CHUYÊN ĐỀ TOÁN NHÓM CHUYÊN SƯ PHẠM
vectorstock.com/10212081
Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (ĐẠI SỐ) NHÓM GIÁO VIÊN CHUYÊN SƯ PHẠM LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594
CHƯƠNG 1: SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC BÀI 1. TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
CI AL
Mục tiêu Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa số hữu tỉ, mối quan hệ giữa các tập hợp số đã học với tập số hữu tỉ. + Nắm được cách biểu diễn số hữu tỉ trên trục số. Kĩ năng + Biểu diễn được số hữu tỉ thành nhiều phân số bằng nhau. + Biết cách so sánh các số hữu tỉ với nhau.
OF
+ Nhận biết số hữu tỉ và biểu diễn được số hữu tỉ trên trục số.
FI
+ Nắm được phương pháp so sánh hai số hữu tỉ; khái niệm số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương.
+ Nhận biết được số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương và tìm điều kiện để số hữu tỉ là số âm (dương)
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
hoặc số nguyên.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa
Ở Pháp vào mùa đông, nhiệt độ có khi là
a, b ; b 0
a âm: 3C hoặc 10C , có khi là dương với b 2C .
CI AL
Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số
Các số 3; 10; 2 là các số hữu tỉ thể hiện
Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là .
nhiệt độ không khí. 1 2
3 đều là các số hữu tỉ. 2
FI
Các số 0; 2; ;2
OF
Thật vậy, các số đều được viết dưới dạng 0 1
như sau: 0 ...; 2
a b
4 1 2 3 7 ; ;2 . 2 2 4 2 2
Trên trục số, ta biểu diễn các điểm:
Bất kì số hữu tỉ nào cũng có thể biểu diễn trên trục số dưới
3 1 5 1; ; ;1; 4 3 3
ƠN
Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số dạng phân số có mẫu dương.
Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x. So sánh hai số hữu tỉ
NH
Với hai số hữu tỉ x, y ta luôn có hoặc x y hoặc x y hoặc x y . Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng
dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.
Nếu x y thì trên trục số, điểm x ở bên trái điểm y.
Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương;
Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm.
số hữu tỉ âm
số hữu tỉ dương
QU
Y
Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.
KÈ M
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
a a, b ; b 0 b
Y DẠ
SỐ HỮU TỈ
Số hữu tỉ âm
<
0
<
Số hữu tỉ dương Trang 2
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận biết quan hệ giữa các tập hợp số
CI AL
Phương pháp giải Mối quan hệ giữa các tập hợp số đã biết với tập hợp
Sử dụng các kí hiệu ,, , , , , để biểu diễn Ví hợp với nhau.
Điền
các
kí
hiệu
thích
hợp
,, , , , , vào ô trống: 3
1 2
;
ƠN
7 9
OF
mối quan hệ giữa số và tập hợp hoặc giữa các tập
dụ.
FI
số hữu tỉ: .
;
.
Hướng dẫn giải
1 ; 2
7 ; 9
.
NH
3
Ví dụ mẫu
;
4 9
1 1 4
;
; ;
Hướng dẫn giải 1 ;
3 ; 8
Chú ý:
KÈ M
1 ;
10 2
QU
1
Y
Ví dụ. Điền các kí hiệu thích hợp ,, , , , , vào ô trống:
4 ; 9
2 5
;
;
3 8
;
.
10 10 do = 5 ; 2 2 1 2 , ; ; 4 5
Kí hiệu là “thuộc”.
-
Kí hiệu là “không thuộc”.
-
Kí hiệu là “tập hợp con”.
-
Kí hiệu là “chứa trong” hoặc “chứa”.
-
Kí hiệu là “tập hợp các số tự nhiên”.
DẠ
Y
-
; .
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Điền kí hiệu ,, thích hợp và ô trống: Trang 3
1 11
;
; ;
2 9
;
8 2 19
;
;
.
CI AL
5 3 2 7
;
4
Câu 2: Điền các kí hiệu ; ; thích hợp vào ô trống (điền tất cả các khả năng có thể): ;
22
;
2 23
;
;
5 7
;
21
;;
3 1 4
; .
FI
6
Câu 3: Khẳng định nào dưới đây sai?
B. Số 5 là một số nguyên âm.
15 là một số hữu tỉ. 19
D. Số 0 là một số hữu tỉ dương.
C. Số
OF
A. Số 19 là một số tự nhiên.
Câu 4: Viết Đ vào ô có khẳng định đúng và S vào ô có khẳng định sai:
ƠN
1. Số nguyên là số hữu tỉ; 2. Số nguyên âm không là số hữu tỉ âm;
3. Tập hợp gồm các số hữu tỉ âm và các số hữu tỉ dương;
5. Số
1 là số hữu tỉ; 2
NH
4. Số 1
1 không là số hữu tỉ. 5
Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ
QU
Phương pháp giải
Y
Bài toán 1: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
Để biểu diễn một số hữu tỉ trên trục số, ta thường làm như sau:
Biểu diễn phân số
2 trên trục số. 3
Bước 1. Ta viết số đó dưới dạng phân số có mẫu Bước 1. Chia các đoạn thẳng đơn vị làm 3 phần bằng
KÈ M
dương. Khi đó mẫu của phân số sẽ cho ta biết nhau. đoạn thẳng đơn vị được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau.
Bước 2. Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị (bằng
1 3
đơn vị cũ).
Y
Bước 2. Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị.
Bước 3. Số hữu tỉ dương (âm) nằm bên phải (trái) Bước 3. Lấy điểm nằm bên trái điểm 0, cách điểm 0
DẠ
điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng giá trị một đoạn bằng 2 đơn vị mới. tuyệt đối của số hữu tỉ đó.
Điểm vừa lấy là điểm phải tìm.
Trang 4
Ví dụ mẫu 3 trên trục số. 4
Hướng dẫn giải Chia các đoạn thẳng đơn vị ra làm 4 phần bằng nhau. Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị (bằng
1 đơn vị cũ). 4
Lấy điểm nằm bên trái điểm 0, cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới.
OF
3 trên trục số. 5
Hướng dẫn giải Ta có
3 3 5 5
Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị (bằng
NH
Chia các đoạn thẳng đơn vị ra làm 5 phần bằng nhau.
ƠN
Ví dụ 2. Biểu diễn số hữu tỉ
FI
Điểm vừa lấy là điểm phải tìm.
CI AL
Ví dụ 1. Biểu diễn số hữu tỉ
1 đơn vị cũ). 5
Lấy điểm nằm bên trái điểm 0, cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới.
QU
Y
Điểm vừa lấy là điểm phải tìm.
Bài toán 2: Biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng các phân số bằng nhau Phương pháp giải
tối giản
KÈ M
Số hữu tỉ thường được biểu diễn dưới dạng phân số Ví dụ: 1 1 2 3 ... 2 2 4 6 1 2 3 1 ... 1 2 3 2 5 10 1 ... 3 3 6
a với a, b ; b 0 . b
Y
Ví dụ mẫu
DẠ
Ví dụ. Cho các phân số sau:
6 4 4 20 ; ; ; 15 12 10 8
Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ
2 ? 5
Hướng dẫn giải Trang 5
2 2 6 2 4 1 4 2 20 5 ; ; ; . Rút gọn các phân số đã cho ta được: 5 5 15 5 12 3 10 5 8 2
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ
2 6 4 là: và . 5 15 10
CI AL
Ta có
Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số:
9 14 4 12 2 ; ; ; . Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ? 6 21 6 20 3
FI
Câu 2: Cho các phân số sau
3 1 1 ; ; 2 3 4
Câu 3:
21 14 42 35 5 28 7 ; ; ; ; ; . Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ? 27 19 54 45 7 36 9
b) Biểu diễn số hữu tỉ
OF
a) Cho các phân số
7 trên trục số. 9
6 11
B.
Câu 5: Biểu diễn các số:
9 15
C.
A. 1.
B. Hai điểm.
C. Ba điểm.
B. 2.
D. Bốn điểm.
Phương pháp giải
C. 3.
QU
Dạng 3: So sánh hai số hữu tỉ
Để so sánh hai số hữu tỉ ta thường thực hiện các bước
D. 4.
Ví dụ. So sánh các số hữu tỉ sau:
11 8 và . 6 9
Hướng dẫn giải
KÈ M
sau:
Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương. Bước 2. Đưa các phân số ở bước một về cùng mẫu số (quy đồng).
3 5
14 24 26 28 72 12 ; ; ; ; có bao nhiêu phân số bằng phân số ? 18 26 28 30 78 13
Y
Câu 6: Trong các phân số
D.
1 25 5 ;0,25; ; bởi các điểm trên cùng một trục số ta được bao nhiêu điểm 4 100 20
phân biệt? A. Một điểm.
6 10
NH
A.
3 ? 5
ƠN
Câu 4: Trong các phân số sau, phân số nào không bằng phân số
Y
Bước 3. So sánh các tử của các phân số ở bước hai, phân
8 8 9 9
Ta có:
11 33 8 8 16 ; 6 18 9 9 18
Vì 33 16 nên
số nào có tử lớn hơn thì sẽ lớn hơn.
33 16 11 8 hay 18 18 6 9
DẠ
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. So sánh các số sau: a)
25 20 và ; 20 25
b)
15 21 và ; 21 49
c)
19 23 và . 49 47
Hướng dẫn giải Trang 6
25 20 25 20 0 và 0 nên . 20 25 20 25
b) Ta có
15 5 21 3 5 3 15 21 ; . Vì nên 21 7 49 7 7 7 21 49
CI AL
a) Ta có
19 23 23 23 19 23 và . Do đó 49 49 49 47 49 47
c) Ta có:
Ví dụ 2. So sánh các số hữu tỉ sau: 998 999 và ; 555 556
b)
315 316 và ; 380 381
c)
2020 2018 và . 2019 2019
FI
a)
Hướng dẫn giải 998 443 999 443 1 ; 1 555 555 556 556
Ta có
443 443 999 998 999 998 1 1 hay nên 556 555 556 555 556 555
ƠN
Vì
OF
a) Ta thấy 998 555 999 556 443 nên ta so sánh hai phân số qua phần bù
b) Ta thấy 380 315 381 316 65 nên ta so sánh hai phân số bằng cách cộng thêm 1. 315 65 316 65 1 ; 1 380 380 381 381
Ta có
2020 1 2019
c) Ta có 2020 2019 nên
2020 2018 . 2019 2019
Chú ý:
2018 1 2019
QU
Lại có 2018 2019 nên Do đó
NH
65 65 315 316 315 316 1 1 hay nên . 380 381 380 381 380 381
Y
Vì
Ngoài phương pháp so sánh bằng cách quy đồng mẫu số, ta có thể sử dụng các phương pháp khác như: So sánh qua một phân số trung gian.
So sánh qua phần bù.
Đưa về so sánh hai phân số có cùng tử số.
KÈ M
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: So sánh các số hữu tỉ sau:
Y
7 11 và ; 8 12
DẠ
a)
b)
5 7 và ; 8 10
c)
24 19 và ; 35 30
d)
9 27 và . 21 63
c)
13 9 và ; 15 11
d)
9 20 và . 17 21
Câu 2: So sánh các số hữu tỉ sau: a)
9 5 và ; 70 42
b)
4 15 và ; 27 63
Trang 7
12 3 16 1 11 14 9 ; ; ; ; ; ; theo thứ tự giảm dần. 19 19 19 19 19 19 19
Câu 4: Sắp xếp các số hữu tỉ
16 16 19 ; ; theo thứ tự tăng dần. 27 29 27
CI AL
Câu 3: Sắp xếp các số hữu tỉ
Dạng 4: Tìm điều kiện để một số hữu tỉ là số âm (dương) hay số nguyên Phương pháp giải - Số hữu tỉ âm là những số hữu tỉ nhỏ hơn 0. - Số hữu tỉ dương là những số hữu tỉ lớn hơn 0.
Ví dụ. Cho số hữu tỉ x
FI
của a thì: - Số 0 không là số hữu tỉ âm cũng không là số hữu tỉ a) x là số hữu tỉ dương? dương. b) x là số hữu tỉ âm?
2a 1 . Với giá trị nào 2
OF
c) x không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm? d) x là số nguyên?
- Số hữu tỉ
a là số hữu tỉ dương khi a, b cùng dấu. b
ƠN
Hướng dẫn giải
a) Để x là số dương thì
2a 1 0 2
NH
Mà 2 0 nên 2a 1 0 a Vậy a
a là số hữu tỉ âm khi a, b khác dấu. b
- Số hữu tỉ
QU
Y
- Số hữu tỉ
a bằng 0 khi a 0 và b 0 . b
KÈ M
Chú ý: 0 không là số âm cũng không là số dương.
a là số nguyên khi a b hay b là ước của a. b
DẠ
Y
- Số hữu tỉ
1 thì x là số hữu tỉ dương. 2
b) Để x là số âm thì
2a 1 0 2
Mà 2 0 nên 2a 1 0 a Vậy a
1 2
1 2
1 thì x là số hữu tỉ âm. 2
c) Để x không là số dương cũng không là số âm 2a 1 0 thì 2
Mà 2 0 nên 2a 1 0 a Vậy a
1 2
1 thì x không là số hữu tỉ dương, cũng 2
không là số hữu tỉ âm. d) Để x là số nguyên thì 2a 1 2 . Suy ra: 2a 1 2k, k 1 2a 2k 1 a k , k 2
1 2
Vậy a k , k thì x là số nguyên.
Ví dụ mẫu Trang 8
Ví dụ 1. Cho số hữu tỉ x
a a 1 2
. Với giá trị nào của a thì
CI AL
a) x là số hữu tỉ âm? b) x không là số hữu tỉ âm, x cũng không là số hữu tỉ dương? Hướng dẫn giải Ta có a2 0, a nên a2 1 1 0 hay a2 1 0 a . Do đó: a 1 2
0 , suy ra a 0
b) x không là số hữu tỉ âm, x cũng không là số hữu tỉ dương nếu
a 1
0 , suy ra a 0 .
7 . Xác định số nguyên a để x là số nguyên dương. a1
OF
Ví dụ 2. Cho số hữu tỉ x
a 2
FI
a
a) x là số hữu tỉ nếu
Hướng dẫn giải
7 7; 1;1;7 . Ta có bảng sau:
a1
7
1
1
a
8
2
0
7 0 a1
Với a 0 ta có x
7 7 01
Với a 6 ta có x
7 1 61
QU
Vậy a 0;6 thì x là số nguyên dương.
Y
Mà 7 0 nên a 1 0 a 1 a 0;6
6
NH
Mà x là số nguyên dương nên
7
ƠN
Để x thì 7 a 1 hay a 1 ¦
Bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1: Cho số hữu tỉ x
3a 7 . Với giá trị nào của a thì 5
KÈ M
a) x là số hữu tỉ dương? b) x là số hữu tỉ âm?
c) x không là số hữu tỉ dương và cũng không là số hữu tỉ âm? Câu 2: Cho số hữu tỉ x
3n 1 . Với giá trị nào của a thì 4
a) x là số hữu tỉ dương?
Y
b) x là số hữu tỉ âm?
DẠ
c) x không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm? Câu 3: Cho số hữu tỉ x
7 . Tìm số nguyên n để x nhận giá trị là số nguyên. n 1
ĐÁP ÁN
Dạng 1. Nhận biết quan hệ giữa các tập hợp số Trang 9
Câu 1.
1 ; 11
2 ; 9
8 ;
2 ; 19
.
Câu 2. 22 ; ; ;
2 ; 23
; ;
5 ; ; 7
21 ;
3 1 ; . 4
;
FI
6 ; ;
Câu 4. 1. Đ
2. S
3. S
4. Đ
3 1 1 ; ; trên trục số như sau: 2 3 4
Câu 2. Ta có:
2 2 . 3 3
QU
Y
NH
Biểu diễn các số hữu tỉ
5. S
ƠN
Dạng 2. Biểu diễn số hữu tỉ Câu 1.
OF
Câu 3. Chọn D. Vì số 0 không là số hữu tỉ âm, cũng không là số hữu tỉ dương.
CI AL
5 ; 3 2 ; 7
4 ;
KÈ M
Rút gọn các phân số đã cho ta được: Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ Câu 3. a) Ta có:
9 3 14 2 4 2 12 3 ; ; ; 6 2 21 3 6 3 20 5
2 14 4 là: và . 3 21 6
21 7 28 7 35 35 7 ; ; 27 9 36 9 45 45 9
Y
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ
DẠ
b) Biểu diễn các số hữu tỉ
7 21 28 35 ; là: và . 9 27 36 45
7 trên trục số như sau: 9
Câu 4. Chọn A. Trang 10
Các đáp án B, C, D sau khi rút gọn ta đều được phân số
3 . 5
Đưa các số hữu tỉ về dạng phân số tối giản, ta có: Vậy các số trên cùng biểu diễn bởi điểm
1 1 25 1 5 1 ; 0,25 ; ; . 4 4 100 4 20 4
1 trên trục số. 4
Câu 6. Chọn B.
12 . 13
OF
Vậy có hai phân số biểu diễn phân số
FI
14 7 24 12 26 13 28 14 72 12 ; ; ; ; . 18 9 26 13 28 14 30 15 78 13
Dạng 3. So sánh hai số hữu tỉ Câu 1.
Vì 21 22 nên b) Ta có
5 3 7 3 1 ; 1 8 8 10 10
3 3 5 7 5 7 1 1 hay nên 8 10 8 10 8 10
c) Ta có
24 11 19 11 1 ; 1 35 35 30 30
Y
11 11 24 19 11 11 nên 1 1 hay 35 30 35 30 35 30
d) Ta có Suy ra
QU
Vì
21 22 7 11 hay . 24 24 8 12
9 3 27 27 3 ; 21 7 63 63 7
9 27 . 21 63
Câu 2. a) Ta có
KÈ M
Vì
ƠN
7 21 11 22 ; 8 24 12 24
NH
a) Ta có
CI AL
Câu 5. Chọn A.
9 27 5 25 ; 70 210 42 210
Vì 27 25 nên
4 28 15 15 45 ; 27 189 63 63 189
Y
b) Ta có
27 25 9 5 hay 210 210 70 42
DẠ
Vì 28 45 nên c) Ta có Vì
28 45 4 15 hay 27 63 189 189
13 2 9 2 1 ; 1 15 15 11 11
2 2 2 2 13 9 nên 1 1 hay 15 11 15 11 15 11
Trang 11
d) Ta có
9 20 20 9 20 0; 0 nên . 17 21 21 17 21
Vì 16 14 12 11 9 3 1 nên Sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần:
16 14 12 11 9 3 1 19 19 19 19 19 19 19
1 3 9 11 12 14 16 ; ; ; ; ; ; 19 19 19 19 19 19 19
Câu 4.
Lại có 16 19 nên Vậy
FI
16 16 16 16 . Suy ra 27 29 27 29 16 19 27 27
OF
Có 27 29 nên
19 16 16 . 27 27 29 19 16 16 ; ; 27 27 29
ƠN
Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần:
CI AL
Câu 3.
Dạng 4. Tìm điều kiện để một số hữu tỉ là số âm (dương) hay số nguyên Câu 1.
b) Để x là số hữu tỉ âm thì
3a 7 7 0 . Mà 5 0 nên 3a 7 0 suy ra a 5 3
NH
a) Để x là số hữu tỉ dương thì
3a 7 7 0 . Mà 5 0 nên 3a 7 0 suy ra a . 5 3 3a 7 0 . Mà 5 0 nên 3a 7 0 suy 5
c) Để x không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm thì
Y
7 . 3
Câu 2. a) Để x là số hữu tỉ dương thì
3n 1 1 0 3n 1 0 do 4 0 3n 1 n . 4 3
3n 1 1 0 3n 1 0 3n 1 n . 4 3
KÈ M
b) Để x là số hữu tỉ âm thì
QU
ra a
c) Để x không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm thì Câu 3. Để x
7 thì n 1 ¦ n 1
3n 1 1 0 3n 1 0 3n 1 n 4 3
7 1; 7
Y
Ta lập bảng:
DẠ
n 1
n
7
1
1
7
6
0
2
8
Vậy n 6;0;2;8 thì x nhận giá trị nguyên.
Trang 12
BÀI 2. CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ Kiến thức
CI AL
Mục tiêu + Nắm vững cách thực hiện cộng, trừ hai số hữu tỉ, quy tắc “chuyển vế” trong . Kĩ năng
+ Thực hiện được cộng, trừ hay hai nhiều số hữu tỉ. Có kĩ năng thực hiện phép tính một cách hợp lí.
FI
+ Viết được một số hữu tỉ dưới dạng tổng hay hiệu của hai số hữu tỉ.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
+ Áp dụng được quy tắc “chuyển vế” trong bài toán tìm thành phần chưa biết của phép tính.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cộng, trừ hai số hữu tỉ chúng dưới dạng hai phân số rồi áp dụng quy tắc
p q ; y p, q, m , m 0 ta có: m m
p q m m p q x y m m
cộng, trừ phân số.
x y
p q ; m p q . m
Tính chất Phép cộng số hữu tỉ có tính chất của phép cộng Với a, b, c ta có:
CI AL
Với x
FI
Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y bằng cách viết
OF
phân số: giao hoán, kết hợp, cộng với 0, cộng với a) Tính chất giao hoán: a b b a
b) Tính chất kết hợp: a b c a b c
số đối.
c) Cộng với số 0: a 0 0 a a
ƠN
d) Cộng với số đối: a a 0 Quy tắc “chuyển vế”
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của Với mọi a, b, c , nếu a b c thì a b c một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.
NH
Chú ý: Trong ta có tổng đại số, trong đó có thể Với x, y, z ta có: đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số
Cộng, trừ số hữu tỉ 1. Phương pháp
§ æi chç y vµ z
§Æ t dÊu ngoÆ c
QU
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Ph¸ ngoÆ c
x y z x y z
Y
hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong .
x y z x y z x z y
+ Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương.
KÈ M
+ Cộng, trừ phân số. a b a b ; m m m a b a b x y . m m m x y
2. Tính chất
Y
+ Giao hoán: a b b a
DẠ
+ Kết hợp: a b c a b c + Cộng với 0: a 0 0 a a 3. Quy tắc chuyển vế: Tìm thành phần chưa biết: x a b x b a . II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Thực hiện phép tính của hai hay nhiều số hữu tỉ Trang 2
Bài toán 1: Cộng, trừ hai số hữu tỉ Phương pháp giải Ví dụ: A
1 8 5 15
CI AL
Để cộng (trừ) hai số hữu tỉ, ta thực hiện các bước sau:
Hướng dẫn giải Bước 1. Viết hai số hữu tỉ dưới dạng hai phân số có mẫu dương
Bước 1. A
1 8 3 8 5 15 15 15
Bước 2. A
3 8 5 15 15
Bước 3. A
1 3
và thực hiện quy đồng hai phân số.
FI
Bước 2. Cộng (trừ) hai tử và giữ nguyên mẫu.
OF
Bước 3. Rút gọn kết quả về dạng phân số tối giản. Ví dụ mẫu Ví dụ. Tính 1 3 12 12
b)
7 5 8 4
2 5
c) 1 3
3 5
Hướng dẫn giải 1 3 1 3 2 1 12 12 12 12 6 7 5 7 10 7 10 3 b) 8 4 8 8 8 8 2 3 2 3 2 3 5 c) 1 3 1 3 1 3 4 4 1 5 5 5 5 5 5 5 14 14 6 7 6 7 6 1 d) 0,6 20 20 10 10 10 10 10
14 0,6 20
Phương pháp giải
QU
Bài toán 2. Cộng, trừ nhiều số hữu tỉ
Y
NH
a)
d)
ƠN
a)
Để cộng (trừ) nhiều số hữu tỉ, ta có thể thực hiện Ví dụ. Thực hiện phép tính sau: như sau:
- Nếu biểu thức không chứa dấu ngoặc, ta thực hiện
1 5 1 2 6 3
KÈ M
quy đồng các phân số rồi cộng, trừ các phân số cùng mẫu.
3 5 2 6 6 6
a) A
- Nếu biểu thức chứa dấu ngoặc, ta thực hiện trong
1 3 7
3 5 2 6 1 6 6
1 3 14
1 3 14 8
b) B 2 8 4 2 8 8 2
ngoặc trước, ngoài ngoặc sau hoặc phá dấu ngoặc (chú ý đổi dấu nếu trước dấu ngoặc có dấu “-”).
Y
1 11 1 11 4 11 4 11 15 2 8 2 8 8 8 8 8
DẠ
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Thực hiện phép tính: a)
2 10 4 3 6 3
b)
7 5 2 3 6 3
c)
5 3 15 8 4 6
d)
7 1 5 3 4 12
Hướng dẫn giải Trang 3
2 10 4 2 5 4 2 5 4 7 3 6 3 3 3 3 3 3 7 5 2 14 5 4 14 5 4 5 b) 3 6 3 6 6 6 6 6 5 3 15 5 3 5 5 6 20 5 6 20 19 c) 8 4 6 8 4 2 8 8 8 8 8 7 1 5 7 1 5 28 3 5 36 d) 3 3 4 12 3 4 12 12 12 12 12
CI AL
a)
Bài toán 3. Thực hiện phép tính một cách hợp lí
FI
Phương pháp giải
Ta có thể sử dụng các tính chất của phép cộng số Ví dụ. Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể): hữu tỉ để tính hợp lí (nếu có thể).
OF
24 19 2 20 11 13 11 13
A
Hướng dẫn giải Bước 1. Áp dụng tính chất giao hoán, tính chất kết
24
2 19
20
ƠN
Bước 1. A 11 11 13 13
hợp của số hữu tỉ để nhóm các số hạng. Bước 2. Thực hiện cộng, trừ số hữu tỉ.
24 2 19 20 22 39 11 13 11 13 A 2 3 5
NH
Bước 2. A
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể): 25 9 12 25 13 17 13 17
a)
Y
b)
QU
Hướng dẫn giải
2 1 1 1 3 4 21 12
25 9 12 25 25 12 9 25 13 17 13 17 13 13 17 17
a)
25 12 9 25 13 34 1 2 3 13 17 13 17 2 1 1 1 2 1 1 1 8 3 1 1 1 22 b) 1 3 4 21 12 3 4 12 21 12 21 21 21
KÈ M
Bài tập tự luyện dạng 1
Chọn đáp án đúng nhất từ câu 1 đến câu 7. Câu 1: Kết quả của phép tính
Y
19 15
DẠ
A.
B.
2 3 là: 3 5
9 4
Câu 2: Phép tính nào dưới đây có kết quả bằng A.
3 7 4 2
B.
3 7 4 2
C.
9 16
D.
9 16
11 ? 4
C.
3 7 4 2
3 7 4 2
D.
Trang 4
B.
7 6
C.
Câu 4: Phép tính nào dưới đây có kết quả bằng A.
1 2 2 3
B.
Câu 5: Giá trị của biểu thức A.
33 30
B.
D.
1 ? 6
1 2 2 3
C.
1 2 2 3
31 30
C.
43 30
9 16
1 2 2 3
D.
2 4 1 là: 5 3 2
Câu 6: Số nào dưới đây là giá trị của biểu thức B
D.
43 30
2 5 9 8 ? 11 13 11 13
B. 1 .
A. 2.
9 16
FI
7 6
OF
A.
1 2 là: 2 3
CI AL
Câu 3: Kết quả của phép tính
C. 1.
D. 0.
1 5 1
3
ƠN
Câu 7: Kết luận nào đúng khi nói về giá trị của biểu thức A ? 3 4 4 8
A. A 0
B. A 1
C. A 2
a)
2 5 3 6
b)
1 7 4 6
d)
2 5 1 3 6 12
e)
3 3 1 4 16 2
c)
19 5 2 6
f)
2 4 1 5 7 2
NH
Câu 8: Thực hiện các phép tính sau:
D. A 2
1 1 21 28
b) B
8 15 18 27
QU
a) A
Y
Câu 9: Tính giá trị của các biểu thức sau:
c) C
2 7
5 0,75 12
d) D 3,5
Câu 10: Thực hiện phép tính (hợp lí có thể): 5 6 1 7 6 7 6 3
KÈ M
a)
2 3
8 7 3 4
b) 1 0,25
3 2
Dạng 2: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ Phương pháp giải
Để viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của
Ví dụ. Tìm hai cách viết số hữu tỉ
Y
hai số hữu tỉ, ta thường thực hiện các bước sau:
DẠ
Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương.
4 dưới dạng 17
tổng của hai số hữu tỉ âm. Hướng dẫn giải Bước 1. Ta có
4 4 17 17
Bước 2. Viết tử của phân số thành tổng hoặc thành Bước 2. Ta có
4 1 3 2 2
nên
hiệu của hai số nguyên.
Trang 5
1 3 2 2 4 17 17 17
Bước 3.
các số nguyên tìm được. Bước 4. Rút gọn từng phân số (nếu có thể) và kết
4 1 3 2 2 17 17 17 17 17
Bước 4. Vậy
luận.
CI AL
Bước 3. “Tách” số hữu tỉ thành hai phân số có tử là
4 1 3 4 2 2 hoặc 17 17 17 17 17 17
Ví dụ mẫu
a)
3 8
b)
5 12
c)
1 11
d)
1 4
OF
Hướng dẫn giải
FI
Ví dụ. Viết số hữu tỉ sau dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ khác:
3 4 1 4 1 1 1 8 8 8 8 2 8 5 41 4 1 1 1 b) 12 12 12 12 3 12 1 11 10 11 10 10 c) 1 11 11 11 11 11 1 3 4 3 4 3 d) 1 4 4 4 4 4
Bài tập tự luyện dạng 2 5 . 3
Câu 2: Tìm hai số hữu tỉ có tổng là
4 . 19
11 dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm. 15
QU
Câu 3: Tìm ba cách viết số hữu tỉ
Y
Câu 1: Tìm hai số hữu tỉ có tổng là
NH
ƠN
a)
Dạng 3: Tìm số hữu tỉ x thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải
KÈ M
Ta sử dụng quy tắc “chuyển vế” biến đổi số hạng tự
Ví dụ. Tìm x, biết
do sang một vế, số hạng chứa x sang một vế khác. Bước 1. Sử dụng quy tắc chuyển vế
Y
Bước 2. Thực hiện tính toán để tìm x.
DẠ
Bước 3. Kết luận.
16 4 3 x 5 5 10
Hướng dẫn giải 16 4 3 16 4 3 x x 5 5 10 5 5 10
x
12 3 24 3 27 5 10 10 10 10
Vậy x
27 10
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm x, biết
Trang 6
1 5
a) x
3 7
b) x
3 1 4 2
b) x
3 1 1 3 2 3 2 3 5 x 4 2 2 4 4 4 4 4
1 5
3 7
Vậy x
8 35
3 1 15 7 15 7 8 7 5 35 35 35 35
a) x x
Vậy x
CI AL
Hướng dẫn giải
5 4
Ví dụ 2. Tìm x, biết 1 8 1 x ; 20 5 10
b)
11 2 2 x 12 5 3
FI
a)
11 2 2 x 12 5 3 2 11 2 x 5 12 3 11 2 2 x 12 5 3 55 24 40 55 24 40 9 3 x 60 60 60 60 60 20
1 8 1 x 20 5 10 8 1 1 x 5 20 10 8 1 2 x 5 20 20 8 1 x 5 20 8 1 32 1 31 x 5 20 20 20 20
b)
NH
ƠN
a)
Vậy x
31 20
Vậy x
Câu 1: Tìm x, biết 2 7
b)
Câu 2: Tìm x, biết 3 4
2 5
b) x
KÈ M
1 3
a) x
2 7 x 3 5
1 8
QU
3 4
3 20
Y
Bài tập tự luyện dạng 3
a) x
OF
Hướng dẫn giải
c) x
5 7
c) x
3 4
1 3 32 4
Câu 3: Tìm x, biết a)
7 5 12 x 4 3 5
17 3 5
1
b) x 2 7 3 3
c)
9 2 7 5 x 2 3 4 4
Dạng 4: Tính tổng dãy số có quy luật
Y
Phương pháp giải Để tính tổng dãy số có quy luật ta cần tìm ra tính
DẠ
chất đặc trưng của từng số hạng trong tổng, từ đó biến đổi và thực hiện phép tính.
Ví dụ: Tính S
1 1 1 1 ... 1.2 2.3 3.4 2019.2020
Hướng dẫn giải
Bước 1. Ở ví dụ bên, ta thấy các giá trị ở tử không Bước 1. Tách mỗi số hạng của tổng thay đổi và chúng đúng bằng hiệu hai thừa số ở Trang 7
Mỗi số hạng đều có dạng
1 n n 1
Do đó ta thực hiện tách các số hạng của tổng S theo công thức
1 1 1 n n 1 n n 1
1 1 1 ; 1.2 1 2 1 1 1 ; 2.3 2 3 ... 1 1 1 . 2019.2020 2019 2020
CI AL
mẫu.
Bước 2. Vì tổng sau khi tách có đặc điểm: các số Bước 2. Áp dụng tính chất kết hợp, nhóm các số kết hợp để nhóm các số hạng. Khi đó các số hạng
Tổng quát: Nếu trong tổng xuất hiện các số hạng k thì ta tách các số hạng theo công n n k k 1 1 . n n k n n k
NH
thức sau:
ƠN
còn số hạng đầu và số hạng cuối.
dạng
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2019 2020 1 1 1 1 1 1 1 S 1 ... 2 2 3 3 2019 2019 2020 1 2019 S 1 2020 2020
S ...
OF
trong tổng được khử liên tiếp đến khi trong tổng chỉ
FI
hạng liên tiếp luôn đối nhau, nên ta dùng tính chất hạng:
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tính nhanh
1 1 1 1 ... 1.3 3.5 5.7 19.21 1 1 1 1 1 1 b) B . ... 99 99.98 98.97 97.96 3.2 2.1
Hướng dẫn giải a) A
QU
Y
a) A
1 1 1 1 1 2 2 2 2 ... ... 1.3 3.5 5.7 19.21 2 1.3 3.5 5.7 19.21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 1 3 3 5 5 7 19 21
1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 ... 1 2 3 3 5 5 19 19 21 2 21 21
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ... ... 99 99.98 98.97 97.96 3.2 2.1 99 99.98 98.97 97.96 3.2 2.1
DẠ
b) B
10 . 21
Y
Vậy A
KÈ M
1 1 1 1 1 1 ... 99 2.1 3.2 97.96 98.97 99.98
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 99 1 2 2 3 96 97 97 98 98 99
Trang 8
1 1 1 1 1 1 1 98 97 1 1 1 1 1 ... 1 99 2 2 3 3 98 98 99 99 99 99 99 99
Vậy B
CI AL
97 99
Ví dụ 2. Tính S
4 4 4 4 ... 1.5 5.9 92.96 96.100
Hướng dẫn giải k 1 1 với k 4 ta có: n n k n n k
FI
Áp dụng công thức
4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 1.5 5.9 96.100 5 5 9 92 96 96 100 1 1 1 99 1 1 1 1 ... 1 100 100 5 5 96 96 100 99 . 100
ƠN
Vậy S
OF
S
Bài tập tự luyện dạng 4
1 1 1 1 ... . 3.4 4.5 5.6 20.21
Câu 2: Tính giá trị biểu thức B
1 1 1 1 ... . 2.4 4.6 6.8 28.30
NH
Câu 1: Tính giá trị biểu thức S
Y
ĐÁP ÁN Câu 1: Chọn A. Ta có:
QU
Dạng 1. Thực hiện phép tính của hai hay nhiều số hữu tỉ 2 3 2.5 3.3 10 9 10 9 19 3 5 15 15 15 15 15 15
Câu 2: Chọn B.
3 7 3 14 11 ; 4 2 4 4 4
3 7 3 14 17 ; 4 2 4 4 4
B.
C.
3 7 3 14 11 ; 4 2 4 4 4
D.
KÈ M
A.
3 7 4 2
3 14 17 . 4 4 4
Câu 3: Chọn B.
Y
1 2 3 4 7 . 2 3 6 6 6
Câu 4: Chọn C.
1 2 3 4 1 ; 2 3 6 6 6
1 2 3 4 7 ; 2 3 6 6 6
B.
C.
1 2 3 4 1 ; 2 3 6 6 6
D.
DẠ
A.
1 2 2 3
3 4 7 . 6 6 6
Câu 5: Chọn D. Trang 9
2 4 1 2.6 10.4 15 12 40 15 43 5 3 2 30 30 30 30 30
B
CI AL
Câu 6: Chọn D. 2 5 9 8 2 9 5 8 11 13 1 1 0. 11 13 11 13 11 11 13 13 11 13
Vậy B 0 . Câu 7: Chọn C. 1 5 1
3
1 5 1 3
1 5 1 3 8 4
Vậy A 2 . Câu 8:
1 7 3 7.2 11 4 6 4.3 6.2 12 2 5 1 8 10 1 1 d) 3 6 12 12 12 12 12 2 4 1 28 40 35 23 f) 5 7 2 70 70 70 70
2 5 4 5 9 3 3 6 6 6 6 2 19 5 57 5 52 26 c) 2 6 2.3 6 6 3 3 3 1 12 3 8 7 e) 4 16 2 16 16 16 16
b)
Câu 9: 1 1 1 1 4 3 1 21 28 7.3 7.4 7.3.4 7.3.4 12 5 5 3 5 9 1 c) C 0,75 12 4.3 4 4.3 4.3 3
7 5 1 6
QU
5 6 1
7 5 1 6
8 15 8 15 24 30 1 18 27 9.2 9.3 9.2.3 9.3.2 2 7 2 49 4 53 c) D 3,5 7 2 7 14 14 14
a) B
Y
a) A
NH
ƠN
a)
Câu 10:
OF
1 3 3 1 3 3 8 3.12 3.3 53 5 2 3 2 8 3 2 8 24 24 24
FI
A 3 4 4 8 3 4 4 8 3
7
2 6
7 2
7 6
a) 6 7 6 3 6 6 7 3 6 7 3 3 7 3 3 3 7
KÈ M
6 21 6 27 2 7 6 3 7 7 7 7 3 7 2 8 7 3 5 8 1 7 3 5 8 1 7 3 b) 1 0,25 3 3 4 2 3 3 4 4 2 3 4 2
3 6 3 3 3 3 3 1 1 1 0 1 3 4 2 2 2 2 2
Dạng 2: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ Câu 1:
Y
5 41 4 1 4 1 . Vậy hai số đó là và . 3 3 3 3 3 3
DẠ
Ta có
Câu 2: Ta có
4 1 3 1 3 1 3 . Vậy hai số đó là và . 19 19 19 19 19 19
Câu 3:
Trang 10
Vậy
11 1 10 2 9 3 8 15 15 15 15
11 1 10 11 2 9 11 3 8 ; ; 15 15 15 15 15 15 15 15 15
Dạng 3. Tìm số hữu tỉ x thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 1: 3 2 4 7 2 3 8 21 29 x 7 4 28 28 28
7 5 2 7 10 21 11 x 3 5 15 15 15
Vậy x
11 15
5 ; 12
b) x
Vậy x
39 ; 35
c) x
12
5
17 3 5 1 2 7 3 3
b) x
5 7 12 3 4 5 7 12 5 x 4 5 3 105 144 100 149 60 60 x
1 17 3 5 3 2 7 3
1 17 3 5 3 2 7 3 1 17 3 5 3 2 7 3 1 5 17 3 3 3 2 7 17 3 2 2 7 28 119 6 97 14 14
Y
QU
149 60
KÈ M
Vậy x
x
NH
7
ƠN
Câu 3: a) x 4 3 5
Vậy x
c) x
FI
29 28
Câu 2: Làm tương tự câu 1. a) x
1 8
b) x
97 . 14
7 8
OF
Vậy x
3 4 3 1 6 1 7 x 4 8 8 8 8
2 3
a) x
CI AL
Ta có:
23 . 32
9 2
7
5
c) x 2 3 4 4
9 2 7 5 x 2 3 4 4 9 2 7 5 x 2 3 4 4 5 9 2 7 x 4 2 3 4 5 7 9 2 x 4 4 2 3 12 9 2 x 4 2 3 18 27 4 x 6 41 x 6
Vậy x
41 . 6
Dạng 4. Tính tổng dãy số có quy luật Câu 1:
DẠ
Câu 2:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ... ... 3.4 4.5 5.6 20.21 3 4 4 5 5 6 20 21 3 21 7
Y
Ta có: A
Ta có: B
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 ... ... 2.4 4.6 6.8 28.30 2 2 4 2 4 6 2 28 30 2 2 30 30
Trang 11
BÀI 3: NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ Mục tiêu
CI AL
Kiến thức + Nắm vững quy tắc nhân, chia hai số hữu tỉ. + Nắm vững các tính chất của phép nhân số hữu tỉ. Kĩ năng + Vận dụng các tính chất của phép nhân số hữu tỉ để tính nhanh.
FI
+ Vận dụng quy tắc nhân, chia số hữu tỉ để thực hiện phép tính, tính giá trị biểu thức.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
+ Viết được một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Nhân, chia hai số hữu tỉ a c a c ac Với x ; y , với b, d 0 ta có: x.y . . b d b d bd chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, a c a d ad chia phân số. Với y 0 , ta có: x : y : . . b d b c bc
CI AL
Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết
Phép nhân số hữu tỉ cũng có các tính chất như phép Với a, b, c , ta có:
nhân phân số: giao hoán, kết hợp, nhân với 1 và + Tính chất giao hoán: a.b b.a
FI
tính chất phân phối của phép nhân đối với phép + Tính chất kết hợp: a. b.c a.b .c cộng.
OF
+ Tính chất nhân với 1: a.1 1.a a
+ Tính chất phân phối: a. b c a.b a.c Mọi số hữu tỉ khác 0 đều có một số nghịch đảo
Với a , a 0 . Số nghịch đảo của a là
Tỉ số
số của hai số x và y, kí hiệu là
x hoặc x : y . y
Tỉ số của 3 và 5 là
Y
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
NH
Thương của phép chia x cho y (với y 0 ) gọi là tỉ
ƠN
Ví dụ: Nghịch đảo của
QU Nhân hai số hữu tỉ
a c a d ad x : y : . y 0 b d b c bc
Y
KÈ M
a c a.c x.y . b d b.d
DẠ
a
.
1 1 là 2 1 2 2
3 5
Giao hoán: a.b b.a
Nhân hai số hữu tỉ
Tỉ số
1
Tính chất
Kết hợp: a. b.c a.b .c Nhân với 1: a.1 1.a a Phân phối: a. b c a.b a.c
Thương của phép chia x cho y (y khác 0). Kí hiệu: x : y hay
x . y
Trang 2
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Phương pháp giải Để nhân, chia hai số hữu tỉ ta thực hiện các bước sau:
1 5
Ví dụ: Tính 3 .2,5 .
CI AL
Dạng 1: Nhân, chia hai số hữu tỉ
Bước 1. Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số.
Hướng dẫn giải
Bước 2. Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.
1 16 25 16.25 400 3 .2,5 . 8 5 5 10 5.10 50
FI
Bước 3. Rút gọn kết quả (nếu có thể). Ví dụ mẫu
a)
3 2 . ; 2 25
b)
8 3 . ; 5 4
15 21 : ; 4 10
c)
Hướng dẫn giải 3 2 3. 2 3 2 25 2.25 25 8 3 8 . 3 2.4.3 2.3 6 b) . 5 4 5.4 5.4 5 5 15 21 15 10 15 . 10 5.3.5.2 5.5 25 c) : . 4 10 4 21 4.21 4.3.7 2.7 14 15 5 15 14 15 .14 3 .5.2.7 d) : . 3 .2 6 7 14 7 5 7.5 7.5
15 5 : . 7 14
d)
NH
ƠN
a) .
OF
Ví dụ 1. Thực hiện phép tính:
4 ; 21
2
1
b) 1 . 2 ; 3 3
c) 2,5 :
3 ; 4
2
4
d) 8 : 2 5 5
QU
a) 3,5.
Y
Ví dụ 2. Thực hiện phép tính:
Hướng dẫn giải
4 7 4 7. 4 4 2 . 2.21 6 3 21 2 21 2 1 2 7 5 7 35 b) 1 . 2 1 . . 3 3 3 3 3 3 9 3 5 3 5 4 20 10 c) 2,5 : : . 4 2 4 2 3 6 3 2 4 42 14 42 5 d) 8 : 2 : . 3 5 5 5 5 5 14
KÈ M
a) 3,5.
Y
Bài tập tự luyện dạng 1
DẠ
Câu 1: Giá trị của A.
1 2 . bằng: 3 5
2 15
Câu 2: Giá trị của 1.
B.
2 15
C.
12 35
D.
2 35
2 bằng: 3
Trang 3
B.
Câu 3: Giá trị của
C.
12 3
D.
5 9 . bằng: 3 15
A. 1
B.
Câu 4: Giá trị của
2 3
1 3
C. 3.
D. 1.
C. 3
D.
5 1 : 2 bằng: 3 3
B. 1
A. 1. Câu 5: Tính: 7 5 . 15 21
B.
4 2 : 9 3
C.
3 35 . 15 7
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức Phương pháp giải
5 7
D.
4 2 : 2 9 3
OF
A.
2 3
CI AL
2 3
FI
A. 1
phép tính: trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau; nhân chia trước, cộng trừ sau.
3 3 2 3 3 2 3 1 3 1 2 2 : : : : . 5 2 5 2 5 5 2 5 2 5 3 15
NH
Ngoài ra ta có thể sử dụng các quy tắc phép tính cộng,
ƠN
Để tính giá trị biểu thức, ta căn cứ vào thứ tự thực hiện Ví dụ:
trừ, nhân, chia số hữu tỉ kết hợp các tính chất của các phép tính cộng và nhân để tính hợp lí (nếu có thể). Ví dụ mẫu
a) 0,25 .
4 5 7 . 3 . 17 21 12
3 3 1
2 4
3 4
b) . . 5 15 10 15 3 2 3 3 1 3
d) : : . 4 5 7 5 4 7
KÈ M
c) 21 3 : 4 8 6
QU
Ví dụ. Tính giá trị các biểu thức sau:
Y
Chú ý dấu của kết quả và rút gọn.
Hướng dẫn giải a) 0,25 .
4 5 7 25 4 68 7 25.4. 68 . 7 100 . 17.4 . 7 1 1 . 3 . . . . 17 21 12 100 17 21 12 100.17.21.12 100.17.3.7.3.4 3.3 9
2 4 3 4 4 2 3 4 7 4. 7 2.2. 7 2. 7 14 . . . . 3.5.2.5 3.5.5 75 5 15 10 15 15 5 10 15 10 15.10
b)
3 3 1
15 5
15 24
5.3.4.6
Y
c) 21 3 : 21 : 21 . 21 21 3.6 21 18 3 4 8 6 4 24 4 5 4.5
DẠ
3 3 2 3 3 1 3 3 2 3 1 3 : : : 0: 0 7 4 5 7 5 4 7 4 5 5 4 7
d)
Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản Trang 4
Câu 1: Tính giá trị các biểu thức sau: 3 4 4 9
c) C
3
2
1 7
b) B 0,2 . 4 5
11 33 3 : . 4 16 5
CI AL
2 3
a) A .
d) D 1 1 : 2 4
Câu 2: Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể): 5 7 11
1 15 38
a) . . . 30 11 15 5 13 3
2 9 3 3 . . : 15 17 32 17
c) . . 9 11 18 11
d) 2
2 4 3 4
Câu 3: Giá trị của . . bằng: 5 3 10 3 1 14
B.
14 15
C.
2 4 3 4
Câu 4: Giá trị của : : bằng 3 3 4 3 17 16
B.
1 16
C.
Bài tập nâng cao 7 2
1 7 1
5
Câu 5: Tính A : : . 8 9 18 8 36 12
1 12
D.
8 18
D.
1 8
NH
A.
2 15
ƠN
A.
FI
OF
5 3
b) . . 3 19 45
QU
Y
3 3 3 3 Câu 6: Tính nhanh Q 4 5 7 11 13 13 13 13 4 5 7 11
Dạng 3: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ Phương pháp giải
Để viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu
9 dưới 16
Ví dụ: Viết số hữu tỉ 1
KÈ M
tỉ ta thực hiện các bước sau:
Y
Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số. Bước 2. Viết tử và mẫu của phân số dưới dạng tích của hai số
DẠ
nguyên.
Bước 3. “Tách” ra hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài. Bước 4. Lập tích hoặc thương của các phân số đó.
dạng tích của hai số hữu tỉ có một thừa số là
5 . 4
Hướng dẫn giải 9 25 1 16 16 5.5 2.2.2.2 5. 5 4.4 5 5 . 4 4
Trang 5
Ví dụ mẫu 25 dưới các dạng sau: 16
a) Tích của hai số hữu tỉ có một thừa số là
CI AL
Ví dụ 1. Viết số hữu tỉ
5 . 12
b) Thương của hai số hữu tỉ, trong đó số bị chia là
4 . 5
Hướng dẫn giải
3 dưới các dạng sau: 35
a) Tích của hai số hữu tỉ có một thừa số là
5 . 7
b) Thương của hai số hữu tỉ, trong đó số bị chia là
3 3 3.5 5 3 . 35 7.5 7.5.5 7 25 3 3 3.2 2 3 2 14 b) . : 35 5.7 5.7.2 5 14 5 3
a) Tích của hai số hữu tỉ;
QU
5 dưới dạng sau: 21
Y
a)
Bài tập tự luyện dạng 3
2 . 5
NH
Hướng dẫn giải
Viết số hữu tỉ
OF
Ví dụ 2. Viết số hữu tỉ
FI
5.5 5.5.3 5.15 5 15 . 4.4 4.4.3 12.4 12 4 25.4.5 4.25.5 4 125 4 64 . : 16.4.5 5.16.4 5 64 5 125
ƠN
25 16 25 b) 16
a)
b) Thương của hai số hữu tỉ;
KÈ M
c) Tích của hai số hữu tỉ trong đó có một số bằng
2 ; 3
d) Thương của hai số hữu tỉ trong đó số bị chia bằng
3 . 7
Dạng 4: Tìm số hữu tỉ x thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải
DẠ
Y
Với bài toán tìm x, ta thường làm như sau:
Ví dụ. Tìm x biết:
5 5 :x 8 4
Hướng dẫn giải
Bước 1. Ta xác định vai trò và tính chất của x trong đẳng Bước 1. x đóng vai trò là số chia. thức hoặc điều kiện ở đề bài. Bước 2. Sử dụng các quy tắc và tính chất đã biết về phép Bước 2. Trang 6
Chú ý: Ta thường sử dụng quy tắc và tính chất sau để biến đổi tìm x.
5 5 5 5 5 4 1 :x x : . . 8 4 8 4 8 5 2
Vậy x
Quy tắc “chuyển vế” biến đổi số hạng tự do sang một vế, số
1 2
CI AL
tính số hữu tỉ để tìm x.
hạng chứa x sang một vế khác. Sử dụng các tính chất các phép tính nhân, chia các số hữu tỉ. Sử dụng tính chất tích hai số bằng 0 thì một trong hai số đó
FI
bằng 0. Ví dụ 1. Tìm x biết: a)
4 5 3 x 5 2 10
4 5 3 8
b) : x
1 12
Hướng dẫn giải 4 5 3 x 5 2 10 5 3 4 x 2 10 5 5 1 x 2 2 1 5 x : 2 2 1 2 x . 2 5 1 x 5
ƠN
NH Y
1 5
Vậy x . Ví dụ 2. Tìm x biết:
5 4
4 5 1 3 8 12 5 1 4 :x 8 12 3 5 5 :x 8 4 5 5 x : 8 4 5 4 x . 8 5 1 x 2
b) : x
1
KÈ M
a) 0,75x . ; 2 7 3
QU
a)
OF
Ví dụ mẫu
Vậy x
1 . 2
1
8
7
b) x . 2,5 : x 0 3 5 3
DẠ
Y
Hướng dẫn giải
Trang 7
5 4
1
1
CI AL
ƠN NH
Bài tập tự luyện dạng 4 Bài tập cơ bản
2 7 5 :x 3 4 6
Câu 2: Tìm x biết: a)
2 5 7 :x 3 8 12
KÈ M
Bài tập nâng cao
QU
c)
Y
Câu 1: Tìm x biết: 1 1 x 1 2 6
14 25
OF
Vậy x 8 hoặc x
37 9
a)
1 8 7 x 0 hoÆ c 2,5 :x0 3 3 5 1 8 1 8 8 1 8 3 ) x 0 x x : . 8 3 3 3 3 3 3 3 1 7 7 )2,5 : x 0 : x 2,5 5 5 7 7 5 7 2 14 x : 2,5 : . 5 5 2 5 5 25
5 1 4 0,75x 2 3 : 7 5 7 0,75x 2 12 7 5 0,75x 12 2 37 0,75x 12 37 x : 0,75 12 37 3 x : 12 4 37 4 x . 12 3 37 x 9
Vậy x
7
8
b) x . 2,5 : x 0 3 5 3
FI
a) 0,75x . 2 7 3
b)
2 5 4 x 5 6 15
d)
2 2 x 2 x 1: 0,5 . 3 3
b)
1 1 1 3 x2 3 x 2 2 2 4
Câu 3: Tìm x biết:
2
3
a) x x 0 7 4 5
1 3
4
b) 2x x 0 5 5 7
3 5
c) x 3,25 x 0 4 5 2
Y
Dạng 5: Tìm điều kiện của x để biểu thức nhận giá trị nguyên
DẠ
Phương pháp giải Tìm điều kiện của x để biểu thức nhận giá trị nguyên, ta thường làm như sau:
Ví dụ: Với x 1 , tìm x để A
2x 1 nhận x 1
giá trị là số nguyên. Hướng dẫn giải Trang 8
Bước 1. Tách phần nguyên.
Tách tử theo mẫu sao cho A có dạng tổng của một số nguyên và một phân số có tử nguyên.
A
2x 1 2 x 1 3 3 2 x 1 x 1 x 1
CI AL
Bước 1. Tách phần nguyên.
Bước 2. Để A là số nguyên thì x 1 là ước của 3.
Bước 2. Tìm x. m với m, n , n 0 n
Để A nhận giá trị nguyên thì m n hay n ¦
Suy ra x 1 1;1; 3;3
m .
Bước 3. Đối chiếu với điều kiện và kết luận.
x 1
3
1
x
4
2
Bước 3.
1
3
0
2
FI
Vận dụng tính chất sau: A
Các giá trị của x đều nguyên và khác 1 .
Ví dụ mẫu 2 nhận giá trị nguyên. 2x 1
ƠN
Ví dụ 1. Tìm x nguyên để biểu thức P
OF
Vậy x 0; 2; 4;2 thì A nhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải
P nhận giá trị nguyên khi 2x 1 là ước của 2. Suy ra 2x 1 2; 1;1;2
2x 1
2
1
1
2
1 2
0
1
3 2
x
NH
Ta có bảng sau:
Ví dụ 2. Cho A
QU
Vậy x 0;1 thì P nhận giá trị nguyên.
3x 2 . Tìm x để A là số nguyên. x3
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 3 . 3 x 3 11
x3
11 x3
KÈ M
A
Y
Vì x nguyên nên x 0;1 .
3
Để A là số nguyên thì x 3 là ước của 11. Ta có bảng sau: x3
11
1
1
11
x
8
2
4
14
Y
Các giá trị của x đều nguyên và thỏa mãn điều kiện.
DẠ
Vậy x 2;4; 8;14 thì A nhận giá trị nguyên. Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1: Với x và x 1 . Tìm điều kiện để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên: a) A
x 1 x 1
b) B
x2 2 x 1 x 1
Trang 9
Câu 2: Cho A
3x 1 2 x2 x 1 và B x 1 x2
a) Tìm x để A; B là số nguyên.
CI AL
b) Tìm x để A và B cùng là số nguyên. ĐÁP ÁN Dạng 1. Nhân, chia hai số hữu tỉ Câu 1: Chọn A. 1 2 1 . 2 2 . . 3 5 3.5 15
FI
Ta có:
Ta có: 1.
OF
Câu 2: Chọn B. 2 1 . 2 2 . 3 3 3
Câu 3: Chọn A. 5 9 5 .9 5.3.3 . 1. 3 15 3.15 3.3.5
ƠN
Ta có:
Câu 4: Chọn D. 5 1 5 7 5 3 5 :2 : . 3 3 3 3 3 7 7
NH
Ta có: Câu 5: a)
7 5 7.5 7.5 1 . 15 21 15. 21 3.5. 7 .3 9
4 2 4 3 4.3 2 : . 9 3 9 2 9.2 3 3 35 3 5.7 c) . . 1 15 7 3.5 7 4 2 4 8 4 3 4. 3 4.3 1 d) : 2 : . 9 3 9 3 9 8 9.8 3.3.4.2 6
QU
Y
b)
Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức Câu 1:
KÈ M
Bài tập cơ bản
2 3 4 2 3. 4 2 3. 4 2 1 1 3 4 9 3 4.9 3 4.3.3 3 3 3 3 2 11 2 11. 2 11 11 b) B 0,2 . . 2.10.5 10.5 50 4 5 20 5
a) A .
DẠ
Y
11 33 3 11 16 3 11.16. 3 11.4.4. 3 4 : . . . 4 16 5 4 33 5 4.33.5 4.3.11.5 5 1 7 3 4 5 4 5.4 10 d) D 1 1 : 1 . . 2 4 2 7 2 7 2. 7 7
c) C
Câu 2:
Trang 10
5 7 11 5 11 7 . . . 30 . . .15. 2 7. 2 14 11 15 5 11 5 15 1 15 38 1 15 2.19 1 2 15 19 2 b) . . . . . . . 3 19 45 3 19 3.15 3 3 19 15 9 5 3 13 3 3 5 13 3 5 .2 13 3 23 3 23 23 c) . . . . . . 18 9 11 18 11 11 9 2.9 11 11 18 11 3.3.2 66 2 9 3 3 32 9 3 3 3 9 17 9 3 d), 2 . . : . . : . . 15 17 32 17 15 17 32 17 15 17 3 15 5
CI AL
a)
FI
Câu 3: Chọn B. 14 2 4 3 4 2 3 4 7 4 7.4 28 5 . 3 10 . 3 5 10 . 3 10 . 3 10.3 30 15
OF
Câu 4: Chọn A.
2 4 3 4 2 3 4 17 4 17 3 17.3 17 17 3 : 3 4 : 3 3 4 : 3 12 : 3 12 . 4 3.4.4 4.4 16
Câu 5: 7 2
1 7 1
5
7 3
7 14
ƠN
Bài tập nâng cao 7 18 7 36
A : : : : . . 8 9 18 8 36 12 8 18 8 36 8 3 8 14
NH
7 18 36 7 18 18 7 4 1 1 7 . .18. .18. 3 8 3 14 8 3 7 8 21 3 7 8
Câu 6:
QU
Y
1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 4 5 7 11 Q 4 5 7 11 . 13 13 13 13 1 1 1 1 13 13 4 5 7 11 4 5 7 11
Dạng 3. Viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ Bài tập tự luyện dạng 3
5 5. 1 5 1 . 21 3.7 3 7
KÈ M
a) Tích của hai số hữu tỉ:
b) Thương của hai số hữu tỉ:
5 5 1 5 7 5 . : : 7 21 3 7 3 1 3
c) Tích của hai số hữu tỉ trong đó có một số bằng
2 5 5 2. 5 2. 5 2 5 . : 3 21 3.7 2.3.7 3.14 3 14
d) Thương của hai số hữu tỉ trong đó số bị chia bằng
3 5 5 3. 5 3.5 3 5 3 9 . : : 7 21 3.7 3.3.7 7.9 7 9 7 5
Y
Dạng 4. Tìm số hữu tỉ x thỏa mãn điều kiện cho trước
DẠ
Bài tập cơ bản Câu 1:
Trang 11
1 1 x 1 2 6 1 7 x 2 6 7 1 x : 6 2 7 2 x . 6 1 7 x 3
Vậy x 2 3
7 3
Vậy x
7 5 4 6 7 5 2 :x 4 6 3 7 1 :x 4 6 7 1 x : 4 6 21 x 2
NH
ƠN
d) x 2 x 1: 0,5
Y
2 5 7 3 8 12 2 7 5 :x 3 12 8 2 29 :x 3 24 2 29 x : 3 24 16 x 29
KÈ M
QU
a) : x
x 1
1 2
1 2
1 3 2 4 1 1 3 1 x3 x 2 2 2 4 2 1 3 5 1 2 32 x 4 2 13 3x 4 13 x : 3 4 13 x 12
b) x 2 3 x
Vậy x
Y
16 . 29
x 2 : 2
Vậy x 1.
21 . 2
Câu 2:
Vậy x
4 . 25
2 2 3 3 2 2 1 3 2 3 x 1: 2 2 2x 1. 1 2x 2
c) : x
Vậy x
2 5 4 x 5 6 15 5 4 2 x 6 15 5 5 2 x 6 15 2 5 x : 15 6 2 6 x . 15 5 4 x 25
CI AL
b)
FI
1 6
OF
1 2
a) x 1
13 . 12
DẠ
Bài tập nâng cao Câu 3:
2
3
2
3
a) x x 0 x 0 hoặc x 0 . 4 7 4 7 Trang 12
x 2 3 hoặc x . 7 4
1 3
4
3
1
CI AL
Vậy x
2 3 hoặc x 7 4
4
x 0 b) 2x x 0 2x 0 hoặc 5 7 5 5 7 5 2x
1 3 4 x hoặc 5 5 7
Vậy x
1 20 hoặc x 10 21
1 20 hoặc x . 10 21
3 5
5
3 5
5
OF
x
FI
1 4 3 x : 2 hoặc x : 5 7 5
5 13 5 3 x hoặc x 4 4 2 5
x
13 6 hoặc x 5 25
13 6 hoặc x . 5 25
Y
Vậy x
13 5 3 5 : hoặc x : 4 4 5 2
NH
x
ƠN
c) x 3,25 x 0 x 3,25 0 hoặc x 0 4 5 2 4 5 2
Dạng 5. Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên
QU
Câu 1:
a) Với x và x 1 ta có A
x 1 2 1 . x 1 x 1
A nguyên nếu x 1 là ước của 2. Khi đó x 3; 2;0;1
KÈ M
b) Với x và x 1 ta có B
x2 2 x 1 2 . x 1 x 1 x 1
B nguyên nếu x 1 là ước của 2. Khi đó: x 3; 2;0;1 Câu 2:
a) Xét biểu thức A: Điều kiện: x 1 .
Y
3x 1 3x 3 2 3 x 1 2 2 3 x 1 x 1 x 1 x 1
DẠ
A
Để A là số nguyên với x nguyên thì x 1 là ước của 2. Ta có bảng sau: x 1
1
1
2
2
x
2
0
3
1
Trang 13
Vậy x 2;0;3; 1 thì A nguyên.
B
2x2 x 1 2x2 4x 3x 6 5 2x x 2 3 x 2 5 5 2x 3 . x2 x2 x2 x2
Để B là một số nguyên với x nguyên thì x 2 là ước của 5. Ta có bảng sau: x2
1
1
5
5
x
1
3
3
7
FI
Vậy x 7; 3; 1;3 thì B nguyên.
CI AL
Xét biểu thức B. Điều kiện: x 2 .
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
b) Để A và B cùng là số nguyên thì x 1 hoặc x 3 .
Trang 14
BÀI 4. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP PHÂN
CI AL
Mục tiêu Kiến thức + Nắm được định nghĩa giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ. + Nắm được cách thực hiện phép tính với số thập phân. Kĩ năng
FI
+ Tính được giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ. + Thực hiện các phép tính với số thập phân.
OF
+ Vận dụng định nghĩa và tính chất giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ vào bài toán tìm x, tìm giá trị
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Giá trị tuyệt đối
CI AL
Giá trị tuyết đối của số hữu tỉ x, kí hiệu x là khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 trên trục số. x khi x 0 x khi x 0
Với mọi x ta có: x Tính chất a) x 0;
FI
b) x x ;
Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân
OF
c) x x.
Để cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân ta có thể Ví dụ: Tính 0,5 0,02 chuyển chúng về dạng các phân số thập phân rồi thực Cách 1: hiện theo quy tắc các phép tính đã biết về phân số.
ƠN
0,5 0,02
5 2 50 2 52 13 10 100 100 100 25
Ta cũng có thể thực hiện phép tính trên các số thập phân Cách 2: 0,5 0,02 0,52
NH
tương tự như đối với số nguyên. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải
QU
x khi x 0 . x khi x 0
tỉ: x
Y
Ta sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số hữu Ví dụ: 4 4 và 4 4 . 3,2 3,2 và 3,2 3,2 .
Quy tắc nhớ: Lấy giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ, ta bỏ dấu âm (-) đằng trước của số đó nếu có.
KÈ M
Lưu ý chỉ bỏ dấu âm (-) có ở bên trong dấu giá trị tuyệt đối, các dấu của biểu thức giữ nguyên. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tính:
DẠ
d) 0
Y
a) 1,2 .
b) 4
c)
3 4
c)
3 3 4 4
e) 1,6
Hướng dẫn giải a) 1,2 1,2 .
b) 4 4
d) 0 0
e) 1,6 1,6 . Trang 2
Ví dụ 2. Tính giá trị của các biểu thức: 1 3
b) B 4 x 2 y với x
CI AL
a) A 3x x 2 2x 3 với x . 1 và y 2 . 4
Hướng dẫn giải a) Thay x
1 1 1 1 vào biểu thức A, ta có: A 3x x 2 2x 3 3. . 2. 2. 3 7 . 3 3 3 3
1 1 1 và y 2 vào biểu thức B, ta có: B 4 x 2 y 4. 2. 2 4. 2.2 1 4 3 4 4 4
Vậy B 3 1 1
1 1
a) x 2
b) x 2
Hướng dẫn giải
ƠN
Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức P x : 2 x 2 khi 2 2 6 4
OF
b) Thay x
FI
Vậy A 7 .
1 1
1
1
NH
a) Khi x 2 thì x 2 0 x 2 x 2 . Thay vào biểu thức P, ta có: 1
37
P 6x 2 x 2 3x 2x 4 5x . 2 2 4 2 8 8
b) Khi x 2 thì x 2 0 x 2 2 x . Thay vào biểu thức P, ta có: 1 1
1
1
1
27
QU
Bài tập tự luyện dạng 1
Y
P 6x 2 2 x 3x 4 2x x . 2 2 4 2 8 8
Câu 1: Giá trị của 4 bằng:
B. 4
A. 4
C. 4
D. 4
C. 5
D. 5
A. 4 1
KÈ M
Câu 2: Giá trị của 5 bằng:
B. 5
1
1 3
1
Câu 3: Giá trị của biểu thức B . x khi x là: 4 2 4 4 A.
1 4
B.
1 4
C.
1 2
D.
1 2
1 4 khi x 2, y 3 là: 5 5
DẠ
Y
Câu 4: Giá trị của biểu thức B x 2 y 1 . A.
1 5
B.
2 5
C.
3 5
D.
4 5
Câu 5: Tính: a) 3,2
b) 1,7
c) 4,5
d) 21 Trang 3
Câu 6: Tính:
c)
b) 1,2 và 3 .
1 và 0,1 . 2
2 1 . 3
d) 1 3,5 và
CI AL
a) 2 và 2 .
Câu 7: Tính giá trị của các biểu thức sau biết x 3; y 2 3 2
a) A
4 6 x 9
b) B 2x 1 3y 2
Dạng 2: Cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân
FI
Phương pháp giải + Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân. Ví dụ:
Nếu trong biểu thức chỉ toàn số thập phân thì ta có thể thực hiện phép toán trên các số thập phân.
1,1 3,9 5,3 4,7 5 10 15
1
Nếu trong biểu thức có cả phân số thì ta thường đổi
3 6 1
3 1 6
B 0,25 7 4 7 4 4 7 7 1 1 2
ƠN
A 1,1 5,3 3,9 4,7
OF
+ Vận dụng các tính chất: Giao hoán, kết hợp, phân phối,…
các số thập phân về phân số. Ví dụ mẫu
NH
Ví dụ 1. Thực hiện phép tính: a) A 1,3 2,5
b) B 2,4 13,5
c) C 4,3 13,7 5,7 6,3
d) D 11,4 3,4 12,4 15,5
Hướng dẫn giải
QU
Y
a) A 1,3 2,5 3,8 b) B 2,4 13,5 15,9 c)C 4,3 13,7 5,7 6,3 4,3 5,7 13,7 6,3 10 20 30 d) D 11,4 3,4 12,4 15,5 8 3,1 8 3,1 11,1
Ví dụ 2. Thực hiện phép tính:
KÈ M
a) M 0,5.4 1,6.5 c) P 0,3
3 0,15.10 20
b) N 25. 5 . 0,4 . 0,2 d) Q 4,8: 0,8 3,6 : 0,9
1 2
Hướng dẫn giải
a) M 0,5.4 1,6.5 2 8 10
b)N 25. 5 . 0,4 . 0,2 25. 0,4 . 5 . 0,2 10 .1 10 3 3 3 15 3 3 15 6 3 30 21 0,15.10 .10 20 10 20 100 10 20 10 20 20 1 1 1 19 d)Q 4,8: 0,8 3,6 : 0,9 6 4 10 2 2 2 2
DẠ
Y
c) P 0,3
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tính
Trang 4
1 4
b) 2,5
c) 1,5 0,1. 20,5 9,5
d) 0,9 1 2 1,1
Câu 2: Tính: a) 7 8
b) 4,5 5,5
c) 7,5 2,5
d) 3,5 5,5 6
Câu 3: Tính nhanh:
CI AL
1 2
a) 1,2 5 6,8
b) 10,2 5.8 9,8 4,2
c) 6,3 3,4 2,4 0,3
d) 3,1 2,4 5,6 3,1 5,6
FI
a) 0,01.51 31.0,01
a) a b và b a .
b) b d và d b .
c) b c và c b .
Dạng 3: Tìm số hữu tỉ x thỏa mãn điều kiện cho trước Bài toán 1. Tìm số hữu tỉ x thỏa mãn một đẳng thức cho trước
ƠN
Phương pháp giải
OF
Câu 4: Cho biết a 2,5; b 6,7; c 3,1 và d 0,3 . Hãy so sánh các hiệu sau:
Ta sử dụng một số chú ý sau: x khi x 0 x khi x 0
Ta có x
Ta có x a x a (với a 0 cho trước).
Nếu x 3 thì không có giá trị x thỏa mãn.
Ta có x a x a .
b) x 4 x 4
Ta có x 0 với mọi số hữu tỉ x.
c) Tìm x để biểu thức A x 1 đạt giá trị nhỏ nhất.
Dấu “=” xảy ra khi x 0 .
Ta có x 0 A x 1 1 với mọi x .
NH
Y
QU
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm x biết:
Vậy min A 1 , dấu “=” xảy ra khi x 0 .
b) 2 x 0,1 .
KÈ M
a) x 10;
a) x 3 x 3
Hướng dẫn giải
a) x 10 x 10 Vậy x 10 . b) 2 x 0,1
Y
2 x 0,1 hoặc 2 x 0,1
DẠ
x 2 0,1 hoặc x 2 0,1 x 1,9 hoặc x 2,1
Vậy x 1,9 hoặc x 2,1. Ví dụ 2. Tìm x biết: Trang 5
a) 2x x 1
1 2
b) 0,5x 2 x 3 0 .
1 2
a) 2x x 1 x 1 2x x 1 2x
1 1 (điều kiện: 2x 0 ) 2 2
1 1 hoặc x 1 2x 2 2
1 2
Thay vào điều kiện 2x 0 , ta có: x
FI
1 1 hoặc x 2 2
1 1 (thỏa mãn) và x (không thỏa mãn). 2 2
OF
x
CI AL
Hướng dẫn giải
1 2
Vậy x . b) 0,5x 2 x 3 0 0,5x 2 x 3
ƠN
0,5x 2 x 3 hoặc 0,5x 2 x 3 0,5x x 3 2 hoặc 0,5x x 3 2 0,5x 5 hoặc 1,5x 1
2 3
NH
x 10 hoặc x
2 3
Vậy x 10 hoặc x .
Bài toán 2. Tìm số hữu tỉ x thỏa mãn một bất đẳng thức cho trước
QU
Ta sử dụng một số chú ý sau:
Y
Phương pháp giải
Ví dụ: x 1 1 x 1
+) x a a x a với a 0 .
x 4 4 x 4
+) x a x a hoặc x a với a 0 .
x 2 x 2 hoặc x 2
KÈ M
+) x a a x a với a 0 .
+) x a x a hoặc x a với a 0 .
x 5 x 5 hoặc x 5
Ví dụ mẫu Ví dụ. Tìm x biết:
b) x
7 3,5 2
b) x
7 3,5 2
x
7 3,5 2
Y
a) x 0,6 1
Hướng dẫn giải
DẠ
a) x 0,6 1
1 x 0,6 1 1 0,6 x 1 0,6 0,4 x 1,6
Trang 6
Vậy 0,4 x 1,6 .
x
7 7 7 7 hoặc x 2 2 2 2
Vậy x 0 hoặc x 7 . Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản a) x 1,5
b) 1,5x 2
c) x 4 2
d) 2x 4 4
1 3
a) 2x 3 0 1 2
5 1 1 x 6 4 4
d) 3x x 15
5 4
ƠN
c) x 1 2x
b)
OF
Câu 2: Tìm x biết:
FI
Câu 1: Tìm x biết:
CI AL
x 0 hoặc x 7
Câu 3: Tìm x biết: a) x 0,1 1,1
b) 2 x 2,5
Phương pháp giải
Áp dụng bất đẳng thức cơ bản sau:
NH
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
x 0 với mọi x, dấu “=” xảy ra khi x 0 .
x 3 0 , dấu “=” xảy ra khi x 3 0 x 3
x 3 0 , dấu “=” xảy ra khi x 3 0 x 3
Mở rộng:
Y
Ví dụ:
QU
x a 0 với mọi x, dấu “=” xảy ra khi x a . x b 0 với mọi x, dấu “=” xảy ra khi x b .
Min là viết tắt của từ “minimum” nghĩa là giá trị nhỏ nhất.
KÈ M
Max là viết tắt của từ “maximum” nghĩa là giá trị lớn nhất. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: A x 3 4 Hướng dẫn giải
Y
Ta có x 3 0 , với mọi x, dấu “=” xảy ra khi x 3 0 x 3 .
DẠ
Suy ra x 3 4 4 Vậy min A 4 khi x 3 . Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: C 2x 3 3 Hướng dẫn giải Trang 7
3 2
Ta có 2x 3 0 , với mọi x, dấu “=” xảy ra khi 2x 3 0 x .
Bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A 2x 1 2
b) B x 1 6
c) C x 1 3
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 1 4
ĐÁP ÁN
OF
b) Q 2,25 1 2x
a) P 1 x 1
FI
3 2
Vậy maxC 3 khi x .
CI AL
2x 3 3 3 .
ƠN
Dạng 1. Tính giá trị biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu 1: Chọn B. Vì 4 4 nên 4 4 . A. 4 1 4 1 3
NH
Câu 2: Chọn D. B. 5 5
C. 5 5
Câu 3: Chọn A.
1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 vào B . x , ta có: B . . 4 2 4 4 4 2 4 4 4 2 4 4 2 4 4
Y
Thay x
D. 5 5
Câu 4: Chọn C.
1 4 5 5
QU
Thay x 2; y 3 vào B x 2 y 1 . , ta có: 1 4 1 4 1 4 3 2 2.3 1 . 7. . 5 5 5 5 5 5 5
B 2 2 3 1 .
KÈ M
Câu 5: a) 3,2 3,2 Câu 6:
b) 1,7 1,7
c) 4,5 4,5 1 1 ; 0,1 0,1 2 2
b)
c) 1,2 1,2; 3 3
d) 1 3,5 2,5 2,5;
DẠ
Y
a) 2 2; 2 2 ;
Câu 7:
3 2
a) Thay x 3 vào biểu thức A, ta có: A
d) 21 21
2 1 1 1 3 3 3
4 3 4 17 6 3 6 3 9 2 9 6
b) Thay x 3; y 2 vào biểu thức B, ta có: B 2.3 1 3. 2 2 5 4 5 4 9 Dạng 2. Cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân Trang 8
Câu 1: a) 1,2 5 6,8 1,2 6,8 5 8 5 13 1 1 1 5 1 1 9 2 2 4 2 2 4 4 4 c) 1,5 0,1. 20,5 9,5 1,5 0,1.30 1,5 3 1,5
CI AL
b) 2,5
d) 0,9 1 2 1,1 0,1 0,9 0,1 0,9 1
Câu 2: a) 7 8 7 8 15
FI
b) 4,5 5,5 4,5 5,5 1 c) 7,5 2,5 7,5 2,5 10
OF
d) 3,5 5,5 6 3,5 5,5 6 4
Câu 3: a) 0,01.51 31.0,01 0,01. 51 31 0,01.20 0,2
b) 10,2 5,8 9,8 4,2 10,2 5,8 9,8 4,2 10,2 9,8 5,8 4,2 20 10 10
ƠN
c) 6,3 3,4 2,4 0,3 6,3 0,3 3,4 2,4 6 1 5
d) 3,1 2,4 5,6 3,1 5,6 3,1 3,1 2,4 5,6 5,6 0 2,4 0 2,4
Câu 4:
NH
a) a b và b a . Do a b 2,5 6,7 9,2 và b a 6,7 2,5 9,2 nên a b b a . b) b d và d b . Do b d 6,7 0,3 6,4 và d b 0,3 6,7 6,4 nên b d d b . c) b c và c b . Do b c 6,7 3,1 9,8 và c b 3,1 6,7 9,8 nên b c c b . Câu 1:
QU
a) x 1,5 x 1,5 hoặc x 1,5
Y
Dạng 3. Tìm số hữu tỉ x thỏa mãn điều kiện cho trước
b) 1,5x 2 . Không tồn tại x vì vế trái không âm và vế phải âm. c) x 4 2 x 4 2 hoặc x 4 2 x 2 hoặc x 6 .
Câu 2: 1 3
KÈ M
d) 2x 4 4 2x 4 4 hoặc 2x 4 4 2x 8 hoặc 2x 0 x 4 hoặc x 0 .
a) 2x 3 0 2x 3 2x 3
1 1 hoặc 2x 3 3 3
10 8 hoặc 2x 3 3
Y
2x
5 4 hoặc x 3 3
DẠ x
Vậy x
1 3
b)
5 1 1 1 5 1 7 x x 6 4 4 4 6 4 12
x
1 7 1 7 hoặc x 4 12 4 12
x
1 5 hoặc x 3 6
Vậy x
1 5 hoặc x . 3 6
5 4 hoặc x 3 3
Trang 9
1 2
5 4
d) 3x x 15 x 15 3x
1 2
5 4
(điều kiện 2x 0 ) 1 1 hoặc x 1 2x 2 2
x 15 3x
x
3 1 hoặc 3x 2 2
2x
x
3 1 hoặc x 2 6
x
thỏa mãn và x
1 thỏa mãn. 6
65 55 hoặc 4x 4 4
55 65 hoặc x 8 16
FI
1 2
Thay vào điều kiện 2x 0 , ta có x
5 5 hoặc x 15 3x 4 4
3 5 55 không Thay vào điều kiện 3x 0 , ta có x không 2 4 16 65 thỏa mãn và x thỏa mãn. 8
1 6
Vậy x
65 8
ƠN
Vậy x .
OF
x 1 2x
(điều kiện 3x 0 )
5 4
CI AL
1 2
c) x 1 2x x 1 2x
Câu 3:
b) 2 x 2,5 x 2,5 2
a) x 0,1 1,1 x 1,1 0,1 x 1 1 x 1
NH
x 0,5 x 0,5 hoặc x 0,5
Dạng 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Bài tập cơ bản Câu 1:
1 2
Y
a) Do 2x 1 0 nên A 2x 1 2 2 , dấu “=” xảy ra khi x . 1 2
QU
Vậy min A 2 khi x .
b) Do x 1 0 nên B x 1 6 6 , dấu “=” xảy ra khi x 1 Vậy min B 6 khi x 1.
KÈ M
c) Ta có x 1 0 x 1 3 3 , dấu “=” xảy ra khi x 1 0 hay x 1. Vậy min C 3 khi x 1. Câu 2:
a) Ta có x 1 0 , với mọi x x 1 0 ; với mọi x 1 x 1 1 hay P 1. Dấu “=” xảy ra khi x 1 0 hay x 1. Vậy max P 1 khi x 1.
1 4
Y
1 4
DẠ
b) Do 1 2x 0 Q 2,25 1 2x 2,25 . 1 2
Vậy max Q 2,25 khi x .
Trang 10
BÀI 5. LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Kiến thức + Nắm được định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên. + Nắm được các quy tắc phép tính (công thức) lũy thừa.
CI AL
Mục tiêu
Kĩ năng + Tính được lũy thừa với các số hữu tỉ cụ thể với số mũ tự nhiên.
FI
+ Mở rộng định nghĩa với lũy thừa nguyên âm và một số tính chất được thừa nhận.
+ Vận dụng công thức các phép tính về lũy thừa để thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức.
OF
+ Vận dụng định nghĩa và công thức lũy thừa của lũy thừa để đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ, so sánh lũy thừa và các bài toán liên quan khác.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+ Vận dụng một số tính chất của lũy thừa để tìm số mũ hoặc cơ số của một lũy thừa.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Lũy thừa với số mũ tự nhiên xn x. x...x x , n , n 1
CI AL
Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu x n , là tích của n thừa
n thõa sè
số x (n là số tự nhiên lớn hơn 1).
Quy ước: x1 x x0 1 x 0
Các phép toán về lũy thừa
Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và
FI
Với x ,m, n ta có:.
a) Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số
xm.xn xmn
Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia.
xm : xn xmn x 0, m n
ƠN
b) Lũy thừa của lũy thừa
OF
cộng hai số mũ.
Khi tính lũy thừa của lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ với nhau.
NH
c) Lũy thừa của một tích, một thương
x
m n
xm.n
Với x, y , n ta có:
Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa.
x.y
Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa.
x xn y 0 yn y
QU
Lũy thừa với số mũ nguyên âm
Y
n
xn .yn
n
Với x , x 0, n * ta có x n
1
xn
Lũy thừa với số mũ nguyên âm của 10 thường được dùng để viết Khối lượng của nguyên tử hydro là:
KÈ M
những số rất nhỏ cho thuận tiện.
0,00...0166 g
được
viết
gọn
là
23 ch÷ sè 0
1,66.1024 g .
Một số tính chất khác
x2n 0 với mọi x ;
Dấu của lũy thừa bậc lẻ phụ thuộc vào dấu cơ số.
x2n1 cùng dấu với dấu của x.
b) Hai lũy thừa bằng nhau.
Ví dụ: 1 1; 1
DẠ
Y
a) Lũy thừa bậc chẵn luôn không âm.
2n
Nếu
xm xn
2 n1
thì
1
m n
(với
x 0; x 1).
Nếu xn yn thì x y nếu n lẻ, x y nếu n chẵn.
Trang 2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Các phép toán
x
m n
xm.xn xmn
x.y
xm.n
Phương pháp giải
n
Ví dụ:
xn x. x...x x , n , n 1
42 4.4 16;
Y
n thõa sè
x
n
QU
Ngoài ra, lũy thừa với số mũ nguyên âm:
1
x , x 0, n *
CI AL
x
n
x , x 0, n *
xn .yn
Áp dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên:
x n
1
NH
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Tính lũy thừa của một số hữu tỉ
x n
ƠN
n
x xn y 0 yn y
Lũy thừa với số mũ nguyên âm
n thõa sè
OF
xm : xn xmn x 0, m n
xn x. x...x x , n , n 1
FI
Lũy thừa của một số hữu tỉ
Lũy thừa với số mũ tự nhiên
0,53 0,5.0,5.0,5 0,125;
10 10 . 10 . 10 1000; 3
3
1 1 3 27 ;
0,7
0
1
KÈ M
Ví dụ mẫu
2 Ví dụ 1. Tính 3 ; 5 4
2
3
0 2 ; 1 ;1100 ; 2 . 3
DẠ
Y
Hướng dẫn giải
Trang 3
3
3 . 3 . 3 . 3 81;
4
2
3
CI AL
2 2 2 4 5 5 . 5 25 ; 3
5.5.5 125 2 5 5 5 5 1 3 3 3 . 3 . 3 3.3.3 27 ; 100 1 1; 0
1.
1
2
FI
2
Ví dụ 2. Tính 1 ; 1 ;32 ; ; 2 ; 2 . 3 20
21
5
6
1
20
OF
Hướng dẫn giải 1; 1 1; 21
1 1 1 1 1 1 ; . ; 32 9 3 3 3 9
2
25 32; 2 26 64.
5
ƠN
2
32
6
Bài tập tự luyện dạng 1 3
4
1
5
2
NH
3 3 1 15 1000 10 10 2 Câu 1: Tính ; 1,5 ; 4 ; 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 . 3 2 2
Câu 2: Tính 3 ; ; 0,1 ;103 ; ; 2,5 3 5 5
3
Y
Câu 3: Tính:
2
a) 23 2 81 .
b) 1
3
2 n1
1 . 2n
QU
Dạng 2: Viết số dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ Phương pháp giải
Ví dụ: 8 2.2.2 23;
Bước 2. Áp dụng định nghĩa và các phép tính lũy
4 2.2 2 2 2 . . 9 3.3 3 3 3
KÈ M
Bước 1. Phân tích các cơ số ra thừa số nguyên tố.
thừa để viết số dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ.
2
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Viết
81 dưới các dạng lũy thừa của một số hữu tỉ khác nhau. 16
Hướng dẫn giải
81 3.3.3.3 81 34 3 81 3.3 92 9 4 hoặc Ta có: . Do đó: . 16 2.2.2.2 16 2 2 16 2.22 42 4
Y
DẠ
2
4
2
Chú ý: Khi thực hiện phép nâng lên lũy thừa xa nhiều học sinh hay nhầm lẫn xa xab . b
b
Công thức đúng phải là xa xa.b . b
Trang 4
Ví dụ 2. Viết 0,1; 0,01 và 1000 dưới dạng lũy thừa của cơ số 10. Hướng dẫn giải 1 1 1 101;0,01 2 102 ;1000 10.10.10 103 10 100 10
n Chú ý: Lũy thừa với số mũ nguyên âm: x
1
xn
CI AL
0,1
, n , x 0 .
Ví dụ 3. Viết 39 và 212 dưới dạng lũy thừa có số mũ là 3.
27 ; 2 16 . 3
3
3
4
3
OF
39 33.3 33 212 24.3
FI
Hướng dẫn giải
Chú ý: Tách số mũ thành một số nhân với 3 rồi áp dụng công thức lũy thừa của lũy thừa. Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 2: Viết số
ƠN
Câu 1: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ: 16;25;32;81;128;125 . 256 dưới dạng lũy thừa của các số hữu tỉ khác nhau. 625 1 ;0,008;125 25
NH
Câu 3: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa cơ số 5:
Câu 4: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa có cùng số mũ là 5: 32;315;410 . Dạng 3: Thực hiện phép tính
Bài toán 1. Thực hiện phép tính bằng cách đưa về cùng cơ số
Y
Phương pháp giải
QU
Bước 1. Đưa các lũy thừa về dạng lũy thừa của các Ví dụ: cơ số giống nhau (thường chọn ước chung nhỏ nhất a) 28.42 28. 22 2 28.24 212. khác 1 của các cơ số). Bước 2. Áp dụng các quy tắc lũy thừa của một tích
KÈ M
hoặc một thương để tính toán kết quả.
2
3
23
8
b) 3 . 3 3 27
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau: a) 82.24
b) 223 : 43
c) 1253 : 25
Hướng dẫn giải
a) 82.24 23 .24 26.24 210 1024
Y
2
DẠ
b) 223 : 43 223 : 22 223 : 26 217 3
c) 1253 : 25 53 : 52 59 : 52 57 3
Chú ý: Chuyển các lũy thừa về lũy thừa dưới cơ số chung là ước chung nhỏ nhất khác 1 của các cơ số. Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ: Trang 5
3
274.32 93
b)
1252.253 54
CI AL
a)
1 4 8 .64 c) 3 4
Hướng dẫn giải
5 . 5 4
33 .32 312.32 314 274.32 a) 3 6 6 38 3 2 9 3 3 3 2
2
3
4
5
3
1 4 1 . 26 8 .64 3 8 c) 3 43 22 3
56.56 512 4 58 4 5 5
2 2 .2
FI
3
4
24
3
3
6
224 15 29 2
Bài toán 2: Thực hiện phép tính bằng cách đưa về cùng số mũ Phương pháp giải Ví dụ:
ƠN
Bước 1.
OF
1252.253 b) 54
a) 86.272 86. 33 86.36 8.3 246 .
Phân tích tìm ra số mũ chung của các thừa số.
2
Bước 2. Biến đổi các thừa số để đưa về số mũ giống
6
8
NH
158 158 158 15 58 . b) 4 4 8 2 9 3 3 nhau rồi áp dụng công thức lũy thừa của một tích hoặc 3
một thương. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ: b) 159 :1253 .
Y
a) 712.274 .
8
QU
Hướng dẫn giải
c) 0,125 .644 .
a) 712.274 712. 33 712.312 7.3 2112 4
12
b) 159 :1253 159 : 53 159 : 59 15: 5 39 3
9
c) 0,125 .644 0,125 . 82 0,125 .88 18 1 8
4
8
KÈ M
8
Chú ý: Chuyển các lũy thừa về lũy thừa với số mũ chung là BCNN của các số mũ. BCNN 12;4 12. BCNN 9;3 9.
BCNN 8;4 8.
Y
Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ:
DẠ
a) 49.527
b) 312.216
Hướng dẫn giải a) 49.527 49. 53 49.1259 4.125 5009 9
9
b) 312.216 33 . 24 274.164 27.16 4324 4
4
4
Trang 6
Chú ý: Chuyển các lũy thừa về lũy thừa với số mũ chung là ƯCLN của các số mũ. ƯCLN 9;27 9.
CI AL
ƯCLN 12;16 4. Bài toán 3: Thực hiện các phép tính phức tạp Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức: 2
66 63.33 36 73
FI
b)
OF
3
5 2 3 3 . 4 . 1 a) 2 2 2 5 5 . 12
Hướng dẫn giải 2
ƠN
3
5 2 3 3 . 4 . 1 23 32 52 32.42 23.34 a) 2 2 3 . 2 . 2 . 2 3 2 6. 3 4 2 5 3 .2 2 5 5 . 12
6 6 3 66 63.33 36 26.36 23.33.33 36 3 2 2 1 36.73 b) 36 73 73 73 73
2 1 a) 5 3
2
NH
Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính sau: 3
20 18 b) . 3 5
2 1
2
6
5
2
11
2
Y
Hướng dẫn giải
2
112
121
20 b) 3
3
3
QU
a) 2 5 3 15 15 15 15 225 2 22.5 2.32 18 . . 33 52 5
2
26.53 22.34 28.34.53 . 28.3.5 3840 33 52 33.52
Bài tập tự luyện dạng 3
KÈ M
Chọn đáp án đúng nhất trong các câu từ 1 đến 6. Câu 1: Giá trị của biểu thức 25.26 bằng: A. 210
B. 21
Câu 2: Giá trị của biểu thức
Y
D. 27
C. 310
D. 321
315 bằng: 36
B. 39
A. 39
C. 211
Câu 3: Rút gọn biểu thức 38.92 dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ được kết quả là:
DẠ
A. 310
B. 94
C. 312
D. 316
Câu 4: Biểu thức nào dưới đây là đúng (với n * )? A. x.y x y n
n n1
x xn1 B. n y y
xn1 x C. n1 y y
n
D. x.y
n1
xn1.yn1
Trang 7
A. 20.
0,85 bằng với giá trị nào dưới đây? 0,46
B. 40.
C. 60.
D. 80.
Câu 6: Viết biểu thức 68.125 dưới dạng 2a.3b thì giá trị của a b là: A. 13.
B. 31.
C. 25.
D. 19.
Câu 7: Tìm giá trị của các biểu thức sau: 2
c)
23.42 83
c)
123.182 242
d)
Câu 8: Tính: b)
62.33 122
d)
Câu 9: Thực hiện phép tính: 3
1
1
2
0,6
5
1 1
3
c) 2 6
b) .62 6 6 0,2
ƠN
1
a) 4. 2 2
63 2.62 23 37
OF
a) 274 : 93
272.9 81
FI
0,8 b) 2 0,4
33.34 a) 10 3
CI AL
Câu 5: Rút gọn biểu thức
3 3 2 1
2
d) . 5 4 6 5
Câu 10: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ: a) 26.33
b) 64.82
c) 16.81
Phương pháp giải Để so sánh các lũy thừa, ta làm như sau:
NH
Dạng 4: So sánh các lũy thừa
d) 254.28
Ví dụ: So sánh 96 và 84 . Hướng dẫn giải
Y
Bước 1. Đưa các lũy thừa về cùng cơ số mũ hoặc Ta có 96 32 6 312 ;84 23 4 212 cùng cơ số. sánh số mũ khi chung cơ số. Ví dụ mẫu a) 83 và 162 .
Vậy 96 84 .
b) 3100 và 2730 .
KÈ M
Ví dụ 1. So sánh:
QU
Bước 2. So sánh cơ số khi chung số mũ hoặc so Do 312 212 nên 96 84
Hướng dẫn giải
a) Ta có 83 23 29 ;162 24 28 . Do 29 28 nên 83 162 . 3
2
b) Ta có 2730 33 390 . Do 3100 390 nên 3100 2730 . 30
Y
Chú ý: Với a 1 và m n thì am an .
DẠ
Ví dụ 2. Số nào lớn hơn trong hai số: 2725 và 3215 . Hướng dẫn giải Ta có: 2725 33 375;3215 25 275 25
15
Do 375 275 nên 2725 3215 . Trang 8
Chú ý: Nếu am bm, m * thì a b . Bài tập tự luyện dạng 4 a) 227 và 318 .
b) 2150 và 3100 .
CI AL
Câu 1: So sánh các cặp số sau: c) 2375 và 3250 .
Câu 2: So sánh các cặp số sau: a) 0,2
10
6
1 và . 25
b) 4333 và 3444 .
c) 2500 và 5200 .
FI
Dạng 5: Tìm số mũ, cơ số của lũy thừa Bài toán 1. Tìm số mũ của lũy thừa
OF
Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm số tự nhiên n biết 8 2n1 . Ta có: 8 2n1
Bước 2. Rút gọn hai vế về dạng an am
23 2n1
Bước 3. Cho hai số mũ bằng nhau rồi giải ra kết quả.
n 1 3 n 2
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên n biết:
3 b)
625 5 5n
NH
a)
n
27
Hướng dẫn giải 625 5 5n 54 5 5n 54n 5
Y
b)
QU
a)
ƠN
Bước 1. Đưa các lũy thừa ở cả hai vế về cùng cơ số.
4 n 1 n3
KÈ M
Vậy n 3
3
9
n
9
27
3 33.32 n 3 35 n 5 3 3 n
n5
Vậy n 5
Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên n biết: a) 3n.2n 36
b) 252n : 5n 1252
Hướng dẫn giải a) 3n.2n 36 n
62
Y
3.2
DẠ
6n 62 n2
Vậy n 2
b) 252n : 5n 1252
5 2
2n
: 5n 53
2
54n : 5n 56 53n 56 3n 6 n2
Vậy n 2 Trang 9
Bài toán 2. Tìm cơ số của lũy thừa Phương pháp giải Bước 1. Đưa các lũy thừa ở cả hai vế về cùng số mũ.
CI AL
Ví dụ: Tìm x biết x3 8
Ta có 8 23 nên x3 23 . x2
Bước 2. Cho phần cơ số bằng nhau rồi giải ra kết quả.
Vậy x 2 Ví dụ mẫu a) x2 1;
b) x4 16 .
OF
Hướng dẫn giải a) Ta có 1 12 1 nên x2 12 1 . 2
2
Suy ra x 1 hoặc x 1. b) Ta có 16 24 2 nên x4 24 2 . 4
ƠN
4
Suy ra x 2 hoặc x 2 . Ví dụ 2. Tìm x biết:
FI
Ví dụ 1. Tìm x biết:
1
3
1
b) 2x 1 8 .
NH
a) x ; 3 27 Hướng dẫn giải 3
3
3
3
Y
1 1 1 1 1 1 2 nên x x x . a) Ta có 27 3 3 3 3 3 3 2 3
QU
Vậy x .
1 2
b) Ta có 8 2 nên 2x 1 2 2x 1 2 2x 1 x . 3
3
1 2
KÈ M
Vậy x .
3
Bài tập tự luyện dạng 5 Câu 1: Tìm x biết: a) x5 1;
b) x5 1;
c) x2 9;
d) 4x2 16 .
Câu 2: Tìm x biết:
x 1
2
4;
Y
a)
b) 2 x 27. 3
DẠ
Câu 3: Tìm số tự nhiên n biết: n
1 1 a) ; 2 16
b)
6n 2. 33.4
Câu 4: Tìm số tự nhiên n biết:
Trang 10
n
b) 16n : 2n 64
8;
16
CI AL
2 a)
ĐÁP ÁN Dạng 1. Tính lũy thừa của một số hữu tỉ Câu 1:
1 1; 1000 1 1; 10 2 1024;
3
1,5 3,375; 3 4 64; 3
4
210 1024.
4
OF
1 3 81 1 2 2 16 ;
Câu 2: 5
1
3
1 ; 243
5
103 2
4 2 5 25 ; 1 1 2 0,16 2,5 2 2,5 6,25
5
1 1 3 243 ; 3
0,001;
NH
0,1
Câu 3: 1 8
a)23 2 81 8 8 3
2 n1
1 8
1 1 1 0 2n
Y
b) 1
1 1 ; 3 10 1000
ƠN
3
FI
15
8 2 3 27 ;
QU
Dạng 2. Viết số dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ Câu 1: 16 42 24 ; 25 52 ;
KÈ M
4
4 22 256 28 44 4 4 4 625 54 5 5 5
Câu 3:
128 27 ; 125 53.
32 25 ;
Câu 2:
81 34 ;
24 256 28 625 54 52
2
2
162 16 2 25 25
2
DẠ
Y
1 1 8 1 1 2 52 ;0,008 3 53 ;125 53. 25 5 1000 125 5
Câu 4:
32 25 ;315 33.5 33
5
275 ;410 42.5 42
5
165.
Dạng 3. Thực hiện phép tính
Câu 1: Chọn C. Trang 11
25.26 256 211 .
Câu 2: Chọn A.
CI AL
315 3156 39 . 6 3
Câu 3: Chọn C.
38.92 38. 32
2
38.34 312 .
Vì lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa nên x.y
n1
xn1.yn1 .
Câu 5: Chọn D. 5
OF
0,85 0,85 25 32 0,8 1 . 80 . 6 5 0,4 0,4 .0,4 0,4 0,4 0,4 0,4
Câu 6: Chọn B. 8
5
28.38.35.210 218.313 a 18; b 13 a b 18 13 31 .
ƠN
68.125 2.3 . 3.22
Câu 7: a)
b)
2
3 2 23.42 2 . 2 23.24 27 1 1 c) 3 9 2 3 8 29 2 2 4 23
2
NH
3 2 272.9 3 .3 36.32 d) 4 34 81. 81 34 3
Câu 8: a)274 : 93 33 : 32 312 : 36 36 729 3
Y
4
0,8 0,8 2 22 4. 2 0,4 0,4 2
33.34 37 1 1 10 3 . 310 3 3 27
FI
Câu 4: Chọn D.
62.33 22.32.33 33 27 4 2 2 4 122 2 .3 2 3 2 6 3 2 4 12 .18 2 .3 .2 .3 28.37 c) 6 2 22.35 972 242 26.32 2 .3 3 3 2 63 2.62 23 23.33 2.22.32 23 2 3 3 1 23.37 d) 23 37 37 37 37
QU
b)
Câu 9: 3
KÈ M
1 1 1 1 1 1 a)4. 4. 0. 8 2 2 2 2 2
0,6 1 .62 3 . 0,2 1 35 1216. 1 b) .62 6 2 6 0,2 6 0,2 6 0,2 5
2
3
1
3
1
1
3
3 2 1
5
5
1
Y
c) . 2 6 3 27 2
32
2
3 22
1
1
DẠ
d) . . 2 . 2 2 3 . 5 4 6 5 20 15 2 .5 3 .5 3.5 375
Câu 10:
Trang 12
a) 26.33 22 .33 43.33 4.3 123. 3
b) 64.82 362.82 36.8 2882. 2
3
d) 254.28 254. 22 254.44 25.4 1004. 4
c) 16.81 24.34 2.3 64.
4
CI AL
4
Dạng 4. So sánh các lũy thừa Câu 1: a) 227 23 89 ;318 32 99 9
9
Vì 89 99 nên 227 318 . b) 2150 23 850 ;3100 32 950 50
FI
50
c) 2375 23
125
8125 ;3250 32
125
9125
6
1
OF
Do 850 950 nên 2150 3100
Do 8125 9125 nên 2375 3250 . Câu 2: 10
1
6
1
12
1
1
10
1
12
111
81111
ƠN
10
1
a) 0,2 ; 2 5 25 5 5
1
6
Do 0 1 và 10 12 nên hay 0,2 , 5 5 5 25 111
64111;3444 34
Do 64111 81111 nên 4333 3444 . 100
32100 ;5200 52
100
Do 32100 25100 nên 2500 5200 .
25100
Y
c) 2500 25
NH
b) 4333 43
10
QU
Dạng 5. Tìm số mũ, cơ số của lũy thừa Câu 1: a) x5 1
Vậy x 1. c) x2 9 x2 32 3
2
KÈ M
x5 15 x 1
b) x5 1 x5 1
5
x 1
Vậy x 1. d) 4x2 16 x2 4
Ta có x2 22 2
Vậy x 3 hoặc x 3 .
x 2 hoặc x 2
DẠ
Y
x 3 hoặc x 3 .
2
Vậy x 2 hoặc x 2 .
Câu 2:
b) 2 x 27
a) x 1 4
3
2
Vì 4 22 2 nên x 1 2 hoặc x 1 2 2
2 x
3
33
2 x 3 x 2 3 1
Trang 13
x 3 hoặc x 1.
Vậy x 1.
Vậy x 3 hoặc x 1.
1
n
1
1
n
1
CI AL
Câu 3: 4
a) n 4 2 16 2 2 Vậy n 4 . b)
6n 2 6n 33.22.2 6n 33.23 6n 63 n 3 . 3 3 .4
FI
Vậy n 3 .
a)
2 16
n
2 2 3 2 n4 2 3 n 4 3 n 7 4 2 n
8
Vậy n 7 . b) 16n : 2n 64 16 : 2 64 8n 82 n 2
ƠN
n
OF
Câu 4:
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
Vậy n 2 .
Trang 14
BÀI 6. TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Mục tiêu
CI AL
Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa tỉ lệ thức, các thành phần và các tính chất cơ bản của tỉ lệ thức. + Nắm được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Kĩ năng
+ Dựa vào định nghĩa tỉ lệ thức, thành lập được các tỉ lệ thức từ các số, tỉ số đã cho.
FI
+ Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức để thành lập các tỉ lệ thức mới từ tỉ lệ thức hoặc đẳng thức đã cho.
OF
+ Vận dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để xác định các thành phần chưa biết. + Chứng minh đẳng thức, tỉ lệ thức.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+ Giải được một số bài toán lời văn chia theo tỉ lệ đơn giản.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
a c hay a : b c : d . b d
Ví dụ. Đẳng thức
CI AL
1. Tỉ lệ thức 12 6 là một tỉ lệ thức. 14 7
Các thành phần của tỉ lệ thức
Trong tỉ lệ thức trên:
a, d: Số hạng ngoại tỉ;
12 và 7 là số hạng ngoại tỉ;
b, c: Số hạng trung tỉ.
14 và 6 là số hạng trung tỉ.
FI
a, b, c, d là các số hạng, trong đó
a c thì ad bc . b d
Nếu
Nếu ad bc và a, b, c, d 0 thì
Từ
Từ tỉ lệ thức
NH
a c a c a c ac . Khi đó: b d . b d b d b d b d
ƠN
12 6 14 7 12 14 6 7 ; ; ; 14 7 12 6 6 7 12 14
2. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau
a c ma nc ma nc ; b d mb nd mb nd a c e a c e ac e b d f b d f b d f
12 6 12 6 18 . 14 7 14 7 21
QU
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
12 6 , ta có: 14 7
Y
Mở rộng
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
12 6 suy ra 12.7 14.6 . 14 7
Nếu 12.7 14.6 thì
a c b d a b c d ; ; ; . b d a c c d a b
Cho
OF
Tính chất
KÈ M
TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
DẠ
Y
Tỉ lệ thức là đẳng thức a c của hai tỉ số . b d
Nếu
a c thì ad bc . b d
Nếu ad bc và a, b, c, d 0 thì a c b d a b c d ; ; ; . b d a c c d a b
Cho tỉ lệ thức
a c . Khi đó: b d
a c a c b d; b d . b d b d
a c ma nc b d mb nd
a c e a c e ac e b d f b d f b d f
Trang 2
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Phương pháp giải Bước 1. Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số tối giản.
Ví dụ:
3 4 3 1 : : 5 12 5 3
Bước 2. Thực hiện phép chia phân số.
3 3 9 . 9: 5 5 1 5
Ví dụ mẫu
b) 2,4 : 3,2
c) 0,4 :
6 22
Hướng dẫn giải 2 20 2 5 2 7 2 : : . 2: 5 7 28 7 7 7 5 5 2 20 : 2: 5. 7 28
b) 2,4 : 3,2
ƠN
Vậy
24 32 24 3 : 3: 4 10 10 32 4
NH
a)
Vậy 2,4 : 3,2 3: 4 . 6 4 3 2 11 22 : . 22 :15 22 10 11 5 3 15
Vậy 0,4 :
6 22 :15 . 22
Y
c) 0,4 :
OF
2 20 : 7 28
FI
Ví dụ. Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên: a)
CI AL
Dạng 1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên
QU
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên: a)
3 15 : 5 6
b) 1,5: 8,25
c)
5 : 0,75 8
KÈ M
Câu 2: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên: a) 1,2 : 3,36
1 7
b) 3 : 2
5 14
c)
3 : 0,54 8
Dạng 2: Lập các tỉ lệ thức
Bài toán 1. Lập các tỉ lệ thức từ các số đã cho
DẠ
Y
Phương pháp giải
Ví dụ. Cho bốn số 2, 4, 7, 14, hãy lập thành tỉ lệ thức từ các số đã cho. Hướng dẫn giải
Bước 1. Từ các số đã cho, ta thiết lập tích hai số để Bước 1. Ta có: 2.14 4.7 . được hai tích bằng nhau dạng ad bc .
Trang 3
Bước 2. Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức để thiết Bước 2. Suy ra các tỉ lệ thức sau: lập tỉ lệ thức.
Ví dụ. Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ bốn số sau: 12; 3;40; 10 Hướng dẫn giải Ta có 12. 10 40. 3 . Suy ra:
12 3 10 3 40 10 40 12 ; ; ; . 40 10 40 12 12 3 10 3
Bài toán 2. Kiểm tra tỉ số đã cho có lập thành tỉ lệ thức hay không? Phương pháp giải
FI
Ví dụ mẫu
CI AL
2 7 2 4 4 14 7 14 ; ; ; 4 14 7 14 2 7 2 4
hay không, ta thường làm như sau:
3 4 : 6 và : 8 ? 5 5
OF
Để kiểm tra các tỉ số đã cho có lập thành tỉ lệ thức Ví dụ: Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không:
Bước 1. Thay tỉ số giữa hai số hữu tỉ thành phân số: Thường đưa hai tỉ số về dạng hai phân số cùng mẫu.
ƠN
Hướng dẫn giải
3 3 1 1 4 4 1 1 :6 . ; :8 . 5 5 6 10 5 5 8 10
Bước 1.
NH
Bước 2. Áp dụng định nghĩa tỉ lệ thức: Nếu giá trị Bước 2. hai tỉ số bằng nhau thì chúng lập thành tỉ lệ thức.
Suy ra
3 4 3 4 : 6 : 8 nên : 6 và : 8 lập thành tỉ lệ 5 5 5 5
thức.
Y
Ví dụ mẫu 2 4 : 8 và :16 . 5 5 1 3
2 3
1 3
KÈ M
a)
QU
Ví dụ. Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không?
b) 4 : 8 và 3 :13 . 1 4
c) 2 : 7 và 3 :13 . Hướng dẫn giải
2 2 1 1 4 4 1 1 :8 . và :16 . . 5 5 8 20 5 5 16 20
Do đó 1 3
2 4 : 8 và :16 lập thành tỉ lệ thức. 5 5
Y
a)
13 1 13 2 11 1 11 . và 3 :13 . . 3 8 24 3 3 13 39
DẠ
b) 4 : 8 Do
13 11 1 2 nên 4 : 8 và 3 :13 không lập thành tỉ lệ thức. 24 39 3 3
Trang 4
1 3
7 1 3 7
c) Ta có 2 : 7 .
1 1 13 1 1 và 3 :13 . . 3 4 4 13 4
CI AL
1 1 1 1 nên 2 : 7 và 3 :13 không lập thành tỉ lệ thức. 3 4 3 4
Do
Bài toán 3. Lập tỉ lệ thức từ tỉ lệ thức đã cho Phương pháp giải Từ tỉ lệ thức
a c , ta có thể lập được ba tỉ lệ thức khác bằng cách: b d
Ví dụ: Cho tỉ lệ thức
3 9 . Các 5 15
FI
tỉ lệ thức được lập từ tỉ lệ thức ban đầu là: a b . c d
3 9 3 5 . 5 15 9 15
Giữ nguyên trung tỉ b, c và đổi chỗ các ngoại tỉ a, d ta được:
d c . b a
3 9 15 9 . 5 15 5 3
Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, các trung tỉ với nhau, ta được
d b . c a
3 9 15 5 . 5 15 9 3
Hướng dẫn giải Vì
5 1,2 . 15 3,6
NH
Ví dụ. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể từ tỉ lệ thức sau:
ƠN
Ví dụ mẫu
OF
Giữ nguyên ngoại tỉ a, d và đổi chỗ các trung tỉ b, c ta được:
5 1,2 3,6 1,2 15 5 15 3,6 ; ; . nên ta lập được các tỉ lệ thức sau: 15 3,6 15 5 3,6 1,2 5 1,2
Áp dụng tính chất:
QU
Phương pháp giải
Y
Bài toán 4. Lập các tỉ lệ thức từ đẳng thức đã cho Ví dụ: Cho đẳng thức 3.4 6.2 , hãy lập tỉ lệ thức
Nếu ad bc và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức từ đẳng thức đã cho. Ta có 3.4 6.2 nên ta có các tỉ lệ thức sau:
a c a b d c d b ; ; ; . b d c d b a c a
3 6 3 2 4 2 6 4 ; ; ; . 2 4 6 4 6 3 3 2
KÈ M
sau:
Chú ý: Luôn đảm bảo các cặp số 3 và 4; 2 và 6 nằm ở vị trí chéo nhau.
Y
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Lập tất cả các tỉ lệ thức từ các đẳng thức sau:
DẠ
a) 14.15 10.21
b) 5.8 20. 2
Hướng dẫn giải a) Vì 14.15 10.21 nên ta có các tỉ lệ thức sau:
14 21 15 21 10 15 10 14 ; ; ; . 10 15 10 14 14 21 15 21
Trang 5
5 2 5 20 2 8 20 8 ; ; ; . 20 8 2 8 5 20 5 2
b) Vì 5.8 20. 2 nên ta có các tỉ lệ thức sau:
CI AL
Ví dụ 2. Lập tất cả các tỉ lệ thức từ các đẳng thức sau: b) 4. AB 5.MN
a) AB.CD 2.3 Hướng dẫn giải
2
b) Vì 4. AB 5.MN nên ta có các tỉ lệ thức sau:
AB 5
3 CD 3 2 AB 2 CD ; ; ; . CD 2 AB CD 3 AB 3
MN 4
MN 5 4 5 AB ; ; ; . 4 5 AB AB MN 4 MN
FI
AB
a) Vì AB.CD 2.3 nên ta có các tỉ lệ thức sau:
Bài tập tự luyện dạng 2
OF
Chọn đáp án đúng nhất trong các câu từ 1 đến 4. Câu 1: Cặp tỉ số nào dưới đây lập thành tỉ lệ thức? b)
4 2 1 7 : và : . 7 9 3 2
c) 0,3:
Câu 2: Tỉ lệ thức nào sau đây không được lập từ tỉ lệ thức 14 8 21 12
B.
21 12 14 8
C.
Câu 3: Điền số vào ô trống để được tỉ lệ thức đúng: Số cần điền là: B. 4.
A. 4.
d) 1,2 :
3 và 1,6 :10 . 8
14 21 ? 8 12
21 14 8 12
D.
12 8 21 14
5 . 125 100
NH
A.
3 2 3 và : . 8 5 6
ƠN
3 5 3 4 : và : . 8 2 5 3
a)
C. 2.
D. 8.
3 5 3 4 : và : . 8 2 5 3
B.
4 2 1 7 : và : . 7 9 3 2
QU
A.
Y
Câu 4: Cặp tỉ số nào dưới đây lập thành tỉ lệ thức? 3 4
C. 2 : 5
1 7 4 và : 2 . 2 5 5
D. 1,2 : 2,4 và 4 :10 .
Câu 5: Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức hay không? 4 5
a) 3,6 : 4,8 và 0,6 : .
1 3
2 3
b) 4 : 8 và 3 :13 .
KÈ M
Câu 6: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các đẳng thức 2 .15 3. 10 Câu 7: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các số: 3;9;27;81 . Câu 8: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các số: 5;2;8;20 . Dạng 3: Tìm thành phần chưa biết Bài toán 1: Tìm số hạng chưa biết trong một tỉ lệ thức
Y
Phương pháp giải Ta sử dụng tính chất
a c bc ad ad bc thì a ; b ;c ;d b d d c b a
DẠ Nếu
Cách ghi nhớ: Để tìm x trong tỉ lệ thức ta áp dụng quy tắc “nhân chéo, chia ngang”.
Ví dụ: Tìm x biết:
x 2
4 . 7
Hướng dẫn giải Vì
x 2
4 2.4 8 . nên x 7 7 7
Trang 6
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm x trong các đẳng thức sau: b) 3,75: x 4,8: 2,5
CI AL
a) 12 : 5 x :1,5
Hướng dẫn giải a) 12 : 5 x :1,5 12 x
1,5 12.1,5 x 5 18 x 5
18 . 5
Vậy x
3,75
Vậy x
125 . 64
Ví dụ 2. Tìm x biết: x 15
60
b)
x
Hướng dẫn giải x 15
2 x 3x 1 4 3 3 2 x 4 3x 1
60
b)
x
NH
a)
2 x 3x 1 4 3
ƠN
a)
FI
5
4,8 x 2,5 3,75.2,5 x 4,8 125 x 64
OF
b) 3,75: x 4,8: 2,5
x 15.60 2
x2 900
6 3x 12x 4 3x 12x 4 6 9x 2
Mà 900 302 30 nên x 30 . 2
QU
Y
Vậy x 30
x
2 9
Vậy x
2 . 9
Bài toán 2. Tìm nhiều thành phần chưa biết (x, y, z,…) thỏa mãn điều kiện cho trước
Cách 1:
KÈ M
Phương pháp giải
Ví dụ: Cho
x 2
Y
DẠ
Từ đó tính được giá trị của dãy tỉ số bằng nhau.
Cách 2: Đặt
x y z k. a b c
và x y 10 . Tìm x, y.
3
Hướng dẫn giải Cách 1: Ta có
Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, biến đổi để xuất hiện điều kiện đã cho của đề bài.
y
x 2
y 3
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x 2
y 3
x y 10 2 3
5
2.
Suy ra x 2.2 4 và y 2.3 6 . Cách 2:
Trang 7
Đặt
- Thay các giá trị trên của x, y, z vào điều kiện đã cho của đề bài, tìm được giá trị của k.
x 2
y 3
k x 2k; y 3k
Vì x y 10 nên 2k 3k 10 5k 10 k 2
CI AL
- Suy ra x a.k; y b.k; z c.k .
Vậy x 2k 2.2 4 và y 3k 3.2 6 .
- Tính giá trị của x, y, z từ giá trị k vừa tìm được. Ví dụ mẫu 3
y
6
. Tìm x, y biết:
a) x y 90
b) 4x y 42 .
FI
x
Ví dụ 1. Cho
a) Ta có:
x 3
y 6
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x 3
y 6
x y 3 6
OF
Hướng dẫn giải
90 10 x 3.10 30; y 6.10 60. 9
b) Từ
x 3
y 6
suy ra
4x y . 12 6
Suy ra 4x 12.7 84; y 6.7 42 . Suy ra x 21; y 42 .
z
. Tìm x, y, z biết: 3 5
QU
2
y
Y
Vậy x 21 và y 42 . x
a) x y z 30 Hướng dẫn giải x 2
y 3
z
. 5
KÈ M
a) Ta có:
4x y 4x y 42 7. 12 6 12 6 6
NH
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Ví dụ 2. Cho
ƠN
Vậy x 30 và y 60 .
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
b) x 2y 3z 33 .
x
y
z
x y z 30
3 2 3 5 2 3 5 10 x 2.3 6; y 3.3 9; z 5.3 15
Vậy x 6; y 9; z 15 . x 2
y 3
z
5
suy ra
Y
b) Từ
x
2
2y 3z . 6 15
DẠ
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2y 3z x 2y 3z 33 3 2 6 15 2 6 15 11 x 3.2 6; 2y 3.6 18; 3z 3.15 45
x
x 6; y 9; z 15.
Vậy x 6; y 9; z 15. Trang 8
Ví dụ 3*. Cho 2x 3y z 42 . Tìm x, y, z biết: y2
3
4
z1 13
x
y y
z
; . 3 5 2 7
b)
.
CI AL
x 1
a)
Hướng dẫn giải a)
x 1
y2
3
4
z1 13
2x 2 3y 6 z 1 . 6 12 13
OF
2x 2 3y 6 z 1 2x 2 3y 6 z 1 2x 3y z 7 42 7 49 7 6 12 13 6 12 13 7 7 7 2x 2 6.7 42 2x 40 x 20 3y 6 7.12 84 3y 90 y 30 z 1 13.7 91 z 92 z 92
Vậy x 20; y 30; z 92.
6
6
y 10
Vậy x
y
5
10
x
nên z
35
6
y 10
và
y 2
z 7
y 10
z 35
.
. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2x 3y z 42 6 36 60 210 x ;y ;z . 35 12 30 35 77 11 11 11 11
z
NH
x
3
x
Suy ra
y
ƠN
x
b) Ta có
FI
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
36 60 210 ;y ;z . 11 11 11
Bài tập tự luyện dạng 3
x 3
y 5
và x y 24 . Giá trị của 3x 5y là:
A. 132.
QU
Câu 1: Cho
Y
Chọn đáp án đúng nhất trong mỗi câu (Câu 1 đến câu 5)
B. 80.
C. 102.
D. 78.
Câu 2: Khẳng định nào dưới đây là đúng? x 3
y 5
Câu 3: Cho
2x 3y . 15
x 1 4
A. 5 .
B.
x
4
KÈ M
A.
y
5
2x 4y 28
C.
x 3
y 7
x 3y 25
D.
x 5
y 6
2x y 15
9 và x 0 . Giá trị của x là: x 1
C. 6 .
B. 6.
D. 5.
Câu 4: Biểu thức nào dưới đây là đúng? x 4
y 7
3x 4y 40
Y
A.
x 3 27
DẠ
Câu 5: Cho
8
4
A. 54.
B.
x
4
y 5
2x 4y 12
C.
x 5
y 7
x 3y 28
D.
x 5
y 6
x y 10
. Giá trị của x là: B. 56.
C. 57.
D. 58.
Câu 6: Tìm x biết: 4 8 5 5
a) 3 : 0,25: x .
b)
2x 3 3x 1 . 24 32
c)
13x 2 76 . 2x 5 17
Trang 9
Câu 7: Tìm các số x, y biết: x 6 và x y 121 . y 5
CI AL
a)
b) 4x 5y và 2x 5y 40 . Câu 8: Tìm các số x, y, z biết:
b)
x 3
x 3
y 4
y 5
z 6
z 7
và x y z 52 . và 2x y 3z 110 .
FI
a)
Dạng 4: Chứng minh tỉ lệ thức
Để chứng minh tỉ lệ thức trong ba cách sau:
OF
Phương pháp giải
a c Ví dụ: Chứng minh rằng: , ta thường sử dụng một b d a c a b c d Nếu thì . b d b d
ƠN
Hướng dẫn giải
Cách 1. Chứng tỏ ad bc.
Cách 1. Do
Y
NH
Xét
QU
a c và có cùng giá trị. b d
KÈ M
Cách 2. Chứng tỏ
Cách 3. Dùng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số
DẠ
Y
bằng nhau.
a c nên ad bc. b d
a b c d b d d a b b c d ad bd bc bd
ad bc (đúng).
Vậy
a b c d . b d
Cách 2. Đặt Do đó
Vậy
a c t . Khi đó a bt và c dt . b d
a b bt b b t 1 t 1 b b b c d dt d d t 1 t 1 d d d
a b c d . b d
Cách 3. Ta có:
a c a b . b d c d
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a b a b b a b . c d c d d c d
a b c d (điều phải chứng minh). b d
Ví dụ mẫu Trang 10
Ví dụ 1. Cho tỉ lệ thức
a c a c . Chứng minh: . b d a b c d
a c a c nên ad bc . Xét a. c d a b .c ac ad ac bc ad bc (đúng). b d a b c d a
a b
c c d
.
Ví dụ 2. Cho tỉ lệ thức
a c a b a b . Chứng minh: (giả sử các tỉ lệ thức đều có nghĩa). b d c d c d
FI
Ta có Vậy
CI AL
Hướng dẫn giải
Hướng dẫn giải a c t a bt và c dt . b d
Do đó
OF
Đặt
a b bt b b t 1 b ; c d dt d d t 1 d
Suy ra
ƠN
a b bt b b t 1 b . c d dt d d t 1 d a b a b . c d c d
Câu 1: Cho
ac b d . c d
a c ac . b d b d
a c . Giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa. Chứng minh: b d
a b c d . b d
b)
a b c d . a b c d
b)
a 3b c 3d . b d
a c , chứng minh: b d
KÈ M
Câu 3: Cho tỉ lệ thức a)
b)
Y
Câu 2: Cho a)
a b . Giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa. Chứng minh: c d
QU
a)
NH
Bài tập tự luyện dạng 4
a 2b c 2d . b d
Dạng 5: Giải các bài toán lời văn chia theo tỉ lệ Phương pháp giải
Với các bài toán có lời văn chia theo tỉ lệ, ta Ví dụ: Mẹ và con có tổng số tuổi bằng 35. Biết rằng
DẠ
Y
thường làm như sau:
tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Tính tuổi mỗi người. Hướng dẫn giải
Bước 1. Gọi các đại lượng cần tìm là x, y, z (tùy Gọi tuổi mẹ là x, tuổi con là y (tuổi). đề bài yêu cầu). Bước 2. Từ điều kiện bài toán cho, đưa về dãy tỉ
Điều kiện: x, y * , x y . Theo đề ra, ta có: x y 35 và
x 4
y 1
. Trang 11
số bằng nhau. x
giải.
4
y 1
x y 41
35 7. 5
Suy ra x 4.7 28; y 1.7 7 .
CI AL
Bước 3. Sử dụng các phương pháp ở dạng 3 để Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Vậy tuổi mẹ bằng 28, tuổi con bằng 7. Ví dụ mẫu
FI
Ví dụ 1. An và Chi có số viên bi lần lượt tỉ lệ với 4; 5. Biết rằng An có số bi ít hơn Chi là 4 viên. Tính số viên bi của mỗi bạn. Gọi số bi của An và Chi lần lượt là x và y (viên) với x, y * ; x y . x 4
y 5
và y x 4 .
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x 4
y 5
Vậy số bi của An là 16 viên, số bi của Chi là 20 viên.
y x
4 4 x 4.4 16; y 4.5 20 . 1
ƠN
Theo đề bài, ta có:
OF
Hướng dẫn giải
5 4
NH
Ví dụ 2. Các cạnh của một tam giác có số đo tỉ lệ với các số 3, 5, 7. Tính số đo mỗi cạnh của tam giác đó biết chu vi của nó là 40,5 cm. Hướng dẫn giải
Gọi ba cạnh của tam giác lần lượt là x, y, z (cm) với x, y, z 0 . 3
y 5
z
và x y z 40,5 .
Y
x
7
QU
Theo đề bài ra ta có mối liên hệ:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x
y
z
x y z
40,5 2,7 3 5 7 3 5 7 15 x 8,1; y 13,5; z 18,9
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là 8,1 cm; 13,5 cm; 18,9 cm.
KÈ M
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1: Số sản phẩm của hai công nhân lần lượt tỉ lệ với 8; 5. Biết rằng người thứ nhất làm nhiều hơn người thứ hai 60 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi người làm được. Câu 2: Tỉ số hai cạnh của hình chữ nhật bằng chữ nhật.
2 . Chu vi hình chữ nhật là 42 m. Tính diện tích của hình 5
Y
Câu 3: Lớp 7A, 7B, 7C có tổng số học sinh bằng 105, biết số học sinh lớp 7A bằng
DẠ
7B, số học sinh lớp 7B bằng
2 số học sinh lớp 3
6 số học sinh lớp 7C. Tính số học sinh của mỗi lớp. 11
Câu 4: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300 m2 . Hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3. Tính chiều dài, chiều rộng của khu vườn.
Trang 12
ĐÁP ÁN Dạng 1. Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên 3 15 3 5 3 2 6 : : . 6 : 25 . 5 6 5 2 5 5 25
Vậy
3 15 : 6 : 25 . 5 6
b) 1,5: 8,25
15 825 3 33 3 4 2 : : . 2 :11 . 10 100 2 4 2 33 11
FI
a)
CI AL
Câu 1:
Vậy 1,5: 8,25 2 :11 . 5 5 3 5 4 5 : 0,75 : . 5: 6 . 8 8 4 8 3 6
Vậy
OF
c)
5 : 0,75 5: 6 . 8
Câu 2: Tương tự câu 1. 1 7
b) 3 : 2
5 4 : 3. 14
c)
Dạng 2. Lập các tỉ lệ thức Câu 1: Chọn C.
Vậy 0,3:
3 2 3 và : lập thành tỉ lệ thức. 8 5 6
Đẳng thức
14 21 14 8 21 12 12 8 , ta có các tỉ lệ thức sau: ; ; . 8 12 21 12 14 8 21 14
QU
Từ tỉ lệ thức
Y
Câu 2: Chọn C.
NH
3 3 8 8 4 2 3 2 1 2 2 4 0,3: . và : : . . 8 10 3 10 5 5 6 5 2 5 1 5
3 : 0,54 25: 36 . 8
ƠN
a) 1,2 : 3,36 5:14 .
21 14 không là tỉ lệ thức vì 21.12 8.14 . 8 12
Câu 3: Chọn B.
5 4 . 125 100
KÈ M
Vì 5. 100 125. 4 nên Câu 4: Chọn C. 3 4
1 2
Ta có 2 : 5 3 4
DẠ
Câu 5:
1 7 4 và : 2 lập thành tỉ lệ thức. 2 5 5
Y
Vậy 2 : 5
11 11 1 7 4 7 14 7 1 : ; :2 : 4 2 2 5 5 5 5 14 2
a) Ta có 3,6 : 4,8 1 3
b) Ta có 4 : 8
36 3 4 6 5 3 và 0,6 : . nên hai tỉ số đã cho lập thành tỉ lệ thức. 48 4 5 10 4 4
13 1 13 2 11 1 11 . và 3 :13 . 3 8 24 3 3 13 39
Trang 13
Vì
13 11 nên hai tỉ số không lập thành tỉ lệ thức. 24 39
Câu 6: 2 10 15 10 3 2 3 15 ; ; ; . 3 15 3 2 15 10 2 10
Câu 7: 3 27 81 27 9 3 9 81 ; ; ; . 9 81 9 3 81 27 3 27
Nhận thấy 3.81 9.27 nên ta có các tỉ lệ thức sau:
Nhận thấy 5.8 2.20 nên ta lập được các tỉ lệ thức sau:
FI
Câu 8:
5 20 2 8 8 20 2 5 ; ; ; . 2 8 5 20 2 5 8 20
OF
Dạng 3. Tìm thành phần chưa biết Câu 1: Chọn C.
x 3
x 3
y
y 5
và x y 24 nên áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
5
x y 3 5
24 3 x 3.3 9; y 5.3 15 3x 5y 3.9 5.15 102. 8
Câu 2: Chọn B. x
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: Câu 3: Chọn D. x 1 4
9 x 1
x 1 36
x 5 hoặc x 7
KÈ M
Câu 4: Chọn A.
2x 4y 2x 4y . 2.4 4.5 28
QU
x 1 6 hoặc x 1 6
Vậy x 5 .
y 5
Y
2
Vì x 0 nên x 5 .
NH
4
ƠN
Vì
CI AL
Ta có 2 .15 3. 10 nên ta có các tỉ lệ thức sau:
Dựa vào tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x 4
y 7
3x 4y 3x 4y . 3.4 4.7 40
Câu 5: Chọn C. x 3 27 8
4
x 3
DẠ
Câu 6:
Y
Vậy x 57 .
27.8 x 3 54 x 54 3 x 57 4
Trang 14
13x 2 76 2x 5 17 17 13x 2 76 2x 5
2x 3 3x 1 24 32 2x 3 3x 1 3 4 4 2x 3 3 3x 1
4 8 5 5 19 0,25 8 x 8.0,25 x 19 2 x 19
c)
b)
221x 34 152x 380 221x 152x 380 34 69x 414
CI AL
a) 3 : 0,25: x
8x 12 9x 3 8x 9x 3 12 x 15
2 Vậy x . 19
x6
Vậy x 6 .
x 15
FI
Vậy x 15 .
Câu 7:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x 6
y 5
x y 121 6 5
b) Do 4x 5y nên
x 5
y 4
.
Vậy x 20; y 16 . Câu 8: x 3
y 4
z 6
và x y z 52 .
Vậy x 12; y 16; z 24 . x 3
y 5
z 7
QU
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
b)
5
y 4
Y
a)
x
11 x 66; y 55
2x 5y 40 4 x 20; y 16 2.5 5.4 10
NH
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
11
ƠN
Vậy x 66 và y 55 .
OF
x y x 6 nên . 6 5 y 5
a) Vì
x
3
y
4
z 6
x y z 52 3 4 6
13
4 x 12; y 16; z 24
và 2x y 3z 110 .
KÈ M
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x 3
y 5
z 7
2x y 3z 110 5 x 15; y 25; z 35 3.2 5 3.7 22
Vậy x 15; y 25; z 35 .
Dạng 4. Chứng minh tỉ lệ thức Câu 1:
a b k a ck; b dk . c d
Y
Đặt
a c ck c c k 1 k 1; c c c b d dk d d k 1 k 1. d d d
DẠ
a) Ta có:
Vậy
ac b d . c d
Trang 15
b) Ta có:
a c ck c c k 1 c ; b d dk d d k 1 d
Vậy
CI AL
a c ck c c k 1 c . b d dk d d k 1 d a c ac . b d b d
Câu 2:
Do đó
a b bk b b k 1 k 1; b b b c d dk d d k 1 k 1. d d d
OF
a) Ta có:
FI
a c k a bk; c dk b d
a b c d . b d
b) Ta có:
a b bk b b k 1 k 1 ; a b bk b b k 1 k 1
ƠN
Đặt
Vậy
NH
c d dk d d k 1 k 1 . c d dk d d k 1 k 1 a b c d . a b c d
Câu 3:
Vậy
a 2b c 2d . b d
b) Ta có:
Vậy
a 2b bk 2b b k 2 k 2; b b b c 2d dk 2d d k 2 k 2. d d d
QU
a) Ta có:
Y
a c k ta có a bk; c dk . b d
KÈ M
Đặt
a 3b bk 3b k 3; b b c 3d dk 3d k 3. d d
a 3b c 3d . b d
DẠ
Câu 1:
Y
Dạng 5. Giải các bài toán lời văn chia theo tỉ lệ Gọi số sản phẩm của công nhân thứ nhất và thứ hai lần lượt là x, y. Đơn vị: sản phẩm và điều kiện: x, y . Theo đề ra, ta có mối liên hệ:
x 8
y 5
và x y 60 . Trang 16
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x 8
y 5
x y 8 5
60 20 x 8.20 160; y 20.5 100 . 3
CI AL
Vậy công nhân thứ nhất làm được 160 sản phẩm, công nhân thứ hai làm được 100 sản phẩm. Câu 2:
Gọi kích thước của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật là y (m) và x (m). Điều kiện: x, y 0 . x 2
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
y
và x y 21.
5
x 2
y 5
x y 2 5
21 3 x 6; y 15 . 7
FI
Theo đề ra, ta có: x : y 2 : 5 và 2 x y 42
Vậy diện tích hình chữ nhật là S 6.15 90 m2 .
OF
Câu 3: Gọi số học sinh lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (em) với x, y, z * . x y y z Theo đề bài, ta có: x y z 105; và .
Từ
x 2
y 3
và
y 6
z 11
ta có:
x 4
y 6
3
z 11
6
11
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x 4
y 6
ƠN
2
z
11
x y z
105 5 x 20; y 30; z 55. 4 6 11 21
Câu 4:
NH
Vậy số học sinh lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 20 học sinh, 30 học sinh và 55 học sinh. Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x, y (m) với x, y 0 Do diện tích bằng 300 m2 nên x.y 300
x 4
y 3
4
y 3
.
k x 4k, y 3k k 0 , thay vào (1) ta có: 12k2 300 k2 25 k 5 (do k 0 ) .
x 20; y 15 .
QU
Đặt
x
Y
Hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3 nên
1
DẠ
Y
KÈ M
Vậy chiều dài của khu vườn là 20 m và chiều rộng là 15 m.
Trang 17
BÀI 7. SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN. SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN. LÀM TRÒN SỐ
CI AL
Mục tiêu Kiến thức
+ Nhận biết và nắm được cách xác định số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn.
+ Hiểu được khái niệm làm tròn số qua các ví dụ, nắm được cách quy ước làm tròn số và ý nghĩa của việc làm tròn số trong thực tiễn.
FI
Kĩ năng
+ Phân biệt được số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn.
OF
+ Giải thích được một phân số được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn.
+ Viết được một phân số dưới dạng số thập phân và ngược lại.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+ Vận dụng các quy ước làm tròn số để làm tròn số trong giải bài tập và trong thực tiễn.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập
CI AL
phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Ngược lại, mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu diễn một số hữu tỉ.
Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu
3 0,75 là số thập phân hữu hạn. 4
FI
không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
OF
Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết
20 6,666... 6, 6 là số thập phân vô hạn 3
được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
ƠN
tuần hoàn chu kì 6.
2. Quy ước làm tròn số
Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ Ti vi loại 20 in-sơ có nghĩa là đường chéo của
NH
nguyên bộ phận còn lại. Trường hợp số nguyên, ti vi dài 20 in-sơ. ta thay các chữ số bỏ đi bằng các chữ số 0.
Từ đó ta có thể xác
Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì định được đường ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ phận chéo của ti vi theo
KÈ M
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
QU
bỏ đi bằng các chữ số 0.
Y
còn lại. Trường hợp số nguyên, ta thay các chữ số các đơn vị đo độ
Số thập phân hữu hạn
dài đã học. Như vậy 20 in 50,8 cm .
a tối giản với b 0 và b b không có ước nguyên tố khác 2 và 5.
Phân số
DẠ
Y
SỐ HỮU TỈ
Số thập phân vô hạn tuần hoàn
a tối giản với b 0 và b có b ước nguyên tố khác 2 và 5.
Phân số
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Trang 2
Dạng 1: Nhận biết một phân số được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn Phương pháp giải Ví dụ: Phân số
CI AL
tuần hoàn 11 được viết dưới dạng số 30
thập phân hữu hạn hay viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn? Bước 1. Viết phân số dưới dạng phân số tối giản với
Bước 1. Ta có:
11 11 . 30 30
OF
mẫu dương.
FI
Hướng dẫn giải
Bước 2. Phân tích mẫu dương đó ra thừa số nguyên tố. Bước 2. Ta có: 30 5.2.3 . Bước 3. Nếu mẫu này không có ước nguyên tố khác 2 Bước 3. Mẫu này có ước nguyên tố 3 khác 2 và hữu hạn; nếu mẫu này có ước nguyên tố khác 2 và 5
5 nên phân số
11 viết dưới dạng số thập phân 30
ƠN
và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân
thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô vô hạn tuần hoàn. hạn tuần hoàn.
NH
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Trong các phân số sau đây phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn? Giải thích.
Y
1 6 9 ; ; . 4 110 45
Hướng dẫn giải
1 có mẫu 4 22 không có ước nguyên tố khác 2 và 5 nên phân số viết được dưới dạng số 4
thập phân hữu hạn.
Ta có
6 . 110
KÈ M
+ Xét phân số
QU
+ Xét phân số
6 6 3 . Mẫu 55 11.5 có ước nguyên tố 11 khác 2 và 5 nên phân số viết được dưới dạng 110 110 55
số thập phân vô hạn tuần hoàn. + Xét phân số
Y
9 9 1 . Mẫu phân số này không có ước nguyên tố khác 2 và 5 nên phân số viết được dưới 45 45 5
DẠ
Ta có
9 . 45
dạng số thập phân hữu hạn. Bài tập tự luyện dạng 1
Chọn đáp án đúng nhất trong các câu từ 1 đến 2 Câu 1: Phân số nào sau đây viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn? Trang 3
A.
1 . 3
B.
1 . 2
C.
1 . 6
D.
1 . 9
A.
1 . 2
B.
1 . 3
C.
1 . 4
D.
CI AL
Câu 2: Phân số nào sau đây viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn? 1 . 5
Câu 3: Giải thích tại sao các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn rồi viết dưới dạng đó: 6 9 39 121 204 378 1 ; ; ; ; ; . 8 25 60 220 160 375
OF
46 9 9999 117 ; ; ; . 3 12 21 26
FI
Câu 4: Phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn? Giải thích.
Dạng 2: Viết một tỉ số hoặc một phân số dưới dạng số thập phân Phương pháp giải Để viết phân số dưới dạng số thập phân, ta thực
ƠN
hiện phép chia tử cho mẫu.
Ví dụ: Viết các phân số
3 5 và dưới dạng số 20 12
thập phân.
Nếu phép chia đến một lúc chấm dứt, ta nói biểu Ta có: 3.20 0,15 Ta nói là biểu diễn số thập phân hữu hạn của phân
NH
diễn thập phân này là số thập phân hữu hạn.
số
Nhưng cũng có những phân số (mà phép chia tử
3 . 20
5:12 0,416666...
Y
cho mẫu không bao giờ chấm dứt. Khi đó, ta nói Khi đó, ta nói 0,416666… là số thập phân vô hạn.
Ví dụ mẫu
QU
biểu diễn thập phân này là số thập phân vô hạn.
Có thể viết gọn: 0,416666... 0,41 6 . Ta nói 0,416666… là số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kì 6.
KÈ M
Ví dụ. Viết các số sau dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn:
63 6 13 21 8 ; ; ; ; . 40 11 3 90 13
Hướng dẫn giải
63 1,575. 40 6 6 :11 0, 54 0, 54 . 11 13 13: 3 4, 3 4, 3 . 3 21 21: 90 0,2 3 0,2 3 . 90 8 8:13 0, 615384 0, 615384 . 13
DẠ
Y
63: 40 1,575
Bài tập tự luyện dạng 2 Trang 4
3 6 13 21 ; ; ; . 40 11 3 9
Câu 1: Viết các số sau dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn: 1 1 1 ; ; dưới dạng số thập phân. 9 99 999
CI AL
Câu 2: Viết các phân số
Câu 3: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng gọn (có chu kì trong ngoặc): a) 0,66666…; 1,838383…;
b) 0,3636…; 0,6818181…
Câu 4: Dùng dấu ngoặc để chỉ rõ chu kì trong thương của các phép chia sau: a) 8,5 : 3;
b) 3: 7 .
a) 0, 123 0, 876 1
FI
Câu 5: Chứng tỏ rằng:
b) 0, 123 .3 0, 630 1.
OF
Dạng 3: Viết số thập phân dưới dạng phân số tối giản
Bài toán 1. Viết số thập phân hữu hạn dưới dạng phân số tối giản Phương pháp giải
Ví dụ: Viết số 2,25 dưới dạng phân số tối giản.
ƠN
Bước 1. Viết số thập phân hữu hạn dưới dạng một phân
Bước 1. Ta có: 2,25
số có tử là số nguyên tạo bởi phần nguyên và phần thập
225 225 . 102 100
phân của số đó, mẫu là một lũy thừa của 10 với số mũ
NH
bằng số chữ số ở phần thập phân của số đã cho. Bước 2. Rút gọn phân số nói trên.
Bước 2. 2,25 9 . 4
Y
Vậy 2,25
225 225 9 102 100 4
Ví dụ mẫu
a) 0,22.
b) 0,15.
Hướng dẫn giải 22 22 11 . 102 100 50
b) 0,15
15 15 3 . 2 10 100 20
d) 1,19.
8125 8125 65 . 3 10 1000 8
119 119 . 102 100
Y
d) 1,19
c) 8,125.
KÈ M
a) 0,22
c) 8,125
QU
Ví dụ. Viết các số thập phân hữu hạn sau đây dưới dạng phân số tối giản.
DẠ
Bài toán 2. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản Phương pháp giải
Để giải dạng toán này cần có kiến thức bổ sung sau đây: -
Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là đơn nếu chu kì bắt Ví dụ: 0, 21 . Trang 5
đầu ngay sau dấu phẩy. -
Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là tạp nếu chu kì Ví dụ: 0,3 21 trong đó chữ số 3 là
CI AL
không bắt đầu ngay sau dấu phẩy. Phần thập phân đứng phần bất thường. trước chu kì gọi là phần bất thường. Xét số thập phân với phần nguyên là 0, người ta đã chứng minh được các quy tắc sau:
Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần Ví dụ: 0, 21 21 7 . 99 33 hoàn đơn dưới dạng phân số, ta lấy chu kì làm tử số, còn
FI
số của chu kì.
OF
mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ
Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần Ví dụ: 0,3 21 321 3 318 53 . 990 990 165 hoàn tạp dưới dạng phân số, ta lấy số gồm phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử, còn mẫu
ƠN
là một số gồm các chữ số 9 và 0 trong đó số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì. sang phân số rồi cộng với phần nguyên. Ví dụ mẫu
NH
Chú ý: Nếu phần nguyên khác 0, thì ta chuyển phần thập phân
3 9
1 3
4 3
Ví dụ: 1, 3 1 1 .
b) 2,2 1 .
Hướng dẫn giải 6 9
2 3
a) 0, 6 . 19 199 . 90 90
KÈ M
b) 2,2 1 2
c) 8, 13 8
c) 8, 13 .
QU
a) 0, 6 .
Y
Ví dụ. Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản.
13 805 . 99 99
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản. a) 0,5.
b) 0,6.
c) 0, 3 .
d) 5,1 3 .
Y
Câu 2: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản.
DẠ
a) 0,75.
b) 5,6.
c) 0, 3 .
d) 5, 13 .
Câu 3: Viết các số thập phân hữu hạn sau đây dưới dạng phân số tối giản. a) 0,32.
b) 0,124.
c) 1,28.
d) 3,12.
Dạng 4: Làm tròn số Trang 6
Phương pháp giải Quy ước làm tròn số
CI AL
1) Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ Ví dụ: 354,452 354,45 (chính xác đến chữ số thập nguyên bộ phận còn lại. Trường hợp số nguyên, ta phân thứ hai). thay các chữ số bỏ đi bằng các chữ số 0.
3214 3200 (chính xác đến hàng trăm).
2) Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 Ví dụ:
354,452 354,5 (chính xác đến chữ số thập phân
phận còn lại.
thứ nhất).
Trường hợp số nguyên, ta thay các chữ số bỏ đi
354,452 400 (chính xác đến hàng trăm).
OF
bằng các chữ số 0. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Làm tròn các số 5724; 991,23 đến hàng chục.
Ví dụ 2. Làm tròn các số 6251; 73,83 đến hàng trăm. Hướng dẫn giải
NH
6251 6300; 73,83 100.
ƠN
Hướng dẫn giải 5724 5720; 991,23 990.
FI
thì ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ
Ví dụ 3. Làm tròn các số 55,2173; 0,346 đến chữ số thập phân thứ hai. Hướng dẫn giải
Câu 1: Làm tròn số 4367,56: a) Đến hàng chục. b) Đến hàng đơn vị. Câu 2: Làm tròn số 523,245:
QU
Bài tập tự luyện dạng 4
Y
55,2173 55,22; 0,346 0,35.
KÈ M
a) Đến hàng chục.
b) Đến hàng đơn vị.
Câu 3: Làm tròn các số sau đến chữ số hàng nghìn: 59436; 56873; 754144,5; 247,91. Câu 4: In-sơ (inch, số nhiều là inches), kí hiệu là “in”, là đơn vị đo chiều dài thuộc hệ thống đo lường của Anh, Mỹ. Biết 1in 2,54 cm . a) Hỏi 1 cm gần bằng bao nhiêu in-sơ (làm tròn đến số thập phân thứ hai)?
DẠ
Y
b) Khi nói “Ti vi 23in”, ta hiểu là một loại ti vi có đường chéo màn hình bằng 23in. Tính đường chéo màn hình theo đơn vị xen-ti-mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). ĐÁP ÁN
Dạng 1. Nhận biết một phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn Trang 7
Câu 1: Chọn B. 1 1 có mẫu 3 là ước nguyên tố khác 2 và 5 nên là số thập phân vô hạn tuần hoàn. 3 3
B.
1 1 có mẫu 2 nên không có ước nguyên tố khác 2 và 5. Vậy là số thập phân hữu hạn. 2 2
C.
1 1 . Vì 6 2.3 có ước nguyên tố 3 khác 2 và 5 nên là số thập phân vô hạn tuần hoàn. 6 6
D.
1 1 . Vì 9 3.3 có ước nguyên tố 3 khác 2 và 5 nên là số thập phân vô hạn tuần hoàn. 9 9
FI
CI AL
A.
Câu 2: Chọn B.
1 1 có mẫu 2 nên không có ước nguyên tố khác 2 và 5. Vậy là số thập phân hữu hạn. 2 2
B.
1 1 có mẫu 3 là ước nguyên tố khác 2 và 5 nên là số thập phân vô hạn tuần hoàn. 3 3
C.
1 1 . Vì 4 22 không có ước nguyên tố khác 2 và 5 nên là số thập phân hữu hạn. 4 4
D.
1 1 có mẫu 5 nên không có ước nguyên tố khác 2 và 5. Vậy là số thập phân hữu hạn. 5 5
ƠN
OF
A.
Câu 3: 6 8
6 8
- Xét hỗn số 1 , ta có 1 14 7 1,75. 8 4
9 0,36 . 25
39 39 13 , ta có . Mẫu 20 22.5 không có ước nguyên tố khác 2 và 5. 60 60 20
- Xét phân số
39 13 0,65. 60 20
- Xét phân số Ta có:
KÈ M
Ta có:
9 , ta có 25 52 không có ước nguyên tố khác 2 và 5. 25
Y
- Xét phân số Ta có:
14 7 . Mẫu 4 22 không có ước nguyên tố khác 2 và 5. 8 4
QU
6 8
Ta có: 1
NH
Các phân số đều viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Thật vậy:
121 121 11 , ta có . Mẫu 20 22.5 không có ước nguyên tố khác 2 và 5. 220 220 20
121 11 0,55. 220 20
204 204 204 51 , ta có . Mẫu 40 23.5 không có ước nguyên tố khác 2 và 5. 160 160 160 40
Y
- Xét phân số
204 204 51 1,275 . 160 160 40
DẠ Ta có:
- Xét phân số
378 378 126 , ta có . Mẫu 125 53 không có ước nguyên tố khác 2 và 5. 375 375 125
Trang 8
Ta có:
378 126 1,008. 375 125
CI AL
Câu 4: 46 . Mẫu phân số này có ước nguyên tố là 3 khác 2 và 5 nên phân số viết được dưới dạng 3
- Xét phân số
số thập phân vô hạn tuần hoàn.
9 9 3 . Ta có với mẫu 4 22 không có ước nguyên tố khác 2 và 5 nên phân số viết 12 12 4
- Xét phân số
được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
FI
9999 9999 3333 . Ta có . Mẫu phân số này có ước nguyên tố là 7 khác 2 và 5 nên phân 21 21 7
- Xét phân số
OF
số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
117 117 9 . Ta có . Mẫu phân số này không có ước nguyên tố khác 2 và 5 nên phân số 26 26 2
- Xét phân số
viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
ƠN
Dạng 2. Viết một tỉ số hoặc một phân số dưới dạng số thập phân Câu 1: 3 0,075; 40 6 6 :11 0, 54 0, 54 ; 11 13 13: 3 4, 3 4, 3 ; 3 21 21: 9 2, 3 2, 3 . 9
QU
1 1 1 0, 1 ; 0, 01 ; 0, 001 . 9 99 999
Y
Câu 2:
NH
3: 40 0,075
Câu 3:
a) 0,66666... 0, 6 ;1,838383... 1, 83 .
Câu 4:
KÈ M
b) 0,3636... 0, 36 ; 0,6818181... 0,6 81 . a) 8,5: 3 2,833333... 2,8 3 .
b) 3: 7 0,428571428... 0, 428571 . Câu 5:
Y
a) 0, 123 0, 876
123 876 999 1. 999 999 999
DẠ
b) 0, 123 .3 0, 630
123 630 369 630 999 .3 1. 999 999 999 999 999
Dạng 3. Viết số thập phân dưới dạng phân số tối giản
Câu 1:
Trang 9
5 1 . 10 2 3 9
b) 0,6
1 3
c) 0, 3 .
6 3 . 10 5
d) 5,1 3 5
13 1 2 77 5 . 90 15 15
Câu 2: 75 3 . 100 4
b) 5,6
3 1 . 9 3
c) 0, 3
56 28 . 10 5
d) 5, 13 5
13 508 . 99 99
FI
a) 0,75
Câu 3: 32 8 . 100 25
b) 0,124
c) 1,28
128 32 . 100 25
d) 3,12
Câu 1: a) 4367,56 4370 (làm tròn đến hàng chục). b) 4367,56 4368 (làm tròn đến hàng đơn vị).
NH
Câu 2:
312 78 . 100 25
ƠN
Dạng 4. Làm tròn số
124 31 . 1000 250
OF
a) 0,32
CI AL
a) 0,5
a) 523,245 520 (làm tròn đến hàng chục).
b) 523,245 523 (làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 3:
Y
Làm tròn các số đến hàng nghìn, ta được: 59436 59000;56873 57000;75144,5 75000;247,91 0 . Câu 4:
Vậy 1cm gần bằng 0,39in.
1 in 0,3937...in 0,39 in (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). 2,54
QU
a) Vì 1in 2,54 cm nên 1cm
b) Đổi 23 in 58,42 cm 58,4 cm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
DẠ
Y
KÈ M
Vậy độ dài đường chéo của ti vi 23 in khoảng 58,4 cm.
Trang 10
BÀI 8. SỐ VÔ TỈ. KHÁI NIỆM VỀ CĂN BẬC HAI. SỐ THỰC Mục tiêu
CI AL
Kiến thức
+ Nhận biết được sự tồn tại của số thập phân vô hạn tuần hoàn, từ đó hiểu được khái niệm số vô tỉ. + Nắm được khái niệm về căn bậc hai của một số không âm.
+ Biết được tập số thực là tên gọi chung cho tập số hữu tỉ và tập số vô tỉ. Từ đó thấy được sự phát
FI
triển các tập số từ đến , và . + Nắm được ý nghĩa của trục số thực.
OF
Kĩ năng
+ Nhận biết được số vô tỉ. Phân biệt được dạng đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit. + Tính được căn bậc hai của một số không âm (bằng định nghĩa và máy tính bỏ túi) và sử dụng .
ƠN
đúng kí hiệu
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
+ Có kĩ năng so sánh số các số thực và biểu diễn số thực trên trục số.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Số vô tỉ không tuần hoàn.
CI AL
Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn Cho hình vuông ABCD cạnh 1 cm. Vẽ hình vuông ACDE.
FI
Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là .
x2 .
OF
Ta thấy diện tích của hình vuông ACDE là Mặt khác diện tích hình vuông ACDE bằng
ƠN
hai lần diện tích hình vuông ABCD tức là bằng 2.1.1 2 . Do đó x2 2 . Vậy có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng 2 hay không? Người ta chứng minh được là
NH
không có số hữu tỉ nào và tính được x 1,414213562... .
Đây là số vô tỉ (số thập phân vô hạn không
Y
tuần hoàn).
Khái niệm về căn bậc hai -
QU
Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 a . Số dương a ta có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau, số dương kí hiệu là
a , số âm là a .
Số 0 chỉ có một căn bậc hai là 0.
-
Số âm không có căn bậc hai.
Số thực
KÈ M
-
Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực. Tập hợp số thực được kí hiệu là . Quan hệ giữa các tập số: . Trên trục số, mỗi số thực được biểu diễn bởi một
Y
DẠ
điểm. Ngược lại mỗi điểm trên trục số đều biểu Các điểm biểu diễn số thực đã lấp đầy trục diễn một số thực.
số thực.
Các phép toán trong tập hợp các số thực cũng có các tính chất tương tự các phép toán trong tập hợp Trang 2
CI AL
các số hữu tỉ.
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Số vô tỉ
Số thập phân vô hạn không tuần hoàn
a a, b , b 0 b
Số thập phân vô hạn tuần hoàn
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận biết mối quan hệ giữa các tập số
NH
Phương pháp giải
5 4
Ví dụ:
1 0,33333... 3
ƠN
Số hữu tỉ
1 2
Ví dụ: 1; 0,5; 1,25
OF
Số thập phân hữu hạn
2 1,41421...
FI
SỐ THỰC
Ví dụ:
Để nhận biết mối quan hệ giữa các tập số, ta cần:
Ví dụ: Các số 2;2;
1 ; 2 thuộc tập hợp số nào 2
trong các tập số: ; ; ;
Y
Hiểu được khái niệm các tập số và sử dụng đúng các Xét số 2 , ta có: 2 ; 2 ; 2 ; 2 . : thuộc; : không thuộc;
: con (được chứa).
Xét số 2, ta có: 2 ;2 ;2 ;2 .
QU
kí hiệu:
Xét số
1 1 1 1 1 ; ; ; . , ta có: 2 2 2 2 2
Xét số
2 , ta có:
2 ; 2 ; 2 ; 2 .
KÈ M
Nắm vững mối quan hệ giữa các tập hợp số: .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Điền các kí hiệu ,, vào các ô trống: a) 0, 33 ;
Y
d) 3
;
b) 0,52 41 e)
;
;
c) f)
;
2 .
DẠ
Hướng dẫn giải
a) 0, 33 ;
b) 0,52 41 ;
c)
d) 3 ;
e) ;
f) .
2 ;
Ví dụ 2. Điền dấu x vào ô thích hợp trong bảng sau: Trang 3
Câu
Đúng
Sai
1. 3 là số vô tỉ. 3. Số vô tỉ là số thập phân vô hạn tuần hoàn. 4. Căn bậc hai của một số tự nhiên là một số vô tỉ. 5. Nếu a là số thực thì a cũng là số vô tỉ. 6. Nếu a là số hữu tỉ thì a cũng là số vô tỉ. 7. Tập số thực gồm tập số hữu tỉ và tập số vô tỉ. Hướng dẫn giải Đúng
OF
Câu
FI
CI AL
2. Số vô tỉ là số thực.
Sai
x
1. 3 là số vô tỉ.
x
3. Số vô tỉ là số thập phân vô hạn tuần hoàn. 4. Căn bậc hai của một số tự nhiên là một số vô tỉ. 5. Nếu a là số thực thì a cũng là số vô tỉ.
NH
6. Nếu a là số hữu tỉ thì a cũng là số vô tỉ. 7. Tập số thực gồm tập số hữu tỉ và tập số vô tỉ. Giải thích cho các câu sai:
x
ƠN
2. Số vô tỉ là số thực.
x x x
x
Y
3. Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. này thuộc .
QU
4. Căn bậc hai của một số tự nhiên chưa chắc đã là số vô tỉ. Ví dụ: Căn bậc hai của 4 là 2 và 2 . Hai số Ta thấy 4 là số chính phương nên căn bậc hai của nó không thể là số vô tỉ. Do đó, nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì
a là số vô tỉ.
KÈ M
Bài tập tự luyện dạng 1 Chọn đáp án đúng nhất trong các câu từ 1 đến 3. Câu 1: Số 3 thuộc tập hợp số nào sau đây? A. .
B. .
C. .
D. .
C. .
D. .
C. .
D. .
Câu 2: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. B. .
Y
A. .
Câu 3: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
DẠ
A. .
B. .
Câu 4: Điền các kí hiệu ,, vào các ô trống: a) 0, 2 d)
;
;
b) 0,2 41 e)
;
;
c) 1,7329508 f)
;
.
Trang 4
Dạng 2: Tìm căn bậc hai của một số cho trước và tìm một số biết căn bậc hai của nó Phương pháp giải Để tìm căn bậc hai của một số cho trước ta cần: Cách 1. Sử dụng định nghĩa căn bậc hai: Căn bậc Ví dụ: Tìm căn bậc hai của: hai của số a không âm là số x sao cho x2 a .
b) 5.
a) 4. Hướng dẫn giải
FI
c) 0. Chú ý:
CI AL
Bài toán 1. Tìm căn bậc hai của một số cho trước
OF
Số dương có hai căn bậc hai là hai số đối nhau, số a) Ta có 22 4 và 22 4 . âm không có căn bậc hai. Vậy căn bậc hai của 4 là 4 2 và 4 2 . Khi viết a ta phải có a 0 và a 0 . b) Do 5 là số âm nên 5 không có căn bậc hai. c) Số 0 có căn bậc hai là 0.
ƠN
Cách 2. Sử dụng máy tính bỏ túi nếu đề bài cho Ví dụ. Tính 3 . phép.
Ta ấn liên tiếp các nút sau:
Nút dấu căn bậc hai:
.
3
Máy tính hiện kết quả là 1,732050808. 3 1,73 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ
NH
Vậy
hai).
Ví dụ mẫu
b) 0,0001.
Hướng dẫn giải a) Căn bậc hai của 25 là
c)
9 . 25
d) 6 .
QU
a) 25.
Y
Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của:
25 5 và 25 5 .
b) Căn bậc hai của 0,0001 là 0,0001 0,01 và 0,0001 0,01 . 9 là 25
9 3 9 3 và . 25 5 25 5
KÈ M
c) Căn bậc hai của
d) Do 6 0 nên không tồn tại căn bậc hai của 6 . Chú ý : Không viết
25 5 do
Ví dụ 2. Tính 100;
9 ; 4
2
; 52 ;
Y
5
a 0 với a 0
DẠ
Hướng dẫn giải
Vì 102 100 nên 100 10 . 3
2
9
Vì nên 2 4
9 3 . 4 2
Trang 5
Vì 52 25 nên
5
2
25 5
5
2
5 và
52 5 .
a)
2;
b)
9;
c)
5;
d)
Hướng dẫn giải Tính
Nút ấn 2
1,414213562…
b)
9
9
3
c)
5
5
2,236067977…
OF 0,5
, 2 5
Như vậy: b)
9 3;
c)
Bài toán 2. Tìm một số biết căn bậc hai của nó Phương pháp giải
NH
Ta sử dụng định nghĩa:
5 2,24 ;
Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho Ví dụ: Tìm x biết
x a. 2
0,25 0,5 .
x 4.
Hướng dẫn giải
Do đó, để tìm một số biết căn bậc hai của nó, ta Ta có
Ví dụ mẫu
QU
x a a 0 thì x a2 .
x 4 thì x 16 .
Y
bình phương căn bậc hai. Nếu
d)
ƠN
2 1,41 ;
FI
2
0
0,25 .
Kết quả
a)
d) 0,25
a)
CI AL
Ví dụ 3. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
Ví dụ 1. Hãy cho biết mỗi số sau là căn bậc hai của số nào?
KÈ M
1 2;0; 1; ; 3; 0,4 2
Hướng dẫn giải 1 2
1 4
Các số 2;0; 1; ; 3; 0,4 lần lượt là căn bậc hai của các số: 4; 0; 1; ; 3; 0,16 . Ví dụ 2. Điền số thích hợp vào ô trống:
DẠ
x
3
Y
x
16
19
5
2
2
7
1 2
49
1 4
12,25
0,25
12,25
0,25
Hướng dẫn giải x
3
4
16
19
5
2
Trang 6
x
2
3
4
5
19
7
1 2
3,5
0,5
CI AL
Chú ý: x là số không âm a sao cho a2 x .
Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Tìm căn bậc hai của: c)
4 . 25
c)
9 49
d) 36 .
FI
b) 0,12 .
a) 9.
Câu 2: Tìm căn bậc hai của các số sau: b) 0,25.
Câu 3: Điền số thích hợp vào ô trống: x
9
16
1
Câu 4: Điền số thích hợp vào ô trống: 3
x
6 225
2
1,1
23
0,0025
NH
x
3
ƠN
2
x
d) 1
OF
a) 49.
Câu 5: Tính 6; 0,04; 11 bằng cách sử dụng máy tính bỏ túi (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). Dạng 3: Thực hiện phép tính Phương pháp giải
Y
Các phép toán trong tập hợp các số thực cũng có các tính chất
QU
tương tự các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ.
1
Ví dụ. Tính A 36. 3. 16 2 9
Để thực hiện phép tính có chứa căn bậc 2, ta có thể làm như sau:
a2 a a 0
Ta có 36 62 6; 16 42 4; 2
1 1 1 9 3 3
KÈ M
Bước 1. Tính các giá trị căn bậc hai (nếu có) trong phép tính.
Bước 2. Thực hiện đúng thứ tự phép tính.
1
1
Suy ra A 6. 3.4 2 6. 12 2 3 3 72 2 2 72
Y
Ví dụ mẫu
DẠ
Ví dụ 1. Tính: a)
1 1 ; 9 16
b)
4 36 81;
c) 13 23 ;
d)
13 23 33 .
Hướng dẫn giải
Trang 7
a)
1 1 16 9 25 9 16 9.16 9.16
b)
4 36 81 121 112 11 .
2
52 2
CI AL
3.4
5 5 . 12 12
c) 13 23 1 8 9 3 . d) 13 23 33 1 8 27 36 6 . Ví dụ 2. Tính giá trị biểu thức: 1
25
49
441
FI
a) M ; : 36 81 324 9
OF
1 1 3 5 0,04 . 16 9
b) N 4
Hướng dẫn giải
1 5 7 21 6
15 14 18
7 18
1
ƠN
1 1 25 5 49 7 441 21 ; ; ; . 9 3 36 6 81 9 324 18
a) Ta có
b) Ta có
1 1 1 1 1 ; ; 0,04 0,2 . 16 4 9 3 5
Vậy N 4
1 1 1 1 1 3 5 0,04 4. 3. 5 1 1 1 1. 16 9 4 3 5
Bài tập tự luyện dạng 3
Y
Câu 1: Tính: 25 9 ;
b) 0,01 0,25 ;
Câu 2: Tính giá trị biểu thức: 4
49
25
QU
a)
NH
Vậy M : . . . 3 6 9 18 18 18 18 21 18 21 3
c)
2.22 42 52 .
121
a) A : 144 81 36 9 9 1 6 5 0,25 . 25 4
KÈ M
b) B 5
1
1
1
Câu 3: Tính: A 2 3,5 : 4 3 7,5 . 3 6 7
Dạng 4: Tìm x
Phương pháp giải
x a thì x a2 với a 0 .
DẠ
Y
Ta sử dụng các tính chất sau:
x2 a (với a 0 ) thì x a hoặc x a .
Ví dụ: Tìm x, biết: Ta có
x 2
x 2 x 4
Vậy x 4 . Ví dụ: Tìm x, biết: x2 9 Ta có x2 9 x 3 hoặc x 3 . Trang 8
Vậy x 3 hoặc x 3 . Ví dụ mẫu
a)
x 1 3
CI AL
Ví dụ 1. Tìm x, biết: b) x2 64 0 .
Hướng dẫn giải x 1 3 x 1 9 x 10 .
a)
Vậy x 10 .
FI
b) x2 64 0 x2 64 x 8 hoặc x 8 x 1 3 2 .
Ví dụ 2. Tìm x, biết: Hướng dẫn giải
x 6 hoặc
x 1 5 x 1 5 hoặc
x 4 (không thỏa mãn vì
x 1 5
x 0) .
x 36 .
Chú ý: x a thì x a hoặc x a . Ví dụ 3. Tìm x, biết: x2 4 x2 3 0 . Hướng dẫn giải
4 x2 3 0 x2 4 0 hoặc x2 3 0
Y
2
x2 4 hoặc x2 3 .
QU
x
NH
Vậy x 36 .
ƠN
x 1 3 2
Ta có
OF
Vậy x 8 hoặc x 8 .
Với x2 4 ta có x 2 hoặc x 2 .
Với x2 3 ta có x 3 hoặc x 3 . Vậy x 2 hoặc x 3 .
KÈ M
Chú ý: Nếu a.b 0 thì a 0 hoặc b 0
x 4 là:
B. 2 .
C. 16.
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Các giá trị của biến x thỏa mãn biểu thức A. 2.
B. 2 .
C. 16.
D. 16 .
Câu 2: Giá trị của biến x thỏa mãn biểu thức x2 4 là:
Y
A. 2.
D. 16 .
DẠ
Câu 3: Tìm x, biết: x 16 25 Câu 4: Tìm x, biết:
2
x 3 3 9.
Dạng 5: So sánh hai số Phương pháp giải Trang 9
Ví dụ: So sánh:
Hướng dẫn giải Với a 0; b 0 :
a) So sánh 16 với 4.
b) 11.3 và
a b khi và chỉ khi
a b.
Ta có 42 16 . Suy ra 4 16 .
a b khi và chỉ khi
a b.
b) Suy ra 11.3 44 (vì 33 44 ) Ta có 11.3 44 .
FI
Ví dụ mẫu
2 với
3.
OF
Ví dụ 1. So sánh: a)
b) 3 với 10 .
Hướng dẫn giải 2 3.
b) Ta có 3 9 mà 9 10 nên
9 10 .
ƠN
a) Vì 2 3 nên
Do đó 3 10 .
9.16 với
9. 16 . b) 3 7 với 8.
Hướng dẫn giải a) Ta có
9.16 144 122 12;
9.16 9. 16 .
QU
Vậy
Y
9. 16 32 . 42 3.4 12.
c) 2 3 với 3 2 .
NH
Ví dụ 2. So sánh hai số thực sau: a)
44 .
CI AL
a) 16 với 4.
b) Ta có 3 7 9. 7 63, 8 64 . Mà 64 63 nên 64 63 . Vậy 3 7 8 .
KÈ M
c) Ta có 2 3 4. 3 12 và 3 2 9. 2 18 . Mà 18 12 nên 18 12 . Vậy 3 2 2 3 .
Bài tập tự luyện dạng 5 Câu 1: So sánh:
Y
a) 3 2 với 2 5 .
b) 5 6 với 6 5 .
DẠ
Câu 2: So sánh: a)
9. 4 với
9.4 .
b) 3 5 với 6.
Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai Phương pháp giải
Trang 10
Áp dụng tính chất cơ bản sau:
Ví dụ:
x 0 với mọi x 0 . Dấu “=” xảy ra khi x 0 .
x a 0 với mọi x a , dấu “=” khi x a .
+)
CI AL
Mở rộng:
x 3 0 với x 3 .
Dấu “=” xảy ra khi x 3 0 x 3 x b 0 với mọi x b , dấu “=” khi x b
+) x 3 0 với x 3 .
Dấu “=” xảy ra khi x 3 0 x 3
FI
Min là viết tắt của từ “minimum” nghĩa là giá trị nhỏ nhất. Max là viết tắt của từ “maximum” nghĩa là giá trị lớn nhất.
OF
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x 1 Hướng dẫn giải x 0 với x 0 nên A x 1 1.
ƠN
Vì
Dấu “=” xảy ra khi x 0 . Vậy min A 1 khi x 0 .
Hướng dẫn giải Vì
x 3 0 với x 3 nên 2 x 3 0 .
Dấu “=” xảy ra khi x 3 0 x 3 . 3 . 2
QU
Vậy max P
Y
Do đó P 1 2 x 3 1
NH
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P 1 2 x 3
Bài tập tự luyện dạng 6
Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A, B (giả thiết các căn bậc hai đều có nghĩa). b) B x 5 3
KÈ M
a) A x 2
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của A, B (giả thiết các căn bậc hai đều có nghĩa). a) A 4 x
b) B 5 x 3
Dạng 7. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên Phương pháp giải
Tìm điều kiện của x để biểu thức nhận giá trị
DẠ
Y
nguyên, ta thường làm như sau: Bước 1. Tách phần nguyên. Tách tử theo mẫu sao cho A có dạng tổng của một số nguyên và một phân số có tử nguyên.
Ví dụ: Với x 0, x 1 , tìm x để A
x x 1
nhận giá trị là số nguyên. Bước 1. A
x 1 1 x 1 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Trang 11
Bước 2.
Vận dụng tính chất sau: A
m với m, n , n 0 . n
Để A nhận giá trị nguyên thì m n hay n ¦
Để A là số nguyên thì
x 1 là ước của 1. Suy ra
x 1 1;1 .
n .
x 1
1
x
0
x
0
CI AL
Bước 2. Tìm x.
1 2 4
FI
Các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bài toán. Vậy x 0;4 thì A nhận giá trị nguyên.
2
Ví dụ 1. Với x 0, x 4 , tìm x nguyên để biểu thức P
x 2
Hướng dẫn giải
Suy ra
x 2 2; 1;1;2 .
Ta có bảng sau: 2
x
0
x
0
x 2 là ước của 2.
1
2
1
3
4
1
9
16
1
NH
x 2
nhận giá trị nguyên.
ƠN
Với x và x 0, x 4 , để P nhận giá trị nguyên khi
OF
Ví dụ mẫu
Y
Các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bài toán.
Ví dụ 2. Cho A
x 3 2
QU
Vậy x 0;1;9;16 thì P nhận giá trị nguyên.
. Tìm x , x 30 để A là số nguyên.
Hướng dẫn giải Điều kiện: 0 x 30, x .
Suy ra
KÈ M
Để A nhận giá trị nguyên thì
x 3 2 hay
x 3 là số chẵn.
x là số lẻ. Do đó x là số chính phương lẻ.
Vì x 30 nên x 1;32 ;52 hay x 1;9;25 .
Y
Bài tập tự luyện dạng 7
DẠ
Câu 1. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P Câu 2. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P
2 x 1
nhận giá trị nguyên với x 0, x 4 .
x 2 x 2 2
nhận giá trị nguyên với 5 x 35 .
ĐÁP ÁN Trang 12
Dạng 1. Nhận biết mối quan hệ giữa các tập số Câu 1. Chọn A. 3 .
CI AL
3 mà nên
Câu 2. Chọn D. .
Câu 3. Chọn D. Câu 4. b) 0,2 41 ;
c) 1,7329508... ;
d) ;
e) ;
f) .
OF
a) 0, 2 ;
FI
.
Dạng 2. Tìm căn bậc hai của một số cho trước và tìm một số biết căn bậc hai của nó 9 3 và 9 3
a) Căn bậc hai của 9 là
ƠN
Câu 1.
b) Căn bậc hai của 0,12 là 0,12 0,1 và 0,12 0,1. 4 2 4 2 và . 25 5 25 5
4 là 25
NH
c) Căn bậc hai của
d) Do 36 0 nên không tồn tại căn bậc hai của 36 . Câu 2.
49 7 và 49 7 .
a) Căn bậc hai của 49 là
9 là 49
9 3 9 3 và . 49 7 49 7
QU
c) Căn bậc hai của
Y
b) Căn bậc hai của 0,25 là 0,25 0,5 và 0,25 0,5 .
d) Do 1 0 nên không tồn tại căn bậc hai của 1 . Câu 3.
x là số không âm a sao cho a 2 x
KÈ M
Ta có x x
x
DẠ
x
4
16
1
3
3
2
4
1
3
3
25
6
0,05
9
225
36
0,0025
Y
Câu 4.
9
2
23
1,21
23
1,1
Câu 5.
Tính 6
Nút ấn 6
Kết quả 2,449489743… Trang 13
0,04
, 0 4
0
0,2 3,31662479…
CI AL
1 1
11
Vậy 6 2,45; 0,04 0,2; 11 3,32 . Dạng 3. Thực hiện phép tính Câu 1. a)
25 9 16 4 .
2.22 42 52 2.4 16 25 49 7 .
Câu 2. 4
49
25
121 2
5
7 11
1
a) Ta có A : . : 144 81 36 3 12 9 6 6 9 9 1 3 1 5 6 5 0,25 5 6 5.0,5 . 25 4 5 2 2
ƠN
b) Ta có B 5
OF
c)
FI
b) 0,01 0,25 0,1 0,5 0,4 .
Câu 3.
7 25 22 15 7.2 7.3 25.7 22.6 15 : 2 6 42 35 43 15 35 42 15 245 15 245.2 15.43 155 : . 6 42 2 6 43 2 43 2 43.2 86 1
1
1
7
NH
A 2 3,5 : 4 3 7,5 : 7 7 2 3 6 3 2 6
Dạng 4. Tìm x x 4 x 16 .
Câu 2. Chọn B. x2 4 x 2 hoặc x 2 .
Câu 3.
QU
Y
Câu 1. Chọn C.
KÈ M
x2 16 25 x2 9 x 3 hoặc x 3 .
Vậy x 3 hoặc x 3 . Câu 4. Ta có
x 3 3 9
x 3 (loại vì
x 3 6
x 0)
Y
x 9 hoặc
x 3 6 x 3 6 hoặc
x 81.
DẠ
Vậy x 81.
Dạng 5. So sánh hai số
Câu 1.
a) Ta có 3 2 18 và 2 5 20 Trang 14
Mà 18 20 vậy 18 20 hay 3 2 2 5 . b) Ta có 5 6 150 và 6 5 180
CI AL
Mà 150 180 nên 180 150 hay 5 6 6 5 . Câu 2. 9.4 36 6 và
a) Ta có
9. 4 3.2 6 .
Vậy 9.16 9. 16 45 36 .
FI
b) Ta có 3 5 45 và 6 36 . Mà 45 36 nên Vậy 3 5 6 . Câu 1. x 0 với mọi x 0 nên
a) Ta có
x 2 2 với mọi x 0 .
b) Ta có
x 5 0 với mọi x 5 nên
x 5 3 3 .
ƠN
Vậy min A 2 khi x 0 .
OF
Dạng 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai
Dấu “=” xảy ra khi x 5 0 x 5 (thỏa mãn điều kiện). Vậy min B 3 khi x 5 .
NH
Câu 2. a) Điều kiện xác định: x 0 .
x 0 x 0 4 x 4 với mọi x 0 .
Ta có
Vậy max A 4 khi x 0 .
Y
b) Điều kiện xác định: x 3 .
QU
x 3 0 x 3 0 5 x 3 5 .
Ta có
Dấu “=” xảy ra khi x 3 0 x 3 (thỏa mãn điều kiện). Vậy max B 5 khi x 3 . Câu 1.
KÈ M
Dạng 7. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên Với x 0, x 4 . P
2 x 1
x 2
2
x 2 5
Y
Ta có P khi
x 2 5
x 2
2
5
x 2
.
x 2 ¦
5 .
DẠ
Ta có bảng sau:
x 2
x
5 3
(loại vì
x 0)
1
1
5
1
3
7
Trang 15
x
1
9
49
Các giá trị tìm được của x đều thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 2. Điều kiện: x 0 . x 2 2
x
Để P thì
2
x 2
1
x là số chẵn x là số chính phương chẵn.
Vì 5 x 35 nên x 42 16 .
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
Vậy x 16 thì P nhận giá trị nguyên thỏa mãn 5 x 35 .
OF
Ta có: P
FI
CI AL
Vậy x 1;9;49 thì P nhận giá trị nguyên.
Trang 16
CHƯƠNG 2 HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
CI AL
BÀI 1: ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN Mục tiêu Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau và nêu được một số ví dụ về đại lượng
FI
tỉ lệ thuận. + Nắm được tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận.
OF
+ Nắm được phương pháp giải một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận. Kĩ năng +
Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Tìm được hệ số tỉ lệ và công thức biểu diễn đại lượng tỉ lệ thuận.
ƠN
+ Lập được bảng giá trị tương ứng giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận và ngược lại, xét tương quan tỉ lệ thuận giữa hai đại lượng khi biết bảng giá trị tương ứng của chúng. + Giải được một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, bài toán chia tỉ lệ.
NH
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức: y kx (với k là hằng số
QU
theo hệ số tỉ lệ k .
Y
khác 0 ) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x
v 1,5 m/phút
Chú ý
Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ Quãng đường s (m) mà con kiến bò được trong thời gian t
Tính chất
KÈ M
k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ (phút) với vận tốc 1,5m/phút tỉ lệ thuận với nhau theo công thức s 1,5t . 1 là . k
Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng
Y
luôn không đổi.
DẠ
y y1 y2 y3 ... n k x1 x2 x3 xn
Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại Trang 1
lượng kia.
CI AL
x y x1 y1 x1 y1 , ,..., m n . x2 y2 x3 y3 xn yn
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định tương quan giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận
Bài toán 1. Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Xác đinh hệ số tỉ lệ và công thức biểu diễn
FI
đại lượng tỉ lệ thuận Dựa vào các yếu tố của đề bài, ta thực hiện như Ví dụ:
OF
Phương pháp giải
a) Quãng đường đi được s (km) của một vật
sau:
Bước 1. Xác định hai đại lượng tỉ lệ thuận x , y và chuyển động đều theo thời gian t (giờ) với vận tốc 10 km/h là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
hệ số tỉ lệ k .
ƠN
Bước 2. Biểu diễn mối quan hệ giữa hai đại lượng Khi đó hệ số tỉ lệ k 10 . Suy ra quãng đường s tỉ lệ thuận với thời gian t
x và y theo công thức y kx .
theo công thức s 10t .
NH
b) Khối lượng m (kg) theo thể tích V (m3) của thanh kim loại đồng chất là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
QU
Y
Vì thanh kim loại đồng chất có khối lượng riêng là D (kg/m3) (D là hằng số khác 0) nên hệ số tỉ lệ k D.
Vậy khối lượng m tỉ lệ thuận với thể tích V theo công thức m D.V .
KÈ M
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 5. Hỏi x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ nào? Hướng dẫn giải
Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k 5 nên ta có y 5 x . Suy ra x
Y
lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ
1 y nên đại 5
1 1 . k 5
DẠ
Ghi nhớ:
Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k thì đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng
y theo hệ số tỉ lệ
1 . k
Trang 2
Ví dụ 2. Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi x 8 thì y 3 .
CI AL
a) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x . b) Hãy biểu diễn y theo x . c) Tính giá trị của y khi x 2 và x 5 . Hướng dẫn giải
FI
a) Vì x và y hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có công thức y kx .
3 Vậy hệ số tỉ lệ k . 8
b) Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k
3 3 nên y x . 8 8
ƠN
3 c) Ta có y x . 8
OF
3 Theo điều kiện, khi x 8 thì y 3 nên thay vào công thức, ta có 3 k .8 k . 8
NH
3 3 - Với x 2 ta có y . 2 . 8 4 3 15 - Với x 5 ta có y .5 . 8 8
Ví dụ 3. Cho biết z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là k 2 và y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ
QU
Hướng dẫn giải
Y
3 h . Hỏi z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là bao nhiêu? 5
Vì đại lượng z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là k 2 nên z 2 y . 3 3 nên y x . 5 5
KÈ M
Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ h 6 3 Do đó z 2. x x . 5 5
6 Suy ra đại lượng z tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ là . 5
Ghi nhớ: Nếu z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là k1 và y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k2 thì z tỉ
Y
lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k1k2 .
DẠ
Ví dụ 4. Biết rằng y1 tỉ lệ thuận với x1 theo hệ số tỉ lệ k
k 0
và y2 tỉ lệ thuận với x2 theo hệ số tỉ lệ
k . Hỏi y1 y2 có tỉ lệ thuận với x1 x2 không? Nếu có hãy tìm hệ số tỉ lệ?
Hướng dẫn giải Vì y1 tỉ lệ thuận với x1 theo hệ số tỉ lệ k nên y1 kx1 Trang 3
Vì y2 tỉ lệ thuận với x2 theo hệ số tỉ lệ k nên y2 kx2 . Do đó y1 y2 kx1 kx2 k x1 x2 .
k 0
Nhận xét: Nếu y1 tỉ lệ thuận với x1 theo hệ số tỉ lệ k
CI AL
Suy ra y1 y2 tỉ lệ thuận với x1 x2 theo hệ số tỉ lệ k .
và y2 tỉ lệ thuận với x2 theo hệ số tỉ lệ k
thì y1 y2 có tỉ lệ thuận với x1 x2 theo hệ số tỉ lệ k .
FI
Ví dụ 5. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi x1 , x2 là hai giá trị của x và y1 , y2 là hai giá trị
OF
tương ứng của y. Biết rằng khi x1 x2 12 thì y1 y2 3 . a) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x và biểu diễn y theo x . b) Tính giá trị của y khi x 2, x 4 . Hướng dẫn giải
Khi đó y1 y2 tỉ lệ thuận với x1 x2 theo hệ số tỉ lệ k .
y kx .
NH
Do đó y1 y2 k x1 x2
k 0 nên ta có công thức:
ƠN
a) Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k
Thay x1 x2 12 và y1 y2 3 vào công thức, ta được 3 k .12 k
3 1 . 12 4
QU
Y
1 Vậy công thức biểu diễn y theo x là y x . 4 1 1 b) Với x 2 ta có y . 2 . 4 2
Nhận xét:
KÈ M
1 Với x 4 ta có y .4 1 . 4
Nếu y1 tỉ lệ thuận với x1 theo hệ số tỉ lệ k
k 0
và y2 tỉ lệ thuận với x2 theo hệ số tỉ lệ k thì y1 y2
tỉ lệ thuận với x1 x2 theo hệ số tỉ lệ k .
Y
Bài toán 2. Xét tương quan tỉ lệ thuận giữa hai đại lượng khi biết bảng giá trị tương ứng của chúng Phương pháp giải
DẠ
Khi giá trị của các đại lượng khác 0, ta có thể xét Ví dụ: Các giá trị tương ứng của V và m được cho tương quan như sau
trong bảng sau
Bước 1. Xem xét tất cả các thương giữa các giá trị
V
1
2
3
4
5
tương ứng của hai đại lượng có bằng nhau không?
m
4,2
8,4
12,6
18,6
21 Trang 4
Bước 2. Rút ra kết luận Nếu các thương đó bằng nhau thì các đại lượng tỉ lệ thuận. Lập công thức biểu thị mối liên hệ giữa hai
CI AL
m V
a) Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng.
đại lượng.
Nếu các thương đó không bằng nhau thì các đại b) Hai đại lượng m và V có tỉ lệ thuận với nhau hay không? Vì sao?
lượng không tỉ lệ thuận.
Hướng dẫn giải
FI
a) Các ô trống đều được điền số 4,2.
b) Hai đại lượng m và V tỉ lệ thuận với nhau vì
OF
m 4, 2V .
Ta có thể nói: Đại lượng m tỉ lệ thuận với đại lượng V theo hệ số tỉ lệ k 4, 2 hoặc đại lượng V
ƠN
tỉ lệ thuận với đại lượng m theo hệ số tỉ lệ
Ví dụ mẫu
NH
1 1 5 . k 4, 2 21
Ví dụ. Các giá trị tương ứng của t và s được cho trong bảng sau T
1
2
3
4
S
9
18
27
36
45
QU
Y
s t
5
a) Điền các số thích hợp vào các ô trống trong bảng trên. b) Hai đại lượng s và t có tỉ lệ thuận với nhau hay không?
KÈ M
Nếu có, hãy tìm hệ số tỉ lệ. Hướng dẫn giải
a) Các ô trống đều được điền số 9. b) Hai đại lượng s và t tỉ lệ thuận với nhau vì s 9t . Ta nói: Đại lượng s tỉ lệ thuận với đại lượng t theo hệ số tỉ lệ k 9 hoặc đại lượng t tỉ lệ thuận với đại
Y
lượng s theo hệ số tỉ lệ
1 1 . k 9
DẠ
Bài tập tự luyện dạng 1
Hãy chọn đáp án đúng (câu 1 đến câu 4) Câu 1: Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ là 2019 thì đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ là Trang 5
A.
1 . 2019
B. 2019 .
C.
1 . 2019
D. 2019 .
A. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k
CI AL
1 Câu 2: Cho đại lượng x , y liên hệ với nhau bởi công thức thì y x phát biểu nào sao đây là đúng? 2 1 . 2
1 B. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k . 2
FI
1 C. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k . 2
OF
D. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k 2 .
Câu 3: Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ 2 và x tỉ lệ thuận với đại lượng z theo hệ số , tỉ lệ 4 . 3
3 B. . 4
C.
3 . 4
ƠN
A.
3 thì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ là 8
4 D. . 3
Câu 4: Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x và khi x 5 thì y 15 . Khi y 6 thì đại lượng x có giá trị là
A. 18 .
C. 18.
NH
B. 2.
Câu 5: Hãy viết công thức tính
D. 2 .
a) Quãng đường đi được S (km) theo thời gian t (giờ) của một vật chuyển động đều với vận tốc 20 km/h. b) Chu vi C của hình vuông theo cạnh có độ dài a cm.
Y
Câu 6: Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi x 2 thì y 12 .
QU
a) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x và biểu diễn y theo x . b) Tính giá trị của y khi x 3 và x 7 . Câu 7: Cho bảng sau 5
3
y
10
6
2
4
6
4
8
12
KÈ M
x
Hai đại lượng x và y được cho ở trên có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không? Vì sao? ĐÁP ÁN
Câu 1: Chọn C.
1 y. 2019
Y
Ta có y 2019 x x Câu 2: Chọn B.
DẠ
1 1 Vì y x nên ta nói đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ hoặc đại lượng x tỉ 2 2
lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ 2 . Câu 3: Chọn B. Trang 6
3 3 z nên y 2. z . 8 8
Vậy đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ
3 4
CI AL
Ta có y 2 x và x
Câu 4: Chọn D. Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x nên ta có y kx
k 0 .
Khi x 5 thì y 15 nên ta có 15 k .5 k 3 . Vậy y 3 x .
FI
Với y 6 thì 3 x 6 x 2 . Câu 5:
b) Chu vi C của hình vuông theo cạnh có độ dài a cm là C 4a .
ƠN
Câu 6:
OF
a) Quãng đường đi được S (km) theo thời gian t (giờ) của một vật chuyển động đều với vận tốc 20 km/h được xác định theo công thức S 20t .
Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x nên ta có công thức y kx
k 0 .
Tại x 2 thì y 12 nên thay vào công thức trên ta có 12 k . 2
NH
Do đó k 6 và có biểu diễn y theo x là y 6 x . Khi x 3 thì y 6. 3 18 . Khi x 7 thì y 6.7 42 . Câu 7:
10 6 8 12 4 5 3 4 6 2
QU
10 6 8 12 4 2; 2 5 3 4 6 2
Y
Xét thương của hai giá trị tương ứng của hai đại lượng y và x . Ta có
KÈ M
Vậy hai đại lượng x và y được cho ở trên không phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Dạng 2: Dựa vào tính chất của tỉ lệ thuận để tìm các đại lượng Phương pháp giải
Bước 1. Sử dụng các tính chất của hai đại lượng tỉ Ví dụ: lệ thuận để biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi x1 , x2
Y
đã biết và các đại lượng cần phải xác định.
DẠ
Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì - Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi
y y1 y2 y3 .... n k . x1 x2 x3 xn
là hai giá trị của x và y1 , y2 là hai giá trị tương ứng của y . Biết rằng x1 4, x2 10 và y1 y2 7 . a) Tính y1 và y2 . b) Biểu diễn y theo x . Hướng dẫn giải Trang 7
- Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. hai giá trị tương ứng của đại lượng kia x y x1 y1 x1 y1 , ,..., m m . x2 y2 x3 y3 xn yn
CI AL
y1 y2 k. x1 x2
Áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta
Bước 2. Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có để tìm các đại lượng.
y1 y2 k. x1 x2
Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau a c ac ac b d bd bd a c e abe ace ace b d f bd f bd f bd f
y1 y2 y1 y2 7 1 x1 x2 x1 x2 4 10 2
Vậy k
(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa).
OF
k
FI
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
1 1 , suy ra y1 4. 2 2 2
ƠN
1 Và y2 10. 5 . 2
1 x. 2
NH
b) Công thức biểu diễn y theo x là y
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi x1 , x2 là hai giá trị của x và y1 , y2 là hai giá trị tương ứng của y . Biết rằng x1 0,5, x2 1,5 và 2 y1 3 y2 10,5 .
Hướng dẫn giải
QU
b) Biểu diễn y theo x .
Y
a) Tính y1 và y2 .
a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau nên áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta y1 y2 k. x1 x2
KÈ M
có
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có k
y1 y2 2 y1 3 y2 2 y1 3 y2 10,5 3 x1 x2 2 x1 3 x2 2 x1 3 x2 2. 0,5 3. 1,5
Vậy k 3
Y
Suy ra y1 0,5.k 0,5. 3 1,5 và y2 1,5. 3 4,5
DẠ
b) Công thức biểu diễn y theo x là y 3 x . Bài tập tự luyện dạng 2
Hãy chọn đáp án đúng trong câu 1 và câu 2
Trang 8
Câu 1. Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x . Biết rằng với hai giá trị x1 , x2 của x có x1 x2 1 thì hai giá trị tương ứng y1 , y2 của y có y1 y2 4 . Hỏi x và y liên hệ với nhau bởi công thức nào? B. y
1 x. 4
1 x. 4
CI AL
A. y 2 x .
C. y 4 x .
D. y
Câu 2: Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x . Biết rằng với hai giá trị x1 , x2 của x có tổng bằng
2 thì hai giá trị tương ứng y1 , y2 của y có tổng bằng 6. Khi đó hai đại lượng x và y liên hệ với nhau
B. y 3 x .
1 D. y x . 3
C. y 3 x .
OF
1 A. y x . 3
FI
bởi công thức nào?
Câu 3: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Khi các giá trị x1 , x2 của x có tổng bằng 2 thì hai giá trị tương ứng y1 , y2 có tổng bằng 14 . Hãy biểu diễn y theo x .
Câu 4 : Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi x1 , x2 là hai giá trị của x và y1 , y2 là hai giá trị
ƠN
tương ứng của y . Biết rằng khi x1 1 và x2 3 thì y1 2 y2 5 . a) Tính y1 và y2 .
c) Tính giá trị của y khi x 5 và x 2 . ĐÁP ÁN Câu 1: Chọn C.
NH
b) Biểu diễn y theo x .
Y
Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x nên ta có y kx
QU
Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận, ta có
k 0
y1 y2 k. x1 x2
x x 1 Theo giả thiết ta có 1 2 y1 y2 4
Vậy y 4 x .
KÈ M
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có k
y1 y2 y1 y2 4 4 x1 x2 x1 x2 1
Câu 2: Chọn B.
Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x nên ta có y kx
DẠ
Y
Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận, ta có
k 0
y1 y2 k. x1 x2
x x 2 Theo giả thiết ta có 1 2 y1 y2 6
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có k
y1 y2 y1 y2 6 3 x1 x2 x1 x2 2
Trang 9
Vậy y 3 x .
Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x nên ta có y kx Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận, ta có
k 0
y1 y2 k. x1 x2
x x 2 Theo giả thiết ta có 1 2 y1 y2 14
FI
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
OF
y1 y2 y1 y2 14 7 nên k 7 y 7 x . x1 x2 x1 x2 2
Câu 4: y1 y2 . x1 x2
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
ƠN
Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận, ta có
y1 y2 2 y2 y1 2 y2 x1 x2 2 x2 x1 2 x2
y1 y2 5 5 nên y x . x1 x2 7 7
25 10 và khi x 2 thì y . 7 7
QU
c) Khi x 5 thì y
y1 y2 5 5 . 1 3 1 2.3 7
Y
b) Ta có hệ số tỉ lệ k
NH
Theo giả thiết, ta có x1 1 và x2 3 thì y1 2 y2 5 . Do đó 5 5 5 15 Suy ra y1 . 1 ; y2 .3 . 7 7 7 7
CI AL
Câu 3:
Dạng 3: Lập bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận Phương pháp giải
KÈ M
Bước 1. Xác định hệ số tỉ lệ k (với k 0 ) bằng tỉ Ví dụ: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận số hai giá trị tương ứng đã biết của hai đại lượng tỉ và bảng sau lệ thuận.
Bước 2. Dùng công thức y kx (với k 0 ) để tìm
DẠ
Y
các giá trị tương ứng của biết x và y .
x
x1 12
x2 3
x3 3
x4 6
y
y1 ?
y2 ?
y3 ?
y4 2
a) Điền số thích hợp vào ô trống. b) Có nhận xét gì về tỉ số giữa hai giá trị tương ứng? Hướng dẫn giải a) x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên y kx . Ta có y4 k .x4 Trang 10
1 2 k .6 k . 3
có
1 y x. 3
Do
đó
1 y1 . 12 4 , 3
CI AL
Ta
1 1 y2 . 3 1 , y3 .3 1 . 3 3
b) Các tỉ số giữa hai giá trị tương ứng đều bằng
1 3
OF
FI
y1 y2 y3 y4 1 (hệ số tỉ lệ). x1 x2 x3 x4 3
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau
2
y
6
4
4
Từ bảng ta có khi x 2 thì y 4 . Mà x và y tỉ lệ thuận với nhau nên y kx . Suy ra 4 k . 2 k 2 .
Y
NH
Hướng dẫn giải
Vậy y 2 x .
1 2
ƠN
4
x
x
4
3
y
8
6
QU
Dựa vào đó, ta điền các kết quả vào ô trống như sau:
2
4
2
1 2
4
1
KÈ M
Ví dụ 2. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. a) Biết rằng hai giá trị x1 , x2 của x có tổng bằng 6 thì hai giá trị tương ứng y1 , y2 của y có tổng bằng 2 . Hỏi hai đại lượng x và y liên hệ với nhau bởi công thức nào? b) Từ đó, hãy điền số thích hợp vào các ô trống trong bảng sau
DẠ
y
2
Y
x
1
0
1 2
1
1 3
6
Hướng dẫn giải a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau nên y kx .
Trang 11
Áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có
y1 y2 k x1 x2
k
CI AL
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có y1 y2 y1 y2 2 1 (1) x1 x2 x1 x2 6 3
1 Suy ra hai đại lượng x và y liên hệ với nhau bởi công thức y x . 3
FI
1 Vậy k . 3
x
2
1
y
2 3
1 3
OF
1 b) Áp dụng công thức y x , ta điền được các kết quả vào ô trống như sau 3 3
1 2
1
0
18
1 3
0
6
ƠN
1 6
1
Chú ý:
NH
Để tìm hệ số tỉ lệ k , đôi khi ta phải sử dụng đến tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Bài tập tự luyện dạng 3 BÀI TẬP CƠ BẢN
x1 18
y
y1 ?
x2 5
x3 2
x4 4
x5 11
y2 ?
y3 ?
y4 2
y5 ?
QU
x
Y
Câu 1: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận và bảng sau
a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ của y đối với x .
KÈ M
b) Điền số thích hợp vào ô trống.
c) Có nhận xét gì về tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của y đối với x . Câu 2: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận và y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là 2. a) Tính các giá trị của x khi y 4 và y 18 . b) Điền các giá trị tương ứng của y vào bảng sau
DẠ
y
6
Y
x
2
1 2
11
3 2
2
BÀI TẬP NÂNG CAO
Trang 12
Câu 3: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Gọi x1 , x2 là hai giá trị của x và y1 , y2 là hai
a) Tính các giá trị của x biết y 2 và y 9 . b) Điền các giá trị tương ứng của hàm số vào bảng sau 8
x
5
1
2
3
y BÀI TẬP CƠ BẢN y4 2 1 . x4 4 2
1 x. 2
ƠN
b) Ta có công thức biểu thị liên hệ giữa hai đại lượng x ; y là y
OF
Câu 1: a) Hệ số tỉ lệ k
6
FI
ĐÁP ÁN
CI AL
giá trị tương ứng của y . Biết rằng khi x1 x2 3 và y1 y2 15 .
Thay lần lượt các giá trị x1 ; x2 ; x3 ; x5 vào công thức, ta được bảng kết quả sau
x1 18
y
y1 9
x2 5
x3 2
x4 4
5 2
y3 1
y4 2
y2
NH
x
c) Tỉ số giữa hai giá trị tương ứng là bằng nhau và bằng hệ số tỉ lệ k
y5
11 2
1 . 2
Y
Câu 2:
x5 11
QU
a) Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k 2 nên ta có công thức y 2 x . Khi y 4 thì x 2 và khi y 18 thì x 9 . b) 6
y
1
KÈ M
x
12
2
1 2
3 2
1
11
1
3
2
22
BÀI TẬP NÂNG CAO Câu 3.
Y
a) Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận, ta có
y1 y2 k. x1 x2
DẠ
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có k
y1 y2 y1 y2 x1 x2 x1 x2
Theo giả thiết, ta có x1 x2 3 thì y1 y2 15 . Do đó k
y1 y2 15 5 . x1 x2 3
Vậy k 5 . Do đó biểu diễn của y theo x là y 5 x . Trang 13
Ta có x
y 2 9 . Khi y 2 thì x ; khi y 9 thì x . 5 5 5
sau x
8
5
1
2
3
y
40
25
5
10
15
6
30
FI
Dạng 4: Một số bài toán đơn giản về đại lượng tỉ lệ thuận
CI AL
b) Thay lần lượt các giá trị của đại lượng x ở trong bảng vào công thức y 5 x , ta được bảng kết quả
Phương pháp giải
OF
Bước 1. Xác định tương quan giữa hai đại lượng tỉ Ví dụ: Cứ 100 kg thóc thì cho 60 kg gạo. Hỏi 2 tấn lệ thuận.
thóc thì cho bao nhiêu ki-lô-gam gạo?
Bước 2. Áp dụng tính chất về tỉ số giữa hai giá trị Hướng dẫn giải
tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận để suy ra Đổi 2 (tấn) = 2000 (kg). giá trị cần tìm.
ƠN
Gọi khối lượng gạo có trong 2 tấn thóc là x (kg). Vì khối lượng gạo và khối lượng thóc là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
NH
Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận ta có x 60 2000.60 x 1200 . 2000 100 100
Y
Vậy lượng gạo có trong 2 tấn thóc là 1200 (kg).
QU
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Giá tiền của 9 quyển vở là bao nhiêu biết giá tiền của 6 quyển vở cùng loại là 210 000 đồng? Hướng dẫn giải
Giả sử giá tiền của 9 quyển vở là x đồng.
KÈ M
Vì giá tiền và số quyển vở là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có x 210000 210000.9 x 315000 9 6 6
Vậy giá tiền của 9 quyển vở là 315 000 đồng. Bài tập tự luyện dạng 4
Y
Câu 1: Biết rằng 14dm3 sắt cân nặng 109,2 kg. Hỏi 7 dm3 sắt cân nặng bao nhiêu?
DẠ
Câu 2: Dùng 8 máy thì tiêu thụ hết 70 lít xăng. Hỏi dùng 13 máy cùng loại thì tiêu thụ hết bao nhiêu lít xăng?
ĐÁP ÁN Câu 1:
Trang 14
Giả sử 7 dm3 sắt nặng x kg. Vì khối lượng và thể tích của sắt tỉ lệ thuận với nhau nên
CI AL
x 109, 2 7.109, 2 x 54, 6 . 7 14 14
Vậy 7 dm3 sắt cân nặng 54,6 kg. Câu 2: Giả sử 13 máy cùng loại thì tiêu thụ hết x lít xăng.
FI
Vì số lít xăng tiêu thụ tỉ lệ thuận với số máy nên
OF
x 70 13.70 x 113, 75 . 13 8 8
Vậy 13 máy cùng loại thì tiêu thụ hết 113,75 lít xăng.
Dạng 5: Chia một số thành những phần tỉ lệ thuận với các số cho trước Phương pháp giải
ƠN
Giả sử chia số S thành các phần x, y, z , t ,... tỉ lệ Ví dụ: Chia số 32 thành hai phần tương ứng tỉ lệ thuận với các số a, b, c, d ,...
thuận với 3 và 5.
Bước 1.
Hướng dẫn giải
NH
- Chia số S thành các phần nên ta có Chia số 32 thành hai phần lần lượt là x và y . Ta có x y 32
S x y z ... ;
- Các phần x, y, z , t ,... tỉ lệ thuận với a, b, c, d ,... Vì x và y tương ứng tỉ lệ thuận với 3 và 5 nên ta nên
QU
x y z t ... a b c d
Y
có
Bước 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,
KÈ M
ta đi tìm x, y, z , t ,...
x y 3 5
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có x y x y 32 4 3 5 35 8
Suy ra x 3.4 12, y 5.4 20 .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Chia số 117 thành ba phần tỉ lệ thuận với a) 3; 4; 6.
b)
1 1 1 ; ; . 3 4 6
Hướng dẫn giải
Y
a) Chia số 117 thành ba phần lần lượt là x, y, z ,
DẠ
Vì tổng ba phần x, y, z là 117 nên ta có x y z 117 . Vì ba phần x, y, z lần lượt tỉ lệ với các số 3; 4; 6 nên ta có
x y z 3 4 6
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có Trang 15
x y z x y z 117 9 3 4 6 3 4 6 13
CI AL
Suy ra x 3.9 27, y 4.9 27, z 6.9 54 . b) Chia số 117 thành ba phần lần lượt là x, y, z . Vì tổng ba phần x, y, z là 117 nên ta có x y z 117 . x y z 1 1 1 ; ; nên ta có 1 1 1 3 4 6 3 4 6
FI
Vì ba phần x, y, z lần lượt tỉ lệ với các số
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
OF
x y z x y z 117 156 1 1 1 1 1 1 3 3 4 6 3 4 6 4
1 1 1 Suy ra x .156 52, y .156 39, z .156 26 . 3 4 6
ƠN
Ví dụ 2. Cho ABC có số đo các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ thuận với các số 1; 2; 3. Tính số đo các góc của ABC . Hướng dẫn giải
NH
Gọi số đo các góc A, B, C của ABC lần lượt là x, y, z độ.
Trong ABC thì tổng ba góc A, B, C bằng 180° nên ta có x y z 180 . Vì số đo các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ thuận với các số 1; 2; 3 nên ta có
x y z . 1 2 3
QU
x y z x y z 180 30 1 2 3 1 2 3 6
Y
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
Suy ra x 30, y 2.30 60, z 3.30 90
60, C 90 . Vậy A 30, B
KÈ M
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1: Hai thanh kim loại nhôm và sắt có thể tích bằng nhau, khối lượng riêng của chúng lần lượt là 2,7g/cm3 và 7,8g/cm3. Hỏi mỗi thanh nặng bao nhiêu gam. Biết rằng tổng khối lượng của chúng là 1050g. Câu 2: Hai thanh kim loại đồng chất có thể tích là 10 cm3 và 20 cm3. Hỏi mỗi thanh nặng bao nhiêu gam, biết thanh thứ nhất nhẹ hơn thanh thứ hai là 100 gam?
Y
Câu 3: Chu vi của một tam giác là 34 m. Tính độ dài các cạnh của tam giác biết rằng chúng tỉ lệ thuận với 4; 5; 8.
DẠ
Câu 4: Hưởng ứng phong trào kế hoạch nhỏ của đội, các chi đội 7A, 7B, 7C đã thu được tổng cộng 120 kg giấy vụn. Biết rằng số giấy vụn thu được của ba chi đội lần lượt tỉ lệ thuận với các số 9, 7, 8. Tính khối lượng giấy vụn mà mỗi chi đội thu được. ĐÁP ÁN Câu 1: Trang 16
Từ điều kiện đề bài, ta có m1 m2 1050 và
m1 m 2 2, 7 7,8
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có m1 m m m2 1050 2 1 100 2, 7 7,8 2, 7 7,8 10,5
m1 270, m2 780 . Câu 2:
OF
Gọi khối lượng của hai thanh kim loại tương ứng là m1 gam và m2 gam
FI
Vậy hai thanh kim loại nhôm và sắt có khối lượng lần lượt là 270 g và 780 g.
CI AL
Gọi khối lượng của hai thanh kim loại nhôm và sắt lần lượt là m1 (g) và m2 (g) với m1 0, m2 0 .
Vì thể tích và khối lượng của thanh kim loại là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau nên
m1 m2 10 20
ƠN
Thanh thứ nhất nhẹ hơn thanh thứ hai là 100 gam nên m2 m1 100 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có m1 m2 m2 m1 100 10 10 20 20 10 10
NH
m1 10.10 100, m2 10.20 200
Vậy hai thanh kim loại có khối lượng lần lượt là 100 g và 200 g. Câu 3:
Y
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là x (m), y (m), z (m). Điều kiện x 0, y 0, z 0 x y z . 4 5 8
QU
Từ điều kiện đề bài, ta có x y z 34 và
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có x y z x y z 34 2 4 5 8 4 5 8 17
KÈ M
x 8, y 10 và z 16 .
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là 8m; 10m và 16m. Câu 4:
Gọi khối lượng giấy vụn thu được của ba chi đội 7A, 7B và 7C lần lượt là m1 (kg), m2 (kg) và m3 (kg). Điều kiện m1 0, m2 0, m3 0
m1 m2 m3 9 7 8
DẠ
Y
Từ điều kiện đề bài, ta có m1 m2 m3 120 và Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có m1 m2 m3 m1 m2 m3 120 5 9 7 8 978 24
m1 45; m2 35; m3 40 . Trang 17
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
FI
CI AL
Vậy khối lượng giấy vụn thu được của ba chi đội 7A, 7B và 7C lần lượt là 45(kg), 35(kg) và 40(kg).
Trang 18
BÀI 2. ĐẠI LƯỢNG TỈ LÊ NGHỊCH. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH Kiến thức
CI AL
Mục tiêu + Nắm được định nghĩa hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và nhận biết được một số ví dụ về đại lượng tỉ lệ nghịch đã biết. + Nắm được tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch. + Nắm được phương pháp giải một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch.
FI
Kĩ năng đại lượng tỉ lệ nghịch.
OF
+ Nhận biết được hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Tìm được hệ số tỉ lệ và công thức biểu diễn + Lập được bảng giá trị tương ứng giữa hai đại lượng tỉ lệ nghịch và ngược lại, xét tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng khi biết bảng giá trị tương ứng của chúng. I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo a hay xy a (a là một hằng số x
NH
công thức y
ƠN
+ Giải được một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch.
khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số
Vận tốc v km/h theo thời gian t giờ của một ô tô
tỉ lệ a .
Y
Chú ý
QU
Khi y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau. Tính chất
chuyển động đều trên quãng đường AB 50 km là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Công thức biểu thị mối liên hệ giữa v và t là v
50 hay vt 50 . t
KÈ M
Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau, thì + Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ).
x1. y1 x2 . y2 ... a
+ Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng
Y
nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại
DẠ
lượng kia.
x1 y2 x1 y3 , , …. x2 y1 x3 y1
Trang 1
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
CI AL
Dạng 1: Xác định tương quan giữa hai đại lượng tỉ lệ nghịch Bài toán 1. Nhận biết hai đại lương tỉ lệ nghịeh với nhau. Xác định hệ số tỉ lệ và công thức biểu diễn đạo lượng tỉ lệ nghịch Phương pháp giải
Ví dụ: Chiều dài x và chiều rộng y của hình chữ a hoặc xy a để xác định x nhật có diện tích bằng a , với a là hằng số cho tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng x và y . trước. Bước 1. Kiểm tra x và y có biểu diễn được dưới Hãy xác định hai đại lượng đã cho có phải là hai dạng xy a hay y
OF
FI
Ta dùng công thức y
a đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau không? Nếu có hãy với a là một hằng số hay x xác định hệ số tỉ lệ và biểu diễn đại lượng này theo
không.
đại lượng kia.
ƠN
Bước 2. Xác định hệ số tỉ lệ và công thức biểu diễn Hướng dẫn giải đại lượng tỉ lệ nghịch. Vì hình chữ nhật có diện tích bằng a , với a là hằng số cho trước nên xy a .
NH
Hệ số tỉ lệ nghịch là a . Công thức biểu diễn y theo x là y
Y
Ví dụ mẫu
a . x
QU
Ví dụ 1. Xác định các đại lượng đã cho trong mỗi câu sau có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau không? Nếu có hãy xác định hệ số tỉ lệ.
a) Vận tốc v và thời gian t khi đi trên cùng quãng đường 12 km. b) Diện tích S và bán kính R của hình tròn.
KÈ M
c) Năng suất lao động N và thời gian thực hiện t để làm xong một lượng công việc a. Hướng dẫn giải
a) v.t 12 nên v và t là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Hệ số tỉ lệ nghịch là 12. b) S .R 2 nên S và R không phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. c) a N .t nên N và t là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Hệ số tỉ lệ nghịch là a .
Y
Ví dụ 2. Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x 6 thì y 15 .
DẠ
a) Tìm hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x . b) Hãy biểu diễn y theo x . c) Tính giá trị của y khi x 3 ; x 45 . Hướng dẫn giải Trang 2
a . x
CI AL
a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có công thức y Theo điều kiện, khi x 6 thì y 15 nên thay vào công thức, ta có 15
a a 15.6 90 . 6
Vậy hệ số tỉ lệ là 90.
Với x 3 thì y
OF
90 x 90 30 . 3
Với x 45 thì y
90 2 . 45
ƠN
c) Ta có y
90 . x
FI
b) Công thức biểu diễn y theo x là y
Ví dụ 3: Chọn đáp án đúng.
Cho biết y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ 2 . Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ nào? 1 . 2
C.
Hướng dẫn giải
2 . x
QU
2 . y
Y
Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ 2 nên ta có y Suy ra xy 2 x
1 D. . 2
NH
B. 2 .
A. 2.
Vậy x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ 2 . Chọn đáp án B.
KÈ M
Ghi nhớ: Khi y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a .
Ví dụ 4. Cho ba đại lượng x , y , z . Xác định mối tương quan giữa các đại lượng x và z , biết x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ a , còn y và z tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ b. A. Đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ k ab .
Y
B. Đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ thuận k ab .
DẠ
C. Đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ k
a . b
D. Đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ thuận k
a . b
Hướng dẫn giải Trang 3
a . y
Vì y và z tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số b nên ta có y
b . z
a a a .z y b b z
Vậy đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ thuận k
OF
Chọn đáp án D.
a . b
FI
Do đó x
CI AL
Vì x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số a nên ta có x
Ghi nhớ:
Nếu x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số a , còn y và z tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số b thì x tỉ lệ a . b
ƠN
thuận với z theo hệ số tỉ lệ thuận k
Bài toán 2: Xét tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng khi biết bảng giá trị tương ứng của chúng
NH
Phương pháp giải
Từ bảng giá trị tương ứng giữa hai đại lượng, ta xét Ví dụ: Theo bảng giá trị dưới đây x và y có phải sự tương quan tỉ lệ nghịch.
là hai đại lượng tỉ lệ nghịch hay không? x
1
2
4
40
60
tương ứng với hai đại lượng.
y
120
60
30
3
2
QU
Bước 2. Rút ra kết luận
Y
Bước 1. Xem xét tất cả các tích của hai giá trị
Hướng dẫn giải
+ Nếu các tích đó bằng nhau thì các đại lượng tỉ lệ Ta có 1.120 2.60 4.30 2.60 120 . nghịch. Vậy x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. + Nếu các tích đó không bằng nhau thì các đại
KÈ M
lượng không tỉ lệ nghịch.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Theo bảng giá trị dưới đây x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch hay không?
y
3
5
6
40
60
50
30
25
4
2,5
Y
x
DẠ
Hướng dẫn giải
Ta có 3.50 150 40.4 160 Vậy x và y không phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Trang 4
Ví dụ 2. Theo bảng giá trị dưới đây x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch hay không? 10
20
25
30
y
10
5
4
10 3
Hướng dẫn giải 10 40.2,5 100 . 3
2,5
FI
Ta có 10.10 20.5 25.4 30.
40
CI AL
x
Vậy x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
OF
Bài tập tự luyện dạng 1 Chọn đáp án đúng từ câu 1 đến câu 5
Câu 1: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi x
1 thì y 4 . Công thức biểu diễn 4
A. y
2 . x
ƠN
của y theo x là 2 C. y . x
B. y 2 x .
D. y 2 x .
Câu 2: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau, khi x 12 thì y 8 . Khi x 3 thì y bằng B. y 32 .
C. y 2 .
NH
A. y 32 .
D. y 2 .
Câu 3: Nếu đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ là 2 và đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ là 6 thì phát biểu nào sau đây là đúng?
Y
1 A. x tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ a . 3
QU
B. x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ a 3 .
C. x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ k 3 . 1 D. x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ k . 3
Câu 4: Nếu đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ là 3 và đại lượng x tỉ lệ thuận với
KÈ M
đại lượng z theo hệ số tỉ lệ là 2 thì phát biểu nào sau đây là đúng? 2 A. y tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ a . 3 2 B. y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ k . 3
Y
3 C. y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ k . 2
DẠ
3 D. y tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ a . 2
Trang 5
đối với x là B.
A. 9.
3 . 75
C. 9 .
D.
3 thì hệ số tỉ lệ của y 5
CI AL
Câu 5: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Biết rằng khi x 15 thì y
3 . 75
Câu 6: Hãy cho biết hai đại lượng x và y trong mỗi trường hợp sau đây có tỉ lệ nghịch với nhau hay không?
FI
a) Một đội dùng x máy cày (cùng năng suất) để cày xong một cánh đồng hết y giờ. b) x là số trang đã đọc còn y là số trang chưa đọc của một quyển sách.
OF
c) x (mét) là chu vi của bánh xe, y là số vòng quay của bánh xe trên đoạn đường xe lăn từ A đến B. Câu 7: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi x 4 thì y 8 . a) Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x . b) Biểu diễn y theo x .
ƠN
c) Tính giá trị của y khi x 8 và x 2 . Câu 8: Cho bảng sau 8
6
2
6
4
y
6
8
24
8
12
NH
x
Hai đại lượng x và y được cho ở trên có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Vì sao? ĐÁP ÁN
Y
Câu 1. Chọn C.
Khi x
QU
Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên y
a với a 0 là hệ số tỉ lệ. x
a 1 2 thì y 4 nên 4 a 2 . Vậy y . 1 2 x 2
KÈ M
Câu 2. Chọn A.
Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên y Khi x 12 thì y 8 nên 8
a 96 a 12.8 96 . Vậy y . 12 x
96 32 . 3
Y
Suy ra khi x 3 thì y
a với a 0 là hệ số tỉ lệ. x
DẠ
Câu 3: Chọn D.
Trang 6
Nếu đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ là 2 và đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại 2 1 (áp dụng kết quả của ví dụ 6 3
4). Câu 4: Chọn D. Vì đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ là 3 nên ta có y
3 . x
CI AL
lượng z theo hệ số tỉ lệ là 6 thì x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ
FI
Vì đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ là 2 nên ta có x 2 z .
OF
3 3 3 Suy ra y 2 x 2 z z
3 Vậy đại lượng y tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ a . 2
Câu 5: Chọn C.
Khi x 15 thì y
ƠN
Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên xy a với a 0 là hệ số tỉ lệ. 3 3 nên a xy 15. 9 . Vậy là hệ số tỉ lệ cần tìm là 9 . 5 5
NH
Câu 6:
a) Vì cùng cày xong một cánh đồng nên số máy cày x và thời gian cày y là hai đại lượng tỉ nghịch với nhau.
và y không tỉ lệ nghịch với nhau.
Y
b) Chỉ có x y là tổng số trang quyển sách (là hằng số) còn x. y không phải hằng số nên hai đại lượng x
QU
c) x. y là chiều dài từ A đến B (là hằng số) nên hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau. Câu 7:
a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có y
a , a0 x
a a 32 . 4
KÈ M
Khi x 4 thì y 8 nên 8 b) Với a 32 ta có y
Câu 8:
32 32 4 ; khi x 2 thì y 16 . 8 2
Y
c) Khi x 8 thì y
32 . x
DẠ
Hai đại lượng x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch vì 8.6 6.8 2.24 6. 8 4. 12 48 . Dạng 2: Dựa vào tính chất của tỉ lệ nghịch để tìm các đại lượng Phương pháp giải Trang 7
Bước 1. Sử dụng các tính chất của hai đại lượng tỉ Ví dụ: quan hệ giữa các đại lượng đã biết và các đại lượng cần phải xác định.
x1 , x2 là hai giá trị của x , gọi y1 , y2 là hai giá trị tương ứng của
Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không
CI AL
lệ nghịch và tính chất của tỉ lệ thức để biểu thị mối Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi
y . Biết
y1 y2 5 . a) Tính y1 , y2 .
x1. y1 x2 . y2 ... a
b) Biểu diễn y theo x .
FI
đổi (bằng hệ số tỉ lệ).
x1 10, x2 15 và
OF
Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng Hướng dẫn giải nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có
x1 y2 x1 y3 , ,… x2 y1 x3 y1
x1 y2 y y 1 2 x2 y1 x2 x1
ƠN
lượng kia.
Bước 2. Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có y1 y2 y1 y2 x2 x1 x2 x1
Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau a c ac ac b d bd bd
NH
để tìm các đại lượng.
QU
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
Y
a c e abe ace ace b d f bd f bd f bd f
y1 y y y 5 1 2 1 2 15 10 15 10 25 5
1 1 Do đó y1 15. 3 và y2 10. 2 . 5 5
b) Ta có a x1. y1 x2 . y2 30 nên ta có biểu diễn
y theo x là y
30 . x
KÈ M
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x1 , x2 là hai giá trị của x , gọi y1 , y2 là hai giá trị tương ứng của y . Biết x1 2 x2 8 và y1 5, y2 15 . a) Tính x1 , x2 .
b) Biểu diễn y theo x .
Y
Hướng dẫn giải
DẠ
a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có x1 y2 x x 1 2 x2 y1 y2 y1
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có Trang 8
8 8 x1 15. 24 và x2 5. 8 5 5
b) Ta có a x1. y1 x2 . y2 120 nên ta có biểu diễn y theo x là y
120 . x
FI
Bài tập tự luyện dạng 2
CI AL
x1 x2 2 x2 x1 2 x2 x x 2x 8 8 1 2 2 y2 y1 2 y1 y2 2 y1 15 5 2.5 15 2.5 5
Câu 1: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x1 , x2 là hai giá trị của x , gọi y1 , y2 là hai giá trị
OF
tương ứng của y . Biết 2 x1 3 y2 22 và y1 5, x2 2 . a) Tính x1 , y 2 . b) Biểu diễn y theo x .
ƠN
c) Tính giá trị của x khi y 6 và y 4 .
Câu 2: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x1 , x2 là hai giá trị của x , gọi y1 , y2 là hai giá trị
a) Tính y1 và y2 . b) Biểu diễn y theo x . c) Tính giá trị của y khi x 5 và x 2 .
NH
tương ứng của y . Biết x1 6 và x2 3 thì y1 2 y2 8 .
Y
Câu 3: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x1 , x2 là hai giá trị của x , gọi y1 , y2 là hai giá trị
a) Tính y1 và x2 .
QU
tương ứng của y . Biết x1 1 và y2 3 thì y1 2 x2 9 .
b) Biểu diễn y theo x . Tính giá trị của x khi y 10 và y 12 .
Câu 1:
KÈ M
ĐÁP ÁN
Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận, ta có
x1 y2 . x2 y1
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
Y
x1 y2 2 x1 3 y2 2 x1 3 y2 x2 y1 2 x2 3 y1 2 x2 3 y1
DẠ
Mà 2 x1 3 y2 22 và y1 5, x2 2 nên
x1 y2 22 2 2 5 2.2 3.5
x1 2. 2 4 và y2 5. 2 10
Vậy x1 4; y2 10 . Trang 9
c) Khi y 6 thì x
20 . x
10 và khi y 4 thì x 5 . 3
Câu 2: x1 y2 x x 1 2 x2 y1 y2 y1
a) Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có
6 3 3 2. 6 15 y2 y1 8 8
Vì x1 6 và x2 3 thì y1 2 y2 8 nên
Vậy y1
ƠN
3.8 8 6.8 16 và y2 . 15 5 15 5 8 16 và y2 . 5 5
8 48 b) Ta có hệ số tỉ lệ a x1 y1 6. . 5 5
Biểu diễn y theo x là y
48 24 và khi x 2 thì y . 25 5
QU
Câu 3:
Y
c) Khi x 5 thì y
48 . 5x
NH
y1
x1 x2 2 x1 x2 2 x1 y2 y1 2 y2 y1 2 y2
OF
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
a) Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có
KÈ M
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có Vì x1 1 và y2 3 thì y1 2 x2 9 nên Vậy x1
FI
b) Biểu diễn y theo x là y
CI AL
b) Ta có hệ số tỉ lệ a x1 y1 4.5 20 .
x1 y2 x2 y1 x1 y2 2 x1 y2 2 x1 x2 y1 2 x2 y1 2 x2
27 1 3 3 2. 1 5 9 x2 và y1 5 x2 y1 9 9 5
9 27 và y1 . 5 5
Y
b) Ta có hệ số tỉ lệ a x1 y1 1.
DẠ
Biểu diễn y theo x là y Khi y 10 thì x
27 27 . 5 5
27 . 5x
27 9 và khi y 12 thì x . 50 20
Trang 10
Dạng 3: Lập bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ nghịch
CI AL
Phương pháp giải Bước 1. Xác định hệ số tỉ lệ a (với a 0 ) bằng Ví dụ: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ tích hai giá trị tương ứng đã biết của hai đại lượng nghịch và bảng sau ,
Bước 2. Dùng công thức y
a (với a 0 ) để tìm x
x
x1 1
x2 2
x3 1
x4 2
x5 4
y
y1 ?
y2 ?
y3 ?
y4 3
y5 ?
a) Xác định hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x ?
FI
tỉ lệ nghịch.
các giá trị tương ứng của x và y .
OF
Chú ý: Để tìm hệ số tỉ lệ a đôi khi ta phải sử dụng b) Điền số thích hợp vào dấu ? c) Có nhận xét gì về các tích đến tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
x1 y1 , x2 y2 , x3 y3, x4 y4 , x5 y5 ? Hướng dẫn giải
ƠN
a) Từ bảng, ta có x4 2, y4 3 Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có
NH
công thức y Do đó y4
a (với a 0 ). x
a a x4 . y4 2.3 6 . x4
b) Công thức biểu diễn của đại y theo đại lượng x là y
6 . x
Do đó y1 6 : 1 6, y2 6 : 2 3 ,
y3 6 :1 6 và y5 6 : 4
3 . 2
Vậy số thích hợp điền vào các dấu ? lần lượt từ trái 3 sang phải là 6; 3;6; . 2
c) Các tích đó đều bằng 6 (hệ số tỉ lệ).
Y
KÈ M
QU
Y
Vậy hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x là a 6 .
DẠ
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau x
3
1, 2
8
2,5 Trang 11
y
1
4
1,5
Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có công thức y Từ bảng, ta có khi x 8 thì y 1,5 a 8.1,5 12 . Vậy y
CI AL
Hướng dẫn giải a a xy x
12 . x
3
1, 2
3
12
y
4
10
4
1
8
2,5
1,5
4,8
OF
x
FI
Từ đó, ta điền được các số thích hợp vào các ô trống như sau
Ví dụ 2. Một hình chữ nhật có diện tích 16 m2. Các kích thước x m và y m của hình chữ nhật có liên hệ gì với nhau? Lập bảng giá trị của y tương ứng với các giá trị sau của x : 8; 10; 16; 20; 25. Hướng dẫn giải
Do đó y
ƠN
Kích thước x và y của hình chữ nhật là hai đại lượng tỉ lệ nghịch vì xy 160 không đổi. 160 . x
x
8
10
y
20
16
NH
Từ đó, lập được bảng các giá trị của y tương ứng với các giá trị của x là
Bài tập tự luyện dạng 3
16
20
25
10
8
6,4
1
2
y
3
QU
6
x
Y
Câu 1: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và bảng sau
1 3
a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ của y đối với x . b) Điền số thích hợp vào ô trống.
KÈ M
Câu 2. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và bảng sau x
x1 6
x2 ?
x3 1
x4 ?
x5 3
y
y1 ?
y2 2
y3 ?
y4 3
y5 ?
a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x biết khi x 2 thì y 3 .
Y
b) Điền số thích hợp vào ô trống. c) Biết x là một đại lượng tỉ lệ thuận với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ là 2020. Hỏi đại lượng y và đại
DẠ
lượng z tỉ lệ như thế nào với nhau? Tính hệ số tỉ lệ đó. ĐÁP ÁN Câu 1:
Trang 12
a) Hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x là k 1. 3 3
x
y
6
3
1
1
1 2
1
3
3
CI AL
b)
2
3 2
a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có y a a 6 2
OF
Tại x 2 thì y 3 nên ta có 3
a , a0 x
FI
Câu 2:
6 Vậy biểu diễn của y theo x là y . x
ƠN
b) x
x1 6
x2 3
x3 1
x4 2
x5 3
y
y1 1
y2 2
y3 6
y4 3
y5 2
Mà y
6 6 3 nên y x 2020 z 1010 z
NH
c) Vì x là một đại lượng tỉ lệ thuận với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ là 2020 nên x 2020 z .
3 . 1010
Y
Do đó y tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ a
Phương pháp giải
QU
Dạng 4: Một số bài toán đơn giản về đại lượng tỉ lệ nghịch Bước 1. Xác định tương quan giữa hai đại lượng tỉ Ví dụ: Một ô tô đi từ A đến B hết 4 giờ 30 phút. lệ nghịch.
Hỏi ô tô đi từ A đến B hết mấy giờ nếu ô tô đi với
KÈ M
Bước 2. Áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ vận tốc gấp đôi vận tốc cũ.
DẠ
Y
nghịch để suy ra giá trị cần tìm.
Hướng dẫn giải Đổi 4 giờ 30 phút = 4,5 giờ. Gọi vận tốc cũ và vận tốc mới của ô tô lần lượt là
v1 km/h và v2 km/h. Thời gian tương ứng của ô tô đi từ A đến B lần lượt là t1 giờ và t2 giờ. Ta có vận tốc và thời gian của ô tô khi chuyển động đều trên một quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó Trang 13
CI AL
v1 t2 (1) v2 t1
Theo giả thiết, ta có v2 2v1
v1 1 (2) v2 2
t2 1 t t2 1 t1 2 2
Mà t1 4,5 nên t2
4,5 2, 24 2
OF
FI
Từ (1) và (2), suy ra
Vậy nếu đi với vận tốc gấp hai lần vận tốc cũ thì ô tô đi hết 2 giờ 15 phút.
ƠN
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho biết 3 máy cày cày xong một cánh đồng hết 30 giờ. Hỏi 5 máy cày như thế cày xong cánh đồng đó hết bao nhiêu giờ (biết rằng các máy cày có cùng năng suất)?
NH
Hướng dẫn giải
Gọi thời gian để 5 máy cày cày xong cánh đồng là x (giờ); x 0 . Vì năng suất của mỗi máy cày là như nhau, nên để cày cùng một cánh đồng, số máy cày tỉ lệ nghịch với số giờ cày xong cánh đồng.
QU
30 5 3.30 x 18 x 3 5
Y
Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có
Vậy 5 máy cày cày xong cánh đồng đó hết 18 giờ. Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Để làm một công việc trong 8 giờ cần 30 công nhân. Nếu có 40 công nhân thì công việc đó hoàn
KÈ M
thành trong mấy giờ? Biết rằng năng suất làm việc của các công nhân là như nhau. Câu 2: Bạn Lan đi từ trường đến nhà với vận tốc 12 km/giờ hết 30 phút. Nếu Lan đi với vận tốc 10 km/giờ thì hết bao nhiêu thời gian? ĐÁP ÁN Câu 1:
Y
Gọi thời gian để hoàn thành công việc của 40 công nhân là t giờ t 0 .
DẠ
Vì khối lượng công việc là không đổi nên số công nhân và thời gian để hoàn thành công việc đó là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có 30.8 40.t t 6 . Vậy thời gian để hoàn thành công việc của 40 công nhân là 6 giờ. Trang 14
Câu 2: Đổi 30 phút = 0,5 giờ.
CI AL
Giả sử Lan đi với vận tốc 10 km/giờ thì hết t giờ. Ta có vận tốc và thời gian Lan đi từ nhà đến trường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có
12.0,5 10.t t 0, 6 (giờ), tương ứng với 36 phút. Vậy nếu Lan đi với vận tốc 10 km/giờ thì hết 36 phút. Dạng 5: Chia một số thành những phần tỉ lệ nghịch với các số cho trước
FI
Phương pháp giải Giả sử chia số M thành các phần x , y , z , ... tỉ lệ Ví dụ:
Chia số 520 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 2;3;4.
Bước 1. Thiết lập mối quan hệ giữa x , y , z ,...
Hướng dẫn giải
- Ta có S x y z ...
Khi chia số 520 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 2; 3;
- Các phần x , y , z , t , ... tỉ lệ nghịch với a , b , c ,
OF
nghịch với các số a , b , c , ...
4 thì ta được mỗi phần lần lượt là x , y , z và
Bước 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
ƠN
x 0, y 0, z 0 .
d ,... nên ta có ax by cz dt
Vì tổng ba số là 520 nên ta có x y z 520 . Vì chia số 520 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 2;3;4 nên ta có 2 x 3 y 4 z .
NH
để tính x , y , z , t , …. Chú ý: Để chia số M thành các phần x , y , z , ...
tỉ lệ nghịch với a , b , c ,...(khác không), ta chỉ cần
chia số M thành các phần tỉ lệ thuận với các số
KÈ M
QU
Y
1 1 1 , , . a b c
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có 2x 3y 4z
x y z x yz 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4
2x 3y 4z
Do
đó
520 480 . 13 12
x 480 : 2 240 ,
y 480 : 3 160 ,
z 480 : 4 120 .
Chia số 520 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 2;3;4 thì ba phần đó sẽ tỉ lệ thuận với
1 1 1 ; ; . 2 3 4
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Ba đội máy san đất làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc
Y
trong 4 ngày, đội thứ hai hoàn thành trong 6 ngày, đội thứ ba hoàn thành trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có
DẠ
bao nhiêu máy? Biết ba đội có tất cả 26 máy và các máy có cùng năng suất. Hướng dẫn giải Gọi số máy của ba đội lần lượt là x , y , z
x , y , z * Trang 15
Ba đội có tất cả 26 máy nên ta có x y z 26 .
CI AL
Vì ba đội làm ba khối lượng công việc như nhau mà các máy có cùng năng suất nên số máy tỉ lệ nghịch với số ngày hoàn thành công việc. Do đó 4 x 6 y 8 z . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có x y z x y z 26 48 . 1 1 1 1 1 1 13 4 6 8 4 6 8 24
FI
4 x 6 y 8z
Suy ra x 48 : 4 12, y 48 : 6 8, z 48 : 8 6 .
OF
Vậy số máy của 3 đội là 12 máy, 8 máy và 6 máy. Hướng tư duy:
Vì ba đội làm ba khối lượng công việc như nhau mà các máy có cùng năng suất nên số máy của mỗi đội sẽ tỉ lệ nghịch với thời gian hoàn thành công việc. Do đó, chia số máy thành 3 phần tỉ lệ nghịch với thời
ƠN
gian hoàn thành công việc của mỗi đội.
Ví dụ 2: Hai ô tô đi từ A đến B. Vận tốc của xe thứ nhất là 60km/h, của xe thứ hai là 40km/h, nên thời
NH
gian đi của xe thứ nhất ít hơn xe thứ hai là 30 phút. Tính quãng đường AB. Hướng dẫn giải Đổi 30 phút = 0,5 giờ.
Gọi thời gian để đi hết quãng đường AB của hai xe ô tô lần lượt là t1 giờ và t2 giờ t1 0, t2 0 .
Y
Vì thời gian đi của xe thứ nhất ít hơn xe thứ hai là 0,5 giờ nên ta có t2 t1 0,5 . nghịch, do đó 60t1 40t2 .
QU
Vì hai xe ô tô cùng chạy trên một quãng đường AB nên vận tốc và thời gian đi là hai đại lượng tỉ lệ
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có t1 t t t 0,5 2 2 1 60 . 1 1 1 1 1 60 40 60 40 120
KÈ M
60t1 40t2
Suy ra t1 60 : 60 1 và t2 60 : 40 1,5 . Chiều dài của quãng đường AB là 60.1 40.1,5 60 (km). Bài tập tự luyện dạng 5
Y
BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠ
Câu 1: Ba công nhân làm chung 860 dụng cụ trong cùng một thời gian. Để tiện được một dụng cụ người thứ nhất cần 5 phút, người thứ hai cần 6 phút, người thứ ba cần 9 phút. Tính số dụng cụ mỗi công nhân tiện được.
Trang 16
Câu 2: Một xe ô tô chạy từ A đến B gồm ba chặng đường dài bằng nhau nhưng chất lượng mặt đường tốt
CI AL
xấu khác nhau. Vận tốc trên mỗi chặng lần lượt là 72 km/h, 60 km/h, 40 km/h. Biết tổng thời gian xe chạy từ A đến B hết 4 giờ. Tính quãng đường AB. BÀI TẬP NÂNG CAO
Câu 3: Ba đội máy cày làm trên ba cánh đồng có diện tích bằng nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc hết 4 ngày, đội thứ hai hết 6 ngày, đội thứ ba hết 8 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy? Biết số máy của
FI
đội thứ nhất nhiều hơn số máy của độ thứ hai là 2 máy và năng suất của các máy là bằng nhau. ĐÁP ÁN
OF
Câu 1:
Gọi số dụng cụ của công nhân thứ nhất, thứ hai, thứ ba tiện được lần lượt là x , y , z Vì tổng số dụng cụ phải tiện là 860 nên ta có x y z 860
x , y , z * .
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có x y z x y z 860 1800 1 1 1 1 1 1 43 5 6 9 5 6 9 90
NH
5x 6 y 9 z
ƠN
Vì số dụng cụ tiện được tỉ lệ nghịch với thời gian để tiện xong một dụng cụ nên 5 x 6 y 9 z .
x 1800 : 5 360; y 1800 : 6 300 và z 1800 : 9 200 . Vậy số dụng cụ tiện được của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 360 dụng cụ, 300 dụng cụ và 200 dụng cụ.
KÈ M
QU
Y
Câu 2:
Gọi thời gian xe đi hết mỗi chặng lần lượt là t1 (h), t2 (h), t3 (h) với t1 0, t2 0, t3 0 . Vì tổng thời gian xe chạy từ A đến B hết 4 giờ nên ta có t1 t2 t3 4 . Vì xe chạy trên ba chặng đường có chiều dài là như nhau nên vận tốc và thời gian đi trên mỗi chặng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, do đó: 72t1 60t2 40t3 .
Y
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
DẠ
72t1 60t2 40t3
t t t t t1 t 4 2 3 1 2 3 72 1 1 1 1 1 1 1 72 60 40 70 60 40 18
Chiều dài của đoạn đường AB là tổng chiều dài của ba chặng nên Trang 17
Vậy chiều dài của đoạn đường AB là 216 km. BÀI TẬP NÂNG CAO Câu 3: Gọi số máy của đội một, đội hai, đội ba lần lượt là x , y và z
x , y , z * .
Theo điều kiện đề bài, ta có 4 x 6 y 8 z và x y 2 x y z x y 2 24 1 1 1 1 1 1 4 6 8 4 6 12
OF
4 x 6 y 8z
FI
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
CI AL
S 72t1 60t2 40t3 72 72 72 216 (km).
x 24 : 4 6; y 24 : 6 4 và z 24 : 8 3 .
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
Vậy số máy của đội một, đội hai, đội ba lần lượt là 6 máy, 4 máy và 3 máy.
Trang 18
BÀI 3. HÀM SỐ Mục tiêu
CI AL
Kiến thức + Hình thành khái niệm hàm số thông qua các ví dụ trong thực tiễn. + Hiểu được khái niệm hàm số. Kĩ năng
+ Nhận biết đại lượng này có phải là hàm số của đại lượng kia hay không trong những cách cho
FI
cụ thể và đơn giản (bảng giá trị, công thức).
OF
+ Tính được giá trị của hàm số tại các giá trị cụ thể của biến số.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm hàm số
Nhiệt độ trung bình trong một ngày mùa hè ở Việt
ƠN
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi Nam t
0
được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được
(giờ)
gọi là hàm số của x và x gọi là biến số.
T(°C) 25
NH
x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định
5
7
12
15
20
26
29
38
37
32
Nhiệt độ T (°C) phụ thuộc vào sự thay đổi của thời
Chú ý
Nếu x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y
được chỉ một giá trị tương ứng của T. Do đó T là
Y
gọi là hàm hằng.
Hàm số có thể được cho bằng bảng, bằng công
QU
thức.
Khi y là hàm số của x ta có thể viết y f x ,
KÈ M
y g x , ...
gian t giờ. Với mỗi giá trị của t ta luôn xác định hàm số của t. Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo công thức y kx . Khi đó ta nói y là hàm số của x .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Các bài toán về khái niệm hàm số Phương pháp giải
Để y là hàm số của x , ta cần kiểm tra các điều Ví dụ: Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x
Y
kiện sau
DẠ
x và y đều nhận các giá trị số;
Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x ;
và y được cho trong bảng sau: x
4
3
2
1
1
2
3
y
16
9
4
1
1
4
9
Với mỗi giá trị của x chỉ có một giá trị tương ứng Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x
của y .
không?
Trang 1
Chú ý:
Hướng dẫn giải
Nếu trong quá trình kiểm tra mà thấy không thỏa Trong bảng trên ta thấy đại lượng y luôn phụ lượng y không phải là hàm số của đại lượng x .
CI AL
mãn một trong các điều kiện trên thì kết luận đại thuộc vào đại lượng x và mỗi giá trị của x đều chỉ có một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x . Ví dụ mẫu
4
3
2
1
1
2
y
4
4
4
4
4
4
Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không? Hướng dẫn giải
OF
x
FI
Ví dụ 1. Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong bảng sau:
3
4
4
4
ƠN
Trong bảng trên, mỗi giá trị của x đều chỉ có một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x . Vì các giá trị của y luôn luôn không đổi và bằng 4 nên y 4 là hàm hằng.
NH
Chú ý: Nếu x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y gọi là hàm hằng.
Ví dụ 2. Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không?. Biết rằng bảng các giá trị tương ứng 3
2
y
9
3
Hướng dẫn giải
1
1
2
Không có
3 4
3
QU
x
Y
của chúng là
Trong bảng trên, đại lượng y không phải là hàm số của đại lượng x vì tại x 1 không xác định được giá trị tương ứng của y .
a) y 3 x .
KÈ M
Ví dụ 3. Trong các công thức sau, công thức nào chứng tỏ y là hàm số của x ? b) y x 2017 .
c) y x .
Hướng dẫn giải
Các công thức chứng tỏ y là hàm số của x là: a) y 3 x và b) y x 2017 .
Y
Công thức ở câu c) y x không là hàm số vì tại x 1 thì ta xác định hai giá trị tương ứng của y là 1 và
DẠ
1 . Chú ý: + y
y khi y 0 . y khi y 0
Trang 2
Bài tập tự luyện dạng 1 Chọn đáp án đúng trong các câu 1 và câu 2 Câu 1: Các giá trị tương ứng của hai đạị lượng x và y được cho trong bảng sau: 20
3
2
1
1
y
11
10
4
1
1
Khi đó phát biểu nào sau đây là đúng?
2
12
FI
x
CI AL
+ y 0 y .
B. x là hàm số của y .
C. y tỉ lệ thuận với x .
D. y tỉ lệ nghịch với x .
OF
A. y là hàm số của x .
Câu 2: Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong bảng sau: 2019
2010
1
0
y
1000
105
3
1
ƠN
x
Khi đó phát biểu nào sau đây là đúng?
1
2020
9
118
B. x tỉ lệ thuận với y .
C. y không là hàm số của x .
D. y tỉ lệ nghịch với x .
NH
A. y là hàm số của x .
Câu 3: Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong bảng sau: x
4
3
2
y
8
4,5
2
1
1
2
3
4
0,5
0,5
2
4,5
8
Y
Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không?
QU
Câu 4: Trong các công thức sau, công thức nào chứng tỏ y là hàm số của x ? a) y x3 1 .
b) 3y x .
d) x 2 y 5 0 .
e) x 2 y 2 1 .
KÈ M
ĐÁP ÁN
c) y 2 2019 x .
Câu 1. Chọn A.
Trong bảng trên, ta thấy đại lượng y luôn phụ thuộc vào đại lượng x và mỗi giá trị của x đều chỉ có một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x . Câu 2. Chọn C.
Y
Trong bảng trên, đại lượng y không phải là hàm số của đại lượng x vì tại x 1 có hai giá trị tương ứng của y là y 3 và y 9 .
DẠ
Câu 3.
Trong bảng trên, ta thấy đại lượng y luôn phụ thuộc vào đại lượng x và mỗi giá trị của x đều chỉ có một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x . Câu 4. Trang 3
Các công thức chứng tỏ y là hàm số của x là: a) y x3 1 ; b) 3y x ; d) x 2 y 5 0 . Công thức ở câu c) y 2 2019 x và e) x 2 y 2 1 không là hàm số vì tồn tại giá trị của x mà ta xác định
CI AL
được hai giá trị tương ứng của y hoặc không xác định được giá trị tương ứng của y . Ví dụ:
c) y 2 2019 x . Tại x 1 , xác định được hai giá trị y tương ứng là y 2019 và y 2019 . e) x 2 y 2 1 : Tại x 0 , ta có: y 2 1 nên y 1 (có hai giá trị của y ). Dạng 2: Tính giá trị của hàm số tại một số giá trị cho trước của biến số
FI
Phương pháp giải Nếu hàm số được cho bằng bảng, ta chỉ việc tìm Ví dụ.
OF
trong bảng giá trị của hàm số tương ứng với giá trị Cho hàm số y 3 x 2 . Lập bảng giá trị tương cho trước của biến số.
3 ứng của y khi x 6; 4; ; 1;0 . 2 Nếu hàm số được cho bằng công thức, ta thay giá
trị đã cho của biến vào công thức và tính giá trị Hướng dẫn giải
Khi x 6 thì y 3. 6 2 20 .
ƠN
tương ứng của hàm số.
Khi x 4 thì y 3. 4 2 14 .
NH
Khi x
13 3 3 thì y 3. 2 . 2 2 2
Khi x 1 thì y 3. 1 2 5 .
KÈ M
QU
Y
Khi x 0 thì y 3.0 2 2 . Do đó, ta lập được bảng giá trị tương ứng của y như sau: x
6
4
y
20
14
3 2
13 2
1
0
5
2
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho hàm số y 3
Y
x
y
2 x 1 . Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau 3
1
4
1
2 6
DẠ
Hướng dẫn giải Ta có y
2 2 2 3 3 x 1 x y 1 x y 1 : y . 3 3 3 2 2
+) Tính các giá trị của y dựa vào công thức y
2 x 1. 3
Trang 4
Khi x 3 thì y
2 2 5 3 1 3 ; khi x 1 thì y 1 1 3 3 3
+) Tính các giá trị của x dựa vào công thức x
CI AL
2 1 2 1 Khi x 1 thì y .1 1 ; khi x 2 thì y .2 1 . 3 3 3 3 3 3 y . 2 2
3 3 9 3 3 21 Khi y 4 thì x . 4 ; khi y 6 thì x .6 2 2 2 2 2 2 3
y
3
9 2
4
1
1
5 3
2
6
1 3
ƠN
Bài tập tự luyện dạng 2
1 3
21 2
OF
x
FI
Do đó ta điền được các số thích hợp vào ô trống cho bởi bảng sau:
Chọn đáp án đúng từ câu 1 đến câu 3
Câu 1: Cho hàm số y 2 x 5 . Tại x 1 thì giá trị của hàm số là B. y 7 .
C. y 7 .
D. y 3 .
NH
A. y 3 .
Câu 2: Cho hàm số y x 2 x 1 . Tại x 2 thì giá trị của hàm số là A. y 3 .
B. y 5 .
C. y 5 .
D. y 3 .
B. 1;1 .
C. 2; 1 .
D. 2; 2 .
QU
A. 2;1 .
Y
Câu 3: Cho hàm số y f x 2 x 2 1 . Tại y 7 thì tập giá trị của biến x là
Câu 4: Cho hàm số y f x
12 . x
a) Tính f 3 , f 1 và f 6 .
KÈ M
b) Điền các giá trị tương ứng của hàm số vào bảng sau: 3
x
y
2
1
4
6
12
Câu 5: Cho hàm số y f x được cho bởi công thức y f x 2 x 3 . a) Tính f 2 , f 0 , f 2 và f 8 .
Y
b) Tính các giá trị tương ứng của x ứng với y 1 , y 0 .
DẠ
ĐÁP ÁN
Câu 1. Chọn B. Xét y 2 x 5 . Tại x 1 , ta có y 2. 1 5 7 . Câu 2. Chọn D. Trang 5
Xét y x 2 x 1 . Tại x 2 , ta có y 2 2 1 3 . 2
Câu 3. Chọn D.
CI AL
Xét y f x 2 x 2 1 . Tại y 7 , ta có 2 x 2 1 7 2 x 2 8 x 2 4 x 2 hoặc x 2 . Vậy x 2; 2 .
a) f 3
12 . x
12 12 12 4 , f 1 12 và f 6 2 . 3 1 6
x
3
2
1
4
y
4
6
12
3
Câu 5: Xét hàm số y f x 2 x 3 .
6
12
2
1
OF
b) Ta tính thêm các giá trị f 2 , f 4 và f 12 và thu được bảng sau:
FI
Câu 4. Xét hàm số y f x
Tại y 0 , ta có 2 x 3 0 x
3 . 2
Dạng 3: Viết công thức xác định hàm số Phương pháp giải
NH
b) Tại y 1 , ta có 2 x 3 1 2 x 2 x 1
ƠN
a) f 2 2. 2 3 7 ; f 0 2.0 3 3 ; f 2 2.2 3 1 ; f 8 2.8 3 13 .
Dựa vào sự tương quan giữa các đại lượng cho bởi Ví dụ: Một hàm số được cho bằng bảng sau:
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
bảng hoặc dữ kiện lời văn để lập công thức.
x
3
y
1
2
2 3
1
1
3
6
1 3
1 3
1
2
a) Tìm f 1 , f 3 , f 6 . b) Hàm số trên có thể được cho bằng công thức nào? Hướng dẫm giải a) Dựa vào bảng, ta có: 1 f 1 , f 3 1 , f 6 2 . 3
2 1 1 1 1 b) Vì 3 33 3 2 1 1 3 lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ
2 1 nên y tỉ 6 3
1 . 3
Vậy hàm số trên có thể được cho bằng công thức
Trang 6
CI AL
1 y x. 3
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình vuông có cạnh x . Viết công thức của hàm số y tương ứng với cạnh x của hình vuông trong các trường hợp: a) y là chu vi của hình vuông;
FI
b) y là diện tích của hình vuông. Hướng dẫn giải
OF
a) Vì chu vi của hình vuông là tổng chiều dài của bốn cạnh mà bốn cạnh của hình vuông có chiều dài là như nhau nên chu vi y của nó được xác định bởi công thức: y 4 x .
b) Vì diện tích hình vuông là bình phương độ dài của cạnh hình vuông nên diện tích y của nó được xác
ƠN
định bởi công thức: y x 2 .
Ví dụ 2. Một hàm số được xác định như sau: y f x
x 3 khi x 0 x 3 khi x 0
NH
a) Tính f 2 , f 1 .
b) Viết gọn công thức hàm số trên. Hướng dẫn giải
a) Ta có 2 0 nên thay x 2 vào f x x 3 ta được f 2 2 3 5 .
x khi x 0 nên công thức hàm số trên được viết gọn là: y x 3 . x khi x 0
QU
b) Vì x
Y
Ta có 1 0 nên thay x 1 vào f x x 3 được f 1 1 3 4 .
Bài tập tự luyện dạng 3
KÈ M
Câu 1: Đại lượng y f x là hàm số của đại lượng x , biết rằng: 4 3 8 1 f 1 4, f 1 4, f 2 2, f 3 , f và f 8 . 3 2 3 2
a) Lập bảng các giá trị tương ứng của x và y . b) Viết công thức xác định hàm số trên.
Y
Câu 2: Bạn An đi xe đạp với vận tốc 12 km/h. Lập hàm số biểu thị quãng đường s mà bạn An đi được trong thời gian t giờ.
DẠ
Câu 3: Một hàm số được cho bằng bảng sau: x
3
2
y
3 2
1
1 4
1 2
1
2
3 2 1 2
3 4
1
Trang 7
a) Tìm f 2 , f 1 và f 2 . ĐÁP ÁN Câu 1: a)
1
1 2
1
3 2
2
y f x
4
8
4
8 3
2
FI
x
CI AL
b) Hàm số trên có thể được cho bằng công thức nào?
3
4 3
Vậy công thức xác định hàm số này là: y f x
OF
1 3 8 4 b) Dựa vào bảng giá trị, ta có: 1 . 4 .8 1.4 . 2.2 3. 4 . Suy ra xy 4 . 2 2 3 3 4 . x
Câu 2.
ƠN
Hàm số biểu thị quãng đường mà bạn An đi được với vận tốc 12 km/h trong thời gian t giờ là s 12t . Câu 3.
1 và f 2 1 . 2
NH
a) Dựa vào bảng, ta có: f 2 1, f 1
3 1 1 3 y 2 1 1 b) Từ bảng giá tri, ta có 4 2 4 . 3 x 3 2 1 1 2 2 2
x 2
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
Vậy hàm số trên có thể cho bằng công thức y f x
Trang 8
BÀI 4. MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ. ĐỒ THỊ HÀM SỐ y ax . Mục tiêu
CI AL
Kiến thức
+ Nhận thấy được sự cần thiết phải dùng một cặp số để xác định vị trí của một điểm trên mặt phẳng. + Hiểu được mặt phẳng tọa độ, cách vẽ hệ trục tọa độ.
+ Nắm được cách xác định tọa độ một điểm trong mặt phẳng tọa độ. Hiểu được trên mặt phẳng
FI
tọa độ, mỗi điểm xác định một cặp số và ngược lại, mỗi cặp số xác định một điểm.
+ Hiểu được khái niệm đồ thị hàm số, nắm được dạng và cách vẽ của đồ thị hàm số y ax
OF
a 0 . Kĩ năng
+ Vẽ được hệ trục tọa độ, đọc được tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ và biểu diễn được
ƠN
điểm trên mặt phẳng tọa độ khi biết tọa độ của nó.
+ Kiểm tra được điểm cho trước có thuộc đồ thị hàm số đã cho hay không? Dựa vào đồ thị hàm số, xác định giá trị của các đại lượng.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
+ Vẽ thành thạo đồ thị của hàm số y ax a 0 .
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Mặt phẳng tọa độ
CI AL
Trên mặt phẳng, hệ trục tọa độ Oxy gồm: + Các trục số Ox , Oy là các trục tọa độ, trong đó Ox là trục hoành (trục nằm ngang), Oy là trục
tung (trục thẳng đứng) và Ox vuông góc với Oy . + Giao điểm O biểu diễn điểm 0 của hai trục gọi
FI
là gốc tọa độ. Mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy
OF
được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy . Hai trục tọa độ chia mặt phẳng thành bốn góc: Góc phần tư thứ I, II, III, IV theo thứ tự ngược Tọa độ của một điểm Trên mặt phẳng toạ độ Oxy : - Mỗi điểm M xác định một cặp số x0 ; y0 .
NH
Ngược lại, mỗi cặp số x0 ; y0 xác định một điểm
ƠN
chiều quay của kim đồng hồ.
M.
hoành độ và y0 là tung độ của điểm M.
Y
- Cặp số x0 ; y0 gọi là toạ độ của điểm M, x0 là
Đồ thị của hàm số y f x
QU
- Điểm M có toạ độ x0 ; y0 . Kí hiệu M x0 ; y0 .
- Đồ thị của hàm số y f x là tập hợp tất cả
KÈ M
các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng
x; y trên mặt phẳng tọa độ.
- Một điểm thuộc đồ thị hàm số y f x thì có tọa độ thỏa mãn đẳng thức y f x . Ngược lại,
Y
một điểm có tọa độ thỏa mãn đẳng thức y f x
DẠ
thì nó thuộc đồ thị hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y ax a 0 Đồ thị của hàm số y ax
a 0
Đồ thị hàm số y 0,5 x đi qua gốc tọa độ O và là một đường điểm A 2;1 .
thẳng đi qua gốc tọa độ. Trang 2
CI AL FI OF ƠN
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Viết tọa độ của các điểm cho trước trên mặt phẳng tọa độ
NH
Phương pháp giải
Cách xác định tọa độ của các điểm cho trước trên Ví dụ: Viết tọa độ điểm M trong hình vẽ: mặt phẳng tọa độ:
Bước 1. Từ điểm đã cho, hạ đường vuông góc với
Y
trục Ox , cắt Ox tại điểm x0 thì x0 là hoành độ
QU
điểm đã cho.
Bước 2. Từ điểm đã cho, kẻ đường vuông góc với trục Oy , cắt Oy tại điểm y0 thì y0 là tung độ điểm đã cho.
DẠ
Y
đã cho.
KÈ M
Bước 3. Khi đó cặp số x0 ; y0 là tọa độ của điểm Từ điểm M hạ đường vuông góc với trục Ox , cắt Ox tại điểm 1 thì 1 là hoành độ điểm M.
Từ điểm M kẻ đường vuông góc với trục Oy , cắt
Oy tại điểm 2 thì 2 là tung độ điểm M. Vậy M 1; 2 .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Viết tọa độ điểm M, N, P, Q và H trong hình vẽ sau Trang 3
CI AL FI OF
Hướng dẫn giải
Tọa độ các điểm là M 3;3 ; N 2; 2 ; P 3;0 ; Q 0;1,5 ; H 2; 2 .
ƠN
Lưu ý: Khi viết tọa độ của một điểm M x0 ; y0 thì hoành độ x0 luôn đứng trước. Ví dụ 2.
a) Viết tọa độ của điểm A nằm trên trục hoành và có hoành độ bằng 1 . c) Viết tọa độ của điểm O là gốc tọa độ. Hướng dẫn giải
NH
b) Viết tọa độ của điểm B nằm trên trục tung và có tung độ bằng 2.
a) Điểm thuộc trục hoành sẽ có tung độ bằng 0 nên điểm A 1;0 .
Y
b) Điểm thuộc trục tung sẽ có hoành độ bằng 0 nên điểm B 0; 2 .
QU
c) Điểm O là gốc tọa độ nên điểm O 0;0 Chú ý:
Một điểm bất kì trên trục hoành luôn có tung độ bằng 0.
KÈ M
Một điểm bất kì trên trục tung luôn có hoành độ bằng 0. Bài tập tự luyện dạng 1
DẠ
Y
Câu 1: Viết tọa độ các điểm A, B, C và D trong hình vẽ:
Trang 4
CI AL FI Câu 2:
OF
Em có nhận xét gì về tọa độ của các cặp điểm A và D, B và C.
a) Viết tọa độ của điểm A nằm trên trục hoành và có hoành độ bằng 1.
ƠN
b) Viết tọa độ của điểm B nằm trên trục tung và có tung độ bằng 3 . Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định tọa độ điểm M biết
a) Điểm M nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ I và có hoành độ bằng 5.
NH
b) Điểm M nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ IV và có tung độ bằng 5 . ĐÁP ÁN
Câu 1. Từ hình vẽ, ta xác định được A 2;3 , B 1;0 ; C 0; 1 ; D 3; 2 . Nhận xét: Với các cặp điểm A và D; B và C: Hoành độ của điểm này là tung độ của điểm kia.
Y
Câu 2.
QU
a) Điểm A nằm trên trục hoành và có hoành độ bằng 1 nên A 1;0 . b) Điểm B nằm trên trục tung và có tung độ bằng -3 nên B 0; 3 . Câu 3.
a) Điểm M nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ I nên điểm M có hoành độ bằng tung độ.
KÈ M
Mà M có hoành độ bằng 5 nên M 5;5 . b) Điểm M nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ IV nên hoành độ và tung độ đối nhau mà M có tung độ bằng 5 nên M 5; 5 .
Dạng 2: Biểu diễn các điểm có tọa độ cho trước trên mặt phẳng tọa độ
Y
Phương pháp giải
DẠ
Biểu diễn điểm M x0 ; y0 trên mặt phẳng tọa độ, Ví dụ. Biểu diễn điểm M 2;3 trên mặt phẳng tọa ta thực hiện các bước sau
độ.
Bước 1. Từ điểm hoành độ x0 , kẻ đường thẳng song song với trục tung. Trang 5
CI AL FI
Bước 2. Từ tung độ y0 , kẻ đường thẳng song song
NH
ƠN
OF
với trục hoành.
Bước 3. Giao điểm của hai đường thẳng vừa dựng
Y
KÈ M
QU
Y
là điểm M phải tìm.
Ví dụ mẫu
DẠ
Ví dụ 1. Vẽ một hệ trục tọa độ Oxy và đánh dấu các điểm A 1; 2 , B 1; 2 , C 0; 2 , D 2;0 . Hướng dẫn giải
Trang 6
CI AL FI OF
Ví dụ 2. Cho điểm M nằm trong góc phần tư thứ II. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Điểm M có hoành độ dương và tung độ dương. B. Điểm M có hoành độ âm và tung độ dương. D. Điểm M có hoành độ dương và tung độ âm. Hướng dẫn giải
ƠN
C. Điểm M có hoành độ âm và tung độ âm.
KÈ M
QU
Y
NH
Xét góc phần tư thứ II, ta thấy mọi điểm thuộc II đều có hoành độ âm và tung độ dương.
Chọn đáp án B.
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa dộ điểm M phải thỏa mãn điều kiện gì để a) Điểm M luôn nằm trên trục hoành. b) Điểm M luôn nằm trên trục tung.
Y
c) Điểm M luôn nằm trên đường phân giác của phần tư thứ I.
DẠ
d) Điểm M luôn nằm trên đường phân giác của phần tư thứ IV. Hướng dẫn giải a) Điểm M luôn nằm trên trục hoành thì tung độ bằng 0. b) Điểm M luôn nằm trên trục tung thì hoành độ bằng 0. Trang 7
c) Điểm M x0 ; y0 luôn nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ I thì hoành độ bằng tung độ
OF
FI
CI AL
y x và x 0; y 0 .
ƠN
d) Điểm M x0 ; y0 luôn nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ IV thì hoành độ và tung độ đối
QU
Y
NH
nhau y x và x 0; y 0 .
KÈ M
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Vẽ một hệ trục tọa độ Oxy và đánh dấu các điểm A 3;3 , B 2; 2 , C 2; 2 , D 1;1 Câu 2: Xác định điều kiện và mối liên hệ giữa hoành độ và tung độ của điểm M x; y khi điểm M nằm trên
a) đường phân giác của góc phần tư thứ II.
Y
b) đường phân giác của góc phần tư thứ III.
DẠ
ĐÁP ÁN Câu 1.
Đánh dấu các điểm A 3;3 , B 2; 2 , C 2; 2 , D 1;1 như hình vẽ bên
Trang 8
CI AL FI OF
Câu 2.
QU
Y
NH
ƠN
a) Khi M x; y nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ II thì x 0, y 0, y x
DẠ
Y
KÈ M
b) Khi M x; y nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ III thì x 0, y 0, y x .
Trang 9
Dạng 3: Vẽ đồ thị hàm số y ax Phương pháp giải
sau
số y 2 x .
Bước 1. Xác định điểm A 1; a khác gốc tọa độ.
Hướng dẫn giải
CI AL
Để vẽ đồ thị hàm số y ax ta thực hiện các bước Ví dụ: Trên hệ trục tọa độ Oxy , vẽ đồ thị của hàm
Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua điểm O 0;0 và Đồ thị hàm số y 2 x đi qua hai điểm O 0;0 và
A 1; 2 .
NH
ƠN
OF
FI
A 1; a .
Ví dụ mẫu a) y x . Hướng dẫn giải
QU
b) y 2 x .
Y
Ví dụ 1. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số c) y 3 x .
a) Đồ thị của hàm số y x đi qua 2 điểm O 0;0 và điểm A 1;1 .
KÈ M
b) Đồ thị của hàm số y 2 x đi qua 2 điểm O 0;0 và điểm B 1; 2 .
DẠ
Y
c) Đồ thị của hàm số y 3 x đi qua 2 điểm O 0;0 và điểm C 1; 3 .
Trang 10
CI AL FI OF
ƠN
1 Ví dụ 2. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số y 3 x và y x . Có nhận xét gì 3
về đồ thị của hai hàm số? Hướng dẫn giải
NH
Đồ thị hàm số y 3 x đi qua hai điểm O 0;0 và điểm A 1;3 .
KÈ M
QU
Y
1 1 Đồ thị hàm số y x đi qua hai điểm O 0;0 và điểm B 1; . 3 3
Y
Bài tập tự luyện dạng 3
DẠ
Câu 1: Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số y x và y x . Có nhận xét gì về đồ thị hai hàm số? Câu 2: Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số a) y 2 x .
b) y
1 x. 2
Trang 11
Có nhận xét gì về đồ thị hai hàm số trên? Câu 1. Đồ thị hàm số y x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm có tọa độ 1;1 .
ƠN
OF
FI
Đồ thị hàm số y x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm có tọa độ 1;1 .
CI AL
ĐÁP ÁN
NH
Đồ thị của hai hàm số trên là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Câu 2.
Đồ thị hàm số y 2 x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm có tọa độ 1; 2 .
điểm có tọa độ 2;1 .
Y
1 x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và 2
QU
Đồ thị hàm số y
Đồ thị của hai hàm số trên là hai đường thẳng vuông góc với nhau.
KÈ M
Dạng 4: Xét xem một điểm có thuộc đồ thị của một hàm số cho trước hay không
Phương pháp giải
Để xét xem một điểm có thuộc đồ thị của hàm số Ví dụ: cho trước hay không ta thay tọa độ điểm cần xét Cho hàm số y 2 x . Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y 2 x ?
Nếu y0 f x0 thì điểm M x0 ; y0 thuộc đồ thị
A 1; 2 ; B 2; 2 .
của hàm số y f x .
Hướng dẫn giải
DẠ
Y
vào công thức y f x .
Nếu y0 f x0 thì điểm M x0 ; y0 không thuộc
Thay tọa độ điểm A 1; 2 vào y 2 x ta được
Trang 12
đồ thị của hàm số y f x .
2 2.1 hay 2 2 (thỏa mãn).
Vậy điểm A 1; 2 thuộc đồ thị hàm số y 2 x .
2 2.2 hay 2 4 (vô lí).
CI AL
Thay tọa độ điểm B 2; 2 vào y 2 x ta được Vậy điểm B 2; 2 không thuộc đồ thị hàm số
FI
y 2x .
Ví dụ. Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y 3 x 1 A ;1 , B 0;1 , C 1;3 , D 0;0 . 3
ƠN
Hướng dẫn giải
OF
Ví dụ mẫu
1 1 +) Với điểm A ;1 ta thay x ; y 1 vào công thức y 3 x ta được 3 3 1 hay 1 1 (vô lí). 3
NH
1 3.
1 Vây điểm A ;1 không thuộc đồ thị hàm số y 3 x . 3
+) Với điểm B 0;1 , ta thay x 0; y 1 vào công thức y 3 x ta được
Y
1 3.0 hay 1 0 (vô lí).
QU
Vậy điểm B 0;1 không thuộc đồ thị hàm số y 3 x . +) Với điểm C 1;3 , ta thay x 1; y 3 vào công thức y 3 x ta được 3 3.1 hay 3 3 (luôn đúng).
KÈ M
Vậy điểm C 1;3 thuộc đồ thị hàm số y 3 x . +) Với điểm D 0;0 , ta thay x 0; y 0 vào công thức y 3 x ta được 0 3.0 hay 0 0 (luôn đúng).
Y
Vậy điểm D 0;0 thuộc đồ thị hàm số y 3 x .
Bài tập tự luyện dạng 4
DẠ
Đáp án đúng từ câu 1 đến câu 3 Câu 1: Điểm nào sau đây thuộc trục hoành? A. 1;1 .
B. 1; 1 .
C. 0;1 .
D. 1;0 .
Câu 2: Điểm nào sau đây thuộc trục tung? Trang 13
A. 1;1 .
B. 1; 1 .
C. 0;1 .
D. 1;0 .
Câu 3: Đồ thị hàm số y 9 x đi qua điểm nào trong các điểm sau? 1 B. B ;9 . 3
1 C. C ;3 . 2
1 D. D ;3 . 3
CI AL
1 A. A ;0 . 2
Câu 4: Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y 3 x ? 1 A ;1 , B 1;1 , C 0; 3 , O 0;0 . 3
FI
ĐÁP ÁN Câu 1. Chọn D.
OF
Điểm 1;0 thuộc trục hoành. Câu 2. Chọn C. Điểm 0;1 thuộc trục tung.
ƠN
Câu 3: Chọn D.
Thay lần lượt tọa độ các điểm ở các đáp án vào công thức y 9 x , ta có
NH
1 9 1 1 +) Điểm A ;0 : 0 9. hay 0 (vô lí). Vậy điểm A ;0 không thuộc đồ thị hàm số y 9 x . 2 2 2 2 1 1 1 +) Điểm B ;9 : 9 9. hay 9 3 (vô lí). Vậy điểm B ;9 không thuộc đồ thị hàm số y 9 x . 3 3 3
Y
1 9 1 1 +) Điểm C ;3 : 3 9. hay 3 (vô lí). Vậy điểm C ;3 không thuộc đồ thị hàm số y 9 x . 2 2 2 2
QU
1 1 1 +) Điểm D ;3 : 3 9. hay 3 3 (đúng). Vậy điểm D ;3 thuộc đồ thị hàm số y 9 x . 2 3 3
Câu 4: Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y 3 x ?
KÈ M
1 A ;1 , B 1;1 , C 0; 3 , O 0;0 . 3
1 1 1 +) Với điểm A ;1 , ta thay x ; y 1 vào công thức y 3 x ta được 1 3. hay 1 1 (luôn 3 3 3
đúng).
1 Vậy điểm A ;1 thuộc đồ thị hàm số y 3 x . 3
Y
+) Với điểm B 1;1 , ta thay x 1; y 1 vào công thức y 3 x ta được 1 3.1 hay 1 3 (vô lí).
DẠ
Vậy điểm B 1;1 không thuộc đồ thị hàm số y 3 x . +) Với điểm C 0; 3 , ta thay x 0; y 3 vào công thức y 3 x ta được 3 3.0 hay 3 0 (vô lí). Vậy điểm C 0; 3 không thuộc đồ thị hàm số y 3 x . Trang 14
+) Với điểm O 0;0 , ta thay x 0; y 0 vào công thức y 3 x ta được 0 3.0 hay 0 0 (luôn đúng).
CI AL
Vậy điểm O 0;0 thuộc đồ thị hàm số y 3 x .
Dạng 5: Xác định hệ số a của đồ thị hàm số y ax biết đồ thị hàm số đi qua điểm M x0 ; y0 Phương pháp giải Thay x x0 ; y y0 vào công thức y ax . Từ đó xác định được a .
FI
Ví dụ mẫu a) A 1; 2 .
b) B 3; 4 .
Hướng dẫn giải Vậy a 2 thì đồ thị hàm số đi qua điểm A 1; 2 .
ƠN
a) Thay x 1; y 2 vào công thức y ax ta được 2 a.1 a 2 .
OF
Ví dụ 1. Xác định hệ số a của hàm số y ax , biết đồ thị của nó đi qua điểm
b) Thay x 3; y 4 vào công thức y ax ta được 4 a. 3 a 4 thì đồ thị hàm số đi qua điểm B 3; 4 . 3
NH
Vậy a
4 . 3
KÈ M
QU
Y
Ví dụ 2. Đồ thị hàm số y f x là đường thẳng OM. Hàm số y f x được cho bởi công thức nào?
Hướng dẫn giải
Y
Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O nên hàm số cho bởi công thức y ax .
DẠ
Đồ thị hàm số đi qua M 2; 2 nên thay x 2; y 2 vào công thức trên, ta có 2 a. 2 a 1 .
Vậy hàm số cho bởi công thức y x . Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1: Xác định hệ số a của hàm số y ax , biết đồ thị của nó đi qua điểm Trang 15
a) A 1; 2 .
b) B 1;3 .
CI AL
Câu 2: Xác định hệ số a của hàm số y 2a 1 x , biết đồ thị của nó đi qua điểm A 1; 2 . Câu 3: Cho hàm số y ax . 1 a) Xác định hệ số a để đồ thị hàm số y ax đi qua điểm M ; 2 . 2
b) Vẽ đồ thị hàm số với a tìm được.
NH
ƠN
OF
FI
Câu 4: Đồ thị hàm số y f x là đường thẳng OB. Hàm số được cho bởi công thức nào?
ĐÁP ÁN
Y
Câu 1:
a) Thay tọa độ điểm x 1; y 2 vào y ax ta được 2 a.1 a 2 .
QU
Vậy a 2 thì đồ thị hàm số đi qua điểm A 1; 2 . b) Thay tọa độ điểm x 1; y 3 vào y ax ta được 3 a. 1 a 3 .
Câu 2:
KÈ M
Vậy a 3 thì đồ thị hàm số đi qua điểm B 1;3 .
Với điểm A 1; 2 , thay x 1; y 2 vào công thức y 2a 1 x ta được 2 2a 1 .1 a
Câu 3:
1 thì đồ thị hàm số đi qua điểm A 1; 2 . 2
Y
Vậy a
1 2
DẠ
1 1 a) Thay tọa độ x ; y 2 vào công thức y ax , ta được 2 a. a 4 2 2
Vậy a 4 .
b) Ta có hàm số y 4 x . Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm có tọa độ 1; 4 như hình vẽ sau Trang 16
CI AL FI OF
Câu 4:
Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O nên hàm số được cho bởi công thức y ax .
ƠN
Đồ thị hàm số đi qua B 2;1 nên thay x 2; y 1 vào công thức trên, ta có 1 a. 2 a 1 Vậy hàm số cho bởi công thức y x . 2
1 . 2
NH
Dạng 6: Xác định các đại lượng và ý nghĩa của chúng dựa vào đồ thị hàm số cho trước Phương pháp giải
Dựa vào đồ thị hàm số cho trước, ta có thể xác định được
- Ý nghĩa các đơn vị biểu diễn trên trục tung và trục hoành.
Y
- Hoành độ khi biết tung độ và ngược lại.
QU
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Hàm số y f x có đồ thị là đoạn thẳng AB như hình vẽ. a) Tìm f 2 ; f 0 ; f 1 .
KÈ M
b) Tìm x , biết f x 3 ; f x 0 ; f x 2 . Hướng dẫn giải
a) Từ đồ thị hàm số, ta có
- Tại x 2 thì y 2 . Vậy f 2 2 . - Tại x 0 thì y 0 . Vậy f 0 0 .
Y
- Tại x 1 thì y 1 . Vậy f 1 1 .
DẠ
b) Từ đồ thị hàm số, ta có - Khi y 3 tương ứng với x 3 . Vậy f x 3 khi x 3 . - Khi y 0 tương ứng với x 0 . Vậy f x 0 khi x 0 . - Khi y 2 tương ứng với x 2 . Vậy f x 2 khi x 2 . Trang 17
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x có đồ thị gồm ba đoạn AB, BC, CD như hình vẽ. Tìm giá trị của x sao cho
CI AL
b) f x 0 .
Hướng dẫn giải
ƠN
OF
FI
a) f x 0 .
a) Từ đồ thị hàm số, ta có: Để f x 0 thì 2 x 1 hoặc 2 x 3 .
NH
b) Từ đồ thị hàm số ta có: Để f x 0 thì 1 x 2 . Bài tập tự luyện dạng 6
Câu 1: Cho đồ thị hàm số y f x là đường gấp khúc AB, BC như hình vẽ sau
b) Tìm x để f x 0 .
QU
b) Tìm x để f x 0 .
Y
a) Tìm f 2 ; f 0 ; f 1 ; f 3 ; f 5 .
Câu 2: Cho đồ thị hàm số y f x là đường gấp khúc AB, BC.
DẠ
Y
KÈ M
Tìm x để f x 0 .
Trang 18
ĐÁP ÁN Câu 1:
CI AL
a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có - Tại x 2 thì y 2 . Vậy f 2 2 . - Tại x 0 thì y 0 . Vậy f 0 0 . - Tại x 1 thì y 1 . Vậy f 1 1 .
FI
- Tại x 3 thì y 0 . Vậy f 3 0 .
b) Dựa vào đồ thị, ta có
f 0 0 tại những điểm trên trục hoành. Suy ra x 3; x 0 . Vậy f 0 0 khi x 3 hoặc x 3 .
ƠN
c) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có
OF
- Tại x 5 thì y 1 . Vậy f 5 1 .
f x 0 tại những điểm nằm bên dưới trục hoành. Suy ra 0 x 3 .
NH
Vậy f x 0 khi 0 x 3 . Câu 2:
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có f x 0 khi 1 x 1 .
Trang 19
CHƯƠNG 3. THỐNG KÊ BẢNG TẦN SỐ CÁC GIÁ TRỊ CỦA DẤU HIỆU Mục tiêu Kiến thức
CI AL
BÀI 1. THU THẬP SỐ LIỆU THỐNG KÊ, TẦN SỐ.
+ Nêu được một số khái niệm về bảng thống kê: dấu hiệu, đơn vị điều tra, giá trị dấu hiệu, tần số. + Nhận biết được ý nghĩa tác dụng của việc thu thập số liệu thống kê.
FI
+ Hiểu được ý nghĩa của bảng tần số. Kĩ năng
OF
+ Lập được bảng số liệu thống kê.
+ Lập được bảng tần số để ghi lại các số liệu thu thập được qua điều tra.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+ Sử dụng được các số liệu trong bảng số liệu thống kê và bảng tần số.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Khi quan tâm đến một vấn đề, người ta quan sát, đo
đạc, ghi chép lại các số liệu về đối tượng quan tâm để lập nên các bảng số liệu thống kê.
Các số liệu thu thập được khi điều tra về một dấu hiệu
nào đó gọi là số liệu thống kê.
Điểm kiểm tra 1 tiết môn Toán gần đây nhất của các bạn trong tổ em được cho trong bảng sau: 5
6
7
8
các chữ in hoa X, Y,…)
9
9
5
7
10
OF
Vấn đề hay hiện tượng mà người điều tra nghiên cứu,
quan tâm tìm hiểu gọi là dấu hiệu (thường được kí hiệu bằng
8
FI
Dấu hiệu, đơn vị điều tra
CI AL
Bảng thống kê số liệu
Dấu hiệu trong ví dụ trên là điểm kiểm
Mỗi đơn vị được quan sát đo đạc là một đơn vị điều
tra.
tra 1 tiết.
ƠN
Đơn vị điều tra trong ví dụ trên là môn Mỗi đơn vị điều tra (số liệu) cho tương ứng một số
liệu là một giá trị của dấu hiệu.
Toán.
Tập hợp các đơn vị điều tra cho tương ứng một dãy
NH
giá trị của dấu hiệu.
Tần số của mỗi giá trị, bảng tần số
Giá trị của dấu hiệu thường được kí hiệu là x và tần số
của giá trị thường được kí hiệu là n.
Y
Số tất cả các giá trị (không nhất thiết khác nhau) của
QU
dấu hiệu bằng số đơn vị điều tra. Kí hiệu là N.
Số lần xuất hiện của một giá trị trong dãy giá trị của
Trong bảng trên, giá trị 5 xuất hiện 2 lần, nên tần số của giá trị 5 là 2.
dấu hiệu là tần số của giá trị đó.
Bảng thống kê các giá trị khác nhau của dãy và các
KÈ M
tần số tương ứng là bảng tần số.
Bảng tần số các giá trị của dấu hiệu Giá trị
Tần số
5
2
6
1
+Vẽ một khung hình chữ nhật gồm hai dòng.
7
2
+Dòng trên ghi các giá trị khác nhau của dấu hiệu theo
8
2
9
2
10
1
Từ bảng số liệu thống kê ban đầu có thể lập được
bảng "tần số" (bảng phân phối thực nghiệm của dấu hiệu).
DẠ
Y
Bảng tần số thường được lập như sau:
thứ tự tăng dần. +Dòng dưới ghi các tần số tương ứng với mỗi giá trị
đó.
Trang 2
Bảng tần số giúp người điều tra dễ dàng đưa ra những
nhận xét chung về sự phân phối các giá trị của dấu hiệu và
CI AL
tiện lợi cho việc tính toán sau này.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Lập bảng số liệu thống kê ban đầu
FI
Phương pháp giải
Ví dụ: Lập bảng số liệu thống kê ban đầu cho cuộc
cuộc điều tra, ta thường phải xác định: dấu hiệu
điều tra về điểm kiểm tra 1 tiết môn Toán gần đây
(các vấn đề hay hiện tượng mà ta quan tâm tìm
nhất của các bạn trong tổ em.
hiểu), đơn vị điều tra, các giá trị của dấu hiệu.
Hướng dẫn giải
OF
Khi lập bảng số liệu thống kê ban đầu cho một
Điểm kiểm tra 1 tiết môn Toán gần đây nhất của
ƠN
các bạn trong tổ em: 6
8
9
9
7
8
5
7
10
NH
5
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Lập bảng số liệu thống kê ban đầu cho cuộc điều tra về điểm kiểm tra học kỳ 2 môn Toán của các bạn trong lớp em.
Y
Hướng dẫn giải 6
QU
Điểm kiểm tra học kỳ 2 môn Toán của các bạn trong lớp em: 7
8
8
7
8
9
9
7
9
5
8
5
6
8
10
10
9
7
10
9
7
8
6
8
8
9
9
7
KÈ M
7
Ví dụ 2. Lập bảng số liệu thống kê ban đầu cho cuộc điều tra về số học sinh nam khối 7 của trường em.
Y
Hướng dẫn giải
DẠ
Số học sinh nam khối 7 của trường em: Số thứ tự
Lớp
Số học sinh nam
1
7A
20
Trang 3
22
3
7C
20
4
7D
24
5
7E
23
6
7F
24
OF
Bài tập tự luyện dạng 1
CI AL
7B
FI
2
Lập bảng số liệu thống kê ban đầu cho cuộc điều tra về điểm kiểm tra 45 phút môn Toán gần đây nhất của lớp em.
Dạng 2. Khai thác các thông tin từ bảng số liệu thống kê ban đầu.
ƠN
Phương pháp giải
Từ bảng số liệu thống kê ban đầu, ta có thể khai thác các thông tin sau: + Dấu hiệu cần tìm hiểu và các giá trị của dấu hiệu đó; + Số các giá trị khác nhau của dấu hiệu;
NH
+ Đơn vị điều tra; + Tần số các giá trị khác nhau của dấu hiệu. Ví dụ mẫu
Y
Ví dụ 1. Lượng mưa trung bình hàng tháng trong một năm của một địa phương được ghi lại trong bảng Tháng Lượng mưa (mm)
1
2
20
25
QU
sau (đo theo mm): 3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
40
45
80
80
110
140
150
45
40
20
KÈ M
a) Dấu hiệu ở đây là gì?
b) Số các giá trị là bao nhiêu? c) Có bao nhiêu giá trị khác nhau của dấu hiệu? d) Viết các giá trị khác nhau của dấu hiệu và tính tần số của chúng. Hướng dẫn giải
Y
a) Dấu hiệu ở đây là: "Lượng mưa trung bình hàng tháng trong một năm của một địa phương".
DẠ
b) Số các giá trị là: 12. c) Dấu hiệu trên có 8 giá trị khác nhau. d)
Giá trị 20 có tần số là 2.
Giá trị 80 có tần số là 2.
Trang 4
Giá trị 110 có tần số là 1.
Giá trị 40 có tần số là 2.
Giá trị 140 có tần số là 1.
Giá trị 45 có tần số là 2.
Giá trị 150 có tần số là 1.
CI AL
Giá trị 25 có tần số là 1.
Ví dụ 2. Môn học ưa thích của các bạn nữ trong lớp 7A được bạn lớp trưởng ghi lại trong bảng sau: Tên học sinh
Môn học ưa thích
1
Minh
Toán
2
Ngân
Anh
3
Hằng
Sử
4
Lan
5
Vân
6
Huệ
FI
Số thứ tự
Lý
OF
Toán Văn
b) Dấu hiệu có tất cả bao nhiêu giá trị ? c) Có bao nhiêu giá trị khác nhau của dấu hiệu?
ƠN
a) Dấu hiệu mà bạn lớp trưởng quan tâm là gì ?
d) Viết các giá trị khác nhau của dấu hiệu và tính tần số của chúng.
NH
Hướng dẫn giải
a) Dấu hiệu mà bạn lớp trưởng quan tâm là: “Môn học ưa thích của các bạn nữ” trong lớp 7A. b) Dấu hiệu có tất cả 6 giá trị. d) Giá trị Toán có tần số là 2.
QU
Giá trị Văn có tần số là 1.
Y
c) Dấu hiệu trên có 5 giá trị khác nhau : Toán, Lý, Anh, Văn, Sử.
Giá trị Anh có tần số là 1. Giá trị Sử có tần số là 1.
Giá trị Lý có tần số là 1.
KÈ M
Bài tập tự luyện dạng 2 Điều tra trình độ văn hóa của 35 công nhân bất kì trong số công nhân của một xí nghiệp xây dựng, người ta nhận thấy:
Có 2 công nhân học hết lớp 7; Có 13 công nhân học hết lớp 9;
Y
Có 10 công nhân học hết lớp 10; Có 7 công nhân học hết lớp 11;
DẠ
Có 3 công nhân học hết lớp 12; Hỏi:
a) Dấu hiệu điều tra ở đây là gì? b) Có bao nhiêu giá trị của dấu hiệu? Trang 5
c) Viết các giá trị khác nhau của dấu hiệu và tính tần số tương ứng của chúng. Phương pháp giải
CI AL
Dạng 3. Lập bảng tần số và rút ra nhận xét Từ bảng số liệu thống kê ban đầu lập bảng "tần số" (theo dạng "ngang" hay "dọc") trong đó nêu rõ các giá trị khác nhau của dấu hiệu và các tần số tương ứng của giá trị đó. Rút ra nhận xét về: + Số các giá trị của dấu hiệu;
FI
+ Số các giá trị khác nhau; + Các giá trị thuộc vào khoảng nào là chủ yếu. Ví dụ mẫu
OF
+ Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giá trị có tần số lớn nhất;
Ví dụ 1. Tuổi nghề (năm) của một số công nhân trong một phân xưởng được ghi lại ở bảng sau đây: 5
2
5
4
5
2
2
5
6
2
7
8
2
a) Dấu hiệu ở đây là gì? b) Lập bảng "tần số".
9
7
5
6
4
8
10
4
2
1
ƠN
2
NH
5
Y
c) Rút ra nhận xét (số các giá trị của dấu hiệu, số các giá trị khác nhau, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Hướng dẫn giải
QU
nhất, giá trị có tần số lớn nhất, các giá trị thuộc vào khoảng nào là chủ yếu). a) Dấu hiệu ở đây là: "Tuổi nghề (năm) của một số công nhân trong một phân xưởng".
DẠ
Y
KÈ M
b) Bảng tần số:
Giá trị (X)
Tần số (n)
1
1
2
7
4
3
5
6
6
2
7
2
8
2
9
1
10
1 N 25
Trang 6
c) Nhận xét: Số các giá trị của dấu hiệu là: 25.
CI AL
Số các giá trị khác nhau là: 9. Tuổi nghề lớn nhất của công nhân là: 10 (năm). Tuổi nghề nhỏ nhất của công nhân là: 1 (năm). Tuổi nghề của công nhân chủ yếu là: 2 – 5 (năm). Giá trị của tần số lớn nhất là 2. 18
14
26
18
24
24
26
21
21
15
28
21
21
24
27
28
a) Dấu hiệu ở đây là gì?
26
21
18
14
24
28
ƠN
b) Lập bảng "tần số".
27
OF
27
FI
Ví dụ 2. Tổng số điểm 3 môn thi của các học sinh trong một phòng thi được cho trong bảng sau:
c) Rút ra nhận xét. Hướng dẫn giải b) Bảng tần số: Giá trị (X) 15
KÈ M
QU
18
Y
14
NH
a) Dấu hiệu ở đây là: "Tổng số điểm 3 môn thi của các học sinh trong một phòng thi". Tần số (n) 2 1 3
21
5
24
4
26
3
27
3
28
3 N 24
c) Nhận xét:
Y
Số các giá trị của dấu hiệu là: 24. Số các giá trị khác nhau là: 8.
DẠ
Tổng số điểm 3 môn thi thấp nhất là: 14. Tổng số điểm 3 môn thi cao nhất là: 28. Tổng số điểm 3 môn thi chủ yếu là: 21 – 24 điểm. Giá trị có tần số lớn nhất là 21. Trang 7
Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1. Số con trong mỗi hộ gia đình ở một khu vực được ghi lại trong bảng sau: 2
1
1
4
3
2
2
1
2
1
4
1
3
4
5
2
1
5
3
2
2
1
2
a) Dấu hiệu quan tâm là gì?
2
1
1
2
0
FI
b) Có bao nhiêu hộ gia đình được điều tra?
2
CI AL
2
c) Lập bảng "tần số" và rút ra nhận xét. sau (đơn vị là nghìn đồng): 2
1
4
2
5
2
3
3
5
2
2
4
1
3
3
4
2
3
10
5
3
2
1
a) Dấu hiệu ở đây là gì? b) Lập bảng "tần số".
4
1
5
2
2
4
2
3
5
3
2
2
ƠN
1
OF
Câu 2. Lớp 7A góp tiền ủng hộ đồng bào bị thiên tai. Số tiền góp của mỗi bạn được thống kê trong bảng
NH
c) Rút ra nhận xét (số các giá trị của dấu hiệu, số các giá trị khác nhau, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
nhất, giá trị có tần số lớn nhất, các giá trị thuộc vào khoảng nào là chủ yếu).
Trang 8
ĐÁP ÁN Điểm kiểm tra 45 phút môn Toán gần đây nhất của lớp em. 7
5
7
9
8
5
3
9
2
7
9
7
5
6
10
9
10
8
9
5
7
8
6
FI
6
CI AL
Dạng 1. Lập bảng số liệu thống kê ban đầu
Dạng 2. Khai thác các thông tin từ bảng số liệu thống kê ban đầu
OF
a) Dấu hiệu điều tra là: Trình độ văn hóa của 35 công nhân bất kì trong số công nhân của một xí nghiệp xây dựng. b) Dấu hiệu trên có tất cả 35 giá trị. c) Giá trị lớp 7 có tần số là 2.
ƠN
Giá trị lớp 9 có tần số là 13. Giá trị lớp 10 có tần số là 10. Giá trị lớp 11 có tần số là 7. Dạng 3. Lập bảng tần số và rút ra nhận xét Câu 1.
NH
Giá trị lớp 12 có tần số là 3.
a) Dấu hiệu quan tâm là: "Số con trong mỗi hộ gia đình ở một khu vực".
Y
b) Có 30 hộ gia đình được điều tra. Giá trị (x)
QU
c) Bảng tần số. Tần số (n)
Nhận xét:
0
1
2
3
4
5
1
9
12
3
3
2
N 30
KÈ M
+ Số các giá trị khác nhau là: 6. + Số con trong một gia đình thấp nhất là: 0 (con). + Số con trong một gia đình cao nhất là: 5 (con). + Số con trong một gia đình chủ yếu là: 1 – 2 (con). Câu 2.
Y
a) Dấu hiệu ở đây là: Số tiền góp của mỗi bạn lớp 7A ủng hộ đồng bào bị thiên tai (đơn vị là nghìn
DẠ
đồng).
b) Bảng tần số: Giá trị (x)
1
2
3
4
5
10
Tần số (n)
5
12
8
5
5
1
N 36
Trang 9
c) Nhận xét: + Số các giá trị của dấu hiệu là: 36.
CI AL
+ Số các giá trị khác nhau là: 6. + Số tiền ủng hộ lớn nhất là: 10 (ngàn đồng). + Số tiền ủng hộ nhỏ nhất là: 1 (ngàn đồng).
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
FI
+ Số tiền ủng hộ chủ yếu là: 2 – 3 (ngàn đồng).
Trang 10
BÀI 2. BIỂU ĐỒ Mục tiêu
CI AL
Kiến thức
+ Trình bày được ý nghĩa minh họa của biểu đồ về giá trị của dấu hiệu và tần số tương ứng. + Nhận biết được các dạng biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt. Kĩ năng
+ Dựng được biểu đồ đoạn thẳng, hình chữ nhật từ bảng tần số và bảng ghi dãy số biến thiên theo
FI
thời gian.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
+ Đọc được các biểu đồ.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Biểu đồ đoạn thẳng
CI AL
Dựng hệ trục tọa độ, trục hoành biểu diễn các giá trị x, trục tung biểu diễn tần số n. Xác định các điểm có tọa độ là cặp số gồm giá trị và tần số của nó (giá trị viết trước, tần số viết sau).
FI
Vẽ đoạn thẳng nối mỗi điểm đó với điểm trên trục hoành có cùng hoành độ.
OF
Dân số Việt Nam từ năm 1999 đến năm 2009 Biểu đồ hình chữ nhật Các đoạn thẳng trong biểu đồ đoạn thẳng được thay
NH
ƠN
bằng hình chữ nhật.
Dân số Việt Nam từ năm 1999 đến năm 2009
Y
Biểu đồ hình quạt
Là một hình tròn được chia thành các hình quạt mà
QU
góc ở tâm của các hình quạt tỉ lệ với tần suất.
(Tần suất f của một giá trị được tính theo công thức f
n trong đó N là số các giá trị, n là tần số của N
KÈ M
một giá trị, f là tần suất của giá trị đó. Người ta Khảo sát môn học được yêu thích của 100 bạn học sinh
DẠ
Y
thường biểu diễn tần suất dưới dạng tỉ số phần trăm).
Trang 2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
FI
Biểu đồ hình quạt
Biểu đồ hình chữ nhật
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Dựng biểu đồ đoạn thẳng, hình chữ nhật
NH
Phương pháp giải
ƠN
OF
Biểu đồ đoạn thẳng
CI AL
BIỂU ĐỒ
Để dựng biểu đồ đoạn thẳng, ta thường thực hiện như sau:
Bước 1. Lập bảng "tần số" từ bảng số liệu thống kê ban đầu hoặc bảng ghi dãy số biến thiên theo thời
Y
gian;
Bước 2. Dựng các trục tọa độ: trục hoành biểu diễn các giá trị x, trục tung biểu diễn tần số n;
QU
Bước 3. Vẽ các điểm có tọa độ đã cho trong bảng;
Bước 4. Vẽ các đoạn thẳng nối mỗi điểm đó với các điểm trên trục hoành có cùng hoành độ. Chú ý: Để vẽ biểu đồ hình chữ nhật, ta thay các đoạn thẳng trong biểu đồ đoạn thẳng bằng hình chữ nhật.
KÈ M
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Dưới đây là bảng thống kê tháng sinh của các bạn trong lớp và các bạn có cùng tháng sinh thì xếp thành một nhóm. Em hãy biểu diễn bằng biểu đồ đoạn thẳng. Tháng
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
4
8
5
2
1
4
1
2
1
2
2
Y
Tần số
1
DẠ
Hướng dẫn giải
Trang 3
CI AL FI OF
ƠN
Ví dụ 2. Năm 2009, dân số của Thành phố Hồ Chí Minh khoảng 7,2 triệu người, thành phố Hà Nội khoảng 6,5 triệu người, tỉnh Thanh Hóa vào khoảng 3,5 triệu người. Hãy vẽ biểu đồ hình chữ nhật thể hiện số liệu trên.
KÈ M
QU
Y
NH
Hướng dẫn giải
Bài tập tự luyện dạng 1
Y
Câu 1. Dựng biểu đồ hình chữ nhật biểu diễn bảng "tần số" sau: 8
9
10
11
12
Tần số (n)
16
8
8
4
4
DẠ
Giá trị (x)
N 40
Câu 2. Để khuyến khích dùng Internet người ta quy định rằng hàng tháng, nếu thời gian truy cập Internet càng nhiều thì mức cước càng rẻ. Bảng sau cho giá cước như thế: Trang 4
0 – 5 giờ
Mức cước
150 đ/phút
Trên 5 giờ
Trên 15 giờ
Trên 30 giờ
đến 15 giờ
đến 30 giờ
đến 50 giờ
130 đ/phút
100 đ/phút
70 đ/phút
Hãy biểu diễn bảng trên bằng biểu đồ hình chữ nhật.
9
8
8
9
7
8
5
7
8
10
9
5
10
9
8
9
9
9
9
10
14
8
7
14
8
5
5
14
ƠN
a) Dấu hiệu ở đây là gì?
9
OF
10
40 đ/phút
FI
Câu 3. Một giáo viên theo dõi thời gian làm bài tập của 30 em học sinh như sau:
Trên 50 giờ
CI AL
Thời gian dùng
b) Lập bảng "tần số". c) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng.
NH
Dạng 2. Đọc biểu đồ đơn giản Phương pháp giải
Khi đọc biểu đồ cần trả lời các câu hỏi sau: + Biểu đồ biểu diễn cái gì?
Y
+ Từng trục biểu diễn cho đại lượng nào?
QU
+ Sự biến thiên của từng giá trị như thế nào? Đối với biểu đồ biểu diễn trực tiếp mối quan hệ giữa giá trị của dấu hiệu và tần số thì tập trung nhận xét về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giá trị có tần số lớn nhất, nhóm giá trị có tần số tương đối lớn,…
KÈ M
Đối với biểu đồ biểu diễn sự thay đổi giá trị theo thời gian thì nhận xét thêm về sự tăng giảm trên toàn bộ thời gian hoặc theo từng giai đoạn.
DẠ
Y
Ví dụ mẫu
Trang 5
ƠN
OF
FI
CI AL
Ví dụ 1. Cho biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn số điểm kiểm tra toán của lớp 7A.
Hướng dẫn giải Bảng "tần số": 0
1
2
3
Tần số (n)
0
0
0
2
Nhận xét:
5
6
7
8
9
10
8
10
12
7
6
4
1
N 50
QU
Lớp 7A có 50 học sinh.
4
Y
Giá trị (x)
NH
Em hãy lập bảng "tần số" và rút ra nhận xét.
Bài kiểm tra có điểm thấp nhất là điểm 3 và có 2 học sinh. Có một học sinh đạt điểm tuyệt đối.
DẠ
Y
KÈ M
Học sinh lớp 7A chủ yếu đạt điểm 6 (12 học sinh).
Trang 6
a) Nhận xét dân số nước ta từ năm 1921 đến 2009.
ƠN
OF
FI
CI AL
Ví dụ 2. Cho biểu đồ sau:
b) Số dân chênh lệch giữa năm cao nhất và năm thấp nhất là bao nhiêu?
NH
Hướng dẫn giải
a) Từ năm 1921 đến 2009, dân số nước ta tăng.
b) Số dân chênh lệch giữa năm cao nhất và năm thấp nhất là: 86 16 70 (triệu dân).
Câu 1. Cho biểu đồ sau:
QU
Y
Bài tập tự luyện dạng 2
a) Nhận xét về số bàn thắng ghi được của cầu thủ
KÈ M
M từ năm 2017 đến năm 2019.
b) Số bàn thắng chênh lệch giữa năm cao nhất và
Y
năm thấp nhất là bao nhiêu?
DẠ
Câu 2. Cho biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn điểm kiểm tra môn thể dục của lớp 7A.
Trang 7
CI AL FI
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
Từ biểu đồ trên, em hãy lập bảng "tần số" và rút ra nhận xét.
Trang 8
ĐÁP ÁN Dạng 1. Dựng biểu đồ đoạn thẳng, hình chữ nhật
ƠN
OF
FI
CI AL
Câu 1. Biểu đồ hình chữ nhật
QU
Y
NH
Câu 2.
Câu 3.
KÈ M
a) Dấu hiệu: "Thời gian làm bài tập của 30 em học sinh". b) Bảng "tần số":
5
7
8
9
10
14
Tần số (n)
4
3
7
9
4
3
N 30
DẠ
Y
Giá trị (x)
Trang 9
OF
FI
CI AL
c)
Dạng 2. Đọc biểu đồ đơn giản
ƠN
Câu 1.
a) Từ năm 2017 đến 2019, số bàn thắng ghi được của M tăng.
b) Số bàn thắng chênh lệch giữa năm cao nhất và năm thấp nhất là: 80 55 25 (bàn thắng). Bảng "tần số": 1
Tần số
3
Nhận xét:
4
6
7
8
6
QU
Lớp 7A có 24 học sinh.
2
Y
Giá trị
NH
Câu 2.
Điểm thấp nhất là 1 và có 3 học sinh được 1 điểm.
DẠ
Y
KÈ M
Điểm cao nhất là 6 và có 6 học sinh được 6 điểm.
Trang 10
BÀI 3. TRUNG BÌNH CỘNG Kiến thức
CI AL
Mục tiêu + Vận dụng được công thức tính trung bình cộng từ bảng đã lập, biết sử dụng số trung bình cộng dấu hiệu cùng loại. + Xác định được mốt của dấu hiệu và hiểu được ý nghĩa của mốt. Kĩ năng
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
+ Tính được số trung bình cộng và mốt thông qua công thức.
FI
để làm đại diện cho một dấu hiệu trong một số trường hợp và để so sánh khi tìm hiểu những
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Điểm số của 8 thí sinh
Dựa vào bảng "tần số" ta có thể tính được số trung
Giá trị 8
bình cộng của một số (kí hiệu X ) như sau: +Nhân từng giá trị với tần số tương ứng;
9
+Cộng tất cả các tích vừa tìm được;
10
+Chia tổng đó cho số các giá trị (tổng các tần số).
3 2 3
8.3 9.2 10.3 9 8
X
x1n1 x2 n2 x3 n3 ... xk nk , N
trong đó: x1 , x2 , x3 ,..., xk là k giá trị khác nhau của dấu hiệu X; n1 , n2 , n3 ,..., n k là tần số tương ứng, N là số các giá trị.
Số trung bình cộng 9 đại diện cho dấu
ƠN
Ý nghĩa của số trung bình cộng
OF
FI
Công thức tính: X
Tần số
CI AL
Số trung bình cộng của dấu hiệu
hiệu.
hiệu, đặc biệt là khi muốn so sánh các dấu hiệu cùng loại.
Điểm số trung bình của các thí sinh là 9
Chú ý:
điểm.
NH
Ý nghĩa: Số trung bình cộng dùng làm "đại diện" cho dấu
Khi các giá trị của dấu hiệu có khoảng cách chênh
lệch rất lớn đối với nhau thì không nên lấy số trung bình cộng làm "đại diện" cho dấu hiệu đó.
Số trung bình cộng có thể không thuộc dãy giá trị
dấu hiệu.
Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong
bảng "tần số". Kí hiệu M o .
Trong bảng trên, mốt của dấu hiệu là 8 và 10.
Có những dấu hiệu có hai mốt hoặc nhiều hơn.
KÈ M
QU
Mốt của dấu hiệu
Y
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Tính số trung bình cộng của dấu hiệu Phương pháp giải
DẠ
Y
Để tính số trung bình cộng của dấu hiệu ta làm như sau:
Bước 1. Lập bảng tần số và tính tích (x.n)
Ví dụ: Số giờ tự học của 10 học sinh của một tổ được ghi lại như sau: 3
2
4
2
2
3
2
3
2,5
1,5
Hãy tính trung bình cộng. Hướng dẫn giải Bảng "tần số": Trang 2
Tần số (n)
Tích (x.n)
1,5
1
1,5
2
4
8
1
2,5
3
9
1
4
N 10
Tổng: 25
CI AL
Số giờ (x)
2,5 3 4
FI
Bước 2. Áp dụng công thức sau để tính:
Số trung bình cộng là:
x n x n x n ... xk nk X 1 1 2 2 3 3 N
Lưu ý: Không nên dùng số trung bình cộng làm "đại diện" cho dấu hiệu khi giá trị của dấu hiệu có khoảng cách chênh lệch lớn.
ƠN
Ví dụ mẫu
25 2,5 10
OF
X
Ví dụ 1. Điều tra số con của 20 gia đình ở một khu vực dân số người ta có bảng số liệu thống kê ban đầu sau đây: 4
5
3
2
2
3
2
4
5
2
2
1
2
5
2
1
3
2
NH
2
3
a) Hãy tính số trung bình cộng của dấu hiệu.
b) Nếu mỗi giá trị của dấu hiệu đều tăng thêm 2 đơn vị thì số trung bình cộng của dấu hiệu tăng thêm
Y
bao nhiêu đơn vị?
QU
c) Nếu mỗi giá trị của dấu hiệu giảm đi 1 đơn vị thì số trung bình cộng thay đổi như thế nào? Hướng dẫn giải
a) Để tính số trung bình cộng ta viết bảng "tần số" theo cột dọc như sau: Tần số (n)
Tích (x.n)
1
2
2
2
9
18
3
4
12
4
2
8
5
3
15
N 20
Tổng: 55
Y
KÈ M
Số con (x)
Số trung bình cộng là X
55 2, 75 20
DẠ
b) Khi mỗi giá trị của dấu hiệu đều tăng thêm 2 đơn vị thì X
55 2.20 55 2 2, 75 2 X 2 . 20 20
Vậy số trung bình cộng của dấu hiệu tăng thêm 2 đơn vị.
c) Khi mỗi giá trị của dấu hiệu đều giảm đi 1 đơn vị thì Trang 3
X
55 1.20 55 1 2, 75 1 X 1 . 20 20
CI AL
Vậy số trung bình cộng của dấu hiệu giảm đi 6 đơn vị. Ví dụ 2. Để nghiên cứu tuổi thọ của một quạt điện, người ta bật tùy ý 30 quạt và cho quạt chạy liên tục cho đến lúc chúng tự tắt. Tuổi thọ của các quạt điện (tính theo ngày) được ghi lại ở bảng sau: 30
35
40
45
50
Số quạt điện (n)
4
6
12
8
10
a) Dấu hiệu ở đây là gì và số các giá trị là bao nhiêu? b) Tính số trung bình cộng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
OF
Hướng dẫn giải
N 40
FI
Tuổi thọ (x)
a) Dấu hiệu cần tìm là: Tuổi thọ của mỗi quạt điện (tính theo ngày). Số các giá trị là 40. b) Số trung bình cộng của dấu hiệu là: 30.4 35.6 40.12 45.8 50.10 1670 41, 75 . 40 40
ƠN
X
Bài tập tự luyện dạng 1
Tổ 1
6
6
15
Tổ 2
3
6
6
NH
Câu 1. Số giờ làm thêm của các công nhân trong tổ 1 và tổ 2 trong 1 tháng như sau (mỗi tổ có 8 công nhân): 18
20
20
25
30
10
10
15
20
30
Y
Tính số giờ làm thêm trung bình của các công nhân mỗi tổ.
2
1
3
5
2
4
2
3
4
2
5
2
3
4
1
5
2
2
4
1
3
3
2
4
2
3
10
5
3
2
1
5
3
2
2
KÈ M
1
QU
Câu 2. Lớp 7A góp tiền ủng hộ đồng bào bị thiên tai. Số tiền góp của mỗi bạn được thống kê trong bảng (đơn vị là nghìn đồng):
a) Dấu hiệu ở đây là gì?
b) Lập bảng "tần số", tính số trung bình cộng và rút ra nhận xét.
DẠ
Y
Câu 3. Số tuổi nghỉ hưu của 100 công nhân ở một công ty được ghi lại trong bảng sau: Số tuổi nghề (x)
Tần số
44
25
45
30
…
…
48
15
X 45,5
Do sơ ý người thống kê đã xóa mất một phần bảng. Hãy tìm cách khôi phục phần bảng đó.
Trang 4
Câu 4. Phúc đã có một số điểm kiểm tra Toán và tính rằng nếu bài cuối cùng sắp tới được 10 điểm thì điểm trung bình là 9. Nhưng nếu bài đó chỉ được 7,5 thì điểm trung bình là 8,5. Hỏi tất cả có bao nhiêu bài kiểm tra (kể cả bài cuối cùng nói trên)?
CI AL
Dạng 2. Mốt của dấu hiệu Phương pháp giải Để tìm mốt của dấu hiệu ta dựa vào bảng "tần số". Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng.
FI
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giá thành một sản phẩm (tính theo nghìn đồng) của 30 cơ sở sản xuất loại sản phẩm đó được cho như sau: 25
25
30
20
25
35
30
25
30
25
25
25
20
25
25
30
35
20
30
25
20
Hướng dẫn giải Giá thành (x)
15
20
Tần số (n)
3
NH
a) Bảng "tần số": 5
b) Mốt của dấu hiệu: M o 25 .
25
35
30
15
25
15
35
25
ƠN
a) Lập bảng "tần số". b) Tìm mốt của dấu hiệu.
20
OF
15
12
30 6
35
N 30
4
Ví dụ 2. Cho bảng phân phối thực nghiệm của dấu hiệu X ở bảng sau: 10
17
20
25
30
35
40
Tần số (n)
50
…
19
17
11
13
5
N 140
QU
Y
Giá trị (x)
a) Hãy tìm tần số giá trị 17 của dấu hiệu X rồi điền kết quả tìm được vào chỗ trống (…). b) Tìm mốt của dấu hiệu. Hướng dẫn giải
KÈ M
a) Tần số giá trị 17 là: 140 50 19 17 11 13 5 25 . Vậy số cần điền là 25.
b) Mốt của dấu hiệu: M o 10 . Bài tập tự luyện dạng 2
DẠ
Y
Câu 1. Thời gian giải một bài toán (tính theo phút) của học sinh lớp 7 được ghi lại ở bảng sau: 3
4
8
8
10
5
8
3
7
8
8
10
8
7
4
10
Trang 5
8
9
5
9
10
5
8
CI AL
10
a) Dấu hiệu ở đây là gì? Tính số trung bình cộng của dấu hiệu (làm tròn đến số thập phân thứ hai). b) Giá trị lớn nhất là bao nhiêu? Tần số của nó là mấy? c) Giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? Tần số của nó là mấy? d) Tìm mốt của dấu hiệu.
8
3
7
6
5
4
6
6
5
4
3
7
5
10
9
8
10
9
4
3
10
5
5
8
3
4
8
a) Dấu hiệu ở đây là gì? b) Lập bảng "tần số" và tính số trung bình cộng.
5
6
8
9
6
5
7
2
6
7
9
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
c) Tìm mốt của dấu hiệu.
2
ƠN
8
OF
liệu như sau:
FI
Câu 2. Tìm hiểu về tuổi nghề (tính theo năm) của một số công nhân trong một phân xưởng, có bảng số
Trang 6
ĐÁP ÁN Dạng 3. Tính số trung bình cộng của dấu hiệu
CI AL
Câu 1. Lập bảng "tần số" theo cột dọc: Các tích (x.n)
6
2
12
15
1
15
18
1
18
20
2
40
25
1
25
30
1
30
N 8
Tổng: 140
Số giờ (x)
Tần số (n)
Các tích (x.n)
3
1
3
6
2
10
2
15
1
20
1
Câu 2.
Y
20 15 20
1
30
N 8
Tổng: 100
QU
30
140 17,5 8 .
12
NH
Tổ 2:
X
OF
Tần số (n)
ƠN
Số giờ (x)
FI
Tổ 1:
X
100 12,5 8 .
a) Dấu hiệu: "Số tiền góp ủng hộ đồng bào thiên tai của mỗi bạn lớp 7A (đơn vị nghìn đồng)". b) Bảng "tần số":
Tần số (n)
Các tích (x.n)
1
5
5
2
12
24
3
8
24
4
5
20
5
5
25
10
1
10
N 36
Tổng: 108
DẠ
Y
KÈ M
Số tiền (x)
X
108 3. 36
c) Nhận xét: Có 36 bạn ủng hộ đồng bào thiên tai. Trang 7
Số tiền ủng hộ ít nhất là một nghìn đồng và có 5 bạn. Các bạn ủng hộ chủ yếu là hai nghìn đồng, có 12 bạn. Trung bình mỗi bạn trong lớp ủng hộ 3 nghìn đồng. Câu 3. Vì cuộc thi tìm hiểu 100 công nhân của công ty nên chỗ trống của cột tần số là:
100 25 30 15 30 . 44.25 45.30 a.30 48.15 45,5 a 46 . 100
Câu 4. Điểm chênh lệch của bài kiểm tra cuối cùng là: 10 7,5 2,5 .
ƠN
Điểm trung bình chênh lệch là: 9 8,5 0,5 .
OF
FI
Gọi số tuổi nghề còn thiếu là a, áp dụng công thức tính số trung bình cộng ta có:
CI AL
Số tiền ủng hộ nhiều nhất là mười nghìn đồng và có 1 bạn.
Số bài kiểm tra là: 2,5 : 0,5 5 . Dạng 2. Mốt của dấu hiệu
NH
Câu 1.
a) Dấu hiệu: "Thời gian giải một bài toán (tính theo phút) của học sinh lớp 7". Bảng "tần số":
Tần số (n)
Các tích (x.n)
3
2
6
2
8
Y
Thời gian (x)
5 7 8
QU
4
KÈ M
9 10
3
15
2
14
8
64
2
18
5
50
N 24
Tổng: 175
X
175 7, 29 24 .
b) Giá trị lớn nhất là 10, tần số của nó là 5. c) Giá trị nhỏ nhất là 3, tần số của nó là 2.
DẠ
Câu 2.
Y
d) Mốt của dấu hiệu là: M o 8 . a) Dấu hiệu: "Tuổi nghề (tính theo năm) của một số công nhân trong một phân xưởng". b) Bảng "tần số":
Trang 8
Các tích (x.n)
2
2
4
3
4
12
4
4
16
5
7
35
6
6
36
X
7
4
28
.
8
6
48
9
4
36
10
3
30
N 40
Tổng: 245
245 6,125 40
OF
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
c) Mốt của dấu hiệu: M o 5 .
CI AL
Tần số (n)
FI
Tuổi nghề (x)
Trang 9
CHƯƠNG 4. BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BÀI 1. KHÁI NIỆM BIỂU THỨC ĐẠI SỐ.
CI AL
GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Mục tiêu Kiến thức + Trình bày được cách tính giá trị của một biểu thức đại số. Kĩ năng
OF
+ Viết được biểu thức đại số theo yêu cầu.
FI
+ Trình bày được khái niệm biểu thức đại số.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+ Tính được giá trị của một biểu thức đại số và trình bày được lời giải.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Biểu thức đại số biểu thị trung bình cộng của
Các biểu thức mà trong đó ngoài các số, các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy
hai số a và b là
ab . 2
CI AL
Khái niệm về biểu thức đại số
thừa, còn có cả các chữ (đại diện cho các số).
Biểu thức đại số biểu thị lập phương của tổng
Người ta gọi những biểu thức như vậy là biểu thức
hai số a và b là: a b . 3
Giá trị của biểu thức đại số
FI
đại số. Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay các giá trị cho trước đó vào biểu thức rồi thực hiện các
y 2.
OF
Tính giá trị biểu thức A x 2 y tại x 1 và
Thay x 1 , y 2 vào biểu thức A ta có: A 1 2.2 5 .
ƠN
phép tính. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Viết các biểu thức đại số theo cách diễn đạt cho trước
NH
Phương pháp giải
Bước 1. Đọc đề bài để tìm các ẩn và phép tính có Viết biểu thức đại số biểu thị tổng của a và b. Ẩn: a và b.
thể có.
Biểu thức đại số biểu thị tổng của a và b là: a b .
QU
Ví dụ mẫu
Y
Bước 2. Viết các biểu thức chứa ẩn tương ứng.
Ví dụ 1. Viết các biểu thức đại số theo các diễn đạt cho trước: a) Hiệu của a và 2b; Hướng dẫn giải
b) Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp.
KÈ M
a) Biểu thức đại số cần tìm là: a 2b . b) Biểu thức đại số cần tìm là: n n 1 2n 1 n .
Chú ý: Kí hiệu của hai số tự nhiên liên tiếp là n và n 1 với n .
Ví dụ 2. Hình chữ nhật lần lượt có độ lớn hai cạnh chiều rộng là a cm và chiều dài là b cm. Viết biểu thức tính độ dài đường chéo hình chữ nhật trên.
Y
Hướng dẫn giải
DẠ
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông, ta có độ lớn đường chéo hình chữ nhật là: a 2 b 2 cm .
Ví dụ 3. Một quả bưởi Năm roi giá 60 000 đồng, một kilôgam cam Canh giá 50 000 đồng. Viết biểu thức đại số cho số tiền ứng với x quả bưởi Năm roi và y kilôgam cam. Trang 2
Hướng dẫn giải
Biểu thức đại số cho số tiền ứng với x quả bưởi năm roi và y cân cam là:
60 000 x 50 000 y (đồng).
Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Viết biểu thức đại số biểu diễn diện tích hình vuông có cạnh a cm.
FI
y kilôgam cam có giá là 50 000 y (đồng).
CI AL
x quả bưởi có giá là 60 000x (đồng).
Câu 2: Viết biểu thức đại số biểu thị chu vi hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là a và b.
OF
Câu 3: Bạn Tâm mua 5 quyển vở giá x đồng một quyển và 4 cái bút giá y đồng một cái. Viết biểu thức biểu thị số tiền Tâm phải trả. Dạng 2: Tính giá trị biểu thức đại số
ƠN
Phương pháp giải
Tính giá trị của biểu thức A 2 x 1 tại x 1 .
Thay các giá trị của ẩn vào rồi tính toán, rút gọn.
Thay x 1 vào biểu thức, ta có:
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
b) 2 y 3 tại y 2 .
Hướng dẫn giải
QU
a) Thay x 3 vào biểu thức, ta có:
Y
a) 2 x 2 3 x 7 tại x 3 ;
NH
A 2.1 1 3 .
2 x 2 3 x 7 2.32 3.3 7 16 . b) Thay y 2 vào biểu thức, ta có:
KÈ M
2 y 3 2.2 3 7 . Ví dụ 2. Tính giá trị của các biểu thức: a) x 2 y 5 tại x 2; y 1 .
b) 15xy 2 z tại x 2; y 2; z 3 . Hướng dẫn giải
DẠ
Y
a) Thay x 2; y 1 vào biểu thức, ta có:
x 2 y 5 (2) 2 .1 5 1 .
b) Thay x 2 ; y 2 ; z 3 vào biểu thức, ta có:
15 xy 2 z 15.2(2) 2 .3 30.4.3 360 .
Trang 3
Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Tính giá trị của biểu thức: P 2 x 3 y 4 z tại x 1; y 2; z 3 .
CI AL
1 Câu 2: Tính các giá trị của biểu thức: P 3 x 2 9 tại x 1 và x . 2
Câu 3: Tính giá trị của biểu thức: B 2 x 2 y tại x 1 và y 1 . Dạng 3: Tính giá trị biểu thức khi biết mối quan hệ giữa các biến
FI
Phương pháp giải
Ví dụ: Một hình chữ nhật có chiều rộng x cm, chiều
OF
dài lớn hơn chiều rộng 2 cm .
Tính diện tích hình chữ nhật khi x 2 cm . Hướng dẫn giải
Chiều rộng là x (cm).
Bước 2. Viết biểu thức đại số thể hiện mối quan
Chiều dài hình chữ nhật là: x 2 (cm) .
hệ giữa các biến.
Diện tích hình chữ nhật là: x x 2 (cm).
Bước 3. Thay giá trị của các biến vào biểu thức
Thay x 2 vào biểu thức ta có:
NH
đại số rồi tính toán ra kết quả.
ƠN
Bước 1. Đọc kĩ bài viết và xác định các biến.
x x 2 2 2 2 8 cm 2 .
Y
Vậy diện tích hình chữ nhật là 8cm 2 (đơn vị diện tích)
Ví dụ mẫu
QU
Ví dụ 1. Hình vuông có độ lớn một cạnh là x cm, tam giác vuông cân có độ lớn cạnh góc vuông là y cm. Tính tổng diện tích của hình vuông và của tam giác vuông cân khi x 2 và y 4 . Hướng dẫn giải
KÈ M
Diện tích của hình vuông cạnh là x cm là: x 2 cm 2 . Diện tích của tam giác vuông cân có độ lớn cạnh góc vuông là y cm là: Tổng diện tích của hình vuông và của tam giác vuông cân là x 2
1 2 y cm 2 . 2
1 2 y . 2
DẠ
Y
Thay x 2 và y 4 vào biểu thức, ta có: x2
1 2 1 y 22 42 2 2 1 4 16 2
12 .
Vậy tổng diện tích của hình vuông và của tam giác vuông cân là 12 cm 2 . Trang 4
Ví dụ 2. Trong một ngày hè, buổi sáng nhiệt độ là xC , buổi trưa tăng thêm yC so với buổi sáng. Buổi chiều lúc mặt trời lặn nhiệt độ lại giảm đi zC so với ban trưa. Viết biểu thức đại số biểu thị nhiệt độ lúc
CI AL
mặt trời lặn theo x, y, z và tính giá trị biểu thức đại số khi x 30C; y 6C; z 10C . Hướng dẫn giải
Biểu thức đại số biểu thị nhiệt độ lúc mặt trời lặn theo x, y, z là: x y z C . Giá trị biểu thức đại số khi x 30C; y 6C; z 10C là:
FI
x y z 30 6 10 26 C . Bài tập tự luyện dạng 3
OF
Câu 1. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài là a (m), chiều rộng ngắn hơn chiều dài 8m , người ta đào một cái ao hình vuông có cạnh bằng b(m)(b a 8). Tính diện tích còn lại của khu vườn biết
a 50m; b 10m .
ƠN
Câu 2. Tính giá trị của các biểu thức đại số:
a) M x 2 ( x y ) y 2 ( x y ) x 2 y 2 2( x y ) 3 biết x y 1 0 . b) M x 4 xy 3 x3 y y 4 1 biết x y 0 .
NH
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Phương pháp giải
Áp dụng linh hoạt các tính chất sau để áp dụng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
A 0; A và A 0; A . Ví dụ mẫu
QU
Y
A2 n 0; A, n * và A2 n 0; A, n * .
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) P x 10 ( x y ) 2 10 .
KÈ M
b) P ( x y ) 4 2019 . Hướng dẫn giải
a) P x 10 ( x y ) 2 10
x 10 0 Ta có: x; y 2 ( x y ) 0
Y
x 10 ( x y ) 2 10 10
DẠ
P 10 .
x 10 0 Dấu “ ” xảy ra khi . Suy ra x y 10 . x y 0 Vậy Pmin 10 khi x y 10 . Trang 5
b) P ( x y ) 4 2019 Ta có: ( x y ) 4 0x; y ( x y ) 4 2019 2019 P 2019
CI AL
Vậy Pmin 2019 khi x y . Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) P ( x 5)6 1 . b) P x 1 y 2 2019 . 2
FI
Hướng dẫn giải a) P x 5 1 . Ta có: x 5 0x; y x 5 1 1 P 1 6
6
Vậy Pmax 1 khi x 5 0 hay x 5
x 1 0 Ta có : với mọi x, y . 2 ( y 2) 0
NH
x 1 ( y 2) 2 2019 2019 P 2019 .
ƠN
b) P x 1 ( y 2) 2 2019 .
OF
6
x 1 0 x 1 Vậy Pmax 2019 khi hay . y 2 0 y 2
Y
Bài tập tự luyện dạng 4
QU
Tìm giá tri lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức: 2
1 Câu 1: A 2 x 3 y 2017 . 2 2
Câu 2: B 2 x 1 3 x 2 1 . Câu 3: C
KÈ M
2
1
2 x 1 1 2
.
PHẦN ĐÁP ÁN
Dạng 1. Viết các biểu thức đại số theo cách diễn đạt cho trước
DẠ
Y
Câu 1. Biểu thức đại số biểu thị diện tích hình vuông có cạnh a cm là: a 2 cm 2 . Câu 2. Biểu thức đại số biểu thị chu vi hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là a và b là:
2(a b) (cm) .
Câu 3. Biểu thức đại số biểu diễn cho số tiền cần trả là 5 x 4 y (đồng). Dạng 2. Tính giá trị biểu thức đại số Trang 6
Câu 1. Thay x 1; y 2; z 3 vào biểu thức P 2 x 3 y 4 z , ta có P 2.1 3.2 4.3 8 .
Thay x 1 vào biểu thức P 3 x 2 9 ta được P 3.(1) 2 9 6 . 2
1 33 1 Thay x vào biểu thức P 3 x 2 9 ta được P 3. 9 . 2 4 2
Câu 3. Thay x 1 và y 1 vào biểu thức B 2 x 2 y ta được B 2.12 1 3 .
FI
Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức khi biết mối quan hệ giữa các biến
CI AL
Câu 2.
Câu 1. Diện tích còn lại của khu vườn là a (a 8) b 2 .
OF
Thay a 50m và b 10m vào biểu thức, ta có: 50.(50 8) 102 2000 m 2 .
Câu 2.
Khi đó
ƠN
a) Ta có x y 1 0 x y 1 .
M x 2 ( x y ) y 2 ( x y ) x 2 y 2 2( x y ) 3
NH
( x y ) x 2 y 2 x 2 y 2 2( x y ) 3 x 2 y 2 ( x y 1) 2( x y ) 3 .
Thay x y 1 vào biểu thức, ta có
QU
x 2 y 2 .0 2 3
Y
M x 2 y 2 (1 1) 2.(1) 3
1.
b) Ta có x y 0 y x
KÈ M
Thay y x vào biểu thức, ta có
M x 4 x ( x )3 x 3 ( x ) ( x ) 4 1 x4 x4 x4 x4 1
1 .
Dạng 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Y
Câu 1.
2
DẠ
1 Với x, y , ta có (2 x 3) 2 0; y 0 . 2 2
1 Do đó (2 x 3) 2 y 2017 2017 . 2
Trang 7
3 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 2017 khi x ; y . 2 2
CI AL
Câu 2. Với x, y ta có 2( x 1) 2 0; 3 x 2 1 0 . Do đó B 2( x 1) 2 3 x 2 1 0 nên min B 0 khi x 1 . Câu 3.
1 1 1 1 . 2 2( x 1) 1 2( x 1) 2 1
FI
Với x, y ta có 2( x 1) 2 0 2( x 1) 2 1 1
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
Vậy min C 1 khi x 1 .
Trang 8
BÀI 2. ĐƠN THỨC. ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG.
CI AL
Mục tiêu Kiến thức
+ Nắm vững khái niệm đơn thức, đơn thức đồng dạng và bậc của đơn thức. + Nắm vững quy tắc cộng, trừ các đơn thức đồng dạng. Kĩ năng Nhận biết được các đơn thức đồng dạng.
FI
+
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
+ Thực hiện được cộng, trừ các đơn thức đồng dạng, quy tắc bỏ dấu ngoặc và thu gọn đơn thức.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Đơn thức Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc
CI AL
Ví dụ 2: 2, x, 6 x,14 xy 2 , 2020 x3 y 4 là các đơn thức.
một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.
Bậc của đơn thức 2020x3 y 4 là 7 .
Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ
(2 x). 3 xy 2 (2.3). x.xy 2 6 x 2 y 2 .
của tất cả các biến trong đơn thức đó.
FI
Quy tắc nhân đơn thức: Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.
2 Ví dụ: 2 x 2 y 3 ; 4 x 2 y 3 ; x 2 y 3 là các đơn thức 5
OF
Đơn thức đồng dạng Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số
đồng dạng.
khác 0 và có cùng phần biến.
2 x2 y3 4 x2 y3
dạng. Cộng trừ hai đơn thức đồng dạng: Cộng (hay trừ)
2 2 3 2 x y 2 4 x2 y3 5 5
32 2 3 x y . 5
NH
các hệ số với nhau còn giữ nguyên phần biến.
ƠN
Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận biết đơn thức Phương pháp giải
Ví dụ: x; y;3; 2010;5 x 2 ; 2 xyz 4 là các đơn
vào định nghĩa đơn thức (chỉ gồm một số, một biến
thức.
QU
Y
Để nhận biết một biểu thức là đơn thức, ta căn cứ hoặc một tích giữa các số và các biến). Ví dụ mẫu
a)
2 xy 2 5
d) 2020.
KÈ M
Ví dụ 1. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức? b) 4xy 2 z
c) 2x 2 xy
e) x 2 y 2
f) xyz.
Hướng dẫn giải
Y
Các biểu thức trong các ý b, d, e, f là các đơn thức.
DẠ
Ví dụ 2. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không là đơn thức? a) 3xy 2 xz
b) xy 2
c) x 2 2 y z
d) 3xyx3 z 3
đ) 0.
5 e) 1 x3 9
Hướng dẫn giải Trang 2
Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức? a) 1 2x 2
b)
3 2 x y 2
d) xy x
c) 4
Câu 2: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phải đơn thức?
e) 5y 2
FI
2 x; 3 y; x y; x 1; 2 xyz; 3 x3 y; 2 y 2 xz .
CI AL
Các biểu thức trong các ý a, c, e không là đơn thức.
OF
Dạng 2: Thu gọn đơn thức Phương pháp giải
Ví dụ: 2 xy . 3 x 2 y 2.3 . xy.x 2 y 6 x3 y 2 .
Muốn thu gọn đơn thức, ta cũng áp dụng quy tắc Quy tắc nhân đơn thức: Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau. Ví dụ mẫu
NH
Ví dụ 1. Thu gọn các đơn thức sau:
ƠN
nhân đơn thức.
1 3 a) x 2 y xy 3 3 2
b) 5 xy 4 . 0, 2 x 2 y 2
1 d) 1 x 2 y 3 2
2
Y
c) 2 x 2 y 5 x3 y 3
QU
Hướng dẫn giải
1 3 1 1 3 a) x 2 y xy 3 x 2 x y y 3 x3 y 4 . 3 2 2 3 2
b) 5 xy 4 0, 2 x 2 y 2 [5 (0, 2)] x x 2 y 4 y 2 x3 y 6 .
KÈ M
c) 2 x 2 y 5 x3 y 3 (2.5) x 2 x3 y y 3 10 x5 y 4 . 2
2
2 2 9 1 1 d) 1 x 2 y 3 1 x 2 y 3 x 4 y 6 . 4 2 2
Ví dụ 2. Thu gọn các đơn thức sau:
Y
1 2 1 a) x 2 y xy 3 1 xy 2 3 3 2
DẠ
1 b) x3 8 xy 2 4
Hướng dẫn giải
Trang 3
1 2 1 1 2 3 a) x 2 y xy 3 1 xy 2 x 2 y xy 3 xy 2 3 3 2 3 3 2
CI AL
1 x4 y6 . 3
1 1 b) x3 8 xy 2 (8) x3 xy 2 4 4
2x 4 y 2 .
OF
1 b) 3 xy 4 x 2 y 2 . 3
1 5 a) x3 y 2 xy 3 ; 5 4
FI
Ví dụ 3. Thu gọn các đơn thức sau rồi tìm bậc của đơn thức đó:
Hướng dẫn giải 1 5 1 a) x3 y 2 xy 3 x 4 y 5 . Bậc của đơn thức là: 4 5 9 5 4 4
ƠN
1 b) 3 xy 4 x 2 y 2 x3 y 6 . Bậc của đơn thức là: 3 6 9 3
Bài tập tự luyện dạng 2
a) 5x100 .
NH
Câu 1. Xác định hệ số, phần biến của các đơn thức sau: b) 20xyz .
c)
Câu 2. Thu gọn các đơn thức sau: 1 2 2 2 x y xy 4 5
Y
b)
QU
a) 2 xy.3 x 2 y
3 2 4 6 x y z . 5
3 c) 12 x. xy 4
1 d) 2 y. x 2 y 4 3
Câu 3. Thu gọn các đơn thức sau và tìm bậc của đơn thức đó: a) a 2b.a 3 .3b
1 b) ab 2 c.3bc 2
c)
2 4 2 ab c 3 2
KÈ M
Dạng 3: Tính giá trị của đơn thức Phương pháp giải
Ví dụ: Tính giá trị của đơn thức A 2 xy tại x 1
trước của các biến vào đơn thức rồi thực hiện
và y 2 .
các phép tính.
Thay x 1 và y 2 vào biểu thức ta có: A 2.1.2 4 .
DẠ
Y
Để tính giá trị của đơn thức, ta thay giá trị cho
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho đơn thức A 3 x 2 y . a) Xác định phần hệ số, phần biến của A. Trang 4
b) Tính giá trị của đơn thức A tại x 1 và y 1 Hướng dẫn giải
CI AL
a) Phần hệ số: 3; phần biến: x 2 y . b) Thay x 1 và y 1 vào A ta được: A 3.12 (1) 3 . 2 Ví dụ 2. Cho đơn thức B x3 y 2 z . 3
a) Xác định phần hệ số, phần biến của B. 1 . 2
FI
b) Tính giá trị của B tại x 3, y 2 và z
OF
Hướng dẫn giải 2 a) Phần hệ số: , phần biến: x3 y 2 z . 3
1 2 2 1 thì B x3 y 2 z .(3)3 .(2) 2 . 36 . 2 3 3 2
ƠN
b) Tại x 3, y 2 và z
Ví dụ 3. Tại giá trị nào của x thì đơn thức 4x 2 y 3 có giá trị là 128 , biết rằng y 2 ? Hướng dẫn giải
1 Ví dụ 4. Cho đơn thức A 2 xy 2 x 2 y 2 x . 2
b) Tìm bậc của đơn thức thu gọn.
Y
a) Thu gọn đơn thức A .
NH
Ta có 4 x 2 .23 128 x 2 4 x 2
QU
c) Xác định phần hệ số, phần biến của đơn thức thu gọn. d) Tính giá trị của đơn thức tại x 1, y 1 e) Chứng minh rằng A luôn nhận giá trị dương với mọi x 0 và y 0 . Hướng dẫn giải
KÈ M
1 a) Ta có A 2 xy 2 x 2 y 2 x x 4 y 4 . 2
b) Bậc của đơn thức 8.
c) Phần hệ số: 1, phần biến: x 4 y 4 . d) Thay x 1, y 1 vào biểu thức A, ta được A 14.14 1 .
Y
e) Vì x 4 0; y 4 0, x 0; y 0 nên x 4 y 4 0, x 0; y 0 .
DẠ
Vậy A luôn nhận giá trị dương với mọi x 0 và y 0 . Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1. Tính giá trị các biểu thức sau tại x 2, y 3 : a) xy
b) 3 xy 4 xy
c) 5xy 2 Trang 5
Câu 2. Tính giá trị của đơn thức 2x 2 y 3 tại: b) x 0; y 1
Câu 3. Cho hai đơn thức A
c) x 1; y 2
d) x 2; y 1
1 3 2 x y và B 10 xy 4 . 5
CI AL
a) x 2; y 3
Hai đơn thức có thể cùng có giá trị dương được hay không? Câu 4. Cho hai đơn thức A 2 x3 , B xy 4 và C 3 y 4 z 2 .
FI
Chứng minh ba đơn thức không thể cùng có giá trị âm. Dạng 4: Nhận biết đơn thức đồng dạng
OF
Phương pháp giải Đặc điểm của đơn thức đồng dạng: Có cùng phần biến
thức đồng dạng vì có hệ số khác 0 và cùng phần
ƠN
Hệ số khác 0
1 Ví dụ: Hai đơn thức 2x3 y 2 và x3 y 2 là hai đơn 3
biến là x3 y 2 . Ví dụ mẫu
xy 2 ;
1 x2 y ; 2
x 2 y;
1 2 xy ; 4
Hướng dẫn giải 5 2 1 x y; x 2 y; x 2 y ; 3 2
1 Nhóm 2: xy 2 ; xy 2 ; 4
QU
Nhóm 1:
xy ;
Y
5 2 x y; 3
NH
Ví dụ 1. Sắp xếp các đơn thức sau thành từng nhóm các đơn thức đồng dạng:
KÈ M
Còn lại đơn thức xy không đồng dạng với các đơn thức đã cho. Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng các đơn thức sau là đơn thức đồng dạng: 2 A 1 x5 y 2 ; 3
1 B 3 x3 y x 2 y ; 5
C
1 2 2 xy x3 ; 2 5
Hướng dẫn giải
Y
2 5 A 1 x5 y 2 x5 y 2 ; 3 3
DẠ
1 3 B 3 x3 y x 2 y x5 y 2 ; 5 5
C
1 1 2 2 xy x3 x5 y 2 . 2 5 5
Trang 6
Vậy các đơn thức A, B, C là các đơn thức đồng dạng vì có phấn biến giống nhau và có phần hệ số khác Bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1: Sắp xếp các đơn thức sau thành từng nhóm các đơn thức đồng dạng: 1 1 ab 2 ; a 2b; abc; a 2b; abc;3ab 2 . 2 2
FI
Câu 2: Chứng tỏ rằng các đơn thức sau đồng dạng: A mn 2 m3 n; B nm 4 n 2 .
CI AL
0.
Dạng 5: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng
OF
Phương pháp giải Để cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng
Ví dụ: Tìm tổng của hai đơn thức: 2x 2 y 2 và 3x 2 y 2 .
(trừ) các hệ số và giữ nguyên phần biến.
Ta có 2 x 2 y 2 3 x 2 y 2 2 3 x 2 y 2 5 x 2 y 2 .
ƠN
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tính tổng của ba đơn thức sau: 1 a) 3 x 2 ; x 2 ; 2 x 2 . 2
Hướng dẫn giải a) Ta có 3 x 2
1 2 1 11 x 2 x 2 3 2 .x 2 x 2 . 2 2 2
QU
Ví dụ 2. Tìm tổng của ba đơn thức sau:
Y
b) Ta có 3 y y 5 y 3 1 5 . y y .
a)
1 2 2 3 2 2 x y ; x y và 2x 2 y 2 . 2 4
Hướng dẫn giải
b) 25 xy 2 ;55 xy 2 và 75xy 2 .
1 2 2 3 2 2 7 1 3 x y x y 2 x 2 y 2 2 .x 2 y 2 x 2 y 2 . 2 4 4 2 4
KÈ M
a) Ta có:
NH
b) 3 y; y; 5 y .
b) Ta có: 25 xy 2 55 xy 2 75 xy 2 25 55 75 .xy 2 155 xy 2 . Ví dụ 3. Thu gọn biểu thức sau: a) 3 x 2 0,5 x 2 2,5 x 2 .
3 1 5 b) x3 y x3 y x3 y . 4 2 8
Y
Hướng dẫn giải
DẠ
a) Ta có: 3 x 2 0,5 x 2 2,5 x 2 x 2 . b) Ta có:
3 3 1 5 1 5 x3 y x3 y x3 y x3 y x3 y x3 y 4 4 2 8 2 8
Trang 7
3 1 5 .x 3 y 4 2 8
CI AL
5 x3 y . 8
Ví dụ 4. Viết các đơn thức sau thành tổng hoặc hiệu của các đơn thức trong đó có một đơn thức bằng x 2 y : b) 2x 2 y .
a) 5x 2 y .
c) x 2 y .
FI
Hướng dẫn giải a) 5 x 2 y 4 x 2 y x 2 y .
OF
b) 2 x 2 y x 2 y 3 x 2 y . c) x 2 y 2 x 2 y x 2 y .
Câu 1. Tính tổng của các đơn thức sau: 3 xy; 2 xy; 4 xy . Câu 2. Rút gọn biểu thức sau: A a 2b 2a 2b 5ba 2 .
ƠN
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 3. Viết đơn thức 4a 2bc thành tổng hoặc hiệu của các đơn thức trong đó có một đơn thức bằng 5a 2bc
NH
.
PHẦN ĐÁP ÁN Dạng 1. Nhận biết đơn thức
Y
Câu 1. Các biểu thức trong các ý b, c, e là đơn thức.
Dạng 2. Thu gọn đơn thức Câu 1.
QU
Câu 2. Các biểu thức không phải đơn thức là: x y; x 1;3 x3 y.
a) Hệ số là 5 và phần biến là x100 .
c) Hệ số là Câu 2.
KÈ M
b) Hệ số là 20 và phần biến là xyz . 3 và phần biến là x 2 y 4 z 6 . 5
Y
a) 2 xy.3 x 2 y 6 x3 y 2 .
DẠ
3 c) 12 x. xy 9 x 2 y . 4
b)
1 2 2 2 1 3 3 x y xy x y . 4 5 10
1 2 d) 2 y x 2 y 4 x 2 y 5 . 3 3
Câu 3.
a) a 2b.a 3 .3b 3a 5b 2 . Bậc của đơn thức là 7 .
Trang 8
1 3 b) ab 2 c.3bc ab3c 2 . Bậc của đơn thức là 6. 2 2 2 4 2 4 ab c abc 2 . Bậc của đơn thức là 4. 3 2 3
CI AL
c)
Dạng 3. Tính giá trị của đơn thức Câu 1. a) Thay x 2, y 3 vào biểu thức, ta có xy 2.3 6 .
FI
b) 3 xy 4 xy 7 xy
c) Thay x 2, y 3 vào biểu thức, ta có 5 xy 2 5.2.32 90 . Câu 2. a) Thay x 2, y 3 vào biểu thức, ta có 2 x 2 y 3 2.22.33 216 .
OF
Thay x 2, y 3 vào biểu thức, ta có 7 xy 7.2.3 42 .
ƠN
b) Thay x 0, y 1 vào biểu thức, ta có 2 x 2 y 3 2.02.13 0 . c) Thay x 1, y 2 vào biểu thức, ta có 2 x 2 y 3 2.12.23 16 . d) Thay x 2, y 1 vào biểu thức, ta có 2 x 2 y 3 2.22.13 8 .
1 3 2 x y 10 xy 4 2 x 4 y 6 . 5
NH
Câu 3. Xét tích hai đơn thức: AB
Ta có x 4 0, x và y 6 0, y nên x 4 y 6 0, x; y . Từ đó suy ra 2 x 4 y 6 0, x; y A.B 0, x; y .
Y
Vậy hai đơn thức A và B không thể cùng có giá trị dương.
QU
Câu 4. Xét tích ba đơn thức ABC 2 x3 . xy 4 . 3 y 4 z 2 6 x 4 y 8 z 2 . Ta có x 4 0, x và y 8 0, y, z 2 0, z nên x 4 y 8 z 2 0, x; y . Từ đó suy ra x 4 y 8 z 2 0, x; y; z A.B.C 0, x; y; z .
KÈ M
Vậy ba đơn thức A, B và C không thể cùng có giá trị âm. Dạng 4. Nhận biết đơn thức đồng dạng Câu 1.
Nhóm 1: ab 2 ;3ab 2 .
Y
1 Nhóm 2 : a 2b; a 2b . 2 1 abc; abc . 2
DẠ
Nhóm 3:
Câu 2.
A m 4 n3 ; B m 4 n3 . Suy ra A, B là hai đơn thức đồng dạng.
Dạng 5. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng Trang 9
Câu 1.
3 xy 2 xy 4 xy (3 2 4) xy 9 xy .
CI AL
Câu 2.
A a 2b 2a 2b 5ba 2 (1 2 5)a 2b 2a 2b . Câu 3.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
FI
4a 2bc 5a 2bc a 2bc .
Trang 10
Mục tiêu Kiến thức + Trình bày được khái niệm đa thức. + Nắm vững thứ tự ưu tiên trong việc thực hiện cộng, trừ đa thức. + Trình bày được khái niệm bậc của đa thức.
FI
Kĩ năng + Thực hiện được cộng, trừ và thu gọn đa thức.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
+ Tìm được bậc của đa thức.
CI AL
BÀI 3. ĐA THỨC. CỘNG, TRỪ ĐA THỨC.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
CI AL
Đa thức Đa thức là một tổng các đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng
a 2 a ab là một đa thức.
là một hạng tử của đa thức đó. Mỗi đơn thức được coi là một đa thức.
x 2 là một đa thức.
Bậc của đa thức là bậc cao nhất của các hạng tử có bậc cao
5 Đa thức 1 x3 có bậc là 3 . 9
FI
nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.
Cộng hai đa thức:
Cộng, trừ đa thức
OF
M 4 x3 2 x 2 y xy 1; N 3 x 2 y xy ;
Bước 1. Viết hai đa thức trong dấu ngoặc;
M N 4 x3 2 x 2 y xy 1 3 x 2 y xy
ngoặc”);
4 x3 2 x 2 y xy 1 3 x 2 y xy
ƠN
Bước 2. Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc “dấu
4 x3 2 x 2 y 3 x 2 y ( xy xy ) 1
Bước 3. Áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp, nhóm các
NH
hạng tử đồng dạng;
4 x3 x 2 y 2 xy 1 .
Bước 4. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
QU
Phương pháp giải
Y
Dạng 1: Nhận biết đa thức
Để nhận biết một biểu thức là đa thức, ta căn cứ
Các biểu thức x 2 1; 2 x3 5 xy;
x5 xyz , là 3
các đa thức.
KÈ M
vào định nghĩa đa thức.
Ví dụ:
x 2 2 x3 y 11 ; ; .. không Các biểu thức x 2x 1 x
phải là các đa thức.
Y
Ví dụ mẫu
DẠ
Ví dụ 1. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức? a) x 2 3 .
b) x 1
d) x 2 yz ax b .
e)
1 . x
x2 2 . 20192
c)
3 1 x xy 2 . 5 2
f)
z xz . x 1 2
Trang 2
Hướng dẫn giải Các biểu thức trong các ý a, c, d, e là đa thức. a) 3x 2 xy 3 z z .
b) xy 5 x3 yz .
x2 2 y z3 . xy
d) 3x 2 yz 3 .
x2 2 (a là hằng số). đ) 2 a 1
5 e) 2xy . x
FI
c)
CI AL
Ví dụ 2. Biểu thức nào không là đa thức trong các biểu thức sau?
Hướng dẫn giải
OF
Các biểu thức trong các ý c, e không là đa thức. Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức? b) x 2
d) x 2 z ax by .
e)
1 . x 1
3x 2 1 . 2020
c) x
ƠN
a) x 2 1 .
1 xy . 2
f)
3a xa . x2
c)
x 2 y 3z 3 . x
a) a 2 2ab3 c .
b) xy 2 x3 z .
d) 100x 2 y100 z 3 .
e)
NH
Câu 2. Biểu thức nào không là đa thức trong các biểu thức sau?
f) xy
Dạng 2: Thu gọn đa thức Phương pháp giải
QU
Y
x2 1 (a là hằng số). a 50 1
KÈ M
Để thu gọn đa thức ta thực hiện hai bước:
Bước 1. Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.
Bước 2. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong
1 . x
Ví dụ: Thu gọn đa thức sau:
A 2 x3 2 xy x 2 5 xy x 2 x3 Hướng dẫn giải Ta có A 2 x3 2 xy x 2 5 xy x 2 x3 A 2 x3 x3 (2 xy 5 xy ) x 2 x 2
DẠ
Y
từng nhóm.
A (2 1) x3 (2 5) xy 0 A x3 3 xy .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Thu gọn đa thức sau: Trang 3
a) M y 2 2 y
1 2 y 5 y y2 . 2
c) P 5 x 2 y 3 xy
CI AL
1 1 1 b) N x 2 y xy 2 xy xy 2 5 xy x 2 y . 3 2 3 1 2 1 1 2 1 x y xy 5 xy x x . 2 3 2 3 4
Hướng dẫn giải 1 2 y 5 y y2 2
FI
a) M y 2 2 y
OF
1 y 2 y 2 y 2 (2 y 5 y ) 2 1 1 1 y 2 (2 5) y 2
1 2 y 3y . 2
ƠN
1 1 1 b) N x 2 y xy 2 xy xy 2 5 xy x 2 y 3 2 3
NH
1 1 1 x 2 y x 2 y xy 2 xy 2 ( xy 5 xy ) 3 2 3 1 0 1 xy 2 (1 5) xy 2
c) P 5 x 2 y 3 xy
Y
3 2 xy 6 xy . 2
QU
1 2 1 1 2 1 x y xy 5 xy x x 2 3 2 3 4
KÈ M
1 2 1 1 1 5 x 2 y x 2 y (3 xy xy 5 xy ) x x 2 3 2 4 3 1 1 1 2 5 x 2 y (3 1 5) xy x 2 4 3 3
11 2 1 1 x y xy x . 2 3 4
Ví dụ 2. Thu gọn đa thức sau:
b) B 5 xy
1 2 2 x y xy 2 x 2 y . 2 3
DẠ
Y
1 a) A 2 x 2 x x 2 5 x . 2
Hướng dẫn giải 1 a) A 2 x 2 x x 2 5 x 2
Trang 4
1 2 x2 x2 x 5x 2
3 2 x 6x . 2
b) B 5 xy
1 2 2 2 1 x y xy 2 x 2 y 5 xy xy x 2 y 2 x 2 y 2 3 3 2
FI
CI AL
1 2 x 2 1 5 x 2
OF
2 1 5 xy 2 x 2 y 3 2
13 5 xy x 2 y . 3 2
Câu 1. Thu gọn đa thức sau: a) M 2 y 2 3 y y 2 5 y y 2 . 1 2 1 x y xy 2 xy 2 xy 2 xy x 2 y . 4 4
c) P 3 x 2 y 4 xy x 2 y xy 5 xy x 1
a) A 3 x3 x 2 x 2 x 2 2 x .
Phương pháp giải
QU
Dạng 3: Tìm bậc của đa thức
2 1 x . 3 4
Y
Câu 2. Thu gọn đa thức sau:
NH
b) N
Để tìm bậc của đa thức, ta làm như sau: Bước 1. Viết đa thức ở dạng thu gọn.
KÈ M
ƠN
Bài tập tự luyện dạng 2
Bước 2. Bậc của đa thức là bậc của hạng tử bậc
1 b) B 3ab a 2b ab 2a 2b . 2
Ví dụ: Tìm bậc của đa thức sau:
3 x 4 x3 2 x 2 3 3 x 4 . Ta có
3 x 4 x3 2 x 2 3 3 x 4 x3 2 x 2 3 . Đa thức có bậc 3.
Y
cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.
DẠ
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm bậc của các đa thức sau: a) x3 2 x 5 xy 3 x 2 x3 . b) y 4 4 y 2 3 y 3 y 4 . Hướng dẫn giải Trang 5
a) x3 2 x 5 xy 3 x 2 x3 3 x 2 5 xy 2 x . Vậy đa thức có bậc 2.
CI AL
b) y 4 4 y 2 3 y 3 y 4 2 y 4 4 y 2 3 y . Vậy đa thức có bậc 4. Ví dụ 2. Tìm bậc của các đa thức sau (a là hằng số): ax3 2 xy 5 . Hướng dẫn giải Nếu a 0 , đa thức có bậc 3.
FI
Nếu a 0 , đa thức có bậc 2. Bài tập tự luyện dạng 3
OF
Câu 1. Tìm bậc của các đa thức sau: a) x 4 2 x xy x 4 .
b) y 4 y 2 y 4 x 2 y 2 .
Câu 2. Tìm bậc của các đa thức sau (a là hằng số):
b) ax 2 x 2 1 .
ƠN
a) ax 2 xy 5 .
Phương pháp giải Để tính giá trị của đa thức, ta làm như sau Bước 1. Thu gọn đa thức.
NH
Dạng 4: Tính giá trị của đa thức
thức thu gọn rồi thực hiện phép tính.
A 3.3 9 .
QU
Ví dụ mẫu
A x 2 x 3x .
Thay x 3 vào đa thức ta được:
Y
Bước 2. Thay giá trị đã cho của các biến vào đa
Tính giá trị đa thức A x 2 x tại x 3 .
Ví dụ 1. Cho đa thức A 6 x 2 y 50,5 xy 2 x 2 y 51,5 xy 2 . a) Thu gọn A . b) Tìm bậc của A .
KÈ M
1 c) Tính giá trị của A tại x ; y 14 . 7
Hướng dẫn giải
a) Ta có A 6 x 2 y 50,5 xy 2 x 2 y 51,5 xy 2 6 x 2 y 1.x 2 y 50,5 xy 2 51,5 xy 2
Y
6 1 x 2 y 50,5 51,5 xy 2
DẠ
7 x 2 y xy 2
b) Bậc của A bằng 3 . 1 c) Thay x ; y 14 vào đa thức A, ta được: 7
Trang 6
2
1 1 Ví dụ 2. Cho đa thức B 2 xy 2 x3 y x x3 y xy 2 x 4 x 2 y . 3 3
a) Thu gọn B . b) Tìm bậc của B . c) Tính giá trị của B tại x 1; y 2 .
FI
Hướng dẫn giải
c) Thay x 1, y 2 vào đa thức B, ta được:
NH
B 1.22 4.12.2 4 8 12 .
ƠN
b) Bậc của B bằng 3 .
OF
1 1 a) Ta có B 2 xy 2 x3 y x x3 y xy 2 x 4 x 2 y 3 3
1 1 2 xy 2 xy 2 x3 y x3 y x x 4 x 2 y 3 3 2 2 2 1 xy 0 0 4 x y xy 2 4 x 2 y
CI AL
1 1 A 7. .14 .142 2 28 30 . 7 7
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Cho đa thức A 3 x 2 2 x x 2 1 2 x . b) Tính giá trị của A tại x 1 .
Y
a) Thu gọn A .
a) Thu gọn M .
QU
Câu 2: Cho đa thức M ab 3a 2b 2a 2 2ab 3a 2b . b) Tìm bậc của M và tính giá trị của M tại a 2; b 1 . Câu 3: Cho đa thức M 2 x3 3 x 2 1 x3 5 x 2 2 .
KÈ M
a) Thu gọn M .
b) Tìm bậc của M .
c) Tính giá trị của M tại x 2 . Câu 4: Cho đa thức P 2 xy
1 3 2 1 x y xy x3 y 2 y 1 . 2 2
Y
a) Thu gọn P .
DẠ
b) Tính giá trị của P tại x 0,1; y 2 . Câu 5: Cho a, b, c là những hằng số thỏa mãn a b c 2006 . Tính giá trị của các đa thức sau: a) A ax3 y 3 bx 2 y cxy 2 tại x 1; y 1 . b) B ax 2 y 2 bx 4 y cxy 6 tại x 1; y 1 . Trang 7
c) C axy bx 2 y 2 cx 4 y tại x 1; y 1 .
Phương pháp giải
CI AL
Dạng 5: Tính tổng, hiệu của hai đa thức Để tính tổng (hiệu) của hai đa thức, ta thực hiện
Tính tổng P( x) Q( x) biết:
cộng (trừ) hai đa thức đó:
P( x) 2 x 1; Q( x) 3 x 1 . Hướng dẫn giải
Bước 1. Viết hai đa thức trong dấu ngoặc;
P( x) Q( x) (2 x 1) (3 x 1)
FI
Bước 2. Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc
P( x) Q( x) 2 x 1 3x 1
dấu ngoặc);
P( x) Q( x) (2 x 3 x) (1 1)
OF
Bước 3. Nhóm các hạng tử đồng dạng; Bước 4. Cộng hoặc trừ các đơn thức đồng dạng.
P( x) Q( x) 5 x 2 .
Ví dụ mẫu
ƠN
Ví dụ 1. Tính tổng P( x) Q( x) và hiệu P( x) Q( x) biết:
P( x) x 4 3 x3 x 2 2 x 2 và Q( x) x 4 x3 2 x 2 2 x 1 . Hướng dẫn giải
NH
P( x) Q( x) x 4 3 x3 x 2 2 x 2 x 4 x3 2 x 2 2 x 1
x 4 3x3 x 2 2 x 2 x 4 x3 2 x 2 2 x 1
2 x 4 4 x3 3x 2 4 x 3 .
Y
x 4 x 4 3 x3 x3 x 2 2 x 2 (2 x 2 x) (2 1)
QU
P( x) Q( x) x 4 3 x3 x 2 2 x 2 x 4 x3 2 x 2 2 x 1
x 4 3x3 x 2 2 x 2 x 4 x3 2 x 2 2 x 1 x 4 x 4 3 x3 x3 x 2 2 x 2 (2 x 2 x) (2 1)
KÈ M
0 2 x3 x 2 0 1 2 x3 x 2 1 .
Ví dụ 2. Tính tổng P( x) Q( x) và hiệu P( x) Q( x) biết:
P( x) x 4 5 x3 x 2 x 1 và Q( x) x 4 2 x3 2 x 2 3 x 2 . Hướng dẫn giải
DẠ
Y
P( x) Q( x) x 4 5 x3 x 2 x 1 x 4 2 x3 2 x 2 3 x 2
x 4 5 x3 x 2 x 1 x 4 2 x3 2 x 2 3x 2 x 4 x 4 5 x3 2 x3 x 2 2 x 2 ( x 3 x) (1 2)
2 x 4 7 x3 3x 2 4 x 3 . Trang 8
P( x) Q( x) x 4 5 x3 x 2 x 1 x 4 2 x3 2 x 2 3 x 2 x 4 x 4 5 x3 2 x3 x 2 2 x 2 ( x 3 x) (1 2)
0 3x3 x 2 2 x 1 3x3 x 2 2 x 1 . Bài tập tự luyện dạng 5
FI
Câu 1. Tìm tổng A B và hiệu A B của hai đa thức rồi tìm bậc của chúng biết:
CI AL
x 4 5 x3 x 2 x 1 x 4 2 x3 2 x 2 3x 2
OF
1 1 A 2 x3 4 x 2 y 1 xy 2 y 4 1; B 2 x3 1 x 2 y y 4 3 . 3 2
Câu 2. Cho hai đa thức: A x 2 4 x 1; B 2 x 2 2 x . a) Tính C A B . b) Tìm bậc của C.
ƠN
c) Tính giá trị của C tại x 1 .
Dạng 6: Tìm một trong hai đa thức biết đa thức tổng hoặc đa thức hiệu và đa thức còn lại Phương pháp giải
NH
Tìm đa thức A biết A x 2 x 1 .
Nếu M B A thì M A B .
Hướng dẫn giải
Nếu M B A thì M A B .
A 2x 1 x
Nếu A M B thì M A B .
QU
Ví dụ. Tìm đa thức P; Q biết:
Y
Ví dụ mẫu
A x 1.
a) P x 2 2 y 2 x 2 y 2 3 xy 2 1 .
b) Q 5 x 2 xyz xy 2 x 2 3 xyz 5 .
KÈ M
Hướng dẫn giải
a) Ta có P x 2 2 y 2 x 2 y 2 3 xy 2 1 P x 2 y 2 3 xy 2 1 x 2 2 y 2
x 2 y 2 3 xy 2 1 x 2 2 y 2
Y
x 2 x 2 y 2 2 y 2 3 xy 2 1
DẠ
0 y 2 3 xy 2 1 y 2 3 xy 2 1 .
b) Ta có Q 5 x 2 xyz xy 2 x 2 3 xyz 5
Trang 9
Q xy 2 x 2 3 xyz 5 5 x 2 xyz
xy 2 x 2 3 xyz 5 5 x 2 xyz
CI AL
xy 2 x 2 5 x 2 (3 xyz xyz ) 5
xy 7 x 2 4 xyz 5 . Bài tập tự luyện dạng 6 Câu 1. Tìm M biết:
b) M 6 x 2 4 xy 7 x 2 8 xy y 2 .
FI
a) M 5 x 2 2 xy 6 x 2 9 xy y 2 .
a) 3ab b 2 a A ab b 2 a .
b) 2 A x 2 3 x 1 3 x 2 x 3 .
Dạng 1. Nhận biết đa thức Câu 1. Các biểu thức trong các ý a, c, d, e là đa thức. Câu 2. Các biểu thức trong các ý c, e không là đa thức.
NH
Dạng 2. Thu gọn đa thức
ƠN
PHẦN ĐÁP ÁN
Câu 1. a) M 2 y 2 3 y y 2 5 y y 2
Y
M 2 y 2 y 2 y 2 (3 y 5 y )
M 2 y2 2 y .
1 2 1 x y xy 2 xy 2 xy 2 xy x 2 y 4 4
QU
b) N
OF
Câu 2. Tìm A biết:
1 1 N x 2 y x 2 y xy 2 2 xy 2 ( xy xy ) 4 4
KÈ M
N 3 xy 2 .
c) P 3 x 2 y 4 xy x 2 y xy 5 xy x 1
2 1 x 3 4
2 1 P 3 x 2 y x 2 y (4 xy xy 5 xy ) x x 1 3 4
DẠ
Y
x 3 P 4x2 y . 3 4
Câu 2.
a) A 3 x3 x 2 x 2 x 2 2 x
A 3x3 x 2 x 2 x 2 2 x
Trang 10
A 3x3 x 2 2 x 2 ( x 2 x)
A 3x3 x 2 3x .
CI AL
1 b) B 3ab a 2b ab 2a 2b 2 1 B 3ab a 2b ab 2a 2b 2
FI
1 B (3ab ab) a 2b 2a 2b 2
OF
5 B 2ab a 2b . 2
Dạng 3. Tìm bậc của đa thức Câu 1.
ƠN
a) x 4 2 x xy x 4 xy 2 x Suy ra bậc của đa thức là 2. b) y 4 y 2 y 4 x 2 y 2 x 2 y 2 y 2 Suy ra bậc của đa thức là 4.
NH
Câu 2.
a) Bậc của đa thức là 2, không phụ thuộc vào a. b) ax 2 x 2 1 (a 1) x 2 1 .
QU
Nếu a 1, bậc của đa thức là 0 .
Y
Nếu a 1, bậc của đa thức là 2 .
Dạng 4. Tính giá trị của đa thức Câu 1.
Câu 2.
KÈ M
a) A 4 x 2 1 . a) M 2a 2 ab . Câu 3.
a) M x3 2 x 2 1 Câu 4.
b) M 2.22 2.1 6 .
b) Bậc của M là 3 .
c) M 15 .
1 3 2 1 1 1 x y xy x3 y 2 y 1 x3 y 2 x3 y 2 2 xy xy y 1 xy y 1 . 2 2 2 2
Y
a) P 2 xy
b) A 5 .
DẠ
b) Thay giá trị x 0; y 2 vào biểu thức P đã thu gọn, ta có:
P 0,1. 2 2 1 3, 2 .
Câu 5.
Trang 11
a) Thay x 1; y 1 vào biểu thức A ax3 y 3 bx 2 y cxy 2 ta có
abc 2006 .
b) Thay x 1; y 1 vào biểu thức B ax 2 y 2 bx 4 y cxy 6 ta có
B a.12.(1) 2 b.14.(1) c.1.(1)6
FI
a (b) c
CI AL
A a.13.13 b.12.1 c.1.12
abc
OF
2006 .
c) Thay x 1; y 1 vào biểu thức C axy bx 2 y 2 cx 4 y ta có
C a.(1).(1) b(1) 2 (1) 2 c.(1) 4 .(1) 2006 .
Dạng 5. Tính tổng, hiệu của hai đa thức Câu 1.
ƠN
abc
NH
1 1 11 4 A B 2 x3 4 x 2 y 1 xy 2 y 4 1 2 x3 1 x 2 y y 4 3 2 y 4 x 2 y xy 2 2 . 3 2 2 3
Do đó tổng hai đa thức có bậc là 4.
QU
Do đó hiệu hai đa thức có bậc là 3.
Y
1 1 5 4 A B 2 x3 4 x 2 y 1 xy 2 y 4 1 2 x3 1 x 2 y y 4 3 4 x3 x 2 y xy 2 4 . 3 2 2 3
Câu 2. a) Ta có
KÈ M
C x 2 4 x 1 2 x 2 2 x
x2 4x 1 2x2 2x
x 2 2 x 2 (4 x 2 x) 1
3x 2 2 x 1 .
b) Bậc của C bằng 2 .
Y
c) Thay x 1 vào C ta được C 3.(1) 2 2.(1) 1 6 .
DẠ
Dạng 6. Tìm một trong hai đa thức biết đa thức tổng hoặc đa thức hiệu và đa thức còn lại Câu 1.
a) Ta có
b) Ta có
M 6 x 2 9 xy y 2 5 x 2 2 xy
M 7 x 2 8 xy y 2 6 x 2 4 xy
Trang 12
7 x 2 8 xy y 2 6 x 2 4 xy
6 x 2 5 x 2 9 xy 2 xy y 2
7 x 2 6 x 2 8 xy 4 xy y 2
x 2 11xy y 2 .
13 x 2 12 xy y 2 .
Câu 2.
CI AL
6 x 2 9 xy y 2 5 x 2 2 xy
b) 2 A x 2 3 x 1 3 x 2 x 3
A 3ab b 2 a ab b 2 a
2 A 3 x 2 x 3 x 2 3 x 1
2ab 2b 2 a .
2 A 2x2 4x 2
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
A x2 2x 1.
FI
a) 3ab b 2 a A ab b 2 a
Trang 13
CHUYÊN ĐỀ BÀI 4. ĐA THỨC MỘT BIẾN
CI AL
Mục tiêu Kiến thức + Nắm vững khái niệm đa thức một biến. + Nắm vững khái niệm về bậc, hệ số của đa thức một biến. Kĩ năng
FI
+ Sắp xếp được đa thức một biến.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
+ Tìm được bậc, các hệ số, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức một biến.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Đa thức một biến
A 3x 2x 2 1 là đa thức một biến có bậc là 2.
CI AL
Đa thức một biến là tổng của các đơn thức một biến. Mỗi số được coi là một đa thức một biến. Bậc của đa thức một biến là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó. Trong một đa thức một biến đã thu gọn, hệ số của
P 3x 3 x 2.
FI
Hệ số
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức
ƠN
Phương pháp giải
OF
lũy thừa bậc 0 gọi là hệ số tự do, hệ số của lũy thừa 2 là hệ số tự do, 3 là hệ số cao nhất. bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất.
Ví dụ: Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến: Bước 1. Nhóm các đơn thức đồng dạng. Bước 2. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.
NH
P x x 2 x3 2 x 4 5 x 2 x3 3x x 4 1
x 2 x 2 2 x3 2 x 4 x 4 5 x 3 x 1
x 2 x3 x 4 2 x 1
thừa tăng hoặc giảm của biến.
x 4 x3 x 2 2 x 1.
QU
Ví dụ mẫu
Y
Bước 3. Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy
Ví dụ 1. Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa tăng dần của biến:
1 5 3 x x3 5 x 4 x5 2 x x 2 x 4 x3 1. 2 2
KÈ M
a) A x
b) B x x3 3 x 2 2 x 2 x 2 2019 x. Hướng dẫn giải
1 5 3 x x3 5 x 4 x5 2 x x 2 x 4 x3 1 2 2
Y
a) A x
DẠ
3 1 x5 x5 x3 x3 5 x 4 x 4 x 2 2 x 1 2 2
x5 4 x 4 2 x x 2 1.
Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến: A x 1 2 x x 2 4 x 4 x5 .
Trang 2
b) B x x3 3 x 2 2 x 2 x 2 2019 x
x3 5 x 2 3 x 2019. Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến: B x 2019 3 x 5 x 2 x3 . Ví dụ 2. Cho đa thức C x x5 x3 2 x3 4 3 x 4 2 x 2 x 4 1.
FI
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của C x theo lũy thừa giảm dần của biến.
CI AL
x3 3 x 2 2 x 2 2 x x 2019
Hướng dẫn giải a) C x x5 x3 2 x3 4 3 x 4 2 x 2 x 4 1 x5 x3 2 x3 4 1 3 x 4 x 4 2 x 2
ƠN
x5 x3 3 4 x 4 2 x 2 .
OF
b) Chỉ ra cá hệ số khác 0 của C x .
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến: C x x5 4 x 4 x3 2 x 2 3. b) Các hệ số khác 0 của C x :1; 4;1; 2; 3.
NH
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến: a) P x x5 3 x3 3 x 2 x 2 x5 x 4 6 x 9 4 x3 .
Y
b) Q x x 7 x 6 2 x3 x 7 2 x 4 x 6 2 x5 2 x 10 x 4 x 6 .
QU
Câu 2: Cho đa thức: P x 2 x5 x 2 7 x 1 3 x5 2 x 2 8 x 15. a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của P x theo lũy thừa tăng dần của biến. b) Chỉ ra các hệ số khác 0 của P x
Câu 3: Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến:
KÈ M
a) P x 4 x 2 5 x3 15 x3 x 4 2 x 5 x 6 x 2 1. 1 b) Q x x 6 5 x3 x 2 5 x 4 2 x5 4 x 2 1 x3 . 2
Câu 4: Cho đa thức: P x 5 x 4 x5 3 x3 3 x 7 x3 5 9 x 2 8 x 1 a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa tăng dần của biến.
DẠ
Y
b) Chỉ ra các hệ số khác 0 của P x Dạng 2: Xác định bậc, hệ số của đa thức Phương pháp giải
- Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã Trang 3
thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức Ví dụ. A x x 4 2 x3 x 2 x 6
do; hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của biến gọi là hệ số cao nhất.
Bậc của đa thức A x là 4. Hệ số tự do là 6 Hệ số cao nhất là 1
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Xác định bậc và hệ số tự do, hệ số cao nhất của mỗi đa thức sau: a) A x 3 x 4 5 x3 2 x 2 x 1.
OF
b) B x x3 2 x 4 x 2 x 8.
CI AL
- Hệ số của lũy thừa bậc 0 của biến gọi là hệ số tự
FI
đó.
Hướng dẫn giải
- Bậc của đa thức A x là 4. - Hệ số tự do là 1. - Hệ số cao nhất là 3.
NH
b) B x x3 2x 4 x 2 x 8 2x 4 x3 x 8.
ƠN
a) A x 3 x 4 5 x3 2 x 2 x 1.
- Bậc của đa thức B x là 4. - Hệ số tự do là 8.
Y
- Hệ số cao nhất là 2.
QU
Ví dụ 2.
a) Viết một đa thức một biến có ba hạng tử mà hệ số cao nhất là 5 và hệ số tự do là 1. b) Viết một đa thức một biến có hai hạng tử mà hệ số cao nhất là 2 và hệ số tự do là 3. Hướng dẫn giải
KÈ M
a) A x 5 x 4 3 x 1. b) B y 2 y 3.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. Chỉ ra hệ số cao nhất của hệ số tự do của mỗi đa thức đó.
Y
1 3 a) P x x5 3 x 2 x 4 x x5 5 x 4 x 2 1 x. 2 2
DẠ
4 7 b) Q x x5 4 x 4 3 x 2 x 3 x 4 x5 2 x 4 . 3 3
Câu 2: Xác định bậc và hệ số tự do, hệ số cao nhất của mỗi đa thức sau: a) A x 4 x 4 x3 2 x 2 5 x 11.
b) B x x3 2 x 4 x 3 x 2 2019. Trang 4
Câu 3: Viết một đa thức một biến có ba hạng tử mà hệ số cao nhất là 6 và hệ số tự do là 8 .
CI AL
Câu 4: a) Viết một đa thức một biến có ba hạng tử mà hệ số cao nhất là 8 và hệ số tự do là 11.
b) Viết một đa thức một biến có hai hạng tử mà hệ số cao nhất là 6 và hệ số tự do là 2017. Dạng 3. Tính giá trị của đa thức
FI
Phương pháp giải
Ví dụ: Tính giá trị của đa thức: Q x x 2 2 x x 1 Bước 1. Thu gọn đa thức (nếu cần).
OF
tại x 1
Ta có: Q x x 2 2 x x 1
x 2 x 1. Bước 2. Thay giá trị của biến vào đa thức rồi
Q 1 1 1 1 1
thực hiện các phép tính.
Vậy Q 1 1.
Ví dụ mẫu
ƠN
2
NH
Ví dụ 1. Cho đa thức: P x x 4 5 x3 2 x 5 6 x x 4 4 x3 1.
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của P x theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tính P 0 ; P 1 ; P 3 .
Y
Hướng dẫn giải
QU
a) P x x 4 5 x3 2 x 5 6 x x 4 4 x3 1
x 4 x 4 5 x3 4 x3 2 x 6 x 5 1
x3 4 x 4
KÈ M
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến: P x x3 4 x 4. b) P 0 03 4.0 4 4.
P 1 1 4.1 4 1 4 4 1. 3
P 3 3 4. 3 4 27 12 4 43. 3
Y
Ví dụ 2. Cho đa thức P x 2 x 4 x 2 3.
DẠ
1 a) Tính P 0 ; P ; P 1 . 2
b) Chứng minh rằng: P a P a . Hướng dẫn giải Trang 5
a) P 0 2.04 02 3 3. 4
2
CI AL
1 1 1 1 1 2 24 23 1 1 1 P 2. 3 2. 3 3 . 16 4 8 4 8 8 2 2 2 P 1 2. 1 1 3 2 1 3 4. 4
2
b) Ta có: P a 2. a a 3 2a 4 a 2 3
1 .
2
P a 2. a a 3 2a 4 a 2 3 4
2
2.
FI
4
OF
Từ 1 và 2 ta có: P a P a . Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1. Cho đa thức Q x x3 2 x.
b) Chứng minh rằng Q a Q a với mọi a.
ƠN
a) Tính Q 0 ; Q 1 ; Q 1 ; Q 2 .
Câu 2. Cho đa thức: P x 5 x3 2 x 4 x 2 5 x 2 6 x 4 2 x3 2017 x 2 .
NH
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của P x theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Chỉ ra bậc của P x .
c) Viết các hệ số khác 0 của P x . Nêu rõ hệ số cao nhất và hệ số tự do.
Y
d) Tính P 0 ; P 1 ; P 1 .
a) Thu gọn P x .
QU
Câu 3. Cho đa thức: P x 8 x3 3 x 2 7 x 6 x 4 6 x 4 5 x 5 x3 18 3 x3 3 x 2 .
b) Tính giá trị của x để P x 0; P x 2
ĐÁP ÁN
KÈ M
Câu 4. Tính giá trị của đa thức: P x 1 x 2 x 4 x 6 x8 ... x100 tại x 1 .
Dạng 1. Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức Câu 1.
Y
a) P x x5 3 x3 3x 2x 2 x5 x 4 6x 9 4x 3
DẠ
x5 x5 3 x3 4 x3 3 x 6 x 2 x 2 x 4 9
x3 3 x 2 x 2 x 4 9.
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến P x x 4 x3 2 x 2 3 x 9. Trang 6
b) Q x x 7 x 6 2 x3 x 7 2 x 4 x 6 2 x5 2 x 10 x 4 x 6
x 6 2 x3 x 4 2 x5 2 x 10 Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến Q x x 6 2 x5 x 4 2 x3 2 x 10. Câu 2. a) P x 2 x5 x 2 7 x 1 3 x5 2 x 2 8 x 15
FI
2 x5 3 x5 x 2 2 x 2 7 x 8 x 1 15
b) Các hệ số khác 0 của P x là 14;1;1; 1.
OF
x5 x 2 x 14. Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến P x 14 x x 2 x5
CI AL
x 7 x 7 x 6 x 6 x 6 2 x3 2 x 4 x 4 2 x5 2 x 10
a) P x 4 x 2 5 x3 15 x3 x 4 2 x 5 x 6 x 2 1.
ƠN
Câu 3.
2 x 2 6 x3 3 x 14 x 4 . Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến
P x x 4 6 x3 2 x 2 3 x 14.
NH
4 x 2 6 x 2 5 x3 x3 2 x 5 x 15 1 x 4
Y
1 b) Q x x 6 5 x3 x 2 5 x 4 2 x5 4 x 2 1 x3 . 2
x 6 4 x3
QU
1 x 6 5 x3 x3 x 2 4 x 2 5 x 4 2 x5 1 2
7 2 x 5 x 4 2 x5 1. 2
KÈ M
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến Q x x 6 2 x5 5 x 4 4 x3
Câu 4.
7 2 x 1. 2
a) P x 5 x 4 x5 3 x3 3 x 7 x3 5 9 x 2 8 x 1.
Y
5 x 4 x5 3 x3 7 x3 3 x 8 x 5 1 9 x 2
DẠ
5 x 4 x5 4 x3 11x 4 9 x 2
4 11x 9 x 2 4 x3 5 x 4 x5 .
b) Các hệ số khác 0 của P x là 4; 11;9; 4;5; 1. Dạng 2. Xác định bậc, hệ số của đa thức Trang 7
Câu 1.
CI AL
1 3 a) P x x5 3 x 2 x 4 x x5 5 x 4 x 2 1 x. 2 2 3 1 x5 x5 3 x 2 x 2 x 4 5 x 4 x x 1 2 2
2 x 2 6 x 4 x 1. Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến P x 6 x 4 2 x 2 x 1.
FI
- Hệ số cao nhất của đa thức là 6.
b) Q x x5 4 x 4 3 x
4 7 2 x 3x 4 x5 2 x 4 3 3
4 7 x5 x5 4 x 4 3 x 4 2 x 4 3 x 2 x 3 3
ƠN
3 x 4 5 x 1.
OF
- Hệ số tự do là 1.
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến P x 3 x 4 5 x 1.
NH
- Hệ số cao nhất của P x là 3 . - Hệ số tự do của P x là 1 Câu 2.
Y
a) A x 4 x 4 x3 2 x 2 5 x 11.
- Hệ số tự do là 11. - Hệ số cao nhất là 4.
QU
- Bậc của đa thức là bậc 4.
b) B x x3 2 x 4 x 3 x 2 2019.
KÈ M
- Bậc của đa thức là bậc 4. - Hệ số tự do là 2019. - Hệ số cao nhất là 2.
Câu 3. P x 6 x 2 7 x 8
(Học sinh có thể biết đa thức khác sao cho vẫn đáp ứng được yêu cầu có ba hạng tử và hệ số cao nhất phải Câu 4.
Y
bằng 6, hệ số tự do là 8 ).
DẠ
a) A x 8 x5 2 x 2 11. b) B x 6 x 2 2017. Dạng 3. Tính giá trị của đa thức Trang 8
Câu 1. a) Q 0 03 2.0 0. Q 1 1 2. 1 1 2 1.
CI AL
3
Q 1 13 2.1 1. Q 2 23 2.2 8 4 4. b) Ta có:
FI
Q a a 3 2.a a 3 2a. Q a a 2. a a 3 2a a 3 2a Q a .
OF
3
Vậy Q a Q a với mọi a . Câu 2.
ƠN
a) P x 5 x3 2 x 4 x 2 5 x 2 6 x 4 2 x3 2017 x 2 5 x3 2 x3 2 x 4 6 x 4 x 2 5 x 2 x 2 2017
3 x3 4 x 4 3 x 2 2017.
NH
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến P x 4 x 4 3 x3 3 x 2 2017. b) Bậc của P x là bậc 4.
c) Các hệ số khác 0 của P x là 4;3;3; 2017.
QU
- Hệ số tự do là 2017.
Y
- Hệ số cao nhất là 4
d) P 0 4.04 3.03 3.02 2017 2017.
P 1 4.14 3.13 3.12 2017 4.1 3.1 3.1 2017 2019. P 1 4. 1 3. 1 3. 1 2017 4.1 3. 1 3.1 2017 2013. 3
2
KÈ M
4
Câu 3.
a) P x 8 x3 3 x 2 7 x 6 x 4 6 x 4 5 x 5 x3 18 3 x3 3 x 2 . 8 x3 5 x3 3 x3 3 x 2 3 x 2 7 x 5 x 6 x 4 6 x 4 18
b)
Y
2 x 18.
P x 2
2 x 18 0
2 x 18 2
2x 18
2 x 20
DẠ
P x 0
Trang 9
x
18 2
x
x 10
CI AL
x 9
20 2
Vậy P x 0 khi x 9
P x 2 khi x 10 Câu 4.
FI
Ta có P 1 1 12 14 16 18 ... 1100 1 1 1 1 1 ... 1 (có 51 số hạng 1)
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
51 .
Trang 10
CHUYÊN ĐỀ Mục tiêu Kiến thức
CI AL
BÀI 5. CỘNG, TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN
+ Hiểu và nắm vững cách cộng, trừ đa thức theo hàng ngang và theo hàng dọc. Kĩ năng
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
FI
+ Thực hiện được cộng, trừ đa thức theo hàng ngang và theo hàng dọc
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cộng hai đa thức A x x 2 x 1
Cách 1: Thực hiện như cộng, trừ đa thức bình
B x x 2 1.
thường
CI AL
Cộng , trừ đa thức một biến
A x B x x 2 x 1 x 2 1
Nhóm các đơn thức đồng dạng;
2 x 2 x 2.
Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng. Cách 2: Đặt tính theo cột dọc
lũy thừa tăng (hoặc giảm) của biến. trừ các số.
B x x2
A x B x 2x2 x 2
Phương pháp giải
ƠN
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính tổng hoặc hiệu của hai đa thức
1
OF
Đặt phép tính theo cột dọc tương tự như cộng
A x x2 x 1
FI
Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng theo
Để tính tổng, hiệu của hai đa thức, ta có thể thực Ví dụ: Cho hai đa thức: P x x 4 3 x3 2 x 2 1 hiện theo hai cách
NH
và Q x x 4 x3 x 1 . Tính P x Q x .
Cách 1. Thực hiện như cộng, trừ đa thức thông
QU
Y
thường.
KÈ M
Cách 2. Đặt tính theo cột dọc
Cách 1.
P x Q x
x 4 3 x3 2 x 2 1 x 4 x3 x 1
x 4 3x3 2 x 2 1 x 4 x3 x 1 x 4 x 4 3 x3 x3 2 x 2 x 1 1
2 x3 2 x 2 x 2 Cách 2.
Chú ý: Đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một
Q x x 4 x3 P x Q x
x 1
2 x3 2 x 2 x 2.
Y
cột.
P x x 4 3x3 2 x 2 1
DẠ
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hai đa thức P x x5 2 x 4 3 x 2 x 2 và Q x x 4 2 x3 x 5. Tính:
a) P x Q x
b) P x Q x . Trang 2
Hướng dẫn giải a)
CI AL
Cách 1. P x Q x x5 2 x 4 3x 2 x 2 x 4 2 x3 x 5
x5 2 x 4 3x 2 x 2 x 4 2 x3 x 5 x5 2 x 4 x 4 2 x3 3 x 2 x x 2 5
FI
x5 x 4 2 x3 3 x 2 3. Cách 2.
Q x
3x 2 x 2
x 4 2 x3
OF
P x x5 2 x 4
x 5
b) Cách 1.
ƠN
P x Q x x5 x 4 2 x3 3 x 2 3.
P x Q x x5 2 x 4 3x 2 x 2 x 4 2 x3 x 5
NH
x5 2 x 4 3x 2 x 2 x 4 2 x3 x 5
x5 2 x 4 x 4 2 x3 3 x 2 x x 5 2
x5 3 x 4 2 x3 3 x 2 2 x 7.
Q x
3x 2 x 2
QU
P x x5 2 x 4
Y
Cách 2.
x 4 2 x3
x5
P x Q x x5 3x 4 2 x3 3x 2 2 x 7
Tính:
KÈ M
Ví dụ 2. Cho hai đa thức P x x 4 3 x5 x 2 4 và Q x x 4 x 2 3 x3 x. a) P x Q x
b) P x Q x .
Hướng dẫn giải
Sắp xếp lại theo lũy thừa giảm dần của biến, ta có:
Y
P x 3 x5 x 4 x 2 4 và Q x x 4 3 x3 x 2 x.
DẠ
a) Tính P x Q x Cách 1. P x Q x 3 x5 x 4 x 2 4 x 4 3 x3 x 2 x 3x5 x 4 x 4 3x3 x 2 x 2 x 4
Trang 3
3 x5 2 x 4 3 x3 2 x 2 x 4. Cách 2.
Q x
x2
4
CI AL
P x 3x5 x 4
x 4 3x3 x 2 x
P x Q x 3x5 2 x 4 3x3 2 x 2 x 4 b) Tính P x Q x .
FI
Cách 1. P x Q x 3 x5 x 4 x 2 4 x 4 3 x3 x 2 x 3x5 x 4 x 4 3x3 x 2 x 2 x 4
3 x5 3 x3 x 4.
Q x P x Q x 3x5
x2
4
x 4 3x3 x 2 x 3x3
x4
NH
P x 3x5 x 4
ƠN
Cách 2.
OF
3x5 x 4 x 2 4 x 4 3x3 x 2 x
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hai đa thức: P x x3 7 x 2 8 x 9 và Q x x 2 2 x 5. Tính:
QU
Y
a) P x Q x .
b) P x Q x .
Câu 2: Cho hai đa thức: P x x 4 2 x3 x 2 5 x 2 và Q x x5 2 x3 x 2 2 Tính: a) P x Q x .
b) P x Q x .
KÈ M
Câu 3: Cho ba đa thức: P x x 6 2 x5 3 x 4 5 x 1; Q x x5 2 x 2 7 x; R x x 2 9 x 11. Tính: a) P x Q x R x .
b) P x Q x R x .
Dạng 2: Tìm đa thức chưa biết trong một đẳng thức Phương pháp giải
Y
Để tìm đa thức chưa biết trong một đẳng thức, ta Ví dụ: Tìm đa thức P x biết
DẠ
làm như sau:
- Xác định vai trò của đa thức chưa biết (đóng vai trò số hạng chưa biết, số bị trừ, số trừ,…)
P x 2 x 3 x5 2 x 4 x3 x 6. Hướng dẫn giải
P x 2 x 3 x5 2 x 4 x3 x 6
Trang 4
- Áp dụng quy tắc dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế và
P x x5 2 x 4 x3 x 6 2 x 3
quy tắc cộng, trừ đa thức một biến để biến đổi.
x5 2 x 4 x3 x 6 2 x 3
CI AL
x5 2 x 4 x3 x 2 x 6 3 x5 2 x 4 x3 3x 9
Vậy P x x5 2 x 4 x3 3 x 9.
FI
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm đa thức P x , biết P x x 4 5 x 4 3 x3 x 1.
OF
Hướng dẫn giải Ta có: P x x 4 5 x 4 3 x3 x 1 P x 5 x 4 3 x3 x 1 x 4
ƠN
5 x 4 3 x3 x 1 x 4 5 x 4 3 x3 x x 1 4
NH
5 x 4 3 x3 3
Ví dụ 2. Tìm đa thức P x , biết x 2 3 x5 P x 5 x5 4 x3 7 x 2 3. Hướng dẫn giải
Ta có: x 2 3 x5 P x 5 x5 4 x3 7 x 2 3
QU
Y
P x x 2 3 x5 5 x5 4 x3 7 x 2 3
x 2 3x5 5 x5 4 x3 7 x 2 3
3 x5 5 x5 4 x3 x 2 7 x 2 3
2 x5 4 x3 6 x 2 3.
KÈ M
Ví dụ 3. Cho hai đa thức A x x3 2x 2 4; B x x 4 3 x 2 5 Tìm đa thức P x , biết: 2 A x P x 3B x . Hướng dẫn giải
Ta có 2 A x P x 3B x P x 3B x 2 A x .
Y
P x 3B x 2 A x 3 x 4 3 x 2 5 2 x 3 2 x 2 4
DẠ
3 x 4 9 x 2 15 2 x3 4 x 2 8
3 x 4 2 x3 9 x 2 4 x 2 15 8
3 x 4 2 x3 5 x 2 23.
Bài tập tự luyện dạng 2 Trang 5
Câu 1: Cho đa thức: A x x 6 5 x5 3 x 4 9 x 2 2 x 1 . Tìm các đa thức B x , C x sao cho: a) A x B x x 2 1.
b) A x C x x3 2 x 6.
a) P x Q x x3 2.
CI AL
Câu 2: Cho đa thức: P x x 4 2 x3 2 x 5. . Tìm các đa thức Q x , R x sao cho: b) R x P x x 2 .
Câu 3: Viết đa thức: A x x3 3 x 2 2 x 8 dưới dạng:
b) Hiệu của hai đa thức một biến.
FI
a) Tổng của hai đa thức một biến.
Câu 4: Cho đa thức: A x 2 x3 3ax 5 (với a là hằng số). Tìm a để P 2 3
OF
Câu 5: Cho F x x 2 n x 2 n 1 ... x 2 x 1; G x x 2 n 1 x 2 n x 2 n 1 ... x 2 x 1 x, n . . Tính giá trị của hiệu F x G x tại x 2 .
Dạng 1. Tính tổng hoặc hiệu của hai đa thức Câu 1.
NH
a) P x Q x x3 7 x 2 8 x 9 x 2 2 x 5
ƠN
ĐÁP ÁN
x3 7 x 2 8 x 9 x 2 2 x 5
x3 7 x 2 x 2 8 x 2 x 9 5
x3 8 x 2 10 x 14.
QU
Y
b) P x Q x x3 7 x 2 8 x 9 x 2 2 x 5
x3 7 x 2 8 x 9 x 2 2 x 5 x3 7 x 2 x 2 8 x 2 x 9 5
Câu 2.
KÈ M
x3 6 x 2 6 x 4.
a) P x Q x x 4 2 x3 x 2 5 x 2 x5 2 x3 x 2 2
x 4 2 x3 x 2 5 x 2 x5 2 x3 x 2 2
x5 x 4 2 x3 2 x3 x 2 x 2 5 x 2 2
Y
x5 x 4 4 x3 5 x.
DẠ
b) P x Q x x 4 2 x3 x 2 5 x 2 x5 2 x3 x 2 2
x 4 2 x3 x 2 5 x 2 x5 2 x3 x 2 2 x5 x 4 2 x3 2 x3 x 2 x 2 5 x 2 2
x5 x 4 2 x 2 5 x 4. Trang 6
Câu 3.
x 6 2 x5 3 x 4 5 x 1 x5 2 x 2 7 x x 2 9 x 11
CI AL
a) P x Q x R x x 6 2 x5 3 x 4 5 x 1 x5 2 x 2 7 x x 2 9 x 11 x 6 2 x5 x5 3 x 4 2 x 2 x 2 5 x 7 x 9 x 1 11
x 6 3 x5 3 x 4 3 x 2 21x 12.
x 6 2 x5 3 x 4 5 x 1 x5 2 x 2 7 x x 2 9 x 11
FI
b) P x Q x R x x5 2 x5 3 x 4 5 x 1 x5 2 x 2 7 x x 2 9 x 11
OF
x 6 2 x5 x5 3 x 4 2 x 2 x 2 5 x 7 x 9 x 1 11
x 6 3 x5 3 x 4 x 2 3 x 10. Dạng 2. Tìm đa thức chưa biết trong một đẳng thức
a) A x B x x 2 1 B x A x x 2 1
NH
x 6 5 x5 3x 4 9 x 2 2 x 1 x 2 1
ƠN
Câu 1. Ta có A x x 6 5 x5 3 x 4 9 x 2 2 x 1.
x 6 5 x5 3x 4 9 x 2 x 2 2 x 1 1
b) A x C x x3 2 x 6
QU
C x A x x3 2 x 6
Y
x 6 5 x5 3 x 4 8 x 2 2 x.
x 6 5 x5 3x 4 9 x 2 2 x 1 x3 2 x 6 x 6 5 x5 3 x 4 x3 9 x 2 4 x 5. Câu 2.
KÈ M
a) Ta có P x Q x x3 2
x 4 2 x3 2 x 5 Q x x3 2
Q x x3 2 x 4 2 x3 2 x 5
x3 2 x 4 2 x3 2 x 5
Y
x 4 3 x3 2 x 3.
DẠ
b) R x P x x 2 R x x 4 2 x3 2 x 5 x 2
R x x 2 x 4 2 x3 2 x 5
Trang 7
x 2 x 4 2 x3 2 x 5 x 4 2 x3 x 2 2 x 5.
CI AL
Câu 3. a) A x x3 3 x 2 3 x x 8 . b) A x x3 3 x 2 2 x 8 . Câu 4.
FI
Ta có P 2 3 2. 2 3.a.2 5 3
OF
3
16 6a 5 3 21 6a 3 6a 18
ƠN
a 3.
Vậy a 3 thì P 2 3. Câu 5.
NH
Ta có F x G x x 2 n x 2 n 1 ... x 2 x 1 x 2 n 1 x 2 n x 2 n 1 ... x 2 x 1
x 2 n x 2 n 1 ... x 2 x 1 x 2 n 1 x 2 n x 2 n 1 ... x 2 x 1 x 2 n 1 x 2 n x 2 n x 2 n 1 x 2 n 1 ... x 2 x 2 x x 1 1
QU
DẠ
Y
KÈ M
Vậy F 2 G 2 22 n 1.
Y
x 2 n 1
Trang 8
CHUYÊN ĐỀ Mục tiêu Kiến thức + Nắm vững định nghĩa nghiệm của đa thức một biến.
CI AL
BÀI 6. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN
+ Nhận biết được số nghiệm của đa thức một biến không vượt quá số bậc của đa thức. Kĩ năng + Tìm được nghiệm của một số đa thức một biến dạng đơn giản.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
+ Biết cách chứng minh đa thức vô nghiệm.
FI
+ Kiểm tra được một số có là nghiệm của đa thức một biến hay không.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Nếu P a 0 thì x a là nghiệm của đa thức
Giá trị x a được gọi là nghiệm của đa thức P x
P x .
CI AL
Nghiệm của đa thức một biến
nếu P a 0
Đa thức bậc nhất chỉ có một nghiệm;
Chú ý
Đa thức bậc hai có không quá hai nghiệm;
Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có một Đa thức bậc ba có không quá ba nghiệm;…
FI
nghiệm, hai nghiệm, … hoặc không có nghiệm. Số nghiệm của một đa thức không vượt quá bậc
OF
của nó II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Kiểm tra nghiệm của đa thức
ƠN
Phương pháp giải
Cho đa thức F x . Kiểm tra xem x a có là Ví dụ: Kiểm ra xem x 1; x 2 có phải là nghiệm của đa thức F x x 2 3 x 2 không?
nghiệm của F x hay không?
NH
Bước 1. Thay x a vào đa thức F x rồi tính ra Hướng dẫn giải +) Thay x 1 vào F x , ta có: kết quả. F 1 1 3. 1 2 1 3 2 0.
là nghiệm của đa thức F x .
Vậy x 1 là nghiệm của đa thức.
Y
Bước 2. Nếu kết quả F a 0 thì x a (hoặc a )
+) Thay x 2 vào F x , ta có: F 2 2 3. 2 2 4 6 2 12 0. 2
Vậy x 2 không là nghiệm của đa thức.
KÈ M
nghiệm của đa thức F x .
QU
Nếu kết quả F a 0 thì x a (hoặc a ) không là
2
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Xét xem x 1; x 0; x 2 có phải là nghiệm của đa thức F x 3 x3 12 x hay không? Hướng dẫn giải
- Thay x 1 vào F x ta có: F 1 3.13 12.1 3 12 9 0.
Y
Vậy x 1 không là nghiệm của đa thức.
DẠ
- Thay x 0 vào F x , ta có: F 0 3. 0 12. 0 0. 3
Vậy x 0 là nghiệm của đa thức. - Thay x 2 vào F x , ta có: F 2 3. 2 12. 2 3.8 12.2 24 24 0. 3
Vậy x 2 là nghiệm của đa thức Trang 2
Bài tập tự luyện dạng 1
a) x
1 có phải là nghiệm của đa thức P x 4 x 2 hay không? 2
CI AL
Câu 1: Kiểm tra xem:
b) Mỗi số x 1; x 2 có phải là một nghiệm của đa thức Q x x 2 3 x 2 không?
Câu 2: Trong tập hợp số 1; 1;5; 5 , số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của đa thức:
FI
F x x 4 2 x3 2 x 2 6 x 5? Dạng 2:Tìm nghiệm của đa thức
OF
Bài toán 1. Tìm nghiệm của đa thức Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức: F x 3 x 9
Bước 1. Cho đa thức F x 0.
F x 0
ƠN
Tìm nghiệm của đa thức F x :
3x 9 0 3x 9
NH
Bước 2. Tìm nghiệm x và kết luận.
x3
QU
Ví dụ mẫu
Y
Vậy x 3 là nghiệm của đa thức.
Ví dụ 1. Tìm nghiệm của các đa thức: a) f x 3 x 8.
KÈ M
b) f x x 3 2 x 5 . c) f x x 2 2 x. Hướng dẫn giải
8 a) f x 0 hay 3 x 8 0 3 x 8 x . 3
Y
8 Vậy nghiệm của đa thức là x . 3
DẠ
b) f x 0 hay x 3 2 x 5 0 x 3 0 hoặc 2 x 5 0 x 3 hoặc 2 x 5
Chú ý: Với đa thức
Trang 3
F x g x .h x .
5 Vậy các nghiệm của đa thức là x 3 và x . 2
Nếu F x 0 thì
g x 0 hoặc h x 0.
c) Ta có x 2 2 x x x 2
f x 0 hay x x 2 0 x 0 hoặc x 2 0
FI
x 0 hoặc x 2
OF
Vậy các nghiệm của đa thức là x 0 và x 2. Bài toán 2. Chứng minh đa thức không có nghiệm Phương pháp giải
Ví dụ: Chứng minh đa thức sau không có nghiệm:
ƠN
Đa thức P x không có nghiệm khi P x 0
CI AL
5 x 3 hoặc x . 2
f x 8 x 2 100.
với mọi x.
Áp dụng tính chất để chứng minh đa thức không có Hướng dẫn giải nghiệm:
NH
Ta có: x 2 0 (với mọi x )
A2 0, A 0.
8x2 0
Khi nhân hai vế với một số âm thì đổi chiều dấu
8 x 2 100 100 0
so sánh. Khi nhân hai vế với một số dương thì giữ
f x 0 với mọi x .
Y
nguyên dấu so sánh. so sánh. Ví dụ mẫu
QU
Khi cộng trừ hai vế cho một số thì giữ nguyên dấu
Vậy đa thức f x không có nghiệm.
Ví dụ. Chứng minh các đa thức sau không có nghiệm:
KÈ M
a) f x 6 x 2 9.
b) f x x 4 1
c) f x 2 x 1 3.
Hướng dẫn giải
a) Ta có x 2 0 (với mọi x )
6x2 0
6x2 9 9 0
Y
f x 0 với mọi x .
DẠ
Vậy đa thức f x không có nghiệm. b) Ta có x 4 0 với mọi x nên x 4 0 với mọi x
x 4 1 1 0
f x 0 với mọi x . Trang 4
Vậy đa thức f x không có nghiệm.
CI AL
c) Ta có 2 x 1 0 với mọi x .
2x 1 0 2 x 1 3 3 0 f x 0 với mọi x .
FI
Vậy đa thức f x không có nghiệm. Bài tập tự luyện dạng 2 a) P x 15 x 5.
OF
Câu 1: Tìm nghiệm của đa thức. b) P x 23 x.
Câu 2: Tìm nghiệm của các đa thức: b) 2 x x 2 ;
c) x 2 5 x 4.
ƠN
a) x 5 2 x 6 ;
Câu 3: Chứng minh rằng các đa thức sau không có nghiệm. a) F x x 2 1.
b) F x x 4 x 2 6.
NH
Câu 4: Chứng minh rằng đa thức sau luôn không có nghiệm. a) x 2 5.
b) x 4 x 2 1.
Y
Câu 5: Tìm nghiệm của đa thức sau: R x x 2 3 x 5.
Phương pháp giải
QU
Dạng 3. Tìm đa thức một biến có nghiệm cho trước
KÈ M
Để tìm đa thức F x , ta căn cứ vào giả thiết: Nếu F x0 k ( k là số bất kỳ) thì F x k tại
DẠ
Y
x x0
Ví dụ: Biết F x ax b, F 0 0, F 1 2. Tìm F x Hướng dẫn giải Thay x 0 vào F x , ta có: F 0 a.0 b b. Do F 0 0 nên b 0 1 Thay x 1 vào F x ta có:
F 1 a. 1 b a b. Do F 1 2 nên a b 2 2 Thay 1 vào 2 ta có: a 0 2 a 2 Vậy F x 2 x.
Ví dụ mẫu Trang 5
Ví dụ 1. Biết F x ax b, F 2 1, F 1 2 . Tìm F x . Hướng dẫn giải
F 2 1 2a b 1 b 1 2a.
CI AL
Thay x 2 vào F x ta có: F 2 2a b. Do đó
1
Thay x 1 vào F x ta có: F 1 a.1 b a b . Do đó
2
FI
F 1 2 a b 2
1 Thay 1 vào 2 ta có: a 1 2a 2 3a 1 a . 3
OF
1 2 5 Khi đó: b 1 2a 1 2. 1 . 3 3 3 1 5 Vậy F x x . 3 3
Hướng dẫn giải
ƠN
Ví dụ 2. Biết F x ax 2 bx, F 1 1, F 1 1 . Tìm F x .
Thay x 1 vào F x ta có: F 1 a. 1 b. 1 a b. Khi đó F 1 1 a b 1 a 1 b.
NH
2
1
Thay x 1 vào F x ta có: F 1 a. 1 b.1 a b. 2
2
Y
Khi đó F 1 1 a b 1.
Suy ra a b 1 1 1 0. Vậy F x x. Bài tập tự luyện dạng 3
QU
Thay 1 vào 2 ta có: 1 b b 1 2b 2 b 1.
KÈ M
Câu 1. Cho P x ax b, biết P 0 5; P 2 0 . Tìm P x . Câu 2. Cho đa thức: F x x 2 mx 2. a) Xác định m để F x nhận x 2 làm một nghiệm. b) Tìm tập hợp các nghiệm của F x ứng với giá trị vừa tìm được của m.
Y
Câu 3. Cho biết 2 x 4 .F x x 1 .F x 1 với mọi x. Chứng minh rằng F x có ít nhất hai
DẠ
nghiệm.
Trang 6
ĐÁP ÁN
CI AL
Dạng 1. Kiểm tra nghiệm của đa thức Câu 1. 1 1 1 a) Thay x vào P x 4 x 2, ta có P 4. 2 2 2 0. 2 2 2
FI
1 Vậy x là nghiệm của đa thức P x . 2
b) – Thay x 1 vào Q x x 2 3 x 2 ta có Q 1 1 3.1 2 1 3 2 0. Vậy x 1 là nghiệm của đa thức Q x . - Thay x 2 vào Q x , ta có Q 2 2 3.2 2 4 6 2 0. 2
ƠN
Vậy x 2 là nghiệm của đa thức Q x .
OF
2
Câu 2.
1. Thay x 1 vào F x , ta có F 1 14 2.13 2.12 6.1 5 0. 2. Thay x 1 vào F x , ta có
NH
Vậy x 1 là nghiệm của đa thức.
F 1 1 2. 1 2. 1 6. 1 5 1 2 2 6 5 8 F 1 0. 4
3
2
Vậy x 1 không là nghiệm của đa thức.
Y
3. Thay x 5 vào F x , ta có F 5 54 2.53 2.52 6.5 5 625 2.125 2.25 30 5 800 0.
QU
Vậy x 5 không là nghiệm của đa thức. 4. Thay x 5 vào F x , ta có
F 5 5 2. 5 2. 5 6. 5 5 625 2. 125 2.25 30 5 360 0. 4
3
2
KÈ M
Vậy x 5 không là nghiệm của đa thức. Dạng 2. Tìm nghiệm của đa thức Câu 1.
5 1 . 15 3
Y
a) Ta có P x 0 15 x 5 0 15 x 5 x 1 là nghiệm của đa thức P x 3
DẠ
Vậy x
b) Ta có P x 0 23 x 0 x 23. Vậy x 23 là nghiệm của đa thức P x Câu 2. Trang 7
a) x 5 2 x 6 0. x 5 0 hoặc 2 x 6 0
CI AL
x 5 hoặc 2 x 6 x 5 hoặc x 3
Vậy x 5 và x 3 là các nghiệm của đa thức. b) 2 x x 2 0
FI
2 x 0 hoặc x 2 0 x 0 hoặc x 2
OF
Vậy x 0 và x 2 là các nghiệm của đa thức. c) x 2 5 x 4 0
x2 x 4x 4 0 2
x 4 4x 0
ƠN
x
x x 1 4 x 1 0
x 1 x 4 0
NH
x 1 0 hoặc x 4 0. x 1 hoặc x 4.
Vậy x 1 và x 4. là các nghiệm của đa thức Câu 3.
Y
a) F x x 2 1.
QU
Ta có x 2 0 với mọi x x 2 1 1 0
F x x 2 1 không có nghiệm b) F x x 4 x 2 6.
KÈ M
Ta có x 4 0 và x 2 0 với mọi x
x4 x2 0
x 4 x 2 6 6 0 với mọi x Vậy F x không có nghiệm Câu 4.
Y
a) F x x 2 5.
DẠ
Ta có x 2 0 với mọi x x 2 5 5 0 x 2 5 0.
F x x 2 5 không có nghiệm
b) F x x 4 x 2 1. Trang 8
Ta có x 4 0 và x 2 0 với mọi x
x4 x2 0 x4 x2 0
CI AL
x 4 x 2 1 1 0 với mọi x Vậy F x không có nghiệm Câu 5.
R x x 2 3x 5 3 3 9 11 x x 2 2 4 4
FI
x2
OF
3 3 3 11 x x x 2 2 2 4 3 3 11 x x 2 2 4 2
ƠN
3 11 x 0 2 4 Suy ra R x 0 với mọi x.
NH
Vậy đa thức R x không có nghiệm.
Dạng 3. Tìm đa thức một biến có nghiệm cho trước
QU
P 0 5 a.0 b 5 b 5
Y
Câu 1. Ta có
P 2 0 a.2 b 0 2a b 0 Thay 1 vào 2 ta có: 2a 5 0 a
1 2
5 . 2
Câu 2.
KÈ M
5 Vậy P x x 5. 2
a) Để F x nhận 2 làm nghiệm thì F 2 0
Y
22 m.2 2 0 6 2m 0 m 3.
DẠ
Vậy với m 3 thì F x nhận 2 làm một nghiệm b) Với m 3 ta có F x x 2 3 x 2.
F x 0 Trang 9
x 2 3x 2 0 x2 x 2x 2 0 2
x 2x 2 0
CI AL
x
x x 1 2 x 1 0
x 1 x 2 0. x 1 0 hoặc x 2 0
FI
x 1 hoặc x 2
Vậy các nghiệm của F x là x 1; x 2. .
OF
Câu 3. Vì 2 x 4 .F x x 1 .F x 1 với mọi x nên
Vậy x 3 là một nghiệm của F x .
Vậy x 1 là một nghiệm của F x .
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
Do đó F x có ít nhất hai nghiệm là 3 và 1.
NH
+) Khi x 1 thì 2 F 1 0.F 2 F 1 0.
ƠN
+) Khi x 2 thì 0.F 2 1.F 3 F 3 0.
Trang 10