CHUYÊN ĐỀ “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN DẠNG TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ” by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN

vectorstock.com/30110321

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHUYÊN ĐỀ “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN DẠNG TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ” (CHƯƠNG I GIẢI TÍCH 12) WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

================================================================= Phần 1: MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Trong các đề thi THPTQG mấy năm gần đây (kể từ khi môn Toán thi trắc nghiệm) đã xuất hiện khá nhiều các bài toán về hàm ẩn. Lớp bài toán hàm ẩn khá rộng nhưng trong chuyên đề này tôi chỉ nghiên cứu một phần nhỏ về sự biến thiên của hàm ẩn. Trước hết giúp bản thân hệ thống được các dạng cơ bản của bài toán xét tính đồng biến nghịch biến, qua đó phục vụ tốt hơn cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chuyên môn. Vì vậy tôi viết chuyên đề: “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN DẠNG TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ” với mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để công tác bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia ngày càng đạt hiệu quả hơn, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tôi viết chuyên đề này với mục đích bản thân có một cuốn tài liệu phục vụ công tác giảng dạy và mong muốn cung cấp cho các thầy, cô giáo có thêm một tài liệu tham khảo. Các em học sinh THPT một tài liệu học tập, tra cứu thông dụng và có hiệu quả khi giải bài toán tính đồng biến nghịch biến của hàm ẩn. 3. ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG. Chuyên đề áp dụng cho học sinh khối 12 ôn thi THPT Quốc Gia 4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU. Chương I của chương trình Giải Tích 12 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. 5.1. Nghiên cứu lí luận. Phân tích nội dung chương I phần Giải Tích 12. Nghiên cứu kỹ các dạng bài toán đồng biến, nghịch biến trong các tài liệu lý luận, sách tham khảo và trong các đề thi trong những năm gần đây. 5.2. Thực hành và rút kinh nghiệm. Thông qua các buổi dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với các đồng nghiệp và khảo sát học sinh qua các bài kiểm tra để rút kinh nghiệm. 6. CẤU TRÚC CHUYÊN ĐỀ. Nội dung của chuyên đề được chia làm hai phần: -

Cơ sở lý thuyết.

Các dạng bài tập

7. THỜI LƯỢNG DỰ KIẾN Số tiết dự kiến dạy chuyên đề: 6 tiết PHẦN II. NỘI DUNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1

================================================================= 1.1.Tính đơn điệu của hàm số. 1.1.1 Định nghĩa: Gọi K là khoảng ( a;b ) hoặc đoạn a;b hoặc nửa khoảng a;b ) ,( a;b và hàm số f ( x ) xác định trên K. Hàm số y = f ( x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1 ,x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f ( x) nghịch biến(giảm) trên K nếu : ∀x1 ,x2 ∈K: x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) . Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi là hàm số đơn điệu trên K. 1.1.2 Các định lí: Định lí 1: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên ( a;b ) . • Nếu f ′( x) > 0,∀x ∈( a;b) thì hàm số f ( x ) đồng biến trên ( a;b ) . • Nếu f ′( x) < 0,∀x ∈( a;b) thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( a;b ) . Định lí 2: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K ) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên ( a;b ) . • Hàm số f ( x ) đồng biến trên

( a;b) ⇔ f ′( x) ≥ 0,∀x ∈( a;b) f ′( x) = 0 có hữu hạn nghiệm thuộc ( a;b ) . • Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( a;b ) ⇔ f ′( x) ≤ 0,∀x ∈( a;b) f ′( x) = 0 có hữu hạn nghiệm thuộc ( a;b ) .

và phương trình

(Chú ý: Dấu bằng chỉ xảy ra tại các điểm “rời nhau”) Định lí 3: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K ) • Nếu hàm f ( x ) đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng ( a; b ) và f ( x ) liên tục trên nửa đoạn  a;b ) thì f ( x ) sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn  a;b ) .

• Nếu hàm f ( x ) đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng ( a;b ) và f ( x ) liên tục trên nửa đoạn ( a;b thì f ( x ) sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn

( a;b . • Nếu hàm f ( x ) đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng ( a;b ) và f ( x ) liên tục trên đoạn a;b thì f ( x ) sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên đoạn a;b . 1.2. Đạo hàm của hàm hợp 1.2.1. Hàm số hợp Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định X , tập giá trị T và hàm số y = g (u ) có tập xác định Y chứa tập T . Khi đó với mỗi giá trị x ∈ X ta có một giá trị xác định y cho 2

================================================================= bởi g . Khi đó y = g (u ) = g ( f ( x)) và ta nói y là một hàm số h theo biến số x với h( x ) = g ( f ( x)) . Hàm số h( x) gọi là hàm số hợp của hàm số f và g theo thứ tự này. 1.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp u = f ( x) khi đó y x ' = y 'u .u 'x  y = f (u )

Cho hàm số y = g ( f ( x)) . Đặt 

2. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1. Xác định khoảng đơn điệu của hàm số y = f ( x ) dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm f '( x) Dạng 2. Xác định khoảng đơn điệu của hàm y = f (u ( x)) dựa vào đồ thị hàm f '( x) hoặc bảng xét dấu của hàm f '( x) . Dạng 3. Xác định khoảng đơn điệu của hàm y = f ( x) − g ( x) dựa vào đồ thị hàm y = f '( x) hoặc bảng xét dấu của hàm f '( x) . 2.1. XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y = f ( x) DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA HÀM f '( x) Phương pháp giải Cho đồ thị f '( x ) , hỏi tính đơn điệu của hàm y = f ( x) Tìm nghiệm của f '( x) = 0 (hoành độ giao điểm với trục hoành); Xét dấu f '( x) (phần trên Ox mang dấu dương; phần dưới Ox mang dấu âm); Lập bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) , suy ra kết quả tương ứng. Bài 2.1.1. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có đồ thị của hàm y = f ′ ( x ) như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( −1; 0 ) . B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên (1; +∞ ) C. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( −∞; 2 ) . D. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( 2; +∞ ) Lời giải Từ đồ thị y = f ′ ( x ) ta thấy f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ( −∞; 2] (Phần đồ thị ứng với x ∈ ( −∞; 2] nằm phía dưới Ox )

và f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) (Phần đồ thị ứng với x ∈ ( 2; +∞ ) nằm phía trên Ox ). Từ đó suy ra mệnh đề A, C, D đúng và B sai.

================================================================= Cách khác: Để thuận lợi cho một số bài tập phía sau tôi xin đưa ra môt cách giải khác  x = −1 .(Trong đó x = −1 là nghiệm kép) x = 2

Dựa vào đồ thị có f ′ ( x ) = 0 ⇔  2

Chọn f '( x ) = ( x + 1) ( x − 2 ) Bảng biến thiên x f '( x)

-1 0

−∞

2 0

+∞

f ( x) f (2)

Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án B Bình luận: Khi quan sát đồ thị hàm số trong khi làm bài hấp tấp các em học sinh có thể nhầm tính đồng biến-nghịch biến của hàm số y = f ( x) với tính đồng biến nghịch biến của hàm số y = f '( x) vì vậy giáo viên nên lập bảng biến thiên để học sinh TRÁNH NHẦM LẪN. Với bài toán cho đồ thị của hàm y = f '( x) . Phần đồ thị nằm phía trên trục hoành ứng với f '( x) > 0 khi đó hàm y = f ( x ) đồng biến; phần đồ thị phía dưới trục hoành ứng với f '( x) < 0 khi đó hàm số y = f ( x ) nghịch biến. Bài 2.1.2 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có đồ thị hàm số f ′ ( x ) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;1) . B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (1; 2) . C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −2;1) . D. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

Lời giải Từ đồ thị hàm y = f '( x) ta có f '( x) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 0; 2 ) f '( x) > 0 ⇔ x ∈ ( −2; 0 ) ∪ ( 2; +∞ )

Ta có bảng biến thiên x f '( x)

−∞

-2 0

0 0

2 0

+∞

================================================================= f ( x)

Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án D Bài 2.1.3. Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau x f '( x)

−∞

-2 0 -

-1 0 +

2 0 -

4 0 +

+∞

Hàm số y = −2 f ( x) + 2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. ( −1; 2)

B. (−2; −1)

C. (2; 4)

D. (−4; 2)

Lời giải Tính đạo hàm y ' = −2 f '( x) Hàm số y = −2 f ( x) + 2019 nghịch biến khi −2 f '( x) < 0 ⇔ f '( x) > 0 Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy f '( x) > 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( −1; 2 ) ∪ ( 4; +∞ ) Vậy ta chọn đáp án A 2.2. XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y = f (u ( x)) DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM f '( x) Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số y = f '( x) hỏi tính đơn điệu của hàm hợp y = f (u ) Đọc đồ thị hàm số y = f '( x) đề cho và xác định f '( x) > 0 ⇔ x ∈ ... f '( x) < 0 ⇔ x ∈ ...

Suy ra f '(u ) > 0 ⇔ u ∈ ... f '(u ) < 0 ⇔ u ∈ ...

Tính đạo hàm y '( x) = u '( x). f '(u ) ; Giải bất phương trình f '(u ).u '( x ) > 0 ⇔ ... (Quan sát đồ thị suy ra miền nghiệm); Lập bảng biến thiên của y = f (u ) , suy ra kết quả tương ứng. (Có thể thay thế bước 2 bằng giải phương trình f '(u ).u '( x ) = 0 và dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm f '( x) đã cho để xét dấu trực tiếp biểu thức y ' ) Bài 2.2.1 (THPTQG-2019, Mã đề 101) Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu f '( x) như hình bên dưới -3 -1 0 + 0 Hàm số y = f (3 − 2 x) nghịch biến trên khoảng x f '( x)

−∞

1 0

+∞

================================================================= A. (4; +∞)

B. (−2;1)

C. (2; 4)

D. (1; 2)

Lời giải  −3 < x < −1 x > 1

Bước 1. Từ bảng biến thiên cho ta f '( x) > 0 ⇔ 

 x < −3 f '( x) < 0 ⇔   −1 < x < 1

Bước 2. Tính đạo hàm của hàm y ' = (−2) f '(3 − 2 x) . Bước 3. Giải bất phương trình y ' > 0 ⇔ (−2). f '(3 − 2 x ) > 0 ⇔ f '(3 − 2 x) < 0  3 − 2 x < −3 ⇔ ⇔  −1 < 3 − 2 x < 1

x > 3 2 > x > 1 

Bước 4. Lập bảng biến thiên x y'

1 0

−∞

2 0

3 0

+∞

y Kết luận từ bảng biến thiên suy ra đáp án B. (−2;1) Cách khác: Bạn đọc có thể xem thêm một cách giải khác khá thú vị sau  x = −3 Bước 1. Dựa vào bảng biến thiên có f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = −1 (các nghiệm của phương trình  x = 1

đều là nghiệm bội lẻ vì f '( x) đổi dấu liên tiếp khi qua các môc x = 1, x = 2, x = 3 ) Chọn f ′ ( x ) = ( x + 3)( x + 1)( x − 1) . Bước 2. Tính đạo hàm của hàm y ' = (−2) f '(3 − 2 x) . ⇒ g ′ ( x ) = −2 ( 3 − 2 x + 3)( 3 − 2 x + 1)( 3 − 2 x − 1) = −2(6 − 2 x)(4 − 2 x)(2 − 2 x) . x = 3 ⇒ g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 2  x = 1

Bảng xét dấu g ′ ( x ) x g '( x)

−∞

1 -

2 +

3 −

+∞

================================================================= g ( x)

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f (3 − 2 x) nghịch biến trên các khoảng (−2;1) Bình luận: Ví dụ 1 có thể cho bảng biên thiên hay cho đồ thị hàm f '( x) thì đều có cách giải như nhau. Từ bảng biến thiên hoặc từ đồ thị suy ra miền âm hay dương của hàm f '( x) để từ đó suy ra miền âm hay dương của f '(u ) . Bài 2.2.2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′( x ) trên ℝ và đồ thị của hàm số y ' = f ′( x ) như hình vẽ. Hàm số g ( x ) = f ( x − 2 x − 1) đồng biến trên khoảng nào dưới 2

đây? A. ( −∞ ;1) .

B. (1; + ∞ ) .

C. ( 0; 2 ) .

D. ( −1;0 ) .

Lời giải Bước 1. Từ đồ thị hàm số f '( x) ta thấy f '( x) ≤ 0 ⇔ x ≤ 2 và f '( x) > 0 ⇔ x > 2 Bước 2. Ta có: g ' ( x ) = (2 x − 2). f '( x2 − 2 x − 1) . Bước

Tìm

sao

−∞

2x − 2

f '( x 2 − 2 x − 1)

f '( x 2 − 2 x − 1) ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 x − 1 ≤ 2 ⇔ x 2 − 2 x − 3 ≤ 0

cho

-1 +

1 0 0

3 +

+∞

−

+ +

0 g '( x )

0 g ( x) ⇔ −1 ≤ x ≤ 3

Bước 4. Lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D. ( −1;0 ) . Cách 2.

=================================================================  x = −1 .(Trong đó x = −1 là nghiệm kép) x = 2

Bước 1. Dựa vào đồ thị có f ′ ( x ) = 0 ⇔  2

Chọn f '( x ) = ( x + 1) ( x − 2 ) Bước 2. Tinh đạo hàm g ' ( x ) = (2 x − 2). f '( x2 − 2 x − 1) = (2 x − 2) ( x 2 − 2 x − 1 + 1) = ( 2 x − 2) ( x2 − 2 x )

− 2x − 1 − 2)

− 2 x − 3)

x = 1 x = 0  Cho g '( x) = 0 ⇔  x = 2 (Trong đó có x = 0; x = 2 là nghiệm kép)   x = −1  x = 3

Bước 3. Lập bảng biến thiên x g '( x)

-1 0

−∞

0 0

1 0

2 0

3 0

+∞

g ( x)

Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D. ( −1;0 ) . Bình luận: Căn cứ vào đồ thị hàm số y = f '( x) có dạng như đồ thị hàm đa thức bậc 3 cắt trục hoành tại điểm x = 2 và tiếp xúc tại điểm x = −1 nên ta chọn hàm f '( x) = ( x + 1)

( x − 2 ) . Khi đó hàm số

y = g '( x) = f '( x 2 − 2 x − 1) là một hàm đa thức ta

có thể xét dấu dựa vào quy tắc xét dấu của hàm dạng tích thương các đa thức. Bài 2.2.3. Cho hàm số

Hàm số g ( x ) =

(

y = f ( x ).

x 2 + 2x + 2

Đồ thị hàm số

y = f ′ (x )

như hình bên dưới

) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

================================================================= A.

B. (−∞;1).

(−∞;−1 − 2 2 ).

(1;2

)

2 −1 .

)

2 −1; +∞ .

Lời giải. NX: x 2 + 2 x + 2 > 0, ∀x  x = −1  f ′(x ) = 0 ⇔  x = 1 .  x = 3 

Bước 1. Dựa vào đồ thị, suy ra

Bước 2. Tính đạo hàm

x +1

g′ ( x ) =

f′

x + 2x + 2

(

)

x 2 + 2x + 2 ;

Bước 3. Giải phương trình  x = −1 (nghiem boi ba ) x +1 = 0  x +1 = 0     theo do thi f '( x ) 2 g′ ( x ) = 0 ⇔  ←→ x + x + = ⇔ x = −1 − 2 2 2 2 1 .   2   f ′ x + 2x + 2 = 0    x 2 + 2 x + 2 = 3  x = −1 + 2 2  

(

)

Lập bảng biến thiên

−∞ +

x x +1 f '( x 2 + 2 x + 2) g '( x)

−1

−1 − 2 2

+∞

−1 + 2 2

0 0

+ +

g ( x)

và ta chọn A.

(−∞;−1 − 2 2 ).

Bình luận: Với g ( x ) =

(

x 2 + 2x + 2

)

có chứa căn nên ta chỉ chọn cách giải thứ 2 vì cách

giải thứ nhất giải nhiều bất phương trình chứa căn khá phức tạp. Hàm f '( x 2 + 2 x + 2) không phải là hàm dạng tích thương các đa thức vậy làm thế nào để xét dấu các biểu thức trên các khoảng cụ thể? Cách xét dấu g′ ( x ) như sau: Ví dụ xét trên khoảng vì dựa vào đồ thị trình

g′ ( x ) = 0

f ′(x )

(−1;−1 + 2 2 ) ta chọn

ta thấy tại

x = 2 ∈ (1;3)

thì

f′

x = 0.

Khi đó

g ′ (0 ) =

1 2

f′

( 2) < 0

( 2 ) < 0. Các nghiệm của phương

là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu hoặc hàm phức tạp ta nên

thử tương tự ở tất cả các khoảng.. Bài 2.2.4. Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu của f '( x) như sau: -2 0 2 x −∞ +∞ f '( x) 0 + 0 0 + 9

=================================================================

(

)

Hàm số y = g ( x ) = f x 2 − 1 + 1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? −6 B.  ; − 1 .

A. ( −1;1) .

 5

(

)

(

C. −∞ ; − 2 .



)

D. 0; 2 .

Lời giải  x ≥ 1 2 khi   f (x ) Bước 1. Tính đạo hàm của hàm số y = g ( x ) = f x − 1 + 1 =   x ≤ −1 .  f 2 − x 2 khi − 1 < x < 1 )  (

(

)

 x > 1 2 khi  2 x. f ′ ( x ) , Ta có: g ′ ( x ) =   x < −1 .  2 ′ −2 x. f ( 2 − x ) khi − 1 < x < 1

Bước 2. Giải bất phương trình   x > 1  x > 1   2 2   f ′ ( x ) > 0  x > 2    x < −1   x < −1  x > 2  ′ 2  1 < x2 < 2 f x 0 <  ( )   ⇔  ⇔  − 2 < x < −1. g′ ( x) > 0 ⇔   −1 < x < 0, ( 2 − x 2 > 1) − < < 1 x 0  0 < x < 1    2   f ′ ( 2 − x2 ) > 0  2 − x > 2    2  0 < x < 1  0 < x < 1, ( 2 − x > 1)    2   f ′ ( 2 − x 2 ) < 0 1 < 2 − x < 2   

Hoặc ta có thể chọn phương pháp lập bảng biến thiên để thay thế x = 0  2 x = −2 Giải phương trình g ′ ( x ) = 0 ⇔  2 .⇔ x =2   2 − x 2 = 0 x g '( x)

−∞

-1

− 2

x = 0  x = 2 x = − 2 

0 -

g ( x)

Bước 3. Kết luận

1 +

+∞

=================================================================  −6



Chọn đáp án B.  ; − 1 .  5  Bình luận:  x > 1 2 khi  2 x. f ′ ( x ) , Vì hàm số g ′ ( x ) =   x < −1 .  2 ′ −2 x. f ( 2 − x ) khi − 1 < x < 1

 2 xf '( x 2 ) = 0,

Khi cho g '( x) = 0 ⇔ 

x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞ )

2  −2 xf '(2 − x ) = 0, x ∈ (−1;1)

2 x. f '( x 2 ) = 0, x ∈ ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) , kết hợp bảng xét dấu f '( x) ta có

 x2 = 2 ⇔  2  x = −2( L)

x = 2   x = − 2

x = 0 −2 x. f '(2 − x 2 ) = 0, x ∈ ( −1;1) , kết hợp bảng xét dấu f '( x) ta có  ⇔ 2 2 − x = 0

x = 0  x = ± 2

( x = ± 2 không phải là nghiệm kép của phương trình g '( x) = 0 ) Cách xét dấu của hàm g '( x) ví dụ xét khoảng được

g '(2) = 2.2. f '(22 ) = 4. f '(4) > 0 ,

g '( x) > 0, x ∈

(

vì

theo

(

)

2; +∞ ta chọn x = 2 thay g '( x) ta

bảng

xét

dấu

f '(4) > 0

nên

)

2; +∞ Ta thực hiện các khoảng còn lại tương tự.

2.3. XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y = f ( x) − h( x) DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA HÀM f '( x) Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị của hàm f '( x) Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số y = f '( x) , hỏi tính đơn điệu của hàm số y = g ( x) , trong đó g ( x) = f ( x) − h( x )

Tính y ' = g '( x) ; Căn cứ đồ thị hàm y = f '( x) ⇒ Các điểm cực trị của hàm g '( x) . Xét phần đồ thị hàm f '( x) và h '( x) . Nếu f '( x) nằm trên h '( x) thì hàm số đồng biến, nếu f '( x) nằm dưới h '( x) thì hàm số nghịch biến. Lập bảng biến thiên của hàm số y = g ( x) hoặc trực tiếp xác định khoảng đồng biến nghịch biến dựa vào đồ thị và suy ra kết quả bài toán.

================================================================= Bài 2.3.1. Cho hàm số y = f ( x ) với đạo hàm f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g ( x ) = 3 f ( x ) − x3 + 3x 2 − 3x + 2019 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. Hàm số y = g ( x ) đồng biến trên khoảng (1; 2 ) . B. Hàm số y = g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) . C. Hàm số y = g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0;1) . D. Hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 2; +∞ ) Lời giải Bước 1. Ta có: g ′ ( x ) = 3 f ′ ( x ) − 3x 2 + 6 x − 3 Bước 2. Giải phương trình g ′ ( x ) = 0 ⇔ 3 f ′ ( x ) − 3x 2 + 6 x − 3 = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x 2 − 2 x + 1 Xét

tương

giao

của

hai

đồ

thị

hàm

số:

y = f ′( x)

và

y = x2 − 2 x + 1

Quan sát đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x + 1 cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C có hoành độ lần lượt là x = 0; x = 1; x = 2 x = 0 ⇒ f ′ ( x ) = x − 2 x + 1 ⇔  x = 1  x = 2 2

========================== ================================================================= ======================================= Ta có bảng biến thiên: x g '( x)

−∞

g ( x)

+∞

0 0

1 +

2 0

+∞

g (1)

+ +∞

g (0)

g (2)

chọn đáp án C. ( 0;1) Từ bảng biến thiên suy ra: ch Bình luận: Khi vẽ đồ thị ta để ý đến các điểm đặc biệt mà đồ thị ban đđầu cho tọa độ cụ thể.. Bài 2.3.2. Cho

f ( x ) mà đồ thị hàm số

y = f ′ ( x ) như hình ình bên. Hàm số

y = f ( x − 1) + x 2 − 2 x đồng ng bi biến trên khoảng

A. (1; 2 ) . B. ( −1;0 ) . C. ( 0;1) . D. ( −2; −1) . Lời giải Bước 1. Tính đạo hàm củaa hàm y = f ( x − 1) + x 2 − 2 x Bước 2. Khi đó y′ = f ′ ( x − 1) + 2 x − 2 . Hàm số đồng biến khi y′ ≥ 0 ⇔ f ′ ( x − 1) + 2 ( x − 1) ≥ 0 (1) Đặt t = x − 1 thì (1) trở thành: f ′ ( t ) + 2t ≥ 0 ⇔ f ′ ( t ) ≥ −2t . Bước 3. Quan sát đồ thị hàm ssố y = f ′ ( t ) và y = −2t trên cùng một hệệ trục tọa độ như hình vẽ.

================================================================= Khi đó ta thấy với t ∈ ( 0;1) thì đồ thị hàm số y = f ′ ( t ) luôn nằm trên đường thẳng y = −2t

Suy ra f ′ ( t ) + 2t > 0, ∀t ∈ ( 0;1) . Với

0 < t < 1 ⇒ 0 < x −1 < 1 ⇔ 1 < x < 2 .

đó

∀x ∈ (1; 2 )

thì

hàm

số

y = f ( x − 1) + x 2 − 2 x đồng biến. Chọn đáp án A

Bài 2.3.3. (ĐỀ THAM KHẢO CỦA BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau x f '( x)

1 0

−∞

2 0

3 0

4 0

+∞

Hàm số y = 3 f ( x + 2) − x3 + 3 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( −∞; −1) .

B. ( −1;0 ) .

C. ( 0; 2 ) .

D. (1; +∞ ) .

Lời giải Bước 1. Tính đạo hàm y ' = 3  f '( x + 2) − ( x 2 − 1)  Bước 2. Ta có y ' > 0 ⇔ 3 f ' ( x + 2 ) − 3x 2 + 3 > 0 ⇔ f ' ( x + 2 ) > x 2 − 1. Đặt t = x + 2, bất phương trình trở thành: f '(t ) > (t − 2)2 − 1 ⇔ f '(t ) − (t 2 − 4t + 3.) > 0 Không thể giải trực tiếp bất phương trình: Bước 3. Ta sẽ chọn t thỏa mãn t

−∞

4 +∞

f '(t ) t 2 − 4t + 3

+ +

Quan sát bảng biến thiên  f '(t ) > 0

Xét với t ∈ (1;3) ⇒ 

2 t − 4t + 3 < 0

⇒ f '(t ) − ( t 2 − 4t + 3) > 0

Với 1 < t < 3 ⇒ 1 < x + 2 < 3 ⇒ −1 < x < 1 Khi x ∈ ( −1;1) thì y ' = 3  f '( x + 2) − ( x 2 − 1)  > 0 tức là hàm số y = 3 f ( x + 2) − x3 + 3 x đồng biến. Từ đó chọn đáp án B Bài 2.3.4. Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau 14

================================================================= x f '( x)

−4

−∞

−1

+∞

2 3

Hàm số y = f (2 x + 1) + x 2 − 8 x + 5 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 1 B.  −1;  .

A. (1; +∞ ) .



C. ( −∞; −2 ) .

2

D. ( −1; 7 ) .

Lời giải 4 3

Bước 1. Ta có y ' = 2 f '(2 x + 1) + x − 8 4 3

Bước 2. Giải bất phương trình: 2 f '(2 x + 1) + x − 8 ≤ 0 t 13 ≤0 3 3

Đặt t = 2 x + 1 ⇒ f '(t ) + −

Bước 3. Ta có bảng xét dấu t f '(t ) t 13 − 3 3 y'

−∞

−4

−1

0 -

t ∈ (−4; 2)

13 0

+∞

 f '(t ) < 0 

Từ bảng biến thiên ta thấy  thì  t 13 ⇒ f '(t ) + − < 0 3 3 − < 0 t ∈ (4;13)  3

Xét với −4 < t < 2 ⇒ −4 < 2 x + 1 < 2 ⇒

−5 1 <x< 2 2

4  5 1 ⇔ x ∈  − ;  thì 2 f '(2 x + 1) + x − 8 < 0 3  2 2

Khoảng còn lại t ∈ ( 4;13) (loại) Vậy chọn Đáp án B Bình luận: Đối với bài toán cho bảng biến thiên của hàm số ta có thể dựa vào các điểm trên đồ thị để xác định vị trí tương đối của các đường cong để suy ra dấu đạo hàm. Đối với bài toán cho bảng xét dấu đạo hàm ta sẽ thử trực tiếp dấu của biểu thức 3. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN 15

================================================================= Bài 3.1 (Mã đề 104-BGD-2019) Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu của f '( x) như sau: -1

−∞

x f '( x)

+∞

Hàm số y = f (5 − 2 x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 3; 4 ) .

B. (1;3) .

C. ( −∞; −3) .

D. ( 4;5 ) .

Bài 3.2. Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới t f '(t )

−∞

−3

0 0

−2

1 0

3 +

+∞

Hàm số y = f (1 − 2 x ) đồng biến trên khoảng  1  B.  − ;1 .  2 

A.  0; 3  . 

2

1  C.  −2; −  . 2 

3  D.  ;3  . 2 

Bài 3.3. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f (1 + x 2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

(

)

3; +∞ .

Bài 3.4. Cho hàm số Hàm số

(

)

(

B. − 3; −1 . y = f ( x ).

Đồ thị hàm số

y = f ′(x )

đồng biến trên

g ( x ) = f (1 − 2 x )

khoảng nào trong các khoảng sau ? A. (−1;0). B. (−∞;0). C. (0;1).

D. (1; +∞).

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra Ta có

 x < −1 f ′(x ) < 0 ⇔  . 1 < x < 2

g ′ ( x ) = −2 f ′ (1 − 2 x ).

)

C. 1; 3 . như hình bên dưới

D. ( 0;1)

================================================================= Xét

x > 1 1 − 2 x < −1   g ′ ( x ) > 0 ⇔ f ′ (1 − 2 x ) < 0 ⇔ ⇔ 1 . 1 < 1 − 2 x < 2 − < x < 0   2

Vậy g ( x ) đồng biến trên các khoảng

 1  − ;0  2 

và (1; +∞). Chọn D.

Bài 3.5. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ bên: y 2

−4

Hàm số g ( x ) = f ( − x − x 2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( −∞ ; − 1) .

 

B.  −1;

 −1  C.  ; + ∞  .  2 

−1  . 2 

D. ( −1;0 )

Bài 3.6. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: x g '( x)

−∞

g ( x)

-2 0 3

0 0

2 0

+∞

-1 −∞ −∞ 2 Hàm số y = f ( x − 2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( −∞; −2 ) .

B. ( 0; 2 ) .

C. ( 2; +∞ ) .

D. ( −2; 0 ) .

Bài 3.7. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ . Biết rằng hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Hàm số y = f ( x 2 − 5 ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

========================== ================================================================= ======================================= A. ( −∞; −3) .

1 3

B. ( −5; −2 ) .

C.  ;  . 2 2

D. ( 2; +∞ ) .

Bài 3.8. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình ình vẽ. v

Hàm số y = g ( x ) = f ( x 2 ) nghịch biến trên khoảng A. ( −∞; −1) . Bài 3.9.

B. ( −1;0 ) .

C. ( 0;1) .

D. (1;3) .

Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình ình bên. Hàm số s ch bi biến trên khoảng nào dưới đây? y = f (1 + x 2 ) nghịch

(

3; +∞

)

(

)

B. − 3; −1

(

C. 1; 3

)

D. ( 0;1)

Bài 3.10. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ có f (−1) = 0 và có đồ thị hàm số y = f ′( x) như hình vẽ bên.

Hàm số y = 2 f ( x − 1) − x 2 đồng biến trên khoảng A. ( 3; +∞ ) .

B. ( −1; 2 ) .

C. ( 0; +∞ ) .

D. ( 0;3)

========================== ================================================================= ======================================= Lời giải Chọn D Đặt g ( x) = 2 f ( x − 1) − x 2 ⇒ g ′( x) = 2[ f ′( x − 1) − ( x − 1) − 1]

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′( x) và đồ thị hàm số y = x + 1 ta có có: g ′( x) > 0 ⇔ f ′( x − 1) > ( x − 1) + 1 ⇔ −1 < x − 1 < 2 ⇔ 0 < x < 3

Bảng biến thiên: x g '( x)

0 0

−∞

1 0

3 0

g ( x)

+∞

0 Dựa vào bảng biến thiên, thiên hàm số y = 2 f ( x − 1) − x 2 đồng biến trên khoảng

( 0;3) Bài 3.11. Cho hàm số x g '( x)

y = f (x )

-2 0 4

−∞

g ( x)

có bảng biên thiên như hình vẽ 3 0

+ +∞

-2

−∞

Hàm số

+∞

 5 3 g ( x ) = f 2 x 2 − x −   2 2

nghịch biến trên khoảng nào trong các kho khoảng

sau? A.

  −1; 1 .   4

Bài 3.12. Cho hàm số f ′ ( x ) như

f (x )

 1   ;1.  4 

có đạo hàm liên tục trên

C. ℝ.

 5  1; .  4 

Bảng biến n thiên ccủa hàm số

hình vẽ −1

9   ; +∞.   4

================================================================= 3

f '( x )

2 -1

Hàm số g ( x ) =

 x f 1 −  + x  2 

A. (−4; −2). Bài 3.13. Cho hàm số hình

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

B. (−2;0 ). y = f (x )

C. (0;2).

có đạo hàm liên tục trên

D. (2; 4 ). ℝ.

Đồ thị hàm số

y = f ′ (x )

như

bên dưới

Hàm số g ( x ) = 2 f ( x )− x 2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ? A. (−∞;−2 ). B. (−2;2 ). C. (2;4 ). D. (2; +∞).

Lời giải. Ta có

g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) − 2 x  → g′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x.

Số nghiệm của phương trình y = f ′(x )

và đường thẳng

Dựa vào đồ thị, suy ra

g′ ( x ) = 0

d:y=x

chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

(như hình vẽ bên dưới).

 x = −2  g′ ( x ) = 0 ⇔  x = 2 .  x = 4 

Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với phía trên đường thẳng (−2;2 ). Chọn B

y=x

nên

x ∈ (−2;2 )

g ′ ( x ) > 0 )  →

thì đồ thị hàm số

f ′(x )

nằm

hàm số g ( x ) đồng biến trên

================================================================= Bài 3.14. Cho hàm số tục trên

ℝ.

hình

có đạo hàm liên

y = f (x )

Đồ thị hàm số

y = f ′(x )

như

bên.

Hỏi hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) + ( x + 1) đồng biến trên 2

khoảng nào trong các khoảng sau ? A. (−3;1). B. (1;3). C. (−∞;3). D. (3; +∞). Lời giải. Ta có

g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) + 2 ( x + 1)  → g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = −x −1.

Số nghiệm của phương trình y = f ′(x )

và đường thẳng

Dựa vào đồ thị, suy ra

Yêu cầu bài toán trên đường thẳng

g′ ( x ) = 0

d : y = −x − 1

chính là số giao điểm của đồ thị hàm số (như hình vẽ bên dưới).

 x = −3  g′ (x ) = 0 ⇔  x = 1 .  x = 3 

 x < −3 ⇔ g′ (x ) > 0 ⇔  1 < x < 3 y = −x −1 ).

(vì phần đồ thị của

f '(x )

nằm phía

Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn.

Chọn B. Bài 3.15. Cho hàm số

y = f (x )

hình bên dưới

có đạo hàm liên tục trên

ℝ.

Đồ thị hàm số

y = f ′ (x )

như

================================================================= Hỏi hàm số

g ( x ) = f (1 − x ) +

x2 −x 2

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? B. (−2;0 ). A. (−3;1). C.

  −1; 3 .   2

D. (1;3).

Lời giải. Ta có Để

g ′ ( x ) = − f ′ (1 − x ) + x −1.

g ′ ( x ) < 0 ⇔ f ′ (1 − x ) > x −1.

Đặt

t = 1− x

, bất phương trình trở thành

f ′ (t ) > −t.

Kẻ đường thẳng

y = −x

cắt đồ thị hàm số

f ' (x )

lần lượt tại ba điểm

x = −3; x = −1; x = 3.

Quan

sát

đồ

thị

thấy

 t < −3 1 − x < −3 x > 4 f ′ (t ) > −t ⇔  ⇒ ⇔ . 1 < t < 3 1 < 1 − x < 3 −2 < x < 0

Đối chiếu đáp án ta chọn B.

bất

phương

trình

================================================================= KẾT LUẬN Đề tài này, tôi đã trình bày được một số vấn đề sau: 1. Phân loại và cách giải của một số bài toán xét tính đồng biến nghịch biến của hàm ẩn. 2. Các ví dụ minh họa phương pháp giải của dạng toán và đặc biệt là các kĩ thuật trong quá trình tính toán, xét dấu biểu thức đạo hàm dựa vào bảng biến thiên. 3. Đưa ra hệ thống bài tập tham khảo về tính đồng biến nghịch biến của hàm ẩn dựa vào đồ thị đạo hàm. Đề tài này nhằm cung cấp cho giáo viên và các em học sinh một tài liệu tham khảo về chủ đề tính đồng biến nghịch biến của hàm ẩn . Đề tài sẽ giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về chủ đề này, giúp cho việc học chủ đề hình học giải tích trong mặt phẳng, vốn là một chủ đề khó trở nên dễ dàng. Đối với trường trung học phổ thông Tam Đảo 2, đề tài đã, đang và sẽ góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán, nâng cao chất lượng thi học sinh giỏi và chất lượng thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. KIẾN NGHỊ Đối với giáo viên: Không ngừng đầu tư vào chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm Không ngừng nghiên cứu đổi mới và nâng cao chất lượng giảng dạy. Cần có sự quan tâm chú ý đến khả năng nhận thức của các đối tượng học sinh để đưa ra các phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng đó. Giúp học sinh có hứng thú trong học tập bộ môn Toán nói riêng và các môn học trong nhà trường nói chung. Đối với nhà trường và tổ chuyên môn: Trong các buổi họp tổ nên tổ chức giao lưu các chuyên đề giữa các giáo viên trong tổ, giúp giải quyết các bài toán khó, các vấn đề nảy sinh trong quá trình giảng dạy. Xa hơn nữa, có thể tổ chức các buổi giao lưu chuyên đề với một số trường có chất lượng giảng dạy tốt trong tỉnh cũng như các tỉnh bạn giúp cho các giáo viên trong tổ có cơ hội học hỏi các kinh nghiệm của các đồng nghiệp, giúp nâng cao chất lượng dạy và học của trường trung học phổ thông Tam Đảo 2. Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi đã đúc kết được trong quá trình giảng dạy, chắc chắn vần còn mang tính chủ quan của bản thân và không thể tránh khỏi các sai sót. Các vấn đề tôi đưa ra rất mong được sự góp ý nhiệt tình của các quý thầy cô, đặc biệt là của các em học sinh để đề tài của tôi ngày càng hoàn thiện hơn và áp dụng thiết thực hơn nữa vào quá trình dạy học.