 =  Bất phương trình m + 5 < 2 x ↔ x > 2  2  m+5 Để hệ bất phương trình vô nghiệm ⇔ S1 ∩ S 2 = ∅ ⇔ 1 ≤ ⇔ m ≥ −3. Chọn B. 2

14  14   → S1 =  ; +∞  . 3 3 

TOÁN 10

DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT

m ≠ 2  B.  1.  m ≠ − 2

A. m ≠ 2 .

0D3-1

Contents

Câu 5.

PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1 DẠNG 1. DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT ....................................................................................................................... 1 DẠNG 2. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ............................................................................................................... 3 DẠNG 3. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU........................................................................................ 4 DẠNG 4. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ............................................................. 7 PHẦN B. LỜI GIẢI ......................................................................................................................................................... 8 DẠNG 1. DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT ....................................................................................................................... 8 DẠNG 2. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ............................................................................................................. 11 DẠNG 3. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU...................................................................................... 16 DẠNG 4. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ........................................................... 21

B. f ( x ) < 0 ⇔ x ≤ 1 . C. f ( x ) < 0 ⇔ x > 1 . D. f ( x ) < 0 ⇔ x < 1 .

Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Cho f ( x ) , g ( x ) là các hàm số xác định trên ℝ , có bảng xét dấu như sau: x 3 −∞ 1 2 +∞ f ( x) | 0 0 + − − + g ( x)

−

Khi đó tập nghiệm của bất phương trình A. [1; 2 ] . PHẦN A. CÂU HỎI

Câu 7.

D. m < 2 .

Cho nhị thức f ( x ) = x − 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. f ( x ) < 0 ⇔ x ≥ 1 .

Câu 6.

C. m > 2 .

−

f ( x) g ( x)

B. [1; 2 ) ∪ ( 3; + ∞ ) .

≥ 0 là C. [1; 2 ) ∪ [3; +∞ ) .

D. [1; 2 ] ∪ [3; +∞ ) .

C. f ( x ) = x ( 3 − x ) .

D. f ( x ) = x ( x − 3) .

Hàm số có kết quả xét dấu

DẠNG 1. DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT Câu 1.

Cho nhị thức bậc nhất f ( x ) = ax + b ( a ≠ 0 ) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

b  A. Nhị thức f ( x ) có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng  −∞; −  . a   b  B. Nhị thức f ( x ) có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng  − ; +∞  .  a  b  C. Nhị thức f ( x ) có giá trị trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng  −∞;  . a  b  D. Nhị thức f ( x ) có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng  ; +∞  . a  Câu 2.

Câu 3.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Bất phương trình ax + b < 0 có tập nghiệm là ℝ khi a = 0 và b < 0 . B. Bất phương trình bậc nhất một ẩn luôn có nghiệm. C. Bất phương trình ax + b < 0 vô nghiệm khi a = 0 và b ≥ 0 . D. Bất phương trình ax + b < 0 vô nghiệm khi a = 0 . Cho nhị thức bậc nhất f ( x ) = 23 x − 20 . Khẳng định nào sau đây đúng?

20   A. f ( x ) > 0 với ∀x ∈  −∞;  . 23  

5 B. f ( x ) > 0 với ∀x > − . 2  20  D. f ( x ) > 0 với ∀x ∈  ; +∞  .  23 

C. f ( x ) > 0 với ∀x ∈ ℝ . Câu 4.

Tìm m để f ( x ) = ( m − 2) x + 2m − 1 là nhị thức bậc nhất.

là hàm số A. f ( x ) = x − 3 . Câu 8.

+∞

2 0

B. f ( x ) = 2 − 4 x .

−

C. f ( x ) = 16 − 8 x .

Với x thuộc tập nào dưới đây thì biểu thức f ( x ) =

 1   1  A. S =  − ; 2  . B. S =  − ; 2  .  2   2  1  C. S =  −∞; −  ∪ ( 2; + ∞ ) . 2  Câu 10. Cho biểu thức f ( x ) = 1 −

D. f ( x ) = − x − 2 .

2− x không âm? 2x + 1

1  D. S =  −∞; −  ∪ [ 2; + ∞ ) . 2 

2− x . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình 3x − 2

f ( x ) ≤ 0 là

2  A. x ∈  ;1 . 3  2  C. x ∈  ;1 . 3  Câu 11. Cho biểu thức f ( x ) =

x . x+3

Bảng xét dấu sau là của biểu thức nào? x −∞ f ( x) + A. f ( x ) = x − 2 .

Câu 9.

B. f ( x ) =

2  B. x ∈  −∞;  ∪ (1; +∞ ) . 3  2  D. x ∈ ( −∞;1) ∪  ; +∞  . 3  −4 3 − . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình 3x + 1 2 − x 2

3  C.  −5;  . 2 

f ( x ) > 0 là

 11 1  A. x ∈  − ; −  ∪ [ 2; +∞ ) .  5 3 11   1   C. x ∈  −∞; −  ∪  − ; 2  . 5  3   Câu 12. Cho biểu thức f ( x ) =

 11 1  B. x ∈  − ; −  ∪ ( 2; +∞ ) .  5 3 11   1   D. x ∈  −∞; −  ∪  − ; 2  . 5  3  

Câu 20. Tập nghiệm của bất phương trình ( 2 x + 8 )(1 − x ) > 0 có dạng ( a; b ) . Khi đó b − a bằng A. 3. A. ( x + 4 )( x + 5 ) < 0.

11   1   C. x ∈  −∞; −  ∪  − ; 2  . 5  3   Câu 13. Cho biểu thức f ( x )

( x − 3)( x + 2 ) . =

x2 − 1 bất phương trình f ( x ) < 1 ? A. 1. B. 2.

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của x thỏa mãn D. 4.

A. 1.

Cho a, b là các số thực dương, khi đó tập nghiệm của bất phương trình ( x − a )( ax + b ) ≥ 0 là

b   b  A. ( −∞; a ) ∪  ; +∞  . B.  − ; a  . a   a  b  C.  −∞; −  ∪ [ a; +∞ ) . D. ( −∞; −b ) ∪ ( a; +∞ ) . a  Câu 15.

Câu 16.

A. x ( x − 5 ) < 0.

Câu 17.

B. f ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −1; 2 ) .

C. f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −1; 2 ) .

D. f ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) .

Câu 18.

C. ℝ .

B. ( −∞; −2 ) ∪ ( 5; +∞ ) . D. ( −5; −2 ) . C. 2 .

Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình ( 2 x − 3 )( 5 − x ) > 0 .

3  A.  ;5  . 2 

3  B.  −∞;  ∪ ( 5; +∞ ) . 2 

D. x ( x − 5 ) > 0.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

A. ( x + 3 )( x − 5 )(14 − 2 x ) ≤ 0.

B. ( x − 3 )( x − 5 )(14 − 2 x ) > 0.

C. ( x − 3 )( x − 5 )(14 − 2 x ) < 0.

D. ( x + 3 )( x − 5 )(14 − 2 x ) < 0.

B. − 6.

C. − 4.

D. 8.

Câu 28. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x ( 4 − x )( 3 − x )( 3 + x ) > 0 là A. Một khoảng B. Hợp của hai khoảng. C. Hợp của ba khoảng. D. Toàn trục số. A. x = − 2.

D. [1;3] .

B. x = 0.

C. x = 1.

D. x = 2.

DẠNG 3. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Câu 30.

B. 4 .

C. x ( x − 5 ) ≥ 0.

Câu 26. Hỏi bất phương trình ( 2 − x )( x + 1)( 3 − x ) ≤ 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương? A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.

D. 3 .

Tập nghiệm của bất phương trình A. [1; 2 ) .

Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình ( 2 − x )( x + 1)( 3 − x ) ≤ 0 là A. 1 .

B. x ( x − 5 ) ≤ 0.

Câu 25. Tập nghiệm S = ( −∞;3 ) ∪ ( 5; 7 ) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

Tập nghiệm của bất phương trình ( x + 2 )( 5 − x ) < 0 là C. ( −2;5 ) .

D. 4.

Câu 29. Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình ( x − 1) x ( x + 2 ) ≥ 0 là

Tập nghiệm của bất phương trình ( x − 1)( x − 3) ≤ 0

A. [5; +∞ ) .

C. − 5.

Câu 24. Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình x ( x − 2 )( x + 1) > 0 là

A. − 9.

A. f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ [ −1; 2 ] .

B. [3; + ∞ ) .

B. − 4.

Câu 27. Tích của nghiệm nguyên âm lớn nhất và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình ( 3x − 6 )( x − 2 )( x + 2 )( x − 1) > 0 là

Cho biểu thức f ( x ) = ( x − 2 )( x + 1) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ( −∞;1] ∪ [3; + ∞ ) .

B. ( x + 4 )( 5 x − 25 ) < 0.

Câu 23. Tập nghiệm S = [ 0; 5] là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

DẠNG 2. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Câu 14.

D. không giới hạn.

Câu 22. Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình ( x + 3)( x − 1) ≤ 0 là

A. 2. C. 3.

C. 9.

C. ( x + 4 )( 5 x − 25 ) ≥ 0. D. ( x − 4 )( x − 5 ) < 0.

trình f ( x ) < 0 là

 11 1  B. x ∈  − ; −  ∪ ( 2; +∞ ) .  5 3 11   1   D. x ∈  −∞; −  ∪  − ; 2  . 5  3  

B. 5.

Câu 21. Tập nghiệm S = ( − 4;5 ) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

1 2 3 + − . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương x x+4 x+3

A. x ∈ ( −12; −4 ) ∪ ( −3; 0 ) .

3  D.  −∞;  ∪ ( 5; +∞ ) . 2 

Câu 31.

B. (1; 2 ) .

Tập nghiệm của bất phương trình

 14  A.  ; +∞  .  4 

x +1 ≥ 2 là 2− x C. [ −3; 1) .

2 ≥ 4 là x−3

B. ( −∞;3] .

D. [1; 2 ] .

 14  C.  3;  .  4 Câu 32.

Câu 33.

14   D.  −3; −  . 4 

Câu 41.

(Cụm liên trường Hải Phòng-L1-2019) Tìm tập nghiệm của bất phương trình A. [ −2;3] .

B. ( −∞; − 2 ] ∪ ( 3; + ∞ ) .

C. ( −∞; − 2 ] .

D. [ −2;3 ) .

1 1 ≥ là 2 x −1 2x + 1 1 1   1  A.  −∞ ; −  ∪  ; + ∞  . B.  ; + ∞  . 2 2   2  1 1  1 1   C.  − ;  . D.  −∞ ; −  ∪  ; + ∞  . 2 2  2 2  

Bất phương trình A. S = ( −∞ ; 3] .

Câu 36.

1 ≥ 1 có tập nghiệm S là x−2 B. S = ( −∞ ; 3 ) . C. S = ( 2;3] .

Câu 43.

Câu 44.

D. [ 2 ; 3] .

C. (1; + ∞ ) .

D. ( −∞; 0 ) ∪ (1; + ∞ ) .

x − 2 x +1 ≥ là x +1 x − 2 1 1  1   B. ( −∞; −1) ∪  ; 2  . C. ( −∞; −1) ∪  ; 2  . D.  −∞;  . 2 2  2  

3 ≥ 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên? x C. Vô số. D. 4 .

Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Bất phương trình A. 3 .

B. 2 .

1 1 ≥ là x −1 x +1 B. ( −∞; − 1) ∪ (1; + ∞ ) .

Tập nghiệm của bất phương trình A. ( −1; 1) .

C. ( −∞; − 1] ∪ [1; + ∞ ) . D. (1; + ∞ ) .

4x − 3 ≥ −1 là 1 − 2x

1  B.  ;1 . 2 

1  C.  ;1 . 2 

A. ( −∞; −1) ∪ [1; +∞ ) .

1− x ≤ 0 là 1+ x B. ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ ) .

C. ( −1;1] .

D. ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) .

Bất phương trình

2x + 7 < 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương? x−4 B. 3 . C. 0 .

4− x ≤ 0 là Câu 45. Tập nghiệm của bất phương trình −3x + 6 A. ( 2; 4 ] . B. ( −∞ ; 2 ) ∪ [ 4 ; + ∞ ) . C. [ 2; 4] . Câu 46.

Câu 47.

D. [ −2;1) .

1  D.  ;1 . 2 

Tập nghiệm của bất phương trình

Tập nghiệm của bất phương trình A. ( 3; + ∞ ) .

( x − 1)( 2 x − 5)( x + 1) < 0 là S = a; b ∪ c; d . Khi đó Câu 38. Tập nghiệm của bất phương trình ( ) ( ) x+4 a + b + c + d bằng 3 5 A. − . B. 1 . C. −2 . D. . 2 2

Câu 40.

Tập nghiệm của bất phương trình

A. 14 .

1  D.  ; 2  . 2 

(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Tập nghiệm của bất phương trình

 1 A.  −1;  ∪ ( 2; +∞ ) . 2 

Câu 39.

Câu 42.

Tập nghiệm của bất phương trình A. ( 0;1) .

Câu 37.

1 > 1 là x B. ( −∞;1) .

A. [ −1;1) .

1  A.  ;1 . 2 

Tập nghiệm của bất phương trình

1− 2x Câu 34. Tập hợp nghiệm của bất phương trình ≥ 0 là 4x + 8 1  1  1   A. −2;  . B.  − ; 2  . C.  −2;  . 2  2  2   Câu 35.

2x −1 ≤1. x−3

x+3 ≥ 1 là 1− x B. ( −1;1) . C. [ −3;1) .

Tập nghiệm của bất phương trình

D. 4 .

D. ( 2 ; 4 ) .

x −1 > 1 là x −3

B. ℝ .

C. ( −∞ ;3) ∪ ( 3; + ∞ ) . D. ( −∞ ; 3) .

4x − 2 ≥ 0. 6 − 2x B. S = [ 2; 3] . C. ( −∞; 2 ) ∪ ( 3; +∞ ) . D. ( −∞; 2] ∪ ( 3; +∞ ) .

Tập nghiệm của bất phương trình A. S = [ 2;3) .

Câu 48. Bất phương trình

2x 1 − ≤ 2 có tập nghiệm là x + 1 x −1

 1 A. S =  −1;  ∪ (1; + ∞ ) .  3  1 C. S =  −1;  ∪ (1; + ∞ ) .  3

B. S = ( − ∞; − 1] ∪ (1; + ∞ ) .

1  D. S = ( −∞; −1] ∪  ;1 . 3 

1 2 3 + < có tập nghiệm là x x +4 x +3 A. S = ( − ∞; −12 ) ∪ ( − 4;3 ) ∪ ( 0; + ∞ ) . B. S = [ −12; − 4 ) ∪ ( − 3; 0 ) .

Câu 49. Bất phương trình

C. S = ( − ∞; −12 ) ∪ [ − 4; 3] ∪ ( 0; + ∞ ) . Câu 50. Bất phương trình

D. S = ( − 12; − 4 ) ∪ ( − 3; 0 ) .

1 1 < có tập nghiệm S là x + 1 ( x − 1)2

A. T = ( − ∞; − 1) ∪ ( 0;1) ∪ [1;3].

B. T = [ − 1; 0 ) ∪ ( − 3; + ∞ ) .

C. T = ( − ∞; −1) ∪ ( 0;1) ∪ (1; 3 ) .

D. T = ( − 1; 0 ] ∪ ( − 3; + ∞ ) .

Câu 51. Bất phương trình A. x = 2.

2 4x x+4 − < có nghiệm nguyên lớn nhất là x 2 − 9 x + 3 3x − x 2 B. x = 1. C. x = − 2. D. x = −1.

Câu 62.

Nghiệm của bất phương trình 2 x − 1 ≥ x + 2 là

1 A. − ≤ x ≤ 3 . 3

x > 3 C.  . x ≤ − 1 3 

B. ℝ .

DẠNG 4. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Câu 63. Câu 52.

Tập nghiệm của bất phương trình 2 x − 1 ≤ 1 . A. S = [0;1] . C. S = ( −∞;1] .

Câu 53.

Câu 64.

A. ( −∞; 2] .

Câu 55.

Cho bất phương trình

A. 0 < x ≤ 1 . Câu 57.

2 8 > . Số nghiệm nguyên nhỏ hơn 13 của bất phương trình là x − 13 9 B. 1 . C. 2 . D. 3 .

Nghiệm của bất phương trình

Câu 60.

Câu 61.

A. [ − 1; 2 ] .

A. một khoảng. x < 0 C.  . x ≥ 1

B. 0 ≤ x ≤ 1 .

D. x ≥ 1 , x < −2 .

5 B. x = . 2

C. x = 0 .

A. 1.

B. [ 2; + ∞ ) .

C. ( − ∞; − 1) .

−5 10 < là x+2 x −1 B. hai khoảng. C. ba khoảng. 2−3 x 1+ x

D. ( −∞; 2 ) .

9  D.  ; + ∞  . 2  D. ( − 2;1) .

B. 2.

C. 0.

PHẦN B. LỜI GIẢI

D. 7 .

 4  B.  − ; +∞  .  3 

 4  C.  − ; 4  .  3 

4  D.  −∞; −  ∪ [ 4; +∞ ) . 3 

Câu 1. Câu 2.

 1 3 B. S = − ;  .  2 2

3  C. S =  −∞ ;  . 2 

3  D.  ; + ∞  . 2 

C. ℝ .

D. Vô nghiệm.

Câu 3.

1  B.  ;1 . 3 

Câu 4. Câu 5.

DẠNG 1. DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT Chọn B. Theo định lý về dấu của nhị thức bậc nhất. Chọn D. Xét ax + b < 0 khi a = 0 thì có dạng 0 x + b < 0 Nếu b < 0 thì tập nghiệm là ℝ Nếu b ≥ 0 thì bất phương trình vô nghiệm. Chọn D 20 Ta có f ( x ) > 0 ⇔ 23x − 20 > 0 ⇔ x > . 23

Chọn A. Để d3 là nhị thức bậc nhất thì S = 16 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) . Chọn D 8

D. toàn trục số.

≤ 1 là

D. 1 ≤ x ≤ 4 .

Bất phương trình 2 x − 1 > x có tập nghiệm là

1  A.  −∞;  ∪ (1; +∞ ) . 3 

3 có tập nghiệm là 2  1   3  B.  − ; + ∞  . C.  − ; + ∞  .  2   2 

Câu 69. Số nghiệm nguyên của bất phương trình

Tập hợp nghiệm của bất phương trình 2 x + 1 + 2 ≥ 4 x là

3  A. S =  −∞;  . 2 

9  C.  −∞;  . 4 

Câu 67. Tập nghiệm của bất phương trình x + 1 − x − 2 ≥ 3 là

≤ 2 là

Tập nghiệm của bất phương trình 4 − 3 x ≤ 8 là

A. ( −∞; 4] .

9  B.  −∞;  . 4 

Câu 68. Tập nghiệm của bất phương trình

Câu 58. Bất phương trình x − 5 ≤ 4 có bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 10 . B. 8 . C. 9 . Câu 59.

A. ( − 2; + ∞ ) .

Với x thuộc tập nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f ( x ) = 2 x − 5 − 3 không dương?

A. x < 1 .

D. 1 .

Câu 66. Bất phương trình x + 2 − x − 1 < x −

Số giá trị nguyên x trong [ − 2017; 2017 ] thỏa mãn bất phương trình 2 x + 1 < 3 x là A. 2016 . B. 2017 . C. 4032 . D. 4034 .

x+2 −x

C. 3 .

Câu 65. Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x + 2 + −2 x + 1 ≤ x + 1 là A. 3. B. 5. C. 2. D. 0.

B. S = ∅ .

Câu 54.

A. 0 .

B. 2 .

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Bất phương trình 2 − x + 3 x − 1 ≤ 6 có tập nghiệm là

Tập nghiệm của bất phương trình 3 x + 1 > 2 .

1  A. S = ( −∞; −1) ∪  ; +∞  . 3   1 1  C. S =  −1;  . D. S =  ; +∞  . 3  3 

Câu 56.

Số nghiệm nguyên của bất phương trình x + 1 + x < 3 là

A. 4 .

1  B. S =  ;1 . 2  D. S = ( −∞;1] ∩ [1; +∞ ) .

x ≥ 3 D.  . x ≤ − 1 3 

D. 3.

Ta có f ( x ) < 0 ⇔ x − 1 < 0 ⇔ x < 1 . Câu 6. Chọn C. Bảng xét dấu: x −∞ +

−

2 |

−

g ( x)

−

f ( x) g ( x)

−

Dựa vào bảng xét dấu, ta có Câu 7.

f ( x)

+∞

2  Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) ≤ 0 ⇔ x ∈  ;1 . 3  Chọn C.

f ( x) ≥ 0 ⇔ x ∈ [1; 2 ) ∪ [3; +∞ ) . g ( x)

Câu 11.

Chọn C Từ bảng xét dấu ta thấy f ( x ) = 0 khi x = 0 ; x = 3 nên đáp án chỉ có thể là f ( x ) = x ( 3 − x ) hoặc

Ta có f ( x ) = −

Phương trình 5 x + 11 = 0 ⇔ x = −

f ( x ) = x ( x − 3) .

Mặt khác

f ( x ) > 0 khi x ∈ ( 0; 3 ) nên đáp án là

f ( x ) = x ( 3 − x ) (vì

f ( x ) = x (3 − x )

11 ; x−2=0⇔ x =2 5

1 và 3x + 1 = 0 ⇔ x = − . 3 Bảng xét dấu

⇔ f ( x ) = − x 2 + 3 x là hàm số bậc hai có hệ số a = −1 < 0 ).

Chọn đáp án C. Chọn C. Ta thấy f ( x ) = 16 − 8 x có nghiệm x = 2 đồng thời hệ số a = −8 < 0 nên bảng xét dấu trên là của

Câu 8.

4 3 3 4 5 x + 11 − = − = . 3 x + 1 2 − x x − 2 3 x + 1 ( x − 2 )( 3 x + 1)

biểu thức f ( x ) = 16 − 8 x . Chọn B. 2− x ≥ 0. Ta có f ( x ) = 2x + 1 Bảng xét dấu

Câu 9.

 11 1  Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) > 0 ⇔ x ∈  − ; −  ∪ ( 2; + ∞ ) . Chọn  5 3

Câu 12. Ta có f ( x ) =

1 2 3 x + 12 + − <0⇔ < 0. x x+4 x+3 x ( x + 3 )( x + 4 )

Phương trình x + 12 = 0 ⇔ x = −12; x + 3 = 0 ⇔ x = − 3 và x + 4 = 0 ⇔ x = − 4. Bảng xét dấu

 1  Vậy S =  − ; 2  .  2  Câu 10. Ta có f ( x ) = 1 −

2 − x 3x − 2 − 2 + x 4 x − 4 = = . 3x − 2 3x − 2 3x − 2

2 Phương trình 4 x − 4 = 0 ⇔ x = 1 và 3x − 2 = 0 ⇔ x = . 3 Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −12; − 4 ) ∪ ( − 3; 0 ) . Chọn Câu 13. 9

Ta có 1 − f ( x ) = 1 −

( x − 3)( x + 2 ) = 1 − x 2 − x − 6 = x2 −1

x2 − 1

x+5

( x − 1)( x + 1)

Phương trình x + 5 = 0 ⇔ x = − 5; x − 1 = 0 ⇔ x = 1 và x + 1 = 0 ⇔ x = −1. Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là: S = [1;3] . Chọn B.  x < −2 Ta có ( x + 2 )( 5 − x ) < 0 ⇔  . x > 5 Câu 18. Chọn C. Ta có: 2 − x = 0 ⇔ x = 2 . x + 1 = 0 ⇔ x = −1 . 3− x = 0 ⇔ x = 3. Bảng xét dấu vế trái Câu 17.

Suy ra x ∈ ( −∞; − 1] ∪ [ 2; 3] . Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng 1 − f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( − 5; − 1) ∪ (1; + ∞ ) . Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên âm của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. Câu 14.

DẠNG 2. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Chọn C x = a Xét ( x − a )( ax + b ) = 0 ⇔  x = − b a  b b Vì a, b là các số thực dương nên − < 0 , do đó − < a . a a Bảng xét dấu biểu thức ( x − a )( ax + b )

Câu 19.

Vậy số nghiệm nguyên dương ương của bất phương trình trên là 2 . Chọn A. Ta có ( 2 x − 3)( 5 − x ) > 0 ⇔ −2 x 2 + 13x − 15 > 0 . Xét tam thức f ( x ) = −2 x 2 + 13 x − 15 có hai nghiệm x1 =

3 , x2 = 5 , hệ số a = −2 , nên f ( x ) luôn 2

3  dương với mọi x thuộc khoảng  ;5  . Vậy bất phương trình ( 2 x − 3)( 5 − x ) > 0 có tập nghiệm 2  3  là khoảng  ;5  . 2  Câu 20. Đặt f ( x ) = ( 2 x + 8 )(1 − x ) Phương trình 2 x + 8 = 0 ⇔ x = − 4 và 1 − x = 0 ⇔ x = 1. Ta có bảng xét dấu

b  Từ bảng xét dấu trên suy ra ( x − a )( ax + b ) ≥ 0 ⇔ x ∈  −∞; −  ∪ [ a; +∞ ) . a  Câu 15. Chọn B Ta có f ( x ) < 0 ⇔ ( x − 2 )( x + 1) < 0 ⇔ −1 < x < 2 . Vậy B đúng. Câu 16. Chọn D  x =1 Ta có: ( x − 1)( x − 3) = 0 ⇔  . x = 3 Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có f ( x ) > 0 ⇔ − 4 < x < 1 ⇔ x ∈ ( −4;1) . Khi đó b = 1, a = − 4 ⇒ b − a = 5. Chọn B. Câu 21. Phương trình x + 4 = 0 ⇔ x = − 4 và x + 5 = 0 ⇔ x = − 5. Phương trình x − 4 = 0 ⇔ x = 4 và 5 x − 25 = 0 ⇔ x − 5 = 0 ⇔ x = 5. Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm S = ( − 4;5 ) là nghiệm của bất phương trình Chọn Câu 22. Đặt f ( x ) = ( x + 3 )( x − 1)

( x + 4 )( 5 x − 25) < 0.

B. Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( − 1; 0 ) ∪ ( 2; + ∞ ) . Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 3. Chọn B. Câu 25. Phương trình x + 3 = 0 ⇔ x = − 3; x − 3 = 0 ⇔ x = 3.

Phương trình x + 3 = 0 ⇔ x = − 3 và x − 1 = 0 ⇔ x = 1. Ta có bảng xét dấu

Và x − 5 = 0 ⇔ x = 5; 14 − 2 x = 0 ⇔ x = 7. Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm S = ( −∞;3) ∪ ( 5; 7 ) là tập nghiệm của bất phương trình Từ bảng xét dấu ta có ( x + 3 )( x − 1) ≤ 0 ⇔ − 3 ≤ x ≤ 1 ⇔ x ∈ [ −3;1] .

( x − 3)( x − 5 )(14 − 2 x ) > 0. Chọn B. Câu 26. Đặt f ( x ) = ( 2 − x )( x + 1)( 3 − x )

Suy ra các nghiệm nguyên của bất phương trình là −3, − 2, − 1, 0,1. Suy ra tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình bằng − 5. Chọn C.

Phương trình 2 − x = 0 ⇔ x = 2; x + 1 = 0 ⇔ x = −1 và 3 − x = 0 ⇔ x = 3. Ta có bảng xét dấu

Câu 23. Đặt f ( x ) = x ( x − 5 ) . Phương trình x = 0 và x − 5 = 0 ⇔ x = 5. Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) ≤ 0 ⇔ x ∈ ( − ∞; − 1] ∪ [ 2; 3] . Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng x ∈ [0;5] ⇔ f ( x ) ≤ 0 ⇔ x ( x − 5 ) ≤ 0. Chọn Câu 24. Đặt f ( x ) = x ( x − 2 )( x + 1) .

Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên dương. Chọn

Câu 27. 2

Bất phương trình ( 3x − 6 )( x − 2 )( x + 2 )( x − 1) > 0 ⇔ 3 ( x − 2 ) ( x + 2 )( x − 1) > 0

Phương trình x = 0; x − 2 = 0 ⇔ x = 2 và x + 1 = 0 ⇔ x = −1. Ta có bảng xét dấu

 x ≠ 2 2 . Vì ( x − 2 ) > 0, ∀x ≠ 2 nên bất phương trình trở thành  ( x + 2 )( x − 1) > 0 14

Đặt f ( x ) = ( x + 2 )( x − 1) . Phương trình x + 2 = 0 ⇔ x = − 2 và x − 1 = 0 ⇔ x = 1. Ta có bảng xét dấu

x ≥ 0 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) ≥ 0 ⇔  . x ≤ − 2 Kết hợp với điều kiện x ≥ 1, ta được tập nghiệm S = [1; + ∞ ) . Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là x = 1. Chọn

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( − ∞; − 2 ) ∪ (1; + ∞ ) . Kết hợp với điều kiện x ≠ 2, ta được ⇔ x ∈ ( − ∞; − 2 ) ∪ (1; 2 ) ∪ ( 2; + ∞ ) . Do đó, nghiệm nguyên âm lớn nhất của bất phương trình là − 3 và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình là 3. Vậy tích cần tính là ( − 3 ) .3 = − 9. Chọn A.

Câu 30.

Câu 28. Đặt f ( x ) = 2 x ( 4 − x )( 3 − x )( 3 + x ) . Phương trình 2 x = 0 ⇔ x = 0; 4 − x = 0 ⇔ x = 4;

Câu 31.

Và 3 − x = 0 ⇔ x = 3; 3 + x = 0 ⇔ x = − 3. Ta có bảng xét dấu

DẠNG 3. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở M ẪU Chọn A Điều kiện: x ≠ 2 . x +1 x +1 x + 1 − 4 + 2x 3x − 3 ≥2 ⇔ −2≥0⇔ ≥0 ⇔ ≥ 0 ⇔1≤ x < 2 2− x 2−x 2− x 2− x Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [1; 2 ) .

Chọn C Điều kiện x ≠ 3. Ta có:

2 2 −4 x + 14 ≥4⇔ −4 ≥ 0 ⇔ ≥0 x−3 x −3 x−3

 14  Lập bảng xét dấu ta được có: x ∈  3;  .  4

x > 4 Từ bảng xét dấu ta có f ( x ) > 0 ⇔  0 < x < 3 ⇔ x ∈ ( −∞; − 3 ) ∪ ( 0;3 ) ∪ ( 4; + ∞ ) .   x < − 3 Suy ra tập nghiệm bất phương trình là hợp của ba khoảng. Chọn C.

Câu 29.

 x − 1 ≥ 0  x ≥ 1 ⇔ . Bất phương trình ( x − 1) x ( x + 2 ) ≥ 0 ⇔   x ( x + 2 ) ≥ 0  x ( x + 2 ) ≥ 0 Đặt f ( x ) = x ( x + 2 ) . Phương trình x = 0 và x + 2 = 0 ⇔ x = − 2. Bảng xét dấu

 14  Vậy nghiệm của bất phương trình là x ∈  3;  .  4 Câu 32. Chọn D Điều kiện: x ≠ 3 . 2 x − 1 − ( x − 3) 2x −1 x+2 ≤1⇔ ≤0⇔ ≤ 0 ⇔ −2 ≤ x < 3 x−3 x −3 x−3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: [ −2; 3 ) . Câu 33.

Chọn D

1 Điều kiện: x ≠ ± . 2 1 1 − ≥0 Bpt ⇔ 2x −1 2x + 1  x < 2 ≥0⇔  ⇔ (2 x − 1)(2 x + 1) x > 

−1 2 . 1 2

1 1   Kết hợp đk ta có tập nghiệm của bpt là S =  −∞ ; −  ∪  ; + ∞  . 2 2   Câu 34. Chọn C 15

1− 2x 1 ≥ 0 ⇔ −2 < x ≤ . 4x + 8 2

3 ≥ 1 ⇔ x ≥ 3 . Tập nghiệm của bất phương trình là S 2 = ∅ . x Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = S1 ∪ S2 = ( 0;3] . Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là 3 . Câu 40. Chọn B. 1 1 x > 1 1 1 2 ≥ ⇔ − ≥0 ⇔ . ≥ 0 ⇔ ( x − 1)( x + 1) > 0 ⇔  x −1 x +1 x −1 x +1 ( x − 1)( x + 1)  x < −1 + Nếu x < 0 thì

1  Vậy tập nghiệm của bất phươ ương trình là S =  −2;  . 2  Câu 35. Chọn C x − 2 > 0 x > 2 1 ≥1⇔  ⇔ ⇔ 2 < x ≤ 3. 1 ≥ x − 2 x−2  3 ≥ x Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = ( 2;3] . Chọn A  x > 0   x ∈ ( 0;1) 1 1 > x >1 ⇔  ⇔ ⇔ x ∈ ( 0;1) Vậy tập nghiệm của bất phương ương trình là S = ( 0;1)  x < 0 x  x ∈∅  1 < x Câu 37. Chọn C Bất phương trình tương đương với x − 2 x +1 −6 x + 3 1− 2x − ≥0⇔ ≥0⇔ ≥0 x +1 x − 2 ( x + 1)( x − 2 ) ( x + 1)( x − 2 ) 1 Ta có: 1 − 2 x = 0 ⇔ x = ; x + 1 = 0 ⇔ x = −1 ; x − 2 = 0 ⇔ x = 2 . 2 Bảng xét dấu: Câu 36.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞; − 1) ∪ (1; + ∞ ) . Chọn A. x+3 2x + 2 Ta có: ≥1 ⇔ ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x < 1 . 1− x 1− x Câu 42. Chọn D. 1  1   x ≠ 2 4x − 3 2x − 2 1 x ≠ Ta có ≥ −1 ⇔ ≥0 ⇔  ⇔ ⇔ < x ≤ 1. 2 1 − 2x 1 − 2x 2 1 ≤ x ≤ 1 ( 2 x − 2 )(1 − 2 x ) ≥ 0   2 Câu 43. Chọn A. 1− x Đặt f ( x ) = . Ta có bảng xét dấu của f ( x ) như sau 1+ x x −∞ +∞ −1 1 − + − 0 || f ( x)

Câu 41.

Dựa vào bảng xét dấu f ( x ) ta suy ra nghiệm của bất phương trình f ( x ) ≤ 0 là x < −1 hoặc

Câu 44.

1  Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình: S = ( −∞; −1) ∪  ; 2  . 2  Câu 38. Chọn A ( x − 1)( 2 x − 5 )( x + 1) < 0 ⇔ ( x 2 − 1)( 2 x 2 + 3x − 20 ) < 0 . Ta có 2 x+4 ( x + 4) Bảng xét dấu:

 5 Dựa vào bảng xét dấu BPT có tập nghiệm là S = ( −4; − 1) ∪ 1;  .  2 5 3 Vậy a + b + c + d = −4 − 1 + 1 + = − . 2 2 Câu 39. Chọn A. 3 + Nếu x > 0 thì ≥ 1 ⇔ x ≤ 3 . Tập nghiệm của bất phương trình là S1 = ( 0;3] . x 17

Câu 45.

x ≥ 1. Chọn B. 2x + 7 x + 11 <1⇔ < 0 ⇔ −11 < x < 4 . x−4 x−4 Vậy bất phương trình đã cho có 3 nghiệm nguyên dương lần lượt là {1; 2;3} .

Chọn A. Điều kiện −3 x + 6 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 . Xét 4 − x = 0 ⇔ x = 4 . Và −3 x + 6 = 0 ⇔ x = 2 . Bảng xét dấu:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ( 2 ; 4 ] .

Câu 46.

Chọn A. Điều kiện: x − 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3 . x −1 x −1 x − 3 2 >1⇔ − >0 ⇔ > 0 ⇔ x −3 > 0 ⇔ x > 3 . Ta có: x −3 x −3 x −3 x −3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ( 3; + ∞ ) . Câu 47. Chọn A. 18

Điều kiện: 6 − 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ 3 . 4x − 2 Đặt f ( x ) = . Ta có bảng xét dấu của f ( x ) như sau 6 − 2x x −∞ 2 − + 4x − 2 0 + + 6 − 2x | − + 0 f ( x)

+∞

| 0

+ − −

Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = [ 2;3) .

Câu 48. Bất phương trình

Đặt f ( x ) =

 − 12 < x < − 4 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) < 0 ⇔  . − 3 < x < 0 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( − 12; − 4 ) ∪ ( − 3; 0 ) . Chọn

2x 1 1 − 3x − ≤2⇔ ≤ 0. x + 1 x −1 ( x − 1)( x + 1) 1 − 3x

( x − 1)( x + 1)

1 x −1 = 0 ⇔ x = 1 . . Ta có 1 − 3 x = 0 ⇔ x = ;  3  x + 1 = 0 ⇔ x = −1

Câu 50.

Bảng xét dấu

Bất phương trình

1 1 1 1 < ⇔ − < 0. x + 1 ( x − 1)2 x + 1 ( x − 1)2 x ≠ 1

⇔

( x − 1) − ( x + 1) < 0 ⇔ x ( x − 3) < 0 ⇔  2 (vì ( x − 1) > 0, ∀x ∈ ℝ ).  x ( x − 3) 2 2 <0 ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1)   x +1

Đặt f ( x ) =

x ( x − 3)

x +1

. Ta có x − 3 = 0 ⇔ x = 3 và x + 1 = 0 ⇔ x = −1.

Bảng xét dấu

1  −1 < x ≤ Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) ≤ 0 ⇔  3.  x > 1   1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =  −1;  ∪ (1; + ∞ ) . Chọn 3 

Câu 49. Bất phương trình

x + 12 1 2 3 + < ⇔ < 0. x x+4 x+3 x ( x + 3 )( x + 4 )

x + 3 = 0 ⇔ x = − 3 x + 12 . . Ta có x + 12 = 0 ⇔ x = −12;  x ( x + 3)( x + 4 ) x + 4 = 0 ⇔ x = − 4 Bảng xét dấu

Đặt f ( x ) =

 x < −1 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) < 0 ⇔  . 0 < x < 3 Kết hợp với điều kiện x ≠ 1, ta được tập nghiệm S = ( − ∞; − 1) ∪ ( 0;1) ∪ (1;3 ) .

Chọn C. Câu 51. Bất phương trình tương đương với x ( x + 4) 2 x ( x − 3) 4 x ( x + 3) 3 x + 22 − <− ⇔ < 0. x ( x − 3)( x + 3) x ( x − 3)( x + 3) x ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) Đặt f ( x ) =

3 x + 22

( x − 3)( x + 3)

. Ta có 3x + 22 = 0 ⇔ x = −

Bảng xét dấu 19

22  x − 3 = 0 ⇔ x = 3 ; . 3 x + 3 = 0 ⇔ x = − 3

22   Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) < 0 ⇔ x ∈  − ∞; −  ∪ ( − 3;3) . 3   Vậy nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là x = 2. Chọn Câu 52.

Câu 53.

  x ≥ −2   x ≥ −2    2 − 2x ≤ 0   x < 0, x ≥ 1  −2 ≤ x < 0, x ≥ 1 x < 0  x ⇔ ⇔ ⇔ . ⇔   x < −2 < − x 2 x < − 2    x ≥ 1   1    −4 x − 2   x ≤ − 2 , x > 0 ≤0   x Câu 57. Chọn D. Yêu cầu bài toán ⇔ 2 x − 5 − 3 ≤ 0 ⇔ 2 x − 5 ≤ 3 ⇔ −3 ≤ 2 x − 5 ≤ 3 ⇔ 1 ≤ x ≤ 4 . Câu 58. Chọn C.  x − 5 ≥ −4 x ≥ 1 Ta có: x − 5 ≤ 4 ⇔  ⇔ ⇔1≤ x ≤ 9 − ≤ x 5 4  x ≤ 9 A.

Câu 59.

DẠNG 4. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Chọn A. Ta có 2 x − 1 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ 2 x − 1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 2 x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [ 0;1] . Chọn A. 1  x> 3 x + 1 > 2 ⇔ Ta có 3 x + 1 > 2 ⇔  3 .  3 x + 1 < − 2  x < −1

1  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞; −1) ∪  ; +∞  . 3  Câu 54. Chọn B. x > 0  x > 0 1 1  ⇔ x > ⇔ x > . 2 x + 1 < 3x ⇔  5 5  −3 x < 2 x − 1 < 3x   x > −1 1  Mà x ∈ [ − 2017; 2017 ] ⇒ x ∈  ; 2017  5  Vậy có 2017 giá trị nguyên x thỏa mãn đề bài. Câu 55. Chọn C.  8 x − 86 8  2  43  9 ( x − 13) < 0  x − 13 < − 9  < x < 13 2 8  > ⇔ ⇔4 ⇔  122 − 8 x x − 13 9  2 >8 13 < x < 61 >0   − 9 x 13 4  x − 13 9 ( )  Nghiệm nguyên nhỏ hơn 13 của bất phương trình là 11; 12 . Vậy bất phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên nhỏ hơn 13 . Câu 56. Chọn C. x+2 −x Bất phương trình: ≤2 x

Câu 60.

Câu 61.

Câu 62.

Câu 63.

Trên [1; 9 ] , phương trình x − 5 ≤ 4 có 9 nghiệm nguyên. Chọn C 4  4 − 3x ≤ 8 x ≥ −  4  ⇔ 4 − 3x ≤ 8 ⇔  3 ⇒ S = − ; 4 .  3  4 − 3x ≥ −8  x ≤ 4  Chọn C  1   x ≥ − 2    2 x + 1 ≥ 0 3  1  x ≤ 3  − 2 ≤ x ≤ 2  x + + ≥ x 2 1 2 4  3  2  BPT ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x≤  2 x + 1 < 0 1 2 1  x < −  x<−     2 2   −2 x − 1 + 2 ≥ 4 x   x ≤ 1 6   3  Vậy tập nghiệm bất phương trình là S =  −∞ ;  . 2  Chọn A x > 1 2x −1 > x 1  2 x −1 > x ⇔  ⇔ ⇔ x ∈  −∞;  ∪ (1; +∞ ) . x < 1 3  2x −1 < − x 3  Chọn D  1  x ≥ 2  2 x − 1 ≥ 0   x ≥ 3  x ≥ 3 2 x − 1 ≥ x + 2  . 2x −1 ≥ x + 2 ⇔ ⇔  ⇔ 1  2 x − 1 < 0 x ≤ − 1  x<  3    2  −2 x + 1 ≥ x + 2  1  x ≤ − 3   Chọn B □ Với x < −1 , x + 1 + x < 3 ⇔ − x − 1 − x < 3 ⇔ x > −2 . BPT không có nghiệm nguyên.

□ Với −1 ≤ x ≤ 0 , x + 1 + x < 3 ⇔ x + 1 − x < 3 ⇔ 1 < 3 (luôn đúng).

BPT có hai nghiệm nguyên x = −1 và x = 0 . 21

□ Với x > 0 , x + 1 + x < 3 ⇔ x + 1 + x < 3 ⇔ x < 1 . BPT không có nghiệm nguyên. Vậy BPT đã cho có hai nghiệm nguyên. Câu 64. Chọn B 5  x ≤ 2 2x ≤ 5  2 − x ≤ 7 − 3 x  9   −4 x ≥ −9  9 Ta có : 2 − x + 3 x − 1 ≤ 6 ⇔ 2 − x ≤ 7 − 3x ⇔  2 − x ≥ −7 + 3x ⇔  ⇔ x ≤ ⇔ x ≤ 4 4 7 7 − 3x ≥ 0 x ≤    7 3   x ≤ 3 . 9  Vậy bất phương trình có tập nghiệm là:  −∞;  . 4  Câu 65. Xét bất phương trình x + 2 + − 2 x + 1 ≤ x + 1 ( ∗) .

3 3 ⇔ x>− . 2 2 Kết hợp với điều kiện x < − 2, ta được tập nghiệm S1 = ∅. TH1. Với x < − 2, khi đó ( ∗) ⇔ − x − 2 + x − 1 < x −

3 5 ⇔ x<− . 2 2 Kết hợp với điều kiện − 2 ≤ x < 1, ta được tập nghiệm S2 = ∅. TH2. Với − 2 ≤ x < 1, khi đó (∗) ⇔ x + 2 + x − 1 < x −

3 9 ⇔x> . 2 2 9  Kết hợp với điều kiện x ≥ 1, ta được tập nghiệm S3 =  ; + ∞  . 2  TH3. Với x ≥ 1, khi đó ( ∗) ⇔ x + 2 − x + 1 < x −

Bảng xét dấu

9  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 ∪ S2 ∪ S3 =  ; + ∞  . Chọn D. 2  Câu 67. Xét bất phương trình x + 1 − x − 2 ≥ 3 Bảng xét dấu

1 TH1. Với x < − 2, khi đó ( ∗) ⇔ ( − x − 2 ) + ( − 2 x + 1) ≤ x + 1 ⇔ − 2 ≤ 4 x ⇔ x ≥ − . 2 Kết hợp với điều kiện x < − 2, ta được tập nghiệm S1 = ∅. 1 TH2. Với − 2 ≤ x < − , khi đó ( ∗) ⇔ x + 2 − 2 x + 1 ≤ x + 1 ⇔ 2 x ≥ 2 ⇔ x ≥ 1. 2 1 Kết hợp với điều kiện − 2 ≤ x < , ta được tập nghiệm S2 = ∅. 2 1 TH3. Với x ≥ , khi đó ( ∗) ⇔ x + 2 − ( −2 x + 1) ≤ x + 1 ⇔ 2 x ≤ 0 ⇔ x ≤ 0. 2 1 Kết hợp với điều kiện x ≥ , ta được tập nghiệm S3 = ∅. 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 ∪ S2 ∪ S3 = ∅. Chọn D.

TH1. Với x < −1, khi đó (∗ ) ⇔ − x − 1 + x − 2 ≥ 3 ⇔ − 3 ≥ 3 (vô lý) suy ra S1 = ∅. TH2. Với −1 ≤ x < 2, khi đó (∗ ) ⇔ x + 1 + x − 2 ≥ 3 ⇔ 2 x ≥ 4 ⇔ x ≥ 2. Kết hợp với điều kiện −1 ≤ x < 2, ta được tập nghiệm S2 = ∅.

TH3. Với x ≥ 2, khi đó ( ∗) ⇔ x + 1 − x + 2 ≥ 3 ⇔ 3 ≥ 3 (luôn đúng). Kết hợp với điều kiện x ≥ 2, ta được tập nghiệm S3 = [ 2; + ∞ ) .

Câu 66. . Xét bất phương trình x + 2 − x − 1 ≤ x −

(∗) .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 ∪ S 2 ∪ S3 = [ 2; + ∞ ) . Chọn B.

3 2

( ∗) .

Câu 68. x ≠ − 2 Điều kiện:  . x ≠ 1

Lập bảng xét dấu

Bất phương trình

−5 10 1 2 < ⇔ < ⇔ x −1 − 2 x + 2 < 0 x+2 x −1 x+2 x −1

Bảng xét dấu: 23

(∗) .

TH1. Với x < − 2, khi đó (∗ ) ⇔ − x + 1 + 2 ( x + 2 ) < 0 ⇔ x < − 5. Kết hợp với điều kiện x < − 2, ta được tập nghiệm S1 = ( − ∞; − 5 ) .

TH2. Với − 2 < x < 1, khi đó ( ∗) ⇔ − x + 1 − 2 ( x + 2 ) < 0 ⇔ 3 x > − 3 ⇔ x > − 1. Kết hợp với điều kiện − 2 < x < 1, ta được tập nghiệm S 2 = ( − 1;1) .

TH3. Với x > 1 khi đó (∗ ) ⇔ x − 1 − 2 ( x + 2 ) < 0 ⇔ x > − 5. Kết hợp với điều kiện x > 1, ta được tập nghiệm S3 = (1; + ∞ ) . Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = S1 ∪ S 2 ∪ S3 = ( − ∞; − 5 ) ∪ ( − 1;1) ∪ ( 1; + ∞ ) .

Chọn C. Câu 69. Điều kiện: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1. TH1. Với x ≥ 0, ta có

2−3 x

1+ x

≤1⇔

2 − 3x 2 − 3x 1 3 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ ≤1⇔ ≤ x ≤ . x +1 x +1 4 2

1 3 Kết hợp với điều kiện x ≥ 0, ta được tập nghiệm S1 =  ;  . 4 2 TH2. Với x < 0, ta có

2−3 x

1+ x

≤1⇔

2 + 3x 2 + 3x 3 1 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ ≤1⇔ − ≤ x ≤ − . x +1 x +1 4 2

 3 1 Kết hợp với điều kiện x < 0, ta được tập nghiệm S 2 =  − ; −  .  4 2 1 3  3 1 Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 ∪ S2 =  ;  ∪ − ; −  . 4 2  4 2 Vậy số nghiệm nguyên x cần tìm là 1 ( x = 1) . Chọn A.

TOÁN 10

HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 5.

0D4-4

Câu nào sau đây đúng?. Miền nghiệm của bất phương trình 4 ( x − 1) + 5 ( y − 3) > 2 x − 9 là nửa mặt phẳng chứa điểm A. ( 0;0 ) .

Contents PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1

B. (1;1) .

C. ( −1;1) .

D. ( 2;5 ) .

Câu 6.

Miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2 ( y + 3) > 4 ( x + 1) − y + 3 là phần mặt phẳng chứa điểm nào? A. ( 3;0 ) . B. ( 3;1) . C. (1;1) . D. ( 0;0 ) .

Câu 7.

Miền nghiệm của bất phương trình 5 ( x + 2 ) − 9 < 2 x − 2 y + 7 là phần mặt phẳng không chứa điểm nào? A. ( −2;1) . B. ( 2;3) . C. ( 2; −1) . D. ( 0;0 ) .

Câu 8.

Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình 2 x + y < 1 ?

DẠNG 1. TÌM NGHIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ..................................................................... 1 DẠNG 2. TÌM MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN .......................................... 5 DẠNG 3. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT .................................................................................. 8 DẠNG 4. ÁP DỤNG BÀI TOÁN THỰC TẾ ................................................................................................................ 10 PHẦN B. LỜI GIẢI ....................................................................................................................................................... 11 DẠNG 1. TÌM NGHIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ................................................................... 11

A. ( −2;1) .

DẠNG 2. TÌM MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ........................................ 16 DẠNG 3. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ................................................................................ 21 DẠNG 4. ÁP DỤNG BÀI TOÁN THỰC TẾ ................................................................................................................ 25

Câu 9.

B. ( 3; −7 ) .

C. ( 0;1) .

D. ( 0;0 ) .

Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình x − 4 y + 5 ≥ 0 ?

A. ( −5;0 ) . B. ( −2;1) . C. (1; −3) . D. ( 0;0 ) . Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? B. 3x 2 + 2 x − 4 > 0 . C. 2 x 2 + 5 y > 3 . D. 2 x + 3 y < 5 . A. 2 x − 5 y + 3z ≤ 0 . Câu 11. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2 x + y − 3 > 0 ? 3  3  A. Q ( −1; −3) . B. M  1;  . C. N (1;1) . D. P  −1;  . 2  2 

Câu 10.

PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. TÌM NGHIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Câu 1.

Câu 2.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c (các hệ số a, b, c là những số thực, a và b không đồng thời bằng 0 ) không được gọi là miền nghiệm của nó. B. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình 2 x − 3 y + 1 < 0 trên hệ trục Oxy là đường thẳng 2x − 3 y + 1 = 0 . C. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c (các hệ số a, b, c là những số thực, a và b không đồng thời bằng 0 ) được gọi là miền nghiệm của nó. D. Nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c (các hệ số a, b, c là những số thực, a và b không đồng thời bằng 0 ) là tập rỗng. Câu nào sau đây sai?. Miền nghiệm của bất phương trình − x + 2 + 2 ( y − 2 ) < 2 (1 − x ) là nửa mặt phẳng chứa điểm A. ( 0;0 ) .

Câu 3.

C. ( 4; 2 ) .

D. (1; −1) .

Câu nào sau đây đúng?. Miền nghiệm của bất phương trình 3 ( x − 1) + 4 ( y − 2 ) < 5 x − 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm A. ( 0;0 ) .

Câu 4.

B. (1;1) .

B. ( −4; 2 ) .

C. ( −2; 2 ) .

D. ( −5;3) .

Câu nào sau đây sai?. Miền nghiệm của bất phương trình x + 3 + 2 ( 2 y + 5) < 2 (1 − x ) là nửa mặt phẳng chứa điểm A. ( −3; −4) .

B. ( −2; −5) .

C. ( −1; −6 ) . 1

D. ( 0;0 ) .

Câu 12. Miền nghiệm của bất phương trình −3 x + y + 2 ≤ 0 không chứa điểm nào sau đây?  1 B. B ( 2 ; 1) . C. C 1 ;  . D. D ( 3 ; 1) . A. A (1 ; 2 ) .  2 Câu 13. Miền nghiệm của bất phương trình x + 3 + 2(2 y + 5) < 2(1 − x) không chứa điểm nào sau đây? 2  1 A. A ( −1 ; − 2 ) . B. B  − ; −  . C. C ( 0 ; − 3) . D. D ( −4 ; 0 ) .  11 11  Câu 14. Miền nghiệm của bất phương trình 2 x + y > 1 không chứa điểm nào sau đây? A. A (1 ; 1) .

B. B ( 2 ; 2 ) .

(

C. C ( 3 ; 3) .

) (

D. D ( −1 ; − 1) .

)

Câu 15. Miền nghiệm của bất phương trình 1 + 3 x − 1 − 3 y ≥ 2 chứa điểm nào sau đây? A. A (1 ; − 1) .

B. B ( −1 ; − 1) .

(

C. C ( −1 ; 1) .

)

D. D − 3 ; 3 .

Câu 16. Miền nghiệm của bất phương trình x − 2 + 2 ( y − 1) > 2 x + 4 chứa điểm nào sau đây? A. A (1 ; 1) .

B. B (1 ; 5) .

C. C ( 4 ; 3) .

D. D ( 0 ; 4 ) .

Câu 17. Miền nghiệm của bất phương trình 2 x − 2 y + 2 − 2 ≤ 0 chứa điểm nào sau đây? A. A (1 ; 1) .

B. B (1 ; 0) .

C. C

(

)

2; 2 .

D. D

(

)

2;− 2 .

Câu 18. Cho bất phương trình 2 x + 4 y < 5 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. (1;1) ∈ S . B. (1;10 ) ∈ S . C. (1; −1) ∈ S . D. (1;5 ) ∈ S . 2

Câu 19. Cho bất phương trình x − 2 y + 5 > 0 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. ( 2; 2 ) ∈ S . B. (1;3) ∈ S . C. ( −2; 2 ) ∈ S . D. ( −2; 4 ) ∈ S .

Câu 20. Miền nghiệm của bất phương trình 3 x − 2 y > −6 là y

D. −2

B. 2

−2

−2 x

Câu 22. Miền nghiệm của bất phương trình 3 x + 2 y > −6 là y y

−2

B. 2

−2

D. −2

y y

Câu 21. Miền nghiệm của bất phương trình 3 x + 2 y > 6 là y

D. −2

B. 2

−2

Câu 23. Cho bất phương trình −2 x + 3 y + 2 ≤ 0 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?  2  A. (1;1) ∈ S . B.  . C. (1; −2 ) ∉ S . D. (1;0) ∉ S .  2 ; 0  ∈ S   Câu 24. Cặp số ( x; y ) = ( 2;3) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây? A. 4 x > 3 y . Câu 25.

A. ( x0 ; y0 ) = ( −2; 2 ) . 3

B. x – 3 y + 7 < 0 .

C. 2 x – 3 y –1 > 0 .

D. x – y < 0 .

Cặp số ( x0 ; y0 ) nào là nghiệm của bất phương trình 3x − 3 y ≥ 4 .

B. ( x0 ; y0 ) = ( 5;1) . 4

C. ( x0 ; y0 ) = ( −4;0 ) .

D. ( x0 ; y0 ) = ( 2;1) .

DẠNG 2. TÌM MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

 x+ y−2 ≤ 0 Câu 26. Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình  là 2 x − 3 y + 2 > 0 A. ( 0;0 ) . B. (1;1) . C. ( −1;1) . D. ( −1; −1) .

A. ( 2;1) .

B. ( 6;4 ) .

C. ( 0;0 ) .

D. (1;2 ) .

Câu 34. Miền tam giác ABC kể cả ba ccạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phươ phương trình nào trong bốn hệ bất phương trình dưới đây? đ

Câu 27. Câu nào sau đây đúng?.

 x y  2 + 3 −1 ≥ 0  3y  ≤ 4 là phần mặt phẳng chứa điểm Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2( x − 1) + 2  x≥0    A. ( 2;1) . B. ( 0; 0) . C. (1;1) . D. ( 3; 4) . 2 x + 3 y − 1 > 0 Câu 28. Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  ?  5x − y + 4 < 0 A. ( −1; 4 ) . B. ( −2; 4 ) . C. ( 0;0 ) . D. ( −3; 4 ) .

2 x − 5 y − 1 > 0  Câu 29. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  2 x + y + 5 > 0 ?  x + y +1 < 0  A. ( 0;0 ) . B. (1;0 ) . C. ( 0; −2 ) . D. ( 0; 2 ) .  x− y >0  Câu 30. Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x − 3 y + 3 < 0 là phần mặt phẳng chứa điểm  x + y −5 > 0  A. ( 5;3) . B. ( 0; 0 ) . C. (1; −1) . D. ( −2; 2 ) . 3 x + y ≥ 9 x ≥ y − 3  Câu 31. Miền nghiệm của hệ bất phương trình  là phần mặt phẳng chứa điểm 2 y ≥ 8 − x  y ≤ 6 A. ( 0;0 ) . Câu 32.

Câu 33.

B. (1; 2 ) .

C. ( 2;1) .

D. (8; 4 ) .

x + y > 0 Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng 2 x + 5 y < 0 định đúng?  1  1 2 A. (1;1) ∈ S . B. ( −1; −1) ∈ S . C. 1; −  ∈ S . D.  − ;  ∈ S .  2  2 5 3 x + y ≥ 6 x ≥ y − 3  Miền nghiệm của hệ bất phương trình  là phần mặt phẳng chứa điểm: 2 y ≥ 8 − x  y ≤ 4 5

y ≥ 0  A. 5 x − 4 y ≥ 10 . 5 x + 4 y ≤ 10 

x ≥ 0  C.  4 x − 5 y ≤ 10 . 5 x + 4 y ≤ 10 

x > 0  B. 5 x − 4 y ≤ 10 .  4 x + 5 y ≤ 10 

x ≥ 0  D. 5 x − 4 y ≤ 10 .  4 x + 5 y ≤ 10 

 x > 0 Câu 35. Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng  x + 3 y + 1 ≤ 0 định đúng? A. (1; −1) ∈ S . B. 1; − 3 ∈ S . C. −1; 5 ∉ S . D. −4; 3 ∈ S .

(

)

(

)

(

)

 x > 0 Câu 36. Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng  x + 3 y + 1 > 0 định đúng? A. ( −1; 2 ) ∈ S . B. 2;0 ∉ S . C. 1; − 3 ∈ S . D. 3;0 ∈ S .

(

)

(

)

(

)

x − y > 3  Câu 37. Cho hệ bất phương trình  1 có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định 1 − 2 x + y > 0 đúng ? A. (1; −2 ) ∈ S .

B. ( 2;1) ∈ S .

C. ( 5; −6 ) ∈ S .

D. S = ∅ .

3  2 x − y ≥ 1 Câu 38. Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định 2 4 x − 3 y ≤ 2 đúng ?  1  A.  − ; −1 ∉ S .  4  B. S = {( x; y ) | 4 x − 3 y = 2} . C. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d là là đường thẳng 4 x − 3 y = 2 . D. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d là là đường thẳng 4 x − 3 y = 2 .

2 x + 3 y < 5 (1)  Câu 39. Cho hệ  . Gọi S1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), S 2 là tập nghiệm của bất 3  x + 2 y < 5 (2) phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì A. S1 ⊂ S 2 . B. S 2 ⊂ S1 . C. S 2 = S . D. S1 ≠ S .

3 x − 2 y − 6 ≥ 0  3y  Câu 46. Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2( x − 1) + ≤ 4 không chứa điểm nào sau đây? 2   x ≥ 0

Câu 40. Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D? y 3

A. A ( 2 ; − 2 ) .

y > 0 A.  . 3 x + 2 y < 6

y > 0 B.  . 3 x + 2 y < −6

x > 0 C.  . 3 x + 2 y < 6

x > 0 D.  . 3 x + 2 y > −6

x − 2 y < 0  Câu 41. Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x + 3 y > −2 chứa điểm nào sau đây? y − x < 3  A. A (1 ; 0 ) . B. B ( −2 ; 3) . C. C ( 0 ; − 1) . D. D ( −1 ; 0 ) .

B. B ( 3 ; 0 ) .

C. C (1 ; − 1) .

D. D ( 2 ; − 3) .

x − y > 0  Câu 47. Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x − 3 y ≤ −3 không chứa điểm nào sau đây? x + y > 5  A. A ( 3 ; 2 ) .

B. B ( 6 ; 3) .

C. C ( 6 ; 4 ) .

D. D ( 5 ; 4 ) .

x − 3y < 0  Câu 48. Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x + 2 y > −3 không chứa điểm nào sau đây? y + x < 2 

2 x + 3 y − 6 < 0  Câu 42. Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x ≥ 0 chứa điểm nào sau đây? 2 x − 3 y − 1 ≤ 0  1  A. A (1 ; 2 ) . B. B ( 0 ; 2 ) . C. C ( −1 ; 3) . D. D  0 ; −  . 3  2 x − 1 ≤ 0 Câu 43. Miền nghiệm của hệ bất phương trình  chứa điểm nào sau đây?  −3 x + 5 ≤ 0 5  1  A. Không có. B. B  ; 2  . C. C ( −3 ; 1) . D. D  ; 10  . 3  2  3 − y < 0 Câu 44. Miền nghiệm của hệ bất phương trình  chứa điểm nào sau đây? 2 x − 3 y + 1 > 0 A. A ( 3 ; 4 ) . B. B ( 4 ; 3) . C. C ( 7 ; 4 ) . D. D ( 4 ; 4 ) . x − 2 y < 0 Câu 45. Miền nghiệm của hệ bất phương trình  không chứa điểm nào sau đây?  x + 3 y > −2 A. A ( −1 ; 0 ) . B. B (1 ; 0 ) . C. C ( −3 ; 4 ) . D. D ( 0 ; 3) .

C. C ( −3 ; 0 ) . A. A ( 0 ; 1) . B. B ( −1 ; 1) . DẠNG 3. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

Câu 49.

D. D ( −3 ; 1) .

 y − 2x ≤ 2  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = y − x trên miền xác định bởi hệ  2 y − x ≥ 4 là  x+ y ≤5  A. min F = 1 khi x = 2 , y = 3 . B. min F = 2 khi x = 0 , y = 2 . C. min F = 3 khi x = 1 , y = 4 . D. min F = 0 khi x = 0 , y = 0 .

 2x + y ≤ 2  Câu 50. Giá trị nhỏ nhất của biết thức F = y − x trên miền xác định bởi hệ  x − y ≤ 2 là 5 x + y ≥ −4  A. min F = −3 khi x = 1, y = −2 . 4 2 C. min F = −2 khi x = , y = − . 3 3

Câu 56.

Trong một cuộc thi pha chế, hai đội A, B được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Đội A pha chế được a lít nước cam và b lít nước táo và dành được điểm thưởng cao nhất. Hiệu số a − b là A. 1 . B. 3 . C. −1 . D. −6 .

Câu 57.

Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 800 m 2 . Nếu trồng đậu trên diện tích 100 m 2 thì cần 20 công làm và thu được 3000000 đồng. Nếu trồng cà thì trên diện tích 100 m 2 cần 30 công làm và thu được 4000000 đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công làm không quá 180 công. Hãy chọn phương án đúng nhất trong các phương án sau: A. Trồng 600 m 2 đậu; 200 m 2 cà. B. Trồng 500 m 2 đậu; 300 m 2 cà.

B. min F = 0 khi x = 0, y = 0 . D. min F = 8 khi x = −2, y = 6 .

x − y ≤ 2 3 x + 5 y ≤ 15  Câu 51. Cho hệ bất phương trình  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? x ≥ 0  y ≥ 0 A. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn miền nghiệm của hệbất phương trình đã cho là miền tứ  25 9  giác ABCO kể cả các cạnh với A ( 0;3) , B  ;  , C ( 2; 0 ) và O ( 0; 0 ) .  8 8 17 B. Đường thẳng ∆ : x + y = m có giao điểm với tứ giác ABCO kể cả khi −1 ≤ m ≤ . 4 17 C. Giá trị lớn nhất của biểu thức x + y , với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là . 4 D. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x + y , với x và y thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0.  0≤ y≤4  x≥0  là Câu 52. Giá trị lớn nhất của biết thức F ( x; y ) = x + 2 y với điều kiện  x − y −1 ≤ 0   x + 2 y − 10 ≤ 0

A. 6 .

DẠNG 4. ÁP DỤNG BÀI TOÁN THỰC TẾ

B. 8 .

C. 10 .

C. Trồng 400 m 2 đậu; 200 m 2 cà. Câu 58.

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa ( 1 sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở trên 140 người và trên 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B . Trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất. Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 20 người và 0, 6 tấn hàng. Xe B chở tối đa 10 người và 1, 5 tấn hàng. A. 4 xe A và 5 xe B . B. 5 xe A và 6 xe B . C. 5 xe A và 4 xe B . D. 6 xe A và 4 xe B .

Câu 59.

(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi x, y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính x 2 + y 2

D. 12 .

 0≤ y≤5  x≥0  Câu 53. Giá trị nhỏ nhất của biết thức F ( x; y ) = x − 2 y với điều kiện  là x + y − 2 ≥ 0  x − y − 2 ≤ 0 A. −10 . B. 12 . C. −8 . D. −6 .

A. x 2 + y 2 = 1,3 . B. x 2 + y 2 = 2,6 .

 −2 x + y ≤ −2  x − 2y ≤ 2  Câu 54. Biểu thức F = y – x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện  tại điểm S ( x; y ) có toạ độ là  x+ y≤5  x≥0

A. ( 4;1) .

B. ( 3;1) .

C. ( 2;1) .

C. x2 + y 2 = 1,09 . D. x 2 + y 2 = 0,58 . Câu 60. (THPT NÔNG CỐNG - THANH HÓA LẦN 1_2018-2019) Có hai cái giỏ đựng trứng gồm giỏ A và giỏ B, các quả trứng trong mỗi đều có hai loại là trứng lành và trứng hỏng. Tổng số trứng trong hai giỏ là 20 quả và số trứng trong giỏ A nhiều hơn số trứng trong giỏ B. Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, biết xác suất để lấy được hai quả 55 . Tìm số trứng lành trong giỏ A. trứng lành là 84 A. 6. B. 14. C. 11. D. 10.

D. (1;1) .

2 x + 3 y − 6 ≤ 0  Câu 55. Biểu thức L = y − x , với x và y thõa mãn hệ bất phương trình  x ≥ 0 , đạt giá trị lớn 2 x − 3 y − 1 ≤ 0  nhất là a và đạt giá trị nhỏ nhất là b . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: 25 11 −9 A. a = và b = −2 . B. a = 2 và b = − . C. a = 3 và b = 0 . D. a = 3 và b = . 8 12 8

D. Trồng 200 m 2 đậu; 600 m 2 cà.

Câu 61.

Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, 9 lít nước và 210 gam đường để pha chế nước ngọt loại I và nước ngọt loại II. Để pha chế 1 lít nước ngọt loại I cần 10 gam đường, 1 lít nước và 4 gam hương liệu. Để pha chế 1 lít nước ngọt loại II cần 30 gam đường, 1 lít nước và 1 gam hương liệu. Mỗi lít nước ngọt loại I được 80 điểm thưởng, mỗi lít 10

nước ngọt loại II được 60 điểm thưởng. Hỏi số điểm thưởng cao nhất có thể của mỗi đội trong cuộc thi là bao nhiêu? A. 540 . B. 600 . C. 640 . D. 720 . Câu 62. Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm I và II . Mỗi sản phẩm I bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm II bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm I thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm II thì Chiến phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là. A. 32 triệu đồng. B. 35 triệu đồng. C. 14 triệu đồng. D. 30 triệu đồng. Câu 63. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi x , y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm x , y để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn? A. x = 0,3 và y = 1,1. B. x = 0,3 và y = 0,7 . C. x = 0,6 và y = 0,7 . D. x = 1,6 và y = 0, 2 .

Câu 11.

Tập hợp các điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình 2 x + y − 3 > 0 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng 2 x + y − 3 = 0 và không chứa gốc tọa độ.  3 Từ đó ta có điểm M 1;  thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2 x + y − 3 > 0 .  2

Câu 12. Hướng dẫn giải Chọn

PHẦN B. LỜI GIẢI

Câu 1. Câu 2.

DẠNG 1. TÌM NGHIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Chọn C Chọn C. Ta có: − x + 2 + 2 ( y − 2 ) < 2 (1 − x ) ⇔ − x + 2 + 2 y − 4 < 2 − 2 x ⇔ x + 2 y < 4 .

Câu 3.

Dễ thấy tại điểm ( 4; 2 ) ta có: 4 + 2.2 = 8 > 4 . Chọn A. Ta có: 3 ( x − 1) + 4 ( y − 2 ) < 5 x − 3 ⇔ 3 x − 3 + 4 y − 8 < 5 x − 3 ⇔ 2 x − 4 y + 8 > 0 ⇔ x − 2 y + 4 > 0

Câu 4.

Dễ thấy tại điểm ( 0; 0 ) ta có: 0 − 2.0 + 4 = 4 > 0 .

Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : −3x + y + 2 = 0.

Chọn D. Ta có: x + 3 + 2 ( 2 y + 5 ) < 2 (1 − x ) ⇔ x + 3 + 4 y + 10 < 2 − 2 x ⇔ 3 x + 4 y + 8 < 0 .

Ta thấy ( 0 ; 0 ) không là nghiệm của bất phương trình.

Câu 5.

Dễ thấy tại điểm ( 0; 0 ) ta có: 3.0 + 4.0 + 8 > 0 (mâu thuẩn). Chọn D. Ta có: 4 ( x − 1) + 5 ( y − 3) > 2 x − 9 ⇔ 4 x − 4 + 5 y − 15 > 2 x − 9 ⇔ 2 x + 5 y − 10 > 0 .

Câu 6.

Dễ thấy tại điểm ( 2;5) ta có: 2.2 + 5.5 − 10 > 0 (đúng). ChọnC. Nhận xét: chỉ có cặp số (1;1) thỏa bất phương trình.

Câu 7.

ChọnC. Nhận xét: chỉ có cặp số ( 2;3) không thỏa bất phương trình.

Câu 8.

ChọnC. Nhận xét: chỉ có cặp số ( 0;1) không thỏa bất phương trình.

Câu 9.

ChọnB. Ta thay cặp số ( −2;1) vào bất phương trình x − 4 y + 5 ≥ 0 được −2 − 4 + 5 ≥ 0 (sai) đo dó cặp số

( −2;1) Câu 10.

Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn B.

Chọn

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ ( d ) không chứa điểm ( 0 ; 0 ) .

Câu 13. Hướng dẫn giải Chọn

không là nghiệm của bất phương trình x − 4 y + 5 ≥ 0 .

D. 11

(

) (

)

Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : 1 + 3 x − 1 − 3 y = 2.

Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành 3 x + 4 y + 11 < 0. Ta vẽ đường thẳng ( d ) : 3x + 4 y + 11 = 0.

Ta thấy ( 0 ; 0 ) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Ta thấy ( 0 ; 0 ) không là nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ ( d ) không chứa điểm ( 0 ; 0 ) .

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ ( d ) ) không chứa điểm ( 0 ; 0 ) .

Câu 16. Hướng dẫn giải

Câu 14.

Chọn B

Hướng dẫn giải Chọn

Đầu tiên ta thu gọn bất phương trình đã cho về thành − x + 2 y − 8 > 0. Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : 2 x + y = 1.

Vẽ đường thẳng ( d ) : − x + 2 y − 8 = 0.

Ta thấy ( 0 ; 0 ) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng (không kể bờ ( d ) ) không chứa điểm

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ ( d ) ) không chứa điểm ( 0 ; 0 ) .

( 0 ; 0) . Câu 17. Hướng dẫn giải Chọn

Câu 15.

Hướng dẫn giải Chọn

Ta thấy ( 0 ; 0 ) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt Câu 23.

phẳng (không kể bờ ( d ) ) chứa điểm ( 0 ; 0 ) . ChọnB.  2  2 + 3.0 + 2 = 0 . Ta thấy  vì −2.  2 ; 0  ∈ S 2  

D. Ta có 2 − 3 = −1 < 0 nên Chọn D. Câu 25. Chọn B. Thế các cặp số ( x0 ; y0 ) vào bất phương trình:

Câu 24.

( x0 ; y0 ) = ( −2; 2 ) ⇒ 3x − 3 y ≥ 4 ⇔ 3 ( −2 ) − 3.2 ≥ 4 (vô lí) ( x0 ; y0 ) = ( 5;1) ⇒ 3x − 3 y ≥ 4 ⇔ 3.5 − 3.1 ≥ 4 (đúng) ( x0 ; y0 ) = ( −4;0 ) ⇒ 3x − 3 y ≥ 4 ⇔ 3. ( −4 ) − 3.0 ≥ 4 (vô lí) ( x0 ; y0 ) = ( 2;1) ⇒ 3x − 3 y ≥ 4 ⇔ 3.2 − 3.1 ≥ 4 (vô lí).

Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : 2 x − 2 y + 2 − 2 = 0. Ta thấy ( 0 ; 0 ) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ ( d ) chứa điểm ( 0 ; 0 ) .

Câu 26.

Câu 18.

ChọnC. Ta thấy (1; −1) thỏa mãn hệ phương trình do đó (1; −1) là một cặp nghiệm của hệ phương trình. Câu 19. Chọn A. Ta thấy ( 2; 2 ) ∈ S vì 2 − 2.2 + 5 > 0 . Câu 20.

Câu 27. Câu 28.

Hướng dẫn giải

Câu 29.

Chọn C. Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : 3 x − 2 y = −6.

Câu 30.

Ta thấy ( 0 ; 0 ) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền

Câu 31.

nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ ( d ) chứa điểm ( 0 ; 0 ) . Câu 21. Chọn A. Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : 3x + 2 y = 6. Ta thấy ( 0 ; 0 ) không phải là nghiệm của bất phương trình cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể ( d ) ) không chứa điểm ( 0 ; 0) .

−2

Hướng dẫn giải

Câu 32.

y 3

Chọn C 1 thỏa mãn hệ bất phương trình ⇒ chọn C 2

Câu 33.

đã bờ 2

O y

Hướng dẫn giải

DẠNG 2. TÌM MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ChọnC. Ta thay cặp số ( −1;1) vào hệ ta thấy không thỏa mãn. Chọn A. Nhận xét: chỉ có điểm ( 2;1) thỏa mãn hệ. ChọnC. Nhận xét: chỉ có điểm ( 0;0 ) không thỏa mãn hệ. ChọnC. Nhận xét: chỉ có điểm ( 0; −2 ) thỏa mãn hệ. Chọn A. Nhận xét: chỉ có điểm ( 5;3) thỏa mãn hệ. ChọnD. Nhận xét: chỉ có cặp số (8; 4 ) thỏa bất phương trình 3 x + y ≥ 9 .

Thế đáp án, chỉ có x = 1; y = −

Câu 22. Chọn D. Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : 3x + 2 y = −6.

Chọn

−2 x

Chọn A Nhận xét: Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền mặt phẳng chứa tất cả các điểm có toạ độ thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. Thế x = 6; y = 4 vào từng bất phương trình trong hệ, ta lần lượt có các mệnh đề đúng: 22 ≥ 6; 6 ≥ 1; 8 ≥ 2; 4 ≤ 4 . Vậy ta chọn đáp án B . Đáp án A có toạ độ không thoả bất phương trình thứ 3. Đáp án C, D có toạ độ không thoả bất phương trình thứ 1 và 3. Câu 34. Chọn D. Cạnh AC có phương trình x = 0 và cạnh AC nằm trong miền nghiệm nên x ≥ 0 là một bất phương trình của hệ.

x y 5  Cạnh AB qua hai điểm  ; 0  và ( 0; 2 ) nên có phương trình: + = 1 ⇔ 4 x + 5 y = 10 . 5 2 2   2 x ≥ 0  Vậy hệ bất phương trình cần tìm là 5 x − 4 y ≤ 10 . 4 x + 5 y ≤ 10  Câu 35. ChọnC. Ta thấy −1; 5 ∉ S vì −1 < 0 .

(

Câu 36.

)

ChọnD. Ta thấy

(

 3 > 0 . 3;0 ∈ S vì   3 + 3.0 + 1 > 0

)

Câu 37. Hướng dẫn giải Chọn D. Vì không có điểm nào thỏa hệ bất phương trình. Câu 38. Hướng dẫn giải Chọn B.

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng: ( d1 ) : 2 x + 3 y = 5 3 (d2 ) : x + y = 5 2 Ta thấy ( 0 ; 0 ) là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Say khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ. Câu 40. Hướng dẫn giải Chọn A. Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng ( d1 ) : y = 0 và đường thẳng

( d2 ) : 3x + 2 y = 6. Miền nghiệm gồm phần y nhận giá trị dương. Lại có ( 0 ; 0 ) thỏa mãn bất phương trình 3 x + 2 y < 6. Câu 41. Hướng dẫn giải Chọn D. Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: ( d1 ) : x − 2 y = 0

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng: 3 ( d1 ) : 2 x − y = 1 2 ( d2 ) : 4 x − 3 y = 2 Thử trực tiếp ta thấy ( 0 ; 0 ) là nghiệm của phương trình (2) nhưng không phải là nghiệm của phương trình (1). Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, tập hợp nghiệm của bất phương trình chính là các điểm thuộc đường thẳng ( d ) : 4 x − 3 y = 2. Câu 39. Hướng dẫn giải

( d 2 ) : x + 3 y = −2 ( d3 ) : y − x = 3 Ta thấy ( 0 ; 1) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm ( 0 ; 1)

thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ. Câu 42. Hướng dẫn giải Chọn

Chọn B.

Chọn

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: ( d1 ) : 2 x + 3 y − 6 = 0

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng: ( d1 ) : 3 − y = 0

( d2 ) : x = 0 ( d3 ) : 2 x − 3 y − 1 = 0 Ta thấy (1 ; 1) là nghiệm của các ba bất phương trình. Điều này có nghĩa là điểm (1 ; 1)

( d2 ) : 2 x − 3 y + 1 = 0 Ta thấy ( 6 ; 4 ) là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm ( 6 ; 4 )

thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ. Câu 43. Hướng dẫn giải Chọn

Câu 45. Hướng dẫn giải Chọn

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng: ( d1 ) : x − 2 y = 0 Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng: ( d1 ) : 2 x − 1 = 0

( d 2 ) : x + 3 y = −2 Ta thấy ( 0 ; 1) là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm ( 0 ; 1) thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ phần không thích hợp, phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

( d2 ) : −3x + 5 = 0 Ta thấy (1 ; 0 ) là không nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm (1 ; 0 ) không thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Vậy không có điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn hệ bất phương trình. Câu 44. Hướng dẫn giải 19

Câu 46. Hướng dẫn giải Chọn C. Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: ( d1 ) : 3x − 2 y − 6 = 0 20

( d2 ) : 4 x + 3 y − 12 = 0 ( d3 ) : x = 0 Ta thấy ( 2 ; − 1) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm ( 2 ; − 1)

thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ. Câu 47. Hướng dẫn giải Chọn

Ta thấy F = y − x đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A , B , C . Tại A ( 0; 2 ) thì F = 2 . Tại B (1; 4 ) thì F = 3 Tại A ( 2; 3) thì F = 1. Vậy min F = 1 khi x = 2 , y = 3 . Câu 50. Chọn C.

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: ( d1 ) : x − y = 0

 2x + y ≤ 2  Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình  x − y ≤ 2 trên hệ trục tọa độ như dưới đây: 5 x + y ≥ −4 

( d2 ) : x − 3 y = −3 ( d3 ) : x + y = 5 Ta thấy ( 5 ; 3) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm ( 5 ; 3)

thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ. Câu 48. Hướng dẫn giải Chọn C. Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: ( d1 ) : x − 3 y = 0

( d 2 ) : x + 2 y = −3 ( d3 ) : x + y = 2 Ta thấy ( −1 ; 0 ) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm ( −1 ; 0 )

thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ. DẠNG 3. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT Câu 49. Chọn A.  y − 2x ≤ 2  Miền nghiệm của hệ 2 y − x ≥ 4 là miền trong của tam giác ABC kể cả biên (như hình)  x+ y ≤5 

Câu 51.

Giá trị nhỏ nhất của biết thức F = y − x chỉ đạt được tại các điểm  4 2   −1 −7  A ( −2;6 ) , C  ; −  , B  ;  . 3 3  3 3  Ta có: F ( A) = 8; F ( B ) = −2; F ( C ) = −2 . 4 2 Vậy min F = −2 khi x = , y = − . 3 3 Hướng dẫn giải

Chọn B.

Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng: ( d1 ) : x − y = 2

Nhận thấy biết thức F = y − x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B, C hoặc D . Ta có: F ( A) = 7 − 2 × 5 = −3; F ( B ) = −2 × 5 = −10 .

( d2 ) : 3x + 5 y = 15 ( d3 ) : x = 0 ( d4 ) : y = 0 Câu 52.

F ( C ) = −2 × 2 = −4, F ( D ) = 2 − 2 × 0 = 2 . Vậy min F = −10 khi x = 0, y = 5 . Câu 54. Chọn A.  −2 x + y ≤ −2  x − 2y ≤ 2  Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình  trên hệ trục tọa độ như dưới đây:  x+ y≤5  x≥0

Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên. Chọn C. 1; 0 ) . Vẽ đường thẳng d1 : x − y − 1 = 0 , đường thẳng d1 qua hai điểm ( 0; − 1) và (1;0 Vẽ đường thẳng d 2 : x + 2 y − 10 = 0 , đường thẳng d 2 qua hai điểm ( 0;5) và ( 2; 4 ) . Vẽ đường thẳng d 3 : y = 4 .

Nhận thấy biết thức F = y − x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B hoặc C . Chỉ C ( 4;1) có tọa độ nguyên nên thỏa mãn.

Miền nghiệm là ngũ giác ABCOE với A ( 4;3) , B ( 2; 4 ) , C ( 0; 4 ) , E (1;0 ) . Ta có: F ( 4;3) = 10 , F ( 2; 4 ) = 10 , F ( 0; 4 ) = 8 , F (1;0 ) = 1 , F ( 0;0 ) = 0 . Câu 53.

Vậy giá trị lớn nhất của biết thức F ( x; y ) = x + 2 y bằng 10 . Chọn A.  0≤ y≤5  x≥0  Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình  trên hệ trục tọa độ như dưới đây:. x + y − 2 ≥ 0  x − y − 2 ≤ 0

Vậy min F = −3 khi x = 4, y = 1 . Câu 55. Hướng dẫn giải Chọn B.

x+y=9

E A

x+4y=24 B

D≡O

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: ( d1 ) : 2 x + 3 y − 6 = 0

30x + 10y = 210

Miền nghiệm là ngũ giác ABCDE . Tọa độ các điểm: A ( 4;5) , B ( 6;3) , C ( 7;0 ) , D ( 0;0 ) , E ( 0;6 ) .

( d2 ) : x = 0 ( d3 ) : 2 x − 3 y − 1 = 0 Ta thấy ( 0 ; 0 ) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả ba miền nghiệm của cả ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ (kể cả biên). 1 7 5  Miền nghiệm là hình tam giác ABC (kể cả biên), với A ( 0 ; 2 ) , B  ;  , C  0 ; −  . 3 4 6  5 7 11 Vậy ta có a = 2 − 0 = 2, b = − = − . 6 4 12 DẠNG 4. ÁP DỤNG BÀI TOÁN THỰC TẾ Câu 56. Chọn C Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế ( x ≥ 0; y ≥ 0 ) . Để pha chế x lít nước cam cần 30x g đường, x lít nước và x g hương liệu. Để pha chế y lít nước táo cần 10 y g đường, y lít nước và 4 y g hương liệu. Theo bài ra ta có hệ bất phương trình: 30 x + 10 y ≤ 210 x + y ≤ 9  ( *) .   x + 4 y ≤ 24  x ≥ 0; y ≥ 0 Số điểm đạt được khi pha x lít nước cam và y lít nước táo là M ( x, y ) = 60 x + 80 y . Bài toán trở thành tìm x, y để M ( x, y ) đạt giá trị lớn nhất. Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ (*) trên mặt phẳng tọa độ như sau:

M ( x, y ) sẽ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của miền nghiệm nên thay tọa độ các điểm vào biểu thức M ( x, y ) ta được:

M ( 4;5 ) = 640 ; M ( 6;3) = 600 , M ( 7;0 ) = 420 , M ( 0;0 ) = 0 , M ( 0;6 ) = 480 . Câu 57.

Vậy giá trị lớn nhất của M ( x ; y ) bằng 640 khi x = 4; y = 5 ⇒ a = 4; b = 5 ⇒ a − b = −1 . Chọn A Giả sử diện tích trồng đậu là x (trăm m 2 );suy ra diện tích trồng cà là 8 − x (trăm m 2 ) Ta có thu nhập thu được là S ( x ) = 3 x + 4 ( 8 − x )  .10000 = 10000 ( − x + 32 ) đồng. Tổng số công là 20 x + 30 (8 − x ) = −10 x + 240 Theo giả thiết có −10 x + 240 ≤ 180 ⇔ x ≥ 6 Mà hàm số S ( x ) là hàm nghịch biến trên ℝ nên S ( x ) đạt giá trị lớn nhất khi x = 6 .

Do đó trồng 600 m 2 đậu, 200 m 2 cà. Câu 58. Chọn D Gọi x là số xe loại A ( 0 ≤ x ≤ 10; x ∈ ℕ ) , y là số xe loại B ( 0 ≤ y ≤ 9; y ∈ ℕ ) . Khi đó tổng chi phí thuê xe là T = 4 x + 3 y (triệu đồng). Xe A chở tối đa 20 người, xe B chở tối đa 10 người nên tổng số người 2 xe chở tối đa được là 20 x + 10 y (người). Xe A chở được 0, 6 tấn hàng, xe B chở được 1, 5 tấn hàng nên tổng lượng hàng 2 xe chở được là 0, 6 x + 1,5 y (tấn). 0 ≤ x ≤ 10 0 ≤ y ≤ 9  Theo giả thiết, ta có  ( *) 20 x + 10 y ≥ 140 0, 6 x + 1, 5 y ≥ 9

Vậy T đạt GTNN khi x = 0,3 ; y = 1,1 ⇒ x 2 + y 2 = 0,32 + 1,12 = 1,3 . Câu 60. Chọn C Gọi a là số trứng lành, b là số trứng hỏng trong giỏ A. Gọi x là số trứng lành, y là số trứng hỏng trong giỏ B.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ( *) là tứ giác ABCD kể cả miền trong của tứ giác (như hình vẽ trên). Biểu thức T = 4 x + 3 y đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD . x = 5 5  Tại các đỉnh A (10; 2 ) ; B (10;9 ) ; C  ;9  ; D ( 5; 4 ) , ta thấy T đạt giá trị nhỏ nhất tại  . 2  y = 4 Câu 59.

Khi đó Tmin = 32 (triệu đồng). Chọn A Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 1,6 ; 0 ≤ y ≤ 1,1 Khi đó số protein có được là 800 x + 600 y và số lipit có được là 200 x + 400 y Vì gia đình đó cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là: 800 x + 600 y ≥ 900 và 200 x + 400 y ≥ 400 ⇔ 8 x + 6 y ≥ 9 và x + 2 y ≥ 2 0 ≤ x ≤ 1,6 0 ≤ y ≤ 1,1   8 x + 6 y ≥ 9  x + 2 y ≥ 2 Miền nghiệm của hệ trên là miền nghiệm của tứ giác ABCD (kể cả biên) Chi phí để mua x kg thịt bò và y kg thịt lợn là T = 160 x + 110 y Biết T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD Tại A: T = 160.0,6 + 110.0,7 = 173 (nghìn) Tại B: T = 160.1,6 + 110.0, 2 = 278 (nghìn) Tại C: T = 160.1,6 + 110.1,1 = 377 (nghìn) Tại D: T = 160.0,3 + 110.1,1 = 169 (nghìn)

Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, xác suất để lấy được hai quả trứng lành:

a x 55 = . . a + b x + y 84

( a.x )⋮ 55  a + b = 14 ( a + b )( x + y )⋮84 a = 11   ⇒ x + y = 6 ⇒  Do đó: a + b + x + y = 20 . x = 5   a.x ⋮ 55 2  a + b x + y ≤  a + b + x + y  = 100 ( ) ( )( )   2    Suy ra: Giỏ A có 11 quả trứng lành. Câu 61. Chọn C Gọi số lít nước ngọt loại I là x và số lít nước ngọt loại II là y. Khi đó ta có hệ điều kiện về vật liệu 10 x + 30 y ≤ 210  x + 3 y ≤ 210  4 x + y ≤ 24  4 x + y ≤ 24   ban đầu mà mỗi đội được cung cấp:  ⇔ (*) x y + ≤ 9   x+ y ≤9   x , y ≥ 0 x, y ≥ 0 Điểm thưởng đạt được: P = 80 x + 60 y Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P trong miền D được cho bởi hệ điều kiện (*) Biến đổi biểu thức P = 80 x + 60 y ⇔ 80 x + 60 y − P = 0 đây là họ đường thẳng ∆(P) trong hệ tọa độ Oxy Miền D được xác định trong hình vẽ bên dưới:

Câu 63.

Chọn

0 ≤ x ≤ 1,6 Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là 160.x + 110. y với x , y thỏa mãn:  . 0 ≤ y ≤ 1,1

Số đơn vị protein gia đình có là 0,8.x + 0,6. y ≥ 0,9 ⇔ 8x + 6 y ≥ 9 ( d1 ) .

7 6

Số đơn vị lipit gia đình có là 0, 2.x + 0, 4. y ≥ 0, 4 ⇔ x + 2 y ≥ 2 ( d2 ) . A

0 ≤ x ≤ 1, 6 0 ≤ y ≤ 1,1  Bài toán trở thành: Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình  sao cho 8 x + 6 y ≥ 9  x + 2 y ≥ 2 T = 160.x + 110. y nhỏ nhất. y

Δ(P)

x =1,6

2 D

y =1,1

1 C

B 1

x x + 2y = 2

8x +6y = 9

Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm A (1, 6;1,1) ; B (1,6;0, 2 ) ; C ( 0,6;0,7 ) ; D ( 0,3;1,1) . Giá trị lớn nhất của P ứng với đường thẳng ∆(P) đi qua điểm A(5; 4) , suy ra: 80.5 + 60.4 − P = 0 → P = 640 = Pmax . Câu 62. Chọn A. Gọi x , y lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II được sản xuất ra. Điều kiện x , y nguyên dương. 3x + 2 y ≤ 180  x + 6 y ≤ 220  Ta có hệ bất phương trình sau:  x > 0  y > 0 Miền nghiệm của hệ trên là

Nhận xét: T ( A ) = 377 nghìn, T ( B ) = 278 nghìn, T ( C ) = 173 nghìn, T ( D ) = 169 nghìn. Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì x = 0,6 và y = 0,7 .

y 90

B C

x O

Tiền lãi trong một tháng của xưởng là T = 0,5 x + 0, 4 y (triệu đồng). Ta thấy T đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm A , B , C . Vì C có tọa độ không nguyên nên loại. Tại A ( 60; 0 ) thì T = 30 triệu đồng. Tại B ( 40; 30 ) thì T = 32 triệu đồng. Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32 triệu đồng. 29

TOÁN 10

DẤU TAM THỨC BẬC HAI

0D4-5

PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. TAM THỨC BẬC HAI Dạng 1. Xét dấu tam thức bậc hai

Câu 1.

Cho tam thức f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) , ∆ = b2 − 4ac . Ta có f ( x ) ≤ 0 với ∀x ∈ ℝ khi và chỉ khi: a < 0 a ≤ 0 a < 0 a > 0 . B.  . C.  . D.  . A.  ∆ ≤ 0 ∆ < 0 ∆ ≥ 0    ∆ ≤ 0

Câu 2.

Cho tam thức bậc hai f ( x) = −2 x 2 + 8 x − 8 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. f ( x) < 0 với mọi x ∈ ℝ . B. f ( x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ . D. f ( x) > 0 với mọi x ∈ ℝ . C. f ( x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ .

Câu 3.

Tam thức nào dưới đây luôn dương với mọi giá trị của x ? A. x2 − 10 x + 2 . B. x2 − 2 x − 10 . C. x2 − 2 x + 10 .

Dạng 2. Giải bất phương trình bậc hai và một số bài toán liên quan ........................................................................... 3 DẠNG 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ........................................................................................................................ 4 DẠNG 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU ................................................................................................. 5 DẠNG 4. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ................................................ 6 DẠNG 5. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ ....................................................................................................................... 7 Dạng 1. Tìm m để phương trình có n nghiệm .............................................................................................................. 7 Dạng 2. Tìm m để phương trình bậc 2 có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước ................................................ 9 Dạng 3. Tìm m để BPT thỏa mãn điều kiện cho trước ............................................................................................... 11 Dạng 4. Tìm m để hệ BPT bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước ....................................................................... 13

Câu 4.

DẠNG 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI và MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ..... 14

D. − x 2 + 2 x + 10 .

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. f ( x ) = 3 x 2 + 2 x − 5 là tam thức bậc hai. B. f ( x ) = 2 x − 4 là tam thức bậc hai. D. f ( x ) = x 4 − x 2 + 1 là tam thức bậc hai.

C. f ( x ) = 3 x 3 + 2 x − 1 là tam thức bậc hai.

DẠNG 7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN và MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ........................................... 15 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 18

Câu 5.

Cho f ( x ) = ax 2 + bx + c , ( a ≠ 0 ) và ∆ = b2 − 4ac . Cho biết dấu của ∆ khi f ( x ) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ . A. ∆ < 0 . B. ∆ = 0 . C. ∆ > 0 . D. ∆ ≥ 0 .

Câu 6.

Cho hàm số y = f ( x ) = ax 2 + bx + c có đồ thị như hình vẽ. Đặt ∆ = b2 − 4ac , tìm dấu của a và

DẠNG 1. TAM THỨC BẬC HAI ................................................................................................................................. 18 Dạng 1. Xét dấu tam thức bậc hai .............................................................................................................................. 18 Dạng 2. Giải bất phương trình bậc hai và một số bài toán liên quan ......................................................................... 18

∆.

DẠNG 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ...................................................................................................................... 20

y = f ( x)

DẠNG 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU ............................................................................................... 21

DẠNG 4. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN .............................................. 23 DẠNG 5. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ ..................................................................................................................... 25

O 1

Dạng 1. Tìm m để phương trình có n nghiệm ............................................................................................................ 25 Dạng 2. Tìm m để phương trình bậc 2 có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước .............................................. 29 Dạng 3. Tìm m để BPT thỏa mãn điều kiện cho trước ............................................................................................... 33 Dạng 4. Tìm m để hệ BPT bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước ....................................................................... 38

A. a > 0 , ∆ > 0 . Câu 7.

DẠNG 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI và MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ..... 41 DẠNG 7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN và MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ........................................... 44

Câu 8.

Câu 9.

B. a < 0 , ∆ > 0 .

C. a > 0 , ∆ = 0 .

D. a < 0 , , ∆ = 0 .

Cho tam thức f ( x ) = x − 8x + 16 . Khẳng định nào sau đây là đúng? 2

A. phương trình f ( x ) = 0 vô nghiệm.

B. f ( x ) > 0 với mọi x ∈ ℝ .

C. f ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ .

D. f ( x ) < 0 khi x < 4 .

Cho tam thức bậc hai f ( x ) = x 2 + 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −∞; +∞ ) .

B. f ( x ) = 0 ⇔ x = −1 .

C. f ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞;1) .

D. f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( 0;1) .

Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu ∆ > 0 thì f ( x ) luôn cùng dấu với hệ số a , với mọi x ∈ ℝ . 2

B. Nếu ∆ < 0 thì f ( x ) luôn trái dấu với hệ số a , với mọi x ∈ ℝ .

Dạng 2. Giải bất phương trình bậc hai và một số bài toán liên quan

Câu 10. Cho tam thức bậc hai f ( x ) = − x 2 − 4 x + 5 . Tìm tất cả giá trị của x để f ( x ) ≥ 0 . A. x ∈ ( −∞; − 1] ∪ [5; + ∞ ) . C. x ∈ [ −5;1] . Câu 11.

Câu 12.

Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình x2 − 8 x + 7 ≥ 0 . Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của S ? A. ( −∞; 0] . B. [ 6; +∞ ) . C. [8; +∞ ) . D. ( −∞; −1] . Tập nghiệm của bất phương trình 2 x2 − 14 x + 20 < 0 là A. S = ( −∞; 2 ] ∪ [5; +∞ ) . B. S = ( −∞; 2 ) ∪ ( 5; +∞ ) .

D. S = [ 2;5] .

3; +∞ .

(

) (

7  3; +∞ \   . 4

C. −∞; − 3 ∪

7 B. −∞; − 3  ∪  3; +∞ \   . 4 7  D. −∞; − 3 ∪  3;  . 4 

(

)

(

Câu 20. Tìm tập xác định của hàm số y = 2 x 2 − 5 x + 2 . 1  A.  −∞;  ∪ [ 2; + ∞ ) . B. [ 2; + ∞ ) . C. 2 

C. S = ( −∞; −2 ] ∪ [ 2; +∞ ) . Câu 22. Câu 23. Câu 24.

Tập nghiệm của bất phương trình x 2 − 25 < 0 là A. S = ( −5;5 ) . B. x > ± 5 .

C. −5 < x < 5 .

) (

Câu 25.

D. S = ( −∞; −5 ) ∪ ( 5; +∞ ) .

D. S = ℝ \ {−2} .

Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 x 2 − 3x − 15 ≤ 0 là A. 6 . B. 5 . C. 8 .

D. 7 .

Tập nghiệm của bất phương trình: x + 9 > 6 x là A. ( 3; +∞ ) . B. ℝ \ {3} . C. ℝ . Tìm tập nghiệm S của bất phương trình −2 x − 3x + 2 > 0 ?

(THPT NÔNG CỐNG - THANH HÓA LẦN 1_2018-2019) Tập nghiệm S của bất phương trình x 2 − x − 6 ≤ 0 . A. S = ( −∞; −3 ) ∪ ( 2 : +∞ ) . B. [ −2;3] .

DẠNG 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Câu 18.

B. ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) .

C. [ −1;3] .

D. ( −∞; −1] ∪ [3; +∞ ) . 2

Tập nghiệm của bất phương trình − x + x + 12 ≥ 0 là A. ( −∞ ; − 3] ∪ [ 4; + ∞ ) . B. ∅ .

Hàm số y =

x−2 2

có tập xác định là

x −3 + x − 2 3

)

Bất phương trình ( x − 1) x 2 − 7 x + 6 ≥ 0 có tập nghiệm S là:

C. ( 6; +∞ ) .

D. ( −3;1) .

(ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Tập xác định của hàm số y = − x 2 + 2 x + 3 là: A. (1;3) .

(

1  B. S = ( −∞; −2 ) ∪  ; +∞  . 2 

A. S = ( −∞ ;1] ∪ [ 6; +∞ ) .

C. ( −∞ ; − 4 ] ∪ [3; + ∞ ) . D. [ −3; 4] . Câu 19.

Câu 26.

D. ( −∞; −3] ∪ [ 2; +∞ ) .

Câu 27.

D. ( – ∞;3 ) .

Câu 15.

Câu 17.

1  D.  ; 2  . 2 

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x − 4 x + 4 > 0 . A. S = ℝ \ {2} . B. S = ℝ . C. S = ( 2; +∞ ) .

1  A. S =  −∞; −  ∪ ( 2; +∞ ) . 2  1   1  C. S =  −2;  . D. S =  − ; 2  . 2   2 

Bất phương trình − x + 2 x + 3 > 0 có tập nghiệm là A. ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) . B. ( −1;3 ) . C. [ −1;3] .

1   −∞;  . 2 

D. S = ( −∞; 0 ) ∪ ( 4; +∞ ) .

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Tập nghiệm của bất phương trình x2 − 3x + 2 < 0 là A. (1; 2 ) . B. ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) . C. ( −∞;1) . D. ( 2; +∞ ) .

Câu 16.

)

Câu 14.

C. [ −3; 2 ] .

)

Câu 21. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x 2 − 4 > 0 . A. S = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) . B. S = ( −2; 2 ) .

D. x ∈ ( −5;1) .

C. S = ( 2;5 ) . Câu 13.

B. x ∈ [ −1;5] .

(

A. −∞; − 3 ∪

 b C. Nếu ∆ = 0 thì f ( x ) luôn cùng dấu với hệ số a , với mọi x ∈ ℝ \ −  .  2a  D. Nếu ∆ < 0 thì f ( x ) luôn cùng dấu với hệ số b , với mọi x ∈ ℝ .

B. S = [6; +∞ ) . D. S = [ 6; +∞ ) ∪ {1} .

Tập nghiệm của bất phương trình x4 − 5 x 2 + 4 < 0 là A. (1; 4 ) . B. ( −2; −1) . C. (1; 2 ) .

(

D. ( −2; −1) ∪ (1; 2 ) .

)

Câu 28. Giải bất phương trình x ( x + 5) ≤ 2 x + 2 . A. x ≤ 1.

B. 1 ≤ x ≤ 4.

(

C. x ∈ ( − ∞;1] ∪ [ 4; +∞ ) .

)

Câu 29. Biểu thức 3x 2 − 10 x + 3 ( 4 x − 5) âm khi và chỉ khi

1  5  5   A. x ∈  − ∞;  . B. x ∈  − ∞;  ∪  ;3  . 3  4  4   1 5 1  C. x ∈  ;  ∪ ( 3; + ∞ ) . D. x ∈  ;3  . 3 4 3  4

D. x ≥ 4.

(

Câu 30. Biểu thức 4 − x 2

)( x

+ 2 x − 3)( x2 + 5x + 9 ) âm khi

A. x ∈ (1; 2 ) .

B. x ∈ ( −3; −2 ) ∪ (1; 2 ) .

C. x ≥ 4.

D. x ∈ ( −∞; −3) ∪ ( −2;1) ∪ ( 2; +∞ ) .

 2  C.  − ; + ∞  .  3  Câu 38.

Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình x3 + 3x2 − 6 x − 8 ≥ 0 là A. x ∈ [ − 4; −1] ∪ [ 2; +∞ ) . B. x ∈ ( − 4; − 1) ∪ ( 2; + ∞ ) . C. x ∈ [ − 1; +∞ ) .

− 2x2 + 7 x + 7 ≤ −1 là x 2 − 3x − 10 A. Hai khoảng. B. Một khoảng và một đoạn. C. Hai khoảng và một đoạn. D. Ba khoảng.

4 x − 12 . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x ) không dương là x2 − 4x A. x ∈ ( 0;3] ∪ ( 4; + ∞ ) . B. x ∈ ( − ∞; 0 ] ∪ [3; 4 ) .

x2 − 3x − 4 ≤ 0. x −1 A. T = ( −∞; −1] ∪ [1; 4 ] . B. T = ( −∞; −1] ∪ (1; 4 ] .

Câu 41.

x 2 − 7 x + 12 ≤ 0 là. x2 − 4 B. S = ( −2; 2] ∪ [3; 4 ] .

Tập nghiệm của bất phương trình

(ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Tập nghiệm của bất phương trình

Câu 42.

x − 2 x +1 ≥ x +1 x − 2

là.

Câu 43.

 1 A.  −1;  ∪ ( 2; +∞ ) . 2  1  B. ( −∞; −1) ∪  ; 2  . 2  1  C. ( −∞; −1) ∪  ; 2  . 2  1  D.  −∞;  . 2 

3 23 3 23  ; + A.  −  . 4 4 4 4  

 1 x x − ≥ +1 Tập nghiệm của hệ bất phương trình  2 4 là x2 − 4x + 3 ≤ 0  A. S = ( 2;3 ) . B. ( −∞; 2 ] ∪ [3; +∞ ) . D. ( −∞; 2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

 x 2 − 6 x + 5 ≤ 0 Tập nghiệm của hệ bất phương trình  2 là  x − 8 x + 12 < 0 A. [ 2;5] . B. [1;6 ] . C. ( 2;5] .

D. [1; 2 ] ∪ [5; 6 ] .

(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Tìm tập xác định của hàm số y = x 2 − 2 x +

1 25 − x 2

A. D = ( −5; 0] ∪ [ 2;5 ) . B. D = ( −∞; 0 ] ∪ [ 2; +∞ ) . C. D = ( −5;5 ) .

D. D = [ −5; 0 ] ∪ [ 2;5] .

2  x − 4 < 0 Câu 44. Hệ bất phương trình  có số nghiệm nguyên là 2 ( x − 1) ( x + 5 x + 4 ) ≥ 0 A. 2 . B. 1 . C. Vô số. D. 3 .

x2 + x + 3 Câu 36. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình ≥ 1 . Khi đó S ∩ ( −2; 2 ) là tập nào sau đây? x2 − 4 A. ( −2; − 1) . B. ( −1; 2 ) . C. ∅ . D. ( −2; − 1] . Tập nghiệm của bất phương trình

5 x − 2 < 4 x + 5 Tập nghiệm của hệ bất phương trình  2 có dạng S = ( a; b ) . Khi đó tổng a + b 2  x < ( x + 2) bằng? A. −1. B. 6. C. 8. D. 7.

C. S = [ 2; 3] .

C. S = ( −2; 2 ) ∪ [3; 4 ] . D. S = [ −2; 2 ] ∪ ( 3; 4 ) .

Câu 37.

Câu 40.

Tìm tập nghiệm của bất phương trình

A. S = [ −2; 2] ∪ [3; 4 ] .

Câu 35.

DẠNG 4. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Cho biểu thức f ( x ) =

C. T = ( −∞; −1) ∪ (1; 4] . D. T = ( −∞; −1] ∪ (1; 4 ) . Câu 34.

B. 2.

Câu 39. Tập nghiệm S của bất phương trình

D. x ∈ ( −∞; − 4] ∪ [ − 1; 2] .

C. x ∈ ( − ∞;0 ) ∪ [3; 4 ) . D. x ∈ ( − ∞;0 ) ∪ ( 3; 4 ) . Câu 33.

1 2x x+3 − < ? x 2 − 4 x + 2 2 x − x2 C. 1. D. 3.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn A. 0.

DẠNG 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

Câu 32.

2  D.  −∞; −  . 3 

2 x 2 − 3x + 4 > 2 là x2 + 3   3 23   3 23 ; + ∞  . B.  −∞; −  ∪  + 4 4 4 4     5

Câu 45.

Câu 46.

x2 − 4x + 3 < 0 Tập nghiệm của hệ bất phương trình  là −6 x + 12 > 0 A. (1; 2 ) . B. (1; 4 ) . C. ( −∞; 1) ∪ ( 3; +∞ ) . D. ( −∞; 2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

Tập nghiệm của bất phương trình x 2 + 2 x +

1 1 là > 3+ x+4 x+4

A. ( −3;1) .

B. ( −4; −3) .

C. (1; +∞ ) ∪ ( −∞; −3) .

D. (1; +∞ ) ∪ ( −4; −3 ) . 6

Câu 47.

Câu 48.

Câu 49.

2  x − 4 x + 3 > 0 Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình  . ( x + 2 )( x − 5 ) < 0 A. (1;3) . B. ( −2;5 ) . C. ( −2;1) ∪ ( 3;5 ) .

( x + 5)( 6 − x ) > 0 Giải hệ bất phương trình  . 2 x + 1 < 3 A. −5 < x < 1 . B. x < 1 .

D. ( 3;5 ) .

C. x > −5 .

D. x < −5 .

B. −1.

C. 0 .

Câu 51.

Câu 52.

Câu 53.

B. ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) C. [ −1; 2]

Giá trị nào của m thì phương trình ( m − 3 ) x + ( m + 3 ) x − ( m + 1) = 0 biệt? 3  A. m ∈ ℝ \ {3} . B. m ∈  −∞; −  ∪ (1; + ∞ ) \ {3} . 5   3   3  C. m ∈  − ;1 . D. m ∈  − ; + ∞  .  5   5  2

(1)

có hai nghiệm phân

1 2 3 D. m > − . 5

Câu 55. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình sau vô nghiệm m = − C. m = 2

Câu 56. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( m − 2 ) x 2 + 2 ( 2m − 3) x + 5m − 6 = 0 vô nghiệm? m > 3 C.  . m < 1

Câu 57. Phương trình mx − 2mx + 4 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi 2

(

) (

)

D. b ∈ − ∞; − 2 3 ∪ 2 3; + ∞ .

Câu 60. Phương trình x + 2( m + 2) x − 2m − 1 = 0 ( m là tham số) có nghiệm khi  m = −1 m < − 5 m ≤ − 5 A.  B. − 5 ≤ m ≤ −1. C.  D.  . . .  m = −5  m > −1 m ≥ −1 Câu 61. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2 x 2 + 2 ( m + 2 ) x + 3 + 4m + m 2 = 0 có nghiệm? A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Câu 62.

Tìm các giá trị của m để phương trình ( m − 5 ) x 2 − 4 mx + m − 2 = 0 có nghiệm.

A. m ≠ 5.

B. −

10  m≤− C.  3.  m ≥ 1

10 ≤ m ≤ 1. 3

10  m≤− D.  3.  1 ≤ m ≠ 5

Câu 64. Các giá trị m để tam thức f ( x ) = x 2 − ( m + 2 ) x + 8m + 1 đổi dấu 2 lần là

A. m > 1. B. − 3 < m < 1. C. m ≤ − 3 hoặc m ≥ 1. D. − 3 ≤ m ≤ 1.

B. m > 2.

)

Câu 63. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho phương trình ( m − 1) x 2 − 2 ( m + 3 ) x − m + 2 = 0 có nghiệm. A. m ∈ ∅. B. m ∈ ℝ. C. −1 < m < 3. D. − 2 < m < 2.

Câu 54. Phương trình x 2 − ( m + 1) x + 1 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

A. m < 0.

( )

A. b ∈  − 2 3; 2 3  . B. b ∈ − 2 3; 2 3 . C. b ∈ − ∞; − 2 3  ∪  2 3; + ∞ .

D. ( −∞; −1] ∪ [ 2; +∞ )

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x2 − mx + 4m = 0 vô nghiệm. A. 0 < m < 16 . B. −4 < m < 4 . C. 0 < m < 4 . D. 0 ≤ m ≤ 16 .

B. m > 3.

m ≥ 2 D.  . m ≤ − 4

Tìm m để phương trình − x 2 + 2 ( m − 1) x + m − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt

A. m ∈ ℝ.

m ≥ 2 C.  . m < − 4

B. m = ± 2.

Câu 59. Cho tam thức bậc hai f ( x ) = x 2 − bx + 3. Với giá trị nào của b thì tam thức f ( x ) có nghiệm?

D. − 3 .

(ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2 + mx + 4 = 0 có nghiệm A. −4 ≤ m ≤ 4 . B. m ≤ −4 hay m ≥ 4 . C. m ≤ −2 hay m ≥ 2 . D. −2 ≤ m ≤ 2 . A. ( −1; 2 )

D. 0 ≤ m < 4.

)

A. m ≥ 0.

DẠNG 5. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ Dạng 1. Tìm m để phương trình có n nghiệm

Câu 50.

(

C. 0 ≤ m ≤ 4.

Câu 58. Phương trình m2 − 4 x 2 + 2 ( m − 2 ) x + 3 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

Tập xác định của hàm số: y = x + 2 x − 1 + 5 − x 2 − 2 4 − x 2 có dạng [ a; b ] . Tìm a + b .

A. 3 .

m < 0 B.  . m > 4

A. 0 < m < 4.

m ≠ 2 D.  . 1 < m < 3

A. m ≤ 0 hoặc m ≥ 28. B. m < 0 hoặc m > 28. C. 0 < m < 28. D. m > 0.

1 Câu 65. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x 2 + ( m + 1) x + m − = 0 có 3 nghiệm? 3 3 A. m ∈ ℝ. B. m > 1. C. − < m < 1. D. m > − . 4 4 Câu 66. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình ( m − 1) x 2 + ( 3m − 2 ) x + 3 − 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt? A. m ∈ ℝ. B. m ≠ 1 C. −1 < m < 6. D. −1 < m < 2. Câu 67. Phương trình ( m − 1) x 2 − 2 x + m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi

(

A. m ∈ ℝ \ {0} .

(

)

B. m ∈ − 2; 2 .

)

C. m ∈ − 2; 2 \ {1} . D. m ∈  − 2; 2  \ {1} . Câu 68. Giá trị nào của m = 0 thì phương trình ( m – 3) x 2 + ( m + 3 ) x – ( m + 1) = 0 có hai nghiệm phân 8

biệt?

3   3  A. m ∈  − ∞; −  ∪ (1; + ∞ ) \ {3} . B. m ∈  − ;1 . 5   5   3  C. m ∈  − ; + ∞  . D. m ∈ ℝ \ {3} .  5  Dạng 2. Tìm m để phương trình bậc 2 có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 69.

Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình mx 2 + 2 x + m2 + 2m + 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu. m < 0 m ≠ 0 A.  . B. m < 0 . C. m ≠ −1 . D.  . m ≠ − 1   m ≠ −1

Câu 70.

Xác định m để phương trình mx3 − x 2 + 2 x − 8m = 0 có ba nghiệm phân biệt lớn hơn 1 . 1 1 1 1 1 A. < m < . B. − < m < . C. m > . D. m > 0 . 7 6 2 6 7

Câu 71.

Với giá trị nào của m thì phương trình ( m − 1) x − 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 2

D. m > 3 .

x1 , x2 thỏa x1 < 2 < x2 ?

Câu 73. Câu 74.

8 B. m < . 3

8 < m <5. 3

8 ≤ m ≤5. 3

Tìm giá trị của tham số m để phương trình x 2 − ( m − 2 ) x + m 2 − 4m = 0 có hai nghiệm trái dấu.

A. 0 < m < 4 .

B. m < 0 hoặc m > 4 . C. m > 2 .

D. m < 2 .

Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình ( m − 1) x − 2 mx + m = 0 có một nghiệm lớn 2

hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1 ?

A. 0 < m < 1 . Câu 75.

B. m > 1 .

C. m ∈ ∅ .

m > 0 D.  . m ≠ 1

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2 − 2mx + m + 2 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x13 + x23 ≤ 16 . A. Không có giá trị của m . B. m ≥ 2 . C. m ≤ −1 . D. m ≤ −1 hoặc m = 2 .

Câu 76.

Câu 80. Phương trình x 2 − ( 3m − 2 ) x + 2m 2 − 5m − 2 = 0 có hai nghiệm không âm khi

2  A. m ∈  ; + ∞  . 3   2 5 + 41  C. m ∈  ; . 4  3

 5 + 41  B. m ∈  ; + ∞  . 4    5 − 41  D. m ∈  − ∞; . 4  

(

C. m > 2 .

Cho phương trình ( m − 5 ) x 2 + 2 ( m − 1) x + m = 0 (1) . Với giá trị nào của m thì (1) có 2 nghiệm

A. m ≥ 5 .

Câu 79. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để x 2 + 2 ( m + 1) x + 9 m − 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt. 5 A. m < 6. B. < m < 1 hoặc m > 6. 9 C. m > 1. D. 1 < m < 6.

)

Câu 81. Phương trình 2 x 2 − m2 − m + 1 x + 2m2 − 3m − 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ

thỏa mãn x1 + x2 + x1 x2 < 1 ? A. 1 < m < 3 . B. 1 < m < 2 .

Câu 72.

Câu 78. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình ( m − 2 ) x 2 − 2mx + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. A. 2 < m < 6. B. m < −3 hoặc 2 < m < 6. C. m < 0 hoặc − 3 < m < 6. D. −3 < m < 6.

Xác định m để phương trình ( x − 1)  x 2 + 2 ( m + 3) x + 4m + 12  = 0 có ba nghiệm phân biệt lớn hơn −1 . 7 19 A. − < m < −3 và m ≠ − . 2 6 7 16 C. − < m < −1 và m ≠ − . 2 9

7 B. m < − . 2 7 19 D. − < m < 3 và m ≠ − . 2 6

Câu 77. Tìm m để phương trình x 2 − mx + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. A. m > 6. B. m < 6. C. 6 > m > 0. D. m > 0.

khi

5 5 A. m < −1 hoặc m > . B. − 1 < m < . 2 2 5 5 C. m ≤ −1 hoặc m ≥ . D. − 1 ≤ m ≤ . 2 2

(

)

Câu 82. Phương trình m2 − 3m + 2 x 2 − 2m2 x − 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi A. m ∈ (1; 2 ) .

B. m ∈ ( − ∞;1) ∪ ( 2; + ∞ ) .

m ≠ 1 C.  . m ≠ 2

D. m ∈ ∅.

Câu 83. Giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 − 2 ( m − 1) x + m 2 − 2m = 0 có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn là m > 1 A. 0 < m < 2. B. 0 < m < 1. C. 1 < m < 2. D.  . m < 0 Câu 84. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình ( m + 1) x 2 − 2mx + m − 2 = 0 có hai nghiệm phân

1 1 + <3 ? x1 x2 B. −2 < m ≠ −1 < 2 ∨ m > 6. D. −2 < m < 6.

biệt x1 , x2 khác 0 thỏa mãn

A. m < 2 ∨ m > 6. C. 2 < m < 6.

Câu 85. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 − ( m − 1) x + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 0 thỏa mãn

1 1 + > 1. x12 x22

11   B. m ∈ ( −∞; −2 ) ∪  −2; −  . 10   D. m ∈ ( 7; +∞ ) .

A. m ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( −2; −1) ∪ ( 7; +∞ ) . C. m ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( −2; −1) .

A. m < 4 .

Dạng 3. Tìm m để BPT thỏa mãn điều kiện cho trước

Câu 98. Câu 86.

Cho hàm số f ( x ) = x 2 + 2 x + m . Với giá trị nào của tham số m thì f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ .

A. m ≥ 1 . Câu 87.

B. m > 1 .

C. m > 0 .

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số f ( x ) = x 2 + ( m + 2 ) x + 8m + 1 luôn nhận giá trị dương.

Câu 91.

B. 28 .

Câu 93.

C. Vô số.

x∈ℝ

biểu thức

D. 26 .

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình: ( m + 1) x 2 − 2 ( m + 1) x + 4 ≥ 0 (1)

B. −1 ≤ m ≤ 3.

C. −1 < m ≤ 3.

D. −1 < m < 3.

Bất phương trình ( m + 1) x 2 − 2 mx − ( m − 3 ) < 0 vô nghiệm. Điều kiện cần và đủ của tham số m là 1− 7 1+ 7 1+ 7 ≤m≤ A. . B. 1 ≤ m ≤ . 2 2 2 C. m ≠ 1 . D. m ≥ −1 .

Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai f ( x ) sau đây thỏa mãn f ( x ) = − x 2 + 2 x + m − 2018 < 0 , ∀x ∈ ℝ . A. m > 2019 .

Câu 94.

để với mọi

Tìm các giá trị của m để biểu thức f ( x) = x 2 + (m + 1) x + 2m + 7 > 0 ∀x ∈ ℝ A. m ∈ [ 2; 6 ] . B. m ∈ (−3;9) . C. m ∈ (−∞;2) ∪ (5; +∞) . D. m ∈ (−9;3) .

có tập nghiệm S = R ? A. m > −1.

Câu 92.

B. m < 2019 .

C. m > 2017 .

D. m < 2017 .

Tìm m để f ( x) = mx − 2(m − 1) x + 4m luôn luôn âm  1 1  A.  −1;  . B. ( −∞; −1) ∪  ; +∞  .C. ( −∞; −1) .  3 3 

1  D.  ; +∞  . 3 

− x2 + 2x − 5 Câu 95. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x − mx + 1 x∈ℝ. A. m ∈ ∅ . B. m ∈ ( −2; 2 ) .

C. m ∈ ( −∞; −2 ] ∪ [ 2; +∞ ) . Câu 96.

Câu 97.

D. m ∈ [ −2; 2 ] .

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình x 2 − 2 ( m − 1 ) x + 4m + 8 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ. m > 7 m ≥ 7 . B.  . C. −1 ≤ m ≤ 7 . D. −1 < m < 7 . A.  m < − 1   m ≤ −1 2

Bất phương trình x + 4 x + m < 0 vô nghiệm khi 11

D. m ≥ 4 .

1 . 5

1 B. m > . 4

1 C. m > . 5

D. m >

1 . 25

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình mx 2 − 2mx − 1 ≥ 0 vô nghiệm. B. m < −1 . C. −1 < m < 0 . D. −1 < m ≤ 0 . A. m ∈ ∅ .

Câu 100. Gọi S là tập các giá trị của m để bất phương trình x2 − 2mx + 5m − 8 ≤ 0 có tập nghiệm là [ a; b ] sao cho b − a = 4 . Tổng tất cả các phần tử của S là A. − 5 . B. 1 . C. 5 . D. 8 .

Tam thức f ( x ) = x + 2 ( m − 1) x + m − 3m + 4 không âm với mọi giá trị của x khi A. m < 3 . B. m ≥ 3 . C. m ≤ −3 . D. m ≤ 3 . 2

A. 27 . Câu 90.

Câu 99.

D. m ∈ ( 0; 28 ) .

C. m ∈ ( −∞; 0] ∪ [ 28; +∞ ) .

Câu 89.

A. m ≥

B. m ∈ ( −∞; 0 ) ∪ ( 28; +∞ ) .

C. m ≤ 4 .

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Bất phương trình mx 2 − 2 ( m + 1) x + m + 7 < 0 vô nghiệm khi

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x 2 − ( m + 2 ) x + 8m + 1 ≤ 0 vô nghiệm.

A. m ∈ [ 0; 28] .

Câu 88.

D. m < 2 .

B. m > 4 .

Câu 101. Tìm các giá trị của tham số m để x 2 − 2 x − m ≥ 0, ∀x > 0 . A. m ≤ 0 . B. m < −1 . C. m ≤ −1 . Câu 102. Tìm tập hợp các giá trị của m để hàm số y =

D =R. A. [ −1; 6] . Câu 103. Cho bất phương trình

B. ( −1; 6 ) .

(m − 2) x

( m + 10 ) x

D. m < 0 . 2

− 2 ( m − 2 ) x + 1 có tập xác định

C. ( −∞; −1) ∪ ( 6; +∞ ) . D. ℝ . + 2 ( 4 − 3m ) x + 10m − 11 ≤ 0 (1) . Gọi S là tập hợp các số

nguyên dương m để bất phương trình đúng với mọi ∀x < −4 . Khi đó số phần tử của S là A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 0 .

Câu 104. Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số y = 1 −

( m + 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + 2 − 2m

có tập xác định

là R?

A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Câu 105. Để bất phương trình 5x2 − x + m ≤ 0 vô nghiệm thì m thỏa mãn điều kiện nào sau đây? 1 1 1 1 A. m ≤ . B. m > . C. m ≤ . D. m > . 5 20 20 5 Câu 106. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x 2 − 2mx − 2m + 3 có tập xác định là ℝ. A. 4 . B. 6 . C. 3 . D. 5 . Câu 107. Tìm tất cả cách giá trị thực của tham số m để bất phương trình ( m + 1) x 2 + mx + m < 0 đúng vơi mọi x thuộc ℝ . 4 A. m > . 3

4 C. m < − . 3

B. m > −1 .

D. m < −1 .

Câu 108. Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình − x 2 + 2 x − m − 1 > 0 vô nghiệm: A. m > 0 . B. m < 0 . C. m ≤ 0 . D. m ≥ 0 . Câu 109. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình − x 2 + x − m > 0 vô nghiệm. 1 1 1 A. m ≥ . B. m ∈ ℝ . C. m > . D. m < . 4 4 4 Câu 110. Bất phương trình ( m − 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + m + 3 ≥ 0 với mọi x ∈ R khi A. m ∈ [1; +∞ ) .

B. m ∈ ( 2; +∞ ) .

C. m ∈ (1; +∞ ) . 12

D. m ∈ ( −2; 7 ) .

Câu 111. Cho hàm số f ( x ) = − x 2 − 2 ( m − 1) x + 2 m − 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để f ( x ) > 0 , ∀x ∈ ( 0;1) .

A. −3 < m < 6.

C. m < −3.

D. m > 6.

1 A. m > 1 . B. m < . C. m ≥ 1 . 2 Dạng 4. Tìm m để hệ BPT bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước

( x + 5)( 3 − x ) > 0 Câu 112. Hệ bất phương trình  vô nghiệm khi  x − 3m + 2 < 0 A. m ≤ −1 . B. m ≥ −1 . C. m > −1 .

1 D. m ≥ . 2

D. m < −1 .

2  x − 4 x > 5 Câu 114. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình  2 có nghiệm.  x − ( m − 1) x − m ≤ 0

m ≥ 5 A.  .  m < −1

m ≥ 5 B.  .  m ≤ −1

m > 5 C.  .  m ≤ −1

( x + 3)( 4 − x ) > 0 Câu 115. Hệ bất phương trình  vô nghiệm khi  x < m − 1 A. m ≤ −2 . B. m > −2 . C. m < −1 . x −1 ≤ 0 Câu 116. Hệ bất phương trình  có nghiệm khi x − m > 0 A. m > 1 . B. m < 1 . C. m ≠ 1 .

m > 5 D.  .  m < −1

D. m = 0 .

2 x + m < 0 Câu 117. Hệ bất phương trình  2 3x − x − 4 ≤ 0

8 A. m > − . 3

(1) ( 2)

D. m = 1 .

vô nghiệm khi và chỉ khi:

B. m < 2 .

C. m ≥ 2 .

 x 2 − 1 ≤ 0 (1) Câu 118. Hệ bất phương trình  có nghiệm khi:  x − m > 0 ( 2 ) A. m > 1. B. m = 1. C. m < 1. ( x + 3)( 4 − x ) > 0 (1) Câu 119. Hệ bất phương trình  có nghiệm khi và chỉ khi:  x < m − 1( 2 ) A. m < 5. B. m > −2. C. m = 5.

Câu 121. Xác định m để với mọi x ta có −1 ≤

5 A. − ≤ m < 1. 3

5 B. 1 < m ≤ . 3

5 C. m ≤ − . 3

8 D. m ≥ − . 3

D. m < 1.

D. m ≠ 1.

(1)  x − 2 x + 1 − m ≤ 0 có nghiệm. Câu 123. Tìm m để hệ  2 2 x − m + x + m + m ≤ 2 1 0 ( ) ( 2)  3+ 5 3+ 5 . . A. 0 < m < B. 0 ≤ m ≤ 2 2 3+ 5 3+ 5 . . C. 0 ≤ m < D. 0 < m ≤ 2 2 2

2  x − 3x − 4 ≤ 0 (1) có nghiệm. Câu 124. Tìm m sao cho hệ bất phương trình  ( m − 1) x − 2 ≥ 0 ( 2 ) 3 3 B. m ≥ . C. m ∈ ∅. A. −1 ≤ m ≤ . 2 2

D. m ≥ −1.

2  x + 10 x + 16 ≤ 0 (1) Câu 125. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình  vô nghiệm.  mx ≥ 3m + 1( 2 ) 1 1 1 1 A. m > − . B. m > . C. m > − . D. m > . 5 4 11 32

 x 2 − 2(a + 1) x + a 2 + 1 ≤ 0 ( 2 ) Câu 126. Cho hệ bất phương trình  2 . Để hệ bất phương trình có nghiệm, giá trị  x − 6 x + 5 ≤ 0 (1) thích hợp của tham số a là: A. 0 ≤ a ≤ 2 . B. 0 ≤ a ≤ 4 . C. 2 ≤ a ≤ 4 . D. 0 ≤ a ≤ 8 . DẠNG 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TR Ị TUYỆT ĐỐI và MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 127. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tập nghiệm của phương trình x 2 − 3 x + 1 + x − 2 ≤ 0 có tất cả bao nhiêu số nguyên? D. m ≠ 1.

A. Vô số.

C. 2 .

D. 3 .

Câu 128. Tìm tập nghiệm của bất phương trình: x − 4 x < 0 . A. ∅ .

D. m > 5.

B. 4 . 2

Câu 129. Tìm m để 4 x − 2m −

3x + mx − 6 < 6 nghiệm đúng với ∀x ∈ ℝ . x2 − x + 1

x + 5x + m < 7. 2 x 2 − 3x + 2

x −1 > 0 Câu 122. Hệ bất phương trình  2 có nghiệm khi và chỉ khi:  x − 2mx + 1 ≤ 0 A. m > 1. B. m = 1. C. m < 1.

Câu 113. Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương 2 2 x − 5 x + 2 < 0 trình  2 vô nghiệm.  x − ( 2m + 1) x + m ( m + 1) ≤ 0 1 1   m≤− m<− 1 1 A. ≤ m ≤ 2 . B.  C. < m < 1 . D.  2. 2.   2 2 m ≥ 2 m > 2

Câu 120. Tìm m để −9 <

B. −3 ≤ m ≤ 6.

A. −2 < m < 3 .

B. {∅} .

C. ( 0; 4 ) .

1 1 > − x2 + 2 x + − m với mọi số thực x 2 2 3 B. m > . C. m > 3 . 2 14

D. ( −∞; 0 ) ∪ ( 4; +∞ ) .

D. m <

3 . 2

Câu 130. Gọi S = [ a; b ] là tập tất cả các giá trị của tham số m để với mọi số thực x ta có x +x+4 ≤ 2 . Tính tổng a + b . x 2 − mx + 4 A. 0 . B. 1 .

C. −1 .

D. 4

Câu 131. Tất cả các giá trị của m để bất phương trình 2 x − m + x 2 + 2 > 2mx thỏa mãn với mọi x là A. m ∈ ∅ .

B. m > − 2 .

C. m < 2 .

D. − 2 < m < 2 .

Câu 132. Cho bất phương trình: x + 2 x + m + 2mx + 3m − 3m + 1 < 0 . Để bất phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là 1 1 1 1 A. −1 < m < . B. − < m < 1 . C. −1 < m < − . D. < m < 1 . 2 2 2 2 2

DẠNG 7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN và MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 133. Tập nghiệm của bất phương trình x 2 + 2 ≤ x − 1 . 1  A. S = ∅ . B. S =  −∞; −  . C. [1; +∞ ) . 2  Câu 134. Bất phương trình A. 4.

Câu 135. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình B. S = ( −∞; 3 ) . A. S = ( −∞; − 3] .

(

Câu 136. Bất phương trình 16 − x

)

x 2 − 2 x − 15 > 2 x + 5 . C. S = ( −∞; 3].

1  D.  ; +∞  . 2 

D. S = ( −∞; − 3 ) .

x − 3 ≤ 0 có tập nghiệm là

A. ( −∞; −4 ] ∪ [ 4; +∞ ) . B. [3; 4] .

C. [ 4; +∞ ) .

Câu 137. Tìm tập nghiệm của bất phương trình x 2 + 2017 ≤ 2018 x . A. T = ( −∞;1) . B. T = ( −∞;1] . C. T = (1; +∞ ) .

D. {3} ∪ [ 4; +∞ ) .

1  B. S =  −∞ ; −  . 4 

Câu 139. Nghiệm của bất phương trình

1 A. x ≤ . 3

1  C. S =  −∞ ; −  . 4 

1  x ≤ C.  3 .  x ≠ −2

Câu 140. Tập nghiệm của bất phương trình x − 3 < 2 x − 1 là 1   13  A. S = ( 3; +∞ ) . B. S =  ;3 . C. S = 3;  . 2   2 15

Câu 142. (NGÔ GIA TỰ LẦN 1_2018-2019) Bất phương trình nguyên nhỏ nhất là A. 10 . B. 20 . C. 15 .

2 x − 1 ≤ 3x − 2 có tổng năm nghiệm

Câu 143. Tập nghiệm của bất phương trình x + 2 ≤ x là A. [ 2; +∞ ) . B. ( −∞; −1] . C. [ −2; 2 ] .

A. 3 .

D. 5 . D. [ −1; 2] .

2 ( x 2 + 1) ≤ x + 1 là:

B. 1 .

C. 4 .

D. 2 .

Câu 145. Tập nghiệm S của bất phương trình ( x − 1) x + 1 ≥ 0 là A. S = [ −1; +∞ ) . B. S = {−1} ∪ (1; +∞ ) . C. S = {−1} ∪ [1; +∞ ) . D. S = (1; +∞ ) . Câu 146. Tập nghiệm của bất phương trình ( x 2 − 5 x ) 2 x 2 − 3x − 2 ≥ 0 là

 x ≥ 5  A.  x = 2 .  −1 x ≤  2

x ≥ 2 C.  .  x ≤ −1  2

x ≥ 5 B.  . x ≤ 0

chứa đúng hai số nguyên là A. 5 . B. 29 .

Câu 148. Tập nghiệm của bất phương trình

 −1  D. x ∈  ;0; 2;5 . 2 

C. 18 .

m 2 x + 1 < x có 72

D. 63 .

x + 2 x − 3 ≥ 2 x − 2 có dạng S = ( −∞; a ] ∪ [b; c ] . Tính tổng 2

P = a +b+c?

 1 3 D. S =  − ;  .  4 8

3x − 1 ≤ 0 là: x+2

1 B. −2 < x < . 3

 3− 7  B.  −∞; . 2  

Câu 147. Tổng các giá trị nguyên dương của m để tập nghiệm của bất phương trình D. T = [1; +∞ ) .

x  x+3 − ≤0  Câu 138. Tập nghiệm của hệ bất phương trình  2 x − 3 2 x − 1 là 2  x + 3 + 3x < 1 

 1 3 A. S = − ;  .  4 8

 3− 7  A.  −∞;  ∪ [3; +∞ ) . 2    3− 7  ;3  . C.  D. ( 3; +∞ ) .  2 

Câu 144. Số nghiệm nguyên của bất phương trình

2 x − 1 ≤ 2 x − 3 có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc khoảng ( 0;7 ) ? B. 5. C. 2. D. 6.

Câu 141. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Tập nghiệm của bất phương trình x 2 − 6x + 1 − x + 2 ≥ 0 là

1 D. −2 < x ≤ . 3

1 . 3

1 B. − . 3

2 C. − . 3

10 . 3

Câu 149. (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình 6x − 4 2x + 4 − 2 2 − x ≥ là [ a; b ] . Khi đó giá trị biểu thức P = 3a − 2b bằng 5 x2 + 1 A. 2. B. 4. C. −2. D. 1. Câu 150. (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Biết tập nghiệm của bất phương trình x − 2 x + 7 ≤ 4 là [ a; b ] . Tính giá trị của biểu thức P = 2a + b . A. P = 2 .

B. P = 17 .

C. P = 11 .

D. S = [3; +∞ ) .

D. P = −1.

Câu 151. (LƯƠNG

TÀI

BẮC

(

4 ( x + 1) < ( 2 x + 10 ) 1 − 3 + 2 x

NINH

)

LẦN

1-2018-2019)

Giải

bất

phương

ta được tập nghiệm T là:

 3  B. T =  − ; −1 ∪ ( −1;3] .  2   3  D. T = − ; −1 ∪ ( −1;3) .  2 

A. T = ( −∞;3) .

 3  C. T = − ;3  .  2 

Câu 152. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình 5 x − 1 − x − 1 > 2 x − 4 . Tập nào sau đây là phần bù của S ? A. ( −∞; 0 ) ∪ [10; +∞ ) . B. ( −∞; 2] ∪ (10; +∞ ) . C. ( −∞; 2 ) ∪ [10; +∞ ) .

D. ( 0;10 ) .

Câu 153. Tính tổng các nghiệm nguyên thuộc [ −5;5] của bất phương trình: A. 5 .

B. 0 .

Câu 154. Giải bất phương trình A. −5 < x ≤ −3 .

C. 2 .

 3x − 1  2 x2 − 9   ≤ x x −9 ?  x+5  D. 12 .

− x 2 + 6 x − 5 > 8 − 2 x có nghiệm là B. 3 < x ≤ 5 . C. 2 < x ≤ 3 .

mãn điều kiện: A. a ≥ 3 .

B. a ≥ 4 .

Câu 157. Cho bất phương trình 4

( x + 1)( 3 − x ) ≤ x

nghiệm đúng ∀x ∈ [ −5; 3] , tham số a phải thỏa

B. m ≤ 12 .

− 2 x + m − 3 . Xác định m để bất phương trình

C. m ≥ 0 .

D. m ≥ 12 .

Câu 158. Cho bất phương trình x − 6 x + − x + 6 x − 8 + m − 1 ≥ 0 . Xác định m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀x ∈ [ 2; 4] . 2

A. m ≥

35 . 4

B. m ≤ 9 .

C. m ≤

Câu 3.

Câu 4. Câu 5.

35 . 4

Câu 7.

2 . 4

B. m ≥ 0 .

C. m <

Câu 160. Có

2 . 4

bao nhiêu số nguyên m không nhỏ hơn – m( x 2 − 2 x + 2 + 1) + x (2 − x ) ≤ 0 có nghiệm x ∈  0;1 + 3  A. 2018 . B. 2019 . C. 2017 .

D. m ≥ 2018

để

2 . 4

bất

D. 2020 .

phương

khi ∆ < 0 . Chọn A. * Đồ thị hàm số là một Parabol quay lên nên a > 0 và đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nên ∆ > 0 . Chọn C

Chọn A Ta có f ( x ) = x 2 + 1 ≥ 1 > 0 , ∀x ∈ ℝ .

Câu 9.

Chọn C Dạng 2. Giải bất phương trình bậc hai và một số bài toán liên quan Câu 10. Chọn C. Ta có f ( x ) = 0 ⇔ − x 2 − 4 x + 5 = 0 ⇔ x = 1 , x = −5 . Mà hệ số a = −1 < 0 nên: f ( x ) ≥ 0 ⇔ x ∈ [ −5;1] .

Chọn B x ≤1 . Ta có x 2 − 8 x + 7 ≥ 0 ⇔  x ≥ 7 Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞;1] ∪ [7; +∞ ) .

Câu 159. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Bất phương trình mx − x − 3 ≤ m có nghiệm khi A. m ≤

∆ < 0 Tam thức luôn dương với mọi giá trị của x phải có  nên Chọn C. a > 0 Chọn A. * Theo định nghĩa tam thức bậc hai thì f ( x ) = 3 x 2 + 2 x − 5 là tam thức bậc hai. Chọn A. * Theo định lý về dấu của tam thức bậc hai thì f ( x ) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ

Câu 11.

D. m ≥ 9 .

Vậy: f ( x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ . Chọn C.

Ta có f ( x ) = x 2 − 8x + 16 = ( x − 4 ) . Suy ra f ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ .

Câu 8.

D. a ≥ 6 .

nghiệm với ∀x ∈ [ −1;3] .

A. 0 ≤ m ≤ 12 .

Ta có f ( x) = −2( x 2 − 4 x + 4) = −2 ( x − 2 ) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ .

D. [ −3;1] .

C. a ≥ 5 . 2

Câu 2.

a < 0 Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có: f ( x ) ≤ 0 với ∀x ∈ ℝ khi và chỉ khi  ∆ ≤ 0 Chọn C

Câu 6.

( x + 5)( 3 − x ) ≤ x 2 + 2 x + a

Câu 1.

DẠNG 1. TAM THỨC BẬC HAI Dạng 1. Xét dấu tam thức bậc hai Chọn A

D. −3 ≤ x ≤ −2 .

Câu 155. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x + 4 x + 3 3 − 2 x − x > 1 là A. ( −3;1] . B. ( −3;1) . C. [ −3;1) . 2

Câu 156. Để bất phương trình

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

trình

Câu 12. trình

Câu 13.

Do đó [ 6; +∞ ) ⊄ S . Chọn C Bất phương trình 0 ≤ x ≤ 10 ⇔ 2 < x < 5 . Vậy S = ( 2;5 ) .

Chọn A Bất phương trình x 2 − 25 < 0 ⇔ −5 < x < 5 . Vậy S = ( −5; 5 ) .

Câu 14. Chọn A Ta có x 2 − 3 x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2. 17

Vậy tập nghiệm của bất phương trình x2 − 3x + 2 < 0 là (1; 2 ) . Chọn đáp án

Chọn B Ta có: x2 − x − 6 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3 . Tập nghiệm bất phương trình là: S = [ −2;3] . Câu 16. Chọn B Ta có: − x 2 + 2 x + 3 > 0 ⇔ −1 < x < 3 Câu 17. Chọn C

f ( x)

−

Chọn D Ta có − x 2 + x + 12 ≥ 0 ⇔ −3 ≤ x ≤ 4 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [ −3; 4 ] . Câu 19. Chọn B  x 2 − 3 + x − 2 ≠ 0 Hàm số đã cho xác định khi  2  x − 3 ≥ 0

Câu 26.

DẠNG 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Chọn D ( x − 1) ( x2 − 7 x + 6) ≥ 0 ⇔ ( x − 1)( x − 1)( x − 6 ) ≥ 0 Ta có:

x ≥ 3 Ta có x − 3 ≥ 0 ⇔  .  x ≤ − 3 2

Câu 27.

x ≤ 2 2 − x ≥ 0 7  Xét x 2 − 3 + x − 2 = 0 ⇔ x 2 − 3 = 2 − x ⇔  2 7 ⇔x= 2 ⇔  4  x − 3 = ( 2 − x )  x = 4 7 Do đó tập xác định của hàm số đã cho là D = −∞; − 3  ∪  3; +∞ \   . 4 Câu 20. Chọn A. 1  x≤ Hàm số xác định ⇔ 2 x 2 − 5 x + 2 ≥ 0 ⇔  2.  x ≥ 2 Câu 21. Chọn A. * Bảng xét dấu: x −∞ +∞ −2 2 0 0 + − + x2 − 4 * Tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) .

(

 x −1 = 0 x =1 2 . ⇔ ( x − 1) ( x − 6 ) ≥ 0 ⇔  ⇔ x − 6 ≥ 0 x ≥ 6 Chọn D

x =1  x = −1  x2 −1 = 0 . Ta có x − 5 x + 4 = x − 1 x − 4 = 0 ⇔  2 ⇔ x = 2 x − 4 = 0   x = −2 4

)

Câu 22.

(

)(

)

Đặt f ( x ) = x 4 − 5 x 2 + 4 . Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy tập nghiệm của bất phương trình f ( x ) < 0 là ( −2; −1) ∪ (1; 2 ) . Câu 28.

(

)

Bất phương trình x ( x + 5) ≤ 2 x 2 + 2 ⇔ x 2 + 5x ≤ 2 x 2 + 4 ⇔ x 2 − 5x + 4 ≥ 0 x = 1 Xét phương trình x − 5 x + 4 = 0 ⇔ ( x − 1)( x − 4 ) = 0 ⇔  . x = 4 Lập bảng xét dấu −∞ +∞ x 1 4 + 0 − 0 + x2 − 5x + 4 2

+∞ +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x 2 − 5 x + 4 ≥ 0 ⇔ x ∈ ( − ∞;1] ∪ [ 4; + ∞ ) . Chọn Câu 29.

(

)

Đặt f ( x ) = 3x 2 − 10 x + 3 ( 4 x − 5)

x =3 5 Phương trình 3x 2 − 10 x + 3 = 0 ⇔  và 4 x − 5 = 0 ⇔ x = . x = 1 4 3  19

x 2 + 9 > 6 x ⇔ ( x − 3) > 0 ⇔ x ≠ 3 . Câu 25. Chọn C. 1 2 Ta có −2 x − 3x + 2 > 0 ⇔ −2 < x < . 2

Câu 18.

3 ± 129 . f ( x) = 0 ⇔ x = 4 Ta có bảng xét dấu:

3 + 129 4 0

 3 − 129 3 + 129  ; Tập nghiệm của bất phương trình là S =  . 4 4   Do đó bất phương trình có 6 nghiệm nguyên là −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 . Câu 24. Chọn B.

Hàm số y = − x 2 + 2 x + 3 xác định khi − x 2 + 2 x + 3 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 3 . Vậy tập xác định của hàm số là D = [ −1;3] .

Chọn A. * Bảng xét dấu: x −∞ 2 0 + x2 − 4 x + 4 * Tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ \ {2} . Câu 23. Chọn A. Xét f ( x ) = 2 x 2 − 3 x − 15 .

3 − 129 4 0

Câu 15.

Lập bảng xét dấu

1 3 0

−∞

3x 2 − 10 x + 3

4x − 5

−

f ( x)

−

+∞ + +

1  5   Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f ( x ) < 0 ⇔ x ∈  − ∞;  ∪  ;3  . Chọn 3  4   Câu 30.

(

Đặt f ( x ) = 4 − x 2

)( x

x < 0 4 x − 12 ≤0⇔ hay x ∈ ( −∞; 0 ) ∪ [3; 4 ) . x2 − 4 x 3 ≤ x < 4 Câu 33. Chọn B x 2 − 3x − 4 ≤ 0 (1) . x −1  x = −1 x 2 − 3x − 4 = 0 ⇔  . x = 4 x −1 = 0 ⇔ x = 1. Bảng xét dấu Ta có:

5 4

+ 2 x − 3)( x2 + 5 x + 9)

x = 2 Phương trình 4 − x 2 = 0 ⇔  .  x = −2 x =1 Phương trình x 2 + 2 x − 3 = 0 ⇔  . x = −3

Câu 34.

5  11  Ta có x 2 + 5 x + 9 =  x +  + > 0 ⇒ x 2 + 5 x + 9 = 0 ⇔ x ∈∅. Lập bảng xét dấu: 2 4 

−3

−∞

4 − x2

−

x + 2x − 3

x2 + 5x + 9

f ( x)

−

−2 0

−

+ 0

−

+ 0

−

+ 0

−

x = 3 x 2 − 7 x + 12 = 0 ⇔  . x = 4  x = −2 x2 − 4 = 0 ⇔  . x = 2

+∞

+ 0

Vậy tập nghiệm của bất phươ ương trình đã cho là T = ( −∞; −1] ∪ (1; 4] . Chọn C x 2 − 7 x + 12 Xét f ( x ) = x2 − 4 Tập xác định D = ℝ \ {−2; 2} .

Bảng xét dấu f ( x )

−

x < −3 Dựa vào bảng xét dấu ta thấy ( 4 − x 2 )( x 2 + 2 x − 3)( x 2 + 5 x + 9 ) < 0 ⇔  −2 < x < 1   x > 2 ⇔ x ∈ ( −∞; −3) ∪ ( −2;1) ∪ ( 2; +∞ ) . Chọn

Câu 31.

(

)

Bất phương trình x3 + 3x2 − 6 x − 8 ≥ 0 ⇔ ( x − 2 ) x 2 + 5 x + 4 ≥ 0. x = − 4 Phương trình x 2 + 5 x + 4 = 0 ⇔  và x − 2 = 0 ⇔ x = 2.  x = −1 Lập bảng xét dấu x −∞ −4 −1 2 0 0 + + − x2 + 5x + 4 x−2

−

( x − 2) ( x2 + 5x + 4)

−

(

)

Câu 35.

Câu 32.

DẠNG 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU C. Chọn 21

( x − 2 ) − ( x + 1) ≥ 0 ⇔ −6 x + 3 ≥ 0 1 x − 2 x +1 ≥ ⇔ ( ). x +1 x − 2 x2 − x − 2 ( x + 1)( x − 2 ) Ta có bảng xét dấu sau: +∞ +

x VT (1)

−

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng ( x − 2 ) x 2 + 5x + 4 ≥ 0 ⇔ x ∈ [ − 4; −1] ∪ [ 2; + ∞ ) . Chọn

Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ( −2; 2 ) ∪ [3; 4 ] . Chọn C

(1) ⇔ x < −1 ∨ Câu 36.

∞

2 0

1 ≤ x < 2. 2

Chọn C. x+7 x2 + x + 3 ≥0. Xét −1 ≥ 0 ⇔ 2 x2 − 4 x −4 22

2 +

+∞

Bất phương trình có tập nghiệm S = [ −7; − 2 ) ∪ ( 2; + ∞ ) .

3  1 x 3 x ≥ 2 x − ≥ + 1  x≥ ⇔ 4 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3. Ta có:  2 4 2 ⇔ 1≤ x ≤ 3 2   x − 4 x + 3 ≤ 0 1 ≤ x ≤ 3  Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là S = [ 2; 3] . Câu 42. Chọn C 2 1 ≤ x ≤ 5  x − 6 x + 5 ≤ 0 ⇔ ⇔ 2 < x ≤ 5.  2 2 < x < 6  x − 8 x + 12 < 0

Vậy S ∩ ( −2; 2 ) = ∅ . Câu 37. Chọn D. Do x 2 + 3 > 0 ∀x ∈ ℝ nên bất phương trình đã cho tương đương với

2 2 x 2 − 3x + 4 > 2 ⇔ 2 x 2 − 3x + 4 > 2 x 2 + 3 ⇔ 3x < −2 ⇔ x < − . x2 + 3 3

(

)

x − 4 ≠ 0 x ≠ 0  Điều kiện:  x + 2 ≠ 0 ⇔  . Bất phương trình: x ≠ ± 2  2 2 x − x ≠ 0  x+3 1 2x x +3 1 2x 2x + 9 − < ⇔ 2 − + <0⇔ 2 < 0. x2 − 4 x + 2 2 x − x2 x − 4 x + 2 x2 − 2 x x −4 Bảng xét dấu: 9 x −2 − −∞ +∞ 2 2 2x + 9 0 − + + + 2

Câu 38.

x2 − 4

f ( x)

−

Câu 43.

 x ≥ 2  x 2 − 2 x ≥ 0  −5 < x ≤ 0  Điều kiện:  . ⇔ ⇔  x ≤ 0 2 25 − x > 0 2 ≤ x < 5  −5 < x < 5  Tập xác định: D = ( −5; 0] ∪ [ 2;5 ) . Câu 44. Chọn A

2x + 9 9  < 0 ⇔ x ∈  − ∞; −  ∪ ( − 2; 2 ) . Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 2 x −4 2  Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x Chọn Câu 39.

( x = 1)

thỏa mãn yêu cầu.

x ≠ − 2 Điều kiện: x 2 − 3 x − 10 ≠ 0 ⇔ ( x + 2 )( x − 5 ) ≠ 0 ⇔  . x ≠ 5 Bất phương trình − 2 x2 + 7 x + 7 − 2 x2 + 7 x + 7 − x2 + 4 x − 3 ≤ −1 ⇔ 2 +1 ≤ 0 ⇔ 2 ≤0 2 x − 3 x − 10 x − 3x − 10 x − 3x − 10 Bảng xét dấu x

−∞

−2

− x2 + 4x − 3

−

x 2 − 3x − 10

−

f ( x)

−

Câu 40.

Chọn

 x > −4 x + 4 > 0  −4 < x < −3 1 1  > 3+ . ⇔ 2 ⇔   x < −3 ⇔  x x + 2 − 3 > 0 x+4 x+4 x > 1   x > 1  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −4;3) ∪ (1; + ∞ ) . x2 + 2 x +

+∞ −

−

Câu 47.

−

 x < 1  x 2 − 4 x + 3 > 0  −2 < x < 1  x − 4 x + 3 > 0  Ta có  . ⇔ 2 ⇔   x > 3 ⇔  x − 3x − 10 < 0 3 < x < 5  −2 < x < 5 ( x + 2 )( x − 5 ) < 0  Câu 48. Chọn A. ( x + 5 )( 6 − x ) > 0 (1) .  ( 2)  2 x + 1 < 3

DẠNG 4. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chọn B 5 x − 2 < 4 x + 5 5 x − 2 < 4 x + 5 x < 7 Ta có:  2 . ⇔ 2 ⇔ 2 2 x < ( x + 2) x < x + 4 x + 4  x > −1  

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = ( −1; 7 ) . Suy ra a + b = 6. Câu 41. Chọn C 23

Câu 46.

−

Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình ( ∗) ⇔ x ∈ ( − ∞; − 2 ) ∪ [1; 3] ∪ ( 5; + ∞ ) . Chọn

 −2 < x < 2 2  −2 < x ≤ −1  x − 4 < 0  do x là số nguyên ⇔ x = {−1;1} ⇔   −4 ≤ x ≤ −1 ⇔   2 x x x − 1 + 5 + 4 ≥ 0 ( ) ( ) 1 ≤ x < 2   x ≥ 1  Câu 45. Chọn A. x2 − 4x + 3 < 0 1 < x < 3 ( x − 1)( x − 3) < 0 ⇔ ⇔ ⇔1< x < 2.  − x + > 6 12 0 − 6 x > − 12  x < 2   Tập nghiệm của hệ bất phương trình là S = (1; 2 ) .

−

( ∗) .

Chọn A

Chọn

C. 2

Giải bất phương trình (1) : Bảng xét dấu cho biểu thức f ( x ) = ( x + 5 )( 6 − x ) : 24

Phương trình x2 − mx + 4m = 0 vô nghiệm khi ∆ < 0 ⇔ m2 − 16m < 0 ⇔ 0 < m < 16 .

Câu 54.

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ∆ x < 0 ⇔ ( m + 1) − 4 < 0 ⇔ m 2 + 2 m − 3 < 0 ⇔ ( m − 1)( m + 3) < 0 ⇔ − 3 < m < 1 . Chọn

 a = 2m + 1 ≠ 0 Yêu cầu bài toán ⇔  , ∀m ∈ ℝ. 2 2  ∆′x = 4m − 2 ( 2m + 1) = − 2 < 0 Vậy phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m ∈ ℝ. Chọn Xét phương trình ( m − 2 ) x 2 + 2 ( 2m − 3) x + 5m − 6 = 0 (∗) .

Câu 55. Dựa vào bảng xét dấu suy ra bất phương trình (1) có tập nghiệm S1 = ( −5;6 ) . Giải bất phương trình ( 2 ) : x < 1 ⇒ bất phương trình ( 2 ) có tập nghiệm S 2 = ( −∞;1) .

Câu 56.

TH1. Với m − 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó ( ∗) ⇔ 2 x + 4 = 0 ⇔ x = − 2.

Vậy tập nghiệm của hệ đã cho là S = S1 ∩ S 2 = ( −5;1) . Câu 49. Chọn A. x −1 ≥ 0 (1)  ( 2)  x + 2 x − 1 ≥ 0 + Điều kiện:  2 − x ≥ 4 0 ( 3)   2 2 ( 4) 5 − x − 2 4 − x ≥ 0 + (1) ⇔ x ≥ 1 . ( 5 )

Suy ra với m = 2 thì phương trình ( ∗) có nghiệm duy nhất x = − 2. Do đó m = 2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. TH2. Với m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2, khi đó để phương trình ( ∗) vô nghiệm ⇔ ∆′x < 0 ⇔ ( 2 m − 3) − ( m − 2 )( 5m − 6 ) < 0 ⇔ 4m 2 − 12m + 9 − ( 5m 2 − 16m + 12 ) < 0 2

+ Với x ≥ 1 thì ( 2 ) luôn đúng. + ( 3 ) ⇔ −2 ≤ x ≤ 2 . ( 6 ) + Xét ( 4 ) ⇔ 1 + ( 4 − x 2 ) − 2 4 − x 2 ≥ 0 , với điều kiện −2 ≤ x ≤ 2 .

Đặt

4 − x = t ≥ 0 , ta được 1 + t − 2t ≥ 0 ⇔ ( t − 1) ≥ 0 (luôn đúng). 2

Câu 53.

Câu 57.

m > 3 ⇔ − m 2 + 4m − 3 < 0 ⇔ m 2 − 4m + 3 > 0 ⇔  . m < 1 m > 3 thì phương trình ( ∗) vô nghiệm. Do đó, với  m < 1 m > 3 Kết hợp hai TH, ta được  là giá trị cần tìm. Chọn m < 1 Xét phương trình mx 2 − 2 mx + 4 = 0 (∗) .

+ Kết hợp ( 5 ) và ( 6 ) ta được tập xác định của hàm số là [1; 2 ] .

TH1. Với m = 0, khi đó phương trình (∗ ) ⇔ 4 = 0 (vô lý).

+ Suy ra a = 1 ; b = 2 . + V ậy a + b = 3 .

Suy ra với m = 0 thì phương trình ( ∗) vô nghiệm.

DẠNG 5. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ Dạng 1. Tìm m để phương trình có n nghiệm Câu 50. Chọn B Phương trình x2 + mx + 4 = 0 có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ m2 − 16 ≥ 0 ⇔ m ≤ −4 hay m ≥ 4 Câu 51. Chọn B Phương trình có hai nghiệm phân biệt  m < −1 2 ⇔ ∆ ' > 0 ⇔ ( m − 1) − ( −1) . ( m − 3) > 0 ⇔ m 2 − m − 2 > 0 ⇔  m > 2

Câu 52.

TH2. Với m ≠ 0, khi đó để phương trình ( ∗) vô nghiệm ⇔ ∆′x < 0 ⇔ m 2 − 4m < 0 ⇔ m ( m − 4 ) < 0 ⇔ 0 < m < 4

Kết hợp hai TH, ta được 0 ≤ m < 4 là giá trị cần tìm. Chọn D.

Câu 58.

(

)

Xét phương trình m2 − 4 x 2 + 2 ( m − 2 ) x + 3 = 0

( ∗) .

m = 2 TH1. Với m 2 − 4 = 0 ⇔  . m = − 2 • Khi m = 2 ⇒ ( ∗) ⇔ 3 = 0 (vô lý).

Vậy m ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) . Chọn B.

3 • Khi m = − 2 ⇒ (∗) ⇔ − 8 x + 3 = 0 ⇔ x = . 8

 m − 3 ≠ 0 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔  2  ∆ = ( m + 3) + 4 ( m − 3)( m + 1) > 0 m ≠ 3  m ≠ 3 3   3 ⇔   x < − ⇔ m ∈  −∞; −  ∪ (1; + ∞ ) \ {3} . ⇔ 2 5 m m 5 − 2 − 3 > 0 5      x > 1

Suy ra với m = 2 thỏa mãn yêu cầu của bài toán. m ≠ 2 TH2. Với m 2 − 4 ≠ 0 ⇔  , khi đó để phương trình ( ∗) vô nghiệm ⇔ ∆′x < 0 m ≠ − 2

Chọn

A. 25

⇔ ( m − 2 ) − 3 ( m 2 − 4 ) < 0 ⇔ m 2 − 4 m + 4 − 3m 2 + 12 < 0 ⇔ − 2 m 2 − 4 m + 16 < 0 2

m > 2 ⇔ m 2 + 2m − 8 > 0 ⇔ ( m − 2 )( m + 4 ) > 0 ⇔  . m < − 4 26

m > 2 Suy ra với  thỏa mãn yêu cầu của bài toán. m < − 4 m ≥ 2 Kết hợp hai TH, ta được  là giá trị cần tìm. Chọn m < − 4 Câu 59.

⇔ ( m + 3 ) − ( m − 1)( 2 − m ) ≥ 0 ⇔ m 2 + 6m + 9 − ( − m 2 + 3m − 2 ) ≥ 0 2

Để phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm ⇔ ∆′x ≥ 0 ⇔ ( − b ) − 4.3 ≥ 0

(

⇔ b2 − 12 ≥ 0 ⇔ b2 − 2 3

)

3  79  ⇔ 2m2 + 3m + 11 ≥ 0 ⇔ 2  m +  + ≥ 0, ∀m ∈ ℝ suy ra ∆′x ≥ 0, ∀m ∈ ℝ. 4 8  Do đó, với m ≠ 1 thì phương trình ( ∗) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b ≥ 2 3 ≥ 0⇔ b−2 3 b+2 3 ≥ 0⇔  . b ≤ − 2 3

(

)(

)

Vây b ∈ − ∞; − 2 3  ∪  2 3; + ∞ là giá trị cần tìm. Chọn

Câu 60.

1 Suy ra với m = 1 thì phương trình ( ∗) có nghiệm duy nhất x = . 8 TH2. Với m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1, khi đó để phương trình ( ∗) có nghiệm ⇔ ∆′x ≥ 0

Câu 64.

Xét phương trình x 2 + 2 ( m + 2 ) x − 2m − 1 = 0, có ∆′x = ( m + 2 ) + 2m + 1.

 a = 1 ≠ 0 Phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔  2  ∆ x = ( m + 2 ) − 4 (8m + 1) > 0

Yêu cầu bài toán ⇔ ∆′x ≥ 0 ⇔ m2 + 4m + 4 + 2m + 1 ≥ 0 ⇔ m2 + 6m + 5 ≥ 0

 m ≥ −1 ⇔ ( m + 1)( m + 5) ≥ 0 ⇔  là giá trị cần tìm. Chọn m ≤ − 5 Câu 61.

Xét 2 x 2 + 2 ( m + 2 ) x + 3 + 4m + m 2 = 0, có ∆′x = ( m + 2 ) − 2 ( m 2 + 4m + 3 ) . 2

Yêu cầu bài toán ⇔ ∆′x ≥ 0 ⇔ m2 + 4m + 4 − 2m2 − 8m − 6 ≥ 0 ⇔ − m2 − 4m − 2 ≥ 0

Câu 65.

⇔ m2 + 4m + 2 ≤ 0 ⇔ ( m + 2 ) ≤ 2 ⇔ − 2 − 2 ≤ m ≤ − 2 + 2. Kết hợp với m ∈ ℤ, ta được m = {− 3; − 2; − 1} là các giá trị cần tìm. Chọn

Câu 62.

Xét phương trình ( m − 5 ) x 2 − 4mx + m − 2 = 0

(∗) .

3 . 20 3 Suy ra với m = 1 thì phương trình ( ∗) có nghiệm duy nhất x = . 20 TH2. Với m − 5 ≠ 0 ⇔ m ≠ 5, khi đó để phương trình ( ∗) có nghiệm ⇔ ∆′x ≥ 0 TH1. Với m − 5 = 0 ⇔ m = 5, khi đó ( ∗) ⇔ − 20 x + 3 = 0 ⇔ x =

Câu 66.

m ≥ 1 ⇔ 3m2 + 7m − 10 ≥ 0 ⇔ ( m − 1)( 3m + 10 ) ≥ 0 ⇔  .  m ≤ − 10 3  5 ≠ m ≥ 1 Do đó, với  thì phương trình ( ∗) có nghiệm. m ≤ − 10 3 

Xét phương trình ( m − 1) x − 2 ( m + 3 ) x − m + 2 = 0

Câu 67.

(∗ ) .

1 TH1. Với m − 1 = 0 ⇔ m = 1, khi đó (∗) ⇔ − 2.4 x − 1 + 2 = 0 ⇔ x = . 8

a = 1 > 0 7  Ta có  suy ra m2 − 2m + > 0, ∀m ∈ ℝ ⇒ ∆ x > 0, ∀m ∈ ℝ. 7 4 3 ∆′m = 1 − 3 = − 3 < 0 Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m ∈ ℝ. Chọn A.  a = m − 1 ≠ 0 Yêu cầu bài toán ⇔  2  ∆ x = ( 3m − 2 ) − 4 ( m − 1)( 3 − 2m ) > 0

Do đó, hệ bất phương trình ( ∗ ) ⇔ m ≠ 1 . Chọn

a = m − 1 ≠ 0 Yêu cầu bài toán ⇔  2 ∆′x = ( −1) − ( m − 1)( m + 1) > 0 m ≠ 1 m ≠ 1 m ≠ 1 ⇔ ⇔ 2 ⇔ ⇔ m ∈ − 2; 2 \ {1} . 2 1 − m + 1 > 0 m < 2 − 2 < m < 2

(

)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ∈ − 2; 2 \ {1} . Chọn

Câu 68.

( ∗) .

(

m ≥ 1 Kết hợp hai TH, ta được  là giá trị cần tìm. Chọn C. m ≤ − 10 3  2

 m > 28 ⇔ m 2 + 4m + 4 − 32m − 4 > 0 ⇔ m 2 − 28m > 0 ⇔ m ( m − 28 ) > 0 ⇔  . m < 0 Vậy m < 0 hoặc m > 28 là giá trị cần tìm. Chọn B. 1 1 7 2   Xét x 2 + ( m + 1) x + m − = 0, có ∆ x = ( m + 1) − 4  m −  = m2 − 2m + . 3 3 3 

m ≠ 1 m ≠ 1 ⇔ 2 ⇔ 2 2 m m m m 9 − 12 + 4 − 4 − 2 + 5 − 3 > 0 ( )  17 m − 32m + 16 > 0 a = 17 > 0 Ta có  suy ra 17m 2 − 32m + 16 > 0, ∀m ∈ ℝ. 2 ∆′m = 16 − 17.16 = −16 < 0

⇔ ( − 2m ) − ( m − 5 )( m − 2 ) ≥ 0 ⇔ 4 m 2 − ( m 2 − 7 m + 10 ) ≥ 0

Câu 63.

Kết hợp hai TH, ta được m ∈ ℝ là giá trị cần tìm. Chọn B. Tam thức f ( x ) đổi dấu hai lần ⇔ f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt.

 a = m − 3 ≠ 0 Yêu cầu bài toán ⇔  2  ∆ x = ( m + 3) + 4 ( m − 3)( m + 1) > 0

m ≠ 3 m ≠ 3 ⇔ 2 ⇔ 2 2 m 6 m 9 4 m 2 m 3 0 + + + − − > ( )  5m − 2m − 3 > 0 m ≠ 3  m ≠ 3 3  m >1  ⇔ ⇔   ⇔ m ∈  − ∞; −  ∪ (1; + ∞ ) \ {3} là giá trị cần tìm. m 1 5 m 3 0 − + > 5 ( )( )   m < − 3   5 Chọn A. Dạng 2. Tìm m để phương trình bậc 2 có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 69. Chọn A. Dễ thấy m = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với m ≠ 0 , phương trình đã cho là phương trình bậc hai.  m ≠ −1 a m2 + 2m + 1 Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi = . <0 ⇔ c m m < 0 Câu 70.

Chọn A

(

)

Ta có: mx − x + 2 x − 8m = 0 ⇔ ( x − 2 ) mx + ( 2m − 1) x + 4m = 0 3

x = 2 ⇔ 2  f ( x ) = mx + ( 2m − 1) x + 4m = 0

(*)

Để phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt lớn hơn 1 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 và khác 2 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 2 khi  m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0  1    1  2 ⇔ ∆ > 0 ⇔  −12m − 4m + 1 > 0 ⇔ − < m < ⇔  1 1 (1) . 6 f 2 ≠0  4m + 2 2 m − 1 + 4m ≠ 0  2 − 2 < m < 6 ( ) ( )   1  m ≠ 6 Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 2 .

Chọn A. Phương ( m − 1) x 2 − 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 khi và chỉ khi

m ≠1  m − 1 ≠ 0 m ≠ 1 ⇔ ⇔ ⇔ m ≠ 1.  2 ′ ∆ ≥ 0  1 ≥ 0 ( m − 2 ) − ( m − 1)( m − 3) ≥ 0 m−3 2m − 4 Theo định lí Vi-et ta có: x1 + x2 = , x1 x2 = . m −1 m −1 2m − 6 2m − 4 m − 3 + <1 ⇔ < 0 ⇔1< m < 3. Theo đề ta có: x1 + x2 + x1 x2 < 1 ⇔ m − 1 m −1 m −1 Vậy 1 < m < 3 là giá trị cần tìm. C. Câu 72. Chọn m ≠ 5 m − 5 ≠ 0  ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔  1 ( *) . 2 ( m − 1) − m ( m − 5 ) > 0 m > − 3  2 ( m − 1)  x1 + x2 = − m −5 . Khi đó theo định lý Viète, ta có:  x x = m 1 2 m−5  Với x1 < 2 < x2 ⇒ ( x1 − 2 )( x2 − 2 ) < 0 ⇔ x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) + 4 < 0 ⇔

4 ( m − 1) m + +4<0 m −5 m−5

9m − 24 8 8 < 0 ⇔ < m < 5 . Kiểm tra điều kiện ( *) ta được < m < 5 . m−5 3 3 Câu 73. Chọn A. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi m2 − 4m < 0 ⇔ 0 < m < 4 . Câu 74. Chọn B. Với m − 1 ≠ 0 ta xét phương trình: ( m − 1) x 2 − 2mx + m = 0 (1) .

⇔

Ta có: ∆′ = b′2 − ac = m 2 − m ( m − 1) = m .

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì: ∆′ > 0 ⇔ m > 0 . Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của (1) và x1 > 1 , x2 < 1 . Ta có: ( x1 − 1)( x2 − 1) < 0 ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 < 0 ( *) .

1 − 2m  x + x = Theo định lí Vi ét ta có:  1 2 2 .  x1 + x2 = 4 ( x1 − 1) + ( x2 − 1) > 0 Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì 1 < x1 < x2 ⇔  ( x1 − 1)( x2 − 1) > 0

1 − 2m 1 − 2m  m − 2 > 0  m − 2 > 0  x1 + x2 − 2 > 0 ⇔ ⇔ ⇔  x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 > 0  4 − 1 − 2m + 1 > 0 4 − 1 − 2 m + 1 > 0   m m 0 < 1 − 4m   m > 0 1 1  1 ⇔ ⇔ m > ⇔ < m < m 7 − 1 7 4 7   >0    m < 0  m

Câu 71.

(2) .

m   x1.x2 = m − 1 Theo Vi-et ta có:  , thay vào ( *) ta có:  x + x = 2m 1 2  m −1 m 2m −1 − +1 < 0 ⇔ < 0 ⇔ m >1. m −1 m −1 m −1 Vậy với m > 1 thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 75. Chọn D. m ≥ 2 Phương trình có nghiệm khi ∆′ ≥ 0 ⇔ m2 − m − 2 ≥ 0 ⇔  (1) .  m ≤ −1  x + x = 2m . Theo định lý Viète ta có  1 2  x1 x2 = m + 2

x13 + x23 ≤ 16 ⇔ 8m3 − 6m ( m + 2 ) ≤ 16 ⇔ 8m3 − 6m2 − 12m − 16 ≤ 0 ⇔ ( m − 2 ) ( 8m2 + 10m + 8) ≤ 0 ⇔ m−2≤0 ⇔ m ≤ 2. Kiểm tra điều kiện (1) , ta được m ≤ −1 hoặc m = 2 .

Câu 76.

Chọn

x = 1 . ( x −1)  x2 + 2 ( m + 3) x + 4m + 12 = 0 ⇔  2  x + 2 ( m + 3) x + 4m + 12 = 0 (*) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lớn hơn −1 khi và chỉ khi khi phương trình (*) có

Câu 81.

Lời giải Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi 5 ac < 0 ⇔ 2. 2m 2 − 3m − 5 < 0 ⇔ − 1 < m < . Chọn B. 2 Câu 82. Lời giải Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

(

m > 2 ac < 0 ⇔ ( m 2 − 3m + 2 ) . ( − 5 ) < 0 ⇔ m 2 − 3m + 2 > 0 ⇔  . Chọn m < 1

hai nghiệm phân biệt x1 , x2 lớn hơn −1 và khác 1

 m 2 + 2m − 3 > 0  ∆′ > 0   7 x +1+ x +1 > 0 −2m − 4 > 0  − 2 < m < −3 2  1 ⇔ 2 m + 7 > 0 ⇔ ⇔ .  ( x1 + 1)( x2 + 1) > 0  m ≠ − 19  1 + 2 ( m + 3) + 4m + 12 ≠ 0 m ≠ − 19 6   6

Lời giải Phương trình x 2 − 2 ( m − 1) x + m 2 − 2m = 0 ⇔ x 2 − 2mx + m 2 + 2 x − 2m = 0 x = m 2 ⇔ ( x − m ) + 2 ( x − m ) = 0 ⇔ ( x − m )( x − m + 2 ) = 0 ⇔  1 .  x2 = m − 2

Lời giải Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi m 2 − 4 ( m + 3) > 0 ∆ > 0  m 2 − 4m − 12 > 0   ⇔ m > 6. Chọn A.  S > 0 ⇔  x1 + x2 = m > 0 ⇔  m > 0 P > 0 x x = m + 3 > 0   1 2

 x ≠ x2 Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu ⇔  1 ⇔0<m<2  x1 x2 < 0

(Ι ).

x > 0 2 2 2 2 Với m ∈ ( 0; 2 ) suy ra  1 , theo bài ra, ta có x2 > x1 ⇔ x2 > x1 ⇔ x2 − x1 > 0 x < 0  2

⇔ ( x2 − x1 )( x2 + x1 ) > 0 ⇔ ( m − 2 − m )( m − 2 + m ) > 0 ⇔ 2 m − 2 < 0 ⇔ m < 1.

Câu 78.

Câu 83.

Câu 77.

Lời giải m − 2 ≠ 0  2 a ≠ 0  m − ( m − 2 )( m + 3) > 0 ∆′ > 0 2 < m < 6   . Yêu cầu bài toán ⇔  ⇔  2m > 0 ⇔ . m < − 3 S > 0 m − 2 m +3  P > 0 >0  m − 2 Chọn B. Câu 79. Lời giải Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi ( m + 1)2 − ( 9m − 5 ) > 0  ∆′ > 0 m2 − 7m + 6 > 0 m > 6    B. ⇔ ⇔ 5 . Chọn  S < 0 ⇔  − 2 ( m + 1) < 0 5  < m <1 P > 0 9 m − 5 > 0 m > 9  9    Câu 80. Lời giải Phương trình đã cho có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi ( 3m − 2 )2 − 4 ( 2m 2 − 5m − 2 ) > 0 3m − 2 ≥ 0 ∆ > 0  5 + 41    ⇔ m 2 + 8m + 12 ≥ 0 ⇔ m ≥ .  S ≥ 0 ⇔ 3m − 2 ≥ 0 4 P ≥ 0 2m2 − 5m − 2 ≥ 0 2m 2 − 5m − 2 ≥ 0    Chọn B.

)

Kết hợp với ( Ι ) , ta được 0 < m < 1 là giá trị cần tìm. Chọn B.

Câu 84. Xét phương trình ( m + 1) x 2 − 2mx + m − 2 = 0

Lời giải ( ∗) , có ∆′ = m + 2.

Phương trình ( ∗) có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi a ≠ 0 m + 1 ≠ 0    m ≠ {− 1; 2}  ∆′ > 0 ⇔  m + 2 > 0 ⇔   m > − 2 P ≠ 0 m − 2 ≠ 0  

(Ι ).

2m   x1 + x2 = m + 1 Khi đó, gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình ( ∗) suy ra  . x x = m − 2 1 2 m +1  m > 6 1 1 x1 + x2 2m m−6 Theo bài ra, ta có + = = <3⇔ >0⇔  . x1 x2 x1 x2 m−2 m−2 m < 2 m > 6 Kết hợp với ( Ι ) , ta được  là giá trị cần tìm. Chọn B.  m ∈ ( − 2; − 1) ∪ ( −1; 2 )

Câu 85. Lời giải Đặt f ( x ) = x 2 − ( m − 1) x + m + 2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi: 32

m > 7 ∆ > 0  m 2 − 6m − 7 > 0  ⇔ ⇔   m < −1. (*)   f ( 0 ) ≠ 0 m + 2 ≠ 0  m ≠ − 2

Bất phương trình ( m + 1) x 2 − 2 mx − ( m − 3 ) < 0 vô nghiệm ⇔ f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ ℝ TH1: Với m = −1 thì f ( x ) = 2 x + 4 Khi đó f ( x ) ≥ 0 ⇔ x ≥ −2 không thỏa mãn nên loại m = −1

x + x = m −1 Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình đã cho. Theo Viet, ta có  1 2 .  x1 x2 = m + 2

a > 0 TH2: Với m ≠ −1 , f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ ' ≤ 0 a > 0 ⇔ m > −1 ∆ ' = m 2 + ( m + 1)( m − 3) = 2 m 2 − 2 m − 3

Yêu cầu bài toán

( x + x ) − 2 x1 x2 > 1 1 1 x2 + x2 + > 1 ⇔ 1 2 22 > 1 ⇔ 1 2 2 x12 x22 x1 .x2 ( x1 x2 )

( m − 1) − 2 ( m + 2) > 1 ⇔ 8m + 7 < 0 ⇔  ( *)  7 → − 2 ≠ m < − 1. Chọn 2 2 m < − ( m + 2) ( m + 2)  8 m ≠ −2

⇔

1− 7 1+ 7 1− 7 1+ 7 ≤m≤ ≤m≤ suy ra 2 2 2 2 Câu 93. Chọn D. Vì tam thức bậc hai f ( x ) có hệ số a = −1 < 0 nên f ( x ) < 0, ∀x ∈ R khi và chỉ khi ∆' ≤ 0 ⇔

Dạng 3. Tìm m để BPT thỏa mãn điều kiện cho trước Chọn A. a = 1 > 0 Ta có f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇔ m ≥1.  ∆′ = 1 − m ≤ 0 Câu 87. Chọn D

Câu 86.

∆′ < 0 ⇔ 1 − ( −1)( m − 2018 ) < 0 ⇔ m − 2017 < 0 ⇔ m < 2017 .

Câu 94.

Bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ( m + 2) − 4 ( 8m + 1) < 0 ⇔ m 2 − 28m < 0 0 < m < 28 .

m < 0 a < 0 TH2: m ≠ 0 ; Yêu cầu bài toán ⇔  ⇔ 2 ∆ ' < 0  −3m − 2m + 1 < 0

Chọn D Yêu cầu bài toán ⇔ f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ x 2 + 2 ( m − 1) x + m 2 − 3m + 4 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

m < 0  ⇔ 1 m < −1 ∨ m > 3

Câu 88.

Chọn C TH1: m = 0 : f ( x) = 2 x đổi dấu (loại m = 0 )

⇔ ∆′ = ( m − 1) − ( m 2 − 3m + 4 ) ≤ 0 2

⇔ m−3≤ 0 ⇔ m ≤ 3. Vậy m ≤ 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 89. Chọn A 1 > 0 f ( x ) > 0 ∀x ∈ ℝ ⇔  2 ∆ = ( m + 2 ) − 4 ( 8m + 1) < 0

⇔ m2 − 28m < 0 ⇔ 0 < m < 28 Vậy có 27 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 90. Chọn B 1 > 0 a > 0 Ta có : f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇔ 2 ∆ < 0  ( m + 1) − 4 ( 2m + 7 ) < 0 ⇔ m2 − 6m − 27 < 0 ⇔ −3 < m < 9 . Câu 91. Lời giải Chọn B TH1: m + 1 = 0 ⇔ m = −1 Bất phương trình (1) trở thành 4 ≥ 0∀x ∈ R ( Luôn đúng) (*) TH2: m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 Bất phương trình (1) có tập nghiệm S = R m +1 > 0 a>0  ⇔ ⇔ ⇔ −1 < m ≤ 3 (**) 2 ∆ ' ≤ 0  ∆ ' = m − 2m − 3 ≤ 0 Từ (*) và (**) ta suy ra: −1 ≤ m ≤ 3. Câu 92. Chọn A Đặt f ( x ) = ( m + 1) x 2 − 2mx − ( m − 3 ) 33

⇔ m < −1 Vậy m < −1 . Câu 95. Chọn D 2

Ta có − x 2 + 2 x − 5 = − ( x − 1) − 4 < 0, ∀x ∈ ℝ . − x2 + 2x − 5 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ x 2 − mx + 1 2 ⇔ x − mx + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ

Nên

⇔ ∆ = m2 − 4 ≤ 0

Câu 96.

⇔ m ∈ [ −2; 2]. Chọn C

a > 0 1 > 0 BPT nghiệm đúng ∀x ∈ ℝ ⇔  ' ⇔ −1 ≤ m ≤ 7 . ⇔ 2 △ ≤ 0  m − 6m − 7 ≤ 0 Câu 97. Chọn D Ta có BPT x 2 + 4 x + m < 0 vô nghiệm a > 0 1 > 0 ⇔ f ( x ) = x 2 + 4 x + m ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ' ⇔ ⇔ m ≥ 4. 4 − m ≤ 0 ∆ ≤ 0 Câu 98. Chọn A

Trường hợp 1. m = 0 . Khi đó bất phương trình trở thành: −2 x + 7 < 0 ⇔ x > Trường hợp này không thỏa mãn yêu cầu bài toán, loại. Trường hợp 2. m ≠ 0 . Bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:

7 . 2

mx 2 − 2 ( m + 1) x + m + 7 ≥ 0, ∀x ∈ R m > 0 ⇔ ∆ ' ≤ 0 m > 0 ⇔ 1 − 5m ≤ 0

Câu 103.

1 5 Câu 99. Chọn D mx 2 − 2mx − 1 ≥ 0 (1) +) m = 0 thì bất phương trình (1) trở thành: −1 > 0 (vô lí). Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. a = m < 0 +) m ≠ 0 , bất phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi  . 2 ∆′ = ( −m ) − m ( −1) < 0 m < 0 m < 0 ⇔ ⇔ −1 < m < 0 . ⇔ 2 m m + < 0  −1 < m < 0  Vậy bất phương trình mx 2 − 2mx − 1 ≥ 0 vô nghiệm khi −1 < m ≤ 0 . Câu 100. Chọn C ⇔m≥

m = 1 Theo bài ra ta có b − a = 4 ⇔ 2 m 2 − 5m + 8 = 4 ⇔ m 2 − 5m + 4 = 0 ⇔  m = 4 Tổng tất cả các phần tử của S là 5. Câu 101. Chọn C Ta có x 2 − 2 x − m ≥ 0 ⇔ x 2 − 2 x ≥ m . Xét hàm số f ( x ) = x 2 − 2 x là hàm số bậc hai có hệ số a = 1 > 0 , hoành độ đỉnh của parabol

* Nếu m > 6 thì f ( x ) > 0 ∀x ∈ ℝ không thỏa đề

( x1 < x2 )

Bảng xét dấu f ( x )

Vậy tập nghiệm của BPT là m − m2 − 5m + 8; m + m2 − 5m + 8  .  

−b = 1 . Do đó có bảng biến thiên 2a x 0

Bảng xét dấu ∆′

* Nếu 2 < m < 6 thì f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2

x − m ≤ m − 5m + 8 ⇔ m − m − 5m + 8 ≤ x ≤ m + m − 5 m + 8 .

xI =

Lời giải Chọn C Cách 1: Đặt f ( x ) = ( m − 2 ) x 2 + 2 ( 4 − 3m ) x + 10m − 11 TH1: m − 2 = 0 ⇔ m = 2 9 (1) ⇔ −4 x + 9 ≤ 0 ⇔ x ≥ không thỏa đề 4 TH2: m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 2 ∆′ = ( 4 − 3m) − ( m − 2 )(10m − 11) = −m2 + 7m − 6

* Nếu m ≤ 1 thì f ( x ) < 0 ∀x ∈ ℝ thỏa đề

Có x − 2 mx + 5m − 8 ≤ 0 ⇔ ( x − m ) ≤ m − 5m + 8 ⇔ x − m ≤ m − 5m + 8 2

 m 2 − 5m − 6 ≤ 0  −1 ≤ m ≤ 6 ⇔ ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤ 6 . m > −10  m > −10 Vậy với −1 ≤ m ≤ 6 thì hàm số đã cho có tập xác định D = R .

Khi đó f ( x ) ≤ 0 ∀x ∈ ( x1 , x2 ) không thỏa đề * Nếu 1 < m < 2 thì f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2

( x1 < x2 )

Bảng xét dấu f ( x )

+∞

Khi đó f ( x ) ≤ 0 ∀x < −4 ⇔ −4 ≤ x1 < x2

+∞

Hàm số có tập xác định D = R khi và chỉ khi (*) đúng với ∀x ∈ R .

 x1 + 4 + x2 + 4 > 0  x1 + x2 + 8 > 0 ⇔ 0 ≤ x1 + 4 < x2 + 4 ⇔  ⇔ ( x1 + 4 )( x2 + 4 ) ≥ 0  x1 x2 + 4 ( x1 + x2 ) + 16 ≥ 0  2 ( 3m − 4 ) 12 14m − 24  +8 > 0  m − 2 > 0 m < 7 14m − 24 < 0 3  m − 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔m≤ 50 m 75 50 m 75 0 − − ≤ 3 2 8 3 m 4 − ( ) 10 m − 11  m ≤  ≥0 + + 16 ≥ 0   m−2  2 m−2  m − 2

+) m = −10 : (*) trở thành: 24 x + 1 ≥ 0 không đúng với ∀x ∈ R . Suy ra m = −10 loại.

So sánh điều kiện suy ra 1 < m ≤

∆′ = ( m − 2 ) − ( m + 10 ) ≤ 0 +) m ≠ −10 : (*) đúng với ∀x ∈ R ⇔  m + 10 > 0

Vậy m ≤

−1

Dựa vào bbt ta có x 2 − 2 x ≥ m, ∀x > 0 khi và chỉ khi m ≤ −1 . Câu 102. Chọn A Hàm số xác định ⇔ ( m + 10 ) x 2 − 2 ( m − 2 ) x + 1 ≥ 0 (*) .

3 . 2

3 . Khi đó S = {1} . 2

Cách 2: Ta có ( m − 2 ) x 2 + 2 ( 4 − 3m ) x + 10m − 11 ≤ 0 (1) 36

⇔ m ( x 2 − 6 x + 10 ) − 2 x 2 + 8 x − 11 ≤ 0 ⇔ m ≤

2 x 2 − 8 x + 11 ( vì x 2 − 6 x + 10 > 0; ∀x < −4 ). x 2 − 6 x + 10

2 x 2 − 8 x + 11 với x < −4 . x 2 − 6 x + 10 ( 4 x − 8 ) ( x 2 − 6 x + 10 ) − ( 2 x − 6 ) ( 2 x 2 − 8 x + 11)

Xét hàm số f ( x ) = Ta có f ′ ( x ) =

− 6 x + 10 )

m < −1  m + 1 < 0 4  4 ⇔   m < − ⇔ m < − . ( m + 1) x + mx + m < 0 ∀x ∈ ℝ ⇔  2 m m m − 4 + 1 < 0 3 3 ( )     m > 0 2

−4 x + 18 x − 14

− 6 x + 10 )

7  x = (l ) f ′( x) = 0 ⇔  2   x = 1 ( l ) Bảng biến thiên:

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x < −4 ⇔ m ≤ f ( x ) , ∀x < −4 ⇔ m ≤ Vậy m ≤

Câu 104. Chọn B

3 . 2

3 . Khi đó S = {1} . 2

Hàm số có tập xác định là R ⇔ ( m + 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + 2 − 2m ≥ 0 (1) nghiệm đúng với ∀x ∈ ℝ .

Trường hợp 1: m = −1 ⇒ bpt (1) ⇔ 4 x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1 không nghiệm đúng với ∀x ∈ ℝ . Trường hợp 2: m ≠ −1 ⇒ bpt (1) nghiệm đúng với ∀x ∈ ℝ m > −1  m > −1 ⇔ ⇔ 2 2 m − 1 − m + 1 2 − 2 m ≤ 0 ) ( )( ) 3m − 2m − 1 ≤ 0 (

 m > −1 1  ⇔ 1 ⇔ − ≤ m ≤ 1. 3 − ≤ m ≤ 1  3 Vì m nguyên nên m ∈ {0 ; 1} . Câu 105. Chọn B. Bất phương trình 5x2 − x + m ≤ 0 vô nghiệm ⇔ 5x 2 − x + m > 0 với mọi x ∈ ℝ ∆ < 0 1 − 20m < 0 1 ⇔m> . ⇔ ⇔ 20 a > 0 5 > 0 Câu 106. Chọn D. Hàm số y = x 2 − 2mx − 2m + 3 có tập xác định là ℝ khi x 2 − 2mx − 2m + 3 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ m 2 + 2 m − 3 ≤ 0  ∆′ ≤ 0 ⇔ ⇔ −3 ≤ m ≤ 1 . Do m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {−3; −2; −1; 0;1} . ⇔ a > 0  1 > 0 Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán. 37

Câu 107. Chọn C. - Với m = −1 ta có: x > −1 không thỏa mãn. - Với m ≠ −1 ta có:

Câu 108. Chọn D. − x 2 + 2 x − m − 1 > 0 vô nghiệm ⇔ − x 2 + 2 x − m − 1 ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ . a < 0  −1 < 0 ⇔ ⇔ ⇔ m ≥ 0. ∆ ′ ≤ 0  −m ≤ 0 Câu 109. Chọn A. Bất phương trình − x 2 + x − m > 0 vô nghiệm khi và chỉ khi − x 2 + x − m ≤ 0 , ∀x ∈ ℝ . 1 Ta có − x 2 + x − m ≤ 0 ∀x ∈ ℝ ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ 1 − 4m ≤ 0 ⇔ m ≥ . 4 Câu 110. Chọn A.  m − 1 = 0 m = 1   m + 3 ≥ 0 2  ⇔  m > 1 ⇔ m ≥1. ( m − 1) x − 2 ( m − 1) x + m + 3 ≥ 0 với mọi x ∈ R ⇔  m − 1 > 0  −4 ( m − 1) ≤ 0     ∆′ ≤ 0 Câu 111. Chọn D. Ta có f ( x ) > 0 , ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ − x 2 − 2 ( m − 1) x + 2 m − 1 > 0 , ∀x ∈ ( 0;1) . ⇔ −2 m ( x − 1) > x 2 − 2 x + 1 , ∀x ∈ ( 0;1) (*) .

Vì x ∈ ( 0;1) ⇒ x − 1 < 0 nên (*) ⇔ −2m <

x2 − 2 x + 1 = x − 1 = g ( x ) , ∀x ∈ ( 0;1) . x −1

1 . 2 Dạng 4. Tìm m để hệ BPT bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 112. Chọn A ( x + 5 )( 3 − x ) > 0 −5 < x < 3 ⇔ Ta có:   x − 3m + 2 < 0  x < 3m − 2 ⇔ −2m ≤ g ( 0 ) = −1 ⇔ m ≥

Để hệ vô nghiệm thì 3m − 2 ≤ −5 ⇔ 3m ≤ −3 ⇔ m ≤ −1 . Câu 113. Chọn B.  2 x 2 − 5 x + 2 < 0 (1) Xét hệ bất phương trình ( I )  2 .  x − ( 2m + 1) x + m ( m + 1) ≤ 0 ( 2 )

(1) ⇔ ( 2 x − 1)( x − 2 ) < 0 ⇔

1 1  < x < 2 ⇔ S1 =  ; 2  . 2 2 

( 2 ) ⇔ ( x − m )  x − ( m + 1)  ≤ 0 ⇔ m ≤ x ≤ m + 1 ⇔ S2 = [ m; m + 1] . 1  m≤− Hệ ( I ) vô nghiệm ⇔ S1 ∩ S2 = ∅ ⇔  2.  m ≥ 2 Câu 114. Chọn D 38

 x > 5  x2 − 4 x > 5 ( *)  ⇔   x < −1 Ta có:  2 x − m − 1 x − m ≤ 0 ( )  x + 1 x − m ≤ 0 **  )( ) ( ) ( +) Nếu m = −1 thì (**) ⇔ x = −1 . Kết hợp (*) suy ra hệ bpt vô nghiệm ⇒ m = −1 loại. +) Nếu m > −1 thì (**) ⇔ −1 < x < m . Kết hợp với (*) suy ra hệ bpt có nghiệm ⇔ m > 5 . +) Nếu m < −1 thì (**) ⇔ m < x < −1 . Kết hợp với (*) suy ra với m < −1 thì hệ bpt luôn có nghiệm. m > 5 Vậy hệ bpt có nghiệm ⇔  .  m < −1 Câu 115. Chọn A. ( x + 3)( 4 − x ) > 0 −3 < x < 4 ⇔   x < m − 1 x < m −1 Do đó hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm khi m − 1 ≤ −3 ⇔ m ≤ −2 . Câu 116. Chọn B. Ta có x2 − 1 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 . x −3 > 0 ⇔ x > m. Do đó hệ có nghiệm khi m < 1 . 4  4 Câu 117. Bất phương trình (1) ⇔ −1 ≤ x ≤ . Suy ra S1 =  −1;  3  3 Bất phương trình ( 2 ) ⇔ x < −

m m  . Suy ra S2 =  −∞; −  . 2 2 

Để hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi S1 ∩ S2 = ∅ ⇔ −

m ≤ −1 ⇔ m ≥ 2. 2

Chọn C. Câu 118. Bất phương trình (1) ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Suy ra S1 = [ −1;1] . Bất phương trình ( 2 ) ⇔ x > m. Suy ra S 2 = ( m; +∞ ) .

Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi S1 ∩ S 2 ≠ ∅ ⇔ m < 1. Chọn C. Câu 119. Bất phương trình (1) ⇔ −3 < x < 4. Suy ra S1 = ( −3; 4 ) . Bất phương trình có S 2 = ( −∞; m − 1) .

Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi S1 ∩ S2 ≠ ∅ ⇔ m − 1 > −3 ⇔ m > −2. Chọn B. Câu 120. Bất phương trình đã cho tương tương với

−9 ( x 2 − x + 1) < 3x 2 + mx − 6 < 6 ( x 2 − x + 1) (do x2 − x + 1 > 0∀x ∈ ℝ ) 12 x 2 + ( m − 9 ) x + 3 > 0 (1) ⇔ 2 3x − ( m + 6 ) x + 12 > 0 ( 2 ) Yêu cầu ⇔ (1) và (2) nghiệm đúng ∀x ∈ ℝ 2 ∆(1) < 0 ( m − 9 ) − 144 < 0 ⇔ ⇔ ⇔ −3 < m < 6 . 2 ∆( 2) < 0 ( m + 6 ) − 144 < 0

Câu 121. Bất phương trình tương đương  3x 2 + 2 x + 2 + m  2 x 2 − 3x + 2 ≥ 0 3x 2 + 2 x + 2 + m ≥ 0 (1) ⇔ 2 .  2 13 x − 26 x + 14 − m > 0 ( 2 ) 13x − 26 x + 14 − m > 0  2 x 2 − 3x + 2 Yêu cầu ⇔ (1) và (2) nghiệm đúng ∀x ∈ ℝ  ∆(1) ≤ 0  2 2 − 4.3 ( 2 + m ) ≤ 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔ ∆ <0  26 − 4.13 (14 − m ) < 0  ( 2)

−5  m ≥ 3 . Chọn A.  m < 1

Câu 122. Bất phương trình x − 1 > 0 ⇔ x > 1 . Suy ra S1 = (1; +∞ ) . 2

Bất phương trình x 2 − 2mx + 1 ≤ 0 ⇔ x 2 − 2mx + m2 ≤ m2 − 1 ⇔ ( x − m ) ≤ m2 − 1 m ≥ 1 ) ⇔ − m 2 − 1 ≤ x − m ≤ m 2 − 1 (điều kiện: m 2 − 1 ≥ 0 ⇔   m ≤ −1 ⇔ m − m 2 − 1 ≤ x ≤ m + m 2 − 1 . Suy ra S2 =  m − m2 − 1; m + m2 − 1 .  

Để hệ có nghiệm ⇔ m + m 2 − 1 > 1

1 − m < 0 m > 1  2  m −1 ≥ 0   m ≤ −1 ∨ m ≥ 1 ⇔ ⇔ m >1 ⇔ m2 − 1 > 1 − m ⇔  m ≤ 1 1 − m ≥ 0     2  2 m > 1 m − 1 > (1 − m ) Đối chiếu điều kiện, ta được m > 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Câu 123. Điều kiện để (1) có nghiệm là ∆ ' = m ≥ 0 . Khi đó (1) có tập nghiệm S1 = 1 − m ;1 + m  . Ta thấy (2) có tập nghiệm S 2 = [ m; m + 1] .  m ≤ 1 + m 3+ 5 Hệ có nghiệm ⇔ S1 ∩ S 2 ≠ ∅ ⇔  ⇔0≤m≤ . Chọn B. 2 1 − m ≤ m + 1

Câu 124. Bất phương trình (1) ⇔ −1 ≤ x ≤ 4. Suy ra S1 = [ −1; 4 ] . Giải bất phương trình (2) Với m − 1 = 0 ⇔ m = 1 thì bất phương trình (2) trở thành 0 x ≥ 2 : vô nghiệm. 2 Với m − 1 > 0 ⇔ m > 1 thì bất phương trình (2) tương đương với x ≥ . m −1 2 3  2  ; +∞  .Hệ bất phương trình có nghiệm khi ≤4⇔m≥ . Suy ra S2 =  m −1 2  m −1  2 Với m − 1 < 0 ⇔ m < 1 thì bất phương trình (2) tương đương với x ≤ . m −1 2   Suy ra S2 =  −∞; . m − 1  2 ≥ −1 ⇔ m ≤ −1 (không thỏa) Hệ bất phương trình có nghiệm khi m −1 40

3 Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ . Chọn 2 Câu 125. Bất phương trình (1) ⇔ −8 ≤ x ≤ −2. Suy ra S1 = [ −8; −2 ] .

1 1 1 3 2 > − x 2 + 2 x + − m ⇔ 4 x − 2m − + ( x − 1) > − m . 2 2 2 2 1 2 Do 4 x − 2m − + ( x − 1) ≥ 0 ∀x ∈ ℝ 2

4 x − 2m −

Giải bất phương trình (2) Với m = 0 thì bất phương trình (2) trở thành 0 x ≥ 1 : vô nghiệm. 3m + 1 Với m > 0 thì bất phương trình (2) tương đương với x ≥ . m  3m + 1  ; +∞  . Suy ra S2 =   m  3m + 1 1 Hệ bất phương trình vô nghiệm khi > −2 ⇔ m > − . m 5 3m + 1 Với m < 0 thì bất phương trình (2) tương đương với x ≤ . m 3m + 1  Suy ra S2 =  −∞; .Hệ bất phương trình vô nghiệm khi m  

nên bất phương trình đúng với mọi số thực ∀x ∈ ℝ ⇒

1 ≥ 0 với ∀x ∈ ℝ . 2 1 1 Vậy 4 x − 2m − > − x2 + 2 x + − m với mọi số thực ∀x ∈ ℝ 2 2 1 ⇒ − x 2 + 2 x + − m < 0 ∀x ∈ ℝ 2 3 1  2 ⇔ ∆′ = 1 +  − m  < 0 ⇔ m > . 2 2  Cách 3: Tự luận 1 1 4 x − 2m − > − x 2 + 2 x + − m 2 2 Cách 2: Ta có 4 x − 2m −

3m + 1 −1 < −8 ⇔ m > m 11 Để hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m > −

1 . Chọn 11

1 1 ⇔ x 2 − 2 x + m − + 4 x − 2m − > 0 . 2 2

Câu 126. Bất phương trình (1) ⇔ 1 ≤ x ≤ 5. Suy ra S1 = [1;5] .

1 1 Xét hàm số f ( x ) = x 2 − 2 x + m − + 4 x − 2m − . 2 2

Ta thấy (2) có tập nghiệm S2 =  a + 1 − 2a ; a + 1 + 2a  .  a + 1 + 2a ≥ 1 Hệ có nghiệm ⇔ S1 ∩ S2 ≠ ∅ ⇔  ⇔ 0 ≤ a ≤ 2 . Chọn  a + 1 − 2a ≤ 5

DẠNG 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TR Ị TUYỆT ĐỐI và MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 127. Chọn C   x 2 − 3x + 1 + 2 − x ≤ 0  x 2 − 4 x + 3 ≤ 0    x < 2  x < 2 x 2 − 3x + 1 + x − 2 ≤ 0 ⇔  ⇔ 2 2  x x x − 3 + 1 + − 2 ≤ 0    x − 2 x − 1 ≤ 0   x ≥ 2   x ≥ 2  1 ≤ x ≤ 3  1 ≤ x < 2 x < 2 ⇔ ⇔ 1 ≤ x ≤ 1 + 2 . Với x ∈ ℤ ⇒ x ∈ {1; 2} . ⇔   2 ≤ x ≤ 1 + 2  1 − 2 ≤ x ≤ 1 + 2   x ≥ 2

Câu 128. Chọn A. Do x 2 − 4 x ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ nên bất phương trình x 2 − 4 x < 0 vô nghiệm.

m 1  2  x + 2 x − m − 1 khi x ≥ 2 + 8 ⇒ f ( x) =  m 1  x 2 − 6 x + 3m khi x < +  2 8 m 1 9 TH1: + ≤ −1 ⇒ m ≤ − . 2 8 4 BBT:

Để f ( x ) > 0 ∀x ∈ ℝ ⇔ f (1) = −2 − m > 0 ⇔ m < −2 . TH2: −1 <

m 1 9 23 + ≤3 ⇒− <m≤ . 2 8 4 4

BBT:

Câu 129. Chọn B Cách 1: Ta có:

3 3 −m <0 ⇔ m > . 2 2

Ta có bpt 2 x − m + x 2 + 2 > 2 mx ⇔ 2 x − m + x − m + 2 − m2 > 0

Đặt t = x − m ≥ 0 . Bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi x ⇔ t 2 + 2t + 2 − m 2 > 0, ∀t ≥ 0 . ⇔ t 2 + 2t + 2 > m 2 , ∀t ≥ 0 ⇔ m 2 < min(t 2 + 2t + 2) [0;+∞ )

⇔ m2 < 2 ⇔ − 2 < m < 2 . Câu 132. Chọn D. 2

Phương trình đã cho tương đương: ( x + m ) + 2 x + m + 2m2 − 3m + 1 < 0 , (1) . 1  2 m < − 4 − 3  m 1  m m 47 Để f ( x ) > 0 ∀x ∈ ℝ ⇔ f  +  = . + − >0⇔  2 8  4 8 64 m > − 1 + 3  4 m 1 23 TH3: + > 3 ⇒ m > . 2 8 4 BBT:

Đặt t = x + m , t ≥ 0 . Bất phương trình (1) trở thành: t 2 + 2t + 2m2 − 3m + 1 < 0 , ( 2 ) . Ta có: ∆′ = −2m2 + 3m . Nếu ∆′ ≤ 0 thì vế trái ( 2 ) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 , nên loại trường hợp này.

3 Nếu ∆′ > 0 ⇔ 0 < m < , ( ∗) , thì tam thức bậc 2 ở vế trái có 2 nghiệm phân biệt 2

t1 = −1 − −2m2 + 3m , t2 = −1 + −2m2 + 3m . Khi đó bất phương trình ( 2 ) ⇔ t1 < t < t2 , mà điều kiện t ≥ 0 . Vậy để bất phương trình có nghiệm thì t2 > 0 ⇔ −1 + −2m 2 + 3m > 0 ⇔ −2m 2 + 3m > 1 1 ⇔ −2m2 + 3m − 1 > 0 ⇔ < m < 1 . 2 1 So với điều kiện ( ∗) , suy ra < m < 1 . 2

Để f ( x ) > 0 ∀x ∈ ℝ ⇔ f ( 3 ) = −9 + 3m > 0 ⇔ m > 3 .

1    1  ⇒ Kết hợp 3 trường hợp ta có m ∈  −∞ ; − − 3  ∪  − + 3 ; + ∞  . 4    4  Câu 130. Chọn C x2 + x + 4 Từ yêu cầu của đề ta có nhận xét là 2 xác định với mọi x nên suy ra: x − mx + 4

x 2 − mx + 4 ≠ 0∀x ⇔ ∆ = m2 − 16 < 0 ⇔ −4 < m < 4 2 2 x2 + x + 4 ≤ 2∀x ⇔ x 2 + x + 4 ≤ 2 x 2 − mx + 4 ∀x ⇔ ( x 2 + x + 4 ) ≤ 4 ( x 2 − mx + 4 ) ∀x x 2 − mx + 4

⇔ ( 2 x2 − (2m + 1) x + 4 )( 3x 2 − (2m − 1) x + 12) ≥ 0∀x (1)

(

)

Ta có tam thức 3 x 2 − (2m − 1) x + 12 có ∆ = (2 m − 1) 2 − 144 < 0∀m ∈ ( −4; 4 )

(

)

⇒ ∀m ∈ ( −4; 4 ) thì 3 x 2 − (2m − 1) x + 12 > 0∀x ∈ ℝ . 2

Như vậy (1) ⇔ 2 x − (2m + 1) x + 4 ≥ 0∀x ∈ ℝ

−1 − 29 −1 + 29 ≤m≤ 2 2 −1 − 29 −1 + 29 ;b = ⇒ a + b = −1. Kết hợp với điều kiện m ∈ ( −4; 4 ) ⇒ a = 2 2 Câu 131. Chọn D 2

⇔ ∆ = ( 2m + 1) − 4.2.4 ≤ 0 ⇒ 4m2 + 4m − 28 ≤ 0 ⇔

DẠNG 7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN và MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 133. Chọn A. x ≥ 1 x −1 ≥ 0 x ≥ 1  ⇔ Ta có x 2 + 2 ≤ x − 1 ⇔  2 ⇔ 1. 2  2 x ≤ −1 x + 2 ≤ x − 2x +1  x ≤ − 2 Vậy bất phương trình vô nghiệm. Câu 134. Chọn A 2 x − 1 ≥ 0 3   x ≥ ⇔ 2 x − 1 ≤ 2 x − 3 ⇔ 2 x − 3 ≥ 0 2  4 x 2 − 14 x + 10 ≥ 0 2  2 x − 1 ≤ ( 2 x − 3) 3   x ≥ 2 5 ⇔ ⇔ x≥ 5 2  x ≤ 1∨ x ≥  2  x ∈ ( 0;7 ) Kết hợp điều kiện:  suy ra x ∈ {3; 4;5; 6}  x ∈ Z Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên thuộc khoảng ( 0;7 ) . Câu 135. Chọn A

Ta có:

   x ≤ −3     x 2 − 2 x − 15 ≥ 0    x ≥ 5   5 2 x + 5 < 0   x<− ⇔   x 2 − 2 x − 15 > 2 x + 5 ⇔  2 2x + 5 ≥ 0    5  2 2   x − 2 x − 15 > ( 2 x + 5 )  x ≥ −  2    3x 2 + 22 x + 40 < 0

 x ≤ −3   x ≥ − 5 ⇔   ⇔ x ≤ −3. 2  10   −4 < x < − 3   Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = ( −∞; − 3] . Câu 136. Chọn D Khi x = 3 thì 0 ≤ 0 suy ra x = 3 là nghiệm. Khi x > 3 thì 16 − x 2 ≤ 0 ⇒ x ≥ 4 . Vậy tập nghiệm S = {3} ∪ [ 4; +∞ ) . Câu 137. Chọn D  x 2 + 2017 ≥ 0 x ∈ ℝ x ≥ 0    2 x + 2017 ≤ 2018 x ⇔  x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 ⇔   x ≤ −1 ⇔ x ≥ 1 .  x 2 + 2017 ≤ 2018 x 2 x2 − 1 ≥ 0  x ≥ 1    Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T = [1; +∞ ) .

Câu 138. Chọn C  x≠ 2 x − 3 ≠ 0  Điều kiện:  ⇔  2 x −1 ≠ 0 x ≠ 

3 2 1 2

8x − 3   ( x + 3)( 2 x − 1) − x ( 2 x − 3)  ( 2 x − 3)( 2 x − 1) ≤ 0 ≤0  x  x+3  ( 2 x − 3)( 2 x − 1)   2x − 3 − 2 x −1 ≤ 0 ⇔ ⇔  1  1 − 3 x ≥ 0    x ≤ 3  x2 + 3 + 3x < 1    2  x 2 + 3 < (1 − 3 x )   2   4 x − 3 x − 1 > 0  1 3  2 < x < 2   x ≤ 3   8  1 ⇔  ⇔x<− . 1 x ≤ 4  3    x > 1   1   x < − 4   45

1  Tập nghiệm của hệ bất phương trình: S =  −∞ ; −  . 4  Câu 139. Chọn D 3x − 1 ≤0 (1) x+2 Điều kiện: x > −2 . 1 (1) ⇔ 3x − 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ . 3 Kết hợp điều kiện x > −2 . 1 ⇒ −2 < x ≤ . 3 Câu 140. Chọn D x ≥ 3 x − 3 ≥ 0   1  ⇔ x > Bất phương trình CD : 4 x + 3 y − 24 = 0 ⇔ 2 x − 1 > 0 ⇔ x≥3. 2   2 2 x x − 3 < 2 − 1 ( )  4 x − 5 x + 4 > 0 Vậy S = [3; + ∞ ) . Câu 141. Chọn A Ta có:  x < 2  3− 7    x − 2 < 0   x ≤ 2  2    3− 7 3+ 7  2x − 6x+1 ≥ 0 x≤   x 2 − 6x + 1 − x + 2 ≥ 0 ⇔  ⇔   x ≥ ⇔ 2 .    x−2 ≥0 2    x ≥ 3    2x 2 − 6x+1 ≥ ( x − 2 )2  x ≥ 2      x ≤ −1     x ≥ 3  3− 7  Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là S =  −∞;  ∪ [3; +∞ ) . 2   Câu 142. Chọn C 2  x ≥ 3 3x − 2 ≥ 0 5  1  ≤x≤ 1  BPT ⇔ 2 x − 1 ≥ 0 ⇔ 2 ⇔ x ≥ 9 . Suy ra năm nghiệm nguyên nhỏ  2   2 x ≥ 1 2 x − 1 ≤ ( 3x − 2 ) 9 x 2 − 14 x + 5 ≥ 0   nhất x ∈ {1; 2;3; 4;5} . Câu 143. Chọn

A. x + 2 ≥ 0  x ≥ −2   ⇔ x ≥ 0 ⇔ [ 2; +∞ ) BPT ⇔  x ≥ 0 x + 2 ≤ x2  x ≥ 2 ∨ x ≤ −1   Câu 144. Chọn B 46

x +1 ≥ 0  x +1 ≥ 0   x + 1 ≥ 0 Ta có 2 ( x + 1) ≤ x + 1 ⇔  2 ( x 2 + 1) ≥ 0 ⇔ 2 ⇔ ⇔ x =1 2 x − 2x + 1 ≤ 0  ( x − 1) ≤ 0 2 2 2 ( x + 1) ≤ ( x + 1) Vậy bất phương trình đã cho có một nghiệm nguyên Câu 145. Chọn C ĐKXĐ: x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1 (1) Lập bảng xét dấu ta dễ dàng suy ra kết quả. 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình S = {−1} ∪ [1; +∞ ) . Chọn

x = 2 TH1: 2 x 2 − 3x − 2 = 0 ⇔   x = −1  2 x > 2 x ≥ 5 . Khi đó bất phương trình trở thành: x 2 − 5 x ≥ 0 ⇔  . TH2: 2 x 2 − 3x − 2 > 0 ⇔   x < −1 x ≤ 0  2 x ≥ 5 Kết hợp điều kiện ta có  .  x < −1  2

 x ≥ 5  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:  x = 2 .  −1 x ≤  2 Câu 147. Chọn B Đk: x ≥ 0 . m 2 m 2 Với m nguyên dương, ta có x +1 < x ⇔ x − x + 1 < 0 . (*) 72 72 m Bất phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ = 1 − > 0 ⇔ m < 18 . Suy ra 0 < m < 18 . 18 m 2 x − x +1 = 0 . Gọi x1 , x2 ( x1 < x2 ) là hai nghiệm dương của phương trình 72 72   x1 + x2 = m Khi đó  và tập nghiệm của bất phương trình (*) là S = ( x1 ; x2 ) .  x x = 72 1 2  m 2

Đk cần: Giả sử tập S có đúng hai ngiệm nguyên ⇒ 1 < x2 − x1 ≤ 3 ⇒ 1 < ( x2 − x1 ) ≤ 9 . 2

có m ∈ {14;15} thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy, các giá trị nguyên dương của m thỏa mãn là m ∈ {14;15} .

Cách 2: Xét 2 trường hợp x =1 và x khác 1.

Câu 146. Chọn A

2 2  72   72  Ta có ( x2 − x1 ) = ( x2 + x1 ) − 4 x1 x2 =   − 4   . m m

 72 > 2+ 5 2 72   72  m  72   72  Suy ra 1 <   − 4   ≤ 9 ⇔  ; ⇔ m∈ . 72 + + 2 13 2 5 m m   ≤ 2 + 13  m  72   72 ; m ∈   Do đó   2 + 13 2 + 5  ⇒ m ∈ {13;14;15;16} . m ∈ ℤ  Đk đủ: Với m ∈ {13;14;15;16} , ta thay từng giá trị của m vào bất phương trình (*), ta thấy chỉ

Do đó tổng của các giá trị nguyên dương của m bằng 29. Câu 148. Chọn A  2 x − 2 ≤ 0  2  x + 2x − 3 ≥ 0 Ta có x 2 + 2 x − 3 ≥ 2 x − 2 ⇔  2x − 2 > 0     x 2 + 2 x − 3 ≥ ( 2 x − 2 )2  x ≤ 1 2 x − 2 ≤ 0 x =1  + 2 . ⇔  x ≥ 1 ⇔  x x + 2 − 3 ≥ 0  x ≤ −3    x ≤ −3  x > 1 2 2 0 x − >  x > 1 7  ⇔ + 2 7 ⇔1< x ≤ . 2 ⇔  2 3  x + 2 x − 3 ≥ ( 2 x − 2 ) 3x − 10 x + 7 ≤ 0 1 ≤ x ≤ 3

 x ≤ −3 Hợp các trường hợp trên ta được  . 1 ≤ x ≤ 7 3 

1  7 Tập nghiệm của bất phương là S = ( −∞; − 3] ∪ 1;  ⇒ a + b + c = . 3  3 Câu 149. Chọn C Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2. 6x − 4 6x − 4 6x − 4 2x + 4 − 2 2 − x ≥ ⇔ ≥ 2x + 4 + 2 2 − x 5 x2 + 1 5 x2 + 1   1 1 ⇔ (6x − 4)  − ≥0 2  2x + 4 + 2 2 − x 5 x +1   5 x2 + 1 − 2x + 4 + 2 2 − x ⇔ (6x − 4)   5 x2 + 1 2x + 4 + 2 2 − x 

(

)

)  ≥ 0 (1)  

Xét f ( x ) = 5 x 2 + 1 với x ∈ [ −2; 2 ] có min f ( x ) = 5 . Xét g ( x ) = 2 x + 4 + 2 2 − x với x ∈ [ −2; 2 ] có max g ( x ) =

8 3 3

Khi đó

5 x2 + 1 − 2

5 x +1

(

2x + 4 + 2 2 − x 2x + 4 + 2 2 − x

)

 x ≥ 3  x2 − 9 ≥ 0  Điều kiện  ⇔   x ≤ −3 . x + 5 = 0 /   x = −5  /  3x − 1   3x − 1  2 2 2 − x ≤ 0 Với điều kiện trên, x − 9   ≤ x x −9 ⇔ x −9  x+5   x+5   x2 − 9 = 0  x = ±3  2 2 ( x + 1) ≤ 0 ⇔ x 2 − 9 ( x + 1) ≥ 0 ⇔   x 2 − 9 > 0  ⇔ − x2 − 9 ⇔    x > 3 ∨ x < −3  2 x+5 x+5 + 1 x ( )   x + 5 > 0  ≥0   x + 5  x = ±3  x = ±3  . ⇔   x > 3 ∨ x < −3 ⇔   x > 3 ∨ −5 < x < −3   x > −5

) > 0, ∀x [ −2; 2].

2 Ta có (1) ⇔ 6 x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ , 3 2  Kết hợp với điều kiện S =  ; 2  , tức 3 

2  a = 3 ⇒ P = 3a − 2b = −2.  b = 2

Câu 150. Chọn A x − 2x + 7 ≤ 4 ⇔ x − 4 ≤ 2x + 7

 2 x + 7 ≥ 0  7   7 − 2 ≤ x < 4 − ≤ x<4 7  x − 4 < 0 ⇔ ⇔ ⇔− ≤ x≤9 ⇔ 2 x ≥ 4    x − 4 ≥ 0  2  4 ≤ x ≤ 9   x 2 − 10 x + 9 ≤ 0  ( x − 4 )2 ≤ 2 x + 7    7 Suy ra a = − ; b = 9 . Nên P = 2a + b = 2 . 2 Câu 151. Chọn D Cách 1:

(

+) Xét bất phương trình 4 ( x + 1) < ( 2 x + 10 ) 1 − 3 + 2 x

)

 x = ±3 . So với điều kiện ta được   x > 3 ∨ −5 < x < −3 Vì x nguyên và thuộc [ −5;5] nên x ∈ {±3; ±4;5} suy ra tổng các nghiệm bằng 5 . Câu 154. Chọn B. 2

3 +) Điều kiện xác định x ≥ − , (*) . 2 2

(

+) Với điều kiện (*) ta có: (1) ⇔ 4 ( x + 1) . 1 + 3 + 2 x

)

< ( 2 x + 10 ) .4 ( x + 1) .

2 ⇔ 4 ( x + 1) .  4 + 2 x + 2 3 + 2 x − 2 x − 10  < 0 .  x ≠ −1  x ≠ −1 2 . ⇔ ( x + 1) 2 3 + 2 x − 6 < 0 ⇔  ⇔ 3 + 2 x < 9 x < 3  x ≠ −1  +) Kết hợp điều kiện (*) ta được  3 .  − 2 ≤ x < 3  3  ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình (1) là T = − ; −1 ∪ ( −1;3) .  2  Cách 2: +) Thay x = −1 vào bất phương trình ta được 0 < 0 ( vô lý ) ⇒ loại A , C . +) Thay x = 3 vào bất phương trình ta được 64 < 64 ( vô lý ) ⇒ loại B . ⇒ Chọn đáp án D Câu 152. Chọn C. Điều kiện xác định: x ≥ 2 . Ta có 5 x − 1 − x − 1 > 2 x − 4 ⇔ 5 x − 1 > x − 1 + 2 x − 4

(

− x 2 + 6 x − 5 > 8 − 2 x tương đương với  1 ≤ x ≤ 5  − x + 6 x − 5 ≥ 0  1 ≤ x ≤ 5         x>4  8 − 2x < 0   x>4 ⇔ ⇔  x ≤ 4 ⇔ 3 < x ≤ 5 .   8 − 2x ≥ 0 x≤4    2  3 < x < 23  − x 2 + 6 x − 5 > ( 8 − 2 x )2 x x + 69 < 0 5 − 38        5 Vậy nghiệm của bất phương trình là 3 < x ≤ 5 . Câu 155. Chọn D.

Ta có bất phương trình

(1) .

)

⇔ 5 x − 1 > x − 1 + 2 x − 4 + 2 x − 1. 2 x − 4 ⇔ x + 2 > 2 x 2 − 6 x + 4 ⇔ x 2 + 4 x + 4 > 2 x 2 − 6 x + 4 ⇔ x 2 − 10 x < 0 ⇔ 0 < x < 10 ⇒ S = [ 2;10 )

Đặt t = 3 − 2 x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2 x = 3 − t 2 . Bất phương trình cho trở thành: −2t 2 + 3t + 5 > 0 ⇔ −1 < t < Suy ra 0 ≤ 3 − 2 x − x 2 <

0 ≤ 3 − 2 x − x 2  −3 ≤ x ≤ 1 5  ⇔ ⇔ −3 ≤ x ≤ 1 . 25 ⇔  2 2 x ∈ ℝ 3 − 2 x − x <  4

Câu 156. Chọn C. t = ( x + 5 )( 3 − x ) , t ∈ [ 0; 4] ⇒ x 2 + 2 x = 15 − t 2 Ta có bpt: t ≤ 15 − t 2 + a ⇔ t 2 + t − 15 ≤ a (1), ∀ t ∈ [ 0; 4 ] Xét hàm số f (t ) = t 2 + t − 15, ∀ t ∈ [0; 4 ] , ta tìm được max f (t ) = 5 [0;4]

Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi max f ( t ) ≤ a [ 0;4]

Vậy a ≥ 5 Câu 157. Chọn D.

x +1+ 3 − x ⇒ t ∈ [ 0; 2] . 2 2 Khi đó bất phương trình 4 ( x + 1)( 3 − x ) ≤ x − 2 x + m − 3 trở thành Với mọi x ∈ [ −1;3] , đặt t =

Vậy phần bù của S là ( −∞; 2 ) ∪ [10; +∞ ) . Câu 153. Chọn A. 49

5 . 2

( x + 1)( 3 − x ) ≤

4t ≤ −t 2 + m ⇔ t 2 + 4t ≤ m . Với t ∈ [ 0; 2 ] ⇒ 0 ≤ t 2 + 4t ≤ 12 , suy ra m ≥ 12 . Câu 158. Chọn D. Điều kiện − x 2 + 6 x − 8 ≥ 0 ⇔ x ∈ [ 2; 4 ] .

t2 − 2 1 ⇔ m ≤ min f ( x ) ⇔ m ≤ − . [1;3] t +1 2 Vậy m ∈ {−2018; −2017;...; −1} m≤

Đặt t = − x 2 + 6 x − 8 ( 0 ≤ t ≤ 1) suy ra x 2 − 6 x = −8 − t 2 . Ta có bất phương trình −8 − t 2 + t + m − 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ t 2 − t + 9 (*) . Xét f ( t ) = t 2 − t + 9 trên [ 0;1] ta có bảng biến thiên như sau:

Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng ∀x ∈ [ 2; 4 ] thì bất phương trình (* ) nghiệm đúng với mọi t ∈ [ 0;1] ⇔ m ≥ 9 . Câu 159. Chọn A Điều kiện xác định: x ≥ 3

x−3 do x − 1 > 0 với ∀x ≥ 3 x −1

Ta có: mx − x − 3 ≤ m ⇔ m(x − 1) ≤ x − 3 ⇔ m ≤ Xét hàm số: y =

x −3 trên [3; +∞ ) x −1

5− x ⇒ y'= 0 ⇔ x = 5 2(x − 1) 2 x − 3 BBT:

y'=

Từ BBT ta có điều kiện có nghiệm của bất phương trình đã cho là: m ≤ Câu 160. Chọn A Ta có: m( x 2 − 2 x + 2 + 1) + x(2 − x ) ≤ 0 ⇔ m ≤

2 4

x2 − 2x 2

x − 2x + 2 +1 Đặt

x 2 − 2 x + 2 = t , (t ≥ 1). Khi đó m ≤

Xét hàm số f (t ) =

t 2 + 2t + 2 2

t2 − 2 . t +1

> 0, ∀t ≥ 1 .

( t + 1) thì t ∈ [1; 2 ] . Do đó:

Với x ∈  0;1 + 3  1 2 1 f (1) = − ; f (2) = ⇒ min f (t ) = − . [1;2] 2 3 2

- Bảng phân bố tần suất ghép lớp được xác định tương tự như trên. CHƯƠNG V. THỐNG KÊ

a +b - Giá trị đại diện của lớp  a;b  là c = 2

§1. NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

4. Biểu đồ:

§2. TRÌNH BÀY MỘT MẪU SỐ LIỆU A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1.Khái niệm về thống kê Thống kê là khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày, phân tích và xử lý số liệu. 2. Mẫu số liệu • Dấu hiệu là một vấn đề hay hiện tượng nào đó mà người điều tra quan tâm tìm hiểu. Mỗi đối tượng điều tra gọi là một đơn vị điều tra. Mỗi đơn vị điều tra có một số liệu, số liệu đó gọi là giá trị của dấu hiệu trên đơn vị điều tra đó. • Một tập con hữu hạn các đơn vị điều tra được gọi là một mẫu. Số phần tử của một mẫu được gọi là kích thước mẫu. Các giá trị của dấu hiệu thu được trên mẫu được gọi là một mẫu số liệu (mỗi giá trị như thế còn gọi là một số liệu của mẫu).

• Nếu thực hiện điều tra trên trên mọi đơn vị điều tra thì đó là điều tra toàn bộ. Nếu chỉ điều tra trên một mẫu thì đó là điều tra mẫu. 3. Bảng phân bố tần số - tần suất. Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp. Tần số của giá trị xi là số lần lặp lại của giá trị xi trong mẫu số liệu. Tần suất fi của giá trị xi là tỷ số giữa tần số ni và kích thước mẫu N hay fi =

ni . N

Người ta thường viết tần suất dưới dạng phần trăm. • Bảng phân bố tần số (gọi tắt là bảng tần số) được trình bày ngang như sau:

Giá trị (x)

...

Tần số (n)

...

N= ∑ ni i =1

Trên hàng tần số, người ta dành một ô để ghi kích thước mẫu N hàng tổng các tần số (tức N = ∑ ni ). i =1

• Bổ sung thêm một hàng tần suất vào bảng trên, ta được bảng phân bố tần số - tần suất (gọi tắt là bảng tần số - tần suất). x2 x3 ... xm x1 Giá trị (x)

Tần số (n)

...

Tần suất %

...

N= ∑ ni i =1

Chú ý: Người ta cũng thể hiện bảng phân bố tần số - tần suất dưới dạng bảng dọc. • Nếu kích thước mẫu số liệu khá lớn, thì người ta thường chia số liệu thành nhiều lớp dưới dạng  a;b  hay  a;b ) (thường có độ dài các lớp bằng nhau). Khi đó tần số của lớp  a;b  là số giá trị x i ∈  a;b  (hay x i ∈  a;b )       n ) xuất hiện trong lớp đó. Tần suất của lớp  a;b  là f = trong đó n là tần số của lớp  a;b  và N là kích N thước mẫu.

Các loại biểu đồ thường dùng là: biểu đồ hình cột, biểu đồ đường gấp khúc và biểu đồ hình quạt. Số liệu vẽ biểu đồ được lấy từ các bảng tần số - tần suất. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MẪU SỐ LIỆU. 1. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Số học sinh giỏi của 30 lớp ở một trường THPT A được thống kê lại như sau. 0 2 1 0 0 3 0 0 1 1 0 1 6 6 0 1 5 2 4 5 1 0 1 2 4 0 3 3 1 0 a) Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu? b) Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên Lời giải a) Dấu hiệu là học sinh giỏi, đơn vị điều tra là mỗi lớp của trường THPT A Kích thước mẫu là 30 b) Các giá trị khác nhau của mẫu số liệu trên là 0;1;2; 3; 4; 5; 6 Ví dụ 2: Để may đồng phục cho khối học sinh lớp năm của trường tiểu học A . Người ta chọn ra một lớp 5A , thống kê chiều cao của 45 học sinh lớp 5A (tính bằng cm) được ghi lại như sau : 102 102 113 138 111 109 98 114 101 103 127 118 111 130 124 115 122 126 107 134 108 118 122 99 109 106 109 104 122 133 124 108 102 130 107 114 147 104 141 103 108 118 113 138 112 a) Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu? b) Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên Lời giải a) Dấu hiệu là chiều cao của mỗi học sinh, đơn vị điều tra là một học sinh của lớp 5A Kích thước mẫu là N = 45 b) Các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên là 102;113;138;109;98;114;101;103;127;118;111;130;124;115;122;126;107; 134;108; 99;106;104;133;147;141;138;112 2. Bài tập luyện tập Bài 5.0: Thống kê điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10 được cho ở bảng sau: 4 5 Điểm thi 0 1 2 3 6 7 8 9 10 3 7 Tần số 3 2 1 1 4 8 9 3 1 Cho biết đơn vị điều tra và kích thước của mẫu số liệu trên? Bài 5.1: Số con của 40 gia đình ở huyện A được thống kê lại như sau 2 4 3 2 0 2 2 3 4 5 2 2 5 2 1 2 2 2 3 2 5 2 7 3 4 2 2 2 3 2 3 5 2 1 2 4 4 3 4 3 a) Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu? b) Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên Bài 5.2: Tiến hành một cuộc thăm dò về số cân nặng của mỗi học sinh nữ lớp 10 trường THPT A, người điều tra chọn ngẫu nhiên 30 học sinh nữ lớp 10 và đề nghị các em cho biết số cân nặng của mình . Kết quả thu được ghi lại trong bảng sau (đơn vị là kg): 43

Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu ?

35 30.4

27.4 25

DẠNG TOÁN 2: TRÌNH BÀY MẤU SỐ LIỆU DƯỚI DẠNG BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ. 1. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng được thống kê như ở bảng sau: Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Số khách 430 550 430 520 550 515 550 110 520 430 550 880 Lập bảng phân bố tần số - tần suất Lời giải a) Bảng phân bố tần số - tần suất Số lượng khách ( người ) Tần số Tần suất% 110 1 8,3 430 3 24,9 515 1 8,3 520 2 16,8 550 4 33,4 800 1 8,3 Cộng N= 12 100% Ví dụ 2: Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau : Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ở trường THPT C. ( đơn vị : giây ) 6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 6,7 7,0 7,1 8,5 7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,1 7,1 7,3 7,5 8,7 7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8 7,2 7,5 8,3 7,6 a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp với các lớp : [ 6,0 ; 6,5 ) ; [ 6,5 ; 7,0 ) ; [ 7,0 ; 7,5 ) ; [ 7,5 ; 8,0 ) ; [ 8,0 ; 8,5 ) ; [ 8,5 ; 9,0 ] b) Vẽ đường gấp khúc tần suất Lời giải a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghéo lớp là Lớp Thành Tích ( m ) Tần số Tần suất % [6,0; 6,5) 2 6,0 [6,5; 7,0) 5 15,2 [7,0; 7,5) 10 30,4 [7,5; 8,0) 9 27,4 [8,0; 8,5) 4 12,0 [8,5; 9,0] 3 9,0 N= 33 100% b) Ta có Lớp Thành Tích ( m ) Giá trị đại diện Tần suất % [6,0; 6,5) 6,25 6,0 [6,5; 7,0) 6,75 15,2 [7,0; 7,5) 7,25 30,4 [7,5; 8,0) 7,75 27,4 [8,0; 8,5) 8,25 12,0 [8,5; 9,0] 8,75 9,0 Đường gấp khúc tần suất ghép lớp là

20 15.2

12 10 5

9 6

0 6,25

6,75

7,25

7,75

8,25

8,75

Ví dụ 3: Điểm thi của 32 học sinh trong kì thi Tiếng Anh (thang điểm 100) như sau : 68 79 65 85 52 81 55 65 49 42 68 66 56 57 65 72 69 60 50 63 74 88 78 95 41 87 61 72 59 47 90 74 a) Hãy trình bày số liệu trên dưới dạng bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp:  40;50 ) ;  50;60 ) ;  60;70 ) ;  70; 80 ) ;  80;90 ) ;  90;100  .        b) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a). c) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình quạt để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a). Lời giải a) Ta có bảng phân bố là Lớp điểm Tần số

Lớp điểm

[40;50) [50;60) [60;70) [70;80) [80;90) [90;100]

4 6 10 6 4 2 32 Bảng phân bố tân số ghép lớp

Tần suất

13% 19% 31% 19% 13% 6% 100% Bảng phân bố tần suất ghép lớp

b) Biểu đồ đồ tần suất hình cột là

30.0

31%

25.0

19%

19% 20.0

13%

Tần suất

35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%

[40;50)

[50;60)

[60;70)

[70;80)

ĐC

15.0

10.0

[80;90) [90;100]

5.0

Điểm 0.0

c) Biểu đồ hình quạt là Tần suất

Góc ở tâm

[40;50)

13%

46, 80

[50;60)

19%

68, 40

[70;80)

[60;70)

31%

111, 60

30.0

[80;90)

[70;80)

19%

68, 40

25.0

13%

46, 80

20.0

13% [40;50) [50;60)

19%

[60;70)

19%

[90;100)

31%

[80;90)

[90;100] 6% N 100%

21, 6

dạy áp dụng đề tài(lớp thực nghiệm), lớp 12A 4 (lớp đối chứng). Kết quả điểm của học sinh hai lớp như sau: Số bài

Lớp

ĐC 12A3

TN 12A4

a) Hãy lập bảng phân bố tần suất của hai lớp trên b) Hãy lập biểu đồ tần suất hình cột của hai lớp(trong cùng một biểu đồ) c) Hãy lập biểu đồ tần suất hình cột của hai lớp (trong cùng một biểu đồ) Lời giải a) Bảng phân bố tần suất Số bài

ĐC TN

15.0 10.0 5.0 0.0 1

Điểm

Số bài kiểm tra đạt điểm Xi

Số

c) Đường gấp khúc tần suất của hai lớp

Nhận xét: Để vẽ đồ biểu đồ hình quạt ta xác định góc ở tâm hình quạt dựa vào công thức ĐO = fi .3600 . Ví dụ 4: Để đánh giá kết quả của một đề tài sau khi áp dụng vào thực tiễn dạy học người ta thực nghiệm bằng cách ra đề kiểm tra một tiết cho hai lớp(gần tương đương về trình độ kiến thức). Trong đó lớp 12A 3 đã được

Lớp

Điểm

Tần suất

13%

Lớp điểm

Số % bài kiểm tra đạt điểm Xi

ĐC 12A3

1,1

3,1

7,6

10,2 17,6

22,3

22,1

12,3

2,3

1,2

TN 12A4

0,0

1,2

4,1

5,3

22,8

25,9

14,5

4,4

3,0

b) Biểu đồ phân bố tần suất của hai lớp

18,5

3. Bài tập luyện tập. Bài 5.3: Điểm kiểm tra của 2 nhóm học sinh lớp 10 được cho như sau: Nhóm 1: (9 học sinh) 1, 2, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 9 Nhóm 2: (11 học sinh) 1, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 10 a) Hãy lập các bảng phân bố tần số và tuần suất ghép lớp với các lớp [1, 4]; [5, 6]; [7, 8]; [9, 10] của 2 nhóm. b) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột của 2 nhóm. Bài 5.4: Sau một tháng gieo trồng một giống hoa, người ta thu được số liệu sau về chiều cao (đơn vị là milimét) của các cây hoa được trồng: Nhóm Chiều cao Số cây đạt được 1 Từ 100 đến 199 20 2 Từ 200 đến 299 75 3 Từ 300 đến 399 70 4 Từ 400 đến 499 25 5 Từ 500 đến 599 10 a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp của mẫu số liệu trên. b) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột . c) Vẽ đường gấp khúc tần suất Bài 5.5: Chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền được cho trong bảng sau: Lớp chiều cao (cm) Tần số [ 168 ; 172 ) 4 [ 172 ; 176 ) 4

[ 176 ; 180 ) [ 180 ; 184 ) [ 184 ; 188 ) [ 188 ; 192 ] Cộng

6 14 8 4 40

∑n c

i i

a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp ? b) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a). c) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình quạt để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a).

Bài 5.6: Thống kê điểm thi tốt nghiệp môn Toán của 926 em học sinh Trường THPT A cho ta kết quả sau đây: Điểm bài thi (x)

Tần số (n)

...

124

176

183

119

...

Tần suất %

...

12,10

...

8,63

8,86

a) Chuyển bảng trên thành dạng cột và điền tiếp vào các ô còn trống. b) Vẽ biểu đồ hình cột tần số. c) Vẽ biểu đồ hình quạt tần suất.

Bài 5.7: Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp hai lớp gồm lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớp đối chứng (ĐC) được thể hiện thông qua Bảng thống kê sau đây:

Lớp

Số bài kiểm tra đạt điểm tương ứng

Số

10 C2

s2 =

1 N

2 1

3 2

6 12

7 8

8 7

9 0

s2 =

6.3

a) Hãy lập bảng phân bố tần suất của mẫu số liệu trên(trong một bảng)

7.4

− x )2 =

i =1

1 N

∑ n (x i

i =1

∑ f (x i

−x )2

s2 = =

1 N

∑ n (c

N i x + x 2 + ... + x N = 1 N N • Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số:

i =1

∑n x

i i n x + n2x 2 + ... + nk x k = 1 1 N N • Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số ghép lớp:

i =1

∑n x

2 i i

−

∑ f (c i

−x )2

 1  k  n c  2 ∑ i i    N i =1 i =1 2 k  k  = ∑ fici2 −  ∑ fici   

− x )2 =

i =1

∑x

1 N

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:

§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU SỐ LIỆU A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Số trung bình • Với mẫu số liệu kích thước N là { x 1, x 2,..., x N } :

 1  k  n x  2 ∑ i i    N i =1 i =1 2 k k   = ∑ fi x i2 −  ∑ fi x i   i =1  i =1

− x )2 =

i =1

b) Vẽ biểu đồ tần suất (trong một biểu đồ)

x =

 1 N 2 1  N x i − 2  ∑ x i  ∑ N i =1 N  i =1  = x 2 − (x )2

∑ (x

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất: 1

i =1

Điểm

10 C1

n c + n2c2 + ... + nkck = 11 (ci là giá trị đại diện của lớp thứ i) N N 2. Số trung vị Giả sử ta có một mẫu gồm N số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm (hoặc không tăng). Khi đó số trung vị Me là: – Số đứng giữa nếu N lẻ; N N – Trung bình cộng của hai số đứng giữa (số thứ và + 1 ) nếu N chẵn. 2 2 3. Mốt Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là MO . Chú ý: – Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. – Nếu các số liệu trong mẫu có sự chênh lệch quá lớn thì dùng số trung vị làm đại diện cho các số liệu của mẫu. – Nếu quan tâm đến giá trị có tần số lớn nhất thì dùng mốt làm đại diện. Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt. 4. Phương sai và độ lệch chuẩn Để đo mức độ chênh lệch (độ phân tán) giữa các giá trị của mẫu số liệu so với số trung bình ta dùng phương sai s 2 và độ lệch chuẩn s = s 2 . • Với mẫu số liệu kích thước N là { x1, x 2,..., x N } : x =

1 N

∑n c

i =1

2 i i

−

i =1

(ci, ni, fi là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ I; N là số các số liệu thống kê N = n1 + n2 + ... + nk ) Chú ý: Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu thống kê càng lớn. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG TOÁN : XÁC ĐỊNH CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU SỐ LIỆU . 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1năm ( kg/sào) của 20 hộ gia đình 111 112 112 113 114 114 115 114 115 116 112 113 113 114 115 114 116 117 113 115 a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt

Lời giải Bảng phân bố tần số - tần suất: Giá trị x

Tần số

Tần suất (%)

111 112 113 114 115 116 117

1 3 4 5 4 2 1 N=20

5 15 20 25 20 10 5 100

b) * Số trung bình: 1 x = ( 1.111 + 3.112 + 4.113 + 5.114 + 4.115 + 2.116 + 1.117 ) = 113, 9 20 * Số trung vị: Do kích thước mẫu N = 20 là một số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng N N thứ =10 và + 1 = 11 đó là 114 và 114. 2 2 Vậy Me = 114 *Mốt: Do giá trị 114 có tần số lớn nhất là 5 nên ta có: M 0 = 114 . Ví dụ 2: Để khảo sát kết quả thi tuyển sinh môn Toán trong kì thi tuyển sinh đại học năm vừa qua của trường A, người điều tra chọn một mẫu gồm 100 học sinh tham gia kì thi tuyển sinh đó. Điểm môn Toán (thang điểm 10) của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau đây. Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N=100 a) Tìm mốt, số trung vị. b) Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng phần trăm).

Lớp tiền lãi

Tần số Tần suất

[29,5;40,5) [40,5;51,5) [51,5;62,5) [62,5;73,5) [73,5;84,5) [84,5;95,5] N

3 5 7 6 5 4 30

10% 17% 23% 20% 17% 13% 100%

∑n c

i i

i =1

b) Ta có x =

x =

nên

3.35 + 5.462 + 7.57 + 6.68 + 5.79 + 4.90 = 63,23 30 k

Ta có

∑n c

2 i i

= 128347,

i =1

∑n c

i i

= 1897

i =1

Suy ra phương sai là

s2 =

1 N

Tần số

[29,5;40,5) [40,5;51,5) [51,5;62,5) [62,5;73,5) [73,5;84,5) [84,5;95,5]

3 5 7 6 5 4

Giá trị đại diện ci 35 46 57 68 79 90

∑n c

2 i i

i =1

Lớp tiền lãi

−

2 1  k  = 128347 −  1897  ≈ 279, 78 c x   ∑ i i   100 N 2  i =1  100 

Lời giải

Do đó độ lệch chuẩn là S ≈ 16, 73 .

a) Ta có giá trị có tần số lớn nhất MO = 7

Ví dụ 4: Cho mẫu số liệu gồm bốn số tự nhiên khác nhau và khác 0, biết số trung bình là 6 và số trung vị là 5. Tìm các giá trị của mẫu số liệu đó sao cho hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đạt giá trị nhỏ nhất.

Kích thước mẫu là số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của hai số đứng giữa Vậy Me =

6+7 = 6, 5 2

Lời giải Giả sử các giá trị của mẫu số liệu là a, b, c, d với 0 < a < b < c < d , a, b, c, d ∈ N

b) Ta có số trung bình cộng là

x =

n1x1 + n2x 2 + ... + nk x k 0.1 + 1.1 + 2.3 + ... + 10.2 = = 6,23 N 100 k

Ta có

∑n x

2 i i

i =1

= 4277,

∑n x

i i

= 623

i =1

Suy ra phương sai là s 2 =

1 N

∑ ni x i2 − i =1

2  1  k 4277  623  −  = 3, 96  n x  = 2 ∑ i i     N  i =1 100  100 

Do đó độ lệch chuẩn là S ≈ 1, 99 . Ví dụ 3: Tiền lãi (nghìn đồng) trong 30 ngày được khảo sát ở một quầy bán báo. 81 37 74 65 31 63 58 82 67 77 63 46 30 53 73 51 44 52 92 93 53 85 77 47 42 57 57 85 55 64 a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất theo các lớp như sau: [29.5; 40.5), [40.5; 51.5), [51.5; 62.5), [62.5; 73.5), [73.5; 84.5), [84.5; 95.5] b) Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn ?

Lời giải

Ta có Me =

b +c = 5 ⇒ b + c = 10 2

Mà x = 6 ⇒ a + b + c + d = 24 ⇒ a + d = 14 a 1   Ta có  hay 1 2b   • Nếu b = 2 thì c = 8 , mà 0 < a < b, a ∈ N ⇒ a = 1, d = 13 Khi đó các giá trị của mẫu số liệu là 1;2;8;13

 a = 1 ⇒ d = 13 • Nếu b = 3 thì c = 7, mà 0 < a < b, a ∈ N ⇒   a = 2 ⇒ d = 12 Khi đó có hai mẫu số liệu thỏa đề bài có giá trị là 1;3;7;13 và 2;3;7;12  a = 1 ⇒ d = 13  • Nếu b = 4 thì c = 6 , mà 0 < a < b, a ∈ N ⇒  a = 2 ⇒ d = 12  a = 3 ⇒ d = 11  Khi đó có ba mẫu số liệu thỏa đề bài có giá trị là 1;4;6;13, 2;4;6;12 và 3;4;6;11 Suy ra với mẫu số liệu có các giá trị là 3;4;6;11 thì hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đạt giá trị nhỏ nhất.

a) Bảng phân bố tần số và tần suất là

3. Bài tập luyện tập.

Bài 5.8: Đo chiều cao (cm) của 40 học sinh nam ở một trường THPT, người ta thu được mẫu số liệu sau: 176 167 165 164 144 176 162 175 149 144 176 166 166 163 156 170 161 176 148 143 175 174 175 146 157 170 165 176 152 142 163 173 175 147 160 170 169 176 168 141 a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp theo chiều cao của học sinh với các lớp: [141;146], [147;152] , … , [171;176] .

b) Dựa vào bảng phân bố tần số ghép lớp trên, tính chiều cao trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho. Bài 5.9: Có 100 học sinh tham dự kỳ thi học sinh giỏi môn toán, kết quả được cho trong bảng sau: (thang điểm là 20)

Điểm 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N=100 a) Tính số trung bình và số trung vị. b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Bài 5.10: Có tài liệu về tuổi nghề của công nhân hai tổ trong một xí nghiệp cơ khí như sau: Tổ I

Tổ II 2

Trong mỗi tổ, tính tuổi nghề bình quân, số mốt và số trung vị?

Bài 5.11: Thống kê điểm kiểm tra toán của lớp 10C , giáo viên bộ môn thu được số liệu : Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số 1 1 1 5 6 7 11 5 4 2 2 N = 45 Tính : Số trung bình, số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng phần chục) Bài 5.12: Để được cấp chứng chỉ A- Anh văn của một trung tâm ngoại ngữ , học viên phải trải qua 6 lần kiểm tra trắc nghiệm , thang điểm mỗi lần kiểm tra là 100, và phải đạt điểm trung bình từ 70 điểm trở lên.Qua 5 lần thi Minh đạt điểm trung bình là 64,5 điểm . Hỏi trong lần kiểm tra cuối cùng Minh phải đạt ít nhất là bao nhiêu điểm để được cấp chứng chỉ? Bài 5.13: Cho hai bảng phân bố tần số mô tả kết quả điểm thi môn Toán của hai lớp 10A và 10B của một trường(Hai lớp làm cùng một đề) như sau: Bảng 1:Điểm thi của lớp 10A Điểm 1 3 4 5 6 7 8 Tần số 1 3 4 8 10 3 1 N=30 Bảng 2:Điểm thi của lớp 10B Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tần số 1 2 3 4 6 7 3 3 1 N=30 a) Tính phương sai của từng bảng . b) Nhận xét lớp nào có điểm thi môn Toán đồng đều hơn,vì sao? Bài 5.14: Người ta đã thống kê số gia cầm bị tiêu hủy trong vùng dịch của 6 xã A,B,...,F như sau (đơn vị: nghìn con): Xã A B C D E F 27 22 15 45 5 Số lượng gia cầm bị 12 tiêu hủy Tính số trung vị, số trung bình , phương sai và độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng trăm) của bảng số liệu thống kê trên Bài 5.15: Tiến hành một cuộc thăm dò về số cân nặng của mỗi học sinh nữ lớp 10 trường THPT A, người điều tra chọn ngẫu nhiên 30 học sinh nữ lớp 10 và đề nghị các em cho biết số cân nặng của mình . Kết quả thu được ghi lại trong bảng sau (đơn vị là kg):

a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất (chính xác đến hàng phần trăm). b) Tính số trung bình ; số trung vị và mốt .

Bài 5.16:Điểm kiểm tra môn toán của hai học sinh An và Bình được ghi lại như sau : An

Bình

a) Tính điểm trung bình của mỗi học sinh . b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn về điểm của mỗi học sinh (chính xác đến hàng phần trăm). c) Học sinh nào có kết quả ổn định hơn? Vì sao ?

ÔN TẬP CHƯƠNG V Bài 5.17: Điểm kiểm tra cuối năm môn Toán của lớp 10A ở một trường THPT như sau: 3 9 8 9 8 4 8 9 5 8 5 6 7 3 6 7 6 7 6 5 8 7 5 4 7 3 8 9 4 8 4 6 7 6 7 5 8 7 5 4 a) Đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu? b) Lập bảng phân bố tần số - tần suất. Bài 5.18: Điều tra về thu nhập của công nhân xí nghiệp X (đơn vị: nghìn đồng/ tháng), người ta ghi được bảng tần số ghép lớp sau đây: Lớp Tần số [800; 890] 15 [900; 990] 25 [1000; 1090] 28 [1100; 1190] 35 [1200; 1290] 40 [1300; 1390] 30 [1400; 1490] 27 N Tính kích thước mẫu và lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp. Bài 5.19: Cân lần lượt 40 quả cam (đơn vị gram) ta được kết quả sau (mẫu số liệu) 85 86 86 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 88 88 89 89 89 89 89 89 89 90 90 90 90 90 91 91 91 92 93 93 93 93 94 94 94 94 94 94 Hãy lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp gồm [85; 86], [87; 88], [89; 90], [91; 92], [93; 94]?. Bài 5.20: Một lần kiểm tra toán của một lớp gồm 55 học sinh, thống kê điểm số như sau: Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số hs 0 3 3 5 4 12 10 8 7 1 2 a) Hãy lập bảng phân bố tần số-tần suất ghép lớp gồm 5 lớp [1;2], [3;4], [5;6], [7;8], [9;10] b) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất, biểu đồ tần suất hình quạt. Bài 5.21: Điểm kiểm tra cuối học kỳ môn Toán của hai tổ học sinh lớp 10A như sau: Tổ 1: 8 6 6 7 3 7 5 9 6 Tổ 2: 4 10 7 3 8 6 4 5 2 6 a) Tính điểm trung bình của mỗi tổ. b) Tính số trung vị và mốt của từng tổ.

Bài 5.22: Thống kê tuổi thọ của các bóng đèn do một nhà máy sản xuất ta có bảng số liệu sau: Tuổi thọ (giờ) Số bóng Tuổi thọ (giờ) Số bóng [1200; 1300) 15 [1600; 1700) 42 [1300; 1400) 20 [1700; 1800) 34 [1400; 1500) 36 [1800; 1900) 30 [1500; 1600) 48 [1900; 2000] 25 a) Tính tuổi thọ trung bình của một bóng đèn. b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Bài 5.23: Tại một cửa hàng bán hoa quả, người ta kiểm tra 65 thùng trái cây thì thấy số lượng quả bị hỏng trong các thùng là: 5 0 8 7 9 4 2 6 1 4 5 3 7 6 4 2 5 4 7 9 7 3 8 6 5 5 0 4 2 3 1 5 6 0 3 5 7 6 7 1 3 5 0 2 4 3 9 7 6 5 4 1 4 5 3 1 3 2 7 0 5 4 2 1 3 a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất. b) Tìm số trung vị và mốt. Nêu ý nghĩa của chúng. c) Sử dụng máy tính bỏ túi hãy tìm số quả bị hỏng trung bình trong một thùng. Tính phương sai và độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng phần trăm). d) Lập bảng phân bố tần số ghép lớp gồm năm lớp, mỗi lớp là một đoạn có độ dài bằng 1. Tính giá trị đại diện của mỗi lớp. e) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn theo bảng phân bố tần số ghép lớp. Bài 5.24: Nghiên cứu cân nặng của trẻ sơ sinh thuộc nhóm có bố không hút thuốc lá và nhóm có bố nghiện thuốc lá, ta có kết quả sau (đơn vị: kg): • Nhóm trẻ có bố không hút thuốc lá: 3,8 4,1 3,8 3,6 3,8 3,5 3,6 4,1 3,6 3,8 3,3 4,1 3,3 3,6 3,5 2,9 • Nhóm trẻ có bố nghiện hút thuốc lá: 3,3 2,9 2,9 3,3 3,6 3,5 3,3 2,9 2,6 3,6 3,8 3,6 3,5 2,6 2,6 Nhóm trẻ nào có cân nặng trung bình lớn hơn ? Bài 5.25: Hãy thống kê điểm kiểm tra môn Toán gần nhất của các học sinh trong từng tổ của lớp. Tính điểm trung bình và độ lệch chuẩn của mỗi tổ. Tổ nào có điểm trung bình cao nhất? Học sinh của tổ nào học đều nhất? Bài 5.26: Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi của 30 bệnh nhân. Kết quả thu được mẫu số liệu như sau: 21 17 20 18 20 17 15 13 15 20 15 12 18 17 15 16 21 15 12 18 16 20 14 18 19 13 16 19 18 17 a) Lập bảng phân bố tần số. b) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn. c) Tính số trung vị và mốt. d) Vẽ biểu đồ tần số hình cột và đường gấp khúc tần số. Bài 5.27: Một trăm bảy mươi chín củ khoai tây Chia thành chín lớp căn cứ trên khối lượng của chúng( đơn vị : gam). Ta có bảng phân bố tần số sau: Lớp Khoảng Tần số [10;19) 1 1 [10;19) 2 14 [10;19) 3 21 4 73 [10;19) 5 42 [10;19) 6 13 [10;19) 7 9 [10;19) 8 4 [10;19) 9 2 [10;19) a) Tính Khối lượng trung bình của 1 củ khoai tây.

b) Tính độ lệch chuẩn và phương sai. Bài 5.28: Một mẫu số liệu có kích thước mẫu N và có bảng phân bố tần suất như sau : Giá trị(x)

Tần suất ( % )

12,5

6,25

Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của kích thước mẫu N.

Bài 5.29: Để so sánh, kiểm định chất lượng học tập của hai lớp 10A và 10B người ta ra một đề kiểm tra một tiết. Thống kê kết quả làm bài kiểm tra của học sinh hai lớp như sau:

Bảng thống kê các điểm số (Xi) của bài kiểm tra

Lớp

Số bài

Số bài kiểm tra đạt điểm Xi 1

10A

10B

a) Hãy lập bảng phân bố tần suất của số liệu thống kê trên b) Vẽ biểu đồ phân bố tần suất của hai lớp c) Vẽ đường gấp khúc tần suất của hai lớp Bài 5.30: Thống kê điểm số của 46 học sinh lớp 10C trong kì thi học kì như sau 3 6 9 7 8 6 7 5 8 5 5 4 6 7 4 8 9 6 7 5 7 6 5 7 5 8 4 9 5 7 5 7 9 7 6 7 8 6 7 5 3 4 6 7 4 6 a) Lập bảng phân bố tần số b) Lập bảng phân bố tần suất với các lớp sau: [1; 2] , [3; 4] , [5;6] , [ 7;8] và [9;10] c) Vẽ biểu đồ tần suất hình cộp ghép lớp.

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG V Bài 5.0: Đơn vị điều tra: một hsinh lớp 10, kích thước của mẫu số liệu: 42 Bài 5.1: a) Dấu hiệu là số con, đơn vị điều tra là mỗi gia đình ở huyện A Kích thước mẫu là N=40 b) Các giá trị khác nhau của mẫu số liệu trên là 1;2; 3; 4; 5;7 Bài 5.2: Dấu hiệu điều tra: Số cân nặng của mỗi học sinh nữ lớp 10 Đơn vị điều tra: Một học sinh nữ. Kích thước mẫu: 30

38%

40%

35%

30% 20%

13%

10%

10% 0% 1

Bài 5.3: a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp là Lớp Tần số Tần suất ni fi điểm [1; 4] 3 33% [5; 6] 3 33% [7; 8] 2 22% [9; 10] 1 11% N 9 100%

Lớp Tần số Tần suất ni fi điểm [1; 4] 5 45% [5; 6] 1 9% [7; 8] 4 36% [9; 10] 1 9% N 11 100%

Nhóm 1 b) Biểu đồ tần suất hình cột của hai nhóm là

Nhóm 2

c) Đường gấp khúc tần suất là 40

35 30 25 20 15 10

13 10

Tần suất

45%

150

250

350

450

550

36% 33%

33% Nhóm 1 Nhóm 2

22% 11%

[1; 4]

[5; 6]

[7; 8]

[9; 10]

Bài 5.4: a) Bảng phân bố tần suất Lớp Tần suất chiều cao [100;199) [200;299) [300;399) [400;499) [500;599) N

Giá trị Lớp Tần suất đại diện fi chiều cao ci [100;199) 10% 150 [200;299) 38% 250 [300;399) 35% 350 [400;499) 13% 450 [500;599) 5% 550

50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%

Chiều cao

Bài 5.5: a) Bảng phân bố tần suất là Tần Lớp suất chiều cao [168;172) [172;176) [176;180) [180;184) [184;188) [188;192] N

Lớp chiều cao [168;172) [172;176) [176;180) [180;184) [184;188) [188;192] N

10% 10% 15% 35% 20% 10% 100%

b) Biểu đồ tần số hình cột là

10% 38% 35% 13% 5% 100%

b) Biểu đồ tần suất hình cột là

Tần suất 10% 10% 15% 35% 20% 10% 100%

Giá trị đại diện ci 170 174 178 182 186 190

40%

200

35%

176

150

30% 20% 20% 10%

124

112

119 82

100

15% 10%

183

10%

[168;172) [172;176) [176;180) [180;184) [184;188) [188;192]

c) Biểu đồ tần suất hình quạt là c) Biểu đồ tần suất hình quạt là 1 10%

10%

[168;172)

10%

20% 15 % 35%

[172;176)

[176;180)

[180;184)

[184;188)

[188;192)

9 10

Bài 5.6: a) Ta có N = 926 do đó ta có kết quả sau Điểm bài thi(x) Tần số(n) 1 17 2 38 3 112 4 124 5 176 6 183 7 119 8 82 9 50 10 25

Bài 5.7: a) Bảng phân bố tần suất điểm của bài kiểm tra Tần suất % 1.84 4.10 12.10 13.39 19.01 19.76 12.85 8.86 5.40 2.70

Lớp

Số % bài kiểm tra đạt điểm tương ứng

Số HS

10 C1

2,2

8,7

21,7

26,1

21,7

8,7

2,2

10 C2

4,3

8,7

26,1

21,7

17,4

8,7

b) Biểu đồ phân bố tần suất

b) Vẽ biểu đồ hình cột tần số

∑x x =

Số % bài kiểm tra đạt điểm tương ứng

30,0

i =1

2+3+4+4+4+5+5+7+7+8 = 4, 9 10

25,0

ĐC

20,0

TN 15,0

- Số mốt : MO = 4 - Số trung vị Me = 4, 5 Bài 5.11: Số trung bình: x =

10,0 5,0

1 10 ∑ n x ≈ 5, 5 . 45 i = 0 i i

Số trung vị :

N +1 46 = = 23 ,số liệu thứ 23 là 6 ⇒ Số trung vị Me = 6 2 2 2  1 10 1  10 Phương sai: s 2 = ni x i 2 − 2  ∑ ni x i  ≈ 4, 7 ∑ 45 45   N= 45 là số lẻ ;

0,0 1

Điểm

i =0

Bài 5.8: a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp Lớp

Tần số

Tần suất (%)

[141;146]

15.0

[147;152]

10.0

[153;158]

5.0

[159;164]

15.0

[165;170]

25.0

[171;176]

30.0

1 (1.2 + 3.3 + ... + 1.8) = 5,2. 30 1 y= (1.1 + 2.2 + ... + 1.9) = 5, 2. 30 1 Sx2 = [(2 − 5,2)2 + 3(3 − 5,2)2 + ... + (8 − 5,2)2 ] ≈ 1, 83 30 1 Sy2 = [(1 − 5,2)2 + 2(2 − 5,2)2 + ... + (9 − 5,2)2 ] ≈ 3, 69 30 x =

Bài 5.9: x = 15,23 , Me = 15, 5 phương sai: s 2 = 3, 96 , độ lệch chuẩn: s = 1, 99 Bài 5.10: * Tổ I: - Tuổi nghề bình quân:

x + 322, 5 = 70 ⇔ x = 97, 5 . 6

Bài 5.13: Gọi x , y lần lượt là số TBC của các số liệu trong bảng 1,bảng 2 ta có:

b) Chiều cao trung bình: x = 162, 4 , phương sai: s 2 = 116,19 , độ lệch chuẩn: s = 10, 78

∑x

Độ lệch chuẩn: s = s ≈ 2, 2 . Bài 5.12: Gọi x là số điểm trong lần kiểm tra cuối mà Minh cần đạt được để được cấp chứng chỉ Ta có số điểm qua 5 lần thi của Minh là 64, 5.5 = 322, 5 Suy ra

N = 40

x =

i =0

2 + 2 + 5 + 7 + 9 + 9 + 9 + 10 + 10 + 11 + 12 = 7, 81 11

- Số mốt: MO = 9

Vì x = y =5,2 nhưng Sx2 < Sy2 nên điểm thi môn Toán của lớp 10A đồng đều hơn lớp 10B. Bài 5.14: Me=22; x =21 ; s2 = 164,333 ; s = 12,8 Bài 5.15: a) Bảng phân bố tần số - tần suất Số cân nặng (kg) Tần số Tần suất(%)

- Số trung vị: Me = 9 * Tổ II: - Tuối nghề bình quân:

b) Số trung bình: x =

38 2 6,67

40 4 13,33

43 9 30

45 6 20

48 4 13,33

2.38 + 4.40 + 9.43 + 6.45 + 4.48 + 5.50 = 44,5 30

50 5 16,67

N = 30

Số trung vị: M e =

43 + 45 = 44 2

50% 40%

40%

Mốt: M O = 43

30%

Bài 5.16: a) An : Số TB x = 7,5 Bình : Số TB x = 7,5 b) An: phương sai : s A2 = 6,25 ; Độ lệch chuẩn : s = 2,5

10%

16% 11% 5%

Bình : phương sai : sB2 = 2 ; Độ lệch chuẩn : s = 1,41 c)Vì sB2 < s A2 ⇒ Bình có kết quả ổn định hơn Bài 5.17: a) Đơn vị điều tra là một học sinh lớp 10A, kích thước mẫu N = 40 b) Bảng phân bố tần số - tần suất là Điểm 3 4 5 6 7 8 Tần số 3 5 6 6 8 8 Tần suất(%) 8 13 15 15 20 20 Bài 5.18: Kích thước mẫu N = 200 Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp Lớp Tần số Tần suât(%) [800; 890] 15 8 [900; 990] 25 13 [1000; 1090] 28 14 [1100; 1190] 35 18 [1200; 1290] 40 20 [1300; 1390] 30 15 [1400; 1490] 27 14 Bài 5.19: Bảng phân bố tần số - tần suất Lớp Tần số Tần suất (%) [85; 86] 6 15 [87; 88] 9 22,5 [89; 90] 11 27,5 [91; 92] 4 10 [93; 94] 10 25 N = 40 Bài 5.20: a) Bảng phân bố tần số-tần suất ghép lớp Tần số Tần suất Lớp (%) [1;2] 6 11 [3;4] 9 16 [5;6] 22 40 [7;8] 15 27 [9;10] 3 5 N = 55 b) Biểu đồ tần suất hình cột

27%

20%

[1;2]

[3;4]

[5;6]

[7;8]

[9;10]

Đường gấp khúc tần suất 9 4 10

Giá trị Tần suất đại diện (%) ci [1;2] 11 1,5 [3;4] 16 3,5 [5;6] 40 5,5 [7;8] 27 7,5 [9;10] 5 9,5

Lớp điểm

30 27 25 20 16

15 11

10 5

0 1.5

3.5

5.5

7.5

9.5

Biểu đồ tần suất hình quạt 5%

11%

16%

27%

[1;2] [3;4] [5;6] [7;8]

40%

[9;10]

Bài 5.21: a) x1 ≈ 6,33, x2 ≈ 5,5 b) Tổ 1: M e = 6, M 0 = 6 , tổ 2: M e = 6, M 0 = 5,5 N

∑n c

i i

Bài 5.22: a) Tuổi thọ trung bình của một bóng đèn là x =

i =1

= 1622, 8

b) Ta có

∑n c

2 i i

= 668218000,

i =1

∑n c

i i

= 405700

i =1

Phương sai là 2 1 k 1  k nici2 − 2  ∑ nici  = 39392,2 ∑  N i =1 N  i =1 Độ lệch chuẩn là s = 198, 5 Bài 5.23: a) Bảng phân bố tần số - tần suất Đ iể m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tần số 5 6 6 9 9 11 6 8 2 3 Tần suất(%) 7,69 9,23 9,23 13,85 13,85 16,92 9,23 12,31 3,08 4,62 b) M e = 4, M O = 5 s2 =

c) x = 4,17; s 2 = 5,83; s = 2, 42 d) Bảng phân bố tần số ghép lớp là Lớp [0;1] [2;3] [4;5] Tần số 11 15 20 Giá trị đại diện 0,5 2,5 4,5 x = 4,10; s 2 = 5,56; s = 2,36

[6;7] 14 6,5

[8;9] 5 8,5

Bài 5.24: Nhóm trẻ có bố không hút thuốc lá: x = 3, 65 Nhóm trẻ có bố nghiện hút thuốc lá: x = 3, 2 Suy ra nhóm có bố không hút thuốc lá có cân nặng trung bình lớn hơn lớn hơn Bài 5.26: a) Bảng phân bố tần số Tuổi 12 13 14 15 16 17 18 19 Tần số 2 2 1 5 3 4 5 2 b) x = 16,8; s 2 = 6,5; s = 2,5 c) M e = 17, M O = 15 hoặc M O = 18 d) Biểu đồ tần số hình cột 6

20 4

21 2

Bài 5.27: x ≈ 48,3547486; s ≈ 13,95127664; s2 ≈ 194,6381199 12, 5.N N Bài 5.28: Tần số của giá trị 0 là = 100 8 6, 25.N N Tần số của giá trị 1 và 4 là = 100 16 25.N N Tần số của giá trị 2 là = 100 4 50.N N Tần số của giá trị 3 là = 100 2 ⇒ N chia hết cho 2 ; 4 ; 8 ; 16 ⇒ Giá trị nhỏ nhất có thể có của N là bội số chung nhỏ nhất của 4 số 2 ; 4 ;8 ;16 Vậy giá trị nhỏ nhất có thể có của N là 16 Bài 5.29: a) Bảng phân phối tần suất Điểm Lớp

10A

6,4

12,8

21,3

27,7

10,6

4,2

10B

4,3

10,9

19,6

26,1

10,9

8,6

b) Biểu đồ phân phối tần suất của hai lớp

5 4

2 20

1 15

Đường gấp khúc tần số

10 5 0

c) Đường gấp khúc tần suất

4 3 2 1 0

30 25 20 15 10 5 0 1

Bài 5.30: a) Bảng phân bố tần số Điểm 1 2 3 Tần số

b) Bảng phân bố tần suất Lớp ghép

[1; 2] [3; 4] [5;6] [7;8] [9;10]

Tần suất(%)

15,2

39,1

8,7

c) Biểu đồ tần suất hình cộp ghép lớp 50 40 30 20 10 0 [1;2]

[3;4]

[5;6]

[7;8]

[9;10]

TOÁN 10

GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

A. 600 .

0D6-1

Câu 10. Đổi số đo góc 1050 sang rađian. 7π 9π A. . B. . 12 12

Contents PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1 DẠNG 1. MỐI LIÊN HỆ GIỮA RADIAN VÀ ĐỘ ........................................................................................................ 1 DẠNG 2. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN........................................................... 2 PHẦN B. LỜI GIẢI ......................................................................................................................................................... 4 DẠNG 1. MỐI LIÊN HỆ GIỮA RADIAN VÀ ĐỘ ........................................................................................................ 4 DẠNG 2. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN........................................................... 5

Câu 11. Số đo góc 220 30’ đổi sang rađian là: π π A. . B. . 5 8

A. 7 .

2π . 7

4π . 7

Câu 2. Câu 3.

Cung tròn có số đo là π . Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây. A. 30° . B. 45° . C. 90° . D. 180° .

Câu 4.

Góc 630 48 ' bằng (với π = 3,1416 ) B. 1,108 rad . A. 1,113 rad . Góc có số đo A. 1350.

Câu 6.

Câu 7.

2π đổi sang độ là: 5 B. 720.

Góc có số đo 1080 đổi ra rađian là: 3π π A. . B. . 5 10 Góc có số đo

A. 250.

π 9

5π . 8

5π . 12

7π . 12

π 3

đổi sang độ là: B. 7030′.

C. 80.

π 4

D. 8030′.

π 10

Câu 15. Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10, 57cm và kim phút dài 13, 34cm .Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là B. 2, 77cm . C. 2, 76cm . D. 2,8cm . A. 2, 78cm . Câu 16. Cung tròn bán kính bằng 8, 43cm có số đo 3,85 rad có độ dài là A. 32, 46cm . B. 32, 47cm . C. 32, 5cm .

D. 32, 45cm .

C. 1,107 rad .

D. 1,114 rad .

C. 2700.

D. 2400.

Câu 18. Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút,biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6, 5cm (lấy π = 3,1416 ) B. 22055cm . C. 22042cm . D. 22054cm . A. 22043cm .

3π . 2

π 4

C. 180.

D. 200.

+ k 2π . Tìm k để 10π < a < 11π

Cho a =

Câu 9.

Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là:

B. k = 5 .

Câu 17. Trên đường tròn với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo 60° . Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy , số đo cung AN là A. −120° hoặc 240° . B. 120° + k 360°, k ∈ ℤ . C. 120° . D. −240° .

Câu 8.

2 A. k = 7 .

Câu 19. Trên đường tròn bán kính r = 15 , độ dài của cung có số đo 500 là: 180 180 15π . B. l = C. l = 15. A. l = 15. . .50 . π π 180

đổi sang độ là: B. 150.

D. 500 .

DẠNG 2. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

5π Cung tròn có số đo là . Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây. 4 A. 5° . B. 15° . C. 172° . D. 225° .

Câu 5.

π 24

Câu 14. Góc có số đo 1200 đổi sang rađian là: 2π 3π A. . B. . 3 2

DẠNG 1. MỐI LIÊN HỆ GIỮA RADIAN VÀ ĐỘ Số đo theo đơn vị rađian của góc 315° là 7π 7π A. . B. . 2 4

B. π

PHẦN A. CÂU HỎI

C. 400 .

Câu 12. Một cung tròn có số đo là 450 . Hãy chọn số đo radian của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây.

Câu 13. Góc có số đo

Câu 1.

B. 300 .

C. k = 4 .

D. k = 6 .

Câu 20. Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): α = − nào có điểm cuối trùng nhau: A. β và γ ; α và δ . B. α , β , γ .

D. l = 750 .

5π π 25π 19π , β = ,γ = ,δ = , Các cung 6 3 3 6

C. β , γ , δ .

D. α và β ; γ và δ .

Câu 21. Cho L , M , N , P lần lượt là điểm chính giữa các cung AB , BC , CD , DA . Cung α có mút 3π đầu trùng với A và số đo α = − + kπ . Mút cuối của α ở đâu? 4 A. L hoặc N . B. M hoặc P . C. M hoặc N . D. L hoặc P . π là: 8 5π . C. l = 8

C. sđ AM 1 = Câu 29.

Câu 22. Trên đường tròn bán kính r = 5 , độ dài của cung đo A. l =

B. l =

rπ . 8

Câu 30.

Câu 23. Một đường tròn có bán kính R = 10cm . Độ dài cung 40o trên đường tròn gần bằng A. 11cm . B. 13cm . C. 7cm . D. 9cm . Câu 24. Biết một số đo của góc ∠ ( Ox, Oy ) =

3π + 2001π . Giá trị tổng quát của góc ∠ ( Ox , Oy ) là: 2

3π A. ∠ ( Ox, Oy ) = + kπ . 2

C. ∠ ( Ox, Oy ) =

π 2

B. ∠ ( Ox, Oy ) = π + k 2π . D. ∠ ( Ox, Oy ) =

+ kπ .

π 2

C. α =

π 2

+ k 2π .

D. α = −

π 2

+ k 2π .

π 4

Câu 3. 3π D. − + kπ . 4

Chọn D

α .180° = 180° . π

Ta có: a° = Câu 4.

Chọn D

Ta có 630 48' = 63,80 =

Câu 6.

Chọn B

Chọn A

63,80 × 3,1416 ≈ 1,114rad 1800

2π 2.1800 = = 720. 5 5

Ta có: 1080 = Câu 7.

Chọn D

Ta có: 3

B. x = −

π 3

+ kπ .

C. x =

π 3

D. x =

+ kπ . þ

Câu 28.

Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M xác định bởi sđ AM =

π 3

π 2

. Gọi M 1 là điểm đối

Câu 8.

+ Để 10π < a < 11π thì Câu 9.

−5π + k 2π , k ∈ ℤ 3

B. sđ AM 1 =

π 3

Câu 10.

+ k 2π , k ∈ ℤ

1800 = 200. 9

19π 21π < k 2π < ⇒k = 5 2 2

Chọn D

+ 1 bánh răng tương ứng với

xứng của M qua trục Ox . Tìm số đo của cung lượng giác AM 1 . þ

1080.π 3π = . 1800 5

Chọn B

A. sđ AM 1 =

3π . 4

315 7π (rađian). .π = 180 4

Ta có:

+ 2 kπ .

D. −

5π α Ta có: a° = .180° = 4 .180° = 225° . π π

Câu 5.

3π . 4

DẠNG 1. MỐI LIÊN HỆ GIỮA RADIAN VÀ ĐỘ Chọn B

+ k 2π .

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Trên hình vẽ hai điểm M , N biểu diễn các cung có số đo là:

A. x =

7π ? 4

π k 2π Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thỏa mãn AM = + , k ∈ℤ . 6 3 A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 8 .

Ta có 315° = Câu 2.

Câu 26. Cung α có mút đầu là A và mút cuối là M thì số đo của α là: 3π 3π 3π B. − C. A. + k 2π . + k 2π . + kπ . 4 4 4 Câu 27.

−π + kπ , k ∈ ℤ 3

PHẦN B. LỜI GIẢI Câu 1.

Câu 25. Cung nào sau đây có mút trung với B hoặc B’? A. a = 900 + k 3600 . B. a = –900 + k1800 .

D. sđ AM 1 =

Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc A. −

D. kết quả khác.

−π + k 2π , k ∈ ℤ 3

3600 = 50 ⇒ 10 bánh răng là 500 . 72

Chọn A 1050 =

1050.π 7π = . 1800 12

Câu 11.

Chọn B 22030 '.π π 22 30 ' = = . 1800 8 0

Câu 12.

Câu 13.

Chọn C

Chọn B

a°.π π Ta có: α = = . 180° 4 1800 Ta có: = = 7 030 '. 24 24

Câu 14.

Chọn A

Ta có: 1200 =

120 .π 2π = . 3 1800

DẠNG 2. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chọn B 6 giờ thì kim giờ vạch lên 1 cung có số đo nên 30 phút kim giờ vạch lên 1 cung có số đo là 1 3,14 π , suy ra độ dài cung tròn mà nó vạch lên là l = Rα = 10,57 × ≈ 2, 77 12 12 Câu 16. Chọn A Độ dài cung tròn là l = Rα = 8, 43 × 3,85 = 32, 4555 Câu 17. Chọn C

Độ dài cung AB có số đo cung AB bằng n độ: l = r.n = 5. Câu 23.

Chọn C Đổi đơn vị 40o →

Câu 24.

Chọn D

Câu 26.

Câu 15.

2π 20π 40.π 2π ⇒ độ dài cung ℓ = .10 = = = 6,9813 ( cm ) ≈ 7 ( cm ) . 180 9 9 9 ∠ ( Ox, Oy ) =

Câu 25.

Chọn B

3π π π + 2001π = + 2002π = + k 2π 2 2 2

Nhìn vào đường tròn lượng giác để đánh giá. Chọn B = 450 ⇒ Ta có OM là phân giác góc AOM = 1350 A′OB′ ⇒ MOB′ 3π ⇒ góc lượng giác ( OA, OM ) = − + k 2π (theo chiều âm). 4 5π hoặc ( OA, OM ) = + k 2π (theo chiều dương). 4

Câu 27. Lời giải Chọn C Câu 28. Chọn C y M

K π 3

O -

= 60° nên Ta có: AON = 60° , MON AOM = 120° . Khi đó số đo cung AN bằng 120° . Câu 18. Chọn D 3 × 60 3 phút xe đi được × 60 = 540 vòng. Độ dài 1 vòng bằng chu vi bánh xe là 20 2π R = 2 × 3,1416 × 6, 5 = 40, 40,8408 8408 . Vậy quãng đường xe đi được là 540 × 40,8408 = 22054, 032 cm Câu 19. Chọn C π .r.n 0 π 15.50 l= = . 1800 180 Câu 20. Chọn A C1: Ta có: δ − α = 4π ⇒ 2 cung α và δ có điểm cuối trùng nhau. γ − β = 8π ⇒ hai cung β và γ có điểm cuối trùng nhau. C2: Gọi là điểm cuối của các cung α , β , γ , δ Biểu diễn các cung trên đường tròn lượng giác ta có B ≡ C , A ≡ D . Câu 21. Chọn A Nhìn vào đường tròn lượng giác để đánh giá. Câu 22. Chọn C

x H

-K

Vì M 1 là điểm đối xứng của M qua trục Ox nên có 1 góc lượng giác ( OA, OM 1 ) = −

π 3

−π ⇒ sđ AM 1 = + k 2π , k ∈ ℤ . 3 Câu 29. Chọn A 7π π = 2π − . Ta có 4 4 Góc lượng giác có cùng điểm cuối với góc

Câu 30.

Chọn C

π 7π là − . 4 4

π k 2π Có 3 điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thỏa mãn AM = + , k ∈ ℤ , ứng với các 6 3 giá trị là số dư của phép chia k cho 3.

TOÁN 10

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

Contents

π  A. cos 2 45° = sin  cos 60°  . 3  B. Hai câu A và C. Nếu a âm thì ít nhất một trong hai số cos a,sin a phải âm.

PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1

D. Nếu a dương thì sin a = 1 − cos 2 a .

0D6-2

DẠNG 1. XÉT DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC ............................................................................................ 1 DẠNG 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT .................................................. 2

< α < π . Kết quả đúng là: 2 A. sin α < 0 ; cos α < 0 . B. sin α > 0 ; cos α < 0 . C. sin α < 0 ; cos α > 0 . D. sin α > 0 ; cos α > 0 .

Câu 9.

Xét các mệnh đề sau: π  π  π  I. cos  − α  > 0 . II. sin  − α  > 0 . III. tan  − α  > 0 . 2  2  2  Mệnh đề nào sai? B. Chỉ II. C. Chỉ II và III. A. Chỉ I.

DẠNG 3. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC ...................................................................................................................... 3 DẠNG 4. RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC ....................................................................................................... 6 PHẦN B. LỜI GIẢI ......................................................................................................................................................... 9 DẠNG 1. XÉT DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC ............................................................................................ 9 DẠNG 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT ................................................ 10 DẠNG 3. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC .................................................................................................................... 10 DẠNG 4. RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC ..................................................................................................... 14

PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. XÉT DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Câu 1.

Cho

Câu 2.

Trong các giá trị sau, sin α có thể nhận giá trị nào? 4 A. −0,7 . B. . C. − 2 . 3

Câu 3.

Câu 4.

< a < π . Kết quả đúng là 2 A. sin a > 0 , cos a > 0 . B. sin a < 0 , cos a < 0 . C. sin a > 0 , cos a < 0 . D. sin a < 0 , cos a > 0 .

5 . 2

Cho

D. Cả I, II và III.

Câu 10. Xét các mệnh đề sau đây: π π π    I. cos  α +  < 0 . II. sin  α +  < 0 . III. cot  α +  > 0 . 2 2 2    Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ II và III. B. Cả I, II và III. C. Chỉ I.

D. Chỉ I và II.

π π   Câu 11. Cho góc lượng giác α  < α < π  . Xét dấu sin  α +  và tan ( −α ) . Chọn kết quả đúng. 2 2     π   π   π   π sin  α +  < 0 sin  α +  > 0 sin  α +  < 0 sin  α +  > 0 2 2 2 2 A.   . B.   . C.   . D.   .  tan ( −α ) < 0  tan ( −α ) < 0  tan ( −α ) > 0  tan ( −α ) > 0     DẠNG 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT

Câu 12. Cho hai góc nhọn α và β phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai? A. cot α = tan β . B. cos α = sin β . C. cos β = sin α .

D. sin α = − cos β .

5π Cho 2π < a < . Chọn khẳng định đúng. 2 A. tan a > 0, cot a < 0. B. tan a < 0, cot a < 0. C. tan a > 0, cot a > 0. D. tan a < 0, cot a > 0 .

Câu 13. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A. sin 1800 – a = – cos a . B. sin 1800 – a = − sin a .

Ở góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây. A. cot α < 0 . B. sin α > 0 . C. cos α < 0 . D. tan α < 0 .

Câu 14. Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau π  A. sin  − x  = cos x . 2  π  C. tan  − x  = cot x . 2 

π  B. sin  + x  = cos x . 2  π  D. tan  + x  = cot x . 2 

Câu 15. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. cos ( − x ) = − cos x .

B. sin ( x − π ) = sin x .

( (

Ở góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây. A. cot α > 0 . B. tan α > 0 . C. sin α > 0 . D. cos α > 0 .

Câu 6.

7π < α < 2π .Xét câu nào sau đây đúng? 4 A. tan α > 0 . B. cot α > 0 .

Cho

C. cos α > 0 .

) )

( (

C. sin 1800 – a = sin a .

Câu 5.

Câu 7.

Câu 8.

D. sin α > 0 .

π  D. sin  − x  = − cos x . 2 

C. cos (π − x ) = − cos x .

Xét câu nào sau đây đúng? 1

) )

D. sin 1800 – a = cos a .

Câu 16. Khẳng định nào sau đây là sai? A. sin ( −α ) = − sin α . B. cot ( −α ) = − cot α . C. cos ( −α ) = − cos α . D. tan ( −α ) = − tan α . Câu 17. Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin ( − x ) = − s in x.

B. cos ( − x ) = − cos x.

C. cot ( − x ) = cot x.

D. tan ( − x ) = tan x.

Câu 18. Chọn hệ thức sai trong các hệ thức sau.  3π  A. tan  − x  = cot x .  2  C. cos ( 3π − x ) = cos x .

D. cos ( − x ) = cos x .

Câu 19. cos( x + 2017π ) bằng kết quả nào sau đây? A. − cos x . B. − sin x .

C. sin x .

3π 4 < α < 2π 5 Câu 27. Cho với 2 . Khi đó: 4 5 , cos α = − . A. sin α = − 41 41 4 5 C. sin α = − . cos α = 41 41 tan α = −

Câu 28. Cho cos150 =

B. sin ( 3π − x ) = sin x .

A. D. cos x .

DẠNG 3. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

21 . 3

Câu 20. Giá trị của cot1458° là A. 1.

B. −1.

Câu 21. Giá trị A.

cot

C. 0 .

5+ 2 5 .

89π 6 là

Câu 22. Giá trị của tan180 là A. 1 .

3 . 3

B. 0 .

C. –1 .

D. –

3 . 3

D. Không xác định.

1 Câu 23. Cho biết tan α = . Tính cot α 2 A. cot α = 2 . Câu 24. Cho sin α = A.

4 . 5

B. cot α =

1 . 4

C. cot α =

1 . 2

3 π và < α < π . Giá trị của cosα là: 5 2 4 4 B. − . C. ± . 5 5

4 π 0<α < 5 với 2 . Tính sin α . Câu 25. Cho 1 1 A. sin α = . B. sin α = − . 5 5

D. cot α = 2 .

16 . 25

cos α =

Câu 26. Tính α biết cos α = 1 A. α = kπ ( k ∈ ℤ ) . C. α =

π 2

+ k 2π

B. α = k 2π

3 C. sin α = . 5

3 D. sin α = ± . 5

(k ∈ ℤ) .

2 π   < α < π  . Khi đó tan α bằng 5 2  21 B. − . C. 5

6 . 6

(k ∈ ℤ) .

21 . 5

2+ 3 4

D. −

21 . 2

3π . Khi đó cos α bằng: 2

6 . 6

1 . 6

3 ( 90° < α < 180°) . Tính cot α . 5 3 4 A. cot α = . B. cot α = . 4 3 4 3 C. cot α = − . D. cot α = − . 3 4

Câu 32. Trên nửa đường tròn đơn vị cho góc α sao cho sin α =

−2 5 . 5

2 5 . 5

2 và cos α < 0 . Tính tan α . 3

−2 . 5

D. 1.

1 π và < α < π . Khi đó cos α có giá trị là. 3 2 2 2 2 8 A. cos α = − . B. cos α = . C. cos α = . 3 3 9

Câu 33. Cho sin α =

Câu 34. Cho cot α = −3 2 với A. 2 19 . Câu 35. Nếu sin α + cos α =

D. α = −π + k 2π

( k ∈ ℤ) .

C. 2 − 3

Câu 31. Cho sin α =

A. D.

2− 3 2

Câu 30. Cho tan α = 5 , với π < α < A. −

B. − 3 .

2+ 3 . Giá trị của tan15ο bằng: 2

3−2

Câu 29. Cho cos α = −

4 5 , cos α = . 41 41 4 5 D. sin α = , cos α = − . 41 41 B. sin α =

5 . 4

D. cos α = −

< α < π . Khi đó giá trị tan + cot bằng: 2 2 2 B. −2 19 . C. − 19 . D. 19 .

3 thì sin 2α bằng 2 1 B. . 2

13 . 4

9 . 4

2 2 . 3

1 π và 0 < x < . Tính giá trị của sin x . 2 2 1+ 7 1− 7 1+ 7 A. sin x = B. sin x = C. sin x = . . . 6 6 4

Câu 36. Cho sin x + cos x =

1 . Tính giá trị của cos2 x . 2 3 3 A. cos 2 x = B. cos 2 x = 4 2

A. D. sin x =

1− 7 . 4

8 . 9

A. 5 . C. cos 2 x =

1 4

D. cos 2 x =

1 2

A. 2 . Câu 50. Biểu thức B =

(

)

(

)

(

)

. 3 3 . 2

2sin a − cos a Câu 42. Cho tan a = 2 . Tính giá trị biểu thức P = . sin a + cos a 5 A. P = 2 . B. P = 1 . C. P = . 3

D. P =

3 3 . 2

Câu 44. Cho sin x =

D. P = −1.

7 . 33

sin x − 3cos3 x 5sin 3 x − 2 cos x

7 . 31

1 sin x − cos x và cos x nhận giá trị âm, giá trị của biểu thức A = bằng 2 sin x + cos x

A. −2 − 3 . Câu 45. Giá trị của biểu thức A = A. −3 − 3 .

7 . 32

B. 2 + 3 .

C. −2 + 3 .

D. 2 − 3 .

cos 7500 + sin 4200 bằng sin ( −3300 ) − cos ( −3900 )

B. 2 − 3 3 .

2 3 . 3 −1

4 . 57

5 . 3

C. 7 .

A. 6.

4 . 57

3π 5π 7π + cos2 + cos 2 bằng 8 8 8 B. 1 . C. 2 .

7 . 3

+ cos 2

sin ( −2340 ) − cos 2160

+ tan 226 ) .cos 406 0

D. −1 .

. tan 360 , ta có A bằng

sin1440 − cos1260 B. −2 . cos 3160

C. 1 .

D. −1 .

− cot 720.cot180 có kết quả rút gọn bằng

B. 1 .

Câu 52. Cho biết cot x =

D. −

3sin α + cos α là: sin α − cos α

−1 . 2

Câu 51. Biết tan α = 2 và 180 < α < 270 . Giá trị cos α + sin α bằng 3 5 3 5 A. − . B. 1 – 5 . C. . 5 2

1 . 2

5 −1 . 2

2 1 . Giá trị biểu thức A = bằng 2 sin 2 x − sin x.cos x − cos 2 x B. 8. C. 10. D. 12.

Câu 53. Trong các công thức sau, công thức nào sai? 1  π  A. sin 2 α + cos 2 α = 1 . B. 1 + tan 2 α =  α ≠ + kπ , k ∈ ℤ  . cos2 α  2  1 kπ   2 ,k ∈ℤ. C. 1 + cot α = 2 (α ≠ kπ , k ∈ ℤ ) . D. tan α + cot α = 1 α ≠ 2 sin α  

1− 3 . 3

tan 2 a − sin 2 a bằng: cot 2 a − cos 2 a 6 B. cos a . C. tan 4 a .

Câu 54. Biểu thức rút gọn của A = A. tan 6 a .

D. sin 6 a .

Câu 55. Biểu thức D = cos 2 x.cot 2 x + 3cos 2 x – cot 2 x + 2sin 2 x không phụ thuộc x và bằng A. 2. B. –2 . C. 3. D. –3 . Câu 56. Biểu thức A =

3 cot α − 2 tan α Câu 46. Cho sin α = và 900 < α < 1800 . Giá trị của biểu thức E = là: 5 tan α + 3cot α 5

2 . 57

DẠNG 4. RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Câu 43. Cho cung lượng giác có số đo x thỏa mãn tan x = 2 .Giá trị của biểu thức M = bằng 7 A. . 30

( cot 44

A. −1.

D. −2 . Câu 41. Cho tam giác ABC đều. Tính giá trị của biểu thức P = cos AB, BC + cos BC , CA + cos CA, AB

C. P = −

Câu 49. Rút gọn biểu thức A =

5 . 4

4sin x + 5cos x Câu 40. Cho tan x = 2 .Giá trị biểu thức P = là 2sin x − 3cos x A. 2 . B. 13 . C. −9 .

3 B. P = − . 2

A. 0 .

3sin x − cos x với tan x = 2 . Giá trị của P bằng sin x + 2 cos x 2 2 8 B. − . C. . 3 9

3 . 2

Câu 48. Giá trị của A = cos 2

1 sin x − cos x Câu 39. Cho s inx = và cosx nhận giá trị âm, giá trị của biểu thức A = bằng 2 sin x + cox A. −2 − 3 B. 2 + 3 C. −2 + 3 D. 2 − 3

A. P =

B. −

Câu 47. Cho tan α = 2 . Giá trị của A =

Câu 37. Cho sinx =

Câu 38. Cho P =

2 . 57

sin ( −3280 ) .sin 9580 cot 572

A. −1.

−

cos ( −5080 ) .cos ( −10220 ) tan ( −2120 )

B. 1 .

C. 0 .

sin 515 .cos ( −475 ) + cot 222 .cot 408 0

Câu 57. Biểu thức A =

D. 2 .

cot 4150.cot ( −5050 ) + tan197 0.tan 730 6

rút gọn bằng:

có kết quả rút gọn bằng

1 2 0 sin 25 . 2

Câu 58. Đơn giản biểu thức A = A. A = cos x + sin x .

1 cos2 550 . 2

2 cos2 x − 1 ta có sin x + cos x B. A = cos x – sin x .

1 cos 2 250 . 2

1 2 0 sin 65 . 2

C. A = sin x – cos x .

D. A = − sin x – cos x . Câu 69. Biểu thức B =

2 . Trong các kết quả sau, kết quả nào sai? 2 6 1 A. sin α .cos α = – . B. sin α − cos α = ± . 4 2 7 C. sin 4 α + cos 4 α = . D. tan 2 α + cot 2 α = 12 . 8

A. 2 .

2003π  A = cos (α + 26π ) − 2sin (α − 7π ) − cos1,5π − cos  α + 2  kết quả thu gọn bằng: A. − sin α . B. sin α . C. − cos α .

(

)

(

A. A = sin 2 x .

B. A = cos2 x .

D. A = – cos 2 x .

Câu 64. Cho tam giác ABC . Đẳng thức nào sau đây sai? A+ B C = cos . D. sin ( A + B ) = sin C . 2 2

D. A = 0 .

Câu 66. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác không vuông. Mệnh đề nào sau đây sai? C  A+ B  A. tan   = cot . 2  2  C  A+ B  B. cot   = tan . 2  2  C. cot ( A + B ) = − cot C .

tan x + tan y = tan x.tan y . cot x + cot y

sin α cos α 1 + cot 2 α . − = cos α + sin α cos α − sin α 1 − cot 2 α

có

 1 + sin a 1 − sin a  2 B.  −  = 4 tan a .  1 + sin a   1 − sin a sin α + cos α 2 cos α D. = . 1 − cos α sin α − cos α + 1

98 thì giá trị biểu thức A = 2sin 4 x + 3cos4 x bằng 81 103 603 105 605 107 607 B. hay . C. hay . D. hay . 81 405 81 504 81 405

101 601 hay . 81 504

1 thì 3sin x + 2 cos x bằng 2 5− 7 5+ 7 5− 5 5+ 5 A. hay . B. hay . 4 4 7 4 2− 3 2+ 3 3− 2 3+ 2 C. hay . D. hay . 5 5 5 5

Câu 73. Nếu sin x + cos x =

Câu 74. Biết tan x = A. –a .

2b . Giá trị của biểu thức A = a cos 2 x + 2b sin x.cos x + c sin 2 x bằng a −c B. a . C. – b . D. b .

sin 4 α cos 4 α 1 sin 8 α cos8 α + = A= + b a + b thì biểu thức a3 b3 bằng Câu 75. Nếu biết a 1 1 1 1 A. . B. 2 2 . C. . D. 3 3 2 3 a +b a +b (a + b) ( a + b)

 π  9π  Câu 76. Với mọi α, biểu thức: A = cos α + cos  α +  + ... + cos  α +  nhận giá trị bằng: 5 5    A. –10 . B. 10 . C. 0 . D. 5 . Câu 77. Giá trị của biểu thức A = sin 2

D. tan ( A + B ) = tan C . Câu 67. Tính giá trị của biểu thức A = sin 6 x + cos6 x + 3sin 2 x cos 2 x . A. A = –1 . B. A = 1 . C. A = 4 .

D. –1 .

Câu 72. Nếu biết 3sin 4 x + 2cos4 x =

π   3π  Câu 63. Biểu thức P = sin (π + x ) − cos  − x  + cot ( 2π − x ) + tan  − x  có biểu thức rút gọn là 2   2  A. P = 2sin x . B. P = −2sin x . C. P = 0 . D. P = −2 cot x .

π  Câu 65. Đơn giản biểu thức A = cos  α −  + sin (α − π ) , ta có 2  A. A = cos a + sin a . B. A = 2 sin a . C. A = sin a – cos a .

C. 1 .

D. cos α .

)

B. cos ( A + B ) = cos C . C. sin

B. –2 .

Câu 71. Hệ thức nào sai trong bốn hệ thức sau:

π  π  π  π  Câu 62. Đơn giản biểu thức A = cos  − α  + sin  − α  − cos  + α  − sin  + α  , ta có: 2  2  2  2  A. A = 2 sin a . B. A = 2 cos a . C. A = sin a – cos a . D. A = 0 .

A. A + B + C = π .

cos 2 x − sin 2 y − cot 2 x.cot 2 y không phụ thuộc vào x, y và bằng sin 2 x.sin 2 y B. –2 . C. 1 . D. –1 .

A. 2 .

  + cos (α − 1,5π ) .cot (α − 8π ) 

C. A = – sin 2 x .

1 không phụ thuộc vào x và bằng 4sin 2 x cos 2 x 1 1 B. –1 . C. . D. − . 4 4 −

Câu 61. Đơn giản biểu thức A = 1– sin x .cot x + 1 – cot x , ta có 2

Câu 70. Biểu thức C = 2 ( sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x cos2 x ) – ( sin 8 x + cos8 x ) có giá trị không đổi và bằng

Câu 60. Biểu thức:

4 tan 2 x

A. 1 .

Câu 59. Biết sin α + cos α =

(1 − tan x ) 2

Câu 68. Biểu thức A =

A. 2 . D. A = –4 .

Câu 78. Giá trị của biểu thức A =

8 B. −2 .

+ sin 2

1 + tan 3680

3π 5π 7π + sin 2 + sin 2 bằng 8 8 8 C. 1 .

2 sin 25500.cos ( −1880 ) 2 cos 6380 + cos 980 8

bằng:

D. 0 .

A. 1 .

B. 2 .

C. −1.

D. 0 .

Câu 79. Cho tam giác ABC và các mệnh đề: B+C A A+ B C = sin ( II ) tan .tan = 1 ( III ) cos ( A + B – C ) – cos 2C = 0 ( I ) cos 2 2 2 2 Mệnh đề đúng là: A. Chỉ ( I ) . B. ( II ) và ( III ) . C. ( I ) và ( II ) . D. Chỉ ( III ) .

Câu 6.

Câu 7.

π   3π  Câu 80. Rút gọn biểu thức A = cos (π − α ) + sin  + α  + tan  − α  .sin ( 2π − α ) ta được 2   2  A. A = cos α . B. A = − cos α . C. A = sin α . D. A = 3cos α .

Chọn C 7π 3π π < α < 2π ⇔ + < α < 2π nên α thuộc cung phần tư thứ IV vì vậy đáp án đúng là A 4 2 4 Chọn A 2 −7π A sai vì α = nhưng sin α = cosα = >0. 4 2 2 5π B sai vì α = nhưng sin α = − < 0. 4 2 π 1 1 π  C đúng vì cos 2 45° = ,sin  cos 60°  = sin = 2 6 2 3 

Câu 8. Hướng dẫn giải

PHẦN B. LỜI GIẢI

Câu 1.

DẠNG 1. XÉT DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Chọn C

Câu 3.

Câu 4.

< a < π ⇒ sin a > 0 , cos a < 0 . 2 Chọn A. Vì −1 ≤ sin α ≤ 1 . Nên ta chọn A. Chọn C Đặt a = b + 2π 5π 5π π 2π < a < ⇔ 2π 0 1 cot a = >0. tan a Vậy tan a > 0, cot a > 0 . Vì

Câu 2.

Chọn A

Chọn B Nhìn vào đường tròn lượng giác:

Vì Câu 9.

Câu 10.

Chọn C

Chọn B

< α < π nên tan α < 0; cot α < 0

π π < α < π ⇒ − < α < 0 nên α thuộc cung phần tư thứ IV nên chỉ II, II sai. 2 2

π 2 Câu 11.

π  3π  < α < π ⇒ π < α +  < nên đáp án là D 2 2 

Chọn C

π 3π  π   π <α + <  cos  α +  < 0 2 2 2 Ta có < α < π ⇒  . ⇒  2  −π < −α < − π  tan ( −α ) > 0   2 π

DẠNG 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Chọn D Thường nhớ: các góc phụ nhau có các giá trị lượng giác bằng chéo nhau Nghĩa là cos α = sin β ; cot α = tan β và ngược lại. C. Câu 13. Chọn Theo công thức. D. Câu 14. Chọn Câu 15. Chọn C Ta có cos (π − x ) = − cos x .

Câu 12.

Câu 16.

Chọn C Dễ thấy C sai vì cos ( −α ) = cos α .

Câu 17.

Chọn A Ta có: sin ( − x ) = − s in x .

Câu 18.

Câu 5.

-Ta thấy ở góc phần tư thứ nhất thì: sin α > 0;cos α > 0; tan α > 0;cot α > 0 => chỉ có câu A thỏa mãn. Chọn D - Ở góc phần tư thứ tư thì: sin α < 0;cos α > 0; tan α < 0;cot α < 0 . ⇒ chỉ có C thỏa mãn. 9

Chọn C cos ( 3π − x ) = cos (π − x ) = − cos x . Câu 19. Chọn A Ta có cos ( x + 2017π ) = − cos x . Câu 20.

DẠNG 3. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Chọn D 10

Câu 30.

cot1458° = cot ( 4.360° + 18° ) = cot18° = 5 + 2 5 .

Câu 21.

1 16 1 1 41 25 5 ⇒ 1+ = ⇒ = ⇒ cos 2 α = ⇒ cos α = ± cos2 α 25 cos 2 α cos 2 α 25 41 41 25 16 4 sin 2 α = 1 − cos2 α = 1 − = → sin α = ± 41 41 41 5   cos α > 0 → cos α = 41 3π < α < 2π ⇒  2 4 .  sin α < 0 → sin α = − 41

2 1 = 1 + tan 2 α = 1 + 5 = 6 . 2 cos α 6 3π Mặt khác π < α < . nên cos α = − 2 6 Câu 31. Chọn C 16 1 4 2 Ta có: 1 + cot 2 α = ⇒ cot α = ⇒ cot α = ± . sin 2 α 9 3 4 Vì 90° < α < 180° nên cot α = − . 3 Câu 32. Chọn A 2 Có cos 2 α = 1 − sin 2 α , mà sin α = . 3 5 5 2 Suy ra cos α = , có cos α < 0 ⇔ cos α = − . 9 3 sin α 2 5 Có tan α = . =− cos α 5 Câu 33. Chọn D π Vì < α < π nên cosα < 0 . 2 8 Ta có sin 2 α + cos 2α = 1 ⇒ co 2 sα = 1 − sin 2 α = 9  8 2 2 = (l ) cos α = 9 3 ⇒  8 2 2 =− cos α = − ( tm ) 9 3  Câu 34. Chọn A 1 1 1 = 1 + cot 2 α = 1 + 18 = 19 → sin 2 α = → sin α = ± sin 2 α 19 19 Vì π 1 < α < π ⇒ sin α > 0 ⇒ sin α = 2 19 α α sin 2 + cos 2 α α 2 2 = 2 = 2 19 . Suy ra tan + cot = α α 2 2 sin α sin cos 2 2

Chọn C

Câu 35.

Chọn B

Ta có

89π π  π   π = cot  − + 15π  = cot  −  = − cot = − 3 . Biến đổi cot 6 6  6   6 Câu 22. Chọn B Biến đổi tan180 = tan 0 + 180 = tan 0 = 0 .

(

Câu 23.

)

Chọn A

1 1 = = 2. tan α 1 2

Ta có: tan α .cot α = 1 ⇒ cot α =

Câu 24.

Chọn

4  cos α = 5 9 16 Ta có: sin α + cos α = 1 ⇒ cos α =1 − sin α = 1 − = . ⇔ 25 25 cos α = − 4  5 π 4 Vì < α < π ⇒ cosα = − . 2 5 Câu 25. Chọn C 2 9 3 4 ⇒ sin α = ± . Ta có: sin 2 α = 1 − cos 2 α = 1 −   = 5  5  25 π 3 Do 0 < α < nên sin α > 0 . Suy ra, sin α = . 2 5 Câu 26. Chọn C 2

Ta có: cos α = 1 ⇔ α =

π 2

+ k 2π

(k ∈ ℤ) .

Câu 27. Chọn C

1 + tan 2 α =

Câu 28.

1 4 −1 = −1 = 2 − 3 tan 15 = cos 2 150 2+ 3 Chọn D 2

Câu 29.

Chọn A

Với

(

π 2

)

⇒ tan15 = 2 − 3 .

Câu 36.

Chọn C

3 9 9 5 2 ⇒ ( sin α + cos α ) = ⇔ 1 + sin 2α = ⇔ sin 2α = . 2 4 4 4

1 1 ⇔ cos x = − sin x (1) . 2 2 Mặt khác: sin 2 x + cos 2 x = 1 (2) . Thế (1) vào (2) ta được:

Từ sin x + cos x =

< α < π ⇒ tan α < 0 .

Ta có 1 + tan 2 α =

Chọn A

Ta có: sin α + cos α =

( )

21 1 1 25 21 . −1 = ⇒ tan α = − ⇔ tan 2 α = −1 = cos 2 α cos 2 α 4 4 2 11

Câu 46.

 1+ 7 sin x = 3 1  4 2 2  sin x +  − sin x  = 1 ⇔ 2sin x − sin x − = 0 ⇔ 4  2  1− 7 sin x =  4 π 1+ 7 Vì 0 < x < ⇒ sin x > 0 ⇒ sin x = . 2 4 Chọn A 1 3 Ta có: cos 2 x = 1 − sin 2 x = 1 − = . 4 4 Chọn D 3sin x − cos x 3tan x − 1 3.2 − 1 5 Ta có P = = = = . sin x + 2cos x tan x + 2 2+2 4 Chọn A Vì cosx nhận giá trị âm. 1 3 Ta có: cos x = − 1 − sin 2 x = − 1 − = − 4 2 1 3 + 1+ 3 2 2 Suy ra: A = = = −2 − 3 1 3 1− 3 − 2 2 Chọn C Ta có: tan x = 2 ⇒ cos x ≠ 0 .Chia tử và mẫu cho cos x 4 sin x + 5 cos x 4 tan x + 5 4.2 + 5 Suy ra: P = = = = 13 . 2 sin x − 3cos x 2 tan x − 3 2.2 − 3 Chọn B

Câu 37.

Câu 38.

Câu 39.

Câu 40.

Câu 41.

(

)

(

)

(

)

0 Ta có: P = cos AB, BC + cos BC, CA + cos CA, AB = 3cos120 = −

Câu 42.

Câu 43.

⇔ A=

3 2

2sin a − cos a 2 tan a − 1 2.2 − 1 = = = 1. sin a + cos a tan a + 1 2 +1

Chọn A Do tan x = 2 ⇒ cos x ≠ 0 .

1 tan x. 2 − 3 tan x (1 + tan 2 x ) − 3 sin x − 3cos3 x 7 cos x = Ta có M = = = . 3 5sin x − 2 cos x 5 tan 3 x − 2 5 tan 3 x − 2 (1 + tan 2 x ) 30 2 cos x Câu 44. Chọn A 1 3 Vì cos x nhận giá trị âm nên ta có cos x = − 1 − sin 2 x = − 1 − = − 4 2 1 3 + 1+ 3 2 2 Suy ra: A = = = −2 − 3 . 1 3 1− 3 − 2 2 Câu 45. Chọn A. cos 300 + sin 600 2 3 A= = = −3 − 3 . sin 300 − cos 300 1 − 3 13

Chọn B Ta có: P =

Chọn

4   cosα = 5 9 16 ⇔ sin α + cos α = 1 ⇒ cos α =1 − sin α = 1 − = 25 25  cosα = − 4  5 4 3 4 0 0 Vì 90 < α < 180 ⇒ cosα = − . Vậy tan α = − và cot α = − . 5 4 3 4  3 − − 2.  −  cot α − 2 tan α 3  4 = − 2 . E= = 3 tan α + 3cot α 57  4 − + 3.  −  4  3 Câu 47. Chọn C. 3sin α + cos α 3tan α + 1 A= = = 7. sin α − cos α tan α − 1 Câu 48. Chọn C. 3π 3π π π π 3π   A = cos2 + cos 2 + cos 2 + cos 2 ⇔ A = 2  cos 2 + cos 2  8 8 8 8 8 8   π π   ⇔ A = 2  cos 2 + sin 2  = 2 . 8 8  Câu 49. Chọn C. − sin 2340 + sin1260 −2cos1800.sin 540 A= .tan 360 ⇔ A = .tan 360 cos 540 − cos1260 −2sin 900 sin ( −360 )

−1.sin 540 sin 360 . ⇔ A = 1. 0 1sin ( −360 ) cos 36

Câu 50.

Chọn B. cot 440 + tan 460 ) .cos 460 ( 2 cot 440.cos 460 B= − cot 720.tan 720 ⇔ B = −1 ⇔ B = 2 − 1 = 1. cos 440 cos 440 Câu 51. Chọn A Do 180 < α < 270 nên sin α < 0 và cos α < 0 . Từ đó 1 1 1 = 1 + tan 2 α = 5 ⇒ cos 2 α = ⇒ cos α = − Ta có . cos 2 α 5 5 2  1  sin α = tan α .cos α = 2.  − =− 5 5  Như vậy, cos α + sin α = −

Câu 52.

2 1 3 5 − =− . 5 5 5

Chọn C  1 2 2 1 +  2 (1 + cot 2 x ) 2 2 4 sin x = = =  = 10. A= sin 2 x − sin x.cos x − cos 2 x 1 − cot x − cot 2 x 1 − cot x − cot 2 x 1 − 1 − 1 2 4

Câu 53.

DẠNG 4. RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Chọn D

kπ   ,k ∈ℤ . D sai vì: tan α .cot α = 1 α ≠ 2   Câu 54. Chọn A  1  sin 2 a  − 1 2 2 2 tan 2 a − sin 2 a  cos a  = tan a.tan a = tan 6 a . A= ⇔ = A 2 2 2 cot a cot a − cos a  1  cos 2  2 − 1  sin a  Câu 55. Chọn A D = cos 2 x.cot 2 x + 3cos 2 x – cot 2 x + 2sin 2 x = cos 2 x + 2 + cot 2 x cos 2 x − 1

(

)

= cos 2 x + 2 − cot 2 x.sin 2 x = cos2 x + 2 − cos2 x = 2 . Câu 56. Chọn A sin ( −3280 ) .sin 9580 cos ( −5080 ) .cos ( −10220 ) sin 320.sin 580 cos 320.cos 580 A= − ⇔ A=− − cot 5720 cot 320 tan 320 tan ( −2120 ) sin 320.cos 320 cos 320.sin 320 − = − sin 2 320 − cos 2 320 = −1. cot 320 tan 320 Chọn C. sin 250. ( − sin 250 ) + cot 420.tan 420 sin1550.cos1150 + cot 420.cot 480 ⇔ A= A= 0 0 0 0 cot 550.tan 550 + 1 cot 55 .cot ( −145 ) + tan17 .cot17 A=−

Câu 57.

− sin 2 250 + 1 cos 2 250 ⇔ A= . 2 2 Câu 58. Chọn B 2 2 2 2 cos 2 x − 1 2 cos x − ( sin x + cos x ) cos 2 x − sin 2 x Ta có A = = = sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x cos x − sin x )( cos x + sin x ) ( = = cos x − sin x sin x + cos x Như vậy, A = cos x – sin x . Câu 59. Chọn D 2 1 1 1 2 ⇒ ( sin α + cos α ) = ⇒ 1 + 2sin α cos α = ⇒ sin α cos α = − Ta có sin α + cos α = 2 2 2 4 6 2  1 6 ⇒ ( sin α − cos α ) = 1 − 2sin α cos α = 1 − 2  −  = ⇒ sin α − cos α = ± 2  4 4 ⇔ A=

Câu 61.

(

Câu 62.

Chọn

Câu 63.

Chọn B

Câu 65.

(

)

Chọn

D. π  A = cos  − α  − sin (π − α ) A = sin α − sin α = 0 . 2  Câu 66. Chọn D Do A,B,C là ba góc của một tam giác nên A + B + C = π ⇔ A + B = π − C C  A+ B  π C  tan   = tan  −  = cot . 2  2  2 2 C  A+ B  π C  cot   = cot  −  = tan . 2  2  2 2 cot ( A + B ) = cot (π − C ) = − cot C .

tan ( A + B ) = tan (π − C ) = − tan C ≠ tan C . Chọn D Trong tam giác ABC ta có A + B + C = π ⇔ A + B = π − C Do đó tan ( A + B ) = tan (π − C ) = − tan C . Câu 67. Chọn B 3

Ta có A = sin 6 x + cos 6 x + 3sin 2 x cos 2 x = ( sin 2 x ) + ( cos2 x ) + 3sin 2 x cos 2 x 3

= ( sin 2 x + cos 2 x ) − 3 sin 2 x.cos 2 x ( sin 2 x + cos 2 x ) + 3 sin 2 x cos2 x = 1 .

Câu 68.

Chọn B

(1 − tan x ) 2

Ta có A = =

Câu 69.

4 tan x

(1 − tan 2 x ) 2

−

(1 − tan 2 x ) − 1 ⋅  1 2 1 =   2 4sin x cos x 4 tan 2 x 4 tan 2 x  cos 2 x  2

(1 + tan x ) = (1 − tan x ) − (1 + tan x ) 2

−

−4 tan 2 x = −1 . 4 tan 2 x

4 tan x 4 tan x 4 tan x Chọn D cos 2 x − sin 2 y cos 2 x − sin 2 y cos 2 x.cos 2 y Ta có B = − cot 2 x.cot 2 y = − sin 2 x.sin 2 y sin 2 x sin 2 y sin 2 x.sin 2 y =

)

A. A = sin α + cos α + sin α − cos α ⇔ A = 2 sin α .

π   3π  − x  = − sin x − sin x − cot x + cot x = −2sin x. P = sin (π + x ) − cos  − x  + cot ( 2π − x ) + tan  2   2  Câu 64. Chọn B Xét tam giác ABC ta có: ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ A+ B +C = π ⇔ A+ B =π −C . ⇒ cos ( A + B ) = cos (π − C ) = − cos C .

 1 7 ⇒ sin 4 α + cos 4 α = ( sin 2 α + cos 2 α ) − 2sin 2 α cos 2 α = 1 − 2  −  =  4 8 7 sin 4 α + cos 4 α ⇒ tan 2 α + cot 2 α = = 8 2 = 14 sin 2 α cos2 α  1 −   4 2 2 Như vậy, tan α + cot α = 12 là kết quả sai. Câu 60. Chọn B 2

π  A = cos (α + 26π ) − 2sin (α − 7π ) − cos (1,5π ) − cos  α + 2003  + cos (α − 1,5π ) .cot (α − 8π ) 2  π π π    A = cos α − 2sin (α − π ) − cos   − cos( α −  + cos  α +  .cot α 2 2 2   A = cos α + 2 sin α − 0 − sin α − sin α .cot α = cos α + sin α − cos α = sin α . Chọn A A = 1 – sin 2 x .cot 2 x + 1 – cot 2 x = cot 2 x − cos 2 x + 1 − cot 2 x = sin 2 x .

cos 2 x (1 − cos 2 y ) − sin 2 y 2

sin x sin y

2 2 cos 2 x sin 2 y − sin 2 y sin y ( cos x − 1) = = −1 . 2 2 sin x sin y (1 − cos2 x ) sin 2 y

Câu 70.

Chọn C 2

Ta có C = 2 ( sin 4 x + cos4 x + sin 2 x cos 2 x ) – ( sin 8 x + cos8 x ) 2

2 2 = 2 ( sin 2 x + cos 2 x ) − sin 2 x cos 2 x  – ( sin 4 x + cos4 x ) − 2sin 4 x cos 4 x      2

2 2 = 2 1 − sin 2 x cos 2 x  – ( sin 2 x + cos 2 x ) − 2 sin 2 x cos 2 x  + 2sin 4 x cos 4 x   2

= 2 1 − sin 2 x cos 2 x  – 1 − 2 sin 2 x cos 2 x  + 2 sin 4 x cos4 x = 2 (1 − 2 sin 2 x cos 2 x + sin 4 x cos 4 x ) – (1 − 4 sin 2 x cos 2 x + 4sin 4 x cos 4 x ) + 2sin 4 x cos 4 x =1

1+ 7 5+ 7 ⇒ 3sin x + 2cos x = 4 4 1− 7 5− 7 ⇒ 3sin x + 2cos x = +) Với sin x = . 4 4 Câu 74. Chọn B A = a + 2b tan x + c tan 2 x A = a cos2 x + 2b sin x.cos x + c sin 2 x ⇔ cos 2 x 2   2b 2  2b  2b  ⇔ A (1 + tan 2 x ) = a + 2b tan x + c tan 2 x ⇔ A 1 +  = a + 2b + c      a−c  a−c  a −c    +) Với sin x =

. Câu 71. Chọn D

tan x + tan y A đúng vì VT = = tan x.tan y = VP 1 1 + tan x tany B đúng vì 2

(1 + sin a ) + (1 − sin a ) − 2 = 2 + 2sin 2 a − 2 = 4 tan 2 a = VP 1 + sin a 1 − sin a + −2= 1 − sin a 1 + sin a 1 − sin 2 a cos 2 a − sin 2 α − cos 2 α sin 2 α + cos 2 α 1 + cot 2 α C đúng vì VT = = = = VP . cos2 α − sin 2 α sin 2 α − cos 2 α 1 − cot 2 α Câu 72. Chọn D 98 98 Ta có sin 4 x − cos4 x = − A ⇔ cos 2 x = A − 81 81 98 1 2 1  98 1 1 1  98   4 4 5 ( sin x + cos x ) = + A ⇔ 1 − sin 2 x =  + A  ⇔ + cos 2 2 x =  + A  2 5  81 2 2 5  81 81  

Câu 75.

VT =

( a − c ) + ( 2b ) 2 (a − c)

⇔A

a ( a − c ) + 4b 2 ( a − c ) + c 4b 2

(a − c)

a ( a − c ) + 4b 2 a

( a − c)

(

a. ( a − c ) + 4b 2

( a − c)

) ⇔ A=a.

Chọn C Đặt cos 2 α = t ⇒

(1 − t )

t2 1 = b a+b

a ab ab ab ⇔ at 2 + bt 2 − 2bt + b = ⇔ ( a + b ) t 2 − 2bt + b = a+b a +b a +b b 2 ⇔ ( a + b ) t 2 − 2b ( a + b ) t + b2 = 0 ⇔ t = a +b b a ;sin 2 α = Suy ra cos 2 α = a+b a+b sin 8 α cos8 α a b 1 Vậy: + = + = . 4 4 3 a3 b3 + + + a b a b a ( ) ( ) ( b) 2

⇔ b (1 − t ) + at 2 =

98  2  98  2  98  392  ⇔ 1+  A −  =  A +  =  A −  + 81  5  81  5  81  405   13 t = 45 98 2 13 Đặt A − = t ⇒ t 2 − t + =0 ⇔  81 5 405 t = 1  9 13 607 ⇒ A= +) t = 45 405 1 107 +) t = ⇒ A = . 9 81 Câu 73. Chọn A 1 1 3 3 2 sin x + cos x = ⇒ ( sin x + cos x ) = ⇔ 2 sin x.cos x = − ⇒ sin x.cos x = − 2 4 4 8  1+ 7 sin x = 1 3 4 2 Khi đó sin x,cos x là nghiệm của phương trình X − X − = 0 ⇒  2 8  1− 7 sin x =  4 1 Ta có sin x + cos x = ⇒ 2 ( sin x + cos x ) = 1 2

( a − c ) + ( 2b ) 2 ( a − c)

⇔A

Câu 76.

Chọn C

 π  9π  A = cos α + cos  α +  + ... + cos  α +  5 5    9π   4π  5π        A =  cos α + cos  α +   + ... + cos  α +  + cos  α +  5  5  5        9π  9π 9π  7π 9π  π    + 2cos  α + + ... + 2 cos  α + A = 2cos  α +  cos  cos  cos 10  10 10  10 10  10    9π  9π 7π 5π 3π π   A = 2cos  α + + cos + cos + cos + cos   cos 10  10 10 10 10 10   9π   2π 9π  π π π π   A = 2cos  α + + 2cos cos + cos  ⇔ A = 2cos  α +  .0 = 0.   2 cos cos 10  10   2 5 2 5 2   Câu 77. Chọn A π 3π 5π 7π 1 − cos 1 − cos 1 − cos 1 − cos 4+ 4 + 4 + 4 = 2 − 1  cos π + cos 3π + cos 5π + cos 7π  A=   2 2 2 2 2 4 4 4 4  1 π 3π 3π π = 2 −  cos + cos − cos − cos  = 2. 2 4 4 4 4 Câu 78. Chọn D 18

2 sin 2550 .cos ( −188 ) 1 + tan 3680 2 cos 6380 + cos 980 2sin ( 300 + 7.3600 ) .cos ( 80 + 1800 ) 1 −2sin 300.cos 80 1 ⇔ A= + ⇔ A= + 0 0 0 0 0 0 0 tan 8 2 cos820 − sin 80 tan ( 8 + 360 ) 2 cos ( −82 + 2.360 ) + cos ( 90 + 8 ) 0

⇔ A=

1 2sin 300.cos80 1 2 sin 300.cos 80 − ⇔ A= − tan 80 2 cos ( 900 − 80 ) − sin 80 tan 80 2 sin 80 − sin 80

⇔ A = cot 80 −

Câu 79.

Chọn C

1.cos80 = cot 80 − cot 80 = 0 . sin 80

+) Ta có: A + B + C = π ⇔ B + C = π − A ⇔

B+C π A = − 2 2 2

A  B+C  π A cos   = cos  −  = sin nên ( I ) đúng 2  2  2 2 A+ B π C +) Tương tự ta có: = − 2 2 2 A+ B C C C A+ B C π C  = tan  −  = cot ⇔ tan tan .tan = cot .tan = 1 2 2 2 2 2 2 2 2 nên ( II ) đúng. +) Ta có A + B − C = π − 2C → cos ( A + B − C ) = cos (π − 2C ) = − cos ( 2C )

( I)

⇔ cos ( A + B − C ) + cos ( 2C ) = 0

nên ( III ) sai. Câu 80. Chọn B cos ( π − α ) = − cos α  sin  π + α  = cos α    2  ⇒ A = − cot α .sin α = − cos α Ta có   tan  3π − α  = tan π +  π − α   = tan  π − α  = cot α         2  2  2    sin ( 2π − α ) = − sin α

TOÁN 10

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Câu 5.

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? a +b a−b A. sin a − sin b = 2 cos sin . B. cos ( a − b ) = cos a cos b − sin a sin b . 2 2 C. sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b . D. 2 cos a cos b = cos ( a − b ) + cos ( a + b ) .

Câu 6.

Biểu thức

0D6-3

DẠNG 4. KẾT HỢP CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ............................................................................................. 7

DẠNG 5. MIN-MAX ....................................................................................................................................................... 9 DẠNG 6. NHẬN DẠNG TAM GIÁC ............................................................................................................................. 9 PHẦN B. LỜI GIẢI ....................................................................................................................................................... 12

Câu 7.

DẠNG 1. ÁP DỤNG CÔNG THỨC CỘNG ................................................................................................................. 12

sin ( a + b ) bằng biểu thức nào sau đây? (Giả sử biểu thức có nghĩa) sin ( a − b )

sin ( a + b )

sin a + sin b . sin a − sin b

sin ( a + b ) tan a + tan b = . sin ( a − b ) tan a − tan b

sin ( a − b )

A. sin 2 a. Câu 8.

DẠNG 6. NHẬN DẠNG TAM GIÁC ........................................................................................................................... 22

A. Câu 9.

DẠNG 1. ÁP DỤNG CÔNG THỨC CỘNG Câu 1.

Trong các công thức sau, công thức nào đúng? A. cos ( a − b ) = cos a.sin b + sin a.sin b . B. sin ( a − b ) = sin a.cos b − cos a.sin b .

Câu 3.

Trong các công thức sau, công thức nào đúng? tan a + tan b A. tan ( a − b ) = B. tan ( a – b ) = tan a − tan b. . 1 − tan a tan b tan a + tan b . C. tan ( a + b ) = D. tan ( a + b ) = tan a + tan b. 1 − tan a tan b Biểu thức sin x cos y − cos x sin y bằng A. cos ( x − y ) .

Câu 4.

Câu 10.

D. cos ( a + b ) = cos a.cos b + sin a.sin b .

C. sin ( a + b ) = sin a.cos b − cos a.sin b . Câu 2.

6+ 2 . 4

37π bằng 12 6− 2 . B. 4

B. cos ( x + y ) .

C. sin ( x − y ) .

D. sin ( y − x ) .

Câu 11.

Câu 12.

Đẳng thức nào sau đây là đúng. π 1  A. cos  α +  = cos α + . 3 2 

D. cos 2a = 1 − 2sin 2 a . 1

1 . 2

π 1  B. cos  α +  = sin α − 3 2  π 1  D. cos  α +  = cos α − 3 2 

Kết quả nào sau đây sai? π  A. sin x + cos x = 2 sin  x +  . 4  π  C. sin 2 x + cos 2 x = 2 sin  2 x −  . 4  Cho sin x =

2 . 7 −2 C. . 7 Câu 13.

6+ 2 . 4

2− 6 . 4 3 cos α . 2 3 sin α . 2

π  (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Cho tan α = 2 . Tính tan  α −  . 4  1 2 1 A. − . B. 1. C. . D. . 3 3 3

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. cos(a + b) = cos a cos b + sin a sin b . B. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b . C. sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b .

sin a − sin b . sin a + sin b

sin ( a + b ) cot a + cot b = . sin ( a − b ) cot a − cot b

C. –

π 3 1  C. cos  α +  = sin α − cos α . 3 2 2 

PHẦN A. CÂU HỎI

1 C. − . 2

B. cos 2a.

Giá trị của biểu thức cos

DẠNG 4. KẾT HỢP CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ........................................................................................... 18 DẠNG 5. MIN-MAX ..................................................................................................................................................... 21

sin ( a − b )

Rút gọn biểu thức: sin ( a – 17° ) .cos ( a + 13° ) – sin ( a + 13° ) .cos ( a – 17° ) , ta được:

DẠNG 2. ÁP DỤNG CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI – HẠ BẬC ...................................................................................... 15 DẠNG 3. ÁP DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH ............................... 16

sin ( a + b )

Cho sin α =

π  B. sin x − cos x = − 2 cos  x +  . 4  π  D. sin 2 x + cos 2 x = 2 cos  2 x −  . 4 

3 π π  với < x < π khi đó tan  x +  bằng. 5 2 4  −1 B. . 7 1 D. . 7 1 π π  với 0 < α < . Giá trị của cos  α +  bằng 2 3 3  2

A. Câu 14.

2− 6 . 2 6

Cho hai góc α , β thỏa mãn sin α =

đúng của cos (α − β ) . 16 A. . 65 Câu 15.

6 − 3.

1 1 − . 6 2

6−

1 . 2

5 π 3  π  ,  < α < π  và cos β = ,  0 < β <  . Tính giá trị 13  2  5  2

18 B. − . 65

18 C. . 65

16 D. − . 65

3  π 3π  (THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Cho sin α = , α ∈  ;  . Tính giá trị 5 2 2  21π   cos  α − ? 4   −7 2 − 2 2 7 2 A. . B. . C. . D. . 10 10 10 10

Câu 16. Biểu thức M = cos ( –53° ) .sin ( –337° ) + sin 307°.sin113° có giá trị bằng:

1 A. − . 2

1 . 2

C. −

3 . 2

Câu 17. Rút gọn biểu thức: cos 54°.cos 4° – cos 36°.cos 86° , ta được: A. cos 50°. B. cos 58°. C. sin 50°.

3 . 2

3 3 Câu 23. Cho cos a = ; sin a > 0 ; sin b = ; cos b < 0 . Giá trị của cos ( a + b ) . bằng: 4 5 3 7 3 7 3 7 3 7 A. 1 + B. − 1 + C. 1 − D. − 1 − . . . . 5 4  5 4  5 4  5 4 

b 1 b   a  3 a  Câu 24. Biết cos  a −  = và sin  a −  > 0 ; sin  − b  = và cos  − b  > 0 . Giá trị cos ( a + b ) 2 2 2   2  5 2  bằng: 24 3 − 7 7 − 24 3 22 3 − 7 7 − 22 3 . . . . A. B. C. D. 50 50 50 50 Câu 25. Rút gọn biểu thức: cos (120° – x ) + cos (120° + x ) – cos x ta được kết quả là A. 0. B. – cos x. C. –2 cos x. D. sin x – cos x.

3 3 Câu 26. Cho sin a = ; cos a < 0 ; cos b = ; sin b > 0 . Giá trị sin ( a − b ) bằng: 5 4 1 9 1 9 1 9 1 9 A. −  7 +  . B. −  7 −  . C.  7 +  . D.  7 −  . 5 4 5 4 5 4 5 4 Câu 27. Biết α + β + γ =

cot α .cot γ bằng: A. 2.

D. sin 58°.

1 3 Câu 18. Cho hai góc nhọn a và b với tan a = và tan b = . Tính a + b . 7 4 A.

π 3

π 4

π 6

3 1 Câu 19. Cho x, y là các góc nhọn, cot x = , cot y = . Tổng x + y bằng: 4 7 π 3π π . A. . B. C. . 4 4 3

= 4 tan

2 3sin α . A. 5 − 3cos α

α 2

thì tan

β −α

Câu 28.

D. π .

C. 3

3cos α . 5 − 3cos α

B. –2.

C. 3.

D. –3.

Đẳng thức nào không đúng với mọi x ? 1 + cos 6 x . B. cos 2 x = 1 − 2sin 2 x . 2 1 + cos 4 x . C. sin 2 x = 2sin x cos x . D. sin 2 2 x = 2

Câu 29. Trong các công thức sau, công thức nào sai? 2 tan x cot 2 x − 1 A. cot 2 x = . B. tan 2 x = . 2 cot x 1 + tan 2 x 3 C. cos3x = 4cos x − 3cos x . D. sin 3x = 3sin x − 4sin 3 x

3 sin (α + β ) −

4cos (α + β )

sin α 3 D. . 5

Câu 30. Trong các công thức sau, công thức nào sai? A. cos 2a = cos2 a – sin 2 a. B. cos 2a = cos2 a + sin 2 a. C. cos 2a = 2cos 2 a –1. D. cos 2a = 1 – 2sin 2 a. Câu 31.

Mệnh đề nào sau đây đúng? A. cos 2a = cos2 a − sin2 a . B. cos 2a = cos2 a + sin2 a . 2 2 C. cos 2a = 2 cos a + 1 . D. cos 2a = 2 sin a − 1 .

Câu 32.

Cho góc lượng giác a . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai? A. cos 2a = 1 − 2 sin 2 a . B. cos 2 a = cos 2 a − sin 2 a . C. cos 2a = 1 − 2 cos 2 a . D. cos 2a = 2 cos 2 a − 1 .

Câu 33.

(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Khẳng định nào dưới đây SAI?

bằng:

2 3sin α . B. 5 + 3cos α

và cot α , cot β , cot γ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tích số

A. cos 2 3 x =

Câu 21. Biết sin β =

Câu 22. Nếu tan

DẠNG 2. ÁP DỤNG CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI – HẠ BẬC

2π . D. 3

π  π  Câu 20. Biểu thức A = cos2 x + cos 2  + x  + cos 2  − x  không phụ thuộc x và bằng: 3  3  3 4 3 2 A. . B. . C. . D. . 4 3 2 3 4 π , 0< β < và α ≠ kπ . Giá trị của biểu thức: A = 5 2 không phụ thuộc vào α và bằng 5 3 5 . . A. B. C. . 3 5 3

3cos α . 5 + 3cos α

A. B. C. D. Câu 34.

Câu 35.

Câu 36.

2 sin 2 a = 1 − cos 2a . cos 2a = 2 cos a − 1. sin 2a = 2sin a cos a . sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b.cos a .

Câu 44.

4  π  Cho cos x = , x ∈  − ;0  . Giá trị của sin 2x là 5  2  24 24 1 A. . B. − . C. − . 25 25 5

3 . 4

1 thì sin2x bằng 2 3 B. . 8

2 . 2

1 . 5

Câu 45.

−3 . 4

Câu 46.

Câu 38.

3 Cho sin 2α = . Tính giá trị biểu thức A = tan α + cot α 4 4 2 8 A. A = . B. A = . C. A = . 3 3 3

Câu 47.

16 D. A = . 3

1 1 Cho a , b là hai góc nhọn. Biết cos a = , cos b = . Giá trị của biểu thức cos ( a + b ) cos ( a − b ) 3 4 bằng 119 115 113 117 A. − . B. − . C. − . D. − . 144 144 144 144

(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Cho số thực

thỏa mãn

1 sin α = . Tính 4

( sin 4α + 2 sin 2α ) cos α 25 A. . 128

1 B. . 16

255 C. . 128

Câu 41. Cho cot a = 15 , giá trị sin 2a có thể nhận giá trị nào dưới đây: 11 13 15 A. B. C. . . . 113 113 113

225 D. . 128 17 D. . 113

DẠNG 3. ÁP DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH

Câu 42.

Câu 43.

Mệnh đề nào sau đây sai? 1 A. cos a cos b = cos ( a − b ) + cos ( a + b )  . 2 1 C. sin a sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b )  . 2 Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? 5

1 sin ( a − b ) − cos ( a + b )  . 2 1 D. sin a cos b = sin ( a − b ) + sin ( a + b )  . 2

B. sin a cos b =

Rút gọn biểu thức A =

A. A = cot 6 x . C. A = cot 2 x .

Biết rằng sin 6 x + cos 6 x = a + b sin 2 2 x , với a , b là các số thực. Tính T = 3a + 4 b . A. T = −7 . B. T = 1 . C. T = 0 . D. T = 7 .

Câu 40.

Công thức nào sau đây là sai? a+b a −b . .cos 2 2 a +b a −b C. sin a + sin b = 2 sin . .cos 2 2

a+b a −b . .sin 2 2 a +b a −b D. sin a − sin b = 2 sin . .cos 2 2

A. cos a + cos b = 2 cos

D. sin 2 x = 2 sin x .

Câu 37.

Câu 39.

B. cos a.cos b =

C. sin( a − b ) = sin a.cos b − sin b.cos a .

Chọn đáo án đúng. A. sin 2 x = 2 sin x cos x . B. sin 2 x = sin x cos x . C. sin 2 x = 2 cos x .

Nếu sinx + cos x =

1 [cos (a + b ) + cos (a − b )] . 2 D. cos a + cos b = 2cos ( a + b ).cos ( a − b) .

A. cos (a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b .

Câu 48.

sin 3x + cos 2 x − sin x (sin 2 x ≠ 0; 2 sin x + 1 ≠ 0 ) ta được: cos x + sin 2 x − cos 3x B. A = cot 3x . D. A = tan x + tan 2 x + tan 3x .

π  π  Rút gọn biểu thức P = sin  a +  sin  a −  . 4  4  3 1 A. − cos 2a . B. cos 2a . 2 2 2 1 C. − cos 2a . D. − cos 2a . 3 2 Biến đổi biểu thức sin α − 1 thành tích. π  π  A. sin α − 1 = 2sin  α −  cos  α +  . 2 2   π  π  C. sin α − 1 = 2sin  α +  cos  α −  . 2 2   Rút gọn biểu thức P =

A. P = tan a . Câu 49.

B. cos a − cos b = −2sin

α π  α π  B. sin α − 1 = 2sin  −  cos  +  . 2 4 2 4 α π  α π  D. sin α − 1 = 2sin  +  cos  −  . 2 4 2 4

cos a + 2 cos 3a + cos 5a . sin a + 2 sin 3a + sin 5a B. P = cot a . C. P = cot 3a .

(THPT Phan Bội Châu P = sin 30o.cos 60o + sin 60o.cos 30o . A. P = 1 . B. P = 0 .

KTHK

1-17-18)

C. P = 3 .

A. 2

(

Câu 52. Biểu thức A = A. 1.

)

6− 3 .

π 24

7π bằng: 24 B. 2 6 + 3 .

trị

giá

biểu

D. P = − 3 .

2π 4π 6π Câu 50. Giá trị đúng của cos + cos + cos bằng: 7 7 7 1 1 1 A. . B. − . C. . 2 2 4 Câu 51. Giá trị đúng của tan

D. P = tan 3a . Tính

1 D. − . 4

+ tan

(

)

C. 2

(

1 − 2sin 700 có giá trị đúng bằng: 2sin100 B. –1. C. 2.

Câu 53. Tích số cos10°.cos 30°.cos 50°.cos 70° bằng: 1 1 . A. B. . 16 8 6

3 . 16

)

3− 2 .

D. 2

(

D. –2. D.

1 . 4

)

3+ 2 .

thức

π 4π 5π Câu 54. Tích số cos .cos bằng: .cos 7 7 7 1 1 A. . B. − . 8 8

Câu 63. C.

1 . 4

1 D. − . 4

tan 30° + tan 40° + tan 50° + tan 60° Câu 55. Giá trị đúng của biểu thức A = bằng: cos 20° 2 4 6 8 A. B. C. D. . . . . 3 3 3 3 1 1 Câu 56. Cho hai góc nhọn a và b . Biết cos a = , cos b = . Giá trị cos ( a + b ) .cos ( a − b ) bằng: 3 4 113 115 117 119 . . . . A. − B. − C. − D. − 144 144 144 144 Câu 57. Rút gọn biểu thức A = A. A = tan 6 x. C. A = tan 2 x.

sin x + sin 2 x + sin 3 x cos x + cos 2 x + cos3 x B. A = tan 3 x. D. A = tan x + tan 2 x + tan 3 x.

Câu 58. Biến đổi biểu thức sin a + 1 thành tích. a π  a π  A. sin a + 1 = 2sin  +  cos  −  . 2 4 2 4 π  π  C. sin a + 1 = 2sin  a +  cos  a −  . 2 2  

DẠNG 4. KẾT HỢP CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Câu 59.

Cho góc α thỏa mãn

1 A. A = . 3 Câu 60.

Câu 61.

π 2

< α < π và sin

α 2

1 B. A = − . 3

2 α π  .Tính giá trị của biểu thức A = tan  −  . 5 2 4

C. A = 3 .

1 π  Cho cos x =  − < x < 0  . Giá trị của tan 2x là 3 2  5 4 2 5 A. . B. . C. − . 2 7 2

π π   Cho cos x = 0 . Tính A = sin 2  x −  + sin 2  x +  . 6 6   3 A. . B. 2. C. 1. 2

D. A = −3 .

+ kπ , α ≠ + lπ , ( k , l ∈ ℤ ) . Ta có 2 2 A. tan (α + β ) = 2 cot α . B. tan (α + β ) = 2 cot β .

Câu 64.

Biết rằng

cos ( ax ) 1 2.tan x + = ( a, b ∈ ℝ ) . Tính giá trị của biểu thức cos 2 x − s in 2 x 1 − tan 2 x b − sin ( ax )

P = a +b . A. P = 4 .

B. P = 1 .

C. P = 2 .

2 Câu 65. Cho cos 2α = . Tính giá trị của biểu thức P = cos α .cos 3α . 3 7 7 5 A. P = . B. P = . C. P = . 18 9 9

3π  π   Cho tan x = 2  π < x <  . Giá trị của sin  x +  là 2  3   2− 3 2+ 3 2+ 3 A. B. − C. . . . 2 5 2 5 2 5

Câu 67. Tổng A = tan 9° + cot 9° + tan15° + cot15° – tan 27° – cot 27° bằng: A. 4. B. –4. C. 8.

D. P = 3 .

5 . 18

−2 + 3

2 5

D. –8.

2 cos 2 2α + 3 sin 4α − 1 có kết quả rút gọn là: 2sin 2 2α + 3 sin 4α − 1 cos ( 4α + 30° ) cos ( 4α − 30°) sin ( 4α + 30° ) . . . A. B. C. cos ( 4α − 30°) cos ( 4α + 30° ) sin ( 4α − 30°)

Câu 69. Biểu thức A =

sin ( 4α − 30°) sin ( 4α + 30° )

sin 9° sin12° = . sin 48° sin 81° 1 1 4 D. + = . cos 290° 3 sin 250° 3

A. sin 33° + cos 60° = cos 3°. 4 2 D. − . 7

1 . 4

1 1 Câu 68. Cho hai góc nhọn a và b với sin a = , sin b = . Giá trị của sin 2 ( a + b ) là: 3 2 2 2 +7 3 3 2 +7 3 4 2 +7 3 5 2 +7 3 . . . . A. B. C. D. 18 18 18 18

Câu 70. Kết quả nào sau đây SAI?

2 Câu 62. (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Cho biết cosα = − . Giá trị của biểu thức 3 cot α + 3 tan α bằng bao nhiêu? P= 2 cot α + tan α 19 25 25 19 A. P = . B. P = . C. P = − . D. P = − . 13 13 13 13 7

C. tan (α + β ) = 2 tan β .D. tan (α + β ) = 2 tan α .

Câu 66.

a π  a π  B. sin a + 1 = 2 cos  +  sin  −  . 2 4 2 4 π  π  D. sin a + 1 = 2cos  a +  sin  a −  . 2  2 

Cho sin α .cos (α + β ) = sin β với α + β ≠

C. cos 20° + 2 sin 2 55° = 1 + 2 sin 65°.

5sin α = 3sin (α + 2 β ) Câu 71. Nếu thì: A. tan (α + β ) = 2 tan β . B. tan (α + β ) = 3 tan β .

C. tan (α + β ) = 4 tan β . D. tan (α + β ) = 5 tan β . Câu 72. Cho biểu thức A = sin 2 ( a + b ) – sin 2 a – sin 2 b. Hãy chọn kết quả đúng: A. A = 2 cos a.sin b.sin ( a + b ) .

B. A = 2 sin a.cos b.cos ( a + b ) .

C. A = 2 cos a.cos b.cos ( a + b ) .

D. A = 2 sin a.sin b.cos ( a + b ) .

Câu 73. Xác định hệ thức SAI trong các hệ thức sau: 8

cos ( 40° − α ) . cos α 6 . B. sin15° + tan 30°.cos15° = 3 2 C. cos x – 2 cos a.cos x.cos ( a + x ) + cos 2 ( a + x ) = sin 2 a.

Câu 84. Cho A , B , C là ba là các góc nhọn và tan A =

A. cos 40° + tan α .sin 40° =

DẠNG 5. MIN-MAX

Câu 74.

Giá trị nhỏ nhất của sin 6 x + cos 6 x là 1 B. . A. 0. 2

Câu 86. C.

Câu 75. Giá trị lớn nhất của M = sin 4 x + cos 4 x bằng: B. 1. A. 4 .

1 . 4

C. 2 .

1 . 8

D. M ≤ 5 .

Câu 77. Giá trị lớn nhất của M = sin 6 x − cos 6 x bằng: A. 2 . B. 3

D. 1.

Câu 78. Cho biểu thức M =

1 + tan x

(1 + tan x )

C. 0 .

π π   ,  x ≠ − + kπ , x ≠ + kπ , k ∈ ℤ  , mệnh đề nào trong các mệnh 4 2  

đề sau đúng? A. M ≤ 1 .

B. M ≥

1 . 4

1 ≤ M ≤ 1. 4

D. M < 1 .

Câu 79. Cho M = 6 cos 2 x + 5 sin 2 x . Khi đó giá trị lớn nhất của M là A. 11 . B. 1. C. 5 .

D. 6 .

Câu 80. Giá trị lớn nhất của biểu thức M = 7 cos x − 2 sin x là A. −2 . B. 5 . C. 7 .

D. 16 .

DẠNG 6. NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Câu 81. Cho A, B , C là các góc của tam giác ABC thì. A. sin 2 A + sin 2B > 2sin C . B. sin 2 A + sin 2B ≤ 2sin C . C. sin 2 A + sin 2B ≥ 2sin C . D. sin 2 A + sin 2B = 2sin C . Câu 82. Một tam giác ABC có các góc A, B , C thỏa mãn sin

A B B A cos 3 − sin cos 3 = 0 thì tam giác đó 2 2 2 2

có gì đặc biệt? A. Tam giác đó vuông. B. Tam giác đó đều. C. Tam giác đó cân. D. Không có gì đặc biệt.

Câu 83. Cho A , B , C là các góc của tam giác ABC (không là tam giác vuông) thì cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A bằng : 2 A. ( cot A.cot B.cot C ) . B. Một kết quả khác các kết quả đã nêu trên. C. 1. D. −1 . 9

π 4

π 3

π 6

A , B , C , là ba góc của một tam giác. Hãy tìm hệ thức sai:

A. sin A = − sin ( 2 A + B + C ) . C. cos C = sin

D. 3 .

Câu 76. Cho M = 3sin x + 4cosx . Chọn khẳng định đúng. A. −5 ≤ M ≤ 5 . B. M > 5 . C. M ≥ 5 .

Câu 85. Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC, khi đó. C C  A+ B   A+ B  A. cot   = cot . B. cos   = cos . 2 2  2   2  C C  A+ B   A+ B  C. cos  D. tan   = − cos .  = cot . 2 2  2   2 

D. sin x + 2 sin ( a – x ) .sin x.cos a + sin ( a – x ) = cos a. 2

1 1 1 ; tan B = , tan C = . Tổng A + B + C bằng 2 5 8

A + B + 3C . 2

sin A = − cos

3A + B + C 2 .

D. sin C = sin ( A + B + 2C ) .

Câu 87. Cho A , B , C là các góc của tam giác ABC (không phải tam giác vuông) thì: A. tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C . C. tan A + tan B + tan C = − tan A.tan B.tan C .

A B C . tan .tan . 2 2 2 A B C D. tan A + tan B + tan C = tan .tan .tan . 2 2 2

B. tan A + tan B + tan C = − tan

Câu 88. Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC, khi đó. C C  A+ B   A+ B  A. sin   = cos . B. sin   = − cos . 2 2  2   2  C C  A+ B   A+ B  C. sin   = sin . D. sin   = − sin . 2 2  2   2  Câu 89. Nếu a = 2b và a + b + c = π . Hãy chọn kết quả đúng. A. sin b ( sin b + sin c ) = sin 2a . B. sin b ( sin b + sin c ) = sin 2 a . C. sin b ( sin b + sin c ) = cos2 a .

D. sin b ( sin b + sin c ) = cos 2a .

Câu 90. Cho A , B , C là các góc của tam giác ABC thì: A. sin 2 A + sin 2B + sin 2C = 4sin A.sin B.sin C . B. sin 2 A + sin 2B + sin 2C = 4 cos A.cos B.cos C . C. sin 2 A + sin 2B + sin 2C = −4cos A.cos B.cos C . D. sin 2 A + sin 2B + sin 2C = 4sin A.sin B.sin C . Câu 91.

A , B , C , là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ hệ thức sai:

3A  4A+ B + C  . A. cot   = − tan 2 2    A + B − 3C  C. sin   = cos 2C . 2  

 A − 2B + C  B. cos   = − sin B . 2   5C  A + B + 6C  D. tan  .  = − cot 2 2  

Câu 92. Biết A, B , C là các góc của tam giác ABC khi đó. A. cos C = cos ( A + B ) . B. tan C = tan ( A + B ) . C. cot C = − cot ( A + B ) . D. sin C = − sin ( A + B ) . Câu 93. Cho A, B , C là các góc của tam giác cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A bằng 10

ABC

(không là tam giác vuông) thì

A. Một kết quả khác các kết quả đã nêu trên. B. 1. 2 C. −1 . D. ( cot A.cot B.cot C ) .

B. tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C . C. cot A + cot B + cot C = cot A.cot B.cot C . A B B C C A D. tan .tan + tan . tan + tan .tan = 1. 2 2 2 2 2 2

Câu 94. Cho A , B , C là các góc của tam giác ABC (không phải tam giác vuông) thì: A B C A B C A B C A B C A. cot + cot + cot = cot .cot .cot . B. cot + cot + cot = − cot .cot .cot . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C C. cot + cot + cot = cot A.cot B.cot C . D. cot + cot + cot = − cot A.cot B.cot C . 2 2 2 2 2 2 Câu 95. Cho A , B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau. A. cos2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 + cos A.cos B.cos C. B. cos2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 – cos A.cos B.cos C. C. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 + 2cos A.cos B.cos C. D. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 – 2cos A.cos B.cos C. Câu 96. Hãy chỉ ra công thức sai, nếu A, B , C là ba góc của một tam giác. B C B C A B. cos B.cos C − sin B.sin C + cos A = 0 . A. cos cos − sin sin = sin . 2 2 2 2 2 B C C C A C. sin cos + sin cos = cos . 2 2 2 2 2 D. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C − 2 cos A cos B cos C = 1 . Câu 97.

Câu 98.

sin B + s inC . Khẳng định nào dưới đây đúng? cos B + cos C A. Tam giác ABC vuông tại A . B. Tam giác ABC cân tại A . C. Tam giác ABC đều. D. Tam giác ABC là tam giác tù.

PHẦN B. LỜI GIẢI

Câu 1. Câu 2.

Câu 3. Câu 4. Câu 5.

Cho tam giác ABC có sin A =

1 13 − ( 2cos 2B + 4sin B ) + ≤ 0 với A, B, C là ba góc của 64cos4 A 4 tam giác ABC .Khẳng định đúng là: A. B + C = 120o . B. B + C = 130o . C. A + B = 120o . D. A + C = 140o .

Câu 6.

Câu 7.

1 1 1 , tan B = , tan C = . Tổng A + B + C bằng: 2 5 8 C.

Câu 100. Cho A , B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức SAI. A + B + 3C A. sin = cos C. B. cos ( A + B – C ) = – cos 2C . 2 A + B − 2C 3C A + B + 2C C = cot = tan . . C. tan D. cot 2 2 2 2

Câu 9.

Câu 8.

Câu 101. Cho A , B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức SAI. A+ B C A. cos = sin . B. cos ( A + B + 2C ) = – cos C. 2 2 C. sin ( A + C ) = – sin B. D. cos ( A + B ) = – cos C. Câu 102. Cho A , B , C là ba góc của một tam giác không vuông. Hệ thức nào sau đây SAI? B C B C A A. cos cos − sin sin = sin . 2 2 2 2 2 11

Chọn

C. sin ( a + b )

sin a cos b + cos a sin b = (Chia cả tử và mẫu cho cos a cos b ) sin ( a − b ) sin a cos b − cos a sin b tan a + tan b = . tan a − tan b Chọn C. Ta có: sin ( a –17°) .cos ( a + 13°) – sin ( a + 13° ) .cos ( a –17° ) = sin ( a − 17° ) − ( a + 13° ) Ta có :

Cho bất đẳng thức cos2 A +

Câu 99. Cho A , B , C là các góc nhọn và tan A =

DẠNG 1. ÁP DỤNG CÔNG THỨC CỘNG Chọn D Công thức cộng: sin ( a − b ) = sin a.cos b − cos a.sin b Chọn B. tan a + tan b Ta có tan ( a + b ) = . 1 − tan a tan b Chọn C Áp dụng công thức cộng lượng giác ta có đáp án. C. Chọn A. Ta có công thức đúng là: cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b . Chọn B Câu A, D là công thức biến đổi đúng Câu C là công thức cộng đúng Câu B sai vì cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b .

1 = sin ( −30° ) = − . 2 Chọn C. 37π π  π    π  π π  = cos  2π + π +  = cos  π +  = − cos   = − cos  −  cos 12 12  12     12  3 4 + π π π π 6 2   = −  cos .cos + sin .sin  = − . 3 4 3 4 4  Chọn D π π π 1 3 Ta có cos  α +  = cos α . cos − sin α . sin = cos α − sin α . 

Câu 10.

3

Chọn D

π  tan α − tan 4 2 − 1 1  Ta có tan  α −  = = = . 4  1 + tan α tan π 1 + 2 3  4 Câu 11. Chọn C 12

1  1  Ta có sin 2 x + cos 2 x = 2  sin 2 x + cos 2 x  2  2  π π   = 2  cos sin 2 x + sin cos 2 x  4 4   π π   = 2 sin  2 x +  ≠ 2 sin  2 x −  4 4   Câu 12. Chọn D

Ta có :

Câu 20.

9 4 =± . 25 5 π 4 sin x 3 =− . Vì < x < π nên cos x = − do đó tan x = 2 5 cos x 4 3 π − +1 π  tan x + tan 4 1  Ta có: tan  x +  = = 4 = . 3 π 4 7   1 − tan x.tan 1+ 4 4 Câu 13. Chọn A 2 6 1 Ta có: sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇔ cos2 α = ⇔ cos α = (vì 0 < α < nên cos α > 0 ). 3 3 2 π 1 3 1 6 3 1 1 1 2− 6  sin α = ⋅ − ⋅ = − = Ta có: cos  α +  = cos α − . 3 2 2 2 3 2 3 6 2 2 6  Câu 14. Chọn D 2

5 π 12 5  ,  < α < π  nên cos α = − 1 −   = − . 13  2  13  13  2

3 4 π 3 cos β = ,  0 < β <  nên sin β = 1 −   = . 5  2 5 5 12 3 5 4 16 cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β = − . + . = − . 13 5 13 5 65 Câu 15. Chọn A 16 4 −4  π 3π  Ta có: cos 2 α = 1 − sin 2 α = ⇔ cos α = ± .Do α ∈  ;  ⇒ cos α < 0 nên cos α = 5 . 25 5 2 2  21π  21π 21π −4  − 2  3  − 2  2  Vậy: cos  α − . = cos α cos + sin α sin =  +  = 4  4 4 5  2  5  2  10  Câu 16. Chọn A. M = cos ( –53° ) .sin ( –337° ) + sin 307°.sin113° = cos ( –53° ) .sin ( 23° – 360° ) + sin ( −53° + 360° ) .sin ( 90° + 23° ) = cos ( –53° ) .sin 23° + sin ( −53° ) .cos 23° = sin ( 23° − 53° ) = − sin 30° = −

Câu 17.

1 . 2

Chọn D. Ta có: cos 54°.cos 4° – cos 36°.cos 86° = cos 54°.cos 4° – sin 54°.sin 4° = cos 58°. Câu 18. Chọn B. tan a + tan b π tan ( a + b ) = = 1 , suy ra a + b = 1 − tan a.tan b 4 Câu 19. Chọn C. 13

Chọn Ta có :

Từ sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ cos x = ± 1 − sin 2 x = ± 1 −

sin α =

4 +7 3π tan x + tan y . = 3 = −1 , suy ra x + y = 1 − tan x.tan y 1 − 4 .7 4 3 C.

tan ( x + y ) =

2  3   3  1 1 π  π  A = cos 2 x + cos 2  + x  + cos2  − x  = cos 2 x +   2 cos x − 2 sin x  +  2 cos x + 2 sin x  3  3      3 = . 2 Câu 21. Chọn B. 4 cos (α + β ) π  3 sin (α + β ) − 0 < β < 2 3 5 3 . Ta có  ⇒ cos β = , thay vào biểu thức A = = sin α 5 3 sin β = 4  5 Câu 22. Chọn A. Ta có: β α α α α tan − tan 3 tan 3sin .cos β −α 2 2 2 2 2 = 3sin α . = = = tan β α α α 2 5 − 3cos α 1 + tan . tan 1 + 4 tan 2 1 + 3sin 2 2 2 2 2 Câu 23. Chọn A. Ta có : 3  7 cos a = 2 . 4 ⇒ sin a = 1 − cos a =  4 sin a > 0

3  4 sin b = 2 5 ⇒ cos b = − 1 − sin b = − .  5 cos b < 0

3  4 7 3 3 7 cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b = .  −  − . = − 1 + . 4  5 4 5 5 4  Câu 24. Chọn A. Ta có :   b 1 cos  a − 2  = 2 b b 3      . ⇒ sin  a −  = 1 − cos 2  a −  =  2 2 2 b       sin a − > 0    2  a  3 sin  2 − b  = 5    a  a  4 ⇒ cos  − b  = 1 − sin 2  − b  = .  2  2  5 cos  a − b     2 

cos

a+b b b a  a    1 4 3 3 3 3+4 = = cos  a −  cos  − b  + sin  a −  sin  − b  = . + . . 2 2 2  2 10  2    2 5 5 2 14

cos ( a + b ) = 2 cos 2 Câu 25.

Chọn

Câu 37.

a+b 24 3 − 7 −1 = . 2 50

Chọn C

(

)

(

Ta có sin 6 x + cos6 x = sin 2 x + cos2 x − 3sin 2 x.cos2 x sin 2 x + cos 2 x

1 3 1 3 sin x − cos x + sin x − cos x = −2 cos x cos (120° – x ) + cos (120° + x ) – cos x = − cos x + 2 2 2 2 Câu 26. Chọn A. Ta có : 3  4 sin a = 2 5 ⇒ cos a = − 1 − sin a = − .  5 cos a < 0 3  7 cos b = 2 . 4 ⇒ sin b = 1 − cos b =  4 sin b > 0 3 3  4 7 1 9 sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b = . −  −  . =  7 + . 5 4  5 4 5 4 Câu 27. Chọn C. Ta có : π cot α + cot γ 2 cot β tan α + tan γ α + β + γ = , suy ra cot β = tan (α + γ ) = = = 2 1 − tan α tan γ cot α cot γ − 1 cot α cot γ − 1 ⇒ cot α cot γ = 3. DẠNG 2. ÁP DỤNG CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI – HẠ BẬC Chọn D 1 − cos 4 x Ta có sin 2 2 x = . 2 Câu 29. Chọn B. 2 tan x Công thức đúng là tan 2 x = . 1 − tan 2 x Câu 30. Chọn B. Ta có cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a. Câu 31. Chọn A Câu 32. Lờigiải Chọn C Ta có: cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 1 − 2sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 . Câu 33. Chọn B Có cos 2a = 2 cos 2 a − 1 nên đáp án B sai. Câu 34. Chọn A Câu 35. Chọn B 16 9 3  π  = ⇒ sin x = − vì x ∈  − ;0  ⇒ sin x < 0 . Ta có sin 2 x = 1 − cos2 x = 1 − 25 25 5  2  4  3 24 Vậy sin 2 x = 2sin x.cos x = 2. .  −  = − . 5  5 25 Câu 36. Chọn D 1 1 −3 Ta có sinx + cos x = ⇔ sin 2 x + 2sin x cos x + cos2 x = ⇔ sin 2 x = 2 4 4

Câu 28.

)

3 = 1 − 3sin x.cos x = 1 − sin 2 2 x . 4 3 Vậy a = 1, b = − . Do đó T = 3a + 4 b = 0 . 4 Câu 38. Chọn C sin α cos α sin 2 α + cos 2 α 1 1 8 A = tan α + cot α = + = = = = . 1 1 3 3 cos α sin α sin α cos α sin 2α . 2 2 4 Câu 39. Chọn A 1 7 Từ cos a = ⇒ cos 2 a = 2 cos 2 a − 1 = − 3 9 1 7 cos b = ⇒ cos 2b = 2 cos 2 b − 1 = − 4 8 1 1 7 7 119 . Ta có cos ( a + b ) cos ( a − b ) = ( cos 2a + cos 2b ) =  − −  = − 2 2 9 8 144 Câu 40. Ta có ( sin 4α + 2 sin 2α ) cos α = 2 sin 2α ( cos 2α + 1) cos α = 4sin α cos α (1 − 2sin 2 α + 1) cos α 2

2 1  1 225  = 4sin α (1 − sin 2 α )( 2 − 2sin 2 α ) = 8 (1 − sin 2 α ) sin α = 8 1 −  . = .  16  4 128 Câu 41. Chọn C. 1  2 sin a = 226 1 15 = 226 ⇒  ⇒ sin 2a = ± . cot a = 15 ⇒ sin 2 a 113 cos 2 a = 225  226

Câu 42.

Câu 43.

Câu 44.

Câu 45.

Câu 46.

Câu 47.

DẠNG 3. ÁP DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH Chọn B 1 Ta có sin a cos b = sin ( a + b ) + sin ( a − b )  . 2 Chọn D a+b a −b Ta có: cos a + cos b = 2cos .cos . 2 2 Chọn D a +b a −b Ta có sin a − sin b = 2 cos .sin . 2 2 Chọn C sin 3x + cos 2 x − sin x 2 cos 2 x sin x + cos 2 x cos 2 x(1 + 2 sin x) A= = = = cot 2 x . cos x + sin 2 x − cos 3x 2 sin 2 x sin x + sin 2 x sin 2 x(1 + 2 sin x ) Chọn D π   π  1 π 1   Ta có: sin  a +  sin  a −  =  cos − cos 2a  = − cos 2a . 4  4 2 2 2   Chọn B

sin α − 1 = sin α − sin

α+ = 2 cos

π 2 sin

α−

sin 70° sin110° tan 30° + tan 40° + tan 50° + tan 60° cos 30°.cos 40° + cos 50°.cos 60° = cos 20° cos 20°  cos50° + 3 cos 40°  1 1 2 2 = + = 2  = +  cos30°.cos 40° cos 50°.cos 60° 3 cos 40° cos 50°  3 cos 40°.cos 50° 

2 = 2cos  α + π  sin  α − π  .     2 2 4 2 4

2 2 Chọn C cos a + 2 cos 3a + cos 5a 2 cos 3a cos a + 2 cos 3a P= = sin a + 2 sin 3a + sin 5a 2 sin 3a cos a + 2 sin 3a 2 cos 3a ( cos a + 1) cos 3a = = = cot 3a . 2 sin 3a ( cos a + 1) sin 3a Câu 49. Chọn A Ta có P = sin ( 30o + 60 o ) = sin 90o = 1 .

Câu 48.

Câu 50.

Chọn

 sin 40° + 3 cos 40°  sin100° 8cos10° 8 = 2  . = =  = 4 3 3 cos10° 3  3 cos 40°.cos50°  ( cos10° + cos 90° ) 2 Câu 56. Chọn D. Ta có :

2π 4π 6π  sin  cos + cos + cos  2π 4π 6π 7 7 7 7  Ta có cos + cos + cos = π 7 7 7 sin 7 3π 5π  π  π  3π   5π  sin + sin  −  + sin + sin  −  + sin π + sin  −  sin  −  7 7  7  =−1.  7  7   7  = = π π 2 2sin 2sin 7 7 Câu 51. Chọn A.

cos ( a + b ) .cos ( a − b ) =

π

Câu 57.

Chọn C. Ta có : sin x + sin 2 x + sin 3x 2sin 2 x.cos x + sin 2 x sin 2 x ( 2 cos x + 1) = tan 2 x. = A= = cos x + cos 2 x + cos3x 2 cos 2 x.cos x + cos 2 x cos 2 x ( 2cos x + 1) Câu 58. Chọn D. 2

a a a a  a a a π  Ta có sin a + 1 = 2sin cos + sin 2 + cos2 =  sin + cos  = 2sin 2  +  2 2 2 2  2 2 2 4 a π  π a  a π  a π  = 2sin  +  cos  −  = 2sin  +  cos  −  . 2 4  4 2 2 4 2 4

sin 7π 3 3 = = =2 6− 3 . 24 24 cos π .cos 7π cos π + cos π 24 24 3 4 Chọn A. 1 1 − 4sin100.sin 700 2 sin 800 2sin100 A= − 2 sin 700 = = = = 1. 0 2sin10 2sin100 2 sin100 2sin100 Chọn C. 1 cos10°.cos 30°.cos50°.cos 70° = cos10°.cos 30°. ( cos120o + cos 20o ) 2 3 1 3 3  cos10° cos 30° + cos10°  . = . = + − = 4  2 2  4 4 16 Chọn A. 2π 4π 5π 2π 2π 4π 4π 4π sin .cos .cos sin .cos π 4π 5π sin 7 .cos 7 .cos 7 7 7 7 =− 7 7 cos .cos .cos = =− π π π 7 7 7 2 sin 2 sin 4 sin 7 7 7 8π sin 7 = 1. =− π 8 8sin 7 Chọn D.

tan

Câu 52.

Câu 53.

Câu 54.

Câu 55.

(

+ tan

1 1 1 119 ( cos 2a + cos 2b ) = cos2 a + cos2 b − 1 =   +   − 1 = − . 2 144 3  4

)

Câu 59.

DẠNG 4. KẾT HỢP CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Chọn A Vì góc α thỏa mãn Do sin

α 2

π 2

< α < π nên

π 4

α 2

π 2

suy ra cos

α 2

> 0.

α α 1 2 nên cos = 1 − sin 2 = . 2 2 5 5 α

tan − 1 α π  2 Biểu thức A = tan  −  = .  2 4  tan α + 1 2 α Do đó tan = 2 . 2 2 −1 1 Vậy biểu thức A = = . 2 +1 3 Câu 60. Chọn B 1 8 2 2 π ( vì − < x < 0 ). sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 − = ⇒ sin x = − 9 9 3 2 −4 2 4 2 2 tan x = = ⇒ tan x = −2 2 ⇒ tan 2 x = . −7 1 − tan 2 x 7 Câu 61. Chọn A Ta có cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 = −1 . Sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tổng thành tích ta được: 18

Câu 62.

π π   1 − cos  2 x −  + 1 − cos  2 x +  π 1 3 3 3   A= = 1 − cos 2 x cos = 1 + = 2 3 2 2 Lời giải Chọn A

2 1 1 5 Ta có: cos α = − ⇒ tan 2 α = −1 = −1 = 2 3 cos 2 α 4  −2     3  1 1 + 3tan 2 α 5 + 3tan α 1 + 3. cot α + 3tan α tan α 1 + 3tan 2 α tan α 4 = 19 P= = = = = 2 5 13 2 + tan 2 α 2cot α + tan α 2 + tan 2 α + tan α 2+ tan α 4 tan α Câu 63. Chọn D 1 Ta có sin α .cos (α + β ) = sin β ⇔ sin ( 2α + β ) − sin β  = sin β 2 ⇔ sin (α + β ) + α  = 3sin β ⇔ sin (α + β ) cos α + sin α cos (α + β ) = 3sin β

Câu 64.

⇔

sin (α + β ) 3sin β (vì cos (α + β ) ≠ 0 ) cos α + sin α = cos (α + β ) cos (α + β )

⇔

sin (α + β ) 3sin β sin α = − cos (α + β ) cos α cos (α + β ) cos α

Mà

sin β 3sin α sin α = sin α (từ giả thiết), suy ra (*) ⇔ tan (α + β ) = − = 2 tan α cos (α + β ) cos α cos α

(*) (vì cos α ≠ 0 )

Vậy tan (α + β ) = 2 tan α . Chọn D

sin x 2 ⇒ sin x = tan x.cos x = − cos x 5 π π π  2  1  1  3 2+ 3  sin  x +  = sin x.cos + cos x.sin =  − =− . +  − . 3 3 3   5 2  5 2 2 5 Câu 67. Chọn C. A = tan 9° + cot 9° + tan15° + cot15° – tan 27° – cot 27° = tan 9° + cot 9° – tan 27° – cot 27° + tan15° + cot15° = tan 9° + tan 81° – tan 27° – tan 63° + tan15° + cot15° . Ta có sin18° − sin18° + tan 9° – tan 27° + tan 81° – tan 63° = cos 9°.cos 27° cos 81°.cos 63°  cos 9°.cos 27° − cos 81°.cos 63°  sin18° ( cos 9°.cos 27° − sin 9°.sin 27° ) = sin18°  = cos81°.cos 63°.cos 9°.cos 27°  cos81°.cos 63°.cos 9°.cos 27°  4sin18° 4sin18°.cos 36° = =4. = ( cos 72° + cos 90°)( cos 36° + cos 90° ) cos 72° tan x =

tan15° + cot15° =

Câu 68.

sin 2 15° + cos 2 15° 2 = = 4. sin15°.cos15° sin 30°

Vậ y A = 8 . Chọn C. π π   0<b< 0 < a < 2 2 2  3 2 Ta có  ⇒ cos a = ;  ⇒ cos b = . 3 2 sin a = 1 sin b = 1   3 2 sin 2 ( a + b ) = 2sin ( a + b ) .cos ( a + b ) = 2 ( sin a.cos b + sin b.cos a )( cos a.cos b + sin a.sin b )

4 2 +7 3 . 18 Câu 69. Chọn C. Ta có : sin ( 4α + 30°) 2 cos 2 2α + 3 sin 4α − 1 cos 4α + 3 sin 4α = . A= = sin ( 4α − 30° ) 2sin 2 2α + 3 sin 4α − 1 3 sin 4α − cos 4α Câu 70. Chọn A. sin 9° sin12° = Ta có : ⇔ sin 9°.sin 81° − sin12°.sin 48° = 0 sin 48° sin 81° 1 1 ⇔ ( cos 72° − cos 90° ) − ( cos 36° − cos 60° ) = 0 ⇔ 2 cos 72° − 2 cos 36° + 1 = 0 2 2 1+ 5 ). Suy ra B đúng. ⇔ 4 cos 2 36° − 2cos36° − 1 = 0 (đúng vì cos 36° = 4 Tương tự, ta cũng chứng minh được các biểu thức ở C và D đúng. Biểu thức ở đáp án A sai. Câu 71. Chọn C. Ta có : 5sin α = 3sin (α + 2 β ) ⇔ 5sin (α + β ) − β  = 3sin (α + β ) + β  =

2 sin x 1 2.tan x 1 1 2sin x.cos x cos x Ta có: + = + = + s in 2 x cos 2 x − s in 2 x 1 − tan 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x − s in 2 x 1− cos 2 x 1 sin 2 x 1 + sin 2 x (1 + sin 2 x ) cos 2 x (1 + sin 2 x ) cos 2 x = = + = = 1 − sin 2 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 2 x cos 2 x = . Vậy a = 2, b = 1 . Suy ra P = a + b = 3 . 1 − sin 2 x Câu 65. Chọn D 2 1 1 1  2 2  5 Ta có P = cos α .cos 3α = ( cos 2α + cos 4α ) = ( 2 cos 2 2α + cos 2α − 1) =  2   + − 1 = 2 2 2   3  3  18 . Câu 66. Chọn B 3π suy ra sin x < 0, cos x < 0 . π <x< 2 1 1 1 1 Ta có: 1 + tan 2 x = ⇔ cos 2 x = ⇔ cos 2 x = ⇔ cos x = ± 5 cos 2 x 1 + tan 2 x 5 1 Do cos x < 0 nên nhận cos x = − . 5 19

⇔ 5sin (α + β ) cos β − 5 cos (α + β ) sin β = 3sin (α + β ) cos β + 3cos (α + β ) sin β

⇔ 2sin (α + β ) cos β = 8 cos (α + β ) sin β ⇔

Câu 72.

Chọn Ta có :

sin (α + β )

cos (α + β )

4 3 4 3  M = 5  sin x + cosx  = 5sin ( x + a ) với cos a = ;sin a = . 5 5 5 5  Ta có: −1 ≤ sin ( x + a ) ≤ 1

sin β ⇔ tan (α + β ) = 4 tan β . cos β

A = sin 2 ( a + b ) – sin 2 a – sin 2 b = sin 2 ( a + b ) −

⇔ −5 ≤ 5sin ( x + a ) ≤ 5 .

1 − cos 2a 1 − cos 2b − 2 2

Câu 77.

= sin 2 ( a + b ) − 1 +

Hướng dẫn giải Chọn D Ta có. M = ( sin 2 x − cos 2 x )( sin 4 x + sin 2 x cos 2 x + cos 4 x )

Chọn Ta có :

= − cos 2 x (1 − sin 2 x cos 2 x )

1 ( cos 2a + cos 2b ) = − cos 2 ( a + b ) + cos ( a + b ) cos ( a − b ) 2 = cos ( a + b ) cos ( a − b ) − cos ( a + b )  = 2 sin a sin b cos ( a + b ) . Câu 73.

cos 40° + tan α .sin 40° = cos 40° +

 1  = − cos 2 x 1 − sin 2 2 x   4  3 1 3 1  3 1 2 = − cos 2 x  + cos 2 x  ≤ + cos 2 2 x ≤ + = 1 ( do cos 2 x ≤ 1) . 4 4 4 4  4 4 Nên giá trị lớn nhất là 1.

sin α cos 40° cos α + sin 40° sin α cos ( 40° − α ) .sin 40° = = . A cos α cos α cos α

đúng.

sin15°.cos 30° + sin 30°.cos15° sin 45° 6 = = . B đúng. cos 30° cos 30° 3 2 2 2 cos x – 2 cos a.cos x.cos ( a + x ) + cos ( a + x ) = cos x + cos ( a + x )  −2 cos a cos x + cos ( a + x ) 

sin15° + tan 30°.cos15° =

Câu 78. Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t = tan x, t ∈ ℝ \ {−1} .

= cos 2 x − cos ( a + x ) cos ( a − x )

1 ( cos 2a + cos 2 x ) = cos 2 x − cos 2 a − cos 2 x + 1 = sin 2 a. C đúng. 2 sin 2 x + 2sin ( a – x ) .sin x.cos a + sin 2 ( a – x ) = sin 2 x + sin ( a − x ) ( 2sin x cos a + sin ( a − x ) ) = cos 2 x −

Ta có: M =

t2 − t +1 ⇒ ( M − 1) t 2 + ( 2 M + 1) t + M − 1 = 0 . (*). t 2 + 2t + 1

1 . 4 2 Và ( M − 1)( −1) + ( 2 M + 1)( −1) + ( −1) − 1 ≠ 0 ⇔ M ≠ 4 .

3 3 3 1 Ta có sin 6 x + cos 6 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) − 3sin 2 x cos 2 x(sin 2 x + cos 2 x) = 1 − sin 2 2 x ≥ 1 − = . 4 4 4

π 2

+ kπ ⇔ x =

π 4

π 2

Câu 79. Hướng dẫn giải Chọn D M = 6 1 − sin 2 x + 5sin 2 x = 6 − sin 2 x

(

( k ∈ ℤ).

)

Ta có: 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 , ∀x ∈ R ⇔ 0 ≥ − sin 2 x ≥ −1, ∀x ∈ R ⇔ 6 ≥ 6 − sin 2 x ≥ 5 , ∀x ∈ R .

Câu 75. Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có M = 1 − sin 2 2 x 2 Vì 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 1 1 ⇔ − ≤ − sin 2 2 x ≤ 0 2 2 1 1 2 ⇔ ≤ 1 − sin 2 x ≤ 1 . 2 2

∆ ≥ 0 ⇔ ( 2 M + 1) − 4 ( M − 1) ≥ 0 ⇔ 12 M − 3 ≥ 0 ⇔ M ≥

DẠNG 5. MIN-MAX Chọn C

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sin 2 2 x = 1 ⇔ cos2 x = 0 ⇔ 2 x =

Với M = 1 thì (*) có nghiệm t = 0 . Với M ≠ 1 để (*) có nghiệm khác − 1 thì.

1 ( cos 2 x − cos 2a ) 2 2 2 2 2 = sin x − cos a − sin x + 1 = sin a . D sai. = sin 2 x + sin ( a − x ) sin ( a + x ) = sin 2 x +

Câu 74.

1+ t3

(1 + t )

Gía trị lớn nhất là 6 .

Câu 80. Hướng dẫn giải Chọn C M = 7 1 − sin 2 x − 2sin 2 x = 7 − 9 sin 2 x

(

)

Ta có: 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ⇔ 0 ≥ −9 sin 2 x ≥ −9, ∀x ∈ R ⇔ 7 ≥ 7 − 2 sin 2 x ≥ −2 .

Nên giá trị lớn nhất là 1.

Câu 76.

Gía trị lớn nhất là 7 .

Hướng dẫn giải Chọn A Câu 81. 21

DẠNG 6. NHẬN DẠNG TAM GIÁC Chọn B. 22

Vì A, B, C là các góc của tam giác ABC nên A + B + C = 180o ⇒ C = 180o − ( A + B ) .

Ta có: sin 2 A + sin 2 B = 2sin ( A + B ) .cos ( A − B ) = 2sin (π − C ) .cos ( A − B )

= 2sin C.cos ( A − B ) ≤ 2sin C. Dấu đẳng thức xảy ra khi cos ( A − B ) = 1 ⇔ A = B . Câu 82.

Chọn C

A B sin sin A B 3 B 3 A 2 2 . Ta có sin cos − sin cos =0⇔ = A B 2 2 2 2 cos 2 cos 3 2 2 A A B B A B A B ⇔ tan 1 + tan 2  = tan 1 + tan 2  ⇔ tan = tan ⇔ = ⇔ A = B . 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 83. Chọn C Ta có cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A 1 1 1 tan A + tan B + tan C . = + + = tan A.tan B tan B.tan C tan C.tan A tan A.tan B.tan C Mặt khác tan A + tan B + tan C = tan ( A + B )(1 − tan A.tan B ) + tan C

C A+ B C A+ B và là 2 góc phụ nhau. = 90o − . Do đó 2 2 2 2 C A+ B C A+ B C A+ B C A+ B ⇒ sin = cos ; cos = sin ; tan = cot ; cot = tan . 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 89. Chọn B a 3a a + b + c = π , a = 2b ⇒ b = ; c = π − 2 2 1 − cos 2b cos(b − c) − cos(b+ c) sin b ( sin b + sin c ) = sin 2 b + sin b.sin c = + 2 2 1 − cos a − cos (π − a ) + cos ( 2a − π ) 1 − cos 2a = = sin 2 a . = 2 2 Câu 90. Chọn D Ta có: sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = ( sin 2 A + sin 2 B ) + sin 2C ⇒

= tan (π − C )(1 − tan A.tan B ) + tan C = − tan ( C )(1 − tan A.tan B ) + tan C = tan C.tan A.tan B .

= 2sin ( A + B ) .cos ( A − B ) + 2sin C.cosC = 2sin C.cos ( A − B ) + 2sin C.cosC = 2sin C. ( cos ( A − B ) + cosC ) = 4sin C.cos ( A − B − C ) .cos ( A − B + C )

Nên cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = 1 .

Câu 84.

Chọn B 1 1 + tan A + tan B 7 Ta có tan ( A + B ) = = 2 5 = . 1 − tan A.tan B 1 − 1 . 1 9 2 5 Suy ra tan ( A + B + C ) = tan ( A + B ) + C  =

= 4 sin C.cos

Câu 91.

7 1 + = 9 8 =1 1 − tan ( A + B ) .tan C 1 − 7 . 1 9 8 tan ( A + B ) + tan C

V ậy A + B + C =

Câu 85.

π 4

C A+ B C A+ B và là 2 góc phụ nhau. = 90o − . Do đó 2 2 2 2 C A+ B C A+ B C A+ B C A+ B ⇒ sin = cos ; cos = sin ; tan = cot ; cot = tan . 2 2 2 2 2 2 2 2 Chọn D sin ( A + B + 2C ) = sin 1800 − C + 2C = sin 1800 + C = − sin C .

⇒

Câu 87.

)

(

)

Chọn A sin ( A + B ) sin C + . cos A.cos B cos C  − cos ( A + B ) + cos A.cos B  sin A.sin B.sin C = sin C.  = tan A.tan B.tan C . = cos A.cos B.cos C   cos A.cos B.cos C

Ta có: tan A + tan B + tan C = ( tan A + tan B ) + tan C =

Câu 92.

A − 2B + C 1800 − B − 2 B 3B  3B  = cos = cos  900 − .  = sin 2 2 2  2 

Chọn C Vì A, B , C là các góc của tam giác ABC nên A + B + C = 180° ⇒ C = 180° − ( A + B ) . Do đó ( A + B ) và C là 2 góc bù nhau.

sin C = sin ( A + B ) ; cos C = − cos ( A + B ) .

Chọn D Vì A, B, C là các góc của tam giác ABC nên A + B + C = 180o ⇒ C = 180o − ( A + B ) .

(

Chọn B

cos

Hướng dẫn giải

Câu 86.

A− B −C A− B +C π  π  .cos = 4 sin C .cos  − A  .cos  − B  = 4sin C.sin A.sin B . 2 2 2  2 

Câu 93.

tan C = − tan ( A + B ) ;cot C = cot ( A + B ) Chọn B. Ta có : cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A . 1 1 1 tan A + tan B + tan C . = + + = tan A.tan B tan B.tan C tan C .tan A tan A.tan B.tan C Mặt khác : tan A + tan B + tan C = tan ( A + B )(1 − tan A. tan B ) + tan C . = tan (π − C )(1 − tan A.tan B ) + tan C .

= − tan C (1 − tan A.tan B ) + tan C = tan C tan A.tan B . Nên cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = 1 . Câu 94. Chọn A.  A B sin  +  cos C A B C  A B C  2 2+ 2. Ta có: cot + cot + cot =  cot + cot  + cot = 2 2 2  2 2 2 sin A .sin B sin C 2 2 2

Câu 88. Hướng dẫn giải Chọn A 23

A B  A B C A B C B A cos  +  + sin .sin sin + sin .sin cos .cos .cos C C 2 2 2 2  2 2 2 2 2 2 = cos . = cos . = C A B C A B 2 sin C .sin A .sin B 2 sin .sin .sin sin .sin .sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C = cot .cot .cot . 2 2 2 Câu 95. Chọn C. Ta có : 1 + cos 2 A 1 + cos 2 B + + cos 2 C cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 2 2 = 1 + cos ( A + B ) cos ( A − B ) + cos 2 C = 1 − cos C cos ( A − B ) − cos C cos ( A + B )

= 1 − cos C cos ( A − B ) + cos ( A + B )  = 1 + 2 cos A cos B cos C . Câu 96. Hướng dẫn giải Chọn C cos ( A + B ) = − cos C ⇒ cos A.cos B + cos C = sin A.sin B

⇒ cos 2 A.cos 2 B + 2 cos A.cos B.cos C + cos 2 C = sin 2 A.sin 2 B = (1 − cos 2 A)(1 − cos 2 B ) = 1 − cos 2 A − cos 2 B + cos 2 A.cos 2 B

⇒ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C + 2 cos A.cos B.cos C = 1 Câu 97. Chọn A B +C B−C A 2 sin cos cos sin B + s inC 2 2 ⇔ sin A = 2 Ta có sin A = ⇔ sin A = B+C B −C A cos B + cos C 2 cos cos sin 2 2 2 A cos A A 2 ⇔ 2sin 2 A = 1 ( cos A ≠ 0 vì 0° < A < 180° ) ⇔ 2 sin cos = 2 2 sin A 2 2 2 ⇔ cos A = 0 ⇒ A = 90° suy ra tam giác ABC vuông tại A . Câu 98. Chọn A 1 13 − 2 − 4sin 2 B + 4sin B + ≤ 0 Từ giả thiết suy ra: 2cos2 A + 64cos4 A 4 1 3 2 ⇔ cos2 A + cos2 A + + B − B + ≤ 4sin 4sin 1 * () 64cos4 A 4 1 3 ≥ (1) AD BĐT Cauchy thì cos2 A + cos2 A + 64cos4 A 4

(

)

Mặt khác 4sin 2 B − 4sin B + 1 = ( 2sin B − 1) ≥ 0 ( 2 ) Từ (*), (1) và (2) suy ra bđt thỏa mãn khi và chỉ khi dấu bằng ở (1) và (2) xảy ra 1  1  2  A = 60o cos A = 64cos 4 A cosA = 2  ⇔ ⇔ ⇔  B = 30o .  sin B = 1  sin B = 1  C = 90o  2  2  +C = 120o Chọn A. Nên B 25

Câu 99.

Chọn

tan ( A + B + C ) = Câu 100. Chọn Ta có:

tan A + tan B + tan C tan ( A + B ) + tan C π = 1 − tan A.tan B = 1 suy ra A + B + C = . A B tan + tan 1 − tan ( A + B ) .tan C 4 .tan C 1 − tan A.tan B

A + B + 3C π A + B + 3C π  = sin  + C  = cos C. A đúng. = + C ⇒ sin 2 2 2 2  A + B − C = π − 2C ⇒ cos ( A + B – C ) = cos (π − 2C ) = − cos 2C. B đúng. A+ B +C =π ⇒

A + B − 2C π 3C A + B − 2C 3C  π 3C  ⇒ tan = tan  − . C đúng. = −  = cot 2 2 2 2 2 2 2  A + B + 2C C A + B + 2C π C π C  = cot  +  = − tan . D sai. = + ⇒ cot 2 2 2 2 2 2 2 Câu 101. Chọn C. Ta có: A+ B π C A+ B C π C  = cos  −  = sin . A đúng. = − ⇒ cos 2 2 2 2 2 2 2 A + B + 2C = π + C ⇒ cos ( A + B + 2C ) = cos (π + C ) = − cos C. B đúng. A + C = π − B ⇒ sin ( A + C ) = sin (π − B ) = sin B. C sai. A + B = π − C ⇒ cos ( A + B ) = cos (π − C ) = − cos C . D đúng. Câu 102. Chọn C. Ta có : B C B C A B C π A + cos cos − sin sin = cos  +  = cos  −  = sin . A đúng. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + tan A + tan B + tan C = tan A. tan B.tan C ⇔ − tan A (1 − tan B tan C ) = tan B + tan C

tan B + tan C ⇔ tan A = − tan ( B + C ) . B đúng. 1 − tan B tan C + cot A + cot B + cot C = cot A.cot B.cot C ⇔ cot A ( cot B cot C − 1) = cot B + cot C ⇔ tan A = −

1 cot B cot C − 1 = ⇔ tan A = cot ( B + C ) . C sai. cot A cot B + cot C A  B C B C A B B C C A + tan .tan + tan . tan + tan .tan = 1 ⇔ tan .  tan + tan  = 1 − tan .tan 2 2 2 2 2 2 2  2 2 2 2 B C tan + tan 1 2 2 ⇔ cot A = tan  B + C  . D đúng. ⇔ =   A B C 2 2 2 tan 1 − tan .tan 2 2 2 ⇔