CHUYÊN ĐỀ TOÁN NHÓM CHUYÊN SƯ PHẠM
vectorstock.com/10212081
Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 (ĐẠI SỐ) NHÓM GIÁO VIÊN CHUYÊN SƯ PHẠM LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594
CHUYÊN ĐỀ 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA
Kiến thức + Nêu được định nghĩa căn bậc hai số học của số không âm. +
Điều kiện có căn bậc hai của một số thực.
+ Nắm vững quan hệ so sánh của căn bậc hai số học. Kĩ năng Tìm được căn bậc hai và căn bậc hai số học của một số.
+
Phân biệt được định nghĩa căn bậc hai và căn bậc hai số học.
+
Biết so sánh các căn bậc hai.
+ Giải được phương trình
OF
+
FI
Mục tiêu
CI AL
BÀI 1. CĂN BẬC HAI
x a.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+ Giải được phương trình x 2 a .
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
CI AL
1. Căn bậc hai số học Căn bậc hai Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x 2 a . Số dương a có hai căn bậc hai là hai số đối nhau:
Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết
0 0.
Căn bậc hai số học Với số dương a , số
Chú ý
a được gọi là căn bậc hai số học của a .
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0. 2. So sánh hai căn bậc hai số học
Với a 0 , ta có
x 0 . a x 2 x a
ƠN
Với hai số a và b không âm, ta có
FI
a và số âm kí hiệu là a .
OF
Số dương kí hiệu là
ab a b.
NH
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
a là căn bậc hai số học của a
So sánh
CĂN BẬC HAI
Y
0ab a b
QU
Số dương
x a
a0
Căn bậc hai của 0 là 0
Căn bậc hai của số a là số x sao cho
x a 2
a0
Số âm
KÈ M
Căn bậc hai số học của 0 là 0
x a
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học của một số
Y
Bài toán 1. Tìm căn bậc hai
DẠ
Phương pháp giải Căn bậc hai
Ví dụ: Tìm căn bậc hai của 121.
Căn bậc hai của một số a không âm là số x
Hướng dẫn giải
sao cho x 2 a .
Ta có 112 121 và 11 121 . 2
Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta Trang 2
Do đó 121 có hai căn bậc hai là 11 và 11 .
0 0.
viết
CI AL
Ví dụ mẫu Ví dụ: Tìm căn bậc hai của các số sau: 2
a) 9.
2
3 d) . 2
1 c) . 2
b) 0.
Hướng dẫn giải a) Ta có 32 9 và 3 9 .
FI
2
OF
Do đó 9 có hai căn bậc hai là 3 và 3 . b) Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0. 2
2
1 1 c) Ta có . 2 2 2
2
3 3 d) Ta có . 2 2 2
3 3 3 Do đó có hai căn bậc hai là và . 2 2 2
QU
Phương pháp giải
Y
Bài toán 2. Tìm căn bậc hai số học
NH
2
ƠN
1 1 1 Do đó có hai căn bậc hai là và . 2 2 2
Căn bậc hai số học Với số dương a , số học của a .
Ví dụ: Tìm căn bậc hai số học của 121.
a được gọi là căn bậc hai số Hướng dẫn giải Ta có 121 11 . Vậy căn bậc hai số học của 121 là 11.
KÈ M
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai số học của các số sau: b) 0.
Y
a) 9.
2
1 c) . 2
2
3 d) . 2
DẠ
Hướng dẫn giải a) Ta có
9 3 . Vậy căn bậc hai số học của 9 là 3.
b) Căn bậc hai số học của 0 là 0.
Trang 3
2
2
c) Ta có
1 1 1 . Vậy căn bậc hai số học của 4 2 2
d) Ta có
3 9 3 3 3 . Vậy căn bậc hai số học của là . 2 4 2 2 2
1 1 là . 2 2
2
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức:
CI AL
2
0, 09 3 0, 01 2 0,36 .
Hướng dẫn giải
0, 09 3 0, 01 2 0,36
FI
Ta có
0,3 3.0,1 2.0, 6
OF
0,3 0,3 1, 2 1, 2 .
ƠN
Bài toán 3. Tìm số x không âm thỏa điều kiện cho trước Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm số x không âm biết:
NH
a)
x 4.
b)
x 2.
Hướng dẫn giải
a 0 . x a 2 x a
Ví dụ mẫu
QU
Y
Với x 0 , ta có
a) Ta có
x 4 x 16 . Vậy x 16 .
b) Ta có
x 2 x 4.
Vì x không âm nên 0 x 4 . Vậy 0 x 4 .
Ví dụ: Tìm số x không âm biết:
x 3.
b) 4 x 8 .
c)
x 2.
d)
KÈ M
a)
3x 6 .
Hướng dẫn giải a) Ta có
x 3 x 9 . Vậy x 9 .
b) Ta có 4 x 8 x 2 x 4 . Vậy x 4 .
x 2 x 4 . Vậy x 4 .
Y
c) Ta có
3 x 6 3 x 36 x 12
DẠ
d) Ta có
Vì x là số không âm nên 0 x 12 . Vậy 0 x 12 . Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Tính giá trị các biểu thức: Trang 4
a)
0, 01 0,81 .
9 1 . 16 4
b)
c)
412 402 .
CI AL
Câu 2: Tìm căn bậc hai của các số sau: 2
1 d) . 2
2
2
3 d) . 2
1 c) . 4
b) 1 .
a) 16.
Câu 3: Tìm căn bậc hai số học của các số sau:
Câu 4: Tìm giá trị của x biết: 41 . 25
c) 1 2 x 2 0,98 .
Câu 5: Tìm số x thỏa mãn: a) x 2 10 0 .
d) 9 7 x 2 30 .
OF
b) x 2 1
a) x 2 9 .
FI
2
1 c) . 2
b) 10 .
a) 625.
582 422 .
d)
b) 2 x 2 6 0 .
c) x 2 25 0 .
d) 5 x 2 125 0 .
a)
ƠN
Câu 6: Tìm x , biết: b) x 2 a .
x 1.
NH
Dạng 2: So sánh các căn bậc hai số học Bài toán 1. So sánh trực tiếp Phương pháp giải
Ví dụ: Không dùng máy tính hay bảng số, hãy so
Y
sánh
QU
Dựa vào tính chất: Với hai số a và b không âm, ta có
26 và 5.
Hướng dẫn giải Ta có 5 52 25 . Mà 25 26 25 26 hay 5 26 .
ab a b.
Vậy 5 26 .
KÈ M
ab a b.
Ví dụ mẫu
Ví dụ: Không dùng máy tính hay bảng số, hãy so sánh a)
3 và 2.
b) 7 và 43 .
c) 11 và 3 .
Y
Hướng dẫn giải
a) Ta có 2 4 mà 4 3 4 3 hay 2 3 . Vậy 2 3 .
DẠ
b) Ta có 7 49 mà 49 43 49 43 hay 7 43 .Vậy 7 43 . c) Ta có 3 9 mà 9 11 9 11 9 11 hay 3 11 . Vậy 3 11 . Bài toán 2. So sánh gián tiếp Trang 5
Phương pháp giải
3 7 và
sánh
26 .
Hướng dẫn giải Nếu a b; b c thì a c .
CI AL
Ví dụ: Không dùng máy tính hay bảng số, hãy so
3 4 3 2 và
Ta có
7 9
3 7 2 9 3 7 5.
26 3 7 .
OF
Vậy Ví dụ mẫu Ví dụ: Không dùng máy tính hay bảng số, hãy so sánh
3 15 và
a)
2 26 .
c) 1 2 và
ƠN
b) 15 1 và 10 .
51 7 .
Hướng dẫn giải
3 4 3 2 ; 15 16 15 4
NH
a) Ta có
3 15 6 . (1)
2 1 2 1; 26 25 26 5
Lại có
2 26 6 3 15 .
2 26 3 15 .
QU
Từ (1) và (2) ta có
Y
2 26 6 . (2)
Vậy
FI
26 25 26 5 26 5 3 7 .
Mà
b) Ta có 15 1 16 1 4 1 3; 10 9 10 3
10 3 15 1 .
c) Ta có
KÈ M
Vậy 10 15 1 .
2 1 2 1 1 2 0 ;
51 49 51 7 51 7 0 ; 1 2 0 51 7 .
Y
Vậy 1 2 51 7 .
DẠ
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Không dùng máy tính, so sánh các số sau: a) 10 và 3.
b) 3 5 và 2 10 .
c)
8 1 và 2.
Câu 2: Không dùng máy tính, hãy so sánh các số thực sau: Trang 6
a)
8 3 và 6.
b) 2 5 5 và
5 3 .
a)
26 8 và 2.
b)
23 11 và 5 10 .
Câu 4: Không dùng máy tính, hãy so sánh các số thực sau:
c)
b)
31 19 và 6 17 .
48 và 13 35 .
d) 9 58 và
e) 13 12 và 12 11 .
f)
80 59 .
5 10 1 và
ĐÁP ÁN - BÀI 1. CĂN BẬC HAI
OF
Dạng 1: Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học của một số
b)
9 1 3 1 5 . 16 4 4 2 4
c)
412 402
d)
582 422
41 40 41 40 58 42 58 42
81 9 .
16.100 1600 40 .
Câu 2: a) 4 và 4
b) 1 không có căn bậc hai.
1 1 và . 4 4
d)
Y
c)
QU
Câu 3: a) 25.
1 1 và . 2 2
b) 10 không có căn bậc hai số học. 2
3 d) không có căn bậc hai số học. 2
KÈ M
1 c) . 2
Câu 4:
NH
0, 01 0,81 0,1 0,9 1 .
ƠN
Câu 1: a)
35 .
FI
a) 17 26 và 9.
CI AL
Câu 3: So sánh các số sau:
a) Ta có x 2 9 x 3 . b) Ta có x 2 1
41 16 4 x2 x . 25 25 5
c) 1 2 x 2 0,98 x 2 0, 01 x 0,1 . Câu 5:
Y
d) Ta có x 2 3 , không tồn tại x .
DẠ
x 10 a) Ta có x 2 10 0 x 2 10 . x 10 x 3 b) Ta có 2 x 2 6 0 2 x 2 6 x 2 3 . x 3 Trang 7
x 5 c) Ta có x 2 25 0 x 2 52 . x 5 Câu 6:
x 1 0 x 1.
a)
b) Nếu a 0 thì x a . Nếu a 0 thì x 0 . Nếu a 0 thì không tồn tại x . Dạng 2: So sánh các căn bậc hai số học
FI
Câu 1:
2
9.5 45 ; 2 10
2
OF
a) 10 9 3. b) 3 5
4.10 40 .
Ta có 45 40 nên 3 5 2 10 . c)
8 9 3 nên
8 1 2 .
a) Ta có 6 3 3 mà 3 9 và 8 9
8 9 8 3 . Vậy
5 3 5 2 5 4 0 . Vậy 2 5 5 5 3 .
Câu 3: a) b)
26 25 ,
8 3 6.
NH
ƠN
Câu 2:
b) Xét hiệu 2 5 5
CI AL
d) Ta có 5 x 2 125 0 5 x 2 125 x 2 25 (vô lý). Không có x thỏa mãn.
8 9 nên
26 8 25 9 5 3 2 .
23 11 25 10 5 10 .
Y
Câu 4:
QU
a) Ta có 9 4 5 . Mà 16 17; 25 26 16 17; 25 26 4 17;5 26
4 5 17 26 . Vậy 9 17 26 .
48 49 48 7; 35 36 35 6 48 35 13 48 13 35 .
c) Ta có
31 36 31 6; 19 17 31 19 6 17 .
Vậy
KÈ M
b) Ta có
31 19 6 17 .
d) Ta có
81 80 9 80; 58 59 58 59 9 58 80 59 .
Vậy 9 58 80 59 .
Y
e) Ta có 13 12
1 1 ; 12 11 13 12 12 11
DẠ
Mà 12 11 13 12
1 1 . 13 12 12 11
Vậy 13 12 12 11 . f) Ta có
5 10 1 4 9 1 6; 35 36 6
5 10 1 6 35 . Trang 8
5 10 1 35 .
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
FI
CI AL
Vậy
Trang 9
CHUYÊN ĐỀ 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA
Mục tiêu Kiến thức + Nắm được định nghĩa căn thức bậc hai.
+ Hiểu được hằng đẳng thức
A2 A .
Kĩ năng Giải được phương trình, bất phương trình chứa căn bậc hai.
+
Biết cách xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa.
+
Biết cách so sánh các căn bậc hai.
+
Rút gọn được biểu thức dạng
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
A2 .
OF
+
FI
+ Nắm vững điều kiện xác định của biểu thức chứa căn thức bậc hai.
A2 A
CI AL
BÀI 2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Căn thức bậc hai
Với A là một biểu thức đại số, ta gọi
CI AL
Căn thức bậc hai A là căn
thức bậc hai của A , còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. Điều kiện xác định A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy
FI
Biểu thức
giá trị không âm.
OF
2. Nhắc lại một số dạng bất phương trình cơ bản Chia hai vế của bất phương trình cho một số dương bất kỳ thì bất phương trình không đổi chiều, còn
ƠN
chia hai vế của bất phương trình cho một số âm thì bất phương trình đổi chiều. Với a là một số dương:
NH
Nếu x 2 a thì x a hoặc x a . Nếu x 2 a thì a x a . 3. Hằng đẳng thức
Chú ý
A2 A
Một cách tổng quát, với A là một biểu thức, ta có
A A.
KÈ M
QU
Với mọi số A , ta có:
2
Y
Định lí
DẠ
Y
A là biểu thức dưới dấu căn
A2 A , có nghĩa là:
A2 A nếu A 0 (tức là A lấy giá trị không
âm).
A2 A nếu A 0 (tức là A lấy giá trị âm).
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA A
A là căn bậc hai của A
A có nghĩa khi A 0
A khi A 0 A2 A A khi A 0
Trang 2
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 1. Giải phương trình Phương pháp giải Ví dụ: Giải phương trình: a) 3 x 2 12 .
b)
CI AL
Dạng 1: Giải phương trình, bất phương trình
x 1 2 .
Hướng dẫn giải
Nếu x 2 a thì x a hoặc x a .
x 2 a) 3 x 2 12 x 2 4 . x 2
FI
Với a 0 , ta có:
Nếu
x a thì x a 2 .
b)
OF
Vậy phương trình có nghiệm x 2; x 2 .
x 1 2 x 1 4 x 3 .
ƠN
Vậy phương trình có nghiệm x 3 . Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Giải các phương trình sau b) 1 x 2 1 .
c) 3 x 2 6 .
d) x 2 9 .
NH
a) x 2 4 .
Hướng dẫn giải
Y
x 2 a) Ta có x 2 4 . x 2
QU
Vậy phương trình có nghiệm x 2; x 2 . b) Ta có 1 x 2 1 x 2 0 x 0 . Vậy phương trình có nghiệm x 0 .
c) Ta có 3 x 2 6 x 2 2 x 2 .
KÈ M
Vậy phương trình có nghiệm x 2; x 2 . d) Ta có x 2 9 .
Vì 9 là số âm nên phương trình vô nghiệm.
3x 1 2 .
DẠ
a)
Y
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
c) 3 4 x 1 6 .
b)
x2 5 3 .
d)
x 2 1 2 .
Hướng dẫn giải a) Ta có
3x 1 2 3x 1 4 3x 3 x 1 .
Vậy phương trình có nghiệm x 1 . Trang 3
b) Ta có
x 2 x2 5 3 x2 5 9 x2 4 . x 2
c) Ta có 3 4 x 1 6 4 x 1 2 4 x 1 4 4 x 5 x Vậy phương trình có nghiệm x
5 . 4
5 . 4
x 2 1 0 và 2 0 nên phương trình vô nghiệm.
FI
d) Ta có
CI AL
Vậy phương trình có nghiệm x 2; x 2 .
OF
Bài toán 2. Giải bất phương trình Phương pháp giải
Ví dụ: Giải các bất phương trình sau b) 2 x 1 9 .
ƠN
a) x 2 4 . c)
2x 1 3 .
e) x 2 3 .
Y QU
KÈ M
x a thì x a 2 .
x a thì x a 2 .
DẠ
x a thì 0 x a 2 .
x 1 3 .
Vậy x 2 hoặc x 2 .
b) Ta có 2 x 1 9 2
9 2x 1 9 3 2 x 1 3 2 2 x 4 1 x 2 .
Vậy 1 x 2 . c) Ta có
2x 1 3
2 x 1 32 2x 1 9
Y
f)
x 4 x 2 a) Ta có x 2 4 . x 2 x 4
x a x 2 a thì . x a
x 2 a thì a x a .
2x 1 5 .
Hướng dẫn giải
x a x 2 a thì . x a
x 2 a thì a x a .
d)
NH
Với số dương a ta có
2
2 x 10
x 5.
Vậy x 5 . d)
2x 1 5 Trang 4
0 2 x 1 52
x a 0 x a2 .
1 2 x 24
1 x 12 . 2 1 Vậy x 12 . 2
CI AL
0 2 x 1 25
e) x 2 3
Khi a 0 thì bất phương trình
Vì x 2 0 với mọi x .
x 2 a; x 2 a; x a; x a có nghiệm với mọi
Mà 3 0 nên bất phương trình vô nghiệm.
x thỏa mãn điều kiện xác định, còn bất phương
f)
trình x 2 a; x 2 a; x a; x a vô nghiệm.
Điều kiện xác định: x 1 0 x 1 .
Chú ý: x 2 0; x 0 với mọi x thỏa điều kiện
Vì
xác định.
Mà 3 0 nên bất phương trình nghiệm đúng với
OF
FI
Đặc biệt:
x 1 3 .
ƠN
x 1 0 với mọi x 1 .
mọi x thỏa điều kiện xác định.
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau c) 2 x 3 25 . 2
Hướng dẫn giải
Y
b) 5 x 2 4 .
d) x 2 2 x 2 0 .
QU
a) x 2 3 .
NH
Vậy bất phương trình có nghiệm x 1 .
a) Ta có x 2 3 nên 3 x 3 . Vậy 3 x 3 . b) Ta có 5 x 2 4 nên x 2 1 1 x 1 . Vậy 1 x 1 .
KÈ M
2 x 3 5 2 x 8 x 4 2 c) Ta có 2 x 3 25 . 2 x 3 5 2 x 2 x 1 Vậy x 4 hoặc x 1 . d) Ta có x 2 2 x 2 0
x2 2x 1 3 0 x 1 3
DẠ
Y
2
3 x 1 3
3 1 x 3 1 .
Vậy 3 1 x 3 1 . Trang 5
a)
x 3.
b)
x 1 3.
c)
4x 1 5 .
d)
3 x 6 .
CI AL
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau
Hướng dẫn giải
x 3 x 32 x 9 .
a) Ta có
Vậy x 9 .
x 1 3
FI
b) Ta có
0 x 1 32
OF
0 x 1 9 1 x 8 .
Vậy 1 x 8 .
4x 1 5
ƠN
c) Ta có
0 4 x 1 52 0 4 x 1 25 1 4 x 24
NH
1 x 6. 4 1 Vậy x 6 . 4
Ta có
Y
3 x 6 .
3 x 0 mà 6 0 nên bất phương trình vô nghiệm.
QU
d)
Bài tập tự luyện dạng 1 a) x 2 9 .
KÈ M
Câu 1: Giải các phương trình sau: c) 4 x 2 3 .
b) 2 x 2 2 . d) x 2 1 .
Câu 2: Giải các phương trình sau: a)
3x 1 2 .
Y
c) 3 4 x 3 9 .
b) x 2 1 1 . d)
3 x 2 1 2 .
Câu 3: Giải các bất phương trình sau: b) 5 x 2 4 .
c) x 3 16 .
d) x 2 4 x 2 0 .
DẠ
a) x 2 5 .
2
Câu 4: Giải các bất phương trình sau: a)
x 2.
b) x 1 2 . Trang 6
d) 3 x 2 1 1 .
2x 1 3 .
Dạng 2: Tìm điều kiện để biểu thức
A có nghĩa
A có nghĩa
Bài toán 1: Biểu thức
Phương pháp giải
CI AL
c)
Ví dụ: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: a) 1 x . Hướng dẫn giải
Vậy x 1 .
f x
2
0 với mọi x thỏa điều kiện xác b)
9 x 2 , ta có x 2 0 với mọi x nên x 2 9 9 .
định.
ƠN
Chú ý:
OF
a) 1 x có nghĩa khi 1 x 0 x 1 .
A có nghĩa khi A 0 .
Biểu thức
9 x2 .
FI
b)
Vậy biểu thức có nghĩa với mọi x . Ví dụ mẫu
a)
6 2x .
c)
x 1
2
.
b)
3 x2 .
d)
x 1 .
NH
Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của biểu thức sau:
2
Y
Hướng dẫn giải
6 2x xác định khi 6 2 x 0
QU
a) Biểu thức
2 x 6
x 3.
b) Biểu thức
KÈ M
Vậy điều kiện xác định là x 3 .
3 x 2 xác định khi 3 x 2 0 x2 3
3x 3.
Vậy điều kiện xác định 3 x 3 .
x 1
Y
c) Biểu thức
2
xác định khi x 1 0 . 2
Mà x 1 0 , x .
DẠ
2
Vậy biểu thức xác định với mọi x . d) Biểu thức
x 1 có nghĩa khi x 1 0 . 2
2
Trang 7
Mà x 1 0, x nên biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi x 1 0 x 1 . 2
2
Bài toán 2: Biểu thức
CI AL
Vậy biểu thức xác định khi x 1 . B có nghĩa A
Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
1
FI
5x 6 . 1 x
b)
x 2
2
.
OF
a)
Hướng dẫn giải Biểu thức
B có nghĩa khi A 0 . A
a)
5x 6 có nghĩa khi 1 x 0 x 1 . 1 x
Chú ý: f x 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện 2
xác định.
ƠN
Vậy biểu thức có nghĩa khi x 1 . b)
1
x 2
2
có nghĩa khi x 2 0 . 2
Mà x 2 0
NH
2
x 2 0 2
Ví dụ mẫu
x 2.
Vậy biểu thức có nghĩa khi x 2 .
QU
Y
x2 0
Ví dụ: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
c)
x . x 1
x2
b)
KÈ M
a)
x 2x 1 2
.
d)
2x 1
1 x2 x x 1 2
. .
Hướng dẫn giải
x có nghĩa khi x 1 0 x 1 . x 1
Y
a)
DẠ
Vậy biểu thức có nghĩa khi x 1 . b)
2x 1 1 x
2
có nghĩa khi 1 x 2 0 1 x 1 .
Vậy biểu thức có nghĩa khi 1 x 1 . Trang 8
c)
x2
có nghĩa khi x 2 2 x 1 0 x 1 0 . 2
x 2x 1 2
Mà x 1 0x nên x 1 0 x 1 . 2
CI AL
2
Vậy biểu thức có nghĩa khi x 1 . d)
x x 1 2
có nghĩa khi x 2 1 0 .
FI
Mà x 2 0x nên x 2 1 1, x x 2 1 0x .
Bài toán 3: Biểu thức chứa nhiều căn bậc hai và có mẫu thức Phương pháp giải
OF
Vậy biểu thức có nghĩa với mọi x .
Ví dụ: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
ƠN
a) A 1 x 1 x . b) B
2x 4 x 1 . x 2 3x
NH
Hướng dẫn giải
Tìm tất cả các điều kiện của biểu thức chứa căn và a) A có nghĩa khi:
1 x 0 x 1 1 x 1 . 1 x 0 x 1
mẫu thức sau đó kết hợp lại. A có nghĩa khi A 0 .
Biểu thức
B có nghĩa khi A 0 . A
B có nghĩa khi A 0 . A
KÈ M
Biểu thức
QU
Biểu thức
Y
Chú ý:
Vậy biểu thức A có nghĩa khi 1 x 1 . b) B có nghĩa khi:
x 2 2 x 4 2 x 4 0 x 2 . x 0 2 x x 3 0 x 3x 0 x 3 x 3 Vậy biểu thức B có nghĩa khi x 2; x 3 .
Ví dụ mẫu
Ví dụ: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
x2 . x 2 x 1
DẠ
c) C
2 x . x 1
Y
a) A
b) B x 1 3 x 6 . d) D 2 x
x2 . x 1
Hướng dẫn giải
2 x 0 x 2 a) A có nghĩa khi: 1 x 2. x 1 0 x 1 Trang 9
Vậy biểu thức A có nghĩa khi 1 x 2 .
CI AL
x 1 0 x 1 b) B có nghĩa khi: x 2. 3 x 6 0 x 2 Vậy biểu thức B có nghĩa khi x 2 .
x 1 0 x 1 c) C có nghĩa khi: x 1. x 2 0 x 2 Vậy biểu thức C có nghĩa khi x 1 .
OF
FI
2 x 0 x 2 2 x 2 d) D có nghĩa khi: x 2 0 x 2 . x 1 x 1 0 x 1 2 x 2 Vậy biểu thức D có nghĩa khi . x 1
Câu 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức sau:
b) 1 x 2 .
6 x .
c)
2 x 1
2
.
d)
Câu 2: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
4x2 4x 1
Y
x2 x 3
.
2
2x2 1
b)
QU
c)
x . x2
x 2 1 .
NH
a)
a)
ƠN
Bài tập tự luyện dạng 2
9 x2
d)
.
x x2 9
.
Câu 3: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
c) C
3 x . x4 x2 1 . x 2 x 1
KÈ M
a) A
Dạng 3: Rút gọn biểu thức dạng
b) B x 1 2 x . d) D 1 x
x 1 . x
A2
Bài toán 1: Rút gọn biểu thức dạng
A2 với A là một số có chứa căn bậc hai số học
DẠ
Y
Phương pháp giải
Đưa biểu thức trong căn bậc hai về dạng bình
Ví dụ: Tính giá trị biểu thức: P 62 5 62 5 .
Hướng dẫn giải P 62 5 62 5
phương của một tổng hoặc một hiệu, sau đó áp Trang 10
A2 A .
5 2 5 1 5 2 5 1
5 1 5 1
2
5 1
5 1
5 1 5 1
2 .
FI
Vậy P 2 .
OF
Ví dụ mẫu Ví dụ: Tính giá trị biểu thức:
1 2
2
b) B 5 2 6 .
.
c) C 9 4 5 .
2 3 . 2
d) D
Hướng dẫn giải 2
1 2 2 1 .
NH
1 2
a) Ta có A
Vậy A 2 1 .
2 3
QU
Vậy B 2 3 .
c) Ta có C 9 4 5 4 2.2. 5 5
2 5
KÈ M
2 3 2 2 3 42 3 d) Ta có D 2 2 2 2 Vậy D
2
2 3 2 3.
Y
b) Ta có B 5 2 6 2 2. 2. 3 3
Vậy C 5 2 .
ƠN
a) A
2
CI AL
dụng hằng đẳng thức
2
2 5 5 2.
3 1 2
2
3 1 . 2
3 1 . 2
Bài toán 2: Rút gọn biểu thức dạng
A2 với A là một biểu thức chứa biến
DẠ
Y
Phương pháp giải
Đưa biểu thức trong căn bậc hai về dạng bình
Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
P x2 6x 9 . Hướng dẫn giải
P x2 6x 9 Trang 11
phương của một tổng hay bình phương của một
x 2 2.3.x 33
x 3
2
x 3 . Chú ý: Với A là một biểu thức, ta có có nghĩa là:
A2 A , Nếu x 3 thì P x 3 . Nếu x 3 thì P 3 x .
FI
A2 A nếu A 0 (tức là A lấy giá trị không
âm).
A2 A nếu A 0 (tức là A lấy giá trị âm).
OF
Ví dụ mẫu
2
2 . 2
b) B x 2 x
1 . 4
NH
x
ƠN
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: a) A
c) C x 4 x 2 4 x 4 . Hướng dẫn giải 2
2 x2 2 x2 2 . 2
Y
x
a) Ta có A
CI AL
hiệu.
2
2
1 1 thì B x . 2 2
Nếu x
1 1 thì B x . 2 2
KÈ M
Nếu x
QU
1 1 1 1 1 b) Ta có B x x x 2 2 x. x x . 4 2 2 2 2 2
c) Ta có C x 4 x 2 4 x 4 x 4 x 2 2.2 x 22
x
2 2
x 2
2
x2 x 2 .
Y
Nếu x 2 thì C x 2 x 2 .
DẠ
Nếu x 2 thì C x 2 x 2 .
Ví dụ 2: Cho biểu thức: P 3 x 1 4 x 2 12 x 9 a) Rút gọn biểu thức P . b) Tính giá trị của P khi x 1 . Trang 12
c) Tính giá trị của P khi x 2 . Hướng dẫn giải
3x 1
2x
3x 1
2 x 3
2
CI AL
a) Ta có P 3 x 1 4 x 2 12 x 9
2.2 x.3 32 2
3 thì P 3 x 1 2 x 3 5 x 4 . 2
Nếu x
3 thì P 3 x 1 2 x 3 x 2 . 2
OF
Nếu x
FI
3x 1 2 x 3
ƠN
3 thì thay x 1 vào biểu thức P x 2 ta được P 1 2 3 . 2
b) Khi x 1
Vậy P 3 khi x 1 . c) Khi x 2
3 thì thay x 2 vào biểu thức P 5 x 4 ta được P 5.2 4 6 . 2
NH
Vậy P 6 khi x 2 .
Bài toán 3: Giải phương trình chứa biểu thức
QU
Y
Phương pháp giải
A2 với A là một biểu thức chứa biến
Ví dụ: Tìm x biết
x2 2x 1 2x 5 .
Hướng dẫn giải
KÈ M
Đưa biểu thức trong căn bậc hai về dạng bình Ta có x 2 2 x 1 2 x 5 phương của một tổng hay bình phương của một 2 x 1 2 x 5 hiệu rồi áp dụng hằng đẳng thức A2 A . x 1 2 x 5 (1)
DẠ
Y
Chia 2 trường hợp tìm x thỏa mãn.
Nếu x 1 thì x 1 x 1 . Khi đó (1) trở thành: x 1 2 x 5 3x 6 x 2
(thỏa mãn điều kiện x 1 )
Nếu x 1 thì x 1 1 x . Khi đó (1) trở thành: 1 x 2x 5 x 4
(không thỏa mãn điều kiện x 1 ) Vậy x 2 .
Ví dụ mẫu Trang 13
Ví dụ 1: Tìm x , biết 3 x 4 x 2 12 x 9 4 . Hướng dẫn giải
3x
2x
3x
2 x 3
2
CI AL
Ta có 3 x 4 x 2 12 x 9 4
2.2 x.3 32 4 2
4
3 thì (1) trở thành 3 x 2 x 3 4 2
OF
Nếu x
FI
3 x 2 x 3 4 . (1)
5x 3 4
x
7 3 (không thỏa mãn điều kiện x ). 5 2
Nếu x
3 thì (1) trở thành 3 x 2 x 3 4 2
x 1 (thỏa mãn điều kiện x
3 ). 2
Vậy x 1 .
NH
x3 4
ƠN
5x 7
Y
Ví dụ 2: Cho biểu thức Q 2 x x 2 6 x 9 3 .
QU
a) Rút gọn Q . b) Tìm x biết Q 7 . Hướng dẫn giải
Q 2x
KÈ M
a) Ta có Q 2 x x 2 6 x 9 3
x 3
2
3
Q 2x x 3 3 .
Nếu x 3 thì Q 2 x x 3 3 3 x . Nếu x 3 thì Q 2 x x 3 3 x 6 .
Y
b) Ta xét hai trường hợp:
DẠ
Nếu x 3 thì 3 x 7 x
7 (không thỏa mãn điều kiện x 3 ). 3
Nếu x 3 thì x 6 7 x 1 (thỏa mãn điều kiện x 3 ).
Vậy x 1 thì Q 7 . Bài tập tự luyện dạng 3 Trang 14
Câu 1: Tính giá trị biểu thức:
3 2
2
b) B 6 2 5 .
.
c) C 9 4 5 .
d) D
CI AL
a) A
3 5 . 2
Câu 2: Rút gọn biểu thức: a) A
x
2
1 . 2
b) B x 2 2 x 1 .
FI
Câu 3: Cho biểu thức P 5 x 7 x 2 4 x 4 . a) Rút gọn biểu thức P .
OF
b) Tính giá trị của P khi x 1 . c) Tính giá trị của P khi x 3 . Câu 4: Tìm x , biết 3 x 4 x 2 4 x 1 4 .
ƠN
Câu 5. Giải các phương trình sau: a) x 3 11 6 2 .
b) x 2 10 x 25 27 10 2 .
c) 4 x 2 4 x 27 10 3 .
d) x 2 2 5 x 16 4 5 .
2
NH
e) x 2 4 3 x 1 4 3 . Câu 6. Rút gọn các biểu thức sau:
c) C
7 2 11 2 22
3 2 2 .
2 1 1 .
1 2 27 2 38 5 3 2 3 2 4
.
KÈ M
d) D
7 5 7 5
QU
b) B
Y
a) A 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 .
Câu 7. Cho P
x4 x4 x4 x4 . 8 16 1 2 x x
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa.
DẠ
Y
b) Tìm số nguyên x để P là số nguyên.
Trang 15
Dạng 1: Giải phương trình, bất phương trình Câu 1.
x 3 a) Ta có x 2 9 . Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3;3 . x 3
d) Ta có x 2 1 phương trình vô nghiệm. Vậy S .
ƠN
Câu 2.
OF
3 x 3 3 3 2 c) Ta có 4 x 2 3 x 2 . Vậy S ; . 4 2 2 3 x 2
FI
b) Ta có 2 x 2 2 x 2 0 x 0 . Vậy S 0 .
A2 A
CI AL
ĐÁP ÁN - BÀI 2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
5 5 3 x 1 2 3 x 1 4 x . Vậy S . 3 3
b) Ta có
x 2 1 1 x 2 1 1 x 2 0 x 0 . Vậy S 0 .
NH
a) Ta có
c) Ta có 3 4 x 3 9 4 x 3 3 4 x 3 9 4 x 12 x 3 . Vậy S 3 . d) Ta có
3 x 2 1 2 phương trình vô nghiệm. Vậy S .
Y
Câu 3.
QU
a) Ta có x 2 5 5 x 5 . Vậy nghiệm của bất phương trình là 5 x 5 .
x 1 b) Ta có 5 x 2 4 x 2 1 . Vậy nghiệm của bất phương trình là x 1 hoặc x 1 . x 1
KÈ M
x 3 4 x 7 2 c) Ta có x 3 16 . x 3 4 x 1 Vậy nghiệm của bất phương trình là x 7 hoặc x 1 . d) Ta có x 2 4 x 2 0 x 2 4 x 4 2 0 x 2 2 2 x 2 2 2 2 x 2 2 .
2
Câu 4.
Y
Vậy nghiệm của bất phương trình là 2 2 x 2 2 .
DẠ
a) Điều kiện x 0 . Ta có b) Điều kiện x 1 . Ta có
x 2 x 4. x 1 2 x 1 4 x 3 .
Kết hợp điều kiện ta được 1 x 3 . Vậy nghiệm của bất phương trình là 1 x 3 . Trang 16
1 . Ta có 2
Kết hợp điều kiện ta được d) Ta có
2x 1 3 2x 1 9 x 5 . 1 1 x 5 . Vậy nghiệm của bất phương trình là x 5 . 2 2
CI AL
c) Điều kiện x
3 x 2 1 1 0 và 1 0 nên bất phương trình vô nghiệm. Vậy bất phương trình vô nghiệm.
A có nghĩa
Dạng 2: Tìm điều kiện để biểu thức
FI
Câu 1. b) Điều kiện 1 x 2 0 x 2 1 1 x 1 . c) Ta có 2 x 1 0x do đó với mọi x biểu thức luôn có nghĩa. 2
OF
a) Điều kiện 6 x 0 x 6 .
d) Ta có x 2 0x x 2 1 1x x 2 1 1x x 2 1 0x do đó không có x để biểu thức xác định. Câu 2. a) Điều kiện x 2 0 x 2 .
NH
b) Điều kiện 9 x 2 0 x 2 9 3 x 3 .
2
ƠN
2
c) Điều kiện 4 x 2 4 x 1 0 2 x 1 0 . Mà 2 x 1 0x nên 4 x 2 4 x 1 0 x 2
d) Với mọi x . b) 1 x 2 .
c) x 1; x 2 .
d) 1 x 1; x 0 .
QU
a) x .
a) A 3 2 .
b) B 5 1 .
c) C 2 5 .
d) D
Câu 2.
A2
KÈ M
Dạng 3: Rút gọn biểu thức dạng Câu 1.
1 . 2
Y
Câu 3.
2
DẠ
Y
a) A x 2 1 x 2 1 .
5 1 . 2
b) B x 1 .
Câu 3.
a) P 5 x 7 x 2 .
b) P 1 khi x 1 .
c) P 9 khi x 3 . Câu 4. Trang 17
3x 4 x 2 4 x 1 4
2 x 1
2
4
CI AL
3x
3x 2 x 1 4 4 2 x 1 4 3x x 3
FI
2 x 1 4 3x 2 x 1 3x 4
OF
x 1 (thoa man dieu kien) x 3 (khong thoa man dieu kien) Vậy x 1 . Câu 5. 2
2
x 3 3 2 x 6 2 . x 3 3 2 x 2
2
b) x 2 10 x 25 27 10 2 x 5 5 2
2
x 5 5 2 x 5 5 2 x 5 5 2
NH
2
ƠN
a) x 3 11 6 2 x 3 3 2
x 10 2 . x 2
c) 4 x 2 4 x 27 10 3 4 x 2 4 x 1 28 10 3 2 x 1 5 3
Y
2
2
2x 1 5 3
QU
4 3 x 2 x 1 5 3 2 x 4 3 2 . 6 3 2 x 1 5 3 2 x 6 3 x 2
KÈ M
d) x 2 2 5 x 16 4 5 x 2 2 5 x 5 21 4 5 x 5
2 2
5 1
2
x 5 2 5 1 x 5 1 . x 5 2 5 1 x 5 2 5 1 x 3 5 1
e) x 2 4 3 x 1 4 3 x 2 4 3 x 2 3
2
1 4 3 2 3
2
x2 3
2 2
3 1
2
DẠ
Y
x 2 3 2 3 1 x 1 . x 2 3 2 3 1 x 4 3 1 x 2 3 2 3 1
Câu 6.
a) A 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 .
Trang 18
8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 16 2 64 4 10 2 5
A2 16 2
16 2 24 8 5 16 2 2 5 2 12 4 5
10 2
2
A 10 2 (do A 0 ). 3 2 2 . 2
7 5 7 5 14 2 44 Ta có 2 và 7 2 11 7 2 11
c) C
2 1 1 .
2 1 2
2 1 1 1
1 2 27 2 38 5 3 2 3 2 4
53 2 2
5 3 2 3
2
Cách khác: 1 2 27 2 38
Ta có D
KÈ M
3 2 4
QU
3 2 4
53 2
5 3 2 3
24
2
Y
3 2 4
DẠ
Do vậy D
53 2
3 2 42
3 2 4
27
3 2 4
2 1 .
2 1 .
1.
2 38 3 2 4
3 24
2
3 2 42 46 2 2
3 22 2 (1) 2
23 2 (2) 2
1 2 27 2 38 5 3 2 3 2 4
3 2 4
Y
2
2 4 3 2 4 53 2
3 2 4 53 2 3 2 4
2
2 1 1 1
2 1
NH
d) D
ƠN
Vậy B 2
3 2 2
FI
7 2 11
OF
7 5 7 5
b) B
CI AL
A 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5
3 22 2 3 22 1. 2 2
Câu 7.
Trang 19
x 4 x 4 0 2 x4 2 0 x 4 x 4 x 4 0 2 a) P có nghĩa khi và chỉ khi x 4 x 4 0 x 4 2 0 4 x 4. 1 x 0 2 1 8 16 0 x x 2 1 4 0 x
2
4 1 x
x4 2
2
2
Trường hợp 1: Với x 8 ta có P Để P là số nguyên thì
x4 2
x4 2
4 1 x
.
2x 8 2 x4 . x4 x4
OF
ƠN
x4 2
FI
x4 x4 x4 x4 x44 x4 4 x44 x4 4 = 8 16 8 16 1 2 1 2 x x x x
b) Ta có P
CI AL
x 4 1; 2; 4;8 x 5;8; 20;68 so sánh điều kiện x 8 ta được
Trường hợp 2: Với 4 x 8 ta có P
NH
x 8; 20;68 .
4x 16 4 . x4 x4
Để P là số nguyên thì x 4 1; 2; 4;8;16 x 5;6;8;12; 20 so sánh điều kiện 4 x 8 ta được
QU
DẠ
Y
KÈ M
Vậy x 5;6;8; 20;68 .
Y
x 5;6 .
Trang 20
CHUYÊN ĐỀ BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
CI AL
Mục tiêu Kiến thức + Nắm được định lí
a.b a . b , với a và b là hai số không âm.
+ Hiểu được cách áp dụng khai phương của một tích. + Hiểu được cách nhân các căn bậc hai các số không âm.
FI
Kĩ năng + Biết cách khai phương của một tích.
OF
+ Biết cách nhân các căn bậc hai.
+ Giải được các bài toán thực hiện phép tính gồm nhiều căn bậc hai. + Biết cách rút gọn và tính giá trị biểu thức.
ƠN
+ Giải được phương trình chứa căn bậc hai.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
+ Chứng minh được các đẳng thức chứa căn bậc hai.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí
a.b a . b .
CI AL
Với hai số a và b không âm, ta có
Chú ý: Với hai biểu thức A và B không âm, ta có
Khai phương của một tích Muốn khai phương một tích của các số không âm,
A.B A. B và ngược lại
ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết
biệt, khi A 0, ta có: A A2
quả với nhau.
A . 2
FI
Nhân các căn bậc hai
A. B A.B . Đặc
có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.
ƠN
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
OF
Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta
a, b là hai số không âm
NH
Đặc biệt
Y
a.b a . b
QU
Mở rộng
a
2
a
a2 a
a1.a2 .....an a1 . a2 ...... an Với a1 , a2 , a3 ,...., an là các số không âm.
KÈ M
A, B LÀ CÁC BIỂU THỨC KHÔNG ÂM
A A2 Đặc biệt
A
A
2
DẠ
Y
A.B A. B
Mở rộng
A1. A2 ..... An A1 . A2 ...... An Với A1 , A2 , A3 ,...., An là các biểu thức không âm.
Trang 2
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Khai phương một tích Phương pháp giải
Ví dụ: Tính a)
Dựa vào quy tắc khai phương của một tích:
b) 14, 4.160.
9.4.
Hướng dẫn giải
Với hai số a và b không âm, ta có
Đưa các tích trong căn về dạng số chính phương
9.4 9. 4 3.2 6.
FI
a) Ta có
a.b a . b .
b) Ta có 14, 4.160 144.16
144. 16
OF
(bình phương của một số) sau đó dựa vào quy tắc
12.4
khai phương của một tích.
48.
Ví dụ 1. Tính a) 12,1.90.
b)
2500.6, 4.0,9.
Hướng dẫn giải
NH
a) Ta có 12,1.90 121.9 121. 9 11.3 33.
2500.6, 4.0,9 25.64.9 25. 64. 9 5.8.3 120.
Ví dụ 2. Tính b)
Hướng dẫn giải
64.6, 25 64.2, 25.
Y
612 602 .
QU
a)
ƠN
Ví dụ mẫu
b) Ta có
CI AL
Bài toán 1. Khai phương một tích các số không âm
61 60 61 60
a) Ta có
612 602
1.121 1.11 11.
b) Ta có
64.6, 25 64.2, 25 64. 6, 25 2, 25
KÈ M
64.4 64. 4 8.2
16.
Y
Bài toán 2. Khai phương một tích các biểu thức
DẠ
Phương pháp giải Biểu thức
A có nghĩa khi A 0.
Ví dụ: Cho các biểu thức M x. x 1 và
N x x 1. a) Tìm x để biểu thức M có nghĩa; N có nghĩa. b) Với giá trị nào của x thì M N . Trang 3
Hướng dẫn giải a) M có nghĩa khi x. x 1 0.
CI AL
x 0 x 0 Trường hợp 1: x 1. x 1 0 x 1
x 0 x 0 Trường hợp 2: x 0. x 1 0 x 1 Vậy M có nghĩa khi x 0 hoặc x 1.
FI
x 0 x 0 N có nghĩa khi x 1. x 1 0 x 1
A.B A. B đúng khi hai biểu thức
A và B không âm.
b) Để M và N đồng thời có nghĩa thì x 1. Khi đó x và x 1 là các biểu thức không âm nên x. x 1 x . x 1 M N .
ƠN
Đẳng thức
OF
Vậy N có nghĩa khi x 1.
Vậy để M N thì x 1. Ví dụ mẫu
x 1 . x 2
x 1. x 2 ?
NH
Ví dụ. Với giá trị nào của x thì Hướng dẫn giải
QU
Y
x 1 . x 2 0 x 1 0 x 1 Để đẳng thức có nghĩa thì x 1 0 x 2. x 2 0 x 2 x 2 0
Khi x 2 thì biểu thức x 1 và x 2 đều không âm nên
x 1 . x 2
x 1 . x 2
x 1. x 2.
KÈ M
Vậy với x 2 thì
x 1. x 2.
Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Tính
a) 14, 4.90. Câu 2: Tính
452 362 .
Y
a)
x 2 . x 3
250.0,9.
b)
81.10, 25 81.1, 25.
x 2. x 3 ?
DẠ
Câu 3: Với giá trị nào của x thì
b)
Trang 4
Dạng 2: Nhân các căn bậc hai Bài toán 1: Nhân các căn bậc hai Ví dụ. Tính a) Dựa vào quy tắc nhân các căn bậc hai:
CI AL
Phương pháp giải
b)
90. 10.
Hướng dẫn giải
Với hai số a và b không âm, ta có
a)
90. 10 90.10 900 30.
b)
20. 3. 15 20.3.15 900 30.
FI
a . b a.b . Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai mở rộng:
OF
a1 . a2 ... an a1.a2 ...an Với a1 , a2 ,..., an là các số không âm. Ví dụ mẫu
ƠN
Ví dụ. Tính a)
b) 12,8.1,8.
72. 50.
Hướng dẫn giải
72. 50
NH
a) Ta có
72.50 36.2.50 36.100 36. 100 60.
Y
6.10
20. 3. 15.
64. 0,36 8.0, 6 4,8.
QU
b) Ta có 12,8.1,8 64.0, 2.1,8 64.0,36
KÈ M
Bài toán 2. Nhân phân phối nhiều căn bậc hai
Y
Phương pháp giải
Ví dụ. Tính
b) a)
20 5 45 . 5.
3 2 .
3 2 .
Hướng dẫn giải
DẠ
Sử dụng tính chất phân phối giữa phép nhân với a) Ta có 20 5 45 . 5 phép cộng sau đó áp dụng tính chất: Với hai số a và 20. 5 5. 5 45. 5 b không âm, ta có 20.5 5.5 45.5 a . b ab .
Trang 5
100 25 225 0.
Áp dụng các hằng đẳng thức và tính chất:
b) Ta có
Với số không âm a, ta có:
a
2
a.
3 2 .
3 2 2
2
3 2
Ví dụ mẫu
12 3 .
27 3 .
5 1 .
52 .
5 2 1
ƠN
b) c) a)
5 1 .
Hướng dẫn giải
12.
12 3 .
27 3
27 3 3.
27 3
NH
a) Ta có
12.27 12.3 3.27 3.3
Y
4.81 4.9 81 9
QU
2.9 2.3 9 3 18.
5. 5 2 1.
5 2
5 1 .
52
KÈ M
b) Ta có
OF
Ví dụ 1. Tính
3 2
FI
1.
CI AL
10 5 15
5. 5 2. 5 5 2 5 2. 5 5 2 3 5.
5 2 1
5 1 2.
DẠ
5.
Y
c) Ta có
5 1
5 1 1.
5 1
5 5 10 2 5 1 4 10 2.
Ví dụ 2. Tính Trang 6
3 .
7 6 . d) 3 7 . 3 7 .
2
7 2 .
5
2
b)
5 3 .
CI AL
c) a)
Hướng dẫn giải 7 2
7
b) Ta có
7 6
7
c) Ta có
5 3 .
2
2
2
2
2. 7. 2 2 7. 6
2
6
5 3 2
5 3
d) Ta có 3 7 . 3 7 32
7
2
2
2
2
7 2 14 2 9 2 14. 7 2. 42 6 13 2 42.
FI
5 3 2.
9 7 2.
OF
a) Ta có
Câu 1: Tính a) 18. 8. c) 12.
b) 12,8.80.
12 3 .
d)
5 2 . c) 7 3 . 7 3 . 3 5 .
10
2 . 3 5 .
4 15.
10 2 .
KÈ M
c) 2 4 6 2 5
QU
Y
10 6
32 .
2
b)
Câu 3: Rút gọn
b) 4 15
3 1 .
11 6 . d) 3 2 . 3 2 .
2
a)
NH
Câu 2: Tính
a)
ƠN
Bài tập tự luyện dạng 2
Dạng 3: Rút gọn biểu thức
DẠ
Y
Phương pháp giải
Trước hết tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa (nếu cần).
Ví dụ. Rút gọn biểu thức: a)
2x . 6 x với x 0. 3
b)
2 x3 .
9 . 8x
Hướng dẫn giải a) Ta có
2x . 6x 3
Trang 7
+) Khai phương của một tích. +) Nhân các căn bậc hai.
2x 12 x 2 .6 x 3 3
4 x 2 4. x 2
+) Hằng đẳng thức.
2 x 2x (vì x 0 ).
CI AL
Áp dụng quy tắc:
b) Điều kiện xác định: x 0.
FI
Ta có
9 9x2 9 3 2x . . x2 x 8x 4 4 2 3
OF
3 2 x khi x 0 . 3 x khi x 0 2
ƠN
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức 7 với x 0. x
7 x.
c)
1 . 8 x5 với x 0. 2x
b)
1 y 3 với y 0. . y 9
NH
a)
Hướng dẫn giải 7 7 7 x. 49 7. x x
7 x.
b) Ta có
1 y 3 1 y 3 . . y 9 y 9
c) Ta có
1 1 . 8 x5 .8 x5 4 x 4 2 x 2 . 2x 2x
QU
Y
a) Ta có
KÈ M
y y y2 vì y 0. 9 3 3
Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức a)
2 8 x3 . . x
b)
4 x 4 y 2 4 y 4 .
Y
c) 16 x 4 . x 2 2 x 1 . 2
DẠ
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định x 0. Ta có
8 x3 .
4 x khi x 0 2 16 x 2 4 x . x 4 x khi x 0 Trang 8
b) Ta có
y
2
4 y 4 4 x . y 2 4
2
2 x 2 y 2 khi y 2 2x . y 2 2 . 2 x 2 y khi y 2 2
c) Ta có 16 x 4 . x 2 2 x 1 4 x 2 x 2 2 x 1 4 x 2 x 1 4 x 2 x 1 . 2
2
2
Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Rút gọn biểu thức
c)
1 . 12 x 7 với x 0. 3x
b)
1 y 5 với y 0. . y 4
d)
x 2 27 với x 0. . 3 x6
FI
x.
OF
1 với x 0. x
a)
4 x3 . . x
b)
4 x 4 y 2 6 y 9 .
ƠN
Câu 2: Rút gọn biểu thức a)
CI AL
4x
4
2
1 c) 16 x . x 2 x . 4
NH
4
Câu 3: Rút gọn biểu thức P x 2 . x 2 6 x 9 với 0 x 3.
QU
Phương pháp giải
Y
Dạng 4: Biến đổi một biểu thức về dạng tích
KÈ M
Vận dụng linh hoạt các cách sau:
Ví dụ. Phân tích thành nhân tử a) 5 5. b) x y y x . Hướng dẫn giải
5
2
+) Đặt nhân tử chung.
a) Ta có 5 5
+) Nhóm các hạng tử.
b) Điều kiện xác định: x 0; y 0.
DẠ
Y
+) Dùng các hằng đẳng thức.
5 5.
5 1 .
Ta có x y y x
x
x
y y x y .
2
y
2
x
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Phân tích thành nhân tử a) x 2 x . y y.
b) x 4 x y 4 y. Trang 9
c) x x y y .
d)
x 2 4 2 x 2.
Hướng dẫn giải
CI AL
a) Điều kiện xác định: x 0, y 0. Ta có x 2 x . y y 2
x 2 x y
2
2
x y .
FI
y
b) Điều kiện xác định: x 0, y 0.
2
x 4 x y 2 y
OF
Ta có x 4 x y 4 y 2
2
x 2 y .
ƠN
c) Điều kiện xác định: x 0, y 0. Ta có x x y y
x y x y . x 3
NH
3
x. y y .
d) Điều kiện xác định: x 2.
x 2 x 2 2
x2
Y
x2 4 2 x 2 x2
x2 2 .
QU
Ta có
Bài tập tự luyện dạng 4
KÈ M
Câu 1: Phân tích thành nhân tử a) x x xy y .
b)
xy 4 x 3 y 12.
Câu 2: Phân tích thành nhân tử
b)
c) 8 x x 27 y y .
d)
Y
a) 4 x 12 x . y 9 y.
x x y y. 4
x 2 9 3 x 3.
DẠ
Câu 3: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x y z xyz 4. Tính giá trị của biểu thức: P x 4 y 4 z y 4 z 4 x z 4 x 4 y xyz .
Trang 10
Dạng 5: Giải phương trình Bài toán 1. Áp dụng hằng đẳng thức Ví dụ. Giải phương trình: Hướng dẫn giải Ta có
Áp dụng các hằng đẳng thức 2
2
5 x 1 15
A (với A 0 )
x 1 3
x 4 . x 2
OF
x 1 3 x 1 3
2
FI
A
A2 A ;
25 x 1 15
25 x 1 15.
CI AL
Phương pháp giải
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Giải phương trình a)
x 1
c)
9 x 5 6.
b) 3 2x 1 9. 2
4. 2
d) 3
x 1
9.
x 1 4 x 5 4 x 1 4 . x 1 4 x 3
2
QU
x 1
2
Y
Hướng dẫn giải a) Ta có
NH
2
ƠN
Vậy phương trình có nghiệm: x 4; x 2.
Vậy phương trình có nghiệm: x 3; x 5. b) Ta có 3 2x 1 9 2
2x 1
2
2x 1 3 2x 2 x 1 3 2x 1 3 . 2x 1 3 2x 4 x 2
KÈ M
Vậy phương trình có nghiệm: x 2; x 1. c) Ta có
2 x 5 2 x 7 9 x 5 6 3 x 5 6 x 5 2 . x 5 2 x 3
Y
Vậy phương trình có nghiệm: x 3; x 7.
x 1
DẠ
d) Ta có 3
2
9
x 1
2
3.
Vì 3 0 nên phương trình vô nghiệm.
Trang 11
Bài toán 2. Đặt nhân tử chung Ví dụ. Giải phương trình: a)
x2 1 2 x 1.
b)
x 1 4 x 1 9 x 1 6.
CI AL
Phương pháp giải
Hướng dẫn giải - Tìm điều kiện xác định để biểu thức có nghĩa.
a)
x2 1 2 x 1.
FI
Điều kiện xác định:
Khi đó:
đưa các thừa số ra ngoài dấu căn để được nhân tử
x2 1 2 x 1
x 1 x 1 2
x 1.
chung.
ƠN
- Phân tích biểu thức trong căn thành nhân tử hoặc
OF
x2 1 0 x2 1 x 1. x 1 0 x 1
x 1 0
x 1 2 0
NH
x 1 0 x 1 2
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
x 1 0 x 1 4
x 1 (thoả mãn điều kiện). x 3 Vậy phương trình có nghiệm x 1; x 3. b)
x 1 4 x 1 9 x 1 6
Điều kiện xác định: x 1. Ta có
x 1 4 x 1 9 x 1 6
x 1 2. x 1 3. x 1 6 6. x 1 6 x 1 1 x 1 1 x 2 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có nghiệm x 2.
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Giải phương trình Trang 12
a)
x 1
b)
x2 9 x 3 2x 1 0.
d)
4 x 1.
CI AL
c)
2
1 1 7 9 x 5 4 x 5 25 x 5 2. 3 2 5
x
9
x
6.
FI
Hướng dẫn giải a) Điều kiện xác định: x 1.
x 1
x 1
2
2
4 x 1
OF
x 1
4 x 1 0
x 1 4 0
ƠN
Ta có
x 1 0 x 1 4 0
NH
x 1 0 x 1 16 x 1 (thoả mãn điều kiện). x 17
Y
Vậy phương trình có nghiệm x 1; x 17.
QU
x2 9 0 x2 9 b) Điều kiện xác định: x 3 0 x 3 x 3. 2 x 1 0 1 x 2
x2 9 x 3 2 x 1 0
KÈ M
Ta có
x 3. x 3 x 3. 2x 1 0
x 3.
x 3 2x 1 0
Y
x3 0 x 3 2x 1 0
DẠ
x3 0 x 3 2x 1
x 3 0 x 3 2x 1 Trang 13
x 3 0 x 3 2x 1
CI AL
x 3 . x 2 Kết hợp với điều kiện ta có x 3 là nghiệm của phương trình. c) Điều kiện xác định: x 5. 1 1 7 9 x 5 4 x 5 25 x 5 2 3 2 5
FI
Ta có
OF
1 1 7 .3 x 5 .2. x 5 .5. x 5 2 3 2 5
x 5 x 5 7. x 5 2 5. x 5 2 2 . 5
ƠN
x5
2 Vì 0 nên phương trình vô nghiệm. 5
NH
Vậy phương trình vô nghiệm. d) Điều kiện xác định: x 0.
x
6 0
x 9 6 x
0
x
2
x 3 0
x 3
Y
9
KÈ M
6
x
QU
x
9
x
Ta có
x 9 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có nghiệm x 9. Bài tập tự luyện dạng 5
x 1
2
DẠ
a)
Y
Câu 1: Giải phương trình
c) 2
x 1
2.
2
0.
b)
9 2x 1 3.
d)
x 1
2
2
1.
Câu 2: Giải phương trình Trang 14
a)
x 2
b)
x2 1 x 1 2x 1 0.
c)
9 x 1 4 x 1
d)
x
16
x
x 2.
CI AL
2
4 25 x 1 1. 5
8.
FI
Câu 3: Giải phương trình:
OF
x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2. Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ. Cho a 0, chứng minh rằng:
Phương pháp giải
ƠN
a1 a 1
Hướng dẫn giải
a1 a 1
Ta có
Ta sử dụng các phương pháp sau:
+) Sử dụng phép biến đổi tương đương.
2
a1
NH
+) Với a 0; b 0 thì a b a2 b2 .
a 1
2
a 1 a 2 a 1 a 0 (luôn đúng)
Y
Dấu “=” xảy ra khi a 0.
QU
Ví dụ mẫu
Vậy
a1 a 1
KÈ M
Ví dụ. Chứng minh rằng: a b 2 ab với a, b là hai số không âm (Bất đẳng thức Côsi với hai số không âm). Hướng dẫn giải
Ta có a b 2 ab a b 2 ab 0
2
a b 0 (luôn đúng với a, b là hai số không âm)
Dấu “=” xảy ra khi a b.
Y
Bài tập tự luyện dạng 6
DẠ
Câu 1: Chứng minh rằng a) a b c ab ba ca với a, b, c là các số không âm. b)
x 1 x
2 với x 0.
Câu 2: Giải phương trình Trang 15
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1. Khai phương một tích Câu 1. a) 36.
b) 15.
Câu 2. b) 27.
FI
a) 27.
x 2 . x 3
x 2. x 3.
Dạng 2. Nhân các căn bậc hai Câu 1. b) 32.
c) 18.
b) 17 2 66.
c) 4.
ƠN
a) 12. Câu 2. a) 7 2 10.
10 2 . 3 5
3 5 .
10 2 . 3 5
5 1 3 5
5 13 5 5 1 3 5 6 2 5 3 5
QU
6 2 5
d)7.
Y
d) 5 3 3.
NH
Câu 3. a) 3 5 .
OF
Câu 3. Với x 3 thì
CI AL
2x 1 17 2x x4 8x3 17x2 8x 22.
5 1
2
8.
4 4 4 4
KÈ M
2
10 6 4 15 15 5 3 8 15 15 5 3 5 3 15 5 3 15 8 2 15
DẠ
Y
b) 4 15
2
Trang 16
2.
10 2
2 4 6 2 5
10 2
2 6 2 5
2
10 2
10 2
FI
2 3 5
5 1
OF
2 4 5 1
CI AL
c) 2 4 6 2 5
5 1
5 1
8.
ƠN
Dạng 3. Rút gọn biểu thức Câu 1. b)
y2 2
c) 2x3 .
.
NH
a) 1. Câu 2.
b) 2x y 3 .
x2
.
2
2
Y
Câu 3.
3
1 c) 4x x . 2
2
a) 2. x .
d)
Ta có P x2 . x2 6x 9 x2 . x 3 x . x 3 .
QU
Vì x 0 nên x x.
2
Vì 0 x 3 nên x 3 3 x.
KÈ M
Vậy P x 3 x .
Dạng 4. Biến đổi một biểu thức về dạng tích Câu 1.
a) Điều kiện xác định: x 0; y 0.
2
Y
Ta có x x xy y
x x x y y
y .
DẠ x.
x
x 1 x 1 .
x 1 y.
b) Điều kiện xác định: x 0; y 0. Trang 17
xy 4 x 3 y 12
Ta có
x . y 4 x 3 y 12
y 4 3
x 3
y4
CI AL
x
y4 .
Câu 2.
c) 2 x 3 y 4x 6 x . y 9y .
d)
x 3.
Câu 3. Từ giả thiết: x y z xyz 4 4 x y z 4 xyz 16.
ƠN
Ta có x 4 y 4 z x 16 4 x y yz
x 4 x y z 4 xyz 4 y z yz
2
NH
x 2 x yz .
x 4 y 4 z y 4 x 4 z z 4 x 4 y xyz 8.
Từ đó suy ra:
Dạng 5. Giải phương trình
Y
Câu 1.
QU
a) x 1; x 3. c) x 1. Câu 2. a) x 2; x 3.
b) x 1.
KÈ M
Câu 3.
x33 .
OF
a) 2 x 3 y .
FI
2
x b) y . 2
2
b) x 1; x 0. d) Vô nghiệm. c) x 2.
d) x 16.
5 Điều kiện x . Phương trình trở thành: 2 2x 4 6 2x 5 2x 4 2 2x 5 4
2
2x 5 3
Y
DẠ
2x 5 3
2
2x 5 1 4
2x 5 1 4
2x 5 1
2x 5 1
2x 5 1 0 Trang 18
2x 5 1 5 x 3. 2
CI AL
Dạng 6. Chứng minh bất đẳng thức Câu 1. a) Ta có a b c ab ba ca
2a 2b 2c 2 ab 2 bc 2 ca
2
a b
2
b c
2
c a 0 (luôn đúng với a, b, c là các số không âm)
OF
FI
a 2 ab b b 2 bc c c 2 ca a 0
Dấu “=” xảy ra khi a b c.
x 1 x
x
2
2 0
x 2 x 1
ƠN
x 1
x
x 1 x
0
2
0 (luôn đúng với x 0 )
Y
Dấu “=” xảy ra khi x 1.
NH
b) Ta có
QU
Câu 2.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có:
2x 1 .9 17 2x .9 2x 21 9 17 22x 9
KÈ M
9. 2x 1 9. 17 2x 18 2x 1 17 2x 6
Mặt khác: x4 8x3 17x2 8x 22 x4 8x3 16x2 x2 8x 16 6 x2 4x x 4 6 6 2
2 x 1 9 17 2x 9 4 3 2 2x 1 17 2x x 8x 17x 8x 22 2 x 4. x 4x 0 x 4 0
DẠ
Y
Do vậy
2
Trang 19
CHUYÊN ĐỀ Mục tiêu Kiến thức + Nắm được định lí
a a với a là số không âm, b là số dương. b b
+ Hiểu được cách chia các căn bậc hai.
FI
Kĩ năng
CI AL
BÀI 4. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
+ Biết cách khai phương một thương.
OF
+ Biết cách chia các căn bậc hai.
+ Giải các bài toán thực hiện phép tính gồm nhiều căn bậc hai. + Rút gọn và tính giá trị biểu thức.
ƠN
+ Giải phương trình chứa căn bậc hai.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
+ Chứng minh được các đẳng thức chứa căn bậc hai.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí
a a . b b
CI AL
Với số a không âm, số b dương ta có
Khai phương của một thương Muốn khai phương của một thương
a , trong đó Ví dụ: b
25 25 5 . 16 16 4
FI
a 0 và b 0, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả
OF
thứ hai.
a a . b b Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số a cho số b
a b
Ví dụ:
NH
rồi khai phương kết quả đó.
ƠN
Chia các căn bậc hai
a . b
27 3
27 9 3. 3
Chú ý: Với hai biểu thức A 0 và B 0 , ta có
Ví dụ:
x 1
2
x2 1
x 1
2
x2 1
x 1 x2 1
.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
A A . B B
Trang 2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
a 0; b 0
CI AL
Hai biểu thức A; B
A 0; B 0
Khai phương một thương
FI
A A B B
OF
a a b b
Chia các căn bậc hai
b
a b
ƠN
a
A
A B
NH
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
B
Dạng 1: Khai phương một thương
Bài toán 1. Khai phương một thương các số dương
Ví dụ: Tính a)
QU
Y
Phương pháp giải
Muốn khai phương một thương
9 . 4
b)
3 3 : . 4 25
Hướng dẫn giải a , trong đó a 0 b
và b 0, ta có thể lần lượt khai phương số a và số a)
KÈ M
b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai. b)
a a . b b
9 9 3 . 4 4 2 3 3 3 25 25 25 5 : . . 4 25 4 3 4 4 2
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tính
Y
16 . 25
b)
0,4 . 0,9
c)
25 1 : . 4 4
d)
25 9 : . 2 2
DẠ
a)
Hướng dẫn giải a)
16 16 4 . 25 25 5 Trang 3
0,4 4 4 2 . 0,9 9 9 3
c)
25 1 25 4 : . 25 5. 4 4 4 1
d)
25 9 25 2 25 5 : . . 2 2 2 9 9 3
CI AL
b)
612 602 . 25
b) 10,25: 64 1,25: 64.
Hướng dẫn giải
61 60 61 60 25
b) 10,25: 64 1,25: 64
1.121 121 11 . 25 25 5
10,25 1,25 10,25 1,25 9 3 . 64 64 64 64 8
NH
Bài toán 2. Khai phương một thương các biểu thức
ƠN
a)
612 602 25
OF
a)
FI
Ví dụ 2. Tính
Phương pháp giải
Ví dụ: Đẳng thức
Sử dụng kiến thức sau
x y 1
x y 1
đúng với những
Đẳng thức
A có nghĩa khi A 0.
KÈ M
Biểu thức
QU
Y
giá trị nào của x và y? Hướng dẫn giải x y 1 0 x 0 Điều kiện xác định: y 1 0 . y 1 x 0 y 1 0
x 0 A A Khi thì biểu thức thỏa mãn điều kiện khai đúng khi biểu thức A không y 1 B B phương của một thương.
âm và B dương.
x y 1
x y 1
.
Y
x 0 Vậy với thì y 1
DẠ
Ví dụ mẫu Ví dụ. Với giá trị nào của x thì
x 1 x 1 ? x2 x2
Hướng dẫn giải
Trang 4
x 1 x 1 . x2 x2
FI
Vậy với x 2 thì
Bài tập tự luyện dạng 1
9 . 25
0,1 . 2,5
b)
25 9 : . 4 4
c)
Câu 2: Tính
53 5 : . 22 24
ƠN
452 362 . 9
d)
b) 12,5: 81 1,25: 81 2,25: 81.
Câu 3: Với giá trị nào của x thì
x 1 x 1 ? x x
NH
a)
OF
Câu 1: Tính a)
CI AL
x 1 x2 0 x 1 0 x 1 x2 Để đẳng thức có nghĩa thì x 2 0 x 2 0 x 2 x 1 0 x 2 0
Dạng 2: Chia các căn bậc hai Bài toán 1. Chia các căn bậc hai
Ví dụ: Tính
Y
Phương pháp giải
QU
a)
20 : 45.
Hướng dẫn giải
Dựa vào quy tắc chia các căn bậc hai: Với hai số a a)
không âm, b là số dương ta có
a . b
b
20 : 45
20 4 2 . 45 9 3
b) 150 : 3 : 2 150 : 3 : 2
KÈ M
a
b) 150 : 3 : 2.
50 : 2 50 : 2 25 5.
Ví dụ mẫu Ví dụ. Tính a)
50 : 18.
c)
315 : 7 : 5.
DẠ
Y
b) d)
35 : 33 . 3 12
:
45 20
.
Hướng dẫn giải a)
50 : 18
50 18
50 25 5 . 18 9 3 Trang 5
35 32 3. 3 3
35 : 33
c)
315 : 7 : 5 315: 7 : 5 45 : 5 45: 5 9 3.
3
d)
12
:
45
33
20
CI AL
35
b)
3 45 1 9 1 9 1 1 : : : . 12 20 4 4 4 4 9 3
Bài toán 2. Chia phân phối nhiều căn bậc hai Ví dụ: Tính
20 80 45 : 5.
phép cộng sau đó áp dụng tính chất: Với hai số a
20 80 45 : 5
20 : 5 80 : 5 45 : 5
ƠN
không âm, b dương ta có
OF
Hướng dẫn giải Sử dụng tính chất phân phối giữa phép chia với Ta có
FI
Phương pháp giải
20 : 5 80 : 5 45: 5
a a . b b
4 16 9
NH
2 43 3.
Ví dụ mẫu Ví dụ. Tính
a) 2 8 3 18 32 : 2
QU
Hướng dẫn giải
b) 3 12 2 27 75 : 3.
Y
a) 2 8 3 18 32 : 2.
KÈ M
2 8 : 2 3 18 : 2 32 : 2 2 8: 2 3 18: 2 32 : 2 2 4 3 9 16 2.2 3.3 4 9.
DẠ
Y
b) 3 12 2 27 75 : 3
3 12 : 3 2 27 : 3 75 : 3
3 12 : 3 2 27 : 3 75: 3
3. 4 2. 9 25 Trang 6
6 6 5
CI AL
5.
Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Tính
875 : 7 : 5.
c)
39 : 93 : 3.
b)
7
d)
28
:
45 180
.
Câu 2: Tính
FI
a) 125 : 20.
a)
45 20 5 : 5.
1 16 b) 7 : 7. 7 7
c)
325 117 2 208 : 13.
1 16 d) 11 : 11. 11 11
OF
ƠN
Dạng 3: Rút gọn biểu thức
Ví dụ: Rút gọn biểu thức
NH
Phương pháp giải
b)
8x3 : 2x .
Y
QU
a) Điều kiện xác định x 0.
nghĩa (nếu cần). Áp dụng quy tắc
2x 2x 1 1 : 6x . 3 3.6x 9 3
- Khai phương của một thương.
b) Điều kiện xác định x 0. 8x3 : 2x 8x3 : 2x 4x2 2 x 2x (vì
KÈ M
- Hằng đẳng thức.
2x : 6x với x 0. 3
Hướng dẫn giải
Trước hết tìm điều kiện của biến để biểu thức có
- Chia các căn bậc hai.
a)
x 0)
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức
x
với x 0.
Y
x:
9
DẠ
a)
c)
1 : 27x7 với x 0. 3x
b)
d)
4
y
x2 3
:
:
y3 9
27
x6
với y 0.
với x 0.
Hương dẫn giải
Trang 7
x
x: 4
b) Với y 0, ta có
y
9
x:
y3
:
9
x
9 3.
9
4 y3 4 9 36 6 : . 3 . y 9 y y y 4 y2
CI AL
a) Với x 0, ta có
c) Với x 0, ta có 1 1 1 1 1 : 27x7 : 27x7 4. 8 7 3x 3x 81x 9x 3x. 27x
27
:
3
x6
x2 27 x2 x6 x8 x 4 : 6 . . 3 x 3 27 81 9
Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức a)
2 8x3 : .
b)
x4 : y2 4y 4 .
c)
x8 : x 2 4 x 4 .
ƠN
x
NH
2
Hướng dẫn giải a) Điều kiện xác định: x 0.
8x3 :
2
x
8x3 .
x 2
4 x 4 2 x2 .
Y
Ta có
y 2 2
x4 : y2 4y 4 x4 :
c) Điều kiện xác định: x 2.
x8 : x 2 4 x 4
2
x8 :
KÈ M
Ta có
QU
b) Điều kiện xác định: y 2. Ta có
FI
x2
d) Với x 0, ta có
OF
Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức P
x2 . y2
x2 4 x 4
2
x4
x 2
2
x4
x 2
2
.
x2 với 0 x 1. x2 2 x 1
Y
Hướng dẫn giải
DẠ
x2 Ta có P x2 2 x 1
x2
x 1
2
x2
x 1
2
x x 1
.
Vì x 0 nên x x. Vì 0 x 1 nên x 1 1 x. Trang 8
x
.
1 x
CI AL
Vậy P
Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Rút gọn biểu thức với x 0.
x:
c)
1 : 125x7 với x 0. 5x
9
2
b)
y
x2
d)
2
y3
:
8
:
1 với x 0. 2 x6
x 3
.
x 2 . x4
b)
c)
x2 với 1 x 0. x2 2 x 1
Câu 3: Rút gọn biểu thức P
1 5 5 1 7 13
Câu 5: Rút gọn biểu thức 5 2 5 10
.
2 3 2 2 3
.
2 3
2 2 3 1
Câu 6: Chứng minh rằng
7 7 1 13 5
1
6 3 1 2 1 7 5
x 5
x2 2 x 5 5
.
.
QU
6 2
KÈ M
c) C
2 3 3 13 48
1
d)
Y
9 3 5 2 14 6 5
b) B
NH
Câu 4: Tính giá trị biểu thức A
a) A
x2 2 x 2 2 . x2 2
ƠN
x2 3
OF
Câu 2: Rút gọn biểu thức a)
với y 0.
FI
x3
a)
3 2
3 1 1 2
.
1
3 2
1.
3 1 1 2
Dạng 4: Giải phương trình chứa căn thức
Y
Phương pháp giải
DẠ
Thực hiện theo các bước sau
Ví dụ: Giải phương trình
x 1 2. x2
Bước 1. Tìm điều kiện để biểu thức trong căn có Hướng dẫn giải nghĩa.
Bước 2. Nếu hai vế không âm ta bình phương hai
Điều kiện xác định:
x 1 0. x2 Trang 9
Suy ra x 1 và x 2 cùng dấu hoặc x 1.
vế để khử căn.
CI AL
x 1 0 x 1 Trường hợp 1: x 2. x 2 0 x 2 x 1 0 x 1 Trường hợp 2: x 1. x 2 0 x 2 Điều kiện xác định: x 1 hoặc x 2.
Bình phương hai vế phương trình ta được
FI
x 1 4 x 1 4 x 2 x 1 4 x 8 x2 7 (thỏa mãn x 2 ). 3
OF
3x 7 x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 7 3
Ví dụ mẫu Ví dụ. Giải phương trình
2x 1 1. x 1
b)
2x 1 1. x 1 2x 1 0. x 1
2.
QU
Điều kiện xác định:
x 1
Y
Hướng dẫn giải a)
x 1
NH
a)
ƠN
x .
1 Suy ra 2x 1 và x 1 cùng dấu hoặc x . 2
KÈ M
1 2 x 1 0 x 1 Trường hợp 1: 2 x . 2 x 1 0 x 1
Y
1 2 x 1 0 x Trường hợp 2: 2 x 1. x 1 0 x 1
DẠ
Điều kiện xác định: x
1 hoặc x 1. 2
Bình phương hai vế phương trình ta được
2x 1 1 2x 1 x 1 x 2 x 1
Trang 10
1 ). 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 2.
x 1 0 x 1 b) Điều kiện xác định x 1. x 1 0 x 1 Bình phương hai vế phương trình ta được
FI
x 1 5 4 x 1 4x 4 3x 5 x (không thỏa mãn điều kiện) x 1 3 Bài tập tự luyện dạng 4 Giải phương trình
2x 4 2. x 1
x3 x 1
2.
ƠN
b)
OF
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
a)
CI AL
(thỏa mãn điều kiện x
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1. Khai phương của một thương
NH
Câu 1.
9 9 3 . 25 25 5
b)
0,1 1 1 1 . 2,5 25 25 5
c)
25 9 25 25 5 : . 4 4 9 9 3
d)
53 5 53.24 : 55.22 100 10. 22 24 22.5
QU
KÈ M
Câu 2. a)
Y
a)
452 362 9
45 36 45 36 9
12,5 1,25 2,25 9 1 1 . 81 81 9 3
DẠ
Câu 3.
Y
b) 12,5: 81 1,25: 81 2,25: 81
9.81 81 9. 9
Trang 11
CI AL
x 1 x
x 1 x 1 . x x
Vậy với x 1 thì
FI
Để
x 1 x 0 x 1 x 1 thì x 1 0 x 1. x x 0 x 0
Dạng 2. Chia các căn bậc hai
a) 125 : 20
OF
Câu 1.
125 25 5 . 20 4 2
39 : 93 : 3
39 39 33 3 : 3 : 3 3 : 3 9 3. 3 93 36
c)
875 : 7 : 5
875 125 : 5 125 : 5 25 5. 7 5
28
:
45 180
7 45 1 1 : : 1. 28 180 4 4
Câu 2.
45 20 5 : 5 45 : 5 20 : 5 5 : 5 9 4 1 2.
Y
a)
NH
7
d)
ƠN
b)
c)
QU
1 16 1 16 1 4 4 b) 7 : 7 : 7 : 7 7 : 7 1 . 7 7 7 7 7 7 7
325 117 2 208 : 13 325 : 13 117 : 13 2 208 : 13 5 3 8 10.
KÈ M
1 16 1 16 1 4 8 d) 11 : 11 : 11 : 11 11 : 11 1 . 11 11 11 11 11 11 11 Dạng 3. Rút gọn biểu thức
Y
Câu 1.
DẠ
a) Với x 0, ta có
b) Với y 0, ta có
x: 2
y
:
x3 9
y3 8
x:
x3 9
9
x
2
3
x
3
x
(do x 0 nên x x ).
2 y3 16 4 : . y 8 y4 y2
Trang 12
1 1 1 1 : 125x7 : 125x7 . 8 5x 5x 625x 25x4
x2
d) Với x 0, ta có
:
2
x2
1 2 x6
1 x8 x 4 . 2 2 x6
CI AL
c) Với x 0, ta có
:
Câu 2. a) Điều kiện x 3 0 x 3.
x2 3
x 3
x 3 x 3 x
3.
x 3
FI
Ta có
x 2 x4
Ta có
x 2 x 2
x 2
1
x 2
OF
b) Điều kiện x 0; x 4 0 x 0; x 4. .
2
d) Điều kiện x2 2x 5 5 0 x 5
x 2x 5 5
x 5
x 5
Câu 3. Với 1 x 0, ta có P
2
1
x 5
0 x 5.
.
Y
x 5 2
2
QU
Ta có
NH
x 2x 2 2 x 2 . 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2
Ta có
x 2
ƠN
c) Điều kiện x2 2 0 x 2.
x2 x2 2 x 1
x2
x 1
2
x2
x 1
2
x x 1
.
Vậy P Câu 4.
x
x 1
.
1
1 1 1 5. 13 5 7
DẠ
Y
Ta có A
KÈ M
Vì 1 x 0 nên x x; x 1 x 1.
1 5 1
1 1 13 5 7
1 1 1 1 7 5 7 13
1
7 1
1 1 5 7 13
1 1 1 1 13 5 13 7
1
1
1
1
13 7 13 1. 5 1 1 1 1 1 1 5 7 13 5 13 7
Trang 13
Câu 5.
5 2 5 10
a) Ta có A
5 2 5 10
5 2 5 10
3 5 9 3 5 2 3 5 10 1 5 5 2 5 10 5 2 5 10 5 2 1 5 10 1 5 15 5 5 15 5 5 30 10 5 9 3 5 23 5 5 6 2 5 10 1 5 10 1 5 10 1 5 2 5. 5. 5 1 5. 1 5 5 5 1 2
FI
9 3 5 2
CI AL
9 3 5 2 14 6 5
6 2 2 3
2. 4 2 3 2.
3 1
2 3
c) Ta có C
2 2 3
6 2
2 3 3 1 6 2
3 1 3 1
2
2 3
2 2 3
2 2 3
2 3 1
2 2 6 3 3
2 4 2 3
3 1
2 2 6 3 3
2
3 1
6 2
2 2 3 6 2
1.
2 2 3
2 2 2 3
2
6 2
3 1
12 1
2 3 4 2 3
6 2
2 2 3
2 2 2 3
2 2 3 3 1 2 3 1 3 2 2 3
2 2 3 2
2 2 3 2 2 2 3 1
2 3 3 1
3 1
2 2 3
2 4 2 3
DẠ
2
2 3 3 12 1
KÈ M
2 2 3
Y
3 1
6 2
2 3 3
ƠN
2 3 3 12 1
6 2
NH
6 2
2 3 3 13 2 12
Y
2 3 3 13 48
QU
b) Ta có B
OF
2
2
2 3 1
2
2 3 1
3 3 3
2 6 3 3 2 2 6 3 3
3
6 2 2 6 3 6 18 6 2 2 6 3 6 18 6
Trang 14
12 2 2 18 12 2 6 2 2. 6 6
Câu 6.
3 2
1 1
2 3
3 1
2
3 1
2 3
1 1
3 1
3 2
3 2
4 2 3 2 2 4 2 3
4 2 3 2 2 4 2 3
2
3 1
1 2 3
FI
Ta có VT
1
3 1 3 1 1 VP (điều phải chứng minh).
OF
3 2
1
x 2 2x 4 0 . x 1 x 1
Bình phương hai vế ta được
2x 4 4 2x 4 4x 4 x 4 (thỏa mãn điều kiện). x 1
x 3 0 x 3 b) Điều kiện x 3. x 1 0 x 1
NH
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 4.
x3 7 4 x 3 4x 4 x (không thỏa mãn điều kiện). x 1 3
DẠ
Y
KÈ M
QU
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Y
Bình phương hai vế ta được
ƠN
Dạng 4. Giải phương trình chứa căn thức a) Điều kiện
CI AL
Trang 15
CHUYÊN ĐỀ BÀI 5. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
CI AL
Mục tiêu Kiến thức
+ Nắm được cách biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai và các bài toán liên quan. Biết cách đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
+
Biết cách đưa thừa số vào trong dấu căn.
+
Biết cách khử mẫu biểu thức lấy căn.
+
Biết cách trục căn thức ở mẫu.
OF
+
FI
Kĩ năng
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
khi A 0
A B khi A 0
.
NH
A B
A2 B A B
ƠN
Với hai biểu thức A, B mà B 0 , ta có
Đưa thừa số vào trong dấu căn Với hai biểu thức A, B mà B 0 , ta có
QU
Nếu A 0; B 0 thì A B A2 B .
Y
A B A2 B , tức là
Nếu A 0; B 0 thì A B A2 B .
Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Với hai biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0 , ta có
KÈ M
A AB . B B
Trục căn thức ở mẫu * Trường hợp 1:
Y
Với các biểu thức B, C mà B 0 thì
C B
C B . B
DẠ
* Trường hợp 2:
Với các biểu thức A, B, C mà A 0; A B2 thì
C
AB
C
AB
A B2
. Trang 1
* Trường hợp 3:
A B
C
A B A B
.
A B và
Hai biểu thức
A B gọi là hai biểu thức liên hợp với nhau.
FI
C
CI AL
Với các biểu thức A, B, C mà A 0, B 0 và A B thì
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Trang 2
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 1. Đưa thừa số là các số chính phương ra ngoài dấu căn Phương pháp giải
CI AL
Dạng 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Ví dụ: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn a
Hướng dẫn giải
Biến đổi biểu thức lấy căn thành dạng
Khai phương thừa số này và viết kết
FI
32.250 16.2.25.10
OF
b Ta có
một biểu thức.
4.5. 20 20. 4.5
quả ra ngoài dấu căn.
ƠN
20.2. 5 40. 5.
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
b) 1200 .
NH
27 .
c) 162 .
d)
27 9.3 3 3.
QU
b) Ta có 1200 400.3 20 3.
0,9 .
Y
Hướng dẫn giải a) Ta có
32.250.
a Ta có 18 9.2 3. 2.
tích, trong đó thừa số là bình phương của
a)
b
18.
c) Ta có 162 81.2 9 2. d) Ta có
0,9 0,1.9 3 0,1.
a)
27 .
c) 162 .
KÈ M
Ví dụ 2. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
b) 1200 . d)
0,9 .
Hướng dẫn giải a) Ta có
27.6 27.3.2 81.2 9 2.
Y
b) Ta có 14.7 7.2.7 72.2 7 2.
8.45 4.2.9.5 2.3. 2.5 6 10.
DẠ
c) Ta có
d) Ta có 125.10 125.5.2 252.2 25 2.
Trang 3
Bài toán 2. Đưa biểu thức ra ngoài dấu căn Phương pháp giải
18x3 với x 0 .
b
32. x y với x y. 2
Hướng dẫn giải
a 18x3 2x.9x2 3 x 2x 3x 2x vì x 0
trong đó thừa số là bình phương của một biểu thức.
b 32. x y 2.16. x y 2
2
OF
Khai phương thừa số này và viết kết quả
4 x y . 2 4 y x 2 vì x y.
ra ngoài dấu căn.
khi A 0
A B khi A 0
.
Ví dụ mẫu Ví dụ. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn a) 18x với x 0.
Y
2
Hướng dẫn giải a) 18x 9.2x 3 2x .
b)
4x2 y với y 0.
d)
x3 3x2 3x 1 với x 1.
QU
32 2x 3
NH
A B
A2 B A B
ƠN
Chú ý: Dấu của biểu thức
c)
FI
Biến đổi biểu thức lấy căn thành dạng tích
a
CI AL
Ví dụ: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
2x y khi x 0 4 x2 y 2 x y với y 0. 2x y khi x 0
c)
32 2x 3
d)
x3 3x2 3x 1
KÈ M
b)
3 4 2x 3 2 khi x 2 4 2x 3 2 . 4 3 2x 2 khi x 3 2
x 1
3
x 1 x 1 x 1 x 1 với x 1.
Y
2
DẠ
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn a)
48.
b) 1000.
c)
243.
d)
0,4.
Trang 4
Câu 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn a)
27.15.
21.7.
b)
c)
32.45.
d) 125.15.
CI AL
Câu 3: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
36x với x 0
b)
3x4 y2 .
c)
8 x 3 .
d)
x3 3x2 3x 1 với x 1 .
2
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1:
b) 1000 100.10 10 10.
OF
a) 48 16.3 4 3.
FI
a)
1 . 10
243 81.3 9 3.
d)
a)
27.15 81.5 9 5.
b)
c)
32.45 16.2.9.5 144.10.
d) 125.15 625.3 25 3.
C.
0,4 4.0,1 2
a)
36x 6 x .
c)
8 x 3 2 x 3 2.
21.7 3.7.7 3.49 7 3.
NH
Câu 3:
ƠN
Câu 2:
3x4 y2 x2 y 3.
d)
x3 3x2 3x 1
x 1 x 1 3
x 1.
Y
2
b)
Nếu A 0 thì ta nâng A lên lũy thừa
a 3 2. c x x .
b x 2 với x 0 d x
a 3 2 32.2 9.2 18.
A B A2 B (với A 0; B 0 ).
c Điều kiện xác định: x 0
Nếu A 0 thì ta coi A như là A . Ta nâng A lên lũy thừa bậc hai
x . y
Hướng dẫn giải
b x 2 x 2 2 x 2 .
DẠ
Ví dụ: Đưa thừa số vào trong dấu căn
bậc hai rồi viết kết quả vào trong dấu căn:
Y
KÈ M
Phương pháp giải
QU
Dạng 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn
x x x 2 .x x 3 .
Trang 5
rồi viết kết quả vào trong dấu căn.
d Điều kiện xác định:
Còn dấu " " vẫn để trước dấu căn:
x 0. y
x x x3 x2 . y y y
x
CI AL
Trường hợp 1: x 0, y 0, ta có
A B A2 B (với A 0; B 0 ).
Trường hợp 2: x 0, y 0, ta có
OF
FI
x x3 2 x x x . y y y Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Đưa thừa số vào trong dấu căn c) 2
b) 3 6.
Hướng dẫn giải a) 4 5 42.5 16.5 80.
d) 0,6 10.
NH
b) 3 6 32.6 9.6 54. c) 2
1 . 8
ƠN
a) 4 5.
1 1 1 1 22. 4. . 8 8 8 2
Y
d) 0,6 10 0,62.10 0,36.10 3,6.
a)
QU
Ví dụ 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
x y . . y x
c) x2
1
x
.
b) x d) x
3
x 9
x
. .
KÈ M
Hướng dẫn giải
2 y x y x y 0 . Ta có . a) Điều kiện xác định: x y x y x y 0
Y
b) Điều kiện xác định: x 0 . Ta có x
DẠ
c) Điều kiện xác định: x 0 . Ta có x2 d) Điều kiện xác định: x 0 . Ta có x
3
x 1
x
x2 . x4 .
9
x
3
x
1
x
x2 .
x2 y x . 2 y yx
3x .
x3 . 9
x
9x .
Trang 6
Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn c) 6
b) 3 2.
1 . 3
d) 0,1 20.
Câu 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn b) x
3
x
3
c) x2
.
1
x
3
.
d)
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
OF
Câu 1: a) 2 5 4. 5 20.
b) 3 2 9. 2 18.
1 1 36. 12. 3 3
d) 0,1 20 0,01. 20 0,2.
ƠN
c) 6 Câu 2:
a) Điều kiện xác định
y 0. x
y y x4 . x3 y . x x
NH
x2 .
3
x
3
3
x2 .
x
3
3
x
.
x2
1
x
3
x4 .
1
x3
x.
QU
c) Điều kiện xác định x 0
Y
b) Điều kiện xác định x 0
x
x 9 . 3 x
FI
y . x
a) x2 .
CI AL
a) 2 5.
d) Điều kiện xác định x 0
KÈ M
x 9 x2 9 . x. 3 x 9 x
Dạng 3: Khử mẫu của biểu thức lấy căn
DẠ
Y
Phương pháp giải Ví dụ: Khử mẫu của biểu thức lấy căn a
2 . 5
b
11 . 3x
Trang 7
Hướng dẫn giải
A.B 0; B 0 , ta có
a
2 2.5 10 10 . 5 5.5 25 5
b Điều kiện x 0 .
A AB . B B
FI
11 11.3x 33x . 2 3x 3 x 3 x
Ví dụ 1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn sau
5 . 2
b)
11 . 72
c)
1 . 8
b)
11 11.2 22 22 . 72 72.2 144 12
c)
1 2 2 . 8 16 4
d)
1 5 5 . 20 100 10
D.
x 2y3
NH
5 10 10 . 2 4 2
1 . 20
Y
a)
d)
ƠN
Hướng dẫn giải
OF
Ví dụ mẫu
a)
CI AL
Vận dụng công thức: Với hai biểu thức A, B mà
1 . 2x
A.
B.
Hướng dẫn giải
QU
Ví dụ 2. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
11
x
3
.
C.
1 . 8x
1 2x
KÈ M
a) Điều kiện xác định: x 0 . 2x
2x
2
2x . 2x
b) Điều kiện xác định: x 0 .
x
3
11x
x
4
Y
11
11x
x2
.
DẠ
c) Điều kiện xác định: x 0 . 1 2x 2x 2x . 2 8x 4x 16x 4x
Trang 8
2xy x x.2y . 3 4 2y 4y 2 y2
Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn
11 . 50
b)
c)
1 . 128
c)
1 . 7x
d)
1
x
.
11
b)
x3 y
. 2
OF
Câu 2: Khử mẫu của biểu thức lấy căn a)
3 . 20
FI
5 . 3
a)
CI AL
x 0 hay x.y 0 hoặc x 0. y3
d) Điều kiện xác định:
d)
3x2
y
.
Câu 1: a)
5 15 . 3 3
c)
1 2 2 . 128 256 16
d)
a) Điều kiện xác định: x 0
x . x
QU
x
3 15 15 . 20 100 10
Y
Câu 2:
1
11 22 22 . 50 100 10
NH
b)
ƠN
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
b) Điều kiện xác định: x 0; y 0. 3 2
xy
11x 4 2
xy
11x
x2 y
.
KÈ M
11
c) Điều kiện xác định: x 0 1 7x 7x . 7x 7x 7x
Y
d) Điều kiện xác định: y 0
3x2
3x2 y
DẠ
y
y
2
x y
3y .
Trang 9
Dạng 4: Trục căn thức ở mẫu
C
với B > 0
B
CI AL
Bài toán 1: Biểu thức dạng Phương pháp giải
Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau
5
.
1
c
x 1
.
C B
C B . B
3
a
5
1 2 2
d
3
2
2 x
.
.
3 5 . 5
1 2
ƠN
b
1 2
OF
Hướng dẫn giải Với các biểu thức B,C mà B 0 thì
b
FI
3
a
2
2
22 . 2
NH
c Điều kiện xác định: x 1
1
x 1
x 1 . x 1
d Điều kiện xác định: x 0 .
Y
3
QU
2 x
Ví dụ mẫu
3 x . 2x
Ví dụ 1. Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau
1 2
.
11
KÈ M
a)
b)
72
.
c)
2 8
.
d)
5 2 2
.
Hướng dẫn giải
1
2
2 . 4
11
Y
a) Ta có
72
DẠ
b) Ta có c) Ta có
2 8
11 2 72.2
2 2 8.2
11 2 144
2 2 16
11 2 . 12
2 2 2 . 4 2
Trang 10
5
d) Ta có
2 2
5. 2 10 . 2.2 4
3
.
b)
Hướng dẫn giải a) Ta có
1 3 3
11 18x
.
1 3 . 3 3
2
c)
xy
.
33 . 3
b) Điều kiện xác định : x 0 . 18x
11 2x 36x
2
11 2x . 6x
xy
2 x y . xy
5. 2x 1 . 2x 1
Bài toán 2: Biểu thức dạng
A ±B
KÈ M
Phương pháp giải
C
với A 0; A B2
Y
QU
2x 1
NH
1 d) Điều kiện xác định : 2x 1 0 x . 2
5
Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau a c
3 5 1 1
x 1
.
b
1 2
.
d
x 3
Y
C
AB
A B2
DẠ
AB
.
2 1
.
x 2
.
Hướng dẫn giải
Với các biểu thức A, B, C mà A 0; A B thì
C
.
ƠN
c) Điều kiện xác định : x y 0 .
2
2x 1
OF
11
5
d)
FI
1 3
a)
CI AL
Ví dụ 2. Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau
2
a Ta có
3 5 1
3
3
5 1
51
2
.
5 1 4
b Ta có
1
2 1 2
2 1
2 1
2
1 2 2 2 3 2 2. 1
Trang 11
Ta có
1
x 1
x 1 . x 1
CI AL
c Điều kiện xác định: x 0; x 1.
d Điều kiện xác định: x 0 , ta có
x 3
x 3 .
x2
2
Ví dụ 1. Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau
1 2 1
.
11
b)
2 1
.
c)
c)
2 1
2 2 1
d)
53
2 2 1 2 2 1
11
2 1
2 1
8 1 5 1
11
2 1 .
2 2 1
2
81
5 1 .
5 3
2 2 1 8 1
.
d)
5 1 53
.
9 4 2 . 7
8 4
53 2
.
NH
11
b)
x4
Y
2 1
2 1 2 1. 2 1
5
2 5.
QU
1
x 6
ƠN
Hướng dẫn giải a)
x5
OF
Ví dụ mẫu
a)
x 2
FI
x 2
4
Ví dụ 2. Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau
x 2
.
b)
11
x 1
.
KÈ M
1
a)
c)
2 x 1
x 1
.
d)
x 1 x 3
.
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định : x 0, x 4
1
x 2
x 2 . x4
Y
b) Điều kiện xác định : x 0, x 1
x 1
11
DẠ
11
.
x 1
x 1
c) Điều kiện xác định : x 0, x 1
Trang 12
2 x 1
x 1
2
x 1 .
2x
x 1
x 1
x 2 x 1 2x x 1 . x 1 x 1
x 3
x 1 .
x
x 3
x9
Bài toán 3: Biểu thức dạng
C A± B
x 3 x 3 x4 x 3 . x9 x9 với A, B 0; A B
FI
x 1
CI AL
d) Điều kiện xác định : x 0, x 9
Phương pháp giải
b
3 5 2
.
1 3 2 1
.
ƠN
a
OF
Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau
Hướng dẫn giải Với các biểu thức A, B, C mà A 0; B 0 và A B thì
A B
C
A B A B
.
A B và
Hai biểu thức
A B gọi
5 2
3
5 2
DẠ
5 2
3
5 2
3
5 2. b
1 3 2 1
3 2 1
3 2
1 2
3 2 1
4 2 6
3 2 1 4 2 6
42 2 6
2
4 3 6 2 4 3 4 2 4 2 6 8
2 2 4 2 6 8
Y
KÈ M
QU
là hai biểu thức liên hợp với nhau.
Y
C
3
NH
a
2 2 6 . 4
Trang 13
Ví dụ mẫu
b)
c)
1 5 3
.
3 2
.
3 2 2
3 2 1
FI
a)
CI AL
Ví dụ 1. Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau
.
3 2 3 2
2 3 2 1
3 2
2
3 2 3. 2 2 5 2 6.
3 2
2
3
2
2
3 2 1
2 1
2
3 2 1 2 2
3 3 3
b)
1 5 5
KÈ M
.
3 2 1 . 2
QU
Câu 1: Trục căn thức ở mẫu
3 2 1
3 2 2.1. 2 1
Bài tập tự luyện dạng 4
a)
ƠN
c)
5 3
5 3 5 3 . 5 3 2
NH
b)
1
Y
a)
OF
Hướng dẫn giải
.
c)
.
c)
2
x 1
.
d)
5 2x 4
.
Câu 2: Trục căn thức ở mẫu a)
1 3 1
.
b)
5
5 1
3 2 1 2 1
.
d)
7 1 73
.
Câu 3: Trục căn thức ở mẫu
1
x 1
.
b)
Y
a)
11
2 x 3
.
c)
2 x 3
x 2
.
d)
2 x 1
x 3
.
DẠ
Câu 4: Trục căn thức ở mẫu a)
1
5 2
.
b)
5 2 5 2
.
c)
6 5 2 3
.
d)
2 10 7 2 5
.
Trang 14
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
a)
b)
3 3
3 1 5
3 3 . 3 3 3 3 3
5
5
5
3 1.
3
1 5 .
CI AL
Câu 1:
55 . 5
x 1
2 x 1 . x 1
OF
2
FI
c) Điều kiện xác định: x 1
5 2x 4
5. 2x 4 10x 20 . 2x 4 2x 4
3 1 . 2
Câu 2:
3 2 1 2 1
3 2 1
7 4
2 1
2 1
Câu 3:
x 1
x 1 . x 1
5 1
d)
7 1
73
5 5 . 4
7 1 .
7 32
5 2
73
7.
QU
a) Điều kiện xác định: x 0, x 1.
1
2.
5
NH
c)
3 1
b)
Y
1
a)
ƠN
d) Điều kiện xác định: x 2
11 2 x 3
KÈ M
9 b) Điều kiện xác định: x 0, x . 4
.
11. 2 x 3 4x 9
c) Điều kiện xác định: x 0, x 4.
2
DẠ
x 2
x 3 .
Y
2 x 3
x 2
x4
2x
x 6
x4
.
d) Điều kiện xác định: x 0, x 9. 2 x 1
x 3
2
x 1
x9
2x 7
x 3
x 3
x9
.
Trang 15
d)
2
5 2
5 2 5
5 2 2 10 7 2
2
5 2
5 2 6
7 2 10 . 3
5 2 3 6 5 2 3 5 2 3 . 2 3 2 6 5 2 3 2 10. 7 2 5 2 10. 7 2 5 7 2 5 . 5 2 10 7 2 5
6
2
2
FI
c)
5 2 . 3
OF
b)
1
2
2
ƠN
a)
CI AL
Câu 4:
Dạng 5. So sánh hai số Phương pháp giải
NH
Ví dụ: Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh
QU
Y
a 5 6 và 6 5.
Thực hiện các phép biến đổi đơn giản biểu
thức chứa căn bậc hai rồi so sánh hai kết quả.
KÈ M
Chú ý: Sử dụng tính chất:
DẠ
Y
Nếu A B 0 thì
A B
b
2
và
5
5 2 2
.
Hướng dẫn giải a Ta có 5 6 25.6 150
và 6 5 36.5 180. mà 180 150 nên 180 150 6 5 5 6. Vậy 6 5 5 6. b Ta có
Mà
Vậy
2 5
4 32 5 5 25 và . 5 40 8 40 2 2
32 25 nên 40 40
2 5
5 2 2
32 25 2 5 . 40 40 5 2 2
.
Trang 16
Ví dụ mẫu Ví dụ. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần 1 2 12; 18. 2 3
CI AL
69; 6 2;
Hướng dẫn giải So sánh hai số âm 69 và 6 2 .
Vì 69 và 6 2 là hai số âm nên 6 2 là số bé nhất. 1 2 12; 18. 2 3
So sánh hai số dương
OF
72 69 72 69 6 2 69.
Vì 72 69 nên
8 3
Vì 8 3 nên
Vậy 6 2 69
ƠN
1 1 12 2 4 4.18 12 . 12 3 và 18 . 18 8. 2 4 4 3 9 9 1 2 12 18 . 2 3
1 2 12 18. 2 3
NH
Ta có
FI
Ta có 6 2 36.2 72 .
Bài tập tự luyện dạng 5
Y
Bài tập cơ bản
a)
1 2
2
và
5
QU
Câu 1: Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh .
KÈ M
c) 2 22 và 3 10 Câu 2: Cho A
1
1
1
2
1
3
1
100
b) 3 5 và 4 2 . d)
5 1 2 và 11 4 2
. So sánh A với 10.
Bài tập nâng cao
Y
Câu 3: Chứng minh
DẠ
Câu 4: Chứng minh
1
1
2 1 3 2 1
2 11 2
1 4 3
1 3 22 3
1 2019 2020
2. 1
100 99 99 100
1.
Trang 17
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1:
4 1 nên 5 2
1
Vậy
2
4 1 . 5 2
2
CI AL
Vì
2
1 2 4 và . 2 5 5
5
.
FI
1
a) Ta có
45 32 .
Vì 45 32 nên Vậy 3 5 4 2.
ƠN
c) Ta có 2 22 4.22 88 và 3 10 9.10 90
88 90 88 90
Vì 88 90 nên
Vậy 2 22 3 10.
5 25 25 1 1 11 22 và 2 2 11 . 11 . 4 16 8 2 4 4 8
NH
d) Ta có
5 1 2 11. 4 2
Vậy
1
1 100
;
1 2
1 100
;
1 3
1
100
1
;...;
100
QU
1
Y
Câu 2: Ta có
OF
b) Ta có 3 5 9.5 45 và 4 2 16.2 32 .
1 100
.
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức và đẳng thức trên, ta được:
1
1 2
Vậy A 10.
1
1
1
KÈ M
1
3
...
100
100
1 100
1
100
...
1 100
100 100
10.
Bài tập nâng cao Câu 3:
1
Y
1
2 1 3 2
DẠ
Đặt A
1 4 3
...
1 2019 2020
Trước hết, ta xét số hạng tổng quát
1
k 1
k
. ( k 1 ), ta có
Trang 18
1
k 1
k
1 1 1 1 1 1 k k k k 1 k 1 k k 1 k k 1 k
k
CI AL
1 k 1 1 1 1 2 k 1 k k 1 k k 1 Ta được
1 1 2 ; 2 1 1 2
FI
1
1 1 2 ; 3 2 3 2
OF
1
1 1 2 . 2019 2020 2020 2019 1
1
1
2 1 3 2
1 4 3
ƠN
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được
1 1 1 1 1 1 2 ... 2019 2020 2 2 3 2019 2020 1 1
NH
1 A 2 1 2. 2020 Vậy A 2. Câu 4:
2 11 2
1 3 22 3
...
1
Y
1
100 99 99 100
QU
Đặt B
Xét số hạng tổng quát (với mỗi số tự nhiên k 1 )
k 1
k k k 1
k 1
k k k 1
KÈ M
1
k 1 k k k 1 . k 1 k k k 1
k 1 k k k 1 k 1 k k k 1
k 1 k k k 1 k k 1 k k 1 2
DẠ
2
Y
2
2
k 1 k k k 1 k k 1 k 1 k Trang 19
k k k 1
k k 1
k 1 k k k 1 k k 1 k k 1 1
k
1
k 1
.
Với mỗi số tự nhiên k 1 , ta có
1
k 1
k k k 1
1
k
1 3 22 3
1 1
1
2
2
;
1 3
;
100 99 99 100
1 99
1 100
.
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được
1 1 1 1
1 2
1
1 100
2
1 3 22 3
1
1 3
...
1 9 . 10 10
... 1
1
100 99 99 100
1
Y
2 11 2
QU
1
B
.*
NH
.....................................
1
k 1
ƠN
2 11 2
1
1
OF
Áp dụng công thức * , ta có
1
CI AL
k 1
FI
99
100
KÈ M
Vậy B 1. Điều phải chứng minh. Dạng 6: Rút gọn biểu thức
DẠ
Y
Phương pháp giải
Thực hiện các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai rồi thu gọn các căn thức đồng dạng hoặc rút gọn các thừa
Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau 200 50
1 128 2
Hướng dẫn giải Ta có
200 50
1 128 2
số chung ở tử và mẫu. Trang 20
1 10 2 5 2 .8. 2 2
10 2 5 2 4 2 9 2.
FI
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức sau
80 180 720.
48
b)
Hướng dẫn giải
ƠN
80 180 720
a) Ta có
16.5 36.5 144.5 4 5 6 5 12 5 10 5. 1 1 192 243 2 3
NH
48
b) Ta có
1 1 64.3 81.3 2 3
16.3
QU
3 3.
Y
4 34 33 3
1 1 192 243. 2 3
OF
a)
CI AL
1 2.100 2.25 . 64.2 2
Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau
b) 5
2 2 2 3 15 . 9 25 81
KÈ M
2 5 a) 10 . 5 2 Hướng dẫn giải
2 10 5 10 7 10 a) 10 7 10. 10 10. 5 5 2 2 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 15 5. 3. 15. 5. 3. 5. . 9 25 81 3 5 9 3 5 3 5
DẠ
Y
b) 5
Bài tập tự luyện dạng 6
Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) 112 3 175 252
b)
99
1 1 176 275 4 5
Trang 21
2 3 c) 6 3 2
d) 3
5 1 5 5 9 9 125 81
b) B
2 3 2 3 2 3 2 2 3 1
5 2 6 49 20 6
2 3 là số nguyên.
5 2 6
là số nguyên.
9 3 11 2
FI
a) A
CI AL
Câu 2: Không sử dụng máy tính hãy chứng minh
Câu 3: Tính:
1 2 1 1 2
1 2 3 1 2 3
1
...
99 100 1
3 4
. 1
...
50 51
OF
b)
1
.
ƠN
a)
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NH
Câu 1:
a) 112 3 175 252 4 7 15 7 6 7 5 7. b)
99
1 1 176 275 3 11 11 11 3 11. 4 5
d) 3
QU
Y
2 6 3 6 c) 6 6. 5 6. 3 3 2 2
5 1 5 5 5 5 9 5 5 . 9 125 81 5 5
KÈ M
Câu 2:
a) Ta có A
DẠ
3 1
2 3 2 3 1 1 2
Y
2 3 2 3 2 3 2 2
2
3 1
2
3 1
2 1 2 1
3 1
2 1
2 3
2
2 3
2 3
Trang 22
2
3 1 3 1
3
2 3 2 2 3
CI AL
3 1
3 1
2 3 2 6 2 3 3 1 4 34
FI
2
3 1 4
4.
3 1 3 1
OF
3 2
3 2 3 2 49 20 6
2
3 2 49 20 6
QU
2
Y
9 3 11 2
9 3 11 2
49 3 49 2 20 18 20 12
KÈ M
9 3 11 2
49 3 49 2 60 2 40 3 9 3 11 2
9 3 11 2
Y
9 3 11 2
1
1 2
3 2
9 3 11 2
DẠ
49 20 6
a)
2
3 2
5 2 6
9 3 11 2
Câu 3:
5 2 6 49 20 6
NH
b) Ta có B
ƠN
Điều phải chứng minh.
1 (Điều phải chứng minh).
1
2 3
2 1
2 1
2 1
...
1 99 100
.
3 2 3 2
3 2
...
100 99 100 99
100 99
Trang 23
2 1 3 2 100 99 ... 2 1 3 2 100 99
CI AL
2 1 3 2 ... 100 99 100 1 10 1 9.
2 3
1 2 1 2
1 2
1 3 4
...
1 50 51
2 3 2 3
2 3
1 2 2 3 3 4 50 51 ... 1 2 23 3 4 50 51
1 2 2 3 3 4 50 51 ... 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 ... 50 51
3 4 3 4
3 4
...
50 51
50 51
50 51
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
51 1.
.
FI
1
OF
1 2
ƠN
1
b)
Trang 24
BÀI 6. CĂN BẬC BA Mục tiêu
CI AL
Kiến thức + Nắm được định nghĩa căn bậc ba của một số + Nắm vững quan hệ so sánh các căn bậc ba +
Tìm được căn bậc ba của một số
+
Biết so sánh các căn bậc ba
+ Giải được phương trình
3
FI
Kĩ năng
x a.
OF
+ Giải được phương trình x3 a . I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 a . Căn bậc ba của số a được kí hiệu là
3
a . Mỗi
số đều có duy nhất một căn bậc ba .
Căn bậc ba của số dương là số dương
Căn bậc ba của số âm là số âm
Căn bậc ba của số 0 là chính số 0
NH
Chú ý
Nhận xét
Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có
a
3
3 a 3 a.
Y
3
a b 3 a 3 b. 3 a.b 3 a . 3 b 3
a 3a b 3b
DẠ
Y
KÈ M
Với b 0 , ta có
QU
Tính chất
ƠN
Căn bậc ba
Trang 25
OF
FI
CI AL
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
ƠN
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm căn bậc ba của một số Phương pháp giải
thức nhờ hằng đẳng thức
3
Ví dụ: Tính:
NH
Khai căn bậc ba của một số, một biểu
a) 3 8 3 23 2
A3 A .
3
5x
3
5x
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tính:
QU
Y
b) 3 125 x3
3
27
b)
3
64
c)
3
0,343
d)
3
0, 216
e)
3
1 512
f)
3
1 1331
KÈ M
a)
Hướng dẫn giải a) Ta có
3
27 3 33 3.
b) Ta có
3
64
c) Ta có
3
343 3 7 7 0,343 . 1000 10 10
3
4
3
4.
DẠ
Y
3
3
3
216 3 3 3 . 1000 5 5
d) Ta có
3
0, 216
e) Ta có
3
1 1 1 3 . 512 8 8
3
3
Trang 26
3
1 1 1 3 . 1331 11 11
3
CI AL
f) Ta có
Ví dụ 2. Rút gọn a)
3
512a
3
b)
3
x3 125
c)
3
x5 với x 0. 64 x 2
Hướng dẫn giải 3
3
512a 3
b) Ta có
3
x3 x x 3 . 125 5 5
c) Ta có
3
3
8a.
FI
8a
a) Ta có
OF
3
3
Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Tính 3
3
3 3 9 . 4 16
b)
3
54 2
d) 3 1000 3 512 2 3 64
3
8a 6
c)
3
e)
3
1331x3 y 6 với x 0 8 x9
Câu 1: 3
3
54
DẠ
b) Ta có c) Ta có
8
e)
3
1, 25. 3 0,5. 3
b)
3
0,512x9
d)
3
64 với b 0 343b 6
f)
3
27x 2 y 4 với x 0, y 0 x5 y
16 10
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
3 3 9 3 3 9 3 27 3 27 3 . . . 4 16 4 16 64 3 64 4
Y
a) Ta có
KÈ M
y6 729
QU
Y
Câu 2: Rút gọn a)
13 2 27 3 125 3 5
3
c)
NH
a)
ƠN
x5 x3 3 x x 3 . 2 64 x 64 4 4
3
2
3
8
3
54 3 27 2
3
3
3
3.
13 2 1 2 27 3 125 2 . 3 .5 2 1 2 5. 3 5 3 5
Trang 27
d) Ta có 3 1000 3 512 2 3 64 3 103 3 83 2 3 4 10 8 2. 4 10. 3
1,25. 3 0,5. 3
a) Ta có
3
8a6
b) Ta có
3
16 3 16 1,25.0,5. 3 1 1. 10 10
CI AL
3
e) Ta có Câu 2:
3
2a 2
3
2a2 . 3
512x9 3 64x9 3 4x3 4x3 0,512x 3 . 1000 125 5 5 3
OF
y2 y2 c) Ta có 3 3 . 729 9 9
y6
3
3
e) Ta có
3
1331x3 y6 3 1331y6 3 11y2 11y2 2 . 8x9 8x6 2 x2 2x
f) Ta có
3
x5 y
3
27y3
x3
3y 3y . x x
QU
KÈ M
Áp dụng công thức: 3
a a; 3
3
a
3
Y
a 3 3a 2b 3ab 2 b3 ;
DẠ
a b
3
3
a 3 3a 2b 3ab 2 b3 ;
a 3 b3 a b a 2 ab b 2 ;
a b a b a ab b . 3
3
2
Ví dụ. Thực hiện các phép tính sau a)
3
b)
3
2 1 3 2 2 . 93634
3
3 3 2 .
Hướng dẫn giải a)
3
a.
Áp dụng: Các hằng đẳng thức:
a b
3
Y
Dạng 2: Thực hiện phép tính Phương pháp giải
3
NH
3
ƠN
d) Ta có
4 64 4 3 2 2. 6 343b 7b 7b
27x2 y4
FI
9
2 1 3 2 2
=
3
2 1 2 2 2 1
3
2 1
3
2 1
2 1
2
3
2 1
2
Trang 28
3
3
93634
3
3 3 2
3
2
3
3 3 2
3 3. 3 2
3 2 5
Ví dụ mẫu
c)
4 2 3 3
3
4 1
3 1 . 3
b)
3
3
4 1 .
3
3 2
3 1
2
3 1
3 1
3 1
3
3 1
3
3 1
ƠN
4 2 3
3
3
3
3
4 1
3
2.
3
4 1
4 3
2
3
4 1
2 3 4 1
4
3
4 1
3
3 53 3 63 4 5 6 3
3
4 1 .
2. 3 3 16 1
3
2
4 3
3
4 1 .
3
Y
c)
64 3 125 3 216
4
4 1
3
2 4 1
QU
3
NH
3 1. b)
2
64 3 125 3 216 .
Hướng dẫn giải a)
3
OF
3
2
FI
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau a)
CI AL
b)
2
1
3
2
2 3 4 1
KÈ M
12 3 2 2
Ví dụ 2. Tính A 3 17 5 38 3 17 5 38 Hướng dẫn giải Nhận xét:
3
17
5 38 . 3 17 5 38 1.
Y
a3 b3 76 Đặt a 3 17 5 38; b 3 17 5 38 , ta có a.b 1
DẠ
Xét a b a 3 3a 2b 3ab 2 b3 a 3 b3 3ab(a b) 3
A3 76 3 A A3 3 A 76 0 A 4 ( A2 4 A 19) 0 2 ( A 4) A 2 15 0
Trang 29
A4 0 A4
CI AL
Vậy A 3 17 5 38 3 17 5 38 =4. Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Tính giá trị của biểu thức sau 3
3 3 2
3
2 3
c) 3 162. 3 2. 3
b)
d)
3
3
533 .
1 b) 12. 3 2 3 16 2. 3 2 . 5. 3 4 3. 3 2
3.(5 3 18 3 144) 3 5. 3 50
Câu 3:Tính
c) C
4 3 22 3 4 3 2 1
3
b) B 3 3 3 10 6 3
42 3 3
10 6 3
Câu 4: Thực hiện phép tính sau
b) A 3 9 4 5 3 9 4 5
QU
c) C 2 3 . 3 26 15 3
Y
a) A 3 2 5 3 2 5
NH
a) A
ƠN
3
25 3 15 3 9
1 1 2 : 3 16 3 22 : 3 53 2 3
Câu 2: Rút gọn biểu thức: a)
3
FI
OF
a)
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
Câu 2: a) 14 3 2. Câu 3:
3
3 3 2 .
4 3 22
Y
a) A
3
4 2 1 3
DẠ
3
3
4 3 2 38 3
4 2 1 3
1 d) . 4
c) 6.
b) 2.
KÈ M
a) 5 33 6.
b) 84.
3
2.
3
3
4 3 2 1
4 2 1 3
3
2.
b) B 3 3 3 10 6 3 . Ta có : 3 10 6 3 3 1 B 3 1. c) C
4 2 3 3 1
3 1
3 1
2
3 1. Trang 30
Câu 4:
3
1 5 1 5 3 3 2 2
CI AL
a) A 3 2 5 3 2 5 3
1 5 1 5 2 2
FI
1.
3
3 5 3 5 2 2
3.
3
ƠN
3
3 5 3 5 3 3 2 2
OF
b) B 3 9 4 5 3 9 4 5
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
QU
Y
Phương pháp giải
+) Khai triển rút gọn một vế sao cho bằng vế
KÈ M
còn lại, hoặc rút gọn cả hai vế của đẳng thức đưa về cùng một biểu thức.
+) Vận dụng các phép biến đổi căn bậc ba khi rút gọn biểu thức: A B A B 3
3
3
2 3 2 3 1. 3
NH
c) Ta có 26 15 3 2 3 nên C 2 3 . 3 2 3
Ví dụ. Rút gọn biểu thức sau
A
Y
A3 B A 3 B
DẠ
(Đưa biểu thức, thừa số ra khỏi căn). 3
A 13 AB 2 B 0 . B B
x4 3 x2 y 2 3 y 4 3
x 2 3 xy 3 y 2
.
Hướng dẫn giải Đặt
3
x a; 3 y b.
a 4 a 2b 2 b 4 Suy ra A 2 a ab b 2
a
(Đưa biểu thức, thừa số vào trong căn). 3
3
2
b 2 a 2b 2 2
a 2 ab b 2 a 2 ab b2 a 2 ab b2
a 2 ab b 2 a 2 ab b 2 3 x 2 3 xy 3 y 2
Trang 31
Ví dụ. Chứng minh
8 x 2 3 x
3 2 3 x 2 3 x 3 x2 4 :2 x 2 . 3 2 3 3 3 2 x x 2 x 2 x
với x 8; x 0. Hướng dẫn giải
y2 2 y y2 4 :2 y 2 y y 2 y2 2 y
2 y 4 2 y y2
4 2 y y2 y 2 y 2 . y 2 : . 2 y y2 y. y 2
2 y
2 y 4 2 y y2 2 y
.
OF
8 y3 2 y
2 y y 4 2 y y2
ƠN
VT
2 y y 2.
NH
Vậy đẳng thức được chứng minh. Bài tập tự luyện dạng 3
3
3 8 3 5 3 64 12 20 3 9 2 2 93 9 . 8 3 5 ; y 3 3 57 3 4 2 4 2 3 81
QU
Câu 2: Cho x
2 6 xy .Tính giá trị biểu thức ; y P x y 23 2 2 3 4 23 2 2 3 4
Y
Câu 1: Cho x
FI
Đặt y 3 x y 0 .
CI AL
Ví dụ mẫu
Tính giá trị của biểu thức Q x. y.
KÈ M
x 3 x 2 x 3 y 3 x 2 y 2 3 x 2 y 3 xy 2 1 . 3 Câu 3: Rút gọn biểu thức P 3 2 3 y 3 x2 3 xy x x
Câu 4: Chứng minh rằng, nếu ax3 by 3 cz 3 và
1 1 1 1 thì x y z
3
ax 2 by 2 cz 2 3 a 3 b 3 c .
Câu 5: Chứng minh đẳng thức 1 2
3
DẠ
x3 y3 z
Y
x y z 3 3 xyz
3
x3 y
2
3
y3 z
2
3
2 z 3 x .
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Ta có
x
2. 4 2 4 2 2 . 2 2 2 4 4 2
2.
3
4
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3 4 3 2;
Trang 32
3
3
4
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4 2
4 2 . 4 2 x.y Suy ra P 3 x y 43 2 3 4 3 2
3
3
3
3 4 3 2.
3
3
2
3
3
CI AL
y
6. 4 2 4 2 2 . 2 2 2 4 4 2
6.
2
3
3
2. 4
4 1 . 2
Câu 2:
3
57
33 8 3 5 8 3 5 3
y
3
9 2
3
3 4 2
3 19 3
3
57
.3 8 3 5
2 93 9 4
2 3 81
3
57
3 4 2
3
3
3
8 3 5 23 8 3 5 3
9.
3
3 4 2
3 4 2
Q x.y 12. Câu 3:
x a; 3 y b.
a4 2a3b a2b2
a2 ab
4
2 33 3
4
2 33 3
a2b ab2 1 . a b a2
QU
P
2 33 3
Y
3
4
NH
3 3 4 2 4 2 33 3 4 3 3 .
Đặt
57
.3 8 3 5
OF
8 3 5 3 64 12 20
ƠN
3
x
FI
Ta có
a2 ab 2 ab a b 1 2 . a b a2 a ab
a1 1.
KÈ M
a2 ab ab .
Vậy P 1. Câu 4:
2
Y
Đặt ax3 by3 cz3 t a
t t t ;b 3 ;c 3 . 3 x y z
DẠ
Ta có VT 3 ax2 by2 cz2
VP 3 a 3 b 3 c 3
3
1 1 1 t 2 t 2 t 2 .x 3 .y 3 .z 3 t. 3 t . 3 x y z x y z
3 t t 3 t t 3 t 3 t 3 1 1 1 3 3 t . t . x y z x3 y3 z3 x y z
Trang 33
Vậy VT=VP (đẳng thức được chứng minh). Câu 5:
1 . 2
3
3
x3 y3 z .
3
x2 2. 3 xy 3 y2 3 y2 2. 3 yz 3 z 3 z 2. 3 zx 3 x2
x 3 y 3 z . 2 3 x2 2 3 y2 2 3 z 2 3 xy 2 3 yz 2 3 zx
CI AL
1 2
VP .
2 3 xyz 3 x2 z 2 3 zy2 2 3 z3 2 3 xyz 2 3 yz2 2 3 xz2 )
OF
x y z 33 xyz VT. Vậy đẳng thức được chứng minh.
Dạng 4: So sánh các căn bậc ba
ƠN
Phương pháp giải
FI
1 . 2 3 x2 2 3 xy2 2 3 xz 2 3 x2 y 2 3 xyz 2 3 x2 z 2 3 x2 y 2 3 y3 2 3 yz 2 3 xy2 2 3 y2 z 2
Ví dụ. So sánh
23 3 18 và 3 12 3 4
NH
a)
b) 3 130 1 và 3 3 12 1 Hướng dẫn giải
DẠ
Y
KÈ M
QU
ab 3 a 3 b
Y
Chú ý tính chất:
3
2 2 a) Ta có 3 18 3 .18 3 3 3
16 3 1 5 3 3 3
3 3 Và 3 12 3 .12 4 4
3
81 3 1 5 16 16
1 1 Vì 5 5 3 16
Vậy
23 3 18 > 3 12 3 4
b) Ta có 3 130 1 3 125 1 6 Và 3 3 12 1 3 27.12 1
3 324 1 3 343 1 6 Vậy 3 130 1 3 3 12 1 . Trang 34
Ví dụ mẫu 3
5 2 và
53 2
CI AL
Ví dụ 1. So sánh Hướng dẫn giải
Đặt a 3 5 2 ; b 5 3 2
2
5 2 a a 50; 5 2 5 2 b b 250 . 3
3 2
5 2 3
2
6
2 3
3
FI
3
6
Do đó b 6 a 6 b a Vậy
53 2 > 3 5 2
ƠN
Ví dụ 2. So sánh A 3 20 14 2 3 20 14 2 và B 2 5 Hướng dẫn giải Ta có A 3 20 14 2 3 20 14 2 3
2 2
3
3 2 2
3
NH
OF
b
Ta có a 3
2 2 2 2
4
Lại có 4 5 4 5 2 4 2 5 4 2 5
QU
Y
Vậy A B . Bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1: So sánh
KÈ M
a) A 2 3 3 và B 3 23
b) A 33 và B 3 3 133
c) A 5 3 6 và B 6 3 5 Câu 2: So sánh
a) 3 124 3 7 3 26 và 10 3
3
29 3 65 3 8 và 5
2011 3 2013 và 2 3 2012 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
DẠ
Y
Câu 3: So sánh
b)
Câu 1:
a) A 2 3 3 3 8.3 3 24 3 23 nên A B b) A B c) A B Trang 35
Câu 2: a) 3 124 3 7 3 26 3 125 3 8 3 27 5 2 3 10. 3
29 3 65 3 8 3 27 3 64 3 8 3 4 2 5.
CI AL
b)
a3 b3 3 2012 3 2 Đặt 3 2011 a; 3 2013 b 3 a b3 3 3 2 2012 .8 3 4 a3 b3 2
3
2
OF
Xét 4. a3 b3 a b 3. a b . a b 0 3 4 a3 b3 a b. Vậy 2 3 2012 3 2011 3 2013.
ƠN
Dạng 5: Giải phương trình cơ bản
FI
Câu 3:
Phương pháp giải
Ví dụ. Giải phương trình
NH
a) 3 1000 x 3 64 x 3 27 x 15. b) 2 3 27 x
13 343 x 3 729 x 2. 7
Hướng dẫn giải
Y
Vận dụng các phương pháp sau
3
QU
+ Phương trình cơ bản : A B A B3 .
+ Phép biến đổi tương đương. + Phương pháp đặt ẩn phụ.
DẠ
Y
KÈ M
+ Phương pháp đánh giá.
a) 3 1000 x 3 64 x 3 27 x 15.
10 3 x 4 3 x 3 3 x 15 3 3 x 15 3 x 5 x 125 Vậy phương trình có nghiệm x = 125. 1 b) 2.3 3 x . 7 3 x 9 . 3 x 2 7
63 x 3 x 93 x 2 4 3 x 2 1 1 3x x 2 8 Vậy phương trình có nghiệm x
1 8
Trang 36
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Giải phương trình
3
27. x 1 3 x 1 3 64. x 1 2.
CI AL
Hướng dẫn giải Ta có 3 3 x 1 3 x 1 4 3 x 1 2
2. 3 x 1 2
FI
3 x 1 1 x2 Vậy phương trình có nghiệm x 2 . Ví dụ 2. Tìm x biết 2 x3 x 1 .
OF
3
Hướng dẫn giải Ta có
3
2x
3
x 1
3
3
2 1 1
x
3
1 2 1
Vậy phương trình có nghiệm x
1 . 2 1
3
a)
3
3 x 1 2;
e)
3
KÈ M
c) 5 3 2 x 1 3;
QU
Câu 1: Giải các phương trình sau :
Y
Bài tập tự luyện dạng 5
NH
x.
ƠN
3 2x x 1
x3 3 x 2 3 x 1 x 1;
b)
3
x 2 6 0;
d)
3
x3 2 x 2 x 2;
f)
3
27 x 3 216 x x 3
1 4. x2
Câu 2: Cho 3 16 3 54 3 128 3 2.a .Tìm a Câu 3: Cho a 3 5. 3 2 1 3. 3 4 .Tìm a Câu 4: Giải các phương trình sau: 3
x 2 3 x 2 4;
b) x 3 x 1 1;
c)
3
3 x 1 1 3 x;
d)
3
6 x x 6;
e)
3
x3 3 x 2 x 3;
f)
3
x 6 6 x 4 x 2 2.
DẠ
Y
a)
Trang 37
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1:
3
3
3x 1 23 3x 1 8 3x 9 x 3.
CI AL
3x 1 2
3
a) Ta có
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3 . 3
b) Ta có
x 2 6 0 3 x 2 6
3
3
x 2 6 x 2 216 x 218. 3
3
3 9 2x 1 23 2x 1 8 2x 9 x . 2
OF
c) Ta có 5 3 2x 1 3 3 2x 1 2
FI
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 218 .
9 Vậy tập nghiệm của phương trình là S . 2
3
x3 2x2 x 2 3 x2 x 2 x 2 3 x2 x 2 x 2
x 2 x 2 x 2
3
ƠN
3
d) Ta có
3
x 2 x 2 x 2 0
NH
2
x 2 4x 4 0 4 x 2 x 1 0
Y
x 2 0 x 2 . x 1 0 x 1
3
e) Ta có
QU
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2; 1 .
x3 3x2 3x 1 x 1
3
x 1
3
x 1 x 1 x 1 2 0 (vô lí)
3
f) Ta có
x 3
3
KÈ M
Vậy tập nghiệm của phương trình là S .
27x 3 216x x 3
1
x
2
4 33 x 6 3 x 3 x 4 2 3 x 4 3 x 2
2 x 8. 3
Câu 2:
Y
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 8 .
DẠ
Ta có 3 16 3 54 3 128 2 3 2 33 2 4 3 2 33 2. Vậy a 3.
Trang 38
Câu 3:
3
3
2 1 .
Suy ra a 3 2 1. Câu 4: a)
3
x 2 3 x2 4
3
3
x2
3
3
CI AL
Ta có 2. 3 2 3. 3 22 .1 3. 3 2.12 1
x2 4 x 2 x2 4 x 2 x 2 x 2
OF
x 2 1 x 2 0
FI
x 2 x 2 x 2 0
x 2 0 x 2 . 1 x 2 0 x 1
b) x 3 x 1 1 x 1 3 x 1 x 1 x 1 3
x 1 x 1 0
NH
3
2 x 1 x 1 1 0
x 1 x 1 1 x 1 1 0
QU
x 1 0 x 1 x 0 x 0 . x 2 0 x 2
Y
x 1 x x 2 0
ƠN
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;2 .
c) Ta có
3
KÈ M
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2; 1; 0 . 3x 1 1 3x 3 3x 1 3x 1
3
3
3x 1 3x 1
3
3x 1 3x 1 0 3
Y
2 3x 1 3x 1 1 0
DẠ
3x 1 3x 1 1 3x 1 1 0
Trang 39
CI AL
1 x 3 3x 1 0 2 3x 2 0 x . 3 3x 0 x 0
3
6 x x 6 3 6 x 6 x
6 x 6 x
3
6 x
3
6 x
3
3
OF
d) Ta có
FI
1 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0; ; . 3 3
2 6 x 6 x 1 0
ƠN
6 x 6 x 1 6 x 1 0 6 x 5 x 7 x 0
NH
6 x 0 x 6 5 x 0 x 5. 7 x 0 x 7
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 7; 6; 5 .
x3 3x2 x 3
x3 3x2 x 3
3
x2 x 3 x 3
3
x 3 x2 x 3 0
3
x3 3x2
x 3 3
Y
3
3
QU
e) Ta có
KÈ M
3
x 3 x 3 x2 0 2
x 3 x 3 x x 3 x 0
Y
3 x 3 2x 3 0
DẠ
x 3 x 3 0 3. 2x 3 0 x 2
3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3; . 2 Trang 40
f) Ta có
x6 6 x 4 x2 2
3
x6 6 x 4
x 2 x 6x x 6x 12x 8 12x 8 01 . 3
2
3
6
4
6
4
2
2
CI AL
3
Lại có x2 0 12x2 0 12x2 8 8 0, x. Do đó, phương trình 1 vô nghiệm.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
FI
Vậy tập nghiệm của phương trình là S .
Trang 41
CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT BÀI 1. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ
CI AL
Mục tiêu Kiến thức
+ Nắm được khái niệm hàm số, giá trị hàm số, điều kiện xác định của hàm số + Hiểu được khái niệm đồ thị hàm số + Hiểu được định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến
FI
Kĩ năng Tính được giá trị của hàm số f x tại x x0
+
Tìm được điều kiện xác định của hàm số
+
Biểu diễn được tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+ Xét được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
OF
+
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Khái niệm hàm số
CI AL
Khái niệm hàm số
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x bởi công với mỗi giá trị của x, ta xác định được một và chỉ một thức y 2 x 1 . y là hàm số của x vì mỗi giá trị giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số
x0 cho giá trị y0 duy nhất
Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x bởi công
Hàm số có thể cho bằng bảng hoặc công thức
FI
thức y 2 x. y không là hàm số của x vì với giá
OF
trị x0 1 cho hai giá trị y0 là y0 1 và y0 1 Ví dụ:
a) y là hàm số của x cho bằng bảng sau: -2
-1
0
1
2
3
y
-4
-2
0
2
4
6
ƠN
x
b) y là hàm số của x cho bằng công thức sau:
NH
y 2 x 1;
y x 2 1;
y 2x 1
Giá trị của hàm số và điều kiện xác định của hàm số
Điều kiện xác định của hàm số y f x là tất cả các
Y
giá trị của biến x sao cho biểu thức f x có nghĩa
QU
Giá trị của hàm số y f x tại x x0 được xác định bằng cách thay x bằng x0 rồi tính. Kí hiệu y0 f x0 Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi
KÈ M
thì hàm số y được gọi là hàm hằng 2. Đồ thị hàm số
Đồ thị của hàm số y f x là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng x; f x trên mặt
DẠ
Y
phẳng tọa độ
Hàm số y 2 x 3 xác định với mọi x thuộc Hàm số y
2 xác định với mọi x 0 x
Giá trị của hàm số y x 2 1 tại x0 2 là
y0 f 2 22 1 5 y 5 là hàm hằng vì với mọi giá trị của x thì y luôn nhận một giá trị là 5 Cho hàm số y x 1 Bảng giá trị x
-2
-1
0
1
2
y x 1
-1
0
1
2
3
Đồ thị hàm số y x 1
Trang 2
CI AL FI
Cho hàm số y f x xác định với mọi giá trị của x x
thuộc a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng
y 3x 1
f x cũng tăng lên thì hàm số y f x được gọi là
biến)
f x giảm đi thì hàm số y f x được gọi là hàm số nghịch biến trên (gọi tắt là hàm số nghịch biến)
0
1
2
-2
1
4
7
x
-1
0
1
2
y x 1
2
1
0
-1
NH
b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng
-1
Hàm số y 3 x 1 là hàm đồng biến
ƠN
hàm số đồng biến trên (gọi tắt là hàm số đồng
OF
3. Hàm số đồng biến, nghịch biến
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
Hàm số y x 1 là hàm nghịch biến
Trang 3
CI AL
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho mỗi giá trị của x ta được một và chỉ một giá trị tương ứng của y
Hàm số đồng biến khi x
FI
Điều kiện xác định của hàm số
tăng thì y tăng
là điều kiện của biến số x để HÀM SỐ
y f x Giá trị của hàm số y f x tại
x1 x2 f x1 f x2
OF
biểu thức f x có nghĩa
Hàm số nghịch biến khi x tăng thì y giảm
ƠN
x x0 được xác định bằng cách thay x bằng x0
x1 x2 f x1 f x2
NH
Đồ thị của hàm số y f x là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng
QU
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Y
x; f x trên mặt phẳng tọa độ
Dạng 1: Tìm điều kiện của hàm số
Bài toán: Tìm điều kiện của hàm số y f x
KÈ M
Phương pháp giải
Hàm f x cho dưới dạng f x
A x ; B x
Ví dụ 1. Điều kiện của hàm số y x2 0 x 2
điều kiện xác định B x 0
Hàm f x cho dưới dạng f x A x ,
Y
điều kiện xác định A x 0
f x cho dưới dạng f x
DẠ
Hàm
điều kiện xác định B x 0
3x 1 là x2
A x B x
Ví dụ 2. Điều kiện của hàm số y 2 x 3 là 2x 3 0 x
,
3 2
Ví dụ 3. Điều kiện của hàm số y
1 là x 1
x 1 0 x 1
Trang 4
Với A x và B x là các đa thức đại số biến x
Ví dụ 4. Điều kiện của hàm số y f x 2 x 1 là
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm điều kiện của x để các hàm số sau xác định a) y 2 x 1
b) y x 2 1
Hướng dẫn giải
CI AL
x
Hàm đa thức xác định với mọi
a) Xét hàm số y 2 x 1
FI
x
Hàm số xác định với mọi x
OF
b) Xét hàm số y x 2 1 Điều kiện: x 2 1 0
x 2 n 0, f x 0, x , với
Ta có x 2 0, x nên x 2 1 1 0
mọi n *
ƠN
Vậy hàm số xác định với mọi x
Ví dụ 2. Tìm điều kiện của x để các hàm số sau xác định x 1 x2
b) y
NH
a) y x 2 Hướng dẫn giải a) Xét hàm số y x 2
b) Xét hàm số y
x 1 x2
Điều kiện: x 1 0; x 2 0
QU
Vậy điều kiện của hàm số x 2
A x là A x 0
Y
Điều kiện: x 2 0 x 2
Điều kiện
Điều kiện
Xét x 1 0 x 1; x 2 0 x 2
A x là B x 0 B x
KÈ M
Vậy điều kiện xác định của hàm số là x 1; x 2 Ví dụ 3. Tìm điều kiện của x để các hàm số sau xác định a) y 5
b) y
Hướng dẫn giải
Y
a) Xét hàm số y 5
DẠ
Hàm số xác định với mọi x b) Xét hàm số y
x2 3 2x
Hàm hằng xác định với mọi x
x2 3 2x
3 Điều kiện: 3 2 x 0 3 2 x x 2
Điều kiện
A x B x
là B x 0
Trang 5
CI AL
x2 3 là x 2 3 2x
Vậy điều kiện của hàm số y
Bài tập tự luyện dạng 1
x2 3 2x 1
Câu 2. Tìm điều kiện xác định của hàm số y
x3 2x 1
Câu 3. Tìm điều kiện xác định của hàm số y
3x 1 3 x
Bài tập nâng cao
Câu 5. Tìm điều kiện xác định của hàm số y
4 2 x 1 x 2 4 x2 4
ƠN
Câu 4. Tìm điều kiện xác định của hàm số y
OF
Câu 1. Tìm điều kiện xác định của hàm số y
FI
Bài tập cơ bản
NH
Câu 6. Tìm điều kiện xác định của hàm số y x 2 5 x 6 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập cơ bản Câu 1.
Y
Điều kiện để hàm số có nghĩa là: x 2 3 0 và 2 x 1 0 .
QU
Xét x 2 3 0
Ta có x 2 0, x suy ra x 2 3 3 0, x . 1 . 2
KÈ M
Ta có 2 x 1 0 2 x 1 x
Vậy điều kiện xác định của hàm số y Câu 2.
x2 3 1 là x . 2x 1 2
Điều kiện để hàm số có nghĩa là x 3 0 và 2 x 1 0 .
Y
Xét x 3 0 x 3 .
DẠ
Và 2 x 1 0 2 x 1 x
1 . 2
Vậy điều kiện xác định của hàm số y
x3 1 là 3 x . 2x 1 2
Câu 3.
Điều kiện để hàm số có nghĩa là 3 x 0 3 x . Trang 6
Vậy điều kiện xác định của hàm số y
3x 1 là x 3 . 3 x
CI AL
Bài tập nâng cao Câu 4. Điều kiện để hàm số có nghĩa là 2 x 1 0 và x 2 0 . Xét x 2 0 x 2 .
Vậy điều kiện xác định của hàm số y
FI
1 . 2 x3 là x 2 . 2x 1
OF
Và 2 x 1 0 2 x 1 x
Câu 5.
Điều kiện để hàm số có nghĩa là x 2 4 0 x 2 4 x 2 hoặc x 2 . 4 x2 4
là x 2 hoặc x 2 .
Câu 6.
ƠN
Vậy điều kiện xác định của hàm số y
Trường hợp 1: x 2 0 và x 3 0 . Ta có x 2 0 x 2 ; x 3 0 x 3.
Ta có x 2 0 x 2 ; x 3 0 x 3.
QU
Trường hợp 2: x 2 0 và x 3 0 .
Y
Vậy suy ra với x 3 thì x 2 x 3 0 .
NH
Điều kiện để hàm số có nghĩa là x 2 5 x 6 0 x 2 x 3 0 .
Vậy suy ra với x 2 thì x 2 x 3 0 .
KÈ M
Vậy điều kiện xác định của hàm số y x 2 5 x 6 là x 3 hoặc x 2 . Dạng 2: Tính giá trị của hàm số tại một điểm Bài toán 1. Tính giá trị của hàm số y f x tại x x0 Phương pháp giải
Tính giá trị của hàm số y f x tại x x0
Ví dụ. Tính giá trị của hàm số y f x 2 x 1
Y
Để tính giá trị của hàm số y f x tại x x0 ta tại x0 2
DẠ
thay x x0 vào y f x được y0 f x0
Hướng dẫn giải Giá trị của hàm số y f x 2 x 1 tại x0 2 là
f 2 2.2 1 5 Trang 7
Lưu ý. Cần kiểm tra giá trị x0 có thuộc tập xác định của hàm số không
CI AL
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số y f x x 1 a) Tính f 2
b) Tính f 0
Hướng dẫn giải b) f 0 0 1 1
FI
a) f 2 2 1 3
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x 9
b) Tính f 100
OF
a) Tính f 2
Hướng dẫn giải
b) f 100 9
Đối với hàm hằng, mọi giá trị của x
ƠN
a) f 2 9
đều nhận một giá trị y không đổi
Ví dụ 3. Cho hàm số y f x 2 x3 3 x 2 2 x 1 b) Tính f 2
Hướng dẫn giải a) f 1 2.13 3.12 2.1 1 2 3 2 1 0
NH
a) Tính f 1
b) f 2 2. 2 3 2 2. 2 1 16 12 4 1 33 2
Y
3
a) Tính f 2
QU
Ví dụ 4. Cho hàm số y f x 2 x 1
b) Tính f 1
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1 0 x 1
KÈ M
a) 2 không thuộc tập xác định của hàm số vậy
f 2 2 2 1 2.1 2
b) – 1 không thuộc tập xác định của hàm số nên không tồn tại
Nếu x0 không thuộc tập xác định của hàm số thì f x0 không tồn tại
Y
f 1
Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để giá trị của hàm số tại một điểm thỏa mãn một điều kiện
DẠ
cho trước
Phương pháp giải
Tìm điều kiện tham số m để y f x0 thỏa mãn Ví dụ 1. Cho hàm số f x 2mx 1
Trang 8
Tìm m để f 1 5
điều kiện cho trước
f 1 2m.1 1 2m 1
CI AL
Hướng dẫn giải
Mà f 1 5 nên 2m 1 5 2m 4 m 2
Ví dụ 2. Cho hàm số f x 2mx 2 mx 1 . Tìm m
FI
để f 1 f 2 Hướng dẫn giải
Xét hàm số f x 2mx 2 m 2 x 1
OF
Bước 1. Tính giá trị f x0 theo m
f 1 2m.12 m 2 .1 1
2m m 2 1 3m 3
ƠN
f 2 2m.22 m 2 .2 1 8m 2m 4 1
10m 5
+) f x0 a suy ra phương trình f x0 a +)
f x0 f x1
suy
ra
phương
f x0 f x1
Mà f 1 f 2 suy ra 3m 3 10m 5
NH
Bước 2. Căn cứ điều kiện thiết lập phương trình
trình
7m 2 m
2 7
Ví dụ mẫu
QU
Bước 4. Kết luận
Y
Bước 3. Giải phương trình chứa tham số m
Vậy m
2 7
a) f 1 3
KÈ M
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x m 1 x 2 . Tìm m để b) f 3 2
Hướng dẫn giải
a) f 1 m 1 1 2 3 m 1 2 3 m 0 m 0 vậy m 0 thì f 1 3
Y
b) f 3 m 1 .3 2 2 3m 3 2 2 3m 3 m 1
DẠ
Vậy với m 1 thì f 3 2 Ví dụ 2. Cho hàm số y f x m 2 x 3m 1 . Tìm m để f 2 f 3 Hướng dẫn giải Trang 9
Xét hàm số y f x m 2 x 3m 1 Ta có f 2 m 2 .2 3m 1 2m 4 3m 1 5m 5
CI AL
f 3 m 2 .3 3m 1 3m 6 3m 1 6m 7 Mà f 2 f 3 nên 5m 5 6m 7 m 2 Vậy với m 2 thì f 2 f 3
FI
Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản 2x2 1 , tính f 2 6 x
OF
Câu 1. Cho hàm số y f x
Câu 2. Cho hàm số y f x 2 m 1 x 3m 1 . Tìm m để f 1 0 Bài tập nâng cao
ƠN
Câu 3. Cho hàm số y f x m 2 x 2 3m 1 , xác định giá trị của m để f 1 5 Câu 4. Cho hàm số y f x mx 2 2 x , xác định giá trị của m để f 0 f 2
NH
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập cơ bản Câu 1.
QU
Điều kiện xác định 6 x 0 6 x .
Y
2x2 1 Xét hàm số y f ( x) . 6 x
Vì 2 thuộc tập xác định của hàm số nên f (2) Câu 2.
2.22 1 8 1 9 . 62 4 2
KÈ M
Xét hàm số y f ( x) 2 m 1 x 3m 1 .
f (1) 2 m 1 .1 3m 1 2m 2 3m 1 5m 3 . Mà f (1) 0 suy ra 5m 3 0 m
3 . 5
Bài tập nâng cao
Y
Câu 3.
DẠ
Xét hàm số y f ( x) m 2 x 2 3m 1 .
f (1) m 2 .12 3m 1 m 2 3m 1 4m 3 .
Mà f (1) 5 suy ra 4m 3 5 m 2 . Câu 4.
Trang 10
Xét hàm số y f ( x) mx 2 2 x .
f (0) m.0 2.0 0 ;
CI AL
f (2) m.22 2.2 4m 4 . Mà f (0) f (2) suy ra 4m 4 0 m 1 . Dạng 3: Biểu diễn tọa độ một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy
Bài toán 1. Biểu diễn tọa độ điểm M x0 ; y0 trên hệ trục Oxy , xác định điểm nào thuộc đồ thị hàm
FI
số y f x Phương pháp giải
OF
a) Biểu diễn tọa độ điểm M x0 ; y0 trên hệ trục Ví dụ. Trong hệ trục tọa độ cho các điểm A 2;0 ;
Oxy
B 0; 3 ; C 1; 2 và D 2; 4
Bước 1. Vẽ hệ trục Oxy
a) Biểu diễn các điểm A, B, C, D trên hệ trục Oxy
ƠN
Bước 2. Vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox tại b) Trong các điểm trên, điểm nào thuộc đồ thị hàm điểm có hoành độ x x0 số y 2x ? Bước 3. Vẽ đường thẳng vuông góc với trục Oy tại Hướng dẫn giải điểm có tung độ y y0
NH
a) Biểu diễn các điểm A, B, C, D trên hệ trục Oxy
Bước 4. Giao của hai đường thẳng chính là điểm
KÈ M
QU
Y
M x0 ; y0
Chú ý một số điểm đặc biệt trên hệ trục tọa độ
Điểm O 0;0 là gốc tọa độ
Điểm A a;0 thuộc Ox có hoành độ là a
Điểm B 0; b thuộc Oy có tung độ là b
b) Xác định điểm M x0 ; y0 có thuộc đồ thị hàm số b) Xét các điểm A, B, C, D điểm nào thuộc đồ thị
Y
y f x
DẠ
Bước 1. Thay giá trị x x0 vào hàm số y f x Bước 2.
Nếu y0 f x0 thì điểm M x0 ; y0 thuộc
hàm số y 2 x ? Với x 2 ta có y 4 0 Vậy điểm A 2;0 không thuộc đồ thị hàm số
y 2x
đồ thị hàm số y f x Trang 11
Nếu y0 f x0 thì điểm M x0 ; y0 không
CI AL
thuộc đồ thị hàm số y f x * Với x 0 ta có y 0 3
Vậy điểm B 0; 3 không thuộc đồ thị hàm số
y 2x
FI
* Với x 1 ta có y 2
Vậy điểm C 1; 2 thuộc đồ thị hàm số y 2 x
OF
* Với x 2 ta có y 4 4
Vậy điểm D 2; 4 không thuộc đồ thị hàm số
y 2x
ƠN
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho các điểm A 2;3 ; B 0; 2 ; C 4;0 ; D 1; 4 ; E 1;3 . Biểu diễn các điểm trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
NH
Hướng dẫn giải
Điểm O 0;0 là gốc tọa độ Điểm A a;0 thuộc Ox có hoành độ là a Điểm B 0; b thuộc Oy có tung độ là b
KÈ M
QU
Y
Biểu diễn các điểm A 2;3 ; B 0; 2 ; C 4;0 ; D 1; 4 ; E 1;3
Y
Ví dụ 2. Cho các điểm A 1; 1 ; B 0; 1 ; C 1;3 ; D 2;5 ; E 3; 7 . Trong các điểm trên, điểm nào
DẠ
thuộc đồ thị hàm số y 2 x 1 ? Hướng dẫn giải
Với x 1 suy ra y 2 1 1 1 . Vậy A 1; 1 thuộc đồ thị hàm số y 2 x 1
Với x 0 suy ra y 2.0 1 1 1 . Vậy B 0; 1 không thuộc đồ thị hàm số y 2 x 1 Trang 12
Với x 1 suy ra y 2.1 1 3 . Vậy C 1;3 thuộc đồ thị hàm số y 2 x 1
Với x 2 suy ra y 2.2 1 5 . Vậy D 2;5 thuộc đồ thị hàm số y 2 x 1
Với x 3 suy ra y 2.3 1 7 7 . Vậy E 3; 7 không thuộc đồ thị hàm số y 2 x 1
CI AL
Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản
Câu 1. Biểu diễn các điểm A 5;0 ; B 3; 2 ; C 3;1 ; D 0; 3 ; E 2; 2 trên cùng một hệ trục tọa độ
FI
Oxy
Câu 2. Cho các điểm M 0;1 ; N 2;3 ; P 2;0 . Trong các điểm trên điểm nào thuộc đồ thị hàm số
OF
y x 1? Bài tập nâng cao
nằm trên đồ thị hàm số với mọi m? HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập cơ bản
NH
Câu 1.
ƠN
Câu 3. Cho hàm số y f x mx 2m x 1 . Trong các điểm A 0;1 ; B 2;1 ; C 2;1 điểm nào luôn
Biểu diễn các điểm
A 5;0 ; B 3; 2 ; C 3;1 ; D 0; 3 ; E 2; 2
QU
Y
trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
Câu 2.
Các điểm M 0;1 ; N 2;3 ; P 2;0 ; điểm nào thuộc đồ thị hàm số y = x + 1?
KÈ M
Với x = 0 thì y = 0 + 1 = 1 suy ra điểm M 0;1 thuộc đồ thị hàm số y = x + 1. Với x = 2 thì y = 2 + 1 = 3 suy ra điểm N 2;3 thuộc đồ thị hàm số y = x + 1. Với x = - 2 thì y 2 1 1 0 suy ra điểm P 2;0 không thuộc đồ thị hàm số y = x + 1.
Câu 3.
Y
Bài tập nâng cao
DẠ
Xét hàm số y mx 2m x 1 m 1 x 2m 1 .
Với
x0
thì
y m 1 .0 2m 1 2m 1
điểm
A 0;1
thuộc
đồ
thị
hàm
số
y mx 2m x 1 khi 2m 1 1 m 1 .
Trang 13
Với x 2 suy ra y m 1 .2 2m 1 2m 2 2m 1 1 điểm B 2;1 thuộc đồ thị hàm số
y mx 2m x 1 khi 1 1 với mọi m. Với x 2 suy ra y m 1 . 2 2m 1 4m 3 điểm C 2;1 thuộc đồ thị hàm số
y mx 2m x 1 khi 4m 3 1 m 1 .
CI AL
Vậy với mọi m thì đồ thị hàm số y f ( x) mx 2m x 1 luôn đi qua điểm B 2;1 . Dạng 4. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
FI
Bài toán 1. Cho hàm số y f x , chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến Phương pháp giải
Ví dụ. Cho hàm số y f x 2 x 2
OF
Chứng minh hàm số y f x đồng biến, nghịch biến
Chứng minh hàm số đã cho đồng biến Hướng dẫn giải
Xét hàm số y f x 2 x 2
ƠN
Bước 1. Cho x1 x2 suy ra x1 x2 0
Lấy x1 x2 , suy ra x1 x2 0
Bước 2. Tính y1 f x1 ; y2 f x2
NH
Ta có y1 f x1 2 x1 2
y2 f x2 2 x2 2
Xét y1 y2 2 x1 2 2 x2 2
Bước 3. Xét hiệu y1 y2 Nếu y1 y2 0 thì hàm số đồng biến
Nếu y1 y2 0 thì hàm số nghịch biến
QU
Y
2 x1 2 2 x2 2 2 x1 2 x2 2 x1 x2
Vì x1 x2 0 suy ra y1 y2 2 x1 x2 0 Vậy hàm số đồng biến
KÈ M
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x 3 x 1 . Chứng minh hàm số nghịch biến Hướng dẫn giải
Lấy x1 x2 x1 x2 0
Y
Ta có y1 f x1 3 x1 1
DẠ
y2 f x2 3 x2 1
Xét y1 y2 3 x1 1 3 x2 1 3 x1 1 3 x2 1
3 x1 3 x2
Tích của hai số khác dấu
3 x1 x2
nhỏ hơn 0 Trang 14
Vì x1 x2 0 suy ra y1 y2 3 x1 x2 0 Ví dụ 2. Cho hàm số y f x m 2 x x 3m 1 . Chứng minh hàm số đồng biến Hướng dẫn giải Xét hàm số y f x m 2 x x 3m 1 m 2 1 x 3m 1 Lấy x1 x2 x1 x2 0
FI
Ta có y1 f x1 m 2 1 x1 3m 1
OF
y2 f x2 m 2 1 x2 3m 1
Xét y1 y2 m 2 1 x1 3m 1 m 2 1 x2 3m 1 m 2 1 x1 3m 1 m 2 1 x2 3m 1
ƠN
m 2 1 x1 m 2 1 x2 m 2 1 x1 x2
Vì m 2 0, m m 2 1 0, m
NH
Mặt khác x1 x2 0 suy ra y1 y2 m 2 1 x1 x2 0
A2 0 với mọi A A2 0 với mọi A A 0 với mọi A A 0 với mọi A
Y
Vậy hàm số đồng biến
CI AL
Vậy hàm số nghịch biến
Hướng dẫn giải
QU
Ví dụ 3. Cho hàm số y f x 2m 2 x 3 x 5m 1 . Chứng minh hàm số nghịch biến Xét hàm số y f x 2m 2 x 3 x 5m 1 2m 2 3 x 5m 1 Lấy x1 x2 x1 x2 0
KÈ M
Ta có y1 f x1 2m 2 3 x1 5m 1 y2 f x2 2m 2 3 x2 5m 1
Xét y1 y2 2m 2 3 x1 5m 1 2m 2 3 x2 5m 1
Y
2m 2 3 x1 5m 1 2m 2 3 x2 5m 1
DẠ
2m 2 3 x1 2m 2 3 x2 2m 2 3 x1 x2
Vì m 2 0, m 2m 2 0, m 2m 2 3 0, m Mặt khác x1 x2 0 suy ra y1 y2 2m 2 3 x1 x2 0
Nhân hai vế của bất phương trình
Vậy hàm số nghịch biến
với một số dương thì giữ nguyên Trang 15
dấu của bất phương trình, với một số âm thì dấu của bất phương Bài toán 2. Cho hàm số y f x . Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến Phương pháp giải
CI AL
trình đổi chiều
Cho hàm số y f x , tìm m để hàm số đồng biến, Ví dụ. Cho hàm số y f x m 1 x 2
Hướng dẫn giải
FI
Tìm m để hàm số nghịch biến
nghịch biến
Xét x1 ; x2
Bước 2. Tính y1 f x1 ; y2 f x2
Ta có y1 f x1 m 1 x1 2
OF
Bước 1. Xét x1 ; x2 thuộc tập xác định
y2 f x2 m 1 x2 2 y1 y2 x1 x2
Xét
y1 y2 0 thì hàm số đồng biến; x1 x2
Nếu
y y Nếu 1 2 0 thì hàm số nghịch biến x1 x2
m 1 x1 2 m 1 x2 2 x1 x2
NH
y1 y2 m 1 x1 2 m 1 x2 2 x1 x2 x1 x2
ƠN
Bước 3. Xét tỉ số
m 1 x1 x2 m 1 x1 x2
QU
Y
Để hàm số nghịch biến thì m 1 0 m 1
Ví dụ mẫu
Vậy với m 1 hàm số y f x m 1 x 2 nghịch biến
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x 2m 1 x 3m 2 . Tìm m để hàm số đồng biến Hướng dẫn giải
KÈ M
Lấy x1 ; x2
Ta có y1 f x1 2m 1 x1 3m 2
y2 f x2 2m 1 x2 3m 2
2m 1 x1 3m 2 2m 1 x2 3m 2
DẠ
y1 y2 2m 1 x1 3m 2 2m 1 x2 3m 2 x1 x2 x1 x2
Y
Xét
x1 x2
2m 1 x1 x2 2m 1 x1 x2
Trang 16
Vậy với m
1 2
1 hàm số y f x 2m 1 x 3m 2 đồng biến 2
CI AL
Để hàm số đồng biến thì 2m 1 0 m
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x m 2 2m x 2 x 3m 1 . Tìm m để hàm số nghịch biến Hướng dẫn giải Ta có y f x m 2 2m x 2 x 3m 1 m 2 2m 2 x 3m 1
FI
Xét x1 ; x2
OF
Ta có y1 f x1 m 2 2m 2 x1 3m 1 y2 f x2 m 2 2m 2 x2 3m 1
m
2
2m 2 x1 3m 1 m 2 2m 2 x2 3m 1 x1 x2
2
2m 2 x1 x2 x1 x2
m 2 2m 2
Để hàm số nghịch biến thì m 2 2m 2 0
NH
m
ƠN
2 2 y1 y2 m 2m 2 x1 3m 1 m 2m 2 x2 3m 1 Xét x1 x2 x1 x2
Y
2 Ta có m 2 2m 2 m 2 2m 2 m 2 2m 1 1 m 1 1
QU
2 2 2 Vì m 1 0, m nên m 1 1 0, m m 1 1 0, m
Vậy hàm số y f x m 2 2m x 2 x 3m 1 nghịch biến với mọi m Bài tập tự luyện dạng 4
KÈ M
Bài tập cơ bản
Câu 1. Chứng minh hàm số y 2 x 7 là hàm số đồng biến Câu 2. Chứng minh hàm số y
1 x 4 là hàm số nghịch biến 3
Bài tập nâng cao
Y
Câu 3. Cho hàm số y 3mx 5 2 x m , tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến
DẠ
Câu 4. Cho hàm số y m 2 x 2 4 x 3m , tìm điều kiện của m để hàm số nghịch biến HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập cơ bản Câu 1.
Hàm số y 2 x 7 . Trang 17
Xét x1 x2 x1 x2 0 . Ta có y1 2 x1 7 ;
CI AL
y2 2 x2 7 . Xét y1 y2 2 x1 7 2 x2 7
2 x1 7 2 x2 7 2 x1 2 x2 2 x1 x2 .
FI
Vì x1 x2 0 suy ra y1 y2 2 x1 x2 0 .
OF
Hàm số đồng biến. Câu 2. Xét hàm số y
1 x4. 3
1 x1 4 ; 3
y2
1 x2 4 . 3
NH
Ta có y1
ƠN
Xét x1 x2 x1 x2 0 .
1 1 Xét y1 y2 x1 4 x2 4 3 3
1 1 x1 4 x2 4 3 3
1 1 1 x1 x2 x1 x2 . 3 3 3
QU
Y
Vì x1 x2 0 suy ra y1 y2
1 x1 x2 0 . 3
KÈ M
Hàm số nghịch biến. Bài tập nâng cao Câu 3.
Xét hàm số y 3mx 5 2 x m 3m 2 x 5 m . Xét x1 ; x2 .
Y
Ta có y1 3m 2 x1 5 m ;
DẠ
y2 3m 2 x2 5 m .
Xét
y1 y2 3m 2 x1 5 m 3m 2 x2 5 m x1 x2 x1 x2
Trang 18
3m 2 x1 5 m 3m 2 x2 5 m
x1 x2 x1 x2
Để hàm số đồng biến thì 3m 2 0 m
2 . 3
2 hàm số y 3mx 5 2 x m đồng biến. 3
FI
Vậy với m
CI AL
3m 2 x1 x2 3m 2 .
Xét hàm số y m 2 x 2 4 x 3m m 2 4 x 2 3m . Xét x1 ; x2 . Ta có y1 m 2 4 x1 2 3m ;
ƠN
y2 m 2 4 x2 2 3m .
OF
Câu 4.
2
x1 x2 2
4 x1 x2 x1 x2
m2 4 .
QU
m
4 x1 2 3m m 2 4 x2 2 3m
Y
m
NH
2 2 y1 y2 m 4 x1 2 3m m 4 x2 2 3m Xét x x x1 x2 1 2
Để hàm số nghịch biến thì m 2 4 0 m 2 4 2 m 2 .
DẠ
Y
KÈ M
Vậy với 2 m 2 hàm số y m 2 x 2 4 x 3m nghịch biến.
Trang 19
BÀI 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT Mục tiêu
CI AL
Kiến thức + Nắm được khái niệm về hàm số bậc nhất + Hiểu được các tính chất của hàm số bậc nhất Kĩ năng
Xác định được đâu là hàm số bậc nhất, đâu không phải là hàm số bậc nhất
+
Tìm điều kiện của tham số để hàm số là hàm số bậc nhất
+
Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến
OF
FI
+
+ Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc nhất đi qua điểm cho trước
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+ Tìm những điểm mà đồ thị hàm bậc nhất chứa tham số luôn đi qua với mọi m
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm hàm số bậc nhất
CI AL
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công Một hàm số được gọi là hàm số bậc nhất khi: thức y ax b
- Công thức hàm số là một đa thức một biến
Trong đó a, b là các số cho trước và a 0
- Bậc của đa thức là bậc 1 - Hệ số của x khác 0
FI
Ví dụ: y 3x là hàm số bậc nhất với a 3 ; b0
y 2 không phải là hàm số bậc nhất mà
OF
là hàm hằng
y 4 x 2 3 không phải là hàm số bậc
ƠN
nhất
Chú ý: Khi b 0 hàm số có dạng y ax (đã học ở lớp 7)
a 0
NH
Tính chất của hàm số bậc nhất y ax b
Hàm số bậc nhất y ax b xác định với mọi
QU
a) Đồng biến trên khi a 0
Y
giá trị của x thuộc và có tính chất sau:
a) Hàm số bậc nhất y 4 x 5 là hàm đồng biến vì a 4 0 b) Hàm số bậc nhất y x 5 là hàm nghịch biến vì a 1 0
DẠ
Y
KÈ M
b) Nghịch biến trên khi a 0
Ví dụ:
Trang 2
CI AL
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y ax b
Tập xác định của
HÀM SỐ BẬC
hàm số bậc nhất là
NHẤT
FI
trong đó a, b là các số cho trước và a 0
Hàm số bậc nhất
OF
đồng biến khi a 0
Hàm số bậc nhất
ƠN
nghịch biến khi a 0 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP nhất Bài toán 1. Nhận dạng hàm số bậc nhất
Y
Phương pháp giải
NH
Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc nhất. Tìm điều kiện của tham số để hàm số là hàm số bậc
QU
Nhận dạng hàm số bậc nhất y f x
Bước 1: Nhân khai triển biểu thức đại số Ví dụ: y f x của hàm số và sắp xếp bậc của đa thức a) Hàm số y 3 x 1 là hàm số bậc nhất với
từ lớn tới bé
a 3; b 1
KÈ M
Bước 2: Xét bậc đa thức f x
1
Nếu là đa thức bậc nhất một ẩn dạng b) Hàm số y f x 3 x 4 là hàm số bậc nhất ax b a 0 thì y f x là hàm số bậc
nhất
1 3
với a , b 4
Y
Nếu là đa thức không phải đa thức bậc
DẠ
nhất
một
ẩn
dạng
ax b a 0 thì
y f x không là hàm số bậc nhất
1 3
c) Hàm số y f x x 2 4 không phải là
Trang 3
hàm số bậc nhất vì bậc của đa thức
CI AL
bậc 2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? a) y 5
1 2 x 4 là 3
c) y 2 x 1
b) y x 1
Hướng dẫn giải
FI
a) Hàm số y 5 là hàm hằng không phải hàm số bậc nhất
OF
b) Xét hàm số y x 1 Điều kiện: x 1 0 x 1 Đây không phải hàm số bậc nhất
ƠN
c) Xét hàm số y 2 x 1 Điều kiện: x Đây là hàm số bậc nhất với a 2, b 1
NH
Ví dụ 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? a) y 2 x 1 2 x 3 b) y x 1 x x 1 2
Hướng dẫn giải a) Điều kiện: x Ta có y 2 x 1 2 x 3
y5
KÈ M
y 2x 2 2x 3
Y
x 1 2x 2
QU
c) y
Vậy hàm số y 2 x 1 2 x 3 là hàm hằng, không phải hàm
Y
số bậc nhất
Muốn xác định hàm số là hàm số bậc nhất ta nhân khai triển biểu thức hàm số. Sắp xếp bậc của đa thức từ lớn tới bé. Nếu bậc của đa thức là 1 thì đó là hàm số bậc nhất Hàm hằng có dạng y a với a
DẠ
b) Điều kiện: x Ta có y x 1 x x 1 2
y x2 2x 1 x2 x
y x2 2x 1 x2 x Trang 4
y x 1
Vậy hàm số y x 1 x x 1 là hàm số bậc nhất với a 1; b 1 2
CI AL
c) Điều kiện: x 1 Hàm số đã cho không phải là hàm số bậc nhất
Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất Phương pháp giải
FI
Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x là hàm số bậc nhất
OF
Bước 1. Nhân khai triển biểu thức đại số Điều kiện của tham số m để hàm số y mx 1 y f x của hàm số và sắp xếp bậc của đa thức là hàm số bậc nhất là m 0
từ lớn tới bé số là hàm bậc nhất
Điều kiện của tham số m để hàm số
ƠN
Bước 2. Tìm điều kiện của tham số m để hàm
y m 2 1 x 3m 1 là hàm số bậc nhất là
- Hệ số của các hạng tử có bậc lớn hơn hoặc m 2 1 0 m 1
NH
bằng 2 bằng 0 - Hệ số của hạng tử bậc một khác 0 Ví dụ mẫu
Y
Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số sau là hàm số bậc nhất b) y mx 3 2 x m c) y m 2 1 x 2m 1 Hướng dẫn giải
QU
a) y mx 3m 1
KÈ M
a) Điều kiện để hàm số y mx 3m 1 là hàm số bậc nhất là m 0
Hàm số y ax b là hàm bậc nhất khi và chỉ khi a 0
b) Ta có y mx 3 2 x m y m 2 x 3 m
Y
Vậy điều kiện để hàm số y mx 3 2 x m là hàm bậc nhất là
DẠ
m 2 0 m 2
c) Điều kiện để hàm số y m 2 1 x 2m 1 là hàm số bậc nhất là m 2 1 0 m 2 1 m 1
Trang 5
Vậy với m 1 hàm số y m 2 1 x 2m 1 là hàm số bậc nhất Ví dụ 2. Tìm điều kiện của m để các hàm số sau là hàm số bậc nhất
CI AL
a) y x x 1 x x 2m b) y x 1 mx mx 1 2
Hướng dẫn giải a) Điều kiện: x
FI
Ta có y x x 1 x x 2m
OF
y x 2 x x 2 2mx y 1 2m x
Vậy hàm số y x x 1 x x 2m là hàm số bậc nhất khi 1 2m 0 m
ƠN
b) Điều kiện: x
1 2
Ta có y x 1 mx mx 2 2
NH
y x 2 2 x 1 m 2 x 2 2mx
y x 2 2 x 1 m 2 x 2 2mx y 1 m 2 x 2 2 1 m x 1
Vậy hàm số y x 1 mx mx 1 là hàm số bậc nhất khi 1 m 2 0 và 1 m 0
1 m 0 m 1
Suy ra m 1
QU
Xét 1 m 2 0 m 2 1 m 1
Y
2
Vậy để hàm số y x 1 mx mx 2 là hàm số bậc nhất khi m 1
KÈ M
2
Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản
Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? b) y
2x 1 x 1
c) y x 2 2 x 1
d) y 6
Y
a) y 5 x 1
Câu 2. Xác định các hàm số bậc nhất trong các hàm số dưới đây
DẠ
a) y 2 x 3 2 x 1 b) y m 2 x 3 2 x 1 c) y x x 1 x 1
2
Trang 6
Câu 3. Tìm điều kiện của m để hàm số y m 1 x 2m 3x là hàm bậc nhất Câu 4. Tìm điều kiện của m để hàm số y x x 1 2mx x 2 3m là hàm số bậc nhất
CI AL
Bài tập nâng cao
Câu 5. Tìm điều kiện của m để hàm số y m 2 x 2 x x 1 mx 2 là hàm số bậc nhất HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập cơ bản
FI
Câu 1. a) Hàm số y 5 x 1 là hàm số bậc nhất với a 5; b 1 .
2x 1 không phải là hàm số bậc nhất vì phương trình hàm số không phải dạng x 1
OF
b) Hàm số y
y ax b a 0 .
ƠN
c) Hàm số y x 2 2 x 1 không phải là hàm số bậc nhất vì phương trình hàm số không phải dạng y ax b a 0 .
d) Hàm số y 6 không phải là hàm số bậc nhất mà là hàm hằng.
NH
Câu 2. a) Ta có y 2 x 3 2 x 1 y 2x 3 2x 1
Y
y 2.
b)
QU
Vậy hàm số y 2 x 3 2 x 1 không phải là hàm số bậc nhất. Ta có y m 2 x 3 2 x 1 y m2 x 3 2 x 2
KÈ M
y m2 2 x 5 .
Vì m 2 0, m m 2 2 0, m . Vậy hàm số y m 2 x 3 2 x 1 là hàm số bậc nhất. c) Ta có y x x 1 x 1
2
Y
y x 2 x x 2 2 x 1
DẠ
y x2 x x2 2x 1
y 3x 1 .
Vậy hàm số y x x 1 x 1 là hàm số bậc nhất. 2
Câu 3. Trang 7
Ta có y m 1 x 2m 3x y m 1 3 x 2m
CI AL
y m 2 x 2m .
Vậy để hàm số là hàm bậc nhất thì m 2 0 m 2 . Câu 4.
FI
Ta có y x x 1 2mx x 2 3m y x 2 x 2mx x 2 3m
1 2
OF
y 1 2m x 3m .
Vậy để hàm số là bậc nhất thì 1 2m 0 2m 1 m . Bài tập nâng cao
ƠN
Câu 5. Ta có y m 2 x 2 x x 1 mx 2
NH
y m 2 x 2 x 2 x mx 2 y m 2 1 x 2 m 1 x 2 .
Để hàm số là hàm bậc nhất thì m 2 1 0 và m 1 0 .
Y
Ta có m 2 1 0 m 2 1 m 1 ; m 1 0 m 1 .
QU
Vậy với m 1 thì hàm số y m 2 x 2 x x 1 mx 2 là hàm số bậc nhất. Dạng 2: Xác định hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến, tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc nhất là hàm đồng biến, nghịch biến
KÈ M
Bài toán 1. Xác định hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến Phương pháp giải Xét hàm số y ax b
Hàm số y 2 x 1 là hàm đồng biến vì a 2 0
Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi a 0
Hàm số y
DẠ
Y
Hàm số đồng biến khi và chỉ khi a 0
a
1 x 5 là hàm nghịch biến vì 4
1 0 4
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Hàm số nào sau đây là hàm đồng biến, nghịch biến
Trang 8
2 3
b) y x 2
a) y 2 x 1 1 7
c) y x 4
CI AL
d) y 4 x 7
Hướng dẫn giải a) Hàm số y 2 x 1 là hàm đồng biên vì a 2 0 2 0 3
1 7
FI
2 3
b) Hàm số y x 2 là hàm đồng biến vì a
1 7
d) Hàm số y 4 x 7 là hàm nghịch biến vì a 4 0 Ví dụ 2. Hàm số nào sau đây là hàm đồng biến, nghịch biến?
b) y 2 x 3 4 x x 1
2
2
ƠN
a) y x x 1 x 2 Hướng dẫn giải
a) Ta có y x x 1 x 2
2
NH
y x2 x x2 4x 4
y x x x 4x 4 2
OF
c) Hàm số y x 4 là hàm nghịch biến vì a 0
2
y 3 x 4
Nhân khai triển đưa hàm số về dạng hàm số bậc nhất y ax b
Y
Do đó hàm số là hàm số bậc nhất với a 3; b 4
QU
Vậy hàm số là hàm nghịch biến vì a 3 0 b) Ta có y 2 x 3 4 x x 1 2
y 4 x 2 12 x 9 4 x 2 4 x
KÈ M
y 8x 9
Do đó hàm số là hàm số bậc nhất với a 8; b 9 Vậy hàm số là hàm đồng biến vì a 8 0 Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số là hàm đồng biến, nghịch biến Phương pháp giải
Y
Tìm điều kiện tham số m để y f x là hàm
DẠ
số đồng biến, nghịch biến
Ví dụ. Cho hàm số f x m 1 x 3m . Tìm m để hàm số là hàm nghịch biến
Bước 1. Nhân khai triển chuyển vế đưa hàm số Hướng dẫn giải về dạng y ax b
Xét hàm số f x m 1 x 3m
Bước 2. Tìm điều kiện của hệ số a để hàm số Hàm số là hàm nghịch biến khi và chỉ khi Trang 9
m 1 0
đồng biến, nghịch biến Hàm số đồng biến khi và chỉ khi a 0
CI AL
Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi a 0 Bước 3. Giải bất phương trình tìm điều kiện m 1 của tham số
Vậy hàm số nghịch biến khi m 1
Bước 4. Kết luận
FI
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số y mx 2 2 x m . Tìm m để hàm số là hàm
OF
đồng biến
Muốn xác định điều kiện
Hướng dẫn giải
của tham số để hàm số đồng
Xét hàm số y mx 2 2 x m
biến, nghịch biến phải khai
ƠN
Ta có y mx 2 2 x m y m 2 x 2 m
Vậy để hàm số
y mx 2 2 x m
là hàm đồng biến thì
NH
m20 m 2
Hàm số đồng biến khi a 0 a0
Y
hàm nghịch biến
về dạng y ax b
Hàm số nghịch biến khi
Ví dụ 2. Cho hàm số y x 1 x x m . Tìm m để hàm số là 2
triển chuyển vế đưa hàm số
QU
Hướng dẫn giải Xét hàm số y x 1 x x m 2
Ta có y x 1 x x m 2
KÈ M
y x 2 2 x 1 x 2 mx y 2 m x 1
Suy ra để hàm số nghịch biến thì 2 m 0 2 m Vậy với m 2 thì hàm số y x 1 x x m nghịch biến 2
Y
Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản
DẠ
Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số đồng biến trên a) y 5
b) y x 4
c) y 5
d) y 2 x 3
Câu 2. Cho hàm số y 3m 1 x 2m 2 3 . Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến Câu 3. Cho hàm số y 3 m 2 x 3m 1 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên Trang 10
Bài tập nâng cao Câu 4. Cho hàm số y mx x 1 m x 2 , xác định giá trị của m hàm số đồng biến trên 2
trên HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập cơ bản Câu 1. a) Hàm số y 5 là hàm hằng.
c) Hàm số y 5 là hàm hằng. d) Hàm số y 2 x 3 là hàm số đồng biến trên vì a 2 0 .
ƠN
Câu 2.
OF
b) Hàm số y x 4 là hàm số nghịch biến trên vì a 1 0 .
FI
CI AL
Câu 5. Cho hàm số y mx 2 2 x mx x 2m 3 , xác định giá trị của m để hàm số nghịch biến
1 3
Điều kiện hàm số y 3m 1 x 2m 2 3 đồng biến là 3m 1 0 3m 1 m . Câu 3.
NH
Điều kiện hàm số y 3 m 2 x 3m 1 nghịch biến là 3 m 2 0 m 2 0 m 2 . Bài tập nâng cao Câu 4. Xét hàm số y mx x 1 m x 2 . 2
QU
Ta có y mx x 1 m x 2
Y
2
y mx 2 mx m x 2 4 x 4
y mx 2 mx mx 2 4mx 4m
KÈ M
y 3mx 4m .
Vậy để đồ thị hàm số y mx x 1 m x 2 đồng biến trên thì 3m 0 m 0 . Câu 5.
2
Xét hàm số y mx 2 2 x mx x 2m 3 .
Y
Ta có y mx 2 2 x mx x 2m 3
DẠ
y mx 2 2 x mx 2 2m 2 x 3
y 2 m 2 1 x 3 .
Vậy để hàm số y mx 2 2 x mx x 2m 3 nghịch biến thì m 2 1 0 m 2 1 1 m 1 . Trang 11
Dạng 3. Tìm m để đồ thị hàm số bậc nhất đi qua điểm M x0 ; y0 Tìm m để đồ thị hàm số bậc nhất y ax b đi qua M x0 ; y0
Ví
dụ:
Tìm
m
để
y m 1 x 3m 1
Bước 1. Thay y trong biểu thức hàm số bằng Hướng dẫn giải
CI AL
Phương pháp giải đồ
thị
hàm
số
A 1;3 nên ta có
Bước 2. Giải phương trình theo ẩn m
3 m 1 .1 3m 1
OF
phương trình theo ẩn m có dạng y0 ax0 b
FI
y0 , x trong biểu thức hàm số bằng x0 ta được Đồ thị hàm số y m 1 x 3m 1 đi qua điểm
3 m 1 3m 1 3 4m 2
ƠN
5 4m
m
Bước 3. Kiểm tra và kết luận
5 4
NH
Với m
5 1 11 hàm số có dạng y x 4 4 4 1 4
Ví dụ mẫu
QU
Y
Với x 1 suy ra y .1 Vậy
với
m
5 4
thì
11 12 3 4 4
đồ
thị
hàm
số
y m 1 x 3m 1 đi qua điểm A 1;3
Ví dụ 1. Tìm m để đồ thị hàm số y mx m 1 đi qua gốc tọa độ
KÈ M
Hướng dẫn giải
Vì đồ thị hàm số y mx m 1 đi qua gốc tọa độ nên ta có 0 0.m m 1 m 1 0 m 1
Điểm O 0;0 là gốc tọa độ
Y
Khi đó hàm số có dạng y x
DẠ
Với x 0 thì y 1.0 0 Vậy với m 1 đồ thị hàm số y mx m 1 đi qua gốc tọa độ Ví dụ 2. Tìm m để đồ thị hàm số y 2m 1 x 3m 1 cắt trục Trang 12
tung tại điểm có tung độ là 2 Hướng dẫn giải
CI AL
Điểm nằm trên trục tung có tung độ bằng 2 là A 0; 2
Vì đồ thị hàm số y 2m 1 x 3m 1 cắt trục tung tại điểm có Điểm A thuộc trục hoành có tọa độ A x A ;0 tung độ là 2 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm A 0; 2 Điểm B thuộc trục tung có Tức là 2 2m 1 .0 3m 1 tọa độ B 0; yB
FI
2 3m 1
OF
3m 3 m 1
Khi đó y x 2 Với x 0 y 2
ƠN
Vậy với m 1 đồ thị hàm số y 2m 1 x 3m 1 cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2
NH
Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản
Câu 1. Tìm m để đồ thị hàm số y x 2m đi qua gốc tọa độ Câu 2. Tìm m để đồ thị hàm số y 2mx m 3 cắt trục tung tại điểm có tọa độ là 0; 4
x 2
Bài tập nâng cao
QU
Y
Câu 3. Tìm m để đồ thị hàm số y 3x 2 m 1 x m cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
1; 5
KÈ M
Câu 4. Cho hàm số y f x m 2 1 x 5m . Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A có tọa độ
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập cơ bản Câu 1.
Y
Đồ thị hàm số y x 2m đi qua gốc tọa độ suy ra đồ thị hàm số y x 2m đi qua điểm O 0;0 .
DẠ
Suy ra 0 0 2m m 0 . Vậy với m 0 đồ thị hàm số y x 2m đi qua gốc tọa độ. Câu 2.
Đồ thị hàm số y 2mx m 3 đi qua điểm 0; 4 . Trang 13
Với x 0 thì y 4 suy ra 4 2m.0 m 3 m 1 . Vậy m 1 đồ thị hàm số y 2mx m 3 cắt trục tung tại điểm có tọa độ là 0; 4 .
CI AL
Câu 3. Tọa độ điểm thuộc trục hoành có hoành độ bằng 2 là 2;0 . Vậy với x 2 thì y 0 suy ra ta có 3. 2 2 m 1 2 m 0 6 2 2m 2 m 0
FI
m 6 0 m 6 .
OF
Vậy m 6 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Bài tập nâng cao Câu 4.
ƠN
Đồ thị hàm số y m 2 1 x 5m đi qua điểm A 1; 5 Vậy suy ra ta có m 2 1 .1 5m 5 m 1 m 4 0
m 1 0 m 1 . m 4 0 m 4
NH
m 2 5m 4 0
QU
Y
Vậy để hàm số y m 2 1 x 5m có đồ thị đi qua điểm A 1; 5 thì m 1 hoặc m 4 . Dạng 4. Tìm những điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua Bài toán 1. Chứng minh đồ thị hàm số y f x đi qua điểm A x0 ; y0 với mọi m
KÈ M
Phương pháp giải
Bước 1. Xét đồ thị hàm số y f x đi qua
Ví dụ: Cho hàm số y mx 2m 1 Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua A 2;1 với mọi m Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số y mx 2m 1 đi qua A 2;1 suy ra 1 2m 2m 1
Bước 2. Chứng minh biểu thức y0 f x0
1 1 (đúng với mọi m)
DẠ
Y
điểm A x0 ; y0 suy ra y0 f x0
đúng với mọi m Bước 3. Kết luận
Vậy đồ thị hàm số y mx 2m 1 đi qua Trang 14
A 2;1 với mọi m
Ví dụ mẫu
CI AL
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x m 1 x 3m 1 . Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua điểm A 3; 2 với mọi m
Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số y f x m 1 x 3m 1 đi qua điểm A 3; 2 suy ra
FI
2 m 1 . 3 3m 1
OF
2 3m 3 3m 1 2 2 (đúng với mọi m)
Vậy với mọi m đồ thị hàm số y f x m 1 x 3m 1 luôn đi qua điểm A 3; 2
Hướng dẫn giải Điểm thuộc trục hoành có hoành độ là 2 là A 2;0
ƠN
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x mx 2 m 1 2 luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2
Điểm A thuộc trục hoành có
NH
Đồ thị hàm số y f x mx 2 m 1 2 đi qua điểm A 2;0 suy tọa độ A x A ;0 ra 0 m.2 2 m 1 2
tọa độ B 0; yB
Y
0 2m 2m 2 2
Điểm B thuộc trục tung có
QU
0 0 (đúng với mọi m)
Vậy với mọi m đồ thị hàm số y f x mx 2 m 1 2 luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2
KÈ M
Bài toán 2. Tìm điểm mà đồ thị hàm số y f x luôn đi qua với mọi m
Y
Phương pháp giải
Ví dụ: Cho hàm số y mx 2m 1 Xác định tọa độ điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua Hướng dẫn giải
DẠ
Bước 1. Nhân khai triển biểu thức, chuyển vế Giả sử điểm mà đồ thị hàm số y mx 2m 1 đưa về dạng biểu thức A x; y; m 0
luôn đi qua là M x0 ; y0
Bước 2. Cô lập m; m 2 ; m3 .... Bước 3. Giả sử đồ thị hàm số y f x luôn đi Trang 15
qua điểm M x0 ; y0 Suy ra y0 mx0 2m 1
A x; y; m 0 bằng x0 ; y0
mx0 2m 1 y0 0 m x0 2 1 y0 0
CI AL
Bước 4. Thay x; y trong biểu thức
Để m x0 2 1 y0 0 đúng với mọi m thì
bằng 0
x0 2 0 và 1 y0 0
Bước 6. Giải hệ và kết luận
Ta có x0 2 0 x0 2
OF
FI
Bước 5. Biện luận cho hệ số của m; m 2 ; m3 ....
1 y0 0 y0 1
Vậy đồ thị hàm số y mx 2m 1 luôn đi qua
ƠN
điểm M 2; 1 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số y 2m 1 x 6m 2 . Tìm những điểm mà đồ thị hàm số đi qua với mọi m
NH
Hướng dẫn giải
Giả sử điểm mà đồ thị hàm số y 2m 1 x 6m 2 luôn đi qua là M x0 ; y0
2m 1 x0 6m 2 y0 0
QU
m 2 x0 6 x0 2 y0 0
Y
Suy ra y0 2m 1 x0 6m 2 đúng với mọi m
Vì đồ thị hàm số y 2m 1 x 6m 2 luôn đi qua là M x0 ; y0 với mọi m suy ra 2 x0 6 0 và x0 2 y0 0
KÈ M
Ta có 2 x0 6 0 x0 3
3 2 y0 0 y0 1
Vậy đồ thị hàm số y 2m 1 x 6m 2 luôn đi qua điểm M 3;1 Ví dụ 2. Cho hàm số y m 2 x 2 m 2 x m 2 m 2 . Tìm những điểm mà đồ thị hàm số đi qua
Y
với mọi m
DẠ
Hướng dẫn giải
Giả sử điểm mà đồ thị hàm số y m 2 x 2 m 2 x m 2 m 2 luôn đi qua là M x0 ; y0 Suy ra y0 m 2 x02 m 2 x0 m 2 m 2 đúng với mọi m y0 m 2 x02 mx0 2 x0 m 2 m 2 Trang 16
m 2 x02 1 m x0 1 2 x0 2 y0 0
CI AL
Vì đồ thị hàm số y m 2 x 2 m 2 x m 2 m 2 luôn đi qua M x0 ; y0 với mọi m suy ra x02 1 0 ; x0 1 0 và 2 x0 2 y0 0
Ta có x02 1 0 x02 1 x0 1 x0 1 0 x0 1
FI
Kết hợp hai điều kiện suy ra x0 1 . Với x0 1 thay vào 2 x0 2 y0 0 ta có y0 0 Vậy đồ thị hàm số y m 2 x 2 m 2 x m 2 m 2 luôn đi qua điểm M 1;0
OF
Bài tập tự luyện Bài tập cơ bản
Câu 1. Cho hàm số y mx 2m . Tìm những điểm mà đồ thị hàm số đi qua với mọi m
ƠN
Câu 2. Cho hàm số y m x 1 2 x 3m . Tìm những điểm đồ thị hàm số đi qua với mọi m Bài tập nâng cao
Câu 3. Cho hàm số y m 2 x 2 m 3 x 9m 2 3m 2 . Tìm những điểm đồ thị hàm số đi qua với
NH
mọi m
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập cơ bản
Y
Câu 1.
QU
Giả sử điểm mà đồ thị hàm số y mx 2m luôn đi qua là M x0 ; y0 Suy ra y0 mx0 2m đúng với mọi m y0 m x0 2 m x0 2 y0 0
KÈ M
Vì đồ thị hàm số y mx 2m luôn đi qua M x0 ; y0 với mọi m suy ra x0 2 0 ; y0 0 Ta có x0 2 0 x0 2; y0 0 y0 0 Vậy đồ thị hàm số y mx 2m luôn đi qua điểm M 2;0 Câu 2.
Giả sử điểm mà đồ thị hàm số y m x 1 2 x 3m luôn đi qua là M x0 ; y0
Y
Suy ra y0 m x0 1 2 x0 3m đúng với mọi m
DẠ
y0 mx0 m 2 x0 3m
m x0 4 2 x0 y0 0
Vì đồ thị hàm số y m x 1 2 x 3m luôn đi qua là M x0 ; y0 với mọi m suy ra Trang 17
x0 4 0 ; 2 x0 y0 0
Vậy đồ thị hàm số y m x 1 2 x 3m luôn đi qua điểm M 4;8 Bài tập nâng cao Câu 3.
CI AL
Ta có x0 4 0 x0 4 suy ra y0 8
Giả sử điểm mà đồ thị hàm số y m 2 x 2 m 3 x 9m 2 3m 2 luôn đi qua là M x0 ; y0
FI
Suy ra y0 m 2 x02 m 3 x0 9m 2 3m 2 đúng với mọi m
OF
y0 m 2 x02 mx0 3 x0 9m 2 3m 2 m 2 x02 9 m x0 3 3 x0 2 y0 0
Vì đồ thị hàm số y m 2 x 2 m 3 x 9m 2 3m 2 luôn đi qua M x0 ; y0 với mọi m suy ra
ƠN
x02 9 0 ; x0 3 0 và 3 x0 2 y0 0
Xét x02 9 0 x02 9 x 3
NH
x0 3 0 x0 3
Với x0 3 suy ra y0 3x0 2 11
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
Vậy đồ thị hàm số y m 2 x 2 m 3 x 9m 2 3m 2 luôn đi qua điểm M 3;11
Trang 18
BÀI 3. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT Mục tiêu
CI AL
Kiến thức + Nắm được dạng đồ thị hàm số bậc nhất. + Biết cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất. Kĩ năng + Vẽ được đồ thị hàm số bậc nhất.
FI
+ Xác định được tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.
+ Xác định tính đồng quy của ba đường thẳng, tìm điều kiện của tham số m để ba đường thẳng
OF
đồng quy.
+ Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số bậc nhất cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác thỏa mãn điều kiện cho trước.
+ Tính được khoảng cách từ gốc tọa độ đến một đường thẳng.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+ Tìm điều kiện của tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là lớn nhất.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Đồ thị hàm số bậc nhất ý:
Đồ
thị
hàm
số
bậc
nhất
CI AL
Đồ thị hàm số bậc nhất y ax b a 0 là Chú
y ax b a 0 là một đường thẳng; b được
một đường thẳng - Cắt trục tung tại điểm có tung độ là b.
gọi là tung độ gốc của đường thẳng.
- Song song với y ax nếu b 0 ; trùng với
Ví dụ:
Đồ thị hàm số y x đi qua gốc tọa độ.
đường thẳng y ax nếu b 0 .
FI
Đồ thị hàm số y x 1 cắt trục tung tại điểm có
y x.
OF
tung độ y 1 và song song với đường thẳng
Với bất kì điểm nào thuộc đồ thị hàm số
y x 1 và y x có cùng hoành độ thì tung độ
ƠN
của điểm thuộc đồ thị y x 1 lớn hơn tung độ của điểm thuộc đồ thị y x là 1 đơn vị Cách vẽ đồ thị hàm số y ax b a 0
Ta có x 0 y 4;
NH
Bước 1. Cho x 0 thì y b , ta được điểm
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y 2 x 4 .
y 0 x 2.
P 0; b thuộc trục tung Oy.
Y
b b Cho y 0 thì x , ta được điểm Q ;0 a a
A 0; 4 và B 2;0 .
QU
thuộc trục hoành Ox.
Vậy đồ thị hàm số y 2 x 4 đi qua hai điểm
Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q
DẠ
Y
KÈ M
được đồ thị hàm số y ax b a 0 .
Trang 2
Đồ thị hàm số bậc nhất y ax b a 0 là một đường thẳng.
CI AL
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Cắt trục tung tại điểm có
FI
Song song với y ax nếu
b 0 , trùng với đường
ĐỒ THỊ HÀM SỐ
tung độ là b
thẳng y ax nếu b 0 .
ƠN
OF
BẬC NHẤT
NH
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q
QU
P 0; b thuộc trục tung Oy.
Y
Cho x 0 thì y b , ta được điểm
Cho y 0 thì x
b , ta được điểm a
b Q ;0 thuộc trục hoành Ox. a
nhất y ax b a 0
DẠ
Y
KÈ M
Cách vẽ đồ thị hàm số bậc
Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
CI AL
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất Phương pháp giải Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y ax b a 0 . Bước 1. Cho x 0 thì y b , ta được điểm
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y x 2 . Hướng dẫn giải
Cho x 0 thì y 2 suy ra đồ thị hàm số cắt
P 0; b thuộc trục tung Oy.
FI
trục tung tại điểm A 0; 2 .
b Cho y 0 thì x , ta được điểm a
b Q ;0 thuộc trục hoành Ox. a
OF
Cho y 0 thì x 2 suy ra đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm B 2;0 .
Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và
NH
ƠN
Q được đồ thị hàm số y ax b a 0 .
Y
Ví dụ mẫu
Hướng dẫn giải
QU
Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm số y 2 x 4 .
Cho x 0 thì y 4 , suy ra đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm M 0; 4 .
DẠ
Y
KÈ M
Cho y 0 thì x 2 , suy ra đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm N 2;0 .
Ví dụ 2. Vẽ đồ thị hàm số y 3 x 1 . Trang 4
Hướng dẫn giải Nếu xét giao điểm của
Cho x 1 thì y 4 , suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm N 1; 4 .
đồ thị hàm số với trục
CI AL
Cho x 0 thì y 1 , suy ra đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm M 0;1 .
hoành, trục tung có giá trị không nguyên khó biểu diễn, ta có
thể cho giá trị x
FI
nguyên sau đó thay tính giá trị y để biểu
OF
diễn hai điểm khác điểm giao Ox, Oy, từ đó ta vẽ được đồ thị
ƠN
hàm số.
Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản
NH
Câu 1. Xác định giao điểm của đồ thị hàm số y x 4 với trục hoành. Câu 2. Xác định giao điểm của đồ thị hàm số y 2 x 5 với trục tung.
1 b) N 0; 3
a) M 1; 4
Câu 1.
1 d) Q ;1 3
1 x 2. 2
KÈ M
Câu 5. Vẽ đồ thị hàm số y
c) P 2; 5
QU
Câu 4. Vẽ đồ thị hàm số y 2 x 3 .
Y
Câu 3. Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y 3 x 1 ?
Gọi A x A ; y A là giao điểm của đường thẳng y x 4 với trục hoành. A thuộc trục hoành suy ra y A 0 . Thay y A 0 vào phương trình đường thẳng y x 4 ta được 0 x A 4 x A 4 .
Câu 2.
Y
Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y x 4 với trục hoành là 4;0 .
DẠ
Gọi A x A ; y A là giao điểm của đường thẳng y 2 x 5 với trục tung. A thuộc trục tung suy ra x A 0 . Thay x A 0 vào phương trình đường thẳng y 2 x 5 ta được 5 2.0 y A y A 5 . Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y 2 x 5 với trục tung là 0;5 . Trang 5
Câu 3. a) Với x 1 thì y 2 . Vậy điểm M 1; 4 không thuộc đồ thị hàm số y 3 x 1 .
c) Với x 2 thì y 5 . Vậy điểm P 2; 5 thuộc đồ thị hàm số y 3 x 1 .
CI AL
1 b) Với x 0 thì y 1 . Vậy điểm N 0; không thuộc đồ thị hàm số y 3 x 1 . 3
Câu 4.
NH
ƠN
Cho x 1 thì y 1 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm B 1; 1 .
OF
Cho x 0 thì y 3 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm A 0; 3 .
FI
1 1 thì y 2 . Vậy điểm Q ;1 không thuộc đồ thị hàm số y 3 x 1 . 3 3
d) Với x
Câu 5.
Y
Cho x 0 thì y 2 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm A 0; 2 .
Y
KÈ M
QU
Cho y 0 thì x 4 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm B 4;0 .
DẠ
Dạng 2: Xác định giao điểm của hai đường thẳng Bài toán 1: Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng dựa vào đồ thị hàm số Phương pháp giải
Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng Ví dụ: Vẽ đồ thị và xác định tọa độ giao điểm của
dựa vào đồ thị hàm số Trang 6
hai
đường
thẳng
d1 : y 2 x 3
và
CI AL
d 2 : y 3x 2 . Hướng dẫn giải
Bước 1. Vẽ đồ thị hai đường thẳng trên cùng * Xét hàm số d1 : y 2 x 3 . một hệ trục tọa độ Oxy.
Cho x 0 thì y 3 suy ra đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A 0;3 .
OF
qua điểm B 1;1 .
FI
Cho x 1 thì y 1 suy ra đồ thị hàm số đi
* Xét hàm số d 2 : y 3 x 2 Cho x 0 thì y 2 suy ra đồ thị hàm số cắt
ƠN
trục tung tại điểm C 0; 2 . Cho x 1 thì y 1 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm D 1; 1 .
KÈ M
QU
Y
NH
Đồ thị của hai đường thẳng:
Bước 2. Xác định giao điểm của hai đường Từ đồ thị hàm số suy ra tọa độ giao điểm của hai thẳng
đường thẳng là E 1;5 .
Bước 3. Từ giao điểm của hai đường thẳng, lần
Y
lượt dựng đường thẳng vuông góc với Ox, Oy để
DẠ
xác định hoành độ, tung độ giao điểm của hai đường thẳng.
Bước 4. Kết luận
Vậy tọa độ giao điểm đồ thị hai hàm số là E 1;5 .
Trang 7
Ví dụ mẫu
Hướng dẫn giải * Xét hàm số d1 : y x 1 .
CI AL
Ví dụ 1. Xác định giao điểm của hai đường thẳng y x 1 và y 2 x 3 bằng cách vẽ đồ thị
Muốn xác định tọa độ của một điểm M,
Cho x 0 thì y 1 suy ra đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm B 0;1 . Cho y 0 thì x 1 suy ra đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm A 1;0 . * Xét hàm số d 2 : y 2 x 3
từ điểm đó dựng
đường thẳng vuông
FI
góc với Ox, Oy; cắt
Cho x 0 thì y 3 suy ra đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm C 0; 3 .
hoành độ, tung độ
OF
Cho x 1 thì y 1 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm D 1; 1 .
Ox, Oy lần lượt tại
Y
NH
ƠN
Đồ thị của hai đường thẳng
của điểm M.
QU
Từ đồ thị hàm số suy ra tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là M 4;5 . Ví dụ 2. Xác định giao điểm của hai đường thẳng y 3 x 1 và y 3 x 3 bằng phương pháp đồ thị. Hướng dẫn giải
KÈ M
* Xét hàm số d1 : y 3 x 1 . Cho x 0 thì y 1 suy ra đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A 0;1 . Cho x 1 thì y 4 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm B 1; 4 . * Xét hàm số d 2 : y 3 x 3
Y
Cho x 0 thì y 3 , vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm C 0;3 .
DẠ
Cho x 1 thì y 0 , vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm D 1;0 . Đồ thị của hai đường thẳng
Trang 8
CI AL FI OF
1 Từ đồ thị hàm số suy ra tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là M ; 2 . 3
ƠN
Bài toán 2: Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng dựa vào phương pháp đại số Phương pháp giải
Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng Ví dụ: Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y 2 x 1 và y 3 x 2
dựa vào phương pháp đại số
NH
Hướng dẫn giải
Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y 2 x 1 và y 3 x 2 là 2 x 1 3 x 2
Y
Bước 2. Giải phương trình hoành độ giao
QU
điểm.
2 x 3x 2 1 x 1 x 1.
Bước 3. Thay hoành độ giao điểm vào biểu Với x 1 ta được y 1 . thức của một trong hai đường thẳng.
KÈ M
Bước 4. Kết luận
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là
1; 1
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y 2 x 3 và y x 3 . Hướng dẫn giải
Y
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y 2 x 3 và y x 3 là
DẠ
x 3 2 x 3 3 x 0 x 0 .
Với x 0 suy ra y 3 . Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y 2 x 3 và y x 3 là 0;3 .
Ví dụ 2. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y 3 x 1 và y 5 . Trang 9
Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y 3 x 1 và Hàm số y = a là hàm hằng: với mọi giá trị
3 x 1 5 3 x 6 x 2 .
của x thì giá trị của
Với x 2 suy ra y 5 .
hàm số là a. Đồ thị hàm
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y 3 x 1 và y 5 là
hằng song song hoặc trùng với trục Ox.
FI
2; 5
CI AL
y 5 là
OF
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y 5 và y 2 x 1 . Câu 2: Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y
1 x 4 và y x 2 . 3
Câu 1. trình
hoành
độ
giao
điểm
2 x 1 5 2 x 4 x 2.
của
đường
NH
Phương
ƠN
1 Câu 3: Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y 2 x 1 và y x 2 . 3
thẳng
y5
và
y 2x 1
là
Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng y 5 và y 2 x 1 là 2;5
Y
Câu 2.
QU
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y
1 x 4 và y x 2 là 3
KÈ M
1 1 x4 x2 x x 24 3 3 2 x 2 3 x 3.
Với x 3 thì y 5 .
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y Câu 3.
1 x 4 và y x 2 là 3;5 . 3
Y
1 Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y 2 x 1 và y x 2 là 3
DẠ
1 2 x 1 x 2 3
1 2 x x 2 1 3
Trang 10
5 x 1 3
x
3 5
Với x
CI AL
3 11 thì y . 5 5
1 3 11 Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y 2 x 1 và y x 2 là ; . 3 5 5
FI
Dạng 3: Xác định tính đồng quy của ba đường thẳng, tìm điều kiện của tham số m để ba đường Bài toán 1: Xác định tính đồng quy của ba đường thẳng Phương pháp giải
OF
thẳng đồng quy
Xét tính đồng quy của ba đường thẳng d1 ; Ví dụ: Xét tính đồng quy của ba đường thẳng
y x ; y 2 x 2 và y 2 x 6 .
và d3 .
ƠN
d2
Hướng dẫn giải
Bước 1. Xác định tọa độ giao điểm A của hai Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đường thẳng d1 và d 2 .
thẳng y x và y 2 x 2 là x 2 x 2 x 2 .
NH
Với x 2 thì y 2 . Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y x và y 2 x 2 là A 2; 2 .
Bước 3. Kết luận
QU
thuộc đường thẳng d3 .
Y
Bước 2. Xác định điểm A thuộc hay không Xét đường thẳng y 2 x 6 với x 2 ta có
KÈ M
● Nếu điểm A thuộc đường thẳng d3 thì ba
y 2.2 6 2 . Suy ra điểm A 2; 2 thuộc đường thẳng
y 2 x 6 . Vậy ba đường thẳng
y x;
y 2 x 2 và
y 2 x 6 đồng quy tại điểm A 2; 2 .
đường thẳng đồng quy.
● Nếu điểm A không thuộc đường thẳng d3
Y
thì ba đường thẳng không đồng quy.
DẠ
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Xét tính đồng quy của hai đường thẳng y x 3 và y 2 x 3 và trục Oy. Hướng dẫn giải
Điểm M xM ;0 thuộc Ox.
Phương trình hoành độ giao điểm hai đường thẳng y x 3 và
Điểm M 0; yM thuộc Oy. Trang 11
y 2 x 3 là
x 3 2 x 3 3 x 0 x 0 .
CI AL
Với x 0 suy ra y 3 . Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y x 3 và y 2 x 3 là
M 0;3 . Vì M 0;3 Oy suy ra hai đường thẳng y x 3 và y 2 x 3 và
FI
trục Oy đồng quy.
Ví dụ 2. Xét tính đồng quy của ba đường thẳng y 3 ; y 2 x 1 và y x 1
OF
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y 3 và y 2 x 1 là
2x 1 3 2x 2 x 1.
ƠN
Với x 1 suy ra y 3 .
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y 3 và y 2 x 1 là A 1;3 . Thay tọa độ A 1;3 vào phương trình đường thẳng y x 1 ta có
NH
3 1 1 3 0 (vô lí).
Suy ra đường thẳng y x 1 không đi qua điểm A 1;3 . Vậy ba đường thẳng y 3 ; y 2 x 1 và
Y
y x 1 không đồng quy.
KÈ M
Phương pháp giải
QU
Bài toán 2: Xác định điều kiện của tham số để ba đường thẳng đồng quy Ví dụ: Tìm m để ba đường thẳng y x 2 ;
y 2 x 1 và y 3mx 2 đồng quy. Hướng dẫn giải
Bước 1. Xác định tọa độ giao điểm A của hai Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đường thẳng d1 và d 2 .
x 3 . Với x 3 thì y 5 . Suy ra tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
y x 2 ; y 2 x 1 là M 3; 5 .
Y DẠ
thẳng y x 2 ; y 2 x 1 là x 2 2 x 1
Bước 2. Thay tọa độ điểm A vào phương trình Để ba đường thẳng y x 2 ; y 2 x 1 và
đường thẳng tham số m.
d3
thiết lập phương trình theo
y 3mx 2
đồng quy thì đồ thị hàm số
y 3mx 2 phải đi qua điểm M 3; 5 . Trang 12
Thay tọa độ giao điểm M 3; 5 vào phương trình
đường
thẳng
3 9m
Bước 3. Giải phương trình tìm m.
m
ta
có
CI AL
5 3m. 3 2
y 3mx 2
1 . 3
FI
Phương trình đường thẳng y 3mx 2 có dạng
Bước 4. Kết luận
y x2.
Vậy m
1 3
OF
Với x 3 suy ra y 5 .
thì ba đường thẳng
y x2;
y 2 x 1 và y 3mx 2 đồng quy tại điểm
ƠN
M 3; 5 .
Ví dụ mẫu
NH
Ví dụ 1. Tìm m để ba đường thẳng y 2 x 5 ; y x m và y 2 x đồng quy. Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y 2 x 5
Y
và y 2 x là 2 x 5 2 x 3 x 3 x 1 . Với x 1 thì y 3 .
là M 1;3 .
QU
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y 2 x 5 ; y 2 x
Để ba đường thẳng y 2 x 5 ; y x m và y 2 x đồng Ba đường thẳng đồng quy là
KÈ M
quy thì đồ thị hàm số y x m phải đi qua điểm M 1;3 . Thay tọa độ giao điểm M 1;3 vào phương trình đường thẳng
y x m ta có:
ba đường thẳng cùng đi qua một điểm, do đó giao điểm của hai đường thẳng bất kì nằm trên đường thẳng còn lại.
3 1 m m 2 .
Y
Phương trình đường thẳng y x m trở thành y x 2 .
DẠ
Vậy m 2 thì ba đường thẳng y 2 x 5 ; y x m và
y 2 x đồng quy tại điểm M 1;3 .
Ví dụ 2. Tìm m để ba đường thẳng y m ; y x 2 và y 3 x 4 đồng quy. Hướng dẫn giải Trang 13
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng
Với x
1 . 2
và
y 3 x 4 là
CI AL
x 2 3 x 4 4 x 2 x
y x 2
1 5 thì y , suy ra tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y x 2 ; y 3 x 4 là 2 2
1 5 M ; . 2 2
FI
Để ba đường thẳng y m ; y x 2 và y 3 x 4 đồng quy thì đường thẳng y m phải đi qua
Vậy m
OF
5 1 5 điểm M ; suy ra m . 2 2 2
5 1 5 thì ba đường thẳng y m ; y x 2 và y 3 x 4 đồng quy tại điểm M ; . 2 2 2
Bài tập tự luyện dạng 3
ƠN
Bài tập cơ bản
Câu 1. Chứng mình ba đường thẳng y 2 x 7 ; y x 3 và y 3 x 17 đồng quy. Câu 2. Xét tính đồng quy của ba đường thẳng y x 2 ; y 3 x 1 và y 2 x 2 .
NH
Bài tập nâng cao
Câu 3. Tìm m để ba đường thẳng y x 2 ; y 2 x 4 và y mx 6 đồng quy.
Y
Câu 4. Tìm m để ba đường thẳng y x 3 ; y x 1 và y m 2 x 3m 6 đồng quy.
Câu 1. Phương
trình
hoành
2 x 7 x 3 x 10.
QU
Bài tập cơ bản độ
giao
điểm
của
hai
đường
thẳng
y 2x 7 ;
y x3
là
KÈ M
Với x 10 thì y 13 . Suy ra tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y 2 x 7 ; y x 3 là
M 10;13 .
Xét đường thẳng y 3 x 17 .
Với x 10 thì y 13 . Suy ra đường thẳng y 3 x 17 đi qua M.
Câu 2.
Y
Vậy ba đường thẳng y 2 x 7 ; y x 3 và y 3 x 17 đồng quy tại điểm M 10;13 .
DẠ
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y x 2 và y 3 x 1 là
x 2 3x 1 x
1 . 4
Trang 14
1 7 thì y . Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y x 2 ; y 3 x 1 là 4 4
1 7 M ; . 4 4
Xét đường thẳng y 2 x 2 . ● Với x
1 5 7 thì y hay đường thẳng y 2 x 2 không đi qua M. 4 2 4
FI
Vậy ba đường thẳng y x 2 ; y 3 x 1 và y 2 x 2 không đồng quy.
CI AL
● Với x
Bài tập nâng cao
OF
Câu 3.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y x 2 và y 2 x 4 là
ƠN
2x 4 x 2 3 x 6 x 2.
Với x 2 thì y 0 . Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y x 2 ; y 2 x 4 là M 2;0 . Để ba đường thẳng y x 2 ; y 2 x 4 và y mx 6 đồng quy thì M 2;0 thuộc đồ thị hàm số
NH
y mx 6 suy ra 0 m. 2 6
2m 6 m 3.
Y
Với m 3 hàm số y mx 6 có dạng y 3 x 6 .
Câu 4.
QU
Vậy với m 3 thì ba đường thẳng y x 2 ; y 2 x 4 và y mx 6 đồng quy. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y x 3 và y x 1 là
KÈ M
x 3 x 1 2 x 2 x 1.
Với x 1 thì y 2 .
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y x 3 và y x 1 là M 1; 2 . Để ba đường thẳng y x 3 ; y x 1 và y m 2 x 3m 6 đồng quy thì M 1; 2 thuộc đồ thị
DẠ
Y
hàm số y m 2 x 3m 6 suy ra 2 m 2 . 1 3m 6
Trang 15
2 m 2 . 1 3m 6 m 2 3m 4 0
CI AL
m 1 m 4 0 m 1 0 m 1 . m 4 0 m 4
Vậy với m 4 ; m 1 ba đường thẳng thẳng y x 3 ; y x 1 và y m 2 x 3m 6 đồng quy
FI
tại M 1; 2 .
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc nhất cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác
OF
thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài toán 1. Xác định các yếu tố liên quan đến tam giác tạo thành bởi đường thẳng cắt hai trục tọa độ.
ƠN
Phương pháp giải
Xác định các yếu tố liên quan đến tam giác tạo Ví dụ: Cho đường thẳng d : y 2 x 4 . Gọi A, thành bởi đường thẳng cắt hai trục tọa độ.
B lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với
NH
hai trục Oy, Ox. Tính độ dài cạnh huyền AB của
OAB .
Hướng dẫn giải
thẳng y ax b và hai trục Ox, Oy.
Y
Bước 1. Xác định giao điểm của hai đường
QU
● Giao với Oy: Với x 0 thì y b suy ra tọa Với x 0 thì y 4 suy ra tọa độ giao điểm của độ giao điểm của đường thẳng y ax b và trục đồ thị và Oy là A 0; 4 . Oy là A 0; b .
Với y 0 thì x 2 suy ra tọa độ điểm của đồ b suy ra a thị và Ox là B 2;0 . tọa độ giao điểm của đường thẳng y ax b và
KÈ M
● Giao với Ox: Với y 0 thì x
b trục Ox là B ;0 . a
DẠ
OAB
Y
Bước 2. Xác định chiều dài các cạnh của Xét tam giác vuông OAB vuông tại O có
OA b ; OB
OA y A 4 4 ; OB xB 2 2 . b a
b2 và AB OA OB b 2 a 2
2
2
Trang 16
Bước 3. Dụa vào yêu cầu đề bài xác định mối Vậy suy ra độ dài cạnh huyền AB là quan hệ của các yếu tố còn lại.
Ví dụ mẫu
CI AL
AB OA2 OB 2 42 22 2 5 .
Ví dụ 1. Cho đường thẳng d : y x 3 . Gọi A; B lần lượt là Điểm A thuộc trục hoành có tọa độ
A x A ;0 .
diện tích của tam giác OAB.
Độ dài OA x A .
FI
giao điểm của đường thẳng d với hai trục tọa độ Ox; Oy. Tính
Điểm B thuộc trục tung có tọa độ
Với y 0 thì x 3 suy ra tọa độ giao điểm của d với trục
B 0; yB .
Ox là A 3;0 .
OF
Hướng dẫn giải
Độ dài OB yB .
Với x 0 thì y 3 suy ra tọa độ giao điểm của d với trục Với A x A ; y A thì: Oy là B 0;3 . Xét tam giác vuông OAB có
ƠN
● khoảng cách từ A tới Ox là y A , ● khoảng cách từ A tới Oy là x A .
OA x A 3 3 ; OB yB 3 3 .
NH
1 9 Suy ra diện tích của tam giác OAB là S OAB 3.3 3 2 (đvdt).
Diện tích tam giác OAB vuông tại O là
S OAB
1 OA.OB . 2
Y
Ví dụ 2. Cho đường thẳng d : y 3 x 6 . Gọi A; B lần lượt là Chu vi tam giác OAB vuông tại O
chu vi của tam giác OAB. Hướng dẫn giải
QU
giao điểm của đường thẳng d với hai trục tọa độ Ox; Oy. Tính
là
COAB OA OB AB
Với y 0 thì x 2 suy ra tọa độ giao điểm của d với
KÈ M
trục Ox là A 2;0 .
Với x 0 thì y 6 suy ra tọa độ giao điểm của d với trục Oy là B 0;6 .
Xét tam giác vuông OAB có
Y
OA x A 2 2 ; OB yB 6 6 .
DẠ
Độ dài của đoạn thẳng
AB OA2 OB 2 22 62 2 10 .
Vậy chu vi của tam giác OAB là
COAB OA OB AB 2 6 2 10 8 2 10 (đvđd). Trang 17
Bài toán 2: Xác định điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc nhất cắt hai trục tọa độ tạo thành
CI AL
tam giác thỏa mãn yêu cầu của đề bài Phương pháp giải
Ví dụ: Cho đường thẳng d : y x m . Tìm m để đường thẳng d cắt hai trục Ox; Oy tạo thành
Hướng dẫn giải
FI
một tam giác vuông có độ lớn cạnh huyền là 2 2 .
OF
Bước 1. Xác định giao điểm của đường thẳng Với y 0 thì x m suy ra tọa độ giao điểm của
y ax b với hai trục Ox, Oy.
đường thẳng d và Ox là A m;0 . Với x 0 thì y m suy ra tọa độ giao điểm của
ƠN
đường thẳng d và Oy là B 0; m . Bước 2. Xác định chiều dài các cạnh của Tam giác vuông OAB có
OAB
OA x A m m ; OB yB m m . b a
Suy ra AB OA2 OB 2 m 2 m 2 m 2 .
và AB OA2 OB 2 b 2
NH
OA b ; OB
b2 a2
QU
Y
Bước 3. Dựa vào yêu cầu đề bài xác định mối Mà theo đề bài độ dài cạnh huyền AB 2 2 nên quan hệ của các yếu tố còn lại, từ đó thiết lập phương trình, bất phương trình tham số m.
Bước 4. Giải phương trình, bất phương trình theo ẩn là tham số m.
KÈ M
Bước 5. Kết luận
m 2 2 2 m 2 m 2 . Vậy m 2 thì d : y x m cắt hai trục tọa độ Ox; Oy tạo một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là 2 2 .
Ví dụ mẫu
Y
Ví dụ 1. Cho hàm số d : y mx 2 m 0 . Tìm m để đường thẳng d cắt hai trục tọa độ Ox; Oy tạo
DẠ
tam giác vuông có diện tích bằng
1 . 8
Hướng dẫn giải Với y 0 thì x
2 2 suy ra giao điểm của đường thẳng d và Ox là A ;0 . m m Trang 18
Với x 0 thì y 2 suy ra giao điểm của đường thẳng d và Oy là B 0; 2 .
OA x A
1 1 2 2 OA.OB .2 . 2 2 m m
Theo đề bài diện tích tam giác OAB là
1 suy ra 8
OF
2 1 m 16 m 16 . m 8
FI
Diện tích tam giác OAB là S OAB
2 2 ; OB yB 2 2 . m m
CI AL
Xét tam giác vuông OAB ta có
Vậy với m 16 thì d : y f x mx 2 cắt hai trục tọa độ Ox; Oy tạo một tam giác vuông có
1 . 8
ƠN
diện tích là
Ví dụ 2. Cho hàm số y mx 2m m 0 . Tìm m để đường thẳng d cắt hai trục tọa độ Ox; Oy lần lượt tại A; B tạo tam giác vuông có chu vi bằng 4 2 2 .
NH
Hướng dẫn giải
Với y 0 thì x 2 suy ra giao điểm của đường thẳng d và Ox là A 2;0 . Với x 0 thì y 2m suy ra giao điểm của đường thẳng d và Oy là B 0; 2m .
Y
Xét tam giác vuông OAB ta có
QU
OA x A 2 2 ; OB yB 2m 2 m . Suy ra AB OA2 OB 2 22 2m 2 m 2 1 . 2
Suy ra chu vi của tam giác OAB là
KÈ M
COAB OA OB AB 2 2 m 2 m 2 1 . Mà theo đề bài chu vi OAB là 4 2 2 suy ra 2 2 m 2 m 2 1 4 2 2
2 m2 1 2 2 2 2 m
4 m 2 1 2 2 2 2 m
2
8
2
2 1 m 4m 2
2 1 m 8 8 2
DẠ
8
Y
4m 2 4 2 2 2
m 1 m 1.
Vậy m 1 thì d : y mx 2m cắt hai trục tọa độ Ox; Oy tạo một tam giác vuông có chu vi là
42 2.
Trang 19
Bài tập tự luyện dạng 4 Bài tập cơ bản
CI AL
Câu 1. Đồ thị hàm số y x 1 cắt hai trục Ox; Oy lần lượt tại A, B. Xác định độ dài đoạn thẳng AB, diện tích, chu vi tam giác OAB.
Câu 2. Cho hàm số y 2 x 2m 1 . Xác định m biết đồ thị hàm số cắt hai trục Ox; Oy lần lượt tại A, B và độ dài đoạn thẳng AB
5 . 2
FI
Bài tập nâng cao
Câu 3. Cho hàm số y 2 x 4m , tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục Ox; Oy lần lượt tại A, B sao cho
OF
diện tích tam giác OAB bằng 4.
Câu 4. Cho hàm số y mx 2 , tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục Ox; Oy lần lượt tại A, B sao cho chu
ƠN
vi tam giác OAB bằng 3 5 . Bài tập cơ bản Câu 1.
NH
Với y 0 thì x 1 suy ra tọa độ giao điểm của d với trục tọa Ox là A 1;0 . Với x 0 thì y 1 suy ra tọa độ giao điểm của d với trục tọa Oy là B 0;1 . Xét tam giác vuông OAB có OA x A 1 1 ; OB yB 1 1 .
Y
Độ dài đoạn thẳng AB OA2 OB 2 12 12 2 .
QU
1 1 1 Diện tích tam giác OAB là S OAB OA.OB .1.1 (đvdt). 2 2 2 Vậy chu vi của tam giác OAB là COAB OA OB AB 1 1 2 2 2 (đvđd). Câu 2.
2m 1 2m 1 ;0 . . Suy ra đồ thị cắt Ox tại điểm A 2 2
KÈ M
Với y 0 x
Với x 0 y 2m 1 . Suy ra đồ thị cắt Oy tại điểm B 0; 2m 1 . Xét tam giác OAB vuông tại O có
2m 1 2m 1 ; OB 2m 1 . 2 2
Y
OA
DẠ
Theo định lý Py-ta-go ta có AB OA OB 2
2
2
2m 1 4
2
5 2m 1 . 2m 1 4 2
2
5 2m 1 5 5 2 Với AB 2m 1 1 2 4 4 2
Trang 20
2m 1 1 0 2m 2m 2 0 2
CI AL
m 0 . m 1
Với m 0 suy ra y 2 x 1 . Với m 1 suy ra y 2 x 1 .
Vậy m 0 hoặc m 1 thì đồ thị hàm số y 2 x 2m 1 cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B và độ 5 . 2
FI
dài AB
Bài tập nâng cao
OF
Câu 3.
Với y 0 suy ra x 2m suy ra đồ thị cắt Ox tại điểm A 2m;0 .
ƠN
Với x 0 suy ra y 4m suy ra đồ thị cắt Oy tại điểm B 0; 4m . Xét tam giác OAB vuông tại O có OA 2m 2m ; OB 4m . Vì diện tích của tam giác OAB 4 suy ra
NH
8m 2 8 m 2 1 .
1 1 OA.OB . 2m . 4m 4 2 2
Suy ra m 1 hoặc m 1 .
Vậy m 1 hoặc m 1 thì đồ thị đường thẳng y 2 x 4m cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B và
Y
diện tích tam giác OAB bằng 4. Câu 4.
Với y 0 x
QU
Điều kiện để đồ thị đường thẳng y mx 2 cắt hai trục Ox, Oy là m 0 .
2 2 suy ra đồ thị cắt Ox tại điểm A ;0 . m m
KÈ M
Với x 0 y 2 suy ra đồ thị cắt Oy tại điểm B 0; 2 . Xét tam giác OAB vuông tại O có OA x A
2 2 ; OB yB 2 2 . m m
Theo định lí Py-ta-go AB OA2 OB 2 4
4 2 2 m m
m2 1 .
DẠ
Y
Vậy chu vi của tam giác OAB là COAB OA OB AB 2
2 2 m m
m2 1 .
Mặt khác theo đề bài chu vi tam giác OAB là 3 5 nên suy ra
2
2 2 m m
m2 1 3 5 2 2 m2 1 1 5 m
Trang 21
4 m 1 6 2 5 m 4 1 5 m 4 2 2 5 m 4 1 5 m 0 1 5 m 2m 4 0 . 2 m2 1 1 5 m 2 2
CI AL
2
2
Trường hợp 1: m 0 m 0 (loại).
FI
Trường hợp 2: 2 m 4 0 m 2 .
OF
Vậy m 2 đồ thị hàm số y mx 2 cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho chu vi tam giác OAB bằng 3 5 .
Dạng 5: Bài toán tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến một đường thẳng
ƠN
Bài toán 1: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến một đường thẳng Phương pháp giải
Ví dụ: Cho đường thẳng
d : y x 1.
Tính
NH
khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d . Hướng dẫn giải
Bước 1. Xác định giao điểm của đường thẳng ● Với x 0 thì y 1 suy ra tọa độ giao điểm của
QU
Y
y ax b và hai trục Ox, Oy.
d
và Oy là A 0;1 .
● Với y 0 thì x 1 suy ra tọa độ giao điểm của d với Ox là B 1;0 .
Bước 2. Xác định chiều dài các cạnh của tam Xét tam giác OAB vuông tại O ta có
OA y A 1 1 ; OB xB 1 1 .
DẠ
Y
KÈ M
giác OAB.
Bước 3. Dựng đường cao OH ⊥ AB . Áp dụng Dựng đường cao OH ⊥ AB . Áp dụng công thức
công thức hệ thức lượng cho tam giác OAB vuông hệ thức lượng của tam giác vuông OAB ta có tại O.
Trang 22
1 1 1 2 2 OH OA OB 2
1 1 1 2 2 OH OA OB 2 1 1 1 2 2 2 2 OH 1 1 1 OH 2 2 2 OH . 2
CI AL
Ví dụ mẫu
OF
2 . 2
FI
Vậy khoảng cách từ O tới đường thẳng d là
ƠN
Ví dụ 1. Cho đường thẳng d : y 2 x 1 . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d . Hướng dẫn giải
● Với x 0 thì y 1 suy ra tọa độ giao điểm của d và Oy là A 0;1 .
1 1 suy ra tọa độ giao điểm của d với Ox là B ;0 . 2 2
NH
● Với y 0 thì x
Xét tam giác OAB vuông tại O ta có
1 1 . 2 2
KÈ M
QU
Y
OA y A 1 1 ; OB xB
Dựng đường cao OH ⊥ AB . Áp dụng công thức hệ thức lượng của tam giác
vuông tại A, đường cao AH. Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Y
vuông OAB ta có
Tam giác vuông ABC
DẠ
1 1 1 1 1 1 1 1 5 2 5 OH 2 OH 2 2 2 2 2 OH OA OB OH 1 1 5 5 5 2
Trang 23
BC 2 AB 2 AC 2
5 Vậy khoảng cách từ O tới đường thẳng d là . 5
BH .BC BA2
CI AL
CH .CB CA2
AH .BC AB. AC
AH 2 HB.HC 1 1 1 2 2 AH AB AC 2
FI
Ví dụ 2. Cho đường thẳng d : y 2 . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d . Hướng dẫn giải
OF
Đường thẳng d : y 2 là đường thẳng vuông góc với Oy, song song với Đường thẳng y = m là đường thẳng vuông góc
Ox.
Gọi A là giao điểm của đường thẳng d với trục Oy suy ra giao điểm là
ƠN
A 0; 2
với Oy, song song hoặc trùng với Ox. Khoảng cách của gốc tọa độ với
Vì d : y 2 là đường thẳng vuông góc với Oy vậy suy ra khoảng cách đường thẳng y = m là
m
NH
từ gốc tọa độ tới d là 2.
Bài toán 2: Xác định điều kiện của tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước
QU
Y
Phương pháp giải
Ví dụ: Cho đường thẳng d : y mx 2m . Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng
d
là
2.
Hướng dẫn giải
KÈ M
Bước 1. Xác định giao điểm của đường thẳng Xét m 0 đường thẳng d : y 0 suy ra khoảng
DẠ
Y
y ax b và hai trục Ox, Oy.
cách từ gốc tọa độ tới d bằng 0. Vậy m 0 không thỏa mãn. Xét m 0 : Gọi A là giao điểm của đường thẳng d với trục Ox. Với y 0 thì x 2 suy ra A 2;0 . Gọi B là giao điểm của đường thẳng d với trục Oy. Trang 24
Với x 0 thì y 2m suy ra B 0; 2m . Bước 2. Xác định chiều dài các cạnh của tam Xét tam giác vuông OAB ta có giác OAB.
CI AL
OA x A 2 2 ; OB yB 2m 2m .
Bước 3. Dựng đường cao OH ⊥ AB . Áp dụng Dựng đường cao OH ⊥ AB . Áp dụng công thức
1 1 1 2 2 OH OA OB 2
Bước 4. Giải phương trình, bất phương trình theo ẩn là tham số m.
1 1 1 2 4 2m 2
1 1 2 4m 4 2 m 1
m 1.
OF
1 1 1 2 2 OH OA OB 2
FI
công thức hệ thức lượng của tam giác vuông OAB. hệ thức lượng của tam giác vuông OAB ta có
Vậy m 1 thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến
ƠN
Bước 5. Kết luận
đường thẳng y mx 2m bằng
NH
Ví dụ mẫu
2.
Ví dụ 1. Cho đường thẳng d : y mx 2 . Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d 2 5 . 5
Y
là
Hướng dẫn giải
QU
Xét m 0 đường thẳng d : y 2 suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ tới d bằng 2. Vậy m 0 không thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
Gọi A là giao điểm của đường thẳng d với trục Ox.
2 2 suy ra A ;0 . m m
KÈ M
Với y 0 thì x
Gọi B là giao điểm của đường thẳng d với trục Oy. Với x 0 thì y 2 suy ra B 0; 2 . Xét tam giác vuông OAB ta có
2 2 ; OB yB 2 2 . m m
Y
DẠ
OA x A
Dựng đường cao OH ⊥ AB . Áp dụng công thức hệ thức lượng của tam giác vuông OAB ta có
1 1 1 2 2 OH OA OB 2 Trang 25
1 1 1 m2 1 OH 2 4 22 4 2 m
Mà khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là
2 5 suy ra 5
1 m2 1 5 OH 2 4 4 2 m 4 m 2.
FI
CI AL
OF
Vậy m 2 thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d : y mx 2 bằng
2 5 . 5
Ví dụ 2. Cho đường thẳng d : y x m 1 . Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là 3 2 .
ƠN
Hướng dẫn giải
Với y 0 thì x 1 m suy ra tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và Ox là A 1 m;0 .
NH
Với x 0 thì y m 1 suy ra tọa độ giao điểm B của đường thẳng d và Oy là B 0; m 1 . Xét tam giác vuông OAB ta có:
OA 1 m m 1 ; OB m 1 . Dựng đường cao OH ⊥ AB . Áp dụng công thức hệ thức lượng của tam giác vuông OAB ta có
QU
1 1 1 2 2 2 2 2 OH m 1 m 1 m 1
OH
2
m 1
OH
2 m 1
2
KÈ M
Y
1 1 1 2 2 OH OA OB 2
2
.
Mà khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là 3 2 suy ra OH
m 1
3 2
Y
2 m 1 6.
DẠ
m 1 6 m 1 6 m 7 . m 5
Trang 26
Vậy m 7 ; m 5 thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d : y x m 1 bằng 3 2 .
Bài tập cơ bản Câu 1. Xác định khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng y 3 .
CI AL
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 2. Cho đường thẳng d : y 2 x 1 . Xác định khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d . Bài tập nâng cao
bằng
1 . 5
OF
d
FI
Câu 3. Cho đường thẳng d : y 2mx m . Xác định m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng
Câu 4. Cho đường thẳng d : y x 3 . Tính khoảng cách từ I 1;1 đến đường thẳng d .
Câu 1.
ƠN
Bài tập cơ bản Hàm số y 3 là hàm hằng có đồ thị song song với trục
NH
Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ là -3.
Vậy suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng
Câu 2. Với y 0 x
QU
Y
y 3 bằng 3.
1 1 suy ra đồ thị cắt Ox tại điểm A ;0 . 2 2
KÈ M
Với x 0 y 1 suy ra đồ thị cắt Oy tại điểm B 0;1 . 1 1 ; OB 1 1 . 2 2
DẠ
Y
Xét tam giác OAB vuông tại O có OA
Trang 27
CI AL FI OF
1 1 1 1 1 1 1 5 2 5 OH 2 OH . 2 2 2 2 2 OH OA OB OH 5 5 1 1 2
ƠN
Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d : y 2 x 1 là Bài tập nâng cao
NH
Câu 3.
5 . 5
Xét m 0 phương trình đường thẳng d : y 0 . Với m 0 đường thẳng d là trục Ox suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ đến d bằng 0. Vậy m 0 không thỏa mãn yêu cầu đề bài. Xét m 0 :
Y
1 suy ra đồ thị cắt Ox tại điểm 2
QU
Với y 0 x 1 A ;0 . 2
B 0; m .
KÈ M
Với x 0 y m suy ra đồ thị cắt Oy tại điểm
Xét tam giác vuông OAB vuông tại O. Ta có OA
1 1 ; OB m . 2 2
Dựng đường cao OH vuông góc với AB suy ra ta có
DẠ
Y
1 1 1 1 1 1 1 2 4 2 . 2 2 2 2 2 OH OA OB OH m 1 m 2
Mà OH
1 1 1 1 OH 2 5 suy ra 4 2 5 m 2 1 m 1 . 2 5 OH m 5
Trang 28
5 . 5
Vậy với m 1 khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d : y 2 x 1 là
CI AL
Câu 4. Vẽ đường thẳng d : y x 3 . ● Với
x0
thì
y 3 suy ra đường thẳng
d : y x 3 đi qua điểm A 0;3 . y 0 thì x 3 suy ra đường thẳng
FI
● Với
d : y x 3 đi qua điểm B 3;0 . y4
d : y x 3 đi qua điểm ● Với
suy ra đường thẳng
OF
x 1 thì
M 1; 4 .
y 1 thì x 2 suy ra đường thẳng
d : y x 3 đi qua điểm
N 2;1 .
ƠN
● Với
Xét tam giác MIN vuông tại I ta có
IM yM yI 4 1 3 ;
NH
IN xN xI 1 2 3 .
Dựng IH vuông góc với d . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MIN vuông tại I ta có
Y
1 1 1 1 1 2 9 3 2 2 2 2 IH 2 IH . 2 2 IH IN IM 3 3 9 2 2
QU
Suy ra khoảng cách từ I 1;1 đến đường thẳng d : y x 3 là
3 2 . 2
Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là lớn nhất.
KÈ M
Phương pháp giải
Ví dụ: Cho đường thẳng d : y mx 1 . Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến d là lớn nhất. Hướng dẫn giải
Cách 1. Phương pháp đại số
Y
Bước 1. Xác định giao điểm của đường thẳng Xét m 0 ta có phương trình đường thẳng d là
DẠ
y ax b và hai trục Ox, Oy.
y 1. Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng
d
là 1.
Trang 29
Xét m 0 , gọi A là giao điểm của d : y mx 1 với trục Ox.
1 suy ra tọa độ giao điểm A là m
CI AL
Với y 0 thì x 1 A ;0 . m
Gọi B là giao điểm của d : y mx 1 với trục
FI
Oy.
OF
Với x 0 thì y 1 suy ra tọa độ điểm B 0;1 Bước 2. Xác định chiều dài các cạnh của tam Xét tam giác vuông OAB vuông tại O ta có giác OAB.
1 1 ; OB yB 1 1 . m m
NH
ƠN
OA x A
Bước 3. Dựng đường cao OH ⊥ AB . Áp dụng Dựng đường cao OH ⊥ AB . Áp dụng công thức
Y
công thức hệ thức lượng của tam giác vuông OAB hệ thức lượng của tam giác vuông OAB vuông tại
QU
vuông tại O.
1 1 1 2 2 OH OA OB 2
Y
KÈ M
Bước 4. Biện luận, đánh giá tìm m.
DẠ
Bước 5. Kết luận.
O ta có
1 1 1 2 2 OH OA OB 2 1 1 1 2 m2 1 2 2 OH 1 1 m 1 OH 2 2 . m 1
Ta có
m2 0 m2 1 1
1 1. m 1 2
Vậy OH 1 . Vậy với m 0 thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến
d : y mx 1 là lớn nhất.
Cách 2. Phương pháp hình học Trang 30
Bước 1. Tìm điểm cố định đường thẳng d luôn đi qua.
d
là đường thẳng đi qua M
CI AL
Bước 2. Gọi
vuông góc với OM, vậy suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là OM. Bước 3. Gọi d là đường thẳng bất kì đi qua
FI
M khác d . Dựng OH vuông góc với d suy ra
OF
khoảng cách từ O đến đường thẳng d là OH. Bước 4. Biện luận Xét tam giác vuông OHM vuông tại H ta có Vậy đường thẳng đi qua M có khoảng cách từ O lớn nhất là đường thẳng d đi qua M và vuông
Ví dụ mẫu
QU
Y
NH
góc OM.
ƠN
OH OM (cạnh góc vuông bé hơn cạnh huyền).
d
KÈ M
Ví dụ 1. Cho đường thẳng d : y mx 2m 1 . Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Xét m 0 đường thẳng d có dạng y 1 suy ra khoảng cách từ góc tọa độ tới d là 1.
Y
Xét m 0 :
d : y mx 2m 1
đi qua với mọi m. Suy ra
DẠ
Gọi M x0 ; y0 là điểm mà đồ thị đường thẳng
y0 mx0 2m 1 với mọi m
m x0 2 1 y0 0 với mọi m.
Trang 31
x0 2 0 x0 2 Để m x0 2 1 y0 0 đúng với mọi m thì . 1 y0 0 y0 1
CI AL
Vậy với mọi m đường thẳng d : y mx 2m 1 đi qua M 2; 1 .
Gọi d là đường thẳng đi qua M vuông góc với OM. Vậy suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là OM.
Gọi d là đường thẳng bất kì đi qua M. Dựng OH vuông góc với d suy ra khoảng cách từ O đến
FI
đường thẳng d là OH.
Xét tam giác vuông OHM vuông tại H ta có OH OM (cạnh góc vuông bé hơn cạnh huyền). Vậy
OF
đường thẳng đi qua M có khoảng cách từ O lớn nhất là đường thẳng d đi qua M và vuông góc OM. là
QU
Y
NH
OM OA2 OC 2 22 12 5 với C 0; 1 .
d : y mx 2m 1
ƠN
Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng
KÈ M
Với x 0 thì y 2m 1 suy ra tọa độ giao điểm d và Oy là A 0; 2m 1 . Với y 0 thì x
2m 1 2m 1 ;0 . suy ra tọa độ giao điểm d và Ox là B m m
Xét tam giác vuông OAB vuông tại O ta có
OA y A 2m 1 ; OB xB
2m 1 2m 1 . m m
DẠ
Y
Kẻ đường cao OM ⊥ AB . Áp dụng công thức hệ thức lượng của tam giác vuông OAB ta có
Trang 32
CI AL
1 1 1 2 2 OM OA OB 2 1 1 1 1 2 2 2 OM 2m 1 2m 1 5 m m2 1 1 2 2m 1 5 2m 1 5 m 2 1 2
FI
m 2 4m 4 0 m 2 0 2
OF
m20 m 2.
Vậy m 2 thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d : y mx 2m 1 là lớn nhất bằng
ƠN
Bài tập tự luyện dạng 6
5.
Câu 1. Cho đường thẳng d : y m 1 x 5 . Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng
d
là lớn nhất.
d
NH
Câu 2. Cho đường thẳng d : y 3mx 6m 1 . Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là lớn nhất.
Y
Câu 1.
QU
Xét m 1 ta có phương trình đường thẳng d là y 5 . Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là 5. Xét m 1 , gọi A là giao điểm của d : y m 1 x 5 với trục Ox.
5 5 ;0 . suy ra tọa độ giao điểm A là A m 1 m 1
KÈ M
Với y 0 thì x
Gọi B là giao điểm của d : y m 1 x 5 với trục Oy. Với x 0 thì y 5 suy ra tọa độ điểm B 0;5 .
5 5 ; OB yB 5 5 . m 1 m 1
DẠ
Y
Xét tam giác OAB vuông tại O có OA x A
Trang 33
CI AL FI OF
Dựng đường cao OH ⊥ AB . Áp dụng công thức hệ thức lượng của tam giác vuông OAB
1 1 1 2 2 OH OA OB 2 1 1 1 m 1 1 2 2 2 OH 25 5 5 m 1
25
m 1
2
1
.
Ta có m 1 0 m 1 1 1 2
25
2
m 1
2
1
25 .
Y
Suy ra OH 5 .
NH
OH 2
ƠN
2
QU
Vậy với m 1 thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến d : y m 1 x 5 là lớn nhất bằng 5. Câu 2.
Gọi M x0 ; y0 là điểm mà đồ thị đường thẳng d : y 3mx 6m 1 đi qua với mọi m.
KÈ M
Suy ra y0 3mx0 6m 1 3m x0 2 1 y0 0 với mọi m. Để 3m x0 2 1 y0 0 với mọi m thì x0 2 0 và 1 y0 0 . Xét x0 2 0 x0 2 ; 1 y0 0 y0 1 . Vậy với mọi m đường thẳng d : y 3mx 6m 1 đi qua M 2; 1 .
Y
Gọi d là đường thẳng đi qua M vuông góc với OM suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường
DẠ
thẳng d là OM. Gọi d là đường thẳng bất kì đi qua M. Dựng OH vuông góc với d suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng d là OH.
Trang 34
Xét tam giác vuông OHM vuông tại H ta có OH OM (cạnh góc vuông bé hơn cạnh huyền). Vậy đường thẳng đi qua M có khoảng cách từ O lớn nhất là đường thẳng d đi qua M và vuông góc OM.
1 0 2 0 2
2
5.
là
NH
ƠN
OF
FI
OM
d : y 3mx 6m 1
CI AL
Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng
Xét m 0 phương trình đường thẳng d có dạng y 1 suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng d là 1.
Y
Vậy m 0 không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
QU
Xét m 0 , gọi A là giao điểm của đường thẳng d : y 3mx 6m 1 và trục Oy. Với x 0 thì y 6m 1 suy ra tọa độ của điểm A 0;6m 1 . Gọi B là giao điểm của đường thẳng d : y 3mx 6m 1 và trục Ox.
6m 1 6m 1 ;0 . suy ra tọa độ điểm B 3m 3m
KÈ M
Với y 0 thì x
Xét tam giác OAB vuông tại O có OA y A 6m 1 ; OB xB
6m 1 6m 1 . 3m 3m
DẠ
Y
Dựng đường cao OM ⊥ AB . Áp dụng công thức hệ thức lượng của tam giác vuông OAB ta có
Trang 35
1 1 1 1 2 2 2 OM 6m 1 6m 1 5 3m 9m 2 1 1 2 6m 1 5
CI AL
1 1 1 2 2 OM OA OB 2
6m 1 5 9m 2 1 2
9m 2 12m 4 0 3m 2 0
FI
2
Vậy m
OF
3m 2 0 2 m . 3
2 thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d : y 3mx 6m 1 là lớn nhất bằng 3
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
5.
Trang 36
CHUYÊN ĐỀ BÀI 4. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU
CI AL
Mục tiêu Kiến thức + Nhận biết được hai đường thẳng song song. + Nhận biết được hai đường thẳng cắt nhau.
+ Phát biểu được điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, vuông góc, trùng nhau.
FI
Kĩ năng + Xác định được vị trí tương đối của hai đường thẳng. nhau.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+ Thành thạo cách xác định phương trình đường thẳng.
OF
+ Vận dụng tìm điều kiện của tham số để hai đường thẳng cắt nhau, song song, vuông góc, trùng
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
song song với nhau khi và chỉ khi a a , b b và trùng nhau khi và chỉ khi a a , b b .
Ví dụ: Vẽ đường thẳng (d ): y 2 x 4 và
(d ): y 2 x 2 .
CI AL
Đường thẳng song song Hai đường thẳng y ax b và y ax b
Xét đường thẳng (d ): y 2 x 4 . x
0
y
4
2
0
Đường thẳng (d ): y 2 x 4 đi qua hai điểm
FI
A( 0; 4 ) và B( 2; 0 ) .
x y
OF
Xét đường thẳng (d ): y 2 x 2 . 0
1
2
0
ƠN
Đường thẳng (d ): y 2 x 2 đi qua hai điểm
C( 0; 2 ) và D( 1; 0 ) .
Đồ thị hàm số (d ): y 2 x 4 và (d ): y 2 x 2
QU
Y
NH
như hình vẽ.
Đường thẳng cắt nhau Hai đường thẳng y ax b và y ax b
DẠ
Y
KÈ M
cắt nhau khi và chỉ khi a a .
Ví dụ:
Vẽ đường thẳng (d ): y 2 x 4 và
(d ): y 2 x 2 . Xét đường thẳng (d ): y 2 x 4 . x
0
2
y
4
0
Đường thẳng (d ): y 2 x 4 đi qua hai điểm
A( 0; 4 ) và B( 2; 0 ) . Xét đường thẳng (d ): y 2 x 2 . x
0
–1
y
2
0
Đường thẳng (d ): y 2 x 2 đi qua hai điểm Trang 2
C( 0; 2 ) và D( 1; 0 ) .
ƠN
Chú ý: - Khi a a và b b thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ bằng b. - Khi a.a 1 thì hai đường thẳng vuông góc với nhau.
OF
FI
như hình vẽ.
CI AL
Đồ thị hàm số (d ): y 2 x 4 và (d ): y 2 x 2
NH
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
QU
Y
Đường thẳng y ax b song song với đường thẳng y ax b khi và chỉ khi a a , b b .
KÈ M
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Đường thẳng y ax b trùng với đường thẳng y ax b khi và chỉ khi a a , b b .
Y
Đường thẳng y ax b cắt đường thẳng y ax b khi và chỉ khi a a .
DẠ
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng Phương pháp giải
Cho hai đường thẳng (d1 ): y ax b và
Ví dụ: Cho ba đường thẳng (d1 ): y x 1 , Trang 3
(d 2 ): y x 3 và (d3 ): y 2 x 3 . Xác định vị
(d1 ) // (d 2 ) a a và b b .
trí tương đối của các cặp đường thẳng (d1 ) và
(d1 ) (d 2 ) a a và b b .
(d 2 ) , (d 2 ) và (d3 ) .
(d1 ) cắt (d 2 ) a a .
Hướng dẫn giải Xét hai đường thẳng (d1 ): y x 1 có a1 1, b1 1 ;
(d1 ) (d 2 ) a.a 1 .
Chú ý: Gọi là góc tạo bởi đường thẳng y ax b
CI AL
(d 2 ): y ax b .
(d 2 ): y x 3 có a2 1, b2 3 .
và trục Ox, nếu a 0 thì tan a .
Hai đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) song song với
FI
nhau vì a1 a2 1, b1 b2 (1 3) .
OF
Xét hai đường thẳng (d3 ): y 2 x 1 có a3 2, b3 1 ; (d 2 ): y x 3 có a2 1, b2 3 .
Hai đường thẳng ( d 3 ) và (d 2 ) cắt nhau vì a2 a3 (1 2) .
ƠN
Ví dụ mẫu
b) (d3 ): y 2 x 2 và (d 4 ): y x 2 . Hướng dẫn giải
NH
Ví dụ 1. Xác định vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau a) (d1 ): y 5 và (d 2 ): y 2 .
a) Xét hai đường thẳng (d1 ): y 5 và (d 2 ): y 2 .
Y
Ta có (d1 ): y 5 là đường thẳng song song với Ox;
QU
(d 2 ): y 2 là đường thẳng song song với Ox. Mà 2 5 nên hai đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) song song. b) Xét hai đường thẳng (d3 ): y 2 x 2 và (d 4 ): y x 2 . Đường thẳng (d3 ): y 2 x 2 có các hệ số a3 2; b3 2 .
KÈ M
Đường thẳng (d 4 ): y x 2 có các hệ số a4 1; b4 2 . Hai đường thẳng (d3 ) và (d 4 ) cắt nhau vì a3 a4 (2 1) . Ví dụ 2. Xác định vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau a) (d1 ): y 3 x 3 và (d 2 ): y 3 x 5 .
Y
b) (d3 ): y 2( x 2) x 1 và (d 4 ): y x 3 .
DẠ
Hướng dẫn giải a) Xét hai đường thẳng (d1 ): y 3 x 3 và (d 2 ): y 3 x 5 . Đường thẳng (d1 ): y 3 x 3 có các hệ số a1 3; b1 3 . Đường thẳng (d 2 ): y 3 x 5 có các hệ số a2 3; b2 5 . Trang 4
Hai đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) song song với nhau vì a1 a2 3 và b1 b2 (3 5) .
Đường thẳng (d3 ): y 2( x 2) x 1 (d3 ): y x 3 . Ta có đường thẳng (d3 ) có các hệ số a3 1 ; b3 3 . đường thẳng (d 4 ): y x 3 có các hệ số a4 1; b4 3 .
Bài tập tự luyện dạng 1
FI
Vậy hai đường thẳng (d3 ): y 2( x 2) x 1 và (d 4 ): y x 3 trùng nhau.
CI AL
b) Xét hai đường thẳng (d3 ): y 2( x 2) x 1 và (d 4 ): y x 3 .
Câu 1: Cho ba đường thẳng (d1 ): y x 1 , (d 2 ): y 2 x 2 và (d3 ): y x 2 . Xác định vị trí tương Đáp án Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) .
OF
đối của các cặp đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) , (d 2 ) và (d3 ) , (d1 ) và (d3 ) .
ƠN
Đường thẳng (d1 ): y x 1 có các hệ số a1 1; b1 1 .
Đường thẳng (d 2 ): y 2 x 2 có các hệ số a2 2; b2 2 .
Suy ra đường thẳng (d1 ) cắt đường thẳng (d 2 ) vì a1 a2 (1 2) .
NH
Xác định vị trí tương đối của (d 2 ) và (d3 ) .
Đường thẳng (d 2 ): y 2 x 2 có các hệ số a2 2; b2 2 . Đường thẳng (d3 ): y x 2 có các hệ số a3 1; b3 2 .
Y
Suy ra đường thẳng (d3 ) cắt đường thẳng (d 2 ) vì a3 a2 (2 1) .
QU
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng (d1 ) và (d3 ) Đường thẳng (d1 ): y x 1 có các hệ số a1 1; b1 1 . Đường thẳng (d3 ): y x 2 có các hệ số a3 1; b3 2 . Suy ra đường thẳng (d1 ) song song với đường thẳng (d3 ) vì a1 a3 1; b1 b3 (1 2) .
KÈ M
Câu 2: Cho hai đường thẳng (d1 ) : y 3( x 1) 2 x 2 , (d 2 ) : y 3 x 2( x 5) . Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng (d1 ) ; (d 2 ) . Đáp án
Xét đường thẳng (d1 ) : y 3( x 1) 2 x 2 ta có
y 3( x 1) 2 x 2 y 3 x 3 2 x 2 y x 5 .
Y
Vậy phương trình đường thẳng (d1 ) có dạng y x 5 .
DẠ
Xét phương trình (d 2 ) : y 3 x 2( x 5) ta có
y 3 x 2( x 5) y 3 x 2 x 10 y x 10 .
Vậy phương trình đường thẳng (d 2 ) có dạng y x 10 . Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng (d1 ) : y x 5 ; (d 2 ) : y x 10 . Trang 5
Đường thẳng (d1 ) : y x 5 có các hệ số a1 1; b1 5 . Đường thẳng (d 2 ) : y x 10 có các hệ số a2 1; b2 10 .
CI AL
Vậy suy ra hai đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) song song vì a1 a2 1 và b1 b2 (5 10) .
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hai đường thẳng song song, cắt nhau, vuông góc, trùng nhau Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm m để đồ thị hai hàm số
FI
(d1 ) : y 2 x 3 và (d 2 ) : y (m 3) x m 2 song song với nhau. Bước 1. Xác định các hệ số a, b của các đường thẳng.
OF
Hướng dẫn giải
Hàm số (d1 ) : y 2 x 3 có các hệ số a 2 ; b 3.
ƠN
Hàm số (d 2 ) : y (m 3) x m 2 có các hệ số
a (m 3) ; b m 2 .
Bước 2. Dựa vào điều kiện tương giao của các đường thẳng.
Đồ thị của hai hàm số đã cho song song khi
NH
m 3 2 và m 2 3 .
Hai đường thẳng song song khi a a và b b .
Hai đường thẳng trùng nhau khi khi a a và b b . Hai đường thẳng cắt nhau khi a a .
Y
Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi a.a 1 . trình có ẩn là tham số. Bước 3. Giải và kết luận.
QU
Kết hợp yêu cầu thiết lập phương trình, bất phương Xét m 3 2 m 1 ;
m 2 3 với mọi m vì m 2 0 với mọi m.
KÈ M
Vậy với m 1 thì đồ thị hai hàm số
(d1 ) : y 2 x 3 và (d 2 ) : y (m 3) x m 2 song song.
Ví dụ mẫu
Y
Ví dụ 1. Tìm m để đồ thị hai hàm số bậc nhất (d1 ) : y mx 2m 1 và
DẠ
(d 2 ) : y (2m 3) x 5 cắt nhau. Hướng dẫn giải Hàm số (d1 ) : y mx 2m 1 có các hệ số a m và b 2m 1 .
Chú ý: Khi đề bài yêu cầu hàm số là hàm bậc nhất thì lưu ý đến điều kiện a 0.
Hàm số (d 2 ) : y (2m 3) x 5 có các hệ số a 2m 3 và b 5 . Trang 6
m 0 m 0 3. 2m 3 0 m 2 Đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau khi a a tức là 2m 3 m m 3 . Vậy với m 3 , m 0 và m
3 thì đồ thị hai hàm số bậc nhất 2
m 1 x 3 và 2
(d 2 ) : y 2 x 5 vuông góc với nhau. Huơng dẫn giải m 1 m 1 và b 3 . x 3 có các hệ số a 2 2
ƠN
Hàm số (d1 ) : y
OF
Ví dụ 2. Tìm m để đồ thị hai hàm số bậc nhất (d1 ) : y
FI
(d1 ) : y mx 2m 1 và (d 2 ) : y (2m 3) x 5 cắt nhau.
CI AL
Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất, do đó các hệ số a và a khác 0, tức là
Hàm số (d 2 ) : y 2 x 5 có các hệ số a 2 và b 5 .
Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất, do đó các hệ số a và a khác 0, tức là
NH
m 1 0 m 1. 2 2 0
Đồ thị của hai hàm số đã cho vuông góc với nhau khi a.a 1 tức là
QU
Y
m 1 .2 1 m 1 1 m 0 (thỏa mãn m 1 ). 2
Vậy với m 0 thì đồ thị hai hàm số bậc nhất (d1 ) : y
m 1 x 3 và 2
(d 2 ) : y 2 x 5 vuông góc với nhau.
Tìm m để hai đồ thị hàm số bậc nhất (d1 ) : y m 2 x m và
KÈ M
Ví dụ 3.
(d 2 ) : y x 1 trùng nhau. Hướng dẫn giải
Hàm số (d1 ) : y m 2 x m có các hệ số a m 2 và b m . Hàm số (d 2 ) : y x 1 có các hệ số a 1 và b 1 .
Y
Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất, do đó các hệ số a và a khác 0, tức là
DẠ
m 2 0 m 0. 1 0
Đồ thị của hai hàm số đã cho trùng nhau khi
Trang 7
Vậy với m 1 thì đồ thị hai hàm số bậc nhất (d1 ) : y m 2 x m và
(d 2 ) : y x 1 trùng nhau. Bài tập tự luyện dạng 2
CI AL
m 2 1 a a m 1 (thỏa mãn m 0 ). b b m 1
Câu 1: Cho hàm số bậc nhất y mx 1 và y 2 x 1 . Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị của hai hàm
FI
số trùng nhau. Đáp án Hàm số y 2 x 1 có các hệ số a 2 và b 1 . m 0 Các hàm số là hàm số bậc nhất nên m 0. 2 0
OF
Hàm số y mx 1 có các hệ số a m và b 1 .
ƠN
m 2 Đồ thị của hai hàm số trùng nhau khi m 2 (thỏa mãn m 0 ). 1 1
Vậy với m 2 thì đồ thị hai hàm số y mx 1 và y 2 x 1 trùng nhau.
NH
Câu 2: Cho hàm số bậc nhất y (m 1) x 3 và y 3 x 1 . Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị của hai hàm số song song với nhau. Đáp án
Hàm số y (m 1) x 3 có các hệ số a m 1 và b 3 .
Y
Hàm số y 3 x 1 có các hệ số a 3 và b 1 .
QU
m 1 0 Các hàm số là hàm số bậc nhất nên m 1. 3 0 m 1 3 Đồ thị của hai hàm số song song với nhau khi m 4 (thỏa mãn m 1 ). 3 1
Vậy với m 4 thì đồ thị hai hàm số y (m 1) x 3 và y 3 x 1 song song với nhau.
KÈ M
Câu 3: Cho hàm số bậc nhất y (1 2m) x 5 và y x 1 . Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị của hai hàm số cắt nhau. Đáp án
Hàm số y (1 2m) x 5 có các hệ số a 1 2m và b 5 . Hàm số y x 1 có các hệ số a 1 và b 1 .
Y
1 2m 0 1 Các hàm số là hàm số bậc nhất nên m . 2 1 0
DẠ
Đồ thị của hai hàm số cắt nhau khi 1 2m 1 m 1 . Vậy với m 1 ; m
1 thì đồ thị hai hàm số y (1 2m) x 5 và y x 1 cắt nhau. 2
Trang 8
Câu 4: Cho hàm số bậc nhất y
m x 3 và y 4 x 1 . Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị của hai 2
hàm số vuông góc với nhau.
Hàm số y
CI AL
Đáp án m m và b 3 . x 3 có các hệ số a 2 2
Hàm số y 4 x 1 có các hệ số a 4 và b 1 .
Vậy với m
m 1 .4 1 m (thỏa mãn m 0 ). 2 2
OF
Đồ thị của hai hàm số vuông góc với nhau khi
FI
m 0 Các hàm số là hàm số bậc nhất nên 2 m0. 4 0
1 m thì đồ thị hai hàm số y x 3 và y 4 x 1 vuông góc với nhau. 2 2
ƠN
Câu 5: Tìm m để đồ thị hai hàm số bậc nhất (d1 ) : y (m 2 2) x 2m ; (d 2 ) : y 2 x 4 a) là hai đường thẳng song song. b) là hai đường thẳng trùng nhau.
NH
Đáp án
Hàm số y (m 2 2) x 2m có các hệ số a m 2 2 và b 2m . Hàm số y 2 x 4 có các hệ số a 2 và b 4 .
Y
m 2 2 0 Các hàm số là hàm số bậc nhất nên m 2. 2 0
QU
a) Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song khi và chỉ khi m 2 2 2 m 2 m 2 (thỏa mãn m 2 ). m 2 2m 4
Vậy với m 2 thì đồ thị hai hàm số (d1 ) : y (m 2 2) x 2m và (d 2 ) : y 2 x 4 song song với
KÈ M
nhau. b) Đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi m 2 2 2 m 2 m 2 (thỏa mãn m 2 ). m 2 2 m 4
Vậy với m 2 thì đồ thị hai hàm số (d1 ) : y (m 2 2) x 2m và (d 2 ) : y 2 x 4 trùng nhau.
Y
1 Câu 6: Tìm m để đồ thị hai hàm số bậc nhất (d1 ) : y mx m 3 và (d 2 ) : y x 4 3
DẠ
a) là hai đường thẳng cắt nhau. b) là hai đường thẳng vuông góc.
Đáp án
Hàm số y mx m 3 có các hệ số a m và b m 3 .
Trang 9
1 1 Hàm số y x 4 có các hệ số a và b 4 . 3 3
CI AL
m 0 Các hàm số là hàm số bậc nhất nên 1 m 0. 0 3
a) Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi m
1 1 ; m 0 thì đồ thị hai hàm số (d1 ) : y mx m 3 và (d 2 ) : y x 4 cắt nhau. 3 3
FI
Vậy với m
1 . 3
OF
1 b) Đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi m. 1 m 3 (thỏa 3 mãn m 0 ). 1 Vậy với m 3 thì đồ thị hai hàm số (d1 ) : y mx m 3 và (d 2 ) : y x 4 vuông góc với 3 nhau.
Đáp án
ƠN
Câu 7: Tìm m để đồ thị hai hàm số bậc nhất y (2m 2 m) x m 2 m ; y x 2 song song với nhau. Hàm số y (2m 2 m) x m 2 m có các hệ số a 2m 2 m và b m 2 m .
NH
Hàm số y x 2 có các hệ số a ' 1 và b ' 2 .
m 0 2m 2 m 0 Các hàm số là hàm số bậc nhất nên m(2m 1) 0 1. m 1 0 2
Y
Đồ thị của hai hàm số y (2m 2 m) x m 2 m ; y x 2 song song với nhau thì
QU
m 1 1 2 2 2m m 1 2m m 1 0 (2m 1)(m 1) 0 1 m 2 2m 2 2 m m 2 m m 2 0 (m 2)(m 1) 0 m 1 m 2
(thỏa mãn
1 ). 2
KÈ M
m 0; m
Vậy với m
1 thì đồ thị hai hàm số bậc nhất y (2m 2 m) x m 2 m và y x 2 song song 2
DẠ
Y
với nhau.
Dạng 3: Xác định phương trình đường thẳng Bài toán 1: Xác định phương trình đường thẳng biết điểm đi qua Phương pháp giải Trang 10
Ví dụ: Cho hàm số y ax 1 . Xác định a để đồ thị hàm số trên đi qua điểm M (1;3) .
CI AL
Hướng dẫn giải
Đồ thị hàm số y ax 1 đi qua điểm M (1;3) .
phương trình đường thẳng.
Thay x 1 và y 3 vào y ax 1 , ta được
Bước 2. Thiết lập các phương trình.
3 a.1 1
Bước 3. Giải phương trình.
a 2.
Bước 4. Kết luận.
Vậy với a 2 thì đồ thị hàm số y ax 1 đi qua
FI
Bước 1. Thay tọa độ các điểm đi qua vào
OF
M (1;3) . Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số y 2mx 3m 1 . Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là –1.
ƠN
Hướng dẫn giải
Đồ thị hàm số y 2mx 3m 1 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là –1 tức là đồ thị hàm số đi qua điểm M (1;0) .
NH
Thay x 1 và y 0 vào y 2mx 3m 1 , ta được
0 2m.(1) 3m 1 m 1 .
Vậy với m 1 thì đồ thị hàm số y 2mx 3m 1 số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là –1.
Y
Ví dụ 2. Xác định a, b để đường thẳng y ax b đi qua hai điểm A(1;3) và B (2;5) . Hướng dẫn giải
(1)
Đường thẳng y ax b đi qua điểm B (2;5) suy ra 2a b 5 .
(2)
QU
Đường thẳng y ax b đi qua điểm A(1;3) suy ra a b 3 .
Từ (1) rút a theo b, ta được a 3 b .
KÈ M
Thay vào (2) ta có 2(3 b) b 5 b 1 b 1 . Với b 1 suy ra a 2 .
Vậy với a 2 , b 1 thì đồ thị hàm số y ax b đi qua hai điểm A(1;3) và B (2;5) . Ví dụ 3. Cho hàm số y mx 2 . Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y x 3 tại điểm có hoành độ là 1.
Y
Hướng dẫn giải
DẠ
Gọi A là giao điểm của đồ thị hai hàm số y mx 2 và y x 3 . Vì đồ thị hàm số y mx 2 và y x 3 cắt nhau tại điểm có hoành độ là 1 suy ra tọa độ điểm A là
A(1; 4) .
Đồ thị hàm số y mx 2 đi qua A(1; 4) nên Trang 11
4 m.1 2 m 2 .
Vậy với m 2 thì đồ thị hàm số y mx 2 và y x 3 cắt nhau tại điểm có hoành độ là 1.
CI AL
Bài toán 2: Xác định phương trình đường thẳng biết vị trí tương đối của hai đường thẳng và điểm đi qua Phương pháp giải
Ví dụ: Xác định phương trình đường thẳng đi qua
y x 3 . Hướng dẫn giải
FI
điểm A(1;5) và song song với đường thẳng
Gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;5)
đường thẳng để xác định hệ số a.
và song song với đường thẳng y x 3 là
y ax b .
OF
Bước 1. Dựa vào vị trí tương đối của hai
ƠN
Vì đường thẳng y ax b song song với đường thẳng y x 3 suy ra a 1 và b 3 . Khi đó phương trình đường thẳng y ax b có
NH
dạng y x b (b 3) .
Bước 2. Thay tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua Mặt khác đường thẳng y x b đi qua điểm để xác định hệ số b.
A(1;5) nên 5 1 b b 6 (thỏa mãn b 3 ).
Vậy định phương trình đường thẳng đi qua điểm
Ví dụ mẫu
QU
Y
Bước 3. Kết luận.
A(1;5) và song song với đường thẳng y x 3 là y x 6 .
y
1 x 3. 2
KÈ M
Ví dụ 1. Xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1; 2) và vuông góc với đường thẳng
Hướng dẫn giải
Gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1; 2) và vuông góc với đường thẳng y
1 x 3 là y ax b . 2
1 x 3 suy ra 2
DẠ
Y
Vì đường thẳng y ax b vuông góc với đường thẳng y 1 a. 1 a 2 . 2
Khi đó phương trình đường thẳng y ax b có dạng y 2 x b . Mặt khác đường thẳng y 2 x b đi qua điểm A(1; 2) suy ra Trang 12
2 2.1 b b 0 1 x 3 là 2
CI AL
Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1; 2) và vuông góc với đường thẳng y
y 2 x .
Ví dụ 2. Xác định phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y 3 x 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 6. Hướng dẫn giải
FI
Gọi phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y 3 x 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 6 là y ax b .
OF
Vì đường thẳng y ax b song song với đường thẳng y 3 x 2 suy ra a 3 và b 2 .
Khi đó phương trình đường thẳng y ax b có dạng y 3 x b (b 2) .
ƠN
Mặt khác đường thẳng y 3 x b cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 6 hay đường thẳng
y 3 x b đi qua điểm M (6;0) suy ra 0 3.6 b b 18 (thỏa mãn b 2 ).
NH
Vậy phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y 3 x 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 6 là y 3 x 18 .
Bài tập tự luyện dạng 3
Y
Câu 1: Cho hàm số y (m 1) x 2 . Tìm tham số m để đồ thị hàm số đi qua điểm M (1;3) .
QU
Đáp án
Đồ thị hàm số y (m 1) x 2 đi qua điểm M (1;3) nên 3 (m 1).1 2 m 1 1 m 2 . Vậy với m 2 thì đồ thị hàm số y (m 1) x 2 đi qua điểm M (1;3) . độ là 3 . Đáp án
KÈ M
Câu 2: Cho hàm số y (3m 1) x m 2 . Tìm tham số m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là –3 nên đồ thị hàm số đi qua điểm (0;–3). Thay x 0 và y 3 vào hàm số, ta được 3 (3m 1).0 m 2 m 5 . Vậy với m 5 thì đồ thị hàm số y (3m 1) x m 2 cắt trục tung tại điểm có tung độ là –3. độ là 1.
DẠ
Đáp án
Y
Câu 3: Cho hàm số y 2mx 3m 2 . Tìm tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 1 nên đồ thị hàm số đi qua điểm (1;0). Thay x = 1 và y = 0 vào hàm số, ta được 0 2m.1 3m 2 m 2. . Vậy với m = 2 thì đồ thị hàm số y 2mx 3m 2 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 1. Trang 13
Câu 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (1; 2) và song song với đường thẳng y 2 x 1 . Đáp án dạng y ax b. .
CI AL
Gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm M (1; 2) và song song với đường thẳng y 2 x 1 có
a 2 Vì đường thẳng y ax b song song với đường thẳng y 2 x 1 nên .. b 1 Khi đó phương trình đường thẳng y ax b có dạng y 2x b b 1 .
FI
Mặt khác đường thẳng y 2x b đi qua điểm M (1; 2) nên 2 2.1 b b 4 (thỏa mãn Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y 2x 4 .
OF
b 1 ).
Câu 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (2;3) và song song với đường thẳng y 2 x 1 . Đáp án
Gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm M (2;3) và song song với đường thẳng y 2 x 1 có
ƠN
dạng y ax b .
a 2 Vì đồ thị hàm số y ax b song song đồ thị hàm số y 2 x 1 nên . b 1
NH
Khi đó phương trình đường thẳng y ax b có dạng y 2 x b (b 1) . Mặt khác đường thẳng y ax b đi qua điểm M (2;3) suy ra 3 2.2 b b 1 (thỏa mãn b 1 ). Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm M (2;3) và song song với đường thẳng y 2 x 1 là
y 2x 1.
Đáp án
QU
có tung độ là 5 .
Y
Câu 6: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng y
Gọi phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng y
2 x 2 và cắt trục tung tại điểm 3
2 x 2 và cắt trục tung tại điểm 3
KÈ M
có tung độ là 5 có dạng y ax b . Vì đồ thị hàm số y ax b vuông góc với đường thẳng y Khi đó phương trình hàm số y ax b có dạng y
2 3 2 . x 2 nên a. 1 a 3 2 3
3 xb. 2
Mặt khác đường thẳng y ax b cắt trục tung tại điểm có tung độ là –5 suy ra đồ thị hàm số là
DẠ
Y
đường thẳng đi qua điểm M (0; 5) . Thay x 0 và y 5 vào hàm số, ta được 5
3 .0 b b 5 . 2
Trang 14
Vậy phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng y
3 x 5. 2
CI AL
có tung độ là 5 là y
2 x 2 và cắt trục tung tại điểm 3
Câu 7: Xác định m để đường thẳng y mx 3m 1 đi qua điểm A(1; 3) . Đáp án Đường thẳng y mx 3m 1 đi qua điểm A(1; 3) . Thay x 1 và y 3 vào hàm số y mx 3m 1 , ta được
1 thì đồ thị hàm số y mx 3m 1 đi qua điểm A(1; 3) . 2
OF
Vậy với m
1 . 2
FI
3 m.1 3m 1 4m 2 m
Câu 8: Xác định m để đường thẳng y (2m 1) x 3m 2 song song với đường thẳng y 3 x 9 .
ƠN
Đáp án
Hàm số y (2m 1) x 3m 2 có các hệ số a 2m 1 ; b 3m 2 . Hàm số y 3 x 9 có các hệ số a 3 và b 9 .
Để đồ thị hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song thì a a và b b .
NH
Xét a a suy ra 2m 1 3 2m 4 m 2 . Xét b b suy ra 3m 2 9 3m 7 m
7 . 3
Kết hợp hai điều kiện trên, ta được m 2 .
Y
Vậy để đồ thị hai hàm số y (2m 1) x 3m 2 và y 3 x 9 là hai đường thẳng song song thì
DẠ
Y
KÈ M
QU
m2.
Trang 15
BÀI 5. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y ax b (a 0)
Kiến thức
CI AL
Mục tiêu + Hiểu được định nghĩa góc tạo bởi đường thẳng y ax b (a 0) và trục Ox. + Biết được cách tính số đo góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox. Kĩ năng + Tìm được hệ số góc của đường thẳng.
FI
+ Xác định góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
+ Xác định phương trình đường thẳng biết hệ số góc.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Góc tạo bởi đường thẳng y ax b (a 0) và trục Ox
CI AL
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khi nói góc tạo bởi đường thẳng y ax b và trục Ox ta hiểu đó là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là tọa độ giao điểm của đường thẳng
y ax b với trục Ox và T là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng
NH
ƠN
OF
FI
có tung độ dương.
2. Hệ số góc
y ax b (a 0) và
Y
Hai đường thẳng song song
Ví dụ: Vẽ đường thẳng (d ) : y 2 x 4 và (d ) : y 2 x 2 . Xác định tan của
Đường thẳng y ax b (a 0) và y ax b (a 0)
góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox.
Khi a a thì hai đường thẳng song song suy ra
Xét đường thẳng (d ) : y 2 x 4 .
QU
y ax b (a 0) cùng tạo với trục Ox các góc bằng nhau.
DẠ
Y
KÈ M
T Ax (hai góc đồng vị bằng nhau). TAx
Với x 0 và y 4 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4) Với y 0 và x 2 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm B(2;0) Xét đường thẳng (d ) : y 2 x 2 . Với x 0 và y 2 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm C (0; 2)
tan của góc tạo bởi đường thẳng y ax b (a 0) và trục
Ox bằng a.
Với y 0 và x 1 suy ra đồ thị
Trang 2
hàm số đi qua điểm D(1;0) .
OF
FI
(d ) : y 2 x 2 .
CI AL
Đồ thị hàm số (d ) : y 2 x 4 và
Tam giác vuông ABO ta có
ƠN
OA 4 4 ; OB 2 2
OA 4 2 a. OB 2
Tam giác vuông CDO ta có OC 2 2 ; OD 1 1
Suy ra tan CDO
OC 2 2 a . OD 1
Chú ý: - Khi a 0 góc tạo bởi đường thẳng
y ax b (a 0) và trục Ox nhỏ hơn 90o - Khi a 0 góc tạo bởi đường thẳng
y ax b (a 0) và trục Ox lớn hơn 90o .
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ABO Suy ra tan
Trang 3
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
CI AL
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi đường thẳng y ax b và trục Ox, là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là tọa độ giao điểm của đường thẳng y ax b với trục Ox và T là điểm bất kì thuộc đường thẳng có tung độ dương.
Khi a 0 góc tạo bởi đường thẳng y ax b hơn 90o .
Xác định góc tạo bởi đường
OF
HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG
(a 0) và trục Ox lớn
FI
Tìm hệ số góc của đường thẳng
thẳng và tia Ox
Khi a 0 góc tạo bởi đường thẳng y ax b
Xác định phương trình đường
ƠN
(a 0) và trục Ox nhỏ hơn 90o
thẳng biết hệ số góc.
Hai đường thẳng song song y ax b (a 0) và
NH
y ax b (a 0) cùng tạo với trục Ox các góc bằng nhau. Giá tan của góc tạo bởi đường thẳng y ax b (a 0) và trục Ox bằng a.
Y
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
KÈ M
Phương pháp giải
QU
Dạng 1: Tìm hệ số góc của đường thẳng
Dựa vào kiến thức vị trí tương đối của hai đường thẳng
Ví dụ: Xác định hệ số góc của đường thẳng
(d ) : y ax b (a 0) biết (d) song song với đường thẳng y 3 x 1 . Hướng dẫn giải Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y 3 x 1 khi a 3 . Vậy suy ra hệ số góc của đường thẳng (d)
Hai đường thẳng trùng nhau khi khi a a và b b .
song song với đường thẳng y 3 x 1 là 3.
Y
Hai đường thẳng song song khi a a và b b . Hai đường thẳng cắt nhau khi a a .
DẠ
Đường thẳng y ax b (a 0) tạo với trục Ox một
góc thì hệ số góc
a tan nếu 90O ;
Trang 4
a tan(180o ) nếu 90O . Ví dụ mẫu
với trục Ox là 30O. Hướng dẫn giải Vì góc tạo bởi đường thẳng (d ) : y ax b (a 0) với trục Ox là 30O nên
Vậy hệ số góc của đường thẳng (d) tạo với trục Ox là
3 . 3
FI
1 3 . 3 3
OF
a tan 30o
CI AL
Ví dụ 1. Xác định hệ số góc của đường thẳng (d ) : y ax b (a 0) biết góc tạo bởi (d)
Ví dụ 2. Cho đường thẳng (d ) : y mx 2m 1 . Tìm hệ số góc của đường thẳng (d) biết rằng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 1 .
ƠN
Hướng dẫn giải
Vì đường thẳng (d ) : y mx 2m 1 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 1 , suy ra đường thẳng
(d ) : y mx 2m 1 đi qua điểm A(1;0) . Vậy với x 1 thì y 0 suy ra
NH
0 m.(1) 2m 1 m 1 .
Với m 1 đường thẳng (d ) : y mx 2m 1 có dạng y x 1 . Vậy hệ số góc của đường thẳng (d ) : y mx 2m 1 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 1 là 1.
Y
Ví dụ 3. Tìm m để đường thẳng (d ) : y (m 2 1) x 3m 2 có hệ số góc nhỏ nhất. Hướng dẫn giải
QU
Đường thẳng (d ) : y (m 2 1) x 3m 2 có hệ số góc a m 2 1 . Ta có m 2 0 m 2 1 1 a 1.
Vậy hệ số góc nhỏ nhất của đường thẳng (d ) : y (m 2 1) x 3m 2 là 1 khi m 0 .
KÈ M
Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản
Câu 1: Xác định hệ số góc của đường thẳng biết đường thẳng đó vuông góc với đường thẳng y 2 x 7 . Đáp án
Đường thẳng y 2 x 7 có hệ số a 2 ; b 7 .
Y
Vậy hệ số góc của đường thẳng y 2 x 7 là a 2 nên hệ số góc của đường thẳng vuông góc với
DẠ
1 đường thẳng y 2 x 7 là . 2
Câu 2: Xác định hệ số góc của đường thẳng y mx 2 , biết đường thẳng đi qua điểm A(1;3) . Đáp án
Đường thẳng y mx 2 đi qua điểm A(1;3) nên 3 m.1 2 m 1 . Trang 5
Vậy hệ số góc của đường thẳng y mx 2 là 1. Câu 3: Xác định hệ số góc của đường thẳng (d ) : y (m 1) x 2m 3 biết đường thẳng đi qua điểm
CI AL
A(1; 2) . Đáp án Đường thẳng (d ) : y (m 1) x 2m 3 đi qua điểm A(1; 2) do đó
2 (m 1)(1) 2m 3 2 m 1 2m 3 2 m 2 m 4 . Với m 4 phương trình đường thẳng (d) có dạng y 3 x 5 .
FI
Vậy suy ra hệ số góc của đường thẳng (d ) : y (m 1) x 2m 3 đi qua điểm A(1; 2) là a 3 . Bài tập nâng cao
OF
Câu 4: Xác định hệ số góc của đường thẳng (d ) : y (m 2 1) x 2m 3 biết đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ là 9. Đáp án
Đường thẳng (d ) : y (m 2 1) x 2m 3 cắt trục tung tại điểm có tung độ là 9 suy ra đường thẳng
ƠN
(d ) : y (m 2 1) x 2m 3 đi qua điểm A(0;9) nên
9 (m 2 1).0 2m 3 9 2m 3 2m 12 m 6 Với
m 6
đường thẳng có dạng
y 35 x 9 . Vậy hệ số góc của đường thẳng
NH
(d ) : y (m 2 1) x 2m 3 cắt trục tung tại điểm có tung độ là 9 là a 35 . Câu 5: Xác định hệ số góc lớn nhất của đường thẳng (d ) : y (m 2 2m 3) x 4m 1 . Đáp án
Y
Hệ số góc của đường thẳng (d ) : y (m 2 2m 3) x 4m 1 là a m 2 2m 3
QU
m 2 2m 3 (m 2 2m 3)
(m 2 2m 1 2) (m 1) 2 2
(m 1) 2 2
KÈ M
Mà (m 1) 2 0 với mọi m suy ra (m 1) 2 2 2 với mọi m. Vậy hệ số góc lớn nhất của đường thẳng (d ) : y (m 2 2m 3) x 4m 1 là –2 khi m 1 . Dạng 2: Xác định góc tạo bởi đường thẳng y ax b (a 0) với trục Ox
DẠ
Y
Phương pháp giải
Ví dụ: Xác định góc của đường thẳng
y 2 x 3 với trục Ox. Hướng dẫn giải
Bước 1. Dựa vào công thức liên hệ giữa hệ số a
Gọi là góc tạo bởi đường thẳng y 2 x 3
và góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox là
với trục Ox, suy ra tan 2 Trang 6
63o 26 .
Bước 3. Kết luận
Vậy 63o 26
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Xác định góc của đường thẳng (d ) : y ax b với trục Ox biết (d) vuông góc với đường thẳng y
1 x 5. 2 1 x 5 suy ra 2
Hai đường thẳng
y ax b (a 0) và
OF
Đường thẳng (d ) : y ax b vuông góc với đường thẳng y
FI
Hướng dẫn giải
CI AL
a tan .
1 a. 1 a 2 . 2
y ax b (a 0)
Gọi là góc tạo bởi đường thẳng (d ) : y ax b với trục Ox, suy ra
ƠN
tan 2 .
116o34 .
song song với nhau
khi và chỉ khi a a; b b .
Vậy góc tạo bởi trục Ox với đường thẳng (d ) : y ax b là 116o34 .
NH
Ví dụ 2. Xác định góc của đường thẳng (d ) : y (m 1) x 3m với trục Ox. Biết đường thẳng (d ) : y (m 1) x 3m cắt trục tung tại điểm có tung độ là 9. Hướng dẫn giải
Y
Đường thẳng (d ) : y (m 1) x 3m cắt trục tung tại điểm có tung độ là 9 tức là đường thẳng
QU
(d ) : y (m 1) x 3m đi qua điểm A(0;9) .
Với x 0 thì y 9 suy ra 9 (m 1).0 3m m 3 . Với m 3 phương trình đường thẳng (d) có dạng y 2 x 6 . Gọi là góc tạo bởi đường thẳng y 2 x 6 với trục Ox, suy ra 63o 26 .
KÈ M
Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản
Câu 1: Tính góc tạo bởi đường thẳng y 3 x 1 với trục Ox. Đáp án
Ta có hệ số góc đường thẳng y 3 x 1 là a tan 3 60o .
DẠ
Y
Câu 2: Đường thẳng (d) lần lượt cắt trục hoành, trục tung tại điểm có hoành độ là –1 và tung độ là 1. Xác định góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox. Đáp án
Đường thẳng (d ) : y ax b qua điểm A(1;0) và B(0;1) nên a 1; b 1 (d ) : y x 1 . Hệ số góc đường thẳng (d) là a tan 1 45o . Trang 7
Câu 3: Xác định góc tạo bởi đường thẳng (d) với trục Ox,biết rằng đường thẳng (d) song song với đường thẳng y 2 x 3 . Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y ax b (a 0) .
CI AL
Đáp án Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y 2 x 3 suy ra hệ số góc đường thẳng (d) là a 2.
Gọi là góc tạo bởi đường thẳng (d) với trục Ox suy ra tan 2 63o 26 .
FI
Vậy góc tạo bởi đường thẳng (d) song song với đường thẳng y 2 x 3 với trục Ox là 63o 26 .
Đáp án
OF
Câu 4: Xác định góc tạo bởi đường thẳng (d) với trục Ox, biết rằng đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(1;3) và B(2;5) . Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y ax b (a 0) . (1).
Đường thẳng (d) đi qua B (2;5) suy ra 2a b 5
(2).
ƠN
Đường thẳng (d) đi qua A(1;3) suy ra a b 3
Từ (1) suy ra a 3 b thay vào (2) ta có 2(3 b) b 5 . 6 2b b 5
NH
b 1 b 1.
Với b 1 suy ra a 2 .
Gọi là góc tạo bởi đường thẳng (d) với trục Ox suy ra tan 2 63o 26
Y
Vậy góc tạo bởi đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(1;3) và B (2;5) là 63o 26 .
QU
Bài tập nâng cao
Câu 5: Xác định góc tạo bởi đường thẳng (d) với trục Ox,biết rằng đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy tạo thành một tam giác vuông cân.
Y
KÈ M
Đáp án
DẠ
Đường thẳng (d) cắt hai trục tọa độ tạo tam giác vuông cân suy ra góc tạo bởi đường thẳng (d) với trục Ox là 45o hoặc 135o . Vậy suy ra hệ số góc của đường thẳng (d) là a tan 45o 1 hoặc a tan(180o 135o ) 1 .
Trang 8
Dạng 3: Xác định phương trình đường thẳng biết hệ số góc Phương pháp giải
CI AL
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm A(1;3) . Hướng dẫn giải
Gọi phương trình đường thẳng (d) là
góc và hệ số góc.
y ax b .
một góc thì hệ số góc
Vì đường thẳng (d) có hệ số góc là 2 suy ra a 2.
OF
Đường thẳng y ax b (a 0) tạo với trục Ox
FI
Bước 1. Xác định hệ số góc a dựa vào kiến thức về
a tan nếu 90o
Vậy phương trình đường thẳng (d) có dạng
a tan(180o ) nếu 90o
y 2x b .
Mặt khác đường thẳng (d) đi qua điểm
ƠN
Bước 2. Thay tọa độ các điểm đi qua vào phương
A(1;3) do đó với x 1 thì y 3 suy ra ta
trình đường thẳng xác định hệ số b.
có 3 2.1 b b 1 .
Bước 3. Kết luận.
NH
Vậy phương trình đường thẳng có hệ số góc bẳng 2 và đi qua điểm A(1;3) là y 2 x 1 .
Ví dụ mẫu
Hướng dẫn giải
QU
điểm A( 3; 2) .
Y
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 60O và đi qua
Gọi phương trình đường thẳng (d) là y ax b .
KÈ M
Vì đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 60O suy ra a tan 60o 3 . Vậy phương trình đường thẳng (d) có dạng y 3 x b . Mặt khác đường thẳng (d) đi qua điểm A( 3; 2) do đó 2 3. 3 b b 1 . Vậy phương trình đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 60O và đi qua điểm A( 3; 2) là
y 3x 1 .
Y
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng (d) biết đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 135O và đi qua
DẠ
điểm A(1;5) .
Hướng dẫn giải Gọi phương trình đường thẳng (d) là y ax b . Vì đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 135O suy ra a tan(180o 60o ) 1 . Trang 9
Vậy phương trình đường thẳng (d) có dạng y x b . Mặt khác đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;5) do đó 5 1 b b 6 .
CI AL
Vậy phương trình đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 135O và đi qua điểm A(1;5) là y x 6 . Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản
FI
Câu 1: Viết phương trình đường thẳng (d), biết đường thẳng có hệ số góc bằng –3 và đi qua điểm M (2;5) . Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y ax b . Vì hệ số góc của đường thẳng bằng –3 suy ra a 3 . Vậy phương trình đường thẳng (d) có dạng y 3 x b .
OF
Đáp án
ƠN
Mặt khác, đường thẳng (d) đi qua điểm M (2;5) suy ra 5 3(2) b b 1 . Vậy phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc bằng -3 và đi qua điểm M (2;5) là y 3 x 1 . Câu 2: Viết phương trình đường thẳng (d), biết đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 30O và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3.
NH
Đáp án
Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y ax b .
Y
Vì góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox là 30o suy ra hệ số góc là a tan 30o
1 xb. 3
QU
Vậy phương trình đường thẳng (d) có dạng y
1 . 3
Mặt khác, đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3 suy ra đường thẳng đi qua điểm 1 .0 b b 3 . M (0;3) , suy ra 3 3
KÈ M
Vậy phương trình đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 30O và cắt trục tung tại điểm có tung 1 x 3. độ bằng 3 là y 3 Bài tập nâng cao
Câu 3: Viết phương trình đường thẳng (d), biết đường thẳng (d) đi qua điểm M (2; 1) và cắt hai trục tọa
DẠ
Đáp án
Y
độ tạo tam giác vuông cân.
Trang 10
CI AL
Đường thẳng (d) cắt hai trục tọa độ tam giác vuông cân suy ra góc tạo bởi đường thẳng (d) với
FI
trục Ox là 45o hoặc 135o .
Vậy suy ra hệ số góc của đường thẳng (d) là a tan 45o 1 hoặc a tan(180o 135o ) 1 .
OF
Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y ax b .
Với a 1 đường thẳng có dạng y x b . Mặt khác, ta lại có đường thẳng (d) đi qua điểm
M (2; 1) suy ra 1 2 b b 3 .
Suy ra phương trình đường thẳng đi qua điểm M (2; 1) và cắt hai trục tọa độ tạo tam giác vuông
ƠN
cân là y x 3 .
Với a 1 đường thẳng có dạng y x b . Mặt khác, ta lại có đường thẳng (d) đi qua điểm
M (2; 1) suy ra 1 2 b b 1 . cân là y x 1 .
NH
Suy ra phương trình đường thẳng đi qua điểm M (2; 1) và cắt hai trục tọa độ tạo tam giác vuông Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm M (2; 1) và cắt hai trục tọa độ tạo tam giác vuông cân là y x 3 hoặc y x 1 .
Y
Câu 4: Viết phương trình đường thẳng (d), biết đường thẳng (d) đi qua điểm M (1; 4) và cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A,B và OB 2OA .
QU
Đáp án
Đường thẳng (d) cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A,B và OB 2OA , suy ra hệ số góc của OB OB 2 hoặc a tan(180 ) 2 . đường thẳng (d) là a tan OA OA
KÈ M
Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y ax b . Với a 2 đường thẳng có dạng y 2 x b . Mặt khác, ta lại có đường thẳng (d) đi qua điểm M (1; 4) suy ra 4 2.1 b b 2 . Suy ra phương trình đường thẳng là y 2 x 2 . Với a 2 đường thẳng có dạng y 2 x b .
Y
Mặt khác, ta lại có đường thẳng (d) đi qua điểm M (1; 4) suy ra 4 2.1 b b 6 .
DẠ
Suy ra phương trình đường thẳng là y 2 x 6 . Vậy phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là y 2 x 2 hoặc y 2 x 6 . THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ 3 VÀ 4 THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT SỐ 3 VÀ 4 THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ SỐ 1 VÀ SỐ 2 Trang 11
CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
CI AL
Mục tiêu Kiến thức + Nắm được khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn. + Hiểu được tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn. Kĩ năng
FI
+ Xác định được một cặp x0 ; y0 có là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn không.
+ Viết được công thức tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn tập nghiệm trên
OF
mặt phẳng tọa độ.
+ Tìm được điều kiện tham số để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình ax by c thỏa mãn một số điều kiện. I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
ƠN
+ Tìm được các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ: Các phương trình 3 x y 0 , x 4 y 0 ,
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức
0 x 3 y 7 , 5 x 0 y 9 là các phương trình bậc
NH
Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax by c ,
nhất hai ẩn.
trong đó a , b và c là các số đã biết ( a 0 hoặc Ví dụ: b 0 ).
Cặp số
Y
Nghiệm phương trình bậc nhất hai ẩn
QU
Trong phương trình ax by c , nếu giá trị của vế trái tại x x0 , y y0 bằng vế phải thì cặp số
x0 ; y0
2;6
là một nghiệm của phương trình
3 x y 0 vì 3.2 6 0 . Cặp số
4;1
là một nghiệm của phương trình
x 4 y 0 vì 4 4.1 0 .
được gọi là nghiệm của phương trình
ax by c .
x0 ; y0 .
KÈ M
Ta cũng viết phương trình ax by c có nghiệm
Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy , mỗi nghiệm của phương trình ax by c được biểu diễn bởi một
x0 ; y0
Y
điểm. Nghiệm
được biểu diễn bởi một
DẠ
điểm có tọa độ x0 ; y0 . Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ:
Phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c luôn có Tập nghiệm của phương trình 2 x y 4 được biểu vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn diễn bởi đồ thị hàm số bậc nhất d1 : y 2 x 4 . Trang 1
bởi đường thẳng ax by c , kí hiệu là d .
Tập nghiệm của phương trình 2 x 0. y 4 được biểu
- Nếu a 0 và b 0 thì đường thẳng d chính diễn bởi đường thẳng d 2 : x 2 cắt trục hoành tại
CI AL
điểm có hoành độ bằng 2 và song song với Oy.
a c là đồ thị hàm số bậc nhất y x . b b
Tập nghiệm của phương trình 0 x 2 y 6 được biểu
- Nếu a 0 và b 0 thì phương trình trở thành diễn bởi đường thẳng d : y 3 cắt trục tung tại 3 c ax c hay x và đường thẳng d song song điểm có tung độ bằng 3 và song song với Ox. a
FI
hoặc trùng với trục tung. - Nếu a 0 và b 0 thì phương trình trở thành c và đường thẳng d song song b
OF
by c hay y
NH
ƠN
hoặc trùng với trục hoành.
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
QU
KÈ M
( a 0 hoặc b 0 ).
Y
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax by c . Trong đó a , b , c là các số đã biết
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn
Y
bởi đường thẳng ax by c .
DẠ
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định một cặp x0 ; y0 có là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn không? Bài toán 1: Xác định cặp x0 ; y0 là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c Phương pháp giải Trang 2
Thực hiện theo các bước sau Bước 1. Lần lượt thay giá trị x x0 ; y y0 vào Ví dụ: Trong các cặp 2;3 ; 1; 2 cặp nào là nghiệm phương trình bậc nhất hai ẩn 2 x y 1 ?
Bước 2. Tính giá trị vế trái ax0 by0 .
Hướng dẫn giải
Bước 3. So sánh ax0 by0 với c.
Xét phương trình bậc nhất hai ẩn 2 x y 1 .
-Nếu VT VP thì cặp x0 ; y0 là nghiệm phương Với cặp số 2;3 ta có 2.2 3 1 1 1 (đúng).
FI
trình ax by c .
CI AL
phương trình ax by c .
- Nếu VT VP thì cặp x0 ; y0 không là nghiệm Với cặp số 1; 2 ta có
2. 1 2 1 4 1 (không đúng).
OF
phương trình ax by c .
Vậy cặp số 2;3 là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 2 x y 1 và cặp số 1; 2 không phải
.
NH
Ví dụ mẫu
ƠN
nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 2 x y 1
Ví dụ 1. Trong các cặp số sau đây 1; 2 ; 2;5 ; 3;7 cặp số nào là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 2 x y 1 .
Y
Hướng dẫn giải
QU
a) Xét phương trình bậc nhất hai ẩn 2 x y 1 .
Với cặp số 1; 2 ta có 2. 1 2 1 2 2 1 0 1 (không đúng). Vậy cặp số 1; 2 không phải là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 2 x y 1 .
KÈ M
Với cặp số 2;5 ta có 2. 2 5 1 4 5 1 1 1 (đúng). Vậy cặp số 2;5 là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 2 x y 1 . Với cặp số 3;7 ta có 2. 3 7 1 6 7 1 1 1 (đúng). Vậy cặp số 3;7 là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 2 x y 1 . Ví dụ 2. Trong các phương trình bậc nhất hai ẩn x y 3 ; x 2 y 5 ; 3 x y 6 phương trình nào
Y
nhận cặp số 1; 2 là nghiệm?
DẠ
Hướng dẫn giải
Xét phương trình x y 3 . Với cặp số 1; 2 ta có 1 2 3 3 3 (đúng).
Trang 3
Vậy phương trình x y 3 nhận cặp số 1; 2 là nghiệm. Xét phương trình x 2 y 5 .
CI AL
Với cặp số 1; 2 ta có 1 2.2 5 5 5 (đúng). Vậy phương trình x 2 y 5 nhận cặp số 1; 2 là nghiệm. Xét phương trình 3 x y 6 . Với cặp số 1; 2 ta có 3 1 2 6 1 6 (không đúng).
FI
Vậy phương trình 3 x y 6 không nhận cặp số 1; 2 là nghiệm.
OF
Bài toán 2: Tìm m để phương trình bậc nhất hai ẩn nhận cặp x0 ; y0 làm nghiệm Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm m để phương trình x y m nhận cặp
Thực hiện theo các bước sau
ƠN
Bước 1. Lần lượt thay giá trị x0 ; y0 vào phương số 1; 2 là nghiệm. trình ax by c .
Hướng dẫn giải
Bước 2. Thiết lập phương trình theo ẩn m.
Phương trình x y m nhận cặp số
Bước 3. Giải phương trình theo ẩn m.
1; 2
là
nghiệm khi và chỉ khi
NH
Bước 4. Kết luận.
1 2 m m3
Ví dụ mẫu
1; 2
là nghiệm.
QU
Y
Vậy m 3 phương trình x y m nhận cặp số
Ví dụ 1. Xác định m để phương trình bậc nhất hai ẩn mx y 2 nhận cặp số 1;3 là nghiệm.
KÈ M
Hướng dẫn giải
Phương trình bậc nhất hai ẩn mx y 2
nhận cặp số
1;3
là nghiệm khi và chỉ khi
m.1 3 2 m 1 .
Vậy với m 1 phương trình bậc nhất hai ẩn mx y 2 nhận cặp số 1;3 là nghiệm. Ví dụ 2. Xác định phương trình bậc nhất hai ẩn nhận hai cặp số 1; 2 và 2;5 là hai nghiệm.
Y
Hướng dẫn giải
DẠ
Giả sử phương trình bậc nhất hai ẩn nhận hai cặp số 1; 2 và 2;5 là hai nghiệm có dạng ax by c
a
2
b2 0 .
Vì phương trình ax by c nhận cặp số 1; 2 là nghiệm nên a 2b c . (1)
Trang 4
Vì phương trình ax by c nhận cặp số 2;5 là nghiệm nên 2a 5b c . (2) Từ (1) suy ra a c 2b thay vào (2) ta được 4b 2c 5b c c b .
CI AL
Với c b thay vào (1) ta được a 2b b a 3b Vì a 2 b 2 0 nên a 0 ; b 0 .
Với a 3b và c b phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng 3bx by b 3 x y 1 .
FI
Vậy phương trình bậc nhất hai ẩn nhận hai cặp số 1; 2 và 2;5 là hai nghiệm là 3 x y 1 .
Bài tập tự luyện dạng 1
OF
Câu 1: Tìm giá trị của m để phương trình 2mx y 1 nhận cặp số 1;3 là nghiệm.
Câu 2: Trong các cặp số 1; 2 ; 2;3 ; 3; 4 ; 1; 1 cặp số nào là nghiệm của phương trình 4 x y 5 . Câu 3: Tìm điều kiện m để phương trình 2m 1 x my 2 nhận cặp số 1; 1 là nghiệm.
ƠN
Câu 4: Xác định phương trình bậc nhất hai ẩn biết phương trình đó nhận hai cặp số 1; 3 và 2;3 là nghiệm của phương trình. ĐÁP ÁN
2mx y 1 nhận cặp số
x; y 1;3
là nghiệm khi và chỉ khi
NH
Câu 1: Phương trình 2m.1 3 1 m 1 .
Câu 2: Xét phương trình 4 x y 5
Với cặp số 1; 2 ta có 4. 1 2 5 6 5 (vô lí).
Y
Vậy 1; 2 không phải là nghiệm của phương trình 4 x y 5 .
QU
Với cặp số 2;3 ta có 4. 2 3 5 5 5 (thỏa mãn). Vậy 2;3 là nghiệm của phương trình 4 x y 5 . Với cặp số 3; 4 ta có 4.3 4 5 16 5 (vô lí).
KÈ M
Vậy 3; 4 không phải là nghiệm của phương trình 4 x y 5 . Với cặp số 1; 1 ta có 4.1 1 5 5 5 (thỏa mãn). Vậy 1; 1 là nghiệm của phương trình 4 x y 5 . Câu 3:
Phương trình 2m 1 x my 2 nhận cặp số 1; 1 là nghiệm khi và chỉ khi
Y
2m 1 .1 m. 1 2 2m 1 m 2 m 3
DẠ
Vậy với m 3 phương trình 2m 1 x my 2 nhận cặp số 1; 1 là nghiệm. Câu 4:
Giả sử phương trình bậc nhất hai ẩn nhận hai cặp số 1; 3 và 2;3 là nghiệm có dạng ax by c
a
2
b2 0 .
Trang 5
Vì phương trình ax by c nhận cặp số 1; 3 là nghiệm nên a 3b c . (1) Vì phương trình ax by c nhận cặp số 2;3 là nghiệm nên 2a 3b c . (2)
CI AL
Từ (1) suy ra a 3b c thay vào (2) ta được 6b 2c 3b c b c . Với b c thay vào (1) ta được a 3b c 3b b 2b a 2b Vì a 2 b 2 0 nên a 0 ; b 0 .
Với a 2b và c b phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng 2bx by b 2 x y 1 .
FI
Vậy phương trình bậc nhất hai ẩn nhận hai cặp số 1; 3 và 2;3 là hai nghiệm là 2 x y 1 .
Dạng 2: Viết công thức nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn tập nghiệm trên mặt
OF
phẳng tọa độ Phương pháp giải Thực hiện theo các bước sau
Cách 1. Biểu diễn x theo
y:x
b c y a a
a 0
Ví dụ: Viết công thức nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 2 x y 4 . Biểu diễn tập nghiệm của
ƠN
Bước 1. Biểu diễn theo một trong hai cách sau
phương trình trên mặt phẳng tọa độ. Hướng dẫn giải
y
theo x : y
-a c x b b
b 0
Xét phương trình 2 x y 4 y 2 x 4
NH
Cách 2. Biểu diễn
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình 2 x y 4 là
x0 ; 2 x0 4 .
Y
Bước 2. Đưa ra công thức nghiệm tổng quát.
Bước 3. Biểu diễn tập nghiệm của phương trình
QU
trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng
trên mặt phẳng tọa độ: Vẽ đồ thị hàm số y 2 x 4 . Với x 0 thì y 4 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm
A 0; 4 . Với y 0 thì x 2 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm
B 2;0
DẠ
Y
KÈ M
-a c b c y x hoặc x y . b b a a
Biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 x y 4
Trang 6
CI AL FI OF ƠN
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình 2 y 1 5 . Biểu diễn tập nghiệm của phương
NH
trình trên mặt phẳng tọa độ. Hướng dẫn giải
Xét phương trình 2 y 1 5 2 y 6 y 3 .
Y
Vậy cặp nghiệm tổng quát của phương trình 2 y 1 5 là x;3 .
QU
Biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 y 1 5 trên mặt phẳng tọa độ:
DẠ
Y
KÈ M
Đồ thị hàm số y 3 là đường thẳng đi qua A 0;3 song song với Ox.
Trang 7
Ví dụ 2. Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình x 2 y 4 . Biểu diễn tập nghiệm của
Hướng dẫn giải Xét phương trình x 2 y 4 2 y x 4 y
1 x 2. 2
Biểu diễn tập nghiệm của phương trình x 2 y 4 trên mặt phẳng tọa độ: 1 x 2: 2
Với x 0 thì y 2 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm A 0; 2 .
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
Với x 2 thì y 1 suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm B 2; 1 .
OF
Vẽ đồ thị hàm số y
FI
1 Vậy công thức nghiệm tổng quát của phương trình x 2 y 4 là x; x 2 . 2
CI AL
phương trình trên mặt phẳng tọa độ.
b Lưu ý: Đồ thị hàm số y ax b cắt trục tung tại điểm A 0; b , cắt trục hoành tại điểm B ;0 . a
Nếu giá trị
b khó biểu diễn ta có thể cho giá trị x x0 sao cho giá trị y0 tương ứng dễ biểu diễn hơn. a
Y
Bài tập tự luyện dạng 2
DẠ
Câu 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn 2 x y 3 . Câu 2: Tìm phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm tổng quát x; x 2 . Câu 3: Cho đồ thị hàm số như hình vẽ
Trang 8
CI AL FI OF
Tìm phương trình bậc nhất hai ẩn có tập nghiệm được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình trên.
ƠN
Câu 4: Phương trình 2 x my 4 0 có nghiệm tổng quát là x; x 2 . Tìm m. Câu 5: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình 2 x y 1 . Biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ.
NH
ĐÁP ÁN Câu 1:
Ta có 2 x y 3 y 2 x 3 nên nghiệm tổng quát của phương trình 2 x y 3 là x; 2 x 3 . Câu 2:
Y
Ta có phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm tổng quát x; x 2 suy ra y x 2 x y 2
QU
Câu 3:
Đường thẳng đi qua 2 điểm 2;0 và 0; 2 nên phương trình bậc nhất cần tìm là x y 2 . Câu 4:
KÈ M
Phương trình 2 x my 4 0 có nghiệm tổng quát là x; x 2 , suy ra y x 2 Ta có 2 x my 4 0 2 x m x 2 4 0 m 2 x 2m 4 0 Câu 5:
m20 m 2 . 2m 4 0
Xét phương trình 2 x y 1 y 2 x 1 . Vậy công thức nghiệm tổng quát của phương trình là x; 2 x 1 .
Y
Biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ.
DẠ
Vẽ đồ thị hàm số y 2 x 1 Với x 0 thì y 1 , suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm A 0; 1 . Với x 1 thì y 1 , suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm B 1;1 .
Trang 9
Dạng 3. Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm cùa phương trình
ax by c a 2 b 2 0 thỏa mãn điều kiện cho trước
CI AL
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình
ax by c a 2 b 2 0 đi qua một điểm cho trước Phương pháp giải Thực hiện theo các bước sau
Ví dụ: Tìm điều kiện của tham số m để đường
diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất c . a
diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất a c x . ax by c có dạng y b b
OF
Hướng dẫn giải
Bước 2. Xét b 0 phương trình đường thẳng biểu
Ta có b 1 0 .
Xét phương trình mx y 2 y mx 2 . Vậy phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Bước 3. Để đường thẳng biểu dỉễn tập nghiệm của
mx y 2 có dạng y mx 2 . Vì đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương
NH
phương trình ax by c đi qua điểm M x0 ; y0
trình
thì x0 ; y0 thỏa mãn ax0 by0 c .
mx y 2
đi qua điểm
A 1; 4
nên
4 m.1 2
Bước 4. Giải và tìm m.
Y
m 2
Vậy m 2 đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình mx y 2 đi qua điểm A 1; 4 .
QU
Ví dụ mẫu
mx y 2 đi qua điểm A 1; 4 .
ƠN
ax by c có dạng x
FI
Bước 1. Xét b 0 phương trình đường thẳng biểu thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình
Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình
KÈ M
mx m 1 y 2m 2 cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1. Hướng dẫn giải
Xét phương trình mx m 1 y 2m 2 . Với m 1 phương trình có dạng x 5 .
Y
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm đi qua điểm 5;0 song song với Oy. Suy ra m 1 không thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
DẠ
Với m 1 ta có mx m 1 y 2m 2 m 1 y mx 2m 2 y
m 2m 2 x m 1 m 1
Trang 10
Vì đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình mx m 1 y 2m 2 cắt trục tung tại điểm có
1
m 2m 2 m 2m 2 x .0 đi qua điểm 0;1 , suy ra 1 m 1 m 1 m 1 m 1
CI AL
tung độ là 1 nên đường thẳng y
2m 2 m 1 2m 2 m 3 (thỏa mãn m 1 ). m 1
Vậy với m 3 đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình mx m 1 y 2m 2 cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1.
FI
Ví dụ 2. Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình
OF
2mx 3m 1 y m 2 cắt đường thẳng y x 1 tại điểm có hoành độ là 1 . Hướng dẫn giải Xét đường thẳng y x 1 .
Với x 1 ta có y 0 suy ra đường thẳng y x 1 đi qua điểm A 1;0 .
ƠN
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2mx 3m 1 y m 2 cắt đường thẳng y x 1 tại điểm có hoành độ là 1 , suy ra đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình
NH
2mx 3m 1 y m 2 đi qua điểm A 1;0 .
Do đó phương trình bậc nhất hai ẩn 2mx 3m 1 y m 2 nhận 2m m 2 3m 2 m
là nghiệm, hay
2 đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2mx 3m 1 y m 2 cắt đường 3
Y
Vậy với m
2 . 3
1;0
QU
thẳng y x 1 tại điểm có hoành độ là 1 .
Bài toán 2: Tìm điều kiện cùa tham số để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình
ax by c a 2 b 2 0 vuông góc, song song... với một đường thẳng cho trước
KÈ M
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Ví dụ: Tìm điều kiện của tham số m để đường
Bước 1. Xét b 0 phương trình đường thẳng biểu thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất c . a
Y
ax by c có dạng x
Bước 2. Xét b 0 phương trình đường thẳng biểu
DẠ
diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất a c x . ax by c có dạng y b b
m 1 x y 3
song song với đường thẳng
y 2 x 1. Hướng dẫn giải Ta có b 1 0 . Ta có
m 1 x y 3 y m 1 x 3 .
Bước 3. Để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của Vậy phương trình đường thẳng biểu diễn tập Trang 11
phương trình ax by c
nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
- Song song với đường thẳng d : y ax b thì
m 1 x y 3 có dạng
a c a và b . b b
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương
CI AL
y m 1 x 3 .
trình m 1 x y 3 song song với đường thẳng
- Vuông góc với đường thẳng d : y ax b thì
m 1 2 y 2 x 1 khi và chỉ khi 3 1
a .a 1 . b
m 1 2 m 1 m
FI
a a . b
- Cắt đường thẳng d : y ax b thì
Vậy với m 1 đường thẳng biểu diễn tập nghiệm
OF
Bước 4. Giải và tìm m.
của phương trình m 1 x y 3 song song với
Ví dụ mẫu
ƠN
đường thẳng y 2 x 1 .
Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình
Hướng dẫn giải Xét phương trình mx m 1 y 5m .
1 x4. 3
NH
mx m 1 y 5m vuông góc với đường thẳng y
Y
Với m 1 phương trình trở thành x 5 . Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm đi qua điểm 5;0 song
y
QU
song với Oy, vuông góc với Ox nên không vuông góc với đường thẳng y
1 x 4 (do đường thẳng 3
1 x 4 cắt cả hai trục tọa độ). 3
Vậy với m 1 không thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
y
KÈ M
Với m 1 ta có mx m 1 y 5m m 1 y mx 5m m 5m x m 1 m 1
Vì đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình mx m 1 y 5m vuông góc với đường thẳng 1 x 4 nên 3
Y
y
DẠ
m 1 3 . 1 m 3 m 1 m 3m 3 m . m 1 3 4
Trang 12
3 đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình mx m 1 y 5m vuông góc với 4
đường thẳng y
1 x4. 3
CI AL
Vậy với m
Ví dụ 2. Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình
mx m 2 y 6 song song với trục Ox. Hướng dẫn giải
FI
Đường thẳng song song với trục Ox có dạng y a a 0 .
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình mx m 2 y 6 song song với trục Ox khi
OF
m 0 và m 2 0 .
Xét m 2 0 m 2
thì m 0 . Bài tập tự luyện dạng 3
ƠN
Vậy để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình mx m 2 y 6 song song với trục Ox
Câu 1: Tìm giá trị tham số m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 2
1 x m 1 y 2 song song với trục hoành.
NH
m
Câu 2: Tìm giá trị của m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
2mx m 3 y 5 song song với trục tung.
song song với đường thẳng y x 5 .
QU
m 1 x y 3m 2
Y
Câu 3: Tìm giá trị của m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Câu 4: Tìm giá trị của m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
x 2my 3 đi qua điểm A 1; 2 .
Câu 5: Tìm giá trị của m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
KÈ M
mx 2m 1 y 3 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1. Câu 6: Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình
m 1 x my 3 đi qua điểm A 1;1 . Câu 7: Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình
Y
mx y 3m 2 song song với đường thẳng y 3 x 7 . Câu 8: Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình
DẠ
3 2m x my 7 cắt đường thẳng
y 2 x 3 tại điểm có hoành độ là 2.
ĐÁP ÁN Câu 1:
Trang 13
Đường thẳng song song với trục hoành có dạng y a a 0
CI AL
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình m 2 1 x m 1 y 2 song song với trục hoành m 2 1 0 m 1. khi và chỉ khi m 1 0
Vậy để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình m 2 1 x m 1 y 2 song song với trục hoành thì m 1 .
FI
Câu 2: Đường thẳng song song với trục tung có dạng x a a 0
chỉ khi
OF
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2mx m 3 y 5 song song với trục tung khi và
m3 0 m 3. 2m 0
thì m 3 . Câu 3:
NH
Ta có m 1 x y 3m 2 y m 1 x 3m 2
ƠN
Vậy để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2mx m 3 y 5 song song với trục tung
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn m 1 x y 3m 2 song song
Y
m 1 1 m0 m0 với đường thẳng y x 5 thì m 1 3m 2 5
QU
Vậy để đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn m 1 x y 3m 2 song song với đường thẳng y x 5 thì m 0 . Câu 4:
Câu 5:
KÈ M
Đường thẳng x 2my 3 đi qua điểm A 1; 2 nên 1 2m.2 3 m 1 . Đường thẳng mx 2m 1 y 3 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 nên
m.1 2m 1 .0 3 m 3 . Câu 6:
Y
Xét m 0 phương trình m 1 x my 3 có dạng x 3 .
DẠ
x 3 là một đường thẳng đi qua điểm M 3;0 và song song với Oy.
Do đó m 0 không phải là giá trị cần tìm.
m 1 3 Xét m 0 . Suy ra công thức nghiệm tổng quát của phương trình x; x m m Trang 14
Vậy đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình m 1 x my 3 là y
m 1 3 x m m
1
A 1;1
nên
CI AL
Mà đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình đi qua điểm m 1 3 .1 m m 1 3 2m 4 m 2 m m
Vậy với m 2 đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình m 1 x my 3 đi qua điểm
FI
A 1;1 . Câu 7:
OF
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình mx y 3m 2 là y mx 3m 2 . Vì đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình mx y 3m 2 song song với đường thẳng
y 3 x 7 nên
m 3 m 3 3m 2 7
ƠN
Vậy với m 3 đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình mx y 3m 2 song song với đường thẳng y 3 x 7 . Câu 8:
NH
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 3 2m x my 7 cắt đường thẳng y 2 x 3 tại điểm có hoành độ là 2, suy ra đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 3 2m x my 7 đi qua điểm 2;1 .
Y
Xét phương trình bậc nhất hai ẩn 3 2m x my 7 .
Đường thẳng x
QU
Với m 0 phương trình có dạng 3 x 7 x
7 3
7 7 là đường thẳng đi qua điểm ;0 song song với Oy do đó m 0 không thỏa mãn 3 3
KÈ M
yêu cầu đề bài. Xét m 0 phương trình biểu diễn tập nghiệm của phương trình y
3 2m x my 7
có dạng
2m 3 7 x . m m
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm đi qua điểm 2;1 , suy ra
Y
2m 3 7 1 .2 m 4m 6 7 3m 1 m . m m 3 1 đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 3 2m x my 7 cắt đường thẳng 3
DẠ
1
Vậy với m
y 2 x 3 tại điểm có hoành độ là 2.
Dạng 4. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn Trang 15
Bài toán 1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp giải Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của phương
Cách 1: Vận dụng linh hoạt tính chất chia hết đồng trình 2 x 3 y 9 . (1) dư, chẵn lẻ... để tìm ra đặc điểm các biến số cũng Hướng dẫn giải
CI AL
Thực hiện theo các cách sau
OF
FI
như biểu thức trong phương trình, từ đó đưa Do 3 y 3 và 9 3 nên 2 x 3 x 3 . phương trình về dạng mà ta đã biết cách giải hoặc Mà x nguyên dương nên x 3k k * đưa phương trình về các dạng đơn giản. Thay vào (1) phương trình trở thành 6k 3 y 9 Cách 2: y 2k 3 . Bước 1. Đưa hết hệ số a, b, c về hệ số a', b', c' sao Do k 1 nên 2k 2 y 2k 3 1 . cho a, b, c 1 .
Bước 2. Tìm một cặp nghiệm x0 ; y0 của phương trình.
Mặt khác y nguyên dương nên y 1 k 1 x 3.
ƠN
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình
Khi đó ax0 by0 c ; ax by c
2 x 3 y 9 là x; y 3;1 .
a x x0 b y y0 0 (1)
Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
Bước 3. Biện luận tìm nghiệm nguyên. x x0 b Ta có a, b 1 nên từ (1) suy ra y y0 a
Hướng dẫn giải Ta có 2,3 1 Do 2.1 3.3 11 nên phương trình 2 x 3 y 11 nhận x; y 1;3 là nghiệm. Mặt khác 2,3 1 . suy ra phương trình có nghiệm tổng quát
x 1 3t với t . y 3 2t
KÈ M
QU
Y
x x0 bt Vậy tồn tại số nguyên t sao cho y y0 at
NH
2 x 3 y 11 .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2 x 3 y 4 . (1) Hướng dẫn giải
Y
Do 2 x 2 và 4 2 nên 3 y 2 y 2 . Mà y nguyên dương nên y 2k
k *
DẠ
Thay vào (1) phương trình trở thành 2 x 6k 4 x 3k 2 . Do k 1 nên 3k 3 y 3k 2 1 . Do đó phương trình 2 x 3 y 4 không tồn tại nghiệm nguyên dương. Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3 x 5 y 11 . Trang 16
Hướng dẫn giải Do 2.3 5.1 11 nên phương trình 3 x 5 y 11 nhận x; y 2;1 là nghiệm.
x 2 5t với t . y 1 3t
CI AL
Mặt khác 3,5 1 suy ra phương trình có nghiệm tổng quát Bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 x 3 y 7 . Câu 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3 x 5 y 21 .
FI
ĐÁP ÁN Câu 1:
Mặt khác 2; 3 1 suy ra phương trình có nghiệm tổng quát
x 2 3t với t . y 1 2t
ƠN
Câu 2:
OF
Do 2.2 3. 1 7 nên phương trình 2 x 3 y 7 nhận x; y 2; 1 là nghiệm.
Do 3.2 5.3 21 nên phương trình 3 x 5 y 21 nhận x; y 2;3 là nghiệm.
x 2 5t với t . y 3 3t
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
Mặt khác 3;5 1 suy ra phương trình có nghiệm tổng quát
Trang 17
BÀI 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Mục tiêu
CI AL
Kiến thức + Nắm được khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Nắm được cách minh họa tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. + Hiểu được khái niệm hệ phương trình tương đương. Kĩ năng
FI
+ Biết kiểm tra số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà không cần giải hệ phương trình.
OF
+ Xác định được cặp số x0 ; y0 có phải là nghiệm của hệ phương trình.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+ Giải được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Ví dụ: Cho hai phương trình x 2 y 3 và 2 x y 1 , hai
phương
trình
ax by c
và
ax by c khi đó ta có hệ phương trình bậc
khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
nhất hai ẩn
Ví dụ: Thay x 1; y 1 vào
+) phương trình x 2 y 3 , ta có 1 2.1 3 .
ax by c (1) ax by c
x 2y 3 . 2x y 1
- Nếu hai phương trình ax by c
và
x0 ; y0
thì
x 2y 3 . 2x y 1
là nghiệm của hệ phương trình
Ví dụ 1: Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
x y 3 được biểu diễn bởi đường thẳng y x 3 .
được gọi là nghiệm của hệ (1).
- Nếu hai phương trình ax by c
và Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 2 x y 4
ƠN
ax by c có nghiệm chung
1;1
OF
ẩn
Vậy cặp số
FI
+) phương trình 2 x y 1 , ta có 2.1 1 1 .
Nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai
x0 ; y0
CI AL
Cho
ax by c không có nghiệm chung thì ta được biểu diễn bởi đường thẳng y 2 x 4 . nói hệ (1) vô nghiệm.
NH
- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tập nghiệm) của hệ đó.
Minh họa tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Y
Mỗi nghiệm của phương trình ax by c
QU
được biểu diễn bằng một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy thuộc đường thẳng ax by c . Vậy trên một mặt phẳng tọa độ nếu gọi d là
d
là đường
KÈ M
đường thẳng ax by c và
thẳng ax by c , thì tập nghiệm của hệ Hai đường thẳng y x 3 và y 2 x 4 có giao điểm phương trình
x y 3 ax by c là tập hợp các là A 1; 2 . Vậy nghiệm của hệ phương trình 2x y 4 ax by c
là x; y 1; 2 .
điểm chung của d và d .
ý:
Đối
Y
Chú
với
hệ
phương
trình
DẠ
ax by c ta có ax by c
- Nếu d cắt d thì hệ (1) có nghiệm duy
Ví dụ 2: Hệ phương trình
2x y 3 vô nghiệm 2x y 2
vì đường thẳng y 2 x 3 song song với đường thẳng
y 2 x 2 .
nhất.
Trang 2
- Nếu
d
d
trùng
thì hệ (1) có vô số
nghiệm. song song
d
thì hệ (1) vô
CI AL
d
nghiệm. Vậy chúng ta có thể đoán được số nghiệm của
ax by c dựa vào xét vị ax by c
trí tương đối của hai đường thẳng
d
và
d .
Ví dụ:
Hệ phương trình tương đương
x 2y 3 x 2y 3 vì chúng đều có tập 2x y 1 x y 2
OF
hệ phương trình
FI
- Nếu
Hai hệ phương trình là tương đương khi nghiệm là S 1;1 . Dùng kí hiệu để chỉ sự tương đương của hai hệ phương trình.
ƠN
chúng có cùng tập nghiệm.
Y
KÈ M
QU
Y
NH
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
DẠ
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Xác định số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà không giải hệ phương trình Bài toán 1: Xác định số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà không giải hệ phương trình
Phương pháp giải Trang 3
Xác định số nghiệm của hệ phương trình
Ví dụ: Xác định số nghiệm của hệ phương trình
2 x y 5 mà không giải hệ phương trình. 3x y 2
CI AL
ax by c mà không giải hệ phương trình. ax by c
Bước 1. Xác định các phương trình đường thẳng Hướng dẫn giải
biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm
ax by c và ax by c .
của phương trình 2 x y 5 là y 2 x 5 .
Bước 2. Xét sự tương giao của hai đường thẳng Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm và d : ax by c .
của phương trình 3 x y 2 là y 3 x 2 .
FI
d : ax by c
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
- Nếu d song song d thì hệ phương trình vô
y 2 x 5 và y 3 x 2
nghiệm.
Vì 2 3 nên đường thẳng y 2 x 5 cắt đường
OF
Bước 3. Kết luận.
- Nếu d cắt d thì hệ phương trình có nghiệm duy thẳng y 3 x 2 tại một điểm duy nhất. - Nếu d trùng d thì hệ phương trình có vô số nghiệm duy nhất.
Vậy hệ phương trình
ƠN
nhất.
2 x y 5 có nghiệm duy 3x y 2
NH
nhất.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xác định số nghiệm của hệ phương trình
x 3y 5 mà không giải hệ phương trình. 2x 6 y 7
Y
Hướng dẫn giải
QU
1 5 Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình x 3 y 5 là y x . 3 3 1 7 Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 x 6 y 7 là y x . 3 6
KÈ M
1 5 1 7 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng y x và y x . 3 3 3 6 1 1 3 3 1 5 1 7 Vì nên đường thẳng y x song song với đường thẳng y x . 5 7 3 3 3 6 3 6
Y
Vậy hệ phương trình
x 3y 5 vô nghiệm. 2x 6 y 7
DẠ
Ví dụ 2. Xác định số nghiệm của hệ phương trình
2x y 5 mà không giải hệ phương trình. 4 x 2 y 10
Hướng dẫn giải Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 x y 5 là y 2 x 5 .
Trang 4
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 4 x 2 y 10 là y 2 x 5 .
Vậy hệ phương trình
2x y 5 có vô số nghiệm. 4 x 2 y 10
CI AL
Hai đường thẳng y 2 x 5 và y 2 x 5 trùng nhau.
Bào toán 2: Tìm m để hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có số nghiệm thỏa mãn Phương pháp giải Xác định điều kiện của tham số m để hệ phương Ví
ax by c có số nghiệm thỏa mãn yêu cầu ax by c
đề bài.
Tìm
m
để
hệ
phương
trình
mx y 5 2m 3 x y 7 có nghiệm duy nhất.
OF
Hướng dẫn giải
FI
trình
dụ:
Bước 1. Xác định các phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình của phương trình mx y 5 là y mx 5 . Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm
Bước 2. Dựa vào yêu cầu về số nghiệm.
của phương trình 2m 3 x y 7
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi hai
là y 2m 3 x 7 .
cắt nhau.
- Hệ phương trình vô nghiệm khi hai đường thẳng
d : ax by c
và d : ax by c song song.
Y
- Hệ phương trình có vô số khi hai đường thẳng và d : ax by c trùng nhau.
QU
d : ax by c
mx y 5 Để hệ phương trình có nghiệm 2m 3 x y 7
NH
đường thẳng d : ax by c và d : ax by c
ƠN
ax by c và ax by c .
Bước 3. Thiết lập phương trình chứa tham số m dựa vào quan hệ của các đường thẳng.
KÈ M
Bước 4. Giải và kết luận.
duy nhất thì hai đường thẳng y mx 5 và
y 2m 3 x 7 cắt nhau.
Để đường thẳng y mx 5 cắt đường thẳng
y 2m 3 x 7 thì m 2m 3 . +) m 2m 3 m 3
mx y 5 Vậy để hệ phương trình có 2m 3 x y 7 nghiệm duy nhất thì m 3 .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm m để hệ phương trình
2x y 5 vô nghiệm. mx y 3
Y
Hướng dẫn giải
DẠ
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 x y 5 là y 2 x 5 . Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình mx y 3 là y mx 3 . Để hệ phương trình
2x y 5 vô nghiệm thì hai đường thẳng y 2 x 5 và y mx 3 song song mx y 3
với nhau. Trang 5
Vậy để hệ phương trình
2x y 5 vô nghiệm thì m 2 . mx y 3
2 x y m 2 Ví dụ 2. Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm. 2mx y 1
Hướng dẫn giải
2 m m2 53
CI AL
Để đường thẳng y 2 x 5 song song với đường thẳng y mx 3 thì
FI
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2x y m 2 là y 2 x m 2 . Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2mx y 1 là y 2mx 1 .
OF
2 x y m 2 Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì hai đường thẳng y 2 x m 2 và y 2mx 1 2 mx y 1
trùng nhau.
ƠN
2 2m m 1 Để đường thẳng y 2 x m 2 trùng với đường thẳng y 2mx 1 thì 2 m 1
Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Tìm số nghiệm của hệ phương trình
x 2y 4 mà không giải hệ phương trình. 2x y 3
2 x y 7 mà không giải hệ phương trình. 2 x y 11
Y
Câu 2: Tìm số nghiệm của hệ phương trình
NH
2 x y m 2 Vậy để hệ phương trình có vô số nghiệm thì m 1 . 2mx y 1
3x y 2 mà không giải hệ phương trình. 6 x 2 y 4
QU
Câu 3: Tìm số nghiệm của hệ phương trình Câu 4: Tìm m để hệ phương trình
mx y 6 có nghiệm duy nhất. 2x y 3
KÈ M
x my 6 Câu 5: Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm. 2 x 3m 1 y 3 m 2 x y m Câu 6: Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm. 4 x y 2
Y
2m 1 x y 2 Câu 7: Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 3mx 2 y 3
DẠ
mx 2m 1 y 4 Câu 8: Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình vô nghiệm. 3 x 2m 1 y 3 ĐÁP ÁN Câu 1:
Trang 6
1 Đường thẳng x 2 y 4 y x 2 cắt đường thẳng 2 x y 3 y 2 x 3 tại một điểm duy 2 nhất.
CI AL
Vậy hệ phương trình
x 2y 4 có nghiệm duy nhất. 2x y 3
Câu 2:
Đường thẳng 2 x y 7 y 2 x 7 song song với đường thẳng 2 x y 11 y 2 x 11
2 x y 7 vô nghiệm. 2 x y 11
FI
Vậy hệ phương trình Câu 3:
Câu 4: Để hệ phương trình
3x y 2 có vô số nghiệm. 6 x 2 y 4
mx y 6 có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng mx y 6 y mx 6 và 2x y 3
2 x y 3 y 2 x 3 cắt nhau. Suy ra m 2 .
ƠN
Vậy hệ phương trình
OF
Đường thẳng 3 x y 2 y 3 x 2 trùng với đường thẳng 6 x 2 y 4 y 3 x 2
NH
Vậy với m 2 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Câu 5:
1 6 x my 6 Để hệ phương trình vô nghiệm thì hai đường thẳng x my 6 y x m m 2 x 3m 1 y 3
và 2 x 3m 1 y 3 y
1 2 3 x m song song với nhau. 3 3m 1 3m 1
Y
m 0
QU
2 1 1 m 3m 1 m 5 1 m . Suy ra 6 3 2 5 m 5 m 3m 1
Câu 6:
1 thì hệ phương trình 5
KÈ M
Vậy với m
x my 6 2 x 3m 1 y 3 vô nghiệm.
m 2 x y m Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì hai đường thẳng m 2 x y m y m 2 x m 4 x y 2
Y
m 2 4 m2 và 4 x y 2 y 4 x 2 trùng nhau. Suy ra m 2
DẠ
m 2 x y m Vậy với m 2 thì hệ phương trình có vô số nghiệm. 4 x y 2
Câu 7:
Trang 7
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 2m 1 x y 2 là
y 2m 1 x 2 .
y
CI AL
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 3mx 2 y 3 là 3m 3 x . 2 2
3m 3 x cắt nhau. 2 2
Hai đường thẳng y 2m 1
3m 3 x và y 2m 1 x 2 cắt nhau khi và chỉ khi 2 2
OF
y
FI
2m 1 x y 2 Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng y 2m 1 x 2 và 3mx 2 y 3
3m 4m 2 3m m 2 2
Hệ phương trình
a b c ax by c . ( a 0 '; b 0 và c 0 ) vô nghiệm khi ax by c a b c
Xét m
1 hệ phương trình 2
1 để hệ 2
mx 2m 1 y 4 có nghiệm duy nhất. 3 x 2m 1 y 3
QU
Vậy với m
9 1 x 2y 4 y 2 4 3 x 3 x 1
Y
1 Xét m hệ phương trình có dạng 2
NH
Câu 8:
ƠN
2m 1 x y 2 Vậy với m 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 3mx 2 y 3
mx 2m 1 y 4 m 2m 1 4 vô nghiệm thì 3 2m 1 3 3 x 2m 1 y 3
m 4 m 4 (1) 3 3
Xét
m 2m 1 m 2m 1 3 2m 1 2m 2 m 6m 3 2m 2 5m 3 0 3 2m 1
KÈ M
Xét
2m 2 2m 3m 3 0
Y
2m m 1 3 m 1 0
DẠ
2m 3 m 1 0 Trường hợp 1: 2m 3 0 m
3 (2) 2
Trường hợp 2: m 1 0 m 1 (3)
Trang 8
mx 2m 1 y 4 vô nghiệm. 3 x 2m 1 y 3
Dạng 2: Xét cặp x0 ; y0 có phải là nghiệm của hệ phương trình không? Bài toán 1: Xét cặp x0 ; y0 có phải là nghiệm của hệ phương trình không? Phương pháp giải
CI AL
3 Từ (1); (2); (3) suy ra với m ; m 1 hệ phương trình 2
Xét cặp x0 ; y0 có phải là nghiệm của hệ phương Ví dụ: Cặp số x; y 1; 2 có phải là nghiệm của
hệ phương trình
Bước 1. Thay x0 ; y0 vào hệ phương trình
Hướng dẫn giải
Xét hệ phương trình
FI
x 2y 5 hay không? 3x y 5
OF
ax by c không? ax by c
ax by c . ax by c
x 2y 5 . 3x y 5
Bước 2. Kiểm tra giá trị các vế của từng phương Với cặp số x; y 1; 2 thay vào hệ ta có
ƠN
trình trong hệ.
1 2.2 5 55 3.1 2 5 55
Bước 3. Kết luận
Vậy cặp số x; y 1; 2 là nghiệm của hệ phương ax by0 c - Nếu 0 thì x0 ; y0 là nghiệm của ax0 by0 c x 2y 5 trình . hệ phương trình. 3x y 5
NH
- Nếu một trong hai phương trình ax0 by0 c ;
Ví dụ mẫu
QU
phải là nghiệm của hệ phương trình.
Y
ax0 by0 c không thỏa mãn thì x0 ; y0 không
KÈ M
Ví dụ 1. Cặp số x; y 2; 1 có phải là nghiệm của hệ phương trình
2x y 3 hay không? 2 x 3 y 4
Hướng dẫn giải
2.2 1 3 33 Với cặp số x; y 2; 1 , thay vào hệ ta có (vô lí) 7 4 2.2 3. 1 4
2x y 3 . 2 x 3 y 4
Y
Vậy cặp số x; y 2; 1 không phải là nghiệm của hệ phương trình
DẠ
Ví dụ 2. Xét cặp số x; y 3; 2 có phải là nghiệm của hệ phương trình
x3 không? x 2 y 1
Hướng dẫn giải
3 3 33 Với cặp số x; y 3; 2 , thay vào hệ ta có 1 1 3 2. 2 1 Trang 9
x3 . x 2 y 1
Bài toán 2: Tìm m để cặp x0 ; y0 là nghiệm của hệ phương trình
CI AL
Vậy cặp số x; y 3; 2 là nghiệm của hệ phương trình
Tìm m để cặp x0 ; y0 là nghiệm của hệ phương Ví dụ: Tìm m để cặp số x; y 1;1 là nghiệm ax by c . ax by c
x0 ; y0
Bước 1. Thay
của hệ phương trình vào hệ phương trình Hướng dẫn giải
ax by c ax by c
Xét hệ phương trình
Bước 2. Thiết lập và giải các phương trình chứa Vì cặp số
tham số m.
x y 2 . mx y 7
FI
x y 2 mx y 7
x; y 1;1
OF
trình
là nghiệm của hệ
x y 2 11 2 22 nên mx y 7 m.1 1 7 m6
ƠN
Bước 3. Kết luận.
Vậy với m 6 thì hệ phương trình
x y 2 mx y 7
NH
nhận x; y 1;1 làm nghiệm.
Ví dụ mẫu
x 1 Ví dụ 1. Tìm m để cặp số x; y 1; 2 là nghiệm của hệ phương trình . mx m 1 y 5
Y
Hướng dẫn giải
QU
x 1 Xét hệ phương trình mx m 1 y 5
1 1 Vì cặp số x; y 1; 2 là nghiệm của hệ phương trình nên m 1 m 1 2 5
1 1 1 1 m25 m7
KÈ M
x 1 Vậy với m 7 thì hệ phương trình nhận x; y 1; 2 là nghiệm. mx m 1 y 5
Y
2 x m 1 y 5 Ví dụ 2. Tìm m để cặp số x; y 2;1 là nghiệm của hệ phương trình 2 m x 3m 1 y 3
DẠ
Hướng dẫn giải
2 x m 1 y 5 Xét hệ phương trình 2 m x 3m 1 y 3
Trang 10
2 x m 1 y 5 Vì cặp số x; y 2;1 là nghiệm của hệ phương trình 2 m x 3m 1 y 3
CI AL
2.2 m 1 .1 5 m 1 1 nên 2 2 m .2 3m 1 .1 3 2m 3m 2 0 +) m 1 1 m 2 ; +) 2m 2 3m 2 0 2m 2 4m m 2 0
FI
2m m 2 m 2 0 2m 1 m 2 0
OF
1 m 2 m 2 Kết hợp ta được m 2 là giá trị cần tìm.
ƠN
2 x m 1 y 5 Vậy với m 2 thì hệ phương trình 2 nhận cặp số x; y 2;1 là nghiệm. m x 3m 1 y 3 Bài tập tự luyện dạng 2
x 2 y 3 không? Vì sao? 2x y 0
NH
Câu 1: Cặp số x; y 1; 2 có phải là nghiệm của hệ
Câu 2: Cho các cặp số x; y 2;1 ; 1; 2 ; 2; 1 ; 1; 2
x 2y 0 ? 2x y 5
Y
Cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình
a)
x y 5 . 2x y 3
b)
QU
Câu 3: Cặp số x; y 3;1 là nghiệm của hệ phương trình nào trong các hệ phương trình sau? 2x y 4 . x y 2
c)
x3 . 2 x y 1
KÈ M
Câu 4: Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình Câu 5: Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình
d)
2x y 7 . x y 2
x 2 y 3 nhận x; y 1;1 là nghiệm. mx y 2 xm nhận cặp số x; y 2;3 là nghiệm. 2x y 4
mx y 5 Câu 6: Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình 2 nhận cặp số x; y 2;1 là nghiệm. m x 6my 4
DẠ
Câu 1:
Y
ĐÁP ÁN
Xét hệ phương trình
x 2 y 3 2x y 0
1 2. 2 3 3 3 Thay x; y 1; 2 vào hệ phương trình ta có 0 0 2.1 2 0 Trang 11
Vậy cặp số x; y 1; 2 là nghiệm của hệ phương trình
x 2 y 3 . 2x y 0
CI AL
Câu 2:
Thay các cặp số vào ta thấy chỉ có cặp x; y 2;1 thỏa mãn nên cặp x; y 2;1 là nghiệm của hệ phương trình. Câu 3:
là nghiệm của hệ
2x y 7 nên cặp x y 2
2x y 7 và không là nghiệm của các hệ phương trình còn lại. x y 2
OF
x; y 3;1
FI
Thay cặp số x; y 3;1 vào các hệ phương trình ta thấy thỏa mãn hệ phương trình
Câu 4:
1 2.1 3 Thay x 1; y 1 vào hệ ta có m 1 m 1 1 2
ƠN
Vậy với m 1 thì hệ phương trình
x 2 y 3 nhận x; y 1;1 làm nghiệm. mx y 2
NH
Câu 5:
Để hệ phương trình nhận cặp số x; y 2;3 làm nghiệm thì Vậy không tồn tại m để hệ phương trình
2m 2m (vô lí). 2.2 3 4 74
xm nhận cặp số x; y 2;3 là nghiệm. 2x y 4
Y
Câu 6:
QU
m.2 1 5 m 2 Để hệ phương trình nhận cặp số x; y 2;1 là nghiệm thì 2 2 m .2 6m.1 4 2m 6m 4 0 m 1 Xét phương trình 2m 2 6m 4 0 m 2 3m 2 0 m 1 m 2 0 m 2
KÈ M
mx y 5 Vậy với m 2 hệ phương trình 2 nhận cặp số x; y 2;1 là nghiệm. m x 6my 4
Dạng 3. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị Phương pháp giải phương
Y
hệ
DẠ
Giải
trình
ax by c 2x y 3 bằng Ví dụ: Giải hệ phương trình bằng a xb y c 2 x y 1
phương pháp đồ thị.
phương pháp đồ thị.
Bước 1. Biểu diễn tập nghiệm của hai phương Hướng dẫn giải trình ax by c ; ax by c trên cùng một hệ trục tọa độ.
Xét hệ phương trình
2x y 3 2 x y 1
Trang 12
Bước 2. Xác định giao điểm của hai đường Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 x y 3 có dạng d : y 2 x 3 .
thẳng ax by c và ax by c .
ax by c . ax by c
Xét đường thẳng d : y 2 x 3 x
0
y
3
1
FI
của hệ phương trình
CI AL
Bước 3. Kết luận giao điểm của hai đường Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của thẳng ax by c và ax by c là nghiệm phương trình 2 x y 1 có dạng d : y 2 x 1 .
1
Đường thẳng d đi qua hai điểm 0;3 ; 1;1 .
x
y
OF
Xét đường thẳng d : y 2 x 1 0
1
1
1
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d và d là
A 1;1 . Vậy nghiệm của hệ phương trình
2x y 3 là 2 x y 1
x; y 1;1 .
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
Đường thẳng d đi qua hai điểm 0; 1 ; 1;1 .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
y2 bằng phương pháp đồ thị. x y 3
Hướng dẫn giải Trang 13
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình y 2 đi qua điểm A 0; 2 và song song với trục Ox.
CI AL
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình x y 3 là d : y x 3 . Xét đường thẳng d : y x 3 x
0
3
y
3
0
FI
Đường thẳng d đi qua hai điểm 0;3 ; 3;0 .
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y 2 và y x 3 là M 1; 2 . nghiệm
của
hệ
phương
trình
y2 x y 3
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
NH
x; y 1; 2 .
là
ƠN
Vậy
OF
Đồ thị hai hàm số y 2 và y x 3 như hình vẽ.
2x y 2 bằng phương pháp đồ thị. x2
Hướng dẫn giải
Y
Xét phương trình x 2 .
QU
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình x 2 đi qua điểm A 2;0 và song song với trục Oy.
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 x y 2 là d : y 2 x 2 .
x
y
KÈ M
Xét đường thẳng d : y 2 x 2 . 0
1
2
0
Đường thẳng d đi qua hai điểm 0; 2 ; 1;0 .
DẠ
Y
Đồ thị hai hàm số x 2 và y 2 x 2 như hình vẽ.
Trang 14
CI AL FI OF
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng x 2 và y 2 x 2 là M 2; 2 .
ƠN
2x y 2 là x; y 2; 2 . x2
Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Xác định nghiệm của hệ phương trình
3 x y 2 bằng phương pháp đồ thị. 2x y 3
2x y 5 bằng phương pháp đồ thị. 3x 2 y 4
Y
Câu 2: Xác định nghiệm của hệ phương trình
NH
Vậy nghiệm của hệ phương trình
Câu 1:
QU
ĐÁP ÁN
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 3 x y 2 là y 3 x 2 . 0
y
2
KÈ M
x
1 1
Đường thẳng y 3 x 2 đi qua hai điểm 0; 2 ; 1;1 . Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 x y 3 là y 2 x 3 . x
y
0
1
3
1
Y
Đường thẳng y 2 x 3 đi qua hai điểm 0;3 ; 1;1 .
DẠ
Đồ thị hai hàm số y 3 x 2 và y 2 x 3 như hình vẽ:
Trang 15
CI AL FI OF ƠN
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y 3 x 2 và y 2 x 3 là A 1;1
3 x y 2 là x; y 1;1 . 2x y 3
NH
Vậy nghiệm của hệ phương trình Câu 2:
Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 x y 5 là y 2 x 5 .
y
5
2
Y
0
1
QU
x
Đường thẳng y 2 x 5 đi qua hai điểm 0;5 ; 2;1 . Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 3 x 2 y 4 là y
y
0
2
2
1
KÈ M
x
Đường thẳng y
3 x2. 2
3 x 2 đi qua hai điểm 0; 2 ; 2;1 . 2 3 x 2 như hình vẽ: 2
DẠ
Y
Đồ thị hai hàm số y 2 x 5 và y
Trang 16
CI AL FI OF
2x y 5 là x; y 2;1 . 3x 2 y 4
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
Vậy nghiệm của hệ phương trình
3 x 2 là A 2;1 2
ƠN
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y 2 x 5 và y
Trang 17
BÀI 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Kiến thức + Nắm vững quy tắc rút - thế.
CI AL
Mục tiêu
+ Biết biến đổi và lựa chọn phù hợp để rút ẩn này theo ẩn kia trong các bài toán về hệ phương trình. Kĩ năng
+ Giải được hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.
OF
+ Giải được hệ phương trình quy về phương trình bậc nhất hai ẩn.
FI
+ Nắm vững phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
+ Tìm được điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước. I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình
Ví dụ: Giải hệ phương trình (I):
ƠN
Quy tắc thế
x y 3 2x y 0
thành một hệ phương trình tương đương. Quy tắc Hướng dẫn giải thế gồm hai bước
NH
Bước 1. Từ một phương trình đã cho (coi như
Ta có I
phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình mới (chỉ có một ẩn).
Y
Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho
QU
phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).
Chú ý: Nếu trong quá trình giải hệ phương trình
y 3 x 2x y 0
y 3 x 2 x 3 x 0
y 3 x 3x 3 0 y 3 x x 1 y2 x 1
KÈ M
bằng phương pháp thế, ta thấy xuất hiện phương Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất là x; y 1; 2 . trình có hệ số của hai ẩn đều bằng 0 thì hệ phương trình đã cho có thể có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.
Y
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠ
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Phương pháp giải
Thực hiện theo hai bước Bước 1. Từ một phương trình đã cho (coi như
Ví dụ: Giải hệ phương trình I :
2x y 3 bằng x 3y 4
phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn này phương pháp thế. Trang 1
theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để Hướng dẫn giải Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).
Ta có I
y 3 2x y 3 2x x 3y 4 x 33 2x 4
CI AL
được phương trình mới (chỉ có một ẩn).
y 3 2x y 3 2x 9 5x 4 5x 5 y 3 2x y 1 x 1 x 1
FI
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là
OF
x; y 1;1 . Ví dụ mẫu
x 2 y 3 bằng phương pháp thế. 2 x 3 y 4
ƠN
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình Hướng dẫn giải
x 2 y 3 x 2 y 3 x 2y 3 2 x 3 y 4 2 x 3 y 4 2 2 y 3 3 y 4
NH
Ta có
x 2y 3 x 2y 3 x 1 y 6 4 y2 y2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x; y 1; 2 .
Y
Lưu ý: Trong phương pháp thế khi lựa chọn rút x theo y hay rút y theo x thì nên cố gắng chọn các
QU
phương trình cho liên hệ của y, x có hệ số nguyên. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình Hướng dẫn giải
3x 2 y 4 bằng phương pháp thế. 4x 3y 5
3 y x2 3 3x 2 y 4 2 y 3x 4 y x 2 2 Ta có 2 3 4x 3y 5 4x 3y 5 4 x 3 y 5 4 x 3 x 2 5 2
KÈ M
DẠ
Y
3 3 3 3 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 1 y x 2 2 9 1 1 x2 4 x x 6 5 x 6 5 x 1 x 2 2 2 2
Vậy hệ phương trình
3x 2 y 4 có nghiệm duy nhất là x; y 2;1 . 4x 3y 5
Lưu ý: Nếu không thể lựa chọn phương trình nào để liên hệ của y, x có hệ số nguyên thì chúng ta sẽ lựa chọn phương trình để liên hệ của y, x dễ biến đổi nhất. Trang 2
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 2: Giải hệ phương trình
3x y 5 bằng phương pháp thế. 4x 2 y 8
CI AL
Câu 1: Giải hệ phương trình
2 x 3 y 4 bằng phương pháp thế. 3 x 4 y 11
Câu 1:
y 5 3x 3x y 5 y 5 3x y 5 3x 4 x 2 5 3 x 8 4x 2 y 8 4x 2 y 8 4 x 10 6 x 8
OF
y 5 3x y 5 3x y 5 3x y2 10 2 x 8 2x 2 x 1 x 1
Vậy hệ phương trình
3x y 5 nhận x; y 1; 2 là nghiệm duy nhất. 4x 2 y 8
ƠN
FI
ĐÁP ÁN
Câu 2:
3 x y2 3 2 x 3 y 4 2x 3y 4 x y 2 2 2 3 3 x 4 y 11 3 x 4 y 11 3 x 4 y 11 3 y 2 4 y 11 2
NH
3 3 3 x 2 y 2 x 2 y 2 x 1 x y 2 2 9 17 y2 y 6 4 y 11 y 17 y 2 2 2
2 x 3 y 4 nhận x; y 1; 2 là nghiệm duy nhất. 3 x 4 y 11
QU
Vậy hệ phương trình
Y
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế Phương pháp giải
Ví dụ: Giải hệ phương trình
Bước 1: Nhân khai triển, chuyển vế đưa hệ phương
3 x 1 2 y 1 4 bằng phương pháp thế. 4 x 2 3 y 1 5
KÈ M
Thực hiện theo các bước sau
trình về phương trình bậc nhất hai ẩn.
DẠ
Y
Bước 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp Hướng dẫn giải thế. 3 x 1 2 y 1 4 Bước 3: Kết luận. 4 x 2 3 y 1 5
3x 3 2 y 2 4 3 x 2 y 1 4x 8 3y 3 0 4 x 3 y 10
Trang 3
CI AL
3 1 y x 3 1 y x 2 2 2 2 3 1 4 x 3 y 10 4 x 3 x 10 2 2 3 1 y 2 x 2 9 3 4 x x 10 2 2
3 1 3 1 y x y2 y x 2 2 2 2 17 17 x 1 x x 1 2 2
OF
FI
3 x 1 2 y 1 4 Vậy hệ phương trình có 4 x 2 3 y 1 5
ƠN
nghiệm duy nhất x; y 1; 2 .
Ví dụ mẫu
NH
x y 2 y x 1 3 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. 2 x y 1 y 2 x 3 1 Hướng dẫn giải
xy 2 x yx y 3 2x y 3 y 2x 3 2 xy 2 x 2 xy 3 y 1 2x 3y 1 2x 3y 1
QU
Y
x y 2 y x 1 3 Xét hệ phương trình . 2 x y 1 y 2 x 3 1
y 2x 3 y 2x 3 y 2x 3 2x 6x 9 1 4 x 8 2 x 3 2 x 3 1
y 2x 3 y 1 x2 x2
KÈ M
x y 2 y x 1 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 2;1 . 2 x y 1 y 2 x 3 1
Y
x 2 y 1 y 2 x 1 4 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. x 3 y 1 y 3 x 2 5
DẠ
Hướng dẫn giải
x 2 y 1 y 2 x 1 4 2 xy x 2 xy y 4 3 xy x 3 xy 2 y 5 x 3 y 1 y 3 x 2 5
x y 4 x 2y 5
Trang 4
y x 4 x 2y 5
y x 4 x 3 y x 4 x3 y 1 x3
OF
FI
CI AL
y x 4 x 2 x 4 5
x 2 y 1 y 2 x 1 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 3;1 . x 3 y 1 y 3 x 2 5
ƠN
Bài tập tự luyện dạng 2
2 x 1 3 y 2 9 Câu 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. 3 x 1 y 6
NH
x 2 y 1 y 2 x 2 7 Câu 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. x 2 2 y y 2 x 1 8
Y
2 x y 3 y 1 7 Câu 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. 3 x 1 2 y 6
QU
3 y x 2 x 3 y 1 5 Câu 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. 3 x 2 y y 3 x 2 4 ĐÁP ÁN Câu 1:
KÈ M
2 x 1 3 y 2 9 2 x 3 y 13 2 x 3 3 x 9 13 7 x 14 x2 Ta có 3x y 9 y 3 x 9 y3 y 3 x 9 3 x 1 y 6 2 x 1 3 y 2 9 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 2;3 . 3 x 1 y 6 Câu 2:
Y
x 2 y 1 y 2 x 2 7 x 7 2 y 2 xy x 2 xy 2 y 7 x 7 2y x3 Ta có 2 7 2 y y 8 2 x 2 xy 2 xy y 8 2 x y 8 y2 x 2 2 y y 2 x 1 8
DẠ
x 2 y 1 y 2 x 2 7 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 3; 2 . x 2 2 y y 2 x 1 8 Câu 3:
Trang 5
2 x y 3 y 1 7 2 x 2 y 3 y 3 7 2 x y 4 y 2x 4 Ta có 3 x 3 2 y 6 3 x 2 y 3 3 x 2y 3 3 x 1 2 y 6
y 2x 4 3x 4 x 8 3 y 2x 4 7x 8 3
FI
CI AL
y 2x 4 3 x 2 2 x 4 3
y 2x 4 7 x 5
OF
ƠN
y 2x 4 5 x 7 18 y 7 5 x 7
NH
2 x y 3 y 1 7 5 18 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y ; . 7 7 3 x 1 2 y 6 Câu 4:
Y
3 y x 2 x 3 y 1 5 3 yx 6 y 3 xy x 5 Ta có 6 x 3 xy 3 xy 2 y 4 3 x 2 y y 3 x 2 4 6 y x 5 6x 2 y 4
x 6 y 5 6x 2 y 4
x 6 y 5 6x 2 y 4
DẠ
Y
KÈ M
QU
x 6 y 5 6 6 y 5 2 y 4
x 6 y 5 36 y 30 2 y 4 x 6 y 5 34 y 34 x 6 y 5 y 1
Trang 6
x 1 y 1
CI AL
3 y x 2 x 3 y 1 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 1; 1 . 3 x 2 y y 3 x 2 4 Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp giải Thực hiện theo các bước sau
ƠN
OF
FI
1 2 x y 2 Bước 1. Đặt điều kiện. Ví dụ: Giải hệ phương trình 3 4 1 Bước 2. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức của hệ x y phương trình để đưa hệ phương trình về dạng hệ Hướng dẫn giải phương trình bậc nhất hai ẩn. Chú ý điều kiện của Điều kiện: x 0 ; y 0 ẩn phụ. 1 1 Bước 3. Sử dụng phương pháp thế giải hệ phương Đặt a ; b a, b 0 . Hệ phương trình đã y x trình theo ẩn phụ. a 2b 2 Bước 4. Với các giá trị của ẩn phụ tìm được thay cho trở thành 3a 4b 1 vào biểu thức đặt ẩn phụ để xác định nghiệm của hệ a 2b 2 a 2 2b phương trình. 3a 4b 1 3a 4b 1 Bước 5. Kết luận. a 2 2b 3 2 2b 4b 1
Y
NH
QU
a 2 2b 10b 6 1 a 2 2b 10b 5
a 2 2b 1 b 2
KÈ M Y DẠ
a 1 1 b 2 Với a 1 suy ra b
1 1 x 1 (thỏa mãn); x
1 1 1 suy ra y 2 (thỏa mãn). y 2 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 1; 2 .
Trang 7
Ví dụ mẫu 4 1 y2 2 4 y2 3
CI AL
3 x 1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 1 x 1
Hướng dẫn giải
1 1 b a, b 0 . a; y2 x 1
3a 4b 1 Hệ phương trình đã cho trở thành 4 a 2 b 3
ƠN
4 3a 4b 1 3a 4b 1 3 2b 4b 1 3 Ta có 4 4 a 2 b a 2 b 4 a 2b 3 3 3
OF
Đặt
FI
Điều kiện: x 1 ; y 2
NH
10b 4 1 4 a 3 2b
QU
Y
1 b 2 4 a 2b 3 1 b 2 1 a 3
b
1 1 1 x 1 3 x 4 (thỏa mãn điều kiện); suy ra 3 x 1 3
KÈ M
Với a
1 1 1 y 2 2 y 0 (thỏa mãn điều kiện). suy ra y2 2 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 4;0 .
DẠ
Y
2 x 2 3 y 1 4 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 3 x 2 2 y 1 7 Hướng dẫn giải Điều kiện: x 2 ; y 1 Đặt
x2 a;
y 1 b a 0; b 0 . Trang 8
2a 3b 4 3a 2 b 7
7 3 2a 3 a 4 2a 3b 4 2a 3b 4 2 2 Giải hệ phương trình 3 7 3a 2 b 7 b a 3 7 b a 2 2 2 2 21 13 13 13 2 a 2 4 2 a 2 a 1 (thỏa mãn điều kiện) 3 7 3 7 b2 b b a a 2 2 2 2
b 2 suy ra
x 2 1 x 2 1 x 3 (thỏa mãn điều kiện);
OF
Với a 1 suy ra
FI
CI AL
Hệ phương trình đã cho trở thành
y 1 2 y 1 4 y 3 (thỏa mãn điều kiện).
ƠN
2 x 2 3 y 1 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 3;3 . 3 x 2 2 y 1 7
4 x 2 3 y 2 5 Câu 1: Giải hệ phương trình 2 2 x 2 y 4
NH
Bài tập tự luyện dạng 3
Y
3 6 x y x 2 y 3 Câu 2: Giải hệ phương trình 1 7 2 x y x 2 y
QU
7 x 2 2 y 1 1 Câu 3: Giải hệ phương trình 3 x 2 y 1 6 ĐÁP ÁN Câu 1:
KÈ M
Đặt a x 2 a 0 ; b y 2 b 0 ta có hệ phương trình sau Giải hệ phương trình
4a 3b 5 a 2b 4
16 11b 5 11b 11 b 1 b 1 (thỏa mãn điều kiện) a 4 2b a 4 2b a 4 2b a2
DẠ
4a 3b 5 a 2b 4
4a 3b 5 4a 3b 5 4 4 2b 3b 5 16 8b 3b 5 a 2b 4 a 4 2b a 4 2b a 4 2b
Y
Ta có
Với a 2 suy ra x 2 2 x 2 . b 1 suy ra x 2 1 x 1 .
Trang 9
4 x 2 3 y 2 5 Vậy hệ phương trình 2 có các nghiệm là x; y 2 x 2 y 4
Điều kiện: x y ; x 2 y 1 1 ; b x y x 2y
6a 3b 3 a 7b 2
6a 3b 3 a 7b 2
FI
Giải hệ phương trình
a; b 0 ta có hệ phương trình sau
2; 1 ; 2; 1 .
CI AL
Câu 2:
Đặt a
2;1 ; 2;1 ;
1 b 6a 3b 3 6a 3b 3 6 2 7b 3b 3 12 42b 3b 3 45b 9 5 Ta có a 7b 2 a 2 7b a 2 7 b a 2 7 b 3 a 2 7 b a 5
b
1 3 5 3 x y suy ra x y 5 3 5
ƠN
Với a
OF
1 1 1 x 2y 5 suy ra x 2y 5 5
NH
5 x y Vậy suy ra x; y là nghiệm của hệ phương trình 3 x 2 y 5
Y
5 5 5 5 x y x y x y x y 3 3 Ta có 3 3 5 5 x 2 y 5 x 2 y 5 y 2 y 5 3 y 5 3 3
QU
5 5 25 x y 3 x y 3 x 9 (thỏa mãn điều kiện) 10 10 10 3 y y y 3 9 9
Câu 3:
y 1
b 0 ta có hệ phương trình sau
7 a 2b 1 3a b 6
7 a 2 3a 6 1 7 a 2b 1 7 a 2b 1 13a 12 1 3a b 6 b 3a 6 b 3a 6 b 3a 6
DẠ
Ta có
a 0 ; b
Y
Đặt a x 2
KÈ M
3 6 x y x 2 y 3 25 10 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y ; . 1 7 9 9 2 x y x 2 y
13a 13 a 1 a 1 (thỏa mãn điều kiện) b 3a 6 b 3a 6 b3
Trang 10
x 2 1 x 1 Với a 1 suy ra x 2 1 . x 2 1 x 3
CI AL
y 1 3 y 2 . b 3 suy ra y 1 3 y 1 3 y 4
7 x 2 2 y 1 1 Vậy hệ phương trình có các nghiệm là x; y 1; 2 ; 1; 4 ; 3; 2 ; 3; 4 . 3 x 2 y 1 6
FI
Dạng 4. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải
x0 ; y0
là nghiệm.
m 1 x ny 3 Ví dụ: Cho hệ phương trình . 2mx y 2
OF
Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình nhận
ax by c Hệ phương trình có nghiệm x0 ; y0 ax by c
Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm
ax by0 c khi và chỉ khi 0 . ax0 by0 c
Hướng dẫn giải
ƠN
x; y 1; 2 .
NH
m 1 x ny 3 Hệ phương trình nhận cặp số - Tìm giá trị của tham số để nghiệm của hệ phương 2mx y 2 trình thỏa mãn một số điều kiện khác. x; y 1; 2 là nghiệm của hệ phương trình nên Bước 1. Dựa vào điều kiện của nghiệm thiết lập phương trình có ẩn là tham số.
Y
Bước 2. Giải phương trình tham số.
KÈ M
QU
Bước 3. Kết luận
m 1 .1 n.2 3 2m.1 2 2
m 2n 2 2m 2 2 m 2n 2 m0
n 1 m0
Vậy với
m 1 x ny 3 n 1 hệ phương trình m0 2mx y 2
nhận x; y 1; 2 là nghiệm của hệ phương trình.
Y
Ví dụ mẫu
DẠ
Ví dụ 1. Cho hệ phương trình
x 2y 3 . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x0 ; y0 2x y m 2
với y0 x0 .
Hướng dẫn giải Trang 11
x 3 2 y x 2y 3 x 3 2y 2x y m 2 2x y m 2 2 3 2 y y m 2
x 3 2y 6 3y m 2
CI AL
Ta có
x 3 2 y 8m y 3
OF
x 2y 3 2m 7 8 m ; nhận x; y là nghiệm. 2x y m 2 3 3
Mặt khác theo đề bài hệ phương trình
x 2y 3 có nghiệm duy nhất 2x y m 2
2m 7 8 m 2m 7 8 m 3m 15 m 5 3 3
x0 ; y0
với y0 x0 nên
x 2y 3 có nghiệm duy nhất x0 ; y0 với y0 x0 . 2x y m 2
NH
Vậy với m 5 hệ phương trình
ƠN
Vậy hệ phương trình
FI
2m 7 x 3 8m y 3
Lưu ý: Với hệ phương trình bậc nhất chứa tham số ta vẫn giải như hệ phương trình bậc nhất khi có đầy
Y
đủ các hệ số nhưng lưu ý khi chia hai vế cho đại lượng nào đó thì đại lượng đó khác 0.
QU
2 x 3 y 2 m 6 Ví dụ 2. Cho hệ phương trình ( m là tham số, m 0 ). Tìm điều kiện của m để hệ x y m 2 phương trình có nghiệm duy nhất x0 ; y0 sao cho x0 y0 nhỏ nhất. Hướng dẫn giải
KÈ M
2 x 3 y 2 m 6 2 x 3 y 2 m 6 Ta có x y m 2 y x m 2
DẠ
Y
2 x 3 x m 2 2 m 6 y x m 2
2 x 3x 3 m 6 2 m 6 y x m 2 5 x 5 m 12 y x m 2
Trang 12
CI AL
12 x m 5 y x m 2
2 x 3 y 2 m 6 Suy ra hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất x y m 2 12 2 ; với mọi m 0 5 5
Khi đó x0 y0 m Vì
OF
m
12 2 14 m 5 5 5
m 0 nên x0 y0 m
14 14 14 0 5 5 5
Dấu "=" xảy ra khi m 0
ƠN
x0 ; y0
FI
12 x m 5 2 y 5
NH
2 x 3 y 2 m 6 Vậy với m 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất x0 ; y0 thỏa mãn x0 y0 nhỏ x y m 2 nhất. Bài tập tự luyện dạng 4
Y
2 m 1 x 7 n 2 y 6 Câu 1: Xác định m để hệ phương trình có nghiệm x; y 1; 2 . m 1 x n 2 y 12
x y 3 có nghiệm x; y sao cho x 2 y . 2 x y 2a 5
QU
Câu 2: Xác định m để hệ phương trình
nguyên.
x y a2 có nghiệm duy nhất x; y , sao cho x; y là các số 3 x 5 y 2a
KÈ M
Câu 3: Tìm m để hệ phương trình
x my m 11 Câu 4: Cho hệ phương trình . Tìm số nguyên m sao cho hệ phương trình có nghiệm mx y 3 m 1 2 duy nhất x; y mà x, y đều là số nguyên. ĐÁP ÁN
Y
Câu 1:
DẠ
2 m 1 x 7 n 2 y 6 Hệ phương trình có nghiệm x; y 1; 2 suy ra m 1 x n 2 y 12
2 m 1 .1 7 n 2 .2 6 2m 2 14n 28 6 2m 14 24 m 1 2 n 4 12 m 2n 15 m 1 .1 n 2 .2 12
Trang 13
m 7 n 12 m 2n 15
m 7 n 12 7 n 12 2n 15
m 7 n 12 9n 27 m 7 n 12 n3
m9 n3
CI AL
m 7 n 12 m 2n 15
FI
OF
Câu 2:
y 3 x x y 3 y 3 x 2 x y 2a 5 2 x y 2a 5 2 x 3 x 2a 5
NH
Ta có
ƠN
2 m 1 x 7 n 2 y 6 Vậy với m 9; n 3 hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 1; 2 . m 1 x n 2 y 12
1 2a y y 3 x y 3 x y 3 x 3 2a 8 3 x 3 2a 5 3 x 2a 8 2a 8 x x 3 3
Y
QU
2a 8 1 2a ; Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 3 3
Theo giả thiết hệ phương trình
x y 3 có nghiệm x; y sao cho x 2 y nên 2 x y 2a 5
KÈ M
2a 8 1 2a 2. 2a 8 2 4a 6a 6 a 1 3 3
Vậy với a 1 hệ phương trình
x y 3 có nghiệm x; y sao cho x 2 y . 2 x y 2a 5
y x a 2 x y a2 y x a 2 3 x 5 y 2a 3 x 5 y 2a 3 x 5 x a 2 2a
DẠ
Ta có
Y
Câu 3:
y x a 2 2 x 5a 10 2a y x a 2 2 x 3a 10
Trang 14
Vậy hệ phương trình
y x a 2 3a x 5 2
x y a2 3a nhận x; y 5; x a 2 là nghiệm. 3 x 5 y 2a 2
3a 3a 5 thì a 2k 2 2
k
Với x ; a suy ra y x a 2
x y a2 có nghiệm là các số nguyên thì a 2k 3 x 5 y 2a
ƠN
Vậy để hệ phương trình
OF
Vì 5 do đó để
FI
3a 5 Để hệ phương trình có nghiệm nguyên thì 2 x a 2
Câu 4: Từ phương trình (2) ta có y 3m 1 mx
CI AL
y x a 2 3a 10 x 2
k .
NH
Thế vào phương trình (1) ta được x m 3m 1 mx m 1 m 2 1 x 3m 2 2m 1 (3) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, tức là
m 2 1 0 m 1
Để x, y thì
QU
Y
3m 2 2m 1 m 1 3m 1 3m 1 2 x x 3 2 m 1 m 1 . m 1 m 1 m 1 Khi đó hệ phương trình tương đương với m 1 2 y 3m 1 m. 3m 1 y 1 m 1 m 1 m 1
2 . Do đó m 1 2; 1;1; 2 m 3; 2;0;1 m 1
KÈ M
Kết hợp điều kiện m 1 chỉ có m 3; 2;0 thỏa mãn.
DẠ
Y
Vậy m 3; 2;0 là các giá trị cần tìm.
Trang 15
CHƯƠNG 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI 4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
CI AL
Mục tiêu Kiến thức + Nắm vững quy tắc cộng đại số. + Biết cách giải hệ phương trình bằng quy tắc cộng đại số. + Thành thạo giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
FI
Kĩ năng
+ Biết cách giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.
OF
+ Biết cách giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+ Tìm được điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
CI AL
Quy tắc cộng đại số
3x 2y 5 2x y 1
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ
I :
phương trình thành một hệ phương trình tương Hướng dẫn giải
Bước 1. Cộng hoặc trừ từng vế hai phương
Cộng vế với vế của hai phương trình hệ (I) ta được
trình của hệ phương trình đã cho để được
3x 6 .
phương trình mới.
Do đó:
một trong hai phương trình của hệ (vẫn giữ
3x 6 x 2 x 2 x y 1 x y 1 y 1
I
OF
Bước 2. Dùng phương trình mới thay thế cho
FI
đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Chú ý:
x;y 2;1 .
Trường hợp 1: Nếu các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau thì ta trừ hai phương trình đó, đối nhau thì ta cộng Trường hợp 2: Nếu các hệ số của cùng một
ẩn trong hai phương trình không bằng nhau và
không đối nhau ta phải thực hiện biến đổi cùng
3x 2y 5 2x y 1
II :
Hướng dẫn giải
3x 2y 5 7x 7 x 1 4x 2y 2 3x 2y 5 y 1
II
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
x;y 1;1 .
QU
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Y
nhân hai vế các phương trình với một số nào đó để đưa về trường hợp 1.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
NH
hai phương trình đó.
ƠN
nguyên phương trình kia).
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Phương pháp giải
Bước 1. Cộng hoặc trừ từng vế hai phương
2x 3y 7 Ví dụ: Giải hệ phương trình x 2y 4
trình của hệ phương trình đã cho để được
Hướng dẫn giải
phương trình mới.
Ta lấy phương trình thứ hai nhân với 2 sau đó trừ
Bước 2. Dùng phương trình mới thay thế cho
hai phương trình cho nhau.
một trong hai phương trình của hệ (vẫn giữ
2x 3y 7 2x 3y 7 2x 3y 7 x 2y 4 2x 4y 8 y 1
Y
KÈ M
Thực hiện theo hai bước
nguyên phương trình kia). Giải hệ phương
DẠ
trình mới tìm được. Chú ý:
Trường hợp 1: Nếu các hệ số cùng một ẩn
2x 4 x 2 y 1 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
nào đó trong hai phương trình bằng nhau thì ta Trang 2
trừ hai phương trình đó, đối nhau thì ta cộng
x;y 2;1
hai phương trình đó.
CI AL
Trường hợp 2: Nếu các hệ số cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau và không đối nhau ta phải thực hỉện biến đổi cùng nhân hai vế các phương trình với một số nào
FI
đó để đưa về trường hợp 1. Ví dụ mẫu
OF
x 2y 7 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. 3x 2y 13 Hướng dẫn giải
Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất ta được hệ phương trình
NH
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x;y 3;2
ƠN
x 2y 7 x 2y 7 2y 7 3 2y 4 x 3 2x 6 x 3 x 3 x 3 y 2
4x 3y 5 Ví dụ 2. Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau x y 3 Hướng dẫn giải
Y
Ta nhân hai vế phương trình thứ hai với 3 sau đó cộng hai phương trình lại với nhau được hệ phương trình
QU
4x 3y 5 4x 3y 5 4.2 3y 5 3y 3 y 1 7x 14 x 2 x 2 x 2 x 2
KÈ M
4x 3y 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x;y 2;1 x y 3 Bài tập tự luyện dạng 1
7x 2y 3 Câu 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. 5x 3y 11 4x 5y 23 Câu 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. 2x 3y 13
DẠ
Y
x 4y 8 Câu 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. 2x 5y 13 Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số.
Phương pháp giải Trang 3
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2 x 2 3 y 1 4 3 x 2 2 y 1 8
Bước 1. Nhân khai triển chuyển vế đưa hệ phương trình về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bước 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. Bước 3. Kết luận.
CI AL
Thực hiện theo các bước sau
Hướng dẫn giải
2 x 2 3 y 1 4 Ta có 3 x 2 2 y 1 8
FI
2x 4 3y 3 4 2x 3y 5 3x 6 2y 2 8 3x 2y 12
OF
Nhân hai vế của phương trình một với 2 và hai vế phương trình hai với 3 sau đó ta cộng hai vế phương trình với nhau.
ƠN
2x 3y 5 4x 6y 10 3x 2y 12 9x 6y 36 2x 3y 5 2x 3y 5 13x 26 13x 26
NH
2x 3y 5 2.2 3y 5 x 2 x 2
y 3 x 2
2 x 2 3 y 1 4 Vậy hệ phương trình có 3 x 2 2 y 1 8 nghiệm duy nhất x;y 2;3 .
KÈ M
QU
Y
3y 9 x 2
Ví dụ mẫu
2x y 2 y 2x 1 5 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình x y 1 y 2 x 8
Y
Hướng dẫn giải
DẠ
2x y 2 y 2x 1 5 2xy 4x 2xy y 5 4x y 4 Ta có xy x 2y xy 8 x y 1 y 2 x 8 x 2y 8 4x y 5 Giải hệ phương trình . x 2y 8 Trang 4
Nhân hai vế phương trình một với 2 sau đó cộng hai phương trình lại với nhau ta được hệ phương trình
CI AL
9x 18 x2 x2 x 2 . x 2y 8 x 2y 8 2y 6 y 3
2x y 2 y 2x 1 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x;y 2;3 . x y 1 y 2 x 8
FI
3x y 1 y 2 3x 1 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 2x y 2 2y x 2 4 3x y 1 y 2 3x 1 3xy 3x 2y 3xy 1 Ta có 2x y 2 2y x 2 4 2xy 4x 2yx 4y 4
ƠN
3x 2y 1 3x 2y 1 4x 4y 4 x y 1
OF
Hướng dẫn giải
3x 2y 1 Giải hệ phương trình x y 1
Nhân hai vế phương trình hai với 2 sau đó cộng hai phương trình lại với nhau được ta được hệ phương
NH
x 3 x 3 trình . x y 1 y 4
QU
Bài tập tự luyện dạng 2
Y
3x y 1 y 2 3x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x;y 3; 4 . 2x y 2 2y x 2 4 4 x y 3 y 1 7 Câu 1: Giải hệ phương trình 2 x 1 y 6
KÈ M
2x 1 2y 4y x 1 8 Câu 2: Giải hệ phương trình 3x y 1 y 3 3x 15 2y x 2 x 4 2y 4 Câu 3: Giải hệ phương trình 5x y 3 y 5x 4 7 Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn dụ Phương pháp giải
Y
Thực hiện theo các bước sau
DẠ
Bước 1. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức cùa hệ phương trình để đưa hệ phương trình về dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bước 2. Đặt điều kiện của ẩn phụ.
3 1 x 1 y 2 2 Ví dụ: Giải hệ phương trình 1 2 3 x 1 y 2 2
Hướng dẫn giải Trang 5
giải hệ phương trình theo ẩn phụ. Bước 4. Với các giá trị của ẩn phụ tìm được thay vào biểu thức đặt ẩn phụ để xác định nghiệm của hệ phương trình.
x 1 0 x 1 Điều kiện y 2 0 y 2 Đặt
1 1 a; b ta có hệ phương trình sau x 1 y2
a 3b 2 3. a 2b 2
Bước 5. Kết luận.
FI
Điều kiện a,b 0
CI AL
Bước 3. Sử dụng phương pháp cộng đại số
OF
a 3b 2 Giải hệ phương trình 3 a 2b 2
Trừ phương trình một cho phương trình hai ta được hệ
NH
ƠN
1 a 3b 2 a 3b 2 a 3 2 2 3 1 a 2b 2 b 2 b 1 2
KÈ M
QU
Y
1 a 2 (thỏa mãn điều kiện). b 1 2
Với a
1 thì 2
1 1 x 1 2 x 3 (TMĐK) x 1 2
Với b
1 1 1 y2 2 y 0 thì y2 2 2
(TMĐK) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
x;y 3;0 .
Y
Ví dụ mẫu
DẠ
3 x 1 2 y 2 4 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 2 x 1 3 y 2 7 Hướng dẫn giải Đặt a x 1 a 0 ; b y 2 b 0
Trang 6
3a 2b 4 Hệ phương trình đã cho trở thành 2a 3b 7
CI AL
3a 2b 4 Giải hệ phương trình 2a 3b 7 3a 2b 4 9a 6b 12 3a 2b 4 2a 3b 7 4a 6b 14 13a 26
FI
3a 2b 4 3.2 2b 4 2b 2 b 1 a 2 a 2 a 2 a 2
OF
x 1 2 x 3 Với a 2 thì x 1 2 x 1 2 x 1 y 2 1 y 1 b 1 thì y 2 1 y 2 1 y 3
ƠN
3 x 1 2 y 2 4 Vậy hệ phương trình có các nghiệm là x;y 3; 1 ; 3; 3 ; 1; 1 ; 1; 3 . 2 x 1 3 y 2 7
NH
4 2x 1 3 y 2 1 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 2 2x 1 3 y 2 13
1 2x 1 0 x Điều kiện 2 y 2 0 y 2
Y
Hướng dẫn giải
QU
Đặt a 2x 1 a 0 ; b y 2 b 0 .
4a 3b 1 Hệ phương trình đã cho trở thành: 2a 3b 13
KÈ M
4a 3b 1 Giải hệ phương trình 2a 3b 13
4a 3b 1 4a 3b 1 4a 3b 1 2a 3b 13 4a 6b 26 9b 27
Y
4a 3b 1 4a 3.3 1 4a 8 a 2 b 3 b 3 b 3 b 3
DẠ
Với a 2 thì
b 3 thì
2x 1 2 2x 1 4 2x 3 x
3 . 2
y 2 3 y 2 9 y 11.
4 2x 1 3 y 2 1 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y ;11 . 2 2 2x 1 3 y 2 13
Trang 7
Bài tập tự luyện dạng 3
CI AL
3 15 x 2y 2 1 Câu 1: Giải hệ phương trình 6 1 3 x 2y 2 2
FI
4 3 x 1 2y 1 7 Câu 2: Giải hệ phương trình x 1 6 6 2y 1
OF
2x 3 2y 1 1 Câu 3: Giải hệ phương trình 2 x 2 3 2y 1 11
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải nhận x 0 ;y0 là nghiệm.
x0 ;y0
ax 0 by0 c khi và chỉ khi ax 0 by0 c
Y
phương trình thỏa mãn một số điều kiện khác.
QU
Bước 1. Tìm nghiệm của hệ phương trình theo Bước 2. Dựa vào điều kiện của nghiệm thiết lập phương trình chứa tham số.
KÈ M
Bước 3. Giải phương trình tham số.
2m 1 x ny 5 Hệ phương trình nhận cặp số mx n 2 y 7
x;y 1;2 là nghiệm của hệ phương trình nên 2m 1 .1 n.2 5 2m 2n 4 m 2n 3 m.1 n 2 .2 7 m 1 n 1 m 2n 3 m 1 n 1 Vậy với hệ phương trình m 1
2m 1 x ny 5 nhận x;y 1;2 làm mx n 2 y 7 nghiệm.
DẠ
Y
Bước 4. Kết luận.
x;y 1;2 .
Hướng dẫn giải
- Tìm giá trị của tham số để nghiệm của hệ
tham số m.
Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm
NH
ax by c Hệ phương trình có nghiệm ax by c
2m 1 x ny 5 Ví dụ: Cho hệ phương trình mx n 2 y 7
ƠN
- Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình
Ví dụ mẫu
Trang 8
x 2y 1 Ví dụ 1. Cho hệ phương trình . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x 0 ;y0 3x 4y m 3
CI AL
thỏa mãn x 0 y0 2 . Hướng dẫn giải Ta có:
FI
m x 2y 1 3x 6y 3 2y m y 2 3x 4y m 3 3x 4y m 3 x 2y 1 x m 1
m 1
OF
x 2y 1 Theo đề bài hệ phương trình có nghiệm duy nhất x 0 ;y0 thỏa mãn x 0 y0 2 nên 3x 4y m 3 m 2 2m 2 m 4 m 2 . 2
ƠN
x 2y 1 Vậy với m 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất x 0 ;y0 thỏa mãn x 0 y0 2 3x 4y m 3 x y m Ví dụ 2. Cho hệ phương trình (m là tham số). Tìm điều kiện của m để hệ phương trình 2x 5y 3m 6
NH
có nghiệm là các số nguyên. Hướng dẫn giải Ta có:
QU
Y
x y m x y m 2x 2y 2m x y m m 2x 5y 3m 6 2x 5y 3m 6 3y m 6 y 2 3 Để hệ phương trình có nghiệm là các số nguyên thì
m m 2 . 3 3
Suy ra m có dạng m 3k k .
KÈ M
Vậy với m 3k k thì hệ phương trình đã cho có nghiệm là các số nguyên. Bài tập tự luyện dạng 4
2 m 1 x 2n 1 y 2 Câu 1: Xác định m; n để hệ phương trình có nghiệm x;y 3;2 . m 2 x 3ny 21
Y
x 2y 7 Câu 2: Xác định a để hệ phương trình có nghiệm x;y thỏa mãn x 2 y . 3x 2y 2a 1
DẠ
m 1 x y 3 Câu 3: Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện mx y m x y 0. ĐÁP ÁN Trang 9
Dạng 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Câu 1.
CI AL
7x 2y 3 21x 6y 9 31x 31 x 1 x 1 x 1 Ta có 5x 3y 11 10x 6y 22 7x 2y 3 7.1 2y 3 2y 4 y 2 7x 2y 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y 1;2 . 5x 3y 11 Câu 2.
Câu 3.
OF
4x 5y 23 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y 2;3 2x 3y 13
FI
4x 5y 23 4x 5y 23 y 3 y 3 y 3 y 3 Ta có . 2x 3y 13 4x 6y 26 2x 3y 13 2x 3.3 13 2x 4 x 2
ƠN
x 4y 8 2x 8y 16 3y 3 y 1 x 4 Ta có 2x 5y 13 2x 5y 13 2x 5y 13 2x 5.1 13 y 1
NH
x 4y 8 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y 4;1 2x 5y 13
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số. Câu 1.
QU
Y
4 x y 3 y 1 7 4x 4y 3y 3 7 4x y 4 6x 0 x 0 Ta có 2x 2 y 6 2x y 4 2x y 4 y 4 2 x 1 y 6 4 x y 3 y 1 7 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y 0; 4 . 2 x 1 y 6 Câu 2.
KÈ M
2x 1 2y 4y x 1 8 2x 4xy 4xy 4y 8 Ta có 3x y 1 y 3 3x 15 3xy 3x 3y 3xy 15 x 2y 4 x y 5
Y
3y 9 x y 5
DẠ
y 3 x 3 5 y 3 x 2
Trang 10
Câu 3.
2y x 2 x 4 2y 4 2yx 4y 4x 2xy 4 4x 4y 4 Ta có 5xy 15x 5xy 4y 7 15x 4y 7 5x y 3 y 5x 4 7
FI
11x 11 15x 4y 7
CI AL
2x 1 2y 4y x 1 8 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y 2;3 3x y 1 y 3 3x 15
OF
x 1 15.1 4y 7 x 1 4y 8
ƠN
x 1 y 2
2y x 2 x 4 2y 4 Vậy nghiệm của hệ là x;y 1;2 5x y 3 y 5x 4 7
NH
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn dụ Câu 1. Điều kiện x 0; y 1.
QU
Y
1 1 Đặt a ; b a;b 0 ta được hệ phương trình x 2y 2
15a 3b 1 3 6a b 2
KÈ M
1 11 a 15a 3b 1 15a 3b 1 33a 6 Giải hệ phương trình . 2 3 9 6a b 2 18a 3b 2 15a 3b 1 b 1 2
Với a
1 1 1 thì x 6 . 6 x 6
Với b
1 1 1 2y 2 2 2y 4 y 2 thì 2y 2 2 2
DẠ
Y
3 5 x 2y 2 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y 6;2 . 3 5 5 x 2y 2
Câu 2.
1 Điều kiện x 1; y . 2
Trang 11
Đặt a x 1 a 0 ; b
3a 4b 7 1 b 0 ta được hệ phương trình 2y 1 a 6b 6
CI AL
3a 4b 7 Giải hệ phương trình . a 6b 6
Với a 3 thì
x 1 3 x 1 9 x 8.
OF
1 y 2y 1 2 2y 1 1 1 1 2 2y 1 2 b thì . 2y 1 2 2y 1 2 2y 3 2 y 3 2
FI
1 1 b 3a 4b 7 3a 4b 7 22b 11 b 2 2 a 6b 6 3a 18b 18 a 6b 6 a 6. 1 6 a 3 2
ƠN
4 3 x 1 2y 1 7 1 3 Vậy các nghiệm của hệ phương trình là x;y 8; ; 8; . 2 2 x 1 6 6 2y 1
NH
Câu 3.
2x 3 2y 1 1 2x 3 2y 1 1 2x 3 2y 1 1 Ta có 2 x 2 3 2y 1 11 2x 4 3 2y 1 11 2x 3 2y 1 7
QU
Y
2a 3b 1 Đặt a x; b 2y 1 b 0 ta được hệ phương trình 2a 3b 7 2a 3b 1 2a 3b 1 2a 3b 1 2.2 3b 1 3b 3 b 1 2a 3b 7 4a 8 a 2 a 2 a 2 a 2 Với a 2 thì x 2
KÈ M
2y 1 1 2y 0 y 0 b 1 thì 2y 1 1 2y 1 1 2y 2 y 1
2x 3 2y 1 1 Vậy các cặp nghiệm của hệ phương trình là x;y 2;0 ; 2; 1 . 2 x 2 3 2y 1 11 Câu 1.
Y
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
DẠ
2 m 1 x 2n 1 y 2 Hệ phương trình nhận cặp số x;y 3;2 là nghiệm nên m 2 x 3ny 21 2 m 1 x 2n 1 y 2 6m 6 4n 2 2 6m 4n 2 3m 2n 1 3m 6 6n 21 3m 6n 15 3m 6n 15 m 2 x 3ny 21 Trang 12
8n 16 n 2 n 2 n 2 n 2 . 3m 2n 1 3m 2n 1 3m 2.2 1 3m 3 m 1
CI AL
2 m 1 x 2n 1 y 2 Vậy với m 1; n 2 hệ phương trình nhận cặp số x;y 3;2 là nghiệm. m 2 x 3ny 21 Câu 2.
FI
x 7 a 3 7 a x 2y 7 x 2y 7 y y y 5 Ta có 2 2 2 2 2 3x 2y 2a 1 2x 2a 6 x a 3 x a 3 x a 3
OF
x 2y 7 a Vậy hệ phương trình nhận x;y a 3; 5 là nghiệm. 2 3x 2y 2a 1
x 2y 7 Theo giả thiết hệ phương trình có nghiệm x;y thỏa mãn x 2 y nên 3x 2y 2a 1
ƠN
a a 3 2 5. 2
a a 1 5 2a 2 a 10 3a 12 a 4 2
NH
x 2y 7 Vậy với a 4 hệ phương trình có nghiệm x;y thỏa mãn x 2 y . 3x 2y 2a 1 Câu 3.
Y
m 1 x y 3 2m 1 x 3 m Ta có mx y m mx y m
QU
5 5 0 1 0.x 2 Với m ta có hệ phương trình (vô lí). 2 2 mx y m 1 x y 1 2 2
1 hệ phương trình vô nghiệm. 2
KÈ M
Vậy với m
3 m 3 m 3 m x x 2m 1 x 3 m 1 x 2m 1 2m 1 Với m ta có: 2m 1 2 mx y m mx y m m. 3 m y m y m m. 3 m 2m 1 2m 1
DẠ
Y
3 m 3 m 3 m 3 m x 2m 1 x 2m 1 x 2m 1 x 2m 1 2 2 2 2 2 m 2m 1 2m m 3m m 2m m 3m m m2 2m 3m m y y y y 2m 1 2m 1 2m 1 2m 1 2m 1 2m 1 2 2 3 m m 2m m m 3 Suy ra x y 2m 1 2m 1 2m 1
Trang 13
Theo bài ra x y 0 nên
m2 m 3 0 2m 1
Vậy để
2
m2 m 3 1 0 thì 2m 1 0 m 2m 1 2
CI AL
2
1 1 1 11 1 11 Ta có m m 3 m 2.m. m 0 với mọi m 2 2 4 4 2 4 2
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
FI
1 m 1 x y 3 Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x y 0 thì m . 2 mx y m
Trang 14
CHƯƠNG 2: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI 5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
CI AL
Mục tiêu Kiến thức
+ Trình bày và áp dụng được các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình để giải toán. Kĩ năng
+ Biết cách giải và trình bày lời giải các bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
FI
o Bài toán chuyển động. o Bài toán về công việc. o Bài toán có sử dụng kiến thức về phần trăm. o Bài toán tìm số.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
o Bài toán tìm tuổi.
OF
o Bài toán liên quan đến hình học.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Ví dụ: Lúc 7h sáng một chiếc xe con đi từ tỉnh A
phương trình:
vào tỉnh B, quãng đường dài 200km. Cùng lúc đó
Bước 1. Lập hệ phương trình.
một chiếc xe tải đi từ tỉnh B ra tỉnh A và hai xe gặp
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
nhau khi đã đi được 2 giờ. Tính vận tốc mỗi xe biết
số.
vận tốc xe con lớn hơn vận tốc xe tải là 20km/h.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và
Hướng dẫn giải
các đại lượng đã biết.
Gọi vận tốc của xe con và xe tải lần lượt là x
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ
(km/h); y (km/h) (x > y > 0).
giữa các đại lượng.
Quãng đường xe con đi được sau 2 giờ là 2.x (km).
Bước 2. Giải hệ phương trình.
Quãng đường xe tải đi được sau 2 giờ là 2.y (km).
Bước 3. Kết luận
Vì sau khi đi được 2 giờ thì hai xe gặp nhau nên ta
Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương
có phương trình 2x 2y 200 1 .
nghiệm nào không, rồi kết luận
FI
OF
ƠN
trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn,
CI AL
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ
Mặt khác vận tốc xe con lớn hơn vận tốc xe tải là 20 (km/h) nên ta có phương trình x y 20 2 .
NH
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
2x 2y 200 x y 20
KÈ M
QU
Y
Giải hệ phương trình
2x 2y 200 x y 100 x y 20 x y 20 2x 120 y x 20 x 60 y x 20 x 60 y 40 Với x 60 km / h; y 40 km / h thỏa mãn điều kiện x > y > 0. vận tốc của xe tải là 40 (km/h).
DẠ
Y
Vậy vận tốc của xe con là 60 (km/h);
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải bài toán chuyển động bằng cách lập hệ phương trình Phương pháp giải Trang 2
Ví dụ: Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 9 giờ
Bước 1. Lập hệ phương trình.
sáng. Nếu xe chạy với vận tốc là 30(km/h) thì đến
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
B chậm 1 giờ. Nếu chạy với vận tốc 60(km/h) thì
số (chọn một trong các đại lượng vận tốc, thời
tới 8 sớm 1 giờ. Tính độ dài quãng đường AB, thời
gian, quãng đường làm ẩn).
điểm mà ô tô xuất phát.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và
Hướng dẫn giải
các đại lượng đã biết.
Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B với vận tốc 30 (km/h) là x (h).
FI
s s s v.t; t ; v v t
CI AL
Thực hiện theo các bước sau
Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 (km/ h) là y (h) (x > y > 0).
t là thời gian với đơn vị là giờ; phút; giây.
Quãng đường AB là
OF
Với s là quãng đường đơn vị là (km); (m)... v là vận tốc với đơn vị là (km/h); (m/s)...
S 30.x 60.y 30x 60y 0 1
Bước 2. Giải hệ phương trình.
Theo bài ra, khi xe chạy với vận tốc 30 (km/h) thì
ƠN
Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của
đến B chậm 1 giờ, khi xe chạy với vận tốc 60
hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều
(km/h) thì tới B sớm 1 giờ nên ta có phương trình
kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
NH
x y 2. 2
x y 2 x y 2 x 4 x 2y 0 y 2 y 2
(thỏa mãn điều kiện). Vậy quãng đường AB là S 30.4 120 (km). Thời gian ô tô dự định đi là 4 1 3 (giờ). Thời điểm xe ô tô xuất phát là 9 3 6 (giờ).
KÈ M
QU
Y
30x 60y 0 Từ (1), (2) ta có hệ x y 2
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Bác Chiến đi xe đạp từ thị trấn về làng, bác Sơn cũng đi xe đạp nhưng từ làng lên thị trấn. Họ gặp nhau khi bác Chiến đi được 1 giờ rưỡi, còn bác Sơn đi được 2 giờ. Một lần khác hai người cùng đi từ hai địa điểm trên nhưng khởi hành đồng thời, sau 1 giờ 15 phút họ cách nhau 10,5km. Tính vận tốc của
Y
mỗi người biết khoảng cách từ làng lên thị trấn là 38 km.
DẠ
Hướng dẫn giải
Đổi 1 giờ 15 phút
5 giờ, 1 giờ rưỡi 1,5 giờ. 4
Gọi vận tốc bác Chiến đi là x (km/h), vận tốc bác Sơn đi là y (km/h) (x; y > 0). Quãng đường bác Chiến đi được sau 1 giờ rưỡi là 1,5.x (km). Trang 3
Quãng đường bác Sơn đi được sau 2 giờ là 2.y (km).
Quãng đường Bác Sơn đi được sau 1 giờ 15 phút là
5 .x (km). 4
5 .y (km). 4
Sau 1 giờ 15 phút hai bác cách nhau 10,5 (km). Mà quãng đường từ thị trấn về làng dài 38 km nên
5 5 .x .y 27,5 2 . 4 4
OF
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
FI
Quãng đường bác Chiến đi được sau 1 giờ 15 phút là
CI AL
Mà quãng đường từ thị trấn về làng dài 38km nên 1,5x 2y 38 1 .
1,5x 2y 38 3x 4y 76 3x 4y 76 y 10 y 10 (thỏa mãn điều kiện). 5 5 3x 3y 66 x y 22 x 12 4 x 4 y 27,5 x y 22
ƠN
Vậy vận tốc của bác Chiến là 12 (km/h); vận tốc của bác Sơn là 10 (km/h).
Hai xe xuất phát ngược chiều xe đi từ A và xe đi từ B gặp nhau thì tổng quãng đường hai xe đi được bằng
NH
quãng đường AB.
Ví dụ 2. Tìm vận tốc và chiều dài của một đoàn tàu hoả biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây. Cho biết sân ga dài 378 m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây.
Y
Hướng dẫn giải
QU
Gọi x (m/s) là vận tốc của đoàn tàu ( x 0 ).
Gọi y (m) là chiều dài của đoàn tàu ( y 0 ).
Tàu chạy ngang văn phòng ga mất 7 giây nghĩa là trong 7 giây tàu di chuyển được quãng đường bằng chiều dài của tàu. Ta có phương trình y 7x 1 .
KÈ M
Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378 m cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga mất 25 giây nghĩa là trong 25 giây tàu di chuyển được quãng đường bằng chiều dài tàu cộng với 378 m. Ta có phương trình
y 378 25x 2 .
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Y
7x y 0 7x y 0 7x y 0 y 147 25x y 378 18x 378 x 21 x 21
DẠ
(thỏa mãn điều kiện). Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21(m/s); chiều dài của đoàn tàu là 147 m. Bài toán 2: Giải bài toán chuyển động liên quan tới dòng nước bằng cách lập hệ phương trình Phương pháp giải Trang 4
Ví dụ: Một chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên
Bước 1. Lập hệ phương trình.
khúc sông dài 40 km hết 4 giờ 30 phút. Biết thời
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
gian thuyền xuôi dòng 5 km bằng thời gian thuyền
số (chọn một trong các đại lượng vận tốc, thời
ngược dòng 4 km. Tính vận tốc dòng nước.
gian, quãng đường làm ẩn).
Hướng dẫn giải
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
Đổi 4 giờ 30 phút
9 giờ. 2
CI AL
Thực hiện theo các bước sau
FI
Gọi x (km/h) là vận tốc của thuyền khi nước yên
s s s v.t; t ; v . v t
lặng.
Gọi y (km/h) là vận tốc dòng nước (x > y > 0).
t là thời gian với đơn vị là giờ; phút; giây.
Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là x + y (km/h).
v là vận tốc với đơn vị là (km/h); (m/s)...
Vận tốc ca nô khi ngược dòng là x - y (km/h).
Chú ý: với v0 là vận tốc thực ca nô, vd là vận
Vì thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian
tốc dòng nước thì
thuyền ngược dòng 4km nên ta có phương trình
Vận tốc xuôi dòng là vx v0 vd .
5 4 1 x y x y
ƠN
Vận tốc ngược dòng là Vn V0 Vd .
vx vn 2
; vd
Vì chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông
vx vn
NH
Suy ra v0
dài 40km hết 4 giờ 30 phút nên ta có phương trình
2
40 40 9 2 x y x y 2
Bước 2. Giải hệ phương trình.
Y
Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều
Y
KÈ M
QU
kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
DẠ
OF
Với s là quãng đường đơn vị là (km); (m)...
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 4 5 x y x y 0 40 40 9 x y x y 2 32 40 x y x y 0 40 40 9 x y x y 2 9 72 x y 2 40 40 9 x y x y 2 1 1 x y 16 40 2 x y
Trang 5
x y 16 x y 20
CI AL
1 1 x y 16 1 1 x y 20
FI
x 18 (thỏa mãn điều kiện). y 2
Vậy vận tốc dòng nước là 2 (km/h).
OF
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến Avà B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì hai ca nô gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi canô, biết rằng vận tốc của ca nô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô đi ngược dòng là 9(km/h) và vận tốc của dòng nước là 3(km/h).
Đổi 1 giờ 40 phút
ƠN
Hướng dẫn giải 5 giờ. 3
NH
Giả sử ca nô đi từ A đi xuôi dòng và ca nô đi từ B là đi ngược dòng.
Gọi vận tốc ca nô xuôi dòng là x (km/h), vận tốc ca nô ngược dòng là y (km/h) (x > y > 0). 5 5 giờ là x (km). 3 3
Quãng đường ca nô đi từ B đi được sau
5 5 giờ là y (km). 3 3
QU
Y
Quãng đường ca nô đi từ A đi được sau
Theo bài ra khoảng cách hai bên là 85km và sau
5 5 5 giờ hai ca nô gặp nhau, suy ra x y 85 1 3 3 3
Mặt khác vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngược dòng là 9 (km/h) nên x y 9. 2
KÈ M
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
5 5 x y 85 x y 51 x 30 (thỏa mãn điều kiện). 3 3 x y 9 y 21 x y 9 Vận tốc riêng của ca nô xuôi dòng là x 30 3 27 (km/h). Vận tốc riêng của ca nô ngược dòng là x 21 3 24 (km/h).
Y
Ví dụ 2. Một ca nô đi xuôi dòng 42 km rồi ngược dòng 40 km. Vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc
DẠ
ca nô ngược dòng 4 (km/h). Tính vận tốc riêng của ca nô biết rằng thời gian ca nô ngược dòng lâu hơn thời gian ca nô xuôi dòng là 1 giờ. Hướng dẫn giải Gọi vận tốc xuôi dòng của ca nô là x (km/h), vận tốc ngược dòng của ca nô là y (km/h) (x > y > 0). Trang 6
42
Thời gian ca nô đi ngược dòng được 40 km là
x
(giờ).
40
y
(giờ).
CI AL
Thời gian ca nô đi xuôi dòng được 42 km là
Theo bài ra thời gian canô đi ngược dòng lâu hơn thời gian canô đi xuôi dòng là 1 giờ, suy ra 40 42 1. 1
y
x
FI
Mặt khác vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn ngược dòng là 4 (km/h).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 42 40 42 40 1 1 40 y 4 42y y y 4 x y xy 4 y x y 4 x y 4 x y 4
ƠN
160 2y y2 4y x y 4
NH
y2 6y 160 0 x y 4 y 16 y 10 0 x y 4
QU
Y
y 16 y 10 x y 4
OF
Suy ra x y 4. 2
y 10 (thỏa mãn điều kiện) x 4
x y 2
KÈ M
Vậy tốc độ riêng của ca nô là
12 (km/h).
Bài tập tự luyện dạng 1
Y
Câu 1: Một người đi xe máy từ Chu Lai đến phố cổ Hội An. Nếu đi với vận tốc 35 (km/h) thì đến nơi 2 chậm hơn so với dự định là giờ. Nếu đi với vận tốc 45 (km/h) thì đến nơi sớm hơn so với dự định là 13 7 phút 20 giây. Tính quãng đường Chu Lai - Hội An.
DẠ
Câu 2: Quãng đường AB dài 80 km. Hai ô tô đi ngược chiều nhau và gặp nhau tại điểm cách B 50 km. Nếu ô tô xuất phát từ A đi trước ô tô xuất phát từ B là 32 phút thì hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc của mỗi xe. Câu 3: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km. Một lần khác ca nô đó cũng đi trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô. Trang 7
Câu 4: Một ca nô chuyển động xuôi dòng từ bến A đến bến B sau đỏ chuyển động ngược dòng từ B về A hết tổng thời gian là 5 giờ. Biết quãng đường sông từ A đến B đài 60 km và vận tốc dòng nước là 5 km/h. Tính vận tốc thực của ca nô.
CI AL
Dạng 2: Giải bải toán liên quan đến kiến thức hình học bằng cách lập hệ phương trình Phương pháp giải
Ví dụ: Một hình chữ nhật có chu vi là 340 m. Ba
Bước 1. Lập hệ phương trình.
lần chiều dài lớn hơn bốn lần chiều rộng là 20 m.
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.
số (chọn một trong các đại lượng chiều cao,
Hướng dẫn giải
đáy, chiều dài, chiều rộng, chu vi, diện tích....
Gọị chiều dài của hình chữ nhật là x (m), chiều
làm ẩn).
rộng của hình chữ nhật là y (m) (x > y > 0).
các đại lượng đã biết.
Theo bài ra ba lần chiều dài lớn hơn bốn lần chiều rộng là 20 m nên 3x 4y 20. 2
S là diện tích tam giác, đơn vị km2 ; m2 ...
a; b; c là độ dài các cạnh của tam giác, đơn vị là km; m; ...
Y
C là chu vi tam giác đơn vị là km; m;...
QU
• Với hình vuông
x y 170 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 3x 4y 20
NH
Trong đó
a là độ dài cạnh hình vuông đơn vị là km; m;...
KÈ M
S a.b; C 2 a b
340 170 (m). 2
ƠN
1 2
S a.h; C a b c
• Với hình chữ nhật
Nửa chu vi hình chữ nhật là
Ta có phương trình x y 170. 1
• Với tam giác
S a2 ; C 4a
OF
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và
FI
Thực hiện theo các bước sau
3x 3y 510 7y 490 3x 4y 20 x y 170 y 70 x y 170
y 70 (thỏa mãn điều kiện) x 100 Vậy chiều dài hình chữ nhật là 100m, chiều rộng hình chữ nhật là 70 m.
a, b là kích thước chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật đơn vị là km; m;... • Với hình thang
1 a b h 2
Y
S
a; b là độ dài đáy hình thang đơn vị là km; m;...
DẠ
h là chiều cao hình thang đơn vị là km; m;... • Với hình bình hành
S ah; C 2 a b
a, b là độ dài cạnh đáy hình bình hành đơn vị Trang 8
là km; m;... h là chiều cao tương ứng với cạnh đáy hình
CI AL
bình hành đơn vị là km; m;... • Với hình thoi 1 2
S b.c; C 4a a là độ dài cạnh hình thoi đơn vị là km; m;...
FI
b, c là độ dài hai đường chéo hình thoi đơn vị là km; m;...
OF
Bước 2. Giải hệ phương trình. Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều
ƠN
kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. Ví dụ mẫu biết rằng các cạnh đáy hơn kém nhau 15cm. Hướng dẫn giải
NH
Ví dụ 1. Diện tích một hình thang bằng 140 cm2 , chiều cao bằng 8 cm. Xác định chiều dài các cạnh đáy,
Gọi độ dài đáy lớn, đáy nhỏ của hình thang lần lượt là x (cm); y (cm) (x > y > 0). Diện tích hình thang bằng 140 cm2 , chiều cao bằng 8 cm nên ta có phương trình
QU
Y
1 x y 8 140 x y 35. 1 2
Vì đáy lớn dài hơn đáy bé 15 cm nên x y 15 2
x y 35 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x y 15
KÈ M
2x 50 x 25 (thỏa mãn điêu kiện). x y 15 y 10 Vậy chiều dài đáy lớn là 25cm, chiều dài đáy bé là 10cm. Ví dụ 2. Một tam giác có chiều cao bằng
3 cạnh đáy tương ứng. Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh 4
Y
đáy giảm đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2 . Tính chiều cao và cạnh đáy đã cho.
DẠ
Hướng dẫn giải
Gọi độ dài cạnh đáy của tam giác là x (dm), độ dài chiều cao cùa tam giác là y (dm) (x, y > 0). Diện tích của tam giác là S
x.y 2
dm . 2
Trang 9
Theo bài ra chiều cao bằng
3 cạnh đáy suy ra 3x 4y 3x 4y 0. 1 4
S
x 2 . y 3 2
CI AL
Diện tích tam giác khi chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 2 dm là
dm 2
Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2 suy ra
x 2 . y 3 xy 12 2
FI
2
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
3x 4y 0 2y 30 y 15 (thỏa mãn điều kiện). 3x 2y 30 3x 2y 30 x 20 Vậy độ dài cạnh đáy là 20 dm, độ dài chiều cao là 15 dm.
ƠN
Bài tập tự luyện dạng 2
OF
xy 3y 2y 6 xy 24 3x 2y 30 (2)
Câu 1: Một hình chữ nhật có diện tích 600 m2 . Nếu bớt mỗi cạnh hình chữ nhật 4 m thì diện tích của hình còn lại là 416 m2 . Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
NH
Câu 2: Một tam giác cân có chu vi là 34 m. Tính độ dài các cạnh của tam giác biết độ dài cạnh bên lớn hơn độ dài cạnh đáy là 2 m. Dạng 3: Giải bài toán về năng suất lao động bằng cách lập hệ phương trình Phương pháp giải
Y
Thực hiện theo các bước sau
QU
Bước 1. Lập hệ phương trình.
Ví dụ: Một xí nghiệp theo kế hoạch làm với năng suất 60 dụng cụ một ngày. Thực tế, năng suất một ngày của xí nghiệp vượt mức kế hoạch 10 dụng cụ
số (chọn một trong các đại lượng công việc,
nên xí nghiệp vượt mức kế hoạch 30 dụng cụ và
năng suất, thời gian.... làm ẩn).
xong sớm 1 ngày. Tính số dụng cụ xí nghiệp phải
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và
làm theo kế hoạch và thời gian xí nghiệp dự định
KÈ M
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
các đại lượng đã biết.
A N .t; N
A A ;t t N
hoàn thành theo kế hoạch. Hướng dẫn giải Gọi số dụng cụ mà xí nghiệp dự định làm theo kế hoạch là x (dụng cụ).
suất, t là thời gian hoàn thành công việc.
Thời gian xí nghiệp dự định hoàn thành theo kế
Bước 2. Giải hệ phương trình
hoạch là y (ngày) (x, y > 0).
Bước 3. Kiểm tra xem xong các nghiệm của
Năng suất theo kế hoạch là 60 dụng cụ một ngày
hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều
suy ra 60y x x 60y 0. 1
DẠ
Y
trong đó A là khối lượng công việc, N là năng
kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Thực tế, năng suất một ngày của xí nghiệp vượt mức kế hoạch 10 dụng cụ nên xí nghiệp vượt mức Trang 10
kế hoạch 30 dụng cụ và xong sớm 1 ngày. Suy ra
CI AL
70 y 1 x 30 x 70y 100. 2
x 60y 0 x 70y 100 10y 100 x 70y 100
FI
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
OF
y 10 (thỏa mãn điều kiện). x 600
Vậy theo kế hoạch xí nghiệp làm 600 dụng cụ trong
ƠN
10 ngày.
Ví dụ mẫu
NH
Ví dụ 1. Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải lảm được 720 sản phẩm. Nếu tăng năng suất thêm 10 sản phẩm mỗi ngày thì hoàn thành công việc sớm so với kế hoạch 1 ngày. Nếu giảm năng suất đi 20 sản phẩm mỗi ngày thì hoàn thành chậm hơn so với kế hoạch 3 ngày. Tính số lượng sản phẩm tổ đó phải sản xuất mỗi ngày theo dự định.
Y
Hướng dẫn giải hoạch là y (ngày) (x, y > 0).
QU
Gọi năng suất tổ sản xuất dự định làm là x (sản phẩm/ngày), thời gian tổ sản xuất dự định hoàn thành kế Theo kế hoạch tổ sản xuất làm 720 sản phẩm nên x.y 720 . Nếu tăng năng suất thêm 10 sản phẩm mỗi ngày thì hoàn thành công việc sớm so với kế hoạch 1 ngày.
KÈ M
Suy ra x 10 . y 1 720 x 10 . y 1 xy. 1 Nếu giảm năng suất đi 20 sản phẩm mỗi ngày thì hoàn thành công việc chậm hơn so với kế hoạch 3 ngày. Suy ra x 20 . y 3 720 x 20 . y 3 xy. 2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Y
x 10 . y 1 xy xy x 10y 10 xy x 20 . y 3 xy xy 3x 20y 60 xy
DẠ
x 10y 10 3x 20y 60
2x 20y 20 3x 20y 60 Trang 11
x 80 3x 20y 60
CI AL
x 80 (thỏa mãn điều kiện). y 9 Vậy theo kế hoạch mỗi ngày tổ đó phải sản xuất 80 sản phẩm.
Ví dụ 2. Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản xuất 300 chi tiết máy trong một ngày. Tuy nhiên, thực tế mỗi ngày nhà máy đã làm thêm được 100 chi tiết nên đã
FI
sản xuất thêm được 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Tính số chi tiết máy và số ngày nhà Hướng dẫn giải
OF
máy sản xuất số chi tiết máy đó theo kế hoạch.
Gọi số chi tiết máy nhà máy dự định làm là x ( chi tiết máy), thời gian mà nhà máy dự định hoàn thành theo kế hoạch là y ( ngày) (x, y > 0).
300y x x 300y 0. 1
ƠN
Nhà máy dự định sẽ sản xuất 300 chi tiết máy trong một ngày nên
Thực tế mỗi ngày đã làm thêm được 100 chi tiết máy nên đã sản xuất thêm được 600 chi tiết máy và hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày.
NH
Suy ra 400 y 1 x 600 x 400y 1000. 2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Y
x 300y 0 100y 1000 y 10 (thỏa mãn điều kiện). x 400y 1000 x 300y x 3000 Bài tập tự luyện dạng 3
QU
Vậy theo kế hoạch nhà máy dự định làm 3000 chi tiết máy trong 10 ngày.
KÈ M
Câu 1: Mẹ bạn Hương giao cho bạn Hương may một số quần áo trong 20 ngày. Trong 10 ngày đầu bạn Hương làm với năng suất dự định ban đầu. Tuy nhiên, những ngày sau nhờ vào cải tiến kĩ thuật Hương đã làm vượt mức 3 sản phẩm một ngày nên Hương đã hoàn thành số quần áo mẹ giao sớm 2 ngày. Tính số quần áo mẹ bạn Hương giao và năng suất dự định ban đầu của bạn Hương. Câu 2: Một công nhân dự định làm 360 sản phẩm trong một thời gian cố định. Nếu người đó làm vượt năng suất 6 sản phẩm một ngày thì người đó sẽ làm xong trước 3 ngày. Nếu mỗi ngày người đó làm ít hơn dự định 4 sản phẩm thì người đó sẽ hoàn thành chậm hơn dự định 3 ngày. Tính năng suất và thời gian người đó dự định làm 360 sản phẩm. Dạng 4: Giải bài toán liên quan tới làm chung, làm riêng bằng cách lập hệ phương trình
Y
Phương pháp giải Ví dụ: Hai người thợ cùng làm một công việc trong
Bước 1. Lập hệ phương trình.
16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm xong được 25%
số (chọn một trong các đại lượng công việc,
công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một
DẠ
Thực hiện theo các bước sau
Trang 12
mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc?
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và
Hướng dẫn giải
các đại lượng đã biết.
A N .t; N
Đổi 25%
A A ;t . t N
1 . 4
CI AL
năng suất, thời gian.... làm ẩn).
Gọi thời gian để một mình người thợ thứ nhất làm xong công việc là x (giờ).
suất, t là thời gian hoàn thành công việc.
Thời gian để một mình người thợ thứ hai làm xong
Bước 2. Giải hệ phương trình.
công việc là y (giờ) (x, y > 0).
hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều
Trong một giờ người thứ nhất làm được
OF
Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của
FI
trong đó A là khối lượng công việc, N là năng
việc).
kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Trong một giờ người thứ hai làm được
1
x 1
y
(công
(công
ƠN
việc).
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong, vậy một giờ hai đội làm được là 1
1
y
NH
x
1 (công việc). (1) 16
Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
6 giờ thì họ làm xong được 25% công việc, suy ra 3 6 1 . (2) x y 4
1 1 1 x y 16 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 3 6 1 x y 4 3 3 3 x y 16 3 6 1 x y 4 3 1 y 16 1 1 1 x y 16 1 1 y 48 1 1 x 24
Trang 13
y 48 (thỏa mãn điều kiện). x 24
CI AL
Vậy người thứ nhất làm một mình thì 24 giờ xong công việc. Người thứ hai làm một mình thì 48 giờ xong công việc. Ví dụ mẫu
FI
Ví dụ 1. Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày. Họ cùng làm với nhau được 8 ngày thì đội thứ nhất được điều động làm việc khác, còn đội thứ hai tiếp tục làm. Do
OF
cải tiến kĩ thuật, năng suất tăng gấp đôi nên đội thứ hai đã làm xong phần công việc còn lại trong 3 ngày rưỡi. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong công việc nói trên (với năng suất bình thường)? Hướng dẫn giải
ƠN
Gọi thời gian để mình đội xây dựng thứ nhất làm xong công việc là x (ngày). Thời gian để mình đội xây dựng thứ hai làm xong công việc là y (ngày) (x, y > 0). 1
x
(công việc).
NH
Trong một ngày đội xây dựng thứ nhất làm được Trong một ngày đội xây dựng thứ hai làm được
1
y
(công việc).
Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày, vậy một ngày hai 1
y
1 (công việc). (1) 12
QU
x
Y
1
đội làm được
1 1 1 2 Trong 8 ngày hai đội làm được là 8. 8. (công việc). 12 3 x y
KÈ M
Năng suất của đội hai sau khi cải tiến kĩ thuật
2
y
(công việc/ngày).
2 7 Công việc mà đội hai làm được trong 3,5 ngày sau khi cải tiến kĩ thuật là 3,5 (công việc/ngày).
y
y
Họ cùng làm với nhau được 8 ngày thì đội thứ nhất được điều động làm việc khác, còn đội thứ hai tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ thuật năng suất tăng gấp đôi nên đội thứ hai đã làm xong phần công việc còn lại trong 7 2 1. (2) y 3
Y
3,5 ngày, suy ra
DẠ
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y 12 x y 12 y 21 y 21 y 21 (thỏa mãn điều kiện). 7 2 7 1 1 1 1 x 28 1 1 1 y 3 y 3 x y 12 x 28
Trang 14
Vậy đội một làm một mình cần 28 ngày hoàn thành xong công việc, đội hai làm một mình cần 21 ngày hoàn thành xong công việc.
CI AL
Ví dụ 2. Hai người làm chung công việc trong 20 ngày sẽ hoàn thành. Sau khi làm chung được 12 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác trong khi đó người kia vẫn tiếp tục làm. Đi được 12 ngày người đó trở về làm tiếp 6 ngày nữa và hoàn thành công việc, trong khi đó người thứ hai nghỉ làm. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc? Hướng dẫn giải Thời gian để một mình người thợ thứ hai làm xong công việc là y (ngày)
Trong một ngày người thứ hai làm được
1
x
1
y
(công việc).
OF
Trong một ngày người thứ nhất làm được
FI
Gọi thời gian để một mình người thợ thứ nhất làm xong công việc là x (ngày).
(công việc).
(công việc). (1)
1
x
1
y
1 20
NH
Công việc hai người làm được trong 12 ngày là
ƠN
Hai người cùng làm một công việc trong 20 ngày thì xong, vậy một ngày hai đội làm được
1 1 12 3 12 (công việc). x y 20 5
1 12 Công việc người thứ hai làm được trong 12 ngày là 12. (công việc)
Y
y
QU
Công việc người thứ nhất làm được trong 6 ngày là 6.
1
x
y
6
x
(công việc).
Sau khi làm chung được 12 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác trong khi đó người kia vẫn tiếp tục làm. Đi được 12 ngày người đó trở về làm tiếp 6 ngày nữa và hoàn thành công việc, trong khi đó người
Suy ra
KÈ M
thứ hai nghỉ làm.. 3 12 6 1 (2) 5 y x
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
DẠ
Y
1 1 1 1 1 1 6 6 3 x y 20 x y 20 x y 10 3 12 6 1 6 12 2 6 12 2 5 y x x y 5 x y 5 6 1 y 10 6 12 2 x y 5
Trang 15
CI AL
1 1 y 60 6 1 x 5 1 1 y 60 1 1 x 30
FI
y 60 (thỏa mãn điều kiện). x 30
OF
Vậy mình người thứ nhất làm cần 30 ngày hoàn thành xong công việc, mình người thứ hai làm cần 60 ngày hoàn thành xong công việc. Bài tập tự luyện dạng 4
ƠN
Câu 1: Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến làm cùng trong 1 ngày nữa thì xong. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc?
NH
Câu 2: Hai đội công nhân cùng làm chung thì sau 8 giờ sẽ hoàn thành công việc. Nếu đội thứ nhất làm 5 trong 3 giờ rồi đội thứ hai làm tiếp trong 4 giờ thì xong được công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì 12 sau bao lâu hoàn thành công việc? Dạng 5: Giải bài toán liên quan tới chảy chung, chảy riêng với vòi nước bằng cách lập hệ phương trình
Bước 1. Lập hệ phương trình.
QU
Thực hiện theo các bước sau
Y
Phương pháp giải
Ví dụ: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy
số (chọn một trong các đại lượng thời gian chảy đầy bể...).
2 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao 15
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và
lâu mới đầy bể?
các đại lượng đã biết.
Hướng dẫn giải
Chú ý: Nếu vòi nước chảy đầy bể trong x giờ
Đổi 1 giờ 20 phút
KÈ M
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
Y
thì 1 giờ sẽ chảy được
1
x
(bể).
DẠ
Bước 2. Giải hệ phương trình. Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
12 phút =
4 1 giờ; 10 phút giờ; 3 6
1 giờ. 5
Gọi thời gian để mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là x (giờ); thời gian để mình vòi thứ hai chảy đầy bể là 4 y (giờ) x, y . 3
Trang 16
1
Một giờ vòi thứ nhất chảy được
1
(bể).
(bể).
CI AL
Một giờ vòi thứ hai chảy được
x y
Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy, vậy một giờ hai vòi chảy được 1
1
y
3 (bể). (1) 4
FI
x
Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ
Suy ra
2 bể. 15
OF
hai trong 12 phút thì đầy
1 1 2 . 2 6x 5y 15
ƠN
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
1 1 3 x y 4 5 12 6x y 3 1 1 6x 12 1 1 3 x y 4 1 1 x 2 1 1 y 4
x 2 (thỏa mãn điều kiện). y 4 Vậy thời gian mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là 2 giờ, thời gian mình vòi thứ hai chảy đầy bể là 4 giờ.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
1 1 3 x y 4 1 1 2 6x 5y 15
Ví dụ mẫu
Trang 17
Ví dụ 1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy. Mỗi giờ lượng nước của vòi I
CI AL
3 lượng nước chảy được của vòi II. 2
Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu sẽ đầy bể? Hướng dẫn giải Đối 4 giờ 48 phút
24 giờ. 5
Gọi thời gian để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là x (giờ), thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể là y (giờ) (y > x > 0).
Một giờ vòi thứ hai chảy được
x
1
y
(bể).
OF
1
Một giờ vòi thứ nhất chảy được
FI
chảy được bằng
(bể).
1
x
1
y
5 (bể). 24
(1)
3 lượng nước chảy được của vòi II, suy ra 2
NH
Mỗi giờ lượng nước của vòi I chảy được bằng
ƠN
Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy, vậy một giờ hai vòi chảy được
1
3 1 1 3 . 0. 2 x 2 y x 2y
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
QU
Y
5 1 1 5 5 1 1 x y 24 2y 24 y 12 x 8 (thỏa mãn điều kiện). y 12 1 3 0 1 3 0 1 1 x 2y x 2y x 8
Vậy thời gian mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là 8 giờ, thời gian mình vòi thứ hai chảy đầy bể là 12 giờ.
KÈ M
Ví dụ 2. Mở cùng một lúc một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước tháo nước ra khỏi bể thì trong 5 giờ lượng nước trong bể là nước trong bể là
2 bể. Nếu mở vòi nước chảy vào trong 3 giờ và mở vòi tháo trong 2 giờ thì lượng 7
11 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì vòi thứ nhất đầy bể trong bao lâu và vòi thứ 35
hai tháo hết nước trong bao lâu?
Y
Hướng dẫn giải
DẠ
Gọi thời gian để mình vòi chảy vào chảy đầy bể là x (giờ), thời gian để mình vòi chảy ra tháo hết nước ở bể là y (giờ) (y > x > 0). Một giờ vòi thứ nhất chảy được
1
x
(bể).
Trang 18
Một giờ vòi thứ hai tháo được là
1
y
(bể).
nước trong bể là
CI AL
Mở cùng một lúc một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước tháo nước ra khỏi bể thì trong 5 giờ lượng 5 5 2 2 bể, suy ra 1 . x y 7 7
Mở vòi nước chảy vào trong 3 giờ và mở vòi tháo trong 2 giờ thì lượng nước trong bể là
FI
3 2 11 2 . x y 35
11 bể, suy ra 35
OF
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
ƠN
5 5 2 2 2 4 1 7 1 1 x y 7 x y 35 x 5 x 35 x 5 (thỏa mãn điều kiện). 1 1 2 1 1 3 2 11 3 2 11 y 7 x y 35 x y 35 y 7 x y 35
Vậy thời gian vòi chảy vào chảy đầy bể là 5 giờ, thời gian vòi chảy ra tháo hết bể là 7 giờ. Bài tập tự luyện dạng 5
NH
Câu 1: Hai vòi nước chảy trong 80 phút thì đầy bể. Nếu vòi 1 chảy trong 36 phút vòi 2 chảy trong 30 2 phút thì được bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể? 5
Y
Câu 2: Hai vòi nước chảy vào một cái bể không có nước thì sau 12 giờ bể đầy. Hai vòi cùng chảy 8 giờ thì người ta khoá vòi 1, còn vòi 2 tiếp tục chảy tiếp. Do tăng vòi 2 công suất lên gấp đôi nên vòi 2 đã chảy đầy phần còn lại của bể trong 3 giờ rưỡi. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình với công suất bình thường thì phải bao lâu mới đầy bể? Phương pháp giải Thực hiện theo các bước sau Bước 1. Lập hệ phương trình.
QU
Dạng 6: Giải bài toán liên quan tới phần trăm bằng cách lập hệ phương trình Ví dụ: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Thực tế, xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10% xí nghiệp II vượt mức kế hoạch
số.
15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm được 404 dụng
KÈ M
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế
các đại lượng đã biết.
hoạch.
Chú ý: Một tổ sản xuất một ngày được x sản
Hướng dẫn giải
phẩm thì
Gọi số dụng cụ mà xí nghiệp I, xí nghiệp II dự định
- Năng suất tăng a% thì một ngày tổ sản xuất
làm theo kế hoạch lần lượt là x, y (dụng cụ)
DẠ
Y
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và
được x.
100 a (sản phẩm). 100
- Năng suất giảm a% thì một ngày tổ sản xuất
x, y . *
Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ nên x y 360. (1) Trang 19
100 a (sản phẩm). 100
Xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10% suy ra số dụng cụ thực tế xí nghiệp I làm được là
Bước 2. Giải hệ phương trình. Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của
x.
100 10 1,1x (dụng cụ). 100
CI AL
được x.
hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều
Xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15% suy ra số
kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
dụng cụ thực tế xí nghiệp II làm được là 100 15 1,15x (dụng cụ). 100
FI
x.
Thực tế, xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10% xí
OF
nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm được 404 dụng cụ. Suy ra 1,1x 1,15y 404 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
ƠN
x y 360 1,1x 1,15y 404
NH
1,1x 1,1y 396 x y 360 1,1x 1,15y 404 0,05y 8 x y 360 x 200 (thỏa mãn điêu kiện). y 160 y 160
Ví dụ mẫu
QU
Y
Vậy số dụng cụ xí nghiệm I làm theo kế hoạch là 200 dụng cụ, số dụng cụ xí nghiệm II làm theo kế hoạch là 160 dụng cụ
Ví dụ. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật
KÈ M
mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch là bao nhiêu? Hướng dẫn giải
Gọi số sản phẩm tổ I, tổ II sản xuất theo dự định lần lượt là x, y (sản phẩm) x, y * .
Y
Áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18%, vậy số sản phẩm tổ một làm thêm được là
x.18 100
0,18x
DẠ
(sản phẩm).
Áp dụng kĩ thuật mới nên tổ II đã vượt mức 21%, vậy số sản phẩm tổ hai làm thêm được là
y.21 100
0,21y
(sản phẩm).
Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất 600 sản phẩm suy ra x y 600 1 Trang 20
Áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21% nên trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm.
CI AL
Suy ra 0,18x 0,21y 120 . (2)
x y 600 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 0,18x 0,21y 120 0,18x 0,18y 600 0,18x 0,18y 108 0,18x 0,21y 120 0,18x 0,21y 120
FI
0,03y 12 y 400 (thỏa mãn điều kiện). x y 600 x 200
OF
Vậy theo kế hoạch tổ một được giao 200 sản phẩm, tổ hai được giao 400 sản phẩm. Bài tập tự luyện dạng 6
ƠN
Câu 1: Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4000.000 người. Nám nay, dân số tỉnh A tăng 1,2% còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của hai tỉnh năm nay là 4045000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái.
NH
Câu 2: Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ I sản xuất vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%, do đó cuối tháng tổ II sản xuất được nhiều hơn tổ I 255 chi tiết máy. Hỏi rằng, trong tháng đầu mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Dạng 7: Giải bài toán liên quan tới tìm số bằng cách lập hệ phương trình Phương pháp giải Thực hiện theo các bước sau
Ví dụ: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số sao cho
Bước 1. Lập hệ phương trình.
Y
tổng của hai chữ số của nó bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó
số
tăng thêm 27 đơn vị.
QU
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và
Hướng dẫn giải
các đại lượng đã biết.
Gọi số có hai chữ số là ab
KÈ M
Chú ý: Với a, b, c, d... ; a 0
ab a.10 b; abc a.100 b.10 c ; abcd a.1000 b.100 c.10 d....
ab0 10.ab; ab00 100.ab; ab000 1000.ab....
a, b , 0 a 9;0 b 9 . Ta có ab a.10 b . Tổng của hai chữ số của nó bằng 11 nên
a b 11 .
(1)
Khi đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta
Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của
được số ba , ta có ba b.10 a
hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều
Khi đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị
DẠ
Y
Bước 2. Giải hệ phương trình.
kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. Suy ra ba ab 27
b.10 a a.10 b 27 Trang 21
9b 9a 27 b a 3. (2)
CI AL
a b 11 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình . b a 3 a b 11 a b 11 a 4 2b 14 b 7 b 7 (thỏa mãn điều kiện).
FI
Vậy số cần tìm là 47. Ví dụ mẫu số thứ hai tăng thêm 2 lần thì tổng của chúng bằng 44 đơn vị. Gọi hai số cần tìm lần lượt là a, b a, b . Tổng của hai số đó bằng 17 đơn vị nên a b 17. (1)
ƠN
Hướng dẫn giải
OF
Ví dụ 1. Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của hai số đó bằng 17 đơn vị. Nếu số thứ nhất tăng thêm 3 lần,
Số thứ nhất tăng thêm 3 lần, số thứ hai tăng thêm 2 đơn lần thì tổng của chúng bằng 44 đơn vị. Suy ra
NH
3a 2b 44 (2) a b 17 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 3a 2b 44
QU
Vậy số thứ nhất là 10 số thứ hai là 7.
Y
3a 3b 51 b 7 b 7 (thỏa mãn điều kiện). 3a 2b 44 a b 17 a 10 Ví dụ 2. Cho một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số bằng Hướng dẫn giải
1 ban đầu. Hỏi số đã cho ban đầu là bao nhiêu? 10
KÈ M
Gọi số có hai chữ số là ab a, b , 0 a 9;0 b 9 . Ta có ab a.10 b .
Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5 nên a b 5.
(1)
Khi đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số ba .
Y
Ta có ba b.10 a .
DẠ
Đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số bằng Suy ra ba
1 số ban đầu. 10
1 1 ab b.10 a a.10 b 100b 10a 10a b 10 10
100b 10a 10a b b 0. (2)
Trang 22
a b 5 a 5 Từ (1) ,(2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). b 0 b 0
CI AL
Vậy số cần tìm là 50. Bài tập tự luyện dạng 7
Câu 1: Tìm số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số đó bằng 8, nếu đổi chỗ hai chữ số ấy cho nhau thì được số lớn hơn số đã cho là 36 đơn vị.
FI
Câu 2: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng chục là 4. Nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó giảm đi 99 đơn vị. Dạng 8: Giải bài toán liên quan tới thay đồi thừa số tích bằng cách lập hệ phương trình
OF
Phương pháp giải
Ví dụ: Trong phòng học có một số bàn ghế dài.
Bước 1. Lập hệ phương trình.
Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
có chỗ ngồi. Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa
số
một ghế. Hỏi phòng học có bao nhiêu ghế và bao
(thừa số, tích...).
nhiêu học sinh?
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và
Hướng dẫn giải
các đại lượng đã biết.
Gọi số ghế trong phòng học là x (ghế) và số học
NH
Chú ý: Nếu a.b c thì a
c c ; b a, b 0 b a
Bước 2. Giải hệ phương trình.
Y
Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều
QU
kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
KÈ M
ƠN
Thực hiện theo các bước sau
sinh là y (học sinh) x, y * . Xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ ngồi. Suy ra 3x y 6 3x y 6. (1) Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa một ghế. Suy ra 4x y 4 4x y 4. (2)
3x y 6 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 4x y 4 3x y 6 y 36 (thỏa mãn điều kiện). x 10 x 10 Vậy phòng học có 10 ghế và 36 học sinh.
Ví dụ mẫu
Y
Ví dụ 1. Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì 1 xe được điều đi làm
DẠ
công việc khác nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển? (biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau). Hướng dẫn giải
Trang 23
Gọi số xe của đoàn xe vận tải dự định ban đầu là x xe, số tấn hàng mà mỗi xe dự định trở được là y (tấn)
x , y 0 . *
CI AL
Đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng nên x.y 15. (1)
Khi sắp khởi hành thì 1 xe phải điều đi làm công việc khác nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định. Suy ra x 1 . y 0,5 15 (2)
2y2 6y 5y 15 0 2y y 3 5 y 3 0
Vì y 0 nên y
5 . 2
5 và x 2y 1, ta được x 6 . 2
Y
Thay y
NH
5 2y 5 0 y 2y 5 y 3 0 2 y 3 0 y 3
ƠN
Xét phương trình 2y 1 .y 15 2y2 y 15 0
OF
2y 1 .y 15 x.y 15 x.y 15 x.y 15 0,5x y 0,5 x 2y 1 x 2y 1 x 2y 1
FI
x.y 15 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x.y 0,5x y 15,5
Vậy thực tế có 5 xe tham gia vận chuyển.
QU
Ví dụ 2. Một trang sách, nếu tăng 3 dòng mỗi dòng bớt 2 chữ thì số chữ của trang không đổi. Nếu bớt đi 3 dòng mỗi dòng thêm 3 chữ thì số chữ của trang cũng không đổi. Tính số chữ của trang sách. Hướng dẫn giải
KÈ M
Gọi số dòng chữ của trang sách là x (dòng), số chữ ở mỗi dòng ở trang sách là y (chữ) x, y * . Số chữ trong trang sách là xy chữ. Nếu tăng 3 dòng mỗi dòng bớt 2 chữ thì số chữ của trang không đổi. Suy ra x 3 y 2 xy 2x 3y 6
(1)
Nếu bới đi 3 dòng mỗi dòng thêm 3 chữ thì số chữ của trang cũng không đổi.
Y
Suy ra x 3 y 3 xy 3x 3y 9 x y 3 (2)
DẠ
2x 3y 6 2x 3y 6 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x y 3 2 x 2 y 6 y 23 x 15 (thỏa mãn điều kiện). x y 3 y 12
Vậy số chữ của trang sách là 12.15 180 (chữ). Trang 24
Bài tập tự luyện dạng 8
CI AL
Câu 1: Tính diện tích khu vườn hình chữ nhật biết rằng tăng chiều dài 3 m, giảm chiều rộng 2 m thì diện tích không đổi. Nếu giảm chiều dài 3 m, tăng chiều rộng 3 m thì diện tích không đổi. Câu 2: Để sửa một ngôi nhà cần một số thự làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm 3 người thì thời gian đó kéo dài 6 ngày, nếu tăng thêm 2 người thì thời gian sớm 2 ngày. Hỏi theo quy định thì cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày? Biết rằng khả năng lao động của mỗi công nhân đều như nhau. Dạng 9: Giải bài toán liên quan tới tuổi bằng cách lập hệ phương trình
FI
Phương pháp giải
Ví dụ: Năm nay tuổi mẹ Lan hơn tuổi Lan là 24
Bước 1. Lập hệ phương trình.
tuổi. Hai năm trước số tuổi của mẹ Lan gấp 3 lần
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
tuổi của Lan. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu
số (tuổi mẹ, tuổi con hiên nay, mấy năm
tuổi?
trước...)
Hướng dẫn giải
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và
Gọi số tuổi của mẹ và Lan năm nay lần lượt là x, y
các đại lượng đã biết.
(tuổi) x, y * ; x y .
a y . Tuổi mẹ hiện nay hơn tuổi con b tuổi thì m năm sau tuổi mẹ vẫn hơn tuổi con b tuổi.
Y
Bước 2. Giải hệ phương trình.
Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của
QU
hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
KÈ M
Năm nay tuổi mẹ Lan hơn tuổi Lan là 24 tuổi.
NH
sau tuổi mẹ là a x, y năm trước tuổi mẹ là
ƠN
Chú ý: Tuổi mẹ hiện nay là a tuổi thì x năm
OF
Thực hiện theo các bước sau
Suy ra x y 4 (1) Hai năm trước tuổi mẹ Lan là x 2 tuổi. Hai năm trước tuổi Lan là y 2 tuổi. Vì hai năm trước số tuổi của mẹ Lan gấp 3 lần tuổi của Lan nên x 2 3 y 2
x 2 3y 6 x 3y 4. (2)
x y 24 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x 3y 4 2y 28 y 14 (thỏa mãn điều kiện). x y 24 x 38 Vậy tuổi của mẹ Lan hiện nay là 38 tuổi, tuổi của Lan hiện nay là 14 tuổi.
Y
Ví dụ mẫu
DẠ
Ví dụ 1. Tổng số tuổi của hai anh em năm nay là 26 tuổi. Khi tổng số tuổi của hai anh em gấp 5 lần tuổi của anh hiện nay thì tuổi của anh khi đó sẽ gấp 3 lần tuổi của em hiện nay. Hãy tính tuổi hiện nay của hai anh em.
Hướng dẫn giải Trang 25
Gọi số tuổi của anh và em lần lượt là x, y (tuổi) x, y * , x y . Tổng số tuổi của hai anh em năm nay là 26 tuổi nên x + y = 26.
(1)
Khi đó tuổi của anh gấp 3 lần tuổi em hiện nay nên tuổi anh khi đó là 3y (tuổi). Tuổi của em khi đó là 5x 3y (tuổi). Do hiệu số tuổi của hai anh em không thay đổi nên
x y 26 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 6x 7y 0 6x 6y 156 13y 156 y 12 (thỏa mãn điều kiện). 6x 7y 0 x y 26 x 14
OF
FI
3y 5x 3y x y 3y 5x 3y x y 6x 7y 0 (2)
CI AL
Khi tổng số tuổi của hai anh em gấp 5 lần tuổi anh hiện nay thì tổng số tuổi của hai anh em là 5x (tuổi).
Vậy tuổi của anh hiện nay là 14 tuổi, tuổi của em hiện nay là 12 tuổi.
ƠN
Ví dụ 2. Bảy năm trước tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4. Năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi? Hướng dẫn giải
NH
Gọi số tuổi của mẹ và con hiện nay lần lượt là x, y (tuổi) x, y * .
Năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi con nên x 3y x 3y 0. (1) Tuổi của mẹ bảy năm trước là x 7 (tuổi).
Y
Tuổi của con bảy năm trước là y 7 (tuổi).
Bảy năm trước tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4.
QU
Suy ra x 7 5 y 7 4 x 7 5y 35 4 x 5y 24 (2)
x 3y 0 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x 5y 24
KÈ M
x 3y 0 x 3y 0 x 36 (thỏa mãn điều kiện). 2y 24 y 12 y 12 Vậy tuổi của mẹ hiện nay là 36 tuổi, tuổi con hiện nay là 12 tuổi. Bài tập tự luyện dạng 9
11 tuổi con. Tính tuổi con và 4
Y
Câu 1: Tuổi bố hiện nay gấp 2,4 lần tuổi con. 5 năm trước đây tuổi bố gấp tuổi bố hiện nay.
DẠ
Câu 2: Năm nay tuổi bố Lan gấp 3 lần tuổi Lan. Lan tính rằng 15 năm nữa thì tuổi bố Lan chỉ gấp 2 lần tuổi Lan. Hỏi năm nay Lan bao nhiều tuổi? Dạng 10: Giải bài toán liên quan tới kiến thức liên môn bằng cách lập hệ phương trình Phương pháp giải Trang 26
Ví dụ: Một vật là hợp kim của đồng và kẽm có
Bước 1. Lập hệ phương trình
khối lượng là 124g và có thể tích 15 cm3 . Tính xem
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
trong đó có bao nhiêu gam đồng, bao nhiêu gam
số.
kẽm. Biết rằng cứ 89 g đồng thì có thể tích là 10
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và
cm3 và 7 g kẽm thì có thể tích là
các đại lượng đã biết.
Hướng dẫn giải
Bước 2. Giải hệ phương trình.
89 g đồng thì có thể tích là 10 cm3 nên 1 cm3 đồng
Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của
nặng 8,9 g.
FI
hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều
CI AL
Thực hiện theo các bước sau
Gọi thể tích đồng, kẽm có trong 15 cm3 hợp kim
kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
OF
lần lượt là x, y cm3 x, y 0 . Suy ra x y 15 (1)
ƠN
Khối lượng x cm3 đồng là 8,9x g . Khối lượng y cm3 đồng là 7y g . Hợp kim đồng và kẽm nặng 124g nên
NH
8,9x 7y 124 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
KÈ M
QU
Y
x y 15 8,9x 7y 124
7x 7y 105 7x 7y 105 . 8,9x 7y 124 1,9x 19 x y 15 y 5 (thỏa mãn điều kiện) x 10 x 10 Vậy khối lượng đồng là 8,9.10 89 g . khối lượng kẽm là 7.5 35 g .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Biết rằng dung dịch A có nồng độ 20% muối, dung dịch B có nồng độ 10% muối. Xác định khối lượng dung dịch A, B để pha được 500g dung dịch 14% muối.
Y
Hướng dẫn giải
DẠ
Khối lượng muối có trong 500 dung dịch 14% là
500.14 70 g . 100
Gọi khối lượng dung dịch A, B cần dùng để pha trộn lần lượt là x g , y g x, y 0 . Khối lượng dung dịch sau pha trộn là 500 g nên x y 500 .
(1) Trang 27
x.20
Khối lượng muối có trong y g dụng dịch B nồng độ 10% là
y.10
100 100
0,2x g . 0,1y g .
Dung dịch sau pha trộn có 70 g muối. Suy ra 0,2x 0,1y 70 . (2)
Vậy khối lượng dung dịch A dùng để pha trộn là 200g. khối lượng dung dịch B dùng để pha trộn là 300g.
mC . %
m kg dung dịch có nồng độ C% thì khối lương chất tan là
kg
ƠN
100
OF
0,1x 0,1y 50 0,1x 20 x 200 (thỏa mãn điều kiện). 0,2x 0,1y 70 x y 500 y 300
FI
x y 500 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 0,2x 0,1y 70
CI AL
Khối lượng muối có trong x g dung dịch A nồng độ 20% là
Ví dụ 2. Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit, loại thứ nhất chứa 30% axit, loại thứ hai chứa 5% axit. Muốn có 50 g dung dịch chứa 10% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu g dung dịch của mỗi loại?
NH
Hướng dẫn giải
Khối lượng axit có trong có 50 g dung dịch chứa 10% axit là
50.10 5 g . 100
Gọi khối lượng dung dịch axit loại một, loại hai cần để pha được 50 g dung dịch chứa 10% axit lần lượt là
Y
x g , y g x, y 0 .
x.30
Khối lượt axit có trong y g dung dịch axit loại hai là
y.5
QU
Khối lượt axit có trong x g dung dịch axit loại một là
100 100
0,3x g .
0,05y g .
KÈ M
Khối lượng dung dịch sau khi pha dung dịch loại một và loại hai là 50g. Suy ra x y 50 . (1)
Khối lượng axit của dung dịch sau khi pha dung dịch loại một và loại hai là 5g. Suy ra 0,3x 0,05y 5 . (2)
Y
x y 50 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 0,3x 0,05y 5
DẠ
0,3x 0,3y 15 0,25y 10 y 40 (thỏa mãn điều kiện). 0,3x 0,05y 5 x y 50 x 10
Vậy muốn có 50g dung dịch chứa 10% axit thì cần phải trộn lẫn 10g dung dịch axit loại một và 40g dung dịch axit loại hai.
Trang 28
Ví dụ 3. Một thanh kim loại là hợp kim đồng và kẽm. Hỏi trong miếng kim loại có 124,5g chứa bao nhiêu
gam đồng, bao nhiêu gam kẽm? Biết rằng khối lượng riêng của đồng là 8900 kg / m3 , của kẽm là 7100
kg / m , của thanh kim loại đó là 8300 kg / m . 3
CI AL
3
Hướng dẫn giải
Đổi 8900 kg / m3 8,9 g / cm3 ; 7100 kg / m3 7,1 g / cm3 ;
Thể tích 124,5 g của thanh kim loại là
124,5 15 cm3 . 8,3
FI
8300 kg / m3 8,3 g / cm3 .
Thể tích 124,5g của thanh kim loại là 15 cm3 nên x y 15 . (1)
Khối lượng của y cm3 kim loại kẽm là 7,1.y g .
ƠN
Khối lượng của x cm3 kim loại đồng là 8,9.x g .
OF
Gọi thể tích của đồng và kẽm có trong 124,5g hợp kim lần lượt là x, y cm3 x, y 0 .
Khối lượng 15 cm3 hợp kim là 124,5g suy ra 8,9x 7,1y 124,5 . (2)
NH
x y 15 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 8,9x 7,1y 124,5
7,1x 7,1y 106,5 1,8x 18 x 10 (thỏa mãn điều kiện). 8,9x 7,1y 124,5 x y 15 y 5
Y
Vậy khối lượng đồng trong thanh kim loại là 10.8,9 89 g
QU
Khối lượng kẽm trong thanh kim loại là 5.7,1 35,5 g . Bài tập tự luyện dạng 10
KÈ M
Câu 1: Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích) và một dung dịch khác chứa 55% axit nitơric. Cần phải trộn bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại 2 để được 100 lít dung dịch 50% axit nitơric? Câu 2: Một công ty sử dụng 712 tấn hỗn hợp gồm hai oxit Fe2O3 và Fe3O4 để luyện sắt thu được 504 tấn sắt. Tính khối lượng từng oxit có trong hỗn hợp ban đầu biết hiệu suất luyện sắt là 100%. ĐÁP ÁN
Dạng 1. Giải bài toán chuyển động bằng cách lập hệ phương trình
Y
Câu 1.
DẠ
Đổi 13 phút 20 giây
2 (giờ). 9
Gọi quãng đường từ từ Chu Lai đến phố cổ Hội An là x (km), điều kiện x 0 . Thời gian dự định đi từ Chu Lai đến phố cổ Hội An là y (giờ), điều kiện y 0 . Nếu đi với vận tốc 35 (km/h) thì người đó đến nơi chậm hơn so với dự định là
2 giờ. 7
Trang 29
2 Suy ra 35 y x x 35y 10 1 . 7
CI AL
Nếu đi với vận tốc 45 (km/h) thì đến nơi sớm hơn so với dự định là 13 phút 20 giây. 2 Suy ra 45 y x x 45y 10 2 9
x 35y 10 x 80 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). x 45y 10 y 2
FI
Vậy quãng đường từ Hội An tới Chu Lai là 80 km. Câu 2.
OF
Gọi vận tốc của xe xuất phát từ A, B lần lượt là x, y (km/h)(x, y > 0).
Hai ô tô đi ngược chiều nhau và gặp nhau tại điểm cách B là 50 km suy ra vị trí gặp nhau cách điểm A là 30 km.
Thời gian để xe xuất phát từ B tới gặp xe xuất phát từ A là
x
50
y
(giờ). (giờ).
30 50 3 5 0 0. 1
x
NH
Vì hai xe xuất phát cùng lúc nên
30
ƠN
Thời gian để xe xuất phát từ A tới gặp xe xuất phát từ B là
y
x
y
Nếu ô tô xuất phát từ A đi trước ô tô xuất phát từ B là 32 phút 40 40 8 1 1 1 . 2 x y 15 x y 75
Y
quãng đường suy ra
8 giờ thì hai xe gặp nhau ở chính giữa 15
QU
3 5 1 1 x y 0 x 30 x 30 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình ( thỏa mãn điều kiện). y 50 1 1 1 1 1 x y 75 y 50
Câu 3:
KÈ M
Vậy vận tốc của xe xuất phát từ A là 30 (km/h); vận tốc của xe xuất phát từ B là 50 (km/h). Gọi vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của ca nô lần lượt là x, y(km/h) (x > y > 0). 108
Thời gian để ca nô đi xuôi dòng 108 km là
x 63
DẠ
Y
Thời gian để ca nô đi ngược dòng 63 km là
y
(giờ). (giờ).
Tổng thời gian ca nô đi xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63km là Thời gian để ca nô đi xuôi dòng 81 km là
81
x
108 63 7 1
x
y
(giờ).
Trang 30
84
y
(giờ).
Tổng thời gian ca nô đi xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km là
81 84 7 . (2)
x
CI AL
Thời gian để ca nô đi ngược dòng 84 km là
y
FI
108 63 1 1 x y 7 x 27 x 27 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). y 21 81 84 7 1 1 x y y 21
Vận tốc ca nô xuôi dòng là 27(km/h); vận tốc ca nô ngược dòng là 21(km/h).
vận tốc của dòng nước là
27 21 24 km / h ; 2
OF
Vậy vận tốc riêng của ca nô là
27 21 3 km / h . 2
ƠN
Câu 4.
Gọi vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của ca nô lần lượt là x, y (km/h) (x > y > 0). 60
x
Thời gian để ca nô đi ngược dòng 60 km là
(giờ).
60
NH
Thời gian để ca nô đi xuôi dòng 60 km là
y
(giờ).
Ca nô chuyển động xuôi dòng từ bến A đến bến B sau đó chuyển động ngược dòng từ B về A hết tổng 60 60 5. 1
x
y
Y
thời gian là 5 giờ. Suy ra
QU
Vận tốc dòng nước là 5 km/h suy ra x y 10. 2 1 1 60 60 1 1 1 1 5 y x y 12 y 10 y 12 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x x y 10 x y 10 x y 10
KÈ M
y 6 y2 14y 120 0 y 20 12 y y 10 y y 10 ( thỏa mãn điều kiện). y 20 x y 10 x y 10 x y 10 x 30 Vận tốc thực của ca nô là
30 20 25 km / h . 2
Câu 1.
Y
Dạng 2. Giải bài toán liên quan đến kiến thức hình học bằng cách lập hệ phương trình
DẠ
Gọi chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là x, y (m) (x > y > 4). Diện tích hình chữ nhật là 600 m2 nên x.y 600 1 Nếu bớt mỗi cạnh hình chữ nhật 4 m thì diện tích của hình còn lại là 416 m2 . Trang 31
Suy ra x 4 y 4 416 xy 4 x y 16 416 x y 50. 2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
CI AL
y 50 x x y 50 y 50 x 2 x.y 600 x. 50 x 600 x 50x 600 0
FI
x 20 y 50 x y 50 x y 50 x y 50 x y 30 x 20 0 x 20 x 30 x x 30 20 x 30 0 x 20 x 30 0 x 30 0 x 30 y 20
OF
y 20 (thỏa mãn điều kiện). x 30
Vậy chiều dài hình chữ nhật là 30 m , chiều rộng hình chữ nhật 20 m. Câu 2. Chu vi của tam giác cân là 34 m nên 2x y 34. 1
ƠN
Gọi chiều dài của cạnh bên, cạnh đáy của tam giác cân lần lượt là x, y (m)(x > y > 0).
Độ dài cạnh bên lớn hơn độ dài cạnh đáy là 2 m nên x y 2. 2
NH
x y 2 x 12 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). 2x y 34 y 10 Vậy độ dài cạnh bên tam giác cân là 12 m, độ dài cạnh đáy là 10 m.
Y
Dạng 3. Giải bài toán về năng suất lao động bằng cách lập hệ phương trình Câu 1.
QU
Gọi năng suất mà bạn Hương dự định làm là x (quần áo/ngày), điều kiện x * . Số quần áo mà mẹ Hương giao cho Hương là y (quần áo), điều kiện y * . Mẹ bạn Hượng giao cho bạn Hương hoàn thành số quần áo trong 20 ngày nên ta có phương trình
KÈ M
y 20x 20x y 0. 1
Số quần áo Hương làm được trong 10 ngày đầụ là 10x (quần áo). Nhờ vào cải tịến kĩ thuật bạn Hương làm vượt mức 3 sản phẩm một ngày nên bạn Hương đã hoàn thành số quần áo mẹ giao sớm 2 ngày.
Suy ra số ngày còn lại Hương phải làm sau 10 ngày là 20 10 2 8 (ngày).
Y
Số quần áo Hương làm được 8 ngày nhờ cải tiến kĩ thuật là 8 x 3 (quần áo).
DẠ
Suy ra 10x 8 x 3 y 18x y 24. 2
20x y 0 x 12 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). 18x y 24 y 240 Vậy bạn Hương may được 12 quần áo trong 1 ngày và số quần áo mẹ Hương giao là 240 quần áo. Trang 32
Câu 2.
Thời gian mà công nhân dự định làm xong 360 sản phẩm là y (ngày) x, y * . Suy ra x.y 360 .
CI AL
Gọi năng suất mà công nhân dự định làm là x (sản phẩm/ngày).
Nếu người đó làm vượt năng suất 6 sản phẩm một ngày thì người đó sẽ làm xong trước 3 ngày. Suy ra x 6 y 3 xy 3x 6y 18. 1
FI
Nếu mỗi ngày người đó làm ít hơn dự định 4 sản phẩm thì người đó sẽ hoàn thành chậm hơn dự định 3 ngày.
OF
Suy ra x 4 y 3 xy 3x 4y 12. 2
3x 6y 18 x 24 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). 3x 4y 12 y 15
ƠN
Vậy năng suất công nhân dự định làm là 30 (sản phẩm/ngày) và hoàn thành trong 15 ngày. Dạng 4. Giải bài toán liên quan tới làm chung, làm riêng bằng cách lập hệ phương trình. Câu 1. (x, y > 0). Một ngày mình người thứ nhất làm được
x
1
y
(công việc).
(công việc).
Y
Một ngày mình người thứ hai làm được
1
NH
Gọi thời gian để một mình người thứ nhất, thứ hai sơn xong cửa cho công trình lần lượt là x, y (ngày)
làm được
1
x
1
y
QU
Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong suy ra một ngày hai người cùng 1 (công việc). (1) 4
Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến làm cùng trong 1 ngày nữa thì xong. 10 1 1 2
x
y
KÈ M
Suy ra
1 1 1 1 1 x y 4 x 12 x 12 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). 1 1 10 1 y 6 1 y 6 x y
Y
Vậy một mình người thứ nhất làm xong công việc sau 12 ngày, một mình người thứ hai làm xong công
DẠ
việc sau 6 ngày. Câu 2.
Gọi thời gian để mình đội thứ nhất, đội thứ hai hoàn thành xong công việc lần lượt là x, y (giờ) (x, y > 0). Một giờ mình đội thứ nhất làm được
1
x
(công việc). Trang 33
Một giờ mình đội thứ hai làm được
1
(công việc).
y
1
x
1
y
1 (công việc). (1) 8
Nếu đội thứ nhất làm trong 3 giờ rồi đội thứ hai làm tiếp trong 4 giờ thì xong được 3
x
4
y
5 . 2 12
5 công việc. 12
FI
Suy ra
CI AL
Hai đội công nhân cùng làm thì sau 8 giờ sẽ hoàn thành công việc suy ra một giờ hai đội làm được
OF
1 1 1 1 1 x y 8 x 12 x 12 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). 1 1 3 4 5 y 24 x y 12 y 24
ƠN
Vậy một mình đội một làm thì sau 12 giờ xong công việc, một mình đội hai làm thì 24 giờ xong công việc.
Dạng 5. Giải bài toán liên quan tới chảy chung, chảy riêng với vòi nước bằng cách lập hệ phương trình
Đổi 80 phút
NH
Câu 1.
4 3 1 giờ; 36 phút giờ; 30 phút giờ. 3 5 2
1
(bể).
QU
Một giờ mình vòi thứ nhất chảy được
Y
4 Gọi thời gian để mình vòi thứ nhất, thứ hai chảy đầy bể lần lượt là x, y (giờ) x, y 3
Một giờ mình vòi thứ hai chảy được
x
1
y
(bể).
KÈ M
Hai vòi nước chảy trong 80 phút thì đầy bể suy ra một giờ hai vòi chảy được
1
x
Nếu vòi 1 chảy trong 36 phút, vòi 2 chảy trong 30 phút thì được 0,4 bể. Suy ra
1
y
3 (bể). (1) 4
3 1 2 . 2 5x 2y 5
DẠ
Y
1 1 3 1 1 x y 4 x 4 x 4 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). 1 1 3 1 2 y 2 5x 2y 5 y 2
Vậy một mình vòi một chảy 4 giờ đầy bể, một mình vòi hai chảy 2 giờ đầy bể. Câu 2.
Đổi 3 giờ rưỡi
7 giờ. 2
Trang 34
Gọi thời gian để mình vòi thứ nhất, thứ hai chảy đầy bể lần lượt là x, y (giờ) (x, y > 12).
Một giờ mình vòi thứ hai chảy được
x
1
y
(bể).
CI AL
1
Một giờ mình vòi thứ nhất chảy được
(bể).
Hai vòi nước chảy vào một cái bể không có nước thì sau 12 giờ bể đầy. 1
x
1
y
1 (bể). 12
FI
Suy ra một giờ hai vòi chảy được là
OF
1 1 1 2 Hai vòi cùng chảy 8 giờ thì chảy được 8 8. (bể) 12 3 x y Khi năng suất vòi hai tăng gấp đôi thì 3 giờ rưỡi vòi hai chảy được là
7
y
(bể).
lại của bể trong 3 giờ rưỡi. Suy ra
2 7 1. 2 3 y
ƠN
Sau khi hai vòi cùng chảy 8 giờ, khóa vòi một, vòi hai tăng năng suất gấp hai lần nên chảy đầy phần còn
NH
1 1 1 1 1 x y 12 x 28 x 28 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). 1 1 2 7 y 21 1 y 21 3 y
Vậy một mình vòi 1 chảy bình thường thì 28 giờ chảy đầy bể, một mình vòi 2 chảy bình thường thì 21 giờ
Y
chảy đầy bể.
Dạng 6. Giải bài toán liên quan tới phần trăm bằng cách lập hệ phương trình.
QU
Câu 1.
Gọi dân số năm ngoái của hai tỉnh A và B lần lượt là x, y (người) x, y * . Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4.000.000 người nên x y 4000000. 1 100 1,2 x 1,012x (người) 100
Năm nay dân số tỉnh B tăng 1,1% suy ra dân số tỉnh B năm nay là
100 1,1 y 1,011y (người) 100
KÈ M
Năm nay dân số tỉnh A tăng 1,2% suy ra dân số tỉnh A năm nay là
Tổng số dân của hai tỉnh năm nay là 4.045.000 người suy ra 1,012x 1,011y 4045000 2
DẠ
Y
x y 4000000 x 1000000 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). 1,012x 1,011y 4045000 y 3000000 Vậy năm ngoái tỉnh A có 1.000.000 dân, tỉnh B có 3.000.000 dân. Câu 2.
Trang 35
Gọi số chi tiết máy mà hai tổ công nhân I; II tháng đầu làm được lần lượt là x; y (chi tiết máy) x, y * .
CI AL
Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy suy ra x y 800. 1 Sang tháng thứ hai, tổ I sản xuất vượt mức 15% nên tháng hai tổ I làm được số chi tiết máy là 100 15 x 1,15x (chi tiết). 100
Sang tháng thứ hai, tổ II sản xuất vượt mức 20% nên tháng hai tổ II làm được số chi tiết máy là
FI
100 20 y 1,2y (chi tiết). 200
OF
Tháng thứ hai, tổ II sản xuất được nhiều hơn tổ một 255 chi tiết máy nên 1,2y 1,15x 255. 2
x y 800 x 300 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). 1,2y 1,15x 255 y 500 Vậy tháng đầu tổ một làm được 300 chi tiết máy, tổ hai làm được 500 chi tiết máy.
ƠN
Dạng 7. Giải bài toán liên quan tới tìm số bằng cách lập hệ phương trình Câu 1.
Gọi số có hai chữ số là ab a, b , 0 a 9; 0 b 9 .
NH
Ta có ab a.10 b .
Tổng của hai chữ số đó bằng 8 suy ra a a b 8. 1
Khi đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số ba ta có ba b.10 a .
Y
Đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số số lớn hơn số đã cho là 36 đơn vị nên ba ab 36
QU
b.10 a a.10 b 36 9b 9a 36 a b 4. 4
a b 8 b 6 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). a b 4 a 2 Câu 2.
KÈ M
Vậy số cần tìm là 26.
Gọi số có ba chữ số có chữ số hàng chục bằng 4 là a4b a, b ; 0 a 9; 0 b 9 . Ta có a4b a.100 40 b .
Tổng các chữ số của số đó bằng 17 suy ra a 4 b 17 a b 13. 1
Y
Khi đổi chỗ hai chữ số hàng trăm và hàng đơn vị ta được số b4a . Ta có b4a b.100 40 a . Nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó giảm đi 99 đơn vị nên
DẠ
a4b b4a 99 a.100 40 b b.100 40 a 99 99a 99b 99 a b 1. 2
a b 13 a 7 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). a b 1 b 6 Vậy số cần tìm là 746. Trang 36
Dạng 8. Giải bài toán liên quan tới thay đổi thừa số tích bằng cách lập hệ phương trình Câu 1.
CI AL
Gọi chiều dài chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là x, y (m) (x > y > 0).
Diện tích hình chữ nhật là xy m2 . Nếu tăng chiều dài 3 m và giảm chiều rộng 2 m thì diện tích không đổi nên
x 3 y 2 xy 2x 3y 6 1
FI
Nếu giảm chiều dài 3 m và tăng chiều rộng 3 m thì diện tích không đổi nên
x 3 y 3 xy 3x 3y 9 x y 3 2
OF
2x 3x 6 x 15 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). x y 3 y 12 Vậy diện tích của hình chữ nhật là 12.15 180 m2 . Câu 2.
ƠN
Gọi số người trong đội công nhân là x (người) x * .
Số ngày mà đội dự định làm xong công việc là y (ngày) y * .
NH
Thời gian một người thợ một mình làm xong công việc là x.y (ngày). Nếu giảm 3 người thì thời gian đó kéo dài 6 ngày nên
x.y x 3 y 6 xy xy 6x 3y 18 6x 3x 18 1 Nếu tăng thêm 2 người thì thời gian sớm 2 ngày nên
QU
Y
x.y x 2 y 2 xy xy 2x 2y 4 x y 2 2 6x 3y 18 2x y 6 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x y 2 x y 2
KÈ M
x 8 x 8 (thỏa mãn điều kiện). x y 2 y 10 Vậy đội công nhân có 8 người và dự định hoàn thành công việc trong 10 ngày. Dạng 9. Giải bài toán liên quan tới tuổi bằng cách lập hệ phương trình Câu 1.
Gọi tuổi của bố và của con hiện nay lần lượt là x, y (tuổi) x y; x, y * .
Y
Hiện nay tuổi bố gấp 2,4 lần tuổi con nên x 2,4y x 2,4y 0. 1
DẠ
Tuổi của bố 5 năm trước là x 5 (tuổi). Tuổi của con 5 năm trước là y 5 (tuổi). 5 năm trước đây tuổi bố gấp
11 11 tuổi con nên x 5 y 5 4x 11y 35. 2 4 4
Trang 37
x 2,4y 0 x 60 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). 4x 11y 35 y 25
CI AL
Vậy tuổi bố hiện nay là 60 tuổi, tuổi con hiện nay là 25 tuổi. Câu 2.
Gọi tuổi của bố và của Lan hiện nay lần lượt là x, y x y; x, y *
Hiện nay tuổi bố gấp 3 lần tuổi Lan nên x 3y x 3y 0. 1
FI
Tuổi của bố 15 năm nữa là x + 15 (tuổi). Tuổi của Lan 15 năm nữa là y + 15 (tuổi).
OF
15 năm trước đây tuổi bố gấp 2 tuổi Lan nên x 15 2 y 15 x 2y 15. 2
x 3y 0 y 15 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình ( thỏa mãn điều kiện). x 2y 15 x 45 Vậy tuổi bố hiện nay là 45 tuổi, tuổi con hiện nay là 15 tuổi. Câu 1.
100.50 50 (lít). 100
NH
Số lít axit nitơric có trong 100 lít dung dịch 50% là
ƠN
Dạng 10. Giải bài toán liên quan tới kiến thức liên môn bằng cách lập hệ phương trình
Gọi số lít dung dịch axit nitơric loại 1 và loại 2 lần lượt là x, y (lít) (x, y > 0). Dung dịch sau khi pha loại 1 và loại 2 có thể tích 100 lít nên x y 100. 1
Y
Thể tích axit nitơric có trong x lít dung dịch loại một là
QU
Thể tích axit nitơric có trong x lít dung dịch loại hai là
x.30 100
x.55 100
0,3x (lít).
0,55y (lít).
Thể tích axit có trong dung dịch sau khi pha trộn là 0,3x 0,55y 50. 2
KÈ M
x y 100 x 20 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện). 0,3x 0,55y 50 y 80 Vậy cần pha trộn 20 lít dung dịch chứa 30% axit nitơric và 80 lít dung dịch chứa 55% axit nitơric để được 100 lít dung dịch 50% axit nitơric. Câu 2.
Trong 160g Fe2O3 có 112g sắt; 232 g Fe3O4 có 168g sắt.
Y
Gọi khối lượng hai oxit Fe2O3 và Fe3O4 có trong 712 tấn hỗn hợp dùng để luyện sắt lần lượt là x, y (tấn)
DẠ
x, y 0 . Suy ra
x y 712. 1
Khối lượng sắt có trong x tấn Fe2O3 là
x.112 160
(tấn)
Trang 38
y.168 (tấn) 232
Luyện 712 tấn hỗn hợp gồm hai oxit Fe2O3 và Fe3O4 thu được 504 tấn sắt nên
x.112 y.168
504. 2
CI AL
Khối lượng sắt có trong y tấn Fe3O4 là
160
232
x y 712 x 480 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x.112 y.168 (thỏa mãn điều kiện). y 232 504 160 232
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
FI
Vậy trong 712 tấn hỗn hợp gồm hai oxit Fe2O3 và Fe3O4 có 480 tấn Fe2O3 và 232 tấn Fe3O4 .
Trang 39
CHƯƠNG 4: HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0). PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Mục tiêu Kiến thức + Nhận biết dược trong thực tế có những hàm số dạng y ax 2 a 0 + Phát biểu và vận dụng được tính chất của hàm số y ax 2 a 0
CI AL
BÀI 1. HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0)
FI
+ Chỉ ra được giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số y ax 2 với giá trị a 0 cho trước
+ Vận dụng được tính chất của hàm số y ax 2 a 0 vào giải quyết một số bài toán thực tiễn
OF
Kĩ năng
+ Biết cách tính giá trị của hàm số tương ứng với giá trị cho trước của biến số
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+ Tính được giá trị của hàm số tương ứng với giá trị cho trước của biến số
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Hàm số y ax 2 a 0 xác định với mọi x .
CI AL
Tính chất của hàm số y ax 2 a 0
* Hàm số y 2 x 2 nghịch biến khi x 0 và đồng
* Nếu a 0 thì số nghịch biến khi x 0 và đồng biến khi x 0
* Hàm số y x 2 đồng biến khi x 0 và nghịch
biến khi x 0
* Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 và biến khi x 0 .
FI
nghịch biến khi x 0 Nhận xét:
* Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y 0 .
OF
* Nếu a 0 thì y 0 với mọi x 0; y 0 khi * Giá trị lớn nhất của hàm số là y 0 x0
ƠN
* Nếu a 0 thì y 0 với mọi x 0
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính giá trị hàm số y f x ax 2 a 0 tại một điểm cho trước
NH
Phương pháp giải
Tính giá trị của hàm số y ax 2 tại điểm x x0 .
Ví dụ. Tính giá trị của hàm số y x 2 tại điểm x 1
Y
2 2 Bước 1. Thay x x0 vào hàm số y ax 2 , ta được Thay x 1 vào hàm số y x , ta được y 1 1
Vậy y 1 tại x 1
QU
y ax02 Bước 2. Kết luân Ví dụ mẫu
KÈ M
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x 4 x 2 . Tính các giá trị tương ứng của y rồi điền vào chỗ trống tương ứng trong bảng sau x
-2
-1
0
1
2
1
2
y f x 4x2
Hướng dẫn giải
Y
Ta thay lần lượt các giá trị x x0 vào y f x 4 x 2 , ta được:
DẠ
f 2 f 2 1; f 1 f 1 4; f 0 0
Ta được bảng sau x
-2
-1
0
Trang 2
y f x 4x2
16
4
0
4
CI AL
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x 2 x 2 . a) Tính giá trị của hàm số lần lượt tại 3 2 2 b) Tìm a biết f a 10 4 6 b) Tìm b biết f b 8b 14
FI
Hướng dẫn giải
3 2. 3
2
OF
a) Ta có f 1 2.12 2 f
2.3 6
f 2 2. 2 2.4 8 2
2
2. 17 12 2 34 24 2
ƠN
f 3 2 2 2. 3 2 2
16
b) Ta có f a 2a 2
a 52 6
Vậy a
3 2
2
NH
Mà f a 10 4 6 2a 2 10 4 6 a 2 5 2 6 3 2
3 2 thì f a 10 4 6
QU
c) Ta có f b 2b 2
Y
Hướng tư duy: Tính f a rồi giải phương trình f a 10 4 6 để tìm a
Mà f b 8b 14 2b 2 8b 14 2b 2 8b 14 0
KÈ M
b 2 4b 7 0 b 2 4b 4 11 0 b 2 11 0 b 2 11 2
b 2 11 b 2 11
2
b 2 11 b 2 11
Vậy b 2 11 hoặc b 2 11 thì f b 8b 14
DẠ
Y
Hướng tư duy: Tính f b rồi giải bất phương trình f b 8b 14 để tìm b
Ví dụ 3. Biết rằng diện tích của một mặt cầu bán kính R được cho bởi công thức S 4 R 2 . a) Tính diện tích mặt cầu khi R nhận lần lượt các giá trị 1; 4; 8 và 2 3 (đơn vị đo là cm) Trang 3
b) Nếu bán kính R tăng lên 5 lần thì diện tích sẽ tăng lên bao nhiêu lần?
Hướng dẫn giải a) Ta có bảng sau R (cm)
1
4
8
S 4 R 2
4
64
256
Suy ra: S 4 R 2 4 5 R 4 .25 R 25.4 R 25S
c) Ta có S 168,33 4 R 2 168,33 R 2
168,33 3, 66 cm (do R 0 ) 4.3,14
ƠN
R
168,33 4
48
OF
2
Vậy khi bán kính R tăng lên 5 lần thì diện tích tăng 25 lần.
2 3
FI
b) Giả sử R 5 R
CI AL
c) Tìm R, biết rằng S 168,33cm 2 (làm tròn đến kết quả số thập phân thứ hai, lấy 3,14 )
Bài tập tự luyện dạng 1
NH
Câu 1: Cho hàm số y f x 2 x 2
a) Tính các giá trị f 3 ; f 1 ; f 0 ; f 1 ; f 3
a) Tìm a biết f 2 4
QU
Câu 2: Cho hàm số y f x ax 2
Y
1 b) Tìm giá trị x biết f x ; f x 8 4 3 2
b) Với a vừa tìm được ở câu trên (I) Tính f 0 ; f 2 ; f 4
KÈ M
(II) Tìm m, biết f m 16
mv 2 , với m là 2 khối lượng của quả dừa (kg), V là vận tốc của quả dừa (m/s). Tính vận tốc rơi của quả dừa nặng 1 kg tại thời điểm quả dừa đạt được động năng là 32 J.
Câu 3: Động năng (tính băng Jun) của một quả dừa rơi được tính bằng công thức K
Y
Câu 4: Một khách du lịch chơi trò Bungee từ đỉnh tháp Eiffel cao 325 mét so với mặt đất. Quãng đường chuyển động S (đơn vị tính bằng mét) của người rơi phụ thuộc vào thời gian t (đơn vị tính bằng giây) được cho bởi công thức: S 5t 2
DẠ
a) Hỏi sau khoảng thời gian 4 giây, người du khách cách mặt đất bao nhiêu mét? b) Sau khoảng thời gian bao lâu thì người du khách cách mặt đất 200 m? Bài tập nâng cao Trang 4
CI AL
x y 1 Câu 5: Cho hàm số y 2n 3 x 2 . Tìm giá trị của n biết x; y thỏa mãn 2 x y 3 Câu 6: Cho hàm số y f x 3 x 2 a) Tìm các giá trị của a biết rằng f a 9 6 2 b) Tìm điều kiện của b biết rằng f b 6b 8
FI
1 Câu 7: Biết rằng thế tích của một khối hình nón được cho bởi công thức V R 2 h , trong đó: h là chiêu 3 cao của hình nón và bán kính đáy bằng R (các đơn vị đo là mét)
tròn đến chữ số thập phân thứ hai lấy 3,14 ). b) Nếu bán kính R tăng 3 lần thì thể tích sẽ tăng lên bao nhiêu lần?
OF
a) Tính thể tích của khối hình nón khi R nhận các giá trị lần lượt là 3; 5; 3 và 2 3 và h 2,5 (làm
ƠN
c) Tìm R, biết rằng V 90, 66 m3 , h 2,5 m (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Dạng 2: Xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số y ax 2 a 0 Phương pháp giải
NH
Xét hàm số y ax 2 a 0 . Ta có:
Ví dụ: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
QU
Y
a) y k 2 1 x 2 1 b) y x 2 2
Hướng dẫn giải
* Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 và a) Vì k 2 0 với mọi k nên a k 2 1 1 0 với mọi k. Suy ra y k 2 1 x 2 nghịch biến khi x 0 và
KÈ M
đồng biến khi x 0
đồng biến khi x 0
1 1 2 * Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 và b) Vì a 2 0 nên hàm số y 2 x đồng biến
nghịch biến khi x 0
Y
khi x 0 và nghịch biến khi x 0
DẠ
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số y 4m 1 x 2 với m
1 4
Tìm điều kiện của tham số m để hàm số: Trang 5
a) Đồng biến khi x 0
CI AL
b) Nghịch biến khi x 0 c) Đạt giá trị lớn nhất là 0 d) Đạt giá trị nhỏ nhất là 0 Hướng dẫn giải
1 thì hàm số đồng biến khi x 0 4
b) Hàm số y 4m 1 x 2 nghịch biến với mọi x 0 4m 1 0 m 1 thì hàm số nghịch biến khi x 0 4
ƠN
Vậy m
c) Hàm số y 4m 1 x 2 đạt giá trị lớn nhất là 0 4m 1 0 m 1 thì hàm sô đạt giá trị lớn nhất là 0 4
NH
Vậy m
d) Hàm số y 4m 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất là 0 4m 1 0 m
1 4
1 4
1 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 0 4
Y
Vậy m
1 4
OF
Vậy m
1 4
FI
a) Hàm số y 4m 1 x 2 đồng biến với mọi x 0 khi và chỉ khi 4m 1 0 m
Chú ý:
QU
* Hàm số đạt giá trị lớn nhất là 0 a 0 * Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 0 a 0
KÈ M
Ví dụ 2. Cho hàm số y m 2 4m 7 x 2
a) Chứng minh với mọi tham số m, hàm số luôn nghịch biến với mọi x 0 và đồng biến với mọi x 0 b) Tìm các giá trị của tham số m để khi x 2 thì y 16 Hướng dẫn giải
a) Ta có a m 2 4m 7 m 2 4m 4 3 m 2 4m 4 3 m 2 3
Y
2
Vì m 2 3 0 với mọi m nên hàm số y m 2 4m 7 x 2 luôn nghịch biến với mọi x 0 và
DẠ
2
đồng biến với mọi x 0 Hướng tư duy: Chỉ ra a 0 với mọi m Trang 6
b) Thay x 2; y 16 vào phương trình hàm số, ta được: 16 m 2 4m 7 . 2 m 2 4m 7 4 m 2 4m 3 0
m 1 m 1 m 3 0 m 3 Vậy với m 3; 1 thì x 2; y 16
7 2m 7 3 x 2 với m ; m 1 2
OF
Ví dụ 3*. Cho hàm số y
FI
Hướng tư duy: Thay x 2 và y 16 vào hàm số, giải phương trình tìm m
CI AL
2
a) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến với mọi x 0 và nghịch biến với mọi x 0 b) Tìm các giá trị của tham số m khi x 1 thì y 4
a) Để hàm số y
ƠN
Hướng dẫn giải
2m 7 3 x 2 đồng biến với mọi x 0 và nghịch biến với mọi x 0 thì a 0
NH
2m 7 3 0 2m 7 3 2m 7 9 2m 2 m 1
7 Kết hợp với điều kiện ban đầu m ; m 1 , ta có m 1 thì hàm số đồng biến với mọi x 0 và nghịch 2
Y
biến với mọi x 0
Hướng tư duy: Xét điều kiện của hệ số a: Hàm số đồng biến với mọi x 0 và nghịch biến với mọi x 0
QU
khi và chỉ khi a 0
b) Thay x 1; y 4 vào hàm số, ta được:
4 2m 7 3 2m 7 7 2m 42 m 21
Ghi nhớ:
KÈ M
Vậy với m 21 thì x 1; y 4
f x a, a 0 f x a 2
Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản
Y
Câu 1: Cho hàm số y
3k 4 3 x 2 với m
5 . Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: 3
DẠ
a) Nghịch biến với mọi x 0 b) Đồng biến với mọi x 0 c) Đạt giá trị lớn nhất là 0 Trang 7
d) Đạt giá trị nhỏ nhất là 0
3k 4 3 x 2 với k
4 5 ;k 3 3
CI AL
Câu 2: Cho hàm số y
Tìm các giá trị của tham số k để hàm số a) Nghịch biến với mọi x 0 b) Đồng biến với mọi x 0
5 1 2n 5 2 x 2 với n ; n 2 2
FI
Câu 3: Cho hàm số y
Tìm các giá trị của tham số n để hàm số:
OF
a) Nghịch biến với mọi x 0 b) Đồng biến với mọi x 0 Bài tập nâng cao Câu 4: Cho hàm số y m 2 3m 3 x 2 b) Khi m 1 , tìm x để y 7; y 7 Câu 5: Cho hàm số y k 2 2k 3 x 2
NH
c) Tìm các giá trị của m để khi x 1 thì y 3
ƠN
a) Chứng tỏ hàm số luôn nghịch biến với mọi x 0 và đồng biến với mọi x 0
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến với x 0 , nghịch biến với x 0 b) Khi k 1 , tính giá trị của y biết x 2 3; x 2 3
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
c) Tìm các giá trị của k khi x 2; y 10
Trang 8
Dạng 1. Tính giá trị hàm số y f x ax 2 a 0 tại một điểm cho trước Bài tập cơ bản a) Ta có f x 2 x 2 . Suy ra f 3 2. 3 2.9 18 2
FI
f 1 2.12 2.1 2 f 1 2. 1 2.1 2 2
OF
f 3 2.32 2.9 18
1 x 1 1 1 2 b) Với f x , ta có 2 x 2 x 2 2 4 2 x 1 2
NH
1 1 1 và x thì f x 2 2 2
ƠN
f 0 2.02 0
Vậy x
Với f x 8 4 3 , ta có 2 x 2 8 4 3 x 2 4 2 3 x 2
CI AL
ĐÁP ÁN
3 1
2
x 3 1 x 3 1
Câu 2.
QU
Y
Vậy x 3 1; 3 1 thì f x 8 4 3
a) Thay x 2 và y 4 vào hàm số y ax 2 , ta có: 4 a. 2 4a 4 a 1 Vậy a 1 thì f 2 4
2
KÈ M
b) Với a 1 thì y f x x 2
(I) Khi đó f 0 0; f 2 4; f 4 16 (II) Ta có: f m m 2
f m 16 m 2 16 m 4
DẠ
Câu 3.
Y
Vậy m 4 và m 4 thì f m 16
mv 2 v2 v 2 64 v 8 (vì v 0 ) Thay m 1 và K 32 vào phương trình K . Ta có 32 2 2
Vậy vận tốc rơi của quả dừa nặng 1 kg tại thời điểm quả dừa đạt được động năng là 32 J là 8 m/s Trang 9
Câu 4.
CI AL
a) Sau 4 giây người du khách rơi được quãng đường là S 5.42 80 m Người du khách cách mặt đất một khoảng cách là: 325 80 245 m
b) Khi người du khách cách mặt đất 200 m thì người du khách rơi được quãng đường là:
325 200 125 m
FI
Ta có S 5t 2 125 t 2 25 t 5 (do t 0 )
Bài tập nâng cao Câu 5.
Thay x 2 và y 1 vào phương trình hàm số, ta được 1 2n 3 . 2 2n 3
1 11 11 11 2n n . Vậy n 4 4 8 8
NH
2
ƠN
x y 1 x y 1 y 1 Ta có x; y 2; 1 2 x y 3 x 2 x 2
OF
Vậy sau 5 giây, người du khách cách mặt đất 200 m
Câu 6. a) Ta có f a 3a 2
2 1
QU
Y
Mà f a 9 6 2 3a 2 9 6 2 a 2 3 2 2 a 2
2
a 2 1 a 2 1
Vậy a 2 1; 2 1 thì f a 9 6 2 b) Ta có f b 3b 2
KÈ M
Mà f b 6b 6 3b 2 6b 6 3b 2 6b 6 0 b 2 2b 2 0 b 2 2b 1 1 0 b 1 1 0 (vô lí) vì b 1 1 0 với mọi b 2
2
Vậy không có giá trị nào của b thỏa mãn yêu cầu đề bài Câu 7.
Y
a) Tại h 2,5 ta có V
1 5 R 2 .2,5 R 2 m3 36 6
DẠ
5 Thay lần lượt các giá trị của R vào công thức V R 2 ta được bảng sau: 6
R m
3
5
3
2 3 Trang 10
V m3
23,55
65,42
7,85
CI AL
b) Giả sử R 3R 1 1 2 Suy ra V R 2 h 3R h 3 R 2 h 9V 3 3
Vậy khi R tăng 3 lần thì thể tích tăng 9 lần
271,98 5,89m (do R 0 ) 2,5.3,14
FI
1 3.90, 66 c) Ta có V 90, 66 R 2 h 90, 66 R 2 R 3 h
36,45
OF
Dạng 2. Xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) Bài tập cơ bản Câu 1.
5 3
Vậy m
5 thì hàm số nghịch biến khi x 0 3
ƠN
a) Hàm số y 3m 5 x 2 nghịch biến với mọi x 0 3m 5 0 m
Vậy m
5 thì hàm số đồng biến khi x 0 3
NH
b) Hàm số y 3m 5 x 2 đồng biến với mọi x 0 3m 5 0 m
5 thì hàm số đạt gá trị lớn nhất là 0 3
QU
Vậy m
5 3
Y
c) Hàm số y 3m 5 x 2 đạt gá trị lớn nhất là 0 3m 5 0 m
d) Hàm số y 3m 5 x 2 đạt gá trị nhỏ nhất là 0 3m 5 0 m
Câu 2.
5 3
5 thì hàm số đạt gá trị nhỏ nhất là 0 3
KÈ M
Vậy m
5 3
a) Hàm số nghịch biến với mọi x 0 3k 4 3 0 3k 4 3 3k 4 9 k
Y
Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta có
4 5 k thì hàm số nghịch biến với mọi x 0 3 3
b) Hàm số đồng biến với mọi x 0 3k 4 3 0 3k 4 3 3k 4 9 k
DẠ
5 3
Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta có k
5 3
5 thì hàm số đồng biến với mọi x 0 3
Trang 11
a) Hàm số nghịch biến với mọi x 0 2n 5 2 0 2n 5 4 n Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta có n
1 2
1 thì hàm số nghịch biên với mọi x 0 2
CI AL
Câu 3.
b) Hàm số đồng biến với mọi x 0 2n 5 2 0 2n 5 2 2n 5 4 n
FI
5 1 n thì hàm số đồng biến với mọi x 0 2 2
OF
Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta có
1 2
Bài tập nâng cao Câu 4. a) Ta có:
2 3 9 3 2 2 3 9 3 2 3 3 2 2 y m 3m 3 x m 2. m x m 2. m x m x 2 4 4 2 4 4 2 4 2
ƠN
2
2
b) Khi m 1 thì y 7 x 2 * Với y 7 thì 7 x 2 7 x 2 1 x 1
NH
3 3 Vì m 0 với mọi m nên hàm số y m 2 3m 3 x 2 luôn nghịch biến với mọi x 0 và 2 4 đồng biến với mọi x 0
Y
* Với y 7 thì 7 x 2 7 x 2 1 x
QU
c) Thay x 1; y 3 vào phương trình hàm số, ta được:
m 0 3 m 2 3m 3 .12 m 2 3m 3 3 m 2 3m 0 m m 3 0 m 3
Câu 5.
KÈ M
Vậy với m 3; 0 thì x 1; y 3
2 a) Ta có: y k 2 2k 3 x 2 k 2 2k 1 2 x 2 k 2 2k 1 2 x 2 k 1 2 x 2 2 Vì k 1 2 0 với mọi k nên hàm số y k 2 2k 3 x 2 đồng biến với x 0 , nghịch biến với x 0.
DẠ
Y
b) Khi k 1 thì y 2 x 2 (*)
3 vào (*), ta được: y 2 2 3
+) Thay x 2 3 vào (*), ta được: y 2 2 3 +) Thay x 2
2
2
2 7 4 3 14 8
2 7 4 3 14 8 3 3
Trang 12
c) Thay x 2 và y 10 vào phương trình hàm số ta được
k 1
9 9 2 0 (vo lí) vì k 1 0 với mọi k. Vậy không có giá trị nào của k để x 2; y 10 2 2
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
FI
2
5 5 9 k 2 2k 3 0 k 2 k 1 0 2 2 2
CI AL
10 k 2 2k 3 .22 k 2 2k 3
Trang 13
BÀI 2. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) Mục tiêu
CI AL
Kiến thức
+ Mô tả được hình dạng của đồ thị hàm số y ax 2 a 0 và phân biệt được chúng trong hai trường hợp a 0; a 0
+ Phát biểu được tính chất của đồ thị và liên hệ được tính chất của đồ thị với tính chất của hàm số
FI
y ax 2 a 0 Kĩ năng
OF
+ Vẽ đưực đồ thị của hàm số y ax 2 a 0
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+ Vận dụng được kiến thức của bài học để làm các bài tập có liên quan
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Đồ thị của hàm số y ax 2 a 0
xứng. Đường cong đó được gọi là parabol với đỉnh O.
OF
FI
* Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
CI AL
Đồ thị của hàm số y ax 2 a 0 là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
* Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.
Trang 2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Hàm số đồng biến khi x 0 và
đồng biến khi x 0
nghịch biến khi x 0
a0
a0
ƠN
y ax 2
OF
Hàm số
FI
CI AL
Hàm số nghịch biến khi x 0 và
Đồ thị của hàm số y ax 2 là một
NH
đường cong:
* Đi qua gốc tọa độ O
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
* Nhận Oy làm trục đối xứng
Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Phương pháp giải Bước 1. Lập bảng giá trị tương ứng giữa x và y của
Ví dụ: Vẽ đồ thị của các hàm số y a) Ta có bảng giá trị x y
1 2 x 2
-2
-1
2
1 2
1 2 x 2
0
1
2
0
1 2
2
FI
hàm số y ax 2 a 0
CI AL
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y ax 2 a 0
OF
1 2 Bước 2. Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ Đồ thị hàm số y 2 x là parabol (P) đi qua các và vẽ đồ thị dạng parabol của hàm số đi qua các 1 1 điểm O 0; 0 ; A 1; ; B 1; ; C 2; 2 và điểm vừa biểu diễn 2 2
Ví dụ mẫu
QU
Y
NH
ƠN
D 2; 2
Ví dụ. Cho hàm số y m 2 x 2
KÈ M
a) Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A 1; 2 . Vẽ đồ thị hàm số với giá trị m tìm được. b) Với giá trị m vừa tìm được ở trên, hãy I) Tìm điểm thuộc parabol có hoành độ bằng -4 II) Tìm điểm thuộc parabol có tung độ bằng -16 Hướng dẫn giải
Y
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A 1; 2 nên
DẠ
2 m 2 .12 m 2 2 m 4
Vậy với m 4 thì đồ thị hàm số đi qua điểm A 1; 2 Ta có hàm số y 2 x 2 . Ta có bảng giá trị:
Trang 4
x
-2
-1
0
1
2
y 2 x 2
-8
-2
0
-2
-8
CI AL
Đồ thị hàm số y 2 x 2 là parabol (P) đi qua các điểm O 0; 0 ; A 1; 2 ; B 1; 2 , C 2; 8 và
ƠN
OF
FI
D 2; 8
Chú ý: Điểm M xM ; yM thuộc đồ thị hàm số y ax 2 yM axM2 b) Ta có hàm số y 2 x 2
I) Với x 4 thay vào hàm số y 2 x 2 , ta được: y 2. 4 32
NH
2
Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm M 4; 32
16 2 x 2 x 2 8 x 2 2
Y
II) Với y 16 , thay vào hàm số y 2 x 2 , ta được:
QU
Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm N 2 2; 16 và P 2 2; 16
Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Vẽ đồ thị hàm số y
3 2 3 x và y x 2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 2 2
1 2 x có đồ thị là parabol (P) 4
KÈ M
Câu 2: Cho hàm số y
a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ
1 b) Trong các điểm M 2; 1 ; N 1; 1 và Q 1; điểm nào thuộc (P), điểm nào không thuộc (P)? 4
Y
Câu 3: Cho hàm số y 5 x 2 có đồ thị là parabol (P) a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ
DẠ
b) Trong các điểm A 2; 20 , B 1; 5 và C 0; 3 điểm nào thuộc (P), điểm nào không thuộc (P)? Dạng 2: Xác định hệ số a của hàm số y ax 2 a 0 Phương pháp giải Trang 5
vận dụng kết quả sau: Điểm M xM ; yM thuộc đồ thị hàm số y ax 2
3 số đi qua điểm M ; 4
2
Hướng dẫn giải
yM axM2
CI AL
Để xác định hệ số a của hàm số y ax 2 a 0 , ta Ví dụ: Cho hàm số y ax 2 . Tìm a để đồ thị hàm
3 Đồ thị hàm số đi qua điểm M ; 4
khi: 2
2 khi và chỉ
Ví dụ mẫu
32 9
OF
Vậy a
FI
9 32 3 a. 2 a. 2 a 12 9 4
ƠN
Ví dụ 1. Cho hàm số y mx 2 . Tìm m biết đồ thị hàm số đi qua điểm M 3; 4 Hướng dẫn giải
4 m. 3 m 2
4 9
4 thì đồ thị hàm số đi qua điểm M 3; 4 9
QU
Ví dụ 2. Cho hàm số y m 2 2 x 2
Y
Vậy với m
NH
Đồ thị hàm số đi qua điểm M 3; 4 nên
a) Tìm m biết đò thị hàm số đi qua điểm M 1; 2 b) Với m tìm được thì đồ thị hàm số có đi qua điểm B 2; 9 hay không?
KÈ M
Hướng dẫn giải
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M 1; 2 nên 2 m 2 2 .12 m 2 2 2 m 2 4 m 2
Vậy m 2 hoặc m 2
Y
b) Với m 2 , ta có y 2 x 2
DẠ
Thay tọa độ điểm B 2; 9 vào hàm số trên, ta có: 9 2.22 9 8 (vô lí) Vậy đồ thị hàm số y 2 x 2 không đi qua điểm B 2; 9 Bài tập tự luyện dạng 2
Trang 6
Câu 1: Cho hàm số y
a 2 x a 0 3
CI AL
a) Xác định hệ số a của hàm số biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm A 2; 2 . Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm được. b) Với giá trị a vừa tìm được ở trên, hãy: I) Tìm các điểm thuộc parabol nói trên có hoành độ bằng II) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ bằng -9 III) Tìm điểm thuộc parabol có tung độ gấp đôi hoành độ
OF
a) Xác định n để (P) đi qua điểm A 6; 6
FI
Câu 2: Cho hàm số y n 1 x 2 n 1 có đồ thị là parabol (P)
b) Với giá trị n vừa tìm được ở trên, hãy: I) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ III) Tìm các điểm trên (P) cách đều hai trục tọa độ Dạng 3: Tương giao giữa parabol và đường thẳng
NH
Phương pháp giải
ƠN
II) Tìm các điểm trên (P) có hoành độ bằng 2
Cho parabol P : y ax 2 a 0 và đường thẳng Ví dụ: Cho P : y ax 2 và d : y bx c . Xác
d : y bx c . Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có)
Hướng dẫn giải
Y
của (P) và (d) ta làm như sau:
QU
Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): ax 2 bx c (*)
định tọa độ giao điểm của (P) và (d).
Giải phương trình (*) để tìm nghiệm (nếu có).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là
x 2 2 x 3 x 2 2 x 3 0 x 2 3x x 3 0
(P) hoặc (d) để tìm y. Từ đó suy ra tọa độ giao điểm
x x 3 x 3 0
của (P) và (d)
KÈ M
Bước 2. Thay giá trị x tìm được vào phương trình
Chú ý: Số nghiệm của (*) bằng đúng số giao điểm của (P) và (d):
- Nếu (*) vô nghiệm thì (d) không cắt (P) - Nếu (*) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P)
x 1 x 1 x 3 0 x 3 +) Với x 1 y 2.1 3 1 A 1; 1 +) Với x 3 y 2. 3 3 9 B 3; 9
Y
- Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại Vậy giao điểm của (P) và (d) là A 1; 1 và
DẠ
hai điểm phân biệt
B 3; 9
Ví dụ mẫu
Trang 7
Ví dụ 1. Cho P : y
1 2 x và d : y x 4 . Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) 2
CI AL
Hướng dẫn giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d), ta có 1 2 x x 4 x2 2x 8 0 x2 2x 4x 8 0 2
x x 2 4 x 2 0 x 4 x 2 0
FI
x 4 0 x 4 x 2 0 x 2
OF
+) Với x 4 ta có y 4 4 8 A 4; 8 +) Với x 2 ta có y 2 4 2 B 2; 2
ƠN
Vậy giao điểm của (P) và (d) là A 4; 8 và B 2; 2
Ví dụ 2. Cho parabol P x 2 và đường thẳng (d) có phương trình y m 2 (m là tham số). Tìm m để:
b) (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt c) (d) và (P) không có điểm chung Hướng dẫn giải Ta có bảng giá trị
y x2
-4
-1
0
1
2
-1
0
-1
-4
Y
-2
QU
x
NH
a) (d) và (P) có điểm chung duy nhất
Đồ thị P y x 2 đi qua các điểm O 0; 0 ; A 1; 1 ; B 1; 1 ; C 2; 4 và D 2; 4 .
DẠ
Y
KÈ M
Đồ thị d y m 2 là một đường thẳng song song với trục Ox
Dựa vào đồ thị ta có kết quả: a) Để (d) và (P) có một điểm chung duy nhất m 2 0 m 2 Trang 8
b) Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt m 2 0 m 2 Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản Câu 1: Không vẽ đồ thị, hãy tìm tọa độ giao điểm của các đò thị hàm số sau: a) y x 2 và y
1 x 4 1 2 1 x và y x 3 2 2
a) Vẽ hai đồ thị hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị. Câu 3: Cho hàm số y m 2 x 2 và y 2 x 4
OF
Câu 2: Cho hai hàm số: y
FI
b) y x 2 và y 2 x 3
CI AL
c) Để (d) và (P) không có điểm chung m 2 m 2
ƠN
a) Tìm m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại điểm A có hoành độ bằng 3 b) Với m tìm được ở câu a) vẽ đồ thị hàm số y m 2 x 2 Câu 4: Cho P : y x 2 và d : y m 2
NH
Bài tập nâng cao
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b) Xác định tọa độ giao điểm A và B của (P) và (d) c) Tính diện tích ∆OAB (đvdt)
QU
a) (d) và (P) có điểm chung duy nhất
Y
Câu 5: Cho parabol P : y 3 x 2 và đường thẳng (d) có phương trình y m 4 . Tìm m để b) (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt c) (d) và (P) không có điểm chung
KÈ M
Câu 6: Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình 2 x 2 3m 4 0 theo m Dạng 4: Giải bất phương trình bằng đồ thị Phương pháp giải
Y
Cho bất phương trình f x g x
DẠ
Bước 1. Vẽ đồ thị y f x và y g x trên cùng mặt phẳng tọa độ.
Ví dụ. Giải bất phương trình sau bằng đồ thị:
2x2 x 3 0 Hướng dẫn giải
2x2 x 3 0 2x2 x 3 Xét P : y 2 x 2 và
d : y x 3
Ta có đồ thị của (P) và (d):
Trang 9
CI AL FI
độ giao điểm. Bước 3. Tập nghiệm của bất phương trình
f x g x là tập hợp các giá trị x là hình chiếu
của Phần parabol nằm phía dưới (d) là cung BOF (P). Chiếu vuông góc cung này lên Ox ta được nghiệm của bất phương trình là 1 x
3 2
NH
của phần đồ thị y f x nằm dưới đồ thị
3 9 F ; . 2 2
ƠN
thị trên bằng đồ thị hoặc giải phương trình hoành
OF
Bước 2. Xác định hoành độ giao điểm của haì đồ Dựa vào đồ thị, ta thấy (P) cắt (d) tại B 1; 2 và
y g x lên trục hoành
Ví dụ mẫu
QU
Hướng dẫn giải
Y
Ví dụ 1. Giải bất phương trình sau bằng đồ thị 2 x 2 x 3 0
2x2 x 3 0 2x2 x 3
Xét P : y 2 x 2 và d : y x 3
DẠ
Y
KÈ M
Ta có đồ thị của (P) và (d):
3 9 Dựa vào đồ thị, ta thấy (P) cắt (d) tại B 1; 2 và F ; . 2 2
Trang 10
Xét phần parabol nằm phía trên (d) (chính là parabol bỏ đi cung BOF). Chiếu vuông góc các phần này lên 3 2
CI AL
Ox ta được nghiệm của bất phương trình là x 1 hoặc x
Chú ý: Tập nghiệm của bất phương trình f x g x là tập hợp các giá trị x là hình chiếu của phần đồ thị y f x nằm trên đồ thị y g x trên trục hoành
FI
3 x 2
NH
ƠN
OF
Ví dụ 2. Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình: x 2
Hướng dẫn giải
Y
Vẽ P : y x 2 và d : y
3 x 2
3 x trên cùng một mặt phẳng tọa độ 2
QU
Gọi P : y x 2 và d : y
Dựa vào đồ thị, ta nhận thấy (P) cắt (d) tại điểm O và điểm F trong đó xF
3 . 2
KÈ M
của (P)). Chiếu vuông góc các Xét phần parabol nằm phía trên (d) (parabol (P) trừ đi phần cung OAF phần này lên Ox ta được nghiệm của bất phương trình là x
3 hoặc x 0 2
Lưu ý: Hoành độ giao điểm của hai đồ thị nếu khó xác định thông qua đồ thị, ta có thể giải trực tiếp phương trình hoành độ giao điểm để tìm nghiệm Bài tập tự luyện dạng 4
Y
Câu 1: Cho parabol P : y 3 x 2 và đường thẳng d : y 2 x 5
DẠ
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ b) Xác định tọa độ giao điềm của (P) và (d) c) Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình 3 x 2 2 x 5 0 Câu 2: Cho parabol P : y 3 x 2 và đường thẳng d : y 2 x 5 Trang 11
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ b) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d)
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
FI
CI AL
c) Dựa vào đò thị, hãy giải bất phương trình 4 x 2 2 x 6
Trang 12
ĐÁP ÁN Dạng 1. Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) Ta có bảng giá trị -2
-1
0
1
3 2 x 2
6
3 2
0
3 2
-6
Đồ thị hàm số y
3 2
0
3 2
FI
3 y x2 2
2 6
-6
3 3 2 3 x là parabol (P) đi qua các điểm O 0; 0 ; A 1; ; B 1; ; C 2; 6 và 2 2 2
OF
y
x
CI AL
Câu 1
D 2; 6 .
ƠN
3 3 3 Đồ thị hàm số y x 2 là parabol (P') đi qua các điểm O 0; 0 ; E 1; ; F 1; ; G 2; 6 và 2 2 2
Câu 2.
KÈ M
QU
Y
NH
H 2; 6
a) Ta có bảng giá trị; x 1 2 x 4
Y
y
DẠ
Đồ thị hàm số
y
-4
-2
0
2
4
4
1
0
1
4
1 2 x là parabol (P) đi qua các điểm O 0; 0 ; A 2; 1 ; B 2; 1 ; C 4; 4 và 4
D 4; 4
b)
Trang 13
+) Thay toạ độ điểm M 2; 1 vào phương trình hàm số y 1 2 x 4
+) Thay toạ độ điểm N 1; 1 vào phương trình hàm số y Vậy điểm N 1; 1 không thuộc đồ thị hàm số y
CI AL
Vậy điểm M 2; 1 thuộc đồ thị hàm số y
1 2 1 2 x , ta có 1 . 2 1 1 (thỏa mãn) 4 4
1 2 1 1 x , ta có 1 .12 1 (vô lí) 4 4 4
1 2 x 4
OF
FI
1 1 1 1 1 1 2 +) Thay toạ độ điểm Q 1; vào phương trình hàm số y x 2 , ta có . 1 (thỏa 4 4 4 4 4 4 mãn)
Y
NH
ƠN
1 1 Vậy điểm Q 1; thuộc đồ thị hàm số y x 2 4 4
a) Ta có bảng giá trị; x
-2
y 5 x 2
-20
QU
Câu 3.
-1
0
1
2
-5
0
-5
-20
DẠ
Y
D 2; 20
KÈ M
Đồ thị hàm số y 5 x 2 là parabol (P) đi qua các điểm O 0; 0 ; A 1; 5 ; B 1; 5 ; C 2; 20 và
Trang 14
b) +) Thay toạ độ điểm A 2; 20 vào hàm số y 5 x 2 , ta có: 20 5. 2 20 20 (thỏa mãn) 2
CI AL
Vậy điểm A 2; 20 thuộc đồ thị hàm số y 5 x 2
+) Thay toạ độ điểm B 1; 5 vào hàm số y 5 x 2 , ta có: 5 5. 1 5 5 (thỏa mãn) 2
Vậy điểm B 1; 5 thuộc đồ thị hàm số y 5 x 2
+) Thay toạ độ điểm C 0; 3 vào phương trình hàm số y 5 x 2 , ta có: 3 5.02 3 0 (vô lí)
OF
FI
Vậy điểm C 0; 3 không thuộc đồ thị hàm số y 5 x 2
Dạng 2. Xác định hệ số a của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) Câu 1.
Với a
3 thì đồ thị hàm số đi qua điểm A 2; 2 2
3 1 thì y x 2 2 2
Ta có bảng giá trị: x
-2
-1
1 y x2 2
-2
Y
1 2
NH
Vậy với a
a a 1 3 2 . 2 a 3 3 2 2
ƠN
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A 2; 2 2
0 0
1
1 2
2 -2
QU
1 1 1 Đồ thị hàm số y x 2 là parabol (P) đi qua các điểm O 0; 0 ; A 1; ; B 1; ; C 2; 2 và 2 2 2
DẠ
Y
KÈ M
D 2; 2
b)
Trang 15
1 1 1 2 (I) Với x 4 thay vào hàm số y x 2 , ta được y . 4 .16 8 2 2 2
CI AL
Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm M 4; 8
1 1 (II) Với y 9 thay vào hàm số y x 2 , ta được: 9 .x 2 x 2 18 x 3 2 2 2
Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm N 3 2; 9 và P 3 2; 9
Ta có: 2 x0
1 2 1 x0 x02 2 x0 0 x0 x0 4 0 2 2
x0 0 x 4 0
OF
Với x0 0 thì y 0 M 1 0; 0 Với x0 4 thì y 8 M 2 4; 8
ƠN
Vậy các điểm M 1 0; 0 và M 2 4; 8 là hai điểm phải tìm Câu 2.
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A 6; 6 nên 6 n 1 . 6
2
n 1 1 n 2
NH
FI
(III) Giả sử M x0 ; y0 P có tung độ gấp đôi hoành độ nên y0 2 x0
Vậy với n 2 thì đồ thị hàm số đi qua điểm A 6; 6 b) Với n 2 thì y x 2 I) Ta có bảng giá trị:
y x2
4
-1
0
1
2
1
0
1
4
Y
-2
QU
x
Y
KÈ M
Đồ thị P : y x 2 đi qua các điểm O 0; 0 ; A 1; 1 ; B 1; 1 ; C 2; 4 và D 2; 4
DẠ
II) Với x 2 thay vào phương trình hàm số y x 2 , ta được y 22 4 Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm C 2; 4 II) Giả sử điểm N x0 ; y0 P thì y0 x02 Theo đề bài, N cách đều Ox, Oy nên ta có: Trang 16
x0 x02 x0 y0 y0 x0 x x0 2 x0 x0 2 0
x0 0 x0 0; y0 0 x 1 x 1; y 1 0 0 0 x0 1 x0 1; y0 1
CI AL
x0 x0 1 0 x0 x0 1 0
Vậy các điểm cần tìm là N1 0; 0 ; N 2 1; 1 ; N 3 1; 1
FI
Dạng 3. Tương giao giữa parabol và đường thẳng Bài tập cơ bản
OF
Câu 1. a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị, ta có: x 0 1 1 1 2 x x x x 0 x x 0 x 1 4 4 4 4
ƠN
2
Với x 0 y 0 M 0; 0 1 1 1 1 y N ; 4 16 4 16
NH
Với x
Vậy giao điểm của hai đồ thị hàm số y x 2 và y
1 1 1 x là M 0; 0 và N ; 4 4 16
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị, ta có
QU
* Với x 1 y 1 M 1; 1
Y
x 1 x 2 2 x 3 x 2 2 x 3 0 x 2 3 x x 3 0 x x 3 x 3 0 x 1 x 3 0 x 3
* Với x 3 y 9 N 3;9
Câu 2.
KÈ M
Vậy giao điểm của hai đồ thị hàm số y x 2 và y 2 x 3 là M 1;1 và N 3;9
a) Ta có các bảng giá trị: x 1 2 x 2
-1
0
1
2
2
1 2
0
1 2
2
Y
y
-2
DẠ
Đồ thị P : y
1 1 2 1 x đi qua các điểm O 0;0 ; A 1; ; B 1; ; C 2; 2 và D 2; 2 2 2 2
x
0
2
1 y x3 2
3
2 Trang 17
ƠN
OF
FI
CI AL
1 Đồ thị d : y x 3 đi qua các điểm E 0;3 và C 2; 2 2
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị, ta có
* Với x 2 y 2 C 2; 2 * Với x 3 y
x 2 x 3
NH
1 2 1 x x 3 x 2 x 6 0 x 2 x 3 0 2 2
9 9 N 3; 2 2
9 1 2 1 x và y x 3 là C 2; 2 và N 3; 2 2 2
QU
Y
Vậy giao điểm của hai đồ thị hàm số y
Câu 3.
a) Điểm A thuộc đường thẳng y 2 x 4 . Mà A có hoành độ bằng 3 nên thay x 3 vào hàm số
KÈ M
y 2 x 4 , ta được: y 2.3 4 2 A 3; 2 Lại có A là giao điểm của parabol y m 2 x 2 và đường thẳng y 2 x 4 , suy ra A thuộc parabol
y m 2 x 2 nên 2 m 2 .32 m 2 Vậy m
2 16 m 9 9
16 thì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại điểm A có hoành độ bằng 3 9 16 2 y x2 9 9
DẠ
Y
b) Với m
Trang 18
Ta có bảng giá trị: -3
-1
0
1
3
2 2 x 9
2
2 9
0
2 9
2
2 2 2 1 x đi qua các điểm O 0;0 ; A 1; ; B 1; ; C 3; 2 và D 3; 2 9 9 2
Bài tập nâng cao Câu 4. a) Ta có bảng giá trị: -2
-1
y x2
-4
-1
Y
x
NH
ƠN
OF
FI
Đồ thị hàm số y
CI AL
y
x
0
1
2
0
-1
-4
x
y x2
QU
Đồ thị P : y x 2 đi qua các điểm O 0;0 ; A 1; 1 ; B 2; 4 ; C 2; 4 và D 1; 1 0
1
-2
-1
KÈ M
Đồ thị d : y x 2 đi qua các điểm E 0; 2 và A 1;1 b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) ta có:
x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 0 x 1 x 2 0 x 2 * Với x 1 thì y 1 A 1; 1
Y
* Với x 2 thì y 4 B 2; 4
DẠ
Vậy giao điểm của (P) và (d) là A 1; 1 và B 2; 4
Trang 19
CI AL FI OF
b) Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục hoành. Ta có: S OAB S ABHG S BHO S AGO
1 1 AG.OG .1.1 0,5 (đvdt) S OAB 7,5 4 0,5 3 (đvdt) 2 2
Câu 5. Ta có bảng giá trị: -2
-1
y 3x 2
12
3
Y
x
NH
S AGO
BH AG 4 1 1 1 .HG .3 7,5 (đvdt) ; S BHO BH .HO .4.2 4 (đvdt) 2 2 2 2
ƠN
Lại có: S ABHG
0
1
2
0
3
12
QU
Đồ thị P : y 3 x 2 đi qua các điểm O 0;0 ; A 1;3 ; B 1;3 ; C 2;12 và D 2;12 Đồ thị d : y m 4 là một đường thẳng song song với trục Ox. Dựa vào đồ thị, ta có kết quả: a) Để (d) và (P) có một điểm chung duy nhất m 4 0 m 4 b) Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt m 4 0 m 4
DẠ
Y
KÈ M
c) Để (d) và (P) không có điểm chung m 4 0 m 4
Trang 20
Câu 6. Ta có bảng giá trị: -2
-1
0
1
y 2 x 2
-8
-2
0
-2
2
CI AL
x
-8
ƠN
OF
FI
Đồ thị P : y 2 x 2 đi qua các điểm O 0;0 ; A 1; 2 ; B 1; 2 ; C 2; 8 và D 2; 8
NH
b) Ta có: 2 x 2 3m 4 0 2 x 2 3m 4
Xét parabol P : y 2 x 2 và đường thẳng d : y 3m 4 Dựa vào đồ thị ta có:
4 thì phương trình có một nghiệm 3
3m 4 0 m
4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 3
3m 4 0 m
4 thì phương trình vô nghiệm 3
QU
Y
3m 4 0 m
Câu 1
KÈ M
Dạng 4. Giải bất phương trình bằng đồ thị a) Ta có bảng giá trị: x
y 3 x 2
-2
-1
0
1
2
-12
-3
0
-3
-12
Y
Đồ thị P : y 3 x 2 đi qua các điểm O 0;0 ; A 1; 3 ; B 1; 3 ; C 2; 12 và D 2; 12 0
1
y 2x 5
-5
-3
DẠ
x
Đồ thị d : y 2 x 5 đi qua các điểm E 0; 5 và A 1; 3
Trang 21
CI AL FI OF
b) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) thỏa mãn
x 1 3 x 2 x 5 3 x 2 x 5 0 x 1 3 x 5 0 x 5 3 2
ƠN
2
5 25 5 25 Với x y E ; 3 3 3 3 5 25 Vậy (P) cắt (d) tại A 1; 3 và F ; 3 3
c) Ta có: 3 x 2 2 x 5 0 2 x 5 3 x 2
Y
Dựa vào đồ thị ta thấy:
NH
Với x 1 y 3 A 1; 3
QU
Phần parabol nằm phía trên (d) là cung AOF của (P)
Câu 2.
KÈ M
5 Chiếu vuông góc cung này lên Ox ta được tập nghiệm của bất phương trình là x 1 3
a) Ta có bảng giá trị: x
y 4x2
-2
-1
0
1
2
16
4
0
4
16
Đồ thị P : y 4 x 2 đi qua các điểm O 0;0 ; A 1; 4 ; B9 1; 4; C 2;16 và D 2;16 0
1
y 2 x 6
6
4
DẠ
Y
x
Đồ thị d : y 2 x 6 đi qua các điểm E 0;6 và A 1; 4
Trang 22
CI AL FI OF
b) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) thỏa mãn
4 x 2 2 x 6 4 x 2 2 x 6 0
ƠN
x 1 1 2 4 x 6 0 x 3 2
Với x 1 thì y 4 A 1; 4 3 3 thì y 9 F ;9 2 2
3 Vậy (P) cắt (d) tại A 1; 4 và F ;9 2
c) Dựa vào đồ thị ta thấy:
NH
Với x
Y
Phần parabol nằm phía trên (d) là cung phần parabol bỏ đi phần cung AOF của (P). 3 2
DẠ
Y
KÈ M
QU
Chiếu vuông góc phần này lên Ox ta được nghiệm của bất phương trình là x 1 hoặc x
Trang 23
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Kiến thức
CI AL
Mục tiêu + Phát biểu được định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn, đắc biệt luôn nhớ a 0 + Nhắc lại được phương pháp giải riêng các phương trình bậc hai đặc biệt Kĩ năng
2
b b 2 4ac + Biến đổi được phương trình dạng tổng quát ax bx c 0 về dạng: x 2a 4a 2
FI
2
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+ Giải được một số phương trình bậc hai đặc biệt
OF
trong các trường hợp a, b, c là những số cụ thể để giải phương trình.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình bậc hai một ẩn
CI AL
Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax 2 bx c 0 trong đó x là ẩn; a, b, c, là các hệ số và a 0 Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình đó. Ví dụ:
x 2 2 x 1 0 là phương trình bậc hai với hệ số a 1; b 2; c 1
FI
2 x 2 1 0 là phương trình bậc hai với hệ số a 2; b 0; c 1
OF
x 2 x3 1 0 không là phương trình bậc hai Giải phương trình x 2 2 x 1 0 x 2 2 x 1 0 x 1 0 2
x 1 0 x 1
ƠN
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 1 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
NH
Dạng 1: Xác định các hệ số của phương trình bậc hai Phương pháp giải
Bước 1. Khai triển rồi đưa các số hạng về vế trái, Ví dụ: Xét phương trình 4 x 2 3 x 6 x 9 vế phải bằng 0.
4 x 2 3x 6 x 9 4 x 2 3x 6 x 9 0 4 x 2 3x 9 0
bậc hai ax 2 bx c 0
Vậy a 4; b 3; c 9
QU
Ví dụ mẫu
Y
Bước 2. Xác định hệ số a, b, c của phương trình
KÈ M
Ví dụ. Xác định các hệ số a, b, c của các phương trình bậc hai sau (m là hằng số): a) 2 x 2 x 0
b) 3 x 2 x 2 x 1
c) 4 x 2 3 x 2 4 x 6 x 2
d) mx 2 5 x 7 2 x 2 3mx 7
Y
Hướng dẫn giải
DẠ
a) Phương trình 2 x 2 x 0 có hệ số a 2; b 1; c 0 b) 3 x 2 x 2 x 1 3 x 2 3 x 1 0 Vậy a 3; b 3; c 1 c) 4 x 2 2 3 x 2 4 x 6 x 2
3 1 x2 4 0 Trang 2
Vậy a 3 1; b 0; c 4 d) mx 2 5 x 7 2 x 2 3mx 7 mx 2 5 x 7 2 x 2 3mx 7 0
CI AL
m 2 x 2 3m 5 x 0 Vậy a m 2; b 3m 5; c 0
Bài tập cơ bản
FI
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Đưa các phương trình sau về dạng ax 2 bx c 0 , rồi chỉ rõ các hệ số a, b, c: B. 4 x 2 2 x 5 x
C. 3 x 2 5 x 3 x 2
D. 2 x 1 3 x 3
OF
A. x 2 3 x 4
2
Câu 2: Đưa các phương trình sau về dạng ax 2 bx c 0 , rồi chỉ rõ các hệ số a, b, c: 3 2 1 x 6x 3 6x 4 2
B.
C. 2 x 2 x 3 2 x 3
D. x 2 x 3 3
ƠN
A. 3 x 2 3 x 5 5 x 1
Bài tập nâng cao
A.
NH
Câu 3: Đưa các phương trình sau về dạng ax 2 bx c 0 , rồi chỉ rõ các hệ số a, b, c: 1 1 3 x x 1 4
B.
Y
1 C. x 3 2 4 x
1 1 5 x x3
2 D. x 1 4 7 x
A. x 2 3 m 1 x 1 m 2
KÈ M
C. m 2 x 2 3mx 3 x 2 5
QU
Câu 4: Các phương trình sau là phương trình bậc hai khi nào? Xác định hệ số a, b, c của phương trình đó (m là hằng số) B. 1 mx 2 m 2 D. m x 1 mx 2 3 2
Dạng 2: Giải phương trình bậc hai Phương pháp giải
Y
Ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
DẠ
Cách 1. Đưa phương trình đã cho về dạng tích
A 0 A.B 0 B 0
Ví dụ: Giải các phương trình: a) x 2 2 x 0 b) x 2 25 0 Hướng dẫn giải
x 0 a) x 2 2 x 0 x x 2 0 x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm là S 0; 2 Trang 3
Cách 2. Đưa phương trình đã cho về phương trình b) x 2 25 0 x 2 25 x 5
CI AL
mà vế trái là một bình phương còn vế phải là một Vậy phương trình có tập nghiệm là S 5; 5 hằng số
A2 B 2 A B Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Giải các phương trình
FI
a) 3 x 2 8 x 0 b) 4 x 2 25 0
OF
Hướng dẫn giải
x 0 a) 3 x 8 x 0 x 3 x 8 0 x 8 3 Vậy tập nghiệm của phương trình S 0;
2
8 3
5 x 2 x 5 2 52 2 x 5 x 5 2
NH
b) 4 x 2 25 0 4 x 2 25 2 x
ƠN
2
QU
Y
5 5 Vậy tập nghiệm của phương trình S ; 2 2
Ví dụ 2. Giải các phương trình a) x 2 4 x 3 0 b) 3 x 2 12 x 1 0
KÈ M
Hướng dẫn giải
a) x 2 4 x 3 0 x 2 3 x x 3 0
x 1 x x 3 x 3 0 x 1 x 3 0 x 3 Vậy tập nghiệm của phương trình S 1; 3 2
n a
DẠ
Y
Cách 2: Đưa phương trình về dạng: x m
x2 4x 3 0
x2 4x 4 4 3 0
x2 4x 4 1 0
Trang 4
x 2 1 2
x 3 x 1
CI AL
x 2 1 x 2 1
b) 3 x 2 12 x 1 0 3 x 2 12 x 1 1 1 x2 4x x2 4x 4 4 3 3
FI
2
OF
x 2
33 6 33 x2 x 1 3 3 3 33 6 33 x 2 x 3 3
Ví dụ 3. Cho phương trình x 2 mx 48 0 (*) a) Tìm m biết rằng phương trình có một nghiệm bằng 8
NH
b) Giải phương trình với m vừa tìm được
ƠN
6 33 Vậy tập nghiệm của phương trình S 3
Hướng dẫn giải
a) Vì x 8 là nghiệm của phương trình (*) nên
82 m.8 48 0 64 8 x 48 0 8m 16 m 2
Y
Vậy m 2 thì phương trình (*) có một nghiệm bằng 8
QU
b) Với m 2 , phương trình đã cho trở thành x 2 2 x 48 0 Ta có: x 2 2 x 48 0 x 2 8 x 6 x 48 0
x 8 x x 8 6 x 8 0 x 8 x 6 0 x 6
Cách khác:
KÈ M
Vậy tập nghiệm của phương trình S 6; 8
x 2 2 x 48 0
x 2 2 x 1 49 0 x 1 7 2
Y
2
DẠ
x 1 7 x 1 7 x 8 x 6
Trang 5
Ví dụ 4*. Cho phương trình x 2 px q 0 . Tìm p, q biết rằng phương trình có hai nghiệm x1 2 và
x2 5 .
CI AL
Hướng dẫn giải Thay x1 2 và x2 5 vào phương trình x 2 px q 0 ta có
4 2 p q 0 3 p 21 p 7 25 5 p q 0 4 2 p q 0 q 10
FI
Vậy p 7; q 10
OF
Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản Câu 1: Giải các phương trình sau:
B. 0,9 x 2 3, 6 x 0
C. x 2 2 2 x 2 0
D. x 2 4 x 5 0
ƠN
A. 5 x 2 10 x 0
Câu 2: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng tích
B. x 2 2 x 24 0
C. 3 x 2 7 x 4 0
D. 6 x 2 11x 5 0
NH
A. x 2 8 x 15 0
Câu 3: Giải các phương trình sau băng cách đưa về dạng a m x 2 A. 2 x 2 5 x 1
n a
B. 3 x 2 4 x 5 0
Y
C. 2 x 2 2 x 2 0
D. 5 x 2 2 x 5 0
A. x 2 2 x 8 0
QU
Câu 4: Giải các phương trình sau bằng cách áp dụng: A2 B 2 A B
C. 9 x 1 16 x 2 0 2
2
Bài tập nâng cao
B. 4 x 2 16 2 x 3 0 2
D. x 2 4 x 4 9 x 2 4 x 4 0
KÈ M
Câu 5: Tìm giá trị của tham số m để các phương trình sau có nghiệm bằng 1 A. 3 x 2 m 2 x 4m 0
B. x 2 m 3 x m 2 0
Câu 6: Tìm giá trị của tham số m để các phương trình sau có nghiệm bằng -1 A. 4 x 2 25m 2 0
B. x 2 3mx 3m 2 0
Câu 7: Tìm b, c để phương trình x 2 bx c 0 có hai nghiệm là những số sau
Y
A. x1 4 và x2 3
DẠ
C. x1 2 và x2
B. x1 6 và x2 2 3 2
D. x1 1 5 và x2 1 5
Câu 8: Tìm p, q để các phương trình sau tương đương A. x 2 4 0 và x 2 px q 0
B. x 2 5 0 và x 2 px q 0 Trang 6
ĐÁP ÁN Dạng 1. Xác định các hệ số của phương trình bậc hai
CI AL
Bài tập cơ bản Câu 1. a) x 2 3 x 4 x 2 3 x 4 0 . Vậy a 1; b 3; c 4 b) 4 x 2 2 x 5 x 4 x 2 3 x 5 0 . Vậy a 4; b 3; c 5
c) 3 x 2 5 x 3 x 2 3 x 2 5 3 x 2 0 . Vậy a 3; b 5 3 ; c 2
d) 2 x 1 3 x 3 4 x 2 4 x 1 3 x 9 4 x 2 7 x 8 0 . Vậy a 4; b 7; c 8
FI
2
OF
Câu 2.
a) 3 x 2 3 x 5 5 x 1 3 x 2 2 x 4 0 . Vậy a 3; b 2; c 4 3 2 1 3 7 3 7 x 6 x 3 6 x x 2 0 . Vậy a ; b 0; c 4 2 4 2 4 2
ƠN
b)
c) 2 x 2 x 3 2 x 3 2 x 2 1 2 x 0 . Vậy a 2; b 1 2; c 0
d) x 2 x 3 3 x 2 3 x 2 x 2 3 3 0 x 2
Bài tập nâng cao Câu 3.
Y
a) Điều kiện: x 0; x 1
32 x 2 33 0.
NH
Vậy a 1; b 3 2; c 2 3 3
Suy ra a 3; b 3; c 4 b) Điều kiện: x 0; x 3
QU
1 1 3 4 x 1 4 x 3 x x 1 4 x 4 4 x 3 x 2 3 x 3 x 2 3 x 4 0 x x 1 4
KÈ M
1 1 5 x 3 x 5 x x 3 2 x 3 5 x 2 15 x 5 x 2 17 x 3 0 x x3
Suy ra a 5; b 17; c 3 c) Điều kiện: x 0
x 3
1 2 4 x 31 2 x 4 x x 2 x 2 3 6 x 4 x 2 x 2 9 x 3 0 x
Y
Suy ra a 2; b 9; c 3
DẠ
d) Điều kiện: x 0
x 1
2 4 7 x 1 2 4 x 7 x 2 x 4 x 2 2 4 x 7 x 4 x 2 9 x 2 0 x
Suy ra a 4; b 9; c 2 Trang 7
Câu 4. Ta có a 1; b 3 m 1 ; c m 2 1 b) 1 mx 2 m 2 mx 2 1 m 2 0 Phương trình đã cho là phương trình bậc hai khi m 0 Khi đó a m; b 0; c 1 m 2
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai khi m 2 3 0 m 3
OF
Khi đó a m 2 3; b 3m; c 5
FI
c) m 2 x 2 3mx 3 x 2 5 m 2 x 2 3mx 3 x 2 5 0 m 2 3 x 2 3mx 5 0
CI AL
a) x 2 3 m 1 x 1 m 2 x 2 3 m 1 x m 2 1 0 là phương trình bậc hai với mọi m.
d) m x 1 mx 2 3 mx 2 2mx m mx 2 3 0 2mx m 3 0 2
Suy ra phương trình đã cho không phải là phương trình bậc hai vì hệ số a 0
ƠN
Dạng 2. Giải phương trình bậc hai Bài tập cơ bản Câu 1
NH
x 0 a) 5 x 2 10 x 0 5 x x 2 0 . Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0; 2 x 2 x 0 b) 0,9 x 2 3, 6 x 0 x 3, 6 0,9 x 0 3, 6 0,9 x 0
x 0 x 4 .
2
0 x 2 0 x 2
QU
c) x 2 2 2 2 0 x 2
Y
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0; 4
Vậy tập nghiệm của phương trình là S
2
d) x 2 4 x 5 0 x 2 4 x 4 1 0 x 2 1 0 2
2
Câu 2.
KÈ M
Mà x 2 1 0 với mọi x nên phương trình vô nghiệm
a) x 2 8 x 15 0 x 2 5 x 3 x 15 0 x x 5 3 x 5 0
Y
x 3 0 x 3 x 5 0 x 5 0
x 3 x 5
DẠ
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3;5 b) x 2 2 x 24 0 x 2 6 x 4 x 24 0 x x 6 4 x 6 0
x 4 0 x 4 x 6 0 x 6 0
x 4 x 6 Trang 8
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 4;6 c) 3 x 2 7 x 4 0 3 x 2 3 x 4 x 4 0 3 x x 1 4 x 1 0
4 x 3 x 1
CI AL
3 x 4 0 3 x 4 x 1 0 x 1 0
d) 6 x 2 11x 5 0 6 x 2 6 x 5 x 0 6 x x 1 5 x 1 0
5 x 6 x 1
OF
6 x 5 0 6 x 5 x 1 0 x 1 0
ƠN
5 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1; 6
Câu 3.
5 1 5 25 1 25 x x 2 2. x 2 2 4 16 2 16
NH
a) 2 x 2 5 x 1 x 2
FI
4 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1; 3
5 33 5 33 x x 5 33 4 4 4 x 4 16 5 33 5 33 x x 4 4 4 2
QU
Y
5 33 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 4 b) 3 x 2 4 x 5 0 3 x 2 4 x 5 x 2
4 5 2 4 5 4 x x 2 2. .x 3 3 3 9 3 9
2 19 2 19 x x 2 19 3 3 3 x 3 9 2 19 2 19 x x 3 3 3
KÈ M
2
2 19 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3
Y
c) 2 x 2 2 x 2 0 2 x 2 2 x 2 x 2
DẠ
x 2 9 x 4 8 x 2
2 2 1 1 x 1 x 2 2. .x 1 2 4 8 8
2 3 2 x 2 4 4 2 2 3 2 x 2 4 4
Trang 9
2 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; 2 2 2 1 1 1 x 1 x 2 2. .x 1 5 5 25 25
CI AL
d) Ta có: 5 x 2 2 x 5 0 5 x 2 2 x 5 x 2
1 26 1 26 x x 1 26 5 5 5 x 5 25 1 26 1 26 x x 5 5 5
FI
2
OF
1 26 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5 Câu 4.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 4; 2
ƠN
x 1 3 x 2 2 2 a) x 2 2 x 8 0 x 2 2 x 1 9 0 x 1 9 x 1 32 x 1 3 x 4
b) 4 x 2 16 2 x 3 0 4 x 2 16 2 x 3 x 2 4 2 x 3 x 2 2 2 x 3 2
x 2 x 4x 6 x 4x 6 x 6 x 6 4 x 5 2
2
2
NH
2
Y
6 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; 2 5
c) Ta có: 9 x 1 16 x 2 0 9 x 1 16 x 2 3 x 1 4 x 2
3 x 3 4 x 8 2
2
2
2
2
2
2
QU
2
x 5 3 x 3 4 x 8 x 11 3 x 3 8 4 x 7
KÈ M
11 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ;5 7
d) x 2 4 x 4 9 x 2 4 x 4 0 x 2 4 x 4 9 x 2 4 x 4 x 2 3 x 2
x 2 3x 6 2 2 x 2 3x 6 x 2 3 x 6
2
2
x 4 x 1
DẠ
Y
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 4; 1 Bài tập nâng cao Câu 5
a) Vì x 1 là nghiệm của phương trình 3 x 2 m 2 x 4m 0 nên 2
3.12 m .1 4m 0 m 2 4m 3 0 m 2 m 3m 3 0 Trang 10
m 1 m m 1 3 m 1 0 m 1 m 3 0 m 3
CI AL
Vậy m 3; 1 thì phương trình 3 x 2 mx 4m 0 có nghiệm bằng 1. b) Vì x 1 là nghiệm của phương trình x 2 m 3 x m 2 0 nên
12 m 3 .1 m 2 0 m 2 m 2 0 m 2 2m m 2 0
FI
m 1 m m 2 m 2 0 m 1 m 2 0 m 2
Câu 6. a) Vì x 1 là nghiệm của phương trình 4 x 2 25m 2 0 nên 4 1 25m 2 0 25m 2 4 m 2
4 2 m 25 5
ƠN
2
OF
Vậy m 1; 2 thì phương trình x 2 m 3 x m 2 0 có nghiệm bằng 1.
2 Vậy m thì phương trình 4 x 2 25m 2 0 có nghiệm bằng -1 5
b) Vì x 1 là nghiệm của phương trình x 2 3mx 3m 2 0 nên 3m. 1 3m 2 0 3m 2 3m 1 0 m 2 m
2
2
1 0 3
NH
1
2
1 1 1 1 1 1 1 m 2. .m 0 m 0 (vô lí vì m 0 với mọi m) 2 4 12 2 12 2 12 2
QU
Y
Vậy không có giá trị m để phương trình x 2 3mx 3m 2 0 có nghiệm bằng -1 Câu 7.
a) Thay x1 4 và x2 3 vào phương trình x 2 bx c 0 ta có hệ sau:
KÈ M
16 4b c 0 b 7 b 7 3b c 0 9 3b c 0 c 12 Vậy b 7; c 12
b) Thay x1 6 và x2 2 vào phương trình x 2 bx c 0 ta có hệ sau:
36 6b c 0 8b 32 b 4 4 2b c 0 4 2b c 0 c 12
Y
Vậy b 4; c 12
DẠ
c) Thay x1 2 và x2
3 vào phương trình x 2 bx c 0 ta có hệ sau: 2
7 1 4 2b c 0 7 b b 4 2 9 3 2 4 2 b c 0 4 2b c 0 c 3
Trang 11
d) Thay x1 1 5 và x2 1 5 vào phương trình x 2 bx c 0 ta có hệ sau:
6 2 5 1 5 b c 0 2 5b 4 5 b 2 c 4 6 2 5 1 5 b c 0 6 2 5 1 5 b c 0
FI
Vậy b 2; c 4
CI AL
1 Vậy b ; c 3 2
Câu 8
OF
a) Ta có x 2 4 0 x 2 4 x 2
Vì x 2 4 0 và x 2 px q 0 là hai phương trình tương đương nên x 2 cũng là nghiệm của phương trình x 2 px q 0 . Thay x 2 vào phương trình x 2 px q 0 , ta có hệ sau:
ƠN
4 2 p q 0 2q 8 0 q 4 q 4 4 2 p q 0 4 2 p q 0 4 2 p q 0 p 0 Vậy p 0; q 4 b) Ta có x 2 5 0 x 2 5 x 5
NH
Vì x 2 5 0 và x 2 px q 0 là hai phương trình tương đương nên x 5 cũng là nghiệm của phương trình x 2 px q 0 . Thay x 5 vào phương trình x 2 px q 0 , ta có hệ sau:
Y
5 5 p q 0 2q 10 0 q 5 p 0 5 5 p q 0 5 5 p q 0
DẠ
Y
KÈ M
QU
Vậy p 0; q 5 .
Trang 12
BÀI 4: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
CI AL
Mục tiêu Kiến thức
+ Nắm được cách tính và phân biệt được biệt số ∆ và ∆', với điều kiện nào của ∆ và ∆' thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt
+ Nắm vững công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
FI
Kĩ năng + Tính được biệt số ∆ và ∆'
OF
+ Vận dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải phương trình bậc hai
ax 2 bx c 0 a 0
+ Biết cách vận dụng công thức nghiệm thu gọn, sử dụng công thức này trong các trường hợp có
ƠN
thể để làm cho việc tính toán giản đơn hơn
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
+ Biết giải phương trình bậc hai với hệ số hằng và phương trình bậc hai có chứa tham số
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Cho phương trình ax 2 bx c 0 a 0 có biệt Ta có a 1; b 4; c 3
CI AL
Ví dụ: Giải phương trình x 2 4 x 3 0
b 2 4ac 4 4.1.3 4 2
thức b 2 4ac
* Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân Vì ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiêm phân biệt biệt x1
b b ; x2 2a 2a
là x1
4 4 4 4 3; x2 1 2 2
b 2a
OF
x1 x2
FI
* Nếu 0 , phương trình có nghiệm kép
* Nếu 0 , phương trình vô nghiệm. Cho phương trình ax 2 bx c 0 a 0 có biệt
Giải phương trình x 2 4 x 3 0 bằng công thức nghiệm thu gọn:
ƠN
Công thức nghiệm thu gọn
thức b 2b , b ac
Ta có a 1; b 2; c 3
* Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân
b 2 ac 2 1.3 1
2
biệt
NH
Vì 0 nên phương trình có hai nghiệm phân
b b X1 ; X2 a a
biệt là x1
b a
Chú
ý:
Nếu
phương
QU
* Nếu 0 , phương trình vô nghiệm. trình
2 1 2 1 3; x2 1 1 1
Y
* Nếu 0 , phương trình có nghiệm kép x1 x2
2
bậc
hai
ax 2 bx c 0 a 0 có ac 0 thì phương trình
DẠ
Y
KÈ M
luôn có hai nghiệm phân biệt.
Trang 2
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng
ax 2 bx c 0 a 0
b 2b b 2 4ac
OF
FI
b 2 ac
CI AL
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
0
0
Phương trình có hai
nghiệm phân biệt
nghiệm phân biệt
x2
b 2a
0
QU
Phương trình có nghiệm kép
b 2a
KÈ M
x1 x2
0
Phương trình vô
x1
b a
x2
b a
0 Phương trình có nghiệm kép x1 x2
b a
0 Phương trình vô nghiệm
DẠ
Y
nghiệm
NH
b 2a
Y
x1
ƠN
Phương trình có hai
Trang 3
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai Bài toàn 1. Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm Phương pháp giải Xét phương trình: ax 2 bx c 0 a 0
CI AL
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Ví dụ: Giải phương trình x 2 3 x 4 0
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c và tính biệt thức Ta có a 1; b 3; c 4
b 2 4ac
3 4.1. 4 25
Bước 2. Kết luận
Vì 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
- Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm
là
- Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân b b ; x2 2a 2a
3 25 3 5 4 2.1 2
x2
3 25 3 5 1 2.1 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1; 4
NH
biệt x1
x1
ƠN
b x1 x2 2a
OF
- Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép
FI
2
Ví dụ mẫu
Ví dụ: Dùng công thức nghiệm để giải các phương trình sau: a) x 2 2 x 15 0
Y
QU
b) x x 3 1 Hướng dẫn giải
a) Phương trình x 2 2 x 15 0 có a 1; b 2; c 15
22 4.1. 15 4 60 64 0
x1
KÈ M
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là 2 64 2 8 2 64 2 8 3; x2 5 2.1 2 2.1 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5; 3
Y
b) Ta có x x 3 1 x 2 3 x 1 x 2 3 x 1 0
DẠ
Suy ra a 1; b 3; c 1
Ta có 3
2
4.1.1 3 4 1 0
Vậy phương trình vô nghiệm.
Trang 4
Bài toán 2. Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm thu gọn Phương pháp giải
CI AL
Xét phương trình: ax 2 bx c 0 a 0 với Ví dụ: Giải phương trình 5 x 2 6 x 1 0 b 2b
Hướng dẫn giải
Bước 1.
Ta có a 5; b 3; c 1
Xác định các hệ số a, b, c và tính biệt thức
3 5.1 9 5 4
b 2 ac
Vì 0 nên phương trình có hai nghiệm phân
Bước 2. Kết luận:
biệt là
- Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 x2
b a
biệt: x1
3 4 3 4 1 1; x2 5 5 5
1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; 1 5
ƠN
- Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân
x1
OF
- Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm
FI
2
b b ; x2 a a
NH
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Dùng công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình sau a) 5 x 2 4 x 2 0 b) 2 x 1 2 x 5
Y
2
QU
Hướng dẫn giải
a) Phương trình 5 x 2 4 x 2 0 có a 5; b 2; c 2 Ta có 22 5 .2 4 10 14 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là 2 14 2 14 ; x2 5 5
KÈ M
x1
b) 2 x 1 2 x 5 2 x 2 4 x 2 2 x 5 2 x 2 2 x 3 0 2
Suy ra a 2; b 1; c 3
Ta có 1 2. 3 1 6 7 0 2
1 7 1 7 ; x2 2 2
DẠ
Y
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1
Trang 5
Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản
A. x 2 x 20 0
B. 5 x 2 7 x 6 0
C. 5 x 2 2 5 x 1 0
D. x 2 1 3 x 3 0
CI AL
Câu 1: Xác định các hệ số a, b, c và tính biệt thức ∆, từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình sau
B. x 2 2 11x 11 0
C. x 2 2
3 2 x4 6 0
2x2 2
D.
Câu 3: Dùng công thức nghiệm, giải các phương trình sau
3 1 x 3 2 0
OF
A. 3 x 2 6 x 2 0
FI
Câu 2: Xác định các hệ số a, b, c và tính biệt thức ∆’, từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình sau
B. x 2 3 x x 1
C. x 2 5 x 4
D. x 2 8 x 2
ƠN
A. 2 x 2 x 3
Câu 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn, giải các phương trình sau
B. x 2 20 x 7
C. x 2 2 3 x 2 x 2 1
D. x 2 3 x 25 7 x
NH
A. 4 x x 2 5
Bài tập nâng cao
Câu 5: Dùng công thức nghiệm, giải các phương trình sau A. x 2 3 x 1 0
Y
1 4
QU
C. x 2 x 1
B. x x 5 3 x 2 1 D. 2 x 1 3 x 6 2
Câu 6: Dùng công thức nghiệm thu gọn, giải các phương trình sau A. x 2 x 4 x 2 12
2x 4
KÈ M
C. x 2 6
B.
5x
2
2 5 x 15
D. x 2 2 1 x 2
Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai Phương pháp giải
DẠ
Y
Xét phương trình ax 2 bx c 0
1. Phương trình có nghiệm kép
Ví dụ: Cho phương trình
mx 2 2 m 1 x m 2 0 với m là tham số Ta có a m; b m 1; c m 2 m 1 m m 2 4m 1 2
1. Phương trình có nghiệm kép
Trang 6
m 0 a 0 m 0 1 1 m 4 0 4m 1 0 m 4
CI AL
a 0 a 0 hoặc 0 0
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt
m 0 a 0 m 0 1 0 4m 1 0 m 4
a 0 a 0 hoặc 0 0
3. Phương trình có nghiệm duy nhất
FI
3. Phương trình có nghiệm duy nhất
a 0 m 0 m0 b 0 m 1 0 m 0 m 0 a 0 1 0 4m 1 0 m 1 m 4 4
OF
a 0 a 0, b 0 hoặc 0
a 0, b 0, c 0 a 0, b 0, c 0 hoặc a 0, 0 a 0, 0
m 0, m 1 0, m 2 0 m 0, 4m 1 0
ƠN
4. Phương trình vô nghiệm
a 0; b 0, c 0 4. Phương trình vô nghiệm a 0, 0
NH
m 0, m 1, m 2 m 0, m 1 4
5. Phương trình có nghiệm
QU
Y
m
KÈ M
a b c 0 a b c 0 a 0, b 0 hoặc a 0, b 0 a 0, 0 a 0, 0
1 4
a b c 0 5. Phương trình có nghiệm a 0, b 0 a 0, 0 m m 1 m 2 0 1 m 0; m 1 0 m 4 m 0, 4m 1 0
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho phương trình mx 2 2 m 1 x m 1 0 (m là tham số)
Y
Tìm các giá trị của m để phương trình:
DẠ
a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép c) Vô nghiệm
d) Có nghiệm
Hướng dẫn giải Trang 7
Ta có a m; b m 1 ; c m 1; m 1 m m 1 3m 1 2
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
CI AL
m 0 a 0 m 0 1 0 3m 1 0 m 3
FI
m 0 Vậy 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt m 3
1 thì phương trình có nghiệm kép 3
c) Xét m 0 , ta có phương trình: 2 x 1 0 x Vậy phương trình đã cho có nghiệm
1 2
ƠN
Vậy m
OF
m 0 a 0 m 0 1 b) Phương trình có nghiệm kép 1m 3 0 1 3m 0 m 3
Vậy m
NH
+) Xét m 0 , phương trình vô nghiệm nếu 3m 1 0 m 1 thì phương trình vô nghiệm 3
1 3
Y
a 0, b 0, c 0 Chú ý: Phương trình vô nghiệm a 0, 0
QU
Từ điều kiện này, ta xét hai trường hợp: a 0 và a 0 để tìm m d) Với m 0 , phương trình có nghiệm duy nhất là x
1 (1) 2
Với m 0 , phương trình có nghiệm 0 1 3
KÈ M
1 3m 0 m
Từ (1) và (2) ta có m
(2)
1 thì phương trình có nghiệm 3
Y
a b c 0 Chú ý: Phương trình có nghiệm a 0, b 0 a 0, 0
DẠ
Từ điều kiện này, ta xét hai trường hợp: a 0 và a 0 để tìm m Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản Trang 8
A. x 2 x m 2 0
B. 2 x 2 3 x m 3 0
C. 3 x 2 2 x m 5 0
D. x 2 8 x m 2 0
CI AL
Câu 1: Với giá trị nào của tham số m thì mỗi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt? Tính nghiệm của phương trình theo m
Câu 2: Với giá trị nào của tham số m thì mỗi phương trình sau có nghiệm kép? Tính nghiệm kép đó B. m 1 x 2 2 x 3 0
A. 2 x 2 mx 2 0 A. x 2 3 x m 5 0
B. mx 2 3 x m 0
OF
Bài tập nâng cao
FI
Câu 3: Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm
Câu 4: Cho phương trình mx 2 3 x 1 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình B. Có nghiệm kép
C. Vô nghiệm
D. Có nghiệm
ƠN
A. Có hai nghiệm phân biệt
Dạng 3: Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số Phương pháp giải
NH
Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương trình tùy theo sự thay đổi của m. Xét phương trình ax 2 bx c 0
* Với a 0 : Phương trình trở thành phương trình bậc nhất: bx c 0 c a
Y
- Nếu b 0 thì phương trình có nghiệm x
QU
- Nếu b 0 và c 0 thì phương trình vô nghiệm
- Nếu b 0 và c 0 thì phương trình có vô số nghiệm * Với a 0 ta có b 2 4ac (hoặc b 2 ac )
KÈ M
- Nếu 0 (hoặc 0 ) thì phương trình vô nghiệm - Nếu 0 (hoặc 0 ) thì phương trình có nghiệm kép: x1 x2
b b (hoặc x1 x2 ) 2a a
- Nếu 0 (hoặc 0 ) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: b b (hoặc x1, 2 ) 2a a
Y
x1, 2
DẠ
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Giải và biện luận phương trình: mx 2 2m 1 x m 0 (m là tham số) Hướng dẫn giải +) Xét m 0 phương trình trở thành x 0 Trang 9
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 0 +) Xét m 0 . Ta có 2m 1 4.m.m 4m 2 4m 1 4m 2 1 4m 2
1 0 thì phương trình vô nghiệm. 4
CI AL
- Nếu m
2m 1 1 4m 1 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1, 2 2m 4
Kết luận: 1 , phương trình vô nghiệm 4
* Với m
1 , phương trình có nghiệm kép là x1 x2 1 4
* Với m
1 m 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt là 4
2m 1 1 4m 2m 1 1 4m ; x2 2m 2m
NH
x1
ƠN
* Với m
OF
- Nếu m
FI
1 2. 1 1 2m 1 - Nếu m 0 thì phương trình có nghiệm kép là x1 x2 4 1 1 4 2m 2. 4
Bài tập tự luyện dạng 3
Y
Với m 0 , phương trình có nghiệm duy nhất là x 0
A. x 2 x m 0
QU
Câu 1: Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số): B. x 2 3 x m 0
Câu 2: Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số): A. mx 2 x 3 0
B. mx 2 2 x 5 0
KÈ M
Câu 3: Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số): A. x 2 2 m 1 x m 2 0
B. x 2 4 m 2 x 4m 2 0
Dạng 4: Một số bài toán liên quan đến tính có nghiệm của phương trình bậc hai Bài toán 1: Chứng minh ít nhất một trong các phương trình bậc hai có nghiệm
DẠ
Y
Phương pháp giải Ví dụ. Cho hai phương trình:
x 2 2ax 2b 1 0 và x 2 2bx 4a 6 0 Chứng minh rằng trong hai phương trình có ít nhất một phương trình có nghiệm
Trang 10
Hướng dẫn giải Bước 1. Tính các biệt thức ∆ và ∆’
Xét biệt thức ∆’ của hai phương trình
Bước 2. Chứng tỏ tồn tại một 0 0 và kết luận
CI AL
1 a 2 2b 1; 2 b 2 4a 6
Ta có 1 2 a 2 2b 1 b 2 4a 6 a 2 4a 4 b 2 2b 1 2 a 2 b 1 2 2
2
FI
1 2 0 với mọi a, b.
OF
Do đó tồn tại ít nhất một i 0 i 1, 2 Vậy tồn tại ít nhất một phương trình có nghiệm. Ví dụ mẫu
ƠN
Ví dụ. Cho a b c 6
Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình sau có nghiệm:
x 2 ax 1 0; x 2 bx 1 0; x 2 cx 1 0
NH
Hướng dẫn giải
Xét biệt thức ∆ của ba phương trình: 1 a 2 4; 2 b 2 4; 3 c 2 4 Ta có: 1 2 3 a 2 b 2 c 2 12
Y
a 2 b 2 c 2 4 a b c 12 (vì a b c 6 ) a 2 b 2 c 2 0 với mọi a, b, c. 2
2
QU
2
Vậy tồn tại ít nhất một i 0 i 1, 2, 3
KÈ M
Do đó tồn tại ít nhất một phương trình có nghiệm. Bài toán 2: Chứng minh hai phương trình bậc hai có nghiệm chung Phương pháp giải
Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương Ví dụ: Cho hai phương trình x 2 x m 0 (1) và trình
dạng
bậc
hai
ax 2 bx c 0
và
x 2 mx 1 0 (2). Tìm các giá trị của tham số m
DẠ
sau:
Y
a x 2 b x c 0 có nghiệm chung, ta làm như để hai phương trình có nghiệm chung. Hướng dẫn giải Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình đã
Bước 1. Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương cho, ta có hệ sau trình. Từ đó thay x0 vào hai phương trình để tìm được điều kiện của tham số. Trang 11
x02 x0 m 0 2 x0 mx0 1 0
3 4
ta được x03 1 0 x0 1
CI AL
Nhân hai vế của (3) với x0 rồi cộng theo vế với (4)
Thay x0 1 vào (3), ta được m 0
Bước 2. Với giá trị của tham số vừa tìm được, thay +) Với m 0 , phương trình (1) trở thành: chung hay không và kết luận.
x 0 x 2 x 0 x x 1 0 x 1
FI
trở lại để kiểm tra xem hai phương trình có nghiệm
OF
Phương trình (1) có nghiệm là x1 0; x2 1 (*) +) Với m 0 , phương trình (2) trở thành:
x 2 1 0 x 1
ƠN
Phương trình (2) có nghiệm x1 1; x2 1 (**) Từ (*) và (**) ta có với m 0 , hai phương trình đã
NH
cho có nghiệm chung Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho hai phương trình x 2 ax b 0 và x 2 cx d 0 . Chứng minh nếu hai phương trình trên có nghiệm chung thì b d a c ad bc 0 2
Y
Hướng dẫn giải
x02 ax0 b 0 2 x0 cx0 d 0
1 2
QU
Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình đã cho, ta có hệ sau
Lấy (1) - (2), ta được x0 a c b d x02 a c b d (*)
KÈ M
2
cx02 acx0 bc 0 Lấy (1) nhân với c; (2) nhân a, ta có 2 ax0 acx0 ad 0
2
3 4
Lấy (4) - (3), ta được:
ad bc
Y
a c x02 ad bc 0 a c x02
a c x02 a c ad bc (**)
DẠ
2
Từ (*) và (**), suy ra: b d a c ad bc 2
b d a c ad bc 0 (điều phải chứng minh) 2
Trang 12
Bài toán 3: Xét điều kiện để hai phương trình tương đương Phương pháp giải
CI AL
Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax 2 bx c 0 và a x 2 b x c 0 tương đương, ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1. Hai phương trình cùng vô nghiệm Trường hợp 2. Hai phương trình cùng có nghiệm. Khi đó:
- Điều kiện cần để hai phương trình tương đương là chúng có cùng tập nghiệm. Từ đó tìm được điều kiện
FI
của tham số. nhau hay không và kết luận Ví dụ mẫu Ví dụ. Cho hai phương trình x 2 x m 0 và x 2 mx 1 0 (2)
ƠN
Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình tương đương
OF
- Với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương trình có tập nghiệm bằng
Hướng dẫn giải
Hai phương trình (1) và (2) tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Theo ví dụ trong bài toán 2, hai phương trình trên có nghiệm chung nhưng hai tập nghiệm khác nhau. Do
NH
1 1 4m 0 đó để hai phương trình tương đương thì (1) và (2) phải cùng vô nghiệm. Suy ra (vô lí vì 2 2 m 4 0 m 2 4 0 với mọi m)
Y
Vậy không có giá trị m để hai phương trình tương đương Ghi nhớ: Hai phương trình tương đương khi:
QU
- Hai phương trình cùng vô nghiệm
- Hai phương trình có cùng tập nghiệm
KÈ M
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Cho a, b, c khác 0. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong các phương trình sau có nghiệm:
ax 2 2bx c 0
1 ;
bx 2 2cx a 0
2 ;
cx 2 2ax b 0
3
Y
Câu 2: Cho hai phương trình ax 2 bx c 0 và a 1 x 2 c 1 x b 0 a 0
DẠ
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm Câu 3: Cho các phương trình x 2 mx n 0 (1) và x 2 nx m 0 (2) trong đó
1 1 1 m n 2
Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm
Trang 13
Câu 4: Cho phương trình x 2 a b c x ab bc ca 0 với a , b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình luôn vô nghiệm
CI AL
Câu 5: Xác định k để hai phương trình sau có nghiệm chung
x 2 kx 2 0 (1) và x 2 2 x k 0 (2)
Câu 6: Cho hai phương trình x 2 x a 0 và x 2 ax 1 0 . Với giá trị nào của a thì: a) Hai phương trình có nghiệm chung? b) Hai phương trình tương đương?
FI
ĐÁP ÁN Dạng 1. Giải phương trình bậc hai Bài tập cơ bản
OF
Câu 1. a) Phương trình x 2 x 20 0 có a 1; b 1; c 20 Ta có 1 4.1. 20 1 80 81 0 2
1 81 1 81 5; x2 4 2.1 2.1
ƠN
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1
b) Phương trình 5 x 2 7 x 6 0 có a 5; b 7; c 6 Ta có 7 4.5. 6 49 120 169 0
NH
2
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1
7 169 7 169 3 2; x2 2.5 2.5 5
2
4.5.1 20 20 0
QU
Ta có 2 5
Y
c) Phương trình 5 x 2 2 5 x 1 0 có a 5; b 2 5; c 1
Phương trình có nghiệm kép là x1 x2
2 5 5 2.5 5
d) Phương trình x 2 1 3 x 3 0 có a 1; b 1 3 ; c 3
2
KÈ M
Ta có 1 3 4.1. 3 4 2 3 4 3 4 2 3
3 1
2
0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là
Câu 2.
2.1
3 1
2
3; x2
1 3
3 1
2.1
2
1
Y
x1
1 3
DẠ
a) Phương trình 3 x 2 6 x 2 0 có a 3; b 3; c 2 Ta có 3 3 .2 9 6 15 0 2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là Trang 14
3 15 3 15 3 15 3 15 ; x2 3 3 3 3
b) Phương trình x 2 2 11x 11 0 có a 1; b 11; c 11
2
1.11 11 11 0 11 11 1
Phương trình có nghiệm kép là x1 x2 c) Phương trình x 2 2
Ta có:
3 2 x 4 6 0 có a 1; b
3 2 ;c 4 6
2
3 2 1.4 6 5 2 6 4 6 5 2 6
3 2
3 2
1
2x2 2
d) Phương trình Ta có
2
2 3; x2
3 2
3 2
1
3 1 x 3 2 0 có a 2; b
2
2
0
2
2 2
3 1 ; c 3 2
ƠN
x1
3 2
OF
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là
FI
Ta có 11
CI AL
x1
3 1 2.3 2 4 2 3 6 2 2 3 0
NH
Vậy phương trình vô nghiệm Câu 3. a) 2 x 2 x 3 2 x 2 x 3 0 Ta có 1 4.2. 3 1 24 25 0
Y
2
QU
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1
1 25 3 1 25 ; x2 1 2.2 2 2.2
b) x 2 3 x x 1 x 2 4 x 1 0
Ta có 42 4.1. 1 16 4 20 0
x1
KÈ M
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là 4 20 4 20 2 5; x2 2 5 2.1 2.1
c) x 2 5 x 4 x 2 5 x 4 0 Ta có
5
2
4.1.4 5 16 9 0 . Suy ra phương trình vô nghiệm
Y
d) x 2 8 x 2 x 2 8 x 2 0
8
DẠ
Ta có
2
4.1.2 8 8 0
Phương trình có nghiệm kép là x1 x2
8 2 2 2 2.1 2
Trang 15
Câu 4. a) 4 x x 2 5 x 2 4 x 5 0 Ta có 2 1. 5 4 5 9 0
x1
2 9 2 9 5; x2 1 1 1
b) x 2 20 x 7 x 2 2 5 x 7 0 .
Ta có 5
2
1.7 5 7 2 0 . Suy ra phương trình vô nghiệm
Ta có 3
2
OF
c) x 2 2 3 x 2 x 2 1 x 2 2 3 x 1 0 1. 1 3 1 4 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là
ƠN
3 4 3 4 3 2; x2 32 1 1
x1
d) x 2 3 x 25 7 x x 2 10 x 25 0 Ta có 5 1.25 25 25 0 5 1
Bài tập nâng cao
5
Y
Câu 5.
NH
2
Phương trình có nghiệm kép là x1 x2
FI
Phương trình hai nghiệm phân biệt là
CI AL
2
Ta có: 3
2
4.1. 3 3 4 3 0
Vậy phương trình vô nghiệm
Ta có
5
QU
a) x 2 3 x 1 0 x 2 3 x 3 0
KÈ M
b) x x 5 3 x 2 1 x 2 5 x 3 x 2 1 2 x 2 5 x 1 0 2
4.2. 1 5 8 13 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là 5 13 5 13 5 13 5 13 ; x2 2.2 4 2.2 4
Y
x1
DẠ
c) x 2 x 1
1 1 9 x 2 x 2 x 2 x 2 3x 0 4 4 4
9 2 Ta có 3 4.1. 9 9 0 4
Vậy phương trình có nghiệm kép là x1 x2
3 3 2.1 2
Trang 16
d) 2 x 1 3 x 6 4 x 2 4 x 1 3 x 6 4 x 2 x 5 0 2
Ta có 1 4.4. 5 1 80 81 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1
CI AL
2
1 81 5 1 81 ; x2 1 2.4 4 2.4
Câu 6.
FI
a) x 2 x 4 x 2 12 2 x 2 4 x x 2 12 x 2 4 x 12 0 Ta có 2 1. 12 4 12 16 0 2
2 5x 15 5 2 5x x Ta có 2 5 1.20 20 20 0 b)
5x
2
2
2 16 2 16 6; x2 2 1 1
OF
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1
2 5 x 15 x 2 4 5 x 20 0
Phương trình có nghiệm kép là x1 x2
2
1
2
5
2 x 4 x 2 6 2 x 24 x 2 6 2 x 24 0
2
Ta có 3
NH
c) x 2 6
2 5
ƠN
2
1.24 18 24 6 0 . Suy ra phương trình vô nghiệm.
d) x 2 2 1 x x 2 4 x 4 2 2 x x 2 2 x 2 0 2
Y
Ta có 1 1.2 1 2 1 0 . Suy ra phương trình vô nghiệm
QU
2
Dạng 2. Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai Bài tập cơ bản Câu 1.
a) Ta có 1 4.1. m 2 1 4m 8 9 4m
KÈ M
2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 9 4m 0 m Vậy với m
9 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là 4
1 9 4m 1 9 4m ; x2 2 2
Y
x1
9 4
DẠ
b) Ta có 32 4. 2 . m 3 9 8m 24 8m 15 Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 8m 15 0 m
15 8
Trang 17
x1
15 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là 8
3 8m 15 3 8m 15 ; x2 4 4
c) Ta có 1 3. m 5 1 3m 15 16 3m 2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 16 3m 0 m
1 16 3m 1 16 3m ; x2 3 3
OF
x1
16 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là 3
FI
Vậy với m
16 3
CI AL
Vậy với m
d) Ta có: 4 1.m 2 16 m 2 4 m 4 m 2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 4 m 4 m 0 4 m 4
ƠN
Vậy 4 m 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x1 4 16 m 2 ; x2 4 16 m 2
NH
Câu 2.
a) Ta có m 4.2.2 m 2 16 m 4 m 4 2
m 4 Phương trình có nghiệm kép 0 m 4 m 4 0 m 4
* Với m 4 , ta có x1 x2
Y
m 4 1 4 4
QU
* Với m 4 , ta có x1 x2
m 4 1 4 4
b) Ta có 12 m 1 .3 1 3m 3 4 3m
DẠ
Câu 3.
4 1 1 thì phương trình đã cho có nghiệm kép là x1 x2 3 3 m 1 4 1 3
Y
Vậy với m
KÈ M
m 1 a 0 m 1 0 4 Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi 4m 3 0 4 3m 0 m 3
a) Ta có 3 4.1. m 5 9 4m 20 29 4m 2
Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi 0 29 4m 0 m
29 4
Trang 18
Vậy m
29 thì phương trình đã cho vô nghiệm 4
Xét m 0 . Ta có 32 4.m.m 9 4m 2 3 2m 3 2m 3 m 2 Phương trình vô nghiệm khỉ và chỉ khi 0 3 2m 3 2m 0 m 3 2
3 3 hoặc m thì phương trình đã cho vô nghiệm 2 2
OF
Bài tập nâng cao
FI
Vậy m
CI AL
b) Xét m 0 , ta có phương trình 3 x 0 x 0 . Phương trình có nghiệm x 0
Câu 4. Ta có 3 4.m.1 9 4m 2
NH
m 0 Vậy 9 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. m 4
ƠN
m 0 a 0 m 0 a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 9 0 9 4m 0 m 4
9 thì phương trình có nghiệm kép 4
QU
Vậy m
Y
m 0 a 0 m 0 9 b) Phương trình có nghiệm kép 9 m 4 0 9 4m 0 m 4
c) Xét a 0 m 0 , phương trình đã cho trở thành: 3 x 1 0 x
1 3
Vậy phương trình có một nghiệm.
Vậy m
KÈ M
m 0 m 0 m 0 9 Xét a 0 m 0 . Phương trình vô nghiệm 9 m 4 0 9 4m 0 m 4
9 thì phương trình vô nghiệm. 4
Y
d) Xét a 0 m 0 . Theo câu c, ta có phương trình có nghiệm duy nhất là x
1 3
(1)
DẠ
Xét a 0 m 0 . Phương trình có nghiệm 0 9 4m 0 m Từ (1) và (2), ta có m
9 4
(2)
9 thì phương trình có nghiệm 4
Trang 19
Câu 1. a) Xét 1 4.1.m 1 4m 2
CI AL
Dạng 3. Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số
1 thì phương trình vô nghiệm 4
- Nếu 0 m
1 1 thì phương trình có nghiệm kép là x1 x2 4 2
- Nếu 0 m
1 1 4m 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1,2 2 4
OF
FI
- Nếu 0 m
Kết luận: 1 , phương trình vô nghiệm 4
* Với m
1 1 , phương trình có nghiệm kép là x1 x2 4 2
* Với m
1 1 4m 1 1 4m 1 ; x2 , phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 2 2 4
NH
ƠN
* Với m
b) Xét 32 4.1. m 9 4m - Nếu 0 m
9 thì phương trình vô nghiệm. 4
9 3 thì phương trình có nghiệm kép là x1 x2 4 2
- Nếu 0 m
3 9 4m 9 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1,2 2 4
QU
Kết luận:
Y
- Nếu 0 m
9 phương trình vô nghiệm 4
* Với m
9 3 thì phương trình có nghiệm kép là x1 x2 4 2
* Với m
3 9 4m 3 9 4m 9 ; x2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 2 2 4
Y
DẠ
Câu 2.
KÈ M
* Với m
a) Nếu m 0 thì phương trình trở thành x 3 0 x 3 . Phương trình có nghiệm duy nhất là x 3 Nếu m 0 . Ta có 12 4.m. 3 1 12m +) 0 m
1 , phương trình vô nghiệm 12
Trang 20
+) 0 m
1 1 1 6 , phương trình có nghiệm kép là x1 x2 1 2m 12 2. 12
CI AL
+) 0 m
1 1 12m 1 , phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1,2 2m 12
Kết luận * Với m
1 , phương trình vô nghiệm 12 1 , phương trình có nghiệm kép là x1 x2 6 12
* Với m
1 1 12m 1 1 12m 1 ; x2 , m 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 2m 2m 12
5 2
Nếu m 0 . Ta có 12 m. 5 1 5m
NH
x
5 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 2
ƠN
b) Nếu m 0 thì phương trình trở thành 2 x 5 0 x
OF
* Với m 0 , phương trình có nghiệm duy nhất là x 3
FI
* Với m
1 +) 0 m , phương trình vô nghiệm 5
QU
Y
1 1 1 +) 0 m , phương trình có nghiệm kép là x1 x2 5 1 5 m 5 1 1 5m 1 +) 0 m , phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1,2 m 5
Kết luận
KÈ M
1 * Với m , phương trình vô nghiệm 5
1 * Với m , phương trình có nghiệm kép là x1 x2 5 5 1 1 5m 1 1 5m 1 ; x2 * Với m , m 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 m m 5
DẠ
Y
* Với m 0 , phương trình có nghiệm duy nhất x
5 2
Câu 3.
a) Ta có m 1 1.m 2 m 2 2m 1 m 2 1 2m 2
Trang 21
1 thì phương trình vô nghiệm 2
- Nếu 0 m
m 1 1 1 1 1 thì phương trình có nghiệm kép là x1 x2 1 2 2 2
- Nếu 0 m
1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1,2 m 1 1 2m 2
CI AL
- Nếu 0 m
Kết luận 1 , phương trình vô nghiệm 2
* Với m
1 1 , phương trình có nghiệm kép là x1 x2 2 2
* Với m
1 , phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 m 1 1 2m ; x2 m 1 1 2m 2
OF
FI
* Với m
b) Ta có 2 m 2 1.4m 2 4m 2 16m 16 4m 2 16 16m - Nếu 0 m 1 thì phương trình vô nghiệm
ƠN
2
2 m 2 1
2. 1 2 2
NH
- Nếu 0 m 1 thì phương trình có nghiệm kép là x1 x2
- Nếu 0 m 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1,2 2 m 2 16 16m Kết luận * Với m 1 , phương trình vô nghiệm
Y
* Với m 1 , phương trình có nghiệm kép là x1 x2 2
QU
* Với m 1 , phương trình có hai nghiệm phân biệt là
x1 2 m 2 16 16m ; x2 2 m 2 16 16m
Câu 1.
KÈ M
Dạng 4. Một số bài toán liên quan đến tính có nghiệm của phương trình bậc hai Ta có 1 b 2 ac; 2 c 2 ac; 3 a 2 bc Xét 1 2 3 a 2 b 2 c 2 ab bc ca
DẠ
Y
2 1 2 3 2a 2 2b 2 2c 2 2ab 2bc 2ca
1 2 3
a 2 2ab b 2 b 2 2bc c 2 c 2 2ca a 2 a b b c c a 2
2
2
1 2 2 2 a b b c c a 0 với mọi a, b, c 2
Do đó tồn tại ít nhất một i 0 i 1, 2,3 Trang 22
Câu 2. Ta kí hiệu ax 2 bx c 0
(1)
và viết gọn phương trình: a 1 x 2 c 1 x b 0 ax 2 cx b a c 0
CI AL
Vậy tồn tại ít nhất một phương trình có nghiệm
(2)
Ta có 1 b 2 4ac; 2 c 2 4a b a c
Xét 1 2 b 2 4ac c 2 4a b a c c 2 b 2 4ab 4a 2 c 2 b 2a 0 với mọi a, b, c.
FI
2
Do đó tồn tại ít nhất một i 0 i 1, 2
OF
Vậy tồn tại ít nhất một phương trình có nghiệm Câu 3.
1 1 1 mn 1 mn 2 m n 2mn 4 m n m n 2 mn 2
ƠN
Ta có
Lại có 1 m 2 4n; 2 n 2 4m
Suy ra 1 2 m 2 4n n 2 4m m 2 4 m n n 2 m 2 2mn n 2 m n 0 với mọi m, n.
NH
Do đó tồn tại ít nhất một i 0 i 1, 2
2
Vậy tồn tại ít nhất một phương trình có nghiệm
Y
Câu 4.
QU
Ta có a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca
Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a b c (bất đẳng thức tam giác) a 2 ab ac Tương tự: b a c b 2 ab bc
KÈ M
c a b c 2 ca bc
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được a 2 b 2 c 2 ab ac ab bc ca bc
a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ac a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca 0 0 Suy ra phương trình đã cho luôn vô nghiệm.
Y
Câu 5.
DẠ
Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình đã cho, ta có hệ sau
x02 kx0 2 0 2 x0 2 x0 k 0
3 4
Lấy (3) - (4) ta được: Trang 23
k 2 0 kx0 2 2 x0 k 0 x0 k 2 k 2 0 k 2 x0 1 0 x0 1 0
k 2 x 1 0
* Với k 2 , ta có phương trình x 2 2 x 2 0 x 1 1 0 (vô nghiệm do vế trái luôn dương)
CI AL
2
* Với x0 1 thay vào (3), ta được k 3 .
* Với k 3 thì hai phương trình đã cho trở thành x 2 3 x 2 0 1 và x 2 2 x 3 0 2 +) Phương trình (1) có nghiệm x1 1; x2 2
FI
+) Phương trình (2) có nghiệm x1 1; x2 3
Câu 6. a) Giả sử x0 là nghiệm của hai phương trình đã cho, ta có hệ sau
1
ƠN
x02 x0 a 0 2 x0 ax0 1 0 2
OF
Vậy với k 3 thì hai phương trình đã cho có nghiệm chung x 1
Lấy (1) - (2) ta được x0 a ax0 1 0 1 a x0 1 a 0 1 a x0 1 0
NH
1 a 0 a 1 x0 1 0 x0 1
2
1 3 * Với a 1 ta có phương trình x x 1 0 x 0 (vô nghiệm) 2 4
Y
2
QU
* Với x0 1 thay vào (1), ta được a 2
* Với a 2 thì hai phương trình đã cho trở thành x 2 x 2 0 có nghiệm x1 1, x2 2 và phương trình x 2 2 x 1 0 có nghiệm x 1
Vậy với a 2 thì hai phương trình đã cho có nghiệm chung x 1
KÈ M
b) Theo câu a) hai phương trình trên có tập nghiệm khác nhau Vậy để hai phương trình tương đương thì hai phương trình phải cùng vô nghiệm 1 1 1 4a 0 1 a 2 a 4 2 4 2 a 4 0 2 a 2
1 thì hai phương trình tương đương. 4
DẠ
Y
Vậy 2 a
Trang 24
CHƯƠNG 4 BÀI 5: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
CI AL
MỤC TIÊU Kiến thức + Phát biểu được định lí Vi-ét. + Nắm vững những ứng dụng của hệ thức Vi-ét:
+) Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp a b c 0; a b c 0
FI
hoặc các trường hợp mà tổng và tích của hai nghiệm là những số nguyên. +) Tìm được hai số biết tổng và tích của chúng.
OF
Kỹ năng + Viết đúng hệ thức Vi-ét cho phương trình bậc hai.
+ Biểu diễn được biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm qua tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai.
ƠN
+ Vận dụng được hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm, tìm hai số biết tổng và tích; tìm tham số thỏa mãn một điều kiện cho trước.
NH
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí Vi-ét
Chú ý: Phương trình
b x1 x2 a . a 0 thì c x .x 1 2 a
a 0
QU
Y
Nếu x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 bx c 0
ax 2 bx c 0
phải có nghiệm thì mới có hệ thức
Vi-ét. Ví dụ 1: Phương trình x 2 x 1 0 vô
x1 x2 1 nghiệm nên không tồn tại . x1.x2 1
KÈ M
Ứng dụng hệ thức Vi-ét
1) Nhẩm nghiệm phương trình ax 2 bx c 0 a 0 (1)
Ví dụ 2: Xét phương trình x 2 5 x 6 0 .
+ Nếu phương trình (1) có các hệ số a, b, c thỏa mãn:
Vì a b c 1 5 6 0 nên phương trình
a b c 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm là
có hai nghiệm là 1 và 6 .
c . a
Y
x1 1; x2
DẠ
a b c 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm là x1 1; x2
+ Nếu phương trình (1) có
c . a
b c Trong phương trình trên, ta có: m n và mn với a a
Trang 1
m, n thì x1 m; x2 n là hai nghiệm của phương trình đã cho.
b c 1 6 5 ; 1. 6 6 . a a
CI AL
Suy ra x1 1; x2 6 là hai nghiệm của
2) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó là hai phương trình. nghiệm của phương trình x 2 Sx P 0 . Điều kiện để có hai số đó là S 2 4 P 0 .
NH
ƠN
OF
FI
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
Y
Phương pháp giải
QU
Bước 1. Tính Δ (hoặc ) và chứng tỏ 0 (hoặc Ví dụ: Cho phương trình x 2 3 x 8 0 . 0 ). Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có
b c và P x1.x2 . a a
KÈ M
S x1 x2
Bước 2. Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài làm xuất hiện tổng x1 x2 và tích x1.x2 sau đó áp dụng kết quả bước 1.
Ta có 41 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 x2 3; x1.x2 8 . +) x12 x22 x1 x2 2 x1 x2 9 2. 8 25 . 2
+)
1 1 x12 x22 25 25 2 2 2 . 2 2 x1 x2 x1 .x2 8 64
Y
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm phương trình
DẠ
sau:
a) 3 x 2 22 x 12 0 .
b) 5 x 2 8 x 1 0 .
Hướng dẫn giải
Trang 2
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2
22 22 12 ; x1 x2 4. 3 3 3
b) Ta có 4 5.1 16 5 11 0 nên phương trình có hai nghiệm phân 2
biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2
8 8 1 ; x1 x2 . 5 5 5
FI
Ví dụ 2: Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình x 2 5 x 3 0 . Không giải b) B x12 x2 x1 x22
1 1 x1 x2
d) D
x2 x1 x1 x2
Hướng dẫn giải
ƠN
c) C
OF
phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức: a) A x12 x22
CI AL
a) Vì 112 3 . 12 85 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Ta có 5 4.1.3 25 12 13 0 nên phương trình có hai nghiệm phân 2
biệt.
NH
5 x1 x2 1 5 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: . 3 x x 3 1 2 1
a) A x12 x22 x1 x2 2 x1 x2 52 2.3 25 6 19 .
Y
2
c) C
1 1 x1 x2 5 . x1 x2 x1 x2 3
QU
b) B x12 x2 x1 x22 x1 x2 x1 x2 3.5 15 .
x2 x1 x12 x22 x1 x2 2 x1 x2 52 2.3 19 . d) D x1 x2 x1 x2 x1 x2 3 3
KÈ M
2
Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản
Câu 1: Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 , x2 là hai nghiệm phương trình (nếu có). a) x 2 2 x 4 0 ,
... ,
x1 x2 ... ,
x1 x2 ...
b) 2 x 2 6 x 9 0 ,
... ,
x1 x2 ... ,
x1 x2 ...
c) 2 x 2 x 7 0 ,
... ,
x1 x2 ... ,
x1 x2 ...
d) 3 x 2 5 x 9 0 ,
... ,
x1 x2 ... ,
x1 x2 ...
DẠ
Y
Không giải phương trình hãy điền vào chỗ trống.
Câu 2: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau: Trang 3
a) 2 x 2 10 x 5 0 .
b) 2 x 2 11x 6 0 .
c) 4 x 2 9 x 3 0 .
d)
2 x 2 12 x 4 0 .
CI AL
Câu 3: Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình x 2 x 3 0 . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức: a) A x12 x22
b) B x13 x23
c) C x1 x2
d) D
1 1 x1 1 x2 1
FI
Bài tập nâng cao của các biểu thức: b) B
x2 x 1 x1 1 x2 1
c) C x14 x24
d) D
x1 2 x2 2 x1 x2
Dạng 2: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm Xét phương trình ax 2 bx c 0 a 0 .
NH
Phương pháp giải
ƠN
a) A 3 x1 2 x2 3 x2 2 x1
OF
Câu 4: Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình x 2 3 x 7 0 . Không giải phương trình, hãy tính giá trị
- Nếu phương trình có a b c 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 1 , nghiệm kia là x2
c . a
- Nếu phương trình có trình.
b c m n; mn với m, n thì x1 m; x2 n là hai nghiệm của phương a a
KÈ M
Ví dụ mẫu
QU
Y
c - Nếu phương trình a b c 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 1 , nghiệm kia là x2 . a
Ví dụ 1: Sử dụng định lí Vi-ét tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau: a) x 2 5 x 4 0
b) 5 x 2 9 x 14 0
c) 5 x 2 7 x 2 0
d) x 2 7 x 10 0
Hướng dẫn giải
DẠ
Y
a) Phương trình có a b c 1 5 4 0 nên phương trình có nghiệm là x1 1; x2
c 4 4. a 1
b) Phương trình có a b c 5 9 14 0 nên phương trình có nghiệm là x1 1; x2
c 14 . a 5
Trang 4
c) Phương trình có a b c 5 7 2 0 nên phương trình có nghiệm là c 2 . a 5
b c d) Vì 2 5 7 ; 2.5 10 nên x1 2; x2 5 là hai nghiệm của phương a a
trình x 2 7 x 10 0 . Ví dụ 2: Cho phương trình x 2 mx m 1 0 . Chứng minh phương trình luôn
FI
có một nghiệm không phụ thuộc vào m. Tìm nghiệm còn lại.
CI AL
x1 1; x2
Hướng dẫn giải
OF
Ta có a b c 1 m m 1 0 .
Suy ra phương trình luôn có một nghiệm x 1 không phụ thuộc vào m. Nghiệm còn lại là x2
c m 1 m 1 . a 1
ƠN
Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản
Câu 1: Xét tổng a b c hoặc a b c rồi tính nhẩm các nghiệm của các phương trình sau b) 3 x 2 8 x 5 0
c) 6 x 2 5 x 1 0
d)
NH
a) x 2 8 x 9 0
3x 2 2 3 x 2 0
Câu 2: Sử dụng định lí Vi-ét tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau b) 24 x 2 11x 35 0
c) 2019 x 2 11x 2030 0
d) x 2 9 x 20 0
QU
Bài tập nâng cao
Y
a) 8 x 2 10 x 2 0
Câu 3: Cho phương trình x 2 2mx 2m 1 0 . Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào m. Tìm nghiệm còn lại. Câu 4: Cho phương trình m 1 x 2 2m 5 x m 6 0 với tham số m.
KÈ M
a) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có một nghiệm x 2 . Tìm nghiệm còn lại. b) Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc tham số m. c) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số m. Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Y
Phương pháp giải
DẠ
Để tìm hai số x, y khi biết tổng S x y và tích P x. y , Ví dụ: Tìm hai số u và v biết
u v 19; u.v 60 .
ta làm như sau Bước 1. Xét điều kiện để có hai số đó là S 2 4 P 0 .
Ta có
Khi đó x, y là nghiệm của phương trình X 2 SX P 0 .
S 2 4 P 192 4.60 361 240 121 0
Trang 5
nên u, v là hai nghiệm của phương trình
X 2 19 X 60 0 . Bước 2. Giải phương trình và kết luận.
19 4.1.60 361 240 121 0
CI AL
2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là 19 121 19 11 15 ; 2.1 2
X2
19 121 19 11 4. 2.1 2
FI
X1
OF
u 15 u 4 Vậy hoặc . v 4 v 15 Ví dụ mẫu Ví dụ: Tìm hai số u và v biết u v 14; u.v 24 .
ƠN
Hướng dẫn giải
Ta có S 2 4 P 14 4.24 196 96 100 0 nên u, v là hai nghiệm của phương trình 2
X 2 14 X 24 0 .
NH
7 2 1.24 49 24 25 0 . Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là
QU
u 2 u 12 Vậy hoặc . v 12 v 2
7 25 7 25 2; X 2 12 . 1 1
Y
X1
Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản
Câu 1: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau
KÈ M
a) u v 12, uv 35
b) u v 15, uv 54
Câu 2: Tìm hai số x và y trong mỗi trường hợp sau a) x y 2 và x. y 2
b) x y 5 và x. y 10
Bài tập nâng cao
Câu 3: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau
Y
a) u v 9, uv 90
b) u 2v 17, uv 240
DẠ
Câu 4: Tìm hai số x và y biết a) x 2 y 2 20 và x. y 8
b) x y 35 và x 2 y 2 625
Dạng 4: Phân tích ax 2 bx c thành nhân tử Phương pháp giải Trang 6
Ví dụ: Phân tích đa thức 3 x 2 4 x 1 thành nhân tử. Bước 1. Giải phương trình ax 2 bx c .
CI AL
Hướng dẫn giải
Phương trình 3 x 2 4 x 1 0 có a b c 0 nên 1 phương trình có nghiệm là x1 1; x2 . 3
Suy ra:
có hai nghiệm x1 , x2 thì nó được phân tích thành nhân tử như sau:
1 3 x 2 4 x 1 3 x 1 x x 1 3 x 1 . 3
FI
Bước 2. Nếu phương trình ax 2 bx c 0 a 0
OF
ax 2 bx c a x x1 x x2 . Ví dụ mẫu a) x 2 7 x 6
b) 30 x 2 4 x 34
c) 3 x 2 5 x 2
d) 2 x 2 7 x 5
Hướng dẫn giải
ƠN
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
NH
a) Phương trình x 2 7 x 6 0 có a b c 1 7 6 0 nên phương trình có nghiệm là x1 1; x2 6 . Suy ra x 2 7 x 6 x 1 x 6 .
b) Phương trình 30 x 2 4 x 34 0 có a b c 30 4 34 0 nên 34 17 . 30 15
QU
Y
phương trình có nghiệm là x1 1; x2
17 Suy ra 30 x 2 4 x 34 30 x 1 x x 1 30 x 34 . 15
c) Phương trình 3 x 2 5 x 2 0 có a b c 3 5 2 0 nên phương trình có
KÈ M
2 nghiệm là x1 1; x2 . 3
2 Suy ra 3 x 2 5 x 2 3 x 1 x x 1 3 x 2 . 3
d) Phương trình 2 x 2 7 x 5 0 có a b c 2 7 5 0 nên phương trình
Y
có nghiệm là x1 1; x2
5 . 2
DẠ
5 Suy ra 2 x 2 7 x 5 2 x 1 x x 1 2 x 5 . 2
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử Trang 7
a) 4 x 2 19 x 12
b) 21x 2 5 x 26
c) 5 x 2 7 x 6
d) 2 x 2 5 x 2
a) 2 x 2
32 x 3
CI AL
Câu 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
b) x 2 1 2 x 2
c) 4 x 2 4 x 1
d) 1 3 x 2 2 3 x 3 1
b) 4 x 7 x 3
c) 3 x 8 x 5
d) 12 x 5 x 7
Dạng 5: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó Phương pháp giải
OF
a) x 6 x 8
FI
Câu 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là 8 và
ƠN
3 .
Hướng dẫn giải
Bước 1. Tính tổng hai nghiệm S x1 x2 và tích Ta có tổng S 8 3 5 ; tích P 8. 3 24 .
NH
hai nghiệm P x1 x2 . Bước 2. Thử điều kiện S 2 4 P 0 .
S 2 4 P 25 4. 24 121 0 .
Vậy 8 và 3 là nghiệm của phương trình
Bước 3. Áp dụng định lí đảo của định lí Vi-ét.
Ví dụ mẫu
QU
X 2 SX P 0 .
Y
Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 là:
X 2 5 X 24 0 .
Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là 1 3 và 1 3 . Hướng dẫn giải
KÈ M
Ta có S x1 x2 1 3 1 3 2; P x1 x2 1 3 1 3 2 . Lại có S 2 4 P 22 4. 2 4 8 12 0 . Vậy 1 3 và 1 3 là hai nghiệm của phương trình X 2 2 X 2 0 . Ví dụ 2: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: 2 x 2 5 x 6 0 .
Y
Không giải phương trình hãy thiết lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là
DẠ
1 1 và . x1 1 x2 1
Hướng dẫn giải Ta có ac 2. 6 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
Trang 8
CI AL
5 x1 x2 Theo định lí Vi-ét ta có: 2. x1 x2 3 5 2 x1 x2 2 1 1 1 Khi đó S 2 . x1 1 x2 1 x1 x2 x1 x2 1 3 5 1 9 2
1 1 1 1 2 . . x1 1 x2 1 x1 x2 x1 x2 1 3 5 1 9 2
FI
P
2
1 2 73 Lại có S 4 P 4 0. 9 9 81
OF
2
Bài tập tự luyện dạng 5 Bài tập cơ bản Câu 1: Lập phương trình căn bậc hai có hai nghiệm là
ƠN
1 2 Vậy phương trình bậc hai cần lập là x 2 x 0 9 x 2 x 2 0 . 9 9
B) 2 2 và 2 2 .
NH
a) 9 và 6 .
Câu 2: Cho phương trình x 2 4 x 3 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 x2 và 2x2 x1 .
Y
Câu 3: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 3 x 2 4 x 6 0 .
QU
Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là x2
1 1 và x1 . x1 x2
Câu 4: Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình 2 x 2 7 x 5 0 . Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là
x1 x2 và . x2 1 x1 1
KÈ M
Bài tập nâng cao
Câu 5: Cho phương trình x 2 6 x 3m 0 . a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm là x1 và x2 .
x12 x2 và 2 . x2 x1
Y
b) Với điều kiện m tìm được ở câu a), hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là
DẠ
Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc tham số Phương pháp giải Ví dụ: Cho phương trình x 2 mx m 0 (1).
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi Trang 9
0 m 2 4m 0 .
nghiệm (phân biệt) x1 , x2 . P theo tham số.
x x m Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2 . x1 x2 m
CI AL
Bước 2. Sử dụng hệ thức Vi-ét, tính tổng S và tích
Bước 3. Khử tham số từ S, P để có được hệ thức Suy ra x1 x2 x1.x2 là hệ thức không phụ thuộc giữa S, P (tức là hệ thức giữa x1 , x2 ) không phụ vào m. thuộc vào tham số. Ví dụ: Cho phương trình x 2 2 m 2 x 2m 7 0 (m là tham số).
OF
a) Tìm điều kiện của m đê rphwong trình có hai nghiệm x1 , x2 .
FI
Ví dụ mẫu
b) Với m tìm được ở trên, tìm biểu thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m. Hướng dẫn giải
ƠN
a) Ta có m 2 1 2m 7 m 2 4m 4 2m 7 2
m 2 6m 9 2 m 3 2 0 với mọi m. 2
NH
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m.
x x 2m 4 b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có 1 2 . x1 x2 2m 7
Y
x x 4 2m Suy ra 1 2 x1 x2 4 x1 x2 7 x1 x2 x1 x2 3 . x1 x2 7 2m
QU
Vậy hệ thức cần tìm là x1 x2 x1 x2 3 . Bài tập tự luyện dạng 6 Bài tập cơ bản
KÈ M
Câu 1: Cho phương trình x 2 m 2 x 2m 0 . a) Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ? b) Khi đó, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m. Câu 2: Cho phương trình x 2 2a 1 x 4a 3 0 (a là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi a.
Y
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc vào a.
DẠ
Câu 3: Cho phương trình 2 x 2 2m 1 x m 1 0 (m là tham số). a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . b) Với m tìm được ở trên, tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m. Bài tập nâng cao Trang 10
Câu 4: Cho phương trình mx 2 2 m 1 x m 4 0 . a) Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm x1 , x2 ?
CI AL
b) Khi đó, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m. Câu 5: Cho phương trình: mx 2 2m 3 x m 1 0 . a) Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm x1 , x2 ?
FI
b) Khi đó, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m. Dạng 7: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Xét phương trình ax 2 bx c 0 a 0 .
- Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac 0 .
ƠN
b c Ta có b 2 4ac hoặc b2 ac; S ; P . Khi đó a a
OF
Phương pháp giải
0 0 - Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu hoặc . P 0 P 0
NH
0 0 - Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt P 0 hoặc P 0 . S 0 S 0
QU
Y
0 0 - Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt P 0 hoặc P 0 . S 0 S 0 - Phương trình có hai nghiệm trái dấu, mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương
ac 0 . S 0
KÈ M
Ví dụ mẫu
Ví dụ: Cho phương trình: x 2 2 m 2 x m 4 0 . Tìm m để phương trình
a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Có hai nghiệm phân biệt.
Y
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
DẠ
d) Có hai nghiệm dương phân biệt. e) Có hai nghiệm âm phân biệt. Hướng dẫn giải Ta có: m 2 1 m 4 m 2 4m 4 m 4 m 2 5m m m 5 2
Trang 11
S 2 m 2 ; P m 4 .
m 0 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 m m 5 0 . m 5 0 c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu P 0
NH
ƠN
m 0 m m 5 0 m 5 m 4 0 m 4 m 5 . 2 m 1 0 m 2
OF
0 d) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt P 0 S 0
FI
m 0 m m 5 0 4 m 0 . m 5 m 5 m 4 0 m 4
CI AL
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac 0 m 4 0 m 4 .
Y
0 e) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt P 0 S 0
QU
m 0 m m 5 0 m 5 m 4 0 m 4 4 m 0 . 2 m 2 0 m 2
KÈ M
Bài tập tự luyện dạng 7 Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho phương trình: x 2 6 x 2m 1 0 . Tìm m để phương trình a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Có hai nghiệm phân biệt.
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
d) Có hai nghiệm dương phân biệt.
Y
Câu 2: Cho phương trình: x 2 2 m 1 x m 1 0 . Tìm m để phương trình b) Có hai nghiệm phân biệt.
c) Có hai nghiệm dương phân biệt.
d) Có một nghiệm dương.
DẠ
a) Có hai nghiệm trái dấu.
Câu 3: Cho phương trình bậc hai x 2 2 m 1 x m 2 3m 0 . Tìm các giá trị của m để phương trình a) Có hai nghiệm trái dấu. b) Có hai nghiệm dương phân biệt. Trang 12
c) Có một nghiệm âm.
CI AL
Bài tập nâng cao Câu 4: Cho phương trình bậc hai m 2 x 2 2 m 1 x m 4 0 . Tìm các giá trị của m để phương trình a) Có hai nghiệm trái dấu. b) Có hai nghiệm dương phân biệt.
FI
c) Có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.
trước Bài toán 1. Các nghiệm thỏa mãn một hệ thức đối xứng Phương pháp giải
OF
Dạng 8: Xác định điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ thức cho
ƠN
Ví dụ: Cho phương trình x 2 3 x m 2 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2 thỏa mãn x1 1 x2 1 1 .
NH
Hướng dẫn giải
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x1 , x2 .
QU
Y
9 4m 2 4
Bước 2. Áp dụng định lí Vi-ét để tính tổng và tích
KÈ M
hai nghiệm.
32 4.1 m 2 1
4m 2 5 0 với mọi m. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m. b x1 x2 a 3 Theo định lí Vi-ét, ta có: . x x c m2 1 1 2 a
Bước 3. Biến đổi hệ thức đối xứng đối với x1 , x2
Ta có x1 1 x2 1 1
về tổng x1 x2 và tích x1 x2 rồi thay giá trị của tổng
x1 x2 x1 x2 1 1
và tích hai nghiệm vào hệ thức đối xứng đó.
m 2 1 3 0
Y
Bước 4. Giải phương trình tìm m. Đối chiếu điều
DẠ
kiện ở bước 1 và kết luận. Chú ý: Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
m 2 4 m 2 (thỏa mãn). Vậy m 2 và m 2 là các giá trị cần tìm.
thường gặp là: x12 x22 x1 x2 2 x1 x2 S 2 2 P . 2
Trang 13
x13 x23 x1 x2 3 x1 x2 x1 x2 S 3 3PS . 2
x14 x24 x12 x22 2 x12 x22
CI AL
2
2
2 2 x1 x2 2 x1 x2 2 x1 x2
S 2 2P 2P2 . 2
x1 x2 thì xét x1 x2 x1 x2 x1 x2 4 x1 x2 S 2 4 P . 2
2
FI
2
x
1
x2
2
2
OF
x1 x2 thì xét 2
x1 x2 2 x1 . x2 x12 x12 2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 x1 x2
ƠN
2
S 2 2P 2 P .
NH
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho phương trình x 2 2 m 1 x 2m 4 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 x22 4 . Hướng dẫn giải
Ta có m 1 1 2m 4 m 2 2m 1 2m 4 m 2 3 .
QU
Y
2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
m 3 . 0 m 2 3 0 m 3
KÈ M
b x x 2m 2 1 2 a Theo định lí Vi-ét, ta có . c x x 2m 4 1 2 a
Ta có x12 x22 4 x1 x2 2 x1 x2 4 2m 2 2 2m 4 4 2
2
DẠ
Y
m 1 . 4m 2 8m 4 4m 8 4 4m 2 4m 8 0 m 2 Đối chiếu với điều kiện, ta có m 2 là giá trị cần tìm. Ví dụ 2: Cho phương trình x 2 2m 1 x 2m 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 2 . Trang 14
Hướng dẫn giải Ta có 2m 1 4.2m.1 4m 2 4m 1 8m 2m 1 2
2
CI AL
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 0 2m 1 0 2m 1 0 2
1 * 2
b x1 x2 a 2m 1 Theo định lí Vi-ét, ta có . x x c 2m 1 2 a
Ta có x1 x2 2 x1 x2
2
FI
Cách khác:
Nhận thấy a b c 0 nên phương trình có hai nghiệm
4 x1 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 4 2
2m 1 2.2m 2 2m 4 4m 4m 1 4m 4 m 4 0 2
OF
m
2
ƠN
4m 4 m 3 0 (1). 2
- Chia trường hợp x1 , x2 và thay vào x1 x2 2 để tìm m.
1 2 m 3 (do m 0 ). 3 2 2
NH
m 2 Với m 0 ta có 4m 4m 3 0 m
là x 1 ; x m 1 .
Y
3 m 2 m 3 Với m 0 ta có 4m 2 4m 3 0 (do m 0 ). 2 m 1 2
Vậy m
QU
Các giá trị tìm được đều thỏa mãn điều kiện (*). 3 3 ; m là các giá trị cần tìm. 2 2
KÈ M
Ví dụ 3: Cho phương trình x 2 2mx m 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn
x1 x2 2 .
Hướng dẫn giải
2
1 3 2 Ta có m 1 m 1 m 2 m 1 m 0 m . 2 4
DẠ
m.
Y
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi
b x1 x2 a 2m Theo định lí Vi-ét, ta có . c x x m 1 1 2 a
Trang 15
Để tồn tại
x1 ;
x2 ta cần có
x1 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 4 m 1 2 m
Vậy m
Chú ý: Khi bình phương hai vế, ta cần tìm thêm điều kiện phụ là hai vế lớn hơn hoặc
FI
1 m 2 2 m 1 2 m
1 m 2 m 5 5 1 m 2 5 5 . 2 m 2 2 m 5m 5 0 m 5 5 2
bằng 0.
OF
Ta có
CI AL
x x 0 2m 0 x1 0; x2 0 1 2 m 1. m 1 0 x1 x2 0
5 5 là giá trị cần tìm. 2
ƠN
Bài toán 2: Các nghiệm thỏa mãn một hệ thức không đối xứng Phương pháp giải
Ví dụ: Cho phương trình x 2 mx 2 0 . Tìm m
NH
để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 2 x2 5 . Hướng dẫn giải
Y
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai
QU
nghiệm (phân biệt) x1 , x2 .
Bước 2. Áp dụng định lí Vi-ét để tính tổng và tích hai nghiệm.
KÈ M
Bước 3. Giải hệ gồm x1 x2 cho để tìm x1 , x2 theo m.
Ta có ac 2 0 m nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . b x1 x2 2 m Theo định lí Vi-ét, ta có . c x x 2 1 2 a
b Ta có: và hệ thức đã a
m5 x x1 x2 m 3 x2 m 5 2 3 . x1 2 x2 5 x1 x2 m x 2m 5 1 3
Y
Bước 4. Thay x1 , x2 vừa tìm được vào hệ thức Vi- Thay x1
DẠ
ét còn lại để tìm m. được
2m 5 m5 ; x2 3 3
vào x1 x2 2 ta
2m 5 m 5 2 9
2m 2 5m 25 18 2m 2 5m 7 0
Trang 16
Vậy m 1; m
7 là các giá trị cần tìm. 2
Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho phương trình x 2 3 x m 1 0 . Tìm m để phương trình có hai
FI
nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x2 3 x12 . Hướng dẫn giải Ta có: 3 4.1. m 1 9 4m 4 13 4m .
OF
2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 13 4m 0 m
13 . 4
ƠN
b x1 x2 a 3 Theo định lí Vi-ét, ta có: . x x c m 1 1 2 a
CI AL
m 1 (thỏa mãn). m 7 2
NH
x1 3 x1 3 x x1 6 0 x1 x2 3 x2 6 . x 2 Ta có: 1 2 2 x 2 x2 3 x1 x2 x1 3 2 1 x2 x1 3 x2 1 2 1
QU
18 m 1 m 17 (thỏa mãn).
Y
Thay x1 3, x2 6 vào x1 x2 m 1 , ta được: Thay x1 2, x2 1 vào x1 x2 m 1 ta được: 2 m 1 m 3 (thỏa mãn).
Vậy m 17; m 3 là các giá trị cần tìm.
KÈ M
Ví dụ 2: Cho phương trình x 2 m 1 x 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 x1 x2 3 . Hướng dẫn giải
Ta có m 1 4.1. 1 m 1 4 0, m . 2
2
Y
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m.
DẠ
b x1 x2 a m 1 Theo định lí Vi-ét, ta có . x x c 1 1 2 a
Trang 17
Ta thấy x1 x2 1 0 , nên x1 , x2 trái dấu. Trường hợp 1: x2 0, x1 0 x2 x2 ; x1 x1 .
CI AL
2 x1 x2 3 2 x1 x2 3 . m4 x1 x1 x2 m 1 3 x1 m 4 3 Ta có: . 2 x1 x2 3 x1 x2 m 1 x 2m 1 2 3
m4 2m 1 , x2 vào x1 x2 1 ta được: 3 3
FI
Thay x1
m 1 (1). m 5 2
OF
m 4 2m 1 1 2m2 7m 4 9 2m2 7m 5 0 9
ƠN
Trường hợp 2: x2 0, x1 0 x2 x2 ; x1 x1
2 x1 x2 3 2 x1 x2 3 .
Thay x1
NH
m2 x1 x1 x2 m 1 3 x1 m 2 3 Ta có: . 2 x x 3 x x m 1 2 m 5 1 2 1 2 x 2 3
m2 2m 5 , x2 vào x1 x2 1 ta được: 3 3
m 1 (2). m 1 2
Y
m 2 2m 5 1 2m2 m 10 9 2m2 m 1 0
QU
9
KÈ M
1 5 Từ (1) và (2), ta có m ; 1; là các giá trị cần tìm. 2 2
Bài toán 3. So sánh các nghiệm với số 0, với số α
DẠ
Y
Phương pháp giải
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x1 , x2 .
Ví dụ: Cho phương trình:
x 2 2 m 1 x 2m 5 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2 thỏa mãn x1 0; x2 0 . Hướng dẫn giải Ta có m 1 1. 2m 5 2
m 2 4m 6 m 2 2 0 m . 2
Trang 18
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2 với mọi m. hai nghiệm Bước 3. Biến đổi điều kiện so sánh về dạng điều
b x1 x2 a 2m 2 Theo định lí Vi-ét, ta có . x x c 2m 5 1 2 a
CI AL
Bước 2. Áp dụng định lí Vi-ét để tính tổng và tích
phương trình tìm m, đối chiếu điều kiện ở bước 1. Chú ý: Cho phương trình ax 2 bx c 0
a 0
có hai nghiệm x1 , x2 .
5 . 2
NH
x x 0 Nếu x1 0, x2 0 thì 1 2 . x1 x2 0
Vậy m
OF
chứa tổng x1 x2 và tích x1 x2 ở trên. Giải bất
m 1 2m 2 0 5 5 m (thỏa mãn). 2 2m 5 0 m 2
ƠN
Bước 4. Sử dụng định lí Vi-ét thay vào điều kiện có
FI
x x 0 Ta có x1 0; x2 0 1 2 x1 x2 0
kiện có chứa tổng x1 x2 và tích x1 x2 .
x x 0 Nếu x1 0, x2 0 thì 1 2 . x1 x2 0
Y
Nếu x1 0 x2 thì x1 x2 0
x1 x2 0 . x1 x2 0
QU
Nếu x1 , x2 thì x1 0, x2 0
Nếu x1 , x2 thì x1 0, x2 0
KÈ M
x1 x2 0 . x1 x2 0
Nếu x1 x2 thì x1 0, x2 0
x1 x2 0 .
Y
Ví dụ mẫu
DẠ
Ví dụ: Cho phương trình x 2 2 m 1 x m 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 2, x2 2 . Hướng dẫn giải
Trang 19
2
1 7 Ta có m 1 m 1 m m 2 m 0, m . 2 4 2
2
CI AL
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m. b x1 x2 a 2m 2 Theo định lí Vi-ét, ta có . c x x m 1 1 2 a
FI
Ta có: x1 2, x2 2 x1 2 0, x2 2 0
OF
x1 2 x2 2 0 x1 x2 4 0 x1 x2 2 x1 x2 4 0 x1 2 x2 2 0
Vậy m
ƠN
m 1 2m 2 0 1 1 m . 3 3m 1 0 m 3 1 là giá trị cần tìm. 3
NH
Bài toán 4. Tính x12 theo x1 và x22 theo x2 dựa vào phương trình ax 2 bx c 0 Phương pháp giải
Ví dụ: Xét phương trình x 2 mx 1 0 với m là
QU
Y
tham số. Đưa 2 x12 5 x22 về dạng ax1 bx2 c trong
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai
KÈ M
nghiệm (phân biệt) x1 , x2 .
Bước 3. Vì x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình
ax bx c 0 nên 2
Hướng dẫn giải Phương trình có hai nghiệm 0 m 2 4 0 Vì x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình
x 2 mx 1 0 nên 2 2 x1 mx1 1 0 x1 mx1 1 2 2 x2 mx2 1 0 x2 mx2 1
2 x12 5 x22 2 mx1 1 5 mx2 1 m 2 x1 5 x2 7 .
Y
2 2 ax1 bx1 c 0 ax1 bx1 c 2 . 2 ax2 bx2 c 0 ax2 bx2 c
đó x1 và x2 là nghiệm của phương trình đã cho.
DẠ
Ví dụ mẫu Ví dụ: Cho phương trình x 2 mx 1 0 . Chứng minh với mọi m, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và giá trị của biểu thức
Trang 20
x12 x1 1 x22 x2 1 không phụ thuộc vào m. x1 x2
Hướng dẫn giải Ta có m 4.1. 1 m 2 4 0 m . 2
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m. c 1 0 x1 0, x2 0 . a
FI
Theo định lí Vi-ét, ta có x1 x2
x12 x1 1 x22 x2 1 mx1 1 x1 1 mx2 1 x2 1 x1 x2 x1 x2 x1 m 1 x2 m 1 m 1 m 1 0 . x1 x2
ƠN
Suy ra A
OF
Lại có x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2 mx 1 0 nên 2 2 x1 mx1 1 0 x1 mx1 1 . 2 2 x2 mx2 1 0 x2 mx2 1
CI AL
A
Vậy A 0 không phụ thuộc vào m (điều phải chứng minh).
NH
Bài tập tự luyện dạng 8 Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho phương trình x 2 mx 2m 3 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
Y
thỏa mãn x12 x2 x22 x1 5 . mãn x13 x23 20 .
QU
Câu 2: Cho phương trình x 2 mx 2 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa
KÈ M
Câu 3: Cho phương trình x 2 2mx m 2 8m 2 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 1 x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 . x1 x2 Câu 4: Cho phương trình x 2 2mx 2m 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 x1 3 x2 4 .
Câu 5: Cho phương trình x 2 6 x 2m 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 x2 4 .
Y
Câu 6: Cho phương trình x 2 m 2 x m 4 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2 thỏa mãn x1 0 x2 .
DẠ
Câu 7: Cho phương trình x 2 2 m 1 x 2m 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
5.
Bài tập nâng cao Trang 21
Câu 8: Cho phương trình x 2 2m 1 x 2m 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho biểu thức A x12 x22 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
CI AL
Câu 9: Cho phương trình x 2 2 m 1 x 4m m 2 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2 sao cho biểu thức T x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 10: Cho phương trình x 2 mx 2m 4 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 3 .
FI
Câu 11: Cho phương trình x 2 2m 1 x 7 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 là các số nguyên.
OF
Câu 12: Cho phương trình x 2 2 m 1 x 2m 3 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2 thỏa mãn x1 1 x2 .
Câu 13: Cho phương trình x 2 mx 8 0 . Chứng minh với mọi m, phương trình có hai nghiệm phân biệt
2 x12 5 x1 16 2 x22 5 x2 16 không phụ thuộc vào m. 3 x1 3 x2
ƠN
x1 , x2 và giá trị của biểu thức B
Câu 14: Cho phương trình x 2 5 x m 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2x1 x2 .
NH
Câu 15: Cho phương trình x 2 m 1 x m 2 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
x1 , x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân.
Trang 22
ĐÁP ÁN BÀI 5. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
CI AL
Dạng 1. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm Bài tập cơ bản Câu 1. a) x 2 2 x 4 0
12 1. 4 1 4 5 ,
x1 x2
2 2 , 1
x1 x2
x1 x2
6 3 , 2
x1 x2
x1 x2
1 1 , 2 2
2
c) 2 x 2 x 7 0 1 4.2. 7 1 56 57 , 2
5 4.3. 9 25 108 133 , 2
ƠN
d) 3 x 2 5 x 9 0
x1 x2
5 5 , 3 3
x1 x2
7 . 2
x1 x2
9 3 . 3
NH
Câu 2.
9 9 . 2 2
OF
3 2 .9 9 18 27 ,
FI
b) 2 x 2 6 x 9 0
4 4 . 1
a) 2 x 2 10 x 5 0 .
Ta có 52 2.5 25 10 15 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . 10 5 5; x1 x2 . 2 2
Y
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có x1 x2 b) 2 x 2 11x 6 0 .
QU
Ta có 112 4.2.6 121 48 73 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có x1 x2 c) 4 x 2 9 x 3 0 .
11 6 ; x1 x2 3 . 2 2
KÈ M
Ta có a.c 4. 3 12 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có x1 x2 d)
9 9 3 ; x1 x2 . 4 4 4
2 x 2 12 x 4 0 .
Y
Ta có a.c 2. 4 4 2 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
DẠ
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có x1 x2
12 4 6 2; x1 x2 2 2 . 2 2
Câu 3.
Ta có 1 4.1. 3 1 12 13 0 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . 2
Trang 23
CI AL
1 x1 x2 1 1 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có . 3 x x 3 1 2 1
a) Ta có A x12 x22 x1 x2 2 x1 x2 12 2. 3 1 6 7 . 2
b) Ta có B x13 x23 x1 x2 3 x1 x2 x1 x2 13 3. 3 .1 1 9 10 . 3
d) Ta có D
x1 x2
2
x1 x2
2
4 x1 x2 12 4 3 1 12 13 .
FI
c) Ta có C x1 x2
x1 x2 2 1 1 1 2 1 . x1 1 x2 1 x1 x2 x1 x2 1 3 1 1 3
OF
Bài tập nâng cao Câu 4.
Ta có a.c 1. 7 7 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
ƠN
3 x1 x2 1 3 Theo hệ thức Vi-ét ta có . x x 7 7 1 2 1
NH
2 a) Ta có A 3 x1 2 x2 3 x2 2 x1 13 x1 x2 6 x12 x22 13 x1 x2 6 x1 x2 2 x1 x2
13 x1 x2 6 x1 x2 12 x1 x2 25 x1 x2 6 x1 x2 25. 7 6.32 175 54 229 . 2
2
2 x1 x2 x1 x2 32 2. 7 3 20 . x1 x2 x1 x2 1 7 3 1 9 2
QU
x x 1 2
Y
x2 x2 1 x1 x1 1 x12 x22 x1 x2 x2 x1 b) Ta có B x1 1 x2 1 x1 x2 x1 x2 1 x1 1 x2 1
c) Ta có C x14 x24 x12 x22 2 x12 x22 2
2 2 2 x1 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 32 2. 7 2. 7 529 98 431 .
KÈ M
d) Ta có D
2
x1 2 x2 2 x2 x1 2 x1 x2 2 2 x1 x2 2 x1 x2 2. 7 2.3 8 . x1 x2 x1 x2 x1 x2 7 7
Dạng 2. Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm Câu 1.
Y
Bài tập cơ bản
DẠ
a) Ta có a b c 1 8 9 0 nên phương trình có nghiệm x1 1; x2
c 9 9 . a 1
b) Ta có a b c 3 8 5 0 nên phương trình có nghiệm x1 1; x2
c 5 . a 3
Trang 24
c) Ta có a b c 6 5 1 0 nên phương trình có nghiệm x1 1; x2
c 1 . a 6
Câu 2. a) Ta có a b c 8 10 2 0 nên phương trình có nghiệm x1 1; x2
2 2 3 . 3 3
CI AL
d) Ta có a b c 3 2 3 2 0 nên phương trình có nghiệm x1 1; x2
c 2 1 . a 8 4
c 35 35 . a 24 24
FI
b) Ta có a b c 24 11 35 0 nên phương trình có nghiệm x1 1; x2
c 2030 2030 . a 2019 2019
OF
c) Ta có a b c 2019 11 2030 0 phương trình có nghiệm x1 1; x2
b c d) Ta có 4 5 9 ; 4.5 20 . Do đó x1 4; x2 5 là hai nghiệm của phương trình. a a
Bài tập nâng cao
ƠN
Câu 3. Ta có a b c 1 2m 2m 1 0 .
Nghiệm còn lại x2
c 2m 1 2m 1 . a 1
Câu 4.
NH
Suy ra phương trình luôn có một nghiệm x1 1 không phụ thuộc vào m.
a) Thay x 2 vào phương trình đã cho ta được
m 1 22 2m 5 2 m 6 0 4m 4 4m 10 m 6 0 m 8 .
Y
Vậy với m 8 thì phương trình đã cho có một nghiệm x 2 .
QU
Với m 8 ta có phương trình 7 x 2 21x 14 0 .
Vì a b c 7 21 14 0 nên phương trình có nghiệm x1 1; x2 2 . b) Nhận thấy a b c m 1 2m 5 m 6 0 nên phương trình luôn có một nghiệm x 1 không phụ thuộc vào m.
KÈ M
c) Với m 1 , phương trình đã cho trở thành 7 x 7 x 1 . Khi đó phương trình có một nghiệm duy nhất x 1 . Với m 1 , phương trình có hai nghiệm x 1 và x
m6 . m 1
Dạng 3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
DẠ
Câu 1.
Y
Bài tập cơ bản
a) Ta có S 2 4 P 122 4.35 144 140 4 0 nên u, v là hai nghiệm của phương trình
X 2 12 X 35 0 .
Ta có 6 1.35 36 35 1 0 . 2
Trang 25
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là X 1
6 1 6 1 6 1 7; X 2 6 1 5 . 1 1
CI AL
u 7 u 5 Vậy hoặc . v 5 v 7
b) Ta có S 2 4 P 15 4.54 225 216 9 0 nên u, v là hai nghiệm của phương trình: 2
X 2 15 X 54 0 .
Ta có 152 4.1.54 225 216 9 0 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt là 15 9 15 3 15 9 15 3 6; X 2 9 . 2.1 2 2.1 2
OF
u 6 u 9 Vậy hoặc . v 9 v 6
FI
X1
Câu 2.
ƠN
a) Ta có S 2 4 P 22 4. 2 4 8 12 0 nên x, y là hai nghiệm của phương trình
X 2 2X 2 0 .
Ta có 1 1. 2 1 2 3 0 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt là X1
1 3 1 3 1 3; X 2 1 3 . 1 1
x 1 3 x 1 3 Vậy hoặc . y 1 3 y 1 3
X 2 5 X 10 0 . Ta có
5
2
2
4. 10 5 40 45 0 nên x, y là hai nghiệm của phương trình:
Y
5
QU
b) Ta có S 2 4 P
NH
2
4.1. 10 5 40 45 0 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt là
KÈ M
5 45 5 3 5 5 45 5 3 5 2 5; X 2 5. 2.1 2 2.1 2
X1
x 2 5 x 5 Vậy hoặc . y 5 y 2 5 Bài tập nâng cao Câu 3.
Y
a) Đặt t v thì u t 9 và u.t 90 .
DẠ
Ta có S 2 4 P 92 4. 90 81 360 441 0 nên u, t là hai nghiệm của phương trình
X 2 9 X 90 0 .
9 4.1. 90 81 360 441 0 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt là 2
X1
9 441 9 21 9 441 9 21 15; X 2 6 . 2.1 2 2.1 2
Trang 26
u 15 u 6 Suy ra hoặc . t 6 t 15
CI AL
u 15 u 6 Vậy hoặc . v 6 v 15 b) Đặt t 2v thì u t 17 và u.t 480 .
Ta có S 2 4 P 17 4. 480 289 1920 2209 0 nên u, t là hai nghiệm của phương trình 2
X 2 17 X 480 0 .
17 2209 17 47 17 2209 17 47 15; X 2 32 . 2.1 2 2.1 2
OF
X1
FI
Ta có 17 2 4.1. 480 289 1920 2209 0 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt là
u 15 u 32 Suy ra hoặc . t 32 t 15
ƠN
u 32 u 15 Vậy hoặc 15 . v 16 v 2
Câu 4.
NH
x y 6 2 a) Ta có x y x 2 y 2 2 xy 20 2.8 36 . x y 6 Trường hợp 1: x y 6 và x. y 8 .
Ta có S 2 4 P 62 4.8 36 32 4 0 nên x, y là hai nghiệm của phương trình X 2 6 X 8 0 . 3 1.8 9 8 1 0 . Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là
3 1 3 1 3 1 4; X 2 3 1 2 . 1 1
x 4 x 2 Vậy hoặc y 2 y 4
QU
X1
Y
2
(1).
KÈ M
Trường hợp 2: x y 6 và x. y 8 . Ta có S 2 4 P 6 4.8 4 0 . Do đó x, y là hai nghiệm của phương trình X 2 6 X 8 0 . 2
Ta có 32 1.8 9 8 1 0 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt là X1
3 1 3 1 3 1 2; X 2 3 1 4 . 1 1
DẠ
Y
x 2 x 4 Vậy hoặc (2). y 4 y 2 Từ (1) và (2) suy ra x, y 4; 2 , 2; 4 , 2; 4 , 4; 2 . b) Ta có x 2 y 2 625 x y 2 xy 625 352 2 xy 625 2 xy 600 xy 300 . 2
Vì S 2 4 P 352 4.300 25 0 nên x, y là hai nghiệm của phương trình X 2 35 X 300 0 . Trang 27
Ta có 35 4.1.300 25 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là 2
35 25 35 5 35 25 35 5 20; X 2 15 . 2.1 2 2.1 2
CI AL
X1
x 20 x 15 Vậy hoặc . y 15 y 20 Dạng 4. Phân tích ax 2 bx c thành nhân tử 3 . 4
OF
a) 4 x 2 19 x 12 0 có nghiệm x1 4; x2
FI
Câu 1.
3 Suy ra 4 x 2 19 x 12 4 x 4 x x 4 4 x 3 . 4
26 . 21
ƠN
b) 21x 2 5 x 26 0 có nghiệm x1 1; x2
26 Suy ra 21x 2 5 x 26 21 x 1 x x 1 21x 26 . 21
NH
3 c) 5 x 2 7 x 6 0 có nghiệm x1 2; x2 . 5
3 Suy ra 5 x 2 7 x 6 5 x 2 x x 2 5 x 3 . 5
1 . 2
Y
d) 2 x 2 5 x 2 0 có nghiệm x1 2; x2
QU
1 Suy ra 2 x 2 5 x 2 2 x 2 x x 2 2 x 1 . 2
Câu 2.
3 2 x 3 0 có nghiệm x1 1; x2
Suy ra 2 x 2
3 . 2
3 3 2 x 3 2 x 1 x x 1 2 x 3 . 2
KÈ M
a) 2 x 2
b) x 2 1 2 x 2 0 có nghiệm x1 1; x2 2 .
Suy ra x 2 1 2 x 2 x 1 x 2 .
DẠ
Y
c) 4 x 2 4 x 1 0 có nghiệm kép x1 x2
1 . 2
Suy ra 4 x 2 4 x 1 2 x 1 .
2
d) 1 3 x 2 2 3 x 3 1 0 có nghiệm x1 1; x2
3 1 . 1 3 Trang 28
3 1 Suy ra 1 3 x 2 2 3 x 3 1 1 3 x 1 x x 1 1 3 x 3 1 . 1 3
x 4
x 2 .
3 x 1 x 4
5 x 1 x 3
b) 4 x 7 x 3 4 c) 3 x 8 x 5 3
d) 12 x 5 x 7 12
x 1 4 x 3
x 1 3 x 5
7 x 1 x 12
x 1 12 x 7
Dạng 5. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó
ƠN
Bài tập cơ bản Câu 1.
FI
OF
a) x 6 x 8
CI AL
Câu 3.
a) Ta có S 9 6 3; P 9. 6 54 . Suy ra S 2 4 P 32 4. 54 9 216 225 0 . Vậy 9 và 6 là nghiệm của phương trình X 2 3 X 54 0 .
NH
b) Ta có S 2 2 2 2 4; P 2 2 2 2 2 . Suy ra S 2 4 P 42 4.2 16 8 8 0 . Vậy 2 2 và 2 2 là nghiệm của phương trình X 2 4 X 2 0 . Câu 2.
Ta có 2 1.3 4 3 1 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
QU
x x 4 Theo định lí Vi-ét ta có: 1 2 . x1 x2 3
Y
2
Ta có S 2 x1 x2 2 x2 x1 x1 x2 4 ;
P 2 x1 x2 2 x2 x1 4 x1 x2 2 x12 2 x22 x1 x2 5 x1 x2 2 x12 x22 5 x1 x2 2 x1 x2 4 x1 x2 9 x1 x2 2 x1 x2 9.3 2.42 5 .
KÈ M
2
2
Ta có S 2 4 P 42 4 5 16 20 36 0 . Vậy 2x1 x2 và 2x2 x1 là hai nghiệm của phương trình X 2 4 X 5 0 . Câu 3.
Y
Vì a.c 3. 6 18 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
DẠ
4 x1 x2 Theo định lí Vi-ét ta có: 3. x1 x2 2
Trang 29
2
22 2 1 4 Khi đó S 2 4 P 4. 2 0. 9 3 2 9 Vậy x2
1 1 2 1 và x1 là hai nghiệm của phương trình X 2 X 0 . x1 x2 3 2
Câu 4.
FI
1 1 1 1 1 P x2 . x1 x1 x2 1 1 2 2 . x1 x2 x1 x2 2 2
CI AL
4 1 1 x1 x2 1 1 4 3 2. Ta có S x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 3 2 3 x1 x2 x1 x2
OF
Ta có 7 2 4.2.5 49 40 9 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
ƠN
7 x1 x2 2 Theo định lí Vi-ét ta có: . x x 5 1 2 2
2
NH
5 7 43 7 2. 2 2 2 x x2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 2 x x 43 2 2 4 Ta có S 1 2 1 . 5 7 x2 1 x1 1 x1 x2 x1 x2 1 x1 x2 x1 x2 1 7 28 1 2 2
Y
5 5 x1 x2 x1 x2 5 2 P . 2 . x2 1 x1 1 x1 x2 x1 x2 1 5 7 1 7 14 2 2 2
5 1849 20 729 43 Khi đó S 4 P 4. 0. 14 784 14 784 28 Vậy
QU
2
x1 x2 43 5 X 0. và là nghiệm của phương trình X 2 x2 1 x1 1 28 14
Câu 5.
KÈ M
Bài tập nâng cao
a) Ta có 3 1. 3m 9 3m . 2
Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 0 9 3m 0 m 3 . Vậy với m 3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 .
DẠ
Y
x x 6 b) Theo định lí Vi-ét ta có: 1 2 . x1 x2 3m Vì phương trình có 2 nghiệm
x12 x2 và 2 nên x1 0 và x2 0 x1 x2 0 3m 0 m 0 x2 x1
3 x 2 x 2 x3 x23 x1 x2 3 x1 x2 x1 x2 6 3 3m .6 216 54m 72 18m Khi đó S 1 2 1 . x2 x1 x1 x2 x1 x2 3m 3m m 3
Trang 30
x12 x22 . x1 x2 3m . x2 x1
12 m 2 m 12 72 18m Ta có S 4 P 0 , với m 3 . 4. 3m m m2 2
2
2
Vậy
CI AL
P
x12 x2 72 18m X 3m 0 (điều kiện m 0; m 3 ). và 2 là nghiệm của phương trình X 2 m x2 x1
FI
Dạng 6. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc tham số Bài tập cơ bản
OF
Câu 1.
a) Ta có m 2 4.1.2m m 2 4m 4 8m m 2 4 4 m 2 0 với mọi m. 2
2
x x m 2 b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 . x1 x2 2m
ƠN
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.
Vậy hệ thức cần tìm là 2 x1 x2 x1 x2 4 . Câu 2.
NH
Ta có 2 x1 x2 x1 x2 2 m 2 2m 2m 4 2m 4 .
a) Ta có 2a 1 4.1. 4a 3 4a 2 4a 1 16a 12 2
4a 2 12a 13 4a 2 12a 9 4 2a 3 4 0 với mọi a.
Y
2
QU
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a.
x x 2a 1 b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có 1 2 . x1 x2 4a 3 Ta có 2 x1 x2 x1 x2 2 2a 1 4a 3 4a 2 4a 3 5 .
KÈ M
Vậy hệ thức cần tìm là 2 x1 x2 x1 x2 5 . Câu 3.
a) Ta có 2m 1 4.2. m 1 4m 2 4m 1 8m 8 4m 2 12m 9 2m 3 . 2
2
Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt 0 2m 3 0 m
3 . 2
3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . 2
Y
Vậy m
2
DẠ
2m 1 x1 x2 2 b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có . x x m 1 1 2 2
Trang 31
2m 2 2m 1 1 . 2 2 2
1 Vậy hệ thức cần tìm 2 x1 x2 x1 x2 . 2
Bài tập nâng cao Câu 4. a) Xét m 0 , phương trình trở thành 2 x 4 0 x 2 Với m 0 , phương trình không có hai nghiệm x1 , x2 2
1 Vậy m , m 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 , x2 . 6
2m 2 2m 8 10 10 10 10 m P 4. thay vào (2), ta được m m m S 2P S 2P S 2P
Vậy hệ thức cần tìm là
NH
Ta có S 2 P
ƠN
2m 2 S x1 x2 m 1 b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có P x x m 4 2 1 2 m
OF
1 Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 0 6m 1 0 m . 6
FI
Với m 0 , ta có m 1 m. m 4 m 2 2m 1 m 2 4m 6m 1 .
CI AL
Ta có 2 x1 x2 x1 x2
10 x1 x2 10 4 . x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2
Y
Câu 5.
QU
1 a) Xét m 0 phương trình có nghiệm duy nhất x . Do đó m 0 không thỏa mãn. 3
Xét m 0 , ta có 2m 3 4.m. m 1 4m 2 12m 9 4m 2 4m 8m 9 . 2
9 Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 0 8m 9 0 m . 8 9 thì phương trình có hai nghiệm x1 , x2 . 8
KÈ M
Vậy m
2m 3 S x1 x2 m 1 b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có P x x m 1 2 1 2 m
2m 3 2m 2 1 1 1 1 m P 1 . thay vào (2), ta được m m m S 2P S 2P S 2P
DẠ
Y
Ta có S 2 P
Vậy hệ thức cần tìm là
x1 x2 1 1 . x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2
Trang 32
Dạng 7. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Bài tập cơ bản
CI AL
Câu 1. Ta có 3 1. 2m 1 9 2m 1 8 2m; S 6; P 2m 1 . 2
1 a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac 0 2m 1 0 m . 2 1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu. 2
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 8 2m 0 m 4 . Vậy m 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
FI
Vậy m
OF
m 4 0 8 2m 0 1 c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 1 m 4. 2 P 0 2m 1 0 m 2
ƠN
1 Vậy m 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. 2
NH
0 8 2m 0 m 4 1 d) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt P 0 2m 1 0 1 m 4. 2 S 0 6 0 m 2 1 Vậy m 4 thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. 2
Câu 2.
Ta có m 1 1. m 1 m 2 2m 1 m 1 m 2 3m m m 3 .
QU
b S a 2 m 1 Ta có . P c m 1 a
Y
2
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac 0 m 1 0 m 1 .
KÈ M
Vậy m 1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
m 0 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 m m 3 0 . m 3 Vậy m 0 hoặc m 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
DẠ
Y
m 0 m m 3 0 0 m 3 c) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt P 0 m 1 0 m 1 m 3 . S 0 2 m 1 0 m 1 Vậy m 3 thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
Trang 33
CI AL
m 0 m m 3 0 0 d) Trường hợp 1: Phương trình có nghiệm kép dương m 3 m 3 . S 0 m 1 2 m 1 0 Trường hợp 2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac 0 m 1 0 m 1 . Trường hợp 3: Phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương.
Vì phương trình có một nghiệm x1 0 nên thay vào phương trình, ta được m 1 0 m 1 .
FI
x 0 Với m 1 , phương trình trở thành x 2 4 x 0 x x 4 0 (phương trình không có x 4 0 nghiệm dương). Câu 3.
OF
Vậy m 3 hoặc m 1 thì phương trình có một nghiệm dương. Ta có: m 1 1. m 2 3m m 2 2m 1 m 2 3m m 1 . 2
ƠN
b S x1 x2 a 2 m 1 Áp dụng định lí Vi-ét ta có: . P x x c m m 3 1 2 a
NH
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac 0 m 2 3m 0 m m 3 0 0 m 3 . Vậy 0 m 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Y
m 1 m 1 0 0 m 0 b) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt P 0 m m 3 0 m 3. S 0 m 3 2 m 1 0 m 1
QU
Vậy m 3 thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
m 1 0 0 m 1 c) Trường hợp 1: Phương trình có nghiệm kép âm m 1 . 2 m 1 0 S 0 m 1
KÈ M
Trường hợp 2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac 0 m m 3 0 0 m 3 . Trường hợp 3: Phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại âm.
m 0 Thay x 0 vào phương trình, ta được: m m 3 0 . m 3 x 0 Với m 0 , khi đó phương trình trở thành: x 2 2 x 0 x x 2 0 . x 2
Y
Với m 3 , khi đó phương trình trở thành
DẠ
x 0 (phương trình không có nghiệm âm nào). x2 4x 0 x x 4 0 x 4 0
Kết hợp các trường hợp trên ta có m 1 hoặc 0 0 3 thì phương trình có một nghiệm âm. Bài tập nâng cao Câu 4. Trang 34
Để phương trình đã cho có hai nghiệm thì m 2 0 m 2 . Ta có m 1 m 2 m 4 m 2 2m 1 m 2 2m 8 4m 9 . 2
CI AL
b 2 m 1 S x1 x2 a m2 . Áp dụng định lí Vi-ét ta có: P x x c m 4 1 2 a m2
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac 0 m 4 m 2 0 2 m 4 .
OF
NH
9 m 4m 9 0 4 m 4 m 4 m 2 0 9 . m 2 m 4 m 2 4 2 m 1 m 2 0 m2 m 2
ƠN
0 b) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt P 0 S 0
FI
Vậy 2 m 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
9 Vậy m 4 hoặc m 2 thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. 4
c) Phương trình có hai nghiệm trái dấu, mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương
QU
Y
m 4 m 2 0 ac 0 2 m 4 2 m 1 2 m 1 . 2 m 1 0 S 0 m2 Vậy 2 m 1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
KÈ M
Dạng 8. Xác định điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ thức cho trước Bài tập cơ bản Câu 1.
Ta có m 4.1. 2m 3 m 2 8m 12 m 2 m 6 . 2
Y
m 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khi 0 m 2 m 6 0 (*). m 6
DẠ
b x1 x2 a m Theo định lí Vi-ét, ta có: . x x c 2m 3 1 2 a
Trang 35
m 1 Ta có x x x x 5 x1 x2 x1 x2 5 2m 3 m 5 2m 3m 5 0 . m 5 2 2 2 1
2
CI AL
2 1 2
So sánh với điều kiện (*), ta có m 1 là giá trị cần tìm. Câu 2.
Có a.c 2 0, m do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
FI
b x x m 1 2 a Theo định lí Vi-ét, ta có: . c x x 2 1 2 a
x13 x23 20 x1 x2 3 x1 x2 x1 x2 20 m3 6m 20 0 m 2 m 2 2m 10 0 m 2
OF
3
. Vậy m 2 là giá trị cần tìm. Câu 3. Ta có m 1. m 2 8m 2 m 2 m 2 8m 2 2 8m .
ƠN
2
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 0 2 8m 0 m 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . 4
NH
Vậy m
1 . 4
Y
b x x 2m 1 2 a Theo định lí Vi-ét, ta có: . c 2 x x m 8m 2 1 2 a
1 1 x1 x2 ta cần có x1 x2 0 m 2 8m 2 0 . x1 x2
QU
Để tồn tại
KÈ M
m 0 2m 0 x1 x2 0 1 1 Ta có x1 x2 x1 x2 x1 x2 1 0 2 m 4 19 . x1 x2 x1 x2 1 0 m 8m 3 0 m 4 19
Kết hợp với điều kiện, ta được m 0; m 4 19
Vậy m 4 19;0 là các giá trị cần tìm. Câu 4.
Ta có m 1. 2m 1 m 2 2m 1 m 1 .
Y
2
2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khi 0 m 1 0 m 1 .
DẠ
2
Vậy với m 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
Trang 36
4m 4 x2 x1 x2 2m 2 x 2 x2 4m 5 x 4m 4 5 1 2 Giải hệ . 2 x1 3 x2 4 2 x1 3 x2 4 x1 x2 2m x 6m 4 1 5
4m 4 6m 4 ; x2 vào x1 x2 2m 1 ta được 5 5
FI
Thay x1
CI AL
b x1 x2 a 2m Theo định lí Vi-ét ta có: . c x x 2m 1 1 2 a
1 9 Vậy m ; là giá trị cần tìm. 6 4
Câu 5. Ta có 3 1. 2m 1 9 2m 1 8 2m . 2
ƠN
OF
9 m 4m 4 6m 4 2m 1 24m2 8m 16 50m 25 24m2 58m 9 0 4 (thỏa mãn). 25 m 1 6
NH
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 8 2m 0 m 4 . Vậy m 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
QU
Y
b x1 x2 a 6 Theo định lí Vi-ét, ta có: . c x x 2m 1 1 2 a
x1 1 x1 1 x x1 2 0 x1 x2 6 x2 5 x1 x2 5 . x 2 Giải hệ 2 1 2 x 2 x x 16 1 2 x1 x2 4 x2 x1 4 0 2 1 x2 x1 4 x2 8
KÈ M
2 1
Thay x1 x2 5 vào x1 x2 2m 1 , ta được: 5 2m 1 m Thay x1 x2 16 ta có 2m 1 16 m
Câu 6.
17 (thỏa mãn) 2
17 ; m 2 là giá trị cần tìm. 2
Y
Vậy m
4 2 (thỏa mãn). 2
DẠ
Ta có: m 2 4.1. m 4 m 2 8m 20 m 4 4 0 m . 2
2
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m. Trường hợp 1: Xét x1 0 x2 . Trang 37
Thay x1 0 thay vào phương trình đã cho, ta được 02 m 2 .0 m 4 0 m 4 .
Trường hợp 2: Xét x1 0 x2 x1 x2 0 m 4 0 m 4 . Vậy m 4 là giá trị cần tìm. Câu 7. Ta có m 1 1. 2m 1 m 2 2m 1 2m 1 m 2 . 2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 0 m 2 0 m 0 .
OF
b x1 x2 a 2m 2 Theo định lí Vi-ét ta có: x x c 2m 1 1 2 a
FI
CI AL
x 0 Thay m 4 vào phương trình đã cho, ta được x 2 2 x 0 (không thỏa mãn x1 0 x2 ). x 2 0
ƠN
Do x1 , x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông nên x1 0, x2 0
x x 0 2m 2 0 1 1 2 m . 2 2m 1 0 x1 x2 0
5 nên x12 x22 5 x1 x2 2 x1 x2 5 2
NH
Do độ dài cạnh huyền bằng
Bài tập nâng cao Câu 8.
1 là giá trị cần tìm. 2
QU
So sánh với điều kiện, ta có m
Y
1 m 2 2 2m 2 2 2m 1 5 4m 2 8m 4 4m 2 5 4m 2 4m 3 0 . m 3 2
Ta có 2m 1 4.2m 4m 2 4m 1 8m 4m 2 4m 1 2m 1 . 2
KÈ M
2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 2m 1 0 m Vậy m
2
1 . 2
1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . 2
DẠ
Y
b x1 x2 a 2m 1 Theo định lí Vi-ét ta có: . x x c 2m 1 2 a
Ta có A x12 x22 x1 x2 x1 x2 3 x1 x2 2m 1 3.2m 2
2
2
1 3 1 3 3 4m 2 2m 1 4m 2 2m 2m với mọi m. 4 4 2 4 4 Trang 38
3 1 1 khi 2m 0 m . 4 2 4
Suy ra Amin
1 là giá trị cần tìm. 4
CI AL
Vậy m Câu 9.
Có m 1 1. 4m m 2 m 2 2m 1 4m m 2 2m 2 2m 1 . 2
Suy ra 2 4m 2 4m 2 2m 1 1 0 m .
FI
2
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
OF
b x1 x2 a 2 m 1 Theo định lí Vi-ét ta có: . c 2 x x 4m m 1 2 a
Ta có: T 2 x1 x2 x1 x2 4 x1 x2 2
ƠN
2
4 m 1 4 4m m 2 8m 2 8m 4 2
2
1 8m 8m 2 2 8 m 2 2 m . 2 Suy ra T 2 hay Tmin 2 khi m 1 là giá trị cần tìm. 2
Y
Vậy m
1 . 2
NH
2
QU
Câu 10.
Ta có m 4. 2m 4 m 2 8m 16 m 4 . 2
2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khi 0 m 4 0 m 4 . 2
KÈ M
b x1 x2 a m Theo định lí Vi-ét ta có: . x x c 2m 4 1 2 a
Ta có x1 x2 3 x1 x2
2
9 x1 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 9 2
Y
m 2 2 2m 4 2 2m 4 9 m 2 4m 8 4 m 2 9 m 2 4 m 2 4 9 m 2 4 m 2 5 0 2
DẠ
2
m 2 1 m 1 (thỏa mãn). m 2 1 m 3 m 2 5
Vậy m 1;3 là giá trị cần tìm. Trang 39
Câu 11. Ta có 2m 1 4.1. 7 2m 1 28 0 m . 2
2
CI AL
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
7 5 hoặc m . 2 2
OF
x 1 x1 7 x1 1 x 7 Từ x1 x2 7, x1 , x2 ta có: 1 . ; ; ; 1 x 7 x 1 x 7 x 1 2 2 2 2
FI
b x1 x2 a 2m 1 Theo định lí Vi-ét, ta có: . x x c 7 1 2 a
Suy ra x1 x2 6 hoặc x1 x2 6 . Thay vào x1 x2 2m 1 ta được m
Câu 12. Ta có m 1 1. 2m 3 m 2 4 0 m . 2
ƠN
7 5 Vậy m ; là giá trị cần tìm. 2 2
NH
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m. b x1 x2 a 2m 2 Theo định lí Vi-ét, ta có . x x c 2m 3 1 2 a
QU
Y
x 1 0 Ta có x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 0 x1 x2 x1 x2 1 0 x2 1 0 2m 3 2m 2 1 0 4 0 (đúng với mọi m).
Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 1 x2 .
KÈ M
Câu 13.
Ta có m 4.1. 8 m 2 32 0 m . 2
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m. Theo định lí Vi-ét, ta có x1 x2
c 8 0 x1 0, x2 0 . a
DẠ
Y
x 2 mx1 8 0 x 2 mx1 8 Do x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2 mx 8 0 nên 12 12 . x2 mx2 8 0 x2 mx2 8 Thay vào biểu thức B, ta được
B
2 mx1 8 5 x1 16 2 mx2 8 5 x2 16 2mx1 5 x1 2mx2 5 x2 2m 5 2m 5 0. 3 x1 3 x2 3 x1 3 x2 3 3
Vậy B 0 không phụ thuộc vào m (điều phải chứng minh). Trang 40
Câu 14. Ta có 5 4.1. m 1 25 4m 4 29 4m . 2
29 . 4
CI AL
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 0 29 4m 0 m
FI
b x1 x2 a 5 Theo định lí Vi-ét, ta có: . x x c m 1 1 2 a
OF
x x 0 5 0 Điều kiện để bình phương hai vế của 2x1 x2 là x1 0, x2 0 1 2 m 1. m 1 0 x1 x2 0 Khi đó 2 x1 x2 x2 4 x12 , thay vào x1 x2 5 ta được
x1 1 x1 4 x 5 0 x1 1 (do x1 0 ). x1 5 4
ƠN
2 1
Với x1 1 suy ra x2 4 . Thay vào x1 x2 m 1 ta được: 1.4 m 1 m 5 (thỏa mãn). Vậy m 5 là giá trị cần tìm.
NH
Câu 15.
Ta có m 1 4.1. m 2 m 2 2m 1 4m 8 m 2 6m 9 m 3 . 2
2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 0 m 3 0 m 3 . 2
Y
Vậy m 3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
QU
b x1 x2 a m 1 Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: . x x c m 2 1 2 a
KÈ M
x x 0 m 1 0 Do x1 , x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác nên x1 0, x2 0 1 2 m2. m 2 0 x1 x2 0 Vì a b c 0 nên hai nghiệm của phương trình là x 1, x m 2 . Do x1 x2 nên x1 , x2 không thể cùng là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông cân. Giả sử x1 là độ dài cạnh huyền, x2 là độ dài cạnh góc vuông thì theo định lí Pitago ta có:
DẠ
Y
x12 x22 x22 x1 2 x2 . +) Xét x1 1, x2 m 2 , thay vào x1 2 x2 ta được: 1 2 m 2 m
1 4 2 (thỏa mãn). 2 2 2
+) Xét x1 m 2, x2 1 thay vào x1 2 x2 ta được: m 2 2.1 m 2 2 (thỏa mãn).
Trang 41
4 2 ; m 2 2 là các giá trị cần tìm. 2
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
FI
CI AL
Vậy m
Trang 42
BÀI 6. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Kiến thức
CI AL
Mục tiêu + Nhận dạng và nắm được cách giải một số phương trình được quy về phương trình bậc hai như: Phương trình trùng phương, phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, phương trình tích.
+ Nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để áp dụng đưa phương trình bậc cao về dạng phương trình tích.
FI
+ Củng cố phương pháp giải các phương trình chứa căn thức dạng cơ bản. Kĩ năng
OF
+ Giải được các phương trình quy về bậc hai: Phương trình trùng phương; phương trình chứa ẩn ở mẫu và phương trình tích.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+ Giải được một số phương trình bậc cao, phương trình chứa căn thức dạng đơn giản.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình trùng phương
CI AL
Dạng: ax4 bx2 c 0 a 0 Ví dụ: 2x4 3x2 1 0 là phương trình trùng phương. Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ. Đặt t x2 t 0 ta được phương trình bậc hai: at 2 bt c 0 .
FI
Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (ĐKXĐ).
OF
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Trong các giá trị của ẩn: + Loại các giá trị không thỏa mãn ĐKXĐ;
ƠN
+ Các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ là nghiệm của phương trình đã cho. Phương trình tích
NH
f x 0 g x 0 f x .g x ...h x 0 ... h x 0 Các phương trình dạng khác
Y
+ Phương trình bậc cao: + Phương trình chứa căn: Cách giải:
QU
Cách giải: Đưa về phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ.
Bình phương hai vế khi cả hai vế không âm;
Đặt ẩn phụ;
Khai căn nếu biểu thức trong căn có dạng bình phương;
Đánh giá hai vế;…
KÈ M
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Y
1. Phương trình trùng phương
DẠ
Dạng: ax4 bx2 c 0 a 0 Phương pháp: Đặt t x2 t 0 ta được at 2 bt c 0 . 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu + Tìm điều kiện xác định của phương trình Trang 2
+ Quy đồng và khử mẫu. + Giải phương trình nhận được.
CI AL
+ Kết luận nghiệm.
f x 0 g x 0 3. Phương trình tích: f x .g x ...h x 0 ... h x 0
FI
4. Phương trình dạng khác
Đưa về phương trình tích.
Đặt ẩn phụ;…
OF
+ Phương trình bậc cao:
Bình phương hai vế.
Đặt ẩn phụ;…
ƠN
+ Phương trình chứa căn thức:
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình trùng phương
NH
Phương pháp giải Xét phương trình trùng phương:
Ví dụ. Giải phương trình 16x4 17x2 1 0
ax4 bx2 c 0 a 0 Bước 1. Đặt x2 t t 0
QU
Bước 2. Giải phương trình bậc hai:
Y
Hướng dẫn giải
Bước 3.
KÈ M
at 2 bt c 0 .
+ Với mỗi t 0 , giải phương trình x2 t .
DẠ
Y
+ Kết luận nghiệm
Đặt x2 t t 0 Phương
trình
đã
cho
trở
thành:
16t 2 17t 1 0
Ta có: a b c 16 17 1 0 Phương trình có hai nghiệm là t1 1; t2
1 16
(thỏa mãn). + Với t 1 , ta có: x2 1 x 1 + Với t
1 1 1 , ta có: x2 x 16 16 4
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
1 4
1 4
S 1; 1; ;
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: Trang 3
a) x4 2x2 3x2 4 b) 5,1x4 4x2 1,1 0 c) 4 x 1 3 x 1 1 0 2
CI AL
4
Hướng dẫn giải a) Đặt x2 t t 0 . Phương trình đã cho trở thành: t 2 2t 3t 4 t 2 5t 4 0
FI
Ta có: a b c 1 5 4 0 Phương trình có hai nghiệm: t1 1; t2 4 (thỏa mãn).
OF
+ Với t 1 , ta có: x2 1 x 1 + Với t 4 , ta có: x2 4 x 2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là x1 1; x2 1; x3 2; x4 2
Ta có: a b c 5,1 4 1,1 0
Với t
11 561 11 x , ta có: x2 51 51 51
561 561 ; x2 . 51 51
Y
Vậy nghiệm của phương trình là x1
11 (thỏa mãn). 51
NH
Phương trình có hai nghiệm là t1 1 (loại), t2
ƠN
b) Đặt x2 t t 0 . Phương trình đã cho trở thành: 5,1t 2 4t 1,1 0
c) Đặt x 1 t t 0 . Phương trình đã cho trở thành: 4t 2 3t 1 0 Ta có: a b c 4 3 1 0
QU
2
Phương trình có hai nghiệm t1 1 (loại), t2
1 (thỏa mãn). 4
KÈ M
1 x 1 2 x 1 1 2 Với t , ta có: x 1 4 4 x 1 1 x 2
3 2 1 2
1 3 Vậy nghiệm của phương trình là S ; . 2 2
Y
Ví dụ 2. Cho phương trình x4 m 2 x2 m 0
DẠ
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để: a) Phương trình có bốn nghiệm phân biệt. b) Phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải Trang 4
Đặt t x2 t 0 .
*
CI AL
Khi đó phương trình đã cho trở thành t 2 m 2 .t m 0 Ta có m 2 4.1.m m2 4m 4 4m m2 4 2
Vì m2 4 0 với mọi m nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 .
FI
S x1 x2 m 2 Áp dụng định lí Vi-ét ta có . P x1.x2 m
S 0 m 0 m 0 Khi đó m 0 P 0 m 2 0 m 2 Vậy khi m 0 thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.
OF
a) Để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt.
nghiệm bằng 0.
ƠN
b) Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có một nghiệm dương và một
S 0 m 0 m 0 Khi đó (không tồn tại m). P 0 m 2 0 m 2
NH
Vậy không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản Câu 1: Giải các phương trình sau:
Y
a) x4 2x2 1 0 c) 25x4 24x2 1 0
QU
b) 3x4 12x2 9 0 d) x 2 10 x 2 9 0 4
2
Câu 2: Giải các phương trình sau:
KÈ M
a) 4x4 5x2 x2 1 b) 9x4 6x2 x2 4 c) 2x4 34x2 36
d) x 2 6 x 2 5 4
2
Câu 3: Giải các phương trình sau:
a) 0,1x4 0,2x2 0,3 0
Y
b) 3x4 4,1x2 1,1 0
DẠ
c) x4 5,3x2 6,3 0 d) x 2
10
x2
11
Bài tập nâng cao Câu 4: Cho phương trình x4 mx2 4 0 . Tìm điều kiện của m để: Trang 5
a) phương trình có bốn nghiệm phân biệt. b) phương trình có hai nghiệm phân biệt.
CI AL
c) phương trình vô nghiệm. Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu Phương pháp giải
Ví dụ: Giải phương trình
FI
4 x2 x 2 * x 1 x 1 x 2 Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: x 1; x 2
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.
* 4 x 8 x2 x 2
OF
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình (ĐKXĐ).
x2 5x 6 0
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.
ƠN
Ta có: 52 4.6 1 0 nên phương trình
x1
NH
Bước 4. Trong các giá trị của ẩn:
+ Loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định.
có
hai
nghiệm
phân
biệt
5 1 5 1 2 và x2 3 . 2 2
Trong hai giá trị tìm được, chỉ có x2 3 thỏa mãn điều kiện.
Ví dụ mẫu
KÈ M
x2 3x x a) x 1 x 1 x3 4 b) 1 x2 x 1 x2 5 c) 3 x3 x2 x x2 2 x 1 d) x 1 x 1 x 2
QU
Ví dụ. Giải các phương trình sau:
Y
+ Các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của Vậy phương trình đã cho có nghiệm là phương trình đã cho. x 3
Hướng dẫn giải
Y
a) Điều kiện xác định: x 1
DẠ
x 0 x2 3x x (thỏa mãn điều kiện xác định). x2 3x x x2 2x 0 x x 2 0 x 1 x 1 x 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 2;0 b) Điều kiện xác định: x 1; x 2 . Trang 6
CI AL
x3 4 1 x 3 x 1 x 2 x 1 4 x 2 x2 x 1 x 2 2 x 3 x 2 x 2 4 x 8 2 x 2 7x 3 0 Ta có: 7 4.2.3 49 24 25 0 2
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: x1
7 25 7 25 1 3; x2 (thỏa mãn điều kiện 4 4 2
xác định).
c) Điều kiện xác định: x 2; x 3 .
x2 5 3 x 2 x 2 5 x 3 3 x 3 x 2 x3 x2 x2 4 5x 15 3x2 15x 18 2x2 10x 7 0 Ta có: 5 2.7 25 14 11 0
OF
FI
1 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ;3 2
ƠN
2
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: x1
NH
định).
5 11 5 11 ; x2 (thỏa mãn điều kiện xác 2 2
5 11 5 11 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ; . 2 2
Y
d) Điều kiện xác định: x 1; x 2
x2 2 x 1 x x 2 x 2 2 x 1 x 2 2 x x 2 2 x 1 x 1 x 1 x 2
4x 1 x
QU
x
1 (thỏa mãn điều kiện xác định). 4
KÈ M
Vậy tập nghiệm của phương trình là: x
1 . 4
Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản
Câu 1: Giải các phương trình sau:
x2 6x 3x x3 x3 x2 4 b) 1 x 1 x2 x 3 1 x c) 3 x 1 x 3 2x x 2 9x 4 d) x 1 x 1 x 2
DẠ
Y
a)
Trang 7
Câu 2: Giải các phương trình sau: 12 8 1 x 1 x 1 x 2 b) 3 2x 1 2 x x2 x 12 1 c) x 4 x 1 x 1
x x 1
2 x6 x 2 x 1 x 2
FI
d)
CI AL
a)
Bài tập nâng cao
OF
Câu 3: Giải các phương trình sau:
ƠN
x3 3x2 4x 2 2x2 3x a) 2 x3 1 x x 1 2 x 3x 4 1 b) 3 4 2 x 1 x x x 1 Câu 4: Giải các phương trình sau:
x3 x 2 x 1 x2 x x3 1 x2 x 1 x2 x 2 x2 b) x4 1 x3 x 2 x 1
NH
a)
Dạng 3: Phương trình đưa về phương trình tích
QU
Y
Phương pháp giải
Bước 1. Chuyển phương trình đã cho về dạng
f x .g x ...h x 0
Ví dụ. x2 x 2 x 3 0 Hướng dẫn giải
x2 x 2 0 1 x 3 0 2
Bước 2. Áp dụng tính chất sau để giải phương + Ta có a b c 1 1 2 0 nên phương trình
KÈ M
f x 0 g x 0 trình: f x .g x ...h x 0 ... h x 0
(1) có nghiệm là -1 và 2. + 2 x 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 3; 1;2
Ví dụ mẫu
Y
Ví dụ. Giải các phương trình sau:
DẠ
a) x3 7x2 14x 8 0 b) x2 x 3 x2 2x 0
c) x2 x 1 3x 1 0 2
2
d) 5x3 x2 5x 1 0 Trang 8
Hướng dẫn giải
x 1 0 1 a. Ta có: x3 7x2 14x 8 0 x 1 x2 6x 8 0 2 x 6x 8 0 2
Phương trình (1) có nghiệm là x 1 Phương trình (2) có ' 1 0 nên x1 3 1 4; x2 3 1 2
x2 x 3 0 1 b. Ta có: x x 3 x 2x 0 2 x 2x 0 2
2
2
2
OF
1 11 + Vì x x 3 x 0 x nên phương trình (1) vô nghiệm. 2 4 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0;2
2
ƠN
x 0 + 2 x x 2 0 x 2
FI
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 1;2;4
CI AL
c. Ta có: x2 x 1 3x 1 0 x2 x 1 3x 1 x2 x 1 3x 1 0 2
NH
x2 4x 0 1 x 4x x 2x 2 0 2 x 2x 2 0 2 2
2
Y
x 0 + 1 x x 4 0 x 4
+ x2 2x 2 x 1 1 0 x nên phương trình (2) vô nghiệm.
QU
2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0;4
d. 5x3 x2 5x 1 0 5x3 x2 5x 1 0 x2 5x 1 5x 1 0
KÈ M
1 x 5 5x 1 0 5x 1 x2 1 0 2 x 1 x 1 0 x 1
Y
1 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S ;1; 1 . 5
DẠ
Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản Câu 1: Giải các phương trình sau:
Trang 9
a) x2 2x 5 x2 4x 0 b) x2 4x 4 x2 3x 0
CI AL
c) 1,2x3 x2 0,2x 0 Bài tập nâng cao Câu 2: Giải các phương trình sau:
a) x3 2x2 x 4 0 b) x3 3x2 11x 7 0
FI
Câu 3: Giải các phương trình sau:
a) x2 x 2 6x 2 0 2
2
2
OF
b) x2 3x x 5 0 2
Câu 4: Giải các phương trình sau:
a) x2 2x 4 x2 2x
ƠN
2
b) x2 3 3x3 9x 0 2
Dạng 4: Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
NH
Phương pháp giải
Ví dụ. Giải phương trình sau:
x 1
2
4 x 1 3 0
Hướng dẫn giải
Y
Bước 1. Đặt điều kiện xác định (nếu có).
QU
Bước 2. Đặt ẩn phụ và giải phương trình theo ẩn Đặt x 1 t , ta được t 2 4t 3 0 mới.
Ta có a b c 1 4 3 0
Bước 3. Tìm nghiệm ban đầu và so sánh với điều Phương trình có nghiệm là t1 1; t2 3
KÈ M
kiện xác định ở Bước 1 để kết luận nghiệm.
Với t 1 , ta có: x 1 1 x 0 Với t 3 , ta có: x 1 3 x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm là S 0;2
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Giải các phương trình sau:
Y
a) x2 3x 2 6 x2 3x 2 2
DẠ
b) x2 2x 5 x 1 1 2
2
c) x2 4x 1 x2 4x 2 2 d)
3x x 1 7. 10 0 x 1 x
Trang 10
Hướng dẫn giải
CI AL
t 0 a. Đặt t x2 3x 2 . Khi đó phương trình đã cho trở thành t 2 6t t 6 x 1 Với t 0 thì x2 3x 2 0 x 2 x 1 Với t 6 thì x2 3x 2 6 x2 3x 4 0 x 4
b. x2 2x 5 x 1 1 x2 2x 5 x2 2x 1 1 0 2
2
OF
2
FI
Vậy tập nghiệm của phương trình S 4; 2; 1;1
Đặt x2 2x t ta được t 2 5 t 1 1 0 t 2 5t 5 1 0 t 2 5t 6 0 Vì a b c 1 5 6 0 nên phương trình có nghiệm là t1 1; t2 6
+ Với t 1 ta có: x2 2x 1 x2 2x 1 0 x 1 0 x 1 + Với t 6 ta có: x2 2x 6 x2 2x 6 0 . ' 1 1. 6 1 6 7 0
NH
2
ƠN
2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 1 7; x2 1 7
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;1 7;1 7
Y
c. Đặt x2 4x 1 t ta được t t 1 2 t 2 t 2 0
QU
Vì a b c 1 1 2 0 nên phương trình có nghiệm là t1 1; t2 2
x 0 + Với t 1 , ta có: x2 4x 1 1 x2 4x 0 x x 4 0 x 4 + Với t 2 , ta có: x2 4x 1 2 x2 4x 3 0
KÈ M
Vì a b c 1 4 3 0 nên phương trình có nghiệm là x1 1; x2 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 4; 3; 1;0 d. Điều kiện xác định: x 1; x 0 Đặt
x x 1
t (điều kiện t 0 )
x 1 1 1 ta được: 3t 7. 10 0 3t 2 10t 7 0 x t t
DẠ
Y
Vì a b c 3 10 7 0 nên phương trình có nghiệm là t1 1; t2
7 (thỏa mãn điều kiện xác 3
định).
+ Với t 1 ta có
x x 1
1 x 1 x 2x 1 x
1 (thỏa mãn điều kiện). 2
Trang 11
+ Với t
7 x 7 7 ta có (thỏa mãn điều kiện). 7x 7 3x 10x 7 x 3 x 1 3 10
CI AL
1 7 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; 2 10
Bài tập tự luyện dạng 4 Bài tập cơ bản Câu 1: Giải các phương trình sau:
a) 3x 1 4 3x 1 3 0
FI
2
b) x2 x 5 x2 x 6 0 2
OF
Câu 2: Giải các phương trình sau:
a) x2 2x 2 2x2 4x 4 0 2
b) 2x 1 2 2x 1 8 0 4
2
ƠN
Bài tập nâng cao Câu 3: Giải các phương trình sau:
a) x 1 x 2 x 3 x 4 24
NH
b) x2 x 1 x2 x 2 12
x2 4x 3 0 2 2x 1 2x 1
b)
x 2x 1 20 2x 1 x
QU
a)
Y
Câu 4: Giải các phương trình sau:
Dạng 5: Phương trình chứa biểu thức trong dấu căn Phương pháp giải
Các dạng phương trình thường gặp:
2)
3)
g x 0
f x g x
KÈ M
1)
f x g x f x 0 f x g x f x g x
f x g x h x hoặc
2
f x g x h x
Y
+ Điều kiện: f x 0, g x 0 và h x 0
DẠ
+ Bình phương hai vế. Ngoài phương pháp bình phương hai vế trên, tùy từng phương trình ta có thể sử dụng các phương pháp khác như: + Đặt ẩn phụ;
+ Khai căn nếu biểu thức trong căn có dạng bình phương; Trang 12
+ Đánh giá bất đẳng thức,… Ví dụ mẫu
a) x 4 x 2 b) x2 4 x2 5x 3 5x 6 Hướng dẫn giải
x 2 0 x 2 x 2 2 2 2 x 4 x 4x 4 x 5x 0 x 4 x 2
FI
x4 x2
a.
OF
x 2 x 2 x 0 x5 x x 5 0 x 5 0 Vậy phương trình có nghiệm là x 5 . b. Điều kiện xác định x2 5x 3 0
x2 5x 3 y y 0 x2 5x 3 y2 x2 5x y2 3
ƠN
Đặt
CI AL
Ví dụ. Giải các phương trình sau:
+ Với y 1, ta có:
x2 5x 3 1 x2 5x 2 0
Ta có: 5 4.1.2 25 8 17 0 2
5 17 5 17 ; x2 2 2
Y
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1
x1 1 x2 6
x2 5x 3 3 x2 5x 6 0
QU
+ Với y 3 , ta có:
NH
y 1 Ta có phương trình y2 4y 3 0 1 (thỏa mãn). y2 3
5 17 5 17 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; ; 1;6 2 2
KÈ M
Chú ý: Phương trình này nếu ta đưa về dạng
f x g x thì khi bình phương hai vế ta được phương
trình bậc 4 sẽ khó giải.
Bài tập tự luyện dạng 5 Bài tập cơ bản
Câu 1: Giải các phương trình sau:
Y
a) 2x 27 6 x
DẠ
b) x2 2x 2 x Câu 2: Giải các phương trình sau:
a) 2x 1 2 x 3 b) x 2 x 1 2x 3
Bài tập nâng cao Trang 13
Câu 3: Giải các phương trình sau:
a) x2 2 x2 3x 11 3x 4
CI AL
b) x2 3x 10 3 x x 3 0 Câu 4: Giải các phương trình sau:
a) 3x2 6x 12 5x4 10x2 30 8
FI
b) 4 1 x 4 x 1 LỜI GIẢI Dạng 1. Giải phương trình trùng phương
OF
Bài tập cơ bản Câu 1:
a. Đặt x2 t t 0 . Phương trình đã cho trở thành: t 2 2t 1 0 t 1 0 t 1 (loại). 2
ƠN
Vậy phương trình vô nghiệm.
b. Đặt x2 t t 0 . Phương trình đã cho trở thành: 3t 2 12t 9 0
+ Với t 1 , ta có: x2 1 x 1 + Với t 3 , ta có: x2 3 x 3
NH
Ta có a b c 3 12 9 0 . Phương trình có hai nghiệm là t1 1; t2 3 (thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3; 1;1; 3
Y
c. Đặt x2 t t 0 . Phương trình đã cho trở thành: 25t 2 24t 1 0
Với t
QU
Ta có a b c 25 24 1 0 . Phương trình có hai nghiệm là t1 1 (loại); t2
1 (thỏa mãn). 25
1 1 1 , ta có: x2 x 25 25 5
KÈ M
1 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; . 5 5
d. Đặt x 2 t t 0 . Phương trình đã cho trở thành: t 2 10t 9 0 2
Ta có a b c 1 10 9 0 . Phương trình có hai nghiệm là t1 1; t2 9 (thỏa mãn).
x 2 1 x 3 2 + Với t 1 , ta có: x 2 1 x 2 1 x 1
DẠ
Y
x 2 3 x 5 2 + Với t 9 , ta có: x 2 9 x 2 3 x 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;1;3;5 Câu 2:
a. 4x4 5x2 x2 1 4x4 4x2 1 0 Trang 14
Đặt x2 t t 0 . Phương trình đã cho trở thành: 4t 2 4t 1 0 2t 1 0 t 2
1 (loại). 2
b. 9x4 6x2 x2 4 9x4 5x2 4 0 Đặt x2 t t 0 . Phương trình đã cho trở thành: 9t 2 5t 4 0 Ta có a b c 9 5 4 0 . Phương trình có hai nghiệm t1 1 (loại); t2 4 4 2 , ta có: x2 x 9 9 3
4 (thỏa mãn). 9
FI
Với t
CI AL
Vậy phương trình vô nghiệm.
OF
2 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; 3 3
c. 2x4 34x2 36 2x4 34x2 36 0
Đặt x2 t t 0 . Phương trình đã cho trở thành: 2t 2 34t 36 0
Với t 18 , ta có: x2 18 x 3 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3 2
ƠN
Ta có a b c 2 34 36 0 . Phương trình có hai nghiệm t1 1 (loại); t2 18 (thỏa mãn).
d. x 2 6 x 2 5 x 2 6 x 2 5 0 2
4
2
NH
4
Đặt x 2 t t 0 . Phương trình đã cho trở thành: t 2 6t 5 0 2
Ta có a b c 1 6 5 0 . Phương trình có hai nghiệm t1 1; t2 5 (thỏa mãn).
QU
Y
x 2 1 x 1 2 + Với t 1 , ta có: x 2 1 x 2 1 x 3
x 2 5 x 5 2 2 + Với t 5 , ta có: x 2 5 x 2 5 x 5 2
Câu 3:
KÈ M
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5 2; 1; 5 2;1
a. Đặt x2 t t 0 . Phương trình đã cho trở thành: 0,1t 2 0,2t 0,3 0 Ta có: ' 0,1 0,1.0,3 0,02 0 2
Vậy phương trình vô nghiệm.
Y
b. Đặt x2 t t 0 . Phương trình đã cho trở thành: 3t 2 4,1t 1,1 0
DẠ
Ta có a b c 3 4,1 1,1 0 . Phương trình có hai nghiệm t1 1; t2 Với t
11 (thỏa mãn). 30
11 330 11 x , ta có: x2 30 30 30
Với t 1 , ta có: x2 1 x 1 Trang 15
c. Đặt x2 t t 0 . Phương trình đã cho trở thành: t 2 5,3t 6,3 0 Ta có a b c 1 5,3 6,3 0 . Phương trình có hai nghiệm t1 1 (loại); t2 Với t
63 3 70 60 x , ta có: x2 10 10 10
Ta có x2
10
x
2
11 x4 11x2 10 0
ƠN
Đặt x2 t t 0 . Phương trình đã cho trở thành: t 2 11t 10 0
OF
d. Điều kiện x 0
63 (thỏa mãn). 10
FI
3 70 3 70 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; 10 10
CI AL
330 330 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; 1; ;1 30 30
Ta có a b c 1 11 10 0 . Phương trình có hai nghiệm t1 1; t2 10 (thỏa mãn). Với t 1 , ta có: x2 1 x 1
NH
Với t 10 , ta có: x2 10 x 10
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 10; 1;1; 10 . Bài tập nâng cao Câu 4:
1
Y
Ta có x4 mx2 4 0
QU
Đặt t x2 t 0 ta có phương trình t 2 mt 4 0 m2 16
2 .
a. Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm dương phân biệt
KÈ M
2 0 m 16 0 m 4 S 0 m 0 m 4 m 4 P 0 4 0 m 0
b. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm trái dấu ac 0 4 0 (vô lí). Vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. c. Phương trình (1) vô nghiệm khi (2) vô nghiệm hoặc (2) có hai nghiệm âm.
Y
+ (2) vô nghiệm 0 m2 16 0 4 m 4 .
DẠ
m2 16 0 m 4 0 m 4 m 4 + (2) có hai nghiệm âm S 0 m 0 P 0 4 0 m 0
Kết hợp lại, ta có m 4 thì phương trình đã cho vô nghiệm. Trang 16
Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu Bài tập cơ bản
CI AL
Câu 1: a. Điều kiện xác định: x 3 Ta có
x 0 x2 6 x 3x (thỏa mãn điều kiện xác x2 6x 3x x2 3x 0 x x 3 0 x3 x3 x 3
định).
FI
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3;0
x2 4 1 x 2 x 2 x 1 x 2 4 x 1 x 1 x2 x2 4 x2 3x 2 4x 4 2x2 x 6 0
OF
b. Điều kiện xác định: x 1; x 2 .
Ta có 1 4.2 6 1 48 49 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là 2
1 49 1 49 ; x2 (thỏa mãn điều kiện xác định). 4 4
3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2; 2
NH
c. Điều kiện xác định: x 1; x 3 .
ƠN
x1
x 3 1 x 2 3 x 3 1 x x 1 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x2 6x 9 x2 2x 1 3x2 6x 9 x2 2x 19 0
Y
Ta có 12 1. 19 1 19 20 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là
QU
x1 1 2 5; x2 1 2 5 (thỏa mãn điều kiện xác định).
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1 2 5; 1 2 5 . d. Điều kiện xác định: x 2; x 1.
KÈ M
2x x 2 9x 4 2x x 2 x2 9x 4 2x2 4x x2 9x 4 x2 5x 4 0 x 1 x 1 x 2 Ta có a b c 1 5 4 0 nên phương trình có nghiệm x1 1 (loại); x2 4 (thỏa mãn). Vậy tập nghiệm của phương trình là S 4 . Câu 2:
a. Điều kiện xác định: x 1 .
DẠ
Y
12 8 1 12 x 1 8 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 12x 12 8x 8 x2 1 x2 4x 21 0
Ta có 2 1. 21 4 21 25 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là
x1
2
2 25 2 25 7; x2 3 (thỏa mãn điều kiện xác định). 1 1
Trang 17
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3;7
CI AL
1 b. Điều kiện xác định: x ; x 2 . 2
x 2 3 x 2 x 2 2x 1 3 2x 1 2 x 2x 1 2 x 2x x2 4x 2 6x2 9x 6 5x2 3x 4 0
Ta có 3 5.4 4 9 80 89 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là 2
3 89 3 89 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; 10 10 c. Điều kiện xác định: x 1; x 4 .
ƠN
x2 x 12 1 x2 x 12 x 4 x2 2x 8 0 x 4 x 1 x 1
FI
3 89 3 89 ; x2 (thỏa mãn điều kiện xác định). 10 10
OF
x1
Ta có 1 1. 8 1 8 9 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 2
1 9 2 (thỏa mãn điều kiện xác định). 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2 d. Điều kiện xác định: x 2; x 1 .
2 x6 x x 2 2 x 1 x 6 x2 2x 2x 2 x 6 x2 3x 4 0 x 2 x 1 x 2
Y
x 1
QU
x
NH
(loại); x2
1 9 4 1
Ta có a b c 1 3 4 0 nên phương trình có nghiệm x1 1; x2 4 (thỏa mãn điều kiện xác định). Vậy tập nghiệm của phương trình là S 4;1
Câu 3:
KÈ M
Bài tập nâng cao a. Điều kiện xác định: x 1
x 1 x2 2x 2 2x2 3x x2 2x 2 2x2 3x x3 3x2 4x 2 2x2 3x 2 x3 1 x x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 2x 2 2x2 3x x2 x 2 0
Y
Ta có a b c 1 1 2 0 nên phương trình có nghiệm x1 1; x2 2 (thỏa mãn điều kiện xác định).
DẠ
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;2 b. Điều kiện xác định: x 1 Ta có
x 1 x 4 x2 3x 4 1 1 4 3 2 2 x 1 x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 1 Trang 18
x4 1 x 4 1 x 3 (thỏa mãn điều kiện xác định). x 1 x 1 x 1 x2 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3 Câu 4: a. Điều kiện xác định: x 1 .
CI AL
2
x 1 x 1 x2 x x 1 x2 x x3 x 2 x 1 x2 x Ta có x3 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2
2
FI
x 1 x2 x x2 2x 1 x2 x x 1 (thỏa mãn điều kiện xác định). 2
OF
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1 b. Điều kiện xác định: x 1 .
x 1 x 2 x2 x 2 x2 x2 x4 1 x3 x2 x 1 x2 1 x 1 x 1 x2 1 x 1
ƠN
x2 x2 x 2 x2 x2 x 2 0 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1
định). Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2
NH
Ta có a b c 1 1 2 0 nên phương trình có nghiệm x1 1 (loại); x2 2 (thỏa mãn điều kiện xác
Dạng 3: Phương trình đưa về phương trình tích Bài tập cơ bản
Y
Câu 1:
2
QU
x2 4x 0 1 a. x 2x 5 x 4x 0 2 x 2x 5 0 2 2
x 0 x 0 + 1 x x 4 0 x 4 0 x 4
KÈ M
+ Giải (2): Ta có ' 12 1.5 1 5 4 0 . Phương tình vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của phương trình là S 4;0 x2 3x 0 1 b. x 4x 4 x 3x 0 2 . x 4x 4 0 2
2
2
Y
x 0 x 0 + 1 x x 3 0 x 3 0 x 3
DẠ
+ 2 x x 2 0 x 2 0 x 2 . 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0;2;3
Trang 19
x 0 x 0 x 1 3 2 2 c. 1,2x x 0,2x 0 x 1,2x x 0,2 0 2 1 do a b c 0 1,2x x 0,2 0 x 6
CI AL
1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0;1; . 6
Bài tập nâng cao Câu 2:
2
OF
x 1 0 1 x 1 x2 3x 4 0 2 x 3x 4 0
FI
a. x3 2x2 x 4 0 x3 x2 3 x2 1 x 1 0 x2 x 1 3 x 1 x 1 x 1 0
+ 1 x 1
+ Giải (2): 3 4.1.4 9 16 5 0 . Phương trình vô nghiệm.
ƠN
2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1
b. x3 3x2 11x 7 0 x3 x2 4 x2 x 7 x 1 0
x 1 0 1 x2 x 1 4x x 1 7 x 1 0 x 1 x2 4x 7 0 2 x 4x 7 0 2
+ Giải (1): x 1 0 x 1
Y
+ Giải (2): ' 22 1. 7 4 7 11 0
NH
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 2 11; x2 2 11
QU
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1; 2 11; 2 11 . Câu 3:
2
2 a. x2 x 2 6x 2 0 x2 x 2 6x 2 x2 x 2 6x 2 0
KÈ M
x 0 x 0 x 7 0 x 7 2 2 x 7x x 5x 4 0 x x 7 x 1 x 4 0 x 1 0 x 1 x 4 0 x 4
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 4; 1;0;7
2
Y
2 b. x2 3x x 5 0 x2 3x x 5 x2 3x x 5 0
x2 4 x 5 0 x 4x 5 x 2x 5 0 2 x 2x 5 0
DẠ
2
2
1 2
x 1 0 x 1 + Giải (1): x 1 x 5 0 x 5 0 x 5 Trang 20
+ Giải (2): ' 12 1.5 1 5 4 0 . Phương trình vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5;1
a. x2 2x
2
2
CI AL
Câu 4:
4 x2 2 x x2 2 x 4 x2 2 x 0
x2 2x 0 1 x 2x x 2x 4 0 2 x 2x 4 0 2
2
2
FI
x 0 x 0 + Giải (1): x x 2 0 x 2 0 x 2 + Giải (2): ' 1 1. 4 1 4 5 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 1 5; x2 1 5
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0;2;1 5
2
2
OF
2
x2 3 0 1 x 3 x 3x 3 0 2 x 3x 3 0 2
2
+ Giải (1): x2 3 x 3
NH
2
ƠN
b. x2 3 3x3 9x 0 x2 3 3x x2 3 0
+ Giải (2): 32 4.1. 3 9 12 21 0
3 21 3 21 ; x2 2 2
Y
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1
QU
3 21 3 21 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3; 3; ; . 2 2 Dạng 4: Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ Bài tập cơ bản Câu 1:
KÈ M
t 1 a. Đặt 3x 1 t , ta được t 2 4t 3 0 t 3 2 3
+ Với t 3 , ta có: 3x 1 3 3x 4 x
4 3
Y
+ Với t 1 , ta có: 3x 1 1 3x 2 x
DẠ
2 4 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; 3 3
t 2 b. Đặt x2 x t , ta được t 2 5t 6 0 t 3
Trang 21
x 1 + Với t 2 , ta có: x2 x 2 x2 x 2 0 1 x2 2
CI AL
+ Với t 3 , ta có: x2 x 3 x2 x 3 0 Ta có: 1 4.1. 3 1 12 13 0 2
1 13 1 13 ; x2 2 2
1 13 1 13 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;2; ; 2 2 Câu 2: 2
2
t 0 Đặt x2 2x 2 t , ta được t 2 2t 0 t t 2 0 t 2
OF
a. x2 2x 2 2x2 4x 4 0 x2 2x 2 2 x2 2x 2 0
FI
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1
ƠN
x 0 + Với t 2 , ta có: x2 2x 2 2 x2 2x 0 x x 2 0 x 2 + Với t 0 , ta có: x2 2x 2 0 . Ta có: 1 1. 2 1 2 3 0 2
NH
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 1 3; x2 1 3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0;2;1 3;1 3 . b. Đặt 2x 1 t t 0 , ta được: 2
Y
t 2 t 4 do t 0 t 4
QU
t 2 2t 8 0 t 2 t 4 0
3 x 2 x 1 2 2 x 3 2 2 2x 1 4 2x 1 2 2x 1 x 1 2
KÈ M
1 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; 2 2
Bài tập nâng cao Câu 3:
Y
a. x 1 x 2 x 3 x 4 24 x 1 x 4 x 2 x 3 24
x2 5x 4 x2 5x 6 24
DẠ
t 4 Đặt x2 5x 4 t , ta được t t 2 24 t 2 2t 24 0 t 6 x 0 + Với t 4 , ta có: x2 5x 4 4 x2 5x 0 x x 5 0 x 5 Trang 22
+ Với t 6 , ta có: x2 5x 4 6 x2 5x 10 0 Có 52 4.1.10 25 40 15 0 . Phương trình vô nghiệm.
CI AL
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5;0
t 5 b. Đặt x2 x t , ta được t 1 t 2 12 t 2 3t 10 0 t 2 + Với t 5 , ta có: x2 x 5 x2 x 5 0 . Có 1 4.1.5 1 20 19 0 . Phương trình vô nghiệm.
x 1 + Với t 2 , ta có: x2 x 2 x2 x 2 0 do a b c 0 x 2
OF
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;2 Câu 4:
Đặt
1 2
ƠN
a. Điều kiện xác định: x
FI
2
t 1 x t , ta có: t 2 4t 3 0 2x 1 t 3
x 1 2x 1 x x 1 (thỏa mãn điều kiện xác định). 2x 1
Với t 3 , ta có:
x 3 3 6x 3 x 5x 3 x (thỏa mãn điều kiện xác định). 2x 1 5
NH
Với t 1 , ta có:
Đặt
1 2
QU
b. Điều kiện xác định: x 0; x
Y
3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1; 5
x 2x 1 1 1 2 t t 0 , ta có: t 2 0 t 2 2t 1 0 t 1 0 t 1 2x 1 x t t
x 1 2x 1 x x 1 (thỏa mãn điều kiện xác định). 2x 1
KÈ M
Với t 1 , ta có:
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1 Dạng 5: Phương trình chứa biểu thức trong dấu căn Bài tập cơ bản Câu 1:
Y
x 6 0 2x 27 6 x 2x 27 x 6 2 2x 27 x 12x 36 x 6 x 6 2 x 1 x 1 x 10x 9 0 x 9
DẠ
a.
Vậy nghiệm của phương trình là: x 1. Trang 23
Vậy nghiệm của phương trình là: x
CI AL
b.
x 2 2 x 0 x 2 2 x 2x 2 x 2 x 2 2 3 6x 4 x x 2x 4 4x x 3 2
2 3
Câu 2: 2x 1 2 x 3
1 2 x 1 0 x Điều kiện: 2 x3 x 3 0 x 3
OF
Bình phương hai vế ta có 2x 1 4 4 x 3 x 3 x 4 x 3
FI
a.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 4;12
x 2 x 1 2x 3
x 2 x 2 0 Điều kiện: x 1 0 x 1 x 2 2 x 3 0 3 x 2 Bình phương hai vế ta có 2x 3 2
NH
b.
ƠN
x 4 (thỏa mãn). x2 16 x 3 x2 16x 48 x2 16x 48 0 x 12
x 2 x 1 2x 3 x 2 x 1 0
QU
Y
x 2 0 x 2 x 2 x 1 0 x 1 0 x 1
Kết hợp với điều kiện, ta có x 2 là nghiệm của phương trình đã cho. Bài tập nâng cao Câu 3:
Đặt
KÈ M
a. x2 2 x2 3x 11 3x 4 x2 3x 4 2 x2 3x 11 0
x2 3x 11 y y 0 , ta có: x2 3x 11 y2 x2 3x y2 11
Y
y 5 Ta được phương trình: y2 2y 15 0 y 3 do y 0 y 3 x 1 x2 3x 11 3 x2 3x 11 9 x2 3x 2 0 x 2
DẠ
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;2 b. Điều kiện xác định x x 3 0 Đặt
x x 3 y y 0 x x 3 y2 x2 3x y2
Trang 24
y 5 Ta được phương trình: y2 3y 10 0 y 2 do y 0 y 2 x 1 (thỏa mãn điều kiện). x 4
x x 3 2 x2 3x 4 x2 3x 4 0
CI AL
Ta có
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;4 Câu 4: a.
3x2 6x 12 5x4 10x2 30 8
Ta có: 3x2 6x 12 3 x2 2x 1 9 3 x 1 9 9 3x2 6x 12 3 1
FI
2
2
Từ (1) và (2) ta có:
3x2 6x 12 5x4 10x2 30 8
OF
5x4 10x2 30 5 x4 2x2 1 25 5 x2 1 25 25 5x4 10x2 30 5 2
2 3x2 6x 12 3 x 1 0 3 x 1 9 9 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 x 1 2 2 5x4 10x2 30 5 5 x 1 25 25 x 1 0
ƠN
Vậy phương trình có nghiệm là x 1. b. 4 1 x 4 x 1
NH
Điều kiện: 0 x 1.
Ta có 4 1 x 1 x, 4 x x . Do đó 4 1 x 4 x 1 x x 1
1 x 0 x 1 Dấu “=” xảy ra (thỏa mãn). 1 x 1 x 0
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0;1 .
Trang 25
BÀI 7: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Mục tiêu
CI AL
Kiến thức + Nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình.
+ Nắm vững các kiến thức liên quan đến các dạng toán: Quan hệ giữa các số; toán chuyển động; toán năng suất, toán công việc chung riêng, toán hình học,… Kĩ năng
Gọi ẩn chính xác và biểu diễn các đại lượng trong bài toán theo ẩn số đã cho và các đại lượng
FI
+
+ Lập luận logic, chính xác, chặt chẽ khi lập phương trình.
OF
đã biết.
+ Giải được các dạng toán cơ bản: Quan hệ giữa các số; toán chuyển động; toán năng suất, toán
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
công việc chung riêng, toán hình học,… bằng cách lập phương trình.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Các bước giải bài toán bằng cách lập phương
CI AL
trình. Bước 1. Lập phương trình:
Lưu ý khi đặt điều kiện cho ẩn:
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
+ Ẩn x là vận tốc, thời gian, độ dài, năng suất: x 0 + Ẩn x là người, con vật, sản phẩm: x nguyên dương. + Ẩn x là chữ số hàng đơn vị: 0 x 9, x 0 x 9, x .
Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông
OF
qua ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập phương trình biểu thị mối quan hệ
Bước 3. Đối chiếu nghiệm của phương trình với
HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC Giải bài toán bằng cách lập phương trình + Lập phương trình: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
Biểu diễn các đại lượng.
Lập phương trình.
+ Giải phương trình.
QU
Y
1. Phương pháp giải
NH
điều kiện của ẩn số và kết luận bài toán.
ƠN
giữa các đại lượng. Bước 2. Giải phương trình.
FI
Ẩn x là chữ số hàng lớn nhất trong số:
2. Dạng toán
KÈ M
+ Kết luận: So sánh nghiệm với điều kiện và trả lời bài toán. + Quan hệ giữa các số. + Chuyển động. + Năng suất.
Y
+ Công việc chung riêng.
DẠ
+ Hình học.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Toán về quan hệ giữa các số Phương pháp giải
Thực hiện đầy đủ các bước trong giải bài toán bằng cách lập phương trình. Trang 2
Sử dụng mối quan hệ giữa các số để ta biểu diễn các đại lượng: + Biểu diễn số có hai chữ số: ab 10a b 0 a 9;0 b 9; a, b .
CI AL
+ Biểu diễn số có ba chữ số: abc 100a 10b c với 0 a 9;0 b, c 9; a, b, c + Tổng hai số x; y là x y . + Tổng bình phương hai số x; y là: x2 y2 . + Bình phương của tổng hai số x; y là: x y . + Tổng nghịch đảo hai số x; y là:
1
x
1
y
FI
2
.
+ Phân số có dạng
OF
+ Hai số tự nhiên liên tiếp có dạng n và n 1.
a ,b 0 . b
ƠN
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương của nó là 145. Hướng dẫn giải
NH
Gọi số bé là x x . Số tự nhiên kề sau là x 1
Vì tổng các bình phương của nó là 145 nên ta có phương trình:
x2 x 1 145 x2 x2 2x 1 145 2x2 2x 144 0 x2 x 72 0 2
1 289 9 (loại). 2
Vậy hai số phải tìm là 8 và 9.
1 289 8 (thỏa mãn); 2
QU
x2
Y
Vì 12 4.1. 72 289 0 nên phương trình có hai nghiệm là x1
Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết tổng của hai chữ số của chúng bằng 10 và tích của hai chữ số
KÈ M
ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Hướng dẫn giải
Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x, điều kiện: x * , x 9 Chữ số hàng đơn vị là 10 x
Giá trị của số đã cho là 10x 10 x 9x 10
Y
Theo bài ra, ta có phương trình: x 10 x 9x 10 12 x2 x 2 0 x 2 (thỏa mãn) hoặc
DẠ
x 1 (không thỏa mãn). Ta có chữ số hàng chục là 2, chữ số hàng đơn vị là 8. Vậy số cần tìm là 28. Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản Trang 3
Câu 1: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng 12. Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 16. Tìm số đã cho.
CI AL
Câu 2: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó. Câu 3: Tìm hai số tự nhiên biết rằng số thứ nhất lớn hơn số thứ hai là 5 đơn vị và tổng các bình phương của chúng bằng 125. Câu 4: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 9. Nếu bớt tử số đi 1 đơn vị và bớt mẫu số đi 1 đơn vị sẽ được phân số mới là nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Dạng 2. Toán chuyển động
FI
Bài toán 1: Chuyển động trên bộ Phương pháp giải Ví dụ:
Quãng đường = Vận tốc thời gian
OF
Sử dụng công thức:
Quãng đường xe máy đi được sau 2 giờ là với vận tốc x (km/h) là 2x (km).
Vận tốc xe máy đạt được khi chuyển động trên quãng 30 đường 30 km trong thời gian t giờ là (km/h).
s t
Ta có: v ; t
s v
ƠN
s v t
t
Thời gian An đi từ nhà đến trường (2 km) vận tốc x 2 (km/h) là (giờ).
NH
x
Ví dụ mẫu
Y
Ví dụ 1. Một người đi ô tô từ A đến B cách nhau 90 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng tốc độ thêm 5 km/h so với tốc độ lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút. Tính vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B? Hướng dẫn giải
QU
Gọi vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B là x (km/h). Điều kiện: x 0 . Vận tốc của ô tô khi đi từ B đến A là x 5 (km/h).
KÈ M
Thời gian của ô tô khi đi từ A đến B là Thời gian của ô tô khi đi từ B đến A là
90
x
(giờ).
90 (giờ). x5
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút
90
90 x 5 90x 1 90 1 450 1 x2 5x 1800 x2 5x 1800 0 x5 4 x x 5 4 x x 5 4
Y
x
1 giờ nên ta có phương trình: 4
Phương trình có hai nghiệm x1 40 (thỏa mãn) và x2 45 (không thỏa mãn).
DẠ
Vậy vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B là 40 km/h. Câu 2: Một ô tô đi trên quãng đường dài 520 km. Khi đi được 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h nữa và đi hết quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô biết thời gian đi hết quãng đường là 8 giờ. Hướng dẫn giải Trang 4
Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h). Điều kiện: x 0 . Vận tốc lúc sau của ô tô là x 10 (km/h).
Thời gian của ô tô đi hết quãng đường sau là
240
x
(giờ).
CI AL
Thời gian của ô tô đi hết quãng đường đầu là
280 (giờ). x 10
Vì thời gian ô tô đi hết quãng đường là 8 giờ nên ta có phương trình:
x
280 8 x2 55x 300 0 x 10
FI
240
Phương trình có hai nghiệm x1 60 (thỏa mãn) và x2 5 (không thỏa mãn).
OF
Vậy vận tốc ban đầu của ô tô khi đi là 60 km/h. Bài toán 2. Chuyển động trên dòng nước Phương pháp giải
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng của ca nô + vận tốc dòng nước (viết tắt là vx vr vn ).
ƠN
Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng của ca nô – vận tốc dòng nước (viết tắt là vng vr vn , chú ý vr vn ).
Quãng đường = vận tốc thời gian; Sx vx .t x ; Sng vng .tng .
NH
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 40 km sau đó đi ngược dòng từ B về A. Cho biết thời gian đi xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng là 20 phút, vận tốc dòng nước là 3 km/h và vận tốc riêng của ca nô không đổi. Tính vận tốc riêng của ca nô.
Y
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h). Điều kiện x 3
QU
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là x 3 (km/h).
Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là x 3 (km/h).
KÈ M
Thời gian ca nô khi xuôi dòng là
40 (giờ). x3
Thời gian ca nô khi ngược dòng là
40 (giờ). x3
Vì thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 20 phút
1 giờ, nên ta có phương trình: 3
40 40 1 240 1 x2 9 720 x2 729 x 27 do x 3 x 3 x 3 3 x 3 x 3 3
Y
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 27 (km/h).
DẠ
Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản Câu 1: Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 (km/h). Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B. Trang 5
Câu 2: Một ô tô dự định đi quãng đường A đến B dài 120 km trong một thời gian nhất định. Khi đi được nửa quãng đường thì xe dừng lại 3 phút vì vậy để đến B đúng hẹn thì nửa quãng đường sau ô tô phải tăng vận tốc thêm 2 km/h. Tính vận tốc dự định của ô tô.
CI AL
Câu 3: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 30 km với vận tốc xác định. Khi từ B trở về A người ấy có chút việc riêng nên đi theo đường khác dài hơn đường cũ 6 km và vận tốc lớn hơn lúc đầu đi là 3 km/h. Tính vận tốc lúc đi của xe đạp, biết rằng thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút.
FI
Câu 4: Quãng đường AB dài 150 km, hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A để đi đến B. Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai 10 km/h nên xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai là 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
OF
Câu 5: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một ca nô đi từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h. Câu 6: Lúc 6 giờ 30 phút sáng, một ca nô xuôi dòng từ A đến B dài 48 km. Khi đến B, ca nô nghỉ 30 phút sau đó lại ngược dòng từ B về đến A lúc 10 giờ 36 phút cùng ngày. Tìm vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc dòng nước là 3 km/h.
ƠN
Bài tập nâng cao
Câu 7: Cho quãng đường AB dài 90 km. Lúc 6 giờ một xe máy đi từ A để đến B. Lúc 6 giờ 30 phút cùng ngày, một ô tô cũng đi từ A để tới B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h (hai xe chạy trên cùng một con đường đã cho). Hai xe nói trên đều đến B cùng lúc. Tính vận tốc mỗi xe.
NH
Câu 8: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km; cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc riêng của ca nô?
Phương pháp giải
QU
Dạng 3: Toán về năng suất lao động
Y
Câu 9: Một ca nô xuôi dòng 45 km rồi ngược dòng 18 km. Biết rằng vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược dòng là 6 km/h. Thời gian đi xuôi nhiều hơn thời gian đi ngược là 1 giờ. Tính vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng của ca nô biết rằng vận tốc ca nô đi ngược dòng lớn hơn 10 km/h?
Năng suất là khối lượng công việc làm được trong một Ví dụ. đơn vị thời gian.
Một công nhân cần phải làm 300 sản phẩm trong
Tổng lượng công việc = Năng suất thời gian. 20 ngày.
Năng suất = Tổng lượng công việc: Thời gian.
Tổng khối lượng công việc: 300 sản phẩm.
Thời gian = Tổng lượng công việc: Năng suất.
Thời gian: 20 ngày.
KÈ M
Năng suất: Số sản phẩm mà công nhân cần làm trong một ngày là 300 : 20 15 (sản phẩm).
Y
Ví dụ mẫu
DẠ
Ví dụ. Một xí nghiệp theo kế hoạch phải sản xuất 75 sản phẩm trong một số ngày dự kiến. Trong thực tế, do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày xí nghiệp làm vượt mức 5 sản phẩm, vì vậy không những họ đã làm được 80 sản phẩm mà còn hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp đó sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Hướng dẫn giải Trang 6
Gọi số sản phẩm mà xí nghiệp phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là x (sản phẩm). Điều kiện x * ; x 75
Số ngày xí nghiệp cần làm theo dự kiến là Số ngày xí nghiệp làm trong thực tế là
75
x
CI AL
Số sản phẩm mỗi ngày xí nghiệp làm được trong thực tế là x 5 (sản phẩm). (ngày).
80 (ngày). x5
75
x
80 375 5x 1 1 375 5x x2 5x x2 10x 375 0 x5 x x 5
FI
Vì xí nghiệp hoàn thành sớm hơn dự kiến 1 ngày nên ta có phương trình:
Vậy theo kế hoạch thì mỗi ngày xí nghiệp cần làm 15 sản phẩm. Bài tập tự luyện dạng 3
OF
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x 15 (thỏa mãn) và x 25 (loại).
ƠN
Câu 1: Một phân xưởng theo kế hoạch cần sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định là 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch thì mỗi ngày phân xưởng đó cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm.
NH
Câu 2: Để chở hết 240 tấn hàng ủng hộ đồng bào miền núi, 1 đội xe dự định dùng 1 số xe cùng loại. Lúc sắp khởi hành, họ được bổ sung thêm 4 xe cùng loại của đội, nhờ vậy so với dự định ban đầu mỗi xe phải chở ít hơn 3 tấn. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe, nếu khối lượng mỗi xe phải chở bằng nhau. Câu 3: Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng suất như nhau. Sau khi làm được 400 sản phẩm, tổ đã tăng năng suất thêm mỗi ngày 10 sản phẩm, do đó đã hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày. Tính số sản phẩm làm trong mỗi ngày theo quy định.
QU
Y
Câu 4: Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đội tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. Vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau.
KÈ M
Câu 5: Một người thợ làm 120 sản phẩm trong một thời gian và năng suất dự định. Khi làm được 50 sản phẩm, người thợ đó nhận thấy làm với năng suất như vậy sẽ thấp hơn năng suất dự định là 2 sản phẩm một ngày. Do đó, để hoàn thành đúng thời gian đã định, người thợ đó tăng năng suất thêm 2 sản phẩm một ngày so với dự định. Tính năng suất dự định của người thợ đó. Dạng 4: Toán công việc làm chung, riêng Ví dụ. Hai người cùng làm một công việc trong 12 giờ 1 + Thường coi khối lượng công việc là 1 đơn vị thì xong. Trong một giờ hai người làm được (công 12 công việc. + Nếu đội nào làm xong công việc trong x việc). 1 Số phần công việc mà mỗi người làm được trong một (ngày) thì trong một ngày đội đó làm được x giờ và số giờ người đó hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. (công việc).
DẠ
Y
Ta chú ý rằng:
+ Nếu vòi nào chảy riêng một mình đầy bể Nếu người thứ nhất làm xong công việc trong x giờ thì 1 trong x (giờ) thì trong 1 giờ vòi đó chảy được trong 1 giờ thì người đó làm được (công việc).
x
Trang 7
1
x
(bể).
y
CI AL
+ Năng suất 1 + Năng suất 2 = Tổng năng suất.
Người thứ hai làm xong công việc trong y giờ thì trong 1 1 giờ người đó làm được (công việc). Trong 1 giờ, cả hai người làm được
Ví dụ mẫu
1
x
1
y
(công việc).
FI
Ví dụ 1. Hai công nhân cùng làm chung một công việc thì trong 8 giờ xong công việc. Nếu mỗi người làm một mình, để hoàn thành công việc đó thì người thứ nhất cần làm nhiều hơn người thứ hai là 12 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc đó? Hướng dẫn giải Điều kiện: x 12 Người thứ hai làm một mình xong công việc trong x 12 (giờ).
x
(công việc).
1 công việc, nên ta có phương trình: 8
NH
1
x
1 (công việc). x 12
Trong một giờ, người thứ hai làm được Trong một giờ, cả hai người làm được
1
ƠN
Trong một giờ, người thứ nhất làm được
OF
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (giờ).
1 1 2x 12 1 x2 12x 16x 96 x2 28x 96 0 x 12 8 x x 12 8
Y
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 24 (thỏa mãn), và x2 4 (loại). Vậy một mình người thứ nhất làm trong 24 giờ thì xong công việc.
QU
Một mình người thứ hai làm trong 12 giờ thì xong công việc. Ví dụ 2. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 6 giờ 40 phút thì đầy bể. Nếu để chảy một mình thì thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 3 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
KÈ M
Hướng dẫn giải Đổi 6 giờ 40 phút
20 giờ. 3
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ). Điều kiện: x
20 3
Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x 3 (giờ). 1
DẠ
Y
Một giờ vòi thứ nhất chảy được Một giờ vòi thứ hai chảy được
x
(bể).
1 (bể). x3
Một giờ cả hai vòi chảy được 1:
20 3 (bể). 3 20
Trang 8
1
x
1 3 2x 3 3 3x2 9x 40x 60 3x2 31x 60 0 x 3 20 x x 3 20
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 12 (thỏa mãn) và x2
5 (loại). 3
CI AL
Ta có phương trình:
Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là 12 (giờ) và thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là 15 (giờ). Bài tập tự luyện dạng 4 Bài tập cơ bản
OF
FI
Câu 1: Nếu hai vòi nước chảy vào một bể không có nước thì bể đầy sau 2 giờ 24 phút. Nếu mỗi vòi chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao nhiêu giờ thì đầy bể. Câu 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 7 giờ 12 phút đầy bể. Nếu để mỗi vòi chảy riêng mà đầy bể thì tổng thời gian là 30 giờ. Hãy tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
ƠN
Câu 3: Lớp 9A và lớp 9B cùng lao động tổng vệ sinh sân trường thì sau 6 giờ sẽ hoàn thành xong công việc. Nếu làm riêng thì lớp 9A mất nhiều thời gian hơn lớp 9B là 5 giờ mới hoàn thành xong công việc. Hỏi nếu làm riêng, mỗi lớp cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành công việc.
NH
Câu 4: Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 4 giờ 48 phút thì xong. Nếu họ làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 4 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người cần bao nhiêu giờ để xong công việc đó. Dạng 5: Toán có nội dung hình học Phương pháp giải
Ta cần ghi nhớ các công thức về chu vi, diện tích của các hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác,… + Với hình chữ nhật: Diện tích = Chiều dài chiều rộng.
Chu vi = (Chiều dài + Chiều rộng) 2.
+ Với hình tam giác:
QU
Y
1 Cạnh đáy Chiều cao. 2
Diện tích =
Chu vi = Tổng các cạnh.
Độ dài cạnh huyền: c2 a2 b2 (c là độ dài cạnh huyền; a, b là độ dài các cạnh góc vuông).
KÈ M
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 3 m và diện tích bằng 180 m2 . Tìm chiều dài, chiều rộng của khu vườn. Hướng dẫn giải
Y
Gọi chiều rộng khu vườn là x (m). Điều kiện: x 0 .
DẠ
Chiều dài khu vườn là x 3 (m). Do diện tích khu vườn là 180 m2 nên ta có phương trình: x x 3 180 Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 12 (thỏa mãn), x2 15 (loại). Vậy chiều rộng khu vườn là 12 m, chiều dài khu vườn là 15 m. Trang 9
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 2: Một tam giác có chiều cao bằng
CI AL
Câu 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 34 mét và một đường chéo bằng 13 mét. Tính chiều dài, chiều rộng mảnh đất đó theo đơn vị là mét. 3 cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 4
3 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2 . Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.
Câu 3: Một mảnh vườn hình chữ nhật trước đây có chu vi là 136 m. Nay người ta mở rộng chiều dài thêm 5 m, chiều rộng thêm 3 m, do đó diện tích mảnh vườn tăng thêm 255 m2 . Tính chiều dài và chiều
FI
rộng của mảnh vườn lúc đầu.
Câu 4: Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích là 720 m2 . Nếu tăng chiều dài thêm 10 m và giảm chiều
OF
rộng 6 m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng mảnh vườn. Dạng 6. Các dạng khác Ví dụ mẫu
ƠN
Ví dụ. Một phòng họp có 90 người họp được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt 5 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 3 người mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu người? Hướng dẫn giải
Số người của một dãy ghế là
90
(người).
x
Số dãy ghế sau khi bớt 5 dãy là x 5 (dãy).
90 90 450 3 3 x2 5x 150 0 x5 x x x 5
QU
Theo bài ra ta có phương trình:
90 (người). x5
Y
Số người của một dãy sau khi bớt là
NH
Gọi số dãy ghế lúc đầu là x (dãy). Điều kiện: x ; x 5
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 15 (thỏa mãn), x2 10 (loại). Vậy lúc đầu phòng họp có 15 dãy ghế và mỗi dãy có 6 người.
KÈ M
Bài tập tự luyện dạng 6
Câu 1: Một phòng họp có 300 ghế ngồi nhưng phải xếp cho 357 người đến dự họp, do đó ban tổ chức đã kê thêm một hàng ghế và mỗi hàng ghế phải xếp thêm nhiều hơn quy định 2 ghế mới đủ chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng ghế có bao nhiêu ghế?
Y
Câu 2: Hưởng ứng phong trào thi đua “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực”, lớp 9A trường THCS Phúc Xá dự định trồng 300 cây xanh. Đến ngày lao động, có 5 bạn được Liên Đội triệu tập tham gia chiến dịch an toàn giao thông nên mỗi bạn còn lại phải trồng thêm 2 cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh?
DẠ
Câu 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch? Câu 4: Trong phong trào trồng cây gây rừng, một lớp học tham gia ba đợt trồng cây trong năm. Số cây mỗi em trong lớp trồng trong mỗi đợt là như nhau. Đợt một lớp vắng 5 em, trồng được 120 cây. Đợt hai Trang 10
lớp vắng 3 em, trồng được 160 cây. Đợt ba lớp không vắng em nào, trồng được 315 cây. Biết rằng một học sinh có mặt cả ba đợt trồng cây có số cây trồng đợt thứ ba bằng tổng số cây trồng được của cả hai đợt trước. Tính số học sinh của lớp.
CI AL
Câu 5: Người ta hòa lẫn 4 kg chất lỏng I với 3 kg chất lỏng II thì được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700 kg / m3 . Biết rằng khối lượng riêng của chất lỏng I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng II là 200 kg / m3 . Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
Dạng 1: Toán về quan hệ giữa các số Câu 1:
OF
Gọi chữ số hàng chục là x x * ,0 x 9 . Chữ số hàng đơn vị là 12 x
FI
LỜI GIẢI
Giá trị của số đã cho là 10x 12 x
Vì tích của hai chữ số nhỏ hơn số đã cho là 16 nên ta có phương trình:
ƠN
x 12 x 10x 12 x 16 12x x2 9x 4 x2 3x 4 0
Có a b c 1 3 4 0 nên phương trình có nghiệm là x1 1 (loại); x2 4 (thỏa mãn). Vậy số cần tìm là 48.
NH
Câu 2:
Gọi số tự nhiên nhỏ là x, x * . Khi đó số tự nhiên liền sau là x 1 Tích của hai số là x x 1 , tổng của hai số là: 2x 1
Theo bài ra ta có phương trình: x x 1 2x 1 109 x2 x 110 0
Y
Phương trình có nghiệm là x1 11 (thỏa mãn) và x2 10 (không thỏa mãn).
QU
Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12. Câu 3:
Gọi số thứ nhất là x x , x 5 . Số thứ hai là x 5 Vì tổng bình phương hai số là 125, nên ta có phương trình: 2
KÈ M
x2 x 5 125 x2 x2 10x 25 125 2x2 10x 100 0 x2 5x 50 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 10 (thỏa mãn) và x2 5 (loại). Vậy số thứ nhất là 10, số thứ hai là 5. Câu 4:
Y
Gọi tử số của phân số cần tìm là x x . Mẫu số của phân số cần tìm là x 9
DẠ
Phân số cần tìm là
x x9
x 9
Khi bớt tử số đi 1 đơn vị và bớt mẫu số đi 1 đơn vị, ta được phân số
x 1 (điều kiện x 8 ). x8
Theo bài ra ta có phương trình: Trang 11
x9
x8 x x 1 x 8 x 9 x2 x x2 17x 72 18x 72 x 4 (thỏa mãn). x 1
Vậy phân số cần tìm là
4 . 5
CI AL
x
Dạng 2. Toán chuyển động Bài toán cơ bản Câu 1: Vận tốc khi đi từ B trở về A là x 9 (km/h). 90
x
(giờ); thời gian xe máy lúc về là
1 giờ) và thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở về A là 5 giờ nên ta 2
Vì thời gian nghỉ là 30 phút ( có phương trình:
x
90 x 9 90x 9 90 1 20x 90 1 5 x2 9x 40x 180 x2 31x 180 0 x9 2 x x 9 2 x x 9 2
ƠN
90
90 (giờ). x9
OF
Thời gian xe máy lúc đi là
FI
Gọi vận tốc của xe máy khi đi từ A đến B là x (km/h). Điều kiện x 0 .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 36 (thỏa mãn) và x2 5 (loại).
NH
Vậy vận tốc lúc đi là 36 (km/h). Câu 2: Đổi 3 phút
1 giờ. 20 120
x
(giờ).
QU
Thời gian dự định của ô tô là
Y
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h). Điều kiện: x 0 .
Thời gian ô tô đi nửa quãng đường đầu là
60
x
(giờ).
Vận tốc của ô tô trên nửa quãng đường sau là x 2 (km/h).
KÈ M
Do đó thời gian ô tô đi nửa quãng đường còn lại là
60 (giờ). x2
Do xe đến B đúng hẹn nên ta có phương trình:
60
x
60 1 120 60 60 1 120 1 x2 2x 2400 0 x 2 20 x x x 2 20 x x 2 20
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 48 (thỏa mãn) và x2 50 (loại).
DẠ
Câu 3:
Y
Vậy vận tốc dự định của ô tô là 48 (km/h). Gọi vận tốc của người đi xe đạp lúc đi là x (km/h). Điều kiện: x 0 Vận tốc của người đi xe đạp lúc về là x 3 (km/h). Thời gian của người đi xe đạp lúc đi là
30
x
(giờ). Trang 12
36 (giờ). x3
Thời gian của người đi xe đạp lúc về là
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút (
30
x
1 giờ) nên ta có phương trình: 3
36 1 90 6x 1 x2 3x 270 18x x2 21x 270 0 x3 3 x x 3 3
FI
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 9 (thỏa mãn) và x2 30 (loại). Câu 4: Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là x (km/h). Điều kiện: x 0 Vận tốc của ô tô thứ hai là x 10 (km/h).
Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là
x
(giờ).
ƠN
150
OF
Vậy vận tốc lúc đi của người đi xe đạp là 9 (km/h).
Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là
CI AL
Do quãng đường lúc về dài hơn lúc đi là 6 km nên quãng đường của người đi xe đạp lúc về là: 30 6 36 (km).
150 (giờ). x 10
1 giờ) nên ta có phương trình: 2
NH
Vì xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai là 30 phút (
150 150 1 1500 1 x2 10x 3000 x2 10x 3000 0 x 10 x 2 x x 10 2
Y
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 60 (thỏa mãn) và x2 50 (loại). Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là 60 km/h; vận tốc của ô tô thứ hai là 50 km/h.
QU
Câu 5:
Gọi vận tốc ca nô khi nước yên lặng là x (km/h). Điều kiện: x 4 Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là x 4 (km/h); vận tốc ca nô khi ngược dòng là x 4 (km/h).
KÈ M
Thời gian ca nô chạy khi xuôi dòng là
48 (giờ). x4
Thời gian ca nô chạy khi ngược dòng là
48 (giờ). x4
Vì thời gian cả đi và về là 5 giờ nên ta có phương trình:
Y
48 48 96x 5 5 5x2 80 96x 5x2 96x 80 0 x4 x4 x 4 x 4
DẠ
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 20 (thỏa mãn) và x2
4 (loại). 5
Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 20 km/h. Câu 6:
Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h). Điều kiện: x 3 Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là x 3 (km/h); vận tốc ca nô khi ngược dòng là x 3 (km/h). Trang 13
Thời gian ca nô chạy khi xuôi dòng là
41 giờ. 10
Tổng thời gian cả đi, về và nghỉ là 10 giờ 36 phút – 6 giờ 30 phút = Ta có phương trình:
CI AL
1 giờ). 2
48 x 3 48 x 3 36 48 48 1 41 x 3 x 3 2 10 x2 9 10 96x 36 8x 3 2 2 3x2 80x 27 0 x 9 10 x 9 10
1 (loại). 3
OF
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 27 (thỏa mãn) và x2
FI
Thời gian nghỉ là 30 phút (
48 48 (giờ) và thời gian ca nô chạy khi ngược dòng là (giờ). x3 x3
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 27 km/h. Bài tập nâng cao
ƠN
Câu 7: Xe máy đi trước ô tô khoảng thời gian là: 6 giờ 30 phút – 6 giờ = 30 phút = Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h). Điều kiện: x 0
1 giờ. 2
Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là
90
x
x
(giờ).
90 (giờ). x 15
1 giờ và hai xe đều tới B cùng một lúc nên ta có phương trình: 2
QU
Do xe máy đi trước ô tô
90
Y
Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là
NH
Vì vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h nên vận tốc của ô tô là x 15 (km/h).
1 90 90.2 x 15 x x 15 90.2x 180x 2700 x2 15x 180x x2 15x 2700 0 2 x 15
KÈ M
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 45 (thỏa mãn) và x2 60 (loại). Vậy vận tốc của xe máy là 45 (km/h); vận tốc của ô tô là 60 (km/h). Câu 8:
Do ca nô xuất phát từ A cùng với bè nứa nên thời gian của ca nô bằng thời gian bè nứa:
8 2 (giờ). 4
Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h). Điều kiện: x 4
Y
Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là x 4 (km/h).
DẠ
Vận tốc ca nô khi ngược dòng là x 4 (km/h). Thời gian ca nô khi xuôi dòng là
24 (giờ) x4
Khoảng cách BC là 24 8 16 (km).
Trang 14
Thời gian ca nô khi ngược dòng từ B đến C là
24 16 40x 32 2 2 2x2 32 40x 32 2x2 40x 0 x4 x4 x 4 x 4
CI AL
Theo bài ra, ta có:
16 (giờ). x4
x 0 2x x 20 0 x 20 do x 4 x 20 Vậy vận tốc riêng của ca nô là 20 km/h. Câu 9:
FI
Gọi vận tốc ngược dòng của ca nô x (km/h). Điều kiện: x 10 .
Thời gian ngược dòng của ca nô là Thời gian xuôi dòng của ca nô là
18
x
OF
Vận tốc xuôi dòng của ca nô là x 6 (km/h). (giờ).
45 (giờ). x6
ƠN
Vì thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ nên ta có phương trình:
45 18 27x 108 1 1 27x 108 x2 6x x2 21x 108 0 x6 x x x 6
NH
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 12 (thỏa mãn) và x2 9 (loại do x 10 ). Vậy vận tốc ngược dòng của ca nô là 12 km/h; vận tốc xuôi dòng của ca nô là 18 km/h. Dạng 3: Toán về năng suất lao động Câu 1:
Y
Gọi số sản phẩm mỗi ngày xưởng đó cần làm theo kế hoạch là x (sản phẩm). Điều kiện: x * ; x 1100
QU
Số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng đó làm được trong thực tế là x 5 (sản phẩm). Số ngày phân xưởng đó cần làm theo kế hoạch là
KÈ M
Số ngày phân xưởng đó cần làm theo thực tế là
1100
x
(ngày).
1100 (ngày). x5
Vì phân xưởng đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày nên ta có phương trình:
1100 x 5 1100x 1100 1100 5500 2750 2 2 2 2 2 1 x2 5x 2750 0 x x5 x x 5 x 5x x 5x Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 50 (thỏa mãn) và x2 55 (loại). Câu 2:
Y
Vậy theo kế hoạch thì mỗi ngày phân xưởng đó cần làm 50 sản phẩm.
DẠ
Gọi số xe của đội lúc đầu là x (xe). Điều kiện: x * . Số xe thực tế của đội là x 4 (xe). Lúc đầu, lượng hàng mỗi xe phải chở là
240
x
(tấn). Trang 15
Lúc thêm 4 xe, lượng hàng mỗi xe phải chở là
240 (tấn). x4
240
x
CI AL
Do bổ sung thêm 4 xe thì mỗi xe chở ít hơn 3 tấn hàng nên ta có phương trình: 240 960 3 3 960 3x2 12x 3x2 12x 960 0 x2 4x 320 0 x4 x x 4
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 16 (thỏa mãn); x2 20 (loại). Vậy lúc đầu đội có 16 xe.
FI
Câu 3:
Thời gian dự kiến của tổ là
600
x
(ngày).
Thời gian làm 400 sản phẩm đầu của tổ là
400
x
(ngày).
Do đó thời gian làm số sản phẩm còn lại là
ƠN
Số sản phẩm còn lại khi đó là 600 400 200 (sản phẩm).
OF
Gọi số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là x (sản phẩm). Điều kiện: x * ; x 600
200 (ngày). x 10
Vì thực tế công việc hoàn thành sớm hơn dự kiến 1 ngày nên ta có phương trình:
2000 x2 10 x2 10x 2000 0
NH
200 x 10 200x 600 400 200 200 200 1 1 1 x x x 10 x x 10 x x 10
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 40 (thỏa mãn) và x2 50 (loại).
Y
Vậy số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là 40 sản phẩm.
QU
Câu 4:
Gọi số tàu dự định của đội là x (chiếc). Điều kiện: x * Số tàu thực tế tham gia vận chuyển hàng là x 1 (chiếc).
KÈ M
Số tấn hàng mỗi tàu phải chở theo dự định là
Số tấn hàng mỗi tàu phải chở trong thực tế là
280
x
(tấn).
286 (tấn). x 1
Vì thực tế mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng nên ta có phương trình:
280
x
286 280 6x 2 2 280 6x 2x2 2x x2 4x 140 0 x 1 x x 1
Y
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 10 (thỏa mãn) và x2 14 (loại).
DẠ
Vậy đội tàu lúc đầu có 10 chiếc. Câu 5:
Gọi số sản phẩm mỗi ngày người thợ đó cần làm theo dự định là x (sản phẩm). Điều kiện: x * ; x 2
Trang 16
120
Số ngày cần làm theo dự định là
x
(ngày).
CI AL
Trong 50 sản phẩm đầu, mỗi ngày người thợ đó làm được x 2 (sản phẩm) nên số ngày làm 50 sản phẩm 50 đầu là (ngày). x2 Số sản phẩm còn lại là 120 50 70 (sản phẩm) và mỗi ngày người thợ đó làm được x 2 (sản phẩm) 70 nên số ngày làm 70 sản phẩm sau là (ngày) x2
FI
Do thực tế người đó hoàn thành đúng như dự định nên ta có phương trình:
OF
50 70 120 120x 40 120 120x2 40x 120x2 480 x 12 (thỏa mãn điều kiện). x2 x2 x x2 4 x
Vậy số sản phẩm mỗi ngày người thợ đó cần làm theo dự định là 12 sản phẩm. Dạng 4. Toán công việc làm chung, riêng Câu 1: 12 giờ. 5
ƠN
Đổi 2 giờ 24 phút
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ). Điều kiện: x
12 5
1
Một giờ vòi thứ nhất chảy được
1 (bể). x2
x
12 5 bể nên ta có phương trình: 5 12
QU
Một giờ cả hai vòi chảy được 1: 1
(bể).
Y
Một giờ vòi thứ hai chảy được
x
NH
Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x 2 (giờ).
1 5 2x 2 5 5x2 10x 24x 24 5x2 14x 24 0 x 2 12 x x 2 12
KÈ M
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 4 (thỏa mãn), x2
6 (loại). 5
Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là 4 (giờ) và thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là 6 (giờ). Câu 2:
36 giờ. 5
Y
Đổi 7 giờ 12 phút
DẠ
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ). Điều kiện:
36 0 30 5
Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 30 x (giờ). Một giờ vòi thứ nhất chảy được
1
x
(bể).
Trang 17
1 (bể). 30 x
Một giờ cả hai vòi chảy được 1:
1
x
36 5 bể nên ta có phương trình: 5 36
1 5 30 5 150x 5x2 1080 x2 30x 216 0 30 x 36 x 30 x 36
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 18 (thỏa mãn), x2 12 (thỏa mãn).
CI AL
Một giờ vòi thứ hai chảy được
Câu 3: Thời gian lớp 9B hoàn thành xong công việc là x 5 (giờ).
Trong 1 giờ, lớp 9B làm được
1
x
x
(công việc).
1 (công việc). x5
1 công việc, nên ta có phương trình: 6
NH
Một giờ cả hai lớp làm được
1
ƠN
Trong 1 giờ, lớp 9A làm được
OF
Gọi thời gian lớp 9A hoàn thành công việc là x (giờ). Điều kiện: x 6
FI
Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là 18 (giờ) và thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là 12 (giờ) hoặc ngược lại.
1 1 2x 5 1 x2 5x 12x 30 x2 17x 30 0 . x5 6 x x 5 6
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 15 (thỏa mãn), x2 2 (loại).
Câu 4: Đổi 4 giờ 48 phút
24 giờ. 5
QU
Y
Vậy thời gian lớp 9A hoàn thành công việc trong 15 giờ và thời gian lớp 9B hoàn thành công việc trong 10 giờ.
KÈ M
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (giờ). Điều kiện: x
24 5
Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x 4 (giờ). Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được
Y
Trong 1 giờ, người thứ hai làm được
DẠ
Một giờ cả hai người làm được 1:
1
x
1
x
(công việc).
1 (công việc). x4
24 5 công việc, nên ta có phương trình: 5 24
1 5 2x 4 5 5x2 20x 48x 96 5x2 28x 96 0 x 4 24 x x 4 24
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 8 (thỏa mãn), x2
12 (loại). 5
Trang 18
Vậy một mình người thứ nhất làm trong 8 giờ thì xong công việc, một mình người thứ hai làm trong 12 giờ thì xong công việc.
CI AL
Dạng 5. Toán có nội dung hình học Câu 1: Nửa chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là
34 17 (m). 2
Gọi chiều dài mảnh đất đó là x (m). Điều kiện: 0 x 17 Chiều rộng mảnh đất là 17 x (m)
FI
Vì độ dài đường chéo bằng 13 m nên theo định lí Pytago ta có phương trình:
x2 17 x 132 x2 289 34x x2 169 x2 17x 60 0 2
OF
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 12 (thỏa mãn), x2 5 (loại vì chiều dài nhỏ hơn chiều rộng).
Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là 12 m và 5 m. Câu 2:
ƠN
Gọi độ dài chiều cao của tam giác là x (dm). Điều kiện: x 0 . Độ dài cạnh đáy của tam giác là
4 x (dm). 3
Diện tích của tam giác ban đầu là
1 4 4 .x. x x2 dm2 . 2 3 6
NH
Độ dài chiều cao của tam giác sau khi tăng thêm 3 dm là x 3 (dm). 4 x 3 (dm). 3
Y
Độ dài cạnh đáy của tam giác sau khi giảm 3 dm là
QU
Diện tích của tam giác sau khi thay đổi kích thước là
1 4 x 3 x 3 dm2 2 3
Vì diện tích của tam giác tăng thêm 12 dm2 nên ta có phương trình: 1 4 4 4 1 9 4 1 33 x 3 x 3 12 x2 x2 x 12 x2 x x 33 (thỏa mãn). 2 6 6 2 2 6 2 2 3
Câu 3:
KÈ M
Vậy độ dài chiều cao tam giác là 33 dm; độ dài cạnh đáy là 44 dm.
Nửa chu vi lúc đầu của mảnh vườn là
136 68 (m). 2
Gọi chiều dài mảnh vườn là x (m). Điều kiện 0 x 68 Chiều rộng mảnh vườn là 68 x (m).
Y
Diện tích ban đầu của mảnh vườn là x 68 x m2
DẠ
Chiều dài của mảnh vườn sau khi tăng thêm 5 m là x 5 (m). Chiều rộng của mảnh vườn sau khi tăng thêm 3 m là 71 x (m).
Diện tích của mảnh vườn sau khi thay đổi kích thước là x 5 71 x m2 Vì diện tích mảnh vườn tăng thêm 255 m2 , nên ta có phương trình:
Trang 19
x 5 71 x x 68 x 255 x2 66x 355 68x x2 255 2x 100 x 50 (thỏa mãn). Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó lần lượt là 50 m và 18 m.
CI AL
Câu 4: Gọi chiều dài mảnh đất là x (m). Điều kiện x 0 Chiều rộng mảnh đất là
720
x
(m).
Chiều dài của mảnh đất khi tăng thêm 10 m là x 10 (m). 720
x
6 (m)
FI
Chiều rộng của mảnh đất khi giảm đi 6 m là
Vì diện tích mảnh đất không đổi, nên ta có phương trình:
6 720 x 10 720 6x 720x 6x2 660x 7200 720x x2 10x 1200 0 x Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 40 (thỏa mãn), x2 30 (loại). 720
OF
x 10
Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là 40 m và 18 m.
ƠN
Dạng 6. Các dạng khác Câu 1:
Gọi số hàng ghế trong phòng họp lúc đầu là x (hàng). Điều kiện: x * 300
x
(ghế).
NH
Số ghế trong mỗi hàng là
Số hàng ghế trong phòng họp lúc sau là x 1 (hàng). 300
x
2 (ghế).
Y
Số ghế trong mỗi hàng lúc sau là
Vì tổng số người đến dự họp là 357 người nên ta có phương trình: 2 357 x 1 300 2x 357x 2x2 302x 300 357x 2x2 55x 300 0 x 300
QU
x 1
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 20 (thỏa mãn), x2
15 (loại). 2
Câu 2:
KÈ M
Vậy lúc đầu phòng họp có 20 hàng ghế, mỗi hàng ghế có 15 ghế. Gọi số học sinh lớp 9A là x (học sinh). Điều kiện: x * ; x 5 Số cây mỗi bạn lớp 9A dự định trồng là
300
x
(cây).
Y
Sau khi 5 bạn tham gia chiến dịch an toàn giao thông thì lớp 9A còn lại x 5 (học sinh).
DẠ
Do đó mỗi bạn còn lại phải trồng
300 (cây). x5
Theo đề ra ta có phương trình:
300 300 1500 2 2 x2 5x 750 0 x5 x x x 5
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 30 (thỏa mãn), x2 25 (loại). Trang 20
Vậy lớp 9A có 30 học sinh. Câu 3: Số sản phẩm được giao của tổ II theo kế hoạch là 600 x (sản phẩm). 18 x (sản phẩm). 100
Số sản phẩm vượt mức của tổ II là 21% 600 x
21 600 x (sản phẩm). 100
Cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm nên ta có phương trình:
FI
Số sản phẩm vượt mức của tổ I là 18%x
CI AL
Gọi số sản phẩm được giao của tổ I theo kế hoạch là x (sản phẩm). Điều kiện: x * ; x 600
OF
18 21 x 600 x 120 18x 12600 21x 12000 3x 600 x 200 (thỏa mãn). 100 100
Vậy số sản phẩm được giao của tổ I là 200 sản phẩm, tổ II là 400 sản phẩm. Câu 4: Gọi số học sinh lớp là x (học sinh). Điều kiện: x ; x 5 120 (cây). x5
Số cây trồng của mỗi học sinh đợt một là
Số cây trồng của mỗi học sinh đợt hai là
x
(cây).
Y
Theo đề bài ra ta có phương trình:
160 (cây). x3 315
Số cây trồng của mỗi học sinh đợt ba là
NH
Số học sinh tham gia đợt hai là x 3 (học sinh).
ƠN
Số học sinh tham gia trồng cây đợt một là x 5 (học sinh).
QU
120 160 315 120x x 3 160x x 5 315 x 5 x 3 x5 x3 x 120x2 360x 160x2 800x 315x2 2520x 4725 280x2 1160x 315x2 2520x 4725 35x2 1360x 4725 0
KÈ M
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 35 (thỏa mãn), x2
27 (loại). 7
Vậy số học sinh của lớp là 35 học sinh. Câu 5:
Gọi khối lượng riêng của chất lỏng I là x kg / m3 . Điều kiện: x 200
Y
Khối lượng riêng của chất lỏng II là x 200 kg / m3
DẠ
Thể tích của chất lỏng I là Thể tích của chất lỏng II là Vì thể tích của hỗn hợp là
4
x
m 3
3 m3 x 200
7 1 m3 nên ta có phương trình: 700 100
Trang 21
3 1 400 x 200 300x x x 200 x x 200 100 400x 80000 300x x2 200x x2 900x 80000 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 800 (thỏa mãn), x2 100 (loại).
CI AL
4
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
OF
FI
Vậy khối lượng riêng của chất lỏng I là 800 kg / m3 , khối lượng riêng của chất lỏng II là 600 kg / m3 .
Trang 22
BÀI 8. BÀI TOÁN VỀ PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG
CI AL
Mục tiêu Kiến thức
+ Nhận biết và trình bày được điều kiện để đường thẳng d : y = mx + n và parabol
( P) : y = ax 2 (a ¹ 0) không cắt nhau; tiếp xúc nhau; cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
+ Vận dụng được định lí Vi-ét và hệ quả định lí Vi-ét vào giải các bài tập tìm giá trị tham số để
FI
đường thẳng tiếp xúc với parabol; đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thỏa mãn một biểu thức đối xứng, biểu thức không đối xứng hoặc liên quan đến tung độ.
OF
Kĩ năng
Biết cách lập phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng và parabol.
+
Rèn luyện được kỹ năng tính toán chính xác, trình bày cẩn thận.
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
NH
ƠN
+
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho đường thẳng d : y = mx + n và parabol ( P) : y = ax 2 (a ¹ 0) . Khi đó số giao điểm của d và (P)
CI AL
bằng đúng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của chúng. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) là
ax 2 = mx + n Û ax 2 - mx - n = 0 . (1) Phương trình (1) có biệt thức D = m 2 + 4an .
FI
Nếu D < 0 thì đường thẳng d và parabol (P) không có
ƠN
OF
giao điểm hay đường thẳng d không cắt parabol (P).
NH
Nếu D = 0 thì đường thẳng d và parabol (P) có một giao
QU
Y
điểm hay đường thẳng d tiếp xúc với parabol (P).
Nếu D > 0 thì đường thẳng d và parabol (P) có hai giao
DẠ
Y
phân biệt.
KÈ M
điểm hay đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Tìm tham số để đường thẳng tiếp xúc parabol, tìm tọa độ tiếp điểm Phương pháp giải Trang 2
Ví dụ: Cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng
( P) : y = ax 2 (a ¹ 0) .
d : y = x + m . Tìm m để d và (P) tiếp xúc nhau.
Ta thực hiện theo các bước sau
Khi đó hãy tìm tọa độ tiếp điểm.
Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của
Hướng dẫn giải
d và (P)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và
ax 2 = mx + n Û ax 2 - mx - n = 0 (∗)
(P) ta có
CI AL
Giả sử đường thẳng là d : y = mx + n và parabol là
Bước 2. Lập luận để d tiếp xúc với (P) khi và chỉ
x 2 = x + m Û x 2 - x - m = 0 . (∗)
khi phương trình (∗) có nghiệm kép
Có D = (-1) - 4.1.(-m) = 1 + 4m .
Û D = 0 (hoặc D¢ = 0 ) thì tìm được tham số.
FI
2
OF
d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (∗)
Bước 3. Thay giá trị tham số tìm được vào phương
có nghiệm kép
trình (∗) ta tìm được x, thay x vừa tìm được vào
1 Û D = 0 Û 1 + 4m = 0 Û m = - . 4
y = ax hoặc y = mx + n thì tìm được y và kết 2
1 Với m = - , thay vào (∗) ta được 4
ƠN
luận.
NH
1 1 1 x2 - x + = 0 Û x = Þ y = . 4 2 4
Vậy với m = -
1 thì d tiếp xúc với (P) và tọa độ 4
Y
æ1 1ö tiếp điểm là Açç ; ÷÷÷ . çè 2 4 ø
QU
Ví dụ mẫu
1 Ví dụ. Cho parabol ( P) : y = - x 2 và đường thẳng d : y = mx - 2m -1 . Tìm giá trị của m sao cho d tiếp 4
xúc với (P). Khi đó tìm tọa độ tiếp điểm giữa (P) và (d).
KÈ M
Hướng dẫn giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có 1 - x 2 = mx - 2m -1 Û x 2 + 4mx - 8m - 4 = 0 . (∗) 4
Phương trình (∗) có D¢ = (2m) -1.(-8m - 4) = 4m 2 + 8m + 4 = 4 (m + 1) . 2
2
Y
Để d tiếp xúc (P) khi và chỉ khi phương trình (∗) có nghiệm kép Û D¢ = 0 Û 4 (m + 1) = 0 Û m + 1 = 0 Û m = -1 .
DẠ
2
Thay m = -1 vào (∗), ta được 1 2 x 2 - 4 x + 4 = 0 Û ( x - 2) = 0 Û x = 2 Þ y = - .22 = -1 . 4
Trang 3
Vậy với m = -1 thì d tiếp xúc với (P) và tọa độ tiếp điểm là A(2; -1) . Bài tập tự luyện dạng 1
CI AL
Câu 1: Cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2 (m + 3) x - m 2 - 3 . Tìm m để d tiếp xúc với (P). Khi đó hãy tìm tọa độ tiếp điểm.
Câu 2: Cho parabol và đường thẳng (d ) : y = 2 x + 3m . Tìm các giá trị của m để (d) và (P) tiếp xúc nhau. Khi đó hãy tìm tọa độ tiếp điểm.
Dạng 2. Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, hoành độ thỏa mãn một
FI
biểu thức đối xứng Phương pháp giải
Ví dụ: Cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng
là ( P) : y = ax 2 (a ¹ 0) . Ta thực hiện theo các
d : y = 2mx - 2m + 1 . Tìm m để d cắt (P) tại hai
bước sau
điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn
Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm
x12 + x2 2 = 2 .
ƠN
của d và (P)
OF
Giả sử đường thẳng d : y = mx + n và parabol
Hướng dẫn giải
ax 2 = mx + n Û ax 2 - mx - n = 0 . (∗)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
và B khi và chỉ khi phương trình (∗) có hai
x 2 = 2mx - 2m + 1 Û x 2 - 2mx + 2m -1 = 0 . (∗)
nghiệm phân biệt Û D > 0 (hoặc D¢ > 0 ).
NH
Bước 2. d và (P) cắt tại hai điểm phân biệt A
Bước 3. Biến đổi biểu thức đối xứng với x A ,
Y
xB về dạng tổng x A + xB ; tích x A .xB rồi sử
KÈ M
của phương trình (∗).
QU
dụng định lí Vi-ét với x A , xB là hai nghiệm
D¢ = (-m) -1.(2m -1) = m 2 - 2m + 1 = (m -1) . 2
2
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt Û D¢ > 0 Û (m -1) > 0 Û m ¹ 1 . 2
ì b ï ï x1 + x2 = - = 2m ï ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ï c ï x1 x2 = = 2m -1 ï ï a ï î
Theo bài ra x12 + x2 2 = 2 Û ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 = 2 . (∗∗) 2
Thay x1 + x2 = 2m ; x1 x2 = 2m -1 vào (∗∗) ta được
(2m) - 2.(2m -1) = 2 Û 4m 2 - 4m + 2 = 2
DẠ
Y
2
ém = 0 . Û 4m (m -1) = 0 Û ê êë m = 1
Kết hợp với điều kiện m ¹ 1 ta được m = 0 . Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. Trang 4
Một số điều kiện và phép biến đổi cần nhớ
CI AL
Hai điểm A và B nằm cùng một phía trục Oy khi x A , xB cùng dấu. Hai điểm A và B nằm bên phải trục Oy khi x A , xB cùng dương. Hai điểm A và B nằm bên trái trục Oy khi x A , xB cùng âm. Hai điểm A và B nằm về hai phía trục Oy khi x A , xB trái dấu.
FI
Công thức tính y A theo x A và tính yB theo xB Cách 1. Tính theo (P): vì A, B Î ( P) : y = ax 2 nên y A = ax A 2 ; yB = axB 2 . Giả sử: x A = x1 ; xB = x2 .
OF
Cách 2. Tính theo d: vì A, B Î d : y = mx + n nên y A = mx A + n ; yB = mxB + n .
x12 + x2 2 = x12 + 2 x1 x2 + x2 2 - 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 .
x1 - x2 thì xét x1 - x2 = ( x1 - x2 ) = x12 - 2 x1 x2 + x2 2 = ( x1 + x2 ) - 4 x1 x2 .
x1 + x2 thì xét
2
2
= x1 + x2 + 2 x1 x2 = x12 + x2 2 + 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 2 x1 x2 . 2
2
2
ì b ï ï ï x1 + x2 = - a ³ 0 . x2 thì cần thêm điều kiện phụ x1 ³ 0 ; x2 ³ 0 Û ïí ï c ï x1 x2 = ³ 0 ï ï a ï î
x1 ,
Y
2
NH
( x1 + x2 )
2
ƠN
2
Nếu bình phương hai vế ta cần thêm điều kiện phụ là hai vế lớn hơn hoặc bằng 0.
QU
ì b ï ï x1 + x2 = - > 0 ï ï a . x1 , x2 là độ dài hai cạnh tam giác ta cần thêm điều kiện phụ x1 , x2 > 0 Û í ï c ï x1 x2 = > 0 ï ï a ï î
KÈ M
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho Parabol ( P) : y = x 2 và d : y = (2m + 3) x + 2m + 4 . Tìm m để (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 5 . Hướng dẫn giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
DẠ
Y
x 2 = (2m + 3) x + 2m + 4 Û x 2 - (2m + 3) x - 2m - 4 = 0 . (∗) Phương trình (∗) có a - b + c = 1 + (2m + 3) - 2m - 4 = 0 nên phương trình có hai nghiệm x1 = -1 ;
x2 = 2m + 4 .
Trang 5
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt
CI AL
5 Û x1 ¹ x2 Û -1 ¹ 2m + 4 Û m ¹ - . 2
Theo bài ra x1 + x2 = 5 Û 1 + 2m + 4 = 5 Û 2m + 4 = 4
é 2m + 4 = 4 ém = 0 5 (thỏa mãn m ¹ - ). Ûê Ûê êë 2m + 4 = -4 êë m = -4 2
Vậy m Î {-4;0} là giá trị cần tìm.
FI
Ví dụ 2. Cho ( P) : y = x 2 và d : y = 2 (m + 1) x - 2m . Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành
Hướng dẫn giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
ƠN
x 2 = 2 (m + 1) x - 2m Û x 2 - 2 (m + 1) x + 2m = 0
OF
độ x1 , x2 là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 12 .
D¢ = éë-(m + 1)ùû -1.2m = m 2 + 2m + 1- 2m = m 2 + 1 > 0 , "m . 2
Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 với mọi m.
NH
ìï b ïï x1 + x2 = - = 2m + 2 a Theo định lí Vi-ét ta có ïí . ïï c ïï x1 x2 = = 2m a îï
Y
Do x1 , x2 là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật nên x1 > 0 , x2 > 0
QU
ïì x + x2 > 0 ìïï2m + 2 > 0 Û ïí 1 Ûí Û m>0. ïîï x1 x2 > 0 ïîï2m > 0
Mặt khác hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng
12 nên theo định lí Py-ta-go ta có
x12 + x2 2 = 12 Û ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 = 12 . 2
KÈ M
Thay x1 + x2 = 2m + 2 ; x1 x2 = 2m vào ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 = 12 ta được 2
(2m + 2) - 2.2m = 12 Û 4m 2 + 8m + 4 - 4m = 12 2
ém = 1 . Û 4m 2 + 4m - 8 = 0 Û m 2 + m - 2 = 0 Û ê êë m = -2
Y
Kết hợp với điều kiện m > 0 ta được m = 1 .
DẠ
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 3. Cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2mx - m + 1 . Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn
x1 + x2 = 2 .
Hướng dẫn giải Trang 6
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
æ 1ö 3 D¢ = (-m) -1.(m -1) = m - m + 1 = ççm - ÷÷÷ + > 0 , "m . çè 2ø 4 2
2
2
Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 với mọi m.
x1 ;
x2 cần có x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
OF
Để tồn tại
FI
ì b ï ï ï x1 + x2 = - a = 2m Theo định lí Vi-ét ta có ï . í ï c ï x1 x2 = = m -1 ï ï a ï î
x1 + x2 = 2 Û x1 + x2 + 2 x1 x2 = 4
Vậy m =
QU
ì1 £ m £ 2 ï ï ï ï é ï êm = 5 + 5 ï 5- 5 ï . Û íê Ûm= 2 ê ï 2 ï ê ï ï êm = 5 - 5 ï ê ï 2 ï îë
Y
ì2 - m ³ 0 ì1 £ m £ 2 ï ï ï Ûï Û í í 2 2 ï ï m -1 = m - 4 m + 4 ï ïm - 5m + 5 = 0 î î
NH
Û 2 m + 2 m -1 = 4 Û m -1 = 2 - m
ƠN
ìï x + x2 ³ 0 ìïï2m ³ 0 Û ïí 1 Ûí Û m ³ 1. ïîï x1 x2 ³ 0 ïîïm -1 ³ 0 Khi đó
CI AL
x 2 = 2mx - m + 1 Û x 2 - 2mx + m -1 = 0 . (∗)
5- 5 là giá trị cần tìm. 2
Bài tập tự luyện dạng 2
KÈ M
Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = mx + 2 . Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho x12 + x2 2 - 3 x1 x2 = 14 . Câu 2: Cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2 (m - 2) x - 4m + 13 . Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho biểu thức A = x12 + x2 2 + 4 x1 x2 + 2018 đạt giá trị nhỏ nhất.
Y
Câu 3: Cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2 (m -1) x - 2m + 5 . Tìm m để d cắt (P) tại hai
DẠ
điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho biểu thức A = 4 x1 x2 - x12 - x2 2 đạt giá trị lớn nhất. Bài tập nâng cao 1 Câu 4: Cho Parabol ( P) : y = - x 2 và d : y = mx + 2m - 2 . Tìm m để (P) và d cắt nhau tại hai điểm 2
phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x1 - x2 = 1 . Trang 7
Câu 5: Cho Parabol ( P) : y = x 2 và d : y = (2m + 1) x - 2m . Tìm m để (P) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x1 - x2 = 2 .
CI AL
Câu 6: Cho ( P) : y = x 2 và d : y = 2 (m -1) x + 3 - 2m . Tìm m để d và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 là độ dài cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
10 .
Dạng 3. Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, hoành độ thỏa mãn một biểu thức không đối xứng
FI
Phương pháp giải
Ví dụ: Cho Parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng
Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P).
d : y = 2mx - m 2 + 4 . Tìm m để d cắt (P) tại hai
Bước 2. Tìm điều kiện để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
OF
Thực hiện theo các bước sau
điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn
x1 + 2 x2 = 3 .
Hướng dẫn giải
Cách 1. Kết hợp điều kiện của bài toán với b x1 + x2 = - để giải x1 , x2 theo tham số rồi a c thay x1 , x2 vừa giải được vào x1 x2 = . a
x 2 = 2mx - m 2 + 4 Û x 2 - 2mx + m 2 - 4 = 0 . (∗)
ƠN
Bước 3. Áp dụng định lí Vi-ét tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm sau đó thực hiện một trong hai cách sau
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
NH
Û D¢ = (-m) -1.(m 2 - 4) = m 2 - m 2 + 4 = 4 > 0
Trường hợp 1: Xét x1 =
-b + D -b - D ; x2 = . 2a 2a
KÈ M
Trường hợp 2:
-b - D -b + D ; x2 = . 2a 2a
DẠ
Y
Xét x1 =
QU
Y
Cách 2. Nếu tính D hoặc D¢ mà ra một biểu thức bình phương thì ta tìm hai nghiệm đó và phải xét hai trường hợp:
2
, "m .
Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 với mọi m. ì b ï ï x1 + x2 = - = 2m ï ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ï c 2 ï x1 x2 = = m - 4 ï ï a ï î
Kết hợp với điều kiện x1 + 2 x2 = 3 ta được
ìïï x1 + x2 = 2m ìïï x2 = 3 - 2m ìï x = 3 - 2m . Ûí Û ïí 2 í ïîï x1 + 2 x2 = 3 ïîï x1 + x2 = 2m ïîï x1 = 4m - 3 Thay x1 = 4m - 3 ; x2 = 3 - 2m vào x1 x2 = m 2 - 4 ta được
(4m - 3)(3 - 2m) = m 2 - 4 Û 18m - 8m 2 - 9 = m 2 - 4
é 5 êm = ê 3 Û 9m 2 -18m + 5 = 0 Û ê (thỏa mãn). 1 ê êm = êë 3
ì1 5ï ü ï Vậy m Î í ; ý là giá trị cần tìm. ï ï 3 3ï ï î þ
Trang 8
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = x - m -1 . Tìm m để d và (P) cắt nhau tại hai
CI AL
điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x12 + x1 x2 + 3 x2 = 7 . Hướng dẫn giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
x 2 = x - m -1 Û x 2 - x + m + 1 = 0 . (∗) D = (-1) - 4.1.(m + 1) = 1- 4m - 4 = -4m - 3 . 2
OF
FI
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt 3 Û D > 0 Û -4 m - 3 > 0 Û m < - . 4 ì b ï ï x1 + x2 = - = 1 ï ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ï c ï x1 x2 = = m + 1 ï ï a ï î
NH
Từ (1) Þ x2 = 1- x1 , thay vào (2) ta được
ƠN
ïì x1 + x2 = 1 (1) Kết hợp với điều kiện x12 + x1 x2 + 3 x2 = 7 , ta được hệ ïí 2 ïï x1 + x1 x2 + 3 x2 = 7 (2) î
x12 + x1 (1- x1 ) + 3(1- x1 ) = 7 Û x12 + x1 - x12 + 3 - 3 x1 = 7
Û 2 x1 = -4 Û x1 = -2 Þ x2 = 3 .
Y
Thay x1 = -2 , x2 = 3 vào x1 x2 = m + 1 ta được
QU
(-2).3 = m +1 Û m +1 = -6 Û m = -7 (thỏa mãn). Vậy m = -7 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2. Cho parabol ( P) : y = 2 x 2 và đường thẳng d : y = (m + 1) x - m + 1 . Tìm m để d cắt (P) tại hai
KÈ M
điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x1 - 2 x2 = 5 . Hướng dẫn giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
2 x 2 = (m + 1) x - m + 1 Û 2 x 2 - (m + 1) x + m -1 = 0 . (∗) Phương trình (∗) có a + b + c = 2 - (m + 1) + m -1 = 0 nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1 ; m -1 . 2
Y
x2 =
DẠ
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt m -1 Û x1 ¹ x2 Û 1 ¹ Û m ¹ 3. 2 Trường hợp 1: x1 = 1 ; x2 =
m -1 ta có 2
Trang 9
x1 - 2 x2 = 5 Û 1- m -1 = 5 Û m -1 = -4 (loại).
x1 - 2 x2 = 5 Û
m -1 ; x2 = 1 ta có 2
CI AL
Trường hợp 2: x1 =
m -1 - 2.1 = 5 Û m -1 = 14 2
é m -1 = 14 é m = 15 (thỏa mãn). Ûê Ûê êë m -1 = -14 êë m = -13
FI
Vậy m Î {-13;15} là giá trị cần tìm. Bài tập tự luyện dạng 3
OF
Bài tập cơ bản
Câu 1. Cho Parabol ( P) : y = -x 2 và đường thẳng d : y = -mx - 2 . Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x1 + 2 x2 = 3 . biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x2 2 = x1 + 6 . Bài tập nâng cao
ƠN
Câu 2. Cho Parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 6 x - m + 1 . Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân
Câu 3. Cho Parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2 (m + 1) x + 3 . Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm
NH
phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn 2 x1 + x2 = 5 .
Câu 4. Cho Parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2 (m -1) x - m 2 + 2m + 3 . Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x1 + 1 = x2 .
Y
Câu 5. Cho Parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = (m - 3) x - m + 4 . Tìm m để d cắt (P) tại hai
QU
điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân. Dạng 4. Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, liên quan đến tung độ Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = x - m + 3 . Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân
KÈ M
biệt A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) thỏa mãn y1 + y2 = 3( x1 + x2 ) . Hướng dẫn giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
x 2 = x - m + 3 Û x 2 - x + m - 3 = 0 . (∗) D = (-1) - 4.1.(m - 3) = 1- 4m + 12 = 13 - 4m . 2
DẠ
Y
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt 13 Û D > 0 Û 13 - 4m > 0 Û m < . 4 ì b ï ï ï x1 + x2 = - a = 1 Theo định lí Vi-ét ta có ïí . ï c ï x1 x2 = = m - 3 ï ï a ï î
Trang 10
Vì A, B Î ( P) : y = ax 2 nên y1 = x12 ; y2 = x2 2 . Do đó y1 + y2 = 3( x1 + x2 ) Û x12 + x2 2 = 3( x1 + x2 ) Û ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 - 3( x1 + x2 ) = 0 . (∗∗)
CI AL
2
Thay x1 + x2 = 1 ; x1 x2 = m - 3 vào (∗∗), ta được
12 - 2 (m - 3) - 3.1 = 0 Û -2m + 4 = 0 Û 2m = 4 Û m = 2 (thỏa mãn). Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
FI
Ví dụ 2. Cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = mx + 3 . Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) thỏa mãn y1 + y2 - x1 x2 > 25 .
OF
Hướng dẫn giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
x 2 = mx + 3 Û x 2 - mx - 3 = 0 . D = (-m) - 4.1.(-3) = m 2 + 12 > 0 , "m .
ƠN
2
ì b ï ï x1 + x2 = - = m ï ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ï c ï x1 x2 = = -3 ï ï a ï î
Vì A, B Î ( P) : y = x 2 nên y1 = x12 ; y2 = x2 2 .
NH
Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.
Do đó, y1 + y2 - x1 x2 > 25 Û x12 + x2 2 - x1 x2 > 25 Û ( x1 + x2 ) - 3 x1 x2 > 25 . (∗) 2
Y
Thay x1 + x2 = m ; x1 x2 = -3 vào (∗), ta được
QU
ém > 4 (thỏa mãn). m 2 - 3.(-3) > 25 Û m 2 + 9 > 25 Û m 2 > 16 Û ê êë m < -4
ém > 4 Vậy ê là giá trị cần tìm. êë m < -4
KÈ M
Bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1. Cho parabol ( P) : y =
1 2 x và đường thẳng d : y = 2 x - m + 1 . Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm 2
phân biệt A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x1 x2 ( y1 + y2 ) = -48 .
Câu 2. Cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = (2m + 1) x - 2m . Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm
Y
phân biệt A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) sao cho biểu thức M = y1 + y2 - x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
DẠ
Câu 3. Cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2mx - m 2 + 1 . Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) thỏa mãn y1 - y2 > 4 .
Câu 4. Cho parabol ( P) : y = -x 2 và đường thẳng d : y = 2 x + m -1 . Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x1 y1 - x2 y2 - x1 x2 = -4 .
Trang 11
Dạng 5. Bài toán liên quan đến độ dài, diện tích Ghi nhớ một số công thức về khoảng cách
CI AL
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến một điểm Nếu A(a;0) Î Ox thì OA = x A = a . Nếu B (0; b) Î Oy thì OB = yB = b . Khoảng cách giữa hai điểm trên cùng một trục Ox hoặc Oy Nếu M , N Î Oy (hoặc MN//Oy) thì MN = yM - yN .
OF
Khoảng cách giữa hai điểm A( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) bất kỳ (công
FI
Nếu A, B Î Ox (hoặc AB//Ox) thì AB = x A - xB .
thức này cần chứng minh khi sử dụng)
AH = x A - xB . BH = y A - yB .
ƠN
AB = AH 2 + BH 2 = ( x A - xB ) + ( y A - yB ) . 2
2
Ví dụ mẫu
x2 và đường thẳng d : y = mx - m + 1 . Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân 2 S biệt A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) nằm về hai phía của trục tung sao cho DKOA = 2 (K là giao điểm của d với Oy). SDKOB
NH
Ví dụ. Cho parabol ( P) : y =
Hướng dẫn giải
Y
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
QU
x2 = mx - m + 1 Û x 2 - 2mx + 2m - 2 = 0 . (∗) 2
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung thì phương trình (∗) có hai nghiệm x1 ,
x2 trái dấu Û ac < 0 Û 2m - 2 < 0 Û m < 1 .
KÈ M
Giả sử x1 < 0 < x2 .
ì b ï ï x1 + x2 = - = 2m ï ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ï c ï x1 x2 = = 2m - 2 ï ï a ï î
Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của A và B trên Oy Þ AH = x1 ; BI = x2 .
DẠ
Y
Hai DKOA và DKOB có chung đáy OK nên tỉ số diện tích bằng tỉ số chiều cao. Theo đề bài, ta có
x SDKOA = 2 Û 1 = 2 Û x1 = 2 x2 . SDKOB x2
Mặt khác x1 < 0 < x2 Þ -x1 = 2 x2 .
Trang 12
ìï x + x2 = 2m ìïï x1 = 4m Giải hệ ïí 1 thay vào x1 x2 = 2m - 2 ta được Ûí ïîï-x1 = 2 x2 ïîï x2 = -2m
CI AL
4m.(-2m) = 2m - 2 Û 4m 2 + m -1 = 0
ì ï -1 + 17 ï m1 = ï ï 8 Ûï (thỏa mãn). í ï -1- 17 ï ï m2 = ï ï 8 î
FI
ì-1 + 17 -1- 17 ï ü ï ï Vậy m Î ï ; í ý là giá trị cần tìm. ï ï 8 8 ï ï î þ
OF
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1. Cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2 (m -1) x + m 2 + 2m . Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành. Tìm m sao cho OH 2 + OK 2 = 6 .
ƠN
Câu 2. Cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2mx + 4 . Chứng minh rằng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) . Gọi giao điểm của d với Oy là G; H và K là hình chiếu của A và B trên Ox. Tìm m để SDGHK = 8 .
NH
Câu 3. Cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2 x + m . Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân
biệt A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) nằm về hai phía của trục tung sao cho SDAOM = 3SDBOM (M là giao điểm của d
DẠ
Y
KÈ M
QU
Y
với Oy).
Trang 13
ĐÁP ÁN Dạng 1. Tìm tham số để đường thẳng tiếp xúc parabol, tìm tọa độ tiếp điểm
CI AL
Câu 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
x 2 = 2 (m + 3) x - m 2 - 3 Û x 2 - 2 (m + 3) x + m 2 + 3 = 0 . (∗)
D¢ = éë-(m + 3)ùû -1.(m 2 + 3) = m 2 + 6m + 9 - m 2 - 3 = 6m + 6 . 2
Thay m = -1 vào phương trình (∗), ta được x 2 - 4 x + 4 = 0 Û ( x - 2) = 0 Û x - 2 = 0 Û x = 2 Þ y = 2 2 = 4 .
Vậy m = -1 thì d tiếp xúc với (P) và tọa độ tiếp điểm là B (2; 4) . Câu 2.
OF
2
FI
Để d tiếp xúc với (P) thì phương trình (∗) có nghiệm kép khi và chỉ khi D¢ = 0 Û 6m + 6 = 0 Û m = -1 .
ƠN
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
x 2 = 2 x + 3m Û x 2 - 2 x - 3m = 0 . (∗) D¢ = (-1) -1.(-3m) = 1 + 3m . 2
Thay m = -
NH
1 Để d tiếp xúc với (P) thì phương trình (∗) có nghiệm kép khi và chỉ khi D¢ = 0 Û 1 + 3m = 0 Û m = - . 3 1 vào phương trình (∗), ta được 3
x 2 - 2 x + 1 = 0 Û ( x -1) = 0 Û x -1 = 0 Û x = 1 Þ y = 12 = 1 .
1 thì d tiếp xúc với (P) và tọa độ tiếp điểm là C (1;1) . 3
QU
Vậy m = -
Y
2
Dạng 2. Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, hoành độ thỏa mãn một biểu thức đối xứng Câu 1.
KÈ M
Bài tập cơ bản
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có x 2 = mx + 2 Û x 2 - mx - 2 = 0 . (∗) D = (-m) - 4.1.(-2) = m 2 + 8 > 0 , "m . 2
Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 với mọi m.
DẠ
Y
ì b ï ï x1 + x2 = - = m ï ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ï c ï x1 x2 = = -2 ï ï a ï î
Theo bài ra x12 + x2 2 - 3 x1 x2 = 14 Û ( x1 + x2 ) - 5 x1 x2 = 14 . (∗∗) 2
Trang 14
Thay x1 + x2 = m ; x1 x2 = -2 vào (∗∗) ta được
m 2 - 5 (-2) = 14 Û m 2 + 10 = 14 Û m 2 = 4 Û m = ±2 (thỏa mãn).
CI AL
Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm. Câu 2. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
x 2 = 2 (m - 2) x - 4m + 13 Û x 2 - 2 (m - 2) x + 4m -13 = 0 .
2 D¢ = éë-(m - 2)ùû -1.(4m -13) = m 2 - 4m + 4 - 4m + 13 = m 2 - 8m + 17 = (m - 4) + 1 > 0 , "m .
Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 với mọi m.
OF
ìï b ïï x1 + x2 = - = 2m - 4 a Theo định lí Vi-ét ta có ïí . ïï c ïï x1 x2 = = 4m -13 a îï
FI
2
2
ƠN
Theo bài ra A = x12 + x2 2 + 4 x1 x2 + 2018 = ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 + 2018 . Thay x1 + x2 = 2m - 4 ; x1 x2 = 4m -13 vào biểu thức A ta được
A = (2m - 4) + 2 (4m -13) + 2018 = 4m 2 -16m + 16 + 8m - 26 + 2018
NH
2
= 4m 2 - 8m + 2008 = 4 (m -1) + 2004 ³ 2004 , "m . 2
Vậy Amin = 2004 khi m -1 = 0 Û m = 1 .
Y
Câu 3.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
QU
x 2 = 2 (m -1) x - 2m + 5 Û x 2 - 2 (m -1) x + 2m - 5 = 0 .
D¢ = éë-(m -1)ùû -1.(2m - 5) = m 2 - 2m + 1- 2m + 5 = m 2 - 4m + 6 = (m - 2) + 2 > 0 , "m . 2
2
KÈ M
Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 với mọi m. ìï b ïï x1 + x2 = - = 2m - 2 ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ïï c ïï x1 x2 = = 2m - 5 a ïî 2 2 Theo bài ra A = 4 x1 x2 - x12 - x2 2 = 4 x1 x2 - éê( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 ùú = 6 x1 x2 - ( x1 + x2 ) . ë û
Y
Thay x1 + x2 = 2m - 2 ; x1 x2 = 2m - 5 vào biểu thức A ta được
DẠ
A = 6 (2m - 5) - (2m - 2) = 12m - 30 - 4m 2 + 8m - 4 = -4m 2 + 20m - 34 2
2 2 éæ æ 2 æ 17 ÷ö 5 ö÷ 9 ùú 5 ÷ö ê ç ç ç = -4 çm - 5m + ÷÷ = -4 êçm - ÷÷ + ú = -4 çm - ÷÷ - 9 £ -9 , "m . çè ç çè 2ø 2ø 4 úû 2ø êëè
Trang 15
CI AL
5 5 Vậy Amax = -9 khi m - = 0 Û m = . 2 2
Bài tập nâng cao Câu 4. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
FI
1 - x 2 = mx + 2m - 2 Û x 2 + 2mx + 4m - 4 = 0 . (∗) 2 D¢ = m 2 -1.(4m - 4) = m 2 - 4m + 4 = (m - 2) . 2
OF
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt Û D ¢ > 0 Û ( m - 2) > 0 Û m ¹ 2 .
ì b ï ï x1 + x2 = - = -2m ï ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ï c ï x1 x2 = = 4m - 4 ï ï a ï î
ƠN
2
Theo bài ra x1 - x2 = 1 Û ( x1 - x2 ) = 1 Û x12 - 2 x1 x2 + x2 2 = 1 Û ( x1 + x2 ) - 4 x1 x2 -1 = 0 . (∗∗) 2
NH
Thay x1 + x2 = -2m ; x1 x2 = 4m - 4 vào (∗∗) ta được
2
Y
é 5 êm = 2 ê 2 (thỏa mãn). (-2m) - 4 (4m - 4)-1 = 0 Û 4m 2 -16m +15 = 0 Û ê 3 ê êm = êë 2
QU
ì 3 5ü Vậy m Î ïí ; ïý là giá trị cần tìm. ï ï 2 2ï ï î þ
Câu 5.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
KÈ M
x 2 = (2m + 1) x - 2m Û x 2 - (2m + 1) x + 2m = 0 . (∗) D = (2m + 1) - 4.2m = 4m 2 + 4m + 1- 8m = 4m 2 - 4m + 1 = (2m -1) . 2
2
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt Û D > 0 Û (2m -1) > 0 Û m ¹ 2
1 . 2
DẠ
Y
ìï b ïï x1 + x2 = - = 2m + 1 ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ïï c ïï x1 x2 = = 2m a ïî
Theo bài ra x1 - x2 = 2 Û ( x1 - x2 ) = 4 Û ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 - 2 x1 x2 = 4 . (∗∗) 2
2
Trang 16
Thay x1 + x2 = 2m + 1 ; x1 x2 = 2m vào (∗∗) ta được
(2m +1) - 2.2m - 2 2m = 4 Û 4m 2 + 4m +1- 4m - 4 m - 4 = 0 Û 4m 2 - 4 m - 3 = 0 . (1) 2
CI AL
é 1 êm = ê 2 Trường hợp 1: Nếu m ³ 0 thì (1) Û 4m 2 - 4m - 3 = 0 Û ê . 3 ê êm = êë 2
FI
ì 1 ï ï m¹ 3 ï Kết hợp điều kiện í 2 ta được m = . ï 2 ï ï îm ³ 0
OF
é 3 êm = ê 2 Trường hợp 2: Nếu m < 0 thì (1) Û 4m 2 + 4m - 3 = 0 Û ê . 1 ê êm = êë 2
ƠN
3 Kết hợp điều kiện m < 0 ta được m = - . 2 ì 3 3ï ü ï Vậy m Î í- ; ý là giá trị cần tìm. ï ï 2 2ï ï î þ
NH
Câu 6.
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là
x 2 = 2 (m -1) x + 3 - 2m Û x 2 - 2 (m -1) x + 2m - 3 = 0 . (∗)
2 2 D¢ = éë-(m -1)ùû -1.(2m - 3) = (m -1) - 2m + 3 = m 2 - 4m + 4 = (m - 2) .
Y
2
QU
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt Û D ¢ > 0 Û ( m - 2) > 0 Û m ¹ 2 . 2
KÈ M
ìï b ïï x1 + x2 = - = 2m - 2 ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ïï c ïï x1 x2 = = 2m - 3 a ïî
Do x1 , x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên x1 > 0 , x2 > 0 .
ì ï x1 + x2 > 0 ì ï2 m - 2 > 0 3 Ûï Ûï Û m> . í í ï ï 2 ï2 m - 3 > 0 ï x1 x2 > 0 î î
Y
Do x1 ¹ x2 và tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 10 nên theo định lí Py-ta-go ta có
DẠ
x12 + x2 2 = 10 Û ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 = 10 . 2
Thay x1 + x2 = 2m - 2 , x1 x2 = 2m - 3 vào ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 = 10 ta được 2
ém = 0
(2m - 2) - 2 (2m - 3) = 10 Û 4m 2 -12m +10 = 10 Û 4m (m - 3) = 0 Û êê 2
ëm = 3
.
Trang 17
Kết hợp với điều kiện m >
3 ta được m = 3 . 2
CI AL
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
Dạng 3. Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, hoành độ thỏa mãn một biểu thức không đối xứng Câu 1.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có -x 2 = -mx - 2 Û x 2 - mx - 2 = 0 . (∗) D = (-m) - 4.1.(-2) = m 2 + 8 > 0 , "m .
Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 với mọi m.
OF
ì b ï ï ï x1 + x2 = - a = m Theo định lí Vi-ét ta có ï . í ï c ï x1 x2 = = -2 ï ï a ï î
FI
2
Thay x1 = 2m - 3 ; x2 = 3 - m vào x1 x2 = -2 ta được
ƠN
ì x1 + x2 = m ì x2 = 3 - m ì x2 = 3 - m ï ï ï Kết hợp với điều kiện đề bài, ta có hệ ï . Ûï Ûï í í í ï ï x1 + 2 x2 = 3 ï ï x1 + x2 = m ï ï x1 = 2m - 3 î î î
NH
ém = 1 ê (2m - 3)(3 - m) = -2 Û -2m + 9m - 9 = -2 Û 2m - 9m + 7 = 0 Û ê 7 (thỏa mãn). êm = êë 2
ì 7ü Vậy m Î ï í1; ï ý là giá trị cần tìm. ï ï 2ï ï î þ
QU
Câu 2.
2
Y
2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có x 2 = 6 x - m + 1 Û x 2 - 6 x + m -1 = 0 (∗) D¢ = (-3) -1.(m -1) = 9 - m + 1 = 10 - m . 2
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt
KÈ M
Û D¢ > 0 Û 10 - m > 0 Û m < 10 .
ì b ï ï ï x1 + x2 = - a = 6 Theo định lí Vi-ét ta có ï . í ï c ï x1 x2 = = m -1 ï ï a ï î
DẠ
Y
éìï x2 = 3 êïí ìïé x2 = 3 2 ï êï x = 3 ì ê ï x + x2 -12 = 0 ïï ïì x1 + x2 = 6 êïî 1 ê x = 4 Û ïí 2 Û Û Kết hợp với điều kiện đề bài, ta có hệ ïí 2 . íë 2 êì ïîï x2 = x1 + 6 ïï x1 = x2 2 - 6 ïï x = 4 ï ê î ïïî x1 = x2 2 - 6 êíï 2 êëïïî x1 = 10
Trường hợp 1: Thay x1 = 3 ; x2 = 3 vào x1 x2 = m -1 ta được 9 = m -1 Û m = 10 (loại). Trang 18
Trường hợp 2: Thay x1 = 10 ; x2 = -4 vào x1 x2 = m -1 ta được -40 = m -1 Û m = -39 (thỏa mãn). Vậy m = -39 là giá trị cần tìm.
CI AL
Câu 3. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
x 2 = 2 (m + 1) x + 3 Û x 2 - 2 (m + 1) x - 3 = 0 . (∗) 2 D¢ = éë-(m + 1)ùû -1.(-3) = (m + 1) + 3 > 0 , "m .
ìï b ïï x1 + x2 = - = 2m + 2 ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ïï c ïï x1 x2 = = -3 a ïî
Trường hợp 1: x1 < 0 < x2 Þ x1 = -x1 , x2 = x2 . Ta có 2 x1 + x2 = 5 Û -2 x1 + x2 = 5 .
ƠN
Vì a.c = -3 < 0 nên phương trình có hai nghiệm x1 , x2 trái dấu.
OF
Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 với mọi m.
FI
2
2m - 3 4m + 9 ; x2 = vào x1 x2 = -3 ta được 3 3
Y
Thay x1 =
NH
ì 2m - 3 ï ï x1 = ï ì ì 2 x + x = 5 3 x = 2 m 3 ï ï 1 ï 3 1 2 Ûï Ûí Ta có hệ phương trình ï . í í ï 4m + 9 ï x1 + x2 = 2m + 2 ï ï x1 + x2 = 2m + 2 ï ï î î x2 = ï ï 3 ï î
QU
2m - 3 4m + 9 . = -3 Û (2m - 3)(4m + 9) = -27 Û 8m 2 + 6m - 27 = -27 3 3 ém = 0 ê Û 8m + 6m = 0 Û m (8m + 6) = 0 Û ê 3 (thỏa mãn). êm = êë 4 2
KÈ M
Trường hợp 2: x2 < 0 < x1 Þ x1 = x1 ; x2 = -x2 . Ta có 2 x1 + x2 = 5 Û 2 x1 - x2 = 5 .
Y
ì 2m + 7 ï ï x1 = ï ì ì 2 x x = 5 3 x = 2 m + 7 ï 1 ï 1 3 2 Ûï Ûï Ta có hệ phương trình ï . í í í ï 4 m -1 ï x1 + x2 = 2m + 2 ï ï x1 + x2 = 2m + 2 ï ï î î x2 = ï ï 3 ï î
2m + 7 4 m -1 ; x2 = vào x1 x2 = -3 ta được 3 3
DẠ
Thay x1 =
2 m + 7 4 m -1 . = -3 Û (2m + 7)(4m -1) = -27 Û 8m 2 + 26m - 7 = -27 3 3
Trang 19
é m = -2 ê Û 8m + 26m + 20 = 0 Û ê 5 (thỏa mãn). êm = êë 4
CI AL
2
ì 5 3 ü Vậy m Î ïí-2; - ; - ;0ïý là giá trị cần tìm. ïîï 4 4 ïþï
Câu 4.
x 2 = 2 (m -1) x - m 2 + 2m + 3 Û x 2 - 2 (m -1) x + m 2 - 2m - 3 = 0 . (∗)
FI
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
D¢ = éë-(m -1)ùû -1.(m 2 - 2m - 3) = m 2 - 2m + 1- m 2 + 2m + 3 = 4 > 0 , "m . 2
OF
Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
é x = m +1 m -1 ± 4 . Ûê êë x = m - 3 1
Vì D¢ = 4 nên hai nghiệm của phương trình (∗) là x =
ƠN
Trường hợp 1: Xét x1 = m + 1 , x2 = m - 3(m ³ 3) thay vào x1 + 1 = x2 ta được
ìïm ³ -2 ïìm + 2 ³ 0 m + 2 = m - 3 Û ïí Û ïí 2 2 ïï(m + 2) = m - 3 ïïîm + 4m + 4 = m - 3 î
NH
ïìïm ³ -2 ìïm ³ -2 ï 2 (loại). Û ïí 2 Û ïíæ ö ïîïm + 3m + 7 = 0 ïïççm + 3 ÷÷ + 19 = 0 ïïîèç 2 ø÷ 4
Y
Trường hợp 2: Xét x1 = m - 3 , x2 = m + 1(m ³ -1) thay vào x1 + 1 = x2 ta được
QU
ìïm ³ 2 ïìm - 2 ³ 0 m - 2 = m + 1 Û ïí Û ïí 2 2 ïï(m - 2) = m + 1 ïïîm - 4m + 4 = m + 1 î
Vậy m =
5 + 13 là giá trị cần tìm. 2
Y
Câu 5.
KÈ M
ìm ³ 2 ï ï ï ï ì ï ï 5 + 13 ì ï m ³ 2 ï ï 5 + 13 m= ï ï ï (thỏa mãn m ³ -1 ). Ûí 2 Û íï Ûm= 2 ï ï ï 2 ï m - 5m + 3 = 0 ï ïí î ï 5 - 13 ï ï ï m= ï ï ï 2 î ï îï
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
DẠ
x 2 = (m - 3) x - m + 4 Û x 2 - (m - 3) x + m - 4 = 0 . (∗)
Phương trình (∗) có a + b + c = 1- m + 3 + m - 4 = 0 nên phương trình có hai nghiệm x = 1 ; x = m - 4 . Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt
Û x1 ¹ x2 Û 1 ¹ m - 4 Û m ¹ 5 . Trang 20
CI AL
ì b ï ï x1 + x2 = - = m - 3 ï ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ï c ï x1 x2 = = m - 4 ï ï a ï î
Do x1 , x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác nên x1 > 0 ; x2 > 0 .
ïì x + x2 > 0 ïìïm - 3 > 0 Û ïí 1 Ûí Û m>4. ïîï x1 x2 > 0 ïîïm - 4 > 0
FI
Do x1 ¹ x2 nên x1 , x2 không thể cùng là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông cân. Giả sử x1 là độ dài cạnh huyền, x2 là độ dài cạnh góc vuông thì theo định lí Py-ta-go ta có
OF
x12 = x2 2 + x2 2 Û x1 = 2 x2 .
Trường hợp 1: Xét x1 = 1 ; x2 = m - 4 , thay vào x1 = 2 x2 ta được 8+ 2 (thỏa mãn). 2
ƠN
1 = 2 ( m - 4) Û m =
Trường hợp 2: Xét x1 = m - 4 ; x2 = 1 , thay vào x1 = 2 x2 ta được
ïì 8 + 2 ïü Vậy m Î ïí ; 2 + 4ïý là giá trị cần tìm. ïï 2 ïï î þ
NH
m - 4 = 2.1 Û m = 2 + 4 (thỏa mãn).
Dạng 4. Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, liên quan đến tung độ
Y
Câu 1.
QU
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có 1 2 x = 2 x - m + 1 Û x 2 - 4 x + 2m - 2 = 0 . (∗) 2 D¢ = (-2) -1.(2m - 2) = 4 - 2m + 2 = 6 - 2m . 2
KÈ M
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt Û D¢ > 0 Û 6 - 2 m > 0 Û m < 3 .
ìï b ïï x1 + x2 = - = 4 ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ïï c ïï x1 x2 = = 2m - 2 a ïî
1 2 1 1 x nên y1 = x12 ; y2 = x2 2 . 2 2 2
DẠ
Y
Vì A, B Î ( P ) : y =
æ x 2 + x2 2 ÷ö 2 ÷÷ + 48 = 0 Û x1 x2 éê( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 ùú + 96 = 0 . Do đó x1 x2 ( y1 + y2 ) = -48 Û x1 x2 çç 1 çè ÷ø ë û 2 Thay x1 + x2 = 4 ; x1 x2 = 2m - 2 , ta được Trang 21
(2m - 2) éë16 - 2 (2m - 2)ùû + 96 = 0 Û (2m - 2)(20 - 4m) + 96 = 0
CI AL
é m = -1 . Û -8m 2 + 48m - 40 + 96 = 0 Û -8m 2 + 48m + 56 = 0 Û ê êë m = 7
Kết hợp với điều kiện m < 3 ta được m = -1 . Vậy m = -1 là giá trị cần tìm. Câu 2.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
FI
x 2 = (2m + 1) x - 2m Û x 2 - (2m + 1) x + 2m = 0 . (∗) D = (2m + 1) - 4.2m = 4m 2 + 4m + 1- 8m = 4m 2 - 4m + 1 = (2m -1) . 2
OF
2
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt 2
1 . 2
Vì A, B Î ( P ) : y = x 2 nên y1 = x12 ; y2 = x2 2 .
NH
ìï b ïï x1 + x2 = - = 2m + 1 ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ïï c ïï x1 x2 = = 2m a ïî
ƠN
Û D > 0 Û (2m -1) > 0 Û m ¹
Do đó M = y1 + y2 - x1 x2 = x12 + x2 2 - x1 x2 = ( x1 + x2 ) - 3 x1 x2 . 2
Y
Thay x1 + x2 = 2m + 1 ; x1 x2 = 2m vào M, ta được
æ 1ö 3 æ 1ö 3 3 M = 4m + 4m + 1- 6m = 4m - 2m + 1 = çç4m 2 - 2m + ÷÷÷ + = çç2m - ÷÷÷ + ³ èç 4 ø 4 èç 2ø 4 4 2
Þ MinM =
2
QU
2
3 1 1 1 khi m = (thỏa mãn m ¹ ). Vậy m = là giá trị cần tìm. 4 4 2 4
KÈ M
Câu 3.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
x 2 = 2mx - m 2 + 1 Û x 2 - 2mx + m 2 -1 = 0 . (∗)
D¢ = (-m) -1.(m 2 -1) = 1 > 0 , "m . 2
Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi m.
Y
é x = m -1 Do D¢ = 1 nên hai nghiệm của phương trình (∗) là x = m ± 1 Û ê . êë x = m + 1
DẠ
Trường hợp 1: Xét x1 = m -1 ; x2 = m + 1 Þ y1 = (m -1) ; y2 = (m + 1) . 2
2
Do đó y1 - y2 > 4 Û (m -1) - (m + 1) > 4 Û -4m > 4 Û m < -1 . 2
2
Trường hợp 2: Xét x1 = m + 1 ; x2 = m -1 Þ y1 = (m + 1) ; y2 = (m -1) . 2
2
Trang 22
Do đó y1 - y2 > 4 Û (m + 1) - (m -1) > 4 Û 4m > 4 Û m > 1 . 2
2
Câu 4. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
-x 2 = 2 x + m -1 Û x 2 + 2 x + m -1 = 0 . (∗) D¢ = 12 -1.(m -1) = 2 - m .
FI
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt
CI AL
Vậy m > 1 hoặc m < -1 là giá trị cần tìm.
Û D¢ > 0 Û 2 - m > 0 Û m < 2 .
ƠN
Vì A, B Î ( P ) : y = -x 2 nên y1 = -x12 ; y2 = -x2 2 .
OF
ì b ï ï x1 + x2 = - = -2 ï ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ï c ï x1 x2 = = m -1 ï ï a ï î
Do đó x1 y1 - x2 y2 - x1 x2 = -4 Û -x13 + x23 - x1 x2 = -4 Û x13 - x23 + x1 x2 = 4 . 2 Û ( x1 - x2 ) éê( x1 + x2 ) - x1 x2 ùú + x1 x2 = 4 . (∗∗) ë û
NH
Û ( x1 - x2 )( x12 + x2 2 + x1 x2 ) + x1 x2 = 4
Thay x1 + x2 = -2 ; x1 x2 = m -1 vào (∗∗) ta được
( x1 - x2 ) éêë(-2) - m +1ùúû + m -1 = 4 Û ( x1 - x2 )(5 - m) + m - 5 = 0 2
Mà m < 2 nên loại m = 5 .
QU
Y
ém = 5 . Û ( x1 - x2 -1)(5 - m) = 0 Û ê ê x1 - x2 = 1 ë
KÈ M
ìï 1 ïï x1 = ìïï x1 - x2 = 1 2 Û ïí Khi đó ta có hệ phương trình í . ïîï x1 + x2 = -2 ïï 3 ïï x2 = 2 ïî
1 3 3 7 Thay x1 = - ; x2 = - vào x1 x2 = m -1 , ta được = m -1 Û m = (thỏa mãn). 2 2 4 4
Vậy m =
7 là giá trị cần tìm. 4
DẠ
Câu 1.
Y
Dạng 5. Bài toán liên quan đến độ dài, diện tích Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
x 2 = 2 (m -1) x + m 2 + 2m Û x 2 - 2 (m -1) x - m 2 - 2m = 0 . (∗)
D¢ = éë-(m -1)ùû -1.(-m 2 - 2m) = m 2 - 2m + 1 + m 2 + 2m = 2m 2 + 1 > 0 , "m . 2
Trang 23
CI AL FI
Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi m.
OF
ì b ï ï ï x1 + x2 = - a = 2 (m -1) Theo định lí Vi-ét ta có ïí . ï c 2 ï x1 x2 = = -m - 2m ï ï a ï î
ƠN
Vì H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành nên ta có OH 2 = x12 ; OK 2 = x2 2 . Do đó OH 2 + OK 2 = 6 Û x12 + x2 2 = 6 Û ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 = 6 . (∗∗) 2
NH
Thay x1 + x2 = 2 (m -1) ; x1 x2 = -m 2 - 2m vào (∗∗), ta được
ém = 1 ê é 2 (m -1)ù - 2 (-m - 2m) = 6 Û 6m - 4m - 2 = 0 Û ê 1 (thỏa mãn). ë û êm = 3 ëê 2
2
ïì 1 ïü Vậy m Î í- ;1ý là giá trị cần tìm. ïîï 3 ïþï
QU
Câu 2.
Y
2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
x 2 = 2mx + 4 Û x 2 - 2mx - 4 = 0 . (∗)
D¢ = (-m) -1.(-4) = m 2 + 4 > 0 , "m .
KÈ M
2
Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi m. ì b ï ï x1 + x2 = - = 2m ï ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ï c ï x1 x2 = = -4 ï ï a ï î
Y
Do ac = -4 < 0 nên phương trình (∗) có hai nghiệm x1 , x2 trái dấu, do đó A, B nằm khác phía với Oy.
DẠ
Vì G là giao điểm của d với Oy Þ G (0; 4) nên OG = 4 . Vì H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên Ox Þ HK = x1 + x2 . 1 2 Ta có SDGHK = .GO.HK Û x1 + x2 = 4 Û ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 + 2 x1 x2 = 16 . (∗∗) 2
Trang 24
Thay x1 + x2 = 2m ; x1 x2 = -4 vào (∗∗), ta được
(2m) - 2.(-4) + 2. -4 = 16 Û 4m 2 +16 = 16 Û 4m 2 = 0 Û m = 0 (thỏa mãn). 2
CI AL
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. Câu 3. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có
x 2 = 2 x + m Û x 2 - 2 x - m = 0 . (∗)
FI
Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung thì phương trình (∗) có hai nghiệm x1 ,
x2 trái dấu Û ac < 0 Û -m < 0 Û m > 0 .
OF
ì b ï ï x1 + x2 = - = 2 ï ï a Theo định lí Vi-ét ta có í . ï c ï x1 x2 = = -m ï ï a ï î
ƠN
Giả sử x1 < 0 < x2 .
Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của A và B trên Oy Þ AH = x1 ; BI = x2 . Hai ∆AOM và ∆BOM có chung đáy OM nên tỉ số diện tích bằng tỉ số chiều cao.
SDAOM = 3SDBOM Û
NH
Theo bài ra, ta có
x SDAOM = 3 Þ 1 = 3 Û x1 = 3 x2 . SDBOM x2
Y
Mà x1 < 0 < x2 nên -x1 = 3 x2 .
QU
ïì x + x2 = 2 ïìï x1 = 3 Kết hợp ta được hệ phương trình ïí 1 . Ûí ïîï-x1 = 3 x2 ïîï x2 = -1 Thay x1 = 3 và x2 = -1 vào x1 x2 = -m ta được m = 3 (thỏa mãn).
DẠ
Y
KÈ M
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
Trang 25