CHUYÊN ĐỀ TOÁN 8 (ĐẠI SỐ) NHÓM GIÁO VIÊN CHUYÊN SƯ PHẠM LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

CHUYÊN ĐỀ TOÁN NHÓM CHUYÊN SƯ PHẠM

vectorstock.com/10212081

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 8 (ĐẠI SỐ) NHÓM GIÁO VIÊN CHUYÊN SƯ PHẠM LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

CHUYÊN ĐỀ 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC Mục tiêu  Kiến thức

CI AL

BÀI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC.

+ Trình bày được quy tắc về các phép tính: Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.

 Kĩ năng

+ Thực hiện thành thạo các phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.

+ Làm được các bài toán về chứng minh đẳng thức, các bài toán về số học. + Tính nhanh giá trị biểu thức bằng cách thu gọn biểu thức.

DẠ

KÈ M

ƠN

+ Làm được các bài toán tìm x dựa vào các phương pháp đã học.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Ví dụ: x  x  2   x.x  x.2  x 2  2 x;

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn

 x  1 x  x.x  1.x  x 2  x.

thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại với

CI AL

Quy tắc nhân đơn thức với đa thức

nhau.

A.  B  C   A.B  A.C. Quy tắc nhân đa thức với đa thức

Ví dụ:

tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi

 x 2  2 x  x  2  x 2  3 x  2.

 A  B  .  C  D   A.C  A.D  B.C  B.D. Các phép toán về lũy thừa n

mn

Ví dụ:

;

x 2 .x 5  x 2  5  x 7 ;

ƠN

a .a  a m

a m : a n  a m  n  a  0; m  n  ;

x8 : x 6  x8 6  x 2  x  0  ;

a m .b m   a.b  ; a m : bm   a : b 

b  0 ;

 a m.n .

x3 . y 3   x. y  ; 3

x4 : y 4   x : y 

x 

3 2

 y  0 ;

 x3.2  x 6 .

m n

a 

 x.x  x.2  1.x  1.2

cộng các tích lại với nhau.

 x  1 x  2   x.  x  2   1.  x  2 

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Làm phép tính nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức Phương pháp giải

KÈ M

Thực hiện theo 2 bước Bước 1. Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức

và quy tắc nhân đa thức với đa thức.

Hướng dẫn giải

 x  3 x  2   x  x  2   3  x  2   x.x  x.2  3.x  3.2

 x 2  2 x  3x  6  x 2  x  6.

DẠ

Bước 2. Cộng các tích với nhau.

Ví dụ: Thực hiện phép tính  x  3 x  2  .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức

Trang 2

3  b) 2 x3   x 2  2 x   ; 2 

c)   x 2  x3  3 x  1 ;

d)  x 2 y  xy 2  3  2 xy  .

CI AL

a) x  2 x 2  x  1 ;

Hướng dẫn giải a) Ta có x  2 x 2  x  1  x.2 x 2  x.x  x.1  2 x3  x 2  x.

3 3  b) Ta có 2 x3   x 2  2 x    2 x3 .   x 2   2 x3 .2 x  2 x3 . 2 2 

c) Ta có   x 2  x3  3 x  1    x 2  .x3    x 2   3 x     x 2   1

  x5  3x3  x 2 .

 2 x5  4 x 4  3 x3 .

 2 x3 y 2  2 x 2 y 3  6 xy. Ví dụ 2. Thực hiện phép tính

ƠN

d) Ta có  x 2 y  xy 2  3  2 xy   x 2 y.  2 xy   xy 2 .  2 xy   3.  2 xy 

b)  x  y   x 2  xy  y 2  ;

c)  x  1 x  2  x  1 ;

d) x 1  3 x  4  3 x    x  4  3 x  5  .

a)  x  y  x  y  1 ;

Hướng dẫn giải

a)  x  y  x  y  1  x  x  y  1  y  x  y  1

 x.x  x. y  x.1  y.x  y. y  y.1

 x 2  xy  x  xy  y 2  y  x 2  y 2  x  y.

b)  x  y   x 2  xy  y 2   x  x 2  xy  y 2   y  x 2  xy  y 2 

KÈ M

 x.x 2  x.xy  x. y 2  y.x 2  y.xy  y. y 2

 x3  x 2 y  xy 2  x 2 y  xy 2  y 3  x3  y 3 .

DẠ

c) Ta có  x  1 x  2  x  1   x.  x  2   1.  x  2    x  1   x 2  2 x  x  2   x  1

  x 2  3 x  2   x  1

 x 2 .  x  1  3 x.  x  1  2.  x  1  x 2 .x  x 2 .1  3 x.x  3 x.1  2.x  2.1  x3  x 2  3x 2  3x  2 x  2 Trang 3

 x3  2 x 2  x  2. d) Ta có x 1  3 x  4  3 x    x  4  3 x  5 

CI AL

  x  x.3 x  4  3 x    x.  3 x  5   4  3 x  5     x  3 x 2   4  3 x    3 x 2  5 x  12 x  20 

 x.  4  3 x   3 x 2  4  3 x   3 x 2  7 x  20

 4 x  3 x 2  12 x 2  9 x3  3 x 2  7 x  20  9 x3  18 x 2  11x  20.

Ví dụ 3. Cho hai đa thức A  x3  2 x 2  3x  1 và B  x3  2x 2  1. Tính A.B. Hướng dẫn giải Ta có A.B   x3  2 x 2  3x  1 .  x3  2x 2  1

ƠN

 x3  x3  2x 2  1  2 x 2 .  x3  2x 2  1  3x.  x3  2x 2  1  1.  x3  2x 2  1

 x3 .x3  x3 .2 x 2  x3 .1  2 x 2 .x3  2 x 2 .2 x 2  2 x 2 .  1  3 x.x3  3 x.2 x 2 3 x.  1  1.x3  1.2 x 2  1.  1

 x 6  2 x5  x3  2 x5  4 x 4  2 x 2  3x 4  6 x3  3x  x3  2 x 2  1  x 6  x 4  6 x3  4 x 2  3 x  1. Vậy A.B  x 6  x 4  6 x3  4 x 2  3 x  1.

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Nhân đa thức x  1 với đa thức x  2 ta được tích là A. x 2  2.

B. 2 x  3.

C. x 2  3 x  2.

D. x 2  3 x  2.

Câu 2: Tích của đa thức 4 x 2  6 xy  9 y 2 và đa thức 2 x  3 y bằng B. 8 x3  9 y 3 .

KÈ M

A. x3  y 3 .

C. 8 x3  y 3 .

D. 8 x3  27 y 3 .

Câu 3: Nhân đơn thức x3 với đa thức 5  2x ta được tích là A. 5 x3  2 x 4 .

B. 5 x3  2 x

C. x3  5  2 x.

D. 5 x 4  2 x3 .

Bài tập nâng cao

Câu 4: Thực hiện các phép tính

a)  x  2  x  3 .

DẠ

c) x 1  x  4  3 x    x  4  3 x  5  .

b)  2 x  1  6 x 2  3 x  3 . d)  x 2 y  xy 2  x 4 y 2  x3 y 3  x 2 y 4  .

Câu 5: Thực hiện phép nhân a)  5 x 2  3 x3  4 x  1 2 x 2  3 .

b)  2 x 2  3 x  5  x 2  4  .

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Trang 4

Phương pháp giải Muốn tính giá trị biểu thức tại các giá trị của biến, Ví dụ: Tính giá trị biểu thức

Bước 1. Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức.

Hướng dẫn giải M   x  1  x 2  x  1

CI AL

M   x  1  x 2  x  1 tại x  10

ta thực hiện theo các bước sau:

 x.  x 2  x  1  1.  x 2  x  1

 x.x 2  x.x  x.1  1.x 2  1.x  1.1 Bước 2. Rút gọn các đơn thức đồng dạng.

 x3  x 2  x  x 2  x  1

gọn.

 x3  1.

Bước 3. Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút

 x3  x 2  x 2  x  x  1

Thay x  10 vào biểu thức M  x3  1, ta được

ƠN

M  103  1  1000  1  999.

Vậy M  999 khi x  10.

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tính giá trị biểu thức

a) A  2 x  x  y   y  2 x  y  tại x  2 và y  2.

b) B  2  x  1 x  1   2 x  1 x  1 tại x  2.

1 1 c) C   4 x 2  2 xy  y 2   2 x  y  với x  ; y  . 2 3

Hướng dẫn giải

a) A  2 x  x  y   y  2 x  y  tại x  2 và y  2.

KÈ M

Ta có A  2 x  x  y   y  2 x  y 

 2 x.x  2 x. y  y.2 x  y. y

 2 x 2  2 xy  2 xy  y 2  2x2  y 2 .

Thay x  2 và y  2 vào biểu thức A  2 x 2  y 2 .

Ta được A  2.  2    2   8  4  4. 2

DẠ

Vậy A  4 khi x  2 và y  2. b) B  2  x  1 x  1   2 x  1 x  1 tại x  2. Ta có B  2  x  1 x  1   2 x  1 x  1 Trang 5

  2 x  2  x  1   2 x  1 x  1  2 x  x  1  2  x  1  2 x  x  1  1.  x  1

CI AL

 2  x  1  1.  x  1    x  1   x  1. Thay x  2 vào biểu thức B   x  1 , ta được B  2  1  3. Vậy B  3 khi x  2.

1 1 c) C   4 x 2  2 xy  y 2   2 x  y  với x  ; y  . 2 3

Ta có C   4 x 2  2 xy  y 2   2 x  y 

 4 x 2 .  2 x  y   2 xy.  2 x  y   y 2 .  2 x  y 

 4 x 2 .2 x  4 x 2 . y  2 xy.2 x  2 xy. y  y 2 .2 x  y 2 . y  8 x3  4 x 2 y  4 x 2 y  2 xy 2  2 xy 2  y 3

ƠN

 8 x3  y 3 .

Vậy C 

28 1 1 khi x  ; y  . 27 2 3

Ví dụ 2. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức

1 1  1   1  28 Thay x  ; y  vào biểu thức C  8 x3  y 3 , ta được C  8.       . 2 3  2   3  27

1 a) D  x  y 2  xy   y  x 2 y  xy  x 2  tại x  ; y  2. 2

Hướng dẫn giải

1 b) E  x 2  y 2  xy 2  1    x3  x 2  1 y 2 tại x  1; y  . 2

a) Ta có D  x  y 2  xy   y  x 2 y  xy  x 2 

KÈ M

 x. y 2  x.xy  y.x 2 y  y.xy  y.x 2  xy 2  x 2 y  x 2 y 2  xy 2  x 2 y  x 2 y 2 . 2

1 1 2 1 Thay x  ; y  2 vào biểu thức D  x 2 y 2 , ta được D    .  2   4.  1. 2 4 2

1 Vậy D  1 khi x  ; y  2. 2

DẠ

b) Ta có E  x 2  y 2  xy 2  1    x3  x 2  1 y 2

 x 2 . y 2  x 2 .xy 2  x 2 .1  x3 . y 2  x 2 . y 2  1. y 2

 x 2 y 2  x3 y 2  x 2  x3 y 2  x 2 y 2  y 2  x 2  y 2 .

Trang 6

1 1 3 1 Thay x  1; y  vào biểu thức E  x 2  y 2 , ta được E  12     1   . 2 4 4 2 3 1 khi x  1; y  . 4 2

CI AL

Vậy E 

Ví dụ 3. Tính giá trị biểu thức

M  x8  100 x 7  100 x 6  100 x5  100 x 4  100 x3  100 x 2  100 x  1 tại x  101.

Hướng dẫn giải Với x  101 , ta thay 100  x  1 vào biểu thức M .

Ta có

M  x8   x  1 x 7   x  1 x 6   x  1 x5   x  1 .x 4   x  1 .x3   x  1 .x 2   x  1 .x  1  x8  x8  x 7  x 7  x 6  x 6  x 5  x 5  x 4  x 4  x 3  x 3  x 2  x 2  x  1

ƠN

 x 1  101  1  100.

Vậy M  100 khi x  101.

Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản

Câu 1: Giá trị của biểu thức  x 2  1 x 2  1 tại x  1 là A. 1.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

B. 6.

A. 5.

Câu 2: Giá trị của biểu thức  x 2  3 x 2  3 tại x  2 là C. 7.

D. 8.

Câu 3: Giá trị biểu thức x 4  1001x3  1001x 2  1001x  1001 tại x  1000 bằng A. 1000000000. Bài tập nâng cao

B. 1000.

C. 0.

D. 1.

KÈ M

Câu 4: Tính giá trị của biểu thức

a) A  b3  c3  ab 2  ac 2  abc biết a  b  c  0. b) B  x5  5 x 4  5 x3  5 x 2  5 x  1 với x  4. c) C  x 7  80 x 6  80 x5  80 x 4  ...  80 x  15 với x  79. Dạng 3. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

DẠ

Phương pháp giải

Ví dụ: Chứng minh rằng biểu thức

P   2 x  1 x  1   x  1 2 x  3  2 x  7 Có giá trị không phụ thuộc vào x. Hướng dẫn giải

Trang 7

Bước 1. Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa

P  2 x.  x  1  1.  x  1  x.  2 x  3  1.  2 x  3  2 x  7

thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức.

 2 x 2  2 x  x  1  2 x 2  3x  2 x  3  2 x  7   2x 2  2x 2    x  3 x  2 x   1  3  7  9 (điều phải chứng minh).

để thu được kết quả không còn chứa biến. Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Chứng minh các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào biến x .

a)  3 x  7  2 x  3   3 x  5  2 x  11 .

a) Ta có  3 x  7  2 x  3   3 x  5  2 x  11

 6 x 2  9 x  14 x  21  6 x 2  33 x  10 x  55   6 x 2  6 x 2   14 x  9 x  33 x  10 x   21  55

 76 (điều phải chứng minh).

ƠN

 3 x.  2 x  3  7  2 x  3  3 x.  2 x  11  5.  2 x  11

b)  3 x 2  2 x  1 x 2  2 x  3  4 x  x 2  1  3 x 2  x 2  2  . Hướng dẫn giải

CI AL

Bước 2. Áp dụng các quy tắc rút gọn đa thức

b) Ta có  3 x 2  2 x  1 x 2  2 x  3  4 x  x 2  1  3 x 2  x 2  2 

 3 x 2 .  x 2  2 x  3  2 x.  x 2  2 x  3  1.  x 2  2 x  3  4.x.x 2  4 x.  1

3 x 2 .x 2  3 x 2 .2

4 x  3 x 4  6 x 2

 3 x 2 .x 2  3 x 2 .2 x  3 x 2 .3  2 x.x 2  2 x.2 x  2 x.3  1.x 2  1.2 x  1.3  4 x3

 3x 4  6 x3  9 x 2  2 x3  4 x 2  6 x  x 2  2 x  3  4 x3  4 x  3x 4  6 x 2   3x 4  3x 4    6 x3  2 x3  4 x3    9 x 2  4 x 2  x 2  6 x 2 

KÈ M

  6 x  2 x  4 x   3

 3 (điều phải chứng minh).

Ví dụ 2. Chứng minh các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào biến x, y a)  x  1  x 2  y    x 2  y   x  2   x  x  2 y   3  y  5  .

b) 6  x3 y  x  3  6 x  2 xy 2  1  3 x 2 y  2 x  4 y  .

DẠ

Hướng dẫn giải

a) Ta có  x  1  x 2  y    x 2  y   x  2   x  x  2 y   3  y  5   x.  x 2  y   1 x 2  y   x 2 .  x  2   y.  x  2   x 2  2 xy  3 y  15

Trang 8

 x.x 2  x. y  1.x 2  1. y  x 2 .x  x 2 .  2   y.x  y.  2   x 2  2 xy  3 y  15

  x3  x3    2 x 2  x 2  x 2    xy  xy  2 xy    3 y  y  2 y   15  15 (điều phải chứng minh).

b) Ta có 6  x3 y  x  3  6 x  2 xy 2  1  3 x 2 y  2 x  4 y 

 6.x3 y  6.x  6.3  6 x.2 xy 2  6 x.1  3 x 2 y.2 x  3 x 2 y.  4 y 

 18 (điều phải chứng minh).

Bài tập tự luyện dạng 3

ƠN

Bài tập cơ bản

 6 x3 y  6 x  18  12 x 2 y 2  6 x  6 x3 y  12 x 2 y 2   6 x3 y  6 x3 y   12 x 2 y 2  12 x 2 y 2    6 x  6 x   18

CI AL

 x3  xy  x 2  y  x3  2 x 2  xy  2 y  x 2  2 xy  3 y  15

Câu 1. Giá trị của đa thức nào sau đây không phụ thuộc vào biến x ?

B.  x  7  x  3   3 x  5  2 x  11 .

C.  2 x  7  2 x  3   2 x  5  2 x  11 .

D.  3 x  7  x  1   3 x  2  x  4  .

A.  x  7  x  3   x  5  x  11 .

Câu 2. Giá trị của đa thức nào sau đây không phụ thuộc vào biến x ? A.  3 x  7  2 x  3   3 x  5  2 x  11 . C.  3 x  7  2 x  3   3 x  5  2 x  11 .

D.  3 x  7  2 x  3   3 x  5  2 x  11 .

Bài tập nâng cao

B.  3 x  7  2 x  3   3 x  5  2 x  11 .

Câu 3. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến a) 5 x  5 x  2    5 x  1 5 x  1  10 x. b)  x  8  x  4   x  x  12   32.

KÈ M

c)  2 x  3 3 x  1  6 x  x  2   19  x  1 . Dạng 4. Tìm x từ điều kiện cho trước Phương pháp giải

Bước 1. Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa

Ví dụ: Tìm x biết 5  2 x 2  1   5 x  4  2 x  3  0. Hướng dẫn giải 5  2 x 2  1   5 x  4  2 x  3  0

DẠ

thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức.

Bước 2. Nhóm các đơn thức đồng dạng và rút gọn biểu thức ở hai vế để tìm x

10 x 2  5  10 x 2  15 x  8 x  12  0

10 x

 10 x 2    8 x  15 x   12  5  0 7 x  7  0 7 x  7

Trang 9

x  1.

CI AL

Vậy x  1. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm x biết a) 4  x  3 3 x  2   3  x  1 4 x  1  27.

b)  x  1  3 x 2  x  1  x 2  4  3 x   2.

Hướng dẫn giải a) Ta có  4 x  12  3 x  2    3 x  3 4 x  1  27

 4 x.  3 x  2   12.  3 x  2   3 x.  4 x  1  3.  4 x  1  27

c)  x  1 x  2    x  1 x  3  3 x  1.

 12 x 2  8 x  36 x  24  12 x 2  3 x  12 x  3  27

ƠN

 4 x.3 x  4 x.2  12.3 x  12.  2   3 x.4 x  3 x.  1  3.4 x  3.  1  27  12 x 2  12 x 2    8 x  36 x  3 x  12 x    24  3  27

 43 x  27  27  43 x  0  x  0.

Vậy x  0

b) Ta có  x  1  3 x 2  x  1  x 2  4  3 x   2

 x.  3 x 2  x  1  1.  3 x 2  x  1  x 2 .4  x 2 .  3 x   2

 x.3 x 2  x.   x   x.1  1.3 x 2  1.   x   1  4 x 2  3 x3  2

KÈ M

 3x3  x 2  x  3x 2  x  1  4 x 2  3x3  2

  3x3  3x3    3x 2  x 2  4 x 2    x  x   1  2

 6x2  1  2  6x2  1

1 1 x . 6 6

 x2 

1 . 6

DẠ

Vậy x  

c) Ta có  x  1 x  2    x  1 x  3  3x  1

 x.  x  2   1.  x  2   x.  x  3  1 x  3  3 x  1 Trang 10

 x.x  x.2  1.x  1.2  x.x  x.  3  1.x  1.  3  3 x  1  x 2  2 x  x  2  x 2  3x  x  3  3x  1

CI AL

  x 2  x 2    2 x  x  3x  x  3x   2  3  1  1  1 (luôn đúng).

Vậy đẳng thức thỏa mãn với mọi x. Bài tập tự luyện dạng 4

Câu 1. Tìm x biết a)  x  8  x  6   x 2  104.

b)  x  1 x  2    x  3 x  4   6. c) 3  2 x  1 x  2   2  3 x  2  x  4   19.

Phương pháp giải

ƠN

Dạng 5. Chứng minh đẳng thức

Ví dụ: Chứng minh rằng

 x  2  x  3   x  1 2 x  3  3  x 2  3 . Hướng dẫn giải

Bước 1. Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức với đa thức biến đổi các vế của đẳng thức

Bước 2. Thu gọn đa thức để đưa hai vế về cùng một

biểu thức.

Ví dụ mẫu

Bước 3. Kết luận.

VT  x.  x  3  2.  x  3  x.  2 x  3  1.  2 x  3  x 2  3x  2 x  6  2 x 2  3x  2 x  3   x 2  2 x 2    3x  2 x  3x  2 x   9

 3 x 2  9  3  x 2  3  VP.

Vậy VT  VP (điều phải chứng minh)

KÈ M

Ví dụ 1. Chứng minh rằng

a)  3 x  2 y  5 x  y   y 2  15 x 2  7 xy  3 y 2 . b)  x  y  x  y   9 y 2   x  2 y  x  5 y   3 xy. Hướng dẫn giải

a) Ta có VT   3 x  3 y  5 x  y   y 2

DẠ

 3 x.  5 x  y   2 y.  5 x  y   y 2  3 x.5 x  3.x. y  2 y.5 x  2 y.   y   y 2

 15 x 2  3 xy  10 xy  2 y 2  y 2

 15 x 2  7 xy  3 y 2  VP. Trang 11

 điều phải chứng minh. b) Ta có VT   x  y  x  y   9 y 2

CI AL

 x.  x  y   y  x  y   9 y 2

 x.x  x. y  y.x  y. y  9 y 2  x 2  xy  xy  y 2  9 y 2  x 2  10 y 2 .

Ta có VP   x  2 y  x  5 y   3xy

 x  x  5 y   2 y.  x  5 y   3 xy  x.x  x.5 y  2 y.x  2 y.5 y  3 xy

 x 2  5 xy  2 xy  10 y 2  3 xy

ƠN

 x 2  10 y 2 .  VT  VP.

Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 2. Chứng minh rằng

a)  x  a  .  x  b   x 2   a  b  x  a.b.

b)  x  a  x  b  x  c   x3   a  b  c  x 2   ab  bc  ca  x  abc. Hướng dẫn giải

Vậy ta có điều phải chứng minh.

a) VT  x.  x  b   a.  x  b   x 2  b.x  a.x  ab  x 2   a  b  x  ab  VP. b)  x  a  x  b  x  c   x3   a  b  c  x 2   ab  bc  ca  x  abc VT   x.  x  b   a.  x  b   .  x  c 

KÈ M

  x.x  xb  a.x  a.b   x  c 

  x 2   a  b  x  a.b   x  c 

 x3   a  b  x 2  a.bx  x 2 .c  a  b  .c.x  a.b.c  x3   a  b  c  x 2   ab  bc  ca  x  abc

 VP.

DẠ

Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 3.

a) Xác định a, b biết  x  1 x  1  x 2  ax  b. b) Xác định a, b, c, d biết x 2  x  1   2 x  1 x  a   bx3  cx 2  dx  1. Trang 12

Hướng dẫn giải a) Ta có  x  1 x  1  x 2  ax  b

x 2  1  x 2  ax  b. Suy ra a  0; b  1. b) Ta có x 2  x  1   2 x  1 x  a   bx3  cx 2  dx  1

x3  x 2  2 x 2  2ax  x  a  bx3  cx 2  dx  1 x3  x 2   2a  1 x  a  bx3  cx 2  dx  1.

Do đó b  1; c  1; a  1 và 2a  1  d . Suy ra b  1; c  1; a  1 và d  3.

CI AL

x.  x  1  1.  x  1  x 2  ax  b

Bài tập tự luyện dạng 5 Bài tập cơ bản

ƠN

Câu 1. Xác định a, b biết  x  a  x  5   x 2  3x  b với mọi giá trị của x. Dạng 6. Giải bài toán bằng cách đặt ẩn, bài toán số học Phương pháp giải

Ví dụ: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 100.

Bước 1. Gọi số phải tìm và đặt điều kiện.

Hướng dẫn giải Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là

Bước 2. Biểu diễn các dữ kiện của đề bài theo số

phải tìm.

n, n  1, n  2  n    . Tích của hai số đầu là n  n  1 . Tích của hai số sau là  n  1 n  2  .

Bước 3. Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức Vì tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là

KÈ M

và quy tắc nhân đa thức với đa thức để tìm ra đáp 100 nên  n  1 n  2   n  n  1  100 án của bài toán.

n 2  2n  n  2  n 2  n  100 2n  2  100 2n  98 n  49.

Kết hợp điều kiện n  49 thỏa mãn Vậy ba số cần tìm là 49;50 và 51.

DẠ

Bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 52. Hướng dẫn giải Gọi ba số tự nhiên lẻ liên tiếp là n  2; n và n  2 với n   và n là số lẻ. Trang 13

Tích của hai số sau là: n  n  2   n 2  2n.

CI AL

Tích của hai số đầu là: n.  n  2   n 2  2n. Tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 52 nên

n

Từ các ví dụ trên ta có bài

 2n    n 2  2n   52

toán tổng quát:

Với ba số tự nhiên cách đều

4n  52

nhau k đơn vị thì: Hiệu giữa

n  13.

tích hai số cuối và hai số

Kết hợp điều kiện có n  13 (thỏa mãn).

đầu bằng 2k lần số giữa.

Vậy ba số cần tìm là 11;13 và 15.

Ví dụ 2. Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số trước là 624. Hướng dẫn giải

Vì ba số tự nhiên chẵn cách nhau hai đơn vị nên số đứng giữa bằng 642 : 4  156. Vậy ba số cần tìm là 154;156 và 158.

ƠN

Bài tập tự luyện bằng 6 Bài tập cơ bản Câu 1.

a) Cho A  x  2 x  3  2 x  x  1 . Chứng minh rằng A chia hết cho 5 với mọi số nguyên x. b) Cho B   3 x  4  4 y  3   4 x  3 3 y  4  .Chứng minh rằng B chia hết cho 7 với mọi số nguyên x, y. Bài tập nâng cao

Câu 2.

a) Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp. Biết rằng tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số cuối là 38. b) Cho a, b là hai số tự nhiên. Biết rằng a chia cho 3 dư 1, b chia cho 3 dư 2. Chứng minh rằng a.b chia cho 3 dư 2.

KÈ M

Đáp án và lời giải Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản

Câu 1. Chọn C.

Ta có  x  1 x  2   x.  x  2   1.  x  2   x.x  x.2  1.x  1.2  x 2  3 x  2.

Câu 2. Chọn D.

DẠ

Ta có  4 x 2  6 xy  9 y 2   2 x  3 y   4 x 2 .  2 x  3 y   6 xy.  2 x  3 y   9 y 2 .  2 x  3 y 

 4 x 2 .2 x  4 x 2 .  3 y   6 xy.2 x  6 xy.  3 y   9 y 2 .2 x  9 y 2 .  3 y 

 8 x3  12 x 2 y  12 x 2 y  18 xy 2  18 xy 2  27 y 3  8 x3  27 y 3 . Trang 14

Câu 3. Chọn A. Ta có x3  5  2 x   x3 .5  x3 .  2 x   5 x3  2 x 4 .

CI AL

Bài tập nâng cao Câu 4. a)  x  2  x  3  x 2  3 x  2 x  6  x 2  5 x  6. b)  2 x  1  6 x 2  3 x  3  12 x3  6 x 2  6 x  6 x 2  3 x  3  12 x3  9 x  3.

c) x 1  x  4  3 x    x  4  3 x  5 

  x  x 2   4  3 x    x  4  3 x  5 

 4 x  3 x 2  4 x 2  3 x3  3 x 2  12 x  5 x  20  3 x3  10 x 2  11x  20. d)  x 2 y  xy 2  x 4 y 2  x3 y 3  x 2 y 4 

ƠN

 x 2 y.  x 4 y 2  x3 y 3  x 2 y 4   xy 2 .  x 4 y 2  x3 y 3  x 2 y 4 

 x 6 y 3  x3 y 6   x5 y 4  x5 y 4    x 4 y 5  x 4 y 5 

 x 6 y 3  x3 y 6 . a)  5 x 2  3 x3  4 x  1 2 x 2  3

Câu 5.

 x 6 y 3  x5 y 4  x 4 y 5  x5 y 4  x 4 y 5  x3 y 6

b)  2 x 2  3 x  5  x 2  4 

 2 x 4  8 x 2  3 x3  12 x  5 x 2  20

 6 x5  10 x 4  17 x3  17 x 2  12 x  3.

 2 x 4  3 x3  13 x 2  12 x  20.

Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản

 10 x 4  15 x 2  6 x5  9 x3  8 x3  12 x  2 x 2  3

KÈ M

Câu 1. Chọn B.

Ta có  x 2  1 x 2  1  x 4  x 2  x 2  1  x 4  1. Thay x  1 vào biểu thức, ta được  1  1  1  1  0. 4

Câu 2. Chọn C.

Ta có  x 2  3 x 2  3  x 4  3 x 2  3 x 2  9  x 4  9.

DẠ

Thay x  2 vào biểu thức, ta được 24  9  16  9  7. Câu 3. Chọn D. Ta có x 4  1001x3  1001x 2  1001x  1001   x 4  1000 x3    x3  1000 x 2    x 2  1000 x    x  1000   1

 x3  x  1000   x 2  x  1000   x  x  1000    x  1000   1  1 (do x  1000  0 ). Trang 15

Bài tập nâng cao Câu 4.

CI AL

a) Ta có A  b3  c3  ab 2  ac 2  abc   b3  ab 2    c3  ac 2   abc

 b 2  b  a   c 2  c  a   abc  b 2 .c  c 2 .b  abc  bc  b  c  a   0 (do a  b  c  0 ). b) Thay 5  x  1, ta có

B  x5   x  1 x 4   x  1 x3   x  1 x 2   x  1 x  1

 x5  x5  x 4  x 4  x3  x3  x 2  x 2  x  1  x  1 c) Thay 80  x  1, ta có

C  x 7   x  1 x 6   x  1 x5   x  1 x 4  ...   x  1 x  15  x 7  x 7  x 6  x 6  x5  x5  x 4  ...  x 2  x  15

ƠN

 x  15  94.

 4  1  3.

Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản

Câu 1. Chọn D.

Ta có  x  7  x  3   x  5  x  11   x 2  3 x  7 x  21   x 2  11x  5 x  55   2 x 2  16 x  34.

 x  7  x  3   3x  5 2 x  11   x 2  3x  7 x  21   6 x 2  33x  10 x  55  5 x 2  13x  76.

 2 x  7  2 x  3   2 x  5 2 x  11   4 x 2  6 x  14 x  21   4 x 2  22 x  10 x  55  4 x  34. Câu 2. Chọn B. Ta có

 3x  7  x  1   3x  2  x  4    3x 2  3x  7 x  7    3x 2  12 x  2 x  8  15

KÈ M

 3x  7  2 x  3   3x  5 2 x  11   6 x 2  9 x  14 x  21   6 x 2  33x  10 x  55  12 x 2  46 x  34  3x  7  2 x  3   3x  5 2 x  11   6 x 2  9 x  14 x  21   6 x 2  33x  10 x  55  76.  3x  7  2 x  3   3x  5 2 x  11   6 x 2  9 x  14 x  21   6 x 2  33x  10 x  55  18 x  34.  3x  7  2 x  3   3x  5 2 x  11   6 x 2  9 x  14 x  21   6 x 2  33x  10 x  55  66 x  34. Câu 3.

Bài tập nâng cao

b)  x  8  x  4   x  x  12   32

 25 x 2  10 x  25 x 2  1  10 x

 x 2  4 x  8 x  32  x 2  12 x  32

 1.

 0.

DẠ

a) 5 x  5 x  2    5 x  1 5 x  1  10 x

Trang 16

c)  2 x  3 3 x  1  6 x  x  2   19  x  1

 16.

Bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1. a)  x  8  x  6   x 2  104  x 2  6 x  8 x  48  x 2  104  14 x  56  x  4.

Vậy x  4 .

CI AL

 6 x 2  2 x  9 x  3  6 x 2  12 x  19 x  19

b)  x  1 x  2    x  3 x  4   6  x 2  2 x  x  2  x 2  4 x  3 x  12  6  2 x  8  x  4.

Vậy x  4 . c) 3  2 x  1 x  2   2  3 x  2  x  4   19

ƠN

3.  2 x 2  3 x  2   2  3 x 2  10 x  8   19

6 x 2  9 x  6  6 x 2  20 x  16  19 29 x  29 x  1

Vậy x  1 . Bài tập tự luyện dạng 5 Ta có  x  a  x  5   x 2  3 x  b

x 2  5 x  ax  5a  x 2  3 x  b

Câu 1.

x 2   5  a  x  5a  x 2  3 x  b

Do đó 5  a  3;5a  b . Suy ra a  2 và b  10.

KÈ M

Vậy a  2 và b  10. Bài tập tự luyện dạng 6 Bài tập cơ bản Câu 1.

a) Ta có A  x  2 x  3  2 x  x  1  2 x 2  3 x  2 x 2  2 x  5 x.

Vậy A chia hết cho 5 với mọi số nguyên x.

DẠ

b) Ta có B   3 x  4  4 y  3   4 x  3 3 y  4 

 12 xy  9 x  16 y  12  12 xy  16 x  9 y  12  7 x  7 y  7.  x  y  .

Vậy B chia hết cho 7 với mọi số nguyên x, y. Trang 17

Bài tập nâng cao a) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là n; n  1; n  2; và n  3, với n  . Tích hai số đầu là n 2  n. Tích hai số cuối là n 2  5n  6. Theo bài ra, ta có  n 2  5n  6    n 2  n   38

4n  6  38

CI AL

Câu 2.

n  8.

Vậy bốn số cần tìm là 8;9;10 và 11. b) Đặt a  3k  1 và b  3h  2 với h; k  .

Vậy a.b   3k  1 .  3h  2   9hk  3h  6k  2  3  3hk  h  2k   2.

DẠ

KÈ M

ƠN

Vậy a.b chia cho 3 dư 2.

Trang 18

CHUYÊN ĐỀ BÀI 2: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

CI AL

Mục tiêu  Kiến thức

+ Phát biểu được ba hằng đẳng thức đáng nhớ: bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu hai bình phương.

+ Phân biệt được sự khác nhau giữa bình phương của một tổng (hiệu) và tổng (hiệu) của các bình

phương.

+ Vận dụng các hằng đẳng thức trong tính toán, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của các biểu thức.  Kĩ năng

+ Tính nhanh giá trị biểu thức bằng cách thu gọn biểu thức, áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ. + Làm được các bài toán tìm x dựa vào các phương pháp đã học

DẠ

KÈ M

một đa thức, chứng minh bất đẳng thức.

ƠN

+ Biết cách tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Bình phương của một tổng

Ví dụ:

- Bình phương của một tổng bằng tổng hai bình

CI AL

( x  2) 2  x 2  2.x.2  22  x 2  4 x  4

phương của hai số cộng hai lần tích của hai số đó.

( A  B) 2  A2  2 AB  B 2 . Bình phương của một hiệu

Ví dụ:

(2 x  1) 2  (2 x) 2  2.  2 x  .1  12  4 x 2  4 x  1

- Bình phương của một hiệu bằng tổng hai

bình phương của hai số trừ hai lần tích của hai số đó.

Hiệu hai bình phương

Ví dụ:

- Hiệu hai bình phương bằng tích giữa tổng hai số

( A  B) 2  A2  2 AB  B 2 .

25 x 2  9 y 2  (5 x) 2  (3 y ) 2  (5 x  3 y )(5 x  3 y )

và hiệu hai số đó.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức viết lại biểu thức

ƠN

A2  B 2  ( A  B)( A  B) .

Phương pháp giải

Đưa biểu thức về một trong ba dạng hằng đẳng

Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng bình

thức đã học để viết lại biểu thức.

phương của một tổng hoặc hiệu x 2  4 x  4 . Sử dụng hằng đẳng thức:

trong ba hằng đẳng thức đã học.

( A  B) 2  A2  2 AB  B 2 .

Bước 1. Xét xem nên sử dụng hằng đẳng thức nào

Bước 2. Xác định A  ? , B  ?

Xác định A  x , B  2 .

Bước 3. Viết lại biểu thức.

x 2  4 x  4  x 2  2.x.2  22  ( x  2) 2 .

KÈ M

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu. a) x 2  6 x  9

b) x 2  6 x  9

1 c) x  x  4

9 y2 y d) 2   3 . x 4 x

Hướng dẫn giải 2

b) x 2  6 x  9  x 2  2.x.3  32   x  3

DẠ

a) x 2  6 x  9  x 2  2.x.3  32   x  3

1 1 1  1 c) x  x   x 2  2.x.      x   4 2 2  2

Trang 2

9 y2 y 3  y 3 y 3 y d) 2   3        2. .     x 4 x x 2 x 2 x 2

b) 25 

a) x 2  4

CI AL

Ví dụ 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng tích của các biểu thức

1 16 y 2

c) ( x  3) 2  9( y  3) 2 .

Hướng dẫn giải a) x 2  4  x 2  22  ( x  2)( x  2) . 2

 1   1 1  1  b) 25   52      5  5  . 2 16 y 4y  4y   4y  

c) ( x  3) 2  9( y  3) 2  ( x  3) 2  3( y  3) 

 ( x  3) 2  (3 y  9) 2

ƠN

  ( x  3)  (3 y  9)  . ( x  3)  (3 y  9)   ( x  3 y  6)( x  3 y  12) .

Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản

Câu 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu hay tích của các biểu thức:

9 9 y2 9 y   4x2 4 2x

e) 25 x 2 

Đáp án

b) 9 x 2  12 x  4

x2 x 1   4 2 4

a) 4 x 2  4 x  1

9 4

1 f) 4 x 2  ( y  1) 2 . 9

a) 4 x 2  4 x  1   2 x   2.2 x.1  12   2 x  1 . 2

b) 9 x 2  12 x  4   3 x   2.3 x.2  22   3 x  2  . 2

KÈ M

x2 x 1  x  x 1 1  x 1       2. .        . 4 2 4 2 2 2 2 2 2

9 9 y2 9 y  3  3 3y  3y   3 3y    .     2. .        . 2 4x 4 2 x  2x  2x 2  2   2x 2 

f) 4 x 2 

9 3  3 2 3   5x       5x    5x   . 4 2  2 2 

DẠ

e) 25 x 2 

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2  y  1   2 x     y  1   2 x    y     2 x  y    2 x  y   . 9 3  3 3  3 3 3  3

Trang 3

Phương pháp giải Đưa biểu thức về một trong ba dạng hằng

Ví dụ: Tính ( x  2 y ) 2 .

đẳng thức đã học để tính:

CI AL

Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức khai triển biểu thức cho trước

Hướng dẫn giải

nào trong ba hằng đẳng thức đã học.

Sử dụng hằng đẳng thức ( A  B) 2  A2  2 AB  B 2 .

Bước 2. Xác định A  ? , B  ?

Xác định A  x , B  2 y .

Bước 3. Khai triển và tính.

( x  2 y)2

Bước 1. Xét xem sử dụng hằng đẳng thức

 x 2  2.x.2 y  (2 y ) 2

 x?  4 xy  4 y 2

Ví dụ mẫu

ƠN

Ví dụ 1. Khai triển các biểu thức sau.

b) (3 x  2 y ) 2

c) (3 x  1)(3 x  1)

1   d)  x  y  3  6  





2 y 1

a) (2 x  1) 2

x  x  f)   2 y 2    2 y 2  . 2  2 

Hướng dẫn giải

a) (2 x  1) 2  (2 x) 2  2.2 x.1  12  4 x 2  4 x  1 .

b) (3 x  2 y ) 2  (3 x) 2  2.3 x.2 y  (2 y ) 2  9 x 2  12 x. y  4 y 2 . c) (3 x  1)(3 x  1)  (3 x) 2  12  9 x 2  1 . 2

1 1   ( x  3)  2.( x  3). y   y  6 6 

1  1 2  ( x 2  2.x.3  32 )   xy  y   y 3  36

1 1 2  x 2  6 x  9  xy  y  y . 3 36

Bình luận

1 1  1 1       Biến đổi x  y  3   x  y   3   x  y  3    x  y   3 ta vẫn làm được, nhưng quy 6 6  6 6      

DẠ



KÈ M

1 1     d)  x  y  3   ( x  3)  y  6 6    

về tổng hai biểu thức x 

1 1 y  3  ( x  3)  y dễ làm hơn, dễ đúng hơn do ta tách riêng phần 6 6

chứa phân số riêng ra. Trang 4



Tổng quát

(a  b  c) 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca .

CI AL

(a  b  c) 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca . (a  b  c) 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca . e)



  2

2 y 1 



 2. 2 y.1  12  2 y 2  2 2 y  1 . 2

2 x2 x  x  x f)   2 y 2    2 y 2       2 y 2    4 y 4 . 4 2  2  2

Ví dụ 2. Tính

a) ( x  y ) 2  ( x  y ) 2 . b) ( x  y ) 2  ( x  y ) 2 . c) ( x  y  z ) 2 .

ƠN

Hướng dẫn giải

a) ( x  y ) 2  ( x  y ) 2   x 2  2 xy  y 2    x 2  2 xy  y 2   2 x 2  2 y 2 .

b) ( x  y ) 2  ( x  y ) 2   x 2  2 xy  y 2    x 2  2 xy  y 2   4 xy .

c) ( x  y  z ) 2  ( x  y ) 2  2.( x  y ).z  z 2  x 2  2 xy  y 2  2( xz  yz )  z 2

Bài tập tự luyện dạng 2

 x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx .

Đáp án

1 4

B. 4 x 2  2 x 

KÈ M

A. 2 x 2  2 x 

1  Câu 1: Kết quả của phép tính  2 x   là 2 

1 4

C. 4 x 2 

1 4

D. 4 x 2  2 x 

1 . 4

Chọn D.

1 1 1 1 2  Ta có  2 x     2 x   2.  2 x  .     4 x 2  2 x  . 2 2 2 4  Câu 2: Kết quả của tích  x 2  y 2  x 2  y 2  x 4  y 4  x8  y 8  là

DẠ

Đáp án

A. x128  y128

B. x 64  y 64

C. x16  y16

D. x16  y16 .

Chọn C. Ta có  x 2  y 2  x 2  y 2  x 4  y 4  x8  y 8    x 4  y 4  x 4  y 4  x8  y 8    x8  y 8  x8  y 8   x16  y16 .

Trang 5

Câu 3: Tính b) (2 x  3 y ) 2

1   d)  2 x  y  2  2  



g) ( x  y  z ) 2

3y  3

c) (3 x  3)(3 x  3)



x  x  f)   y    y  2  2 

CI AL

a) (3 x  1) 2

h) ( x  y ) 2  ( x  y ) 2  2( x  y )( x  y ) .

Đáp án

a) (3 x  1) 2  9 x 2  6 x  1 .

c) (3 x  3)(3 x  3)  9 x 2  9 . 2

1 1   d)  2 x  y  2   4 x 2  y 2  4  2 xy  2 y  8 x . 2 4  



3y  3



 3  y  1  3  y 2  2 y  1  3 y 2  6 y  3 . 2

2 x  x  x f)   y    y    y 2 . 2  2  4

g) ( x  y  z ) 2  x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx .

ƠN

b) (2 x  3 y ) 2  4 x 2  12 xy  9 y 2 .

h) ( x  y ) 2  ( x  y ) 2  2( x  y )( x  y )   x  y    x  y    4 x 2 . 2

Dạng 3: Sử dụng hằng đẳng thức tính giá trị biểu thức cho trước

Phương pháp giải

Ví dụ: Tính giá trị biểu thức A  ( x  10) 2  x( x  80) tại x  1,1 . Hướng dẫn giải Áp dụng hằng đẳng thức ( A  B) 2  A2  2 AB  B 2 .

nhớ để khai triển và rút gọn.

A  ( x  10) 2  x( x  80)  x 2  20 x  100  x 2  80 x

KÈ M

Bước 1. Áp dụng các hằng đẳng thức đáng

 100 x  100 .

Bước 2. Thay giá trị của biến vào biểu

Thay x  1,1 vào A, ta được

thức đã rút gọn.

A  100.1,1  100  110  100  10 .

Ví dụ mẫu

DẠ

Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức a) A  4 x 2  12 x  9 tại x  b) B  9 x 2  2 xy 

3 . 2

1 2 1 y tại x  , y  3 . 9 3 Trang 6

Hướng dẫn giải Chú ý: Học sinh có thể thay các giá trị của x, y, … ngay vào biểu thức ban đầu để tính nhưng dễ bị nhầm lẫn, sai sót. Ngoài ra trong nhiều trường hợp việc thay trực tiếp có thể không thực hiện được. Quy các biểu thức về bình phương vẫn là cách hay nhất.

Thay x 

3  3  vào A, ta được A   2.  3   62  36 . 2  2  2

b) Ta có B  9 x 2  2 xy 

1 2 1 1  1   y  (3 x) 2  2.3 x. y   y    3 x  y  . 9 3 3  3   2

1  1 1  Thay x  , y  3 vào B, ta được B   3.  .3   0 . 3  3 3 

CI AL

a) Ta có A  4 x 2  12 x  9  (2 x) 2  2.2 x.3  32  (2 x  3) 2 .

Ví dụ 2. Tính giá trị biểu thức A  (2 x  9) 2  x(4 x  31) tại x  16 . Hướng dẫn giải

 4 x 2  36 x  81  4 x 2  31x  5 x  81

ƠN

Ta có A  (2 x  9) 2  x(4 x  31)  (2 x) 2  2.2 x.9  92   4 x 2  31x 

Thay x  16 vào A, ta được A  5.(16)  81  80  81  1 . Bình luận



Ở Ví dụ 1 ta cần quy các biểu thức về bình phương thì ở Ví dụ 2 ta lại khai triển bình phương. Vì sao lại có sự khác biệt như vậy? Vì:

Ở Ví dụ 1: Khi quy về bình phương thì ta được biểu thức gọn gàng hơn.

Ở Ví dụ 2: Đề bài cho sẵn bình phương (2 x  9) 2 và thêm phần  x(4 x  31) không có dạng như nhau để quy về bình phương tiếp mà hãy để ý (2 x) 2  x(4 x)  0 nên khai triển ra rút gọn được biểu thức.

KÈ M

Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản

Câu 1: Giá trị biểu thức 4x 2  y 2 tại x  1009 ; y  2019 là B. 1

A. 1 Đáp án

C. 4037

D. 4037 .

Chọn D.

DẠ

Thay x  1009 ; y  2019 vào biểu thức, ta được 4.10092  20192   2.1009   20192  20182  20192 2

  2018  2019  2018  2019    1 .4037  4037 .

Câu 2: Cho x 2  y 2  26 và xy  5 , giá trị của ( x  y ) 2 là Trang 7

A. 4

B. 16

C. 21

D. 36.

Chọn B. Ta có ( x  y ) 2  x 2  2 xy  y 2   x 2  y 2   2 xy  26  2.5  16 . Câu 3: Tính giá trị biểu thức sau bằng cách hợp lý: P  9 x 2  30 x  25 tại x  2 . Đáp án Biến đổi biểu thức theo hằng đẳng thức P  9 x 2  30 x  25   3 x  5  .

CI AL

Đáp án

Thay x  2 vào biểu thức thì P   3.2  5   1 .

Dạng 4: Sử dụng hằng đẳng thức tính nhanh biểu thức cho trước Phương pháp giải

Ví dụ: Tính nhanh 9992 .

đẳng thức đã học để tính nhanh trong đó A là

Hướng dẫn giải

số tròn chục.

ƠN

Đưa biểu thức số về dạng một trong ba hằng

Suy nghĩ 999 gần nhất với số tròn chục 1000 nên

trong ba hằng đẳng thức đã học.

quy về 999  1000  1 và sử dụng hằng đẳng thức

Bước 1. Xét xem sử dụng hằng đẳng thức nào

( A  B) 2  A2  2 AB  B 2 .

Bước 2. Xác định A  ? , B  ?

Xác định A  1000 , B  1 .

9992  (1000  1) 2  10002  2.1000.1  12  998001 .

Bước 3. Khai triển hoặc viết lại biểu thức và

Ví dụ mẫu Ví dụ 1 Tính nhanh

b) 2012

c) 48.52 .

KÈ M

a) 992

tính nhanh.

Hướng dẫn giải

a) 992  (100  1) 2  1002  2.100.1  12  10000  200  1  9801 . b) 2012  (200  1) 2  2002  2.200.1  12  40000  400  1  40401 . c) 48.52  (50  2)(50  2)  502  22  2500  4  2496 .

Ví dụ 2. Tính bằng cách hợp lý b) 792  192  38.79 .

DẠ

a) 462  542  92.54 Hướng dẫn giải

a) 462  542  92.54  462  2.46.54  542  (46  54) 2  1002  10000 b) 792  192  38.79  792  2.79.19  192  (79  19) 2  602  3600 Trang 8

Bài tập tự luyện dạng 4 a) 9992

b) 5012

CI AL

Câu 1: Tính nhanh c) 498.502 .

Đáp án a) 9992  1000  1  10002  2.1000.1  12  998001 . 2

b) 5012   500  1  5002  2.500.1  12  251001 .

c) 498.502   500  2  500  2   250000  4  249996 .

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức, rút gọn biểu thức Phương pháp giải

ƠN

Bài toán 1. Chứng minh đẳng thức

Ví dụ: Chứng minh rằng ( x  y ) 2  ( x  y ) 2  4 xy . Hướng dẫn giải Cách 1:

Cách 1: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi vế trái về vế phải.

VT  ( x  y ) 2  x 2  2 xy  y 2  ( x 2  2 xy  y 2 )  4 xy  ( x  y ) 2  4 xy  VP

 điều phải chứng minh.

Cách 2:

nhớ để biến đổi vế phải về vế trái.

VP  ( x  y ) 2  4 xy  x 2  2 xy  y 2  4 xy

Cách 2: Áp dụng hằng đẳng thức đáng

 x 2  2 xy  y 2  ( x  y ) 2  VT

 điều phải chứng minh. Cách 3:

nhớ để biến đổi vế trái, vế phải cùng

VT  ( x  y ) 2  x 2  2 xy  y 2 ;

bằng 1 biểu thức

VP  ( x  y ) 2  4 xy  x 2  2 xy  y 2  4 xy

KÈ M

Cách 3: Áp dụng hằng đẳng thức đáng

 x 2  2 xy  y 2 . Vậy VT  VP (điều phải chứng minh).

DẠ

Bài toán 2. Rút gọn biểu thức

Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để

Ví dụ: Rút gọn biểu thức M  ( x  3 y ) 2  (3 y  x) 2 . Hướng dẫn giải Cách 1: Sử dụng hằng đẳng thức

khai triển và rút gọn. Trang 9

( A  B) 2  A2  2 AB  B 2

M  ( x  3 y ) 2  (3 y  x) 2

CI AL

( A  B) 2  A2  2 AB  B 2 .

và

  x 2  6 xy  9 y 2    9 y 2  6 xy  x 2 

 12xy .

Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức

A2  B 2  ( A  B)( A  B) M  ( x  3 y ) 2  (3 y  x) 2

 6 y.2 x

ƠN

 12xy .

  ( x  3 y )  (3 y  x)  . ( x  3 y )  (3 y  x) 

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Chứng minh rằng

b) ( x  y ) 2  ( x  y ) 2 .

a) ( x  y ) 2  ( x  y ) 2  4 xy Hướng dẫn giải

a) VP  ( x  y ) 2  4 xy  x 2  2 xy  y 2  4 xy  x 2  2 xy  y 2  ( x  y ) 2  VT

(điều phải chứng minh).

b) VT  ( x  y ) 2   (1)( x  y )   (1) 2 .( x  y ) 2  ( x  y ) 2  VP (điều phải chứng minh).

Chú ý: Đây là các hằng đẳng thức hay dùng nên ta cần ghi nhớ. Tổng quát:

( A) 2  A2 .

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức ( x  2) 2  ( x  2) 2  2( x  2)( x  2) . Hướng dẫn giải

KÈ M

Ta có ( x  2) 2  ( x  2) 2  2( x  2)( x  2)   ( x  2)  ( x  2)   42  16 . 2

Bài tập tự luyện dạng 5 Bài tập cơ bản

Câu 1: Đẳng thức nào sau đây sai?

A. (a  b) 2  (a  b) 2 .

DẠ

B. (a  b) 2  (a  b) 2  4ab . C. (a  b) 2  (a  b) 2  2  a 2  b 2  . D. (a  b)(a  b)  a 2  b 2 .

Đáp án Trang 10

Chọn B. Ta có (a  b) 2      a  b    (a  b) 2  đáp án A. đúng. 2

CI AL

(a  b) 2  (a  b) 2   a 2  2ab  b 2    a 2  2ab  b 2   4ab  đáp án B. sai.

(a  b) 2  (a  b) 2   a 2  2ab  b 2    a 2  2ab  b 2   2  a 2  b 2   đáp án C. đúng.

(a  b)(a  b)  (a  b)(a  b)  a 2  b 2  đáp án D. đúng. Câu 2: Chứng minh đẳng thức  x 2  4   16 x 2  ( x  2) 2 ( x  2) 2 .

Đáp án

Biến đổi vế trái

x

Áp dụng hằng đẳng thức A2  B 2   A  B  A  B  với A  x 2  4; B  4 x .

 4   16 x 2   x 2  4  4 x  x 2  4  4 x   ( x  2) 2 ( x  2) 2 (điểu phải chứng 2

minh).

ƠN

Bài tập nâng cao

Câu 3: Chứng minh rằng ( x  y ) 2  ( x  y ) 2  2( x  y )( x  y )  4 y 2 . Đáp án

Áp dụng hằng đẳng thức  A  B   A2  2 AB  B 2 với A  x  y; B  x  y .

Vậy ( x  y ) 2  ( x  y ) 2  2( x  y )( x  y )   x  y    x  y    4 y 2 .

Dạng 6: Tìm x

Phương pháp giải

Ví dụ: Tìm x biết ( x  1) 2  4  0 .

đáng nhớ để rút gọn hai vế và

Hướng dẫn giải

đưa về dạng ax  b , từ đó tìm x.

Cách 1: Sử dụng hằng đẳng thức A2  B 2  ( A  B)( A  B) .

DẠ

KÈ M

Áp dụng các hằng đẳng thức

( x  1) 2  4  0  ( x  1) 2  22  0  ( x  1  2)( x  1  2)  0

x  3  0  ( x  3)( x  1)  0    x 1  0  x  3 .  x  1 Vậy x  3;1 . Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức ( A  B) 2  A2  2 AB  B 2 .

( x  1) 2  4  0  x 2  2 x  1  4  0

Trang 11

 x2  2x  3  0

 ( x 2  3 x)  ( x  3)  0  x( x  3)  ( x  3)  0

CI AL

 x 2  (3 x  x)  3  0

Vậy x  3;1 .

 x  3 .  x  1

x  3  0  ( x  3)( x  1)  0    x 1  0

A  B Cách 3: Sử dụng A2  B 2   .  A  B

ƠN

( x  1) 2  4  0  ( x  1) 2  4

 ( x  1) 2  22

x 1  2 x  1 .    x  1  2  x  3

Vậy x  3;1 . Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm x, biết

8 b) x 2  9  x 2  0 . 9

a) ( x  2) 2  1  0 .

c) (3 x  2) 2  (2 x  3) 2  5( x  4)( x  4) . Hướng dẫn giải

KÈ M

a) Sử dụng hằng đẳng thức A2  B 2  ( A  B)( A  B) .

( x  2) 2  1  0  ( x  2) 2  12  0  ( x  2  1)( x  2  1)  0  x 1  0 x  1 .  ( x  1)( x  3)  0    x  3  0 x  3

Vậy x  1;3 .

DẠ

A  B b) Sử dụng hằng đẳng thức A2  B 2   .  A  B 8 8 1  8 x 2  9  x 2  0  1x 2  x 2  9  0  1   x 2  9  0  x 2  9  0 9 9 9  9

 x 2  81  0 Trang 12

x  9 .  x 2  92    x  9

CI AL

Vậy x  9 . c) Sử dụng hằng đẳng thức ( A  B) 2  A2  2 AB  B 2 .

(3 x  2) 2  (2 x  3) 2  5( x  4)( x  4)   9 x 2  12 x  4    4 x 2  12 x  9   5  x 2  16 

25 . 8

Vậy x 

75 25  . 24 8

Bài tập tự luyện dạng 6 Bài tập cơ bản

ƠN

Câu 1: Tìm x, biết a) 4  ( x  2) 2  0 . 3 2 1 1 x  16  x 2  x 2  0 . 4 3 6

 5 x 2  24 x  5  5 x 2  80  24 x  75  x 

Chú ý: Mỗi câu trên làm theo một cách đã trình bày trong phương pháp, học sinh có thể lựa chọn cách làm phù hợp cho từng dạng bài.

1   c) (2 x  1) 2  ( x  1) 2  7  x 2  1  2  x 2  x  . 2  

Đáp án

Vậy x  0; 4 . b)

x  2  2 x  4 2 2 2 a) 4   x  2   0   x  2   4   x  2   22   .   x  2  2  x  0

x  8 3 2 1 1 1 1  1 3 . x  16  x 2  x 2  0   x 2  x 2  x 2   16  x 2  16  x 2  64  82   4 3 6 3 6  4 4  x  8

KÈ M

Vậy x  8 .

1   c) (2 x  1) 2  ( x  1) 2  7  x 2  1  2  x 2  x  2     4 x 2  4 x  1   x 2  2 x  1  7 x 2  7  2 x 2  x  5 x 2  2 x  2  5 x 2  x  7  x  5 .

DẠ

Vậy x  5 .

Dạng 7: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức Phương pháp giải

Bài toán 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Ví dụ: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

thức M.

M  x 2  20 x  101 . Trang 13

Bước 1. Biến đổi M về dạng M  A2  m .

Biến đổi x 2  20 x  101  ( x  10) 2  1 .

Bước 2. Sử dụng tính chất A2  0

Ta có ( x  10) 2  0, x  ( x  10) 2  1  1, x .

CI AL

 A2  m  m . Bước 3. Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi A  0 .

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là m tại A  0 .

( x  10) 2  0  x  10 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1 tại x  10 .

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N  4 x  x 2  5 .

Bước 1. Biến đổi N về dạng N   B 2  n .

Biến đổi 4 x  x 2  5    x 2  4 x  5   ( x  2) 2  1 .

Bước 2. Sử dụng tính chất

Ta có ( x  2) 2  0, x  ( x  2) 2  1  1, x .

Bài toán 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N.

B2  0  B2  0  B2  n  n .

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi ( x  2) 2  0  x  2 .

Vậy giá trị lớn nhất của N là n tại B  0 .

Vậy giá trị lớn nhất của N là 1 tại x  2 .

ƠN

Bước 3. Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi B  0 .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x 2  5 x  10 . b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B  4 x  4 x 2  15 . Hướng dẫn giải

2 2 2  2 5 5  5  15 5  a) Ta có A  x  5 x  10   x  2.x.      10      x    . 2  2   2 4 2  

15 5 5  15 15   Vì  x    0, x nên  x     , x hay A  , x . 4 2 2 4 4   2

KÈ M

5 5  Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi  x    0  x   . 2 2 

Chú ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức, ta cần quy đa thức đó về tổng của các bình

15 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là tại x   . 4 2

phương với một số.

b) Ta có B  4 x  4 x 2  15    4 x 2  4 x  15 

của biểu thức, ta cần

Để tìm giá trị lớn nhất

  (2 x) 2  2.2 x.1  12  14   (2 x  1) 2  14 .

DẠ

Vì (2 x  1) 2  0, x nên (2 x  1) 2  14  14, x hay B  14, x . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi (2 x  1) 2  0  x  Vậy giá trị lớn nhất của B là 14 tại x 

quy biểu thức đó về dạng  B 2  n với n là một số thực.

1 . 2

Trang 14

Bài tập tự luyện dạng 7

CI AL

Bài tập cơ bản Câu 1: Giá trị nhỏ nhất của đa thức x 2  6 x  15 . A. 15

B. 10

D. 21

C. 6

Đáp án Chọn C.

Ta có x 2  6 x  15   x  3  6  6 . Dấu "  " xảy ra khi x  3  0  x  3 .

Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x 2  8 x  20 . Đáp án

Vậy GTNN của đa thức x 2  6 x  15 là 6 khi x  3 .

Biến đổi A  x 2  8 x  20   x  4   4  4 . Dấu "  " xảy ra khi x  4  0  x  4 . 2

ƠN

Giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi x  4 . Bài tập nâng cao

Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B  xy  4 x 2  y 2  1 .

Đáp án 2

1  15  Biến đổi B  xy  4 x  y  1    2 x  y   y 2  1  1 . 4  16  2

1  2 x  y  0 Dấu "  " xảy ra khi   x  y 0. 4  y  0

Vậy giá trị lớn nhất của B là 1 tại x  y  0 . Dạng 8: Chứng minh bất đẳng thức

KÈ M

Phương pháp giải

Bài toán 1. Chứng minh M  0 .

Bước 1. Biến đổi biểu thức M về dạng

M  A2  m với m  0 .

DẠ

Bước 2. Sử dụng tính chất

Ví dụ: Chứng minh rằng a) x 2  20 x  101  0, x b) 4 x  x 2  5  0, x Hướng dẫn giải a) Ta có x 2  20 x  101  x 2  2.10 x  100  1

 ( x  10) 2  1 Ta có ( x  10) 2  0, x   x  10   1  1, x . 2

A2  0, x  A2  m  m, x .

Bước 3. Do m  0 nên A2  m  0, x .

Mà 1  0 nên ( x  10) 2  1  0, x .

Trang 15

Vậy x 2  20 x  101  0, x (điều phải chứng minh). Bài toán 2. Chứng minh N  0 . Bước 1. Biến đổi biểu thức N về dạng

CI AL

b) Ta có 4 x  x 2  5  ( x 2  4 x  5)

   x 2  4 x  4  1

N   B 2  n với n  0 .

 ( x  2) 2  1 . Bước 2. Sử dụng tính chất

Ta có ( x  2) 2  0, x  ( x  2) 2  1  1, x .

 B 2  0, x   B 2  n  n, x .

Mà 1  0 nên ( x  2) 2  1  0, x .

 B 2  n  0, x .

Vậy 4 x  x 2  5  0, x (điều phải chứng minh).

Bước 3. Do n  0  n  0 nên

Ví dụ mẫu

ƠN

Ví dụ 1. Chứng minh rằng a) x 2  6 x  10  0, x . b) 2 x  x 2  15  0, x . 1  0, x; y . 9

c) x 2  6 xy  9 y 2  Hướng dẫn giải

a) Ta có x 2  6 x  10   x 2  2.x.3  33   1  ( x  3) 2  1 . Vì ( x  3) 2  0, x nên ( x  3) 2  1  1, x .

Mà 1  0 nên ( x  3) 2  1  0, x .

Vậy x 2  6 x  10  0, x (điều phải chứng minh). b) Ta có 2 x  x 2  15    x 2  2 x  15     x 2  2.x.1  12   14   ( x  1) 2  14 .

KÈ M

Vì ( x  1) 2  0, x nên ( x  1) 2  14  14, x . Mà 14  0 nên ( x  1) 2  14  0, x . Vậy 2 x  x 2  15  0, x (điều phải chứng minh).

Chú ý: Để chứng minh một biểu thức lớn hơn 0, ta cần quy biểu thức đó về tổng của các bình phương

DẠ

với một số dương A2  m 1 1 1 c) Ta có x 2  6 xy  9 y 2    x 2  2.x.3 y  (3 y) 2    ( x  3 y ) 2  . với m là một số dương. 9 9 9 Để chứng minh một biểu 1 1 Vì ( x  3 y ) 2  0, x; y nên ( x  3 y ) 2   , x; y . thức nhỏ hơn 0, ta cần quy 9 9 biểu thức đó về dạng 1 1 Mà  0 nên ( x  3 y ) 2   0, x; y .  B 2  n với n là một số 9 9 dương.

Trang 16

CI AL

1  0, x; y (điều phải chứng minh). 9

Bài tập tự luyện dạng 8 Bài tập nâng cao Câu 1: Chứng minh rằng a) A  ( x  2)( x  4)  10  0, x . b) B  4 x  x 2  y 2  2 y  6  0, x . Đáp án a) Biến đổi A  ( x  2)( x  4)  10  x 2  2 x  2   x  1  1 .

Vậy x 2  6 xy  9 y 2 

Vì  x  1  0, x và 1  0 nên A  0, x (điều phải chứng minh). 2

b) Biến đổi B  4 x  x 2  y 2  2 y  6    x 2  4 x    y 2  2 y   6

ƠN

2 2 2 2    x  2   4    y  1  1  6    x  2    y  1  1 .    

  x  2 2  0, x 2 2 Vì  nên   x  2    y  1  1  1, x, y . 2   y  1  0, x

Vậy B  1, x, y mà 1  0 nên B  0, x, y .

Câu 2: Chứng minh rằng A  ( x  4)( x  6)  2019  0, x . Đáp án

Biến đổi ( x  4)( x  6)  2019  x 2  2 x  1995    x  1  1994 . 2

Vì   x  1  1994  1994, x nên   x  1  1994  0, x . 2

DẠ

KÈ M

Vậy ( x  4)( x  6)  2019  0, x (điều phải chứng minh).

Trang 17

CHUYÊN ĐỀ BÀI 3. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TIẾP THEO)

CI AL

Mục tiêu  Kiến thức

+ Phát biểu được bốn hằng đẳng thức đáng nhớ: Lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng hai lập phương, hiệu hai lập hương.

+ Phân biệt được sự khác nhau giữa lập phương của một tổng (hiệu) và tổng (hiệu) của các lập

phương.

+ Vận dụng các hằng đẳng thức trong việc tính toán, chứng minh đẳng thức, tìm x.

 Kĩ năng +

Tính nhanh giá trị biểu thức bằng cách thu gọn biểu thức, áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.

Làm được các bài toán tìm x dựa vào các phương pháp đã học.

DẠ

KÈ M

ƠN

+ Biết cách tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước, chứng minh đẳng thức.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Lập phương của một tổng

Ví dụ:

( x  2)3  x3  3 x 2 .2  3.x.22  23  x3  6 x 2  12 x  8 .

Lập phương của một hiệu

CI AL

( A  B)3  A3  3 A2 B  3 AB 2  B 3 .

Ví dụ:

( A  B)3  A3  3 A2 B  3 AB 2  B 3 .

(2 x  3)3  (2 x)3  3.(2 x) 2 .3  3.(2 x).32  33  8 x3  36 x 2  54 x  27 .

Tổng hai lập phương

Ví dụ:

A3  B 3   A  B   A2  AB  B 2  .

x3  27 y 3  x3  (3 y )3   x  3 y   x 2  x.3 y  (3 y ) 2   ( x  3 y )  x 2  3 xy  9 y 2  .

Chú ý: A2  AB  B 2 được gọi là bình phương thiếu của hiệu. Hiệu hai lập phương

Ví dụ:

A3  B 3   A  B   A2  AB  B 2 

ƠN

8 x3  y 3  (2 x)3  y 3   2 x  y  (2 x) 2  2 x. y  y 2   (2 x  y )  4 x 2  2 xy  y 2  .

Chú ý: A2  AB  B 2 được gọi là bình

phương thiếu của tổng. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức viết lại biểu thức cho trước Phương pháp giải

Ví dụ: Viết lại biểu thức 8 x3  12 x 2  6 x  1 dưới dạng lập phương của một tổng. Hướng dẫn giải Xác định biểu thức của A, B.

định biểu thức tương ứng A, B.

Ta có A3  8 x3  (2 x)3  A  2 x

KÈ M

Bước 1. Căn cứ vào nội dung đề bài xác

Bước 2. Liên hệ hằng đẳng thức phù hợp.

Bước 3. Viết lại biểu thức về dạng thu

Liên hệ hằng đẳng thức

( A  B)3  A3  3 A2 B  3 AB 2  B 3 8 x3  12 x 2  6 x  1

 (2 x)3  3.(2 x) 2 .1  3(2 x).12  13  (2 x  1)3 .

DẠ

gọn.

B 3  1  13  B  1 .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức  2 x  3 y   4 x 2  6 xy  9 y 2  . Hướng dẫn giải Trang 2

 2 x  3 y   4 x 2  6 xy  9 y 2    2 x  3 y  (2 x)2  2 x.3 y  (3 y )2 

CI AL

 (2 x)3  (3 y )3  8 x3  27 y 3 . Ví dụ 2. Sử dụng hằng đẳng thức viết lại các biểu thức sau a) 27 x3  54 x 2  36 x  8 b) x3  12 x 2  48 x  64 c)  2 x 2  3 y  4 x 4  6 x 2 y  9 y 2 

Hướng dẫn giải a) 27 x3  54 x 2  36 x  8  (3 x)3  3.(3 x) 2 .2  3.(3 x).22  23

b) x3  12 x 2  48 x  64  x3  3.x 2 .4  3.x.42  43

 ( x  4)3

ƠN

 (3 x  2)3

 x y   x2 y2 1  d)    2  2  . x 2  2y x  4y

2 c)  2 x 2  3 y  4 x 4  6 x 2 y  9 y 2    2 x 2  3 y   2 x 2    2 x 2  .3 y  (3 y ) 2   

  2x2   3 y  3

 8 x 6  27 y 3

2  x y   x2 y 2 1   x y   x   x   y  y 2    2  2                d)  x 2   2 y x   2 y   2 y   x  x 2   2y x  4y

 x   y x3 y 3       3  3 . x  2y   x  8y

KÈ M

Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản

Câu 1: Rút gọn các biểu thức

a)  x  2   x 2  2 x  4    x3  2 

b)  3 x  y   9 x 2  3 xy  y 2    3 x  y   9 x 2  3 xy  y 2 

DẠ

c) 8 x3  36 x 2 y  54 xy 2  27 y 3 d)  x  2 y    x  2 y   x 2  2 xy  4 y 2  . 3

Đáp án

a)  x  2   x 2  2 x  4    x3  2    x3  8    x3  2  Trang 3

 x3  8  x3  2  10 .

  3 x   y 3   3 x   y 3    3

 27 x3  y 3  27 x3  y 3  2 y 3 . c) 8 x3  36 x 2 y  54 xy 2  27 y 3   2 x   3.  2 x  .3 y  3.  2 x  .  3 y    3 y  3

  2x  3y  .

d)  x  2 y    x  2 y   x 2  2 xy  4 y 2 

2 3 3  x3  3.x 2 .  2 y   3.x.  2 y    2 y    x3   2 y    

 x3  6 x 2 y  12 xy 2  8 y 3  x3  8 y 3  6 x 2 y  12 xy 2 . Câu 2: Sử dụng hằng đẳng thức rút gọn các biểu thức

ƠN

a) 8 x3  36 x 2  54 x  27 b) 27 a 3  27 a 2  9a  1 c)  a  2b    a  2b   a 2  2ab  4b 2 

d)  x  2 y   6 xy  x  2 y   x3 . 3

Đáp án

CI AL

b)  3 x  y   9 x 2  3 xy  y 2    3 x  y   9 x 2  3 xy  y 2 

a) 8 x3  36 x 2  54 x  27   2 x   3.  2 x  .3  3.  2 x  .32  33   2 x  3 . 2

b) 27 a 3  27 a 2  9a  1   3a   3.  3a  .1  3.  3a  .12  13   3a  1 . 2

c)  a  2b    a  2b   a 2  2ab  4b 2  3

2 3 2  a 3  3.a 2 .  2b   3.a.  2b    2b    a  2b   a  a.2b   2b    

KÈ M

 a 3  6a 2b  12ab 2  8b3   a 3  8b3 

 a 3  6a 2b  12ab 2  8b3  a 3  8b3  6a 2b  12ab 2

 6ab(a  2b) .

d)  x  2 y   6 xy  x  2 y   x3  x3  3.x 2 .  2 y   3.x.  2 y    2 y   6 x 2 y  12 xy 2  x3 2

DẠ

 x3  6 x 2 y  12 xy 2  8 y 3  6 x 2 y  12 xy 2  x3

 8y 3 .

Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để khai triển biểu thức cho trước Phương pháp giải Trang 4

Ví dụ: Khai triển (2 x  1)3 . Hướng dẫn giải Xác định biểu thức A, B : A  2 x; B  1 .

Bước 2. Liên hệ sử dụng hằng đẳng thức

Liên hệ hằng đẳng thức

phù hợp.

CI AL

Bước 1. Xác định các biểu thức A, B.

( A  B)3  A3  3 A2 B  3 AB 2  B 3 . Khai triển

tính chất giao hoán để khai triển biểu thức.

(2 x  1)3  (2 x)3  3.(2 x) 2 .1  3.(2 x).12  13

Bước 3. Sử dụng tính chất lũy thừa, các

 8 x3  12 x 2  6 x  1 . Ví dụ 1. Khai triển các biểu thức sau a) ( x  3)3

b)  2 x 2  3 y 

c) ( x  2)

 2x 3y  d)    x   y

e) 8 x 3  27 y 3 Hướng dẫn giải

27 x 3 8 y 3 .  y3 125

ƠN

Ví dụ mẫu

a) ( x  3)3  x3  3 x 2 .3  3.x.32  33  x3  9 x 2  27 x  27 . b)  2 x 2  3 y    2 x 2   3.  2 x 2  .3 y  3.(2 x 2 ).  3 y    3 y  3

 8 x 6  36 x 4 y  54 x 2 y 2  27 y 3 . c) ( x  2)3  x3  3.x 2 .2  3.x.22  23  x3  6 x 2  12 x  8 . 3

 2x 3y   2x   2x   3y   2x   3y   3y  d)        3.      3        x   y   y  y   x   y  x   x 

KÈ M

8 x3 x y 27 y 3  3  36  54  3 . y y x x

e) 8 x3  27 y 3  (2 x)3  (3 y )3

  2 x  3 y  (2 x) 2  2 x.3 y  (3 y ) 2 

  2 x  3 y   4 x 2  6 xy  9 y 2  . 3

DẠ

27 x3 8 y 3  3 x   2 y       f) 3  y 125  y   5 

2 2  3 x 2 y   3 x  3 x 2 y  2 y      .        5   y  y 5  5    y

Trang 5

 3x 2 y   9 x 2 6 x 4 y 2      .  5   y 2 5 25   y

CI AL

Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản Câu 1: Khai triển các biểu thức sau b) (2 x  3)



d) 2x 2 y  xy



 2x 3y  c)    2   3

x3 y 6 27  3. 8 y

a) ( x  2)

e) 27 x3  8 y 3

Đáp án a) ( x  2)3  x3  3.x 2 .2  3.x.22  23  x3  6 x 2  12 x  8 .

b) (2 x  3)3   2 x   3.  2 x  .3  3.  2 x  .32  33  8 x3  36 x 2  54 x  27 . 3



d) 2 x 2 y  xy

   2x y  3

ƠN

3 9 27 y 3  2x 3y   2x   2 x   3 y   2 x  3 y   3 y  8 x  2 x 2 y  xy 2  c)        3      3        . 2   3  27 2 8  3  3   2   3  2   2 

 3  2 x 2 y   xy   3  2 x 2 y   xy    xy   8 x 6 y 3  12 x5 y 3  6 x 4 y 3  x3 y 3 . 2

3 3 2 2 e) 27 x3  8 y 3   3 x    2 y    3 x  2 y   3 x    3 x  .  2 y    2 y    

  3 x  2 y   9 x 2  6 xy  4 y 2  .

3 2 3 2 x3 y 6 27  xy 2   3   xy 2 3   xy 2  xy 2 3  3    3     .    f)        8 y  2   y  2 y   2  2 y  y   

 xy 2 3   x 2 y 4 3 xy 9       2 . y  4 2 y   2 Câu 2: Khai triển các biểu thức sau

Đáp án

b) (3 x  y )

KÈ M

a) (2 x  3 y )

3   c)  2 xy 3  x 2 y  2  

a) (2 x  3 y )3   2 x   3.  2 x   3 y   3.  2 x  .  3 y    3 y  3

 8 x3  36 x 2 y  54 xy 2  27 y 3 .

b)  3 x  y    3 x   3.  3 x 

DẠ

 y   3.  3x  .  y    y  2

 27 x3  27 x 2 y  9 xy 2  y 3 . 3

3 23 3    3  3  c)  2 xy 3  x 2 y    2 xy 3   3.  2 xy 3   x 2 y   3.  2 xy 3   x 2 y    x 2 y  2   2  2  2 

 8 x3 y 9  18 x 4 y 7 

27 5 5 27 6 3 x y  x y . 2 8

Trang 6

Dạng 3: Sử dụng hằng đẳng thức tính các giá trị biểu thức

CI AL

Phương pháp giải

Ví dụ: Cho M  x3  6 x 2  12 x  8 . Tính giá trị của M tại x  1 . Hướng dẫn giải Bước 1. Liên hệ hằng đẳng thức phù hợp.

Biểu thức A có chứa x3 và 8  23 , trong biểu thức

chỉ có dấu cộng nên ta liên tưởng tới hằng đẳng thức

( A  B)3  A3  3 A2 B  3 AB 2  B 3 . Bước 2. Xác định các biểu thức A, B.

A3  x3  A  x và B 3  8  23  B  2 .

Bước 3. Rút gọn biểu thức.

M  x3  6 x 2  12 x  8

ƠN

 x3  3.x 2 .2  3.x.22  23  ( x  2)3 . Bước 4. Thay các giá trị tương ứng của x, y.

Ví dụ 1. Tính giá trị các biểu thức sau a) A  27 x3  27 x 2  9 x  1 tại x  3 .

Ví dụ mẫu

Với x  1 , ta có M  (1  2)3  13  1 .

b) B  8 x3  36 x 2  54 x  27 tại x  2 .

c) C  ( x  2 y )3  6( x  2 y ) 2  12( x  2 y )  8 tại x  2; y  3 . 2

x  x  x  d) D    y   9   y   27   y   27 tại x  4; y  1 . 2  2  2  Hướng dẫn giải

KÈ M

a) A  27 x3  27 x 2  9 x  1  (3 x)3  3.(3 x) 2  3.(3 x).1  13  (3 x  1)3 Với x  3 , ta có A  (3.3  1)3  103  1000 . b) B  8 x3  36 x 2  54 x  27  (2 x)3  3.(2 x) 2 .3  3.(2 x).32  33  (2 x  3)3 . Với x  2 , ta có B  (2.2  3)3  13  1 . c) C  ( x  2 y )3  6( x  2 y ) 2  12( x  2 y )  8

 ( x  2 y )3  3.( x  2 y ) 2 .2  3.( x  2 y ).22  23  ( x  2 y  2)3 .

DẠ

Với x  2; y  3 , ta có C  (2  2.3  2)3  103  1000 . 3

x  x  x  d) D    y   9   y   27   y   27 2  2  2 

Trang 7

4  Với x  4; y  1 , ta có D    1  3   03  0 . 2  Ví dụ 2. Tính giá trị các biểu thức sau a) A   3 x  2 y   9 x 2  6 xy  4 y 2    27 x3  8 y 3  tại x  31 và y  5 .

b) B  x3  8 y 3 biết x  2 y  5 và xy  2 .

  3 x  2 y  (3 x) 2  3 x.2 y  (2 y ) 2    27 x3  8 y 3 

  3 x    2 y    27 x3  8 y 3  3

 27 x3  8 y 3  27 x3  8 y 3  16 y 3  2(2 y )3 .

Với x  31 và y  5 , giá trị của biểu thức A là

ƠN

Hướng dẫn giải a) A   3 x  2 y   9 x 2  6 xy  4 y 2    27 x3  8 y 3 

CI AL

x  x  x  x     y   3.   y  .3  3.   y  .32  33    y  3  . 2  2  2  2 

A  2.(2.5)3  2.1000  2000 .

b) B  x3  8 y 3   x   (2 y )3  ( x  2 y )  x 2  x.2 y  (2 y ) 2  3

  x  2 y   x 2  2 xy  4 y 2 

  x  2 y   x 2  4 xy  4 y 2  6 xy 

  x  2 y   x  2 y   6 xy    2

Với x  2 y  5 và xy  2 , giá trị của biểu thức B là

B   x  2 y   x  2 y   6 xy   5.  52  6.2   65 .  

KÈ M

Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản

Câu 1: Tính giá trị biểu thức

a) N  x3  9 x 2 y  27 xy 2  27 y 3 tại x  1 và y  3 . 3

DẠ

Đáp án

b) P   3 x  y    3 x  y   9 x 2  3 xy  y 2  tại x  2 và y  5 . a) N  x3  9 x 2 y  27 xy 2  27 y 3  x3  3.x 2 .3 y  3.x.  3 y    3 y  2

  x  3y . 3

Trang 8

Vậy với x  1 và y  3 thì giá trị của biểu thức N là

N  1  3.  3   103  1000 . 3

b) P   3 x  y    3 x  y   9 x 2  3 xy  y 2 

CI AL

 27 x3  27 x 2 y  9 xy 2  y 3   27 x3  y 3 

 27 x3  27 x 2 y  9 xy 2  y 3  27 x3  y 3  27 x 2 y  9 xy 2  9 xy  3 x  y  .

Vậy với x  2 và y  5 thì giá trị của biểu thức P là

P  9.2.5  5  2.3  990 . Câu 2: Tính giá trị biểu thức a) A  x3  6 x 2  12 x  8 tại x  12 . b) B   2 x  1  6  2 x  1  12  2 x  1  8 tại x  5 . 3

c) C   x  2 y    x  2 y   x 2  2 xy  4 y 2  tại x  2 và y  5 .

ƠN

d) D  x3  8 y 3 tại x  2 y  10 và xy  6 .

Đáp án

a) A  x3  6 x 2  12 x  8  x3  3.x 2 .2  3.x.22  23   x  2  . 3

Với x  12 giá trị của biểu thức A là A  12  2   103  1000 . 3

b) B   2 x  1  6  2 x  1  12  2 x  1  8   2 x  1  3.  2 x  1 .2  3.  2 x  1 .22  23 2

  2 x  1  2    2 x  1 . 3

Với x  5 giá trị của B là B   2.5  1  113  1331 . 3

3 2 3 3 c) C   x  2 y    x  2 y   x 2  2 xy  4 y 2   x3  3.x 2 .2 y  3.x.  2 y    2 y    x3   2 y    

KÈ M

 x3  6 x 2 y  12 xy 2  8 y 3   x3  8 y 3   x3  6 x 2 y  12 xy 2  8 y 3  x3  8 y 3

 6 x 2 y  12 xy 2  6 xy  x  2 y  . Với x  2 , y  5 giá trị của biểu thức C là C  6.2.5  2  2.5   720 . d) Ta có D  x3  8 y 3  x3   2 y    x  2 y   6 xy  x  2 y  . 3

Với x  2 y  10 và xy  6 giá trị của D là D  103  6.  6  .10  1000  360  640 Dạng 4: Tính nhanh

DẠ

Phương pháp giải Ví dụ: Tính nhanh 1013 . Hướng dẫn giải

Trang 9

Bước 1. Tách các hạng tử, các số thành tổng. tích

Vì 101  100  1 nên 1013  100  1

các số một cách hợp lí (tròn chục, tròn trăm).

 1003  3.1002.1  3.100.12  13

Bước 2. Liên hệ sử dụng hằng đẳng thức phù hợp.

CI AL

 1000000  30000  300  1

Bước 3. Tính.

 1030301 .

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tính nhanh

a) 993 . b) 473  9.47 2  27.47  27 .

c) 10273  3.1027 2.27  3.1027.27 2  39 . Hướng dẫn giải

a) Ta có 99  100  1 nên 993  100  1  1003  3.1002.1  3.100.12  13 3

ƠN

 1000000  30000  300  1  970299 .

b) Ta có 473  9.47 2  27.47  27  473  3.47 2.3  3.47.32  33   47  3  503  125000 . 3

c) Ta có 10273  3.1027 2.27  3.1027.27 2  39

 10273  3.1027 2.33  3.1027.  33    33  2

 1027  33   10003  1000000000 . 3

Ví dụ 2. Tính nhanh

b) 493  1

Hướng dẫn giải

a) 1023  23

c) 173  33 .

a) Ta có A3  B 3   A  B   3 AB  A  B  . 3

Từ đó 1023  23  102  2   3.102.2. 102  2 

KÈ M

 1003  612.100

 1000000  61200  1061200 .

b) Ta có A3  B 3   A  B   3 AB  A  B  . 3

Từ đó 493  13   49  1  3.49.1.  49  1

DẠ

 503  3.49.50  125000  7350  117650 .

b) Ta có A3  B 3   A  B   3 AB  A  B  . 3

Từ đó 173  33  17  3  3.17.3. 17  3 3

Trang 10

 203  153.20  8000  3060  4940 .

CI AL

Bài tập tự luyện dạng 4 Bài tập cơ bản Câu 1: Tính nhanh

c) 373  9.37 2  27.37  27 .

b) 93

a) 113 Đáp án

a) Ta có 113  10  1  103  3.102.1  3.10.12  13

 1000  300  30  1  1331 .

b) Ta có 93  10  1  103  3.102.1  3.10.12  13

 1000  300  30  1  729 .

c) Ta có 373  9.37 2  27.37  27  373  3.37 2.3  3.37.32  33   37  3  403  64000 .

ƠN

Câu 2: Tính nhanh a) 9993

b) 593  3.592  3.59  1 c) 5033  9.5032  27.503  27 . Đáp án

a) Ta có  A  B   A3  3 A2 B  3 AB 2  B 3  A3  B 3  3 AB  A  B  . 3

9993  1000  1  10003  13  3.1000.11000  1  997002999 .

b) Ta có  A  B   A3  3 A2 B  3 AB 2  B 3 .

593  3.592  3.59  1  593  3.592.1  3.59.12  13   59  1  603  216000 . 3

c) Ta có  A  B   A3  3 A2 B  3 AB 2  B 3 . 3

KÈ M

5033  9.5032  27.503  27  5033  3.5032.3  3.503.32  33   503  3  5003  125000000 . 3

Câu 3: Tính nhanh a) 513 Đáp án

b) 493

c) 1033  9.1032  27.103  27 .

a) Ta có 513   50  1  503  3.502.1  3.50.12  13

 125000  7500  150  1  132651 .

DẠ

a) Ta có 493   50  1  503  3.502.1  3.50.12  13 3

 125000  7500  150  1  117649 .

c) Ta có 1033  9.1032  27.103  27  1033  3.1032.3  3.103.32  33

Trang 11

 103  3  1003  1000000 . 3

CI AL

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức rút gọn biểu thức Phương pháp giải Ví dụ: Chứng minh

 x  2 y    x  2 y   x 2  2 xy  4 y 2   6 xy  x  2 y  . 3

Áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng và hiệu

hợp.

hai lập phương.

 A  B

 A3  3 A2 B  3 AB 2  B 3 ,

Bước 1. Liên hệ các hằng đẳng thức phù

Hướng dẫn giải

A3  B 3   A  B   A2  AB  B 2  . A  x và B  2 y .

ƠN

Bước 2. Xác định các biểu thức A và B của từng hằng đẳng thức.

 x  2y

Bước 3. Viết lại các biểu thức.

 x3  3.x 2 .2 y  3.x.  2 y    2 y  2

 x3  6 x 2 y  12 xy 2  8 y 3 .

 x  2 y   x 2  2 xy  4 y 2 

2   x  2 y   x 2  x.2 y   2 y    

KÈ M

Bước 4. Chứng minh, rút gọn biểu thức.

 x3   2 y 

 x3  8 y 3 .

 x  2 y    x  2 y   x 2  2 xy  4 y 2  3

 x3  6 x 2 y  12 xy 2  8 y 3   x3  8 y 3 

 x3  6 x 2 y  12 xy 2  8 y 3  x3  8 y 3  6 x 2 y  12 xy 2  6 xy  x  2 y  . Vậy  x  2 y    x  2 y   x 2  2 xy  4 y 2   6 xy  x  2 y  . 3

Ví dụ mẫu

DẠ

Ví dụ. Chứng minh các đẳng thức sau a)  x  3 y    x  3 y   x 2  3 xy  9 y 2   27 y 2  x  2 y   9 x 2 y . 3

b)  a  b  c   a 3  b3  c3  3  a  b  b  c  c  a  . 3

Trang 12

Hướng dẫn giai a)  x  3 y    x  3 y   x 2  3 xy  9 y 2   27 y 2  x  2 y  3

CI AL

2 3 2   x3  3.x 2 .  3 y   3.x.  3 y    3 y     x  3 y   x 2  x.3 y   3 y     27 y 2 x  54 y 3     

 x3  9 x 2 y  27 xy 2  27 y 3   x3  27 y 3   27 y 2 x  54 y 3

 x3  9 x 2 y  27 xy 2  27 y 3  x3  27 y 3  27 y 2 x  54 y 3

 x  3 y    x  3 y   x 2  3xy  9 y 2   27 y 2  x  2 y   9 x 2 y . 3

b) Ta có  a  b  c    a  b   c  3

  a  b   3  a  b  c  3  a  b  c 2  c3 3

 a 3  3a 2b  3ab 2  b3  3  a  b  c  3  a  b  c 2  c3

ƠN

Vậy

 9x 2 y .

 a 3  b3  c3  3ab  a  b   3  a  b  c  3  a  b  c 2 2

 a 3  b3  c3  3  a  b   ab   a  b  c  c 2 

 a 3  b3  c3  3  a  b   ab  ac  bc  c 2 

 a 3  b3  c3  3  a  b   a  b  c   c  b  c  

 a 3  b3  c3  3  a  b  b  c  a  c  .

Vậy  a  b  c   a 3  b3  c3  3  a  b  b  c  c  a  .

Bài tập tự luyện dạng 5 Bài tập cơ bản Câu 1: Chứng minh rằng

a)  2 x  5   4 x 2  10 xy  25 y 2    2 x  5 y   30 xy  2 x  4 y   30 xy 2 .

KÈ M

b) Cho a  b  c  0 . Chứng minh rằng a 3  b3  c3  3abc . Đáp án

a) Xét  2 x  5 y   4 x 2  10 xy  25 y 2    2 x  5 y   30 xy  2 x  4 y  3

2 2 3 2 2 3   2 x  5 y   2 x   2 x.5 y   5 y     2 x   3.  2 x  .5 y  3.  2 x  .  5 y    5 y    60 x 2 y  120 xy 2    

  2 x    5 y    8 x3  60 x 2 y  150 xy 2  125 y 3   60 x 2 y  120 xy 2

DẠ

 8 x3  125 y 3  8 x3  60 x 2 y  150 xy 2  125 y 3  60 x 2 y  120 xy 2  30xy 2 .

Vậy  2 x  5   4 x 2  10 xy  25 y 2    2 x  5 y   30 xy  2 x  4 y   30 xy 2 . 3

Trang 13

b) Ta có a  b  c  0  c  a  b . Xét a 3  b3  c3  3abc  a 3  b3   a  b   3ab  a  b  (do c  a  b ). 3

 a 3  b3   a  b   3a 2b  3ab 2  a 3  3a 2b  3ab 2  b3   a  b   a  b  a  b 3

CI AL

0.

Vậy với a  b  c  0 thì a 3  b3  c3  3abc . Câu 2: Cho x  2 y  z  0 . Chứng minh rằng x3  8 y 3  z 3  6 xyz . Đáp án Ta có x  2 y  z  0 suy ra x  2 y   z . Xét

Bài tập nâng cao

x3  8 y 3  z 3  6 xyz  x3  8 y 3    x  2 y   6 xy   x  2 y   x3  8 y 3   x  2 y   6 x 2 y  12 xy 2 3

ƠN

 x3  3.x 2 .2 y  3.x.  2 y    2 y    x  2 y    x  2 y    x  2 y   0 . 2

Vậy với x  2 y  z  0 thì x3  8 y 3  z 3  6 xyz  0 .

Câu 3: Cho a  b  c  d  0 . Chứng minh rằng a 3  b3  c3  d 3  3  b  c  ad  bc  . Đáp án

Ta có a  b  c  d  0  a  b  c  d   a  b    c  d  3

 a 3  3a 2b  3ab 2  b3    c3  3c 2 d  3cd 2  d 3 

 a 3  b3  3ab  a  b     c3  d 3   3cd  c  d 

 a 3  b3  c3  d 3  3ab  a  b   3cd  c  d  . Vì a  b  c  d  a 3  b3  c3  d 3  3ab  c  d   3cd  c  d 

KÈ M

 a 3  b3  c3  d 3  3  c  d  ab  cd  (điều phải chứng minh). Dạng 6: Tìm x từ điều kiện cho trước

Phương pháp giải

Bước 1. Khai triển, viết lại các hằng đẳng

DẠ

thức, rút gọn các biểu thức. Bước 2. Đưa phương trình về dạng cơ bản. Bước 3. Tìm x.

Ví dụ: Tìm x, biết x3  3 x 2  3 x  1   3 x  5  . 3

Ta có x3  3 x 2  3 x  1   3 x  5 

 x  1

  3x  5 . 3

x  1  3x  5 x  3x  5  1

Trang 14

2 x  4 x  2 .

CI AL

Vậy x  2 .

Bước 4. Kết luận. Ví dụ mẫu Ví dụ. Tìm x biết a) x3  6 x 2  12 x  8   2 x  1

b) 8 x3  36 x 2  54 x  27  0 . Hướng dẫn giải

x  3.x .2  3.x.2  2   2 x  1 3

 x  2

  2 x  1

 3.  2 x  .3  3.  2 x  .32  33  0

x  3 .

Vậy x  3 .

 2 x  3

x  2x  1 2

0

2x  3  0 2 x  3

x

3 . 2

Vậy x 

Bài tập tự luyện dạng 6 Câu 1: Tìm x biết

x  2  2x 1

Bài tập cơ bản

 2x

b) Ta có 8 x3  36 x 2  54 x  27  0 .

ƠN

a) Ta có x3  6 x 2  12 x  8   2 x  1

a) x3  9 x 2  27 x  27  0 .

b)  2 x  1   2 x  1  4 x 2  2 x  1  0 . Đáp án

KÈ M

a) x3  9 x 2  27 x  27  0  x3  3.x 2 .3  3.x.32  33  0   x  3  0  x  3 . 3

Vậy x  3 .

3 3 2 3 b)  2 x  1   2 x  1  4 x 2  2 x  1  0   2 x   3.  2 x  .1  3.  2 x  .12  13   2 x   13   0  

DẠ

 8 x3  12 x 2  6 x  1  8 x3  1  0  12 x 2  6 x  0

x  0 x  0  6 x  2 x  1  0    .  x  1 2 x  1  0  2 

Trang 15

Vậy x  0 hoặc x 

1 . 2

CI AL

Câu 2: Tìm x thỏa mãn a) x  x  3 x  3   x  2   x 2  2 x  4   x  x  7   0 . b) x3   2 x  3  4 x 2  6 x  9   7 x  x 2  x  1  13  0 . Đáp án a) x  x  3 x  3   x  2   x 2  2 x  4   x  x  7   0

 x 3  9 x   x 3  23   x 2  7 x  0

 x  x 2  9    x  2   x 2  2 x  22   x 2  7 x  0

 x3  9 x  x3  8  x 2  7 x  0  x2  2x  8  0  x2  2x  4x  8  0

ƠN

 x  x  2   4  x  2   0   x  2  x  4   0

 x  2  0  x  2 .   x  4  0 x  4 Vậy x  2 hoặc x  4 .

b) x3   2 x  3  4 x 2  6 x  9   7 x  x 2  x  1  13  0

 x3   2 x  3  2 x   2 x.3  32   7 x3  7 x 2  7 x  13  0   2

 x3   2 x   33   7 x3  7 x 2  7 x  13  0  

 7 x 2  7 x  14  0

 x3  8 x3  27  7 x3  7 x 2  7 x  13  0

  x2  x  2  0   x2  x  2x  2  0   x  x  1  2  x  1  0   x  1  x  2   0

KÈ M

x 1  0  x  1 .    x  2  0  x  2

DẠ

Vậy x  1 hoặc x  2 .

Trang 16

CHUYÊN ĐỀ Mục tiêu  Kiến thức

CI AL

BÀI 4. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

+ Vận dụng linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử và phối hợp các phương pháp.

+ Áp dụng được quy tắc phân tích đa thức thành nhân tử trong các bài toán về tính nhanh, chứng

minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức, tìm x.  Kĩ năng đẳng thức, nhóm hạng tử và phối hợp các phương pháp.

+ Biết cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng + Tính nhanh giá trị biểu thức bằng cách thu gọn biểu thức, áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử.

DẠ

KÈ M

ƠN

+ Làm được các bài toán tìm x dựa vào các phương pháp đã học.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phân tích đa thức thành nhân tử

CI AL

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là việc biến đổi đa thức đó thành tích của những đa thức. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ:

- Phương pháp đặt nhân tử chung.

5x3  3xy  5.x.x.x  3.x.y  x.  5.x.x  3.y 





 x 5x2  3y .

x2  9  x2  32   x  3 x  3 .

- Phương pháp dùng hằng đẳng thức. - Phương pháp nhóm hạng tử.



 

x3  x2 y  2y3  2xy2  x3  x2 y  2y3  2xy2



ƠN

 x2  x  y   2y2  x  y 

x4 y  xy4  x3  y3

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

- Phối hợp nhiều phương pháp.

    x y  xy    x  y   xy  x  y    x  y    x  y   xy  1   x  y   x  xy  y   xy  1 .   x  y  x 2  2 y2 .

Dạng 1: Phương pháp đặt nhân tử chung

Bài toán 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

KÈ M

Phương pháp giải

Khi các hạng tử của một đa thức có chung một nhân tử, ta có thể đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc theo công thức

A.B  AC .  A B  C 

Để xuất hiện nhân tử chung của một đa thức ta tiến hành theo hai bước sau

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

14x2 y3z3  7x3 yz2  21xyz2 .

DẠ

Bước 1. Tìm hệ số của nhân tử chung là ước chung Hướng dẫn giải lớn nhất của các hệ số trong mọi hạng tử.

ƯCLN 14,7,21  7.

Bước 2. Tìm các lũy thừa bằng chữ số của nhân tử - Số mũ nhỏ nhất của x trong các hạng tử là 1. chung là các lũy thừa bằng chữ số có mặt trong Trang 2

mọi hạng tử với số mũ nhỏ nhất của nó.

- Số mũ nhỏ nhất của y trong các hạng tử là 1. - Số mũ nhỏ nhất của z trong các hạng tử là 2.

CI AL

Vậy nhân tử chung của đa thức đã cho là 7xyz2 nên đa thức được phân tích như sau





14x2 y3z3  7x3 yz2  21xyz2  7xyz2 2xy2 z  x2  3 . Chú ý: Đôi khi để xuất hiện nhân tử chung, ta cần đổi dấu các hạng tử lưu ý tính chất A     A và 2

 A  B   B  A

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 26x4 y3  13x2 y2 z2  39xy2 z.

b) 3 x  y   y  y  x  .

c) xy  x  y   5x  5y.

d) x  x  y   xy  x  y  .

ƠN

f) xy  x  y   2x  2y.

e) y  x  y   x  y  x  . 2

Hướng dẫn giải

a) 26x4 y3  13x2 y2 z2  39xy2 z Bước 1. Tìm hệ số của nhân tử chung. ƯCLN 13,26,39  13.

Chú ý: Để xuất hiện nhân tử chung, ta phải sử dụng tính chất

A     A . Cụ thể  x    x  y  .

Bươc 2. Tìm các lũy thừa bằng chữ số của nhân tử chung.

Số mũ nhỏ nhất của x trong các hạng tử là 1. Số mũ nhỏ nhất của y trong các hạng tử là 2.

Vậy nhân tử chung của các đa thức đã cho là 13xy2 nên đa thức được phân tích như sau





KÈ M

26x4 y3  13x2 y2 z2  39xy2 z3  13xy2 2x3 y  xz2  3z3 . b) 3 x  y   y  y  x   3 x  y   y  x  y  . Vậy nhân tử chung của đa thức đã cho là x  y nên đa thức được phân tích như sau

3 x  y   y  y  x   3 x  y   y  x  y    x  y  3  y  .

DẠ

c) xy  x  y   5x  5y  xy  x  y   5 x  y  . Vậy nhân tử chung của đa thức đã cho là x  y nên đa thức được phân tích như sau

Trang 3

xy  x  y   5x  5y  xy  x  y   5 x  y    x  y  xy  5 . d) x  x  y   xy  x  y  .

CI AL

Nhân tử chung của đa thức đã cho là x  x  y  nên đa thức được phân tích như sau

x  x  y   xy  x  y   x  x  y  x  y  y   x  x  y  x  2y  . 2

e) y  x  y   x  y  x   y  x  y   x  x  y  . 2

Vậy nhân tử chung của đa thức đã cho là  x  y  nên đa thức được phân tích như sau

chung, ta sử dụng tính chất

 A  B   B  A 2

y  x  y  x  y  x   y  x  y  x  x  y   x  y  x  y . 2

f) xy  x  y   x2  y2 .

ƠN

Chú ý: Để xuất hiện nhân tử

Để xuất hiện nhân tử chung của đa thức ta phải sử dụng đến hằng đẳng thức.

x2  y2   x  y  x  y  . Như vậy đa thức lúc này sẽ là

xy  x  y   x2  y2  xy  x  y    x  y  x  y  . Ta thấy xuất hiện

nhân tử chung là x  y nên đa thức được phân tích như sau

xy  x  y   x2  y2  xy  x  y    x  y  x  y    x  y  xy  x  y  . Bài toán 2. Tính giá trị của biểu thức

KÈ M

Phương pháp giải

Bước 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức

A  2x  x  y   y  x  y  tại x  18 và y  64. Hướng dẫn giải

A  2x  x  y   y  x  y    x  y  2x  y  .

DẠ

Bước 2. Thay các giá trị của biến vào đa thức vừa Thay x  18 và y  64 vào biểu thức A, ta được tiến hành phân tích được thành nhân tử và tính A  18  64 2.18  64  46.100  4600. toán. Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức a) A  a  2b  1  3b  2b  1 tại a  7, b  2. Trang 4

b) B  b2  6b  5a  6  b tại a  3, b  5.

CI AL

c) C  2xy  x  y   zx  zy tại x  2, y  3, z  8. d) D  x  3x  2y   2y  3x tại x  6, y  4. Hướng dẫn giải

Thay a  7, b  2 vào biểu thức A, ta được A   2.2  1 7  3.2  5. b) B  b  b  6  5a  b  6   b  6 5a  b .

Thay a  3, b  5 vào biểu thức B, ta được:

B   5  6 5.3  5  1. 15  5  20.

C   2  3 2.2.3   8   5.20  100.

d) D  x  3x  2y    3x  2y    3x  2y  x  1 .

ƠN

c) C  2xy  x  y   z x  y    x  y  2xy  z . Thay x  2, y  3, z  8 vào biểu thức C, ta được:

a) A   2b  1 a  3b .

Thay x  6, y  4 vào biểu thức D, ta được D   3.6  2.4 6  1  10.5  50.

Bài toán 3. Tìm x Phương pháp giải

Khi gặp bài toán có dạng f  x   g  x  trong đó f  x  , g  x  là các đa thức chứa biến x ta làm như sau

KÈ M

Bước 1. Chuyển tất cả các hạng tử về một vế (cụ Ví dụ: Tìm x thỏa mãn 2x  2x  1  5 2x  1 . thể ta thống nhất đưa về vế trái) Hướng dẫn giải Bước 2. Tiến hành phân tích đa thức thành nhân tử Ta có 2x  2x  1  5 2x  1  0. đưa về dạng A.B  0. Khi đó A  0 hoặc B  0.

 2x  1 2x  5  0.

A  0 và B  0 rồi kết luận.

2x  5  0.

DẠ

Bước 3. Tiến hành tìm x lần lượt từ các đẳng thức

Khi đó

2x  1  0

hoặc

1 Với 2x  1  0 thì x  . 2 5 Với 2x  5  0 thì x  . 2

 1 5 Vậy x   ;  . 2 2

Ví dụ mẫu Trang 5

a) x  2019  2x  x  2019  0.

5x2 15x   0. b) 3 2

c) 2  x   x  2 2x  5 .





CI AL

Ví dụ 1. Tìm x.

d) x2  4  3x  1  12x2  4x.

Hướng dẫn giải a) x  2019  2x  x  2019  0

c) 2  x   x  2 2x  5

 x  20191 2x   0.

 2  x    x  2 2x  5  0

Khi đó x  2019  0 hoặc 1  2x  0.

 2  x    2  x  2x  5  0

Với x  2019  0  x  2019.

 2  x 1 2x  5  0

1 Với 1  2x  0  2x  1  x   . 2

 2  x  2x  6  0.

 1  Vậy x   ;2019 .  2 

ƠN

Khi đó 2  x  0 hoặc 2x  6  0 Với 2  x  0  x  2. Với 2x  6  0  2x  6  x  3.



 x 3 5x2 15x   0  5x     0. 3 2  3 2

Khi đó 5x  0 hoặc

x 3 3



0

Với

x 3 3



0

KÈ M

3  3 2

Với 5x  0  x  0.

9 2

x .

x x

  4  3x  1  4x  3x  1  0  3x  1  x  4x  4  0 2

 4  3x  1  12x2  4x  0

 3x  1 x  2

0

Khi đó 3x  1  0 hoặc x  2  0 1 Với 3x  1  0  3x  1  x  . 3

Với x  2  0  x  2.

1  Vậy x   ;2 . 3 

DẠ

 9  Vậy x   ; 0 .  2 



d) x2  4  3x  1  12x2  4x.

Vậy x  3;2 .

Trang 6

Bài toán 4. Tính nhanh Phương pháp giải

Ví dụ: Tính nhanh 19.14,5  92.14,5.

Bước 3. Thực hiện phép tính nhân giữa nhân tử chung với kết quả trong ngoặc. Ví dụ mẫu Ví dụ. Tính nhanh

b) 86.15  150.1,4.

c) 98,6.199  990.9,86.

d) 0,78.1300  50.6,5  39.

e) 0,12.90  110.0,6  36  63.6.

f) 84.84,5  840.1,55.

ƠN

a) 75.20,1  52.20,1.

Hướng dẫn giải

d) 0,78.1300  50.6,5  39

a) 75.20,1  52.20,1



 20,1 75  52

 78.13  5.65  39



 13.78  13.25  13.3

b) 86.15  150.1,4  86.15  15.14

 15.100  1500.

KÈ M

 15.  85  14

c) 98,6.199  990.9,86  98,6.199  98,6.99

DẠ

 98,6 199  99  98,6.100  9860.

 2010.

 20,1 75  25  20,1.100





CI AL

Khi các hạng tử của một đa thức có chung một Hướng dẫn giải nhân tử ta có thể đặt nhân tử chung ra ngoài dấu 19.14,5  92.14,5  14,5. 19  92 .  A B  C  . ngoặc theo công thức A.B  AC  14,4. 19  81 Bước 1. Tìm nhân tử chung và nhóm nhân tử chung  14,5.100 lại theo công thức A.B  AC .  A B  C  .  1450. Bước 2. Thực hiện phép tính trong ngoặc.

 13 78  25  3  13.100  1300.

e) 0,12.900  110.0,6  36  63.6.  6.18  6.11  6.6  6.63

 6 18  11  6  63  6.  50  300.

f) 84.84,5  840.1,55  840.8,45  840.1,55

 840  8,45  1,55  840.10  8400.

Trang 7

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x3  2x.

b) 3x2 y  6xy  12xy2 z.

c) 3x3  12x2 .

d) 3 x  y   5y  y  x  .

e) 5 x  3y   15x  x  3y  .

f) 2x  x  y   4y2  4x2 .

Câu 2: Tính nhanh

CI AL

Bài tập cơ bản

b) 6,4.85,6  8560.0,036.

c) 0,65.1800  18.25  0,18.6000.

d) 0,21.1000  250.0,7  49  32.7.

Câu 3: Tính các giá trị của biểu thức a) A  a  b  3  b  3  b tại a  2003 và b  1997. b) B  b2  8b  c  8  b tại b  108 và c  8.

a) 85.12,7  5.3.12,7.

ƠN

c) C  xy  x  y   2x  2y tại x  y  10 và xy  12.

d) D  x5  x  2y   x3 y  x  2y   x2 y2  x  2y  tại x  10 và y  5.

Bài tập nâng cao Câu 4: Tìm x. a) 2  x  2  x  2 . 2

b) 8x3  72x  0.

c)  x  5   5  x   0. 2

d) 2x3  3x2  3  2x  0.

Câu 5: Chứng minh rằng

f) x3  4x  14x  x  2  0.

e) x2  x  1  x  x  1  x  x  1  0.

a) 50n 2  50n1 chia hết cho 245 với mọi số tự nhiên n. b) n2  4n  3 chia hết cho 8 với mọi số tự nhiên n lẻ.

KÈ M

Câu 6: Tìm  x; y  nguyên thỏa mãn đẳng thức a) xy  3x  2y  9  0.

b) xy  x  3y  4  0.

Dạng 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức Bài toán 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp giải

DẠ

Nếu một đa thức chứa một trong các vế của bảy hằng đẳng thức đáng nhớ thì ta có thể dùng hằng đẳng thức đáng nhớ để viết đa thức đó thành tích các nhân tử. Bước 1. Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử của hằng đẳng thức cần sử dụng.

4x2  4xy  y2 . Trang 8

Bước 2. Sử dụng hằng đẳng thức để phân tích thành Hướng dẫn giải 4x2  4xy  y2   2x   2.  2x  .y  y2

nhân tử.

  2x  y  . 2

Ví dụ mẫu a) 6x  9  x2 .

b) 9  6x  x2  y2 .

c) 5x2  10xy2  5y4 .

d) x2  4x  25y2  4.

f)  2x  y   4x2  12x  9.

e) 49  y  4  9  y  2 .

Hướng dẫn giải





a) 6x  9  x2   x2  2.3x  32    x  3 .

ƠN

b) 9  6x  x2  y2  x2  2.3x  32  y2   x  3  y2 2

  x  3  y  x  3  y   x  y  3 x  y  3 .

 



2 c) 5x2  10xy2  5y4  5  x2  2xy2  y2   5 x  y2  

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

CI AL



d) x2  4x  25y2  4  x2  4x  4  25y2  x2  2.x.2  22   5y    x  2   5y 

  x  2  5y  x  2  5y   x  5y  2 x  5y  2 . e) 49  y  4  9  y  2   7  y  4   3 y  2  2

KÈ M

  7  y  4  3 y  2   7  y  4  3 y  2    7y  28  3y  6 7y  28  3y  6   4y  3410y  22  4  2y  17 5y  11 .



f)  2x  y   4x2  12x  9   2x  y   4x2  12x  9 2



  2x  y    2x   2.2x.3  32    2x  y    2x  3   2

DẠ

  2x  y    2x  3   2x  y    2x  3    2x  y  2x  3 2x  y  2x  3

  y  3 4x  y  3 .

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 27x3  27x2  9x  1.

b) 8x3  12x2  6x  1. Trang 9

c) x3  6x2 y  12xy2  9y3 .

d) 8x3  12x2 y  6xy2  y3  z3 .

Hướng dẫn giải a) 27x3  27x2  9x  1   3x   3.  3x  .1  3.3x.12  13   3x  1 . 2

CI AL

b) 8x3  12x2  6x  1   2x   3.  2x   3.2x.12  13   2x  1 . 3

c) x3  6x2 y  12xy2  9y3  x3  3.x2 .2y  3.x.  2y    2y   y3 2

  x  2y   y3

  x  2y   y3   x  2y   y  x  2y    x  2y  y  y2    2









  x  3y  x2  4xy  4y2  xy  2y2  y2   x  3y  x2  3xy  3y2 . d) 8x3  12x2 y  6xy2  y3  z3   2x   3.  2x  .y  3.2x.y2  y3  z3 2

  2x  y   z3 3

  2x  y   z  2x  y    2x  y  z  z2   

   2x  y  z  4x

  z  4xy  yz  2xz .

  2x  y  z 4x2  4xy  y2  2zx  yz  z2 2

 y2

Bài toán 2. Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải

ƠN

Ví

dụ:

Tính

giá

trị

A  49x2  42x  9 tại x  21.

phương pháp hằng đẳng thức.

Hướng dẫn giải

Bước 1. Phân tích đa thức thành nhân tử theo Bước 2. Tính giá trị của biểu thức bằng cách thay

KÈ M

giá trị của biến vào biểu thức sau khi phân tích

DẠ

thành nhân tử rồi tính toán.

của

biểu

thức

A  49x2  42x  9   7x   2.7x.3  32 2

  7x  3 . 2

Thay x  21 vào biểu thức A, ta được

A   7.21  3

 1502  22500.

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Tính giá trị của các biểu thức sau a) A  8x3  12x2 y  6xy2  y3 tại x  39; y  22. Trang 10

b) B  x2  2x  1   2y  1 tại x  36, y  32. 2

d) D  x3  3x2  3x  1  y3 tại x  99, y  100. Hướng dẫn giải a) A  8x3  12x2 y  6xy2  y3   2x   3.  2x  .y  3.2x.y2  y3   2x  y  . 3

Thay x  39, y  22 vào biểu thức A, ta được A   2.39  22  1003  1000000. b) B  x2  2x  1   2y  1   x  1   2y  1 2

CI AL

c) C  x2  8x  15 tại x  105.

  x  1   2y  1   x  1   2y  1    x  1  2y  1 x  1  2y  1   x  2y  2 x  2y  .

ƠN

Thay x  36, y  32 vào biểu thức B, ta được

B   36  2.32  2 36  2.32  30.100  3000.

c) C  x2  8x  15  x2  2.x.4  42  12   x  4  12   x  4  1  x  4  1 2

  x  5 x  3 .

Thay x  105 vào biểu thức C, ta được C  105  5105  3  100.102  10200. d) D  x3  3x2  3x  1  y3   x  1  y3   x  1  y  x  1   x  1 y  y2    2

  x  y  1  x  1   x  1 y  y2  .  

Thay x  99, y  100 vào biểu thức D, ta được

D   99  100  1  99  1   99  1 .100  1002   0. 2



KÈ M



Bài toán 3. Tìm x

Phương pháp giải

Ví dụ: Tìm x, biết  x  3   3  x  . 2

Hướng dẫn giải

 x  3   3  x 

thể là thống nhất chuyển tất cả các hạng tử về vế

 x  3   3  x 

DẠ

Bước 1. Chuyển tất cả các hạng tử về một vế (Cụ trái).

Bước 2. Phân tích vế trái thành nhân tử để được

0

 x  3   3  x    x  3   3  x    0   

dạng tích A.B  0. Khi đó A  0 hoặc B  0. Trang 11

 x  3  3  x  x  3  3  x   0 Với 2x  0

CI AL

A  0 và B  0 rồi kết luận.

6.2x  0

x0 Vậy x  0;3 .

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm x. a)  2x  5   5  2x   0. c) x3 

b) 27x3  54x2  36x  8.

3 2 3 1 1 x  x  . 2 4 8 64

d) 1  9x2   3x  1 . 2

Hướng dẫn giải 2

 0.

ƠN

a)  2x  5   5  2x 

 2x  5   5  2x    2x  5   5  2x    0    0

40x  0

0

b) 27x3  54x2  36x  8. 8

27x3  54x2  36x

Vậy x  0 .

2x  5  5  2x  2x  5  5  2x 

Bước 3. Tiến hành tìm x lần lượt từ các đẳng thức

27x3  54x2  36x  8  0

 3x 

 3.  3x  .2  3.3x.22  23  0 2

0

KÈ M

 3x  2

3x  2  0

2  . 3

2 Vậy x    .  3

DẠ

 1  1  1 3 3 1 1 1 c) x  x2  x    0  x3  3.x2 .  3.x.          0 2 4 8 64 2  2  2  4 3

 1  1   x     0 2  4  Trang 12

CI AL

2  1  1   1 1 1 1     x      x     x      0 2  4   2 4 2  16     2  1   1 1 1 1    x    x     x      0. 4   2 4 2  16    

1 1  0 ta tìm được x   . 4 4 2

 1 1 1 1 - Với  x     x     0 2 4 2  16  2

- Với x 

   1 1 1  1  1 1 1  1 3   x    2.  x   .         0   x       0. 1 2 2  8  8   8  16 2  8  64    2

ƠN

  1  1 1  1 3 Vì  x      0, x   x       0, x  1 không có giá trị x thỏa mãn. 2  8 2  8  64  

d) 1  9x2   3x  1  1  9x2   3x  1  0 2

 1  3x 1  3x    3x  1  0 2

 6x 1  3x   0.

- Với 6x  0 ta được x  0.

 1  3x 1  3x  3x  1  0

 1  3x  1  3x   3x  1   0

 1 Vậy x    .  4

KÈ M

1 - Với 1  3x  0 ta được x   . 3

 1  Vậy x   ; 0 .  3 

Bài toán 4. Tính nhanh

DẠ

Phương pháp giải Bước 1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hợp lý các hằng đẳng thức. Bước 2. Tiến hành tính toán.

Ví dụ: Tính nhanh 352  152. Hướng dẫn giải 352  152   35  15 35  15  20.50  1000.

Ví dụ mẫu Trang 13

Ví dụ. Tính nhanh

432  112

 36,5   27,5 2

b) 722  144.16  162  122. d) 933  21.932  3.49.93  343.

Hướng dẫn giải c)

48  42  64  52 2

432  112

 36,5   27,5 2

 482  522  82  422

a) 482  422  64  522.

CI AL

a) 482  422  64  522.

432  112

  48  52 48  52   8  42 8  42

 36,5   27,5

  48  52 48  52   8  42 8  42



 43  11 43  11  36,5  27,5 36,5  27,5



32.54 9.64



1.6 1.2

 4.100  34.50

ƠN

 400  1700

 2100.

 3.

d) 933  21.932  3.49.93  343.

b) 722  144.16  162  122.

933  21.932  3.49.93  343

722  144.16  162  122

  72  16  122

 882  122   88  12 88  12

 933  3.932.7  3.93.72  73   93  7

 1003  1000000.

KÈ M

 76.100

 722  2.72.16  162  122

 7600.

Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản

Câu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. a)  3x  1   3x  1 .

b)  x  y    x  y  .

c)  x  y    x  y  .

d) x3  y3  z3  3xyz.

e) x  y  x   x2  2xy  y2 .

f) x  x  y   y  x  y   xy2  x2 y.

DẠ

Trang 14

a) 732  272.

b) 362  142.

c) 632  272  722  182.

d) 542  822  182  462.

Câu 3: Tìm x. a) x2  10x  25.

b) 4x2  4x  1.

c) 1  2x    3x  2 . 2

d)  x  2   5  2x   0.

Bài tập nâng cao

Câu 4: Chứng minh rằng

CI AL

Câu 2: Tính nhanh

Câu 5: Chứng minh rằng  n  6   n  6 chia hết cho 24. 2

b) 56  104 chia hết cho 9.

a) 29  1 chia hết cho 73.

Dạng 3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

ƠN

Bài toán 1. Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp giải

Nhóm nhiều hạng tử của đa thức một cách thích hợp để làm xuất hiện các nhân tử chung hoặc hằng đẳng

thức, chẳng hạn

AB  AC  DB  DC  A  B  C   D  B  C    B  C  A  D  .

Bước 1. Tiến hành nhóm các hạng tử một cách Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

2xy  3z  6y  xz.

đẳng thức.

Hướng dẫn giải

thích hợp để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng Bước 2. Đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc. Ta tiến hành rút gọn biểu thức bên trong dấu ngoặc và

KÈ M

phân tích tiếp nếu có thể.

2xy  3z  6y  xz   2xy  6y    3z  xz  2y  x  3  z x  3   x  3 2y  z .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử b) a4  9a3  a2  9a.

c) x2   a  b x  ab.

d) 4x2  4xy  y2  9z2 .

a) 3x2  5y  3xy   5x  .

DẠ

Hướng dẫn giải

a) 3x2  5y  3xy   5x   3x2  3xy  5y  5x  3x  x  y   5 x  y   3x  x  y   5 x  y    x  y  3x  5 .

Trang 15





b) a4  9a3  a2  9a  a a3  9a2  a  9  a  a2  a  9  a  9





CI AL

 a  a  9 a2  1 . c) x2   a  b x  ab  x2  ax  bx  ab  x  x  a  b  x  a   x  a x  b .

d) 4x4  4xy  y2  9z2   2x  y    3z 2

  2x  y   3z  2x  y   3z   2x  y  3z 2x  y  3z .

b) a3  b3  c3  3abc.

a) x3  3x2 y  3xy2  y3  z3 . Hướng dẫn giải a) x3  3x2 y  3xy2  y3  z3   x  y   z3

ƠN

  x  y   z  x  y   z x  y   z2    2



Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử



  x  y  z x2  y2  z2  2xy  yz  zx .

b) a3  b3  c3  3abc   a  b  3ab  a  b  c3  3abc 3

  a  b  c3  3ab  a  b  3abc 3

  a  b  c  a  b   a  b c  c2   3ab  a  b  c  

2   a  b  c  a  b   a  b c  c2  3ab  





KÈ M

  a  b  c a2  b2  c2  ab  bc  ac .

Bài toán 2. Tính nhanh

Phương pháp giải

Ví dụ: Tính nhanh

Bước 1. Nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử 15.64  25.100  36.15  60.100. Hướng dẫn giải

Bước 2. Phân tích thành nhân tử và tính toán.

15.64  25.100  36.15  60.100

DẠ

chung hoặc hằng đẳng thức.

 15.64  36.15   25.100  60.100  15 64  36  100  25  60  15.100  100.85

Trang 16

 100 15  85  100.100

CI AL

 10000.

Ví dụ mẫu Ví dụ. Tính nhanh a) 472  482  25  94.48.

b) 64  1043  12.1042  48.104  1003.

Hướng dẫn giải

b) 64  1043  12.1042  48.104  1003.

 472  2.47.48  482  52

 1043  3.1042.4  3.104.42  43  1003

  47  48  52

 104  4  1003

  47  48  5  47  48  5

 104  4  1003

 90.100

 1003  1003

 9000.

 0.

ƠN

a) 472  482  25  94.48.

Bài toán 3. Tìm x

Ví dụ: Tìm x, biết x2  x  5  x  5

Phương pháp giải

Bước 1. Chuyển tất cả các hạng tử về một vế (Cụ thể là chuyển tất cả các hạng tử về vế trái).

Bước 2. Phân tích vế trái thành nhân tử để được

Hướng dẫn giải

x2  x  5  x  5

x2  x  5  x  5  0

Bước 3. Tiến hành tìm x lần lượt từ các đẳng thức

x2  x  5   x  5  0

KÈ M

A  0 và B  0 rồi kết luận.

dạng tích A.B  0. Khi đó A  0 hoặc B  0.

 x  5  x



1  0

 x  5 x  1 x  1  0 - Với x  5  0 thì x  5. - Với x  1  0 thì x  1. - Với x  1  0 thì x  1. Vậy x  1;1;5 .

Ví dụ mẫu

DẠ

Ví dụ 1. Tìm x, biết a) 3x4  9x3  9x2  27x.





c)  x  3 x2  3x  5  x2  3x.

b) x2  x  8  x2  8x. d) x4  9x2  4x2  36.

Hướng dẫn giải Trang 17

b) x2  x  8  x2  8x.

3x4  9x3  9x2  27x  0

x2  x  8  x2  8x  0

3x3  x  3  9x  x  3  0 3



 9x  0

 x  8  x

 x  3  3x  x  3   0



x 0

x  x  8 x  1  0

3x  x  3 x  3  0

 x  3  3x

x2  x  8  x  x  8  0

CI AL

a) 3x4  9x3  9x2  27x.

- Với x  0.

- Với x  3  0 ta được x  3.

- Với x  8  0 ta được x  8.

- Với x  3  0 ta được x  3.

- Với x  1  0 ta được x  1.

Vậy x  3; 0;3 .

Vậy x  8; 1; 0 .



- Với 3x  0 ta được x  0.



d) x4  9x2  4x2  36.

   x  3  x  3x  8  x  x  3  0  x  3  x  3x  8  x   0  x  3  x  4x  8  0

x4  9x2  36  4x2  0

ƠN

c)  x  3 x2  3x  8  x2  3x.

 x  3 x2  3x  8  x2  3x  0



x

 x  2

4 0

x2  2.x.2  22  4  0





 4 x2  9  0

- Với x  2  0 ta được x  2.

- Với x  4x  8  0 2



 x  2 x  2 x  3 x  3  0

- Với x  3  0 ta được x  3.

 

x2 x2  9  4 x2  9  0

- Với x  2  0 ta được x  2. - Với x  3  0 ta được x  3. - Với x  3  0 ta được x  3. Vậy x  3; 2;2;3 .

 x  2

KÈ M

Điều này là vô lý do

 4  0, x.

Vậy x  3 .

Bài toán 4. Chứng minh bài toán về số học

Phương pháp giải

Bước 1. Phân tích biểu thức đã cho ra thừa số để

DẠ

xuất hiện số chia.

Bước 2. Sử dụng tính chất chia hết của số nguyên (số nguyên a được cho là chia hết cho số nguyên b

Ví dụ: Chứng minh rằng  3n  1  4 chia hết cho 2

3 với mọi số tự nhiên n. Hướng dẫn giải

 3n  1

 4   3n  1  22 2

nếu có số nguyên k sao cho a  kb. ). Trang 18

  3n  1  2  3n  1  2

CI AL

  3n  3 3n  1  3 n  1 3n  1

Vì 3 n  1 3n  1 chia hết cho 3 nên  3n  1  4 2

chia hết cho 3.

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Chứng minh rằng 100   7n  3 luôn chia hết cho 7 với mọi số tự nhiên n. 2

Hướng dẫn giải Ta có 100   7n  3  102   7n  3 2

ƠN

 10   7n  3  10   7n  3    7  7n13  7n

 7 1  n13  7n .

Vì 7 1  n13  7n chia hết cho 7 nên 100   7n  3 chia hết cho 7 với mọi số tự nhiên n. 2

Bài tập tự luyện dạng 3

Bài tập cơ bản Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2  3x  xy  3y.

b) 3x2  3xy  5x  5y. d) 3x2  6xy  3y2  3z2 .

e) 27x3  54x2 y  36xy2  8y3 .

f) a3  1  5a2  5  3a  3.

KÈ M

c) x2  2xy  y2  z2  2zt  t 2 .

Câu 2: Tính nhanh

a) 108.95  25.90  46.190  75.90.

b) 572  432  400  86.57.

Câu 3: Tìm x.

a) x2  x  2  9x  18  0.

b) 6 1  x   x2  2x  1  0.

Bài tập nâng cao

DẠ

Câu 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

xy  x  y   yz y  z  xz x  z  2xyz.

Dạng 4. Phối hợp nhiều phương pháp Trang 19

Phương pháp đặt nhân tử chung.

Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.

Phương pháp nhóm hạng tử.

CI AL

Để phân tích một đa thức thành nhân tử với nhiều trường hợp ta phải phối hợp cả ba phương pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử.

Ngoài ra còn một số phương pháp khác. Phương pháp tách hạng tử.

Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.

Phương pháp đặt biến phụ.

Phương pháp hệ số bất định.

Bài toán 1. Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp giải

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

3x  3y  x2  y2 . Nhóm hạng tử: Bước 1. Thực hiện nhóm, tách các hạng tử một cách thích hợp để xuất hiện nhân tử chung hoặc

ƠN

Hướng dẫn giải

3x  3y  x2  y2

 3 x  y    x  y  x  y 

Bước 2. Tiến hành phân tích.

  x  y  x  y  3 .

đưa về hằng đẳng thức.

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Tách hạng tử:

Để phân tích đa thức dạng ax  bx  c hoặc dạng 2

ax  bxy  cy thành nhân tử: 2

x2  3x  2.

Hướng dẫn giải

x2  3x  2  x2  x  2x  2  x  x  1  2  x  1

đó

đưa

đa

thức

b  b  b Bước 1. Tìm hai số b1, b2 sao cho  1 2 . b1.b2  a.c đã

cho

về

  x  1 x  2 .

dạng

KÈ M

ax2  b1x  b2 x  c hoặc ax2  b1xy  b2 xy  cy2 . Bước 2. Thực hiện nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung và tiến hành phân tích. Đặt ẩn phụ:

Bước 1. Đặt các hạng tử giống nhau thành biến mới

để đưa đa thức đã cho về một đa thức với biến mới vừa đặt.

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

x4  4x2  3. Hướng dẫn giải

DẠ

2 Bước 2. Áp dụng các phương pháp đã có để tiến Đặt t  x  t  0 thay vào đa thức cần phân tích,

hành phân tích.

ta được

Bước 3. Thay ngược trở lại biến mới theo biến cũ.

x4  4x2  3  t 2  4t  3

Sau đó tiếp tục phân tích nếu có thể. Trang 20

 t 2  t  3t  3

  t  1 t  3

Thay t  x2 .

 t  1 t  3   x



CI AL

 t  t  1  3 t  1



 1 x2  3





  x  1 x  1 x2  3 . Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x6  x4  2x3  2x2 .

b) x2  4x2 y2  y2  2xy.

c) x3  3x2  3x  1  y3 .

d) x3  y3  x2  2xy  y2 .



ƠN

Hướng dẫn giải



a) x6  x4  2x3  2x2  x4 x2  1  2x2  x  1  x4  x  1 x  1  2x2  x  1









 x2  x  1 x2  x  1  2  x2  x  1 x3  x2  2 .

b) x2  4x2 y2  y2  2xy  x2  2xy  y2   2xy    x  y    2xy  2

  x  y   2xy  x  y   2xy   x  y  2xy  x  y  2xy  . c) x3  3x2  3x  1  y3  x3  3x2 .1  3.x.1  13  y3   x  1  y3

2 2   x  1  y  x  1   x  1 y  y2    x  y  1  x  1   x  1 y  y2  .    





d) x3  y3  x2  2xy  y2  x3  y3   x  y    x  y  x2  xy  y2   x  y  2









  x  y  x2  xy  y2  x  y   x  y  x2  y2  x  y  xy .

KÈ M

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x2  x  3   x  3  x2  1. 2

b) x3  2x2  4x  8.

c)  x  y    x  y  . 3

d) 2a2  x  y  z  4ab  x  y  z  2b2  x  y  z .

DẠ

Hướng dẫn giải



 



2 2 2 2 a) x2  x  3   x  3  x2  1   x  3 x2  1  x2  1  x2  1  x  3  1  

  x  1 x  1 x  3  1 x  3  1   x  1 x  1 x  4 x  2 .

Trang 21





b) x3  2x2  4x  8  x2  x  2  4  x  2   x  2 x2  4 .







CI AL

3 3 2 2 c)  x  y    x  y    x  y  x  y   x  y    x  y  x  y    x  y    



 2y. x2  2xy  y2  x2  y2  x2  2xy  y2  2y 3x2  y2 . d) 2a2  x  y  z  4ab  x  y  z  2b2  x  y  z





 2  x  y  z a2  2ab  b2  2  x  y  z a  b . 2

b) x2  4xy  3y2 .

c) 3x2  5x  2.

d) x2  7xy  10y2 .

a) x2  5x  6.

Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Hướng dẫn giải

a) x2  5x  6  x2  3x  2x  6  x  x  3  2  x  3   x  3 x  2 .

ƠN

b) x2  4xy  3y2  x2  xy  3xy  3y2  x  x  y   3y  x  y    x  y  x  3y  . c) 3x2  5x  2  3x2  3x  2x  2  3x  x  1  2  x  1   x  1 3x  2 .

d) x2  7xy  10y2  x2  2xy  5xy  10y2  x  x  2y   5y  x  2y    x  2y  x  5y  . Ví dụ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x4  2x3  6x  9.

b) x4  2x3  x2  9.

c) x3  x  3x2 y  3xy2  y3  y.

d) x4  2x3  8x2  8x  16.

Hướng dẫn giải

   3  2x  6x   x  3 x  3  2x  x  3   x  3 x  3  2x    x  3 x   x  3  x  x  1  3 x  1    x  3  x  1 x  3 . 2

a) x4  2x3  6x  9  x4  9  2x3  6x  x2 2



 x  3x  3

 











 2.x2 .x  x2  9  x2  x  9  x2  x  3 x2  x  3 .

KÈ M

b) x4  2x3  x2  9  x2

c) x3  x  3x2 y  3xy2  y3  y  x3  3x2 y  3xy2  y3  x  y   x  y    x  y  . 3

2 2   x  y   x  y   1   x  y   x  y   12    x  y  x  y  1 x  y  1 .    



d) x4  2x3  8x2  8x  16  x3  x  2  8x2  8x  16  x3  x  2  8 x2  x  2







DẠ

 x3  x  2   8 x 2  2 x  x  2  x3  x  2   8 x  x  2   x  2





 x3  x  2  8 x  2 x  1   x  2 x3  8x  8 .

Ví dụ 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử







a) x2  2x  5 x2  2x  3  15. Trang 22

b)  x  1 x  2 x  3 x  4  24.









CI AL

c) x2  4x  8  3x x2  4x  8  2x2 . Hướng dẫn giải







a) x2  2x  5 x2  2x  3  15 Đặt t  x2  2x  3 thay vào biểu thức, ta có 2











 2x  5 x2  2x  3  15  x2  2x  3  2 x2  2x  3  15

x

  t  2 t  15

 t 2  2t  15  t 2  5t  3t  15   t  5 t  3 .

Thay t  x2  2x  3, ta được

  x



ƠN

 t  t  5  3 t  5



 x2  2 x  3  5 x2  2 x  3  3

  x  x  2  x  2x  8 .



 2 x  8 x2  2 x

  x



  x  1 x  4   x  2 x  3   24

b)  x  1 x  2 x  3 x  4  24



 x2  x  4x  4 x2  2x  3x  6  24 2





 5x  4 x2  5x  6  24.

KÈ M

Đặt t  x2  5x  5 thay vào biểu thức, ta có

  t  1 t  1  24

 t 2  25   t  5 t  5 .

Thay t  x2  5x  5, ta được

  x

Y DẠ 







 x2  5x  5  5 x2  5x  5  5

  x  x  5  x 

  5x  10 .

 5x x2  5x  10 2



c) x2  4x  8  3x x2  4x  8  2x2 Trang 23

Đặt t  x2  4x  8 thay vào biểu thức, ta có 2







 4x  8  3x x2  4x  8  2x2  t 2  3tx  2x2

CI AL

x

 t 2  tx  2tx  2x2  t  t  x   2x  t  x    t  x  t  2x 

  x  x



 x2  4 x  8  x x2  4 x  8  2 x

   5x  8  x  2 x  4 .  5x  8 x2  6x  8

Bài toán 2. Tính giá trị biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức sau

ƠN

Phương pháp giải



Thay t  x2  4x  8, ta được

Bước 1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách

A  x2  2x  1  4y2 tại x  51, y  25.

kết hợp nhiều phương pháp.

Hướng dẫn giải

A  x2  2x  1  4y2

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức bằng cách thay các giá trị của biến vào biểu thức sau khi phân tích thành nhân tử rồi tính toán.

  x  1   2y  2

Ví dụ mẫu

  x  1  2y  x  1  2y   x  2y  1 x  2y  1

Thay x  51, y  25 vào biểu thức A, ta được

A   51  2.25  1 51  2.25  1  0.

KÈ M

Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức a) A  x2  y2  3x  3y tại x  102, y  101. b) B  x2  3y  3x  xy tại x  53, y  47. c) C  x3  6x2 y  12xy2  8y3  z3 tại x  2018, y  2019, z  2020.

d) D  x3  8y3   x  2y  x  15y  tại x  96, y  48. Hướng dẫn giải

DẠ

a) A  x2  y2  3x  3y tại x  102, y  101.

A   x  y  x  y   3 x  y    x  y  x  y  3 .

Trang 24

Thay x  102, y  101 vào biểu thức A, ta có

A  102  101102  101  3  1.200  200.

CI AL

b) B  x2  3y  3x  xy tại x  53, y  47.

B  x2  xy  3 x  y   x  x  y   3 x  y    x  y  x  3 .

Thay x  53, y  47 vào biểu thức B, ta có

B   53  47 53  3  100.50  5000. c) C  x3  6x2 y  12xy2  8y3  z3 tại x  2018, y  2019, z  2020.

C  x3  3.x2 .2y  3.x.  2y    2y   z3 2

  x  2y   z3

ƠN

  x  2y  z  x  2y    x  2y  z  z2    2

Thay x  2018, y  2019, z  2020 vào biểu thức C, ta có

C   2018  2.2019  2020  2018  2.2019   2018  2.2019 .2020  20202  2





 0.  2018  2.2019   2018  2.2019 .2020  20202   0.   2

d) D  x3  8y3   x  2y  x  15y  tại x  96, y  48.

   x  2y   x



D  x3  8y3   x  2y  x  15y 

  x  2y  x2  2xy  4y2   x  2y  x  15y  2

 2xy  4y2  x  15y





KÈ M

Thay x  96, y  48 vào biểu thức D, ta có





D  96  2  48 962  2.96.  48  4.  48  96  15.48





 0. 962  2.96.  48  4.  48  96  15.48  0.

Bài toán 3. Tìm x

DẠ

Phương pháp giải

Bước 1. Chuyển tất cả các hạng tử về một vế. Bước 2. Phân tích vế trái thành nhân tử bằng cách kết hợp nhiều phương pháp để được dạng tích

Ví dụ: Tìm x, biết x  x  2  x  2. Hướng dẫn giải

x  x  2  x  2  0 Trang 25

x  x  2   x  2  0

Bước 3. Tìm x lần lượt từ các đẳng thức A  0 và

 x  2 x  1  0

B  0 rồi kết luận

CI AL

A.B  0. Khi đó A  0 hoặc B  0.

- Với x  2  0 ta được x  2. - Với x  1  0 ta được x  1. Vậy x  2;1 . Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tìm x. a) 3x  x  1  x  1  0.

b)  2x  1  25  0. 2









d)  x  2 x2  2x  7  2 x2  4  5 x  2 . Hướng dẫn giải a)  x  1 3x  1  0.

- Với x  1  0 ta được x  1. 1 - Với 3x  1  0 ta được x   . 3

 1  Vậy x   ;1 .  3 

ƠN

c) x3  27   x  3 x  9 .

b)  2x  1  52  0

 2x  1 5 2x  1 5  0  2x  6 2x  4  0

KÈ M

- Với 2x  6  0 2x  6

x  3. - Với 2x  4  0

2x  4

x  2.

Vậy x  2;3 .

DẠ

c) x3  27   x  3 x  9  0

 x  3  x

 3x  9   x  3 x  9  0



 x  3  x

 3x  9   x  9  0



Trang 26

 x  3  x

 3x  9  x  9  0



 x  3  x

 4x  0

CI AL



x  x  3 x  4  0 - Với x  0 . - Với x  3  0 ta được x  3. - Với x  4  0 ta được x  4.



 

Vậy x  3; 0; 4 .



d)  x  2 x2  2x  7  2 x2  4  5 x  2  0

 x  2  x  x  2  x



 2x  7  2  x  2 x  2  5 x  2  0

 2x  7  2  x  2  5  0

 4x  6  0



 x  2  x  2

ƠN

 x  2  x

 2  0 

- Với x  2  0 ta được x  2. - Với  x  2  2  0 (vô lý do  x  2  2  0, x. ) 2

Bài tập cơ bản

Bài tập tự luyện dạng 4

Vậy x  2 .

Câu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) xy  z  y  xz.

KÈ M

c) 3x2  10xy  3y2 .

e) 8x2  12xy  4y2  2x  1.







g) x2  3x  3 x2  3x  4  12.

b) 3x2  5y  3xy  5x. d) 2x2  5x  2. f) 2xy  x2  3y2  4y  1. h) 4x4  16.

Câu 2: Tính giá trị của biểu thức. a) A  x2  8x  7 tại x  51.

b) B  x4  2x3  x2 tại x  10.

DẠ

c) C  x2  4xy  4y2  z2 tại x  5, y  7 và z  19. d) D  m6  2m4  m  m2  m3 biết m3  m  1  0.

Câu 3: Tìm x. a) x2  x  1  x  1  0.

b) x2  x  3x2  3x. Trang 27



 



d)  x  2 x2  4  5 x2  2x .

c) 2x2  x  1  x   x2 . Câu 4: Tính  a  b

2019

biết a  b  9, ab  20, a  b.

CI AL

Bài tập nâng cao

Câu 5: Chứng minh rằng với mọi n   thì A  n4  2n3  n2  2n chia hết cho 12. Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2x2  4y2  4xy  2x  4y  2019.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản Câu 1.





a) x3  2x  x x2  2 .

ƠN

b) 3x2 y  6xy  12xy2 z  3xy  x  2  4yz . c) 3x3  12x2  3x2  x  4 .

d) 3 x  y   5y  y  x   3 x  y   5y  x  y    x  y  3  5y  .



e) 5 x  3y   15x  x  3y   5 x  3y 1  3x  .



f) 2x  x  y   4y2  4x2  2x  x  y   4 x2  y2  2x  x  y   4  x  y  x  y   2  x  y  x  2x  2y   2  x  y  3x  2y  .

Câu 2.

a) 85.12,7  5.3.12,7  85.12,7  15.12,7   85  15 .12,7  100.12,7  1270. b) 6,4.85,6  8560.0,036  6,4.85,6  85,6.100.0,036  6,4.85,6  85,6.3,6  85,6  6,4  3,6  85,6.10  856.

KÈ M

c) 0,65.1800  18.25  0,18.6000  0,65.100.18  18.25  0,18.100.60  65.18  25.18  18.60  18.  65  25  60  18.100  1800.

d) 0,21.1000  250.0,7  49  32.7  7.0,03.1000  25.10.0,7  7.7  32.7  7.30  25.7  7.7  32.7  7.  30  25  7  32  7.  20  140.

Câu 3.

a) Ta có A  a  b  3  b  3  b   a  b b  3 .

DẠ

Thay a  2003 và b  1997 vào biểu thức A, ta được

A   2003  19971997  3  6.2000  12000.

b) Ta có B  b2  8b  c  8  b  b  b  8  c  b  8   b  8 b  c . Thay b  108 và c  8 vào biểu thức B, ta được Trang 28

B  108  8 108   8   100.100  10000. c) Ta có C  xy  x  y   2x  2y  xy  x  y   2  x  y    x  y  xy  2 .





d) Ta có D  x5  x  2y   x3 y  x  2y   x2 y2  x  2y    x  2y  x5  x3 y  x2 y2 . Thay x  10 và y  5 vào biểu thức D, ta được

CI AL

Thay x  y  10 và xy  12 vào biểu thức C, ta được C  10. 12  2  10.10  100.

2 2 D  10  2.  5  105  103.  5  102.  5   0. 105  103.  5  102.  5   0.









Câu 4. a) 2  x  2  x  2

b) 8x3  72x  0



2  x  2  x  2  0

8x  x  3 x  3  0

ƠN

 x  2 2  x  2  1  0

- Với 8x  0  x  0.

 x  2 2x  3  0

- Với x  3  0  x  3.

- Với x  2  0  x  2.

- Với x  3  0  x  3. Vậy x  3; 0;3 .

3 - Với 2x  3  0  x  . 2

c)  x  5   5  x   0

3  Vậy x   ;2 . 2 

0

2  x  5  x  5  1  0 2

 x  5   x  5



8x x2  9  0

Bài tập nâng cao

d) 2x3  3x2  3  2x  0

x2  2x  3   2x  3  0

 2x  3  x



1  0

3 - Với 2x  3  0  x   . 2

 x  5  x  6 x  4  0

- Với x2  1  0  x  1 (vô lí).

KÈ M

 x  5  x  5  1 x  5  1  0 - Với  x  5  0  x  5. 2

 3 Vậy x    .  2

- Với x  6  0  x  6.

- Với x  4  0  x  4.

DẠ

Vậy x  4;5;6 .

e) x2  x  1  x  x  1  x  x  1  0

x  x  x  1   x  1   x  1   0

f) x3  4x  14x  x  2  0

x  x2  4  14  x  2   0 Trang 29

x  x  2 x  2  14  x  2   0

x  x  1 x  2  0

x  x  2 x  2  14  0

- Với x  0.

x  x  2 x  12  0

- Với x  1  0  x  1.

- Với x  0.

- Với x  2  0  x  2.

- Với x  2  0  x  2.

Vậy x  2; 0;1 .

- Với x  12  0  x  12.

Vậy x  0;2;12 . Câu 5.

a) Ta có 50n 2  50n1  50n1  50  1  49.50n1. Vì n là số tự nhiên nên 50n1  50  49.50n1  245



CI AL

x  x  1 x  1   x  1   0



b) Ta có n2  4n  3  n2  3n   n  3  n  n  3   n  3   n  1 n  3 .

ƠN

Vì n là số tự nhiên lẻ nên n có dạng 2k  1  k    .

Do đó  n  1 n  3   2k  2 2k  4  4  k  1 k  2 .

Mà  k  1 k  2 là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên  k  1 k  2 2  4  k  1 k  2 8  điều phải chứng minh. Câu 6.

a) Ta có xy  3x  2y  9  0   xy  3x    2y  6  3  0

 x  y  3  2  y  3  3   x  2 y  3  3.

x2

y Kết luận

3

1

3

1

4

6

2

Thỏa mãn

KÈ M

y3

Vì x, y nguyên và 3  1.3   1 .  3 nên ta có bảng





Vậy các cặp số  x; y  cần tìm là  x; y    1; 4 ; 1; 6 ;  3; 0 ;  5; 2 . b) Ta có xy  x  3y  4  0   xy  x    3y  3  1  0

 x  y  1  3 y  1  1   x  3 y  1  1.

DẠ

Vì x; y nguyên và 1  1.1   1 .  1 nên ta có bảng

x3

1

y 1

1

1 Trang 30

4

2

Kết luận

Thỏa mãn





Vậy các cặp số  x; y  cần tìm là  x; y    4; 0 ;  2;2 . Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản Câu 1. 2

b)  x  y    x  y    x  y    x  y    x  y    x  y    2y.2x  4xy. 2

a)  3x  1   3x  1   3x  1   3x  1   3x  1   3x  1   2.6x  12x.

CI AL

3 3 2 2 c)  x  y    x  y    x  y    x  y    x  y    x  y  x  y    x  y    













ƠN

 2y. x2  2xy  y2  x2  y2  x2  2xy  y2  2y 3x2  y2 .

d) x3  y3  z3  3xyz  x3  y3  z3  3xyz   x  y   3xy  x  y   z3  3xyz 3

  x  y  z  x  y    x  y  .z  z2   3xy  x  y  z  

   x  y  z  x

  x  y  z x2  2xy  y2  xz  yz  z2  3xy 2



 y2  z2  xy  yz  zx .





e) x  y  x   x2  2xy  y2  x  x  y   x2  2xy  y2  x  x  y    x  y    x  y   x  1 . 2

f) x  x  y   y  x  y   xy2  x2 y   x  y   x  y   xy  x  y  2









2   x  y   x  y   xy   x  y  x2  2xy  y2  xy   x  y  x2  3xy  y2 .  

Câu 2.

KÈ M

a) 732  272   73  27 73  27  46.100  4600. b) 362  142   36  14 36  14  22.50  1100.



 



c) 632  272  722  182  632  272  722  182   63  27 63  27   72  18 72  18  36.90  54.90  90.  36  54  90.90  8100.



 



d) 542  822  182  462  542  462  822  182   54  46 54  46   82  18 82  18

DẠ

 8.100  64.100  100.  8  64  100.72  7200.

Câu 3.

a) x2  10x  25

b) 4x2  4x  1 Trang 31

x2  10x  25  0

 2x  1

0

x5 0

1 2

x .

Vậy x  5 . c) 1  2x    3x  2 2

0

2x  1  0

x5

1 2x    3x  2

CI AL

1 Vậy x    . 2

d)  x  2   5  2x   0

 0.

1  2x    3x  2  1  2x    3x  2   0   

 x  5

4 x2  4 x  1  0

 x  2   5  2 x    x  2   5  2 x    0   

 x  2  5  2x  x  2  5  2x   0  3x  7 3  x   0

3 - Với 3  5x  0  x  . 5

7 - Với 3x  7  0  x  . 3

- Với x  1  0  x  1.

- Với 3  x  0  x  3.

3  Vậy x   ;1 . 5 

7  Vậy x   ;3 . 3 

ƠN

1 2x  3x  21 2x  3x  2  0  3  5x  x  1  0

Bài tập nâng cao Câu 4. 3







 13  23  1 26  23  1  7.73 chia hết cho 73.

 

a) Ta có 29  1  23

   10    5  10  5  10   25.225 chia hết cho 9. 2

b) Ta có 56  104  53 Câu 5.

Ta có  n  6   n  6   n  6   n  6   n  6   n  6   12.2n  24n chia hết cho 24. 2

KÈ M

Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản

Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử





a) x2  3x  xy  3y  x2  3x   xy  3y   x  x  3  y  x  3   x  y  x  3 .





b) 3x2  3xy  5x  5y  3x2  3xy   5x  5y   3x  x  y   5 x  y    3x  5 x  y  .



 



c) x2  2xy  y2  z2  2zt  t 2  x2  2xy  y2  z2  2zt  t 2   x  y    z  t  2

DẠ

  x  y    z  t    x  y    z  t     x  y  z  t  x  y  z  t  .









d) 3x2  6xy  3y2  3z2  3 x2  2xy  y2  z2  3  x2  2xy  y2  z2   

Trang 32

 3  x  y   z2   3 x  y  z x  y  z .   2

e) 27x3  54x2 y  36xy2  8y3   3x   3.  3x  .  2y   3.  3x  .  2y    2y    3x  2y  .



 



f) a3  1  5a2  5  3a  3  a3  1  5a2  5   3a  3





  a  1 a2  a  1  5 a  1 a  1  3 a  1   a  1  a2  a  1  5 a  1  3





  a  1 a2  6a  9   a  1 a  3 . Câu 2. a) 108.95  25.90  46.190  75.90  108.95  92.95   25.90  75.90

CI AL

 190  90 .100  100.100  10000.





 95. 108  92  90.  25  75  95.200  90.100  95.2.100  90.100  190.100  90.100

b) 572  432  400  86.57  572  86.57  432  400   57  43  400  1002  400  9600. a) x2  x  2  9x  18  0

b) 6 1  x   x2  2x  1  0

x 2  x  2  9  x  2  0 2

6 1  x    x  1  0

 x  2  x



 x  2 x  3 x  3  0

Bài tập nâng cao

 x  1 x  7  0

- Với x  1  0  x  1. - Với x  7  0  x  7. Vậy x  1; 7 .

KÈ M

Câu 4.

Vậy x  3; 2;3 .

- Với x  2  0  x  2. - Với x  3  0  x  3.

 x  1  x  1  6  0

 9  0.

- Với x  3  0  x  3.

ƠN

Câu 3.

Ta có xy  x  y   yz y  z  xz x  z  2xyz

  xy  x  y   xyz   yz y  z  xyz  xz x  z  xy  x  y  z  yz x  y  z  xz x  z

 y  x  y  z x  z  xz x  z





DẠ

  x  z xy  y2  yz  xz

  x  z x  y  y  z .

Bài tập tự luyện dạng 4 Bài tập cơ bản Trang 33

Câu 1. a) xy  z  y  xz   xy  y    xz  z  y  x  1  z x  1   x  1 y  z .



 c) 3x  10xy  3y   3x  9xy    xy  3y   3x  x  3y   y  x  3y    x  3y  3x  y  . d) 2x  5x  2   2x  4x    x  2  2x  x  2   x  2   x  2 2x  1 . 2

CI AL

b) 3x2  5y  3xy  5x  3x2  3xy   5x  5y   3x  x  y   5 x  y    x  y  3x  5 . 2



 



e) 8x2  12xy  4y2  2x  1  9x2  12xy  4y2  x2  2x  1   3x  2y    x  1

  3x  2y    x  1   3x  2y    x  1    3x  2y  x  1 3x  2y  x  1



 

  2x  2y  1 4x  2y  1 .



f) 2xy  x2  3y2  4y  1   x2  2xy  y2  4y2  4y  1   2y  1   x  y  2

ƠN

  2y  1   x  y    2y  1   x  y     2y  1  x  y  2y  1  x  y    3y  x  1 y  x  1 .







g) x2  3x  3 x2  3x  4  12.



Đặt x2  3x  3  t , ta được



t  t  1  12  t 2  t  12  t 2  4t   3t  12  t  t  4  3 t  4   t  3 t  4 . Thay t  x2  3x  3 vào, ta được 2



 









 3x  3  3 x2  3x  3  4  x2  3x x2  3x  7  x  x  3 x2  3x  7 .







x











2 2 h) 4x4  16  4 x4  4  4  x4  4x2  4  4x2   4  x2  2   2x      

 





 4 x2  2  2 x x2  2  2 x  4 x2  2 x  2 x2  2 x  2 . Câu 2.





KÈ M

a) Ta có A  x2  8x  7  x2  7x   x  7  x  x  7   x  7   x  7 x  1 . Thay x  51 vào biểu thức A, ta được A   51  7 51  1  44.50  2200.





b) Ta có B  x4  2x3  x2  x2 x2  2x  1  x2  x  1 . 2

Thay x  10 vào biểu thức B, ta được B  102 10  1  100.81  8100.

DẠ

c) Ta có C  x2  4xy  4y2  z2   x  2y   z2   x  2y  z x  2y  z . 2

Thay x  5, y  7 và z  19 vào biểu thức C, ta được C   5  2.7  19 .  5  2.7  19  0.



 



d) Ta có D  m6  2m4  m  m2  m3  m6  2m4  m2  m3  m

Trang 34

















 m2 m4  2m2  1  m m2  1  m2 m2  1  m m2  1



 











CI AL

 m m2  1  m m2  1  1  m m2  1 m3  m  1 .  



Thay m3  m  1  0 vào biểu thức D, ta được D  m m2  1 .0  0. Câu 3. b) x2  x  3x2  3x

x2  x  1   x  1  0

x2  x  3x2  3x  0

 x  1  x

4 x2  4 x  0



1  0

4x  x  1  0

 x  1  x  1  0 2

- Với 4x  0  x  0.

- Với x  1  0  x  1.

- Với  x  1  0  x  1. 2

Vậy x  0;1 .

ƠN

- Với x  1  0  x  1. Vậy x  1 . c) 2x2  x  1  x   x2



    x  2  x  4  5  x  2 x   0  x  2  x  4  5x  x  2  0  x  2  x  5x  4  0

d)  x  2 x2  4  5 x2  2x

2x  x  1  x  x  0 2

a) x2  x  1  x  1  0

2x2  x  1  x  x  1  0

x  x  1 2x  1  0

- Với x  0. 1 - Với 2x  1  0  x   . 2

- Với x  2  0  x  2. - Với x  1  0  x  1. - Với x  4  0  x  4. Vậy x  1;2; 4 .

KÈ M

 1  Vậy x   ; 0;1 .  2 

 x  2 x  1 x  4  0

- Với x  1  0  x  1.

Bài tập nâng cao Câu 4.

Ta có a  b  9   a  b  81  a2  2ab  b2  81   a  b  81  4ab  81  4.20  1. 2

Theo bài ra thì a  b  a  b  0  a  b  1.

DẠ

Câu 5.

2019

  1

Vậy  a  b

2019

 1.



 



Ta có A  n4  2n3  n2  2n  n4  2n3  n2  2n  n3  n  2  n  n  2





 n  n  2 n2  1  n  n  2 n  1 n  1 . Trang 35

Vì n   nên n  n  2 n  1 n  1 là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp

CI AL

n  n  2 n  1 n  1 3   n  n  2 n  1 n  112  điều phải chứng minh. n n  2 n  1 n  1  4     

Câu 6. Ta có P  2x2  4y2  4xy  2x  4y  2019



 



 x2  4x  4  x2  4y2  1  4xy  4y  2x  2014   x  2   x  2y  1  2014  2014. 2

x  2 x  2  0   Dấu “=” xảy ra khi  3.  x  2y  1  0  y   2

DẠ

KÈ M

ƠN

3 Vậy GTNN của P bằng 2014 khi x  2; y  . 2

Trang 36

BÀI 5: CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC. CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

CI AL

Mục tiêu  Kiến thức

+ Vận dụng được quy tắc chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức.  Kĩ năng

Thực hiện được phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức.

Biết cách tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước, tìm điều kiện để phép chia hết.

DẠ

KÈ M

ƠN

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Các khái niệm cơ bản

CI AL

Cho A và B là hai đơn thức, B  0 .

 Ta nói đơn thức A chia hết cho đơn thức B nếu tìm được một đơn thức Q sao cho A  B.Q . Trong đó: A được gọi là đơn thức bị chia; B được gọi là đơn thức chia; Q được gọi là thương.

 Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

A . B

Kí hiệu: Q  A : B hoặc Q  Các quy tắc lũy thừa Với mọi x, y  0 ; m, n   thì

ƠN

 xm.xn  xm n ;  xm : xn  xm n  m  n ;  xm .ym   xy ;

xm  x   m   ; y  y   xm   xm.n 1

 x m



Quy tắc chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trong trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau Bước 1. Chia hệ số của A cho hệ số của B.

KÈ M

Bước 2. Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa cùng biến đó trong B. Bước 3. Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau. Quy tắc chia đa thức cho đơn thức Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trong trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B) ta làm như sau

Bước 1. Ta chia mỗi hạng tử của A cho B.

DẠ

Bước 2. Cộng các kết quả với nhau.

Trang 2

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Thực hiện phép chia

CI AL

Phương pháp giải Chia một đơn thức cho đơn thức

Ví dụ:

Bước 1. Xác định phần hệ số, phần biến của

Để chia đơn thức A  15x5 y2 cho B  3x3 y ta làm

đơn thức A và đơn thức B.

như sau:

A  15x5 y2 có hệ số là 15 và phần biến là x5 y2 .

B  3x3 y có hệ số 3 và phần biến x3 y .

Bước 2. Thực hiện phép tính:







15x5 y2 : 3x3 y  15 : 3 . x5 : x3 . y2 : y  5x2 y

- Chia hệ số của A cho hệ số của B. - Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa cùng biến đó trong B. - Nhân các kết quả tìm được với nhau.

Ví dụ:

Bước 1. Thực hiện phép chia lần lượt từng

Đẻ chia đa thức A  2x4 y5  x3 y cho đơn thức

hạng tử của đa thức A cho đơn thức B.

B  x2 y ta làm như sau:

ƠN

Chia một đa thức cho đơn thức

2x4 y5 : x2 y  2x2 y4

Bước 2. Cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

x3 y : x 2 y  x

 2x y 4

Ví dụ 1. Thực hiện phép chia



b) 27x4 y5 : 3x2 y4

a) 2x4 y : x2 c) 125x12 y8 : 25x7 y3



 x3 y : x2 y  2x2 y4  x

Ví dụ mẫu



3 15 4 10 5 12 4 6 x yz : x yz 4 4

KÈ M

Hướng dẫn giải

Chú ý: Khi thực hiện

a) Ta có 2x4 y : x2  2x2 y











b) Ta có 27x4 y5 : 3x2 y4  27 :  3  . x4 : x2 . y5 : y4  9x2 y







c) Ta có 125x12 y8 : 25x7 y3  125 : 25 . x12 : x7 . y8 : y3  5x5 y5

DẠ



đơn thức B không có đủ các biến như đơn thức A

3 5 3  3 5 d) Ta có x15 y4 z10 : x12 y4 z6   :  . x15 : x12 . y4 : y4 . z10 : z6  x3 z4 . 4 4 5  4 4



phép chia đơn thức, nếu



thì ta giữ nguyên biến đó của đơn thứ A.

Ví dụ 2. Thực hiện phép chia





a) 2x5  3x4  4x : x





b) 10x3 y3  4x4 y2  6x5 y4 : 2x3 y2 Trang 3

Hướng dẫn giải





a) Ta có 2x5  3x4  4x : x  2x4  3x3  4





CI AL

b) Ta có 10x3 y3  4x4 y2  6x5 y4 : 2x3 y2  5y  2x  3x2 y2 . Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Thực hiện phép chia

 3  3 e)   :    4  4

c) 127 :  4

 5   5  f)   :    2  2 

 5  9 g)   :    9  5

d) 205 : 82 5

Câu 2: Thực hiện phép chia a)   x  :   x  5

b)   y :   y

e)  3x  :  3x  5

f)  xy2  :  xy2  4

c) x12 :   x 

ƠN



 d)  21x y z

a) 6x5 y3  3x2 y4 : x2 y2 5

h)  6xy2  :  6xy2  5



b) 24x2 y5  12xy4 : 12xy3



 27x3 y7 : 9x2 y4

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức Phương pháp giải

Tính giá trị của A : B khi x  m và y  n .

Bước 1. Thực hiện phép chia A : B .

Bước 2. Thay các giá trị của x, y vào kết quả của phép chia trên bước 1 rồi tính giá trị của biểu

9 9

 

 6x5 y10 z6  3x3 y7 z5 : 3x3 y6 z4



Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức

A  8x5 y4 : 4x2 y3 tại x  2 và y  3 Hướng dẫn giải

A  8x5 y4 : 4x2 y3   8 : 4 .  x5 : x2  .  y4 : y3   2x3 y Thay x  2 và y  3 vào biểu thức A, ta được

A  2.23.3  48

KÈ M

thức.





d) 2x6 :  2x 

g)  4x2 y2  :  2x2 y2 

Câu 3: Thực hiện phép chia

 c)  45x y

 3  2 h)   :    7  7

b)  4 :  2

a) 53 :  5

Bước 3. Kết luận.

Vậy A  48 tại x  2 và y  3

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức a) A  24x5 y3 : 3x2 y2 tại x  2 và y  2





b) B  8x4 y6 : 4x2 y5 tại x  1 và y  4

DẠ

c) C   x3 y5 z2  :   x2 y3 z tại x  1, y  1 và z  100 2

1  d) D   x4 y3 z3  : 3x3 y2 z 3 





tại x  1 , y  2 và z  3

Trang 4

Hướng dẫn giải a) A  24x5 y3 : 3x2 y2 tại x  2 và y  2







CI AL

Ta có A  24x5 y3 : 3x2 y2   24 : 3 . x5 : x2 . y3 : y2  8x3 y Thay x  2 và y  2 vào biểu thức A ta được A  8.  2 .2  128 . 3

Vậy A  128 tại x  2 và y  2 .















Thay x  1 và y  4 vào biểu thức B ta được B  2.12.4  8 Vậy B  8 tại x  1 và y  4 . c) C   x3 y5 z2  :   x2 y3 z tại x  1, y  1 và z  100 3

Ta có C   x3 y5 z2  :   x2 y3 z 2

     

ƠN

   

2 2 2 3 3 3   x3 . y5 . z2  :  1 . x2 . y3 .z3     





  1 . x6 : y6

 y

 

: y9 . z4 : z3



 x6 y10 z4 :  x6 y9 z3

Ta có B  8x4 y6 : 4x2 y5   8 :  4  . x4 : x2 . y6 : y5  2x2 y

b) B  8x4 y6 : 4x2 y5 tại x  1 và y  4



  yz

Thay x  1, y  1 và z  100 vào biểu thức C ta được C    1 .100  100

Vậy C  100 tại x  1, y  1 và z  100

1  d) D   x4 y3 z3  : 3x3 y2 z 3 





tại x  1 , y  2 và z  3

1  Ta có D   x2 y3 z3  : 3x3 y2 z 3 

KÈ M





 1 3 3 3 3 2 2    . x2 . y3 . z3  :  3 . x3 . y2     3 

     

 1    x6 y9 z9  : 9x6 y4 z2  27 



DẠ 

1 5 7 yz 243



.z2  



 1    : 9  . x6 : x6 . y9 : y4 . z9 : z2  27 



   



 Chú ý: Khi thay các giá trị của biến vào biểu thức, với những giá trị

Trang 5

Thay x  1 , y  2 và z  3 vào biểu thức D ta được D 

1 5 7 .2 .3  288 . 243

Vậy D  288 tại x  1 , y  2 và z  3

1  b) B  x4 y6 z3  2x3 yz  x2 y2 z2 :  x2 yz tại x  1, y  1 và z  2 2 







Hướng dẫn giải

CI AL



a) A  15x5 y3  9x3 y2  12x2 y4 : 3x2 y tại x  1 và y  2 `

ngoặc giá trị đó rồi mới ghi lũy thừa,

Ví dụ 2. Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức



âm ta phải đóng mở



a) Ta có A  15x5 y3  9x3 y2  12x2 y4 : 3x2 y  5x3 y2  3xy  4y3 Thay x  1 và y  2 vào biểu thức A ta được

A  5 1 .22  3.  1 .2  4.23  18 3

ƠN

Vậy A  18 tại x  1 và y  2 1  b) B  x4 y6 z3  2x3 yz  x2 y2 z2 :  x2 yz  2x2 y5 z2  4x  2yz 2 





Thay x  1; y  1 và z  2 vào biểu thức B ta được

B  2.12.  1 .22  4.1  2.  1 .2  16 5

Vậy B  16 tại x  1; y  1 và z  2 Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản



Câu 1: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức

 



a) A  8x12 y5 : 2x10 y3 tại x  2 và y  4 3  b) B  27x5 y10 :  x3 y7  tại x  1 và y  2 2 





1 1 c) C  100x13 y8 z5 : 25x10 y5 z2 tại x   ; y  và z  1 2 2

 

KÈ M





    e) E   x y  2x y  :  x y  tại x  1; y  1 f) F   3xy z  x y z  x yz  :  xyz  tại x  7 ; y  1 và z  1 d) D  9x5 y9 z2 : 15x3 y4 z2 tại x  3 ; y  1 và z  2020 5 4

4 5

3 2

2 3

3 3

DẠ

Dạng 3. Tìm điều kiện của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B Phương pháp giải

Thực hiện phép chia hết A : B

Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của n để đơn thức

A  12xn y8 chia hết cho B  3x5 y2 n Trang 6

Hướng dẫn giải

A  12xn y8 có chứa xn và y8

tương ứng với phần biến của đơn thức B có

B  3x5 y2 n có chưa x5 và y2 n

chứa tham số n. Bước 2, Sử dụng điều kiện về số mũ của các biến để đơn thức A chia hết cho đơn thức B.

xm  xm : xn (điều kiện m  n ) n x

Để A B thì

CI AL

Bước 1. Xác định phần biến của đơn thức A

n 5 n  5 n  5  x  x   5 n  6  8 n 2   8  2  n n  6  x  y

Vì n   nên n  5;6

Bước 3. Kết luận.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho A  34x8 yn và B  17x2 y5 . Tìm tất cả các số nguyên n để đơn thức A chia hết cho đơn thức B. Hướng dẫn giải

ƠN

Để A B thì yn  y5  n  5 Vì n   nên n  5;6;7....

Ví dụ 2. Cho A  5xn 2 y7 và B  3x5 yn3 . Tìm tất cả các số nguyên n để đơn thức A chia hết cho đơn thức B. Hướng dẫn giải

Để A B thì xn 2  x5 và y7  yn3 suy ra n  2  5 và 7  n  3 , do đó n  3 và n  4 hay 3  n  4 .

Vì n   nên n  3;4

đơn thức B. Hướng dẫn giải

Ví dụ 3. Cho A  x2n y9  2x9 y213n và B  x6 y3 . Tìm tất cả các số nguyên n để đa thức A chia hết cho

KÈ M

Để A B thì x2n  x6 và y213n  y3 suy ra 2n  6 và 21  3n  3 , do đó n  3 và

n  6 hay 3  n  6 .

Chú ý: Các giá trị của lũy thừa đều phải là số nguyên dương.

Vì n   nên n  3;4;5;6 .

Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản

Câu 1: Tìm điều kiện của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B.

DẠ

a) A  12xn y7 và B 

6 4 5 x y 5

b) A  45x9 yn 4 và B  5x6 y7

Bài tập nâng cao Câu 2: Tìm các giá trị nguyên của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B biết: a) A  20x2n y2n 4 z2  21x6 y7 n z và B  22xn1 y2 Trang 7

b) A  12x5 yn3  x2n y7 n và B  2x2 y4

DẠ

KÈ M

ƠN

CI AL

c) A  8x2n3 y2n6 z6  x8 y102n z5 và B  22xn1 y2

Trang 8

LỜI GIẢI Bài tập tự luyện dạng 1

CI AL

Bài tập cơ bản Câu 1. a) 53 :  5  5 2

b) 46 : 23   22  : 23  29  512 6

c) 127 :  4  37  2187

d) 205 : 82   22.5 :  23   24.55  50000 6

 3  3  3 e)   :       4  4  4 7

 5  5 .      9  9 8

 3  2  3 2  3 h)   :     :      7  7  7 7  2

 5  9  5 g)   :       9  5  9

ƠN

 5   5  f)   :    1  2  2 

Câu 2. a)   x  :   x   x2

b)   y :   y  y4

c) x12 :   x   x2

d) 2x6 :  2x   3

1 3 x 4

e)  3x  :  3x    3x   27x3

f)  xy2  :  xy2    xy2   x2 y4

g)  4x2 y2  :  2x2 y2   8x2 y2

h)  6xy2  :  6xy2    6xy2   216x3 y6

Câu 3.



KÈ M



a) 6x5 y3  3x2 y4 : x2 y2  6x3 y  3y2





b) 24x2 y5  12xy4 : 12xy3  2xy2  y







c) 45x2 y5  27x3 y7 : 9x2 y4  5y  3xy3

 



DẠ

d) 21x4 y9 z9  6x5 y10 z6  3x3 y7 z5 : 3x3 y6 z4  7xy3 z5  2x2 y4 z2  yz Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản Câu 1.

Trang 9



 



a) A  8x12 y5 : 2x10 y3 tại x  2 và y  4



 



CI AL

Ta có A  8x12 y5 : 2x10 y3  4x2 y2 Thay x  2 và y  4 vào biểu thức A, ta được A  4.22.  4  256 2

Vậy A  256 tại x  2 và y  4 . 3  b) B  27x5 y10 :  x3 y7  tại x  1 và y  2 2 





3  Ta có B  27x5 y10 :  x3 y7   18x2 y3 2 





Vậy B  144 tại x  1 và y  2 . 1 1 c) C  100x13 y8 z5 : 25x10 y5 z2 tại x   ; y  và z  1 2 2

 





 



Ta có C  100x13 y8 z5 : 25x10 y5 z2  4x3 y3 z3

ƠN



Thay x  1 và y  2 vào biểu thức B, ta được B  18.  1 .23  144

Vậy C  

1 1 1 tại x   ; y  và z  1 16 2 2



 

1 3  1 .   . 1   16  2

1 1  1 Thay x   ; y  và z  1 vào biểu thức C, ta được C  4    2 2  2



d) D  9x5 y9 z2 : 15x3 y4 z2 tại x  3 ; y  1 và z  2020 3 Ta có D  9x5 y9 z2 : 15x3 y4 z2   x2 y5 5

 





Vậy D 

3 27 5 Thay x  3 ; y  1 và z  2020 vào biểu thức D, ta được D   .32.  1  5 5 27 tại x  3 ; y  1 và z  2020 5



 





KÈ M

e) E  x5 y4  2x3 y3 : x3 y2 tại x  1; y  1

 



Ta có E  x5 y4  2x3 y3 : x3 y2  x2 y2  2y Thay x  1; y  1 vào biểu thức E, ta được E  12  1  2  1  3 2

Vậy E  3 tại x  1; y  1



 



f) F  3xy2 z3  x2 y4 z5  x2 yz2 : xyz2 tại x  7 ; y  1 và z  1



 



DẠ

Ta có F  3xy2 z3  x2 y4 z5  x2 yz2 : xyz2  3yz  xy3 z3  x Thay x  7 ; y  1 và z  1 vào biểu thức F, ta được F  3.1.  1   7 .13.  1   7  11 3

Vậy F  11 tại x  7 ; y  1 và z  1 Bài tập tự luyện dạng 3 Trang 10

Bài tập cơ bản Câu 1. 6 4 5 x y 5

CI AL

a) Cho A  12xn y7 và B 

Để A B thì xn  x4  n  4 . b) Cho A  45x9 yn 4 và B  5x6 y7 Để A B thì yn 4  y7  n  4  7  n  3

Bài tập nâng cao Câu 2.

ƠN

 x2n  xn1 2n  n  1  2 n 4 2 2n  4  2 n  1 y  y    n  3  3  n  5 Để A B thì  7 n 2   y  y 7  n  2  n  5  x6  xn1 6  n  1 

a) A  20x2n y2n 4 z2  21x6 y7 n z và B  22xn1 y2

Vì n   nên n  3;4;5

b) A  12x5 yn3  x2n y7 n và B  2x2 y4

 yn3  y4 n  3  4  2n 2 n  1   1 n  3 Để A B thì  x  x  2n  2   n  3   y7 n  y4 7  n  4  

Vì n   nên n  1;2;3

c) A  8x2n3 y2n6 z6  x8 y102n z5 và B  22xn1 y2

DẠ

Vậy n  4 .

KÈ M

 x2n3  xn1 2n  3  n  1 n  4  2 n 6 2 2n  6  2 n  4 y  y    n4 Để A B thì  8 n1   x  x 8  n  1 n  9  y102n  y2 10  2n  2 n  4 

Trang 11

CHUYÊN ĐỀ Mục tiêu  Kiến thức + Vận dụng được quy tắc chia đa thức một biến đã sắp xếp. +

Xác định được phép chia hết và phép chia có dư, đa thức dư.

 Kĩ năng

CI AL

BÀI 6. CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP

Thực hiện được phép chia đa thức một biến đã sắp xếp.

Tìm được đa thức dư trong phép chia có dư.

Biết cách tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước, tìm điều kiện để phép chia hết

DẠ

KÈ M

ƠN

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Quy tắc chia

CI AL

Ta thực hiện theo các bước sau: - Bước 1. Sắp xếp các đa thức theo thứ tự giảm dần của biến.

- Bước 2. Lấy hạng tử cao nhất của đa thức bị chia chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia được thương thứ nhất.

- Bước 3. Nhân thương thứ nhất với đa thức chia và lấy đa thức bị chia trừ đi tích đó.

- Bước 4. Lấy hạng tử cao nhất của đa thức vừa tìm được chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia được thương thứ hai.

- Bước 5. Tiếp tục lặp lại các bước trên cho đến khi nhận được đa thức dư bằng đa thức 0 hoặc đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức bị chia. 

Nếu đa thức dư bằng đa thức 0 thì phép chia đó được gọi là phép chia hết.



Nếu đa thức dư khác đa thức 0 thì phép chia đó được gọi là phép chia có dư. Bậc của đa thức

ƠN

dư luôn nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

Tổng quát: Với hai đa thức một biến A và B với B  0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:

A  B.Q  R với R  0 hoặc bậc của R bé hơn bậc của B .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chia đa thức cho đa thức Phương pháp giải

Ví dụ: Thực hiện phép chia

giảm dần của biến.

x

KÈ M

Bước 1. Sắp xếp các đa thức theo thứ tự có bậc

Bước 2. Lấy hạng tử cao nhất của đa thức bị chia chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta được thương thứ nhất.

Bước 3. Nhân thương với đa thức chia và lấy

đa thức bị chia trừ đi tích đó.

DẠ

Bước 4. Lấy hạng tử cao nhất của đa thức vừa tìm được chia cho hạng tử cao nhất đa thức

 5 x 2  7 x  13 :  x 2  6 x  13

Đặt phép tính

x3  5 x 2  7 x  13

x 2  6 x  13

Lấy x3 : x 2  x. Nhân x với đa thức chia x 2  6 x  13 , rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích nhận được được dư thứ nhất. 

x3  5 x 2  7 x  13 x3  6 x 2  13 x  x 2  6 x  13

x 2  6 x  13 x

chia ta được thương thứ hai.

 x 2 : x 2  1

Bước 5. Tiếp tục lặp lại các bước trên đến khi

Nhân -1 với đa thức chia x 2  6 x  13 rồi lấy dư Trang 2

nhận được hiệu bằng 0 (đối với phép chia hết) một trừ đi tích nhận được dư thứ hai bằng 0 (phép hoặc đến khi thu được đa thức dư có bậc nhỏ chia hết) x3  5 x 2  7 x  13



x3  6 x 2  13 x

 x 2  6 x  13 0

x 1



 x 2  6 x  13

x 2  6 x  13

CI AL

hơn bậc của đa thứa chia.

Vậy  x3  5 x 2  7 x  13 :  x 2  6 x  13 = x  1 .

Ví dụ mẫu

ƠN

Ví dụ 1. Thực hiện phép chia a)  x3  x 2  5 x  3 :  x  3 .

c)  5 x 2  3 x3  15  9 x  :  5  3 x  . d)  4 x 2  x3  20  5 x  :  x  4  .

x3  x 2  5 x  3 x3  3x 2



Hướng dẫn giải a)  x3  x 2  5 x  3 :  x  3 .

b)  x 4  x3  6x 2  5 x  5  :  x 2  x  1 .

KÈ M



x 3 x2  2x  1

2 x2  5x  3 2x2  6x 

x 3

x 3 0

Vậy  x3  x 2  5 x  3 :  x  3  x 2  2 x  1 .

DẠ

b)  x 4  x3  6x 2  5 x  5  :  x 2  x  1 . 

x 4  x3  6 x 2  5 x  5

x2  x 1

x 4  x3  x 2  5x2  5x  5  5 x 2  5 x  5 0

x2  5

Trang 3

Vậy  x 4  x3  6x 2  5 x  5  :  x 2  x  1  x 2  5 .



 3 x3  5 x 2  9 x  15 3 x3  5 x 2 

CI AL

c)  5 x 2  3 x3  15  9 x  :  5  3 x  .  3x  5 x2  3

 9 x  15 9 x  15

d)  4 x 2  x3  20  5 x  :  x  4  . x4

x3  4 x 2

x2  5



5 x  20 5 x  20

ƠN



x3  4 x 2  5 x  20

Vậy  5 x 2  3 x3  15  9 x  :  5  3 x  = x 2  3 .

Vậy  4 x 2  x3  20  5 x  :  x  4  = x 2  5 . Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Kết quả của phép tính  x3  3 x 2  :  x  3 là B. x 2  2.

A. 3 x 2 .

C. x 2 .

D.  x 2 .

Câu 2: Kết quả của  6 x3  7 x 2  x  2  :  2 x  1 :  x  1 là A. 3 x  2.

B. 3 x  2.

C. 3 x  2.

D. 3 x.

KÈ M

Câu 3: Kết quả của phép tính   x3  2 x 4  4  x 2  7 x  :  x 2  x  1 là A. 2 x 2  3 x  4.

1 B. 4 x 2  2 x  . 4

1 C. 4 x 2  . 4

1 D. 4 x 2  2 x  . 4

Bài tập nâng cao

Câu 4: Thực hiện phép chia

a)  2 x 4  5 x 2  x3  3  3 x  :  x 2  3 .

DẠ

b)  x5  x3  x 2  1 :  x3  1 . c)  2 x3  5 x 2  2 x  3 :  2 x 2  x  1 . d)  8 x  8 x3  10 x 2  3 x 4  5  :  3 x 2  2 x  1 .

Câu 5: Tính:

Trang 4

a)  3 x3  5 x 2  9 x  15  :  3 x  5  . b)  x 4  2 x3  2 x  1 :  x 2  1 .

CI AL

c)  5 x 4  9 x3  2 x 2  4 x  8  :  x  1 . d)  5 x3  14 x 2  12 x  8  :  x  2  . Hướng dẫn giải bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản Câu 1. Chọn C.

Ta có  x3  3 x 2  :  x  3   x 2  x  3  :  x  3  x 2 .

Câu 2. Chọn B.

Ta có  6 x3  7 x 2  x  2  :  2 x  1 :  x  1   x  1 2 x  1 3 x  2   :  2 x  1 :  x  1  3 x  2.

Câu 3. Chọn A.

Ta có   x3  2 x 4  4  x 2  7 x  :  x 2  x  1   x 2  x  1 2 x 2  3 x  4   :  x 2  x  1  2 x 2  3 x  4.

ƠN

Bài tập nâng cao Câu 4.

a)  2 x 4  5 x 2  x3  3  3 x  :  x 2  3 . 2 2x 4  x 3  5 x 2  3 x  3 x  3



2x  x 1 2

x3  x 2  3x  3  3x

x3 

3

3 0



 6x

2 x3  x 2  x

x3

6 x 2  3x  3

DẠ



2x2  x  1

KÈ M



 x2



x2  1

1

1 0

c)  2 x3  5 x 2  2 x  3 :  2 x 2  x  1 . 2 x3  5 x 2  2 x  3

3 x5  x3  x 2  1 x  1



b)  x5  x3  x 2  1 :  x 2  1 .

d)  8 x  8 x3  10 x 2  3 x 4  5  :  3 x 2  2 x  1 . 

3 x 4  8 x3  10 x 2  8 x  5 3x 4  2 x3  x 2 

3x 2  2 x  1 x2  2x  5

 6 x3  11x 2  8 x  5 6 x3  4 x 2  2 x 

 15 x 2  10 x  5  15 x 2  10 x  5 0

Câu 5. a) Thực hiện phép chia 3 x3  5 x 2  9 x  15 cho 3 x  5 , thu được kết quả Trang 5

 3x

 5 x 2  9 x  15  :  3 x  5   x 2  3.

x

 2 x3  2 x  1 :  x 2  1  x 2  2 x  1.

c) Thực hiện phép chia 5 x 4  9 x3  2 x 2  4 x  8 cho x  1 , thu được kết quả

5x

 9 x3  2 x 2  4 x  8  :  x  1  5 x3  14 x 2  12 x  8.

d) Thực hiện phép chia 5 x3  14 x 2  12 x  8 cho x  2 , thu được kết quả

5x

 14 x 2  12 x  8  :  x  2   5 x 2  4 x  4.

Dạng 2: Tính nhanh

Phương pháp giải Ví dụ:

CI AL

b) Thực hiện phép chia x 4  2 x3  2 x  1 cho x 2  1 , thu được kết quả

Thực hiện phép chia  x 2  2 x  1 :  x  1 .

Bước 1. Sử dụng các quy tắc tính toán hoặc hằng đẳng thức để thu gọn.

x 2  2 x  1   x  1

 2 x  1 :  x  1   x  1 :  x  1

ƠN

x

Bước 2. Thực hiện phép chia.

 x  1.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Phân tích thành nhân tử rồi thực hiện phép chia  24 x5  9 x3  18 x 2  : 3 x 2 . Hướng dẫn giải 24 x5  9 x3  18 x 2  3 x 2  8 x3  3 x  6 

  24 x5  9 x3  18 x 2  :  3 x 2   3 x 2  8 x3  3 x  6  :  3 x 2 

 8 x3  3 x  6. Ví dụ 2. Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia  8 x3  27  :  2 x  3 . Hướng dẫn giải 3 8 x3  27   2 x   33   2 x  3  4 x 2  6 x  9 

  8 x3  27  :  2 x  3   2 x  3  4 x 2  6 x  9  :  2 x  3

KÈ M

  4x2  6x  9.

Ví dụ 3. Sử dụng hẳng đẳng thức để thực hiện phép chia  x 6  6 x 4  12 x 2  8  :  2  x 2  . Hướng dẫn giải

Ta có x 6  6 x 4  12 x 2  8   x 2  2     2  x 2  3

  x 6  6 x 4  12 x 2  8  :  2  x 2     2  x 2  :  2  x 2     2  x 2  . 2

Bài tập tự luyện dạng 2

DẠ

Bài tập cơ bản

Câu 1: Giá trị biểu thức  2 x 2  4 x  6  :  x  3 tại x  1 là A. 4.

B. -4.

C. 5.

D. -5.

Trang 6

Câu 2: Giá trị biểu thức  2 x  4 y  :  x  2 y    9 x3  12 x 2  3 x  :  3 x   3  x 2  3 tại x  1, y  2 là 2

A. -6.

B. 7.

C. 6.

D. 4.

CI AL

Bài tập nâng cao Câu 3: Đưa đa thức về nhân tử sau đó thực hiện phép chia a)  8 x3  1 :  4 x 2  2 x  1 . b)  x 2  3 x  xy  3 y  :  x  y  .

c)  a 3b3  6a 2b 2 c  12abc 2  8c3  :  2c  ab  .

Hướng dẫn giải bài tập tự luyện dạng 2. Bài tập cơ bản Câu 1. Chọn B.

Ta có  2 x 2  4 x  6  :  x  3   2  x  3 x  1  :  x  3  2  x  1 .

Thay x  1 vào biểu thức sau khi thực hiện phép chia, ta được 2  1  1  4 .

ƠN

Câu 2. Chọn C.

 2 x  4 y  :  x  2 y    9 x3  12 x 2  3x  :  3x   3  x 2  3 2

Ta có

 4  x  2 y  :  x  2 y    3 x   3 x 2  4 x  1 :  3 x   3 x 2  9

 4  x  2 y   3x 2  4 x  1  3x 2  9  4 x  8 y  3x 2  4 x  1  3x 2  9  8 y  10 .

Thay x  1, y  2 vào biểu thức sau khi thực hiện phép chia, ta được 8.2  10  6 .

Câu 3. a)  8 x3  1 :  4 x 2  2 x  1

Bài tập nâng cao

8 x3  1   2 x   13   2 x  1  4 x 2  2 x  1 3

x

KÈ M

  8 x3  1 :  4 x 2  2 x  1   2 x  1  4 x 2  2 x  1 :  4 x 2  2 x  1  3 x  xy  3 y  :  x  y 

 2 x  1.

x 2  3 x  xy  3 y   x 2  xy    3 x  3 y   x  x  y   3  x  y    x  y  x  3

  x 2  3 x  xy  3 x  :  x  y    x  y  x  3 :  x  y 

 x  3.

c)  a 3b3  6a 2b 2 c  12abc 2  8c3  :  2c  ab 

DẠ

 a b  6a b c  12abc  8c    ab  2c    a b  6a b c  12abc  8c  :  2c  ab    ab  2c  :  2c  ab  3 3

3 3

2 2

   2c  ab  :  2c  ab  3

Trang 7

   2c  ab  . 2

CI AL

Dạng 3. Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải

Ví dụ: Tìm đa thức M biết x3  5 x 2  x  5   x  5  .M .

Hướng dẫn giải Ta có x3  5 x 2  x  5   x  5  .M

Bước 1. Chuyển vế đưa về dạng toán phép chia đa thức.

 M   x3  5 x 2  x  5 :  x  5

 M   x 2  x  5  x  5 :  x  5

Ví dụ mẫu Hướng dẫn giải x3  3 x 2  3 x  1  M .  x  1

 M   x3  3 x 2  3 x  1 :  x  1  M   x  1 :  x  1  M   x  1 . 3

ƠN

Ví dụ 1. Tìm đa thức M biết x3  3 x 2  3 x  1  M .  x  1 .

 M   x  5   x 2  1  :  x  5   x 2  1.

Bước 2. Thực hiện phép chia đa thức.

Ví dụ 2. Tìm đa thức M biết 2 x3  5 x 2  5 x  3  M .  2 x  3 . Hướng dẫn giải 2 x 3  5 x 2  5 x  3  M .  2 x  3

 M   2 x3  5 x 2  5 x  3 :  2 x  3  x 2  x  1.

Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản

A. x 2  2 x  3.

Câu 1. Đa thức M thỏa mãn 2 x3  5 x 2  8 x  3  M .  2 x  1 là B. x 2  2 x  3.

C. x 2  2 x  3.

D.  x 2  2 x  3.

Câu 2. Đa thức M thỏa mãn  x3  x 2  2 x  2   M .  x  1 là B. x 2  2 x  2.

KÈ M

A. x 2  2 x  2.

C. x 2  2.

D. x 2  2.

Bài tập nâng cao

Câu 3. Tìm đa thức M biết  2 x 2  2 x  1 .M  6 x 4  4 x3  x 2  x. Hướng dẫn giải bài tập tự luyện dạng 3. Bài tập cơ bản

Câu 1. Chọn A.

DẠ

Ta có 2 x3  5 x 2  8 x  3  M .  2 x  1  M   2 x3  5 x 2  8 x  3 :  2 x  1 Thực hiện phép chia tìm được đa thức M  x 2  2 x  3 .

Câu 2. Chọn D. Ta có

x

 x 2  2 x  2   M .  x  1  M   x 3  x 2  2 x  2  :  x  1 .

Trang 8

Thực hiện phép chia tìm được đa thức M  x 2  2 . Bài tập nâng cao

 2x

CI AL

Câu 3.  2 x  1 .M  6 x 4  4 x3  x 2  x

 M   6 x 4  4 x3  x 2  x  :  2 x 2  2 x  1

  3 x 2  x  2 x 2  2 x  1 :  2 x 2  2 x  1   3x 2  x  .

Dạng 4. Tìm điều kiện để phép chia là phép chia hết Phương pháp giải

Ví dụ. Tìm a để đa thức A chia hết cho đa thức B với A  x 4  x3  6 x 2  x  a và B  x 2  x  5. Hướng dẫn giải x 4  x3  6 x 2  x  a x2  x  5  x 4  x3  5 x 2 x2  1

ƠN

Thực hiện phép chia sau đó đồng nhất đa thức dư với đa thức 0. Bước 1. Thực hiện phép chia đa thức A cho B .



Bước 2. Đồng nhất đa thức dư với đa thức 0.

x2  x  5

a 5 Để A chia hết cho B thì phần dư bằng 0. Tức là a  5  0  a  5.

Ví dụ mẫu

x2  x  a

Ví dụ 1. Tìm a và b để đa thức A chia hết cho đa thức B với

A  x 4  9 x3  21x 2  ax  b và B  x 2  x  2 Hướng dẫn giải

x 4  9 x3  21x 2  ax  b



KÈ M

x 4  x3  2 x 2



x2  x  2

x 2  8 x  15

 8 x3  23 x 2  ax  b

8 x3  8 x 2  16 x

15 x 2  15 x  30



15 x 2   a  16  x  b

DẠ

 a  1 x   b  30 

Để A chia hết cho B thì phần dư bằng 0

a  1  0 a  1 Tức là  a  1 x  b  30  0    . b  30  0 b  30 Trang 9

Bài tập tự luyện dạng 4 Bài tập cơ bản

CI AL

Câu 1. Tìm a để đa thức f  x  chia hết cho đa thức g  x  , với

f  x   3 x3  10 x 2  5  a, g  x   3 x  1. Bài tập nâng cao Câu 2. Tìm a và b để đa thức A chia hết cho đa thức B với

A  x 4  3 x3  x 2   2a  b  x  3b  a và B  x 2  3 x  1.

Câu 3. Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức f  x   k 3  2k 2  15 chia hết cho nhị thức

g  x   k  3. Hướng dẫn giải bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1. f  x   3 x3  10 x 2  5  a, g  x   3 x  1. 3 x  1.

3x3  x 2 9x2  5  a



x 2  3x  1

9 x 2  3x 

 3x  5  a 3 x  1

a4



3 x3  10 x 2  5  a

ƠN

Bài tập cơ bản

Để f  x  chia hết cho g  x  thì phần dư bằng 0, tức là a  4  0  a  4 . Vậy với a  4 thì đa thức f  x  chia hết cho đa thức g  x  .

Câu 2. 

KÈ M

Bài tập nâng cao

x 4  3 x3  x 2   2a  b  x  3b  a

x 2  3x  1

x 4  3x3  x 2

 2a  b  x  3b  a

DẠ

Để A chia hết cho B thì phần dư bằng 0, tức là:

 2a  b  0  a  0  3b  a  0 b  0

 2a  b  x  3b  a  0  

Vậy a  b  0 là các giá trị cần tìm. Trang 10

Câu 3. f  k   k 3  2k 2  15, g  k   k  3 .

k 3  3k 2

k2  k  3

 k2

CI AL



k 3

 15

 k 2  3k 

3k  15 3k  9



k 3  2k 2

 2  1  k  0  Vì k    0 k  3

ƠN

k  3  1 k k  3  2 k   k  3  3 k   k  3  6 k

Để đa thức f  k  chia hết cho đa thức g  k  thì k  3 phải là các ước số dương của 6  k  3  1; 2;3;6

3

Vậy k  0;3 .

Dạng 5. Tìm điều kiện x nguyên để giá trị của phép chia hai đa thức nguyên Phương pháp giải

Bước 1. Thực hiện phép chia đa thức tử cho đa thức mẫu để tách phần nguyên.

Bước 2. Tìm điều kiện để đa thức mẫu là ước của

KÈ M

phần dư.

Ví dụ. Tìm điều kiện x nguyên để biểu thức A

2x  7 nhận giá trị nguyên. x 1

Hướng dẫn giải A

2x  7 2x  2  5 5   2 . x 1 x 1 x 1

Để A  thì 5  x  1 . Ta có các trường hợp sau - x 1  1  x  0  A  2  5  7 . - x  1  1  x  2  A  2  5  3 . - x 1  5  x  4  A  2 1  3. - x  1  5  x  6  A  2  1  1. Vậy các giá trị cần tìm là x  6; 2;0; 4 .

DẠ

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tìm điều kiện x nguyên để biểu thức B 

2x  7 nhận giá trị nguyên x2

Hướng dẫn giải

Trang 11

Ta có B 

2 x  7 2 x  4  11 11   2 . x2 x2 x2

CI AL

Để B   thì 11  x  2  . Ta có các trường hợp sau: - x  2  1  x  3  B  2  11  13. - x  2  1  x  1  B  2  11  9. - x  2  11  x  13  B  2  1  3. - x  2  11  x  9  B  2  1  1.

Vậy các giá trị cần tìm là x  9;1;3;13 .

Bài tập cơ bản Câu 1. Số giá trị nguyên của x để biểu thức

3x  2 nhận giá trị nguyên là x 1

B. 4.

C. 5.

Bài tập nâng cao

Bài tập cơ bản Câu 1. Chọn B.

3 x  2 3  x  1  5 5   3 . x 1 x 1 x 1

Vì x nguyên nên để

3x  2 5 nguyên thì nguyên  x  1  Ư(5) x 1 x 1

Ta có

2 x 2  4 x  15 . Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của A  2 x  2x  5

Hướng dẫn giải bài tập tự luyện dạng 5

D. 6.

ƠN

A. 2.

Bài tập tự luyện dạng 5

 x  1  5; 1;1;5  x  6; 2;0; 4 .

KÈ M

Vậy có 4 giá trị nguyên của x để biểu thức

3x  2 nhận giá trị nguyên. x 1

Bài tập nâng cao Câu 2.

Thương là 2, và đa thức dư là 5. 2 x 2  4 x  15 2 x 2  4 x  10  5 5 5   2 2  2 . 2 2 2 x  2x  5 x  2x  5 x  2x  5  x  1  4

Viết lại A 

Ta có  x  1  0   x  1  4  4 

DẠ

Vậy Max A 

 x  1

4



5 5 13  A 2  . 4 4 4

13 2 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  x  1  0  x  1  0  x  1 . 4 Trang 12

CHƯƠNG 2: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết được phân thức đại số, hai phân thức bằng nhau. + Xác định được các tính chất cơ bản của phân thức đại số.  Kĩ năng

+ Biết cách tìm điều kiện của biến để giá trị một phân thức được xác định.

CI AL

BÀI 1: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

+ Biết cách nhận biết được những trường hợp cần đổi dấu và thành thạo việc đổi dấu để xuất hiện

nhân tử chung của tử và mẫu.

+ Biết cách viết công thức đối của một phân thức, thành thạo quy tắc đổi dấu và quy tắc trừ phân thức đại số. + Tính được giá trị biểu thức hay phân thức.

ƠN

+ Biết cách tìm giá trị của biến để giá trị của biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ

DẠ

KÈ M

nhất) của biểu thức, tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước, tìm điều kiện để phép chia hết.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa A B

CI AL

- Một phân thức đại số (phân thức) là một biểu thức dạng (A gọi là tử thức, B gọi là mẫu thức). Trong đó: A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.

- Mỗi đa thức cũng được coi là như một phân thức với mẫu - Số 0, số 1 cũng là những phân thức đại số. - Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

Ta có

3 3.2 6   ; 5 5.2 10 x  1  x  1 .3 3 x  3   ; x  2  x  2  .3 3 x  6

ƠN

A A.M   M  0. B B.M

Ví dụ:

Tính chất cơ bản của phân thức

thức bằng 1.

 x  1 x  2   x  1 x  2  .  x  2

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử

chung của chúng thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

A A: N  ( N  0 và N là nhân tử chung của A, B). B B:N

A C và gọi là bằng nhau nếu A.D  B.C. B D

- Hai phân thức

Hai phân thức bằng nhau

A C   A.D  B.C. B D

Quy tắc đổi dấu

KÈ M

- Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

Phân thức

x 1 bằng phân thức x  x  1 x 1

với x  1 vì 1.x.  x  1  x.  x  1 . Ví dụ: Ta có

1 x x 1  ; x x 1 x x 1  . 2 x x2

DẠ

A A A A  ;  . B B B B

Ví dụ:

Trang 2

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

A B Trong đó: A, B là các đa thức và B khác đa thức 0.

Phân thức đại số là một biểu thức có dạng

Quy tắc đổi dấu

Hai phân thức bằng nhau

Phân thức đại số

A C   A.D  B.C. B D

Tính chất cơ bản

A A A A  ;  . B B B B

CI AL

Định nghĩa

ƠN

- Nhân cả tử và mẫu với một đa thức khác đa thức 0. A A.M   M  0. B B.M - Chia cả tử và mẫu cho một đa thức khác đa thức 0 (đa thức chia là nhân tử chung của tử và mẫu) A A: N   N  0. B B:N

Phương pháp giải

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Lựa chọn 1 trong 3 cách biến đổi thường dùng sau Cách 1. Biến đổi vế trái thành vế phải.

KÈ M

Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Ví dụ: Chứng tỏ rằng a) b) c)

2x2  2x 2x  với x  1. 3x  3 3

 x  2  x  1  x  2 x2 1

x 1

x3  8  x  2. x2  2x  4

Hướng dẫn giải

Nhân cả tử thức và mẫu thức với một đa thức khác

a) Với x  1, ta có

Cách 2. Biến đổi vế phải thành vế trái.

DẠ

đa thức 0.

với x  1.

VT 

2 x 2  2 x 2 x  x  1 2 x    VP. 3x  3 3  x  1 3

Suy ra điều phải chứng minh. b) x  1, ta có

Trang 3

VP 

x  2  x  2  x  1  x  2  x  1    VT . x  1  x  1 x  1 x2 1

Cách 3. Biến đổi đồng thời hai vế.

c) Ta có

Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung và sử

x3  8  x2 x2  2x  4

dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau nếu cần,

x2  2x  4

  x  2  0

 x  2  x2  2x  4

từ đó suy ra điều phải chứng minh.

CI AL

Suy ra điều phải chứng minh.

 x  2   x  2  0

(luôn đúng x).

Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ mẫu

3x  1 1 1  với x  2 và x  . 3x  5 x  2 x  2 3

x2  2x  4 x3  2 với x  2 và x  3. 3 x 8 x  x6

Hướng dẫn giải 1 a) Với x  2 và x  , ta có 3

3x  1 3x  1 3x  1 1     VP. 2 3 x  5 x  2  3 x  x    6 x  2   3 x  1 x  2  x  2

Suy ra điều phải chứng minh. b) Với x  2 và x  3, ta có x2  2x  4 x3  2 3 x 8 x  x6

VT 

ƠN

Ví dụ 1. Chứng minh các đẳng thức sau

KÈ M

x2  2x  4 x3  2 2  x  2   x  2 x  4   x  2 x    3x  6  1 x3   x  2   x  2  x  3

1 1  (đúng với x  2 và x  3). x2 x2

DẠ

Suy ra điều phải chứng minh. Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản Câu 1: Cô giáo yêu cầu mỗi bạn cho một ví dụ về hai phân thức bằng nhau. Dưới đây là những ví dụ mà các bạn Nam, Lan, Quân và Hùng đã cho: Trang 4

x  4 x2  4x  (Nam); x  6 x2  6x

 x  2

3 x x 3  (Quân); 2 x 2x

 x  3    x  3 2 3  x  2

x  2x 2



x2 (Lan); 1

Trong bốn bạn, người viết sai là B. Lan.

Câu 2: Phân thức bằng phân thức A.

x . x  x 1 2

C. Quân.

x . x  x 1

1 . x  x 1

a 3  8 a 2  2a  4  . 2a  4 2

Dạng 2: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước Phương pháp giải

1 . x  x 1

ƠN

Câu 3: Chứng minh rằng 4  9 x 2 2  3x  . 4  6x 2

Bài tập nâng cao

D. Hùng.

x 1 là x3  1

(Hùng);

A. Nam.

CI AL

Ví dụ: Tìm đa thức A trong đẳng thức sau x 3 A  3 với x  3. x  3 x  9 x  27

Thực hiện theo hai bước

Hướng dẫn giải Với x  3, ta có

tử ở hai vế.

x 3 A  x  3 x  9  x  3  x 2  3 x  9 

Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân

thường dùng sau:

Bước 2. Lựa chọn một trong hai cách biến đổi Cách 1. Nhân cả tử và mẫu với một đa thức khác 0.



 x  3 x  3  A 2  x  3  x  3 x  9   x  3  x 2  3 x  9 

 A   x  3 . 2

KÈ M

Cách 2. Chia cả tử và mẫu với nhân tử chung.

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau a)

A 2 3  2 với x  và x  2. 2x  3 2x  7x  6 2

x2  2x x2  2x 1  b) với x  2 và x  . 2 2 x  3x  2 A 2

DẠ

Hướng dẫn giải a) Với x 

3 và x  2, ta có 2

A 2 A 2 2  2    A . 2x  3 2x  7x  6 2 x  3  2 x  3 x  2  x2

Trang 5

1 , ta có 2

b) Với x  2 và x 

CI AL

x  x  2 x  x  2  x  2 x2  2x x2  2x 1      2 2 x  3x  2 A A 2x 1 A  2 x  1 x  2   A   2 x  1 x  2   A  2 x 2  5 x  2. Bài tập tự luyện dạng 2

A. x  x  2  .

M x là  x 4 x2 2

B. x  x  2  .

Câu 2: Đa thức A trong đẳng thức

yx x y  là 4 x A

B. 4  x.

C. 4  x.

ƠN

A. x  4.

C. x  x  4  .

Câu 1: Đa thức M trong đẳng thức

Bài tập cơ bản

Bài tập nâng cao Câu 3: Tìm đa thức A, biết

a  3  a  3 a)  . a 3 A 2

D. x  x  4  .

D. x  4.

x 2  xy  y 2 x3  y 3  2 . b) A 3 x  3 xy

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức có điều kiện Phương pháp giải

Thực hiện theo hai bước

KÈ M

Bước 1. Xuất phát từ điều phải chứng minh, áp dụng tính chất của hai phân thức bằng nhau.

Ví dụ. Cho hai phân thức

A C A B B  . Chứng minh  . B D CD D

Hướng dẫn giải Ta có

A C A B    . B D C D

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có A B A B   . C D CD

Bước 2. Thu gọn biểu thức và dựa vào điều kiện đề bài cho để lập luận

A C và thỏa mãn B D

Vậy

A B B  . CD D

DẠ

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hai phân thức Chứng minh rằng

A C A C và thỏa mãn đẳng thức  . B D B D

A B C  D  . B D

Trang 6

Hướng dẫn giải A C A B    . B D C D

CI AL

Ta có

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có A B A B B A B A B C  D       . C D CD D CD B D

Bài tập tự luyện dạng 3

Bài tập cơ bản

A C A C và thỏa mãn đẳng thức  . Khẳng định sai trong các khẳng định B D B D

Câu 1: Cho hai phân thức

A. A.D  B.C.

A AC  . B BD

sau là

C AC  . D BD

Bài tập nâng cao

A C E A C E A B , và  . thỏa mãn   . Chứng minh B D F B D F AC  E B  D  F

ƠN

Câu 2: Cho các phân thức

D. A.B  C.D.

Dạng 4: Biến đổi phân thức theo yêu cầu

Phương pháp giải

Ví dụ: Biến đổi phân thức

Thực hiện theo hai bước

x2  6x  5 với  2 x  1 x  5

x  2 và x  5 thành một phân thức mới có tử

Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân

thức là đa thức x  1 và giá trị của hai phân thức này bằng nhau. Hướng dẫn giải Với x  2 và x  5, ta có

tử hoặc lựa chọn tử thức (hay mẫu thức) thích hợp

KÈ M

tùy theo yêu cầu đề bài.

Bước 2. Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức để đưa về phân thức mới thỏa mãn yêu cầu.

x 2  6 x  5   x  1 x  5  Do đó

 x  1 x  5  x  1 . x2  6x  5   2 x  1 x  5  2 x  1 x  5 2 x  1

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Biến đổi phân thức

1 3 với x  và x  1 thành phân thức mới có mẫu thức là đa thức 2x  3 2

DẠ

2 x 2  x  3 và giá trị của hai phân thức bằng nhau. Hướng dẫn giải Với x 

3 và x  1, ta có 2

Trang 7

Bài tập tự luyện dạng 4 Bài tập cơ bản

x . x2

x2  2x là 4  x2

x . x2

x . x2

Bài tập nâng cao 1 1 1 ; ; . 2 x  5 5  2 x 25  4 x 2

Câu 2. Đưa các phân thức sau về cùng mẫu thức

x . x2

Câu 1. Phân thức bằng phân thức

CI AL

1 x 1 x 1   2 . 2 x  3  2 x  3 x  1 2 x  x  3

Dạng 5. Tính giá trị của phân thức Phương pháp giải Thực hiện theo ba bước

A

ƠN

Ví dụ: Tính giá trị của phân thức

2 x  x  1 với x  1 và x  2 tại 2 x  1  0. x 2  3x  2

Hướng dẫn giải phân thức thành nhân tử.

Với x  1 và x  2, ta có

Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức mỗi

Bước 2. Rút gọn từng phân thức.

A

KÈ M

2 x  x  1 2x  .  x  1 x  2  x  2

Ta có 2 x  1  0  x  Thay x 

Bước 3. Thay giá trị của biến vào phân thức và tính.



2 x  x  1 2 x  x  1 2 x  x  1   x 2  3 x  2  x 2  x    2 x  2  x  x  1  2  x  1

1 (thỏa mãn). 2

1 vào biểu thức, ta được 2

1 1 2 A 2   . 1 3 3 2  2 2 2.

Vậy A 

2 , khi 2 x  1  0. 3

Ví dụ mẫu

DẠ

Ví dụ. Tính giá trị của biểu thức P

x 3 với x  3 và x  2 tại x 2  9  0. x  5x  6 2

Hướng dẫn giải Với x  3 và x  2 , ta có Trang 8

P

1 , khi x  3 và x  2. x2

CI AL

Vậy P 

x 3 x 3 x 3 1  2   . x  5 x  6  x  2 x    3 x  6   x  3 x  2  x  2 2

x  3 Ta lại có x 2  9  0   .  x  3 Giá trị x  3 không thỏa mãn điều kiện. 1 1  . 3  2 5

Thay x  3, vào biểu thức P, ta được P 

1 Vậy P   , khi x 2  9  0. 5

Bài tập tự luyện dạng 5 Bài tập cơ bản

A. 1.

x2  2x với x  2 tại x  1 là 4  x2

ƠN

Câu 1. Giá trị của phân thức A  B. 3.

C. 5.

Bài tập nâng cao x3  8 với x  2 tại x  1. 3x  6

b) F 

x 2  16 với x  4 tại x  2019. x4

Câu 2. Tính giá trị các biểu thức sau a) E 

D. 7.

KÈ M

Phương pháp giải

Dạng 6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của phân thức

Bước 1. Phân tích mẫu thức làm xuất hiện hằng đẳng thức bình thương của một tổng hoặc một hiệu.

DẠ

Bước 2. Đánh giá.

Bước 3. Tìm điều kiện để dấu “ = ” xảy ra và kết luận.

Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức A

3 . x  2x  3 2

Hướng dẫn giải Ta có x 2  2 x  3   x  1  2. 2

Vì  x  1  0, x nên 2

 x  1

22

3  , x  x  1  2 2 2

3 3  , x. x  2x  3 2 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x  1  0 hay x  1.

Vậy A 

Vậy giá trị lớn nhất của A 

3 đạt được khi x  1. 2

Ví dụ mẫu Trang 9

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 

2 . x  3x  3 2

CI AL

Hướng dẫn giải 2 2 2  2 3 3  3 3 3  Ta có x  3 x  3   x  2.x.      3      x    . 2  2   2 4 2   2

3 3 3 3   Ta lại có  x    0, x   x     , x. 2 2 4 4  



3 3  x   2 4  2



3 3  x   2 4  8 . 3

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x  Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng

8 , x 3

3 3  0 hay x  . 2 2

 A

1 4  , x 3 3 4

8 3 đạt được khi x  . 3 2

Hướng dẫn giải

2 . x  2x  4

3 x  2

 x  2  x

3 x  2 với x  2. x3  8

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của phân thức P 

Với x  2, ta có P 



ƠN



 2x  4



Ta lại có x 2  2 x  4   x 2  2.x.1  12   4  1   x  1  3. 2

Mà  x  1  0, x   x  1  3  3, x 2

KÈ M



1 3  , x   1, x. 2  x  1  3 3  x  1  3 2

 P  1.

Dấu “ = ” xảy ra khi x  1  0 hay x  1 (thỏa mãn x  2).

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 đạt được khi x  1 .

DẠ

Bài tập tự luyện dạng 6

Bài tập cơ bản Câu 1. Giá trị nhỏ nhất của phân thức P 

x 2  3x  5 là 2

Trang 10

21 . 8

29 . 8

21 . 4

21 . 4

6 .  x  4  x  2   7

DẠ

KÈ M

ƠN

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

CI AL

Bài tập nâng cao

Trang 11

ĐÁP ÁN

CI AL

BÀI 1. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản Câu 1. Chọn B

x2  2x

 x  2  x  2   x  x  2 x 2

 x  2

bạn Lan viết sai.

3 x x 3   bạn Quân viết đúng. 2 x 2x 2

ƠN

 x  3   x  3    x  3 2  3  x  2  x  3 2 2

 bạn Hùng viết đúng.

x 1 x 1 1   2 . 3 2 x  1  x  1  x  x  1 x  x  1

Bài tập nâng cao Câu 3.

4  9 x 2  2  3 x  2  3 x  2  3 x    VP. 4  6x 2  2  3x  2

a) Ta có VT 

Câu 2. Chọn D. Ta có

x2  4x x  x  4 x  4    bạn Nam viết đúng. x2  6x x  x  6 x  6

Ta có

2 a 3  8  a  2   a  2a  4  a 2  2a  4 b) Ta có VT     VP. 2a  4 2  a  2 2

KÈ M

Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản

Câu 1. Chọn B. Ta có

x  x  2 M x M     M  x  x  2. x2  4 x  2  x  2  x  2   x  2  x  2  yx x y x y x y     A  x  4. 4 x A x4 A

DẠ

Ta có

Câu 2. Chọn A.

Bài tập nâng cao Câu 3.

Trang 12

 a  3   a  3  A  a  3 a  3  A  a 2  9. a  3  a  3 a) Ta có      a 3 A A  a  3 a  3 2

2 2 x 2  xy  y 2 x3  y 3 x 2  xy  y 2  x  y   x  xy  y  b) Ta có  2   A 3 x  3 xy A 3 x.  x  y 



2 2 x 2  xy  y 2  x  xy  y    A  3 x. A 3x

Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản

A C   A.D  B.C. B D

Vậy đáp án sai là đáp án D. Bài tập nâng cao Câu 2.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được

ƠN

Ta có

A C AC   . B D BD

Câu 1. Chọn D. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

CI AL

A C E AC  E A AC  E A B        . B D F BDF B BDF AC  E B  D  F

Bài tập tự luyện dạng 4

Ta có

x  x  2 x2  2x x x    . 2 4 x  2  x  2  x  2  x x  2

Câu 2.

KÈ M

Bài tập nâng cao Ta có

Câu 1. Chọn D.

Bài tập cơ bản

1 1 5  2 x   . 2 x  5 5  2 x  5  2 x  5  2 x 

1 5  2x  . 5  2 x  5  2 x  5  2 x 

1 1  . 2 25  4 x  5  2 x  5  2 x 

DẠ

Bài tập tự luyện dạng 5

Bài tập cơ bản Câu 1. Chọn A. Trang 13

x  x  2 x2  2x x   . 2 4 x  2  x  x  2  2  x x 1 , ta được A   1. 2 x 2 1

CI AL

Thay x  1 vào biểu thức A  Bài tập nâng cao Câu 2.

2 x3  8  x  2   x  2 x  4  x 2  2 x  4 a) Ta có E    . 3x  6 3 x  2 3

7 khi x  1. 3

b) Ta có F 

x 2  16  x  4  x  4    x  4. x4 x4

ƠN

Vậy E 

x2  2x  4 12  2.1  4 7 , ta được E   . Thay x  1 vào biểu thức E  3 3 3

Ta có A 

Thay x  2019 vào biểu thức F  x  4, ta được F  2019  4  2023. Vậy F  2023 khi x  2019.

Bài tập tự luyện dạng 6 Bài tập cơ bản Câu 1. Chọn B. 2

3  29 29  Ta có x  3 x  5   x     . 2 4 4 

3 3 0 x . 2 2

Dấu "  " xảy ra khi x 

Bài tập nâng cao Câu 2.

Ta có  x  4  x  2   7  x 2  6 x  15   x 2  6 x  9   6   x  3  6.

KÈ M

Mà  x  3  0 nên  x  3  6  6 2

P

 x  3

6



6  1. 6

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  3  0 hay x  3.

DẠ

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1, đạt được khi x  3.

Trang 14

CHƯƠNG 2: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ BÀI 2: RÚT GỌN PHÂN THỨC

CI AL

Mục tiêu  Kiến thức + Vận dụng được quy tắc rút gọn phân thức.  Kĩ năng + Biết cách rút gọn một phân thức.

+ Tính được giá trị biểu thức hay phân thức.

DẠ

KÈ M

ƠN

nhất) của biểu thức, tìm điều kiện để phép chia hết.

+ Biết cách tìm giá trị của biến để giá trị của biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Ví dụ:

- Để rút gọn một phân thức ta thực hiện theo hai bước như sau:

Rút gọn phân thức

 Bước 1. Phân tích tử và mẫu của phân thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung.

x2  2x . 2x  4

CI AL

Phương pháp rút gọn phân thức

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, ta được x2  2x  x  x  2 ; 2x  4  2  x  2.

 Bước 2. Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Nhân tử chung là x  2. Khi đó, ta có

x2  2x x  x  2 x   . 2x  4 2  x  2 2

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Rút gọn phân thức Phương pháp giải

thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của

x2  6x  8 với x2

x  2.

ƠN

Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa

Ví dụ: Rút gọn phân thức

Hướng dẫn giải

phân thức.

x 2  6 x  8  x 2  2 x  4 x  8   x  2  x  4  ;

x  2  x  2 (mẫu số đã là nhị thức bậc nhất nên

không cần phân tích thêm).

thức đã học để rút gọn phân thức đã cho.

x 2  6 x  8  x  2  x  4    x  4. Khi đó x2 x2

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Rút gọn phân thức

Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân

x4  4x2 với x  2, x  2. x2  4

x3  3x 2  3x  1 với x  1. x2  2x  1

x3  9 x 2  23 x  15 với x  1, x  4. x2  5x  4

KÈ M

x2  6x  8  x  4. Vậy kết quả rút gọn x2

Hướng dẫn giải

DẠ

2 2 x4  4x2 x  x  4 a) 2   x2 . 2 x 4 x 4

x3  3 x 2  3 x  1  x  1 b)   x  1. 2 x2  2x  1  x  1 3

Trang 2

x3  9 x 2  23 x  15  x  1 x  3 x  5   x  3 x  5    . x2  5x  4  x  1 x  4   x  4 Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

CI AL

x2  4x  3 Câu 1. Rút gọn phân thức 2 (với x  1, x  2) ta được biểu thức nào sau đây? x  3x  2

x2 . x3

Câu 2. Phân thức bằng phân thức A.

x 1 . x  x 1

x3 . x2

x 1 . x  x 1

x2 1 là x3  1

x 1 . x  x 1 2

Bài tập nâng cao

 x  1

với x  1.

x 2  1 x 4  1 x8  1   với x  1. x 1 x2 1 x4 1

x 1 . x  x 1 2

x 4  x3 y  2 x 2 y 2  xy 3  y 4 với x 2  y 2  0. 2 2 x y

x4  4x  3

x 1 . x3

ƠN

Câu 3. Rút gọn phân thức a)

x 1 . x2

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức Phương pháp giải

Thực hiện tương tự các bước chứng minh đẳng thức đã học trong các bài cũ.

Ví dụ mẫu

Kết quả ta cần thu được là “vế trái = vế phải”.

Ví dụ 1. Chứng minh đẳng thức Hướng dẫn giải

4 x3  8 x 2  x  2 1   2 x  1 x  2  với x   . 2x 1 2

KÈ M

Ta có 4 x3  8 x 2  x  2  4 x 2  x  2    x  2    4 x 2  1  x  2    2 x  1 2 x  1 x  2  .

Suy ra

4 x3  8 x 2  x  2  2 x  1 2 x  1 x  2   2x 1 2x 1

  2 x  1 x  2  (điều phải chứng minh).

DẠ

Ví dụ 2. Chứng minh đẳng thức

x5  2 x 4  x3  x với x  0, x  1. x 4  2 x3  x 2

Hướng dẫn giải Ta có x5  2 x 4  x3  x3  x 2  2 x  1  x3  x  1 ; 2

Trang 3

x 4  2 x3  x 2  x 2  x 2  2 x  1  x 2  x  1 . 2

3 x5  2 x 4  x3 x  x  1 Suy ra 4   x (điều phải chứng minh) x  2 x3  x 2 x 2  x  12

Ví dụ 3. Chứng minh đẳng thức

CI AL

x6  3x 4 y 2  3x 2 y 4  y 6  x 4  2 x 2 y 2  y 4 với x   y. x2  y 2

Hướng dẫn giải

Ta có x 6  3 x 4 y 2  3 x 2 y 4  y 6

  x 2   3  x 2  y 2  3x 2  y 2    y 3    x 2  y 2  . 3

2 2 2 x6  3x 4 y 2  3x 2 y 4  y 6  x  y   2   x2  y 2  Suy ra 2 2 2 x y x y 3

 x 4  2 x 2 y 2  y 4 (điều phải chứng minh). x 4  4 x3 y  4 x 2 y 2

 x  2y



x 4  4 x3 y  4 x 2 y 2

Hướng dẫn giải Ta có x 4  4 x3 y  4 x 2 y 2  x 2  x  2 y  ; x 4  4 x3 y  4 x 2 y 2  x 2  x  2 y  . 2

x 4  4 x3 y  4 x 2 y 2

 x  2y

x 4  4 x3 y  4 x 2 y 2

 x  2y



 x  2y

x2  x  2 y 

 x  2y

 x2 ;

 x2 .

x 4  4 x3 y  4 x 2 y 2

 x  2y

với x  2 y.

  x  (điều phải chứng minh). 2

KÈ M

Vậy



 x  2y

x2  x  2 y 

Suy ra

x 4  4 x3 y  4 x 2 y 2

 x  2y

ƠN

Ví dụ 4. Chứng minh đẳng thức

Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản

Câu 1. Chứng minh đẳng thức a)

 x  y   x  y 2 2  y  z   y  z

 x  y    xy  1  x  1 y  1

DẠ



x với y, z  0. z

 1  x  y  1 với x  1, y  1.

Câu 2. Chứng minh đẳng thức:

Trang 4

16  x  y   4  x  y  25  x  y   9  x  y  a)  với x  3 y, y  3 x, x  4 y, y  4 x.  x  3 y  3x  y   x  4 y  4 x  y  2

 x  y    xy  1 2

x

x c)

 1 y 2  1

x



 1 y 2  1

 x  y    xy  1 2

 4 x  3 x 2  5 x  4  x 2  6 x  5 

 x  1

  x  3 x  4  x  5  với x  1.

Bài tập nâng cao Câu 3. Chứng minh đẳng thức 2

 4 với a  0, b  c.

a  b  c  a  b  c a b  c 

CI AL

ƠN

2  bc  ca  2ab  2  ca  ab  2bc  2  ab  bc  2ca  b)  a  b  c      b  c  a      c  a  b     12,  ab  b  c  c  a    bc  c  a  a  b    ca  a  b  b  c  

với a, b, c  0, a  b, b  c, c  a.

Dạng 3. Chứng minh phân thức không phụ thuộc vào biến

Phương pháp giải

- Chứng minh phân thức không phụ thuộc vào biến là dạng đặc biệt của chứng minh đẳng thức: vế trái của đẳng thức là một phân thức chứa biến, vế phải của yêu cầu bài toán là một hằng số (hoặc một biểu thức) không chứa biến theo yêu cầu bài toán (bài toán yêu cầu chứng minh biểu thức không phụ thuộc

biến x chẳng hạn).

- Nhưng bài toán sẽ không cho chúng ta biết vế phải đó, chúng ta phải tự biến đổi phân thức bằng những phép tính và kỹ thuật đã có trong tay (rút gọn phân thức, phân tích đa thức thành nhân tử,…) để đi đến kết quả gọn nhất và đúng với yêu cầu bài toán. Ví dụ mẫu

KÈ M

Ví dụ 1. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x M

x

 2x

 2

 2 x  1 .  x 2  2 x  1

với x  1 .

Hướng dẫn giải

Ta có  2 x 2  2   4  x  1 x  1   4.  x  1 .  x  1 ; 2

DẠ

 2 x  1 .  x 2  2 x  1   x  1 .  x  1 . 2

x

Suy ra M 

x

 2x

 2

 2 x  1 .  x 2  2 x  1

4.  x  1 .  x  1 2



 x  1 .  x  1 2

 4.

Vậy M  4, x  1 không phụ thuộc vào biến. Trang 5

Ví dụ 2. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến y. với y  1, y  2, y  3.

CI AL

 y  1  y 2  5 y  6  N  y  3  y 2  3 y  2  Hướng dẫn giải

Ta có  y  1  y 2  5 y  6    y  1 y  2  y  3 ;

 y  3  y 2  3 y  2    y  3 y  1 y  2  ;

 y  1  y 2  5 y  6   y  1 y  2  y  3 N  1  y  3  y 2  3 y  2   y  3 y  1 y  2 

Vậy N  1, y  1, y  2, y  3 không phụ thuộc vào biến. Ví dụ 3. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x. xy  2 x  2 y  4 với x  2. x2

Hướng dẫn giải

ƠN

P

Ta có xy  2 x  2 y  4  x  y  2   2  y  2    x  2  y  2  . xy  2 x  2 y  4  x  2  y  2    y  2. x2 x2

Suy ra P 

Vậy P  y  2, x  2 không phụ thuộc vào biến x.

Bài tập cơ bản

A. x  0.

x3  27 y 3 x3  y 3  3. với mọi giá trị y  0? x 2  3 xy  9 y 2 x 2  xy  y 2

Câu 1. Với giá trị nào của x thì

B. x  1.

Bài tập nâng cao

Bài tập tự luyện dạng 3

C. x  2.

D. x  3.

KÈ M

Câu 2. Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị hằng số với mọi giá trị a, b, c thỏa mãn

a  b, b  c, c  a

a 3  b3  c 3   a  b  c  M .  a  b  b  c  c  a  3

Dạng 4. Tính giá trị biểu thức

Phương pháp giải

DẠ

Bước 1: Yêu cầu bài toán đặt ra là tính giá trị của một biểu thức có sự tham gia của phân thức. Bước 2: Để giải quyết nhanh chóng và hạn chế sai số trong những bài toán tính giá trị biểu thức, ta cần biết đổi bài toán trở nên gọn nhẹ hơn. Một trong số những hướng đi có thể làm chính là rút gọn phân thức với hai bước đã biết.

Trang 6

Bước 3: Là bước cuối cùng trong bài toán tính giá trị biểu thức, là bước thế giá trị x theo yêu cầu bài toán vào biểu thức đã rút gọn.

Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức P 

CI AL

Ví dụ mẫu x3  6 x 2  12 x  8  x  2  tại x  3. x2

Hướng dẫn giải Ta có x3  6 x 2  12 x  8   x  2  . 3

x3  6 x 2  12 x  8  x  2  2 Suy ra P     x  2 . x2 x2

Thay x  3 vào biểu thức P, ta được P   3  2   1.

Vậy giá trị của biểu thức P bằng 1 tại x  3.

x5  x 4  x3  x 2  x tại x  1000. x 4  x3  x 2  x  1

ƠN

Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức: Q  Hướng dẫn giải

Ta có x5  x 4  x3  x 2  x  x  x 4  x3  x 2  x  1 .

4 3 2 x5  x 4  x3  x 2  x x  x  x  x  x  1 Suy ra Q  4   x. x  x3  x 2  x  1 x 4  x3  x 2  x  1

Thế x  1000 vào biểu thức Q ta được Q  1000.

Bài tập tự luyện dạng 4

Bài tập cơ bản

Vậy giá trị của biểu thức Q bằng 1000 tại x  1000.

Câu 1. Chọn khẳng định sai. Biểu thức P 

x8  8 x 4  16

x

 2

B. Nhận giá trị là 1 tại x  1.

C. Nhận giá trị là 4 tại x  0.

D. Có biểu thức rút gọn là x 2  4 x  4.

KÈ M

A. Có biểu thức rút gọn bằng x 4  4 x 2  4.

Câu 2. Biểu thức A. 1.

x3  3 x 2  3 xy 2  y 3 ,  x   y  nhận giá trị nào tại x  1, y  1? x y

2 . 5

C. 4.

D. 8.

Bài tập nâng cao

DẠ

Câu 3. Tính giá trị của biểu thức A 

x99  x98  ...  x51  x50  x 49  ...  x 2  x  1 tại x  2. x98  x96  ...  x 2  1

Dạng 5. Tìm x. Đưa đẳng thức về dạng ax  b  x 

b  a  0. a

Phương pháp giải Trang 7

Bước 1. Yêu cầu bài toán đặt ra là tìm giá trị x thỏa mãn một đẳng thức có sự tham gia của phân thức. Bước 2. Để giải quyết nhanh chóng, ta cần biến đổi đẳng thức trở nên gọn nhẹ hơn. Một trong số những

CI AL

hướng đi có thể làm chính là rút gọn phân thức với hai bước đã biết. Bước 3. Là giải quyết bài toán tìm x thông thường. Ví dụ mẫu x3  27 x3  64   0. x 2  3 x  9 x 2  4 x  16

Ví dụ 1. Tìm x thỏa mãn đẳng thức

Hướng dẫn giải Ta có x3  64   x 2  4 x  16   x  4  ;

x3  27   x 2  3 x  9   x  3 .

x 2  3 x  9   x  3  x3  27 Suy ra 2   x  3; x  3x  9 x 2  3x  9

x3  27 x3  64   0. x 2  3 x  9 x 2  4 x  16

Do đó

ƠN

x 2  4 x  16   x  4   x3  64   x  4. x 2  4 x  16 x 2  4 x  16

x 3 x  4  0 2x  7  0

7 x . 2

7 Vậy x  . 2

 x  1 x  1  0 (với x  1).  x  1  x  x  2 x  x  1 4

Ví dụ 2. Tìm x thỏa mãn đẳng thức

KÈ M

Hướng dẫn giải

Ta có  x 4  1 x3  1   x 2  1 x 2  1  x  1  x 2  x  1   x 2  1 x 2  x  1 x 2  1  x  1

  x 2  1 x 2  x  1  x  1  x  1 ; 2

x

 x  1

 x3  2 x 2  x  1

  x  1  x 2  1 x 2  x  1 ;

DẠ

 x  1 x  1 Suy ra  x  1  x  x  2 x  x  1 2

Trang 8

 x  1  x  1  x 2  1 x 2  x  1  2  x  1  x 2  1 x 2  x  1 2

CI AL

 x  1.

 x  1 x  1 Do đó  0  x  1  0  x  1.  x  1  x  x  2 x  x  1 4

Bài tập tự luyện dạng 5 Bài tập cơ bản

B

 2 x 2  2 x  1  x  1 x3  1

x3  2 x 2  4 x  8 ,  x  1 . x2  4

x5  x 4  2 x3  2 x 2  x  1  2 x với x  1.  x  1  x 2  1

DẠ

KÈ M

Câu 2. Tìm x thỏa mãn đẳng thức

ƠN

Bài tập nâng cao

;

Câu 1. Tìm x thỏa mãn đẳng thức 2A  B với

x A

Vậy x  1.

Trang 9

ĐÁP ÁN BÀI 2. RÚT GỌN PHÂN THỨC

CI AL

Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản Câu 1. Chọn C. Ta có

x 2  4 x  3  x  1 x  3 x  3   . x 2  3 x  2  x  1 x  2  x  2

 x  1 x  1  x  1 . x2 1  3 x  1  x  1  x 2  x  1 x 2  x  1

Ta có

Câu 2. Chọn D.

Bài tập nâng cao Câu 3.

 x  1

 x 2  x  3  x  1

 x  1

x 

 2 x  3  x  1

 x  1

 x 2  2 x  3.

ƠN

x 

x4  4x  3

2 2 2 2 x 4  x3 y  2 x 2 y 2  xy 3  y 4  x  y   xy  x  y  b)  x2  y 2  x2  y 2 



x

 y 2  xy  x 2  y 2  x2  y 2

 x 2  y 2  xy.

2 2 4 4 x 2  1 x 4  1 x8  1  x  1 x  1  x  1 x  1  x  1 x  1 c)      x 1 x2 1 x4 1 x 1 x2 1 x4 1

  x  1   x 2  1   x 4  1

 x 4  x 2  x  3.

KÈ M

Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản Câu 1. a)

 x  y    x  y    x  y  x  y  x  y  x  y   2 x.2 y  x . 2 2  y  z    y  z   y  z  y  z  y  z  y  z  2 y.2 z z

 x  y    xy  1  x  1 y  1

DẠ



 x  y  xy  1 x  y  xy  1  x  1 y  1

 x  y  1   y  1   x 1  y   1  y     x  1 y  1

Trang 10

 x  1 y  1 x  11  y   x  1 y  1



 x  1 y  11  x  y  1  x  1 y  1

CI AL



 1  x  y  1 . Câu 2.

a) Ta có

16  x  y   4  x  y   2 x  2 y    x  y   4.  2 x  2 y  x  y  2 x  2 y  x  y   4.  x  3 y  3x  y   x  3 y  3x  y   x  3 y  3x  y  2

 4.

 x  3 y  3x  y   4;  x  3 y  3x  y 

25  x  y   9  x  y   5 x  5 y    3x  3 y    5 x  5 y  3x  3 y  5 x  5 y  3x  3 y    x  4 y  4 x  y   x  4 y  4 x  y   x  4 y  4 x  y  2

8 x  2 y  2 x  8 y   x  4 y  4 x  y 

4  x  4 y  4 x  y   4.  x  4 x  4 x  y 

 

16  x  y   4  x  y  25  x  y   9  x  y  Vậy   x  3 y  3x  y   x  4 y  4 x  y  2

b) Ta có 2



 1 y 2  1

2 2 2 x 2  2 xy  y 2  x 2 y 2  2 xy  1 x 2  y 2  x 2 y 2  1  x  1  y  x  1    x 2  1 y 2  1  x 2  1 y 2  1  x 2  1 y 2  1

 1 y 2  1

 x  y    xy  1 2



 1 y 2  1

Y 2

 1 y 2  1

DẠ 2

 1.

 1 y 2  1

x 2  2 xy  y 2  x 2 y 2  2 xy  1

 x  y    xy  1

x

 1 y 2  1

x

x  x

Vậy

KÈ M

x  x

x

  4.

 x  y    xy  1

x

ƠN

2 2

 1 y 2  1  1 y 2  1



x

 1 y 2  1

x2  y 2  x2 y 2  1



x

x 2

 1 y 2  1

 1  y 2  x 2  1

 1.

 1 y 2  1

 x  y    xy  1 2



x

  1 .

Trang 11

c) 2

 4 x  3 x 2  5 x  4  x 2  6 x  5 

 x  1



 x  1 x  3 x  1 x  4  x  1 x  5  x  3 x  4 x  5 .     3  x  1

CI AL

x

Bài tập nâng cao Câu 3. 2



 a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c  a b  c 



2a.  2b  2c  4a  b  c    4. a b  c  a b  c 

a  b  c  a  b  c a b  c 

2  bc  ca  2ab  2  b c  a  a c  b  b)  a  b  c     a  b  c    ab  b  c  c  a    ab  b  c  c  a  

ƠN

1 1  2   a  b  c   .  a b  c  b c  a   Các hạng tử còn lại tương tự, vậy ta có vế trái sau khi biến đổi 2

 bc  ca  2ab  2  ca  ab  2bc  2  ab  bc  2ca     b  c  a     c  a  b    ab  b  c  c  a    bc  c  a  a  b    ca  a  b  b  c  

a  b  c

1 1  1 1  1 1  2  2  2   a  b  c       b  c  a     c  a  b    a b  c  b c  a    b c  a c a  b   c  a  b a b  c   2

b  c  a    a  b  c   b c  a 2

a  b  c  c  a  b  a b  c 

c  a  b  b  c  a   c a  b 2

Nhận thấy những nhóm hạng tử mới có dạng giống câu a) nên có thể chứng minh mỗi hạng tử đều có giá trị bằng 4, vậy tổng bằng 12.

Bài tập tự luyện dạng 3

KÈ M

Bài tập cơ bản

Câu 1. Chọn A.

 x  3 y   x 2  3xy  9 y 2   x  y   x 2  xy  y 2  x3  27 y 3 x3  y 3 Ta có 2  3. 2   3. x  3 xy  9 y 2 x  xy  y 2 x 2  3 xy  9 y 2 x 2  xy  y 2  x  3 y  3 x  3 y  2 x  0  x  0.

DẠ

Câu 2.

Bài tập nâng cao

3  a 3   a  b  c 3   b 3  c 3   a 3  b3  c 3   a  b  c   M   a  b  b  c  c  a   a  b  b  c  c  a 

Trang 12

 b  c   a 2  a  a  b  c    a  b  c     b  c   b2  c 2  bc    a  b  b  c  c  a  2

a a  b  c a  b 3a 2  3ab  3ac  3bc  3  a  b  c  a   a  b  c  a 

 3

 a  b  c  a   3.  a  b  c  a 



CI AL

 b  c  b2  c 2  bc   3a 2  3ab  3ac  2bc  b2  c 2    a  b  b  c  c  a 

Vậy M  3 là hằng số với mọi a  b, b  c, c  a. Bài tập tự luyện dạng 4 Bài tập cơ bản

4 2

 4

 2

2 2

x 

 2  x2  2 2

x

Với x  0 thì P  4; với x  1 thì P  1. Vậy đáp án sai là D. Câu 2. Chọn C.

 2

  x 2  2   x 4  4 x 2  4. 2

Ta có P 

x   x  2  x

x8  8 x 4  16

ƠN

Câu 1. Chọn D.

x3  3 x 2 y  3 xy 2  y 3  x  y  2 Ta có    x  y . x y x y

Thay x  1, y  1 vào biểu thức sau khi rút gọn, ta được 1  1  4.

Vậy giá trị của biểu thức tại x  1, y  1 là 4. Bài tập nâng cao

Ta có A  

x99  x98  ...  x51  x50  x 49  ...  x 2  x  1 x98  x96  ...  x 2  1

x98  x  1  x96  x  1  ...   x  1 x98  x96  ...  x 2  1

 x  1  x98  x96  ...  x 2  1 x98  x96  ...  x 2  1



KÈ M

Câu 3.

 x  1.

DẠ

Thế x  2 vào biểu thức A ta được A  2  1  1. Vậy biểu thức A  1 tại x  2. Bài tập tự luyện dạng 5

Bài tập cơ bản Trang 13

Câu 1. 3

 2 x 2  2 x  1  x  1 x3  1

x 

 1  2 x  x  1   x  1

 x  1  x 2  x  1



 x  1  x 2  x  1  2 x  x  1

x 

x

 x  1

 x  1  x  1

x

 x  1

 x  1.

2 2 2 x3  2 x 2  4 x  8 x  x  4   2  x  4   x  2   x  4  B    x  2. x2  4 x2  4 x2  4

CI AL

x A

Ta có 2 A  B  2  x  1  x  2  x  0. (thỏa mãn).

Vậy x  0 là giá trị thỏa mãn bài toán. Bài tập nâng cao Câu 2. Ta có

 x  1  x 2  1   x  1  x 2  1

 x 2  1.

ƠN

4 2 4 2 x5  x 4  2 x3  2 x 2  x  1 x5  2 x3  x  x 4  2 x 2  1 x  x  2 x  1   x  2 x  1    x  1  x 2  1  x  1  x 2  1  x  1  x 2  1

DẠ

KÈ M

Vậy x  1 là giá trị thỏa mãn bài toán.

x5  x 4  2 x3  2 x 2  x  1 2  2 x  x 2  1  2 x  x 2  2 x  1  0   x  1  0  x  1 (thỏa mãn). 2  x  1  x  1

Trang 14

CHƯƠNG 2: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Mục tiêu  Kiến thức

CI AL

BÀI 3: QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC

+ Xác định được nhân tử chung trong trường hợp có những nhân tử đối nhau và biết cách đổi dấu để lập được mẫu thức chung. + Vận dụng được quy trình quy đồng mẫu nhiều phân thức.

+ Vận dụng được quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số, thứ tự thực hiện các phép tính khi trong dãy có các phép cộng trừ, nhân, chia.

 Kĩ năng

+ Biết cách nhận biết được những trường hợp cần đổi dấu và thành thạo việc đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung của tử và mẫu.

+ Biết cách tìm nhân tử phụ và thành thạo bước nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử

DẠ

KÈ M

ƠN

phụ tương ứng để được những phân thức mới có mẫu thức chung.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Ví dụ: Quy đồng mẫu thức hai phân thức

5x x và B  2 , ta thực hiện như 2 3x  3 x  3x  2

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử, ta được

3 x 2  3  3  x  1 x  1 ; x 2  3 x  2   x  1 x  2  .

Khi đó, ta có A

5x  x  2 5x  ; 2 3 x  3 3  x  1 x  1 x  2 

B

3 x  x  1 x  . x  3 x  2 3  x  1 x  1 x  2  2

ƠN

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau 7 3 ; 2 . 3x  6 x  4 Hướng dẫn giải Bước 1. Phân tích các mẫu thức thành nhân tử 3x  6  3  x  2  .

Phương pháp giải

Bước 1. Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.

KÈ M

Bước 2. Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

Bước 3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

DẠ

Suy ra MTC  3  x  1 x  1 x  2  .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức

CI AL

A

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, ta thực hiện theo ba bước như sau: - Bước 1. Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.  Phân tích mẫu thức của mỗi phân thức đã cho thành nhân tử.  Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau + Thường chọn BCNN của các nhân tử bằng số. + Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất. - Bước 2. Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức. - Bước 3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

x 2  4   x  2  x  2  .

Suy ra mẫu thức chung (MTC) là 3  x  2  x  2  . Bước 2. Nhân tử phụ của mẫu thức 3 x  6 là MTC 3  x  2  x  2    x  2. 3x  6 3 x  2 Nhân tử phụ của mẫu thức x 2  4 là MTC 3  x  2  x  2    3. x 2  4  x  2  x  2  Bước 3. 7  x  2 7 7   ; 3 x  6 3  x  2  3  x  2  x  2  3 3 3.3   x  4  x  2  x  2  3.  x  2  x  2  2



9 . 3  x  2  x  2 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau

Trang 2

x xy ; . 12 30

xy yz xz ; ; . 8 12 24

1 4 ; . 6x 8 y

4 xy 2 yz zx ; ; . 6z 4x 2 y

CI AL

Hướng dẫn giải

Nhân tử phụ của mẫu thức 12 là

MTC 60   5. 12 12

Nhân tử phụ của mẫu thức 30 là

MTC 60   2. 30 30

a) MTC  60.

x x.5 5 x   ; 12 12.5 60

Khi đó, ta có

b) MTC  24. Nhân tử phụ của mẫu thức 8 là

MTC 24   3. 8 8 MTC 24   2. 12 12

Nhân tử phụ của mẫu thức 24 là

MTC 24   1. 24 24

yz yz.2 2 yz   ; 12 12.2 24

xy xy.3 3 xy   ; 8 8.3 24

Khi đó, ta có:

Nhân tử phụ của mẫu thức 12 là

ƠN

xy xy.2 2 xy   . 30 30.2 60

xz xz.1 xz   . 24 24.1 24

MTC  6 xy.

4 1  . 8y 2y

KÈ M

c) Rút gọn phân thức

MTC 6 xy   y. 6x 6x

Nhân tử phụ của mẫu thức 2 y là

MTC 6 xy   3 x. 2y 2y

DẠ

Nhân tử phụ của mẫu thức 6x là

Khi đó, ta có

1 1. y y   . 6 x 6 x. y 6 xy

4 1 1.3 x 3x    . 8 y 2 y 2 y.3 x 6 xy

Trang 3

d) Rút gọn phân thức

4 xy 2 xy 2 yz yz  ;  . 6z 3z 4 x 2 x

MTC 6 xyz   2 xy. 3z 3z

Nhân tử phụ của mẫu thức 2x là

MTC 6 xyz   3 yz. 2x 2x

Nhân tử phụ của mẫu thức 2 y là

MTC 6 xyz   3 xz. 2y 2y

Nhân tử phụ của mẫu thức 3z là

CI AL

MTC  6 xyz.

Khi đó, ta có 4 xy 2 xy 2 xy.2 xy 4 x 2 y 2    ; 6z 3z 3 z.2 xy 6 xyz

Bình luận: Ở câu c, d, ta rút gọn các phân thức trước khi

2 yz yz yz.3 yz 3 y 2 z 2    ; 4 x 2 x 2 x.3 yz 6 xyz

ƠN

tìm mẫu thức chung làm cho

2 2

zx zx.3 xz 3 x z   . 2 y 2 y.3 xz 6 xyz

bài toán đơn giản hơn.

Ví dụ 2. Tìm các phân thức mới bằng các phân thức đã cho và có chung mẫu thức a)

4 5 . và x  4x 2x  8

1 2 . và 2 2y  4y  2 3y  3y

2x  6 x2 3 ; 2 . và x  8 x  15 x  3 x  10 x5

Hướng dẫn giải

a) Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

x2  4x  x  x  4 ;

KÈ M

2x  8  2  x  4.

Suy ra MTC  2 x  x  4  .

Nhân tử phụ của mẫu thức x 2  4 x là

DẠ

Nhân tử phụ của mẫu thức 2 x  8 là Do đó, ta có

2x  x  4 MTC   2. 2 x  4x x  x  4

MTC 2 x  x  4    x. 2x  8 2  x  4

4 4 4.2 8    ; x  4 x x  x  4  x  x  4  .2 2 x  x  4  2

5 5 5.x 5x    . 2 x  8 2  x  4  2  x  4  .x 2 x  x  4 

Trang 4

b) Phân tích các mẫu thức thành nhân tử 2 y 2  4 y  2  2  y 2  2 y  1  2  y  1 ; 2

3 y 2  3 y  3 y  y  1 . Suy ra MTC  6 y  y  1 . 2

6 y  y  1 MTC Nhân tử phụ của mẫu thức 2 y  4 y  2 là   3 y. 2 2 y  4 y  2 2  y  12 2

6 y  y  1 MTC Nhân tử phụ của mẫu thức 3 y  3 y là   2  y  1 . 2 3 y  3 y 3 y  y  1 2

CI AL

8 5x . và 2x  x  4 2x  x  4

Vậy các phân thức cần tìm là

1 1 1.3 y 3y    ; 2 2 2 2 y  4 y  2 2  y  1 2  y  1 .3 y 6 y  y  1

Do đó, ta có

ƠN

2.2  y  1 4  y  1 2 2    . 3 y  3 y 3 y  y  1 3 y  y  1 .2  y  1 6 y  y  12 2

3y 6 y  y  1

và

4  y  1

Vậy các phân thức cần tìm là

6 y  y  1

c) Rút gọn các phân thức

2  x  3 2x  6 2   ; x  8 x  15  x  3 x  5  x  5

Suy ra MTC  x  5.

2x  6 2  ; x  8 x  15 x  5 2

KÈ M

Do đó, ta có

x2 x2 1   . x  3 x  10  x  2  x  5  x  5 2

x2 1  ; x  3 x  10 x  5 2

3 3  . x5 x5

Vậy các phân thức cần tìm là

2 1 3 ; . và x5 x5 x5

DẠ

Ví dụ 3. Đưa các phân thức sau về cùng mẫu thức. a)

11 7 . và 4 2 144a b 36a 2b3

Trang 5

2 x 2  4 xy  2 y 2 3x . và 3 3 2 2 3 x  3 x y  3 xy  y x  x2 y

3ab m 5n ; ; 2 2. 2 a 3a  3b a  b

CI AL

Hướng dẫn giải

MTC 144a 4b3   b. 144a 4b 2 144a 4b 2

Nhân tử phụ của mẫu thức 36a 2b3 là

MTC 144a 4b3   4a 2 . 2 3 2 3 36a b 36a b

Nhân tử phụ của mẫu thức 144a 4b 2 là

7 7.4a 2 28a 2   . 36a 2b3 36a 2b3 .4a 2 144a 4b3

b) Rút gọn các phân thức

ƠN

11 11.b 11b   ; 4 2 4 2 144a b 144a b .b 144a 4b3

Khi đó, ta có

a) MTC  144a 4b3 .

3x 3x 3  2  . 2 x  x y x  x  y x x  y 3

Suy ra MTC  x  x  y  .

MTC x  x  y    x. x y x y

Nhân tử phụ của mẫu thức x  y là

2  x 2  2 xy  y 2  2  x  y 2 2 x 2  4 xy  2 y 2 2    . 3 3 3 2 2 3 x  3 x y  3 xy  y  x  y  x  y x  y

Nhân tử phụ của mẫu thức x  x  y  là

2 x 2  4 xy  2 y 2 2 2x   ; 3 2 2 3 x  3 x y  3 xy  y x  y x x  y

KÈ M

Khi đó, ta có

x x  y MTC   1. x x  y x x  y

3x 3 3.1 3    . 2 x  x y x  x  y  x  x  y  .1 x  x  y  3

c) Rút gọn phân thức

3ab 3b  . a2 a

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

DẠ

aa

3a  3b  3  a  b  . a 2  b 2   a  b  a  b  .

Suy ra MTC  3a  a  b  a  b  . Trang 6

MTC 3a  a  b  a  b    3  a  b  a  b  . a a

3a  a  b  a  b  MTC   a  a  b. 3a  3b 3 a  b

Nhân tử phụ của mẫu thức a 2  b 2 là

MTC 3a  a  b  a  b    3a. a 2  b2  a  b  a  b 

3ab 3b 3b.3  a  b  a  b  9b  a  b  a  b     ; a2 a a.3  a  b  a  b  3a  a  b  a  b 

Do đó, ta có

Bình luận: Ở câu b, ta rút gọn

m.a  a  b  ma  a  b  m m    ; 3a  3b 3  a  b  3  a  b  .a  a  b  3a  a  b  a  b 

Nhân tử phụ của mẫu thức 3a  3b là

CI AL

Nhân tử phụ của mẫu thức a là

5n 5n 5n.3a 15na    . 2 2 a b  a  b  a  b   a  b  a  b  .3a 3a  a  b  a  b 

các phân thức trước khi quy đồng làm cho bài toán đơn giản hơn.

ƠN

Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản

3x  1 2 y  1 ; . 12 x3 y 18 x 2 y 4

3b 5b ; 2 . b  6b  9 2b  6b

4 3x ; 2 ; 2. x 1 x  x 1

Câu 1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau

Bài tập nâng cao

Câu 2. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau a)

3 7 . và 2 x  2x 2x  4

3x  3 2 . và 2 x  4x  3 x  3x 2

KÈ M

x2  2x 5x ; 3 ;3 x. c) 2 x  4 x  4x2  4x

Dạng 2: Một số bài toán đố khác Phương pháp giải

DẠ

Sử dụng các phương pháp: Phân tích đa thức thành nhân tử, chia đa thức, rút gọn, tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức,… để giải một số bài toán đố.

13 x3 2 x 2  6 x ; . x 4  3x3 x3  9 x Khi quy đồng mẫu thức, bạn Quang Hải chọn MTC  x3  x  3 x  3 , còn bạn Tiến Dũng

Ví dụ: Cho hai phân thức

nói: “Đơn giản, chọn MTC  x  3 ”. Đố em biết bạn nào chọn đúng? Trang 7

CI AL

Hướng dẫn giải Cả hai bạn đều đúng, vì - Bạn Quang Hải phân tích các mẫu thức thành nhân tử x 4  3 x 3  x 3  x  3 ; x3  9 x  x  x 2  9   x  x  3 x  3 .

Suy ra MTC  x3  x  3 x  3 .

- Bạn Tiến Dũng thì rút gọn các phân thức đã cho trước khi tìm mẫu thức chung. Tức là 13 x3 13 x3 13   ; 4 3 3 x  3x x  x  3 x  3

2 x  x  3 2x2  6x 2   . 3 x  9x x  x  3 x  3 x  3 Suy ra MTC  x  3. Ví dụ mẫu

x2 x ; 2 . 2 x 1 x  x  2

ƠN

Ví dụ 1. Cho đa thức A  x3  2 x 2  x  2 và hai phân thức

a) Chia đa thức A cho các mẫu thức x 2  1; x 2  x  2, từ đó suy ra có thể chọn đa

b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. Hướng dẫn giải

x3  2 x 2  x  2 x 2  1 x2 x3 x 

2x2

2

2x2

2 0



thứ A làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho.

KÈ M

x3  2 x 2  x  2 x 2  x  2  3 x 1 x  x2  2x 

x2  x  2 x2  x  2

Vì đa thức A chia hết cho các mẫu thức x 2  1; x 2  x  2 nên có thể chọn đa thức A

DẠ

làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. b) MTC  A  x3  2 x 2  x  2. Khi đó, nhân tử phụ tương ứng với mỗi mẫu thức bằng thương của phép chia đa thức A cho từng mẫu thức đó. Trang 8

x  2  x  2  x  2  x2  4   ; x 2  1  x 2  1  x  2  x3  2 x 2  x  2

Do đó, ta có

Ví dụ 2. Cho hai phân thức

CI AL

x  x  1 x x2  x   . x 2  x  2  x 2  x  2   x  1 x3  2 x 2  x  2

2x  2 2x  2 ; . Chứng minh  x  x  2   x  2   x  2   x 2  2 x  3 2

rằng có thể chọn đa thức B  x3  3 x 2  4 x  12 làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. Hãy quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. 2  x  1 2x  2 2   .  x 2  x  2   x  2   x  1 x  2  x  2   x  2  x  2 

ƠN

2  x  1 2x  2 2   . 2  x  2   x  2 x  3  x  2  x  1 x  3  x  2  x  3

Hướng dẫn giải

Cách 1: Chia đa thức B cho từng mẫu thức  x  2  x  2   x 2  4;

x3  3 x 2  4 x  12 x 2  4 x3 x3  4x 

3x 2

 12



 x  2  x  3  x 2  x  6

x3  3 x 2  4 x  12 x 2  x  6  3 x2 x  x2  6x 2 x 2  2 x  12 2 x 2  2 x  12

KÈ M



Vì đa thức B chia hết cho các mẫu thức x 2  4; x 2  x  6 nên có thể chọn đa thức

B  x3  3 x 2  4 x  12 làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho.

MTC  B  x3  3 x 2  4 x  12.

DẠ

Nhân tử phụ của mẫu thức x 2  4 là

MTC B  2  x  3. 2 x 4 x 4

Nhân tử phụ của mẫu thức x 2  x  6 là

MTC B  2  x  2. x  x6 x  x6 2

Do đó, ta có

Trang 9

2  x  2 2x  2 2   . 2  x  2   x  2 x  3  x  2  x  3  x  2  x  2  x  3

Cách 2. Phân tích đa thức B thành nhân tử B  x3  3 x 2  4 x  12   x3  3 x 2    4 x  12   x 2  x  3  4  x  3

  x  3  x 2  4    x  3 x  2  x  2  .

CI AL

2  x  3 2x  2 2   ;  x 2  x  2   x  2   x  2  x  2   x  2  x  2  x  3

Suy ra đa thức B chia hết cho các mẫu thức  x  2  x  2  ;  x  2  x  3 nên có

thể chọn đa thức B làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho.

MTC   x  2  x  2  x  3 .

Bình luận: - Trước khi quy đồng mẫu thức, ta luôn

ƠN

Do đó

2  x  3 2x  2 2   .  x  x  2   x  2   x  2  x  2   x  2  x  2  x  3 2

2  x  2 2x  2 2   .  x  2   x 2  2 x  3  x  2  x  3  x  2  x  2  x  3

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1. Cho đa thức A  x 4  5 x 2  4 và phân thức

cần xem các phân thức có rút gọn được không. Cách 2 gọn gàng hơn, nhanh hơn cách 1.

2 x ; 2 . x  3x  2 x  3x  2 2

a) Chia đa thức A cho các mẫu thức x 2  3 x  2; x 2  3 x  2, từ đó suy ra có thể chọn đa thức A làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho.

KÈ M

Bài tập nâng cao

Câu 2. Cho hai phân thức

2 x 2  10 x  8 4 x 2  16 ; . Chứng minh rằng có thể chọn đa thức x3  3x 2  6 x  8 x3  2 x 2  4 x  8

M  x 2  4 làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. Hãy quy đồng mẫu thức hai

DẠ

phân thức đã cho.

Trang 10

ĐÁP ÁN BÀI 3. QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC

CI AL

Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản Câu 1. a) MTC  36 x3 y 4 . Do đó, ta có

3 3 x  1 3 y  3 x  1 2 y  1 2 x  2 y  1  ;  . 12 x3 y 36 x3 y 4 18 x 2 y 4 36 x3 y 4

b) Phân tích các mẫu thức thành nhân tử b 2  6b  9   b  3 ; 2b 2  6b  2b  b  3 .

5b  b  3 3b 6b 2 5b  ;  . Suy ra MTC  2b  b  3 . Do đó 2 b  6b  9 2b  b  32 2b 2  6b 2b  b  32 2

ƠN

c) Phân tích các mẫu thức thành nhân tử x3  1   x  1  x 2  x  1 . Suy ra MTC   x  1  x 2  x  1 .

4 4  ; x  1  x  1  x 2  x  1 3

3 x  x  1 3x  ; x  x  1  x  1  x 2  x  1

Do đó, ta có

2

2  x  1  x 2  x  1

 x  1  x 2  x  1

Bài tập nâng cao Câu 2.

KÈ M

a) Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

x3  2 x 2  x 2  x  2  .

2x  4  2  x  2.

Suy ra MTC  2 x 2  x  2  .

2x2  x  2 MTC   2. x3  2 x 2 x2  x  2

DẠ

Nhân tử phụ của mẫu thức x3  2 x 2 là

2 MTC 2 x  x  2  Nhân tử phụ của mẫu thức 2 x  4 là   x2 . 2x  4 2  x  2

Trang 11

Do đó, ta có

3 3 3.2 6  2  2  2 ; 2 x  2x x  x  2  x  x  2  .2 2 x  x  2  3

b) Rút gọn phân thức

CI AL

7 7 7.x 2 7 x2    . 2 x  4 2  x  2  2  x  2  .x 2 2 x 2  x  2  3  x  1 3x  3 3   . x  4 x  3  x  1 x  3 x  3 2

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

x  3  x  3.

x 2  3 x  x  x  3 .

MTC x  x  3   x. x3 x3

Nhân tử phụ của mẫu thức x  x  3 là

3x  3 3 3.x 3x 2 2    ; 2  . x  4 x  3 x  3  x  3  .x x  x  3  x  3 x x  x  3  2

Do đó, ta có

x  x  3 MTC   1. x 2  3 x x  x  3

ƠN

Nhân tử phụ của mẫu thức x  3 là

Suy ra MTC  x  x  3 .

c) Rút gọn các phân thức

x  x  2 x2  2x x 5x 5x 5   ; 3   . 2 2 2 x  4  x  2  x  2  x  2 x  4 x  4 x x  x  4 x  4   x  2 2

Suy ra MTC   x  2  .

MTC  x  2  Nhân tử phụ của mẫu thức x  2 là   x  2. x2 x2 2

 x  2   1. MTC Nhân tử phụ của mẫu thức  x  2  là 2  x  4 x  4  x  2 2 2

KÈ M

x  x  2 x2  2x x 5x 5 3x 3x  x  2  Do đó, ta có 2   ;  ;3 x   . 2 x  4 x  2  x  2 2 x3  4 x 2  4 x  x  2 2 1  x  2 2

Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1.

Bài tập cơ bản

DẠ

a) Thực hiện phép chia đa thức A cho các mẫu thức x 2  3 x  2; x 2  3 x  2.

Trang 12

 4 x 2  3x  2 x 2  3x  2

x 4  3x3  2 x 2 

3x3  7 x 2

CI AL



 5x2

3x3  9 x 2  6 x 

2x2  6x  4 2x2  6x  4 0

Suy ra A :  x 2  3 x  2   x 2  3 x  2.

Do đó A chia hết cho các mẫu thức x 2  3 x  2; x 2  3 x  2 nên có thể chọn đa thức A làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. b) Quy đồng Nhân tử phụ của mẫu thức x 2  3 x  2 là

MTC A  2  x 2  3 x  2. x  3x  2 x  3x  2

Nhân tử phụ của mẫu thức x 2  3 x  2 là

MTC A  2  x 2  3 x  2. x  3x  2 x  3x  2

ƠN

2  x 2  3x  2  2  x 2  3x  2  2 Khi đó, ta có 2   4 ; x  3 x  2  x 2  3 x  2  x 2  3 x  2  x  5x2  4

x  x 2  3x  2  x  x 2  3x  2  x   4 . x 2  3 x  2  x 2  3 x  2  x 2  3 x  2  x  5x2  4

Bài tập nâng cao

Câu 2. Rút gọn các phân thức

2  x2  5x  4 2  x2  5x  4 2  x2  5x  4 2 x 2  10 x  8 2  3    . 3 2 2 2 2 x  3x  6 x  8  x  8   3x  6 x   x  2   x  2 x  4   3x  x  2   x  2   x  5 x  4  x  2

KÈ M

4  x2  4 4  x  2  x  2  4 x 2  16  3  3 2 2 x  2 x  4 x  8  x  8   2 x  4 x   x  2   x 2  2 x  4   2 x  x  2  

4  x  2  x  2 

 x  2  x

 4x  4



4  x  2  x  2 

 x  2  x  2 



4 . x2

Suy ra MTC   x  2  x  2  .

DẠ

Mà M  x 2  4   x  2  x  2  . Vậy có thể chọn đa thức M  x 2  4 làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. Quy đồng

Trang 13

MTC  x  2  x  2    x  2. x2 x2

Nhân tử phụ của mẫu thức x  2 là

MTC  x  2  x  2    x  2. x2 x2

CI AL

Nhân tử phụ của mẫu thức x  2 là

2  x  2 4  x  2 2 x 2  10 x  8 2 4 x 2  16 4   ;   . 3 2 3 2 x  3 x  6 x  8 x  2  x  2  x  2  x  2 x  4 x  8 x  2  x  2  x  2 

DẠ

KÈ M

ƠN

Khi đó, ta có

Trang 14

BÀI 4: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ  Kiến thức + Nắm vững và vận dụng được các quy tắc cộng, trừ các phân thức đại số. + Hiểu và vận dụng được khái niệm phân thức đối.

CI AL

Mục tiêu

+ Nắm vững và vận dụng được thứ tự thực hiện các phép tính trong dãy có nhiều phép tính, có  Kĩ năng + Thành thạo cộng, trừ các phân thức có cùng mẫu hoặc khác mẫu.

+ Biết cách tìm phân thức đối của một phân thức. + Biết cách tìm phân thức chưa biết từ đẳng thức. I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

A C AC   B B B

3x  1 x 4x 1  2  2 2 x 1 x 1 x 1

ƠN

Cộng hai phân thức cùng mẫu

dấu ngoặc.

Cộng hai phân thức khác mẫu

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau,

2 4 2 y 4x 2 y  4x     x y xy xy xy

ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có

cùng mẫu thức vừa tìm được.

Hai phân thức đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

x x  2 0 x 1 x 1

Trừ hai phân thức

Như vậy

A C cho phân thức , ta cộng B D

KÈ M

Muốn trừ phân thức

Phân thức đối

x x ; 2 là hai phân thức đối nhau x 1 x 1 2

A C với phân thức đối của . B D A C A  C     B D B  D

DẠ

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Trang 1

1. Quy đồng mẫu khác mẫu

2. Cộng hai phân

Cộng hai phân thức

Phân thức đối Cộng, trừ phân

C C là Phân thức đối của D D

cùng mẫu

thức đại số

A B A B   M M M



CI AL

thức cùng mẫu

C  C    0 D  D

Trừ hai phân thức

A C A  C     B D B  D

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

ƠN

Dạng 1: Thực hiện các phép tính cộng, trừ phân thức đại số Bài toán 1. Cộng các phân thức đại số Phương pháp giải

Cộng phân thức cùng mẫu

Bước 1. Cộng tử các phân thức và giữ nguyên mẫu

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:

x2  5 1  . x2 x2

Hướng dẫn giải

thức.

Bước 2. Rút gọn phân thức.

KÈ M

Cộng các phân thức không cùng mẫu Bước 1. Thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử các mẫu thức.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức các phân thức. Bước 3. Thực hiện cộng các phân thức cùng mẫu.

DẠ

Bước 4. Rút gọn nếu có thể.

x2  5 1 x2  5  1 x2  4    x2 x2 x2 x2



 x  2  x  2  x2

 x2.

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính:

3x  1 4  . x  1 1  x2

Hướng dẫn giải 3x  1 4 3x  1 4    2 x 1 1 x x  1  x  1 x  1



 3x  1 x  1  4  x  1 x  1  x  1 x  1

3x 2  3x  x  1 4    x  1 x  1  x  1 x  1 3 x 2  2 x  1  4   x  1 x  1

Trang 2

3x 2  3x  5 x  5  x  1 x  1



3 x  x  1  5  x  1  x  1 x  1



 x  1 3x  5  x  1 x  1



3x  5 . x 1

Ví dụ mẫu Ví dụ. Cộng các phân thức sau 3x 2  y y  x  . xy xy

12 4 x 2  12 x  . x3 x2  9

ƠN

3 x 2  xy 2 xy  x 2 3 x 2   d) . x y x y yx

3 3 x  2 c) . 2 x  3 2 x  3x

Hướng dẫn giải a)

CI AL



3x 2  2 x  5  x  1 x  1



3 x 2  y y  x 3 x 2  y  y  x 3 x 2  x x  3 x  1 3 x  1      . xy xy xy xy xy y

4 x  x  3 12 4 x 2  12 x 12 12 4 x 12  4 x 4  3  x  b)         4. 2 x3 x 9 x  3  x  3 x  3 x  3 x  3 x3 x3 3 3 x 3 3 x 3x  3  x 2x  3 1  2      . 2 x  3 2 x  3 x 2 x  3 x  2 x  3 x  2 x  3 x  2 x  3 x

3 x 2  xy 2 xy  x 2 3 x 2 3 x 2  xy 2 xy  x 2 3 x 2      x y x y yx x y x y x y

KÈ M

DẠ

3 x 2  xy  2 xy  x 2  3 x 2  x y 

xy  x 2 x y



x  x  y x y

 x .

Bài toán 2. Trừ các phân thức đại số Phương pháp giải

Trang 3

Bước 1. Trừ tử thức của các phân thức và giữ

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

nguyên mẫu thức.

Hướng dẫn giải

Bước 2. Rút gọn phân thức nếu có thể.

x2 1 3 x2 1  3   x2 x2 x2



x2  4 x2

 x  2  x  2  x2

 x2.

Trừ các phân thức không cùng mẫu



Ví dụ 2: Thực hiện phép tính

các mẫu thức. Bước 2. Quy đồng mẫu thức các phân thức. Bước 3. Thực hiện trừ các phân thức cùng mẫu.

Hướng dẫn giải

x9 3 x9 3  2   2 x  9 x  3 x  x  3 x  3 x  x  3



 x  9  x  3  x  3 x  x  3 x  3 x  x  3 x  3

KÈ M

Bước 4. Rút gọn phân thức nếu có thể.

x9 3  2 . 2 x  9 x  3x

ƠN

Bước 1. Thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử

x2 1 3  . x2 x2

CI AL

Trừ các phân thức cùng mẫu



x 2  9 x   3x  9  x  x  3 x  3



x 2  9 x  3x  9 x  x  3 x  3



x2  6x  9 x  x  3 x  3

 x  3  x  x  3 x  3 2



x3 . x  x  3

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Thực hiện phép tính sau:

4x 1 x  2  . 3 3

DẠ

xy  1 1  2 x 2  c) . 2x  y y  2x

3x  2 y 2 x  3 y  . x y x y

3x  2 6 3x  2  2  2 . x  2x 1 x 1 x  2x 1 2

Hướng dẫn giải

Trang 4

4 x  1 x  2 4 x  1   x  2  4 x  1  x  2 3 x  3 3  x  1       x 1. 3 3 3 3 3 3

3x  2 y 2 x  3 y 3x  2 y   2 x  3 y  3x  2 y  2 x  3 y x  y     1. x y x y x y x y x y

CI AL

xy  2 x 2 2x  y



x  2x  y  2x  y



 x .



3x  2 6 3x  2  2  2 x  2x 1 x 1 x  2x 1 2

3x  2

 x  1



3x  2

 x  1 x  1  x  12

 3x  2  x  1  6  x  1 x  1   3x  2  x  1 2 2 2 2 2 2  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1 2



ƠN

2 xy  1 1  2 x 2 xy  1 2 x 2  1 xy  1   2 x  1 xy  1  2 x 2  1 c)      2x  y y  2x 2x  y 2x  y 2x  y 2x  y

6  x 2  1  3x  2   x 2  2 x  1  3x  2   x 2  2 x  1    2 2 2 2 2 2  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1



3x3  8 x 2  7 x  2

 x  1  x  1 2



 x  1  x  1 2

6x2  6

 x  1  x  1 2



3x3  6 x 2  3x  2 x 2  4 x  2

6x2  6



 x  1  x  1 2

3x3  8 x 2  7 x  2

 x  1  x  1 2

3x3  8 x 2  7 x  2   6 x 2  6    3x3  8 x 2  7 x  2 

 x  1  x  1 2

3x3  8 x 2  7 x  2  6 x 2  6  3x3  8 x 2  7 x  2

 x  1  x  1 2

10 x 2  10

 x  1  x  1 2

DẠ



 x  1  x  1





3x3  6 x 2  3x  2 x 2  4 x  2

KÈ M



Bài tập tự luyện dạng 1

Phần trắc nghiệm Câu 1: Kết quả của phép cộng

x2  2x 4x  1 là  x 1 x 1

Trang 5

1 . 5x

Câu 3: Kết quả của phép trừ A.

1 . x  x  1

Câu 4: Kết quả của phép tính A.

x5 . x2 1

2 x  30

 x  5

2 . 5x

2 .  x  1

x  3 x 1  là x2 1 x2  x 1 . x  x  1

3x  1

 x  1 x3

 x  1



1 x3 là  x  1 1  x2

4 x  3 . x 1

Phần tự luận Câu 1: Cộng các phân thức sau

3x  1 1  2 x  . 3 2

1 4 12 x  8   2 . 3x  2 3x  2 9 x  4

4x x2  2x 1   . x 1 x 1 x 1

3 x 2  4 x  15 2x 1 5  2  . 3 x 1 x  x 1 1 x

x x  . 5 x  5 10 x  10

1 2 6   2 . 2x  3 2x  3 4x  9

ĐÁP ÁN Phần trắc nghiệm

Phần tự luận Câu 1:

2–D

KÈ M

1-C

4 x 2  3x  5 1 2x 6  2  . 3 x 1 x  x 1 x 1

2-A

4–B

3 x  1 1  2 x  3 x  1 .2 1  2 x  .3 6 x  2 3  6 x 6 x  2  3  6 x 5        . 3 2 6 6 6 6 6 6

1 4 12 x  8 1 4 12 x  8   2    3 x  2 3 x  2 9 x  4 3 x  2 3 x  2  3 x  2  3 x  2 

DẠ

x5 . x 1

2 .  x  1

Câu 2. Thực hiện các phép tính sau: 3x  2 x  3  . 2 3

x 5 . 5x

x2  6x  1 . x 1

3x  5 25  x  là 2 x  5 x 25  5 x

Câu 2: Kết quả của phép cộng A.

C. x  1 .

CI AL

x2  6x  1 . x 1

x 1 . 2

ƠN



1.  3 x  2  4  3 x  2  12 x  8    3x  2  3x  2   3x  2  3x  2   3x  2  3x  2 



3 x  2  12 x  8  12 x  8 3x  2 1   .  3x  2  3x  2   3x  2  3x  2  3x  2

Trang 6

4x x2  2x 1 4 x  x 2  2 x  1 x 2  2 x  1  x  1 c)       x 1 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3 x 2  4 x  15 2x 1 5 3 x 2  4 x  15 2x 1 5  2    2  d) 3 2 x 1 x  x  1 1  x  x  1  x  x  1 x  x  1 x  1



3 x 2  4 x  15   2 x 2  2 x  x  1  5 x 2  5 x  5

 x  1  x 2  x  1

12 x  11 .  x  1  x 2  x  1



 2 x  1 x  1  5  x 2  x  1 3 x 2  4 x  15   x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1



Câu 2.

3 x  2 x  3 3  3 x  2   2  x  3 9 x  6   2 x  6  9 x  6  2 x  6 7 x      . 2 3 6 6 6 6

x x x x    5 x  5 10 x  10 5  x  1 10  x  1

 2x    x2  x 

10  x  1 x  1

2x2  2x  x2  x 10  x  1 x  1

 2x



2 x.  x  1 x  x  1  10  x  1 x  1 10  x  1 x  1



ƠN



CI AL

x 2  3x .  10  x  1 x  1

1 2 6 1 2 6   2    2 x  3 2 x  3 4 x  9 2 x  3 2 x  3  2 x  3 2 x  3

KÈ M



2  2 x  3 2x  3 6 2x  3  4x  6  6     2 x  3 2 x  3  2 x  3 2 x  3  2 x  3 2 x  3  2 x  3 2 x  3



2 x  3  2 x  3 2 x  3



1 . 2x  3

DẠ

4 x 2  3x  5 1 2x 6 4 x 2  3x  5 1 2x 6  2    2  d) 3 2 x 1 x  x  1 x  1  x  1  x  x  1 x  x  1 x  1

6  x 2  x  1 1  2 x  x  1  4 x 2  3x  5     x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1 Trang 7



4 x 2  3x  5 x 1  2x2  2x 6x2  6x  6    x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1

4 x 2  3 x  5   2 x 2  3 x  1   6 x 2  6 x  6 

 x  1  x 2  x  1

4 x 2  3x  5  2 x 2  3x  1  6 x 2  6 x  6  x  1  x 2  x  1



12 .  x  1  x 2  x  1



CI AL



Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn yêu cầu Phương pháp giải

Bước 1. Xác định vai trò của phân thức cần xác Ví dụ: Xác định phân thức Q thỏa mãn biểu thức định trong biểu thức (số hạng, tổng, số bị trừ, số trừ sau ...). cần xác định và các phân thức khác.

Hướng dẫn giải

Bước 3. Quy đồng mẫu thức các phân thức

Q

ƠN

Bước 2. Thiết lập biểu thức quan hệ của phân thức

4 8 Q  2 x 1 x 1

4 8  2 x 1 x 1

KÈ M

Bước 4. Tính và rút gọn nếu có thể.



4  x  1 8   x  1 x  1  x  1 x  1



4x  4  8  x  1 x  1



4x  4  x  1 x  1



4  x  1  x  1 x  1



4 . x 1

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Tìm phân thức A thỏa mãn các trường hợp sau: b)

x 1 1  A 2 2x 1 4x 1

DẠ

x2 4 A a) . x2 x2

Hướng dẫn giải x2 4 A a) x2 x2

Trang 8

A

 x  1 2 x  1 1   2 x  1 2 x  1  2 x  1 2 x  1



1 2x2  x  2x 1   2 x  1 2 x  1  2 x  1 2 x  1



1 x 1 1 x 1    2 4 x  1 2 x  1  2 x  1 2 x  1 2 x  1

1   2 x 2  x  2 x  1

 2 x  1 2 x  1



1  2 x 2  x  2 x  1  2 x  1 2 x  1



2 x 2  x  2 x  1 2 x  1



 x  2 x  1 x .   2 x  1 2 x  1 2 x  1

ƠN

A

CI AL

x 1 1  A 2 2x 1 4x 1

x2 4 x 2  4  x  2  x  2      x  2. x2 x2 x2 x2

Bài tập tự luyện dạng 2

2x  6 6 2x2  2 P   . x3  3x 2  x  3 x  3 1  x2

Câu 1: Xác định phân thức P thỏa mãn biểu thức sau

Câu 2: Tìm biểu thức A thỏa mãn các đẳng thức sau 3 2x 1 3 x 2  4 x  11   A 2 a) với x  2 và x  3 . x2 x3 x  x6

1 1 x2  2x   với x  0 và x  1 . x 2  x  1 x 2  x x3  1

KÈ M

b) A 

4 12 1  2 A với b  2 và b  2 . b2 b 4 b2

ĐÁP ÁN

Câu 1:

DẠ

2x  6 6 2x2  2 P   x3  3x 2  x  3 x  3 1  x2

2P 

6 2x2 2x  6   3 2 x  3 1 x x  3x 2  x  3

Trang 9



6 2x2 2x  6  2  2 x  3 x  1 x  x  3   x  3

6  x 2  1

 x  3  x

 1



2 x 2  x  3

 x  3  x

 1



2x  6  x  3  x 2  1

CI AL



6 x 2  6  2 x3  6 x 2  2 x  6  x  3  x 2  1



2 x3  2 x  x  3  x 2  1



2 x  x 2  1

 x  3  x 2  1 2x x 3 x . x 3

Vậy P 

ƠN



6x2  6 2 x3  6 x 2 2x  6    2 2  x  3  x  1  x  3  x  1  x  3  x 2  1

Câu 2:

3 2x 1 3 x 2  4 x  11  Q  2 với x  2 và x  3 . x2 x3 x  x6 Q

3 x 2  4 x  11 3 2x 1   2 x  x6 x2 x3

3 x 2  4 x  11 3x  9 2x2  4x  x  2    x  3 x  2   x  3 x  2   x  3 x  2  3 x 2  4 x  11   3 x  9    2 x 2  3 x  2 

KÈ M



3  x  3  2 x  1 x  2  3 x 2  4 x  11     x  3 x  2   x  3 x  2   x  3 x  2 

DẠ



 x  3 x  2 



3 x 2  4 x  11  3 x  9  2 x 2  3 x  2  x  3 x  2 



x2  4x  4  x  3 x  2 

 x  2   x  3 x  2  2



x2 . x3

Trang 10

b) A 

1.  x 2  x  1

x  x  1  x  x  1 2



x

 2x x

x  x  1  x  x  1 2



1.x  x  1

x  x  1  x 2  x  1

x2  x  1 x3  2 x 2 x2  x   x  x  1  x 2  x  1 x  x  1  x 2  x  1 x  x  1  x 2  x  1



x 2  x  1  x3  2 x 2  x 2  x x  x  1  x 2  x  1



x3  1 x  x3  1



1 . x

4 12 1  2 A b2 b 4 b2

4 12 1  2  b2 b 4 b2

4 12 1   b  2  b  2  b  2  b  2



3 12  b  2  b  2  b  2 



3b  2 12   b  2  b  2   b  2  b  2 



3b  6  b  2  b  2 



3b  2  b  2  b  2 



3 . b2

DẠ

KÈ M



A

ƠN



1 x2  2x 1   2 2 x  x  1  x  1  x  x  1 x  x  1



1 x2  2x 1   2 2 3 x  x x 1 x  x 1

CI AL

A

1 1 x2  2x   x 2  x  1 x 2  x x3  1

Dạng 3: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức Bài toán 1. Rút gọn biểu thức Phương pháp giải Trang 11

Trường hợp 1. Các phân thức cùng mẫu

Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau: x 1 x7 1  2  . x3 x  x6 x2



Thực hiện cộng, trừ tử thức và giữ nguyên mẫu thức.



Phân tích đa thức thành nhân tử biểu thức ở Hướng dẫn giải tử và mẫu. x 1 x7 1 A  2  x3 x  x6 x2 Rút gọn. Thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử các mẫu thức.



Cộng, trừ các phân thức cùng mẫu.



Rút gọn.

CI AL





 x  3   x  1 x  2   x7   x  3 x  2   x  2  x  3  x  2  x  3



 x  3  x2  2x  x  2 x7    x  3 x  2   x  2  x  3  x  2  x  3

Trường hợp 2. Các phân thức khác mẫu

x2  2x  x  2  x  7  x  3   x  3 x  2  x2  x  6  x  3 x  2 

ƠN





A



 x  3 x  2   x  3 x  2 

 1. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức sau

Hướng dẫn giải B

x3  20 x  5 3   2 x 4 x2 x2

x3  20 x  5 3   . 2 x 4 x2 x2

B



KÈ M

x3  20 x 5 3     x  2  x  2  x  2 x  2

x3  20 x 2  2 x  5 x  10 3x  6    x  2  x  2   x  2  x  2   x  2  x  2 

x3  20  x 2  2 x  5 x  10  3 x  6   x  2  x  2 

x3  x 2  4 x  4  x  2  x  2 

DẠ



x 

 4   x  1 x2  4

 x 1 .

Trang 12

4 . 2x  3

5 2 2x  9   là 2x  3 2x  3 9  4x2

2 x  12 . 4x2  3

4 . 2x  3

Hướng dẫn giải

10 x  15  4 x  6  2 x  9  2 x  3 2 x  3



8 x  12  2 x  3 2 x  3



4 . 2x  3



5  2 x  3 2  2 x  3 5 2 2x  9 2x  9      2 2x  3 2x  3 9  4x  2 x  3 2 x  3  2 x  3 2 x  3  2 x  3 2 x  3

16 x . 4x2  9

CI AL

Ví dụ 2. Kết quả của phép tính

Chọn A.

ƠN

Ví dụ 3. Tính nhanh

1 1 1 1    x  x  1  x  1 x  2   x  2  x  3  x  3 x  4 

Hướng dẫn giải:

1 1 1 1    x  x  1  x  1 x  2   x  2  x  3  x  3 x  4 

1 1 1 1 1 1 1 1        x x 1 x 1 x  2 x  2 x  3 x  3 x  4



1 1  x x4



x4 x x  x  4



4 . x  x  4

KÈ M



Phân tích: Nhận thấy

1 1 1   x  x  1 x x  1

HS có thể tự chứng minh kết quả:

a 1 1   . x  x  a x x  a

DẠ

Bài toán 2. Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải

Bước 1. Rút gọn biểu thức nếu có thể

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức

Bước 2. Thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút Trang 13

gọn

A

x2 1 tại x  11 . x3  x 2  x  1

CI AL

Hướng dẫn giải

x2 1 x2 1 A 3  x  x 2  x  1 x 2  x  1   x  1 x2 1  x  1  x 2  1



1 x 1



A

Giá trị của biểu thức A tại x  11 là 1 1  . 11  1 10

Ví dụ mẫu

ƠN

Ví dụ. Tính giá trị của biểu thức sau 2 x 2  5 xy b) B  2 với x  3 y . 3 x  5 xy  y 2

x3  x 2  4 x  4 a) A  với x  9 . x 4  16

a 2  b 2  c 2  2ab c) C  2 2 2 với a  100 ; b  101 ; c  102 . a  c  b  2ac

Hướng dẫn giải

2 2 x3  x 2  4 x  4 x  x  1  4  x  1  x  4   x  1 x 1 a) A    2  2 4 2 2 2 x  16  x  4  x  4   x  4  x  4  x  4

b) Ta có x  3 y suy ra

x 1 9  1 10 2  2   . 2 x  4 9  4 85 17

Giá trị của biểu thức A với x  9 là: A  x  3. y

KÈ M

x x 2 x 2  5 xy x2 x 2   5 2 5 2 2 2 y y 2 x  5 xy y y y Xét B  2  2    2 2 2 2 3 x  5 xy  y x x 3 x  5 xy  y 3 2  5 1 3 x   5 x 1 2  y y y y y   2.32  5.3 18  15 3 x   Giá trị của biểu thức B với  3 là: B  . 2 3.3  5.3  1 27  15  1 43 y

DẠ

2 a 2  b 2  c 2  2ab a 2  b 2  2ab  c 2  a  b   c c) C  2 2 2  2 2  a  c  b  2ac a  c  2ac  b 2  a  c 2  b 2



 a  b  c  a  b  c   a  b  c .  a  c  b  a  b  c  a  c  b

Giá trị của biểu thức C với a  100 ; b  101 ; c  102 là:

Trang 14

C

a  b  c 100  101  102 99   . a  c  b 100  102  101 101

Câu 1: Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau: a) A 

1 3xy x y  3 3 2 , tại x  3; y  2 . x y y x x  xy  y 2

b) B 

x2  x  3 3 1  2  tại x  1 . 3 x 1 x  x 1 x 1

c) C 

x2 5 1  2  tại x  102 . x3 x  x6 2 x 3x 2  5 x  1 1 x 3  2  với x  1 . 3 x 1 x  x 1 x 1

Câu 2: Cho biếu thức A  a) Rút gọn biểu thức A .

Câu 3: Tính nhanh giá trị của biểu thức: 1



 x  2  x  5  x  5 x  8

 ... 

 x  29  x  32 

Câu 1:



1 3 xy x y 1 3 xy x y  3 3 2   3  2 2 3 x y y x x  xy  y x y x  y x  xy  y 2

1 3xy x y   2 2 2 x  y  x  y   x  xy  y  x  xy  y 2

1.  x 2  xy  y 2 

 x  y x

 xy  y





 x  y  x  y  3 xy  2 2  x  y   x  xy  y   x  y   x 2  xy  y 2 



với x  2 .

ĐÁP ÁN

a) A 

ƠN

b) Tính giá trị của biểu thức tại x  5 .

B

x 2  xy  y 2 3 xy x 2  2 xy  y 2    x  y   x 2  xy  y 2   x  y   x 2  xy  y 2   x  y   x 2  xy  y 2 



x 2  xy  y 2  3 xy  x 2  2 xy  y 2  x  y   x 2  xy  y 2 



2 x 2  4 xy  2 y 2  x  y   x 2  xy  y 2 

KÈ M



2  x 2  2 xy  y 2 

 x  y   x 2  xy  y 2 

DẠ



CI AL

Bài tập tự luyện dạng 3

2 x  y

 x  y   x 2  xy  y 2 

Trang 15

2 x  y x  xy  y 2 2

Vậy giá trị biểu thức của A tại x  3; y  2 là A  Vậy

2 3  2 2  . 2 3  3.2  2 19

CI AL



2 x  y 1 3 xy x y  3 3 2  2 2 x y y x x  xy  y x  xy  y 2

b) B 

x2  x  3 3 1  2  3 x 1 x  x 1 x 1



x 2  x  3  3x  3  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1



x 1  x  1  x 2  x  1



1 . x  x 1

Vậy giá trị biểu thức B tại x  1 là B 

1  1. 111

 x  2  x  2   x2 5 1 5 x3  2    x  3 x  x  6 2  x  x  3 x  2   x  3 x  2   x  3 x  2 

c) C 

x2  x  3 3x  3 x2  x  1    x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1

ƠN



1.  x 2  x  1 3.  x  1 x2  x  3     x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1

x2  4  5  x  3   x  3 x  2 

KÈ M



x 2  x  12  x  3 x  2 



 x  3 x  4   x  3 x  2 



x4 . x2

Vậy giá trị biểu thức C tại x  102 là C  A

DẠ

Câu 2: a)



102  4 98 49   . 102  2 100 50

3x 2  5 x  1 1 x 3  2  với x  1 . 3 x 1 x  x 1 x 1

3x 2  5 x  1 x 1 3  2  2  x  1  x  x  1 x  x  1 x  1

Trang 16

3x 2  5 x  1  x 2  2 x  1  3x 2  3x  3  x  1  x 2  x  1



x2 1  x  1  x 2  x  1



 x  1 x  1  x  1  x 2  x  1



x 1 . x  x 1



CI AL

3  x 2  x  1 x  1 x  1  3x 2  5 x  1     x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1

b) Giá trị biểu thức A với x  5 là A 

5 1 6  . 5  5  1 31 2

3A 



 x  2  x  5  x  5 x  8 3



 x  2  x  5  x  5 x  8

 ...   ... 

 x  29  x  32  3

 x  29  x  32 

A

1 1 1 1 1 1     ...   x  2 x 5 x 5 x 8 x  29 x  32



1 1  x  2 x  32



x  32   x  2   x  2  x  32 



30  x  2  x  32 

KÈ M

10 .  x  2  x  32 



 A

ƠN

Câu 3:

Với x  2 giá trị của A là: A 

10 10 5   .  2  2  2  32  136 68

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức

Bài toán 1. Chứng minh đẳng thức

DẠ

Phương pháp giải Bước 1. Căn cứ vào đề bài để chọn phương án Ví dụ: Chứng minh rằng chuyển vế, chứng minh vế trái bằng vế phải, chứng 1 1 x 5 3   2  . minh vế phải bằng vế trái. x x  5 x  5x x  5 Bước 2. Thực hiện cộng trừ các phân thức Hướng dẫn giải Trang 17

Cách 1:



Phân tích đa thức thành nhân tử biểu thức ở tử và mẫu.



Rút gọn.

Trường hợp 2. Các phân thức khác mẫu 

Thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử các mẫu thức rồi thực hiện quy đồng mẫu.



Cộng, trừ các phân thức cùng mẫu.



Rút gọn.

Bước 3. Kết luận.

1 1 x 5   2 x x  5 x  5x

CI AL

Thực hiện cộng, trừ tử giữ nguyên mẫu.



x5 x x 5   x  x  5  x  5 x x  x  5



x 5 x  x 5 x  x  5



3x x  x  5



3 . x5

Vậy



Trường hợp 1. Các phân thức cùng mẫu

1 1 x 5 3   2  . x x  5 x  5x x  5

Cách 2: Xét hiệu

ƠN

1 1 x 5 3   2  x x  5 x  5x x  5 x5 x x 5 3x    x  x  5 x  x  5 x  x  5 x  x  5



x  5  x  x  5  3x x  x  5



0 x  x  5

0

Vậy

1 1 x 5 3   2  . x x  5 x  5x x  5

Cách 3: 1 1 x 5 3   2  x x  5 x  5x x  5 1 x 5  2  x x  5x x5 x 5   x  x  5 x  x  5

3 1  x5 x5 2 x5

2x 2  . x  x  5 x  5

DẠ

KÈ M



Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Chứng minh đẳng thức sau 4 3 5x  6 2   2  . x2 x2 x 4 x2

Trang 18

Cách 1: 4 3 5x  6 2   2  x2 x2 x 4 x2

4 1 5x  6   2 x2 x2 x 4



4x  8 x2 5x  6    x  2  x  2   x  2  x  2   x  2  x  2 



4 x  8  x  2  5x  6  x  2  x  2  0

 x  2  x  2 

Vậy

0



CI AL

Xét hiệu

4 3 5x  6 2   2  . x2 x2 x 4 x2

ƠN

Cách 2:

4 5x  6 2 3  2   x2 x 4 x2 x2

x  2 1   x  2  x  2  x  2

  x  2 1 .   x  2  x  2  x  2

4  x  2 5x  6 1    x  2  x  2   x  2  x  2  x  2

4 3 5x  6 2   2  x2 x2 x 4 x2

Bài toán 2. Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến x Phương pháp giải

KÈ M

Bước 1. Thực hiện rút gọn biểu thức Trường hợp 1. Các phân thức cùng mẫu

Ví dụ: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến



Thực hiện cộng, trừ tử và giữ nguyên mẫu.



Phân tích đa thức thành nhân tử biểu thức ở Hướng dẫn giải tử và mẫu. Thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử các mẫu thức rồi thực hiện quy đồng mẫu.

DẠ



Trường hợp 2. Các phân thức khác mẫu



Cộng, trừ các phân thức cùng mẫu.

Bước 2. Tính rút gọn biểu thức đến khi nào biểu thức không còn chứa biến .

x2 1 3  x. x2 x2

x2 1 3 x2 1  3  x x x2 x2 x2 

x2  4 x x2



 x  2  x  2   x x2

Bước 3. Kết luận. Trang 19

 x2 x

 2

CI AL

Vậy giá trị của biểu thức bằng 2 không phụ thuộc vào giá trị của biến x . Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 2. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

x 2  1 xy  x  y  1  . x 1 y 1 x 2  1 xy  x  y  1  x  1 x  1 x  y  1   y  1    Xét x 1 y 1 x 1 y 1

 x  1 x  1   x  1 y  1 x 1

y 1

ƠN



Hướng dẫn giải

 x  1   x  1  0.

Vậy giá trị của biểu thức bằng 0 không phụ thuộc vào giá trị của biến x . Bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1: Chứng minh đẳng thức

 x  1



1 1 x3 x  3 .    2 2 x 1 x 1 1 x  x  1

x 2x  3 3x 2  2 x  2    1. b) x  1 x2  x  1 x3  1

Câu 2: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến 4 x 1 5x  6   . x  2 x  2 4  x2

x 1 x2 1 1    15 . 2 2x  2 2  2x 1 x

ĐÁP ÁN Câu 1: a) Xét



 x  1



1 1 x2  2   . x 2  x  1 x  1 x3  1

1 3 xy  3 x  2 y  2 9 x 2  1     x  , y  1 . 3 y 1 3x  1  

1 1 x3   2 x 1 x 1 x 1

1 1 x3   x  1 x  1  x  1 x  1

 x  1

DẠ



KÈ M

 x  1 x  1   x  1  x  3 x  1    2 2 2 2  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1 2x  2

Trang 20





x2  2x  1



 x  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1 2

2x  2  x2 1  x2  2x 1  x2  2x  3

 x  1  x  1 2

 x2  2x  3

 x  1  x  1 2

  x  3 x  1 2  x  1  x  1 x  3

 x  1

Vậy

 x  1



1 1 x3 x  3 .    2 2 x 1 x 1 1 x  x  1

 x  1  x 2  x  1



 2 x  3 x  1  3x 2  2 x  2  x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1

x  x 2  x  1

ƠN

x 2x  3 3x 2  2 x  2   b) Xét x  1 x2  x  1 x3  1



x 2  x  3x  3

CI AL



x2 1





2x  2



x3  x 2  x 2 x 2  2 x  3x  3 3x 2  2 x  2    x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1



x3  x 2  x  2 x 2  2 x  3x  3  3x 2  2 x  2  x  1  x 2  x  1



x3  1  x  1  x 2  x  1



x3  1 1 x3  1



Câu 2: a) Xét

KÈ M

x 2x  3 3x 2  2 x  2    1. Vậy x  1 x2  x  1 x3  1

4 x 1 5x  6   x  2 x  2 4  x2

4 x 1 5x  6   x  2 x  2 x2  4



4 x 1 5x  6   x  2 x  2  x  2  x  2 



4  x  2  x  1 x  2   5 x  6   x  2  x  2   x  2  x  2   x  2  x  2 

DẠ



Trang 21

4x  8 x2  2x  x  2 5x  6    x  2  x  2   x  2  x  2   x  2  x  2 



4 x  8  x2  x  2  5x  6  x  2  x  2 



x2  4  x  2  x  2 



x2  4 1 x2  4

Vậy giá trị của biểu thức bằng 1 không phụ thuộc vào giá trị của biến x .



1 1 x2  2   x 2  x  1 x  1 x3  1

b) Xét

1 1 x2  2   x 2  x  1 x  1  x  1  x 2  x  1

1 x  1

CI AL



1.  x 2  x  1

ƠN

x2  2     x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1 x 1 x2  x  1 x2  2    x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1



x  1  x2  x  1  x2  2  x  1  x 2  x  1



0 0  x  1  x 2  x  1



c) Xét

Vậy giá trị của biểu thức bằng 0 không phụ thuộc vào giá trị của biến x . x 1 x2 1 1    15 2 2x  2 2  2x 1 x

x 1 1 1    15 2  x  1 2 x  1



x 1 x 1 2    15 2  x  1 2  x  1 2  x  1



x 1 x 1 2  15 2  x  1



0  15  15 2  x  1

KÈ M



DẠ

Vậy giá trị của biểu thức bằng 15 không phụ thuộc vào giá trị của biến x . d) Xét

1 3 xy  3 x  2 y  2 9 x 2  1     x  , y  1 3 y 1 3x  1  

Trang 22

3 x  y  1  2  y  1  3 x   1   y 1 3x  1 2

y 1

CI AL

 3x  2  y  1   3x  1 3x  1 3x  1

  3 x  2    3 x  1  3x  2  3x  1

1

DẠ

KÈ M

ƠN

Vậy giá trị của biểu thức bằng 1 không phụ thuộc vào giá trị của biến x .



Trang 23

BÀI 5: PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ  Kiến thức

CI AL

Mục tiêu + Nắm vững và vận dụng được các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số. + Hiểu và vận dụng được khái niệm phân thức nghịch đảo.

+ Hiểu và vận dụng được thứ tự thực hiện các phép tính trong dãy có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia; có dấu ngoặc.

+ Hiểu và vận dụng được các tính chất của các phép toán vào giải toán. + Thành thạo cộng, trừ, nhân, chia các phân thức. + Biết cách tìm phân thức nghịch đảo của một phân thức. + Biết cách tìm phân thức chưa biết từ đẳng thức. I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

+) Kết quả của hai phép nhân được gọi là tích.

ƠN

Phép nhân các phân thức đại số

 Kĩ năng

Muốn nhân hai phân thức đại số ta nhân các tử thức +) Mở rộng với nhau, các mẫu thức với nhau.

A1 A2 A3 An A1. A2 . A3 ... An . . ...  B1 B2 B3 Bn B1.B2 .B3 ...Bn

A C A.C .  B D B.D

Đối với phép nhân có nhiều hơn hai phân thức ta vẫn nhân các tử thức với nhau và các mẫu thức với

nhau.

Phân thức nghịch đảo

Hai phân thức được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1. Phép chia phân thức

ta nhân

A C với phân thức nghịch đảo của . B D

A C A D A.D :  .  B D B C B.C

DẠ

A B  0 , khi đó phân thức được B A

gọi là phân thức nghịch đảo của

A . B

Ví dụ:

x2  3 2 A C là . cho phân thức khác 0 Phân thức nghịch đảo của 2 2 x 3 B D

KÈ M

Muốn chia phân thức

Cho phân thức

Mở rộng A B A1 A2 A3 A B : : :...: n  1 . 2 .... n B1 B2 B3 Bn B1 A2 An

Đối với phép chia có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân với nghịch đảo của các phân thức đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải.

Trang 1

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Nhân hai phân thức

Phân thức nghịch đảo

B A

Nhân, chia phân thức đại

là phân thức nghịch đảo

số

Chia hai phân thức

A . B

A C A D A.D :  .  B D B C B.C

của

CI AL

A C A.C . .  B D B.D

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Thực hiện phép tính với phân thức Bài toán 1. Nhân các phân thức

Phương pháp giải

Bước 1. Viết tích của hai phân thức đã cho về dạng: A C A.C C A.C .  hoặc A.  B D B.D D D

Bước 2. Phân tích các đa thức A, B, C, D thành

nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung ở cả tử và mẫu của phân thức mới (nếu có thể) rồi tiến hành

Chú ý:

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

x3  8 x2  4x . 2 5 x  20 x  2 x  4

x3  8  x 2  4 x   x3  8 x2  4x .  5 x  20 x 2  2 x  4  5 x  20   x 2  2 x  4 

 x  1  x 2  2 x  4  x  x  4   5  x  4  x2  2x  4 

x  x  2 . 5

KÈ M

rút gọn, tính toán.

ƠN

C    0 D 

- Để xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu của phân thức mới đôi khi ta phải sử dụng tính chất A     A  .

Ví dụ mẫu 8x 5 y 2 . . 15 y 3 x 2

15 x  30 4  2 x . . 4x  8 x  2

DẠ

Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau

24 y 5  21x  .  . 7 x 2  12 y 3  3x  6

 y  3

. 2 y  6 .

Hướng dẫn giải Trang 2

8 x 5 y 2 8 x.5 y 2 8 . 2   . 3 3 2 15 y x 15 y .x 3 xy

24 y 5  21x  24 y 5 .21x 2 y 2 .3 6 y2 . .          7 x 2  12 y 3  7 x 2 .12 y 3 x x

15  x  2  15 x  30 4  2 x 15 x  30  .  4  2 x  15  x  2  .2  2  x  15 .     . 4x  8 x  2 4  x  2  x  2  2  x  2 2  4 x  8 x  2  3x  6

 y  3

. 2 y  6 

 3x  6  .  2 y  6   6  x  2  y  3  6  x  2  . 3 3 2  y  3  y  3  y  3

CI AL

Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính sau 18 x 2 9  x 2 . . x  3 6 x3

x 2  16 3 . . 3 x  16 4  x

x  3 8  12 x  6 x 2  x3 . . x2  4 7 x  21

2 x3  1 x2 1 . 2 . 2 . x 1 x  2x 1 2x  2x  2

ƠN

Hướng dẫn giải

2 2 2 18 x 2 9  x 2 18 x .  9  x  18 x  3  x  3  x  3  3  x  a) .    . x  3 6 x3 x  x  3 .6 x3  x  3 6 x 3

x 2  16  .3  3  x  4  x  4   x  4  x  4  x 2  16 3 x4 b) .     . 3 x  16 4  x  3 x  6  .  4  x  3  x  2  4  x    x  4  x  2  x2

3 2 3 x  3 2  x   x  3 8  12 x  6 x 2  x3  x  3  8  12 x  6 x  x  c) 2 .   x 4 7 x  21 7  x  3 x  2  x  2   x 2  4   7 x  21

 x  2  7  x  2  x  2 

KÈ M

 x  2 . 7  x  2 2



2.  x3  1 x 2  1 2 x3  1 x2 1 d) . .  x  1 x 2  2 x  1 2 x 2  2 x  2  x  1  x 2  2 x  1 2 x 2  2 x  2 



2  x  1  x 2  x  1  x  1 x  1 2  x  1 x  1  x 2  x  1 2

 1.

DẠ

Bài toán 2. Chia phân thức đại số Phương pháp giải

Bước 1. Viết thương của hai phân thức đã cho về dạng:

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

5 x  15 3  x  3 : . 2  x  4 x  4

Trang 3

5 x  15 3  x  3 5 x  15 x  4 :  . 2 2  x  4  x  4  x  4  3  x  3

C  0.



 5 x  15 .  x  4  2  x  4  .3  x  3



5  x  3 3  x  4  x  3



5 . 3 x  4

tính.

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau

 40 x   4 x3  a)   2  :   .  9y   5y 

x 1 x  3 2x 1 : : . x  2 2 x  4 5 x  15

d)  x 2  25  :

ƠN

3x  6 :  5 x  10  . x2  5

4 x  20 . 3x  1

1  9x2 2  6x : b) . 2 x2  8x x

Chú ý: Ưu tiên tính toán biểu thức trong dấu ngoặc trước (nếu có).

CI AL

Bước 2. Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện phép

A C A D C A A 1 :  .  0 hoặc :C  . với với B D B C D B B C

Hướng dẫn giải

 40 x   4 x3  40 x  5 y  40 x.5 y 50 a)   2  :      2 .  3   2 3  2 . 9 y  4 x  9 y .4 x 9x y  9y   5y 

1  3x 1  3x  .x  1  3x . 1  9x2 2  6x 1  9x2 x :  2 .  2 2 x  8x x 2 x  8 x 2  6 x 2 x  x  4  .2 1  3 x  4  x  4 

3  x  2  .1 3x  6 3x  6 1 3 :  5 x  10   2 .  2  . 2 2 x 5 x  5 5 x  10  x  5  .5  x  2  5  x  5 

 3x  1   x  5 x  5 3x  1   x  5 3x  1 . 4 x  20   x 2  25  . 3x  1 4 x  20 4  x  5 4

KÈ M

d)  x 2  25  :

x 1 x  3 2x 1 : : x  2 2 x  4 5 x  15



x  1 2 x  4 5 x  15  x  1 .2  x  2  .5  x  3 10  x  1 . . .   x  2 x  3 2x 1 2x 1  x  2  x  3 2 x  1

Bài toán 3. Tính toán sử dụng kết hợp các quy tắc đã học

DẠ

Phương pháp giải

Sử dụng hợp lý bốn quy tắc đã học: Quy tắc cộng, quy tắc trừ, quy tắc nhân và quy tắc chia để tính toán.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức:

x 1 2 x3  x  x  1    2x  x 1 

Hướng dẫn giải Trang 4

Cách 1

Bước 1. Thực hiện tính toán đối với biểu thức trong

x 1 2 x3  x  x  1    2x  x 1 

Bước 2. Sử dụng quy tắc nhân và chia các phân thức đại số để rút gọn biểu thức.

2 3 x  1   x  1  x  x  1  x      2x  x 1  



x  1  x3  1  x3    2x  x 1 

2 x3  1  . 2x

Cách 2

Bước 1. Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: A C E  A C A E    .  . BD F  B D B F

x 1 2 x3  x  x  1    2x  x 1 

ƠN

Cách 2



x3  1 x 2  2x 2



x3  1  x3 2x



2 x3  1 . 2x

KÈ M

a) A 

tắc cộng, trừ các phân thức đại số để tính toán.

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:

x 1 2 x  1 x3 .  x  x  1  . 2x 2x x 1



Bước 2. Sử dụng quy tắc nhân, chia kết hợp với quy

Ví dụ mẫu

x  1 2 x3  1  . 2x x 1

dấu ngoặc trước (nếu có).

CI AL

Cách 1

x3  1  1 x 1   2  . 2x  4  x 1 x  x 1 

x2  y 2  x  y  y2 x2 b) B  . .  : x y x2 x  y  x  y 2 2

x3  1  1 x 1   2   2x  4  x 1 x  x 1 

DẠ

a) A 

Hướng dẫn giải

2 x3  1  x  x  1   x  1 x  1     2 x  4   x  1  x 2  x  1   

Trang 5



x3  1  x 2  x  1  x 2  1    2x  4  x3  1 



x3  1 x  2 . 2 x  4 x3  1

 1  x  2 

2  x  2   x3  1



1 . 2



x

CI AL

2 2 x3  1  x  x  1   x  1      2x  4  x3  1  

x2  y 2  x  y  y2 x2 b) B  .  : x y x2 x  y  x  y 2 2

 x2  y 2 y2     x y  x y

 x  y 

x2 . x y

 x  y 

ƠN

x  y  .x 2   2 x . x  y  2

x y

 x  y 

Ví dụ 2. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

 x2  y 2  x  y a) A   2 với x  2018, y  2019 .  1 . 2 x y  2y

KÈ M

 x2 y 2   x y 1  b) B      2   với x  25, y  5 . 2 x   x  xy  y x y  y Hướng dẫn giải

2 y2  x  y   x2  y 2  x2  y 2  x  y 2 y2 x  y y a) A   .  .    2 2 2 2 x y x  y 2y  x  y  x  y  .2 y x  y   2y 2019  2019 . 2018  2019

DẠ

Với x  2018, y  2019 thì biểu thức A có giá trị là A 

 x3  y 3    x  y  x  y   x 2  xy  y 2   x3  y 3   x 2  y 2  x 2  xy  y 2   b) B      2 2 xy x3  y 3 x  y x  xy  y       xy     

Trang 6

x3  y 3 2 x 2  xy . 3 xy x  y3

x 

 y 3  .x  2 x  y  xy.  x  y 3





2x  y y

Với x  25, y  5 thì biểu thức B có giá trị là B 

CI AL



2.25  5  9 . 5

Câu 1: Thực hiện các phép tính sau x2  x 8x  8 : . 2 5 x  10 x  5 15 x  15

x 4  8 xy 3 x3  2 x 2 y  4 xy 2 : c) . 2 xy  5 y 2 2x  5 y

x2  5x  6 x2  6 x  9 : . x 2  7 x  12 x 2  4 x

y 2  x2 x4 . d) . 2 x2  x  y

ƠN

Câu 2: Tính giá trị các biểu thức sau tại x  3

x3  2 x3  a) A  . x  x  1   x 1  x 1 

 3x 2   x  b) B  1  :  1 . 2    4 x   x2 

Câu 3: Rút gọn biểu thức x2 1 x x2 1 1  x .  . . x  10 x  2 x  10 x  2

1  x  1  c)  . :  x2 2 x x2

a 4  ab3 a 3  a 2b  ab 2 : . 2ab  b 2 2a  b

Câu 5: Cho ĐÁP ÁN Câu 1:

x y 3x  y x  y  2 : . 2 xy  y x  xy y  x

x 2  5 xy  6 y 2 x 1 . 2 . 2 x  3x  2 x  9 y 2

x 1  x  2 x  3  : : . x  2  x  3 x 1 

KÈ M

Câu 4: Thực hiện phép tính x  3 x2  7 x  8 . . x  1 x2  5x  6

x3  2 x 2  x  2  1 2 1  .   . 3 x  15  x 1 x 1 x  2 

Bài tập nâng cao

Bài tập tự luyện dạng 1

a2 b2 c2 a b c   0    1 . Chứng minh rằng: bc ca ab bc ca ab

x2  x 8x  8 : 2 5 x  10 x  5 15 x  15



x2  x 15 x  15 . 2 5 x  10 x  5 8 x  8



x  x  1 .15  x  1 5  x  2 x  1 .8  x  1

DẠ

Trang 7



8  x  1

3x . 8  x  1



x2  5x  6 x2  6 x  9 : x 2  7 x  12 x 2  4 x

CI AL

3 x  x  1

x2  5x  6 x2  4 x . x 2  7 x  12 x 2  6 x  9

x  x

 2 x  3x  6  x  x  4 

 3 x  4 x  12   x  3



 x  2  x  3 x  x  4  2  x  3 x  4  x  3



x  x  2 .  x  3 x  3

ƠN



 x  x  2   3  x  2   x  x  4   2  x  x  3  4  x  3   x  3

x 4  8 xy 3 x3  2 x 2 y  4 xy 2 : c) 2 xy  5 y 2 2x  5 y

 2 xy  5 y  x  2 x y  4 xy  x  x  2 y   x  2 xy  4 y   2 x  5 y   y  2 x  5 y  x  x  2 xy  4 y  3



x  2y . y

y 2  x2 x4 . 2 x2  x  y



 y  x  x  y  x 4 2 x2  x  y 



 x2  x  y  . x y

a) A 

x3  2 x3  . x  x  1   x 1  x 1 

Câu 2:

KÈ M

x  x3  8 y 3   2 x  5 y 



DẠ

2 3 x3   x  1  x  x  1  x    .  x 1  x 1  

Trang 8

x3  x3  1  x3   .  x 1  x 1 

 x3

 x  1

CI AL



x3 1 . x 1 x 1

Vậy giá trị của biểu thức tại x  3 là A 

27 . 4



 3x 2   x  b) B  1  :  1 2    4 x   x2   4  x 2  3x 2   x  x  2   :  2  4 x   x2  4  4x2 2x  2 : 4  x2 x  2

ƠN



 4  4 x  . x  2   4  x  . 2 x  2 2

4 1  x 1  x  x  2   2  x  2  x  .2  x  1



2 1  x  . 2 x

2 1  3  4. 23



Câu 3: a)

x2 1 x x2 1 1  x .  . x  10 x  2 x  10 x  2

KÈ M

x2 1  x 1 x      x  10  x  2 x  2 

Vậy giá trị của biểu thức tại x  3 là B 

x2 1 .   x  10  x  2  b)

x3  2 x 2  x  2  1 2 1  .    3 x  15  x 1 x 1 x  2 

DẠ

x  2  x  1 x  1   x  1 x  2   2  x  1 x  2   x 2  1    .   3  x  5  x  1 x  1 x  2   



  x  2  x  1 x  1 .  x5   3  x  5   x  1 x  1 x  2  

Trang 9

1  . 3



2 . x2

x y 3x  y x  y  2 : 2 xy  y x  xy y  x



x y 3x  y y  x  . y  x  y x x  y x  y



x y 3x  y  y  x  y x x  y



x  x  y   y  3x  y  xy  x  y 

2 x  x  2    x  2  x  2  x



ƠN

2 x x2 x2 .  x  2  2  x  x



CI AL

1  x  1  c)  :  x2 2 x x2

 x  y  xy  x  y  2

Bài tập nâng cao Câu 4: x  3 x2  7 x  8 . x  1 x2  5x  6



x  3  x  1 x  8  . x  1  x  2  x  3



x 8 . x2

 x  2 y  x  3 y  . x 1  x  1 x  2   x  3 y  x  3 y 

DẠ



x 2  5 xy  6 y 2 x 1 . 2 2 x  3x  2 x  9 y 2

KÈ M

x y . xy



x  2y .  x  2  x  3 y 

a 4  ab3 a 3  a 2b  ab 2 : 2ab  b 2 2a  b

Trang 10

a b . b x 1  x  2 x  3  : :  x  2  x  3 x 1 

d) 

2a  b a  a  ab  b 2  2

CI AL



b  2a  b 

x 1  x  2 x 1  : .  x2  x3 x3



a  a  b   a 2  ab  b 2 

 x  3 x 1  . x  2  x  1 x  2 

 x  3 .  2  x  2 2

a b c    1 . Nhân hai vế của đẳng thức này với a  b  c thì được đẳng thức mới là: bc ca ab

 a  b  c  

a b c      abc bc ca ab

Ta có

a2 b2 c2 a b c   0    1 . Chứng minh rằng: bc ca ab bc ca ab

ƠN

Câu 5: Cho

a 2  a  b  c  b2  b  c  a  c2  c  a  b     abc bc ca ab



a2 b2 c2 a b c  abc bc ca ab



a2 b2 c2    0. bc ca ab



Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước

KÈ M

Phương pháp giải

Bước 1. Đưa đẳng thức về dạng A. X  B . Khi đó X 

B A

 A  0

Bước 2. Tiến hành rút gọn biểu thức

DẠ

phép chia phân thức.

Ví dụ: Tìm biểu thức X, biết rằng: a 2  2ab a 2  4b 2 .X  2 a b a  ab

2 B dựa vào (Điều kiện: a  b, a  0, a  2b  0 ). A a 2  4b 2 a 2  2ab X 2 : a  ab a b



 a  2b  a  2b  . a  b a a  b a  a  2b 



a  2b . a2

Trang 11

Ví dụ mẫu

a 2  2ab  b 2 a 2  b2 X  . a 4  b4 a 2  b2

mn m 2  mn .X  . mn 2m 2  2n 2

3a  3 a 1 :X  3 . a  a 1 a 1 2

a 3  b3 a 2  2ab  b 2  2 . a b a  ab  b 2

c) X :

CI AL

Ví dụ 1: Tìm biểu thức X , biết rằng:

Hướng dẫn giải

a 2  b2 a 4  b4 . a 2  b 2 a 2  2ab  b 2  b 2  a 2  b 2  a 2  b 2 

a

 b2 

a  b

 b2   a  b 

 a  b  a  b    2 a  b

a  b a  b  2 a  b  a  b . 2

KÈ M

b) X 

a 



a 2  b 2 a 2  2ab  b 2 : a 2  b2 a 4  b4

ƠN

a) X 

m 2  mn m  n : 2m 2  2n 2 m  n

m m  n mn . 2  m  n  m  n  m  n



m . 2 m  n

DẠ



c) X 

a 2  2ab  b 2 a 3  b3 . a 2  ab  b 2 a  b

Trang 12

 a  b   a  b   a 2  ab  b2    a 2  ab  b2   a  b  2

CI AL

  a  b  a  b   a 2  b2 . d) X 

3a  3 a 1 : 3 a  a 1 a 1 2

2 3  a  1  a  1  a  a  1  2 . a  a 1 a 1

 3  a  1 . Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Tìm phân thức thỏa mãn các đẳng thức sau:

c) M :

a4 a2  9  . a 2  3a a 2  4a

4a 2  12a  9 2a  3 :X  2 . a 1 5a  5

ĐÁP ÁN

ƠN

x 2  y 2  xy x3  y 3 .Q  2 b) . x2  y 2 x  y 2  2 xy

x 1 4x  4 a) 3 .P  2 . x 1 x  x 1

Câu 1:

2 4  x  1  x  1  x  x  1 a) P  2  4  x  1 . . x  x 1 x 1

c) M 

 a  3 a  3 . a  4 a  a  4 a  a  3

 2a  3  X a 1



a 3 . a2

5  a  1 a  1  5  a  1 2a  3 . 2a  3

DẠ

KÈ M

 x  y   x 2  xy  y 2   x  y  x  y   x  y 2 b) Q   . 2 2 x y x  y 2  xy  x  y

Trang 13

BÀI 6. BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ. GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC  Kiến thức

CI AL

Mục tiêu

thức. +

Hiểu và vận dụng được các biến đổi biểu thức hữu tỉ.

 Kĩ năng Biết cách tìm điều kiện để giá trị của một phân thức xác định.

Biết cách biến đổi biểu thức hữu tỉ thành một phân thức đại số.

Biết cách tính giá trị biểu thức.

+ Nắm vững các khái niệm điều kiện xác định của phân thức, biểu thức hữu tỉ, giá trị của phân

+ Biết cách tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức,

DẠ

KÈ M

ƠN

tìm biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc một dãy

Ví dụ:

các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) các phân

0; x3 + 4 x + 3 ; 4 x 2 +

thức.

CI AL

Biểu thức hữu tỉ 5x - 2 x ; 4x 2 ; 3x + 2

2x 1 . là các biểu thức hữu tỉ. x +1 x

Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0.

Là điều kiện để giá trị của phân thức được xác

A C : có điều kiện xác định B ¹ 0 ; D ¹ 0 và B D

định.

C ¹0. D

Giá trị của phân thức Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phân thức.

2x2 + 3 2.12 + 3 = 1. Giá trị của tại x = 1 là x+4 1+ 4

ƠN

Bước 2. Kiểm tra x = x0 có thỏa mãn điều kiện xác định. Bước 3. Nếu thỏa mãn điều kiện xác định, ta thay

x = x0 vào phân thức và tìm giá trị.

Điều kiện xác định của phân thức đại số

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG Điều kiện xác định

P ( x) ¹ 0

Biểu thức hữu tỉ

Biến đổi biểu thức hữu tỉ

P ( x)

Q ( x)

thỏa mãn điều kiện

KÈ M

Giá trị của phân thức P ( x0 )

Cộng, trừ,

Q ( x0 )

nhân, chia

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức Ví dụ mẫu Muốn biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức ta

chia để rút gọn biểu thức.

phân thức đại số.

DẠ

Bước 1. Thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân,

1 x thành một Ví dụ: Biến đổi biểu thức 1 1+ x

thực hiện các bước sau:

Trang 2

1 x2 1 x 2 -1 ( x -1)( x + 1) x= x x= x = x Xét 1 x 1 x +1 x +1 1+ + x x x x x

Bước 2. Đưa biểu thức về dạng phân thức đại số. Bước 3. Rút gọn phân thức đại số.

( x -1)( x +1) x

= x -1 .

Ví dụ mẫu

æ 3 1 ö - + 1÷ . b) ( x 2 - 2 x)çç çè x - 2 x ø÷÷

Hướng dẫn giải

x +1 1 x +1 +1 x + 2 + x +1 x +1 = x +1 = x +1 = x + 2 . x +1 = x + 2 . x +1 1 x + 1 -1 x x +1 x x x +1 x +1 x +1 x +1

b) Ta có:

æ 3

x ( x - 2)÷ö 3x x-2 ÷÷ + è ( x - 2) x ( x - 2) x ( x - 2)÷ø

( x 2 - 2 x)çççè x - 2 - x +1÷÷÷ø = x ( x - 2)çççç x = x ( x - 2).

3x - x + 2 + x 2 - 2 x x.( x - 2)

= x ( x - 2).

x2 + 2 = x2 + 2 . x.( x - 2)

1 x +1 = 1 1x +1

ƠN

a) Ta có:

1 x +1 . a) 1 1x +1 1+

x x +1

Ví dụ 1. Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:

CI AL

KÈ M

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1. Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số: 1 y a) . 1 y+ x x+

2 3x +1 . b) 9x2 - 2 1- 2 9 x -1 1-

Câu 2. Rút gọn các biểu thức sau

DẠ

2 æ x + 1 ö÷ æç 3( x + 1) ö÷÷ + 1÷ : ç1 + a) A = çç ÷. èç x + 2 ø÷ ççè 2 x + x 2 ø÷÷

æ ö÷ æ 1 1 1 1 ö÷ çç - 2 : + b) B = çç 2 . ÷ çè x + 4 x + 4 x - 4 x + 4 ÷ø çè x + 2 x - 2 ÷÷ø

Trang 3

Dạng 2: Tìm điều kiện xác định của biểu thức Phương pháp giải Muốn tìm điều kiện xác định của phân thức ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Tìm các giá trị của biến x sao cho các giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0.

Ví dụ: Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức

5x - 7 được xác định? x 2 -1

Giá trị của phân thức

5x - 7 được xác định với x 2 -1

Bước 2. Kết luận.

CI AL

Bài toán 1. Tìm điều kiện xác định của phân thức

điều kiện x 2 -1 ¹ 0 , tức là x ¹ 1 ; x ¹ -1 .

Vậy x ¹ 1 ; x ¹ -1 thì phân thức được xác định. Ví dụ mẫu

2 x -1 . x -3

x +1 . x.(2 x + 1)

Hướng dẫn giải

2 x -1 được xác định với điều kiện x - 3 ¹ 0 , x -3

tức là x ¹ 3 . Vậy x ¹ 3 thì phân thức được xác định.

a) Giá trị của phân thức

ƠN

Ví dụ 1. Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?

Vậy x ¹ 0 ; x ¹ -

số của nó khác 0.

1 2

x.(2 x + 1) ¹ 0 , tức là x ¹ 0 ; x ¹ -

0 khi tất cả các thừa

x +1 b) Giá trị của phân thức được xác định với điều kiện x.(2 x + 1)

Chú ý: Một tích khác

1 thì phân thức được xác định. 2

Ví dụ 2. Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức được xác định? 2x + 7 . x - 2 x +1 2

KÈ M

2x + 3 . x2 + 2

Hướng dẫn giải

a) Giá trị của phân thức

2x + 7 được xác định với điều kiện x - 2 x +1 2

x 2 - 2 x + 1 ¹ 0 hay ( x -1) ¹ 0 , suy ra x ¹ 1 .

DẠ

Vậy x ¹ 1 thì phân thức được xác định. b) Giá trị của phân thức

2x + 3 được xác định với điều kiện x 2 + 2 ¹ 0 . 2 x +2

Mà x 2 ³ 0 suy ra x 2 + 2 ³ 2 hay x 2 + 2 ¹ 0 với mọi giá trị của biến x. Trang 4

Vậy mọi giá trị của biến x thì phân thức luôn xác định. Bài toán 2. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

CI AL

Phương pháp giải

Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của biểu thức sau: Bước 1. Tìm điều kiện xác định của từng phân thức.

æ x ö x ö÷ 2÷ æ çç ÷÷ : çç + x çç x ( x + 1) ÷ø çè x + 2 ÷÷ø è Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: x ( x + 1) ¹ 0 khi x ¹ 0 và x ¹ -1 ;

A C Chú ý: Để thực hiện phép tính : thì B D

x + 2 ¹ 0 khi x ¹ -2 ;

Bước 2. Kết hợp tất cả các điều kiện.

x ¹ 0 khi x ¹ 0 . x+2

C ¹0. D

Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x ¹ -1 ; x ¹ 0 ; Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

æ x + 2y x - 2 y ö÷ 4 y b) B = çç . ÷: çè 2 x - 4 y 2 x + 4 y ÷ø÷ x - 2 y

Hướng dẫn giải

æ x 4x 2 x + 1ö÷ æç 2 x + 1ö÷ - 2 - 3 . x + a) A = çç ÷ ÷. ç çè x -1 x + x + 1 x -1 ÷ø çè x -1 ø÷

ƠN

x ¹ -2 .

x -1 ¹ 0 khi x ¹ 1 ;

a) Điều kiện xác định của biểu thức A là:

1 1 3 æ 1ö 3 3 x + x + 1 ¹ 0 . Ta thấy x + 2. x + + = çç x + ÷÷÷ + ³ hay x 2 + x + 1 ¹ 0 với mọi x; ç 2 4 4 è 2ø 4 4 2

KÈ M

x3 -1 ¹ 0 khi x ¹ 1 .

Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là x ¹ 1 . b) Điều kiện xác định của biểu thức B là:

2 x - 4 y ¹ 0 khi x ¹ 2 y ;

2 x + 4 y ¹ 0 khi x ¹ -2 y ;

x - 2 y ¹ 0 khi x ¹ 2 y

DẠ

4 y ¹ 0 khi y ¹ 0 . Vậy điều kiện xác định của biểu thức B là x ¹ 2 y ; x ¹ -2 y ; y ¹ 0 . Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1. Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi phân thức sau được xác định? Trang 5

2 x +1 . x .(2 x -1)

2x - 3 . x2 - 4

7x -7 . 5x - 5

CI AL

Câu 2. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức:

x+4 . x2 + 9

é x+2 ù 1 1 ú. . a) A = êê + ú x x x + 3 x 2 + x ( ) ( ) ëê ûú

é 3 2 x + 1 ùú x b) B = êê + ú: . êë xy + 2 y x ( y + 1)úû y

Dạng 3. Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỉ và các bài toán liên quan Bài toán 1. Thực hiện phép tính và tính giá trị biểu thức

Phương pháp giải

Ví dụ: Rút gọn biểu thức:

thực hiện các bước sau:

æ1 1 ö÷ æç x + 2 x + 3 ö÷ P = çç : ÷ çè x x + 1÷÷ø ççè x -1 x ÷ø

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phân thức. Bước 2. Thực hiện các phép cộng, trừ, nhân, chia

ƠN

Muốn thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỉ ta

Điều kiện x ¹ -1 ; x ¹ 0 ; x ¹ 1 . Ta có:

các phân thức để rút gọn biểu thức.

KÈ M

æ1 1 ö÷ æç x + 2 x + 3 ö÷ P = çç : ÷ çè x x + 1÷÷ø ççè x -1 x ÷ø

x + 1- x x 2 + 2 x - x 2 - 2 x + 3 : x ( x + 1) x ( x -1)

1 3 : x ( x + 1) x ( x -1)

x ( x -1) 1 . x ( x + 1) 3

x -1 . 3( x + 1)

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho biểu thức: A =

x2 + 2x x - 5 50 - 5 x . + + 2 x + 10 x 2 x.( x + 5)

a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức được xác định.

b) Tính giá trị của A khi x = 2 . Hướng dẫn giải

DẠ

a) Điều kiện: x ¹ 0 ; x ¹ -5 . b) Ta có A =

x2 + 2x x - 5 50 - 5 x + + 2 x + 10 x 2 x.( x + 5)

Trang 6

2 x ( x + 5)

2 ( x - 5).( x + 5) 50 - 5 x + 2 x ( x + 5) 2 x ( x + 5)

x3 + 2 x 2 2 x 2 - 50 50 - 5 x + + 2 x ( x + 5) 2 x ( x + 5) 2 x ( x + 5)

x3 + 2 x 2 + 2 x 2 - 50 + 50 - 5 x 2 x ( x + 5)

x3 + 4 x 2 - 5 x 2 x ( x + 5) x ( x 2 + 4 x - 5)

x ( x -1)( x + 5) 2 x ( x + 5)

x -1 . 2 2 -1 1 = . 2 2

Thay x = 2 vào A ta được A =

2 x ( x + 5)

ƠN

CI AL

( x 2 + 2 x) .x

æ x +3 ö÷ x 2 + 2 x x -1 ÷÷. Ví dụ 2. Cho biểu thức: B = ççç 2 + . çè x + x ( x + 1)( x + 2)÷ø x 2 + 2 x + 3 b) Rút gọn biểu thức B. Hướng dẫn giải

c) Tính giá trị của B khi x = 1 .

a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức được xác định.

a) Điều kiện: x ¹ -2 ; x ¹ -1 ; x ¹ 0 .

KÈ M

æ x +3 ö÷ x 2 + 2 x x -1 ÷÷. b) Ta có B = ççç 2 + çè x + x ( x + 1)( x + 2)÷ø x 2 + 2 x + 3 æ x +3 ö÷ x ( x + 2) x -1 ÷÷. = ççç + çè x ( x + 1) ( x + 1)( x + 2)÷ø x 2 + 2 x + 3

æ ( x + 3)( x + 2) ( x -1) x ö÷÷ x ( x + 2) = ççç + ÷. 2 èç x ( x + 1)( x + 2) x.( x + 1)( x + 2)÷ø x + 2 x + 3

DẠ

æ x2 + 5x + 6 ö÷ x ( x + 2) x2 - x ÷÷. = ççç + çè x ( x + 1)( x + 2) x ( x + 1)( x + 2)÷ø x 2 + 2 x + 3

x 2 + 5 x + 6 + x 2 - x x ( x + 2) . 2 x ( x + 1)( x + 2) x + 2x + 3

Trang 7

2 ( x 2 + 2 x + 3)

x ( x + 2) x ( x + 1)( x + 2) x + 2 x + 3

2 . x +1

CI AL

x ( x + 2) 2x2 + 4x + 6 . 2 x ( x + 1)( x + 2) x + 2 x + 3 2

c) Thay x = 1 vào B ta được B =

2 = 1. 1 +1

Bài toán 2. Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải Ta sử dụng các kiến thức sau: A > 0 khi và chỉ khi A và B cùng dấu. B

A < 0 khi và chỉ khi A và B trái dấu. B

a) Tìm x để P > 1 . Để P > 1 thì

+) Hằng đẳng thức đáng nhớ và chú ý A2 ³ 0 x Î  khi y Î Ư ( x) . y

DẠ

KÈ M

+) Với x, y Î  và y ¹ 0 thì

với mọi A.

x -1 với x ¹ -2 . x+2

x -1 x -1 >1Þ -1 > 0 x+2 x+2

ƠN

Ví dụ: Cho phân thức P =

x -1 x + 2 >0 x+2 x+2

x -1 - x - 2 >0 x+2

-3 >0 x+2

Có -3 < 0 suy ra x + 2 < 0 hay x < -2 (thỏa mãn). Vậy: x < -2 thì P > 1 .

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = P.( x 2 - 4) Có Q = P.( x 2 - 4) = =

x -1 2 .( x - 4) x+2 x -1 .( x - 2).( x + 2) x+2

= ( x -1)( x - 2) = x 2 - 3x + 2 3 9 9 = x 2 - 2. x + - + 2 2 4 4

æ 3ö 1 = çç x - ÷÷÷ - . çè 2ø 4 2

Trang 8

æ 3ö Có çç x - ÷÷÷ ³ 0 . Suy ra çè 2ø 2

æ ö çç x - 3 ÷÷ - 1 ³ - 1 çè 2 ÷ø 4 4 2

hay x =

æ ö çç x - 3 ÷÷ = 0 çè 2 ÷ø 2

CI AL

1 Suy ra Q ³ - . Dấu " = " xảy ra khi 4 3 . 2

1 3 khi x = . 4 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là c) Tìm x Î  để P Î  .

x -1 x + 2 - 3 3 = = 1x+2 x+2 x+2

Có P =

Để P Î  thì

3 Î  hay x + 2 Î Ư (3) x+2

−3

−1

−5

−3

−1

ƠN

x+2

Vậy x Î {-5; -3; -1;1} thì P Î  .

Ví dụ 1. Cho phân thức A =

Ví dụ mẫu

x2 - 4x + 5 với x ¹ 3 ; x -3

a) Tìm x để A < 0 .

Hướng dẫn giải

b) Tìm x Î  để A Î  .

x 2 - 4 x + 5 x 2 - 2.2.x + 22 + 1 ( x - 2) + 1 a) Ta có A = = = x -3 x -3 x -3 2

Vì ( x - 2) ³ 0 nên ( x - 2) + 1 > 0 "x . 2

KÈ M

Để A < 0 thì x - 3 < 0 hay x < 3 . Vậy x < 3 thì A < 0 . b) Ta có A =

x 2 - 4 x + 5 x 2 - 3x - x + 3 + 2 2 = = x -1 + x -3 x -3 x -3

DẠ

Để A Î  thì ( x - 3) Î Ư (2) .

x -3

−2

−1

Vậy x Î {1; 2; 4;5} thì A Î  .

Ví dụ 2. Tìm x để phân thức B =

8 đạt giá trị lớn nhất. x - 4x + 5 2

Trang 9

Hướng dẫn giải

8 8 8 . = 2 = 2 x - 4 x + 5 x - 2.2 x + 2 + 1 ( x - 2)2 + 1

Vì ( x - 2) ³ 0 , "x nên ( x - 2) + 1 ³ 1 , "x Þ 2

( x - 2) + 1 2

£ 8 , "x

Hay B £ 8 "x . Dấu " = " xảy ra khi ( x - 2) = 0 hay x = 2 . 2

Vậy giá trị lớn nhất của B là 8 khi x = 2 .

2 x 2 -1 x -1 3 + Ví dụ 3. Cho biểu thức P = 2 (với x ¹ -1 , x ¹ 0 ). x +x x x +1

CI AL

Có B =

a) Rút gọn P. b) Tìm x để P = 0 .

ƠN

c) Tính giá trị của biểu thức P khi x thoả mãn x 2 - x = 0 .

a) Ta có P =

2 x 2 -1 x -1 3 + . 2 x +x x x +1

Hướng dẫn giải

2 x 2 -1 ( x -1)( x + 1) 3x + x ( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1)

2 x 2 -1- x 2 + 1 + 3 x x 2 + 3 x x ( x + 3) x + 3 . = = = x ( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1) x + 1

x +3 = 0 Þ x + 3 = 0 Þ x = -3 (thỏa mãn). x +1

Vậy x = -3 thì P = 0 .

b) P = 0 Û

KÈ M

éx = 0 c) Ta có x 2 - x = 0 Þ x ( x -1) = 0 Þ ê Þ x = 0 (không thỏa mãn) hoặc x = 1 (thỏa mãn). êë x -1 = 0 Thay x = 1 vào P ta có P =

x + 3 1+ 3 = =2. x +1 1 +1

Bài tập tự luyện dạng 3.

æ 3 ö x 3 x 2 - 9 ö÷ æç 5 ÷÷.ç Câu 1. Cho biểu thức A = çç - 2 + 1÷÷÷ (với x ¹ ±3 ; x ¹ 2 ). çè x + 3 3 - x x - 9 ÷ø èç x - 2 ø a) Rút gọn biểu thức A.

DẠ

b) Tính giá trị của biểu thức A biết ( x + 2) = 4 x 2 . 2

c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Trang 10

a) Rút gọn biểu thức B. b) Chứng minh biểu thức B > 0 "x ¹ 1 . c*) Tìm giá trị nhỏ nhất của B.

æ 2 x3 + x 2 - x 2 x -1÷ö x 2 - x 1 ÷÷. Câu 3. Cho biểu thức E = 1 + çç (với x ¹ 1 ; x ¹ ). 3 ÷ çè 2 x -1 x -1 ø 2 x -1

a) Rút gọn biểu thức E.

CI AL

x -1 æç x 2 + 2 x 1 ö÷ ÷ (với x ¹ 1 ). Câu 2. Cho biểu thức B = :ç 3 + 2 + 2 çè x -1 x + x + 1 1- x ÷÷ø

b) Tính giá trị của biểu thức E biết x 2 + x - 6 = 0 .

DẠ

KÈ M

ƠN

2 c*) Chứng minh E > . 3

Trang 11

ĐÁP ÁN Bài tập luyện tập dạng 1

CI AL

Câu 1. 1 xy + 1 xy + 1 x x y y = = . = . 1 xy + 1 y xy + 1 y y+ x x

b) Ta có:

2 3x +1 2 3 x + 1- 2 3 x -1 3 x -1 (3 x -1)(3 x + 1) 2 3x +1 = 3x +1 3x +1 = 3x +1 3x +1 = = . = (3 x -1) 2 2 2 2 2 1 9 x - 2 9 x -1 9 x - 2 9 x -1 - 9 x + 2 3x +1 1 1- 2 - 2 2 2 (3x -1)(3x +1) 9 x -1 9 x -1 9 x -1 9 x -1

Câu 2.

ƠN

2 2 æ x + 1 ö÷ æç 3( x + 1) ö÷÷ æ x + 1 x + 2 ö÷ æç 2 x + x 2 3( x + 2 x + 1)ö÷÷ ç ç ç ç +1 : 1 + + + a) Ta có A = ç ÷ ÷=ç ÷:ç çè x + 2 ÷÷ø çç 2 x + x 2 ÷÷ø çè x + 2 x + 2 ÷ø çèç 2 x + x 2 2 x + x 2 ÷÷ø è

x +1 + x + 2 2 x + x 2 + 3x 2 + 6 x + 3 = : x+2 2x + x2 2 x + 3 4 x2 + 8x + 3 : x+2 2x + x2

2 x + 3 (2 x + 3)(2 x + 1) : x+2 x.(2 x + 1)

x.(2 x + 1) 2x + 3 . x + 2 (2 x + 3)(2 x + 1)

x . x+2

KÈ M

æ ö÷ æ 1 1 1 1 ö÷ çç - 2 : + b) B = çç 2 ÷ çè x + 4 x + 4 x - 4 x + 4 ÷ø çè x + 2 x - 2 ÷÷ø æ 1 1 ö÷÷ æç 1 1 ö÷ ç = çç : + ÷ ç 2 2÷ çè( x + 2) ( x - 2) ÷ø÷ èç x + 2 x - 2 ø÷

æ 1 1 ÷ö æç 1 1 ÷ö æç 1 1 ö÷ = çç . + : + çè x + 2 x - 2 ÷÷ø ççè x + 2 x - 2 ÷÷ø ççè x + 2 x - 2 ÷÷ø 1 1 x +2 x-2

x-2- x-2 -4 = 2 2 x -4 x -4

DẠ

Bài tập tự luyện dạng 2 Trang 12

Câu 1. a) Điều kiện xác định: x 2 (2 x -1) ¹ 0 Û x ¹ 0 ; x ¹

1 . 2

CI AL

b) Điều kiện xác định: x 2 - 4 ¹ 0 Û x ¹ ±2 . c) Điều kiện xác định: 5 x - 5 ¹ 0 Û x ¹ 1 . d) Điều kiện xác định: x 2 + 9 ¹ 0 với mọi giá trị của x. Câu 2. a) Điều kiện xác định của biểu thức A là

x ( x + 3) ¹ 0 khi x ¹ 0 và x ¹ -3 ; x (2 + x) ¹ 0 khi x ¹ 0 và x ¹ -2 ;

x¹0.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là x ¹ 0 ; x ¹ -3 và x ¹ -2 . b) Điều kiện xác định là

ƠN

xy + 2 y ¹ 0 khi y ( x + 2) ¹ 0 hay y ¹ 0 và x ¹ -2 ; x ( y + 1) ¹ 0 khi x ¹ 0 và y ¹ -1 ; y ¹ 0;

x¹0.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức B là x ¹ -2 ; x ¹ 0 ; y ¹ -1 và y ¹ 0 . Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1.

æ 3 ö x 3 x 2 - 9 ö÷ æç 5 ÷÷.ç a) A = çç - 2 + 1÷÷÷ çè x + 3 3 - x x - 9 ÷ø èç x - 2 ø æ 3( x - 3) + x ( x + 3) - 3 x 2 + 9 ö÷ æ 5 + x - 2 ö ÷÷ ÷÷.çç = ççç ÷ø çè x - 2 ÷ø çè x2 - 9 -2 x 2 + 6 x ( x + 3) . ( x + 3)( x - 3) ( x - 2)

-2 x ( x - 3) ( x - 3)( x - 2)

-2 x . x-2

KÈ M

b) Ta có ( x + 2) = 4 x 2 2

DẠ

Trường hợp 1: x + 2 = 2 x hay x = 2 (loại). Trường hợp 2: x + 2 = -2 x hay x =

-2 (thỏa mãn). 3

Trang 13

2 1 ta được A = - . 3 2

c) Ta có A =

-2 x -2 x + 4 - 4 4 = = -2 . x-2 x-2 x-2

Để A Î  thì ( x - 2) Î Ư (4) = {-4; -2; -1;1; 2; 4} suy ra x Î {-2;0;1;3; 4;6} . Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì giá trị x = 3 không thỏa mãn. Vậy x Î {-2;0;1; 4;6} thì A Î  . æ ö x -1 çç x2 + 2 x 1 ÷÷ :ç + ÷ 2 ççè( x -1)( x 2 + x + 1) x 2 + x + 1 x -1÷÷ø

a) Ta có B =

Câu 2.

CI AL

Thay x = -

x -1 x 2 - 2 x +1 : 2 ( x -1)( x 2 + x + 1)

( x -1) x -1 = : 2 ( x -1)( x 2 + x + 1) x -1 x -1 : 2 2 x + x +1

x -1 x 2 + x + 1 . 2 x -1

x 2 + x +1 . 2

KÈ M

æ ö x -1 çç x 2 + 2 + x 2 - x - x 2 - x -1÷÷ = :ç ÷÷ 2 ççè ( x -1)( x 2 + x +1) ÷ø

ƠN

æ 1( x 2 + x + 1) ö÷ x ( x -1) x -1 çç x2 + 2 ÷÷ = :ç + 2 ççè( x -1)( x 2 + x + 1) ( x -1)( x 2 + x + 1) ( x -1)( x 2 + x + 1)ø÷÷

b) Ta có B =

2 x 2 + x +1 1 2 1æ 1 1 3 ö 1 ææ 1ö 3 ÷ö = ( x + x + 1) = çç x 2 + 2.x. + + ÷÷÷ = ççççç x + ÷÷÷ + ÷÷ . 2 2 2 èç 2 4 4 ø 2 çèèç 2ø 4 ÷÷ø

2 2 2 æ æ 1 ö÷ 3 1 æçæç 1 ö÷ 3 ö÷ 1 ö÷ ç ç Ta có ç x + ÷÷ ³ 0 "x Î  Þ ç x + ÷÷ + > 0 Þ B = ççç x + ÷÷ + ÷÷ > 0 . çè èç 2ø 4 2 çèèç 2ø 4 ÷÷ø 2ø

Suy ra điều phải chứng minh.

DẠ

2 2 2 æ æ 1 ö÷ 3 3 1 æçæç 1 ö÷ 3 ö÷ 1 3 3 1 ö÷ ç ç c*) Ta có ç x + ÷÷ ³ 0 "x Î  Þ ç x + ÷÷ + ³ Þ B = ççç x + ÷÷ + ÷÷ ³ . Þ B ³ . ç ç çè è 2ø 4 4 2 çèè 2ø 4 ÷÷ø 2 4 8 2ø

æ 1ö 1 1 Dấu " = " xảy ra khi çç x + ÷÷÷ = 0 Û x + = 0 Û x = - . çè 2ø 2 2 2

Trang 14

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là

3 1 khi x = - . 8 2

CI AL

Câu 3.

æ 2 x3 + x 2 - x 2 x -1ö÷ x 2 - x ÷. a) Ta có E = 1 + çç çè x 3 -1 x -1 ÷÷ø 2 x -1 æ (2 x -1)( x 2 + x +1)ö÷÷ x 2 - x çç 2 x3 + x 2 - x = 1+ ç ÷. ççè( x -1)( x 2 + x + 1) ( x -1)( x 2 + x + 1) ÷÷ø 2 x -1

= 1+

x ( x -1)

-(2 x -1)

( x -1)( x + x +1) 2 x -1 2

-x x 2 + x + 1- x x 2 +1 = = . x 2 + x +1 x 2 + x +1 x 2 + x +1

= 1+

+) Với x = -3 thì E =

10 . 7

5 . 7

+) Với x = 2 thì E =

ƠN

é x = -3 b) Ta có x 2 + x - 6 = 0 Û ( x + 3)( x - 2) = 0 Û ê (thỏa mãn điều kiện). êë x = 2

c*) Xét hiệu

( x -1) ( x -1) 1 2 x 2 +1 2 x 2 - 2 x +1 E- = 2 - = = = > 0 "x ¹ 1 ; x ¹ . 2 2 éæ éæ ù 2 3 x + x + 1 3 3( x + x + 1) 1 1ö 3ù ö 3 êçç x 2 + 2.x. + ÷÷÷ + ú 3 êçç x + 1 ÷÷ + 3 ú êëçè ú ê ú ç 2 4ø 4û 2 ÷ø 4 úû êëè 2

2 (điều phải chứng minh). 3

DẠ

KÈ M

Suy ra E >

Trang 15

CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN BÀI 1: MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

CI AL

Mục tiêu  Kiến thức

+ Nhận biết được các khái niệm: Phương trình, nghiệm và tập nghiệm của phương trình, phương trình tương đương, phương trình bậc nhất. +

Vận dụng được các quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phép thu gọn một cách thành thạo để giải

các phương trình bậc nhất.

+ Trình bày được các bước giải và vận dụng thành thạo giải phương trình dạng ax  b  0 .

 Kỹ năng

+ Biết cách giải và trình bày lời giải các phương trình bậc nhất. +

Biết cách sử dụng một số thuật ngữ liên quan đến phương trình, biết dùng đúng chỗ, đúng lúc kí hiệu tương đương “  ”.

Thành thạo quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân vào giải phương trình, chứng minh phương

ƠN

DẠ

KÈ M

trình tương đương.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Mở đầu về phương trình

2 x  3  x 2 là một phương trình ẩn x .

Phương trình một ẩn Phương trình ẩn x là hệ thức có dạng A  x   B  x  .

CI AL

2 z  3  z 2 là một phương trình ẩn z . t  3 là phương trình ẩn t .

x  3  2x 1

Trong đó: A  x  là vế trái, B  x  là vế phải.

Vì 2  3  2.2  1 nên 2 (hay x  2 ) là

Giá trị x  x0 là nghiệm của phương trình nếu khi thay giá trị x0 vào phương trình thì hai vế cùng nhận một giá trị.

một nghiệm của phương trình.

Chú ý: Một phương trình có thể vô

Nghiệm của phương trình một ẩn

nghiệm (không có nghiệm) hoặc có vô

Giải phương trình Tập nghiệm là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình. Phương trình tương đương

ƠN

Giải phương trình là đi tìm tập nghiệm.

số nghiệm.

Chú ý: Hai phương trình cùng vô số Hai phương trình có cùng tập nghiệm là hai phương trình nghiệm chưa chắc tương đương. tương đương Ví dụ: x  1  x  1 và x  2  x  2 . Kí hiệu:  . 2. Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng

KÈ M

ax  b  0 , trong đó a  0 và b là hai số đã cho.

2 x  3  0; 3 y  4 Là các phương trình bậc nhất một ẩn.

2 x  3 y  0;0 x  b  0 Không phải các phương trình bậc nhất một ẩn.

Hai quy tắc biến đổi

Quy tắc chuyển vế đổi dấu

Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế

2 x  3  0  2 x  0   3

này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

Quy tắc nhân với một số Trong một phương trình ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế

2x  3  0 

1  2 x  3  0 2

DẠ

của phương trình với một số khác 0.

Trang 2

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Phương trình tương đương

x  x0 là nghiệm của

Hai phương trình tương đương

phương trình nếu

là hai phương trình cùng tập

P  x0   Q  x0 

nghiệm

CI AL

Nghiệm của phương trình

Phương trình một ẩn

P  x  Q  x

Giải phương trình

Tập nghiệm của phương

ƠN

trình Là tập hợp tất cả các nghiệm

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nghiệm của một phương trình

phương trình

của phương trình

Là đi tìm tập nghiệm của

Bài toán 1. Kiểm tra nghiệm của một phương trình cho trước

Phương pháp giải

Thay x  x0 vào hai vế của phương trình:

- Nếu hai vế cùng nhận một giá trị thì x  x0 là nghiệm.

- Nếu hai vế nhận hai giá trị khác nhau thì

DẠ

KÈ M

x  x0 không là nghiệm của phương trình.

Ví dụ: Với mỗi phương trình, hãy xem xét xem x  1 có là nghiệm của phương trình đó không?

a) 2 x  3  x  4 . b) x3  2 x  1  2 x3  1 . Hướng dẫn giải a) Xét phương trình 2 x  3  x  4 Với x  1 , ta có: 2.1  3  1  4 55

Vậy

x 1

là

nghiệm

của

phương

trình

2x  3  x  4 .

b) Xét phương trình x3  2 x  1  2 x3  1 Với x  1 ta có 13  2.1  1  2.13  1  0  1 (vô lí).

Vậy x  1 không phải là nghiệm của phương trình x3  2 x  1  2 x3  1 . Trang 3

Ví dụ mẫu

CI AL

Ví dụ 1: Với mỗi phương trình, hãy xét xem x  3 có là nghiệm của phương trình hay không? a) x  1  2 x  1. b) 3  x  2   x  1  2 x  1. c) 2 x 2  3 x  2  2 x  1. Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình x  1  2 x  1.

Với x  3 ta có: 3  1  2  3  1  4  5 (vô lí).

Vậy x  3 không phải là nghiệm của phương trình x  1  2 x  1.

Với x  3 ta có: 3  3  2    3  1  2  3  1  7  7

ƠN

b) Xét phương trình 3  x  2   x  1  2 x  1.

Vậy x  3 là nghiệm của phương trình 3  x  2   x  1  2 x  1. c) Xét phương trình: 2 x 2  3 x  2  2 x  1.

Với x  3 ta có: 2.  3  3.  3  2  2  3  1 2

77

Vậy x  3 là nghiệm của phương trình 2 x 2  3 x  2  2 x  1. Bài toán 2: Bài toán chứa tham số m

KÈ M

Phương pháp giải

Bước 1: Thay giá trị x  x0 vào phương trình

Ví dụ: Tìm m để phương trình 2  m  3 x  2m  10 nhận x  1 làm nghiệm. Hướng dẫn giải Vì x  1 là nghiệm của phương trình nên ta có:

cho ta được phương trình ẩn m .

2  m  31  2m  10

DẠ

Bước 2: Tìm m .

 4m  6  10  m  1.

Vậy m  1 thì phương trình 2  m  3 x  2m  10 có nghiệm x  1 .

Trang 4

b) 3 x  3  m 2 x  1

a) mx  1  2 x  1 Hướng dẫn giải

a) Vì x  2 là nghiệm của phương trình mx  1  2 x  1 nên ta có:  2m  2  m 1

m.2  1  2.2  1  2m  1  3

CI AL

Ví dụ: Tìm m để các phương trình sau nhận x  2 là nghiệm

Ví dụ mẫu

Vậy m  1 với phương trình mx  1  2 x  1 nhận x  2 là nghiệm.

ƠN

b) Vì x  2 là nghiệm của phương trình 3 x  3  m 2 x  1 nên ta có:

3.2  3  m 2 .2  1  9  2m 2  1  m2  4

  m  2  m  2   0

m  2   m  2

Bài tập cơ bản

Bài tập tự luyện dạng 1

Vậy m  2 hoặc m  2 thì phương trình 3 x  3  m 2 x  1 nhận x  2 là nghiệm.

Câu 1: Với mỗi phương trình sau, hãy xét xem x  1 là nghiệm của phương trình nào dưới đây? a) 3 x  2  4 x  1

KÈ M

b) 2  x  1  2   x  2   1 c)  x  1  2  2 x 2

Câu 2: Trong các giá trị x  1, x  2, x  1 , giá trị nào là nghiệm của các phương trình sau? a) 2 x  3  4 x  1 b) x 2  x  2  0

c) x  1  x  1

DẠ

Bài tập nâng cao

Câu 3: Tìm m để phương trình mx  3  x  1 nhận x  2 là nghiệm. Câu 4: Chứng minh rằng phương trình  2 x  1 m  x  9m  4 nhận x  4 làm nghiệm với mọi giá trị của tham số m .

Trang 5

ĐÁP ÁN PHẦN 1. NỘI DUNG KIẾN THỨC CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

CI AL

ĐẠI SỐ BÀI 1. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH, PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ CÁCH GIẢI Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản Câu 1.

a) Xét phương trình 3 x  2  4 x  1 .

Vậy x  1 là nghiệm của phương trình 3 x  2  4 x  1 . b) Xét phương trình 2  x  1  2   x  2   1 . Với x  1 ta có: 2  1  1  2   1  2   1  2  0 (vô lí).

Với x  1 ta có: 3  1  2  4  1  1  5  5.

c) Xét phương trình:  x  1  2  2 x . 2

Với x  1 ta có:  1  1  2  2  1  4  4.

ƠN

Vậy x  1 không là nghiệm của phương trình 2  x  1  2   x  2   1 .

Vậy x  1 là nghiệm của phương trình  x  1  2  2 x . 2

Câu 2.

a) Xét phương trình 2 x  3  4 x  1 . Với x  1 ta có: 2.1  3  4.1  1  5  5.

Vậy x  1 là nghiệm của phương trình 2 x  3  4 x  1 . Với x  2 ta có: 2.2  3  4.2  1  7  9 (vô lí). Vậy x  2 không phải là nghiệm của phương trình 2 x  3  4 x  1 .

KÈ M

Với x  1 ta có: 2.  1  3  4.  1  1  1  3 (vô lí). Vậy x  1 không phải là nghiệm của phương trình 2 x  3  4 x  1 . b) Xét phương trình x 2  x  2  0 . Với x  1 ta có: 12  1  2  0  2  0 (vô lí). Vậy x  1 không phải là nghiệm của phương trình x 2  x  2  0 .

Với x  2 ta có: 22  2  2  0  4  4  0  0  0 .

DẠ

Vậy x  2 là nghiệm của phương trình x 2  x  2  0 . Với x  1 ta có:  1   1  2  0  1  1  2  0  0  0. 2

Vậy x  1 là nghiệm của phương trình x 2  x  2  0 . c) Xét phương trình x  1  x  1 Trang 6

Với x  1 ta có x  1  x  1  1  1  1  1  2  2. Vậy x  1 là nghiệm của phương trình.

CI AL

Với x  2 ta có: x  1  x  1  2  1  2  1  3  3. Vậy x  2 là nghiệm của phương trình. Với x  1 ta có: x  1  x  1  1  1  1  1  0  0. Vậy x  1 là nghiệm của phương trình.

Bài tập nâng cao Phương trình mx  3  x  1 nhận x  2 là nghiệm nên m.2  3  2  1  2m  3  3  2m  6  m  3.

Câu 3.

Vậy với m  3 thì phương trình mx  3  x  1 nhận x  2 là nghiệm. Câu 4.

ƠN

Thay x  4 vào phương trình  2 x  1 m  x  9m  4 ta có:

 2.4  1 m  4  9m  4  9m  4  9m  4 (luôn đúng).

Vậy phương trình luôn nhận x  4 làm nghiệm. Dạng 2: Nhận dạng phương trình bậc nhất một ẩn

Bài toán 1. Nhận dạng phương trình bậc nhất một ẩn Phương pháp giải

Ví dụ: Trong các phương trình sau đây, phương

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?

dạng ax  b  0  a  0  .

a) x  1 .

Vậy để nhận dạng phương trình bậc nhất một ẩn ta

b) 2 x  3  x  1 .

làm như sau:

Hướng dẫn giải

ax  b  0 .

KÈ M

Bước 1: Biến đổi để đưa phương trình về dạng Bước 2: Xét giá trị của a để đưa ra kết luận

a) Phương trình x  1  x  1  0 là phương trình bậc nhất một ẩn với a  1, b  1 . b) Xét phương trình 2 x  3  x  1

phương trình có phải là phương trình bậc nhất một

 2x  x  3 1  0

ẩn hay không.

 x4  0.

Vậy phương trình 2 x  3  x  1 là phương

trình bậc nhất một ẩn.

DẠ

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn? a) 2  x  0 b) x 2  x  1  0 Trang 7

c)  x  1  x 2  1  0 2

Hướng dẫn giải a) Phương trình 2  x  0 là phương trình bậc nhất một ẩn với a  1, b  2 .

CI AL

d) 2  0

b) Phương trình x 2  x  1  0 không phải phương trình bậc nhất một ẩn vì bậc của đa thức x 2  x  1 là 2. c) Xét phương trình:  x  1  x 2  1  0  x 2  2 x  1  x 2  1  0  2 x  0.

Vậy phương trình  x  1  x 2  1  0 là phương trình bậc nhất một ẩn với a  2, b  0 . 2

d) Phương trình 2  0 không phải phương trình bậc nhất một ẩn. Bài toán 2. Bài toán chứa tham số m

ƠN

Phương pháp giải Ví dụ: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình

Bước 1: Biến đổi để đưa phương trình về dạng f  x   0 Bước 2: Sắp xếp đa thức f  x   0 có

bậc giảm dần.

 1 x 2  m  2 x  1 là phương trình bậc nhất một ẩn.

Hướng dẫn giải

m

Xét phương trình:  m 2  1 x 2  m  2 x  1

(2)

  m 2  1 x 2  2 x  m  1  0.

Phương trình (2) là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi m 2  1  0 và 2  0.

Bước 3: Tìm m để các số hạng có bậc

Xét m 2  1  m  1 , mặt khác 2  0. với mọi m .

lớn hơn 1 có hệ số bằng 0 và hệ số của số

Vậy với m  1 thì phương trình

m

 1 x 2  m  2 x  1

là phương trình bậc nhất một ẩn.

DẠ

KÈ M

hạng bậc 1 khác 0.

Ví dụ mẫu

Trang 8

Ví dụ: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình  m  3 x  2 x  2  x  1 là phương trình bậc nhất một ẩn. Xét phương trình

CI AL

Hướng dẫn giải

 m  3 x  2 x  2  x  1   m  3 x  2 x  2  x  1  0   m  3  2  1 x  2  1  0

  m  2  x  3  0.

Bài tập tự luyện dạng 2

Để phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn thì m  2  0  m  2.

Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất? b) 2  x  1  x  3  x.

c) 0.x  3  0.

d) 5 x  1.

Câu 2.

ƠN

a) 3 x  2  0.

a) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình  m  2  x  3  x  1 là phương trình bậc nhất một ẩn. b) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình  m 2  1 x 2  mx  2  x  1  x là phương trình bậc nhất một ẩn.

Hướng dẫn giải bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1.

a) 3 x  2  0 là phương trình bậc nhất một ẩn với a  3, b  2 . b) Xét phương trình 2  x  1  x  3  x  2 x  2  x  3  x  2 x  x  x  2  3  0  1  0. Vậy phương trình 2  x  1  x  3  x không phải là phương trình bậc nhất.

KÈ M

c) 0.x  3  0 không phải là phương trình bậc nhất vì a  0 . d) Xét phương trình 5 x  1  5 x  1  0 . Vậy phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn với a  5, b  1 . Câu 2.

a) Xét phương trình:  m  2  x  3  x  1   m  2  x  3  x  1  0   m  3 x  4  0 .

Vậy phương trình đã cho là phương trình bậc nhất khi m  3  0  m  3 .

DẠ

b) Xét phương trình

m

 1 x 2  mx  2  x  1  x   m 2  1 x 2  mx  2 x  2  x   m 2  1 x 2  mx  x  2  0

Trang 9

  m 2  1 x 2   m  1 x  2  0 .

Phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn khi m 2  1  0 và m  1  0 .

CI AL

Xét m 2  1  0  m  1. Xét m  1  0  m  1. Vậy để phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn thì m  1 . Dạng 3. Giải phương trình

Phương pháp giải

Ví dụ: Giải phương trình

ax  b  0 .

Bước 2: Giải phương trình ax  b  0  a  0 

 ax  b b x a

a) Xét phương trình 4 x  20  0  4 x  20  x5

ƠN

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng

a) 4 x  20  0 b) 5 x  1  3 x  5 Hướng dẫn giải

Vậy phương trình có tập nghiệm S  5 .

b) Xét phương trình: 5 x  1  3x  5  5 x  3x  5  1

 2x  6  x3

Bước 3: Kết luận tập nghiệm S của phương

Vậy phương trình có tập nghiệm S  3 .

Ví dụ mẫu

trình.

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau a) 3 x  2  5

KÈ M

b) 2  x  1  x  3  x  2   2 c)  x  1  3 x  x 2  2 2

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình 3 x  2  5  3 x  5  2  3 x  3  x  1. Vậy phương trình có tập nghiệm S  1 .

DẠ

b) Xét phương trình 2  x  1  x  3  x  2   2  2 x  2  x  3 x  6  2  2 x  x  3x  6  2  2  2 x  2  x  1.

Vậy phương trình có tập nghiệm S  1 .

Trang 10

c) Xét phương trình  x  1  3 x  x 2  2  x 2  2 x  1  3 x  x 2  1

 x 2  2 x  3x  x 2  2  1  x  1  x  1 Vậy phương trình có tập nghiệm S  1 . Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình 3  x  1  x  2  2 x  1 vô nghiệm. Xét phương trình 3  x  1  x  2  2 x  1  3 x  3  x  2  2 x  1  0  6 (vô lí).

Vậy phương trình 3  x  1  x  2  2 x  1 vô nghiệm.

 3 x  x  2 x  3  2  1

Hướng dẫn giải

CI AL

ƠN

Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình 2  x  1  x  3  x  1 có vô số nghiệm. Hướng dẫn giải

Xét phương trình 2  x  1  x  3  x  1  2 x  2  x  3  x  1

 2 x  x  x  2  3  1

00

Vậy phương trình 2  x  1  x  3  x  1 có vô số nghiệm

Bài tập cơ bản a) 2 x  5  0 b) 3 x  2   x  6

KÈ M

c) 2  x  1  3  x  1  2

Câu 1. Giải các phương trình sau:

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 2. Giải các phương trình sau: a) x3  3 x 2   x  1  1

b)  x  1  x 2  3 x  1

Bài tập nâng cao

Câu 3. Chứng minh phương trình 6  x  2   4 x  1  2 x  11 có vô số nghiệm.

Câu 4. Chứng minh phương trình 4   2 x  2   3 x  x  11 vô nghiệm.

DẠ

Hướng dẫn giải bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản Câu 1.

a) 2 x  5  0  2 x  5  x 

5 . 2

Trang 11

 5  Vậy tập nghiệm của phương trình là S    . 2

CI AL

b) 3 x  2   x  6  3 x  x  6  2  4 x  4  x  1. Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1 .

c) 2  x  1  3  x  1  2  2 x  2  3 x  3  2  2 x  3 x  3  2  2   x  3  x  3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S  3 .

Câu 2. b)

x3  3 x 2   x  1  1

 x  1

 x3  3x 2  x3  3x 2  3x  1  1

 x 2  2 x  1  x 2  3x  1

 x3  3x 2  x3  3x 2  3x  2  3 x  2 2 x . 3

 x 2  x 2  2 x  3 x  1  1   x  2  x  2.

 x 2  3x  1

ƠN

Vậy phương trình có tập nghiệm S  2 .

 2  Vậy phương trình có tập nghiệm S    . 3

Bài tập nâng cao

Câu 3. Xét phương trình 6  x  2   4 x  1  2 x  11  6 x  12  4 x  1  2 x  11  6 x  4 x  2 x  12  1  11

Vậy phương trình có vô số nghiệm. Câu 4.

 0  0 (đúng với mọi x )

KÈ M

Xét phương trình 4   2 x  2   3 x  x  11  4  2 x  2  3 x  x  11  2 x  3 x  x  4  2  11  0  17 (vô lí).

Vậy phương trình vô nghiệm. Dạng 4. Xét sự tương đương của hai phương trình Phương pháp giải

Hai phương trình tương đương là hai phương Ví dụ: Hai phương trình 2 x  1  3 và x  2  0

trình có cùng tập nghiệm.

DẠ

Vậy để xét tính tương đương của hai phương trình f  x   0 và g  x   0 thì: Bước 1: Giải từng phương trình f  x   0 và

g  x  0 .

có tương đương không? Vì sao? Hướng dẫn giải: Xét phương trình 2 x  1  3  2 x  4  x  2 Vậy phương trình có tập nghiệm S  2 . Xét phương trình x  2  0  x  2 Trang 12

Vậy phương trình có tập nghiệm S   2 .

Bước 2: Dựa vào tập nghiệm của hai phương trình để kết luận.

tương đương với nhau. Ví dụ mẫu

CI AL

Hai phương trình có cùng tập nghiệm nên

Ví dụ 1. Hai phương trình  2 x 2  1  x  2   0 và 3 x   2 x  1  1 có tương đương không? Vì sao?

Xét phương trình  2 x 2  1  x  2   0 Ta có vì: x 2  0 với mọi x nên 2 x 2  1  0 với mọi x .

Vậy phương trình có tập nghiệm S  2 .

Xét phương trình 3 x   2 x  1  1  3 x  2 x  1  1  x  11  x  2. Vậy phương trình có tập nghiệm S   2 .

ƠN

Vậy phương trình  2 x 2  1  x  2   0  x  2  0  x  2

Hướng dẫn giải

Hai phương trình không có cùng tập nghiệm nên không tương đương nhau. Ví dụ 2. Cho hai phương trình x  1  0 và  m  1 x  2  0 . Tìm m để hai phương trình tương đương

nhau.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình: x  1  0  x  1

Vậy tập nghiệm của phương trình S  1 . Để hai phương trình x  1  0 và  m  1 x  2  0 tương đương thì phương trình  m  1 x  2  0 nhận

KÈ M

x  1 là nghiệm.

Xét phương trình  m  1 x  2  0 , với x  1 là nghiệm phương trình nên

 m  1 1  2  0  m  1  2  0  m  1  0  m  1 .

Thử lại: với m  1 ta có  m  1 x  2  0   1  1 x  2  0  2 x  2  0

 x  1 .

DẠ

Với m  1 phương trình  m  1 x  2  0 có tập nghiệm S  1 . Vậy với m  1 thì phương trình x  1  0 tương đương với phương trình  m  1 x  2  0 .

Bài tập tự luyện dạng 4 Bài tập cơ bản Trang 13

Câu 1. Trong các cặp phương trình dưới đây, cặp phương trình nào là tương đương? a) 2 x  1 và 2  x  1  3  4 x .

CI AL

b)  x 2  4   2 x  4   0 và x  1  3  x  1  2 . Câu 2.

a) Phương trình 2 x 2  1  7 và phương trình x  2  0 có tương đương không? Vì sao?

b) Phương trình x  3  0 và phương trình 3  x  3  2  x  1 có tương đương không? Vì sao?

Bài tập nâng cao

Câu 3. Tìm m để phương trình  2m  1 x  3  x  2 và phương trình 2 x  4  x  1 là hai phương trình

tương đương. Hướng dẫn giải bài tập tự luyện dạng 4 1 a) Xét phương trình 2 x  1  x  . 2 1  Vậy phương trình có tập nghiệm S    . 2

ƠN

Câu 1.

Xét phương trình 2  x  1  3  4 x  2 x  2  3  4 x  2 x  4 x  1  2 x  1  x 

1 . 2

1  Vậy phương trình có tập nghiệm S    . 2

Do đó hai phương trình có cùng tập nghiệm nên tương đương nhau.

b) Xét phương trình  x 2  4   2 x  4   0 1 .

Vì x 2  0 với mọi x nên x 2  4  0 với mọi x . Từ đó 1  2 x  4  0  x  2 .

KÈ M

Vậy phương trình có tập nghiệm S  2 . Xét phương trình x  1  3  x  1  2  x  1  3 x  3  2  x  3 x  1  3  2  2 x  4  x  2 .

Vậy phương trình có tập nghiệm S  2 .

Câu 2.

Do đó hai phương trình có cùng tập nghiệm nên tương đương nhau.

DẠ

x  2 a) Xét phương trình 2 x 2  1  7  2 x 2  8  x 2  4   .  x  2 Vậy phương trình có tập nghiệm S  2; 2 . Xét phương trình x  2  0  x  2. Trang 14

Vậy phương trình có tập nghiệm S  2 . b) Xét phương trình x  3  0  x  3 Vậy phương trình có tập nghiệm S  3

CI AL

Hai phương trình không có cùng tập nghiệm nên hai phương trình không tương đương.

Xét phương trình 3  x  3  2  x  1  3 x  9  2  x  1  3 x  x  1  9  2  2 x  6  x  3 . Vậy phương trình có tập nghiệm S  3 .

Hai phương trình có cùng tập nghiệm nên hai phương trình tương đương. Bài 3. Xét phương trình 2 x  4  x  1  2 x  x  4  1  x  5 . Vậy phương trình có tập nghiệm S  5 . 2 x  4  x  1 và

 2m  1 x  3  x  2 có tập nghiệm là

 2m  1 x  3  x  2

S  5 .

tương đương thì phương trình

ƠN

Để phương trình

Bài tập nâng cao

Hay x  5 là nghiệm của phương trình  2m  1 x  3  x  2

Suy ra  2m  1 5  3  5  2  10m  5  3  7  10m  8  7  m  Với m 

15 3 m . 10 2

3 thay vào phương trình  2m  1 x  3  x  2 2

3 phương trình 2 x  4  x  1 và  2m  1 x  3  x  2 phương trình tương đương. 2

DẠ

KÈ M

Vậy với m 

 3  ta có  2.  1 x  3  x  2  2 x  3  x  2  x  5  2 

Trang 15

Trang 16

DẠ

KÈ M QU Y ƠN

CI AL

CHUYÊN ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax  b  0 Mục tiêu

CI AL

 Kiến thức

+ Trình bày được các bước giải và vận dụng thành thạo giải phương trình đưa được về dạng ax  b  0 .

 Kỹ năng +

Biết cách sử dụng một số thuật ngữ liên quan đến phương trình, biết dùng đúng chỗ, đúng lúc kí

hiệu tương đương ''  " .

Biết cách sử dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân vào giải phương trình, chứng minh phương

DẠ

KÈ M

ƠN

trình tương đương, rèn kỹ năng giải phương trình, trình bày bài giải.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Ví dụ:

Bước 2: Khử mẫu. Bước 3: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang một vế.

5x  2 2x 1  1 3 2 2  5 x  2  6  3  2 x  1   6 6  10 x  4  9  6 x  10  6 x  9  4  4 x  13 13 x . 4

Bước 4: Thu gọn và giải phương trình.

Bước 1: Quy đồng mẫu (nếu có).

CI AL

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG ax  b  0

13  Vậy phương trình có tập nghiệm S    . 4

ƠN

Bước 5: Kết luận

Chú ý: 1) Trong các bước trên, chúng ta sử dụng linh hoạt các quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân với một số.

2) Trong một vài trường hợp, để đưa phương trình về dạng ax  b  0 , ta có những cách giải khác đơn giản hơn. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải một số phương trình đơn giản

Bài toán 1. Sử dụng bỏ ngoặc, chuyển vế, quy đồng mẫu đơn giản

KÈ M

Phương pháp giải

Bước 1: Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc hoặc quy đồng mẫu thức hai vế, dùng quy tắc nhân để khử mẫu thức (nhân hai vế cho cùng mẫu thức để khử mẫu thức).

Ví dụ: Giải phương trình 3  x  11 3  x  1 2  2 x  5    . 4 5 10

Hướng dẫn giải 5.3  x  11 4.3  x  1  2.2  2 x  5   20 20  15 x  165  12 x  12  8 x  20  15 x  12 x  8 x  165  12  20  11x  197 

Bước 2: Dùng quy tắc chuyển vế để chuyển hạng

tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia.

DẠ

Bước 3: Thu gọn và giải phương trình.



x

197 . 11

197  Vậy tập nghiệm của phương trình là S   .  11 

Trang 2

Ví dụ mẫu Ví dụ. Giải các phương trình

CI AL

a) 4,3 x  2  0, 7  2 x   4, 6  1, 7 x. x2 1  3x  1 . 3 5 2   13  c) 3  x    7    x  . 5  5 

d)  x  1  x 2  x  1  2 x  x  x  1 x  1 .

Hướng dẫn giải a) 4,3 x  2  0, 7  2 x   4, 6  1, 7 x

 4, 6  1, 7 x

 4,3 x  1, 4  4 x

 4,3 x  1, 7 x  4 x  4, 6  1, 4 2x  6



x 3.

x2 1  3x  1 3 5



5  x  2  15  3 1  3 x   15 15

Phương trình có tập nghiệm là S  3 .

 4 x  22



x 

11 . 2



 5 x  10  15  3  9 x  5 x  9 x  10  15  3

ƠN



KÈ M

 11  Phương trình có tập nghiệm là S    .  2

DẠ

2   13  c) 3  x    7    x  5  5  6 13  3x  7 x 5 5 13 6  3x  x  7   5 5 35  13  6  4x  5 16  4x  5 4  x  . 5

Trang 3

4 Phương trình có tập nghiệm là S    . 5

x3  1  2 x  x  x 2  1



x3  1  2 x  x3  x



x3  x3  2 x  x  1



 x  1



x 1.



CI AL

d)  x  1  x 2  x  1  2 x  x  x  1 x  1

Phương trình có tập nghiệm là S  1 . Bài toán 2: Giải một số phương trình đặc biệt Phương pháp giải

Ví dụ: Giải phương trình

ƠN

a) Đối với phương trình (ẩn x ) có dạng:

x 1 x  2 x  3 x  4    . 2011 2010 2009 2008

xa xc xe x g    b d f h

Hướng dẫn giải

- Nếu a  b  c  d  e  f  g  h  k , ta cộng mỗi - Nếu a  b  c  d  e  f  g  h  k , ta cộng mỗi phân thức thêm -1.

Sau đó quy đồng từng phân thức, chuyển vế và

nhóm nhân tử chung.

Có thể mở rộng số phân thức nhiều hơn và tùy bài

KÈ M

toán ta sẽ cộng hoặc trừ đi hằng số thích hợp.

b) Đánh giá:

DẠ

Phương trình có dạng A  x   B  x   0 , trong đó:

A  x   0 và B  x   0 .

x 1 x  2 x  3 x  4    2011 2010 2009 2008

phân thức thêm 1.



x 1 x2 x 3 x4 1 1  1 1 2011 2010 2009 2008



x  1  2011 x  2  2010  2011 2010

 

x  3  2009 x  4  2008  2009 2008 x  2012 x  2012 x  2012 x  2012    0 2011 2010 2009 2008

1 1 1   1   x  2012      0  2011 2010 2009 2008   x  2012  0  x  2012.

Phương trình có tập nghiệm là S  2012 . Ví dụ: Giải phương trình x  4  2 x  8  0. Hướng dẫn giải Ta thấy x  4  0 ; 2 x  8  0 nên VT  0 . Do đó phương trình trở thành : Trang 4

 A  x   0 Khi đó phương trình trở thành  .  B  x   0

 x  4  0  x  4  .   x  4  2 x  8  0

CI AL

Vậy phương trình có tập nghiệm S  4 .

Ví dụ mẫu Ví dụ. Giải các phương trình sau x5 x4 x3 x2    . 2016 2017 2018 2019 x  12 x  10 x  8 x  6    . b) 21 23 25 27 x  19 x  13 x  7 x  1    c) . 3 5 7 9

Hướng dẫn giải

x  2021 x  2021 x  2021 x  2021    2016 2017 2018 2019



ƠN

x5 x4 x3 x2 x5 x4 x3 x2     1 1  1 1 a) 2016 2017 2018 2019 2016 2017 2018 2019

x  12 x  10 x  8 x  6 x  12 x  10 x 8 x6     1 1  1 1 21 23 25 27 21 23 25 27 x  33 x  33 x  33 x  33     21 23 25 27

1 1 1   1   x  2021     0  2016 2017 2018 2019   x  2021 . Vậy phương trình có tập nghiệm S  2021 .

KÈ M

1 1   1 1   x  33       0  21 23 25 27 

 x  33 . Vậy phương trình có tập nghiệm S  33 .

x  19 x  13 x  7 x  1 x  19 x  13 x7 x 1     3 3 3 3 3 5 7 9 3 5 7 9 x  28 x  28 x  28 x  28     3 5 7 9 1 1 1 1   x  28        0 3 5 7 9   x  28   0

DẠ

 x  28 . Vậy phương trình có tập nghiệm S  28 .

Bài tập tự luyện dạng 1 Trang 5

Bài tập cơ bản

2  3 x  1  1 2  3 x  1 3 x  2 5   . 4 5 10

2 x  1 3  x  1 3 x  2  x  1 5  12 x    . 3 4 6 12

x  4 3x  2 2x  5 7x  2  x  . 5 10 3 6

CI AL

Câu 1: Giải phương trình

d) 2 x  x  2   8 x 2  2  x  2   x 2  2 x  4  .

e)  x  3 x  4   2  3 x  2    x  4  .

Bài tập nâng cao x  81 x  82 x  84 x  85    . 19 18 16 15

12  x 13  x 15  x 16  x     4. 7 6 4 3

x4 x6 x2 x4    . 8 7 11 12

x  3 x  2 x 1 x  2     10  0. 7 4 3 2

Câu 3: Giải phương trình

b) 2 x 2  10 x  13  0.

a) x 2  4 x  4  x  2  0.

ƠN

Câu 2: Giải các phương trình sau

Hướng dẫn giải bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1:

2 x  1 3  x  1 3 x  2  x  1 5  12 x    3 4 6 12

6x  3 6 x  2 3x  2 5   4 5 10



2 x  1 3 x  3 x  2 5  12 x    3 4 6 12

5  6 x  3  20.5 4  6 x  2   2  3 x  2   20 20



4  2 x  1  3  3 x  3 2  x  2   5  12 x  12 12

2  3 x  1  1 2  3 x  1 3 x  2 5   4 5 10

 

KÈ M

 8 x  4  9 x  9  2 x  4  5  12 x

 30 x  24 x  6 x  8  4  15  100

 8 x  9 x  2 x  12 x  4  5  4  9

 30 x  15  100  24 x  8  6 x  4

DẠ

 12 x  73

73 x . 12

 73  Phương trình có tập nghiệm là S    . 12 

 3 x  12  x  4.

Phương trình có tập nghiệm là S  4 .

Trang 6

x  4 3x  2 2x  5 7x  2  x  5 10 3 6

d) 2 x  x  2   8 x 2  2  x  2   x 2  2 x  4  2



6  x  4  3  3 x  2  30 x 10  2 x  5  5  7 x  2      30 30 30 30 30



6 x  24  9 x  6  30 x 20 x  50  35 x  10  30 30

 2 x  x 2  4 x  4   8 x 2  2 x3  16



15 x  30 15 x  60  30 30

 2 x3  8 x 2  8 x  8 x 2  2 x3  16  0  8 x  16  0

 15 x  30  15 x  60

 x  2.

 30  60

Vậy phương trình có tập nghiệm là S  2 .

Vậy phương trình vô nghiệm. e)  x  3 x  4   2  3 x  2    x  4 

CI AL

 2 x  x  2   8 x 2  2  x3  8

  x  3 x  4   2  3 x  2    x  4 

ƠN

 x 2  x  12  6 x  4   x 2  8 x  16   0  3 x  24  0

Vậy phương trình có tập nghiệm S  8 . Câu 2.

 x  8.

x  81 x  82 x  84 x  85    9 18 16 15



x  81 x  82 x  84 x  85 1 1  1 1 19 18 16 15



x  100 x  100 x  100 x  100    19 18 16 15

KÈ M

1 1 1 1   x  100        0  19 18 16 15   x  100.

Vậy phương trình có tập nghiệm S  100 . 12  x 13  x 15  x 16  x     4 . 7 6 4 3



12  x 13  x 15  x 16  x 1 1 1 1  0 7 6 4 3



12  7  x 13  6  x 15  4  x 16  3  x    0 7 6 4 3



19  x 19  x 19  x 19  x    0 7 6 4 3

DẠ

Trang 7

1 1 1 1  19  x        0  7 6 4 3

CI AL

 19  x  0  x  19.

x4 x6 x2 x4    8 7 11 12



x4 x6 x2 x4 2 2 2 2 8 7 11 12



x  20 x  20 x  20 x  20    8 7 11 12

Vậy phương trình có tập nghiệm S  19 .

 x  20.

Vậy phương trình có tập nghiệm S  20 . x  3 x  2 x 1 x  2     10  0 7 4 3 2



x  3 x  2 x 1 x  2     10  0 7 4 3 2



x3 x2 x 1 x2 1 2 3 40 7 4 3 2



x  10 x  10 x  10 x  10    0 7 4 3 2

ƠN

1 1 1 1    x  20        0  8 7 11 12 

1 1 1 1   x  10        0 7 4 3 2  x  10  0

KÈ M

 x  10.

Vậy phương trình có tập nghiệm S  10 . Câu 3.

a) x 2  4 x  4  x  2  0   x  2   x  2  0 1 . 2

Nhận thấy  x  2   0 và x  2  0 nên phương trình 1 tương đương với x  2  0  x  2.

DẠ

Vậy phương trình có tập nghiệm S  2 . 2

25  1 5 1   b) 2 x  10 x  13  0  2  x 2  5 x     0  2  x     0. 4  2 2 2   2

Trang 8

Vậy tập nghiệm của phương trình là S   . Dạng 2: Một số ứng dụng của phương trình Bài toàn 1. Tìm điều kiện để biểu thức chứa ẩn ở mẫu xác định Phương pháp giải

CI AL

5 5 1 1   Nhận thấy  x    0  2  x      0. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm. 2 2 2 2  

Ví dụ: Tìm điều kiện của x để giá trị của phân

thức được xác định P

Bước 1. Liệt kê tất cả các mẫu thức có chứa ẩn của

2 x  2019 . 2  3 x  1  3  x  1

biểu thức và đặt điều kiện khác không.

Hướng dẫn giải

Bước 2. Lần lượt giải từng điều kiện trên thì tập

Giá trị của phân thức P được xác định với điều kiện :

khác không chính là điều kiện để biểu thức chứa ẩn

2  3 x  1  3  x  1  0  6 x  2  3 x  3  0

ƠN

hợp tất cả các giá trị của ẩn làm cho các mẫu thức

ở mẫu xác định.

 6 x  3x  2  3  3 x  1

1 x . 3

Ví dụ mẫu

1 x . 3

Vậy điều kiện xác định của biểu thức P là

Ví dụ 1. Tìm điều kiện của x để giá trị của mỗi biểu thức sau được xác định 3x  5 . 6  x  1  2  2 x  1

b) B 

2019 x  2020 . 1, 2  x  0, 7   4  0, 6 x  0,9 

c) C 

2x  3 6x 1  . x  1 2  x  1  3  5 x  2 

KÈ M

a) A 

Hướng dẫn giả a) Giá trị của biểu thức A được xác định với điều kiện:

DẠ

6  x  1  2  2 x  1  0  6 x  6  4 x  2  0  6x  4x  6  2  2x  8 x4

Trang 9

Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là x  4 .

1, 2  x  0, 7   4  0, 6 x  0,9   0  1, 2 x  0,84  2, 4 x  3, 6  0  1, 2 x  2, 4 x  3, 6  0,84  1, 2 x  2, 76  x  2,3 .

Vậy điều kiện xác định của biểu thức B là x  2,3

CI AL

b) Giá trị cả biểu thức B được xác định với điều kiện:

c) Giá trị của biểu thức C được xác định với điều kiện: x  1  0 và 2  x  1  3  5 x  2   0

Với x  1  0  x  1 Với 2  x  1  3  5 x  2   0  2 x  2  15 x  6  0  2 x  15 x  6  2

x

8 . 13

ƠN

 13 x  8

Bài toán 2. Bài toán viết phương trình Phương pháp giải

Vậy điều kiện xác định của biểu thức C là x  1 và x  

8 . 13

hình dưới đây ( S là diện tích của hình).

Ví dụ. Viết phương trình ẩn x rồi tính x (mét) trong

Bước 1. Chọn ẩn và đặt điều kiện của ẩn.

KÈ M

Bước 2. Biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn.

Bước 3. Tìm mối liên hệ giữa các số liệu để lập phương trình.

Bước 4. Giải phương trình và chọn kết quả thích

Chiều dài của hình chữ nhật là: x  x  2 x  m  . Chiều rộng của hình chữ nhật là: 5  m  .

Diện tích của hình chữ nhật là: S  2 x.5  10 x  m 2  . Vì diện tích của hình chữ nhật là 120m 2 . Suy ra ta có phương trình: 10 x  120  x  12. Vậy x  12 .

DẠ

hợp để trả lời.

Hướng dẫn giải

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Viết phương trình ẩn x rồi tính x (mét) trong hình dưới đây ( S là diện tích của hình).

Trang 10

CI AL

Hướng dẫn giải Chiều dài đáy lớn của hình thang là

x  0,5 x  1,5 x  m  .

Chiều dài đáy bé của hình thang là: x  m  . Diện tích của hình thang là: S

 x  1,5 x  .6  15 x 2

m  . 2

ƠN

Vì diện tích hình thang là 150 m 2 .

15 x 2  150  x  150.  x  20. 2 15

Vậy x  20.

Suy ra ta có phương trình

Ví dụ 2. Năm nay, tuổi của bố gấp 4 lần tuổi của Nam. Nam tính rằng 16 năm nữa thì tuổi của bố chỉ còn gấp 2 lần tuổi của em. Viết phương trình biểu thị tuổi của bố theo tuổi của Nam và tính số tuổi của Nam.

Hướng dẫn giải

Gọi x là số tuổi của Nam năm nay, x  * , đơn vị là tuổi. Vì năm nay số tuổi của bố gấp 4 lần số tuổi của Nam nên năm nay số tuổi của bố là 4x . Số tuổi của Nam 16 năm sau là x  16 . Số tuổi của bố 16 năm sau là 4 x  16 .

KÈ M

Vì 16 năm sau số tuổi của bố gấp hai lần số tuổi của Nam Suy ra ta có phương trình: 4 x  16  2  x  16   2 x  32  16  x  8. Vậy hiện nay Nam 8 tuổi. Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Tìm điều kiện của x để mỗi biểu thức sau được xác định

2019 x  2020 . 5  3 x  1  2  4 x  3

DẠ

a) b)

2x  5 6x 1  . 1,5  x  3  2,5  3 x  5  3 x  2  3  4 x  1 2x 1 4x  9  . x  1 2 x  5  3 1  3 x 

Trang 11

CI AL

Câu 2: Viết phương trình ẩn x rồi tính x (mét) trong mỗi hình dưới đây ( S là diện tích của hình).

Hướng dẫn giải bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1. a) Điều kiện xác định của biểu thức là:

5  3 x  1  2  4 x  3  0  15 x  5  8 x  6  0  7 x  11  0  x 

ƠN

b) Điều kiện xác định của biểu thức là:

11 . 7

1,5  x  3  2,5  3 x  5   0 và 3 x  2  3  4 x  1  0.

+) 1,5  x  3  2,5  3 x  5   0  1,5 x  4,5  7,5 x  12,5  0

 1,5 x  7,5 x  12,5  4,5  9 x  17

17 . 9

x

+) 3 x  2  3  4 x  1  0  3 x  2  12 x  3  0  3 x  12 x  2  3

1  9 x  1  x  . 9

KÈ M

Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x 

17 1 và x  . 9 9

c) Điều kiện xác định của biểu thức là:

x  1  0 và 2 x  5  3 1  3 x   0 . +) x  1  0  x  1.

DẠ

+) 2 x  5  3 1  3 x   0  2 x  9 x  5  3  11x  8  x  Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x  1 và x 

8 . 11

Câu 2.

a) Chiều dài đáy lớn hình thang là 2,5x  m  . Trang 12

Chiều dài đáy bé hình thang là 2x  m  .

 2 x  2,5 x  .6  54. 2

Giải phương trình tìm được x  4  m  . b) Phương trình 2 x.4  0,5 x.4  60. Giải phương trình tìm được x  6  m  .

Dạng 3. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm x  a .

CI AL

Diện tích hình thang là 54  m 2  . Suy ra ta có phương trình

Phương pháp giải

Ví dụ. Tìm giá trị của m sao cho phương trình

được phương trình mới với m là ẩn số.

 2 x  1 3x  5m  2   4  x  3  74 x 1.

Bước 2. Giải phương trình với ẩn là m . Giá trị

có nghiệm

Bước 1. Thay x  a vào phương trình. Khi đó ta

Hướng dẫn giải

Thay x  1 vào phương trình ta được

để phương trình có nghiệm x  a .

 2.1  1 3.1  5m  2   4 1  3  74  3  5m  5   16  74  3  5m  5   74  16  3  5m  5   90

Chú ý: Đối với bài toán yêu cầu tìm m để phương trình chỉ có nghiệm x  a hoặc tìm m để

hai phương trình là tương đương, sau khi tìm được

ƠN

của m tìm được chính là điều kiện của tham số m

m ta đem m thay vào phương trình để kiểm tra lại

  

xem ngoài x  a thì phương trình còn nghiệm nào

Vậy với m  5 thì phương trình có nghiệm x  1 .

Ví dụ mẫu

khác hay không.

5m  5  30 5m  30  5 m  5.

Ví dụ 1. Tìm giá trị của m sao cho

a) Phương trình  2 x  1 9 x  2m   5  x  2   40 có nghiệm x  2 . b) Phương trình mx 2  4 x  4  0 có nghiệm x  1 .

KÈ M

Hướng dẫn giải

a) Thay x  2 vào phương trình ta có

 2.2  1 9.2  2m   5  2  2   40

 5 18  2m   20  40  18  2m  12  2m  6  m  3.

DẠ

b) Thay x  1 vào phương trình ta có: m.12  4.1  4  0  m  8. Thử lại: Thay m  8 vào phương trình ta có:

8x2  4 x  4  0  2 x2  x 1  0  2 x2  2 x  x 1  0 Trang 13

 2 x  x  1  x  1  0

Với x  1  0  x  1. 1 Với 2 x  1  0  x   . 2

CI AL

  x  1 2 x  1  0

1 Như vậy ngoài nghiệm x  1 thì phương trình còn một nghiệm nữa là x   . 2

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình chỉ có nghiệm x  1 .

5 Ví dụ 2. Tìm m để hai phương trình sau tương đương  2 x  1  x 2  4 x  5   0 và 5 x  3m  m 2  10m  . 2

Hướng dẫn giải Giải phương trình  2 x  1  x 2  4 x  5   0 . Khi đó:

ƠN

1 Trường hợp 1: 2 x  1  0  x   . 2

Trường hợp 2: x 2  4 x  5  0  x 2  4 x  4  1  0   x  2   1  0 (vô nghiệm). 2

1 vào phương trình chứa tham số m ta có 2

Thay x  

5  1 5.     3m  m 2  10m   m 2  7 m  0  m  m  7   0  m  0 hoặc m  7 . 2  2

Khi đó

Trường hợp 1: m  0 .

Với m  0 , thay vào phương trình có chứa tham số m ta có 5 x  

5 1 x . 2 2

Vậy với m  0 thì hai phương trình đã cho là tương đương. Trường hợp 2: m  7  0  m  7.

KÈ M

Với m  7 , thay vào phương trình có chứa tham số m ta có 5 x  3  7    7   10  7  

5 5  5 x  21  49  70  2 2  5x  

5 2

1 x . 2

DẠ

Vậy với m  7 thì hai phương trình đã cho là tương đương.

Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản Trang 14

Câu 1. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình a)  5m  1 x 2  4 1  2m  x  m  1  0 có nghiệm x  5 .

CI AL

b)  m 2  m  1 x 2  m 2 x  3  0 có nghiệm x  1. Câu 2. Tìm m để phương trình a)  2 x  5  3m  8   4m  9 có nghiệm x  3 . b)  m  2  x  5 x  m  1  0 có nghiệm x  1 .

Hướng dẫn giải bài tập tự luyện dạng 3 a) Thay x  5 vào phương trình ta được phương trình ẩn m :

 5m  1 .52  4. 1  2m  .5  m  1  0  86m  4  0  m 

4 2  . 86 43

2 thì phương trình có nghiệm x  5 . 43

ƠN

Vậy với m 

Câu 1.

b) Thay x  1 vào phương trình ta được phương trình ẩn m :

m

 m  1 .12  m 2 .1  3  0  m  2  0  m  2.

Vậy với m  2 thì phương trình đã cho có nghiệm x  1 . Câu 2.

a) Thay x  3 vào phương trình ta được phương trình ẩn m : 97 . 37

97 thì phương trình có nghiệm x  3 . 37

Vậy với m 

 2.3  5 3m  8  4m  9  0  37m  97  0  m 

b) Thay x  1 vào phương trình ta có phương trình ẩn m :

 m  2  . 1  5.1  m  1  0  2m  6  0  m  3.

KÈ M

Thay vài phương trình ta có x  5 x  4  0. Với x  0 ta có x  5 x  4  0  6 x  4  0  x  

2 (không thỏa mãn). 3

Với x  0 ta có  x  5 x  4  0  4 x  4  0  x  1 (thỏa mãn).

DẠ

Vậy với m  3 thì phương trình đã cho có nghiệm x  1 .

Trang 15

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Mục tiêu

CI AL

 Kiến thức

+ Trình bày được các bước giải và vận dụng thành thạo giải phương trình tích. + Vận dụng được các quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân.  Kĩ năng

Biết cách giải phương trình tích và các phương trình đưa được về dạng phương trình tích.

Biết cách sử dụng một số thuật ngữ liên quan đến phương trình, biết dùng đúng chỗ, đúng lúc

DẠ

KÈ M

ƠN

kí hiệu tương đương "  " .

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình có dạng A  x  .B  x   0 , trong đó

Ví dụ:  x  3  2 x 2  3  0 Mở rộng:

A  x  ; B  x  là các đa thức biến x.

CI AL

Phương trình tích

A1  x  . A2  x  . A3  x  ... An  x   0 Ví dụ: Giải phương trình:

Cách giải: Bước 1. Đưa phương trình về dạng phương trình tích.

A x  0

x 1  0  x  1   .  2 x  2  0 x  1

B  x  0

Lấy tất cả các nghiệm của các phương trình trên. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình tích Phương pháp giải

Thông thường chúng ta giải theo các bước sau:

Bước 1. A  x  .B  x   0  A  x   0 hoặc

KÈ M

ƠN

Vậy phương trình có tập nghiệm S  1;1 .

Bước 3. Kết luận

Bước 2. Giải A  x   0 và B  x   0 .

 x  1 x   3x  2  x  1  0   x  1 x  3 x  2   0

Bước 2. Giải các phương trình

B  x  0 .

Hướng dẫn giải

 x  1 x   3x  2  x  1  0.

Ví dụ 1: Giải phương trình sau

 2 x  3 x  2   0.

Hướng dẫn giải Trong ví dụ này ta có: A  x   2 x  3; B  x   x  2 . 3 Ta có A  x   0  2 x  3  0  x   . 2

B  x   0  x  2  0  x  2.

(Lấy tất cả các nghiệm của chúng).

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

DẠ

Bước 3. Kết luận nghiệm.

3   Vậy nghiệm của phương trình là S  2;  . 2 

 A  x   0 Chú ý: A  x  .B  x   0    B  x   0

P

2 x3  3 x 2  x  2019  x  1 x  2 

Hướng dẫn giải Giá trị của biểu thức P được xác định với điều kiện:

x 1  0 x  1 .  x  2  0  x  2

 x  1 x  2   0  

Vậy điều kiện xác định của biểu thức là Trang 2

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: b)  x 2  5   2 x  3  0.

a)  3 x  4  x  3  0. c)  x  2  2 x  6  3 x  1  0.

Hướng dẫn giải

ƠN

 4 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  3;  .  3

b) Ta có: 2

3  5   2 x  3  0  2 x  3  0 (do x 2  5  0, x )  2 x  3  x  . 2

x

a) Ta có:

4  x 3 x  4  0 3 x  4     3x  4  x  3  0   3 . x  3  0  x  3  x  3 

CI AL

x  1; x  2 .

3 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S    . 2

c) Ta có:

  x  2 x  2  0    x  2  2 x  6  3x  1  0   2 x  6  0   x  3 .  3 x  1  0 1 x  3 

KÈ M

 1  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  2; ;3 .  3 

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Giải các phương trình sau  2x  4 x  3   a)  3 x  2     0. 2   3

x  b)   3   2 x  3 x  2   0. 2 

c)  x  2   2 x  1  0.

DẠ

Câu 2: Tìm điều kiện của x để mỗi biểu thức sau được xác định

x  4  2x2 a) .  2 x  2  x  3

4x  5 .  x  1  2 x  3 x  1 2

Trang 3

Dạng 2: Đưa về phương trình tích

CI AL

Bài toán 1. Đưa về phương trình tích dạng đơn giản Phương pháp giải

Ví dụ: 3 x  2 x  1   2 x  3 2 x  1 . Thực hiện các bước sau:

Hướng dẫn giải

Bước 1. Chuyển tất cả các hạng tử của phương

Chuyển các hạng tử về một vế ta được:

trình đã cho về một vế. (Phân tích đa thức thành nhân tử).

3 x  2 x  1   2 x  3 2 x  1  0.

Bước 2. Biến đổi đưa về dạng phương trình tích

Biến đổi đưa về dạng phương trình tích:

 2 x  1  3x   2 x  3   0   2 x  1 3x  2 x  3  0   2 x  1 x  3  0.

ƠN

1  x 2 x  1  0    2  x  3  0 x  3 

Bước 3. Giải và kết luận nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

1  S   ;3 . 2 

Ví dụ: Giải các phương trình sau

1  x  1 2  x   x  2. 4

Hướng dẫn giải

d) 2 x 2  5 x  3  0.

KÈ M

x  x  2    x  3 x  2   x  x  2    x  3 x  2   0

a) Ta có:

b)  x  3  x 2  x  1  x3  3 x 2 .

a) x  x  2    x  3 x  2  .

Ví dụ mẫu

  x  2   x   x  3   0

  x  2  .  3  0  x  2  0 (do 3  0 )  x  2.

DẠ

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  2 . b) Ta có:

 x  3  x 2  x  1  x3  3x 2   x  3  x 2  x  1  x 2  x  3   x  3  x 2  x  1  x 2  x  3  0

Trang 4

  x  3  x 2  x  1  x 2   0

CI AL

  x  3 x  1  0

x  3  0  x  3   .  x 1  0 x  1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S  3;1 . c) Ta có:

1 1  x  1 2  x   x  2   x  1 2  x   x  2  0 4 4

  x  1 2  x   4  x  2   0   x  1 2  x   4  2  x   0

  2  x  x  5   0

2  x  0 x  2   . x  5  0 x  5

d) Cách 1. 2 x 2  5 x  3  0   2 x 2  2 x    3 x  3  0

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  2;5 .

ƠN

  2  x  x  1  4   0

 2 x  x  1  3  x  1  0   x  1 2 x  3  0

 x  1 x 1  0   .  x  3 2 x  3  0   2

Cách 2.

KÈ M

 3  Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1;  . 2 

Ta có 2  5  3  0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm x  1 và x 

3 . 2

Tổng quát: Cho phương trình ax 2  bx  c  0

Nếu a  b  c  0 thì phương trình có hai nghiệm x  1 và x 

DẠ

Thật vậy:

c . a

ax 2  bx  c  0  a  x 2  1  b  x  1  0 (vì c  b  a )

  x  1  a  x  1  b   0

Trang 5

CI AL

 x  1   x  1 ax  c   0   .  x  c a 

 Nếu phương trình có dạng ax 2  bx  c  0  a  0  , có a  b  c  0 thì phương trình có hai nghiệm x  1 và x 

c . a c a

 Nếu a  b  c  0 thì phương trình có hai nghiệm x  1 và x  .

Bài toán 2. Đưa về dạng phương trình tích bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức Phương pháp giải

Ví dụ: Giải phương trình sau:

 x  3

Bước 1. Chuyển tất cả các hạng tử của phương trình đã cho về một vế.

ƠN

Thực hiện các bước sau:

  2 x  1 . 2

Hướng dẫn giải

Ta chuyển các hạng tử về một vế ta được:

 x  3   2 x  1

 0.

Bước 2. Phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về Sử dụng hằng đẳng thức thứ ba (hiệu của hai bình dạng phương trình tích bằng cách sử dụng các hằng phương) ta được:  x  3   2 x  1   x  3   2 x  1   0

đẳng thức.

KÈ M

Bước 3. Giải và kết luận nghiệm.

  x  3  2 x  1 x  3  2 x  1  0   3 x  4   x  2   0.

4  x 3 x  4  0    3 .   x  2  0  x  2 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 4  S  2;  3 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a)  2 x  1   3 x  2  .

b) 4 x 2   2 x  1 3 x  1  1.

c) x3  8   x  2   x  x 2   0.

d)  x  2   5  x 2  4 x  4   0.

DẠ

Hướng dẫn giải a) Ta có: Trang 6

 2 x  1

  3 x  2    2 x  1   3 x  2   0 2

CI AL

  2 x  1   3 x  2    2 x  1   3 x  2    0

  2 x  1  3 x  2  2 x  1  3 x  2   0   5 x  3  x  1  0

3  x 5 x  3  0    5   x  1  0 x  1 

b) Ta có:

3  Vậy tập nghiệm của phương trình là S   ;1 . 5 

4 x 2   2 x  1 3 x  1  1   4 x 2  1   2 x  1 3 x  1  0

  2 x  1 2 x  1   2 x  1 3 x  1  0

ƠN

  2 x  1 2 x  1  3 x  1  0   2 x  1 5 x  2   0

1  x  2 2 x  1  0   . 5 x  2  0  x  2  5

 2 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S   ;  .  5 2

c) Ta có: x3  8   x  2   x  x 2   0   x  2   x 2  2 x  4    x  2   x  x 2   0   x  2  x2  2x  4  x  x2   0

KÈ M

  x  2  3 x  4   0

x  2 x  2  0   .  x  4 3 x  4  0 3 

 4  Vậy tập nghiệm của phương trình là S   ; 2  . 3 

d) Ta có:  x  2   5  x 2  4 x  4   0   x  2   5  x  2   0

DẠ

  x  2   x  2  5  0 2

  x  2  x  7  0 2

x  2  0  x  2 .   x  7  0  x  7 Trang 7

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  7; 2 . Bài toán 3. Đặt ẩn phụ kết hợp với các phương pháp khác

CI AL

Phương pháp giải

Ví dụ: Giải các phương trình sau

 x  1

Thực hiện các bước sau:

 3  x  1  4  0

Hướng dẫn giải

Ta đặt t   x  1 , khi đó phương trình đã cho trở thành: t 2  3t  4  0 .

ẩn nếu có) để đơn giản phương trình.

Bước 1. Phát hiện và đặt ẩn phụ (kèm điều kiện của

Bước 2. Biến đổi về dạng phương trình tích theo ẩn Bằng cách tách 3t  t  4t , ta sẽ được phương trình tích:  t  1 t  4   0.

mới.

Bước 3. Tìm giá trị của ẩn ban đầu tương ứng với Giải phương trình này ta được t  1 và t  4 là từng giá trị của ẩn phụ.

ƠN

nghiệm của phương trình.  Với t  1 , ta có x  1  1  x  0.  Với t  4 , ta có x  1  4  x  5.

Bước 4. Kết luận nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:

S  0; 5 .

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau a)  x 2  2 x    x 2  2 x   6  0.

c)  x 2  2 x  3 x 2  2 x  1  3. Hướng dẫn giải

b)  2 x  3  2 x  1  4. 2

Ví dụ mẫu

d)  x  1 x  2  x  3 x  4   24.

a) Ta có:  x 2  2 x    x 2  2 x   6  0 (1).

KÈ M

Ta đặt t  x 2  2 x , khi đó phương trình (1) trở thành t 2  t  6  0   t 2  2t    3t  6   0

  t  2  t  3  0

t  2  0 t  2   . t  3  0 t  3

DẠ

+) Với t  2 , ta có x 2  2 x  2  0 (vô nghiệm vì x 2  2 x  1   x  1  0, x nên x 2  2 x  2  0, x ). 2

+) Với t  3 , ta có x 2  2 x  3  0 , quan sát phương trình ta thấy 1   2    3  0 nên phương trình có hai nghiệm là x  1 và x  3 . Trang 8

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1;3 . b) Ta có:  2 x  3  2 x  1  4 (2).   2 x  3   2 x  3  2  4   2 x  3   2 x  3  2  0 . 2

Ta đặt t  2 x  3 , khi đó phương trình (2) trở thành: t 2  t  2  0. Nhận thấy 1   1   2   0 nên phương trình có hai nghiệm t  1 và t  2. +) Với t  1 , ta có: 2 x  3  1  x  2. 1 . 2

+) Với t  2 , ta có: 2 x  3  2  x 

CI AL

1   Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  2;  . 2 

c) Ta có:  x 2  2 x  3 x 2  2 x  1  3

 t  1 t  1  3  t 2  4  t  2

ƠN

Ta đặt t  x 2  2 x  2, t  0 . Khi đó phương trình đã cho trở thành (thỏa mãn) hoặc t  2 (loại).

Với t  2 , ta có: x 2  2 x  2  2  x 2  2 x  0  x  x  2   0  x  0 hoặc x  2.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  2;0 . Chú ý:

x 2  2 x  2   x  1  1  0 với mọi x nên ta đặt điều kiện t  1 để loại nghiệm nhanh. 2

d) Ta có:  x  1 x  2  x  3 x  4   24   x  1 x  4  x  2  x  3  24

  x 2  5x  4  x 2  5 x  6   24.

Đặt t  x 2  5 x  5 , khi đó phương trình đã cho trở thành:

 t  1 t  1  24  t 2  25  t  5

hoặc t  5.

KÈ M

+) Với t  5 , ta có: x 2  5 x  5  5  x 2  5 x  0  x  x  5   0  x  0 hoặc x  5. 2  2 5 5  25 +) Với t  5 , ta có: x  5 x  10  0 (vô nghiệm vì x  5 x  10   x  2.x.      10   2  2   4  2

5  15    x     0, x ). 2 4 

DẠ

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  0;5 . Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Giải các phương trình sau: a) 3 x  2 x  3   x  2  2 x  3  0.

b)  x  3  x 2  3 x  9   x3  3 x 2 . Trang 9

e)  x  3   2 x  1 . 2

2 x  1  2 x  1 x  5    0. 3 6

Câu 2: Giải các phương trình sau a)  3 x 2  2 x   2  3 x 2  2 x   1  0.

CI AL

d) 8  x3   x  2   x 2  x  9   0.

c) x 2  3 x  2  0.

b) 4  3 x  4   3  3 x  4   1  0.

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm x = a

Phương pháp giải

c) x  x  1 x  2  x  1  24.

Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình  m 2  m  1 x 2  2mx  3  0 có nghiệm x  1.

được phương trình mới với m là ẩn số. Bước 2. Giải phương trình với ẩn là m. Giá trị của

m

 m  1 .12  2m.1  3  0

  m  1 m  2   0

m tìm được chính là điều kiện của tham số m để

Thay x  1 vào phương trình ta được:

ƠN

Bước 1. Thay x  a vào phương trình. Khi đó ta

Hướng dẫn giải

phương trình có nghiệm x  a.

m  1  .  m  2

Chú ý: Đối với bài toán yêu cầu tìm m để phương Vậy với m  1 hoặc m  2 thì phương trình nhận trình chỉ có nghiệm x  a hoặc tìm m để hai x  1 là nghiệm.

phương trình là tương đương. Sau khi tìm được m ta đem m thay vào phương trình để kiểm tra lại xem ngoài x  a thì phương trình còn nghiệm nào khác

KÈ M

hay không. Ví dụ mẫu

Ví dụ: Tìm m để hai phương trình sau tương đương:  m 2  1 x  m 2  3m  2  0 ; x  2  0. Hướng dẫn giải

Xét phương trình x  2  0  x  2. Vậy phương trình có tập nghiệm S  2 .

m  1  1 .2  m 2  3m  2  0  m 2  3m  4  0   .  m  4

DẠ

m

Thay vào phương trình  m 2  1 x  m 2  3m  2  0 (1) ta có: 2

Thay m  1 vào (1) ta có: 12  1 .x  12  3.1  2  0  0 x  0  0 (luôn đúng). Vậy phương trình có vô số nghiệm. Trang 10

Thay m  4 vào (1) ta có

 4  1 .x   4 2

 3.  4   2  0  15 x  30  0  x  2.

CI AL

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S  2 . Do đó hai phương trình tương đương khi m  4. Bài tập tự luyện dạng 3 x2 1  m   2m  3 m  1 x. 9 3

Câu 1. Cho phương trình

Tìm giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x  3.

a) Tìm giá trị của m sao cho phương trình nhận x  0 là nghiệm. b) Với mỗi giá trị của m tìm được hãy giải phương trình.

1 2 x  2   2 x  m  1  3m 2  6 chỉ có nghiệm duy  3

ƠN

Câu 3. Tìm giá trị của tham số m để phương trình

Câu 2: Cho phương trình:  3 x  2m  5  x  2m  1  0 , trong đó m là tham số.

nhất x  1 là nghiệm.

Hướng dẫn giải bài tập tự luyện Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1.

 2  2 x  4  3  x  3   2x  4 x  3  a) Ta có:  3 x  2     0   0   3x  2   2  6 6  3  

 4 x  8  3x  9    3x  2   0 6  

DẠ

KÈ M

 x 1    3x  2   0  6 

3 x  2  0   x 1  0  6 3 x  2   x 1  0

2  x   3   x  1.

 2  Vậy tập nghiệm của phương trình là S   ;1 .  3 

Trang 11

CI AL

x x  6 2 3  0   3 x  b)   3   2 x  3 x  2   0   2 x  3  0   x  . 2  2  x  2  0   x  2  3  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S   ; 2;6  . 2  x  2 x  2  0 c)  x  2   2 x  1  0    . x  1 2 x  1  0   2

1  vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S   ; 2  . 2 

Câu 2.

2 x  2  0  x  1  . x  3  0  x  3

 2 x  2  x  3  3  

b) Biểu thức xác định với điều kiện

 x2  1  0 3   x  2  x  1  2 x  3 x  1  0  2 x  3  0   2 . x 1  0  x  1 

ƠN

a) Giá trị của biểu thức được xác định với điều kiện

Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1.

a) Ta có: 3 x  2 x  3   x  2  2 x  3  0

  2 x  3 3 x   x  2    0   2 x  3 2 x  2   0

KÈ M

3  x 2 x  3  0    2.  2 x  2  0 x  1

3  Vậy tập nghiệm của phương trình là S   ;1 . 2 

b) Ta có:  x  3  x 2  3 x  9   x3  3 x 2

  x  3  x 2  3 x  9   x 2  x  3  0

DẠ

  x  3  x 2  3 x  9  x 2   0   x  3 3 x  9   0

x  3  0 x  3   .  3 x  9  0  x  3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  3;3 . Trang 12

c) Ta có: x 2  3 x  2  0   x 2  2 x    x  2   0   x  2  x  1  0

CI AL

x  2  0 x  2   .  x 1  0 x  1 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  1; 2 . d) Ta có:

8  x3   x  2   x 2  x  9   0   2  x   4  2x  x2    2  x   x2  x  9  0

  2  x   4  2x  x2  x2  x  9  0

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  2;5 . e) Ta có: 2

  2 x  1   x  3   2 x  1  0   x  3  2 x  1 x  3  2 x  1  0 2

 x  3

ƠN

2  x  0 x  2   2  x  x  5   0    . x  5  0 x  5

   x  2  3 x  4   0

 x  2  x  4 3 

2 x  1  2 x  1 x  5   0 3 6



2  2 x  1  2 x  1 x  5    0s 6 6

KÈ M

4  Vậy tập nghiệm của phương trình là S  2;  . 3 

 2  2 x  1   2 x  1 x  5   0   2 x  1 2  x  5   0   2 x  1  x  7   0

DẠ

1  x 2 x  1  0    2 .   x  7  0 x  7

 1  Vậy tập nghiệm của phương trình là S   ;7  .  2 

Câu 2. Trang 13

a) Đặt t  3 x 2  2 x, khi đó phương trình đã cho trở thành: t 2  2t  1  0   t  1  0  t  1.

Với t  1 ta có 3 x 2  2 x  1  3 x 2  2 x  1  0  x  1 hoặc x 

CI AL

1 (vì 3   2    1  0 ). 3

 1  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S   ;1 . 3 

b) 4  3 x  4   3  3 x  4   1  0.

4t 2  3t  1  0  t  1 hoặc t 

1 (do 4   3   1  0 ). 4

+) Với t  1 , ta có 3 x  4  1  x  1. 1 1 17 x . , ta có 3 x  4  4 4 12

ƠN

+) Với t 

Đặt t  3 x  4 , khi đó phương trình đã cho trở thành

 17  ; 1 . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S    12 

c) x  x  1 x  2  x  1  24  x  x  1 x  1 x  2   24   x 2  x  x 2  x  2   24.

t  5 Đặt t  x 2  x  1 khi đó phương trình đã cho trở thành:  t  1 t  1  24  t 2  25   . t  5

+) Với t  5 ta có x 2  x  1  5  x 2  x  6  0   x  2  x  3  0  x  2 hoặc x  3 . +) Với t  5 ta có x 2  x  1  5  x 2  x  4  0 (vô nghiệm vì x 2  x  4  0, x ). Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  2; 3 .

KÈ M

Bài tập tự luyện dạng 3

Ta có x  3 là nghiệm của phương trình

x2 1  m   2m  3 m  1 x , nên suy ra: 9 3

32 1  m   2m  3 m  1 .3  1  m   2m  3 m  1 9 3

DẠ

  2m  3 m  1   m  1  0   m  1 2m  4   0

m  1  0 m  1    2m  4  0  m  2

Vậy m  1 và m  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trang 14

Câu 2. a) Phương trình nhận x  0 là nghiệm, nên ta có:

 m   2m  5  0    2m  1  0 m  

5 2 . 1 2

b) +) Với m 

5 1 và m  là giá trị cần tìm. 2 2

5 , phương trình đã cho trở thành:  3 x  x  6   0  x  0 hoặc x  6. 2

Vậy m 

CI AL

 3.0  2m  5 0  2m  1  0   2m  5 2m  1  0

1 +) Với m   , phương trình đã cho trở thành:  3 x  6  .x  0  x  2 hoặc x  0. 2 5 , tập nghiệm của phương trình là S  0;6 . 2

ƠN

Vậy với m 

Câu 3. Phương trình nhận x  1 là nghiệm nên ta có:

1 Với m   , tập nghiệm của phương trình là S  0; 2 . 2

1 3 1  2   2.1 m  1  3m2  6  1  2m  2  3m2  6 3

Với m 

5 . 3

 3m 2  2m  5  0  m  1 hoặc m 

x  1 5 1 4 5 ta có x 2  x   0   3 3 3 3  x  5 5 (không thỏa mãn). 3

KÈ M

Do đó m 

Với m  1 ta có

x  1 1 2 11 x  4x   0   . 3 3  x  11

Do đó m  1 không thỏa mãn.

DẠ

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình chỉ có nghiệm duy nhất x  1.

Trang 15

BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU  Kiến thức

CI AL

Mục tiêu + Nắm vững khái niệm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu.

+ Trình bày được các bước giải và vận dụng thành thạo giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.  Kĩ năng + Biết cách tìm điều kiện xác định của một phương trình chứa ẩn ở mẫu.

+ Biết cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

+ Biết cách sử dụng một số thuật ngữ liên quan đến phương trình, biết dùng đúng chỗ, đúng lúc

DẠ

KÈ M

ƠN

kí hiệu tương đương "  " .

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Điều kiện của x để tất cả các mẫu thức có trong

Ví dụ:

4 2x 1  x0 x  2 x 1

CI AL

Điều kiện xác định của phương trình

Điều kiện xác định: x  2; x  1 .

phương trình khác 0. Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Giải phương trình:

x3 1   0. x4 x

Điều kiện xác định: x  4; x  0.

Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi Quy đồng mẫu hai vế phương trình: Bước 3. Giải phương trình vừa thu được.

 x  3 x  x  4  0 x3 1  0 x4 x x  x  4

khử mẫu.

 x2  4x  4  0   x  2  0 2

3 với điều kiện xác định của phương trình rồi kết luận.

 x  2.

ƠN

Bước 4. So sánh các giá trị của ẩn tìm được ở bước

x  2 thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có tập nghiệm S  2 .

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Phương trình tích

chứa ẩn ở mẫu

A  x  .B  x   0

Phương trình

Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất một ẩn

Cách giải

KÈ M

 A x  0   B  x   0

Quy đồng mẫu rồi khử mẫu

Phương trình bậc nhất một ẩn

ax  b  0  a  0 

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1:

DẠ

Phương pháp giải

Muốn tìm điều kiện xác định của một phương trình, Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của phương trình: ta làm theo các bước sau:

4 7x  2   5x  7 x  1 x  x  1

Trang 2

Bước 1. Đặt điều kiện cho tất cả các mẫu thức trong Bước 1. Ta có: x  1  0 khi x  1

phương trình có giá trị khác 0. Bước 2. Giải các điều kiện này và lấy tất cả các kết quả tìm được.

CI AL

x  x  1  0 khi x  1 và x  0 . Bước 2. và x  0. Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau: 5x  4 4 x  2 1   . x 1 x3 2

5x  6 4 x  3 7 x  2   . x  1 x  x  1 x

Hướng dẫn giải

ƠN

a) Ta có: x  1  0 khi x  1 và x  3  0 khi x  3. vậy điều kiện xác định là x  1 và x  3. x  1  0 khi x  1;

b) Ta có:

Vậy điều kiện xác định của phương trình là x  1

x  x  1  0 khi x  0 và x  1; x  0 khi x  0 .

Vậy điều kiện xác định là x  0 và x  1.

Ví dụ 2. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau: x 7x  7  2  2019. x  1 x  3x  2

 x  1



1 1  x  x 1 x 1 2

Hướng dẫn giải

a) Ta có: x 2  1  0 với mọi giá trị của x;

x 2  3 x  2   x  1 x  2   0 khi x  1 và x  2. b) Ta có:  x  1  0 khi x  1;

KÈ M

1 3  x  x  1   x     0 với mọi giá trị của x; 2 4  2

x  1  0 khi x  1 .

Vậy điều kiện xác định là x  1 và x  1. Sai lầm thường mắc:

DẠ

x 7x  7  2  2019 x  1 x  3x  2 2



7  x  1 x   2019 x  1  x  1 x  2  2

Trang 3



x 7   2019. x 1 x  2 2

CI AL

Điều kiện xác định của phương trình là x  2 . Chú ý: Phải tìm điều kiện trước khi rút gọn phân thức. Ví dụ 3. Điều kiện xác định của phương trình x  A. x  0.

1 1  1 là x 1 x 1

B. x  1.

D. x  1.

C. với mọi x.

Hướng dẫn giải

Chọn D. Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:

 2  x 1  3.  2. b)  2  x 1  2x  3

x2 5 1   x  1 3  x  1 6  x  1 ;

ƠN

Câu 2: Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau: x 1 2x  3  2  3; 2 x  6 x  3x

x 1  . x 1 2

3 x6  2  4; 2x 2x  4x

3 4 x2  2  là x  2. x  2m x  2 x  3 2

Câu 3: Xác định m để điều kiện xác định của phương trình

Phương pháp giải

Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Muốn giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện các bước sau:

KÈ M

Bước 1. Tìm điều kiện xác định.

Ví dụ: Giải phương trình:

x2 8  6 x 1 x  2

Bước 1. Ta có: x  1  0 khi x  1; x  2  0 khi x  2.

Vậy điều kiện xác định là x  1 và x  2 .

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phương Bước 2.

DẠ

trình rồi khử mẫu thức.

Bước 3. Giải phương trình.

Với điều kiện trên ta có phương trình:

 x  2   8.  x  1  6  x  1 .  x  2   x  1 .  x  2   x  1 .  x  2   x  1 .  x  2  2

  x  2   8.  x  1  6  x  1 .  x  2  2

Bước 3. Trang 4

 x 2  4 x  4  8 x  8  6.  x 2  x  2 

 5x2  6 x  8  0  5 x 2  10 x  4 x  8  0  5 x.  x  2   4  x  2   0

định.

  x  2 .5x  4  0 Bước 4.

Bước 5. Viết tập nghiệm.

4 (thỏa mãn điều kiện). 5

 x  2 hoặc x 

Bước 4. Tìm nghiệm và đối chiếu điều kiện xác

CI AL

 x 2  4 x  4  8 x  8  6 x 2  6 x  12

Bước 5. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 2x 1  7; x 3

x2  5  x  3. x 1

ƠN

 4  S   ; 2  .  5 

Hướng dẫn giải

a) Ta có: x  3  0 thì x  3. Điều kiện xác định là x  3.

2x 1 2 x  1 7  x  3 7   2 x  1  7 x  21 x 3 x 3 x 3

Ta có:

 2 x  7 x  21  1  5 x  20

 x  4 (thỏa mãn điều kiện).

KÈ M

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  4 . b) Ta có: x  1  0 khi x  1 . Điều kiện xác định là x  1 . Với điều kiện trên, ta có phương trình tương đương với: x2  5 x 2  5  x  3 .  x  1  x 3    x 2  5   x  3 .  x  1 x 1 x 1 x 1

 x2  5  x2  2x  3

DẠ

 2 x  5  3  2 x  2  x  1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  1 . Trang 5

6 4 9   ; x.  x  1  x  1 .  x  2  x.  x  2 

2 4x 1 5x2  1  2  3 . x 1 x  x 1 x 1

CI AL

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải a) Ta có: x.  x  1  0 khi x  0 và x  1; khi x  1 và x  2;

 x  1 .  x  2   0

Vậy điều kiện xác định của phương trình là x  0; x  1 và x  2. Với điều kiện trên, ta có:



ƠN

6 4 9   x.  x  1  x  1 .  x  2  x.  x  2 

x  x  2   0 khi x  0 và x  2.

6.  x  2  9.  x  1 4x   x.  x  1 .  x  2  x.  x  1 .  x  2  x.  x  1 .  x  2 

 6.  x  2   4 x  9.  x  1  6 x  12  4 x  9 x  9  6 x  4 x  9 x  9  12

 x  3 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  3 .

b) Ta có: x3  1   x  1 .  x 2  x  1 .

Do x 2  x  1  0, x nên điều kiện xác định là x  1.



2 4x 1 5x2  1  2  3 x 1 x  x 1 x 1

KÈ M

Ta có:

2.  x 2  x  1

 x  1  x 2  x  1



 4 x  1 .  x  1  5x2  1  x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1

 2.  x 2  x  1   4 x  1 .  x  1  5 x 2  1

 2 x2  2 x  2  4 x2  5x  1  5x2  1

DẠ

 x 2  3x  2  0

 x2  2x  x  2  0  x  x  2   x  2  0

  x  1 .  x  2   0 Trang 6

 x  1 (không thỏa mãn) hoặc x  2 (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  2 .

CI AL

Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản Câu 1: Giải các phương trình sau: x2  x  0. b) x 5

4 5 a)   3. x 3 5x  3 10 4 . x2 x2

x  2 x 1 2   . x x  1 x  x  1

1 1 4   2 . x2 x2 x 4

x3  2. x2  1

3 3 2 . x 5 x 5

Câu 4: Giải các phương trình sau:

2x  2  1. x.  x 2  1

Câu 5: Cho biểu thức A 

x2  5x  6 . Giải phương trình A  2. x2  4x  4

ƠN

Câu 3: Giải các phương trình sau:

Câu 2: Giải các phương trình sau:

Bài tập nâng cao

1 1 1 3    . x  x  1  x  1 x  2   x  2  x  3 10

Câu 6: Giải phương trình sau:

Phương pháp giải

Dạng 3: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

KÈ M

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình:

x x 1 5   . x 1 x 2

Bước 1. Ta có: x  0 x  1  0 khi x  1.

Vậy điều kiện xác định là x  0 và x  1.

Bước 2. Đặt ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ Bước 2.

(nếu có).

Đặt t 

DẠ

Chú ý: Chỉ nên đặt những điều kiện đơn giản. Bước 3. Giải phương trình mới, tìm ẩn phụ.

x điều kiện t  0. x 1

Bước 3. Ta có phương trình: 1 5 2t 2 2 5t t      2t 2  2  5t t 2 2t 2t 2t

Trang 7

 2t 2  5t  2  0  2t  t  2    t  2   0   2t  1 .  t  2   0  2t  1  0 hoặc t  2  0

Bước 4. Với t 

điều kiện xác định.

1 x 1   2x  x 1 ta có 2 x 1 2

Bước 4. Tìm nghiệm của phương trình và đối chiếu

1 (thỏa mãn) hoặc t  2 (thỏa mãn). 2

t

CI AL

 2t 2  4t  t  2  0

 x  1 (thỏa mãn).

x  2  x  2x  2 x 1

ƠN

Với t  2 ta có

 x  2 (thỏa mãn).

Bước 5. Kết luận.

Bước 5.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

S  2;1 .

x2  1 2x  2  3. x x 1

Hướng dẫn giải a) Điều kiện xác định: x  0

1 3x  6  2  5. x  2 x  3x  3

x , điều kiện t  0. x 1 2

KÈ M

Đặt t 

b) x 

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

Ví dụ mẫu

Ta có phương trình:

1 1 2t 2 3t  2t  3     1  2t 2  3t  2t 2  3t  1  0 t t t t

 2t 2  2t  t  1  0

 2t  t  1   t  1  0

DẠ

  t  1 2t  1  0

1  t  1 hoặc t  . 2

Trang 8

Với t  1 ta có

x  1  x2  1  x  x2  x  1  0 x 1 2

CI AL

1 1 1  x 2  2. .x        1  0 2 2 2 2

1 3    x     0. 2 4 

1 x 1   2x  x2  1  x2  2x  1  0 ta có 2 2 x 1 2   x  1  0 2

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  1 . b) Điều kiện xác định: x  2 .

3 x  2 1 3x  6 1  2  5  x 1  2 4 x  2 x  3x  3 x  2 x  3x  3

Ta có x 

ƠN

 x  1 (thỏa mãn).

Với t 

1 3  Ta có  x     0 với mọi giá trị x nên phương trình vô nghiệm. 2 4 

x 2  3x  3 3  x  2    2  4. x2 x  3x  3

x2 , điều kiện: t  0 . x  3x  3 2

1 1 3t 2 4t  3t  4     1  3t 2  4t. t t t t

Ta có phương trình

Đặt t 

 3t 2  4t  1  0  3t 2  3t  t  1  0

KÈ M

 3t.  t  1   t  1  0   3t  1 .  t  1  0

1  t  1 hoặc t  . 3

x2  1  x  2  x 2  3x  3 x  3x  3 2

DẠ

Với t  1 ta có

 x2  4x  5  0  x 2  2.2.x  4  1  0   x  2   1  0. 2

Ta có  x  2   1  1 với mọi x  2 nên với t  1 thì phương trình vô nghiệm. 2

Trang 9

Với t 

1 x2 1   3x  6  x 2  3x  3 ta có 2 3 x  3x  3 3

CI AL

 x2  6x  9  0   x  3  0 2

 x  3 (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  3 .



1  5. x

Ví dụ 2. Giải phương trình:

 x  1

Điều kiện xác định : x  0 .

Đặt t 

 x  1  1  1  6   x  1  x  1  6. 1  5 x x2 x x2 x

x 1 . x

ƠN

Ta có

 x  1

Hướng dẫn giải

Ta có phương trình: t 2  t  6  t 2  t  6  0  t 2  2t  3t  6  0

 t.  t  2   3.  t  2   0

  t  3 .  t  2   0  t  3 hoặc t  2. x 1  2  x  1  2 x  x  1 (thỏa mãn). x x 1 1  3  x  1  3 x  4 x  1  x  (thỏa mãn). x 4

 Với t  3 ta có

 Với t  2 ta có

 1 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  1;  .  4

Bài tập tự luyện dạng 3

KÈ M

Bài tập cơ bản

Câu 1: Giải phương trình: x 

3  x  1 2  2  4. x 1 x  x  2

Bài tập nâng cao

Câu 2: Giải phương trình sau: x 2  x 

DẠ

Câu 3: Giải phương trình sau: x 2 

8  2. x x 2

 x  1

 3.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm x = a Phương pháp giải Trang 10

Muốn tìm điều kiện của tham số m để phương trình Ví dụ: Tìm tham số m để phương trình 2x  m 2  m 3   có nghiệm x  2. x 1 x 2

Bước 1. Tìm điều kiện xác định.

Bước 1. Ta có x  1  0 khi x  1 x  0.

CI AL

có nghiệm x  a , ta thực hiện các bước sau:

Vậy điều kiện xác định là x  0 và x  1 . Bước 2.

Bước 2. Kiểm x  a có thỏa mãn điều kiện không.

Có x  2 (thỏa mãn điều kiện).

Bước 3. Thay x  a vào phương trình tìm tham số Bước 3. Thay x  2 vào phương trình. m. Ta có

ƠN

2.2  m 2  m 3 2m 3    4m  2 1 2 2 2 2 

8  2m 2  m 3   2 2 2

 8  2m  2  m  3  3m  7

m

Bước 4. Kết luận.

Bước 4.

Ví dụ mẫu

7 . 3

KÈ M

Ví dụ 1. Tìm tham số m để phương trình

Vậy m 

7 thì phương trình có nghiệm x  2. 3

xm  3 x  m có nghiệm x  1. x

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định x  0.

Ta có x  1 (thỏa mãn điều kiện xác định). Thay x  1 vào phương trình ta được:

1 m  3.1  m  1  m  3  m  m  1 . 1

DẠ

Vậy m  1 thì phương trình có nghiệm x  1. Ví dụ 2. Cho phương trình ẩn x :

2 x  a 2 x  a 3a 2  2a    0. 2x  a 2x  a 4x2  a2

Xác định a để phương trình có nghiệm x  1. Trang 11

Hướng dẫn giải Ta có 4 x 2  a 2   2 x  a  .  2 x  a  a a . và x  2 2

CI AL

Suy ra điều kiện xác định của phương trình x  Vì x  1 là nghiệm nên a  2 và a  2 . Thay x  1 vào phương trình ta được

2  a 2  a 3a 2  2a    0  2  a  . 2  a   2  a  . 2  a   2  a  . 2  a  2

  2  a    2  a   3a 2  2a  0 2

  2  a  2  a  2  a  2  a   3a 2  2a  0

ƠN

  2a  .  4   3a 2  2a  0

2  a 2  a 3a 2  2a    0 (Điều kiện xác định: a  2 và a  2 ) 2a 2a 4  a2

 3a 2  8a  2a  0  3a  a  2   0

 3a 2  6a  0

 a  0 (thỏa mãn) hoặc a  2 (không thỏa mãn).

Bài tập tự luyện dạng 4

2 x  3m  6 x  m có nghiệm x  1. x

Câu 1: Tìm tham số m để phương trình

Vậy a  0 thì phương trình có nghiệm x  1.

Câu 2: Cho phương trình ẩn x:

x  a x  a 3a 2  a    0. x  a x  a x2  a2

KÈ M

Xác định a để phương trình có nghiệm x  1. Câu 3: Tìm tham số m để phương trình

xm 2m   1 có nghiệm x  2. x 1 x

Hướng dẫn giải bài tập tự luyện

Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1.

a) Ta có: x  1  0 khi x  1;

DẠ

3  x  1  0 khi x  1; 6  x  1  0 khi x  1.

Vậy điều kiện xác định là x  1. b) Ta có: x 2  1  1 với mọi x; Trang 12

3 2 x  3  0 khi x  . 2

CI AL

3 Vậy điều kiện của phương trình là x  . 2

Câu 2. a)

x 1 2x  3 x 1 2x  3  2 3   3. 2 x  6 x  3x 2  x  3 x  x  3

Điều kiện: x  3  0; x  0 suy ra x  3; x  0. 3 x6 3 x6  2 4   4. 2x 2x  4x 2x 2x  x  2

Điều kiện: 2 x  0; x  2  0 suy ra x  0; x  2. c) Ta có x 2  1  1  0 với mọi x. Điều kiện: với mọi x. Ta có x  2m  0 khi x  2m; x 2  2 x  3  0

ƠN

Câu 3.

Mà x 2  2 x  3   x  1  2  2  0 , với mọi x nên x 2  2 x  3  0 , với mọi x. 2

Do đó điều kiện của phương trình là x  2m.

Vậy để điều kiện xác định của phương trình là x  2 thì 2m  2  m  1. Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản Câu 1.

4 5   3  12  5 x  9 x  x  3 (thỏa mãn). x 3

Với điều kiện trên ta có

a) Điều kiện xác định x  0.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  3 . b) Điều kiện xác định x  5.

KÈ M

x2  x  0  x 2  x 2  5 x  0  x  0 (thỏa mãn). x 5

Vậy tập nghiệm của phương trình S  0 . Câu 2.

a) Điều kiện xác định: x  2.

5x  3 10 4  5 x  3  4 x  8  10  x  1 (thỏa mãn). x2 x2

DẠ

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1 . b) Điều kiện xác định: x  0, x  1. x  2 x 1 2     x  2  x  1  x.  x  1  2 x x  1 x  x  1

Trang 13

 4 x  0  x  0 (không thỏa mãn).

CI AL

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S   . Câu 3. a) Điều kiện xác định: x  5. Rút gọn

3 ở hai vế phương trình ta được 2  0 (vô lí). x 5

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  .

b) Điều kiện xác định: x  2; x  2.

4  4 (thỏa mãn với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định).

Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu ta được: Vậy phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị của x khi x  2; x  2. Câu 4.

2x  2 2 1  1  x2  x  2  0 2 x x  1 x.  x  1    x  1 (loại) hoặc x  2 (thỏa mãn).

b) Điều kiện: Với mọi giá trị của x.

x3  2  x  3  2x2  2  2x2  x 1  0 2 x 1

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  2 .

ƠN

a) Điều kiện: x  0; x  1

 2x2  2x  x 1  0   2 x  1 .  x  1  0

1  x  1 hoặc x   . 2

Câu 5.

KÈ M

 1  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S   ;1 .  2 

Xét phương trình A  2 

x2  5x  6  2 có điều kiện xác định là x  2. x2  4x  4

DẠ

x2  5x  6  2  x2  4 x  4 x2  5x  6 A2 2 2 0 x  4x  4 x2  4x  4  

 x 2  3x  2

 x  2

0

  x  1 x  2 

 x  2

0

Trang 14



  x  1 0 x2

CI AL

 x  1.

Vậy tập nghiệm của phương trình S  1 . Bài tập nâng cao Câu 6. Điều kiện xác định: x  0; x  1; x  2; x  3.

1 1 3    10  x  3  10 x  3 x  x  3 x x  3 10



1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3           x  x  1  x  1 x  2   x  2  x  3 10 x x  1 x  1 x  2 x  2 x  3 10

 10 x  30  10 x  3 x 2  9 x  3 x 2  9 x  30  0  x 2  3 x  10  0  x 2  2 x  5 x  10  0

ƠN

 x  x  2   5  x  2   0   x  2  x  5   0

x  2  0  x  5  0

x  2 (thỏa mãn).   x  5 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  2; 5 . Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1.

Phương trình biến đổi thành: Đặt t 

Điều kiện: x  1.

x 2  x  2 3  x  1  2  4. x 1 x x2

x2  x  2 (điều kiện: t  0 ). x 1

KÈ M

3 Ta có phương trình: t   4  t 2  4t  3  0 t  t  1 hoặc t  3 (thỏa mãn).

x2  x  2  1  x 2  2 x  3  0 (vô nghiệm). x 1

 Với t  3 ta có

x2  x  2  3  x 2  4 x  5  0 (vô nghiệm). x 1

 Với t  1 ta có

DẠ

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  . Bài tập nâng cao Câu 2.

Ta có: x 2  x  x  x  1 . Trang 15

Điều kiện xác định: x  0; x  1. Đặt t  x 2  x (điều kiện t  0 ).

CI AL

8 Ta có phương trình t   2  t 2  2t  8  0  t  2 (thỏa mãn) hoặc t  4 (thỏa mãn). t

 Với t  2 ta có x  1; x  2 (thỏa mãn).  Với t  4 ta thấy phương trình vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  1; 2 .

Câu 3. Điều kiện xác định: x  1. 2

 x2   x2    1   3  0  x 1   x 1 

 x2  x 1  0  2  x  3 x  3  0

1  2

ƠN

 x2   x2  x  x  3   2 3  0 x   2 x. x 1  x 1   x 1   x 1 

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với

1 1 5 Giải (1): x 2  x  1  0  x 2  2. .x      0 2 2 4 2

1 5  x   0 2 4 

1 5 1 5  hoặc x    2 2 2 2

x

1 5 1 5 . hoặc x  2 2

 x

3 3 3 Giải (2): x  3 x  3  0  x  2. .x      0 2 2 4 2

KÈ M

3 3    x     (vô nghiệm). 2 4 

 5  1  5  1  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S   ; . 2   2

DẠ

Câu 1.

Bài tập tự luyện dạng 4 Điều kiện xác định: x  0. Ta có x  1 (thỏa mãn điều kiện xác định). Thay x  1 vào phương trình ta được:

2  3m  6.1  m  m  1 . 1

Trang 16

Vậy với m  1 thì phương trình có nghiệm x  1. Câu 2.

CI AL

Điều kiện xác định: x  a và x  a . Vì x  1 là nghiệm của phương trình nên a  1 và a  1 . Thay x  1 vào phương trình ta được

1  a 1  a 3a 2  a    0  3a  a  1  0  a  0 (thỏa mãn điều kiện) hoặc a  1 (không thỏa mãn). 1  a 1  a 1  a2

Vậy a  0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 3.

Điều kiện xác định: x  1; x  0 .

Ta thấy x  2 thỏa mãn điều kiện. Thay x  2 vào phương trình ta được:

DẠ

KÈ M

Vậy m  0 thì phương trình có nghiệm x  2.

ƠN

2  m 2  m   1  4  2m  2  m  2  m  0 1 2

Trang 17

CHƯƠNG 3 Mục tiêu  Kiến thức Nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình.  Kĩ năng

DẠ

KÈ M

ƠN

Biết cách giải và trình bày lời giải bài toán bằng cách lập phương trình.

CI AL

BÀI 5. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Trang 1

I. Lí thuyết trọng tâm Ví dụ: Tổng số táo ở hai thùng là 50 quả. Biết

Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình

Lập phương trình.

CI AL

Bước 1:

số táo ở thùng thứ hai gấp 4 lần số táo ở thùng

Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp thứ nhất. Tìm số táo trong mỗi thùng. Gọi số táo ở thùng thứ nhất là x , đơn vị: quả cho ẩn. Biểu diễn các đại lượng chưa biết

 x   ; x  50  .

theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Số táo ở thùng thứ hai là 4x (quả).

Lập phương trình biểu thị mối quan Vì tổng số táo là 50 quả nên ta có phương hệ giữa các đại lượng. trình: Bước 2:

x  4 x  50  5 x  50  x  10

Giải phương trình.

Kiểm tra trong các nghiệm của Số táo ở thùng thứ hai là 4.10 =40 (quả).

Kết luận

phương trình nghiệm nào thỏa mãn.

ƠN

Bước 3:

Vậy số táo thùng thứ nhất và thùng thứ hai lần

lượt là 10 quả và 40 quả.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1. Bài toán liên quan đến chuyển động

t: thời gian

v

S t

t

S v

S  v.t

KÈ M

S: quãng đường

v:vận tốc

Bài toán 1. Bài toán không có sự ảnh hưởng của vận tốc gió, vận tốc dòng nước Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Một xe vận tải đi từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 50 km/h, rồi từ B quay ngay về A với vận tốc 40 km/h. Thời gian cả đi và về của xe là 9 giờ. Tìm chiều dài quãng đường AB.

Hướng dẫn giải

DẠ

Gọi quãng đường AB là x (km), điều kiện: x  0 . Thời gian xe đi từ A đến B là

x (giờ). 50

Thời gian xe đi từ B đến A là

x (giờ). 40

Trang 2

Vì xe cả đi và về mất thời gian là 9 giờ nên ta có:

 x  200 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy chiều dài quãng đường AB là 200 km.

CI AL

x x 4x 5x 9x  9 9 + = 9 50 40 200 200 200

Ví dụ 2. Một người đi xe gắn máy, đi từ địa điểm A đến địa điểm B trên một quãng đường dài 40km. Lúc trở về người đó đi theo con đường khác dài 48km với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lượt đi là 6 km/h. Thời gian 3 thời gian lượt đi. Tìm vận tốc lượt đi và lượt về của người đó. 2

lượt về bằng

Phân tích bài toán

Gọi vận tốc lượt về là x (km/h) (vì vận tốc lượt về nhỏ hơn vận tốc lượt đi). Thời gian (h)

Quãng đường (km)

Lượt đi

x6

40 x6

Lượt về

48 x

Suy ra phương trình

48 3 40 = . . x 2 x6

ƠN

Vận tốc (km/h)

Hướng dẫn giải Lượt về, người đó đi với:

+) Quãng đường là 48 (km).

Gọi vận tốc lượt về của người đi xe gắn máy là x (km/h), điều kiện: x  0 .

+) Vận tốc là x (km/h). +) Thời gian là

48 (giờ). x

KÈ M

Lượt đi, người đó đi với:

+) Quãng đường là 40 (km). +) Vận tốc là x  6 (km/h). +) Thời gian là

40 (giờ). x6

Vì thời gian lượt về bằng

3 thời gian lượt đi nên ta có phương trình: 2

DẠ

48 3 40 16 20 4 5     = . x 2 x6 x x6 x x6



4  x  6 5x  x  x  6 x  x  6

Trang 3

 4  x  6  5x  4 x  24  5 x

CI AL

 x  24 (thỏa mãn điều kiện).

Suy ra vận tốc lượt đi của người đó là 24 + 6 =30 (km/h).

Vậy vận tốc lượt đi và lượt về của người đi xe gắn máy lần lượt là 30 km/h và 24 km/h. Ví dụ 3. Một xe máy khởi hành từ điểm A, chạy với vận tốc 40 km/h. vận tốc 60 km/h. Hỏi xe hơi chạy trong bao lâu thì đuổi kịp xe máy ? Gọi thời gian xe hơi chạy để đuổi kịp xe máy là x (giờ). Vận tốc (km/h)

Thời gian

Quãng đường

(h)

(km)

60x

Xe máy

x3

40  x  3

ƠN

Xe hơi

Phân tích tư duy

Sau đó 3 giờ, một xe hơi cũng xuất phát từ điểm A đuổi theo xe máy với

Suy ra phương trình 60 x  40  x  3 . Hướng dẫn giải

Gọi thời gian xe hơi chạy để đuổi kịp xe máy là x (giờ), điều kiện x  0 . Thời gian đi của xe máy là x  3 (giờ).

Quãng đường đi của xe hơi là 60x (km/h).

Quãng đường đi của xe máy là 40  x  3 (km/h).

Vì khi xe hơi đuổi kịp xe máy thì quãng đường hai xe đi được bằng nhau nên ta có phương trình

60 x  40  x  3  60 x  40 x  120  20 x  120

KÈ M

 x  6 ( thỏa mãn điều kiện).

Vậy thời gian xe hơi chạy để đuổi kịp xe máy là 6 giờ. Bài toán 2. Bài toán có sự ảnh hưởng của vận tốc gió, vận tốc dòng nước Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc xe + Vận tốc dòng nước

Vận tốc ngược dòng = Vận tốc xe - Vận tốc dòng nước

DẠ

Ví dụ mẫu Ví dụ. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B mất 4 giờ và ngược dòng từ B đến A mất 6 giờ. Tính khoảng cách từ A đến B, biết vận tốc dòng nước là 6 km/h. Cách 1. Dựa vào công thức: Phân tích tư duy Trang 4

Gọi khoảng cách từ A đến B là x (km). Thời gian (h)

Xuôi dòng

x 4

Ngược dòng

x 6

x x

x x   2.6 . 4 6

Suy ra phương trình

Quãng đường (km)

x (h). 4

Thời gian ca nô đi ngược dòng từ B đến A là

x (h). 6

ƠN

Thời gian ca nô đi xuôi dòng từ A đến B là

Hướng dẫn giải Gọi khoảng cách từ A đến B là x (km), điều kiện: x  0 .

CI AL

Vận tốc (km/h)

Vì : Vận tốc xuôi dòng – Vận tốc ngược dòng = 2 x Vận tốc dòng nước nên ta có phương trình:

Vậy khoảng cách từ A đến B là 144 km.

x x   2.6  3 x  2 x  144  x  144 (thỏa mãn điều kiện). 4 6

Cách 2. (Bài toán xuôi dòng, ngược dòng thường gọi ẩn là vận tốc riêng của ca nô). Phân tích bài toán

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h).

Ngược dòng

Thời gian (h)

Quãng đường (km)

x6

4  x  6

x6

6  x  6

Xuôi dòng

Vận tốc (km/h)

KÈ M

Suy ra phương trình 4  x  6   6  x  6  Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h), điều kiện x  6 . Vận tốc ca nô đi xuôi dòng từ A đến B là: x  6 (km/h). Vận tốc ca nô đi ngược dòng từ B đến A là: x  6 (km/h).

Vì quãng đường khi ca nô đi xuôi dòng và ngược dòng là bằng nhau nên ta có:

DẠ

4  x  6   6  x  6   4 x  24  6 x  36  6 x  4 x  24  36  2 x  60  x  30 (thỏa mãn điều kiện)

Trang 5

Khoảng cách từ A đến B là 4.  30  6   144 (km). Vậy khoảng cách từ A đến B là 144km.

CI AL

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1. Gọi x (km/h) là vận tốc của một xe máy. Khi đó quãng đường xe máy đi được trong 4 giờ là A. 4x (km).

x (km). 4

4 (km). x

D. x  4 (km).

thời gian ca nô đi xuôi dòng quãng đường 100 km trên sông là 20 giờ. 3

B. 5 giờ.

C. 4 giờ.

D. 7 giờ.

Câu 2. Một ca nô đi trên sông Hồng với vận tốc riêng là 20 km/h, vận tốc dòng nước là 5 km/h. Khi đó

Câu 3. Lúc 7 giờ, một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 30 km/giờ. Sau đó một giờ, người thứ hai cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 45 km/giờ. Hỏi đến mấy giờ người thứ hai mới đuổi kịp người thứ nhất? Nơi gặp nhau cách A bao nhiêu km? nước yên lặng biết vận tốc dòng nước là 3 km/h.

ƠN

Câu 4. Một ca nô chạy trên khúc sông dài 30 km cả đi và về hết 5 giờ 20 phút. Tính vận tốc ca nô khi Câu 5. Lúc 6 giờ 30 phút, một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 70 km/h. Khi đến B, ô tô nghỉ 1 giờ 30 phút,

Dạng 2. Bài toán liên quan đến hình học Phương pháp giải

Tứ giác Hình vuông cạnh a: Chu vi

Diện tích

C  4a

S  a2

Hình chữ nhật với kích thước a, b: Chu vi

Diện tích

C  2 a  b

S  a.b

Hình thang có chiều cao h và hai đáy a,b: 1 S  .  a  b  .h 2

KÈ M

Tam giác

rồi quay về A với vận tốc 60 km/h và đến A lúc 11 giờ 15 phút cùng ngày. Tính quãng đường AB.

DẠ

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Một hình chữ nhật có chu vi 300 cm. Nếu tăng chiều rộng thêm 5 cm và giảm chiều dài đi 5 cm thì diện tích tăng 275 cm 2 . Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật. Phân tích bài toán Trang 6

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x  cm  . Chiều rộng  cm 

Diện tích  cm 2 

Ban đầu

150  x

x 150  x 

Lúc sau

x 5

150  x  5  155  x

155  x  x  5

CI AL

Chiều dài  cm 

Suy ra phương trình 155  x  x  5   x 150  x   275 .

Hướng dẫn giải Gọi chiều dài ban đầu hình chữ nhật là x  cm  , điều kiện x  5 . 300  150  cm  . 2

Nửa chu vi của hình chữ nhật là

Chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là 150  x  cm  .

ƠN

Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là x 150  x   cm 2  . Chiều rộng mới của hình chữ nhật là 150  x  5  155  x  cm  . Chiều dài mới của hình chữ nhật là x  5  cm  .

Vì diện tích mới tăng 275 cm 2 nên ta có:

Diện tích mới của hình chữ nhật là 155  x  x  5   cm 2  .

155  x  x  5  x 150  x   275   x 2  160 x  775  150 x  x 2  275

 10 x  1050

 x  105 (thỏa mãn điều kiện).

Chiều rộng của hình chữ nhật là 150 – 105 = 45  cm  . Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 150 cm và 45 cm . Ví dụ 2. Cho tam giác đều ABC, khi tăng mỗi cạnh của tam giác ABC lên 2 cm thì diện tích của tam giác 25 lần. Tính chu vi của tam giác ABC lúc đầu. 9

KÈ M

ABC tăng lên

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài cạnh của tam giác ABC lúc đầu là x  cm  , điều kiện x  0 .

Độ dài cạnh mới của tam giác ABC là x  2  cm  .

DẠ

Tỉ số đồng dạng của tam giác mới và tam giác ban đầu là

x2 (lần). x

Vì tỉ số diện tích của hai tam giác bằng bình phương tỉ số đồng dạng của chúng nên ta có: 2

x2 25 x2 5  x2  0)   (vì x  0 nên    x 9 x 3  x 

Trang 7

 5x  3  x  2  5 x  3x  6

CI AL

 2x  6  x  3 ( thỏa mãn điều kiện).

Chu vi của tam giác ABC lúc đầu là: 3.3  9  cm  . Vậy chu vi của tam giác ABC lúc đầu là 9 cm .

Bài tập tự luyện dạng

Câu 1. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 10m. Gọi chiều rộng của khu vườn là

A. y  y  10   m 2  .

y  m  , khi đó diện tích của khu vườn là B.  y  10   m 2  .

C. y 2  m 2  .

D. y  y  10   m 2  .

Câu 2. (Đề thi vào THPT Hà Nội 2018) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 28 mét, độ dài đường

ƠN

chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh đất đó theo mét. Câu 3. Tính cạnh của một hình vuông biết rằng nếu chu vi tăng 12 m thì diện tích tăng thêm 135 m 2 . 2 cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 2 cm và cạnh đáy giảm 3

Câu 4. Tam giác MNP có chiều cao bằng

đi 2 cm thì diện tích của tam giác MNP tăng thêm 10 cm 2 . Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác MNP.

đo các cạnh của mỗi hình vuông.

Câu 5. Hiệu số đo chu vi của hai hình vuông là 32m và hiệu số đo diện tích của chúng là 464 m 2 . Tìm số

Dạng 3. Bài toán liên quan đến năng suất Phương pháp giải

Bài toán liên quan đến năng suất thường xuất hiện Ví dụ: Một hợp tác xã dự định trung bình mỗi

KÈ M

các đại lượng: năng suất, thời gian, tổng sản phẩm. Ta sử dụng các công thức sau để giải bài toán:

Công thức 1: Số sản phẩm = Năng suất x Thời gian.

tuần đánh được 20 tấn cá. Nhưng do vượt mức 6 tấn/tuần nên chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm hơn 1 tuần mà còn vượt mức 10 tấn. Tính số tấn cá hợp tác xã đã dự định đánh bắt. Hướng dẫn giải Gọi số tấn cá hợp tác xã đã dự định đánh bắt là

Công thức 3: Thời gian = Số sản phẩm : Năng suất.

x (tấn), điều kiện: x  0 .

DẠ

Công thức 2: Năng suất = Số sản phẩm : Thời gian.

Thời gian hợp tác xã dự định đánh bắt là

x 20

(tuần). Trang 8

Thực tế số tấn cá hợp tác xã đánh bắt thực tế là x  10 (tấn).

x  10 26

CI AL

Nên thời gian hợp tác xã đánh bắt là (tuần).

Vì hoàn thành kế hoạch sớm hơn 1 tuần nên ta có phương trình:

x x  10   1  13 x  10  x  10   260 20 26

 13 x  10 x  360  3 x  360  x  120 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số tấn cá hợp tác xã dự định đánh bắt cá

ƠN

là 120 (tấn).

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: “Vì sự nghiệp 10 năm trồng cây”, lớp 8T tham gia trồng cây ở một lâm trường trong một

thời gian dự định với năng suất 300 cây/ngày. Thực tế lớp đã trồng thêm được 100 cây mỗi ngày. Do đó lớp đã trồng thêm được tất cả là 600 cây và hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày. Tính số cây lớp 8T dự định trồng. Phân tích tư duy

Gọi số cây dự định trồng của lớp 8T là x (cây). Thời gian (ngày)

Số sản phẩm (cây)

300

x 300

400

x  600 400

x  600

Năng suất (cây/ngày) Dự định

KÈ M

Thực tế

Suy ra phương trình:

x x  600  1. 300 400

Hướng dẫn giải

Gọi số cây dự định trồng của lớp 8T là x (cây), điều kiện: x  * . Dự định, lớp 8T có:

Số cây trồng là x (cây).

DẠ



Năng suất là 300 (cây/ngày).



Thời gian trồng cây là

x (ngày). 300

Thực tế, lớp 8T có: Trang 9



Số cây trồng là x  600 (cây).



Năng suất là 400 (cây/ngày).



Thời gian trồng cây là

CI AL

x  600 (ngày). 400

Vì lớp đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày nên ta có: x x  600   1  4 x  3 x  1800  1200 . 300 400

Vậy số cây dự định trồng của lớp 8T là 3000 cây.

Bài toán 1. Bài toán liên quan đến công việc làm chung, làm riêng

 x  3000 (thỏa mãn điều kiện).

Phương pháp giải

Bài toán liên quan đến công việc làm chung, Ví dụ: Hai người làm chung công việc trong 4

ƠN

làm riêng thường xuất hiện các đại lượng: Phần ngày thì xong. Nhưng nếu hai người chỉ làm chung việc làm trong một đơn vị thời gian: 1 giờ, 1 trong 2 ngày, sau đó người thứ nhất đi làm công ngày,…(năng suất), thời gian, toàn bộ công việc khác, người thứ hai làm tiếp trong 6 ngày nữa thì xong. Hỏi mỗi người làm một mình trong bao

việc.

lâu thì xong công việc? Hướng dẫn giải

Nếu một tổ làm xong công việc trong x giờ thì Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong

1 phần công việc. x

DẠ

KÈ M

1 giờ đội đó làm được

công việc là x (ngày), điều kiện: x  4 . Trong 1 ngày, cả hai người làm được 1 (công việc). 4

Trong 1 ngày, người thứ nhất làm được 1 (công việc). x

Trong 1 ngày, người thứ hai làm được 1 1  (công việc). 4 x

Trong 2 ngày đầu, cả hai người làm được 1 1 2.  (công việc). 4 2

Trong 6 ngày tiếp theo, người thứ hai làm được 1 1 6    (công việc). 4 x

Trang 10

Vì công việc đã hoàn thành nên ta có phương trình:



6 1 x

CI AL

1 1 3 6 1 1  6    1     1 2 2 2 x 4 x

 x  6 (ngày) (thỏa mãn).

Suy ra trong 1 ngày người thứ hai làm được

1 1 1   (công việc). 4 6 12

Do đó, thời gian người thứ hai một mình hoàn thành công việc là 12 ngày.

Vậy người thứ nhất một mình hoàn thành công việc trong 6 ngày, người thứ hai một mình hoàn thành

ƠN

công việc trong 12 ngày. Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Hai vòi nước cùng chảy vào cùng một bể thì 4 giờ 48 phút đầy bể. Mỗi giờ lượng nước của

vòi I chảy được bằng 1,5 lần lượng nước chảy được của vòi II. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể. Phân tích bài toán

Gọi thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là x (giờ).

Vòi II

1 x

KÈ M

Cả hai vòi

Suy ra phương trình

Thời gian (giờ)

3 1 . 2 x

Vòi I

Năng suất (bể/h)

5 24

Công việc (bể) 1

4 giờ 48 phút 

1 24 giờ 5

1 3 1 5  .  . x 2 x 24

Hướng dẫn giải

Đổi 4 giờ 48 phút 

24 giờ. 5

DẠ

Gọi thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là x (giờ), điều kiện: x  Trong 1 giờ, vòi I chảy được bằng 1,5 

24 . 5

3 lần lượng nước chảy được của vòi II nên vòi I chảy được 2

Trang 11

Trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được 1:

24 5  (bể) nên ta có phương trình: 5 24

1 3 1 5  3 1 5  .   1   .  x 2 x 24  2  x 24



1 5 5 1  :  x 24 2 12 5 1 1   (bể). 24 12 8

Suy ra, trong 1 giờ vòi I chảy được là

 x  12 (thỏa mãn điều kiện).

CI AL

3 1 . (bể). 2 x

Thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là 8 (giờ).

Vậy thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I và vòi II lần lượt là 8 giờ và 12 giờ.

ƠN

Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản

Câu 1. Một xí nghiệp dự định sản xuất 2000 sản phẩm trong 40 ngày. Nhưng nhờ tổ chức hợp lý nên

thực tế xí nghiệp đã sản xuất mỗi ngày vượt mức 10 sản phẩm. Do đó xí nghiệp sản xuất không những vượt mức dự định 100 sản phẩm mà còn hoàn thành trước thời hạn. Xí nghiệp đã rút ngắn được số ngày hoàn thành công việc là A.20 ngày.

B.15 ngày.

C.10 ngày.

D.5 ngày.

Câu 2. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 3 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu vòi I chảy một mình lâu thì đầy bể? A. 5 giờ.

trong 6 giờ rồi khóa lại, mở vòi II chảy tiếp trong 2 giờ thì đầy bể. Hỏi vòi I chảy một mình trong bao B. 10 giờ.

C. 6 giờ.

D. 3 giờ 20 phút.

Câu 3. Ba người làm chung một công việc thì trong 12 giờ là xong. Ba người làm chung trong 8 giờ

1 . 3

KÈ M

thì được số phần công việc là

2 . 3

C. 1.

1 . 2

Câu 4. Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày được 50 ha. Khi thực hiện mỗi ngày đội cày được 60 ha. Vì vậy đội không những đã hoàn thành xong trước kế hoạch 1 ngày mà còn cày thêm được 20 ha nữa. Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch.

Câu 5. Một đội sản xuất dự định mỗi ngày làm được 50 chi tiết máy. Khi thực hiện mỗi ngày đội làm

DẠ

được 60 chi tiết máy. Vì vậy đội không những đã hoàn thành xong trước kế hoạch 4 ngày mà còn làm thêm được 60 chi tiết máy. Tính số chi tiết máy thực tế đội sản xuất được. Bài tập nâng cao

Trang 12

Câu 6. Một chiếc thuyền đi từ bến A đến bến B hết 6 giờ, từ bến B đến bến A hết 8 giờ. Hỏi một đám

DẠ

KÈ M

ƠN

CI AL

bèo trôi theo dòng sông từ A đến B hết bao lâu?

Trang 13

Dạng 4. Bài toán liên quan đến số và tuổi Phương pháp giải

CI AL

Bài toán 1. Bài toán liên quan đến số thực Ví dụ 1. Một số có 2 chữ số. Biết rằng chữ số Biểu diễn số có hai chữ số:

hàng đơn vị gấp 3 lần chữ số hàng chục. Nếu đổi

ab  10a  b  a, b    .

chỗ 2 chữ số cho nhau được số mới lớn hơn số cũ

a là chữ số hàng chục: 0  a  9 .

54 đơn vị. Tìm số ban đầu.

Phân tích bài toán

b là chữ số hàng đơn vị: 0  b  9 .

Tìm số ban đầu có hai chữ số: Gọi số có hai chữ

Biểu diễn số có ba chữ số:

số cần tìm là ab .

abc  100a  10b  c  a, b, c    .

b  3a Suy ra phương trình  . ba  3ab

a là chữ số hàng trăm: 0  a  9 . b là chữ số hàng chục: 0  b  9 .

Hướng dẫn giải

ƠN

c là chữ số hàng đơn vị: 0  c  9 .

Gọi số có hai chữ số cần tìm là ab , điều kiện:

Ví dụ:

a; b  , 0  a  9;0  b  9 .

56  10.5  6; 234  2.100  3.10  4

Chữ số hàng đơn vị gấp 3 lần chữ số hàng chục nên b  3a 1 . Nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau được số mới lớn

KÈ M

hơn số cũ 54 đơn vị nên ba  ab  54  10b  a  10a  b  54  9b  9a  54  b  a  6  2 .

Thay 1 vào  2  ta có 3a  a  6  a  3  b  3a  9 .

Vậy số ban đầu cần tìm là 39.

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Cho một phân số có mẫu số lớn hơn tử số 13 đơn vị. Nếu tăng tử số thêm 3 đơn vị và giảm

mẫu số 5 đơn vị thì giá trị phân số mới là

3 . Tìm phân số đã cho. 4

DẠ

Hướng dẫn giải Gọi tử số của phân số cần tìm là x , điều kiện: x   . Mẫu số của phân số cần tìm là x  13 (đơn vị). Tử số của phân số mới là x  3 (đơn vị). Trang 14

Mẫu số của phân số mới là x  13  5  x  8 (đơn vị). 3 nên ta có: 4

CI AL

Vì giá trị của phân số mới là

x3 3   4  x  3  3  x  8   4 x  12  3 x  24 . x 8 4  x  12 (thỏa mãn điều kiện).

Mẫu số của phân số ban đầu là 12  13  25 . 12 . 25

Vậy phân số cần tìm là

Bài toán 2. Bài toán tính tuổi

Ví dụ mẫu

Ví dụ: Năm 2019, tuổi của anh gấp 3 lần tuổi của em. Năm 2025, tuổi của anh chỉ gấp đôi tuổi của em. Hỏi năm nay tuổi của anh và em là bao nhiêu?

ƠN

Hướng dẫn giải

Gọi số tuổi năm nay của em là x (tuổi), điều kiện x  * . Suy ra, năm nay tuổi của anh là 3x (tuổi).

Chú ý: Mỗi năm mỗi người tăng 1 tuổi.

Năm 2025, tuổi của anh là 3 x  6 (tuổi).

Năm 2025, tuổi của em là x  6 (tuổi) (vì 2025  2019  6 ). Vì năm 2025, tuổi của anh gấp đôi tuổi của em nên ta có:

3 x  6  2  x  6   3 x  6  2 x  12

 x  6 (thỏa mãn điều kiện).

Số tuổi của anh năm nay là: 3.6  18 (tuổi). Vậy năm nay em 6 tuổi, anh 18 tuổi. Bài tập tự luyện dạng 4 Bài tập cơ bản

KÈ M

Câu 1. Tổng của hai số tự nhiên bằng 60. Số này gấp 3 lần số kia. Tìm hai số đó. Câu 2. Hiệu hai số tự nhiên là 12. Nếu chia số bé cho 7 và chia số lớn cho 5 thì thương thứ nhất nhỏ hơn thương thứ hai 4 đơn vị. Tìm hai số đó. Câu 3. Một phòng họp có 100 ghế nhưng lại có 144 người đến họp. Do đó người ta phải kê thêm hai dãy ghế và mỗi dãy tăng thêm hai ghế. Tính số dãy ghế ban đầu trong phòng.

Câu 4. Tuổi của Văn Toàn cách đây 6 năm bằng nửa tuổi của Văn Toàn sau 6 năm nữa. Tính tuổi của

DẠ

Văn Toàn hiện nay. Dạng 5. Bài toán liên quan đến tỉ số và tỉ số phần trăm Phương pháp giải Ví dụ. Hai lớp 8T và 8H có tổng cộng 85 học sinh. Biết Trang 15

Tỉ số phần trăm: a % 

rằng 30% số học sinh 8T và 20% số học sinh 8H đạt

a b  0 . b

loại giỏi, tổng số học sinh giỏi của hai lớp là 21. Tính số

a . 100

học sinh của mỗi lớp.

CI AL

Tỉ số của hai số a và b là

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh của lớp 8T là x (học sinh), điều kiện:

x  * và x  85 .

Số học sinh của lớp 8H là 85  x (học sinh).

Số học sinh giỏi của lớp 8T là 30%.x (học sinh).

Số học sinh giỏi của lớp 8H là 20%.  85  x  (học sinh).

phương trình:

Vì tổng số học sinh giỏi của hai lớp là 21 nên ta có

30%.x  20%.  85  x   21

ƠN

  30%  20%  x  17  21  10% x  4

 x  40 (thỏa mãn).

Số học sinh của lớp 8H là: 85 - 40 = 45 học sinh. Vậy lớp 8T có 40 học sinh, lớp 8H có 45 học sinh.

Ví dụ mẫu

5 số học sinh giỏi. Nếu thêm số học sinh giỏi 10 bạn và số 2

Ví dụ 1. Khối 8 có số học sinh khá bằng

Phân tích tư duy

học sinh khá giảm đi 6 bạn thì số học sinh khá gấp 2 lần số học sinh giỏi. Tính số học sinh giỏi khối 8. Tính số học sinh giỏi khối 8: Gọi số học sinh giỏi của khối 8 là x (học sinh).

KÈ M

Số học sinh giỏi (HSG)

Số học sinh khá (HSK)

Tỉ số

HSK HSG

(học sinh)

5 x 2

5 2

x  10

5 x6 2

2 1

Ban đầu Sau khi

thay đổi

DẠ

5 x  6  2  x  10  . 2

Hướng dẫn giải Gọi số học sinh của khối 8 là x (học sinh), điều kiện: x  * . Số học sinh khá của khối 8 là

5 x (học sinh). 2

Trang 16

Sau khi thêm, số học sinh giỏi của khối 8 là x  10 (học sinh).

Vì sau khi thêm, bớt số học sinh khá gấp 2 lần số học sinh giỏi nên ta có: 5 5 1 x  6  2  x  10   x  6  2 x  20  x  26 2 2 2  x  52 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số học sinh giỏi của khối 8 là 52 học sinh.

CI AL

5 x  6 (học sinh). 2

Sau khi bớt, số học sinh khá của khối 8 là

Ví dụ 2. Theo kế hoạch hai tổ phải làm 100 sản phẩm. Khi thực hiện tổ I tăng năng suất 20%, tổ II tăng

năng suất 15% nên đã làm được 117 sản phẩm. Tính số sản phẩm theo kế hoạch mà mỗi tổ cần làm. Phân tích bài toán

Tính số sản phẩm theo kế hoạch của mỗi tổ cần làm: Gọi số sản phẩm theo kế hoạch của tổ I cần làm là x (sản phẩm). Kế hoạch

Thực tế

120%.x

Cả hai tổ

100  x

100

115%. 100  x 

117

120%.x  115%. 100  x   117 .

Tổ II

ƠN

Tổ I

Hướng dẫn giải

Gọi số sản phẩm theo kế hoạch mà tổ I cần làm là x (sản phẩm), điều kiện: x  * và x  100 .

Số sản phẩm theo kế hoạch mà tổ II cần làm là 100  x (sản phẩm). Số sản phẩm thực tế tổ I làm được là 120%.x (sản phẩm).

Số sản phẩm thực tế tổ II làm được là 115%. 100  x  (sản phẩm). Thực tế, cả hai tổ làm được 117 sản phẩm nên ta có:

KÈ M

120%.x  115%. 100  x   117  

6 23 x  115  x  117 5 20

1 x2 20

 x  40 ( thỏa mãn điều kiện).

Theo kế hoạch, số sản phẩm của tổ II là 100 – 40 = 60 (sản phẩm). Vậy theo kế hoạch, số sản phẩm của tổ I và tổ II lần lượt là 40 sản phẩm và 60 sản phẩm.

Bài tập tự luyện dạng 5

DẠ

Bài tập cơ bản

Câu 1. Hai tổ sản xuất phải hoàn thành 100 sản phẩm. Khi thực hiện, tổ I vượt mức 25% kế hoạch của tổ, tổ II vượt mức kế hoạch 20% của tổ. Do đó, cả hai tổ làm được 123 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Trang 17

Câu 2. Trong tháng Giêng hai tổ công nhân may được 800 chiếc áo. Tháng Hai, tổ một vượt mức 15%, tổ hai vượt mức 20%. Do đó, cả hai tổ sản xuất được 945 cái áo. Hỏi trong tháng Hai mỗi tổ may được bao

CI AL

nhiêu chiếc áo?

Câu 3. Dân số tỉnh A hiện nay là 612060 người. Hàng năm dân số tỉnh này tăng 1%. Hỏi hai năm trước đây dân số tỉnh A là bao nhiêu? Bài tập nâng cao

Câu 4. Ba lớp A, B, C góp sách tặng các bạn học sinh vùng khó khăn, tất cả được 358 cuốn. Tỉ số số cuốn 6 7 . Tỉ số số cuốn sách của lớp A so với lớp C là . Hỏi mỗi lớp góp 11 10

sách của lớp A so với lớp B là

ĐÁP ÁN CHƯƠNG 3

được bao nhiêu cuốn sách?

Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1. Chọn A.

Quãng đường xe đi được trong 4 giờ là 4x (km).

ƠN

BÀI 5.GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Câu 2. Chọn C.

Vận tốc khi ca nô xuôi dòng là 20 + 5 = 20 (km/h).

Thời gian ca nô đi xuôi dòng quãng đường 100 km là

Câu 3.

100  4 (giờ). 25

Gọi quãng đường từ A đến nơi hai người gặp nhau là x (km), điều kiện: x  0 . Thời gian người thứ nhất đi là

x (giờ). 45

KÈ M

Thời gian người thứ hai đi là

x (giờ). 30

Vì người thứ hai xuất phát sau người thứ nhất 1 giờ nên ta có phương trình x x   1  x  90 (thỏa mãn điều kiện). 30 45 90  3 (giờ). 30

Thời gian đi của người thứ nhất là

Vậy thời điểm hai người gặp nhau là 10 giờ, nơi gặp nhau cách A là 90 km.

DẠ

Câu 4.

Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là x (km/h), điều kiện: x  3 . Xuôi dòng: Ca nô chạy với + Vận tốc là x  3 (km/h). Trang 18

+ Thời gian là

30 (giờ). x3

CI AL

Ngược dòng: Ca nô chạy với + Vận tốc là x  3 (km/h). + Thời gian là

30 (giờ). x 3

16 giờ nên ta có phương trình 3

Vì ca nô chạy trên khúc sông cả đi và về hết 5 giờ 20 phút  30 30 16    4 x 2  45 x  36  0 x 3 x 3 3

 4 x 2  48 x  3 x  36  0   4 x  3 x  12   0

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 12km/h. Câu 5. Gọi quãng đường AB dài x (km), điều kiện: x  0 x (giờ). 70

Thời gian về từ B đến A của ô tô là

x (giờ). 60

Thời gian đi từ A đến B của ô tô là

ƠN

 x  12 (thỏa mãn điều kiện).

Tổng thời gian đi, thời gian về và thời gian nghỉ của ô tô là

Do đó, ta có phương trình

11 giờ 15 phút – 6 giờ 30 phút = 4 giờ 45 phút 

19 giờ. 4

x x 3 19 13 x 13       x  105 (thỏa mãn điều kiện). 70 60 2 4 420 4

KÈ M

Vậy độ dài quãng đường AB là 105 km. Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1. Chọn D.

Chiều dài của khu vườn là y  10 ( m ).

Câu 2.

Diện tích của khu vườn là y  y  10  ( m 2 ).

DẠ

Nửa chu vi của mảnh đất là 28 : 2 = 14 (m) Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m). Điều kiện: 0  x 

14 7. 2

Suy ra chiều dài của mảnh vườn là 14  x (m) Trang 19

Vì độ dài đường chéo bằng 10 mét nên ta có phương trình x 2  14  x   102  x 2  196  28 x  x 2  100 2

CI AL

 2 x 2  28 x  96  0  x 2  14 x  48  0  x 2  6 x  8 x  48  0  x  x  6  8  x  6  0

  x  6  x  8   0  x6

hoặc x  8 (không thỏa mãn). Chiều dài của mảnh vườn là 14  6  8 (m).

Vậy chiều dài, chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là 8 m và 6 m.

ƠN

Câu 3.

Gọi độ dài cạnh của hình vuông ban đầu là x  m  , điều kiện: x  0 . Chu vi ban đầu của hình vuông là 4x  m  .

Chu vi mới của hình vuông là 4 x  12  m  .

4 x  12  x  3 m . 4

Độ dài mới của hình vuông là

Diện tích ban đầu của hình vuông là x 2  m 2  .

Diện tích mới của hình vuông là  x  3  m 2  .

Vì diện tích mới tăng thêm 135 m 2 nên ta có phương trình

 x  3

 x 2  135  x 2  6 x  9  x 2  135  6 x  126  x  21 (thỏa mãn điều kiện).

Câu 4.

KÈ M

Vậy độ dài của cạnh hình vuông là 21 m.

Gọi độ dài cạnh đáy của tam giác MNP là x  cm  , điều kiện: x  2 . Chiều cao ban đầu của tam giác MNP là

Diện tích ban đầu của tam giác MNP là

DẠ

Chiều cao mới của tam giác MNP là

2 x  cm  . 3 1 2 1 . x.x  x 2  cm 2  . 2 3 3

2 x  2  cm  . 3

Độ dài cạnh đáy mới của tam giác MNP là x  2  cm  . Diện tích mới của tam giác MNP là

12  2  x  2   x  2   cm  . 23 

Trang 20

Vì diện tích của tam giác MNP tăng 10cm2 thêm nên ta có phương trình



CI AL

12 1 2 1 2 1 1 2   x  2   x  2   x  10  x  x  2  x  10 23 3 3 3 3 

1 x  12 3

 x  36 ( thỏa mãn điều kiện).

2 .36  24  cm  . 3

Vậy chiều cao và cạnh đáy của tam giác MNP lần lượt là 24 cm và 36 cm. Gọi độ dài cạnh hình vuông nhỏ là x  m  , điều kiện: x  0 . Chu vi hình vuông nhỏ là 4x  m  .

ƠN

Diện tích hình vuông nhỏ là x 2  m 2  . Chu vi hình vuông lớn là 4 x  32  m  . 4 x  32  x  8 m . 4

Diện tích hình vuông lớn là  x  8   m 2  . 2

Cạnh hình vuông lớn là

Câu 5.

Chiều cao của tam giác MNP là:

Vì hiệu số đo diện tích của hai hình vuông là 164m2 nên ta có phương trình 2

 x 2  464  x 2  16 x  64  x 2  464  16 x  400

 x  8

 x  25 (thỏa mãn điều kiện).

Cạnh hình vuông lớn là 25  8  33 (m).

Vậy độ dài cạnh hình vuông nhỏ và hình vuông lớn lần lượt là 25m và 33m.

KÈ M

Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1. Chọn D.

Gọi số ngày rút ngắn được là x (ngày, x  * ). Số sản phẩm dự định làm trong một ngày là

2000  50 (sản phẩm). 40

Số sản phẩm vượt mức dự định là 100 sản phẩm nên ta có phương trình

 50  10  .  40  x   2000  100  60  40  x   2100  x  5 .

DẠ

Câu 2. Chọn B.

Thời gian vòi một chảy một mình thì đầy bể là x ( giờ, x  0 ) Một giờ vòi một chảy được

1 phần bể x

Trang 21

1 1 3 1    phần bể 10 x 10 x 3

CI AL

Một giờ vòi hai chảy được

Nếu vòi I chảy một mình trong 6 giờ rồi khóa lại, mở vòi II chảy tiếp trong 2 giờ thì đầy bể nên có phương trình 1  3 1 6.  2.     1  x  10 . x  10 x 

Ba người làm chung trong 8 giờ thì được số phần công việc là

8 2  . 12 3

Câu 4.

Câu 3. Chọn B.

Gọi diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch là x (ha), điều kiện: x  0 .

Thời gian đội cày thực tế là

x (ngày). 50

x  20 (ngày). 60

ƠN

Thời gian đội phải cày theo kế hoạch là

Vì đội hoàn thành xong trước kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình

x x  20   1  x  400 (thỏa mãn điều kiện). 50 60

Vậy diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch là 400 ha. Câu 5.

Gọi số chi tiết máy thực tế đội sản xuất được là x (chi tiết máy), điều kiện: x  ; x  60 .

Số chi tiết máy dự định của đội sản xuất là x  60 (chi tiết máy). Thời gian đội sản xuất hoàn thành theo dự định là

x (ngày). 60

KÈ M

Thời gian đội sản xuất hoàn thành theo thực tế là

x  60 (ngày). 50

Vì đội đã hoàn thành xong trước kế hoạch trước 4 ngày nên ta có phương trình x  60 x   4  6  x  60   5 x  1200 50 60  6 x  360  5 x  1200  x  1560 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số chi tiết máy thực tế đội sản xuất được là 1560 chi tiết máy.

DẠ

Bài tập nâng cao Câu 6.

Gọi thời gian đám bèo trôi theo dòng sông từ A đến B là x (giờ), điều kiện: x  6 .

Trang 22

Khi xuôi dòng, chiếc thuyền đi từ bến A đến bến B hết 6h nên 1 giờ chiếc thuyền đi được

1 quãng 6

CI AL

đường AB. Khi ngược dòng, chiếc thuyền đi từ bến B đến bến A hết 8h nên 1 giờ chiếc thuyền đi được đường AB.

1 quãng đường AB. x

Đám bèo trôi theo dòng sông từ A đến B là x (giờ) nên 1 giờ đám bèo trôi được

1 quãng 8

Vì trong 1 giờ Quãng đường xuôi dòng – Quãng đường ngược dòng = 2 x Quãng đường bèo trôi nên ta 1 1 1 2 1   2.    x  48 (thỏa mãn điều kiện). 6 8 x x 24

Vậy thời gian đám bèo trôi theo dòng sông từ A đến B là 48 giờ. Bài tập tự luyện dạng 4 Gọi số bé trong hai số cần tìm là x  x  , x  60  . Khi đó số lớn là 3x .

ƠN

Câu 1.

có phương trình

Vậy hai số cần tìm là 15;45. Câu 2. Gọi số bé trong hai số cần tìm là x  x    .

Vì tổng của hai số là 60 nên ta có phương trình 3 x  x  60  4 x  60  x  15 .

x . 7

Thương khi chia số bé cho 7 là

Vì hiệu hai số là 12 nên số lớn là x  12 .

Thương khi chia số lớn cho 5 là

x  12 . 5

KÈ M

Do thương thứ nhất nhỏ hơn thương thứ hai 4 đơn vị nên ta có phương trình 7  x  12   5 x x  12 x 2 x  84  4 4  4  x  28 . 5 7 35 35

Khi đó số lớn là 28  12  40 . Vậy hai số cần tìm là 28;40. Câu 3.

DẠ

Gọi số dãy ghế ban đầu trong phòng là x  x  *  . Số ghế trong một dãy ban đầu là

100 (ghế). x

Số dãy ghế sau khi kê thêm là x  2 (dãy).

Trang 23

Số ghế trong một dãy sau khi kê thêm là

100  2 (ghế). x

CI AL

Do số ghế lúc sau là 144 nên ta có phương trình

 x  2 100  2 x   144 x  0  2 x 2  40 x  200  0  x  10 . 100   2   144  x x  x 

 x  2  

Vậy số dãy ghế ban đầu trong phòng là 10 dãy. Gọi số tuổi của Văn Toàn hiện nay là x (tuổi), điều kiện: x  * và x  6 . Tuổi của Văn Toàn 6 năm trước là x  6 (tuổi).

Tuổi của Văn Toàn 6 năm nữa là x  6 (tuổi).

Câu 4.

Vì tuổi của Văn Toàn cách đây 6 năm bằng nửa tuổi của Văn Toàn sau 6 năm nữa nên ta có phương

x6 

1 1  x  6  x  6  x  3 2 2 

1 x9 2

 x  18 (thỏa mãn điều kiện).

ƠN

trình

Vậy số tuổi của Văn Toàn hiện nay là 18 tuổi. Bài tập tự luyện dạng 5 Bài tập cơ bản

Câu 1.

Gọi số sản phẩm theo kế hoạch của tổ I phải sản xuất là x (sản phẩm), điều kiện: x  * và x  100 . Khi thực hiện, tổ I vượt mức 25% kế hoạch của tổ, tổ II vượt mức kế hoạch 20% của tổ. Do đó, cả hai tổ làm được 123 sản phẩm, nên ta có phương trình

125%.x  120%. 100  x   123  x  60 (thỏa mãn điều kiện).

KÈ M

Theo kế hoạch, số sản phẩm của tổ II là 100  60  40 (sản phẩm). Vậy theo kế hoạch, số sản phẩm của tổ I và tổ II phải sản xuất lần lượt là 60 sản phẩm và 40 sản phẩm. Câu 2.

Gọi số chiếc áo tổ một may được trong tháng Giêng là x (chiếc áo), điều kiện: x  * và x  800 . Số chiếc áo tổ hai may được trong tháng Giêng là 800  x (chiếc áo).

Số chiếc áo tổ một may được trong tháng Hai là 115%.x (chiếc áo).

DẠ

Số chiếc áo tổ hai may được trong tháng Hai là 120%.  800  x  (chiếc áo). Vì tháng Hai cả hai tổ sản xuất được 945 cái áo nên ta có phương trình 115%.x  120%.  800  x   945 

23 6 x  960  x  945 20 5

Trang 24



1 x  15 20

Số chiếc áo tổ một may được trong tháng Hai là 115%.300  345 (chiếc áo).

CI AL

 x  300 (thỏa mãn điều kiện).

Số chiếc áo tổ hai may được trong tháng Hai là 120%.  800  300   600 (chiếc áo).

Vậy số chiếc áo tổ một và tổ hai may được trong tháng Hai lần lượt là 345 chiếc áo và 600 chiếc áo. Câu 3.

Gọi số dân tỉnh A của hai năm trước là x (người), điều kiện: x  * và x  612060 . Hiện nay, số dân tỉnh A là: 101%.101%.x  101%  x (người). 2

Một năm trước, số dân tỉnh A là: 101%.x (người).

Theo đề bài, dân số tỉnh A hiện nay là 612060 người nên ta có phương trình

101% 

x  612060  x  600000 (thỏa mãn điều kiện).

ƠN

Vậy hai năm trước đây dân số của tỉnh A là 600000 người. Bài tập nâng cao Câu 4.

Gọi số cuốn sách lớp A góp được là x (cuốn), điều kiện: x  * và x  358 . Tỉ số số cuốn sách của lớp B góp được so với lớp A là 1: 11 x (cuốn). 6

Số cuốn sách lớp B góp được là

Tỉ số số cuốn sách của lớp C góp được so với lớp A là 1: Số cuốn sách lớp C góp được là

6 11  . 11 6

7 10  . 10 7

10 x (cuốn). 7

x

KÈ M

Vì tất cả ba lớp góp được 358 cuốn nên ta có phương trình 11 10 179 x  x  358  x  358  x  84 (thỏa mãn điều kiện). 6 7 42 11 .84  154 (cuốn). 6

Số cuốn sách lớp C góp được là

10 .84  120 (cuốn). 7

Số cuốn sách lớp B góp được là

DẠ

Vậy số cuốn sách của lớp A, lớp B và lớp C góp được lần lượt là 84 cuốn, 154 cuốn và 120 cuốn.

Trang 25

CHUYÊN ĐỀ 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN BÀI 1. LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG, PHÉP NHÂN

CI AL

Mục tiêu  Kiến thức + Phát biểu được định nghĩa bất đẳng thức.

+ Phát biểu được các tính chất về mối liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân, tính chất bắc cầu.

 Kĩ năng Biểu diễn được các số trên trục số.

Sử dụng được mối liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân để chứng minh bất đẳng thức.

DẠ

KÈ M

ƠN

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Bất đẳng thức

3  2, x2  0 là các bất đẳng thức.

đẳng thức và gọi a là về trái, b là vế phải của bất đẳng thức. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất

Nếu a  b thì a  1  b  1.

đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân • Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với

Nếu a  b thì 2a  2b.

cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới

cùng một số âm, ta được bất đẳng thức mới ngược Tính chất bắc cầu của thứ tự Nếu a  b và b  c thì a  c.

1 1 nên 1  . 2 2

1  0,0 

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Nếu a  b thì 3a  3b

chiều với bất đẳng thức đã cho.

ƠN

cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. • Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với

CI AL

Ta gọi hệ thức dạng a  b  a  b, a  b, a  b là bất

Dạng 1: Sắp xếp thứ tự các số trên trục số. Biểu diễn mối quan hệ giữa các tập số Bài toán 1. Sắp xếp thứ tự các số trên trục số Phương pháp giải

KÈ M

Sắp xếp thứ tự các số: Dựa vào các kiến thức cơ bản đã học ở các lớp dưới. Đây là dạng toán không

Ví dụ: Sắp xếp các số sau từ bé đến lớn: 1 1 2; 4; 0; 4;  ; 3; . 2 4

có cách làm nhất quán cho từng bài, nhưng có một số bước ưu tiên có thể hỗ trợ cho tốc độ khảo sát các số trở nên nhanh chóng hơn.

Bước 1. Chia các số thành hai nhóm: Số âm, số

DẠ

1 Số âm: 2; 4;  . 2 dương, và số 0 (nếu có). Lấy số 0 làm trung tâm

của trục số.

Bước 2. Sắp xếp thứ tự trên từng nhóm số cùng

dấu:

1 Số dương: 4; 3; . Số 0 (có). 4

• Có số nguyên: So sánh đơn giản. Trang 2

• Có số hữu tỉ: Quy đồng mẫu số dương rồi • Có số vô tỉ: So sánh gần đúng.

Do 8  4  1 nên thứ tự từ bé đến lớn là

CI AL

thực hiện so sánh các tử số nguyên.

4 8 1 Quy đồng mẫu số của nhóm số âm:  ; ;  . 2 2 2 8 4 1 1 ;  ;  hay 4; 2;  . 2 2 2 2

Quy

đồng

mẫu

số

nhóm

số

dương:

16 4 3 1 ; ; . 4 4 4

của

Do 1  4 3  16 nên thứ tự từ bé đến lớn là

1 4 3 16 1   hay ; 3; 4. 4 4 4 4

Vậy sắp xếp từ bé đến lớn của dãy số cho trước như

ƠN

1 1 sau: 4; 2;  ; 0; ; 3; 4. 2 4

Ví dụ mẫu

3 1 Ví dụ: Sắp xếp các số sau từ lớn đến bé:  ;  ; 0;2; 5;1. 5 2

3 1 Số âm:  ;  . Số dương: 2; 5;1. 5 2

Số 0 (có).

Hướng dẫn giải

Quy đồng mẫu số của nhóm số âm: 

6 5 ; . 10 10

KÈ M

Do 6  5 nên thứ tự từ bé đến lớn là 

6 5 3 1 ;   ; . 10 10 5 2

Sắp xếp thứ tự nhóm số dương:

Do 1  2  5 nên thứ tự từ bé đến lớn là 1;2; 5.

3 1 Vậy sắp xếp từ bé đến lớn của dãy số cho trước như sau:  ;  ; 0;1;2; 5. 5 2

DẠ

Bài toán 2. Biểu diễn mối quan hệ giữa các tập số Phương pháp giải

Biểu diễn mối quan hệ giữa các tập số: Dựa vào Ví dụ: Điền các kí hiệu thích hợp vào chỗ trống: đặc điểm phần tử của mỗi tập số, ta có được biểu

  . =....

đồ thể hiện quan hệ giữa các tập số với nhau, và dễ Hướng dẫn giải Trang 3

dàng xác định được một số bất kỳ thuộc hoặc không thuộc tập hợp nào.

CI AL

  .là giao của “tập hợp các số thực” với “tập

Bước 1. Định tính của các tập hợp.

hợp các số vô tỉ”.

Vậy các phần tử của tập hợp   .phải vừa là số thực, vừa là số vô tỉ. Bước 2. Xét những mối quan hệ tập hợp đã học.

Mặt khác    nên các phần tử của tập hợp

chỉ bao gồm các số vô tỉ, vậy     .   .

Ví dụ: Điền vào chỗ trống kí hiệu thích hợp     ... Hướng dẫn giải

ƠN

Vì    nên     .

Ví dụ mẫu

Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Sắp xếp thứ tự các dãy số sau: 1 4 1 a) 2; 4; 0; 4; ; ; từ bé đến lớn. 2 3 4

b) 7; 8  1; 5; 0;3;8 từ lớn đến bé.

c) 0; 2;5; 3 ; 10 từ bé đến lớn.

d) 3 ; 5 ; 4;  9 từ lớn đến bé.

Câu 2: Điền vào chỗ trống kí hiệu thể hiện quan hệ giữa các tập hợp sau: b) ...* .

a) ....

Dạng 2: Xét tính đúng sai. So sánh Ví dụ mẫu

KÈ M

Ví dụ. Cho a  b, hãy so sánh: 3a  4 và 3b  4. Hướng dẫn giải

Sử dụng tính chất: Nhân hai

Do a  b nên 3a  3b.

vế của bất đẳng thức với một số âm. Sử dụng tính chất: Cộng hai

Vậy 3a  4  3b  4.

vế của bất đẳng thức với một số.

DẠ

Do 3a  3b nên 3a  4  3b  4.

Ví dụ 2. Xét tính đúng sai của khẳng định:      . Hướng dẫn giải

Trang 4

   là giao của “tập hợp các số nguyên” với “tập hợp các số vô

Bước 1. Định tính của tập hợp

  .

tỉ”.

CI AL

Vậy các thành phần của tập hợp    phải vừa là số nguyên, vừa là số hữu tỉ.

Mặt khác    nên các phần tử của tập hợp    là số nguyên. Bước 2. Định tính tập hợp cần

 là tập hợp số tự nhiên,   , nên      .

kiểm tra.

Vậy     .

Vậy khẳng định      là đúng.

Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Xét tính đúng sai của các khẳng định sau và giải thích.

2 1 b) 3  4  . 7 7

c) 16  4  0.

d) x4  3  3.

ƠN

1 a) 4.  3. 2

1 1 a  b. 2 2

1 1 a  3  b  3. 2 2

Câu 2: So sánh a và b thỏa mãn:

b) 7a  7b. d)





5  2 a 1





5  2 b  1.

c) a3  b3  ab  a  b .

a) a2  1  4 a .

Câu 3: Xét tính đúng sai của các khẳng định sau (với a, b là số thực bất kỳ) và giải thích. b)

a2 2

 0.

d) a2  1  0.

KÈ M

Dạng 3. Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho m  n, chứng minh: m  2017  n  2016. Hướng dẫn giải

Sử dụng tính chất cộng hai

Do 2017  2016 nên n  2017  n  2016.

vế của bất đẳng thức với

DẠ

Do m  n nên m  2017  n  2017.

một số.

Suy ra m  2017  n  2017  n  2016. Vậy bài toán đã được chứng minh.

Sử dụng tính chất bắc cầu.

Ví dụ 2. Cho 0  m  2, chứng minh: m2  2m. Trang 5

Hướng dẫn giải Theo đề bài ta có:

CI AL

m  0 0  m 2  m  2 m  0  m  2  0

 m m  2  0

 m2  2m  0  m2  2m.

Vậy bài toán đã được chứng minh. Bài tập tự luyện dạng 3 a) Cho m  0 và m  1. Chứng minh m2  m. b) Cho a  b  0. Chứng minh a2  b2  0.

ƠN

Câu 1:

Dạng 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Phương pháp giải

Là mở rộng và nâng cao của chứng minh bất đẳng

thức, với một vế của bất đẳng thức cần chứng minh

là chưa biết và cũng là đích đến của bài toán.

Định nghĩa: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P theo biến m (có thể có điều kiện) là một số k sao cho: + P  k với mọi giá trị của biến m (theo điều kiện cho trước nếu có, nếu không có điều kiện gì

KÈ M

thì ta hiểu m là một số thực bất kỳ). + Phải tồn tại ít nhất một giá trị của biến m để biểu thức P đạt được giá trị k.

Giá trị lớn nhất được định nghĩa tương tự.

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  m2  2m với 0  m  2.

DẠ

Bước 1. Biến đổi biểu thức và tạo ra các bất đẳng Hướng dẫn giải thức. 2 Biến đổi m2  2m  m2  2m  1  1   m  1  1. Ta có  m  1  0   m  1  1  1 m . 2

Suy ra bất đẳng thức P  m2  2m  1. Trang 6

Bước 2. Kiểm chứng dấu bằng của bất đẳng thức có Dấu

bằng

 m  1

xảy ra không?

xảy

khi

và

chỉ

khi

 0  m  1.

việc

dấu

đẳng

thức

CI AL

Do 0  m  2 nên xảy ra m  1, tương đương với của

bất

đẳng

thức

P  m2  2m  1 xảy ra được.

Vậy với 0  m  2, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  m2  2m là 1 khi m  1.

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  m2  2m với 0  m  2. Hướng dẫn giải

ƠN

m  0 m  0 Ta có 0  m  2    m  2  m  2  0  m m  2  0

 m2  2m  0

Suy ra bất đẳng thức m2  2m  0.

m  0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m m  2  0   . m  2

P  m2  2m  0 xảy ra được.

Do 0  m  2 nên xảy ra m  0 hoặc m  2, tương đương với việc dấu đẳng thức của bất đẳng thức

Vậy với 0  m  2, giá trị lớn nhất của biểu thức P  m2  2m là 0 khi m  0 hoặc m  2.

KÈ M

Bài tập tự luyện dạng 4

Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   a  3   a  1 với a  . Câu 2: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức M  x 

với x  0.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

DẠ

Dạng 1. Sắp xếp thứ tự các số trên trục số. Biểu diễn mối quan hệ giữa các tập số Câu 1. Sắp xếp thứ tự các số: 1 4 1 1 1 4 a) 2; 4; 0; 4; ; ; từ bé đến lớn là: 4; 2; 0; ; ; ; 4. 2 3 4 4 2 3

b) 7; 8; 1; 5; 0;3;8 từ lớn đến bé là: 8;3; 0; 1; 5; 7; 8. Trang 7

c) 0; 2;5; 3 ; 10 từ bé đến lớn là: 2; 0; 3 10;5.

CI AL

d) 3 ; 5 ; 4;  9 từ lớn đến bé là: 5 ; 3 ;  9; 4. Câu 2. b)   * .

a)   . Dạng 2. Xét tính đúng sai. So sánh Câu 1.

1 1 1 a) Khẳng định 4.  3 sai, vì 4.  2, 4.  3  2  3 ( 2  3 vô lý). 2 2 2

2 1 2 1 3.7  2 1 22   4  4  22  28 . (luôn đúng). b) Khẳng định 3  4  đúng, vì 3  4   7 7 7 7 7 7 7

c) Khẳng định 16  4  0 đúng, vì 16  4  4  4  0, 0  0 là điều hiển nhiên đúng.

 

ƠN

d) Khẳng định x4  3  3 sai, vì x4  3  3  x4  0 (vô lý vì x4  x2 Câu 2.

1  1  1 1 a  b  2.  a   2.  b   a  b. 2 2 2  2 

 0 với mọi số thực x bất kì).

 1  1 b) 7a  7b      7a      7b  a  b.  7  7

1 1 1 1 1 1 a  3  b  3  a  b  2. a  2. b  a  b. 2 2 2 2 2 2

 5  2  5  4 (luôn đúng). Do đó:  5  2 a  1   5  2 b  1   5  2 a   5  2 b 



1 52

 a  b.

Câu 3.







52 a

52 0 5  2 0

5  2  0 do



KÈ M

d) Ta có

52







52 b





a) a2  1  4 a  a2  1  4 a  a  1  4 a  0  a  2  3  0  *  . 2

DẠ

Đến đây có thể kết luận khẳng định a) sai vì với a  1 thì bất đẳng thức  *  sai. b)

a2 2

 0  a2  0, với a là số thực bất kỳ thì bất đẳng thức a2  0 đúng nên khẳng định b) đúng.

c) a3  b3  ab  a  b  a3  b3  a2b  ab2

Trang 8

 a3  a2b  b3  b2a  0  a2  a  b  b2  a  b  0





CI AL

 a2  b2  a  b   a  b a  b  0  *  . 2

Đến đây có thể kết luận khẳng định c) sai vì với a  0; b  1 thì bất đẳng thức  *  sai. d) a2  1  0  a2  1  0  *  .

1  0 Bất đẳng thức  *  đúng với a là số thực bất kỳ vì:  2  a2  1  a2  0  a2  1  0. a  0

Vậy khẳng định d) đúng. Dạng 3. Chứng minh bất đẳng thức Câu 1.

ƠN

m  0 m  0 a) Ta có:    m m  1  0  m2  m  0  m2  m. m  1 m  1  0 Vậy m2  m với 0  m  1.

a  b  0  0  0

a b 0 

a  b  0

b) Ta có:

  a  b a  b  0  a2  b2  0.

Vậy a2  b2  0 với a  b  0.

Dạng 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 1.





Biến đổi P   a  3   a  1  a2  6a  9  a2  2a  1  2a2  4a  10  2 a2  2a  5  2  a  1  8. 2

Với a  , ta có  a  1  0  P  2  a  1  8  8. 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  a  1  0  a  1.

KÈ M

Vậy biểu thức P   a  3   a  1 có giá trị nhỏ nhất là 8 khi và chỉ khi a  1. 2

Câu 2.

 x  1  2 x2  1 x2  2 x  1  2 2  2 Biến đổi M  x   x x x x 2

DẠ

Ta có bất đẳng thức:  x  1  0 luôn đúng với x  0 1

  x  1 .  0. 2

 x  1  x

 x  1  0 x

 2  2.

Suy ra M  2 Trang 9

Dấu “=” xảy ra khi  x  1  0  x  1 (thỏa mãn x  0 ). 1

là 2 khi x  1

DẠ

KÈ M

ƠN

Vậy với x  0, giá trị lớn nhất của biểu thức M  x 

CI AL

Trang 10

CHUYÊN ĐỀ 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN BÀI 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

CI AL

Mục tiêu  Kiến thức

+ Nắm được các khái niệm về bất phương trình một ẩn, tập nghiệm của bất phương trình, bất phương trình tương đương. Tìm được nghiệm của bất phương trình.

Chứng minh được hai bất phương trình tương đương.

DẠ

KÈ M

ƠN

 Kĩ năng

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

x  2x  1 là một bất phương trình ẩn x.

Bất phương trình một ẩn

A x   B  x 

CI AL

Bất phương trình ẩn x là hệ thức có dạng (

A  x   B  x  , A  x   B  x  , A  x   B  x  ). Trong đó: A  x  gọi là vế trái,

B  x  gọi là vế phải của bất phương trình. Nghiệm của bất phương trình là giá trị ẩn thay vào

x  0 là một nghiệm của bất phương trình vì:

bất phương trình ta được một khẳng định đúng.

0  2.0  1.

Tập nghiệm của bất phương trình

Tập nghiệm của bất phương trình x  2x  1 là

Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được

 x | x  1 .

ƠN

gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó.

Bất phương trình x  1 và bất phương trình 1  x

Bất phương trình tương đương

Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương là hai bất phương trình tương đương vì có cùng tập nghiệm là  x | x  1 .

trình có cùng tập nghiệm. Kí hiệu: “  ” đọc là tương đương. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Kiểm tra nghiệm của một bất phương trình Phương pháp giải

Để kiểm tra x  a có là nghiệm của bất phương Ví dụ: Kiểm tra xem giá trị x  1 là nghiệm của bất trình hay không ta tiến hành thực hiện theo hai phương trình nào trong các bất phương trình sau?

KÈ M

bước sau:

Bước 1. Thay x  a vào hai vế của bất phương trình (VT là viết tắt vế trái, VP là viết tắt vế phải). Bước 2. Kết luận:

- Nếu được một bất đẳng thức đúng thì x  a là

nghiệm của bất phương trình.

DẠ

- Nếu được một bất đẳng thức sai thì x  a không là nghiệm của bất phương trình. Chú ý:

2x  1  x  2. 3

c) 1  x  3x  1.

b) 2x  4  x  2. d) x  x  1  2x  3.

Hướng dẫn giải a) Thay x  1 vào hai vế của bất phương trình, ta có: 2 3

5 3

VT  .1  1  , Vì 1 

VP  1  2  1.

5 nên x  1 không là nghiệm của bất 3

phương trình.

Bài toán chứa tham số: “Tìm m để bất phương trình b) Thay x  1 vào hai vế của bất phương trình, ta Trang 2

nhận x  a làm nghiệm” ta sẽ thay x  a vào hai có: vế của bất phương trình rồi giải bất phương trình ẩn VT  2.1  4  6,

VP  1  2  3.

CI AL

m. Để tìm m thì đôi khi ta phải sử dụng đến tính Vì 3  6 nên x  1 là một nghiệm của bất phương chất “liên hệ giữa thứ tự và phép cộng” và tính chất trình.

c) Thay x  1 vào hai vế của bất phương trình, ta

“liên hệ giữa thứ tự và phép nhân” là:

- Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất có: đẳng thức, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều VT  1  1  0, với bất đẳng thức đã cho, cụ thể như sau:

VP  3.1  1  4.

Vì 0  4 nên x  1 là một nghiệm của bất phương trình.

• Nếu a  b thì a  c  b  c.

d) Thay x  1 vào hai vế của bất phương trình, ta

• Nếu a  b thì a  c  b  c.

có:

• Nếu a  b thì a  c  b  c.

VT  1. 1  1  0,

một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho, cụ thể như sau:

Vì 0  5 nên x  1 không là nghiệm của bất phương trình.

Với ba số a, b, c trong đó c  0, ta có:

• Nếu a  b thì ac  bc.

VP  2.1  3  5.

ƠN

- Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng

• Nếu a  b thì a  c  b  c.

• Nếu a  b thì ac  bc. • Nếu a  b thì ac  bc. • Nếu a  b thì ac  bc.

- Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng

một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho, cụ thể như sau: Với ba số a, b, c trong đó c  0, ta có: • Nếu a  b thì ac  bc.

KÈ M

• Nếu a  b thì ac  bc.

• Nếu a  b thì ac  bc. • Nếu a  b thì ac  bc. Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Kiểm tra xem trong các giá trị sau giá trị nào là nghiệm của bất phương trình: x2  2x  3x  1?

DẠ

a) x  2.

b) x  1.

c) x  3.

3 d) x   . 2

Hướng dẫn giải. a) Thay x  2 vào hai vế của bất phương trình, ta có:

VT  22  2.2  0, VP  3.2  1  7. Trang 3

Vì 0  7 nên x  2 là một nghiệm của bất phương trình. b) Thay x  1 vào hai vế của bất phương trình, ta có:

CI AL

VT  12  2.1  1, VP  3.1  1  4. Vì 1  4 nên x  1 là một nghiệm của bất phương trình. c) Thay x  3 vào hai vế của bất phương trình, ta có:

VT   3  2.  3  15, VP  3.  3  1  8. 2

3 vào hai vế của bất phương trình, ta có: 2

 3  3  21  3 7 VT      2.     , VP  3.     1   . 2  2  2 4  2

Ví dụ 2. Cho bất phương trình x  6  m 

x 6

ƠN

7 21 3 Vì   nên x   không là nghiệm của bất phương trình. 2 4 2

d) Thay x  

Vì 8  15 nên x  3 không là nghiệm của bất phương trình.

 3. Tìm m để bất phương trình có nghiệm x  3.

Hướng dẫn giải

Thay x  3 vào hai vế của bất phương trình, ta có:

3 5 5 23 3 9 m   9 9 m   9  m  . 6 2 2 2 23 thì x  3 là một nghiệm của bất phương trình. 2

Vậy với m  

3 6  m 

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Hãy xét xem x  2 có là nghiệm của mỗi bất phương trình sau hay không? a)  x  3   x  2 x  1 .

KÈ M

b) 3x  2  2x  1.

Câu 2: Trong các giá trị x  1 và x  3, giá trị nào là nghiệm của bất phương trình

 x  1 x  2  2x  1?

Câu 3: Tìm m để bất phương trình: x  x  2  x  m  3  2x nhận x  1 là nghiệm. Dạng 2: Viết ký hiệu tập hợp và biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình trên trục số

DẠ

Phương pháp giải

Bước 1. Vẽ trục số rồi điền giá trị 0 và giá trị Ví dụ: Viết kí hiệu tập hợp và biểu diễn tập nghiệm nghiệm của bất phương trình trên trục số.

của bất phương trình sau trên trục số:

Bước 2. Gạch bỏ phần không thuộc tập nghiệm a) x  1.

b) x  2. Trang 4

bằng dấu “/” và dùng các dấu ), (, [, ] như sau:

3 c) x   . 2 - Nếu x  a thì cách viết kí hiệu tập hợp và cách

biểu diễn trên trục số là:

Hướng dẫn giải

 x | x  a ,

a)  x | x  1 ,

CI AL

d) x  1.

- Nếu x  a thì cách viết kí hiệu tập hợp và cách biểu diễn trên trục số là:

 x | x  a ,

  - Nếu x  a thì cách viết kí hiệu tập hợp và cách c)  x x   3  , 2  biểu diễn trên trục số là:

b)  x | x  2 ,

 x | x  a ,

- Nếu x  a thì cách viết kí hiệu tập hợp và cách

biểu diễn trên trục số là:

ƠN

d)  x | x  1 ,

 x | x  a ,

Ví dụ mẫu

Ví dụ: Hình vẽ sau đây là tập nghiệm của bất phương trình nào? a)

KÈ M

b) c) d)

DẠ

Hướng dẫn giải a) x  2.

b) x  3.

5 c) x  . 2

d) x  4.

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Viết bằng kí hiệu tập hợp và biểu diễn tập nghiệm các bất phương trình sau trên trục số. Trang 5

3 . 4

b) x  11. d) x  5.

c) x  0.

Dạng 3. Xét sự tương đương của hai bất phương trình Phương pháp giải

CI AL

a) x 

Ví dụ: Các cặp bất phương trình sau đây có tương a) x  3 và 2x  6.

đương không? Vì sao?

b) x2  3  0 và 3x  1  1. Hướng dẫn giải Bước 1. Sử dụng một vài biến đổi cơ bản để tìm các

 x | x  3 .

ƠN

tập nghiệm của hai bất phương trình đã cho.

a) Tập nghiệm của bất phương trình x  3 là

Ta có 2x  6 

2x 6   x  3. 2 2

Tập nghiệm của bất phương trình 2x  6 là

 x | x  3 .

Bước 2.

Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm nên hai

• Nếu hai bất phương trình cùng tập nghiệm ta kết bất phương trình trên tương đương. luận hai bất phương trình tương đương. b) Ta có x2  0, x  x2  3  3, x. • Nếu hai bất phương trình khác tập nghiệm ta kết Tập nghiệm của bất phương trình x2  3  0 là luận hai bất phương trình không tương đương. x | x   . Chú ý: Đôi khi để chứng minh hai bất phương trình  là tương đương ta chỉ cần biến đổi hai bất phương Ta có: 3x  1  0, x  3x  1  1 (vô lí). gian nào đó.

KÈ M

trình đã cho giống với một bất phương trình trung

Tập nghiệm của bất phương trình 3x  1  1 là .

Hai bất phương trình khác tập nghiệm nên hai bất phương trình trên không tương đương.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Các cặp bất phương trình sau đây có tương đương không? Vì sao?

DẠ

a) 2  x  4 và  x  2.





b) x2  1 x  0 và 2x4  0.

Hướng dẫn giải a) Ta có: 2  x  4  2  x  2  4  2  x  2.

Trang 6

Tập nghiệm của bất phương trình 2  x  4 là  x | x  2 .

Tập nghiệm của bất phương trình  x  2 là  x | x  2 . Hai bất phương trình cùng tập nghiệm nên hai bất phương trình trên tương đương.





b) Ta có x2  0, x  x2  1  1, x nên x2  1 x  0

x 1 2

0  x  0. x 1 2





Tập nghiệm của bất phương trình x2  1 x  0 là  x | x  0 .

 

Ta có: x4  x2

 0 với mọi x nên 2x4  0 với mọi x.

ƠN

Tập nghiệm của bất phương trình 2x4  0 là  x | x   .

 x  1 x  

CI AL

Ta có:  x  2   x.  1  2.  1  x  2.

Tập nghiệm hai phương trình khác nhau nên hai bất phương trình trên không tương đương. Ví dụ 2. Cho các bất phương trình sau. Tìm m để hai bất phương trình tương đương.

b) 2019x  2018  0 và  m  1 x  1.

a) x  5  2m  12 và x  7. Hướng dẫn giải

a) Ta có: x  5  2m  12  x  5  5  2m  12  5  x  2m  7.

Tập của bất phương trình x  5  2m  12 là  x | x  2m  7 .

Tập nghiệm của bất phương trình x  7 là  x | x  7 . Để hai bất phương trình đã cho là tương đương thì 2m  7  7  m  0. Vậy với m  0 thì hai bất phương trình đã cho là tương đương.

KÈ M

b) Ta có: 2019x  2018  0  2019x  2018  2018  2018  2019x  2018  x

2018 . 2019

 2018  Tập nghiệm của bất phương trình 2019x  2018  0 là  x | x  . 2019  

Xét bất phương trình:  m  1 x  1: - Trường hợp 1: m  1  0  x  1.

DẠ

Thay m  1 vào bất phương trình  m  1 x  1 ta được: 1  1 x  1  0  1 (luôn đúng). Tập nghiệm của bất phương trình là  x | x   . Hai tập nghiệm khác nhau nên hai bất phương trình trên không tương đương. Trang 7

- Trường hợp 2: m  1  0  m  1  1  0  1  m  1.

CI AL

 1  Tập nghiệm của bất phương trình  m  1 x  1 là:  x | x  . m  1  Hai tập nghiệm khác nhau nên hai bất phương trình trên không tương đương. - Trường hợp 3: m  1  0  m  1  1  0  1  m  1.

 1  Tập nghiệm của bất phương trình  m  1 x  1 là:  x | x  . m  1 

Để hai bất phương trình đã cho là tương đương thì

2018 1 4037   2018 m  1  2019  2018m  2018  2019  m  (loại). 2019 m  1 2018

Vậy không có giá trị nào của m để hai bất phương trình đã cho là tương đương. Bài tập tự luyện dạng 3

ƠN

Câu 1: Các cặp bất phương trình sau đây có tương đương không? Vì sao? b) x  0 và  x2  0.

a) x  0 và x  3  3.

Câu 2: Cho các bất phương trình: x  3  m  1 và x  0. Tìm m để hai bất phương trình tương đương. Dạng 4. Chứng minh bất phương trình luôn có nghiệm hoặc vô nghiệm Phương pháp giải

Chứng minh bất phương trình luôn có nghiệm hoặc Ví dụ: Chứng minh bất phương trình sau nghiệm vô nghiệm. Giả sử xét bất phương trình sau:

A  x   0.

Bước 1. Bằng việc sử dụng các hằng đẳng thức:

A2  2 AB  B2   A  B ; 2

KÈ M

A2  2 AB  B2   A  B

đúng với mọi x: a) x2  2x  2  0. b)  x2  4x  5  0. Hướng dẫn giải



  x  1  1. 2

Ta biến đổi bất phương trình về dạng:  f  x    k  0 hoặc   f  x    k  0     2

- Nếu k  0 thì bất phương trình  f  x    k  0

Vì  x  1  0, x nên  x  1  1  0, x 2

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.

Bước 2. Kết luận





b) Ta có:  x2  4x  5   x2  4x  4  1    x  2  1. 2

nghiệm đúng với mọi x.

DẠ



a) Ta có x2  2x  2  x2  2x  1  1

- Nếu k  0 thì bất phương trình   f  x    k  0 2

Vì  x  2  0, x nên   x  2  0, x 2

vô nghiệm.

Trang 8

Do đó   x  2  1  0, x 2

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.

CI AL

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Chứng minh các bất phương trình sau luôn vô nghiệm. a) x2  x  1  0.

b)  x2  3x  3  0.

2 2 2   1  1  1  1 3 2 a) Ta có: x  x  1   x  2.x.      1      x    . 2  2  2 4   2  

 1 Vì  x    0 với mọi x nên 2 

3 với mọi x nên bất phương trình đã cho luôn vô nghiệm. 4

ƠN

Do đó x2  x  1 

 1 3 3  x     với mọi x. 2 4 4 

Hướng dẫn giải

2 2 2   3  3  3  3 3 2 b) Ta có:  x  3x  3    x  2.x.      3       x    . 2  2  2 4   2  

  3 3 Vì  x    0, x nên   x    0, x. 2 2   2

 3 3 3 Do đó   x      , x nên bất phương trình đã cho vô nghiệm. 2 4 4 

Ví dụ 2. Tìm m để bất phương trình a) x2  2x  3  4m  0 vô nghiệm

b)  x2  4x  5  3m  0 nghiệm đúng với mọi x. Hướng dẫn giải

a) Ta có: x2  2x  3  4m  x2  2x  1  2  4m   x  1  2  4m.

KÈ M

Bất phương trình tương đương với  x  1  4m  2 2

2 1 Vì  x  1  0 nên để bất phương trình vô nghiệm thì 4m  2  0  m  . 2

1 thì bất phương trình đã cho vô nghiệm. 2

Vậy với m 





DẠ

b)  x2  4x  5  2m   x2  4x  4  1  3m    x  2  1  3m. 2

Vì  x  2  0 với mọi x nên   x  2  0 với mọi x. 2

Do đó để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì Trang 9

1 1  3m  0  1  1  3m  0  1  3m  1  m  . 3 1 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x. 3

CI AL

Vậy với m 

Bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1: Chứng minh các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x. b) 9x2  6x  5  0.

a) 4x2  4x  9  0. a) x2  10x  26  0.

b)  x2  x  1  0.

Câu 2: Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.

Câu 3: Tìm m để bất phương trình: 25x2  10x  m  2019  0 nghiệm đúng với mọi x.

Dạng 1. Kiểm tra nghiệm của một bất phương trình Câu 1.

ƠN

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

a) Thay x  2 vào bất phương trình, ta có: VT   2  3  1, VP   2  2 2  1  0.

Ta thấy VT  VP nên x  2 không là nghiệm của bất phương trình. b) Thay x  2 vào bất phương trình, ta có: VT  3.2  2  8, VP  2.2  1  3. Ta thấy VT  VP nên

x  2 là nghiệm của bất phương trình.

Câu 2.

Với x  1 ta có VT  1  11  2  2, VP  2.1  1  3. Ta thấy VT  VP nên x  1 là nghiệm của bất phương trình.

Với x  3 ta có VT   3  1 3  2  10, VP  2.  3  1  5. Ta thấy VT  VP nên x  3 không

Câu 3.

KÈ M

là nghiệm của bất phương trình.

DẠ

Thay x  1 vào bất phương trình, ta có: 11  2  1  m  3  2.1  m  3.

Trang 10

Dạng 2. Viết bằng kí hiệu tập hợp và biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình trên trục số Câu 1.

CI AL

 3 a)  x | x    . 4  b)  x | x  11 .



c)  x | x  0 .



d) x | x  5 .

Dạng 3. Xét sự tương đương của hai bất phương trình

ƠN

Câu 1.

a) Hai bất phương trình đã cho là tương đương vì có cùng tập nghiệm  x | x  0 . b) Hai bất phương trình đã cho là không tương đương vì bất phương trình 1 có tập nghiệm  x | x  0

bất phương trình  2 có tập nghiệm  x | x   . Câu 2. Ta có: x  3  m  1  x  m  4.

Vậy để hai bất phương trình đã cho là tương đương thì m  4  0  m  4. Câu 1.

Dạng 4. Chứng minh bất phương trình luôn có nghiệm hoặc vô nghiệm a) 4x2  4x  9  0  4x2  4x  1  8  0   2x  1  8  0 nghiệm đúng x.





KÈ M

b) 9x2  6x  5  0   9x2  6x  1  4  0    3x  1  4  0 nghiệm đúng x. Câu 2.

a) x2  10x  26  x2  10x  25  1   x  5  1  0, x nên bất phương trình đã cho là vô nghiệm. 2

  1 3 1 3 b)  x  x  1  0    x2  x       x     0, x nên bất phương trình đã cho là vô 4 4 2 4   2

DẠ

Câu 3.

nghiệm.

Ta có: 25x2  10x  m  2019  0   5x  1  m  2020  0. 2

Vậy để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì m  2020  0  m  2020.

Trang 11

BÀI 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Mục tiêu

CI AL

 Kiến thức + Nắm được định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn. + Nắm được các quy tắc biến đổi bất phương trình.  Kĩ năng Giải được bất phương trình bậc nhất một ẩn.

DẠ

KÈ M

ƠN

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa

CI AL

Bất phương trình dạng ax  b  0  ax  b  0, ax  b  0, ax  b  0  trong đó a và b là hai số đã cho, a  0 được gọi là bất phương tình bậc nhất một ẩn. Ví dụ: 2 x  1  0 là một bất phương trình bậc nhất một ẩn. Hai quy tắc biến đổi bất phương trình a) Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu hạng tử đó. b) Quy tắc nhân với một số

Ví dụ: 2 x  1  0  2 x  1 . Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải: Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.

Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

ƠN

Ví dụ: 2 x  1  0  2  2 x  1  0

2 x  1  0  3  2 x  1  0

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Nhận dạng bất phương trình bậc nhất Phương pháp giải

Nhận dạng bất phương trình bậc nhất dựa vào định nghĩa.

Bất phương trình dạng ax  b  0 (hoặc ax  b  0, ax  b  0, ax  b  0 ) trong đó a và b là hai số đã cho,

a  0 , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

KÈ M

a) 2 x  2  0 b) x 2  2 x  0 c) 2  x  1  2 x  0 Hướng dẫn giải

a) Bất phương trình: 2 x  2  0 là bất phương trình bậc nhất một ẩn với a  2 và b  2 . b) Bất phương trình: x 2  2 x  0 không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì đa thức x 2  2 x có bậc là 2.

c) Ta có: 2  x  1  2 x  0  2 x  2  2 x  0  2  0 .

DẠ

Vậy 2  x  1  2 x  0 không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì trong bất phương trình không chứa biến x.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn? a) x  1

b) 2  x  1  3 x  2 Trang 2

c) 2  x  2   2 x  x  4   0 2

a) Bất phương trình: x  1 là bất phương trình bậc nhất một ẩn với a  1  0 . b) Ta có: 2  x  1  3 x  2  2 x  2  3 x  2   x  0 . Vậy 2  x  1  3 x  2 là bất phương trình bậc nhất một ẩn với a  1  0 . c) Ta có: 2  x  2   2 x  x  4   0  2  x 2  4 x  4    2 x 2  8 x   0 2

 2 x2  8x  8  2 x2  8x  0  8  0

CI AL

Hướng dẫn giải

Vậy 2  x  2   2 x  x  4   0 không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 2. Tìm m để các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn. a) 2mx  2  2 x  1

b) mx 2  3mx  x 2  2 x  1

Hướng dẫn giải

ƠN

a) Xét bất phương trình 2mx  2  2 x  1  2mx  2  2 x  1  0

  2m  2  x  3  0

Để bất phương trình là bất phương trình bậc nhất một ẩn thì:

2m  2  0  2m  2  m  1

b) Xét bất phương trình mx 2  3mx  x 2  2 x  1

 mx 2  3mx  x 2  2 x  1  0

  m  1 x 2   3m  2  x  1  0 Xét m  1  0  m  1

Để bất phương trình là bất phương trình bậc nhất một ẩn thì: m  1  0 và 3m  2  0

Xét 3m  2  0  3m  2  m 

2 3

KÈ M

Vậy với m  1 thì bất phương trình mx 2  3mx  x 2  2 x  1 là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất? a) 2 x  5  0 c) 3  0

b) 3  x  1  4 x  5  x d) 4  x 2  1   2 x  1  1 2

Dạng 2. Kiểm tra x = a có là nghiệm của bất phương trình

DẠ

Phương pháp giải

Giá trị x  x0 là nghiệm của bất phương trình f  x   g  x  khi thay x  x0 vào hai vế của bất phương trình thỏa mãn f  x0   g  x0  . Ví dụ: Trong các giá trị sau x  1, x  6, x  5 giá trị nào là nghiệm bất phương trình 3  x  1  2 x  2 ? Trang 3

Hướng dẫn giải

Vậy x  1 không phải là nghiệm của bất phương trình 3  x  1  2 x  2 . Với x  6 thì 3  6  1  2.6  2  3  2 (luôn đúng). Vậy x  6 là nghiệm của bất phương trình 3  x  1  2 x  2 . Với x  5 thì 3  5  1  2.5  2  2  2 (vô lí). Vậy x  5 không phải là nghiệm của bất phương trình 3  x  1  2 x  2 .

Ví dụ mẫu

Với x  1 thì 3 1  1  2.1  2  2  2 (vô lí).

CI AL

Xét bất phương trình: 3  x  1  2 x  2 .

Ví dụ 1. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào nhận x  2 là nghiệm? a)  2 x 2  1  x  1  0 x 2x  3 1  2 2 4

hướng dẫn giải a) Xét bất phương trình:  2 x 2  1  x  1  0 .

ƠN

b) 3 x  1  2 x  2

Với x  2 ta có:  2.22  1  2  1  0  9  0 (luôn đúng).

Vậy x  2 là nghiệm của bất phương trình  2 x 2  1  x  1  0 b) Xét bất phương trình: 3 x  1  2 x  2

Với x  2 ta có: 3.2  1  2.2  2  7  6 (luôn đúng).

c) Xét bất phương trình:

x 2x  3 1  2. 2 4

2 2.2  3 15 1  20 (vô lí). 2 4 4

KÈ M

Với x  2 ta có:

Vậy x  2 là nghiệm của bất phương trình 3 x  1  2 x  2 .

Vậy x  2 không phải là nghiệm của bất phương trình

x 2x  3 1  2 2 4

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1. Trong các giá trị x  1, x  2 và x  1 , giá trị nào là nghiệm của các bất phương trình sau? a) x  3  2 x  1

b) x  x  1   x  2   4  0 2

Câu 2. Cho bất phương trình m  x  1  2 x  0 . Tìm m để bất phương trình nhận x  1 là nghiệm.

DẠ

Dạng 3. Giải bất phương trình cơ bản Phương pháp giải

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có dạng ax  b  0 (hoặc ax  b  0, ax  b  0, ax  b  0 ) với  a  0  . Trang 4

Để giải bất phương trình cơ bản ta làm như sau: + Thực hiện các quy tắc biến đổi bất phương trình (quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân với một số)

CI AL

+ Dựa vào một số nhận xét cơ bản:

x 2  0 và  x 2  0 x  0 và  x  0 + Đưa bất phương trình về bất phương trình bậc nhất một ẩn. + Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

 x  1

a) 3 x  1  5 2x 1 1  0 b) 2 4  x  x  1  0

Hướng dẫn giải  3x  6 x2





2  2 x  1 1 2x 1 1  0  0 2 4 4 4

4x  2 1  0 4 4



4x  2 1 0 4



b) Ta có:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là xx  2 .

ƠN

a) Ta có: 3 x  1  5  3 x  1  5



4x 1 0 4

 4x 1  0

KÈ M

 x

1 4

1   Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  xx   . 4 

c) Ta có:  x  1  x  x  1  0 2

 x2  2x  1   x2  x   0

 x2  2x  1  x2  x  0

DẠ

 x 1  0  x  1 .





Vậy tập nghiệm của bất phương trình là xx  1 . Ví dụ mẫu Trang 5

Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau: b) 3  2 x  1  2  x  2   0

c) x  2 x  1  2  x  1  0 2

x3 x2 1  2 2 3

CI AL

a) 3 x  2  4  2 x

Hướng dẫn giải a) Ta có: 3 x  2  4  2 x  3 x  2  4  2 x  0  5x  6  0

6 5

6  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  xx   5 

b) Ta có: 3  2 x  1  2  x  2   0  6 x  3   2 x  4   0  4x  7  0  4 x  7

7 4

 x

ƠN

 6x  3  2x  4  0

 x

 5x  6

7   Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  xx   . 4 

c) Ta có: x  2 x  1  2  x  1  0

 2x2  x  2x2  4x  2  0  5x  2  0

 x

2 5

KÈ M

 5x  2

 2 x 2  x  2  x 2  2 x  1  0

 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  xx  

d) Ta có:

x3 x2 1  2 2 3

3  x  3 6 2  x  2  12    6 6 6 6



2 . 5

DẠ

 3  x  3  6  2  x  2   12

 3 x  9  6  2 x  4  12  3x  3  2 x  8

 3 x  2 x  8  3

Trang 6

 x  11 .





Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau: a)  x 2  1  2 x  3  0

b)  2  x   2  5 x   0

c)  x  2  2 x  3  0

x 1 0 2 x

Hướng dẫn giải a) Xét bất phương trình  x 2  1  2 x  3  0

Ta thấy  x 2  1  0 với mọi x. 3 2

Do đó, ta có:  x 2  1  2 x  3  0  2 x  3  0  2 x  3  x 

b) Xét bất phương trình  2  x   2  5 x   0 Ta thấy:  x  0  x     2  x  0  x   

ƠN

3  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  xx   . 2 

CI AL

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là xx  11 .

Do đó, ta có:  2  x   2  5 x   0  2  5 x  0  2  5 x  x 

2 5

2  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  xx   . 5 

Ta có: x  2  0  x  2

3 2

KÈ M

2x  3  0  2x  3  x 

Trường hợp 1: x  2  0 và 2 x  3  0

c) Xét bất phương trình  x  2  2 x  3  0

 Tập hợp các giá trị của x thỏa mãn trường hợp 1 là:  x  x  

3 . 2

Trường hợp 2: x  2  0 và 2 x  3  0 Ta có:

x  2  0  x  2

DẠ

2x  3  0  2x  3  x 

3 2

Kết hợp các giá trị x trong trường hợp 2, ta thấy không có x thỏa mãn.  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  x  x  

3 . 2

Trang 7

d) Xét bất phương trình

x 1 0 2 x

CI AL

Trường hợp 1: x  1  0 và 2  x  0 Ta có: x  1  0  x  1 2 x  0  2  x





Tập hợp các giá trị của x thỏa mãn trường hợp 1 là: x  x  2 .

Trường hợp 2: x  1  0 và 2  x  0 Ta có: 2 x  0  2 x

x  1  0  x  1

Kết hợp các giá trị x trong trường hợp 2, ta thấy không có x thỏa mãn. x 1  0 là x  x  2 . 2 x

Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản Câu 1. Giải các bất phương trình sau: 2x 1 x  2 x  2 2x 1    3 2 6 3

b) 2  x  1  3  3  x   1

a) 2 x  7  0 c)



ƠN



Vậy tập nghiệm của bất phương trình

d) 2  x  1  x  2 x  1  5 x  2 2

Câu 2. Giải các bất phương trình sau: a)  x  3  2  x  3  0 2

Bài tập nâng cao

x2 0 2x 1

c) x 2  4 x  3  0

Câu 3. Giải các bất phương trình sau: x  1 x  2 x  14 x  13    2019 2018 2006 2007

KÈ M

x 1 x  2 x  3   3 1998 1999 2000

Câu 4. Giải bất phương trình  2m  1 x  2m 2  2  0 theo tham số m. Dạng 4. Một số bài toán đố Phương pháp giải

Bước 1. Gọi ẩn x cần tìm, tìm điều kiện cho x.

Bước 2. Dựa vào đề bài thiết lập mối quan hệ của ẩn với các đại lượng đã biết, chưa biết. Bước 3. Thiết lập bất phương trình dựa vào mối quan hệ đó theo yêu cầu đề bài.

DẠ

Bước 4. Giải bất phương trình. Bước 5. Kết luận yêu cầu của bài toán. Ví dụ: Bạn Dũng có một tờ tiền Việt Nam chưa rõ mệnh giá. Biết rằng nếu mệnh giá của tờ tiền đó nhân với 3 thì nhỏ hơn 160 000 nhưng nếu nhân với 2 thì lớn hơn 90 000. Hỏi bạn Dũng có tờ tiền mệnh giá bao nhiêu? Trang 8

Hướng dẫn giải Gọi mệnh giá của tờ tiền bạn Dũng có là x (đồng) với x thuộc tập hợp

CI AL

S  200;500;1000; 2000;5000;10000; 20000;50000... (các mệnh giá tiền Việt Nam đồng).

Vì nếu mệnh giá tờ tiền của bạn Dũng có nhân 3 nhỏ hơn 160 000 (đồng) nên ta có bất phương trình: 3 x  160000  x 

160000 3

(1)

Mặt khác, mệnh giá tờ tiền của bạn Dũng có nhân 2 lớn hơn 90 000 (đồng) nên ta có bất phương trình: 90000 2

(2)

2 x  90000  x 

90000 160000 160000 x  45000  x  2 3 3

Vậy mệnh giá tờ tiền mà bạn Dũng có là 50 000 (đồng). Ví dụ mẫu

Kết hợp (1) và (2), ta được:

ƠN

Ví dụ 1. Trong kì thi, bạn Xuân Hương thi bốn môn Toán, Văn, Anh, Sử. Xuân Hương đã thi ba môn và được kết quả như sau Toán

Anh

Sử

Điểm

Môn

Kì thi quy định muốn đạt giải thì phải có điểm trung bình các môn từ 8 trở lên và không môn nào bị dưới 6 điểm. Biết môn Văn, Toán được tính hệ số 2. Hãy cho biết, để đạt giải thì bạn Xuân Hương phải có điểm môn Văn ít nhất là bao nhiêu? Biết điểm tối đa của mỗi môn là 10 điểm. Hướng dẫn giải

Gọi x là điểm thi môn Văn của bạn Xuân Hương  6  x  10  .

 2 x  2.9  7  6  : 6 

2 x  31 6

Điểm trung bình các môn thi của bạn Xuân Hương là:

KÈ M

Theo đề bài, để bạn Xuân Hương đạt giải thì điểm trung bình các môn phải từ 8 trở lên, nên ta có bất 2 x  31 phương trình: 8 6

 2 x  31  48  2 x  17  x  8,5 . Vậy để đạt học sinh giỏi bạn Xuân Hương cần được ít nhất 8,5 điểm môn Văn. Bài tập tự luyện dạng 4

DẠ

Câu 1. Bạn Huy được mẹ cho 100 000 đồng đi mua bút và vở. Biết rằng giá một cuốn vở là 10 000 đồng, một cái bút là 5000 đồng. Biết rằng mẹ bạn Huy yêu cầu bạn Huy mua ít nhất 6 cuốn vở. Hỏi bạn Huy mua được nhiều nhất bao nhiêu cái bút?

Trang 9

ĐÁP ÁN Dạng 1. Nhận dạng bất phương trình bậc nhất

CI AL

Câu 1. a) 2 x  5  0 là bất phương trình bậc nhất một ẩn với a  2, b  5 . b) Xét bất phương trình 3  x  1  4 x  5  x  3 x  3  4 x  5  x  3x  3x  3  5  0  2  0 (vô lí).

Vậy bất phương trình 3  x  1  4 x  5  x không phải là bất phương trình bậc nhất. c) 3  0 không phải bất phương trình bậc nhất vì a  0 .

d) Xét bất phương trình 4  x 2  1   2 x  1  1  4 x 2  4   4 x 2  4 x  1  1

 4x2  4  4x2  4x 1 1  0  4 x  6  0

Vậy bất phương trình 4  x 2  1   2 x  1  1 là bất phương trình bậc nhất một ẩn với a  4 và b  6 .

ƠN

Dạng 2. Kiểm tra x = a có là nghiệm của bất phương trình Câu 1. a) Xét bất phương trình x  3  2 x  1 .

Với x  1 thì 1  3  2.1  1  2  3 (luôn đúng).

Vậy x  1 là nghiệm của bất phương trình x  3  2 x  1 . Với x  2 thì 2  3  2.2  1  1  5 (luôn đúng).

Vậy x  2 là nghiệm của bất phương trình x  3  2 x  1 .

Với x  1 thì 1  3  2.  1  1  4  1 (luôn đúng).

Vậy x  1 là nghiệm của bất phương trình x  3  2 x  1 . b) Xét bất phương trình x  x  1   x  2   4  0 2

Với x  1 thì 1. 1  1  1  2   4  0  3  0 (vô lí). 2

Vậy x  1 không phải là nghiệm của bất phương trình x  x  1   x  2   4  0 .

KÈ M

Với x  2 thì 2  2  1   2  2   4  0  6  0 (vô lí). 2

Vậy x  2 không phải là nghiệm của bất phương trình x  x  1   x  2   4  0 . 2

Với x  1 thì  1 1  1   1  2   4  0  0  1  4  0  3  0 (luôn đúng). 2

Vậy x  1 là nghiệm của bất phương trình x  x  1   x  2   4  0 .

DẠ

Câu 2.

Xét bất phương trình: m  x  1  2 x  0 . Vì x  1 là nghiệm của bất phương trình nên thay x  1 vào bất phương trình đã cho, ta được:

m 1  1  2.1  0  2m  2  0  2m  2  m  1 . Trang 10

Vậy với m  1 bất phương trình m  x  1  2 x  0 nhận x  1 là nghiệm.

Câu 1. a) Xét bất phương trình 2 x  7  0  2 x  7  x 

7 2

7  Vậy bất phương trình có tập nghiệm S   xx   . 2 

b) Xét bất phương trình 2  x  1  3  3  x   1  2 x  2  9  3 x  1  5 x  12

12   Vậy bất phương trình có tập nghiệm S   xx   . 5 



2x 1 x  2 x  2 2x 1    3 2 6 3

2  2 x  1 3  x  2  x  2 2  2 x  1    6 6 6 6

 2  2 x  1  3  x  2   x  2  2  2 x  1  4 x  2   3x  6   x  2   4 x  2 

 4 x  2  3x  6  x  2  4 x  2

 4 x  3x  x  4 x  2  6  2  2  4x  8 x2

c) Xét bất phương trình

12 5

ƠN

x

 2 x  3x  9  2  1

Bài tập cơ bản

CI AL

Dạng 3. Giải bất phương trình cơ bản





Vậy bất phương trình có tập nghiệm S  xx  2 . d) Xét bất phương trình 2  x  1  x  2 x  1  5 x  2

KÈ M

 2  x 2  2 x  1   2 x 2  x   5 x  2

 2 x2  4 x  2  2 x2  x  5x  2  0  4  0 (vô lý).

Câu 2.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S   .

DẠ

a) Xét bất phương trình  x  3  2  x  3  0   x  3 x  3  2   0   x  3 x  1  0 2

Trường hợp 1: x  3  0 và x  1  0 Ta có:

x  3  0  x  3

Trang 11

x  1  0  x  1









Trường hợp 2: x  3  0 và x  1  0 Ta có: x  3  0  x  3 x  1  0  x  1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình thỏa mãn trường hợp 2 là S  xx  3 .





Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  xx  3, x  1 . x2 0 2x 1

b) Xét bất phương trình

Trường hợp 1: x  2  0 và 2 x  1  0 Ta có:

ƠN

x20 x  2

2 x  1  0  2 x  1  x 

CI AL

Vậy tập nghiệm của bất phương trình thỏa mãn trường hợp 1 là S  xx  1 .

1 2





Vậy tập nghiệm của bất phương trình thỏa mãn trường hợp 1 là S  xx  2 . Trường hợp 2: x  2  0 và 2 x  1  0 Xét:

2 x  1  0  2 x  1  x 

1 2

x20 x  2

1   Vậy tập nghiệm của bất phương trình thỏa mãn trường hợp 2 là S   xx   . 2  1   Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S1   xx   và S 2  xx  2 . 2 





KÈ M

c) Xét bất phương trình x 2  4 x  3  0

 x 2  3x  x  3  0

 x  x  3   x  3  0   x  1 x  3  0 Ta có:

Trường hợp 1: x  3  0 và x  1  0 x 3  0  x  3

DẠ

x 1  0  x  1

Vậy không có nghiệm thỏa mãn trường hợp 1. Trường hợp 2: x  3  0 và x  1  0 Ta có:

Trang 12

x 3 0  x  3





Vậy tập nghiệm của bất phương trình thỏa mãn trường hợp 2 là S  x  x  3 .





Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  x  x  3 . Bài tập nâng cao Câu 3.

x 1 x2 x  14 x  13 1 1  1 1 2019 2018 2006 2007



x  1 2019 x  2 2018 x  14 2006 x  13 2007        2019 2019 2018 2018 2006 2006 2007 2007



x  2020 x  2020 x  2020 x  2020    2019 2018 2006 2007

ƠN



1 1 1   1   x  2020      0  2019 2018 2006 2007 

1 1 1  1 1 1 1  1        0 nên  x  2020   0 2019 2018 2006 2007  2019 2018 2006 2007 

 x  2020  0  x  2020



Vì

x  1 x  2 x  14 x  13    2019 2018 2006 2007

a) Xét bất phương trình:

CI AL

x 1  0  x  1



Vậy bất phương trình có tập nghiệm S  xx  2020 . x 1 x  2 x  3   3 1998 1999 2000

b) Xét bất phương trình:

x 1 x2 x3 1 1 1  0 1998 1999 2000



x  1 1998 x  2 1999 x  3 2000      0 1998 1998 1999 1999 2000 2000



x  1  1998 x  2  1999 x  3  2000   0 1998 1999 2000



x  1997 x  1997 x  1997   0 1998 1999 2000

KÈ M



1 1   1   x  1997     0  1998 1999 2000 

1 1  1 1 1  1      0 nên  x  1997     0  x  1997  0  x  1997 1998 1999 2000  1998 1999 2000 

DẠ

Vì





Vậy tập nghiệm của bất phương trình S  xx  1997 . Câu 4.

Xét bất phương trình  2m  1 x  2m 2  2  0 * Trang 13

Xét: 2m  1  0  m 

1 thay vào bất phương trình (*) được: 2

  1  1 5  1   1 x  2    2  0  20  0 (vô lí).  2. 2 2 3  2    1 bất phương trình vô nghiệm. 2

Xét 2m  1  0  m 

1 2

2m 2  2 1 2 Với m  thì (*)   2m  1 x  2m  2  x  2m  1 2

 1 2m 2  2  bất phương trình có tập nghiệm S   xx  . 2 2m  1  

Xét 2m  1  0  m 

1 2

2m 2  2 1 thì (*)   2m  1 x  2m 2  2  x  2m  1 2

ƠN

Với m 

Vậy với m 

Vậy với m 

CI AL

 1 2m 2  2  Vậy với m  bất phương trình có tập nghiệm S   xx  . 2 2m  1   Dạng 4. Một số bài toán đố Câu 1.

Gọi số bút mà bạn Huy mua được nhiều nhất là x (cái)  0  x  20; x  *  .

Số tiền bạn Huy dùng để mua x cái bút là: 5000.x (đồng).

Số tiền bạn Huy dùng để mua vở là 100 000  5000.x (đồng). Vì mỗi cuốn vở có giá 10 000 đồng nên số cuốn vở bạn Huy mua được là 100 000  5000.x x  10  10 000 2



KÈ M

Mẹ bạn Huy yêu cầu mua ít nhất 6 cuốn vở nên 10 

x 6 2

20 x 12   2 2 2

 20  x  12   x  8

 x8

DẠ

Vậy bạn Huy có thể mua nhiều nhất 8 cái bút.

Trang 14

Trang 15

DẠ

KÈ M QU Y ƠN

CI AL

BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Mục tiêu

CI AL

 Kiến thức + Phát biểu được khái niệm về giá trị tuyệt đối.  Kĩ năng Giải được phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

DẠ

KÈ M

ƠN

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Nhắc lại về giá trị tuyệt đối

CI AL

Giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu là a được định nghĩa như sau:

a  a khi a  0 . a  a khi a  0 . Ví dụ: a 2  a 2

3  3

Giải một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Bước 2: Giải các phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ: Giải phương trình x 2  1  2

ƠN

Vì x 2  1  0, x nên phương tình đã cho tương đương với: x 2  1  2  x  1 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải

Thông thường chúng ta giải theo các bước sau:

Bước 1. Dựa vào định nghĩa và tính chất để bỏ dấu trị tuyệt đối. Bước 2. Sử dụng các biến đổi đại số để thu gọn biểu thức.

A  2 x  5  x  2 khi x  5 Hướng dẫn giải

Ví dụ: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi rút gọn biểu thức:

Trong ví dụ này, khi x  5 ta có 5  x  0 nên 5  x  5  x

KÈ M

Vậy A  2 x  5  x  2  x  7 Ví dụ mẫu

Ví dụ. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi rút gọn các biểu thức sau: a) A  x  7  2 x khi x  0 và khi x  0 . 2

b) B  5 x  2 x 2  3  x khi x  3 .

c) C    x 2  7   x 2  1

DẠ

d) D 

x2  x

 x  1   x  1

khi x  0, x  1 .

Hướng dẫn giải a) Khi x  0 ta có 2 x  0 nên 2 x  2 x . Trang 2

Vậy A  x  7  2 x  3 x  7 Khi x  0 ta có 2 x  0 nên 2 x  2 x .

CI AL

Vậy A  x  7  2 x   x  7 .

b) Cách 1: Khi x  3 ta có 5 x  0 và 3  x  0 nên 5 x    5 x   5 x và 3  x  x  3 . Vậy B   5 x   2 x 2  x  3  25 x 2  2 x 2  x  3  23 x 2  x  3 2

Cách 2: Ta có: 5 x   5 x   25 x 2 , x 2

Khi x  3 ta lại có 3  x  0 nên 3  x  x  3 .

c) Vì x 2  0, x nên x 2  1  0, x . Do đó x 2  1  x 2  1 .

d) Khi x  0   x  0 nên x   x và  x   x

ƠN

Vậy C    x 2  7   x 2  1   x 2  7  x 2  1  6

Vậy B  25 x 2  2 x 2  x  3  23 x 2  x  3

x2    x  x  x  1 x2  x x Vậy D  .     x  1  x  1   x  1 x  1   x  1 x  1 1  x

Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) A  x  3  2  x khi x  0 . 2

b) B  7 x  x 2  x  2 .

 1 c) C   x  1  x 2  x  x   khi x  0 . 2 

Dạng 2. Giải các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Bài toán 1. f  x   k (trong đó f  x  là biểu thức của x; k là một số cho trước)

KÈ M

Phương pháp giải 

Nếu k  0 thì phương trình vô nghiệm.



Nếu k  0 thì ta có f  x   0  f  x   0 .



Nếu k  0 thì ta có

 f  x  k f  x  k    f  x   k

DẠ

Ví dụ: Giải phương trình 5 x  2  2  1 . Hướng dẫn giải Chuyển hạng tử tự do về một vế ta được: 5 x  2  3 .

Trang 3

CI AL

1  x 5 x  2  3 5 x  1    Vì 3  0 nên 5 x  2  3   5  5 x  2  3 5 x  5 x   1  1  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S   ; 1 . 5 

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: b) x  13 

1  25% 4

7 9  2 1  3x  . 5 5 15 3 1  2,5 : x   3 . 4 4 2

Hướng dẫn giải

Mà

1  0 nên phương trình đã cho vô nghiệm. 5

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S   .

1 25 1  25%  x  13    x  13  0  x  13  0  x  13 . 4 100 4

b) Ta có: x  13 

ƠN

7 9 9 7 2 1  2 1  3 x   2 1  3 x    2 1  3 x   1  3 x  5 5 5 5 5 5

a) Ta có:

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  13 .



3 1 5 3 x  : 4 2 2 4



3 1 10 x  4 2 3

Vì

3 5 3 1  : x 4 2 4 2

KÈ M



15 3 1 15 3 1  2,5 : x   3   3  2,5 : x  4 4 2 4 4 2

c) Ta có:

10  0 nên 3

1 10 10 1 17 34 3 3 3  x  x  x x     3 1 10 4 2 3 4 3 2 4 6 9 x       4 2 3  3 x  1  10  3 x  10  1  3 x  23  x  46 2 3 3 2 6 9  4  4  4 

DẠ

 34 46  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S   ; . 9 9 

Ví dụ 2. Tìm m để phương trình 3 x  1  2  7  m có nghiệm duy nhất. Hướng dẫn giải Ta có: 3 x  1  2  7  m  3 x  1  5  m Trang 4

Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 5  m  0  m  5 .

. Bài toán 2. f  x   g  x  Phương pháp giải

 f  x  g  x f  x  g  x    f  x    g  x  Ví dụ: Giải phương trình 3 x  4  5  x

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1: 3 x  4  5  x  4 x  1  x 

1 4

Trường hợp 2: 3 x  4  x  5  2 x  9  x 

9 2

 1 9  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S   ;  . 4 2 

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

Phân tích tư duy

1 x  3  2x 1 2

c) x 2  x  6  x  3  0

ƠN

3 x  4  5  x Ta có: 3 x  4  5  x   3 x  4  x  5

a) 7 x  2  7 x  1  0

1 3

CI AL

Vậy với m  5 phương trình trên có nghiệm duy nhất. Khi đó nghiệm duy nhất của phương trình là x 

Cách 1: Sử dụng công thức f  x  .g  x   f  x  . g  x 

KÈ M

Ta có biến đổi x 2  x  6   x  2  x  3  x  2 . x  3 Sau đó xuất hiện nhân tử chung x  3 Cách 2: Đánh giá giá trị của từng biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Sau đó so sánh hai vế để giải phương trình. Hướng dẫn giải

a) Ta có: 7 x  2  7 x  1  0  7 x  2  7 x  1

DẠ

7 x  2  7 x  1 2  1 3   x 14 7 x  2  7 x  1 7 x  2    7 x  1

 3  Vậy tập nghiệm của phương trình là S    .  14 

Trang 5

1 1 x  3  2 x  1  .  x  3  2 x  1 2 2

3 1 1 3  2 .  x  3  2 x  1  2 x  2  2 x  1  2 x      1 .  x  3  1  2 x  1 x  3  1 2x 5 x   2  2 2  2

5 5  x  3 2   1  x  1 2 5 

CI AL

b) Ta có:

c) Cách 1: Ta có: x 2  x  6  x  3  0   x  2  x  3  x  3  0

Vì x  2  0, x nên x  2  1  0, x

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  3 .

ƠN

Do đó, x  3 .  x  2  1  0  x  3  0  x  3  0  x  3

 x  2 . x  3  x  3  0  x  3 .  x  2  1  0

 5 1  Vậy tập nghiệm của phương trình là S   ;  . 3 5 

Cách 2: Vì x 2  x  6  0, x và x  3  0, x nên x 2  x  6  x  3  0

 x  2  0  x  2  x2  x  6  0  x  2  .  x  3  0        x  3  0    x  3  x  3 x  3  0  x  3  0 x  3  0  x  3   Vậy tập nghiệm của phương trình là S  3 .

Phương pháp giải

Ta có thể làm theo hai cách sau:

Bài toán 3. f  x   g  x 

Cách 1: Mọi x mà g  x   0 đều không thỏa mãn phương trình nên ta có cách giải sau:

KÈ M

g  x  0  f  x   g  x    f  x   g  x     f  x    g  x 

Giải các phương trình rồi kiểm tra điều kiện. Cách 2: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách chia khoảng giá trị: Trường hợp 1: Với f  x   0 , phương trình có dạng f  x   g  x  ;

Trường hợp 2: Với f  x   0 , phương trình có dạng  f  x   g  x  .

DẠ

Ví dụ: Giải phương trình 2 x  3  x  1 Hướng dẫn giải Cách 1. Ta có: 2 x  3  x  1

Trang 6

So sánh điều kiện x  1 ta thấy x  4 thỏa mãn và x 

2 thỏa mãn. 3

 2 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  4;  .  3

Trường hợp 2: Với x  x

3 3 phương trình có dạng: 2 x  3  x  1  x  4 (thỏa mãn điều kiện x  ). 2 2 3 2 , phương trình có dạng: 3  2 x  x  1  3 x  2  x  (thỏa mãn điều kiện 2 3

ƠN

Trường hợp 1: Với x 

3 2 3 2

 2 x  3 khi x  Cách 2. Ta có: 2 x  3   3  2 x khi x  

CI AL

 x  1 x 1  x  1     x  4  2 x  3  x  1   x  4     2 x  3   x  1  3 x  2  x  2     3

3 ). 2

 2 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  4;  .  3

Ví dụ mẫu a)

2 x  9  1  3x  0

Hướng dẫn giải

Ví dụ. Giải các phương trình sau:

Nhận xét: Ưu điểm của cách 1 là các trường hợp dùng chung một điều kiện, điều này hạn chế nhầm lẫn trong bước kiểm tra. Tuy nhiên, đối với một số phương trình, ta nên sử dụng cách 2 (như phương trình chứa hai hay nhiều dấu giá trị tuyệt đối sẽ đề cập ở bài toán 4).

b) x 2  x  3  x  0

KÈ M

a) Ta có: 2 x  9  1  3 x  0  2 x  9  3 x  1

1 1   3 x  1  0 x  3 x  3       2 x  9  3x  1    x   8 x  8    2 x  9  1  3x       5 x  10   x  2

So sánh điều kiện x 

1 ta thấy x  8 không thỏa mãn và x  2 thỏa mãn. 3

DẠ

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  2 . b) Ta có: x 2  x  3  x  0  x 2  x  3   x

Trang 7

CI AL

x  0  x  0  x  0 x  0  x  3  2  2  2    x  x  3   x   x  3  0   x  3   x   3  2  2  x  1 x  3  0     x  x  3  x  x  2 x  3  0     x  1   x  3

So sánh điều kiện x  0 ta thấy x  3 không thỏa mãn, x  3 không thỏa mãn và x   3 thỏa mãn, x  1 thỏa mãn.





Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S   3; 1 . Bài toán 4. Phương trình chứa hai hay nhiều dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải Thông thường chúng ta giải theo các bước sau: Bước 1: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ: Giải phương trình: x  1  x  3  2 x  1 . Hướng dẫn giải

 x  1 khi x  1 x 1    x  1 khi x  1

ƠN

Bước 2: Căn cứ vào bảng xét dấu, chia từng khoảng để giải phương trình (kiểm tra điều kiện tương ứng).

 x  3 khi x  3 Và x  3   3  x khi x  3 Từ đó ta có bảng sau:

x 1

x 1

1

x 3

3 x

3 x 1 3 x

x 1

x 3

Trường hợp 1: Nếu x  1 thì phương trình trở thành: 3 (không thỏa mãn x  1 ). 4

KÈ M

x 1 x  3  2x 1  x 

Trường hợp 2: Nếu 1  x  3 thì phương trình trở thành: x 1 x  3  2x 1  x 

5 (thỏa mãn 1  x  3 ). 2

Trường hợp 3: Nếu x  3 thì phương trình trở thành:

x  1  x  3  2 x  1  0.x  1 (vô nghiệm).

DẠ

5 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S    . 2

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Giải các phương trình sau:

Trang 8

b) x 

a) x 2  1  x x  2  0

1 1 1 1 1  x  x  x  x  6x 2 6 12 20 30

CI AL

Hướng dẫn giải

x 1  0 Nếu x  1 thì  . Khi đó x 2  1  0 x  1  0 

x 1  0 Nếu 1  x  1 thì  . Khi đó x 2  1  0 x 1  0

x 1  0 Nếu x  1 thì  . Khi đó x 2  1  0 x 1  0

a) Ta có: x 2  1   x  1 x  1

Do đó, ta có bảng sau:

1

x2 1

x2

2 x

1  x2 2 x

x2 1

ƠN

2 x

Trường hợp 1: Nếu x  1 thì phương trình trở thành:

x2 1 x2

x2 1  x  2  x   0  x2 1  2x  x2  0  2x2  2x 1  0  1 x   1 3 1 3   2  2 x     0   x      2 2 2 4  1   x    2

(không thỏa mãn x  1 ).

 3 1 x   2  2   3 1 x   2  2

3 2 . 3 2

Trường hợp 2: Nếu 1  x  1 thì phương trình trở thành 1  x2  x  2  x   0  1  x2  2x  x2  0  2x  1  x 

1 (thỏa mãn 1  x  1 ). 2

KÈ M

Trường hợp 3: Nếu 1  x  2 thì phương trình trở thành

DẠ

So sánh điều kiện 1  x  2 ta thấy x 

 3 1 x   2  2   3 1 x   2  2

3 2 3 2

1 3 1 3  không thỏa mãn và x   thỏa mãn. 2 2 2 2

Trường hợp 4: Nếu x  2 thì phương trình trở thành x2 1  x  x  2  0  x2 1  x2  2x  0  2x  1  x 

1 (không thỏa mãn x  2 ). 2

Trang 9

3 1   1 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S    ; .  2 2 2 

CI AL

b) Ta nhận thấy vế trái không âm với mọi x. -

Nếu 6 x  0 thì x  0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Nếu 6 x  0 thì x  0 . Khi đó tất cả các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối đều dương nên phương trình trở thành:

1  1  1  1   1   x x x x x  2  6  12   20   30  

1  1 1 1 1  5x         6 x  2 6 12 20 30  1 1 1 1   1  5x         6x  1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 

 x  1

1 6

5 6

So sánh điều kiện x  0 thì x 

x

ƠN

1 1 1 1 1 1 1 1 1  x  1         2 2 3 3 4 4 5 5 6

5 thỏa mãn. 6

Bài tập tự luyện dạng 2 a) 3  2 x  5  1 c) x 2  3 x  2  0

Câu 1. Giải các phương trình sau:

5 . 6

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 

b) 1  2 x  3 x  5 d) 1  x  x 2  x  7  0

KÈ M

Câu 2. Giải các phương trình sau: a) x  2  x  3  x  4  2

b) 2 x  1 

1 4  2 5

c) x 2  2 x  1  x 2  1

Dạng 3. Sử dụng miền giá trị giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải

DẠ

Ta đánh giá miền giá trị của các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối rồi căn cứ vào dữ kiện bài toán để giải. Thường sử dụng tính chất: Với a   ta có a  0 . Chú ý:

Trang 10

Do A  x   B  x   A  x   B  x 

CI AL

Nên A  x   B  x   A  x   B  x   A  x  .B  x   0 . Ví dụ: Tìm x, y thỏa mãn: 1  x  4 y  5  0 Hướng dẫn giải

 1  x  0, x Ta có:  nên 1  x  4 y  5  0  4 y  5  0, y

Do đó phương trình tương đương với:

Vậy x  1 và y 

x  1  1  x  0 1  x  0     5 4 y  5  0  4 y  5  0  y  4

5 4

ƠN

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm x, y thỏa mãn: a) y  x  y  2020

b) 5  x  1  2 3 y  1  0 4

 2019 y  2  0

c)  x  y 

2 0 13

Hướng dẫn giải a) Ta có: nên y  x  y 

2 0 13

Do đó bất phương trình tương đương với:

2 13

KÈ M

Vậy x  y 

 yx 0 y  x  0 y  x 2      2 2 x y  2 13  y  13  0  y  13  0  y  13 

 x  14  0, x 5  x  14  0, x 4  b) Ta có:  nên 5  x  1  2 3 y  1  0  3 y  1  0, y 2 3 y  1  0, y

x  1  x  14  0 x 1  0    Do đó phương trình tương đương với:  1 3 y  1  0  y  3  3 y  1  0

DẠ

Vậy x  1 và y 

1 3

 x  y 2020  0, x, y  x  y 2020  0, x, y  c) Ta có:   y  2  0, y 2019 y  2  0, y

Nên  x  y 

2020

 2019 y  2  0

Trang 11

Do đó phương trình tương đương với:

CI AL

 x  y 2020  0 x  y  0 x   y  x  2     y  2  0 y  2 y  2  y  2  0

Vậy x  2 và y  2 Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a) 3 x  1  5  2 x  x  6

b) x  3  3 x  1  2 x  1  3

Hướng dẫn giải

a) Ta có: x  6   3 x  1   5  2 x   3 x  1  5  2 x , x

Do đó, 3 x  1  5  2 x  x  6   3 x  1 .  5  2 x   0 Ta có bảng xét dấu sau:  

5  2x

 3x  1 .  5  2 x 



5 2



1 5 x 3 2

3x  1

1 3

ƠN

Từ bảng xét dấu ta thấy:  3 x  1 .  5  2 x   0 

1 5  Vậy phương trình có tập nghiệm là: S   x    x   3 2 

b) Ta có: x  3  3 x  1  2 x  1  x  3  1  3 x  2 x  1

  4  2 x    2 x  1  3, x

  x  3  1  3 x   2 x  1  4  2 x  2 x  1

Do đó, phương trình tương đương với điều kiện xảy ra đẳng thức.

 x  3  3 x  9  0 x  1 3 x  1  0   3   2 x  1  0 x  1 2 x  4  0  2 x  2 

DẠ

KÈ M

3 x  9  0  3 x  1  x  3 3 x  1  0  3 x  9  3 x  1  0    2 x  1  0  2 x  4  2 x  4  2 x  1  0  2 x  4  2 x  1  0

Suy ra không có x thỏa mãn. Vậy phương trình vô nghiệm. Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1. Giải các phương trình sau: Trang 12

x  1  2 x  3  3x  2  0

x

1 1 1  x  ...  x   50 x 1.3 3.5 97.99

x

1 1 1 1  x  x  ...  x   101x 1.5 5.9 9.13 397.401

DẠ

KÈ M

ƠN

CI AL

a) 2 x  3  2 x  5  11

Trang 13

ĐÁP ÁN Dạng 1. Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

CI AL

Câu 1. a) Khi x  0 ta có: x  3  0 nên x  3  3  x và x   x A  3 x  2 x  5

b) Ta có: B  7 x  x 2  x  2   7 x   x 2  x  2  49 x 2  x 2  x  2  48 x 2  x  2 2

Trường hợp 1: x  2 thì x  2  x  2 . Khi đó: B  48 x 2  x  2

1 1  x  . Khi đó: 2 2

1 1 1 1   C   x  1  x 2  x  x     x  1  x 2    x3  x 2  x  2 2 2 2  

ƠN

Dạng 2. Giải các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

c) Khi x  0 , ta có: x 

Trường hợp 2: x  2 thì x  2   x  2 . Khi đó: B  48 x 2  x  2

Câu 1.

7  x  2 x  5  2 2  a) Ta có: 3  2 x  5  1  2 x  5  2    2 x  5  2 x  3  2 7 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S   ;  2 2

x  6 1  2 x  3 x  5 x  6   b) Ta có: 1  2 x  3 x  5   x  4 1  2 x  5  3 x 5 x  4   5   4 Vậy tập nghiệm của phương trình là S  6;   5

c) Xét phương trình x 2  3 x  2  0

KÈ M

x  1 Trường hợp 1: x  0 ta có: x 2  3 x  2  0   (thỏa mãn x  0 ) x  2  x  1 Trường hợp 2: x  0 ta có: x 2  3 x  2  0   (thỏa mãn x  0 )  x  2 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  1; 2

DẠ

d) Xét phương trình 1  x  x 2  x  7  0 2

1  3 Ta có: 1  x  x 2    x    0, x nên 1  x  x 2  1  x  x 2 2  4 Khi đó phương trình tương đương: 1  x  x 2  x  7  0  x 2  6  x   6

Trang 14



Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S   6



a) Xét phương trình x  2  x  3  x  4  2 Ta có bảng xét dấu sau: x

2 x

x2



x2



x 3

3 x



3 x

x 3



x4

4 x



4 x



4 x

2  x  3  x  4  x  2  3x  7  x 

7 (không thỏa mãn x  2 ). 3

x4

ƠN

Trường hợp 2: Nếu 2  x  3 thì phương trình trở thành:

x 3

Trường hợp 1: Nếu x  2 thì phương trình trở thành:

x2

CI AL

Câu 2.

x  2  3  x  4  x  2  x  3 (không thỏa mãn 2  x  3 ).

Trường hợp 3: Nếu 3  x  4 thì phương trình trở thành: x  2  x  3  4  x  2  x  3 (thỏa mãn 3  x  4 ).

x  2  x  3  x  4  2  3 x  11  x 

Trường hợp 4: Nếu x  4 thì phương trình trở thành:

11 (không thỏa mãn x  4 ). 3

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  3 .

1  0, x nên: 2

b) Ta có: 2 x  1  0, x  2 x  1 

3 13   2x 1  x   1 4 1 4 3 10 20 2x 1    2x 1    2x 1     2 5 2 5 10  2 x  1  3 x  7 10 20  

KÈ M

 13 7  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S   ;  .  20 20 

 x2  2 x 1  x2  1 2 x  1  1 c) Ta có: x 2  1  0, x nên x 2  2 x  1  x 2  1   2   2 2  x  2 x  1   x  1  2 x  2 x  1  1  0

DẠ

1 3    x 1  2 x  2 1  Trường hợp 1: 2 x  1  1  x  1    2  x  1  1 x  1   2 2

Trường hợp 2: 2 x 2  2 x  1  1  0 Ta thấy: x 2  0, x  2 x 2  0, x và x  1  0, x  2 x  1  0, x nên 2 x 2  2 x  1  1  0, x Do đó trường hợp này vô nghiệm. Trang 15

3 1 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S   ;  2 2

a) Ta có: 2 x  3  2 x  5  6  2 x  2 x  5  6  2 x  2 x  5  11, x Do đó 2 x  3  2 x  5  11   6  2 x  2 x  5   0 

5  x3 2

5   Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S   x    x  3 2  

b) Ta có: x  1  2 x  3  3 x  2  0  x  1  2 x  3  3 x  2

Câu 1.

CI AL

Dạng 3. Sử dụng miền giá trị giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

 x  1 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là  x  3  2

c) Ta nhận thấy vế trái không âm với mọi x.

ƠN

 x  1 Mà x  1  2 x  3  x  1  2 x  3  3 x  2 nên x  1  2 x  3  3 x  2   x  1 2 x  3  0   x  3  2

Nếu 50 x  0 thì x  0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Nếu 50 x  0 thì x  0 nên tất cả các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối đều dương nên phương trình trở 1   1  1  1 1     1 thành:  x    ...  x   ...   x    50 x  49 x     50 x 1.3   3.5  97.99  97.99     1.3 3.5

 2x 

2 2 2   ...  1.3 3.5 97.99

1 1 1   ...  1.3 3.5 97.99

x

1 1 1 1 1  2 x  1     ...   3 3 5 97 99

 2x  x

98 99

49 99

1 99

KÈ M

 2x  1

DẠ

So sánh điều kiện x  0 thì x 

49 thỏa mãn. 99

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 

49 . 99

d) Ta nhận thấy vế trái không âm với mọi x.

Nếu 101x  0 thì x  0 phương trình đã cho vô nghiệm. Trang 16

Nếu 101x  0 thì x  0 nên tất cả các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối đều dương nên phương trình trở

CI AL

1   1   1  1    thành:  x  x x   ...   x    101x 1.5   5.9   9.13  397.401    1 1 1  1   100 x      ...    101x 397.401   1.5 5.9 9.13

1 1 1 1    ...  1.5 5.9 9.13 397.401

 4x 

4 4 4 4    ...  1.5 5.9 9.13 397.401

x

 4x  1

x

1 401

400 401

ƠN

 4x 

1 1 1 1 1 1 1  4 x  1       ...   5 5 9 9 13 397 401

100 401 100 thỏa mãn. 401

So sánh điều kiện x  0 thì x 

100 401

DẠ

KÈ M

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 

Trang 17