CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 11
vectorstock.com/28062405
Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 11 5 CHUYÊN ĐỀ ĐS-GT PHÂN DẠNG CHI TIẾT CHUYÊN SƯ PHẠM HN WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594
TOÁN 11 BÀI 1
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Mục lục Phần A. CÂU HỎI .......................................................................................................................................................... 1 Dạng 1. Tập xác định của hàm số lượng giác............................................................................................................... 1 Dạng 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác........................................................................................................... 7 Dạng 3. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác ............................................................................................................... 7 Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác ............................................................................................................. 9 Dạng 5. Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác ........................................................................................... 12
Câu 5.
2
π D. Tập xác định của hàm số y = tan x là ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ . 2
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ............................................................................................................................. 17
Câu 6.
(KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Tập xác định của hàm số y = A. ( −2; + ∞ )
Dạng 3. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác ............................................................................................................. 22
Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos ............................................................ 28 Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ ................................................................................................................................................... 29 Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số ..................................................................................................................... 31 Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác ........................................................................................................................ 31
Câu 2.
(THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tập xác định của hàm số y = tan x là: π A. R \ {0} B. R \ + kπ , k ∈ Z C. R D. R \ {kπ , k ∈ Z } 2 (THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Hàm số y = A. x ≠
π 2
+ k 2π
B. x ≠ kπ
B. ( 2; + ∞ )
C. ℝ \ {2} .
s inx + 1 là s inx − 2
D. ℝ .
Câu 7. (GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Tập xác định của hàm số cot x là y= cos x − 1 π π A. ℝ \ k , k ∈ Z . B. ℝ \ + kπ , k ∈ Z .C. ℝ \ {kπ , k ∈ Z} . D. ℝ \ {k 2π , k ∈ Z} . 2 2 Câu 8.
(KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tập xác định của hàm số y = cot x là: π π A. ℝ \ {k 2π , k ∈ Z} . B. ℝ \ + kπ , k ∈ Z .C. ℝ \ {kπ , k ∈ Z} . D. ℝ \ + k 2π , k ∈ Z . 2 2
Câu 9. (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Hàm số nào có tập xác định là ℝ: cos 2 x + 2 A. y = B. y = 2 + 2 cos x C. y = cot 3x − tan x D. y = sin x + 2 cot 2 x + 1
Phần A. CÂU HỎI Dạng 1. Tập xác định của hàm số lượng giác Câu 1.
B. Tập xác định của hàm số y = sin x là ℝ . C. Tập xác định của hàm số y = cos x là ℝ .
Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số ..................................................................................................................... 14
Dạng 5. Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác ........................................................................................... 28
D. D = R \ {k 2π , k ∈ Z }
(THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Chọn khẳng định sai? π A. Tập xác định của hàm số y = cot x là ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ .
Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác ........................................................................................................................ 14
Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác ........................................................................................................... 24
C. D = R \ {kπ , k ∈ Z }
(THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm điều kiện xác định 1 − 3cos x của hàm số y = sin x kπ π A. x ≠ k 2π . B. x ≠ . C. x ≠ + kπ . D. x ≠ kπ . 2 2
Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ ................................................................................................................................................... 13
Dạng 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác......................................................................................................... 21
π B. D = R \ + k 2π , k ∈ Z 2
Câu 4.
Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos ............................................................ 12
Dạng 1. Tập xác định của hàm số lượng giác............................................................................................................. 17
π A. D = R \ + kπ , k ∈ Z 2
C. x ≠ k 2π
π 2
(CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Điều kiện xác định của hàm 1 là sin x − cos x A. x ≠ k 2π ( k ∈ ℤ ) .
2sin x + 1 xác định khi 1 − cos x
D. x ≠
Câu 10. số y =
+ kπ
Câu 3. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm tập xác định D của hàm số y = cot x + sin 5 x + cos x 1
B. x ≠
π + kπ ( k ∈ ℤ ) . C. x ≠ kπ ( k ∈ ℤ ) . 2
D. x ≠
π + kπ ( k ∈ ℤ ) . 4
Câu 11. (THPT NGÔ GIA TỰ VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập xác định của hàm số y = tan 2 x là π π π A. D = ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ . B. D = ℝ \ + k , k ∈ ℤ . 2 4 4 2
π C. D = ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ . 2
π D. D = ℝ \ k , k ∈ ℤ . 2
C. D = ℝ \ {k 2π , k ∈ ℤ} .
Câu 12. (THPT YÊN MỸ HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập xác định của hàm số 1− cos x y= là: sin x −1 A.
B.
C.
.
(SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập xác định của hàm số y = 2sin x là A. [ 0; 2] .
B. [ −1;1] .
C. ℝ .
π C. D = ℝ \ + kπ | k ∈ Z . 4
Câu 16.
A. x ≠
5π + kπ , k ∈ Z . 12
B. x ≠
5π π + k , k ∈Z . 12 2
C. x ≠
π π + k , k ∈Z . 6 2
D. x ≠
π + kπ , k ∈ Z . 2
D. [ −2; 2] .
π C. D = ℝ \ − + k 2π ; k ∈ ℤ . 2
1 . sin x − cos x π B. D = ℝ \ + kπ | k ∈ Z . 2
D. D = ℝ \ {k 2π | k ∈ Z}
Câu 21.
.
(THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Tập xác định của hàm số y =
π D. D = ℝ \ + k 2π ; k ∈ ℤ . 2
(THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Tập xác định của hàm số y = tan x + cot x là kπ kπ kπ A. D = ℝ \ . B. D = ℝ \ {kπ } . C. D = ℝ \ + π . D. D = ℝ \ . 4 4 2
kπ k ∈ ℤ là tập xác định của hàm số (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Tập D = ℝ \ 2 nào sau đây? A. y = cot x . B. y = cot 2 x . C. y = tan x . D. y = tan 2 x Câu 22.
tan 2 x là tập nào sau cos x
đây? A. D = ℝ .
π B. D = ℝ \ + kπ , k ∈ℤ . 2
π π C. D = ℝ \ + k π , k ∈ ℤ . 2 4
π π π D. D = ℝ \ + k ; + kπ , k ∈ ℤ . 2 2 4
Câu 23.
C. D = ℝ \ {π + k 2π , k ∈ ℤ} . Câu 24.
(2) Hàm số y = cos x có tập xác định là ℝ .
A. D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} .
π (4) Hàm số y = cot x có tập xác định là D = ℝ \ k k ∈ ℤ . 2 Số mệnh đề đúng là A. 3 . B. 2 . C. 1 .
π C. D = ℝ \ + k 2π , k 2π , k ∈ ℤ . 2
Câu 18. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Tập xác định của hàm số y = − tan x là: B. D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} . 3
1 − 2x . sin 2 x π B. D = ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ . 2
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tập xác định của hàm số y =
π (3) Hàm số y = tan x có tập xác định là D = ℝ \ + kπ k ∈ ℤ . 2
D. 4 .
5 . cos x + 1 π B. D = ℝ \ + k 2π , k ∈ ℤ . 2 D. D = ℝ \ {π + kπ , k ∈ ℤ} .
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tập xác định của hàm số y = A. D = ℝ \ {k 2π , k ∈ ℤ} .
Câu 17. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Xét bốn mệnh đề sau: (1) Hàm số y = sin x có tập xác định là ℝ .
π A. D = ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ . 2
1 − sin x là cos x
Câu 20. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm tập xác định D của hàm số 1 − sin x . y= 1 + sin x π π A. D = ℝ \ − + k 2π ; + k 2π ; k ∈ ℤ . B. D = ℝ \ {− k π ; k ∈ ℤ} . 2 2
Câu 15. (THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Tìm tập xác định D của hàm số y = A. D = ℝ \ {kπ | k ∈ Z} .
(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Điều kiện xác định của hàm số y =
D.
Câu 13. (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Tập xác định của hàm số y = cot 2 x − tan x là: π π π π A. ℝ\ + k π, k ∈ ℤ B. ℝ\ {k π, k ∈ ℤ} . C. ℝ\ + k , k ∈ ℤ D. ℝ\ k , k ∈ ℤ 2 2 4 2 Câu 14.
Câu 19.
π D. D = ℝ \ + k 2π , k ∈ ℤ . 2
π D. D = ℝ \ k , k ∈ ℤ . 2
Câu 25. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Tìm tập xác định D của hàm số π y = tan 2 x − . 4 3π kπ 3π , k ∈ ℤ . A. D = ℝ \ + B. D = ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ . 2 8 4 4
3π kπ , k ∈ ℤ . C. D = ℝ \ + 2 4 Câu 26.
Câu 27.
π D. D = ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ . 2
(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tìm tập xác định của hàm số y = A. D = ℝ \ {k 2π } .
π B. D = ℝ \ + k 2π . 2
π C. D = ℝ \ + kπ ; k 2π . 2
π D. D = ℝ \ + k 2π ; x ≠ kπ . 2
tan x . cos x − 1
Câu 33. Tập xác định của hàm số f ( x) =
π (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Tập xác định của hàm số y = tan cos x là: 2 π A. ℝ \ {0} . B. ℝ \ {0; π } . C. ℝ \ k . D. ℝ \ {kπ } . 2
Câu 28. (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Tìm tập xác định của hàm số π y = tan 2 x + . 3 π π π A. D = ℝ \ + k k ∈ ℤ . B. D = ℝ \ + kπ k ∈ ℤ . 2 12 6
π C. D = ℝ \ + kπ k ∈ ℤ . 12 Câu 29.
cos 3x là: π π cos x.cos x − .cos + x 3 3 π π π k π 5π 5π ; + kπ; + kπ ,k ∈ Z . A. R \ + B. R \ + kπ ; + kπ , k ∈ Z . 3 6 6 6 6 6 5π π 5π kπ π π + kπ ; + k π , k ∈ Z . + ,k ∈Z . C. R \ + k π ; D. R \ + kπ ; 6 6 6 2 2 2
Câu 32. Tập xác định của hàm số y =
A. D = R \ {k 2π | k ∈ Z } .
π D. D = R \ − + kπ | k ∈ Z . 2
C. D = R \ {k π | k ∈ Z } . Câu 34. Tập xác định của hàm số
1 − cos x là: 2sin x + 1
7π π + k 2π | k ∈ Z . A. D = R \ − + k 2π ; 6 6
Câu 30.
(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Tìm tập xác định D tan x − 1 π + cos x + . sin x 3 kπ A. D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} . B. D = ℝ \ , k ∈ ℤ . 2
Câu 31.
D. D = ℝ .
(SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Tìm tập xác định D của hàm số y =
π A. D = ℝ \ mπ ; + nπ ; m, n ∈ ℤ . 4
π B. D = ℝ \ + k 2π ; k ∈ ℤ . 4
π π C. D = ℝ \ + mπ ; + nπ ; m, n ∈ ℤ . 4 2
π D. D = ℝ \ + kπ ; k ∈ ℤ . 4
(THPT HÒA VANG - ĐÀ NẴNG - 2018) Tập xác định D của hàm số y =
7π B. D = R \ + kπ | k ∈ Z . 6 7π π + kπ | k ∈ Z . D. D = R \ − + kπ ; 6 6
π C. D = R \ − + k π | k ∈ Z . 6
π π D. D = ℝ \ − + k k ∈ ℤ . 2 6
Câu 35. Tập xác định của hàm số
của hàm số y =
π C. D = ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ . 2
5sin 2 x + 3 cos 2 x + 5 + là: 12sinx cos x kπ B. D = R \ | k ∈ Z . 2
5 − 3cos 2 x
π 1 + sin 2 x − 2
là:
A. D = R \ {k π | k ∈ Z } . B. D = R .
kπ | k ∈Z. C. D = R \ 2
D. D = R \ {k 2π | k ∈ Z } .
π 1 + cos x Câu 36. Tập xác định của hàm số y = cot x + + là: 6 1 − cos x π 7π + kπ , k 2π | k ∈ Z . A. D = R \ − + k 2π | k ∈ Z . B. D = R \ 6 6
sin x . tan x − 1
C. D = R \ {k 2π | k ∈ Z } . 2 tan x − 1 là: 3sin x
Câu 37. Tập xác định của hàm số y = 2 + sin x −
π D. D = R \ − + kπ | k ∈ Z . 6
1 là: tan 2 x − 1
A. D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ} .
π B. D = ℝ \ + k π | k ∈ ℤ . 2
π π A. D = R \ ± + k π ; + k π | k ∈ Z . 2 4
kπ | k ∈Z. B. D = R \ 2
kπ C. D = ℝ \ | k ∈ ℤ . 2
D. D = ℝ \ {0} .
π C. D = R \ + k π | k ∈ Z . 4
π D. D = R \ ± + kπ | k ∈ Z . 4
5
6
C. Các hàm số y = sin x , y = cot x , y = tan x đều là hàm số chẵn
π 1 + tan + 2 x 3 có tập xác định là: Câu 38. Hàm số y = cot 2 x + 1 π π π π A. D = R \ + k , k π | k ∈ Z . B. D = R \ + kπ , k | k ∈ Z . 2 2 6 12
D. Các hàm số y = sin x , y = cot x , y = tan x đều là hàm số lẻ. Câu 48. sai?
π π π C. D = R \ + k π ; k π | k ∈ Z . D. D = R \ + k ; k π | k ∈ Z . 2 12 12 Dạng 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác Câu 39. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho các hàm số: y = sin 2 x , y = cos x , y = tan x , y = cot x . Có bao nhiêu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = π . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 40.
Câu 41.
A. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ.
B. Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.
C. Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.
D. Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
Câu 49.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. y = cot 4 x . B. y = tan 6 x . C. y = sin 2 x . D. y = cos x .
Câu 50.
(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Khẳng định nào dưới đây là sai? A. Hàm số y = sin x là hàm số lẻ. B. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ. C. Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y = sin 2016 x + cos 2017 x . B. y = 2016cos x + 2017 sin x .
A. 0 .
C. y = cot 2015x − 2016sin x .
B. 2π .
C. 4π .
Câu 51.
D. Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.
(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Chu kỳ của hàm số y = 3sin
x là số nào sau đây? 2 D. π .
(THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Chu kỳ của hàm số y = sinx là A. k 2π .
B. π .
C. 2π .
D.
π 2
Câu 52.
.
Câu 42. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Trong các hàm số y = tan x ; y = sin 2 x ; y = sin x ; y = cot x , có bao nhiêu hàm số thỏa mãn tính chất f ( x + kπ ) = f ( x ) , ∀x ∈ ℝ , k ∈ ℤ . A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 4 .
Câu 43. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong bốn hàm số: (1) y = cos 2 x , (2) y = sin x ; (3) y = tan 2 x ; (4) y = cot 4 x có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ π ? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 . Câu 44. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong bốn hàm số: (1) y = cos 2 x , (2) y = sin x ; (3) y = tan 2 x ; (4) y = cot 4 x có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ π ? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 . Câu 45.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Khẳng định nào dưới đây là
x 3x (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm chu kì của hàm số f ( x ) = sin + 2cos . 2 2 A. 5π .
B.
π 2
.
C. 4π .
D. 2π
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Đồ thị hàm số nào sau đây không có trục đối xứng? khi x ≤ 0 1 A. y = f ( x ) = . B. y = f ( x ) = tan 2 3 x . cos x khi x > 0 D. y = f ( x ) = x 2 + 5 x − 2 .
C. y = f ( x ) = cos 3 x . Câu 53. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. y = −2 cos x . B. y = −2sin x . Câu 54. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = A. Hàm số chẵn. C. Không chẵn không lẻ.
C. y = 2sin ( − x ) .
D. y = sin x − cos x .
sin 2 x thì y = f ( x ) là 2 cos x − 3 B. Hàm số lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.
π π Câu 55. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f ( x ) = cos 2 x + + sin 2 x − , ta được y = f ( x ) là: 4 4 A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ. C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ. Câu 56. Cho hai hàm số f ( x ) =
Câu 46. (THPT YÊN MỸ HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn? π A. y = cos x + B. y = sin x C. y = 1 − sin x D. y = sin x + cos x 3 Dạng 3. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác
D. y = tan 2016 x + cot 2017 x .
1 + 3sin 2 x và g ( x ) = sin 1 − x . Kết luận nào sau đây đúng về tính x −3
chẵn lẻ của hai hàm số này? A. Hai hàm số f ( x ) ; g ( x ) là hai hàm số lẻ.
B. Hàm số f ( x ) là hàm số chẵn; hàm số f ( x ) là hàm số lẻ. C. Hàm số f ( x ) là hàm số lẻ; hàm số g ( x ) là hàm số không chẵn không lẻ. D. Cả hai hàm số f ( x ) ; g ( x ) đều là hàm số không chẵn không lẻ.
Câu 47.
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Chọn phát biểu đúng: A. Các hàm số y = sin x , y = cos x , y = cot x đều là hàm số chẵn.
Câu 57. Xét tính chẵn lẻ của hàm số f ( x ) = sin 2007 x + cos nx , với n ∈ ℤ . Hàm số y = f ( x ) là: A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
B. Các hàm số y = sin x , y = cos x , y = cot x đều là hàm số lẻ. 7
8
C. Không chẵn không lẻ.
5π 7π A. ; . 4 4
x + 2004 , với n ∈ ℤ . Xét các biểu thức sau: cos x 1, Hàm số đã cho xác định trên D = ℝ . 2, Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng. 3, Hàm số đã cho là hàm số chẵn. 4, Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng. 5, Hàm số đã cho là hàm số lẻ. 6, Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ. Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 58. Cho hàm số f ( x ) =
sin
D. Vừa chẵn vừa lẻ.
2004 n
Câu 65.
Câu 66.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? A. Hàm số y = cot x đồng biến trên khoảng ( 0 ; π ) .
3π 5π D. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng ; . 2 2 Câu 67.
Câu 60. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f ( x ) = 3m sin4x + cos 2x là hàm chẵn. C. m = 0.
D. m = 2.
(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2π . B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì π .
Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác Câu 61. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng nào dưới đây. π 3π π π A. − + k 2π ; + k 2π , k ∈ ℤ . B. + k 2π ; + k 2π , k ∈ ℤ . 2 2 2 2 C. ( −π + k 2π ; k 2π ) , k ∈ ℤ . D. ( k 2π ; π + k 2π ) , k ∈ ℤ .
Câu 63.
(SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018) Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = π .
π π C. Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng − ; . 2 2
D. Hàm số có tập giá trị là −1;1 .
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Khẳng định nào sau đây sai? π π A. y = tan x nghịch biến trong 0; . B. y = cos x đồng biến trong − ; 0 . 2 2
π C. y = sin x đồng biến trong − ; 0 . 2
7π 9π ; . D. 4 4
B. Hàm số y = sin x nghịch biến trên khoảng (π ; 2π ) .
B. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng. C. Đồ thị hàm số đã cho có trục xứng.
Câu 62.
7π C. ;3π . 4
D. Đồ thị hàm số y = sin x có tiệm cận ngang.
A. Hàm số đã cho có tập xác định D = ℝ \ {0}.
B. m < −1.
.
π B. Hàm số y = sin x đồng biến trên 0; . 2 C. Hàm số y = sin x là hàm chẵn.
Câu 59. Cho hàm số f ( x ) = x sin x. Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho?
A. m > 0.
9π 11π B. ; 4 4
π C. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng 0; . 2 D. Hàm số y = cot x nghịch biến trên ℝ .
Câu 68. Xét hàm số y = sin x trên đoạn −π; 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng? π π A. Hàm số đồng biến trên các khoảng −π;− và − ; 0 . 2 2 π π B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng −π;− ; nghịch biến trên khoảng − ; 0 . 2 2 π π C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng −π;− ; đồng biến trên khoảng − ; 0 . 2 2
π D. y = cot x nghịch biến trong 0; . 2
π π D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng −π;− và − ; 0 . 2 2
(SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kỳ T = π .
Câu 69. Xét hàm số y = cos x trên đoạn −π; π . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −π; 0 ) và ( 0; π ) .
π B. Hàm số y = sin x đồng biến trên 0; . 2 C. Hàm số y = sin x là hàm số chẵn.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −π; 0 ) và nghịch biến trên khoảng ( 0; π ) . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −π; 0 ) và đồng biến trên khoảng ( 0; π ) .
D. Đồ thị hàm số y = sin x có tiệm cận ngang. Câu 64. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng nào sau đây? 9
D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng ( −π; 0 ) và ( 0; π ) . 10
Câu 70. Xét sự biến thiên của hàm số y = tan 2 x trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? π π π A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; và ; . 4 4 2 π π π B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; và nghịch biến trên khoảng ; . 4 4 2
3π 1 giảm. : Hàm số y = cos x 2
(II) ∀x ∈ π;
Mệnh đề đúng trong hai mệnh đề trên là: A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. Câu 75.
C. Cả 2 sai.
D. Cả 2 đúng.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
π π
A. y = tan x đồng biến trong − ; . 2 2
π C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng 0; . 2
π 2
B. y = tanx là hàm số chẵn trên D = R \ + kπ | k ∈ Z .
π π π D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; và đồng biến trên khoảng ; . 4 4 2
C. y = tanx có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Câu 71. Xét sự biến thiên của hàm số y = 1 − sin x trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai? π A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng − ; 0 . 2 π B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; . 2
π π 2 2
D. y = tanx luôn nghịch biến trong − ; . Dạng 5. Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos Câu 76.
π C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; π . 2 π 3π D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ; . 2 2
(KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2sin x + 1 là 1 A. −1. B. 1 . C. − . D. 3 . 2
Câu 77. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tập giá trị của hàm số y = sin 2 x là: A. [ −2;2 ] . B. [0;2] . C. [ −1;1] .
Câu 72. Xét sự biến thiên của hàm số y = sin x − cos x. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?
Câu 78. là?
π 3π A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng − ; . 4 4
(THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Tập giá trị của hàm số y = cos x A. ℝ .
3π 7π B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; . 4 4
D. [ 0;1] .
B. ( −∞; 0] .
C. [ 0; +∞ ) .
D. [ −1;1] .
Câu 79. (SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 − sin x . Khẳng định nào sau đây đúng? A. M = 1 ; m = −1 . B. M = 2 ; m = 1 . C. M = 3 ; m = 0 . D. M = 3 ; m = 1 .
C. Hàm số đã cho có tập giá trị là −1; 1 .
Câu 80. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sin 2 x − 5 lần lượt là: A. 3 ; − 5 . B. −2 ; −8 . C. 2 ; − 5 . D. 8 ; 2 .
π 7π D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng − ; . 4 4
Câu 73. Chọn câu đúng? A. Hàm số y = tan x luôn luôn tăng.
5π 7π (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Khi x thay đổi trong khoảng ; thì 4 4 y = sin x lấy mọi giá trị thuộc
Câu 81.
B. Hàm số y = tan x luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định. C. Hàm số y = tan x tăng trong các khoảng ( π + k 2π; 2π + k 2π ) , k ∈ ℤ.
2 A. −1; − . 2
D. Hàm số y = tan x tăng trong các khoảng ( k 2π; π + k 2π ) , k ∈ ℤ. Câu 74. Xét hai mệnh đề sau:
Câu 82.
3π 1 giảm. : Hàm số y = s inx 2
(I) ∀x ∈ π;
C. [ −1;1] .
2 ;1 . D. 2
(THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Tìm tập giá trị của hàm số y = 3 sin x − cos x − 2 . A. −2; 3 .
11
2 ;0 B. − 2
B. − 3 − 3; 3 − 1 .
C. [ −4;0] .
D. [ −2;0]
12
Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 2 + sin 3 x . Câu 83. A. m = 0 .
B. m = 1 .
C. m = −1 .
D. m = 2 .
Câu 84. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = ( 3 − 5sin x )
2018
Câu 92.
là M , m . Khi đó giá trị M + m là
A. 22018 1 + 24036 .
(
)
B. 22018 .
A. 5 + 2 2 . C. 24036 .
D. 26054 .
Câu 85.
(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số π y = 3sin x + + 4 bằng. 12 A. 7 . B. 1 . C. 3 . D. 4 .
Câu 86. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Xét bốn mệnh đề sau: (1) : Hàm số y = sin x có tập xác định là R .
A. 1 +
B. T = 2.
C. T = 0.
B. − 2 .
C. 6 − 2 .
D.
5+ 2 2 .
B.
22 . 2
11 . 2
C.
D. 1 + 5 .
2
2
2
D. min y = π 0; 2
π 4 khi x = . 3 3
Câu 95. Giá trị lớn nhất của hàm số y = cos 2 x + 7 sin 2 x + sin 2 x + 7 cos 2 x là
D. 1 .
D. T = −1.
Câu 88. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos 2 x − sin 2 x + 5 A. 2 . Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ
5 . 2
π 2 C. min y = khi x = + k 2π , k ∈ ℤ 3 3 π 0;
A. 1 + 7 B. −1 + 7 Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác
Câu 87. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Tập giá trị của hàm số y = sin 2 x + 3 cos 2 x + 1 là đoạn [ a; b ]. Tính tổng T = a + b. A. T = 1.
5−2 2 .
1 1 π với x ∈ 0; . Kết luận nào sau đây + ây là đúng? đ 2 − cos x 1 + cos x 2 π π 4 2 A. min y = khi x = + kπ , k ∈ ℤ T B. min y = khi x = 3 3 3 3 π π 0; 0;
C. 4 .
C.
Câu 94. Cho hàm số y =
( 2 ) : Hàm số y = cos x có tập xác định là R . ( 3) : Hàm số y = tan x có tập giá trị là R . ( 4 ) : Hàm số y = cot x có tập xác định là R . B. 2 .
B. 5 − 2 2 .
1 1 5 + 2sin 2 x Câu 93. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 1 + cos 2 x + 2 2
2
Tìm số phát biểu đúng. A. 3 .
π Hàm số y = 2 cos x + sin x + đạt giá trị lớn nhất là 4
C. 4
D. 14
Câu 96. (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn ốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A , B , C , D . Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
D. 6 + 2 .
Câu 89. (THPT THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN - 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số y = cos2 x + sin x + 1 bằng 11 9 A. 2 . B. . C. 1 . D. . 4 4 Câu 90. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos 2 x + cos x. Khi đó M + m bằng bao nhiêu? 7 8 9 9 A. M + m = . B. M + m = . C. M + m = . D. M + m = . 8 7 8 7 Câu 91. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = sin 2 x − sin x + 2 . 7 7 A. min y = ; max y = 4 . B. min y = ; max y = 2 . 4 4 1 C. min y = −1; max y = 1 . D. min y = ; max y = 2 . 2
A. y = 1 − sin x Câu 97.
C. y = sin x
D. y = 1 + sin x
(THPT CHUYÊN QUỐC H HỌC HUẾ - 2018) Cho hàm số f ( x ) = sin x + cos x có đồ thị ( C ) .
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị không thể thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị th ( C ) ? A. y = sin x − cos x .
B. y =
π 2 sin x + 2 . C. y = − sin x − cos x . D. y = sin x + . 4
Câu 98.
(SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho các mệnh đề sau sin x ( I ) Hàm số f ( x ) = 2 là hàm số chẵn. x +1 ( II ) Hàm số f ( x ) = 3sin x + 4 cos x có giá trị lớn nhất là 5 .
( III ) 13
B. y = cos x
Hàm số f ( x ) = tan x tuần hoàn với chu kì 2π . 14
( IV ) Hàm số f ( x ) = cos x
Câu 102. Cho đồ thị hàm số y = cos x như hình vẽ :
đồng biến trên khoảng ( 0; π ) .
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? B. 2 . A. 1 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 99. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? Hình vẽ nào sau đây là đồ thị hàm số y = cos x + 2?
A. y = cos x + 1 .
B. y = 2 − sin x .
A.
.
B.
C.
.
D.
.
.
.
C. y = 2cos x .D. y = cos2 x + 1 .
Câu 100. Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số y = f ( x) = 2sin 2 x ? A. B.
Câu 103. Cho đồ thị hàm số y = sin x như hình vẽ:
C.
D. Hình nào sau đây là đồ thị hàm số y = sin x ?
Lời giải
x Câu 101. Hình vẽ nào sau đây biểu diễn đồ thị hàm số y = cos ? 2 A. B.
C.
D.
A.
.
B.
C.
.
D.
.
Câu 104. Hình nào sau đây là đồ thị hàm số y = sin x ?
Lời giải 15
16
+)Điều kiện: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈ Z , suy ra tập xác định của hàm số y = cot x là
D = ℝ \ {kπ , k ∈ Z} . Câu 9.
Chọn B
y = 2 + 2cos x được xác định ⇔ 2 + 2 cos x ≥ 0 ⇔ cos x ≥ −1 (luôn đúng với ∀x ∈ ℝ). A.
.
C.
Câu 1.
.
Câu 3.
.
D.
Vậy tập xác định của hàm số y = 2 + 2 cos x là ℝ.
sin x − 1 ≠ 0 ⇔ sin x ≠ 1 ⇔ x ≠
Câu 13.
Hàm số y = cot x xác định khi sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ℤ nên có tập xác định là ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} . Hàm số y = sin x xác định với mọi x nên tập xác định là ℝ .
π π π + kπ ⇔ x ≠ + k , k ∈ ℤ . 2 4 2
π 2
π 2
1− cos x là sin x −1
+ k 2π ( k ∈ ℤ ) .
Chọn D
π x≠k sin 2 x ≠ 0 π 2 Hàm số xác định khi ⇔ ⇔ x ≠ k ( k ∈ ℤ) 2 cos x ≠ 0 x ≠ π + kπ 2 Câu 14. Hàm số y = 2 sin x có tập xác định là ℝ . Câu 15.
Hàm số y = cos x xác định với mọi x nên tập xác định là ℝ .
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi
π π sin x − cos x ≠ 0 ⇔ sin x − ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ , ( k ∈ Z ) . 4 4
+ kπ , k ∈ ℤ nên tập xác định là
π ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ . 2 Chọn D Ta có −1 ≤ s inx ≤ 1, ∀x ∈ ℝ . Do đó s inx − 2 ≠ 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy tập xác định D = ℝ Chọn C sin x ≠ 0 x ≠ kπ Điều kiện xác định của hàm số là ⇔ ( k , l ∈ Z ) ⇒ x ≠ kπ , k ∈ Z . cos x ≠ 1 x ≠ l 2π
Chọn
+ kπ
π Vậy tập xác định của hàm số là ℝ \ + k 2π . 2
Câu 5.
Hàm số y = tan x xác định khi cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
4
Chọn D Điều kiện xác định của hàm số y =
π + kπ 2
sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ k π ( k ∈ Ζ ) .
Câu 8.
Chọn B
Câu 12.
π Vậy tập xác định: D = R \ + kπ , k ∈ Z . 2 Chọn C Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 − cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k 2π với k ∈ ℤ . Chọn C Hàm số xác định khi: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ k π .
Vậy, tập xác định của hàm số y =
Câu 11.
π
π π Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ + k , k ∈ ℤ . 2 4
Câu 4.
Câu 7.
Điều kiện sin x − cos x ≠ 0 ⇔ tan x ≠ 1 ⇔ x ≠
Điều kiện xác định của hàm số: cos 2 x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠
Vậy D = R \ {kπ , k ∈ Z }
Câu 6.
Câu 10.
.
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng 1. Tập xác định của hàm số lượng giác Chọn B Điều kiện xác định: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
Câu 2.
B.
Câu 16.
π π π 2 x ≠ 2 + kπ x ≠ 4 + k 2 cos 2 x ≠ 0 Hàm số xác định khi ⇔ ,k ∈ℤ ⇔ cos x ≠ 0 x ≠ π + kπ x ≠ π + kπ 2 2
π π π Vậy tập xác định là: D = ℝ \ + k ; + kπ , k ∈ ℤ . 2 2 4 Câu 17. Các mệnh đề đúng là: (1) Hàm số y = sin x có tập xác định là ℝ .
cot x là ℝ \ {kπ , k ∈ Z} . cos x − 1
(2) Hàm số y = cos x có tập xác định là ℝ .
π (3) Hàm số y = tan x có tập xác định là D = ℝ \ + kπ k ∈ ℤ . 2
C. 17
18
Câu 18.
Hàm số y = − tan x xác định khi: x ≠
π 2
Câu 28.
+ kπ , k ∈ ℤ .
π Vậy tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ . 2 Câu 19.
Hàm số xác định khi cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
Câu 20.
1 − sin x ≥ 0 Ta có: −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ . 1 + sin x ≥ 0
π 2
π π π π π cos 2 x + ≠ 0 ⇔ 2 x + ≠ + kπ ⇔ x ≠ + k ( k ∈ ℤ ) . 3 3 2 12 2 tan x − 1 π + cos x + xác định khi: Câu 29. Hàm số y = sin x 3
+ kπ , k ∈ Z .
Hàm số xác định khi 1 + sin x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ −1 ⇔ x ≠ −
sin x ≠ 0 kπ , (k ∈ ℤ) . ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠ kπ ⇔ x ≠ 2 cos x ≠ 0
π 2
+ k 2π , k ∈ ℤ . Câu 30.
π Vậy tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ − + k 2π ; k ∈ ℤ . 2 sin x ≠ 0 π Câu 21. Điều kiện: ⇔ x ≠ k ,k ∈ℤ . 2 cos x ≠ 0 Câu 22. Câu 23.
kπ . 2 Đk: cos x + 1 ≠ 0 ⇒ cos x ≠ −1 ⇒ x ≠ π + k 2π , ( k ∈ ℤ )
Hàm số y = cot 2 x xác định khi 2 x ≠ kπ ⇔ x ≠
Hàm số đã cho xác định ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠ kπ ⇔ x ≠ k
π 2
π x ≠ + mπ cos x ≠ 0 2 Điều kiện , m, n ∈ ℤ . ⇔ tan x − 1 ≠ 0 x ≠ π + nπ 4
π π + mπ ; + nπ ; m, n ∈ ℤ . 4 2 cos x ≠ 0 π
Vậy Tập xác định D = ℝ \
TXĐ: D = ℝ \ {π + k 2π , k ∈ ℤ} Câu 24.
π Hàm số y = tan 2 x + xác định khi và chỉ khi 3
Câu 31.
Điều kiện xác định: ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k ( k ∈ ℤ ) . 2 sin x ≠ 0
Câu 32.
Đáp án
A.
π π Hàm số đã cho xác định khi cos 3x.cos x − .cos x + ≠ 0 3 3
(k ∈ ℤ) .
π kπ π kπ cos 3 x ≠ 0 ⇔ x ≠ + x ≠ 6 + 3 6 3 5π π π π ⇔ cos x − ≠ 0 ⇔ x − ≠ + k π ⇔ x ≠ + k π, k ∈ Z 3 3 2 6 π π π x ≠ π + kπ cos + x ≠ 0 ⇔ + x ≠ + k π 6 3 2 3
π Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = ℝ \ k , k ∈ ℤ . 2
π π π π Hàm số y = tan 2 x − xác định khi và chỉ khi cos 2 x − ≠ 0 ⇔ 2 x − ≠ + kπ . 4 4 2 4 3π kπ + . Suy ra x ≠ 8 2 3π kπ , k ∈ ℤ . Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ + 2 8 π cos x ≠ 0 tan x x ≠ + kπ Câu 26. Hàm số y = xác định khi: ,k ∈Z. ⇔ 2 cos x − 1 cos x − 1 ≠ 0 x ≠ k 2π Câu 25.
Câu 33.
Đáp án
B.
5sin 2 x + 3 cos 2 x + 5 xác định khi + 12sin x cos x π sin x ≠ 0 kπ x ≠ + kπ ;k ∈ Z ⇔ x ≠ ,k ∈ Z . ⇔ 2 2 cos x ≠ 0 x ≠ k π
Hàm số f ( x ) =
Câu 34.
π Vậy tập xác định là: D = ℝ \ + kπ ; k 2π , k ∈ Z . 2 Câu 27. Hàm số xác định:
Đáp án
A.
π x ≠ − + k 2π 1 6 ĐK: 2sin x + 1 = 0 ⇔ sin x ≠ − ≠ . 7π 2 x≠ + k 2π 6
π π π ⇔ cos cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ + kπ ⇔ cos x ≠ 1 + 2 k ⇔ cos x ≠ ±1 ⇔ sin x ≠ 0 2 2 2 ⇔ x ≠ kπ ( k ∈ ℤ ) .
7π π Tập xác định D = R \ − + k 2π; + k 2π | k ∈ Z . 6 6 Câu 35. Đáp án A. 19
20
Ta có −1 ≤ cos 2 x ≤ 1 nên 5 − 3cos 2 x > 0, ∀x ∈ R .
Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2π .
π Mặt khác 1 + sin 2 x − ≥ 0 . 2
Câu 40.
π Hàm số đã cho xác định ⇔ 1 + sin 2 x − ≠ 0 2 π π π A. ⇔ sin 2 x − ≠ −1 ⇔ 2 x − ≠ − + k 2π ⇔ x ≠ k π, k ∈ Z . 2 2 2
Câu 41. Câu 42.
Tập xác định D = R \ {k π, k ∈ Z } .
Câu 36.
Đáp án
π Ta có hàm số y = tan x có tập xác định là ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ và hàm số y = cot x có tập xác 2 định là ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} nên cả hai hàm số này đều không thỏa yêu cầu. Xét hàm số y = sin 2 x : Ta có sin 2 ( x + k π ) = sin ( 2 x + k 2π ) = sin 2 x , ∀x ∈ ℝ , k ∈ ℤ .
B.
Hàm số y = sin x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π nên không thỏa yêu cầu.
1 + cos x ≥ 0. Vì −1 ≤ cos x ≤ 1 nên 1 + cos x ≥ 0 và 1 − cos x ≥ 0 ⇒ 1 − cos x π π sin x + ≠ 0 x + ≠ kπ Hàm số xác định ⇔ ,k ∈ Z . ⇔ 6 6 x ≠ k 2π 1 − cos x ≠ 0
Câu 43.
Do hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kỳ 2π nên hàm số (1) y = cos 2 x tuần hoàn chu kỳ π . Hàm số (2) y = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2π . Do hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kỳ π nên hàm số (3) y = tan 2 x tuần hoàn chu kỳ
π Tập xác định của hàm số là R \ − + k π, k 2π | k ∈ Z . 6 Câu 37. Đáp án A. Vì −1 ≤ sin x ≤ 1 neen 2 + sin x ≥ 0, ∀x ∈ R .
π 2
Câu 44.
.
π
Do hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kỳ π nên hàm số (4) y = cot 4 x tuần hoàn chu kỳ
. 4 Do hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kỳ 2π nên hàm số (1) y = cos 2 x tuần hoàn chu kỳ π .
Hàm số (2) y = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2π .
π 2 + sin x ≥ 0 x ≠ ± + kπ tan x ≠ ±1 2 4 Hàm số xác định ⇔ tan x − 1 ≠ 0 ⇔ ,k ∈ Z . ⇔ cos x ≠ 0 cos x ≠ 0 x ≠ π + kπ 2
Do hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kỳ π nên hàm số (3) y = tan 2 x tuần hoàn chu kỳ
π 2
Do hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kỳ π nên hàm số (4) y = cot 4 x tuần hoàn chu kỳ
π π Vậy D = R \ ± + k π, + k π, k ∈ Z . 2 4 Câu 38. Đáp án D.
Câu 45.
Chu kỳ của sin
.
π 4
.
2π 2π 4π x 3x = 4π và Chu kỳ của cos = là T1 = là T2 = 1 3 3 2 2 2 2
Chu kì của hàm ban đầu là bội chung nhỏ nhất của hai chu kì T1 và T2 vừa tìm được ở trên.
cot 2 x + 1 ≠ 0 π Hàm số xác định khi cos + 2 x ≠ 0 3 sin x ≠ 0
Chu kì của hàm ban đầu T = 4π Dạng 3. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác Câu 46. Chọn B TXĐ: D = ℝ , ∀x ∈ ℝ ⇒ − x ∈ ℝ
π π π π + 2x ≠ + kπ x ≠ + k ⇔ 3 ⇔ 2 12 2 ,k ∈ Z . x ≠ k π x ≠ k π
Và y(−x) = sin ( −x ) = − sin x = sin x = y ( x )
Câu 47.
π π Vậy tập xác định của hàm số là D = R \ + k , k π, k ∈ Z . 2 12 Dạng 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác Câu 39. Chọn C Hàm số y = tan x , y = cot x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = π . Hàm số y = sin 2 x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T =
2π = 4π . 1 2 Hàm số y = sinx tuần hoàn có chu kỳ là 2π . Chu kì của hàm số T =
Câu 48.
Vậy hàm số trên là hàm số chẵn Hàm số y = cos x là hàm số chẵn, hàm số y = sin x , y = cot x , y = tan x là các hàm số lẻ. Ta có các kết quả sau: + Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
+ Hàm số y = cot x là hàm số lẻ. + Hàm số y = sin x là hàm số lẻ. + Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
2π =π . 2
Câu 49.
Xét hàm y = cos x . TXĐ: D = ℝ .
21
22
Khi đó ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D . Ta có f ( − x ) = cos( − x ) = cos x = f ( x ) .
Ta có f ( − x ) = sin 2007 ( − x ) + cos ( −nx ) = − sin 2007 x + cos nx ≠ ± f ( x ) .
Vậy y = cos x là hàm số chẵn.
Câu 50. Câu 51.
Câu 58.
B sai vì hàm số y = cos x là hàm số chẵn. Xét hàm số y = f ( x ) = sin 2016 x + cos 2017 x . Tập xác định. D = ℝ . Với mọi x ∈ D , ta có − x ∈ D . Ta có f ( − x ) = sin −2016 x + cos ( −2017 x ) = sin 2016 x + cos 2017 x = f ( x ) .
π Ta có tập xác định của hàm số trên là D = ℝ \ + k π | k ∈ ℤ là tập đối xứng. 2 sin 2004 n ( − x ) + 2004 sin 2004 n x + 2004 = = f ( x ). f (−x) = cos ( − x ) cos x
Vậy f ( x ) là hàm số chẵn.
Câu 52.
Các hàm số y = f ( x ) = tan 2 3 x ; y = f ( x ) = cos 3 x thỏa mãn điều kiện f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ℝ nên nó là các hàm số chẵn trên các tập số thực. Do đó, đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. 5 Hàm số y = f ( x ) = x 2 + 5 x − 2 có trục đối xứng là x = − . 2 khi x ≤ 0 1 Vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) = không có trục đối xứng. cos x khi x > 0
Câu 53.
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Suy ra đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy. Vậ y chỉ có phát biểu 2 và 3 là phát biểu đúng. Từ đây ta chọn B.
Câu 59. Chọn B. Hàm số đã cho xác định trên tập D = ℝ nên ta loại A. Tiếp theo để xét tính đối xứng của đồ thị hàm số ta xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.
Chọn A. Với các kiến thức về tính chẵn lẻ của hsố lượng giác cơ bản ta có thể chọn luôn A. Xét A: Do tập xác định D = ℝ nên ∀x ∈ ℝ ⇒ − x ∈ ℝ .
f ( − x ) = − x sin ( − x ) = − x sin x = − f ( x ) . Vậy đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O. Vậy ta
Ta có f ( − x ) = −2 cos ( − x ) = −2cos x = f ( x ) . Vậy hàm số y = −2 cos x là hàm số chẵn.
Câu 54.
Câu 55.
Câu 60.
Chọn B. Tập xác định D = ℝ . Ta có ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D sin ( −2 x ) − sin 2 x = = − f ( x ) . Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. f (−x) = 2 cos ( − x ) − 3 2 cos x − 3 Chọn
chọn đáp án B. Chọn C. Cách 1: TXĐ: D = ℝ. Suy ra ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D. Ta có f ( − x ) = 3m sin4 ( − x ) + cos 2 ( − x ) = −3m sin4x + cos 2 x.
Để hàm số đã cho là hàm chẵn thì f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈ D ⇔ −3m sin4x + cos 2 x = 3m sin4x + cos 2 x, ∀x ∈ D ⇔ 4m sin 4 x = 0, ∀x ∈ D ⇔ m = 0.
D.
π π 1 1 Ta có y = cos 2 x + + sin 2 x − = ( cos 2 x − sin 2 x ) + ( sin 2 x − cos 2 x ) = 0 . 4 4 2 2 Ta có tập xác định D = ℝ . Hàm số y = 0 vừa thỏa mãn tính chất của hàm số chẵn, vừa thỏa mãn tính chất của hàm số lẻ, nên Câu 56.
Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ. Chọn B. π Hàm số đã xác định khi cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + k π, k ∈ ℤ. Vậy phát biểu 1 sai. 2 Ở đây ta cần chú ý : các phát biểu 2; 3; 4; 5; 6 để xác định tính đúng sai ta chỉ cần đi xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.
đây là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. Chọn D. 1 + 3sin 2 x có tập xác định là D = ℝ \ {3} . a, Xét hàm số f ( x ) = x −3 Ta có x = −3 ∈ D nhưng − x = 3 ∉ D nên D không có tính đối xứng. Do đó ta có kết luận hàm số
Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác 3π π Câu 61. + k 2π ; + k 2π , k ∈ ℤ . 2 2 Câu 62. Câu 63.
π Trên khoảng 0; thì hàm số y = tan x đồng biến. 2 Mệnh đề A sai vì hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π . Mệnh đề C sai vì hàm số y = sin x là hàm số lẻ. Mệnh đề D sai vì hàm số y = sin x không có tiệm cận ngang.
f ( x ) không chẵn không lẻ.
π −π + k 2π ; + k 2π . Mệnh đề B đúng vì hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng 2 2 Câu 64. Dựa vào định nghĩa đường tròn lượng giác ta thấy hàm số lượng giác cơ bản y = sin x đồng biến
b, Xét hàm số g ( x ) = sin 1 − x có tập xác định là D2 = [1; +∞ ) . Dễ thấy D2 không phải là tập
đối xứng nên ta kết luận hàm số g ( x ) không chẵn không lẻ. Vậy chọn D. Câu 57. Chọn C. Hàm số có tập xác định D = ℝ .
ở góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ tư.
23
24
Câu 65.
7π 9π ; là phần thuộc góc phần tư thứ tư và thứ nhất nên hàm số đồng biến. Dễ thấy khoảng 4 4
Hàm số y = tan 2 x tuần hoàn với chu kì
π Đáp án B đúng: Hàm số y = sin x đồng biến trên 0; . 2 Đáp án A sai do y = sin x tuần hoàn chu kì là T = 2π .
π π đơn điệu của hàm số trên 0; \ . 2 4 Dựa theo kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số y = tan x ở phần lý thuyết ta có thể suy ra với
Đáp án C sai do y = sin x là hàm số lẻ.
π , dựa vào các phương án A; B; C; D thì ta sẽ xét tính 2
π π π hàm số y = tan 2 x đồng biến trên khoảng 0; và ; . 4 4 2 Câu 71. Chọn D. Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2π và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ xét sự biến
Đáp án D sai do hàm số y = sin x không có tiệm cận ngang.
π 3π thiên của hàm số trên − ; . 2 2 Ta có hàm số y = sin x : π π * Đồng biến trên khoảng − ; . 2 2 π 3π * Nghịch biến trên khoảng ; . 2 2 Từ đây suy ra hàm số y = 1 − sin x : π π * Nghịch biến trên khoảng − ; . 2 2
Câu 66.
π 3π D. * Đồng biến trên khoảng ; . Từ đây ta chọn 2 2 Dưới đây là đồ thị của hàm số y = 1 − sin x và hàm số y = sin x trên ℝ.
3π 5π Quan sát đường tròn lượng giác, ta thấy hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng ; . 2 2 Câu 67. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π ⇒ đáp án A sai. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π ⇒ đáp án B sai. Hàm số y = cot x nghịch biến trên mỗi khoảng ( kπ ; π + kπ ) , k ∈ ℤ ⇒ đáp án D sai.
Câu 68.
Chọn A. Cách 1: Từ lý thuyết về các hàm số lượng giác cơ bản ở trên ta có hàm số y = sin x nghịch biến
π π trên khoảng −π;− và đồng biến trên khoảng − ; 0 . 2 2 Câu 69. Chọn B.
Câu 72.
( k 2π; π + k 2π) , k ∈ ℤ. Từ đây ta có với k = 0 hàm số y = cos x biến trên khoảng ( −π; 0 ) và nghịch biến trên khoảng ( 0; π ) . Tiếp theo ta đến với hàm số y = tan nx; ( n ∈ ℤ ) ,... Ta có ví dụ 3. Câu 70.
Chọn
B.
π Ta có y = sin x − cos x = 2 sin x − . 4
Theo lý thuyết ta có hàm số y = cos x đồng biến trên mỗi khoảng ( −π + k 2π; k 2π ) , k ∈ ℤ và nghịch biến trên khoảng
Chọn
Từ đây ta có thể loại đáp án C, do tập giá trị của hàm số là − 2 ; 2 . Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2π do vậy ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn
đồng
π 7π − 4 ; 4 . Ta có:
A.
π 3π * Hàm số đồng biến trên khoảng − ; . 4 4
π π Tập xác định của hàm số đã cho là D = ℝ \ + k | k ∈ ℤ . 4 2 25
26
3π 7π * Hàm số nghịch biến trên khoảng ; A. . Từ đây ta chọn 4 4 B. Câu 73. Chọn Với A ta thấy hàm số y = tan x không xác định tại mọi điểm x ∈ ℝ nên tồn tại các điểm làm
π 2
Ta được đồ thị như hình vẽ trên. Ta thấy hàm số y = tanx nghịch biến trên − ;0 và đồng
cho hàm số bị gián đoạn nên hàm số không thể luôn tăng.
π π Với B ta thấy B đúng vì hàm số y = tan x đồng biến trên mỗi khoảng − + k π; + k π , k ∈ ℤ. 2 2 Từ đây loại C và D. Câu 74. Chọn B.
π 2
biến trên 0; . Nên ta loại A và D. Với B ta có f ( − x ) = tan ( − x ) = tan x = f ( x ) ⇒ hàm số y = tan x là hàm số chẵn. Với C ta thấy đồ thị hàm số đã cho không đối xứng qua gốc tọa độ, từ đây ta chọn B. Dạng 5. Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos Câu 76. Chọn D. Vì sin x ≤ 1 , ∀x ∈ ℝ nên y = 2 sin x + 1 ≤ 3 , ∀x ∈ ℝ .
Lúc này ta có f ( x 2 ) − f ( x1 ) =
1 1 s inx1 − s inx 2 − sinx 2 sinx` s inx1 s inx 2
3π thì sinx1 > sinx2 ⇒sinx1 − sinx2 > 0 2 sinx1 − sinx 2 0 > sinx1 > sinx2 ⇒ > 0 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) . Vậy y = 1 là hàm tăng. sinx1.sinx 2 s inx
Ta thấy x1 < x2 ∈ π;
Tương tự ta có y =
Câu 75.
Chọn
π
+ k 2π , ( k ∈ ℤ ) . 2 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 sin x + 1 là 3 . y = 3 khi sin x = 1 ⇔ x =
3π 2
Như bài toán xét xem hàm số tăng hay giảm. Ta lấy x1 < x2 ∈ π;
Câu 77.
Ta có −1 ≤ sin 2 x ≤ 1 , ∀x ∈ R . Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là [ −1;1] .
Câu 78.
Với ∀x ∈ ℝ , ta có cos x ∈ [ −1;1] . Tập giá trị của hàm số y = cos x là [ −1;1] .
Câu 79.
Ta có: −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ Suy ra: 1 ≤ 2 − sin x ≤ 3, ∀x ∈ ℝ hay 1 ≤ y ≤ 3, ∀x ∈ ℝ .
1 là hàm giảm. Vậy I sai, II đúng. cos x
Câu 80.
B.
Vậy M = 3 và m = 1 . Ta có −1 ≤ sin 2 x ≤ 1 ⇒ −8 ≤ 3sin 2 x − 5 ≤ −2 ⇒ −8 ≤ y ≤ −2 . Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là −2; − 8 .
Câu 81.
5π 3π Trong nửa khoảng ; : 4 2 Hàm số y = sin x giảm nên sin
3π 7π Trong nửa khoảng ; 2 4
27
3π 5π 2 ≤ sin x < sin ⇒ −1 ≤ sin x < − . 2 4 2
:
28
Hàm số y = sin x tăng nên sin
Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = −t 2 + t + 2 trên đoạn [ −1;1] .
3π 7π 2 ≤ sin x < sin ⇒ −1 ≤ sin x < − . 2 4 2
2
9 1 1 Tung độ đỉnh của parabol y = − + + 2 = là giá trị lớn nhất của hàm số đã cho đạt được 4 2 2 1 tạ i t = . 2
2 5π 7π Vậy khi x thay đổi trong khoảng ; . thì y = sin x lấy mọi giá trị thuộc −1; − 2 4 4 Câu 82.
π π π Xét y = 3 sin x − cos x − 2 = 2 sin x.cos − cos x.sin − 2 = 2sin x − − 2 6 6 6
⇒ y ≤ 5 + 2 2 ⇒ y max = 5 + 2 2 .
π π Ta có −1 ≤ sin x − ≤ 1 ⇒ −4 ≤ 2sin x − − 2 ≤ 0 ⇒ −4 ≤ y ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ 6 6
Câu 90.
y = cos 2 x + cos x = 2 cos 2 + cos x − 1 .
Vậy tập giá trị của hàm số là [ −4;0] .
Đặt: t = cos x , t ∈ [ −1;1] .
Ta có −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ 1 ≤ 2 + sin 3 x ≤ 3 .
f ( t ) = 2t 2 + t − 1 .
Câu 83.
1 9 Đồ thị của hàm số f là parabol có đỉnh I − ; − . 4 8 BBT:
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là: m = 1 . Dấu “ = ” xả y ra khi sin x = −1 hay x = −
Câu 84.
y = cos 2 x + cos x. TXĐ: D = ℝ .
π 2
+ k 2π , k ∈ ℤ .
Vì −2 ≤ 3 − 5sin x ≤ 8 nên suy ra 0 ≤ ( 3 − 5sin x )
2018
≤ 82018 = 26054 .
Do đó m = 0 và M = 26054 . Vậy M + m = 26054 .
π π π Ta có sin 2 x + ≤ 1 ⇒ 3sin 2 x + ≤ 3 ⇒ 3sin 2 x + + 4 ≤ 7 . 12 12 12 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 7 . Câu 86. Dễ thấy các phát biểu (1) ; ( 2 ) ; ( 3) đúng. Câu 85.
9 Dựa vào BBT ta có: M = max f ( t ) = 2 , m = min f ( t ) = − . [ −1;1] [ −1;1] 8 7 Vậ y M + m = . 8 Câu 91. Chọn A.
cos x Xét ( 4 ) : y = cot x = ⇒ ĐKXĐ: s inx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ ⇒ D = R \ {k π ; k ∈ Z} . sin x Câu 87.
Câu 88.
π y = sin 2 x + 3 cos 2 x + 1 = 2sin 2 x + + 1 3
Đặt sin x = u; u ∈ [ −1;1]
π π Do sin 2 x + ∈ [ −1;1] nên 2sin 2 x + + 1∈ [ −1;3] . 3 3
Xét hàm số: y = u 2 − u + 2 trên [ −1;1] .
π π Vậy −1 ≤ y ≤ 3 .( Ta thấy y = −1 khi sin 2 x + = −1 , y = 3 khi sin 2 x + = 1 ).sss 3 3
Ta có:
−b 1 = ∈ [ −1;1] . Từ đây có bảng biến thiên 2a 2
π Ta có y = 2 cos 2 x − sin 2 x + 5 = cos 2 x − sin 2 x + 6 = 2 cos 2 x + + 6 . 4
π π Do − 2 ≤ 2 cos 2 x + ≤ 2 nên − 2 + 6 ≤ 2 cos 2 x + + 6 ≤ 2 + 6 . 4 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos 2 x − sin 2 x + 5 là 6 − 2 .
7 và max y = 4 ⇔ u = −1 . [ −1;1] 4 7 1 Hay min y = ⇔ sin x = và max y = 4 ⇔ sin x = −1 . 4 2 Ta kết luận: min f ( u ) = [ −1;1]
Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ Câu 89. y = cos 2 x + sin x + 1 = − sin 2 x + sin x + 2 .
Đặt t = sin x, − 1 ≤ t ≤ 1 . 29
30
Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số Câu 92. Chọn D π Ta có y = 2cos x + sin x + = 2cos x + 2 ( sin x + cos x ) = 2 + 2 cos x + 2 sin x . 4 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
(
2
y = 2 + 2 cos x + 2 sin x ≤ 2 + 2 2
(
Câu 93. Đáp án B Chọn
)
(
2
)
2
Câu 97.
B.
1 5 1 2 + sin x ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho 4 số: 1; 1; 1 + cos 2 x ; 2 4 2
x∈ℝ
x∈ℝ
sin x là hàm số lẻ. x2 + 1
Do đó ( I ) sai.
22 Hay y ≤ 2
* Xét hàm số f ( x ) = 3sin x + 4 cos x . Tập xác định: D = ℝ .
1 5 1 π Dấu bằng xảy ra khi 1 + cos 2 x = + sin 2 x ⇔ x = ± + kπ , k ∈ ℤ 2 4 2 6 Câu 94. Chọn D.
4 3 Ta có: f ( x ) = 3sin x + 4 cos x = 5 sin x + cos x 5 5 3 4 Đặt sin α = , cos α = . Ta có f ( x ) = 5sin ( x + α ) ≤ 5 5 5
1 1 π Cách 1: Ta thấy 2 − cos x > 0, ∀x ∈ R và 1 + cos x > 0, ∀x ∈ 0; . Suy ra và 2 − cos x 1 + cos x 2 là hai số dương. Áp dụng vất đẳng thức AM- GM cho hai số dương ta có 1 1 2 + ≥ 2 − cos x 1 + cos x ( 2 − cos x )(1 + cos x )
⇒ max f ( x ) = 5 khi sin ( x + α ) = 1 ⇔ x =
Do đó ( II ) đúng. * Xét hàm số f ( x ) = tan x . Ta có hàm số f ( x ) tuần hoàn với chu kì π . Do đó ( III ) sai. * Xét hàm số f ( x ) = cos x . Ta có f ( x ) nghịch biến trên mỗi khoảng ( k 2π ; π + k 2π ) với k ∈ ℤ . Do đó ( IV ) sai.
Đáp án C. Ta có y 2 ≤ (12 + 12 )( cos 2 x + 7 sin 2 x + sin 2 x + 7 cos 2 x ) ⇔ y 2 ≤ 2 (1 + 7 ) = 16 ⇒ y ≤ 4 . Dấu bằng
π 4
+
π
− α + k 2π , ( k ∈ ℤ ) . 2 Vậy hàm số f ( x ) = 3sin x + 4 cos x có giá trị lớn nhất là 5 .
Mặt khác tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 2 − cos x + 1 + cos x 3 = ( 2 − cos x )(1 + cos x ) ≤ 2 2 2 4 ⇒ y≥ ≥ ( 2 − cos x )(1 + cos x ) 3
kπ , k ∈ ℤ. Vậ y giá trị lớn nhất của hàm số là 4. 2
Vậy trong bốn mệnh đề đã cho có một mệnh đề đúng.
Câu 99.
Do đồ thị đi qua ba điểm ( −π ; 0 ) , ( 0; 2 ) , (π ; 0 ) nên chọn phương án A
Câu 100. C. Chọn Ta thấy −2 ≤ 2sin 2 x ≤ 2 nên ta có loại A và B. Tiếp theo với C và D ta có:
Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác Câu 96.
Ta có max ( sin x + cos x ) = 2 = M , min ( sin x + cos x ) = − 2 = m , M − m = 2 2 . Vì phép tịnh
Vậy hàm số f ( x ) =
1 5 1 1 5 1 9 1 22 1. 1 + cos2 x + 1. + sin 2 x ≤ 12 + 12 . 1 + cos 2 x + + sin 2 x = 2. + = 2 4 2 2 4 2 4 2.1 2
xả y ra khi x =
B.
tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên chọn đáp án D (chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng 2 ). sin x Câu 98. * Xét hàm số f ( x ) = 2 . x +1 Tập xác định: D = ℝ . sin ( − x ) − sin x = 2 ∀x ∈ D , ta có: − x ∈ D và f ( − x ) = = − f ( x) . 2 ( −x) +1 x +1
2
1 1 1 5 1 2 + sin x 5 + 2sin 2 x ⇔ y = 1 + cos 2 x + Ta có y = 1 + cos 2 x + 2 2 2 4 2
Câu 95.
3π 3π nhìn vào đồ thị ta được y = 0 . Thay x = vào phương án A ta nhận được y = 2 2 2
⇒ loại A nên đáp án là
2 . cos x + sin x = 5 + 2 2
) ( ) +
2
+ Chọn x =
Chọn B + Chọn x = π nhìn vào đồ thị ta được y = −1 . Thay x = π vào lần lượt các phương án ta loại C và D
Từ phần lý thuyết ở trên ta có hàm số tuần hoàn với chu kì
2π = π. 2
Ta thấy với x = 0 thì y = 0 nên đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. Từ đây ta chọn đáp án
C.
Câu 101. 31
32
Chọn D
x ≤ 1 nên ta loại B. 2 x 2π Tiếp theo ta có hàm số y = cos có chu kì tuần hoàn là T = = 4π . 1 2 2 x Ta thấy với x = 0 thì y = cos = cos 0 = 1 nên ta chọn D. 2 Câu 102. Chọn A Ta thực hiện phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = cos x trên trục Oy lên trên 2 đơn vị (xem lại sơ đồ biến đổi đồ thị cơ bản ở bên trên). Câu 103. Chọn C Suy diễn đồ thị hàm số y = sin | x | từ đồ thị hàm số y = sin x : Ta thấy −1 ≤ cos
Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số y = sin x nằm bên phải trục Oy. Lấy đối xứng phần đồ thị trên qua trục Oy. Dưới đây là đồ thị ta thu được sau khi thực hiện các bước suy diễn ở trên. Phần đồ thị nét đứt là phần bỏ đi của đồ thị hàm số y = sin x.
Câu 104. Chọn B. Cách 1: Suy diễn đồ thị hàm số y =| sin x | từ đồ thị hàm số y = sin x : Giữ nguyên phần tử từ trục hoành trở lên của đồ thị y = sin x. Lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số y = sin x phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Cách 2: Ta thấy | sin x |≥ 0, ∀x nên đồ thị hàm số y =| sin x | hoàn toàn nằm trên trục Ox. B.
Từ đây ta chọn
33
TOÁN 11
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Câu 1.
(ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình sin
BÀI 2 A. x = π + k 4π , k ∈ ℤ .
B. x = k 2π , k ∈ ℤ .
x = 1 là 2
C. x = π + k 2π , k ∈ ℤ . D. x =
Mục lục Dạng 1. Phương trình sinx=a............................................................................................................................................ 1
Câu 2.
Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm .......................................................................................................................... 1 Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm ..................................................................................................................................... 3 Dạng 2. Phương trình cosx=a ........................................................................................................................................... 6
π (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Phương trình sin x − = 1 có nghiệm là 3 5π 5π π π A. x = + k 2π . B. x = C. x = D. x = + 2π . + kπ . + k 2π . 3 6 6 3
Câu 4.
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình 2sin x − 3 = 0 . 3 x = arcsin 2 + k 2π A. x ∈∅ . B. (k ∈ ℤ) . 3 x = π − arcsin + k 2π 2
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 10 Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 11 Dạng 4. Phương trình cotx=a ......................................................................................................................................... 12 Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 12 Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 12
3 x = arcsin 2 + k 2π C. (k ∈ ℤ) . 3 π x = − arcsin + k 2 2
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp .................................................................................................................................. 12 Dạng 1. Phương trình sinx=a.......................................................................................................................................... 14 Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 14
(THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Phương trình sin x = 1 có một nghiệm là π π π A. x = π . B. x = − . C. x = . D. x = . 2 2 3
Câu 6.
(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin x =
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 21 Dạng 3. Phương trình tanx=a ......................................................................................................................................... 24 Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 24
A. x = ±
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 25 Dạng 4. Phương trình cotx=a ......................................................................................................................................... 26 Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 26
D. x ∈ ℝ .
Câu 5.
Dạng 2. Phương trình cosx=a ......................................................................................................................................... 21 Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 22
+ k 2π , k ∈ ℤ .
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình sin 2 x = 1 . π π π kπ A. x = + k 2π . B. x = + kπ . C. x = + k 2π . D. x = . 2 4 4 2
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ..................................................................................................................................... 8
Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 15
2
Câu 3.
Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm .......................................................................................................................... 6 Dạng 3. Phương trình tanx=a ......................................................................................................................................... 10
π
Câu 7.
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 27
π 3
+ k 2π .
B. x =
π 3
+ kπ .
x = π + kπ 6 C. . x = 5π + kπ 6
3 có nghiệm là: 2 x = π + k 2π 3 D. . x = 2π + k 2π 3
(THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Tập nghiệm của phương trình sin x = sin 30° là A. S = {30° + k 2π | k ∈ ℤ} ∪ {150° + k 2π | k ∈ ℤ} . B. S = {±30° + k 2π | k ∈ ℤ} .
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp .................................................................................................................................. 27
C. S = {±30° + k 360° | k ∈ ℤ} . D. S = {30° + 360° | k ∈ ℤ} ∪ {150° + 360° | k ∈ ℤ} .
Câu 8.
Dạng 1. Phương trình sinx=a Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm
(THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Nghiệm của phương trình sin x = 1 là π π π π + kπ , k ∈ℤ . B. + kπ , k ∈ ℤ . C. − + k 2π , k ∈ ℤ . D. + k 2π , k ∈ ℤ . 2 2 2 2
A. −
Câu 9. 1
π (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin x + = 1 . 6 2
A. x =
π
π
+ kπ ( k ∈ ℤ ) . B. x = − + k 2π ( k ∈ ℤ ) . 3 6 5π π C. x = + k 2π ( k ∈ ℤ ) . D. x = + k 2π ( k ∈ ℤ ) . 3 6
Câu 10. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình 2sin x − 1 = 0 có tập nghiệm là: 5π 2π π π B. S = + k 2π ; − A. S = + k 2π ; + k 2π , k ∈ Z . + k 2π , k ∈ Z . 6 3 6 3 π π 1 C. S = + k 2π ; − + k 2π , k ∈ Z . D. S = + k 2π , k ∈ Z . 6 6 2 Câu 11.
(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Phương trình 2sin x + 1 = 0 có nghiệm là: π π x = − 6 + k 2π x = − 6 + k 2π A. B. x = − 7π + k 2π x = 7π + k 2π 6 6 π π x = 6 + k 2π x = 6 + kπ C. D. x = 5π + k 2π x = − 7π + k π 6 6
Câu 12. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Phương trình 2sin x − 3 = 0 có tập nghiệm là: π π A. ± + k 2π , k ∈ ℤ . B. ± + k 2π , k ∈ ℤ . 6 3 5π 2π π π C. + k 2π , D. + k 2π , + k 2π , k ∈ ℤ . + k 2π , k ∈ ℤ . 6 3 6 3 Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm
π 3π Câu 14. Cho phương trình sin 2 x − = sin x + 4 4 phương trình trên. 7π A. . B. π . 2 Câu 15.
(THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm M, N ?
C.
3π . 2
D.
π . 4
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3sin 2 x − m 2 + 5 = 0 có nghiệm? A. 6. B. 2. C. 1. D. 7.
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: 3sin x + m −1 = 0 có nghiệm? A. 7 B. 6 C. 3 D. 5 Câu 17.
Câu 18.
(CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm số nghiệm của phương trình sin ( cos 2 x ) = 0 trên [0; 2π ]. A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 .
π 3 Phương trình sin 3 x + = − có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 3 2 A. 3 . B. 4 . C. 1 .
0; π ? 2 D. 2 .
Câu 19.
(GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Số nghiệm của phương trình 2sin x − 3 = 0 trên đoạn đoạn [ 0; 2π ] . A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.
Câu 20.
(THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Số nghiệm thực của phương trình 3π 2sin x + 1 = 0 trên đoạn − ;10π là: 2 A. 12 . B. 11 . C. 20 . D. 21 .
Câu 21.
π 3π (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin 2 x − = sin x + có tổng 4 4 các nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) bằng A.
Câu 13.
. Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) của
Câu 22.
7π . 2
B. π .
C.
3π . 2
D.
π . 4
(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S của các nghiệm của phương trình 1 π π sin x = trên đoạn − ; . 2 2 2
A. S =
5π . 6
B. S =
π . 3
C. S =
π . 2
D. S =
π . 6
Câu 23. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Phương trình π 3 π có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 0; ? sin 3x + = − 3 2 2 A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 2 . Câu 24.
A. 2sin2x = 1.
B. 2cos2x = 1.
C. 2sin x = 1.
(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình 2sin x − 3 = 0 . Tổng các nghiệm thuộc [ 0; π ] của phương trình là:
A. π .
D. 2cos x = 1. 3
B.
π 3
.
C.
2π . 3
D.
4π . 3 4
âu 30.
Câu 25.
3 có hai 2 π π công thức nghiệm dạng α + kπ , β + kπ ( k ∈ ℤ ) với α , β thuộc khoảng − ; . Khi đó, 2 2 α + β bằng (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin 2 x = −
A. Câu 26.
Câu 27.
π 2
.
B. −
π 2
.
C. π .
D. −
π 3
.
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S của các nghiệm của phương trình 1 π π sin x = trên đoạn − ; . 2 2 2 5π π π π A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 6 3 2 6
Câu 34.
(Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thực của phương trình 3π 2sin x + 1 = 0 trên đoạn − ;10π là: 2 A. 12 . B. 11 . C. 20 . D. 21 .
Câu 35.
(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình π sin x + = 1 thuộc đoạn [π ; 2π ] là: 4 A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1.
Câu 29.
(THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Phương trình 2sin x − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm x ∈ ( 0; 2π ) ? A. 2 nghiệm. B. 1 nghiệm. C. 4 nghiệm. D. Vô số nghiệm.
(SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Phương trình sin 5x − sin x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [ −2018π ; 2018π ] ?
A. 20179 .
B. 20181 .
C. 16144 .
(THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho phương trình 2 sin x − 3 = 0 . Tổng các nghiệm thuộc [ 0; π ] của phương trình là:
A.
4π . 3
B. π .
C.
π 3
.
D.
2π . 3
C. 2 .
D. 4 .
Câu 36.
(THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình π 2 là: cos x + = 4 2 x = k 2π x = kπ A. k ∈ Z ) B. (k ∈ Z ) ( π x = − + kπ x = − π + kπ 2 2 x = kπ x = k 2π C. D. (k ∈ Z ) (k ∈ Z ) π x = − + k 2π x = − π + k 2π 2 2
Câu 37.
(THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Nghiệm của phương trình cos x = −
1 2
là A. x = ±
2π + k 2π 3
π B. x = ± + k π 6
π C. x = ± + k 2π 3
π D. x = ± + k 2π 6
Câu 38.
(THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Giải phương trình cos x = 1 . kπ A. x = , k ∈ℤ. B. x = kπ , k ∈ ℤ . 2 π C. x = + k 2π , k ∈ ℤ . D. x = k 2π , k ∈ ℤ . 2
Câu 39.
(CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình cos x = cos
π 3
có tất
cả các nghiệm là: 2π π A. x = + k 2π ( k ∈ ℤ ) B. x = ± + kπ ( k ∈ ℤ ) 3 3 C. x = ±
5
B. 6 .
Dạng 2. Phương trình cosx=a Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
D. 16145 .
(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thuộc đoạn 5π 0; của phương trình 2sin x −1 = 0 là: 2 A. 3 . B. 1. C. 4 . D. 2 .
π (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Phương trình: 2sin 2 x − − 3 = 0 3 có mấ y nghiệm thuộc khoảng ( 0;3π ) . A. 8 .
B. Điểm E , điểm F . D. Điểm E , điểm D .
Câu 28.
Câu 32.
(Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Tính tổng S của các nghiệm của phương 1 π π trình sin x = trên đoạn − ; . 2 2 2 π π π 5π A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 6 3 2 6
(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình 2sin x + 1 = 0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?
A. Điểm D , điểm C . C. Điểm C , điểm F .
Câu 31.
Câu 33.
π 3
+ k 2π ( k ∈ ℤ )
D. x =
π 3
+ k 2π ( k ∈ ℤ ) 6
Câu 40.
(KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Phương trình cos x = 0 có nghiệm là: π A. x = + kπ ( k ∈ ℤ ) . B. x = k 2π ( k ∈ ℤ ) . 2 C. x =
π 2
+ k 2π
(k ∈ ℤ) .
D. x = k π
(k ∈ ℤ) .
Câu 46.
Câu 41. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình π 2 là cos x + = 4 2 x = k 2π x = kπ A. B. ( k ∈ ℤ) . ( k ∈ ℤ) . x = − π + kπ x = − π + kπ 2 2 x = kπ x = k 2π k ∈ ℤ) . D. C. ( (k ∈ ℤ) . π x = − + k 2π x = − π + k 2π 2 2 Câu 42.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos A. x = kπ , k ∈ ℤ.
B. x =
x = 0. 3
Câu 44.
Câu 45.
π
C. x = ±
π
6 6
+ k 2π , k ∈ ℤ . + 2π , k ∈ ℤ . D. x = ±
B. x = ±
π 3
π 2
+ kπ , k ∈ℤ . B. x = k 2π , k ∈ ℤ .
C. x = π + k 2π , k ∈ ℤ . D. x = kπ , k ∈ ℤ .
Câu 47.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Phương trình cos x = −
π A. x = ± + k 2π ; k ∈ ℤ . 3 3π C. x = ± + k 2π ; k ∈ ℤ . 4 Câu 48.
Câu 49.
π 3
+ k 2π , k ∈ ℤ .
+ kπ , k ∈ ℤ .
(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Phương trình 2cos x − 2 = 0 có tất cả các nghiệm là 3π π x = 4 + k 2π x = 4 + k 2π A. B. ,k ∈ℤ . ,k ∈ℤ . x = − 3π + k 2π x = − π + k 2π 4 4 π 7π x = 4 + k 2π x = 4 + k 2π ,k ∈ℤ . C. D. ,k ∈ℤ . x = 3π + k 2π x = − 7π + k 2π 4 4 (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Giải phương trình 2cos x − 1 = 0 π x = 3 + k 2π π A. x = ± + k π, k ∈ ℤ . B. , k ∈ℤ . 3 x = 2π + k 2π 3
2 có tập nghiệm là 2
π B. x = ± + kπ ; k ∈ ℤ . 4 π D. x = ± + kπ ; k ∈ ℤ . 3
(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? π A. cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π . B. cos x = 0 ⇔ x = + kπ . 2 C. cos x = 1 ⇔ x = k 2π . D. cos x = 0 ⇔ x =
(XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình 2cos x − 1 = 0 có nghiệm là: A. x = ±
π + kπ 3 , k ∈ℤ. 2π + kπ 3
(THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình cos x = −1 là: A. x =
π
+ kπ , k ∈ ℤ. 2 3π 3π C. x = + k 6π , k ∈ ℤ. D. x = + k 3π , k ∈ ℤ. 2 2
Câu 43.
x = π C. x = ± + k 2π, k ∈ ℤ . D. 3 x =
π 2
+ k 2π .
(THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình lượng giác: 2cos x + 2 = 0 có nghiệm là π 3π π 7π x = 4 + k 2π x = 4 + k 2π x = 4 + k 2π x = 4 + k 2π A. . B. . C. . D. . x = − π + k 2π x = − 3π + k 2π x = 3π + k 2π x = − 7π + k 2π 4 4 4 4
Câu 50. (THPT NGÔ QUYỀN - HẢI PHÒNG - 2018) Tìm công thức nghiệm của phương trình 2cos ( x + α ) = 1 (với α ∈ ℝ ).
π x = −α + 3 + k 2π A. ( k ∈ ℤ) . x = −α + 2π + k 2π 3 π x = −α + 3 + k 2π C. ( k ∈ ℤ) x = α − π + k 2π 3 Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
π x = −α + + k 2π B. 3 ( k ∈ ℤ) . x = −α + k 2π
π x = −α + 3 + k 2π D. ( k ∈ ℤ) . x = −α − π + k 2π 3
Câu 51. (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos x − m = 0 vô nghiệm. A. m ∈ ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) B. m ∈ ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ ) C. m ∈ (1; +∞ ) 7
D. m ∈ ( −∞; −1) 8
Câu 52.
(THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Tổng các nghiệm thuộc khoảng π π 2 − ; của phương trình 4sin 2 x − 1 = 0 bằng: 2 2 A. π .
Câu 53.
Câu 54.
B.
Câu 57.
π m
D.
6
.
Câu 61.
1 có 2
11π . 12
C. x =
2π . 3
D. 3
B. 3 .
C. 1.
D. 4 .
7π . 6
B. T = 2π .
C. T =
4π . 3
D. T = π .
(THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của phương 5π trình 2 cos x = 3 trên đoạn 0; là 2 A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . Dạng 3. Phương trình tanx=a Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 65.
(THPT KIẾN AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình tan x = m , ( m ∈ ℝ ) . A. x = arctan m + kπ hoặc x = π − arctan m + kπ , ( k ∈ ℤ ) .
5π . 6
(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hai phương trình cos3x − 1 = 0 (1); cos 2 x = −
C. 3 .
1 thuộc đoạn [ −2π ; 2π ] là? 2 D. 1.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 2 x − cos x = 0 trên khoảng ( 0; 2π ) bằng T . Khi đó T có giá trị là: A. T =
Câu 64.
D. x =
B. 2 .
A. 2 .
Câu 63.
(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2 x − 1 = 0 trong đoạn [0; π ] là: B. x =
D. 3 .
(CTN - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình cos x = A. 4 .
π
π (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình cot x + = 3 3 π kπ k * có dạng x = − + , k ∈ ℤ , m , n ∈ ℕ và là phân số tối giản. Khi đó m − n bằng m n n A. 5 . B. −3 . C. −5 . D. 3 .
C. 4 .
Câu 62. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Phương trình cos 2 x + cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ( −π ; π ) ?
+ kπ , k ∈ ℤ ; với m, n là các số nguyên dương. Khi đó m + n bằng n B. 3. C. 5. D. 6.
+ kπ và x = −
π Phương trình 2cos x + = 1 có số nghiệm thuộc đoạn [ 0; 2π ] là 3 A. 1 B. 2 C. 0
A. x = π .
Câu 58.
C. 0 .
.
(KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Biết các nghiệm của phương trình cos 2 x = −
A. 4.
Câu 56.
3
π
(CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình π 2cos x + = 1 có số nghiệm thuộc đoạn [ 0; 2π ] là 3 A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
dạng x =
Câu 55.
π
5π 2 cos x = 3 trên đoạn 0; là 2 A. 2 . B. 1.
B. x = ± arctan m + kπ , ( k ∈ ℤ ) . C. x = arctan m + k 2π , ( k ∈ ℤ ) .
1 (2). Tập các 2
D. x = arctan m + kπ , ( k ∈ ℤ ) .
nghiệm của phương trình (1) đồng thời là nghiệm của phương trình (2) là A. x =
π 3
C. x = ±
Câu 59.
Câu 60.
Câu 66. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Phương trình tan x = 3 có tập nghiệm là π π π C. + kπ , k ∈ ℤ . D. + kπ , k ∈ ℤ . A. + k 2π , k ∈ ℤ . B. ∅ . 3 3 6
+ k 2π , k ∈ℤ . B. x = k 2π , k ∈ ℤ .
π 3
+ k 2π , k ∈ ℤ D. x = ±
2π + k 2π , k ∈ ℤ . 3
(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một 1 góc là nghiệm của phương trình cos 2 x = − . 2 2π π π π π π 2π π π A. , , . B. , , ; , , . 3 6 6 3 3 3 3 6 6 π π π π π π π π π C. , , ; , , . D. , , . 3 3 3 4 4 2 3 3 3 (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình
9
Câu 67.
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình tan 3x = tan x là kπ kπ B. x = kπ , k ∈ ℤ . C. x = k 2π , k ∈ ℤ. D. x = A. x = , k ∈ ℤ. , k ∈ ℤ. 2 6
Câu 68. Phương trình tan ( 3x − 15°) = 3 có các nghiệm là: A. x = 60° + k180° . B. x = 75° + k180° . C. x = 75° + k 60° . Câu 69. Phương trình lượng giác: 3.tan x + 3 = 0 có nghiệm là: π π π A. x = + kπ . B. x = − + k 2π . C. x = + kπ . 3 3 6
D. x = 25° + k 60° .
D. x = −
π 3
+ kπ . 10
A. 4.
Câu 70. Giải phương trình: tan2 x = 3 có nghiệm là: A. x =
π 3
+ kπ .
B. x = −
Câu 71. Nghiệm của phương trình A. x = −
Câu 72.
π 6
+ kπ .
π 3
C. x = ±
+ kπ .
π 3
A.
3 + 3 tan x = 0 là:
B. x =
π 2
+ kπ .
C. x =
π 3
+ kπ .
(THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Giải phương trình A. x =
π
C. x =
π
6
D. vô nghiệm.
+ kπ .
+ kπ ( k ∈ ℤ ) . B. x =
π 3
π
+k
π 2
D. x =
π 2
B.
B. π .
C.
(
0
A. 0 .
3 tan 2 x − 3 = 0 .
D. 3.
3π . 2
D. 2π .
B. −30 .
)
(
0
)
0
C. 30 .
D. −60 .
Dạng 4. Phương trình cotx=a Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm
(k ∈ ℤ) .
π
Câu 79. Phương trình lượng giác 3cot x − 3 = 0 có nghiệm là: π π A. x = + k 2π . B. Vô nghiệm. C. x = + kπ . 3 6
171π . 2
C. 45π .
D.
Câu 80.
190π . 2
(THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình − 3 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào? tan x = 3
C. x = arccot
A x
1 5π π + + k ( k ∈ Z ). 3 18 3 5π π C. x = + k (k ∈ Z ). 18 3 Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
A. 2018.
+ kπ .
B. x =
π
D. x =
π
3
6
+ k 2π ( k ∈ Z )
+ kπ ( k ∈ Z ) .
1 π π + + k ( k ∈ Z ). 3 18 3 1 π D. x = − + kπ ( k ∈ Z ) . 3 6
B. x =
B. 6340.
3 cot x − 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm? C. 2017.
D. 6339.
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp
B' A. Điểm F , điểm D . B. Điểm C , điểm F . C. Điểm C , điểm D , điểm E , điểm F . D. Điểm E , điểm F .
Câu 76. Số nghiệm của phương trình tan x = tan
3 + kπ ( k ∈ Z ) . 2
Câu 83. Hỏi trên đoạn [ 0; 2018π ] , phương trình
F
E
3
Câu 82. (THPT Hồng Quang - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Nghiệm của phương trình π π kπ k , k ∈ ℤ , m , n ∈ ℕ* và là phân số tối giản. Khi đó cot x + = 3 có dạng x = − + 3 m n n m − n bằng A. 3 . B. 5 . C. −3 . D. −5 .
C O
(k ∈ Z ) .
A. x =
B
A'
π
Câu 81. Giải phương trình cot ( 3x − 1) = − 3.
y
D
D. x =
(Sở GD Kiên Giang-2018-BTN) Phương trình 2 cot x − 3 = 0 cónghiệmlà
π x = 6 + k 2π A. x = − π + k 2π 6
Câu 74. Trong các nghiệm dương bé nhất của các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm dương nhỏ nhất? π A. tan 2 x = 1 . B. tan x − = 3 . C. cot x = 0 . D. cot x = − 3 . 4 Câu 75.
5π . 2
0
Tính tổng các nghiệm trong đoạn [ 0;30] của phương trình: tan x = tan 3x (1) A. 55π .
C. 2.
0 0 0 Câu 78. Tính tổng các nghiệm của phương trình tan 2x − 15 = 1 trên khoảng −90 ;90 bằng.
+ k 2π .
+ kπ ( k ∈ ℤ ) . D. x = + k ( k ∈ ℤ ) . 3 6 2 Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 73.
B. 1.
Câu 77. Tổng các nghiệm của phương trình tan 5x − tan x = 0 trên nửa khoảng [ 0; π ) bằng:
Câu 84.
3π π trên khoảng ; 2π là? 11 4 11
(GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm? 3 π 2π A. tan x = 99 . B. cos 2 x − = . C. cot 2018x = 2017 . D. sin 2 x = − . 2 3 4 12
Câu 85. Trong các phương trình sau, phương trình nào nhận x = π + k 2π k ∈ ℤ làm nghiệm ( ) 6 3 π A. sin 3x = sin − 2 x . B. cos x = sin 2 x. 4 C. cos 4 x = − cos 6 x.
Câu 86.
4
π + k 4π , ( k ∈ ℤ ) 3
C. 2
TÀI
SỐ
2
2018-2019)
Giải
phương
(THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình 8.cos 2 x.sin 2 x.cos 4 x = − 2 có nghiệm là −π π π π x = 32 + k 4 x = 16 + k 8 k ∈ ℤ . B. A. ( ) ( k ∈ ℤ) . x = 5π + k π x = 3π + k π 32 4 16 8 π π π π x = 8 + k 8 x = 32 + k 4 C. D. ( k ∈ ℤ) . ( k ∈ ℤ) . x = 3π + k π x = 3π + k π 8 8 32 4
Câu 89.
(CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm số nghiệm của phương trình sin ( cos 2 x ) = 0 trên [0; 2π ]. A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 .
Câu 90.
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Phương trình nào sau đây vô nghiệm? A. tan x = 3 . B. sin x + 3 = 0 . C. 3sin x − 2 = 0 . D. 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0 .
Câu 91.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong khoảng ( 0; π ) , phương trình cos 4 x + sin x = 0 có
π 10
.
C. x = 5π ; x =
π 10
.
D. x = 5π ; x =
π 20
Câu 95.
(THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin x = cos x có bao nhiêu nghiệm x ∈ ( 0;5π ) ? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
Câu 96.
(SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Nghiệm của phương trình sin 3 x = cos x là A. x = kπ ; x = k
π
π
π
π
. B. x = + k ; x = + kπ . 2 8 2 4 π π C. x = k 2π ; x = + k 2π . D. x = kπ ; x = + kπ . 2 4
Câu 97.
(THPT HÒA VANG - ĐÀ NẴNG - 2018) Phương trình sin 2 x + cos x = 0 có tổng các nghiệm trong khoảng ( 0; 2π ) bằng A. 2π .
Câu 98.
Câu 99.
B. 3π .
C. 5π .
D. 6π .
(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Số nghiệm chung của hai phương trình 4 cos 2 x − 3 = 0 và π 3π 2sin x + 1 = 0 trên khoảng − ; bằng 2 2 A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Giải phương trình sin x sin 7 x = sin 3x sin 5x . kπ kπ kπ B. x = C. x = D. x = ,k ∈ℤ . ,k ∈ℤ . ,k ∈ℤ . 6 4 2
A. x = kπ , k ∈ ℤ .
tập nghiệm là S . Hãy xác định S . π 2π 3π 7π π 3π A. S = ; B. S = ; . ; ; . 3 3 10 10 6 10 π π 7π π 5π 3π 7π C. S = ; ; . D. S = ; ; ; . 6 10 10 6 6 10 10
Câu 92.
B. x = 10π ; x =
(THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Số nghiệm của phương trình 4 − x 2 sin 2 x = 0 là B. 5 . C. 4 . D. 3 . A. 2 .
trình
π B. x = ± + k 2π , ( k ∈ ℤ ) 3 2π D. x = ± + k 4π , ( k ∈ ℤ ) 3
.
Câu 94.
D. 4
NĂM
2
(THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin 2 x = cos x có nghiệm là π kπ π kπ x = 6 + 3 x = 6 + 3 A. B. (k ∈ ℤ) . (k ∈ ℤ) . x = π + k 2π x = π + k 2π 3 2 π π k 2π x = 6 + k 2π x = 6 + 3 D. C. (k ∈ ℤ) . ( k ∈ ℤ) . x = π + k 2π x = π + k 2π 2 2
.
B. 5
(TRƯỜNG THPT LƯƠNG x x 2 cos − 1 sin + 2 = 0 2 2 2π + k 2π , ( k ∈ ℤ ) A. x = ± 3 C. x = ±
Câu 88.
π
π
Câu 93.
(CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình sin x = cos x có số nghiệm thuộc đoạn [ −π; π] là: A. 3
Câu 87.
D. tan 2 x = − tan
A. x =
Câu 100. (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Tìm số nghiệm của phương trình sin x = cos 2 x thuộc đoạn [ 0; 20π ] . A. 20 .
B. 40 .
C. 30 .
D. 60 .
Dạng 1. Phương trình sinx=a Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm
Câu 1.
(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Phương trình cos3x.tan 5x = sin 7 x nhận những giá trị sau của x làm nghiệm
13
Câu 2.
x x π = 1 ⇔ = + k 2π ⇔ x = π + k 4π , k ∈ ℤ 2 2 2 5π π π π + k 2π ( k ∈ ℤ ) . sin x − = 1 ⇔ x − = + k 2π ⇔ x = 3 3 2 6
Phương trình tương đương sin
14
π
Câu 3.
Ta có: sin 2 x = 1 ⇔ 2 x =
Câu 4.
Ta có: 2sin x − 3 = 0 ⇔ sin x =
Câu 5.
Ta có sin x = 1 ⇔ x =
2
+ k 2π ⇔ x =
π 4
π 3π x = π + k 2π 2 x − 4 = x + 4 + k 2π 3π π Ta có: sin 2 x − = sin x + ⇔ ⇔ x = π + k 2π 4 4 2 x − π = π − x − 3π + k 2π 6 3 4 4 + Xét x = π + k 2π ( k ∈ ℤ ) .
+ kπ .
3 > 1 nên phương trình vô nghiệm. 2
π + k 2π ( k ∈ ℤ ) . 2
1 Do 0 < x < π ⇔ 0 < π + k 2π < π ⇔ − < k < 0 . Vì k ∈ ℤ nên không có giá trị k . 2 π 2π + Xét x = + k ( k ∈ ℤ) . 6 3 π 2π 1 5 Do 0 < x < π ⇔ 0 < + k < π ⇔ − < k < . Vì k ∈ ℤ nên có hai giá trị k là: k = 0; k = 1 . 6 3 4 4 π • Với k = 0 ⇒ x = . 6 5π . • Với k = 1 ⇒ x = 6 π 5π Do đó trên khoảng ( 0; π ) phương trình đã cho có hai nghiệm x = và x = . 6 6 π 5π Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng ( 0; π ) là: + =π . 6 6 Câu 15. Chọn B m2 − 5 Phương trình đã cho tương đương với phương trình sin 2 x = 3 −2 2 ≤ m ≤ − 2 m2 − 5 2 ∈ [ −1;1] ⇔ m ∈ [ 2;8] ⇔ Vì sin 2 x ∈ [ −1;1] nên 3 2 ≤ m ≤ 2 2 Vậy có 2 giá trị. 1− m 1− m Câu 16. 3sin x + m −1 = 0 ⇔ sin x = , để có nghiệm ta có −1 ≤ ≤ 1 ⇔ −2 ≤ m ≤ 4 3 3 Nên có 7 giá trị nguyên từ −2; đến 4 .
π là một nghiệm của phương trình sin x = 1. 2 x = π + k 2π 3 3 , với k ∈ℤ . sin x = ⇔ x = 2π + k 2π 2 3 x = 30° + k 360° x = 30° + k 360° ⇔ sin x = sin 30° ⇔ ( k ∈ ℤ) . x k = 180 ° − 30 ° + 360 ° x = 150° + k 360° π sin x = 1 ⇔ x = + k 2π , k ∈ ℤ . 2 π π π π sin x + = 1 ⇔ x + = + k 2π ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ℤ ) . 6 6 2 3
Do đó x =
Câu 6.
Ta có
Câu 7.
Ta có
Câu 8.
Ta có
Câu 9.
Ta có
Câu 10.
Ta có: 2sin x − 1 = 0 ⇔ sin x =
Câu 11.
Chọn B
π x = 6 + k 2π 1 π k ∈Z . ⇔ sin x = sin ⇔ 2 6 x = 5π + k 2π 6
Ta có: 2sin x + 1 = 0 ⇔ sin x = −
1 π = sin − 2 6
π x = − 6 + k 2π ⇔ ( k ∈ ℤ) x = 7 π + k 2π 6
Câu 17.
π x = 3 + k 2π 3 Câu 12. 2sin x − 3 = 0 ⇔ sin x = ⇔ ( k ∈ ℤ ). 2 x = 2π + k 2π 3 2π π Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = + k 2π , + k 2π , k ∈ ℤ 3 3 Câu 13.
( k ∈ ℤ) .
Ta có sin ( cos2 x ) = 0 ⇔ cos2 x = kπ ( k ∈ ℤ ) Vì cos 2 x ∈ [ −1;1] ⇒ k = 0 ⇒ cos2 x = 0 ⇔ 2 x =
π 2
+ k1π ⇔ x =
π 4
+ k1
π 2
( k1 ∈ ℤ ) .
x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ k1 ∈ {0;1; 2;3} . Vậy phương trình có 4 nghiệm trên [0; 2π ]. Câu 18.
Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm Chọn C
1 với 2 đường tròn lượng giác ⇒ M và N là các điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình lượng giác 1 C. cơ bản: sin x = ⇔ 2sin x = 1 ⇒ Đáp án. 2 Câu 14. Chọn B
Ta thấy 2 điểm M và N là các giao điểm của đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm
15
π π 3 x + = − + k 2π π π 3 π 3 3 Ta có sin 3 x + = − ⇔ sin 3 x + = sin − ⇔ (k ∈ ℤ) 3 π π 3 2 3 3 x π + = + + k 2π 3 3 2π 2π x = − 9 + k 3 ⇔ (k ∈ ℤ) . x = π + k 2π 3 3
16
2π 2π π 2π 2π π 1 13 +k ∈ 0; ⇔ 0 < − +k < ⇔ < k < . Do k ∈ ℤ ⇒ k = 1 . Suy 9 3 2 9 3 2 3 12 4π ra trường hợp này có nghiệm x = thỏa mãn. 9 π π 2π π 2π π 1 1 +) TH2: x = + k ∈ 0; ⇔ 0 < + k < ⇔ − < k < . Do k ∈ ℤ ⇒ k = 0 . Suy ra 3 3 2 3 3 2 2 4 π trường hợp này có nghiệm x = thỏa mãn. 3 π Vậy phương trình chỉ có 2 nghiệm thuộc khoảng 0; . 2 Câu 19. Chọn D Tự luận π π x = 3 + k 2π x = 3 + k 2π 3 π 2sin x − 3 = 0 ⇔ sin x = ,k ∈ℤ ⇔ sin x = sin ⇔ ⇔ 2 3 x = π − π + k 2π x = 2π + k 2π 3 3 π - Xét x = + k 2π 3 5π 1 5 π π 0 ≤ x ≤ 2π ⇔ 0 ≤ + k 2π ≤ 2π ⇔ − ≤ k 2π ≤ ⇔− ≤k ≤ ⇒k =0 3 3 3 6 6 π Chỉ có một nghiệm x = ∈ [ 0; 2π ] 3 2π - Xét x = + k 2π 3 2π 2π 4π 1 2 0 ≤ x ≤ 2π ⇔ 0 ≤ + k 2π ≤ 2π ⇔ − ≤ k 2π ≤ ⇔− ≤k≤ ⇒k =0 3 3 3 3 3 2π Chỉ có một nghiệm x = ∈ [ 0; 2π ] 3 Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn [ 0; 2π ] . +) TH1: x = −
−π x = 6 + k 2π 1 Câu 20. Phương trình tương đương: sin x = − ⇔ , ( k ∈ℤ ) 2 x = 7π + k 2π 6 3π π π −2 61 + Với x = − + k 2π , k ∈ ℤ ta có − ≤ − + k 2π ≤ 10π , k ∈ℤ ⇔ ≤ k ≤ , k ∈ℤ 6 2 6 3 12 ⇒ 0 ≤ k ≤ 5 , k ∈ℤ . Do đó phương trình có 6 nghiệm. 7π 3π 7π −4 53 , k ∈ℤ + Với x = + k 2π , k ∈ℤ ta có − ≤ + k 2π ≤ 10π , k ∈ℤ ⇔ ≤k ≤ 6 2 6 3 12 ⇒ −1 ≤ k ≤ 4 , k ∈ ℤ . Do đó, phương trình có 6 nghiệm. + Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đôi một, vì nếu π 7π 2 − + k 2π = + k ′2π ⇔ k − k ′ = (vô lí, do k , k ′∈ ℤ ). 6 6 3 3π Vậy phương trình có 12 nghiệm trên đoạn − ;10π . 2
π 3π x = π + k 2π 2 x − 4 = x + 4 + k 2π π 3π Câu 21. Ta có sin 2 x − = sin x + ⇔ (k , l ∈ ℤ) . ⇔ x = π + l 2π 4 4 2 x − π = π − x + l 2π 6 3 4 4 Họ nghiệm x = π + k 2π không có nghiệm nào thuộc khoảng ( 0; π ) . x=
π 6
+l
2π 2π π ∈ ( 0; π ) ⇒ 0 < + l < π ⇔ l ∈{0; 1} . 3 6 3
Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) là x =
6
và x =
5π . Từ đó suy ra tổng các 6
nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) của phương trình này bằng π . Câu 22.
Câu 23.
Câu 24.
Câu 25.
π x = 6 + 2kπ 1 Ta có: sin x = ⇔ (k ∈ ℤ) . 2 x = 5π + 2kπ 6 π π π π Vì x ∈ − ; nên x = ⇒ S = . 6 6 2 2 π π 3 x + 3 = − 3 + k 2π π 3 Ta có: sin 3x + = − ⇔ (k ∈ ℤ) 3 2 3 x + π = 4π + k 2π 3 3 2π 2π 2 π = − +k x + k 2π 3x = − 9 3 ⇔ ( k ∈ ℤ) ⇔ ( k ∈ ℤ) . 3 π 2π x= +k 3x = π + k 2π 3 3 π 4π π Vì x ∈ 0; nên x = , x = . 3 9 2 π Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng 0; . 2 π x = 3 + k 2π 3 π 2sin x − 3 = 0 ⇔ sin x = . = sin ⇔ 2 3 x = 2π + k 2π 3 π 2π π 2π =π . Các nghiệm của phương trình trong đoạn [ 0; π ] là ; nên có tổng là + 3 3 3 3 π π π 2 x = − 3 + k 2π x = − 6 + kπ x = − 6 + kπ 3 π Ta có: sin 2 x = − = sin − ⇔ ⇔ ⇔ . 2 3 2 x = 4π + k 2π x = 2π + kπ x = − π + kπ 3 3 3 Vậ y α = −
17
π
π 6
và β = −
π 3
. Khi đó α + β = −
π 2
.
18
π x = + k 2π 1 π 6 + Phương trình tương đương sin x = ⇔ sin x = sin ⇔ , ( k ∈ ℤ) . 5π 2 6 + k 2π x = 6 π + Với x = + k 2π , (k ∈ ℤ) . 6 5π π 5π 1 7 Vì x ∈ 0; nên 0 ≤ + k 2π ≤ , k ∈ ℤ ⇔ − ≤ k ≤ , k ∈ ℤ ⇒ k ∈ {0;1} . 2 6 2 12 6 π 13π Suy ra: x ∈ ; . 6 6 5π + Với x = + k 2π , ( k ∈ ℤ ) . 6 5π 5π 5π 5 5 , k ∈ℤ ⇔− ≤k ≤ , k ∈ℤ ⇒ k =0 . Vì x ∈ 0; nên 0 ≤ + k 2π ≤ 2 6 2 12 6 5π Suy ra: x = . 6 π 5π 13π Do đó x ∈ ; ; . 6 6 6 Vậy số nghiệm của phương trình là 3 . Câu 32. Chọn B π x = 3 + k 2π 3 π . 2 sin x − 3 = 0 ⇔ sin x = = sin ⇔ 2 3 x = 2π + k 2π 3 π 2π π 2π =π . Các nghiệm của phương trình trong đoạn [ 0; π ] là ; nên có tổng là + 3 3 3 3 Câu 33. Chọn A π x = 6 + 2kπ 1 Ta có: sin x = ⇔ ( k ∈ ℤ) . 2 x = 5π + 2kπ 6 π π π π Vì x ∈ − ; nên x = ⇒ S = . 6 6 2 2 Câu 34. Chọn A −π x = 6 + k 2π 1 Phương trình tương đương: sin x = − ⇔ , ( k ∈ℤ ) 2 x = 7π + k 2π 6 3π π π −2 61 + Với x = − + k 2π , k ∈ ℤ ta có − ≤ − + k 2π ≤ 10π , k ∈ℤ ⇔ ≤ k ≤ , k ∈ℤ 6 2 6 3 12 ⇒ 0 ≤ k ≤ 5 , k ∈ℤ . Do đó phương trình có 6 nghiệm. 7π 3π 7π −4 53 + Với x = + k 2π , k ∈ℤ ta có − ≤ + k 2π ≤ 10π , k ∈ℤ ⇔ ≤k ≤ , k ∈ℤ 6 2 6 3 12 ⇒ −1 ≤ k ≤ 4 , k ∈ ℤ . Do đó, phương trình có 6 nghiệm.
π x = 6 + 2kπ 1 Câu 26. Ta có: sin x = ⇔ ( k ∈ ℤ) . 2 x = 5π + 2kπ 6 π π π π Vì x ∈ − ; nên x = ⇒ S = . 6 6 2 2 π x = − 6 + k 2π 1 Câu 27. Ta có 2sin x + 1 = 0 ⇔ sin x = − ⇔ 2 x = 7π + k 2π 6 π 7π Với k = 0 ⇒ x = − hoặc x = . 6 6 Điểm biểu diễn của x = − Câu 28.
π 6
là F , điểm biểu diễn x =
(k ∈ ℤ)
7π là E . 6
π π π π Ta có sin x + = 1 ⇔ x + = + k 2π ⇔ x = + k 2π , k ∈ ℤ . 4 4 2 4 Suy ra số nghiệm thuộc [π ; 2π ] của phương trình là 1.
π x = 6 + k 2π 1 ⇔ ( k ∈ Z) . 2 x = 5π + k 2π 6 π 5π . Do x ∈ ( 0; 2π ) nên ta có x = ; x = 6 6 Câu 30. Ta có π x = k 2 5 x = x + k 2π ⇔ sin 5x − sin x = 0 ⇔ sin 5x = sin x ⇔ (*) 5 x = π − x + k 2π x = π + k π 6 3 π = ∈ x k k ℤ ( ) 2 π 5 ⇔ x = + mπ ( m ∈ ℤ ) . 6 x = π + nπ (n ∈ ℤ) 6 π −2018π ≤ k 2 ≤ 2018π −4036 ≤ k ≤ 4036 5π 12103 12113 + mπ ≤ 2018π ⇔ − Vì x ∈ [ −2018π ; 2018π ] nên −2018π ≤ ≤m≤ . 6 6 6 π 12107 12109 −2018π ≤ 6 + nπ ≤ 2018π − 6 ≤ n ≤ 6 Do đó có 8073 giá trị k , 4036 giá trị m , 4036 giá trị n , suy ra số nghiêm cần tìm là 16145 . nghiệm. Câu 31. Chọn A Câu 29.
Ta có: 2sin x − 1 = 0 ⇔ sin x =
19
20
+ Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đôi một, vì nếu π 7π 2 − + k 2π = + k ′2π ⇔ k − k ′ = (vô lí, do k , k ′∈ ℤ ). 6 6 3 3π Vậy phương trình có 12 nghiệm trên đoạn − ;10π . 2 Câu 35. Chọn B π π 2 x − 3 = 3 + k 2π π 3 π ⇔ Ta có 2sin 2 x − − 3 = 0 ⇔ 2 sin 2 x − = 3 3 2 2 x − π = π − π + k 2π 3 3 π x = 3 + kπ π 4π 7π π 3π 5π , k ∈ ℤ . Vì x ∈ ( 0;3π ) nên x ∈ ; ⇔ ; ; ; ; . 3 3 3 2 2 2 x = π + kπ 2
Câu 46.
Phương trình cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ℤ . 3π 2 3π Câu 47. cos x = − ⇔ cos x = cos ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ ℤ . 2 4 4 3π Vậy tập nghiệm của phương trình là S = x = ± + k 2π ; k ∈ ℤ . 4 Câu 48. Ta có: cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π ( k ∈ ℤ ) .
Câu 49.
Câu 50.
Dạng 2. Phương trình cosx=a Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm Câu 36. Chọn D x = k 2π π π 2 π Phương trình cos x + = ⇔ cos x + = cos ⇔ (k ∈ Z ) . x = − π + k 2π 4 2 4 4 2 Câu 37. Chọn A 2π 1 2π Ta có: cos x = − ⇔ cos x = cos ⇔ x = ± + k 2π (k ∈ Ζ) . 3 2 3 Câu 38. Chọn D. Ta có cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ . Câu 39. Chọn C
Phương trình cos x = cos Câu 40.
π 3
⇔ x=±
π 3
Câu 41. Câu 42. Câu 43.
Câu 44.
Câu 45.
Câu 51.
Câu 52.
2
+ kπ ( k ∈ ℤ ) . Do đó Chọn
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm Chọn A Do cos x ≤ 1 , ∀x ∈ ℝ nên phương trình: cos x − m = 0 ⇔ cos x = m
Ta có: 4sin 2 2 x − 1 = 0 ⇔ 2 (1 − cos 4 x ) − 1 = 0 ⇔ cos 4 x =
1 π π ⇔ x = ± +k 2 12 2
(k ∈ ℤ) .
π x1 = 12 x = − π π π π π 2 12 ⇒ x + x + x + x = 0 . Do x = ± + k ∈ − ; ⇒ 1 2 3 4 12 2 2 2 5π x3 = − 12 5π x4 = 12 Câu 53. Phương trình: π π 2 2cos x + = 1 ⇔ cos x + = 3 3 2 π π π x + 3 = 2 + k 2π x = 6 + k 2π ⇔ (k ∈ ℤ) ⇔ (k ∈ ℤ ) x + π = − π + k 2π x = − 5π + k 2π 3 2 6 π 7π Vì x ∈ [ 0; 2π ] nên x ∈ , . Vậy số nghiệm phương trình là 2 6 6 Câu 54. Chọn D.
Chọn A
π
2 3π 3π = cos ⇒x=± + k 2π 2 4 4 π x = −α + 3 + k 2π 1 π 2 cos ( x + α ) = 1 ⇔ cos ( x + α ) = ⇔ x + α = ± + k 2π ⇔ (k ∈ ℤ) . 2 3 x = −α − π + k 2π 3
Phương trình tương đương với cos x = −
có nghiệm khi m ≤ 1 và vô nghiệm khi m > 1 .
+ k 2π ( k ∈ ℤ )
Theo công thức nghiệm đặc biệt thì cos x = 0 ⇔ x =
π
+ kπ ( k ∈ ℤ ) . 2 cos x = 1 ⇔ x = k 2π ( k ∈ ℤ ) .
cos x = 0 ⇔ x =
A.
x = k 2π π π 2 π ⇔ cos x + = cos ⇒ Phương trình cos x + = (k ∈ ℤ) . π 4 2 4 4 x = − + k 2π 2 x x π 3π + 3kπ , k ∈ ℤ. cos = 0 ⇔ = + kπ ⇔ x = 3 3 2 2 1 π Phương trình 2cos x − 1 = 0 ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ ℤ . 2 3
π x = 4 + k 2π 2 ,k ∈ℤ . 2cos x − 2 = 0 ⇔ cos x = ⇔ 2 x = − π + k 2π 4 1 π TXĐ: D = ℝ . Ta có 2cos x − 1 = 0 ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ℤ . 2 3 21
22
5π π 11π 13π Mà x ∈ 0; và k ∈ ℤ nên x ∈ ; ; . 6 2 6 6
2π π 2 x = 3 + k 2π x = 3 + kπ 1 2π cos 2 x = − ⇔ cos 2 x = cos ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) 3 2 x = − π + kπ 2 x = − 2π + k 2π 3 3 ⇒ m + n = 3+3 = 6 . Câu 55. Chọn B Phương trình: π π 2 2cos x + = 1 ⇔ cos x + = 3 3 2 π π π x + 3 = 2 + k 2π x = 6 + k 2π ⇔ (k ∈ ℤ) ⇔ (k ∈ ℤ ) x + π = − π + k 2π x = − 5π + k 2π 3 2 6 π 7π Vì x ∈ [ 0; 2π ] nên x ∈ , . Vậy số nghiệm phương trình là 2 6 6 π π π π π π Câu 56. Ta có cot x + = 3 ⇔ cot x + = cot ⇔ x + = + kπ ⇔ x = − + kπ , ( k ∈ ℤ ) . 3 3 6 3 6 6 m = 6 Vậ y ⇒ m−n = 5. n = 1
Câu 61.
Xét x =
π 3
Xét x = −
π x = 3 + k 2π 1 , k ∈ℤ . ⇔ 2 x = − π + k 2π 3
+ k 2π , do x ∈ [ −2π ; 2π ] và k ∈ℤ nên −2π ≤
π 3
π 3
+ k 2π ≤ 2π ⇒ k = −1 ; k = 0 .
+ k 2π , do x ∈ [ −2π ; 2π ] và k ∈ ℤ nên −2π ≤ −
π 3
+ k 2π ≤ 2π ⇒ k = 1 ; k = 0 .
Vậy phương trình có 4 nghiệm trên đoạn [ −2π ; 2π ] .
Câu 62.
π π 2 x = 3 + k 2π x = 6 + kπ 1 ⇔ . Câu 57. Phương trình 2cos 2 x − 1 = 0 ⇔ cos 2 x = ⇔ 2 2 x = − π + k 2π x = − π + kπ 3 6 π 5 π −1 0 ≤ 6 + kπ ≤ π 6 ≤k≤6 x = 6 k = 0 Xét x ∈ [ 0; π ] ⇔ ⇔ mà k ∈ ℤ suy ra ⇔ . k = 1 0 ≤ − π + kπ ≤ π 1 ≤ k ≤ 7 x = 5π 6 6 6 6 5π Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2 x − 1 = 0 trong đoạn [ 0; π ] là x = . 6 2π , k ∈ℤ . Câu 58. Ta có cos3x − 1 = 0 ⇔ cos 3x = 1 ⇔ x = k 3 2π 1 π cos 2 x = − ⇔ 2 x = ± + k 2π ⇔ x = ± + kπ , k ∈ ℤ . 2 3 3 Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác ta có tập các nghiệm của phương trình (1) đồng 2π thời là nghiệm của phương trình (2) là x = ± + kπ , k ∈ ℤ . 3 1 2π π Câu 59. Ta có: cos 2 x = − ⇔ 2 x = ± + k 2π ⇔ x = ± + kπ , ( k ∈ ℤ ) . 2 3 3 π 2π thỏa mãn. Do số đo một góc là nghiệm nên x = hoặc x = 3 3 π π π 2π π π Vậy tam giác có số đo ba góc là: , , hoặc , , . 3 3 3 3 6 6 Câu 60.
Ta có cos x =
3 π 2 cos x = 3 ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ ℤ . 2 6
x = π + k 2π Ta có cos 2 x + cos x = 0 ⇔ cos 2 x = cos (π + x ) ⇔ (k ∈ ℤ) x = − π + k 2π 3 3
π x = − 3 Vì −π < x < π ⇒ . x = π 3 Câu 63. Ta có: cos 2 x − cos x = 0 ⇔ cos 2 x = cos x x = k 2π 2 x = x + k 2π k 2π ⇔ ⇔x= ⇔ ;(k ∈ ℤ) . x = k 2π 3 2 x = − x + k 2π 3 k 2π Vì x ∈ ( 0; 2π ) nên 0 < < 2π ⇔ 0 < k < 3 . 3 2π 4π Do k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2} ⇒ x = ; x= . 3 3 2π 4π + = 2π . Vậ y T = 3 3 Câu 64. Chọn D 3 π 2 cos x = 3 ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ ℤ . 2 6 5π π 11π 13π Mà x ∈ 0; và k ∈ ℤ nên x ∈ ; ; . 6 2 6 6 Dạng 3. Phương trình tanx=a Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm Câu 65. Ta có: tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ , ( k ∈ ℤ ) .
π
π
Câu 66.
Ta có tan x = 3 ⇔ tan x = tan
Câu 67.
Ta có tan 3x = tan x ⇔ 3x = x + kπ ⇔ x =
3
⇔ x=
3
+ kπ , k ∈Z .
kπ , k ∈ ℤ. 2
Trình bày lại 23
24
π π D. cot x = − 3 ⇔ cot x = cot − ⇔ x = − + kπ ( k ∈ ℤ ) . 6 6 5π Chọn k = 1 ⇒ Nghiệm dương bé nhất là x = . 6
π kπ x ≠ 6 + 3 cos3x ≠ 0 ĐK: ⇔⇔ (*) cosx ≠ 0 x ≠ π + kπ 2 Ta có tan 3x = tan x ⇔ 3x = x + kπ ⇔ x =
Câu 68.
Chọn D
kπ , k ∈ ℤ. Kết hợp điều kiện (*) suy ra x = k π , k ∈ ℤ 2
Vậy giá trị nhỏ nhất là x =
Câu 75.
Ta có: tan ( 3 x − 15° ) = 3 ⇔ tan ( 3 x − 15° ) = tan 60° ⇔ 3x − 15° = 60° + k180°
⇔ x = 25° + k 60° ( k ∈ ℤ ) . Câu 69.
Chọn D 3.tan x + 3 = 0 ⇔ tanx = − 3 ⇔ x = −
Câu 70.
π 3
Chọn D
Câu 73.
3
+ kπ ⇔ x =
π 6
+k
π 2
(k ∈ ℤ) .
π x ≠ 2 + kπ cos x ≠ 0 ⇔ Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa ( *) cos 3x ≠ 0 x ≠ π + kπ 6 3 kπ Khi đó, phương trình (1) 3x = x + kπ ⇔ x = so sánh với đk (*) 2 x = k 2π x = π + k 2π , x =∈ [ 0;30] ⇒ k = {0;...; 4} ⇒ x ∈ {0; π ; 2π ;....;9π } Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn [ 0;30] của phương trình (1) là: 45π . Câu 74. Chọn A
π 4
⇔ 2x =
π 4
+ kπ ⇔ x =
π 8
(Với k = 0 nên nghiệm dương bé nhất là x =
+k
π 8
π 2
0 0 0 0 0 0 Ta có tan 2 x − 15 = 1 ⇔ 2 x −15 = 45 + k180 ⇔ x = 30 + k 90 ( k ∈ Z ) .
(
π 2
4 2 <k< 3 3
k = 1 → x = −600 k∈Z → → −60 0 + 30 0 = 300. 0 k = 0 → x = 30
(k ∈ ℤ) .
Dạng 4. Phương trình cotx=a Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm Câu 79. Chọn D 3 π π Ta có 3cot x − 3 = 0 ⇔ cot x = ⇔ cot x = cot ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ℤ ) . 3 3 3 Câu 80. Chọn C 3 3 Ta có 2 cot x − 3 = 0 ⇔ cot x = ⇔ x = arccot + kπ ( k ∈ Z ) 2 2 Câu 81. Lời Giải.
)
+ kπ ( k ∈ ℤ ) ⇒ Nghiệm dương bé nhất là x =
)
Do x ∈ ( −900 ;900 ) → −900 < 300 + k 900 < 900 ⇔ −
π π π 7π + kπ ( k ∈ ℤ ) . B. tan x − = 3 ⇔ x − = + kπ ⇔ x = 4 4 3 12 7π . ⇒ Nghiệm dương bé nhất là x = 12 C. cot x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =
− 3 π ⇔ x = − + kπ , k ∈ ℤ . 3 3 π 2π . Với 0 < x < 2π ⇒ x = − hoặc x = 3 3 tan x =
3π 3π ⇔x= + kπ ( k ∈ Z ) . 11 11 π π 3π CASIO k ∈Z Do x ∈ ; 2π → < + kπ < 2π → −0, 027 → k ∈ {0;1} . xapxi 4 11 4 Câu 77. Chọn C kπ Ta có: tan 5 x − tan x = 0 ⇔ tan 5 x = tan x ⇔ 5 x = x + kπ ⇔ x = (k ∈ ℤ ) 4 kπ k ∈ℤ Vì x ∈[ 0; π ) , suy ra 0 ≤ < π ⇔ 0 ≤ k < 4 → k = {0;1; 2;3} 4 π π 3π Suy ra các nghiệm của phương trình trên [ 0; π ) là 0; ; ; 4 2 4 π π 3π 3π Suy ra 0 + + + = 4 2 4 2 Câu 78. Lời Giải. Chọn A
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm Chọn C
A. tan 2 x = 1 ⇔ tan 2 x = tan
A.
Ta có tan x = tan
3 π ⇔ x = − + kπ ( k ∈ ℤ ) . 3 6
π
nên ta chọn đáp án
Lời Giải.
+ kπ , k ∈ ℤ .
3 tan 2 x − 3 = 0 ⇔ tan 2 x = 3 ⇔ 2 x =
8
Chọn C
Chọn A 3 + 3 tan x = 0 ⇔ tan x = −
Câu 72.
3
Câu 76. + kπ .
Chọn C tan 2 x = 3 ⇔ tanx = ± 3 ⇔ x = ±
Câu 71.
π
π
π 2
.
25
26
Chọn A π Ta có cot ( 3 x − 1) = − 3 ⇔ cot ( 3 x − 1) = cot − . 6 1 π 1 π −π π k =1 ⇔ 3x − 1 = + kπ ⇔ x = − + k → x = + . 6 3 18 3 3 18 Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm Câu 82. Chọn B π π π π π π Ta có cot x + = 3 ⇔ cot x + = cot ⇔ x + = + kπ ⇔ x = − + kπ , ( k ∈ ℤ ) . 3 3 6 3 6 6 m = 6 Vậ y ⇒ m−n = 5. n = 1 Câu 83.
π π π Ta có sin x = cos x ⇔ 2 sin x − = 0 ⇔ x − = k π ⇔ x = + k π ( k ∈ ℤ ) 4 4 4 Trong [ −π; π] phương trình có hai nghiệm
Câu 87.
x x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ ⇒ sin + 2 > 0 2 2 Vậy phương trình tương đương x x 1 x π 2 cos − 1 = 0 ⇔ cos = ⇔ = ± + k 2π 2 2 2 2 3 2π ⇔ x=± + k 4π , ( k ∈ ℤ ) 3 Câu 88. Ta có:
Chọn A Ta có cot x = 3 ⇔ cot x = cot
π 6
⇔x=
π 6
+ kπ
8.cos 2 x.sin 2 x.cos 4 x = − 2 ⇔ 4.sin 4 x.cos 4 x = − 2 ⇔ 2.sin 8 x = − 2 ⇔ sin 8 x = −
( k ∈ ℤ).
π
xap xi + kπ ≤ 2018π →−
Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp Chọn B 2π π 2π Vì vô nghiệm. > 1 là nên phương trình cos 2 x − = 3 2 3 Câu 85. Chọn B π π 2π x = 20 + k 5 3x = 4 − 2 x + k 2π π ⇔ A. sin 3x = sin − 2 x ⇔ 4 x = 3π + k 2π 3x = π − ( π − 2 x) + k 2π 4 4 π x = 2 − 2 x + k 2π π ( k ∈ ℤ) B. cos x = sin 2 x ⇔ cos x = cos − 2 x ⇔ 2 x = − π − 2 x + k 2π 2
Câu 84.
Vì cos 2 x ∈ [ −1;1] ⇒ k = 0 ⇒ cos2 x = 0 ⇔ 2 x =
Câu 86.
Chọn
π
π
2
+ k1π ⇔ x =
π 4
+ k1
π 2
( k1 ∈ ℤ ) .
x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ k1 ∈ {0;1; 2;3} . Câu 90.
Ta có: −1 ≤ sin x ≤ 1 nên phương trình sin x + 3 = 0 ⇔ sin x = −3 vô nghiệm.
π Ta có cos 4 x + sin x = 0 ⇔ cos4 x = − sin x ⇔ cos4 x = sin ( − x ) ⇔ cos4 x = cos + x 2 2π π π x = 6 + k 3 4 x = 2 + x + k 2π ⇔ ⇔ , k ∈ℤ . x = − π + k 2π 4 x = − π − x + k 2π 2 10 5 π 5π 3π 7π Vì x ∈ ( 0; π ) nên S = ; ; ; . 6 6 10 10 kπ Câu 92. Điều kiện 5 x ≠ , k ∈ ℤ (*) 2 kπ Phương trình tương đương cos3x.sin5x-sin7xcos5x=0 ⇔ sin2x=0 ⇔ x= . 2 π π không thỏa mãn điều kiện (*) nên loại đáp án A, B,.C Ta thấy x = , x = 2 10 Vậy đáp án đúng là D
Câu 91.
π π x = 10 + k 5 4 x = π − 6 x + k 2π C. cos 4 x = − cos 6 x ⇔ cos 4 x = cos (π − 6 x ) ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) x = π − kπ 4 x = − (π − 6 x ) + k 2π 2
π
π
Vậy phương trình có 4 nghiệm trên [0; 2π ].
π 2π x = 6 + k 3 ⇔ (k ∈ ℤ) x = π − k 2π 2
D. tan 2 x = − tan
2 2
π π x=− +k 32 4 π⇔ ⇔ sin 8 x = sin − ( k ∈ ℤ) . 4 x = 5π + k π 32 4 −π π x = 32 + k 4 Vậy phương trình có nghiệm (k ∈ ℤ) . x = 5π + k π 32 4 Câu 89. Ta có sin ( cos2 x ) = 0 ⇔ cos2 x = kπ ( k ∈ ℤ )
1 ≤ k ≤ 2017,833 . 6 6 k ∈ℤ → k ∈ {0;1;...; 2017} . Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2018 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Theo giả thiết, ta có 0 ≤
Chọn D Vì −1 ≤ sin
π
⇔ tan 2 x = tan(− ) ⇔ x = − + k (k ∈ ℤ). 4 4 8 2 So sánh ta được đáp án là B. C. 27
28
Câu 93.
Câu 94.
1 sin x = Ta có sin x = cos 2 x ⇔ sin x = 1 − 2sin 2 x ⇔ 2. sin x = −1 π x = 6 + k 2π 1 sin x = ⇔ ( k ∈ ℤ) . 2 x = 5π + k 2π 6 π sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π ( k ∈ ℤ ) 2 Xét x ∈ [ 0; 20π ] :
π kπ x = 6 + 3 π sin 2 x = cos x ⇔ sin 2 x = sin − x ⇔ ( k ∈ ℤ) . 2 x = π + k 2π 2 −2 ≤ x ≤ 2 x = 2 −2 ≤ x ≤ 2 x = −2 x=2 x = 2 ⇔ ⇔ x = 0 . 4 − x 2 sin 2 x = 0 ⇔ x = −2 x = −2 x = ± π sin 2 x = 0 kπ x = 2 2
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm.
Câu 95.
Ta có sin x = cos x ⇔ tan x = 1 ⇔ x = Vì x ∈ ( 0;5π ) nên ta có 0 <
π 4
π 4
1 19 + kπ < 5π , k ∈ Z ⇔ − < k < , k ∈ Z . 4 4
Do đó, k ∈ {0, 1, 2, 3, 4} .
9π 13π 17π , , . 4 4 4 π π π 3x = 2 − x + k 2π x = 8 + k 2 π ⇔ . sin 3x = cos x ⇔ sin 3x = sin − x ⇔ 2 x = π + kπ 3x = π − π + x + k 2π 2 4 π x = 2 + kπ cos x = 0 π ⇔ x = − + k 2π , ( k ∈ ℤ ) sin 2 x + cos x = 0 ⇔ 2sin x cos x + cos x = 0 ⇔ 6 2sin x + 1 = 0 x = 7π + k 2π 6 π 3π 11π 7π x ∈ ( 0; 2π ) ⇒ x = ; ; ; 2 2 6 6 ⇒ S = 5π . 1 π π 3π Trên khoảng − ; phương trình 2sin x + 1 = 0 ⇔ sin x = − có hai nghiệm là − và 2 6 2 2 7π . 6 Cả hai nghiệm này đều thỏa phương trình 4 cos 2 x − 3 = 0 . Vậy hai phương trình có 2 nghiệm chung. Ta có: sin x sin 7 x = sin 3x sin 5x ⇔ cos 6 x − cos8 x = cos 2 x − cos8 x . kπ x = 2 6 x = 2 x + k 2π kπ ⇔ ⇔ cos 6 x = cos 2 x ⇔ , k ∈ℤ . ⇔x= = − + 6 x 2 x k 2 π k π 4 x = 4 Chọn C
Suy ra phương trình có 5 nghiệm thuộc ( 0;5π ) là
Câu 96.
Câu 97.
Câu 98.
Câu 99.
Câu 100.
π 5π 4
,
π 1 119 , do k ∈ℤ nên. + k 2π , ta có 0 ≤ + k 2π ≤ 20π ⇔ − ≤ k ≤ 6 6 12 12 5π 5π 5 115 Với x = , do k ∈ ℤ nên. + k 2π , ta có 0 ≤ + k 2π ≤ 20π ⇔ − ≤ k ≤ 6 6 12 12 π π 1 41 Với x = − + k 2π , ta có 0 ≤ − + k 2π ≤ 20π ⇔ ≤ k ≤ , do k ∈ℤ nên. 2 2 4 4 Vậy phương trình đã cho có 30 nghiệm thuộc đoạn [ 0; 20π ] . Với x =
+ kπ , k ∈Z .
4
,
29
π
30
TOÁN 11 BÀI 3
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP
Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 31 Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm ................................................................................................................................. 31 Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm ..................................................................................................... 34
MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI ....................................................................................................................................................... 2
Dạng 2.3.3 Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm Min-Max ................................................................................... 37
Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ..................................................... 2
Dạng 3. Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp .................................................................................................... 38
Dạng 1.1 Không cần biết đổi ........................................................................................................................................ 2
Dạng 3.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 38
Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai ........................................................................................................... 3
Dạng 3.3 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 40
Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm .............................................................................................................................. 4
Dạng 3.3 Định m để phương trình có nghiệm ............................................................................................................ 42
Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos ......................................................................... 6
Dạng 4. Giải và biện luận Phương trình đối xứng..................................................................................................... 42
Dạng 2.1 Không cần biến đổi ....................................................................................................................................... 6
Dạng 4.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 42
Dạng 2.2 Cần biến đổi .................................................................................................................................................. 7
Dạng 4.2 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 44
Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm .............................................................................................................................. 8
Dạng 5. Biến đổi đưa về phương trình tích ................................................................................................................ 48
Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 8
Dạng 5.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 48
Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm ....................................................................................................... 9
Dạng 5.2 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 48
Dạng 2.3.3 Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm Min-Max ................................................................................... 11
Dạng 6. Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu ........................................................................ 53
Dạng 3. Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp .................................................................................................... 11
Dạng 7. Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác......................................................... 57
Dạng 3.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 11
Dạng 8. Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số .......................................................................... 61
Dạng 3.3 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 13 Dạng 3.3 Định m để phương trình có nghiệm ............................................................................................................ 14 Dạng 4. Giải và biện luận Phương trình đối xứng..................................................................................................... 14
PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 4.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 14
Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Dạng 1.1 Không cần biết đổi
Dạng 4.2 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 15 Dạng 5. Biến đổi đưa về phương trình tích ................................................................................................................ 17 Dạng 5.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 17 Dạng 5.2 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 17
Câu 1.
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 4cos 2 x − 4cos x − 3 = 0 trên đường tròn lượng giác là? A. 2 . B. 0 . C. 1 . D. 4 .
Câu 2.
Phương trình cos 2 2 x + cos 2 x −
Dạng 6. Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu ........................................................................ 18 Dạng 7. Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác......................................................... 20 Dạng 8. Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số .......................................................................... 21 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ........................................................................................................................... 23
A. x = ±
Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ................................................... 23 Dạng 1.1 Không cần biết đổi ...................................................................................................................................... 23
Câu 3.
Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 25 Dạng 2.1 Không cần biến đổi ..................................................................................................................................... 29 Dạng 2.2 Cần biến đổi ................................................................................................................................................ 30 1
π 2
C. x = −
Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos ....................................................................... 29
Câu 4.
6
+ kπ .
B. x = ±
π 6
+ k 2π .
C. x = ±
2π + kπ . 3
D. x = ±
π 3
+ kπ .
Nghiệm của phương trình 2 sin 2 x – 5 sin x – 3 = 0 là: A. x =
Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai ......................................................................................................... 24
π
3 = 0 có nghiệm là: 4
+ kπ ; x = π + k 2π .
π 6
+ k 2π ; x =
7π + k 2π . 6
5π + k 2π . 4 5π π D. x = + k 2π ; x = + k 2π . 3 6 B. x =
π
4
+ k 2π ; x =
Nghiêm của phương trình sin 2 x = – sin x + 2 là:
2
A. x = kπ .
Câu 5.
C. x =
π 2
π 6
+ k 2π ; x =
π 6
+ k 2π .
C. x =
π 2
+ kπ .
D. x =
−π + k 2π . 2
Câu 13.
(CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình cos 2 x + sin x + 2 = 0 . Khi đặt t = sin x , ta được phương trình nào dưới đây. A. 2t 2 + t + 1 = 0 . B. t + 1 = 0 . C. −2t 2 + t + 3 = 0 . D. −2t 2 + t + 2 = 0 .
2π B. x = −π + k 2π ; x = ± + k 2π . 3
Câu 14.
(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình 3sin 2 x − 2 cos x + 2 = 0 .
+ k 2π .
D. x = k 2π ; x = ±
π 3
A. x =
+ k 2π .
Câu 15.
Nghiệm của phương trình 3 cos 2 x = – 8 cos x – 5 là: B. x = k 2π .
C. x = ±
π 2
+ k 2π .
B. x = −
C. x = π + k 2π , k ∈ ℤ . D. x =
π 2
π 2
+ k 2π , k ∈ ℤ .
+ k 2π , k ∈ ℤ .
Nghiệm của phương trình lượng giác sin 2 x − 2sin x = 0 có nghiệm là: A. x = k 2π .
B. x = kπ .
C. x =
π 2
+ kπ .
D. x =
π 2
A. x = C. x =
Câu 10.
Câu 11.
Câu 12.
π 3
π 4
+ kπ , k ∈ℤ .
B. x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . D. x =
π 3
π 4
+ k 2π , k ∈ ℤ .
(THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nghiệm của phương trình cos 2 x − 2 sin x = −3 ? π π A. x = + k π, k ∈ Z . B. x = ± + k π, k ∈Z . 2 2 π π C. x = + k 2π, k ∈Z . D. x = − + k 2π, k ∈Z . 2 2
3
C. x = k 2π , k ∈ ℤ .
D. x =
π 2
+ k 2π , k ∈ℤ .
(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình tan x + 3 cot x − 3 − 1 = 0 là:
(THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Cho phương trình: cos 2 x + sin x − 1 = 0 (*) . Bằng
cách đặt t = sin x ( −1 ≤ t ≤ 1) thì phương trình (*) trở thành phương trình nào sau đây? 2 A. −2t + t = 0 .
+ kπ , k ∈ℤ
(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Phương trình cos 2 x + 5sin x − 4 = 0 có nghiệm là π π π A. + k 2π . B. + k π . C. kπ . D. ± + k 2π 2 2 4
B. x = kπ , k ∈ℤ .
Câu 17.
Câu 18.
(LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Cho phương trình 2 cos 2 x − cos x + 1 = 0 . Khi đặt t = cos x , ta được phương trình nào dưới đây? A. 2t 2 + t + 1 = 0 B. t + 1 = 0 C. −4t 2 − t + 3 = 0 D. 4t 2 − t − 1 = 0
+ kπ , k ∈ ℤ .
(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình π π 5 π cos 2 x + + 4cos − x = . Khi đặt t = cos − x , phương trình đã cho trở thành phương 3 6 2 6 trình nào dưới đây? A. 4t 2 + 8t − 5 = 0 . B. 4t 2 − 8t − 3 = 0 . C. 4t 2 − 8t + 3 = 0 . D. 4t 2 − 8t + 5 = 0 .
+ k 2π .
(THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình π π 3 sin 4 x + cos 4 x + cos x − ⋅ sin 3x − − = 0 là 4 4 2
2
Câu 16.
Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai
Câu 9.
π
π π x = 4 + kπ x = − 4 + kπ A. , k ∈ ℤ . B. ,k ∈ℤ . x = π + kπ x = π + kπ 3 6 π π x = 4 + k 2π x = 4 + kπ C. , k ∈ ℤ . D. , k ∈ℤ . x = π + k 2π x = π + kπ 6 6
D. x = kπ .
[Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Nghiệm của phương trình sin 2 x − 4 sin x + 3 = 0 là A. x = k 2π , k ∈ ℤ
Câu 8.
2
+ k 2π .
A. x = π + k 2π .
Câu 7.
π
Nghiệm của phương trình 2 cos 2 x − 3cos x + 1 = 0 là: A. x = k 2π ; x = ±
Câu 6.
B. x =
2 B. t + t − 2 = 0 .
2 C. −2t + t − 2 = 0 .
2 D. −t + t = 0 .
(SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKI I - 2018) Giải phương trình cos2 x + 5sin x − 4 = 0 . π π π A. x = + k π . B. x = − + k π . C. x = k 2π . D. x = + k 2π . 2 2 2 Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm
Câu 19. Nghiệm của phương trình 2 sin 2 x – 3sin x + 1 = 0 thỏa điều kiện: 0 ≤ x <
A. x = − Câu 20.
π 2
.
B. x =
π 6
.
C. x =
π 4
.
π 2
.
D. x =
π 2
.
(THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cos 2 x − cos x = 0 thỏa mãn điều kiện 0 < x < π .
A. x = π .
B. x =
π 4
.
C. x =
π 2
.
Câu 21. Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin 2 x + 5sin x − 3 = 0 là: π π 3π . A. x = . B. x = . C. x = 6 2 2
D. x = 0 .
D. x =
5π . 6
4
Câu 22.
(THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - 2018 - BTN) Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn
Câu 33.
A. Câu 23.
105π . 2
B. 4
297π . 4
D.
299π . 4
A.
B. 1009 .
B. 4 .
Câu 34.
C. 1010 .
C. 2 .
2018)
Câu 27.
B. S = 4π .
C. S = 5π .
(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Số nghiệm thuộc khoảng
5 cos 2 x + cos x +1 = 0 là 2 A. 4 . B. 3 .
D. S =
7π . 6
D. 2 .
Câu 28.
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cos 2 x − cos x = 0 thỏa mãn điều kiện 0 < x < π . π π A. x = . B. x = 0 . C. x = π . D. x = . 2 4
Câu 29.
(SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Phương trình cos 2 x + cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ( −π ; π ) ?
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 30.
(THPT CAN LỘC - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình 9π 15π sin 2 x + − 3cos x − = 1 + 2sin x với x ∈ [ 0;2 π ] là: 2 2 A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 .
Câu 31.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Phương trình 4 tan 2 x − 5 tan x + 1 = 0 có m nghiệm trong 2017π 2017π ; khoảng − ? 2 2 A. m = 2017 . B. 4032 . C. m = 4034 . D. m = 2018 .
Câu 32.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong khoảng
( 0; 2π ) ,
cos 2 x + 3 cos x + 2 = 0 có tất cả m nghiệm. Tìm m . A. m = 1 . B. m = 3 . C. m = 4 .
D. m = 2 .
phương trình
5
D.
299π . 4
B. T = 10050π .
C. T =
10403π . 2
D. T =
20301π . 2
(THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S các nghiệm của x x phương trình (2cos x + 5)(sin 4 − cos4 ) + 3 = 0 trong khoảng ( 0; 2π ) 2 2 11π 5π 7π A. S = . B. S = . C. S = 2π . D. S = . 12 2 12 Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos Dạng 2.1 Không cần biến đổi
(0;3π ) của phương trình
C. 1.
297π . 4
Câu 36.
(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Tính tổng S các nghiệm của phương trình
11π . 6
C.
(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình π π cos 2 x + 3 cos x − 1 = 0 trong đoạn − ; là: 2 2 A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1 .
( 2cos 2 x + 5) ( sin 4 x − cos4 x ) + 3 = 0 trong khoảng ( 0; 2π ) . A. S =
105π . 4
Câu 35.
Phương trình
D. 3 .
B.
(SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Tính tổng tất cả T các nghiệm thuộc đoạn [ 0; 200π ] của
A. T = 10150π .
D. 321. -
105π . 2
phương trình 2 cos 2 x + 3sin x + 3 = 0
D. 3
C. 2
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 cos 2 x + 4 sin x + 5 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng ( 0;10π ) ?
A. 5 . Câu 26.
C.
(CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Phương trình cos2 x + 2cos x − 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ( 0; 2019 ) ?
A. 320 . Câu 25.
105π . 4
(THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Phương trình cos 2 x + 4sin x + 5 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng ( 0;10π ) ?
A. 5 Câu 24.
B.
(QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn
[0;10π ] của phương trình sin 2 2 x + 3sin 2 x + 2 = 0 .
[0;10π ] của phương trình sin 2 2 x + 3sin 2 x + 2 = 0 .
Câu 37.
(PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Tập xác định của hàm số sau tan 2x y= . 3 sin 2x − cos 2x π π π π π π π π A. D = ℝ \ + k ; + k ; k ∈ ℤ . B. D = ℝ \ + k ; + k ; k ∈ ℤ . 2 12 2 2 5 2 4 6 π π π π π π π C. D = ℝ \ + k ; k ; k ∈ ℤ . D. D = ℝ \ + k ; + k ; k ∈ ℤ . 2 2 2 12 2 4 3
Câu 38.
(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Phương trình 3 sin 2 x − cos 2 x = 2 có tập nghiệm là π kπ 2π A. S = + B. S = | k ∈ ℤ . + k 2π | k ∈ ℤ . 3 2 3 π 5π C. S = + kπ | k ∈ ℤ . D. S = + kπ | k ∈ ℤ . 3 12
Câu 39.
(XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Tất cả các nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x = 1 là:
π x = − 6 + k 2π + k 2π , k ∈ ℤ . B. , k ∈ℤ . 6 x = π + k 2π 2 5π 5π C. x = + kπ , k ∈ ℤ . D. x = + k 2π , k ∈ ℤ . 6 6 A. x =
π
6
Câu 40.
Câu 41.
Câu 42.
(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Tất cả các họ nghiệm của phương trình sin x + cos x = 1 là x = k 2π A. , k ∈ℤ . B. x = k 2π , k ∈ ℤ . x = π + k 2π 2 π x = 4 + k 2π π = + x k 2 π , k ∈ ℤ . D. C. , k ∈ℤ . 4 x = − π + k 2π 4 (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin x + 3 cos x = 1 có tập nghiệm là: π π π π B. − + k 2π ; + k 2π , với k ∈ Z . A. − + kπ ; − + kπ , với k ∈ Z . 2 2 6 6 π π π 7π C. − + k 2π ; − + k 2π , với k ∈ Z . D. + k 2π ; + k 2π , với k ∈ Z . 2 2 6 6 (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Giải phương trình sin 3 x + cos 3 x = 2 . π π π B. x = + k , k ∈ ℤ . + kπ , k ∈ ℤ . 3 6 3 2π 2π π π C. x = + k , k ∈ℤ . D. x = + k , k ∈ℤ . 9 3 12 3 Dạng 2.2 Cần biến đổi
π π x = 4 + k 2 A. . x = π + k π 6 3
Câu 48.
2 cos 3 x = sin x + cos x .
B. x = D. x =
π
2 2
+ k 2π ; x = + kπ ; x =
π 6
π 6
B.
3π . 2
C. π .
D.
π 2
.
Câu 51. Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos 2 x − sin 2 x = 2 + sin 2 x trên khoảng ( 0; 2π ) . A. T =
3π . 4
B. T =
7π . 8
C. T =
21π . 8
D. T =
11π . 4
Câu 52. Biến đổi phương trình cos 3x − sin x = 3 ( cos x − sin 3x ) về dạng sin ( ax + b ) = sin ( cx + d ) với b
π π , d thuộc khoảng − ; . Tính b + d . 2 2 π π A. b + d = . B. b + d = . 2 4
Nghiệm của phương trình sin x + 3 sin x cos x = 1 là:
π
(THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Nghiệm của phương trình sin x − 3 cos x = 2sin 3 x là 2π π π π A. x = + k , k ∈ℤ . B. x = + k 2π hoặc x = + k 2π , k ∈ℤ . 3 2 3 3 4π π π π 2π C. x = − + k 2π hoặc x = , k ∈ℤ . + k 2π , k ∈ ℤ . D. x = + kπ hoặc x = + k 3 3 6 6 3 Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm
A. 3π .
2
5π A. x = + k 2π ; x = + k 2π . 6 6 5π π C. x = − + k 2π ; x = − + k 2π . 6 6
π 2π x = − 6 + k 9 D. . x = 7π + k 2π 6 9
(THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của phương trình π cos2 x − sin 2 x = 2 + cos 2 + x trên khoảng ( 0;3π ) là 2 A. 4. B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 50. (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) của phương trình:
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Giải phương trình 2sin 2 x + 3 sin 2 x = 3 2π 5π π π A. x = − + kπ . B. x = + kπ . C. x = + kπ . D. x = + kπ . 3 3 3 3
π
π π x = 18 + k 2 D. . x = π + k π 9 3
Câu 49.
π π Câu 44. Giải phương trình 3 cos x + + sin x − = 2sin 2 x. 2 2 π 2π 5π x = 18 + k 3 x = 6 + k 2π A. B. , k ∈ ℤ. , k ∈ ℤ. x = − π + k 2π x = π + k 2π 18 3 18 3 7π 5π = + = + x k 2 x k 2 π π 6 6 C. D. , k ∈ ℤ. , k ∈ ℤ. x = − π + k 2π x = 7π + k 2π 18 3 6 Câu 45.
π π x = 16 + k 2 C. . x = π + k π 8 3
Câu 47. Phương trình: 3sin 3x + 3 sin 9 x = 1 + 4sin 3 3x có các nghiệm là: π 2π π 2π π 2π x = − 54 + k 9 x = − 9 + k 9 x = − 12 + k 9 A. B. . . C. . x = π + k 2π x = 7π + k 2π x = 7π + k 2π 18 9 9 9 12 9
A. x =
Câu 43.
π π x = 12 + k 2 B. . x = π + k π 24 3
π C. b + d = − . 3
D. b + d =
π 12
.
π Câu 53. Số nghiệm của phương trình sin 5x + 3 cos5x = 2sin 7 x trên khoảng 0; là? 2 A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.
+ k 2π .
+ kπ .
Câu 54.
Câu 46. Phương trình sin x + cos x = 2 sin 5x có nghiệm là:. 7
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Phương trình 3 cos x + sin x = −2 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn [ 0; 4035π ] ? A. 2016 . B. 2017 . C. 2011 . D. 2018 . 8
Câu 55.
π π π π (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Tìm góc α ∈ ; ; ; để 6 4 3 2 phương trình cos 2 x + 3 sin 2 x − 2 cos x = 0 tương đương với phương trình cos ( 2 x − α ) = cos x . A. α =
Câu 56.
π 6
.
Câu 59.
4
.
C. α =
π 2
.
D. α =
π 3
.
2π . 3
B. a + b =
3π . 5
C. a + b =
π 2
.
D. a + b = π .
(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin x − 3 cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc [ −2π ; 2π ] . A. 5 .
Câu 58.
π
B. 2 .
C. 3 .
A. 0
(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng T các nghiệm của phương trình π cos 2 x − sin 2 x = 2 + cos2 + x trên khoảng ( 0; 2π ) . 2 7π 21π 11π 3π A. T = . B. T = . C. T = . D. T = . 8 8 4 4
Câu 60. Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của sin 9 x + 3 cos 7 x = sin 7 x + 3 cos9 x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? π π π π π π π A. x0 ∈ − ; − . B. x0 ∈ − ;0 . C. x0 ∈ − ; − . D. x0 ∈ − ; − . 2 3 12 6 12 3 6 Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm Câu 61.
(CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c để phương trình a sinx+ bcosx = c có nghiệm? A. a 2 + b 2 > c 2 B. a 2 + b 2 ≤ c 2 C. a 2 + b 2 = c 2 D. a 2 + b 2 ≥ c 2
Câu 62.
(THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm m để phương trình 3sin x − 4cos x = 2m có nghiệm? 5 5 5 5 5 5 A. − < m ≤ B. m ≤ − C. m ≥ D. − ≤ m ≤ 2 2 2 2 2 2
Câu 63.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2018; 2018] để phương trình
(m +1) sin 2 x − sin 2 x + cos 2 x = 0 có nghiệm? A. 4036
B. 2020
C. 4037
D. 2019
9
B. 3
C. vô số
D. 1
(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Để phương trình m sin 2 x + cos2x = 2 có nghiệm thì m thỏa mãn: m ≥ 3 m ≥ 2 A. m ≤ 1. B. C. D. m ≥ 1. . . m ≤ − 3 m ≤ − 2
Câu 66.
(THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình 4 sin x + (m − 4) cos x − 2m + 5 = 0 có nghiệm là:
B. 6
A. 5
C. 10
D. 3
Câu 67.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −2018; 2018] để phương trình ( m + 1) sin 2 x − sin 2 x + cos 2 x = 0 có nghiệm? A. 4036 . B. 2020 . C. 4037 . D. 2019 .
Câu 68.
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Số các giá trị nguyên m để phương trình 4m − 4.sinx .cosx + m − 2.cos 2 x = 3m − 9 có nghiệm là A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
Câu 69.
Tìm điều kiện của m để phương trình ( 2m − 1) cos 2 x + 2m sin x cos x = m − 1 vô nghiệm?
D. 4 .
(LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Tổng các nghiệm của phương trình 5π 2 cos 2 x + 3 sin 2 x = 3 trên 0; là: 2 7π 7π 7π A. . B. . C. . D. 2π . 6 3 2
(CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm số các giá trị nguyên của m để phương trình m cos x − ( m + 2 ) sin x + 2 m + 1 = 0 có nghiệm.
Câu 65.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho phương trình sin x + cos x = 1 có hai họ nghiệm có dạng x = a + k 2π và x = b + k 2π ( 0 ≤ a , b < π ) . Khi đó a + b bằng bao nhiêu? A. a + b =
Câu 57.
B. α =
Câu 64.
A. m ∈∅ . C. 0 ≤ m ≤ Câu 70.
1 . 2
1 B. m ∈ ( −∞;0] ∪ ; +∞ . 2 1 D. 0 < m < . 2
(THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Cho phương trình 2m sin x cos x + 4 cos 2 x = m + 5 , với m là một phần tử của tập hợp E = {−3; − 2; − 1;0;1; 2} . Có
bao nhiêu giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm? A. 3 . B. 2 . C. 6 .
D. 4 .
Câu 71.
(THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Tìm m để phương trình sau có nghiệm cos x + 2sin x + 3 : m= 2 cos x − sin x + 4 2 A. −2 ≤ m ≤ 0 . B. −2 ≤ m ≤ −1 . C. 0 ≤ m ≤ 1 . D. ≤m≤2. 11
Câu 72.
(THPT CAN LỘC - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình 4 sin x + ( m − 4 ) cos x − 2 m + 5 = 0 có nghiệm là: A. 5 . B. 6 . C. 10 . D. 3 .
Câu 73.
(THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của a để phương trình a sin 2 x + 2sin 2 x + 3a cos 2 x = 2 có nghiệm A. a = 3 . B. a = 2 . C. a = 1 . D. a = −1 .
Câu 74.
(CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả giá trị nguyên của m để phương trình 8sin 2 x + ( m − 1) sin 2 x + 2m − 6 = 0 có nghiệm. 10
A. 3 . Câu 75.
B. 5 .
C. 6 .
D. 2 .
Câu 83.
(THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −2018; 2018] để phương trình
( m + 1) sin 2 x − sin 2 x + cos 2 x = 0 A. 4037 . Câu 76.
Câu 77.
B. 4036 .
Câu 84. Phương trình: 3cos2 4 x + 5sin 2 4 x = 2 − 2 3 sin 4 x cos 4 x có nghiệm là:
C. 2019 .
D. 2020 .
(THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tìm m để phương trình cos x + 2sin x + 3 có nghiệm. m= 2 cos x − sin x + 4 2 A. −2 ≤ m ≤ 0 B. 0 ≤ m ≤ 1 C. D. −2 ≤ m ≤ −1 ≤m≤2 11 Dạng 2.3.3 Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm Min-Max (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hàm số sin x + 2 cos x + 1 có M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của y . Đẳng thức nào y= sin x + cos x + 2 sau đây đúng? −3 A. M 2 − m 2 = −3 . B. M 2 − m2 = . C. M 2 − m2 = 3 . D. M 2 − m2 = 2 . 4
Câu 78.
(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Số giá trị cos x + 2sin x + 3 nguyên trong tập giá trị của hàm số y = là: 2cos x − sin x + 4 A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
Câu 79.
(THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất sin x + 2 cos x + 1 là M của hàm số y = sin x + cos x + 2 1 A. m = − ; M = 1 B. m = 1 ; M = 2 C. m = −2 ; M = 1 D. m = −1 ; M = 2 2
Câu 80.
Câu 81.
(THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Giá trị lớn nhất của s inx − 2 cos x − 3 biểu thức P = là? 2sin x + cos x − 4 2 2 A. B. C. 3 D. 2 11 11 (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên m sin x + 1 của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = nhỏ hơn 3 . cos x + 2 A. 5 B. 4 C. 3 D. 7
A. x = − C. x = −
(TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ 2 NĂM 2018-2019) Khi đặt t = tan x thì phương trình 2sin 2 x + 3sin x cos x − 2cos2 x = 1 trở thành phương trình nào sau đây? B. 3t 2 − 3t − 1 = 0 C. 2t 2 + 3t − 3 = 0 D. t 2 + 3t − 3 = 0 A. 2t 2 − 3t − 1 = 0 11
π 18
π 6
+k
π
.
3
B. x = −
+ kπ .
D. x = −
π 24
π 12
+k +k
π 4
π 2
. .
Câu 85. Cho phương trình cos 2 x − 3sin x cos x + 1 = 0 . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos 2 x thì ta được phương trình tan 2 x − 3 tan x + 2 = 0 . B. Nếu chia 2 vế của phương trình cho sin 2 x thì ta được phương trình 2 cot 2 x + 3 cot x + 1 = 0 . C. Phương trình đã cho tương đương với cos2 x − 3sin 2 x + 3 = 0 . D. x = kπ không là nghiệm của phương trình. Câu 86. Phương trình:
(
)
3 + 1 sin 2 x − 2 3 sin x cos x +
π x = + kπ A. (Với tan α = 2 − 3 ). 4 x = α + kπ π x = + kπ C. (Với tanα = 1− 3 ). 8 x = α + kπ
(
)
3 − 1 cos 2 x = 0 có các nghiệm là:
π x = − + kπ B. (Với tanα = −1+ 3 ). 8 x = α + kπ
π x = − + kπ D. (Với tanα = −2 + 3 ). 4 x = α + kπ
Câu 87. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình
sin 2 x −
(
)
3 + 1 sin x cos x + 3 cos2 x = 3 . 3 +1 B. ( cos x − 1) tan x − = 0. 1 − 3
π A. sin x + = 1 . 2
(
)(
C. tan x + 2 + 3 cos 2 x − 1 = 0 .
)
D. sin x = 0 .
Câu 88. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2sin 2 x + 3 3 sin x cos x − cos2 x = 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? π 5π π 5π π π π A. ; ⊂ S . B. ; ⊂ S . C. ; π ⊂ S . D. ; ⊂ S . 4 12 2 6 3 6 2 Câu 89. Cho phương trình
(
)
2 − 1 sin 2 x + sin 2 x +
(
)
2 + 1 cos2 x − 2 = 0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh
đề nào sai? A. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos 2 x thì ta được phương trình tan 2 x − 2 tan x − 1 = 0 . B. Nếu chia hai vế của phương trình cho sin 2 x thì ta được phương trình cot 2 x + 2 cot x − 1 = 0 . C. Phương trình đã cho tương đương với cos 2 x − sin 2 x = 1 . 7π D. x = là một nghiệm của phương trình. 8
Dạng 3. Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp Dạng 3.1 Không có điều kiện của nghiệm Câu 82.
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình 2sin 2 x + 3 sin 2 x = 3 . 2π 4π 5π π + kπ . + kπ . + kπ . A. x = B. x = + kπ . C. x = D. x = 3 3 3 3
Câu 90.
(Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Giải phương trình 2sin 2 x + 3 sin 2 x = 3 . 12
A. x =
π
+ kπ .
3
B. x =
4π + kπ . 3
2
C. x =
5π + kπ . 3
D. x =
Câu 92. Giải phương trình sin 2 x −
(
Câu 101. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 3sin 2 x + m sin 2 x − 4 cos 2 x = 0 có nghiệm. A. m ∈ ∅ . B. m ∈ ℝ . C. m ≥ 4 . D. m = 4 .
)
B. x =
π
D. x =
π
4
3
+ kπ
Dạng 4. Giải và biện luận Phương trình đối xứng Dạng 4.1 Không có điều kiện của nghiệm
( k ∈ ℤ ).
+ k 2π
1 Câu 102. Phương trình sin x + cos x = 1 − sin 2 x có nghiệm là:. 2 π π π π x = 6 + k 2 x = + kπ x = + k 2π A. . B. . C. . 4 2 x = k π x = kπ x = k 2π 4
(k ∈ ℤ).
(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình 2sin 2 x + 3 sin 2 x = 3 . 2π 4π 5π π + kπ . + kπ . + kπ . A. x = B. x = + kπ . C. x = D. x = 3 3 3 3 Dạng 3.3 Có điều kiện của nghiệm
B. 2 .
D. 1 .
C. 3 .
Câu 95. Số nghiệm của phương trình cos 2 x − 3sin x cos x + 2 sin 2 x = 0 trên ( −2π ; 2π ) ? A. 4 .
B. 6 .
(
)
(
)
2
Câu 96. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2sin x + 1 − 3 sin x cos x + 1 − 3 cos x = 1 là: 2π . A. − 3
Câu 97.
12
.
C. −
π 6
.
D. −
π 4
.
C. 2t 2 + 3 2 t − 2 = 0.
π 2
.
B. x =
π 6
.
C. x =
π 4
.
D. x =
π 3
.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin 2 x + 2sin x cos x − cos 2 x = 0 . Chọn khẳng định đúng? 3π π π 3π A. x0 ∈ π ; B. x0 ∈ ; π C. x0 ∈ 0; D. x0 ∈ ;2π 2 2 2 2
Câu 99.
π x = − 2 + k 2π , k ∈ ℤ. x = k 2π π x = 2 + kπ , k ∈ ℤ. x = kπ
D. 4t 2 + 3 2 t − 4 = 0.
Câu 105. Cho phương trình 5sin 2 x + sin x + cos x + 6 = 0 . Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình đã cho? π 3 A. 1 + tan 2 x = 0. B. cos x − = . 4 2
Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 4sin 2 x + 3 3 sin 2 x − 2 cos 2 x = 4 là: A. x =
Câu 98.
B. −
π
π x = + k 2π , k ∈ ℤ. B. A. 2 x = k 2 π π x = − + kπ C. , k ∈ ℤ. D. 2 x = kπ
Câu 104. Cho phương trình 3 2 ( sin x + cos x ) + 2 sin 2 x + 4 = 0 . Đặt t = sin x + cos x , ta được phương trình nào dưới đây? A. 2t 2 + 3 2 t + 2 = 0. B. 4t 2 + 3 2 t + 4 = 0.
D. 2 .
C. 8 . 2
π x = 8 + kπ D. . x = k π 2
Câu 103. Giải phương trình sin x cos x + 2 ( sin x + cos x ) = 2 .
(Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Phương trình 4sin 2 2 x − 3sin 2 x cos 2 x − cos2 2 x = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ( 0; π ) ? A. 4 .
D. 4 .
Câu 100. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình a sin 2 x + 2sin 2 x + 3a cos2 x = 2 có nghiệm? 11 8 A. 2 . B. . C. 4 . D. . 3 3
π x = 8 + kπ D. . x = π + kπ 12
3 + 1 sin x cos x + 3 cos2 x = 0.
π x = 3 + kπ A. ( k ∈ ℤ ). x = π + kπ 4 π x = 3 + k 2π C. ( k ∈ ℤ). x = π + k 2π 4
Câu 94.
C. 3 .
2
Câu 91. Phương trình 6sin x + 7 3sin2x − 8cos x = 6 có các nghiệm là:. 3π π π x = 4 + kπ x = 2 + kπ x = 4 + kπ A. . B. . C. . x = 2π + kπ x = π + kπ x = π + kπ 6 3 3
Câu 93.
A. 1 . B. 2 . Dạng 3.3 Định m để phương trình có nghiệm
2π + kπ . 3
C. tan x = 1.
π 2 D. sin x + = . 4 2
Câu 106. Phương trình 2sin 2x − 3 6 | sin x + cos x | +8 = 0 có nghiệm là:
(THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Phương trình 4sin 2 2 x − 3sin 2 x cos 2 x − cos 2 2 x = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ( 0; π ) ?. 13
14
π x = 6 + kπ A. . x = 5π + kπ 4
π x = 3 + kπ C. . x = 5π + kπ 3
π x = 12 + kπ B. . x = 5π + kπ 12
(
(
2 2 2 . B. sin x = hoặc sin x = − . 2 2 2 C. sin x = −1 hoặc sin x = 0 . D. sin x = 0 hoặc sin x = 1 .
A. sin x =
)
Câu 107. Từ phương trình 1 + 3 ( cos x + sin x ) − 2sin x cos x − 3 − 1 = 0 , nếu ta đặt t = cos x + sin x thì giá trị của t nhận được là: A. t = 3 . B. t = 1 hoặc t = 2 . C. t = 1 hoặc t = 3 .
D. t = 1 .
1 Câu 108. Phương trình sin 3 x + cos3 x = 1 − sin 2 x có các nghiệm là:. 2
3π + k 2π x= 2 A. . x = ( 2k + 1) π
π x = + kπ B. . 4 x = kπ
π x = + k 2π C. . 2 x = k 2π
π 2 π D. sin x − = 0 hoặc sin x − = − . 4 4 2
Câu 109. (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho x0 là nghiệm của phương trình
π Câu 110. Nếu (1 + sin x )(1 + cos x ) = 2 thì cos x − bằng bao nhiêu? 4 2 2 A. B. − C. −1. . . 2 2
D. P = 1 .
sin x cos x + 2 ( sin x + cos x ) = 2 thì giá trị của P = 3 + sin 2 x0 là D. 1.
A. P = 3 .
ĐT
HƯNG
A.
YÊN
trình
2 . 2
C.
2 . 2
2 ≤ m ≤ 2.
B. 1 ≤ m ≤ 4 + 2 2 . C. 1 ≤ m ≤ 2 .
D. P = 3 +
2 . 2
1 + sin x + 1 + cos x = m có D. 0 ≤ m ≤ 1 .
Câu 120. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tổng các nghiệm của phương trình sin x cos x + sin x + cos x = 1 trên khoảng ( 0;2π ) là: A. 2π . B. 4π . C. 3π . D. π . 3 π Câu 121. Từ phương trình 1 + sin 3 x + cos3 x = sin 2 x , ta tìm được cos x + có giá trị bằng: 2 4 2 2 2 A. ± B. − C. D. 1. . . . 2 2 2
Câu 122. Cho x thỏa mãn 2sin 2 x − 3 6 sin x + cos x + 8 = 0 . Tính sin 2 x.
2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x , ta tìm được cos x có giá trị bằng:
B. −
C. P = 0 .
B. P = 2 .
Câu 119. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Phương trình nghiệm khi và chỉ khi
)
Câu 113. Từ phương trình A. 1.
VÀ
π D. − . 2
Câu 118. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho x0 là nghiệm của phương trình
NĂM 2018) Từ phương π 1 + 5 ( sin x − cos x ) + sin 2 x − 1 − 5 = 0 ta tìm được sin x − có giá trị bằng: 4 3 3 2 2 A. − . B. . C. − . D. . 2 2 2 2
(
GD
1 Câu 116. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin x + cos x = 1 − sin 2 x là: 2 3π A. − π . B. − . C. − 2π . 2
Câu 117. (THPT Phan Chu Trinh - ĐăkLăk - 2017 - 2018 - BTN) Tổng các nghiệm của phương trình sin x cos x + sin x + cos x = 1 trên khoảng ( 0;2π ) là: A. 4π . B. 3π . C. π . D. 2π .
π Câu 111. Cho x thỏa mãn 6 ( sin x − cos x ) + sin x cos x + 6 = 0 . Tính cos x + . 4 π π A. cos x + = −1. B. cos x + = 1. 4 4 π 1 π 1 C. cos x + = . D. cos x + = − . 4 4 2 2 Câu 112. (SỞ
π Câu 115. Cho x thỏa mãn phương trình sin 2 x + sin x − cos x = 1. Tính sin x − . 4 π π A. sin x − = 0 hoặc sin x − = 1 . 4 4 π 2 π B. sin x − = 0 hoặc sin x − = . 4 4 2
π 2 C. sin x − = − . 4 2
3π x = 4 + kπ D. . x = k π 2
Dạng 4.2 Có điều kiện của nghiệm
π sin x cos x + 2 ( sin x + cos x ) = 2 thì giá trị của P = sin x0 + là 4 1 2 2 A. P = . B. P = − . C. P = . 2 2 2
)
Câu 114. Nếu 1 + 5 ( sin x − cos x ) + sin 2 x − 1 − 5 = 0 thì sin x bằng bao nhiêu?
π x = + kπ D. . 4 x = 5π + kπ
1 A. sin 2 x = − . 2
D. − 1. 15
B. sin 2 x = −
2 . 2
1 C. sin 2 x = . 2
D. sin 2 x =
2 . 2 16
Câu 132. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Số nghiệm của phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2 x trong khoảng ( 0;5π ) là:
Dạng 5. Biến đổi đưa về phương trình tích Dạng 5.1 Không có điều kiện của nghiệm
B. 4 .
A. 5 .
Câu 123. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình sin 3x − 4sin x cos 2 x = 0. k 2π kπ x = k 2π x = kπ x = 3 x = 2 B. C. D. A. π x = ± + kπ x = ± π + kπ x = ± 2π + kπ x = ± π + kπ 3 6 3 4
π 3
+ k 2π , k ∈ ℤ .
B. x = −
π
π 2
(
+ k 2π , k ∈ ℤ .
π
+ k 2π , k ∈ ℤ . D. x = + kπ , k ∈ ℤ . 2 2 Dạng 5.2 Có điều kiện của nghiệm
C. x =
Câu 125. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018)Biểu diễn tậ p nghiệm của phương trình cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 trên đường tròn lượng giác ta được số điểm cuối là A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 2 . Câu 126. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin 5 x cos 7 x = cos 4 x sin 8 x trên ( 0; 2π ) bằng A.
19π . 3
B.
9π . 2
C. 5π .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 128. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn [ 0;13π ] của phương trình 2cos3 x + cos2 x + cos 2 x = 0 . Tính tổng các phần tử của S . 380π 420π 400π B. C. 120π D. A. 3 3 3
Câu 130. (SỞ
B.
11π . 3
C.
25π . 6
D. 6π .
BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho phương trình 3 tan x + 2sin x = 3 − 4 cos2 x . Gọi T là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn [ 0; 20π ]
)
của phương trình trên. Tính tổng các phần tử của T . 570 875 880 A. B. C. π. π. π. 3 3 3
D.
4π π ; của phương trình Câu 135. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Số nghiệm thuộc khoảng − 3 2 π cos (π + x ) + 3 sin x = sin 3 x − là 2 A. 4 . B. 3 . C. 6 . D. 2 . Câu 136. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN - 2018) Với −π < x < π cos x + cos 2 x + cos 3x + cos 4 x = 0 là A. 3 . B. 6 . C. 8 .
số nghiệm của phương trình D. 0 .
các nghiệm trong đoạn [ 0; π ] là: A.
π 3
.
B.
3π . 2
C. π .
D.
2π . 3
Câu 138. (THPT YÊN MỸ HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm số nghiệm của phương trình 3sin 2 2 x + cos 2 x − 1 = 0, x ∈ [ 0; 4π ) . B. 2
C. 4
D. 12
Câu 139. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Phương trình sin 3 x + 2 cos 2 x − 2 sin x − 1 = 0 có 7π ;0 . bao nhiêu nghiệm thuộc − 8 A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Dạng 6. Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu
GD&ĐT
( 2sin x − 1) (
3π Câu 134. (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Số nghiệm thuộc − ; −π của phương 2 3π − 2 x là: trình 3 sin x = cos 2 A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 0 .
A. 8
Câu 129. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos3x − cos 2 x + 9sin x − 4 = 0 trên khoảng ( 0;3π ) là A. 5π .
)
Câu 137. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Phương trình (1 + cos 4 x ) sin 2 x = 3 cos 2 2 x có tổng
D. 7π .
Câu 127. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin 2 x + 3 cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ( 0; π ) A. 0 .
D. 6 .
Câu 133. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình 1 8cot 2 x sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x trên đường tròn lượng giác là : 2 A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 0 .
Câu 124. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tập tất cả các nghiệm của phương trình sin 2 x + 2sin 2 x − 6sin x − 2cos x + 4 = 0 là A. x = ±
C. 3 .
1150 π. 3
Câu 140. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình cos 2 x + 3sin x − 2 = 0 là: cos x
Câu 131. (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Số nghiệm của phương trình 2sin 2 2 x + cos 2 x + 1 = 0 trong [ 0; 2018π ] là A. 1008 .
B. 2018 .
C. 2017 .
D. 1009 . 17
18
π x = 2 + k 2π π x = 6 + kπ π A. x = + kπ ( k ∈ ℤ ) . B. (k ∈ ℤ) . 6 x = 5π + kπ 6 x = 5π + kπ 6 π x = 2 + k 2π π x = 6 + k 2π π C. x = + k 2π ( k ∈ ℤ ) . D. (k ∈ ℤ) . 6 x = 5π + k 2π 6 x = 5π + k 2π 6 Câu 141. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình cos x − 3 sin x = 0. 2sin x − 1 7π π A. x = + k π ; k ∈ ℤ . B. x = + k 2π ; k ∈ ℤ . 6 6 7π π + kπ ; k ∈ ℤ . D. x = + k 2π ; k ∈ ℤ . C. x = 6 6 Câu 142. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1 phương trình = 0 trên đường tròn lượng giác là: tan x + 3 A. 4 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Câu 143. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính tổng T tất cả các nghiệm của ( 2 cos x − 1)( sin 2 x − cos x ) = 0 trên 0; π ta được kết quả là: phương trình 2 sin x − 1 2π π π A. T = . B. T = . C. T = π . D. T = . 3 2 3 Câu 144. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Tính tổng các nghiệm thuộc [ 0;100π ] của phương trình A.
7475 π. 3
3 − cos 2 x + sin 2 x − 5sin x − cos x = 0. 2 cos x − 3 7375 π. B. C. 4950π . 3
D.
7573 π. 3
B. 2 2.
C.
2 . 2
Câu 148. (THPT
C. 3 .
D. 5 .
THÉP - LẦN 3 - 2018) Số nghiệm của π sin 3 x + cos 3x − 2 2 cos x + + 1 π 4 = 0 trong khoảng 0; là sin x 2 A. 2 . B. 1 . C. 0 . C. 3 .
GANG
Câu 149. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Để phương trình
D.
2 . 4
Câu 146. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình sin x sin 2 x + 2 sin x cos2 x + sin x + cos x = 3 cos 2 x trong khoảng ( −π ; π ) là: sin x + cos x 19
phương
trình
a2 sin 2 x + a 2 − 2 = có nghiệm, 2 1 − tan x cos 2 x
tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
a > 1 B. . a ≠ 3
A. a ≠ ± 3 .
C. a ≥ 4 .
D. a ≥ 1 .
Câu 150. (CTN - LẦN 1 - 2018) Các nghiệm của phương trình 2 (1 + cos x ) 1 + cot 2 x =
(
biểu diễn bởi bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác? B. 2 . C. 4 . A. 3 .
)
sin x − 1 được sin x + cos x
D. 1 .
Dạng 7. Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác Câu 151. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho phương trình sin 2018 x + cos 2018 x = 2 sin 2020 x + cos 2020 x . Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
(
)
( 0; 2018) 2
1285 A. π. 4
2
B. ( 643) π .
2
C. ( 642 ) π .
2
1285 D. π. 2
Câu 152. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ x nhất của phương trình 1 + tan x tan sin x + cot x = 4 là 2
A. −
cos 4 x − cos 2 x + 2 sin x = 0. cos x + sin x Tính diện tích đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.
2.
B. 4 .
π 6
.
B.
π 2
.
C.
π 6
.
2
Câu 145. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho phương trình
A.
A. 2 .
Câu 147. (THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Tính tổng tất cả các nghiệm của cos 2 x − cos3 x − 1 phương trình cos 2 x − tan 2 x = trên đoạn [1;70] cos 2 x A. 188π B. 263π C. 363π D. 365π
Câu 153. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Phương trình sin x =
thực? A. 1290 .
B. 1287 .
C. 1289 .
D. −
π 2
.
x có bao nhiêu nghiệm 2019 D. 1288 .
Câu 154. (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Phương trình cos 2 x.sin 5x + 1 = 0 có bao nhiêu π nghiệm thuộc đoạn − ; 2π ? 2 A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
20
Câu 155. (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình: sin 2015 x − cos 2016 x = 2 sin 2017 x − cos 2018 x + cos 2 x trên [ −10;30 ] là:
(
A. 46 .
)
B. 51.
D. 44 .
C. 50 .
Dạng 8. Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số Câu 156. (THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương m trình sin 6 x + cos6 x + 3sin x cos x − + 2 = 0 có nghiệm thực? 4 A. 13 . B. 15 . C. 7 . D. 9 . Câu 157. (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình cos2 x + m sin x − m = 0 có nghiệm?
B. 1.
A. 0 . Câu 158. (THPT
HOÀNG
MAI
C. 2 . -
NGHỆ
AN - 2018) π 3π cos 2 x − ( 2m + 1) cos x + m + 1 = 0 có nghiệm x ∈ ; . 2 2 A. 0 ≤ m < 1 . B. −1 < m < 0 . C. 0 < m ≤ 1 .
D. vô số. Tìm
m
để
phương
trình
D. −1 ≤ m ≤ 0 .
Câu 159. (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham m số m để phương trình sin 6 x + cos 6 x + 3sin x cos x − + 2 = 0 có nghiệm thực? 4 A. 13 . B. 15 . C. 7 . D. 9 . Câu 160. (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Có bao π nhiêu số nguyên m để phương trình: 2sin x + ( m − 1) cos x = − m có nghiệm x ∈ 0; . 2 A. 3 . B. 1. C. 2 . D. Vô số. Câu 161. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 cos 3 x − cos 2 x + ( m − 3) cos x − 1 = 0 có đúng bốn
π π nghiệm khác nhau thuộc khoảng − ; . 2 2 A. 2. B. 3.
C. 0.
D. 1.
Câu 162. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để π phương trình cos3 2 x − cos 2 2 x = m sin 2 x có nghiệm thuộc khoảng 0; ? 6 A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1 . Câu 163. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Cho phương trình (1 + cos x )( cos 4 x − m cos x ) = m sin 2 x . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 3
2π nghiệm phân biệt thuộc 0; . 3 1 1 A. m ∈ − ; . B. m ∈ ( −∞ ; − 1] ∪ [1; + ∞ ) . 2 2 1 C. m ∈ ( −1;1) . D. m ∈ − ;1 . 2 21
Câu 164. (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 3 x − cos 2 x + m cos x = 1 có đúng bảy nghiệm khác nhau thuộc khoảng π − ; 2π ? 2 A. 3 . B. 5 . C. 7 . D. 1 . Câu 165. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Số các giá trị thực của tham số m để phương trình ( sin x − 1) 2cos 2 x − ( 2m + 1) cos x + m = 0 có đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn [ 0; 2π ] là:
(
A. 1 .
)
B. 2 .
C. 3 .
D. vô số.
Câu 166. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để pt 2 cos 3x = m − 2 cos x + 3 m + 6cos x có nghiệm? A. 5 . B. 4 . C. 6 . D. 3 . Câu 167. (THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm m để phương trình π π 2sin x + m cos x = 1 − m có nghiệm x ∈ − ; 2 2 3 3 A. −1 ≤ m ≤ 3 . B. − ≤ m . C. 1 ≤ m ≤ 3 . D. m ≤ . 2 2 Câu 168. (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình sau vô nghiệm với ẩn x, ( x ∈ ℝ ) :
4cos x − 3sin x = ( m3 − 4m + 3) x + m − 4. A. Vô số
B. 2
C. 3
D. 1
Câu 169. (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Cho phương trình cos 3x − cos 2 x + m cos x −1 = 0 . Có bao nhiêu giá trị m để phương trình có đúng 7 nghiệm π x ∈ − ; 2π 2 B. 4 C. 1 D. 8 A. 2 Câu 170. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Cho phương trình cos 2 x − ( 2m − 3 ) cos x + m − 1 = 0 ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
π 3π phương trình có nghiệm thuộc khoảng ; 2 2 A. 1 ≤ m < 2 . B. m < 2 .
. C. m ≥ 1 .
D. m ≤ 1 .
Câu 171. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình π cos 2 x − 5sin x + m = 0 có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng −π ; . 2 A. −1 ≤ m < 6 . B. −4 ≤ m < 6 . C. m ∈ {−4} ∪ [ −1; 6 ) . D. −4 ≤ m ≤ −1 . Câu 172. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Tất cả các giá trị của m để phương trình π π cos 2 x − ( 2m − 1) cos x − m + 1 = 0 có đúng 2 nghiệm x ∈ − ; là 2 2 A. −1 ≤ m ≤ 1 . B. −1 ≤ m ≤ 0 . C. 0 ≤ m < 1 . D. 0 ≤ m ≤ 1 .
22
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
Câu 6.
Câu 7.
Với sin x = 1 ⇔ x =
Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Dạng 1.1 Không cần biết đổi 3 cos x = 2 ( L ) 2 Ta có 4cos x − 4 cos x − 3 = 0 ⇔ . cos x = − 1 ( N ) 2 2π 1 2π Với cos x = − ⇔ cos x = cos + k 2π ( k ∈ ℤ ) . ⇔ x=± 2 3 3 Vậy số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là 2 . Chọn A 3 Ta có cos 2 2 x + cos 2 x − = 0. Đặt cos 2 x = t với điều kiện −1 ≤ t ≤ 1, ta được phương trình bậc 4 hai theo t là 3 t 2 + t − = 0. (*) 4 1 −3 1 Phương trình (*) có hai nghiệm t1 = và t2 = nhưng chỉ có t1 = thỏa mãn điều kiện. 2 2 2 Vậy ta có 1 π π π cos 2x = ⇔ cos 2x = cos ⇔ 2x = ± + k 2π ⇔ x = ± + kπ , ( k ∈ ℤ ) . 2 3 6 3 Chọn C π sin x = 3 > 1 x = − + k 2π 6 2 ⇔ 2 sin x – 5 sin x – 3 = 0 ⇔ (k ∈ ℤ) . sin x = − 1 x = 7π + k 2π 2 6 Chọn B Đặt t = sin x . Điều kiện t ≤ 1
t = 1 ( TM) Phương trình trở thành: t 2 = −t + 2 ⇔ t 2 + t − 2 = 0 ⇔ t = −2 (L) π Với t = 1 ⇒ sin x = 1 ⇔ x = + k 2π (k ∈ Z). . 2 Chọn D cos x = 1 x = k 2π Ta có 2 cos2 x − 3cos x + 1 = 0 ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) . 1 cos x = x = ± π + k 2π 2 3 Chọn A cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π ( k ∈ ℤ ) . 3 cos 2 x = – 8 cos x – 5 ⇔ 3cos 2 x + 8cos x + 5 = 0 ⇔ cos x = − 5 < −1 3 Chọn D sin x = 1 . sin 2 x − 4sin x + 3 = 0 ⇔ sin x = 3
Câu 8.
π
+ k 2π , k ∈ ℤ . 2 Với sin x = 3 phương trình vô nghiệm. Chọn B sin x = 0 Ta có sin 2 x − 2 sin x = 0 ⇔ sin x ( sin x − 2 ) = 0 ⇔ . sin x = 2 Vì −1 ≤ sin x ≤ 1 nên chỉ có sin x = 0 thỏa mãn. Vậy ta có sin x = 0 ⇔ x = kπ , ( k ∈ ℤ ) .
Câu 9.
Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai Chọn D Phương trình đã cho tương đương với 1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 − sin 2 x + sin 2 x − + sin 2 x − = 0 ⇔ sin 2 x + sin 2 x − 1 = 0 2 2 2 2 2 2 sin 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = −2(VN ) Với sin 2 x = 1 ⇔ 2 x =
Câu 10.
π 2
+ k 2π ⇔ x =
4
+ kπ , k ∈ ℤ .
Chọn D 2 cos 2 x − cos x + 1 = 0 ⇔ 2 ( 2 cos 2 x − 1) − cos x + 1 = 0 ⇔ 4 cos 2 x − cos x − 1 = 0
Đặt t = cos x , phương trình trở thành 4t 2 − t − 1 = 0 Câu 11. Chọn A
Câu 12.
Câu 13. Câu 14. Câu 15.
sin x = 1(1) Ta có: cos 2 x + 5sin x − 4 = 0 ⇔ −2sin 2 x + 5sin x − 3 = 0 ⇔ sin x = 3 ( 2 ) 2 π Phương trình (1) có nghiệm x = + k 2π 2 Phương trình (2) vô nghiệm. Chọn A +) Ta có cos 2 x − 2sin x = −3 ⇔ 1 − 2sin 2 x − 2sin x = −3 s inx = 1 ⇔ sin 2 x + sin x − 2 = 0 ⇔ s inx = −2 < −1 (VN) π +) sinx = 1 ⇔ x = + k 2π, k ∈ Z 2 Ta có: cos 2 x + sin x + 2 = 0 ⇔ 1 − 2sin 2 x + sin x + 2 = 0 ⇔ −2sin 2 x + sin x + 3 = 0 . Đặt t = sin x ta được phương trình: −2t 2 + t + 3 = 0 . Ta có 3sin 2 x − 2 cos x + 2 = 0 ⇔ 3cos 2 x + 2 cos x − 5 = 0 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ℤ . sin x ≠ 0 kπ ,k ∈ℤ . ĐK ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 cos x ≠ 0 2
Phương trình tương đương tan x −
23
π
(
π x = 4 + kπ tan x = 1 3 + 1 tan x + 3 = 0 ⇔ ,k ∈ℤ . ⇔ x = π + kπ tan x = 3 3
)
24
1 41 ≤k≤ ⇒ k = 1, 2,...,10 . 4 4 3π 3π 3π 105π Vậy tổng các nghiệm là: S = . + + π + ... + + 9π = 4 4 2 4 Câu 23. Chọn A sin x = −1 π PT đã cho ⇔ −2 sin 2 x + 4 sin x + 6 = 0 ⇔ ⇔ x = − + k 2π , ( k ∈ ℤ ) . sin x = 3 pt v n 2 ( ) π 1 21 Theo đề: x ∈ ( 0;10π ) ⇒ 0 < − + k 2π < 10π ⇔ < k < . 2 4 4 Vì k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2;3; 4;5} . Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng ( 0;10π ) .
π π π 5 π 5 Ta có: cos 2 x + + 4cos − x = ⇔ 1 − 2sin 2 x + + 4cos − x = 3 3 6 2 6 2 π 5 2 π ⇔ 1 − 2 cos − x + 4cos − x = . 6 6 2 5 π Đặt t = cos − x , t ≤ 1 ta được phương trình: 1 − 2t 2 + 4t = ⇔ 4t 2 − 8t + 3 = 0 . 2 6 Câu 17. cos 2 x + sin x − 1 = 0 ⇔ 1 − 2sin 2 x + sin x − 1 = 0 ⇔ −2sin 2 x + sin x = 0 ⇒ −2t 2 + t = 0 . Câu 18. Ta có cos2 x + 5sin x − 4 = 0 ⇔ 1 − 2sin 2 x + 5sin x − 4 = 0 sin x = 1 ⇔ −2sin 2 x + 5sin x − 3 = 0 ⇔ sin x = 3 2 π Với sin x = 1 ⇔ x = + k 2π, k ∈ ℤ . 2 3 Với sin x = > 1 (vô nghiệm). 2 Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm Câu 19. Chọn B π x = 2 + k 2π sin x = 1 π ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ℤ ) 2 sin 2 x – 3sin x + 1 = 0 ⇔ 1 sin x = 6 2 5 x = π + k 2π 6
Theo đề bài: 0 ≤ −
Câu 16.
Vì 0 ≤ x <
Câu 20.
Chọn
π
nên nghiệm của phương trình là x =
2 C.
π 6
π
4
+ kπ ≤ 10π ⇔
cos 2 x + 2 cos x − 3 = 0 ⇔ 2cos2 x + 2 cos x − 4 = 0 ⇔ cos x = 1 hay cos x = −2 (loại) Với cos x = 1 ⇔ x = k 2π ;k ∈ℤ . Với 0 < x < 2019 ⇔ 0 < k 2π < 2019 ⇔ 0 < k < 321.49 . Vậy có tổng cộng 321 nghiệm. sin x = −1 π Câu 25. PT đã cho ⇔ −2sin 2 x + 4sin x + 6 = 0 ⇔ ⇔ x = − + k 2π , ( k ∈ ℤ ) . 2 sin x = 3 (VN )
Câu 24.
1 21 + k 2π < 10π ⇔ < k < . 2 4 4 Vì k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2;3; 4;5} . Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng ( 0;10π ) . Theo đề: x ∈ ( 0;10π ) ⇒ 0 < −
Câu 26.
(
π
)
(
)
Ta có: ( 2cos 2 x + 5) sin 4 x − cos 4 x + 3 = 0 ⇔ ( 2cos 2 x + 5) sin 2 x − cos2 x + 3 = 0 2
⇔ − ( 2cos 2 x + 5) cos 2 x + 3 = 0 ⇔ −2cos (2 x) − 5cos 2 x + 3 = 0 ⇔ cos 2 x =
1 . 2
1 π π 5π 7π 11π ⇔ x = ± + kπ ( k ∈ ℤ ) ⇒ x ∈ ; ; ; . 2 6 6 6 6 6 π 5π 7π 11π + + = 4π . Do đó: S = + 6 6 6 6 1 cos x = − (n ) 5 Câu 27. + Ta có: cos 2 x + cos x + 1 = 0 ⇔ 2 . 2 cos x = −2 (l ) cos 2 x =
.
π cos x = 0 x = + kπ ⇔ Ta có cos 2 x − cos x = 0 ⇔ ( k ∈ ℤ) . 2 cos x = 1 x = k 2π π π Với x = + kπ , do 0 < x < π nên ta được x = . 2 2 Với x = k 2π , do 0 < x < π nên không có x nào thỏa mãn. Câu 21. Chọn A sin x = −3 2sin 2 x + 5sin x − 3 = 0 ⇔ sin x = 1 2 π x = 6 + k 2π 1 . ⇔ sin x = ⇔ 2 x = 5π + k 2π 6 Câu 22. Chọn A sin 2 x = −1 π Ta có: sin 2 2 x + 3sin 2 x + 2 = 0 ⇔ ⇔ sin 2 x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ ℤ . sin 2 x = − 2 (loaï i ) 4
2π x = + k 2π 2π 1 3 Suy ra: cos x = − ⇔ cos x = cos ⇔ (k ∈ ℤ ) 3 2π 2 x = − + k 2π 3 2π 2π + k 2π , k ∈ ℤ . Vì x ∈ (0;3π ) nên 0 < + k 2π < 3π , k ∈ ℤ + Với x = 3 3 2π 8π 1 7 ⇔ − < k < , k ∈ ℤ . Suy ra: k ∈ {0;1} ⇒ x ∈ ; . 3 3 3 6 2π 2π + Với x = − + k 2π , k ∈ ℤ . Vì x ∈ (0;3π ) nên 0 < − + k 2π < 3π , k ∈ ℤ 3 3 1 11 4π ⇔ < k < , k ∈ ℤ . Suy ra: k = 1 ⇒ x = . 3 6 3 2π 4π 8π Do đó x ∈ ; ; . 3 3 3 25
26
Vậy số nghiệm của phương trình là 3.
Câu 28.
π x = + kπ cos x = 0 Ta có cos 2 x − cos x = 0 ⇔ ⇔ 2 cos x = 1 x = k 2π Với x =
π
x = π + k 2π ∈ ( 0; 2π ) ⇒ k = 0 ⇒ x = π 2π 2π ⇔ x = + k 2π ∈ ( 0; 2π ) ⇒ k = 0 ⇒ x = 3 3 2π 4π x = − + k 2π ∈ ( 0; 2π ) ⇒ k = 1 ⇒ x = 3 3
(k ∈ ℤ) .
π
+ kπ , do 0 < x < π nên ta được x = . 2 2 Với x = k 2π , do 0 < x < π nên không có x nào thỏa mãn.
Câu 29.
Vậy trên khoảng ( 0; 2π ) , phương trình đã cho có 3 nghiệm là x = π , x =
x = π + k 2π cos x = −1 Ta có: cos 2 x + cos x = 0 ⇔ 2 cos 2 x + cos x − 1 = 0 ⇔ ⇔ ( k ∈ ℤ) 1 x = ± π + k 2π cos x = 3 2 Do x ∈ ( −π ; π ) nên x = ±
2π 4π , x= . 3 3
sin 2 x = −1 π Ta có: sin 2 2 x + 3sin 2 x + 2 = 0 ⇔ ⇔ sin 2 x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ ℤ . 4 sin 2 x = −2 (loaï i) π 1 41 Theo đề bài: 0 ≤ − + kπ ≤ 10π ⇔ ≤ k ≤ ⇒ k = 1, 2,...,10 . 4 4 4 3π 3π 3π 105π . Vậy tổng các nghiệm là: S = + + π + ... + + 9π = 4 4 4 2 Câu 34. Đặt t = sin x , điều kiện t ∈ [ −1;1] .
Câu 33.
π
. 3 9π 15π Câu 30. sin 2 x + − 3cos x − = 1 + 2sin x 2 2 π π ⇔ sin 2 x + − 3cos x + = 1 + 2sin x ⇔ cos 2 x + 3sin x = 1 + 2sin x 2 2 x = kπ sin x = 0 π ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ℤ ) ⇔ −2sin 2 x + sin x = 0 ⇔ 1 sin x = 6 2 5π x = + k 2π 6 π 5π Do x ∈ [ 0;2 π] nên x = 0; π; ; . Vậy có 4 nghiệm. 6 6 π tan x = 1 x = 4 + kπ Câu 31. Ta có 4 tan 2 x − 5 tan x + 1 = 0 ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) . tan x = 1 x = arctan 1 + kπ 4 4 π 2017π 2017π ; Với x = + kπ ( k ∈ ℤ ) do x ∈ − nên có. −1008 ≤ k ≤ 1008 . nên có 2017 2 2 4 nghiệm. 1 2017π 2017π ; Với x = arctan + kπ ( k ∈ ℤ ) do x ∈ − nên có −1008 ≤ k ≤ 1008 nên có 2 2 4 2017 nghiệm và hai họ nghiệm không có nghiệm nào trùng nhau. Vậy ta có m = 4034 . cos x = −1 Câu 32. Phương trình ⇔ 2 cos 2 x − 1 + 3cos x + 2 = 0 ⇔ cos x = − 1 = cos 2π 2 3
Khi đó phương trình đã cho trở thành: −2t 2 + 3t + 5 = 0 . Phương trình có hai nghiệm t = −1 5 (nhận), t = (loại). 2 Với t = −1 , suy ra sin x = −1 ⇔ x = − Ta có 0 ≤ x ≤ 200π ⇔ 0 ≤ −
π 2
π 2
+ k 2π (k ∈ ℤ) .
+ k 2π ≤ 200π ⇔
1 401 ≤k ≤ . Vì k ∈ ℤ nên k ∈ {1, 2,...,100} . 4 4
100 100 π π Khi đó T = ∑ − + k 2π = 100 − + 2π ∑ k = −50π + 10100π = 10050π . 2 2 1 1 Câu 35. Ta có: cos 2 x + 3 cos x − 1 = 0 ⇔ 2 cos 2 x + 3 cos x − 2 = 0 .
Đặt t = cos x , 0 ≤ t ≤ 1 , ta được phương trình: t = −2 1 2t 2 + 3t − 2 = 0 ⇔ 1 ⇔ t = . (vì 0 ≤ t ≤ 1 ) t = 2 2 π 1 x = ± 3 + k 2π cos x = 2 1 1 π ⇔ x = ± + kπ ⇔ Với t = , ta có: cos x = ⇔ 2 π 1 2 2 3 x = ± cos x = − + k 2π 3 2 π π π Trên đoạn − ; phương trình có nghiệm là x = ± . 3 2 2
27
(k ∈ ℤ) .
28
π π π x + 3 = 6 + k 2π x = − 6 + k 2π ⇔ ⇔ (k ∈ Z) . x + π = π − π + k 2π x = π + k 2π 3 6 2 π 2π π π ,k ∈ℤ . Câu 42. sin 3 x + cos 3 x = 2 ⇔ cos 3x − = 1 ⇔ 3x − = k 2π ⇔ x = + k 4 4 12 3 Dạng 2.2 Cần biến đổi Câu 43. Ta có 2sin 2 x + 3 sin 2 x = 3 ⇔ 1 − cos 2 x + 3 sin 2 x = 3
x x − cos 4 ) + 3 = 0 ⇔ (2 cos x + 5) ( − cos x ) + 3 = 0 2 2 cos x = −3(VN ) Câu 36. ⇔ −2 cos 2 x − 5cos x + 3 = 0 ⇔ 1 cos x = 2 π x = 3 + k 2π ⇔ ,k ∈ℤ x = − π + k 2π 3 π 5π Trong khoảng ( 0; 2π ) : x = , x = . 3 3
(2 cos x + 5)(sin 4
⇔ 3 sin 2 x − cos 2 x = 2 ⇔
π π π π ⇔ sin 2 x − = 1 ⇔ 2 x − = + k 2π ⇔ x = + kπ . 6 6 2 3 Câu 44. Chọn C π π Ta có cos x + = − sin x và sin x − = − cos x . 2 2 Do đó phương trình ⇔ − 3 sin x − cos x = 2sin 2 x ⇔ 3 sin x + cos x = −2sin 2 x .
Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos Dạng 2.1 Không cần biến đổi Câu 37. Chọn A π π π x ≠ +k 2x ≠ + kπ 4 2 . 2 Điều kiện ⇔ 3 sin 2x − cos 2x ≠ 0 x ≠ π + k π 12 2 π π π π Vậy, tập xác định của hàm số là D = ℝ \ + k ; + k ; k ∈ ℤ . 2 12 2 4 3 1 π Câu 38. Ta có: 3 sin 2 x − cos 2 x = 2 ⇔ sin 2 x − cos 2 x = 1 ⇔ sin 2 x − = 1 6 2 2
⇔ 2x −
π 6
=
π 2
+ k 2π ⇔ x =
π 3
+ kπ
3 1 π π sin x + cos x = − sin 2 x ⇔ sin x + = − sin 2 x ⇔ sin x + = sin ( −2 x ) . 2 2 6 6 π 2π π x + 6 = −2 x + k 2π x = − 18 + k 3 ⇔ ⇔ ( k ∈ ℤ). x + π = π + 2 x + k 2π x = − 5π − k 2π 6 6 5π 7π k =−1− k ' Xét nghiệm x = − − k 2π →x = + k ' 2π . k ∈ℤ , k '∈ℤ 6 6 2π 7π π Vậy phương trình có nghiệm x = − + k + k '2π ( k , k ' ∈ ℤ ) . , x= 18 3 6 Câu 45. Chọn D Ta có 1 − cos 2 x 3 sin 2 x + 3 sin x cos x = 1 ⇔ + sin 2 x = 1 2 2 3 1 1 π 1 ⇔ sin 2 x − cos 2 x = ⇔ sin 2 x − = 2 2 2 6 2 ⇔
(k ∈ ℤ) .
π Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = + kπ | k ∈ ℤ . 3 π x = − 6 + k 2π π 1 Câu 39. Ta có sin x + 3 cos x = 1 ⇔ sin x + = ⇔ , k ∈ℤ . 3 2 x = π + k 2π 2 π x = − 6 + k 2π Vậy tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là , k ∈ℤ . x = π + k 2π 2 π π 1 π π Câu 40. Ta có: sin x + cos x = 1 ⇔ 2 sin x + = 1 ⇔ sin x + = ⇔ sin x + = sin 4 4 4 4 2 π π x = k 2π x + 4 = 4 + k 2π ⇔ ⇔ ( k ∈ ℤ) . x = π + k 2π x + π = 3π + k 2π 2 4 4 Câu 41.
3 1 sin 2 x − cos 2 x = 1 2 2
π π π 2 x − 6 = 6 + k 2π x = 6 + kπ ⇔ ⇔ . 2 x − π = 5π + k 2π x = π + kπ 6 6 2 Câu 46. Chọn C Phương trình tương đương sin x + cos x = 2 sin 5x
1 3 1 π π cos x = ⇔ sin x + = sin Ta có sin x + 3 cos x = 1 ⇔ sin x + 2 2 2 3 6 29
30
π π ⇔ 2 sin x + = 2 sin 5 x ⇔ sin x + = sin 5 x 4 4 π π π x + 4 = 5 x + k 2π x = 16 − k 2 ⇔ ⇔ x = π + k π x + π = π − 5 x + k 2π 4 8 3 Câu 47. Chọn A Ta có 3sin 3 x + 3 cos 9 x = 1 + 4 sin 3 3 x ⇔ ( 3sin 3 x − 4 sin 3 3 x ) + 3 cos 9 x = 1
π x = − 8 + kπ π Ta có: 2 cos3x = sin x + cos x ⇔ cos 3 x = cos x − ⇔ 4 x = π + k π 16 2 7π π 9π Vì x ∈ ( 0; π ) nên nhận x = , x= , x= . 8 16 16 Câu 51. Chọn D Phương trình ⇔ cos2 x − sin 2 x − sin 2 x = 2 ⇔ cos 2 x − sin 2 x = 2 . π π π ⇔ cos 2 x + = 1 ⇔ 2 x + = k 2π ⇔ x = − + kπ ( k ∈ ℤ ) . 4 4 8
π π π k 2π 9 x + 3 = 6 + k 2π x = − 54 + 9 π 1 . ⇔ sin 9 x + 3 cos 9 x = 1 ⇔ sin 9 x + = ⇔ ⇔ 3 2 9 x + π = 5π + k 2π x = π + k 2π 3 6 18 9 Câu 48. Chọn A Ta có sin x − 3 cos x = 2sin 3 x ⇔
7π k =1→ x = 1 17 k∈ℤ 8 Do 0 < x < 2π . → 0 < − + kπ < 2π ⇔ < k < → 8 8 8 k = 2 → x = 15π 8 7π 15π 11 →T = + = π. 8 8 4 Câu 52. Chọn A Phương trình ⇔ 3 sin 3x + cos3x = sin x + 3 cos x .
π
1 3 sin x − cos x = sin 3 x 2 2
⇔ cos
π
π
sin x − sin cos x = sin 3 x 3 3 π ⇔ sin x − = sin 3 x 3 π x − 3 = 3x + k 2π ⇔ x − π = π − 3x + k 2π 3 π x = − 6 − kπ π π ⇔ ⇔ x = + k ,k ∈ℤ . 3 2 x = π + k π 3 2 Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm
3 1 1 3 π π sin 3x + cos 3x = sin x + cos x ⇔ sin 3x + = sin x + . 2 2 2 2 6 3 π π π Suy ra b + d = + = . . 6 3 2 Câu 53. Chọn C 1 3 π Phương trình ⇔ sin 5 x + cos 5 x = sin 7 x ⇔ sin 5 x + = sin 7 x . 2 2 3 ⇔
π π 7 x = 5 x + + k 2π x = 6 + kπ 3 π ⇔ sin 7 x = sin 5 x + ⇔ ⇔ ( k ∈ ℤ). 3 7 x = π − 5 x + π + k 2π x = π + kπ 3 18 6 1 1 k∈ℤ π π π 0 < + kπ < ⇔ − < k < →k = 0 → x = . 6 2 6 3 6 π k = 0 → x = 18 π π π 1 8 k∈ℤ 2π 0 < + k < ⇔ − < k < → k =1→ x = . 18 6 2 3 3 9 k = 2 → x = 7π 18 Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn. 3 1 π cos x + sin x = −1 ⇔ sin x + = −1 Câu 54. Ta có 3 cos x + sin x = −2 ⇔ 3 2 2 7π π 3π ⇔ x+ = + k 2π ( k ∈ ℤ ) ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ℤ ) . 3 2 6 Trên đoạn [ 0; 4035π ] , các giá trị k ∈ ℤ thỏa bài toán thuộc tập {0;1; 2;… ; 2016} .
Câu 49. Hướng dẫn giải Chọn D
Câu 50.
( k ∈ ℤ) .
π cos2 x − sin 2 x = 2 + cos 2 + x ⇔ cos 2 x − sin 2 x = 2 + sin 2 x ⇔ cos 2 x − sin 2 x = 2 2 π π π π ⇔ 2 cos 2 x + = 2 ⇔ cos 2 x + = 1 ⇔ 2 x + = k 2π ⇔ x = − + kπ ( k ∈ ℤ ) 4 4 4 8 7π 15π 23π Trên ( 0;3π ) ⇒ x = , x= , x= . 8 8 8
Hướng dẫn giải Chọn B
31
32
Do đó có 2017 nghiệm của phương trình thuộc đoạn [0; 4035π ] . Câu 55.
π π ⇔ cos 2 x − sin 2 x = 2 ⇔ cos 2 x + = 1 ⇔ 2 x + = k 2π , k ∈ ℤ 4 4
α k 2π x= + 2 x − α = x + k 2π cos ( 2 x − α ) = cos x ⇔ ⇔ 3 3 2 x − α = − x + k 2π x = α + k 2π cos 2 x + 3 sin 2 x − 2 cos x = 0 ⇔
⇔ x=−
Câu 57.
Câu 58.
2
nên a + b =
2
.
π 2 cos 2 x + 3 sin 2 x = 3 ⇔ cos 2 x + 3 sin 2 x = 2 ⇔ cos 2 x − = 1 3
π 3
+ k 2π ⇔ x =
Xét 0 < x ≤
π 6
π 6
+ kπ ( k ∈ ℤ ) .
; k =1⇒ x =
Vậy tổng các nghiệm bằng
7π 13π ; k =2⇒ x= . 6 6
7π . 2
⇔
π Ta có cos x − sin 2 x = 2 + cos + x ⇔ cos 2 x − sin 2 x = 2 + sin 2 x 2 2
8
+ kπ < 2π ⇔
Để phương trình có nghiệm thì điều kiện là: 22 + (m −1)2 ≥ (m +1)2 ⇔ m ≤ 1 kết hợp với điều kiện của đề bài ta có: −2018 ≤ m ≤ 1 . Suy ra có 2020 số giá trị nguyên để phương trình có nghiệm. Câu 64. Chọn D Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 3 3 2 2 m 2 + ( m + 2 ) ≥ ( 2m + 1) ⇔ 2m2 − 3 ≤ 0 ⇔ − ≤m≤ 2 2 Vậy có 1 giá trị nguyên. Câu 65. Chọn B m sin 2 x + cos2x = 2
5π π 5π ⇔ 0 < + kπ ≤ ⇒ k = 0 , k = 1, k = 2 . 2 6 2
Với k = 0 ⇒ x =
π
k∈ℤ kπ < 0 ⇔ k < 0 → kmax = −1 → x = −π Cho < 0 → 5π kπ 5 k∈ℤ π . So sánh hai nghiệm ta được + < 0 ⇔ k < − → kmax = −1 → x = − 48 8 6 48 π π nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x = − ∈ − ;0 . 48 12 Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm Câu 61. Điều kiện cần và đủ của a, b, c để phương trình a sinx+ bcosx = c có nghiệm là: a 2 + b 2 ≥ c 2 . Câu 62. Chọn D 5 5 2 2 Phương trình có nghiệm ⇔ 32 + ( −4 ) ≥ ( 2m ) ⇔ 4 m 2 ≤ 25 ⇔ − ≤ m ≤ . 2 2 1 − cos 2 x Câu 63. Ta có: (m + 1) sin 2 x − sin 2 x + cos 2 x = 0 ⇔ ( m + 1). − sin 2 x + cos 2 x = 0 2 ⇔ 2sin 2 x + (m −1)cos 2 x = m +1
π π Ta có sin x − 3 cos x = 0 ⇔ sin x − = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ Z 3 3 7 5 Vì x ∈ [ −2π ; 2π ] nên −2π ≤ x ≤ 2π ⇔ − ≤ k ≤ . Do đó có 4 giá trị k , tương ứng có bốn 3 3 nghiệm x .
⇔ 2x =
Câu 59.
π
+ kπ , k ∈ ℤ
1 17 <k< 8 8 7π 15π ; x2 = Vì k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2} ⇒ x1 = 8 8 11π Vậy x1 + x2 = . 4 Câu 60. Chọn B Phương trình ⇔ sin 9 x − 3 cos9 x = sin 7 x − 3 cos7 x . π π 9 x − = 7 x − + k 2π x = kπ 3 3 π π ⇔ sin 9 x − = sin 7 x − ⇔ ⇔ . x = 5π + kπ 3 3 9 x − π = π − 7 x − π + k 2π 48 8 3 3
α π 3 = 9 π Để hai phương trình tương đương cần có ⇒α = . 3 α = π 3 2 π 2 2 sin x + cos x = 1 ⇔ sin x + = Câu 56. Ta có: sin x + cos x = 1 ⇔ 2 2 2 4 2 π π x + x = + k 2 π = k 2π π π 4 4 ⇔ sin x + = sin ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) . x = π + k 2π 4 4 x + π = 3π + k 2π 2 4 4
π
8
Vì 0 < x < 2π ⇔ 0 < −
1 3 cos 2 x + sin 2 x = cos x 2 2
π x = 3 + k 2π π ⇔ cos 2 x − = cos x ⇔ 3 x = π + k 2π 9 3
Suy ra: a = 0 và b =
π
2
m m2 + 1
sin 2x +
⇔ sin ( 2 x + α ) =
33
1 m2 + 1 2
cos 2 x =
2 m2 + 1
m2 + 1 34
có nghiệm khi Câu 66.
m ≥ 3 ≤1⇔ . m +1 m ≤ − 3 2
Câu 70.
2
2
Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi m 2 + 4 ≥ ( m + 3 ) ⇔ m ≤
2
Phương trình có nghiệm khi 42 + (m − 4) − (2m − 5) ≥ 0 ⇔ −3m 2 + 12m + 7 ≥ 0
⇔
Câu 71.
6 − 57 6 + 57 ≤m ≤ 3 3
{
}
Vậy có ba giá trị của m ∈ E để phương trình đã cho có nghiệm. Có 2cos x − sin x + 4 > 0, ∀x ∈ ℝ . PT ⇔ m ( 2 cos x − sin x + 4 ) = cos x + 2 sin x + 3 2
2
Phương trình trên có nghiệm khi ( 2m − 1) + ( m + 2 ) ≥ ( 4m − 3)
Vây tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm là 10 . Chọn B ( m + 1) sin 2 x − sin 2 x + cos 2 x = 0
Câu 72.
2 ≤ m ≤ 2. 11 4 sin x + ( m − 4 ) cos x − 2 m + 5 = 0 ⇔ 4 sin x + ( m − 4 ) cos x = 2m − 5 . 2
2
Phương trình có nghiệm khi 42 + ( m − 4 ) − ( 2m − 5) ≥ 0 ⇔ −3m2 + 12m + 7 ≥ 0
(1 − cos 2 x ) − sin 2 x + cos 2 x = 0 2 ⇔ ( m + 1)(1 − cos 2 x ) − 2sin 2 x + 2cos 2 x = 0
6 − 57 6 + 57 ≤m≤ 3 3 Vì m ∈ ℤ nên m ∈ {0,1, 2, 3, 4} . Vây tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm là 10 . 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x + 2sin 2 x + 3a =2 Câu 73. a sin 2 x + 2sin 2 x + 3a cos2 x = 2 ⇔ a 2 2 ⇔ a − a cos 2 x + 4 sin 2 x + 3a + 3a cos 2 x = 4 ⇔ 4 sin 2 x + 2 a cos 2 x = 4 − 4 a (*) ⇔
⇔ −2sin 2 x + (1 − m ) cos 2 x = m + 1 Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2
4 + (1 − m ) ≥ ( m + 1) ⇔ 4m ≤ 4 ⇒ m ≤ 1 Vậy có tất cả 2020 giá trị của tham số thỏa mãn đề bài. Câu 68. Chọn D 4m − 4 ≥ 0 m ≥ 1 Điều kiện xác định: m − 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ 2 ⇔ m ≥ 3. 3m − 9 ≥ 0 m ≥ 3
8 2 có nghiệm khi 42 + 4a 2 ≥ ( 4 − 4a ) ⇔ 12a 2 − 32a ≤ 0 ⇔ 12a 2 − 32a ≤ 0 ⇔ 0 ≤ a ≤ . 3 Do a ∈ ℤ và là số lớn nhất nên a = 2 . Câu 74. 8sin 2 x + ( m − 1) sin 2 x + 2m − 6 = 0 ⇔ 8sin 2 x − 4 + ( m − 1) sin 2 x + 2m − 2 = 0
(* )
⇔ −4 cos 2 x + ( m − 1) sin 2 x = 2 − 2 m .
4m − 4.sinx .cosx + m − 2.cos 2 x = 3m − 9
2
⇔ m − 1. ( 2sinx.cosx ) + m − 2.cos 2 x = 3m − 9
Phương trình có nghiệm khi:
⇔ m − 1.sin 2 x + m − 2.cos 2 x = 3m − 9 Phương trình có a = m − 1, b = m − 2, c = 3m − 9. Điều kiện để phương trình có nghiệm: a 2 + b 2 ≥ c 2 . Ta có:
3− 4 3 3+ 4 3 ≤m≤ . 3 3 Vì m ∈ℤ ⇒ m = {−1;0;1; 2;3} .
(
2
) (
m −1 +
m−2
2
) ≥(
3m − 9
)
2
⇔ −11m2 + 24m − 4 ≥ 0 ⇔
( m + 1) ⇔
2
−5 . 9
⇔ ( 2m − 1) cos x − ( m + 2 ) sin x + 4m − 3 = 0 .
Vì m ∈ ℤ nên m ∈ 0,1,2, 3, 4 . Câu 67.
1 + cos 2 x = m+5 2
⇔ m sin 2 x + 2cos 2 x = m + 3 .
Chọn A 4 sin x + (m − 4) cos x − 2m + 5 = 0 ⇔ 4 sin x + (m − 4) cos x = 2m − 5 . 2
Ta có 2m sin x cos x + 4 cos 2 x = m + 5 ⇔ m sin 2 x + 4
( −4 ) + ( m − 1)
2
2
≥ ( 2 − 2m ) ⇔ 16 + m 2 − 2m + 1 ≥ 4 − 8m + 4 m 2
⇔ 3m 2 − 6m − 13 ≤ 0 ⇔
( m + 1) sin 2 x − sin 2 x + cos 2 x = 0
2
Câu 75.
⇔ m − 1 + m − 2 ≥ 3m − 9 ⇔ m ≤ 6. Kết hợp điều kiện ta được 3 ≤ m ≤ 6. Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {3; 4;5;6} . Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 69. ( 2m − 1) cos 2 x + 2m sin x cos x = m − 1 ⇔ ( 2m − 1) cos 2 x + m sin 2 x = m − 1.
1 − cos 2 x − sin 2 x + cos 2 x = 0 2 m +1 1− m ⇔ cos 2 x − sin 2 x = − 2 2
⇔ ( m + 1)
2
2
2 1− m m +1 Điều kiện có nghiệm của phương trình + ( −1) ≥ − ⇔ m ≤1 2 2 Suy ra −2018 ≤ m ≤ 1 Suy ra có 2020 giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm. Câu 76. Chọn C
1 2 2 Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ( 2m − 1) + m2 < ( m − 1) ⇔ 2m2 − m < 0 ⇔ 0 < m < . 2 35
36
Ta
có nên 2 cos x − s inx + 4 > 0, ∀x ∈ R cos x + 2 sin x + 3 m= ⇔ cos x + 2 sin x + 3 = m ( 2 cos x − sin x + 4 ) 2 cos x − sin x + 4 ⇔ ( 2m − 1) cosx- ( m + 2 ) s inx + 4m − 3 = 0 (1) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2 2 ( 2m − 1) + ( m + 2) ≥ ( 4m − 3) ⇔ −11m2 + 24m − 4 ≥ 0 ⇔ ≤ m ≤ 2 11 Dạng 2.3.3 Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm Min-Max Câu 77. Ta có sin x + cos x + 2 > 0, ∀x nên hàm số có tập xác định là D = ℝ . sin x + 2 cos x + 1 ⇔ ( y − 1) sin x + ( y − 2 ) cos x = 1 − 2 y . Xét phương trình ẩn x : y = sin x + cos x + 2 2 2 2 Phương trình này có nghiệm ⇔ ( y − 1) + ( y − 2 ) ≥ (1 − 2 y ) ⇔ 2 y 2 + 2 y − 4 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ y ≤ 1 . min y = −2 = m Vì phương trình luôn có nghiệm, suy ra x∈ℝ ⇒ M 2 − m 2 = 1 − 4 = −3 . y =1= M max x∈ℝ Câu 78. Chọn B cos x + 2sin x + 3 y= (1) 2cos x − sin x + 4 Điều kiện: 2cos x − sin x + 4 ≠ 0 (luôn đúng) Gọi yo là một giá trị của hàm số (1). cos x + 2sin x + 3 Khi đó: yo = 2 cos x − sin x + 4 ⇔ yo ( 2 cos x − sin x + 4 ) = cos x + 2 sin x + 3
Dạng 3. Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp Dạng 3.1 Không có điều kiện của nghiệm Câu 82. Chọn D Do cos x = 0 không thỏa mãn phương trình nên chia hai vế của phương trình cho cos 2 x ≠ 0 ta có 2 tan 2 x + 3tan x − 2 = 1 + tan 2 x ⇔ tan 2 x + 3tan x − 3 = 0 Đặt t = tan x thì ta có phương trình t 2 + 3t − 3 = 0 . Câu 83. Cách 1: Xét cos x = 0 : Phương trình tương đương 2 = 3 ( ktm )
2
π 3
+ kπ , k ∈ Z
⇔ 3sin8x − cos8x = −2 ⇔
2 ≤ yo ≤ 2 11
⇔ sin 8 x cos
2 Tập giá trị của hàm số (1) là ; 2 . Các giá trị nguyên là: 1; 2 . Vậy có hai giá trị nguyên. 11 Câu 79. Chọn C sin x + 2 cos x + 1 Ta có y = ⇔ (y − 1) sin x + (y − 2) cos x = 1 − 2y (*) sin x + cos x + 2 Phương trình (*) có nghiệm
Câu 85.
Vậy m = −2 ; M = 1 . Chọn D s inx − 2 cos x − 3 ⇔ ( 2P − 1) s inx + ( 2 + P ) cos x + 3 − 4 P = 0 P= 2sin x + cos x − 4 2
2
2
6
− cos8 x sin
π 6
= −1
Chọn B
sin x = 0 sin x = 0 Với x = kπ → ⇔ 2 . Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng. cos x = ± 1 cos x = 1 Phương trình ⇔ cos 2 x − 3sin x cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 . ⇔ sin 2 x − 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 ⇔ tan 2 x − 3 tan x + 2 = 0 . Vậy B đúng. Phương trình ⇔ cos 2 x − 3sin x cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 . ⇔ 2 cos 2 x − 3sin x cos x + sin 2 x = 0 ⇔ 2 cot 2 x − 3 cot x + 1 = 0 . Vậy C sai. 1 + cos 2 x sin 2 x Phương trình ⇔ −3 + 1 = 0 ⇔ cos 2 x − 3sin 2 x + 3 = 0. Vậy D đúng. 2 2 Câu 86. Chọn A
2
Áp dụng điều kiện có nghiệm ta có: ( 2 P − 1) + ( 2 + P ) ≥ ( 3 − 4 P ) ⇔
π
3 1 sin8x − cos8x = −1 2 2
π π π π π ⇔ sin 8x − = −1 ⇔ 8x − = − + k 2π ( k ∈ ℤ) ⇔ x = − + k ( k ∈ ℤ) . 6 6 2 24 4
⇔ (y − 1) + (y − 2) ≥ (1 − 2y ) ⇔ y 2 + y − 2 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ y ≤ 1 .
Câu 81.
2 + 1 + 3m2 . 3 2 + 1 + 3m2 Do đó, suy ra < 3 ⇔ m2 < 16 ⇔ −4 < m < 4 . 3 Mà m ∈ Z ⇒ m ∈ {−3; −2; −1; 0;1; 2;3} . ⇒ y≤
π π Cách 2: pt ⇔ − (1 − 2 sin 2 x ) + 3 sin 2 x = 2 ⇔ 2sin 2 x − = 2 ⇔ x = + kπ . 6 3 Câu 84. Chọn B 1 + cos8 x 1 − cos8 x +5 = 2 − 3 sin 8 x 3cos 2 4 x + 5sin 2 4 x = 2 − 2 3 sin 4 x cos 4 x ⇔ 3 2 2
⇔ 11 yo 2 − 24 yo + 4 ≤ 0
Câu 80.
2
Điều kiện phương trình (1) có nghiệm là y 2 + m2 ≥ (1 − 2 y ) ⇔ 3 y 2 − 4 y + 1 − m2 ≤ 0
⇔ tan x = 3 ⇔ x =
( yo + 2 ) sin x + (1 − 2 yo ) cos x = 4 yo − 3 (2) 2 2 2 Do phương trình (2) luôn có nghiệm x nên: ( 4 yo − 3 ) ≤ ( yo + 2 ) + (1 − 2 yo )
2
m sin x + 1 ⇔ m sin x − y cos x + 1 − 2 y = 0 . cos x + 2
Xét cos x ≠ 0 , chia cả hai vế cho cos2 x ta có: 2 tan 2 x + 2 3 tan x = 3 ( tan 2 x + 1) ⇔ tan 2 x − 2 3 tan x + 3 = 0
⇔
⇔
Ta có y =
2 ≤ P≤2. 11
cos x = 0
Chọn D 37
không thỏa mãn phương trình, nên ta có: 38
(
⇔
Câu 87.
)
3 + 1 sin 2 x − 2 3 sin x cos x +
(
(
Câu 91.
)
3 − 1 cos2 x = 0
)
3 +1 tan 2 x − 2 3 tan x + 3 −1 = 0
(
)
⇔ 1 − 3 sin 2 x −
(
(
)
(
)
(
)
(
)
3 + 1 cos x = 0 ⇔ 1 − 3 sin x =
(
)
⇔ tan x =
Câu 92.
)
)
Vậy phương trình đã cho tương đương với tan x + 2 + 3 cos 2 x − 1 = 0 .
Câu 88.
Chọn D Phương trình ⇔ 2 sin 2 x + 3 3 sin x cos x − cos 2 x = 2 ( sin 2 x + cos 2 x ) .
⇔ 3 3 sin x cos x − 3cos2 x = 0 ⇔ 3cos x cos x = 0 ⇔ x =
π 2
+ kπ
(
k =0 x= ( k ∈ ℤ ) →
3 sin x − cos x = 0 ⇔ 3 sin x = cos x . 1 π π
⇔ tan x =
3
⇔ tan x = tan
6
⇔x=
6
+ kπ
2
Chọn C Ta có 2 − 1 sin 2 x + sin 2 x +
(
( ⇔( ⇔
)
(
k =0
( k ∈ ℤ ) → x = π 6
và
π 2
π 6
.
. Chọn D
) )
(
)
⇔ −2 2 cos 2 x + sin 2 x = 0 Như vậy, mệnh đề: “Phương trình đã cho tương đương với cos 2 x − sin 2 x = 1 ” sai. Câu 90. Chọn A Cách 1: Xét cos x = 0 : Phương trình tương đương 2 = 3 ( ktm )
3
)
3
+ kπ , k ∈ Z
π
π
+ k < π ⇒ k ∈ {1} (do k ∈ ℤ ). 8 2 1 π 1 Xét ( 2 ) , vì x ∈ ( 0; π ) ⇒ 0 < arctan − + k < π ⇒ k ∈ {1; 2} (do k ∈ ℤ ). 2 2 4 Do đó, trong khoảng ( 0; π ) thì phương trình đã cho có 3 nghiệm. Câu 95. Chọn C π tan x = 1 x = 4 + kπ Phương trình ⇔ 1 − 3 tan x + 2 tan 2 x = 0 ⇔ ⇔ . tan x = 1 x = arctan 1 + kπ 2 2
2
π
π
Xét (1) , vì x ∈ ( 0; π ) ⇒ 0 <
Xét cos x ≠ 0 , chia cả hai vế cho cos x ta có: 2 tan 2 x + 2 3 tan x = 3 ( tan 2 x + 1) ⇔ tan 2 x − 2 3 tan x + 3 = 0
⇔ tan x = 3 ⇔ x =
tan x = 1 3 + 1 tan x + 3 = 0 ⇔ . tan x = 3
π π Cách 2: pt ⇔ − (1 − 2 sin 2 x ) + 3 sin 2 x = 2 ⇔ 2sin 2 x − = 2 ⇔ x = + kπ . 6 3 Dạng 3.3 Có điều kiện của nghiệm Câu 94. Chọn A Dễ thấy cos 2 x = 0 không thỏa mãn phương trình. Dó đó, phương trình đã cho tương đương với: π π (1) tan 2 x = 1 x = 8 + k 2 2 4 tan 2 x − 3 tan 2 x − 1 = 0 ⇔ ⇔ 1 tan 2 x = − x = 1 arctan − 1 + k π ( 2) 4 2 2 4
2 + 1 cos 2 x − 2 = 0
(
(
π x = 4 + kπ ⇔ (k ∈ ℤ). x = π + kπ 3 Cách 1: Xét cos x = 0 : Phương trình tương đương 2 = 3 ( ktm )
⇔ tan x = 3 ⇔ x =
1 − cos 2 x 1 + cos 2 x 2 −1 + sin 2 x + 2 + 1 − 2 =0 2 2 2 − 1 (1 − cos 2 x ) + sin 2 x + 2 + 1 (1 − cos 2 x ) − 2 2 = 0
) )
Chọn A
Xét cos x ≠ 0 , chia cả hai vế cho cos2 x ta có: 2 tan 2 x + 2 3 tan x = 3 ( tan 2 x + 1) ⇔ tan 2 x − 2 3 tan x + 3 = 0
.
Vậy tập nghiệm của phương trình chứa các nghiệm
Câu 89.
Câu 93.
)
3 sin x − cos x = 0.
π
1 π π ⇔ tan x = tan ⇔ x = + k π ( k ∈ ℤ ) . 6 6 3
Phương trình ⇔ tan 2 x −
3 +1 ⇔ tan x = ⇔ tan x = −2 − 3 ⇔ tan x + 2 + 3 = 0. 1− 3
)(
1 cos2 x
⇔14 3 tan x −14 = 0
3 + 1 cos x = 0.
(
3 + 1 cos x .
(
+ kπ thỏa mãn phương trình.
⇔ 6 tan 2 x + 14 3 tan x − 8 = 6 ( tan 2 x + 1)
sin x = 0 ⇔ cos 2 x = 1 ⇔ cos 2 x − 1 = 0. 1 − 3 sin x −
2
⇔ 6 tan 2 x + 14 3 tan x − 8 = 6
)
)
π
6sin2 x + 7 3sin2x − 8cos2 x = 6
3 + 1 sin x cos x + 3 cos 2 x = 3 ( sin 2 x + cos2 x ) .
3 + 1 sin x cos x = 0 ⇔ sin x 1 − 3 sin x −
(
B.
TH2: cos x ≠ 0 .
tan x = 1 π x = + kπ (Với tan α = 2 − 3 ). ⇔ ⇔ 4 3 −1 tan x = = 2− 3 = + x α k π 3 +1 Chọn C Phương trình ⇔ sin 2 x −
Chọn
TH1: cos x = 0 ⇔ x =
+ kπ , k ∈ Z
π π Cách 2: pt ⇔ − (1 − 2 sin 2 x ) + 3 sin 2 x = 2 ⇔ 2 sin 2 x − = 2 ⇔ x = + kπ . 6 3 39
40
Vì x ∈ ( −2π ; 2π ) → −2π <
π 4
+ kπ < 2π → −
9 7 k∈ℤ < k < → k ∈ {−2; −1;0;1} . 4 4
tan 2 x = 1 ⇔ tan 2 x = 1 4 x ∈ ( 0; π ) ⇔ 2 x ∈ ( 0; 2π )
1 Vì x ∈ ( −2π ; 2π ) → −2π < arctan + kπ < 2π . 2 CASIO k∈ℤ → −28, 565 < k < −24, 565 → k ∈ {−28; −27; −26; −25} . xapxi
Câu 96.
Vậy có tất cả 8 nghiệm. Chọn D Phương trình ⇔ 2sin 2 x + 1 − 3 sin x cos x + 1 − 3 cos 2 x = sin 2 x + cos2 x .
(
(
)
(
)
)
⇔ sin 2 x + 1 − 3 sin x cos x − 3 cos 2 x = 0 .
π x = − 4 + kπ tan x = −1 ⇔ tan 2 x + 1 − 3 tan x − 3 = 0 ⇔ ⇔ . x = π + kπ tan x = 3 3 1 k∈ℤ π π + < ⇔ < → = → = − − k 0 k k 0 x π max 4 4 4 Cho < 0 → . π 1 2π k ∈ℤ + kπ < 0 ⇔ k < − → kmax = −1 → x = − 3 3 3
(
)
So sánh hai nghiệm ta được x = −
Câu 97.
π 4
là nghiệm âm lớn nhất.
Chọn B Ta có 4sin 2 x + 3 3 sin 2 x − 2 cos 2 x = 4 ⇔ 2 (1 − cos 2 x ) + 3 3 sin 2 x − (1 + cos 2 x ) = 4
Quan sát hình vẽ ta có: Phương trình có 4 nghiệm thuộc ( 0; π ) .
π 1 3 1 1 sin 2 x − cos 2 x = ⇔ sin 2 x − = ⇔ 3 sin 2 x − cos 2 x = 1 ⇔ 2 2 2 6 2
Dạng 3.3 Định m để phương ương trình có nghiệm Câu 100. Ta có: 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x + 2sin 2 x + 3a =2 a sin 2 x + 2sin 2 x + 3a cos2 x = 2 ⇔ a 2 2 ⇔ 4sin 4 sin 2 x + 2a cos 2 x = 4 − 4a (*) .
π π π 2 x − 6 = 6 + k 2π x = 6 + kπ π ⇔ ⇔ ⇒ nghiệm dương nhỏ nhất là x = . 6 2 x − π = 5π + k 2π x = π + kπ 6 6 2 2
Câu 101. Phương trình ⇔ 3sin 2 x + 2m sin x.cos x − 4 cos 2 x = 0 (1)
2
3sin x + 2sin x cos x − cos x = 0 ⇔ 3sin 2 x + 3sin x cos x − sin x cos x − cos 2 x = 0 3sin x 1 cos x = 1 tan x = 3sin x − cos x = 0 ⇔ ⇔ (3sin x − cos x)(sin x + cos x) = 0 ⇔ ⇔ 3 sin x + cos x = 0 sin x = −1 tan x = −1 cos x 1 x = arctan 3 + kπ ⇔ (k ∈ ℤ) . x = − π + kπ 4 Do x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin 2 x + 2sin x cos x − cos 2 x = 0 nên 1 x0 = arctan . 3 Câu 99. Ta có: 4sin 2 2 x − 3sin 2 x cos 2 x − cos2 2 x = 0 ⇔ 4 tan 2 2 x − 3 tan 2 x − 1 = 0 Câu 98.
Với cos x = 0 thì sin 2 x = 1 , thay vào (1) ta có 3.1 + m.0 − 4.0 = 0 ⇔ 3 = 0 (vô lý). Do đó cos x = 0 không thỏa mãn. Với cos x ≠ 0 , chia cả hai vế của (1) cho cos 2 x ta được 3 3tan tan 2 x + 2m tan x − 4 = 0 . Đặt t = tan x , ta có 3t 2 + 2mt − 4 = 0 ( 2 ) Phương trình bài ra có nghiệm khi ( 2 ) có nghiệm ⇔ ∆′ = m2 + 12 ≥ 0 luôn đđúng với ∀m ∈ ℝ vì m 2 + 12 ≥ 12 > 0 ∀m ∈ ℝ . Vậy với mọi m ∈ ℝ thì phương trình bài ra có nghiệm. Dạng 4. Giải và biện luận Ph Phương trình đối xứng Dạng 4.1 Không có điều kiện của nghiệm Câu 102. Chọn B 1 − t2 Đặt t = sin x + cos x t ≤ 2 ⇒ sin 2 x = 2 t = 1 1 1 − t2 2 ⇒ t = 1− . ⇔ t − 4t + 3 = 0 ⇔ 2 2 t = 3 (loai )
(
41
)
42
π x = 12 + k 2π x = 5π + k 2π 12 ⇔ (k ∈ ℤ) ⇔ x = − 7π + k 2π 12 13π + k 2π x = 12 Câu 107. Chọn D
π π π ⇒ sin x + cos x = 1 ⇔ 2 sin x + = 1 ⇔ sin x + = sin 4 4 4 x = k 2π ⇔ π x = + k 2π 2 Câu 103. Chọn A π π Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + . Vì sin x + ∈ [ −1;1] ⇒ t ∈ − 2; 2 . 4 4 t 2 −1 2 2 2 2 Ta có t = ( sin x + cos x ) = sin x + cos x + 2sin x cos x ⇒ sin x cos x = . 2 t = 1 t 2 −1 Khi đó, phương trình đã cho trở thành + 2t = 2 ⇔ t 2 + 4t − 5 = 0 ⇔ . 2 t = − 5 ( loaïi )
1− t2 . 2 Phương trình trở thành 1 + 3 t − t 2 − 1 − 3 − 1 = 0 .
(
(
(
4 4 Dạng 4.2 Có điều kiện của nghiệm Câu 109. Chọn C π Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + , t ∈ − 2; 2 . 4
Nhận thấy trong các đáp án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình 1 + tan 2 x = 0. Câu 106. Chọn B Đặt | sin x + cos x |= t t ∈ − 2; 2 ⇒ sin 2 x = t 2 − 1 . Khi đó phương trình trở thành: t = 6 (L) π 6 6 2t 2 − 3 6t + 6 = 0 ⇔ ⇒ sin x + cos x = ⇔ 2 sin x + = ± 6 2 4 2 = t (TM) 2
)
=
Ta có t 2 = sin 2 x + cos 2 x + 2 sin x.cos x = 1 + 2sin x.cos x , suy ra sin x.cos x =
π 3
t 2 −1 . 2
Phương trình đã cho trở thành
t = 1 t 2 −1 + 2t = 2 ⇔ t 2 + 4t − 5 = 0 ⇔ . 2 t = −5 ∉ − 2; 2 π 2 π Từ đó ta có 2 sin x + = 1 ⇔ sin x + = . 4 4 2
π
=−
)
π π π ⇒ sin x + cos x = 1 ⇔ 2 sin x + = 1 ⇔ sin x + = sin 4 4 4 π π x = k 2π x + 4 = 4 + k 2π ⇔ ( k ∈ ℤ ) ⇔ π (k ∈ ℤ). x = + k 2π x + π = 3π + k 2π 2
Khi đó, phương trình đã cho trở thành 5 ( t 2 − 1) + t + 6 = 0 ⇔ 5t 2 + t + 1 = 0 : vô nghiệm.
+ k 2π 3 2π = + k 2π 3
)
)
(
π Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + . Điều kiện − 2 ≤ t ≤ 2. 4 2 Ta có t 2 = ( sin x + cos x ) = sin 2 x + cos 2 x + 2.sin x.cos x ⇒ sin 2 x = t 2 − 1.
=
) (
t = 1 ⇔ t2 − 1+ 3 t + 3 = 0 ⇔ ⇔ t = 1. t = 3 ( loaï i ) Câu 108. Chọn C 1 3 sin 3 x + cos3 x = 1 − sin 2 x ⇔ ( sin x + cos x ) − 3sin x cos x ( sin x + cos x ) = 1 − sin x cos x 2 t2 −1 Đặt sin x + cos x = t t ≤ 2 ⇒ sin x cos x = . Khi đó ta có phương trình 2 2 2 t −1 t −1 t3 − 3 t = 1− ⇔ t 3 − t 2 − 3t + 3 = 0 ⇔ ( t − 1) ( t 2 − 3 ) = 0 ⇔ t = 1 2 2
Câu 105. Chọn A
π x + 4 x + π π π 3 π 4 ⇔ sin x + = ± ⇔ sin x + = sin ± ⇔ 4 2 4 3 x + π 4 π x + 4
)
Đặt t = sin x − cos x − 2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x cos x =
π 1 π π Với t = 1 , ta được sin x + cos x = 1 ⇔ sin x + = ⇔ sin x + = sin . 4 4 4 2 π π x = k 2π x + 4 = 4 + k 2π , k ∈ℤ. ⇔ ⇔ x = π + k 2π x + π = π − π + k 2π 2 4 4 Câu 104. Chọn A Đặt t = sin x + cos x ⇒ sin 2 x = t 2 − 1. Phương trình đã cho trở thành 3 2 t + 2 ( t 2 − 1) + 4 = 0 ⇔ 2t 2 + 3 2 t + 2 = 0.
(
π x = 12 + k 2π π x = 5π + k 2π x = 12 + kπ 12 (k ∈ ℤ) ⇔ (k ∈ ℤ). x = 5π + kπ x = − 7π + k 2π 12 12 13π + k 2π x = 12
(k ∈ ℤ)
+ k 2π
π 2 Như vậy P = sin x0 + = . 4 2 Câu 110. Chọn A Ta có (1 + sin x )(1 + cos x ) = 2 ⇔ 1 + sin x + cos x + sin x.cos x = 2 .
4π + k 2π 3 43
44
⇔ sin x + cos x + sin x.cos x = 1 ⇔ 2 ( sin x + cos x ) + 2.sin x.cos x = 2. ( ∗ ) .
(
t 2 −1 . 2 t = 1 Khi đó ( ∗ ) trở thành 2t + t 2 − 1 = 2 ⇔ t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔ . t = − 3 ( loaï i )
(
)
Đặt t = sin x + cos x − 2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x cos x =
(
(
t = 0 Phương trình đã cho trở thành 1 − t 2 + t = 1 ⇔ t 2 − t = 0 ⇔ . t = 1 π π 1 Với t = 1 , ta được 2 sin x − = 1 ⇔ sin x − = . 4 4 2 π π Với t = 0 , ta được 2 sin x − = 0 ⇔ sin x − = 0. 4 4 Câu 116. Chọn B π Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + . Điều kiện − 2 ≤ t ≤ 2. 4 2 Ta có t 2 = ( sin x + cos x ) = sin 2 x + cos 2 x + 2 sin x cos x ⇒ sin 2 x = t 2 − 1.
)
Phương trình đã cho trở thành t = 1 − Với t = 1 , ta được
)
⇔
(
)
2
2 cos x − 1 = 0 ⇔ cos x =
(
2 − cos x
1 2
)
2
t = 1 t 2 −1 ⇔ t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔ . 2 t = − 3 ( loaï i )
π π 1 π π ⇔ sin x + = sin . 2 sin x + = 1 ⇔ sin x + = 4 4 4 4 2
π π x = k 2π x + 4 = 4 + k 2π , k ∈ℤ . ⇔ ⇔ x = π + k 2π x + π = π − π + k 2π 2 4 4 TH1. Với x = k 2π < 0 ⇔ k < 0 ⇒ kmax = −1 → x = − 2π . . π 1 3π TH2. Với x = + k 2π < 0 ⇔ k < − ⇒ kmax = −1 → x = − . 2 4 2 3π Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x = − . 2 Câu 117. Chọn B Đặt t = sin x + cos x , ( 0 ≤ t ≤ 2 )
⇒ sin x + cos x = 2 ⇔ sin x = 2 − cos x. Mà sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ cos 2 x +
)
sin x = 0 2 Mặt khác sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ sin 2 x + ( sin x − 1) = 1 ⇔ . sin x = 1 Câu 115. Chọn B π Đặt t = sin x − cos x = 2 sin x − . Điều kiện − 2 ≤ t ≤ 2. 4 2 Ta có t 2 = ( sin x − cos x ) = sin 2 x + cos 2 x − 2 sin x cos x ⇒ sin 2 x = 1 − t 2 .
sin x − cos x = 1 ( tm ) 2 . ⇔ − ( sin x − cos x ) + 1 + 5 ( sin x − cos x ) − 5 = 0 ⇔ sin x − cos x = 5 ( l ) π 1 2 Do đó sin x − = ( sin x − cos x ) = . 4 2 2 Câu 113. Chọn C sin x ≠ 0 Điều kiện ⇔ sin 2 x ≠ 0 . cos x ≠ 0 sin x cos x Ta có 2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x ⇔ 2 ( sin x + cos x ) = . + cos x sin x 2 2 sin x + cos x ⇔ 2 ( sin x + cos x ) = ⇔ 2 sin x cos x. 2 ( sin x + cos x ) = 2. sin x cos x t 2 −1 Đặt t = sin x + cos x − 2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x cos x = . 2 2 3 Phương trình trở thành ⇔ 2 t ( t − 1) = 2 ⇔ t − t − 2 = 0 ⇔ t = 2 .
(
)
t = 1 . ⇔ t2 − 1+ 5 t + 5 = 0 ⇔ t = 5 ( loaï i ) ⇒ sin x − cos x = 1 ⇔ cos x = sin x − 1 .
)
(
1− t2 . 2
Phương trình trở thành 1 + 5 t + 1 − t 2 − 1 − 5 = 0 .
⇒ sin x + cos x = 1 . π π π 2 2 Ta có cos x − = cos x cos + sin x sin = ( cos x + sin x ) = . 4 4 4 2 2 Câu 111. Chọn C π Đặt t = sin x − cos x = 2 sin x − . Điều kiện − 2 ≤ t ≤ 2. . 4 1− t2 2 2 2 Ta có t = ( sin x − cos x ) = sin x + cos 2 x − 2sin x cos x ⇒ sin x cos x = . 2 t = − 1 1− t2 Phương trình đã cho trở thành 6t + . +6=0⇔ 2 t = 13 ( loaï i ) π π 1 π 1 . ⇒ 2 sin x − = −1 ⇔ sin x − = − ⇔ sin − x = 4 4 2 2 4 π π π 1 1 ⇒ cos − − x = ⇔ cos x + = . 4 2 2 2 4 Câu 112. Chọn D Ta có 1 + 5 ( sin x − cos x ) + sin 2 x − 1 − 5 = 0
(
)
Đặt t = sin x − cos x − 2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x cos x =
= 1 ⇔ 2 cos 2 x − 2 2 cos x + 1 = 0 .
t 2 −1 . Phương trình đã cho trở thành: 2 2 t + 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1 (thỏa mãn) hoặc t = −3 (loại). ⇒ t 2 = 1 + 2 sin x.cos x ⇒ sin x.cos x =
.
Câu 114. Chọn D 45
46
Với t = 1 ⇒ sin 2 x = 0 ⇒ x =
t = − 1 ⇔ t 3 + 3t 2 − 3t − 5 = 0 ⇔ . t = −1 ± 6 ( loaï i ) π 1 Với t = −1 , ta được sin x + cos x = −1 ⇔ sin x + = − . 4 2 π π π 1 π 2 Mà sin 2 x + + cos2 x + = 1 ⇒ cos 2 x + = ⇔ cos x + = ± . 4 4 4 2 4 2 Câu 122. Chọn C π π Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + . Vì sin x + ∈ [ −1;1] ⇒ t ∈ 0; 2 . 4 4
kπ . 2
3π π Trong khoảng ( 0; 2π ) các nghiệm của phương trình là: ; π ; . 2 2 Suy ra tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng ( 0; 2π ) là 3π .
Câu 118. Đặt t = sin x + cos x, t ≤ 2 ⇒ sin x cos x =
t 2 −1 , ta có phương trình 2
t 2 −1 + 2t = 2 ⇔ t 2 + 4t − 5 = 0 ⇔ 2
t = 1 t = −5
( loai )
2
Với t = 1 , ta có sin x0 .cos x0 =
t −1 = 0 ⇒ sin 2 x0 = 0 ⇒ P = 3 + sin 2 x0 = 3 2
2
Ta có t 2 = ( sin x + cos x ) = sin 2 x + cos 2 x + 2 sin x cos x ⇒ sin 2 x = t 2 − 1. . 6 t = Phương trình đã cho trở thành 2 ( t 2 − 1) − 3 6 t + 8 = 0 ⇔ . 2 t = 6 ( loaï i )
Câu 119. TXĐ: D = ℝ . Đặt P = 1 + sin x + 1 + cos x ⇒ P 2 = 2 + sin x + cos x + 2 1 + sin x + cos x + sin x cos x . π Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + ⇒ t ∈ − 2 ; 2 . 4 t 2 −1 2 Khi đó t = 1 + 2sin x cos x ⇒ sin x cos x = . 2 t2 −1 = 2 + t + 2 t +1 . Vậ y P 2 = 2 + t + 2 1 + t + 2
(
1 sin 2 x = t 2 − 1 = . 2
Dạng 5. Biến đổi đưa về phương trình tích Dạng 5.1 Không có điều kiện của nghiệm Câu 123. Cách 1: ĐK: x ∈ ℝ (*) Phương trình ⇔ sin x ( 3 − 4 sin 2 x ) − 4 sin x cos 2 x = 0
)
TH1: − 2 ≤ t ≤ −1 thì P 2 = 1 − 2 t + 2 − 2 . Khi đó 1 ≤ P 2 ≤ 4 − 2 2 .
(
1 − cos 2 x ⇔ sin x 3 − 4. − 4 cos 2 x = 0 ⇔ sin x (1 − 2cos 2 x ) = 0 2 sin x = 0 x = kπ x = kπ ⇔ ⇔ ⇔ ( k ∈ ℤ ) thỏa mãn (*). π π 1 cos 2 x = = cos 2 x = ± + k 2π x = ± π + kπ 2 3 3 6 Cách 2: Phương trình ⇔ sin 3 x − 2 ( sin 3 x − sin x ) = 0
)
TH2: −1 ≤ t ≤ 2 thì P 2 = 1 + 2 t + 2 + 2 . Khi đó 1 ≤ P 2 ≤ 4 + 2 2 . Vậy 1 ≤ P 2 ≤ 4 + 2 2 mà P ≥ 0 nên 1 ≤ P 2 ≤ 4 + 2 2 ⇒ 1 ≤ P ≤ 4 + 2 2 . Phương trình có nghiệm khi 1 ≤ m ≤ 4 + 2 2 . Câu 120. Đặt t = sin x + cos x , ( 0 ≤ t ≤ 2 )
t 2 −1 . Phương trình đã cho trở thành: 2 2 t + 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1 (thỏa mãn) hoặc t = −3 (loại). kπ Với t = 1 ⇒ sin 2 x = 0 ⇒ x = . 2 3π π Trong khoảng ( 0; 2π ) các nghiệm của phương trình là: ; π ; . 2 2 Suy ra tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng ( 0; 2π ) là 3π .
⇒ t 2 = 1 + 2sin x.cos x ⇒ sin x.cos x =
⇔ − sin 3 x + 2 sin x = 0 ⇔ sin x ( 4 sin 2 x − 1) = 0
x = kπ ⇔ sin x (1 − 2 cos 2 x ) = 0 ⇔ x = ± π + kπ 6 Câu 124. Cách 1: Ta có: sin 2 x + 2sin 2 x − 6sin x − 2cos x + 4 = 0
⇔ ( 2sin x cos x − 2cos x ) + ( 2sin 2 x − 6sin x + 4 ) = 0
Câu 121. Chọn A
⇔ 2 cos x ( sin x − 1) + 2 ( sin x − 2 )( sin x − 1) = 0 ⇔ ( sin x − 1)( sin x + cos x − 2 ) = 0
3 Phương trình ⇔ 1 + ( sin x + cos x )(1 − sin x cos x ) = sin 2 x . 2 ⇔ 2 + ( sin x + cos x )( 2 − sin 2 x ) = 3sin 2 x.
(
)
Đặt t = sin x + cos x − 2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x cos x =
π x = 2 + k 2π sin x = 1 π ⇔ x = + k 2π , k ∈ ℤ . ⇔ ⇔ π x x sin + cos = 2 2 sin x + = 2 (VN ) 4 Dạng 5.2 Có điều kiện của nghiệm Câu 125. Ta có cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 ⇔ ( cos 3 x + cos x ) + cos 2 x = 0
t2 −1 . 2
Phương trình trở thành 2 + t ( 2 − t 2 + 1) = 3 ( t 2 − 1) .
47
48
⇔ 2 cos 2 x.cos x + cos 2 x = 0 ⇔ cos 2 x ( 2 cos x + 1) = 0
π π π 2x = 2 + k π x = 4 + k 2 cos 2 x = 0 2π 2π ⇔ ⇔ x = + k 2π ⇔ x = + k 2π , ( k ∈ ℤ ) 1 cos x = − 3 3 2 x = − 2 π + k 2π x = − 2π + k 2π 3 3 Vậy biểu diễn tập nghiệm của phương trình cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 trên đường tròn lượng giác ta được số điểm cuối là 6 . 1 1 Câu 126. Ta có phương trình sin 5 x cos 7 x = cos 4 x sin 8 x ⇔ ( sin12 x − sin 2 x ) = ( sin12 x + sin 4 x ) 2 2 kπ x= 3 sin 3 x = 0 ⇔ ⇔ sin 4 x + sin 2 x = 0 ⇔ 2 sin 3 x cos x = 0 ⇔ (I ) . cos x = 0 x = π + kπ 2 π 2 π 4 π 5 π π 3 π ,π , , , , . Vì x ∈ ( 0; 2π ) nên từ ( I ) suy ra x ∈ , 3 3 2 2 3 3 4π 5π π 3π π 2π +π + + + + = 7π . Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là + 3 3 3 3 2 2 Câu 127. sin 2 x + 3 cos x = 0 ⇔ 2 sin x.cos x + 3cos x = 0 ⇔ cos x. ( 2 sin x + 3 ) = 0
π cos x = 0 ⇔ x = 2 + kπ ( k ∈ ℤ ) ⇔ sin x = − 3 ( loai vì sin x ∈ [ −1;1]) 2
π . 2 3 2 Câu 128. 2cos x + cos x + cos 2 x = 0 ⇔ 2 cos3 x + cos2 x + 2cos 2 x − 1 = 0 1 π π x = ± + k 2π cos x = = cos ,k ∈ℤ . ⇔ 2cos3 x + 3cos2 x − 1 = 0 ⇔ 3 2 3 ⇔ cos x = −1 x = π + k 2π Theo đề: x ∈ ( 0; π ) ⇒ k = 0 ⇒ x =
Vì x ∈ [0;13π ] nên
π 7π 13π 19π 25π 31π 37π 5π 11π 17π 23π 29π 35π S= , , , , , , , , , , , , , π ,3π ,5π , 7π ,9π ,11π ,13π 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 400π Vậy tổng các phần tử của S là: . 3 Câu 129. Ta có: cos3x − cos 2 x + 9sin x − 4 = 0 ⇔ 4cos3 x − 3cos x − (1 − 2sin 2 x ) + 9sin x − 4 = 0 .
(
)
⇔ cos x 4 (1 − sin 2 x ) − 3 + 2sin 2 x + 9sin x − 5 = 0 .
⇔ − cos x ( 2sin x − 1)( 2sin x + 1) + ( 2sin x − 1)( sin x + 5) = 0 .
nên: −2sin x.cos x − cos x + sin x + 5 = sin x − cos x − sin 2x + 5 ≥ 4 − 2 > 0 . π x = 6 + k 2π 1 (*) ⇔ 2 sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = ⇔ ( k ∈ ℤ) . 2 x = 5π + k 2π 6 π π −1 17 Với x = + k 2π , x ∈ ( 0;3π ) ⇒ 0 < + k 2π < 3π ⇔ <k< . 6 6 12 12 π 13π k ∈ Z ⇒ k ∈ {0;1} ⇒ x ∈ ; . 6 6 5π 5π −5 13 + k 2π , x ∈ ( 0;3π ) ⇒ 0 < . Với x = + k 2π < 3π ⇔ <k< 6 6 12 12 5π 17π k ∈ Z ⇒ k ∈ {0;1} ⇒ x ∈ ; . 6 6 π 5π 13π 17π Tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = ; ; ; . 6 6 6 6 Tổng tất cả các nghiệm là 6π . π Câu 130. Điều kiện: x ≠ + kπ , k ∈ Z . 2 Phương trình đã cho tương đương với ( 2sin x − 1) 3 tan x + 2 sin x = 4sin 2 x − 1 .
(
⇔ ( 2sin x − 1)
(
)
)
3 tan x − 1 = 0 .
π x = 6 + k 2π 1 5π sin x = 2 x = 6 + k 2π 5π , ( k ∈ ℤ ) (thỏa mãn điều kiện). ⇔ ⇔ x= + k 2π ⇔ 6 tan x = 1 x = π + kπ 3 6 x = π + kπ 6 5π *Trường hợp 1: Với x = + k 2π , ( k ∈ ℤ ) . (1) 6 5π −5 115 . Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2....; 9} . x ∈ [ 0; 20π ] ⇔ 0 ≤ + k 2π ≤ 20π ⇔ ≤k≤ 6 12 12 ⇒ Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn [0; 20π ] của họ nghiệm (1) là: 9 5π 295π S1 = ∑ + k 2π = . 3 k =0 6 π *Trường hợp 2: Với x = + kπ , ( k ∈ ℤ ) . ( 2 ) 6 π −1 119 x ∈ [0 ; 20π ] ⇔ 0 ≤ + kπ ≤ 20π ⇔ ≤k≤ . Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0;1; 2....;19} . 6 6 6 ⇒ Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn [0; 20π ] của họ nghiệm ( 2 ) là: 19 π 580π S2 = ∑ + kπ = . 3 k =0 6
⇔ ( 2sin x − 1)( −2sin x.cos x − cos x + sin x + 5 ) = 0 (*) .
π Do sin x − cos x = 2 sin x − ≥ − 2 ; −2sin x.cos x = − sin 2 x ≥ −1 . 4
Vậy tổng các phần tử của T là S1 + S 2 = 49
875 π. 3 50
Câu 131. Ta có 2sin 2 2 x + cos 2 x + 1 = 0 ⇔ 8sin 2 x cos 2 x + 2cos 2 x = 0 π ⇔ 2 cos 2 x ( 4sin 2 x + 1) = 0 ⇔ cos2 x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = + k π ( k ∈ ℤ ) . 2 π Bài ra x ∈ [ 0; 2018π ] nên + k π ∈ [0; 2018π] ⇒ k ∈ {0; 1; 2; 3;...; 2017} . 2 Do đó số nghiệm của phương trình 2sin 2 2 x + cos 2 x + 1 = 0 trong [ 0; 2018π ] là 2018 . Câu 132. sin x + 4 cos x = 2 + sin 2 x ⇔ sin x − 2 = 2sin x cos x − 4cos x ⇔ sin x − 2 = 2 cos x ( sin x − 2 )
3π Do đó số nghiệm thuộc − ; −π của phương trình đã cho là 2 . 2 Câu 135. Ta có: π cos (π + x ) + 3 sin x = sin 3x − ⇔ − cos x + 3 sin x = − cos 3x 2
(
x = kπ sin x = 0 π ⇔ ⇔ x = + kπ , k ∈ ℤ . 3 sin 2 x = 6 2 π x = + kπ 3 4π π 4 1 4π π ; ta có: − • Với x = kπ , trên nửa khoảng − ≤ kπ < ⇔− ≤k< 3 2 3 2 3 2 ⇒ k ∈ {−1; 0} . Suy ra các nghiệm là x = −π , x = 0 .
⇔ ( sin x − 2 )(1 − 2cos x ) = 0 sin x = 2 ( l ) π ⇔ ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ℤ ) . cos x = 1 3 2 π 5π 7π 11π 13π x ∈ ( 0;5π ) ⇒ x ∈ ; ; ; ; . 3 3 3 3 3 Vậy phương trình có 5 nghiệm trong khoảng ( 0;5π ) .
4π π π 3 1 4π π ; ta có: − + kπ , trên nửa khoảng − ≤ + kπ < ⇔− ≤k< 3 6 2 2 3 3 2 5π π , x= . ⇒ k ∈ {−1; 0} . Suy ra các nghiệm là x = − 6 6 4π π π π 5 1 4π π ; ta có: − • Với x = + kπ , trên nửa khoảng − ≤ + kπ < ⇔− ≤k< 3 3 3 2 3 6 3 2 2π π , x= . ⇒ k ∈ {−1; 0} . Suy ra các nghiệm là x = − 3 3 4π π ; của phương trình là 6 . Suy ra số nghiệm trên nửa khoảng − 3 2 Câu 136. Phương trình ⇔ ( cos 4 x + cos 2 x ) + ( cos 3x + cos x ) = 0 ⇔ 2cos 3 x cos x + 2 cos 2 x cos x = 0 . • Với x =
Câu 133. Điều kiện sin 2 x ≠ 0 .
1 cos 2 x 5 3 1 . − cos 4 x = .2sin 2 x.cos 2 x 8cot 2 x ( sin 6 x + cos 6 x ) = sin 4 x ⇔ 8. sin 2 x 8 8 2 2 ⇔ cos 2 x ( 9 + 7 cos 4 x ) = 0 ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x =
π 4
+k
π 2
,k ∈ℤ .
y 3π 4
π 4
x
O 5π 4
)
⇔ −2sin 2 x sin x + 3 sin x = 0 ⇔ sin x −2sin 2 x + 3 = 0
π
6
π x = 2 + kπ cos x = 0 5x x 5x π 2 kπ ⇔ 4 cos x cos cos = 0 ⇔ cos = 0 ⇔ x = + , (k ∈ ℤ) 2 2 2 5 5 x x = π + 2 kπ cos = 0 2 Do −π < x < π nên: π x = − 2 π x = + kπ ∈ ( −π ; π ) ⇔ . 2 x = π 2 3π x = ± 5 π 2 kπ ∈ ( −π ; π ) ⇔ . x= + 5 5 x = ± π 5
7π 4
Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là 4 . 3π − 2 x ⇔ 3 sin x = sin ( 2 x − π ) Câu 134. Ta có 3 sin x = cos 2 ⇔ 3 sin x = − sin 2 x ⇔ 3 sin x = −2sin x cos x sin x = 0 x = kπ ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) . cos x = − 3 = cos 5π x = ± 5π + k 2π 6 2 6
3π 3π Bài ra x ∈ − ; −π nên kπ ∈ − ; −π ⇒ k = −1 ⇒ x = −π . 2 2 5π 7π 3π + k 2π ∈ − ; −π ⇒ k = −1 ⇒ x = − . 6 6 2 5π 3π − + k 2π ∈ − ; −π ⇒ k ∈∅ ⇒ x ∈∅ . 6 2 51
52
Câu 137.
sin x = 1 (1) cos 2 x + 3sin x − 2 = 0 ⇔ −2sin 2 x + 3sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = 1 (2) 2
(1 + cos 4 x ) sin 2 x = 3 cos 2 2 x ⇔ 2cos2 2 x.sin 2 x − 3cos2 2 x = 0 ⇔ cos 2 2 x ( 2 sin 2 x − 3) = 0 ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ 2 x =
π 2
+ kπ ⇔ x =
π 4
+k
π 2
(k ∈ ℤ) .
π x = 6 + k 2π Đối chiếu điều kiện ta loại phương trình (1) . Giải phương trình (2) được x = 5π + k 2π 6 với k ∈ ℤ . 5π π + k 2π , k ∈ ℤ . Câu 141. TXĐ: D = ℝ \ + k 2π , 6 6 Phương trình trở thành: π π 3 sin x − cos x = 0 ⇔ 2sin x − = 0 ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ℤ ) . 6 6 7π Vậy nghiệm của phương trình là x = + k 2π ( k ∈ ℤ ) . 6 Câu 142. Điều kiện xác định: tan x ≠ − 3 . Phương trình tương đương: 2 sin x cos x + 2 cos x − sin x − 1 = 0 ⇔ ( 2 cos x − 1)( sin x + 1) = 0
1 3 ≤ π ⇔ − ≤ k ≤ ⇒ k = 0;1 . 2 2 π 3π =π . Vậy tổng các nghiệm bằng + 4 4 Câu 138. Chọn D Xét 0 ≤
π
4
+k
π
2
3sin 2 2 x + cos 2 x − 1=0,x ∈ [0; 4π ) ⇔ 12sin 2 x.cos2 x − 2sin 2 x = 0 sin x = 0 sin x = 0 6 ⇔ 2 1 ⇔ cos x = cos x = 6 6 6 cos x = − 6
(1) (2) (3)
Họ nghiệm x = kπ có 4 nghiệm trong [0; 4π ) Trong mỗi nửa khoảng [ k 2π ; k 2π + 2π ) phương trình cos x = cos x =
6 có 2 nghiệm phân biệt. Do đó 6
6 có 4 nghiệm trong [0; 4π ) . 6
Tương tự, trong mỗi nửa khoảng [ k 2π ; k 2π + 2π ) phương trình cos x = −
6 có 2 nghiệm. Do 6
6 đó cos x = − có 4 nghiệm trong [0; 4π ) . 6
π 3
⇔ 4 sin 3 x + 4 sin 2 x − sin x − 1 = 0
π 1 x = 6 + kπ sin x = 2 π 1 ⇔ sin x = − ⇔ x = − + kπ 2 6 sin x = −1 x = − π + k 2π 2
π π −5π 7π Do x ∈ − ; 0 nên phương trình có các nghiệm là: x = − ; x = − ; x = 6 2 6 8 Dạng 6. Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu
π 2
+ k 2π biểu diễn trên đường tròn lượng giác có 1 điểm.
π
+ k 2π biểu diễn trên đường tròn lượng giác có 1 điểm. 2 Vậy có 2 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác. Câu 143. Điều kiện xác định sin x ≠ 1 . 1 cos x = 2 Phương trình tương đương ( 2 cos x − 1) cos x. ( 2 sin x − 1) = 0 ⇔ cos x = 0 . 1 sin x = 2 π x = 3 π π Vì x ∈ 0; và sin x ≠ 1 nên . Do đó T = . 2 2 x = π 6 Câu 144. Chọn A 3 π Điều kiện xác định: 2 cos x − 3 ≠ 0 ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ ± + l 2π ( l ∈ ℤ ) . 2 6 π 3 − cos 2 x + sin 2 x − 5sin x − cos x Với ∀x ≠ ± + l 2π ( l ∈ ℤ ) phương trình =0 6 2 cos x − 3
D.
⇔ 3sin x − 4 sin 3 x + 2 − 4 sin 2 x − 2 sin x − 1 = 0
Câu 140. Cách 1: Điều kiện xác định: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
x=
x=−
Trong các họ nghiệm của,, không có hai họ nào có phần tử chung nên chọn đáp án sin 3 x + 2 cos 2 x − 2 sin x − 1 = 0
Câu 139. Ta có:
π x = 3 + k 2π 1 cos x = π π ⇔ 2 ⇔ x = − + k 2π . Do tan x ≠ − 3 nên x = − + k 2π loại. 3 3 sin x = −1 π x = − + k 2π 2
+ lπ với l ∈ ℤ .
Khi đó phương trình trở thành 53
54
⇔ 3 − cos 2 x + sin 2 x − 5sin x − cos x = 0 ⇔ 3 − 1 + 2sin 2 x + 2sin x cos x − 5sin x − cos x = 0 ⇔ (2sin x cos x − cos x) + 2sin 2 x − 5sin x + 2 = 0 ⇔ cos x(2sin x − 1) + (2 sin 2 x − sin x) − (4 sin x − 2) = 0 ⇔ (2sin x − 1)(cos x + sin x − 2) = 0
π ⇔ 2sin x − 1 = 0 (vì cos x + sin x − 2 = 2 sin x + − 2 ≤ 2 − 2 < 0 ) 4 π x = 6 + k 2π 1 ⇔ sin x = ⇔ (k ∈ ℤ) 5π 2 x = + k 2π 6 5π + k 2π ( k ∈ ℤ ) . Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm x = 6 5π 5 595 + k 2π ≤ 100π ⇔ − ≤ k ≤ Mà x ∈ [ 0;100π ] ⇒ 0 ≤ 6 12 12 k ∈ ℤ ⇒ k = 0;1; 2;3;...; 49. 49 5π 7475π Vậy tổng các nghiệm thuộc [ 0;100π ] của phương trình bằng ∑ + k 2π = . 3 k =0 6 π Câu 145. Điều kiện: sin x + cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ − + kπ , k ∈ℤ. 4 Phương trình tương đương: cos 4 x − cos 2 x + 2sin 2 x = 0 ⇔ 2cos2 2 x −1 − cos 2 x + 1 − cos 2x = 0 ⇔ cos2 2 x − cos 2 x = 0 x = kπ cos 2 x = 1 ⇔ ⇔ . x = π + k π cos 2 x = 0 4 2 x = kπ Kết hợp với điều kiện thì phương trình có nghiệm là . π x = + kπ 4 Biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác ta được các điểm cuối của các cung nghiệm tạo thành một hình chữ nhật. Đó là hình chữ nhật ACA’C’ như hình vẽ, trong đó π AOC = . 4
1 π Từ đó ta có, diện tích đa giác cần tính là S ACA'C' = 4SOAC = 4. .OA.OC.sin = 2. 2 4
π π π Câu 146. Điều kiện sin x + cos x ≠ 0 ⇔ sin x + ≠ 0 ⇔ x + ≠ kπ ⇔ x ≠ − + kπ , ( k ∈ Z ) . 4 4 4 Ta có: ⇔ ⇔
sin x sin 2 x + 2 sin x cos 2 x + sin x + cos x = 3 cos 2 x sin x + cos x
sin 2 x ( sin x + cos x ) + sin x + cos x
sin x + cos x
( sin 2 x + 1)( sin x + cos x ) = sin x + cos x
= 3 cos 2 x
3 cos 2 x
π π ⇔ sin 2 x − 3 cos 2 x = −1 ⇔ sin 2 x − = sin − 3 6 π π π 2 x − 3 = − 6 + k 2π x = 12 + kπ ⇔ ⇔ (k ∈ Z) . 2 x − π = π + π + k 2π x = 3π + kπ 3 6 4 Thử lại điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là: x = Trên ( −π ; π ) phương trình đã cho có các nghiệm là:
π 12
π 12
;−
+ kπ ( k ∈ Z ) .
11π . 12
Câu 147. Chọn C ĐK: cos x ≠ 0 Khi đó, phương trình ⇔ 2 cos 2 x − 1 ⋅ cos 2 x − 1 − cos 2 x = cos 2 x − cos3 x − 1
(
)
(
)
⇔ 2 cos 4 x + cos3 x − cos 2 x = 0 ⇔ 2cos2 x + cos x − 1 = 0 (vì cos x ≠ 0 )
55
56
x = π + k1 2π cos x = −1 π ⇔ ⇔ x = + k 2 2π cos x = 1 3 2 π x = − + k3 2π 3 Vì x ∈ [1; 70] nên 0 ≤ k1 ; k2 ≤ 10;1 ≤ k3 ≤ 11 Áp dụng công thức tính tổng 11 số hạng đầu tiên của một cấp số cộng, ta có 11 11 π π 11 π π S = (π + 10.2π ) + + + 10.2π + − + 2π + − + 11.2π = 363π . 2 2 3 3 2 3 3 sin 2 x ≠ 1 cosx ≠ 0 ⇔ 2 Câu 148. * ĐKXĐ: 1 cos2x ≠ 0 sin x ≠ 2 * Ta có:
+ sin 2018 x = cos 2018 x ⇔ tan 2018 x = 1 ( x =
⇔x=±
π 4
π 2
+ kπ không là nghiệm) ⇔ tan x = ±1
+ kπ ( k ∈ ℤ ) ( 2 ) . Từ (1) và ( 2 ) ta có x =
π 4
+
kπ ( k ∈ ℤ ) là nghiệm của pt. 2
kπ + < 2018 ⇒ 0 ≤ k ≤ 1284, k ∈ ℤ . 4 2 Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng ( 0; 2018 ) bằng
Do x ∈ ( 0; 2018 ) ⇒ 0 <
π
π
.1285 + (1 + 2 + ... + 1284 )
4 Câu 152. Chọn
a2 sin 2 x + a 2 − 2 2 = ⇔ a2 cos2 x = sin 2 x + a2 − 2 ⇔ −a2 sin 2 x = sin 2 x − 2 ⇔ sin 2 x = 1 − tan 2 x cos 2 x 1 + a2 Để phương trình đã cho có nghiệm điều kiện là: 2 1 + a 2 ∈ [0;1] 2 2 1 + a 2 ∈ ( 0;1) 1 + a > 2 2 a > 1 ⇔ ⇔ ≠ 1 ⇔ 2 2 2 1 1 + a a 1 + ≠ 4 a ≠ 3 ≠ 1 + a 2 2 1 2 1 + a 2 ≠ 2
sin x ≠ 0 Câu 150. Điều kiện sin x + cos x ≠ 0
π
=
π
2
.1285 +
1284.1285 1285 π = π. 4 2
2 4 D. cos x ≠ 0 π Điều kiện ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k , k ∈ ℤ 2 sin x ≠ 0 x x sin x sin + cos x cos x 2 2 sin x + cot x = 4 x x x 1 + tan tan sin + cot = 4 ⇔ x 2 cos x cos 2 x cos 2 ⇔ sin x + cot x = 4 ⇔ tan x + cot x = 4 ⇔ tan 2 x − 4 tan x + 1 = 0 x cos x cos 2 5π tan x = 2 + 3 x = 12 + kπ ⇔ ⇔ . 1 tan x = 2 − 3 = x = π + lπ + 2 3 12
Với hai họ nghiệm trên dễ thấy nghiệm dương nhỏ nhất là
Ta có 2 (1 + cos x )( sin x + cos x ) = sin 2 x. ( sin x − 1)
đều cho k = l = −1 được nghiệm âm
⇔ 2 (1 + cos x )( sin x + cos x ) = (1 − cos 2 x ) . ( sin x − 1)
π 12
; để được nghiệm âm lớn nhất ta
−7π −11π −7π ; khi đó nghiệm âm lớn nhất là . 12 12 12
−7π π π + =− . 12 12 2 Câu 153. Cách 1: Ta có
⇔ (1 + cos x )( sin x + cos x + sin x cos x + 1) = 0
8
cos x = −1 ⇔ (1 + cos x ) (1 + sin x ) = 0 ⇔ sin x = −1 2
6
4
2
Chỉ có sin x = −1 là thỏa điều kiện ban đầu. 5π
Vậy các nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi 1 điểm trên đường tròn lượng giác.
4π
3π
2π
π
π
2π
3π
4π
5π
2
4
Dạng 7. Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác Câu 151. sin 2018 x + cos 2018 x = 2 sin 2020 x + cos 2020 x ⇔ sin 2018 x 1 − 2sin 2 x + cos 2018 x 1 − 2cos2 x = 0
(
)
(
)
(
6
)
8
Đk: −2019 ≤ x ≤ 2019 Nhận xét x = 0 là nghiệm của phương trình. Nếu x = x0 là nghiệm của phương trình thì x = − x0 cũng là nghiệm của phương trình
cos 2 x = 0 . ⇔ sin 2018 x.cos 2 x − cos 2018 x cos 2 x = 0 ⇔ 2018 x = cos 2018 x sin π π kπ + cos 2 x = 0 ⇔ 2 x = + kπ ⇔ x = + ( k ∈ ℤ ) (1) 2 4 2
Ta xét nghiệm của phương trình trên đoạn [ 0; 2019] . Vẽ đồ thị của hàm số y = sin x và y =
x 2019
. Ta thấy: 57
58
Trên đoạn [ 0; 2π ] phương trình có hai nghiệm phân biệt
Tương tự xét trên nửa khoảng ( 0; 2π ] phương trình có một nghiệm và trên nửa khoảng
Trên nửa khoảng ( 2π ; 4π ] phương trình có hai nghiệm phân biệt
( 642π ; 2019]
Trên nửa khoảng ( 4π ; 6π ] phương trình có hai nghiệm phân biệt … Trên nửa khoảng ( 640π ;642π ] phương trình có hai nghiệm phân biệt Trên nửa khoảng ( 642π ; 2019] phương trình có hai nghiệm phân biệt. Như vậy trên đoạn [0; 2019] phương trình có một nghiệm x = 0 và 321 x 2 +1 = 643 nghiệm dương phân biệt. Mà do x = x0 là nghiệm của phương trình thì x = − x0 cũng là nghiệm của phương trình nên trên nửa khoảng [ −2019; 0 ) phương trình cũng có 643 nghiệm âm phân biệt. Do đó trên đoạn [ −2019; 2019] phương trình có số nghiệm thực là 643 x 2 +1 = 1287 nghiệm Vậy số nghiệm thực của phương trình đã cho là 1287 nghiệm. Cách 2: Đk: −2019 ≤ x ≤ 2019 x 1 Xét hàm số f ( x) = sin x − ,ta có f ( x) là hàm số lẻ, liên tục trên R và f ′( x) = cosx − , 2019 2019 1 1 π và α ∈ 0; . Chia ( 0; 2019] = 0 ⇔ x = ±α + k 2π với cosα = f ′( x) = 0 ⇔ cosx − 2019 2019 2 thành hợp các nửa khoảng ( k 2π ; 2π + k 2π ] ( với k = 0;320 ) và ( 642π ; 2019] (vì
2019 ≈ 642, 67π ) Xét trên mỗi nửa khoảng ( k 2π ; 2π + k 2π ] ( với k = 1;320 ), ta có f ′( x) = 0 có hainghiệm là
f'(x)
x2
x1
k2π +
0
-
0
cos 2 x = 0 ⇔ sin 2015 x.cos 2 x + cos2016 x.cos 2 x = cos 2 x ⇔ 2015 . x + cos 2016 x = 1 sin π π Với cos 2 x = 0 ⇔ x = + k , k ∈ ℤ 4 2 π π 20 1 60 1 Vì x ∈ [ −10; 30 ] ⇒ −10 ≤ + k ≤ 30 ⇔ − − ≤ k ≤ − ⇒ −6 ≤ k ≤ 18 . π 2 π 2 4 2 2015 2016 2015 2 2016 Với sin x + cos x = 1 . Ta có sin x ≤ sin x;cos x ≤ cos 2 x . sin x = 0, cos x = ±1 Do đó 1 = sin 2015 x + cos 2016 x ≤ sin 2 x + cos 2 x = 1 suy ra . sin x = 1, cos x = 0 Nếu sin x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ . −10 30 ≤π ≤ Vì x ∈ [ −10; 30 ] ⇒ −10 ≤ kπ ≤ 30 ⇔ ⇒ −3 ≤ k ≤ 9 . π π π Nếu sin x = 1 ⇔ x = + k 2π , k ∈ ℤ . 2 π 5 1 15 1 Vì x ∈ [ −10;30 ] ⇒ −10 ≤ + k 2π ≤ 30 ⇔ − − ≤ k ≤ − ⇒ −1 ≤ k ≤ 4 . π 4 π 4 2 Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là: 13 + 6 + 25 = 44 .
2π+k2π +
y=0 f(2π+k2π) f(k2π)
)
⇔ sin 2015 x (1 − 2sin 2 x ) + cos 2016 x ( 2 cos 2 x − 1) = cos 2 x
f(x1) f(x)
Từ đó số nghiệm của phương trình đã cho là 2.[320.2 + 1 + 2] + 1 = 1287 Nhận xét: đề hoàn toàn không phù hợp trong đề thi 1 Câu 154. cos 2 x.sin 5 x + 1 = 0 ⇔ ( sin 3 x + sin 7 x ) = −1 ⇔ sin 3x + sin 7 x = −2 2 π 2π π x = − +k 7 x = − + k 2π sin 7 x = −1 14 7 2 ⇔ ⇔ ⇔ ( k, l ∈ ℤ) sin 3 x = −1 3x = − π + l 2π x = − π + l 2π 2 6 3 1 2k 1 2l ⇒− + =− + 14 7 6 3 ⇒ −3 + 12k = −7 + 28l −4 + 28l −1 + 7l . ⇒k= = 12 3 π π 2π π Vì x ∈ − ; π nên − < − + l < π , giải ra ta được l = 0,1 . 2 6 3 2 4 l =0⇒k = − (loại) 12 l =1⇒ k = 2 π π Vậy phương trình có một nghiệm x = ∈ − ; π . 2 2 Câu 155. Ta có: sin 2015 x − cos 2016 x = 2 sin 2017 x − cos 2018 x + cos 2 x
(
x1 = α + k 2π và x2 = −α + 2π + k 2π k 2π Ta có f ( k 2π ) = − <0 2019 2020.2018 − α − k 2π α + k 2π π f ( x1 ) = sin α − = > 0 do α ∈ 0; và k 2π ≤ 642π 2019 2019 2 −α + 2π + k 2π f ( x2 ) = − sin α − <0 2019 − k 2π − 2π f (2π + k 2π ) = <0 2019 Bảng biến thiên x
phương trình có hai nghiệm.
f(x2)
⇒ Trên ( k 2π ; 2π + k 2π ] phương trình f ( x) = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt (với k = 1;320 ) 59
60
Dạng 8. Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số m m + 2 = 0 ⇔ 1 − 3sin 2 x cos 2 x + 3sin x cos x − + 2 = 0 4 4 Đặt t = sin 2 x , −1 ≤ t ≤ 1 . PT trở thành −3t 2 + 6t + 12 = m . Xét hàm số f ( t ) = −3t 2 + 6t + 12 , −1 ≤ t ≤ 1
Câu 156. Ta có sin 6 x + cos6 x + 3sin x cos x −
t
−1
f ′ (t ) f (t )
1 + 15
3
Phương trình sin 6 x + cos6 x + 3sin x cos x −
m + 2 = 0 có nghiệm thực khi 3 ≤ m ≤ 15 . 4
Vậy có 13 giá trị nguyên của tham số m . Câu 157. Ta xét phương trình cos2 x + m sin x − m = 0 ⇔ −2sin 2 x + m sin x + 1 − m = 0 (1) Đặt sin x = t
( 0 ≤ t ≤ 1)
khi đó
2
(1) ⇔ −2t + mt + 1− m = 0 Để phương trình cos2 x + m sin x − m = 0 có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm t thỏa 0 ≤ t ≤ 1
−2t 2 + mt + 1 − m = 0 ⇔ m(t −1) = 2t 2 − 1 ⇔ m =
cos x − 2sin x cos x + 1 cos x − 2sin x Đặt f ( x ) = cos x + 1
2t 2 − 1 (*) (Vì t = 1 không phải là nghiệm của t −1
⇔m=
phương trình) Xét hàm số y =
1 π 3π π 3π Do x ∈ ; nên cosx ∈ ( −1; 0 ) nên phương trình cos x = không có nghiệm x ∈ ; . 2 2 2 2 2 π 3π Vậy nên để phương trình cos 2 x − ( 2m + 1) cos x + m + 1 = 0 có nghiệm x ∈ ; khi phương 2 2 π 3π trình cos x = m có nghiệm x ∈ ; nghĩa là −1 < m < 0 . 2 2 Câu 159. Phương trình đã cho tương đương với: 3 (sin 2 x + cos2 x ) − 3sin 2 x.cos 2 x. ( sin 2 x + cos 2 x ) + 3sin x cos x − m4 + 2 = 0 3 3 m ⇔ − sin 2 2 x + sin 2 x − + 3 = 0 4 2 4 3 15 m 2 ⇔ − ( sin 2 x − 1) + = . 4 4 4 m 3 15 Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi ∈ ; ⇔ m ∈ [3;15] 4 4 4 Vậy có 13 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm thực. Câu 160. Chọn A Ta có 2sin x + ( m − 1) cos x = −m
x = 2 +1 2 x2 − 1 1 y'= 0 ⇔ trên [ 0;1) . Ta có y ' = 2 − 2 ; x −1 x − 1 ( ) x = 2 − 1
π để phương trình có nghiệm x ∈ 0; khi và chỉ khi min f ( x ) ≤ m ≤ max f ( x ) π π 2 0; 2 0; 2
2t 1− t 2 x ,cos x = đặt t = tan ⇒ sin x = 2 1+ t 2 1+ t 2 1− t2 2t − 2. 2 2 cos x − 2sin x −t 2 − 4t + 1 1 khi đó hàm số f ( x ) = trở thành g ( t ) = + t 2 1 + t = với t ∈ [ 0;1] 1− t cos x + 1 2 +1 2 1+ t g ' ( t ) = −t − 2; g ' ( t ) = 0 ⇔ t = −2 ∉ [ 0;1]
1 g ( 0 ) = ; g (1) = −2 2 Suy ra min f ( x ) = −2;
Để phương trình (*) có nghiệm ⇔ m ≤
π 0; 2
−2 + 3 2 . Do m nguyên dương nên m = 1 . 2
max f ( x ) = π 0; 2
1 2
1 . Các giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán là {−2; −1; 0} 2 Câu 161. Ta có: 4 cos 3 x − cos 2 x + ( m − 3) cos x − 1 = 0 ⇔ 4 cos 3 x − 2 cos 2 x + ( m − 3 ) cos x = 0 Vậy −2 ≤ m ≤
Câu 158. Ta có cos 2 x − ( 2 m + 1) cos x + m + 1 = 0 ⇔ 2 cos 2 x − ( 2 m + 1) cos x + m = 0
cos x = 0 ⇔ 2 4cos x − 2 cos x + m − 3 = 0
cos x = m . ⇔ cos x ( 2 cos x − 1) − m ( 2 cos x − 1) = 0 ⇔ ( 2 cos x − 1)( cos x − m ) = 0 ⇔ cos x = 1 2 61
(1) 62
cos x = −1 . ⇔ (1 + cos x ) cos 4 x − m cos x − m (1 − cos x ) = 0 ⇔ cos 4 x = m Xét phương trình cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π ( k ∈ ℤ ) .
π π + kπ , k ∈ ℤ không có nghiệm thuộc khoảng − ; . 2 2 π π t = cos x • Đặt , vì x ∈ − ; nên t ∈ ( 0;1] . 2 2 Khi đó phương trình (1) ⇔ 4t 2 − 2t + m − 3 = 0 ( 2) . • cos x = 0 ⇔ x =
π
2
2π Phương trình cos x = −1 không có nghiệm trong đoạn 0; . 3 2π 8π Xét cos 4 x = m . Ta có x ∈ 0; ⇔ 4 x ∈ 0; . 3 3 Với 4 x ∈ [ 0; 2π ] \ {π } và m ∈ ( −1;1] phương trình cos 4 x = m có 2 nghiệm.
Ycbt ⇔ phương trình ( 2 ) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 thỏa mãn 0 < t1, t2 < 1.
Cách 1: Đặt f ( t ) = 4t 2 − 2t + m − 3 , với t ∈ ( 0;1] . Khi đó, phương trình ( 2 ) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 thỏa mãn 0 < t1, t2 < 1
8π 1 Với 4 x ∈ 2π ; và m ∈ − ;1 phương trình cos 4 x = m có 1 nghiệm. 3 2 1 2π Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt thuộc 0; khi m ∈ − ;1 . 3 2 Câu 164. cos 3 x − cos 2 x + m cos x = 1 ⇔ 4cos3 x − 3cos x − 2cos 2 x − 1 + m cos x = 1
13 ∆′ > 0 m < 4 f 0 > 0 ( ) 13 m > 3 ⇔ f (1) > 0 ⇔ ⇔ 3 < m < . Vì m nguyên nên không có giá trị nào. 4 m > 1 0 < −b < 1 1 0 < < 1 2a 4
(
Cách 2: ( 2 ) ⇔ m = −4t 2 + 2t + 3 = g ( t )
Đặt cos x = t với t ∈ [ −1;1] . Ta có
t = 0 ⇔ 2 4t − 2t + ( m − 3) = 0 (*)
Ta có bảng biến thiên của g ( t ) trên t ∈ ( 0;1] .
1 4
0
t g ′ (t )
+
1
0
−
3 Từ bảng biến thiên trên phương trình
1
(2)
có 2 nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa mãn
0 < t1, t2 < 1
π 3π
π thuộc − ; 2π . 2 π Với mỗi giá trị t ∈ ( 0; 1) thì phương trình cos x = t có 3 nghiệm của thuộc − ; 2π . 2 π Với mỗi giá trị t ∈ ( −1; 0 ] thì phương trình cos x = t có 2 nghiệm của thuộc − ; 2π . 2 π Với t = −1 thì phương trình cos x = t có 1 nghiệm của thuộc − ; 2π . 2 Để pt có đúng 7 nghiệm thỏa mãn thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm t1 ; t2 thỏa mãn điều kiện: Với t = 0 thì cos x = 0 ⇔ x =
13 4
g (t )
)
⇔ 4 cos3 x − 2 cos 2 x + ( m − 3 ) cos x = 0
π
2
+ kπ , có 2 nghiệm là
2
;
2
−1 < t1 < 0 < t2 < 1 .
(*) ⇔ m = −4t 2 + 2t + 3
13 thì 3 < m < . Vì m nguyên nên không có giá trị nào. 4
Câu 162. Ta có: cos3 2 x − cos 2 2 x = m sin 2 x ⇔ cos 2 2 x ( cos 2 x − 1) = m sin 2 x ⇔ sin 2 x 2cos2 2 x + m = 0
(
)
⇔ 2cos 2 2 x + m = 0 ⇔ cos 4 x = − m − 1 . 1 π 2π Có x ∈ 0; ⇒ 4 x ∈ 0; ⇒ − < cos 4 x < 1 2 6 3 1 1 π Để phương trình có nghiệm x ∈ 0; thì − < −m − 1 < 1 ⇔ −2 < m < − . 2 2 6 Do m ∈ ℤ nên m = −1 . Câu 163. Ta có: (1 + cos x )( cos 4 x − m cos x ) = m sin 2 x ⇔ (1 + cos x )( cos 4 x − m cos x ) − m (1 − cos 2 x ) = 0
Từ bảng biến thiên trên ta có m ∈ (1;3 ) . Vậy m = {2} .
sin x = 1 Câu 165. Ta có phương trình tương đương 2 2cos x − ( 2m + 1) cos x + m = 0
63
64
sin x = 1 sin x = 1 1 ⇔ ⇔ cos x = 2 ( 2cos x − 1)( cos x − m ) = 0 cos x = m
Hoành độ đỉnh là t0 = 2 loại. Ta có f ( −1) = 3 và f (1) = −1 . Suy ra −1 ≤ f ( t ) ≤ 3 . Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 168. Chọn D Ta có
Với x ∈ [0; 2π ] . Ta có:
sin x = 1 ⇔ x =
π 2
( 4 cos x − 3sin x )
vì x ∈ [0; 2π ] nên x =
π 2
(thỏa mãn).
( m 3 − 4 m + 3 ) x + m − 4 > 5 Để phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi ( m3 − 4m + 3) x + m − 4 < −5
(m
Do đó, phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có
đúng một nghiệm hoặc có 2 nghiệm phân biệt và một nghiệm bằng
π 2
VN
Giải ( 2 ) ta có
.
(m
5π Trường hợp 1: α = −α + 2π ⇔ α = π (thỏa vì khác , , ). Suy ra m = cos π = −1 . 2 3 3
π
π
3
− 4m + 3) x + m − 4 < −5
⇔ ( m3 − 4m + 3) x + m + 1 < 0 ∀x ∈ ℝ m = 1 ( L ) 1 m 3 − 4m + 3 = 0 m=− + ⇔ ⇔ 2 m + 1 < 0 1 m=− − 2 m < −1
3π π (thỏa). Suy ra m = cos = 0 . 2 2
Vậy m ∈ {0; −1} nên có 2 giá trị m .
Câu 166. Ta có 2 cos 3x = m − 2 cos x + 3 m + 6cos x ⇔ 2 ( 4 cos3 x − 3cos x ) − m + 2 cos x = 3 m + 6cos x ⇔ 8cos3 x + 2 cos x = m + 6 cos x + 3 m + 6 cos x Đặt t = 3 m + 6cos x , u = 2 cos x , phương trình viết lại u 3 + u = t 3 + t ⇔ ( u − t ) ( u 2 + ut + t 2 + 1) = 0 ⇔ u = t hay 3 m + 6 cos x = 2 cos x ⇔ m = 8cos3 x − 6 cos x ⇔ m = 2 cos 3x Do đó để phương trình đã cho có nghiệm thì −2 ≤ m ≤ 2 , có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. x π π Câu 167. Đặt t = tan , do x ∈ − ; suy ra t ∈ [ −1;1] . 2 2 2 4t 1− t2 + m. = 1 − m có nghiệm thuộc đoạn Phương trình trở thành tìm m để phương trình 2 1+ t 1+ t2 [ −1;1] .
Ta có
− 4m + 3 ) x + m − 4 > 5
m = 1 m 3 − 4m + 3 = 0 ⇔ ⇔ m = − 1 ± 13 2 2 m − 9 > 0 m > 9
x = α cos x = m ⇔ cos x = cos α ⇔ ( *) . x = −α + 2π
⇒ −α + 2π =
3
⇔ ( m3 − 4m + 3) x + m − 9 > 0 ∀x ∈ ℝ
Nhận xét: Với x ∈ [0; 2π ] thì phương trình
2
(1) ( 2)
Giải (1) ta có
Với −1 ≤ m ≤ 1 , đặt m = cos α , α ∈ [ 0; π ] .
π
≤5
⇔ −5 ≤ 4 cos x − 3sin x ≤ 5
π π x = 3 x = 3 π 1 cos x = ⇔ cos x = cos ⇔ vì x ∈ [0; 2π ] nên (thỏa mãn). 2 3 x = − π + 2π = 5π x = 5π 3 3 3
Trường hợp 3: α =
2
1 1 4t 1− t2 + m. = 1 − m ⇔ m = t 2 − 2t + = f ( t ) . 2 1+ t 1+ t2 2 2 65
13 ( L) 2 13 (t / m) 2
1 13 Vậy có duy nhất một giá trị của tham số m = − − để phương trình đã cho vô nghiệm. 2 2 Câu 169. Chọn C cos 3x − cos 2 x + m cos x −1 = 0 ⇔ 4cos3 x − 3cos x − 2cos2 x +1 + m cos x −1 = 0 cos x = 0 (1) ⇔ cos x(4 cos 2 x − 2 cos x + m − 3) = 0 ⇔ 4cos 2 x − 2cos x + m − 3 = 0 (2) π x = π π 2 Giải (1) ⇔ x = + k π . Do x ∈ − ; 2π nên 2 3π 2 x = 2 66
cos 2 x − ( 2m − 1) cos x − m + 1 = 0 ⇔ 2cos 2 x − ( 2m − 1) cos x − m = 0
π π 3π Bài toán quy về tìm m để phương trình có 5 nghiệm thuộc − ; 2π \ ; . 2 2 2
1 cos x = − ⇔ ( 2cos x + 1)( cos x − m ) = 0 ⇔ 2. cos x = m
Phương trình (2) đặt t = cos x ( t ≤ 1) phương trình trở thành 4t 2 − 2t = 3 − m (3) . Từ đường π π 3π tròn lượng lượng giác để phương trình (2) có 5 nghiệm thuộc − ; 2π \ ; thì phương 2 2 2 trình (3) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn −1 < t1 < 0 < t2 <1 0 < 3 − m ⇔ ⇔ 1 < m < 3 . Do m ∈ Z ⇒ m = 2 . 3 − m < 2
π π Phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x ∈ − ; khi và chỉ khi 0 ≤ cos x < 1 nên loại 2 2 1 cos x = − 2 π π Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x ∈ − ; khi và chỉ khi 0 ≤ m < 1 . 2 2
Câu 170. cos 2 x − ( 2m − 3 ) cos x + m − 1 = 0 ⇔ 2 cos 2 x − ( 2m − 3 ) cos x + m − 2 = 0
π 3π ⇔ ( 2 cos x − 1)( cos x + 2 − m ) = 0 ⇔ cos x + 2 − m = 0 , vì x ∈ ; 2 2 ⇔ cos x = m − 2
Ycbt ⇔ −1 ≤ m − 2 < 0 ⇔ 1 ≤ m < 2 Câu 171. cos 2 x − 5sin x + m = 0 ⇔ −2sin 2 x − 5sin x + 1 = −m (1) .
π Đặt t = sin x , x ∈ −π ; ⇒ t ∈ [ −1;1) . 2 (1) ⇔ −2t 2 − 5t + 1 = −m (*) .
π Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm x ∈ −π ; ⇔ t ∈ {−1} ∪ [ 0;1) . 2 Xét hàm số: f ( t ) = −2t 2 − 5t + 1 , t ∈ {−1} ∪ [ 0;1) . 5 33 Đồ thị của hàm số f là parabol có đỉnh I − ; . 4 8 BBT:
t
1
0
1
4
f(t)
1 6
−m = 4 m = −4 Dựa vào BBT, yêu cầu bài toán ⇔ ⇔ . m − 6 < − ≤ 1 −1 ≤ m < 6 Câu 172. Ta có 67
68
TOÁN 11
Câu 7. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món ăn, 1 loại quả tráng miệng trong 4 loại quả tráng miệng và 1 loại nước uống trong 3 loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn? B. 12 . C. 60 . D. 3 . A. 75 .
PHÉP ĐẾM – QUY TẮC CỘNG, QUY TẮC NHÂN
1D2-1
Mục lục Phần A. Câu hỏi ............................................................................................................................................................... 1 Dạng 1. Quy tắc cộng ....................................................................................................................................................... 1 Dạng 2. Quy tắc nhân ....................................................................................................................................................... 1 Dạng 3. Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân ................................................................................................................ 3 Phần B. Lời giải tham khảo .............................................................................................................................................. 4 Dạng 1. Quy tắc cộng ....................................................................................................................................................... 4 Dạng 2. Quy tắc nhân ....................................................................................................................................................... 4
Câu 8. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn văn nghệ, mỗi đội chỉ được trình diễn một vở kịch, một điệu múa và một bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau? A. 11. B. 36. C. 25. D. 18. Câu 9. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường cùng Bình (như hình vẽ dưới đây và không có con đường nào khác)?
Dạng 3. Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân ................................................................................................................ 7
A. 24 .
Phần A. Câu hỏi Dạng 1. Quy tắc cộng Câu 1. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật. A. 20 . B. 11 . C. 30 . D. 10 . Câu 2. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Có 3 cây bút đỏ, 4 cây bút xanh trong một hộp bút. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một cây bút từ hộp bút? B. 12 . C. 3 . D. 4 . A. 7 . Câu 3. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Thầy giáo chủ nhiệm có 10 quyển sách khác nhau và 8 quyển vở khác nhau. Thầy chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau? A. 10. B. 8. C. 80. D. 18 . Câu 4. Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một học sinh đi dự trại hè của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? A. 45 B. 500 C. 25 D. 5. Dạng 2. Quy tắc nhân Câu 5. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Có 10 cái bút khác nhau và 8 quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn 1 cái bút và 1 quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn? A. 80 . B. 60 . C. 90 . D. 70 . Câu 6. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Một hộp đựng 5 bi đỏ và 4 bi xanh. Có bao nhiêu cách lấy 2 bi có đủ cả 2 màu? A. 20 . B. 16 . C. 9 . D. 36 .
1
B. 10 .
C. 16 .
D. 36 .
Câu 10. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Bạn Công muốn mua một chiếc áo mới và một chiếc quần mới để đi dự sinh nhật bạn mình. Ở cửa hàng có 12 chiếc áo khác nhau, quần có 15 chiếc khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bộ quần và áo? A. 27 . B. 180 . C. 12 . D. 15 . Câu 11. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Một người vào một cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn 1 món ăn trong 5 món khác nhau, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác nhau, 1 loại đồ uống trong 3 loại đồ uống khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn một thực đơn? A. 100. B. 13. C. 75. D. 25. Câu 12. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A, B , C , D , E vào 1 chiếc ghế dài sao cho bạn A ngồi chính giữa? A. 120 . B. 256 . C. 24 . D. 32 . Câu 13. lẻ?
(SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều A. 25 .
B. 20 .
C. 50 .
D. 10 .
Câu 14. Bạn Anh muốn qua nhà bạn Bình để rủ Bình đến nhà bạn Châu chơi. Từ nhà Anh đến nhà Bình có 3 con đường. Từ nhà Bình đến nhà Châu có 5 con đường. Hỏi bạn Anh có bao nhiêu cách chọn đường đi từ nhà mình đến nhà bạn Châu. A. 8. . B. 4. . C. 15. D. 6. Câu 15. (Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Một lớp học có 15 bạn nam và 10 bạn nữ. Số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ là A. 300 . B. 25 . C. 150 . D. 50 . Câu 16. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Để giải một bài tập ta cần phải giải hai bài tập nhỏ. Bài tập 1 có 9 cách giải, bài tập 2 có 5 cách giải. Số các cách để giải hoàn thành bài tập trên là: A. 3 . B. 45 . C. 5 . D. 12 . Câu 17. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho các số 1, 2, 4,5,7 . Có bao nhiêu cách chọn ra một số chẵn gồm ba chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho? A. 120 . B. 24 . C. 36 . D. 256 . 2
Câu 18. Một tổ gồm n học sinh, biết rằng có 210 cách chọn 3 học sinh trong tổ để làm ba việc khác nhau. Số n thỏa mãn hệ thức nào dưới đây? A. n( n − 1)(n − 2) = 420 . B. n( n + 1)( n + 2) = 420 . C. n( n + 1)(n + 2) = 210 . D. n( n − 1)(n − 2) = 210 . Câu 19. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số các số tự nhiên có 2 chữ số mà hai chữ số đó là số chẵn là A. 18. B. 16. C. 15. D. 20. Câu 20. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có bao nhiêu số có 3 chữ số được lập từ 6 chữ số đó? B. 36 . C. 256 . D. 18 . A. 216 . Câu 21. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Một bài trắc nghiệm khách quan có 10 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời. Có bao nhiêu phương án trả lời? B. 40. C. 104. D. 4. A. 410. Câu 22. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Có sáu quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, năm quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và bảy quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 7. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra ba quả cầu vừa khác màu vừa khác số? A. 64 . B. 210 . C. 120 . D. 125 . Câu 23. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây? A. 16 . B. 4 . C. 7 . D. 12 .
A. 29 .
Câu 26. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số? A. 210 . B. 105 . C. 168 . D. 145 . Câu 27.
D. 35 .
Câu 36. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Một hộp chứa 16 quả cầu gồm sáu quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6 , năm quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và năm quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 5 . Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra từ hộp đó 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số. A. 72 . B. 150 . C. 60 . D. 80 . Phần B. Lời giải tham khảo Câu 1. Câu 2.
Câu 3.
(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho tập A = {0;1; 2;3; 4;5;6} từ tập A
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chia hết cho 2 ? B. 1230 . C. 1260 . D. 2880 . A. 8232 . Câu 28. (SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU - 2018) Số các số tự nhiên chẵn, gồm bốn chữ số khác nhau đôi một và không tận cùng bằng 0 là : A. 504 . B. 1792 . C. 953088 . D. 2296 .
C. 18 .
Câu 34. Một người có 7 cái áo trong đó có 3 cái áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có 2 cà vạt vàng. Tìm số cách chọn một áo và một cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt vàng. A. 29 . B. 36. C. 18. D. 35. Câu 35. (Phát triển đề minh hoạ 2019-Đề 8) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau sao cho tổng 2 chữ số cách đều chữ số đứng giữa là bằng nhau và bằng 5? A. 120 . B. 20 . C. 144 . D. 24 .
Câu 24. Một đoàn tàu có bốn toa đỗ ở ga. Có bốn hành khách bước lên tàu. Số trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa của bốn khách là: A. 232 . B. 256 . C. 1. D. 24 . Câu 25. Có 7 bông hồng đỏ, 8 bông hồng vàng và 10 bông hồng trắng, các bông hồng khác nhau từng đôi một. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 bông hồng có đủ ba màu. A. 319. B. 3014. C. 310. D. 560
B. 36 .
Câu 31. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Từ tập X = {0;1; 2; 3; 4;5} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau mà số đó chia hết cho 5? A. 4 . B. 16 . C. 20 . D. 36 . Câu 32. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Đội tuyển học sinh giỏi Toán gồm 10 em: 5 nam và 5 nữ. Muốn chọn ra 1 tổ trưởng, 1 tổ phó và 1 thư ký, trong đó tổ trưởng tổ phó phải là hai người khác giới. Số cách chọn là: A. 400 . B. 380 . C. 360 . D. 420 . Câu 33. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018)Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau? A. 500. B. 328. C. 360. D. 405.
Câu 4.
Câu 29. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu sỗ chẵn gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? Câu trả lời nào đúng? A. 40000 số. B. 38000 số. C. 44000 số. D. 42000 số. Dạng 3. Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân
Dạng 1. Quy tắc cộng Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ 11 học sinh, ta có 11 cách chọn. Chọn A Số cách lấy ra 1 cây bút là màu đỏ có 3 cách. Số cách lấy ra 1 cây bút là màu xanh có 4 cách. Theo quy tắc cộng, số cách lấy ra 1 cây bút từ hộp bút là: 3 + 4 = 7 cách. Vậy có 7 cách lấy 1 cây bút từ hộp bút. Chọn đáp án A. Chọn D Chọn một quyển sách có 10 cách chọn. Chọn một quyển vở có 8 cách chọn. Áp dụng quy tắc cộng có 18 cách chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi. Chọn A Bước 1: Với bài toán a thì ta thấy cô giáo có thể có hai phương án để chọn học sinh đi thi: Bước 2: Đếm số cách chọn. ∗ Phương án 1: chọn 1 học sinh đi dự trại hè của trường thì có 25 cách chọn. ∗ Phương án 2: chọn học sinh nữ đi dự trại hè của trường thì có 20 cách chọn. Bước 3: Áp dụng quy tắc cộng. Vậy có 20 + 25 = 45 cách chọn. Dạng 2. Quy tắc nhân
Câu 30. Một người có 7 chiếc áo trong đó có 3 chiếc áo trắng và 5 chiếc cà vạt trong đó có 2 chiếc cà vạt màu vàng. Tìm số cách chọn một chiếc áo và một chiếc cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng. 3
Câu 5.
Số cách chọn 1 cái bút có 10 cách, số cách chọn 1 quyển sách có 8 cách. Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn 1 cái bút và 1 quyển sách là: 10.8 = 80 cách. 4
Câu 6. Câu 7. Câu 8.
Câu 9.
Câu 10.
Câu 11.
Câu 12.
Câu 13.
Lấy 1 bi đỏ có 5 cách. Lấy 1 bi xanh có 4 cách. Theo quy tắc nhân, số cách lấy 2 bi có đủ cả 2 màu là 5.4 = 20 cách. Có 5 cách chọn 1 món ăn trong 5 món ăn, 4 cách chọn 1 loại quả tráng miệng trong 4 loại quả tráng miệng và 3 cách chọn 1 loại nước uống trong 3 loại nước uống. Theo quy tắc nhân có 5.4.3 = 60 cách chọn thực đơn. Chọn B Đội văn nghệ trên có 2 cách chọn trình diễn một vở kịch, có 3 cách chọn trình diễn một điệu múa, có 6 cách chọn trình diễn một bài hát. Theo quy tắc nhân, đội văn nghệ trên có 2.3.6 = 36 cách chọn chương trình diễn. Chọn A Chọn đường đi từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách chọn. Chọn đường đi từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân có 4.6 = 24 cách cho An chọn đường đi đến nhà Cường cùng Bình. Chọn B Số cách bạn Công chọn một chiếc áo mới là: 12 cách. Số cách bạn Công chọn một chiếc quần mới là: 15 cách. Theo quy tắc nhân, bạn Công có 12.15 = 180 cách để chọn một bộ quần và áo. Chọn C Người đó chọn 1 món ăn trong 5 món khác nhau có 5 cách. Người đó chọn 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác nhau có 5 cách. Người đó chọn 1 loại đồ uống trong 3 loại đồ uống khác nhau có 3 cách. Áp dụng quy tắc nhân ta có 5.5.3 = 75 cách. Chọn C Xếp bạn A ngồi chính giữa: có 1 cách. Khi đó xếp 4 bạn B , C , D, E vào 4 vị trí còn lại, có 4! = 24 cách. Vậy có tất cả 24 cách xếp. Gọi số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ là ab . Số cách hữ số a là 5 cách. Số cách hữ số b là 5 cách. Vậy có 5.5 = 25 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 14.
Áp dụng quy tắc nhân ta có 2.4.3 = 24 số. Chọn D Chọn một học sinh để làm việc thứ nhất, có n cách chọn. Chọn một học sinh để làm việc thứ hai có n − 1 cách chọn. Chọn một học sinh để làm việc thứ ba có n − 2 cách chọn. Do đó có n( n − 1)( n − 2) = 210 cách chọn. Vậy chọn D. Câu 19. Chọn D Giả sử số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: ab . - Chọn a có 4 cách: a ∈ {2; 4;6;8} . Câu 18.
Câu 20.
Câu 21. Câu 22.
Câu 23.
Câu 24. Câu 25.
Chọn C Từ nhà Anh đến nhà Bình có 3 cách chọn 1 con đường. Từ nhà bạn Bình đến nhà Châu có 5 cách chọn 1 con đường. Theo quy tắc nhân, số cách chọn đường đi từ nhà Anh đến nhà Châu là 5.3 = 15 . Câu 15. Chọn C Số cách chọn một bạn nam là 15 cách. Số cách chọn một bạn nữ là 10 cách. Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ là 15.10 = 150 cách. Câu 16. Chọn B Sô cách giải bài toán 1: 9 cách Số cách giải bài toán 2 : 5 cách Áp dụng quy tắc nhân: 9 × 5 = 45 cách Câu 17. Chọn B Gọi số cần tìm là abc . + Chọn c : có 2 cách. + Chọn a : có 4 cách. + Chọn b : có 3 cách.
Câu 26.
- Chọn b có 5 cách: b ∈ {0; 2; 4;6;8} . Vậy có tất cả: 4.5 = 20 số tự nhiên có 2 chữ số mà hai chữ số đó là số chẵn. Chọn A Trong 6 chữ số đã cho không có chữ số 0, số có 3 chữ số không yêu cầu khác nhau nên mỗi chữ số đều có 6 cách chọn, do đó số các số thỏa mãn 63 = 216 . Chọn A Mỗi câu hỏi có 4 cách chọn phương án trả lời. Mười câu hỏi sẽ có số cách chọn phương án trả lời là 410 . Chọn D +) Chọn 1 quả màu đỏ có 5 cách. +) Chọn 1 quả màu xanh khác số với quả màu đỏ có 5 cách. +) Chọn 1 quả màu vàng khác số với quả màu đỏ và quả màu xanh có 5 cách. Vậy số cách lấ y ra 3 quả cầu vừa khác màu, vừa khác số là: 5.5.5 = 125 . Chọn D Chọn 1 kiểu mặt từ 3 kiểu mặt có 3 cách. Chọn 1 kiểu dây từ 4 kiểu dây có 4 cách Vậy theo quy tắc nhân có 12 cách chọn 1 chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây. Chọn B Mỗi hành khách có 4 cách chọn toa. ⇒ Số trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa của bốn khách là: 4.4.4.4 = 4 4 = 256 . Chọn D - Có 3 loại hoa khác nhau, chọn 3 bông đủ ba mầu nên dùng quy tắc nhân. - Chọn một bông hồng đỏ có 7 cách. - Chọn một bông hồng vàng có 8 cách. - Chọn một bông hồng trắng có 10 cách. - Theo quy tắc nhân có 560 cách • Gọi số có ba chữ số cần tìm là n = abc , với a ≠ 0 và c là số chẵn chọn từ các số đã cho.
• a ≠ 0 nên có 6 cách chọn, c chẵn nên có 4 cách chọn và b tùy ý nên có 7 cách chọn. • Vậ y số các số cần tìm là 6.4.7 = 168 . Câu 27.
Gọi số có 5 chữ số cần tìm là x = a1a2 a3 a4 a5 ; a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ∈ A; a1 ≠ 0; a5 ∈ {0; 2; 4; 6} . Công việc thành lập số x được chia thành các bước: - Chọn chữ số a1 có 6 lựa chọn vì khác 0 . - Chọn các chữ số a2 , a3 , a4 , mỗi chữ số có 7 lựa chọn. - Chọn chữ số a5 có 4 lựa chọn vì số tạo thành chia hết cho 2 . Số số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 6.73.4 = 8232 (số).
5
6
Câu 28.
Gọi số ần tìm là abcd Có 4 cách chọn d , 8 cách chọn a , 8 cách chọn b và 7 cách chọn c . Vậy có tất cả : 4.8.8.7 = 1792 (số) Câu 29. Gọi số có 6 chữ số đó là abcdef . Vì a lẻ nên a ∈ {1;3; 5; 7; 9} , vậy a có 5 lựa chọn. Vì f chẵn nên f ∈ {0; 2; 4; 6;8} , vậy f có 5 lựa chọn. Tiếp theo b có 8 lựa chọn, c có 7 lựa chọn, d có 6 lựa chọn, e có 5 lựa chọn. Vậy có tất cả 5.5.8.7.6.5 = 42000 số thỏa mãn.
Câu 30.
Dạng 3. Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân Chọn A Số cách chọn một chiếc áo và một chiếc cà vạt sao cho áo màu trắng và cà vạt không phải màu vàng là 3.3 = 9 Số cách chọn một chiếc áo và một chiếc cà vạt sao cho áo không phải màu trắng và cà vạt bất kì trong 5 cà vạt là 4.5 = 20
Số cách chọn một chiếc áo và một chiếc cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng là 9 + 20 = 29 Câu 31. Chọn D * Th1: Số cần tìm có dạng ab 0 : có A52 = 20 số. * Th2: Số cần tìm có dạng ab 5 : có 4.4 = 16 số. Vậy có: 20 + 16 = 36 số thỏa yêu cầu đề bài. Câu 32. TH1: Chọn 1 tổ trưởng là nam, 1 tổ phó là nữ và 1 thư ký ⇒ có 5.5.8 = 200 cách. TH2: Chọn 1 tổ trưởng là nữ, 1 tổ phó là nam và 1 thư ký ⇒ có 5.5.8 = 200 cách. ⇒ có 200 + 200 = 400 cách. Câu 33. Gọi số cần lập có dạng: a1a2 a3 ai ∈ {0;1; 2;...; 9} ; ai ≠ ai ; ∀i ≠ j,a1 ≠ 0 . Xảy ra 2 trường hợp a 3 = 0 có 1.9.8 = 72 số. +) Trường hợp 1: a 2 ≠ a 3 a ≠ a ; a ≠ a 2 1 3 1 a 3 ∈ {2; 4;6;8} +) Trường hợp 2: a1 ≠ a 3 ;a1 ≠ 0 có 4.8.8 = 256 số. a ≠ a ;a ≠ a 3 2 1 2 Kết quả: Có 72 + 256 = 328 số thỏa mãn yêu cầu. Câu 34. Chọn A Cách 1: Trường hợp 1: Chọn 1 áo trắng có 3 cách. Chọn 1 cà vạt không phải màu vàng có 3 cách. Do đó có 3.3 = 9 cách chọn 1 áo trắng và 1 cà vạt không phải màu vàng. Trường hợp 2: Chọn 1 áo không phải màu trắng có 4 cách. Chọn 1 cà vạt bất kỳ có 5 cách. Do đó có 4.5 = 20 cách chọn 1 áo không phải màu trắng và 1 cà vạt bất kỳ. Theo quy tắc cộng, ta có 9 + 20 = 29 cách chọn 1 áo và 1 cà vạt thỏa yêu cầu đề. Cách 2: Số cách chọn ra 1 áo và 1 cà vạt bất kỳ là: 7.5 = 35 cách. Số cách chọn ra 1 áo trắng và 1 cà vạt vàng là: 3.2 = 6 cách. 7
Câu 35.
Vậy ta có 35 − 6 = 29 cách chọn 1 áo và 1 cà vạt thỏa yêu cầu đề. Chọn A. Có 3 cặp số tổng bằng 5 : ( 0;5) , (1; 4 ) , ( 2;3) . Gọi số có 5 chữ số là abcde , ( a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ e; a + e = b + d = 5) . TH1: ( a bất kỳ) Có 3 cách chọn cặp số cho ( a; e ) , 2 cách chọn cặp số cho ( b; d ) , mỗi cặp số hoán vị với nhau nên có 3.2.2.2 cách xếp. Có 6 cách chọn số cho c . Nên có 3.2.2.2.6 = 144 cách xếp. TH2: ( a = 0 ) nên e = 5 . Có 2 cách chọn cặp số cho ( b; d ) và hoán vị b, d .
Có 6 cách chọn số cho c Nên có 2.2.6 =24 cách. Vậy có 144 – 24 = 120 số. Câu 36. Kí hiệu các quả cầu như hình vẽ.
TH1: Có quả xanh X6. Bước 1: Lấy quả X6 có 1 cách. Bước 2: Lấy 1 quả đỏ có 5 cách. Bước 3: Lấy 1 quả vàng có 4 cách. (vì khác số với quả đỏ). Vậy có 1.5.4 = 20 (cách). TH2: Không có quả xanh X6. Bước 1: Lấy quả xanh có 5 cách. Bước 2: Lấy 1 quả đỏ có 4 cách. (vì khác số với quả xanh). Bước 3: Lấy 1 quả vàng có 3 cách. (vì khác số với quả xanh, đỏ). Vậy có 5.4.3 = 60 (cách). Vậy có 80 (cách).
8
TOÁN 11
Dạng 2.2 Bài toán chọn người (vật) ........................................................................................................................ 41
HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
1D2-2
Dạng 2.3 Bài toán liên quan đến hình học.................................................................................................................. 43 Dạng 3. Giải phương trình, bất phương trình, hệ liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp .......................................... 43
Contents Phần A. Câu hỏi .............................................................................................................................................................. 2 Dạng 1. Bài toán chỉ sử dụng P hoặc C hoặc A ............................................................................................................... 2 Dạng 1.1 Chỉ sử dụng P................................................................................................................................................ 2
Phần A. Câu hỏi
Dạng 1.1.1 Bài toán đếm số ..................................................................................................................................... 2
Dạng 1. Bài toán chỉ sử dụng P hoặc C hoặc A Dạng 1.1 Chỉ sử dụng P Dạng 1.1.1 Bài toán đếm số
Dạng 1.1.2 Bài toán chọn người (vật) ...................................................................................................................... 3 Dạng 1.2 Chỉ sử dụng C ............................................................................................................................................... 4 Dạng 1.2.1 Bài toán đếm số (tập số, tập hợp) .......................................................................................................... 4 Dạng 1.2.2 Bài toán chọn người (vật) ...................................................................................................................... 5
Câu 1.
(THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Từ các chữ số 2,3, 4,5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau? A. 256 . B. 720 . C. 120 . D. 24 .
Câu 2.
(SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Cho các số 1 , 5 , 6 , 7 . Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã cho. A. 64 . B. 24 . C. 256 . D. 12 . (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho A = {1, 2,3, 4} . Từ A lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau? A. 32 . B. 24 . C. 256 . D. 18 .
Dạng 1.2.3 Bài toán liên quan đến hình học............................................................................................................. 9 Dạng 1.3 Chỉ sử dụng A ............................................................................................................................................. 12 Dạng 1.3.1 Bài toán đếm số (tập số, tập hợp) ........................................................................................................ 12 Dạng 1.3.2 Bài toán chọn người (vật) .................................................................................................................... 14 Dạng 1.3.3 Bài toán liên quan đến hình học........................................................................................................... 15
Câu 3.
Dạng 2. Bài toán kết hợp hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp ..................................................................................................... 15 Dạng 2.1 Bài toán đếm số (tập số) ............................................................................................................................. 15 Dạng 2.2 Bài toán chọn người (vật) ........................................................................................................................... 16
Câu 4.
(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau: B. 720 . C. 16 . D. 24 . A. 120 .
Câu 5.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Từ các số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một? A. 60 . B. 120 . C. 24 . D. 48 . (THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) Cho tập hợp X gồm 10 phần tử. Số các hoán vị của 10 phần tử của tập hợp X là A. 10! . B. 10 2 . C. 210 . D. 1010 .
Dạng 2.3 Bài toán liên quan đến hình học.................................................................................................................. 17 Dạng 3. Giải phương trình, bất phương trình, hệ liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp .......................................... 18 Phần B. Lời giải tham khảo ......................................................................................................................................... 21 Dạng 1. Bài toán chỉ sử dụng P hoặc C hoặc A ............................................................................................................. 21
Câu 6.
Dạng 1.1 Chỉ sử dụng P.............................................................................................................................................. 21 Dạng 1.1.1 Bài toán đếm số ................................................................................................................................... 21 Dạng 1.1.2 Bài toán chọn người (vật) .................................................................................................................... 23
Câu 7.
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số các số có 6 chữ số khác nhau không bắt đầu bởi 12 được lập từ 1; 2; 3; 4; 5; 6 là B. 966 . C. 696 . D. 669 . A. 720 .
Câu 8.
(ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Từ các chữ số 0 , 2 , 3 , 5 , 6 , 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau. A. 384 . B. 120 . C. 216 . D. 600 .
Câu 9.
(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Cho các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số và các chữ số đôi một bất kỳ khác nhau. A. 160 . B. 156 . C. 752 . D. 240 .
Câu 10.
(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Xếp 6 chữ số 1, 1, 2 , 2 , 3 , 4 thành hàng ngang sao cho hai chữ số giống nhau thì không xếp cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách A. 120 cách. B. 96 cách. C. 180 cách. D. 84 cách.
Dạng 1.2 Chỉ sử dụng C ............................................................................................................................................. 24 Dạng 1.2.1 Bài toán đếm số (tập số, tập hợp) ........................................................................................................ 24 Dạng 1.2.2 Bài toán chọn người (vật) .................................................................................................................... 25 Dạng 1.2.3 Bài toán liên quan đến hình học........................................................................................................... 30 Dạng 1.3 Chỉ sử dụng A ............................................................................................................................................. 34 Dạng 1.3.1 Bài toán đếm số (tập số, tập hợp) ........................................................................................................ 34 Dạng 1.3.2 Bài toán chọn người (vật) .................................................................................................................... 38 Dạng 1.3.3 Bài toán liên quan đến hình học........................................................................................................... 38 Dạng 2. Bài toán kết hợp hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp ..................................................................................................... 38 Dạng 2.1 Bài toán đếm số (tập số) ............................................................................................................................. 38 1
2
Câu 11.
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ? A. 320 . B. 144 . C. 180 . D. 60 . Câu 12. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị A. 32 . B. 72 . C. 36 . D. 24 . Câu 13. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 5, 6, 7,8,9. Tính tổng tất cả các số thuộc tâp S . A. 9333420. B. 46666200. C. 9333240. D. 46666240. Dạng 1.1.2 Bài toán chọn người (vật) Câu 14.
(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc? A. 55 . B. 5! . C. 4! . D. 5 .
Câu 15.
(THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - 2018) Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một bàn dài là A. 120 . B. 24 . C. 5 . D. 1 . Câu 16. Có bao nhiêu các sắp xếp 10 bạn học sinh thành một hàng ngang ? 1 B. C101 . C. A10 . D. C1010 . A. P10 . Câu 17.
(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Ban chấp hành chi đoàn lớp 11D có bạn An, Bình, Công. Hỏi có bao nhiêu cách phân công các bạn này vào các chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà không bạn nào kiêm nhiệm? A. 2 . B. 3 . C. 6 . D. 9 .
Câu 18.
(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Có tất cả bao nhiêu cách xếp 6 quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách? B. 65 C. 6! D. 66 A. 5!
Câu 19.
(HKI-Chu Văn An-2017) Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 tại một điểm thi có 5 sinh viên tình nguyện được phân công trục hướng dẫn thí sinh ở 5 vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng 1 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho 5 người đó? B. 625 . C. 3125 D. 80 . A. 120 .
Câu 20.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2017 tại một Điểm thi có 5 sinh viên tình nguyện được phân công trực hướng dẫn thi sinh ở 5 vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng 1 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho 5 người đó? A. 625 . B. 3125 . C. 120 . D. 80 .
Câu 21.
(Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Có một con mèo vàng, 1 con mèo đen, 1 con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím. Xếp 6 con mèo thành hàng ngang vào 6 cái ghế, mỗi ghế một con. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ sao cho mèo vàng và mèo đen ở cạnh nhau. A. 720 . B. 120 . C. 144 . D. 240 .
Câu 22.
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Tính số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau. A. 10! . B. 7!× 4!. C. 6!× 4!. D. 6!× 5!.
Câu 23.
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau? A. 30240 cách. B. 720 cách. C. 362880 cách. D. 1440 cách.
Câu 24.
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hai dãy ghế được xếp như sau: 3
Xếp 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào hai dãy ghế trên. Hai người được gọi là ngồi đối diện nhau nếu ngồi ở hai dãy và có cùng vị trí ghế (số ở ghế). Số cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ bằng A. 4!.4!.2 4 . B. 4!.4! . C. 4!.2 . D. 4!.4!.2 . Câu 25.
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau? A. 24 . B. 72 . C. 12 . D. 48 .
Câu 26.
(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Một nhóm học sinh gồm 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9 học sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ? A. 5760 . B. 2880 . C. 120 . D. 362880 . Câu 27. Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các viên bi trên thành dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? A. 345600 . B. 518400 . C. 725760 . D. 103680 .
Câu 28.
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau? A. 5!.8! . B. 5!.7!. C. 2.5!.7! . D. 12! .
Câu 29.
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ? B. 144 . C. 720 . D. 72 . A. 6 . Dạng 1.2 Chỉ sử dụng C Dạng 1.2.1 Bài toán đếm số (tập số, tập hợp)
Câu 30.
(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của M là A. C102 B. 10 2 C. A108 D. A102
Câu 31.
(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của M là A. A304 . B. 305 . C. 305 . D. C305 .
Câu 32.
(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là 7! B. . C. A73 . D. 21 . 3!
A. C73 . Câu 33.
(THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho tập hợp M = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} . Số tập con gồm 3 phần tử của M không có số 0 là: A. A103 . B. A93 . C. C103 . D. C93 . Câu 34. (LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của M là A. C305 . B. A305 . C. 305 . D. A304 . Câu 35.
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử được lấ y ra từ tập A = {a; b; c; d ; e; f } ? 4
A. 10 .
B. 80 .
C. 40 .
D. 20 .
Câu 50.
Câu 36.
(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Cho tập M gồm 10 phần tử. Số tập con gồm 4 phần tử của M là A. 40 . B. A104 . C. C104 . D. 10 4 .
Câu 37.
(HKI-Chu Văn An-2017) Cho tập hợp E có 10 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có 8 phần tử của tập hợp E ? A. 100 . B. 80 . C. 45 . D. 90 .
Câu 38.
(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho tập A gồm 12 phần tử. Số tập con có 4 phần tử của tập A là A. A128 . B. C124 . C. 4! . D. A124 .
Câu 39.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho tập hợp E có 10 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có 8 phần tử của tập hợp E ? A. 100 . B. 90 . C. 45 . D. 80 .
Câu 40.
(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng abc với a , b , c ∈{0;1; 2;3; 4;5;6} sao cho a < b < c .
A. 120 . B. 30 . C. 40 . D. 20 . Câu 41. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Từ các chữ số 2 , 3 , 4 lập được bao nhiêu s ố t ự nhiên có 9 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 4 lần? A. 1260 . B. 40320 . C. 120 . D. 1728 . Câu 42.
(CTN - LẦN 1 - 2018) Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục? A. 48 . B. 72 . C. 54 . D. 36 .
Câu 43.
(ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 - 2018) Từ các chữ số 0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 , hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 4 chữ số khác nhau mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đằng trước? A. 4536 . B. 2513 . C. 126 . D. 3913 . Dạng 1.2.2 Bài toán chọn người (vật)
Câu 53.
(SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Một hộp đựng hai viên bi màu vàng và ba viên bi màu đỏ. Có bao nhiêu cách lấ y ra hai viên bi trong hộp? A. 10 . B. 20 . C. 5 . D. 6 .
Câu 54.
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên? A. 2300. B. 59280. C. 455 D. 9880.
Câu 55.
(HKI-Chu Văn An-2017) Một hộp đựng 50 viên bi gồm 10 viên bi màu trắng, 25 viên bi màu đỏ và 15 viên bi màu xanh. Có bao nhiêu cách chọn 8 viên bi trong hộp đó mà không có viên bi nào màu xanh? 8 8 8 A. C50 . B. C108 + C25 . C. C35 . D. C508 − C158 .
Câu 56.
(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Số cách phân 3 học sinh trong 12 học sinh đi lao động là A. P 12 . B. 36 . C. A123 . D. C123 . Câu 57. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Có tất cả bao nhiêu cách chia 10 người thành hai nhóm, một nhóm có 6 người và một nhóm có 4 người? A. 210 . B. 120 . C. 100 . D. 140 . Câu 58. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Số cách chia 12 phần quà cho 3 bạn sao cho ai cũng có ít nhất hai phần quà là A. 28 . B. 36 . C. 56 . D. 72 . Câu 59. Từ một nhóm có 10 học sinh nam và 8 học sinh nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ? A. C103 C82 . B. A103 A82 . C. A103 + A82 . D. C103 + C82 .
Câu 44.
(Mã 102 - BGD - 2019) Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là 5 A. 2 . B. C52 . C. A52 . D. 52 . Câu 45. (Mã 103 - BGD - 2019) Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là A. A62 . B. C62 . C. 2 6 . D. 6 2 . Câu 46. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là A. 27 . B. A72 . C. C 72 . D. 7 2 . Câu 47.
(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm 38 học sinh? B. C382 C. 382 D. A382 A. 238 Câu 48. (Mã đề 101-THPTQG 2018) Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh? A. 234 . B. A342 . C. 342 . D. C342 .
Câu 49.
(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của M là A. C102 B. 10 2 C. A108 D. A102 Câu 51. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Một lớp có 48 học sinh. Số cách chọn 2 học sinh trực nhật là A. 2256 . B. 2304 . C. 1128 . D. 96 . Câu 52. (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Cần phân công ba bạn từ một tổ có 10 bạn để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau? A. 720 . B. 103 . C. 120 . D. 210 .
(THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm 38 học sinh? A. A382 . B. 238 . C. C382 . D. 382 . 5
Câu 60.
(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Một nhóm có 6 học sinh gồm 4 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó có cả nam và nữ. B. 16 . C. 20 . D. 32 . A. 6 .
Câu 61.
(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Từ một tập gồm 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lí thuyết và 6 câu bài tập, người ta tạo thành các đề thi. Biết rằng một đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất một câu lí thuyết và 1 câu bài tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề khác nhau. A. 100 . B. 36 . C. 96 . D. 60 .
Câu 62.
(Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân. Có bao nhiêu cách lập từ đó một tổ công tác 5 người gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên: A. 420 cách. B. 120 cách. C. 252 cách. D. 360 cách.
Câu 63.
(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu 1 quả). Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau? 6
Câu 75.
(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Đội ca khúc chính trị của trường THPT Yên lạc 2 gồm có 4 học sinh khối 12 , có 3 học sinh khối 11 và 2 học sinh khối 10 . Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh để biểu diễn tiết mục văn nghệ chào mừng ngày 20 /11. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho khối nào cũng có học sinh được chọn. A. 102. B. 126. C. 100. D. 98.
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người trong đó có ít nhất 1 nữ. Số cách chọn là A. 48 . B. 46 . C. 15 . D. 64 .
Câu 76.
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu. Số cách chọn là: A. 840 B. 3843 C. 2170 D. 3003
Câu 66.
(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Một lớp học có 30 học sinh gồm 20 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 3 học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 1 học sinh là nữ. A. 1140 . B. 2920 . C. 1900 . D. 900 .
Câu 77.
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Từ 20 câu trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó.người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra? A. 176451. B. 176465 . C. 176415 . D. 6415 .
Câu 67.
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Một hộp chứa 20 quả cầu khác nhau trong đó có 12 quả đỏ, 8 quả xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấ y được 3 quả trong đó có ít nhất 1 quả xanh? B. 220 . C. 900 . D. 920 . A. Đáp án khác.
Câu 78.
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Đội thanh niên xung kích của một trường trung học phổ thông có 10 người, gồm 4 học sinh lớp A , 3 học sinh lớp B , 3 học sinh lớp C . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh đi làm nhiệm vụ mà số học sinh lớp B bằng số học sinh lớp C ? A. 36. B. 72. C. 144. D. 108.
Câu 68.
(THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Từ một tập gồm 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập, người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong một đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 câu hỏi bài tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề như trên? A. 60 . B. 96 . C. 36 . D. 100 .
Câu 79.
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách lập ra một đội văn nghệ gồm 6 người, trong đó có ít nhất 4 nam? A. 412.803. B. 2.783.638. C. 5.608.890. D. 763.806.
Câu 80.
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Một bó hoa có 14 bông hoa gồm: 3 bông màu hồng, 5 bông màu xanh còn lại là màu vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 7 bông trong đó phải có đủ ba màu? A. 3058 . B. 3060 . C. 3432 . D. 129 .
Câu 81.
(ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Một hộp đựng 26 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 26 . Bạn Hải rút ngẫu nhiên cùng lúc 3 tấm thẻ. Hỏi có bao nhiêu cách rút sao cho bất kì hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất hai đơn vị. A. 1771. B. 1350 . C. 1768 . D. 2024 .
Câu 82.
(THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Trong một buổi khiêu vũ có 20 nam và 18 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi nam nữ để khiêu vũ? 1 1 A. C382 . B. A382 . C. C202 C181 . D. C20 . C18
(HKI-Chu Văn An-2017) Một hộp chứa 16 quả cầu gồm sáu quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6 , năm quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và năm quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 5 . Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra từ hộp đó ba quả cầu vừa khác màu vừa khác số? A. 60 . B. 72 . C. 150 . D. 80 .
Câu 83.
(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Một nhóm gồm 6 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ đó ra 3 học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam. A. 245 . B. 3480 . C. 336 . D. 251 .
(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Trong hộp có 5 quả cầu đỏ và 7 quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấ y ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp. Hỏi có bao nhiêu khả năng lấy được số quả cầu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh. A. 245 . B. 3480 . C. 246 . D. 3360 .
Câu 84.
(THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Có 10 quyển sách toán giống nhau, 11 quyển sách lý giống nhau và 9 quyển sách hóa giống nhau. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng cho 15 học sinh có kết quả thi cao nhất của khối A trong kì thi thử lần hai của trường THPT Lục Ngạn số 1, biết mỗi phần thưởng là hai quyển sách khác loại? A. C157 C93 . B. C156 C94 . C. C153 C94 . D. C302 .
(SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - 2018) Một trường cấp 3 của tỉnh Đồng Tháp có 8 giáo viên Toán gồm có 3 nữ và 5 nam, giáo viên Vật lý thì có 4 giáo viên nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đoàn thanh tra công tác ôn thi THPTQG gồm 3 người có đủ 2 môn Toán và Vật lý và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn? A. 60 (cách). B. 120 (cách). C. 12960 (cách). D. 90 (cách).
Câu 85.
(THPT THUẬN THÀNH 1) Có 6 học sinh lớp 12, 5 học sinh lớp 11 và 4 học sinh lớp 10. Số cách chọn ra ra 4 học sinh có đủ cả ba khối là A. 1365. B. 720. C. 280. D. 120.
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn? A. 120 . B. 98 . C. 150 . D. 360 .
7
8
A. 120 .
B. 1260 .
C. 9 .
D. 24 .
Câu 64.
(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Tại một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự, mỗi ông bắt tay với một người trừ vợ mình, các bà không ai bắt tay nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay. A. 234 . B. 312 . C. 78 . D. 185 .
Câu 65.
Câu 69.
Câu 70.
Câu 71.
Câu 72.
Câu 73.
Câu 74.
(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Ngân hàng đề thi gồm 15 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và 8 câu hỏi tự luận khác nhau. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề thi sao cho mỗi đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và 4 câu hỏi tự luận khác nhau. 10 10 . A84 . A. C1510 .C84 . B. C15 C. A15 D. A1510 + A84 . + C84 . (HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 4 em trực cờ đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu ít nhất phải có một nam? 1 A. C404 − C154 (cách). B. C254 (cách). C. C25 D. C404 + C154 (cách). C153 (cách).
Câu 86.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Trong kho đèn trang trí đang còn 5 bóng đèn loại I, 7 bóng đèn loại II, các bóng đèn đều khác nhau về màu sắc và hình dáng. Lấy ra 5 bóng đèn bất kỳ. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II? A. 246 . B. 3480 . C. 245 . D. 3360 .
Câu 87.
(THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho có một người được 2 đồ vật và hai người còn lại mỗi người được ba đồ vật? A. 3!C82C63 . B. C82C63 . C. A82 A63 . D. 3C82C63 .
Câu 88.
(THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là? A. 545 . B. 462 . C. 455 . D. 456 .
Câu 89.
Câu 90.
(LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Có 15 học sinh giỏi gồm 6 học sinh khối 12 , 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh? A. 4249 . B. 4250 . C. 5005 . D. 805 . (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Bình A chứa 3 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ và 5 quả cầu trắng. Bình B chứa 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ và 6 quả cầu trắng. Bình C chứa 5 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng. Từ mỗi bình lấy ra một quả cầu. Có bao nhiêu cách lấ y để cuối cùng được 3 quả có màu giống nhau. A. 180 . B. 150 . C. 120 . D. 60 .
Câu 91.
(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tổ 1 lớp 11A có 6 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 4 học sinh của tổ 1 để lao động vệ sinh cùng cả trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam? A. 600 . B. 25 . C. 325 . D. 30 .
Câu 92.
(CỤM CHUYÊN MÔN 4 - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Một tổ có 5 bạn học sinh nam và 6 bạn học sinh nữ.Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 em đi trực nhật.Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh để có cả nam và nữ? A. 325 . B. 415 . C. 810 . D. 135 . Dạng 1.2.3 Bài toán liên quan đến hình học
Câu 93.
Câu 94.
(HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Trong một đa giác lồi n cạnh, số đường chéo của đa giác là. A. Cn2 . B. An2 . C. An2 − n . D. Cn2 − n . (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho một đa giác đều có 10 cạnh. Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh thuộc các đỉnh của đa giác đã cho. A. 720 . B. 35 . C. 120 . D. 240 .
Câu 95.
(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho 8 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 8 điểm trên ? A. 336 . B. 56 . C. 168 . D. 84 . Câu 96. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số đường chéo của đa giác đều có 20 cạnh là bao nhiêu? A. 170 . B. 190 . C. 360 . D. 380 . Câu 97. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Lục giác đều ABCDEF có bao nhiêu đường chéo A. 15 . B. 5 . C. 9 . D. 24 . 9
Câu 98.
(QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là A. 50 . B. 100 . C. 120 . D. 45 .
Câu 99.
(THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số tam giác có 3 điểm đều thuộc P là A. 103 . B. A103 . C. C103 . D. A107 . Câu 100. (THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018) Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Số tam giác được tạo nên từ các đỉnh này là 3 3 3 A. A20 . B. 3!C20 . C. 103 . D. C20 . Câu 101. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho 20 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các điểm này? A. 8000. B. 6480. C. 1140. D. 600. Câu 102. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Trong không gian cho 20 điểm trong đó không có 4 điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu cách tạo mặt phẳng từ 3 điểm trong 20 điểm trên? A. 190 . B. 6840 . C. 380 . D. 1140 . Câu 103. (NGÔ GIA TỰ_VĨNH PHÚC_LẦN 1_1819) Trên đường tròn tâm O cho 12 điểm phân biệt. Từ các điểm đã cho có thể tạo được bao nhiêu tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O? A. C124 . B. 3. C. 4!. D. A124 . Câu 104. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2018-2019) Cho đa giác đều có 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho? 4 4 2 2 A. C2018 . B. C1009 . C. C2018 . D. C1009 . Câu 105. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho? A. 63 . B. 34 . C. A63 . D. C63 . Câu 106. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Có hai đường thẳng song song ( d ) và ( d′ ) . Trên ( d ) lấy 15 điểm phân biệt, trên ( d′) lấ y 9 điểm phân biệt. Hỏi số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 24 điểm trên là bao nhiêu? A. 1485 . B. 540 . C. 1548 . D. 950 . Câu 107. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Cho đa giác đều 36 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 36 đỉnh của đa giác đều? A. 306 . B. 153 . C. 9 . D. 58905 . Câu 108. (NGÔ GIA TỰ LẦN 1_2018-2019) Trên đường tròn tâm O cho 12 điểm phân biệt. Từ các điểm đã cho có thể tạo được bao nhiêu tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O ? A. C124 . B. 3 . C. 4! . D. A124 . Câu 109. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Cho hai đường thẳng d1 và d 2 song song với nhau. Trên d1 lấ y 5 điểm phân biệt, trên d 2 lấy 7 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó được lấy từ các điểm trên hai đường thẳng d1 và d 2 . A. 220 . B. 175 . C. 1320 . D. 7350 . Câu 110. (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh AB , BC , 10
CD , DA lần lượt lấy 1, 2 , 3 và n điểm phân biệt n ≥ 3 ( n∈ ℕ) khác A , B , C , D . Tìm n biết số tam giác lấy từ n + 6 điểm trên là 439 . A. n = 20. B. n = 12. C. n = 8.
D. n = 10.
Câu 111. (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho một đa giác lồi (H) có 10 cạnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó là ba đỉnh của (H), nhưng ba cạnh không phải ba cạnh của (H)? A. 40. B. 100. C. 60. D. 50. Câu 112. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất ta lấ y 20 điểm phân biệt. Trên đường thẳng thứ hai ta lấy 18 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ ba điểm trong các điểm nói trên? 2 3 3 3 A. 18C20 + 20C182 . B. 20C183 + 18C20 . C. C38 . D. C20 .C183 . Câu 113. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho một đa giác đều 40 đỉnh A1 A2 ... A40 nội tiếp đường tròn ( O ) . Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 40 đỉnh trên gấp bao nhiêu lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 40 đỉnh trên? 4 A. 20. B. . C. 52 . D. 40 . 37
Câu 114. Có hai đường thẳng song song ( d ) và ( d ′ ) . Trên ( d ) lấy 15 điểm phân biệt, trên
( d ′)
lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 24 điểm trên là bao nhiêu?
A. 1485 .
B. 540 .
C. 1548 .
D. 950 .
Câu 115. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Cho một tam giác, trên ba cạnh của nó lấy 9 điểm như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu tam giác có ba đỉnh thuộc 9 điểm đã cho?
C3
B1
C2
A1 A. 79 .
B. 48 .
A2
A3 C. 55 .
B. n = 10 .
C. n = 9 .
D. 24 .
D. n = 45 .
Câu 117. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Có 10 đội bóng thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt, thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm. Kết thúc giải đấu, tổng cộng số điểm của tất cả 10 đội là 130 . Hỏi có bao nhiêu trận hòa? A. 7 . B. 8 . C. 5 . D. 6 . Câu 118. (XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho đa giác đều A1 A2 A3 …. A30 nội tiếp trong đường tròn ( O ) . Tính số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 30 đỉnh của đa giác đó. A. 105 .
B. 27405 .
C. 27406 .
Câu 121. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Trên mặt phẳng có 2017 đường thẳng song song với nhau và 2018 đường thẳng song song khác cùng cắt nhóm 2017 đường thẳng đó. Đếm số hình bình hành nhiều nhất được tạo thành có đỉnh là các giao điểm nói trên. 4 4 2 2 A. 2017.2018. B. C2017 C. C2017 D. 2017 + 2018. + C2018 . .C2018 . Câu 122. (THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho đa giác lồi có 40 cạnh. Mỗi đoạn thẳng đi qua hai đỉnh bất kì của nó mà không phải là cạnh được gọi là một đường chéo của nó. Số giao điểm nằm bên trong đa giác (không trùng với đỉnh) được tạo ra do các đường chéo của nó cắt nhau nhiều nhất là bao nhiêu? A. 91390 . B. 273430 . C. 740 . D. 1520 . Dạng 1.3 Chỉ sử dụng A Dạng 1.3.1 Bài toán đếm số (tập số, tập hợp) Câu 123. (THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Cho tập M = {1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9} . Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt lập từ M là. A. 4! . B. A94 . C. 49 . D. C94 . Câu 124. Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau? A. C72 . B. 7 2. C. A72 . D. 27.
Câu 126. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,3, 4,5 ? A. A54 . B. P5 . C. C54 . D. P4 .
A4
Câu 116. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Cho một đa giác đều n đỉnh ( n ≥ 2, n ∈ ℕ ) . Tìm n biết số hình chữ nhật được tạo ra từ bốn đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác đó là 45 . A. n = 12 .
Câu 120. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Một đa giác lồi có 10 cạnh, xét các tam giác mà 3 đỉnh là đỉnh của đa giác. Hỏi trong số các tam giác này có bao nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh đều không phải là cạnh của đa giác? A. 60 . B. 70 . C. 120 . D. 50 .
Câu 125. (THPTQG 2018 - MÃ ĐỀ 104) Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?. A. 28 . B. C82 . C. A82 . D. 82 .
B2
C1
Câu 119. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Cho đa giác đều 100 nội tiếp một đường tròn. Số tam giác từ được tạ o thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là: A. 44100 . B. 78400 . C. 117600 . D. 58800 .
D. 106 . 11
Câu 127. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Tính số chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử? A. 24 . B. 720 . C. 840 . D. 35 . Câu 128. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác 0 và đôi một khác nhau? A. 5! . B. 95 . C. C95 . D. A95 . Câu 129. (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Cho tập hợp S = {1; 2;3; 4;5;6} . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau lấ y từ tập hợp S ? A. 360 . B. 120 . C. 15 . D. 20 . Câu 130. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số, các chữ số khác nhau và đều khác 0 ? A. 90 . B. 92 . C. C92 . D. A92 . 12
Câu 131. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Từ tập X = {2,3, 4,5, 6} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau? A. 60 . B. 125 . C. 10 . D. 6 . Câu 132. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho tập A = {1, 2,3,5, 7,9} . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau? A. 720 . B. 360 . C. 120 . D. 24 . Câu 133. (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử của M là A. A102 . B. C210 . C. C102 . D. A210 . Câu 134. Tính số các chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử. A. 21 . B. 2520 . C. 5040 . D. 120 . Câu 135. (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau? A. 216 . B. 120 . C. 504 . D. 6 . Câu 136. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Tính số các chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử. A. 35 . B. 24 . C. 720 . D. 840 . Câu 137. (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9 có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau A. C93 . B. A93 . C. 9! . D. A93 − A82 . Câu 138. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số các số gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 là A. 5436 . B. 3024 . C. 3260 . D. 12070 . Câu 139. (KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Từ các chữ số 1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau?
A. 7056 .
B. 120 .
C. 5040 .
D. 15120 .
Câu 146. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số có 4 chữ số đôi một khác nhau? A. 2520 . B. 50000 . C. 4500 . D. 2296 . Câu 147. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 ? A. 72 . B. 120 . C. 54 . D. 69 . Câu 148. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Từ các chữ số của tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5} , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 ? A. 504 . B. 480 . C. 720 . D. 120 . Câu 149. (THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và các chữ số phải khác nhau. A. 160 . B. 156 . C. 752 . D. 240 . Câu 150. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKI I - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. A. 648 B. 1000 C. 729 D. 720 Câu 151. (THPT HÒA VANG - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho tập hợp A = {0;1; 2;3; 4;5;6;7} . Hỏi từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1 . A. 2802 . B. 2280 . C. 65 . D. 2520 .
Câu 152. (SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau? A. 500 . B. 328 . C. 360 . D. 405 .
Câu 140. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 1 - 2018) Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau? A. 15 . B. 4096 . C. 360 . D. 720 .
Câu 153. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho 5 chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 6 . Lập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số đã cho. Tính tổng của các số lập được. A. 12321 . B. 21312 . C. 12312 . D. 21321 . Câu 154. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có bẩy chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 . A. 3204 số. B. 249 số. C. 2942 số. D. 7440 số.
Câu 141. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên không chia hết cho 5, gồm 4 chữ số khác nhau? A. 120. B. 72. C. 69. D. 54.
Câu 155. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau nằm trong khoảng ( 300;500 )
A.
C93 .
B.
A93 .
C. 9! .
D.
A93 − A82 .
Câu 142. (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau. A. 500. B. 405. C. 360. D. 328. Câu 143. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Từ các số 0;1; 2;3;5 có thể lập thành bao nhiêu số tự nhiên không chia hết cho 5 gồm 4 chữ số đôi một khác nhau? A. 120 . B. 54 . C. 72 . D. 69 . Câu 144. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho tập hợp A = {0;1; 2;3; 4;5} . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và lớn hơn 350? A. 32 . B. 40 . C. 43 . D. 56 . Câu 145. (Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau, sao cho trong mỗi số đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0? 13
A. 24 .
B. 25 .
C. 23 .
D. 22 .
Câu 156. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Từ các chữ số 0,1, 2, 3, 4,5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho có 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau. A. 360 . B. 144 . C. 252 . D. 108 . Dạng 1.3.2 Bài toán chọn người (vật) Câu 157. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó. A. A102 . B. C102 . C. A108 . D. 10 2 . Câu 158. [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách 14
sắp thứ tự 5 cầu thủ trong 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hỏi huấn luyện viên của mỗi đội sẽ có bao nhiêu cách chọn? A. 55440 . B. 120 . C. 462 . D. 39916800 .
Câu 159. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Một câu lạc bộ có 25 thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch và 1 thư kí là: A. 13800 . B. 5600 . C. Một kết quả khác. D. 6900 . Câu 160. (THPT THÁI PHIÊN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Trong một lớp có 30 bạn học sinh, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn để làm lớp trưởng và một bạn khác làm lớp phó? A. 302 B. A3028 C. A302 D. C302 Câu 161. (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Một câu lạc bộ có 25 thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch và 1 thư ký là A. 5600 . B. 13800 . C. 6900 . D. Kết quả khác. Câu 162. (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Một nhóm học sinh có 10 người. Cần chọn 3 học sinh trong nhóm để làm 3 công việc là tưới cây, lau bàn và nhặt rác, mỗi người làm một công việc. Số cách chọn là A. 103 . B. 3×10 . C. C103 . D. A103 . Câu 163. (CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Số cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào 6 trong 10 ghế trên một hàng ngang là A. 610 . B. 6! . C. A106 . D. C106 . Câu 164. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Lớp 11A có 38 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 3 bạn học sinh để sắp xếp làm Lớp trưởng, Lớp phó và Thư kí. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra như vậy? A. 50616 . B. 8436 . C. 114 . D. 41 . Câu 165. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ từ 11 trong một đội bóng để thực hiện đá 5 quả luân lưu 11 m , theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm. A. A115 . B. C115 . C. A112 .5!. D. C105 . Dạng 1.3.3 Bài toán liên quan đến hình học
Câu 170. (HKI-Chu Văn An-2017) Từ các chữ số của tập hợp {0;1; 2;3; 4;5} , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 ? A. 120 . B. 504 . C. 720 . D. 480 .
Câu 171. (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5 ? 1 2 2 3 4 A. 1 + 4 C2017 . + 2017 C2017 + 2 A2017 + C2017 + C2017 2 3 4 5 B. 1 + 2 C2018 . + 2C2018 + C2018 + C2018 2 3 4 5 C. 1 + 2 A2018 . + 2 A2018 + A2018 + C2017
2 2 2 3 3 4 D. 1 + 2 A2018 . + 2 ( C2017 + A2017 + A2017 ) + (C2017 ) + C2017
Câu 172. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0 , không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần. A. 786240 . B. 846000 . C. 907200 . D. 151200 . Câu 173. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Từ các chữ số của tập A = {0;1; 2;3; 4;5;6;7} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần, các chữ số còn lại đôi một khác nhau? A. 31203. B. 12600. C. 181440. D. 27000 Câu 174. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Một nhóm 6 bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua 6 vé gồm 3 vé mang số ghế chẵn, 3 vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong sáu bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó? A. 36 . B. 180 . C. 72 . D. 18 . Câu 175. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0 , không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần. A. 786240 . B. 846000 . C. 907200 . D. 151200 . Câu 176. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Từ tập A = {1; 2;3; 4;5} có thể lập được bao nhiêu
Câu 166. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho tứ diện ABCD . Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD A. 12 . B. 4 . C. 10 . D. 8 .
Câu 167. (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Cho lục giác ABCDEF . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác trên. A. 6 2 . B. 26 . C. C62 . D. A62 .
số có 8 chữ số sao cho chữ số 2 xuất hiện 4 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần. A. 120 . B. 840 . C. 576 . D. 1680 .
Câu 177. (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5 ? 1 2 2 3 2 2 4 . A. 1 + 4 C2017 + 2 ( C2017 + A2017 + A2016 + C2016 ) + ( C2017 ) + C2017 2 3 4 5 B. 1 + 2 C2018 + 2C2018 + C2018 + C2018 . 2 3 4 5 C. 1 + 2 A2018 + 2 A2018 + A2018 + C2017 .
Dạng 2. Bài toán kết hợp hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp Dạng 2.1 Bài toán đếm số (tập số)
2 2 2 3 3 4 D. 1 + 2 A2018 + 2 ( C2017 + A2017 + A2017 . ) + (C2017 ) + C2017
Dạng 2.2 Bài toán chọn người (vật) Câu 168. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt trong đó có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn? A. 144. B. 432. C. 696. D. 840. Câu 169. (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó luôn có mặt hai chữ số 1 và 6. A. 408. B. 720. C. 480. D. 120. 15
Câu 178. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư đó ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy? A. 1200. B. 1800. C. 1000. D. 200. Câu 179. (THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018) Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa có khác nhau vào 5 lọ khác nhau sao cho mỗi lọ cắm không quá một bông? 16
A. A53 .
B. 3! .
C. C53 .
D. A52 .
Câu 180. (THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A , B , C . Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ 9 người đó ngồi trên một hàng ngang có 9 chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh. A. 4320 . B. 90 . C. 43200 . D. 720 . Câu 181. (HKI-Chu Văn An-2017) Một nhóm 6 bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua 6 vé gồm 3 vé mang số ghế chẵn, 3 vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong 6 bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó? A. 72 . B. 36 . C. 18 . D. 180 . Câu 182. (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Có bao nhiêu cách chia hết 4 đồ vật khác nhau cho 3 người, biết rằng mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật. A. 36 B. 18 C. 12 D. 72
A. 4374 . B. 139968 . C. 576 . D. 15552 . Câu 191. (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI - 2018) Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn 100° ? 3 3 3 3 A. 2018.C897 . B. C1009 . C. 2018.C895 . D. 2018.C896 .
Câu 183. Một Thầy giáo có 10 cuốn sách Toán đôi một khác nhau, trong đó có 3 cuốn Đại số, 4 cuốn Giải tích và 3 cuốn Hình học. Ông muốn lấ y ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh sao cho sau khi tặng mỗi loại sách còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng. A. 24412 B. 23314. C. 32512. D. 24480.
Câu 192. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n , mệnh đề nào dưới đây đúng? k !( n − k ) ! n! n! n! A. Cnk = B. Cnk = C. Cnk = D. C nk = n! k !( n − k ) ! k! ( n − k )!
Câu 184. (Sở GD&ĐT Hà Nội - Lần 1 - 2018 - BTN) Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0 , không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần. B. 846000 . C. 907200 . D. 151200 . A. 786240 .
Câu 193. (Chuyên Phan Bội Châu-lần 1-2018-2019) Với n là số nguyên dương tùy ý lớn hơn 1, mệnh đề nào dưới đây đúng? n ( n − 2) A. An2 = n (n −1) . B. An2 = . C. An2 = 2n . D. An2 = n !.(n − 2)! . 2
Câu 185. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người,gồm 12 nam và 3 nữ.Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ? A. 12141421. B. 5234234. C. 4989600. D. 4144880 Câu 186. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Có hai học sinh lớp A, ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy ? A. 80640 . B. 108864 . C. 145152 . D. 217728 . Câu 187. (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Có bao nhiêu cách chia hết 4 đồ vật khác nhau cho 3 người, biết rằng mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật? A. 72 . B. 12 . C. 36 . D. 18 . Câu 188. Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội cờ đỏ. A. 141666. B. 241561. C. 111300. D. 131444. Câu 189. Ông và bà An cùng có 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng: B. 1440 . C. 18720 . D. 40320 . A. 720 . Dạng 2.3 Bài toán liên quan đến hình học Câu 190. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Bé Minh có một bảng hình chữ nhật gồm 6 hình vuông đơn vị, cố định không xoay như hình vẽ. Bé muốn dùng 3 màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Hỏi bé Minh có tất cả bao nhiêu cách tô màu bảng?
Dạng 3. Giải phương trình, bất phương trình, hệ liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Câu 194. (Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n , mệnh đề nào dưới đây đúng? n! n! n! A. Ank = . B. Ank = . C. Ank = n !. D. Ank = . k !( n + k ) ! k! ( n − k )! Câu 195. Cho n, k là những số nguyên thỏa mãn 0 ≤ k ≤ n và n ≥ 1. Tìm khẳng định sai. n! A. Pn = Ann . B. Cnk = Cnn − k . C. Ank = . D. Pk .Cnk = Ank . k! Câu 196. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? k !( n − k ) ! n! n! n! A. Cnk = . B. Cnk = . C. Cnk = . D. Cnk = . k !( n − k ) ! k! n! ( n − k )! Câu 197. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n , mệnh đề nào dưới đây đúng? Ak n! n! A. Cnk = . B. Ank = . C. Cnk = n . D. Cnk−1 = Cnk−−11 + Cnk−1 . (n − k )! k !( n − k )! k! Câu 198. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Nghiệm của phương trình Ax2 − A1x = 3 là A. x = −1 . B. x = 3 . C. x = −1 và x = 3 . D. x = 1 . Câu 199. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Nghiệm của phương trình 2 x + Cx3 = Ax2+1 là A. x = 9 . B. x = 8 . C. x = 11 . D. x = 10 . Câu 200. (HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Biết An2 + Cn3 = 50 ( n ∈ ℕ* ) , khi đó giá trị của
n là 17
18
A. 4.
B. 5.
C. 6.
D. 7
A. 25 .
Câu 201. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Tính tổng tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn An2 − 3Cn2 = 15 − 5n . A. 13 . B. 10 . C. 12 . D. 11 . Câu 202. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Số các số nguyên dương n thỏa mãn 6n − 6 + Cn3 = Cn3+1 là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. Vô số. Câu 203. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 1 - 2018) Cho tập A gồm n điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Tìm n sao cho số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 điểm thuộc A gấp đôi số đoạn thẳng được nối từ 2 điểm thuộc A . A. n = 6. B. n = 12. C. n = 8. D. n = 15. Câu 204. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình Ax3 + C xx − 2 = 14 x . A. Một số khác. B. x = 6 . C. x = 5 . D. x = 4 . Câu 205. (THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn An3 + 5 An2 = 2 ( n + 15 ) ? A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 0.
Câu 206. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Tính giá trị M = An2−15 + 3 An3−14 , biết rằng Cn4 = 20Cn2 (với n là số nguyên dương, Ank là số chỉnh hợp chập k
của n phần tử và Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử). A. M = 78 . B. M = 18 . C. M = 96 .
Câu 207. (THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho số tự nhiên n thỏa mãn 3Cn3+1 − 3 An2 = 52 ( n − 1) . Hỏi n gần với giá trị nào nhất: A. 11 . B. 12 . C. 10 . D. 9 . Câu 208. (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tập hợp tất cả nghiệm thực của phương trình Ax2 − A1x = 3 là A. {−1} .
B. {3} .
C. {−1;3} .
Câu 209. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Cho Cn2 + An2 = 9n . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. n chia hết cho 7 . B. n chia hết cho 5 . C. n chia hết cho 2 . Câu 210. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Cho đa giác đều có đa giác có số đường chéo bằng số cạnh ? A. n = 5 . B. n = 16 . C. n = 6 .
D. {1} .
số tự nhiên n thỏa mãn D. n chia hết cho 3 .
n cạnh ( n ≥ 4 ) . Tìm n để D. n = 8 .
Câu 211. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Tổng của tất cả các số tự nhiên n 1 1 7 thỏa mãn 1 − 2 = 1 là: Cn Cn +1 6Cn + 4 A. 13 . B. 11 . C. 10 . D. 12 . Câu 212. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn Cnn+5 = 5 An3+3 . A. n = 14 . B. n = 17 . C. n = 20 . D. n = 15 . Câu 213. (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho các số tự nhiên m , n thỏa mãn đồng thời các điều kiện Cm2 = 153 và Cmn = Cmn + 2 . Khi đó m + n bằng 19
C. 26 .
D. 23 .
1 1 1 Câu 214. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Tính tổng S = 2 + 2 + ⋯ + 2 . A2 A3 A2019 2017 2018 A. S = 2018 . B. S = . C. S = 2017 . D. S = . 2019 2018
Câu 215. (THPT YÊN KHÁNH A - LẦN 2 - 2018) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn Cn7 = Cn8 . A. 13 . B. 14 C. 15 . D. 16 . 3
Câu 216. Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) ( n !) Cnn .C2nn .C3nn ≤ 720 . A. n = 0,1, 2 .
B. n = 0, 2,3 .
C. n = 2,3, 4 .
D. n = 1, 2,3 .
Câu 217. Tìm số nguyên dương n sao cho: Pn −1. An4+ 4 < 15 Pn + 2 . A. 6,8, 2 . B. 7,8,9 . C. 3, 4,5 . Px +5 ≤ 60 Axk++32 . ( x − k )! A. ( x; k ) = (1;0),(1;1), (2;2),(3;3) . C. ( x; k ) = (0;0),(1;1), (3;3) .
D. 5,6,7 .
Câu 218. Giải bất phương trình sau:
B. ( x; k ) = (1;0),(1;1), (2;2),(3;3) . D. ( x; k ) = (0;0), (1;0),(2;2) . Cn2+1 3 ≥ n. Cn2 10 C. 2 ≤ n ≤ 5 .
D. 2 ≤ n < 4 .
C. x = 2; y = 5 .
D. x = 1; y = 3 .
Câu 219. Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) A. 0 ≤ n ≤ 2 .
D. M = 84 .
B. 24 .
B. 1 ≤ n ≤ 5 .
C = C . Câu 220. Giải hệ phương trình sau: y +1 y −1 3Cx +1 = 5Cx +1 A. x = 6; y = 3 . B. x = 2; y = 1 . y +1 x +1
y x +1
3 n +1
Câu 221. Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) A A. 2 ≤ n ≤ 5 .
B. 0 ≤ n ≤ 2 .
+C
n −1 n +1
Câu 222. Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) Cnn+−21 + Cnn+ 2 A. n ≥ 2 .
B. n ≥ 3 .
< 14 ( n + 1) .
C. 1 ≤ n ≤ 5 .
C. n ≥ 5 .
D. 2 ≤ n < 4 .
5 > An2 . 2
1 2 6 A2 x − Ax2 ≤ Cx3 + 10 . 2 x B. 3 ≤ x . C. x ≤ 4 .
D. n ≥ 4 .
Câu 223. Giải bất phương trình sau: A. 3 ≤ x ≤ 4 .
2 A + 5C = 90 Câu 224. Giải hệ phương trình sau: x . x 5 Ay − 2C y = 80 A. x = 1; y = 3 . B. x = 1; y = 5 . x y
D. x > 4, x < 3 .
x y
C. x = 2; y = 1 .
D. x = 2; y = 5 .
Câu 225. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Trên đường thẳng d1 cho 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng d 2 song song với đường thẳng d1 cho n điểm phân biệt. Biết có tất cả 175 tam giác được tạo thành mà 3 đỉnh lấ y từ ( n + 5) điểm trên. Giá trị của n là A. n = 10 . B. n = 7 . C. n = 8 . D. n = 9 .
20
Câu 226. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Một đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh? A. 5 . B. 7 . C. 8 . D. 6 . Câu 227. Trong một lớp có ( 2n + 3) học sinh gồm An, Bình, Chi cùng 2n học sinh khác. Khi xếp tùy ý các học sinh này vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến ( 2n + 3) , mỗi học sinh ngồi một ghế thì xác suất để số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là lớp là A. 27 .
B. 25 .
C. 45 .
17 . Số học sinh của 1155
D. 35 .
Phần B. Lời giải tham khảo
Câu 2.
Dạng 1. Bài toán chỉ sử dụng P hoặc C hoặc A Dạng 1.1 Chỉ sử dụng P Dạng 1.1.1 Bài toán đếm số Số cách lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là số hoán vị của 6 phần tử, do đó có 6! = 720 Số các số tự nhiên có 4 chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã cho là: 4! = 24 số.
Câu 3.
Mỗi số tự nhiên tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập A là hoán vị của 4 phần tử.
Câu 1.
Câu 4. Câu 5. Câu 6. Câu 7.
Câu 8.
Câu 9.
Vậy có 4! = 24 số cần tìm. Mỗi số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 là một hoán vị của 5 phần tử đó. Nên số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là P5 = 5! = 120 (số). Mỗi cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một hoán vị của 5 phần tử. Vậy có 5! = 120 số cần tìm. Số các hoán vị của 10 phần tử: 10! . Chọn C Lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, ta tìm được: 6! số. Lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau nhưng bắt đầu bằng 12 , ta tìm được: 4! số. Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau không bắt đầu bởi 12 là 6!− 4! = 696 số. Số các số có 6 chữ số được lập từ các chữ số 0 , 2 , 3 , 5 , 6 , 8 là 6!− 5! . Số các số có chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau: 2.5!− 4! . Số các số có chữ số 0 và 5 không đúng cạnh nhau là: 6!− 5!− ( 2.5!− 4!) = 384 .
Vậy có tất cả: 60 + 96 = 156 số. Câu 10.
Lời giải Chọn D
6! = 180 . 2!.2! *) Tìm số cách xếp sáu chữ số sao cho có hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau 4! +) TH1: Số cách xếp sao cho có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau 5. = 60 . 2! 4! +) TH2: Số cách xếp sao cho có hai chữ số 2 đứng cạnh nhau 5. = 60 . 2! +) TH3: Số cách xếp sao cho có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau và hai chữ số 2 đứng cạnh nhau -) Nếu hai chữ số 1 ở vị trí (1; 2) và (5;6) ta có số cách xếp là 2.3.2 = 12 . -) Nếu hai chữ số 1 ở ba vị trí còn lại thì số các xếp là 3.2.2 = 12 . Vậy số cách xếp hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau là 60 + 60 − 12 − 12 = 96 . ⇒ Số cách xếp không có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau là 180 − 96 = 84 . Câu 11. Chọn A Trường hợp 1: 3 chữ số đều lẻ. Có A53 = 60 số thỏa mãn. Trường hợp 2: số đó gồm 2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ - Chọn 2 chữ số chẵn khác nhau có C52 = 10 cách. - Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách. - Từ 3 số đã chọn đó lập được 3! = 6 số. Do đó có 10.5.6 = 300 dãy gồm 3 chữ số phân biệt, trong đó có 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ kể cả chữ số 0 đứng đầu. Xét dãy số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng 0 - Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách. - Chọn 1 chữ số chẵn khác chữ số 0 có 4 cách. Vậy có 4.5.2! = 40 số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng 0. Do đó có 60 + 300 − 40 = 320 số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ. Số cách xếp sáu chữ số thành hàng một cách tùy ý là
Câu 12.
Gọi a1a2 a3 a4 a5 a6 là số cần tìm Ta có a6 ∈ {1;3;5} và ( a1 + a2 + a3 ) − ( a4 + a5 + a6 ) = 1
Gọi số cần tìm là: abcd (với b, c, d ∈ {0;1; 2;3; 4;5} , a∈ {1; 2;3; 4;5} ). Trường hợp 1: Chọn d = 0 , nên có 1 cách chọn. Chọn a ∈ {1, 2,3, 4,5} nên có 5 cách chọn. Chọn b có 4 cách chọn. Chọn c có 3 cách chọn. Suy ra, có 1.5.4.3 = 60 số. Trường hợp 2: Chọn d ∈ {2, 4} , nên có 2 cách chọn.
a1 , a2 , a3 ∈ {2, 3, 6} hoặc Với a6 = 1 thì ( a1 + a2 + a3 ) − ( a4 + a5 ) = 2 ⇒ a4 , a5 ∈ {4,5}
a1 , a2 , a3 ∈ {2, 4,5} a4 , a5 ∈ {3, 6}
a1 , a2 , a3 ∈ {2; 4;5} Với a6 = 3 thì ( a1 + a2 + a3 ) − ( a4 + a5 ) = 4 ⇒ hoặc a4 , a5 ∈ {1, 6}
a1 , a2 , a3 ∈ {1, 4, 6} a4 , a5 ∈ {2, 5}
a1 , a2 , a3 ∈ {2, 3, 6} Với a6 = 5 thì ( a1 + a2 + a3 ) − ( a4 + a5 ) = 6 ⇒ hoặc a4 , a5 ∈ {1, 4}
a1 , a2 , a3 ∈ {1, 4, 6} a4 , a5 ∈ {2, 3}
Mỗi trường hợp có 3!.2! = 12 số thỏa mãn yêu cầu
Chọn a ≠ 0 nên có 4 cách chọn. Chọn b có 4 cách chọn. Chọn c có 3 cách chọn. Suy ra, có 2.4.4.3 = 96 số.
Câu 13. 21
Vậy có tất cả 6.12 = 72 số cần tìm. Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 5, 6, 7,8,9 là 5! = 120 số. Vì vai trò các chữ số như nhau nên mỗi chữ số 5, 6, 7,8,9 xuất hiện ở hàng đơn vị là 4! = 24 lần. 22
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là 24 ( 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ) = 840 . Tương tự thì mỗi lần xuất hiện ở các hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn của mỗi chữ số là 24 lần. Vậy tổng các số thuộc tập S là 840 1 + 10 + 102 + 103 + 104 = 9333240 .
(
Câu 14. Câu 15. Câu 16.
Câu 17.
Câu 18.
Câu 19.
Câu 27.
)
Dạng 1.1.2 Bài toán chọn người (vật) Số cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là 5! . Ta có số cách xếp 5 học sinh vào một bàn dài là số các hoán vị của 5 học sinh đó. Vậy kết quả là: P5 = 5! = 120 . Chọn A Mỗi cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của tập hợp có 10 phần tử. Suy ra số cách sắp xếp là P10 . Chọn C Mỗi cách phân công 3 bạn An, Bình, Công vào 3 chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủ y viên mà không bạn nào kiêm nhiệm là một hoán vị của 3 phần tử. Vậy có 3! = 6 cách. Chọn C Mỗi cách sắp xếp 6 quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách là một hoán vị của 6 phần tử. Vậy số cách sáp xếp là 6! . Chọn A
Mỗi cách xếp 5 sinh viên vào 5 vị trí thỏa đề là một hoán vị của 5 phần tử. Suy ra số cách xếp là 5! = 120 cách. Câu 20. Số cách phân công 5 vị trí trực khác nhau cho 5 người là: 5! = 120 . Câu 21. Chọn D Số cách xếp con mèo vàng và con mèo đen ở cạnh nhau là: 2 . Xem nhóm con mèo vàng và đen này là một phần tử, cùng với 1 con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím, ta được 5 phần tử. Xếp 5 phần tử này là: 5! . Vậy có: 2.5! = 240 . Câu 22. Chọn B Sắp xếp 4 nữ sinh vào 4 ghế: 4! cách. Xem 4 nữ sinh lập thành nhóm X, sắp xếp nhóm X cùng với 6 nam sinh: có 7! cách vậ y có 7!× 4! cách sắp xếp. Câu 23. Chọn A Xếp 8 người thành hàng ngang có P8 cách. Xếp 8 người thành hàng ngang sao cho 2 thầy giáo đứng cạnh nhau có 7.2!.6! cách. Vậy số cách xếp cần tìm là: P8 − 7.2!.6! = 30240 cách. Câu 24. Chọn A Xếp 4 bạn nam vào một dãy có 4! (cách xếp). Xếp 4 bạn nữ vào một dãy có 4! (cách xếp). Với mỗi một số ghế có 2 cách đổi vị trí cho bạn nam và bạn nữ ngồi đối diện nhau. Số cách xếp theo yêu cầu là: 4!.4!.2 4 (cách xếp). Câu 25. Chọn B +) Xếp 5 bạn vào 5 chỗ ngồi có 5! cách. +) Xếp An và Dũng ngồi cạnh nhau có 2 cách. Xem An và Dũng là 1 phần tử cùng với 3 bạn còn lại là 4 phần tử xếp vào 4 chỗ. Suy ra số cách xếp 5 bạn sao cho An và Dũng luôn ngồi cạnh nhau là: 2.4! cách. Vậy số cách xếp 5 bạn vào 5 ghế sao cho An và Dũng không ngồi cạnh nhau là: 5!– 2.4! = 72 . Câu 26. Xếp 4 học sinh nam thành hàng dọc có 4! cách xếp. Giữa 4 học sinh nam có 5 khoảng trống ta xếp các bạn nữ vào vị trí đó nên có 5! cách xếp. 23
Câu 28.
Câu 29.
Câu 30.
Câu 31. Câu 32.
Câu 33. Câu 34. Câu 35.
Theo quy tắc nhân có 4!5! = 2880 cách xếp thoả mãn bài ra. Số cách xếp 3 viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng: 3! . Số cách xếp 4 viên bi đỏ khác nhau thành một dãy bằng: 4! . Số cách xếp 5 viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng: 5!. Số cách xếp 3 nhóm bi thành một dãy bằng: 3! . Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề bài bằng 3!.4!.5!.3! = 103680 cách. Chọn A Vì các sách Văn phải xếp kề nhau nên ta xem 5 cuốn sách Văn là một phần tử. Xếp 7 cuốn sách toán lên kệ có 7! cách. Giữa 7 cuốn sách Toán có 8 khoảng trống, ta xếp phần tử chứa 5 cuốn sách Văn vào 8 vị trí đó có 8 cách. 5 cuốn sách Văn có thể hoán đổi vị trí cho nhau ta được 5! cách. Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 8.7!.5! = 8!.5! . Chọn D Đánh số thứ tự các vị trí theo hàng dọc từ 1 đến 6 . Trường hợp 1: Nam đứng trước, nữ đứng sau. Xếp nam (vào các vị trí đánh số 1,3,5 ): Có 3! = 6 cách. Xếp nữ (vào các vị trí đánh số 2, 4,6 ): Có 3! = 6 cách. Vậy trường hợp này có: 6.6 = 36 cách. Trường hợp 2: Nữ đứng trước, nam đứng sau. Xếp nữ (vào các vị trí đánh số 1,3,5 ): Có 3! = 6 cách. Xếp nam (vào các vị trí đánh số 2, 4,6 ): Có 3! = 6 cách. Vậy trường hợp này có: 6.6 = 36 cách. Theo quy tắc cộng ta có: 36 + 36 = 72 cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ. Dạng 1.2 Chỉ sử dụng C Dạng 1.2.1 Bài toán đếm số (tập số, tập hợp) Chọn A Mỗi cách lấy ra 2 phần tử trong 10 phần tử của M để tạo thành tập con gồm 2 phần tử là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử ⇒ Số tập con của M gồm 2 phần tử là C102 Chọn D Số tập con gồm 5 phần tử của M chính là số tổ hợp chập 5 của 30 phần tử, nghĩa là bằng C305 . Chọn A Số tập hợp con cần tìm là số tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Vậy có C73 tập con cần tìm. Mỗi tập con gồm 3 phần tử của M không có số 0 là tổ hợp chập 3 của 9 phần tử. Số tập con gồm 3 phần tử của M không có số 0 là: C93 . Số tập con gồm 5 phần tử của M là C305 . Chọn D Mỗi tập con tập gồm 3 phần tử được lấy ra từ tập A có 6 phần tử là một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử. Vậy số tập con gồm 3 phần tử của A là C63 = 20 tập con.
Câu 36. Lời giải Chọn C Số tập con gồm 4 phần tử của M là số cách chọn 4 phần tử bất kì trong 10 phần tử của M . Do đó số tập con gồm 4 phần tử của M là C104 . 24
Câu 37.
Chọn C Mỗi tập con có 8 phần tử của tập hợp E là một tổ hợp chập 8 của 10. Vậy số tập con có 8 phần tử của tập hợp E là: C108 = 45 . Câu 38. Chọn B Theo định nghĩa tổ hợp: “ Giả sử tập A có n phần tử ( n ≥ 1) . Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho”. Do đó theo yêu cầu bài toán số tập con có 4 phần tử của tập A là C124 . Vậy chọn ý B Câu 39. Mỗi tập con có 8 phần tử của tập hợp E là một tổ hợp chập 8 của 10 phần tử nên số tập con cần tìm là C108 = 45 . Câu 40.
Câu 57.
Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng abc với a , b , c ∈ {0;1; 2;3; 4;5;6} sao cho a < b < c nên a , b , c ∈ {1; 2;3; 4;5; 6} . Suy ra số các số có dạng abc là C63 = 20 .
Câu 41.
Câu 54. Chọn D 3 Chọn 3 học sinh trong 40 học sinh nên ta có C40 = 9880 cách chọn. Câu 55. Chọn C Số cách chọn 8 viên bi từ 35 viên bi trắng + đỏ là: C358 . Câu 56. Chọn D Mỗi cách phân 3 học sinh trong 12 học sinh đi lao động là tổ hợp chập 3 của 12. Vậy số cách phân học sinh lao động là C123 .
Chọn vị trí cho 2 chữ số 2 có C92 cách. Ch ọn vị trí cho 3 chữ số 3 có C73 cách. Ch ọn vị trí cho 4 chữ số 4 có C44 cách.
được phân nhóm vào nhóm còn lại. Vậy có C106 = 210 cách. Câu 58. + Chia trước cho mỗi học sinh một phần quà thì số phần quà còn lại là 9 phần quà. + Chia 9 phần quà cho 3 học sinh sao cho học sinh nào cũng có ít nhất một phần quà: Đặt 9 phần quà theo một hàng ngang, giữa các phần quà sẽ có 8 khoảng trống, chọn 2 khoảng trống trong 8 khoảng trống đó để chia 9 phần quà còn lại thành 3 phần quà mà mỗi phần có ít nhất một phần quà, có C 82 . Vậy tất cả có C82 = 28 cách chia. Câu 59. Chọn A Số cách chọn ra 3 học sinh nam từ 10 học sinh nam là: C103 .
Số cách chọn ra 2 học sinh nữ từ 8 học sinh nữ là: C82 .
Vậy số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là C92 C73 C44 = 1260 số. Câu 42.
Câu 43.
Câu 44. Câu 45. Câu 46.
Câu 47. Câu 48.
Cứ hai số được chọn từ trong chín chữ số đã cho chỉ lập được duy nhất một số theo yêu cầu, nghĩa là ta được một tổ hợp chập 2 của 9 phần tử. Vậy số các số cần lập là C92 = 36 . Vì chữ số cần lập mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đằng trước nên không có chữ số 0 . Chọn 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 có C94 = 126 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn đó chỉ có duy nhất 1 cách xếp mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đằng trước. Do đó có 126 số thỏa mãn đề bài. Dạng 1.2.2 Bài toán chọn người (vật) Chọn B Mỗi cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. vậy có C52 cách. Chọn B Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là: C62 . Chọn C Mỗi cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 7 phần tử. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là: C 72 . Chọn B Mỗi cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 34 phần tử nên số cách chọn là C342 .
C382 Chọn A Mỗi cách lấy ra 2 phần tử trong 10 phần tử của M để tạo thành tập con gồm 2 phần tử là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử ⇒ Số tập con của M gồm 2 phần tử là C102 Câu 51. Mỗi cách chọn 2 học sinh trong 48 là một tổ hợp chập 2 của 48 phần tử. Suy ra số cách chọn là C482 = 1128 .
Câu 49. Câu 50.
Câu 52.
Số cách phân công là: C103 = 120 .
Câu 53.
Số cách lấy ra hai viên bi là C52 = 10 .
Số cách phân nhóm 6 người trong 10 người là C106 . Sau khi phân nhóm 6 người còn lại 4 người
25
Câu 60.
Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu là: C103 C82 . Chọn B Chọn 3 học sinh tùy ý từ nhóm 6 học sinh có: C63 cách. Chọn 3 học sinh nam từ 4 học sinh nam có: C43 cách.
Do đó, số cách chọn ra 3 học sinh trong đó có cả nam và nữ là: C63 − C43 = 16 cách. Câu 61. Chọn C Trường hợp 1: 2 câu lí thuyết, 1 câu bài tập. Suy ra số đề tạo ra là C42 .C61 = 36 (đề) Trường hợp 2: 1 câu lí thuyết, 2 câu bài tập. Suy ra số đề tạo ra là C41 .C62 = 60 (đề) Vậy có thể tạo được số đề khác nhau là: 36 + 60 = 96 (đề) Câu 62. Chọn A Chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng có 3 cách, 1 công nhân làm tổ phó có 7 cách và 3 công nhân làm tổ viên có C63 cách. Vậy số cách lập tổ công tác theo yêu cầu là: 3 × 7 × C63 = 420 cách Câu 63. Chọn B Chọn nhóm 4 cháu để được chia táo thì có C94 (cách). Khi đó có một cách chia táo để mỗi cháu trong nhóm này được một quả táo. Chọn nhóm 3 cháu để được chia cam trong các cháu còn lại thì có C53 (cách). Khi đó có một cách chia cam để mỗi cháu trong nhóm này được một quả cam. Còn lại hai cháu và tương ứng có một cách chia cho mỗi cháu một quả chuối. Số cách chia thỏa mãn bài toán là : C94 .C53 .1 = 1260 (cách). Câu 64. Chọn A Số cái bắt tay của 13 cặp vợ chồng không có điều kiện gì là C262 = 325 . Số cái bắt tay của 13 bà vợ với nhau là C132 = 78 . Số cái bắt tay của 13 cặp vợ chồng với nhau (chồng bắt tay với vợ) là 13 . Số cái bắt tay thỏa mãn yêu cầu bài toán là 325 − 78 − 13 = 234 . Câu 65. Chọn B 26
+ Còn lại 6 người trao bộ sách toán và lí ⇒ có 1 cách. Vậy số cách trao phần thưởng là C154 .C115 = C156 .C94 = 630630 (cách). Câu 74. Chọn B Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối 12, 1 học sinh khối 11, 1 học sinh khối 10 ta có C62C51C41 cách. Trường hợp 2: Chọn 1 học sinh khối 12, 2 học sinh khối 11, 1 học sinh khối 10 ta có C61C52C41 cách. Trường hợp 3: Chọn 1 học sinh khối 12, 1 học sinh khối 11, 2 học sinh khối 10 ta có C61C51C42 cách. Vậy ta có số cách chọn thoả mãn là C62C51C41 + C61C52C41 + C61C51C42 = 720 (cách). Câu 75. Lời giải Chọn D Số cách chọn 5 học sinh tùy ý là C95 = 126.
Số cách chọn ra 3 người từ 8 người là: C83 = 56 Số cách chọn ra 3 người không có nữ là C53 = 10 ⇒ Số cách chọn ra 3 người trong đó có ít nhất 1 nữ là: 56 − 10 = 46 . Câu 66. Chọn B Số cách chọn ra 3 học sinh từ 30 học sinh: C303 = 4060 (cách). Số cách chọn ra 3 học sinh nam là: C203 = 1140 (cách). Số cách chọn một nhóm 3 học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 1 học sinh là nữ: 4060 − 1140 = 2920 (cách). Câu 67. Chọn D Số cách lấ y ngẫu nhiên 3 quả cầu từ 20 quả là C203 . Số cách lấ y ngẫu nhiên 3 quả cầu mà không có quả cầu màu xanh là C123 . Vậy số cách lấy ra 3 quả cầu trong đó có ít nhất 1 quả màu xanh là C203 − C123 = 920 (cách). Câu 68.
TH1: chọn 2 câu lý thuyết và 1 câu bài tập có: C42 .C61 cách.
Số cách chọn 5 học sinh gồm học sinh khối 10 hoặc khối 11 là C55 = 1.
TH1: chọn 1 câu lý thuyết và 2 câu bài tập có: C41 .C62 cách. Vậy số cách lập đề thỏa điều kiện bài toán là: 96 cách. Câu 69.
Số cách chọn 5 học sinh gồm học sinh khối 11 hoặc khối 12 là C75 = 21.
Để lập được được một đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và 4 câu hỏi tự luận khác nhau ta thực hiện qua 2 giai đoạn.
Giai đoạn 1: Chọn 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau từ 15 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau có C1510 cách chọn. 4 Giai đoạn 2: Chọn 4 câu hỏi tự luận khác nhau từ 8 câu hỏi tự luận khác nhau có C8 cách chọn.
Số cách chọn 5 học sinh gồm học sinh khối 10 hoặc khối 12 là C65 = 6. Vậy số cách chọn 5 học sinh đủ ba khối là 126 − 1 − 21 − 6 = 98. Câu 76. Chọn C Tổng số có 15 viên bi. Số cách chọn 5 viên bi tùy ý: C155 = 3003 . Số cách chọn 5 viên bi chỉ có một màu: C65 + C75 = 7 Số cách chọn 5 viên bi chỉ có một hoặc hai màu(xanh+ đỏ; xanh + vàng; đỏ + vàng): (Trong số cách chọn này có lặp lại số cách chọn bi một màu) C115 + C105 + C95 − ( C65 + C55 ) = 833 .
10 4 Theo quy tắc nhân có C15 .C8 cách lập đề thi.
Câu 70.
Số cách chọn 4 em tùy ý trong lớp: C404 . Số cách chọn 4 em nữ trong lớp: C154 . 4 40
Câu 77.
4 15
Số cách chọn 4 em trong đó ít nhất phải có một nam: C − C . Câu 71.
1 Chọn một nam trong 20 nam có C20 cách.
Số cách chọn ra 10 câu mà không có câu dễ: C1110
1 18
Chọn một nữ trong 18 nữ có C cách. 1 20
Số cách chọn ra 10 câu mà không có câu khó: C1610
1 18
Theo quy tắc nhân, số cách chọn một đôi nam nữ là C C . Câu 72.
Vậy số cách chọn 5 viên bi có đủ cả ba màu là: 3003 − 840 = 2170 Chọn A 10 Số cách chọn ra 10 câu bất kỳ trong số 20 câu C20
3 13
Chọn ra 3 học sinh tham gia văn nghệ trong 13 học sinh tùy ý có C cách.
Chọn ra 3 học sinh tham gia văn nghệ trong 7 học sinh nữ có C73 cách. Vậy chọn ra 3 học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam có C133 − C73 = 251 . Câu 73. Có duy nhất một cách chia 30 quyển sách thành 15 bộ, mỗi bộ gồm hai quyển sách khác loại, trong đó có: + 4 bộ giống nhau gồm 1 toán và 1 hóa. + 5 bộ giống nhau gồm 1 hóa và 1 lí. + 6 bộ giống nhau gồm 1 lí và toán. Số cách trao phần thưởng cho 15 học sinh được tính như sau: + Chọn ra 4 người (trong 15 người) để trao bộ sách toán và hóa ⇒ có C154 cách. + Chọn ra 5 người (trong 11 người còn lại) để trao bộ sách hóa và lí ⇒ có C115 cách. 27
Số cách chọn ra 10 câu mà không có câu trung bình: C1310 Như vậy: Số cách chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ 3 loại dễ, trung bình và khó là: 10 C20 − C1110 − C1610 − C1310 = 176451 Câu 78. Chọn B Trường hợp 1: Lớp B và lớp C có 1 học sinh, lớp A có 3 học sinh. Khi đó, số cách chọn là C31 ⋅ C31 ⋅ C43 = 36 . Trường hợp 2: Lớp B và lớp C có 2 học sinh, lớp A có 1 học sinh. Khi đó, số cách chọn là C32 ⋅ C32 ⋅ C41 = 36 . Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách chọn 5 học sinh đi làm nhiệm vụ mà số học sinh lớp B bằng số học sinh lớp C là 36 + 36 = 72 cách. Câu 79. Chọn C Trường hợp 1: Đội văn nghệ gồm 4 nam, 2 nữ có C304 .C152 (cách chọn). 28
Trường hợp 2: Đội văn nghệ gồm 5 nam, 1 nữ có C305 .C151 (cách chọn). Trường hợp 3: Đội văn nghệ gồm 6 nam, 0 nữ có C
6 30
Số cách chọn 5 học sinh chỉ có 2 lớp: C75 + C65 + C55
(cách chọn).
Vậy số cách chọn 5 học sinh có cả 3 lớp là C95 − C75 + C65 + C55 = 98 .
(
Vậy có tổng cộng: C304 .C152 + C305 .C151 + C306 = 5.608.809 cách lập thỏa yêu cầu bài toán. Câu 80. Chọn A Chọn 7 bông bất kì từ 14 bông có: C147 = 3432 cách.
Câu 86.
TH3: Lấy được 3 bóng đèn loại I, 2 bóng đèn loại II: có C53 .C72 cách
Chọn hai màu hồng, xanh có C33 .C54 + C32 .C55 = 8 cách. Chọn hai màu hồng, vàng có C33 .C64 + C32 .C65 + C31.C66 = 36 cách. 5 5
2 6
4 5
3 6
3 5
4 6
2 5
5 6
1 5
6 6
Chọn hai màu xanh, vàng có C .C + C .C + C .C + C .C + C .C = 330 cách. Câu 81.
Câu 82.
Câu 83.
Câu 84.
Vậy có 3432 − ( 8 + 36 + 330 ) = 3058 cách Chọn D Chọn ra 3 tấm thẻ bất kì từ 26 tấm thẻ có C263 cách. Chọn ra 3 tấm thẻ ghi số liên tiếp có 24 cách. Chọn ra 3 tấm thẻ trong đó có đúng 2 tấm thẻ ghi số liên tiếp: 2.23 + 23.22 = 552 cách. Số cách chọn ra 3 tấm thẻ thỏa yêu cầu bài toán là C263 − 24 − 552 = 2024 . Giải thích: Nếu chọn được 2 số liên tiếp là 1, 2 hoặc 25, 26 thì có 23 cách chọn 1 số thứ ba. Nếu chọn được hai số liên tiếp khác cặp số trên thì có 22 cách chọn 1 số thứ ba. Chọn D Số cách chọn ba quả cầu khác màu là C61 .C51.C51 = 150 . Số cách chọn ba quả cầu khác màu cùng một số là: 5 cách chọn. Số cách chọn ba quả cầu khác màu nhưng có 2 quả cầu cùng số là: 5.5 + 5.4 + 5.4 = 65 . Vậy có 150 − ( 5 + 65 ) = 80 Chọn C Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp 12 quả cầu, để số quả cẩu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh, những trường hợp có thể xảy ra là Trường hợp 1: 5 cầu đỏ Số khả năng: C55 = 1 khả năng. Trường hợp 1: 4 cầu đỏ, 1 cầu xanh Số khả năng: C54 .C17 = 35 khả năng. Trường hợp 2: 3 cầu đỏ, 2 cầu xanh Số khả năng: C53 .C72 = 210 khả năng. Áp dụng quy tắc cộng: có tất cả: 35 + 210 + 1 = 246 khả năng. Vì chọn ra 3 người mà yêu cầu phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn nên số giáo viên nữ được chọn chỉ có thể bằng 1 hoặc 2 . Ta xét hai trường hợp: * Trường hợp 1: Chọn 1 giáo viên nữ: Có C31 cách. Khi đó:
Theo quy tắc cộng, có 1 + C54 .C71 + C53 .C72 = 246 cách Câu 87. Việc chia đồ vật trong bài toán được tiến hành theo các bước sau - Bước 1 : Chia 8 đồ vật thành 3 nhóm đồ vật nhỏ ( một nhóm có 2 vật, hai nhóm còn lại mỗi nhóm có 3 đồ vật ), có C82C63C33 = C82C63 cách - Bước 2 : Chia 3 nhóm đồ ở bước 1 cho 3 người,có 3! cách Vậy có 3!C82C63 cách. Câu 88.
Câu 89.
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 10 và 11 là C96 = 84 cách. Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 10 và 12 là C116 − C66 = 461 cách. Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và 12 là C106 − C66 = 209 cách. Do đó số cách chọn 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là 5005 − 1 − 84 − 461 − 209 = 4250 cách. Câu 90. Trường hợp 1: Lấ y được 3 quả cầu xanh từ 3 bình: Số cách lấy: C31C41C51 = 60 (cách) Trường hợp 2: Lấy được 3 quả cầu đỏ từ 3 bình: Số cách lấy: C41C31C51 = 60 (cách) Trường hợp 3: Lấy được 3 quả cầu trắng từ 3 bình: Số cách lấy: C51C61C21 = 60 (cách) Vậy có 60.3 = 180 cách lấy được 3 quả cùng màu từ 3 bình. Câu 91. Trường hợp 1: Chọn 1 nam và 3 nữ. Trường hợp 2: Chọn 2 nam và 2 nữ. Trường hợp 3: Chọn 3 nam và 1 nữ. Trường hợp 4: Chọn 4 nam. Số cách chọn cần tìm là C61C53 + C62C52 + C63C51 + C64 = 325 cách chọn. Câu 92.
Từ 5 bạn học sinh nam và 6 bạn học sinh nữ chọn ngẫu nhiên 3 em có C113 cách chọn. Trong số C113 cách chọn trên xả y ra trường họp sau: Chỉ có nam có C53 hoặc chỉ có nữ có C63 hoặc có cả nam và nữ.
Trường hợp này có C31 C51 × C41 + C42 cách chọn.
)
Vậy số cách chọn 3 học sinh để có cả nam và nữ là: C113 − C53 − C63 = 135 .
* Trường hợp 2: Chọn 2 giáo viên nữ: Có C32 cách chọn. Khi đó chọn thêm 1 giáo viên nam môn Câu 93. Câu 94.
Vật lý: Có C41 cách. Trường hợp này có C32 × C41 cách chọn. Vậy tất cả có C31 C51 × C41 + C42 + C32 × C41 = 90 cách chọn.
(
Số cách chọn 6 học sinh bất kỳ trong 15 học sinh là C156 = 5005 . Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 12 là C66 = 1 cách.
- Chọn 2 giáo viên nam môn Vật lý: Có C42 cách.
Câu 85.
Chọn 5 học sinh bất kỳ từ tổ 11 học sinh có số cách chọn là C115 . Số cách chọn 5 học sinh mà chỉ toàn nữ hoặc toàn nam là C55 + C65 . Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là C115 − ( C55 + C65 ) = 455 .
- Chọn 1 giáo viên nam môn Toán và 1 nam môn Vật lý: Có C51 × C41 cách.
(
)
Có 3 trường hợp xả y ra: TH1: Lấy được 5 bóng đèn loại I: có 1 cách TH2: Lấy được 4 bóng đèn loại I, 1 bóng đèn loại II: có C54 .C71 cách
)
Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh C95 cách. 29
Dạng 1.2.3 Bài toán liên quan đến hình học Số đường chéo của đa giác là Cn2 − n . Ta có đa giác đều có 10 cạnh nên đa giác đều có 10 đỉnh. Mỗi tam giác là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử. Vậy có C103 = 120 tam giác. 30
Câu 95.
Ta có số tam giác tạo thành từ 8 điểm trên là số tổ hợp chập 3 điểm của 8 điểm. Suy ra kết quả là: C83 = 56 .
Câu 96.
Số đường chéo của đa giác đều n cạnh là Cn2 − n .
12 × 11× 10 × 9 12 ×11×10 × 9 × 8! 12! = = = C124 4! 4!8! 4!(12 − 4 ) ! Câu 109. TH1: Hai đỉnh thuộc d1 và một đỉnh thuộc d 2 : Có C52C71 tam giác.
2
Với n = 20 thì C20 − 20 = 170 .
TH2: Hai đỉnh thuộc d 2 và một đỉnh thuộc d1 : Có C72 .C51 tam giác.
Câu 97.
Số đường chéo của lục giác đều (6 cạnh là) : C62 − 6 = 9
Vậy số tam giác được tạo thành là C52C71 + C72 .C51 = 175 .
Câu 98. Câu 99.
Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là C102 = 45 . Với 3 điểm phân biệt không thằng hàng, tạo thành duy nhất 1 tam giác. Vậy, với 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, số tam giác tạo thành là C103 .
Câu 110.
3 Câu 100. Số tam giác bằng với số cách chọn 3 phần tử trong 20 phần tử. Do đó có C20 tam giác. Câu 101. Chọn C Chọn 3 điểm từ 20 điểm ta có một tam giác nên số tam giác tạo thành từ 20 điểm đã cho là 3 C20 = 1140. . Câu 102. Chọn D Số cách tạo mặt phẳng là C203 = 1140 . Câu 103. Chọn A Ta có: Số cách lấ y 4 điểm phân biệt bất kì từ 12 điểm phân biệt trên đường tròn tâm O sẽ là số tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O được tạo thành. Vậy có C124 tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O được tạo thành. Câu 104. Chọn D Số đường chéo qua tâm là 1009 . Số hình chữ nhật có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho bằng số cách lấy hai đường chéo qua 2 tâm, do đó số hình chữ nhật là C1009 . Câu 105. Chọn D Lấy 3 điểm trong 6 điểm lập thành tam giác có C63 cách. Câu 106. Chọn A Có C151 .C92 = 540 tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 1 điểm thuộc ( d ) và 2 điểm thuộc ( d′) . 2 15
1 9
Có C .C = 945 tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 2 điểm thuộc ( d ) và 1 điểm thuộc ( d ′) . Vậy có tất cả 1485 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 107. Chọn B Do đa giác đều 36 đỉnh có 18 đường chéo qua tâm. Mặt khác cứ 2 đường chéo qua tâm ứng với một hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác. Vậy số hình chữ nhật là C182 = 153 . Bài toán tổng quát: Do đa giác đều 2n ( n ∈ ℕ, n ≥ 2 ) đỉnh có n đường chéo qua tâm.
Lời giải Chọn D Cách 1: Do mỗi tam giác được tạo thành từ 3 điểm không thẳng hàng. Trên cạnh CD chọn ra được C 33 bộ 3 điểm thẳng hàng. Trên cạnh DA chọn ra được C n3 bộ 3 điểm thẳng hàng. Do đó số tam giác tạo thành là Cn3+ 6 − Cn3 − C33 .
Theo giả thiết ta có Cnn+ 6 − Cn3 − C33 = 439 . Sử dụng máy tính kiểm tra thấy n = 10 thỏa mãn điều kiện đề bài. Cách 2: Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên AB và BC là C11.C22 = 1 . Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên AB và CD là C11.C32 = 3 . Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên AB và AD là C11.C2n = Cn2 . Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên BC và DC là C21 .C32 + C22 .C13 = 9 . Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên BC và AD là C21.C2n + C22 .C1n = 2C2n + 1C1n . Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên BC và AD là C31.C2n + C32 .C1n = 3C2n + 3C1n . Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên BC và AD là C31.C2n + C32 .C1n = 3C2n + 3C1n . Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh nằm trên ba cạnh AB , BC và CD là C11C21C31 = 6 . Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh nằm trên ba cạnh AB , BC và DA là C11C21Cn1 = 2Cn1 . Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh nằm trên ba cạnh AB , CD và DA là C11C31Cn1 = 3Cn1 . Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh nằm trên ba cạnh BC , CD và DA là C21C31Cn1 = 6Cn1 . Vậy số tam giác tạo thành là: 1 + 3 + Cn2 + 9 + 2Cn2 + Cn1 + 3Cn2 + 3Cn1 + 6 + 2Cn1 + 3Cn1 + 6Cn1 = 19 + 6Cn2 + 15Cn1 = 439 n = 10 ⇔ n = 10 . + 15n = 420 ⇔ 3n 2 + 12 n − 420 = 0 ⇔ 2 n = −14(l ) Câu 111. Chọn D Số tam giác được tạo thành từ 10 đỉnh của đa giác lồi (H) là: C103 . Xét trường hợp số tam giác chỉ chứa hai cạnh của đa giác, là số tam giác có 3 đỉnh liên tiếp của đa giác. Có 10 tam giác như vậ y. Xét trường hợp số tam giác chứa đúng một cạnh của đa giác, là số tam giác có 2 đỉnh là 2 đỉnh liên tiếp của đa giác và đỉnh còn lại không kề với hai đỉnh kia. Khi đó, xét một cạnh bất kỳ ta có 1 C10 − 4 cách chọn đỉnh còn lại của tam giác (trừ hai đỉnh đã chọn và hai đỉnh kề nó). Trường hợp ⇔6
Mặt khác cứ 2 đường chéo qua tâm ứng với một hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác. Vậy số hình chữ nhật là Cn2 . Câu 108. Chọn A Chọn đỉnh thứ nhất: có 12 cách chọn. Chọn đỉnh thứ hai: có 11 cách chọn. Chọn đỉnh thứ ba: có 11 cách chọn. Chọn đỉnh thứ tư: có 9 cách chọn. Vì một tứ giác không kể đến thứ tự của các đỉnh nên số tứ giác được tạo nên:
n ( n − 1)
này có 10.C61 tam giác. Vậy số tam giác không chứa cạnh của đa giác (H) là: C103 − 10 − 10.C61 = 50 tam giác. Câu 112. Chọn A Chọn 2 điểm trên đường thẳng thứ 2 và 1 điểm trên đường thẳng thứ nhất. Số tam giác được tạo thành từ ba điểm trên là: 20C182 (tam giác). 31
32
Chọn 2 điểm trên đường thẳng thứ 1 và 1 điểm trên đường thẳng thứ hai. Số tam giác được tạo thành từ ba điểm trên là: 18C202 (tam giác).
Vậy số tam giác cần tìm là C103 − 60 − 10 = 50 tam giác. 1
Vậy số tam giác được tạo thành theo ycbt là: 20C182 + 18C202 . Câu 113. Chọn C Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 40 đỉnh trên là: C403 . Đa giác đều đã cho có 40 đỉnh nên nó có 20 đường chéo đi qua tâm O. Mỗi hình chữ nhật thỏa đề bài tương ứng với một tổ hợp chập 2 của 20 đường chéo này và ngược lại. Vậy số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 trong 40 đỉnh của đa giác là: C202 . Suy ra số tam giác gấp số hình chữ nhật là: C403 : C202 = 52. Câu 114. Chọn A Có C151 .C92 = 540 tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 1 điểm thuộc ( d ) và 2 điểm thuộc ( d ′ ) .
Bộ 3 điểm không tạo thành tam giác có C33 + C43 bộ. Vậy số tam giác tạo thành từ 9 điểm đã cho có: C93 − C33 + C43 = 79 .
)
Câu 116. Do đa giác đều nên đa giác đó nội tiếp trong một đường tròn và có n đường chéo đi qua tâm O của đường tròn. Chọn 2 đường chéo khác nhau đi qua tâm thì 4 đỉnh của đường chéo cho ta một hình chữ nhật. Vậy có Cn2 hình chữ nhật.
n ( n − 1) = 45 ⇔ n = 10 . 2 Câu 117. Vì 10 đội bóng thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt nên số trận đấu là C102 = 45 (trận). Gọi số trận hòa là x , số không hòa là 45 − x (trận). Tổng số điểm mỗi trận hòa là 2 , tổng số điểm của trận không hòa là 3 ( 45 − x ) . Theo đề bài ta có: Cn2 = 45 ⇔
Vậy có 5 trận hòa. Câu 118. Trong đa giác đều A1 A2 A3 …. A30 nội tiếp trong đường tròn ( O ) cứ mỗi điểm A1 có một điểm Ai
( A1 ≠ Ai )
Câu 121. Với hai đường thẳng bất kì từ 2017 đường thẳng di song song đã cho và với hai đường thẳng bất kì từ 2018 đường thẳng ∆ j song song đã cho, xác định cho ta một hình bình hành.
Câu 123. Câu 124.
Câu 125.
Câu 126.
Theo đề bài ta có phương trình 2 x + 3 ( 45 − x ) = 130 ⇔ x = 5 .
đối xứng với A1 qua O
d1 di
2 2 Vậy số hình bình hành nhiều nhất thỏa đề bài là C2017 .C2018 . Câu 122. Đa giác lồi có 40 cạnh sẽ có 40 đỉnh. Số đường chéo của đa giác là: C402 − 40 = 740 đường chéo. Số giao điểm nằm bên trong đa giác (không trùng với đỉnh) được tạo ra do các đường chéo của nó 2 cắt nhau nhiều nhất là C740 = 273430 .
Có C152 .C91 = 945 tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 2 điểm thuộc ( d ) và 1 điểm thuộc ( d ′ ) . Vậy có tất cả 1485 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 115. Bộ 3 điểm bất kỳ được chọn từ 9 điểm đã cho có C93 bộ.
(
j
ta được một đường kính, tương tự với A2 , A3 ,.., A30 . Có tất cả
15 đường kính mà các điểm là đỉnh của đa giác đều A1 A2 A3 …. A30 . Cứ hai đường kính đó ta được một hình chữ nhật mà bốn điểm là các đỉnh của đa giác đều: có C152 = 105 hình chữ nhật tất cả. Câu 119. Xét đường kính A1 A51 của đường tròn ngoại tiếp đa giác. Với điểm A1 có 2.C492 cách chọn hai đỉnh thuộc cùng nửa đường tròn đường kính A1 A51 để tạo thành tam giác tù có góc A1 . Như vậ y
có 100.2.C492 tam giác, trong đó mỗi tam giác bị đếm hai lần. Vậy số tam giác tù là 100.C492 = 117600 . Câu 120. * Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác là C103 . * Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác: Chọn 2 đỉnh kề nhau: có 10 cách chọn. Chọn đỉnh còn lại không kề với 1 trong 2 đỉnh đã chọn: có 6 cách. Vậy có 10.6 = 60 tam giác. * Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác Chọn 2 cạnh kề nhau: có 10 cách. 33
Câu 127. Câu 128.
Dạng 1.3 Chỉ sử dụng A Dạng 1.3.1 Bài toán đếm số (tập số, tập hợp) Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt lập từ M là: A94 . Mỗi số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau thành lập được từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là một chỉnh hợp chập 2 của 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . Vậy số các số tự nhiên thành lập được là A72 . Số số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 là số cách chọn 2 chữ số khác nhau từ 8 số khác nhau có thứ tự. Vậy có A82 số. Số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,3, 4,5 là một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử Vậy có A54 số cần tìm. 7! Ta có: A74 = = 840 . 3! Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác 0 và đôi một khác nhau là một chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử. Vậy số các số tự nhiên thỏa đề bài là A95 số.
Câu 129. Từ tập S lập được A64 = 360 số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau. Câu 130. Số tự nhiên cần lập có 2 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số từ 1 đến 9 nên có A92 số như vậ y. Câu 131. Số các số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập X là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử ⇒ số các số cần lập là A53 = 60 (số). Câu 132. Tập A gồm có 6 phần tử là những số tự nhiên khác 0 . Từ tập A có thể lập được A64 = 360 số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau. Câu 133. Chọn A Số chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử của M là: A102 . Câu 134. Chọn B 7! = 2520 . Theo lý thuyết công thức tính số các chỉnh hợp chập 5 của 7 : A75 = ( 7 − 5)! Câu 135. Chọn B 34
Mỗi cách lập số là một chỉnh hợp chập 3 của 6. Vậy có A63 = 120 số. Câu 136. Chọn D 7! Ta có A74 = = 840. 3! Câu 137. Chọn B Mỗi số tự nhiên lập được có 3 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9 là một chỉnh hợp chập 3 của 9. Vậy lập được A93 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 138. Chọn B Xét X = {1, 2, 3, 4,5, 6, 7,8, 9} , X = 9 .
Vậy có 3.3. A32 = 54 số. Câu 144. Chọn C Gọi số có ba chữ số khác nhau thỏa mãn yêu cầu bài toán là abc . Vì abc > 350 nên ta xét 2 trường hợp sau: TH 1: Chọn a ∈ {4;5} ⇒ a có 2 cách chọn.
Chọn b và c trong số 5 chữ số còn lại có A52 cách. Suy ra TH 1 có 2. A52 = 40 số được lập. TH 2: Chọn a = 3, b = 5 ⇒ c ∈ {1; 2; 4} nên có 3 số được lập.
Gọi x = abcd 0 là số cần lập (a, b, c, d ∈ X và đôi một khác nhau). Mỗi số cần lập là một chỉnh hợp chập 4 của 9 phần tử nên số các số thỏa yêu cầu bài toán là A94 = 3024 . Câu 139. Chọn B Gọi x = abc , trong đó a , b , c đôi một khác nhau. Lấy 3 phần tử từ tập hợp X = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} và xếp vào 3 vị trí. Có A93 cách. Suy ra có A93 số thỏa yêu cầu bài. Câu 140. Để được một số có 4 chữ số theo yêu cầu đề bài, ta chọn 4 chữ số trong 6 chữ số đã cho và xếp theo một thứ tự nào đó, nghĩa là ta được một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Vậy số các số cần thành lập là A64 = 360 . Câu 141. Chọn D Gọi số tự nhiên cần tìm là abcd , từ yêu cầu bài toán ta có: d ∈ {1; 2;3} : có 3 cách chọn
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 40 + 3 = 43 số. Câu 145. Chọn A Gọi số đó có dạng abcde ( a, b, c, d , e ∈ {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} , a ≠ 0 ). TH1: e = 0 Số các số tự nhiên thỏa mãn bài toán là: A94 ( số). TH2: e ≠ 0 . Khi đó e có 4 cách chọn ( vì e được lấy từ các số 2, 4, 6, 8). Có 3 cách để xếp chữ số 0 vào 3 vị trí b, c, d. Số cách lấ y 3 số trong 8 số còn lại và sắp xếp là A83 . Số các số tự nhiên thỏa mãn bài toán là: 4.3.A83 ( số). Vậy số các số tự nhiên chẳn có 5 chữ số đôi một khác nhau, sao cho trong mỗi số đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 là: A94 + 4.3. A83 = 7056 ( số) Câu 146. Số có 4 chữ số khác nhau đôi một: 9.A93 . Số có 4 chữ số lẻ khác nhau đôi một: 5.8.A82 .
Vậy số có 4 chữ số chẵn khác nhau đôi một: 9. A93 − 5.8. A82 = 2296 . Câu 147. Gọi số cần tìm dạng: abcd , ( a ≠ 0 ) .
a : có 3 cách chọn ( a ≠ 0, a ≠ d )
• Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau: 4.A43 = 96 số.
Trong 3 số còn lại chọn ra 2 số lần lượt đặt vào các vị trí b,c có A32 cách.
• Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5: A43 + 3. A32 = 42 . • Vậ y số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau không chia hết cho 5 là: 96 − 42 = 54 số. Câu 148. • Cách 1: Gọi số cần tìm là n = abcde . Có 4 vị trí xếp số 0 vì a ≠ 0 . - a, b, c, d được chọn trong 5 số còn lại và sắp, có A54 = 120 cách. Vậy số các số cần tìm là 4.120 = 480 . • Cách 2: Gọi số cần tìm là n = abcde . Có 5 vị trí xếp số 0 (kể cả vị trí đầu tiên), 4 vị trí còn lại chọn 4 trong 5 số và sắp, nên có 5. A54 = 600 số.
2 3
Số các số thỏa yêu cầu bài toán là S = 3.3. A = 54 số. Câu 142. Lời giải Chọn D Xét hai trường hợp. TH1: Chữ số tận cùng là 0 có 1 cách chọn chữ số tận cùng. Có A92 cách chọn hai chữ số đầu.
Do đó có 1* A92 = 72 số. TH2: Chữ số tận cùng là 2, 4, 6, 8 có 4 cách chọn chữ số tận cùng. Có 8 cách chọn chữ số đầu tiên. Có 8 cách chọn chữ số ở giữa. Do đó có 4*8*8 = 256 số. Vậy có 72 + 256 = 328 số thỏa mãn bài toán. Chon D. Câu 143. Chọn B Giả sử số tự nhiên có 4 chữ số có dạng abcd + Do số tự nhiên đó không chia hết cho 5 nên d có 3 cách chọn (1; 2; 3) + Có 3 cách chọn a (khác d; 0) + Số cách chọn 2 chữ số còn lại là số chỉnh hợp chập 2 của 3 ⇒ A32
Các số có dạng 0bcde là A54 = 120 số. Vậy số các số cần tìm là 600 − 120 = 480 . Câu 149. Gọi số có bốn chữ số khác nhau là abcd ( a, b, c, d ∈ {0,1, 2,3, 4,5} , a ≠ 0 ) .
+ TH1: d = 0 Số cách ộ số abc là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử {1, 2,3, 4,5} . Suy ra có A53 = 60 (số).
+ TH2: d ∈ {2, 4} 35
36
d có 2 cách chọn
Với a = 4 , số cách chọn b, c là A42 = 12 . Vây số các số lập được là 24 . Chọn đáp án A. Câu 156. Giả sử số cần lập có dạng abcde , với a, b, c, d , e ∈ {0;1; 2; 3; 4; 5; 6} .
a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn c có 3 cách chọn Suy ra có 2.4.4.3 = 96 (số) Áp dụng quy tắc cộng ta có tất cả 60 + 96 = 156 (số) Câu 150. Gọi số cần tìm có dạng: abc ( a ≠ 0 ; a;b;c đôi một khác nhau) ⇒ số có ba chữ số là: A103 − A92 = 648 .
+ Trường hợp 1: a , b là hai chữ số lẻ: Có A32 = 6 cách chọn ab
Với mỗi ab , có A43 = 24 cách chọn cde ⇒ có 6.24 = 144 số thỏa mãn. + Trường hợp 2: d , e là hai chữ số lẻ: Có A32 = 6 cách chọn de
Câu 151. Gọi số cần lập là abcde với a, b, c , d , e ∈ A và a > 0 , các chữ số khác nhau. TH1: a = 1 . Số cách ác chữ số còn lại là A74 = 840 . TH2: a ≠ 1 . Để chọn vị trí cho chữ số 1 có 2 cách. Để hữ số a có 6 cách. Để ác chữ số còn lại có A63 .
Với mỗi de , có 3 cách chọn a , A32 = 6 cách chọn bc ⇒ có 6.3.6 = 108 số thỏa mãn. Vậy có 144 + 108 = 252 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Dạng 1.3.2 Bài toán chọn người (vật) Câu 157. Chọn ra 2 học sinh từ một tổ có 10 học sinh và phân công giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử. Số cách chọn là A102 cách.
Do đó có 2.6.A63 số lập được. Vậy có A74 + 2.6. A63 = 2280 số thỏa mãn đề bài. Câu 152. Gọi số tự nhiên chẵn cần tìm có dạng abc , c ∈ {0; 2; 4; 6;8} .
Xét các số có dạng ab 0 có tất cả A92 = 72 số thỏa yêu cầu bài toán. Xét các số dạng abc , c ∈ {2; 4;6;8} có tất cả: 4.8.8 = 256 số thỏa yêu cầu bài toán. Vậy số các số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau là: 72 + 256 = 328 số. Câu 153. Mỗi số số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 6 là một chỉnh hợp chập 3 của các chữ số này. Do đó, ta lập được A53 = 60 số. Do vai trò các số 1 , 2 , 3 , 4 , 6 như nhau, nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số trong các chữ số này ở mỗi hàng (hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm) là như nhau và bằng 60 : 5 = 12 lần. Vậy, tổng các số lập được là: S = 12. (1 + 2 + 3 + 4 + 6 )(100 + 10 + 1) = 21312 . Câu 154. Vì chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 nên số cần lập có bộ ba số 123 hoặc 321 . TH1: Số cần lập có bộ ba số 123 . Nếu bộ ba số 123 đứng đầu thì số có dạng 123abcd . Có A74 = 840 cách ốn số a , b , c , d nên có A74 = 840 số. Nếu bộ ba số 123 không đứng đầu thì số có 4 vị trí đặt bộ ba số 123 . Có 6 cách chọn số đứng đầu và có A63 = 120 cách a số b , c , d .
Câu 158. Số cách ủa huấn luyện viên của mỗi đội là A115 = 55440 . Câu 159. Mỗi cách chọn 3 người ở 3 vị trí là một chỉnh hợp chập 3 của 25 thành viên. Số cách chọn là: A253 = 13800 . Câu 160. Mỗi cách chọn một bạn làm lớp trưởng và một bạn làm lớp phó là chỉnh hợp chập 2 của 30 phần tử nên số cách chọn là A302 . Câu 161. Chọn B Số cách chọn ban quản lí là A253 = 13800 cách. Câu 162. Số cách chọn 3 em học sinh là số cách chọn 3 phần tử khác nhau trong 10 phần tử có phân biệt thứ tự nên số cách chọn thỏa yêu cầu là A103 . Câu 163. Mỗi cách chọn 6 ghế từ 10 ghế sắp xếp 6 người là một chỉnh hợp chập 6 của 10 phần tử. Vậy có A106 cách chọn. Câu 164. Chọn A Chọn 3 học sinh trong 38 học sinh và sắp xếp ba học sinh vào ba chức vụ khác nhau: Lớp trưởng, Lớp phó, Bí thư. Mỗi cách chọn ra 3 học sinh như vậy là một chỉnh hợp chập 3 của 38 phần tử. Vậy số cách chọn là: A383 = 50616. . Câu 165. Số cách chọn 5 cầu thủ từ 11 trong một đội bóng để thực hiện đá 5 quả luân lưu 11 m , theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm là số chỉnh hợp chập 5 của 11 phần tử nên số cách chọn là A115 .
Dạng 1.3.3 Bài toán liên quan đến hình học Câu 166. Số vectơ khác vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD là số các chỉnh hợp chập 2 của phần tử ⇒ số vectơ là A42 = 12 . Câu 167. Lời giải Chọn D Mỗi vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác ABCDEF là một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử. Vậy số vectơ thỏa yêu cầu bài toán là A62 vectơ.
Theo quy tắc nhân có 6.4. A63 = 2880 số Theo quy tắc cộng có 840 + 2880 = 3720 số. TH2: Số cần lập có bộ ba số 321 . Do vai trò của bộ ba số 123 và 321 như nhau nên có 2 ( 840 + 2880 ) = 7440 Câu 155. Bài làm Gọi số cần tìm là abc với a, b, c ∈ {1; 2;3; 4;5} .
Dạng 2. Bài toán kết hợp hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp Dạng 2.1 Bài toán đếm số (tập số) Câu 168. Chọn B
Để abc ∈ ( 300;500 ) thì a = 3 hoặc a = 4 .
Với a = 3 , số cách chọn b, c là A42 = 12 . 37
38
+ Chọn 2 chữ số lẻ từ 7 chữ số đã cho có C 42 cách.
Chọn 4 chữ số còn lại từ tập {0;1;3; 4;5;6;7} và xếp vào 4 vị trí còn lại ⇒ Có A74 cách. Bước 2: Chọn chữ số đầu tiên bên trái là 0. Ta xếp 3 chữ số 2 vào 3 trong 6 vị trí còn lại ⇒ Có C63 cách 3 chữ số còn lại có A63 cách chọn.
2 3
+ Chọn 2 chữ số chẵn từ 7 chữ số đã cho có C cách. + Với 4 chữ số đã chọn ta xếp vào 4 vị trí có 4! cách. Do đó có C42 .C32 .4! = 432 số.
Kết luận: tổng cộng có C73 × A74 − C63 × A63 = 27000 số tự nhiên thỏa mãn đề bài.
Câu 169.
Câu 174. Xếp hai bạn vào ghế mang số chẵn có A32 cách.
Lời giải
Xếp hai bạn vào ghế mang số lẻ có A32 cách. Số cách xếp hai bạn còn lại vào hai vị trí còn lại là 2! cách. Vậy số cách xếp chỗ để thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó là A32 . A32 .2! = 72 (cách).
Chọn C Chọn 3 chữ số khác nhau từ các số trong tập hợp {2;3;4;5} : có C43 cách; Sau đó, sắp xếp 5 chữ số đã chọn: có 5! cách; Vậy có C43 .5! = 480 số có 5 chữ số khác nhau và luôn có mặt số 1 và số 6.
Câu 175. Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9 ) và sắp xếp chúng theo thứ tự có A95 cách. Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí). Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0 . Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có C53 cách.
Câu 170. Chọn D
Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau có dạng: a1a2 a3a4 a5 . Chọn một số cho a1 ta có 5 cách chọn.
Vậy có A95C53 = 151200 số cần tìm.
Tiếp theo ta bỏ số a1 và số 0 thì từ tập hợp đã cho chúng ta còn lại 4 số. Ta chọn 3 số từ 4 số 3 4
đó ta có C cách chọn.
Chúng ta xếp số 0 và 3 số vừa mới chọn vào 4 vị trí a2 , a3 , a4 , a5 ta được 4! cách xếp. Chọn cho các số cho a2 , a3 , a4 , a5 có mặt chữ số 0 ta có C53 .4! cách chọn. Số số tự nhiên thỏa yêu cầu đề bài có thể lập được là: 5.4!.C43 = 480 . Câu 171. Chọn A. Gọi a là số thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Như vậy các chữ số của a thỏa mãn các trường hợp sau: 4 a chứa năm chữ số 1 và 2013 chữ số 0 : C2017 3 2 + 2015C2017 a chứa ba chữ số 1 , một chữ số 2 và 2014 chữ số 0 : C2017 2 2 a chứa hai chữ số 1 , một chữ số 3 và 2015 chữ số 0 : C2017 + A2017 1 a chứa một chữ số 1 , một chữ số 4 và 2016 chữ số 0 : 2C2017 a chứa một chữ số 5 và 2017 chữ số 0 : 1 2 2 a chứa một chữ số 1 , hai chữ số 2 và 2015 chữ số 0 : C2017 + A2017 1 a chứa một chữ số 2 , một chữ số 3 và 2016 chữ số 0 : 2C2017 1 2 3 4 2 Vậy có 1 + 4C2017 + 2017C2017 + C2017 + C2017 + 2 A2017
Câu 172. Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9 ) và sắp xếp chúng theo thứ tự có A95 cách. Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí). Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0 . Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có C53 cách.
Vậy có A95C53 = 151200 số cần tìm. Câu 173. Chọn D *Ý tưởng: Đầu tiên, ta chọn 7 chữ số gồm 3 chữ số 2 và 4 chữ số bất kì từ tập {0;1;3; 4;5;6;7} rồi xếp vào 7 vị trí. Sau đó, ta trừ đi những trường hợp mà chữ số 0 đứng đầu. Bước 1: Ta xếp 3 chữ số 2 vào 3 trong 7 vị trí ⇒ Có C73 cách. 39
Câu 176. Chọn 4 trong 8 vị trí để xếp số 2 : có C84 cách chọn. Xếp các chữ số 1;3; 4;5 vào 4 vị trí còn lại: có 4! cách chọn.
Vậy có C84 .4! = 1680 (số). Câu 177. Chọn A Vì 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 2 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 nên ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số 5 đứng đầu và 2017 số 0 đứng sau: Có 1 số. Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số 4 , một chữ số 1 và 2016 số 0 . - Khả năng 1: Nếu số 4 đứng đầu thì số 1 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có 1 số. C2017 - Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu thì số 4 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có 1 số. C2017 Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số 3 , một chữ số 2 và 2016 số 0 - Khả năng 1: Nếu số 3 đứng đầu thì số 2 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có 1 số. C2017 - Khả năng 2: Nếu số 2 đứng đầu thì số 3 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có 1 C2017 số. Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số 2 , một chữ số 1 và 2015 số 0 - Khả năng 1: Nếu số 2 đứng đầu thì số 1 và số 2 còn lại đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại 2 nên ta có A2017 số. - Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu thì hai chữ số 2 đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có 2 số. C2017 Trường hợp 5: Số tự nhiên có 2 chữ số 1, một chữ số 3 thì tương tự như trường hợp 4 ta có 2 2 số. A2017 + C2017 Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số 2 , ba chữ số 1 và 2014 số 0 . - Khả năng 1: Nếu số 2 đứng đầu thì ba chữ số 1 đứng ở ba trong 2017 vị trí còn lại nên ta có 3 số. C2017 - Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu và số 2 đứng ở vị trí mà không có số 1 nào khác đứng trước nó 2 thì hai số 1 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có C2016 số.
40
- Khả năng 3: Nếu số 1 đứng đầu và số 2 đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai số 1 thì hai số 1 2 số. và 2 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có A2016 Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số 1 và 2013 số 0 , vì chữ số 1 đứng đầu nên bốn chữ số 4 số. 1 còn lại đứng ở bốn trong 2017 vị trí còn lại nên ta có C2017 1 2 2 3 2 2 4 Áp dụng quy tắc cộng ta có 1 + 4 C2017 + 2 ( C2017 + A2017 + A2016 + C2016 số cần tìm. ) + ( C2017 ) + C2017
Với mỗi cách phân công trên thì có C84 cách phân công 4 nam về tỉnh thứ hai và có C 44 cách phân công 4 nam còn lại về tỉnh thứ ba. Khi phân công nam xong thì có 3! cách phân công ba nữ về ba tỉnh đó. Vậy có tất cả C124 .C84 .C44 .3! = 4989600 cách phân công. Câu 186. Xét các trường hợp sau :
TH1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có 2!.8! cách.
Dạng 2.2 Bài toán chọn người (vật) Câu 178. Chọn A Chọn 3 bì thư có C63 .
TH2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C có 2!. A41 .7! cách. TH3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có 2!. A42 .6! cách.
Chọn 3 tem thư và dán nó vào 3 bì thư có A53 . Số cách chọn cần tìm là C63 . A53 = 1200 .
TH4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có 2!. A43 .5! cách. 3 5
Câu 179. Chọn ra 3 lọ trong 5 lọ để cắm hoa. Số cách chọn lọ là: C Số cách cắm 3 bông hoa vào 3 lọ được chọn là: 3! Số cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ là: C53 .3! = A 53 . Câu 180. Sắp 6 học sinh thành một hàng ngang, giữa 6 học sinh có 5 khoảng trống, ta chọn 3 khoảng trống và đưa 3 giáo viên vào được cách sắp thỏa yêu cầu bài toán. Vậy tất cả có : 6!. A53 = 43200 cách. Câu 181. Chọn A Số cách chọn 2 vé cho hai bạn muốn ngồi ghế bên chẵn là A32 .
TH5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có 2!. A44 .4! cách. Vậy theo quy tắc cộng có 2! 8!+ A41 7!+ A42 6!+ A43 5!+ A44 4! = 145152 cách.
(
)
Câu 187. Vì chia hết 4 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật nên có 2 người mỗi người nhận 1 đồ vật và 1 người còn lại nhận 2 đồ vật. Chọn 3 đồ vật có C 43 = 4 cách, chia 3 đồ vật đó cho 3 người có 3! = 6 cách. Chọn 1 người trong 3 người để nhận đồ vật còn lại có 3 cách. Vậy có 4.6.3 = 72 cách thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 188. Chọn C Vì trong 5 người được chọn phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất phải có 2 nam nên số học sinh nữ gồm 1 hoặc 2 hoặc 3 nên ta có các trường hợp sau: • chọn 1 nữ và 4 nam. +) Số cách chọn 1 nữa: 5 cách +) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: A152
Số cách chọn 2 vé cho hai bạn muốn ngồi ghế bên lẻ là A32 . Còn lại 2 vé cho hai bạn còn lại có 2! cách. Vậy số cách chọn là: A32 . A32 .2! = 72 cách. Câu 182. Chọn A Có hai người mà mỗi người nhận một đồ vật và một người nhận hai đồ vật. Chọn hai người để mỗi người nhận một đồ vật: có C32 cách chọn.
+) Số cách chọn 2 nam còn lại: C132
Chọn hai đồ vật trao cho hai người: có A42 cách chọn. Hai đồ vật còn lại trao cho người cuối cùng. Vậy số cách chia là : C32 . A42 = 36 cách. Câu 183. Chọn D Số cách lấ y 5 cuốn sách và đem tặng cho 5 học sinh: S = A105 = 30240 cách.
Suy ra có 5 A152 .C132 cách chọn cho trường hợp này. • chọn 2 nữ và 3 nam. +) Số cách chọn 2 nữ: C52 cách.
Số cách chọn sao cho không còn sách Đại số: S1 = C72 .5! = 2520 cách Số cách chọn sao cho không còn sách Giải tích: S 2 = C61 .5! = 720 cách Số cách chọn sao cho không còn sách Hình học: S3 = C72 .5! = 2520 cách. Vậy số cách tặng thỏa yêu cầu bài toán:: S − S1 − S 2 − S3 = 24480 cách tặng. Câu 184. Chọn D Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9 ) và sắp xếp chúng theo thứ tự có A95 cách. Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí). Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0 . Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có C53 cách. Vậy có A95C53 = 151200 số cần tìm. Câu 185. Chọn C Có C124 cách phân công 4 nam về tỉnh thứ nhất 41
+) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: A152 cách. +) Số cách chọn 1 còn lại: 13 cách. Suy ra có 13 A152 .C52 cách chọn cho trường hợp này. • Chọn 3 nữ và 2 nam. +) Số cách chọn 3 nữ: C53 cách. +) Số cách chọn 2 làm đội trưởng và đội phó: A152 cách. Suy ra có A152 .C53 cách chọn cho trường hợp 3. Vậy có 5 A152 .C132 + 13 A152 .C52 + A152 .C53 = 111300 cách. Câu 189. Chọn C Ta dùng phần bù. Sắp 8 người vào 8 vị trí theo hàng dọc có 8! cách sắp xếp. Sắp ông và bà An vào 2 trong 6 vị trí (trừ vị trí đầu và cuối hàng) có A62 cách. Sắp 6 người con vào 6 vị trí còn lại có 6! cách. Vậy có 8!− A62 .6! = 18720 cách sắp xếp. 42
Dạng 2.3 Bài toán liên quan đến hình học Câu 190. Tô màu theo nguyên tắc: Tô 1 ô vuông 4 cạnh: chọn 2 trong 3 màu, ứng với 2 màu được chọn có 6 cách tô. Do đó, có 6.C32 cách tô. Tô 3 ô vuông 3 cạnh (có một cạnh đã được tô trước đó): ứng với 1 ô vuông có 3 cách tô màu 1 trong 3 cạnh theo màu của cạnh đã tô trước đó, chọn 1 trong 2 màu còn lại tô 2 cạnh còn lại, có 3.C21 = 6 cách tô. Do đó có 63 cách tô. Tô 2 ô vuông 2 cạnh (có 2 cạnh đã được tô trước đó): ứng với 1 ô vuông có 2 cách tô màu 2 cạnh (2 cạnh tô trước cùng màu hay khác nhau không ảnh hưởng số cách tô). Do đó có 22 cách tô. Vậy có: 6.C32 .63.4 = 15552 cách tô. Câu 191. Gọi A1 , A2 ,…, A2018 là các đỉnh của đa giác đều 2018 đỉnh. Gọi ( O ) là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều A1 A2 ... A2018 . Các đỉnh của đa giác đều chia ( O ) thành 2018 cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo
360° . bằng 2018 Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của (O ) . Suy ra góc lớn hơn 100° sẽ chắn cung có số đo lớn hơn 200° . Cố định một đỉnh Ai . Có 2018 cách chọn Ai . Gọi A , A , A là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho A A < 160° thì i
j
k
i
k
Ai Aj Ak > 100° và tam giác Ai A j Ak là tam giác cần đếm. 160 = 896 cung tròn nói trên. Khi đó Ai Ak là hợp liên tiếp của nhiều nhất 360 2018 2 cách chọn hai 896 cung tròn này có 897 đỉnh. Trừ đi đỉnh Ai thì còn 896 đỉnh. Do đó có C896 đỉnh A j , Ak . 2 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy có tất cả 2018.C896
Câu 197. Chọn C
Ak n! n! ; Ank = ⇒ Cnk = n . k !(n − k )! (n − k )! k! (Ở D chú ý: Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1 (với 1 ≤ k ≤ n ), Chứng minh bằng phản ví dụ cho n, k các giá trị cụ thể ta dễ dàng loại A, B, D) Câu 198. Chọn B x ∈ ℤ Điều kiện : x ≥ 2 Vì Cnk =
x = −1( l ) Ax2 − Ax1 = 3 ⇔ x ( x − 1) − x = 3 ⇔ x = 3 Vậ y x = 3 . Câu 199. Chọn B Điều kiện: x ≥ 3, x ∈ ℕ .
2 x + Cx3 = Ax2+1 ⇔ 2 x +
x = 1 (l ) x ( x − 1)( x − 2) . = x( x + 1) ⇔ x 2 − 9 x + 8 = 0 ⇔ 6 x = 8
Câu 200. Chọn C An2 + Cn3 =
n!
( n − 2 )!
+
n! 1 = n ( n − 1) + n ( n − 1)( n − 2 ) = 50 3!( n − 3) ! 6
⇔ n3 + 3n 2 − 4n − 300 = 0 ⇔ n = 6 Câu 201. Chọn D Điều kiện: n ∈ ℕ , n ≥ 2 .
n = 5 n( n − 1) + 5n − 15 = 0 ⇔ n 2 − 11n + 30 = 0 ⇔ . 2 n = 6 Hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, chúng có tổng bằng 11 Ta có: An2 − 3Cn2 = 15 − 5n ⇔ n(n − 1) − 3.
n ≥ 3 Câu 202. Điều kiện: . n ∈ ℕ 6n − 6 + Cn3 = Cn3+1 ⇔ 6n − 6 +
Dạng 3. Giải phương trình, bất phương trình, hệ liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Câu 192. Chọn C Câu 193. Chọn A (n − 2)!.(n −1) n n! = = ( n −1) n . Ta có: An2 = (n − 2)! (n − 2)! Câu 194. Chọn A n! . Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được tính theo công thức: Ank = ( n − k )! Câu 195. Chọn C n! Vì Ank = ( n − k )! Câu 196. Chọn A n! Theo lý thuyết công thức tính số các tổ hợp chập k của n : Cnk = . k !( n − k ) !
( n + 1) ! ⇔ 6n − 6 + n ( n − 1)( n − 2 ) = ( n + 1) n ( n − 1) n! = 6 6 3!( n − 3)! 3!( n − 2 )!
n = 1( L ) . ⇔ ( n − 1) 36 + n ( n − 2 ) − ( n + 1) n = 0 ⇔ n = 12 (TM ) Câu 203. Theo đề bài: Cn3 = 2Cn2 (1) (với n ≥ 3 , n ∈ ℕ ) n! n! 1 1 ⇔ =2 ⇔ = ⇔ n =8. 3!( n − 3)! 2!( n − 2 ) ! 6 n−2 Câu 204. Cách 1: ĐK: x ∈ Z; x ≥ 3 . Có Ax3 + C xx − 2 = 14 x ⇔ x ( x − 1)( x − 2 ) +
x ( x − 1)
= 14 x ⇔ 2 ( x − 1)( x − 2 ) + ( x − 1) = 28 2 5 ⇔ 2 x 2 − 5 x − 25 = 0 ⇔ x = 5; x = − . 2 Kết hợp điều kiện thì x = 5 . Cách 2: Lần lượt thay các đáp án vào đề bài ta được x = 5 .
43
44
n ∈ ℕ Câu 205. Điều kiện (*). n ≥ 3
Vậy Tổng của tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn
Với điều kiện (*) phương trình đã cho ⇔
Câu 212. Điều kiện: n ≥ 0 , n ∈ ℕ . ( n + 5) ! = 5. ( n + 3)! ⇔ n + 5 n + 4 = 600 . Cnn+5 = 5 An3+3 ⇔ ( )( ) n !5! n! n = 20 ⇔ n2 + 9n − 580 = 0 ⇔ ⇒ n = 20 . n = −29 n m −n Câu 213. Theo tính chất Cm = Cm nên từ Cmn = Cmn + 2 suy ra 2n + 2 = m .
n! n! + 5. = 2 ( n + 15) . ( n − 3) ! ( n − 2 ) !
⇔ n. ( n − 1) . ( n − 2 ) + 5.n. ( n − 1) = 2 ( n + 15 ) ⇔ n3 − 3n 2 + 2n + 5n2 − 5n = 2n + 30 . ⇔ n3 + 2n 2 − 5n − 30 = 0 ⇔ n = 3 ( thỏa mãn điều kiện (*) ). Vậy n = 3 . n! n! = 20 Câu 206. Điều kiện n ≥ 4 , n ∈ ℕ , ta có Cn4 = 20Cn2 ⇔ 4!( n − 4 )! 2!( n − 2 )!
n = 18 2 3 ⇔ ( n − 2 )( n − 3) = 240 ⇒ ⇒ n = 18 . Vậy M = A3 + 3 A4 = 78 . n = −13
Cm2 = 153 ⇔
( n + 1) ! 3!( n − 2 ) !
−3
n!
( n − 2 )!
= 52 ( n − 1)
( n + 1) n ( n − 1) − 3n
( n − 1) = 52 ( n − 1) ⇔ ( n + 1) n − 6n = 104 ⇔ n2 − 5n −104 = 0 2 n = 13 ( t / m ) ⇔ . Vậy n = 13 . n = −8 ( loai ) x ∈ ℕ Câu 208. Điều kiện: . x ≥ 2 ⇔
x = −1 x! x! . − = 3 ⇔ x ( x − 1) − x = 3 ⇔ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ − − x x 2 ! 1 ! ( ) ( ) x = 3 Kết hợp với điều kiện ta có tập hợp tất cả nghiệm thực của phương trình là {3} .
Ta thấy ( 3n )! tăng theo n và mặt khác 6! = 720 ≥ ( 3n )!
Ax2 − Ax1 = 3 ⇔
Suy ra bất phương trình có nghiệm n = 0,1, 2 . Câu 217. Chọn C n ∈ ℕ . Điều kiện: n ≥ 1 (n + 4)! < 15(n + 2)! Ta có: Pn−1. An4+4 < 15Pn+2 ⇔ ( n − 1)! n! (n + 4)( n + 3) ⇔ < 15 ⇔ n 2 − 8n + 12 < 0 ⇔ 2 < n < 6 ⇒ n = 3, 4,5 . n Câu 218. Chọn B k , x ∈ ℕ Điều kiện: . k ≤ x Bpt ⇔ ( x + 4)( x + 5)( x + 1 − k ) ≤ 60 . • x ≥ 4 ⇒ bất phương trình vô nghiệm. • 0 ≤ x ≤ 4 ta có các cặp nghiệm: ( x; k ) = (1;0),(1;1), (2;2),(3;3) . Câu 219. Chọn C n ∈ ℕ . Điều kiện: n ≥ 2 (n + 1)n 10 n(n − 1) > n ⇔ 2≤n≤5. Bpt ⇔ 2 3 2
Câu 209. Điều kiện: n ∈ ℕ , n ≥ 2 . Cn2 + An2 = 9n ⇔
m ( m − 1)
= 153 ⇒ m = 18 . Do đó n = 8 . 2 Vậy m + n = 26 . 1 ( n − 2)! 1 1 1 Câu 214. Ta có 2 = = = − . Cho n ∈ N và n chạy từ 2 đến 2019 ta được: An n! ( n − 1) n n − 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2018 . S = 2 + 2 +⋯+ 2 = 1− + − + ⋯+ − = 1− = A2 A3 A2019 2 2 3 2018 2019 2019 2019 Câu 215. Điều kiện n ≥ 8, n ∈ ℕ n! n! 1 1 Cn7 = Cn8 ⇔ = ⇔ = ⇔ n − 7 = 8 ⇔ n = 15 (TM ) . 7!( n − 7 )! 8!( n − 8 )! n−7 8 Câu 216. Chọn A Điều kiện n ∈ ℤ, n ≥ 0 . Với điều kiện đó bất phương trình tương đương: 3 ( 2 n ) ! ( 3n ) ! ≤ 720 ⇔ ( 3n ) ! ≤ 720 . ( n !) n !n ! ( 2n ) !n !
n ≥ 2 Câu 207. Điều kiện . n ∈ ℕ Ta có 3Cn3+1 − 3 An2 = 52 ( n − 1) ⇔ 3
1 1 7 là: 3 + 8 = 11 . − = Cn1 Cn2+1 6Cn1+ 4
n! n! ( n − 1) n + n − 1 n = 9n ⇔ 3 n − 1 = 18 ⇔ n = 7 . + = 9n ⇔ ( ) ( ) 2!( n − 2 )! ( n − 2 )! 2
Vậy n chia hết cho 7 .
Câu 210. Tổng số đường chéo và cạnh của đa giác là : Cn2 ⇒ Số đường chéo của đa giác là Cn2 − n . Ta có : Số đường chéo bằng số cạnh n! = 2n ⇔ n ( n − 1) = 4 n ⇔ n − 1 = 4 ⇔ n = 5 . 2!( n − 2 )! Câu 211. Điều kiện: n ≥ 1 , n ∈ N . 1 1 7 1 2 7 1 1 7 ⇔ − = ⇔ − = − = n! ( n + 1) ! 6. ( n + 4 )! n n ( n + 1) 6. ( n + 4) Cn1 Cn2+1 6Cn1+ 4 ( n − 1)!.1! ( n − 1)!.2! ( n + 3)!.1! ⇔ Cn2 − n = n ⇔
n = 3 ⇔ n2 − 11n + 24 = 0 ⇔ . n = 8 45
46
Câu 220. Chọn A Điều kiện x, y ∈ ℕ; x ≥ y .
Trường hợp 2: chọn 2 điểm trên đường thẳng d1 và 1 điểm trên đường thẳng d2 có C52 .Cn1 5.n ! 10.n ! Số tam giác được tạo thành là C51.Cn2 + C52 .Cn1 = 175 ⇔ + = 175 2!( n − 2 )! 1!( n − 1) !
( x + 1)! ( x + 1)! = y +1 y Cx +1 = C x +1 ( y + 1)!( x − y )! y !( x − y + 1)! Ta có: y +1 ⇔ y −1 ( x + 1)! ( x + 1)! 3 3C x +1 = 5C x +1 =5 ( y + 1)!( x − y )! ( y − 1)!( x − y + 2)!
⇔
Câu 222.
Câu 223.
Câu 224.
2
n = 7 + 10n = 175 ⇔ 5n 2 + 15n − 350 = 0 ⇔ . n = −10 ( l )
Câu 226. Chọn B Gọi số đỉnh của đa giác là n , n ∈ ℕ và n > 3 . Vậy số cạnh của đa giác cũng là n . Ta có: Cứ chọn hai điểm bất kì của đa giác ta sẽ được một đoạn thẳng (hoặc là cạnh hoặc là đường chéo). n ( n − 1) n! Vậy ta có: Cn2 = = đoạn thẳng. 2!( n − 2 )! 2
1 1 y +1 = x − y +1 x = 2 y ⇔ ⇔ 3 5 3( y + 1)( y + 2) = 5 y ( y + 1) = y ( y + 1) ( x − y + 1)( x − y + 2)
Câu 221.
5 ( n − 1) n
x = 2 y x = 6 ⇔ ⇔ . y y 3 + 6 = 5 y = 3 Chọn D n ∈ ℕ . Điều kiện: n ≥ 2 ( n + 1) n < 14 n + 1 ⇔ 2n2 − n − 28 < 0 ⇔ − 7 < n < 4 . Bpt ⇔ ( n + 1) n ( n − 1) + ( ) 2 2 Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: 2 ≤ n < 4 . Chọn A Với n ≥ 2, n ∈ ℕ ta có: ( n + 3) ! > 5 n ! ⇔ n n 2 − 9n + 26 + 6 > 0 luôn đúng 5 5 Cnn+−21 + Cnn+ 2 > An2 ⇔ Cnn+3 > An2 ⇔ ( ) n !3! 2 2 2 ( n − 2 )! với mọi n ≥ 2 . Vậy nghiệm của bất phương trình n ≥ 2, n ∈ ℕ . Chọn A x ∈ ℕ Điều kiện: . x ≥ 3 1 2 6 A2 x − Ax2 ≤ Cx3 + 10 ⇔ x ( 2 x − 1) − x ( x − 1) ≤ ( x − 1)( x − 2 ) + 10 2 x 3x ≤ 12 ⇔ x ≤ 4 . Kết hợp đk ta đc 3 ≤ x ≤ 4 Chọn D Điều kiện x, y ∈ ℕ; x ≤ y .
n ( n − 3) −n= đường chéo. 2 2 Theo giả thiết, số đường chéo gấp đôi số cạnh nên ta có: n = 0 ( L ) n ( n − 3) . = 2n ⇔ n 2 − 7 n = 0 ⇔ 2 n = 7 (TM ) Kết luận: Số cạnh đa giác thỏa mãn yêu cầu bài toán là 7 . Câu 227. Chọn D Số cách các xếp học sinh vào ghế là ( 2n + 3) !. Suy ra số đường chéo là:
n ( n − 1)
Nhận xét rằng nếu ba số tự nhiên a , b, c lập thành một cấp số cộng thì a + c = 2b nên a + c là một số chẵn. Như vậy a , c phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Từ 1 đến 2n + 3 có n + 1 số chẵn và n + 2 số lẻ. Muốn có một cách xếp học sinh thỏa số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng ta sẽ tiến hành như sau: Bước 1: chọn hai ghế có số thứ tự cùng chẵn hoặc cùng lẻ rồi xếp An và Chi vào, sau đó xếp Bình vào ghế chính giữa. Bước này có An2+1 + An2+ 2 cách. Bước 2: xếp chỗ cho 2n học sinh còn lại. Bước này có ( 2n ) ! cách. 2 2 Như vậy số cách xếp thỏa yêu cầu này là An+1 + An+2 . ( 2n )!.
(
Ta có phương trình An2+1 + An2+ 2 . ( 2n ) !
(
)
( 2n + 3 ) !
=
)
n ( n + 1) + ( n + 1)( n + 2 ) 17 17 ⇔ = 1155 ( 2n + 1)( 2n + 2 )( 2n + 3) 1155 ⇔ 68n 2 − 1019n − 1104 = 0
2 Ayx + 5C yx = 90 Ayx = 20 Ta có: x ⇔ . x x 5 Ay − 2C y = 80 C y = 10 20 =2⇔ x=2 Từ Ayx = x !C yx suy ra x ! = 10
n = 16 ⇔ n = − 69 ( loaï i) 68 Vậy số học sinh của lớp là 35 .
y = −4 (loai) Từ Ay2 = 20 ⇔ y ( y − 1) = 20 ⇔ y 2 − y − 20 = 0 ⇔ y = 5 Vậy x = 2; y = 5 . Câu 225. Để tạo thành một tam giác cần 3 điểm phân biệt Trường hợp 1: chọn 1 điểm trên đường thẳng d1 và 2 điểm trên đường thẳng d2 có C51.Cn2 47
48
TOÁN 11
NHỊ THỨC NEWTON VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Phần A. CÂU HỎI Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton
1D2-3 Câu 1.
Mục lục Phần A. CÂU HỎI .......................................................................................................................................................... 2 Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton ............................................................................................................. 2 Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton.......................................................................................... 3
h
m
Câu 6.
Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán ............................................................................................................ 13
n
m
m
Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng ..................................................................................................... 35 Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán ............................................................................................................ 36
1
3
2
2
3
4
5
B. x − 5 x y − 10 x y − 10 x y − 5 xy + y . D. x5 + 5 x 4 y − 10 x3 y 2 + 10 x 2 y 3 − 5 xy 4 + y 5 .
B. 512 .
C. 1024 .
D. 2048 .
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Tính tổng các hệ số trong khai 2018 triển (1 − 2x ) . B. 1.
C. −2018 .
D. 2018 .
(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Trong khai triển nhị thức newton của P( x) = ( 3 2 x + 3)2018 thành đa thức,có tất cả có bao nhiêu số hạng có hệ số nguyên dương? A. 673. B. 675. C. 674. D. 672.
Câu 10.
(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Trong khai triển (1 − 2 x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a20 x 20 .
20
Giá trị của a0 − a1 + a2 bằng A. 801. B. 800.
h
l
4
Câu 9.
Dạng 2.2.2 Tổng ( a1 + b1 ) + ( a2 + b2 ) + ... + ( ak + bk ) ......................................................................... 33 Dạng 2.2.3 Tích ( a1 + .. + an ) . ( b1 + ... + bn ) ........................................................................................... 35
5
(THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Khai triển ( 5 − 4 7)124 . Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên? A. 30 . B. 31. C. 32 . D. 33 .
Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức .................................................................................................................... 31 n
5
Câu 8.
Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k .................................................................................................... 18
Dạng 2.2.1 Dạng ( a1 + a2 + ...ak ) ........................................................................................................... 31
4
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Từ khai triển biểu thức 10 thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là
A. −1.
Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức ........................................................................................................................... 16
Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập) .............................................................................. 27
3
10
A. 1023 . Câu 7.
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton........................................................................................ 16
Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n .......................... 20
2
( x + 1)
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................. 14
Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng ............................................................................................. 16
2
Từ khai triển biểu thức ( x + 1) thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là A. 1023 . B. 512 . C. 1024 . D. 2048 .
l
Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton ........................................................................................................... 14
3
Câu 5.
Dạng 2.2.3 Tích ( a1 + .. + an ) . ( b1 + ... + bn ) ........................................................................................... 12 Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng ..................................................................................................... 13
5
4
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (3 − 2 x)2019 có bao nhiêu số hạng? A. 2019 . B. 2018 . C. 2020 . D. 2021 .
Dạng 2.2.1 Dạng ( a1 + a2 + ...ak ) ........................................................................................................... 11 m
D. 2020 .
Câu 4.
n
n
C. 2018 .
A. x − 5 x y + 10 x y − 10 x y + 5 xy − y . C. x5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 xy 4 + y 5 .
Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập) ................................................................................ 8
Dạng 2.2.2 Tổng ( a1 + b1 ) + ( a2 + b2 ) + ... + ( ak + bk ) ......................................................................... 12
B. 2017 .
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn ( x − y ) . 5
Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n ............................ 5
D. 51 .
2018
A. 2019 . Câu 3.
C. 52 .
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức
( 2 x − 3)
Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng ............................................................................................... 3
Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức .................................................................................................................... 11
B. 50 .
A. 49 . Câu 2.
Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức ............................................................................................................................. 3
Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k ...................................................................................................... 4
(THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Số số hạng trong khai triển 50 ( x + 2 ) là
Câu 11.
C. 1.
D. 721.
(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức
(
A. 136 .
B. 403 .
3
3+ 5 5
)
2019
? C. 135 .
D. 134 .
2
2019
Câu 12.
1 1 1 1 (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Trong khai triển của x 15 y 3 + x 3 y 5 , số hạng mà lũy thừa của x và y bằng nhau là số hạng thứ bao nhiêu của khai triển? A. 1348 . B. 1346 . C. 1345 . D. 1347 . 20
Câu 13. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho khai triển (1 − 2 x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ⋯ + a20 x20 . Giá trị
Câu 21.
15
2 Newton x − 2 là x A. −3640 .
Câu 22.
B. 320 .
C. 0 .
B. 3640 .
C. 455.
D. −1863680
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Tìm hệ số của x 25 y10 trong 15
khai triển ( x 3 + xy ) .
của a0 + a1 + a2 + ⋯ + a20 bằng: A. 1.
(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Hệ số của số hạng chứa x 6 trong khai triển
A. 58690.
D. −1.
B. 4004.
C. 3003.
D. 5005. 6
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng Câu 14.
Câu 23.
(Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển nhị thức 12
2 x− (với x > 0 ) là: x x A. 376 . B. −264 . Câu 15.
C. 264 .
6
Câu 24.
D. 260 .
(HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Tìm hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai
Câu 25.
13
1 triển nhị thức x + , (với x ≠ 0 ). x A. 1716. B. 68.
Câu 16.
C. −176.
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Biết hệ số của x 2 trong khai n triển của (1 − 3 x ) là 90 . Tìm n .
A. n = 7 . B. n = 6 . Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k
D. 286.
40
Câu 26. B. C402 .
3 C. C40 .
5 D. C40 .
1 3 (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Hệ số lớn nhất trong khai triển + x 4 4 9 27 27 27 A. . B. . C. . D. . 32 32 64 128
4
C. n = 8 .
D. n = 5 .
(HKI-Chu Văn An-2017) Cho biết hệ số của x 2 trong khai triển (1 + 2 x ) bằng 180 .Tìm n . A. n = 8 . B. n = 12 . C. n = 14 . D. n = 10 .
Câu 19.
(HKI-Chu Văn An-2017) Tìm hệ số của x 7 trong khai triển (1 + x) . A. 90 . B. 720 . C. 120 . D. 45 .
Câu 29.
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Tìm hệ số h của số hạng chứa x trong khai triển
B. −C133 x 7 .
D. −C134 .
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Tìm số hạng chứa x 31 trong khai triển 40
37 31 x . B. −C 40
A. C 404 x 31 .
D. h = 280 . Câu 30.
37 31 x . C. C 40
3 31 x . D. C 40
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số hạng chứa x34 trong khai 1 triển x + x
3
C. −C134 x 7 .
1 x+ 2 ? x
7
C. h = 560 .
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Tìm số hạng chứa x 7 trong khai triển 13
5
B. h = 672 .
1 (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển x − . 2x 1 1 A. − C93 x3 . B. C93 ⋅ x 3 . C. −C93 ⋅ x 3 . D. C93 x 3 . 8 8
1 x− . x A. −C133 .
10
2 2 x + . x A. h = 84 .
15
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Số hạng thứ 13 trong khai triển ( 2 − x ) bằng? A. 3640x13 . B. 3640x12 . C. −420x12 . D. 3640 . 9
Câu 27.
Câu 28.
n
Câu 18.
Câu 20.
2 (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho khai triển x + với x > 0 . Tìm hệ số x 3 của số hạng chứa x trong khai triển trên A. 80 . B. 160 . C. 240 . D. 60 .
(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Hệ số của x31 trong khai triển
1 x + 2 , x ≠ 0 là. x 4 A. C40 . Câu 17.
2 (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho khai triển x + với x > 0 . Tìm hệ số x 3 của số hạng chứa x trong khai triển trên A. 80 . B. 160 . C. 240 . D. 60 .
40
là 4
37 34 A. −C40 x .
Câu 31.
3 34 B. C40 x .
2 34 C. C40 x .
Câu 40.
4 34 D. C40 x .
(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Biết hệ số của số hạng chứa x trong khai n triển (1 + 4 x ) là 3040 . Số tự nhiên n bằng bao nhiêu? A. 28 .
B. 26 .
C. 24 .
A. n = 5 . Câu 33.
B. n = 8 .
C. n = 6 .
Câu 41.
C. n = 8 .
Câu 34. (THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển của 5
2 biểu thức 3x3 − 2 . x A. −810 . B. 826 .
C. 810 .
D. 421 .
Câu 35. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x
Câu 43. 31
trong khai
31 B. C40 .
4 C. C40 .
D. C 402 .
Câu 44.
(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn
Câu 39.
B. 25 C105 x5 .
C. 27 C103 x5 .
n
n
1 hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển của biểu thức x 2 + 3 bằng. x A. 120 . B. 252 . C. 45 . D. 210 .
n
Câu 46.
1 (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho nhị thức 2 x 2 + 3 , trong đó số nguyên dương n x thỏa mãn An3 = 72n . Tìm số hạng chứa x 5 trong khai triển.
A. 26 C104 x5 .
(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Với n là số tự nhiên thỏa mãn
Câu 45. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn1 + Cn3 = 13n ,
n
Câu 38.
n
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Tìm số hạng chứa x 26 trong khai triển
2 Cnn−−46 + nAn2 = 454 , hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của − x3 x ( với x ≠ 0 ) bằng A. 1972 . B. 786 . C. 1692 . D. −1792 .
2 3 Câu 36. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Trong khai triển x + , hệ số của x ( x > 0) là: x A. 80 . B. 160 . C. 240 . D. 60 . Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n
3 Cn0 + 2.Cn1 + 22.Cn2 + ... + 2 n.Cnn = 59049 . Biết số hạng thứ 3 trong khai triển Newton của x 2 − x 81 có giá trị bằng n . Khi đó giá trị của x bằng 2 A. 1 B. 2 . C. ±1 D. ±2 .
3 (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Tìm hệ số của số hạng chứa x 6 trong khai triển 2 x 2 − x 2 14 1 k x , bi ế t r ằ ng là s ố t ổ h ợ p ch ậ p c ủ a ph ầ n t ử ). ≠ 0 n k + = ( Cn ( ) Cn2 3Cn3 n A. 326592 . B. 3265922 C. 3265592 D. 32692 . n
6
Câu 37.
D. 3247695 .
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Tìm hệ số của x 6 trong khai triển
1 7 1 2 n 20 4 + x biết n là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức C2 n+1 + C2 n+1 + ... + C2 n+1 = 2 − 1 . x A. 325 . B. 210 . C. 200 . D. 152 .
40
1 triển x + 2 . x 37 A. C 40 .
THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho khai triển trong đó n ∈ ℕ * và các hệ số thỏa mãn hệ thức
3n +1
Câu 42.
D. n = 10 .
11
1 3 2 2 + x với x ≠ 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3Cn +1 + nP2 = 4 An . x A. 210 x6 . B. 210. C. 120 x 6 . D. 120.
D. n = 7 . n
B. n = 14 .
LỚP
= a0 + a1 x1 + ... + an x n
a a1 + ... + nn = 4096 . Tìm hệ số ai lớn nhất. 3 3 A. 1732104. B. 3897234. C. 4330260.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho biết hệ số của x 2 trong khai triển (1 + 2 x ) bằng
180 . Tìm n . A. n = 12 .
HK1 n
a0 +
D. 20 .
Câu 32. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Biết hệ số của x 2 trong khai n triển của (1 − 3 x ) là 90 . Tìm n .
(THI
(1 + 3x )
2
D. 26 C107 x5 .
(THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
3 An2 = Cn2 + Cn1 + 4n + 6 . Hệ số của số hạng chứa x 9 của khai triển biểu thức P ( x ) = x2 + x bằng: A. 18564 . B. 64152 . C. 192456 . D. 194265 .
n
Câu 47. (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Biết n là số nguyên dương thỏa mãn n
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị n
3 thức Newton của 2 x 2 − ( x ≠ 0 ) , biết rằng 1.Cn1 + 2.Cn2 + 3.Cn3 + ... + n.Cnn = 256 n ( Cnk là số tổ x hợp chập k của n phần tử). A. 489888 B. 49888 . C. 48988 . D. 4889888 . 5
2 Cnn−1 + Cnn−2 = 78 , số hạng chứa x 8 trong khai triển x3 − là x A. −101376x8 . B. −101376 . C. −112640 . D. 101376x8 . Câu 48. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn n
3Cn3+1 − 3 An2 = 52 ( n − 1) . Trong khai triển biểu thức ( x 3 + 2 y 2 ) , gọi Tk là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đó bằng 34 . Hệ số của Tk là A. 54912 . B. 1287 . C. 2574 .
D. 41184 . 6
Câu 49.
(SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cn1 − Cn2 = 5 . Tìm n
1 hệ số a của x 4 trong khai triển của biểu thức 2 x + 2 . x A. a = 11520 . B. a = 256 . C. a = 45 .
n
Câu 58.
Câu 59.
2n
D. 1042 .
(THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018) Với n là số nguyên n
1 n
(THPT PHÚ LƯƠNG - THÁI NGUYÊN - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai
n x triển nhị thức Niutơn của + , ( x ≠ 0 ) , biết số nguyên dương n thỏa mãn Cn3 + An2 = 50. 2x 2 97 29 297 279 A. . B. . C. . D. . 12 51 512 215
Câu 61.
Câu 62.
Câu 54.
(THPT
(1 − 2 x )
n
CHUYÊN
AN
C. 48988 . GIANG
-
2018)
Giả
sử
có
khai
triển
B. 672 .
C. 627 .
Câu 64. D. −627 .
(HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển (1 + 3 x ) B. 63216 .
C. 61326 .
Câu 65. 2n
D. 66321 .
(CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn n n 3n Cn0 − 3n −1 Cn1 + 3n −2 Cn2 − ..... + ( −1) Cnn = 2048 . Hệ số của x10 trong khai triển ( x + 2 ) là: A. 11264 .
C. −1959552 .
D. 1959552 .
[HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018] Biết n là số nguyên dương thỏa mãn
B. 22 .
C. 220 .
D. 101376x8 .
(ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 - 2018) Tìm số hạng chứa x 5 trong khai triển n
n
Câu 57.
B. −2099520 .
2 4 3 2 x − , biết n là số tự nhiên thỏa mãn Cn = n + 2Cn x 3 A. 134 B. 144 C. 115
(CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện
biết An3 + 2 An2 = 100 A. 61236 .
(THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức 2n của ( 2 − 3 x ) , biết n là số nguyên dương thỏa mãn: C20n+1 + C22n+1 + C24n+1 + ... + C22nn+1 = 1024 .
2 Cnn−1 + Cnn−2 = 78 , số hạng chứa x 8 trong khai triển x 3 − là x A. −101376x8 . B. −101376 . C. −112640 .
D. 4889888 .
2 An2 − Cn3 = 10 , tìm hệ số a5 của số hạng chứa x 5 trong khai triển x 2 − 3 với x ≠ 0 . x A. a5 = 10 . B. a5 = −10 x 5 . C. a5 = 10 x 5 . D. a5 = −10 . Câu 56.
D. 3003 . 5
A. 2099529 . Câu 63.
C. 5005 .
n
B. 49888 .
= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n . Tìm a5 biết a0 + a1 + a2 = 71.
A. −672 . Câu 55.
( Cnk là số tổ hợp chập k
(THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển n
n
( x ≠ 0 ) , biết rằng 1.Cn1 + 2.Cn2 + 3.Cn3 + ... + nCnn = 256n
D. 13129 .
1 (CTN - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của x 4 trong khai triển nhị thức Newton 2 x + 5 với x x > 0 , biết n là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn An5 ≤ 18 An4−2 . A. 8064 . B. 3360 . C. 13440 . D. 15360 .
2 1 2 2 x − biết An − Cn = 105 . x A. −3003 . B. −5005 .
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
3 của 2 x 2 − x của n phần tử). A. 489888 .
(THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển
n
Câu 60.
2n
Câu 53.
D. 16 .
1 5 n +1 n 3 + x ; ( x > 0 ) biết Cn + 4 − Cn +3 = 7 ( n + 3) là x A. 1303 . B. 313 . C. 495 .
3 dương thoả mãn A + 3C = 120 , số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức x 4 − x bằng A. 295245 . B. 245295 . C. 292545 . D. 259254 . Câu 52.
C. 15 .
n
1 3 Ann−2 + Cn3 = 40 . Hệ số của x 6 trong khai triển 2 x − là x A. 1024 . B. −1024 . C. −1042 .
2 n
B. 12 .
A. 9 .
D. a = 3360 .
Câu 50. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn
Câu 51.
1 (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Trong khai triển 3x 2 + biết hệ số của x 3 là x 34 C n5 . Giá trị n có thể nhận là
D. 24 .
7
D. 141
2 (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển x 3 − x , biết n là sô nguyên dương thỏa mãn Cnn−1 + Cnn−2 = 78 . A. 112640 . B. 112643 . C. −112640 . D. −112643 . Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập)
n
9
Câu 66.
8 (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Trong khai triển x + 2 , số hạng không x chứa x là A. 40096. B. 43008. C. 512. D. 84.
8
Câu 67.
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số hạng độc lập với x trong 8
2 khai triển x3 − là x A. 1792 .
Câu 68.
B. 792 .
C. 972 .
D. 1972 .
7
Câu 77.
Câu 78.
(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 12
3 1 x − . x A. − 220 . Câu 69.
B. 220 .
C. 924 .
D. − 924 . 30
Câu 70.
D. C3020 .
(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Số hạng không chứa x
x +1 x −1 − Câu 79. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho biểu thức P = với x > 0 , x ≠ 1 . 3 2 3 x − x +1 x − x Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Niu-tơn của P . A. 200 . B. 160 . C. 210 . D. 100 . Câu 80.
15 C. C45 .
15 D. −C 45 .
9
Câu 81.
2 (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Số hạng không chứa x trong khai triển x + x là A. C105 . B. −C105 .25 . C. −C105 . D. C105 .2 5 .
2 triển của 3 x − 4 với x > 0 là: x A. 26 C148 . B. 26 C146 . Câu 82.
7
6
Câu 74.
(THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tìm số hạng không chứa x
D. 525 .
Câu 83. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn1 + Cn2 = 55 , số n
B. 15 .
C. −240 .
D. −15 .
12
B. 495 .
C. −495 .
Câu 84.
D. 924 .
1 Câu 75. (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển x − 2 x 15 30 5 15 A. C45 . B. C45 . C. −C45 . D. −C45 .
là
Câu 85.
D. 322560
(ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Tìm số hạng không n 1 chứa x trong khai triển của x x + 4 với x > 0 , nếu biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn x C n2 − C n1 = 44 . A. 485.
45
B. 525.
C. 165.
D. 238
(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của n
1 2 1 x x + 4 , với x > 0 , nếu biết rằng Cn − Cn = 44 . x A. 165 . B. 238 . C. 485 .
5
Câu 76.
D. −28 C148 .
2 hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức x 3 + 2 bằng x A. 13440 B. 3360 C. 80640
(Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Số hạng không chứa x trong khai triển biểu thức
1 A = − x 2 là x A. −924 .
C. 28 C148 .
1 trong khai triển của x11 x + 5 với x > 0 . x A. 485 . B. 238 . C. 165 .
(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 1 2x − x 2 , x ≠ 0 . A. 240 .
D. −672 .
11
1 Câu 72. (Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Số hạng không chứa x trong khai triển 3 x + 4 là: x A. 5. B. 35. C. 45. D. 7.
Câu 73.
C. 672 .
(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Số hạng không chứa x trong khai 14
10
Câu 71.
(THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI - 2018) Số hạng không chứa x trong
2 khai triển f ( x ) = x − 2 , x ≠ 0 bằng x A. 5376 . B. −5376 .
45
trong khai triển x − 1 là x2 5 5 A. C45 . B. −C45 .
(Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho x là số thực dương, số hạng không chứa x 30 2 trong khai triển nhị thức x + là x 10 A. 2 20 . B. 2 20.C30 . C. 210.C3020 . D. C 3020 . 10
(KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho x là số thực dương,
2 số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức x + là x 20 10 10 20 20 A. 2 . B. 2 C30 . C. 2 C30 .
1 (Kim Liên - Hà Nội - Lần 1 - 2019) Số hạng không chứa x trong khai triển 3 x + 4 là x A. 5. B. 35. C. 45. D. 7.
1 (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x 2 + 3 . x A. 10 . B. 20 . C. 5 . D. 1.
9
D. 525 .
10
Câu 86. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển 2n
3 3 2 2 x − 3 với x ≠ 0 , biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cn + 2n = An +1 là: x A. −C1612 .24.312 . B. C160 .216 . C. C1612 .24.312 . D. C1616 .20 . Câu 87.
n
Câu 96.
(CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Sau khi khai triển và rút gọn thì 18
n
Dạng 2.2.1 Dạng ( a1 + a2 + ...ak )
(HKI
–
C. 8 .
D. 5376 .
2 2017
B. 1.
A. 0 .
QUANG
PHỤC
B. 16269122 .
2018-2019)
Cho
khai
C. 8132544 .
B. −262440 .
C. −4320 .
Câu 90. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Cho khai triển ( 3 − 2 x + x Giá trị a15 bằng A. 218700 .
Câu 91.
Câu 99.
B. 489888 .
3 10
)
thành
D. −62640 . 2 9
)
C. −804816 .
18
17
16
= a0 x + a1 x + a2 x + ... + a18 .
D. −174960 .
(THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Tìm hệ số của x 3 sau khi khai triển và rút gọn 9
1 các đơn thức đồng dạng của − x + 2 x 2 , x ≠ 0 . x A. −2940 . B. 3210 . C. 2940 . Câu 92.
C. 2018 .
2018
D. 2017 .
21
3 1 f ( x ) = x 2 + + 2 x3 + 2 thì f ( x ) có bao nhiêu số hạng? x x A. 30 . B. 32 . C. 29 .
triển
D. 18302258 .
Câu 89. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Tìm hệ số của x 7 trong khai triển f ( x ) = (1 − 3x + 2 x đa thức. A. 204120 .
+ (3 − 2x )
Câu 98. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức
= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a4034 x 4034 . Tìm a2 .
A. 9136578
2017
= a2018 x 2018 + a2017 x 2017 + ... + a1 x + a0 . Khi đó S = a2018 + a2017 + ... + a1 + a0 bằng
n
TRIỆU
(1 − 3x + 2 x )
D. 25
Câu 97. (PTNK CƠ SỞ 2-TPHCM-LẦN1- 2018) Cho đa thức P ( x ) = ( x − 2 )
12
Câu 88.
h
1 P( x) = (1 + x)12 + x 2 + có tất cả bao nhiêu số hạng x A. 27 . B. 28 . C. 30 .
(SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Với số nguyên dương n thỏa mãn Cn2 − n = 27 , trong khai 2 triển x + 2 số hạng không chứa x là x A. 84 . B. 672 . Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức
m
Dạng 2.2.2 Tổng ( a1 + b1 ) + ( a2 + b2 ) + ... + ( ak + bk )
D. 35 .
(THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển 6 7 12 P ( x ) = ( x + 1) + ( x + 1) + ... + ( x + 1) . A. 1716 . B. 1715 . C. 1287 . D. 1711.
Câu 100. (CHUYÊN BẮC NINH LẦN 2 2018) Cho đa thức: 8 9 10 11 12 P ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) . Khai triển và rút gọn ta được đa thức:
P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a12 x12 . Tìm hệ số a8 . A. 720 . B. 700 . C. 715 .
D. 730 .
Câu 101. (CHUYÊN BẮC NINH LẦN 2 2018) Cho đa thức 8 9 10 11 12 P ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) . Khai triển và rút gọn ta được đa thức
P ( x ) = a0 + a1 x + ... + a12 x12 . Tính tổng các hệ số ai , i = 0; 1; 2; ...; 12 . B. 7936 . C. 0 . D. 7920 .
A. 5 .
D. −3210 .
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Hệ số của số hạng chứa x 7
m
Dạng 2.2.3 Tích ( a1 + .. + an ) . ( b1 + ... + bn )
l
6
trong khai triển x 2 − 3 x + 2 bằng
(
A. −6432 .
)
B. −4032 .
C. −1632 .
Câu 102. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x 9 trong khai 11 triển nhị thức Newton (1 + 2 x )( 3 + x ) .
D. −5418 . 10
Câu 93. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển (1 + x + x 2 + x 3 ) . A. 582 .
B. 1902 .
C. 7752 .
A. 4620 .
D. 252 .
Câu 94. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 3Cn0 + 4Cn1 + 5Cn2 + ... + (n + 3)Cnn = 3840 .Tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển (1 + x − x 2 + x 3 ) n là A. 410 .
Câu 95. (THPT
(1 + x + x
B. 4 9 .
CHUYÊN 2
VĨNH
C. 210 . PHÚC
-
4
-
2018)
CHUYÊN 10
(1 + 2 x )
THĂNG
2 2
(3 + 4x + 4x )
A. 482496 .
C. 9405 . LONG
-
ĐÀ
D. 2890 . LẠT
-
2018)
Cho
khai
triển
= a0 x + a1 x + a2 x 2 + … + a14 x14 . Tìm giá trị của a 6 .
B. 529536 .
C. 278016 .
D. 453504 .
Câu 104. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Hệ số của x6 trong khai triển
D. 2 9 . LẦN
B. 1380 .
Câu 103. (THPT
Giả
sử
11
+ x3 + ... + x10 ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + ... + a110 x110 với a0 , a1 , a2 ,…, a110 là các hệ số.
11 a0 bằng Giá trị của tổng T = C110 a11 − C111 a10 + C112 a9 − C113 a8 + ... + C1110 a1 − C11 A. T = −11 . B. T = 11 . C. T = 0 . D. T = 1 .
11
( 2 x + 1)6 x 2 + x +
1 A. C146 . 2
4
1 thành đa thức là 4 1 B. C146 . 4
C. C146 .
D. 4C148 . 12
Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng
A. 324 .
Câu 105. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Hệ số của 6 8 x ( 2 x − 1) + ( x − 3 ) bằng B. −1272
A. 1752
x5 trong khai triển biểu thức
C. 1272
6
1 2 3 2016 Câu 119. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - 2018) Tổng C2016 bằng + C2016 + C2016 + ... + C2016 2016 2016 2016 A. 2 . B. 4 . C. 2 + 1 . D. 2 2016 − 1 .
A. 13848
B. 13368
trong khai triển biểu thức
C. −13848
D. −13368 x5
Câu 109. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Hệ số của 6 8 x ( x − 2 ) + ( 3 x − 1) bằng A. −13548 .
B. 13548 .
C. −13668 .
Câu 110. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Tìm hệ số của x 5 5
trong khai triển
Câu 120. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn0 + 4Cn1 + 4 2 Cn2 + ... + 4 n Cnn = 15625 . Tìm n . A. n = 3 . B. n = 5 . C. n = 6 . D. n = 4 . 1 2 2018 2019 Câu 121. (THPT THUẬN THÀNH 1) Tổng S = 2C2019 tương ứng + 3C2019 + ... + 2019C2019 + 2020C2019 bằng: A. 2020.2 2019 . B. 2019.22018 . C. 2021.2 2018 − 1 . D. 2020.2 2019 − 1 .
12 13 20 22 Câu 122. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Tính tổng S = C22 + C22 + .... + C22 + C2221 + C22 . 11 C22 C 11 11 . C. S = 2 21 − 22 . D. S = 2 21 − C22 . 2 2 k Câu 123. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Kí hiệu Cn là số tổ hợp chập k của n phần
11 A. S = 221 + C22 .
D. 13668 . trong khai triển đa thức
10
B. 263.
C. 632.
0 1 2 2017 2018 S = C2018 + 2C2018 + 3C2018 + ... + 2018C2018 + 2019C2018
D. 956.
Câu 111. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển 5 10 P ( x ) = x (1 − 2 x ) + x 2 (1 + 3 x ) . A. 3240 .
B. 3320 .
C. 80 .
A. 1009.22016 . Câu 124. (TOÁN
01_VĨNH
YÊN_VĨNH PHÚC_2019) 1 20 S = 3 C + 3 C + 3 C + ... + C20 . Giá trị 3S là 3 4 19 4 18 A. 4 20 . B. . C. . 3 3 0 20
18
1 20
17
Cho
biểu
thức
2 20
D.
Câu 114. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Tổng 1 2 2018 C2018 + C2018 + ... + C2018 bằng 2018 A. 2 . B. 2 2018 + 1 . C. 2 2018 − 1 . D. 4 2016 .
2
-
2 5
5
5 5
Câu 116. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Tổng S = C + 2C + 2 C + ... + 2 C bằng:
13
B. 20! .
THÁNG
4
-
2018)
Biểu
thức
10
bằng
C.
1 . 10!
D.
1 . 100!
B. 3 .
C. 0 .
D. 1.
Câu 126. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Gọi n là số nguyên dương thỏa mãn: 1 1 1 1 1024 + + + ..... + = 1!( n − 1)! 3!( n − 3) ! 5!( n − 5 )! ( n − 1) !1! n ! Tìm mệnh đề đúng. A. n là số chia hết cho 10 . B. n là số nguyên tố. C. n là số chia hết cho 3 . D. n là số chia hết cho 4 .
1 3 5 2017 + C2017 + C2017 + ... + C2017 Câu 115. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 1 - 2018) Tổng T = C2017 bằng: A. 2 2017 − 1 . B. 2 2016 . C. 2 2017 . D. 2 2016 − 1 . 1 5
TRẺ
Câu 125. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số dương n sao cho S = 2 + ( C10 + C20 + ... + Cn0 ) + ( C11 + C21 + ... + Cn1 ) + ... + ( Cnn−−11 + Cnn −1 ) + Cnn là một số có 1000 chữ số? A. 2 .
4 21 . 3
1 2 3 2017 + C2017 + C2017 + ... + C2017 Câu 113. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Tổng C2017 bằng. 2017 2017 2017 2017 A. 2 − 1 . B. 2 + 1 . C. 2 . D. 4 .
0 5
TUỔI 2
A. 10! . 19
HỌC
D. 1007.22018 14 .
C. 1010.22018 .
B. 1006.22018 .
x10 x9 (1 − x ) x8 (1 − x ) (1 − x ) + . + . + ... + 10! 9! 1! 8! 2! 10!
D. 259200 .
Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán
Câu 112. (LẦN
B. S = 2 21 +
tử ( 0 ≤ k ≤ n; k , n ∈ ℤ ) tính tổng sau:
f (x ) = x (1 − x ) + x 2 (1 + 2x ) . A. 965.
D. 342 .
8
Câu 107. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức x( x − 2)6 + (3x − 1)8 bằng B. 13668 C. −13668 D. 13548 A. −13548 x5
C. 243 .
Câu 117. (HKI-Chu Văn An-2017) Tính tổng S = C100 + 2C101 + 22 C102 + ⋯ + 210 C1010 . A. S = 59050 . B. S = 59049 . C. S = 1025 . D. S = 1024 . Câu 118. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tính tổng S = C100 + 2C101 + 22 C102 + 23 C103 + ⋯ + 210 C1010 . A. S = 59050. B. S = 1024. C. S = 59049. D. S = 1025.
D. −1752
Câu 106. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của x 5 trong khai triển x ( 3 x − 1) + ( 2 x − 1) bằng A. −3007 B. −577 C. 3007 D. 577
Câu 108. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của 6 8 x ( 2 x − 1) + ( 3 x − 1) bằng
B. 435 .
Câu 1.
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton Số số hạng trong khai triển là: n + 1 = 50 + 1 = 51 . 14
n
Câu 2.
Trong khai triển nhị thức ( a + b ) thì số các số hạng là n + 1 nên trong khai triển ( 2 x − 3 )
Câu 3.
2019 số hạng. Ta có:
( x − y)
5
2018
0 1 2 Vậy a0 − a1 + a2 = C20 + 2C20 + 4C20 = 801.
có
Câu 11. 5
0 5
5
1
1 4 5
2
2 3 5
3 5
3
2
4 1 5
4
5 5
= x + ( − y ) = C x + C x ( − y ) + C x ( − y ) + C x ( − y ) + C x ( − y ) + C ( − y )
Ta có
5
Câu 5.
Chọn C Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn (a + b)n có n + 1 số hạng. Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (3 − 2 x)2019 có 2020 số hạng. Chọn C 10
Xét khai triển f ( x ) = ( x + 1) = ∑ C10k .x k . 10
k =0 10
Câu 6.
Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có S = f (1) = (1 + 1) = 210 = 1024 . Chọn C 10
Xét khai triển f ( x ) = ( x + 1) = ∑ C10k .x k . 10
(
3
3+5 5
)
2019
2019
k = ∑ C2019 . k =0
( 3) 3
2019 − k
.
k
2019
( 5) = ∑C 5
k 2019
.3
2019 − k 3
k
.5 5 .
k =0
k ∈ ℕ k ∈ ℕ 0 ≤ k ≤ 2019 0 ≤ k ≤ 2019 2019 − k k Để trong khai triển có số hạng là số nguyên thì ∈ ℕ ⇔ 673 − ∈ ℕ 3 3 k k ∈ℕ ∈ℕ 5 5 k ∈ ℕ ⇔ 0 ≤ k ≤ 2019 . k ⋮15 Ta có k ⋮15 ⇒ k = 15m mà 0 ≤ k ≤ 2019 ⇔ 0 ≤ 15 m ≤ 2019 ⇔ 0 ≤ m ≤ 134, 6 . Suy ra có 135 số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức.
5
Hay ( x − y ) = x5 − 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 − 10 x 2 y 3 + 5 xy 4 − y 5 .
Câu 4.
Chọn C
k =0
Câu 12.
10
Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có S = f (1) = (1 + 1) = 210 = 1024 .
Câu 7.
Xét khai triển (1 − 2x)
2018
0 2018
=C
1 2018
− 2 x.C
2
2 2018
+ (−2 x) .C
3
3 2018
+ (−2 x) .C
+ ... + (−2 x)
.C
0 1 2 Cho x = 1 ta có: (1 − 2.1)2018 = C2018 − 2.1.C2018 + (−2.1)2 .C2018 + (−2.1)3.C32018 + ... + (−2.1)2018 .C2018 2018
Câu 8.
2018
= S ⇔ S =1
124
Ta có ( 5 − 7) 4
124
= ∑ C . ( −1) .5 k
k 124
124 − k 2
.7
k 4
A. 20.
k =0
124 − k ∈ℤ Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với 2 ⇔ k ∈{0; 4;8;12;...;124} . k ∈ℤ 4 Vậy số các giá trị k là: Câu 9.
Chọn A
2018
P( x ) = ( 3 2 x + 3) 2018 = ∑ k =0
(
3
2x
)
2018− k
2018
3k = ∑ 2
Câu 13.
lần 1- 18-19)
Cho khai
triển
20
= a0 + a1 x + a2 x 2 + ⋯ + a20 x20 (1) . 20
a0 + a1 + a2 + ⋯ + a20 = ( −1) = 1 .
.3k x 2018−k
k =0
Câu 14.
Chọn C 12
2 Số hạng tổng quát của khai triển x − (với x > 0 ) là x x k
3k 5k − 12 − 2 k k k 12 − k k 2 2 . Tk +1 = C12k .x12 −k . − = ( −2 ) .C12 .x . x = ( −2 ) .C12 . x x x
2
0 1 Ta có (1 − 2 x ) = ∑ C20k ( −2 ) x k , ( k ∈ Z ) ⇒ a0 = C20 , a1 = −2.C20 , a2 = ( −2 ) C202 = 4C202 . k
Giang
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng
2018 có 0 ≤ 2018 − 3t ≤ 2018 ⇔ 0 ≤ t ≤ ≈ 672, 6 vậ y t=0,1,2….672 nên có 673 giá trị 3 Câu 10. Chọn A 20
(1 − 2 x )
Thay x = 1 vào (1) ta có:
Để hệ số nguyên dương thì ( 2018 − k )⋮3 ⇔ 2018 − k = 3t ⇔ k = 2018 − 3t ,do 0 ≤ k ≤ 2018 nên ta
20
Câu15. (THPT Yên Dũng 3 - Bắc (2 x − 1) 20 = a0 + a1 x + a2 x 2 + .... + a20 x 20 . Tìm a1 B. 40. C. -40. D. -760. Chọn C Ta có: a1 là hệ số của x
19 Hạng tử chứa x trong khai triển là: −C20 2 x ⇒ a1 = −40
124 − 0 + 1 = 32 . 4 2018 − k 3
k
2019 4 2019 2 + k − k 151 13 13 15 k k 15 15 Ta có số hạng thứ k + 1 là : C2019 y 3 15 x y x y = C2019 x 2019 4 2019 2 Theo đề bài ta có; + k= − k ⇔ k = 1346 15 15 3 15 Vậy số hạng thỏa yêu cầu bài toán là số hạng thứ 1347 .
2018 2018
0 1 2 3 2018 Tổng các hệ số trong khai triển là: S = C2018 − 2.C2018 + (−2)2 .C2018 + (−2)3 .C2018 + ... + (−2)2018 .C2018
⇔ ( −1)
Chọn D 2019 − k
2018
k =0
15
16
5k = 7 ⇔ k = 2. 2 2 Vậy hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển trên là = ( −2 ) .C122 = 264 . Câu 15. Chọn D
k
Số hạng tổng quát của khái triển Tk +1 = C15k ( −2 ) x15−3k
Số hạng trên chứa x 7 suy ra 12 −
Số của số hạng chứa x6 : 15 − 3k = 6 ⇔ k = 3 . Hệ số của số hạng chứa x6 k 3 C15k ( −2 ) = C153 ( −2 ) = −3640 Câu 22. Chọn C
13
1 Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức x + . x
15 − k
Số hạng tổng quát của khai triển đã cho là C15k . ( x 3 )
với 0 ≤ k ≤ 15 , k ∈ ℕ . Số hạng này chứa x 25 y10 khi và chỉ khi k = 10 (thỏa mãn).
k
1 Tk +1 = C13k x13− k = C13k x13− 2 k . x Tk +1 chứa x 7 ⇔ 13 − 2k = 7 ⇔ k = 3 .
15
10 Vậy hệ số của x 25 y10 trong khai triển ( x3 + xy ) là C15 = 3003.
Câu 23.
1 Vậy hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển nhị thức x + bằng: C133 = 286 . x Câu 16. Chọn C 40
40 40 1 −2 k k 40 − k k 40 −3k x + 2 = ∑ C40 x .x = ∑ C40 x x k =0 k =0 Theo giả thiết: 40 − 3k = 31 ⇒ k = 3 . 3 Vậy hệ số của x31 là C40 = 9880 . Câu 17. Chọn D 4 4−k k 4 1 3 1 3 Ta có + x = ∑ C4k . . 4 4 k =0 4 4 1 3 27 2 27 3 81 4 = + x+ x + x + x 256 64 128 64 256 27 Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là . 64
⇔
k
12
Số hạng thứ 13 trong khai triển tương ứng với k = 12 . ⇒ C1512 .215−12. ( − x ) = 3640 x12 . Câu 27. Chọn A k
k
1 1 Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: Tk +1 = C9k x 9− k ⋅ − = C9k ⋅ − x9 − 2 . 2x 2 Số hạng chứa x3 có giá trị k thỏa mãn: 9 − 2k = 3 ⇔ k = 3 . 1 Vậy số hạng chứa x 3 trong khai triển là: − C93 x3 . 8 Câu 28. Chọn B Ta có công thức của số hạng tổng quát:
7−k
7 7 k 2 2 Ta có: x 2 + = ∑ C7k ( x 2 ) = ∑ C7k .27 − k .x 3k − 7 . x x k =0 k =0 Cần tìm k sao cho 3k − 7 = 5 , suy ra k = 4.
7
2 Vậy hệ số h của số hạng chứa x 5 trong khai triển x 2 + là h = C74 .23 = 280. x Câu 21. Chọn A 15
15
k =0
10
k
n = 5 n! = 10 ⇔ n ( n − 1) = 20 ⇔ . Vậ y n = 5 . 2!( n − 2 )! n = −4 ( L )
15
Số hạng chứa x 7 trong khai triển (1 + x) là: T8 = C108 .x7 nên hệ số là 45. Câu 20. Chọn D
15
k
Ta có ( 2 − x ) = ∑ C15k .215−k . ( − x )
Chọn D Số hạng tổng quát là: Tk +1 = C10k .x k .
15
6
Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k Câu 26. Chọn B
n = 10 n! C .2 = 180 ⇔ .22 = 180 ⇔ n ( n − 1) = 90 ⇔ n2 − n − 90 = 0 ⇔ ( n − 2 ) .2 n = −9 ( l ) 2
7
k
Số hạng chứa x 2 ứng với k = 2 . 2 Ta có: Cn2 ( −3 ) = 90 ⇔ Cn2 = 10 (với n ≥ 2 ; n ∈ ℕ )
Hệ số của x 2 trong khai triển bằng 180
Câu 19.
6
3k 6 6 6− 2 k 6−k 2 k k 2 Ta có: x + . = ∑ C6 x = ∑ 2 C6 x x k =0 x k =0 3k = 3 ⇒ k = 2 . Vậy hệ số của số hạng chứa x 3 bằng 22.C62 = 60 . Số hạng chứa x 3 ứng với 6 − 2 Câu 25. Chọn D k n Số hạng thứ k + 1 trong khai triển của (1 − 3 x ) là: Tk +1 = Cnk ( −3 ) x k .
Chọn D Ta có: Tk +1 = Cnk .2k x k . . 2 n
Chọn D
3k 6 6 6− 2 k 6−k 2 k k 2 Ta có: x + . = ∑ C6 x = ∑ 2 C6 x x k =0 x k =0 3k = 3 ⇒ k = 2 . Vậy hệ số của số hạng chứa x 3 bằng 22.C62 = 60 . Số hạng chứa x 3 ứng với 6 − 2 Câu 24. Chọn D
13
Câu 18.
k
. ( xy ) = C15k .x 45− 2 k . y k ,
k
k k 1 Tk +1 = C13k x13− k . − = C13k x13− k ( −1) x − k = C13k . ( −1) x13− 2 k x Số hạng chứa x7 khi và chỉ khi 13 − 2k = 7 ⇔ k = 3 .
15
2 2 k k 15−3 k −2 k k 15 − k k 15 − k k x − 2 = ∑ C15 x − 2 =∑ C15 x ( −2 ) ( x ) =∑ C15 ( −2 ) x x x k =0 k =0 k =0 17
18
Vậy số hạng chứa x 7 trong khai triển là −C133 x 7 . Câu 29. Chọn D 40
40 1 Ta có khai triển: x + 2 = ∑ C40k x 40 − k x −2 x k =0
40
Câu 35. 40
( ) = ∑C k
k 40
k Số hạng tổng quát của khai triển là: Tk +1 = C40 .x40−3k .
x 40 −3 k
k =0
Số hạng chứa x31 trong khai triển tương ứng với 40 − 3k = 31 ⇔ k = 3 .
Số hạng tổng quát trong khai triển: C40k x 40 −3k
3 Vậy hệ số cần tìm là: C40 = C4037 (theo tính chất của tổ hợp: Cnk = Cnn−k ).
Số hạng chứa x 31 ứng với: 40 − 3k = 31 ⇔ k = 3
Câu 36. 40
6
k =0
tương ứng với: 40 − 2k = 34 ⇔ k = 3 . 40
n
10
3 Ta được nhị thức x 2 − . x
k =0 2 2 n
2
2
2 n
Giả thiết suy ra C 4 = 3040 ⇔ C = 190 ⇔
Câu 32.
Số hạng tổng quát thứ k + 1 là Tk +1 = C
k n
n ( n − 1) 2
( −3 x )
k
n = 20 ( t/m ) = 190 ⇔ n − n − 380 = 0 ⇔ . n = −19 ( loai ) 2
k
= Cnk ( −3) x k .
2
Vì hệ số của x nên cho k = 2 . 2
Khi đó ta có Cn2 ( −3 ) = 90 ⇔ Cn2 = 10 ⇔
Câu 33.
n ( n − 1) 2
n = 5 ( n ) = 10 ⇔ . n = −4 ( l )
Vậ y n = 5 . 2 n n Ta có (1 + 2 x ) = Cn0 + Cn1 .2 x + Cn2 . ( 2 x ) + ... + Cnn ( 2 x ) . Hệ số của x 2 bằng 180 ⇔ 4.Cn2 = 180 ⇔ 4
5
8 3 Số hạng thứ ba của khai triển là T3 = C102 . ( x 2 ) . − = 405 x14 . x 81 Theo giả thiết ta có: 405 x14 = n ⇔ 405 x14 = 405 ⇔ x14 = 1 ⇔ x = ±1 . 2 Câu 38. Chọn C n! = 72n ⇔ n ( n − 1)( n − 2 ) = 72n ⇔ n = 10 . Ta có: An3 = 72n ⇔ ( n − 3) ! Xét khai triển: 10
k
10 10 10 2 1 k 2 10 − k 1 k 10 − k 20 − 2 k .x −3k =∑ C10k .210 −k x 20 −5k . 2 x + x 3 = ∑ C10 ( 2 x ) x 3 =∑ C10 .2 x k =0 k =0 k =0 Số hạng chứa x 5 trong khai triển tương đương với: 20 − 5k = 5 ⇔ k = 3 . Suy ra số hạng chứa x 5 trong khai triển là: 27 C103 x5 . Câu 39. Chọn A Tìm n. k Trước hết ta chứng minh công thức Cnk = Cnk−−11 với 1 ≤ k ≤ n và n ≥ 2. n k k n! (n − 1)! Thật vậy, Cnk = . = = Cnk−−11. (đpcm) n n k !(n − k )! (k − 1)!(n − k )! Áp dụng công thức trên ta có 2 3 n 1 1.Cn1 + 2.Cn2 + 3.Cn3 + ... + n.Cnn = n .Cn1 + .Cn2 + .Cn3 + ... + .Cnn n n n n
n! = 180 ⇔ n ( n − 1) = 90 2!( n − 2 )!
n = −9 ( l ) . ⇔ n 2 − n − 90 = 0 ⇔ n = 10 Vậy n = 10 .
Câu 34.
3 6− k 2
Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n Câu 37. Chọn C n Ta có: Cn0 + 2.Cn1 + 2 2.Cn2 + ... + 2 n.Cnn = 59049 ⇒ ( 2 + 1) = 59049 ⇔ 3n = 310 ⇔ n = 10 .
3 34 là: C40 x .
Hệ số của số hạng chứa x 2 là: C 4 . 2 n
k
3 = x3 ⇔ 6 − k = 3 ⇔ k = 2 2 Hệ số của x3 ( x > 0 ) là: C62 .22 = 60 .
Ta có: (1 + 4 x ) = ∑ Cnk ( 4 x ) = ∑ Cnk 4k x k . k
k
1 1 1 6 6 − − − 2 6− k 6− k k k k 2 2 2 x+ = x + 2 x = ∑ C6 ( x ) 2 x = ∑ C6 .2 ( x ) 2 x x k =0 k =0
3 6− k 2
Theo đề bài, x
40
1 Vậy số hạng chứa x 34 trong khai triển x + x Câu 31. Chọn D n
có:
k =0
k
n
Ta
= ∑ C6k .2 k x
là:
1 ak +1 = C40k x 40− k . = C40k x 40− k x − k = C40k x 40− 2 k . x
1 Số hạng chứa x34 trong khai triển x + x
6
6
3 31 Vậy số hạng chứa x 31 là: C40 x Câu 30. Chọn B
1 Số hạng thứ k + 1 trong khai triển x + x
k
40 40 1 1 k Ta có: x + 2 = ∑ C40k .x 40− k . 2 = ∑ C40 .x40−3k . x x k =0 k =0
k
5 5 5−k 2 2 k k Ta có 3 x3 − 2 = ∑ ( −1) .C5k . 3x3 . 2 = ∑ ( −1) .C5k .35− k .2k x15−5 k . x k =0 x k =0 Số hạng chứa x10 ứng với 15 − 5k = 10 ⇔ k = 1 . 1 Hệ số của số hạng chứa x10 là ( −1) C51.34.21 = −810 .
( )
19
20
= n ( Cn0−1 + Cn1−1 + Cn2−1 + ... + Cnn−−11 ) = n 2 n −1 1 n
2 n
3 n
Theo đề 1.C + 2.C + 3.C + ... + n.C = 256n ⇔ n 2 Chọn A. Câu 40. Chọn C n Xét khai triển (1 + 3 x ) = a0 + a1 x1 + ... + an x n . Cho x =
1 ta được 3
n n
n −1
= 256 n ⇔ 2
n −1
(1) ⇔
= 256 ⇔ n = 9.
⇔
9
( )
4
Cho 18 − 3k = 6 ⇒ k = 4 ⇒ hệ số của số hạng chứa x 6 trong khai triển là C94 .25. ( −3 ) = 326592 . Câu 43. Chọn B Từ giả thiết ta suy ra C20n+1 + C21n+1 + C22n+1 + ... + C2nn+1 = 220 .
12! Ta có hệ số ak = 3 C = 3 . k !. (12 − k )! k
12! 12! k ≥ 3k −1. 3 . ( k − 1)!. (12 − k + 1)! ak ≥ ak −1 k !. (12 − k )! ⇔ Hệ số ak lớn nhất nên 12! 12! ak ≥ ak +1 3k . ≥ 3k +1. k !. (12 − k )! ( k + 1)!. (12 − k − 1) !
Mặt khác: C2kn+1 = C22nn++11−k , ∀k ∈ ℕ,0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên ta có: 1 1 2 n +1 C20n +1 + C21n +1 + C22n +1 + ... + C2nn +1 = C20n +1 + C21n +1 + C22n +1 + ... + C22nn++11 = (1 + 1) = 22n . 2 2 Suy ra: 2 2 n = 2 20 ⇔ n = 10 .
(
1 39 3 k ≥ 13 − k k ≤ 4 39 − 3k ≥ k ⇔ ⇔ ⇔ k + 1 ≥ 36 − 3k 1 ≥ 3 k ≥ 35 12 − k k + 1 4 Vì k ∈ℕ nên nhận k = 9. Vậy hệ số lớn nhất a9 = 39.C129 = 4330260. Câu 41. Chọn B Đk: n ≥ 2, n ∈ ℕ.
)
10− k
10
1 1 Số hạng tổng quát trong khai triển 4 + x 7 là: Tk +1 = C10k 4 x x Hệ số của x 26 là C10k với k thỏa mãn: 11k − 40 = 26 ⇔ k = 6 .
7 k
(x )
= C10k x11k −40 .
Vậy hệ số của x 26 là C106 = 210 . Câu 44. Điều kiện n ≥ 6 và n ∈ ℕ . ( n − 4 ) ! + n ⋅ n ! = 454 ( n − 5 )( n − 4 ) 2 Cnn−−46 + nAn2 = 454 ⇔ ⇔ + n ( n − 1) = 454 2 ( n − 6 )!2! ( n − 2) ! ⇔ 2n 3 − n 2 − 9 n − 888 = 0 ⇔ n = 8 (Vì n ∈ ℕ ).
3Cn2+1 + nP2 = 4 An2
⇔3
k
9 k 3 . − = ∑ C9k .29−k. ( −3) .x18−3k x k =0 k
k =0
k 12
9− k
Số hạng tổng quát của khai triển là C9k .29− k . ( −3 ) .x18−3k
12
k
n = 9 4 28 + = 1 ⇔ 4 ( n − 2 ) + 28 = ( n − 1)( n − 2 ) ⇔ n 2 − 7n − 18 = 0 ⇔ n − 1 ( n − 1)( n − 2 ) n = −2 ( l )
9 3 Với n = 9 ta có: 2 x 2 − = ∑ C9k . 2 x 2 x k =0
n
a1 an 1 n 1 + 3. = a0 + 1 + ... + n ⇒ 2 = 4096 ⇔ n = 12. 3 3 3
Khi đó (1 + 3 x ) = ∑ C12k .3k .x k . 12
2. ( n − 2 )!.2! 14 ( n − 3)!.3! 1 4 28 1 + = ⇔ + = 3.n ! n! n n ( n − 1) n ( n − 1)( n − 2 ) n
8
( n + 1) ! + 2!n = 4 n! ( n − 1)!2! ( n − 2)!
2 Khi đó ta có khai triển: − x 3 . x 8− k
3 ⇔ n ( n + 1) + 2n = 4n ( n − 1) 2 n = 0 ( L ) 5 2 15 ⇔ n − n=0⇔ 2 2 n = 3
k k 2 Số hạng tổng quát của khai triển là C8k − x3 = C8k ( −1) 28− k x 4 k −8 . x Hệ số của số hạng chứa x 4 ứng với k thỏa mãn: 4k − 8 = 4 ⇔ k = 3 . 3 Vậy hệ số của số hạng chứa x 4 là: C83 ( −1) 25 = −1792 .
(
10
1 Với n = 3 , nhị thức trở thành + x3 . x
Câu 45.
Cn1 + Cn3 = 13n ⇔ n +
)
n ( n − 1)( n − 2 ) n! = 13n ⇔ n + = 13n ⇔ 6 + n 2 − 3n + 2 = 78 . 3!( n − 3)! 6
n = −7 . Vì n là số nguyên dương nên n = 10 . ⇔ n2 − 3n − 70 = 0 ⇔ n = 10
10 − k
k 1 Số hạng tổng quát là C10k . . x 3 = C10k .x 4 k −10 x Từ yêu cầu bài toán ta cần có: 4k − 10 = 6 ⇔ k = 4. Vậy hệ số của số hạng chứa x 6 là C104 = 210. Câu 42. Chọn A 2 14 1 Xét phương trình 2 + 3 = (1) Cn 3Cn n
( )
10
1 Ta có khai triển: x 2 + 3 . x k
1 . 3 = C10k x 20−5 k . x Số hạng chứa x 5 ứng với 20 − 5k = 5 ⇔ k = 3 . Vậy hệ số của số hạng chứa C103 = 120 . Số hạng tổng quát của khai triển: Tk +1 = C10k x
Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ ℕ 21
2(10 − k )
22
Câu 46.
n!
An2 = Cn2 + Cn1 + 4n + 6 ⇔ ⇔ n ( n − 1) =
n!
=
n!
+
( n − 2 )! ( n − 2 )!.2! ( n − 1) !.1!
+ 4n + 6
Ta có 3 Ann − 2 + Cn3 = 40 ⇔ 3
n = −1 ( l ) n ( n − 1) . + n + 4n + 6 ⇔ n 2 − 11n − 12 = 0 ⇔ 2 n = 12 ( n )
Vì
12 − k
( )
1
Số hạng chứa x 6 tương ứng với 8 − 2k = 6 ⇔ k = 1 . Do đó hệ số cần tìm là C81 28−1 ( −1) = −1024 .
k
3 . = C12k .3k .x 24−3k . x
Câu 51.
Số hạng chứa x ⇒ 24 − 3k = 9 ⇔ k = 5 . Vậy hệ số của số hạng chứa x 9 trong khai triển là C125 .35 = 192456 . 9
n!
n!
+
( n − 1)!.1! ( n − 2 )!.2!
( n − 1) n = 78
= 78 ⇔ n +
12
2 k Số hạng tổng quát trong khai triển x 3 − là: ( −1) C12k x 3 x Cho 36 − 4k = 8 ⇔ k = 7 .
n
10 3 k Có x 4 − = ∑ C10k ( −3) x 40−5k . x k =0 Số hạng không chứa x khi 40 − 5k = 0 ⇔ k = 8 . 8 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là C108 . ( −3 ) = 295245 .
2
12 − k
( )
k
k 2 k k 36 − 4 k . = ( −1) C12 .2 .x x
Câu 52.
12
2 Vậy số hạng chứa x 8 trong khai triển x 3 − là −C127 .27.x8 = −101376 x8 . x Câu 48. Điều kiện: n ≥ 2 , n ∈ ℕ* . ( n + 1) ! − 3 n ! = 52 n − 1 Ta có 3Cn3+1 − 3 An2 = 52 ( n − 1) ⇔ 3. ( ) 3! ( n − 2 ) ! ( n − 2) ! 2
( n − 1) = 52 ( n − 1) ⇔ n
2
3
13
+ 2 y2 ) =
13
3 13 − k
∑ C ( x ) (2 y ) k 13
2 k
⇔ n3 + 3n 2 − 4 n − 300 = 0 ⇔ n = 6 . 12
3 x Ta có nhị thức + . x 2 12− k
+ n − 6 n = 104
13
= ∑ C13k 2 k x 39 −3 k y 2 k .
Đạo hàm hai vế của (1) ta được: n (1 + x )
Ta có: 39 − 3k + 2k = 34 ⇔ k = 5 . Vậy hệ số C135 2 5 = 41184 . Câu 49. Điều kiện n ∈ ℕ , n ≥ 2 . n ( n − 1) n = 1 Có 5Cn1 − Cn2 = 5 ⇒ 5n − = 5 ⇔ n 2 − 11n + 10 = 0 ⇔ 2 n = 10 Do n ≥ 2 ⇒ n = 10 . 10
k
k 12 − k 3 x C .3 Số hạng tổng quát C12k . = 12 k .x 2 k −12 x 2 2 Cho 2k − 12 = 8 ⇒ k = 10. C 10 .32 297 Hệ số cần tìm là 1210 = . 2 512 n 0 Câu 53. Xét khai triển (1 + x ) = Cn + Cn1 x + Cn2 x 2 + Cn3 x 3 + ... + Cnn x n (1)
0
0
điều kiện n ∈ N , n ≥ 3. n! n! Cn3 + An2 = 50 ⇔ + = 50 3!( n − 3) ! ( n − 2 )!
⇔ n ( n − 1)( n − 2 ) + 6n ( n − 1) − 300 = 0
n = 13 ⇔ n 2 − 5 n − 104 = 0 ⇔ ⇔ n = 13 . n = −8
(x
Giải phương trình: An2 + 3Cn1 = 120 , Đk: n ≥ 2, n ∈ ℕ . n = 10 An2 + 3Cn1 = 120 ⇔ n ( n − 1) + 3n = 120 ⇔ n = −12 ( l )
n = 12 ⇔ n 2 + n − 156 = 0 ⇔ ⇔ n = 12 (vì n là số nguyên dương). n = −13
( n − 1 ) n ( n + 1) − 3 n ⇔
k
1 1 8−k k Với n = 4 , số hạng tổng quát trong khai triển 2x − là C8k ( 2 x ) − = C8k 28− k ( −1) x8− 2 k . x x
Công thức số hạng tổng quát: Tk +1 = C12k . x 2
Ta có: Cnn −1 + Cnn − 2 = 78 ⇔
3 1 + > 1 nên n ! < 40 . Lần lượt thử các giá trị n = 3, 4 ta có n = 4 thỏa mãn. 2 6 ( n − 3) ! 8
12
3 Khi đó P ( x ) = x 2 + . x
Câu 47.
3 n! n! 1 + = 40 ⇔ n ! + = 40 . 2! 3!( n − 3) ! 2 6 n − 3 ! ( )
n −1
= Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x 2 + ... + nCnn x n −1 ( 2 )
Trong công thức ( 2 ) ta cho x = 1 ta được:
n2n −1 = Cn1 + 2.Cn2 + 3.Cn3 + ... + nCnn ⇔ n.2 n −1 = 256 n ⇔ 2 n−1 = 256 ⇔ n = 9 . 9
n
9 3 3 k Khi đó, 2 x 2 − = 2x 2 − = ∑ C9k ( −3) 29− k .x18−3k . x x n =0
k
10 10 1 10 −k 1 Xét khai triển: 2 x + 2 = ∑ C10k ( 2 x ) . 2 = ∑ C10k 210−k x10−3k x x k =0 k =0 Hệ số a của x 4 trong khai triển tương ứng với 10 − 3k = 4 ⇔ k = 2 . Vậy hệ số cần tìm là a = C102 .28 = 11520 . Câu 50. Điều kiện n ≥ 3, n ∈ ℕ .
9
3 Do đó số hạng không chứa x trong khai triển 2x 2 − nếu 18 − 3k = 0 hay k = 6 . x 6
Suy ra số hạng cần tìm là C96 ( −3 ) 23 = 489888 .
Câu 54.
n
Ta có (1 − 2 x ) = ∑ Cnk ( −2 x ) . Vậy a0 = 1 ; a1 = −2Cn1 ; a2 = 4Cn2 . n
k
k =0
Theo bài ra a0 + a1 + a2 = 71 nên ta có: 23
24
1 − 2Cn1 + 4Cn2 = 71 ⇔ 1 − 2
Ta có
n! n! +4 = 71 ⇔ 1 − 2n + 2n ( n − 1) = 71 1!( n − 1)! 2!( n − 2 )!
( n + 4 ) ! − ( n + 3) ! = 7 n + 3 ( ) ( n + 1)!3! n!3! ( n + 4 )( n + 3)( n + 2 ) − ( n + 3)( n + 2 )( n + 1) = 7 n + 3 ⇔ ( )
Cnn++41 − Cnn+3 = 7 ( n + 3) ⇔
⇔ 2 n 2 − 4 n − 70 = 0 ⇔ n 2 − 2 n − 35 = 0 ⇔ n = 7 (thỏa mãn) hoặc n = −5 (loại). 5
Từ đó ta có a5 = C75 ( −2 ) = −672 . Câu 55. Ta có n! n! An2 − Cn3 = 10 ⇔ − = 10 , ( n ∈ ℕ, n ≥ 3) ( n − 2 ) ! 3!( n − 3)!
6 ⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12 . Xét khai triển
n = −2 1 1 3 4 ⇔ n ( n − 1) − n ( n − 1)( n − 2 ) = 10 ⇔ − n3 + n 2 − n − 10 = 0 ⇔ n = 6 . 6 2 3 6 n = 5 So điều kiện nhận n = 6 hay n = 5 . 6
12
12 1 k 1 5 3 + x = ∑ C12 3 x x k =0 12
= ∑ C12k x
Ta có: An3 + 2 An2 = 100 ⇔
n!
+2
n!
( n − 2 )!
Câu 60.
= 100 ⇔ n ( n − 1)( n − 2 ) + 2n ( n − 1) = 100
10
n
= C10k .210 −k .x10− k .x
n
Ta có ( 3 − 1) = 3n Cn0 − 3n −1 Cn1 + 3n −2 Cn2 − ..... + ( −1) Cnn 11
⇔ 2 = 2048 ⇔ 2 = 2 ⇔ n = 11 . 11
Xét khai triển ( x + 2 ) = ∑ C x
k 11− k 11
Tìm k sao cho
.2
k
Tìm hệ số của x ⇔ tìm k ∈ ℕ ( k ≤ 11) thỏa mãn 11 − k = 10 ⇔ k = 1 .
Câu 61.
11
Vậy hệ số của x10 trong khai triển ( x + 2 ) là C111 .2 = 22 . n
Câu 59.
−
k 5
= C10k .210− k .x
50 − 6 k 5
k
.
50 − 6k = 4 ⇔ k = 5. 5
Vậy hệ số của số hạng chứa x 4 là C105 .210 −5 = 8064.
k =0 10
Câu 58.
( n − 2)! ( n − 6 )!
10
k =0
11
≤ 18.
1 10 − k 1 Số hạng tổng quát trong khai triển 2 x + 5 là Tk +1 = C10k . ( 2 x ) . 5 x x
k
Hệ số x 5 sẽ là C105 35 = 61236 . n
n!
( n − 5 )!
n → max ⇔ n ( n − 1) ≤ 18 ( n − 5 ) ⇔ n 2 − 19 n + 90 ≤ 0 ⇔ 9 ≤ n ≤ 10 → n = 10 .
10
n
60 − 11k =8⇔ k = 4. 2
⇔ n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)( n − 4 ) ≤ 18 ( n − 2 )( n − 3)( n − 4 )( n − 5 )
Ta có: (1 + 3 x ) = (1 + 3 x ) = ∑ C10k ( 3x ) .
Câu 57.
( 0 ≤ k ≤ 12, k ∈ ℕ )
n ≥ 6 Điều kiện: n ∈ ℤ Khi đó An5 ≤ 18 An4− 2 ⇔
⇔ n 3 − n 2 − 100 = 0 ⇔ n = 5 . 2n
5
Vậy hệ số chứa x 8 trong khai triển trên là C124 = 495 .
k
( n − 3) !
12 − k
( x)
.
Để số hạng chứa x 8 thì
5 5 2 k 2 5− k −2 Khi n = 5 , ta có x 2 − 3 = ∑ C5k x ( ) 3 = ∑ C5k ( −2 ) x10−5 k . x x k =0 k =0 Để có x 5 thì 10 − 5k = 5 ⇔ k = 1 . Vậy a5 = C51 ( −2 ) = −10 .
Câu 56.
60 −11k 2
k
k =0
k
6 6 2 k 2 6 − k −2 Khi n = 6 , ta có x 2 − 3 = ∑ C6k x ( ) 3 = ∑ C6k ( −2 ) x12−5 k . x x k =0 k =0 7 Để có x 5 thì 12 − 5k = 5 ⇔ k = (loại). 5
5
6
Ta có: An2 − Cn2 = 105 ⇔
n!
( n − 2)!
−
1 n! = 105 ⇔ n ( n − 1) = 105 ⇔ n 2 − n − 210 = 0 2!( n − 2 ) ! 2
n = 15 . ⇔ n = −14 ( L )
k
n n n−k 1 1 Ta có 3 x 2 + = ∑ Cnk ( 3x 2 ) = ∑ Cnk 3n − k x 2 n −3k . x x k =0 k =0 2n − 3k = 3 n − k = 4 k = 5 Biết hệ số của x 3 là 34 C n5 nên . ⇔ n = 9 k = 5 0 ≤ k ≤ n, ( k , n ∈ N )
Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển: Tk +1 = C15k . x2
15 − k
( )
k
k 1 . − = C15k . ( −1) .x 30−3k . x
Tìm 30 − 3k = 0 ⇔ k = 10 . 10 Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: C1510 . ( −1) = 3003 .
V ậy n = 9 . Điều kiện: n ∈ ℕ
Câu 62. 25
Ta có ( x + 1)
2 n +1
= C20n +1.x 2 n +1 + C21n +1.x 2 n + ... + C22nn+1.x + C22nn++11 (1) 26
Thay x = 1 vào (1) : 22n+1 = C20n+1 + C21n+1 + ... + C22nn+1 + C22nn++11 ( 2 )
6
Do tìm số hạng độc lập với x suy ra 24 − 4k = 0 ⇔ k = 6 ⇒ T7 = C86 . ( −2 ) = 1792 . Câu 68. Chọn A
Thay x = −1 vào (1) : 0 = −C20n+1 + C21n+1 − ... − C22nn+1 + C22nn++11 ( 3)
12
1 Công thức số hạng thứ ( k + 1) của khai triển x3 − là: x k k 36 − 4 k k 3 12 − k 1 k Tk = C12 ( −1) ( x ) . k = C12 ( −1) x , 0 ≤ k ≤ 12, k ∈ ℕ . x Số hạng không chứa x ứng với 36 − 4k = 0 ⇔ k = 9 (thỏa mãn). 9 Suy ra T7 = C129 ( −1) = −220 .
Phương trình ( 2 ) trừ ( 3) theo vế: 2 2 n +1 = 2 ( C20n +1 + C22n +1 + ... + C22nn+1 ) Theo đề ta có 2 2 n +1 = 2.1024 ⇔ n = 5 10 Số hạng tổng quát của khai triển ( 2 − 3 x ) : k
k
Tk +1 = C10k .210− k . ( −3 x ) = C10k .210− k . ( −3 ) .x k
Theo giả thiết ta có k = 5 . 5 Vậy hệ số cần tìm C105 .25. ( −3 ) = −1959552 .
Câu 63.
n −1 n
Ta có: C
n−2 n
+C
Câu 69.
12
12 − k
( )
3 30 − k
k
k 2 k k 36 − 4 k . = ( −1) C12 .2 .x x
12
k
k 1 k Số hạng tổng quát trong khai triển là Tk +1 = C45k .x 45− k . − 2 = C45 . ( −1) x 45−3 k x Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 45 − 3k = 0 ⇔ k = 15 . 15 15 15 . Vậy số hạng cần tìm là C45 . ( −1) = −C45
Câu 71.
n = 0 . Đối chiếu điều kiện ta được n = 9 . ⇔ n 2 − 3n + 2 = 8 + 6n − 6 ⇔ n 2 − 9n = 0 ⇔ n = 9
Cnn−1 + Cnn−2 = 78 ⇔ n + n
12
n ( n − 1)
2
Chọn D 10
2 Số hạng tổng quát trong khai triển x + là: x
k
( −2 ) 2 k Số hạng tổng quát của khai triển x − , là : C9k x 9− k . k = ( −2 ) C9k x9 −2 k x x Số hạng này chứa x 5 ứng với 9 − 2k = 5 ⇔ k = 2 . Vậy hệ số của số hạng đó là 4.C92 = 144 . Câu 65.
k
Số hạng tổng quát thứ k + 1 trong khai triển là Tk +1 = C30k 2k x 2 . 3k Số hạng này không chứa x tương ứng với trường hợp 30 − = 0 ⇔ k = 20 . 2 20 20 20 10 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là T21 = C30 2 = 2 C30 . Câu 70. Chọn D
2 Vậy số hạng chứa x 8 trong khai triển x3 − là −C127 .27.x8 = −101376 x8 . x Câu 64. Điều kiện : n ≥ 3, n ∈ ℤ . 4 n! 4 n! Ta có Cn3 = n + 2Cn2 ⇔ = n+ ⇔ n ( n − 1)( n − 2 ) = 8n + 6n ( n − 1) 3 3!( n − 3)! 3 ( n − 2 )!
9
30
30
n = 12 ⇔ n 2 + n − 156 = 0 ⇔ ⇔ n = 12 (vì n là số nguyên dương). n = −13
2 k Số hạng tổng quát trong khai triển x3 − là: ( −1) C12k x3 x Cho 36 − 4k = 8 ⇔ k = 7 .
Chọn B −1 1 3 30 30 − 30 − k 2 k 30 − k k k 2 2 2 Ta có x + 2 x = ∑ C30 2 x = x + 2 x = ∑ C30 x x k =0 k =0
n! n! ( n − 1) n = 78 = 78 ⇔ + = 78 ⇔ n + 2 ( n − 1)!.1! ( n − 2 )!.2!
k
2 Tk +1 = C10k x10 − k . = C10k .2k x10 −2 k (với k ∈ ℕ; k ≤ 10 ) x
Số hạng không chứa x trong khai triển tương ứng với 10 − 2k = 0 ⇔ k = 5 (thỏa mãn).
n = 12 . = 78 ⇔ n = −13 ( l )
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: C105 .2 5 . Câu 72. Chọn B
k
7
12 12 k 1 k 36 − 4 k 3 2 3 2 3 12− k k k . x − = x − = ∑ C12 ( x ) ( −2 ) = ∑ C12 ( −2 ) x x x x k =0 k =0 9 9 Số hạng không chứa x ứng với 36 − 4k = 0 ⇔ k = 9 là C12 ( −2 ) = −112640 . Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập) Câu 66. Chọn B Số hạng tổng quát Tk +1 = C9k .8k .x 9−3k , 0 ≤ k ≤ 9 . Số hạng không chứa x ứng với 9 − 3k = 0 ⇔ k = 3 . Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là T4 = C93 .83 = 43008 . Câu 67. Chọn A k 8− k 2 k Ta có số hạng thứ k + 1 trong khai triển là Tk +1 = C8k ( x3 ) . − = C8k x 24 −4 k . ( −2 ) . x
7
k
7
7 − k 1 k 3 12 . 4 = ∑ C7 x k =0 x 7 7 − k =0 Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 3 12 ⇒ k = 4. 0 ≤ k ≤ 7, k ∈ ℕ
7 1 Ta có: 3 x + 4 = ∑ C7k x k =0
( x) 3
7 −k
7
1 Số hạng không chứa x trong khai triển 3 x + 4 là: C74 = 35. x Câu 73. Chọn A 6
6− k
k
6 6 1 k 1 k Ta có: 2 x − 2 = ∑ C6k . ( 2 x ) . ( −1) 2 = ∑ C6k .26− k . ( −1) .x 6−3k x k =0 x k =0 Số hạng không chứa x xả y ra khi: 6 − 3k = 0 ⇔ k = 2
27
28
2
Số hạng đó là C62 .2 4. ( −1) = 240
Câu 80.
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển trên là 240 Câu 74. Chọn B 12 −k
1 Số hạng tổng quát trong khai triển là Tk +1 = C12k x
9
2 k
(−x )
k
= C12k ( −1) x3k −12 .
3
Vậy hệ số không chứa x là C93 . ( −2 ) = −672 .
Câu 81.
1 Ta có: 3 x + 4 = ∑ C7k x k =0
3
⇔
7 7 − k 3 12
7
60 − 3k = 0 ⇔ k = 20 . 2
20
20 30
20
Ta có
3
33 − 11k =0⇔k =3 2 3 Vậy số hạng không chứa x trong khai triểnlà C11 = 165 . Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với
x +1 x −1 x +1 3 1 − = 3 x +1− = x− . x x x2 − 3 x + 1 x − x 10
10
x +1 x −1 1 3 − Nên P = = x− . 3 2 3 − x x x x − x + 1 Số hạng tổng quát của khai triển là: C10k x
10− k 3
k
−1 k k . = ( −1) C10 x x 4
n = 10 n = −11 ⇒ n = 10
( )
10 30
Vậy số hạng không chứa x là: 2 .C = 2 .C .
Câu 79.
n ( n − 1) n! n! + = 55 ⇔ n + = 55 ⇔ n 2 + n − 110 = 0 ⇔ 1!( n − 1) ! 2!( n − 2 ) ! 2
Với n = 10 thì ta có: 10 10 − k n 10 10 10 3 2 3 2 k 3k 2 = ∑ C10k .x 3k .210− k .x 2 k − 20 = ∑ C10k .210− k .x 5 k − 20 x + 2 = x + 2 = ∑ C10 .x . 2 x x x k =0 k =0 k =0 Để có số hạng không chứa x thì 5 k − 20 = 0 ⇔ k = 4 . Do đó hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: C104 .26 = 13440 . Câu 84. Chọn C Điều kiện: n ∈ ℕ, n ≥ 2 n = 11 (tm ) n (n − 1) C n2 − C n1 = 44 ⇔ − n = 44 ⇔ 2 n = −8 11 k 33−11k 11 11 11−k 1 k 1 = 2 C x Ta có x x + 4 = ∑ C 11k x x ∑ 11 4 x x k =0 k =0
1 Số hạng không chứa x trong khai triển 3 x + 4 là: C74 = 35. x Câu 78. Chọn B 30 k 30 30 60−3k 2 30−k 2 k Ta có x + = ∑ C30k ( x) = ∑ C30k ( 2) ( x) 2 . x x k =0 k =0
Số hạng không chứa x tương ứng
56 − 7 k 12
11
1 k . 4 = ∑ C7 x k =0 x 7 7 − k =0 Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 3 12 ⇒ k = 4. 0 ≤ k ≤ 7, k ∈ ℕ
( x)
k
2 k . 4 = ( −1) C14k .2k .x x
11− k 33−11k 11 11 1 Ta có x11 x + 5 = x11 ∑ C11k .x 2 .x −5 k = ∑ C11k .x 2 . x k =0 k =0 Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 33 − 11k = 0 ⇔ k = 3 . Số hạng cần tìm là C113 = 165 . Câu 83. Chọn A Ta có: Cn1 + Cn2 = 55
k
7
3
Câu 82.
5− k 1 1 Chọn A Số hạng tổng quát trong khai trển x 2 + 3 là: Tk = C5k ( x 2 ) . 3 = C5k x10−5 k . x x Số hạng cần tìm không chứa x nên ta có: 10 − 5k = 0 ⇔ k = 2. Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là T2 = C52 = 10. Câu 77. Chọn B k
14 − k
( x)
56 − 7k = 0 ⇔ k =8. 12 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: 28 C148 .
Câu 76. 5
k
Số hạng tổng quát trong khai triển là: ( −1) C14k .
Cho
k
45 45 1 k 1 Có x − 2 = ∑ C45k . x 45− k . − 2 = ( −1) ∑ C45k . x 45−3 k . x x k =0 k =0 Tìm số hạng không chứa x thì 45 − 3k = 0 ⇔ k = 15 . 15 . Vậy số hạng không không chứa x là − C 45
7 −k
k
k =0
Số hạng không chứa x của khai triển f ( x ) ứng với 9 − 3k = 0 ⇔ k = 3
Chọn D
7
k
k =0
4
7
9
k
k =0
= ∑ C9k ( −2 ) x −2 k +9− k = ∑ C9k ( −2 ) x 9−3k
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là C124 ( −1) = 495 . 45
9
k
k =0
Theo đề bài ta có 3k − 12 = 0 ⇔ k = 4 .
Câu 75.
9
9
Ta có f ( x ) = ( x − 2 x −2 ) = ∑ C9k ( −2 x −2 ) x 9− k = ∑ C9k ( −2 ) x −2×k x 9− k
Câu 85. 20− 5 k 6
n ≥ 2 ĐK: (*) . n ∈ ℕ Ta có Cn2 − Cn1 = 44 ⇔
.
n ( n − 1)
2
− n = 44 ⇔ n = 11 hoặc n = −8 (loại). 11
1 Với n = 11 , số hạng thứ k + 1 trong khai triển nhị thức x x + 4 là x
4 10
Khi k = 4 thì số hạng không chứa x là ( −1) C = 210 .
29
30
(
C11k x x
11−k
)
k
33 11 − k 1 k 2 2 . 4 = C11 x x
1 ⇒ Hệ số chứa x 2 trong số hạng C2017 (1 − 3x )
V ậ y h ệ s ố a2 = C
33 11k − = 0 hay k = 3 . 2 2 Vậy, số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là C113 = 165 . Câu 86. Với điều kiện n ≥ 3 , n ∈ ℕ , ta có n ( n − 1)( n − 2 ) Cn3 + 2n = An2+1 ⇔ + 2n = ( n + 1) n ⇔ ( n − 1)( n − 2 ) + 12 = 6 ( n + 1) 3! n = 1(loaï i) . ⇔ n 2 − 9n + 8 = 0 ⇔ n = 8( thoû a)
0 2017
C
2 2017
( 3)
2
+ 2C
1 2017
C
0 2016
2016
( 2 x ) là: 2C 2
1 2017
0 . C2016
= 18302258
Theo giả thiết, ta có
Câu 89.
10
10
f ( x ) = (1 − 3x + 2 x 3 ) = ∑ C10k (1 − 3 x )
10 10− k
. ( 2 x3 ) = ∑ ∑ C10k C10i −k ( −3x ) . ( 2 x3 ) . k
10− k
k =0
10 10− k
k
i
k =0 i = 0
= ∑ ∑ C10k C10i − k ( −3) .2k .x i +3k i
( i, k ∈ ℕ,0 ≤ k ≤ 10,0 ≤ i ≤ 10 − k ) .
k =0 i =0
Số hạng chứa x 7 ứng với i + 3k = 7 .
16
3 Với n = 8 , ta có số hạng thứ k + 1 trong khai triển 2 x − 3 là x k
4 3 k 16 − 3 k k 16 − k . − 3 = C16 2 ( −3) x x 4 Theo đề bài ta cần tìm k sao cho 16 − k = 0 ⇔ k = 12 . 3 Do đó số hạng không chứa x trong khai triển là C1612 .24.312 .
4
Câu 87.
Cn2 − n = 27 ⇔
Câu 90.
9
9
Câu 92.
3
Vậy số hạng không chứa x là: T4 = C .2 = 672 .
4 −4
.24 = −2940 .
i 6
i
6
6− k
với k = 0;1; 2...; 6 .
6 −i
với i = 0;1; 2...; 6 .
6
6
Số hạng tổng quát trong khai triển ( x − 3 x + 2 ) = ( x − 1) ( x − 2 ) là C6k x k ( −1) 2017
= (1 − 3x ) + 2 x 2
1 + C2017 (1 − 3x )
2016
12 − i − k
2017
= C6k C6i x i + k ( −1) 2015
( 2 x ) + C (1 − 3x ) ( 2 x ) 2
2 2017
2017
2
2
2017 + ... + C2017 ( 2x2 )
1 , C2017 (1 − 3x )
2016
2
(2x )
2017
.
xuất hiện biểu
0 0 1 2 3 2017 C2017 = C2017 − C2017 ( 3x ) + C2017 ( 3x ) − C2017 ( 3x ) + ... − C2017 ( 3x ) 2017 2 0 0 2 2 ⇒ Hệ số chứa x trong số hạng C2017 (1 − 3 x ) là: C2017 C2017 ( 3)
2
( 2x ) = C ( 2x ) C 2
.2 2 + C44C94 ( −1)
6
2
2017
2016
6
5− 2
Số hạng tổng quát trong khai triển ( x − 2 ) là C .x ( −2 )
n
2
1 i C2017 (1 − 3x )
6
− 3 x + 2 ) = ( x − 1) ( x − 2 )
6
0 Trong khai triển trên chỉ có hai số hạng C2017 (1 − 3 x )
0 i C2017 (1 − 3x )
2
.2 0 + C52C95 ( −1)
6
Chọn D
thức chứa x
(x
6 −0
Số hạng tổng quát trong khai triển ( x − 1) là C6k . x k ( −1)
Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức
2017
( 0 ≤ i ≤ k ≤ 9)
9− k
9
Từ đó hệ số của x 3 là : C60C96 ( −1)
2 Tk +1 = C9k x 9− k . 2 = C9k .2k x 9−3k x Số hạng không chứa x nên 9 − 3k = 0 ⇔ k = 3 .
0 ⇒ A = C2017 (1 − 3x )
i
Ta có các cặp ( i; k ) thỏa mãn là: ( 0; 6 ) , ( 2;5 ) , ( 4; 4 ) .
k
Ta có A = (1 − 3 x + 2 x 2 )
k
i=0
9 9 k k k − i i 2 k + i −9 1 1 2 k 1 k i k . − x + 2 x = + x ( 2 x − 1) = ∑ C9 .x . ( 2 x − 1) = ∑∑ Ck C9 ( −1) 2 .x x x k =0 x k =0 i =0 Theo yêu cầu bài toán ta có 2k + i − 9 = 3 ⇔ 2k + i = 12 ; 0 ≤ i ≤ k ≤ 9 ; i, k ∈ ℕ
2 Xét khai triển x + 2 có số hạng tổng quát x
Câu 88.
9
k =0
k
i = 1 i = 3 . Giá trị a15 ứng với: 18 − 2k + i = 3 ⇒ ∨ k = 8 k = 9 1 3 Vậy: a15 = C98 .C81.37. ( −2 ) + C99 .C93 .36. ( −2 ) = −804816. Câu 91. Ta có
n = 9 (TM ) ⇔ n2 − 3n − 54 = 0 ⇔ n = −6 ( L )
Dạng 2.2.1 Dạng ( a1 + a2 + ...ak )
9
9
Ta có: ( 3 − 2 x + x 2 ) = ∑ C9k .x18−2 k . ( 3 − 2 x ) = ∑ C9k .x18−2 k ∑ Cki .3k −i ( −2 x ) k =0
n ( n − 1) n! − n = 27 ⇔ − n = 27 2!( n − 2 )! 2
3 9
7
Vậy hệ số của x 7 là: C102 .C81. ( −3 ) .2 2 + C101 .C94 . ( −3 ) .2 + C100 .C107 . ( −3) = −62640 .
16 − k
C16k ( 2 x )
1 2017
2
0 2016
3
2
1 2 2016 − C2016 ( 3x ) + C2016 ( 3x ) + ... + C2016 ( 3x )
2017
2016
.( 2)
6− k
.C6i x i ( −2 )
6−i
6 −i
Số hạng chứa x 7 ứng với i + k = 7 . Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm 5 5 i = 1 ⇒ k = 6 ⇒ hệ số là = C66C61 ( −1) . ( 2 ) = −192 5
4
5
3
i = 2 ⇒ k = 5 ⇒ hệ số là = C65C62 ( −1) . ( 2 ) = −1440 4 6
3 6
i = 3 ⇒ k = 4 ⇒ hệ số là = C C ( −1) . ( 2 ) = −2400
5
2
5
1
i = 4 ⇒ k = 3 ⇒ hệ số là = C63C64 ( −1) . ( 2 ) = −1200 2 6
5 6
i = 5 ⇒ k = 2 ⇒ hệ số là = C C ( −1) . ( 2 ) = −180
5
0
i = 6 ⇒ k = 1 ⇒ hệ số là = C61C66 ( −1) . ( 2 ) = −6 31
32
6
Vậy hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển ( x 2 − 3x + 2 ) bằng −5418
12
Cách 2.
(x
k=
6
2
2
− 3 x + 2 ) = ( x + ( −3 x + 2 ) )
18
18 1 Và khai triển B = x 2 + = ∑ C18l x 36−3l có 19 số hạng. x l =0 Ta đi tìm các số hạng có cùng lũ y thừa, mà giản ước được trong khai triển P ( x ) , ta phải có : 36 − 3l = k ⇔ k + 3l = 36 (1) Phương trình (1) cho ta ta 5 cặp nghiệm thỏa mãn (k; l) = {(0;12), (3;11), (6;10), (9;9), (12;8)} tương ứng với 5 số hạng. Vậy sau khi khai triển và rút gọn P ( x ) ta có 13 + 19 − 5 = 27 số hạng.
6
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là C6k . ( x 2 )
6−k
k
( −3x + 2) k i Số hạng tổng quát trong khai triển ( −3 x + 2 ) là Cki .2 k −i ( −3 x ) 6
Số hạng tổng quát trong khai triển ( x 2 − 3 x + 2 ) là C6k . ( x 2 )
6− k
với k = 0;1; 2...;6 . với 0 ≤ i ≤ k .
Cki .2k −i ( −3 x )
i
i
= C6k Cki .2 k − i ( −3 ) . ( x12 − 2 k + i ) 7
Số hạng chứa x ứng với 12 − 2k + i = 7 ⇔ 2k − i = 5 . Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm 1 k = 3 ⇒ i = 1 ⇒ hệ số là = C63C31 2 2 ( −3 ) = −720 3
Câu 97.
0
12
Câu 98.
5
k = 5 ⇒ i = 5 ⇒ hệ số là = C65C55 ( 2 ) . ( −3 ) = −1458
10
10
10
(1 + x )
10
10
k =0
i =0
k =0 i =0
10
= ∑ C10k .x 2 k .∑ C10i .x i = ∑∑ C10k .C10i .x 2 k +i
12
Trường hợp 2: k = 1 , i = 3 nên hệ số chứa x 5 là C101 .C103 . Trường hợp 3: k = 2 , i = 1 nên hệ số chứa x 5 là C102 .C101 .
Câu 99.
Vậy hệ số của số hạng chứa x 5 là C100 .C105 + C101 .C103 + C102 .C101 = 1902 .
Câu 94.
1 n
2 n
0 n
1 n
12
Vậy hệ số của x trong khai triển P ( x ) là C65 + C75 + ... + C125 = 1715 . 5
+ 3.2 = 3840 ⇔ n = 9
8
Câu 100. Ta có (1 + x ) = C80 + C81 x + ... + C88 x 8 suy ra hệ số chứa x 8 là C88 .
9
11
11
9
Lại có (1 + x ) = C90 + C91 x + ... + C98 x 8 + C99 x 9 suy ra hệ số của x 8 là C98 . 10
Tương tự trong khai triển (1 + x ) có hệ số của x 8 là C108 .
11
Ta có: A = (1 + x + x 2 + x3 + ... + x10 ) ⇔ (1 − x ) A = (1 − x11 ) 110
11
11
(1 + x ) 12 (1 + x )
⇔ ∑ C11k ( − x ) .∑ ai x i = ∑ C11m ( − x11 ) . k =0 i=0 =0
m
k
m
P
1 10 a10 + C112 a9 − C113 a8 + ... + C11 a1 − C1111a0 = T Hệ số của x11 trong P là: C110 a11 − C11
Hệ số của x11 trong Q là: −C111 Vậy T = −C111 = −11 . m
Dạng 2.2.2 Tổng ( a1 + b1 ) + ( a2 + b2 ) + ... + ( ak + bk ) Câu 96. Chọn A
8
8 11
có hệ số của x là C . có hệ số của x 8 là C128 .
Suy ra hệ số của x 8 trong P ( x ) là a8 = C88 + C98 + C108 + C118 + C128 = 715 . Câu 101. Ta có 8 9 10 11 12 P ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) . Áp dụng khai triển n (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n .
Q
n
n
Xét nhị thức ( x + 1) = (1 + x ) có số hạng tổng quát là Cnk xk . Ta có:
Hệ số của x 5 trong (1 + x ) là C125 .
n
11
ta có 22 số hạng. Vậy
Hệ số của x 5 trong (1 + x ) là C75 n n
Cho x = 1 ⇒ (1 + x − x 2 + x 3 )9 = (1 + 1 − 12 + 13 ) = 29 .
Câu 95.
n
21
6
⇔ ( Cn1 + 2Cn2 + ... + nCnn ) + 3 ( Cn0 + Cn1 + C n2 + ... + Cnn ) = 3840
⇔ n.2
1 ta có 13 số hạng; Với khai triển 2x3 + 2 x
7
⇔ ( 0 + 3) C + (1 + 3) C + ( 2 + 3) C + ... + ( n + 3) C = 3840 n −1
=0.
Hệ số của x 5 trong (1 + x ) là C65 .
3C + 4C + 5C + ... + (n + 3)C = 3840 n n 2 n
2018
k
3 Với khai triển x 2 + x tổng số hạng là: 35 .
Hệ số của số hạng chứa x 5 nên 2k + i = 5 . Trường hợp 1: k = 0 , i = 5 nên hệ số chứa x 5 là C100 .C105 .
0 n
+ ( 3 − 2.1)
12 12 2 3 2 12 − k 3 k k k 24 − 3 k x + = ∑ C12 ( x ) = ∑ C12 3 x x x k =0 k =0
21
10
2017
k
21 21 3 1 k 3 21− k 1 k 21− k 63− 5 k 2x + 2 = ∑ C21 ( 2 x ) 2 = ∑ C21 2 x x x k =0 k =0 Ta cho k chạy từ 0 đến 12 thì các số mũ của x không bằng nhau.
6
Vậy hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển ( x 2 − 3x + 2 ) bằng −5418 . Ta có: (1 + x + x 2 + x3 ) = (1 + x 2 )
Ta có P ( x ) = a2018 x 2018 + a2017 x 2017 + ... + a1 x + a0 Cho x = 1 ⇒ P ( 1) = a2018 + a2017 + ... + a1 + a0 = ( 1 − 2 )
1
k = 4 ⇒ i = 3 ⇒ hệ số là = C64C43 ( −3 ) . ( 2 ) = −3240
Câu 93.
12
Ta có khai triển A = (1 + x ) = ∑ C12k x k có 13 số hạng.
h
Cho x = 1 , ta có Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n .
18
Do đó ta có tổng hệ số của P ( x ) là:
1 12 Đặt A = (1 + x ) ; B = x 2 + x
S = 28 + 29 + 210 + 211 + 212 = 28 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 ) = 31.28 = 7936 . 33
34
6
m
Dạng 2.2.3 Tích ( a1 + .. + an ) . ( b1 + ... + bn ) Câu 102.
11
= ∑ C6k .3k ( −1)
l
11
11
= ∑ C11k .311− k .x k + 2 x ∑ C11k .311− k .x k k =0
k =0
= ∑ C .3 k 11
11− k
.x + ∑ C11k .2.311− k .x k +1
Vậy hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức x( x − 2)6 + (3x − 1)8 bằng −13608 + 60 = −13548. Câu 108. Chọn D
k =0
9 11
9
2
8 11
3
Suy ra hệ số của x khi triển khai nhị thức trên là: C .3 + C .2.3 = 9045 .
n
6
6
6
4
8
8
1 1 1 2 x + x + = x + = + x = 4 2 2 4
1 6 Vậy ( 2 x + 1) x 2 + x + = 4
k 6 −k 6
k =0 8
∑ C 12 8 j
8
k k k 6
∑
k =0
j =0
8
n
∑
∑
C6k 2k .
k =0
8
+ ∑ C8m ( 3 x )
k
( −1)
k
8
8−m
( −1)
m
m=0
. x 7 − k + ∑ C8m ( 3 )
8− m
( −1)
m
.x8−m
m=0
5
xj
xj =
( −1)
3
Do đó hệ số của x 5 trong khai triển bằng: C62 .2 4 + C83 . ( 3 ) ( −1) = −13368. Câu 109. Chọn A Số hạng tổng quát trong khai triển trên có dạng: 6− k m 8− m 6− k 8− k x.C6k . x k ( −2 ) + C8m . ( 3 x ) . ( −1) = C6k .x k +1 ( −2 ) + C8m .3m. ( −1) .x m .
8− j
8− j
6− k
Để có số hạng của x 5 trong khai triển thì k = 2; m = 3
∑C 2 x
1 C8J 2
6− k
k =0
j =0
C6k 2k x k .
Số hạng của khai triển chứa x6 khi Xét bảng:
6
= ∑ C6k ( 2 )
k =0
n
∑
( 2 x )k =
8
k =0
n
∑C 1
6
Ta có x ( 2 x − 1) + ( 3 x − 1) = x.∑ C6k ( 2 x )
10 2 (3 + 4 x + 4x2 ) = ∑ C10k .2k.xk .(16 x4 + 32 x3 + 40x2 + 24x + 9) k =0 Do đó a6 = C102 .22.16 + C103 .23.32 + C104 .24.40 + C105 .25.24 + C106 .26.9 = 482496 . 10
Câu 103. Ta có: (1 + 2 x )
Câu 104. Xét khai triển ( 2 x + 1) = (1 + 2 x ) =
xm .
Hệ số của x 5 trong khai triển nhị thức (3 x − 1)8 là C85 ( −3) 5 = −13608 .
11
k
k =0
8− k
m=0
Hệ số x 5 ứng với k = 4 ; m = 5 . 2 3 Hệ số cần tìm là C64 .34 ( −1) + C85 .25 ( −1) = −577 . Câu 107. Chọn A Hệ số của x 4 trong khai triển nhị thức ( x − 2) 6 là C64 22 = 60 .
11
= (3 + x ) + 2 x (3 + x )
11
8
x k +1 + ∑ C8m .2 m ( −1)
k =0
11
(1 + 2 x )( 3 + x )
6 −k
j =0
k + 1 = 5 k = 4 Để tìm hệ số của x 5 ta cần tìm k , m sao cho ⇔ . m = 5 m = 5 2 3 Hệ số của x 5 cần tìm bằng: C64 . ( −2 ) + C85 .35. ( −1) = −13548 . Câu 110. Chọn A Hệ số của x 5 là
8− j
1 C8J 2
x j +k
j+k =6
4
C 54 .11.(−1) + C103 .17.23 = 965. Câu 111. Khải triển P ( x ) có số hạng tổng quát xC5k ( −2 x ) + x 2C10m ( 3 x ) = ( −2 ) C5k x k +1 +3m C10m x m + 2 ( k
m
k
k ∈ ℕ , k ≤ 5 , m ∈ℕ , m ≤ 10 ) k + 1 = 5 k = 4 . ⇔ Hệ số của x 5 ứng với k , m thỏa hệ m + 2 = 5 m = 3 4 3 3 4 Vậy hệ số cần tìm là ( −2 ) C5 + 3 C10 = 3320 .
4
1 3003 1 6 6 Vậy hệ số x6 trong khai triển ( 2 x + 1) x 2 + x + thành đa thức là = C14 . 4 4 4 Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng Câu 105. Chọn B 2 6 Hệ số của x5 trong khai triển biểu thức x ( 2 x − 1) là C64 2 4 ( −1) = 240 .
Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán Câu 112. Chọn A. 1 20 0 1 2 Ta có: S = 319 C20 + 318 C20 + 317 C20 + ... + C20 3 0 1 2 20 3S = 320 C20 + 319 C20 + 318 C20 + ... + C20
3
8
Hệ số của x5 trong khai triển biểu thức ( x − 3 ) là C85 ( −3 ) = −1512 . 6
20
0 1 2 18 2 20 0 20 Xét khai triển: ( 3 + 1) = C20 32010 + C20 31911 + C20 3 1 + ... + C20 31
8
Suy ra hệ số của x5 trong khai triển biểu thức x ( 2 x − 1) + ( x − 3 ) là 240 − 1512 = −1272 . Câu 106. Chọn B 6
x ( 3 x − 1) + ( 2 x − 1) = x ∑ C6k . ( 3 x ) ( −1) 6
8
k =0
k
6 −k
8
+ ∑ C8m . ( 2 x )
m
20
0 1 2 20 320 + C20 319 + C20 318 + ... + C20 ⇔ 3S = 4 20 ⇒ ( 3 + 1) = C20
8−k
( −1)
Câu 113. Chọn A
m =0
35
36
Ta có (1 + 1)
2017
2017
1 10 12 = C2221 , C222 = C2220 ,……, C22 = C22 . C220 = C2222 , C22
k 0 1 2 3 2017 . = ∑ C2017 1k12017 − k = C2017 +C2017 + C2017 + C2017 + ... + C2017
1 20 12 13 22 Do đó: C220 + C22 + C222 + .... + C22 + C 2221 + C 2222 = 2 ( C 22 + C 22 + .... + C2220 + C 2221 + C 22 ) + C2211 .
k =0
1 2017
2 2017
Vậ y C + C Câu 114. Chọn C Ta có (1 + 1)
2018
3 2017
+C
2017 2017
+ ... + C
=2
2017
−1.
0 1 11 C22 + C22 + C222 + .... + C2220 + C 2221 + C 2222 C 22 − 2 2 11 222 C22 12 13 ⇔ C22 + C22 + .... + C2220 + C 2221 + C 2222 = − 2 2 C11 12 13 22 ⇔ C22 + C22 + .... + C2220 + C 2221 + C 22 = 221 − 22 . 2 C 11 Vậy S = 2 21 − 22 . 2 12 13 22 ⇔ C22 + C22 + .... + C2220 + C 2221 + C22 =
2018
i 0 1 2 2018 = ∑ C2018 = C2018 + C2018 + C2018 + ... + C2018 i =0
1 2 2018 Suy ra C2018 + C2018 + ... + C2018 = 2 2018 − 1 .
Câu 115. Xét hai khai triển: + 2 2017 = (1 + 1) + 0 = (1 − 1)
2017
2017
0 1 2 3 2017 = C2017 + C2017 + C2017 + C2017 + ... + C 2017 (1) .
0 1 2 3 2017 = C2017 − C2017 + C2017 − C 2017 + ... − C2017
Lấy (1) − ( 2 ) theo vế ta được: 2
2017
= 2 (C
1 2017
+C
3 2017
( 2) +C
5 2017
Câu 123. + ... + C
2017 2017
)⇒T =2
2016
.
2018.2
5
k =0 10
0 10
1 10
2 10
2
3 10
3
10 10
Vậy S = 1009.2 2018 + 2 2018 = 1010.2 2018.
10
Câu 118. Xét khai triển (1 + x ) = C + C .x + C .x + C .x + ⋯ + C .x .
10 − k
10
Với x = 2 ta có (1 + 2 ) = C100 + 2C101 + 2 2 C102 + 23 C103 + ⋯ + 210 C1010 .
Câu 124. Ta có
Vậy S = 310 = 59049 . 2016 0 1 2 2016 2016 Câu 119. Ta có: (1 + x ) = C2016 + C2016 x + C2016 x 2 + ... + C2016 x . 2016
0 2016
1 2016
2 2016
Chọn x = 1 , ta có: 2 = C + C + C + ... + C Câu 120. Chọn C n Xét khai triển (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n .
2016 2016
hay C
0 n
1 n
2
2 n
n
n n
2
1 2016
+C
2 2016
+ ... + C
2016 2016
=2
2016
−1 .
(
6
n
) ( 2
= 2 + 2 + (1 + 1) + ... + (1 + 1)
1 1 10 1 10 k k 10 − k ∑ C10 .x . (1 − x ) = 10! ( x + 1 − x ) = 10! . 10! k =0
)
n −1
(
+ (1 + 1)
) (
)
n
2n − 1 ⇒ S = 2 n +1 . 2 −1 S là một số có 1000 chữ số ⇒ 10999 ≤ S < 101000 ⇔ 10999 ≤ 2 n+1 < 101000 ⇔ 999 log 2 10 − 1 ≤ n < 1000 log 2 10 − 1 = 2 + 21 + 2 2 + ... + 2 n = 2 + 2.
k =0 0 1 2018 2019 2019 2020 = C2019 + C 2019 x + C2019 x 2 + ... + C2019 x x . Đạo hàm 2 vế theo biến x ta được. 0 1 2018 2019 (1 + x ) 2019 + 2019 x (1 + x ) 2018 = C2019 + C 2019 .2 x + ... + C2019 .2019 x 2018 + C 2019 .2020 x 2019 .
Do n ∈ ℕ nên n ∈ {3318;3319;3320} . Vậy có 3 số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0 1 2018 2019 Cho x = 1 suy ra 2 2019 + 2019.2 2018 = C2019 . + 2C2019 + ... + 2019C2019 + 2020C2019
⇔ (2 + 2019).22018 = 1 + S ⇔ S = 2021.22018 − 1 . Vậy S = 2021.2 2018 − 1 . Câu 122. Chọn C 22 1 20 21 22 Ta có : 2 22 = (1 + 1) = C220 + C22 . + C222 + .... + C22 + C 22 + C22 Áp dụng tính chất : C = C
=
= 2 + C10 + C11 + C20 + C21 + C22 + ... + Cn0−1 + Cn1−1 + ... + Cnn−−11 + Cn0 + Cn1 + ... + Cnn n
2019
n −k n
10
Câu 125. S = 2 + ( C10 + C20 + ... + Cn0 ) + ( C11 + C21 + ... + Cn1 ) + ... + ( Cnn−−11 + Cnn −1 ) + Cnn
k 0 1 2018 2018 2019 2019 = x.∑ C2019 x k = x. ( C2019 + C2019 x + ... + C2019 x + C2019 x ).
k n
1 k k x k (1 − x ) 10 −k 1 10! 10 − k = .C10 .x . (1 − x ) . với 0 ≤ k ≤ 10 . = . .x k . (1 − x ) k ! (10 − k ) ! 10! k !(10 − k ) ! 10!
x10 x9 (1 − x ) x8 (1 − x ) (1 − x ) + . + . + ... + 10! 9! 1! 8! 2! 10!
Cho x = 4 ta có: 5 = C + 4C + 4 C + ... + 4 C . Suy ra: 15625 = 5 ⇔ 5 = 5 ⇔ n = 6 . Câu 121. Chọn C 2019
2 + 2C2018 + 3C32018 + ... + 2018C2018 . 2 2018 ( )
2 + ... + 2018C2017 + 2019C2018 . S = 2018.2 2017 + 2 2018 = C02018 + 2C12018 + 3C2018 2018 2018
k =0
Ta có: x. (1 + x )
=C
Lấy ( 2 ) + ( 3 ) ta được:
10
Chọn x = 2 ta có ( 2 + 1) = ∑ C10k .2k ⇔ S = 310 = 49049 .
n
2 + 3x 2C32018 + ... + 2018x 2017 C2018 . Cho x = 1 ta được: = C12018 + 2xC2018 2018 1 2018
2018 . ( 3) 22018 = C02018 + C12018 + C22018 + C32018 + ... + C2018
k
10
2017
2017
Đồng thời, thay x = 1 vào (1) ta cũng có:
10
Ta có ( x + 1) = ∑ C .x
2 + x3C32018 + ... + x 2018 C2018 = C02018 + xC12018 + x 2 C2018 1 2018 ( )
2018 (1 + x )
Thay x = 2 ta được: S = C50 + 2C51 + 2 2 C52 + ... + 25 C55 = (1 + 2 ) = 35 = 243 Câu 117. Chọn B k 10
2018
Đạo hàm 2 vế của đẳng thức (1) ta được:
Câu 116. Chọn C 5 Xét tổng (1 + x ) = C50 + xC51 + x 2C52 + ... + x 5C55
10
(1 + x )
Câu 126. Chọn B n! n! n! n! ⇔ + + + .... + = 1024 1!( n − 1)! 3!( n − 3)! 5!( n − 5) ! ( n − 1)!1! ⇔ Cn1 + Cn3 + Cn5 + ..... + Cnn = 1024 (1).
, suy ra:
Ta chứng minh đẳng thức Cn1 + Cn3 + Cn5 + ..... + Cnn = 2 n −1 (2). 37
38
n
0 1 2 2 n n Thật vậy, xét (1 + x ) = Cn + Cn x + Cn x + .... + Cn x .
Với n là số nguyên dương Thay x = 1 thì 2n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ..... + Cnn . Thay x = −1 thì 0 = Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + ...... − Cnn −1 + Cnn
⇒ Cn0 + Cn2 + Cn4 + ...... + Cnn = Cn1 + Cn3 + ..... + Cnn−1 .
A
B
A = B ⇔ 2 B = 2n ⇔ B = 2n −1 . Từ đó ta có: n A+ B = 2 Do đó đẳng thức (2) được chứng minh. n−1 10 Thay vào (1) 2 = 1024 = 2 nên n = 11 , chọn đáp án B
39
TOÁN 11
BIẾN CỐ, XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Dạng 2.2.3 Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân ................................................................................................ 53
1D2-4
Mục lục Phần A. Câu hỏi .............................................................................................................................................................. 2
Phần A. Câu hỏi
Dạng 1. Mô tả không gian mẫu và mối liên hệ giữa các biến cố ..................................................................................... 2
Dạng 1. Mô tả không gian mẫu và mối liên hệ giữa các biến cố
Dạng 2. Các dạng toán về xác suất ................................................................................................................................... 3 Dạng 2.1 SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC XUẤT - QUY VỀ BÀI TOÁN ĐẾM...................................... 3 Dạng 2.1.1 Bài toán tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng cách tính trực tiếp số phần tử thuận lợi cho biến cố. ..................................................................................................................................................................... 3 A.
Một số bài toán chọn vật, chọn người .......................................................................................................... 3
B.
Một số bài toán liên quan đến chữ số ........................................................................................................... 8
C.
Một số bài toán liên quan đến yếu tố sắp xếp............................................................................................. 11
D.
Một số bài toán liên quan đến xúc sắc ........................................................................................................ 12
E.
Một số bài toán liên quan đến hình học.......................................................................................................... 13
F.
Một số bài toán đề thi ..................................................................................................................................... 15
Dạng 2.1.2 Tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng phương pháp gián tiếp. ............................................. 15
Câu 1.
(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Xét phép thử gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 6 mặt hai lần. Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”. Khẳng định nào sau đây đúng? B. n ( A) = 12 . C. n ( A ) = 16 . D. n ( A) = 36 . A. n ( A ) = 6 .
Câu 2.
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba lần. Gọi A là biến cố “Có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp” và B là biến cố “Kết quả ba lần gieo là như nhau”. Xác định biến cố A ∪ B. A. A ∪ B = {SSS , SSN , NSS , SNS , NNN } . B. A ∪ B = {SSS , NNN } . C. A ∪ B = {SSS , SSN , NSS , NNN } .
Câu 3.
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất 5 lần. Tính số phần tử không gian mẫu. A. 64 . B. 10 . C. 32 . D. 16 .
Câu 4.
(HKI-Chu Văn An-2017) Xét phép thử gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi A là biến cố “Lần đầu xuất hiện mặt 6 chấm” và B là biến cố “Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm”.
DẠNG 2.2 SỬ DỤNG QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT .................................................................................................. 18 Dạng 2.2.1 Sử dụng quy tắc cộng........................................................................................................................... 18 Dạng 2.2.2 Sử dụng quy tắc nhân .......................................................................................................................... 19 Dạng 2.2.3 Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân ................................................................................................ 20
Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau? A. A và B là hai biến cố xung khắc. B. A ∪ B là biến cố “Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm”. C. A ∩ B là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai lần gieo bằng 12. D. A và B là hai biến cố độc lập.
Phần B. Lời giải tham khảo ......................................................................................................................................... 23 Dạng 1. Mô tả không gian mẫu và mối liên hệ giữa các biến cố ................................................................................... 23 Dạng 2. Các dạng toán về xác suất ................................................................................................................................. 23 Dạng 2.1 SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC XUẤT - QUY VỀ BÀI TOÁN ĐẾM.................................... 23 Dạng 2.1.1 Bài toán tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng cách tính trực tiếp số phần tử thuận lợi cho biến cố. ................................................................................................................................................................... 23 A.
Một số bài toán chọn vật, chọn người ........................................................................................................ 23
B.
Một số bài toán liên quan đến chữ số ......................................................................................................... 30
C.
Một số bài toán liên quan đến yếu tố sắp xếp............................................................................................. 36
D.
Một số bài toán liên quan đến xúc sắc ........................................................................................................ 38
E.
Một số bài toán liên quan đến hình học.......................................................................................................... 40
F.
Một số bài toán đề thi ..................................................................................................................................... 43
Câu 5.
1
C. 0,1 .
D. 0,12 .
Câu 6.
(TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Rút ngẫu nhiên cùng lúc ba con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con thì n ( Ω ) bằng bao nhiêu? A. 140608 . B. 156 . C. 132600 . D. 22100 .
Câu 7.
(CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho A , B là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng? A. P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) . B. P ( A ∪ B ) = P ( A) .P ( B ) . C. P ( A ∪ B ) = P ( A) − P ( B ) .
DẠNG 2.2 SỬ DỤNG QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT .................................................................................................. 49 Dạng 2.2.2 Sử dụng quy tắc nhân .......................................................................................................................... 51
(CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. P ( A ) = 0, 4 ,
P ( B ) = 0,3 . Khi đó P ( AB ) bằng A. 0,58 . B. 0, 7 .
Dạng 2.1.2 Tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng phương pháp gián tiếp. ............................................. 44 Dạng 2.2.1 Sử dụng quy tắc cộng........................................................................................................................... 49
D. A ∪ B = Ω .
Câu 8.
D. P ( A ∩ B ) = P ( A ) + P ( B ) .
(QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho A , B là hai biến cố xung khắc. Biết 1 1 P ( A ) = , P ( B ) = . Tính P ( A ∪ B ) . 3 4 2
A. Câu 9.
7 . 12
B.
1 . 12
C.
1 . 7
D.
1 . 2
A.
(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Xét một phép thử có không gian mẫu Ω và A là một biến cố của phép thử đó. Phát biểu nào dưới đây là sai? A. P ( A ) = 0 khi và chỉ khi A là chắc chắn. B. P ( A ) = 1 − P A . C. Xác suất của biến cố A là P ( A) =
Câu 10.
Câu 11.
n (Ω)
.
D. 0 ≤ P ( A) ≤ 1 .
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Xét phép thử gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi A là biến cố “Lần đầu xuất hiện mặt 6 chấm” và B là biến cố “Lần hai xuất hiện mặt 6 chấm”. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? A. A và B là hai biến cố độc lập. B. A ∩ B là biến cố: Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai lần gieo bằng 12 . C. A ∪ B là biến cố: Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm. D. A và B là hai biến cố xung khắc. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho A và B là hai biến cố xung khắc. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. P ( A ) + P ( B ) = 1 . B. Hai biến cố A và B không đồng thời xả y ra. C. Hai biến cố A và B đồng thời xả y ra. D. P ( A ) + P ( B ) < 1 .
Câu 12.
B. P ( A) .P ( B ) .
C. P ( A) .P ( B ) − P ( A) − P ( B ) .
D. P ( A) + P ( B ) .
Dạng 2. Các dạng toán về xác suất Dạng 2.1 SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC XUẤT - QUY VỀ BÀI TOÁN ĐẾM. Dạng 2.1.1 Bài toán tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng cách tính trực tiếp số phần tử thuận lợi cho biến cố. A. Một số bài toán chọn vật, chọn người
Câu 13. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng 5 6 5 8 A. B. C. D. 22 11 11 11 Câu 14.
Câu 15.
(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Từ một hộp chứa 11 quả cầu màu đỏ và 4 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh 33 24 4 4 A. B. C. D. 91 455 165 455 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Từ một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấ y được 3 quả cầu màu xanh bằng 3
2 7
C.
5 12
D.
7 44
(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Từ một hộp chứa 9 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh, lấ y ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấ y được 3 quả cầu màu xanh bằng? 24 4 12 5 A. B. C. D. 91 91 65 21
Câu 17.
(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Từ một hộp chứa 10 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng 2 12 1 24 B. C. D. A. 91 91 12 91
Câu 18. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Một lớp có 40 học sinh, trong đó có 4 học sinh tên Anh. Trong một lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên hai học sinh trong lớp lên bảng. Xác suất để hai học sinh tên Anh lên bảng bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 10 20 130 75 Câu 19.
(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Hộp A có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Hộp B có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi, tính xác suất để hai viên bi được lấ y ra có cùng màu. 91 44 88 45 A. . B. . C. . D. . 135 135 135 88
Câu 20.
(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Xác suất để trong 4 học sinh được chọn luôn có học sinh nữ là 1 13 209 1 A. . B. . C. . D. . 14 210 14 210
Câu 21.
(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Một hộp đèn có 12 bóng, trong đó có 4 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để trong 3 bóng có 1 bóng hỏng. 11 13 28 5 A. . B. . C. . D. . 50 112 55 6
Câu 22.
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Trong một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn trong tổ tham gia đội tình nguyện của trường. Tính xác suất để 3 bạn được chọn toàn là nam. 1 4 1 2 A. . B. . C. . D. . 6 5 5 3
Câu 23.
(HKI-Chu Văn An-2017) Trong một đợt kiểm tra định kỳ, giáo viên chuẩn bị một hộp đựng 15 câu hỏi gồm 5 câu hỏi Hình học và 10 câu hỏi Đại số khác nhau. Mỗi học sinh bốc ngẫu nhiên từ hộp đó 3 câu hỏi để làm đề thi cho mình. Tính xác suất để một học sinh bốc được đúng một câu hình học. 45 3 200 2 A. 91 . B. 4 . C. 273 . D. 3 .
Câu 24.
(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Một người chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 5 đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để 2 chiếc giày được chọn tạo thành một đôi. 1 1 7 1 A. . B. . C. . D. . 2 10 9 9
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất của biến cố P ( A ∪ B ) bằng
A. 1 − P ( A ) − P ( B ) .
B.
Câu 16.
( )
n ( A)
1 22
4
Câu 25.
(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Giải bóng chuyền VTV Cúp có 16 đội tham gia trong đó có 12 đội nước ngoài và 4 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 4 bảng đấu A, B, C , D mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 4 đội của Việt Nam nằm ở 4 bảng đấu khác nhau. 32 64 8 391 A. . B. . C. . D. . 1365 1365 455 455
Câu 26.
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Trong một hộp có 12 bóng đèn, trong đó có 4 bóng đèn hỏng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 bóng đèn. Tính xác suất để lấy được 3 bóng tốt. 28 14 1 28 A. . B. . C. . D. . 55 55 55 55
Câu 27.
(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, một toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai. 5 7 1 3 A. . B. . C. . D. . 16 16 8 16
Câu 36.
(THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Một hộp đựng 9 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3 viên bi. Tìm xác suất để 3 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu xanh. 10 5 25 5 A. . B. . C. . D. . 21 14 42 42
Câu 28.
(HKI-Chu Văn An-2017) Một hộp chứa 35 quả cầu gồm 20 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 20 và 15 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 15 . Lấ y ngẫu nhiên từ hộp đó một quả cầu. Tính xác suất để lấ y được quả màu đỏ hoặc ghi số lẻ. 27 5 28 4 A. . B. . C. . D. . 7 35 7 35
Câu 37.
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Trong một hộp đựng 7 bi màu đỏ, 5 bi màu xanh và 3 bi vàng, lấ y ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để 3 viên bi lấy được đều có màu đỏ. 1 3 1 7 A. . B. . C. . D. . 13 7 5 15
Câu 29.
(HKI-Chu Văn An-2017) Có hai hộp, mỗi hộp chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5 . Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ. Tính xác suất để 2 thẻ rút ra đều ghi số chẵn. 2 21 4 4 A. . B. . C. . D. . 5 25 9 25
Câu 34. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Một người làm vườn có 12 cây giống gồm 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi. Người đó muốn chọn ra 6 cây giống để trồng. Tính xác suất để 6 cây được chọn, mỗi loại có đúng 2 cây. 1 1 15 25 A. . B. . C. . D. . 8 10 154 154 Câu 35. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Một hộp đựng 7 quả cầu màu trắng và 3 quả cầu màu đỏ. Lấ y ngẫu nhiên từ hộp ra 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả cầu lấy được có đúng 2 quả cầu đỏ. 21 20 62 21 A. . B. . C. . D. . 71 71 211 70
Câu 38. (KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Một lớp có 35 đoàn viên trong đó có 15 nam và 20 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 đoàn viên trong lớp để tham dự hội trại 26 tháng 3 . Tính xác suất để trong 3 đoàn viên được ó cả nam và nữ. 90 30 125 6 A. . B. . C. . D. . 119 119 7854 119
Câu 30. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Bình có bốn đôi giầy khác nhau gồm bốn màu: đen, trắng, xanh và đỏ. Một buổi sáng đi học, vì vội vàng, Bình đã lấy ngẫu nhiên hai chiếc giầy từ bốn đôi giầy đó. Tính xác suất để Bình lấ y được hai chiếc giầy cùng màu? 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 7 4 14 7
Câu 39.
Câu 31.
Câu 40. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Một tổ học sinh có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho hai người được chọn đều là nữ. 7 8 1 2 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 3
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Có 5 học sinh không quen biết nhau cùng đến một cửa hàng kem có 6 quầy phục vụ. Xác suất để có 3 học sinh cùng vào một quầy và 2 học sinh còn lại vào một quầy khác là C 3 .C1 .5! C 3 .C1 .5! C 3 .C1 .C1 C 3 .C1 .C1 A. 5 56 . B. 5 56 5 . C. 5 66 . D. 5 66 5 . 6 6 5 5 Câu 32. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Một hộp có 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để chọn được 2 quả cầu khác màu. 17 1 5 13 A. . B. . C. . D. . 18 18 18 18 Câu 33. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong một đợt kiểm tra định kì, giáo viên chuẩn bị một chiếc hộp đựng 15 câu hỏi gồm 5 câu hỏi Hình học và 10 câu hỏi Đại số khác nhau. Mỗi học sinh bốc ngẫu nhiên từ hộp đó 3 câu hỏi để làm đề thi cho mình. Tính xác suất để một học sinh bốc được đúng 1 câu hỏi Hình học. 3 45 2 200 A. . B. . C. . D. . 4 91 3 273 5
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Lớp 11B có 25 đoàn viên, trong đó có 10 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 đoàn viên trong lớp để tham dự hội trại ngày 26 tháng 3 . Tính xác suất để 3 đoàn viên được chọn có 2 nam và 1 nữ. 7 27 3 9 A. . B. . C. . D. . 920 92 115 92
Câu 41. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó 4 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấ y ra có không quá 1 phế phẩm. 91 637 7 91 A. . B. . C. . D. . 323 969 9 285 Câu 42.
(LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 5 quyển sách lý, 6 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển sách đươc lấ y ra có ít nhất một quyển sách toán. 24 58 24 33 A. . B. . C. . D. . 91 91 455 91
6
Câu 43.
(THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Có 8 cái bút khác nhau và 9 quyển vở khác nhau được gói trong 17 hộp. Một học sinh được chọ bất kỳ hai hộp. Xác suất để học sinh đó chọn được một cặp bút và vở là 1 9 1 9 A. . B. . C. . D. . 17 17 8 34
Câu 44.
(THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Lớp 12 A2 có 10 học sinh giỏi, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Cần chọn ra 3 học sinh đi dự hội nghị “Đổi mới phương pháp dạy và học” của nhà trường. Tính xác suất để có đúng hai học sinh nam và một học sinh nữ được chọn. Giả sử tất cả các học sinh đó đều xứng đáng được đi dự đại hội như nhau. 2 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 5 3 3 2
Câu 45. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca. Tính xác suất để trong bốn người được chọn có ít nhất ba nữ. 70 73 56 87 A. . B. . C. . D. . 143 143 143 143 Câu 46.
(THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Xác suất để có được ít nhất hai viên bi xanh là bao nhiêu? 41 14 28 42 A. . B. . C. . D. . 55 55 55 55
Câu 47. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Một túi đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấ y ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất để cả hai bi đều đỏ là. 7 7 8 2 A. . B. . C. . D. . 15 45 15 15 Câu 48.
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Một đoàn tình nguyện, đến một trường tiểu học miền núi để trao tặng 20 suất quà cho 10 em học sinh nghèo học giỏi. Trong 20 suất quà đó gồm 7 chiếc áo mùa đông, 9 thùng sữa tươi và 4 chiếc cặp sách. Tất cả các suất quà đều có giá trị tương đương nhau. Biết rằng mỗi em được nhận 2 suất quà khác loại (ví dụ: 1 chiếc áo và 1 thùng sữa tươi). Trong số các em được nhận quà có hai em Việt và Nam. Tính xác suất để hai em Việt và Nam đó nhận được suất quà giống nhau? 1 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 5 15 5
Câu 49.
(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Một tổ chuyên môn tiếng Anh của trường đại học X gồm 7 thầy giáo và 5 cô giáo, trong đó thầy Xuân và cô Hạ là vợ chồng. Tổ chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp tiếng Anh B1 khung châu Âu. Xác suất sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy Xuân hoặc cô Hạ nhưng không có cả hai là 5 5 85 85 A. . B. . C. . D. . 44 88 792 396
Câu 50.
(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Yên Dũng số 3 gồm 8 học sinh, trong đó có 5 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh đi thi học sinh giỏi cấp Huyện. Tính xác suất để 5 học sinh được chọn đi thi có cả nam và nữ và học sinh nam nhiều hơn học sinh nữ 11 45 46 55 A. p = . B. p = . C. p = . D. p = . 56 56 56 56
Câu 51.
gồm 7 chiếc áo mùa đông, 9 thùng sữa tươi và 4 chiếc cặp sách. Tất cả các suất quà đều có giá trị tương đương nhau. Biết rằng mỗi em nhận hai suất quà khác loại (ví dụ một chiếc áo và một thùng sữa tươi). Trong số các em được nhận quà có hai em Việt và Nam. Tính xác suất để hai em Việt và Nam đó nhận được suất quà giống nhau? 1 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 5 15 5 Câu 52.
(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Một cái hộp chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấ y lần lượt 2 viên bi từ cái hộp đó. Tính xác suất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh. 2 7 11 7 A. . B. . C. . D. . 5 24 12 9
Câu 53. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Một cái hộp chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấ y lần lượt 2 viên bi từ cái hộp đó. Tính xác suất để viên bi được lấ y lần thứ 2 là bi xanh. 2 7 11 7 A. . B. . C. . D. . 5 24 12 9 Câu 54. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Một tổ gồm 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ và 5 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên từ tổ đó ra 3 học sinh. Xác suất để trong 3 học sinh chọn ra có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ bằng: 17 5 25 10 A. . B. . C. . D. . 42 42 42 21 Câu 55.
(THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Đội thanh niên xung kích của trường THPT Chuyên Biên Hòa có 12 học sinh gồm 5 học sinh khối 12 , 4 học sinh khối 11 và 3 học sinh khối 10 . Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để làm nhiệm vụ mỗi buổi sáng. Tính xác suất sao cho 4 học sinh được chọn thuộc không quá hai khối. 5 6 21 15 A. . B. . C. . D. . 11 11 22 22 B. Một số bài toán liên quan đến chữ số
Câu 56.
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Chọn ngẫu nhiên một số có 2 chữ số từ các số 00 đến 99. Xác suất để có một con số tận cùng là 0 là A. 0, 2 . B. 0,1 . C. 0, 3 . D. 0, 4 .
Câu 57.
(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được tạo từ tập E = {1; 2;3; 4;5} . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S . Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn. 3 2 3 1 A. . B. . C. BD . D. . 4 5 5 2
Câu 58.
(Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho tập hợp A = {1;2;3; 4;5;6} . Gọi B là tập hợp
các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ A . Chọn thứ tự 2 số thuộc tập B . Tính xác suất để 2 số được chọn có đúng một số có mặt chữ số 3 . 156 160 80 161 A. . B. . C. . D. . 360 359 359 360 Câu 59.
(TRIỆU QUANG PHỤC HƯNG YÊN-2018-2019) Một đoàn tình nguyện đến một trường tiểu học miền núi để trao tặng 20 suất quà cho 10 em học sinh nghèo học giỏi. Trong 20 suất quà đó
(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Một hộp đựng tám thẻ được ghi số từ 1 đến 8. Lấ y ngẫu nhiên từ hộp đó ba thẻ, tính xác suất để tổng các số ghi trên ba thẻ đó bằng 11. 5 4 3 1 A. . B. . C. . D. . 56 56 56 28
7
8
Câu 60. (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG - LẦN 1 - 2018) Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấ y ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10 . 99 8 3 99 A. . B. . C. . D. . 667 11 11 167 Câu 61. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên A có bốn chữ số. Gọi N là số thỏa mãn 3N = A . Xác suất để N là số tự nhiên bằng: 1 1 1 A. . B. 0. C. . D. . 4500 2500 3000
A.
265 . 529
B.
12 . 23
C.
11 . 23
D.
1 . 2
Câu 70.
(Mã đề 101 - BGD - 2019) Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là 1 13 12 313 A. . B. . C. . D. . 2 25 25 625
Câu 71.
(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;16] . Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng. A.
683 2048
B.
1457 4096
C.
19 56
D.
77 512
Câu 62. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Có hai hộp, mỗi hộp chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5 . Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 tấm thẻ. Tính xác suất để 2 thẻ rút ra đều ghi số chẵn. 2 21 4 4 A. . B. . C. . D. . 5 25 25 9
Câu 72. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;17] . Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng
Câu 63. (THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018) Một người gọi điện thoại, quên hai chữ số cuối và chỉ nhớ rằng hai chữ số đó phân biệt. Tính xác suất để người đó gọi một lần đúng số cần gọi. 83 1 13 89 A. . B. . C. . D. . 90 90 90 90
Câu 73.
Câu 64. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Trong một hòm phiếu có 9 lá phiếu ghi các số tự nhiên từ 1 đến 9 (mỗi lá ghi một số, không có hai lá phiếu nào được ghi cùng một số). Rút ngẫu nhiên cùng lúc hai lá phiếu. Tính xác suất để tổng hai số ghi trên hai lá phiếu rút được là một số lẻ lớn hơn hoặc bằng 15 . 5 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 18 6 12 9
A.
B.
1079 4913
C.
23 68
D.
1728 4913
(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;19] . Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng A.
Câu 74.
1637 4913
109 323
B.
1027 6859
C.
2539 6859
D.
2287 6859
(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Ba bạn A, B , C viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên
thuộc đoạn [1;14] . Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng A.
31 91
B.
307 1372
C.
207 1372
D.
457 1372
Câu 65. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1, 2,3, 4...,9 . Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn. 1 5 8 13 A. . B. . C. . D. . 6 18 9 18
Câu 75.
(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Có 100 tấm thẻ được đánh số từ 801 đến 900 (mỗi tấm thẻ được đánh một số khác nhau). Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để lấy được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là số chia hết cho 3. 817 248 2203 2179 A. . B. . C. . D. . 2450 3675 7350 7350
Câu 66.
Câu 76.
Câu 67. (Mã 103 - BGD - 2019) Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng 11 221 10 1 A. . B. . C. . D. . 21 441 21 2
(KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho tập hợp A = {1; 2;3; 4;5;6} . Gọi B là tập tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau từ tập A . Chọn thứ tự 2 số thuộc tập B . Tính xác suất để trong 2 số vừa chọn có đúng một số có mặt chữ số 3 . 159 160 80 161 A. . B. . C. . D. . 360 359 359 360
Câu 77.
Câu 68. (Mã 102 - BGD - 2019) Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng 365 14 1 13 A. . B. . C. . D. . 729 27 2 27
(Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho tập X = {1;2;3;.......;8} . Lập từ X số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để lập được số chia hết cho 1111 là 4!4! 384 A2 A2 A2 C 2C 2C 2 A. 8 6 4 . B. . C. 8 6 4 . D. . 8! 8! 8! 8!
Câu 78.
(NGÔ GIA TỰ LẦN 1_2018-2019) Cho tập hợp X gồm các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau có dạng abcdef . Từ X lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số lấy ra là số lẻ và thỏa mãn a < b < c < d < e < f ?
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số của tập hợp A = {1; 2;3; 4;5;6} . Chọn ngẫu nhiên
một số từ tập hợp S . Tính xác suất để số được chọn có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ. 2 3 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 5 40 10
Câu 69.
(Mã đề 104 - BGD - 2019) Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng 9
10
A.
33 . 68040
B.
1 . 2430
C.
31 . 68040
D.
29 . 68040
A.
Câu 79. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc tập A . Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 5 . 11 53 2 17 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 27 243 9 81 C. Một số bài toán liên quan đến yếu tố sắp xếp Câu 80.
(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Có hai dãy ghế đối diện nhau,mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh,gồm 3 nam và 3 nữ,ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng. 1 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 10 5 20 5
Câu 81. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng 11 1 1 1 A. B. C. D. 630 126 105 42 Câu 82. (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Hai bạn lớp A và hai bạn lớp B được xếp vào 4 ghế sắp thành hàng ngang. Xác suất sao cho các bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau bằng 1 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 3 Câu 83.
(TRIỆU QUANG PHỤC HƯNG YÊN-2018-2019) Có 13 tấm thẻ phân biệt trong đó có một tấm thẻ ghi chữ ĐỖ, một tấm thẻ ghi chữ ĐẠI, một tấm thẻ ghi chữ HỌC và mười tấm thẻ đánh số từ 0 đến 9. Lấ y ngẫu nhiên từ đó ra 7 tấm thẻ. Tính xác suất để rút được 7 tấm thẻ theo thứ tự: ĐỖ, ĐẠI, HỌC, 2, 0,1, 9 . 1 1715 1 1 A. . B. . C. 7 . D. . 1260 1716 A13 1716
Câu 87.
8 . 63
B.
1 . 126
C.
1 . 252
D.
1 . 15120
(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Có 5 học sinh lớp A , 5 học sinh lớp B được xếp ngẫu nhiên vào hai dãy ghế đối diện nhau mỗi dãy 5 ghế (xếp mỗi học sinh một ghế). Tính xác suất để 2 học sinh bất kì ngồi đối diện nhau khác lớp A.
( 5!)
2
10!
.
B.
5! . 10!
2
C.
2 ( 5!) . 10!
2
D.
25. ( 5!) . 10!
Câu 88.
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 được xếp ngẫu nhiên vào 9 ghế thành một dãy. Tính xác suất để xếp được 3 học sinh lớp 12 xen kẽ 6 học sinh lớp 11. 1 15 5 5 A. . B. . C. . D. . 84 32 12 72 D. Một số bài toán liên quan đến xúc sắc
Câu 89. Gieo ngẫu nhiên hai con xúc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất của biến cố “ Có ít nhất một con xúc sắc xuất hiện mặt một chấm” là 11 1 25 15 A. . B. . C. . D. . 36 6 36 36 Câu 90.
(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để cả hai lần xuất hiện mặt sáu chấm là 1 11 6 8 A. . B. . C. . D. . 36 36 36 36
Câu 91.
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện. 1 5 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 6 2 3
Câu 92.
(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tích số chấm xuất hiện trên hai mặt là số lẻ. 1 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 6 4 2 4
Câu 84.
(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Xếp ngẫu nhiên 3 người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé ngồi và 6 cái ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất sao cho đứa bé ngồi giữa và cạnh hai người đàn bà này là: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 30 5 15 6
Câu 93.
(Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Gieo con xúc xắc được chế tạo cân đối đồng chất hai lần. Gọi a là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, b là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai. Xác suất để phương trình x 2 + ax + b = 0 có nghiệm bằng 17 19 1 4 A. . B. . C. . D. . 36 36 2 9
Câu 85.
(Đề minh họa thi THPT Quốc gia năm 2019 – Đề số 6) Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có bốn ghế. Xếp ngẫu nhiên 8 , gồm 4 nam và 4 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng 8 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 35 70 35 840
Câu 94.
(HKI-Chu Văn An-2017) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất xảy ra của biến cố “tích hai số nhận được sau hai lần gieo là một số chẵn”. A. 0, 25 . B. 0,75 . C. 0,5 . D. 0,85 .
Câu 95.
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 6. 2 11 1 5 A. . B. . C. . D. . 9 36 6 18
Câu 86.
(DỰ ÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA THI THPT QUỐC GIA 2019-Đề 07) Kỳ thi có 10 học sinh, xếp ngồi hai dãy ghế trên và dưới, mỗi dãy có 5 ghế. Thầy giáo có 2 loại đề, gồm 5 đề chẵn và 5 đề lẻ. Tính xác suất để mỗi học sinh đều nhận 1 đề và 2 bạn ngồi kề trên, dưới là khác loại đề.
Câu 96. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - 2018) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất, xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là
11
12
A. 1.
B.
1 . 2
C.
1 . 3
D.
2 . 3
A.
7 . 216
B.
2 . 969
C.
3 . 323
D.
4 . 9
Câu 97. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố: “ Hiệu số chấm xuất hiện trên 2 con xúc sắc bằng 1”. 2 1 5 5 A. . B. . C. . D. . 9 9 18 6
Câu 105. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Cho đa giác đều có 14 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong số 14 đỉnh của đa giác. Tìm xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông. 3 5 4 2 A. . B. . C. . D. . 13 13 13 13
Câu 98. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất của 1 biến cố nào sau đây bằng ? 6 A. Xuất hiện mặt có số chấm lẻ. B. Xuất hiện mặt có số chấm chẵn. C. Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 2 và 3 . D. Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 3 .
Câu 106. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Một bảng vuông gồm 100 × 100 ô vuông đơn vị. Chọn ngẫu nhiên một ô hình chữ nhật. Tính xác suất để ô được chọn là hình vuông (trong kết quả lấy 4 chữ số ở phần thập phân). A. 0,0134. B. 0, 0133. C. 0,0136. D. 0,0132.
Câu 99. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để số chấm của hai lần gieo là bằng nhau 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 6 7 5 Câu 100. (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc đó không vượt quá 5 bằng 5 1 2 5 A. . B. . C. . D. . 12 4 9 18
Câu 107. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Cho một đa giác ( H ) có 60 đỉnh nội tiếp một đường tròn ( O ) . Người ta lập một tứ giác tùy ý có bốn đỉnh là các đỉnh của ( H ) . Xác suất để lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của ( H ) gần với số nào nhất trong các số sau? A. 85, 40% . B. 13, 45% . C. 40,35% . D. 80, 70% . Câu 108. (CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát.
Câu 101. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Kết quả ( b; c ) của việc gieo một con súc sắc cân đối hai lần
liên tiếp, trong đó b là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai được thay vào phương trình bậc hai x 2 + bx + c = 0 . Tính xác suất để phương trình bậc hai đó vô nghiệm? 7 23 17 5 A. . B. . C. . D. . 12 36 36 36 E. Một số bài toán liên quan đến hình học Câu 102. (ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Cho hai đường thẳng song song d1 , d 2 . Trên d1 có 6 điểm phân biệt được tô màu đỏ, trên d 2 có 4 điểm phân biệt được tô màu xanh. Xét tất cả các tam giác được tạo thành khi nối các điểm đó với nhau. Chọn ngẫu nhiên một tam giác, khi đó xác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu đỏ là. 3 5 5 2 A. . B. . C. . D. . 8 8 9 9
A.
1 . 16
B.
1 . 32
C.
3 . 32
D.
3 . 64
Câu 109. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho tam giác đều H có cạnh bằng 8 . Chia tam giác này đều thành 64 tam giác đều có cạnh bằng 1 bởi các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác đều đã cho. Gọi S là tập hợp các đỉnh của 64 tam giác đều có cạnh bằng 1. Chọn Ngẫu nhiên 4 đỉnh của tập S . Tính xác suất để 4 đỉnh chọn được là bốn đỉnh của một hình bình hành nằm trong miền trong tam giác đều H .
Câu 103. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho năm đoạn thẳng có độ dài: 1cm , 3cm ,
5 cm , 7 cm , 9 cm . Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng đó. Xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra là ba cạnh của một tam giác là 3 2 A. . B. . 5 5
C.
3 . 10
D.
7 . 10
Câu 104. (Chuyên Phan Bội Châu-lần 1-2018-2019) Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O . Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Xác suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật bằng 13
A.
2 . 473
B.
6 . 935
C.
2 . 1419
D.
2 . 935 14
F. Một số bài toán đề thi Câu 110. (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Một đề trắc nghiệm gồm 20 câu, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có một đáp án đúng. Bạn Anh làm đúng 12 câu, còn 8 câu bạn Anh đánh hú họa vào đáp án mà Anh cho là đúng. Mỗi câu đúng được 0,5 điểm. Tính xác suất để Anh được 9 điểm. 9 9 63 9 A. . B. . C. . D. . 20 10 16384 65536 Câu 111. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, mỗi câu có bốn phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0, 2 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án ở mỗi câu. Tính xác suất để thí sinh đó được 6 điểm. A. 0, 2530.0, 7520 . B. 0, 2520.0, 7530 . C. 0, 2530.0, 7520.C5020 . D. 1 − 0, 2520.0, 7530 . Câu 112. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Một bộ đề thi Olympic Toán lớp 11 của Trường THPT Kim Liên mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu mức dễ, 10 câu mức trung bình và 5 câu mức khó. Một đề thi được gọi là “Tốt” nếu trong đề thi phải có cả mức dễ, mức trung bình và khó, đồng thời số câu mức khó không ít hơn 2. Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấ y ra là một đề thi “Tốt”. 1000 3125 1 10 A. . B. . C. . D. . 5481 23751 150 71253 Dạng 2.1.2 Tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng phương pháp gián tiếp. Câu 113. Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 7 biên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi (không kể thứ tự) ra khỏi hộp. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấ y ra có ít nhất 1 viên màu đỏ. 1 418 1 12 A. . B. . C. . D. . 2 455 13 13 Câu 114. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2018-2019) Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9 . Rút ngẫu nhiên hai thẻ và nhân hai số trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là một số chẵn. 5 1 8 13 18 6 9 A. . B. . C. . D. 18 . Câu 115. (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Gieo 5 đồng xu cân đối, đồng chất. Xác suất để được ít nhất 1 đồng xu lật sấp bằng 5 8 31 1 A. . B. . C. . D. . 11 11 32 32 Câu 116. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Bạn A có 7 cái kẹo vị hoa quả và 6 cái kẹo vị socola. A lấ y ngẫu nhiên 5 cái kẹo cho vào hộp để tặng cho em gái. Tính xác suất để 5 cái kẹo có cả vị hoa quả và vị socola. 140 79 103 14 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 143 156 117 117 Câu 117. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Một hộp đèn có 12 bóng, trong đó có 4 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để trong 3 bóng có ít nhất 1 bóng hỏng. 40 55 41 3 A. . B. . C. . D. . 51 112 55 7 15
Câu 118. (ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấ y ra có ít nhất một quyển là toán. 3 37 10 2 A. . B. . C. . D. . 4 42 21 7 Câu 119. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Vật Lí và 2 quyển sách Hóa học. Lấ y ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất sao cho ba quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán. 1 37 5 19 A. . B. . C. . D. . 3 42 6 21 Câu 120. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để trong ba quyển sách lấ y ra có ít nhất một quyển là toán. 2 3 37 10 . . A. . B. . C. D. 7 4 42 21 Câu 121. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 1 - 2018) Một lớp có 20 nam sinh và 15 nữ sinh. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ. 4615 4651 4615 4610 A. B. C. D. . . . . 5236 5236 5263 5236 Câu 122. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Một hộp chứa 35 quả cầu gồm 20 quả màu đỏ được đánh số từ 1 đến 20 và 15 quả màu xanh được đánh số từ 1 đến 15 . Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó một quả cầu. Tính xác suất để lấ y được quả màu đỏ hoặc ghi số lẻ. 28 4 5 27 A. . B. . C. . D. . 35 7 7 35 Câu 123. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất xảy ra của biến cố “Tích hai số nhận được sau hai lần gieo là một số chẵn”. A. 0, 75 . B. 0,5 . C. 0, 25 . D. 0,85 . Câu 124. (THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9 . Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác suất “có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 5 ” phải lớn hơn . 6 A. 7 . B. 6 . C. 5 . D. 4 . Câu 125. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Một nhóm gồm 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 học sinh trong nhóm đó. Xác suất để trong 3 học sinh được chọn luôn có học sinh nữ bằng 5 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 3 Câu 126. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Một lô hàng gồm 30 sản phẩm trong đó có 20 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm trong lô hàng. Tính xác suất để 3 sản phẩm lấ y ra có ít nhất một sản phẩm tốt. 6 197 153 57 A. . B. . C. . D. . 203 203 203 203 Câu 127. (THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ nhóm 10 học sinh đi lao động. Tính xác 16
suất để 3 học sinh được ó ít nhất một học sinh nữ? 2 17 17 A. . B. . C. . 3 48 24
D.
A.
4 . 9
Câu 128. (XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được ó ít nhất một người nữ là: 2 7 8 1 . B. . C. . D. . A. 15 15 15 15 Câu 129. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho tập hợp A = {1, 2,3,...,10} . Chọn ngẫu nhiên ba số từ
A . Tìm xác suất để trong ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp. 7 7 7 7 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 90 24 10 15 Câu 130. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Một hộp chứa 20 viên bi xanh và 15 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 bi. Tính xác suất để 4 bi lấy được có đủ hai màu. 4610 4615 4651 4615 A. . B. . C. . D. . 5236 5236 5236 5236 Câu 131. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia 1 1 và . Tính xác một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là 2 3 suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia. 1 5 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 3 Câu 132. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thư vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là 1 2 1 5 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 6 Câu 133. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9 . Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ. Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn. 13 55 5 1 A. . B. . C. . D. . 18 56 28 56 Câu 134. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Chi đoàn lớp 12A có 20 đoàn viên trong đó có 12 đoàn viên nam và 8 đoàn viên nữ. Tính xác suất khi chọn 3 đoàn viên có ít nhất 1 đoàn viên nữ. A. 11 . 7
B. 110 . 570
C. 46 . 57
D. 251 . 285
Câu 135. (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp học gồm 25 nam và 20 nữ. Gọi A là biến cố “Trong 5 học sinh được ó ít nhất 1 học sinh nữ”. Xác suất của biến cố A là 4 20C25 20C444 C5 C5 A. P ( A ) = 20 . B. P ( A) = . C. P ( A ) = . D. P ( A ) = 1 − 25 . 5 5 5 5 C45 C45 C45 C45
1 . 15
B.
2 . 15
C.
7 . 15
D.
8 . 15
Câu 137. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Một hộp đựng 9 quả cầu xanh và 5 quả cầu trắng (các quả cầu khác nhau về kích thước). Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu. Xác suất để được 3 quả cầu có đủ hai loại cầu xanh và cầu trắng là 135 14 47 113 A. . B. . C. . D. . 182 182 182 182 Câu 138. (THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Một hộp đựng 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10 . 13 Phải rút ra ít nhất k thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 lớn hơn . Giá trị 15 của k bằng: A. 9 . B. 8 . C. 7 . D. 6 . Câu 139. (Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Chọn ngẫu nhiên 3 số tự nhiên từ tập hợp M = {1;2;3;...;2019} . Tính xác suất P để trong 3 số tự nhiên được chọn không có 2 số tự nhiên liên tiếp. A. P = 677040 . 679057
B. P = 2017 . 679057
C. P = 2016 . 679057
D. P =
1 . 679057
Câu 140. (Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho một bảng ô vuông 3 × 3 .
Điền ngẫu nhiên các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào bảng trên (mỗi ô chỉ điền một số). Gọi A là biến cố “mỗi hàng, mỗi cột bất kì đều có ít nhất một số lẻ”. Xác suất của biến cố A bằng 10 1 5 1 A. P ( A) = . B. P ( A) = . C. P ( A) = . D. P ( A) = . 21 3 7 56 Câu 141. (HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Gọi X là tập các số tự nhiên có 5 chữ số. Lấy ngẫu nhiên hai số từ tập X . Xác suất để nhận được ít nhất một số chia hết cho 4 gần nhất với số nào dưới đây? A. 0,63 . B. 0,23 . C. 0, 44 . D. 0,12 . DẠNG 2.2 SỬ DỤNG QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT Dạng 2.2.1 Sử dụng quy tắc cộng Câu 142. Một chiếc ôtô với hai động cơ độc lập đang gặp trục trặc kĩ thuật. Xác suất để động cơ 1 gặp trục trặc là 0,5. Xác suất để động cơ 2 gặp trục trặc là 0,4. Biết rằng xe chỉ không thể chạy được khi cả hai động cơ bị hỏng. Tính xác suất để xe đi được. A. 0, 2 . B. 0,8 . C. 0,9 . D. 0,1 .
Câu 136. [HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018] Một hộp đựng 10 viên bi có kích thước khá nhau, trong đó có 7 viên bi màu đỏ và 3 viên bi màu xanh. Chọn ngẫu nhiên 2 viên. Xác suất để 2 viên bi được ó ít nhất một viên bi màu xanh bằng
Câu 143. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên biên. Xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu là 5 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 18 6 36 12
17
18
Câu 144. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của một cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được năm ván cờ. tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và ngưởi chới thứ hai mới thắng 2 ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng. 4 7 1 3 A. . B. . C. . D. . 5 8 2 4
gồm 6 mã đề khác nhau và các môn khác nhau thì mã đề cũng khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho học sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để trong hai môn Toán và Tiếng Anh thì hai bạn Nam và Tuấn có chung đúng một mã đề. 5 5 5 5 A. . B. . C. . D. . 9 36 18 72
Câu 145. (CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Đầu tiết học, cô giáo kiểm tra bài cũ bằng cách gọi lần lượt từng người từ đầu danh sách lớp lên bảng trả lời câu hỏi. Biết rằng học sinh đâu tiên trong danh sách lớp là An, Bình, Cường với xác suất thuộc bài lần lượt là 0, 9; 0, 7 và 0,8. Cô giáo sẽ dừng kiểm tra sau khi đã có 2 học sinh thuộc bài. Tính xác suất cô giáo chỉ kiểm tra bài cũ đúng 3 bạn trên. A. 0,504 . B. 0, 216 . C. 0,056 . D. 0, 272 .
Câu 153. (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Hai chuồng nhốt thỏ, mỗi con thỏ có lông chỉ mang màu trắng hoặc màu đen. Bắt ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng một con thỏ. Biết tổng số thỏ trong hai 247 chuồng là 35 và xác suất để bắt được hai con thỏ lông màu đen là . Tính xác suất để bắt được 300 hai con thỏ lông màu trắng. 7 1 1 7 A. . B. . C. . D. . 150 150 75 75
Câu 146. (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Một chiếc hộp có chín thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 9 . Rút ngẫu nhiên 2 thẻ rồi nhân hai số ghi trên thẻ lại với nhau. Tính xác suất để kết quả nhân được là một số chẵn. 5 8 4 13 A. . B. . C. . D. . 54 9 9 18
Câu 154. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Một chiếc máy có 2 động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I chạy tốt và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7. Tính xác suất để có ít nhất 1 động cơ chạy tốt là. A. 0,56. B. 0,06. C. 0,83. D. 0,94
Câu 147. (THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được 5 ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai mới thắng 2 ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng? 4 3 7 1 A. . B. . C. . D. . 5 4 8 2 Câu 148. (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Một thí sinh tham gia kì thi THPT Quốc gia. Trong bài thi môn Toán bạn đó làm được chắc chắn đúng 40 câu. Trong 10 câu còn lại chỉ có 3 câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai. Do không còn đủ thời gian nên bạn bắt buộc phải khoanh bừa các câu còn lại. Hỏi xác suất bạn đó được 9 điểm là bao nhiêu? A. 0,079 . B. 0,179 . C. 0,097 . D. 0, 068 . Câu 149. (Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Cho tập E = {1, 2,3, 4,5} . Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau từ tập E . Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5. 6 144 72 12 A. B. . C. . D. . 25 295 295 25 Dạng 2.2.2 Sử dụng quy tắc nhân Câu 150. Gieo hai con súc sắc I và II cân đối, đồng chất một cách độc lập. Ta có biến cố A : “Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”. Lúc này giá trị của P ( A) là A.
25 . 36
B.
11 . 36
C.
1 . 36
D.
15 . 36
Câu 151. Ba xạ thủ A, B , C độc lập với nhau cùng nổ súng vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của A, B, C tương ứng là 0, 4;0,5 và 0, 7 . Tính xác suất để có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu. A. 0, 09 . B. 0,91 . C. 0,36 . D. 0, 06 . Câu 152. (CỤM CHUYÊN MÔN 4 - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Hai bạn Nam và Tuấn cùng tham gia một kỳ thi thử trong đó có hai môn thi trắc nghiệm là Toán và Tiếng Anh. Đề thi của mỗi môn 19
Câu 155. (HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Một đề trắc nghiệm có 50 câu hỏi gồm 20 câu mức độ nhận biết, 20 câu mức độ vận dụng và 10 câu mức độ vận dụng cao. Xác suất để bạn An làm hết 20 câu mức độ nhận biết là 0,9 ; 20 câu mức độ vận dụng là 0,8 ; và 10 câu mức độ vận dụng cao là 0, 6 . Xác suất để bạn An làm trọn vẹn 50 câu là A. 0, 432 . B. 0, 008 . C. 0, 228 . D. 1. Câu 156. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2016 có môn thi bắt buộc là môn Tiếng Anh. Môn thi này thi dưới hình thức trắc nghiệm với bốn phương án trả lời A, B, C, D. Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,2 điểm; mỗi câu trả lời sai bị trừ 0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn Tiếng Anh nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Tính xác suất để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Tiếng Anh trong kì thi trên. A. 1,8.10−5 . B. 1,3.10−7 . C. 2, 2.10 −7 . D. 2, 5.10−6 . Câu 157. (Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Có hai cái giỏ đựng trứng gồm giỏ A và giỏ B, các quả trứng trong mỗi đều có hai loại là trứng lành và trứng hỏng. Tổng số trứng trong hai giỏ là 20 quả và số trứng trong giỏ A nhiều hơn số trứng trong giỏ B. Lấ y ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, biết xác suất để lấy 55 được hai quả trứng lành là . Tìm số trứng lành trong giỏ A. 84 A. 6. B. 14. C. 11. D. 10. Câu 158. (THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Ba xạ thủ A1 , A2 , A3 độc lập với nhau cùng nổ súng bắn vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn trúng mục tiêu của A1 , A2 , A3 tương ứng là 0, 7 ; 0, 6 và 0,5 . Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng. A. 0, 45 . B. 0, 21 . C. 0, 75 . D. 0, 94 . Dạng 2.2.3 Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân Câu 159. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,3 . Người đó bắn hai viên một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng và một viên trượt mục tiêu là A. 0, 21 . B. 0, 09 . C. 0,18 . D. 0, 42 . Câu 160. Túi I chứa 3 bi trắng, 7 bi đỏ, 15 bi xanh. Túi II chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ, 9 bi xanh. Từ mỗi túi lấ y ngẫu nhiên 1 viên bi. Tính xác suất để lấy được hai viên cùng màu. 20
207 72 418 553 . B. . C. . D. . 625 625 625 625 Câu 161. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Một con súc sắc không cân đối, có đặc điểm mặt sáu chấm xuất hiện nhiều gấp hai lần các mặt còn lại. Gieo con súc sắc đó hai lần. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện trong hai lần gieo lớn hơn hoặc bằng 11 bằng: 8 4 1 3 A. . B. . C. . D. . 49 9 12 49 A.
Câu 162. Xác suất sút bóng thành công tại chấm 11 mét của hai cầu thủ Quang Hải và Văn Đức lần lượt là 0,8 và 0, 7 . Biết mỗi cầu thủ sút một quả tại chấm 11 mét và hai người sút độc lập. Tính xác suất để ít nhất một người sút bóng thành công. A. 0, 44 . B. 0,94 . C. 0, 38 . D. 0, 56 . Câu 163. Trong một trò chơi, người chơi cần gieo cùng lúc ba con súc sắc cân đối đồng chất; nếu được ít nhất hai con súc sắc xuất hiện mặt có số chấm lơn hơn 4 thì người chơi đó thắng. Tính xác suất để trong 3 lần chơi, người đó thắng ít nhất 1 lần. 386 7 11683 2 A. . B. . C. . D. . 729 27 19683 9 Câu 164. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để khi gieo hai đồng xu cùng lúc được kết quả 1 sấp và 1 ngửa. B. 50% . C. 75% . D. 60% . A. 25% . Câu 165. (HKI-Chu Văn An-2017) Có hai hộp. Hộp I đựng 4 gói quà màu đỏ và 6 gói quà màu xanh, hộp II đựng 2 gói quà màu đỏ và 8 gói quà màu xanh. Gieo một con súc sắc, nếu được mặt 6 chấm thì lấ y một gói quà từ hộp I, nếu được mặt khác thì lấy một gói quà từ hộp II. Tính xác suất để lấy được gói quà màu đỏ. 7 23 1 2 A. . B. . C. . D. . 30 30 3 3 Câu 166. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Đầu tiết học, cô giáo kiểm tra bài cũ bằng cách gọi lần lượt từng người từ đầu danh sách lớp lên bảng trả lời câu hỏi. Biết rằng các học sinh đầu tiên trong danh sách lớp là An, Bình, Cường với xác suất thuộc bài lần lượt là 0,9; 0,7 và 0,8. Cô giáo sẽ dừng kiểm tra sau khi đã có 2 học sinh thuộc bài. Tính xác suất cô giáo chỉ kiểm tra bài cũ đúng 3 bạn trên. A. 0,504. B. 0,216. C. 0,056. D. 0,272. Câu 167. Một chiếc ôtô với hai động cơ độc lập đang gặp trục trặc kĩ thuật. Xác suất để động cơ 1 gặp trục trặc là 0,5. Xác suất để động cơ 2 gặp trục trặc là 0,4. Biết rằng xe chỉ không thể chạy được khi cả hai động cơ bị hỏng. Tính xác suất để xe đi được. A. 0, 2 . B. 0,8 . C. 0,9 . D. 0,1 .
Câu 170. Một xạ thủ bắn bia. Biết rằng xác suất bắn trúng vòng tròn 10 là 0, 2 ; vòng 9 là 0, 25 và vòng 8 là 0,15 . Nếu trúng vòng k thì được k điểm. Giả sử xạ thủ đó bắn ba phát súng một cách độc lập. Xả thủ đạt loại giỏi nếu anh ta đạt ít nhấ 28 điểm. Xác suất để xả thủ này đạt loại giỏi A. 0, 0935 . B. 0, 0755 . C. 0, 0365 . D. 0, 0855 . Câu 171. (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn 3 nút liên tiếp khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10 . Học sinh B chỉ nhớ được chi tiết 3 nút tạo thành dãy số tăng. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó biết rằng để nếu bấm sai 3 lần liên tiếp cửa sẽ tự động khóa lại. 631 189 1 1 A. . B. . C. . D. . 3375 1003 5 15 Câu 172. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của một cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được năm ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai mới thắng 2 ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng. 3 4 7 1 A. . B. . C. . D. . 4 5 8 2 Câu 173. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Một người gọi điện thoại nhưng quên mất chữ số cuối. Tính xác suất để người đó gọi đúng số điện thoại mà không phải thử quá hai lần. 1 1 19 2 A. . B. . C. . D. . 5 10 90 9 Câu 174. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Ba xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia một cách độc lập, xác suất bắn trúng đích lần lượt là 0,5 ; 0,6 và 0,7 . Xác suất để có đúng hai người bắn trúng bia là: A. 0, 21 . B. 0, 29 . C. 0,44 . D. 0,79 . Câu 175. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Trong trận đấu bóng đá giữa 2 đội Real madrid và Barcelona, trọng tài cho đội Barcelona được hưởng một quả Penalty. Cầu thủ sút phạt ngẫu nhiên vào 1 trong bốn vị trí 1, 2 , 3 , 4 và thủ môn bay người cản phá ngẫu nhiên đến 1 trong 4 vị trí 1, 2 , 3 , 4 với xác suất như nhau (thủ môn và cầu thủ sút phạt đều không đoán được ý định của đối phương). Biết nếu cầu thủ sút và thủ môn bay cùng vào vị trí 1 (hoặc 2 ) thì thủ môn cản phá được cú sút đó, nếu cùng vào vị trí 3 (hoặc 4 ) thì xác suất cản phá thành công là 50% . Tính xác suất của biến cố “cú sút đó không vào lưới”?
Câu 168. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6 . Người đó bắn hai viên một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng và một viên trượt mục tiêu là A. 0,48. B. 0, 4. C. 0, 24. D. 0, 45. Câu 169. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Có hai hộp: Hộp I đựng 4 gói quà màu đỏ và 6 gói quà màu xanh, hộp II đựng 2 gói quà màu đỏ và 8 gói quà màu xanh. Gieo một con súc sắc, nếu được mặt 6 chấm thì lấy một gói quà từ hộp I, nếu được mặt khác thì lấ y một gói quà từ hộp II. Tính xác suất để lấ y được gói quà màu đỏ. 23 2 7 1 . . A. B. . C. D. . 30 3 30 3 21
A.
5 . 16
B.
3 . 16
C.
1 . 8
D.
1 . 4
22
Câu 1.
Câu 2. Câu 3.
Phần B. Lời giải tham khảo
3 Số phần tử của không gian mẫu n ( Ω ) = C15 = 455 .
Dạng 1. Mô tả không gian mẫu và mối liên hệ giữa các biến cố Chọn A Gọi cặp số ( x; y ) là số chấm xuất hiện ở hai lần gieo. Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”. Các kết quả của biến cố A là: {(1;1) ; ( 2; 2 ) ; ( 3;3) ; ( 4; 4 ) ; ( 5;5 ) ; ( 6;6 )} .
Gọi A là biến cố " 3 quả cầu lấy được đều là màu xanh". Suy ra n ( A) = C43 = 4 . Vậy xác suất cần tìm là P ( A ) = Câu 15.
Chọn A Gọi A là biến cố: “lấ y được 3 quả cầu màu xanh” C3 1 . Ta có P ( A ) = 53 = C12 22 Câu 16. Chọn B 3 Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ 15 quả cầu đã cho có C15 cách.
Suy ra n ( A) = 6 . Chọn C A = {SSS , SSN , NSS } , B = {SSS , NNN } . Suy ra A ∪ B = {SSS , SSN , NSS , NNN } . Chọn C Mỗi lần gieo có hai khả năng nên gieo 5 lần theo quy tắc nhân ta có 25 = 32 . Số phần tử không gian mẫu là n ( Ω ) = 32 .
Lấy được 3 quả cầu màu xanh từ 6 quả cầu xanh đã cho có C63 cách. Vậy xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh là P =
Câu 4. Lời giải
Câu 17.
Chọn A Câu 5.
Hai biến cố A và B có thể cùng xảy ra. Do A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên P ( AB ) = P ( A) .P ( B ) = 0, 4.0,3 = 0,12 .
Câu 6.
Ta có n ( Ω ) = C523 = 22100 .
Câu 7.
Ta có P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) .
Câu 9. Câu 10.
Câu 18.
7 P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) = . 12 Khẳng định A sai vì A là biến cố chắc chắn thì P ( A) = 1 .
=
C53 2 = . C153 91
Số phần tử của không gian mẫu n ( Ω ) = C402 = 780 .
Vậy xác suất cần tìm là P ( A) =
Câu 19.
6 1 = . 780 130
Chọn B Số phần tử của không gian mẫu: 15.18 = 270 . Số cách chọn từ mỗi hộp 1 viên bi sau cho 2 viên bi cùng màu là: 4.7 + 5.6 + 6.5 = 88 . 88 44 = Vậy xác suất cần tìm là . 270 135 Câu 20. Chọn C n ( Ω ) = C104 = 210 .
Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên hai biến cố này không đồng thời xảy ra. Chọn D Vì hai biến cố A và B xung khắc nên A ∩ B = ∅ . Theo công thức cộng xác suất ta có P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )
Gọi A là biến cố:” trong 4 học sinh được chọn luôn có học sinh nữ” ⇒ n ( A) = C104 − C64 = 195
Dạng 2. Các dạng toán về xác suất Dạng 2.1 SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC XUẤT - QUY VỀ BÀI TOÁN ĐẾM. Dạng 2.1.1 Bài toán tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng cách tính trực tiếp số phần tử thuận lợi cho biến cố. A. Một số bài toán chọn vật, chọn người Câu 13. Chọn C 2 Số cách lấ y ra 2 quả cầu trong 11 quả là C112 , Suy ra n ( Ω) = C11
Vậy xác suất của biến cố A là P ( A) =
Câu 21.
Gọi A là biến cố lấy được 2 quả cùng màu. Suy ra n ( A) = C52 + C62
Câu 14.
n ( A) n (Ω)
Gọi A là biến cố gọi hai học sinh tên Anh lên bảng, ta có n ( A) = C42 = 6 .
Ta có A = {61;62;63;64;65;66} , B = {16; 26;36; 46;56;66} .
Xác suất của biến cố A là P ( A) =
Chọn A Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω) = C153 = 455 (phần tử).
Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh: P ( A ) =
Khi đó A ∩ B = {66} ≠ ∅ . Vậy A , B là hai biến cố không xung khắc. Câu 11. Câu 12.
C63 4 = . C153 91
Gọi A là biến cố: “ lấy được 3 quả cầu màu xanh”. Khi đó, n ( A) = C53 = 10 (phần tử ).
Vì A , B là hai biến cố xung khắc nên A ∩ B = ∅ . Từ đó suy ra P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) . Câu 8.
4 . 455
C52 + C62 5 = C112 11 Câu 22. 23
=
195 13 = . 210 14
Chọn C Trong 3 bóng có 1 bóng hỏng Ta có n ( Ω ) = C123 = 220 . Gọi biến cố A : “Trong 3 bóng lấy ra có 1 bóng hỏng”. Tính được n ( ΩA ) = C41 .C82 = 112 Vậy P( A) =
Chọn D
n ( A) n (Ω)
112 28 = 220 55
Chọn A 24
Câu 28.
Chọn B Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó một quả cầu có 35 cách. Lấy được một quả cầu màu đỏ có 20 cách, lấy được một quả cầu màu xanh ghi số lẻ có 8 cách. Do đó để lấy được quả màu đỏ hoặc ghi số lẻ có 28 cách. 28 Do đó xác suất cần tìm là: . 35 Câu 29. Chọn D Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) = 5.5 = 25 .
Xét phép thử: Chọn ngẫu nhiên 3 trong 10 bạn trong tổ, ta có n ( Ω ) = C103 . Gọi A là biến cố: “ 3 bạn được chọn toàn nam”, ta có n ( A) = C63 . Xác suất của biến cố A: P ( A ) =
Câu 23.
n ( A) n (Ω)
=
C63 1 = . C103 6
Chọn A Xét phép thử: “ Chọn 3 câu hỏi từ 15 câu hỏi” ⇒ n ( Ω ) = C153 = 455. Gọi A là biến cố: “ Chọn được đúng 1 câu hình” n ( Ω A ) = C51 .C102 = 225 ⇒ PA =
Gọi A : “ 2 lấ y ra đều ghi số chẵn” n ( A) = 2.2 = 4 .
45 . 91
Câu 24.
Chọn D Phép thử “Chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 5 đôi giày cỡ khác nhau” có không gian mẫu là Ω 2 ⇒ n ( Ω ) = C10 = 45 . A là biến cố “Chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 5 đôi giày cỡ khác nhau sao cho 2 chiếc giày tạo thành một đôi giày”. Chọn đồng thời 2 chiếc giày để tạo thành một đôi ⇒ Có 5 khả năng. Số khả năng thuận lợi cho biến cố A là: n ( A ) = 5 Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 5 đôi giày cỡ khác nhau sao cho 2 chiếc giày tạo n(A) 5 1 thành một đôi giày là P ( A ) = = = . n ( Ω ) 45 9 Câu 25. Chọn D Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = C164 .C124 .C84 .1 = 63063000. Gọi A : “Mỗi đội Việt Nam ở 4 bảng khác nhau”. Ta có: n( A) = 4.C123 .3.C93 .2.C63 .1 = 8870400. n( A) 8870400 64 Xác suất cần tìm là: p ( A) = = = . n(Ω ) 63063000 455 Câu 26. Chọn B Không gian mẫu của phép thử lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 bóng đèn từ hộp có 12 bóng đèn là n ( Ω ) = C123 = 220.
Xác suất để lấy được 3 bóng tốt là: P ( A) =
Câu 30.
Gọi A : “ Bình lấy được hai chiếc giầy cùng màu” suy ra n ( A) = 4 . Suy ra P ( A ) =
n ( A) n (Ω)
=
1 . 7
Vậy xác suất để Bình lấ y được hai chiếc giầy cùng màu là
Câu 31.
1 . 7
Chọn B Ta có mỗi học sinh có 6 cách chọn quầy phục vụ nên n ( Ω ) = 65 . Gọi A là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn 3 học sinh trong 5 học sinh để vào cùng một quầy C53 . Sau đó chọn 1 quầ y trong 6 quầy để các em vào là C61 . Còn 2 học sinh còn lại có C51 cách chọn quầy để vào cùng. Nên n ( A) = C53 .C61 .C51 . Vậ y P ( A ) =
Câu 32.
Gọi A là biến cố: “ 3 bóng đèn lấy ra là 3 bóng tốt”. Ta có: n ( A) = C83 = 56.
4 . 25 Ta có số phần tử của không gian mẫu là n ( Ω ) = C82 = 28 .
Vậ y P ( A ) =
C53 .C61 .C51 . 65
Chọn D Số phần tử không gian mẫu là Ω = C92 . Gọi A là biến cố chọn được hai quả cầu khác màu. Khi đó A là biến cố chọn được hai quả cầu cùng màu.
n ( A) 56 14 = = . n ( Ω ) 220 55
Ta có: A = C42 + C32 + C22 = 10 ⇒ A = Ω − A = 26 .
Câu 27. Lời giải Chọn D Không gian mẫu: n ( Ω ) = 4.4.4.4 = 256 Ch ọn 1 toa để xếp 3 người có 4 cách chọn Xếp 3 người vào toa đó có: C43 = 4 cách Ch ọn 1 toa để xếp 1 người có 3 cách chọn Tổng số cách chọn thỏa mãn là: n ( A) = 4.4.3 = 48 cách
Vậy xác suất cần tìm là P ( A) =
A Ω
=
26 13 = . 36 18
Câu 33.
Xác suất để một học sinh bốc được đúng 1 câu hỏi Hình học là P =
Câu 34.
Số phần tử của không gian mẫu là: n ( Ω ) = C126 = 924 .
C51.C102 45 = . C153 91
Gọi A là biến cố: “ 6 cây được chọn, mỗi loại có đúng 2 cây”. Ta có: n ( A) = C62 .C42 .C22 = 15.6.1 = 90 .
n (Ω)
48 3 Vậy xác suất là: P ( A ) = = = . n ( A) 256 16 25
26
Vậy: P ( A ) =
n ( A) n (Ω)
=
90 15 = . 924 154
Vậy xác suất cần tìm là P ( A) =
Câu 35.
Câu 43.
Lời giải Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 quả cầu nên số phần tử của không gian mẫu là: n ( Ω ) = C104 = 210 . Gọi A là biến cố “ 4 quả cầu lấy được có đúng 2 quả cầu đỏ”. n ( A ) 63 21 Số kết quả thuận lợi của A là: n ( A ) = C32 .C72 = 63 nên: P ( A ) = = = . n ( Ω ) 210 70 Câu 36.
Câu 44.
25 . 42 Câu 37. Tổng số có 7 + 5 + 3 = 15 viên bi. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ 15 viên có C153 = 455 (cách lấy). Vậ y P ( A ) =
n ( A) n (Ω)
=
45 1 = . 455 13
168 42 = . 220 55 Câu 47. Ta có số phần từ của không gian mẫu là n ( Ω ) = C102 = 45 . Gọi A : "Hai bi lấy ra đều là bi đỏ". Khi đó n ( A) = C42 = 6 .
3 Số phần tử của không gian mẫu n ( Ω ) = C25 .
Vậy xác suất cần tính là P ( A) =
Gọi A là biến cố “ 3 đoàn viên được chọn có 2 nam và 1 nữ”. Số phần tử của A là n ( A) = C102 .C151 .
n ( A)
=
C102 .C151 27 = . 3 C25 92
Câu 48.
=
2 . 15
Chọn ngẫu nhiên 2 người trong 10 người có C cách chọn. Hai người được chọn đều là nữ có C42 cách.
TH1: Nam và Việt nhận một thùng sữa và một chiếc áo: C62 .
2 10
TH2: Nam và Việt nhận một thùng sữa và một chiếc cặp: C32 . Gọi A là biến cố để hai em Việt và Nam nhận được suất quà giống nhau. ⇒ n ( A) = C62 + C32 = 18 .
C42 2 = . C102 15
Số phần tử không gian mẫu là n ( Ω ) = 38760 .
Vậy: p ( A ) =
Kết quả trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm là n ( A) = C165 .C41 + C166 = 25480 . 25480 637 = . 38760 969 Số phần tử của không gian mẫu n ( Ω ) = C153 .
Câu 49.
Xác suất cần tìm là: P =
Câu 42.
n ( A) n ( Ω)
Chọn B Ta chia các suất quà như sau: 6 áo và 6 thùng sữa, 3 thùng sữa và 3 cặp, 1 cặp và 1 áo. Số phần tử của không gian mẫu: n ( Ω ) = C102 = 45 .
n (Ω)
Xác suất để hai người được chọn đều là nữ là:
Câu 41.
Số cách chọn ba học sinh tùy ý từ 10 học sinh giỏi là C103 = 120 cách.
Vậy xác suất P ( A) =
Gọi A là biến cố “trong 3 đoàn viên được ó cả nam và nữ”. Ω 90 1 + C151 C202 . Vậy: P ( A) = A = Ta có: Ω A = C152 C20 . Ω 119
Câu 40.
72 9 = . 136 17
350 70 = . 715 143 Câu 46. Số phần tử của không gian mẫu n ( Ω ) = C123 = 220 (cách chọn). Gọi A là biến cố “ Lấy được ít nhất hai viên bi xanh ”. Ta có n ( A) = C82C41 + C83C40 = 168 (cách chọn).
Số kết quả có thể xảy ra Ω = C353 .
Vậy xác xuất của biến cố A là: P ( A ) =
=
Suy ra P ( A) =
Gọi A : 3 viên bi lấy được đều có màu đỏ " . Lấy 3 viên bi màu đỏ từ 7 viên bi màu đỏ có C73 = 35 ⇒ n ( A) = 35 .
Câu 39.
n ( A) n (Ω)
Gọi A là biến cố “Bốn người được chọn có ít nhất ba nữ”. Ta có n ( A) = C83C51 + C84 = 350 (cách chọn).
Số phần tử của không gian mẫu là n ( Ω ) = 455 .
Câu 38.
Số phần tử của không gian mẫu: n ( Ω ) = C172 = 136 .
Số cách chọn để có đúng hai học sinh nam và một học sinh nữ là C62 .C41 = 60 cách. 60 1 = . Vậy xác suất cần tìm là 120 2 4 Câu 45. Không gian mẫu n ( Ω ) = C13 = 715 (cách chọn).
3 5
Gọi biến cố A : “ lấ y được ít nhất 2 viên bi màu xanh”. Suy ra n ( A) = C .C + C .
Vậy xác suất để 3 viên bi lấy được đều có màu đỏ là P ( A) =
C153 − C113 58 = . C153 91
Xác suất để học sinh đó chọn được một cặp bút và vở là: P ( A) =
Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = C . 1 4
n (Ω)
=
Số cách chọn được một cặp bút và vở là: n ( A) = C81.C91 = 72 .
3 9
2 5
n ( A)
Gọi A là biến cố “ quyển sách đươc lấy ra có ít nhất một quyển sách toán”. Ta có n ( A) = C153 − C113 . 27
n ( A) n (Ω)
=
18 2 = . 45 5
Chọn D Số cách chọn ngẫu nhiên 5 người từ 12 người là n ( Ω ) = C125 . Trường hợp 1. Trong hội đồng gồm thầy Xuân, 2 thầy giáo trong số 6 thầy giáo còn lại, và 2 cô giáo trong số 4 cô giáo (cô Hạ không được chọn). Có C62 .C42 cách chọn. 28
Trường hợp 2. Trong hội đồng gồm cô Hạ, 1 cô giáo trong số 4 cô giáo còn lại, và 3 thầy giáo trong số 6 thầy giáo (thầy Xuân không được chọn). Có C41.C63 cách chọn. Vậy xác suất cần tìm là P =
Câu 50.
Chọn 3 học sinh mà số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ có các trường hợp + Có 3 học sinh nam: Có C53 = 10 cách chọn + Có 2 học sinh nam, 1 học sinh nữ: Có C52 .C41 = 40 cách chọn 10 + 40 25 Xác suất cần tìm là P = = . 84 42 Câu 55. Số phần tử không gian mẫu là n ( Ω ) = C124 = 495 .
C62 .C42 + C41.C63 85 = . C125 396
Chọn B 5 Số phần tử của không gian mẫu là: n ( Ω) = C8 = 56
Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc cả ba khối là: C52 .C41 .C31 + C51.C42 .C31 + C51.C41 .C32 = 270
Gọi A là biến cố: “ 5 học sinh được chọn đi thi có cả nam và nữ và học sinh nam nhiều hơn học sinh nữ”. Xét các khả năng xả y ra của A Trường hợp 1: 5 học sinh được chọn gồm 4 nam và 1 nữ. Số cách chọn là C54 .C31 = 15
Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc không quá hai khối là C124 − 270 = 225 225 5 = . Xác suất để chọn ra 4 học sinh thuộc không quá hai khối là P = 495 11
Trường hợp 2: 5 học sinh được chọn gồm 3 nam và 2 nữ. Số cách chọn là C53 .C32 = 30 Số phần tử của biến cố A là n ( A) = 45
B. Một số bài toán liên quan đến chữ số Câu 56. Chọn B Không gian mẫu Ω = 100 Gọi A là biến cố số được chọn có con số tận cùng là 0 n ( A ) 10 ⇒ n ( A) = 10 ⇒ P ( A) = = = 0,1 Ω 100 Câu 57. Chọn B Gọi A là biến cố chọn ngẫu nhiên một số từ tập S sao cho số đó là số chẵn. Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) = A54
n ( A)
45 Xác suất của biến cố A là p ( A ) = = n ( Ω ) 56 Câu 51. Chọn B Gọi x là số bạn học sinh nhận quà là 1 chiếc áo mùa đông và 1 thùng sữa tươi. Gọi y là số bạn học sinh nhận quà là 1 chiếc áo mùa đông và 1 chiếc cặp sách. Gọi z là số bạn học sinh nhận quà là 1 thùng sữa và 1 chiếc cặp sách. x + y = 7 x = 6 Ta có hệ phương trình: x + z = 9 ⇔ y = 1 . y + z = 4 z = 3 Không gian mẫu Ω là: “ Chọn 2 suất quà trong 10 suất quà ” ⇒ n ( Ω ) = C102 .
Gọi số có 4 chữ số khác nhau là số chẵn có dạng abcd Chọn d = {2; 4} có 2 cách. Chọn ba số xếp vào ba vị trí a, b, c có A43 Vậy có 2. A43 = 48 số chẵn có 4 chữ số khác nhau ⇒ n( A) = 48 ⇒ P ( A) =
Biến cố A là: “Bạn Việt và Nam nhận được phần quà giống nhau” ⇒ n ( A) = C62 + C32 . Xác suất xảy ra biến cố A là: P ( A ) =
Câu 52.
n ( A) n (Ω)
=
Câu 58.
2 . 5
Trong các số thuộc tập B có 4!C35 = 240 số luôn có mặt chữ số 3 . Và trong tập B có 120 số không có mặt chữ số 3. Chọn 2 số thuộc tập B có thứ tự, trong đó có đúng một số có mặt chữ số 3 có 1 1 = 57600 cách. 2!C240 .C120 57600 160 = Do đó: P = . 129240 359 Câu 59. Chọn A 3 Số phần tử của không gian mẫu là số cách lấ y 3 thẻ từ 8 thẻ, do đó ta có n ( Ω) = C8 = 56 . Gọi A là biến cố ba thẻ lấy ra có tổng bằng 11. Ta có 11 = 1 + 2 + 8 = 1 + 3 + 7 = 1 + 4 + 6 = 2 + 3 + 6 = 2 + 4 + 5 . Như vậy có 5 kết quả thuận lợi xảy ra biến cố A, tức là: n ( A) = 5 .
Gọi A là biến cố: “ Viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh”. - Trường hợp 1: Lần 1 lấy viên đỏ, lần 2 lấ y viên xanh: Có C61 .C41 cách chọn - Trường hợp 2: Lần 1 lấy viên xanh, lần 2 lấy viên xanh: Có C41 .C31 cách chọn
n ( A) = C61.C41 + C41.C31 .
Câu 53.
n ( A) 24 + 12 2 = = . n ( Ω) 10.9 5
1 .C91 . Ta có: Số phần tử của không gian mẫu n ( Ω ) = C10
Gọi A là biến cố: “ Viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh”. - Trường hợp 1: Lần 1 lấy viên đỏ, lần 2 lấ y viên xanh: Có C61 .C41 cách chọn - Trường hợp 2: Lần 1 lấy viên xanh, lần 2 lấy viên xanh: Có C41 .C31 cách chọn
n ( A) = C61.C41 + C41.C31 . Vậ y P ( A ) =
Câu 54.
Chọn B Chọn 4 số khác nhau và xếp có thứ tự từ tập hợp có 6 chữ số, có A64 = 360 số. Vì vậy số phần tử của không gian mẫu n ( Ω) = 360.359 = 129240 .
1 Ta có: Số phần tử của không gian mẫu n ( Ω ) = C10 .C91 .
Vậ y P ( A ) =
n( A) 48 2 = = . n(Ω) 120 5
Vậy xác suất cần để tổng các số ghi trên ba thẻ lấ y ra bằng 11 là: P ( A ) =
n ( A) 24 + 12 2 = = . n ( Ω) 10.9 5
Câu 60.
5 . 56
10 Số phần tử của không gian mẫu n ( Ω ) = C30 .
Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán. - Lấy 5 tấm thẻ mang số lẻ: có C155 cách.
Có C93 = 84 cách chọn 3 học sinh bất kì. 29
30
Sắp xếp 4 chữ số được chọn thành một số tự nhiên có 4 chữ số phân biêt: 4! cách. Suy ra n ( A) = C32 .C32 .4! = 216 .
- Lấy 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 : có C31 cách. - Lấy 4 tấm thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10 : có C124 .
C155 .C31.C124 99 = . 10 C30 667 Câu 61. Ký hiệu B là biến cố lấ y được số tự nhiên A thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có: 3N = A ⇔ N = log 3 A .
Xác suất của biến cố A là: P ( A) =
Vậ y P ( A ) =
Câu 67.
Để N là số tự nhiên thì A = 3m (m ∈ ℕ) . Những số A dạng có 4 chữ số gồm 37 = 2187 và 38 = 6561 n ( Ω ) = 9000; n ( B ) = 2
1 . 4500 Câu 62. Thẻ thứ nhất có 5 cách rút, thẻ thứ hai có 5 cách rút do đó số phần tử của không gian mẫu là n ( Ω ) = 5 ⋅ 5 = 25 . Gọi A là biến cố “Hai thẻ rút ra đều mang số chẵn”. Rút được thẻ thứ nhất mang số chẵn có 2 cách (rút được 2 hoặc 4), tương tự với thẻ thứ hai. Vậy n ( A) = 2.2 = 4 .
Câu 63.
Gọi ab là hai chữ số cuối của số điện thoại ( a ≠ b ) . Gọi A là biến cố “Người đó gọi một lần đúng số cần gọi” ⇒ n ( A) = 1 .
n ( A) n (Ω)
=
n ( A) n (Ω)
=
10 . 21
Chọn D Gọi A là tập tất cả các số nguyên dương đầu tiên.
A = {1;2;3;...........;26;27} 2 Chọn hai số khác nhau từ A có: n (Ω ) = C27 = 351. Tổng hai số là số chẵn khi cả hai số đó đều chẵn hoặc đều lẻ, Do đó: Chọn hai số chẵn khác nhau từ tập A có: C132 = 78.
Chọn hai số lẻ khác nhau từ tập A có: C142 = 91. Số cách chọn là: 78 + 91 = 169. 169 13 Xác suất cần tìm là: P = = . 351 27 Câu 69. Chọn C Trong 23 số nguyên dương đầu tiên, có 12 số lẻ và 11 số chẵn. 2 2 Chọn 2 số khác nhau từ 23 số, có C 23 cách chọn nên số phần tử không gian mẫu là n ( Ω ) = C23 . Gọi A là biến cố: “Chọn được hai số có tổng là một số chẵn”. Để hai số được chọn có tổng là một số chẵn thì hai số đó phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ. + Trường hợp 1: Chọn hai số chẵn khác nhau từ 11 số chẵn, có C112 cách chọn.
Gọi A = {0;1; 2;...;9} . Số phần tử không gian mẫu là: n ( Ω ) = A102 = 90 .
Câu 64.
Câu 68.
4 . 25
Vậy xác suất để người đó gọi một lần đúng số cần gọi là: P ( A ) =
Chọn C 2 = 210 . * Số phần tử của không gian mẫu là n ( Ω) = C21 * Gọi biến cố A=“Chọn được hai số có tổng là một số chẵn”, trong 21 số nguyên dương đầu tiên có 11 số lẻ và 10 số chẵn, để hai số chọn được có tổng là một số chẵn điều kiện là cả hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ ⇒ Số phần tử của biến cố A là: n ( A) = C102 + C112 = 100 . * Xác suất của biến cố A là: P ( A ) =
Suy ra: P ( B ) =
Vậy xác suất cần tìm là P ( A) =
n ( A) 216 3 = = . n ( Ω ) 360 5
1 . 90
Số phần tử của không gian mẫu là n ( Ω ) = C92 = 36 . Gọi A = " tổng hai số ghi trên hai lá phiếu rút được là một số lẻ lớn hơn hoặc bằng 15" Ta có các cặp số có tổng là số lẻ và lớn hơn hoặc bằng 15 .là ( 6;9 ) ; ( 7;8) ; ( 9;7 ) ⇒ n ( A) = 3 .
+ Trường hợp 2: Chọn hai số lẻ khác nhau từ 12 số lẻ, có C122 cách chọn.
3 1 Vậy xác suất của biến cố A là P ( A) = = . 36 12 Câu 65. Có bốn thẻ chẵn {2; 4;6;8} và 5 thẻ lẻ {1;3;5;7;9} .
Do đó n ( A) = C112 + C122 . Xác suất cần tính là p ( A ) =
Rút ngẫu nhiên hai thẻ, số phần tử của không gian mẫu là n ( Ω ) = C92 = 36
Câu 70.
Gọi A là biến cố “tích nhận được là số chẵn”, số phần tử của biến cố A là n ( A) = C42 + C41 .C51 = 26
n ( A ) C112 + C122 11 . = = n (Ω ) C 232 23
Chọn C Số cách chọn hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên là C252 = 300 ⇒ n ( Ω ) = 300 . Gọi A là biến cố “Tổng hai số được chọn là một số chẵn”. Ta có hai trường hợp: + TH 1: Chọn 2 số chẵn từ 12 số chẵn có C122 = 66 cách.
n ( A ) 26 13 Xác suất của biến cố A là P ( A ) = = = . n ( Ω ) 36 18 Câu 66. Chọn B Số phần tử của không gian mẫu: n ( Ω ) = A64 = 360 . Gọi A là biến cố: “Số được chọn có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ”. Chọn hai chữ số chẵn: C32 cách.
+ TH 2: Chọn 2 số lẻ từ 13 số lẻ có C132 = 78 cách. Do đó n ( A ) = 66 + 78 = 144 . Vậy xác suất cần tìm là P ( A ) =
Câu 71.
Chọn hai chữ số lẻ: C32 cách. 31
144 12 = . 300 25
Chọn A Gọi 3 số cần viết ra là a, b, c . Ta có n ( Ω ) = 163 . 32
TH4: Trong 3 số có một số chia hết cho 3; một số chia cho 3 dư 1; một số chia 3 dư 2 được ba người viết lên bảng nên có: 4.5.5.3! (cách) Gọi biến cố E:” Tổng 3 số chia hết cho 3” Ta có: n( E ) = 43 + 53 + 53 + 4.5.5.3! = 914 . 914 457 Vậy xác suất cần tính: P( E ) = 3 = . 14 1372 Câu 75. Chọn A 3 Số cách lấy ra 3 tấm thẻ trong 100 tấm thẻ là C100 = 161700 ⇒ n ( Ω ) = 161700 .
Phân đoạn [1;16] ra thành 3 tập:
X = {3,6,9,12,15} là những số chia hết cho 3 dư 0 , có 5 số. Y = {1, 4,7,10,13,16} là những số chia hết cho 3 dư 1, có 6 số. Z = {2,5,8,11,14} là những số chia hết cho 3 dư 2 , có 5 số. Ta thấy 3 số a, b, c do A, B, C viết ra có tổng chia hết cho 3 ứng với 2 trường hợp sau:
Câu 72.
TH1: cả 3 số a, b, c cùng thuộc một tập, số cách chọn là 63 + 53 + 63 = 466 . TH2: cả 3 số a, b, c thuộc ba tập khác nhau, số cách chọn là 3!.5.5.6 = 900 . 466 + 900 683 . Xác suất cần tìm P ( A ) = = 163 2048
Hướng dẫn giải Chọn A 3 Ta có n ( Ω ) = 17 . Trong các số tự nhiên thuộc đoạn [1;17] có 5 số chia hết cho 3 là {3;6;9;12;15} , có 6 số chia cho 3 dư 1 là {1;4;7;10;13;16} , có 6 số chia cho 3 dư 2 là {2;5;8;11;14;17} .
Để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 cần phải xả y ra các trường hợp sau: TH1. Cả ba số viết ra đều chia hết cho 3 . Trong trường hợp này có: 53 cách viết. TH2. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 1. Trong trường hợp này có: 63 cách viết. TH3. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 2 . Trong trường hợp này có: 63 cách viết. TH4. Trong ba số được viết ra có 1 số chia hết cho 3 , có một số chia cho 3 dư 1, có một số chia cho 3 dư 2 . Trong trường hợp này có: 5.6.6.3! cách viết. 53 + 63 + 63 + 5.6.6.3! 1637 Vậy xác suất cần tìm là: p ( A ) = . = 173 4913 Câu 73. Chọn D Ta có n ( Ω ) = 193 . Trong các số tự nhiên thuộc đoạn [1;19] có 6 số chia hết cho 3 là {3;6;9;12;15;18} , có 7 số chia cho 3 dư 1 là {1;4;7;10;13;16;19} , có 6 số chia cho 3 dư 2 là {2;5;8;11;14;17} .
Để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 cần phải xả y ra các trường hợp sau: TH1. Cả ba số viết ra đều chia hết cho 3 . Trong trường hợp này có: 63 cách viết. TH2. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 1. Trong trường hợp này có: 7 3 cách viết. TH3. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 2 . Trong trường hợp này có: 63 cách viết. TH4. Trong ba số được viết ra có 1 số chia hết cho 3 , có một số chia cho 3 dư 1, có một số chia cho 3 dư 2. Trong trường hợp này có: 6.7.6.3! cách viết. 63 + 73 + 63 + 6.7.6.3! 2287 Vậy xác suất cần tìm là: p ( A ) = . = 193 6859 Câu 74. Chọn D Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 143 . Vì trong 14 số tự nhiên thuộc đoạn [1;14] có: 5 số chia cho 3 dư 1; 5 số chia cho 3 dư 2; 4 số chia hết cho 3.Để tổng 3 số chia hết cho 3 ta có các trường hợp sau: TH1: Cả 3 chữ số đều chia hết cho 3 có: 43 (cách) TH2: Cả 3 số chia cho 3 dư 1 có: 53 (cách) TH3: Cả 3 số chia cho 3 dư 2 có: 53 (cách) 33
Trong 100 tấm thẻ từ 801 đến 900 , số các tấm thẻ chia hết cho 3, chia 3 dư 1, chia 3 dư 2 lần lượt là 34 tấm, 33 tấm, 33 tấm. Gọi A là biến cố “Lấ y được ba tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3”. Trường hợp 1: Cả ba tấm thẻ lấy ra đều chia hết cho 3. 3 = 5984 (cách). Số cách lấy là: C34 Trường hợp 2: Cả ba tấm thẻ lấy ra đều chia 3 dư 1. 3 = 5456 (cách). Số cách lấy là: C33 Trường hợp 3: Cả ba tấm thẻ lấy ra đều chia 3 dư 2. 3 = 5456 (cách). Số cách lấy là: C33 Trường hợp 4: Ba tấm thẻ lấ y ra có 1 tấm chia hết cho 3; 1 tấm chia 3 dư 1 và 1 tấm chia 3 dư 2. Số cách lấy là: 34.33.33 = 37026 (cách). Vậy số các trường hợp thuận lợi của biến cố A là: n ( A) = 5984 + 5456 + 5456 + 37026 = 53922 (cách). n ( A) 53922 817 Xác suất của biến cố A là: P ( A) = = = . n ( Ω ) 161700 2450 Câu 76. Chọn B Có tất cả A64 = 360 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau từ tập A . Tập hợp B có 360 số. Ta xét phép thử “chọn thứ tự 2 số thuộc tập B ”. 2 Khi đó n ( Ω ) = A360 Trong tập hợp B ta thấy */ có tất cả 4. A53 = 240 số có mặt chữ số 3. */ có A54 = 120 số không có mặt chữ số 3. Gọi A là biến cố “trong 2 số vừa chọn có đúng một số có mặt chữ số 3 ” 1 1 .C120 .2! Khi đó n ( A) = C240 Vậy xác suất cần tìm là
Câu 77.
1 1 C240 .C120 .2! 160 = . 2 A360 359
Chọn D Không gian mẫu : Ω = 8! Gọi số cần lập có dạng A = a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 , ai ∈ X , ai ≠ a j với i ≠ j . Nhận xét X có 8 phần tử và tổng các phần tử là 36 nên A chia hết cho 9, do (9,11) = 1 nên A chia hết cho 9999. A = a1a2 a3 a4 .104 + a5 a6 a7 a8 = a1a2 a3 a4 .(9999 +1) + a5 a6 a7 a8
= a1a2 a3 a4 .9999 + a1a2 a3 a4 + a5 a6 a7 a8 Do A chia hết cho 9999 nên a1a2 a3a4 + a5 a6 a7 a8 chia hết cho 9999. 34
Chọn chữ số a1 có 8 cách
ai ∈ X nên a1a2 a3a4 + a5a6 a7 a8 < 2.9999 , từ đó a1a2 a3a4 + a5a6a7 a8 = 9999 Với mỗi cách chọn ai sẽ có duy nhất cách chọn ai+4 sao cho ai + ai+4 = 9 với i ∈ {1,2,3,4} . Chọn a1 có 8 cách, chọn a2 có 6 cách, chọn a3 có 4 cách, chọn a4 có 2 cách. 8.6.4.2 384 Vậy xác suất để lập được số chia hết cho 1111 là: . = 8! 8! Câu 78. Chọn C +) Chọn a có 9 cách. +) Chọn các chữ số còn lại có A95 cách.
Chọn 3 chữ số còn lại có A83
⇒ n ( B ) = A94 + 8. A83 = 5712 . Vậy P =
n ( B ) 17 = . n ( Ω ) 81
C. Một số bài toán liên quan đến yếu tố sắp xếp
Suy ra có 9. A95 = 136080 ⇒ n ( X ) = 136080 ⇒ n ( Ω ) = 136080 .
Câu 80.
Gọi A là biến cố số lấ y ra từ X là số lẻ và thỏa mãn a < b < c < d < e < f .
Chọn B
Ta thấy f ∈{7;9} .
Trường hợp 1: f = 7 . Xét dãy gồm 6 ký tự abcde7 thỏa mãn a < b < c < d < e < 7 (*). Chọn 5 chữ số từ X và nhỏ hơn 7 có C75 . Khi đó mỗi cách chọn có duy nhất 1 cách xếp thỏa (*). Suy ra có C75 dãy thỏa mãn (*). Xét dãy gồm 6 ký tự 0bcde7 thỏa mãn 0 < b < c < d < e < 7 (**). Chọn 4 chữ số từ X lớn hơn 0 và nhỏ hơn 7 có C64 . Khi đó mỗi cách chọn có duy nhất 1 cách xếp thỏa (**). Suy ra có C64 dãy thỏa mãn (**).
Số phần tử không gian mẫu là n ( Ω) = 6! Gọi A là biến cố xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào hai dãy ghế sao cho nam nữ ngồi đối diện nhau. Xếp một học sinh vào ghế số 1 có 6 cách Xếp một học sinh vào ghế số 4 có 3 cách Xếp một học sinh vào ghế số 2 có 4 cách Xếp một học sinh vào ghế số 5 có 2 cách Xếp một học sinh vào ghế số 3 có 2 cách Xếp một học sinh vào ghế số 6 có 1 cách Vậy số phần tử biến cố A là n ( A) = 6.3.4.2.2.1 = 288
Do đó có C75 − C64 = 6 dãy gồm 6 ký tự abcde7 thỏa mãn a < b < c < d < e < 7; a ≠ 0 . Hay có 6 số. Trường hợp 2: f = 9 . Xét dãy gồm 6 ký tự abcde9 thỏa mãn a < b < c < d < e < 9 (1). Chọn 5 chữ số từ X và nhỏ hơn 9 có C95 . Khi đó mỗi cách chọn có duy nhất 1 cách xếp thỏa (1). Suy ra có C95 dãy thỏa mãn (1). Xét dãy gồm 6 ký tự 0bcde9 thỏa mãn 0 < b < c < d < e < 9 (2). Chọn 4 chữ số từ X lớn hơn 0 và nhỏ hơn 9 có C84 . Khi đó mỗi cách chọn có duy nhất 1 cách xếp thỏa (**). Suy ra có C84 dãy thỏa mãn (2).
Xác suất cần tính là P ( A) =
Câu 81.
Do đó có C95 − C84 = 56 dãy gồm 6 ký tự abcde9 thỏa mãn a < b < c < d < e < 9; a ≠ 0 . Hay có 56 số. Suy ra n ( A) = 6 + 56 = 62 . V ậy P ( A ) =
Câu 79.
n ( A) 62 31 = = . n ( Ω ) 136080 68040
A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau ⇒ n ( A) = 9. A94 = 27216 Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập A có 27216 cách chọn ⇒ n ( Ω ) = 27216 Gọi B là biến cố “Chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 5 ” Gọi số chia hết cho 5 thuộc tập A là a1a2 a3a4 a5 Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là 0 Có A94 cách chọn 4 chữ số còn lại. Trường hợp 2: Chữ số tận cùng là 5
Câu 82.
n ( A) n (Ω)
=
288 2 = . Chọn B 6! 5
Chọn A n ( Ω) = 10! Gọi H là biến cố “không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau” + Đầu tiên xếp 5 học sinh lớp 12C thì có 5! cách xếp + Giữa 5 học sinh lớp C và ở hai đầu có 6 khoảng trống TH1: Xếp 5 học sinh của hai lớp A và B vào 4 khoảng trống ở giữa và 1 khoảng trống ở 1 đầu thì có 2.5! cách xếp TH2: Xếp 5 học sinh vào 4 khoảng trống giữa 5 học sinh lớp C sao cho có đúng một khoảng trống có 2 học sinh thuộc 2 lớp A, B thì có 2!.2.3.4! cách xếp. 11 . Suy ra, n ( H ) = 5!( 2.5!+ 2!.2.3.4!) ⇒ p ( H ) = 630 Chọn D Có 4! cách xếp bất kỳ 4 bạn thành hàng ngang. Có 2.2!2! cách xếp 4 bạn sao cho các bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau.
35
36
Xác suất cần tìm là P = Câu 83.
Xếp ngẫu nhiên 9 học sinh thành một dãy nên số cách xếp là 9! . Số phần tử của không gian mẫu là n ( Ω ) = 9! .
2.2!2! 1 = . 4! 3
Chọn D Lấy ngẫu nhiên 7 tấm thẻ từ 13 tấm thẻ ⇒ n ( Ω ) = C137 = 1716 Gọi biến cố A “rút được 7 tấm thẻ theo thứ tự: ĐỖ, ĐẠI, HỌC, 2, 0,1, 9 .” Để rút được 7 tấm thẻ theo thứ tự: ĐỖ, ĐẠI, HỌC, 2, 0,1, 9 ta rút 7 tấm thẻ từ 7 tấm thẻ ĐỖ, ĐẠI, HỌC, 2,0,1,9 nên có 1 cách. 1 Do đó P( A) = 1716 Câu 84. Chọn C Số phần tử của không gian mẫu: Ω = P6 = 6! = 720 Gọi α là một nhóm gồm 3 người trong đó đứa bé được xếp ở giữa 2 người đàn bà: Có 2 phần tử α Có 4 phần tử gồm α và 3 người đàn ông. Xếp 4 người vào 4 vị trí, số cách xếp là: ΩA = 4!.2 = 48 . Xác suất xếp thỏa yêu cầu bài: P = Câu 85.
ΩA Ω
=
48 1 = . 720 15
Gọi A là biến cố xếp 9 học sinh sao cho 3 học sinh lớp 12 xen kẽ 6 học sinh lớp 11. Xếp 6 học sinh lớp 11 thành một hàng ngang có 6! cách xếp. Với mỗi cách xếp 6 học sinh lớp 11 nói trên: cứ giữa mỗi hai học sinh có một khoảng trống, tính cả khoảng trống hai đầu hàng ta có được 7 khoảng trống. Chọn 3 khoảng trống trong số 7 khoảng trống để mỗi khoảng trống xếp một học sinh lớp 12 có A73 cách xếp. Vậy có n ( A) = 6!. A73 cách xếp. Xác suất là P ( A ) =
D. Một số bài toán liên quan đến xúc sắc Câu 89. Đáp án A. Gọi A là biến cố: “Có ít nhất một con xúc sắc xuất hiện mặt một chấm”. Bước 1: Tìm số phần tử không gian mẫu. Do mỗi xúc sắc có thể xảy ra 6 trường hợp nên số kết quả có thể xảy ra là Ω = 6.6 = 36 . Bước 2: Tìm số kết quả thuận lợi cho A . Ta có các trường hợp sau:
Chọn A Số phần tử của không gian mẫu là Ω = 8! = 40320 . Gọi A là biến cố mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ. Ta có: Xếp 4 học sinh nữ vào cùng 1 dãy ghế có 4! cách. Xếp 4 học sinh nam vào cùng 1 dãy ghế có 4! cách. Ở các cặp ghế đối diện nhau hai bạn nam và nữ có thể đổi chỗ cho nhau nên có 24 cách. Suy ra A = 4!.4!.24 = 9216 .
{(1;1) ; (1;2 ) ; (1;3) ; (1;4 ) ; (1;5) ; (1;6 ) ; ( 2;1) ; ( 3;1) ; ( 4;1) ; ( 5;1) ; ( 6;1)} Bước 3: Xác suất của biến cố A là P ( A) = Câu 90.
9216 8 = = Vậy P ( A ) = . Ω 40320 35 Câu 86. Chọn A. Số phần tử của không gian mẫu là Ω = 10! .
=
Ω
=
11 . 36
Chọn A * Số phần tử của không gian mẫu là: n ( Ω ) = C61 .C61 = 36 .
* Xác suất của biến cố A là P ( A ) = Câu 91.
Gọi A là biến cố mỗi học sinh đều nhận 1 đề và 2 bạn ngồi kề trên, dưới là khác loại đề. Ta có: Xếp 5 đề lẻ vào cùng 1 dãy ghế có 5! cách. Xếp 5 đề chẵn vào cùng 1 dãy ghế có 5! cách. Ở các cặp đề trên, dưới có thể đổi đề cho nhau nên có 25 cách. Suy ra A = 5!.5!.25 . A
ΩA
⇒ ΩA = 11
* Gọi A = ”Cả hai lần xuất hiện mặt sáu chấm”. Số phần tử của biến cố A là n ( A) = 1 .
A
Vậy P ( A ) =
6!. A73 5 = . 9! 12
n ( A) n (Ω)
=
1 . 36
Chọn A Gieo một con súc sắc có không gian mẫu Ω = {1;2;3;4;5;6} ⇒ n ( Ω ) = 6 Xét biến cố A : “mặt 6 chấm xuất hiện”. A = {6} ⇒ n ( A) = 1 .
1 Do đó P ( A) = . 6 Câu 92. Chọn B Không gian mẫu của phép thử Ω = {( i , j ) 1 ≤ i , j ≤ 6} , ở đó ( i, j ) là kết quả “Lần đầu xuất hiện mặt i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm”.
5!.5!.25 8 = . 10! 63
Ω Chọn D Xếp 10 học sinh vào 10 ghế có 10! cách Xếp 2 học sinh bất kì ngồi đối diện nhau khác lớp ta thực hiện như sau. Cách 1: Ghép 5 cặp gồm 1 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B có 5! Cách, xếp 5 cặp này vào 5 cặp ghế đối diện, mỗi cặp có 2 hoán vị nên có 25.5! Do đó xếp 2 học sinh bất kì ngồi đối diện nhau khác lớp có 25.5!.5! cách Câu 88. Chọn C
Câu 87.
37
Ta có n ( Ω) = 36. Gọi A : “ Tích số chấm xuất hiện trên hai mặt là số lẻ”. Để tích các số trong hai lần gieo là lẻ thì cả 2 lần gieo đều xuất hiện số chấm là lẻ, khi đó có: 3.3 = 9 kết quả. ⇒ n ( A) = 9. Vậy xác suất của biến cố A : P ( A ) =
n ( A) n (Ω)
=
9 1 = . 36 4 38
Câu 93.
Chọn B Có a, b ∈ {1; 2;3; 4;5; 6} . Suy ra số phần tử của không gian mẫu là Ω = 62 = 36 .
n ( Ω ) = 36 .
A = {(1,1) ; ( 2, 2 ) ;...; ( 6, 6)} , n ( A) = 6 .
x 2 + ax + b = 0 có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ a 2 − 4b ≥ 0 ⇔ a 2 ≥ 4b (1) , có a, b ∈ {1; 2;3; 4;5; 6} .
6 1 = . 36 6 Câu 100. Số phần tử của không gian mẫu n ( Ω ) = 6.6 = 36 .
Suy ra (1) có các nghiệm ( a; b ) là: ( 2;1) , ( 3;1) , ( 3; 2 ) , ( 4;1) , ( 4; 2 )( 4;3) , ( 4; 4 ) , ( 5;1) , ( 5; 2 ) ,
Vậy P ( A) =
( 5,3) , ( 5; 4 ) , ( 5;5) , ( 5;6) ( 6;1) , ( 6; 2) , ( 6;3) , ( 6; 4 ) , ( 6;5) , ( 6;6 ) Suy ra số phần tử của biến cố ΩA = 19 Vậy xác suất cần tìm là: P =
ΩA
=
Gọi A là biến cố: ‘‘Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc không vượt quá 5 ”. Các phần tử của A là: (1;1) , (1; 2 ) , (1;3) , (1; 4 ) , ( 2;1) , ( 2; 2 ) , ( 2;3) , ( 3;1) , ( 3; 2 ) , ( 4;1) .
19 . 36
Ω Chọn B Gieo một con súc sắc hai lần được 6 2 = 36 kết quả. Để tích hai số nhận được sau hai lần gieo là lẻ thì cả hai lần gieo đều được mặt lẻ. Do đó để tích hai số nhận được sau hai lần gieo là một số lẻ thì có 32 = 9 kết quả. Để tích hai số nhận được sau hai lần gieo là một số chẵn thì có 36 − 9 = 27 kết quả. 27 3 Xác suất cần tìm là: = = 0, 75 . 36 4 Câu 95. Chọn D Số phần tử của không gian mẫu là: n ( Ω ) = 62 = 36 . Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 6”. Tập hợp các quả của biến cố A là: A = {(1;1) ; (1; 2 ) ; (1;3) ; (1; 4 ) ; ( 2;1) ; ( 2; 2 ) ; ( 2;3) ; ( 3;1) ; ( 3; 2 ) ; ( 4;1)} .
Như vậy số phần tử của A là: n ( A) = 10 .
Câu 94.
Vậy xác suất cần tìm là: P ( A ) =
=
5 . 18
Câu 101. Để phương trình x 2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì: ∆ = b 2 − 4c < 0 . Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử gieo hai lần liên tiếp một con súc sắc cân đối. ⇒ Ω = 6.6 = 36 Gọi A là biến cố của phép thử để kết quả ( b;c ) trong đó b là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai thỏa mãn b 2 − 4c < 0 Trường hợp 1: b = 1 ⇒ c = {1;2;3;4;5;6} Trường hợp 2: b = 2 ⇒ c = {2;3;4;5;6} Trường hợp 3: b = 3 ⇒ c = {3;4;5;6}
Số phần tử của biến cố A là: n ( A) = 10 .
Trường hợp 4: b = 4 ⇒ c = { 5;6}
10 5 = . 36 18 Ta có: Không gian mẫu Ω = {1,2,3,4,5,6} suy ra n ( Ω ) = 6
⇒ Ω A = 17
Xác suất của biến cố A là: P ( A) = Câu 96.
n ( A) n (Ω)
Vậy xác suất để phương trình bậc hai vô nghiệm là PA =
Gọi biến cố A : “Con súc sắc có số chấm chẵn xuất hiện” hay A = {2; 4; 6} suy ra n ( A) = 3 Từ đó suy ra p ( A ) =
n ( A) 3 1 = = n(Ω) 6 2
Vậy xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là Câu 97.
1 . 2
Số phần tử của không gian mẫu: n ( Ω ) = 6.6 = 36 . Gọi A là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán: A = {(1; 2 ) , ( 2; 1) , ( 3; 2 ) , ( 2; 3) , ( 3; 4 ) , ( 4; 3) , ( 4; 5) , ( 5; 4 ) , ( 5; 6 ) , ( 6; 5)} nên
=
17 . 36
10 5 = . 36 18 Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử, ta có n ( Ω ) = 6 .
Vậy P ( A) =
Suy ra n Ω = 10 .
Gọi A : “Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 2 và 3 ”. Khi đó n ( A) = 1 .
* Gọi A là biến cố "lấy được ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác". Các trường hợp ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác là: 3; 5; 7 , 3; 7; 9 , 5; 7; 9 (thỏa mãn: hiệu hai cạnh bé hơn cạnh còn lại, tổng hai cạnh lớn hơn
Vậy xác suất của biến cố A là P ( A) = Câu 99.
Ω
E. Một số bài toán liên quan đến hình học Câu 102. Chọn B Mỗi tam giác được tạo thành khi lấy 2 điểm trên d1 và 1 điểm trên d 2 , hoặc 2 điểm trên d 2 và 1 điểm trên d1 . Số tam giác được tạo thành là: C 62 .4 + C 42 .6 = 96 . Số tam giác có hai đỉnh màu đỏ là C 62 .4 = 60 . Vậy xác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu 60 5 đỏ là: = . 96 8 Câu 103. Chọn C * Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng đã cho có C 53 = 10 cách.
n ( A) = 10 .
Câu 98.
ΩA
n ( A) n (Ω)
=
( )
{
1 . 6
}{
}{
}
cạnh còn lại).
( )
( )
Do đó n A = 3. Vậy sác xuất cần tìm là P A =
Gọi A là biến cố “Số chấm trong hai lần gieo là bằng nhau” 39
( )= 3. ( ) 10
n A
n Ω
40
Câu 104. Chọn C Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O ” ⇒ n (Ω) = C204 = 4845 . Gọi A là biến cố:” 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật” Đa giác có 20 đỉnh sẽ có 10 đường chéo đi qua tâm mà cứ 2 đường chéo qua tâm sẽ có 1 hình chữ nhật nên số HCN là: n ( A) = C102 = 45.
45 3 = 4845 323 Câu 105. Số phần tử không gian mẫu là Ω = C143 . P ( A) =
Giả sử tam giác cần lập là ABC vuông tại A . Chọn đỉnh A của tam giác có 14 cách. Để tam giác vuông tại A thì cung BC có số đo là π , hay BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác, do đó có 6 cách chọn BC . Gọi E là biến cố " 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông" Số phần tử của E là 14.6 = 84 . 84 3 Xác suất cần tìm là P ( E ) = 3 = . C14 13 Câu 106. Chọn B
chọn 2 dọc, 2 ngang cho 1 HCN
Bước 2: Chọn 3 đỉnh còn lại sao cho hai đỉnh bất kỳ của tứ giác cách nhau ít nhất 1 đỉnh. Điều này tương đương với việc ta phải chia m = 60 chiếc kẹo cho n = 4 đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ có ít nhất k = 2 cái, có Cmn −−1n ( k −1) −1 = C553 cách, nhưng làm như thế mỗi tứ giác lặp lại 4 lần.
60.C553 . 4 n ( E ) 60.C553 Xác suất của biến cố E là: P ( E ) = = ≈ 80, 7% . n ( Ω ) 4.C604 Câu 108. Tại mọi ô đang đứng, ông vua có 8 khả năng lựa chọn để bước sang ô bên cạnh. Do đó không gian mẫu n ( Ω ) = 83 .
⇒ Số phần tử của biến cố E là: n ( E ) =
Gọi A là biến cố “sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát”. Sau ba bước quân vua muốn quay lại ô ban đầu khi ông vua đi theo đường khép kín tam giác. Chia hai trường hợp: + Từ ô ban đầu đi đến ô đen, đến đây có 4 cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu. + Từ ô ban đầu đi đến ô trắng, đến đây có 2 cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu. Do số phần tử của biến cố A là n ( A) = 4.4 + 2.4 = 24 . Vậy xác suất P ( A) =
24 3 = . 83 64
Câu 109. Cách 1: Ta thấy có 3 loại hình bình hành dựa vào cách chọn phương của hai cạnh của hình bình hành. Số hình bình hành của mỗi loại là bằng nhau nên chỉ cần tính một loại rồi nhân với 3 .
chọn 2 dọc, 2 ngang có cùng bề rộng cho 1 HV
Để có một ô hình chữ nhật ta cần chọn 2 đường dọc trong tổng số 101 đường dọc, và hai đường 2 2 ngang trong tổng số 101 đường ngang. Vậy có tất cả: C101 × C101 = 25502500 ô hình chữ nhật. Ta gọi phần mặt phẳng nằm giữa hai đường dọc hoặc hai đường ngang là một dải. Một hình vuông bất kì chính là giao của hai dải có cùng độ rộng (một dải dọc, một dải ngang) Số dải có độ rộng k (k ∈ Z ,1 ≤ k ≤ 100) là: 101 − k 100 100(100 + 1)(2.100 + 1) Vậy có tất cả: ∑ (101 − k )2 = 1002 + 992 + ... + 12 = = 338350 hình vuông. 6 k =1 338350 Xác suất cần tìm là: = 0, 013267... ≈ 0, 0133 25502500 B. Chọn đáp án Câu 107. Số phần tử của không gian mẫu là: n ( Ω ) = C604 . Gọi E là biến cố “lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của ( H ) ”. Để chọn ra một tứ giác thỏa mãn đề bài ta làm như sau: Bước 1: Chọn đỉnh đầu tiên của tứ giác, có 60 cách.
Dựng thêm một đường thẳng song song với cạnh đáy và cách cạnh đáy một khoảng bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song kề nhau, tạo thành một tam giác đều mở rộng như hình vẽ. Ta chia cạnh mới thành 9 phần bằng nhau bởi 8 , cộng thêm 2 đầu mút nữa thành 10 điểm. Các điểm được đánh số từ trái sang phải từ 1 đến 10 . Khi đó, với 1 hình bình hành có hai cạnh song song với hai cạnh bên tương ứng với bốn số 1 ≤ a < b < c < d ≤ 10 theo quy tắc sau: Nối dài các cạnh của hình bình hành, cắt các cạnh mới tại 4 điểm có số thứ tự là a , b , c , d . Ví dụ với hình bình hành màu đỏ trên ta có bộ ( 2,5, 7,9 ) . Ngược lại nếu có một bộ số 1 ≤ a < b < c < d ≤ 10 ta sẽ kẻ các đường thẳng từ điểm a , b song song với cạnh bên trái và từ c , d song song với cạnh bên phải giao nhau ra một hình bình hành. Vậy số hình bình hành loại này là số cách lấy ra bốn số phân biệt ( a; b; c; d ) từ 10 số tự nhiên
{1, 2,3,...,10}
và ta được C104 = 210 .
Vậy kết quả là 3.C104 = 630 hình bình hành. Ta thấy có 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45 giao điểm giữa các đường thẳng nên số phần tử của không gian mẫu là n ( Ω ) = C454 . 41
42
Vậy xác suất cần tính là P ( A) =
1 TH3: 5 câu lấ y ra có 3 câu khó, 1 câu dễ, 1 câu trung bình C53 .C151 .C10 (cách).
3C104 2 = . C454 473
1 .C102 + C52 .C152 .C101 + C53 .C151 .C101 . Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: n ( A) = C52 .C15
Cách 2: Để chọn được một hình bình hành mà 4 đỉnh chọn được là bốn đỉnh của một hình bình hành nằm trong miền trong tam giác đều H ta làm như sau: Chọn 2 trong 7 điểm trên một cạnh ( trừ hai điểm đầu mút của cạnh), cùng với hai điểm trong 5 điểm nằm tương ứng trên một cạnh trong hai cạnh còn lại của tam giác ( trừ mỗi đầu cạnh đi 2 điểm). Qua 4 điểm này có 4 đường thẳng tương ứng của đầu bài sẽ cắt nhau tạo thành một hình bình hành thỏa mãn bài toán. Vì vài trò các cạnh như nhau nên số hình bình hành thu được là: C72 .C52 .3 = 630 (hình). Ta thấy có 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45 giao điểm giữa các đường thẳng nên số phần tử của không gian mẫu là n ( Ω ) = C454 . Vậy xác suất cần tính là P ( A) =
n ( A ) 3125 = . n ( Ω ) 23751 Dạng 2.1.2 Tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng phương pháp gián tiếp. Câu 113. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ 15 viên bi thì số cách chọn là C153 = 445 . Xác suất của biến cố A là: P ( A ) =
Gọi A là biến cố “trong 3 viên bi lấ y ra có ít nhất một viên màu đỏ” thì là biến cố A “ cả ba viên bi lấy ra đều không có màu đỏ” ( tức là lấy ra cả ba viên bi đều màu xanh”
( )
Số cách chọn ra 3 viên bi mà 3 viên bi đó đều màu xanh là C73 = 35 ⇒ n A = 35
⇒ Số cách chọn ra 3 viên bi mà trong đó có ít nhất một viên bi màu đỏ là 455 − 35 = 420 cách ⇒ n ( A) = 420
3C104 2 = . C454 473
⇒ P ( A) =
n ( A) n (Ω)
=
420 12 = 455 13
Câu 114. Chọn D Số phần tử của không gian mẫu là n ( Ω ) = C92 = 36 .
F. Một số bài toán đề thi
Câu 110. Chọn C Bạn Anh đã làm đúng 12 câu nên đã có 6 điểm. Để Anh được 9 điểm thì bạn cần làm đúng 6 câu trong 8 câu còn lại. 8
Số phần tử của không gian mẫu là 4 .
Gọi A là biến cố “tích hai số ghi trên thẻ là số chẵn”, suy ra A là biến cố “tích hai số ghi trên thẻ là số lẻ” ⇒ n A = C52 = 10 .
( )
( )
Vậy xác suất cần tìm là P ( A) = 1 − P A = 1 − 6 8
Chọn 6 câu đúng trong 8 câu còn lại có C cách chọn.
( ) = 13 .
n A
n ( Ω)
18
Câu 115. Chọn C
Hai câu còn lại chọn đáp án sai có 32 cách.
Gọi A là biến cố: “Trong 5 đồng xu có ít nhất 1 đồng xu lật sấp”
32.C86 63 Vậy xác suất để được 9 điểm là . = 48 16384 Câu 111. Chọn C Không gian mẫu của phép thử trên có số phần tử là Ω = 450 . Gọi A là biến cố: “ Thí sinh đó được 6 điểm” Tìm Ω A : Để được 6 điểm, thí sinh đó phải làm đúng 30 câu và làm sai 20 câu.
Công đoạn 1: Chọn 30 câu từ 50 câu để làm câu đúng. Có C
30 50
Khi đó A là biến cố: “ 5 đồng xu đều lật ngữa” 5
31 1 Vậ y P ( A ) = 1 − P A = 1 − = . 2 32 Câu 116. Chọn A
( )
5 Chọn 5 cái kẹo trong 13 cái kẹo nên n ( Ω ) = C13 .
Đặt A là biến cố “chọn được 5 cái kẹo có đủ hai vị”.
cách.
Công đoạn 2: Chọn phương án đúng của mỗi câu từ 30 câu đã chọn. Có 130 cách. Công đoạn 3: Chọn một phương án sai trong ba phương án sai của mỗi câu từ 20 còn lại. Có 320 cách. 30 30 20 .1 .3 . Theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là ΩA = C50 Vậy xác suất để học sinh đó được 6 điểm là: Ω C30 .130.320 P( A) = A = 50 50 = C5030 .0, 2530.0, 7520 = C5020 .0, 2530.0, 7520 . Ω 4 Câu 112. Chọn B 5 Chọn 5 câu trong tổng số 30 câu nên ta có không gian mẫu n ( Ω) = C30 . Gọi A là biến cố “Lấy ra được một đề thi “Tốt””. TH1: 5 câu lấ y ra có 2 câu khó, 1 câu dễ, 2 câu trung bình C52 .C151 .C102 (cách). 2 5
2 15
1 10
TH2: 5 câu lấ y ra có 2 câu khó, 2 câu dễ, 1 câu trung bình C .C .C (cách). 43
Suy ra A là biến cố “chọn 5 cái kẹo chỉ có một vị” ⇒ n A = C75 + C65 .
( )
Vậ y P ( A ) = 1 −
C75 + C65 5 C13
=
140 143
Câu 117. Chọn C Gọi B là biến cố “Trong 3 bóng lấy ra đều là bóng tốt”. 8! = 56 Ta có: n ( ΩB ) = C83 = 3!.5! Gọi C là biến cố “Trong 3 bóng lấy ra có ít nhất 1 bóng hỏng” khi đó C = B . 56 41 P (C ) = P B = 1− P ( B) = 1− = 220 55 Câu 118. Chọn B
( )
44
Trên giá có tất cả: 4 + 3 + 2 = 9 (quyển sách) bao gồm cả 3 môn: toán, lý và hóa. 3 Lấy 3 quyển sách từ 9 quyển sách, số cách lấ y ra là C9 = 84 ⇒ n ( Ω ) = 84 Gọi A là biến cố: “3 quyển lấy ra có ít nhất 1 quyển toán”. Suy ra A : “3 quyển lấy ra không có quyển toán nào” ⇒ n A = C53 = 10 .
Câu 125. Số phần từ của không gian mẫu n ( Ω ) = C103 = 120 . Gọi A là biến cố sao cho 3 học sinh được chọn có học sinh nữ, ⇒ A là biến cố sao cho 3 học sinh được chọn không có học sinh nữ ⇒ n A = C63 = 20 .
( )
( )
( )
Vậy xác suất để 3 quyển được lấ y ra có ít nhất một quyển sách toán là: 10 37 . P ( A) = 1 − P A = 1 − = 84 42 Câu 119. Số phần tử của không gian mẫu n ( Ω ) = C93 = 84 .
Vậy xác suất cần tìm P ( A) = 1 − P A = 1 −
( )
6
Câu 126. Ta có n ( Ω ) = C303 = 4060
Gọi A là biến cố 3 sản phẩm lấ y ra có ít nhất một sản phẩm tốt. Ta có A là biến cố 3 sản phẩm lấy ra không có sản phẩm tốt, hay 3 sản phẩm lấ y ra đều là sản phẩm xấu. n A = C103 = 120 .
Gọi A là biến cố sao cho ba quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán ⇒ A là biến cố sao cho ba quyển lấy ra không có sách Toán ⇒ n A = C53 = 10 .
( )
( )
10 37 ⇒ P ( A) = 1 − P ( A ) = 1 − = . 84 42 Câu 120. Số kết quả có thể khi chọn bất kì 3 quyển sách trong 9 quyển sách là C93 = 84. Gọi A là biến cố ‘ Lấy được ít nhất 1 sách toán trong 3 quyển sách.’ A là biến cố ‘ Không lấ y được sách toán trong 3 quyển sách.’ C 3 37 Ta có xác sút để xảy ra A là P ( A ) = 1 − P A = 1 − 5 = . 84 42 Câu 121. Số cách chọn 4 học sinh lên bảng: n ( Ω ) = C354 .
( )
Suy ra P A =
( ) = 120
n A
n (Ω)
4060
=
6 . 203
6 197 = . 203 203 Câu 127. Số phần tử của không gian mẫu: n ( Ω ) = C103 . Gọi A là biến cố: “ 3 học sinh được ó ít nhất một học sinh nữ”. Suy ra: A là biến cố: “ 3 học sinh được chọn không có học sinh nữ”. 17 C3 7 Khi đó n A = C73 ⇒ P A = 37 = . Vậ y P ( A ) = 1 − P A = . C10 24 24
( )
Vậ y P ( A ) = 1 − P A = 1 −
( )
Số cách chọn 4 học sinh chỉ có nam hoặc chỉ có nữ: C204 + C154 . Xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ: 1 −
( ) =5.
n A
n (Ω)
( )
( )
( )
C204 + C154 4615 = C354 5236
2 10
Câu 128. Số phần tử của không gian mẫu là: n ( Ω ) = C .
1 Câu 122. Chọn ngẫu nhiên 1 quả cầu có C35 = 35 cách. Suy ra n ( Ω ) = 35 .
Gọi biến cố A : “Hai người được ó ít nhất một người nữ”. ⇒ A : “Hai người được chọn không có nữ” ⇒ n A = C72 .
Gọi E là biến cố “Chọn được một quả cầu đỏ hoặc ghi số lẻ” thì E là biến cố “Chọn được một quả cầu xanh ghi số chẵn”.
( )
( )
( )
Do đó n E = 7 .
Vậy xác suất cần tìm là: P ( A ) = 1 − P A = 1 −
7 28 = . 35 35 Câu 123. Lần gieo thứ nhất có 6 kết quả, lần gieo thứ hai có 6 kết quả. Do đó không gian mẫu n ( Ω ) = 36 .
( )
Suy ra p ( E ) = 1 − p E = 1 −
n (Ω)
( )
n A
= 1−
C72 8 = . C102 15
3 10
Gọi A là biến cố “tích hai số nhận được sau hai lần gieo là một số chẵn” thì A là biến cố “tích hai số nhận được sau hai lần gieo là một số lẻ”. Ta có n A = 3.3 = 9 .
( )
Câu 129. Số phần tử không gian mẫu là n ( Ω ) = C = 120 . Gọi B là biến cố “Ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp”. ⇒ B là biến cố “Ba số được chọn có ít nhất hai số là các số tự nhiên liên tiếp”. + Bộ ba số dạng (1, 2, a1 ) , với a1 ∈ A \ {1, 2} : có 8 bộ ba số.
+ Bộ ba số có dạng ( 2,3, a2 ) , với a2 ∈ A \ {1, 2,3} : có 7 bộ ba số. + Tương tự mỗi bộ ba số dạng ( 3, 4, a3 ) , ( 4,5, a4 ) , ( 5,6, a5 ) , ( 6, 7 , a6 ) , ( 7,8, a7 ) , ( 8,9, a8 ) ,
9 3 = . 36 4 Câu 124. Giả sử rút x (1 ≤ x ≤ 9; x ∈ ℕ ) thẻ, số cách chọn x thẻ từ 9 thẻ trong hộp là C9x ⇒ n ( Ω ) = C9x . Gọi A là biến cố: “Trong số x thẻ rút ra, có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 ” Cx Cx ⇒ n ( A ) = C7x . Ta có P A = 7x ⇒ P ( A ) = 1 − 7x . C9 C9
( )
Xác suất cần tìm p ( A) = 1 − p A = 1 −
( 9,10, a9 )
đều có 7 bộ.
( )
⇒ n B = 8 + 8.7 = 64 .
64 7 = . 120 15 Câu 130. Số phần tử không gian mẫu là Ω = C354 = 5236 .
( )
⇒ P ( B) = 1− P B = 1−
( )
5 Cx 5 ⇔ 1 − 7x > ⇔ x 2 − 17 x + 60 < 0 ⇒ 5 < x < 12 ⇒ 6 ≤ x ≤ 7 . 6 C9 6 Vậy số thẻ ít nhất phải rút là 6 . Do đó P ( A ) >
Số phần phần tử của biến cố lấy được 4 bi màu xanh là C204 . Số phần phần tử của biến cố lấy được 4 bi màu đỏ là C154 . 45
46
Suy ra xác suất của biến cố 4 bi lấ y được có đủ hai màu là p = 1 −
4 C20 + C154 4615 = . 5236 5236
( )
Câu 131. Gọi A là biến cố: ‘‘ có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia ’’. Khi đó A là biến cố: ‘‘ cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia ’’. 1 1 1 1 5 P A = . = ⇒ P ( A) = 1 − = . 2 3 6 6 6 Câu 132. Số phần tử không gian mẫu là: n ( Ω ) = 3! = 6 .
( )
C53 + C93 135 . = C143 182 Câu 138. Gọi biến cố A : Lấy k tấm thẻ có ít nhất một tấm thẻ chia hết cho 4 . Với 1 ≤ k ≤ 10 . Suy ra A : Lấ y k tấm thẻ không có tấm thẻ nào chia hết cho 4 . Ck Ck (10 − k )( 9 − k ) . Ta có: P A = 8k ⇒ P ( A ) = 1 − 8k = 1 − C10 90 C10 10 − k )( 9 − k ) 13 ( Theo đề: 1 − > ⇔ k 2 − 19k + 78 < 0 ⇔ 6 < k < 13 . 90 15 Vậy k = 7 là giá trị cần tìm. Câu 139. Chọn A Do đó xác suất cần tìm P ( A ) = 1 −
( )
n ( A) 4 2 = = . n (Ω) 6 3
Cách 2: Gọi B là biến cố “Không có lá thư nào được bỏ đúng phong bì”. n( B) 2 2 ⇒ n ( B ) = 2 ⇒ P ( A) = 1 − P ( B ) = 1 − = 1− = . n (Ω) 6 3 Câu 133. Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ từ 9 tấm thẻ nên số phần tử của không gian mẫu là: n ( Ω ) = C92 = 36 .
Gọi A là biến cố: “Tích hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn”, khi đó ta có: n ( A ) 10 5 = = . A : “Tích hai số trên hai tấm thẻ là một số lẻ”, n ( A ) = C52 = 10 ⇒ P ( A ) = n ( Ω ) 36 18
3
Có tất cả C2019 cách chọn 3 số tự nhiên từ tập hợp M = {1;2;3;...;2019} . 3 Suy ra n ( Ω) = C2019 .
Xét biến cố A : “Chọn 3 số tự nhiên sao cho không có 2 số tự nhiên liên tiếp”. Ta có A : “Chọn 3 số tự nhiên sao luôn có 2 số tự nhiên liên tiếp”. Xét các trường hợp sau: + Trường hợp 1: Trong ba số chọn được chỉ có 2 số liên tiếp: - Nếu 2 số liên tiếp là {1; 2} hoặc {2018;2019} thì số thứ ba có 2019 − 3 = 2016 cách chọn (do không tính số liên tiếp sau và trước mỗi cặp số đó).
5 13 = . 18 18 3 Câu 134. Số phần tử của không gian mẫu: C20 = 1140 . Xác suất cần tìm là: P ( A) = 1 − P ( A ) = 1 −
- Nếu 2 số liên tiếp là {2;3} , {3;4} ,., {2017;2018} thì số thứ ba có 2019 − 4 = 2015 cách chọn (do không tính 2 số liền trước và sau mỗi cặp số đó). Trường hợp này có 2.2016 + 2016.2015 = 4066272 cách chọn. + Trường hợp 2: Chọn được 3 số liên tiếp.
Gọi A là biến cố chọn được 3 đoàn viên là nam: C123 = 220 . 220 11 Xác suất của biến cố A là: P ( A) = = . 1140 57 11 46 = Vậy xác suất cần tìm là: 1 − . 57 57 5 n ( Ω ) = C45 Câu 135. Số phần tử của không gian mẫu . A là biến cố “Trong 5 học sinh được ó ít nhất 1 học sinh nữ” ⇒ A là biến cố “Trong 5 học sinh được chọn không học sinh nữ”
( )
7 8 = . 15 15
Câu 137. Số phần tử của không gian mẫu là n ( Ω ) = C143 . Gọi A là biến cố lấy được 3 quả cầu có đủ hai loại cầu xanh và cầu trắng. C3 + C3 Xác suất lấy được 3 quả cầu chỉ có màu xanh hoặc màu trắng là 5 3 9 . C14
Gọi A là biến cố “Có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì”. Ta xét các trường hợp sau: Nếu lá thứ nhất bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách. Nếu lá thứ hai bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách. Nếu lá thứ ba bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách. Không thể có trường hợp hai lá thư bỏ đúng và một lá thư bỏ sai. Cả ba lá thư đều được bỏ đúng có duy nhất 1 cách. ⇒ n ( A) = 4 .
Tức là chọn các bộ {1;2;3} , {2;3;4} ,., {2017, 2018,2019} : có tất cả 2017 cách. Suy ra n ( A ) = 4066272 + 2017 = 4068289 .
( )
Vậ y P = P ( A) = 1 − P A = 1 −
4068289 1365589680 677040 = = . 3 C2019 1369657969 679057
Câu 140. Chọn C Ta có số phần tử của không gian mẫu là n ( Ω ) = 9! = 362880 .
n ( A) C ( ) = 1 − n ( Ω) = 1 − C
5 ⇒ n A = C25 ⇒ P ( A) = 1 − P A
21 7 = . 45 15
Vậy xác suất để 2 viên bi được ó ít nhất một viên bi màu xanh là P ( A ) = 1 − P A = 1 −
( )
Vậy xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là: P ( A) =
( )
Ta có n A = C72 = 21 ⇒ P A =
5 25 5 45
. Câu 136. Số phần tử của không gian mẫu là n ( Ω ) = C102 = 45 . Gọi A : " 2 viên bi được ó ít nhất một viên bi màu xanh " . ⇒ A :" 2 viên bi được ó màu đỏ " .
Xét biến cố đối A “tồn tại một hàng hoặc một cột chứa toàn số chẵn”. Để biến cố A xảy ra ta lần lượt thực hiện các bước sau. Bước 1: chọn một hàng hoặc một cột chứa toàn số chẵn. Bước này có 6 cách. 47
48
Vậy A = “Người thứ nhất thắng ngay trận đầu” hoặc “người thứ nhất thắng sau 2 trận” hoặc “người thứ nhất thắng sau 3 trận” 1 1 1 1 1 1 7 ⇒ P ( A) = + . + . . = . 2 2 2 2 2 2 8 1 1 Cách 2: Hai người ngang sức nên xác suất người thứ hai thắng 1 trận là ; thua 1 trận là . 2 2 A là biến cố: “Người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc” A = “người thứ hai thắng chung cuộc” 1 1 1 1 7 P ( A ) = . . = ⇒ P ( A) = 1 − P ( A ) = . 2 2 2 8 8 Câu 145. Trường hợp 1. An thuộc bài, Bình không thuộc bài, Cường thuộc bài ta có xác suất: 0,9 × (1 − 0,7 ) × 0,8 = 0, 216. Trường hợp 2. An không thuộc bài, Bình thuộc bài, Cường thuộc bài ta có xác suất: (1 − 0,9) × 0, 7 × 0,8 = 0,056.
Bước 2: chọn ba số chẵn trong các số 2, 4, 6, 8 và xếp vào hàng hoặc cột này. Bước này có A43 cách. Bước 3: xếp 6 số còn lại vào 6 ô còn lại. Bước này có 6! cách. Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n A = 6. A43 .6! = 103680 .
( )
( )
Vậy xác suất của biến cố A là P ( A ) = 1 − P A = 1 −
( ) =5.
n A
n ( Ω)
7
Câu 141. Chọn C
99996 − 10000 + 1 = 22500 số 4 chia hết cho 4 và 90000 − 22500 = 67500 số không chia hết cho 4. Gọi A là biến cố nhận được ít nhất một số chia hết cho 4. 2 Số phần tử của không gian mẫu là Ω = C90000 . Ta có số phần tử của tập X là X = 9.104 = 90000 , trong đó có
Số phần tử của không gian thuận lợi cho biến cố A (cả hai đều không chia hết cho 4) là 2 Ω A = C67500 .
Vậy xác suất cần tìm là 0, 216 + 0, 056 = 0, 272. Câu 146. Trường hợp 1: hai số rút ra đều là số chẵn: p1 =
C2 ≈ 0,44 . Vậy xác suất của biến cố A là P ( A) = 1 − P ( A ) = 1 − 67500 2 C90000
C41.C51 5 = C92 9 1 5 13 Vậy xác suất để kết quả nhân được là một số chẵn là p = p1 + p2 = + = . 6 9 18 1 1 Câu 147. Cách 1. Hai người ngang sức nên xác suất người thứ nhất thắng 1 trận là ; thua 1 trận là . 2 2 A là biến cố: “Người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc” Vậy A = “Người thứ nhất thắng ngay trận đầu” ∪ “Người thứ nhất thắng sau 2 trận” ∪ “Người thứ nhất thắng sau 3 trận” 1 1 1 1 1 1 7 ⇒ P ( A) = + . + . . = . 2 2 2 2 2 2 8 1 1 Cách 2. Hai người ngang sức nên xác suất người thứ hai thắng 1 trận là ; thua 1 trận là . 2 2 A là biến cố: “Người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc” A = “người thứ hai thắng chung cuộc” (tức là người thứ hai thắng liên tiếp 3 ván) 1 1 1 1 7 P ( A ) = . . = ⇒ P ( A) = 1 − P ( A ) = . 2 2 2 8 8 1 Câu 148. Bài thi có 50 câu nên mỗi câu đúng được điểm. Như vây để được 9 điểm, thí sinh này phải 5 trả lời đúng thêm 5 câu nữa. Trong 10 câu còn lại chia làm 2 nhóm: + Nhóm A là 3 câu đã loại trừ được một đáp án chắc chắn sai. Nên xác suất chọn được phương án 1 2 trả lời đúng là , xác suất chọn được phương án trả lời sai là . 3 3 1 + Nhóm B là 7 câu còn lại, xác suất chọn được phương án trả lời đúng là , xác suất chọn được 4 3 phương án trả lời sai là . 4 Trường hợp 2: hai số rút ra có một số lẻ, một số chẵn: p2 =
DẠNG 2.2 SỬ DỤNG QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT Dạng 2.2.1 Sử dụng quy tắc cộng Câu 142. Gọi A là biến cố “động cơ 1 bị hỏng”, gọi B là biến cố “động cơ 2 bị hỏng”. Suy ra AB là biến cố “cả hai động cơ bị hỏng” ⇔ “ xe không chạy được nữa”. Lại thấy hai động cơ hoạt động độc lập nên A và B là hai biến cố độc lập. ⇒ Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta được xác suất để xe phải dừng lại giữa đường là P ( AB ) = 0,5.0, 4 = 0, 2 .
Vậy xác suất để xe đi được là 1 − 0, 2 = 0,8 . Câu 143. Đáp án A. Gọi A là biến cố : “Chọn được hai viên bi xanh”. B là biến cố : “Chọn được hai viên bi đỏ”. C là biến cố : “Chọn được hai viên bi vàng”. Khi đó biến cố: “Chọn được hai viên bi cùng màu” là biến cố A ∪ B ∪ C . Do A, B, C đôi một xung khắc với nhau nên theo quy tắc cộng ta có
P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P ( C ) Ta có P ( A ) =
C2 C C2 1 6 3 = ; P ( B ) = 32 = ; P ( C ) = 22 = . C C9 36 C9 36 36 2 4 2 9
V ậy P ( A ∪ B ∪ C ) =
6 3 1 5 + + = 36 36 36 18
Câu 144. Chọn B Cách 1: Hai người ngang sức nên xác suất người thứ nhất thắng 1 trận là
C42 1 = C92 6
1 1 ; thua 1 trận là . 2 2
A là biến cố: “Người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc”
49
50
Ta có các trường hợp sau: - TH1 : có 3 câu trả lời đúng thuộc nhóm A và 2 câu trả lời đúng thuộc nhóm B. 3
2
Gọi Ai ( i = 1;2 ) là biến cố : “Con súc sắc thứ i ra mặt 6 chấm”
1 P ( A1 ) = 6 ⇒ A1 và A2 là hai biến cố độc lập và ta có P ( A2 ) = 1 6
5
189 1 1 3 . - Xác suất là P1 = .C72 . . = 3 4 4 16384 - TH2 : có 2 câu trả lời đúng thuộc nhóm A và 3 câu trả lời đúng thuộc nhóm B. 2
3
4
315 1 2 1 3 - Xác suất là P2 = C32 . .C73 . . = . 3 3 4 4 8192 - TH3 : có 1 câu trả lời đúng thuộc nhóm A và 4 câu trả lời đúng thuộc nhóm B. 2
4
( ) 5 5 25 P ( A) = P ( A ) .P ( A ) = (1 − P ( A ) ) . (1 − P ( A ) ) = . = 6 6 36
Thay vì tính P ( A) ta đi tính P A . Ta có A = A1 . A2 .
3
1
1 2 105 1 3 - Xác suất là P3 = C31. . .C74 . . = . 3 3 4 4 4096 - TH4 : không có câu trả lời đúng nào thuộc nhóm A và 5 câu trả lời đúng thuộc nhóm B. 3
2 1 - Xác suất là P4 = .C75 . 4 3
5
7 3 . . = 2048 4
1295 = 0.079 . 16384
(
Câu 153. Chọn B Gọi số thỏ chuồng 1, 2 lần lượt là x, y (con), số thỏ đen ở chuồng 1, 2 lần lượt là a, b (con)
+ Không gian mẫu Ω của phép thử trên có số phần tử là Ω = 60.60 = 3600 Gọi A là biến cố: "Số viết trước có chữ số 5 và số viết sau không có chữ số 5 " còn B là biến cố: "Số viết trước không có chữ số 5 và số viết sau có chữ số 5 " thì A ∪ B là biến cố: " Trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5 ". Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên P( A ∪ B) = P ( A) + P (B) *) Tìm ΩA , P(A): : - Công đoạn 1: Chọn một số từ tập F . Có 36 cách. - Công đoạn 2: Chọn một số từ tập S \ F . Có 24 cách. Theo quy tắc nhân suy ra ΩA = 24.36 = 864 . ΩA 864 = Ω 3600
Vậ y P ( A ∪ B ) =
)
Vậy xác suất để có ít nhất một trong ba người bắn trùng là 1 − 0, 09 = 0, 91 . Câu 152. Ta có chọn môn chung mã đề có 2 cách. Vì môn đó có 6 mã đề khác nhau nên xác suất chung 1 5 mã đề ở mỗi môn là và khác mã đề ở môn còn lại là . 6 6 1 5 5 Vậy xác suất cần tìm là: P = 2. . = . 6 6 18
Theo quy tắc nhân ta có F = 3. A42 = 36.
*) Tương tự, ta được ΩB = 36.24 = 864 ⇒ P ( B ) =
2
P ABC = P ( A ) .P ( B ) .P ( C ) = (1 − 0, 4 )(1 − 0,5)(1 − 0,7 ) = 0, 09
Câu 149. Chọn D + Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt lập từ tập E thì số phần tử của S là A53 = 60. + Gọi F là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt lập từ tập E sao cho trong số đó có đúng một chữ số 5. *) Tìm F : Mỗi cách lập ra số abc gồm 3 chữ số phân biệt từ tập E sao cho trong đó có đúng một chữ số 5 được thực hiện qua 2 công đoạn - Công đoạn 1: Chọn một hàng từ ba hàng cho chữ số 5. Có 3 cách. - Công đoạn 2: Chọn 2 số từ tập E \ {5} cho hai hàng còn lại, có phân biệt thứ tự. Có A42 cách.
Do đó P (A) =
1
( )
2
Vậy xác suất cần tìm là : P = P1 + P2 + P3 + P4 =
2
25 11 Vậ y P ( A ) = 1 − P A = 1 − = 36 36 Câu 151. Gọi A, B, C tương ứng là các biến cố “ A bắn trúng”; “ B bắn trúng”; “ B bắn trúng”. A, B, C là ba biến cố độc lập. Do A, B, C là các biến cố đôi một nên: Xác suấy để cả ba người đều bắn trượt là
( x, y, a, b ∈ ℕ ; a ≤ x; b ≤ y ) và x + y = 35 *
247 a b 247 13.19 = nên ta có: . = 300 x y 300 300 Từ điều kiện x, y , a, b ∈ ℕ* ; a ≤ x; b ≤ y ⇒ a = 13, b = 19 (Vì 13 và 19 là 2 số nguyên tố) Khi đó, x, y tương ứng là 15 và 20 2 1 1 . = Vậy xác suất bắt được hai con thỏ lông màu trắng là: 15 20 150 Câu 154. Chọn D Gọi Ai là động cơ thứ i chạy tốt Gọi A là biến cố “ có ít nhất một động cơ chạy tốt” A là biến cố “ không động cơ nào chạy tốt” Ta có: A = A1 A2 ⇒ P A = P A1 P A2 = (1 − 0.8 )(1 − 0.7 ) = 0.06 Vì xác suất bắt được hai con thỏ lông màu đen bằng
( )
ΩB 864 = Ω 3600
( ) ( )
( )
Vậy P ( A ) = 1 − P A = 0.94 .
864 864 12 + = 3600 3600 25
Câu 155. Lờigiải Chọn A Gọi A là biến cố “bạn An làm trọn vẹn 50 câu” A1 là biến cố “ bạn An làm hết 20 câu nhận biết”
Dạng 2.2.2 Sử dụng quy tắc nhân Câu 150. Đáp án B. 51
52
A2 là biến cố “ bạn An làm hết 20 câu vận dụng” A3 là biến cố “ bạn An làm hết 10 câu vận dụng cao” Khi đó: A = A1 A2 A3 . Vì các biến cố A1 ; A2 ; A3 là độc lập nhau nên theo quy tắc nhân xác suất ta có: P( A) = P( A1 ).P( A2 ).P ( A3 ) = 0,9.0,8.0, 6 = 0, 432 Câu 156. Chọn B Ta có Ω = 450
Câu 161. Xác suất xuất hiện mặt 6 chấm là
Có các khả năng: + Hai lần gieo được mặt 6 chấm. + Lần thứ nhất được mặt 6 chấm, lần thứ hai được mặt 5 chấm. + Lần thứ nhất được mặt 5 chấm, lần thứ hai được mặt 6 chấm. 2 2 2 1 1 2 8 Xác suất cần tính là . + . + . = . 7 7 7 7 7 7 49 Câu 162. Chọn B Xác suất sút không thành công tại chấm 11 của cầu thủ Quang Hải là 1 − 0,8 = 0, 2 Xác suất sút không thành công tại chấm 11 của cầu thủ Văn Đức là 1 − 0, 7 = 0,3 Xác suất cả hai cầu thủ sút không thành công tại chấm 11 là 0, 2.0,3 = 0, 06 Suy ra: Xác suất để ít nhất một người sút bóng thành công là: 1 − 0, 06 = 0,94 . Câu 163. Chọn C
Gọi x là số câu đúng Hoa chọn được. Hoa được 4 điểm nên 0, 2.x − ( 50 − x ) .0,1 = 4 ⇔ x = 30 Vậy xác suất Hoa đạt 4 điểm môn Tiếng Anh trong kì thi trên là 30
20
1 3 p = C5030 . = 1,3.10−7 4 4 Câu 157. Chọn C Gọi a là số trứng lành, b là số trứng hỏng trong giỏ A Gọi x là số trứng lành, y là số trứng hỏng trong giỏ B
Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, xác suất để lấy được hai quả trứng lành:
Gọi A là biến cố trong 3 lần chơi, người đó thắng ít nhất 1 lần.
a x 55 = . . a + b x + y 84
Khi đó: A là biến cố trong 3 lần chơi, người đó toàn thua.
( a.x )⋮ 55 a + b = 14 ( a + b )( x + y )⋮84 a = 11 Do đó: a + b + x + y = 20 . ⇒ x + y = 6 ⇒ x = 5 a.x ⋮ 55 2 ( ) a b x y + + + = 100 ( a + b )( x + y ) ≤ 2 Suy ra: Giỏ A có 11 quả trứng lành. Câu 158. Gọi Ai : “Xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu” với i = 1,3 .
Tính xác suất để một lần chơi người đó thua: Để chơi thua, thì ít nhất 2 trong ba con súc sắc người đó gieo xuất hiện số chấm bé hơn hoặc bằng 4 4 4 20 4 4 2 4. Suy ra xác suất để người đó chơi thua một lần là: . . .3 + . . = . 6 6 6 27 6 6 6 3
8000 8000 11683 20 . P A = = ⇒ P ( A) = 1 − = 19683 19683 27 19683 Câu 164. Chọn B Gọi A là biến cố “đồng xu A xuất hiện mặt sấp”, B là biến cố “đồng xu B xuất hiện mặt sấp”; C là biến cố “có một sấp và một ngửa khi gieo cả hai đồng xu một lần”. ⇒ C = AB ∪ AB , mà AB , AB xung khắc và A, B; A, B độc lập. 1 3 1 1 1 ⇒ P ( C ) = P ( AB ) + P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) + P ( A ) P ( B ) = . + . = = 50% . 2 4 2 4 2 Câu 165. Chọn A 1 Ta có xác suất để gieo con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm là P ( A ) = và xác suất để gieo con súc 6 5 sắc không xuất hiện mặt 6 chấm là P A = . 6 4 2 Xác suất lấy từ hộp I được gói quà màu đỏ là P ( B1 ) = = . 10 5 2 1 Xác suất lấy từ hộp II được gói quà màu đỏ là P ( B2 ) = = . 10 5 1 2 5 1 7 Vậy xác suất để lấy được gói quà màu đỏ là P ( A ) .P ( B1 ) + P A .P ( B2 ) = . + . = . 6 5 6 5 30 Câu 166. Chọn D Gọi P ( A) là xác suất bạn An học thuộc bài.
( )
Khi đó Ai : “Xạ thủ thứ i bắn không trúng mục tiêu”.
( )
( )
( )
Ta có P ( A1 ) = 0, 7 ⇒ P A1 = 0, 3 ; P ( A2 ) = 0, 6 ⇒ P A2 = 0, 4 ; P ( A3 ) = 0,5 ⇒ P A3 = 0,5 . Gọi B : “Cả ba xạ thủ bắn không trúng mục tiêu”. Và B : “có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu”.
( ) ( ) ( )
Ta có P ( B ) = P A1 .P A2 .P A3 = 0,3.0, 4.0,5 = 0, 06 .
( )
Khi đó P B = 1 − P ( B ) = 1 − 0, 06 = 0, 94 .
Dạng 2.2.3 Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân Câu 159. Chọn D Xác suất để một viên trúng và một viên trượt mục tiêu là: 0,3.0.7 + 0, 7.0,3 = 0, 42 . Câu 160. Gọi At , Ad , Ax lần lượt là biến cố bi rút được từ túi I là trắng, đỏ, xanh.
( )
Gọi Bt , Bd , Bx lần lượt là biến cố bi rút được từ túi II là trắng, đỏ, xanh. Các biến cố At , Ad , Ax độc lập với Bt , Bd , Bx . Vậy xác suất để lấy được hai bi cùng màu là P ( At Bt ∪ Ad Bd ∪ Ax Bx ) = P ( At Bt ) + P ( Ad Bd ) + P ( Ax Bx )
= P ( At ) P ( Bt ) + P ( Ad ) P ( Bd ) + P ( Ax ) P ( Bx ) =
2 1 , mỗi mặt còn lại là . 7 7
( )
3 10 7 6 15 9 207 . + . + . = . 25 25 25 25 25 25 625
P ( B ) là xác suất bạn Bình học thuộc bài. P ( C ) là xác suất bạn Cường học thuộc bài. 53
54
P (α ) là xác suất cô chỉ kiểm tra đúng 3 bạn trên. Do cô giáo chỉ kiểm tra đúng 3 bạn và chỉ dừng lại khi có 2 bạn thuộc bài nên có bạn An hoặc Bình không thuộc bài và 2 bạn còn lại thuộc bài.
( )
( )
Vì vậy, ta có P (α ) = P A P ( B ) P ( C ) + P ( A ) P B P ( C ) = 0, 272 .
Câu 167. Gọi A là biến cố “động cơ 1 bị hỏng”, gọi B là biến cố “động cơ 2 bị hỏng”. Suy ra AB là biến cố “cả hai động cơ bị hỏng” ⇔ “ xe không chạy được nữa”. Lại thấy hai động cơ hoạt động độc lập nên A và B là hai biến cố độc lập. ⇒ Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta được xác suất để xe phải dừng lại giữa đường là P ( AB ) = 0,5.0, 4 = 0, 2 .
TH1: Bấm lần thứ nhất là đúng luôn thì xác suất là
8 8 . = C103 120
8 8 TH2: Bấm đến lần thứ hai là đúng thì xác suất là: 1 − ( vì trừ đi lần đâu bị sai nên . 120 119 không gian mẫu chỉ còn là 120 − 1 = 119 ). 8 8 8 TH3: Bấm đến lần thứ ba mới đúng thì xác suất là: 1 − . 1 − 120 119 118
Vậy xác suất để xe đi được là 1 − 0, 2 = 0,8 . Câu 168. Chọn A Gọi A1 , A2 là lần lượt là các biến cố vận động viên bắn trúng mục tiêu ở viên thứ nhất và thứ hai. Ta có P ( A1 ) = P ( A2 ) = 0,6. Gọi A là biến cố vận động viên bắn một viên trúng và một viên trượt mục tiêu. Khi đó
( ) ( )
P ( A ) = P ( A1 ) P A2 + P A1 P ( A2 ) = 0,6.0, 4 + 0, 4.0,6 = 0, 48 .
4 2 = . 10 5 2 1 Xác suất lấy được gói quà màu đỏ trong hộp 2 : là P ( A2 ) = = . 10 5 1 5 Xác suất gieo được mặt sáu chấm là: P ( C ) = , còn gieo được các mặt còn lại là: P C = . 6 6 2 1 1 5 7 Vậy P ( C ) .P ( A1 ) + P C .P ( A2 ) = . + . = . 5 6 5 6 30 Câu 170. Chọn A Gọi H là biến cố: “Xạ thủ bắn đạt loại giỏi”. A; B; C ; D là các biến cố sau: A : “Ba viên trúng vòng 10 ” B : “Hai viên trúng vòng 10 và một viên trúng vòng 9 ” C : “Một viên trúng vòng 10 và hai viên trúng vòng 9 ” D : “Hai viên trúng vòng 10 và một viên trúng vòng 8 ” Các biến cố A; B; C ; D là các biến cố xung khắc từng đôi một và H = A ∪ B ∪ C ∪ D Suy ra theo quy tắc cộng mở rộng ta có P ( H ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) + P ( D ) Câu 169. Xác suất lấy được gói quà màu đỏ trong hộp 1 là: P ( A1 ) =
8 8 8 8 8 8 189 . + 1 − + 1 − = . 1 − 120 120 119 120 119 118 1003 Câu 172. Theo giả thiết hai người ngang tài ngang sức nên xác suất thắng thua trong một ván đấu là 0,5; 0,5 . Xét tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai thắng 2 ván. Để người thứ nhất chiến thắng thì người thứ nhất cần thắng 1 ván và người thứ hai thắng không quá hai ván. Có ba khả năng: TH1: Đánh 1 ván. Người thứ nhất thắng xác suất là 0,5 . Vậy xác suất cần tìm là:
2
TH2: Đánh 2 ván. Người thứ nhất thắng ở ván thứ hai xác suất là ( 0,5) . 3
TH3: Đánh 3 ván. Người thứ nhất thắng ở ván thứ ba xác suất là ( 0,5) .
7 2 3 Vậy P = 0,5 + ( 0,5 ) + ( 0,5 ) = . . 8 Câu 173. Số phần tử của không gian mẫu là n ( Ω ) = 10 = 10 .
( )
( )
Để người đó gọi đúng số điện thoại mà không phải thử quá hai lần ta có 2 trường hợp: TH1: Người đó gọi đúng ở lần thứ nhất. TH2: Người đó gọi đúng ở lần thứ hai. Gọi A1 :" người đó gọi đúng ở lần thứ nhất " ⇒ xác suất người đó gọi đúng là P ( A1 ) =
( )
suất người đó gọi không đúng là P A1 =
1 và xác 10
9 . 10
1 . 9 Gọi A : " người đó gọi đúng số điện thoại mà không phải thử quá hai lần " ta có A = A1 ∪ A1 A2 1 9 1 1 ⇒ P ( A) = P ( A1 ) + P A1 .P ( A2 ) = + . = . 10 10 9 5 Câu 174. Gọi Ak là biến cố người thứ k bắn trúng bia với xác suất tương ứng là Pk ( k = 1, 2, 3 ) . Gọi A2 : " người đó gọi đúng ở lần thứ hai " ⇒ xác suất người đó gọi đúng là P ( A2 ) =
Mặt khác P ( A) = ( 0, 2 ) . ( 0, 2 ) . ( 0, 2 ) = 0,008
P ( B ) = ( 0, 2 ) . ( 0, 2 ) . ( 0, 25) + ( 0, 2 )( 0, 25)( 0, 2 ) + ( 0, 25 )( 0, 2 )( 0, 2 ) = 0, 03
( )
P ( C ) = ( 0, 2) . ( 0, 25) . ( 0, 25) + ( 0, 25)( 0, 2 )( 0, 25) + ( 0, 25)( 0, 25)( 0, 2 ) = 0,0375 P ( D ) = ( 0, 2 ) . ( 0, 2 ) . ( 0,15 ) + ( 0, 2 )( 0,15)( 0, 2 ) + ( 0,15 )( 0, 2 )( 0, 2 ) = 0,018
(
) (
) (
)
Biến cố có đúng hai người bắn trúng bia là: A1. A2 . A3 ∩ A1. A2 . A3 ∩ A1. A2 A3 .
Do đó P ( H ) = 0, 008 + 0,03 + 0, 0375 + 0,018 = 0,0935
Xác suất của biến cố này là: (1 − P1 ) .P2 .P3 + P1. (1 − P2 ) .P3 + P1.P2 . (1 − P3 )
Câu 171. Số phần tử của không gian mẫu: n ( Ω ) = A103 = 720 .
= (1 − 0,5 ) .0, 6.0, 7 + 0,5 (1 − 0, 6 ) .0, 7 + 0, 5.0, 6. (1 − 0, 7 )
= 0, 44 . Vậy xác suất để có đúng hai người bắn trúng bia là 0,44 . Câu 175. Cách 1:
Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Khi đó: các bộ số có tổng bằng 10 và khác nhau là:
{( 0;1;9 ) ; ( 0; 2;8) ; ( 0;3; 7 ) ; ( 0; 4;6 ) ; (1; 2;7 ) ; (1;3;6 ) ; (1; 4; 5) ; ( 2;3;5)} . 55
56
Số phần tử của không gian mẫu là n ( Ω ) = 4.4 = 16 Gọi biến cố A = “Cú sút đó không vào lưới” Khi đó biến cố A = “Cú sút đó vào lưới”
( )
Số phần tử của n A là
Trường hợp 1: Cầu thủ sút vào vị trí 1 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại Cầu thủ có 1 cách sút Thủ môn có 3 cách bay Do đó, có 3 khả năng xảy ra Trường hợp 2: Cầu thủ sút vào vị trí 2 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại Cầu thủ có 1 cách sút Thủ môn có 3 cách bay Do đó, có 3 khả năng xảy ra Trường hợp 3: Cầu thủ sút vào vị trí 3 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại Cầu thủ có 1 cách sút Thủ môn có 3 cách bay Do đó, có 3 khả năng xảy ra Trường hợp 4: Cầu thủ sút vào vị trí 4 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại Cầu thủ có 1 cách sút Thủ môn có 3 cách bay Do đó, có 3 khả năng xảy ra Trường hợp 5: Cầu thủ sút vào vị trí 3 thủ môn bay vào vị trí 3 Cầu thủ có 1 cách sút Thủ môn có 1 cách bay Do đó, có 1 khả năng xảy ra Trường hợp 6: Cầu thủ sút vào vị trí 4 thủ môn bay vào vị trí 4 Cầu thủ có 1 cách sút Thủ môn có 1 cách bay Do đó, có 1 khả năng xảy ra Khi đó n A = 4.3 + 2.1 = 14 .
( )
( )
Xác suất xảy ra biến cố A là p A =
4.3 2.1 1 13 + . = (Do 2 trường hợp 5, 6 thì xác suất xảy ra 16 16 2 16
chỉ là 50%).
( )
Vậ y p ( A ) = 1 − p A = 1 −
13 3 = . 16 16
Cách 2: Gọi Ai là biến cố “cầu thủ sút phạt vào vị trí i ” Bi là biến cố “thủ môn bay người cản phá vào vị trí thứ i ” Và C là biến cố “Cú sút phạt không vào lưới” 1 Dễ thấy P ( Ai ) = P ( Bi ) = . 4 1 1 Ta có P ( C ) = P ( A1 ) P ( B1 ) + P ( A2 ) P ( B2 ) + P ( A3 ) P ( B3 ) + P ( A4 ) P ( B4 ) 2 2 2 2 2 2 3 1 1 11 11 = + + + = . 4 4 2 4 2 4 16
57
TOÁN 11
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
2
D. 22 + 42 + 62 + ⋯ + ( 2n ) =
1D3-1 PHẦN A. CÂU HỎI Câu 1.
Câu 7.
Với mối số nguyên dương n , đặt S = 12 + 22 + ... + n2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(2n + 1) A. S = . B. S = . 6 3 n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(2n + 1) C. S = . D. S = . 6 2
Câu 8.
Đặt Tn = 2 + 2 + 2 + ... + 2 (có n dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A ( n ) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: • Bước 1, kiểm tra mệnh đề A ( n ) đúng với n = p.
• Bước 2, giả thiết mệnh đề A ( n ) đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. Trogn hai bước trên: A. Chỉ có bước 1 đúng. B. Chỉ có bước 2 đúng. C. Cả hai bước đều đúng. D. Cả hai bước đều sai. Câu 2.
n
Cho S n = A. S3 =
Câu 6.
1 B. S2 = . 6
2 C. S2 = . 3
B. Sn =
n . n +1
C. S n =
n +1 . n+2
C. Tn = cos
.
π 2 n +1
.
D. Tn = 5 .
B. S n =
3n − 1 . 4n + 2
C. Sn =
n . 2n + 1
Câu 10. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n+1 > n2 + 3n. A. n ≥ 3 . B. n ≥ 5 . C. n ≥ 6 . Câu 11. Tổng S các góc trong của một đa giác lồi n cạnh, n ≥ 3 , là: A. S = n.180° . B. S = ( n − 2 ) .180° . C. S = ( n − 1) .180° . D. S = ( n − 3) .180° .
D. Sn =
n+2 . 6n + 3
D. n ≥ 4 .
2
B. S = n ( n + 2 ) .
C. S = n ( n + 1) .
D. S = 2n ( n + 1) .
Câu 13. Kí hiệu k ! = k ( k − 1) ...2.1, ∀k ∈ ℕ* . Với n ∈ ℕ* , đặt Sn = 1.1!+ 2.2!+ ... + n.n !. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Sn = 2.n ! . B. S n = ( n + 1)!− 1 . C. S n = ( n + 1)! . D. S n = ( n + 1)!+ 1 . 2
2
Câu 14. Với n ∈ ℕ* , đặt Tn = 12 + 22 + 32 + ... + ( 2n ) và M n = 22 + 42 + 62 + ... + ( 2n ) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? T T T T 4n + 1 4n + 1 8n + 1 2n + 1 A. n = . B. n = . C. n = . D. n = . M n 2n + 2 Mn n +1 Mn n +1 M n 2n + 1
n+2 . n+3
Câu 15. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để 2 n > 2n + 1 với mọi số nguyên n ≥ p . A. p = 5 . B. p = 3 . C. p = 4 . D. p = 2 .
1 1 1 Cho Pn = 1 − 2 1 − 2 ... 1 − 2 với n ≥ 2 và n ∈ ℕ. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 3 n n +1 n −1 n +1 n +1 A. P = B. P = C. P = D. P = . . . . n+2 2n n 2n
Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của n ∈ ℕ* sao cho 2n > n 2 . A. n ≥ 5 . B. n = 1 hoặc n ≥ 6 . C n ≥ 7 . D. n = 1 hoặc n ≥ 5 . 1 1 1 an + b + + ... + = Câu 17. Với mọi số nguyên dương n , ta có: , trong đó a, b, c là ( 3n − 1) ( 3n + 2 ) cn + 4 2.5 5.8 2 2 2 các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T = ab + bc + ca . A. T = 3 . B. T = 6 . C. T = 43 . D. T = 42 . 1 an + 2 1 1 Câu 18. Với mọi số nguyên dương n ≥ 2 , ta có: 1 − 1 − ... 1 − 2 = , trong đó a , b là các số 4 9 n bn + 4 nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T = a 2 + b 2 . A. P = 5 . B. P = 9 . C. P = 20 . D. P = 36 .
Với mọi n ∈ ℕ* , hệ thức nào sau đây là sai? n ( n + 1) A. 1 + 2 + ... + n = 2 B. 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) = n 2 . C. 12 + 22 + ... + n 2 =
n +1 . 2(2n + 1)
2
1 D. S3 = . 4
D. S n =
π 2 n +1
1 1 1 + + ... + ,với n ∈ ℕ* .Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1)
A. S = n ( n + 1) .
1 1 1 1 với n ∈ N* . Mệnh đề nào sau đây đúng? + + + ... + n. ( n + 1) 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
n −1 . n
B. Tn = 2 cos
Câu 12. Với n ∈ ℕ* , hãy rút gọn biểu thức S = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n ( 3n + 1) .
1 1 1 1 với n ∈ N* . Mệnh đề nào sau đây đúng? + + + ... + n. ( n + 1) 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
1 . 12
Cho S n = A. Sn =
Câu 5.
Đặt Sn = A. Sn =
8k +1 + 1 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi n ∈ ℕ* . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Học sinh trên chứng minh đúng. B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp. C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp. D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.
Câu 4.
Câu 9.
Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8 + 1 chia hết cho 7, ∀n ∈ ℕ '' (*) như sau:
• Ta có: 8k +1 + 1 = 8 ( 8k + 1) − 7 , kết hợp với giả thiết 8k + 1 chia hết cho 7 nên suy ra được
Câu 3.
A. Tn = 3 .
*
• Giả sử (*) đúng với n = k , tức là 8k + 1 chia hết cho 7.
2n ( n + 1)( 2n + 1) . 6
n ( n + 1)( 2n + 1) 6
1
2
1 2 3 n → dự đoán Sn = . Cách tự luận. Ta có S1 = , S2 = , S3 = 2 3 4 n +1 1 1 = : đúng. • Với n = 1 , ta được S1 = 1.2 1 + 1 1 1 1 k . • Giả sử mệnh đề đúng khi n = k ( k ≥ 1) , tức là + + ... + = 1.2 2.3 k ( k + 1) k + 1 1 1 1 k • Ta có + + ... + = 1.2 2.3 k ( k + 1) k + 1 1 1 1 1 k 1 ⇔ + + ... + + = + k ( k + 1) ( k + 1)( k + 2 ) k + 1 ( k + 1)( k + 2 ) 1.2 2.3
Câu 19. Biết rằng 13 + 23 + ... + n3 = an4 + bn3 + cn 2 + dn + e, ∀n ∈ ℕ* . Tính giá trị biểu thức M = a +b+c +d +e. 1 1 A. M = 4 . B. M = 1 . C. M = . D. M = . 4 2 Câu 20. Biết rằng mọi số nguyên dương n , ta có 1.2 + 2.3 + ... + n ( n + 1) = a1n 3 + b1n 2 + c1n + d1 và Tính giá trị biểu thức 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n ( 3n − 1) = a2 n3 + b2 n 2 + c2 n + d 2 . T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d 2 . 4 2 . D. T = . 3 3 Câu 21. Biết rằng 1k + 2 k + ... + n k , trong đó n, k là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau:
A. T = 2 .
B. T = 1 .
C. M =
1 1 1 1 k 2 + 2k + 1 + + ... + + = 1.2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1)( k + 2 ) ( k + 1)( k + 2 ) k +1 1 1 1 1 ⇔ + + ... + + = . Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 . k ( k + 1) ( k + 1)( k + 2 ) k + 2 1.2 2.3
2 n ( n + 1) n ( n + 1)( 2n + 1) n 2 ( n − 1) n ( n + 1)( 2n + 1) ( 3n 2 + 3n − 1) S1 = , S2 = , S3 = và S4 = . 2 6 4 30 Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là: A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
⇔
*
Câu 22. Với n ∈ ℕ , ta xét các mệnh đề P : "7 n + 5 chia hết cho 2" ; Q :"7 n + 5 chia hết cho 3" và Q :"7 n + 5 chia hết cho 6" . Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là : A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 .
Câu 5.
Câu 23. Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n ≥ 2 n −1 ”. Một học sinh đã trình bày lời giải bài toán này bằng các bước như sau: Bước 1: Với n = 1 , ta có: n ! = 1! = 1 và 2n−1 = 21−1 = 20 = 1 . Vậy n ! ≥ 2 n −1 đúng. Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1 , tức là ta có k ! ≥ 2 k −1 . Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 , nghĩa là phải chứng minh ( k + 1) ! ≥ 2k . k −1
k
n −1
Bước 3 : Ta có ( k + 1)! = ( k + 1) .k ! ≥ 2.2 = 2 . Vậy n! ≥ 2 Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ? A. Đúng. B. Sai từ bước 2. C. Sai từ bước 1.
với mọi số nguyên dương n . D. Sai từ bước 3.
1 1 1 an 2 + bn Câu 24. Biết rằng + + ... + = , trong đó a, b, c, d và n là các số n ( n + 1) ( n + 2 ) cn 2 + dn + 16 1.2.3 2.3.4 nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T = ( a + c )( b + d ) . là : B. T = 364 . C. T = 300 . D. T = 256 . A. T = 75 . PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu 1. Câu 2. Câu 3.
C. Chọn Chọn D. Thiếu bước 1 là kiểm tra với n = 1 , khi đó ta có 81 + 1 = 9 không chi hết cho 7. 1 1 1 Nhìn vào đuôi của Sn là = → cho n = 2 , ta được . n. ( n + 1) 2. ( 2 + 1) 2 ⋅ 3
1 1 2 + = . Chọn C. 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 1 2 3 Cách trắc nghiệm: Ta tính được S1 = , S2 = , S3 = . Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ hơn 2 3 4 mẫu đúng 1 đơn vị. Chọn B. Do đó với n = 2 , ta có S2 =
Câu 4.
3
Câu 6. Câu 7. Đáp án
1 3 → P2 = 1 − 2 = n = 2 2 4 Vì n ≥ 2 nên ta cho . 1 1 2 n = 3 → P3 = 1 − 2 . 1 − 2 = 2 3 3 Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa. Chọn D. Bẳng cách thử với n = 1 , n = 2 , n = 3 là ta kết luận được. Chọn
D.
C. Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng mọi n ∈ ℕ* , ta có n(n + 1)(2n + 1) đẳng thức 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = . 6 1(1 + 1)(2.1 + 1) = 1. - Bước 1: Với n = 1 thì vế trái bằng 12 = 1 , vế phải bằng 6 Vậy đẳng thức đúng với n = 1 . -Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1 , tức là chứng minh (k + 1) [( k + 1) + 1][ 2(k + 1) + 1] (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 2 2 2 2 2 = 1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1) = . 6 6 Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1 , tức là chứng minh (k + 1) [( k + 1) + 1][ 2(k + 1) + 1] (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = 12 + 22 + 32 + ... + k 2 + ( k + 1)2 = . 6 6 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có (k + 1)(k + 1)(2k + 1) + (k + 1) 2 . 12 + 22 + 32 + ... + k 2 + (k + 1) 2 = 6 k (k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)2 (k + 1)( k + 2)(2k + 3) (k + 1)(k + 1)(2k + 1) Mà + ( k + 1)2 = = . 6 6 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) Suy ra 12 + 22 + 32 + ... + k 2 + ( k + 1)2 = . 6 Do đó đẳng thức đúng với n = k + 1 . Suy ra có điều phải chứng minh. Vậy phương án đúng là C. Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của n. 4
+ Với n = 1 thì S = 12 = 1 (loại được các phương án B và D); + Với n = 2 thì S = 12 + 22 = 5 (loại được phương án A). Vậy phương án đúng là C.
Mặt khác 2k 2 + 6k − ( k 2 + 5k + 4 ) = k 2 + k − 4 ≥ 4 2 + 4 − 4 = 16 với mọi k ≥ 4. Do đó 2k + 2 > 2 ( k 2 + 3k ) > k 2 + 5k + 4 hay bất đẳng thức đúng với n = k + 1. Suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Vậy phương án đúng là D. B. Câu 11. Đáp án Cách 1: Từ tổng các góc trong tam giác bằng 180° và tổng các góc trong từ giác bằng 360° , chúng ta dự đoán được S = ( n − 2) .180° . Cách 2: Thử với những trường hợp đã biết để kiểm nghiệm tính đúng –sai từ các công thức. Cụ thể là với n = 3 thì S = 180° (loại luôn được các phương án A, C và D); với n = 4 thì S = 360° (kiểm nghiệm phương án B lần nữa). Câu 12. Đáp án A. Để chọn được S đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây: Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của n . Với n = 1 thì S = 1.4 = 4 (loại ngay được phương án B và C); với n = 2 thì S = 1.4 + 2.7 = 18 (loại được phương án D). Cách 2: Bằng cách tính S trong các trường hợp n = 1, S = 4; n = 2, S = 18; n = 3, S = 48 ta dự
Câu 8. Đáp án
B. Ta chứng minh Tn = 2 cos
π 2 n +1
Bước 1: Với n = 1 thì vế trái bằng
bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:
2 , còn vế phải bằng 2 cos
π 21+1
= 2 cos
π 4
= 2.
Vậy đẳng thức đúng với n = 1 . Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1 , nghĩa là Tk = 2 cos
π 2 k +1
.
Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1 , tức là chứng minh Tk +1 = 2 cos Thật vậy, vì Tk +1 = 2 + Tk nên theo giả thiết quy nạp ta có Tk +1 = 2 + Tk = 2 + 2 cos
π 2k + 2
π 2 k +1
.
.
π π π π π = 1 + cos 2. k + 2 = 2 cos 2 k + 2 nên Tk +1 = 2.2 cos 2 k + 2 = 2 cos k + 2 . 2k +1 2 2 2 2 Vậy phương án đúng là B. Mặt khác, 1 + cos
Câu 9. Đáp án
2
đoán được công thức S = n ( n + 1) . Cách 3: Ta tính S dựa vào các tổng đã biết kết quả như 1 + 2 + ... + n =
C. Cách 1: Rút gọn biểu thức Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.
12 + 22 + ... + n 2 =
1 1 1 1 Với mọi số nguyên dương k , ta có = − . (2k − 1)(2k + 1) 2 2k − 1 2k + 1
Câu 13.
1 1 1 1 1 1 1 1 n Do đó: Sn = 1 − + − + ... + . − = = 1 − 2 3 3 5 2n − 1 2n + 1 2 2 n + 1 2n + 1 Vậy phương án đúng là phương án C. Cách 2: Kiểm tra tính đúng – sai của phương án dựa vào một số giá trị cụ thể của n. 1 1 = (chưa loại được phương án nào); Với n = 1 thì S1 = 1.3 3 1 1 2 Với n = 2 thì S2 = + = (loại ngay được các phương án A,B và D. 1.3 3.5 5 Vậy phương án đúng là phương án C.
k +1) +1
n ( n + 1) ( 2n + 1) 2 . Ta có: S = 3 (12 + 22 + ... + n 2 ) + (1 + 2 + ... + n ) = n ( n + 1) . 6
Đáp án B. Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n . Với n = 1 thì S1 = 1.1! = 1 (Loại ngay được các phương án A, C, D). Cách 2: Rút gọn S n dựa vào việc phân tích phần tử đại diện k .k ! = ( k + 1 − 1) .k ! = ( k + 1) .k !− k ! = ( k + 1)!− k ! . Suy ra:
Sn = ( 2!− 1!) + ( 3!− 2!) + ... + ( ( n + 1) !− n !) = ( n + 1) !− 1 . Câu 14.
Câu 10. Đáp án D. Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp n = 1, 2,3, 4, ta dự đoán được 2n +1 > n 2 + 3n, với n ≥ 4. Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây: -Bước 1: Với n = 4 thì vế trái bằng 24 +1 = 25 = 32, còn vế phải bằng 42 + 3.4 = 28. Do 32 > 28 nên bất đẳng thức đúng với n = 4. -Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 4, nghĩa là 2k +1 > k 2 + 3k . Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh 2(
n ( n + 1) và 2
2
> ( k + 1) + 3 ( k + 1) hay 2k + 2 > k 2 + 5k + 4.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k +1 > k 2 + 3k . Suy ra 2.2 k +1 > 2 ( k 2 + 3k ) hay 2k + 2 > 2k 2 + 6k 5
Đáp án A. Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n . T 5 Với n = 1 thì T1 = 12 + 22 = 5; M 1 = 2 2 = 4 nên 1 = (loại ngay được các phương án B, C, D). M1 4 Cách 2: Chúng ta tính Tn , M n dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào ví dụ 1: 2n ( 2n + 1) ( 4n + 1) 2n ( n + 1)( 2n + 1) T 4n + 1 Tn = ;Mn = . Suy ra n = . M n 2n + 2 6 3
Câu 15.
Đáp án B. Dễ thấy p = 2 thì bất đẳng thức 2 p > 2 p + 1 là sai nên loại ngay phương án D. Xét với p = 3 ta thấy 2 p > 2 p + 1 là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng 2 n > 2n + 1 với mọi n ≥ 3 . Vậy p = 3 là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm. Câu 16. Đáp án D. 6
Kiểm tra với n = 1 ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và C. Kiểm tra với n = 1 ta thấy bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng 2n > n 2 , ∀n ≥ 5 . Câu 17. Đáp án B. 1 1 1 1 = − , chúng ta có: Cách 1: Với chú ý ( 3k − 1)( 3k + 2 ) 3 3k − 1 3k + 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + = − + − + ... + − ( 3n − 1)( 3n + 2 ) 3 2 5 5 8 2.5 5.8 3n − 1 3n + 2 1 3n n = . = . 3 2 ( 3n + 2 ) 6n + 4 Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có: a = 1, b = 0, c = 6 .
Câu 21.
Câu 22.
Suy ra T = ab 2 + bc 2 + ca 2 = 6 . a + b 1 2a + b 1 3 x + b 3 . = ; = ; = c = 4 10 2c + 4 8 3c + 4 22 2 2 Giải hệ phương trình trên ta được a = 1, b = 0, c = 6 . Suy ra T = ab + bc + ca 2 = 6
Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = 3 ta được:
Câu 18.
Đáp án
C.
Câu 23. Câu 24.
1 k −1 k +1 Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: 1 − 2 = . Suy ra . k k k 1 1 3 2 4 n − 1 n + 1 n + 1 2n + 2 1 1 . = = . 1 − 1 − ... 1 − 2 = . . . ... 4 9 n 2 2 3 3 n 2n 2n 4n 2 Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: a = 2, b = 4 . Suy ra P = a + b 2 = 20 . a + 1 3 3a + 2 2 Cách 2: Cho n = 2, n = 3 ta được = ; = . Giải hệ phương trình trren ta được b 4 3b 3 2 2 a = 2; b = 4 . Suy ra P = a + b = 20 . Câu 19. Đáp án B. 2
Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết: 13 + 23 + ... + n3 =
n2 ( n + 1) n 4 + 2n 3 + n 2 = . So sánh cách hệ số, 4 4
1 1 1 ta được a = ; b = ; c = ; d = e = 0 . 4 2 4 Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 , ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn a, b, c, d , e . Giải hệ 1 1 1 phương trình đó, ta tìm được a = ; b = ; c = ; d = e = 0 . Suy ra M = a + b + c + d + e = 1 . 4 2 4 Câu 20. Đáp án C. Cách 1: Sử dụng các tổng lũ y thừa bậc 1 và bậc 2 ta có: 1 2 +) 1.2 + 2.3 + ... + n ( n + 1) = (12 + 22 + ... + n 2 ) + (1 + 2 + ... + n ) = n3 + n 2 + n . 3 3 1 2 Suy ra a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = 0 . 3 3 +) 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n ( 3n − 1) = 3 (12 + 22 + ... + n 2 ) − (1 + 2 + ... + n ) = n3 + n 2 . Suy ra a2 = b2 = 1; c2 = d 2 = 0 . 4 Do đó T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d 2 = . 3
7
Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = 3, n = 4 và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được 1 2 a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = 0 ; a2 = b2 = 1; c2 = d 2 = 0 . 3 3 4 Do đó T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d 2 = . 3 Đáp án D. 2 n 2 ( n − 1) chúng ta thấy ngay được chỉ có S3 = là sai. 4 Đáp án A. Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng 7 n + 5 chia hết cho 6. Thật vậy: Với n = 1 thì 71 + 5 = 12⋮ 6 . Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 , nghĩa là 7 k + 5 chia hết ccho 6. Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 , nghĩa là phỉa chứng minh 7 k +1 + 5 chia hết cho 6. Ta có: 7 k +1 + 5 = 7 ( 7 k + 5 ) − 30 . Theo giả thiết quy nạp thì 7 k + 5 chia hết cho 6 nên 7 k +1 + 5 = 7 ( 7 k + 5 ) − 30 cũng chia hết cho 6. Vậy 7 n + 5 chia hết cho 6 với mọi n ≥ 1 . Do đó các mệnh đề P và Q cũng đúng. Đáp án A. Đáp án C. 1 1 1 1 Phân tích phần tử đại diện, ta có: . = − k ( k + 1) ( k + 2 ) 2 k ( k + 1) ( k + 1) ( k + 2 ) 1 1 1 + + ... + Suy ra: n ( n + 1)( n + 2 ) 1.2.3 2.3.4 1 1 1 1 1 1 1 = − + −. + ... + − n ( n + 1) ( n + 1)( n + 2 ) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 2 n 2 + 6n n 2 + 3n 1 1 1 = = . = − 2 2 ( n + 1) ( n + 2 ) 4n 2 + 12n + 8 8n2 + 24n + 16 Đối chiếu với hệ số, ta được: a = 2; b = 6; c = 8; d = 24 . Suy ra: T = ( a + c )( b + d ) = 300 .
8
TOÁN 11
Câu 6.
DÃY SỐ
Cho dãy số có các số hạng đầu là: −1;1; −1;1; −1;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng B. un = −1 .
A. un =1.
1D3-2 Câu 7.
MỤC LỤC DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT ............................................................................ 1
Câu 8.
A. u n = Câu 9.
DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT ............................................................................ 8
DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI .............................................................................................. 17
Câu 10.
DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT
Câu 11.
(THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số
Câu 3.
Câu 5.
u10 = 97
B.
u10 = 71
C.
u10 =1414
D.
un = 5(n−1) .
B.
un = 5n.
C.
un = 5 + n .
D.
Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29, 36, ... .Số hạng tổng quát của dãy số này là: A.
un = 7n + 7 .
B.
un = 7.n .
C.
un = 7.n +1.
D.
un : Không viết được dưới dạng công thức.
Câu 13.
B. u n =
n . n +1
n −1 . n
2n
D. un = n .
C. u n = 1 + ( − 1) .
B. un không xác định. D.
un = −n với mọi n.
u1 = 1
Cho dãy số ( un ) với
2 u n +1 = u n + n
n ( n +1)( 2n +1)
6 n ( n −1)( 2n −1) 6
. Số hạng tổng quát
un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
.
B. un = 1 +
.
D. un = 1 +
n ( n −1)( 2n + 2)
6 n ( n + 1)( 2n − 2)
6
. .
u1 = 2 Cho dãy số ( un ) với un +1 − un = 2n − 1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới
2
C. u n =
un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
( n − 1) n . 2 ( n + 1)( n + 2 ) D. u n = 5 + . 2
B. un = 1− n .
A. u n = 2 + ( n − 1) .
1 2 3 4 2 3 4 5
n +1 . n
.Số hạng tổng quát
đây?
Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;... .Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. u n =
=5
B. u n = 5 +
un = 1− n .
C. un = 1+
un = 5.n +1.
D. un = ( −2) + 2 ( n −1) .
u1 = 1 un của dãy số là số hạng nào dưới Cho dãy số ( un ) với 2 n +1 . Số hạng tổng quát un+1 = un + ( −1) đây?
A. un = 1+
u10 = 971
Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25; ... Số hạng tổng quát của dãy số này là: A.
Câu 4.
Câu 12.
C. un = (− 2)(n +1) .
u1 = 1 un của dãy số là số hạng nào dưới Cho dãy số ( un ) với 2 n . Số hạng tổng quát un+1 = un + ( −1) đây?
C.
Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: − 1, 3,19, 53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
1
u n +1 = u n + n
A. un = 2 − n .
1 3 2 5 , , , ,... . Công thức tổng quát un nào là của dãy số đã cho? 2 5 3 7 n n n +1 2n A. u n = C. u n = ∀ n ∈ ℕ * . D. u n = ∀n ∈ ℕ * . ∀ n ∈ ℕ * . B. u n = n ∀ n ∈ ℕ * . n +1 2 n+3 2n + 1
A.
(un ) với u
A. un = 1 + n .
PHẦN A. CÂU HỎI
Câu 2.
Cho dãy số
( n − 1) n . 2 ( n + 1) n C. u n = 5 + . 2
DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM ................................................................................................................ 15
.
1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là? 3 32 33 3 4 35 1 1 1 B. u n = n +1 . C. u n = n . D. u n = n −1 . 3 3 3
A. u n =
DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ............................................................................................................... 13
Câu 1.
B. un = (− 2) + n .
1 1 . 3 3 n +1
DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI ................................................................................................ 6 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 8
n +1
Cho dãy số có các số hạng đầu là:
DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ................................................................................................................. 4 DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM .................................................................................................................. 5
D. un = ( −1)
Cho dãy số có các số hạng đầu là: − 2; 0; 2; 4; 6;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? A. un = −2n .
PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1
n C. un = (−1) .
D. un =
n2 − n . n +1
Câu 14.
1
2
B. un = 2 + n .
2
C. u n = 2 + ( n + 1) .
2
D. un = 2 − ( n − 1) .
u1 = −2 Cho dãy số ( un ) với 1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un +1 = −2 − u n 2
A. un = −
Câu 15.
B. un =
1 + 2 ( n − 1) . 2
B. un =
n
1 − 2 ( n − 1) . 2
1 B. un = ( −1) . 2
n +1 . n
D. un = −
Câu 23.
n . n +1
C. un =
1 − 2n . 2
D. un =
Cho dãy số ( un )
Cho dãy số ( un )
A. un = −2 n −1 .
n +1
.
1 C. un = 2
n −1
1 + 2n . 2
.
1 D. un = ( −1) . 2
B. un = 2n .
C. u n = 2 n +1 .
Câu 24.
Câu 25.
n −1
.
Câu 26.
D. un = 2 .
Câu 22.
un +1 =
Câu 28.
A.
4036 . 4035
4035 . 4034
C.
4038 . 4037
D.
1 . 2
B. 7 .
C. 6 .
D. 4 .
B. 32 n−1 − 1 .
C. 32 n − 1 .
D. 32.3n − 1 . n
(Chuyên Phan Bội Châu-lần 1-2018-2019) Cho dãy số (un ) xác định bởi un = (−1) cos ( nπ ) . B. − 1 .
C. 1.
D. −99 .
an (a: hằng số). un +1 là số hạng nào sau đây? n +1 2 a. ( n + 1) an 2 a.n2 + 1 . C. un +1 = B. un +1 = . D. un +1 = . n +1 n +1 n+2
Câu 29. Cho dãy số ( un ) với un = 2
A. un +1 = Câu 30.
Câu 31.
a. ( n + 1) . n+2
(Phát triển đề minh hoạ 2019-Đề 8) Cho dãy số ( un ) với un = 2n + 1 số hạng thứ 2019 của dãy là A. 4039 . B. 4390 . C. 4930 . D. 4093 .
Cho dãy số ( un ) với un = 1 + 2 n. Khi đó số hạng u2018 bằng A. 22018 .
Câu 32.
D. 2019 .
D.
C. 0 .
2
2 và 3
Câu 33.
1 . 10
3
C. 1 + 2 2018 .
n−2 , n ≥ 1. Tìm khẳng định sai. 3n + 1 8 19 B. u10 = . C. u21 = . 31 64
D. 2018 + 2 2018 .
D. u50 =
47 . 150
n 2 + 2n − 1 . Tính u11 . n +1 1422 71 C. u11 = . D. u11 = . 12 6
(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho dãy số un = A. u11 =
4036 . 4037
B. 2017 + 2 2017 .
Cho dãy số ( un ) với un = A. u3 =
)
B.
3 . 5
(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho dãy số ( un ) với un = 3n . Khi đó số hạng u2 n −1 bằng
Giá trị u99 bằng A. 99 .
un , n ∈ ℕ* . Tính tổng 2018 số hạng đầu tiên của dãy số đó? 2 ( 2 n + 1) un + 1
(
n (với n∈ ℕ* ). n2 + 1
Cho dãy số ( un ) có un = −n 2 + n + 1 . Số −19 là số hạng thứ mấy của dãy?
A. 3n.3n−1 .
, n ≥ 1 . Tính tổng S = u1 + u 2 + ... + u20184 −1
(SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho dãy số ( u n ) được xác định bởi u1 =
B.
A. 5 . Câu 27.
(THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Cho dãy số {un } xác định bởi 4 3 n + 4 n3 + n2 + 4 n3 + 2n 2 + n + 4 n3 + 3n 2 + 3n + 1 . A. 2016 . B. 2017 . C. 2018 .
2 3 D. 1; ; . 3 7
(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un = 1 − A. 2 .
u = 1 Câu 20. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho dãy số ( u n ) xác định bởi 1 un +1 = u n + 2 n + 1, n ≥ 1 . Giá trị của n để −un + 2017n + 2018 = 0 là A. Không có n . B. 1009 . C. 2018 . D. 2017 .
1
1 2 3 ; ; . 2 3 4
Số hạng đầu tiên của dãy là:
1 u = với 1 2 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này: un+1 = 2un −1 −1 B. un = n −1 . C. un = n . D. un = 2n −2 . 2 2
un =
n . Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 2n − 1 1 1 1 1 B. 1; ; C. 1; ; 2 16 4 8
Cho dãy số ( un ) , biết un =
A.
Câu 19. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018) Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 = 1 . Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho un − 1 ≥ 2039190 . 3 * un +1 = un + n , ∀n ∈ ℕ A. n = 2017 . B. n = 2019 . C. n = 2020 . D. n = 2018 .
Câu 21.
Cho hai cấp số cộng (un ) :1; 6;11;... và (vn ) : 4; 7;10;... Mỗi cấp số có 2018 số. Hỏi có bao nhiêu số có mặt trong cả hai dãy số trên. A. 403 . B. 401 . C. 402 . D. 504 . DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ
u1 = 2 với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này: un+1 = 2un
A. u n = n n −1 . Câu 18.
C. un = −
u1 = −1 Cho dãy số ( un ) với un . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un +1 = 2 1 A. un = ( −1) . . 2
Câu 17.
n +1 . n
1 u = Cho dãy số ( un ) với 1 2 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un +1 = un − 2
A. un =
Câu 16.
n −1 . n
182 . 12
B. u11 =
1142 . 12
4
Câu 34.
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho dãy số ( un ) xác định bởi
k ( k : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? 3n k k A. Số hạng thứ 5 của dãy số là 5 . B. Số hạng thứ n của dãy số là n +1 . 3 3 C. Là dãy số giảm khi k > 0 . D. Là dãy số tăng khi k > 0 .
Câu 43. Cho dãy số ( un ) với un =
nπ nπ un = 2017 sin + 2018 cos . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 3 A. un +9 = un , ∀n ∈ ℕ* . B. un +15 = un , ∀n ∈ ℕ* .
C. un +12 = u n , ∀n ∈ ℕ* . Câu 35.
Cho dãy số ( u n )
B. 19 .
Cho dãy số ( u n )
C. 22 .
A. Dãy số có un +1 =
D. 21 .
B. 3 .
C. 2 .
C. 9 .
C. 51,1.
D. 10 .
Câu 46.
2n −1 + 1 . Tìm n
D. 102,3 .
Câu 47.
Câu 40. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số ( un ) bởi công thức truy hồi sau
C. 23871 .
A. un +1 =
D. 23436 . Câu 49.
C. Hiệu un +1 − un = ( a − 1) .
Câu 50.
a −1 ( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? n2
B. Hiệu un +1 − un = (1 − a ) . 2n − 1
( n + 1)
2
n2
.
B. U n = n + 2 − n + 1 .
C. U n = 1 .
D. U n = 6n .
Cho dãy số ( un ) có un = − n 2 + n + 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
2n − 1
( n + 1)
2
n2
C. un = n2 .
D. un = n + 2 .
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm A. un =
B. Hiệu số un +1 − un = 3.a . D. Với a < 0 thì dãy số giảm.
a −1 . (n + 1) 2
Dãy số (U n ) có số hạng tổng quát nào sau đây là dãy giảm?
A. 5 số hạng đầu của dãy là: −1;1;5; −5; −11; −19 . B. u n +1 = −n 2 + n + 2 . C. u n −1 − u n = 1 . D. Là một dãy số giảm.
Câu 41. Cho dãy số ( un ) với un = a.3n ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 42. Cho dãy số ( un ) với un =
)
A. U n = 1 + 2n .
quát u n sau, dãy số nào là dãy số giảm? 1 3n − 1 A. un = n . B. un = . 2 n +1
DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
A. Dãy số có un+1 = a.3n +1 . C. Với a > 0 thì dãy số tăng
.
Câu 48. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số ( u n ) cho bởi số hạng tổng
u1 = 0 ; u218 nhận giá trị nào sau đây? u n +1 = u n + n; n ≥ 1
B. 46872 .
2
D. Là dãy số giảm.
(
u1 = 4 Câu 39. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số . Tìm số un +1 = un + n hạng thứ 5 của dãy số. B. 12 . C. 15 . D. 14 . A. 16 .
A. 23653 .
a −1
( n + 1)
an ( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai? n +1 2 a. n 2 + 3n + 1 a. ( n + 1) A. un +1 = . B. un +1 − un = . n+2 ( n + 2)(n + 1) C. Là dãy số luôn tăng với mọi a . D. Là dãy số tăng với a > 0 .
Câu 38. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số ( un ) thỏa mãn un = số hạng thứ 10 của dãy số đã cho. A. 51, 2 . B. 51,3 .
B. Dãy số có : un +1 =
Câu 45. Cho dãy số ( un ) với un =
D. 4 .
u1 = 5 . Số 20 là số hạng thứ mấy trong dãy? un+1 = un + n B. 6 .
a −1 . n2 + 1 2
Cho dãy số ( un ) :
A. 5 .
a −1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? n2
C. Là dãy số tăng.
có u1 = u2 = 1 và un + 2 = un +1 + un , ∀n ∈ ℕ * . Tính u4 .
A. 5 . Câu 37.
Câu 44. Cho dãy số ( un ) với un =
2n + 1 39 có số hạng tổng quát là un = 2 . Khi đó là số hạng thứ mấy của dãy n +1 362
số? A. 20 .
Câu 36.
D. un + 6 = u n , ∀n ∈ ℕ* .
n−3 . n +1
B. un =
n . 2
C. un =
2 . n2
D. un =
( −1)
n
3
n
.
(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Dãy số nào sau đây là dãy số giảm? 5 − 3n n−5 , ( n ∈ ℕ *) . , ( n ∈ ℕ *) . A. un = B. un = 2n + 3 4n + 1 3 C. un = 2n + 3, ( n ∈ ℕ *) . D. un = cos ( 2n + 1) , ( n ∈ ℕ *) .
Câu 51. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm? 2n + 1 A. un = . B. un = n3 − 1 . C. un = n2 . D. un = 2n . n −1
.
D. Dãy số tăng khi a < 1 .
DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI
5
6
Câu 52.
Cho dãy số ( un ) với un =
( −1)
n −1
C. Dãy số ( un ) là một dãy số giảm. Câu 53. Cho dãy số ( un ) với un = A. un +1 =
D. Số hạng thứ 10 của dãy số là
−1
( n + 1)
C. Là dãy số tăng. D. Năm số hạng đầu của dãy là:
−1 . 11
Câu 60.
−1 . Khẳng định nào sau đây là sai? n2 + 1
B. un > un +1 .
. +1 C. Đây là một dãy số tăng.
Câu 54.
B. Năm số hạng đầu của dãy là:
. Khẳng định nào sau đây là sai? n +1 1 A. Số hạng thứ 9 của dãy số là . B. Dãy số ( un ) bị chặn. 10
2
Cho dãy số ( un ) với un = sin
D. Bị chặn dưới.
π n +1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số hạng thứ n + 1 của dãy: un+1 = sin C. Đây là một dãy số tăng.
π n+2
Câu 61.
Câu 57.
B. Dãy ( un ) bị chặn.
B. không tăng, không giảm. D. không bị chặn.
C. Dãy ( un ) không bị chặn trên, không bị chặn dưới. D. Dãy ( un ) bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới
n là dãy số n +1
Xét các câu sau Dãy 1, 2,3,..., n,... là dãy bị chặn.
Câu 62.
Trong các dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un dưới đây, dãy số nào là dãy bị chặn? n 2 A. un = n 2 + 2 . B. un = . C. un = 3n − 1 . D. un = n + . 2n + 1 n
Câu 63.
Cho dãy số ( u n ) với un = 2 + 51−n . Kết luận nào sau đây là đúng? A. Dãy số không đơn điệu. B. Dãy số giảm và không bị chặn. C. Dãy số tăng. D. Dãy số giảm và bị chặn.
Câu 64.
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số bị chặn? 2n + 1 A. un = . B. un = 2n + sin ( n ) . C. un = n 2 . D. un = n3 − 1 . n +1
(1)
1 1 1 1 Dãy 1, , , ,..., ,... là dãy bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới. 3 5 7 2n − 1 A. Chỉ có ( 2 ) đúng. B. Chỉ có (1) đúng. C. Cả hai câu đều đúng. D. Cả hai câu đều sai.
(2)
Câu 65. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Chọn kết luận sai: 1 A. Dãy số (2n −1) tăng và bị chặn trên. B. Dãy số n +1 giảm và bị chặn dưới. 1 1 C. Dãy số − tăng và bị chặn trên. D. Dãy số n giảm và bị chặn dưới. n 3.2
1 .Khẳng định nào sau đây là sai? n2 + n 1 1 1 1 1 A. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; ; 2 6 12 20 30 B. Là dãy số tăng. 1 C. Bị chặn trên bởi số M = . 2 D. Không bị chặn.
Câu 58. Cho dãy số ( un ) với un =
Câu 59. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Cho dãy số ( u n ) A. Là dãy số không bị chặn.
n + 2018 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. 2018n + 1 bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên
Cho dãy ( un ) với un =
D. Dãy số không tăng không giảm.
(−1) n −1 . Khẳng định nào sau đây là sai? n +1 1 −1 A. Số hạng thứ 9 của dãy số là . B. Số hạng thứ 10 của dãy số là . 10 11 C. Đây là một dãy số giảm. D. Bị chặn trên bởi số M = 1 .
A. tăng. C. giảm.
−1 .Khẳng định nào sau đây là sai? n −1 −1 −1 −1 A. Năm số hạng đầu của dãy là: − 1; ; ; ; 2 3 4 5 . B. Bị chặn trên bởi số M = −1 . C. Bị chặn trên bởi số M = 0 . D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m M = −1 .
A. Dãy ( un )
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Dãy số ( un ) có un =
−1 −2 −3 −4 −5 ; ; ; ; . 2 3 4 5 6
Cho dãy số ( un ) với un =
B. Dãy số bị chặn.
Câu 55. Cho dãy số ( un ) với un =
Câu 56.
−1 −2 −3 −5 −5 ; ; ; ; . 2 3 4 5 6
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
−n với un = . Khẳng định nào sau đây đúng? n +1
DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT 2 3 4 5 Viết lại dãy số: , , , ,... 4 5 6 7 n +1 ⇒ un = ∀n ∈ ℕ ∗ . n+3
Câu 2. Hướng dẫn giải: 7
8
Chọn A. Xét dãy (un ) có dạng: un = an3 + bn2 + cn + d
Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: 1 2 3 4 5 n Các số hạng đầu của dãy là ( −1) ; ( −1) ; ( −1) ; ( −1) ; ( −1) ;... ⇒ un = ( −1) .
a + b + c + d = −1 8a + 4b + 2c + d = 3 Ta có hệ: 27a + 9b + 3c + d = 19 64a + 16b + 4c + d = 53 Giải hệ trên ta tìm được: a = 1, b = 0, c = −3, d = 1
Câu 7. Hướng dẫn giải Chọn D. Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là
⇒ un = n3 − 3n + 1 là một quy luật. Số hạng thứ 10: u10 = 971 .
Chọn
Hướng dẫn giải
Hướng dẫn giải Chọn
Câu 6.
Suy ra un =
n . n +1
B.
Ta có un = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n − 1 = 5 +
Câu 10.
Chọn
n ( n − 1)
. 2 D. 2n = un + ( −1) = u n + 1 ⇒ u 2 = 2; u3 = 3; u4 = 4;...
u Ta có: n +1 Dễ dàng dự đoán được un = n . Thật vậy, ta chứng minh được un = n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau:
Hướng dẫn giải
+ Với n = 1 ⇒ u1 = 1 . Vậy (*) đúng với n = 1 + Giả sử (*) đúng với mọi n = k ( k ∈ ℕ* ) , ta có: uk = k . Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1 , tức là: uk +1 = k + 1
+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số ( u n ) ta có: uk +1 = u k + ( −1)
2k
= k + 1 . Vậy (*) đúng với
mọi n ∈ ℕ* . Câu 11. Chọn A. Ta có: u2 = 0; u3 = −1; u4 = −2 ,. Dễ dàng dự đoán được un = 2 − n . Câu 12. Chọn C. u1 = 1 2 u2 = u1 + 1 Ta có: u3 = u2 + 22 . ... u = u + ( n − 1)2 n −1 n
Hướng dẫn giải B.
1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ;... nên un = n . 31 32 33 34 35 3
Câu 9.
Câu 5. Chọn Ta có: 0 0= 0 +1 1 1 = 2 1+1 2 2 = 3 2 +1 3 3 = 4 3 +1 4 4 = 5 4 +1
Hướng dẫn giải
C.
5 số hạng đầu là
Câu 4. Chọn C. Ta có: 8 = 7.1 + 1 15 = 7.2 + 1 22 = 7.3 + 1 29 = 7.4 + 1 36 = 7.5 + 1 Suy ra số hạng tổng quát un = 7n + 1 .
nên
Câu 8.
Câu 3. Chọn B. Ta có: 5 = 5.1 10 = 5.2 15 = 5.3 20 = 5.4 25 = 5.5 Suy ra số hạng tổng quát un = 5n .
( −2)
un = ( −2 ) + 2. ( n − 1) .
2
Cộng hai vế ta được un = 1 + 12 + 2 2 + ... + ( n − 1) = 1 +
Câu 13.
9
Chọn
n ( n − 1)( 2n − 1) 6
A.
10
Ta có:
Câu 14.
Chọn Ta có:
Câu 15.
Chọn
Ta có:
Câu 16.
Chọn
Ta có:
Câu 19.
u1 = 2 u = u + 1 1 2 2 . Cộng hai vế ta được un = 2 + 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 3) = 2 + ( n − 1) u3 = u2 + 3 ... un = un −1 + 2n − 3 C. 3 4 5 n +1 u1 = − ; u2 = − ; u3 = − ;... Dễ dàng dự đoán được un = − . 2 3 4 n B. 1 u1 = 2 u2 = u1 − 2 1 1 u3 = u2 − 2 . Cộng hai vế ta được un = − 2 − 2... − 2 = − 2 ( n − 1) . 2 2 ... un = un −1 − 2 D. u1 = −1 u2 = u1 2 u2 . u3 = 2 ... un = un −1 2
Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un = ( −1) .
u1.u2 .u3 ...un −1 1 1 ⇔ un = ( −1) . n −1 = ( −1) . 2.2.2...2 2 2
Lại có 13 + 23 + ... + (n − 1)3 = (1 + 2 + ... + (n − 1)) 2 =
(n − 1) 2 n 2 . 4
n 2 (n − 1)2 n(n − 1) ⇒ un − 1 = . 4 2 Sử dụng mode 7 cho n chạy từ 2017 đến 2020 , ta được kết quả n = 2020 . Câu 20. Với n = 1 ta có: u2 = u1 + 3 = 4 = 2 2 . Suy ra: un = 1 +
Với n = 2 ta có: u3 = u2 + 2.2 + 1 = 9 = 32 . Với n = 3 ta có: u4 = u3 + 2.3 + 1 = 16 = 4 2 . Từ đó ta có: un = n 2 .
n = −1( L ) Suy ra −un + 2017n + 2018 = 0 ⇔ − n 2 + 2017 n + 2018 = 0 ⇔ . n = 2018 ( N ) 1 Câu 21. Ta có: un = 3 4 3 4 4 n + n . n + 1 + n . n + 1 + 4 ( n + 1) 1
= n =
=
=
(
4
)
n + 4 n + 1 + n + 1.
(
4
n + 4 n +1
)
1
( 4
4
n + 4 n +1
)(
n + n +1
)
n +1 − n n + 4 n +1
(
)(
n +1 − n .
4
n +1 − 4 n
)
n +1 − n = 4 n +1 − 4 n .
n −1
Do đó S = 4 2 − 4 1 + 4 3 − 4 2 + ... + 4 20184 − 1 + 1 − 4 20184 − 1
n −1 lan
Câu 17.
Theo hệ thức đã cho ta có: un = un−1 + (n − 1)3 = un−2 + (n − 2)3 + ( n − 1)3 = ... = u1 + 13 + 23 + ... + (n − 1)3 .
Chọn
B. u1 = 2 u = 2u 1 2 Ta có: u3 = 2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un = 2.2 n −1.u1.u2 ...u n −1 ⇔ un = 2 n ... un = 2un −1 Câu 18. Chọn D. 1 u1 = 2 u2 = 2u1 1 Ta có: u3 = 2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un = .2n−1.u1.u2 ...un−1 ⇔ un = 2n−2 2 ... un = 2un −1
= −1 + 4 20184 = −1 + 2018 = 2017 . 2 ( 2n + 1) un + 1 1 1 1 = + 4n + 2 = Câu 22. - Ta có: = + 4 ( n − 1) + 2 + 4n + 2 un un +1 un u n −1 Tương tự ta đươc: 1 1 3 4n 2 + 8n + 3 = + ( 4.1 + 2 ) + ( 4.2 + 2 ) + ... + ( 4n + 2) = + 2n + 2n ( n + 1) = un+1 u1 2 2 2 2 ⇒ un +1 = 2 = 4n + 8n + 3 ( 2n + 1)( 2 n + 3) ⇒ un =
2
( 2n − 1)( 2n + 1)
=
1 1 − 2n − 1 2n + 1
2018 1 2n 4036 ⇒ ∑ uk = = . 2n + 1 2 n + 1 4037 k =1 k =1 Câu 23. Đáp án. A. Dãy (un ) có số hạng tổng quát là un = 1 + 5( n −1) = 5n − 4, n
⇒ ∑ uk = 1 −
11
(1 ≤ n ≤ 2018) . 12
Dãy (vm ) có số hạng tổng quát là vm = 4 + 3(m −1) = 3m +1, (1 ≤ m ≤ 2018) .
1 ≤ m, n ≤ 2018 Một số có mặt trong cả hai dãy số trên nếu tồn ại m, n ∈ ℕ thỏa mãn điều kiện: . um = un (*) Ta có (*) ⇔ 5n − 4 = 3m +1 ⇔ 5( n −1) = 3m (**) Từ (**) suy ra m⋮ 5 , mặt khác 1 ≤ m ≤ 2018 nên ta được tập các giá trị của m là {5;10;...; 2015} . 3.2015 Xét với m = 2015 thì n = + 1 = 1210 < 2018 , thỏa điều kiện 1 ≤ n ≤ 2018 . 5 Do tập {5;10;...; 2015} có 403 số nên có tất cả 403 số có mặt trong cả hai dãy đã cho.
Ta có: u11 =
Câu 34.
Chọn C
112 + 2.11 − 1 71 = . 11 + 1 6
( n + 12 ) π ( n + 12 ) π Ta có: un +12 = 2017sin + 2018cos 2 3 nπ nπ = 2017 sin + 6π + 2018cos + 4π 2 3 nπ nπ = u , ∀ n ∈ ℕ* . = 2017 sin + 2018 cos n 2 3 Câu 35. Lời giải Chọn B
DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ Câu 24. Chọn D. 2 3 u1 = 1, u2 = , u3 = . 3 7 Câu 25. Chọn D 1 1 Ta có u1 = 1 − 2 = . 1 +1 2
Câu 26.
Ta có
Câu 36. Chọn B Ta có u3 = u2 + u1 = 2 .
Chọn A Giả sử un = −19 , ( n ∈ ℕ* ) .
Câu 37.
Vậy số 20 là số hạng thứ 6 . Cách 2: Dựa vào công thức truy hồi ta có
u1 = 5
Vậy số −19 là số hạng thứ 5 của dãy. Câu 27. Chọn A un = 3n ⇒ u2 n −1 = 32 n −1 = 3n.3n −1 Câu 28. Chọn C 99 Ta có: u99 = (−1) cos (99π ) = − cos (98π + π ) = − cos (π ) = 1. Câu 29. Hướng dẫn giải Chọn A.
u2 = 5 + 1 u3 = 5 + 1 + 2 u4 = 5 + 1 + 2 + 3 ..... ⇒ un = 5 + 1 + 2 + ... + n − 1 = 5 +
2
a. ( n + 1) a ( n + 1) = . ( n + 1) + 1 ( n + 2 )2 Chọn A. Ta có: u2019 = 2.2019 + 1 = 4039 . Chọn C Ta có u2018 = 1 + 2 2018. Chọn D 50 − 2 48 Ta có: u50 = = . 3.50 + 1 151 Chọn D
⇒ 20 = 5 +
Ta có un +1 =
Câu 30. Câu 31. Câu 32.
Câu 33.
u 4 = u3 + u 2 = 3 . Chọn B Cách 1:
u1 = 5, u2 = 6, u3 = 8, u4 = 11, u5 = 15, u6 = 20
Suy ra − n 2 + n + 1 = −19 ⇔ − n 2 + n + 20 = 0 n = 5 . ⇔ n = −4 ( l )
2
n = 19 2n + 1 39 = , do n ∈ ℕ* nên n = 19 . ⇔ 39n2 − 724n − 323 = 0 ⇔ 2 n = − 17 n + 1 362 39
n ( n − 1) 2
n ( n − 1) n = 6 ( n ∈ ℕ *) ⇔ n 2 − n − 30 = 0 ⇔ 2 n = −5(lo¹i)
Vậy 20 là số hạng thứ 6 . Cách 3: Sử dụng máy tính CASIO fx – 570VN PLUS 1 SHIFT STO A 5 SHIFT STO B Ghi vào màn hình C = B + A: A = A + 1: B = C Ấn CALC và lặp lại phím = Ta tìm được số 20 là số hạng thứ 6 210−1 + 1 Câu 38. Ta có: u10 = = 51,3 . 10 13
14
Câu 39. Câu 40.
Ta có u2 = u1 + 1 = 5 ; u3 = u2 + 2 = 7 ; u4 = u3 + 3 = 10 . Do đó số hạng thứ 5 của dãy số là u5 = u4 + 4 = 14 .
U n = n + 2 − n + 1 ⇒ U n +1 = n + 3 − n + 2 ⇒
Đặt vn = un +1 − un = n , suy ra ( vn ) là một câp số cộng với số hạng đầu v1 = u2 − u1 = 1 và công sai d =1. Xét tổng S217 = v1 + v2 + ... + v217 .
Ta có S217 = v1 + v2 + ... + v217 = Mà vn = un +1 − un suy ra S 217
217. ( v1 + v217 )
2 un +1 − un = − ( n + 1) + n + 1 + 1 − −n 2 + n + 1 = −n 2 − 2n − 1 + n + 2 + n 2 − n − 1 = −2n < 0 ∀n ≥ 1 Do đó ( un ) là một dãy giảm.
⇒ u218 = S 217 + u1 = 23653 .
Hướng dẫn giải
Hướng dẫn giải
B.
1 −2n − 1 1 2n + 1 Ta có un +1 − un = ( a − 1) . . − = ( a − 1) . 2 = (1 − a ) . 2 2 2 ( n + 1)2 n 2 n n + n 1 ( ) ( n + 1)
Câu 49.
Xét A:
Ta có un = Chọn
Hướng dẫn giải
B.
2 2 , un +1 = 2 n2 ( n + 1)
Xét D: −1 1 −1 Ta có u1 = ; u2 = ; u3 = . Vậy ( u n ) là dãy số không tăng không giảm. 3 9 27 5 − 3 ( n + 1) 5 − 3n 2 − 3n 5 − 3n 5 − 3n − Câu 50. Xét un = = − , ( n ∈ ℕ *) , ta có un +1 − un = 2 ( n + 1) + 3 2n + 3 2n + 5 2n + 3 2n + 3
Hướng dẫn giải
Chọn
=
Câu 45. Hướng dẫn giải Chọn C. Chọn a = 0 thì un = 0 ,dãy ( un ) không tăng, không giảm.
=
( 2 − 3n )( 2n + 3) − ( 2n + 5)( 5 − 3n ) ( 2n + 5)( 2n + 3) −19
( 2n + 5)( 2n + 3)
=
4n − 6n2 + 6 − 9n − 10n + 6n 2 − 25 + 15n ( 2n + 5)( 2n + 3)
< 0, ∀n ∈ ℕ * .
5 − 3n , ( n ∈ ℕ *) là dãy giảm. 2n + 3 Câu 51. Với mọi n ∈ ℕ , n > 1 . Ta có 2 ( n + 1) + 1 2n + 1 2n + 3 2n + 1 un +1 − un = − = − n n −1 ( n + 1) − 1 n − 1 V ậ y un =
Câu 46. Chọn B Ta có U n = 1 + 2n ⇒ U n +1 = 1 + 2(n + 1) ⇒ U n +1 − U n = 2 > 0 suy ra là dãy tăng.
U n = 1 là dãy số không đổi. U n = 6n ⇒ U n +1 = 6n +1 ⇒
n −3 n−2 n−2 n−3 4 ; un +1 = . Khi đó: un +1 − u n = − = > 0 ∀n ∈ ℕ n + 2 n + 1 ( n + 1)( n + 2 ) n +1 n+2
u n +1 n2 n2 = < 2 = 1, ∀n ∈ ℕ ∗ . Vậy ( un ) là dãy giảm. 2 un n + 1 ( ) n
k Số hạng thứ n của dãy là un = n . 3 B. a −1 . Ta có un +1 = 2 ( n + 1)
1 1 < = un +1 ∀n ∈ ℕ* . 2n 2n +1
Xét C:
Câu 43.
Câu 44.
Ta có un =
Vậy ( un ) là dãy số tăng. Xét B: n +1 n 1 n n +1 Ta có un = ; un +1 = . Khi đó: un +1 − un = − = > 0 ∀n ∈ ℕ 2 2 2 2 2 Vậy ( un ) là dãy số tăng.
Câu 42. Chọn
Câu 48.
Ta có un =
Chọn B. Ta có un +1 − un = a.3n +1 − a.3n = a.3n ( 3 − 1) = 2a.3n .
(
Hướng dẫn giải
D.
Chọn Ta có :
= = 23653 . 2 2 = v1 + v2 + ... + v217 = ( u2 − u1 ) + ( u3 − u 2 ) + ... + ( u218 − u217 ) = u218 − u1
DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
) )
suy ra là dãy giảm. Câu 47.
217. (1 + 217 )
Câu 41.
(
U n +1 − n + 2 + n + 1 = <0 Un n+ 2 + n+3
U n +1 6.6n = n = 6 > 1 suy ra là dãy tăng. Un 6
=
( 2n + 3)( n − 1) − n ( 2n + 1) = ( 2n + 3)( n − 1) − n ( 2n + 1) = −3 < 0 , với mọi n∈ ℕ , n >1. n ( n − 1) n ( n − 1) n ( n − 1)
Suy ra dãy số giảm. 15
16
DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI Câu 52. Chọn C
( −1)
Do đó ( un ) là dãy giảm, mà u1 = 1 , dễ thấy ∀n ∈ ℕ* , un > 0 ⇒ 0 < u n ≤ 1. Suy ra: Dãy ( un ) bị chặn.
n −1
1 = < 1, ∀n ∈ ℕ* nên ( un ) là dãy số bị chặn. Dễ thấy un = n +1 n +1
Câu 62.
1 −1 1 −1 ; u10 = ; u11 = ; u12 = ;... suy ra dãy ( un ) không phải là dãy số tăng cũng 10 11 12 13 không phải là dãy số giảm. Do đó đáp án C sai. Lại có u9 =
Câu 53. Câu 54.
Chọn B. Chọn D. Dãy số không tăng không giảm.
Câu 56.
n 1 1 1 1 = − < ⇒ un < . 2n + 1 2 2 n + 1 2 2 n 1 n Mặt khác ta thấy ngay un = bị chặn. > 0 ∀n ∈ ℕ * ⇒ 0 < un < ⇒ dãy số un = 2n + 1 2 2n + 1 Câu 63. Chọn D. 4 1 1 1 5 Xét un+1 − un = 2 + 5−n − 2 + 51−n = 5− n − 51−n = n − n −1 = n − n = − n < 0, ∀n ∈ ℕ* . 5 5 5 5 5 ⇒ ( un ) là dãy số giảm. un =
(
Câu 55.
) (
)
Ta có: un = 2 + 51−n > 2, ∀n ∈ ℕ* ; un = 2 +
Hướng dẫn giải
Chọn C. Dãy un là một dãy đan dấu.
Chọn B lim n 2 + 2 = +∞ ⇒ dãy số un = n 2 + 2 không bị chặn.
5 ≤ 3, ∀n ∈ ℕ* . 5n
⇒ ( un ) là dãy số bị chặn.
Câu 64.
Chọn A
n +1 n (n + 1)2 − n( n + 2) 1 − = = > 0, ∀n ∈ ℕ . n + 2 n +1 ( n + 2)(n + 1) ( n + 2)(n + 1) Suy ra dãy số đã cho là dãy tăng. Câu 57. Chọn D. Dãy 1, 2,3,..., n,... là dãy bị chặn dưới, không bị chặn trên nên không phải dãy số bị chặn. 1 1 1 1 ,... là dãy bị chặn trên tại 1 và bị chặn dưới tại 0 . Dãy 1, , , ,..., 3 5 7 2n − 1 Do đó cả hai câu trên đều sai. Câu 58. Hướng dẫn giải Chọn B. 1 1 1 1 −2 Ta có un +1 − un = − = − = <0 2 ( n + 1) + ( n + 1) n 2 + n ( n + 1)( n + 2 ) n ( n + 1) n ( n + 1)( n + 2 )
Xét dãy số un =
2n + 1 ta có: n +1
2n + 1 > 0; ∀n ∈ ℕ* ⇒ dãy ( u n ) bị chặn dưới bởi giá trị 0 . n +1 2n + 1 1 * un = = 2− < 2; ∀n ∈ ℕ* ⇒ dãy ( u n ) bị chặn trên bởi giá trị 2 . n +1 n +1 ⇒ dãy ( un ) là dãy bị chặn. * un =
Ta có un +1 − un =
Câu 65.
với
1 Đáp án B đúng vì dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0. n +1 1 Đáp án C đúng vì dãy số − tăng và bị chặn trên bởi 0. n 1 Đáp án D đúng vì dãy số n giảm và bị chặn dưới bởi 0. 3.2 Đáp án A sai vì dãy số (2 n −1) tăng nhưng không bị chặn trên.
n ≥ 1. Do đó ( un ) là dãy giảm. Câu 59.
Năm số hạng đầu của dãy là:
Câu 60. Chọn
−1 −2 −3 −4 −5 ; ; ; ; . 2 3 4 5 6
B.
Hướng dẫn giải
−1 −1 ≥ = −1 . n 1 bị chặn dưới bởi M = −1 .
Nhận xét : un = Dãy số ( un )
Câu 61.
Chọn B Ta có: un =
n + 2018 1 2017.2019 = + . 2018n + 1 2018 2018 ( 2018n + 1) 17
18
TOÁN 11
CẤP SỐ CỘNG
A. un = n 2 + 1, n ≥ 1 .
1D3-3
Câu 7.
MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI ....................................................................................................................................................... 1 DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG ........................................................................................................................ 1
Câu 8.
DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG............................................................................................................... 2 DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG ..................................................................................................... 3 DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN................................................................................... 5
Câu 9.
DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG............................................................................................................. 12 DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG ................................................................................................... 13 DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC............................................................................ 19
Câu 11. Câu 1.
(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? B. 1; −3; −6; −9; −12. C. 1; −3; −7; −11; −15. D. 1; −3; −5; −7; −9 . A. 1; −2; −4; −6; −8 .
Câu 2.
(ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số cộng? 1 3 5 7 9 A. ; ; ; ; . B. 1;1;1;1;1 . C. −8; −6; −4; −2;0 . D. 3;1; −1; −2; −4 . 2 2 2 2 2 Xác định a để 3 số 1 + 2 a; 2 a 2 − 1; −2 a theo thứ tự thành lập một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của a . C. a = ±3 . Câu 4. Câu 5.
Câu 6.
3 . 4 3 D. a = ± . 2
B. a = ±
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? A. un = 3n 2 + 2017 . C. un = 3n . B. un = 3n + 2018 . Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? 1 A. ( un ) : un = . n C. ( un ) : un = 2n − 1 .
2
)
B. un = 3n + 1, n ∈ ℕ* .
(
)
3n + 1 , ( n ∈ ℕ* ) . D. un = n+2
)
(THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tam giác ABC có ba cạnh a , b , c thỏa mãn a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. tan 2 A , tan 2 B , tan 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. B. cot 2 A , cot 2 B , cot 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. C. cos A , cos B , cos C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. D. sin 2 A , sin 2 B , sin 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG
PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG
Câu 3.
Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng? A. un = n + 2n , n ∈ ℕ* .
(
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN................................................................................. 15
5n − 2 . 3
D. un = ( n + 3) − n2 .
B. 49 , 43 , 37 , 31 , 25 .C. un = 1 + 3n .
C. un = 3n , n ∈ ℕ* . Câu 10.
D. un =
Các dãy số có số hạng tổng quát u n . Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
(
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ........................................................................................................................... 10
D. un = 2n − 3, n ≥ 1
C. un = n + 1, n ≥ 1.
Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng: 2 A. u n = 3 n +1 . B. un = . C. un = n 2 + 1 . n +1
A. un = 2n + 5 .
DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC.............................................................................. 8 DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG ...................................................................................................................... 10
B. un = 2 n , n ≥ 1 .
D. un = ( −3)
n +1
Câu 12.
(Mã 103 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 2 và u2 = 6 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng B. −4 . C. 8 . D. 3. A. 4. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 1 và u2 = 4 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. 4 .
B. −3 .
C. 3 .
D. 5 .
Câu 13.
(Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng (un) với u1 = 3 và u2 = 9 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. −6 . B. 3 . C. 12 . D. 6 .
Câu 14.
(Mã 102 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 2 và u2 = 8 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. 10 . B. 6 . C. 4 . D. −6 .
Câu 15. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −3 , u6 = 27 . Tính công sai d . A. d = 7 . B. d = 5 . C. d = 8 . D. d = 6 .
.
Câu 16. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng tổng quát là un = 3n − 2 . Tìm công sai d của cấp số cộng. A. d = 3 . B. d = 2 . C. d = −2 .
B. ( un ) : un = un −1 − 2, ∀n ≥ 2 . D. ( un ) : un = 2un −1 , ∀n ≥ 2 .
Câu 17.
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng? 1
D. d = −3 .
Cho cấp số cộng ( un ) với u17 = 33 và u33 = 65 thì công sai bằng 2
A. 1. Câu 18.
Câu 19.
B. 3 .
C. −2 .
D. 2 .
Câu 29.
Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng 20 . Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho A. d = −5 . B. d = 4 . C. d = −4 . D. d = 5 .
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho cấp số cộng u n có các số hạng đầu lần lượt là 5;9;13;17;... . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng? A. un = 4n + 1 . B. un = 5n − 1 . C. un = 5n + 1 .
D. un = 4n − 1 .
Câu 30.
Câu 31.
Câu 20. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Xác định số hàng đầu u1 và công sai d của cấp số
Câu 21.
B. u1 = 3 và d = 5 .
C. u1 = 4 và d = 5 .
Câu 32.
(Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Cho ( un ) là một cấp số cộng thỏa mãn u1 + u3 = 8 và
u4 = 10 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. 3 . B. 6 . C. 2 . Câu 22.
D. u1 = 4 và d = 3 .
Câu 33.
Câu 24.
Câu 25.
Câu 26.
Câu 34.
Câu 36.
(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 11 và công
Câu 38.
sai d = 4 . Hãy tính u99 . A. 401 . B. 403 .
Câu 39.
D. 404 .
(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) , biết: u1 = 3 , D. u3 = −5 .
Câu 28.
C. 38 .
D. 44
(Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = 3 và công sai
d = 2 . Giá trị của u7 bằng: A. 15 . B. 17 .
C. 19 .
B. 289 .
C. 288 .
D. 286 .
B. u5 = 15 .
C. u2 = 3 .
D. u3 = 6 .
Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 2 ; d = 9 . Khi đó số 2018 là số hạng thứ mấ y trong dãy?
B. 225 .
C. 223 .
Cho cấp số cộng 1, 4, 7,... . Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là A. 297 . B. 301 . C. 295 .
D. 224 . D. 298 .
Cho cấp số cộng ( un ) biết u1 = 3 , u8 = 24 thì u11 bằng
B. 33 .
C. 32 .
D. 28 .
Cho cấp số cộng có số hạng thứ 3 và số hạng thứ 7 lần lượt là 6 và −2. Tìm số hạng thứ 5. A. u5 = 2. B. u5 = −2. C. u5 = 0. D. u5 = 4.
Câu 41. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) , biết u2 = 3 và u4 = 7 . Giá trị của u15 bằng A. 27 . B. 31. C. 35 . D. 29 .
(THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Một cấp số cộng ( u n ) có u13 = 8 và B. 28 .
D. u2018 = 4038 .
Cho cấp số cộng có u1 = −2 và d = 4 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
A. 30 . Câu 40.
d = −3 . Tìm số hạng thứ ba của cấp số cộng ( u n ) .
A. 50 .
C. u2018 = 4036 .
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Viết ba số xen giữa 2 và 22 để ta được một cấp số cộng có 5 số hạng? A. 6 , 12 , 18 . B. 8 , 13 , 18 . C. 7 , 12 , 17 . D. 6 , 10 , 14 .
A. 226 .
u2 = −1 . Chọn đáp án đúng.
Câu 27.
B. u2018 = 22017 .
(THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) có u1 = 3 và công sai d = 7 .
A. u4 = 8 . Câu 37.
C. u3 = 2 .
D. 33 .
(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho cấp số cộng ( u n ) với số hạng đầu tiên
A. 287 . Câu 35.
(THPT CAN LỘC - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng có u1 = −3 , d = 4 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. u5 = 15 . B. u4 = 8 . C. u3 = 5 . D. u2 = 2 .
B. u3 = 7 .
C. − 33 .
Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 5 . Giá trị u 4 bằng A. 22. B. 17. C. 12. D. 250.
Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của ( un ) đều lớn hơn 2018 ?
(THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Cấp số cộng ( u n ) có số hạng đầu u1 = 3 , công sai d = −2 thì số hạng thứ 5 là A. u5 = 8 . B. u5 = 1 . C. u5 = −5 . D. u5 = −7 .
A. u3 = 4 .
(Phát triển đề minh họa 2019_Số 1) Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = −2 và công sai
A. u2018 = 22018 .
u − u + u = 7 Tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ( un ) thỏa mãn: 2 3 5 u1 + u6 = 12 A. un = 2n + 3 . B. un = 2n − 1 . C. un = 2n + 1 . D. un = 2n − 3 .
C. 402 .
D. 4078 .
u1 = 2 và công sai d = 2 . Tìm u2018 ?
D. 4 .
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG
Câu 23.
C. 8078 .
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng thứ 11 của cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai d = −2 . A. −21 . B. 23 . C. −19 . D. −17 . d = −7. Giá trị u6 bằng A. 37 . B. −37 .
cộng ( u n ) có u9 = 5u2 và u13 = 2u6 + 5 .
A. u1 = 3 và d = 4 .
(Đề minh họa thi THPT Quốc gia năm 2019 – Đề số 6) Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 4 . Giá trị u2019 bằng A. 8074 . B. 4074 .
D. 13 . 3
Câu 42. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN - 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) có u2 = 2001 và u5 = 1995 . Khi đó u1001 bằng A. 4005 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 4003 .
4
Câu 43.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Một cấp số cộng có số hạng đầu
Câu 53.
u1 = 2018 công sai d = −5 . Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị âm. A. u406 .
Câu 44.
Câu 45.
B. u403 .
un = 1 − 3n . Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng. A. −59049 . B. −59048 . C. −155 .
D. u404 .
C. u405 .
u − 2u5 + u6 = −15 Cho cấp số cộng ( u n ) có 1 . Số hạng đầu u1 là u3 + u7 = 46 A. u1 = −5 . B. u1 = 5 . C. u1 = 3 .
Câu 54.
B. 62 .
C. 47 .
D. u1 = −3 .
Câu 55.
D. 52 .
Câu 47.
2 3
2 4
Câu 48. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) , biết u1 = −5 , d = 2 . Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu? A. 100 . B. 50 . C. 75 . D. 44 . Câu 49.
(THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Một cấp số cộng ( un ) có
(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hai cấp số cộng ( xn ) : 4 , 7 , 10 ,…
Câu 58.
(Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho cấp số cộng ( un ) có u5 = −15 ; u20 = 60 . Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là A. S20 = 250 . B. S20 = 200 . C. S20 = −200 . D. S20 = −25 .
Câu 61. Câu 62.
B. S10 = 100 .
C. S10 = 21 .
C. 12 .
C. S20 = −250 .
D. S20 = −1080 .
B. −117 .
C. Đáp án khác.
D. −116 .
Dãy số ( u n )n =1 là cấp số cộng, công sai d . Tổng S100 = u1 + u2 + ... + u100 , u1 ≠ 0 là +∞
B. S100 = 50u100 .
C. S100 = 50 ( u1 + u100 ) . D. S100 = 100 ( u1 + u100 ) .
Câu 63. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) có
D. S10 = 19 .
u2013 + u6 = 1000 . Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là: A. 1009000 . B. 100800 . C. 1008000 .
sai d = 4 . Biết tổng n số hạng đầu của dãy số ( un ) là Sn = 253 . Tìm n .
B. 11 .
B. S20 = 1080 .
Cho cấp số cộng ( un ) với un = 3 − 2n thì S60 bằng
A. S100 = 2u1 + 99d .
[KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho dãy số ( un ) là một cấp số cộng có u1 = 3 và công
A. 9 .
D. d = 2; S10 = 110 .
Cho cấp số cộng có công sai d = 6 và S3 = 9 . Khi đó tổng 20 số hạng đầu tiên S 20 là
A. −6960 .
(THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) có u1 = 1 và công sai A. S10 = 110 .
(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) biết u3 = 6, u8 = 16.
A. S20 = 1200 .
d = 2 . Tổng S10 = u1 + u2 + u3 ..... + u10 bằng:
Câu 52.
Cho cấp số cộng ( un ) với số hạng đầu u1 = −6 và công sai d = 4. Tính tổng S của 14 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. A. S = 46 . B. S = 308 . C. S = 644 . D. S = 280 .
Câu 60.
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 51.
Câu 57.
Tính công sai d và tổng của 10 số hạng đầu tiên. A. d = 2; S10 = 100 . B. d = 1; S10 = 80 . C. d = 2; S10 = 120 .
và ( yn ) : 1 , 6 , 11,…. Hỏi trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung? A. 404 . B. 673 . C. 403 . D. 672 .
D. 8 154 741 .
(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho ( un ) là cấp số cộng biết u3 + u13 = 80 . Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng A. 800 . B. 600 . C. 570 . D. 630
Câu 59.
u9 = 47 , công sai d = 5 . Số 10092 là số hạng thứ mấ y trong cấp số cộng đó? A. 2018 . B. 2017 . C. 2016 . D. 2019 .
Câu 50.
(PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA THI THPT QUỐC GIA 2019Cho cấp số cộng ( u n ) có số
Câu 56. D. u100 = −294 .
Cho cấp số cộng u n có công sai d = 2 và biểu thức u + u + u đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng u n ? B. 1014 . C. 1013 . D. 1012 . A. 1011 . 2 2
(THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Cho dãy số vô hạn {un } là cấp số cộng có
hạng đầu u1 = 3 và công sai d = 2 . Tổng của 2019 số hạng đầu bằng A. 4 080 399 . B. 4 800 399 . C. 4 399 080 .
Câu 46. (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) thỏa mãn u5 + 3u3 − u2 = −21 . Tính số hạng thứ 100 của cấp số. 3u7 − 2u4 = −34 A. u100 = −243 . B. u100 = −295 . C. u100 = −231 .
D. −310 .
công sai d , số hạng đầu u1 . Hãy chọn khẳng định sai? u +u A. u5 = 1 9 . B. un = un −1 + d , n ≥ 2 . 2 n C. S12 = ( 2u1 + 11d ) . D. un = u1 + (n − 1).d , ∀n ∈ ℕ* . 2
u1 = 2 Cho dãy số (U n ) xác định bởi Tính u10 ? * un +1 = un + 5, n ∈ N
A. 57 .
(THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) , n ∈ ℕ* có số hạng tổng quát
Câu 64.
D. 10 .
5
D. 100900 .
u + u = 8 (THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho cấp số cộng (u n ) thỏa mãn 1 4 . u3 − u 2 = 2 Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng trên. A. 100 . B. 110 . C. 10 . D. 90 . 6
Câu 65.
Câu 66.
Câu 75.
(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho cấp số cộng {un } có u4 = −12 ; u14 = 18 . Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: A. S = 24 . B. S = −25 . C. S = −24 . D. S = 26 .
S=
u − u3 + u5 = 10 (THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) thỏa 2 . u4 + u6 = 26 Tính S = u1 + u4 + u7 + ... + u2011 A. S = 2023736 . B. S = 2023563 . C. S = 6730444 . D. S = 6734134 .
Câu 76.
số hạng đầu Sn tính theo công thức Sn = 5n + 3n,( n ∈ ℕ ) . Tìm số hạng đầu u1 và công sai d
D. u1 = 8; d = −10 .
Câu 71.
C. u1 = 2 , d = 2 .
9 . 5
B.
5 . 9
C.
5 . 3
Câu 78.
D. u1 = 2 , d = 4 .
Gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng ( an ) . Biết S6 = S9 , tỉ số
A.
C. S =
198 . 199
D. S =
99 . 199
Cho tam giác đều A1 B1C1 có độ dài cạnh bằng 4 . Trung điểm của các cạnh tam giác A1 B1C1 tạo thành tam giác A2 B2C2 , trung điểm của các cạnh tam giác A2 B2C2 tạo thành tam giác A3 B3C3 … Gọi P1 , P2 , P3 ,... lần lượt là chu vi của tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,…Tính tổng chu vi
B. P = 24 .
C. P = 6 .
D. P = 18 .
Câu 77. (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Hùng đang tiết kiệm để mua một cây guitar. Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành 42 đô la, và trong mỗi tuần tiếp theo, anh ta đã thêm 8 đô la vào tài khoản tiết kiệm của mình. Cây guitar Hùng cần mua có giá 400 đô la. Hỏi vào tuần thứ bao nhiêu thì anh ấy có đủ tiền để mua cây guitar đó? A. 47 . B. 45 . C. 44 . D. 46 .
Câu 69. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) biết u5 = 18 và
Câu 70.
200 . 201
*
B. u1 = −8; d = −10 . C. u1 = 8; d = 10 .
4S n = S2 n . Giá trị u1 và d là A. u1 = 2 , d = 3 . B. u1 = 3 , d = 2 .
B. S =
DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Một cấp số cộng có tổng của n của cấp số cộng đó. A. u1 = −8; d = 10 .
100 . 201
P = P1 + P2 + P3 + ... A. P = 8 .
của 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm công thức của số hạng tổng quát un . A. un = 1 + 4n . B. un = 5n . C. un = 3 + 2n . D. un = 2 + 3n . 2
1 1 1 + + ... + . u1u2 u2u3 u99u100
A. S =
Câu 67. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Cho một cấp số cộng ( u n ) có u1 = 5 và tổng
Câu 68.
Cho một cấp số cộng ( un ) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 10000 . Tính tổng
D.
a3 bằng: a5
(THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Trong hội chợ tết Mậu Tuất 2018 , một công ty sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng 1,3,5,... từ trên xuống dưới (số hộp sữa trên mỗi hàng xếp từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp - mô hình như hình bên). Hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp sữa?
3 . 5
(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) và gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết S7 = 77 và S12 = 192 . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng đó A. un = 5 + 4n . B. un = 3 + 2n . C. un = 2 + 3n . D. un = 4 + 5n .
Câu 72.
(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy số ( an ) , n ≥ 1 là
Sn = 2n2 + 3n . Khi đó A. ( an ) là một cấp số cộng với công sai bằng 4 .
A. 59.
B. ( an ) là một cấp số nhân với công bội bằng 4 . C. ( an ) là một cấp số cộng với công sai bằng 1 .
1 1 1 bằng. + + ... + u1u2 u2u3 u49u50 49 C. . D. 74 . 148
A.
49 . 74
B. 148 .
7
D. 57.
Câu 80.
(PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….Số hàng cây trong khu vườn là A. 31 . B. 30 . C. 29 . D. 28 .
Câu 73. (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Giải phương trình 1 + 8 + 15 + 22 + … + x = 7944 A. x = 330 . B. x = 220 . C. x = 351 . D. x = 407 .
tổng 100 số hạng đầu bằng 14950 . Giá trị của tổng
C. 61.
(ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Một công ti trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ti là 4,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ti. A. 83,7 (triệu đồng). B. 78,3 (triệu đồng). C. 73,8 (triệu đồng). D. 87,3 (triệu đồng).
D. ( an ) là một cấp số nhân với công bội bằng 1 .
Câu 74. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu bằng 1 và
B. 30.
Câu 79.
8
Câu 81.
(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước 4 ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao nhiêu ghế? A. 2250 . B. 1740 . C. 4380 . D. 2190 .
Câu 89.
Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây? A. 81 . B. 82 . C. 80 . D. 79 .
Câu 82.
(CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho 4 số thực a, b, c, d là 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 4 và tổng các bình phương của chúng bằng 24 . Tính P = a 3 + b 3 + c3 + d 3 . A. P = 64 . B. P = 80 . C. P = 16 . D. P = 79 .
Câu 90.
Cho hai cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số cộng có 100 số hạng là 4, 7, 10, 13, 16,... và 1, 6, 11, 16, 21,... . Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả hai cấp số cộng trên? A. 20 . B. 18 . C. 21. D. 19.
Câu 83.
(THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) có u1 = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của u1u2 + u2u3 + u3u1 ? A. −20 . B. −6 .
Câu 84.
Câu 85.
C. −8 .
D. −24 .
(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là: 1 5 1 7 3 5 1 3 A. ;1; . B. ;1; . C. ;1; . D. ;1; . 3 3 4 4 4 4 2 2
Câu 91. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Sinh nhật bạn của An vào ngày 01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016 , sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước 100 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền? (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016 ). A. 738.100 đồng. B. 726.000 đồng. C. 714.000 đồng. D. 750.300 đồng. Câu 92.
Trong hội chợ, một công ty sơn muốn xếp 1089 hộp sơn theo số lượng 1,3,5,... từ trên xuống dưới (số hộp sơn trên mỗi hàng xếp từ trên xuống dưới là các số lẻ liên tiếp – mô hình như hình bên dưới). Hàng cuối cùng có bao nhiêu hộp sơn?
Câu 93.
Câu 94.
A. 63 . Câu 86.
B. 65 .
C. 67 .
B. 52 .
C. 53 .
(THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,….Hỏi có bao nhiêu hàng cây. A. 78 . B. 243 . C. 77 . D. 244 .
Câu 88.
(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Bà chủ quán trà sữa X muốn trang trí quán cho đẹp nên quyết định thuê nhân công xây một bức tường bằng gạch với xi măng (như hình vẽ bên dưới), biết hàng dưới cùng có 500 viên, mỗi hàng tiếp theo đều có ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1 viên. Hỏi số gạch cần dùng để hoàn thành bức tường trên là bao nhiêu viên?
C. 12550.
un 1 + un 2
với mọi n ≥ 1 . Giá trị nhỏ nhất của n
D. 125250. 9
B. 4072324
C. 4072326
D. 4072327
Câu 95. (THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 3 và công sai d = 2 , và cấp số cộng ( vn ) có v1 = 2 và công sai d ′ = 3 . Gọi X , Y là tập hợp chứa
1000 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng. Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử bất kỳ trong tập hợp X ∪ Y . Xác suất để chọn được 2 phần tử bằng nhau gần với số nào nhất trong các số dưới đây? A. 0,83.10−4 . B. 1, 52.10−4 . C. 1, 66.10−4 . D. 0, 75.10−4 .
Câu 1.
Câu 2.
B. 250500.
Cho dãy số ( un ) thỏa mãn u1 = 2018 và un+1 =
1 bằng 2018 A. 4072325
D. 50 .
Câu 87.
A. 25250.
1 (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho x 2 ; ; y 2 theo thứ tự lập thành một cấp số 2 cộng. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3xy + y 2 . Tính S =M +m 3 1 − . A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 2 2
để un <
D. 69 .
(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Người ta trồng 1275 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 2 có 2 cây, hàng thứ 3 có 3 cây,.hàng thứ k có k cây ( k ≥ 1) . Hỏi có bao nhiêu hàng ? A. 51 .
(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho C14k , C14k +1 , C14k + 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của S . A. 12 . B. 8 . C. 10 . D. 6 .
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG Chọn C Dãy số ( un ) có tính chất un +1 = un + d thì được gọi là một cấp số cộng. Ta thấy dãy số: 1; −3; −7; −11; −15 là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai bằng −4. Chọn D Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi. 10
1 Đáp án A: Là cấp số cộng với u1 = ; d = 1 . 2 Đáp án B: Là cấp số cộng với u1 = 1; d = 0 . Đáp án C: Là cấp số cộng với u1 = −8; d = 2 .
Câu 3.
Đáp án D: Không là cấp số cộng vì u2 = u1 + ( −2 ) ; u4 = u3 + ( −1) . Chọn D Theo công thức cấp số cộng ta có: 2(2a 2 − 1) = (1 + 2a ) + (−2a) ⇔ a 2 =
Câu 4.
Câu 5.
Câu 6.
3n + 1 , ( n ∈ ℕ* ) , xét hiệu: n+2 3 ( n + 1) + 1 3n + 1 3n + 1 5 , ( n ∈ ℕ* ) un +1 − un = − = , ( n ∈ ℕ* ) thay đổi theo n nên un = n+2 n +1+ 2 n + 2 ( n + 2 )( n + 3) không là cấp số cộng. (D loại) Với dãy số un =
Câu 10.
3 3 ⇔a=± . 4 2
Chọn B Ta có un +1 − un = 3(n + 1) + 2018 − (3n + 2018) = 3 ⇔ un +1 = un + 3 . Vậy dãy số trên là cấp số cộng có công sai d = 3 .
DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG Chọn A Ta có u2 = 6 ⇔ 6 = u1 + d ⇔ d = 4 . Câu 12. Chọn C Vì ( u n ) là cấp số cộng nên u2 = u1 + d ⇔ d = u2 − u1 = 4 − 1 = 3 .
Câu 11.
Chọn B Xét dãy số ( un ) : un = un−1 − 2, ∀n ≥ 2 Ta có un − un −1 = −2, ∀n ≥ 2 Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d = −2 Chọn D Theo định nghĩa cấp số cộng ta có: un+1 = un + d ⇔ un+1 − un = d , ∀n ≥ 1, d = const
Câu 13.
Thử các đáp án ta thấy với dãy số: un = 2n − 3, n ≥ 1 thì:
Câu 7.
Câu 8.
Câu 9.
un = 2n − 3 ⇒ un +1 − un = 2 = const un +1 = 2 ( n + 1) − 3 = 2n − 1 Chọn D Ta có dãy un là cấp số cộng khi u n +1 − u n = d , ∀ n ∈ ℕ * với d là hằng số. Bằng cách tính 3 số hạng đầu của các dãy số ta dự đoán đáp án D. 5 ( n + 1) − 2 5n − 2 5 Xét hiệu un +1 − un = − = ,∀ n ∈ ℕ * . 3 3 3 5n − 2 Vậy dãy un = là cấp số cộng. 3 Chọn C. Xét dãy số un = 1 + 3n , suy ra un +1 = 1 + 3n+1 . Ta có un+1 − un = 2.3n , ∀n ∈ ℕ* . Do đó un = 1 + 3n không phải là cấp số cộng. Chọn B Với dãy số un = n + 2n , n ∈ ℕ* , xét hiệu: un+1 − un = n + 1 + 2n+1 − n − 2n = 2n + 1, n ∈ ℕ* thay đổi
( ) ( ) theo n nên u = n + 2 , ( n ∈ ℕ ) không là cấp số cộng. (A loại)26 Với dãy số u = 3n + 1, ( n ∈ ℕ ) , xét hiệu: u − u = 3 ( n + 1) + 1 − 3n − 1 = 3, ( n ∈ ℕ ) là hằng số nên u = 3n + 1, ( n ∈ ℕ ) là cấp số cộng. (B đúng) Với dãy số u = 3 , ( n ∈ ℕ ) , xét hiệu: u − u = 3 − 3 = 2.3 , ( n ∈ ℕ ) thay đổi theo n nên u = 3 , ( n ∈ ℕ ) không là cấp số cộng. (C loại)
Chọn D Ta có: d = u2 − u1 = 6 . Câu 14. Chọn B Vì ( un ) là cấp số cộng nên ta có u2 = u1 + d ⇔ d = u2 − u1 = 8 − 2 = 6 . Câu 15.
Ta có un +1 − un = 3 ( n + 1) − 2 − 3n + 2 = 3 Suy ra d = 3 là công sai của cấp số cộng. Câu 17. Chọn D Gọi u1 , d lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng ( un ) . Khi đó, ta có: u17 = u1 + 16d , u33 = u1 + 32 d Suy ra: u33 − u17 = 65 − 33 ⇔ 16d = 32 ⇔ d = 2 Vậy công sai bằng: 2 . Câu 18. Chọn C Gọi năm số hạng của cấp số cộng đã cho là: u1 ; u2 ; u3 ; u4 ; u5 .
Câu 19.
*
▪ un = 5 + ( n − 1) .4 = 4 n + 1
*
n +1
n
Câu 20.
*
n
n
*
n +1
n +1
n
n
n
n
Theo đề bài ta có: u1 − u5 = 20 ⇔ u1 − (u1 + 4 d ) = 20 ⇔ d = −5 Chọn A un = u1 + ( n − 1) d
▪ u3 = u1 + ( 3 − 1) d = 13 ⇔ 5 + 2d = 13 ⇔ d = 4
n
n
Ta có u6 = u1 + 5d = 27 ⇒ d = 6 .
Câu 16.
*
n
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có a = 2 R sin A , b = 2 R sin B , c = 2 R sin C Theo giả thiết a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên a 2 + c 2 = 2b 2 ⇔ 4 R 2 .sin 2 A + 4R 2 .sin 2 C = 2.4 R2 .sin 2 B ⇔ sin 2 A + sin 2 C = 2.sin 2 B . Vậy sin 2 A , sin 2 B , sin 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
*
n
*
n
Câu 21.
11
u1 + 8d = 5 ( u1 + d ) Ta có: un = u1 + ( n − 1) d . Theo đầu bài ta có hpt: u1 + 12d = 2 ( u1 + 5d ) + 5 4u − 3d = 0 u = 3 . ⇔ 1 ⇔ 1 u1 − 2d = −5 d = 4 Chọn A
12
u1 + u3 = 8 u1 + u1 + 2d = 8 2u1 + 2d = 8 u1 = 1 Ta có ⇔ ⇔ ⇔ . d = 3 u4 = 10 u1 + 3d = 10 u1 + 3d = 10 Vậy công sai của cấp số cộng là d = 3 . Câu 22. Chọn B u − u + u = 7 Giả sử dãy cấp số cộng ( un ) có công sai là d . Khi đó, 2 3 5 trở thành: u1 + u6 = 12
Câu 38.
Câu 39.
u + 3d = 7 u = 1 ( u1 + d ) − ( u1 + 2d ) + ( u1 + 4d ) = 7 ⇔ 1 ⇔ 1 2u1 + 5d = 12 d = 2 u1 + ( u1 + 5d ) = 12
Câu 40.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng ( un ) : un = u1 + ( n − 1) d = 1 + ( n − 1) .2 = 2 n − 1 Vậ y u n = 2 n − 1 .
Câu 23.
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG Ta có: u5 = u1 + 4d = 3 + 4. ( −2 ) = −5 .
Câu 24.
Ta có u3 = u1 + 2d = −3 + 2.4 = 5 .
Câu 25.
Ta có : u99 = u1 + 98d = 11 + 98.4 = 403 .
Câu 26.
Ta có ( u n ) là cấp số cộng nên 2u2 = u1 + u3 suy ra u3 = 2u2 − u1 = −5 .
Câu 41.
Câu 42.
Ta có: u13 = u1 + 12d ⇔ 8 = u1 + 12. ( −3 ) ⇒ u1 = 44 ⇒ u3 = u1 + 2d = 44 − 6 = 38 . Chọn A Ta có u7 = u1 + 6.d = 3 + 6.2 = 15 . Câu 29. Chọn A Áp dụng công thức của số hạng tổng quát un = u1 + ( n − 1) d = 2 + 2018.4 = 8074 .
Câu 43.
Chọn D Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có u11 = u1 + 10d = 3 + 10. ( −2 ) = −17 . Câu 31. Chọn B Ta có u6 = u1 + 5d = −2 − 35 = −37 . Câu 32. Chọn B Ta có: u4 = u1 + 3d = 2 + 15 = 17 . Câu 33. Chọn C Ta có: un = u1 + ( n − 1) d ⇒ u2018 = 2 + ( 2018 − 1) .2 = 4036 .
Câu 44.
Gọi u1 và d lần lượt là số hạng đầu tiên và công sai của cấp số công.
Ta có un = u1 + ( n − 1) d = 2018 − 5 ( n − 1)
2023 , n ∈ ℤ ⇒ n ≥ 405 . 5
Vậy từ u405 thì số hạng của cấp số cộng đó nhận giá trị âm. Chọn C. Gọi d là công sai của CSC. Ta có un = u1 + ( n − 1) d .
u1 − 2u5 + u6 = −15 u1 − 2 ( u1 + 4d ) + ( u1 + 5d ) = −15 d = 5 ⇔ ⇔ ⇒ u1 = 3 . 2u1 + 8d = 46 u3 + u7 = 46 ( u1 + 2d ) + ( u1 + 6d ) = 46
2022 . 7
Câu 45.
u = 2 u = 2 Xem cấp số cộng cần tìm là ( u n ) có: 1 . Suy ra: 1 . d = 5 u5 = 22
Chọn C Cách 1 : Dùng casio 570VN B1 : Nhập vào máy tính “2”=>SHIFT=>STO=>A B2: Nhập B = A + 5 : A = B B3: Ấn CALC rồi bấm liên tiếp dấu “=” cho kết quả u10 = 47 .
u1 = 2 Cách 2 : Từ . * un +1 = un + 5, n ∈ N Ta có un +1 − un = 5 nên dãy (U n ) là một cấp số cộng với công sai d = 5 nên
Vậy cấp số cộng cần tìm là ( u n ) : 2 , 7 , 12 , 17 , 22 .
Câu 36.
u + d = 3 u = 1 Từ giả thiết u2 = 3 và u4 = 7 suy ra ta có hệ phương trình: 1 . ⇒ 1 u d + 3 = 7 1 d = 2 Vậy u15 = u1 + 14d = 29 .
Có un < 0 ⇔ 2018 − 5 ( n − 1) < 0 ⇔ 5n > 2023 ⇔ n >
Vậy n = 289 .
Câu 35.
Chọn A
u = 2001 u1 + d = 2001 u = 2003 . Ta có: 2 ⇔ ⇔ 1 u = 1995 u + d = 4 1995 d = −2 5 1 Vậy u1001 = u1 + 1000d = 3 .
Câu 30.
Ta có: un = u1 + ( n − 1) d = 3 + 7 ( n − 1) = 7 n − 4 ; un > 2018 ⇔ 7 n − 4 > 2018 ⇔ n >
Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là: u100 = u1 + 99.d = 1 + 99.3 = 298 . Chọn B. Ta có: u − u 24 − 3 u8 = u1 + 7d ⇒ d = 8 1 = = 3. 7 7 u11 = u1 + 10d = 33 .
u3 = 6 d = −2 u1 + 2d = 6 ⇔ ⇔ Theo giả thiết ta có u = − 2 u + 6 d = − 2 u1 = 10 1 7 Vậy u5 = 2 .
Câu 27. Câu 28.
Câu 34.
un = u1 + ( n − 1) d ⇔ 2018 = 2 + ( n − 1) .9 ⇔ n = 225 . Chọn D Cấp số cộng 1, 4, 7,... . có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 3 .
Chọn D Ta có: u1 = −2 và d = 4 suy ra u2 = u1 + d = −2 + 4 = 2
u10 = u1 + 9d = 2 + 45 = 47 .
u3 = u1 + 2d = −2 + 2.4 = 6 ; u4 = u1 + 3d = −2 + 3.4 = 10 ; u5 = u1 + 4d = −2 + 4.4 = 14 Nên đáp án D đúng. Câu 37. Chọn B
Câu 46. 13
u1 + 4d + 3 ( u1 + 2d ) − u1 − d = −21 u1 + 3d = −7 u5 + 3u3 − u2 = −21 u = 2 ⇔ . ⇔ ⇔ 1 u − u = − u d 3 2 34 + 12 = − 34 3 u + 6 d − 2 u + 3 d = − 34 ( ) ( ) 4 1 d = −3 7 1 1 14
Câu 47.
Câu 56.
Số hạng thứ 100 là u100 = 2 + 99 ( −3 ) = −295 . Chọn D Ta có: u 2 = u1 + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 u3 = u1 + 4 ⇒ u2 + u3 + u4 = ( u1 + 2 ) + ( u1 + 4 ) + ( u1 + 6 ) = 3u1 + 24u1 + 56 = 3 ( u1 + 4 ) + 8 ≥ 8 u = u + 6 4 1 Vậy u 22 + u32 + u 42 đạt giá trị nhỏ nhất khi u1 = −4 . Từ đó suy ra 2018 = u1 + ( n − 1) d ⇔ 2018 = −4 + ( n −1) 2 ⇔ n = 1012.
Câu 48.
Ta có un = u1 + ( n − 1) d ⇔ 81 = −5 + ( n − 1) 2 ⇔ n = 44 .
Vậy 81 là số hạng thứ 44 . Câu 49. Ta có u9 = u1 + 8d ⇒ u1 = 7 . Gọi 10092 là số hạng thứ n trong khai triển, ta có: 10092 − 7 + 1 = 2018 . 10092 = u1 + ( n − 1) d ⇒ n = 5 Câu 50.
10 (10 − 1) 10 (10 − 1) .d = 10.2 + .2 = 110 . 2 2 Câu 60. Chọn B. 3 Ta có: S3 = ( 2u1 + 2d ) = 3u1 + 3d = 3u1 + 18 . 2 ⇒ 3u1 + 18 = 9 ⇔ u1 = −3 . 20 ⇒ S 20 = ( 2u1 + 19d ) = ( 2. ( −3) + 19.6 ) .10 = 1080 . 2 Câu 61. Chọn C. Ta có un +1 = 1 − 2n , Ta có un +1 − un = −2, ∀n ∈ ℕ* , suy ra ( un ) là cấp số cộng có u1 = 1 và công sai S10 = 10.u1 +
Số hạng tổng quát của cấp số cộng ( xn ) là: xn = 4 + ( n − 1) .3 = 3n + 1 . Số hạng tổng quát của cấp số cộng ( yn ) là: ym = 1 + ( m − 1) .5 = 5m − 4 . Giả sử k là 1 số hạng chung của hai cấp số cộng trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số. Vì k là 1 số hạng của cấp số cộng ( xn ) nên k = 3i + 1 với 1 ≤ i ≤ 2018 và i ∈ ℕ* . Vì k là 1 số hạng của cấp số cộng ( yn ) nên k = 5 j − 4 với 1 ≤ j ≤ 2018 và j ∈ ℕ* . Do đó 3i + 1 = 5 j − 4 ⇒ 3i = 5 j − 5 ⇒ i ⋮ 5 ⇒ i ∈ {5;10 ;15;...; 2015} ⇒ có 403 số hạng chung.
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN n ( un + u1 ) n 2u1 + ( n − 1) d Câu 51. * Áp dụng công thức Sn = ta được: = 2 2 10 2 + (10 − 1) 2 S10 = = 100 . 2 n ( 2u1 + ( n − 1) d ) n ( 2.3 + ( n − 1) .4 ) Câu 52. Ta có S n = ⇔ = 253 2 2 n = 11 . ⇔ 4n 2 + 2n − 506 = 0 ⇔ n = − 23 ( L ) 2 ( u + u )10 = −155 . Câu 53. Ta có: u1 = −2 ; u10 = −29 ; S10 = 1 10 2 Câu 54.
Ta có công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: Sn = nu1 +
S15 = u1 + u2 + u3 + ... + u15 = ( u1 + u15 ) + ( u 2 + u14 ) + ( u3 + u13 ) + ... + ( u7 + u9 ) + u8
Vì u1 + u15 = u2 + u14 = u3 + u13 = ... = u7 + u9 = 2u8 và u3 + u13 = 80 ⇒ S = 7.80 + 40 = 600 . Câu 57. Chọn D 2u1 + ( n − 1) d n Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là Sn = . 2 2 ( −6 ) + (14 − 1) 4 14 Vậ y S = = 280 . 2 Câu 58. Chọn A u5 = −15 u1 + 4d = −15 u1 = −35 ( u + u ) 20 = 250 ⇔ ⇔ ⇒ S20 = 1 20 Ta có . u = 60 u + 19 d = 60 d = 5 2 20 1 Câu 59. Chọn D u3 = 6 u1 + 2d = 6 u = 2 . ⇔ ⇔ 1 u = u + d = 16 7 16 1 d = 2 8
d = −2 . Vậy S60 =
Câu 62.
60 ( 2u1 + 59d ) = −3840 . 2
Chọn C
Nếu ( u n )n =1 là cấp số cộng có u1 ≠ 0 và công sai d thì +∞
n ( u1 + un ) . 2 Áp dụng với n = 100 , ta chọn C . Câu 63. Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó: u2013 + u6 = 1000 ⇔ u1 + 2012d + u1 + 5d = 1000 ⇔ 2u1 + 2017 d = 1000 . 2017.2018 d = 1009. ( 2u1 + 2017 d ) = 1009000 . Ta có: S2018 = 2018u1 + 2 Câu 64. Chọn A Gọi cấp cố cộng có công sai là d ta có u2 = u1 + d ; u3 = u1 + 2d ; u4 = u1 + 3d
Sn = u1 + u2 + ... + un =
n ( n − 1) d
u + u = 8 2u + 3d = 8 u = 1 Khi đó 1 4 ⇔ 1 ⇔ 1 u u 2 − = d = 2 d = 2 3 2 n( n − 1) Áp dụng công thức S = nu1 + d 2
2
n 12.11.d Suy ra S12 = 12u1 + = 6 ( 2u1 + 11d ) ≠ ( 2u1 + 11d ) . 2 2 Câu 55. Chọn A. Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng ta có: n ( u1 + un ) n ( n − 1) = nu1 + Sn = d = 2019.3 + 2019.2018 = 4 080 399 . 2 2
Vậy tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng là S10 = 10.1 + Câu 65. 15
Chọn A
10.9 .2 = 100 2 16
u4 = −12 u1 + 3d = −12 u1 = −21 Ta có: ⇔ ⇔ . d = 3 u14 = 18 u1 + 13d = 18 Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: S16 = 16. ( −21) + Câu 66.
2u1 + ( n − 1) d n 2.1 + ( n − 1) 7 n Sn = ⇔ 7944 = ⇔ 7 n 2 − 5n − 15888 = 0 2 2 n = 48 ( t / m ) . ⇔ n = − 331 ( loai ) 7 Vậy x = u48 = 1 + 47.7 = 330 .
16.15 .3 = 24 . 2
u2 − u3 + u5 = 10 u1 + d − u1 − 2d + u1 + 4d = 10 u1 + 3d = 10 u = 1 . ⇔ ⇔ 1 ⇔ u + u = 26 u + 3 d + u + 5 d = 26 u d 2 + 8 = 26 1 6 1 1 d = 3 4
Câu 74.
u4 = 10 , u7 = 19 , u10 = 28 … Ta có u1 , u4 , u7 , u10 , …, u2011
S=
Câu 67.
1 1 1 . + + ... + u1u2 u2u3 u49u50 u −u u −u d d d u −u 1 1 Ta có S .d = + + ... + = 2 1 + 3 2 + ... + 50 49 = − u1u2 u2u3 u49u50 u1u2 u2u3 u49u50 u1 u50 1 147 . = 1− = 1 + 49.3 148 49 Với d = 3 nên S = . 148 Câu 75. Chọn D Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho. 200 − 2u1 Ta có: S100 = 50 ( 2u1 + 99 d ) = 10000 ⇒ d = = 2. 99 2 2 2 ⇒ 2S = + + ... + u1u2 u2u3 u99u100 u −u u −u u −u = 2 1 + 3 2 + ... + 99 100 u1u2 u2u3 u99u100 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + ... + − + − u1 u2 u2 u3 u98 u99 u99 u100 1 1 1 1 198 = − = − = u1 u100 u1 u1 + 99d 199 99 . ⇒S= 199
Đặt S =
u1 = 1 là cấp số cộng có d = 9 n = 671
671 ( 2.1 + 670.9 ) = 2023736 . 2
Ta có: S50 =
50 ( 2u1 + 49d ) = 5150 ⇒ d = 4 . 2
Số hạng tổng quát của cấp số cộng bằng un = u1 + ( n − 1) d = 1 + 4 n .
Câu 68.
Ta có: u1 = S1 = 8 .
u2 = S2 − S1 = 18 ⇒ d = u2 − u1 = 18 − 8 = 10 . Câu 69.
Gọi d là công sai của cấp số cộng. Ta có S100 = 50 ( 2u1 + 99d ) = 14950 với u1 = 1 ⇒ d = 3
Ta có u5 = 18 ⇔ u1 + 4d = 18 .
5.4 10.9 d = 10u1 + d ⇔ 2u1 − d = 0 . Lại có 4 S5 = S10 ⇔ 4 5u1 + 2 2 u + 4 d = 18 u = 2 Khi đó ta có hệ phương trình 1 . ⇔ 1 2u1 − d = 0 d = 4 Câu 70. Chọn C 6 ( 2a1 + 5d ) 9 ( 2a1 + 8d ) Ta có S6 = S9 ⇔ = ⇔ a1 = −7d . 2 2 a3 a1 + 2d −7 d + 2d 5 = = = . a5 a1 + 4d −7 d + 4d 3 Câu 71. Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u1 và công sai d .
C2
A1
B1 A3
7.6.d 7u1 + 2 = 77 S7 = 77 7u + 21d = 77 u = 5 Ta có: ⇔ ⇔ 1 ⇔ 1 . S 192 12.11. d 12 u 66 d 192 = + = 1 d = 2 12 12u + = 192 1 2 Khi đó: un = u1 + ( n − 1) d = 5 + 2 ( n − 1) = 3 + 2 n .
B3
B2 C3
Câu 72.
Ta có Sn = 2n 2 + 3n ⇒ u1 = S1 = 5 , u1 + u2 = S2 = 14 ⇒ u2 = 9 , u1 + u2 + u3 = S3 = 27 ⇒ u3 = 13 … Dựa vào nội dung các đáp án ta chọn được đáp án ( an ) là một cấp số cộng với công sai bằng 4 .
Câu 73.
Ta có cấp số cộng với u1 = 1 , d = 7 , un = x , Sn = 7944 . Áp dụng công thức 17
Câu 76.
A2
C1
Chọn B Ta có: 1 1 1 1 1 1 P2 = P1 ; P3 = P2 = P1 ; P4 = P3 = P1 …; Pn = n −1 P1 2 2 4 2 8 2 … 18
Vậy P = P1 + P2 + P3 + ... = P1 +
1 1 1 P P1 + P1 + P1 + ... = 1 = 2 P1 = 24. 1 2 4 8 1− 2
= 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − ad − bc ) = 64 . Câu 83.
Ta gọi d là công sai của cấp số cộng. u1u2 + u2u3 + u3u1 = 4 ( 4 + d ) + ( 4 + d )( 4 + 2d ) + 4 ( 4 + 2 d ) 2
= 2d 2 + 24d + 48 = 2 ( d + 6 ) − 24 ≥ −24 Dấu " = " xả y ra khi d = −6 . Vậy giá trị nhỏ nhất của u1u2 + u2u3 + u3u1 là −24 .
DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Câu 77. Sau tuần đầu, Hùng cần thêm 358 đô la. Như vậy Hùng cần thêm 358 :8 = 44,75 tuần. Vậy đến tuần thứ 46 Hùng đủ tiền.
Câu 78.
Câu 84.
2
Suy ra ba cạnh của tam giác có độ dài là
Câu 85.
⇔ n2 = 900
Câu 86.
Chọn B Giả sử 1089 được xếp thành n hàng. Từ giả thiết ta có số hộp sơn trên mỗi hàng là số hạng của một cấp số cộng (un ) với số hạng đầu u1 = 1 công sai d = 2 . Do đó Vậy số hộp sơn ở hàng cuối cùng là: u33 = 1+ 32.2 = 65 (hộp sơn). Chọn D Đặt u k là hàng thứ k k ( k + 1) 2 k ( k + 1) k = 50 Theo giả thiết ta có : = 1275 ⇔ 2 k = −51 < 0 Vậy k = 50 nên có 50 hàng.
Câu 87.
Chọn C Theo đề bài ta có:
n = 30 = 465 ⇔ n2 + n − 930 = 0 ⇔ . n = −31( l )
1 + 2 + 3 + .... + n = 3003 ⇔
Câu 88.
mươi. Ta có công thức truy hồi ta có un = un −1 + 4 ( n = 2,3,...,30 ) . Ký hiệu: S30 = u1 + u2 + ... + u30 , theo công thức tổng các số hạng của một cấp số cộng, ta được: 30 S30 = ( 2u1 + ( 30 − 1) 4 ) = 15 ( 2.15 + 29.4 ) = 2190 . 2 a + d = b + c Câu 82. Theo giả thiết ta có: ⇒ a+d =b+c = 2. a + b + c + d = 4
Câu 89.
n = 77 (TM ) n.(n + 1) = 3003 ⇔ n 2 + n − 6006 = 0 ⇔ . 2 n = −78 ( L)
Chọn D Ta có số gạch ở mỗi hàng là các số hạng của 1 cấp số cộng: 500 , 499 , 498 ,., 2 , 1 . ⇒ Tổng số gạch cần dùng là tổng của cấp số cộng trên, bằng S 500 =
500(500 + 1) = 250.501 = 125250 (viên) 2
Chọn C Giả sử trồng được n hàng cây ( n ≥ 1, n ∈ ℕ ) .
Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có u1 = 1 và công sai d = 1 . Theo giả thiết: n = 80 n Sn = 3240 ⇔ 2u1 + ( n − 1) d = 3240 ⇔ n ( n + 1) = 6480 ⇔ n 2 + n − 6480 = 0 ⇔ 2 n = −81 So với điều kiện, suy ra: n = 80 . Vậy có tất cả 80 hàng cây.
2
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = ( a + d ) + ( b + c ) − 2 ( ad + bc ) 2
3 5 ;1; . 4 4
Giả sử có n hàng cây.
Như vậy số hàng cây trong khu vườn là 30 . Câu 81. Gọi u1 , u2 ,...u30 lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,… và dãy ghế số ba
2
1 . 4
Ta có : S = u1 + u2 + ... + uk = 1 + 2 + 3 + ... + k =
với số un là số cây ở hàng thứ n và u1 = 1 và công sai d = 1 .
2
2
S n = 1089 ⇔ n + n ( n −1) = 1089 ⇔ n = 33 .
Suy ra ( u n ) là cấp số cộng với công sai 4,5 . Vậy số tiền lương kĩ sư nhận được là 2u + ( n − 1) d 2 × 4, 5 + 11× 0,3 = 12 = 73,8 (triệu đồng). S12 = n 1 2 2 Câu 80. Cách trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như trên lập thành một cấp số cộng ( un ) n ( n + 1)
( 0 < d < a) .
Vì tam giác vuông nên theo định lý Pytago ta có (1 + d ) = (1 − d ) + 12 ⇔ 4d = 1 ⇔ d =
⇒ n = 30. Vậy u30 = 1 + 29* 2 = 59. Cách 2: Áp dụng công thức 1 + 3 + 5 + ..... + (2n − 1) = n 2 . Suy ra n = 30. Vậy 2n − 1 = 59. Câu 79. Ta có 3 năm bằng 12 quý. Gọi u1 , u2 , …, u12 là tiền lương kĩ sư đó trong các quý (từ quý 1 đến quý 12 ).
Tổng số cây trồng được là: Sn = 465 ⇔
Gọi d là công sai của cấp số cộng và các cạnh có độ dài lần lượt là a − d , a , a + d Vì tam giác có chu vi bằng 3 nên 3a = 3 ⇔ a = 1 .
Áp dụng công thức tính tổng n số hạng liên tiếp của CSC: n Sn = 2u1 + ( n − 1) d 2 n ⇔ 900 = 2.1 + ( n − 1) .2 2
2
⇒ ad + bc = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − ( a + d ) − ( b + c ) = −8 .
P = a3 + b3 + c3 + d 3 = ( a + d ) ( a 2 − ad + d 2 ) + ( b + c ) ( b 2 − bc + c 2 ) 19
20
Câu 90.
Chọn A Cấp số cộng đầu tiên có số hạng tổng quát là un = 4 + ( n − 1) .3 = 3n + 1 Cấp số cộng thứ hai có số hạng tổng quát là um = 1 + ( m − 1) .5 = 5m − 4
3 1 Vậ y M = ; m = − ⇒ S = 1 . 2 2
(n ∈ ℕ ). ( m ∈ ℕ ). *
*
Câu 94.
Ta cần có 3n + 1 = 5m − 4 ⇔ 3n = 5 ( m − 1) . Ta thấy để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì 3n ⋮ 5 ⇔ n ⋮ 5. Vì cấp số cộng có 100 số hạng nên từ đó suy ra có 20 số hạng chung. Câu 91. Số ngày bạn An để dành tiền (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016 ) là 31 + 29 + 31 + 30 = 121 ngày. Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là: u1 = 100 .
Ta có un+1 =
Đặt vn =
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: u2 = 100 + 1.100 .
Để un <
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ 121 là: u121 = 100.121 = 12100 . Sau 121 ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của 121 số hạng đầu của cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 100 , công sai d = 100 . 121 121 Vậy số tiền An tích lũy được là S121 = ( u1 + u121 ) = (100 + 12100 ) = 738100 đồng. 2 2
1
+
14! 14! 14! + =2 k !(14 − k ) ! ( k + 2 ) !(12 − k )! ( k + 1)!(13 − k ) ! 1
=
, ∀n ≥ 1 ⇔ un +12 =
un 2 1 1 = 1+ 2 ⇔ 1 + un 2 un +12 un
1 1 , khi đó v1 = và vn+1 = 1 + vn nên ( vn ) là cấp số cộng có công sai là 1 . un2 2018 2
1 1 1 + n − 1 suy ra 2 = + n −1. un 2018 2 2018 2
1 1 1 > 2018 2 ⇔ (n − 1) + > 2018 2 ⇔ 2018 un 2 2018 2
1 1 + 20182 ⇔ n > 4072325 − 2018 2 2018 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn điều kiện là 4072325 . 2 Câu 95. Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử bất kỳ trong tập hợp X ∪ Y ta có C2000 cách chọn. Gọi 2 phần tử bằng nhau trong X , Y là u k và vl . 3l Do uk = vl ⇒ 3 + 2 ( k − 1) = 2 + 3 ( l − 1) ⇒ k = − 1 2 1 Do 1 ≤ k ≤ 1000 ⇒ 1 ≤ l ≤ 667 . Mặt khác l = 2 x ⇒ ≤ x ≤ 333,5 ⇒ có 333 số 2 333 Vậy xác suất để chọn được 2 phần tử bằng nhau là: 2 ≈ 1, 665832916.10−4 . C2000
C14k , C14k +1 , C14k + 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ta có
⇔
1 + un
2
⇔ n > 1−
Chọn A Điều kiện: k ∈ ℕ, k ≤ 12
C14k + C14k + 2 = 2C14k +1 ⇔
un
vn = v1 + ( n − 1) =
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: u3 = 100 + 2.100 . … Số tiền bỏ ống heo ngày thứ n là: un = u1 + ( n − 1) d = 100 + ( n − 1)100 = 100n .
Câu 92.
Chọn A Từ giả thiết suy ra un > 0, ∀n ≥ 1
2
(14 − k )(13 − k ) ( k + 1)( k + 2 ) ( k + 1)(13 − k )
⇔ (14 − k )(13 − k ) + ( k + 1)( k + 2 ) = 2 (14 − k )( k + 2 ) k = 4 (tm) ⇔ k 2 − 12k + 32 = 0 ⇔ . k = 8 (tm)
Có 4 + 8 = 12.
Câu 93.
Chọn A
1 Ta có: x 2 ; ; y 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng x 2 + y 2 = 1 . 2 Đặt x = sin α , y = cos α .
3 1 + cos 2α sin2α + ⇔ 2 P − 1 = 3 sin2α + cos 2α . 2 2 Giả sử P là giá trị của biểu thức ⇒ 2P − 1 = 3 sin2α + cos 2α có nghiệm. 2 1 3 2 ⇔ ( 2 P − 1) ≤ 3 + 12 ⇔ − ≤ P ≤ . 2 2
P = 3 xy + y 2 = 3 sinα .cos α + cos 2 α =
( )
21
22
TOÁN 11
D. Dãy số là cấp số nhân có công bội q = 3 .
CẤP SỐ NHÂN
1D3-4
Câu 5.
MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1
Câu 6.
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN ........................................................................................................................ 1 DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN ..................................................................................................... 2 DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN ..................................................................................................... 3 DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN................................................................................... 6 DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG ........................................................................................... 8 DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC.............................................................................. 8
Câu 8.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x để ba số 1; x; x + 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân? A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. 0 .
Câu 9.
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Tìm tất cả các giá trị của x để ba số 2 x − 1, x, 2 x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. 1 1 A. x = ± B. x = ± C. x = ± 3 D. x = ±3 3 3
Câu 10.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai? A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. B. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng. C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng. D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.
Câu 11.
(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Xác định x dương để 2 x − 3 ; x ; 2 x + 3 lập thành cấp số nhân. A. x = 3 . B. x = 3 . C. x = ± 3 . D. không có giá trị nào của x .
Câu 12.
(THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Giả sử
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN ................................................................................................... 14 DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG ......................................................................................... 21 DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC............................................................................ 22
PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN Câu 1.
Trong các dãy số ( u n ) sau đây, dãy số nào là cấp số nhân? A. un = 3n .
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
B. un = 2n .
C. un =
1 . n
D. un = 2 n + 1 .
un được cho bởi công thức nào dưới đây là số hạng tổng quát của một cấp số nhân? 1 1 1 1 A. un = n +1 . B. un = n 2 − . C. un = n − 1 . D. un = n 2 + . 2 2 2 2
D. 2, 4, 6,8,...
Tập hợp các giá trị x thỏa mãn x, 2 x, x + 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân là A. {0;1} . B. ∅ . C. {1} . D. {0}
DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN ................................................................................................... 13 DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN................................................................................. 18
C. 2, 4,8,16,... .
1 1 1 1 ; − . Khẳng định nào sau đây là sai? Cho dãy số: −1; ; − ; 3 9 27 81 A. Dãy số không phải là một cấp số nhân. 1 B. Dãy số này là cấp số nhân có u1 = −1; q= − . 3 1 n C. Số hạng tổng quát. un = ( −1) . n −1 3 D. Là dãy số không tăng, không giảm.
Câu 7.
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 12 DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN ...................................................................................................................... 12
Dãy nào sau đây là một cấp số nhân? A. 1, 2,3, 4,... . B. 1,3,5, 7,... .
một cấp số nhân. Tính cos 2α . 3 3 A. . B. − . 2 2
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân? n n A. un = ( −1) n . B. un = n2 . C. un = 2n . D. un = n . 3
C.
1 . 2
sin α , cos α , tan α theo thứ tự đó là 6 1 D. − . 2
DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN
Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát là un = 3.2 n+1 ( ∀n ∈ ℕ* ) . Chọn kết luận đúng:
Câu 13.
A. Dãy số là cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 12 . B. Dãy số là cấp số cộng có công sai d = 2 . C. Dãy số là cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 6 .
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm công bội 9 của một cấp số nhân ( un ) có u1 =
u6 = 16 . 1 A. q = . 2 1
B. q = −2 .
C. q = 2 .
1 và 2
1 D. q = − . 2 2
Câu 14.
Cho cấp số nhân ( u n ) có số hạng đầu u1 = 2 và u6 = 486 . Công bội q bằng A. q = 3 .
B. q = 5 .
3 C. q = . 2
1 Câu 15. Cho cấp số nhân ( un ) với u1 = − ; u 7 = −32 . Tìm q ? 2 1 A. q = ± . B. q = ±2 . C. q = ±4 . 2 Câu 16.
Câu 25.
2 D. q = . 3
A. u1 = 24 . Câu 26.
D. q = ±1 .
Cho ba số thực x, y , z trong đó x ≠ 0 . Biết rằng x, 2 y ,3 z lập thành cấp số cộng và x, y , z lập thành cấp số nhân; tìm công bội q của cấp số nhân đó. 1 q = 1 q = 3 A. B. C. q = 2 D. q = 1 q = 1 q = 2 3 3
Câu 27.
Câu 18.
Câu 19.
B. u2 = 6 .
C. u2 = 1 .
7
8
A. 2.5 . B. 2.5 . C. 2.5 . Câu 20. Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = 3 , công bội q = 2 . Ta có u5 bằng A. 24 . Câu 21.
B. 11 .
C. 48 .
u6 u8 bằng
B. 3.2 2018 .
C. 2.32019 .
D. 9 . 1 , u4 = 4 . 4
Câu 24.
C. 8 .
D. 3.2 2019 .
D. 10 .
(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = 5 và công bội q = −2 . Số hạng thứ sáu của ( un ) là
A. u6 = 320 .
B. u6 = −160 .
C. u6 = −320 .
D. u2018 = 6.2 2018 + 5 .
Cho ( un ) là cấp số nhân, công bội q > 0. Biết u1 = 1, u3 = 4. Tìm u4 .
11 . 2
B. 2.
C. 16.
D. 8.
Câu 29.
(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho một cấp số nhân có số hạng thứ 4 gấp 4096 lần số hạng đầu tiên. Tổng hai số hạng đầu tiên là 34. Số hạng thứ 3 của dãy số có giá trị bằng: A. 1. B. 512 . C. 1024 . D. 32 .
biết u1 = 12 ,
A. u9 =
u3 = 243 . Tìm u9 . u8
2 . 2187
B. u9 =
4 . 6563
C. u9 = 78732 .
D. u9 =
4 . 2187
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số nhân ( un ) có tổng
u − u = 54 Câu 32. (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số nhân ( u n ) biết 4 2 . Tìm số hạng u5 − u3 = 108
đầu u1 và công bội q của cấp số nhân trên. A. u1 = 9 ; q = 2 . B. u1 = 9 ; q = −2 . C. u1 = −9 ; q = −2 . D. u1 = −9 ; q = 2 . Câu 33. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Xen giữa số 3 và số 768 là 7 số để được một cấp số nhân có u1 = 3 . Khi đó u5 là: A. 72 . B. −48 . C. ±48 . D. 48 .
Câu 23. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số nhân ( un ) ; u1 = 1, q = 2 . Hỏi số
1024 là số hạng thứ mấy? A. 11 . B. 9 .
C. u2018 = 6.2 2017 + 1 .
n số hạng đầu tiên là Sn = 5n − 1 với n = 1, 2,... . Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó? A. u1 = 5 , q = 4 . B. u1 = 5 , q = 6 . C. u1 = 4 , q = 5 . D. u1 = 6 , q = 5 .
Giá trị của u1 là 1 1 1 1 A. u1 = . B. u1 = . C. u1 = − . D. u1 = . 6 16 16 2 Câu 22. Cho cấp số nhân ( u n ) có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 3 . Giá trị u2019 bằng
A. 2.32018 .
217 . 3
Cho cấp số nhân ( un ) , n ≥ 1 với công bội q = 2 và có số hạng thứ hai u2 = 5. Số hạng thứ 7 của cấp số nhân là A. u7 = 320 . B. u7 = 640 . C. u7 = 160 . D. u7 = 80 .
Câu 31.
D. 2.55 .
(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho cấp số nhân ( un ) có công bội dương và u2 =
D. u1 =
Câu 28.
(THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Cho cấp số nhân ( u n ) có u5 = 2 và u9 = 6 . Tính u21 . A. 18 . B. 54 . C. 162 . D. 486 . 6
C. u1 = 96 .
Câu 30. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Cho cấp số nhân ( un ) ,
D. u2 = −18 .
Cho cấp số nhân ( u n ) có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 5 . Giá trị của
1334 . 11
u1 = 1 (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho dãy số ( un ) xác định bởi . Tính số un +1 = 2un + 5
A.
(HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số nhân ( u n ) có u1 = −2 và công bội
q = 3 . Số hạng u 2 là: A. u2 = −6 .
B. u1 =
hạng thứ 2018 của dãy số trên A. u2018 = 6.2 2017 − 5 . B. u2018 = 6.2 2018 − 5 .
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN
Câu 17.
Tìm số hạng đầu u1 của cấp số nhân ( un ) biết rằng u1 + u2 + u3 = 168 và u4 + u5 + u6 = 21
D. u6 = 160 . 3
u = 8u17 Câu 34. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cấp số nhân ( u n ) có 20 . Tìm u1 + u5 = 272 u1 , biết rằng u1 ≤ 100 . A. u1 = 16. B. u1 = 2. C. u1 = −16. D. u1 = −2. Câu 35. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số nhân u1 = −1 , u6 = 0, 00001 . Khi đó q và số hạng tổng quát là? 4
1 −1 −1 , un = n−1 . B. q = , un = −10n −1 . 10 10 10 n −1 1 1 ( −1) C. q = , un = n −1 . D. q = , un = n−1 . 10 10 10 10 A. q =
Câu 36.
C. q = −4 , u1 = −
1 , u5 = 16 . Tìm 4
(THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Cho dãy số 4,12, 36,108,324,... . Số hạng thứ 10 của dãy số đó là? B. 77832 . C. 72873 . D. 78732 . A. 73872 .
Câu 39.
Cho tứ giác ABCD có bốn góc tạo tành cấp số nhân có công bội q = 2 , góc có số đo nhỏ nhất trong bốn góc đó là: A. 10 B. 300 C. 120 D. 240
u1 − u3 + u5 = 65 Cho cấp số nhân ( un ) thỏa mãn . Tính u3 . u1 + u7 = 325
Câu 41.
Câu 42.
B. u3 = 25 .
Câu 47.
(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho dãy số ( un )
hạng thứ 2020 của dãy. A. u2020 = 3.22020 − 5. B. u2020 = 3.22019 + 5.
C. u2020 = 3.2
2019
− 5.
D. u2020 = 3.2
2020
Câu 51.
Câu 52.
Câu 43. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Số hạng đầu và công bội q của CSN với u7 = −5, u10 = 135 là: 5 5 5 5 , q = −3 . , q = 3 . C. u1 = ,q = 3. B. u1 = − D. u1 = − A. u1 = , q = −3 . 729 729 729 729
Câu 53.
Câu 44.
Câu 54.
C. u2019 = 5.22020 − 6062. D. u2019 = 5.22020 + 6062.
5
D. S10 = −1025 .
B. 212 − 1 .
C. 3.212 − 1.
D. 3.212 .
(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho ( un ) là cấp số nhân, đặt Sn = u1 + u2 + ... + un . Biết S2 = 4; S3 = 13 và u2 < 0 , giá trị S5 bằng 181 35 A. 2 . B. . C. . D. 121 . 16 16 Giá trị của tổng S = 1 + 3 + 3 2 + ... + 3 2018 bằng 32019 − 1 32018 − 1 A. S = . B. S = . 2 2
C. S =
32020 − 1 . 2
D. S = −
32018 − 1 . 2
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,1555... = 3,1 ( 5 ) viết dưới dạng số hữu tỉ là:
A.
Cho dãy số ( un ) được xác định bởi u1 = 2 ; un = 2un −1 + 3n − 1 . Tìm số hạng thứ 2019 của dãy
C. S10 = 1025 .
n
+ 5.
số. A. u2019 = 5.22019 − 6062. B. u2019 = 5.2 2019 + 6062.
B. S10 = 1023 .
1 (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho dãy ( un ) với un = + 1 , ∀n ∈ ℕ* . Tính 2 S 2019 = u1 + u 2 + u3 + ... + u 2019 , ta được kết quả 1 4039 1 6057 A. 2020 − 2019 . B. . C. 2019 + 2019 . D. . 2 2 2 2 Câu 49. Cho cấp số nhân ( un ) có u3 = 12 , u5 = 48 , có công bội âm. Tổng 7 số hạng đầu của cấn số nhân đã cho bằng B. −129 . C. 128 . D. −128 . A. 129 .
D. u3 = 20 .
u1 = 1 . Tìm số xác định bởi un +1 = 2un + 5
D. −212540600 .
Câu 48.
n
Cho cấp số nhân ( un ) có tổng n số hạng đầu tiên là S n = 6 − 1 . Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân đã cho. A. 120005. B. 6840. C. 7775. D. 6480.
C. −212540500 .
(LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn u2 = 6 , u4 = 24 . Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. A. 3.212 − 3 .
Câu 50.
C. u3 = 10 .
B. −312540500 .
n + 4 , n ≥1. Giá trị của u50 gần nhất n2 + 3n + 2
Cho cấp số nhân ( u n ) có u1 = −3 và q = −2 . Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân. A. S10 = −511.
(THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN - 2018) Cho cấp số nhân có số hạng đầu u1 = −2, công 3 81 bội q = . Số − là số hạng thứ mấy của cấp số này? 4 128 A. 5 . B. 4 . C. 6 . D. 3 .
A. u3 = 15 .
2
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 46.
1 1 . D. q = 4 , u1 = . 16 16
Câu 38.
Câu 40.
3 Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 = 1; un+1 = un − với số nào dưới đây? A. −312540600 .
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Cho cấp số nhân u n có u2 = công bội q và số hạng đầu u1 . 1 1 1 1 A. q = , u1 = . B. q = − , u1 = − . 2 2 2 2
Câu 37.
Câu 45.
63 . 20
Tính tổng 7 A. S = 6
B.
142 . 45
C.
1 . 18
1 1 n −1 1 S = −1 + − 2 + ... + ( −1) + ... 6 6 6n 6 6 B. S = − C. S = 7 7
D.
7 . 2
D. S = −
7 6
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,121212... được biểu diễn bởi phân số 3 1 3 12 A. . B. . C. . D. . 25 11 22 99 Câu 55. (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Tổng các số hạng của cấp số nhân đó là A. 215 . B. 315 . C. 415 . D. 515 . 6
Câu 56.
(LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số nhân
( un )
1 n −1 * un +1 = 2un + 2 ; n ∈ ℕ . Khi đó u2018 bằng: 3 n + 3n + 2 22016 1 22018 1 A. u2018 = 2017 + . B. u2018 = 2017 + . 3 2019 3 2019 2017 2017 2 1 2 1 C. u2018 = 2018 + . D. u2018 = 2018 + . 3 2019 3 2019
thỏa mãn
u1 + u2 + u3 = 13 . Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân ( u n ) là u4 − u1 = 26
A. S8 = 1093 . Câu 57.
Câu 58.
B. S8 = 3820 .
C. S8 = 9841 .
D. S8 = 3280 .
1 1 1 (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Tổng S = + 2 + ⋅⋅⋅ + n + ⋅⋅⋅ có giá trị là: 3 3 3 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 9 4 3 2
Câu 65.
Câu 59.
Câu 60.
Câu 66.
(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp 1 số nhân có số hạng đầu là , số hạng thứ tư là 32 và số hạng cuối là 2048 ? 2 1365 5416 5461 21845 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2
( un ) ? A. 5377 .
B. 5737 .
C. 3577 .
2
1 1 1 ( −1) − , , − ,..., n ,... là. 2 4 8 2 A. −1. Câu 62.
B.
1 . 2
1 C. − . 4
Giá trị của tổng 7 + 77 + 777 + ... + 77...7 (tổng có 2018 số hạng) bằng ö 70 7 æ102018 - 10 102018 - 1 + 2018 . A. B. çç - 2018 ÷÷ . 9è 9 9 ø 2019 ö 7 7æ 10 10 C. çç D. 102018 - 1 . - 2018 ÷÷ . 9 9è 9 ø
(
Câu 63.
C. Câu 64.
)
(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Giá trị của tổng 4 + 44 + 444 + ... + 44...4 (tổng đó có 2018 số hạng) bằng 40 2018 4 10 2019 − 10 10 − 1 + 2018 . A. B. − 2018 . 9 9 9
(
Câu 67.
Câu 68.
D.
4 2018 (10 −1) . 9
(THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho dãy số xác định bởi u1 = 1 , 7
C. 220.
D. 221 − 20.
B. 18 .
C. 3 .
D. 9 .
Cho ba số x ; 5 ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số x ; 4 ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì x − 2 y bằng
B. x − 2 y = 9 .
C. x − 2 y = 6 .
D. x − 2 y = 8 .
Câu 69.
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un ) biết u1 = 1 và u1 , u3 , u4 theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng. 5 +1 5 −1 1 A. . B. . C. . D. 2 . 2 2 5 −1
Câu 70.
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2 , thứ 9 , thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820 ? A. 20 . B. 42 . C. 21 . D. 17 . DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
)
4 10 2019 − 10 + 2018 . 9 9
B. 2 21 − 22.
(NGÔ GIA TỰ_VĨNH PHÚC_LẦN 1_1819) Cho ba số a , b , c là ba số liên tiếp của một cấp số cộng có công sai là 2 . Nếu tăng số thứ nhất thêm 1, tăng số thứ hai thêm 1 và tăng số thứ ba thêm 3 thì được ba số mới là ba số liên tiếp của một cấp số nhân. Tính ( a + b + c ) . A. 12 .
)
(
thỏa mãn
DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG
A. x − 2 y = 10 .
1 D. − . 3
1 . 243
(THPT THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN - 2018) Cho dãy số (un )
A. 220 − 20.
D. 3775 .
(THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Tính tổng cấ số nhân lùi vô hạn
D.
u1 = 1 . Tổng S = u1 + u2 + ... + u20 bằng un = 2un −1 + 1; n ≥ 2
(THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Một cấp số nhân ( un ) có n số hạng, số hạng đầu u1 = 7 , công bội q = 2 . Số hạng thứ n bằng 1792 . Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Câu 61.
n +1 U U U .U n . Tổng S = U1 + 2 + 3 + ... + 10 bằng: 3n 2 3 10 3280 29524 25942 A. . B. . C. . 6561 59049 59049
1 3
và U n +1 =
(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số ( an ) xác định bởi a1 = 2 , an+1 = −2an , n ≥ 1 , n ∈ ℕ . Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số. 2050 A. . B. 2046 . C. −682 . D. −2046 . 3
(THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho dãy số (U n ) xác định bởi: U1 =
Câu 71.
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Người ta thiết kế một cái tháp 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288 m 2 ). Tính diện tích mặt trên cùng. A. 8 m 2 . B. 6 m2 . C. 10 m2 . D. 12 m2 . 8
Câu 72.
(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Một hình vuông ABCD có cạnh AB = a , diện tích S1 . Nối 4 trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự của 4 cạnh AB , BC , CD , DA ta được hình vuông thứ hai là A1 B1C1 D1 có diện tích S2 . Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba A2 B2C2 D2
1 độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả 10 từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? độ cao bằng
có diện tích S3 và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích S4 , S5 ,... Tính S = S1 + S2 + S3 + ... + S100 .
A. S = Câu 73.
2100 − 1 . 299 a 2
B. S =
a ( 2100 − 1)
299
.
C. S =
a 2 ( 2100 − 1)
299
.
D. S =
a 2 ( 299 − 1)
299
.
Dân số tỉnh Bình Phước theo điều tra vào ngày 1 / 1 / 2011 là 905300 người (làm tròn đến hàng nghìn). Nếu duy trì tốc độ tăng trưởng dân số không đổi là 10% một năm thì đến 1 / 1 / 2020 dân số của tỉnh Bình Phước là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị) A. 22582927 . B. 02348115 . C. 2134650 . D. 11940591 .
Câu 74.
(THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao 10 m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao 3 bằng độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn. 4 A. 40 m. B. 70 m. C. 50 m. D. 80 m. Câu 75. (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp đôi biết rằng sau 5 phút người ta đếm được có 64000 con hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 2048000 con. A. 10 . B. 11 . C. 26 . D. 50 . Câu 76.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Trên một bàn cờ vua kích thước 8x8 người ta đặt số hạt thóc theo cách như sau. Ô thứ nhất đặt một hạt thóc, ô thứ hai đặt hai hạt thóc, các ô tiếp theo đặt số hạt thóc gấp đôi ô đứng liền kề trước nó. Hỏi phải tối thiểu từ ô thứ bao nhiêu để tổng số hạt thóc từ ô đầu tiên đến ô đó lớn hơn 20172018 hạt thóc. A. 26 B. 23 C. 24 D. 25
Câu 77.
(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , biết độ dài cạnh đáy BC , đường cao AH và cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q
A. ( 67m; 69m ) . Câu 81.
B. ( 60m;63m ) .
C. ( 64m;66m ) .
D. ( 69m;72m ) .
Để trang trí cho quán trà sữa sắp mở cửa của mình, bạn Việt quyết định tô màu một mảng tường hình vuông cạnh bằng 1m . Phần tô màu dự kiến là các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2,3...n,.. (các hình vuông được tô màu chấm bi), trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (hình vẽ). Giả sử quá trình tô màu của Việt có thể diễn ra nhiều giờ. Hỏi bạn Việt tô màu đến hình vuông thứ mấy thì diện tích của hình vuông được tô bắt 1 đầu nhỏ hơn ( m2 ) ? 1000
. Giá trị của q 2 bằng
A. Câu 78.
2+ 2 . 2
B.
2− 2 . 2
C.
2 +1 . 2
D.
2 −1 2
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số ( an ) xác định bởi a1 = 5, an +1 = q.an + 3 với mọi n ≥ 1 , trong đó q là hằng số, q ≠ 0 , q ≠ 1 . Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng an = α .q n −1 + β
A. 13 . Câu 79.
Câu 80.
B. 9 .
C. 11.
1 − q n −1 . Tính α + 2 β ? 1− q D. 16 .
A. 6 . Câu 82.
B. 3 .
(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho bốn số a, b , c, d theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân 148 với công bội khác 1 . Biết tổng ba số hạng đầu bằng , đồng thời theo thứ tự đó chúng lần lượt 9 là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức T = a − b + c − d . 101 100 100 101 A. T = . B. T = . C. T = − . D. T = − . 27 27 27 27 (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên 9
D. 4 .
(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình ( x −1)( x − 3)( x − m ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân tăng? A. 4.
Câu 83.
C. 5 .
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình x3 − 7 x 2 + 2 ( m 2 + 6m ) x − 8 = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Tính tổng lập phương của hai giá trị đó. A. −342 . B. −216 . C. 344 . D. 216 .
Câu 84.
Cho dãy số
( un )
là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 , công bội q = 2 . Tính tổng
1 1 1 1 T= + + + ... + . u1 − u5 u2 − u6 u3 − u7 u20 − u24 A.
1 − 219 . 15.218
B.
1 − 220 . 15.219
C.
219 −1 . 15.218
D.
220 − 1 15.219
10
Câu 85.
(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Với hình vuông A1 B1C1 D1 như hình vẽ bên, cách tô màu như phần gạch sọc được gọi là cách tô màu “đẹp”. Một nhà thiết kế tiến hành tô màu cho một hình vuông như hình bên, theo quy trình sau:
Câu 88.
5u + 5u1 − u2 = u2 + 6 (THPT YÊN KHÁNH A - LẦN 2 - 2018) Cho dãy số ( un ) thỏa mãn 1 . * un +1 = 3un ∀n ∈ ℕ Giá trị nhỏ nhất của n để un ≥ 2.32018 bằng: A. 2017 . B. 2018 .
C. 2019 .
D. 2010
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu 1.
Ta thấy, với ∀n ≥ 2, n ∈ ℕ dãy số ( un ) = 2 n có tính chất:
Bước 1: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A1 B1C1 D1 . Bước 2: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A2 B2C2 D2 là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông A1 B1C1 D1 thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ.
Câu 2.
un 2n = n −1 = 2 nên là cấp số nhân với un −1 2
công bội q = 2, u1 = 2 . Chọn A n −1
1 1 1 1 1 = . là số hạng tổng quát của một cấp số nhân có u1 = và q = . 2n+1 4 2 4 2 1 1 7 1 17 7 un = n 2 − có u1 = ; u2 = = .7; u3 = ≠ .7 nên không phải số hạng tổng quát của một cấp 2 2 2 2 2 2 số nhân. 1 1 3 1 3 7 3 3 un = n − 1 có u1 = − ; u 2 = − = − . ; u3 = − ≠ − . nên không phải số hạng tổng quát của 2 2 4 2 2 8 4 2 một cấp số nhân. 1 3 9 3 19 9 un = n 2 + có u1 = ; u2 = = .3; u3 = ≠ .3 nên không phải số hạng tổng quát của một cấp 2 2 2 2 2 2 số nhân. u Lập tỉ số n+1 un un =
Bước 3: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A3 B3C3 D3 là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông
A2 B2C2 D2 thành 9 phần bằng nhau. Cứ tiếp tục như vậ y. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để tổng diện tích phần được tô màu chiếm 49,99% . A. 9 bước. B. 4 bước. C. 8 bước. D. 7 bước.
Câu 86.
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN Chọn B
(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho hình vuông ( C1 ) có cạnh bằng a . Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông ( C2 ) (Hình vẽ).
Câu 3.
n +1
A:
un+1 ( −1) . ( n + 1) n +1 = =− ⇒ ( un ) không phải cấp số nhân. n un n ( −1) .n
B:
un +1 ( n + 1) = ⇒ ( un ) không phải là cấp số nhân. un n2
2
Từ hình vuông ( C2 ) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông C1 , C2 , C3 ,., Cn .
T=
32 , tính a ? 3
A. 2 . Câu 87.
B.
5 . 2
C.
2.
Câu 4.
D. 2 2 .
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Cho năm số a , b , c , d , e tạo thành một cấp số nhân theo 1 1 1 1 1 thứ tự đó và các số đều khác 0 , biết + + + + = 10 và tổng của chúng bằng 40 . Tính giá a b c d e trị S với S = abcde . A. S = 42 .
B. S = 62 .
C. S = 32 .
un+1 2n+1 = n = 2 ⇒ un+1 = 2un ⇒ ( un ) là cấp số nhân có công bội bằng 2 . un 2 un +1 n + 1 = D: ⇒ ( un ) không phải là cấp số nhân. un 3n Chọn A Dãy số (un ) có số hạng tổng quát là un = 3.2 n+1 ( ∀n ∈ ℕ* ) ⇒ u n+1 = 3.2 n + 2 . C:
Gọi Si là diện tích của hình vuông Ci ( i ∈{1, 2,3,.....}) . Đặt T = S1 + S2 + S3 + ...Sn + ... . Biết
Xét thương
1+1
bội q = 2 và có số hạng đầu là u1 = 3.2
Câu 5.
D. S = 52 . 11
un+1 3.2n +2 = = 2 = const với ∀ n ∈ ℕ * nên dãy số (un ) là một cấp số nhân có công 3.2n+1 un
=12 .
Chọn C Ta có: 2, 4,8,16,... là cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 2 . 12
Câu 6.
Ta có u6 = u1 ⋅ q 5 ⇒ q5 =
Hướng dẫn giải: Chọn
A. 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: = −1. − ; − = − . − ; = − . − ;....... Vậy dãy số trên là cấp số nhân với 3 9 3 3 27 9 3 3 1 u1 = −1; q=- . 3
1 Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có un = u1q n −1 = −1 − 3
n −1
n
= ( −1) .
1 . 3n −1
Câu 14.
u1 = 2 u1 = 2 ⇔ Theo đề ra ta có: ⇒ q 5 = 243 = 35 ⇒ q = 3 . 5 u6 = 486 486 = u1.q Câu 15. Hướng dẫn giải:
Lờigiải
un = u1q
Chọn C Gọi q là công bội của cấp số nhân. Ta có 2 x = x.q 2 x = x.q q = 2 ⇔ ⇒ x + 3 = 2 x.q x + 3 = 2.2 x x = 1
Câu 17.
tổng
quát
cấp
số
nhân
ta
có
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN Số hạng u2 là: u2 = u1.q = −6
2 u1q 4 = 2 u = 2 u1 = ⇔ 8 ⇔ Ta có 5 3. u1q = 6 u9 = 6 q 4 = 3 5 2 Suy ra u21 = u1q 20 = u1 q 4 = .35 = 162 . 3 Câu 19. Chọn A Vì ( u n ) là cấp số nhân nên u6u8 = u72 , suy ra
( )
(k ∈ ℤ) .
Câu 21.
sin α sin 2 α . .tan α ⇔ 6 cos 2 α = 6 cos α 1 ⇔ 6cos3 α − sin 2 α = 0 ⇔ 6 cos3 α + cos 2 α − 1 = 0 ⇔ cos α = . 2
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: cos 2 α =
u 6 u8 = u 7 = u1 .q 6 = 2.56 .
Chọn C Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: un = u1.q n −1 . Do đó u5 = 3.2 4 = 48 . Chọn B Theo tính chất của cấp số nhân với k ≥ 2 thì uk2 = u k −1 .u k +1 ta suy ra
u3 = 1 1 u32 = u2 .u4 = .4 = 1 ⇔ 4 u3 = −1
2
Vì ( un ) là cấp số nhân có công bội dương nên u3 = 1 . Gọi q là công bội ta được q =
1 1 Ta có: cos 2α = 2cos 2 α − 1 = 2. − 1 = − . 2 2
u4 4 = =4 u3 1
1 u2 4 1 Từ đó ta có u1 = = = . q 4 16 Câu 22. Chọn A
DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN
Câu 13.
hạng q = 2 ⇒ u7 = u1.q ⇒ q = 64 ⇒ q = −2
Câu 18.
Câu 20.
+ kπ
số
6
x + 3z x + 3q 2 x ⇒ 2qx = 2 2 q = 1 2 x + 3q x Vì x ≠ 0 nên 2qx = ⇒ 4q = 1 + 3q 2 ⇒ q = 1 2 3
⇔ x=± 3. Vì x dương nên x = 3 .
2
thức
6
x, 2 y ,3 z lập thành cấp số cộng nên 2 y =
Tập hợp các giá trị x thỏa mãn x, 2 x, x + 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân là {1} . Chọn A x = −1 Để 1; x; x + 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì: x 2 = x + 2 ⇔ . x = 2 Vậy có đúng 1 số nguyên dương x = 2 . Câu 9. Chọn B Để ba số đó lập thành một cấp số nhân thì: 1 1 x 2 = ( 2 x − 1)( 2 x + 1) ⇔ x 2 = 4 x 2 − 1 ⇔ x 2 = ⇔ x = ± 3 3 Câu 10. A. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 1 . B. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d = 0 . C. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng có công sai dương nên: un +1 − un = d > 0 ⇒ un +1 > un . D. Sai. Ví dụ dãy − 5 ; −2 ; 1 ; 3 ; … là dãy số có d = 3 > 0 nhưng không phải là dãy số dương. Câu 11. 2 x − 3 ; x ; 2 x + 3 lập thành cấp số nhân ⇔ x 2 = ( 2 x − 3)( 2 x + 3) ⇔ x 2 = 4 x 2 − 9 ⇔ x 2 = 3
π
n −1
Câu 16. Chọn A x, y , z lập thành cấp số nhân công bội q nên y = qx; z = q 2 x
Câu 8.
Điều kiện: cos α ≠ 0 ⇔ α ≠
Chọn A
Chọn B. Áp dụng công
Câu 7.
Câu 12.
u6 16 = = 32 ⇒ q = 2 . u1 1 2
Chọn C 13
14
Áp dụng công thức của số hạng tổng quát un = u1 .q n −1 = 2.32018 .
Câu 23.
Ta có un = u1.q n−1 ⇔ 1.2n−1 = 1024 ⇔ 2n −1 = 210 ⇔ n − 1 = 10 ⇔ n = 11 .
Câu 24.
Chọn B 5 Ta có: u6 = u1.q 5 = 5. ( −2 ) = −160 .
Câu 25.
Chọn C u + u .q + u1.q 2 = 168 u + u + u = 168 Ta có : 1 2 3 ⇔ 1 31 4 5 u4 + u5 + u6 = 21 u1.q + u1.q + u1.q = 21
u1 = S1 = 5 − 1 = 4 u u1 = 4 Ta có: ⇒ u1 = 4 , q = 2 = 5 . ⇒ 2 u u u1 = 24 − = 20 u + u = S = 5 − 1 = 24 2 1 1 2 2 2 3 u − u = 54 u = 9 u q − u q = 54 u1q ( q − 1) = 54 ⇔ 1 4 1 2 Câu 32. Ta có: 4 2 . ⇔ ⇔ 1 2 2 u q q − = 1 108 u1q − u1q = 108 q = 2 u5 − u3 = 108 ) 1 ( Vậy u1 = 9 ; q = 2 .
Câu 31.
Câu 33.
Do đó u5 = u1.q 4 = 3.24 = 48 . Câu 34. Ta có:
u1 (1 + q + q ) = 168 ⇔ 3 2 u1q (1 + q + q ) = 21 168 u1 = 1+ q + q2 ⇔ q 3 = 1 8 u1 = 96 ⇔ 1 . q = 2 Vậy u1 = 96 , Câu 26. Chọn A Ta có un = vn − 5 , un +1 = 2un + 5 ⇔ vn +1 − 5 = 2 ( vn − 5 ) + 5 ⇔ vn +1 = 2vn . 2
16 3 u .q19 = 8u1q16 u20 = 8u17 u1q ( q − 8 ) = 0(1) ⇔ 1 ⇔ . 4 4 u1 + u5 = 272 u1 + u1.q = 272 u1 (1 + q ) = 272( 2 ) q = 0 . Từ ( 2 ) suy ra u1 ≠ 0 do đó: (1) ⇔ q = 2 Nếu q = 0 thì ( 2 ) ⇔ u1 = 272 không thõa điều kiện u1 ≤ 100 . Nếu q = 2 thì ( 2 ) ⇔ u1 = 16 thõa điều kiện u1 ≤ 100 . Câu 35.
n −1
=
( −1) 10
Vậy đáp án đúng là: C. 1 1 u = u1.q = 4 Câu 36. Ta có 2 4 ⇔ u5 = 16 u1.q 4 = 16
−1 −1 ⇔q= . 105 10
n
n −1
.
(1)
.
( 2)
Chia hai vế của ( 2 ) cho (1) ta được q3 = 64 ⇔ q = 4 ⇒ u1 =
5 5 Vì u2 = 5 = u1.2 ⇒ u1 = ⇒ u7 = .26 = 160. 2 2 Vậy số hạng thứ 7 của cấp số là 160. Đáp án C. Câu 29. Chọn B q 3 = 4096 u4 = 4096.u1 q = 16 q = 16 ⇔ ⇔ ⇔ Theo bài ra ta có: . u 17. = 34 u + u = 34 u .(1 + q ) = 34 u1 = 2 1 1 2 1 2 2 B. Vậy u3 = u1.q = 2.16 = 512 . Chọn
81 3 = −2. 128 4
1 . 16 n −1
Câu 37.
Áp dụng công thức cấp số nhân un = u1q n −1 ⇒ −
Câu 38.
Xét dãy số 4,12, 36,108,324,... là cấp số nhân có u1 = 4 , q = 3 .
4
3 3 ⇔ = 4 4
n −1
⇔ n = 5.
Số hạng thứ 10 của dãy số là u10 = u1.q 9 = 4.39 = 78732 .
Câu 39.
Chọn D Giả sử: Bốn góc A, B, C , D theo thứ tự lập thành cấp số nhân và A nhỏ nhất. Khi đó B = 2 A, C = 4 A, D = 8 A Nên A + 2 A + 4 A + 8 A = 360 0 ⇒ A = 240 Câu 40. Chọn D 2 4 2 4 u1 − u3 + u5 = 65 u1 − u1.q + u1.q = 65 u1 1 − q + q = 65 (1) ⇔ ⇔ Ta có: 6 6 u1 + u7 = 325 u1 1 + q = 325 (2) u1 + u1.q = 325 Chia từng vế của (1) cho ( 2 ) ta được phương trình :
Gọi q là công bội của cấp số nhân ( un ) . Ta có u3 = u1q 2 , u8 = u1q7 ⇒
Ta có: u6 = u1.q5 = 0, 00001 ⇔ q5 =
−1 ⇒ un = u1.q n−1 = −1. 10
Do đó vn là cấp số nhân với v1 = 6 , q = 2 , vn = 6.q n−1 , v2018 = 6.22017 ⇒ u2018 = 6.22017 − 5 . Câu 27. Chọn D u1 = 1 u = 1 u = 1 Ta có: 1 ⇔ u1.q 2 = 4 ⇔ 1 ⇒ u4 = u1.q3 = 8. u = 4 q = 2 3 q > 0 Câu 28. Chọn C Ta có ( un ) , n ≥ 1 là cấp số nhân có công bội q = 2 nên có số hạng tổng quát un = q n −1 . u1 .
Câu 30.
Ta có u1 = 3 và u9 = 768 nên 768 = 3.q8 ⇒ q8 = 256 ⇒ q = ±2 .
u3 1 = = 243 ⇒ q = 1 . u8 q 5 3
( (
8
4 1 . Do đó u9 = u1q8 = 12. = 2187 3 15
)
)
16
n−1 1 3 3 Từ đó ta được un = − . + ⇒ u50 ≈ −212540500 2 2 n +1
1 − q2 + q 4 1 = ⇔ q 6 − 5q 4 + 5q 2 − 4 = 0 (*) 1 + q6 5 Đặt t = q 2 , t ≥ 0 .
t = 4 Phương trình (*) trở thành : t 3 − 5t 2 + 5t − 4 = 0 ⇔ ( t − 4 ) t 2 − t + 1 = 0 ⇔ 2 t − t + 1 = 0(vn) Với t = 4 ⇒ q 2 = 4 ⇔ q = ±2 . Với q = ±2 thay vào ( 2 ) ta được u1 = 5 .
(
Câu 46.
)
10
Ta có: S10 = u1.
Câu 47.
Vậy u3 = u1.q 2 = 5.4 = 20. Câu 41. Chọn D Cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 và công bội q . Do S n = 6 n − 1 nên q ≠ 1 . Khi đó Sn = Ta có: S1 =
u1 (1 − q 1− q
n
) =6
n
Câu 48.
−1 .
u1 (1 − q 2 )
2
Câu 49.
1 1− 1 2 = 2019 + . 1 2 1− 2
= 2020 −
1 . 22019
7
Vì ( u n ) là CSN nên: u7 = u1.q 6 = −5 , u10 = u1.q9 = 135
Câu 50.
u 135 u q9 u 5 ⇒ 10 = ⇔ 1 6 = −27 ⇒ q = −3 ⇒ u1 = 76 = − . u7 −5 u1q q 729
1 − ( −2 ) 1 − q7 = 3. = 129 . 1− q 1 − ( −2 )
Chọn B Gọi u1 , q lần lượt là số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân cần tìm.
u1 (1 + q ) = 4 u1 (1 + q ) = 4 S2 = 4 q = 3 ⇔ ⇔ Từ giả thiết ta có . 2 S3 = 13 u1 1 + q + q = 13 −3 q = 4 u1 = 16 u2 < 0 u ⇒ q = 3 < 0 nên cấp số nhân cần tìm có Vì 3. u2 u3 = S3 − S2 = 9 > 0 q = − 4 1 − q 5 181 Do đó S5 = u1 . = 1 − q 16 Câu 51. Chọn A Ta thấy S là tổng của 2019 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là u1 = 1 , công bội q = 3.
Chọn C Ta có un = 2un −1 + 3n − 1 ⇔ un + 3n + 5 = 2 un−1 + 3 ( n − 1) + 5 , với n ≥ 2 ; n∈ ℕ .
(
Đặt vn = un + 3n + 5 , ta có vn = 2 vn −1 với n ≥ 2 ; n∈ ℕ . Như vậy, ( vn ) là cấp số nhân với công bội q = 2 và v1 = 10 , do đó vn = 10.2n −1 = 5.2n . Do đó un + 3n + 5 = 5.2n , hay un = 5.2 n − 3n − 5 với n ≥ 2 ; n∈ℕ . Nên u2019 = 5.22019 − 6062. Câu 45. Chọn C Ta có
3 n + 4 3 3 2 3 3 3 + = un − un+1 = un − 2 ⇔ un+1 = un − ⇔ un+1 − (1) 2 2 n + 3n + 2 n +1 n + 2 n + 2 2 n +1 3 1 3 Đặt vn = u n − 3 , n ≥ 1 , ta có v1 = u1 − = − và từ (1) thu được v n +1 = v n . 2
2019
Chọn A Ta có: u42 = u3 .u5 = 576 . Vì u3 > 0, u5 > 0 và công bội âm nên: u4 = −24 ⇒ q = −2 . u 12 Lại có: u3 = u1q 2 ⇒ u1 = 32 = = 3. q 4 Áp dụng công thức ta có: S7 = u1
2
)
Chọn A 1 1 1 S2019 = 2019 + + + ... + 2 2 2
u1 (1 − q ) = 6 − 1 ⇔ u1 = 5 . 1− q
n +1
(
2019
Vậy u2020 = 6.22019 − 5 = 3.22020 − 5
Câu 44.
1 − 212 1 − q12 = 3 212 − 1 . = 3. 1− q 1− 2
1
Có u1 = 1 ⇒ v1 = 6 ⇒ un + 5 = 6.2n−1 ⇒ un = 6.2n−1 − 5
Câu 43.
1 − ( −2 ) 1 − qn = −3. = 1023 . 1− q 1 − ( −2)
Gọi công bội của CSN bằng q . Suy ra u4 = u2 .q 2 ⇒ q = ±2 . Do CSN có các số hạng không âm nên q = 2 . Ta có S12 = u1.
= 62 − 1 ⇔ q = 6 . 1− q Vậy u5 = u1. q 4 = 5.6 4 = 6480. Câu 42. Chọn A Đặt un = vn − 5 ⇒ vn +1 − 5 = 2.(vn − 5) + 5 ⇒ vn +1 = 2vn
S2 =
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chọn B
)
Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân ta có S = 1.
2
Câu 52.
n−1 n−1 3 1 3 Suy ra dãy số (vn ) là một cấp số nhân với công bội q = 3 , ta có vn = v1. = − . 2 2 2 2
17
1 − 32019 32019 − 1 . = 1− 3 2
Chọn B 3,1555... = 3,1 + 0,05 + 0,005 + 0,0005 + ... Dãy số 0,05;0,005; 0,0005; 0,00005;... là một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = 0, 05 ; q = 0,1 . 18
Vậy 3,1555... = 3,1 + Câu 53.
un = 2048 ⇒ u1. q n−1 = 2048 ⇒ 4n−1 = 46 ⇒ n = 7
Chọn B
Ta có: q = Câu 54.
0, 05 142 = . 1 − 0,1 45
Khi đó tổng của cấp số nhân này là S 7 =
u2 u3 u −1 −6 1 = = = ... = − ( q < 1) . Do đó: S = 1 = u1 u2 6 1− q 1+ 1 7 6
Câu 60.
12 12 12 12 1 1 1 + + + ... + 2 n + ... = 12 2 + 4 + ... + 2 n + ... 10 10 2 10 4 106 10 10 10
1 4 12 = 12 100 = . = 1 1− 33 99 100 u = 160 u 1 Câu 55. Từ giả thiết ta có 1 ⇒q= 5 6 = . u1 2 u6 = 5
Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S =
Câu 56.
Ta có 7 + 77 + 777 + ... + 77...7
u1 (1 − q 6 ) 1− q
1 160 1 − 2 = 1 2
6
= 315 .
=
7 7 (9 + 99 + 999 + ... + 99...9) = 9 10 - 1 +102 - 1 + 103 - 1 + ... +102018 - 1 9
=
7 10 + 102 + 103 + ... + 102018 - 2018 9
(
(
)
)
2
Mặt khác,ta có 10 +10 + 10 + ... +102018 là tổng của một cấp số nhân với u1 = 10 và công bội
3
q = 10 Þ 10 +102 + 103 + ... +102018 = 10
u (1 + q + q 2 ) = 13 u = 1 ⇔ 1 . ⇔ 1 q = 3 q = 3
Do đó
(
)
(
u1 (1 − q 8 )
=
1(1 − 38 )
)
Câu 63.
= 3280 .
1− q 1− 3 1 1 1 1 Câu 57. Ta có S = + 2 + ⋅⋅⋅ + n + ⋅⋅⋅ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( un ) với un = n có số hạng 3 3 3 3 1 1 đầu u1 = , công sai q = . 3 3 1 u 1 Do đó S = 1 = 3 = . 1− q 1− 1 2 3 a a = 2 Câu 58. Vì n +1 = −2 suy ra ( an ) là một cấp số nhân với 1 . an q = −2
Suy ra S10 = Câu 59.
Ta có un = u1.q n −1
u1 1 + q + q 2 = 13 u + u .q + u1.q 2 = 13 u + u + u = 13 ⇔ 1 3 1 Ta có 1 2 3 ⇔ 2 u1.q − u1 = 26 u 4 − u1 = 26 u1. ( q − 1) 1 + q + q = 26
Vậy tổng S8 =
a1 (1 − q10 )
1− q
Theo bài ra ta có u1 =
1− q
1 (1 − 47 ) 5461 . =2 = 1− 4 2
⇒ 7.2n−1 = 1792 ⇔ n = 9 ⇒ S8 = 3577 1 1 Câu 61. Cấp số nhân có u1 = − công bội q = − nên tổng của cấp số nhân lùi vô hạng là. 2 2 u1 (1 − q n ) u1 1 lim S n = lim = =− 1− q 1− q 3 Câu 62. Chọn C
Chọn B
Ta có 0,121212... =
u1 (1 − q 7 )
= −682 .
ö 7 7 æ102019 - 10 10 + 102 + 103 + ... + 102018 - 2018 = çç - 2018 ÷÷ . 9è 9 9 ø
(
(
(
Do đó Câu 64.
19
) (
)
(
)
)
9 102019 − 10 4 102019 − 10 S= − 2018 ⇔ S = − 2018 . 4 9 9 9
1 n −1 1 3 2 2 1 2 1 − − . Ta có: u n+1 = 2u n + 2 . = 2un + = un + n + 3n + 2 3 n + 2 n +1 3 3 n + 2 3 n +1 1 2 1 = un − (1) n+2 3 n +1
Đặt vn = un −
1 u4 = u1.q ⇒ 32 = .q 3 ⇒ q = 4 2 3
)
Đặt S = 4 + 44 + 444 + ... + 44...4 (tổng đó có 2018 số hạng). Ta có: 9 S = 9 + 99 + 999 + ... + 99...9 = (10 − 1) + 102 − 1 + 103 − 1 + ... 102018 − 1 4 9 Suy ra: S = 10 + 102 + 103 + ... + 102018 − 2018 = A − 2018 . 4 Với A = 10 + 102 + 103 + ... + 102018 là tổng 2018 số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu 1 − 102018 102019 − 10 1 − q 2018 = 10 = . u1 = 10 , công bội q = 10 nên ta có A = u1 1− q −9 9
⇔ un +1 −
1 , u4 = 32 và un = 2048 . 2
102018 - 1 102019 - 10 = . 9 9
1 2 , từ (1) ta suy ra: vn+1 = vn . n +1 3
20
Do đó ( vn ) là cấp số nhân với v1 = u1 −
1 2 Suy ra: vn = v1.q n−1 = . 2 3
⇔ un −
1 1 2 = . n +1 2 3
n −1
1 2 ⇔ un = . 2 3
n −1
+
1+ 5 q = u 1 2 5 −1 1− 5 2 ( vì q < 1 ).Vậy S = 1 = . = = ⇔ ⇒q= 1− q 2 2 1− 5 1+ 5 1− 5 1 − q = 2 2
1 . n +1
Câu 70.
2017
1 22016 1 = + . 2019 32017 2019 U n +1 1 Un U 1 1 .U n ⇔ n+1 = Theo đề ta có: U n+1 = mà U1 = hay 1 = 3n n +1 3 n 3 1 3
1 2 Vậy u2018 = . 2 3 Câu 65.
n −1
1 1 2 = , công bội q = . 2 2 3
+
2
2
3
Theo giả thiết, ta có: x + y + z = x + x + 7 d + x + 42d = 3 x + 49d = 217 . Mặt khác, do x , y , z là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên:
10
U U 1 1 1 U 1 1 1 1 Nên ta có 2 = . = ; 3 = . = ; … ; 10 = . 2 3 3 3 3 3 3 3 10 3 1 1 U Hay dãy n là một cấp số nhân có số hạng đầu U1 = , công bội q = . 3 3 n U2 U3 U10 1 310 − 1 59048 29524 2 + + ... + = π .2 . 3 = = = Khi đó S = U1 + . 2 3 10 3 2.310 2.310 59049 Câu 66. un = 2un−1 + 1 ⇔ un + 1 = 2 ( un−1 + 1)
d = 0 2 y 2 = xz ⇔ ( x + 7 d ) = x ( x + 42d ) ⇔ d ( −4 x + 7 d ) = 0 ⇔ −4 x + 7 d = 0
Với d = 0 , ta có: x = y = z =
Đặt vn = un + 1, ta có vn = 2vn−1 trong đó v1 = 2 vn = 2 n ⇒ un = vn − 1 = 2 n − 1
n = 20 2u + ( n − 1) d n [ 2.3 + 4 ( n − 1)] n = 820 ⇔ Do đó, Sn = 820 ⇔ 1 = 820 ⇔ n = − 41 2 2 2
⇒ S = u1 + u2 + ... + u20 = ( 21 − 1) + ( 2 2 − 1) + ... + ( 2 20 − 1) = ( 21 + 2 2 + ... + 2 20 ) − 20
Vậy n = 20 .
S = 2. ( 2 20 − 1) − 20 = 2 21 − 22.
Câu 71.
DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG Chọn D
2
11 11 1 1 Diện tích mặt trên tầng trên cùng là: a11 = a 0 = 12288 = 6 m 2 2 2
( )
⇔ ( a + 3) = ( a + 1) . ( a + 7 ) ⇔ a + 6 a + 9 = a + 8a + 7 ⇔ 2a = 2 ⇔ a = 1 . 2
DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Chọn B Gọi a0, a1, a 2,..., a11 lần lượt là diện tích mặt trên của đế tháp, tầng 1, tầng 2,., tầng 11.
1 n 1 Khi đó ta có: a 0 = 12288; an = an −1 = a 0 , n = 1,2,...,11 . 2 2
b = a + 2 +) a , b , c là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng có công sai bằng d = 2 ⇒ . c = a + 4 +) Ba số a + 1 , a + 3 , a + 7 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân
Câu 68.
217 2460 217 = ∉N . . Suy ra n = 820 : 3 3 217
−4 x + 7d = 0 x = 7 Với −4 x + 7 d = 0 , ta có: ⇔ . Suy ra u1 = 7 − 4 = 3 . x + d = 3 49 217 d = 4
Vậy (vn ) là cấp số nhân có số hạng đầu v1 = 2 và công bội bằng 2, nên số hạng tổng quát
Câu 67.
Gọi ba số đó là x , y , z . Do ba số là các số hạng thứ 2 , thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng nên ta có: x ; y = x + 7d ; z = x + 42d (với d là công sai của cấp số cộng).
2
⇒ T = a + b + c = 3a + 6 = 9 . Chọn C Do ba số x ; 5 ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ta có: S = x + 2 y = 10 (1 )
Câu 72.
Dễ thấy: S1 = a 2 ; S 2 =
a2 a2 a2 ; S3 = ;...; S100 = 99 . 2 4 2
1 . 2 2 100 a ( 2 − 1)
Như vậy S1 , S 2 , S3 ,..., S100 là cấp số nhân với công bội q =
Ta lại có ba số x ; 4 ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: P = x .2 y = 16 ( 2 ) Từ (1) , ( 2) suy ra hai số x ; 2y là nghiệm của phương trình X 2 − S . X + P = 0 hay
1 1 1 S = S1 + S2 + ... + S100 = a 2 1 + + 2 + ... + 99 = 2 2 2
X = 2 X 2 − 10 X + 16 = 0 ⇒ X = 8
Theo yêu cầu bài toán x − 2 y = 2 − 8 = 6 Câu 69. Chọn B (un ) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q , suy ra q < 1 và u3 = u1 .q 2 = q 2 , u 4 = u1 .q 3 = q 3 . Mà và u1 , u3 , u4 theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng nên u1 + u4 = 2.u3 .
21
.
Câu 73.
Chọn C Sau 9 năm thì số dân của tỉnh Bình Phước là: 905300.1,19 ≈ 2134650 người.
Câu 74.
Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = 10 và q = Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là S =
Từ đó ta có 1 + q 3 = 2.q 2 ⇔ q 3 − 2.q 2 + 1 = 0 ⇔ (q − 1)(q 2 − q − 1) = 0 ⇔ q 2 − q − 1 = 0
299
3 . 4
u1 10 = 40 . = 1− q 1− 3 4 22
Câu 75.
Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn 2S − 10 = 70 (m). Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân ( u n ) với công bội q = 2 . Ta có: u6 = 64000 ⇒ u1.q5 = 64000 ⇒ u1 = 2000 .
ac = b 2 (1) Câu 79. Ta có bd = c 2 ( 2) . a + b + c = 148 ( 3) 9 Và cấp số cộng có u1 = a , u4 = b , u8 = c . Gọi x là công sai của cấp số cộng. Vì cấp số nhân có công bội khác 1 nên x ≠ 0 . b = a + 3 x Ta có : (4) . c = a + 7 x 2 Từ (1) và ( 4 ) ta được : a ( a + 7 x ) = ( a + 3x ) ⇔ ax − 9 x 2 = 0 .
Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là un +1 . un +1 = 2048000 ⇒ u1.q n = 2048000 ⇒ 2000.2n = 2048000 ⇒ n = 10 . Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con.
Câu 76.
Số thóc ở ô sau gấp đôi ở ô trước, đặt un là số thóc ở ô thứ n thì số thóc ở mỗi ô sẽ lập thành u = 1 = 20 một cấp số nhân: 1 . n un +1 = 2un = 2 Khi đó tổng số thóc từ ô đầu tới ô thứ k là S k = u1 + u2 + …+ u k = 1 + 21 +…+ 2 k −1
Do x ≠ 0 nên a = 9 x . Từ ( 3) và ( 4 ) , suy ra 3a + 10 x =
2k − 1 k = 2 −1 Vậ y Sk = 2 −1 Theo đề ta có: 2k − 1 > 20172018 ⇔ 2k > 20172019 ⇔ k > log 2 20172019 Vậy phải lấy tối thiểu từ ô thứ 25 Câu 77. Đặt BC = a; AB = AC = b; AH = h . Theo giả thiết ta có a, h, b lập cấp số nhân, suy ra b2 + b2 a2 h2 = ab. Mặt khác tam giác ABC cân tại đỉnh A nên h2 = ma 2 = − 2 4 b2 + b2 a 2 2 2 Do đó − = ab ⇔ a + 4ab − 4b = 0 ⇔ a = 2 2 − 2 b (vì a, b > 0 ) 2 4 b 1 2 2+2 2 +1 = = Lại có b = q 2 a nên suy ra q 2 = = . a 2 2 −2 4 2 3 Câu 78. Cách 1. Ta có: an +1 − k = q ( an − k ) ⇔ k − kq = 3 ⇔ k = 1− q Đặt vn = an − k ⇒ vn+1 = q.vn = q 2 .vn−1 = ... = q n .v1
(
16 b = 3 a = 4 64 . Do đó : 4 ⇒ c = 9 x = 9 256 d = 27 −100 Vậ y T = a − b + c − d = . 27 Câu 80. Chọn A Gọi hn là độ dài đường đi của quả bóng ở lần rơi xuống thứ n ( n ∈ ℕ * ) .
)
Gọi ln là độ dài đường đi của quả bóng ở lần nảy lên thứ n ( n ∈ ℕ* ) . Theo bài ra ta có h1 = 55,8 , l1 =
3 Khi đó vn = q n −1.v1 = q n −1. ( a1 − k ) = q n −1. 5 − 1 − q 3 3 3 1 − q n −1 n −1 Vậy an = vn + k = q n −1. 5 − . = 5.q n −1 + 3. + k = q . 5 − + 1− q 1− q 1− q 1− q Do đó: α = 5; β = 3 ⇒ α + 2β = 5 + 2.3 = 11 . Cách 2. Theo giả thiết ta có a1 = 5, a2 = 5q + 3 . Áp dụng công thức tổng quát, ta được 1 − q1−1 1−1 a1 = α .q + β 1 − q = α , suy ra 2 −1 a = α .q 2−1 + β 1 − q = α q + β 2 1− q ⇒ α + 2β = 5 + 2.3 = 11
148 . 9
1 .55,8 = 5,58 và các dãy số ( hn ) , ( ln ) là các cấp số nhân lùi vô 10
1 . 10 Từ đó ta suy ra tổng độ dài đường đi của quả bóng là: h l 10 S = 1 + 1 = ( h1 + l1 ) = 68, 2 ( m ) . 1 1 9 1− 1− 10 10 Câu 81. Chọn C hạn với công bội q =
Diện tích của hình vuông lập thành cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u1 = 5 = α , hay 5q + 3 = α q + β
α = 5 β = 3
1 1 ,q = . 4 4
n −1
1 1 1 Do đó số hạng tổng quát là un = . = n ( n ≥ 1) . Để diện tích của hình vuông tô màu nhỏ 4 4 4 1 1 1 hơn ⇔ n < ⇔ 4 n > 1000 ⇒ n ≥ 5 . Vậy tô màu từ hình vuông thứ 5 thỏa mãn yêu cầu 1000 4 1000 bài toán. Câu 82. Chọn B
23
24
x = 1 Ta có: ( x −1)( x − 3)( x − m ) = 0 ⇔ x = 3 . x = m
T= =
1 1 1 1 + + + ... + u1 (1 − q 4 ) u2 (1 − q 4 ) u3 (1 − q 4 ) u20 (1 − q 4 )
=
1 1 1 1 1 + + + ... + 1 − q 4 u1 u2 u3 u20
=
1 1 1 1 1 + + ... + 19 + 1 − q 4 u1 u1q u1q 2 u1q
=
1 1 1 1 1 . 1 + + + ... + 19 1 − q 4 u1 q q 2 q
Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì: m∉{1;3} . Trường hợp 1: m < 1 < 3 .
Để 3 số m ;1 ; 3 lập thành cấp số nhân tăng thì: m.3 = 1 ⇔ m = 1 3 Cấp số nhân tăng đó là: 1 ;1;3 3 2
Trường hợp 2: 1 < m < 3 .
m = 3 Để 3 số 1 ; m ; 3 lập thành cấp số nhân tăng thì: 1.3 = m ⇔ m = − 3 2
Đối chiếu điều kiện 1 < m < 3 ta chọn
20
1 20 −1 1 1 q 1 1 1− (q) 1 − 220 . . = = . . = 4 4 19 1 1 − q u1 1 − q u1 (1 − q ) q 15.219 −1 q
m= 3 .
Cấp số nhân tăng đó là: 1; 3;3 Trường hợp 3: 1 < 3 < m . 2
Để 3 số 1 ; 3 ; m lập thành cấp số nhân tăng thì: 1.m = 3 Cấp số nhân tăng đó là: 1; 3; 9
1 3
Câu 85.
⇔m = 9
Vậy m ∈ ; 3;9 thì phương trình ( x −1)( x − 3)( x − m ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành
Câu 83.
cấp số nhân tăng. Chọn A Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x1 , x2 , x3 . d Theo định lí Viet, tích 3 nghiệm: x1 x2 x3 = − = 8 . a Vì ba nghiệm này lậ p thành một cấp số nhân nên x2 2 = x1 x3 . Do đó ta có: x23 = 8 ⇔ x2 = 2 .
Gọi diện tích được tô màu ở mỗi bước là un , n ∈ ℕ* . Dễ thấy dãy các giá trị un là một cấp số 4 1 nhân với số hạng đầu u1 = và công bội q = . 9 9 u1 ( q k − 1) Gọi Sk là tổng của k số hạng đầu trong cấp số nhân đang xét thì S k = . q −1 Để tổng diện tích phần được tô màu chiếm 49,99% thì
u1 ( q k − 1) q −1
≥ 0, 4999 ⇔ k ≥ 3,8 .
Vậy cần ít nhất 4 bước. 2
Câu 86.
m = 1 Thay x = 2 vào phương trình ta được: 4 ( m 2 + 6m ) = 28 ⇔ . m = −7 Theo giả thiết hai giá trị này c ủa m đều nhận. 3 Tổng lập phương của hai giá trị m là: 13 + ( −7 ) = −342 . Câu 84.
1 1 1 1 + + + ... + u1 − u5 u2 − u6 u3 − u7 u20 − u24
2
a 10 5 5 3 1 Cạnh của hình vuông ( C2 ) là: a2 = a + a = . Do đó diện tích S 2 = a 2 = S1 . 4 8 8 4 4 2
2 2 10 a 10 3 1 Cạnh của hình vuông ( C3 ) là: a3 = a2 + a2 = 2 = a . Do đó diện tích 4 4 4 4 2
5 5 S3 = a 2 = S 2 . Lý luận tương tự ta có các S1 , S2 , S3 ,...S n ... . tạo thành một dãy cấp số nhân 8 8 5 lùi vô hạn có u1 = S1 và công bội q = . 8 32 S1 8a 2 2 = . Với T = ta có a = 4 ⇔ a = 2 . T= 1− q 3 3 1 1 1 1 1 Câu 87. Gọi q ( q ≠ 0 ) là công bội của cấp số nhân a , b , c , d , e . Khi đó , , , , là cấp số a b c d e 1 nhân có công bội . q Theo đề bài ta có
Chọn B
25
26
1 − q5 a. 1 − q = 40 1 − q5 a + b + c + d + e = 40 a. 1 − q = 40 5 1 ⇔ ⇔ a2 q 4 = 4 . ⇔ 1 1 1 1 1 1− 5 1 1 q − q 1 a + b + c + d + e = 10 . = 10 = 10 a . a q 4 ( q − 1) 1 1− q Ta có S = abcde = a.aq.aq 2 .aq 3 .aq 4 = a 5 q10 . 2
5
Nên S 2 = ( a 5 q10 ) = ( a 2 q 4 ) = 45 . Suy ra S = 45 = 32 . Câu 88.
5u1 + 5u1 − u2 = u 2 + 6 (1) . * u n +1 = 3un ∀n ∈ ℕ ( 2 )
Từ (1) có 5u1 + 5u1 − u2 = u2 + 6 ⇔
(
5u1 − u2
)
2
+ 5u1 − u2 − 6 = 0
⇔ 5u1 − u2 = 2 ⇔ 5u1 − u2 = 4 . 5u − u = 4 Từ ( 2 ) có un +1 = 3un ⇒ u2 = 3u1 . Giải hệ 1 2 được u1 = 2 . u2 = 3u1 u = 2 Dãy ( un ) là cấp số nhân với 1 có SHTQ: un = 2.3n −1 với n ∈ ℕ * q = 3
un ≥ 2.32018 ⇔ 2.3n −1 ≥ 2.32018 ⇔ n − 1 ≥ 2018 ⇔ n ≥ 2019 . Vậy giá trị nhỏ nhất thỏa mãn là 2019 .
27
TOÁN 11
GIỚI HẠN DÃY SỐ
u C. Nếu lim un = a > 0 và limv n = 0 thì lim n = +∞ . vn
1D4-1
u D. Nếu lim un = a < 0 và limv n = 0 và vn > 0 với mọi n thì lim n = −∞ . vn
Contents PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1 DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.................................................................................................................................. 1
Câu 2.
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC ...................................................................................................................... 2
Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn P = 2,13131313... , A. P =
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu ................................................................................................................. 2 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu .................................................................................................................... 4
Câu 3.
Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu ................................................................................................................ 8
212 99
B. P =
213 . 100
C. P =
211 . 100
D. P =
211 . 99
Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Ta nói dãy số ( u n ) có giới hạn là số a (hay u n dần tới a ) khi n → +∞ , nếu lim ( un − a ) = 0 . n →+∞
Dạng 1.4 Phân thức chứa căn ....................................................................................................................................... 9
B. Ta nói dãy số ( u n ) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể lớn hơn một số
DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC......................................................................................................................... 9
dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. Ta nói dãy số ( u n ) có giới hạn +∞ khi n → +∞ nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bất kì,
DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA....................................................................................................................... 11 DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ........................................................................................................................ 14
kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn −∞ khi n → +∞ nếu u n có thể lớn hơn một số dương bất kì,
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 17
kể từ một số hạng nào đó trở đi.
DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG ...................................................................................................... 13
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT................................................................................................................................ 17
Câu 4.
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC .................................................................................................................... 17
A. 1.
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu ............................................................................................................... 17 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu .................................................................................................................. 20
Cho các dãy số ( un ) , ( vn ) và lim un = a, lim vn = +∞ thì lim
Câu 5.
B. 0 .
un bằng vn
C. −∞ .
D. +∞ .
Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?
Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu .............................................................................................................. 25
(I) lim nk = +∞ với k nguyên dương.
Dạng 1.4 Phân thức chứa căn ..................................................................................................................................... 26
(II) lim q n = +∞ nếu q < 1 .
DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC....................................................................................................................... 27 DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA....................................................................................................................... 31
(III) lim q n = +∞ nếu q > 1
DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG ...................................................................................................... 33
A. 0 .
DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ........................................................................................................................ 34
Câu 6.
Câu 7.
PHẦN A. CÂU HỎI
1 với mọi n ∈ ℕ * . Khi đó n3 A. lim un không tồn tại. B. lim un = 1 . C. lim un = 0 .
D. 2 .
Cho dãy số ( un ) thỏa un − 2 <
D. lim un = 2 .
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phát biểu nào sau đây là sai?
C. lim
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?. A. Nếu lim un = +∞ và limv n = a > 0 thì lim ( u n vn ) = +∞ . u B. Nếu lim un = a ≠ 0 và limv n = ±∞ thì lim n vn
C. 3 .
A. lim un = c ( un = c là hằng số ).
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1.
B. 1 .
1 = 0. n
D. lim
B. lim q n = 0 ( q > 1) .
1 = 0 ( k > 1) . nk
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu
= 0. 1
2
Câu 8.
A. L = 1. Câu 9.
7
7 . 3
Câu 16.
D.
Câu 20.
1 . 5
Câu 21.
D. 0 .
1 bằng 2n + 5
C. +∞ . 1 bằng 5n + 2 1 C. . 2
1 D. . 5
C. 0 .
2n 2 − 3 bằng: n6 + 5n5 −3 C. . 5
3 . 4
D.
4 . 3
1 1 1 1 + + ... + (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim + . n n + 1) 1.2 2.3 3.4 ( 3 A. 0 . B. 2 . C. 1 . D. . 2 (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN 1 1 1 L = lim + + ... + 1 + 2 + ... + n 1 1+ 2 5 A. L = . B. L = +∞ . 2
Câu 22. Với n là số nguyên dương, đặt Sn =
CHÁNH
-
PHÚ
C. L = 2 .
YÊN
-
D. L =
3 . 2
2018 n bằng A. −∞ .
B. 0 .
D. +∞ .
1 2 +1
A.
7n 2 − 2n3 + 1 . 3n3 + 2n 2 + 1
Câu 23.
B.
C. 1 .
C. 1 .
1 . 2 +2
D.
(THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị của lim B. 0. Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu
Câu 24. D. − 3 .
C. +∞.
cos n + sin n . n2 + 1
D. −∞.
C. L = 1 .
(THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Giá trị của lim A. 1 .
D. +∞ . 2n + 1 ? 2 + n − n2 D. L = 0 .
Câu 26.
1 . 3
Câu 27.
2n − 3 Câu 18. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính I = lim 2 2n + 3n + 1 A. I = −∞ . B. I = 0 . C. I = +∞ . D. I = 1 .
1 B. − . 3
B. I = 1 .
D. 0 .
C. −2 .
C. I = 3 .
2−n bằng n +1
n−2 bằng: 3n + 1 D. 1 .
3n − 2 . n+3 D. k ∈ ℤ .
(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Giới hạn lim
bằng? 2 A. . 3 3
C. −1 .
(THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn I = lim
2 A. I = − . 3
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? 1 − 2n 1 − 2n 2 n2 − 2 n 2 − 2n A. un = . B. un = . C. un = . D. un = . 5n + 3n 2 5n + 3n 2 5n + 3n 2 5n + 3n 2
B. 2 .
(THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết quả của lim A.
(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn L = lim B. L = −2 .
Tìm
1 1 1 + + ... + . Khi đó 1 2 +2 1 2 3+3 2 n n + 1 + ( n + 1) n
1 . 2 −1
A. 1.
D. 1 .
Câu 25. B. 0 .
2018)
lim Sn bằng
lim
A. L = −∞ . Câu 17.
2 B. − . 3
A.
1 1 1 + + ... + 2 . 22 − 1 32 − 1 n −1 3 2 B. . C. 5 3
(HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) lim A. 2 .
Câu 15.
1 bằng 2n + 7 C. 1 . 2
B. 0 .
B. 0 .
D. L = 2.
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm I = lim A.
Câu 14.
+∞ .
C. +∞ .
(THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) lim 1 A. . 5
Câu 13.
B.
Câu 19. Tìm lim un biết un =
1 bằng 5n + 3
1 . 3
(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) lim 1 A. . 2
Câu 12.
B.
(Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) lim A. 1 .
Câu 11.
B. L = 0.
(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) lim A. 0 .
Câu 10.
n −1 . n3 + 3 C. L = 3.
(THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tính L = lim
B.
1 . 3
C. 1 .
1 − 2n 3n + 1
2 D. − . 3 4
Câu 28.
A. I =
Câu 29.
2n + 2017 . 3n + 2018 2017 C. I = . 2018
A. 1.
(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn I = lim
2 . 3
B. I =
3 . 2
(THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) 19 1 A. . B. . 18 18
lim
D. I = 1 . Câu 39.
1 + 19n 18n + 19 bằng
C. +∞ .
1 . 19
Câu 30.
(THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ? 1 n +1 1 sin n A. . B. . C. . D. . n n n n
Câu 31.
(CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) lim A. 0 .
B.
1 . 2
A. 2 . Câu 35.
B. 0 .
(THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) lim
2 A. . 11 Câu 36.
1 B. . 2
C.
A. I = −
2n 4 − 2n + 2 bằng 4n 4 + 2n + 5
(Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Giá trị của lim A. − 3 .
B. 2 .
C. −1 .
Câu 38. Tính
lim
C.
1 . 6
1 . 2
D.
1 . 2
B.
10 . 3
2n − 1 , n ∈ ℕ* là: 3− n
2 . 3
C. 1 .
10n + 3 ta được kết quả: 3n − 15 10 3 B. I = . C. I = . 3 10
2n + 1 n + 1 bằng A. 1 .
1 D. − . 3
2 D. I = − . 5
lim
Câu 45. Tính
lim
B. 2 .
C. −2 .
B. 0 .
C.
1 . 2
1 D. - . 2
1 B. − . 2
C. 4 .
1 D. − . 4
D. +∞ .
8n 2 + 3n − 1 4 + 5n + 2 n 2 .
A. 2 .
D. 0 . 2n 2 − 3 bằng 1 − 2n 2
Câu 46. Cho hai dãy số ( un ) và ( vn ) có un = D. 0 .
D.
D.
3 C. − . 2
A. 0 .
B. 3 .
2
n +n A = lim 12n2 + 1 bằng Câu 37. Giá trị 1 A. . B. 0 . 12
1 . 4
C.
B. 0 .
A. 3 .
D. 1.
C. +∞ .
5 . 2
3n 2 + 1 lim 2 n − 2 bằng: Câu 44.
2n + 1 được kết quả là 1+ n
1 . 2
1 . 5
Câu 42. Tính giới hạn I = lim
Câu 43.
D.
n2 − 3n3 . 2n3 + 5n − 2
A. −2 .
1 D. − . 2
8n5 − 2n3 + 1 Câu 33. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Tìm lim 5 . 4n + 2n 2 + 1 A. 2 . B. 8 . C. 1 . D. 4 . (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Tính lim
1 . 3
Câu 41. Giới hạn của dãy số ( u n ) với un =
4n + 2018 Câu 32. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim . 2n + 1 1 A. . B. 4 . C. 2 . D. 2018 . 2
Câu 34.
B.
Câu 40. Tính giới hạn lim A.
C. 2 .
n 3 + 4n − 5 3n3 + n 2 + 7 bằng
A. 1 . D.
1 − n2 bằng 2n 2 + 1 1 C. . 3
lim
B. +∞ .
Câu 47. Giới hạn A. −2 .
1 . 24
lim
8n 5 − 2 n 3 + 1 2n 2 − 4n5 + 2019 bằng B. 4 .
u 1 3 ; vn = . Tính lim n . vn n +1 n+3 C.
1 . 3
C. +∞ .
D. +∞ .
D. 0 .
5n + 3 2n + 1 . 5
6
Câu 48. Giá trị của B = lim A.
4n 2 + 3n + 1
( 3n − 1)
4 . 9
B.
2
A.
bằng:
4 . 3
C. 0 .
D. 4 Câu 57.
n3 + n2 + 1 Câu 49. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Tính L = lim ⋅ 2018 − 3n3 1 1 A. . B. −3 . C. +∞ . D. − . 3 2018
Câu 50.
Câu 51.
.Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng? 1 A. 0 < a < 2 . B. 0 < a < . 2
Câu 52. Dãy số ( u n ) với un = A. 192
( 3n − 1)( 3 − n ) 3 ( 4n − 5 )
2
có giới hạn bằng phân số tối giản
B. 68 3
C. −1 < a < 0 .
C. 32
2
= a2 − a +1
Câu 60.
D. 1 < a < 3 .
a . Tính a.b b
Câu 61.
Câu 54. Cho dãy số ( un )
D. 128
D. −6 .
C.
1 . 3
D.
B. +∞ .
1 . 2
1 3 2n − 1 + +…+ 2 với n ∈ ℕ * Giá trị của lim un bằng: n2 n 2 n C. −∞ . D. 1
(THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1 1 1 lim 1 − 2 1 − 2 ... 1 − 2 . 2 3 n 1 A. 1 . B. . 2
1-năm
C.
1 . 4
2017-2018)
D.
Tính
giới
hạn:
3 . 2
(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số
1 . 2
B. 0.
2019 2018 Câu 62. Tính lim(−2n + 3n + 4) ? A. −∞ . B. +∞ . Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu
1 + 2 + 3 + ... + n với un = . Mệnh đề nào sau đây đúng? n2 + 1
1 . 2 C. Dãy số ( u n ) không có giới hạn khi n → +∞ . B. lim un =
4
Câu 63.
lim ( 2 − 3n ) ( n + 1)
(u ) n
với
1 . 4
C. 1.
D.
C. −2 .
D. 2019 .
C. 81
D. 2
1 C. L = . 3
D. L = −∞ .
C. 1 .
D. +∞ .
3
là:
A. −∞
D. lim un = 1 .
B. +∞ 3
12 + 22 + 32 + 42 + ... + n 2 Câu 55. (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn lim có giá n 3 + 2n + 7 trị bằng? 2 1 1 A. . B. . C. 0 . D. . 3 6 3
lim
D. +∞ .
n 1 2 (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Tìm lim 2 + 2 + ... + 2 . n n n 1 1 A. +∞ . B. . C. . D. 0 . 2 n
A.
A. lim un = 0 .
Câu 56.
1 . 3
1 1 1 un = + + ... + . Tính lim un . 1.3 3.5 (2n −1).(2n +1)
2
2n + n − 4 1 = với a là tham số. Khi đó a − a 2 bằng an 3 + 2 2 A. −12 . B. −2 . C. 0 .
Câu 53. Biết lim
B. 0 .
A. 0`. Câu 59.
C.
n 1 2 3 Lim 2 + 2 + 2 + ... + 2 n bằng n n n
Câu 58. Cho dãy số ( un ) xác định bởi: un =
an2 + a 2 n + 1
( n + 1)
B. 0 .
A. 1.
(Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa 3n + 2 + a 2 − 4a = 0 . Tổng các phần tử của S bằng mãn lim n+2 B. 3 . C. 5 . D. 2 . A. 4 . (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho a ∈ ℝ sao cho giới hạn lim
2 . 3
1 + 3 + 5 + ... + 2n + 1 3n 2 + 4 bằng
Câu 64. Tính giới hạn A. L = +∞ .
n − 2n 3n 2 + n − 2
B. L = 0 .
Câu 65. Tính giới hạn của dãy số un = A.
7
L = lim
−2 . 3
−2 + 3n − 2n3 3n − 2
B. −∞ .
8
Câu 66. Giới hạn
lim
1 + 5 + ... + ( 4n − 3)
C. lim
2n − 1
A. 1.
bằng
B. +∞ .
C.
2 . 2
D. 0 .
Câu 74. Giới hạn
Câu 68.
(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) lim
4n 2 + 1 − n + 2 bằng 2n − 3
3 A. . 2
C. 1.
B. 2.
Câu 69.
(CỤM
5 B. I = . 3 5
TRƯỜNG
lim n
(
CHUYÊN
4n 2 + 5 + n
4n − n 2 + 1
n+4 − n+3
-
-
ĐBSH
LẦN
1
-
C.
7 . 2
B. 1 .
Câu 76. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để lim A. 3 .
. Khi đó giá trị của I là:
2018)
C. 2 .
Câu 77.
Tính
giới
hạn
lim
(
Câu 70. Tìm lim un biết un =
1 A. . 2 Câu 71.
1 . 3
C. 2.
(LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tính lim n
L = lim
(
D. −∞ .
B.
1 2 6
.
1 C. . 2
Câu 80. Tính giới hạn
L = lim
(
A. +∞ .
(
n 2 − 3n + 1 − n
A. −3 .
Câu 81. Tính giới hạn L = lim
) bằng B. +∞ .
C. 0 .
4n 2 + n + 1 − 9n
(
(
n + 2 − n2 − 1 .
)
2
D. I = 0 .
)
4n2 + 3 − 3 8n3 + n . 2 D. . 3
).
C. −∞ .
D.
9 . 4
C. −∞ .
D.
9 . 4
C. −∞ .
D.
1 . 4
53 . 2
D.
9 . 4
).
D. +∞ .
(
A. +∞ . lim
9n 2 + 2n − 1 − 4n 2 + 1
B. −7 .
DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC
Câu 72.
C. −∞ .
B. 1 .
A. +∞ .
12 + 22 + 33 + ... + n 2 (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tính lim 2n ( n + 7 )( 6n + 5 )
1 A. . 6
B. 1 .
2
C. 1.
D. 0 .
(LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tính I = lim n 3 A. I = +∞ . B. I = . C. I = 1, 499 . 2
Câu 79. Tính giới hạn
2n + 1
D. 4 .
)
B. 1.
A. +∞ .
2 D. − . 3
n 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1)
B. +∞ .
1 . 2
n 2 − 4n + 7 + a − n = 0 ?
x →−∞
C.
D.
)
(
Câu 78.
4x2 + x + 1 − x2 − x + 3 3x + 2 1 2 A. − . B. . 3 3
2n 3 + 3 . 1 + 2n 2
) bằng
B. +∞ .
A. 3 .
3 D. I = . 4
C. I = −1 .
D. lim
Câu 75. Tính giới hạn lim n − n2 − 4n .
D. +∞ .
(THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho I = lim A. I = 1 .
)
n 2 + 2n − n 2 + 1 .
A. 0 .
Dạng 1.4 Phân thức chứa căn
Câu 67.
(
Câu 82. Tính giới hạn
3 D. − . 2
B. −7 .
L = lim
A. +∞ .
Câu 73. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng 1? 3n 2 + n 3n +1 + 2 n A. lim . B. lim 2 . n 5+3 4n − 5
9
(
n 2 + 3n + 5 − n + 25 B. −7 .
L = lim Câu 83. Tính giới hạn
)
4n 2 + n − 4n 2 + 2 . ĐS:
2n + 1 − n + 3 4n − 5
1 . 4
). C.
.
10
A. +∞ .
B. −7 .
Câu 84. Tính giới hạn sau L = lim A. +∞ . Câu 85. Tính giới hạn L = lim
(
3
Câu 86. Tính giới hạn L = lim
(
Câu 87. Tính giới hạn L = lim
(
3
Câu 88. Tính giới hạn L = lim
(
3
(
3
A. +∞ . Câu 90. Tính giới hạn L = lim
(
A. +∞ . Câu 91. Tính giới hạn L = lim
D.
2 . 3
A. 0 .
)
n
Câu 97.
53 C. . 2
1 D. . 2 Câu 98.
C. 1 .
D.
lim
lim ( 3n − 4n )
1 . 2
Câu 99. Tính giới hạn lim
)
53 . 2
5 D. − . 3
A.
1 . 2
5 D. − . 3
C. lim
)
53 C. . 2
n
n
B. ( −1) .
C. ( −1,0001) .
D. (1, 2345) .
B. 100 .
C.
1 . 100
D. 0 .
B. −∞ .
C.
4 . 3
D. 1 .
C.
6 . 5
D. − 6 .
3.2n +1 − 2.3n +1 . 4 + 3n
3 . 2
n 2 + n + 1 − 3 n3 + n 2 . 5 B. . 4
D. 2 .
B. 0 .
Câu 100. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ? 1 + 2.2018n 1 + 2.2017 n A. lim . B. lim . n n 2016 + 2018 2016n + 2017 n +1
)
n 4 + n 2 − 3 n6 + 1 . C.
1 . 2
là
A. +∞ .
n3 − 2n2 − n − 1 .
5 . 4
C.
n
D. lim ( 2 ) .
100n +1 + 3.99n 10 2 n − 2.98n +1 là
A. +∞ .
)
C.
B. +∞ .
n
A. ( 0,999 ) .
1 D. . 2
)
5 . 4
4 C. lim . 3
Câu 96. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
53 C. . 2
n − n3 + n + 2 .
B.
(
53 . 2
2n − n + n − 1 .
B.
n
5 B. lim . 3
n
8n + 3n + 4 − 2n + 6 .
B. 2 .
A. +∞ . Câu 89. Tính giới hạn L = lim
C.
B. −1 .
A. +∞ .
D. 0 .
2018 lim 2019 bằng. Câu 95.
)
3
C. −∞ . n
2 A. lim . 3
D. 0 .
8n3 + 3n2 − 2 + 3 5n2 − 8n3 .
2
n→+∞
B. +∞ . n
53 . 2
C.
3
(THPT THÁI PHIÊN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) lim 2n bằng. A. 2 .
)
25 B. . 4
A. +∞ .
Câu 93.
2 −1 . 2
Câu 94. Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0
B. −7 . 3
D.
n + 4 − 3 n +1 .
B. −7 .
A. +∞ .
A. +∞ .
(
3
53 . 2
C.
1 D. . 6
Câu 101. Tính
1 + 2.2018n 2.2018n +1 − 2018 . D. lim . n n 2017 + 2018 2016n + 2018n
lim
2n + 1 2.2n + 3 .
A. 2.
B. 0.
C. 1.
DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA
D.
1 . 2
Câu 102. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc Câu 92.
(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n
4 A. . e
n
1 B. . 3
n
5 C. . 3
khoảng ( 0; 2019 ) để lim
n
−5 D. . 3
A. 2018 .
11
9n + 3n +1 1 ≤ ? 5n + 9n + a 2187 B. 2012 .
C. 2019 .
D. 2011 .
12
Câu 103. (THPT
T = lim
(
Chuyên
Hùng
Vương-Gia
Lai-lần
1
năm
2017-2018)
Tính
giới
hạn
)
DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
16n+1 + 4n − 16n+1 + 3n .
A. T = 0 .
1 B. T = . 4
1 C. T = . 8
D. T =
Câu 111. (THTT
1 . 16
5-488
B.
142 . 45
C.
1 . 18
A. lim un = 1 .
1 C. 0 < un < , ∀n ∈ ℕ* . 2 2018
D. lim
số
(un )
thỏa
mãn
n →+∞
n →+∞
un +1 =1. un 2
Câu 112. (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Đặt f ( n ) = ( n 2 + n + 1) + 1 , xét dãy số ( u n ) sao cho un =
f (1) . f ( 3) . f ( 5) ... f ( 2n − 1) . Tìm lim n un . f ( 2 ) . f ( 4 ) .f ( 6 ) ... f ( 2n ) 1 . 3
B. lim n un = 3 .
C. lim n un =
1 . 2
D. lim n un = 2 .
∀ n ≥ 1 . Biết
D.
lim
7 . 2
A. S = −1 . C. 1.
u n + u4 n + u42 n + ... + u42018 n u n + u2 n + u22 n + ... + u22018 n
=
a 2019 + b c
B. S = 0 .
C. S = 2017 .
D. S = 2018 .
Câu 114. (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Dãy số ( un ) nào sau đây có giới hạn khác số 1
D. +∞ .
khi n dần đến vô cùng?
3 B. . 5
C. 0 .
u1 = 1 thoả mãn . Tìm lim un . 2 * un +1 = 3 un + 4, ∀n ∈ N B. lim un = 4 . C. lim un = 12 .
B. L =
dãy
Câu 113. (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho dãy số ( u n ) xác định bởi u1 = 0 và un +1 = un + 4n + 3 ,
D. 2 .
5 D. . 2
1 . 2
C. L = 3 .
2018
A. un =
( 2017 − n ) . B. u = n n ( 2017 n ( 2018 − n )
)
n 2 + 2018 − n 2 + 2016 .
u1 = 2017 . C. 1 un +1 = 2 ( un + 1) , n = 1, 2,3...
D. un =
1 1 1 1 + + + ... + . n ( n + 1) 1.2 2.3 3.4
Câu 115. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Cho dãy số ( un ) được xác định như sau
u1 = 2016; un −1 = n 2 ( un −1 − un ) , với mọi n ∈ ℕ* , n ≥ 2 , tìm giới hạn của dãy số ( un ) . A. 1011. D. lim un = 3 .
B. 1010 .
Câu 116. Cho dãy số ( u n ) như sau: un =
n Câu 110. Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 3 . Tìm lim . un 1 A. L = . 3
Cho
B. lim un = 0 .
A. lim n un =
u1 = 3 Câu 108. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho dãy số (un ), n ∈ ℕ* , thỏa mãn điều kiện un . un +1 = − 5 Gọi S = u1 + u2 + u3 + ... + un là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Khi đó lim Sn bằng
Câu 109. Cho dãy số ( un )
2018)
với a , b , c là các số nguyên dương và b < 2019 . Tính giá trị S = a + b − c .
1 1 1 1 + + + n + ... 2 4 2 Câu 107. Tổng bằng 1 A. . B. 2. 2
1 A. . 2
năm
A. Dãy số ( u n ) là dãy tăng.
Câu 106. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,15555... = 3,1( 5 ) viết dưới dạng hữu tỉ là
63 . 20
2
un = n + 2018 − n + 2017, ∀n ∈ ℕ . Khẳng định nào sau đây sai?
Câu 104. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu 1 u1 = 1 và công bội q = − . 2 3 2 A. S = 2 . B. S = . C. S = 1 . D. S = . 2 3
A.
tháng
*
DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG
2 2 2 Câu 105. Tổng vô hạn sau đây S = 2 + + 2 + ... + n + ... có giá trị bằng 3 3 3 8 A. . B. 3 . C. 4 . 3
số
1 A. . 4
B. 1 .
C. 1008 .
n
1 + n2 + n4
D. 1009 .
, ∀n = 1 , 2 , ... Tính giới hạn lim ( u1 + u2 + ... + un ) . x→+∞
1 C. . 2
D.
1 . 3
D. L = 2
13
14
Câu 117. (THPT
NGUYỄN
HUỆ
-
TT
HUẾ
-
2018)
Cho
u1 = 2 . Tính lim un . * 3 4un +1 + 1 = 4un + 1 + 4, ( n ∈ ℕ ) 1 3 1 A. . B. . C. . 3 4 2
dãy
số
( un )
thỏa
mãn
9n + 3n +1 1 ? nguyên của tham số a thuộc khoảng ( 0; 2018 ) để có lim n n + a ≤ 5 +9 2187 A. 2011 . B. 2016 . C. 2019 . D. 2009 .
2 . 3
D.
Câu 123. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Có bao nhiêu giá trị
u = − 2 Câu 118. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho dãy số ( un ) biết 1 , khi đó un = 3un −1 − 1, ∀n ≥ 2 u L = lim nn 3 5 A. Không xác định. B. L = +∞ . C. L = − . D. L = 0 . 6
Câu 124. Từ độ cao 55, 8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm 1 xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng độ cao mà quả bóng đạt 10 trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
Câu 119. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,... sao cho A1B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n ≥ 2 , tam giác An BnCn là tam giác trung bình của tam giác An−1Bn−1Cn−1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác An BnCn . Tính tổng S = S1 + S2 + ... + Sn + ... ?
A. S =
15π . 4
B. S = 4π .
C. S =
C. un =
n ( n − 2018 )
( n − 2017 )
2017
2018
. B. un = n
(
9π . 2
u1 = 2018 D. . 1 un +1 = 2 ( un + 1) , n ≥ 1
C. 1 .
B.
3 . 2
C. 3 .
2 2 un + a , ∀n ∈ ℕ* . Biết 3
D. 2 .
D.
3 . 2
C. −1 .
C. Chiều cao mô hình dưới 2 mét.
Câu 122. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Với n là số tự nhiên lớn hơn 2 , đặt 1 1 1 1 Sn = 3 + 3 + 4 + ... + 3 . Tính lim Sn C3 C4 C5 Cn A. 1.
B.
D.
1 . 2
Câu 126. Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là 50 cm. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Chiều cao mô hình không quá 1, 5 mét B. Chiều cao mô hình tối đa là 2 mét
)
B. −1.
Câu 125. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hai dãy số ( un ) , ( vn ) đều tồn tại giới hạn hữu hạn. Biết rằng
A. 0.
2 2 2 rằng lim u1 + u2 + ... + un − 2n = b . Giá trị của biểu thức T = ab là
(
D. ( 69 m ; 72 m ) .
n→+∞
)
Câu 121. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Cho dãy số (un ) thỏa mãn: u1 = 1 ; un +1 =
A. −2 .
C. ( 64 m ; 66 m ) .
của giới hạn lim ( un + 2vn ) bằng
D. S = 5π .
n2 + 2020 − 4n2 + 2017 .
2 2 2 . + +… + 1.3 3.5 ( 2n + 1)( 2n + 3)
B. ( 60 m ; 63m ) .
hai dãy số đồng thời thỏa mãn các hệ thức un +1 = 4vn − 2, vn +1 = un + 1 với mọi ∀n ∈ ℤ + . Giá trị
Câu 120. (CTN - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số ( u n ) cho dưới đây, dãy số nào có giới hạn khác 1 ? A. un =
A. ( 67 m ; 69 m ) .
1 . 3
Câu 127. Trong một lần Đoàn trường Lê Văn Hưu tổ chức chơi bóng chuyền hơi, bạn Nam thả một quả bóng chuyền hơi từ tầng ba, độ cao 8m so với mặt đất và thấy rằng mỗi lần chạm đất thì quả bóng lại nả y lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng chuyển động vuông góc với mặt đất. Khi đó tổng quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng đến khi quả bóng không máy nữa gần bằng số nào dưới đây nhất? A. 57m . B. 54m . C. 56m . D. 58m . Câu 128. Với mỗi số nguyên dương n , gọi sn là số cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x 2 + y 2 ≤ n 2 . (nếu a ≠ b thì hai cặp số ( a; b ) và ( b; a ) khác nhau). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. lim
n →+∞
15
D. Mô hình có thể đạt được chiều cao tùy ý.
sn
n
= 2π .
B. lim
n →+∞
sn
n
= 2.
C. lim
n →+∞
sn
n
= π .
D. lim
n →+∞
sn
n
= 4.
16
Câu 10.
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Chọn C u Nếu lim un = a > 0 và limv n = 0 thì lim n vn dương hay âm.
Câu 2.
Ta có: lim = +∞ là mệnh đề sai vì chưa rõ dấu của vn là
Câu 3.
Chọn D Lấy máy tính bấm từng phương án thì phần D ra kết quả đề bài Chọn A
Câu 4.
Chọn B
Câu 11.
Câu 12.
Câu 5.
un =0. vn
1 = lim 2n + 7
7 n
= 0.
1 1 1 = lim . =0. n 2+ 5 2n + 5 n
1 1 1 1 = lim = 0. = 0 . 5n + 2 n 5+ 2 5 n
Câu 13. Hướng dẫn giải
Chọn D Chọn B
(II) lim q n = +∞ nếu q < 1 ⇒ ( II ) là khẳng định sai vì lim q n = 0 nếu q < 1 .
Ta có I = lim
(III) lim q n = +∞ nếu q > 1 ⇒ ( III ) là khẳng định đúng.
Chọn D Ta có: un − 2 <
1 1 ⇒ lim ( un − 2 ) = lim 3 = 0 ⇒ lim un − 2 = 0 ⇒ lim un = 2 . n3 n
Câu 7.
Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì lim q n = 0 ( q < 1) .
Câu 8.
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu Chọn B
7 1 −2+ 3 7 n 2 − 2 n3 + 1 n n = − 2. = lim 2 1 3n3 + 2n 2 + 1 3 3+ + 3 n n
Câu 14.
2 3 − 6 4 2n 2 − 3 n n = 0. Ta có lim 6 = lim 5 5 n + 5n 1+ n
Câu 15. Câu 16.
Chọn B Chọn D
Vậy số khẳng định đúng là 2 .
Ta có: L = lim
1 1 − 3 2 n −1 n n = 0 = 0. Ta có lim 3 = lim 3 n +3 1 1+ 3 n
Câu 9.
2+
Chọn B
lim
(I) lim nk = +∞ với k nguyên dương ⇒ ( I ) là khẳng định đúng.
Câu 6.
1 n
Chọn B Ta có: lim
Dùng tính chất giới hạn: cho dãy số ( un ) , ( vn ) và lim un = a, lim vn = +∞ trong đó a hữu hạn thì lim
Chọn D
Câu 17.
Chọn C
Xét đáp án
Chọn A 1 1 Ta có lim = lim n = 0 . 3 5n + 3 5+ n
Xét đáp án
17
2 1 + 2n + 1 n n2 = 0 . = lim 2 2 1 2+n−n + −1 n2 n
2 1− 2 n2 − 2 n =1. lim = 5 5n + 3n2 +3 3 n 2 1− n 2 − 2n n =1 B. lim lim = 5 5n + 3n 2 +3 3 n
A. lim
18
Xét đáp án
Xét đáp án
Câu 18.
Câu 19.
2n − 3 = lim I = lim 2 2 n + 3n + 1
1 2 − 1 − 2n n2 n = 0 . = lim 2 5 5n + 3n +3 n 1 −2 1 − 2n2 2 n2 D. lim lim = =− . 2 5 5n + 3n 3 +3 n
Sn =
C. lim
1 1 1 1 1 1 1 . = − + − + .... − = 1− 1 n n +1 n +1 2 2 3 Suy ra lim Sn = 1
2 3 2 3 n2 − 2 − 2 n n n n =0. = lim 3 1 3 1 2+ + 2 n2 2 + + 2 n n n n
Câu 23.
cos n + sin n = 0. n2 + 1 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu 2 −1 2−n 0 −1 = Câu 24. Ta có: lim = lim n = −1 . 1 1+ 0 n +1 1+ n
1 1 1 1 1 1 1 + + ... + 2 = + + + ... + n − 1 1.3 2.4 3.5 2 2 − 1 32 − 1 ( n − 1)( n + 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 = − + − + − + ... + − . = − = + − n − 1 n + 1 2 1 2 n + 1 4 2 ( n + 1) 2 1 3 2 4 3 5 3 1 3 Suy ra: lim un = lim − = . 4 2 ( n + 1) 4 Câu 20.
Ta có:
Ta có 1 + 2 + 3 + ... + k là tổng của cấp số cộng có u1 = 1 , d = 1 nên 1 + 2 + 3 + ... + k = ⇒
Câu 25.
2 2 n 1 − 1− n−2 n n = 1. Ta có lim = lim = lim 1 3 1 3n + 1 3+ n3+ n n
Câu 26.
2 3− 3n − 2 n Ta có I = lim = lim = 3. 3 n+3 1+ n
Câu 27.
Ta có lim
Câu 28.
Ta có I = lim
Câu 29.
Chọn A
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − +⋯+ − + − = 1− . + + + ... + n ( n + 1) 1 2 2 3 1.2 2.3 3.4 n −1 n n n + 1 n +1
1 1 1 1 1 + + + ... + Vậy lim = lim 1 − =1. n n + 1.2 2.3 3.4 1 n +1 ( ) Câu 21.
(1 + k ) k 2
2 2 1 2 = − , ∀k ∈ ℕ* . = 1 + 2 + ... + k k ( k + 1) k k + 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L = lim − + − + − + ... + − = lim − = 2. n n +1 1 2 2 3 3 4 1 n +1
Câu 22. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có
Ta có lim
1 1 = n n + 1 + ( n + 1) n n n +1 n +1 + n
(
)
=
cos n + sin n 2 cos n + sin n 2 =0. và lim 2 ≤ < 2 n2 + 1 n2 + 1 n +1 n +1
Ta có 0 < Suy ra lim
Chọn A Ta có: un =
1 1 1 . + + ... + 1 2 +2 1 2 3+3 2 n n + 1 + ( n + 1) n
n +1 − n 1 1 . = − n n +1 n n +1
Câu 30.
19
2017 2+ 2n + 2017 n =2. = lim 2018 3n + 2018 3 3+ n
1 + 19 1 + 19n 19 = lim n = . 19 18 18n + 19 18 + n
Chọn C Có lim
Suy ra
1 −2 1 − 2n 2 = lim n =− . 1 3n + 1 3 3+ n
n +1 1 = lim1 + lim = 1 . n n 20
1 −1 1 − n2 1 n2 = lim =− . 2 1 2n + 1 2 2+ 2 n
Câu 31.
Ta có lim
Câu 32.
2018 4+ 4n + 2018 n =2. Ta có lim = lim 1 2n + 1 2+ n
Câu 33.
Chọn A
Ta có: lim
Câu 40.
Câu 34.
Câu 41.
Ta có lim un = lim
Câu 42.
1 1 n2 + 2+ 2n + 1 n n = 2+0 = 2. Ta có lim = lim = lim 1 1+ n 1 +1 0 +1 n + 1 n n
Câu 44.
Chọn B
Chọn A
1 3+ 2 3n 2 + 1 n lim 2 = lim =3 2 n −2 1− 2 n Câu 45. Chọn C
Chọn A 1 1+ n2 + n n = 1 . lim = 1 12n 2 + 1 12 + 2 12 n 1 Vậ y A = . 12
Ta có lim
Câu 46.
Chọn D
3 1 8+ − 2 8n 2 + 3n − 1 n n = 4. = lim 4 5 4 + 5n + 2n 2 + + 2 n2 n
Chọn C 1 3 1+ un 1 n+3 n + 1 n = . = lim Ta có I = lim = lim = lim 3 vn 3 ( n + 1) 1 3 3 1 + n+3 n
3 5n + 3 5 n = lim = . Ta có lim 1 2 2n + 1 2+ n 5+
Câu 39.
3 10 + 10n + 3 n = 10 . = lim 15 3 3n − 15 3− n
1 2+ 2n + 1 n = 2. = lim Ta có lim 1 n +1 1+ n
A = lim
Câu 38.
1 2− 2n − 1 n = −1. = lim 3 3− n 3 −1 n
Chọn B
Ta có I = lim
Câu 43.
1 1 n3 − 3 −3 3 n n = lim =− . 5 2 5 2 2 3 2+ 2 − 3 n 2+ 2 − 3 n n n n
Chọn D
3
2 2 2− 3 + 4 2 n 4 − 2n + 2 n n =1. Câu 35. Ta có lim 4 = lim 2 5 4n + 2n + 5 4+ 3 + 4 2 n n Câu 36. Chọn C 3 2− 2 2n 2 − 3 n = −1 . lim = lim 1 1 − 2n 2 −2 n2
Câu 37.
Chọn C
n 2 − 3n3 Ta có: lim 3 = lim 2n + 5n − 2
2 1 2 1 n5 8 − 2 + 5 8− 2 + 5 8n − 2n + 1 n n n n = 8 = 2. Ta có lim 5 = = lim lim 2 1 2 1 4n + 2n 2 + 1 4+ 3 + 5 4 n5 4 + 3 + 5 n n n n 5
4 5 1+ 2 − 3 n 3 + 4n − 5 n n =1. lim = 1 7 3n3 + n 2 + 7 3+ + 3 3 n n
Câu 47.
Chọn B 21
Chọn A 22
Câu 48.
2 1 8 − n 2 + n5 8n 5 − 2 n 3 + 1 Ta có: lim 2 = lim = −2 . 2 2019 2n − 4n5 + 2019 3 −4+ 5 n n
Suy ra a = 4 . Khi đó a − a 2 = 4 − 4 2 = −12 . Câu 54. Chọn B n ( n + 1) 1 + 2 + 3 + ... + n 1 = . Ta có: lim un = lim = lim n2 + 1 2 2 ( n 2 + 1)
Chọn
Câu 55.
A.
Ta có: B = lim
4n 2 + 3n + 1
( 3n − 1)
2
3 1 3 1 n2 4 + + 2 4+ + 2 4+0+0 4 n n n n lim = lim = = = 2 2 2 1 1 ( 3 − 0) 9 n2 3 − 3 − n n
Ta có kết quả quen thuộc 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
Câu 56.
lim
Câu 57.
Câu 58.
Chọn A
( n + 1)
2
a 1 a+ + 2 an 2 + a 2 n + 1 n n =a. lim = 2 1 n 2 + 2n + 1 1+ + 2 n n
2
Ta có: lim
Câu 53.
( 3n − 1)( 3 − n ) 3 ( 4n − 5 )
2
.
2 1 + 2 n n =1. = lim 2 4 3n + 4 3 3+ 2 n
( n + 1) = lim
2
1+
Chọn D
Chọn D 1 3 2n − 1 1 + 3 + ... + ( 2n − 1) n 2 + + ... + 2 = = 2 =1 n2 n2 n n2 n
1 1+ n 1 n ( n + 1) n 1 2 1 + 2 + ... + n lim 2 + 2 + ... + 2 = lim lim lim = = = . 2 2 n n n n n 2 2 2
1 3 3 − − 1 3 a n n = lim = = . Do đó: a.b = 192 3 64 b 5 4 − n
Câu 60.
Chọn B
1 1 1 Xét dãy số ( un ) , với un = 1 − 2 1 − 2 ... 1 − 2 , n ≥ 2, n ∈ ℕ . 2 3 n Ta có:
Chọn A u2 = 1 −
1 4 n3 2 + − 3 2n + n − 4 n n = 2=1. Ta có lim lim = 2 an 3 + 2 a 2 n3 a + 3 n 3
( n + 1)
Câu 59.
Chọn A 2
3n 2 + 4
2
Suy ra lim un = 1.
a 2 − a + 1 = a ⇒ a 2 − 2a + 1 = 0 ⇒ a = 1 .
Câu 52.
1 + 3 + 5 + ... + ( 2n + 1)
(1 + 2n + 1)( n + 1) =
Ta có 1 + 3 + ... + ( 2n − 1) = n 2 →
2
= lim
C.
n 1 2 3 1 + 2 + 3 + ... + n n( n + 1) 1 1 1 Lim 2 + 2 + 2 + ... + 2 = lim = lim = lim + = 2 n n2 n n n 2n 2 2n 2
Vậy S = {1;3} ⇒ 1 + 3 = 4 .
an 2 + a 2 n + 1
Chọn
Ta có 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n + 1) =
2 2 + 2a 2 − 8a ( a 2 − 4a + 3) n + 2 + 2a 2 − 8a a − 4a + 3 + n = lim = lim = a 2 − 4a + 3 . 2 n+2 1+ n 3n + 2 + a 2 − 4a = 0 ⇔ a 2 − 4a + 3 = 0 ⇔ a = 3 ∨ a = 1 . Theo giả thiết: lim n+2
Ta có lim
n ( n + 1)( 2n + 1) . 6
1 1 1 + 2 + 1.2 1 n ( n + 1)( 2n + 1) 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n 2 n n Do đó lim = lim = lim = = . 2 7 n 3 + 2n + 7 6 3 6 ( n 3 + 2n + 7 ) 6 1 + 2 + 3 n n
1 1 1+ + 3 n3 + n 2 + 1 1 = lim n n = − ⋅ Câu 49. L = lim 2018 2018 − 3n3 3 −3 n3 Câu 50. Chọn A 3n + 2 + a 2 − 4a Ta có: lim n+2
Câu 51.
Chọn D
2
1 3 2 +1 = = ; 2 2 4 2.2
1 1 3 8 4 3 +1 u3 = 1 − 2 . 1 − 2 = . = = ; 2 3 4 9 6 2.3 23
24
−2 + n − 2n 2 −2 + 3n − 2n3 1 2 −2 = lim n = −∞ do lim + n − 2n 2 = lim n 2 −2 + − 3 = −∞ 2 n n n 3n − 2 3− n 2 và lim 3 − = 3 > 0 . n
1 1 1 3 8 15 5 4 + 1 u4 = 1 − 2 . 1 − 2 1 − 2 = . . = = 2 3 4 4 9 16 8 2.4
lim
⋯⋯
un =
n +1 . 2n
Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định un =
Câu 66.
n +1 , ∀n ≥ 2 2n
Lời giải Chọn B
n +1 1 1 1 1 = . Khi đó lim 1 − 2 1 − 2 ... 1 − 2 = lim 2n 2 2 3 n Câu 61.
Ta có: lim
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có : un = + + ... + = − + − + ... + − 1.3 3.5 2n −1 2n +1 (2n −1).(2n + 1) 2 1 3 3 5
Câu 62.
n 1 = . 2n + 1 2
3 4 Ta có lim −2n 2019 + 3n 2018 + 4 = lim n2019 . −2 + + 2019 = −∞ . n n Câu 63. Chọn B 4 3 2 4 3 1 lim ( 2 − 3n ) ( n + 1) = lim n 7 − 3 1 + n n Ta có lim n 7 = +∞
Câu 68.
5 +1 2 n Ta có I = lim = lim =1 2 1 4n − n + 1 4 − 1+ 2 n 4n 2 + 5 + n
Câu 69.
4 2 lim − 3 = ( −3) = 34 n
lim
x →−∞
4x2 + x + 1 − x2 − x + 3 = lim x →−∞ 3x + 2
− 4+ = lim
x →−∞
3
1 lim 1 + = 1 n
Câu 70.
3
⇒ lim ( 2 − 3n ) ( n + 1) = +∞
Câu 65.
2 1− 2 n3 − 2n n = lim = +∞ . 3 1 2 3n 2 + n − 2 + 2− 3 n n n
Câu 71.
−x 4 +
1 1 1 3 + + x 1− + 2 x x2 x x 3x + 2
1 1 1 3 + + 1− + 2 x x2 x x = −1. 2 3 3+ x
Chọn A n 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1)
n n2 n2 1 1 = lim 2 = lim = . 1 2 2n 2 + 1 2n + 1 2+ 2 n n ( n + 1)( 2n + 1) 2 2 2 2 Ta có: 1 + 2 + 3 + ... + n = . 6
lim un = lim
Chọn A Ta có: L = lim
4+
.
4
Câu 64.
1 1 2 − + n2 n n2 = 2 − 0 = 1 . 3 2 2− n
Ta có: lim
)
4
4+
4n 2 + 1 − n + 2 = lim 2n − 3
Câu 67.
Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu Chọn A
(
2n − 1
1 − 4n 4n − 1 1 − 4 = lim = +∞ . = lim 2n − 1 3 ( 2n − 1) 1.
Dạng 1.4 Phân thức chứa căn
1 1 1 n = − = 2 1 2n +1 2n + 1 Suy ra : lim un = lim
1 + 5 + ... + ( 4n − 3)
2n2 + 1
= lim
Chọn B n ( n + 1)( 2n + 1) 12 + 2 2 + 33 + ... + n 2 = lim Khi đó: lim = lim 2n ( n + 7 )( 6n + 5 ) 12n ( n + 7 )( 6n + 5 )
25
1 1 1 + 2 + 1 n n = . 5 7 6 12 1 + 6 + n n 26
Câu 72.
DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC Chọn D
Ta có: lim n
1 2 n = Ta có n − 3n + 1 − n = 3 1 n2 − 3n + 1 + n 1− + 2 +1 n n 3 2 Nên lim n − 3n + 1 − n = − 2
Ta có: lim n 2n − 3 8n3 + n = lim
Chọn C
= lim
(
(
)
n 2 + 2 n − n 2 + 1 = lim
(
)(
n 2 + 2n − n 2 + 1 2
)
n 2 + 2n + n2 + 1 2
n + 2n + n + 1
1 1 2− 2− 2n −1 n n = lim = lim = = lim = 1. 2 1 n2 + 2n + n2 +1 n 2 + 2n n2 +1 1 1 + + + + n n n2 n2 Câu 74. Chọn D 1 1 1 lim n n + 4 − n + 3 = lim n = lim = . n+4 + n+3 4 3 2 1+ + 1+ n n
(
)
(
Câu 76.
4n
n + n 2 − 4n
1+ 1−
)( n +
n 2 − 4n
)
4 n
(
= 2.
L = lim
2
)
Ta có: lim n = lim n
(
(
(
3n 3 3 n 2 + 2 − n 2 − 1 = lim = lim = 2 2 1 n2 + 2 + n2 −1 1+ 2 + 1− 2 n n
)
4n 2 + 3 − 3 8n 3 + n = lim n
)
(
−n 2 2 2 3 3 3 3 4n + 2n 8n + n + (8n + n )
(
(
)
4n 2 + 3 − 3 8n3 + n =
3 1 2 − = . 4 12 3
)
9 n 2 + 2 n − 1 − 4 n 2 + 1 = lim
( 9n
2
+ 2n − 1) − ( 4n 2 + 1)
9n 2 + 2n − 1 + 4n 2 + 1 2 2 2 2 n2 5 + − 2 5+ − 2 5n2 + 2n − 2 n n n n = lim = lim = lim n ⋅ 2 1 1 2 1 1 9n2 + 2n − 1 + 4n2 + 1 n 9 + − 2 + 4 + 2 9+ − 2 + 4+ 2 n n n n n n = +∞ .
(
1 1 n2 −77 + + 2 n n = lim = lim 4 n + n + 1 − 9 n = lim 1 1 4n 2 + n + 1 + 9n 4n2 + n + 1 + 9n n 4 + + 2 + 9 n n 2
)
4n2 + n + 1 − 81n2
−77n2 + n + 1
1 1 −77 + + 2 n n = −7 < 0 . Vì : lim n = +∞ và lim 1 1 4+ + 2 +9 n n
n 2 − 4n + 7 + a − n = 0 thì a − 2 = 0 ⇔ a = 2 .
Ta có: I = lim n
)
3 3 = . 4 3 4 + 2 + 2 n
1 1 −77 + + 2 n n = −∞ = lim n ⋅ 1 1 4+ + 2 +9 n n
2a − 4 +
)
(
(
= lim
Câu 80.
n + n 2 − 4n
4
= lim
n 2 − 4n
7 − a2 −4n + 7 + 2an − a 2 n n − 4n + 7 + a − n = lim = lim = a−2 4 7 a n 2 − 4n + 7 − ( a − n ) 1− + 2 − +1 n n n
Để lim
Câu 78.
(n −
Chọn C
lim
Câu 77.
L = lim
Câu 79.
)
Ta có lim n − n 2 − 4 n = lim
3n
4n 2 + 3 + 2 n
−1 1 =− . 2 12 4 + 2 3 8 + 12 + 3 8 + 12 n n
Vậy lim n
Chọn C
= lim
)
(
)
Ta có: lim
Câu 75.
)
4n2 + 3 − 2n = lim
−3 +
−3n + 1
Câu 73.
(
Câu 81.
4 n 2 + 3 − 2 n + 2 n − 3 8n 3 + n
) (
)
4n 2 + 3 − 2 n + n 2 n − 3 8n3 + n .
) (
)
27
28
2 n 1 − n = lim = lim 1 2 4n 2 + n + 4n 2 + 2 4n 2 + n + 4 n 2 + 2 n 4+ + 4+ 2 n n 2 1− 1− 0 1 n = lim = = . 4+0 + 4+0 4 1 2 4+ + 4+ 2 n n
( 4n L = lim
2
+ n ) − ( 4n 2 + 2 )
L = lim
n−2
(
8n3 + 3n2 − 2 + 3 5n2 − 8n3
) 8n 2 − 2
= lim 3
(8n
3
2
+ 3n 2 − 2 ) − 3 (8n3 + 3n 2 − 2 ) . ( 5n 2 − 8n3 ) + 3 ( 5n 2 − 8n3 ) 8−
= lim
2 8n 2
2
3 2 3 25 5 3 8+ − − 3 8 + − 3 . − 8 + 3 − 8 n n3 n n n n
Câu 82.
=
2
2
2 . 3
Câu 86.
L = lim 25 + lim
(
2
n + 3n + 5 − n
)
(n = 25 + lim
2
+ 3n + 5 ) − n 2
= 25 + lim
2
n + 3n + 5 + n
3n + 5
L = lim
2
n + 3n + 5 + n
(
5 5 n3 + 3+ 3+0 53 n n = 25 + lim = 25 + = . = 25 + lim 3 5 1+ 0 + 0 +1 2 3 5 1+ + 2 +1 n 1 + + 2 + 1 n n n n Câu 83.
( 2 n + 1) − ( n + 3 )
L = lim
4n − 5
(
2n + 1 + n + 3
)
= lim
(
(
= 6+
2n + 1 + n + 3
3
L = lim
)
(
( n + 4)
2
3
2
) 3+
= 6 + lim
2
+ 3n 2 + 4 ) + 2n. 3 8n3 + 3n 2 + 4 + 4n 2
3
2n − n3 + n − 1 = −1 + lim
)
(
3
4 n2
2
3
3 4 3 4 8 + + 3 + 2. 3 8 + + 3 + 4 n n n n
)
2n
2n − n3 + n = −1 + lim
2 n
3
( 2n − n ) 3
2
− n 3 2 n − 2n 3 + n 2
= −1 + 0 = − 1 .
2
2 2 2 −1 − 3 2 −1 + 1 n n
Câu 88.
(
3
)
n − n3 + n + 2 = 2 + lim
(
3
)
3
( n−n )
1 n
= 2 + lim
2
4 4 1 1 n 2 . 1 + + 3 n 2 . 1 + . 1 + − 3 n 2 . 1 + n n n n 3 = lim =0. 2 2 4 4 1 3 1 3 2 3 3 n 1 + + 1 + . 1 + + 1 + n n n n 3
n
n − n3 + n = 2 + lim
2
3
= lim
8n3 + 3n2 + 4 − 2n
1 25 = . 4 4
L = lim
+ 3 ( n + 4 ) . ( n +1) + 3 ( n + 1)
( 8n
3
3 3
3
3n 2 + 4
= − 1 + lim
)
n + 4 − 3 n + 1 = lim
(
Câu 87.
)
Câu 84.
(
8n3 + 3n2 + 4 − 2n + 6 = 6 + lim
3
n−2
4n − 5
)
3
= 6 + lim
2 2 n 1 − 1− n n = lim = lim 5 1 3 5 1 3 n 4 − 2 + + 1+ 4 − 2 + + 1+ n n n n n n 1− 0 2 −1 = = . 2 4 − 0 2 + 0 + 1+ 0
L = lim
3
2
− n. 3 n − n 3 + n 2
= 2+0 = 2.
2
3
3
1 1 2 − 1 − 3 2 −1 + 1 n n
Câu 89.
L = lim
(
3
)
n3 − 2n2 − n − 1 = −1 + lim
Câu 85.
= − 1 + lim
(
3
−2 2
)
−2n 2
n3 − 2n2 − n = − 1 + lim
2 2 3 3 1− + 1− +1 n n
= −1 −
3
(n
3
− 2n
2
)
2
+ n. 3 2n3 − 2n 2 + n 2
2 5 =− . 3 3
Câu 90. 29
30
L = lim
(
n4 + n2 − 3 n6 + 1 = lim
)
= lim
= lim
(
)
n4 + n2 − n2 − lim n2 4
n + n2 + n2
) (
(
n4 + n2 − n2 −
(
3
)
3
n6 + 1 − n 2
n6 + 1 − n2 = lim
(n
4
3
(n
6
2
+ 1) + n
Do 0,999 < 1 nên lim ( 0,999 ) = 0 .
+ n2 − n4 ) 4
2
n +n +n
1
− lim
n
)
2
6
n +1 + n
3
6
2
Câu 97.
6
( n + 1) − n ( n + 1) + n n + 1 + n 23
6
4
n
n +1
Câu 98.
Câu 91. L = lim
(
2
3
3
n + n +1 − n + n
2
) = lim (
) (
3
3
2
)
(
)
Chọn B
(
)
Câu 99.
n3 − ( n3 + n 2 ) n2 + n + 1 − n2 = lim + 2 2 n + n + 1 + n n 2 + n 3 n3 + n 2 + 3 n3 + n 2 n +1 n2 = lim − 2 2 2 3 3 2 3 3 2 n + n +1 + n n + n n + n + n + n 1 1 n + n2 n = lim − 2 1 1 1 1 n 1 + n + n 2 + 1 n 2 1 + 3 1 + + 3 1 + n n 1 1+ 1 1 1 1 n = lim − = − = 2 1 1 1 1 1+ + 2 3 6 1 + 3 3 1 1 1 + + + + n n2 n n
(
n
3 n Ta có: lim 3n − 4n = lim 4n − 1 = −∞ . 4
n + n +1 − n + n − n + n 2
Chọn B 99 100 + 3. 100 + 3.99 100 = lim = 100 lim 2 n n 10 − 2.98n +1 98 1 − 2. 100
4
1 1 +0 = 2 1 1+ 2 +1 n
= lim
23
6
− lim
)
Chọn D n
2 6. − 6 3.2n +1 − 2.3n +1 3 = lim n = −6 . Ta có lim 4 + 3n 1 4. + 1 3 Câu 100. Chọn A n
n
1 2017 + 2. 1 + 2.2017 2018 2018 = 0 . = lim Ta có lim n n n 2016 + 2018 2016 +1 2018 n
Câu 101. Chọn D n
1 1+ 2 +1 2 = 1+ 0 = 1 = lim Ta có: lim n 2.2n + 3 2+0 2 1 2 + 3. 2 n
Câu 102. Chọn B
DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA Câu 92. Ta có lim q n = 0 nếu q < 1 .
n
Ta có lim
n
4 5 −5 1 1 > 1; = > 1 ; < 1 . Vậy lim = 0 . Mặt khác e 3 3 3 3 Câu 93. ChỌn B. Câu 94.
Chọn A lim q n = 0 ( q < 1) .
Câu 95.
Chọn A
Áp dụng lim q n = 0 , Câu 96.
n +1
9 +3 5n + 9n + a n
1 1 + 3 3 = 1 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ 1 ⇔ a ≥ 7. = lim n 3a 2187 3a 37 5 a +9 9
Do a nguyên thuộc khoảng ( 0; 2019 ) nên a ∈ {7;8;...; 2018} . Câu 103. Chọn C
Ta có T = lim
(
)
16n+1 + 4n − 16n+1 + 3 = lim
4n − 3n
16
n +1
+ 4n + 16n +1 + 3n
q <1
Chọn A 31
32
3 1− 4
Vậy lim un = 12 .
n
1 1 = = . = lim = lim n n 4+4 8 16.16n + 4n + 16.16n + 3n 1 3 16 + + 16 + 4 4 4 −3 n
n
DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Câu 110. Chọn A Ta có un = u1 + ( n − 1) d = 2 + ( n − 1) 3 = 3n − 1 . n n 1 1 = lim = lim = . 1 3 un 3n − 1 3− n Câu 111. Chọn A lim
DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG u 1 2 = . Câu 104. S = 1 = 1− q 1+ 1 3 2 Câu 105. Chọn B 2 2 2 1 Ta có 2; ; 2 ;...; n ;... là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = < 1 . 3 3 3 3
Suy ra:
2 2 2 1 S = 2 + + 2 + ... + n + ... = 2. = 3. 1 3 3 3 1− 3 Câu 106. Chọn B
un +1 n + 2018 + n + 2017 = < 1 với mọi n ∈ ℕ* . un n + 2019 + n + 2018
Do đó, dãy số ( u n ) giảm. Vậy Chọn A
1 2 1 142 1 10 3,15555... = 3,1( 5 ) = 3,1 + 5 2 + 3 + ... = 3,1 + 5. = 1 10 10 45 1− 10 Câu 107. Chọn B 1 1 1 1 Ta có 1 + + + n + ... là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, q = . 2 4 2 2 1 1 1 u1 Áp dụng công thức được S = kết quả 1 + + + n + ... = 2 . 1− q 2 4 2 Câu 108. Chọn D u − n u 1 1 Ta có n +1 = 5 = − do đó dãy (un ), n ∈ ℕ * là một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = 3 , d = − . un un 5 5 Suy ra lim Sn =
1 . n + 2018 + n + 2017
Ta có: un = n + 2018 − n + 2017 =
u1 3 5 = = . 1− q 1+ 1 2 5
Chú ý:
n →+∞
+ lim
n →+∞
n →+∞
un +1 n + 2018 + n + 2017 = lim =1. un n →+∞ n + 2019 + n + 2018
+ 0 < un =
2
2 Ta có f ( n ) = ( n 2 + n + 1) + 1 = ( n 2 + 1) ( n + 1) + 1 .
Do đó un
⇒ un =
2 2 2 Khi đó vn +1 = un +1 − 12 = un + 4 − 12 = (un − 12) = vn , ∀n ∈ ℕ* . 3 3 3 2 Suy ra dãy số ( vn ) là cấp số nhân với công bội q = và số hạng đầu v1 = −11 . 3 2 , ∀n ∈ ℕ* . Từ đó un = −11 3
2 + 1)( 22 + 1)( 32 + 1)( 42 + 1) ... ( 2 n − 1) + 1 4n 2 + 1 2 2 + 1)( 32 + 1)( 42 + 1)( 52 + 1) ... 4n 2 + 1 ( 2n + 1) + 1
2
Đặt vn = un − 12, ∀n ∈ ℕ* .
n −1
1 1 1 . < ≤ n + 2018 + n + 2017 2 n + 2017 2 2018
Câu 112. Chọn C
Câu 109. Chọn C
2 Suy ra vn = −11 3
1 = 0. n + 2018 + n + 2017
+ lim un = lim
(1 = (2
2
( 2n + 1)
2
+1
lim n u ( n ) = lim
n −1
+ 12, ∀n ∈ ℕ* .
⇒ n u ( n) = 2n 2
( 2n + 1)
2
+1
2n 2
( 2n + 1)
= lim
2
+1
.
2 2
1 1 2 + + 2 n n
=
1 . 2
Câu 113. Chọn B 33
34
Câu 114. Chọn A
Ta có
Ta tính giới hạn của các dãy số trong từng đáp án:
u2 = u1 + 4.1 + 3 u3 = u2 + 4.2 + 3
2018
+) Đáp án A: lim un = lim
... un = un −1 + 4. ( n − 1) + 3
n ( n − 1)
2
2017 − n 2017 − n 2017 = lim . n 2018 − n
2017 2017 −1 2017 n = lim − 1 = −1 . 2018 − 1 n n
Cộng vế theo vế và rút gọn ta được un = u1 + 4. (1 + 2 + ... + n − 1) + 3 ( n − 1) = 4
( 2017 − n ) 2017 n ( 2018 − n )
+ 3 ( n − 1) = 2n2 + n − 3 , với mọi n ≥ 1 .
Suy ra
+) Đáp án B: lim un = lim n
2
u2 n = 2 ( 2n ) + 2n − 3 2
2
2
u2 2 n = 2 ( 2 n ) + 2 n − 3
= lim
...
(
)
n 2 + 2018 − n 2 + 2016 = lim
2n n 2 + 2018 + n 2 + 2016
= lim
2
u22018 n = 2 ( 22018 n ) + 22018 n − 3
n ( n 2 + 2018 − n 2 − 2016 ) n 2 + 2018 + n 2 + 2016
2 = 1. 2018 2016 1+ 2 + 1+ 2 n n
+) Đáp án C:
Và
Cách 1: Ta có un +1 − 1 =
2
u4 n = 2 ( 4n ) + 4n − 3
1 1 1 ( un − 1) ⇒ un − 1 = ( un −1 − 1) = ... = n −1 ( u1 − 1) 2 2 2
2
u4 2 n = 2 ( 4 2 n ) + 4 2 n − 3
n
⇒ un =
...
2016 1 + 1 ⇔ un = 4032. + 1 ⇒ lim un = 1 . 2n −1 2
2
u42018 n = 2 ( 42018 n ) + 42018 n − 3 Do đó lim
Cách 2:
un + u4 n + u 42 n + ... + u42018 n
Bước 1: Ta chứng minh ( un ) giảm và bị chặn dưới bởi 1.
un + u2 n + u 22 n + ... + u22018 n
Thật vậy bằng quy nạp ta có u1 = 2017 > 1 .
2 1 3 4 3 42018 3 2 + − 2 + 2.42 + − 2 + ... + 2 ( 42018 ) + − 2 n n n n n n = lim 2018 1 3 2 3 2 3 2 2018 2 − 2 2 + − 2 + 2.2 + − 2 + ... + 2 ( 2 ) + n n n n n n
=
2 (1 + 4 + 42 + ... + 42018 ) 2 (1 + 2 + 22 + ... + 22018 )
Giả sử un > 1 ⇒ un +1 =
1 1 ( un + 1) > (1 + 1) = 1 2 2
Vậy un > 1∀n ∈ ℕ * . Hơn nữa un +1 − un =
1 − 42019 2019 2019 4 = 1 4 −1 = 2 +1 . = 1 −2019 2019 1− 2 3 2 −1 3 1− 2 1
1 (1 − un ) < 0 nên ( un ) là dãy giảm 2
Suy ra ( un ) có giới hạn lim un = a
a = 2 Vì 22019 > 2019 cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên b = 1 c = 3
Bước 2: Ta có a = lim un = lim un +1 = lim
1 1 1 1 1 ( un + 1) = lim un + = a + 2 2 2 2 2
⇒ a = 1. +) Đáp án D:
Vậ y S = a + b − c = 0 . 35
36
Ta có un =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n + + + ... + = 1 − + − + ... + − = 1− = n ( n + 1) n n +1 n +1 n +1 1.2 2.3 3.4 2 2 3
• Tương tự, dùng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được
3 < un ≤ 2 , tức dãy ( un ) bị chặn. Từ đó 4
suy ra dãy số có giới hạn. ⇒ lim u n = lim
n =1. n +1
• Đặt x = lim un . Khi n → +∞ thì un +1 → x và
Câu 115. Ta có un −1 = n 2 ( un −1 − un ) ⇔ un −1 ( n 2 − 1) = n 2un ⇔ un =
n −1 n +1 . .un −1 . Khi đó ta có: n n
3 4 x + 1 = 4 x + 1 + 4 ⇔ 36 x + 9 = 4 x + 1 + 16 + 8 4 x + 1 ⇔ 4 x + 1 = 4 x − 1 ⇔ x =
1 3 u2 = . .u1 2 2
Vậy lim un =
2 4 u3 = . .u2 3 3
Đặt un = vn +
n −1 n +1 . .un −1 n n
n 2 2
(1 + n )
− n2
=
(n
2
n +1 n +1 .u1 = .1008 . Vậy lim un = 1008 . 2n n
Do đó un = vn +
n 1 1 1 = 2 − 2 + n + 1)( n 2 − n + 1) 2 n − n + 1 n + n + 1
Vậy L = lim
5 1 1 5 = −2 − = − , công bội q = 3 , suy ra vn = − .3n−1 . 2 2 2 2
1 5 1 = − .3n−1 + ( n ≥ 1) . 2 2 2
un 1 5 5 = lim − + n = − . 3n 6 6 2.3
Câu 119. Vì dãy các tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,... là các tam giác đều nên bán kính đường tròn
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có u1 + u2 + ... + un = 1 − + − + − + − + ... + 2 − n − n + 1 n2 + n + 1 2 3 3 7 7 13 13 21 =
1 1 1 , thay vào biểu thức truy hồi ta có vn + = 3 vn −1 + − 1 ⇔ vn = 3vn −1 , ∀n ≥ 2 . 2 2 2
Dễ thấy ( vn ) là cấp số nhân với v1 = u1 −
Nhân theo vế các đẳng thức trên ta có un =
Câu 116. Ta có un =
3 . 4
Câu 118. Chọn C
… un =
3 . 4
ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh ×
2 1 1 1 n +n 1 − 2 = 2 2 n + n +1 2 n + n +1
3 . 3
Với n = 1 thì tam giác đều A1B1C1 có cạnh bằng 3 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 có 2
1+
Suy ra lim ( u1 + u2 + ... + un ) =
1 n
bán kính R1 = 3.
1 1 lim = . 1 1 2 1+ + 2 2 n n
Với n = 2 thì tam giác đều A2 B2C2 có cạnh bằng
Câu 117. • Chứng minh ( u n ) là dãy giảm, tức là chứng minh: un+1 ≤ un , ∀n ∈ ℕ* . - Với n = 1 , ta có: 3 4u2 + 1 = 4u1 + 1 + 4 ⇔ u2 =
3 3 ⇒ S1 = π 3. . 3 3
3 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 B2C2 2
2
1 3 1 3 có bán kính R2 = 3. . ⇒ S 2 = π 3. . . 2 3 2 3
10 ≤ u1 . 9
Với n = 3 thì tam giác đều A3 B3C3 có cạnh bằng
- Giả sử mệnh đề đúng với n = k , tức là: uk +1 ≤ uk , ∀n ∈ℕ* .
3 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 B2C2 4
2
1 3 1 3 có bán kính R3 = 3. . ⇒ S3 = π 3. . . 4 3 4 3
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 , tức là chứng minh: uk + 2 ≤ uk +1 . Ta có:
3 4uk + 2 + 1 = 4uk +1 + 1 + 4 ≤ 4uk + 1 + 4 = 33 4uk +1 + 1 ⇔ uk + 2 ≤ uk +1 .
.
- Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ra un+1 ≤ un , ∀n ∈ ℕ* , tức ( u n ) là dãy giảm. 37
38
1 Như vậy tam giác đều An BnCn có cạnh bằng 3. 2 1 có bán kính Rn = 3. 2
n −1
n −1
nên đường tròn ngoại tiếp tam giác An BnCn
Khi đó từ un+1 =
Câu 121. Ta có ∀n ∈ ℕ * ,
2
1 n −1 3 3 ⇒ Sn = π 3. . . . 2 3 3
2 2 2 un + a ⇒ un2+1 − 3a = ( u n2 − 3a ) . 3 3
un +1 =
Khi đó ta được dãy S1 , S2 , ...Sn ... là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = S1 = 3π và công bội q =
1 1 ( un + 1) , n ≥ 1 suy ra a = ( a + 1) ⇔ a = 1 , do đó lim un = 1 . 2 2
1 . 4
Đặt vn = un2 − 3a thì ( vn ) là cấp số nhân với v1 = 1 − 3a và công bội q =
Do đó tổng S = S1 + S2 + ... + Sn + ... =
2 Do đó vn = 3
u1 = 4π . 1− q
un =
n ( n − 2018 )
( n − 2017 )
2017
2018
→
n.n 2017 →1. n 2018
(1 − 3a ) + 3a .
2 2 2 Vì lim u1 + u2 + ... + un − 2n = b nên
(
2
2
) (
n + 2020 − 4n + 2017 → n
2
n − 4n
2
) → n.( −n ) → −∞ .
)
2 2 n 3a − 2 = 0 a = lim 3 (1 − 3a ) 1 − − n ( 3a − 2 ) = b ⇔ ⇔ 3 , b = 3 (1 − 3a ) b = −3 3
+ Với phương án C:
1 1 1 1 1 1 1 un = 1 − + − + … + − → . = 1− 2n + 3 2 3 3 5 2n + 1 2n + 3
suy ra T = ab = −2 .
Câu 122. Ta có Cn3 =
+ Với phương án D:
un+1 =
1 1 ( un + 1) ⇔ un+1 − 1 = ( un − 1) . 2 2
Nhận xét
Suy ra dãy ( vn ) là một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2017 , công bội bằng
1 vn = 2017. 2
6 ( n − 3) !( n − 2 )( n − 1) n = n ( n − 1)( n − 2 ) ⇒ 1 = n! = Cn3 n ( n − 1)( n − 2 ) 3!( n − 3)! 6 ( n − 3) !× 6
Vậy ta có Sn =
v1 = 2017 Đặt vn = un − 1 , ta có . 1 vn +1 = 2 .vn , n ≥ 1
1 Suy ra un = 2017. 2
n −1
2 1− n Suy ra u12 + u22 + ... + un2 − 2n = (1 − 3a ) 3 − 2n + 3na = 3 (1 − 3a ) 1 − 2 − n ( 3a − 2 ) . 3 2 1− 3
+ Với phương án B:
(
2 3
(1 − 3a ) ⇒ un2 = vn + 3a =
n
Câu 120. + Với phương án A:
un = n
n −1
2 . 3
1 nên 2
6 6 6 6 + + + ... + n ( n − 1)( n − 2 ) 1.2.3 2.3.4 3.4.5
2 1 1 2 1 1 2 1 1 ; ;…; = − = − = − 1.2.3 1.2 2.3 2.3.4 2.3 3.4 ( n − 2)( n − 1) n ( n − 2 )( n − 1) ( n − 1) n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n − 2 3n − 6 ⇒ Sn = 3 − + − + ... + − + − = 3 − = 3 = n − 2 n −1 n −1 n 2n 1.2 2.3 2.3 3.4 2 n 2n
n −1
6 3− n 3 3n − 6 Vậy lim Sn = lim = . = lim 2n 2 2
( n ≥ 1) .
n −1
+ 1 ( n ≥ 1) , do đó lim un = 1 .
n
1 1 + 3. 9n + 3n +1 9n + 3n +1 9n + 3n +1 3 = 1 = 1 . Câu 123. Do n v ớ i nên > 0 lim = lim = lim ∀ n a n 5 + 9n+ a 5n + 9 n + a 5n + 9 n + a 9a 3 5 a +9 9
Chú ý: Ở phương án D, ta có thể chứng minh un > 1 với mọi n ≥ 1 và ( u n ) là dãy giảm nên ( u n ) sẽ có giới hạn. Gọi lim un = a . 39
40
Theo đề bài ta có lim
1 1 9n + 3n +1 1 ⇔ a ≤ ≤ ⇔ a ≥ 7 . Do a là số nguyên thuộc 3 2187 5n + 9n + a 2187
khoảng ( 0; 2018 ) nên có a ∈ {7;8;9;...; 2017} ⇒ có 2011 giá trị của a .
Vậy lim ( un + 2vn ) = a + 2b = − n→+∞
2 1 + 2. = 0 . 3 3
Câu 126. Chọn C Gọi bán kính khối cầu dưới cùng là R1 = 50 cm.
Câu 124. Chọn A
1 độ cao mà quả bóng đạt trước đó 10 và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến: Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng
Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là d1 = 55,8 m .
Gọi R2 , R3 ,…, Rn lần lượt là bán kính của các khối cầu R2 , R3 ,..., Rn nằm nằm ngay trên khối cầu dưới cùng. R R1 R R R , R3 = 2 = 1 ,…., Rn = n −1 = n 1−1 2 2 4 2 2 Gọi hn là chiều cao của mô hình gồm có n khối cầu chồng lên nhau. Ta có R2 =
Ta có
Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là d2 = 55,8 + 2.
55,8 . 10
1 1 1 1 1 1 hn = 2 R1 + 2 R2 + 2 R3 + ... + 2 Rn = 2 R1 + R1 + R1 + ... + n −1 R1 = 2 R1 1 + + + ... + n −1 2 4 2 2 2 4
Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là d3 = 55,8 + 2.
55,8 55,8 + 2. 2 . 10 10
Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là d4 = 55,8 + 2.
55,8 55,8 55,8 + 2. 2 + 2. 3 . 10 10 10
1 1 1 Suy ra chiều cao mô hình là h = lim hn = lim 2 R1 1 + + + ... + n −1 n →+∞ n →+∞ 2 4 2 1 1 1 1 1 Xét dãy số 1; ; ;...; n −1 ; n ;... là một cấp số nhân có u1 = 1 và công bội q = nên là dãy cấp 2 4 2 2 2 1 1 1 1 1 số nhân lùi vô hạn. Do đó 1 + + + ... + n −1 + n + ... = =2 1 2 4 2 2 1− 2 Suy ra h = 2 R1.2 = 200 cm. Vậy chiều cao mô hình nhỏ hơn 200 cm.
…………………………………….
Thời điểm chạm đất lần thứ n, ( n > 1) là dn = 55,8 + 2.
55,8 55,8 55,8 + 2. 2 + ... + 2. n −1 . 10 10 10
Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là
d = 55,8 + 2.
55,8 55,8 55,8 + 2. 2 + ... + 2. n −1 + ... (mét). 10 10 10
55,8 55,8 55,8 55,8 1 , 2. 2 , 2. 3 , …, 2. n −1 ,…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q = , 10 10 10 10 10 55,8 2. 55,8 55,8 55,8 10 = 12,4 . + 2. 2 + ... + 2. n −1 + ... = nên ta có 2. 1 10 10 10 1− 10 Vì 2.
Vậy d = 55,8 + 2.
55,8 55,8 55,8 + 2. 2 + ... + 2. n −1 + ... = 55,8 + 12,4 = 68,2 . 10 10 10
Câu 127. Chọn C Lần đầu rơi xuống, quảng đường quả bóng đã bay đến lúc chạm đất là 8m . Sau đó quả bóng nảy lên và rơi xuống chạm đất lần thứ 2 thì quảng đường quả bóng đã bay là 3 8 + 2.8. . 4 Tương tự, khi quả bóng nảy lên và rơi xuống chạm đất lần thứ n thì quảng đường quả bóng đã bay 3 1 − ( )n 3 3 n −1 4 = 8 + 48(1 − ( 3 )n −1 ) . là 8 + 2.8. + ....... + 2.8.( ) = 8 + 3 4 4 4 1− 4 Quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả đến lúc không máy nữa bằng: 3 lim[8 + 48(1 − ( ) n−1 )] = 8 + 48 = 56 . 4 Câu 128. Chọn C Cách 1:
Câu 125. Chọn A 2 a=− lim un = a a = 4b − 2 lim un +1 = lim ( 4vn − 2 ) 3 Giả sử , ta có ⇒ ⇒ . b = a + 1 lim vn = b lim vn +1 = lim ( un + 1) b = 1 3
41
42
Tiếp theo, ta đánh giá Dn . Tổng số cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x 2 + y 2 ≤ n 2 với x ≠ y là 4 N n với N n là số các cặp số tự nhiên ( x; y ) thỏa mãn x 2 + y 2 ≤ n 2 và x ≠ y . Giả sử ( x; y ) ∈ ℕ 2 thỏa mãn x 2 + y 2 ≤ n 2 , khi đó 0 ≤ x ≤ n , 0 ≤ y ≤ n2 − x 2 .
Nên ta có đánh giá với Dn là 4 −n + ∑ n 2 − x 2 ≤ 4 N n ≤ Dn ≤ 4 ∑ n2 − x 2 . 0≤ x ≤ n 0≤ x ≤n
Vì
thế
cho
nên
từ
sn = En + Dn ,
có
−4n + 1 + Tn ≤ sn ≤ 1 + Tn ,
trong
đó
n 2 2 2 Tn = 2 + 4 ∑ n − x . 2 1≤ x ≤ n Xét điểm M ( x; y ) bất kì nằm trong (tính cả biên) của hình tròn ( Cn ) : x 2 + y 2 ≤ n 2 .
Suy ra lim
n →+∞
Mỗi điểm M tương ứng với một và chỉ một hình vuông đơn vị S ( M ) nhận M là đỉnh ở góc
n 2 n 2 2 2 2 2 2 + 4 ∑ n − x , + 4 ∑ n − x ≤ 2 2 1≤ x ≤n 2 1≤ x≤ n
trái, phía dưới, có các cạnh lần lượt song song hoặc nằm trên các trục tọa độ. Ta được sn bằng số các hình vuông S ( M ) và bằng tổng diện tích của S ( M ) , với M ∈ ( Cn ) .
(
Nhận xét: các hình vuông S ( M ) , S ( M ) đều nằm trong hình tròn Cn +
(
)
2
):
(
sn 1 n 2 2 2 = lim 2 + 4 ∑ n − x . Do đánh giá về phần nguyên n 2 n →+∞ n 2 2 1≤ x≤ n
)
2
x2 + y 2 ≤ n + 2 .
2
n 2 n 2 2 2 2 + 4 ∑ + 4 ∑ n − x ≥ 2 2 1≤ x ≤ n 2 1≤ x≤ n
(
)
n2 − x2 − 1
Do đó sn ≤ π n + 2 . (1)
(
Mặt khác, các hình vuông S ( M ) phủ kín hình tròn Cn −
2
): x
2
(
)
sn 4 4 x = lim 2 ∑ n 2 − x 2 = lim ∑ 1 − n →+∞ n 2 n →+∞ n n →+∞ n n 1≤ x≤ n 1≤ x≤ n
2
Nên ta được lim
2
+ y2 ≤ n − 2 .
1
(
)
Về bản chất, kết quả giới hạn này là giá trị của tích phân xác định I = ∫ 4 1 − x 2 dx = π .
2
Vì thế sn ≥ π n − 2 . ( 2 ) Từ (1) và ( 2 ) , suy ra
(
0
)
(
)
*
π n − 2 ≤ sn ≤ π n + 2 , ∀n ∈ ℕ , n ≥ 2 .
Vậy lim
n →+∞
sn 2 2 ⇔ π 1 − ≤ π 1 + ≤ n n n
sn
n
= π .
sn 2 2 Mà lim π 1 − = lim π 1 + n = π , theo nguyên lí kẹp, ta được lim n = π . n Cách 2: Gọi Dn là số cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x 2 + y 2 ≤ n 2 với x ≠ y và En là số cặp số nguyên
k≤
( x; x )
thỏa mãn x 2 + y 2 ≤ n 2 . Ta có En là số các số nguyên k sao cho 2k 2 ≤ n2 , từ
n 2 n 2 n 2 2 n , ta có n ∈ ℤ và − ≤k≤ . Cho nên En = 2 + 1. 2 2 2 2 43
44
TOÁN 11
GIỚI HẠN HÀM SỐ
Câu 4.
1D4-2
(THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị của lim ( 3x 2 − 2 x + 1) bằng: x →1
A. +∞ . Câu 5.
Contents DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN .................................................................................................................................... 1
Câu 6.
DẠNG 4. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH.................................................................................................................................... 13
Câu 7.
DẠNG 4.1 DẠNG 00 ................................................................................................................................................ 13 Dạng 4.1.1 Không chứa căn ................................................................................................................................... 13 Dạng 4.1.2 Chứa căn .............................................................................................................................................. 15 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 21
Câu 9.
DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN .................................................................................................................................. 21
B. 0 .
Câu 10.
DẠNG 4.1 DẠNG 00 ................................................................................................................................................ 35
Câu 11.
Tính lim x →1
Câu 13.
x → x0
lim g ( x ) = 3 , hỏi lim 3 f ( x ) − 4 g ( x ) bằng x → x0
Câu 2.
Câu 14. C. −6 .
D. 3 .
(THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Giá trị của lim ( 2 x − 3 x + 1) bằng
Câu 15.
x →1
B. 1.
C. +∞ .
D. 0 . x →3
A. L = −∞ .
B. L = 0 .
2 x +1 − 5 x − 3 2x + 3
1 . 3
C. L = +∞ .
x −3 x+3
1 . 2
C.
2 . 3
D. −∞ .
C. +∞
D. 2019 .
C. 7 .
D. 3 .
bằng.
B.
1 . 7
(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Tìm giới hạn A = lim
x →−2
B. −∞ .
Giới hạn nào sau đây có kết quả bằng +∞ ? x −3 x−2 A. lim B. lim 2 2 x →1 x →1 ( x − 1) ( x − 1)
C. +∞ .
C. lim x →1
x +1 . x2 + x + 4
D. 1.
−x −1
( x − 1)
2
D. lim x →1
x +1
( x − 1)
2
Cho lim f ( x ) = −2 . Tính lim f ( x ) + 4 x − 1 . x →3
x →3
B. 6 .
Biểu thức lim π x→
(THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn L = lim
D. −1 .
x 3 − 2 x 2 + 2020 . 2x −1 B. −∞ .
A. 5 .
2
A. 2 . Câu 3.
B. 2 .
C. 5 .
B.
1 A. − . 6
(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho các giới hạn: lim f ( x ) = 2 ;
A. 5 .
lim
x →−2
A.
PHẦN A. CÂU HỎI
x → x0
B. 1 .
x +1 lim bằng x →1 x + 2
2
Câu 12.
Câu 1.
D. 3 .
lim x − 4 bằng
A. 0 .
DẠNG 4.2 DẠNG ∞ − ∞ ......................................................................................................................................... 45
DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN
C. 2 .
x→ 3
Dạng 4.1.1 Không chứa căn ................................................................................................................................... 35 Dạng 4.1.2 Chứa căn .............................................................................................................................................. 38
B. 1 . 2
DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC ............................................................................................................................. 26 DẠNG 4. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH.................................................................................................................................... 35
C. 3 .
x 2 − 2x + 3 bằng? x +1 D. 2 .
x+2 Tính giới hạn lim ta được kết quả x →2 x − 1
A. +∞ .
DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN .................................................................................................................................. 23
D. 7 . x →1
A. − 5 .
DẠNG 4.2 DẠNG ∞ − ∞ ......................................................................................................................................... 19
C. 0 .
(THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Giới hạn lim
A. 4 . Câu 8.
D. 3 . x →−1
B. 9 .
A. 1.
DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC ............................................................................................................................... 6
C. 1 .
(THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Giới hạn lim ( x 2 − x + 7 ) bằng? A. 5 .
PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1 DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN .................................................................................................................................... 3
B. 2 .
A. 0 .
2
C. 11.
D. 9 .
sin x bằng x
B.
2
π
.
C.
π 2
.
D. 1.
D. L = 1 . 1
2
Câu 16.
(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho J = lim
x →−1
A. 6. Câu 17.
Câu 18.
x2 − x − 2 . Tính I − J . x +1 B. 3.
I = lim
2
(
)
3x + 1 − 1
x →0
x
1 A. − . 6
và
Câu 26. C. −6 .
Tính lim− x→1
D. −∞ .
C. +∞ .
D. −∞ .
Câu 28.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên A. lim+ f ( x ) = f ( a ) và lim− f ( x ) = f ( b ) .
B. lim− f ( x ) = f ( a ) và lim+ f ( x ) = f ( b ) .
C. lim+ f ( x ) = f ( a ) và lim+ f ( x ) = f ( b ) .
D. lim− f ( x ) = f ( a ) và lim− f ( x ) = f ( b ) .
x→b
x →a
Giới hạn lim+ ( x − 2 ) x→ 2
x→b
x →a
Câu 29.
Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là +¥ ? 2x -1 x 2 + x +1 A. lim. B. lim - x3 + 2 x + 3 . C. lim . x ®+¥ x ®-¥ x® 4 4 - x x -1
(
)
D. lim+ x® 4
2x - 1 . 4- x
lim +
1 B. − . 2
Tính lim− x →3
Câu 30.
Cho lim+ ( x − 2) x →2
x +1 Câu 31. bằng lim+ x →1 x − 1 A. +∞ . 1− 2x Câu 32. Tìm lim+ . x →1 x − 1 A. −∞ .
Câu 34.
1 . 2
D. Kết quả khác.
B. −∞ .
C.
2 . 3
D.
x . Tính giới hạn đó. x2 − 4 B. 1
1 . 3
C. 0.
D. −∞
B. −∞ .
C. 1.
D. 0
B. −2 .
C. 0 .
D. +∞ .
(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên lần 3 - 2019) Tính giới hạn lim− x→1
Câu 36.
1 . x −3
x→1
B. 2 .
C. −∞ .
4x − 3 x −1 D. −2 . 3 + 2x . x+2 3 D. . 2
(THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Tính giới hạn lim− x → −2
A. −∞ . 3
) )
(THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Tìm giới hạn lim+ A. +∞ .
3 D. − . 2
x +1 . x −1 D. 1 .
A. 0. B. +∞ . C. − ∞ . (LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai 3x + 2 3 A. lim x 2 − x + 1 + x − 2 = − . B. lim− = −∞ . x →−∞ x →−1 2 x +1 3x + 2 = −∞ . C. lim x2 − x + 1 + x − 2 = +∞ . D. lim+ x →+∞ x →−1 x + 1
( (
Câu 35.
3 C. 2
C.
−2 x + 1 bằng x −1
A. +∞ .
Câu 33.
3x2 + 1 − x bằng? x −1
1 A. . 2
x →1
B. 0 .
2
−2 x + 1 Câu 22. (THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm học 2018 - 2019) Giới hạn lim+ bằng x→1 x −1 2 1 A. +∞. B. −∞. C. . D. . 3 3 x+2 Câu 23. lim− bằng: x →1 x − 1 1 1 A. +∞ . B. . C. −∞ D. − . 2 2
x →( −1)
Tính lim+
A. +∞ .
x→b
(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng −∞ ? −3 x + 4 −3 x + 4 −3 x + 4 −3 x + 4 A. lim . B. lim− . C. lim+ . D. lim . x →+∞ x − 2 x →−∞ x − 2 x→ 2 x→ 2 x−2 x−2
x bằng: x2 − 4
A. +∞ .
x→b
Câu 19. (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 1 1 1 1 A. lim+ = +∞ . B. lim+ = −∞ . C. lim+ 5 = +∞ . D. lim+ = +∞ . x →0 x x →0 x x →0 x x →0 x
Câu 25.
C. 1 .
DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN
x →a
Câu 24.
B. +∞ .
(THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Gọi A là giới hạn của hàm số x + x 2 + x 3 + ... + x 50 − 50 khi x tiến đến 1. Tính giá trị của A. f ( x) = x −1 A. A không tồn tại. B. A = 1725 . C. A = 1527 . D. A = 1275 .
x →a
Câu 21.
D. +∞ .
1 Câu 27. Giới hạn lim− bằng: x→a x − a 1 A. − . B. 0 . 2a
tục trên khoảng ( a; b ) . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên đoạn [ a; b ] là?
Câu 20.
C. 0 .
x +1 . x −1
A. 0 .
D. 0.
B. −∞ .
B. 2 .
C. +∞ .
4
Câu 37.
(THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ( −∞; −2 ) ,
( −2;1) , (1; +∞ ) , f ( x ) không xác định tại x = −2 và x = 1 , f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Chọn khẳng định đúng.
1 1 x − 2 − x 3 − 8 khi x > 2 Câu 42. Cho hàm số f ( x ) = . Với giá trị nào của tham số m thì hàm số có giới 2 x + m − 2m khi x ≤ 2 2 hạn tại x = 2 . A. m = 3 hoặc m = −2 . B. m = 1 hoặc m = 3 . C. m = 0 hoặc m = 1 . D. m = 2 hoặc m = 1 .
Câu 43.
-4 -3 -2 -1 O
1
2
3 4
Câu 44.
A. lim− f ( x ) = −∞ , lim+ f ( x ) = +∞ .
B. lim− f ( x ) = +∞ , lim+ f ( x ) = +∞ .
C. lim− f ( x ) = +∞ , lim+ f ( x ) = −∞ .
D. lim− f ( x ) = −∞ , lim+ f ( x ) = −∞ .
x →1
x →−2
x→1
x →−2
x →1
x→1
x →−2
x2 − 2 x − 3 bằng x +1 C. −3 . D. 1. x →−1
B. −4 .
Câu 39. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Tính giới hạn bên phải của hàm số f ( x ) = A. −∞ .
B. 3 .
C.
7 . 2
3x − 7 khi x → 2 . x−2
D. −∞ .
Câu 46.
x →1
Câu 41.
1 . 8
B. +∞ .
C. 0 .
x →−1
A. −∞ .
B. 4 .
C. +∞ .
x→−1
(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Giả sử ta có lim f ( x ) = a và x →+∞
lim g ( x ) = b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
x →+∞
A. lim f ( x ) .g ( x ) = a. b . x →+∞
f ( x) a = . C. lim x →+∞ g ( x ) b
B. lim f ( x ) − g ( x ) = a − b . x →+∞
D. lim f ( x ) + g ( x ) = a + b . x →+∞
lim ( −4 x5 − 3 x3 + x + 1) .
x →−∞
f ( x)
( x + 1)
,
khi x ≤ 0
Câu 47. (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Chọn kết quả đúng của
1 D. − . 8
(THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Biết lim f ( x) = 4 . Khi đó lim
khi x > 0
DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC
2 − x + 3 khi x ≠ 1 2 Câu 40. (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) = x − 1 1 khi x = 1 8 . Tính lim− f ( x ) .
A.
(THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm học 2018 - 2019) Tìm a để hàm số x 2 + ax + 1 khi x > 2 có giới hạn tại x = 2. f ( x) = 2 2 x − x + 1 khi x ≤ 2 A. −1. B. −2 . C. 2 . D. 1.
x+4 −2 x Câu 45. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = mx + m + 1 4 m là tham số. Tìm giá trị của m để hàm số có giới hạn tại x = 0 . 1 1 A. m = . B. m = 1. C. m = 0 . D. m = − . 2 2
x →−2
Câu 38. (THPT THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN - 2018) lim A. 0 .
x 2 + ax + b , x < −2 Gọi a , b là các giá trị để hàm số f ( x ) = x 2 − 4 có giới hạn hữu hạn khi x dần tới x + 1, x ≥ −2 −2 . Tính 3a − b ? A. 8. B. 4. C. 24. D. 12.
4
A. 0 .
bằng:
Câu 48.
D. 0 .
B. +∞ .
C.
D. −4 .
−∞ .
(THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn lim 2 x3 − x 2 + 1 x →−∞
A. + ∞ .
B. −∞ .
C. 2 .
(
)
D. 0 .
(
)
Câu 49. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Giới hạn lim 3x3 + 5 x 2 − 9 2 x − 2017 bằng x→−∞
A. −∞ . 5
B. 3 .
C. − 3 .
D. +∞ . 6
Câu 50. (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - 2018) Tính giới hạn lim
x →+∞
A. Câu 51.
1 . 2
B. 1 .
C.
−1 . 4
2x −1 . 4x + 2 D.
Câu 59.
−1 2
(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Cho bảng biến thiên hàm số: y =
x 2 − 2018x + 3 được. x →+∞ 2 x 2 + 2018 x
(Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Tính giới hạn lim A. 2018.
3− x , phát biểu nào x−2
Câu 60.
sau đây là đúng:
B.
1 . 2
C. 2.
D.
(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Giới hạn lim
x →+∞
A. +∞
B. −∞
C. 2
x2 − 3x + 2 có kết quả là 2x2 + 1 1 D. 2
Câu 61. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Giới hạn lim
x →+∞
A. − 2 . A. a là lim y .
B. b là lim y .
x →+∞
Câu 52.
x →−∞
Câu 54.
B. +∞ .
x →−∞
1 . 3
B.
1 . 2
1− x bằng: 3x + 2 1 C. − . 3 3x − 1 bằng: x+5 1 C. − . 5
A.
1 D. − . 2
Câu 63.
1 D. − . 2
Câu 64.
3 − 4x Câu 55. (HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) lim bằng x →−∞ 5 x + 2 5 5 4 A. . B. − . C. − . 4 4 5 2x + 8 Câu 56. (SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) lim bằng x →+∞ x − 2 A. −2 . B. 4 . C. −4 .
Câu 58.
1 C. L = − . 2
B. L = −1 .
x →+∞
1 . 2
2 . 3
C. 1 .
bằng
1 D. − . 9
B. +∞ .
C. 1.
D. 0 .
x + s inx ? x
B. −1.
(
)
2x 2 + x + x ? C. −∞ .
D. 0 . 2
x + 3x + 5 . 4x −1 1 D. . 4
x →−∞
1 A. − . 4 Câu 66.
4 . 5
B. 1 .
C. 0 .
2x −1 bằng x2 + 1 −1 D. 2 .
(THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Giá trị của lim
x →−∞
A. 0 .
B. −2 .
C. −∞ .
x−2 Câu 67. (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) lim bằng x →+∞ x + 3 2 A. − . B. 1. C. 2 . 3
D. 2 .
D. −3 .
Câu 68. (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Tính giới hạn I = lim
D. L = 2 .
x →−∞
A. I = −2 .
2x −1 bằng. x →−∞ 3 − x
B.
x2 + 9
C. −1 .
x→−∞
(SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) lim A. −2 .
( x − 1)( x + 2 )
Câu 65. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm lim
D. 5 .
D.
2 x5 − 3x3 + 1 bằng 4 x3 − 2 x 4 − x5 − 3 3 D. . 2
B. 1 .
(Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Tính lim A. +∞ .
2x +1 Câu 57. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Tính L = lim . x →−∞ x + 1 A. L = −2 .
2 . 9
Tính lim
A.
x →−∞
B. − 3 .
C. −3 .
x →−∞
(THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) lim A. 3 .
1 . 2
Câu 62. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) lim
x →−∞
−1 bằng: 2x + 5
C. −∞ .
(THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018) lim A.
D. a là lim y .
x →1+
(SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) lim A. 0 .
Câu 53.
C. b là lim y .
x →−∞
B.
Câu 69.
D. 2 . 7
3 B. I = − . 2
x →−∞
B. 1 .
C. +∞ .
3x − 2 . 2x +1 3 D. I = . 2
C. I = 2 .
(Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018) lim A. −∞ .
1 . 2018
x bằng. x2 + 1 D. 0 . 8
Câu 70.
(THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Chọn kết quả đúng của lim
x→+∞
A. −
3 2 . 2
B. −
2 . 2
C.
3 2 . 2
D.
x →−∞
1 . 3
B.
1 . 2
1 C. − . 3
2x2 + 3
.
Câu 80.
2 . 2
Câu 71. (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018) lim A.
1 + 3x
1− x bằng 3x + 2
B. 4 .
C. −1 .
Câu 75. (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) lim
x →−∞
A. Câu 76.
1 . 6
C.
Câu 82.
1 . 3
B.
Giới hạn lim
x →+∞
1 . 4
Câu 83.
x2 + 2 − 2 bằng x−2 B. 1.
D. 1.
C. +∞ .
D. -1
x →−∞
B. −1.
x2 − 3 bằng x+3
C. +∞ .
(ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Giá trị của lim
x→−∞
A. −∞ . B. − 1 . C. +∞ . D. 1
3 3
. Tính lim f ( x ) . x →−∞
C. 4 .
D. 0 .
Câu 86.
Câu 87.
Câu 88.
x →−∞
B. m = −8 .
4 x 2 − 3x + 1 − ax − b = 0 . Khi đó a + b bằng Cho hai số thực a và b thỏa mãn lim x →+∞ x+2 A. −4 . B. 4 . C. 7 . D. −7 . x 2 + 2018 bằng x +1
lim
x →+∞
B. 1.
ax + x 2 − 3x + 5 = 2 . Khi đó 2x − 7 A. −1 ≤ a ≤ 2 . B. a < −1 .
x −3 là. x+3
Câu 90.
D. −2018.
C. −∞ .
D. 1.
C. a ≥ 5 .
D. 2 < a < 5 .
x →+∞
x −3 lim 2 (ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) x→−∞ x + 2 bằng 3 B. − . C. 1. D. 0 . A. −2 . 2
sin x Tính giới hạn lim ? x →+∞ x A. 0 . B. Giới hạn không tồn tại.
Tìm giới hạn: lim
x →+∞
A. 0.
9
C. −∞.
Biết lim
−x − 3 Câu 89. lim bằng x →−∞ x + 2 −3 A. . 2
D. 1.
m x − 7x + 5 = −4. 2x2 + 8x − 1 C. m = 2 . D. m = −3 .
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m thỏa mãn lim
x2 + 1 Câu 85. Giới hạn lim bằng x→−∞ x + 1 B. +∞ . A. 0 .
2
Câu 79.
D. −
3
4
B. 8 .
A. −1.
x +1 bằng 4x + 3
(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Giá trị của lim A. −∞ .
Câu 84.
D. 1.
C. 3 .
( 4 x + 1) ( 2 x + 1) 7 (3 + 2 x )
A. m = −4 .
4x +1 bằng −x +1 D. −4 .
1 . 3
x →+∞
A. −∞ . Câu 78.
B.
Cho hàm số f ( x ) =
C.
2
x +1 bằng 6x − 2
(SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) lim A.
Câu 77.
1 . 2
3 3
B.
A. 2 .
cx 2 + a (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Giới hạn lim 2 bằng? x →+∞ x + b Câu 73. a+b A. a . B. b . C. c . D. . c
A. 2 .
x4 + x2 + 2 có kết quả là 3 x ( + 1) ( 3x − 1)
3
Câu 81.
3x − 1 Câu 72. (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) lim bằng x →−∞ x + 5 1 A. 3 . B. −3 . C. − . D. 5 . 5
x →−∞
x →+∞
A. − 3
1 D. − . 2
Câu 74. (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) lim
Giới hạn lim
B. −3.
C. 1. D. +∞ .
C. −1.
D. 1.
x2018 4x2 + 1
( 2x + 1) B.
2019
1 . 22018
C.
1 . 2 2019
D.
1 . 2 2017
10
Câu 91.
x 2 + 3x + 1 Cho lim +ax + b = 1 .Khi đó giá trị của biểu thức T = a + b bằng x →+∞ x + 1 A. −2 . B. 0 . C. 1. D. 2 .
x +1 + ax − b = −5 . Tính tổng a + b . Biết rằng lim x →+∞ x−2 A. 6 . B. 7 . C. 8 .
A.
Câu 93.
Câu 94.
1 . 2
B. +∞ .
A. K = 0 .
D. 5 .
1 C. − . 3
−5 . 2
B.
−2 . 3
C. 5.
B. −1.
A. −1 .
A. L = 3 .
5x − 3 bằng số nào sau đây? 1− 2x 3 D. . 2
A. 0 .
Giá trị của lim
x →−∞
A. −∞ .
x −3 bằng: x+3 B. −1.
B. 1.
D. 0 . 1 + x − x2 x →−∞ x D. −∞ .
B. +∞ .
C. 1 . x − x2 + x bằng x +1 C. 0 .
B. 2 .
D. −∞ .
2x + x bằng x2 − 1 C. 2 .
x →+∞
D. −3 .
C. 3.
A. −2 .
B. 1.
D. −1 .
sin x + 1 Câu 108. (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Giới hạn lim bằng x →+∞ x A. +∞ . B. 1 . C. −∞ . D. 0 .
D. −2.
Câu 109. (THPT PHÚ LƯƠNG - THÁI NGUYÊN - 2018) Tính giới hạn lim
x → −∞
3 C. L = − . 2
A.
3 D. L = . 2
1 . 2
B. +∞ .
C. −∞ .
x2 − x + 1 . 2x 1 D. − . 2
Câu 110. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho a , b , c là các số thực khác 0 . Để giới x 2 − 3 x + ax = 3 thì bx − 1 a −1 a +1 A. B. = 3. = 3. b b
hạn lim
x →−∞
C. +∞ .
D. 1.
2x − 3 x2 + 1 − x
?
C. −1.
Câu 100. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - 2018) Tính giới hạn lim
x →−∞
B. 4 .
C. 2 .
Câu 107. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) lim C. 2 .
C. 3 .
C.
−a − 1 = 3. b
D.
a −1 = 3. −b
Câu 111. (XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho số thực a a 2 x 2 + 3 + 2017 1 lim = . Khi đó giá trị của a là x →+∞ 2 x + 2018 2 − 2 2 1 A. a = . B. a = . C. a = . 2 2 2
D. 1. 2
A. 5 .
x +1 . x 2018 − 1
2
x→−∞
B. −∞ .
D. K = 4 .
x →−∞
A. −2 .
(THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Tính lim A. 0.
C. K = −2 .
Câu 106. (THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) lim
2
Câu 99.
B. K = 1 .
Câu 105. (CỤM CHUYÊN MÔN 4 - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim
3x − 1 Tìm giới hạn L = lim x →+∞ 1 − 2 x 1 B. L = − . 2
D. 2 .
x →+∞
x−2 bằng. x →+∞ x + 3
2x − 5 Câu 96. bằng lim x →+∞ − x + 3 −5 . A. 3
Câu 98.
4 x2 + 1 . x +1
(Tham khảo 2018) lim
B. 1 .
3 C. − . 2
Câu 104. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Tính lim
x 2 + 3x + 5 . x →+∞ 2 − 3x 2 2 D. − . 3
x →+∞
2 A. − . 3
Câu 97.
x →−∞
(Trường THPT Chuyên Lam Sơn_2018-2019) Giới hạn lim A.
Câu 95.
K = lim
(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần 2 năm 2018-2019) Tính giới hạn lim A.
2 B. − . 3
Câu 103. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Tính giới hạn
2
Câu 92.
2 . 3
5x + 2 x + 3 . x2 + 1
D. 2 .
Câu 101. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? x4 − x x4 − x x4 − x x4 − x A. lim = +∞ . B. lim = 1 . C. lim = −∞ . D. lim =0. x →−∞ 1 − 2 x x →−∞ 1 − 2 x x →−∞ 1 − 2 x x →−∞ 1 − 2 x
Câu 112. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Để lim
x →−∞
tập hợp nào sau đây? A. [3; 6] .
2x − 3 : x →+∞ 1 − 3 x
B. [ −3; 0 ] .
thỏa mãn
1 D. a = − . 2
4 x2 + x + 1 + 4 1 = . Giá trị của m thuộc mx − 2 2
C. [ −6; − 3] .
D. [1; 3] .
Câu 102. (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Tìm giới hạn lim
11
12
Câu 113. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Biết lim
( 2 − a ) x − 3 = +∞
x →+∞
Giá trị nhỏ nhất của P = a 2 − 2 a + 4 là. A. 4 . B. 3 .
(với a là tham số).
2
x − x +1
C. 5 .
D. 1. 2
2
4x + x + 1 − x − x + 3 3x + 2
x →−∞
.
B.
2 . 3
C.
1 . 3
2 D. − . 3
Câu 115. (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Tính lim
x+3
x →+∞
A.
1 . 4
B.
1 . 2
Câu 124. Tính lim2018 x →2
A. 22019 . B. 22018 . C. 2. D. +∞ . x →1
4x + 1 − 2
A. 4037 .
D. 0 .
Câu 126. lim+ x→5
DẠNG 4. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH
10 − 2 x x2 − 6x + 5
Dạng 4.1.1 Không chứa căn
Câu 127. Tìm lim Câu 116. (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Giới hạn lim
x→−2
B.
3 . 16
x +1
( x + 2)
C. 0 .
B. A = 0.
x 3 − (1 + a 2 ) x + a
2
bằng
A.
D. +∞ .
2a . a2 + 3
Câu 128. Tìm lim x →1
x3 − 1 . x −1 D. A = +∞.
C. A = 3.
x2 − 4 Câu 119. (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Kết quả của giới hạn lim bằng x →2 x − 2 A. 0 . B. 4 . C. −4 . D. 2 .
Câu 130. Biết lim
x →3
1 . 2
2a 2 − 1 . 3
.
B.
2a 2 − 1 . 3a 2
C.
2 . 3
D.
2 B. − . 5
C.
1 . 5
D. +∞ .
x →1
x 2 + bx + c = 8. (b, c ∈ ℝ). Tính P = b + c. x −3 A. P = − 13. B. P = − 11. C. P = 5. x→3
D. P = − 12. 2
Câu 131. (Chuyên Quốc Học Huế lần 2 - 2018-2019) Tính giới hạn L = lim
x2 − 9 bằng: x −3
C. +∞ .
D.
a x3 − 1 a với a, b là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Tính tổng = x2 −1 b b S = a+b. A. 5 . B. 10 . C. 3 . D. 4 .
Câu 129. Cho lim
B. 6 .
1 C. − . 2
x 4 − 3x 2 + 2 . x3 + 2 x − 3
5 A. − . 2
x 2 − 12 x + 35 Câu 118. (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Tính lim . x →5 25 − 5 x 2 2 A. − . B. +∞ . C. . D. −∞ . 5 5
Câu 120. (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Tính lim
x 3 − a3
2
x →1
A. 3 .
là B. 0 .
x→ a
Câu 117. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Tính giới hạn A = lim A. A = −∞.
x 2018 + x − 2 a a bằng , với là phân số tối giản. Tính giá trị của a 2 − b 2 . x 2017 + x − 2 b b B. 4035 . C. −4035 . D. 4033 .
A. +∞ .
DẠNG 4.1 DẠNG
A. −∞ .
x 2 − 3x + 2 a a = trong đó là phân số tối giản. Tính S = a 2 + b 2 . x2 − 4 b b B. S = 17 . C. S = 10 . D. S = 25 .
x 2 − 42018 . x − 22018
Câu 125. Giá trị của lim
2
3 C. − . 2
x→2
A. S = 20 .
Câu 114. (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Tính giới hạn lim
1 A. − . 3
Câu 123. Cho giới hạn lim
x →−1
3 A. L = − . 2
D. − 3 .
B. L =
1 . 2
x − x − 2 +1 . 3x 2 + 8 x + 5
C. L = −∞ .
D. L = 0 .
2
x − 5x + 6 . x−2 D. I = 5 .
Câu 121. (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Tính giới hạn I = lim
Câu 132. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Cặp ( a, b ) thỏa mãn lim
x→ 2
A. I = −1 .
B. I = 0 .
C. I = 1 .
x2 − 3x + 2 Câu 122. (NGÔ GIA TỰ LẦN 1_2018-2019) Tính giới hạn lim x →1 x −1 A. 1. B. −1 . C. 2 .
x →3
A. a = − 3 , b = 0 . C. a = 0 , b = − 9 .
x 2 + ax + b = 3 là x−3
B. a = 3 , b = 0 . D. không tồn tại cặp ( a, b ) thỏa mãn như vậy.
D. −2 . 13
14
Câu 133. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Giới hạn lim x →2
A. 2 .
B. 4 .
C.
x−2 bằng x2 − 4
Câu 142. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) =
1 . 4
Tính lim f ( x ) .
D. 0 .
x →0
A.
x 2 + 3x − 4 Câu 134. [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Tính L = lim . x →1 x −1 A. L = −5 . B. L = 0 . C. L = −3 .
D. L = 5 .
1 . 12
B.
13 . 12
C. +∞ .
Câu 143. (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Biết lim x→ 0
2
Câu 135. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Cho a , b là số nguyên và lim x →1
2
ax + bx − 5 =7. x −1
2
Tính a + b + a + b . A. 18 .
B. 1.
C. 15 .
D. 5 .
CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 1 − cos3x cos5 x cos 7 x y = f ( x) = . Tính . lim f x ( ) x →0 sin 2 7 x 83 105 15 A. . B. . C. . 49 49 49
3
-
2018)
Cho
hàm
số
83 . 98
x→
B. L = −1 .
C. L = 0 .
2
cos x x−
π
x →1
C. S = 4.
Câu 145. Tính lim+ x →1
10 . 11
=
a , trong đó a là số b
D. 8 .
B. 0 .
A. −∞ .
2
π 2
.
x 2 + ax + b −1 = x2 −1 2
( a, b ∈ ℝ ) .
B.
x →2
A.
Câu 141. (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Số nào trong các số sau là bằng x2 + x − 2 3 lim ? x →3 x−3 3 3 7 3 7 3 A. . B. − . C. . D. − . 12 12 12 12 15
C. +∞ .
D.
1 . 6
1 . 4
x3 + x 2 + 1 − 1 bằng x2 1 B. . 2
C.
1 . 3
D.
1 . 6
C. −1 .
D. 0 .
Câu 148. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Giới x + 1 − 5x + 1 a a lim = , với a, b ∈ Z , b > 0 và là phân số tối giản. Giá trị của a − b là x →3 x − 4 x − 3 b b 8 1 A. 1. B. −1 . C. . D. . 9 9 Câu 149. Tìm lim
D. S = 1.
2 D. − . 3
8 + x2 − 2 . x2
1 . 12
A. 1.
1 . 2
x − 3x + 4 − 2 bằng x 3 C. − . 4
x2 − 3x + 2 . 6 x + 8 − x − 17
x →0
2
Tổng S = a + b bằng A. S = 13. B. S = 9. Dạng 4.1.2 Chứa căn
B.
Câu 147. Giá trị của lim
.
D. L =
Câu 140. (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho lim 2
1 A. − . 2
A.
x3 − ax + a − 1 = 2 . Tính M = a 2 + 2 a . x −1 C. M = −1 . D. M = 8 .
Câu 139. (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Tìm giới hạn L = limπ A. L = 1 .
x →0
x→0
x →1
B. M = 1 .
Câu 144. (THPT THUẬN THÀNH 1) Giới hạn lim
Câu 146. Tính lim
Câu 138. (THPT YÊN KHÁNH A - LẦN 2 - 2018) Biết lim A. M = 3 .
x 2 + 16 − 4
nguyên, b là số nguyên tố. Ta có tổng a + 2b bằng : A. 13 . B. 3 . C. 14 .
3
D.
5 − 5 − x2
D.
2
Câu 136. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Hãy xác định xem kết quả nào sai x+2 x +1 = 1. A. lim B. lim =2. x→+∞ x − 4 x →1 x 2 2 x − 3x + 2 x − 16 9 = −1 . D. lim 2 = . C. lim x →1 x → 4 x + x − 20 x −1 8 Câu 137. (THPT
2 1+ x − 3 8 − x . x
x2 − 5x + 6 là 4x +1 − 3
3 . 2
Câu 150. Tìm lim x→1
A. − 5 . Câu 151. Biết lim x →3
hạn
2 B. − . 3
3 C. − . 2
D.
1 . 2
B. −∞ .
C. 0 .
D. 1 .
x − 2x −1 . x2 + x − 2 x +1 − 2 a a = 2 ( là phân số tối giản). Tình x−3 b b
a + b + 2018 . 16
A. 2021 .
B. 2023 .
C. 2024 .
D. 2022 .
Câu 152. Cho a , b là hai số nguyên thỏa mãn 2a − 5b = −8 và lim x →0
dưới đây sai? A. a ≤ 5.
Câu 153. Cho lim x →4
B. a − b > 1.
f ( x ) − 2018 = 2019. Tính lim x →4 x−4
A. 2019
B. 2020
Câu 154. Giới hạn lim x →3
2
3
ax + 1 − 1 − bx = 4 . Mệnh đề nào x
2
C. a + b > 50.
D. a + b > 9.
x −2
)(
2019 f ( x ) + 2019 + 2019
C. 2021
B. 9 . 8
)
x→1
B.
Câu 156. Cho giới hạn lim x →3
1 A. . 9
lim x →2
A.
3
D. −1.
45 16
C.
9 . 4
A. P = 13 .
D. 87 − 48 3
C. L = 2 .
2 x2 − 6
x− 3
C. 5 .
f ( x) xác định trên ℝ thỏa mãn lim x →2
= a b ( a , b nguyên).
D. 6 .
3x + 1 − 1 a = , trong đó a , b là các x b
a tối giản. Tính giá trị biểu thức P = a 2 + b2 . b B. P = 0 . C. P = 5 . D. P = 40 .
Câu 165. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim x→ 0
B. −1.
A. 2 .
C. −2 .
Câu 166. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Biết lim x →1
b , c ∈ ℤ và
A. 5 .
4 x2 − 2 x + 1 − 1 − 2 x . x D. 0 .
x2 + x + 2 − 3 7 x + 1 a 2 = + c với a , b 2 ( x − 1)
a là phân số tối giản. Giá trị của a + b + c bằng: b B. 37 . C. 13 .
D. 51 .
Câu 167. (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị của I = lim
x→− 2
f ( x) − 16 = 12 . Tính giới hạn x−2
A. 2 .
B.
−1 . 2 2
C. 1 .
D.
x+ 2 bằng x2 − 2
2.
2x − x + 3 ? x2 −1 3 D. I = . 4
Câu 168. (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Tính I = lim B.
1 . 5
C.
B. +∞ .
5 . 12
D.
C.
2 . 3
1 . 4
7 A. I = . 8
3 B. I = . 2
3 C. I = . 8
Câu 169. (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị giới hạn lim
x →−∞
1 . 2
1 A. − . 2
D. 1 .
x→0
B. K =
x →1
x+3−2 bằng x −1
Câu 160. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Tính giới hạn K = lim
2 A. K = − . 3
1− x . 2 − x −1 D. L = −2 .
số nguyên dương và phân số
x + 1 − 5x + 1 a = (phân số tối giản). Giá trị của T = 2a − b là b x − 4x − 3 9 B. −1 . C. 10 . D. . 8
x→1
1 . 4
B. L = −4 .
x →0
Câu 159. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) lim A.
D. 1 .
Câu 164. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Biết lim
5 f ( x) − 16 − 4 x2 + 2 x − 8
5 . 24
C. 0 .
Khi đó giá trị của P = a + b bằng A. 7 . B. 10 .
x2 − 2 x − 8 . Câu 157. (Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên, năm 2019) Tính lim x →−2 2x + 5 −1 1 A. −3 . B. . C. −6 . D. 8 . 2 Câu 158. Cho hàm số
1 . 4
x→ 3
a 2 + b 2 bằng?
A. 6 + 5 3 .
B.
Câu 163. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tính lim
ax 2 +1 − bx − 2 (a, b ∈ ℝ) có kết quả là một số thực. Giá trị của biểu thức x3 − 3 x + 2
Câu 155. Cho biết lim
1 . 2
A. L = −6 .
.
D. 2018
C. 1 .
A.
x+2 −2 bằng x−2
Câu 162. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Tính gới hạn L = lim
x + 1 − 5x + 1 bằng a (phân số tối giản). Giá trị của a − b là b x − 4x − 3
A. 1 . 9
x →2
x →1
1009 f ( x ) − 2018
(
Câu 161. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Giới hạn lim
C. K =
4 . 3
4x + 1 −1 . x 2 − 3x
B. +∞ .
C. −∞ .
x2 − x − 4x2 + 1 bằng: 2x + 3 1 D. . 2
Câu 170. (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho f ( x ) là đa thức thỏa mãn lim
D. K = 0 .
x→2
17
f ( x ) − 20
x−2
3
= 10 . Tính T = lim x→ 2
6 f ( x) + 5 − 5 x2 + x − 6 18
12 . 25
A. T =
B. T =
4 . 25
C. T =
4 . 15
D. T =
6 . 25
x→−∞
A. +∞ .
3x + 1 − 4 Câu 171. (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn: lim có giá trị bằng: x →5 3 − x+4 9 3 A. − . B. −3 . C. −18 . D. − . 4 8 f ( x ) − 16
x −1
x →1
= 24 . Tính I = lim x →1
2 f ( x) + 4 + 6
B. I = +∞ .
A. 24.
Câu 183.
lim
x →−∞
(
)
B. P = 0 .
(
B. 0 .
B. −∞ .
Câu 177. Tìm giới hạn M = lim
x →−∞
(
3 A. − . 2
Câu 185. Biết rằng lim
x→−∞
A. 1.
(
Câu 178. Biết lim
x →−∞
C.
3 . 2
x →−∞
x →+∞
(
)
(
(
C. 41 .
D. 169 .
)
x 2 + ax + 5 + x = 5 . Khi đó giá trị a là B. −6 .
C. 6 .
D. −10 .
B. I = −4 .
(
x + 4x +1 + x .
C. I = 1 .
D. I = −1 .
Câu 189. (THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Tính lim
x →+∞
A. −4 .
D. −12
B. −2 .
1 D. − . 2
)
x2 − 4 x + 2 − x . D. 2 .
x →+∞
B. 2 .
(
C. 4 .
Câu 190. (QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) lim A. 0 .
)
2
(
)
x + 1 − x − 3 bằng
C. −∞ .
D. +∞ .
Câu 191. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) lim
x→+∞
)
B. S = −1 .
C. S = 1 .
A. 3 .
D. S = 5 .
5 B. . 2
5 C. − . 2
Câu 192. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho lim
x →−∞
B. −∞ . x→−∞
3 A. . 2
)
36 x 2 + 5ax + 1 − 6 x + b =
B. 100 .
A. I = −2 .
x →−∞
Câu 180. Tìm lim
(
x →−∞
x2 + 1 − x .
Câu 179. Tìm lim ( x 2 + x + 2 x ) A. 2 .
)
Câu 188. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn I = lim D. lim
5 x + 2 x + x 5 = a 5 + b với a, b ∈ℚ . Tính S = 5a + b .
A. S = −5 .
D. 1 .
20 và đường thẳng ∆ : y = ax + 6b đi qua điểm 3 2 M ( 3; 42 ) với a, b ∈ ℝ . Giá trị của biểu thức T = a + b2 là:
Câu 187. Cho lim
)
1 . 2
(
Câu 186. Cho giới hạn lim
A. 104 .
x 2 − 4 x − x 2 − x . Ta được M bằng
B. 2
C. 6 .
C. +∞ .
a a 2 x 2 − 3x + 1 + x 2 = 2 , ( a ; b ∈ ℤ , tối giản). Tổng a + b có giá trị là b b B. 5 . C. 4 . D. 7 .
x→+∞
)
B. 12 .
D. +∞
)
(
A. − 1 .
9 x 2 + ax + 3 x = −2 . Tính giá trị của a .
A. −6 .
C. −2 .
)
A. −∞ .
A. 10 .
x →−∞
D. P = 8 .
4 x 2 + 8 x + 1 + 2 x bằng
x→+∞
D. I = 0 .
x +1 − 3 x + 5 Câu 174. (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Giới hạn lim . x →3 x−3 1 1 1 A. 0 . B. . C. . D. . 2 3 6 DẠNG 4.2 DẠNG ∞ − ∞
Câu 176. Cho lim
C. P = 16 .
Câu 184. Tìm lim x + 1 − 3 x3 + 2 .
x a a Câu 173. (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho lim 7 = ( là phân x →0 x + 1. x + 4 − 2 b b số tối giản). Tính tổng L = a + b . A. L = 43 . B. L = 23 . C. L = 13 . D. L = 53 .
Câu 175. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có kết quả là 0 ? x −1 2x + 5 x2 − 1 A. lim 3 . B. lim . C. lim 2 . x →1 x − 1 x →−2 x + 10 x →1 x − 3 x + 2
D. −1 .
C. −∞ .
4 x2 + ax + 1 + bx = −1 . Tính giá của biểu thức P = a 2 − 2b 3 .
A. P = 32 .
)
C. I = 2 .
(
x →−∞
f ( x ) − 16
( x − 1) (
B. 0 .
Câu 182. Biết lim
Câu 172. (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho f ( x ) là một đa thức thỏa mãn lim
)
(
Câu 181. Giới hạn lim 3x − 9 x 2 − 1 bằng:
C. 1 .
D. +∞ .
C. −∞ .
D. −2 .
)
)
x 2 + ax + 5 + x = 5 thì giá trị của a là
Câu 193. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Biết lim
x →+∞
a − 4b ta được A. 3 . 19
B. 5 .
C. −1 .
)
x2 − 5 x + 6 − x bằng:
D. − 3 .
một nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau? A. x 2 − 11x + 10 = 0 . B. x 2 − 5x + 6 = 0 . C. x 2 − 8 x + 15 = 0 .
x2 + x + 2 + x + 2 . B. 0 .
(
(
(
D. x 2 + 9 x − 10 = 0 .
)
4 x 2 − 3x + 1 − ( ax + b ) = 0 . Tính D. 2 . 20
Câu 194. (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018)
lim x
x →+∞
)
(
A. 3 .
x →2
B. 1 .
C. 0 .
Câu 8.
D. +∞ .
Câu 195. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Giới hạn nào dưới đây có kết quả là 1 ? 2 x A. lim x 2 + 1 − x . B. lim x x 2 + 1 + x . x →−∞ 2 x →+∞ x 2 x + 1 + x . D. lim x x 2 + 1 − x . C. lim x→−∞ 2 x →+∞
( (
) )
) )
( (
Câu 196. (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho lim
x →−∞
lim
(
Dễ thấy lim
x 2 + 5x + 4 − x 2 + 5 x − 2 bằng
a x 2 + 1 + 2017 1 = ; x + 2018 2
x→ 3
Câu 9.
x + bx + 1 − x = 2 . Tính P = 4a + b .
Câu 10.
x →1
Câu 11.
Ta có lim
DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN Ta có lim 3 f ( x ) − 4 g ( x ) = lim 3 f ( x ) − lim 4 g ( x ) = 3 lim f ( x ) − 4 lim g ( x ) = −6 .
Chọn D Ta có lim f ( x ) + 4 x − 1 = 9 .
Câu 15.
Chọn B π sin x 2 Vì sin = 1 nên lim = . π 2 x π x→
Câu 16.
Ta có
x→+∞
Vĩnh
Phúc-lần
(
x2 − 4 x + 2 − x
C. 4 . 1
MĐ
904
)
D. 2 . năm
2017-2018)
Tìm
giới
hạn
)
(
A. I = 1 2 .
B. I = 46 31 .
x → x0
x → x0
C. I = 17 11 .
x → x0
x→ x0
D. I = 3 2 .
x →3
x → x0
Chọn D Ta có: lim ( 2 x 2 − 3x + 1) = 0 .
2
x→1
Chọn B Ta có L = lim x →3
x −3 3−3 = = 0. x +3 3+3
I = lim
Chọn B lim ( 3x 2 − 2 x + 1) = 3.12 − 2.1 + 1 = 2.
x
x →0
6x x
(
)
3x + 1 + 1
= lim x→0
6 3x + 1 + 1
=3.
( x + 1)( x − 2 ) = lim x − 2 = −3 . x2 − x − 2 = lim ( ) x →−1 x →−1 x +1 x +1 Khi đó I − J = 6 . x + x 2 + x 3 + ... + x 50 − 50 Câu 17. Có: lim f ( x ) = lim x →1 x →1 x −1 = lim 1 + ( x + 1) + ( x 2 + x + 1) + .... + ( x 49 + x 48 + ... + 1) x →1 = 1 + 2 + 3 + ..... + 50 = 25 (1 + 50 ) = 1275.
2
x→−1
Chọn A
Chọn A
) = lim
3x + 1 − 1
x →−1
Ta có lim ( x 2 − x + 7 ) = ( −1) − ( −1) + 7 = 9 .
x→1
(
J = lim
Chọn B
Ta có: lim
2
x→0
x →1
Câu 7.
2−5 = 3. −1
Câu 14.
B. −2 . Chuyên
D. P = 1 .
I = lim x + 1 − x 2 − x + 2 .
Câu 6.
=
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
A. −4 . Câu 198. (THPT
Câu 5.
2x + 3
Chọn D 2 Ta có ( x − 1) ≥ 0, ∀x ≠ 1 Do đó để giới hạn bằng +∞ thì giới hạn của tử phải dương x +1 Vậy lim = +∞. 2 x →1 ( x − 1)
C. P = 2 . x →+∞
Câu 4.
2 x + 1 − 5 x2 − 3
Câu 13.
B. P = −1.
Câu 197. (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Tính lim
Câu 3.
x3 − 2 x 2 + 2020 13 − 2.12 + 2020 = = 2019 . 2x −1 2.1 − 1 Chọn D
lim
Chọn A Ta có: Với x = −2 ; x 2 + x + 4 ≠ 0 x +1 ( −2 ) + 1 = − 1 . Nên A = lim 2 = 2 x →−2 x + x + 4 ( −2 ) + ( −2 ) + 4 6
A. P = 3 .
Câu 2.
Chọn C x +1 2 = x→1 x + 2 3 Chọn D
lim
Câu 12.
x →+∞
Câu 1.
Chọn B lim x2 − 4 = 3 − 4 = 1
x →−2
)
2
x+2 2+2 = =4 x −1 2 −1
x 2 − 2x + 3 12 − 2.1 + 3 = =1. x +1 1+1
Vậy lim f ( x ) = 1275 . x →1
21
22
Câu 18.
DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN Hàm số f xác định trên đoạn [ a; b ] được gọi là liên tục trên đoạn [ a; b ] nếu nó liên tục trên
Câu 19.
Chọn B
Vì lim+ ( −3x + 4 ) = −2; lim+ ( x − 2 ) = 0; x − 2 > 0, ∀x > 2 nên lim+ x→ 2
x →2
Ta có lim+ ( x − 2 ) x→2
x→ 2
−3 x + 4 = −∞ x−2
2x -1 4- x Ta có lim- (2 x - 1) = 7 > 0 , lim- (4 - x) = 0 và 4 - x > 0 với mọi x < 4 x® 4
x® 4
Câu 22.
Đặt f ( x ) = x + 1; g ( x ) = x − 1 . Ta có lim+ f ( x ) = 2; lim+ g ( x ) = 0; g ( x ) > 0 khi x → 1+
x® 4
x →1
2x -1 = +¥ . 4- x
Câu 32.
−2 x + 1 Suy ra lim+ = −∞ . x →1 x −1
1− 2x ⇒ lim+ = −∞ . x →1 x − 1 Câu 33. Chọn C Ta có: lim ( x 2 + 1) = 2 > 0; lim ( x − 1) = 0 và x − 1 < 0, ∀ x < 1 (do x → 1− )
x→1
x →1
Chọn C
x →( −1)
Câu 25.
x → 1−
x2 + 1 ⇒ lim− = −∞ . x→1 x −1 Câu 34.
Chọn D Ta có: lim +
x →1
x → 1−
lim ( x + 2 ) = 3 > 0 x →1 x+2 lim− . = −∞ vì lim ( x − 1) = 0 x →1 x →1 x − 1 x − 1 < 0, ∀x < 1
Câu 24.
x →1
x +1 = +∞ . Vậy lim+ x →1 x − 1 Chọn A Ta có lim+ (1 − 2 x ) = −1 ; lim+ ( x − 1) = 0 và x − 1 > 0, ∀x > 1
Chọn B Ta có lim+ ( −2 x + 1) = −1 < 0 , lim+ ( x − 1) = 0 , x − 1 > 0 khi x → 1+ . x→1
Câu 23.
x x−2 =0. x+2
Lời giải Chọn B lim+ ( −2 x + 1) = −1 x→1 −2 x + 1 ⇒ lim+ = −∞ ( x − 1) = 0 lim + x →1 x −1 x→1 + x → 1 ⇒ x − 1 > 0 Câu 30. Chọn C x x ( x − 2)2 ( x − 2) x lim ( x − 2) 2 = lim+ = lim+ =0 x →2+ x →2 x→ 2 x −4 x2 − 4 x+2 Câu 31. Chọn A
Xét lim-
Do đó lim-
x = lim x 2 − 4 x→2+
Câu 29.
Chọn A
x® 4
Chọn B
1 = −∞ . x−a
x→b
1 Ta có: lim+ = +∞ do lim+ x = 0 và x > 0 . Vậy đáp án A đúng. x→0 x x →0 Suy ra đáp án B sai. Các đáp án C và D đúng. Giải thích tương tự đáp án A. Câu 20. Chọn C −3 x + 4 −3 x + 4 Dễ thấy lim = −3 ; lim = −3 (loại). x →+∞ x − 2 x →−∞ x − 2
Câu 21.
x →a
Câu 28.
khoảng ( a; b ) , đồng thời lim+ f ( x ) = f ( a ) và lim− f ( x ) = f ( b ) . x →a
Vậy lim−
3x 2 + 1 − x 4 +1 3 = =− . x −1 −1 − 1 2
Ta có: lim
x→−∞
(
)
x 2 − x + 1 + x − 2 = lim
x →−∞
x2 − x + 1 − ( x − 2) 2
2
x − x + 1 − ( x − 2)
= lim
x→−∞
3x − 3 x2 − x + 1 − x + 2
3 3 x = − ⇒ đáp án A đúng. = lim x →−∞ 2 1 1 2 − 1 − + 2 −1 + x x x 1 1 2 lim x 2 − x + 1 + x − 2 = lim x 1 − + 2 + 1 − . x →+∞ x →+∞ x x x 1 1 2 1 1 2 Do lim x = +∞ và lim 1 − + 2 + 1 − = 2 > 0 nên lim x 1 − + 2 + 1 − = +∞ ⇒ x→+∞ x→+∞ x →+∞ x x x x x x đáp án C đúng. 3x + 2 = +∞ ⇒ đáp án B sai. Do lim− ( 3 x + 2 ) = −1 < 0 và x + 1 < 0 với ∀x < −1 nên lim− x →−1 x + 1 x →−1 3−
Chọn B Ta có lim− ( x − 3 ) = 0, x − 3 < 0, ∀x < 3 . x→3
Câu 26.
Chọn D x +1 lim− = −∞ do lim− ( x + 1) = 2 > 0 , lim− ( x − 1) = 0 và ( x − 1) < 0 với x < 1 . x →1 x − 1 x →1 x →1 Câu 27. Chọn D lim− 1 = 1 > 0 x →a Ta có: lim− (1 − a ) = 0 x →a − x − a < 0 khi x → a
(
23
)
24
Do lim+ ( 3 x + 2 ) = −1 < 0 và x + 1 > 0 với ∀x > −1 nên lim− x →−1
x →−1
Câu 35. Câu 36.
Câu 37.
3x + 2 = −∞ ⇒ đáp án D đúng. x +1
Do hàm số f ( x ) có giới hạn hữu hạn khi x dần tới −2 nên x = −2 là nghiệm của phương trình x 2 + ax + b = 0 , do đó ta 4 − 2a + b = 0 . x−2+a , x < −2 Ta viết lại hàm số f ( x ) = x − 2 x + 1, x ≥ −2 Mặt khác hàm số tồn tại giới hạn
4x − 3 = +∞ vì lim+ ( 4 x − 3) = 1 , lim+ ( x − 1) = 0 , x − 1 > 0 khi x → 1+ . x →1 x − 1 x →1 x →1 3 + 2x Xét lim− thấy: lim− ( 3 + 2 x ) = −1 , lim− ( x + 2 ) = 0 và x + 2 < 0 với mọi x < −2 nên x → −2 x + 2 x →−2 x →−2 3 + 2x lim− = +∞ . x →−2 x + 2 Ta thấy lim− f ( x ) = +∞ và lim+ f ( x ) = +∞ . Ta có lim+
x →1
⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( 2 ) ⇔ x →−2
x →−2
Câu 38.
( x + 1)( x − 3) = lim x − 3 = −4 . x2 − 2 x − 3 Ta có lim = lim ( ) x →−1 x → −1 x → −1 x +1 x +1
Câu 39.
lim ( 3x − 7 ) = −1 < 0 x→ 2+ 3x − 7 ⇒ lim+ = −∞ . lim+ ( x − 2 ) = 0 x → 2 x → 2 x−2 x → 2+ ⇒ x − 2 > 0
Câu 44.
x →−2
−2 − 2 + a = −1 ⇔ a = 8 ⇒ b = 12 −2 − 2
Do đó 3a − b = 12 . Chọn D D = ℝ. Xét: lim+ f ( x ) = lim+ ( x 2 + ax + 1) = 2a + 5; lim− f ( x ) = lim− ( 2 x 2 − x + 1) = 7. x →2
x →2
x→ 2
x→ 2
Hàm số y = f ( x ) có giới hạn tại x = 2 khi và chỉ khi
lim f ( x ) = lim− f ( x ) ⇔ 2 x + 5 = 7 ⇔ a = 1. .
x →2 +
Câu 45.
x →2
Ta có: 2
( x + 4 ) − 2 = lim x+4 −2 = lim+ x →0 x →0+ x x x+4 +2 x
lim f ( x ) = lim+
x →0 +
Câu 40.
Chọn B Ta có lim− f ( x ) = lim− x →1
x →1
)
(
)
x
(
x+4 +2
)
= lim+ x→ 0
1 1 = . x+4 +2 4
1 1 lim f ( x ) = lim− mx + m + = m + x →0 4 4 Hàm số đã cho có giới hạn tại x = 0 khi và chỉ khi lim+ f ( x ) = lim− f ( x )
2− x+3 4− x−3 −1 = lim− = lim = +∞ . x →1 x2 −1 ( x − 1)( x + 1) 2 + x + 3 x→1− ( x + 1) 2 + x + 3
(
(
x →0
x →0−
)
Câu 41.
x →0
x →0
1 1 ⇔ = m+ ⇔ m = 0. 4 4
Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: + lim f ( x) = 4 > 0 . x →−1
4
4
+ lim ( x + 1) = 0 và với ∀x ≠ −1 thì ( x + 1) > 0 . x →−1
Suy ra lim
x →−1
Câu 42.
f ( x)
( x + 1)
4
Câu 46. Câu 47.
= +∞ .
(
5
)
3
5
Ta có lim −4 x − 3 x + x + 1 = lim x −4 − x →−∞ x →−∞
Chọn B
12 x2 + 2x − 8 ( x − 2)( x + 4 ) 1 − 3 Ta có : lim+ f ( x ) = lim+ = lim = lim x →2 x →2 x − 2 x − 8 x→2+ ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) x→2+ ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 )
3 1 1 + + = +∞ . x 2 x 4 x5
3 1 1 −4 − 2 + 4 + 5 = −4 < 0 xlim →−∞ x x x . Vì lim x5 = −∞ x→−∞
x+4 1 = x2 + 2 x + 4 2 m2 m2 lim− f ( x ) = lim− x + − 2m = − 2m + 2 x→2 x→2 2 2
= lim+ x→2
Câu 48.
Chọn B
1 1 Ta có lim 2 x3 − x 2 + 1 = lim x3 2 − 2 + 3 = − ∞ . x →−∞ x→−∞ x x 1 1 1 3 2 3 Câu 49. lim 3x + 5 x − 9 2 x − 2017 = lim x 3 + 5 − 9 2 2 − 2017 3 = −∞ . x→−∞ x →−∞ x x x
(
m2 1 Hàm só có giới hạn tại x = 2 khi chỉ khi lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) ⇔ − 2m + 2 = x→2 x→2 2 2 m = 3 m2 3 . ⇔ − 2m + = 0 ⇔ 2 2 m = 1
Câu 43.
DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC Vì có thể b = 0 . Chọn B
(
)
)
Chọn D
25
26
3 1 2− 2 + 5 2 x 5 − 3x 3 + 1 x x = lim = −2 . x →+∞ 4 x 3 − 2 x 4 − x 5 − 3 x →+∞ 4 2 3 − −1− 5 2 x x x 1 2 1 − 1 + ( x − 1)( x + 2 ) = lim x x = 1. Câu 62. lim 2 x →−∞ x →−∞ 9 x +9 1+ 2 x Câu 63. ChọnC x + s inx x sin x sin x Ta có lim = lim + lim = 1 + lim = 1 + 0 = 1. x →+∞ x →+∞ x x→+∞ x →+∞ x x x sin x 1 1 sin x ( Do ≤ khi x → ∞ , mà lim = 0 ⇒ lim = 0 ). x →+∞ x x →+∞ x x x Câu 64. Chọn A 1 Ta có lim 2x 2 + x + x = lim x 2 2 + + x x→−∞ x →−∞ x 1 1 = lim − x 2 + + x = lim x − 2 + + 1 . x →−∞ x →−∞ x x
1 2− 2x −1 x = 1. = lim x →+∞ 4 x + 2 x →+∞ 2 2 4+ x Câu 51. Chọn D Ta có a = lim y .
Câu 50.
Câu 61.
lim
x →−∞
Câu 52.
Áp dụng quy tắc tìm giới hạn, ta có: lim
Câu 53.
Ta có lim
Câu 54.
Câu 55.
Câu 56.
Câu 57.
Câu 58. Câu 59.
Câu 60.
x →−∞
−1 −1 = lim = 0. 5 2 x + 5 x →−∞ x2 + x
1 −1 1− x 1 = lim x =− . x →−∞ 3 x + 2 x →−∞ 2 3 3+ x 1 3− 3x − 1 x =3. Ta có lim = lim x →−∞ x + 5 x →−∞ 5 1+ x 3 3 x − 4 − 4 −4 3 − 4x x = lim x = lim . = lim x →−∞ 5 x + 2 x →− ∞ 2 x→−∞ 2 5 x 5 + 5+ x x
lim
(
)
1 Vì lim x = −∞ và = lim − 2 + + 1 = 1 − 2 < 0 nên lim 2x 2 + x + x = +∞. x →−∞ x →−∞ x →−∞ x 3 5 − 1+ + 2 x 2 + 3x + 5 x x =−1 . Câu 65. Ta có lim = lim x →−∞ x →−∞ 1 4x −1 4 4− x 1 2− 2x −1 2x −1 x Câu 66. Ta có: lim = lim = −2 . = lim x →−∞ x 2 + 1 − 1 x →−∞ − x 1 + 1 − 1 x →−∞ − 1 + 1 − 1 2 2 x x x Câu 67. Chọn B 2 1− x−2 x = 1 =1. Chia cả tử và mẫu cho x , ta có lim = lim x →+∞ x + 3 x →+∞ 3 1 1+ x
(
8 8 x2 + 2+ 2x + 8 x x = 2. lim = lim = lim x →+∞ x − 2 x →+∞ 2 x →+∞ 1 − 2 x 1 − x x 1 1 x2+ 2+ 2x +1 x x = 2+0 = 2. = lim = lim Ta có L = lim x →−∞ x + 1 x→−∞ 1 x→−∞ 1 + 1 1 + 0 x 1 + x x 1 2− 2 x −1 x = −2 . Ta có: lim = lim x →−∞ 3 − x x →−∞ 3 −1 x Chọn B 2018 3 1− + 2 x 2 − 2018x + 3 x x =1 lim = lim x →+∞ 2 x 2 + 2018 x x →+∞ 2018 2 2+ x Chọn D 3 2 1− + 2 x 2 − 3x + 2 x x =1 Ta có lim = lim x →+∞ x →+∞ 1 2 x2 + 1 2 2+ 2 x
Câu 68.
)
Chọn D 2 3− 3x − 2 x = 3. Ta có I = lim = lim x →−∞ 2 x + 1 x →−∞ 1 2 2+ x
Câu 69. Hướng dẫn giải Chọn D
27
28
1 x x = 0. = lim x→−∞ x 2 + 1 x →−∞ 1 1+ 2 x Câu 70. Chọn C 1 1 x + 3 +3 3 3 2 1 + 3x x = = Ta có: lim = lim = lim x . 2 x →+∞ x →+∞ x →+∞ 2 2 3 3 2x + 3 x 2+ 2 2+ 2 x x Câu 71. Chọn C 1 −1 1− x 1 Ta có lim = lim x =− . x →−∞ 3 x + 2 x →−∞ 2 3 3+ x Câu 72. Chọn A 1 3− 3x − 1 x =3. Ta có lim = lim x →−∞ x + 5 x →−∞ 5 1+ x Chọn C Câu 73. a c+ 2 cx 2 + a x = c+0 =c. Ta có lim 2 = lim x →+∞ x + b x →+∞ b 1+ 2 1+ 0 x Câu 74. Chọn D 1 4+ 4x +1 x = −4 . lim = lim x →−∞ − x + 1 x →−∞ 1 −1 + x Câu 75. Chọn B 1 1+ x +1 x = 1. • Ta có lim = lim x →−∞ 6 x − 2 x →−∞ 2 6 6− x Câu 76. Chọn B 1 1+ x +1 x =1. Ta có lim = lim x →+∞ 4 x + 3 x →+∞ 3 4 4+ x Câu 77. Chọn D 2 2 2 x 1+ 2 − 2 1+ 2 − x2 + 2 − 2 x x x lim = lim = lim =1 x →+∞ x →+∞ x →+∞ 2 x−2 x−2 1− x Câu 78. Lời giải Chọn B Ta có: lim
lim
x →−∞
x2 − 3 = lim x →−∞ x+3
3 3 3 x 2 1 − 2 x 1− 2 − 1− 2 x x x = lim = lim = −1 . x →−∞ x →−∞ 3 x+3 x+3 1+ x
Câu 79. Lờigiải Chọn B Ta có: lim
x →−∞
Câu 80.
3 3 x 1− − 1− x2 − 3 x x = −1 = lim = lim x →−∞ x →−∞ 3 3 x+3 x(1 + ) (1 + ) x x .
Chọn B 1 2 1 2 x 4 1 + 2 + 4 1 + 2 + 4 x4 + x2 + 2 3 x x x x Ta có: lim . = lim = lim = x →+∞ 1 x→+∞ 1 1 3 ( x3 + 1) ( 3x − 1) x→+∞ x 4 1 + 13 3 − 1 + 3 − 3 x x x x Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính Casio
+ Bước 1: Nhập biểu thức vào màn hình máy tính: + Bước 2: Nhấn phím
+ Bước 3: Nhập giá trị của X:
Câu 81.
và nhấn phím
+ Bước 4: Kết quả Chọn B
. Vậy chọn đáp án B 3
3
lim f ( x ) = lim
x →−∞
Câu 82.
x →−∞
( 4 x + 1) ( 2 x + 1) 7 (3 + 2x )
4
4
1 1 4 + 2 + x x = lim = 23 = 8 . 7 x →−∞ 3 + 2 x
Chọn B
7 5 m− + 2 m x2 − 7 x + 5 x x = m ⇒ m = −8 −4 = lim = lim x →−∞ 2 x 2 + 8 x − 1 x →−∞ 8 1 2 2+ − 2 x x Câu 83. Chọn D 4 x 2 − 3x + 1 4 − a = 0 a = 4 23 lim − ax − b = 0 ⇔ lim ( 4 − a ) x − b − 11 + = 0 ⇔ −11 − b = 0 ⇔ b = −11 x →+∞ x →+∞ x+2 x+2 ⇒ a + b = −7 . Câu 84. Chọn B
29
30
Ta có lim
x →+∞
Câu 85.
x 2 + 2018 = lim x →+∞ x +1
2018 x 2 = lim x →+∞ 1 x 1 + x
x 1+
2018 x 2 = 1. 1 1 + x
1+
lim
x →+∞
1 1 + 2 x2 + 1 = lim x x = −∞ . x→−∞ x→−∞ x + 1 1 1+ x
4+ = lim
x →+∞
Câu 86.
Câu 91.
Lờigiải Chọn D
ax + x 2 − 3x + 5 = 2 ⇔ lim x →+∞ x →+∞ 2x − 7
⇔ a +1 = 6 ⇔ a = 5 Chọn D
1 3 − 2 0 x−3 Ta có lim 2 = lim x x = = 0 . x →−∞ x + 2 x →−∞ 2 1 1+ 2 x Câu 88. Chọn B
Câu 92. 1 =0 xn
1 sin xn sin xn 1 ≤ mà lim = 0 nên nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ số hạng xn xn xn xn nào đó trở đi sin xn Theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có lim =0 xn Ta có
−x − 3 = lim x →−∞ x + 2 x →−∞ lim
1 2 + x Chọn A
2019
=
1 x 2 + x
4+0
(2 + 0)
2019
=
2019
x 2018 .x. 4 + = lim
x →+∞
1 x 2019 2 + x
1 x2 2019
2 1 = 22019 2 2018
Chọn A ( a + 1) x 2 − ( 2a + b ) x + 2b + 1 x2 + 1 lim + ax − b = lim = −5 x→+∞ x − 2 x →+∞ x−2
a + 1 = 0 a = −1 ⇔ ⇔ 2a + b = 5 b = 7 Vậ y a + b = 6 Câu 93. Chọn C 3 5 1+ + 2 x 2 + 3x + 5 x x =−1. lim = lim x →+∞ x →+∞ 2 2 − 3x2 3 −3 x2 Câu 94. Chọn A 3 5− 5x − 3 x = 5 . Ta có: lim = lim x →+∞ 1 − 2 x x →+∞ 1 − 2 −2 x Câu 95.
sin xn sin x Ta có lim = lim x →+∞ x xn
sin x Vậy lim =0 x →+∞ x C. Câu 89. Chọn
1 x2
x →+∞
x 2018 4x 2 + 1
( a + 1) x 2 + ( a + b + 3) x + b + 1 x2 + 3x + 1 lim +ax + b = 1 ⇔ lim =1 x →+∞ x +1 x +1 b +1 ( a + 1) x + ( a + b + 3) + x ⇔ lim =1 x →+∞ 1 1+ x a + 1 = 0 a = −1 ⇔ a + b + 3 = 1 ⇔ ⇒ T = a + b = −2 . b = −1 b + 1 ≠ 0
3 5 + x x2 = 2 ⇔ a + 1 = 2 ⇔ a + 1 = 3 . 7 2 2 2− x
Xét mọi dãy số ( xn ) sao cho lim xn = +∞ ⇒ lim
2019
= lim
x →+∞
a + 1−
Ta có lim
Câu 90.
( 2x + 1)
Chọn C lim
Câu 87.
x 2018 4x 2 + 1
3 x = −1. 2 1+ x
−1 −
Lời giải Chọn B
Chọn B Ta có:
2 1− x−2 x =1. = lim x→+∞ x + 3 x →+∞ 3 1+ x Chọn D
lim
Câu 96. 31
32
5 2− 2x − 5 x = 2 = −2. = lim x →+∞ − x + 3 x →+∞ 3 −1 −1 + x Câu 97. Chọn C 1 3− 3x − 1 x = 3−0 = − 3 . Ta có: L = lim = lim x →+∞ 1 − 2 x x →+∞ 1 2 −2 0−2 x Câu 98. Lời giải Chọn B 3 3 3 x 2 1 − 2 x 1− 2 − 1− 2 x x2 − 3 x x lim = lim = lim = lim = −1 . x →−∞ x →−∞ x →−∞ x →−∞ 3 x+3 x+3 x+3 1+ x Câu 99. Chọn C 2x − 3 2x − 3 2x − 3 = lim = lim Ta có: lim x →−∞ x 2 + 1 − x x →−∞ x 2 (1 + 1 ) − x x →−∞ − x 1 + 1 − x x2 x2 3 2− x = lim = −1 . x →−∞ 1 − 1+ 2 −1 x 2 3 5+ + 2 5x2 + 2 x + 3 x x =5. Câu 100. Ta có: lim = lim x →−∞ x →−∞ 1 x2 + 1 1+ 2 x 1 1 − x. x 2 − x2 − x4 − x x x = +∞ . Vậy A đúng. Câu 101. Vì lim = lim = lim x →−∞ 1 − 2 x x →−∞ 1 x →−∞ 1 − 2 x x − 2x x x
1 + x − x2 = lim x →−∞ x →−∞ x
Câu 105. lim
lim
x − x2 + x = lim x →−∞ x →−∞ x +1
x →−∞
1 1 1+ 1+ x = lim x = 2. x →−∞ 1 x +1 1+ x
x + x 1+
2 x2 + x =2. x2 − 1 sin x + 1 sin x 1 Câu 108. lim = lim + lim = 0 + 0 = 0 . x →+∞ x →+∞ x →+∞ x x x 1 1 1 1 −x 1− + 2 − 1− + 2 x2 − x +1 x x x x =−1 Câu 109. lim = lim = lim x → −∞ x →+∞ x →+∞ 2x 2x 2 2 1 1 1 1 −x 1− + 2 − 1− + 2 x2 − x +1 x x = lim x x =−1 lim = lim x → −∞ x →−∞ x →−∞ 2x 2x 2 2 Sửa
Câu 107. lim
x →+∞
Câu 110. Ta có lim
x →−∞
2 x 1 − a 2 x − 3 x 2 − 3x − ( ax ) x 2 − 3 x + ax = lim = lim x →−∞ bx − 1 ( bx − 1) x 2 − 3 x − ax x →−∞ ( bx − 1) x2 − 3x − ax
(
(1 − a ) − 3x
x →−∞
1 3 b − − 1− − a x x
2
=
(1 − a ) b ( −1 − a )
=
)
(
)
(
2
= lim
)
a −1 = 3. b
3 2017 + x =1 ⇔ a 2 =1 ⇔a= 2 . x2 2018 2 2 2 2 2+ x 1 1 4 − 4+ + 2 + 4 x2 + x + 1 + 4 x x x =− 2 . = lim Câu 112. Ta có lim x →−∞ x →−∞ 2 mx − 2 m m− x 2 1 Theo bài ra ta có: − = ⇔ m = −4 ∈ [ −6; − 3] . m 2 ( 2 − a ) x − 3 = lim − 2 − a x − 3 x + x2 + 1 = +∞ ⇒ − 2 − a ≥ 0 ⇔ a ≥ 2 . Câu 113. Ta có lim ( ) (( ) ) x →+∞ x − x 2 + 1 x →+∞ a 2 x 2 + 3 + 2017 1 = ⇔ lim x →+∞ x →+∞ 2 x + 2018 2
a 2+
Câu 111. Ta có: lim
3 2− 2x − 3 x =−2. = lim x →+∞ 1 − 3 x x →+∞ 1 3 −3 x 4x2 + 1 = lim x →−∞ x +1
1 1 + − 1) 1 1 x2 x = lim x( 2 + − 1) = +∞ x →−∞ x x x
Câu 106. Ta có: lim
Câu 102. Ta có: lim
Câu 103. Ta có: K = lim
x2 (
(
1 1 − 4+ 2 x 2 = lim x = −2 . x →−∞ 1 x +1 1+ x
−x 4 +
)
Với a ≥ 2 ⇒ a ( a − 2 ) ≥ 0 suy ra P = a ( a − 2 ) + 4 ≥ 4 . Câu 114. Chọn A
1 1 + 2 x +1 1 Câu 104. lim 2018 = lim 2017 . x x = 0 . x→+∞ x 1 − 1 x→+∞ x 1 − 2017 x 33
34
2
−x 4 +
2
4x + x + 1 − x − x + 3 = lim x →−∞ 3x + 2 1 1 1 3 − 4 + + 2 + 1− + 2 x x x x = −1. = lim x →−∞ 2 3 3+ x Câu 115. Chọn B lim
x →−∞
x+3
Ta có: lim
4x2 + 1 − 2
x →+∞
x →+∞
x 4+
lim
3 1 x = . 1 2 2 4+ 2 − x x 1+
x+3
= lim
x 2 − 3x + 2 x −1 1 ( x − 1)( x − 2) = lim = lim = . x →2 x → 2 ( x + 2)( x − 2) x→ 2 x + 2 x2 − 4 4 Do đó a = 1; b = 4 suy ra S = 12 + 4 2 = 17. Câu 124. Chọn A x 2 − 42018 ( x − 2 2018 )( x + 2 2018 ) lim = lim2018 = lim2018 ( x + 22018 ) = 22019. 2018 x → 22018 x − 2 x→ 2 x→ 2 ( x − 2 2018 ) Câu 125. Chọn A x 2018 + x − 2 x 2018 − 1 + x − 1 Ta có lim 2017 = lim 2017 x →1 x x → 1 + x−2 x −1 + x −1 ( x − 1) ( x 2017 + x 2016 ... + x + 1) + x − 1 x 2017 + x 2016 ... + x + 2 = lim = lim 2016 2016 2015 x →1 x − 1 x →1 x + x 2015 + ... + x + 2 x + x + ... + x + 1 + x − 1 ( )( )
1 1 1 3 + + x 1− + 2 x x2 x x 3x + 2
1 −2 x2
= lim
x →+∞
1 + 1 + .... + 1 + 2 2019 = 1 + 1 + ... + 1 + 2 2018 2 2 Vậy a − b = 4037 . Câu 126. Chọn D 10 − 2 x 2 x − 10 2 1 lim 2 = lim+ 2 = lim+ = x →5+ x − 6 x + 5 x →5 x − 6 x + 5 x →5 x − 1 2 Câu 127. Chọn B x 3 − (1 + a 2 ) x + a x ( x + a ) − 1 2a 2 − 1 x3 − a 2 x − x + a = lim 2 = . lim = lim 2 2 x→ a x→ a x − a x → a x + ax + a 2 x3 − a3 3a 2 + + x ax a ( )( ) =
DẠNG 4. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH
DẠNG 4.1 DẠNG Dạng 4.1.1 Không chứa căn Câu 116. Chọn A x +1 1 . x + 1) = −∞ . = lim Ta có: lim 2 2 ( x →−2 ( x + 2 ) x→−2 ( x + 2 ) Do lim
x →−2
1
( x + 2)
2
= +∞ và lim ( x + 1) = −1 < 0 . x →−2
Câu 128. Chọn B
Câu 117. Chọn C
lim x →1
( x − 1) ( x 2 + x + 1) x3 − 1 = lim A = lim = lim x 2 + x + 1 = 3 . x →1 x →1 x →1 x − 1 x −1
(
Câu 129. Chọn A
)
Ta có: lim x →1
Câu 118. Chọn C
Câu 119.
Câu 120.
Câu 121.
Câu 122.
Câu 123.
( x − 1)( x + 1) ( x 2 − 2 ) ( x + 1) ( x2 − 2 ) 2 x 4 − 3x 2 + 2 = lim lim = =− . 3 x →1 x + 2 x − 3 x →1 ( x − 1) ( x 2 + x + 3) x2 + x + 3 5 x3 − 1 x 2 + x + 1 3 a = 3 = lim = ⇒ ⇒ S = 5. 2 2 b = 2 x − 1 x →1 x + 1
Câu 130. Chọn A x 2 + bx + c Vì lim = 8 là hữu hạn nên tam thức x 2 + bx + c có nghiệm x = 3 x→3 x −3 ⇔ 3b + c + 9 = 0 ⇔ c = − 9 − 3b Khi đó ( x − 3)( x + 3 + b) x 2 + bx + c x 2 + bx − 9 − 3b lim = lim = lim x→ 3 x → 3 x→ 3 x−3 x −3 x−3 = lim ( x + 3 + b) = 8 ⇔ 6 + b = 8 ⇔ b = 2 ⇒ c = −15
x2 − 12 x + 35 ( x − 7 )( x − 5) = lim x − 7 = 2 = lim Ta có lim . x →5 x →5 x → 5 −5 −5 ( x − 5) 25 − 5 x 5 Chọn B ( x − 2 )( x + 2 ) = lim x + 2 = 4 . x2 − 4 Ta có: lim = lim ( ) x →2 x − 2 x →2 x→2 x−2 Chọn B x2 − 9 Ta có: lim = lim ( x + 3 ) = 6 . x →3 x − 3 x →3 Chọn A ( x − 2 )( x − 3) = lim x − 3 = −1 . x2 − 5x + 6 I = lim = lim ( ) x →2 x→2 x→2 x−2 x−2 Chọn B x 2 − 3x + 2 ( x − 1)( x − 2) Ta có: lim = lim = lim( x − 2) = −1 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 Chọn B
x →3
Vậy P = b + c = − 13 . Câu 131. Chọn A
L = lim
x →−1
( x + 1)( x − 2 ) x2 − x − 2 x−2 3 = lim = lim =− . 2 3 x 2 + 8 x + 5 x →−1 ( x + 1)( 3 x + 5 ) x →−1 3 x + 5
Câu 132. Cách 1: x 2 + ax + b Để lim = 3 thì ta phải có x 2 + ax + b = ( x − 3)( x − m ) . x →3 x−3 Khi đó 3 − m = 3 ⇔ m = 0 . Vậy x 2 + ax + b = ( x − 3 ) x = x2 − 3x . 35
36
Suy ra a = −3 và b = 0 . Cách 2: x 2 + ax + b 3a + b + 9 = x + a + 3+ . Ta có x −3 x −3 2 3a + b + 9 = 0 a = −3 x + ax + b Vậy để có lim ⇔ . = 3 thì ta phải có x →3 x−3 a + 6 = 3 b = 0 x−2 x−2 1 1 Câu 133. lim 2 = lim = lim = . x →2 x − 4 x → 2 ( x − 2 )( x + 2 ) x→ 2 x + 2 4
x +1+ a 1 2+a 1 =− ⇔ = − ⇔ a = −3 . Suy ra b = 2 . x +1 2 2 2 Vậy a 2 + b 2 = 13 .
⇔ lim x →1
Dạng 4.1.2 Chứa căn
Câu 141. Chọn C
( x − 1)( x + 4 ) = lim x + 4 = 5 . x2 + 3x − 4 Câu 134. Ta có: L = lim = lim ( ) x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 2 ax + bx − 5 Câu 135. Vì lim = 7 hữu hạn nên x = 1 phải là nghiệm của phương trình ax 2 + bx − 5 = 0 suy x →1 x −1 ra a + b − 5 = 0 ⇒ b = 5 − a . ax 2 + ( 5 − a ) x − 5 ( x − 1)( ax + 5 ) = a + 5 = 7 ⇒ a = 2 nên b = 3 Khi đó lim = lim x →1 x →1 x −1 x −1 Suy ra: a 2 + b 2 + a + b = 18 . x 2 − 16 ( x − 4 )( x + 4 ) = lim x + 4 = 8 = lim Câu 136. lim 2 . x → 4 x + x − 20 x → 4 ( x − 4 )( x + 5 ) x→ 4 x + 5 9 1 − cos 3x cos5 x cos 7 x sin 2 7 x 1 − cos3 x + cos 3x − cos3 x cos5 x + cos3 x cos5 x − cos 3x cos 5 x cos 7 x = lim x →0 sin 2 7 x cos 3 x (1 − cos 5 x ) cos 3 x cos 5 x (1 − cos 7 x ) 1 − cos 3 x + lim + lim = lim x → 0 sin 2 7 x x→ 0 x→ 0 sin 2 7 x sin 2 7 x 2 3x 2 5x 2 7x 2 sin 2 sin 2sin 2 + lim 2 + lim 2 = lim x → 0 sin 2 7 x x → 0 sin 2 7 x x → 0 sin 2 7 x 9 25 49 2 + + 4 4 4 83 = = . 49 98 3 ( x − 1) x 2 + x + 1 − a ( x − 1) x − ax + a − 1 = lim Câu 138. lim = lim ( x 2 + x + 1 − a ) = 3 − a ⇒ a = 1 . x→1 x →1 x →1 x −1 x −1 V ậy M = a 2 + 2 a = 3 . Câu 139. Chọn B Câu 137. Ta có lim f ( x ) = lim x→0
x→0
(
Đặt: t = x −
π 2
x2 + x − 2 3 x 2 + x − 12 = lim x→3 x −3 ( x − 3) x 2 + x + 2 3
Ta có lim
lim x →3
)
(
x →3
( x − 3)( x + 4 ) ( x − 3)
(
x2 + x + 2 3
)
= lim x →3
x+4 x2 + x + 2 3
=
3+ 4
32 + 3 + 2 3
=
7 3 7 = . 12 4 3
Câu 142. Chọn B
(
) (
2 1+ x − 2 + 2 − 3 8 − x 2 1+ x − 3 8 − x = x x 2 1 = + . Do vậy: 1 + x + 1 4 + 2 3 8 − x + 3 ( 8 − x )2
Ta có:
2 1 lim f ( x ) = lim + 2 x →0 x →0 1 + x + 1 3 4 + 2 8 − x + 3 (8 − x ) 2 1 = lim + lim x →0 1 + x + 1 x →0 4 + 2 3 8 − x + 3 ( 8 − x ) 2
= 1+
)
2 =
(
) + 2−
1 + x −1
x
3
8− x x
1 13 = . 12 12
Câu 143. Chọn C Ta có
)
5 − 5 − x2 x 2 +16 − 4 =
(
π cos t + 2 = lim − sin t = −1 . Khi x → thì t → 0 . Vậy L = lim t →0 t →0 2 t t Câu 140. Chọn D Vì hàm số có giới hạn hữu hạn tại x = 1 nên biểu thức tử nhận x = 1 làm nghiệm, hay 1 + a + b = 0 . x2 + ax − 1 − a −1 ( x − 1)( x + 1 + a ) = − 1 = ⇔ lim Áp dụng vào giả thiết, được lim . x →1 x →1 x2 −1 2 2 ( x − 1)( x + 1)
π
37
(
5 − 5 − x2 x
.
=
2
(
5 − 5 − x2
)( x
)(
5 + 5 − x2
5 + 5− x
2
)
x 2 + 16 + 4
)
2
)= x ( x (
)=( 5− x ) (
) 5− x )
2
x 2 + 16 + 4
x 2 + 16 + 4
2
2
2
5+
5+
Khi đó ta có
lim x→0
5 − 5 − x2 x 2 +16 − 4
( x +16 + 4) = ( 5 + 5− x ) 2
= lim x→0
2
4 ⇒ a + 2b = 14 5
Câu 144. Chọn C x−3 3 x 2 − 3x + 4 − 2 x 2 − 3x + 4 − 4 = lim =− . lim = lim x →0 x →0 x→0 4 x x 2 − 3x + 4 + 2 x x 2 − 3x + 4 + 2
(
)
38
Câu 145. Chọn C
(
)
(
( x − 1)( x − 2 ) 6 x + 8 + x + 17 ( x − 2 ) 6 x + 8 + x + 17 x2 − 3x + 2 lim+ = lim+ = lim+ 2 x →1 6 x + 8 − x − 17 x →1 x →1 − ( x − 1) − ( x − 1)
(
1 − (1 − bx ) ax + 1 − 1 = lim + 2 x →0 3 3 x ax + 1 + ax + 1 + 1 x 1 + 1 − bx a b = a+b = lim + 2 x →0 3 ax + 1 + 3 ax + 1 + 1 1 + 1 − bx 3 2 3 ax + 1 − 1 − bx a b Theo giả thiết lim = 4 ⇒ + = 4 ⇔ 2a + 3b = 24 x →0 x 3 2 2a − 5b = −8 a = 6 ⇔ + Ta có hệ nên a ≤ 5 là sai. 2a + 3b = 24 b = 4 Câu 153. Chọn D Theo giả thiết ta có f ( 4 ) = 2018
)
(
)
Ta có lim+ ( x − 2 ) 6 x + 8 + x + 17 = −36 x→1
lim ( − x + 1) = 0 và −x +1 < 0
(
x →1+
x 2 − 3x + 2 = +∞ . x→1 6 x + 8 − x − 17 Câu 146. Chọn A 3 8 + x2 − 2 8 + x2 − 8 Ta có: lim = lim . 2 x→0 x → 0 2 x x2 3 (8 + x2 ) + 2 3 8 + x2 + 4 1 1 = lim = . 2 x →0 3 8 + x 2 + 2 3 8 + x 2 + 4 12
⇒ lim+
(
)
2
3
2
x + x + 1 −1 x + x + 1 −1 = lim = lim x→0 2 x →0 x2 x x3 + x 2 + 1 + 1
lim
(
x →0
Ta có lim x →4
)
x +1
(
)
x3 + x 2 + 1 + 1
=
1 . 2
lim x →3
Ta có: lim x →3
x + 4x − 3 x 6 3 9 = lim . = . = ⇒ a = 9 , b = 8 ⇒ a − b = 1. x →3 x + 1 + 5 x + 1 x − 1 8 2 8 Câu 149. Chọn C
(
)
(
)
Ta có lim
x→2
(
)
(
x→1
(
x +2
)
2019 f ( x ) + 2019 + 2019
)
=
)
1009.4.2019 = 2018 2019.2018 + 2019 + 2019
(
)( )(
)
(
)
x2 − 3x x + 4 x − 3 x x + 4x − 3 x + 1 − 5x + 1 = lim = lim 2 x→3 x→3 x − 4x − 3 x − 4 x + 3 x + 1 + 5x + 1 ( x −1) x + 1 + 5x + 1
(
(
)
(
)
ax 2 +1 − bx − 2 ax 2 +1 − bx − 2 = lim = L, với L ∈ ℝ (*) 2 3 1 x → x − 3x + 2 ( x −1) ( x + 2)
b ≥−2 b ≥ −2 ⇔ a +1 − b − 2 = 0 ⇔ a +1 = b + 2 ⇔ 2 2 a b b + 1 = + 4 + 4 a = b + 4b + 3 2 Thay a = b + 4b + 3 vào (*):
Khi đó
)
Câu 151. Chọn D x +1 − 2 x −3 1 1 lim = lim = 2. = lim x →3 x →3 x−3 ( x − 3) x + 1 + 2 x →3 x + 1 + 2 2
lim x→1
)
ax 2 + 1 − bx − 2 = lim x3 − 3x + 2 x→1
(b 2 + 4b + 3) x 2 +1 − bx − 2 2
( x −1) ( x + 2)
(b 2 + 4b + 3) x 2 +1− (bx + 2)2 x→1 ( x −1) ( x + 2) (b 2 + 4b + 3) x 2 + 1 + bx + 2
Suy ra a = 1; b = 2 .
= lim
a + b + 2018 = 1 + 2 + 2018 = 2021 . Câu 152. Chọn A x →0
2019 f ( x ) + 2019 + 2019
a = 9 3.6 9 ⇒ a − b = 1. = = . Vậ y 2.8 8 b = 8 Câu 155. Chọn B
( x − 2 )( x − 3) 4 x + 1 + 3 ( x − 3) 4 x + 1 + 3 3 x2 − 5x + 6 = lim = lim =− . x→2 4 ( x − 2) 4 2 4 x + 1 − 3 x→ 2 Câu 150. Chọn C x − 2 x −1 x2 − 2 x + 1 x −1 = lim = lim = 0. Ta có lim 2 x →1 x + x − 2 x →1 ( x − 1)( x + 2 ) x + 2 x − 1 x→1 ( x + 2 ) x + 2 x − 1 lim
3
)(
Câu 154. Chọn C
x + 4 x − 3 ( x + 1)2 − ( 5 x + 1) x + 4x − 3 x +1 − 5x + 1 x2 − 3x . = lim . 2 = lim 2 x → 3 x → 3 x − 4 x + 3 x − 4x + 3 x − 4x − 3 x +1 + 5x + 1 x + 1 + 5 x + 1
+ lim
(
( x − 4) (
x→ 4
Câu 148. Chọn A
1009 f ( x ) − 2018 x −2
1009 f ( x ) − 2018
= lim
)
)
Câu 147. Chọn B 3
(
)
3 3 ax + 1 − 1 1 − 1 − bx ax + 1 − 1 − bx ax + 1 − 1 + 1 − 1 − bx = lim = lim + x →0 x →0 x x x x
= lim x→1
2
(4b + 3) x 2 − 4bx − 3 ( x −1) ( x + 2) (b 2 + 4b + 3) x 2 + 1 + bx + 2 2
= lim x→1
( x −1)( x + 2) (b 2 + 4b + 3) x 2 +1 + bx + 2
39
(4b + 3) x + 3
= L, L ∈ ℝ.
40
3 3 Khi đó: (4b + 3) + 3 = 0 ⇔ b = − ⇒ a = − . 2 4 45 Vậ y a 2 + b 2 = 16 Câu 156. Chọn C x →3
( (
x →0
(
x x + 4x − 3
)
x→ 0
)
= lim
3. ( 3 + 3)
9 = lim = = . x →3 ( x − 1) x + 1 + 5 x + 1 2. ( 4 + 4 ) 8
(
)
4x
(
x→1
= lim
Câu 157. Chọn C
( x − 4)( 2 x + 5 + 1) = −6 2 Câu 158. Chọn A f ( x) − 16 Do lim = 12 nên ta có f (2) − 16 = 0 hay f (2) = 16 . x →2 x−2 3 5 f ( x ) − 16 − 4 5( f ( x ) − 16) lim = lim x →2 x→ 2 x2 + 2x − 8 ( x − 2)( x + 4)( 3 (5 f ( x ) − 16) 2 + 4 3 5 f ( x) − 16 + 16)
= lim x →1
Câu 161. lim x →2
Câu 162. L = lim x →1
1− x 2 − x −1
= lim
−x + 1
x →1
) = lim
2 − x +1
x →1
(
x →1
x2 + x + 2 − 4
2 ( x − 1)
(
x2 + x + 2 + 2 x+2
2
(
x2 + x + 2 + 2
(
3
)
)
=
3 4 2
.
2 7x +1
)
)
3
2 =I+J = 12 2 ( x − 1) Suy ra a = 1 , b = 12 , c = 0 . Vậy a + b + c = 13 . Câu 167. Chọn B x+ 2 x+ 2 1 −1 I = lim 2 = lim = lim = . x →− 2 x − 2 x →− 2 x →− 2 x − 2 2 2 x+ 2 x− 2
4
)
4x + 1 + 1
2 =− . 3
x + x + 2 − 7x +1
(
)(
)
Câu 168. Chọn A I = lim x →1
(
)( (
) )
2x − x + 3 2x + x + 3 2x − x + 3 4 x2 − x − 3 = lim = lim 2 x → 1 x → 1 x −1 ( x − 1)( x + 1) 2 x + x + 3 ( x − 1)( x + 1) 2 x + x + 3
( x − 1)( 4 x + 3) 4x + 3 = lim = lim x →1 ( x − 1)( x + 1) ( 2 x + x + 3 ) x→1 ( x + 1) ( 2 x +
)
2 − x +1 = 2.
2
2 ( x − 3) 2x2 − 6 Câu 163. Ta có lim = lim = lim 2 x + 3 = 4 3 . x→ 3 x − 3 x→ 3 x − 3 x→ 3 Suy ra a = 4 , b = 3 . Vậy P = a + b = 7 .
(
= lim
x →1
)
(
)
=I+J.
2 ( x − 1)
( x − 1)( x + 2 ) = lim 2 ( x − 1) ( x 2 + x + 2 + 2 ) x→1
Do đó lim
)
(1 − x ) (
2 ( x − 1)
2
x−2 x+2 −2 1 1 = lim = lim = . x →2 x−2 ( x − 2 ) x + 2 + 2 x →2 x + 2 + 2 4
(
2 − 3 7x +1
x →1
2 − 3 7x +1 8 − 7 x −1 = lim 2 ( x − 1) x→1 2 ( x − 1) 4 + 2 3 7 x + 1 + −7 −7 = lim = . 2 x →1 3 3 12 2 2 4 + 2 7x +1 + 7x +1
Câu 160. Chọn A
)
4x − 2x +1 + 1− 2x
=0.
(
4x + 1 − 1 4x = lim = lim x→0 x→0 x 2 − 3x x ( x − 3) 4 x + 1 + 1 ( x − 3)
(
x →1
5 5 . = 12. = 6.48 24 x+3−2 x +3−4 1 1 = lim = lim = . Câu 159. Ta có: lim x →1 x →1 x →1 x −1 4 x 3 2 + + x − 1 x + 3 + 2 ( )
(
)
4x2 2
và J = lim
f ( x ) − 16 5 . x− 2 ( x + 4)( 3 (5 f ( x ) − 16) 2 + 4 3 5 f ( x ) − 16 + 16)
x →0
+ lim
x2 + x + 2 − 2
x →1
x →−2
Ta có K = lim
2 ( x − 1)
Tính I = lim
= lim
(
)
x2 + x + 2 − 3 7 x + 1 x2 + x + 2 − 2 + 2 − 3 7 x + 1 = lim x → 1 2 ( x − 1) 2 ( x − 1)
x2 + x + 2 − 2
x →1
x2 − 2x − 8 ( x + 2)( x − 4)( 2 x + 5 + 1) ( x + 2)( x − 4)( 2 x + 5 + 1) Ta có: lim = lim = lim x →−2 2( x + 2) 2 x + 5 − 1 x→−2 ( 2 x + 5 − 1)( 2 x + 5 + 1) x →−2
x →2
4x2 − 2x + 1 + 1 − 2x
Câu 166. Ta có lim
Vậy T = 2a − b = 10 .
= lim
(
4 x2 − 2 x + 1 − 1− 2x = lim x →0 x x
lim
x →0
)
3x + 1 − 1 3x + 1 − 1 3 3 = lim = lim = . x →0 x →0 x 2 3 x + 1 + 1 x 3x + 1 + 1
Câu 165. Ta có:
( x − 3x ) x + 4 x − 3 x + 1 − 5x + 1 = lim 2 x→3 x − 4x − 3 ( x − 4 x + 3) x + 1 + 5 x + 1 2
lim
Câu 164. Ta có: lim
(
)
7 = 8 x+3
)
Câu 169. Chọn D Ta có
)
41
42
x2 − x − 4x2 + 1 = lim x →−∞ 2x + 3
lim
x →−∞
1 1 1 1 − x 4+ 2 −x 1− + x 4 + 2 x x = lim x x x →−∞ 3 3 x2 + x2 + x x
Ta có I = lim
x 1−
− 1− = lim
x →−∞
x →1
f ( x ) − 20
x−2
x →2
Lúc đó T = lim
3
6 f ( x) + 5 − 5 x2 + x − 6
x →2
1 1 + 4+ 2 x x = − 1− 0 + 4 + 0 = 1 3 2+0 2 2+ x
(
x →2
3
= lim x →2
(
3 60 x + 5 − 5 60 x + 5 − 5 = lim 2 x → 2 x + x−6 ( x − 2 )( x + 3)
( x − 2)( x + 3)
(
3
2
60 x + 5 + 5 3 60 x + 5 + 25
)
60 ( x − 2 )
= lim
( x − 2)( x + 3)
(
3
2
60 x + 5 + 5 3 60 x + 5 + 25 60
( x + 3)
(
3
2
60 x + 5 + 5 3 60 x + 5 + 25
)
=
)
4 25
Cách 2: Theo giả thiết có lim ( f ( x ) − 20 ) = 0 hay lim f ( x ) = 20 (*) x →2
3
Khi đó T = lim x →2
T = lim x →2
x2 + x − 6
( x − 2 )( x + 3)
6 f ( x ) + 5 − 125
= lim
( x + x − 6) 6 f ( x ) − 20
(
x→ 2
2
2
3
) (
6 f ( x) + 5 + 5
3
(
3
6 f ( x) + 5
2
) ( +5
3
L1 = lim
6 f ( x ) + 5 + 25
)
t →1
)
(
) )
(
)
−3 3 + x + 4 −18 9 3x + 1 − 4 ( 3x + 1) − 16 3 + x + 4 =− . = lim = lim = x →5 8 4 3 − x + 4 x→5 9 − ( x + 4 ) 3 x + 1 + 4 3x + 1 + 4
(
t 7 + 3 ( t − 1) 7
t −1
)
= lim t →1
t7 + 3 2 = ( t + t + t + t 3 + t 2 + t + 1) 7 6
5
(
4
x+4 −2 x
(
)(
x+4+2
x+4 +2
)
) = lim x →0
1 1 = x+4+2 4
b 2 1 15 ⇒ a = 28, b = 15 ⇒ a + b = 43 ⇒ a + b = 43 . V ậy = + = a 7 4 28 Câu 174. Ta có x +1 − 2 3 x + 5 − 2 x +1 − 3 x + 5 lim = lim − . x →3 x →3 x−3 x − 3 x −3 x +1− 4 x +5−8 = lim − x →3 2 ( x − 3) x + 1 + 2 ( x − 3 ) 3 ( x + 5 ) + 2 3 x + 5 + 4 1 1 = 1− 1 = 1 = lim − x →3 x + 1 + 2 3 ( x + 5 )2 + 2 3 x + 5 + 4 4 12 6
10.6 4 = . 5.75 25 Câu 171. Chọn A x →5
)
x+4 −2 Xét L2 = lim = lim x →0 x →0 x
6 f ( x ) + 5 + 25
T=
Ta có lim
)
(
x→2
6 f ( x) + 5 − 5
)
)
(
60 x + 5 − 5
= lim
x→ 2
)
(
10 ( x − 2 ) 10 x − 20 = lim = 10 . x →2 x−2 x−2
= lim
)
f ( x ) − 16 1 lim = 2. 12 x →1 ( x − 1)
x = lim x →0 x + 4. 7 x + 1 − 1 + x + 4 − 2 x x + 4 + 2 ( x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) = lim x →0 x + 4. ( x + 1 − 1) x + 4 + 2 + ( x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1)( x + 4 − 22 ) x + 4 + 2 ( x 6 + x5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) 4 = . = lim x →0 x + 4 x + 4 + 2 + x 6 + x 5 + x 4 + x3 + x 2 + x + 1 9 Suy ra a = 4 , b = 9 , L = a + b = 13 . Trình bày lại: Chọn A 7 x + 1. x + 4 − 2 b 1 x a Đặt L = lim 7 = . = b thì L = lim x →0 x 1. 4 2 x + x + − a Ta có 7 x + 1. x + 4 − x + 4 + x + 4 − 2 7 x + 1. x + 4 − x + 4 x+4−2 b = lim = lim + lim x →0 x →0 a x →0 x x x . x + 4 7 x +1 −1 7 .Đặt t = 7 x + 1 .Khi đó: x = t − 1 Xét L1 = lim x →0 x x → 0 ⇒ t →1
3
= lim
2 f ( x) + 4 + 6
(
Chọn f ( x ) = 10 x , ta có lim
x →2
( x − 1) (
=
Câu 173. Chọn C x x lim 7 = lim x→ 0 x →0 7 x + 1. x + 4 − x + x + − x+4 + x+4 −2 1. 4 2
Câu 170. Chọn B Cách 1:
x →2
f ( x ) − 16
Câu 172. Hướng dẫn giải Chọn C f ( x ) − 16 f ( x ) − 16 = 24 ⇒ f (1) = 16 vì nếu f (1) ≠ 16 thì lim =∞. Vì lim x →1 x →1 x −1 x −1
(
43
)
(
)
44
a = −1 ⇒ a = 4 . 4 −∞ neáu b > 2 a 1 TH2: b ≠ 2 ⇒ lim 4 x 2 + ax + 1 + bx = lim x − 4 + + 2 + b = x →−∞ x →−∞ x x +∞ neáu b < 2 Vậy a = 4, b = 2 ⇒ P = a 2 − 2b3 = 0 .
⇒ lim
DẠNG 4.2 DẠNG ∞ − ∞ Câu 175. Chọn D Xét lim
x → +∞
(
)
x→−∞
x 2 + 1 − x = lim
x 2 + 1 − x2 x2 + 1 + x
x →+∞
1
= lim
x2 + 1 + x
x →+∞
lim
(
)
x →−∞
(
2
−3x 4 1 x . 1 − + 1 − x x Câu 178. Chọn C x →−∞
lim
(
)
x →−∞
x →−∞
2x 5x2 + 2 x − x 5
= lim
x →−∞
lim
x→−∞
(
)
x2 + x + 2 + x + 2 = lim
x →−∞
x + x + 2 − ( x + 2)
1 2 =− 5. 5 2 − 5+ − 5 x
2
x2 + x + 2 − x − 2
= lim
x→−∞
−3 x − 2 x2 + x + 2 − x − 2
2 3 x = lim = . x →−∞ 1 2 2 2 − 1+ + 2 −1− x x x Câu 181. Chọn C 1 1 lim 3x − 9 x 2 − 1 = lim 3 x + x 9 − 2 = lim x 3 + 9 − 2 x →−∞ x →−∞ x →−∞ x x Câu 182. Chọn D
)
TH1: b = 2 ⇒ lim
x →−∞
(
2
)
4 x + ax + 1 + 2 x = lim
x →−∞
8 1 − 4+ + 2 −2 x x
= −2 ------------------------
x →+∞
lim
x →−∞
)
2 x 2 − 3x + 1 + x 2 = lim
2 x 2 − 3x + 1 − 2 x 2
2 x 2 − 3x + 1 − x 2 1 −3 + 3 2 x = lim = x →−∞ 4 3 1 − 2− + 2 − 2 x x
x →−∞
1 x −3 + x
3 1 x− 2 − + 2 − 2 x x Vậ y a = 3 ; b = 4 ⇒ a + b = 7 . Câu 186. Chọn C Đường thẳng ∆ : y = ax + 6b đi qua điểm M ( 3; 42 ) nên 3a + 6b = 42 ⇒ a + 2b = 14 .
.
a+ x →−∞
)
(
x →−∞
5ax + 1 36 x 2 + 5ax + 1 − 6 x + b = lim +b 2 x →+∞ 36 x + 5 ax + 1 + 6 1 5a + 5a x = lim +b = +b . x →+∞ 12 5a 1 + 2 +6 36 + x x 5a 20 5a + 12b = 80 a = 4 Do đó ⇔ . +b = ⇒ 5a + 12b = 80 . Ta có hệ: 12 3 a + 2b = 14 b = 5
= −∞
= lim
(
= lim
lim
4 x 2 + ax + 1 − 2 x
)
Câu 185. Chọn D
x →+∞
ax + 1
(
Vậy lim x + 1 − 3 x 3 + 2 = 1
−3 −
(
x →−∞
)
(
1 Suy ra: a = − , b = 0 . Vậy S = −1 . 5 Câu 179. Chọn B 1 1 Ta có: lim ( x 2 + x + 2 x ) = lim x 1 + + 2 x = lim − x 1 + + 2 x x →−∞ x →−∞ x x x →−∞ 1 1 = lim x 2 − 1 + = −∞ vì lim x = −∞ và lim 2 − 1 + = 1 . x→−∞ x →−∞ x →−∞ x x Câu 180. Chọn A 2
4 x2 + 8x +1 − 2 x
1 x
−2 Ta có: lim 1 + x − 3 x 3 + 2 = lim 1 + 2 x →+∞ x →+∞ x 2 + x 3 x3 + 2 + 3 x3 + 2 −2 2 −2 x = lim 1 + = lim 1 + 2 =1 2 x →+∞ x→+∞ 2 2 2 2 2 3 1+ 3 1+ 3 1+ 3 1+ 1 + + x 1 + + x3 x 3 x3 x3
x2 − 4x + x2 − x 3 3 = lim = . x →−∞ 4 1 2 1− + 1− x x
5 x 2 + 2 x + x 5 = lim
x →−∞
8+
= lim
----------------------. Câu 184. Chọn D
−3x
x − 4 x − x − x = lim
= lim
x →−∞
)
2
8x +1
- lim ( 4 x 2 + 8 x + 1 + 2 x) = lim
a ⇒ − = −2 ⇔ a = 12 6 Câu 177. Chọn C x →−∞
)
Câu 183. Chọn C
ax a a 9 x 2 + ax + 3x = lim =− = lim 2 x →−∞ 6 9 x + ax − 3 x x →−∞ − 9 + a − 3 x
Ta có: M = lim
)
4 x 2 + ax + 1 + bx = −1 ⇔ −
(
= 0.
Câu 176. Chọn B x →−∞
(
1 x
a 1 − 4+ + 2 −2 x x
a =− . 4
(
)
Vậy T = a 2 + b 2 = 41 . 45
46
Câu 187. Chọn D
( Ta có: lim ( x + ax + 5 + x ) = lim 2
x →−∞
= lim
x →−∞
x 2 + ax + 5 + x
a+
x →−∞
lim
)
x →+∞
(
= lim
)
4 x 2 − 3x + 1 − ( ax + b ) = 0 ⇔ lim
x →−∞
)
x 2 + 4 x + 1 + x tại x = −1010 :
x →−∞
(
)
x 2 + 4 x + 1 + x = −2 . Chọn đáp án
Cách 2: Ta có I = lim
x →−∞
=
(
)
x 2 + 4 x + 1 + x = lim
x →−∞
A.
4x +1
x2 + 4x + 1 − x
4+ = lim
x →−∞
− 1+
1 x
x →+∞
(
)
x2 − 4 x + 2 − x = lim
x →+∞
x 2 − 4 x + 2 − x2 x2 − 4x + 2 + x
= lim
x →+∞
−4 x + 2 x2 − 4x + 2 + x
2 x 4 2 1− + 2 +1 x x −4 +
= lim
x →+∞
= −2 . x +1− x + 3 4 = 0. = lim x + 1 + x − 3 x →+∞ x + 1 + x − 3 6 −5 + −5 x + 6 5 x Câu 191. Ta có lim x 2 − 5 x + 6 − x = lim = lim =− . x →+∞ x →+∞ 2 x 2 − 5 x + 6 + x x →+∞ 1 − 5 + 6 + 1 x x2 x 2 + ax + 5 − x 2 ax + 5 Câu 192. Ta có: lim x 2 + ax + 5 + x = 5 ⇔ lim = 5 ⇔ xlim 2 =5 2 x →−∞ x →−∞ →−∞ x + ax + 5 − x x + ax + 5 − x 5 a+ a x =5⇔ = 5 ⇔ a = −10 . ⇔ lim x →−∞ −2 a 5 − 1+ + 2 −1 x x Vì vậy giá trị của a là một nghiệm của phương trình x 2 + 9 x − 10 = 0 . Câu 193. Ta có
Câu 190. lim
x →+∞
(
)
x + 1 − x − 3 = lim
(
(
) )
4 x 2 − 3 x + 1 − ax − b = 0
x →+∞
)
Ta có: lim
x →+∞
)
2
)
(
4 1 + −1 x x2
4 = −2 . −2
Câu 189. lim
((
)
(
Vậy I = lim
x →+∞
( 4 − a ) x − 3x + 1 4 x 2 − 3x + 1 − a 2 x 2 ⇔ lim − b = 0 ⇔ lim − b = 0 2 2 x →+∞ x →+∞ 4 x − 3 x + 1 + ax 4 x − 3 x + 1 + ax 4 − a 2 = 0 a = 2 ⇔ a > 0 ⇔ 3. −3 b = − 4 −b = 0 2 + a Vậy a − 4b = 5 . 6x Câu 194. lim x x 2 + 5 x + 4 − x 2 + 5 x − 2 = lim 2 x →+∞ x→+∞ x + 5x + 4 + x 2 + 5 x − 2 6x = lim =3. x →+∞ 5 4 5 2 x 1+ + 2 + 1+ − 2 x x x x Câu 195. Chọn D x x x = lim = lim Xét: lim x x 2 + 1 − x = lim . x →+∞ x →+∞ x 2 + 1 + x x →+∞ x 1 + 1 + x x →+∞ x 1 + 1 + x x2 x2 1 1 = lim = . x →+∞ 2 1 1+ 2 +1 x Câu 196. Chọn C 1 2017 1 2017 x −a 1 + 2 + −a 1 + 2 + 2 x x a x + 1 + 2017 x x = −a . Ta có: lim = lim = lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ 2018 x + 2018 2018 1 + x 1 + x x 1 1 Nên − a = ⇔ a = − . 2 2
5 x
Câu 188. Cách 1: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị biểu thức
(
2
a = . −2 a 5 − 1 + + 2 −1 x x a 2 x + ax + 5 + x = 5 ⇔ = 5 ⇔ a = −10 . −2
x 2 + ax + 5 − x
Do đó: lim
x 2 + ax + 5 − x
x 2 + ax + 5 − x
x →−∞
ax + 5
)(
(
)
x2 + bx + 1 − x = lim
x →+∞
(
x 2 + bx + 1 − x
)(
x 2 + bx + 1 + x
)
2
x + bx + 1 + x
1 1 xb + b+ b x x = . = lim = lim = lim x →+∞ 2 x →+∞ x→+∞ b 1 b 1 b 1 1+ + 2 +1 x 1 + + 2 + 1 x 1 + + 2 + 1 x x x x x x b Nên = 2 ⇔ b = 4 . 2 1 Vậ y P = 4 − + 4 = 2 . 2 Câu 197. Chọn B bx + 1
47
48
lim
x →+∞
(
)
x2 − 4 x + 2 − x = lim
x →+∞
x 2 − 4 x + 2 − x2 x2 − 4x + 2 + x
= lim
x →+∞
−4 x + 2 x2 − 4x + 2 + x
2 x = −2 4 2 1− + 2 +1 x x −4 +
= lim
x →+∞
. Câu 198. Chọn D
(
)
x2 − x 2 + x − 2
Ta có: I = lim x + 1 − x 2 − x + 2 ⇔ I = lim x→+∞ x→+∞
2 x+ x −x+2
x−2 + 1 ⇔ I = lim + 1 2 x→+∞ x+ x − x+2
2 1− 3 x ⇔ I = lim + 1 ⇔ I = . x→+∞ 1 2 2 1+ 1− + 2 x x
49
TOÁN 11
HÀM SỐ LIÊN TỤC
C. Nếu hàm số f ( x ) liên tục, tăng trên [ a; b ] và f ( a ) f ( b ) > 0 thì phương trình f ( x ) = 0
1D4-3
không có nghiệm trong khoảng ( a; b ) . D. Nếu phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm trong khoảng ( a; b ) thì hàm số f ( x ) phải liên tục trên
Contents
( a; b ) .
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.................................................................................................................................. 1 DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM........................................................................................................................... 3
Câu 3.
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số............................................................................................................ 3
A. Nếu f ( a ). f (b) > 0 thì phương trình f ( x ) = 0 không có nghiệm nằm trong ( a; b ) .
Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số .......................................................................................................................... 4
B. Nếu f (a ). f (b) < 0 thì phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong ( a; b ) .
Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số................................................................................................................................... 4
C. Nếu f ( a ). f (b) > 0 thì phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong ( a; b ) .
DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG ........................................................................................................................ 11
D. Nếu phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong ( a; b ) thì f ( a ). f (b) < 0 .
Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số.................................................................................................... 11
Câu 4.
Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số................................................................................................................................. 12
Cho đồ thị của hàm số y = f ( x ) như hình vẽ sau: y 7
DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ....................................................................................... 14
6 5
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT................................................................................................................................ 15
4
DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM......................................................................................................................... 15
3 2
Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số.......................................................................................................... 15
1
x
Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số ........................................................................................................................ 16
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số................................................................................................................................. 17
-2
Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số.................................................................................................... 24
Chọn mệnh đề đúng. A. Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng không liên tục tại điểm x = 0 .
Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số................................................................................................................................. 26
B. Hàm số y = f ( x ) liên tục tại điểm x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm x = 0 .
DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG ........................................................................................................................ 24
C. Hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm tại điểm x = 0 .
DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ....................................................................................... 29
D. Hàm số y = f ( x ) không liên tục và không có đạo hàm tại điểm x = 0 . Câu 5.
Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x = 1 ?
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1.
(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
( a; b ) . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên [ a; b ] là A. lim f ( x ) = f ( a ) và lim f ( x ) = f ( b ) . B. lim f ( x ) = f ( a ) và x →a x→b x →a C. lim f ( x ) = f ( a ) và lim f ( x ) = f ( b ) . D. lim f ( x ) = f ( a ) và x →a x→b x →a Câu 2.
lim f ( x ) = f ( b ) .
+
+
−
x → b−
+
−
−
x → b+
lim f ( x ) = f ( b ) .
A.
.
B.
.
(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) xác định trên [ a; b ] . Tìm mệnh đề đúng. A. Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b ] và f ( a ) f ( b ) > 0 thì phương trình f ( x ) = 0 không có nghiệm trong khoảng ( a; b ) . B. Nếu f ( a ) f ( b ) < 0 thì phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( a; b ) . 1
2
C. Hàm số liên tục tại x = 1 .
D. Hàm số liên tục tại x =
1 . 2
Câu 11. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Hàm số nào sau đây liên tục tại x = 1 : x +1 x 2 + x +1 x2 − x − 2 x 2 + x +1 A. f ( x ) = . . B. f ( x) = . C. f ( x ) = . D. f ( x ) = x −1 x 2 −1 x x −1 Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số C. Câu 6.
.
D.
.
Câu 12.
(Thi thử SGD Hưng Yên) Cho các mệnh đề: 1. Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên ( a; b ) và f ( a ) . f ( b ) < 0 thì tồn tại x0 ∈ ( a; b ) sao cho
(
f ( x0 ) = 0 .
2. Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a ; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 thì phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm. 3. Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục, đơn điệu trên [ a; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 thì phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất. A. Có đúng hai mệnh đề sai. C. Cả ba mệnh đề đều sai.
Câu 13.
Câu 8.
Câu 14.
B. Cả ba mệnh đề đều đúng. D. Có đúng một mệnh đề sai.
Câu 15.
1 − x3 , khi x < 1 Cho hàm số y = 1 − x . Hãy chọn kết luận đúng 1 , khi x ≥ 1 A. y liên tục phải tại x = 1 . B. y liên tục tại x = 1 . D. y liên tục trên ℝ . C. y liên tục trái tại x = 1 .
C. y = x 4 − 2 x 2 + 1
x gián đoạn tại điểm x0 bằng? x +1 A. x0 = 2018 . B. x0 = 1 . C. x0 = 0
D. y = tan x .
Hàm số y =
D. x0 = −1 .
x −3 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x2 −1 A. Hàm số không liên tục tại các điểm x = ±1 . B. Hàm số liên tục tại mọi x ∈ ℝ . C. Hàm số liên tục tại các điểm x = −1 . D. Hàm số liên tục tại các điểm x = 1 . Cho hàm số y =
( )
x 2 − 7 x + 12 khi x ≠ 3 Cho hàm số y = . Mệnh đề nào sau đây đúng? x−3 −1 khi x = 3 A. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x0 = 3 .
C. f ( x ) liên tục tại x = 0 .
D. f ( x ) gián đoạn tại x = 0 .
− x cos x, x < 0 2 x Câu 17. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hàm số f ( x ) = , 0 ≤ x < 1 . Khẳng định nào 1 + x 3 x , x ≥ 1 sau đây đúng? A. Hàm số f ( x ) liên tục tại mọi điểm x thuộc ℝ .
x−2 khi x ≠ 2 Cho hàm số f ( x ) = x + 2 − 2 . Chọn mệnh đề đúng? khi x = 2 4 A. Hàm số liên tục tại x = 2 . B. Hàm số gián đoạn tại x = 2 . C. f ( 4 ) = 2 . D. lim f ( x ) = 2 .
B. Hàm số f ( x ) bị gián đoạn tại điểm x = 0 . C. Hàm số f ( x ) bị gián đoạn tại điểm x = 1 . D. Hàm số f ( x ) bị gián đoạn tại điểm x = 0 và x = 1 . Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số
x→2
Câu 10.
Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x = 2 ? 3x − 4 . B. y = sin x . x−2
1 − cos x khi x ≠ 0 . Câu 16. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = x 2 1 khi x = 0 Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau? A. f ( x ) có đạo hàm tại x = 0 . B. f 2 < 0 .
B. Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại x0 = 3 . C. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại x0 = 3 . D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x0 = 3 . Câu 9.
)
A. y =
DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số
Câu 7.
(THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm x0 = −1 . x +1 2x −1 x A. y = ( x + 1) x 2 + 2 . B. y = . C. y = . D. y = 2 . x +1 x −1 x +1
2x −1 . Kết luận nào sau đây đúng? x3 − x A. Hàm số liên tục tại x = − 1 . B. Hàm số liên tục tại x = 0 . Cho hàm số f ( x ) =
3
4
x2 − 4 khi x ≠ −2 Câu 18. Tìm m để hàm số f ( x) = x + 2 liên tục tại x = −2 m khi x = −2 A. m = −4 . B. m = 2 . C. m = 4 .
Câu 27. D. m = 0 .
A. m = 0 .
x −1 khi x ≠ 1 Cho hàm số y = f ( x) = x − 1 . Giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại điểm 2 m + 1 khi x = 1 3
Câu 19.
x0 = 1 là: A. m = −
1 . 2
B. m = 2 . 2
x + 3x + 2 khi Câu 20. Để hàm số y = khi 4 x + a B. 4. A. −4 . Câu 21.
Câu 22.
C. m = 1 .
khi x ≠ 1
Câu 29.
liên tục tại x = 1.
Câu 30.
khi x = 1
D. m = 2 .
x 2016 + x − 2 khi x ≠ 1 Cho hàm số f ( x ) = 2018 x + 1 − x + 2018 . Tìm k để hàm số f ( x ) liên tục tại k khi x = 1 x =1.
A. k = 2 2019 .
B. k =
2017. 2018 . 2
C. k = 1 .
D. k =
20016 2019 . 2017
Câu 31.
Câu 32.
x −1 khi x ≠ 1 Câu 23. Cho hàm số f ( x ) = x − 1 . Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 1 . a khi x = 1 1 1 A. a = 0 . B. a = − . C. a = . D. a = 1 . 2 2
B. m = −1 .
x+2 −2 Tìm a để hàm số f ( x ) = x − 2 2 x + a 15 15 A. . B. − . 4 4
2
C.
1 . 4
D. 1 .
C. m = 3 .
2
Câu 34.
C. P = 5 .
liên tục tại x = 2 ?
khi x = 2
B. m = −5 .
ax 2 + bx − 5 khi Câu 26. Biết hàm số f ( x ) = khi 2ax − 3b P = a − 4b . A. P = −4 . B. P = −5 .
liên tục tại x = 1 Tính giá trị của biểu thức
liên tục tại điểm x = 1 ? khi x = 1 D. 1.
(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Tìm giá trị của tham số x 2 + 3x + 2 khi x < − 1 liên tục tại x = − 1 . f ( x ) = x2 − 1 mx + 2 khi x ≥ − 1
3x + b khi x ≤ −1 Biết hàm số f (x ) = liên tục tại x = −1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x + a khi x > −1 A. a = b − 2 . B. a = −2 − b . C. a = 2 − b . D. a = b + 2 . 3− x khi x ≠ 3 Câu 25. Cho hàm số f ( x ) = x + 1 − 2 . Hàm số đã cho liên tục tại x = 3 khi m = ? m khi x=3 A. −1. B. 1 . C. 4 . D. −4 . x >1
khi x ≠ 1
3x 2 + 2 x − 1 − 2 , x ≠1 Cho hàm số f ( x ) = . Hàm số f ( x ) liên tục tại x0 = 1 khi x2 − 1 4 − m x =1 A. m = 3 . B. m = −3 . C. m = 7 . D. m = −7 .
x2 + 4 − 2 x2 Câu 33. Cho hàm số f ( x ) = 2a − 5 4 liên tục tại x = 0 . 3 4 A. a = − . B. a = . 4 3
x ≤1
khi x ≠ 2
D. m = 2 .
x 2 − 3x + 2 khi x > 2 Cho hàm số f ( x) = , m là tham số. Có bao nhiêu giá trị của m để x + 2 −2 2 m x m khi x − 4 + 6 ≤ 2 hàm số đã cho liên tục tại x = 2 ? A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1
A. m = −3 .
Câu 24.
C. m = 1
x 2 − 3x + 2 Câu 28. Có bao nhiêu số tự nhiên m để hàm số f ( x ) = x − 1 2 m + m − 1 A. 0. B. 3 . C. 2 .
D. m = 0 .
x ≤ −1 liên tục tại điểm x = −1 thì giá trị của a là x > −1 C. 1. D. −1 .
x3 − x 2 + 2 x − 2 Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x ) = x −1 3 x + m A. m = 0 . B. m = 6 . C. m = 4 .
x2 − x khi x ≠ 1 Tìm m để hàm số f ( x) = x − 1 liên tục tại x = 1 m − 1 khi x = 1
2
khi x ≠ 0
m
để hàm số
D. m = 5 . 2
. Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f ( x )
khi x = 0
4 C. a = − . 3
D. a =
3 . 4
x 2 − 2 x + 3 khi x ≠ 1 Cho hàm số f ( x ) = . Tìm m để hàm số liên tục tại x0 = 1 . 3 x + m − 1 khi x = 1 A. m = 1 . B. m = 3 . C. m = 0 . D. m = 2 .
D. P = 4 . 5
6
x 2 − 3x + 2 khi x ≠ 2 Câu 35. Cho hàm số f ( x) = x − 2 . Hàm số liên tục tại x = 2 khi a bằng a khi x = 2 A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. −1 . Câu 36.
x2 − 3x + 2 khi x < 2 2 Câu 43. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f ( x ) = x − 2 x liên tục tại điểm mx + m + 1 khi x ≥ 2 x = 2. 1 1 1 1 A. m = . B. m = − . C. m = − . D. m = . 6 6 2 2
3− x khi x ≠ 3 Cho hàm số f ( x ) = x + 1 − 2 . Hàm số liên tục tại điểm x = 3 khi m bằng: mx + 2 khi x = 3 A. −2 . B. 4 . C. −4 . D. 2 .
Câu 44.
x 2 − 16 khi x > 4 Câu 37. Tìm m để hàm số f ( x ) = x − 4 liên tục tại điểm x = 4 . mx + 1 khi x ≤ 4 7 7 A. m = . B. m = 8 . C. m = − . D. m = −8 . 4 4
Câu 38.
3 A. a = − . 4
(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại x = 2 .
A. m = 3 .
B. m = 2 .
C. m = − 2 .
D. Không tồn tại m .
x + 3 −m khi x ≠ 1 Câu 39. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hàm số f (x ) = . Để hàm số liên tục x −1 n khi x = 1 tại x 0 = 1 thì giá trị của biểu thức (m + n ) tương ứng bằng: A.
3 . 4
B. 1.
1 C. − . 2
D.
9 . 4
Câu 48.
x2 − x − 2 khi x > −1 liên tục tại x = − 1. Tìm m để hàm số f ( x) = x + 1 mx − 2m 2 khi x ≤ −1
3 A. m ∈ 1; − . 2
B. m ∈ {1} .
3 C. m ∈ − . 2
4 . 3
4 C. a = − . 3
D. a =
3 . 4
x2 −1 khi x ≠ 1 Câu 46. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Tìm a để hàm số f ( x ) = x − 1 liên tục tại khi x = 1 a điểm x0 = 1 . B. a = 0 . C. a = 2 . D. a = −1 . A. a = 1 . Câu 47.
cos 3x − cos 7 x Câu 41. Giới hạn lim . Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x = 3 ? x →0 x2 A. 40 . B. 0 . C. −4 . D. 20 .
B. a =
ax 2 + 1 − bx − 2 1 khi x ≠ 3 2 , ( a, b, c ∈ ℝ ) . Biết hàm số liên tục tại x = 1 . Câu 45. Cho hàm số f ( x ) = 4 x − 3 x + 1 2 1 c khi x = 2 2 Tính S = abc . A. S = −36 . B. S = 18 . C. S = 36 . D. S = −18 .
x3 − 6 x 2 + 11x − 6 khi x ≠ 3 Câu 40. Cho hàm số f ( x ) = . Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x−3 m khi x = 3 x = 3? A. m = 1 . B. m = 2 . C. m = 3 . D. m = 0 .
Câu 42.
x2 + 4 − 2 khi x ≠ 0 x2 Cho hàm số f ( x ) = . Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số 2a − 5 khi x = 0 4 f ( x ) liên tục tại x = 0 .
(THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số x2 − x − 2 khi x ≠ 2 liên tục tại x=2. f ( x) = x − 2 m khi x =2 A. m = 3. B. m = 1. C. m = 2. D. m = 0.
2 x 2 − 3x + 1 khi x ≠ 1 Để hàm số f ( x ) = 2 ( x − 1) liên tục tại x = 1 thì giá trị m bằng m khi x = 1 A. 0,5 . B. 1,5 . C. 1. D. 2 .
x2 + x − 2 khi x ≠ 1 Câu 49. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = x − 1 . 3m khi x = 1 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián đoạn tại x = 1. A. m ≠ 2. B. m ≠ 1. C. m ≠ 2. D. m ≠ 3.
3 D. m ∈ −1; . . 2
7
8
Câu 50.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị của m 1− x − 1+ x khi x < 0 x để hàm số f ( x ) = liên tục tại x = 0 . m + 1 − x khi x ≥ 0 1+ x A. m = 1 . B. m = − 2 . C. m = −1 . D. m = 0 .
Câu 57.
eax − 1 khi x ≠ 0 Câu 51. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = x . Tìm giá 1 khi x = 0 2 trị của a để hàm số liên tục tại x0 = 0 . 1 1 A. a = 1 . B. a = . C. a = −1 . D. a = − . 2 2
Câu 58.
Câu 52.
Câu 53.
B. m = 1 .
C. m =
3 . 4
D. m =
1 . 2
(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số x+3−2 khi ( x > 1) . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số f ( x ) f ( x ) = x −1 m 2 + m + 1 khi ( x ≤ 1) 4 liên tục tại x = 1 . A. m ∈ {0;1} . B. m ∈ {0; −1} . C. m ∈ {1} . D. m ∈ {0} .
Câu 59. (THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm a để hàm số liên tục trên ℝ : khi x ≤ 1 2 x + a f ( x ) = x3 − x 2 + 2 x − 2 khi x > 1. x −1 A. a = −2 . B. a = 1 . C. a = 2 . D. a = −1 .
(THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Giá trị của tham số a để hàm số x+2 −2 khi x ≠ 2 y = f ( x) = x − 2 liên tục tại x = 2 . a + 2 x khi x = 2
Câu 60.
1 . 4
B. 1 .
C. −
15 . 4
(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số 2x +1 − x + 5 khi x ≠ 4 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số f ( x) = x−4 a + 2 x khi = 4 liên tục tại x0 = 4 . 5 A. a = . 2
B. a = −
11 . 6
C. a = 3 .
D. a = 2 .
B. m = 1 .
C. m = ± 3 .
D. m = ±1 .
x2 + 4x + 3 (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Tìm m để hàm số f ( x) = x + 1 mx + 2 liên tục tại điểm x = −1 . A. m = 2 . B. m = 0 . C. m = −4 . D. m = 4 . x3 − 8 khi Câu 62. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = x − 2 2m + 1 khi m để hàm số liên tục tại điểm x0 = 2 . 3 11 13 1 A. m = . B. m = . C. m = . D. m = − . 2 2 2 2 Câu 61.
khi x > −1 khi x ≤ −1
x≠2
. Tìm
x=2
Câu 63. (THPT
(THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Tìm tham số thực m để hàm số y = f ( x )
x 2 + x − 12 khi x ≠ −4 = x+4 liên tục tại điểm x0 = −4 . mx + 1 khi x = −4 A. m = 4 . B. m = 3 . C. m = 2 .
(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số x2 − x − 2 khi x ≠ 2 liên tục tại x = 2 . f ( x) = x − 2 2 khi x = 2 m A. m = 3 .
D. 4 .
x 2 + 1 khi x ≤ 1 Câu 54. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Hàm số f ( x ) = liên tục tại điểm x + m khi x > 1 x0 = 1 khi m nhận giá trị A. m = −2 . B. m = 2 . C. m = −1 . D. m = 1 .
Câu 56.
A. m = 3 .
ax 2 − (a − 2) x − 2 khi x ≠ 1 (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hàm số f ( x) = . Có tất cả x+3 −2 8 + a 2 x khi = 1 bao nhiêu giá trị của a để hàm số liên tục tại x = 1 ? A. 1 . B. 0 . C. 3 . D. 2 .
A.
Câu 55.
(THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Tìm giá trị của tham số m để hàm số 3x + 1 − 2 khi x ≠ 1 liên tục tại điểm x0 = 1 . f ( x ) = x −1 m khi x = 1
D. m = 5 . 9
CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Cho hàm số − x 2 + 2 x + 8 khi x ≠ −2 f ( x) = x+2 ( m∈ ℝ ) . Biết hàm số f ( x ) liên tục tại x0 = −2 . Số giá trị m2 x 2 + 5mx khi x = −2 nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . 10
Câu 71. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên ℝ? x x A. y = x . B. y = . C. y = sin x . D. y = . x +1 x +1
DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số
Câu 64.
Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên ℝ ?
A. y = x3 − x . Câu 65.
? A. 1 .
Câu 67.
C. y =
2x −1 . x −1
D. y = x 2 − 1 .
(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Cho bốn hàm số f1 ( x ) = 2 x 3 − 3 x + 1 ,
f2 ( x ) =
Câu 66.
B. y = cot x .
3x + 1 , f3 ( x ) = cos x + 3 và f 4 ( x ) = log 3 x . Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập ℝ x−2 B. 3 .
C. 4 .
sin x neu cos x ≥ 0 Câu 72. (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = . Hỏi 1 + cos x neu cos x < 0 hàm số f có tất cả bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng ( 0; 2018 ) ?
A. 2018 . Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số
D. 2 .
Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên ℝ ? x2 + 3 A. f ( x ) = tan x + 5 . B. f ( x ) = . C. f ( x ) = x − 6 . 5− x
D. f ( x ) =
Câu 73.
x+5 . x2 + 4
4 3
Câu 74.
D. Hàm số gián đoạn tại x0 = 2 . Câu 68.
Hàm số nào sau đây liên tục trên ℝ ?
A. f ( x ) = x .
B. f ( x ) = x 4 − 4 x 2 .
C. f ( x ) =
x4 − 4 x2 x4 − 4x2 . D. f ( x ) = . x +1 x +1
x2 x khi x < 1, x ≠ 0 . Khẳng Câu 69. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = 0 khi x = 0 ≥ x khi x 1 định nào đúng A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn [ 0;1] .
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0 . C. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc ℝ . D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1 . Câu 70.
sin π x khi x ≤ 1 (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hàm số f ( x ) = . Mệnh x + 1 khi x > 1 đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số liên tục trên ℝ . B. Hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) . D. Hàm số gián đoạn tại x = ±1 . 11
D. 321 .
1 3
4 3
B. m = − .
2 3
C. m = .
D. m = .
(KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho hàm số 3 4x − 2 , x≠2 . Xác định a để hàm số liên tục trên R. f ( x) = x − 2 ax + 3 x , = 2 1 4 4 A. a = −1 . B. a = . C. a = . D. a = − . 6 3 3
x2 − 1 khi x ≠ 1 Câu 75. Cho hàm số f ( x ) = x − 1 . Tìm m để hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ . m − 2 khi x = 1 A. m = 1 . B. m = 2 . C. m = 4 . D. m = −4 . Câu 76.
(LƯƠNG
TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) x2 + 2 x − 2 khi x ≥ 2 y = f ( x) = liên tục trên ℝ ? 2 khi x < 2 5 x − 5m + m A. m = 2; m = 3 . B. m = −2; m = −3 . C. m = 1; m = 6 .
Tìm
m
để
hàm
số
D. m = −1; m = −6 .
3x + a − 1 khi x ≤ 0 Câu 77. Cho hàm số f ( x ) = 1 + 2 x − 1 . Tìm tất cả giá trị thực của a để hàm số đã cho liên khi x > 0 x tục trên ℝ . A. a = 1 . B. a = 3 . C. a = 4 . D. a = 2 .
Câu 78.
C. Hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .
C. 642 .
2 3 x − x −1 ,x ≠1 Tìm m để hàm số y = x − 1 liên tục trên ℝ . mx + 1 ,x = 1
A. m = − .
− x 2 + x + 3 khi x ≥ 2 Cho hàm số y = . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: khi x < 2 5 x + 2 A. Hàm số liên tục tại x0 = 1 . B. Hàm số liên tục trên ℝ . C. Hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞;2) , ( 2; + ∞) .
B. 1009 .
x 3 − 3x 2 + 2 x x ( x − 2) a Cho biết hàm số f ( x ) = b
khi x ( x − 2 ) ≠ 0 khi
x=0
khi
x=2
liên tục trên ℝ . Tính T = a 2 + b 2 .
12
A. T = 2 . Câu 79.
B. T = 122 .
C. T = 101 .
D. T = 145 .
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục trên ℝ
Câu 86.
x −1 khi x > 1 f ( x ) = ln x m.e x −1 + 1 − 2mx 2 khi x ≤ 1 A. m = 1 .
B. m = −1 .
1 C. m = . 2
Câu 87.
D. m = 0 .
Câu 80. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để 2 2 khi x ≤ 2 m x hàm số f ( x ) = liên tục trên ℝ ? (1 − m ) x khi x > 2 A. 0 . Câu 81.
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
x − m (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = mx + 1 Tìm tất cả các giá trị của m để f ( x ) liên tục trên ℝ. A. m = 1 . B. m = 0 . C. m = −1 . D. m = −2 .
khi x ≥ 0 khi x < 0
.
x2 − 4 x + 3 khi x > 1 Câu 82. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm P để hàm số y = x − 1 liên tục trên 6 Px − 3 khi x ≤ 1 ℝ. 5 1 1 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 6 2 6 3 Câu 83.
Câu 85.
(THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số x +1 −1 khi x > 0 liên tục trên ℝ . f ( x) = x 2 x m khi x + 1 − ≤ 0 3 1 1 A. m = . B. m = . C. m = −2 . D. m = − . 2 2 2
(SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số x 2 − 16 khi x > 4 f ( x) = x − 4 liên tục trên ℝ . mx + 1 khi x ≤ 4 7 7 A. m = 8 hoặc m = − . B. m = . 4 4 7 7 C. m = − . D. m = −8 hoặc m = . 4 4
x 2 + ax + b khi x < −5 khi − 5 ≤ x ≤ 10 Câu 88. (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Nếu hàm số f ( x ) = x + 17 ax + b + 10 khi x > 10 liên tục trên R thì a + b bằng A. −1. B. 0 . C. 1 . D. 2 . DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Câu 89.
ax + b + 1, khi x > 0 (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Hàm số f ( x) = liên a cos x + b sin x, khi x ≤ 0 tục trên ℝ khi và chỉ khi A. a − b = 1 . B. a − b = −1 . C. a + b = 1 D. a + b = 1
3 x + 1 khi x ≥ −1 Câu 84. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số y = , m là tham số. Tìm m x + m khi x < −1 để hàm số liên tục trên ℝ . A. m = 5 . B. m = −1 . C. m = 3 . D. m = −3 .
x 2 + 16 − 5 khi x ≠ 3 . Tập (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số y = f ( x ) = x −3 a khi x = 3 các giá trị của a để hàm số đã cho liên tục trên R là: 2 1 3 A. . B. . C. {0} . D. . 5 5 5
Cho phương trình 2 x 4 − 5 x 2 + x + 1 = 0 (1) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. Phương trình (1) có đúng một nghiệm trên khoảng ( −2;1) .
B. Phương trình (1) vô nghiệm. C. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng ( 0; 2 ) . D. Phương trình (1) vô nghiệm trên khoảng ( −1;1) . Câu 90.
(THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng ( 0;1) A. 2 x 2 − 3x + 4 = 0 . 4
2
C. 3x − 4 x + 5 = 0 . Câu 91.
5
B. ( x − 1) − x7 − 2 = 0 . D. 3x
2017
− 8x + 4 = 0 .
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Cho phương trình 4 x 4 + 2 x 2 − x − 3 = 0 (1) . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Phương trình (1) vô nghiệm trên khoảng ( −1;1) . B. Phương trình (1) có đúng một nghiệm trên khoảng ( −1;1) . C. Phương trình (1) có đúng hai nghiệm trên khoảng ( −1;1) . D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng ( −1;1) .
Câu 92. 13
Phương trình 3x5 + 5x3 + 10 = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây? A. ( −2; −1) . B. ( −10; −2) . C. ( 0;1) . D. ( −1;0 ) . 14
Câu 93.
Cho phương trình 2 x 3 − 8 x − 1 = 0 (1) . Khẳng định nào sai?
Nhận thấy: lim+ y = y (1) . Suy ra y liên tục phải tại x = 1 . x →1
A. Phương trình không có nghiệm lớn hơn 3 . B. Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt. C. Phương trình có 2 nghiệm lớn hơn 2 . D. Phương trình có nghiệm trong khoảng ( −5; −1) . Câu 94.
Câu 8.
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] và thỏa mãn f ( a ) = b , f ( b ) = a với a, b > 0 ,
Câu 9.
a ≠ b . Khi đó phương trình nào sau đây có nghiệm trên khoảng ( a; b ) .
A. f ( x ) = 0 . Câu 95.
B. f ( x ) = x .
D. f ( x ) = a .
lim f ( x ) = lim
−8 + 4a − 2b + c > 0 Cho số thực a , b , c thỏa mãn . Số giao điểm của đồ thị hàm số 8 + 4a + 2b + c < 0
y = x 3 + ax 2 + bx + c và trục Ox là A. 2 . B. 0 .
Câu 96.
C. f ( x ) = − x .
C. 3 .
Câu 2.
D. 1 .
Câu 4.
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Theo định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn [ a; b ] . Chọn: lim+ f ( x ) = f ( a ) và lim− f ( x ) = f ( b ) . x→b
Chọn B Vì theo định lý 3 trang 139/sgk. Chọn B Đồ thị là một đường liền nét, nhưng bị “gãy” tại điểm x = 0 nên nó liên tục tại điểm x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm x = 0 . Chọn D Vì lim+ y ≠ lim− y nên hàm số không liên tục tại x = 1 .
Câu 6.
Chọn D Khẳng định thứ nhất sai vì thiếu tính liên tục trên đoạn [ a ; b ] .
x →1
x →1
x →1
x →1
x→1
(1 − x ) 1 + x + x 2 1 − x3 = lim− = lim− 1 + x + x 2 = 4 x →1 1 − x x →1 1− x
(
)
(
)
x+2 +2 = 4
f (2) = 4
Vậy hàm số liên tục tại x = 2 . Câu 10. Chọn D 1 2x −1 1 Tại x = , ta có: lim f ( x ) = lim 3 = 0 = f . Vậy hàm số liên tục tại x = 2 . 1 1 2 x→ x→ x − 1 2 2 2 x2 + x +1 x −1 lim+ f ( x) = +∞ suy ra f ( x) không liên tục tại x = 1 .
A) f ( x ) =
x→1
x2 − x − 2 x 2 −1 x−2 lim f ( x) = lim+ = −∞ suy ra f ( x) không liên tục tại x = 1 . x→1+ x →1 x −1 x2 + x +1 C) f ( x ) = x x2 + x +1 = 3 = f (1) suy ra f ( x) liên tục tại x = 1 . lim f ( x ) = lim x →1 x→1 x x +1 D) f ( x) = x −1 x +1 lim+ f ( x ) = lim+ = +∞ suy ra f ( x) không liên tục tại x = 1 . x→1 x →1 x −1 Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số 2x −1 Câu 12. Ta có y = không xác định tại x0 = −1 nên gián đoạn tại x0 = −1 . x +1 Câu 13. Chọn A 3x − 4 Ta có: y = có tập xác định: D = ℝ \ {2} , do đó gián đoạn tại x = 2 . x−2 Câu 14. Chọn D x Vì hàm số y = có TXĐ: D = ℝ \ {−1} nên hàm số gián đoạn tại điểm x0 = −1 . x +1 Câu 15. Chọn A
DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số Câu 7. Chọn A Ta có: y (1) = 1 . Ta có: lim+ y = 1 ; lim− y = lim−
(
B) f ( x) =
Vì f ( a ) f ( b ) > 0 nên f ( a ) và f ( b ) cùng dương hoặc cùng âm. Mà f ( x ) liên tục, tăng trên
Câu 5.
)
x→ 2
[ a; b ] nên đồ thị hàm f ( x ) nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên [ a; b ] hay phương trình f ( x ) = 0 không có nghiệm trong khoảng ( a; b ) . Câu 3.
(
( x − 2) x + 2 + 2 x−2 = lim = lim x →2 x → 2 x−2 x+2 −2
⇒ lim f ( x ) = f ( 2 )
(LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Cho các số thực a , b , c thỏa mãn a + c > b + 1 . Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 + ax 2 + bx + c và trục Ox . a + b + c + 1 < 0 A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .
x →a
x→ 2
x→2
Câu 11. Câu 1.
Chọn D x 2 − 7 x + 12 = lim ( x − 4 ) = −1 = y ( 3) nên hàm số liên tục tại x0 = 3 . lim x →3 x →3 x −3 2 x − 7 x + 12 ) − ( 32 − 7.3 + 12 ) ( ( x 2 − 7 x + 12 ) = lim ( x − 4 ) = −1 ⇒ y ' (3) = −1. lim = lim x →3 x →3 x →3 x −3 x−3 Chọn A Tập xác định: D = ℝ
)
15
16
x −3 có tập xác định ℝ \ {±1} . Do đó hàm số không liên tục tại các điểm x = ±1 . x2 − 1 Câu 16. Hàm số xác định trên R x 2sin 2 1 − cos x 1 2 Ta có f ( 0 ) = 1 và lim f ( x ) = lim = lim = 2 x →0 x →0 x →0 x2 2 x 4. 2 Vì f ( 0 ) ≠ lim f ( x ) nên f ( x ) gián đoạn tại x = 0 . Do đó f ( x ) không có đạo hàm tại x = 0 .
( x − 1) ( x 2015 + x 2014 + ... + x + 1 + 1) ( 2018 x + 1 + x + 2018 ) =2 x →1 2017 ( x − 1) Để hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ lim f ( x ) = f (1) ⇔ k = 2 2019 . x→1
Hàm số y =
= lim
Câu 23.
Chọn C Ta có lim f ( x ) = lim x→1
x →1
x −1 = lim x →1 x −1
x −1
(
)(
x −1
)
x +1
x→1
Để hàm số liên tục tại x0 = 1 khi lim f ( x ) = f (1) ⇔ a =
1 − cos x ≥ 0 nên f 2 > 0. VậyA, B,C sai. x2 Câu 17. * f ( x ) liên tục tại x ≠ 0 và x ≠ 1 . * T ại x = 0 x2 lim− f ( x ) = lim− ( − x cos x ) = 0 , lim+ f ( x ) = lim+ = 0 , f (0) = 0 . x→0 x →0 x →0 x →0 1 + x Suy ra lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 0 ) . Hàm số liên tục tại x = 0 .
( )
x→0
x →1
x → −1
Câu 25.
x →3
x 1 = , lim f ( x ) = lim+ x 3 = 1 . x →1 1 + x 2 x →1+ Suy ra lim− f ( x ) ≠ lim+ f ( x ) . Hàm số gián đoạn tại x = 1 . lim− f ( x ) = lim−
x →1
x→1
x →1
Chọn B Hàm số liên tục tại x = −1 khi và chỉ khi lim+ y = lim− y == y ( −1) x→−1
x →−1
⇔ lim+ ( 4 x + a ) = lim− ( x 2 + 3 x + 2 ) = y ( −1) ⇔ a − 4 = 0 ⇔ a = 4 .
x→1
x →1
x →1
x →−1
⇔ m 2 + m − 1 = −1 m = 0 (TM) ⇔ m2 + m = 0 ⇔ . m = −1 (L)
Chọn A Ta có: f (1) = m + 3 .
( x − 1) ( x 2 + 2 ) x3 − x 2 + 2 x − 2 = lim = lim ( x 2 + 2 ) = 3 . x →1 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 Để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 thì lim f ( x ) = f (1 ) ⇔ 3 = m + 3 ⇔ m = 0 . x →1
Câu 29.
lim f ( x ) = lim
Chọn B Ta có f ( 2 ) = 4 + a .
Chọn A x →1
)
Do hàm số liên tục tại x = 1 nên a + b − 5 = 2 a − 3b ⇒ a − 4b = −5 . Chọn D TXĐ: D = R x2 − x Ta có lim f ( x) = lim = lim x = 1 x→1 x →1 x − 1 x →1 Và f (1) = m − 1. Hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ m − 1 = 1 ⇔ m = 2 Câu 28. Chọn D x 2 − 3x + 2 ( x − 1)( x − 2 ) = lim x − 2 = −1 . lim = lim ( ) x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 Để hàm số f ( x ) liên tục tại điểm x = 1 cần: lim f ( x ) = f (1)
x →1
Ta có: lim
x →3
Câu 27.
x3 − 1 = lim( x 2 + x + 1) = 3 x − 1 x →1 Để hàm số liên tục tại điểm x0 = 1 thì f (1) = lim y ⇒ 2 m + 1 = 3 ⇔ m = 1 .
Câu 22.
(
= lim − x + 1 − 2 = −4
lim f ( x ) = lim+ ( 2 ax − 3b ) = 2a − 3b .
x →1+
lim y = lim
x →−1
)
Suy ra, m = −4 . Câu 26. Chọn B Ta có: lim− f ( x ) = lim− ( ax 2 + bx − 5) = a + b − 5 = f (1) .
x2 − 4 Hàm số liên tục tại x = −2 khi và chỉ khi lim = lim m = m ⇔ m = −4 x →−2 x + 2 x →−2 Câu 19. Chọn C Ta có f (1) = 2 m + 1
Câu 21.
x →3
x →3
x →1
Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số Câu 18. Chọn A
Câu 20.
(
lim f ( x ) = lim
2
x →1
x → −1
Chọn D f ( 3) = m
(3 − x ) x + 1 + 2 3− x = lim x −3 x + 1 − 2 x →3 Để hàm số liên tục tại x = 3 thì lim f ( x ) = f ( 3 )
x →0
x →1
1 . 2
Câu 24. Chọn A lim− f (x ) = f (−1) = b − 3 ; lim+ f (x ) = a − 1 . Để liên tục tại x=-1 ta có b − 3 = a − 1 ⇔ a = b − 2
* T ại x = 1 x →1
1 1 = . x +1 2
= lim
x→ 0
∀x ≠ 0 f ( x ) =
2019
Ta tính được lim f ( x ) = lim
(x x 2016 + x − 2 = lim x → 1 2018 x + 1 − x + 2018
2016
− 1 + x − 1)
(
2018 x + 1 + x + 2018
x →2
)
2017 x − 2017
x→2
x+2−4
( x − 2) (
x+2 +2
)
= lim x→2
1 1 = . x+2 +2 4
Hàm số đã cho liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi f ( 2 ) = lim f ( x ) ⇔ 4 + a = x→2
17
1 15 ⇔a=− . 4 4 18
Vậy hàm số liên tục tại x = 2 khi a = −
Câu 30.
15 . 4
Hàm số f ( x ) liên tục tại x = 0 ⇔ lim f ( x) = f (0) ⇔ 2a − x →0
Chọn D Ta có
(
)
Câu 34.
(
)
x+2 +2 = 4
x→2
(
)
)
x →1
Chọn A Hàm số liên tục tại x = 2 ⇔ lim f ( x) = f (2) . x→2
x →2
Vậy có một giá trị của m thỏa mãn hàm số đã cho liên tục tại x = 2 . Câu 31. Chọn A Tập xác định D = ℝ , x0 = 1∈ ℝ .
Ta có f (2) = a, lim f ( x) = lim x →2
Câu 36.
Ta có f (1) = 4 − m .
( x − 1)( 3x + 5) 3x 2 + 2 x − 1 − 2 lim f ( x ) = lim = lim x →1 x →1 x →1 ( x + 1)( x − 1) x x + 1 ( )( − 1) 3x2 + 2 x − 1 + 2
(
3x + 5
= lim
( x + 1) ( Hàm số f ( x ) x →1
3x2 + 2 x − 1 + 2
)
Chọn A Tập xác định D = R .
3− x = lim − x + 1 + 2 = −4 . x + 1 − 2 x →3 Hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 3 ⇔ lim f ( x ) = f ( 3) ⇔ 3m + 2 = −4 ⇔ m = −2 .
)
(
x →3
)
x →3
Câu 37.
=1
Chọn A Ta có lim− f ( x ) = f ( 4 ) = 4m + 1 ; lim+ f ( x ) = lim+ x→ 4
x →4
x →4
x 2 − 16 = lim+ ( x + 4 ) = 8 . x→ 4 x−4
Hàm số liên tục tại điểm x = 4 ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 4 ) ⇔ 4m + 1 = 8 ⇔ m =
x →1
x →4
Câu 38.
x →4
7 . 4
Chọn A Ta có lim+ f ( x ) = lim+ x→ 2
+ lim + f ( x ) = −m + 2 .
x→ 2
x ( x − 2) x2 − 2x = lim+ = lim+ x = 2 . x →2 x →2 x−2 x−2
lim f ( x ) = lim− ( mx − 4) = 2m − 4
x→( −1)
x →2−
2
x + 3x + 2 ( x + 1)( x + 2 ) = lim x + 2 = −1 . + lim − f ( x ) = lim − = lim x →( −1) x →( −1) x → ( −1) ( x − 1)( x + 1) x → ( −1) x − 1 x2 −1 2 −
x →2
−
x→( −1)
x→( −1)
2
Câu 39.
2
Câu 33.
.
Chọn D Tập xác định: D = ℝ .
2
= lim x→0
(
x2 + 4 − 2 x
2
1 x2 + 4 + 2
( =
)(
2
x2 + 4 + 2
x +4 +2
)
x →2
Chọn D Ta có: f (1) = n.
lim f (x ) = lim x →1
x2 + 4 − 2 lim f ( x) = lim = lim x→0 x→0 x →0 x2
x →2
Hàm số liên tục tại x = 2 khi lim− f ( x ) = lim− f ( x ) ⇔ 2m − 4 = 2 ⇔ m = 3 .
- Hàm số liên tục tại x = −1 ⇔ f ( −1) = lim + f ( x ) = lim − f ( x) ⇔ − m + 2 = −1 ⇔ m = 5 .
x2 ( x 2 + 4 + 2) 5 f (0) = 2a − . 4
x 2 − 3x + 2 = lim( x − 1) = 1 . Do đó a = 1 x →2 x−2
x →3
liên tục tại x0 = 1 khi và chỉ khi lim ( x ) = f (1) ⇔ 4 − m = 1 ⇔ m = 3 .
x +4−4
x→ 2
Ta có f ( 3) = 3m + 2 và lim f ( x ) = lim
Chọn D - Ta có: + f ( −1) = −m + 2 .
x →0
(
Hàm số liên tục tại x0 = 1 ⇔ lim f ( x ) = f (1) ⇔ 2 = m + 2 ⇔ m = 0 .
Câu 35.
Để hàm số liên tục tại x = 2 thì lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (2) ⇔ 2m2 − 4m + 6 = 4 ⇔ 2m2 − 4m + 2 = 0 ⇔ m = 1
= lim
x →1
x →1
f (2) = 2m 2 − 4m + 6
x →2
Chọn C TXĐ D = ℝ Ta có f (1) = 2 + m . lim f ( x ) = lim x 2 − 2 x + 3 = 2 .
lim f ( x) = lim− m 2 x − 4m + 6 = 2m 2 − 4m + 6
x → 2−
Câu 32.
3 . 4
Vậ y a =
( x − 2)( x − 1) x + 2 + 2 x 2 − 3x + 2 lim f ( x) = lim+ = lim = lim+ ( x − 1) x → 2+ x →2 x →2 x−2 x + 2 − 2 x →2+
5 1 3 = ⇔a= . 4 4 4
x →1
x + 3 − m2
(x − 1)(
x +3 +m
)
.
Hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ lim f (x ) = f (1) ⇔ n = lim x →1
)
x →1
x + 3 − m2
(x − 1)(
x +3 +m
)
(1).
m = 2 lim f (x ) tồn tại khi 1 là nghiệm của phương trình: 1 + 3 − m 2 = 0 ⇒ . x →1 m = −2 x −1 1 1 + Khi m = 2 thì (1) ⇒ n = lim ⇒ n = lim ⇒n = . x →1 x →1 4 3 2 x + + (x − 1) x + 3 + 2
1 . 4
(
19
)
20
1
+ Khi m = −2 thì (1) ⇒ n = lim x →1
x + 3 −2
( a − b 2 ) x 2 − 4bx − 3 = m ( 2 x − 1)2 m = −3 1 Để hàm số liên tục tại x = ⇒ ⇔ b = − 3 . a b 2 +1 + + 2 ≠ 0 a = −3 2 4
suy ra không tồn tại n.
1 9 Vậ y m + n = 2 + = . 4 4 Câu 40. Chọn B Ta có: f ( 3 ) = m . 3
x→
2
(
Lời giải
x2 −1 = lim ( x + 1) = 2 . x →1 x →1 x − 1 x →1 f ( x ) liên tục tại x0 = 1 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f (1) ⇔ a = 2 .
lim f ( x ) = lim
x →1
x→−1
Câu 47.
m = 1 ⇔ −m − 2m2 = −3 ⇔ 2m2 + m − 3 = 0 ⇔ . m = − 3 2 3 Vậy các giá trị của m là m ∈ 1; − . 2 Câu 43. Chọn B x 2 − 3x + 2 ( x − 2)( x − 1) = lim x − 1 = 1 = lim Ta có: lim 2 . x →2 x→ 2 x →2 x − 2x x ( x − 2) x 2
x →0
( x − 1)( 2 x − 1) = lim 2 x − 1 = 1 . 2 x2 − 3x + 1 = lim x →1 x →1 x →1 x →1 2 ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 2 1 Để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 thì lim f ( x ) = f (1) ⇔ m = . x →1 2 Câu 49. Tập xác định của hàm số là ℝ.
1 1 ⇔m=− . 2 6
Hàm số gián đoạn tại x = 1 khi lim f ( x ) ≠ f (1) ⇔ lim x →1
x2 + 4 − 2 = lim x →0 2 x2 x
⇔ lim
1 1 = lim = . 2 x →0 2 x + 4 + 2 x +4 +2 4 x2
(
x→1
)
x →0
Câu 50.
2
) ( ax + 1 − bx − 2 = 4 x − 3x + 1 ( 2 x − 1) ( x + 1) ( 2
ax + 1 − ( bx + 2 )
2
3
2
2
ax 2 + 1 + bx + 2
)
=
2
x −1
x →1
x2 + x − 2 ≠ 3m x −1
( x + 2) ≠ 3m ⇔ 3 ≠ 3m ⇔ m ≠ 1.
Ta có x →0 +
( a − b2 ) x2 − 4bx − 3 ( 2 x − 1) ( x + 1) (
( x − 1)( x + 2) ≠ 3m ⇔ lim
x→1
1− x lim f ( x ) = lim+ m + = m +1 . x →0 1+ x 1− x − 1+ x lim f ( x ) = lim− = lim− x → 0− x →0 x x→ 0 x
5 1 3 = ⇔a= . 4 4 4
Chọn A Ta có
Chọn A f (1) = m . lim f ( x ) = lim
Hàm số f ( x ) liên tục tại x = 0 khi lim f ( x ) = f ( 0 ) ⇔ 2a −
Câu 45.
x2 − x − 2 ( x − 2)( x + 1) = lim = lim( x + 1) = 3. x →2 x →2 x−2 x−2
f ( x) = f (2) ⇔ m = 3. Hàm số liên tục tại x=2 ⇔ lim x →2 Câu 48.
Chọn D 5 + Ta có f ( 0 ) = 2a − . 4 x →0
Chọn A Ta có: lim x→2
f ( 2 ) = 3m + 1 .
+ lim f ( x ) = lim
)
Chọn C Tập xác định D = R . f (1) = a .
( x + 1)( x − 2) x2 − x − 2 = lim+ = lim+ ( x − 2) = −3. x →−1 x →−1 x →−1 x→−1 x +1 x +1 Hàm số liên tục tại x = −1 khi và chỉ khi lim− f ( x) = lim+ f ( x) = f (−1)
Câu 44.
)
Câu 46.
* lim+ f ( x ) = lim+
Để hàm số liên tục tại điểm x = 2 ⇔ 3m + 1 =
(
2
c −3 = lim = = −2 = ⇒ c = −4 . 1 2 3 2 x → ( x + 1) − 3 x + 1 − 3 x + 2 2 2 Vậy S = abc = −3 ( −3)( −4 ) = −36 .
x →−1
x→−1
2
−3
x − 6 x + 11x − 6 lim f ( x ) = lim = lim ( x 2 − 3 x + 2 ) = 2 . x →3 x →3 x →3 x −3 Câu 41. Chọn B cos 3x − cos 7 x 2sin 5 x sin 2 x Ta có: lim = 2.5.2 = 20 . = lim x →0 x →0 x2 x2 Câu 42. Chọn A Tập xác định D = R . * f (−1) = −m − 2m2 * lim− f ( x) = lim− (mx − 2m 2 ) = − m − 2 m 2 . x →−1
ax 2 + 1 − bx − 2 −12 x 2 + 12 x − 3 = lim1 3 2 4 x − 3x + 1 x → ( 2 x − 1) ( x + 1) −3x 2 + 1 − 3 x + 2
Khi đó lim1
ax 2 + 1 + bx + 2
)
.
−2 x
(
1− x + 1+ x
)
= lim− x →0
−2
(
1− x + 1+ x
)
= −1 .
f (0) = m + 1
Để hàm liên tục tại x = 0 thì lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 0 ) ⇔ m + 1 = −1 ⇒ m = −2 . x→0
Câu 51. 21
x →0
Tập xác định: D = ℝ . 22
e ax − 1 e ax − 1 .a = a . = lim x →0 x →0 x ax
lim f ( x ) = lim x →0
Câu 58.
1 1 ; hàm số liên tục tại x0 = 0 khi và chỉ khi: lim f ( x ) = f ( 0 ) ⇔ a = . x →0 2 2 Tập xác định: D = [ −3; + ∞ ) . f ( 0) =
Câu 52.
lim f ( x ) = lim x →1
ax 2 − ( a − 2 ) x − 2 x+3−2
x →1
= lim
( x − 1)( ax + 2 ) (
x+3 + 2
x −1
x →1
= lim ( ax + 2 ) x →1
(
Câu 59.
).
)
x →1
x →1
x →1
x →1
)
Câu 60. Câu 61.
x →1
x →1
2x +1 + x + 5
)
= lim x →4
Câu 62.
x →( −1)
lim f ( x ) = lim
m = 3 Hàm số liên tục tại x0 = −2 khi và chỉ khi 4m 2 − 10m = 6 ⇔ 4m 2 − 10m − 6 = 0 ⇔ m = − 1 2 Mà m là số nguyên nên m = 3 .
x →−4
⇔ m = 2.
3x + 1 − 2 3x + 1 − 22 3 3 = lim = lim = . x → 1 x −1 ( x − 1) 3 x + 1 + 2 x →1 3x + 1 + 2 4
DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số Câu 64. Chọn A Vì y = x3 − x là đa thức nên nó liên tục trên ℝ .
)
Với f (1) = m ta suy ra hàm số liện tục tại x = 1 khi m =
x → ( −1)
⇔ m = 0. f ( 2 ) = 2m + 1 .
( x − 2) ( x2 + 2 x + 4 ) x3 − 8 = lim = lim ( x 2 + 2 x + 4 ) = 12 . x →2 x→2 x − 2 x→2 x →2 x−2 11 Hàm số liên tục tại x0 = 2 ⇔ f ( 2 ) = lim f ( x ) ⇔ 2m + 1 = 12 ⇔ m = . x →2 2 − x2 + 2x + 8 2 Câu 63. TXĐ: D = ℝ ; có: lim f ( x ) = lim = 6, f ( 2 ) = 4 m − 10m . x →−2 x →−2 x+2
1 11 =a+2 ⇔ a = − . 6 6
Hàm số f ( x ) liên tục tại điểm x0 = −4 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f ( −4 ) ⇔ −4m + 1 = −7
(
x2 − x − 2 = m 2 ⇔ 3 = m2 ⇔ m = ± 3 . x−2 ( x + 1)( x + 3) x2 + 4 x + 3 = lim + Ta có: lim + f ( x ) = lim + = lim + ( x + 3 ) = 2 . x→( −1) x→( −1) x →( −1) x →( −1) x +1 x +1 lim − f ( x ) = lim − ( mx + 2 ) = − m + 2 . x→ 2
x →2
x →( −1)
Tập xác định: D = ℝ . Ta có: ( x − 3)( x + 4 ) = lim x − 3 = −7 . x 2 + x − 12 = lim + lim f ( x ) = lim ( ) x →−4 x →−4 x →−4 x →−4 x+4 x+4 + f ( −4 ) = −4 m + 1 .
x →1
x →1
Để hàm số đã cho liên tục tại điểm x = − 1 thì lim + f ( x ) = lim − f ( x ) = f ( −1) ⇔ 2 = − m + 2
1 1 = 2x +1 + x + 5 6
f ( 4) = a + 2 . x →4
)
f ( −1) = − m + 2 .
Lời giải x−4
Hàm số liên tục tại x0 = 4 khi: lim f ( x ) = f ( 4 ) ⇔
(
Hàm số f ( x ) liên tục tại ⇔ lim f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ lim
x →( −1)
Câu 55.
(
)
x →1
⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1) ⇔ 2a + 1 = 3 ⇔ a = 1 .
thì lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) ⇔ 2 = m + 1 ⇔ m = 1 .
2x +1 − x + 5 lim f ( x ) = lim = lim x →4 x →4 x →4 x−4 ( x − 4)
(
( x − 1) x 2 + 2 x3 − x 2 + 2 x − 2 = lim+ = lim+ x 2 + 2 = 3 . x → 1 x →1 x −1 x −1 Hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ ⇔ hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 x →1
1 15 ⇔a=− . x →2 4 4 Ta có lim+ f ( x ) = lim+ ( x 2 + 1) = 2 ; lim− f ( x ) = lim− ( x + m ) = 1 + m . Để hàm số liên tục tại x0 = 1 x →1
x →1
+ lim+ f ( x ) = lim+
Hàm số liên tục tại x = 2 ⇔ lim f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ a + 4 =
Ta có lim
Khi x < 1 thì f ( x ) = 2 x + a là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng ( −∞;1) .
+ lim− f ( x ) = lim− ( 2 x + a ) = 2 + a .
(
Câu 57.
x+3−2 = lim+ x →1 x −1
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 1 , ta có: + f (1) = 2 + a .
x + 3 + 2 = 4( a + 2) .
Vậy có 2 giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại x = 1 . x+2 −2 x−2 1 1 = lim = lim = . Câu 53. Ta có: lim f ( x ) = lim x →2 x →2 x →2 x−2 ( x − 2 ) x + 2 + 2 x→ 2 x + 2 + 2 4
Câu 56.
x →1
Khi x > 1 thì f ( x ) =
a = 0 Hàm số đã cho liên tục tại x = 1 khi lim f ( x ) = f (1) ⇔ 4 ( a + 2 ) = 8 + a 2 ⇔ . x →1 a = 4
x →1
x →1
x3 − x 2 + 2 x − 2 là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng (1; + ∞ ) nên x −1 liên tục trên khoảng (1; + ∞ ) .
.
f (1) = 8 + a 2 .
Câu 54.
1 1 1 = ; f (1) = lim− f ( x ) = m2 + m + . x →1 4 x+3+2 4 m = −1 1 1 2 Để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 thì m + m + = ⇔ . 4 4 m = 0 Ta có lim+ f ( x ) = lim+
3 . 4 23
24
Câu 65.
* Ta có hai hàm số f 2 ( x ) =
3x + 1 và f 4 ( x ) = log 3 x có tập xác định không phải là tập ℝ nên x−2
không thỏa yêu cầu. * Cả hai hàm số f1 ( x ) = 2 x3 − 3 x + 1 và f3 ( x ) = cos x + 3 đều có tập xác định là ℝ đồng thời liên tục trên ℝ . Câu 66. Chọn D x+5 Hàm số f ( x ) = 2 là hàm phân thức hữu tỉ và có TXĐ là D = ℝ do đó hàm số x +4 x+5 f ( x) = 2 liên tục trên ℝ . x +4 Câu 67. Chọn B + Với x > 2 , ta có f ( x ) = − x 2 + x + 3 là hàm đa thức
⇒ hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng ( 2; + ∞ ) . ⇒ hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng ( −∞; 2 ) .
2 2 3 x − x −1 = lim x →1 x →1 x −1
x →2
x→2
x→ 2
⇒ Hàm số không liên tục trên ℝ . Câu 68. Chọn B Vì hàm số f ( x ) = x 4 − 4 x 2 có dạng đa thức với TXĐ: D = ℝ nên hàm số này liên tục trên ℝ
Tập xác định D = ℝ . • Nếu x ≠ 0 , x ≠ 1 thì hàm số y = f ( x ) liên tục trên mỗi khoảng ( −∞;0 ) , ( 0;1) và (1; +∞ ) . • Nếu x = 0 thì f ( 0 ) = 0 và lim− f ( x ) = lim− x →0
x →0
x2 x2 = lim x = 0; lim+ f ( x ) = lim+ = lim+ x = 0 . x→0 x →0 x x →0 x x → 0−
3
Do đó, hàm số y = f ( x ) liên tục tại x = 0 .
lim f ( x ) = lim x →2
x = lim− x = 1 lim− f ( x ) = lim x →1− x x →1 • Nếu x = 1 thì f (1) = 1 và x→1 ⇒ lim f ( x ) = 1 = f (1) . x →1 lim f ( x ) = lim x = 1 x→1+ x →1+ Do đó, hàm số y = f ( x ) liên tục tại x = 1 . 2
x→2
= lim x→2
Ta có: lim+ ( x + 1) = 2 và lim− sin π x = 0 ⇒ lim+ f ( x ) ≠ lim− f ( x ) do đó hàm số gián đoạn tại x →1
x →1
x →1
x =1. Tương tự: lim − ( x + 1) = 0 và lim + sin π x = 0
= lim x→2
x→( −1)
⇒ lim + f ( x ) = lim − f ( x ) = lim f ( x ) = f ( −1) do đó hàm số liên tục tại x = −1 . x → ( −1)
x −1
= lim
x →1 3
4x − 2 x−2
2 4 x − 2 3 4 x + 2 3 4 x + 4 = lim 2 x→2 3 3 ( x − 2 ) 4 x + 2 4 x + 4
(
Vậy hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ .
x → ( −1)
)
x − 1 − ( x − 1)
f ( 2 ) = 2a + 3.
x→0
x →( −1)
3
Tại x = 2 , ta có:
Suy ra: lim f ( x ) = 0 = f ( 0 ) .
x →1
(
2 2 1 −1 = −1 = − . 3 3 x2 + 3 x + 1 1 4 Đề hàm số liên tục tại x = 1 thì lim y = y (1) ⇔ m + 1 = − ⇔ m = − . x →1 3 3 4 Vậy với m = − thì hàm số liên tục trên ℝ . 3 Câu 74. Chọn D Tập xác định của hàm số là D = R. 3 3 4x − 2 4x − 2 Nếu x ≠ 2 , ta có f ( x ) = . Hàm số f ( x ) = xác định và liên tục trên mỗi khoảng x−2 x−2 ( −∞; 2) và ( 2; + ∞ ) .
⇒ lim+ f ( x ) ≠ lim− f ( x ) ⇒ không tồn tại lim f ( x ) ⇒ hàm số gián đoạn tại x0 = 2 .
Câu 70.
Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số Câu 73. Chọn A
x →1
lim− f ( x ) = lim− ( 5 x + 2 ) = 12
Câu 69.
Vì f là hàm lượng giác nên hàm số f gián đoạn khi và chỉ khi hàm số f gián đoạn tại x làm π π 1 2018 cho cos x = 0 ⇔ x = + kπ ( k ∈ ℤ ) ∈ ( 0; 2018 ) ⇔ 0 < + kπ < 2018 ⇔ 0 < + k < 2 2 2 π 1 2018 1 ⇔− <k< − ⇔ 0 ≤ k ≤ 641 . π 2 2
lim y = lim
x→2
x→ 2
Câu 72.
x là ℝ \ {1} . x +1 Hàm số liên tục trên từng khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) nên hàm số không liên tục trên ℝ . Tập xác định của hàm số y =
2 3 x − x −1 liên tục trên khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) . x −1 +) Xét x = 1 , ta có y (1) = m + 1 và
+ T ại x = 2 lim+ f ( x ) = lim+ ( − x 2 + x + 3) = 1 x →2
Câu 71.
+) Xét x ≠ 1 , hàm số y =
+ Với x < 2 , ta có f ( x ) = 5 x + 2 là hàm đa thức
x →2
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .
=
x →−1
Với x ≠ ± 1 thì hàm số liên tục trên tập xác định. 25
)( ) ( )
3
4 ( x − 2)
( x − 2 )
(
3
4x
)
2
+ 2 3 4 x + 4
4
(
3
4x
)
2
+ 2 3 4x + 4
1 3 26
1 4 Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ 2a + 3 = ⇔ a = − . x →2 3 3 4 Vậy hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi a = − . 3 Câu 75. Chọn C x2 − 1 Do lim f ( x ) = lim = lim ( x + 1) = 2 nên hàm số liên tục tại x = 1 khi x →1 x →1 x − 1 x →1 lim f ( x ) = f (1) ⇔ m − 2 = 2 ⇔ m = 4 . Khi đó hàm số liên tục trên ℝ .
Hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ khi và chỉ khi hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1) . x →1
x →2
x →2
x →2
(
)
∀x0 ∈ ( 2; + ∞ ) : lim x0 2 + 2 x0 − 2 = x0 2 + 2 x0 − 2 = f ( x0 ) ⇒ hàm số liên tục trên ( 2; + ∞ ) .
lim f ( x ) = lim+
x →0+
+ Xét trên ( −∞; 2) khi đó f ( x ) = 5x − 5m + m2 là hàm đa thức liên tục trên ℝ ⇒ hàm số liên tục
(
)
x→2
Câu 83.
2x
(
)
1+ 2x +1
= lim+ x →0
2 = 1; 1+ 2x +1
x→1
x →1
x →1
1 . 6
Khi x < 0 thì f ( x ) = a cos x + b sin x liên tục với x < 0 . Tại x = 0 ta có f ( 0 ) = a . lim f ( x ) = lim+ ( ax + b + 1) = b + 1 .
x →0+
x→0
lim− f ( x ) = lim− ( a cos x + b sin x ) = a .
x→0
x→0
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 0 ) ⇔ a = b + 1 ⇔ a − b = 1 . x →0
Câu 84.
x ( x − 1) x ( x − 1)( x − 2 ) x 3 − 3x 2 + 2 x = lim = f ( 2 ) ⇔ lim = b ⇔ b = 1. x→ 2 x→2 x ( x − 2) x ( x − 2) x
x→ 0
Ta có hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞; − 1) và ( −1; + ∞ ) . Xét tính liên tục của hàm số tại x = −1 . Có y ( −1) = −2 = lim+ y và lim− y = −1 + m . x →− 1
x→−1
Để hàm số liên tục trên ℝ thì y ( −1) = lim+ y = lim− y ⇔ −2 = −1 + m ⇔ m = −1 . x →−1
Câu 85.
Ta thấy hàm số f ( x ) liên tục trên các khoảng ( −∞;1) và (1; + ∞ ) . x→1
x →1
Khi x > 0 thì f ( x ) = ax + b + 1 liên tục với mọi x > 0 .
Vậy T = a 2 + b 2 = 1 + 1 = 2 . Câu 79. Tập xác định D = ℝ , f (1) = 1 − m .
lim+ f ( x ) = lim+
x →1
x →1
x ( x − 1)( x − 2 ) ( x −1)( x − 2 ) = a x 3 − 3x 2 + 2 x = lim = f ( 0 ) ⇔ lim lim f ( x ) = lim ⇔ a = −1 . x →0 x →0 x →0 x →0 x ( x − 2) x ( x − 2) x−2 x→ 2
x →1+
Do đó lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1) ⇔ 6 P − 3 = −2 ⇔ P =
Hàm số liên tục trên ℝ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 0 ⇔ a − 1 = 1 ⇔ a = 2 . Câu 78. Chọn A Vì hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ suy ra hàm số cũng liên tục tại x = 0 và x = 2 . Do đó
x →2
x →1
f (1) = 6 P − 3
x→0
lim f ( x ) = lim
x→0
x2 − 4x + 3 = lim+ ( x − 3) = −2 x →1 x −1 lim− f ( x ) = lim− ( 6 Px − 3 ) = 6 P − 3
lim f ( x ) = lim− ( 3 x + a − 1) = a − 1 ;
1+ 2x −1 = lim+ x →0 x x
x →0
lim f ( x ) = lim+
m = 2 ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 2) ⇔ m2 − 5m + 10 = 4 ⇔ m2 − 5m + 6 = 0 ⇔ . x →2 x →2 m = 3 Câu 77. Chọn D Hàm số liên tục tại mọi điểm x ≠ 0 với bất kỳ a. Với x = 0 Ta có f ( 0 ) = a − 1;
x→ 0
x →0
Hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ ⇒ y = f ( x ) liên tục tại x = 1 x →1
x→2
Để hàm số đã cho liên tục trên ℝ thì nó phải liên tục tại x0 = 2 .
lim f ( x ) = lim+
)
x − m = −m ; lim− f ( x ) = lim− ( mx + 1) = 1 ; f ( 0 ) = −m .
⇒ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1)
lim f ( x ) = lim+ x 2 + 2 x − 2 = 4; lim− f ( x ) = lim− ( 5 x − 5m + m 2 ) = m 2 − 5m + 10 .
x → 0+
(
f ( x ) liên tục tại x = 0 ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 0 ) ⇔ − m = 1 ⇔ m = −1 .
Câu 82.
+ Xét tại x0 = 2 , ta có: f ( 2 ) = 4 .
x → 0−
x →0
x→0
trên ( −∞;2 ) .
x→2
x →2
Phương trình (1) luôn có hai nghiệm thực phân biệt. Vậy có hai giá trị của m . Câu 81. Hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ ⇔ f ( x ) liên tục tại x = 0 .
+ Xét trên ( 2; + ∞) khi đó f ( x ) = x 2 + 2 x − 2 .
x → 2+
x→ 2
Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi lim+ f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ 4m2 = (1 − m ) 2 ⇔ 4m2 + 2m − 2 = 0 (1)
Chọn A TXĐ: ℝ .
x → x0
x →2
lim− f ( x ) = lim− ( m 2 x 2 ) = 4m 2 ; f ( 2 ) = 4m2 .
x →1
Câu 76.
x →1
⇔ 1− m = 1 ⇔ m = 0 . Câu 80. Ta có hàm số luôn liên tục ∀x ≠ 2 . Tại x = 2 , ta có lim+ f ( x ) = lim− (1 − m ) x = (1 − m ) 2 ;
Khi x > 0 ta có: f ( x) =
x →−1
x +1 −1 liên tục trên khoảng ( 0; +∞ ) . x
Khi x < 0 ta có: f ( x) = x 2 + 1 − m liên tục trên khoảng ( −∞; 0 ) .
x −1 = 1 , lim− f ( x ) = lim− ( m.e x −1 + 1 − 2mx 2 ) = 1 − m . x →1 x →1 ln x
Hàm số liên tục trên ℝ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 0 .
27
28
Ta có: lim+ f ( x) = lim+ x→0
x →0
lim f ( x) = lim−
x → 0−
x →0
(
x +1 −1 = lim+ x →0 x
)
x2 + 1 − m = 1 − m = f (0) .
Do đó hàm số liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi Câu 86.
f (0) = 1 Vì ta có: f (1) = −1. f (2) = 15 Câu 90. Xét hàm số f ( x ) = 3 x 2017 − 8 x + 4 .
1 1 = . x +1 +1 2
1 1 = 1− m ⇔ m = . 2 2
Hàm số liên tục trên đoạn [ 0;1] và f ( 0 ) . f (1) = 4. ( −1) = −4 ⇒ f ( 0 ) . f (1) < 0 . Vậy phương trình 3x 2017 − 8 x + 4 = 0 có nghiệm trong khoảng ( 0;1) .
Tập xác định D = R .
x 2 + 16 − 5 xác định và liên tục trên các khoảng ( −∞;3) và ( 3; +∞ ) . x−3 x+3 3 x 2 + 16 − 5 = . Khi x = 3 thì f ( 3 ) = a và lim f ( x ) = lim = lim 2 x→3 x →3 x →3 x−3 x + 16 + 5 5 3 Hàm số đã cho liên tục trên R khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm x = 3 ⇔ a = . 5 x 2 − 16 Câu 87. *) Với x > 4 thì f ( x ) = là hàm phân thức nên liên tục trên TXĐ của nó ⇒ f ( x ) liên x−4 tục trên ( 4; +∞ ) .
Câu 91.
Khi x ≠ 3 thì f ( x ) =
Ta có f ( x ) liên tục trên đoạn [ −1;1] . f ( −1) = 4 , f ( 0 ) = −3 , f (1) = 2 ⇒ f ( −1) . f ( 0 ) < 0 , f (1) . f ( 0 ) < 0 .
Như vậy phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm trong khoảng ( −1;1) . Mặt khác f ′ ( x ) = 6 x3 + 4 x − 1 . Ta có f ′ ( −1) = −11 ,
f ′′ ( x ) = 18 x 2 + 4 > 0 với ∀x ∈ ( −1;1) nên f ′ ( x ) là hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) ⇒
phương trình f ′ ( x ) = 0 có duy nhất nghiệm trên khoảng ( −1;1) . Do đó f ( x ) = 0 có tối đa hai nghiệm trên khoảng ( −1;1) . Câu 92.
Suy ra: Hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ ⇔ f ( x ) liên tục tại x = 4 . ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 4 ) ⇔ lim+ x→4
x→4
x→ 4
x 2 − 16 = lim− ( mx + 1) = 4 m + 1 ⇔ lim+ ( x + 4 ) = 4m + 1 x→4 x→4 x−4
f ( −2 ) = −126 Ta có: f ( −1) = 2 Suy ra f ( −2 ) . f ( −1) = −126.2 = −252 < 0 ( 2 )
Với −5 < x < 10 ta có f ( x ) = x + 7 , là hàm đa thức nên liên tục trên ( −5;10 ) . Với x > 10 ta có f ( x ) = ax + b + 10 , là hàm đa thức nên liên tục trên (10; +∞ ) .
Câu 93.
Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại x = −5 và x = 10 . Ta có: f ( −5 ) = 12 ; f (10 ) = 17 .
(
Do f ( −5 ) = −211, f ( −1) = 5 > 0, f ( 2 ) = −1 < 0, f ( 3 ) = 29 > 0 nên phương trình có ít nhất 3
)
Câu 94.
lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 17 ) = 12 .
x →−5
x →−5
lim f ( x ) = lim− ( x + 17 ) = 27 .
x →10−
f ( a ) − a f ( b ) − b = ( b − a )( a − b ) = − ( a − b ) < 0 . Suy ra: phương trình f ( x ) = x có nghiệm trên khoảng ( a; b ) . Câu 95. Chọn C f ( 2 ) = 8 + 4a + 2b + c < 0 Đặt f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c . Khi đó f ( −2 ) = −8 + 4a − 2b + c > 0
x →10
Hàm số liên tục tại x = −5 và x = 10 khi −5a + b = −13 a = 2 5a + b + 25 = 12 ⇔ ⇔ ⇒ a + b = −1 10a + b = 17 10a + b + 10 = 27 b = −3 Câu 89.
có đúng 3 nghiệm trên ℝ . Do đó C sai. Chọn B Hàm số y = f ( x ) − x liên tục trên đoạn [ a; b ] . 2
x →10
lim+ f ( x ) = lim+ ( ax + b + 10 ) = 10a + b + 10 .
x →10
Từ (1) và ( 2 ) suy ra f ( x ) = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( −2; −1) . Chọn C Hàm số f ( x ) = 2 x 3 − 8 x − 1 liên tục trên ℝ . nghiệm trên ( −5; −1) , ( −1; 2 ) , ( 2; 3) . Mà phương trình bậc ba có tối đa 3 nghiệm nên phương trình
lim f ( x ) = lim− x 2 + ax + b = −5a + b + 25 . x →−5
Vậy phương trình (1) có đúng hai nghiệm trên khoảng ( −1;1) . Chọn A Đặt f ( x ) = 3 x 5 + 5 x 3 + 10 f ( x ) liên tục trên ℝ nên f ( x ) liên tục trên [ −2; −1] (1)
7 ⇔ 4m + 1 = 8 ⇔ m = . 4 Câu 88. Với x < −5 ta có f ( x ) = x 2 + ax + b , là hàm đa thức nên liên tục trên ( −∞; −5 ) .
x →−5−
f ′ (1) = 9 ⇒ f ′ ( −1) . f ′ (1) < 0 . Do đó
phương trình f ′ ( x ) = 0 có nghiệm trong khoảng ( −1;1) .
*) Với x < 4 thì f ( x ) = mx + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ ⇒ f ( x ) liên tục trên ( −∞; 4 ) . Do vậy hàm số f ( x ) đã liên tục trên các khoảng ( 4; +∞ ) , ( −∞; 4 ) .
Xét f ( x ) = 4 x 4 + 2 x 2 − x − 3 = 0 trên khoảng [ −1;1] .
DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Chọn C
f ( x ) là hàm đa thức liên tục trên ℝ .
29
30
f ( 2 ) < 0 ⇒ f ( −2 ) . f ( 2 ) < 0 ⇒ đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Ox tại ít nhất một điểm f ( −2 ) > 0 trong khoảng ( −2; 2 ) .
f ( 2 ) < 0 ⇒ đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Ox tại ít nhất một điểm trong khoảng f ( x ) = +∞ xlim →+∞ ( 2; + ∞ ) . f ( −2 ) > 0 ⇒ đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Ox tại ít nhất một điểm trong khoảng f ( x ) = −∞ xlim →−∞ ( −∞ ; − 2 ) . Mà hàm số f ( x ) là hàm bậc ba nên đồ thị của nó cắt trục Ox tối đa tại 3 điểm. Vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Ox tại đúng 3 điểm. Câu 96. Vì hàm số đã cho là hàm đa thức bậc ba nên đồ thị hàm số liên tục trên ℝ và số giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox nhiều nhất là 3 . Theo đề bài ta có lim y = −∞ , lim y = +∞ x→−∞
x →+∞
y ( −1) = a + c − b − 1 > 0 , y (1) = a + b + c + 1 < 0 ,
Do đó hàm số đã cho có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng ( −∞; −1) , ( −1;1) , (1; +∞ ) . Từ đó suy ra số giao điểm cần tìm là 3 .
31
TOÁN 11
ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
A. 12.
1D5-1 Câu 9.
PHẦN A. CÂU HỎI Câu 1.
(THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng? A. Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trái tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. B. Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm phải tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. C. Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm − x0 . D. Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
1 ∆y Cho hàm số y = . Tính tỉ số theo x0 và ∆x (trong đó ∆x là số gia của đối số tại x0 và ∆y x ∆x là số gia tương ứng của hàm số) được kết quả là ∆y 1 ∆y 1 1 1 ∆y ∆y =− = A. . B. . C. . D. . = =− ∆x x0 + ∆x ∆x x0 + ∆x ∆x x0 ( x0 + ∆x ) ∆x x0 ( x0 + ∆x ) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x0 là f ′( x0 ) . Khẳng định nào sau đây là sai? f ( x0 + ∆ x) − f ( x0 ) f ( x + x0 ) − f ( x0 ) B. f ′( x0 ) = lim . A. f ′( x0 ) = lim . ∆x →0 x → x0 ∆x x − x0 f ( x) − f ( x0 ) f (h + x0 ) − f ( x0 ) C. f ′( x0 ) = lim . D. f ′( x0 ) = lim . x → x0 h→0 x − x0 h
Câu 12.
∆x . 2 ( 2 + ∆x )
x →3
D. f ′ ( 3 ) = 2 .
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = x + 1 gọi ∆x là ∆y . ∆x 3 2 A. 3 x 2 − 3 x.∆x + ( ∆x ) . B. 3 x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x ) .
số gia của đối số tại x và ∆y là số gia tương ứng của hàm số, tính
3
C. 3 x 2 + 3 x.∆x − ( ∆x ) . D. 3 x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x ) . Câu 8.
lim
3x . Tính f ′ ( 0 ) . 1+ x
B. f ′ ( 0) = 1 .
1 C. f ′ ( 0 ) = . 3
D. f ′ ( 0 ) = 3 .
D. −
∆y của hàm số f ( x ) = 3 x + 1 theo x là: ∆x 3 3x 3 . B. . C. . 3x + 1 2 3x + 1 2 3x + 1
Cho f ( x ) = x 2018 − 1009 x 2 + 2019 x . Giá trị của lim
Câu 14.
(THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) − f ( 6) bằng thỏa mãn f ′ ( 6 ) = 2. Giá trị của biểu thức lim x →6 x−6 1
f ( ∆x + 1) − f (1)
∆x →0
9 . 64
B. 1008 .
C. 2018 .
∆x
D.
1 . 2 3x + 1
bằng:
D. 2019 .
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số x 2 + 1, x ≥ 1 Mệnh đề sai là y = f ( x) = x < 1. 2 x, A. f ′ (1) = 2 . B. f không có đạo hàm tại x0 = 1. C. f ′ ( 0 ) = 2.
3
2
1 . 2
∆x →0
A. 1009 .
(THPT Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ
f ( x ) − f ( 3) = 2 . Kết quả đúng là x −3 A. f ′ ( 2 ) = 3 . B. f ′ ( x ) = 2 . C. f ′ ( x ) = 3 .
D.
x2 − 7 x + 12 khi x ≠ 3 Cho hàm số y = . Mệnh đề nào sau đây là đúng? x−3 −1 x khi = 3 A. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x0 = 3 .
A.
thỏa mãn lim
Câu 7.
Câu 11.
Câu 13. D. ∆y = −
1 . 3
B. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại x0 = 3 . C. Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại x0 = 3 . D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x0 = 3 .
Tính số gia ∆y của hàm số y = 4 + ∆x . 2 ( 2 + ∆x )
C.
3x + 1 − 2 x khi x ≠ 1 x −1 Câu 10. Cho hàm số f ( x ) = . Tính f ' ( 1) . −5 khi x = 1 4 7 A. Không tồn tại. B. 0 C. − . 50
Số gia ∆y của hàm số f ( x ) = x tại x0 = −1 ứng với số gia của biến số ∆x = 1 là A. 2 . B. 1 . C. −1 . D. 0 .
A. ∆y = Câu 6.
A. f ′ ( 0 ) = 0 .
4
1 theo ∆x tại x0 = 2 . x ∆x 1 B. ∆y = . C. ∆y = . 2 2 ( 2 + ∆x ) ( ∆x )
Cho hàm số f ( x ) =
B. 2 .
D. f ′ ( 2 ) = 4.
3 − x2 2 Câu 15. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = 1 x định nào dưới đây là sai? A. Hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 .
khi x < 1 . Khẳng
khi x ≥ 1
B. Hàm số f ( x ) có đạo hàm tại x = 1 . C. Hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 và hàm số f ( x ) cũng có đạo hàm tại x = 1 . 2
D. Hàm số f ( x ) không có đạo hàm tại x = 1 . Câu 16.
(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hàm ax 2 + bx khi x ≥ 1 . Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x = 1 thì 2a + b bằng: f ( x) = 2 x − 1 khi x < 1 A. 2 . B. 5 . C. −2 . D. −5 .
số
( III ) : Nếu f ( x )
Câu 17. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = x − 1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. f (1) = 0 . B. f ( x ) có đạo hàm tại x = 1 . C. f ( x ) liên tục tại x = 1 . Câu 18.
Câu 19.
B. T = 0 .
C. T = −6 .
D. T = 4 .
( x 2 + 2012) 7 1 − 2 x − 2012 a a = , với là phân số x →0 x b b tối giản, a là số nguyên âm. Tổng a + b bằng A. −4017 . B. −4018 . C. −4015 . D. −4016 . (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) lim
3 − 4 − x 4 Câu 20. (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x ) = 1 4 Khi đó f ′ ( 0 ) là kết quả nào sau đây?
A. Câu 21.
1 . 4
B.
Câu 25.
C.
1 . 32
B. y = x 2 − 4 x + 5 .
C. y = sin x .
2 f ( x ) − xf ( 2 )
x→2
A. 0 .
x−2
(
.
D. Không tồn tại.
Câu 24.
B. f ′ ( 0 ) = 1 .
C. f ′ ( 0 ) = −2 .
)
(
)
C. S = 2 3 − 4 2 .
Chọn D Ta có định lí sau: Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
Câu 2.
Chọn D ∆x 1 1 . ∆y = − =− x0 + ∆x x0 x0 ( x0 + ∆x ) 1 ∆y Suy ra . =− ∆x x0 ( x0 + ∆x ) Chọn A Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm Chọn C ∆y = f ( x0 + ∆) − f ( x0 ) = (−1 + 1)4 − 14 = −1 . Chọn D 1 1 ∆x Ta có ∆y = . − =− 2 + ∆x ∆x ∆x ( 2 + ∆x ) Chọn D Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta có f ( x ) − f ( 3) = 2 = f ′ ( 3) . lim x →3 x −3 Chọn B Ta có :
D. y = 2 − cos x . Câu 3.
Câu 5.
D. f ( 2 ) − 2 f ′ ( 2 ) .
( x − 1) khi x ≥ 0 (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x ) = có đạo 2 khi x < 0 − x hàm tại điểm x0 = 0 là? A. f ′ ( 0 ) = 0 .
(
B. S = 2 1 + 4 2 .
Câu 1.
2
Câu 23.
)
(
)
D. S = 2 3 + 2 2 .
Câu 26. (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số x 2 + ax + b khi x ≥ 2 y= 3 2 . Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 . Giá trị của a 2 + b 2 x − x − 8 x + 10 khi x < 2 bằng A. 20 . B. 17 . C. 18 . D. 25 .
Câu 4. C. 2 f ′ ( 2 ) − f ( 2 ) .
khi 0 < x < x0 a x (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho hàm số f ( x ) = 2 . Biết rằng x + 12 khi x ≥ x0 ta luôn tìm được một số dương x0 và một số thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên
A. S = 2 3 − 2 2 .
khi x = 0
.
B. f ′ ( 2 ) .
D. 1 .
PHẦN B. LỜI GIẢI
khi x ≠ 0
(THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 = 2 . Tìm lim
có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( a; b ) thì giữa hai nghiệm đó luôn tồn tại
khoảng ( 0; +∞ ) . Tính giá trị S = x0 + a .
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Hàm số nào sau đây không có đạo hàm trên ℝ ? A. y = x − 1 .
Câu 22.
1 . 16
c ∈ ( a; b ) sao cho f ′ ( c ) =
một nghiệm của f ′ ( x ) . Số khẳng định đúng trong ba khẳng định trên là A. 0 . B. 2 . C. 3 .
D. f ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 .
ax 2 + bx + 1, x ≥ 0 (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = . ax − b − 1, x < 0 Khi hàm số f ( x ) có đạo hàm tại x0 = 0 . Hãy tính T = a + 2b .
A. T = −4 .
f (b) − f ( a ) . b−a ( II ) : Nếu f ( a ) = f ( b ) thì luôn tồn tại c ∈ ( a; b ) sao cho f ′ ( c ) = 0 .
( I ) : Tồn tại một số
Câu 6.
D. Không tồn tại.
(THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục
trên đoạn [ a; b ] và có đạo hàm trên khoảng ( a; b ) . Trong các khẳng định
Câu 7.
3
∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ( x + ∆x ) + 1 − ( x 3 + 1) = 3 x 2 .∆x + 3x.∆ 2 x + ∆3 x = ∆x ( 3 x 2 + 3 x.∆x + ∆ 2 x ) 3
4
∆y 2 = 3x 2 + 3x.∆x + ∆ 2 x = 3x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x ) . ∆x Chọn B Hàm số y = f ( x ) có tập xác định là D và x0 ∈ D . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) ⇒
Câu 8.
lim
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
x → x0
∆x →0
Vậy giá trị của lim
f ( x ) − f (1) 2x − 2 = lim− = 2; x →1 x − 1 x −1 Câu 14. Ta có f ( x ) − f (1) x2 + 1 − 2 lim = lim+ = lim+ ( x + 1) = 2. x →1 x →1 x →1+ x −1 x −1 − + Vậy f ′ 1 = f ′ 1 = f ′ (1) = 2. Suy ra hàm số có đạo hàm tại x0 = 1. Vậy B sai.
( )
f ( x ) − f ( 0) 3 = lim . x →0 x →0 1 + x x 3 3 3 3 3 3 = lim+ = 3; lim− = lim− = 3 ⇒ lim+ = lim− =3 Mà lim+ x→ 0 1 + x x →0 1 + x x →0 1 + x x →0 1 − x x →0 1 + x x →0 1 + x 3 ⇒ f ′ ( 0 ) = lim = 3. x →0 1 + x
Câu 15.
1 3 − x2 = 1 và lim+ f ( x ) = lim+ = 1. Do đó, hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 . x →1 x →1 x 2 f ( x ) − f (1) 1 − x2 1+ x lim− = lim− = lim− = −1 và x→1 x →1 2 ( x − 1) x →1 −2 x −1
lim
x →1+
Câu 16.
Chọn D Ta có: x →1
x →1
(
)
−4 x − 1
(
3x + 1 + 2x
)
=
Câu 11.
16 ( 3 x + 1) − ( 3 x + 5 ) 2
(
= lim− x→1
2x −1 −1 = 2; x −1
f ( x ) − f (1)
(
= lim+
2
4 ( x − 1) 4 3 x + 1 + 3 x + 5
)
= lim x →1
−9
(
4 4 3x + 1 + 3x + 5
)
=−
f ( x ) − f (1) x −1
x →1
Câu 17.
)
3 ( x + ∆x ) + 1 − 3x + 1 ∆y 3 3 = lim . = = lim ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x→0 3 ( x + ∆x ) + 1 + 3 x + 1 2 3x + 1
Chọn
D.
x →1
f ( x ) − f (1) x −1
⇔ 2a + b = 2 .
f ( x ) − f (1)
f ( x ) − f (1) 1− x − 0 x −1 − 0 = lim− = −1 và lim+ = lim+ = 1. x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 x −1 Do đó hàm số không có đại hàm tại x = 1 . Câu 18. Ta có f ( 0 ) = 1 . x →1−
lim f ( x ) = lim+ ax 2 + bx + 1 = 1 .
x →0+
x →0
(
)
lim− f ( x ) = lim− ( ax − b − 1) = −b − 1 .
x →0
x →0
Để hàm số có đạo hàm tại x0 = 0 thì hàm số phải liên tục tại x0 = 0 nên f ( 0 ) = lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) . Suy ra −b − 1 = 1 ⇔ b = −2 . x →0
x →3
Ta có: lim
= lim+
Ta có f (1) = 0 .
lim
9 64
x 2 − 7 x + 12 = lim ( x − 4 ) = −1 = f ( 3 ) . x →3 x−3 f ( x ) − f ( 3) x 2 − 7 x + 12 − 0 Đạo hàm của hàm số tại x0 = 3 lim = lim = −1 = f (3) x →3 x → 3 x −3 x−3 Suy ra: Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x0 = 3 . Câu 12. Chọn B
Câu 13.
x −1
Theo yêu cầu bài toán: lim−
lim f ( x ) = lim
∆x →0
f ( x ) − f (1)
x →1
x →1
Chọn D TXĐ: D = ℝ . x 2 − 7 x + 12 khi x ≠ 3 y = f ( x) = x −3 khi x = 3 −1 x →3
f ( x ) − f (1) 1− x −1 = lim+ = lim+ = −1 . Do đó, hàm số f ( x ) có đạo hàm tại x = 1 . x →1 x ( x − 1) x →1 x x −1
lim− lim+
3x + 1 − 2x 5 + f ( x ) − f ( 1) x −1 4 = lim 4 3 x + 1 − 3 x − 5 f ' (1) = lim = lim 2 x →1 x → 1 x →1 x −1 x −1 4 ( x − 1) x →1
x →1
a x 2 − 1 + b ( x − 1) ( x − 1) a ( x + 1) + b ax 2 + bx − a − b = lim+ = lim+ x→1 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 x −1 = lim+ a ( x + 1) + b = 2a + b
−5 = f ( 1) 4
⇒ Hàm số liên tục lại x = 1 .
= lim
( )
lim f ( x ) = lim−
x →1−
Kết luận: f ′ ( 0 ) = 3.
3x + 1 − 2 x 3x + 1 − 4 x2 = lim = lim x →1 x −1 ( x − 1 ) 3 x + 1 + 2 x x →1
= 2019 .
x →1
Chọn D
lim f ( x ) = lim
∆x
lim−
Ta có: f ′ ( 0 ) = lim
Câu 10.
f ( ∆x + 1) − f (1)
∆x →0
thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại x0
f ( x ) − f (6) Vậy kết quả của biểu thức lim = f ′ ( 6 ) = 2. x→6 x−6
Câu 9.
f ( ∆x + 1) − f (1)
= f ' (1) . ∆x Mà f ' ( x ) = 2018 x 2017 − 2018 x + 2019 ⇒ f ' (1) = 2019 . Theo định nghĩa đạo hàm ta có lim
x→0
ax 2 − 2 x + 1, x ≥ 0 Khi đó f ( x ) = . ax + 1, x < 0 Xét: f ( x ) − f ( 0) ax 2 − 2 x + 1 − 1 +) lim+ = lim+ = lim+ ( ax − 2 ) = −2 . x →0 x → 0 x→ 0 x x f ( x ) − f (0) ax + 1 − 1 = lim− +) lim− = lim− ( a ) = a . x →0 x →0 x →0 x x 5
6
Hàm số có đạo hàm tại x0 = 0 thì a = −2 .
( I ) đúng (theo định lý Lagrange). ( II ) đúng vì với f ( a ) = f ( b ) ,
Vậy với a = −2 , b = −2 thì hàm số có đạo hàm tại x0 = 0 khi đó T = −6 . Câu 19. * Ta có: 7 ( x 2 + 2012) 7 1 − 2 x − 2012 ( 7 1 − 2 x − 1) 1 − 2 x −1 lim = lim x 7 1 − 2 x + 2012.lim = 2012.lim x →0 x →0 x →0 x →0 x x x * Xét hàm số y = f ( x ) = 7 1 − 2 x ta có f ( 0 ) = 1 . Theo định nghĩa đạo hàm ta có:
(
f ( x) − f ( 0)
f (b) − f ( a ) =0. b−a ( III ) đúng vì với α , β ∈ ( a; b ) sao cho f (α ) = f ( β ) = 0 .
theo ( I ) suy ra tồn tại c ∈ ( a; b ) sao cho f ′ ( c ) =
)
Ta có f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] và có đạo hàm trên khoảng ( a; b ) nên f ( x ) liên tục trên
7
1 − 2x −1 f ′ ( 0) = lim = lim x →0 x →0 x−0 x 7 1 − 2x −1 2 2 2 =− f ′ ( x) = − ⇒ f ′ ( 0 ) = − ⇒ lim 6 0 x → 7 7 x 7 7 1− 2x
(
đoạn [α ; β ] và có đạo hàm trên khoảng (α ; β ) . Theo ( II ) suy ra luôn tồn tại một số c ∈ (α ; β ) sao cho f ′ ( c ) = 0 . Câu 25. Chọn B a + Khi 0 < x < x0 : f ( x ) = a x ⇒ f ′ ( x ) = . Ta có f ′ ( x ) xác định trên ( 0; x0 ) nên liên tục 2 x trên khoảng ( 0; x0 ) .
)
a = −4024 ( x 2 + 2012) 7 1 − 2 x − 2012 4024 ⇒ lim =− ⇒ ⇒ a + b = −4017 . x →0 x 7 b = 7 Câu 20. Chọn B Với x ≠ 0 xét: 3− 4− x 1 − f ( x ) − f (0) 4 4 = lim 2 − 4 − x = lim 4 − ( 4 − x ) lim = lim x →0 x →0 x → 0 x →0 x−0 x 4x 4x 2 + 4 − x
(
1
+ Khi x > x0 : f ( x ) = x 2 + 12 ⇒ f ′ ( x ) = 2 x . Ta có f ′ ( x ) xác định trên ( x0 ; +∞ ) nên liên tục trên khoảng ( x0 ; +∞ ) . + Tại x = x0 :
)
lim
x → x0−
1 1 = = lim = ⇒ f ′ ( 0) = . x →0 16 16 4 2+ 4−x 4 2+ 4−0
(
Câu 21.
1
)
(
)
lim+
x − 1, Ta có: y = x − 1 , do đó: y = 1 − x, Tại x = 1 : y′ (1+ ) = lim+
f ( x ) − f (1)
x ≥1
1, khi đó: y′ = x <1 −1,
x <1
lim
x −1 = lim+ = 1. x →1 x − 1
x − x0
Do hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 = 2 suy ra lim
Ta có
x−2 2 f ( x ) − xf ( 2 ) 2 f ( x ) − 2 f ( 2 ) + 2 f ( 2 ) − xf ( 2 ) Ta có I = lim ⇔ I = lim x→ 2 x →2 x−2 x−2 2 ( f ( x ) − f ( 2) ) f ( 2 )( x − 2 ) ⇔ I = 2 f ′( 2) − f ( 2) . ⇔ I = lim − lim x →2 x→2 x−2 x−2 Câu 23. Chọn D x →2
2
Ta có: f ( 0 ) = 1 ; lim+ f ( x ) = lim+ ( x − 1) = 1; lim− f ( x ) = lim− ( − x x →0
x →0
2
= f ′ ( 2) .
x − x0
x → x0
= lim+ x → x0
a a = . x + x0 2 x0
x 2 − x02 = lim+ ( x + x0 ) = 2x0 . x → x0 x − x0
x − x0
= lim+
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
x → x0
⇔
a = 2 x0 . 2 x0
a = 2 x0 ⇔ a = 4 x0 x0 2 x0
khi 0 < x < x0
nên hàm số f có đạo hàm liên
khi x ≥ x0
(1)
Mặt khác: Hàm số f liên tục tại x0 nên x02 + 12 = a x0
( 2)
Từ (1) và ( 2 ) suy ra x0 = 2 và a = 8 2
(
)
Vậy S = a + x0 = 2 1 + 4 2 .
Câu 26.
Chọn A 2 khi x ≥ 2 x + ax + b Ta có y = 3 2 x − x − 8 x + 10 khi x < 2 khi x ≥ 2 2 x + a ⇒ y′ = 2 3 x − 2 x − 8 khi x < 2 Hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 ⇒ 4 + a = 0 ⇒ a = −4 . Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 thì hàm số liên tục tại điểm x = 2 .
) =0.
Ta thấy f ( 0 ) = lim+ f ( x ) ≠ lim− f ( x ) nên hàm số không liên tục tại x0 = 0 . x →0
x 2 + 12 − ( x02 + 12 )
Khi đó f ′ ( x0 ) =
Các hàm số còn lại xác định trên ℝ và có đạo hàm trên ℝ . Chọn C
x →0
= lim+
a a = 2 x0 và f ′ ( x ) = 2 x 2 x0 2 x tục trên khoảng ( 0; +∞ ) .
f ( x ) − f (1)
x →0
f ( x ) − f ( x0 )
x → x0−
f ( x ) − f ( 2)
)
Hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( 0; +∞ ) khi và chỉ khi
x >1
x −1 1− x y′ (1 ) = lim− = lim− = −1 . x →1 x →1 x − 1 x −1 + + Do y′ (1 ) ≠ y′ (1 ) nên hàm số không có đạo hàm tại 1. x →1
Câu 22.
f ( x ) − f ( x0 )
x → x0
Chọn A
−
(
a x − x0 a x − a x0 f ( x ) − f ( x0 ) = lim− = lim− = lim− x → x0 x → x0 x → x0 x − x0 x − x0 x − x0
x→0
Vậy hàm số không có đạo hàm tại x0 = 0 . Câu 24. Chọn C 7
8
Suy ra lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 2 ) x →2
x →2
⇒ 4 + 2a + b = −2 ⇒ b = 2 . Vậy a2 + b2 = 20 .
9
TOÁN 11
QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM – PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Câu 3.
1D5-2
Tính đạo hàm của hàm số y = x ( x + 1)( x + 2)( x + 3) tại điểm x0 = 0 là:
A. y ′ (0) = 5 . Câu 4.
Contents PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1 DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM ......................................................................................................................... 1 DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP (đa thức, chứa căn, phân thức, hàm hợp) ...... 2
Câu 5.
Dạng 2.1 Tính đạo hàm ................................................................................................................................................ 2
B. y ′ (0) = 6 .
Đạo hàm của hàm số y = 5sin x − 3cos x tại x0 =
π B. y′ = 5 . 2
π 2
Câu 6.
Dạng 3.2 Tiếp tuyến khi biết hệ số góc, quan hệ song song, vuông góc với đường thẳng cho trước .......................... 9 Dạng 3.3 Tiếp tuyến đi qua một điểm ........................................................................................................................ 12
π C. y′ = −3 . 2
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho f ' (1) + f ' ( −1) + 4 f ' ( 0 ) ? Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 4. B. 7. C. 6.
Dạng 3.4 Một số bài toán liên quan đên tiếp tuyến .................................................................................................... 13 DẠNG 4. BÀI TOÁN QUẢNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC .................................................................................................. 16
Câu 7.
PHẦN B. LỜI GIẢI ....................................................................................................................................................... 18
A.
DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM ....................................................................................................................... 18 DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP (đa thức, chứa căn, phân thức, hàm hợp) .... 19 Dạng 2.1 Tính đạo hàm .............................................................................................................................................. 19
Câu 8.
Dạng 2.2 Một số bài toán tính đạo hàm có thêm điều kiện ........................................................................................ 21 DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN ............................................................................................................................ 23
Dạng 3.3 Tiếp tuyến đi qua một điểm ........................................................................................................................ 33
5 . 2
x+2 . Tính y ′ ( 3 ) x −1 3 B. − . 4
3 − 4 − x 4 Cho hàm số f ( x ) = 1 4
A. Không tồn tại.
Dạng 3.1 Tiếp tuyến tại điểm ..................................................................................................................................... 23 Dạng 3.2 Tiếp tuyến khi biết hệ số góc, quan hệ song song, vuông góc với đường thẳng cho trước ........................ 27
Cho hàm số y =
Câu 9.
Dạng 3.4 Một số bài toán liên quan đên tiếp tuyến .................................................................................................... 36
Cho hàm số f ( x ) =
A. −3 .
x2 + 4
π D. y′ = −5 . 2
f ( x ) = x 5 + x3 − 2 x − 3
3 C. − . 2
. Tính
D. 5.
D.
3 . 4
khi x ≠ 0 . Tính f ′ ( 0 ) .
khi x = 0
B. f ′ ( 0 ) =
3x + 1
5 D. y ′ ( 4) = . 4
là:
DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN .............................................................................................................................. 7 Dạng 3.1 Tiếp tuyến tại điểm ....................................................................................................................................... 7
D. y ′ (0) = −6 .
Tính đạo hàm của hàm số y = x + x tại điểm x0 = 4 là: 9 3 A. y ′ ( 4) = . B. y ′ (4) = 6 . C. y ′ ( 4) = . 2 2
π A. y′ = 3 . 2
Dạng 2.2 Một số bài toán tính đạo hàm có thêm điều kiện .......................................................................................... 5
C. y ′ (0) = 0 .
1 . 16
C. f ′ ( 0 ) =
1 . 4
D. f ′ ( 0 ) =
1 . 32
. Tính giá trị biểu thức f ' ( 0 ) .
B. −2 .
DẠNG 4. BÀI TOÁN QUẢNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC .................................................................................................. 46
C.
3 . 2
D. 3 .
DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP (đa thức, chứa căn, phân thức, hàm hợp) Dạng 2.1 Tính đạo hàm
PHẦN A. CÂU HỎI Câu 10.
DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM Câu 1.
Câu 2.
4 Cho hàm số y = . Khi đó y′ ( −1) bằng x −1 A. −1 . B. −2 .
A. y ' = 3x2 + 2 x . C. 2 .
2x + 7 tại x = 2 ta được: x+4 11 3 B. f ′ ( 2 ) = . C. f ′ ( 2 ) = . 6 2
B. y ' = 3x2 + 2 .
C. y ' = 3x2 + 2 x + 1 .
D. y ' = x 2 + 2 .
Câu 11. Khẳng định nào sau đây sai A. y = x ⇒ y ' = 1 . B. y = x 3 ⇒ y ' = 3x 2 .
D. 1.
C. y = x 5 ⇒ y ' = 5 x .
Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) =
1 A. f ′ ( 2 ) = . 36
(THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Tính đạo hàm của hàm số y = x3 + 2 x + 1 .
D. y = x 4 ⇒ y ' = 4 x 3 .
Câu 12. Hàm số y = x 3 − 2 x 2 − 4 x + 2018 có đạo hàm là A. y′ = 3x 2 − 4 x + 2018 . B. y′ = 3x 2 − 2 x − 4 .
5 D. f ′ ( 2 ) = . 12 1
2
C. y′ = 3x 2 − 4 x − 4 . Câu 13.
D. y′ = x 2 − 4 x − 4 .
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) y = − x 3 + 3mx 2 + 3 (1 − m 2 ) x + m3 − m 2 (với m là tham số) bằng
Đạo
hàm
củ a
hàm
số
A. y′ = 2 x −
4
C. y′ = 4 x 3 − 8 x .
D. y′ = −4 x 2 + 8 x
x 5x + − 2 x + a 2 ( a là hằng số) bằng. 2 3 1 1 A. 2 x 3 + 5 x 2 − B. 2 x 3 + 5 x 2 + . + 2a . 2x 2 2x 1 C. 2 x 3 + 5 x 2 − . D. 2 x 3 + 5 x 2 − 2 . 2x
Câu 15. Đạo hàm của hàm số y =
A. f ( x) = 2 x .
Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số y = x3 − 5
(
75 2 5 . x − 2 2 x 5 . C. y′ = 3x 2 − 2 x
A. y′ =
A.
(x
2
+ 1) x 2 + 1
.
C. f ( x) = 2 x .
D. f ( x ) = −
B.
(x
2
C. y′ =
.
D.
2x2 − x −1
(x
2
+ 1) x 2 + 1
A. .
B. S = 2 .
C. S = 6 .
2
( x − 1)
C. y′ =
.
−2
( x − 1)
2
D. y′ =
.
C. y ' =
−1
(x
2
+ 5)
2
.
A.
D. S = 8 .
Câu 20. Cho hàm số y = 2 x 2 + 5 x − 4 . Đạo hàm y ' của hàm số là 4x + 5 2x + 5 A. y ' = . B. y ' = . 2 2 x2 + 5x − 4 2 2 x2 + 5x − 4 2x + 5 4x + 5 C. y ' = . D. y ' = . 2x2 + 5x − 4 2x2 + 5x − 4
C.
D. y′ =
−2
( x − 1)
.
D. y ' =
−2 x
(x
2
+ 5)
2
.
8 x 3 + 3 x 2 + 14 x + 5
(x
2
+ 2 x + 3)
2
2x + a (a, b ∈ R; b ≠ 1) . Ta có f '(1) bằng: x−b a − 2b a + 2b B. . C. . (b − 1) 2 (b − 1) 2
− a + 2b . (b − 1) 2
Câu 27. Cho f ( x ) = 1 − 4 x +
Câu 19. Cho hàm số f ( x ) = x2 + 3 . Tính giá trị của biểu thức S = f (1) + 4 f ' (1) . A. S = 4 .
7 x 2 − 2 x − 23 ( x 2 + 2 x + 3)
Câu 26. Cho hàm số f ( x) =
1 − 3x C. 2 . x +1
1 . x2
Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số y =
là:
+ 1) x 2 + 1
B. y′ =
.
D. y′ = 2 x +
2 x 2 − 3x + 7 . x2 + 2x + 3 −7 x 2 + 2 x + 23 7 x 2 − 2 x − 23 A. y′ = . B. y′ = 2 2 2 ( x + 2 x + 3) ( x 2 + 2 x + 3)
1 . 2x
x.
x2 + 1 1 + 3x
2
1 . x2
2x x −1
1 có đạo hàm bằng: x2 + 5 1 2x . B. y ' = . A. y ' = 2 2 2 2 ( x + 5) ( x + 5)
7 5 5 . x − 2 2 x 1 . D. y′ = 3x 2 − 2 x x+3
2
( x − 1)
C. y′ = x +
Câu 24. Hàm số y =
B. y′ =
Câu 18. Đạo hàm của hàm số y =
1 − 3x
)
A. y′ =
1 ? 2x
B. f ( x) = x .
1 . x2
Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số y =
3
Câu 16. Hàm số nào sau đây có đạo hàm bằng
1 . x 1 B. y′ = x − 2 . x
Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số y = x2 −
A. 3 x 2 − 6mx − 3 + 3m 2 . B. − x 2 + 3mx − 1 − 3m . C. −3 x 2 + 6mx + 1 − m2 . D. −3 x 2 + 6 mx + 3 − 3m 2 . Câu 14. Đạo hàm của hàm số y = x 4 − 4 x 2 − 3 là A. y′ = −4 x 3 + 8 x . B. y′ = 4 x 2 − 8 x .
u ( x ) ′ u ′ ( x ) .v ( x ) − v′ ( x ) .u ( x ) . D. = v2 ( x ) v ( x)
C. u ( x ) .v ( x ) ′ = u ′ ( x ) .v ( x ) + v′ ( x ) .u ( x ) .
2 2 . − 1− 4x x − 3 1 +1 2 1 − 4x
D.
− a − 2b . (b − 1) 2
1− x . Tính f ′ ( x ) . x−3 2 2 − B. . 2 1 − 4 x ( x − 3) D.
−2 2 + 2 . 1 − 4 x ( x − 3)
Câu 28. Đạo hàm của hàm số y = ( 2 x − 1) x 2 + x là A. y ' =
Câu 21. Cho các hàm số u = u ( x ) , v = v ( x ) có đạo hàm trên khoảng J và v ( x ) ≠ 0 với ∀x ∈ J . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 ′ v′ ( x ) A. u ( x ) + v ( x ) ′ = u ′ ( x ) + v′ ( x ) . B. . = 2 v ( x) v ( x) 3
8 x2 + 4 x − 1 2
2 x +x
.
B. y ' =
8x 2 + 4 x + 1 2 x2 + x
.
C. y ' =
4x +1 2 x2 + x
.
D. y ' =
6x2 + 2x −1 2 x2 + x
.
7
Câu 29. Đạo hàm của hàm số y = ( − x 2 + 3 x + 7 ) là 6
A. y ' = 7 ( −2 x + 3 ) ( − x 2 + 3 x + 7 ) . 6
C. y ' = ( −2 x + 3) ( − x 2 + 3x + 7 ) .
6
B. y ' = 7 ( − x 2 + 3x + 7 ) . 6
D. y ' = 7 ( −2 x + 3) ( − x 2 + 3x + 7 ) . 4
3
A. [3; +∞).
2 Câu 30. Đạo hàm của hàm số y = x 2 − bằng x 2 B. y ′ = 3 x 2 − . x
2
2
1 2 D. y′ = 6 x − x 2 − x x
1 2 C. y′ = 6 x − 2 x 2 − . x x
y′ ≥ 0, ∀x ∈ℝ là A. 5 . C. 3 .
2
(THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Đạo hàm của hàm số y = ( x 2 + x + 1) 3 là
f ′ ( x ) ≤ 0 với ∀x ∈ ℝ là
2 1 A. y′ = . B. y′ = ( x 2 + x + 1) 3 . 2 3 3 3 ( x 2 + x + 1)
2x + 1
8 1 C. y′ = ( x 2 + x + 1) 3 . 3
Câu 32.
A. 1 . Câu 41. Cho hàm số f ( x ) =
.
2 3 x2 + x + 1
B. 6 x 5 − 20 x 4 + 4 x3 .
A. 0 ≤ m ≤
C. 6 x5 + 16 x3 .
2
1
B.
.
2
C.
.
−6 x 2
2 − 3x 2 2 − 3x 2 2 − 3x Dạng 2.2 Một số bài toán tính đạo hàm có thêm điều kiện Câu 34. Cho hàm số y = A. [ −1;5] .
2
.
3x
2 − 3x 2
.
Câu 45.
D. M = ( −∞; −3 ) ∪ ( 3; +∞ ) .
Câu 36. Cho hàm số y = x3 − 3 x + 2017 . Bất phương trình y′ < 0 có tập nghiệm là: A. S = ( −1;1) . B. S = ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) . C. (1; +∞ ) . 4
2
f x = x + 2x − 3 Câu 37. Cho hàm số ( ) . Tìm x để A. −1 < x < 0 . B. x < 0 .
Câu 38.
2
B. ( y′) + 2 y. y′′ = 1 .
2
C. y. y′′ − ( y′) = 1 .
2
D. ( y′ ) + y. y′′ = 1.
Câu 46.
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y = x 2 − 1 . Nghiệm của phương trình y′. y = 2 x + 1 là: A. x = 2 . B. x = 1 . C. Vô nghiệm. D. x = −1 .
Câu 47.
(THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho y = x 2 − 2 x + 3 , y′ = đó giá trị a.b là: A. −4 .
D. ( −∞; −1) .
7 D. 1; . 5
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Cho hàm số y = 1 + 3 x − x 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng? 2
Câu 35. Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + 3x − 5 với m là tham số. Tìm tập hợp M tất cả các giá trị của m để y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt: A. M = ( −3;3) . B. M = ( −∞; −3] ∪ [ 3; +∞ ) .
7 9 C. ; . 5 5
a ax − b 1 3 − 2 x ′ (Thi thử SGD Hưng Yên) Cho , ∀x > . Tính . = b 4 4 x − 1 ( 4 x − 1) 4 x − 1 A. −16 . B. −4 . C. −1 . D. 4 .
A. ( y′ ) + y. y′′ = −1 .
D. ( −∞; −1] ∪[5; +∞) .
C. M = ℝ .
7 B. −∞; . 5
Câu 43. Cho hàm số f ( x ) = x 2 − 2 x . Tìm tập nghiệm S của phương trình f ′ ( x ) ≥ f ( x ) có bao nhiêu giá trị nguyên? A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 . Câu 44.
1 3 x − 2 x 2 − 5 x . Tập nghiệm của bất phương trình y′ ≥ 0 là 3 B. ∅ .
C. ( −∞; −1) ∪ ( 5; +∞) .
mx mx − + ( 3 − m ) x − 2 . Tìm m để f ' ( x ) > 0 ∀x ∈ R . 3 2 12 12 12 B. 0 < m < . C. 0 ≤ m < . D. 0 < m ≤ . 5 5 5
7 A. ; +∞ . 5
D. 6 x 5 − 20 x 4 + 16 x 3 .
D.
D. 3 .
Câu 42. Cho hàm số f ( x ) = −5 x 2 + 14 x − 9 Tập hợp các giá trị của x để f ' ( x ) < 0 là
f ( x ) = 2 − 3 x 2 bằng biểu thức nào sau đây?
−3 x
12 . 5
C. 4 .
2
2
(THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Đạo hàm của hàm số
A.
B. 5 . 3
(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Đạo hàm của hàm số y = ( x 3 − 2 x 2 ) bằng: A. 6 x 5 − 20 x 4 − 16 x 3 .
Câu 33.
D. y′ =
2x +1
B. Có vô số giá trị nguyên m . D. 4
Câu 40. Cho hàm số f ( x ) = − x 3 + 3mx 2 − 12 x + 3 với m là tham số thực. Số giá trị nguyên của m để
1
Câu 31.
3 ( m + 2 ) x 2 + 3 x − 1, m là tham số. Số các giá trị nguyên m để 2
Câu 39. Cho hàm số y = ( m + 2 ) x 3 +
2
1 2 A. y′ = 6 x + 2 x 2 − . x x
D. [1; +∞).
C. [4 2; +∞ ).
B. ∅.
B. −1.
C. 0 .
ax + b 2
x − 2x + 3
. Khi
D. 1 .
2
Câu 48. Cho hàm số y = f ′( x) > 0
? C. x > 0 .
A. {−1;3} .
D. x < −1 .
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho y = (m − 1) x3 − 3(m + 2) x 2 − 6(m + 2) x + 1. Tập giá trị của m để y ' ≥ 0, ∀x ∈ R là
hàm
số
5
−2 x + x − 7 . Tập nghiệm của phương trình y′ = 0 là x2 + 3 B. {1;3} . C. {−3;1} . D. {−3; − 1} .
Câu 49. Cho hàm số f ( x ) = ax 3 +
b có f ′ (1) = 1, f ′ ( −2 ) = −2 . Khi đó f ′ x
( 2 ) bằng: 6
A.
12 . 5
B.
−2 . 5
C. 2 .
D. −
12 . 5
Câu 58.
trình tiếp tuyến của ( C ) tại giao điểm của ( C ) với trục tung.
x+2 Câu 50. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = có đạo hàm dương trên khoảng x + 5m ( −∞; −10 ) ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
(Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = hoành độ x0 = −1 có hệ số góc bằng 1 A. 5 . B. − . 5
Câu 52.
C. −5 .
D.
x +1 tại điểm có 2x − 3
(Quảng Nam-HKI-1718) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 4 − 4 x 2 + 5 tại điểm có hoành độ x = −1 . A. y = 4 x − 6. B. y = 4 x + 2. C. y = 4 x + 6. D. y = 4 x − 2.
Câu 54.
(THPT THUẬN THÀNH 1) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
Câu 55.
C. y = 3x + 9 .
2x + 3 tại điểm có hoành độ x−2
1 M 1; là: 3
Câu 56.
Câu 57.
B. y = −3x + 2 .
2 C. y = x − . 3
D. y = − x +
(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho hàm số y = x − 2 . Viết phương trình tiếp x +1
tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành độ x0 = 0 . A. y = 3x − 2 . B. y = −3x − 2 . C. y = 3 x − 3 .
Câu 61.
D. y = 3x + 2 .
(Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên, năm 2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị −x + 3 tại điểm có hoành độ x = 0 là x −1 A. y = − 2 x + 3. B. y = − 2 x − 3. C. y = 2 x − 3. D. y = 2 x + 3.
Câu 62.
(Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hàm số y = x3 − 2 x + 1 có đồ thị ( C ) . Hệ số góc k của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm có hoàng độ bằng 1 bằng
A. k = −5 . Câu 63.
B. k = 10 .
tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có hệ số góc là 1 5 A. −1 . B. . C. − . 4 4
Câu 64.
7
D. k = 1 .
−x + 1 3x − 2
1 D. − . 4
x +1 có đồ thị (C ). Gọi d là tiếp tuyến của x −1 (C ) tại điểm có tung độ bằng 3 . Tìm hệ số góc k của đường thẳng d. 1 1 A. − . B. −2 C. 2 . D. . 2 2
(HKI-Chuyên Long An-2019) Cho hàm số y =
Câu 65.
(Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa lần 2 -2018-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = x 2 + x − 2 tại điểm có hoành độ x0 = −1 . A. x + y − 1 = 0. B. x − y − 2 = 0. C. x + y + 3 = 0. D. x − y − 1 = 0.
Câu 66.
(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương thi thử lần 1 (2018-2019)) Hệ số góc tiếp tuyến tại A (1; 0 )
Câu 67.
C. −3 .
D. 0 .
(Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Gọi I là giao điểm giữa đồ thị hàm số y =
x +1 và x −1
trục tung của hệ trục tọa độ Oxy . Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại I là A. − 2 . B. 0 . C. −1 . D. 2 .
Câu 68.
(THPT Cẩm Bình 2018-2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = hoành độ x = 2 là
D. y = −12 x .
C. k = 25 .
(Trường THPT Thăng Long Lần 1 năm 2018-2019) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 là A. 1. B. −1 .
(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y = 3x − 4 x 2 tại C. y = 3 x − 2 .
Câu 60.
2 3
(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 3x tại điểm có hoành độ bằng 2. A. y = −9 x + 16 . B. y = −9x + 20 . C. y = 9 x − 20 . D. y = 9 x − 16 . điểm có hoành độ x0 = 0 là B. y = 3 x . A. y = 0 .
D. y = −3 x − 2 .
(LÊ HỒNG PHONG HKI 2018-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y = x 4 − 8 x 2 + 9 tại điểm M có hoành độ bằng -1. A. y = 12 x + 14 . B. y = 12 x − 14 . C. y = 12 x + 10 . D. y = −20 x − 22 .
D. y = − x − 2 .
1 (GIỮA KÌ I LƯƠNG THẾ VINH CƠ SỞ II 2018-2019) Cho hàm số y = x 3 + x 2 − 2 x + 1 có 3 đồ thị là ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm
A. y = 3x − 2 .
C. y = 3 x − 2 .
Câu 59.
1 . 5
Câu 53.
B. y = −7 x + 30 .
B. y = 2 x + 1 .
hàm số y =
(THI HK I QUẢNG NAM 2017) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 4 − 4 x 2 + 5 tại điểm có hoành độ x = −1. A. y = 4 x − 6. B. y = 4 x + 2. C. y = 4 x + 6. D. y = 4 x − 2.
bằng 3 , tương ứng là A. y = 7 x + 13 .
A. y = −2 x + 1 .
D. vô số.
DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN Dạng 3.1 Tiếp tuyến tại điểm
Câu 51.
(Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho hàm số y = − x3 + 3x − 2 có đồ thị ( C ) . Viết phương
3x −1 tại điểm có x −1
8
A. y = 2 x + 9 . Câu 69.
B. y = −2 x + 9 .
C. y = 2 x − 9 .
D. y = −2 x − 9 .
C. y = −3 x + 5; y = −3 x − 5.
x −1 tạ i x+2
(THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - Lần 1 - Năm học 2018_2019) Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 + 9 x − 1 có đồ thị (C). Hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị (C) là. A. 1 B. 6 C. 12 D. 9
Câu 80. Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 1 có đồ thị là ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) song song với
(THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( H ) : y = giao điểm của ( H ) và trục hoành là:
A. y = x − 3 . Câu 70.
Câu 71.
B. y =
1 ( x − 1) . 3
C. y = 3x .
4
D. y = 3 ( x − 1) .
2
(Bình Giang-Hải Dương lần 2-2019) Cho hàm số y = x + 2 x + 1 có đồ thị ( C ) . Phương trình A. y = 8 x − 4 .
B. y = x + 3 .
C. y = −8x + 12 .
D. y = 8 x + 4 .
(Thi thử lần 4-chuyên Bắc Giang_18-19) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
A ( 2;3) có phương trình y = ax + b . Tính a + b B. 5 . C. 1.
A. 9 .
x +1 tại điểm x −1
D. −1 .
Câu 73.
(Thi HK2 THPT Chuyên Bắc Giang 2018-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 4 − 6 x 2 + 5 tại điểm có hoành độ x = 2 . A. y = −8 x − 16. B. y = 8x − 19. C. y = −8 x + 16. D. y = 8x + 19.
Câu 74.
(THPT Trần Phú - Lần 1 - 2018-2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
x +1 tạ i x−2
điểm có tung độ bằng −2 là A. y = 3 x + 1 . B. y = −3 x −1 . C. y = −3 x + 1 . D. y = − 3 x + 3 . Dạng 3.2 Tiếp tuyến khi biết hệ số góc, quan hệ song song, vuông góc với đường thẳng cho trước
Câu 75. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số f ( x ) = x 3 + 1 sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số
f ( x ) tại M song song với đường thẳng d : y = 3 x − 1 ? A. 3 . B. 2 . C. 0 . Câu 76.
A. 2 . Câu 77.
D. 1.
(HK1-Trần Phú Hà Nội-1819) Cho đồ thị hàm số y = x3 − 3x ( C ) . Số các tiếp tuyến của đồ thị
( C ) song song với đường thẳng
y = 3 x − 10 là
B. 1.
C. 3 .
D. 0 .
(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 3 có đồ thị ( C ) . Số tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường thẳng y =
A. 2 . Câu 78. Cho hàm số f ( x) =
B. 1.
1 x + 2017 là 9 C. 0 .
D. 3 .
2x + 1 , ( C ) . Tiếp tuyến của ( C ) song song với đường thẳng y = −3 x có x −1
phương trình là A. y = −3 x − 1; y = −3 x + 11.
đường thẳng y = 9 x + 10 là A. y = 9 x + 6, y = 9 x − 28 . C. y = 9 x − 6, y = 9 x − 28 .
B. y = 9 x, y = 9 x − 26 . D. y = 9 x + 6, y = 9 x − 26 .
Câu 81. Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 2 có đồ thị ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) biết tiếp tuyến
tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M (1; 4 ) là
Câu 72.
D. y = −3 x + 2; y = −3 x − 2.
2x −1 Câu 79. Cho hàm số y = (C ) . Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x + 3 y + 2 = 0 tại x +1 điểm có hoành độ x = 0 x = 0 A. x = 0 . B. x = −2 . C. . D. . x = −2 x = 2
song song với đường thẳng d : 9 x − y + 7 = 0 là A. y = 9 x + 25 . B. y = −9 x − 25 . C. y = 9 x − 25
D. y = −9 x + 25 .
Câu 82. Cho hàm số f ( x ) = x 3 −3x 2 , tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9 x + 5 của đồ thị hàm số là: A. y = 9 ( x + 3 ) . B. y = 9 ( x − 3 ) . C. y = 9 x + 5 và y = 9 ( x − 3 ) D. y = 9 x + 5 . Câu 83. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) = 2 x + 1 , biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng x − 3 y + 6 = 0 . 1 1 1 5 1 5 A. y = x − 1 . B. y = x + 1 . C. y = x − . D. y = x + . 3 3 3 3 3 3
x +1 đồ thị ( C ) . Có bao nhiêu cặp điểm A , B thuộc ( C ) mà tiếp tuyến tại đó x −1 song song với nhau: A. 1. B. Không tồn tại cặp điểm nào. C. Vô số cặp điểm D. 2 .
Câu 84. Cho hàm số y =
x−m có đồ thị là ( Cm ) . Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm x +1 có hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng d : y = 3 x + 1 . A. m = 3 . B. m = 2 . C. m = 1. D. m = −2 .
Câu 85. Cho hàm số y =
Câu 86. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x 3 + 2 x 2 song song với đường thẳng y = x ? A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1.
1 Câu 87. Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + x + 2 có đồ thị ( C ) . Phương trình các tiếp tuyến với đồ thị ( C ) biết 3 10 tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = −2 x + là 3 A. y = −2 x + 2 . B. y = −2 x − 2 . 2 2 C. y = −2 x + 10, y = −2 x − . D. y = −2 x − 10, y = −2 x + . 3 3
B. y = −3 x + 10; y = −3 x − 4. 9
10
x3 + 3x 2 − 2 có đồ thị là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) biết 3 tiếp tuyến có hệ số góc k = −9 . A. y + 16 = −9 ( x + 3) . . B. y = −9 ( x + 3) . C. y − 16 = −9 ( x − 3) . . D. y − 16 = −9 ( x + 3) .
Câu 88. Cho hàm số y =
Câu 89. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 3x 2 + 1 biết nó song song với đường thẳng y = 9 x + 6 . A. y = 9 x + 6 , y = 9 x − 6 . B. y = 9 x − 26 . C. y = 9 x + 26 . D. y = 9 x − 26 , y = 9 x + 6 . Câu 90.
3 2 (THPT Minh Khai - lần 1) Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −x + 2x song song với đường thẳng y = x ? A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.
Câu 91.
(Đề thi HSG 12-Sở GD&ĐT Nam Định-2019) Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x 4 + 2 x 2 song song với trục hoành là A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1.
Câu 92.
(Kinh Môn - Hải Dương L2 2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) : y = song song với đường thẳng ∆ : y = 3 x + 2 là A. y = 3 x + 2 . B. y = 3 x − 2 .
Câu 93.
C. y = 3 x + 14 .
2x +1 x+2
1 2 Câu 94. Tìm điểm M có hoành độ âm trên đồ thị ( C ) : y = x 3 − x + sao cho tiếp tuyến tại M vuông 3 3 1 2 góc với đường thẳng y = − x + . 3 3 4 4 A. M −1; . B. M ( −2; 0 ) . C. M 2; . D. M ( −2; −4 ) . 3 3
2x + 1 biết các tiếp tuyến đó song song với đường thẳng x −1
y = −3x . A. y = −3x + 11; y = −3x − 1 . C. y = −3x +1 . D. y = −3x + 6 .
B. y = −3x − 6; y = −3x − 11 .
4 3 2 Câu 96. Cho đường cong ( C ) : y = x − 3x + 2 x − 1 . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường cong ( C ) có hệ
tiếp tuyến của đồ thị (C ) song song với đường thẳng d : y = 9 x − 25 .
A. 1 . Câu 99.
B. 3 .
B. 2 . 4
C. 1.
D. 4 .
2
Câu 97. Cho hàm số y = x − 2 x + m − 2 có đồ thị (C ) . Gọi S là tập các giá trị của m sao cho đồ thị
(C ) có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox . Tổng các phần tử của S là B. 8 .
C. 5 .
C. 0 .
D. 2 .
(THPT Hai Bà Trưng - Huế - Lần 1- 2019) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = 2x3 − 3x2 −12x +1 song song với đường thẳng d :12 x + y = 0 có dạng là y = ax + b . Tính giá trị của 2 a + b . A. −23 hoặc −24
B. −23 .
C. −24 .
D. 0 .
Câu 100. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Đường thẳng y = 6 x + m + 1 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = x3 + 3x − 1 khi m bằng A. −4 hoặc −2 . B. −4 hoặc 0 .
C. 0 hoặc 2 .
D. −2 hoặc 2 .
Câu 101. (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Tính tổng S tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số f ( x ) = x3 − 3mx 2 + 3mx + m2 − 2m3 tiếp xúc với trục hoành.
4 . B. S = 1 . 3 Dạng 3.3 Tiếp tuyến đi qua một điểm A. S =
C. S = 0 .
D. S =
2 . 3
A. 1 .
B. 2 .
D. 2 .
11
C. 3 .
D. 4 .
Câu 103. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Đường thẳng nào sau đây là tiếp x2 tuyến kẻ từ M ( 2; −1) đến đồ thị hàm số y = − x + 1 . 4 A. y = −2 x + 3 . B. y = −1 . C. y = x − 3 . D. y = 3x − 7 . Câu 104. (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y = x 3 + 3mx 2 + ( m + 1) x + 1 có đồ thị ( C ) . Biết rằng khi m = m0 thì tiếp tuyến với đồ thị ( C ) tại điểm có hoành độ bằng x0 = −1 đi qua A (1; 3) . Khẳng định nào sâu đây đúng? A. −1 < m0 < 0 .
B. 0 < m0 < 1 .
C. 1 < m0 < 2 .
D. −2 < m0 < −1 .
x−2 có đồ thị (C ) và điểm A( m;1) . Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để có 1− x đúng một tiếp tuyến của (C ) đi qua A . Tính tổng bình phương các phần tử của tập S . 25 5 13 9 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 4
Câu 105. Cho hàm số y =
Câu 106. Cho đường cong (C ) : f ( x ) =
số góc bằng 7 ? A. 3 .
A. 3 .
(Cụm liên trường Hải Phòng-L1-2019) Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 2 có đồ thị (C ) . Tìm số
Câu 102. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 x . Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A ( −1; 0 ) ?
D. y = 3 x + 5 .
(Thi thử SGD Hưng Yên) Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị (C). Tìm số tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng d: y = 9 x − 25. A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 95. Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
Câu 98.
(b2 + 2) x , (với a , b là các tham số thực đã biết). Các tiếp tuyến (a 2 + 1) − x
của đường cong (C ') : y = f ( x ) đi qua điểm M (0;(a2 + 2)2 (b2 + 2)) là y = −( a 2 + 2)(b 2 + 1) x + ( a 2 + 2) 2 (b 2 + 1) A. . 2 2 2 2 2 y = ( a + 2)(b + 1) x + ( a + 2) (b + 1) C. y = (a 2 + 1)(b2 + 2) x ± (a 2 + 2)2 (b2 + 2).
y = (b 2 + 2)[( a 2 + 2) 2 − ( a 2 + 1) x ] B. . 2 2 2 2 y = (b + 2)[( a + 2) + ( a + 1) x ] D. y = ±(a 2 + 1)(b2 + 2) x + (a2 + 2)2 (b2 + 2). 12
Câu 107. với mọi m, n ∈ N và giá trị m + n là: A. 2 .
Cho hàm số y =
−x + 2 m có đồ thị (C ) và điểm A ( a;1) . Biết a = ( x −1 n
m tối giản ) là giá trị để có đúng một tiếp tuyến của (C ) đi qua A. Khi đó n B. 7 .
C. 5 .
A.
D. 3 .
Câu 108. (Thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 1 (13/4/2019)) Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 đi qua A(3 ; 2) ? A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 .
−x + 2 Câu 109. (Tham khảo 2018) Cho hàm số y = có đồ thị (C) và điểm A( a;1) . Gọi S là tập hợp x −1 tất cả các giá trị thực của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A . Tổng tất cả các giá trị các phần tử của S là 3 5 . C. . 2 2 Dạng 3.4 Một số bài toán liên quan đên tiếp tuyến A. 1 .
B.
D.
x+3 có đồ thị là ( C ) , điểm M x −1 thay đổi thuộc đường thẳng d : y = 1 − 2 x sao cho qua M có hai tiếp tuyến của ( C ) với hai tiếp điểm tương ứng là A, B. Biết rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là H. Tính độ dài đường thẳng OH.
Câu 116. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng, lần 1) Cho hàm số y =
34 .
B.
10 .
C.
29 .
D. 3
58 .
2
Câu 117. (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Cho hàm số f ( x ) = x + 3x + mx + 1 . Gọi S là tổng tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt A ( 0;1) , B , C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại B , C vuông góc với nhau. Giá trị của S bằng 9 9 9 11 A. . B. . C. . D. . 2 5 4 5
f ( x) + 3 . g ( x) +1 Hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x = 1 bằng nhau và khác 0 . Khẳng định nào ddư ưới đây đúng? 11 11 A. f (1) > −3 . B. f (1) < −3 . C. f (1) ≤ − . D. f (1) ≥ − . 4 4
Câu 118. (Thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 1 (13/4/2019)) Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) , y =
1 . 2
Câu 110. Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 6 x +1 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất là bao nhiêu? A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
x+2 có đồ thị (C ) . Đường thẳng d có phương trình y = ax + b là tiếp tuyến 2x + 3 của (C ) , biết d cắt trục hoành tại A và cắt trục tung tại B sao cho tam giác ∆OAB cân tại O , với O là gốc tọa độ. Tính a + b . A. − 1 . B. − 2 . C. 0 . D. −3 .
Câu 111. Cho hàm số y =
x +1 ( C ) . Điểm M thuộc ( C ) có hoành độ lớn hơn 1 , tiếp tuyến của ( C ) tại x −1 M cắt hai tiệm cận của ( C ) lần lượt tại A, B . Diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB bằng.
Câu 119. Cho hàm số y =
A. 4 + 2 2 .
B. 4 .
C. 4 2 .
D. 4 + 2 .
Câu 120. (Đề Thi Thử - Sở GD Nam Định - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) , biết tại các điểm A, B, C đồ thị hàm số y = f ( x ) có tiếp tuyến được thể hiện trên hình vẽ bên. Mệnh đề nào ddư ưới đây đúng?
2 x −1 Câu 112. Cho hàm số y = có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại x −1 tại hai điểm A và B thỏa mãn điều kiện OA = 4OB . A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Câu 113. Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − mx 2 + (2 m − 3) x − 1 đều có hệ số góc dương. A. m ≠ 0 . B. m > 1 . C. m ≠ 1. D. m ∈∅ .
x+2 (1) . Đường 2x + 3 thẳng d : y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) . Biết d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A,B sao cho ∆OAB cân tại O . Khi đó a + b bằng A. −1. B. 0 . C. 2 . D. −3 .
Câu 114. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần 2 năm 2018-2019) Cho hàm số y =
Câu 115. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương thi thử lần 1 (2018-2019)) Cho hàm số 1 3 y = x 3 − x 2 + 2 ( C ) . Xét hai điểm A ( a; y A ) và B ( b; yB ) phân biệt của đồ thị ( C ) mà tiếp 2 2 tuyến tại A và B song song. Biết rằng đường thẳng AB đi qua D ( 5;3) . Phương trình của AB là A. x − y − 2 = 0 .
B. x + y − 8 = 0 .
C. x − 3 y + 4 = 0 .
A. f ′ ( xC ) < f ′ ( xA ) < f ′ ( xB ) . C. f ′ ( xA ) < f ′ ( xC ) < f ′ ( xB ) . Câu 121. Cho hàm số y = x 3 − 3 ( m + 3 ) x 2 + 3
B. f ′ ( xA ) < f ′ ( xB ) < f ′ ( xC ) . D. f ′ ( xB ) < f ′ ( xA ) < f ′ ( xC )
( C ) . Tìm tất cả các giá trị của m
thỏa mãn qua A ( −1; −1)
kẻ được hai tiếp tuyến đến ( C ) là ∆1 : y = −1 và ∆ 2 tiếp xúc với ( C ) tại N và cắt ( C ) tại điểm
P ( P ≠ N ) có hoành độ là x = 3 . A. Không tồn tại m . B. m = 2 .
C. m = 0 ; m = −2 .
D. m = −2 .
D. x − 2 y + 1 = 0 . 13
14
Câu 122. Cho hàm số y = x3 + 3x 2 + 1 có đồ thị ( C ) và điểm A (1; m ) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để qua A có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị ( C ) . Số phần tử của S là A. 9 .
B. 7 .
C. 3 .
D. 5
m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = x3 − mx2 + (2m − 3)x −1 đều có hệ số góc dương. B. m > 1 .
C. m ≠ 1 .
1 có đồ thị ( C ) . Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( 2;1) . Diện tích x −1 tam giác được tạo bởi ∆ và các trục bằng 9 3 A. 3 . B. . C. 9 . D. . 2 2
Câu 126. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
2x + 3 chắn hai x+2
trục tọa độ một tam giác vuông cân? B. y = x − 2 .
C. y = − x + 2 .
D. y =
2018 xn + yn + 2 2019 = 0 . Tìm n A. 675 . B. 672 .
C. 674 .
D. 673 .
M 1 ( x1 ; y1 ) , M 2 ( x2 ; y2 ) mà từ mỗi điểm đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến ( C ) . Tính giá trị biểu thức S = A.
113 . 15
3 2 ( y1 + y22 + y1 y2 ) + 13 5 41 B. . 15
C.
14 . 15
D.
59 . 15
Câu 131. (THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm học 2018 - 2019) Cho hàm số y = x 3 − 2019 x có đồ thị là ( C ) . Gọi M 1 là điểm trên ( C ) có hoành độ x1 = 1. Tiếp tuyến của ( C ) tại M 1 cắt
D. m ∈ ∅ .
Câu 125. Cho hàm số y =
A. y = x + 2 .
tại M 3 ,…. Cứ như thế mãi và tiếp tuyến của ( C ) tại M n ( xn ; yn ) thỏa mãn
Câu 130. Cho hàm số y = x + 1 có đồ thị (C ) . Trên đường thẳng d : y = x + 1 tìm được hai điểm
x +1 có đồ thị (C ). Gọi d là tiếp tuyến của (C ) tại điểm có tung độ bằng 3 . x −1 Tìm hệ số góc k của đường thẳng d. 1 1 A. − . B. −2 C. 2 . D. . 2 2
A. m ≠ 0 .
( C)
3
Câu 123. Cho hàm số y =
Câu 124. (Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Tìm
M 2 cắt
1 3 x+ . 4 2
(C )
tại điểm M 2 khác M 1 , tiếp tuyến của ( C ) tại M 2 cắt ( C ) tại điểm M 3 khác M 2 , tiếp tuyến
của ( C ) tại M n−1 cắt ( C ) tại điểm M n khác M n−1 với (n = 4,5,...) . Gọi ( xn ; yn ) là tọa độ điểm
M n . Tìm n sao cho 2019 xn + yn + 22019 = 0. B. n = 685 . A. n = 675 .
C. n = 673 .
D. n = 674 . 3
Câu 132. (Nho Quan A - Ninh Bình - lần 2 - 2019) Cho đồ thị y = x − 2019 x có đồ thị ( C ) . Gọi M 1 là điểm trên ( C ) có hoành độ x1 = 1 . Tiếp tuyến của ( C ) tại M 1 cắt ( C ) tại M 2 khác M 1 , tiếp tuyến của ( C ) tại M 2 cắt ( C ) tại M 3 khác M 2 …, tiếp tuyến của ( C ) tại M n −1 cắt ( C ) tại M n khác M n −1 ( n = 4;5;6;...) . Gọi ( xn ; yn ) là tọa độ của điểm M n . Tìm n để 2019 xn + yn + 2 2013 = 0 .
Câu 127. (Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Gọi k1 , k2 , k3 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến đồ f (x) thị các hàm số y = f ( x ) ; y = g ( x ) ; y = tại x = 2 và thỏa mãn k1 = k2 = 2k3 ≠ 0 . Khi đó: g ( x) 1 A. f ( 2 ) ≥ . 2 1 B. f ( 2 ) > 2 1 C. f ( 2 ) < . 2 1 D. f ( 2 ) ≤ . 2
2x − 3 có đồ thị ( C ) và hai đường thẳng d1 : y − 2 = 0 và d 2 : x − 2 = 0 . Tiếp x−2 tuyến của đồ thị ( C ) cắt các đường thẳng d1 , d 2 lần lượt tại A, B sao cho độ dài AB ngắn nhất. Khi đó độ dài của đoạn AB bằng A. 2 4 2 . B. 2 . C. 3 2 . D. 4 2 .
Câu 128. Cho hàm số y =
Câu 129. (THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho hàm số y = x3 − 2018 x có đồ thị ( C ) . M 1 thuộc ( C ) và có hoành độ là 1, tiếp tuyến của ( C ) tại M 1 cắt ( C ) tại M 2 , tiếp tuyến của ( C ) tại 15
A. n = 685 .
B. n = 679 .
C. n = 672 .
D. n = 675 .
Câu 133. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên R, thỏa mãn 2 f ( 2 x ) + f (1 − 2 x ) = 12 x2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ x = 1 . A. y = 2 x − 6 . B. y = 4 x − 6 . C. y = x + 1 . D. y = 4 x − 2 . Câu 134. Cho các hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) , y =
f ( x) g ( x)
. Nếu các hệ số góc của các tiếp tuyến của các
đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x = 2019 bằng nhau và khác 0 thì: 1 1 1 1 A. f ( 2019 ) > . B. f ( 2019 ) < . C. f ( 2019 ) ≤ . D. f ( 2019 ) ≥ . 4 4 4 4 DẠNG 4. BÀI TOÁN QUẢNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC Câu 135. (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t 3 − 3t 2 + 5t + 2 , trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là B. 12 m/s 2 . C. 17 m/s 2 . D. 14 m/s 2 . A. 24 m/s 2 . Câu 136. (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Một chất điểm chuyển động có phương trình s = 2t 2 + 3t ( t tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t 0 = 2 (giây) bằng A. 22 ( m / s ) . B. 19 ( m / s ) . C. 9 ( m / s ) . D. 11( m / s ) . 16
Câu 137. (Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Một chất điểm chuyển động có phương trình S = 2t 4 + 6t 2 − 3t + 1 với t tính bằng giây ( s ) và S tính bằng mét ( m ) . Hỏi gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 ( s ) bằng bao nhiêu? A. 88 m / s 2 .
(
)
B. 228 m / s 2 .
(
)
C. 64 m / s 2 .
(
)
2 D. 76 m / s .
(
)
Câu 138. (ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Một chất điểm chuyển động có phương trình s = 2t 2 + 3t ( t tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t0 = 2 (giây) bằng. A. 22 ( m / s ) . B. 19 ( m / s ) .
1 Câu 145. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Một vật chuyển động theo quy luật s = − t 3 + 3t 2 + 20 2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Quãng đường vật đi được tính từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc vật đạt vận tốc lớn nhất bằng A. 20 m . B. 28 m . C. 32 m . D. 36 m . PHẦN B. LỜI GIẢI Câu 1.
C. 9 ( m / s ) . D. 11 ( m / s ) . Câu 139. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Một chất điểm chuyển động có vận tốc tức thời v ( t ) phụ thuộc vào thời gian t theo hàm số v ( t ) = −t 4 + 8t 2 + 500 . Trong khoảng thời gian t = 0 đến t = 5 chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm nào? B. t = 4 . C. t = 2 . A. t = 1 .
Câu 140. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Một chất điểm chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình s = t 3 − 3t 2 + 5t + 2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là: A. 12m/s 2 . B. 17m/s 2 . C. 24m/s2 . D. 14m/s 2 . Câu 141. (THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019) Một vật chuyển động 1 theo quy luật s(t ) = − t 3 + 12t 2 , t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động, 2 s (mét) là quãng đường vật chuyển động trong t giây. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 10 (giây) là: A. 80 ( m / s ) . B. 90 ( m / s ) . C. 100 ( m / s ) . D. 70 ( m / s ) .
B. 28 m/s 2 .
C. 18 m/s 2 .
Câu 5.
Câu 6.
Câu 7.
Câu 144. (Bình Giang-Hải Dương lần 2-2019) Bạn An thả bóng cao su từ độ cao 10m theo phương thẳng
17
⇒ f ′ ( 2) =
1 . 36
Chọn B Ta có y = x ( x +1)( x + 2)( x + 3) = ( x 2 + x)( x 2 + 5 x + 6)
Chọn D Ta có y ′ =
D. 54 m/s 2 .
3 đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng độ cao trước 4 đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn. A. 70 m . B. 40 m . C. 80 m . D. 50 m .
2
⇒ y ′ (0) = 6.
Câu 4.
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 216 ( m /s ) . B. 30 ( m/s ) . C. 400 ( m /s ) . D. 54 ( m/s )
điểm t = 3s là A. 48 m/s 2 .
1
( x + 4)
⇒ y ′ = (2 x +1)( x 2 + 5 x + 6) + ( x 2 + x)(2 x + 5)
t
Câu 143. (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - Lần 1 - Năm học 2018_2019) Một vật chuyển động có phương trình S = t 4 − 3t 3 − 3t 2 + 2t + 1 ( m ) , t là thời gian tính bằng giây. Gia tốc của vật tại thời
Chọn A Ta có f ′ ( x ) =
Câu 3.
D. t = 0 .
1 Câu 142. (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s = − t 3 + 9 t 2 với 2
Câu 2.
DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM Chọn A 4 Ta có y′ = − ⇒ y′ ( −1) = −1 . 2 ( x − 1)
Chọn A
π Ta có: y′ = 5cos x + 3sin x ⇒ y′ = 3 . 2 Chọn A Phương pháp tự luận: Tập xác định: D = ℝ . Ta có: f ' ( x ) = 5 x 4 + 3x 2 − 2 .
⇒ f ' (1) = 6; f ' ( −1) = 6; f ' ( 0 ) = −2 ⇒ f ' (1) + f ' ( −1) + 4 f ' ( 0 ) = 4 . Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng Casio d ( x 5 + x3 − 2 x − 3 ) d ( x 5 + x 3 − 2 x − 3) d ( x5 + x 3 − 2 x − 3 ) Bấm + −4 x =1 x =−1 dx dx dx Chọn B x+2 −3 Ta có y = ⇒ y′ = 2 x −1 ( x − 1) y′ ( 3 ) =
Câu 8.
1 1 5 +1 = . +1 ⇒ y ′ ( 4) = 4 2 x 2 4
−3
( 3 − 1)
2
x =0
= 4.
3 =− . 4
Chọn B
18
3− 4− x 1 − x 1 4 4 = lim 2 − 4 − x = lim 4 − ( 4 − x ) = lim f ′ ( 0 ) = lim = x →0 x →0 x →0 x→0 x 4x 16 4x 2 + 4 − x 4 2+ 4− x
(
Câu 9.
Chọn C Cách 1: Tập xác định D = ℝ .
3 x 2 + 4 − ( 3x + 1) . f '( x) =
⇒ f '(0) =
(
x2 + 4
)
(
)
Câu 21. Câu 22.
x x +4 = 2
(x
2
+ 4)
3
Câu 23.
3 . 2
Vì y = x 5 ⇒ y ' = 5 x 4 nên mệnh đề C sai. Câu 12. Chọn C Câu 13. Chọn D Câu 14. Chọn C
Chọn C
Câu 25.
Chọn B
y=
Câu 15.
Câu 16.
(
2x
)′ =
2 x
= 3x
2
Ta có y′ =
x2 + 1 =
1 − 3x
(x
2
)
+1
x2 + 1
.
x 2
x +3
( 2 x − 1)( 2 x + 1)
2
2
6
Câu 30. .
6
Chọn A 2
'
Vậy S = f (1) + 4 f (1) = 4 .
Câu 20.
−2 2 + . 2 1 − 4 x ( x − 3)
Ta có: y ' = 7 ( − x 2 + 3x + 7 ) ( − x 2 + 3x + 7 ) ' = 7 ( −2 x + 3) ( − x 2 + 3x + 7 ) .
Chọn A Ta có: f ( x ) = x 2 + 3 ⇒ f ' ( x ) =
=
Chọn A
2
( x + 3) x
x2 + 1
)
2 x2 + x 4 x + 4 x + 4 x −1 8x + 4 x −1 = = . 2 x2 + x 2 x2 + x 8x2 + 4 x −1 Vậ y y ' = . 2 x2 + x Câu 29. Chọn A
1 5 7 5 7 5 5 . x + x2 x − = x2 x − = x − 2 2 x 2 2 x 2 2 x
Chọn A x2 + 1 −
4x + 5
2 2 x2 + 5x − 4
′ 1 − x ′ 1− 4x + x −3
(
(1 − 4 x )′ + (1 − x )′ ( x − 3) − (1 − x )( x − 3)′ 2 2 1− 4x ( x − 3)
Ta có: y ' = 2 x 2 + x +
1
3
Ta có y ' = 3 x . x + ( x − 5 )
Câu 19.
Câu 28.
1 . 2x
Chọn B 2
Câu 18.
=
Chọn C Ta có f '( x) =
Câu 17.
.
=
2( x − b) − 2 x − a −a − 2b = ( x − b) 2 ( x − b)2
1 − x ′ f ′ ( x) = 1− 4x + = x −3
Chọn C 2x
2 2x2 + 5x − 4
Chọn D
′
1
'
Chọn D
Ta có: f '( x ) =
)
Ta có y ′ = 2 x 3 + 5 x 2 −
+ 5x − 4 )
( 4 x − 3) ( x 2 + 2 x + 3) − ( 2 x + 2) ( 2 x2 − 3x + 7 ) 7 x 2 − 2 x − 23 2 x2 − 3x + 7 ⇒ y′ = = 2 2 2 x + 2x + 3 ( x 2 + 2 x + 3) ( x 2 + 2 x + 3)
y′ = x 4 − 4 x 3 − 3 = 4 x 3 − 8 x .
(
2
2x −2 ⇒ y′ = . 2 x −1 ( x − 1)
Chọn D −2 x y' = 2 ( x2 + 5)
Câu 27.
( 2x
1 . x2
Câu 24.
Câu 26.
'
2 x2 + 5x − 4 =
Chọn B Chọn D Tập xác định D = ℝ \ {0}
y=
DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP (đa thức, chứa căn, phân thức, hàm hợp) Dạng 2.1 Tính đạo hàm Câu 10. Chọn B Ta có: y ' = 3x2 + 2 . Câu 11. Chọn C +) Ta có: y = x n ⇒ y ' = n. x n −1 , ∀n ∈ ℕ* do đó các mệnh đề A, B, D đúng.
)
(
Có y′ = 2 x +
12 − x
2
2
)
Ta có y ' =
Chọn A
Câu 31.
19
2
2 2 1 2 y ' = 3. x 2 − ' x 2 − = 6 x + 2 x 2 − . x x x x 1 −1 1 2 2x +1 ′ 2 3 x + x +1 = Ta có y′ = x + x + 1 3 3 3 x2 + x + 1
(
) (
)
(
)
2
.
20
Câu 32.
y′ = 2 ( x 3 − 2 x 2 ) . ( x3 − 2 x 2 )′ = 2 x3 − 2 x2 3x2 − 4 x = 6 x5 − 20 x 4 + 16 x3 .
Câu 33.
Ta có
(
)(
( u )′ = 2u′u .
f ′( x) =
(
2 − 3x 2
2 − 3x 2 )′
)′ = 2(
Câu 36. Câu 37.
2
=
−6 x 2
=
−3 x
2 − 3x 2 2 − 3x 2 − 3x 2 Dạng 2.2 Một số bài toán tính đạo hàm có thêm điều kiện Câu 34. Chọn D 1 y = x 3 − 2 x 2 − 5 x ⇒ y′ = x 2 − 4 x − 5 3 y′ ≥ 0 ⇔ x2 − 4x − 5 ≥ 0 ⇔ x ∈( −∞; −1] ∪[5; +∞) .
Câu 35.
m > 0 m > 0 12 f ' ( x ) > 0 ∀x ∈ R ⇔ ⇔ 2 ⇔0<m< 2 ∆ = m − 4 m 3 − m < 0 5 ( ) 5m − 12m < 0 12 Vậ y 0 ≤ m < . 5 Câu 42. Chọn C
)
.
9
Tập xác định: D = 1; . 5 Ta có f ( x ) = −5x 2 + 14 x − 9 ⇒ f ' ( x ) = f '( x ) < 0 ⇔
Chọn D y = x 3 + mx 2 + 3x − 5 ⇒ y ′ = 3x 2 + 2mx + 3 . y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ m2 − 9 > 0 ⇔ m < −3 ∨ 3 < m . Chọn A y = x3 − 3x + 2017 ⇒ y′ = 3 x 2 − 3 , y′ < 0 ⇔ x 2 − 1 < 0 ⇔ −1 < x < 1 . Chọn C f ′ ( x ) > 0 ⇔ 4 x3 + 4 x > 0 ⇔ 4 x x 2 + 1 > 0 ⇔ x > 0 .
(
Câu 43.
9 , ∀x ∈ 1; . 5
−5 x + 7 < 0 7 9 <0⇔ 9 ⇔ <x< . 5 5 −5 x 2 + 14 x − 9 1 < x < 5 −5 x + 7
Chọn C Tập xác định của hàm số là: D = ( −∞; 0] ∪ [ 2; +∞ ) . Ta có: f ′ ( x ) =
x −1 2
x − 2x
x −1
. Vậ y f ′ ( x ) ≥ f ( x ) ⇔
2
x − 2x
≥ x2 − 2 x ⇔
− x 2 + 3x − 1 x2 − 2 x
≥ 0.
3 − 5 3 + 5 ≥ 0 ⇔ − x 2 + 3x − 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ ; 2 x − 2x 2 3+ 5 Kết hợp với điều kiện x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 2; +∞ ) , ta có: x ∈ 2; .Mà x ∈ℤ nên suy ra x ∈∅. 2 Vậy S = ∅. Câu 44. Chọn C 1 Với ∀x > , ta có: 4 ′ −2 4 x − 1 − 6 − 4 x ′ −4 x − 4 3 − 2 x ′ ( 3 − 2 x ) 4 x − 1 − ( 3 − 2 x ) 4 x − 1 4x −1 = = . = ( 4 x − 1) ( 4 x − 1) ( 4 x − 1) 4 x − 1 4 x −1 a Do đó a = −4, b = 4 ⇒ = −1. b
)
Với x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 2; +∞ ) , ta có:
Câu 38. Chọn B Ta có y ' = 3( m − 1) x 2 − 6(m + 2) x − 6(m + 2).
∆' y ' = 27m2 + 54m . m − 1 > 0 ⇔ m >1 ⇔ m∈∅. y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ' −2 ≤ m ≤ 0 ∆ y ' ≤ 0 Câu 39. Chọn A
{
y ' = 3 ( m + 2 ) x 2 + 3 ( m + 2 ) x + 3 ≥ 0 => ( m + 2 ) x2 + ( m + 2 ) x + 1 ≥ 0 (1)
− x 2 + 3x − 1 2
(
Để phương trình (1) luôn thỏa mãn ∀x ∈ ℝ TH1: m + 2 = 0 => m = −2 => y ' = 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ( Nhận) m + 2 > 0 m > −2 m > −2 => 2 => => −2 < m ≤ 2 TH2: m + 2 ≠ 0 => m ≠ −2 => ∆ ≤ 0 m − 4 ≤ 0 −2 ≤ m ≤ 2 Kết hợp hai trường hợp: m = −2; −1;0;1;2 . Câu 40. Chọn B f ( x ) = − x 3 + 3mx 2 − 12 x + 3 ⇒ f ′ ( x ) = −3 x 2 + 6mx − 12
Câu 45.
)
y = 1 + 3 x − x 2 ⇒ y 2 = 1 + 3x − x 2 2
2
⇒ 2 y. y′ = 3 − 2 x ⇒ 2.( y′ ) + 2 y. y′′ = −2 ⇒ ( y′) + y. y′′ = −1 Câu 46.
−3 < 0 a < 0 f ′ ( x ) ≤ 0 với ∀x ∈ ℝ ⇔ −3 x2 + 6mx − 12 ≤ 0 với ∀x ∈ ℝ ⇔ ⇔ 2 ∆′ ≤ 0 9 m − 36 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2 . Vì m ∈ ℤ nên m ∈ {−2; −1; 0;1; 2} . Vậy có 5 giá trị nguyên m thoả mãn.
Câu 41.
−5x + 7 −5x 2 + 14 x − 9
Tập xác định của hàm số là D = ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) . Khi đó ta có y′ =
x x2 −1
.
x . x 2 − 1 = 2 x + 1 suy ra x = 2 x + 1 ⇔ x = −1 . x2 − 1 Tuy nhiên do điều kiện xác định nên phương trình vô nghiệm. Trình bày lại x Tập xác định của hàm số là D = ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ ) . Khi đó ta có y′ = . x2 −1 x . x 2 − 1 = 2 x + 1 .ĐK: x ∈ ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) . Nghiệm của phương trình y′. y = 2 x + 1 ⇔ x2 − 1 Nghiệm của phương trình y′. y = 2 x + 1 ⇔
Chọn C Ta có f ' ( x ) = mx 2 − mx + ( 3 − m ) + Nếu m = 0 thì f ' ( x ) = 3 > 0∀x ∈ R ( thỏa mãn) + Nếu m ≠ 0 thì f ' ( x ) = mx 2 − mx + ( 3 − m ) là tam thức bậc hai,
21
22
⇔ x = 2 x + 1 ⇔ x = −1 : Không thỏa mãn. KL:phương trình vô nghiệm.
( x − 2 x + 3)′ 2
Câu 47.
y = x 2 − 2 x + 3 ⇒ y′ =
Câu 48.
Chọn A − x2 + 2 x + 3 y′ = 2 ( x 2 + 3)
Câu 49.
2 x2 − 2 x + 3
=
Ta có y′ = 4 x 3 − 8 x , y′ ( −1) = 4
Điểm thuộc đồ thị đã cho có hoành độ x = −1 là: M ( −1;2 ) .
2x − 2
2 x2 − 2 x + 3
=
x −1 x2 − 2x + 3
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M ( −1;2 ) là:
⇒ a = 1 ; b = −1 .
Câu 54.
y ′ = 0 ⇔ − x 2 + 2 x + 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3 . Chọn B
Câu 55.
1 f ′ (1) = 3a − b 3a − b = 1 a = − 5 b 2 ′ . ⇒ f ( x ) = 3ax − 2 ⇒ b b ⇒ x 12a − 4 = −2 b = −8 f ′ ( −2 ) = 12a − 4 5 b 2 f ′ 2 = 6a − = − . 2 5
1 Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M 1; là: 3 1 1 2 y = y ' (1)( x − 1) + = x − 1 + = x − 3 3 3 Câu 56. Chọn D
Chọn B Tập xác định: D = ( −∞; −5m ) ∪ ( −5m; +∞ ) . Ta có y ' =
y′ = 3x 2 − 3
5m − 2
( x + 5m )
2
Ta có y ( 2 ) = 2 và y′ ( 2 ) = 9 . Do đó PTTT cần tìm là: y = 9 ( x − 2 ) + 2 ⇔ y = 9 x − 16
Câu 57.
5m − 2 > 0 2 YCBT ⇔ ⇔ <m≤2 5 −10 ≤ −5m Vì m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {1; 2} .
Câu 58.
DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN Dạng 3.1 Tiếp tuyến tại điểm Câu 51. Chọn B 3 TXĐ: D = ℝ \ 2 −5 Ta có f ' ( x ) = 2 x 2 ( − 3)
Chọn C +) y′ = −3 x 2 + 3 +) Giao điểm của ( C ) với trục tung có tọa độ là ( 0; −2 ) . +) Tiếp tuyến của ( C ) tại điểm ( 0; −2 ) có phương trình là:
y = y′ ( 0 )( x − 0 ) − 2 ⇔ y = 3x − 2. Câu 59.
Chọn A Tập xác định ℝ. y′ = 4 x3 − 16 x. ⇒ y′(−1) = 12. M(−1; y0 ) ∈ (C ) ⇔ y0 = 2. Tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại M(−1;2) có phương trình là y = y '(−1)( x + 1) + 2 ⇔ y = 12 x + 14. Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình là y = 12 x + 14. Câu 60. Chọn A Tập xác định D = ℝ \ {−1} .
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 = −1 : −5 −1 f ' ( −1) = = 2 2. − 1 − 3 ( ( ) ) 5
Chọn C Ta có y′ = 4 x 3 − 8 x , y′ ( −1) = 4. Điểm thuộc đồ thị đã cho có hoành độ x = −1 là: M ( −1;2 ) .
y =
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M ( −1;2 ) là:
Câu 53.
Chọn B Tập xác định D = ℝ . Đạo hàm y′ = 3 − 8 x . Phương trình tiếp tuyến: y = y(′0) . ( x − 0 ) + y( 0 ) ⇒ ∆ : y = 3 x .
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn YCBT
Câu 52.
Phương trình tiếp tuyến tương ứng là y = −7 ( x − 3) + 9 ⇔ y = −7 x + 30 . Chọn C y ' = x2 + 2x − 2
y ' (1) = 1 + 2 − 2 = 1
( )
Câu 50.
y = y′ ( −1)( x + 1) + 2 ⇔ y = 4 ( x + 1) + 2 ⇔ y = 4 x + 6 . Chọn B x = 3⇒ y = 9; −7 y′ = ⇒ y ' ( 3) = −7 . 2 ( x − 2)
3 x−2 . ⇒ y′ = 2 x +1 ( x + 1)
y ( 0) = −2 , y′ ( 0 ) = 3
y = y′ ( −1)( x + 1) + 2 ⇔ y = 4 ( x + 1) + 2 ⇔ y = 4 x + 6. Chọn C 23
24
⇒ phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành độ x0 = 0 là y = 3( x − 0) − 2 ⇔ y = 3x − 2 . Câu 61. Chọn B TXĐ: D = ℝ \ {1} . −2 y'= ⇒ y '(0) = −2 . ( x − 1) 2 Với x = 0 ⇒ y = −3 . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = −2x − 3 . Câu 62. Chọn D Ta có y′ = 3x 2 − 2 .
Câu 69.
−1 2
(3 x − 2 )
Ta có: y′ = −
( x − 1)
2
Câu 70.
2
, y ′ ( 2) = −2 . Khi x = 2 thì y = 5 .
2
nên y′ (1) =
1 . 3 1 ( x − 1) . 3
Chọn C Hàm số y = − x 3 + 3x 2 + 9 x − 1 có đồ thị (C) có tập xác định D = ℝ
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 8 ( x − 1) + 4 = 8 x − 4.
Chọn B Điều kiện x ≠ 1 . −2 Ta có y ' = ⇒ y ' ( 2 ) = −2 . 2 ( x − 1) Phương trình tiếp tuyến tại điểm A ( 2;3) là: y = −2 ( x − 2 ) + 3 = −2 x + 7 .
Do đó a = −2; b = 7 ⇒ a + b = 5 . Câu 73. Chọn B Ta có y ( 2 ) = 24 − 6.22 + 5 = −3.
Chọn C Đặt y = f ( x) = x 2 + x − 2 Ta có y ' = f '( x) = 2 x + 1
3
y ' = 4 x 3 − 12 x ⇒ y ' ( 2 ) = 4. ( 2 ) − 12.2 = 8.
f '(−1) = −1 Tại x0 = −1 ⇒ y0 = f (−1) = −2 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = −( x + 1) − 2 ⇔ y = − x − 3 ⇔ x + y + 3 = 0 . Câu 66. Chọn C y = f ( x ) = x3 − 3x2 + 2 ⇒ f ' ( x ) = 3x 2 − 6 x .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = y ' ( 2 ) . ( x − 2 ) + y ( 2 ) .
⇒ y = 8 ( x − 2 ) − 3 = 8 x − 19. Câu 74.
Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị của hàm số y =
3
2
2
Hệ số góc tiếp tuyến tại A (1; 0 ) của đồ thị hàm số y = x − 3x + 2 là f ' (1) = 3.1 − 6.1 = −3 .
Khi đó
Chọn A 2
3
( x + 2)
2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là: 2 k = y′ ( 2 ) = − = −2 . 2 ( 2 − 1)
−2
3x −1 tại điểm có hoành độ x = 2 là x −1
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( C ) là y′ = −3 x 2 + 6 x + 9 = 12 − 3 ( x + 1) ≤ 12 Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là 12 Câu 71. Chọn A Ta có y ′ = 4 x3 + 4 x ⇒ y ′ (1) = 8.
Câu 72.
( x − 1)
= −2 .
Phương trình tiếp tuyến với ( H ) tại điểm M là: y = y′ (1)( x − 1) + 0 ⇔ y =
.
Tập xác định: D = ℝ \ {1} . Ta có y′ =
−2
( x −1)
Ta có y′ =
x +1 = 3 ⇒ 3x − 3 = x + 1 ⇔ x = 2 . x −1
2
2
y = −2 ( x − 2 ) + 5 ⇔ y = −2 x + 9 . Chọn B Giao điểm của ( H ) và trục hoành là điểm M (1; 0 ) .
.
Tập xác định: D = R \ {1} Với y = 3 , ta có:
−2
( 0 − 1)
Chọn B
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
1 Gọi M là tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung ⇒ M 0; − . 2 1 Vậy hệ số góc cần tìm là: k = y ′ (0) = − . 4 Câu 64. Chọn B
Câu 67.
Câu 68.
Chọn D Ta có: y ′ =
Câu 65.
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại I là y′ ( 0 ) =
Ta có y ′ =
Hệ số góc k của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm có hoàng độ bằng 1 bằng k = y′ (1) = 1 .
Câu 63.
Theo bài ra ta có I ( 0; −1) .
x +1 mà y0 = −2 . x−2
x0 + 1 = −2 ⇒ x0 + 1 = −2 ( x0 − 2) ⇔ x0 = 1 ⇒ M (1; −2) . x0 − 2
.
25
26
Ta có y ′ =
−3 2
( x − 2)
, suy ra y ′ (1) = −3 . Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x +1 tại M (1; −2) là y = −3( x −1) − 2 = −3x +1 . x−2 Dạng 3.2 Tiếp tuyến khi biết hệ số góc, quan hệ song song, vuông góc với đường thẳng cho trước Câu 75. Chọn D Gọi M ( a; a 3 + 1) là điểm thuộc đồ thị hàm số f ( x ) = x3 + 1( C ) .
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y ' = 3 ⇔
x = 0 Vậy hoành độ tiếp điểm cần tìm là: . x = −2
y=
Câu 80. Lời giải Chọn D Ta có: y′ = 3x 2 − 6 x Hệ số góc: k = y ′ ( x0 ) = 3 x02 − 6 x0 = 9 ⇔ x0 = 3; x0 = −1
Ta có f ′ ( x ) = 3x 2 ⇒ phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M là:
y = 3a 2 ( x − a ) + a3 + 1 ⇔ y = 3a 2 x − 2a3 + 1( ∆ ) .
Phương trình tiếp tuyến tại M ( 3;1) : y = 9 ( x − 3) + 1 = 9 x − 26 .
2 a = ±1 3a = 3 ⇔ ⇒ a = −1 . ∆ //d ⇔ 3 −2a + 1 ≠ −1 a ≠ 1
Câu 81.
Vậy, có duy nhất điểm M thỏa mãn yêu cầu là M ( −1; 0 ) .
Câu 76.
Chọn A y = x 3 − 3x ⇒ y′ = 3x 2 − 3 Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm.
x = −1 ⇔ 3 x0 2 − 6 x0 = 9 ⇔ 0 x0 = 3 Với x0 = −1 ⇒ y0 = −2 : ( ∆ ) : y = 9 ( x + 1) − 2 = 9 x + 7 (loại)
f ′ ( x0 ) = 3 ⇔ 3x02 − 3 = 3 ⇔ x0 = ± 2
( (
) )
+ Với x0 = 2 ⇒ y0 = − 2 : phương trình tiếp tuyến là y = 3 x − 2 − 2 = 3x − 4 2
Với x0 = 3 ⇒ y0 = 2 : ( ∆ ) : y = 9 ( x − 3 ) + 2 = 9 x − 25 .
+ Với x0 = − 2 ⇒ y0 = 2 : phương trình tiếp tuyến là y = 3 x + 2 + 2 = 3x + 4 2
Câu 82.
Chọn A Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm.
(C )
vuông góc với đường thẳng y =
1 1 x + 2017 nên y′ ( x0 ) . = −1 9 9 Câu 83.
x0 = −1 . ⇔ y ′ ( x0 ) = −9 ⇔ −3 x0 + 6 x0 + 9 = 0 ⇔ x0 = 3 2
Với x0 = −1 ⇒ y0 = 1 , suy ra PTTT là: y = −9 ( x + 1) + 1 ⇔ y = −9 x − 8 . Với x0 = 3 ⇒ y0 = −3 , suy ra PTTT là: y = −9 ( x − 3) − 3 ⇔ y = −9 x + 24 . Câu 78. Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến. Theo giả thiết ta có f ′ ( x0 ) = −3 ⇔
−3
( x0 − 1)
2
x0 = 0 2 . = −3 ⇔ ( x0 − 1) = 1 ⇔ x0 = 2
Câu 84.
Với x0 = 0 ⇒ y0 = −1 : Phương trình tiếp tuyến: y = −3 ( x − 0 ) − 1 ⇔ y = −3x − 1 .
Chọn B f '( x) = 3 x 2 − 6 x
x = −1 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9 x + 5 nên 3x 2 − 6 x = 9 ⇔ x = 3 Với x = −1 ⇒ y = −4, f ' ( −1) = 9 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 9 x + 5 (không thỏa)
Ta có y′ = −3 x 2 + 6 x . Vì tiếp tuyến của
Phương trình tiếp tuyến tại N ( −1; −3 ) : y = 9 ( x + 1) − 3 = 9 x + 6 . Chọn C Gọi ( ∆ ) là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) và ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm.
y ' = 3x 2 − 6 x Theo giả thiết: ( ∆ ) song song với ( d ) : y = 9 x + 7 ⇒ k∆ = kd = 9 = y ' ( x0 )
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3 x − 10 nên
Câu 77.
x = 0 3 = 3 ⇔ ( x + 1) 2 = 1 ⇔ ( x + 1) 2 x = −2
Với x = 3 ⇒ y = 0, f ' ( 3) = 9 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 9 ( x − 3 ) Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. 1 y = 2 x + 1 ⇒ y ' = f '( x) = 2x +1 1 1 Ta có x − 3 y + 6 = 0 ⇔ y = x + 2 ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3 3 1 1 5 1 1 1 y 3 ( x − 4) ⇔ y = x + . − = ⇔ f '( x0 ) = ⇔ = ⇔ x0 = 4 ⇒ y0 = 3 ⇒ PTTT: 3 3 3 3 2 x0 + 1 3
Chọn C Ta có y′ =
Với x0 = 2 ⇒ y0 = 5 : Phương trình tiếp tuyến: y = −3 ( x − 2 ) + 5 ⇔ y = −3 x + 11 . Ta thấy cả hai tiếp tuyến đều thỏa mãn điều kiện đề bài. Câu 79. Chọn C Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x + 3 y + 2 = 0 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3.
Giả sử
27
−2 2
.
( x − 1) A ( x1 ; y1 ) và B ( x2 ; y2 )
với x1 ≠ x2 .
28
Tiếp tuyến tại A và tại B song song nhau nên y′ ( x1 ) = y′ ( x2 ) ⇔
1
( x1 − 1)
2
=
1
( x2 − 1)
Giả sử M 0 ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm
2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M 0 ( x0 ; y0 ) là: f ' ( x0 ) = x0 2 − 4 x0 + 1
x1 − 1 = x2 − 1 ⇔ x1 + x2 = 2 ⇔ ( x1 − 1) = ( x2 − 1) x1 − 1 = − x2 + 1 Vậy trên đồ thị hàm số tồn tại vô số cặp điểm A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x1 + x2 = 2 thì các tiếp tuyến tại A và tại B song song nhau. x + 1 x2 + 1 2 x1 x2 − 2 * y1 + y2 = 1 + = = 2 . Như vậ y x1 + x2 = 2 và y1 + y2 = 2 hay đoan thẳng AB x1 − 1 x2 − 1 x1 x2 − 1 2
2
Hệ số góc của đường thẳng d : y = −2 x +
Tiếp tuyến song song với đường thẳng d thì x0 2 − 4 x0 + 1 = −2
x0 = 1 ⇔ x0 2 − 4 x0 + 3 = 0 ⇔ x0 = 3 4 * Th1: x0 = 1, y0 = , f ' ( x0 ) = −2 3
có trung điểm là tâm đối xứng I (1;1) của đồ thị.
Câu 85.
Chọn D Tập xác định: D = ℝ \ {−1} . Ta có: y ' = Gọi
m +1 2
Phương trình tiếp tuyến: y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇒ y = −2 x +
.
( x + 1) M ( 0; −m ) ∈ ( Cm ) ;
10 là −2 3
10 (loại) 3
* Th2: x0 = 3, y0 = −4, f ' ( x0 ) = −2
k là hệ số góc của tiếp tuyến của ( Cm ) tại M và d : y = 3 x + 1 .
Phương trình tiếp tuyến: y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇒ y = −2 x + 2 (nhận)
Do tiếp tuyến tại M song song với d nên k = 3 ⇔ y ' ( 0 ) = 3 ⇔ 1 + m = 3 ⇔ m = −2
Chú ý: Do đặc thù đáp án của câu này nên trong quá trình giải khi ra m = −2 thì ta chọn ngay đáp án, tuy nhiên trên thực tế để giải toán thuộc dạng này ta cần chú ý sau khi tìm ra m ta cần phải viết phương trình tiếp tuyến tại M để kiểm tra lại xem tiếp tuyến có song song với đường thẳng đề bài cho không vì khi hai đường này trùng nhau thì hệ số góc của chúng vẫn bằng nhau. Câu 86. Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x của đồ thị hàm số
Câu 88.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −2 x + 2 Chọn C + Ta có y′ = x2 + 6 x , y′ ( x0 ) = −9 ⇔ x02 + 6 x0 + 9 = 0 ⇔ x0 = −3
( y0 = 16)
+ Vậy y = y′ ( x0 )( x − x0 ) + y0 = −9 ( x + 3) + 16 hay y − 16 = −9 ( x − 3) .
Câu 89.
y = − x3 + 2 x 2 , khi đó ta có:
Chọn B y′ = 3x 2 − 6 x Gọi hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến ∆ là x0 . Tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số y = x3 − 3x 2 + 1 biết song song với đường thẳng y = 9 x + 6 x = −1 ⇒ y′ ( x0 ) = 9 ⇒ 3x0 2 − 6 x0 = 9 ⇔ 0 . x0 = 3 Với x0 = −1 ⇒ y ( −1) = −3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y = 9 ( x + 1) − 3 ⇒ y = 9 x + 6 (loại).
x0 = 1 y ' ( x0 ) = 1 ⇔ −3 x02 + 4 x0 = 1 ⇔ . x0 = 1/ 3 Với x0 = 1 ta được M (1;1) , phương trình tiếp tuyến: y = 1. ( x − 1) + 1 ⇔ y = x (loại). 1 1 5 4 1 5 ta được M ; , phương trình tiếp tuyến: y = 1. x − + ⇔ y = x− . 3 3 27 27 3 27 Vậy chỉ có một tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán. Câu 87. Chọn A Với x0 =
Với x0 = 3 ⇒ y ( 3) = 1 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y = 9 ( x − 3) + 1 ⇒ y = 9 x − 26 (thỏa mãn).
Câu 90.
Chọn D 3 2 Giả sử tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −x + 2x tại M ( x0 ; y0 ) có dạng: y = y′( x0 )( x − x0 ) + y0
x0 = 1 Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x nên y′( x0 ) = 1 ⇔ −3x02 + 4 x0 = 1 ⇔ x0 = 1 3 x y = 1, = 1 ⇒ + Với 0 phương trình tiếp tuyến là y = x (loại) 0 1 5 4 + Với x0 = , y0 = hay 27 x − 27 y − 4 = 0. ⇒ phương trình tiếp tuyến là y = x − 3 27 27 Vậy có một tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán. Câu 91. Chọn D y′ = −4 x3 + 4 x . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên có hệ số góc bằng 0 .
29
30
x0 = 0 Suy ra y′ ( x0 ) = 0 ⇔ −4 x03 + 4 x0 = 0 ⇔ x0 = −1 . x0 = 1
y′ ( x0 ) = k ⇔
Với x0 = 0 thì y0 = 0 , tiếp tuyến là: y = 0 (loại). Với x0 = −1 thì y0 = 1 , tiếp tuyến là y = 1 (thỏa mãn). Với x0 = 1 thì y0 = 1 , tiếp tuyến là y = 1 (thỏa mãn). Vậy có một tiếp tuyến song song với trục hoành có phương trình y = 1 . Câu 92. Chọn C Vì tiếp tuyến của đồ thị ( C ) song song với ∆ : y = 3 x + 2 nên gọi toạ độ tiếp điểm là M ( x0 ; y0 ) ta có x0 = −1 3 2 = 3 ⇔ ( x0 + 2 ) = 1 ⇔ y′ ( x0 ) = 3 ⇔ . 2 ( x0 + 2) x0 = −3 x0 = −1 ⇒ ( d ) : y = 3( x + 1) − 1 = 3 x + 2 (Loại). x0 = −3 ⇒ ( d ) : y = 3( x + 3) + 5 = 3 x + 14 (Nhận).
Câu 93.
Chọn A Hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 , có y ' = 3x 2 − 6 x. . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị ( C ) , khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3 x0 2 − 6 x0 .
Tiếp tuyến của ( C ) song song với đường thẳng y = 9 x − 25 khi
x0 = −1 ⇒ y0 = −2 3x0 2 − 6 x0 = 9 ⇔ x0 = 3 ⇒ y0 = 2 + Với M ( −1; −2 ) phương trình tiếp tuyến của ( C ) là y = 9 x + 7.
Câu 94.
−3
( x0 − 1)
2
x0 = 2 . = −3 ⇔ x0 = 0
+ Với x0 = 2 ⇒ y0 = 5 ⇒ M 0 ( 2;5)
⇒ Tiếp tuyến ∆ : y = −3 ( x − 2 ) + 5 ⇔ y = −3x + 11. + Với x0 = 0 ⇒ y0 = −1 ⇒ M 0 ( 0; − 1)
⇒ Tiếp tuyến ∆ : y = −3 ( x − 0 ) − 1 ⇔ y = −3 x − 1 . Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là y = −3x + 11 và y = −3x − 1. Câu 96. Chọn C Ta có: y′ = 4 x3 − 9 x 2 + 4 x Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 4 x3 − 9 x 2 + 4 x = 7. Phương trình có 1 nghiệm nên có 1 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7. Câu 97. Chọn C Vì tiếp tuyến song song với trục Ox nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 0 . x = 0 ⇒ y0 = m − 2 Gọi tiếp điểm là M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) , khi đó y ' ( x0 ) = 4 x03 − 4 x0 = 0 ⇔ 0 x0 = ±1 ⇒ y0 = m − 3 2 m = m − 3 ≠ 0 Đề có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox thì ⇔ m = 3; m = 2 m=3 m − 2 ≠ 0 Vậy tổng các giá trị của m là 3+2=5. Câu 98. Chọn A
Ta có: y ′ = 3x2 − 6 x .
+ Với M ( 3; 2 ) phương trình tiếp tuyến của ( C ) là y = 9 x − 25.
Vì tiếp tuyến của (C ) song song với đường thẳng d : y = 9 x − 25 nên có:
Vậy tiếp tuyến của ( C ) song song với y = 3x + 1 là y = 9 x + 7 , nên ta có 1 tiếp tuyến cần tìm Chọn B 1 2 Tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng y = − x + nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 3 3 3
x = −1 3x 2 − 6 x = 9 ⇔ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ x = 3 + Với x = −1 ⇒ y (−1) = −2 . Phương trình tiếp tuyến: y = 9 ( x + 1) + 2 ⇔ y = 9 x + 11 .
Ta có: y '( x ) = x 2 − 1
+ Với x = 3 ⇒ y (3) = 2 . Phương trình tiếp tuyến: y = 9 ( x − 3) + 2 ⇔ y = 9 x − 25 . Vậy chỉ có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 99. Chọn B Ta có: d :12 x + y = 0 ⇒ d : y = −12 x . Hệ số góc của đường thẳng d là kd = −12 .
x = 2 Xét phương trình: y '( x) = 3 ⇔ x 2 − 1 = 3 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = −2 Do M có hoành độ âm nên x = −2 thỏa mãn, x = 2 loại. Với x = −2 thay vào phương trình ( C ) ⇒ y = 0 . Vậy điểm M cần tìm là: M ( −2; 0 ) Câu 95. Chọn A Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm Tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y = −3x suy ra hệ số góc của tiếp tuyến ∆ là k = −3.
Do tiếp tuyển của đồ thị hàm số y = 2 x3 − 3x2 −12 x +1 song song với đường thẳng d nên hệ số góc của tiếp tuyển là ktt = kd = −12 .
y = 2x3 − 3x2 −12x + 1 ⇒ y ' = 6x2 − 6x −12 . Giải sử M ( x0 ; y0 ) là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến. Khi đó:
Tiếp tuyến ∆ tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) có phương trình dạng y = −3 ( x − x0 ) + y0 . Ta có y′ =
−3
( x − 1)
2
x = 0 M (0;1) y '( x0 ) = 6 x0 2 − 6 x0 − 12 = −12 ⇔ 0 ⇒ x0 = 1 M (1; −12) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M (0;1) là: y = −12( x − 0) + 1 = −12 x + 1 .
.
31
32
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M (1; −12) là: y = −12( x − 1) − 12 = −12 x (loại do trùng với d ).
x = 0 x = 0 x=4 k = −1 ⇔ ⇔ . Vậy ( d ) : y = − x + 1 hoặc ( d ) : y = x − 3 . k = x − 1 x = 4 2 k = 1
Vậy y = −12 x + 1 , như vậy a = −12, b = 1 ⇒ 2 a + b = −23 . Câu 100. Chọn B Gọi ( C ) là đồ thị hàm số y = x3 + 3x − 1 . Có y′ = 3x2 + 3 .
Câu 104. Ta có: y′ = 3 x 2 + 6mx + m + 1 .
x = 1⇒ y = 3 y ' = 6 ⇔ 3x + 3 = 6 ⇔ x = −1 ⇒ y = −5 Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M (1;3) là: y = 6 x − 3 .
Với x0 = −1 thì y0 = 2m − 1 , gọi B ( −1; 2m − 1) ⇒ AB = ( −2; 2m − 4 ) .
2
Tiếp tuyến tại B đi qua A nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = − m + 2 . Mặt khác: hệ số góc của tiếp tuyến là k = y ′ ( x0 ) .
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ′ ( −1; − 5 ) là: y = 6 x + 1 .
2
m + 1 = −3 m = −4 Để đường thẳng y = 6 x + m + 1 là tiếp tuyến của ( C ) thì ⇔ m + 1 = 1 m = 0 Câu 101. Chọn A Ta không xét m = 0 vì giá trị này không ảnh hưởng đến tổng S . f ( x ) = 0 Với m ≠ 0 đồ thị hàm số f ( x ) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi: ( I ) có f ′ ( x ) = 0 nghiệm. x 3 − 3mx 2 + 3mx + m2 − 2m3 = 0 x ( x 2 − 2mx ) − mx 2 + 3mx + m2 − 2m3 = 0 ⇔ ( I) ⇔ 2 2 3 x − 6mx + 3m = 0 x − 2mx = − m 2 x − 2mx − 2m 2 + 2m = 0 (1) −mx 2 + 2mx + m 2 − 2m3 = 0 − x 2 + 2 x + m − 2m 2 = 0 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 2 x − 2mx + m = 0 x − 2mx + m = 0 x − 2mx + m = 0 ( 2 )
m = 1 x = −m
(1) ⇔ ( x + m )(1 − m ) ⇔
⇔ 3 − 6m0 + m0 + 1 = − m0 + 2 ⇔ −4m0 = −2 ⇔ m0 =
1 . 2
Câu 105. Chọn C 1− x + x − 2 −1 f '( x) = = (1 − x) 2 (1 − x )2 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M ( x0 ; y0 ) : y −
x0 − 2 −1 = ( x − x0 ) 1 − x0 (1 − x 0 ) 2
x0 − 2 −1 = (m − x0 ) ⇔ 2 x 02 − 6 x0 + m + 3 = 0( x0 ≠ 1)(1) 1 − x0 (1 − x 0 ) 2 Để có 1 tiếp tuyến qua A(m;1) ⇒ phương trình (1) có 1 nghiệm x0 ≠ 1
Tiếp tuyến đi qua A(m;1) ⇒ 1 −
m = ∆ = 0 ⇔ ⇔ ∆ > 0; 2 − 6 + m + 3 = 0 m <
3 3 m= 2 ⇔ 2 3 ; m = 1 m = 1 2
2
Với m = 1 thay vào ( 2 ) ⇒ x = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với x = −m thay vào ( 2 ) ⇒ −3m2 + m = 0 ⇔ m =
Do đó ta có: 3 ( x0 ) + 6m0 x0 + m0 + 1 = −m0 + 2
3 13 3 S = 1; . Ta có 12 + = 4 2 2 Câu 106. ChọnB
1 3
1 4 Vậ y S = 1 + = 3 3 Dạng 3.3 Tiếp tuyến đi qua một điểm Câu 102. Phương trình đường thẳng qua điểm A ( −1; 0 ) có dạng: y = a ( x + 1) = ax + a ( d ) .
x3 − 3 x 2 + 2 x = ax + a Đường thẳng ( d ) là tiếp tuyến khi hệ 2 có nghiệm. Dễ thấy hệ có ba 3x − 6 x + 2 = a nghiệm ( a; x ) phân biệt nên có ba tiếp tuyến. Câu 103. Phương trình đường thẳng qua M ( 2; −1) có dạng y = k ( x − 2 ) − 1 = kx − 2k − 1 ( d ) . x2 ( d ) là tiếp tuyến của parabol y = − x + 1 khi và chỉ khi 4
x2 kx − 2k − 1 = 4 − x + 1 có nghiệm k = x − 1 2
Bằng các phép biến đổi đồ thị ta nhận được đồ thị hàm số như hình trên. Dễ thấy hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục tung là trục đối xứng. Dựa vào đồ thị hàm số ta chỉ cần tìm tiếp tuyến khi x > a 2 + 1 , tiếp tuyến còn lại đối xứng với tiếp tuyến tìm được qua trục tung. 33
34
Khi x > a 2 + 1 , ta có y =
(b 2 + 2) x (b 2 + 2)(a 2 + 1) ; y' = − . Tiếp tuyến của đồ thi hàm số có 2 x − (a + 1) [x − (a 2 + 1)]2
−1 ( x − 1)2 Đường thẳng d qua A có hệ số góc k là y = k( x − a) + 1 ĐK: x ≠ 1 ; y ' =
dạng y=−
(b 2 + 2)(a 2 + 1) (b 2 + 2) x0 ( x − x0 ) + (d ) . 2 2 x0 − ( a 2 + 1) [x0 − (a + 1)]
−x + 2 k( x − a) + 1 = x − 1 ( 1) có nghiệm. d tiếp xúc với ( C ) ⇔ k = −1 ( 2 ) 2 ( x − 1)
Theo giả thiết M ∈ (d ) suy ra
x0 = a 2 + 2 (b 2 + 2)(a 2 + 1) x0 (b 2 + 2) x0 + ⇔ x = a2 + 2 [x0 − ( a 2 + 1)]2 x0 − ( a 2 + 1) 0 a2 + 3 Vì x0 > a 2 + 1 cho nên x0 = a 2 + 2 , suy ra phương trình tiếp tuyến là (a 2 + 2) 2 (b 2 + 2) =
Thế ( 2 ) vào (1) ta có:
⇔ 2 x2 − 6 x + a + 3 = 0 ( 3 )
y = (b2 + 2)[(a 2 + 2)2 − (a 2 + 1) x] . Tiếp tuyến đối xứng với (d ) qua trục tung có phương trình y = (b2 + 2)[(a 2 + 2)2 + (a 2 + 1) x] . Câu 107. Chọn C
Để đồ thị hàm số có một tiếp tuyến qua A thì hệ là số nghiệm của hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất ⇔ phương trình ( 3) có nghiệm duy nhất khác 1
∆ ' = 9 − 2a − 6 = 0 3 a= 2 − 6 + a + 3 ≠ 0 ⇔ 2 x 2 − 6 x + a + 3 = 0 (3) ⇔ ⇒ 2 ∆ ' = 9 − 2a − 6 > 0 a = 1 2 − 6 + a + 3 = 0
TXĐ: R \ {1} . y' = −
1
( x − 1)
2
Cách 2: TXĐ : D = R \ {1} ; y ′ =
Tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ x0 ( x0 ≠ 1) của (C ) có phương trình.
1
−x + 2 y=− x − x0 ) + 0 2 ( x0 − 1 x − 1 ( 0 ) đt ( ∆ ) đi qua A ( a;1) ⇒ 1 = −
(∆)
1
( x0 − 1)
2
( a − x0 ) −
2 x0 − 2 2 x − 6 x0 + a + 3 = 0 ( *) ⇔ 0 x0 − 1 x0 ≠
2
Vì A ∈ d nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có : 2 x2 − 6 x0 + 3 + a = 0 (1) −x + 2 −1 1= a − x0 ) + 0 ⇔ 0 2 ( x0 − 1 x0 ≠ 1 ( x0 − 1)
∆ ' = 0 3 − 2a = 0 3 m ⇔ 2 ⇔ ⇔ a = = ⇒ m+ n = 5 2 n 2.1 − 6.1 + a + 3 ≠ 0 a − 1 ≠ 0
Để chỉ có một tiếp tuyến duy nhất đi qua A thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất khác 1
Câu 108. Chọn D Ta có: y ′ = 3 x 2 − 6 x
∆′ = 9 − 2 a − 6 = 0 3 a= 1 − 6 + a + 3 ≠ 0 ⇔ ⇒ 2. ∆′ = 9 − 2 a − 6 > 0 a = 1 2 − 6 + a + 3 = 0
Phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số tại M ( x 0 ; y0 ) có dạng y = (3 x 0 2 − 6 x 0 )( x − x 0 ) + x 0 3 − 3 x 0 2 + 2
−1
( x − 1)
Giả sử tiếp tuyến đi qua A ( a;1) là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = x0 , khi đó phương trình −x + 2 −1 tiếp tuyến có dạng : y = x − x0 ) + 0 (d ) 2 ( x0 − 1 ( x0 − 1)
Có duy nhất 1 tiếp tuyến qua A pt (* ) có duy nhất 1 nghiệm khác 1
y = y ′ ( x 0 )( x − x 0 ) + y0
−1 −x + 2 ( x − a) + 1 = ⇔ − x + a + x2 − 2x + 1 = −x2 + 3x − 2, x ≠ 1 x −1 ( x − 1)2
(1)
đi qua nên ta được phương trình 2 = (3 x 0 2 − 6 x 0 )(3 − x 0 ) + x 0 3 − 3 x 0 2 + 2
Dạng 3.4 Một số bài toán liên quan đên tiếp tuyến Câu 110. Chọn B Ta có y ′ = 3x2 − 6 x + 6
x0 = 0 ⇔ 2 x 0 3 − 12 x 0 2 + 18 x 0 = 0 ⇔ 2 x 0 ( x 0 − 3 x )2 = 0 ⇔ x0 = 3 +) x 0 = 0 thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến d 1 là y = 2 .
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiểm điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số là 2
k = y ′ ( x0 ) = 3x02 − 6 x0 + 6 = 3( x02 − 2 x0 + 1) + 3 = 3( x0 +1) + 3 ≥ 3 Vậy hệ số góc lớn nhất là 3 đạt được tại M (3;19) . Câu 111. Chọn D 3 Tập xác định: D = ℝ \ − . 2
+) x 0 = 3 thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến d 2 là y = 9 x − 25 . Vậy có 2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua A (3;2 ) .
Ta cũng có thể sử dụng đồ thị của hàm số để suy ra đáp án Câu 109. Chọn C 35
36
Ta có y ′ =
−1 2
(2 x + 3)
Vậy d : y = ax + b hay d : y = − x − 2 ⇒ a = −1; b = −2 ⇒ a + b = −3 . Câu 115. Chọn D 1 3 3 + y = f ( x ) = x3 − x 2 + 2 ⇒ f ' ( x ) = x 2 − 3x . 2 2 2 3 Hệ số góc tiếp tuyến tại A ( a; y A ) của đồ thị ( C ) là f ' ( a ) = a 2 − 3a . 2 3 2 Hệ số góc tiếp tuyến tại B ( b; y B ) của đồ thị ( C ) là f ' ( b ) = b − 3b 2 ( a ≠ b vì A và B phân biệt). 3 3 Mà tiếp tuyến tại A và B song song nên f ' ( a ) = f ' ( b ) ⇔ a 2 − 3a = b 2 − 3b 2 2 a = b ( l ) 3 2 2 1 1 ⇔ a − b − 3 ( a − b ) = 0 ⇔ 3 ( a − b ) a + b − 1 = 0 ⇔ ⇔b = 2−a . 2 2 2 a + b = 2
< 0; ∀x ∈ D.
Tam giác ∆OAB cân tại O , suy ra hệ số góc của tiếp tuyến bằng ±1. −1 < 0; ∀x ∈ D ⇒ ktt = −1. 2 (2 x + 3)
Do y ′ =
Gọi tọa độ tiếp điểm là ( x0 ; y0 ) ; x0 ∈ D , ta có:
Câu 112.
−1 2
(2 x0 + 3)
= −1 ⇔ x0 = −2 ∨ x0 = −1.
● Với x0 = −1 ⇒ y0 = 1 ⇒ phương trình tiếp tuyến y = − x (loại vì A ≡ B ≡ O ). ● Với x0 = −2 ⇒ y0 = 0 ⇒ phương trình tiếp tuyến y = −x − 2 (nhận). a = −1 Vậy ⇒ a + b = −3. b = −2
(
Lời giải Chọn A Giả sử tiếp tuyến của (C ) tại M ( x0 ; y0 ) cắt Ox tại A , Oy tại B sao cho OA = 4OB . OB 1 1 1 = ⇒ Hệ số góc tiếp tuyến bằng hoặc − . Do tam giác OAB vuông tại O nên tan A = OA 4 4 4 x0 = 3 1 1 1 =− ⇔ Hệ số góc tiếp tuyến là f ′ ( x0 ) = − . <0 ⇒ − 2 2 4 x0 = −1 ( x0 −1) ( x0 −1) 5 1 13 x0 = 3 ⇒ y0 = : d : y = − x + . 2 4 4 3 1 5 x0 = −1 ⇒ y0 = : d : y = − x + . 2 4 4 Câu 113. Chọn D Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − mx 2 + (2 m − 3) x − 1 tại tiếp điểm
M ( x0 ; y0 ) là: y′ ( x0 ) = 3x02 − 2mx0 + 2m − 3
)
3 3 1 1 + A a; a 3 − a 2 + 2 ; B b; b3 − b 2 + 2 . 2 2 2 2 1 1 3 3 1 ⇒ BA a − b; a 3 − b3 − a 2 + b 2 = ( a − b ) ( 2; a 2 + ab + b 2 − 3a − 3b ) 2 2 2 2 2 ⇒ véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AB là n ( a 2 + ab + b 2 − 3a − 3b; −2 ) = ( a 2 − 2a − 2; −2 ) .
3 1 Phương trình đường thẳng AB đi qua A a; a 3 − a 2 + 2 có véc tơ pháp tuyến n là 2 2 1 3 3 2 2 ( a − 2a − 2) ( x − a ) − 2. y − 2 a − 2 a + 2 = 0 . 1 3 2 Mà đường thẳng AB đi qua D ( 5; 3) ⇒ ( a − 2a − 2 ) ( 5 − a ) − 2. 3 − a3 − a 2 + 2 = 0 2 2 a = −1 2 . ⇔ a − 2a − 3 = 0 ⇔ a = 3 Với a = −1 , phương trình đường thẳng AB là x + 1 − 2 y = 0 ⇔ x − 2 y + 1 = 0 . Với a = 3 , phương trình đường thẳng AB là x − 3 − 2. ( y − 2 ) = 0 ⇔ x − 2 y + 1 = 0 . Cách trắc nghiệm Dễ thấy AB đi qua điểm uốn I (1;1) ⇒ đường thẳng AB trùng với đường thẳng ID . ⇒ ID ( 4; 2 ) = 2 ( 2;1) ⇒ véc tơ pháp tuyến n của đường thẳng AB là n (1; −2 ) .
3 > 0 2 ⇔ ( m − 3) < 0 ⇔ m ∈∅ Hệ số góc luôn dương ⇔ y′ ( x0 ) > 0, ∀x0 ∈ ℝ ⇔ ∆′ < 0 Câu 114. Chọn D x+2 3 Tập xác định của hàm số y = là D = ℝ \ − . 2x + 3 2 −1 ′ < 0, ∀x ∈ D . Ta có: y = 2 ( 2 x + 3)
Câu 116. Chọn D • M ∈ d : y = 1 − 2 x ⇒ M ( m;1 − 2m ) . • Phương trình đường thẳng đi qua M có dạng: y = kx + 1 − 2m − km . • Điều kiện để qua M có hai tiếp tuyến với ( C ) là:
Mặt khác, ∆OAB cân tại O ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là −1. 3 Gọi tọa độ tiếp điểm ( x0 ; y0 ) , với x0 ≠ − . 2 −1 Ta có: y′ = = −1 ⇔ x0 = −2 ∨ x0 = −1 . 2 ( 2 x0 + 3)
x+3 x − 1 = kx + 1 − 2m − km có 2 nghiệm phân biệt. 4 k = − 2 ( x − 1) 4x 4m x+3 có 2 nghiệm phân biệt. ⇔ =− + 1 − 2m + 2 2 x −1 ( x − 1) ( x − 1)
Với x0 = −1 ⇒ y0 = 1 . Phương trình tiếp tuyến là: y = − x loại vì A ≡ B ≡ O . Với x0 = −2 ⇒ y0 = 0 . Phương trình tiếp tuyến là: y = − x − 2 thỏa mãn. 37
38
⇔ mx 2 + 2 ( 2 − m ) x − m − 2 = 0 (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Vậ y S =
m ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 • Khi đó, 2 nghiệm của phương trình (*) là hoành độ của hai điểm A, 2
+) Cho m = 2 : 2 x − 4 = 0 ⇔ x = ± 2 ⇒ A
(
Câu 118. Chọn C
B. 2;5 + 4 2 , B − 2;5 − 4 2
) (
9 + 65 9 − 65 9 + = . 8 8 4
Ta có: y′ =
)
x = −1 5 ⇒ A ' ( −1; − 1) , B ' ;7 +) Cho m = 3 : 3x 2 − 2 x − 5 = 0 ⇔ x = 5 3 3 ⇒ Phương trình đường thẳng A’B’: y = 3x + 2 .
x = 0 x3 + 3x 2 + mx + 1 = 1 ⇔ x3 + 3x 2 + mx = 0 ⇔ 2 . x + 3x + m = 0 Để hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình x 2 + 3x + m = 0 phải có hai nghiệm 9 32 − 4.1.m > 0 −4m > −9 m < phân biệt khác 0 ⇔ 2 ⇔ ⇔ 4. 0 + 3.0 + m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0 Với điều kiện trên, hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt A ( 0;1) , B ( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) , ở đó
2
⇔ 2 x + ( a − 1) y − ( a2 + 2a −1) = 0 ( ∆ ) . Hai đường tiệm cận của ( C ) là x = 1; y = 1 .
a +3 Ta có ( ∆ ) ∩ ( x = 1) tại A 1; , ( ∆ ) ∩ ( y = 1) tại B ( 2a − 1;1) . a −1
AB =
( 2a − 2 )
xB , xC là nghiệm của phương trình x + 3x + m = 0 . Ta có: f ′ ( x ) = 3 x 2 + 6 x + m .
d ( O, ( ∆ ) ) =
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f ( x ) tại B , C lần lượt là
Để hai tiếp tuyến này vuông góc thì k B .kC = −1 .
)
Suy ra: 3 x + 6 xB + m 3x + 6 xC + m = −1 2 B
2 B C
2
= a −1 + 2 C
2
⇔ 9 ( xB xC ) + 18 x x + 3mx + 18 x x + 36 xB xC + 6mxB + 3mx + 6mxC + m = −1
2
2 −4 + = a −1 a −1
a 2 + 2a − 1
4 + ( a − 1)
1 2 Vậy S∆OAB = . 2 a −1
kB = f ′ ( xB ) = 3xB2 + 6 xB + m ; kC = f ′ ( xC ) = 3xC2 + 6 xC + m .
)(
2
a +1 −2 a +1 x − a) + Giả sử M a; ∈ ( C ) ( a > 1) ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M : y = 2 ( a −1 a −1 ( a − 1)
2
2 B C
11 ( ) 1 − g 1 + 4 2
11 ⇒ f (1) ≤ − 4 Câu 119. Chọn A −2 x +1 ⇒ y'= y= x ≠ 1) . 2 ( x −1 ( x − 1)
⇒ OH = 58
2
2
[ g (1) + 1]
2
2
Câu 117. Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = 1 là:
(
f ′ (1) [ g (1) + 1] − g ′ (1) [ f (1) + 3]
⇒ g (1) + 1 − [ f (1) + 3] = [ g (1) + 1] ⇒ f (1) = − [ g (1)] − g (1) − 3 = −
• H là điểm cố định nên H là giao điểm của hai đường thẳng AB và A’B’: 4 x H − y H = −5 xH = 3 ⇔ ⇒ H ( 3; 7 ) 3 xH − yH = −2 yH = 7
2 C
⇒ y′ (1) =
2
[ g ( x ) + 1]
Vì y′ (1) = f ′ (1) = g ′ (1) ≠ 0 nên ta có f ′ (1) [ g (1) + 1] − g ′ (1) [ f (1) + 3] g (1) + 1 − [ f (1) + 3] = f ′ (1) ⇔ =1 2 2 [ g (1) + 1] [ g (1) + 1]
⇒ Phương trình đường thẳng AB: y = 4 x + 5 .
2 B
f ′ ( x ) [ g ( x ) + 1] − g ′ ( x ) [ f ( x ) + 3]
4
4
+4 =
2 a −1
( a − 1)
4
+4.
.
( a − 1)
2 +4 ≥ 4+2 a −1
( a − 1)
4
+ 4.
( a − 1) .
a 2 + 2a − 1 4 + ( a − 1)
4
2
=
a 2 + 2a − 1 ( a − 1) + 4 ( a − 1) + 2 = a −1 a −1
2 = 4+2 2 . a −1
Câu 120. Chọn D Ý nghĩa hình học, đạo hàm cấp 1 của hàm số y = f ( x ) tại x0 là hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị
2
⇔ 9 ( xB xC ) + 18 xB xC ( xB + xC ) + 3m ( xB2 + xC2 ) + 36 xB xC + 6m ( xB + xC ) + m 2 + 1 = 0 . xB + xC = −3 2 Ta lại có theo Vi-et: . Từ đó xB2 + xC2 = ( xB + xC ) − 2 xB xC = 9 − 2m . xB xC = m Suy ra: 9m2 + 18m ( −3) + 3m ( 9 − 2m ) + 36m + 6m ( −3) + m2 + 1 = 0 ⇔ 4m2 − 9m + 1 = 0
hàm số y = f ( x ) tại điểm ( x0 ; f ( x0 ) ) . Quan sát hình vẽ ta thấy hệ số góc tiếp tuyến tại A bằng 0 Hệ số góc tiếp tuyến tại B dương (tiếp tuyến đi lên từ trái qua phải); Hệ số góc tiếp tuyến tại C âm (tiếp tuyến đi xuống từ trái qua phải) Câu 121. Chọn A Nhận xét: Đồ thị hàm số không thể có tiếp tuyến là đường thẳng song song với trục tung. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng ∆ đi qua A . Phương trình đường thẳng ∆ : y = k ( x + 1) − 1
9 + 65 m = 8 (thỏa mãn). ⇔ 9 − 65 m = 8 39
40
Để ∆ tiếp xúc với ( C ) thì hệ sau phải có nghiệm: x 3 − 3 ( m + 3) x 2 + 3 = k ( x + 1) − 1 ( I ) : 2 3x − 6 ( m + 3) x = k
Ta có: y′ = −
(1)
2
2
3
y′ ( x0 ) = 3x02 − 2mx0 + 2m − 3 3 > 0 2 Hệ số góc luôn dương ⇔ y ′ ( x0 ) > 0, ∀x0 ∈ ℝ ⇔ ⇔ ( m − 3) < 0 ⇔ m ∈ ∅ ′ ∆ < 0 Câu 125. Chọn D −1 y' = . Theo đề x0 = 2; y0 = 1; y ' ( x0 ) = −1 . 2 ( x − 1)
3
8 ( m + 3 ) − 12 ( m + 3) + 4 = 0 ⇔ ( m + 3 ) = 1 ⇔ m = −2
Thử lại, với m = −2 thay vào hệ (I), ta được: x3 − 3x 2 + 3 = k ( x + 1) − 1 2 3x − 6 x = k
Suy ra pttt ∆ là: y = − x + 3 . Tiếp tuyến ∆ cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A ( 3; 0 ) , B ( 0;3 ) . Do đó diện tích tam giác được tạo
x = 2 ⇒ x 3 − 3 x 2 + 3 = ( 3x 2 − 6 x ) ( x + 1) − 1 ⇔ x 3 − 3x − 2 = 0 ⇔ x = −1 Với x = 2 ⇒ k = 0 , tiếp tuyến: y = −1 . Với x = −1 ⇒ k = 9 , tiếp tuyến: y = 9 ( x + 1) − 1 = 9 x + 8 .
1 9 bởi ∆ và các trục tọa độ bằng: S = .OA.OB = . 2 2 Câu 126. Chọn A 2x + 3 Ta có y = (C ) x+2 TXĐ: D = ℝ \ {−2}
Với m = −2 xét sự tương giao của đồ thị hàm số với đường thẳng ∆ 2 : y = 9 x + 8 . Xét phương trình: x = −1 2 x3 − 3x 2 + 3 = 9 x + 8 ⇔ x 3 − 3x 2 − 9 x − 5 = 0 ⇔ ( x + 1) ( x − 5 ) = 0 ⇔ x = 5 Tọa độ giao điểm còn lại có hoành độ bằng 5 . Không thỏa mãn đề bài. Câu 122. Chọn B. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d qua A . Ta có phương trình của d có dạng: y = kx + m − k .
y'=
1
( x + 2)
2
Gọi phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng (d ) : y =
3 3 2 kx + m − k = x + 3x + 1 m = −2 x + 6 x + 1 (*) ⇔ d tiếp xúc ( C ) ⇔ hệ sau có nghiệm: 2 2 k = 3x + 6 x k = 3x + 6 x
Để qua A có thể được đúng 3 tiếp tuyến tới ( C ) thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt
⇔ yCT < m < yCĐ với f ( x ) = −2 x3 + 6 x + 1 .
1
( x0 + 2 )
2
. ( x − x0 ) +
2 x0 + 3 x0 + 2
2x2 + 6x + 6 0 Ta có (d ) ∩ Ox = A ( −2 x02 − 6 x0 − 6; 0 ) ; (d ) ∩ Oy = B 0; 0 2 ( x0 + 2 ) Ta thấy tiếp tuyến ( d ) chắn trên hai trục tọa độ tam giác OAB luôn vuông tại O
Để tam giác OAB cân tại O ta có OA = OB ⇒ −2 x02 − 6 x0 − 6 =
Ta có f ′ ( x ) = −6 x 2 + 6; f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = ±1 .
f (1) = 5 = fCĐ ; f ( −1) = −3 = fCT .
2 x02 + 6 x0 + 6
( x0 + 2 )
2
x0 = − 3 =1⇔ x0 = − 1 Ta có hai tiếp tuyến thỏa mãn (d ) : y = x và (d ) : y = x + 2 . Câu 127. Chọn D f ′ ( 2 ) .g ( 2 ) − f ( 2 ) g ′ ( 2 ) k1.g ( 2 ) − k 2 . f ( 2 ) Ta có: k1 = f ′ ( 2 ) , k2 = g ′ ( 2 ) ; k3 = = g 2 ( 2) g 2 (2) ⇔
Suy ra −3 < m < 5 . Vậy số phần tử của S là 7 . Câu 123. Chọn B Tập xác định: D = R \ {1} Với y = 3 , ta có:
2
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − mx + (2m − 3)x −1tại tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) là:
x = 0 ⇒ 3x − 6 ( m + 3) x = 0 ⇔ x = 2 ( m + 3) Với x = 0 , k = 0 thay vào (1), không thỏa mãn. Với x = 2 ( m + 3 ) , k = 0 thay vào (1) ta được: 2
3
.
Câu 124. Chọn D
Một tiếp tuyến ∆1 : y = −1 , suy ra: k = 0
3
2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là: 2 k = y′ ( 2 ) = − = −2 . 2 ( 2 − 1)
( 2) ⇒ x − 3 ( m + 3 ) x + 4 = 3 x ( x + 1) − 6 ( m + 3 ) x ( x + 1) ⇔ 2 x 3 − ( 3m + 6 ) x 2 − 6 ( m + 3 ) x − 4 = 0 ( * ) 3
2
( x − 1)
x +1 = 3 ⇒ 3x − 3 = x + 1 ⇔ x = 2 . x −1
1
( x0 + 2 )
2
Mà k1 = k2 = 2k3 ≠ 0 nên ta có: 41
42
k3 =
2 k3 .g ( 2 ) − 2 k3 . f ( 2 ) g 2 ( 2)
2 1 1 1 1 ⇔ f ( 2 ) = − .g 2 ( 2 ) + g ( 2 ) = − . g ( 2 ) − 1 + ≤ . 2 2 2 2
Có điểm M 3 ( 4; −8008) ⇒ d3 : y + 8008 = y ' ( 4) .( x − 4) ⇔ d3 : y = −1970x − 128 . Phương trình hoành độ giao điểm của d 3 và ( C) là:
Câu 128. Chọn A
x3 = 4 . x3 − 2018 x = −1970 x − 128 ⇔ x 3 − 48 x + 128 = 0 ⇔ x4 = −8 x1 = 1 x = −2 2 1 n −1 n Suy ra ta có dãy ( xn ) : x3 = 4 ⇒ xn = ( −2 ) = − . ( −2 ) ⇒ yn = xn3 − 2018 xn . 2 x = −8 4 ...
2x − 3 . Tiếp tuyến tại điểm M x0 ; 0 y′ = − ( x0 ≠ 2 ) của ( C ) có phương trình là: 2 x0 − 2 x − 2 ( ) 1
(d ) : y = −
1
( x0 − 2 )
2
( x − x0 ) +
2 x0 − 3 . x0 − 2
y = 2 2x − 3 1 *) A = d ∩ d1 ⇒ y=− x − x0 ) + 0 2 ( x0 − 2 x − 2 ( ) 0
Giả thiết: 2018 xn + yn + 2 2019 = 0 ⇔ 2018 xn + xn3 − 2018 xn + 2 2019 = 0
⇔ xn3 = −22019 ⇔ xn3 = ( −2)
2x − 3 1 1 ⇒ x = 2 x0 − 2 ⇒2=− x − x0 ) + 0 ⇒ x − x0 ) = 2 ( 2 ( x0 − 2 x0 − 2 ( x0 − 2 ) ( x0 − 2 )
⇒ A ( 2 x0 − 2; 2) .
1
( x0 − 2 )
2
( 2 − x0 ) + 2
2
( x0 − 2 ) 2
Dấu đẳng thức xả y ra khi 4 ( x0 − 2 ) =
2
≥ 2.2 ( x0 − 2 ) . 2
( x0 − 2 )
2
(C )
= ( −2)
2019
khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
biệt ⇔ hàm số y = g ( x) = 2 x 3 − 3ax 2 + a có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn g ( x1 ) = 0 hoặc
g ( x2 ) = 0 ⇔ g ′( x) = 6 x 2 − 6ax = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và g ( x1 ) = 0 hoặc g ( x2 ) = 0 . x = 0 Xét g ' ( x ) = 0 ⇒ 6 x 2 − 6ax = 0 ⇔ . x = a a ≠ 0 a ≠ 0 a = −1 Ta có: g (0) = 0 ⇔ − a = 0 . ⇔ a = 1 g ( a) = 0 − a3 + a = 0 Suy ra: M 1 ( −1;0 ) và M 2 (1; 2 ) .
2 = 24 2 . ( x0 − 2)
⇔ x0 = 2 ± 4
3n −3
g ( x ) = 2 x 3 − 3ax 2 + a = 0 x3 + 1 = k ( x − a ) + a + 1 ( *) ⇔ 2 . 2 3 x = k 3 x = k Từ M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến ( C ) khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân
2x − 2 2 x0 − 3 2x − 2 ⇒ B 2; 0 ⇔y= 0 . x0 − 2 x0 − 2 x0 − 2
*) Suy ra: AB = 4 ( x0 − 2 ) +
⇔ ( −2)
Đường thẳng ∆ tiếp xúc với
x = 2 2x − 3 1 *) B = d ∩ d 2 ⇒ y=− x − x0 ) + 0 2 ( x0 − 2 x − 2 ( 0 ) ⇒ y=−
2019
⇔ 3n − 3 = 2019 ⇔ n = 674 . Câu 130. Chọn B Giả sử M ∈ d : y = x + 1 , ta gọi M ( a; a + 1) . Đường thẳng ∆ đi qua M ( a; a + 1) có hệ số góc k có phương trình là: y = k ( x − a ) + a + 1 .
1
1 . 2
Vậy min AB = 2 4 2 . Câu 129. Chọn C Có: y ' = 3x 2 − 2018 .
Vậy: S =
Gọi d n là tiếp tuyến của ( C) tại điểm M n .
3 2 41 . ( y1 + y22 + y1 y2 ) + 13 = 35 ( 0 + 22 + 0.2 ) + 13 = 15 5
Câu 131. Chọn D Ta có M n ( xn ; yn ) , với yn = xn3 − 2019 xn , ∀n ≥ 1 .
Có điểm M1 (1; −2017 ) ⇒ d1 : y + 2017 = y ' (1) . ( x −1) ⇔ d1 : y = −2015 x − 2 . Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và ( C ) là:
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M n−1 với n ≥ 2 là ( d n−1 ) : y = kn−1 ( x − xn−1 ) + yn−1 , trong
x =1 . x3 − 2018 x = −2015 x − 2 ⇔ x3 − 3x + 2 = 0 ⇔ 1 x2 = −2 Có điểm M 2 ( −2;4028) ⇒ d2 : y − 4028 = y ' ( −2) . ( x + 2) ⇔ d2 : y = −2006 x + 16 .
đó kn−1 = 3 xn2−1 − 2019 . Mà M n ∈ ( d n−1 ) với n ≥ 2 nên ta có yn = kn−1 ( xn − xn−1 ) + yn −1
Phương trình hoành độ giao điểm của d 2 và ( C) là: x2 = −2 . x3 − 2018 x = −2006 x + 16 ⇔ x 3 − 12 x − 16 = 0 ⇔ x3 = 4 43
44
Câu 134. Chọn C
⇔ yn − yn −1 = ( 3 xn2−1 − 2019 ) ( xn − xn −1 ) 3 n
⇔ x − 2019 xn − x
3 n −1
2 n −1
+ 2019 xn −1 = ( 3x
2 n
2 n −1
⇔ ( xn − xn −1 ) ( x + xn xn −1 + x 2 n
2 n −1
− 2019 ) = ( 3x
2 n −1
⇔ ( xn − xn −1 ) ( x + xn xn −1 − 2 x
Đặt h ( x ) =
− 2019 ) ( xn − xn −1 )
)=0
2
⇔ ( xn − xn −1 ) ( xn + 2 xn −1 ) = 0 ⇔ xn − xn −1 = 0 (loại vì M n ≠ M n −1 ) hoặc xn + 2 xn −1 = 0 (nhận) ⇔ xn = −2 xn −1 với n ≥ 2 . Suy ra xn = ( −2 )
n −1
x1 = ( −2 )
n −1
= ( −2 )
2019
.
Ta có: s′ ( t ) = 3t 2 − 6t + 5 ⇒ a ( t ) = s′′ ( t ) = 6t − 6 ⇒ a ( 3) = 12 m/s 2 .
Câu 136. Chọn D Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t 0 = 2 (giây) là: v ( 2) = s ′ (2) = 11(m / s )
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M k là:
Câu 137. Chọn B
∆ k : y = 3 xk2 − 2019 ( x − xk ) + xk3 − 2019 xk .
)
Ta có a ( t ) = S ′′ = ( 2t 4 + 6t 2 − 3t + 1)′′ = 24t 2 + 12
M k +1 = ( C ) ∩ ∆ k , ( xk +1 ≠ xk ) .
Vậy tại thời điểm t = 3 thì gia tốc của chuyển động bằng: a ( 3) = 24.32 + 12 = 228 m / s 2 .
(
Suy ra xk3+1 − 2019 xk +1 = ( 3xk2 − 2019 ) ( xk +1 − xk ) + xk3 − 2019 xk
= ( −2 )
n −1
Do đó 2019 xn + yn + 2 ⇔ ( −2 )
3 n −3
= ( −2 )
. Suy ra yn = ( −2 )
2013
3n −3
= 0 ⇔ 2019 ( −2 )
n −1
− 2019 ( −2 ) + ( −2 )
3n −3
n −1
.
− 2019 ( −2 )
n −1
+ 2 2013 = 0
2013
⇔ 3n − 3 = 2013 ⇔ n = 672 Câu 133. Chọn D Đạo hàm hai vế 2 f ( 2 x ) + f (1 − 2 x ) = 12 x 2 (1) ta có 4 f ' ( 2 x ) − 2 f ' (1 − 2 x ) = 24 x (2) .
Ta có v ( 0 ) = 500, v ( 2 ) = 516, v ( 5 ) = 75 Hàm số v ( t ) liên tục trên [ 0;5] nên chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm t = 2 . Câu 140. Chọn A Ta có: Vận tốc của chuyển động v(t ) = s '(t) = 3t 2 − 6t + 5. Gia tốc của chuyển động a(t ) = v '(t) = 6 t − 6. Khi t = 3 ⇒ a (t ) = 12m / s 2 . Câu 141. Chọn B 3 Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là : v ( t ) = s '(t ) = − t 2 + 24t . 2 3 Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 10 (giây) là: v (10 ) = − 102 + 24.10 = 90 ( m / s ) . 2
2 f ( 0 ) + f (1) = 0 ⇒ f (1) = 2 . 2 f (1) + f ( 0 ) = 3 1 4 f ' ( 0 ) − 2 f ' (1) = 0 Thay x = 0, x = lần lượt vào (2) ta được ⇒ f ' (1) = 4 . 2 4 f ' (1) − 2 f ' ( 0 ) = 12
Thay x = 0, x =
)
Câu 138. Chọn D Phương trình vận tốc của chất điểm được xác định bởi v = s′ = 4t + 3 . Suy ra vận tốc của chất điểm tại thời điểm t0 = 2 (giây) bằng v ( 2 ) = 4.2 + 3 = 11 . Câu 139. Chọn C t = 0 Ta tính v′ ( t ) = −4t 3 + 16t = 0 ⇔ t = −2( L) t = 2
xk +1 = xk ⇔ 2 2 2 xk +1 + xk +1 xk + xk − 2019 = 3xk − 2019 ⇔ xk +1 = −2 xk (vì xk +1 ≠ xk ) nên ( xn ) là một cấp số nhân với x1 = 1 , công bội q = −2 . n −1
t − f ( 2019 )
Câu 135. Chọn B
Gọi M k ( xk ; xk3 − 2019 xk ) ∈ ( C ) .
xn = x1 ( −2 )
f ′ ( x ) .g ( x ) − g ′ ( x ) . f ( x )
DẠNG 4. BÀI TOÁN QUẢNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC
⇔ 3n = 2022 ⇔ n = 674. Câu 132. Chọn C y′ = 3 x 2 − 2019 .
(
. Ta có h′ ( x ) =
(t ≠ 0) . t2 2 1 1 1 1 1 1 ⇒ f ( 2019 ) = −t 2 + t − + = − t − + ≤ . Đẳng thức xảy ra ⇔ t = (nhận, vì t ≠ 0 ). 4 4 2 2 4 4 1 Vậy f ( 2019 ) ≤ . 4
⇔ 2019 xn + xn3 − 2019 xn + 22019 = 0 3( n −1)
g ( x)
Đặt t = g ( 2019 ) thì ( 2 ) trở thành 1 =
với n ≥ 1 (vì x1 = 1 ).
Hơn nữa: 2019 xn + yn + 22019 = 0
⇔ ( −2 )
f ( x)
. 2 g ( x ) Các hệ số góc của các tiếp tuyến của các đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x = 2019 f ′ ( 2019 ) .g ( 2019 ) − g ′ ( 2019 ) . f ( 2019 ) tương ứng là f ′ ( 2019 ) , g′ ( 2019 ) , h′ ( 2019 ) = (1) . 2 g ( 2019 ) g ( 2019 ) − f ( 2019 ) Vì f ′ ( 2019 ) = g ′ ( 2019 ) = h′ ( 2019 ) ≠ 0 nên (1) ⇔ 1 = ( 2) . 2 g ( 2019 )
− 2019 ) ( xn − xn −1 )
1 lần lượt vào (1) ta được 2
Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có hoành độ x = 1 là
y = 4 ( x − 1) + 2 = 4 x − 2 . 45
46
Câu 142. Chọn D Vận tốc tại thời điểm t là v (t ) = s ′(t ) = − 3 t 2 + 18t với t ∈ [ 0;10] . 2
Ta có : v ′(t ) = − 3t + 18 = 0 ⇔ t = 6 . Suy ra: v ( 0) = 0; v (10) = 30; v ( 6) = 54 . Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng 54 ( m/s ) .
Câu 143. Chọn B S = f (t ) = t 4 − 3t 3 − 3t 2 + 2t + 1
⇒ f '(t ) = 4t 3 − 9t 2 − 6t + 2 ⇒ a(t ) = f ''(t ) = 12t 2 − 18t − 6 Gia tốc của vật tại thời điểm t = 3s là a(3) = 12.32 − 18.3 − 6 = 48 m/s 2 . Câu 144. Chọn A
Đặt h1 = 10 ( m ) . Sau lần chạm đất đầu tiên, quả bóng nảy lên độ cao là h2 =
3 h1 . 4
3 h2 , rồi rơi từ độ cao h3 và tiếp 4 3 tục như vậy. Sau lần chạm đất thứ n từ độ cao hn quả bóng nảy lên độ cao hn +1 = hn . Tổng 4 quãng đường bóng đi được từ lúc thả đến khi dừng: h h 3 S = ( h1 + h2 + .... + hn + ...) + ( h2 + h3 + ... + hn +... ) = 1 + 2 = 4 h1 + h1 = 70 ( m ) 3 3 4 1− 1− 4 4 Câu 145. Chọn B 3 Ta có v ( t ) = s ' = − t 2 + 6t . Ta đi tìm max v ( t ) . ( 0; +∞ ) 2 v ' ( t ) = −3t + 6 ⇒ v ' ( t ) = 0 ⇔ t = 2 BBT Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao h2 , chạm đất và nảy lên độ cao h3 =
⇒ max v ( t ) = v ( 2 ) = 6 . ( 0; +∞ )
1 Vậy quãng đường vật đi được là: s = − .23 + 3.22 + 20 = 28m. 2
47
TOÁN 11
ĐẠO HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. y′ =
1D5-3
Câu 1.
Cho hàm số u ( x ) có đạo hàm tại x là u′ . Khi đó đạo hàm của hàm số y = sin 2 u tại x là A. y′ = sin 2u . B. y′ = u ′ sin 2u . C. y′ = 2sin 2u . D. y′ = 2u′ sin 2u .
Câu 2.
Tính đạo hàm của hàm số y = sin 2 x − cos x A. y′ = 2 cos x + sin x . B. y′ = cos 2 x + sin x . C. y ′ = 2 cos 2 x + sin x . D. y ′ = 2 cos x − sin x .
Câu 3.
Đạo hàm của hàm số y = 4 sin 2 x + 7 cos 3 x + 9 là A. 8 cos 2 x − 21sin 3 x + 9 . B. 8 cos 2 x − 21sin 3 x . C. 4cos 2 x − 7 sin 3x . D. 4cos 2 x + 7sin 3x .
cos x sin x . + sin x cos x cos x sin x C. y′ = . − sin x cos x
3π − 4 x là: Câu 14. Đạo hàm của hàm số y = sin 2 A. −4 cos 4x . B. 4 cos 4x .
Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = sin x + cos x + 3 là:
Đạo hàm của hàm số y = cos 2 x +1 là A. y¢ = - sin 2 x . B. y¢ = 2sin 2 x .
Câu 7.
Câu 8.
Câu 9.
sin 2 x . cos2 x
D. y′ =
− sin 2 x . 2 cos2 x
C. y¢ = -2sin 2 x +1 .
C. f ' ( x ) = − sin ( 2 x ) .
D. f ' ( x ) = sin ( 2 x ) .
Tìm đạo hàm của hàm số y = tan x . 1 1 A. y′ = − B. y′ = . . cos 2 x cos 2 x
A. a < 5 .
Câu 11. Đạo hàm của hàm số y = tan x − cot x là 1 4 A. y′ = . B. y′ = . cos2 2 x sin 2 2 x
B. a ≥ 5 .
Câu 18. Đạo hàm của hàm số y = cos 3x là A. y = sin 3x . B. y = −3sin 3x .
D. y ' = sin ( 2x + 1) .
C. a > 5 .
D. a < 5 .
C. y = 3sin 3x .
D. y = − sin 3x .
3
Câu 19. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho f ( x ) = sin ax , a > 0 . Tính f ′ (π ) A. f ′ (π ) = 3sin 2 ( aπ ) .cos ( aπ ) .
B. f ′ (π ) = 0 .
C. f ′ (π ) = 3a sin 2 ( aπ ) . D. f ′ (π ) = 3a.sin 2 ( aπ ) .cos ( aπ ) . Câu 20. C. y′ = cot x .
D. y′ = − cot x .
(THPT THĂNG LONG - HÀ NỘI - 2018) Cho hàm số f ( x ) = sin 2 x . Tính f ′ ( x ) . A. f ′ ( x ) = 2sin 2 x .
Tính đạo hàm của hàm số y = x sin x A. y = sin x − x cos x . B. y = x sin x − cos x . C. y = sin x + x cos x . D. y = x sin x + cos x .
Câu 10. Đạo hàm của hàm số y = cos x 2 + 1 là x sin x 2 + 1 . A. y′ = − x2 +1 x sin x 2 + 1 . C. y′ = 2 x2 + 1
D. −4 sin 4x
Câu 17. Cho hàm số f ( x) = acosx + 2sin x − 3x + 1 . Tìm a để phương trình f '( x) = 0 có nghiệm.
D. y¢ = -2sin 2 x .
Đạo hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x là: B. f ' ( x ) = 2cos x .
C. 4 sin 4x .
Câu 16. Biết hàm số y = 5sin 2 x − 4cos 5 x có đạo hàm là y ′ = a sin 5x + b cos 2 x . Giá trị của a − b bằng: A. −30 . B. 10 . C. −1 . D. −9 .
B. y ' = −2sin ( 2x + 1) C. y ' = − sin ( 2x + 1)
A. f ' ( x ) = 2sin x .
1 1 . + sin x cos x 1 1 D. y′ = . − sin x cos x B. y′ =
A. y′ = −2 cos 2 x + 2sin x . B. y′ = 2 cos 2 x + 2sin x . C. y ′ = 2 cos 2 x − 2 sin x .D. y ′ = − cos 2 x − 2 sin x
Đạo hàm của hàm số y = cos ( 2 x + 1) là: A. y ' = 2sin ( 2x + 1)
C. y′ =
Câu 15. Tính đạo hàm của hàm số y = sin 2 x − 2 cos x + 1 .
C. f ′ ( x ) = cos x − sin x . D. f ′ ( x ) = − sin x − cos x .
Câu 6.
− sin 2 x . cos2 x
A. y′ =
A. f ′ ( x ) = sin x − cos x . B. f ′ ( x ) = cos x + sin x + 3 . Câu 5.
B. y′ =
π Câu 13. Với x ∈ 0; , hàm số y = 2 sin x − 2 cos x có đạo hàm là? 2
PHẦN A. CÂU HỎI
Câu 4.
sin 2 x . 2 cos2 x
Câu 21.
B. f ′ ( x ) = cos 2 x .
B. y′ = D. y′ = −
C. y′ =
x2 + 1 x
C. y ′ = −12 cos 4 x + 2 sin 4 x .
sin x 2 + 1 .
2 x2 + 1
4 . cos2 2 x
Câu 22.
sin x 2 + 1 .
D. y′ =
1 . sin 2 2 x
Câu 23.
Câu 12. (KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Tính đạo hàm của hàm số y = cos2 x . 1
1 D. f ′ ( x ) = − cos 2 x . 2
cos 4 x + 3sin 4 x . 2 B. y′ = 12 cos 4 x + 2sin 4 x . 1 D. y′ = 3cos 4 x − sin 4 x . 2
(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính đạo hàm của hàm số y = A. y′ = 12 cos 4 x − 2sin 4 x .
x
C. f ′ ( x ) = 2cos 2 x .
(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 2 x − cos 3 x . A. f ′ ( x ) = 2 sin 4 x − 3sin 3 x .
B. f ′ ( x ) = 2 sin 4 x + 3sin 3 x .
C. f ′ ( x ) = sin 4 x + 3sin 3 x .
D. f ′ ( x ) = 2 sin 2 x + 3sin 3 x
(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Cho f ( x ) = sin 2 x − cos 2 x − x . Khi đó f ' ( x ) bằng A. 1 − sin 2x .
B. −1 + 2sin 2x .
C. −1 + sin x.cos x .
D. 1 + 2sin 2x . 2
Câu 24.
cos x π (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018)Tính f ′ biết f ( x ) = 1 + sin x 2 A. −2 .
Câu 25.
B.
C. 0 .
D. −
1 . 2
Câu 11.
(THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Cho hàm số y = cos3x.sin 2 x . Tính
π y′ . 3 1 A. . 2 Câu 26.
1 . 2
y′ = −
1 B. − . 2
(
′ x 2 + 1 .sin x 2 + 1 = −
)
( cos2 x )′
2 cos2 x − sin 2 x Vậ y y ′ = . cos2 x
D. 1 .
sin x 2 + 1 .
1 1 1 4 = = . + cos 2 x sin 2 x sin 2 x.cos 2 x sin 2 2 x
Chọn B
Ta có: y′ =
C. −1 .
x +1
Chọn B
y = tan x − cot x ⇒ y′ = Câu 12.
x 2
=
−2 sin 2 x − sin 2 x . = 2 cos2 x cos2 x
(THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018)Tính đạo hàm của hàm số y = sin 6 x + cos6 x + 3sin 2 x cos2 x . A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. 3 .
Câu 13.
π Câu 27. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKI I - 2018) Với x ∈ 0; , hàm số y = 2 sin x − 2 cos x có 2 đạo hàm là?
Câu 14.
Chọn D Ta có π 3π π − 4 x = sin π + − 4 x = − sin − 4 x = − cos 4 x y ′ = ( − cos 4 x )′ = 4 sin 4 x . y = sin 2 2 2
Câu 15.
Chọn B y′ = 2 cos 2 x + 2sin x . Chọn B
A. y′ = C. y′ =
cos x sin x cos x sin x
+ −
sin x cos x sin x cos x
.
B. y′ =
.
D. y′ =
1 sin x 1 sin x
+ −
1 cos x 1 cos x
. . Câu 16.
Câu 4. Câu 5. Câu 6.
Ta có y = cos 2 x +1 Þ y¢ = (cos 2 x + 1)¢ = - (2 x)¢ sin 2 x + (1)¢ = -2 sin 2 x . Chọn B
Câu 3.
cos x sin x cos x sin x . + 2⋅ = + 2 sin x 2 cos x sin x cos x
a = 20 . Vậy a − b = 10 b = 10
Ta có y ′ = 10cos 2 x + 20sin 5 x . Suy ra:
Ta có y′ = ( sin 2 u )′ = 2 sin u. ( sin u )′ = 2 sin u.cos u.u ′ = u′ sin 2u . Chọn C y = sin 2 x − cos x ⇒ y′ = 2 cos 2 x + sin x . Chọn B Ta có: y′ = 8cos 2 x − 21sin 3 x . Chọn C. Chọn D
A. Ta có: y′ = 2 ⋅
PHẦN B. LỜI GIẢI Câu 1. Chọn B Câu 2.
Chọn
Câu 17.
Chọn B f '( x) = 2cosx − a sin x − 3 = 0 có nghiệm ⇔ 4 + a 2 ≥ 9 ⇔ a 2 ≥ 5 ⇔ a ≥ 5 .
Câu 18.
Chọn B Xét hàm số y = cos 3x . Ta có y ′ = ( cos 3 x )′ = − ( 3 x )′ sin 3 x = −3sin 3 x .
Vậy y′ = −3sin 3x . Câu 19. f ( x ) = sin 3 ax ⇒ f ′ ( x ) = 3a sin 2 ax cos ax . ⇒ f ′ (π ) = 3a sin 2 aπ .cos aπ = 0 .
y = cos ( 2x +1) ⇒ y ' = − ( 2x +1) '.sin ( 2x +1) = −2sin ( 2x +1) Câu 7.
Chọn D f ' ( x ) = 2sin x. ( sin x ) ' = 2sin x.cos x = sin 2 x . Câu 8. Chọn B 1 . Ta có: y = tan x ⇒ y ′ = cos2 x Câu 9. Chọn C Áp dụng công thức tính đạo hàm của một tích (u.v ) ' = u ' v + v ' u ta có ( x sin x ) ' = ( x ) 'sin x + x (sin x ) ' = sin x + x cos x Vậy y = x sin x ⇒ y ' = sin x + x cos x Câu 10. Chọn A
Câu 20.
Ta có f ( x ) = sin 2 x , suy ra f ′ ( x ) = 2 cos 2 x .
Câu 21.
Ta có y′ = −2 sin 4 x + 12 cos 4 x .
Câu 22.
f ′ ( x ) = 2sin 2 x. ( sin 2 x )′ + 3sin 3 x = 2.2.sin 2 x.cos 2 x + 3sin 3 x = 2sin 4 x + 3sin 3x .
Câu 23.
Ta có f ( x ) = sin 2 x − cos 2 x − x = − cos 2 x − x ⇒ f ' ( x ) = 2sin 2 x − 1 .
Câu 24.
Ta có f ( x ) =
Câu 25.
cos x 1 1 1 π ⇒ f ′( x) = − ⇒ f ′ = − =− π 1 + sin x 1 + sin x 2 2 1 + sin 2 Ta có y′ = ( cos3 x )′ .sin 2 x + cos3 x. ( sin 2 x )′ = −3sin 3 x.sin 2 x + 2 cos 3 x.cos 2 x .
2π 2π π + 2cos π .cos = 1. Do đó y′ = −3sin π .sin 3 3 3 3
4
Câu 26.
3
Có: y = ( sin 2 x + cos 2 x ) − 3sin 2 x cos2 x ( sin 2 x + cos 2 x ) + 3sin 2 x cos 2 x = 1 .
⇒ y'= 0. Câu 27.
Ta có: y′ = 2 ⋅
cos x sin x cos x sin x . = + + 2⋅ 2 sin x 2 cos x sin x cos x
5
TOÁN 11
VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO
A. y′′ =
1D5-4.5 PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. VI PHÂN Câu 1.
Câu 2.
Vi phân của hàm số y =
Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
x3 x 2 − + 5 x + 1 là 3 2
3
x2 x C. dy = − + 5 dx . 3 2
D. dy = x 2 − x + 5 dx .
(
A. sin x .
C. df ( 2 ) = 1,1 .
C. dy =
2x 1 + x2
D. df ( 2 ) = −1,1 .
D. dy =
dx .
1 + x2 1 + x2
Câu 16. dx .
Câu 17.
4x + 5 tại điểm x = 2 ứng với ∆x = 0, 002 là −x +1 B. df (2) = 0, 002 . C. df (2) = 9 . D. df (2) = 0,009 .
Câu 7.
Câu 8.
Câu 9.
4
Câu 19.
C. y′′ = 2cos 2 x .
10
( x + 2)
3
D. y′′ = 2sin 2 x . D. x = 3 .
bằng
C. cos x .
D. − sin x .
C. y '' = 2cos 2 x .
D. y '' = 2cos x .
2
D. y ( ) =
2 . x2
C. 3 .
D. 2 .
2
B. ( y′) + 2 y. y′′ = 1 .
2
C. y. y′′ − ( y′) = 1 .
2
D. ( y′ ) + y. y′′ = 1.
3 π (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y = cos 2 x . Khi đó y ( ) bằng 3 A. −2 . B. 2 . C. 2 3 . D. −2 3 .
(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hàm số y = sin 2 2 x . Giá trị của biểu 3
4
thức y( ) + y′′ + 16 y′ + 16 y − 8 là kết quả nào sau đây? A. − 8 . B. 0 . C. 8 .
3
B. y′′ = 5 x − 12 x . 3
2
D. y′′ = 20 x − 36 x .
π B. y′′ = 5 . 2
π 2
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Cho hàm số π y = sin 3x.cos x − sin 2 x . Giá trị của y(10) gần nhất với số nào dưới đây? 3 A. 454492 . B. 2454493 . C. 454491 . D. 454490 .
Câu 21.
(THPT THĂNG LONG - HÀ NỘI - 2018) Cho hàm số f ( x ) =
.
π C. y′′ = 0 . 2
π D. y′′ = 3 . 2
C. f ′′ ( 2 ) = − 180 .
D. f ′′ ( 2 ) = 30 .
5
B. f ′′ ( 2 ) = 20 .
A. −
Cho y = 2 x − x 2 , tính giá trị biểu thức A = y 3 . y '' . A. 1. B. 0 . C. − 1 .
Câu 22. D. Đáp án khác.
D. 16 sin 4 x .
Câu 20.
Cho hàm số f ( x ) = ( 3x − 7 ) . Tính f ′′ ( 2 ) .
A. f ′′ ( 2 ) = 0 .
D. y′′ = −
3
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Cho hàm số y = 1 + 3 x − x 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng? 2
Câu 18.
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = −3cos x tại điểm x0 =
π A. y′′ = −3 . 2
( x)
B. − cos x .
B. 8 .
A. ( y′ ) + y. y′′ = −1 .
(Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho hàm số y = x − 3 x + x + 1 với x ∈ ℝ . Đạo hàm
y′′ của hàm số là 3 2 A. y′′ = 5 x − 12 x + 1 . 2 3 C. y′′ = 20 x − 36 x .
5
( x + 2)
(CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = x 3 + 2 x , giá trị của f ′′ (1) bằng A. 6 .
Vi phân của hàm số f ( x) =
5
C. y′′ = −
1 Câu 15. Cho hàm số y = − . Đạo hàm cấp hai của hàm số là x 2 −2 −2 2 2 ( 2) A. y = 3 . B. y ( ) = 2 . C. y ( ) = 3 . x x x
DẠNG 2. ĐẠO HÀM CẤP CAO
Câu 6.
( 2017 )
Câu 14. Cho hàm số y = sin 2 x . Khi đó y ''( x) bằng 1 A. y '' = cos 2 x . B. P = 2sin 2 x . 2
Vi phân của hàm số y = x sin x + cos x là A. dy = (2sin x + x cos x)dx . B. dy = x cos xdx . C. dy = x cos x . D. dy = (sin x + cos x)dx .
A. df (2) = 0,018 .
4
2
Câu 13. Cho hàm số f ( x ) = cos x . Khi đó f
)
Tính vi phân của hàm số f ( x ) = 3 x 2 − x tại điểm x = 2 ứng với ∆x = 0,1
Tìm vi phân của hàm số y = 1 + x 2 . 1 x dx . dx . A. dy = B. dy = 1 + x2 1 + x2
5
( x + 2)
Câu 12. Cho hàm số y = x − 3x + x + 1 . Phương trình y′′ = 0 có nghiệm. A. x = 2 . B. x = 4 . C. x = 1 .
B. dy = x 2 − x + 5 .
B. df ( 2 ) = 10 .
B. y′′ = −
2
Câu 11. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos 2 x là A. y′′ = −2cos 2 x . B. y′′ = −2sin 2 x .
A. dy = ( x 2 − x + 6 ) dx .
A. df ( 2 ) = 1 .
10
( x + 2)
8 27
B. 2 . 9
C.
8 27
1 . Tính f ′′ ( −1) . 2x −1 4 D. − . 27
(THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y = sin 2 x . Hãy âu đúng. 2 A. y 2 + ( y′) = 4 . B. 4 y − y′′ = 0 . C. 4 y + y′′ = 0 . D. y = y ' tan 2 x .
3x + 1 Câu 10. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = là x+2 1
2
Câu 23.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Đạo hàm bậc 21 của hàm số f ( x ) = cos ( x + a ) là
π A. f ( x ) = − cos x + a + . 2 π ( 21) C. f ( x ) = cos x + a + . 2 ( 21)
Câu 24.
π B. f ( x ) = − sin x + a + . 2 π ( 21) D. f ( x ) = sin x + a + . 2
Câu 1.
Câu 9.
9
(SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = 3x 2 − 2 x − 1 . Tính đạo hàm cấp 6
(
)
D. f ( 6) ( 0 ) = 34560 .
(SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Cho hàm số y = sin 2 x . Tính y ( 2018) (π ) 2018 A. y ( ) (π ) = 22017 .
2018 B. y ( ) (π ) = 22018 .
df ( 2 ) = f ′ ( 2 ) .∆x = 11.0,1 = 1,1
Câu 3.
Chọn B dy = ( x sin x + cos x ) ' dx = ( (1.sin x + x.cos x ) − sin x ) dx = x cos xdx .
Câu 4.
Chọn B
Câu 5.
′ 1 + x 2′ x 1 + x 2 dx = = dx . 2 1 + x2 1 + x2
Câu 7.
Chọn A
Chọn C '
4x + 5 tại điểm x = 2 ứng với ∆x = 0, 002 là −x +1 df (2) = f '(2).∆x = 9.0,002 = 0,018 .
Câu 16.
( x2 ) 2 x 2 1 nên y ( 2) = − 4 = − 4 = − 3 . 2 x x x x f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 , f ′′ ( x ) = 6 x ⇒ f ′′ (1) = 6 .
Câu 17.
y = 1 + 3 x − x 2 ⇒ y 2 = 1 + 3x − x 2 2
2
⇒ 2 y. y′ = 3 − 2 x ⇒ 2.( y′ ) + 2 y. y′′ = −2 ⇒ ( y′) + y. y′′ = −1 Câu 18.
3 y′ = 2 cos x. ( − sin x ) = − sin 2 x ; y′′ = −2cos 2 x ; y ( ) = −4 ( − sin 2 x ) = 4 sin 2 x .
π π ⇒ y (3) = 4sin 2 = 2 3 . 3 3 1 − cos 4 x 3 Câu 19. Ta có: y = sin 2 2 x ⇒ y = ; y′ = 2sin 4 x ; y′′ = 8cos 4 x ; y( ) = −32sin 4x . 2 3 Khi đó y( ) + y′′ + 16 y′ + 16 y − 8 = −32 sin 4 x + 8 cos 4 x + 32 sin 4 x + 8 (1 − cos 4 x ) − 8 = 0
DẠNG 2. ĐẠO HÀM CẤP CAO Chọn D 5 4 Ta có y = x − 3 x + x + 1 ⇒ y ′ = 5 x 4 − 12 x 3 + 1 ⇒ y′′ = 20 x 3 − 36 x 2 . Chọn C
y = −3cos x ⇒ y′ = 3sin x; y′′ = 3cos x .
Câu 8.
3
)
Ta có: y ' =
9 . (− x + 1)2
Vi phân của hàm số f ( x) =
Câu 6.
Câu 15.
)
Chọn A f '( x ) =
(
Câu 12.
Chọn C f ′( x ) = 6x −1
(
−1 2x − x2
y ' = 2cos x. ( − sin x ) = − sin 2 x ⇒ y′′ = −2cos 2 x . Chọn C TXĐ D = ℝ Ta có y′ = 3x 2 − 6 x + 1 , y′′ = 6 x − 6 ⇒ y′′ = 0 ⇔ x = 1 Câu 13. Chọn D nπ 2017π ( 2017 ) Ta có cos ( n ) ( x ) = cos x + ( x ) = cos x + , suy ra cos 2 2 π = cos x + 1008π + = − sin x . 2 Câu 14. Chọn C y = sin 2 x ⇒ y ' = 2sin x.cosx = sin 2 x ⇒ y '' = 2cos 2 x
PHẦN B. LỜI GIẢI DẠNG 1. VI PHÂN Chọn B
Ta có dy =
Vậy f ′′ ( 2 ) = − 180 . Chọn C 1− x , y '' = Ta có: y ' = 2 x − x2
Do đó: A = y 3 . y '' = −1 . Câu 10. Chọn D 5 5 10 Ta có y = 3 − ⇒ y′ = ; y′′ = − 2 3 x+2 ( x + 2) ( x + 2)
Câu 11.
2018 2018 C. y ( ) (π ) = −22017 .D. y ( ) ( π ) = −22018 .
dy = ( x 2 − x + 5) dx . Câu 2.
3
f ′′ ( x ) = 180 ( 3x − 4 ) .
( 21)
của hàm số tại điểm x = 0 . A. f ( 6 ) ( 0 ) = −60480 . B. f ( 6 ) ( 0 ) = −34560 . C. f ( 6) ( 0 ) = 60480 .
Câu 25.
4
f ′ ( x ) =15 ( 3x − 7 ) .
Câu 20.
π y′′ = 0 . 2 Chọn C 5 f ( x ) = ( 3x − 7 )
1 1 ( sin 4 x + sin 2 x ) − sin 2 x = ( sin 4 x − sin 2 x ) 2 2 n −1 ( n) nπ − ax Mặt khác theo quy nạp ta chứng minh được ( sin ax ) = ( −1) a n sin 2 1 9 10 9 10 (10 ) Do đó y ( x ) = ( −1) 4 .sin ( 5π − 4 x ) − ( −1) .2 .sin ( 5π − 2 x ) 2 Ta có y = sin 3x.cos x − sin 2 x =
(
3
)
4
1 ( −410.sin 4 x + 210 sin 2 x ) 2 10 π ⇒ y( ) ≈ 454490.13 3 1 Câu 21. Tập xác định D = ℝ \ . 2 8 −2 , . f ′ ( x) = f ′′ ( x) = 2 3 ( 2 x − 1) ( 2 x − 1) =
8 . 27 Câu 22. Tập xác định D = ℝ . Ta có y′ = 2cos 2 x và y′′ = −4sin 2 x . 4 y + y′′ = 4sin 2 x − 4sin 2 x = 0 . Khi đó f ′′ ( −1) = −
π f ′ ( x ) = − sin ( x + a ) = cos x + a + 2 π 2π f ′′ ( x ) = − sin x + a + = cos x + a + 2 2 ... 21π π f ( 21) ( x ) = cos x + a + = cos x + a + 2 2 Câu 24. Giả sử f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a18 x18 . Câu 23.
Khi đó f ( 6 ) ( x ) = 6!.a6 + b7 x + b8 x 2 + ... + b18 x12 ⇒ f ( 6 ) ( 0 ) = 720a6 . 9
Ta có 3x 2 − 2 x − 1 = − 1 + 2 x − 3x 2
(
)
(
9
)
9
= −∑ C9k 2 x − 3 x2
(
)
k
k =0 9
k
k =0
i =0
= −∑ C9k ∑ Cki ( 2 x )
k −i
2 i
( −3x )
9
k
= −∑∑ C9k Cki 2k −i ( −3) xk +i . i
k =0 i =0
0 ≤ i ≤ k ≤ 9 Số hạng chứa x6 ứng với k , i thỏa mãn k + i = 6 ⇒ ( k ; i ) ∈{( 6;0 ) , ( 5;1) , ( 4;2 ) , ( 3;3)} 0 2 3 ⇒ a6 = − C96C60 26 ( −3) + C95C51 24 ( −3) + C94C42 22 ( −3) + C93C33 2 0 ( −3 ) = −84 ⇒ f ( 6 ) ( 0 ) = 720. ( −64 ) = −60480 .
Câu 25.
Ta có y = sin 2 x =
1 − cos2 x . 2
π Khi đó y′ = sin 2 x ; y′′ = 2.c os2 x = 2.sin 2 x + ; y ′′′ = −22.sin2 x = 2 2.sin ( 2 x + π ) … 2 n − 1) π ( ( n) n −1 y = 2 sin 2 x + . 2 Vậ y y (
2018)
2017π = 22017.sin 2.π + 2
π 2017 2017 = 2 .sin 1010π + = 2 . 2
5
6